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Biblioteka Politechniki Ki akowskiej

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Mathematik fur Techniker

Gemeinverständliches Lehrbuch der

Mathematik für Mittelschüler sowie besonders für den

Selbst-Unterricht.

4. Band

Quadratische Gleichungen mit einer und mehreren Unbekannten. Textgleichungen. Exponential- und logarith-mische Gleichungen. Unbestimmte Gleichungen I. und II. Grades. (Kettendivision, Zahlenkongruenzen).

^-^Ahr-

Leipzig

Verlagsbuchhandlung von Moritz Schäfer 1907.

Quadratische Gleichungen

mit einer und mehreren Unbekannten. Text-gleiehungen. Exponential- und logarithmische Gleichungen. Unbestimmte Gleichungen I. und II. Grades (Kettendiyision, Zahlenkongruenzen).

Gemeinverständliche Darstellung für

Mittelschulen und zum Selbstunterricht.

Von

J. E. Mayer, Ingenieur.

Leipzig-

Verlagsbuchhandlung von Moritz Schäfer. 1907.

Alle Rechte nach dem Gesetze über das deutsche Urheber-und Verlagsrecht vom 19. Juni 1901 Vorbehalten.

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u \\

Dem Andenken meines Vaters, des zu Donaueschingen verstorbenen

Herrn Baumeister Johann Mayer

gewidmet.

Der Verfasser.

1

}

Vorwort.

Der vorliegende Band enthält in seinem ersten Teil „Quadratische Gleichungen“. Die Behandlungsweise dieser ist dieselbe, wie die der linearen Gleichungen im III. Bändchen; zuerst eine populäre Erläuterung der Auflösungsmethoden, dann Einübung dieser Methoden an zahlreichen, vollständig durchgerechneten Beispielen und zum Schluß Anwendung der quadratischen Gleichungen auf praktische Aufgaben. Bei diesem letzten Kapitel war ich wieder eifrig bestrebt, den Schüler an eine logische Ableitung der Bestimmungsgleichungen zu gewöhnen und hoffe ich, ihm richtige Leitsätze für weitere Studien mitgegeben zu haben. Nach dem Schema der übrigen Hefte fügte ich ein starkes Kapitel Repetitionsaufgaben bei, und glaube, hiermit dem Schüler einen Dienst erwiesen zu haben. Dem Autodidakten können solche Ruhepunkte in der fortschreitenden Entwicklung der mathematischen Lehren nur fruchtbringend sein, sie geben ihm einen sicheren Prüfstein seiner Kenntnisse.

Der zweite Teil des Buches behandelt hauptsächlich Zahlenkongruenzen und hat dieser Teil eine weit größere Dimension angenommen, als ursprünglich vorgesehen war. Bei der Schönheit und Durchsichtigkeit des Stoffes aber glaube ich das Interesse der Schüler zu gewinnen, um so mehr, als gerade diese Theorien dem Schüler so manche Wahrheit in klarem Licht vor Augen führen.

Die Kettendivision II. Grades konnte in diesem Bande leider keine Aufnahme mehr finden ; sie wird in einem späteren Bande behandelt werden.

Die Anhangstabellen mögen dem Schüler gute Dienste

leisten.

Möge das Büchlein Anklang bei den Schülern und Nachsicht bei der Kritik finden.

Freiburg i. Br., Weihnachten 1906.

Der Verfasser.

Inhaltsverzeichnis.

Kapitel I. Quadratische Gleichungen mit einer Unbekannten.....

§ 1. Theorie derselben............

§ 2. Aufgaben über quadratische Gleichungen mit einer

Unbekannten .............

§ 3. Gleichungen, welche sich auf quadratische zurückführen lassen..............

§ 4- Textgleichungen II. Grades mit einer Unbekannten . Anhang:    Trigonometrische Auflösung der quadratischen Gleichungen mit

einer Unbekannten............

Kapitel II. Gleichungen II. Grades mit 2 und mehreren Unbekannten .    .

§ 1. Auflösen quadratischer Gleichungen mit 2 Unbekannten

§ 2. Beispiele...............

§ 3. Textgleichungen II. Grades mit 2 Unbekannten .

§ 4. Quadratische Gleichungen mit drei und mehreren Unbekannten..............

Kapitel III. Exponential- und logarithmische Gleichungen......

Kapitel IV. Repetitionsaufgaben ............

Kapitel V. Über Maxima und Minima............

Kapitel VI. Unbestimmte Gleichungen I. und II. Grades......

§ 1. Zahlenkongruenzen.....:......

§ 2. Unbestimmte Gleichungen I. Grades ......

§ 3- Lineare Kettendivision ..........

§ 4. Unbestimmte Gleichungen I. Grades......

§ 5. Weitere Bemerkungen über lineare Kongruenzen .    .

§ 6. Über Kongruenzen höheren Grades......

§ 7. Kongruenzen II. Grades..........

§ 8. Binomische Kongruenzen..........

Tt< ,—| H H fl

co oo eo

ëigg I

§ 9. Kongruenzen von der Form : ax ^ A (mod p) . . § 10. Kongruenzen II. Grades mit 2 Unbekannten . . .

§ 11. Zerlegung von Zahlen in Primfaktoren.....

Anhangstabellen:

Anhang I. Formeltabelle..............

Anhang II. Vierstellige Logarithmen der Zahlen 1—1000    . . •

Anhang HI. Logarithmen der trigonometrischen Funktionen

Anhang IV. Primzahlen zwischen 1 und 10000 .......

Anhang V. Perioden von Primzahlnenner zwischen 1 und 100

Kapitel I.

Quadratische Gleichungen mit einer Unbekannten.

fr.

1.

Theorie derselben.

Wenn eine Gleichung so vereinfacht ist, daß Wurzeln, Nenner und Klammern beseitigt und die Glieder, welche gleiche Potenzen der Unbekannten enthalten, in eines vereinigt sind, und es enthält die Gleichung die Unbekanntein keiner höheren als in der zweiten Potenz, so nennt man die Gleichung eine Gleichung zweiten Grades oder eine quadratische Gleichung. Die allgemeine Form einer Gleichung zweiten Grades ist also:

ax² -f bx -j- c = 0.

Ist in einer Gleichung, welche auf diese Form g-ebracht ist, der Koeffizient b = 0, fehlt also mit anderen Worten das Glied mit der ersten Potenz der Unbekannten, so heißt die Gleichung eine rein quadratische. Die allgemeine Form einer rein quadratischen Gleichung ist:

ax² = c.

oder mit a durch dividiert:

oder

x² =

x'² = n.

Daraus ergibt sich die Auflösung durch beiderseitiges Radizieren mit 2:

x = / n.

Da aber eine Quadratwurzel immer zweideutig ist, d. h. sowohl positives, wie negatives Vorzeichen haben kann, so erhält man :

Mayer, Mathematik IV.

x = + y n oder die beiden Lösungen xi = + }' n x₂ = — y n.

Die beiden Lösungen einer rein quadratischen Gleichung sind also ihrem absoluten Werte nach einander gleich, sie unterscheiden sich nur durch das Vorzeichen. Beide Lösungen sind algebraisch vollständig gleichberechtigt. Ist z. B:

x² = 4

-f- 2, also

so ist :

2.

xi = -j- 2 x₂ =

Beide Lösungen sind gleichberechtigt, denn nach dem Begriff des Radizierens heißt y 4 ausziehen, diejenige Zahl suchen, welche mit sich selbst multipliziert 4 gibt; nun gibt aber sowohl : (+ 2) • (+ 2) wie (— 2) • (— 2) die Zahl + 4' Bei Textgleichungen hat man natürlich zu entscheiden, ob die algebraisch der Gleichung genügenden Wurzeln auch dem Sinne der Aufgabe entsprechen, oder ob nicht ein Wert zu verwerfen ist, weil für die Aufgabe sinnlos ! (Man denke z. B. an eine negative Anzahl von Menschen etc.)

Ist das absolute Glied — so nennt man das Glied, welches x nicht enthält — oder wenn man will, das Glied mit der 0ten Potenz von x — der Null gleich, so läßt sich die linke Seite der Gleichung in ein Produkt aus 2 Faktoren zusammenfassen. Ist aber ein Produkt der Null gleich, so muß ein Faktor gleich Null sein. Hierdurch erhält man wieder zwei Lösungen, die auch absolut genommen voneinander verschieden sind. Die eine Lösung ist stets Null, da stets der eine Faktor x allein ist. Die allgemeine Form einer solchen Gleichung ist: a x² —j— b x — 0.

Zur Lösung erhält man:

x (ax —j— b) = 0, also entweder x = 0 oder

ax + b = 0, also

— Man hat also

x, = 0

ax² + bx -|- c — 0.

Ist keiner der drei Koeffizienten der Null gleich, so heißt die Gleichung eine gemischt quadratische Gleichung. Ihre allgemeine Form ist also:

Um diese Gleichung auflösen zu können, verfahre man folgendermaßen. Man multipliziere die ganze Gleichung mit 4 a und erhält :

4 a² x² -j- 4 a b x + 4 a c = 0.

Darauf addiere man auf beiden Seiten der Gleichung b2 und es kommt:

4a² x² -f- 4abx -f- b² = b² — 4ac, oder da die linke Seite das Quadrat von (2ax b) darstellt: (2ax -j- b)'² = b² — 4ac, also:

2ax -(- b = 2 ax =

+ Z b² — 4ac, also

—    b + i b² — 4ac , folglich:

—    b + / b~ — 4ac, also :

Xi =

— b -j- ]/b'² — 4 ac

2a

x² —

b — y b² — 4 ac

Diese beiden Lösungen sind auch ihrem absoluten Werte nach verschieden. Bei der Wichtigkeit und dem häufigen Vorkommen der quadratischen Gleichungen muß man sich die Auflösungsformel auswendig merken. Man merke also: Ist eine gemischt quadratische Gleichung auf die Form:

ax² -j- bx -j- c — O

gebracht, so erhält man x aus der Formel:

— b + i &² — 4 a c 2 a

Wir wollen die Formel an einigen Beispielen einüben.

Aufgabe 1. Man bestimme x aus der Gleichung:

57 x — 18 x² -f 145 = 0.

Man bringe nach Multiplikation mit (— 1) die Gleichung auf die allgemeine Form. Es kommt:

18 x² — 57 x — 145 == 0.

b ist also hier = — 57 und c = — 145. Man erhält nach unserer Auflösungsformel:

57 ± y 57² -f 4 • 18 • 145

36

x — 57 + {/3249 -f- 10440

57 ± 117

36

36

xi =

174 _ 29 36    6

60

Aufgabe 2. Man bestimme x aus der Gleichung-: 2x² -f- x — 1 = 0 b = + 1 und c = — 1.

Hier ist

Man erhält:

-, also:

xi = o-

Die Auflösungsformel

— b + "/b'² — 4ac

2a

enthält eine geradzahlige (zweite) Wurzel und unter der Wurzel steht eine Differenz. Wir wissen aber, daß eine gerade Wurzel aus einer negativen Zahl eine imaginäre Zahl ist, so daß wir sagen können, eine gemischt quadratische Gleichung von der allgemeinen Form:

ax² -j- bx -j- c = 0

hat nur dann reelle Wurzeln, wenn die Differenz b² — 4ac <) 0.

Ist aber:

b² — 4ac <C 0

so erhält man komplexe Lösungen, und zwar konjugiert komplexe.

Man nennt den Ausdruck

b²

4 ac

Die Diskriminante der quadratischen Gleichung. Die Diskriminante ist positiv, wenn in der Gleichung:

ax² -j- bx + c = 0,

welche so geordnet, daß ax² positiv ist, — was stets möglich

ist — das absolute Glied negativ ist, oder wenn c zwar posi-b²

tiv ist, aber kleiner als    Ist 4ac dem Quadrat von b gleich,

liegen.

Es ist noch eine zweite Auflösungsformel in Verwendung', welche man sich ebenfalts auswendig zu merken hat, da man bald diese, bald jene mit Vorteil verwendet. Dividiert man in der allgemeinen Form

so ist die Quadratwurzel Null. Man erhält also reelle Lösungen, wenn c Werte annimmt, die zwischen b²

4a

— oo und -f-

ax² -j- bx -j- c = 0

mit a durch, also

und führt man für

erhält man die sogenannte Nor mal form einer gemischt quadratischen Gleichung, welche lautet:

x² -f px -f q = 0.

Nun verfahren wir nach dem Grundsatz, den wir in der Lehre von den linearen Gleichungen kennen gelernt haben, nämlich: Unbekannte auf die eine, Bekannte auf die andere Seite bringen! Also ist:

x² -f- px = — q.

Nun haben wir auf der linken Seite das Quadrat einer Zahl und mit ihm additiv verbunden ein Produkt, dessen einer F aktor die erste Potenz dieser Zahl ist. Die beiden Glieder sind also die beiden ersten Glieder des Quadrats eines Binoms,

und zwar ist x das erste Glied des Binoms und das zweite.

Denn es ist (a -f- b)² = a² -J- 2ab + b², wir haben also für

2 b den Faktor p, also ist b = -2-- Durch diese Tatsache

U

nun werden wir angeregt, die linke Seite der Gleichung durch Hinzufügung der quadratischen Ergänzung in ein vollständiges Quadrat zu verwandeln und zuzusehen, ob wir nicht dadurch instand gesetzt werden, die Unbekannte x zu bestimmen. Die

p²

quadratische Ergänzung ist Addieren wir diese auf beiden Seiten der Gleichung, so erhalten wir:

~2 (— P ±_ i P² — 4ç),

Dies ist die Auflösungsform einer quadratischen Gleichung, wenn diese auf die Normalform

x'³ —(- px -j- y = 0

gebracht ist. Bezeichnen wir die erste Auflösung' mit xx und die zweite mit x._>,

p + i p³ — ⁴q ) p — y p²

xi =

so ist

X2

4q )•

Lernen wir auch diese Formel an einigen Beispielen an

wenden.

X

to

Oh

tord

to    ts

Folglich :

_p

~f~

2 ±

f- ± ~ y?⁵

4q

49

Auf gäbe 3. (a -J- b) x² — x • ]/c²— b = 2ac -j- b. Bringen wir die Gleichung auf die Form: x² ~f- px -j- q = 0, so erhalten wir:

x² 4-

— |/ c² — b

• x -F

a —J— b

= 0.

In dieser Gleichung ist

y c² — _b

a -f b

und

2ac -j- b

a -j- b

• Wir erhalten also nach un-

serer Formel als Auflösung:

Aufgabe 4.    x'² — 8x — — 12. Wir erhalten:

x² — 8x -f 12 = 0

8 ± 4)

1—I CM

]/ c² — b

c² -

4 • (2 a c -f- b)

a -j- b

(a + b)

I (+ 8 ± y64 -48; = ~

x₁ = 6. x² = 2.

Aufgabe 5. x² -j- 10 x = — 21.

x² |    10 x |    21 — 0

O (— ¹⁰ ± yiÖÖ”^84) =

-J

Dû KJ

rH

1+

x, = — 3, x, — — 7.

Nachdem wir nun auch an einigen Beispielen gesehen haben, wie man diese Formel anwendet, wrollen wir nun untersuchen, ob zwischen den Auflösungen oder, wie man sagt, zwischen den Wurzeln einer gemischt quadratischen Gleichung und ihren Koeffizienten nicht irgendwelche Beziehungen bestehen. Man findet leicht, daß solche tatsächlich stattfinden. Addiert man nämlich die beiden Wurzeln, so erhält man :

1/ p² — 4q---§

2“ Vp ‘³ — 4 q

xi f- x₂ = — p.

In Worten ausgesprochen heißt diese Gleichung: Die Summe der beiden Wurzeln einer gemischt quadratischen Gleichung ist gleich dem negativen Koeffizienten der ersten Potenz der Unb ekannten. Multiplizieren wir beide Wurzeln miteinander, so erhalten wir:

(-ł + T

1 2

4 ~XP

X1 • X2 =

X1 • X2

P²

— 4q)

xi * X2 = q,

eine Gleichung, welche besagt : „Das Produkt der beiden Wurzeln einer quadratischen Gleichung ist gleich dem absoluten Glied.“

Auf den Gedanken, beide Wurzeln zu addieren, kommt

man durch die Vergleichung- der Normalform mit der Gleichung :

x₂ — (a —j— b) x —|— a b welche entsteht aus: (x — a) (x — b) Sie muß die beiden Wurzeln haben :

diese Gleichung mit :

man

x = a und x — b, weil entweder (x — a) oder (x — b) gleich Null sein muß. Vergleicht x² -f- p x -f- q = 0, so ergibt sich :

p = — (a -j- b) und q = ab,

also unsere beiden obigen Sätze.

Mit Hilfe dieser beiden gefundenen Sätze können rvir, wenn uns eine gemischt quadratische Gleichung zur Lösung vorgelegt wird, aus deren Koeffizienten über die beiden Lösungen folgendes aussagen.

Ist die gegebene Gleichung auf die Form:

x² + px + q = ⁰

gebracht und ist hierin das absolute Glied q positiv, so sind die Lösungen der Gleichung entweder beide positiv oder beide negativ. Dies folgt aus dem zweiten gefundenen Satz. Nach

diesem ist:

Xj • x₂ = q.

Da abei nur das Produkt zweier Faktoren von gleichen Vorzeichen positiv sein kann, so muß, wenn q positiv ist, entweder xt und x₂ positiv, oder x₁ und x₂ negativ sein. Was von beiden sind sie nun in einem gegebenen Falle? Darauf gibt uns der erste Satz die Antwort. Die Summe der beiden Lösungen hat das negative oder das entgegengesetzte Vorzeichen von p und damit natürlich auch jede der beiden Lösungen, da ja beide Summanden dasselbe Vorzeichen haben müssen. Wir haben hieraus also folg-enden Satz: „Ist eine gemischt quadratische Gleichung auf die Form: x² -j-px-J- q = 0 gebracht, so haben die Lösungen der Gleichung beide dasselbe Vorzeichen, wenn das absolute Glied q positiv ist, und zwar sind beide Lösungen positiv, wenn der Koeffizient der ersten Potenz der Unbekannten, also p, negativ ist, und beide negativ, wenn p positiv ist. Betrachten wir den Fall, wenn q neg'ativ ist.

Hier sagt uns die Beziehung:

xi • x2 = q

sofort, daß in diesem Pralle die eine Wurzel der Gleichung positiv ist, die andere negativ. —

Nun wollen wir noch sehen, ob p und q beliebige Größen sein dürfen, oder ob nicht etwa hinsichtlich ihres gegenseitigen Größenverhältnisses noch irgendwelche Beschränkungen gemacht werden müssen, wenn anders die Gleichung auflösbar sein soll, das will besagen, wenn wir wirkliche, reelle Werte als Auflösungen oder Wurzeln der Gleichung erhalten sollen. Daß eine solche Beschränkung wirklich gemacht werden muß, sagt uns auch diese Formel. Es ist:

x = -Î- (— p + ]/ p² — 4q)>

bi. Wann wird nun die

In dieser Auflösungsformel kommt wieder eine Quadrat-also eine geradzahlige Wurzel aus einer Differenz vor. Diese Wurzel können wir aber nur so lange ziehen, als die Differenz positiv ist; wird diese negativ, so ist die Wurzel imaginär und wir erhalten als Lösungen zwei komplexe Zahlen und zwar sind diese komplexen Zahlen konjugiert, d. h. sie unterscheiden sich nur durch Vorzeichen ihres imaginären Gliedes, sind also von der Form: a —j— bi und a Differenz unter der Wurzel negativ ? Die Antwort hierauf lautet: p'² — 4q wird negativ, wenn q positiv ist und 4q größer

• Ist q negativ, so ist — 4 q

p-

ist als p'² oder q größer als —L-

positiv, also der ganze Radikand positiv. Ist q zwar negativ, aber 4 q kleiner als p², so ist die Differenz positiv, die Wurzel also reell. Wäre q positiv und 4 q gleich p², so ist die Differenz und mit ihr ihre Quadratwurzel gleich Null. Wirkliche, reelle Werte erhalten wir also für die Wurzel in der Formel,

p²

wenn q Werte annimmt, die zwischen -j- -“-und—oo liegen.

Fassen wir nun alles zusammen, so haben wir den Satz:

„Ist eine gemischt quadratische Gleichung auf die Form: x* + px + q = 0 gebracht, so erhalten wir, wenn das absolute Glied q negativ ist, in allen Fällen zwei reelle Lösungen. Die Vorzeichen der Wurzeln sind verschieden. Ist p positiv und zu-

7)~

gleich Hemer als ^ so erhalten wir zwei reelle

Lösungen mit gleichem Vorzeichen, und zwar ist dieses gleiche Vorzeichen denjenigen von p ent-

p~

gegengesetzt. Ist q positiv und größer als —j-, so

sind die Wurzeln der Gleichung nicht reell, sondern komplex, und zwar konjugiert komplex.“ —

Wir haben gesehen, jede quadratische Gleichung hat zwei Lösungen. Dies kommt daher, weil jede quadratische Form sich in zwei lineare Faktoren zerlegen läßt. Ist die quadratische Form gegeben:

Setzt man die quadratische Form gleich Null, so erhält man eine quadratische Gleichung. Da a nicht Null sein kann — sonst fällt ja das Glied mit x² fort, so muß einer der beiden linearen Faktoren der Null gleich sein und durch Gleichsetzen beider Faktoren mit Null erhält man die beiden Wurzeln, welche der Gleichung Genüge leisten.

Aus der letzten Betrachtung ergibt sich, daß wenn man eine Gleichung mit einem Faktor, welcher x enthält, multipliziert, die neue Gleichung einmal die Wurzeln der alten hat und dann aber noch diejenigen Wurzeln, welche der zugesetzte Faktor ergibt, wenn er gleich Null gesetzt wird. Eine Gleichung erhält also dadurch Wurzeln, welche ihr nicht angehören. Darauf hat man beim Heben der Brüche insbesondere zu achten. Man darf in den Hauptnenner keinen Faktor aufnehmen, der durch Vereinfachung der Brüche fortfallen würde.

Des weiteren ergibt sich aus unserer obigen Ent w-ic klung, daß eine Gleichung-, von der man weiß, daß a eine Wurzel derselben ist, durchx — a in der Nullform ohne Rest teilbar ist, denn das Gleichungspolynom enthält den Faktor x — a.

So wird z. B. die Gleichung

x³ — 3x² — x -4 3 = 0.

befriedigt durch die Wurzel

x = 1,

a [(x+^y a-[(x • y.)

]•

so erhält man:

ax² -j- bx + c,

ax² -f bx -f- c = a (x² -f x -f-a ( x" + “

oder :

b²

b²

x + ÎT² ± ÏT2 +

[(-+4)

b² — 4ac

4 a²

)/ b'² — 4 ac

2a

y b² — 4 ac

2a

welches sind die übrigen Wurzeln?

Man dividiere x³ — 3 x² — x -j- 3 durch x — 1 und

erhält :

x² — 2x — 3 = 0, also erhält man für:

Aufgabe 7.

x + yx» — i7

X2,3 =    (2 i y^ + 12), also

x₂ == 3

— 1.

Ferner genügt der Gleichung

x³ — 1 == 0

x₃ =

der Wurzelwert x = 1. Welches sind die übrigen Wurzeln? Durch Division von x³ — 1 durch x — 1 erhält man: x² + x -f- 1 = 0.

Hieraus erhält man die beiden weiteren Wurzeln:

x₂

X3

Fürx₃ — a erhält man:

xi

X2

x3

Va •

Hieraus erkennt man, daß eine dritte Wurzel drei Werte hat, wovon aber zwei imaginär sind. Wir gehen nun dazu über, quadratische Gleichungen zu lösen, wobei wir zahlreiche Beispiele der ausgezeichneten Aufgabensammlung von Dr. E. Heis, welchewir unseren Lesern wärmstens empfehlen, entnehmen. Der Leser versuche zuerst immer selbst die Aufgabe zu lösen.

§ 2.

Aufgaben über quadratische Gleichungen mit einer Unbekannten.

a) Rein quadratische Gleichungen. Aufgabe 6.

Man erhält :

9x² = 2601.

x² =

2601

-9- = 289 + ]/ 289 = + 17.

= 4 : yx'² — 17. Man erhält:

17 -f x² — 17 = 4 x • /x² — 17

x • y x²

= 21 — x²

X² (x² — 17) = 21² h- x¹ — 42 X2 x¹ -— 17 x² = 441 -f- x¹ — 42 x2 25 x² = 441

/ 441

Aufgabe 8. x -j- ]/a + x² = (a² + a): / 4 a -f- 4x2 Wir bekommen:

2 x • ]/ a + x² + 2 (a + x²) = a² + a

(mit a² dividieren):

2x /a + x² = a² — a — 2x2 4x² a + 4x¹ =(a² — a)² — 4(a² — a)x²+4x¹ 4a²x² = a¹ — 2 a² -j- a2 4x² = a² — 2 a —j— 1

x² =

(a - l)²

^ 1H icu

(a - 1).

Aufgabe 9.

f- m² — 3 = m + 1 —

— 2.

3 m²

Durch Quadrieren erhält man:

3 m²

x²

4- m²— 3 = (m + l)² +

X²

2—2(m -f- !)•

^-2

X²

m² — 1 = (m -J- l)² - 2 (m + 1) • Dividiere durch m -j- 1 :

f-f

— 2.

3 m²

x²

— 2 =2

3 m²

— 2=1

CO

= sx

Qp -hg — ,.0) — P₈0f

4c²d — (c² — a + d)²

— 4b c² = x² [(c² — a -f- d)² — 4c²d] 4 b c²

?x

VPf — ₈(P + b — so) =

Addiere und subtrahiere auf der rechten Seite 4c²d: 4b c²

4 ad

Z 4-    — P + ~ —

Aufgabe 10. Quadriere :

= C⁴ + a² — 2ac² + d² — 2c²d — 2ad.

4ab 4bd 4b ,    „

+ —-j- = c⁴ + a²— 2ac“ + d²-}-

rx

*x

p) +.(<-.P)-(f-p) (f—)>

= c² — a

8° =

q p4 +

sx

—s- = C.

d H--2

X “

2b

pqt ₈qt

|f) -2(c»-a)(d--2 c²d 4-+ 2 ad —

sx

sx

4ab

rx

s°qt

&x

2b

Aufgabe 11.

560

x²

— 34 = 7.

Man schreibe die Gleichung':

560

x²

+ 29 =

34

Quadriere:

14 •

)/”

— 34 = 14

560

x²

— 34 = 1

x = ± 4.

Aufgabe 12.

J 0,125 x³ — 6x = ]/ 0,25 x² — 8 Erhebe beide Seiten in die sechste Potenz :

(0,125 x³ — 6x)² = (0,25 x² — 8)3 0,125²x⁶ -f 36x² — 12 • 0,125x⁴ = 0,25³x⁶ — 3 • 0,25²x⁴ • 8

+ 3 • 0,25x² • 64 — 83 x² = 42,666- •• x = + 6,53197.

Aufgabe 13.

(1 — ]/1 — x²) - ¹ — (1 + /I — x²) “ ¹ = x “ ² f3 Man schreibe die Gleichung:

x²

i + y i — x²

1 _ 1 x2

(i _

2 y i — x² =

4 — 4x² =

X" — -j-; x = -f-0,5.

Aufgabe 14.

= x.

(x + y 2 — x²)“¹ -f- (x — y 2 — x²)

Man schreibe die Gleichung:

x — y2

x —f- y 2 — x²

x — j/ 2 — x² —J— x —J— y 2 — x²

X²

x² — 2 — x²

2 x² — 2

2x² — 2

2x² = 4

x = + i2.

Aufgabe 15.

y m - J— x ²

”/

X²

x²

y m -f- x²

läßt sich links heraussetzen:

oder:

J'm + x² •

x² -f- m

mx²

= y x²

Erhebe in die nte Potenz:

(m -h x²) •

(m + x²)n

(m x²)n (m -f- x²)n + ¹

= x²

= x²

mn x2n

(m -f- x²)n +¹ — mn • x2(n + D

m + x² = mn+¹ • x2

X³

(m4i _

x=±

l^m«

+ i - 1-

Aufgabe 16.

m + 1-

y m •

m -f-1_

in — 1

(x

m)

(x

(x

(x

m)“²-¹"

— m) — 2

m m*-¹

m)

Xj

2 m, x₂

0.

x —J— m — 2n n -j- 2m — 2x

2 m -f⁻ 2x

Wende hier den Satz an: „In einer geometrischen Proportion verhält sich die Summe der Glieder der einen Seite zu deren Differenz wie die Summe der Glieder der anderen Seite zu ihrer Differenz.

Man erhält:

(x    -j-    m    -)-    2n-f-x-f    m — 2n) : (x -j-    m -|- 2n — x    — m-f-    2n)

=    (n    —    2    m -f- 2 x    -f-    n-|-2m —    2 x) : (n — 2m    +    2x    —    n

- 2 m | 2x)

2 (x -j-    m)    : 4n = 2n    4(x — m)

x -j—    m    : 2n — n :

2 x² — 2m² = 2n²

x² = m² 4- n²

Aufgabe 17.

- m)

± y m² + n²:

b) Gemischt quadratische Gleichung-en:

Auf gäbe 18. 557 x=5801 -

- + 8x²

8x² — 557 x -f- 5501,25 = 0. Wenden wir die Formel an:

— b + / b² — 4ac

2a

, so erhalten wir:

4- 557 ± }/ 557² — 4 • 8 • 5801,25

16

557 ± y 310249 — 185640

557 ± ]/124609

16

16

557 ± 353

also : xx = 910 : 16

= 56 Q- und

O

204: 16 = 12“-4

Bringen wir die andere Atiflösungsformel in Anwendung, so ergibt sich :

23205

8x² — 557 x +

557x 23205 8    '    32

2228 _    23205

32 X_l

X = T (“82

x² —

x²

cc

2228

yd⁸)²

4 • 23205

32

₃₂ ± ^2 V²²²⁸² — 4 • 32 • 23205

2228

—    (1114 + y "1114* — 32 • 23205 )

x = gL (1114 4- y 1240996 — 742560)

~ (1114 ± 706)

Aufgabe 19.

699230,07 — 3 (100 x — 31 x²) — 100 x (60 -f x) 699230,07 — 300x -f 93 x² = 6000 x + 100 x2 7x² + 6300 x — 699230,07 = 0

—    6300 ± y 6300² + 4T7A 699230,07

14

— 6300 + 7698,6

14

x₁= 99,9 und x₂ — oder nach der anderen Formel:

999,9

x² -f- 900 x — 99890,01 = 0 4(— 900 + y 900² + 4 • 99890,0F)

1_(_ 900 + y 810000 + 399560,or)

u

x = y (— 900 ± 1099,8) xx= 99,9 und

x₂ = — 450 — 549,9 = — 999,9.

xi

Aufgabe 20.

x² = — 1

n (n + 1) x

n (n -f- 1) x² + x — 1 = 0

n(n + 1)

1 = n (n -J- 1) x² -f- x

— 1 + / 1 4n(n + 1)

2n(n -f- 1)

1 -f- 2n 2n(n-j-l) — 2n(n-j-l) — 1 — 1 —2n

Xi =

; x₂ =

n+1’

- 2(n + 1) 2 n (n -f- 1)

2n(n -f- 1)

Aufgabe 21.

10

13

10

169    13X

x²

16

25

10

144

x² + —x H

144

13

169

1440

144²

13²

(5 x)² + 2-5x.

is⁻+m

(•«+#)■

144

5x -f- -^- = 0

lo

5 x — —

144

144

13

x, = x, =

144

65

Aufgabe 22. x² — (a + b) x -f- ab = 0. Erinnern wir uns der Formel von früher: x² — (a -f- b)x -f- ab = (x — a) (x — b) = 0, so erhalten wir sofort als Lösungen:

xx = a x — b = 0 X-2 = b.

Aufgabe 23. x² -|- 1 = x    -|—' n-

x -j- 1 = 0 oder : x—f-1 = 0

x²- (-    +--)f m

l-J‘

r-H : Ö

x²—

m-n

m-n

]/n²

x²—

xx =

>-Vv

x² =

Aufgabe 24.

y™-

2b² = 2x / a² -f b² — x²

x² — 2x y a² + b²” -f 2b² = 0

x² — 2 x • )/ a² —|— b² -f- 2 b² = x² — [(y a² + b² + y a²—b²) 4- a² -f b² — y a² -f b² )] x -f    + fa²-~b²)

(y a² -y b² — y ~a²~—= 0,

also nach derselben Entwicklung⁻, wie in den letzten Beispielen: X² — 2x ya² -f b²“ + 2 b² == [x — (ya² + b2 4- j/ a² — b² )] [x — (y a² -f b² — y a² — b² )] daher entweder:

x — (y a² + b² -f- y a² — b² ) = 0 und hieraus:

Xj = y a³ 4 -f b³ -f y a³ — b³,

oder:

(y a³ -j- b³ — |/ a³ — b³ ) = 0, und hieraus :

X₂ =    W + y a³ —b³.

Aufgabe 25.

Es ist:

x³ — (a³ + b³) x + (a³ — b³) ab = 0.

a³ -f- b³ = a (a — b) —j— b) (b —j— a) und : (a³ — b³) ab = a (a — b) • b (b -j- a),

also hat die gegebene Gleichung die Form:

x³ — (a -j- b) x -f- ab = 0,

es ist also:

x³ — (a³ -j- b³)x -(- (a³ — b³) ab == [x — a (a — b)] [x — b (a -f b)] = 0

und somit entweder: x — a (a — b) = 0 und hieraus:

Xj = a (a — b), oder : x — b (a + b) = 0 und hieraus :

x₂ = b (a -j- b).

Erkennt der Schüler nicht sofort die Summanden resp. Faktoren a und b, möchte aber doch untersuchen, ob die Gleichung nicht von der Form x³ — (a-|-b)x-j-ab — 0 ist, so hat er einfach, wie bereits in Beispiel 24 gezeigt :

a -f b = a! -f b! und ab = (a³ — b³) a b

zu setzen und hieraus, wie dort gezeigt, a und b zu bestimmen, wobei er sich klar zu werden hat, daß die a und b links von denen rechts verschieden sind, er setze deshalb jeweils verschiedene Buchstaben ein. Wählen wir für unsere Rechnung m und n, so ist der Gang folgender:

m + n = a³ + b³

mn = (a³ — b³)ab

4mn = 4(a³ — b³)ab

erste Glchg. quadriert: m³ -j- 2mn n³ = a⁵ -f⁻ b⁵ -|“ 2a³b³ zweite Glchg. mit 4 multipliziert :

m³ — 2 mn n³ = a⁵ -j- b⁵ -f- 2a³b³ — 4(a³ — b³)ab (m — n)³ — a⁵ -j- b⁵ -f- 2a³b³ — 4(a³ — b³)ab = y a⁵ —|— b⁵ —j— 2a³b³ — 4 (a³ — b³)ab n — a³ — 2 a b — b³ m -j- n = a³ -j⁻ b³

subtrahiert :

Aufgabe 26.

x² — 5x = 6 f — 3 — 16. x² — 5x — 6 y^3~ + 16 = 0

x = y (5 + ^25+24^

— 3—64

) = + ±+39 + 24('-3')

Nun ist bekanntlich:

)!*±1 b

f-

+ y a² — b

±f-

— y a² - ~b

, und

j/ — a-f/a² —b

|/⁷ — 39 + 24/^3= j/ —39 + ++T24²

|/-a±Vb =y^±|aS~b

-, also

|/ ”

~ /39² + 3• 24² = 3 -f- 4 J/ — 3.

*2 ¥

Diesen Wert in unserer Lösung- eing-eführt, erg-ibt:

3) und hieraus:

x = Y (5 ± (8 + 4 K

¹ (8 + 4 /ZT3)“ ₌ 4 _j_ 2 y — 3

xi=

x₂ =

|<M tH |(M

(2 + 4    3) ~ == 1 — 2 V— 3

Aufgabe 27.

]/8x⁸ + 12 x² + 18 x + 27 = — / 4x² + 4x + 97

Erhebt man beiderseits zur sechsten Potenz, so kommt:

(8x³ + 12x³ + 18 x + 27)² = (4x² + 4x + 9)³

oder nach dem polynomischen Lehrsatz ausg-erechnet :

64 x« + 192 x⁵ + 192 x⁴

64 x⁶ + 144 x⁴ + 324 x² + 729 + 192x⁵ + 288x⁴ + 432x3 + 432 x³ + 648 x² + 972 x + 64 x³ + 432 x⁴ + 432 x² + 864 x³ + 972 x² + 972 x, oder die gleichnamigen Glieder vereinigt:

192 x₄ + 64 x³ + 431 x² = 0,

oder mit 192x² durchdividiert:

1    9

x² + |-x + -j = 0

X,

<^>1 ¹—¹ bo| I—i    I—¹ £0| |—i

T—t Ci

CO

80

i y—5

i-f-4 y

5) und x₂

Da man aus der Gleichung:

192 x⁴ H- 64 x⁴ + 432 x² = 0, zweimal x als Faktor voraussetzen kann, so ergibt sich : x-(192x²    64x -j- 432) = 0, also:

1.

2.

3.

Wir haben also noch die Lösungen:

192 x² - 64 x + 432 = 0.

x₃ = 0

x₄ = 0. (Siehe Anmerkung) *).

§3.

Gleichungen, welche sich auf quadratische zurückführen

lassen.

Mitunter lassen sich Gleichungen höheren Grades auf quadratische Gleichungen zurückführen. Hierher gehören hauptsächlich Gleichungen von der Form:

ax2n -j- bxn -f* c = 0.

Solche Gleichungen werden gelöst, indem man xn als Unbekannte ansieht. Wäre z. B. gegeben :

x⁴ — 5 x² + 4 = 0, so setzt man

= y

und die Gleichung geht über in:

y² — 5 y -f- 4 = 0, also

x²

(5 +J25-16)

(5 ± 3)

Yx = 4 ; y₂ == 1, also :

+ y 4 oder x = 4 ]/ 1

und daraus die Lösungen:

Xj = 4- 2 ; x₂ = — 2; X³ = 4 1; X₄ = — 1.

Wäre ferner die Gleichung gegeben:

|/T3x+ 12 -f Vl3x-f 12

so könnte man zur Lösung setzen:

13 x -j-12 = y, folglich

|/l3x + 12 und wir haben die Gleichung:

y² 4 y — 6 = 0

= y²

(V13x + 12 )⁶ = 26 13x = 52

y¹ = -f 2 y₂ = — 3. Also

Ebenso erhält man:

x₄ = 4.

x₂ =

717

13 '

28.

4 m² = (a 4 b 4- x) (a 4 b — x) (x + a — b) (x — a 4" b).

Fassen wir rechts die zwei ersten und die zwei letzten Faktoren jeweils zusammen, so erhalten wir:

4m² = [(a 4~ b)² — x²] • [x² — (a — b)²]

= — a⁴ — b⁴ — x⁴ 4- 2 a² b² 4- 2 a² x² 4- 2 b² x2 x⁴ — 2 (a² -j- b²) x² 4 (a² — b²)² + 4m² = 0

x² = y,

substituiert :

y² — 2 (a² 4- b²)y 4 (a² — b²)² 4- 4m² = 0 a² 4- b² 4 i i 4(a² 4 b²)² — 4 (a² — b²)² — 16 m®

y = a2 + b2 4 i fT6(a2b2—Ai27 = a2 4 b2 4 2 /{a bp— x = 4 = 4

66

y

= — 8 — 2 y — 1.

X = 1(2 + 1(2 +1(2 + • • • •)))

10

m = 13, g = 2,

5 x E 1 (mod 47)

Lehrsatz 6. Die Kongruenz

877 = 8 • 110 — 3.

3— (3r — h)'

Anhang V.

Das mathematische Pensum

¹

-

x-

3x² = 3 m2 x = -f- m.

²

m²

³

a³ — 2 ab

⁴

= a (a — b)

⁵

2n = a³ + b₂ — a³ + 2ab + b³ n = b (a -j- b)

[/a² + b² 4 2 ]/(ab)! j/ a² 4 b² 4 2 j/(ab -|- m) (ab — m).

— m²

y = a² + b² 4 i fT6(a²b²—Ai²7 = a² 4 b² 4 2 /{a bp— x = 4 = 4

Aufgabe 29. x⁴ — ax¹ •+■ b¹ = y¹ — a y -f- b¹ —

y = y (a + y a¹ — 4 b¹ )

y y a¹ —4 b¹

oder nach der Formel:

- "ô Va¹ b

j/ a ± y b =y-f + T|/aa-b ±y|

x == ±

1 T/a¹

a¹ — 4 b¹

a¹ — 4 b¹

|/-f—t y

x = 4-

so

+

y [y a + 2b

2b

± y a — 2b ] -

Ferner sind hier zu erwähnen die reziproken Gleichungen höheren Grades. Gleichungen heißen reziprok, wenn

sie unverändert in ihrem Wert bleiben, wenn man —anstatt x setzt. Dies ist der Fall, wenn das erste und letzte, das zweite und zweitletzte Glied usw. denselben Coeftizienten haben und diese gleichen Koeffizienten in der Gleichung stets dasselbe oder stets das entgegengesetzte Vorzeichen aufweisen.

Diese Gleichungen werden dadurch gelöst, daß man für x -)--

1 . x

oder x--— eine neue Unbekannte y einführt. Zeigen wir

dies an Beispielen.

Es sei gegeben:

2x⁴ -f 3x² — 16x¹ -f- 3x + 2 = 0.

Dividieren wir diese Gleichung durch x¹, so erhalten wir

2x¹ 4- 3x — 16 H—-—!—%■

— 16 = 0.

x ¹ x-

folglich

also

x+A

X = y’

x² -f-    — y²

Unsere Gleichung⁻ geht also über in:

2 (y² — 2) 4- 3 y — 16 = 2 y² — 4 + Sy — 16 =

y'²+~2y ~

10 = 0

Also :

y =-2

L (—§_+i£\

2 V 2 - 2 )

“ 2

x² — A x + 1 =0

Ferner ist:

Xx = 2;

x + T = - ⁴’

x² + 4 x + 1 =

X = -₂- (- 4 ± y 12 )

4- (— 4 + 3,46410), also: À

X³ = 0,26795 x, = — 3,73205.

Ist die gegebene Gleichung von ungeradem Grade, so benütze man zur Lösung den Satz : „Die reziproken Gleichungen von ungeradem Grade haben den Faktor x -f- 1, wenn die entsprechenden Koeffizienten gleiches Vorzeichen haben und den Faktor (x — 1), wenn sie ungleiches Vorzeichen haben.“ Es sei z. B. die Gleichung gegeben:

2x³ — 7x² + 7x — 2 (x - 1) (2 x² — 5x + 2) x — 1

to| o<

A ■■

Sh O 1) CO

o <1

CO

o" o o rH O

Sü

tO| Cn

1+

25 — 16

X2

X3

Obiger Satz leuchtet ein, wenn man bedenkt, daß eine Gleichung von ungeradem Grade eine ungerade Anzahl von Wurzeln hat. Da aber bei den symmetrischen Gleichungen je zwei Wurzeln reziproke Werte voneinander sind, so muß eine Wurzel zu sich selbst reziprok sein, was aber nur bei den Größen + 1 und — 1 der Fall ist. Eine solche Gleichung muß also entweder durch (x — 1) oder (x + 1) teilbar sein. Wann das eine und wann das andere eintritt, sagt obiger Satz.

c) (x — a)² + (b — c)²

Aufgabe 30. Die Gleichung- zu lösen: (x — a)⁴ —

ci

Setze (x — a) = z, so kommt:

Z=2

Also:

z³ — (b —J— c) z —[— (b — c)2 ^ (b +c+ (b —(— c)² — 4(b —

c)²-

y (b + c)² — 4 (b

c)²

f(b -+- c)²— 4 (b — c)².

Aufgabe 31. x⁴ — 14x³ + 50x² — 14x —1 = 0. Dividiert man die Gleichung- durch x², so erhält man:

-4-=°

X²

14

x² — 14x + 60--+

(x2+ 4) ~ ¹⁴(x + ir) +

50 = 0.

Nun setzt man :

= y, folglich

xS+i?-

= y² — 2.

Also geht die Gleichung über in : y² — 2 — 14 y -f- 50 — 0

Also :

y = -

yi = 8

y₂ = 6.

x² — 8x -f 1 = 0

~ (4-14+/14²—4-48)

x — “2

4(8±f64 - 4 )

xx = 4 -f-    15

Ferner

x² — 6x -f 1 = 0

x₂ = 4 — \ 15

\ (6 + 1 36 — 4 )

x₃ = 3 + 2 f2 x₄ = 3 — 2 I 27

Auf gäbe 32. Die Gleichung zu lösen:

x⁵ -j- a x⁴ -{- b x³ + b x² + a x -}- 1 = 0.

Diese Gleichung ist durch x -f- 1 teilbar. Führen wir' diese Division aus, so erhalten wir als Quotienten:

x⁴ + (a — l)x³ -f- (b — a -f- 1) x² -f- (a — 1) x -f- 1.

Die Gleichung geht also über in:

(x + 1) [x⁴ + (a — 1) x³ -f- (b— a -j- 1) x² -j- (a — l)x+ 1] == 0,.

x + 1 = 0

xi = — 1.

also :

Ferner :

x⁴ + (a — 1) x³ + (b — a -j- 1) x² -f- (a — 1) x 4- 1 — 0. Diese Gleichung ist wie die vorige Aufgabe zu behandeln.

Aufgabe 33. Die Gleichung zu lösen :

x³ —j— ax⁵ + bx⁴ — bx² — ax — 1 = 0.

Dividiere die Gleichung durch x~2 = x³, so erhält man:

x⁸ -f ax² 4- bx — — x

x²

X'

= 0.

Diese Gleichung ist aber durch x — 1 teilbar, also aucho die gegebene, dieselbe geht demnach über in:

(x — 1) [x⁵ -f- (a 4- 1) x⁴ + (a + b + 1) x³ -)- (a y b -f 1)-. x² 4 (a 4 1) x -f 1] = 0.

Der zweite Faktor ist aber teilbar durch x -f- 1 und man

erhält:

(x — 1) (x + 1) [x* also :

= + 1;

ax³ + (b l)x² —b ax + 1] = 0 x₂ = — 1.

Die weiteren Wurzeln erhält man aus der Gleichung: x⁴ + ax³ -f- (b -j- l)x² + ax + 1 = 0.

Textgleichungen II. Grades mit einer Unbekannten.

Für die Textgleichungen zweiten Giades gelten dieselben Anleitungen wie für die Textgleichungen ersten Grades. Bei der Diskussion des Resultates ist jeweils zu entscheiden, ob beide Wurzeln der Natur der Aufgabe nach brauchbar sind oder nicht. Unter Umständen ist eine oder sogar alle zwei Wurzeln dem Sinne der Aufgabe entgegenlaufend und sind unbrauchbar. Erhält man imaginäre Lösungen, so zeigen diese an, daß die Gleichung durch reelle Werte der Unbekannten überhaupt nicht befriedigt werden können.

a) Rein quadratische Gleichungen.

Aufgäbe 34. Zwei Zahlen zu finden, die in dem Verhältnis 11 : 13 stehen und die miteinander multipliziert 7007 geben.

Auflösung. Nehmen wir an, die eine Zahl heiße 11 x, dann ist die andere 13x. Ihr Produkt soll laut Text 7007 sein, also:

llx • 13 x = 7007

x² -

7007

143

= 49

x = ± 7

Die beiden Zahlen sind also + 77 und + 91.

Aufgabe 35. Drei Zahlen zu finden, die in dem Verhält-

1 1

nis : -g- : -j- stehen und deren Summe der Quadrate 10309 ausmacht.

Auflösung. Die Zahlen sollen in dem Verhältnis    :

— 6    4:3 stehen. Wir nehmen also n, di

ist die zweite 4x und die ritte Text muß die Gleichung- bestehen:

36 x² + 16 x² -f- 9x² = 10309 61 x² = 10309

6x,

a..

03

CO Oi

1

3 : 4 erste Zahl sei c. Nach dem

6x = + 78; 4x : suchten Zahlen sind

81+

io

X X

”+l

03    -

ö 00 3 t>

Ol

0-1+ 1+

tH

!+S=

CO 05

S'

O-

'S

hjo

CO

05

Aufgabe 36. Jemand kauft eine gewisse Anzahl kg Salz, 4 mal soviel Zucker und 8 mal soviel Kaffee und bezahlt für jedes kg der drei Waren so viel mal 40 Pfg. als es kg von der betreffenden Ware sind. Zusammen bezahlt er 32 Mk. 40 Pfg. Wieviel kg Kaffee hat er gekauft?

Auflösung. Angenommen er habe x kg Kaffee gekauft,

-^-kg Zucker und — Salz. Da er für jedes

Kilogramm Ware soviel mal 40 Pfg bezahlt, als es Kilogramme von der betreffenden Ware sind, so zahlt er für 1 kg Kaffee x • 40 Pfg. und für x kg Kaffee x² • 40 Pfg. Zusammen zahlt

Pfgr + (tt) ‘ 40 Pf£- + (') * ⁴⁰ Finnig.

Summe beträgt laut Aufgabe 3240 Pfg. Also:

4x² ,

~T 6+

4x² + x² + ~ = 324

dann waren es

er: x² • 40

4 • x² +

4x²

= 324

Diese

81

-X”

16

= 324

x² =

324 • 16

81

= 4-16=64

x = + 8.

Er kaufte also 8 kg Kaffee; die negative Lösung hat für diese Aufgabe keine Bedeutung.

Aufgabe 37. Ein rechtwinkliger Garten hat zur Breite 37 m, zur Länge 259 m. Die Breite wird um eine gewisse Anzahl Meter vermehrt und die Länge um das Siebenfache der Anzahl vermindert; hierdurch vermindert sich der Inhalt um 63 Quadratmeter. Wie groß ist die Anzahl der Meter, um welche die Breite vermehrt wird?

Auflösung. Angenommen die Breite werde um x Meter verlängert, dann wird die Länge um 7 x Meter vermindert. Die Breite beträgt dann (37 + x) Meter, die Länge (259 — 7 x) Meter und der Inhalt dieses neuen Rechteckes ist:

(37 + x) (259 — 7x) qm.

Nach dem Text soll dieser Inhalt 63 qm kleiner sein, als der des ursprünglichen Rechteckes, also ist:

(37 + x) (259 — 7 x) == 37 - 259 — 63, dies ausmultipliziert, gibt, da 259 — 7-37:

7-37-37 — 7 • 37x + 37 - 7 x — 7x² = 7 • 37 - 37 — 63.

Nun heben sich das erste Glied links und das erste rechts, ferner das zweite und dritte Glied links gegenseitig auf und es bleibt:

— 7x² — — 63 oder:

7 x² = 63 x = + 3.

Die Breite wird also um 3 Meter verlängert, die Länge um 21 Meter verkürzt. Die negative Wurzel bezeichnet, daß man zu demselben Ergebnis kommt, wenn man die Breite um 3 Meter verkürzt und die Länge um 21 Meter verlängert.

Aufgabe 38. Mit einer Schnur von einer bestimmten Länge kann ich ein Quadrat umspannen; verkürze ich die Schnur um 8 Meter, so kann ich mit derselben ein Quadrat umspannen.

welches — des ersten beträgt. Wie lang ist die Schnur, welche

das erste Quadrat umspannt?

Auflösung. Angenommen die Schnur sei x Meter lang,

x

Die Seite des ersten umspannten Quadrats ist dann Meter

die des zweiten — (x —

4

x²    1

Quadrates ist also Lp der des zweiten jg (x — 8)² qm. der Aufgabe soll das zweite

8) Meter. Der Inhalt des

ersten

Nach

co

vom ersten sein, also:

, 0\2__16 X2 16    ~~ 25 ' 16

25 (x — 8)² = 16 x2 -25 x² — 400 x +64-25 — 16x² = 0 9x² — 400 x -f 1600 = 0

400+j/l60000 -^~36 + 600

18

400 ± y 102400

X “ 18.....

400 + 320

xx = 40

40

X2 - -g'

Die Schnur ist also 40 Meter lang-, der zweite Wert 4f ist für die Aufg-abe unbrauchbar, denn eine Schnur von 4-§-Meter kann man nicht um 8 Meter verkürzen.

Aufgabe 39. Jemand kauft 133 kg- einer Ware und verkauft sie mit einem g-ewissen Prozent Nutzen. Für das eingenommene Geld kauft er von einer zweiten Ware und verkauft diese mit demselben Nutzen wie die erste Ware. Hierdurch ist er imstande, mit allem eingenommenen Geld von einer dritten Ware, welche 40 Prozent teurer ist als die ersfe 168 kg zu kaufen Mit wieviel Prozent Nutzen verkauft er die Ware?

Auflösung. Angenommen er verkaufe mit x Prozent Nutzen. Die Verkaufssumme der 133 kg ist dann das 133 (1 -j- 0,01-x) fache von dem, was ein kg kostet, denn mit x Prozent Nutzen verkaufen, heißt statt: 100 cf — (100 -f- x) cf einnehmen,

(1 + ~m)é

einnehmen.

oder statt :

Von der zweiten Ware löst er also das 133 (1 -j- 0,01 x)2 fache von dem, was ein kg kostet. Die dritte Ware steht 14 Prozent höher im Preise, das heißt

für

für 100 cf hat er hier 114 zu zahlen und 1 cf hat er hier 1,14.

Die dritte Ware kostet also pro kg das 1,14 fache von dem, was das kg der ersten und zweiten kostet; der ganze Einkauf kostet also das 168 • 1,14 fache von dem, was 1 kg der ersten Ware kostet. Die Summe aber soll nach dem Text gleich der Einnahme von der zweiten Ware sein, also:

(1 + 0,01 x)² =

(1 + 0,01 x)² = 1,44 = (1,2)2 1 + 0,01 X == + 1,2 0,01 x = 0,2 x, = 20

0,01 x = — 1,2 — 1 x = — 220.

133 (1 + 0,0lx)² = 168 • 1,14 168 • 1,14

133

Er verkaufte also mit 20 Prozent Nutzen; die zweite Lösung hat keine Bedeutung, da er ja mit Nutzen, nicht mit Verlust arbeitet.

Aufgabe 40. Köln, Aachen und Düsseldorf liegen in einem nahezu rechtwinkligen Dreieck, so daß Köln an der Spitze des rechten Winkels liegt. Die Entfernungen von Aachen nach Düsseldorf und von Aachen nach Köln stehen in dem Verhältnisse 19:17 und die Entfernung von Köln nach Düsseldorf beträgt 3l£ km. Wieviel km beträgt die Entfernung zwischen Aachen und Köln und die zwischen Aachen und Düsseldorf.

Auflösung. Es sei die Entfernung von Aachen nach Köln

19

x km, dann ist die von Aachen nach Düsseldorf — xkm. Nach dem pythagoreischen Lehrsatz ist dann:

KMM

361    ₂_

289 X

289

x² +

x²

x² =

x² =

255-255

8-8

255-255

8-8

255-255-289

8-8-72

85²-17² 8²-8

85-17

16

85-17 3-16

x = + 45,15625-1,41422 xx — 63,86054

19

Ï7 Xl

= 71,37355.

Die Entfernung von Aachen nach Köln beträgt rund also 63 km 860 m, und die von Achen nach Düsseldorf 71 km 373 m. (Neg. Wurzel keinen Sinn).

b) Gemischt quadratische Gleichungen.

Auf gäbe 41. Vermehrt man den ersten Faktor des Produkts 6-52 um eine gewisse Zahl und vermindert man den zweiten Faktor um dieselbe Zahl, so erhält man als Produkt der beiden neuen Faktoren das 35 fache der Zahl, um welche der erste Faktor vermehrt wurde. Wie heißt die Zahl?

Auflösung. Nehmen wir an, die Zahl sei x. Das verlangte Produkt ist dann (6 -J- x) (52 — x). Nach Aufgabe soll dieses Produkt das 35 fache von x betragen, also :

(6 -f- x) (52 — x) = 35 x 312 — 6x -f- 52 x — x² — 35 x = 0 — x² + 11 x + 312

x²

- 11 x — 312 = 0

t ('Il -I- (' 11* + 4 -312 )

X = h(n ± S7>

Xj = 24 und x.₂ = — 13.

Die Zahl ist also 24 oder — 13.

Aufgabe 42. Zur Beschaffung einer Summe von 336 Mark sollen die Mitglieder einer Gesellschaft gleichmäßig beitragen. Eine gleiche Summe mußte die Gesellschaft schon füher aufbringen. Weil aber damals 3 Mitglieder weniger da waren, so betrug der Beitrag eines jeden 2 Mark mehr als jetzt. Wieviel Mitglieder zählt die Gesellschaft?

Auflösung. Angenommen die Gesellschaft zähle x Mit-

336

glieder. Der Beitrag eines Mitgliedes ist dann ———Mk. Früher

waren es (x — 3) Mitglieder, dort war also der Beitrag eines 336

Mitgliedes -^ Mark. Nach dem Text soll aber der damalige

x—o

Beitrag eines Mitgliedes 2 Mark mehr betragen haben, als der jetzige, es muß also die Gleichung bestehen:

336

336

x — 3

336x = 336(x — 3) -f 2x (x — 3) 336x 336x -j- 1008 — 2x² -f- 6x = 0 2 x²— 6 x — 1008 = 0

x² — 3x — 504 = 0

y (3 ±|'9+ 2016“)

X = f (3 ± 45)

Xj = 24.

Die Gesellschaft hat also 24 Mitglieder. Die negative Wurzel hat hier keinen Sinn.

Maj'er, Mathematik. IV.

Umläufe. Nach der Aufgabe aber soll die Anzahl der Umläufe des Vorderrades um 4 größer sein als die des Hinterrades, also besteht die Gleichung:

120(120 — 6x)

120

114 x + 120

x + 1

6x) (x —f— 1) —j— 4 (x -j- 1) (114x -f- 120).

13680x-f-14400 = 14440x — 720 x² -f- 14400 — 720 x

-f- 456 x² + 480 x -j- 456 x -)- 480 264 x² — 936 x — 480 = 0 (kürzen mit 24 ! )

11 x² — 39 x — 20 = 0

120(120 — 6x)

Aufgabe 43. Die Vorderräder eines Wagens machen auf einer Strecke von 120 m 6 Umläufe mehr als die Hinterräder.

Vergrößert man den Umfang eines jeden Rades um 1 m, so macht ein Vorderrad auf derselben Strecke nur noch 4 Umläufe mehr als ein Hinterrad. Welchen Umfang hat ein Vorderrad, welchen ein Hinterrad:

Auflösung. Angenommen die Peripherie eines Vorderrades betrage x Meter. Ein Vorderrad macht auf 120 Meter dann 120

120

6. Die Umläufe ver-

Umläufe, ein Hinterrad

halten sich umgekehrt wie die Peripherien, es ist also die Peripherie eines Hinderrades aus der Proportion :

120    120 — 6x

= u : x zu bestimmen. Man erhält:

120x

120 — 6x

Vermehrt man den Umfang jedes Rades um 1 Meter, so ist die Peripherie eines Vorderrades (x -f- 1) Meter und die eines Hinterrades

120 x

120 —6x

Aul 120 Meter macht dann ein Vorderrad

120

x -f- 1

r Umläufe, ein Hinterrad

120

120 x

120 —"6x

114 x -J- 120

120(114x + 120) = 120 (120

39 + )/ 39² + 80-11

39 + 49

22

x, — 88 : 22 = -j- 4.

Ein Vorderrad hat also einen Umfang- von 4 Meter, ein Hinterrad also:

= 480 : 96 = 5 Meter.

120 • 4

120 — 24

Die negative Wurzel hat hier keinen Sinn.

Aufgabe 44. jemand hat einem Kapitalisten nach 7 Monaten 8800 Mark und nach einem Jahre 5940 Mark zurückzuzahlen. Nach wieviel Monaten kann er dem Kapitalisten die ganze Summe von 14740 Mark zurückzahlen, wenn für die Summe, die er später zahlt, 5 Prozent pro Jahr berechnet werden und für die Summe, die er früher zahlt, ein Rabat von 5 Prozent auf Plündert für das Jahr in Abzug kommt?

Außösung. Angenommen nach x Monaten könne er dem Kapitalisten die ganze Summe von 14740 Mark zurückzahlen, so zwar, daß Zins und Rabatt einander aufheben. Die erste Summe wird dann (x — 7) Monate zu spät und die zweite 12 —x Monate zu früh bezahlt. Bei 5 Prozent tragen 8800 Mark in (x — 7) Monaten einen Zins von:

8800 •

Mark.

5 (x - 7)

1200

Ein Jahresrabatt von 5 Prozent bedeutet für (12 — x) Monate einen solchen von ^

Von

(¹⁰° + il •

nachgelassen, von

~ • (12 — x) Prozent.

1 u

\    5

(12 — x j «,# bekommt er also — - ( 12—x) Ji

+¹² - *>

” ”1200+5(12—x)* 5 (12

” ”1200 + 5(12—x)' 5940-5.(12— x)

” ”1200+5(12— x)'

12

X)

Da Zins und Rabatt einander gleich sein sollen

5940 • 5 -(12 — x)

8800 •

5 (x

7)

1200

Dies gibt ausgerechnet: x² — 421 x + 3708 — 0

1200 + 5 (12 — x)

-+(+ 421 + ^421² — 4-3708

u

4-(421 + y+77241 — 14832 ) 2

w (421 + 403)

u

xx = 412 und x₂ = 9.

Der erste Wurzelwert ist unbrauchbar. Er bezahlte den Kapitalisten nach 9 Monaten. —

Aufgabe 45. Ein Wasserbehälter kann durch zwei Röhren gefüllt werden, durch die eine 2 Stunden früher als durch die andere. Durch beide Röhren zusammen wird der Behälter in 1-g- Stunden gefüllt. In wieviel Stunden wird der Behälter voll werden, wenn die Röhren einzeln fließen?

Auflösung. Angenommen der Behälter werde von der ersten Röhre in x Stunden gefüllt, von der zweiten also in (x -J- 2) Stunden. Die erste Röhre füllt dann in einer Stunde

15

— und in 1£ == —Stunden x    o

15

des Behälters; die zweite

Röhre füllt in dieser Zeit

15

des Behälters. Nach den Bestimmungen der Aufgabe muß nun die Gleichung bestehen :

8 (x + 2)

15

15

8 (x + 2)

120 (x + 2) + 120 x = 64 x (x lf- 2) 120x-f- 240 -j- 120x— 64 x²— 128 x = 0 64 x² — 112 x — 240 = 0

8x

4 x² — 7x — 15 = 0

7 + i 49 4- 240

x= -=—r¹—

7 + 17

xL = 3.

Der Behälter kann also in 3 Stunden durch die

erste

Röhre allein gefüllt werden, durch die zweite also in 5 Stunden.

Aufgabe 46. A und B gehen mit derselben Geschwindigkeit von einem Orte M nach einem Orte R. A reist früher ab als B. Beim dritten Meilensteine vor R holt A eine ihm hertreibende Gänseherde ein, welche jede Stunde rL Meile zurücklegt; ¹/₂ Stunde später stößt er auf eine Herde Schafe, welche jede Stunde ¹/₆ Meile zurücklegt. B erreicht die Gänse 2¹/₂. Meilen vor R, die Schafe 10 Minuten früher, als er den zweiten Meilenstein vor R erreicht. Es ist die Fra e, mit welcher Geschwindigkeit die beiden Fußgänger A un B die Reise zurücklegen?

vor

bn'Ü

O, W, S und N seien die vier letzten Meilensteine vor R. N sei die Stelle, an der sich B befindet, wenn A in S ist, P der Ort für B, wenn A in T ist. Nach den Bestimmungen der Aufgabe ist SR = 3 Meilen, UR = 2,5 Meilen, also S U = ¹/₂ Meile. Diese Strecke legen die Gänse bei der angegebenen Geschwindigkeit in 3 Stunden zurück. Nun geht B in derselben Zeit von N nach U, wie die Gänse von S nach U. B. braucht also zu diesem Weg 3 Stunden. In 3 Stunden legt er 3x Meilen zurück, also ist:

NU = 3x Meilen, also NS = NU — SU — (3x — Va) Meilen.

Ferner geht nun Bin derselben Zeit von P nach V, wie die Schafe von T nach V. Nun ist die Zeit gleich: „Weg durch Geschwindigkeit.“ Bezeichnen wir P V mit s und T V mit Sj, ferner die Geschwindigkeit der Schafe mit v, so ist:

Sl

— und auch : t = x    v

v ist nach Aufgabe Zur Bestimmung von s und staben wir :

V R — 2 -j—x, denn B trifft die Schafe 10 Minuten = -g- Stunde früher, als er den zweiten Meilenstein von R

erreicht, also in einer Entfernung von

Meilen von R.

(*+ł)

Ferner muß N P nnd S T einander gleich und zwar =

sein, denn bei gleichen Geschwindigkeiten legen die Wanderer in gleichen Zeiten gleiche Wege zurück, und da A von S nach

T eine halbe Stunde braucht, deshalb ist N P == S P =

Meilen. Also ist :

X Ico

Nehmen wir an, beide Fußgänger legen in der

Stunde x Meilen zurück.

Der Fußgänger A treffe nun die Gänse in S, die Schafe in T

U    V

99    99 w9    99    99    99 v

99

99

S TU VW

IV

III

II

Sl = T V = S R — ST — VR = 3--^--(2+ )

~ x und : o

s = PV = PT + TV oder da: ST = NP:

PV = TS + TV = 3x —

JL + i _ Ax==lx + 1

2    ' ¹    3    3^2

14x+3

Da nun: s _ sx

(weil die Zeiten dieselben sind) und v = -=-, so er-

halten wir: 14x + 3

2 \ 1

-|--xj : —, also: (Produkt der inneren

Glieder gleich dem der äußern):

14x -f 3

x O—H

30

30 x

= 14x + 3

30 x — 20 x² — 14 x — 3 = 0,

mit (— 1) multipliciert :

20 x² _ iß x + 3 = 0

X² —

toi

(b ± ]

/ 25

i (I ± )/-

12

64 — 60

100

ł (Î ± Ł)

und x₂ = Ù

Jeder der beiden Reisenden leg-t also in einer Stunde entweder ¹/₂ oder ³₁₀ Meilen zurück.

Aufgabe 47. Zwei Körper beweg-en sich mit gleichförmig-en Geschwindig-keiten auf zweien, sich unter einem rechten Winkel durchschneidenden g-eraden Linien. Der eine legt jede Sekunde c Meter zurück und erreicht den Durchschnittspunkt beider Linien t Sekunden später als der andere; der andere macht jede Sekunde c‘ Meter. Wieviel Sekunden nach der Zeit, wo der erste Körper den Durchschnittspunkt erreicht, wird die g'eg'enseitig-e Entfernung- der beiden d Meter betrag-en?

Auflösung. Angenommen x Sekunden nach dem Durchgang des ersten Körpers durch den Scheitel des rechten Winkels sei die Entfernung der beiden Körper d Meter. Der zweite ist dann vor (x -j- t) Sekunden durch den Scheitel gegangen. Der erste legt in x Sekunden cx Meter, der zweite in (x -f- t) Secunden c' (x -f- t) Meter zurück. Da die Entfernung nach diesem Zeitpunkt, wie angenommen, d Meter betragen soll, so gilt nach Pythagoras die Gleichung:

d²)

c'²) c'²t²

4 (c²

c² x² -f c'² (x -f t)² = d²; c² x² + c'² (x² + 2tx -f- t²) — d² = 0 (c² + c'²) x² -p 2 c'²tx 4- c'²1² — d²= 0, also: — 2 c'²1 + )/ 4'⁴1²

2 (c² 4- c'²)

Unter der Wurzel 4 vor eine Klammer, hieraus die Wurzel und mit 2 gekürzt:

d²)

- c'²t + ]/c'⁴L — (c² 4- c'²) (c'²t²

c² 4- c'²

Den zweiten Faktor des zweiten Gliedes unter der Wurzel mit (— 1) multipliziert:

— c'² t + i c'⁴t -+- (c² 4- c'²) d² — c'²t²)

c² 4- c'².

Aufgabe 48. Zwei Körper bewegen sich mit gleichförmigen Geschwindigkeiten auf zweien, sich unter einem rechten Winkel schneidenden Geraden nach dem Durchschnittspunkte hin. Ihre Entfernungen von dem Durchschnittspunkte sind a und b und ihre Geschwindigkeiten sind c resp. c'. Wann wird die gegenseitige Entfernung beider Körper d sein? Welche Beziehung muß zwischen den Größen a, b, c und c' stattfinden, wenn die Lösung der Aufgabe möglich sein soll?

cx) resp.

Auflösung. Angenommen nach x Sekunden sei die Entfernung der beiden Körper d. In x Sekunden legt der erste cxLängeneinheiten, der zweite c'x L E zurück. Da sich beide gegen den Scheitel hin bewegen und ihre ursprünglichen Entfernungen von demselben a resp. b sind, so sind sie nach x Sekunden vom Scheitel des rechten Winkels (a (b — c'x) Längeneinheiten entfernt. Ihre Entfernung ist aber die Hypotenuse zu diesen beiden Katheten, es besteht daher die Gleichung (Pythagoras!)

d²

c'² X² — d² =

(a — cx)² —1— (b — c'x2 a² — 2acx -j- e²x² + b² — 2 b c'x (c² -f- c'²) x² — (2 a c 4~ 2 b c') x 4-

2 (a c -f- b c') + y 4 (a c -j- b c')² — 4 (c² 4- c'²)a² + b²—d)

2 (c² -j— c'²)

Die 4 aus der Wurzel herausgenommen und mit 2 den Bruch gekürzt:

-j- b c' + ]/ (ac -j- b c')²

c² -j- c'².

(c² H- Q (a² + b²—d²)

Rechnen wir nun den Radikanden aus Wir erhalten:

bcj² — (c² -j- c'²) (a² + b² — d²) = a²c² -j- b²c'²

(ac

+ 2 ab c c' — a²c² — b²c² -p c²d² — a²c'² — b²c'² + c'²d³

b c)²

= 2abcc'-j- c²d² —a²c/2 — b²c² -j- c,2d² = —(ac'

-j- d² (c² -f- c/2 oder umgestellt: == d²(c²-j-c'²) — ac' —bc)2 Diesen Wert eingeführt, gibt:

ac

-j- b c' + j/ d²(c² -j- c'²) — (ac' — bc)²

c² -f- c'².

so muß d² (c² -j- c'²)

Sollen die Lösungen reell sein größer sein oder höchstens gleich der Produktensumme : ac'-f- bc. Im übrigen siehe die Erklärung in Pleis. (§ 72).

Aufgabe 48. Welche Beziehung muß zwischen den Größen a b c und c'. der vorigen Aufgabe bestehen, wenn die beiden sich bewegenden Körper im Durchschnittspunkte der beiden Geraden Zusammentreffen sollen?

Auflösung. Da die beiden Körper im Scheitel Zusammentreffen sollen, so ist ihre Entfernung d dort gleich 0. Da sie ferner gleichzeitig sich zu bewegen beginnen und ihre Bewegung- ja eine gleichförmig-e ist, so müssen sich ihre Geschwindigkeiten wie die durchlaufenen Wege verhalten. Also:

c : c' = a : b oder

ac' = bc oder: ac' — bc = 0,

was sich für d = 0 auch aus der Determination zur vorigen Aufgabe ergibt. Für die Wurzel x erhalten wir :

ac -j- bc'

X ~ c² + c'² ’

Ersetzen wir hierin nun c' durch seinen Wert aus obiger Proportion, so erhalten wir:

also :

c' =

b c'

und:

c'²

b²c²

-, also :

, b²c

ac -4- -

a

b^c^

a'³

C² +

a'³

oder Zähler und Nenner je auf einen Nenner gebracht : a²c + b²c

a'³ c'³ -j- b² c²

a²

ac (a² -(- b²)

c² (a² + b²)

a (a'³c -j- b'³c)

a'³ c'³ -(- b² c²

O sa

Ersetzen wir auf gleiche Weise c durch c', so kommt als

Lösung:

oj er

Aufgabe oO. Zwei Körper bewegen sich gleichförmig mit den Geschwindigkeiten c und c' auf zwei sich senkrecht schneidenden Geraden nach dem Durchschnittspunkte und sind von letzteren um a resp. b entfernt. Nach wieviel Zeiteinheiten.' werden sie die kürzeste Entfernung von einander haben?

Auflösung. In Aufgabe 47 haben wir gesehen, daß diese Bewegungsaufgabe nur solange reelle Lösungen hat, d. h. mit anderen Worten überhaupt lösbar ist, als d'² (c² + c/2) größer oder höchstens gleich (ac' ac' — bc gibt a so den kle nsten Wert an, den d y(c²-j-c'²) annehmen kann. Daraus ergibt sich als Minimum für die Entfernung:

b c)² ist. Die Produktendifferenz

d²,nin

(ac' — b c)²

C² + c'²

dmin -

ac' — bc

oder

b c — ac'

}/ C² + c'²

je nachdem eben ac'^ b e.

Für die Zeit x erhält man, da der Wurzelausdruck gleich Null wird:

ac — bc'

Dies ist aber offenbar gleich der halben Summe der Werte x₁ und x² in Aufgabe 47, denn bei der Summierung

hebt sich der in x₁ und x₂ mit entgegengesetzten Vorzeichen versehene Wurzelausdruck heraus und resultiert:

c² -f- c;2

Es ist also :

2 (ac — b c'

(xi + x₂)-

Nun ist aber sowohl in

xi =

ac

-f- b c' -j- ]/ d² (c² + c'²) — (ac' — b c)²

c² + c'²

a c -j- b c' — (/ d² (c² -f- c'²) — (a c'

bc)²

wie in x₂ ==

Zeiteinheiten die Entfernung beider Körper gleich d. Wir haben also das Ergebnis: „Das Minimum der gegenseitigen Entfernungen der beiden Körper liegt in Mitte der Zeiten, bei welchen die g e g e n s e i ti g en Entfernungen einander gdeich werden.“

c² -f- c'²

Aufgabe 51. Zwei Kreise, der erste mit einem Radius von 36 Centimeter, der zweite mit einem Radius von 16 Centimeter bewegen sich gleichförmig mit ihren Mittelpunkten auf den Schenkeln eines rechten Winkels nach dem Scheitelpunkt derselben. Der eine legt jede Sekunde 2 Centimeter zurück und ist 38 Centimeter vom Scheitelpunkt entfernt, der zweite macht jede Sekunde 18 Centimeter und ist 210 Centimeter vom Scheitel entfernt. Wann werden beide Kreise einander berühren und in welcher Entfernung befinden sich die Mittelpunkte, wenn diese einander am nächsten sind ?

Auflösung. Wir haben hier zweierlei Berührungen zu unterscheiden, die Berührung von außen und die von innen. Behandeln wir zuerst die äußere.

(210 — 18 x)

cm.

Nehmen wir an, beide Kreise berühren sich nach x Sekunden von außen. Der erste Kreis legt in x Sekunden 2 x cm zurück, sein Mittelpunkt ist also nach dieser Zeit vom Scheitel (38 — 2x) cm entfernt. Der zweite Kreis, resp. dessen Mittelpunkt legt in x Sekunden 18 cm zurück und hat infolgedessen nach dieser Zeit vom Scheitel eine Entfernung von Da nach unserer Annahme sich beide Kreise nach x Sekunden von außen berühren sollen, so muß nach einem Satze der Planimetrie die Entfernung der beiden Mittelpunkte gleich der Summe der beiden Radien, also 36    16

= 52 cm sei. Die Bewegungsrichtungen sind aber senkrecht zu einander, also muß nach dem pythagor. Lehrsatz:

(38 — 2 x)² -R (210 -- 18 x)² = 52².

38² — 152 x -f 4x² -(- 210² — 36-210-x -f 324 x² — 52 x² = 0 1444 — 152 x

4x'-    44100

328 x² — 1712 x + 42840 = 0,

7560 x + 324 x² — 2704 = 0

oder durch 8 vereinfacht:

41 x² — 964x -|- 5355 = 0, also:

964 + j 964²

4 • 41 • 5355

82

Xi =

x₂ =

964 + )/ 929296 — 878229" _ 964 + y 51076

964 + 226

82

82

82

964 -t- 226 _ 1190 _

82

82

to

964 — 226

•»j

82

82

= 9.

Die erste äußere Berührung' findet also nach 9, die zweite 31

41

nach 14 —r Sekunden statt.

Da bei der inneren Berührung- die Mittelpunkte eine Entfernung haben, die gleich der Differenz der Radien ist, so gilt für diesen Fall die Gleichung:

(38

18 x)² = 202 328 x² — 7712 x -f 45144 = 0,

2xf -f (210

oder wieder mit 8 gekürzt:

41 x² — 964 x -|- 5643 = 0 964 ± i 9Ö4² — 164 • 5643

82 964 + ]/ 929296 — 925452

82

X'i =

964 + f3844

964 + 62

82

82

964 -f 62

82

= 12

21

41

964 — 62

= 11.

X₂ =

Die erste Berührung von innen findet also nach 11, die

Das Minimum der Entfernungen tritt nach den Entwicklungen in der vorigen Aufgabe in einer Zeit:

82

21

zweite nach 12 —r Sekunden statt.

41

t = 11

(⁹ + ¹⁴n)

oder t =

2"

41

Sekunden ein.

Die Entfernüng selbst beträgt nach Aufgabe 50:

dmin

38-18 — 2-210

684 — 420

ï 2² -f 18²

dmin = 14,5769 cm.

)/ 4 -j- 324

18,11

Aufgabe 52. Der Mittelpunkt eines festen Kreises, dessen Radius 1009Centimeter beträgt, befindet sich auf einer horizontalen Geraden; in derselben Ebene, gerade über dem Mittelpunkt, in vertikaler Richtung in einer Entfernung von 50 Centimeter befindet sich der Mittelpunkt eines zweiten beweglichen Kreises, der einen Radius von 945 Centimeter hat und der nach vertikaler Richtung abwärts jede Sekunde sich 180 cm bewegt, nach horizontaler Richtung aber, also parallel mit der festen Linie, jede Sekunde 2000 Centimeter fortschreitet. Nach wieviel Sekunden werden beide Kreise einander von außen und nach wieviel Sekunden von innen berühren und nach wieviel Sekunden werden sie einander am nächsten sein ?

Auflösung. Nehmen wir an, eine äußere Berührung findet nach x Sekunden statt. In x Sekunden legt der Mittelpunkt des beweglichen Kreises in vertikaler Richtung nach abwärts 180 x cm zurück und in horizontaler Richtung 2000 x cm. Der Mittelpunkt des beweglichen Kreises hat also nach dieser Zeit von dem horizontalen Durchmesser des festen Kreises eine Entfernung von (50 — 180 x) cm. Nach dieser Zeit steht aber der Mittelpunkt des beweglichen Kreises nicht mehr vertikal über dem des festen, sondern in einer horizontalen winkelrechten Entfernung von 2000 x cm. Die Entfernung d der Mittelpunkte der beiden Kreise ist also die Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks, in welchem 2000 x und (50 — 180 x) die beiden Katheten sind. Da aber nach unserer Annahme die beiden Kreise sich von außen berühren sollen, so mnß diese Entfernung (Centrale) gleich der Summe der beiden Radien sein, also = 1009 -j- 945 = 1954 cm. Nach Pythagoras gilt demnach die Gleichung :

(50 — 180 x)² + (2000 x)² = 19542 2500 — 100-180x + 180²x² + 2000²x² - 1954² = 0 32400 x + 4 000 000 x² — 18 000 x -f- 2500 — 3818116 = 0 4032400x² — 18000 x — 3815616 = 0

oder mit 16 gekürzt:

252025 x² — 1125 x — 238476 = 0

238476

X ~ 252025 X 252025

x = ir (

1125

1125

1125²

4-238476

252025

252025²

252025

1125

252025

,/ 1125²-f 4

Y *

• 238476 • 252025

252025²

1125

252025

4-

252025

/ll25² + 4•252525 -238476 )

252025 490315,1 252025

tO

1125

252025

1125

25025

x = 0,00223 ± 0,97275) xx= 0,9750 und x₂ = — 0,9705.

J1265625 + 240407655600 )

Eine äußere Berührung- findet also nach 0,975 Sekunden statt und hat vor 0,9705 Sekunden stattgefunden.

Für die innere Berührung ist die Zentrale gleich der Differenz der beiden Radien; wir erhalten für diesen Fall daher die Gleichung:

(50 — 180 x)²    (200 x)² = 64²

180 00 4032400X 18000

4032500X 4032400

x² —

x²

oder mit 8 gekürzt:

x² =

2250

4096 — 2500

4032400

1596

197

504050    504050

x = 0,00223 + 0,02000 x₃= 0,0222; x₄ —

Die beiden Kreise berühren sich also nach 0,0222 Sekunden von innen und haben sich vor 0,0178 Sekunden von innen berührt.

0,0178.

Aufgabe 53. Aus einem mit 360 Liter Weingeist gefüllten Faß nehme ich eine bestimmte Menge heraus und ersetze das Fehlende durch Wasser. Von der gehörig vermischten Flüssigkeit nehme ich zum zweiten Male ebensoviel Liter heraus, wie zum ersten Male und noch 84 Liter dazu und fülle das Faß wieder mit Wasser. Nach der zweiten Mischung enthält das Faß ebensoviel Wasser wie Weingeist. Wieviel Liter wurden zum ersten Male herausgenommen ?

Auflös ling. Angenommen ich nehme das erste Mal x Liter

x( Liter. Fülle ich mit

- Liter

heraus, so beträgt der Rest (360

Wasser auf, so enthält ein Liter der Mischung

360 —

360

reinen Weingeist. Das zweite Mal nehme ich (x + 84) Liter Mischung heraus, also:

(360 — x)

360

•(x + 84)

Liter reinen Weingeist. Im Faß verbleiben also:

x)

(360 — x

(x + 84) (360

360

Liter reinen Weingeist. Nach der Aufgabe aber soll die Hälfte des ursprünglichen Quantums reiner Weingeist im Faße sein, also muß die Gleichung bestehen:

360 — x

(x 4- 84) 360 — x)

360

= 180.

360 — x

360x = x² -f- 84 • 360 — 84x

360

180

360 — 360 x

co co

360 x -f- x²—84 - 360 -j— 84 x — 180-360 = 0 Sx + 180-360 — 84-360 1= 0 Sx + 360 (180 — 84) = 0 x² — 636x -f- 360-96 = 0 x² — 636 x + 34560 = 0

X = J (636 + y 636² — 4 • 34560 )

~4 (636 ±f 404496 — 138240 ) (636 +y_266256~)

U (636 + 516) und hieraus:

Xj— 576 und x₂ = 60.

Zum ersten Male wurden also 60 Liter herausgenommen. Die zweite Lösung ist unbrauchbar, denn ich kann von 360 Liter keine 576 herausnehmen.

Wenn man

weiß, daß zwei gleich große aus Schmiedeeisen und Blei

Aufgabe 54. Ein von allen Seiten geschlossener, innen hohler, aus 9 Millimeter starkem Eisenblech verfertigter Würfel wird dadurch, daß er auf allen 6 Seiten mit 5 Millimeter dicken Bleiplatten belegt wird, noch einmal so schwer, nun

verfertigte Würfel dem Gewicht nach sich verhalten wie 7,8 : 11,4, wie läßt sich hieraus die Höhe des aus Eisenblech verfertigten Würfels berechnen?

(x

Das Gesamtvolumen des Eisenbleches ist

Außösung. Nehmen wir an, die Höhe des Eisenblechwürfels sei x mm, dann ist sein Volumen x³ cmm. Der innere Hohlraum hat Kanten von (x — 2 • 9)mm, also einen Inhalt von 18)³ cmm.

cmm und das Volumen der Bleimasse: [(x + 10)3 — x³] cmm. Wenn nun die Gewichte zweier gleicher Volumina sich verhalten wie 7,8 : 11,4, so verhalten sich die Volumina bei gleichem Gewicht wie 11, 4 : 7,8. FÜir unseren Fall, wo gleiche Gewichte vorhanden sind, weil das Gewicht durch die Bleiplatten verzweifacht wird, gilt also die Proportion:

also [x³ — (x — 18)³] cmm. Eine Kante des mit 5 mm dicken Bleiplatten belegten Würfels ist (x + 10) mm, sein Inhalt also (x + io)³

-f- 10)⁸ — x³j

11,4 : 7,8 oder:

fx³ - (X - 18)³J : [(

7,8 jx³ — (x —

7,8 [x³ — x³ + 54 x² - 3 • 18²x + 18³J = 11,4 [x³ -f 3x³- 10 4- 3x • 10² -f 10³ — x³j 7,8 • [54x² — 3 • 18 • 2x -f- 18³J = 11,4 ]30 x² + 300 x + 1000]

972 x + 5832]

|3

ll,4-[(x + 10)³

x³]

13 [54 x‘

19 [30 x² -f 300 x + 1000]

4 • 33 • 14204

702 x² — 12636 x + 75816 — 570 x² — 5700x — 19000 = 0 132 x² — 18336 x + 56816 = 0 33 x² — 4584 x + 14204 = 0 4584 + f 4584²

66

4584 + Y 21023056 — 1874928

¹

(x"+4) +³ (x+4)

²

Nun setzen wir:

66

4584 + 4375,8574

66

xL= 135,75 und x₂ = 3,15.

Der zweite Wurzelwert ist unbrauchbar, weil das Eisenblech allein 9 mm stark ist.

Aufgabe 55. Welches ist die Pfeilhöhe eines Stichge-wölbes, wenn die Spannweite desselben 9 m und der Radius des unteren Begrenzungskreises der Stirnfläche 11,7 m beträgt.

Auflösung. Bezeichnen wir die Spannweite mit s, die Pfeilhöhe mit p und den Radius mit r, so ist nach einem bekannten Satze der Kreislehre :

G)'

p(2 r— p).

In unserer Aufgabe ist

s = 9, r = 117.

Die Größe p ist gesucht, also gleich x. Wir haben also :

81

x (23,4 — x) = 23,4 x — x,², also

81

x² — 23,4x + j - 0

(23,4+|/23,4²-^8F)

I O h-i

CO!

(23,4 ± 21,6)

Xj = 22,5; x₂ = 0,9.

Die für ein Stichgewölbe brauchbare Lösung ist p = 0,9 m.

Aufgabe 56. Zwei Punkte, deren Entfernung 250 Meter beträgt, sind durch eine kreisförmige Kurve vom Radius 450 Meter verbunden. Welches ist die Entfernung der Bogenmitte von der Verbindungslinie des Bogenanfangs mit Bogenende, oder mit anderen Worten, welches ist die Pfeilhöhe des Bogens?

Auflösung. Bezeichnen wir die gesuchte Pfeilhöhe mit d x, so ist nach einem bekannten Satze aus der Planimetrie

(-W

x (2 • 450

x) =

x²

250²

— 2 • 450 x +

4x² — 3600 x -F 62500 = 0

3600 + V 12960000 — 100000Ö

welche Gleichung jetzt auszurechnen ist.

Aufgabe 57. Die Geschwindigkeit zweier Eisenbahnzüge -soll so bestimmt werden, daß der eine zum Durchfahren von 100 km eine Stunde weniger braucht als der andere zum

Durchfahren von 150 km und daß dabei der erste stündlich 5 km weniger macht als der zweite. Wie lange brauchte jeder zum Durchlaufen seiner Strecke.

Auflösung. Angenommen der erste brauche zum Durchfahren seiner Strecke x Stunden, dann braucht der zweite (x -j- 1) Stunden zu seiner Strecke. Der erste legt in einer

150

x -f- 1

km zurück. Nach den

Stunde also —— km, der zweite x

Bestimmungen der Aufgabe muß nun aber die Beziehung bestehen :

150

100

x —j— 1

100 (x -j- 1) = 150x -5x(x + 1) lOOx + 100 — 150x -j-5x² + 5x = 0 5 x² — 45 x -f- 100 = 0 x² — 9x -f 20 = 0

4- (9 ± 1 81 — 80 )

A

xx= 5 und x₂ = 4.

Der erste braucht zu seiner Strecke also entweder 5 oder 4 Stunden und der zweite zu seiner Strecke 6 oder 5 Stunden. Weitere Aufgaben siehe Kapitel IV.

Anhang.

Trigonometrische Auflösung der quadratischen Gleichungen mit einer Unbekannten.

Die trigonometrische Lösung quadratischer Gleichungen mit einer Unbekannten sei hier nur der Vollständigkeit halber kurz erwähnt. Einen praktischen Wert hat dieselbe keinen. Man kommt mit den beiden obigen Auflösungsformeln stets mindestens ebenso schnell zum Ziel.

Setzt man in der allgemeinen Form :

ax² + bx + c = 0

T j -C— — r, also : ac = a² • r²,

so kann man für den Fall, daß c negativ ist:

b = 2ar ctg A setzen.

Mayer, Mathematik. IV.

Dann ist:

— 2 a r ctg- A + i 4 a² r² ctg-² A -)- 4 a² r²

2a

2a

2ar (— ctg A + j/ctg²A + l )

= r (— ctgA + yctg²A + l)

cos A

cos² A

sin A — cos A -f- 1

sin² A

sin A

a>i = rtg -r

f Ct(J T7

2 ar

wobei also tg A — —^— ist. Ist c positiv, so hat man die beiden möglichen Auflösungsformeln

I.

b + / b² — 4ac

2a

und

II.

b + i y 4 ac — b²

Für I setzen wir :

2ar sin A

, also

4a² r²

sin

sin² A

- 4 a²r²

*(■

sin A — 1 + cos A

sin² A

sin A

sin A =

X<i= — v ctg —, wobei also: 2 ar

Für den Fall II. setzen wir: b = 2 ar • cos . und wir erhalten :

__ — 2arcosA + i ]J 4a²r — 4a² r² cos² A

wobei

x = r (— cos A x₁= — r • cos A x₂ — — r-cos A

+1 + |

i sin ) sin A y — 1 sin A J/ — 1,

cos A —

2 ar

Lösen wir hiernach folgendes Beispiel (aus Heis) :

x² -f 0,42331 x — 8,53972 = 0.

Hier ist c negativ, wir setzen also:

„    2 ar

tgi = —b

, wo

ist. Als Lösungen erhalten wir also:

= r • tg -g

X-2 == — rctg-y-

Führen wir nun die Werte ein. Es ist:

tg A =

2- V 8,53972

0,42331

lg tg A = 1,14009

A = 85° 51' 26",7.

Daraus berechnet sich

und für

Xl = 2,71828

chung :

x,₂ = — 3,14159.

Setzt man für die beiden Wurzeln x₁ und x₂ der Glei

a x² — b x -f- c = 0

die Werte tg qp und tg <p‘, so erhält man qp undqp' folgendermaßen. Es ist:

tg <P + tg <p‘ = b tg qp • tg qp' = c.

Nun ist:

tg (qp + qp') = j

tg rD -f tg cp‘

— tg qp • tg qp'

Hieraus erhält man cp ff- cp‘. Ferner ist, wie man sich leicht herleiten kann:

cos (cp — cp')

sin (cp -f cp')

cp ff- cp' ist berechnet, also

1 + tg cp-tg- cp‘

tg 4- tg- cp'

cos (cp — <p)‘) —

1 -f c

b---------sin(<3P-j- cp').

Hieraus erhält man auch die Differenz von cp und cp'. Durch sie und die Summe cp und cp' sind die Winkel cp und cp' bestimmt. Lösen wir hiernach die Aufgabe 176 aus Heis: x² — 24,691 x -f 61,6 = 0,

so erhalten wir:

tg (<P ff- <p') =

24,691 — 60,6" lg 24,691 = 1,3925387 lg 60,6 = 1,7824726

lg tg (cp ff- cp') — 9,6100661 — 10

cp ff- cp¹ = 157°49<55// lg sin (cp ff- cp') = 95,767305 — 10 lg (1 + c) = 1,7965743 Igc = 1,3925387

lg cos (cp — cp') = 99807661 — 10, also ï cp — cp' = 16°55'59",6, also: cp = 87°22' 57"3. cp' = 70° 26' 57",7.

x₁

tgcp = 21,875 x₂ —tg cp' = 2,816.

Kapitel II.

Gleichungen zweiten Grades mit zwei und mehrerrn Unbekannten.

§ 1.

Auflösen quadratischer Gleichungen mit zwei Unbekannten.

Wenn in einer Gleichung⁻ mit zwei Unbekannten beide Unbekannte in der zweiten Potenz oder durch Multiplikation mit einander verbunden Vorkommen, so heißt die Gleichung eine quadratische Gleichung mit zwei Unbekannten. Zur Bestimmung der Unbekannten sind auch hier wie bei den linearen Gleichungen soviele Gleichungen notwendig, als Unbekannte Vorkommen; für unsern vorliegenden Fall müssen also zwei Gleichungen gegeben sein. Die allgemeine Form einer Gleichung zweiten Grades ist:

ax² -b bxy + cy² -f- dx + cy + f = 0.

Wie bei den linearen Gleichungen wird auch hier das Streben beim Auflösen der Gleichungen dahin gehen, eine Gleichung mit nur einem Unbekannten zu erhalten und zwar eine Gleichung, die wir bereits lösen können, d. h. also eine Gleichung, die höchstens vom zweiten Grade ist. Sind aber nun beide Gleichungen quadratisch, so wird man, wenn man den Wert der Unbekannten aus der einen Gleichung in die andere einführt, im allgemeinen auf eine Gleichung vierten Grades kommen, welche wir im allgemeinen mit unseren Mitteln nicht lösen können werden. Man muß deshalb seine Auflösungsmethode so einrichten, daß man eine Gleichung vierten Grades umgeht oder aber, daß diese eine für uns lösbare Form annimmt. Es lassen sich nun zur Auflösung von quadratischen Gleichungen mit zwei Unbekannten keine allgemeine Regeln aufstellen, sondern es gibt nur eine Reihe von Verfahren, untei welchen man in jedem einzelnen Falle eben das passendste auszuwählen hat. Damit ist dem Scharfblick ein Feld zu seiner Tätigkeit gegeben und es wird auch hier nur Uebung und Lust und Liebe zur Sache die nötige Gewandtheit reifen lassen. Wir wollen nun im folgenden eine Anzahl von Auflösungsmethoden entwickeln, um diese dann im § 2 dieses Kapitels an weiteren Beispielen einzuüben.

a) Die eine der beiden Gleichungen ist linear.

In diesem Falle drückt man die eine Unbekannte in der linearen Gleichung durch die andere aus und substituiert diesen Wert in die quadratische Gleichung. In diesem Falle erhält man eine quadratische Gleichung mit ein er Unbekannten und aus den beiden Werten der Unbekannten berechnet man die andere Unbekannte. Man erhält zwei zusammmengehörige Wertepaare.

Aufgabe 58.

2.

1. x² + xy — y² -f- 2ay — 2bx = 3a² -f- 7 ab — 3 b2 x -f- y = 3a + b

x — 3a + b — y,

dies in 1 substituiert, ergibt:

(3a -fb — y)² + (3a + b — y)y — y² + 2ay — 2b (3a -j- b — y) — 3a² + 7ab — 3b²

(3 a —f- b)² — 2 (3 a + b) y + y² + 3 a y -f- by — y² — y2 -f 2ay — 6ab — 2b² + 2by — 3 a² — 7ab + 3b² = 0 9a² + b² — 6ay -j- 3ay -f- by — y² -fl- 2ay — 2b2 — 3a² — 7ab -f 3b² = 0

—    y² — (a — b) y ~b 6 a² -|- 2 b² — 7 a b = 0 y² —(— (a — b) y — (6 a² -f- 2 b² — 7 a b) = 0

—    [b — a + V (a — b)² + 4 (6a² + 2b² — 7 ab)“]

y =

y = -^-[b — a + y a²”— 2 a b -f b^+24 a² + 8b² — 28 a b] y = -|~[b — a ± \ 25 a² + 9 b² — 30 ab“]

— [b — a ± y (5a— 3b)²]

Ol T-l

Ol r—ł

y = ~2~ [b — a ± (5a — 3 b)] yx= [4a — 2b] — 2a — b

U

i-[4b — 6a) = 2b — 3a

U

' und hieraus:

y₂ =

5 x¹ -j- 2 y² — x y =20 3 x — 4y = 2

Aufgabe 59.

CO CO

SU

SU

++

er er

CO to

er y ox

++

SU

to

er

io

er

2 -J- 4 y

2 + 4y y ₊ 2yS

16y¹ -+- 16) + 2y- - -§--y—y⁵ = 20

— y.

= 20

20 -f- 80 y¹ -f- 80 y -f⁻ 18y¹ — 6y — 12 y¹ = 180

86 y¹ + 74 y — 160 = 0 43 y¹ -f 37 y — 80 = 0 — 37 + y 37¹ + 4 • 43.8Ö”

86

y = -

yi= ¹

— 37 + 123

86

80

y2=    43*

Hieraus ergibt sich :

x = 2 — 4-1

CO CO

b) Beide Gleichungen sind quadratisch.

Sind beide Gleichungen rein quadratisch, d. h. kommen in beiden nur die Quadrate der Unbekannten vor, so kann man die Gleichungen auf solche ersten Grades zurückführen, indem man für x¹ und y¹ die Unbekannten t und v einführt oder eingeführt denkt und diese nach bekannter Art berechnet.

Aufgabe 60.

ü!_ i JU

2    '    3

3x² -f- 2 y² = 48 5 x² + 3 y² = 75

Auflösung. Man erhält:

oder :

15 x² + 10y² = 240 15x² -f 9 y² = 225

y² = 15

± 3,873 + 2,449.

X²

y²

3~ + T"

= 5.

Xl,2 = + ]/l5 yi,2 = + i 6

Sind beide Gleichungen aber nicht rein quadratisch, so gelingt es doch öfters, die eine Gleichung in zwei lineare Gleichungen zu zerlegen. Man hat dann jede Gleichung mit der quadratischen in Verbindung zu setzen und erhält im allgemeinen 4 Wertepaare. Wie diese Zerlegung stattfinden kann, sei in folgenden Beispielen gezeigt.

Aufgabe 61.

x² -f- xy = 6 (x + 3) (x -f y — 2) = 0

(1.)

(2.)

Auflösung. Aus der zweiten Gleichung folgt: x —|— 3 = 0 und x -j- y — 2 = 0 oder: x = — 3 und x = 2 — y.

Setzen wir diese Werte in die erste Gleichung, so ergibt

sich :

Aufgabe 62.

9— 3y =

Yx =

CO

LO 05

und:

x² — 2xy + 3 y² — 2x + 4 y = 60 x² — xy — 2y² + x — y = 0

Auflösung. Die zweite Gleichung läßt sich zerlegen in die Faktoren:

(x- y) (x + 2y + 1) = 0

also entweder: oder:

x = y

x = — 2 y — 1.

Diese Werte in die erste Gleichung substituiert ergeben y² — 2y² + 3y² — 2y -f- 4y = 60 2y² -f 2y = 60 y² + y - 30 = 0

y = \ (- l+fl + iS] y - 4- ⁽— ¹ ± U)

und hieraus:

yi— 4- ⁵ \

und ferner:

(— 2 y — l)² — 2 y (— 2 y — 1) —j— 3 y² — 2 (— 2 y — 1)

-f 4y = 60

4 y² -f- 4 y -j- 1 -f- 4 y² -f- 2y + 3 y² + 4 y -f- 2 + 4 y = 60

lly² -j- 14y — 57 — 0 — 14 + i 196 + 44-57

22

xi

3x = 2 — 4 •

(-1)

O ICO

3 x == 2 -f-

320

406

43

43

y₃ —    3 und y₄ =

x;j = + 5 und x₄ — —

C^ rH I rH

und hieraus:

CT) r-t

x² -j— 3 x y —j— 2 y² = 130 x² -f- 2xy + y² — 23 x — 23y + 130 = 0

Aufgabe 63.

(1-)

(2.)

Auflösung. Die zweite Gleichung läßt sich schreiben : (x -f y)² — 23 (x + y) + 130 = 0.

x -f y = z, z² — 23z + 190 = 0

-V (23 ± / 529 — 520 )

Setzen wir

so kommt:

Z = ~2 z₄ = 13 und z₂ = 10.

Also :

(x -j- y)²— 23 (x + y) + ¹³⁰ = (x + y— 13)(x + y— 10) = O

also entweder:

oder:

also entweder: oder:

x -f- y — 13 = 0 x Hh y — io = o

y = 13 — x y = 10 — x.

Diese Werte in Gleichung- (1.) eing-efübrt, ergibt: x² -f 3x (13 — x) + 2 (13 — x)² = 130 x² + 39x — 3x² -f 338 + 2x² — 52x — 130 = 0 _ 13 x = — 208

xx = 16 also yx — — 3

ferner :

x² —3 x (10 — x) -f 2 (10 — x)² = 130 x² -)- 30x — 3x² -j- 200 -f- 2x² — 40 x

130 = 0

also

_ lOx = — 70 x₂ = 7,

= 3.

y₂

Zu beachten hat man insbesondere Gleichungen, welche nur quadratische Glieder enthalten. In diesem Falle bildet man aus den beiden Gleichung-en eine neue Gleichung, indem man die konstanten Glieder eliminiert. Die neue Glei-

chung dividiert man durch y² und führt für — eine neue Un-bekannte ein. Die Werte für — benützt man zu den oben

y

ausgeführten Substitutionen in eine der beiden Gleichungen. Ist bereits in einer der beiden Gleichungen die Konstante gleich Null, so dividiert man direkt diese durch y² etc.

Aufgabe 6Ł

2x² + 3xy — 9y² = 0 3xy — 3y² = 8.

Auflösung. Dividiere die erste Gleichung durch y² und man erhält:

und setze : —

2v² + 3v — 9 = 0 — 3 + )r9 + 7²

und Vo = — 3; man hat also die beiden Gleichungen:

Vi =

3    , x

= =-und— =

2    y

2x = 3 y

— 3 oder:

2 Und:

2x — — 3 y.

Substituieren wir diese Werte in die zweite Gleichung dann kommt:

3 7 •    — 4y²= 8

ferner bei x = — 3y:

9y² — 8y² = 16

yi,2 = + 4 also:

Xl,2 = + 6

3 • (— 3y)-y - 4y² = 8 — 9 y² — 4y² = 8

13 y² = — 8

13

13

Aufgabe 65.

x²-f-axy-f-by² = m

x² + cxy -f dy² = n.

Auflösung. Multipliziere die erste Gleichung mit n und die zweite mit m; wir erhalten:

nx² naxy -f- nby² = mn mx² -f- mcxy -f- mdy² = mn

(m — n) x² -f- (mc — na) xy -f- (md — nb) y² = 0. Dividiere diese neue Gleichung durch y² und es kommt:

(m — n) •

\ x n a) —

_y

+ (md — nb) == 0

also: X =

+ ]/(mc — na)² — 4(m — n) (md—nb)

2 (m — n).

Nunmehr hat man wieder zwei lineare Gleichungen. Diese hat man mit einer der beiden gegebenen in Verbindung zu setzen und man erhält hieraus die Wertepaare der Unbekannten.

Aufgabe 66.

x² -j- xy -}- y² == 7 2x² -(- 3xy -f- 4y² = 13.

Auflösung. 13 x² -J- 13xy + 13y* — 91 14x² -j- 21xy -j- 28y² == 91

x² 8 x y -j- 15 y² = 0

8 • — -4- 15 = 0

y

(f)³ +

— 8 + V 64 — 60

©,

= — 3 und

= —5.

Hieraus ergibt sich :

also ;

x = — 3 y und x = — 5 y.

Diese Werte in die erste Gleichung- eing-eführt, gibt; 9y² — 3y² -f y² = 7 7 y² = 7

y« = ±¹

X12 ⁼ + 3-

Ferner g-ibt die Substitution x = — 5y: 25 y² — 5y² + y² = 7 21 y² = 7

y² = -5- also :

y₃4 = ±

1/i

und

y#4 =

Nach derselben Methode werden quadratische Gleichungen gelöst, welche die Unbekannten nur in der Form

— und — enthalten.

Aufgabe 67.

x²

27

“2~

x — y =2.

x

Auflösung. Man führe für- die neue Unbekannte v ein

y

und erhält:

X² + v + -4 ₊ I

v v

27

Nun setzt man v 4- — == z, dann ist v

== z² - 2(s. reciproke Gleichungen!)

v² -j- ¹

also :

z — 2 —f- z = .

¹    4

QK

= 0 oder 4z² + 4z — 35 = 0 — 4 + y~16 + 560

z2 + * — ₄

— 4 +24

Zl =

und z₀ — — —^

2

Nun ist also:

oder:

Man erhält:

v* + l=- -j-o

2v² — 5 v-f 2 = 0 5 +}/25—16

2v² + 7v + 2 = 0

7 ± /49 — 16

vx = 2

v₃ =

— 7 + i 33

V₂ = "TT

v₄ =

⁷ t ³³

Es ist nun:

= 2, also x = 2 y, also

2 y — y = 2

yi = 2 xx = 4,

ferner: —

= 4- oder:

dies eingesetzt:

ir-y = ²

- X- = 2

ferner : —

also:

y₂ = — 4

x₂ — — 2

oder 4x = y (—7 —{— 33 )

- (- 7 + f38~) — y = 2

y (— 7 + y~§3*) — 4y = 8 y (— ⁷ + (y^r — 4) = 8

-7 + y 83

x y 23 — ii

Machen wir hier den Nenner rational, so kommt:

8_ (]T33~ — 11 )

8 .(V 33 —11)

33 — 121

— 88

3-11-11

11

■o

88

— 88

(t n ->)

— 88

y₃= —

— — lu. hieraus:

11

Ns ~~

1/Ä

Ebenso erhält man y₄ und x₄.

Zu beachten sind ferner c) Fälle, in denen die Unbekannten in den Formen

x + y, xn + yn 5 x y

Vorkommen, oder sich auf diese Formen bringen lassen. Man merke sich hier folgende typische Beispiele :

L x —(— y = s

x • y = p

III. x + y = s

x² + y² = q

Lösung für I. Man quadriere die erste der beiden Gleichungen und multipliziere die zweite mit 4. Wir erhalten :

II. x — y = d xy = p

IV.

X³ +

Ph er¹

x² —j— y² -j— 2xy = s2 4xy = 4p

(1.)

(2.)

subtrahiere (2.) von (1.):

x² -f y² — S

(x -

= s² — 4 = s² — p X — y = ± / s² — 4 p. Nun hat man Summe und Differenz der beiden Unbekannten. Ihre Summe gibt x, ihre Differenz y.

Lösung für II. Diese ist dieselbe wie I, nur hat man die mit 4 multiplizierte zweite Gleichung zu der quadrierten ersten zu addieren.

Lösung für III. Man quadriere die erste Gleichung und subtrahiere von diesem Quadrat die zweite Gleichung.

Wir erhalten: x² + y² + 2xy = s²

x² -f- y² = q

2xy = s² — q.

Subtrahiert man diese Gleichung von gebenen, so erhält man:

der zweiten ge-

x² —j— y² — 2xy = 2q —

(x — y)² = 2q — x — y = ± ÿ 29 — s².

(M (M

CO co

Aus dieser und der gegebenen ersten erhält man durch Addition und Subtraktion x₁₂ -f- und y₁₂.

Lösung- für IV. Multipliziere die erste Gleichung mit 2 und addiere sie zur zweiten, hierdurch erhält man x -f- y; darauf subtrahiere die erste Gleichung von der zweiten, hierdurch erhält man x — y. Es ist:

2xy = 2p

x² + y² = q

x² -(- y² + 2xy = q-j-2p

x-|-y = + l//9-f'2p x'² -f- y² — 2xy = q — 2p

x — y = + y 9 — 2 p.

Für (x³ -f- y³) oder (x³ — y³) etc. merke man, daß: x³ +    y³ = (x -f y)    (x² — xy + y²)

x³ —    y³ = (x — y)    (x² -f -y + y²) etc.

In    manchen    Fällen kommt    man d) durch eine    Sub

stitution auf einfachere Formen und es soll hier auch ein Beispiel dieser Art behandelt werden.

Aufgabe 68.

6 • (x -f- 2 y) -f- 5-)/ x

2y = 116

x² y² x y

75

Auflösung.

Man setze in der ersten Gleichung

y x -f- 2 y = u

und man erhält:

6u² -j- 5u — 116 = 0, also:

— 5 + / 25 -f 2784

-5+53

12

12

58

u₂ = 4 und ut = — -

I. x -f- 2 y = 16 und

29

-g-, also:

841

IL x f 2y = - ₃₆

In der zweiten Gleichung setze man xy = t und man erhält: t² — 15t — 450 = 0

15 + y 225 + 1800

15 + 45

III.    (xyjj = 30 und v

IV.    (x y)₂ = - 15

Nun ist aus I. x = 16 — 2y, dies in III. eingesetzt, gibt y (16 — 2 y) = 30 16y - 2y² — 30 = 0 2y² — 16y + 30 = 0

_ 16 ±y 256 — y ~    4

dazu x₁ = dazu x.₂ =    0.

Durch die weiteren Einsetzungen erhält man die übrigen Wurzelpaare.

Man erkennt, es lassen sich für quadratische Gleichungen mit 2 Unbekannten keine Regeln zur Auflösung aufstellen; man muß sich durch Uebung eine gewisse Fertigkeit aneignen und man wird durch fleißiges Transformieren sich mit der Zeit auch gewisse Kunstgriffe zu eigen machen. Im folgenden Paragraphen wollen wir noch einige Beispiele lösen. Der Schüler greife nach deren Studium zu einer guten Aufgabensammlung und suche dort weiteres Aufgabenmaterial. (Siehe auch Kapitel IV.)

Yi= ⁵

y₂ = 3

CL CU

240

CO i—H

16 + 4

y/;

Beispiele.

Aufgabe 69.

x- -f y² = 26,24 x² —- y² = 5,76.

Man addiere und subtrahiere beide Gleichungen, man erhält : 2x² = 32 x = + fW 2y² = 20,48 y = + / 10,24

xx = +4

yi = + 3,2

y₂ = — 3,2.

Aufgabe 70.

xy = P

= b.

Man multipliziere beide Gleichungen miteinander und dividiere die erste durch die zweite. Man erhält:

x² = p • b

14-

i p-b

y² =

er rö

y= ±

cr,r3

Aufgabe /1. (x -j- y) : (x — y) =

3

Tx =

Aus 1. erhält man:

5 (x -f- y)

Aus 2. folgt;

îôxy =

Co| -Vj ^ oxj 05 CD

A ^ x

v;

o°

10 2

.y² =r

4-

20 "

4-

7 ,/ 20

4t

Mayer, Mathematik IV.

Aufgabe 72.

x² -j- xy - - a

xy -f- y² = b

Man addiere die beiden Gleichungen, so erhält man

x²-[-2xy-|-y² — a -j- b

Nun ist;

x -|- y = + / a 4- b. x (x -j- y) = a, also

a -f- b.

x + y Ebenso findet man:

/a + b

Aufgabe 73. 2 (x -f 4)² — 5 (y — 7)² = 75 7 (x -f 4)² -f 15 (y — 7)² = 1075

Auflösung. Multipliziere die erste Gleichung mit 3 und addiere sie zu der zweiten, man erhält;

6 (x -f 4)² — 15 (y — 7)² = 225 7(x + 4)² -f- 15 (y — 7)² = 1075

13 (x -f 4)²

= 1300 (x -f 4)² = 100 x -f- 4 == + 10 = + 6 x₂ = — 14.

Daraus ergibt sich für y:

2-100 —

(y - 7)² = (y - 7) y - 7 =

LO Ox

2.

und für x = — 14 oder (x -f- 4) — — 10;

2-100 — 5 (y — 7)² = 75

also auch;

y₂ = 12 und yi = ²-

Wir haben also die Wertepaare: x₂ — — 14;

y₂ = 12;

Xi =    6;

Vi = 12 !

to Ql

x₄ = — 14 y₄ = 2.

x³ -f- y³ = b

Aufgabe 7Ł

(8x -j- 4y) (7 x — 2y)-f-3x-|-4y = 44 (3 x -f- 4 y) (7 x — 2 y) — 7 x -f- 2 y =30. Man setze:

3x -f- 4 y — z 7 x — 2 y = v,

so gehen die beiden Gleichungen über in:

Z-V

-j- z — 44 — v = 30.

Subtrahiert man nun die zweite Gleichung von der ersten,

so ist:

— v, also:

v (14 — v) +- 14

v = 44 v² — 13 v -(- 30 = 0.

Aufgabe 75.

x -j- y = a.

Man dividiere die erste Gleichung durch die zweite, so erhält man:

• Quadriere nun 2,

so ist

Also:

a³ — b

dazu

x-y= —

x + y = a.

Es ist nun x — y leicht zu bestimmen.

Aufgabe 76. /x + y + /x — y = / ab

x² — y² = a⁴.

3a

= v,

so erhält man und weil

Setze /x + y = z und /x — y z + v = y ab

x² — y² = (x +- y) (x — y) ferner: z²*v² = a⁴, also z*v = a².

CO lS

x' +

00 * tD (M »O

^ r-H

Auflösung. Multipliziere die erste Gleichung mit 3 und subtrahiere sie von der z-weiten und es kommt:

3 (x² + y²) -j- 3 (x + y) -f- 3 xy = 138 3 (x² + y²) + 3 (x + y) + 2xy = 128

xy == 10.

Man setze nun x + y == z, so kommt, da xy = 10: x² + y³ + 2xy — 10 + x -{- y = 46 oder: z² —f- z — 56 = 0, also:

— 1 + 15

— 1 + j/~225

rr —— --—'_

Zj = 7 und

Nun kennt man xy und x -f- y und ist die Lösung- dadurch auf ein typisches Beispiel zurückgeführt.

Aufgabe 78.

(3 x 4- 4 y) (7 x — 2 y) -f- 3 x -j- 4 y — 44 (3x -f- 4y) (7 x — 2y) — 7 x -j- 2 y = 30.

Auflösung. Setze; 3x 4y = u, und

7 x — 2 y = v, so kommt :

U* V

U- V

-f- u = 44

— v = 30

HP-

Subtrahiert man die zweite von der ersten, so kommt: u -j- v = 1

— v, also:

v (14 — v) -f- 14 — v² — 13 v -J- i

13 + 7

v =    ¹³ ± y 169 — 120

v₂ = 3, also:

u₂ = 11.

Vj == 10 und ux = 4 und Daraus folg! dann:

3x -J- 4y = 4 7 x — 2 y = 10 3x -f- 4y == 4 14 x — 4y — 20

17 x = 24

und damit ist die Aufgabe gelöst.

Aufgabe 80.

x² + y²-F 2xy — 2x(a-j-b) — 2y(a + b) = — 4ab x² -t~ y² — 2xy -f~ 2x (a — b) — 2 y (a —b) = 4 a b.

Auflösung. Aus 1. kommt:

(x + y)² — 2 (x -f- y) (a -f- b) -f- 4 a b = 0 2 (a -f b) + yT(4 -f b)² -4[T4a~b

ferner:

Xl = 17

Yx

17’

3x -f- 4y = 11 7 x — 2y = 3

17 x = 17 x₂ = 1 y₂ = 2.

Aufgabe 79. (x — y) (x² — y²) = a (x 4- y) (x² -f y²) = b.

Auflösung. Man setze:

x — y = u x y = V

x2 _ y² = (x -f y) (x — y) =

dann ist und die erste Gleichung- heißt:

u²v = a.

Ferner ist:

x² + y² =

die zweite Gleichung- heißt demnach :

J [(x + yf + (* - yn =

V² -f u²,

V² 4- u²

y .-!-

2

Nun ist aber u²v = a, also:

v³ -f- u²v = 2 b.

v³ = 2b - a

(x + y^ = 2a und (x -f- y)₂ = 2 b.

Ferner ist :

(x — y)² + 2 (x — y) (a — b) — 4 a b = 0, also : —2(a — b) +    4(a— b)² + 4-4ab

x— y=

=(a—b)+(a-f-b)

(x — y)₁ = 2 b und (x — y)₂ = — 2 a. Hieraus erhalten wir folgende Wertepaare:

x + y = a x — y — b

Yx =

a — b.

Ferner:

to o

a.

Ferner :

x -f

CM (M

er cr

Endlich :

X₃ = 2 b

y₃ = o

x -j- y = 2 b x — y = — 2 a

x₄

Aufgabe 81.

(x² + y²)² — xy = 613 2(x² -f- y²) — 3xy — 14.

Auflösung. Multipliziere die erste Gleichung mit 3 und subtrahiere von ihr die zweite.

Wir erhalten:

3 (x² -f- y²)'

2 (x² + y²) — 3xy = 14

3xy = 1839

3 (x² -f y²)² — 2 (x² -f y²) = 1825.

x² -f- y² = u und es kommt: 3u² — 2u — 1825 = 0

² ± / ⁴ + 21900

Nun setze man

2 + 148

Ui =

150

g— = 25 und u.₂ = —

73

3’

also :

7Q

x² ~j~ y² — 25 oder: x² -j- y² = —

Daraus ergibt sich für xy:

xy =

(-t)³

x • y = 25² — 613 x*y = 12 oder 5329

— 613

5517

188

Nunmehr ist die Aufgabe auf ein typisches Beispiel zurückgeführt.

Aufgabe 82.

x:J + y³ = y) =

Man addiere zu 1 das Dreifache von 2, so erhält man:

xy (x

(x 4- y)

x -j- y = ]/ a + 3b.

Setzt man diesen Wert in 2 ein, so erhält man

x-y =

i a -j- 3 b Nun ist die weitere Lösung bekannt.

Aufgabe 83.    / x -j- / y =7

y x² -j- y y² = 37.

S -

Man setze y x = Gleichungen über in:

3 »------

v und y y = u, so gehen die beiden

v -f- u = 7

V² -f- U² = 37.

Dieses Gleichungssystem aufzulösen wurde oben gezeigt.

§ 3.

Textgleichungen II. Grades mit 2 Unbekannten.

Aufgabe 84. Auf einer Strecke von 1732,5 Meter macht das Vorderrad eines Wagens 165 Umläufe mehr als das Hinterrad. Vergrößert man den Umfang eines jeden Rades um 0,75 m, so wird auf derselben Strecke das Vorderrad 112 Umläufe mehr machen als das Hinterrad. Welchen Umfang hat jedes der beiden Räder?

macht das Vorderrad 165 Umläufe mehr als das Hinterrad, also muß die Gleichung gelten:

1732,5

-f 165

Auflösung. Angenommen das Vorderrad habe einen Umfang von x Meter, das Hinterrad einen solchen von y Meter.

1732 5

Das Vorderrad muß, um 1732,5 m zurückzulegen, —^ ■ —

1732,5

Um-

laufe machen; das Hinterrad

Laut Aufgabe aber

1732,5

I. 31,5 (y — x) = 3xy.

Vergrößert man jeden Umfang um 0,75 m, so muß das Vorderrad, um die gegebene Strecke zurückzulegen,

1732,5 x-4-0,75’

1732,5 y+0,75

Nach den Bestimmungen der Aufgabe muß aber sein:

1732,5 y+0,75

d as Hinterrad

Umläufe.

1732,5

+ 112

x+0,75

II. 1648,5 y — 1816,5x = 112 xy + 63.

Die Lösung' dieses Systems bereitet keine Schwierigkeit Man eliminiert das Glied mit x-y; drückt y durch x aus und substituiert. —

Aufgabe 85. Ein Behälter, der bis zur Hälfte mit Wasser gefüllt ist, kann durch eine von zwei Röhren in einer bestimmten Zeit gefüllt und durch die zweite in einer anderen Zeit ausgeleert werden. Läßt man beide Röhren 12 Stunden offen, so wird der Behälter ausgeleert. Macht man die Öffnungen beider Röhren kleiner, so daß die eine zur Füllung, die andere zur Ausleerung eine Stunde mehr braucht, so wird bei gleich-zeitig'er Öffnung beider Röhren der Behälter in 15£ Stunden leer. In welcher Zeit wird der leere Behälter durch die erste Röhre allein gefüllt, in welcher Zeit der volle Behälter durch die zweite Röhre allein ausgeleert werden?

Auflösung. Angenommen der Behälter könne durch die erste Röhre allein in x Stunden gefüllt werden und durch die zweite Röhre in y Stunden geleert werden. Durch die erste

Röhre wird in 1 Stunde — des Behälters gefüllt. Durch die zweite Röhre wird in einer Stunde — des Behälters geleert.

¹

und

²

—J⁻ y —

³

x-fy = a-fb + jTa² + b² — 2 ab = a + b+(a—b)

y

12

In 12 Stunden werden durch die erste Röhre — zugeführt,

94 + 110

und hieraus :

34

204

34

durch die zweite Röhre

12

abgeführt. Laut Aufgabe soll nach

12 Stunden der Behälter, der ursprünglich halb voll war, leer sein, es muß also:

12

!? + i

X ^ 2 xy = 24 x — 24 y

(i.)

Ebenso wird die zweite Gleichung hergeleitet. Es ist:

___    15|

y + i x + ¹

15f

+ 1

~ (61 x — 63 y — 2).

Setzen wir nun die Werte für xy in Gleichung (1) und. (2) einander gleich, dann erhalten wir:

61

65

24x — 24y == yx -yy — 1 48 x — 48 y — 61x-(-65y-(-2 = 0

17y + 2

13

Diesen Wert in Gleichung (1.) substituiert, gibt:

JlZ_i_²_y ₌

13 y

17 y² _[_ 2y — 96y — 48 = 0 17 y² — 94y — 48 = 0

24 •

17 y + 2

13

— 24 y

94 + ]/ 94² + 68-48

34

94 + ^ 8836 + 3264

= 6, und y₂ = — ^ und folglich :

xi =

102 + 2

13

= 8.

Der Behälter kann also durch die erste Röhre in 8 Stunden gefüllt und durch die zweite Röhre in 6 Stunden geleert werden. Die beiden negativen Wurzelwerte liegen nicht im Sinne der“ Aufgabe.

'Aufgabe 86. Die Summe zweier Zahlen ist 2, die Summe-ihrer vierten Potenzen 82. Wie heißen die Zahlen?

Auflösung. Man erhält die beiden Gleichungen: x —{- y = 2

x⁴ H- y⁴ = 82

Erhebt man nun die erste Gleichung in die vierte Potenz, so erhält man

x⁴ -j- 4x³y + 6x² y² + 4xy³ + y⁴ = 2⁴, subtrahiert man hiervon die zweite Gleichung, so erhält man: 4x³y + 6x²y² + 4xy³ = 24 — 82 4xy(x² + y²) + 6x²y² = 2 — 82.

Nun ist:

x² -f y² = (x -f y)²

2xy, = 2² — 2 xy, also 4xy [22 — 2xy] + 6x²y² = 2⁴ — 82 16xy — 8x²y² -j- 6x²y² = — 66 — 2x²y² -|- 16xy —{— 66 = 0 x²y² - 8xy -

8 + V 64 4-132

33 = 0

xy

8+14

22

= 11 und (xy)₂ = — 3.

(xTi) = ~2

Damit ist die Anfgabe auf das typische Beispiel: x + y = s x-y = p

zurückgeführt. Löst man das System auf, so erhält man:

X3,4 = 1

ys,4 = i

xi = y₂ = 3

Yl = Xo = 1

+1 1+

y — io y — io.

Aufgabe 87. Die Summe dreier Glieder einer geometrischen Reihe ist a, die Summe ihrer Quadrate b. Wie heißen die Zahlen?

Auflösung. Nehmen wir an, das erste Glied sei x und der Exponent y, so heißen die drei Zahlen: x, xy. xy². Ihre Summe soll a sein, also besteht die Gleichung:

x + xy + xy² = a.

Als zweite Gleichung ergibt sich aus den Bestimmungen der Aufgabe.

x² + x²y² + x²y⁴ = b.

Man hat also das Gleichungssystem zu lösen: x + xy + xy²=-a x« + x²y² + x²y⁴ = b

Erhebe die erste Gleichung- ins Quadrat; es kommt:

² -f- 2 xy² -j- 3 x²y² -f2x²y³-f- x'² y4 2    -fx²y²    -fx²y⁴=b

= a'² subtrahiere hiervon

oder

xy (x -f xy -f xy²)

= a²— b a² — b

2.

x-j-xy-)-xy²=a

a² — b .

^--also

a²— b

xy

2a

Multipliziere nun die erste Gleichung mit y, so kommt: xy -f- x y • y -(- xy-y² = ay.

a² —

Substituiert man den Wert für xy, so erhält man:

a² —

b «

— y-

b    a² — b .

2 a —    ^ '

Aus dieser Gleichung läßt sich nun y bestimmen und aus a² —

Xy== -2a

drei Glieder:

2a

— a • y = 0.

sodann x. Man erhält als Lösungen die

—    + b ± i (8as — b) (3 b - a²)),

~ (a² + b ^ y (3a² — b) (3b — a⁸))-q a

a² — b

Aufgabe 88. Einem Kreise von 314,14 qm Flächeninhalt ist ein Rechteck von 192 qm Fläche eingeschrieben. Wie groß sind dessen Seiten?

Auflösung. Bezeichnet man den Radius des Kreises mit r,

r³ n = 314,14; da aber n = 3,14, r² = 100, also r = 10. xy = 192 und x² _|_ y2 — (2r)² = 400.

Man hat also das System zu lösen:

x² -f- y² = 400 xy =

was oben bereits gezeigt wurde.

Aufgabe 89. Ein g-erader Kreiskegelstumpf hat eine Höhe

so ist:

so ist

Ferner ist:

192

von 6 Meter, einen Inhalt von 395,841 cbm. Wie groß sind die Radien seiner Grundkreise, wenn deren Produkt 18 ist?

Auflösung. Angenommen der eine Radius sei x, der andere y Meter. Als erste Gleichung ergibt sich dann aus der Aufgabe direkt:

x-y = 18.

Der Inhalt des Kegelstumpfes ist:

J = 2jt (x² + xy + y²)-

Laut Aufgabe soll jedoch der Inhalt des Stumpfes 395,841 cbm betragen, es muß also die Gleichung bestehen:

27i (x² -j- x-y -j-y²) = 395,841.

Wir haben also das Gleichungssystem zu lösen:

x² —(— x*y -j- y² =

395,841

x-y = 18.

Das hier einzuschlagende Verfahren ist bereits gezeigt

worden.

Aufgabe 90. Ein gerader Kreiskegel von 12 cm Höhe hat eine Gesamtoberfläche von 90yr-qm. Wie groß sind der Radius des Grundkreises und die Seitenlinie?

Auflösung. Angenommen der Radius des Grundkreises sei x, die Seitenlinie y cm. Aus der Aufgabe ergibt sich direkt die Gleichung:

x² -f 12² = yg

Die Gesamtoberfläche des Kegels ist;

O = u • x (x -f- y).

(1.)

Nach den Bestimmungen der Aufgabe aber soll die Gesamtoberfläche 90 qcm betragen, es muß also:

(1.)

7i x (x —f— y) = 907i oder x (x -j- y) = 90 (2.) hiezu Gleichung (1.) x² — y² = — 144

Multipliziere die Gleichung (2) mit 2, es kommt:

2x² -j- 2xy = 180, subtrahiere hiervon (1.), so erhält man : x² — y² = 144

x² -f-y 4- 2 xy = 324

x -f y = + y 324 = ± 18 Die in Gleichung 2 eingeführt, gibt:

18x = 90

= + 5 x., = — 5.

Und hieraus ergibt sich:

y2 — 169 yi — ~f~ 13 y ₂ = — 13.

Der Kreiskegel hat einen Grundkreis mit dem Radius 5 cm und Seitenlinien von 13 cm. Die negativen Lösungen haben hier keinen Sinn.

Aufgabe 91. Es zieht einer aus einer Urne zwei Nummern. Addiert er zur Summe der beiden Nummern ihre Quadrate, so erhält er 938. Multipliziert er beide Nummern miteinander, so erhält er 351. Welche beide Nummern hat er gezogen?

Auflösung. Angenommen die beiden Nummern seien x und y. Aus den Bestimmungen der Aufgabe ergeben sich dann ohne weiteres die beiden Gleichungen :

(1-)

x² -j- y- -j- x -j- y = 938 xy = 351

Man setze nun:

x -j- y = u, dann ist: x² -(- y² = u² — 2xy = u² — 702. Man erhält also dann die Gleichung-: u² _ 702 -f u = 938 u² -f u — 1640 = 0

1 ± V 1 + ⁶⁵⁶⁰

1 ± 81

U]_ — 40 und u₂ = — 41. Nun ist das Beispiel zurückg-eführt auf:

x + y = 40

xy — 351

x² _j_ y2 ₂xy = 1600 4 x y = 1404

(x — y)² = 196

= + 14, hiezu: = + 40

54

4P = 27

y = 13.

Er zog- also die beiden Nummern 13 und 27. Die negativen Lösung-en entsprechen nicht dem Sinne der Aufgabe.

Aufgabe 92. Zwei Punkte bewegen sich mit gleichförmigen Geschwindigkeiten auf den Schenkeln eines rechten Winkels nach dem Scheitelpunkt, von dem der eine um 50, der andere um 186,5 Meter entfernt ist. Nach 7 Sekunden beträgt die gegenseitige Entfernung der beiden Punkte 85 und nach 9 Sekunden 68 Meter. Welche Geschwindigkeiten haben beide Punkte.

Auflösung. Aus der Aufgabe folgt nach der Annahme, daß der erste Punkt eine Geschwindigkeit von x Meter, der zweite eine solche von y Meter habe, direkt;

(50 — 7xj² -f- (136,5 — 7y)² = 852 (50 — 9x)² -f- (136,5 — 9y)² = 68²

2500 -f 49 x²— 700 x -f 136,5² + 49 y² — 14 -136,5 y — 85² = 0 2500 + 81 x² — 900 x + 136,5² -f 81 y² — 18 • 136,5 y — 68² = 0

Die quadratischen Glieder lassen sich nun eliminieren und man erhält eine lineare Gleichung, aus welcher man eine Unbekannte durch die andere ausdrücken kann.

Aufgabe 93. Zwei Punkte bewegen sich mit gleichförmigen Geschwindigkeiten auf zwei senkrecht zu einander stehenden Linien nach dem Durchschnittspunkt hin, von welchem der eine Punkt a Meter, der andere b Meter entfernt ist. Nach t Sekunden haben sie die Entfernung d Meter, und nach t' Sekunden erlangen sie ihre kürzeste Entfernung. Welche Geschwindigkeiten haben die beiden Punkte? (Oj>t).

Auflösung. Angenommen der eine Punkt lege in der Sekunde x Meter zurück, der zweite y Meter. Wie leicht abzuleiten, muß die Gleichung gelten;

(a — tx)² -j- (b — ty)² = d².

Durch eine einfache Ueberlegung kommt man ferner darauf, daß das Minimum der Entfernung zweier Körper, die sich mit gleichförmiger Geschwindigkeit auf den Schenkeln eines rechten Winkels bewegen, eintritt in der Mitte der Zeiten, in welchen die Entfernungen der Punkte gleich sind. In unserer Aufgabe tritt das Minimum der Entfernungen nach 0 Sekunden ein, also ist umgekehrt die Entfernung der beiden Punkte in 2 t' — t Sekunden abermals d. Man erhält also als zweite Gleichung:

fa — (20 — 0) x]² -f [b — (20 — t)y]² = d².

Aufgabe 94. Eine gewisse Anzahl Arbeiter schafft einen Haufen Steine in 8 Stunden fort; sie würden ebenfalls 8 Stunden brauchen, wenn 5 Arbeiter weniger da wären und dafür jeder bei jedem Gange um 6 Pfund mehr Steine tragen würde.

Wären es aber um sieben Arbeiter weniger, so würden sie um 20 Minuten länger brauchen, obwohl jeder bei jedem Gange um 8 Pfund mehr trägt. Wfieviel Arbeiter sind vorhanden und wieviel trägt jeder bei jedem Gange?

Auflösung. Angenommen es seien x Arbeiter und jeder trage bei einem Gange y Pfund. Bei einem Gange tragen die Arbeiter also x y Pfund. Sind es 5 Arbeiter weniger, also (x — 5) und trägt jeder 6 Pfund mehr, also (y -j- 6) Pfund, so tragen sie bei einem Gange

(x — 5) fy -f 6) Pfund.

Da sie den Haufen in diesem Falle in derselben Zeit wegtragen und die Gänge stets dieselben bleiben, so verhalten sich die Massen, die sie bei einem Gange wegtragen, umgekehrt wie die Zeiten, die sie zum ganzen Haufen brauchen,, hier also wie 1 : 1.

(x — 5) (y + 6) = xy.

Auf dieselbe Weise findet man als zweite Gleichung: 8i (x — 7) (y + 8) = 8xy 25 (x — 7) (y -f- 8) = 24xy (x — 5)y -f- 6) = xy

25x y -f 200x — 175y — 56-25 = 24xy xy -j- 6x — 5 y — 30 = xy

xy -f 200x — 175y — 56-25 = 6 x — 5 y — 30 =

was nun leicht zu lösen ist.

§4.

Quadratische Gleichungen mit drei und mehreren Unbekannten.

Ein System von quadratischen Gleichungen mit mehreren* Unbekannten wird nach denselben Prinzipien aufgelöst, wie ein solches System mit zwei Unbekannten. Man strebt, eine Gleichung mit nur einem Unbekannten zu erhalten. Bestimmte Regeln lassen sich auch nicht aufstellen. Für ein System, in. dem nur eine Gleichung quadratisch, die andern alle linear sind, merke man sich, daß man sämtliche Unbekannte durch eine einzige ausdrückt und die gefundenen Werte in die erste Gleichung einsetzt. In den anderen Fällen sucht man durch Zerlegen der Gleichungen, durch Elimination, durch passende -Substitution oder sonst irgendwelche angebrachte Transformationen sein Ziel zu erreichen. Wir wollen auch hier einige Beispiele lösen.

Aufgabe 95.

x² —j— y² —f— z² —}— xy = 35 2x -f- y — z = 3 5x-f-4y — 3 z = 10

Es ist aus 3: 5x = 10 — 4 y -)- 3z, also

.    'x = ² — yy + y z-

2 (2

y—z =3

Dies in Gleichung- 2 eing-eführt, g-ibt : ---y |---z) +

ou OO

I ⁶ l

- -y +yz + y — z

20 — 8y -f 6z -j- 5y — 5z =15

— 3y -J- z = — 5

z = 3y — 5

(By - 5)

4y² —    lly    —    3 =    0,    und    hieraus:

11 + ^121 -f- 48

11 + 13

und hieraus:

Yi= 3 und yo =

Daraus ergibt sich:

x-y 4- xz = 27 xy -j- yz = 32 xz + yz = 35.

Aufgabe 96.

Auflösung. Man setze xy = u, xz = v und yz = w, so hat man die drei Gleichungen:

v = 27 w = 32 w = 35,

also :

CO

xx = 3 und endlich: z. = 9

xO

to

rr)

X

io

rH

23

= 47

und hieraus erhält man:

Nun ist:

xy • xz

yz

= X² =

12 • 15

20

also:

12

und endlich:

CO o

= +4

i 4:

= ± 5.

Aufgabe 97. In einer geometrischen Proportion ist die Summe der beiden inneren Glieder a, die Summe der beiden äußeren b und die Summe der Quadrate aller Glieder c. Wie heißt die Proportion:

Auflösung. Es heiße die Proportion:

x : y = z : v,

so hat man die vier Gleichungen:

1.

+ + +>

v = y • z

2.

v = b V² = c.

3.

4.

x² + y² -f- z²

Mayer, Mathematik. IV.

2a

x -f- z —

Aus diesem System berechne man nach bekannter Art

x und z.

Quadriert man nun 2 und 3 und addiert dann die beiden Gleichungen, so erhält man:

x² -j- 2xv —v² —J- y² -f- 2yz -{— z² = a² -f- b².. Subtrahiert man hiervon die Gleichung 4, so erhält man: 2 (xv -(- yz) — a² -j- b² — c,

oder daxv = yz:

4xv = 4yz = a² -j- b² — c:

Nun hat man die beiden Systeme:

y + z = a

4 y z = a² -j- b² — c und aus diesen lassen sich die Unbekannten leicht berechnen^

und

x -|t- v — b 4xv = a²-[rb² — c

Aufgabe 98. Es werden drei Zahlen in stetiger Proportion gesucht, so daß ihre Summe a und die Summe ihrer Quadrate b ist.

Außösung. Es heiße die Proportion:

x : y = y : z, so ist:, xz = y²

x —j- y —j— z = a und

x² + y² + z² = b.

1.

2.

3.

Man quadriere nun 2., so erhält man:

x² —J— y² —|— z² —2xy -j— 2xz —j— 2 yz a²' x² + y² + z² = b und 2 xz = 2y²,

Nun ist:

man erhält also:

b -J- 2 y (x -(- y -f- z) = a² und dies ist b -f- 2ay = a², also a² — b

2a

Ferner ist nun nach Glchg. 1.:

a⁴ — 2a²b -f b²

4 a²

und', nach Gleichung 2:

Aufgabe 99. Drei Zahlen geben paarweise miteinander multipliziert die Produkte 42, 78 und 91. Wie heißen die drei. Zahlen ?

78 y

Also:

Außösung. Angenommen die drei Zahlen heißen x, y und z. Aus der Aufgabe ergeben sich dann die Gleichungen..

x-y = 42 x-z == 78 y • z = 91

(1.)

(2.)

(3.)

Aus (2.) ist:

78

Aus (3.) ist:

91

91

Diesen

CD

"tn

.9

H?

tr

Also:

1+1+H- & ê »

03    ^

r-t-

rH CO

Aufgabe 100. Eine Zahl wird mit drei Ziffern geschrieben. Addiert man zu derselben 396, so erscheinen die Ziffern in umgekehrter Reihenfolge. Die Summe ihrer Ziffern ist 9, die Summe ihrer Quadrate 35. Wie heißt die Zahl?

Außösung. Angenommen die erste Ziffer der Zahl heiße x, die zweite y und die dritte z. Dann heißt die Zahl 100 x -j- 10 y -f- z. Addiert man zu dieser Zahl 396, so sollen nach Aufgabe die Ziffern in umgekehrter Folge erscheinen, also muß die Gleichung gelten:

100x -f lOy -f z + 396 = 100 z -f lOy + x (1.)

Als zwei weitere Gleichungen erg-eben sich direkt aus der Aufgabe :

x + y + z = x² + y² -j- z'² =

05 co

cd

Aus (1.) erhält man:

99 x — 99 z + 396 = 0

z — — 4 x = 4

Aus (2.) ergibt sich:

z -j- x = 9 — y, rho

13 — y

5—y

so er-

Führen wir diese Werte in Gleichung- (3.) ein halten wir:

= 35

25 — IO7 -f- y² -f- 4y² -J- 169 — 267 -f- y² = 140 6y² — 36y -j- 54 = 0 y² — 6y + 9 = 0 (y - 3)² = 0

y = 3.

— =1

Folglich :

und :

13 — 3

5.

Die Zahl heißt also 135.

Aufgabe 101. Die Gesamtoberfläche eines Quaders beträgt 552 qcm, seine Raum diagonale 17 cm. Die Summe der ersten und der zweiten Kante ist um 13 cm größer als die dritte Kante. Wie lang sind alle drei?

Auflösung. Angenommen die Quaderkanten seien bezüglich x, y und z cm lang. Die Oberfläche desselben beträgt sodann :

2xy -f- 2xz -J- 2xz qcm. Nach Aufgabe aber soll die Gesamte berflähhe 552 qcm. betragen, also muß :

2xy -j- 2xz -J- 2yz = 552 Das Quadrat einer Raumdiagonale ist: x² —j— y² —(— z². Für die vorliegende Aufgabe gilt also ferner die Gleichung: x² -f y² -f- z² == 289.

Als dritte Gleichung erhält man aus der Aufgabe direkt: x -f- y = z -j- 13.

(1.)

(2.)

(3.)

Wir haben also das Gleichungssystem zu lösen: x² -f- y² -f- z² = 289 2xy -}- 2xz + 2yz = 522 x + y — z = 13.

Quadrieren wir die dritte Gleichung, so kommt: x² —f- y² -f- z² -f- 2xy — 2xz — 2yz = 169.

Führen wir hierin für x² -(- y² -f- z² den Wert aus (1 ) ein. so ist:

hierzu (2.)

2xy — 2xz — 2yz = — 120. Addieren wir 2xy + 2xz -f- 2yz = 552

= 432 == 216.

4 xy 2 xy

Addieren wir diese Gleichung- zu (1.), so ist: x² -f- y² -f~ 2xy -f- z² = 289 -j- 216 (x -f y)² |z²= 505.

Nun ist aus Gleichung- (3.) :

x -j- y = z —j- 13, also:

(z -f 13)² -f z² = 505 2z² + 26z — 336 = 0

— 26 + j 26² + 8 • 336

— 26 + 58

zi—    3

z₂= — 21.

kommt:

Subtrahieren wir nun von (1.) die Gleichung- für 2xy, so

(x — y)² -f- z² = 73, folglich:

x — y — + / 73 — z², hierzu x + y = z + 13

z + 13 ± / 73 — z²

Also:

⁸ + ¹³±³

xi

tNJ

x2

X1

y₂

d. h. entweder ist x = 12 und y = 9 oder x = 9 und y = 12; aus dieser Willkür der Wahl von x und y entspringt obige Zweideutigkeit der Ausdrücke für x und y. Setzt man z₂ in diese Gleichungen ein, so werden x und y imaginär. Die Kanten des Quaders sind also: 8, 9 und 12cm lang.

Aufgabe 102. Vier Zahlen g-eben zu je drei miteinander multipliziert als Produkte der Reihe nach 105, 165, 231, 385. Wie heißen die Zahlen?

Außösung. Angenommen die vier Zahlen heißen u, x, y, z. Man erhält dann aus der Aufgabe direkt die Gleichungen

uxy = 105 uxz = 165 uyz = 231 xyz = 385

(1.)

(2.)

(3.)

(4.)

kommt :

Multiplizieren wir die vier Gleichungen miteinander, so

u³x³y³z³ = 105-165-231-385.

Dividieren wir jetzt diese Gleichung durch den Kubus einer jeden der vier Gleichungen, so erhält man z, y, x, u. Es ist:

u³ • x³ • y³ • z³

u³x³y³

— z³ =

105-165-231-385

105-105-105

z³ = 11³ also: z = 11.

y³ = 7³

y = 7

x³ = 5³

u³ — 33 u = 3.

Kapitel III.

Exponential= und logarithmische Gleichungen.

Enthält eine Gleichung- die Unbekannte nur als Basis von Potenzen (ganzen oder gebrochenen), so heißt die Gleichung -eine algebraische. Kommt die Unbekannte auch noch in anderer Verbindung vor, so heißt die Gleichung eine transzendente. Zu den transzendenten Gleichungen gehören'auch die E xponential- und die logarithmischen Gleichungen.

Eine Gleichung heißt eine Exp onentialglei-chung, wenn sie die Unbekannte als Potenz- oder Wurzelexponent enthält. Ihre einfachste Form ist:

ax = m.

Eine solche Gleichung wird gelöst, indem man beiderseits logarithmiert. Man erhält :

x-loga = logm, also: logm

log a

Hat eine Exponentialgleichung diese einfache Form nicht, so sucht man ihr diese zu geben. Dies kann dadurch geschehen, daß man alle vorkommenden Exponentialgrößen durch eine einzige Exponentialgröße ersetzt, diese als Unbekannte einführt und ihren Wert resp. ihre Werte aus der erhaltenen Gleichung berechnet. Damit ist dann die Gleichung auf die einfachste Form zurückgeführt und beiderseitiges Loga-rithmieren bildet die letzte Operation. Möge das Verfahren an einigen Beispielen erläutert sein.

Aufgabe 103.

6X -f- 62x = 56.

Auflösung. Es ist

62x = (ß 2jx _ (6X)²; setze nun

6X = y, so kommt:

y² + y — 56 = 0

— 1 ± j 1 + 224

— 1 + 15

Y- —

Yx =

6X =

x-log6 = log 7 log 7

• x ~ k^lT ~ Ö- 77815

i>- t>

P- a

y₂ = — 8. Also 6X = — 8

0-84510

x • log 6 = log — 8 x₂ wird imaginär.

Aufgabe 104. 2X ~ ¹    27 —x = 5-2².

Auflösung. Man erhält:

2X

2⁷

2 2X

Sètzt man so erhält man:

= 20.

2X = y,

toi^

128

— 20 = 0 y² -f 256 — 40y = 0 40 + y 1600 — 1024

40 + 24

yx = 32 und y₂ = 8.

Also: 2X = 32 und

2X = 8

x • log 2

log 32

x-log2 — log8

log 8

log 32 log 25 X — log 2    “ log 2

log 2 log 2*

log 2

_ 5-log 2 X ~ log 2 Also : xL = 5 und x₂ = 3.

„ _ 3 log 2

X- log 2    -*

Aufgabe 105.

Man setze 4X = y und erhält : y — — — 15,5 = 0

y

y² — 8 — 15;5y = 0

15,5 + y 15,5* + 32

15,5 + 16,5

Daraus :

4X = 16 und

x • log 4 — log 16

4X = — 0,5 x*log4 = log- — 0,5'

2 log 4

log 4 Es ist also

x₂ also imaginär.

x = 2.

Lassen sich beide Seiten sofort logarithmieren, so loga-rithmiere man ohne weiteres.

Aufgabe 106.

Auflösung. Durch beiderseitiges Logarithmieren erhält man: (x — 2) log a + (x — 1) logb = (x -}- 1) loge x-loga — 21oga -j- xlogb — logb —x loge — loge — 0 x (log a + logb — loge) = 2 log a + logb -j- loge

ax ~ ² , bx — 1 — cx + ¹

2 log a -J- logb -j- log c

log a -j- log b — log c

mieren :

Aufgabe 107. \'    == ÿ 4X + ²

Auflösung. Man erhält durch beiderseitiges Logarith-

• log 83x + ¹ = —— log4x + ²

Jj X

8 + 2

rH | X

log 8 =

2x

•log 4

3x -j- 1

• log 2¹ =

2 (x + 2)

2x

18x + 6 — 2x

— 4 = 0 16x = — 2

x ==

Lassen sich die Exponentialgrößen nicht auf nur eine zurückführen, so ist es oft möglich, sie wenigstens auf zwei zw vereinigen. Man bringt dann je die gleichnamigen auf eine-Gleichungsseite, wodurch die Gleichung lösbar wird.

Aufgabe 108.    2 x + 2X + ² + 2 x + ⁶ = 3X + 3x + ¹

2X+2X *2² + 2X.2⁶ = 3X+3X*3S-

2* (l -f- 2² + 2⁶) = 3* (1 -f 3⁸) 2* • 69 = 3X • 28

x-log’2 -|- log 69 = xlog3 -f" log28 x (log 2 — log 3) = log 28 — log 69

log

«Ol 00

, 2

log-y

Bei Exponentialgleichungen mit mehreren Unbekannten Æucht man jede Gleichung in eine logarithmierbare Form zu bringen. Durch Logarithmieren erhält man die Unbekannten nur noch als Faktoren in den Gleichungen, welche nach den ^'bereits gezeigten algebraischen Methoden gelöst werden.

x,_ y_    12_

Aufgabe 10V. / a • ]/ a² = j a⁵

*1 a² : V a³ =24

]! a

Auflösung. Durch beiderseitiges Logarithmieren erhält man :

—    log a H--

—    log a —

log a² = — log a5 i- log a⁸ = — ^ log a

⁵ 1

Ï2 l0^a

- ^ log a

CO

log a =

rH

|o3

- = u und

12

20

24

24

21

24

r—( OO

EL

Ï2

20

rH

051 H*

also

Aufgabe .110. f^ax — a² : Va⁷

x,_ y,__/15. \4 y

f a - Farb = \ 1 a² ) : ]/ b .

Auflösung. Logarithmiere beiderseits und es kommt:

— log- a

y ë

— log a

= 2 log a —

• log a = 2 log'a —

(1.)

- • log a -f “ !oga+y loga--^logb =

a    i®,—

— log-g- = 4 • log y a²

4 • 2

TT loga -

'-1 t-*

— log b

}r

log b

15

(2.)

x + 7 — 2y = 0 15 y + 15x — 8xy = 0

x = 2 y — 7

15 y + 15 (2 y — 7) — 8 (2 y — 7) = 0 15 y + 30 y — 105 — 16y² -f- 56y = 0 — 16 y² -f 101 y — 105 = 0 16y² — 101 y 4- 105 = 0

Aufgabe 111.

101 +V 101² — 64 . 1Q5

101 + 59

32

32

Ji = ⁵ und y₂ =

Xj = 3 und x₂ = — 4f.

ax • ay : a⁵ = a13 (ax )>’ = a77 Durch Logarithmieren erhält man:

x • log-a -j- y log a — 5 log a = 13 log a y logax = 77 log a xy log a = 77 log a

x + y = 18 xy = 77

x² -j- y'² -j- 2xy = 324 4xy = 308

(x — y)² = 16 x — y = + 4 x + y = 18

h ci ci

X X X

11

11

Aufgabe 112.    3* — 5 y = 4

32x -f 52y = 106.

Auflösung. Man setze 3X = u und 5y = v und es kommt

v = 4

u² -f- v² = 106 u² -f — 2 u v = 16 u² -f- v² = 106

— 2 u v — — 80 2 u v = 80

u² + v² -f 2uv = 196

u —f— V =

y 196 = ± 14

3X — 9

x log 3 = 2 log- 3 x = 2 5v= 5 y log-5 = log 5 y = 1.

Aufgabe 113.

xy == a xlog-y = b

logx -f- log-y = log a log y • logx = logb.

Setzen wir logx = u und log y = v, so erhalten wir: u + v = log a U-V logb

Nunmehr lösen wir das System nach bekannter Weise. Eine Gleichung heißt eine logarith mische, wenn sie die Unbekannte als Logarithmand enthält. Die einfachste Form einer logarithmischen Gleichung ist :

log x — n.

Ihre Lösung ist:

x = (Basis)*¹ oder x — num log n.

Ist n eine reelle Zahl und ist die Basis 10 (künstliches Logarithmensystem), so entnimmt man den Wert von x einer Logarithmentafel. Andere logarithmische Gleichungen müssen auf diese Form gebracht werden. Haben die Logarithmen verschiedene Basis, so muß man sie auf dieselbe Basis bringen. Man erinnere sich dabei wieder der Formel:

log b

Wir wollen auch hier einige Beispiele lösen.

Aufgabe 114. logx -f- log x² + logx³ == log 4x2 logx 2logx -j- 3 logx — log4 —21ogx= 0

4 logx — log4 == 0.

4 logx = log4 2 logx = log 2

infolgedessen:

2 log 2 -j- log 2 x

log-2

log- x = - -

x — y 2.

Aufgabe 115. log2x + logx² + log2losx = 2 log2 -j- logx -j- 2logx -j- logx*log2 = 2

logx (1 -j- 2 + log2) = 2 — log 2

2    — logl

3    -f- log 2

log x =

Auf gäbe 116. logx + logx = log2x.

Auflösung. Bringen wir sämtliche Logarithmen auf die Basis 10. Wir erhalten:

logx log 2

logx _ log2 -f- log x

log 3

log 2 —(— log 3

logx log 3 (log 3 + log 3) -j- logx • log 2 (log 2 -j- log 3) = log2 -f- logx) log2 log3

log x • log3 log2 -f-logx (log 3)² + logx (log 2)² -j- logx log 2 • log3 = (log 2)² log 3 -f- log x log 2 log 3. logx • [log2 • log3 -j- (log2® -J- (log3)²] = log2)² log3

(log 2)² log 3

(log 2)² -f log 2 log 3 -f- (log 3)®

logx =

Aufgabe 117.

log (x — 5) -f log (x -f- 2) = log (x — 7) -f log (x -f- ⁶) Auflösung. Wir erhalten: log[(x — 5)-(x -f 2)J = log [(x — 7)(x -f 6)J log(x² -f- 2x — 5x — 10) = log (x² -f- 6x — 7x — 42).

Wenn aber zwei Logarithmen bei gleicher Basis einander gleich sind, so müssen auch die Logarithmanden einander gleich sein, also:

x² — 3x — 10 = x² — x — 42

— 2x = — 92 x = 16.

Aufgabe 118.

log (2 x — 4)

Auflösung. Man erhält:

log- (4 • 2 x) log (2x — 4)

log (4-2x) = 2-log(2x — 4) oder: log (8 x) = log (2 x + 4)² ; also muß :: 3x = (2x — 4j²

4x² -j- 16 — 16x —8x = 0 4x² — 24 x + 16 = 0

x — + 2 4 +

-f 24 + f32i)

xx = 3 -f- "j/lT⁻ und x₂ = 3 — / 5. Aufgabe 119. log 5 -j~ logx = 4.

Auflösung.

log 5

log 5

logx log- x

(log5)² -j- logx)2 log x • log 5 (log x)² — 4 log 5 • log x 4* (log⁻ 5)² = 0-

Hieraus läßt sich log x berechnen.

Aufgabe 120.

logx + log y = 2,5 y    x

logx + logy = 1,43136

Auflösung. Man erhält :

logy

= 2,5

logx

logy

logx

(logx)² + (logy)'² — 2,5 logx - logy = 0 logx + logy — 1,4:3 • 136 = 0

Man setze : dann erhält man :

logx = u und logy = v,

u2 _|_ y² = 2,5 u v u -f- v = 1,43136.

Dieses Gleichungssy.- em zu lösen bietet keine Schwierigkeit. Man erhält schließlich:

Zum Schlüsse dieses Kapitels sei noch bemerkt, daß die Exponentialgleichungen unendlich vieldeutig sind ; unsere Auflösung liefert nur einen, den reellen Wert; alle übrigen Werte sind imaginär. Der Grund liegt in der unendlichen Anzahl der Logarithmen einer Zahl. Wir werden in den Heften über höhere Analysis hierauf zurückkommen.

Kapitel IV.

Rep etitiónsaufgaben.

Nach dem System der drei ersten Bände geben wir im folgenden dem Schüler noch weiteres Übungsmaterial, um ihm in der Auflösung der quadratischen Gleichungen eine möglichst große Sicherheit zu geben. Besonders war ich bestrebt, zahlreiche Aufgaben mit mehreren Unbekannten aufzunehmen, da die Lösung dieser meist scharfsinnige Operationen erfordern, die dem Schüler erst nach weitgehendster Uebung geläufig werden. Wir raten dem Schüler dringendst, alle Aufgaben durchzurechnen und zwar immer zuerst ohne Benützung unserer Lösungen; ein Vergleich seiner Lösung mit der unserigen wird ihm dann oft zeigen, welch verschiedene Wege zur Lösung führen und welcher der kürzeste ist.

Gleichungen mit einer Unbekannten.

1.

ax 4- b

c x -j- d

c -f- dx

Es kommt:

(ax -(- b) (c + dx) = (c x -f- d) (a -f- bx) acx + adx² + bc -f- bdx = acx + b cx²-|- ad -j- bdx oder geordnet:

•oder :

x² =

adx² — bcx² == ad — bc x² (ad — bc) = ad — bc ad — b c

ad — b c

Man erhält durch Multiplikation der ganzen Gleichung mit x -j- 4 :

4 — j/ (5 x — 24) (x + 4) =6 -j-4— / 5x²-J-20x—24 x—9(T = 6 x + 4 — y5x² — 4x — 96

x — 2 = y 5x² — 4x — 96 (x — 2)² = 5x² — 4x — 96 x² — 4x + 4 = 5x² — 4x — 96 4x² = 100 x² = 25 X = + y 25

X1 = + x₂ = —

3.

x* + 2ax = b x² + 2ax — b = 0

4.

5.

rH CM

2a + / 4 a² -j- 4 b >

a dl ~2 i 4 (a- -f- b)

— a + ]/ a² + b xx = — a -j- ya² + F" a — y a² + b ax²-|-2bx-j-c==0 — 2b d^y 4b² — 4ac

x₂ =

--- +

y b² — a c

xi =--- +

y b² — ac

x₂

V b² — a c

3 x² — 7x = 16 3x² — 7 x — 16 = 0

+ 7± / 49 + 192

+ 7 + y 241

6.

(a — x) (x —

ax — ab — x²

— x²

x²

_j_ I I

x (a

x (a

also entweder:

x [x — (a

+ ++ + +

cr rr

oder:

also :

x ⁼ 0 x — (a -j- b) = 0

x = a -f- b

Xj = 0

x₂ = a -f- b

7.

--1--1

— 1    ^    x — 4

x — 3

4 (x — 4) (x — 2) (x — 3) + (x — 1) (x — 2) (x — 3) = 3 (x — 1) (x — 4) (x — 3) + 2 (x — 1) (x — 4) (x — 2) (4x — 16) (x — 2) (x — 3) 4- (x² — x — 2x -f 2) (x —3) = (3x — 3) (x — 4) (x — 3) + (2x — 2) (x — 4) (x — 2)

(4x² i6x 8x 4" 32) (x — 3) + (x² — 3x 4- 2 (x — 3) = (3x² — 12x — 3x + 12) (x — 3) + (2x² — 8x — 2x

4- 8) (x — 2).

(4 x² — 24x -f 32) (x — 3) + (x² — 3x + 2) (x — 3) = (3x² — 15 x -f- 12) (x — 3) + (2x² — lOx 4- 8) (x — 2)

4x³ — 24x² 4- 32x — 12x² 4~ 72x — 96 + x³ — 3x2 4- 2x — 3x² 4- 9x — 6 = 3x³ — 15x² 4~ 12x — 9x2 -j- 45 x — 36 4- 2x³ — 10x² 4- 8x — 4x² 4~ 20x — 16 — 4x² 4- 30x — 50 = 0 4x² — 30x 4- 50 = 0

30 + •/ 900 — 80~0

30 4 10

xL = 5 x₂ = 2,5.

8.

ax² — (a² 4* 1) x 4- a = 0

(a² 4~ 1) ± f (a² 4- l)² —Ta²

2a

(a² 4- 1) ± y a⁴ 4~ 2 a² 4~ 1 — 4a² _ (a² 4- l)±j l)²

to

(a² 4- 1) + (a² — 1)

2a

Xi =

a² -f 1 + a² — 1

2 a²

2a

x₂ =

a² + 1 — a² + 1

2a

9.

. (a — x)² -J- (x — b)“ = (a — b)" a² — 2ax + x² + x² — 2bx -{- b² = a² — 2ab -f- b2 2x² — 2x (a + b) + 2ab = 0 x² — (a -J- b) x -j- ab = 0

rH KM

2a

Xi =

a ~f~ b a — b

a -f- b — a + b

2b

= b.

(a — x) (b — x) = 2 (a — b)2 ab — bx — ax -j⁻ x² = 2(a — b)2 x² — (a    -j-    b)    x + ab — 2 (a —    b)²    =    0

=    y    [(a    +    b) + j (a 4- b)² — 4ab    +    8 (a — b² ]

=    t(a + b) + l'a² -j- 2 a b + b² — 4 a b -f- 8 a² -f- 8 b² —16 a ^ j

LÀ

= ~ [(a -f- b) + i 9 a² -f- 9 b² — 18 a b J

LÀ

x =    [(a    +    b) + i 9 • (a — b)a ]

x =    i    [(a    +    b) ± 3 (a — b)]

a-j-b-f-Sa — 3b

x₂ =

10.

X! —

4a — 2b

x₂ =

4b — 2a

11.

(3x — 5)² — 8 (3x — 5) -f- 7 = 9x² -f- 25 — 30 x — 24 x -f- 40 + 7 == 9x² — 54 x -f- 72 = x² —: 6x -f- 8 =

(6 + y 36 — 32 )

'-I KM rH

Xi =

X² =

T (6 + 2) — 4

i (6 — 2) = 2

12.

3x — 7]/x + 2 =0 i x = y

x = y²

3 y² — 7 x + 2 = 0 -f- 7 + V 49 — 24

CO

Or

ko

yi

LO

y₂

X2

13.

x² — 5x = 6 y — 3 — 16

TT ^ ~ł~ |/ 25 -{- 24 y

— 3 — 64 39 + 24 ]j — có )

Nun ist bekanntlich:

)/a ± y b

a + f a² — b

Ÿ~

— y a² — b

und :

also:

y=^

ty=i=++

|/ 39 + 24 y— 3    = j/ — 39 + j/ — 3 - 24²

i / 39    1

(/-2+Ï

y-ï

to i-t

/39² + 3.24²

39² + 3 • 24² +

= 3+4 )/^=+T Diesen Wert in unsere Lösung- eing-eführt gibt:

i [5 + (3 + 4 y^=D]

+ = + (8 + 4 f=T) =4 + 2 X₂= + (2 + 4 y^=“T) =1 — 2 /—¥

to I-I X rfx ta

x²+(5+ 2]/ — 1 ) x = 24 + 6 y — 1 + (5 + 2 }/ — 1 ) x — 24 — 6 / — 1 = 0

[—5 — 2 jCir±

5-|_2]/3Tï

j/(5 + 2 y —1)² + 96 + 24 + —f

1+25 + 20 (C+T—4 + 96 + 24/—1

- + +1/117 + 44 y=r

Den irrationalen Teil zerlegen wir wieder und erhalten:

j/ii7+44y^x"= j/m+y

— 44² —

]/+++H7² +44a |/+-yil7² + 44^

y^

^18689 +-1936 + j/-^

ro i-*

j/13689 +1936

125    . -i / 117

2 ‘ |/ 2

(+ + 2y-! )]

== 3

¹

(3x + 1)

²

y x -j- 4 — / 5x — 24

x₂

= — 8 — 2 y — 1.

15. x² - (8 — 2 y — 1 ) x = 38 y -1 - 31 X² — (8 — 2 y-=TT) X — (38 y — 1 — 34) = 0

j/(8 — 2 y—1 )² + 4(38y— 1 — 34))

x=|(8-2y

— y^r±|/— i6 + 3o +=r

Nun zerlegen wir wieder den irrationalen Teil und er-

halten :

|/ - iß + so y— 1

j/ — 16 + y — 30²

+    ¹6s+30>    +]/

16

yyi6² + 30²

J = s + 5 y~=~r x = 4 — y^r+ (3 + 5 y^r)

x₁ = 7 + 4 y — 1 und:

x₂ = i — 6 y — i.

y-T+T+y

16    34

Also:

16.

X² — 2x = 2 y 6 —6 X² — 2x — 2 yir+ 6=0

rH CU

x = i -f— j/ 4 -j- 8 yir

24 = ldh|/l + 2^6 — 24

= 1 + |/—5 + 2y 6.

Wir zerlegen wiederum den irrationalen Teil. Es ist:

t + I ni~2i

1/—5-{-2y 6 = |/—5 4- y

/±_

1-H CU

Ol

o<

IC

tO

TS to I m

ro i-*

fcO CT«

ŁO h-r

CO

also:

+1

CU

CO

j/a-j-x — ]/ a — x = y 2b.

17.

= 2b

= 2b — 2a

Quadriere auf beiden Seiten und es kommt: a + x + a — x — 2 ]j a² — x2 — 2 y a² — x²

y a² - X²

a2 _ x2 = (a _ b)2

— x² = a² — 2ab -}~ b² — a¹ 2 x² = 2 ab — b² x = + )/ b (2 a — b).

18.

4 a (a -f- b) x + a — b (2a -f- b)' 4 a (a + b) b (2 a -f- b) 4 a (a + b) x² — a2 = b (2 a -f- b)

b (2a + b) ::    a²

a + b

(x + a)² — (x — a)³

x² — a²

x² —

4 ax

a -f- b

b (2 a + b)

b (2 a + b)

a -j- b

ł[C

b (2 a + b)

a 4- b

fl

2 ab 4~ b

+ 4 a²

f 4 a*]

][-T^-±r]rbt,4a3b2+b2+4ab2+4a2(a+S^]

b (2 a 4~ b)

a 4- b

4 a² b² 4~ b² -j- 4 a b²

a² + 2ab 4“ b²

2a² + 2ab -f- b²

a 4- b

2ab 4- 2b² + (2a² + 2ab -f- b²)

2 (a 4- b)

6 — 5 x

7x —25 ~ 28 x —193

(2 —J— 3x) (7x — 25)(28x —193) — (6 — 5x)(l — 4x)(28x— 139) = (16 — x)(l — 4x)(7x— 25):

19.

2 4- 3x

1 — 4x

16

Dies ausgerechnet und geordnet ergibt:

178 x² — 957 x — 3736 = 0

957 + V 957² + 4 • 178 • 3736

2 • 178

_ 957 ± y 915849 -f 2660032

356

957 ± y 3575881

927 + 1891

356

356

xi= +    8

X2 ⁼⁼

467

178

20.

a² — x²

a + x

a + x — (a — x) = 3 + x²

— X² + 2x — 3 = 0 x² — 2x + 3 = 0

— ~2

¹ y 4 — 12 =1+    - y — 8.

i ± y—2.

21.

(a — l)²x² + 2 (3a — l)x = 4a — 1 2 (3a — 1) „

x² +

4a — 1

(a - l)²

(■

2 (3 a — 1)

2 (3 a —

(a - l)²

(a - 1)

1) \²    4(4a— 1) \

²    /^(a— l)²/

(■

2 (3 a — 1)

(a - l)² “(a    1)

-₂ i 4 (3a— l)M-4 (4a—1) (a— l)²

1 — 3 a + 2a]/^âT

(a - l)²

x : (a -f- x) + (a -f- x) : x — 2—

2x² + 2 (a + x)² = 5x (a -j- x) 2x² -f- 2a² -f- 2x² + 4ax — 5ax -f-5x2 — x² — ax 4- 2a² = 0

x² -4- ax — 2 a² = 0

23.

&3 fcO

w to W to f)

+1

to H-*

,00

OS

CO

12 x³ — 11 x² + 10x — 78

T-t <M

₌ _ x---

24x³—22x² + 20x — 156 = 3x(8x² — 7x + 6)—8x² + 7x— 6 7 x² — 5x — 150 = 0

5 + y 25 + 28 • 150

14

5+65

14

xt= 5

24.

CO I

^IO

y 3a -f- x

j/ 3 a — x

y a + y 3a + x

y3a+x (y a — y3a — x ) = y 3 a — x (/a -{- / 3 a + x ) oder ausmultipliziert:

fV • ysa + x“ — y 9a²—x² — y a *y3a— x -]- y9a² — x2 y a • (y 3 a + x — /3a —x) — 2 j 9a² — x²

Nun quadriere man:

= 36 a² — 4 x2 2 a y 9 a² — x² = 4 x² — 30 a²

a(3a + x-f-3a — x — 2 y9a²—x²) = 4(9 a² — x²) 3 a² H- 3 a² — 2 a y 9 a² — x²

a y 9 a² — x² = 2 x² — 15 a2 a² (9 a² — x²) = 4x⁴ + 225 a4 — 60 a² x²

9 a⁴ — a²x² — 4x⁴ — 225a⁴ + 60a²x² = 0 — 4x⁴ + 59 a² x² — 216a⁴ = 0 4x⁴ — 59 a²x² + 216a⁴ = 0 x² = y

Setzen wir nun: .so kommt:

4 y² — 59 a² y + 216 a⁴ = 0 59 a² ± ]/ 59² a⁴ — 16 • 216 a⁴

59 a² + y 25 a⁴ 59 a² + 5a²

yi =

8 a²

27

y₂= 4

also :

und:

also :

x = + y 8a²

fT_

= -f 2a i 2 — 2a f2

X3 = +

% f³ -

X-2 =

x₄ =

-T- a²

/8

2x — 3 3x — 2

(2x — 3)² — (3x — 2 )2 6x² — 13 x -}- 6 4x² —|— 9 — 12x — 9x² — 4+ 12x 6 x² — 13x + 6

25.

= 5 [1 — x²)

= 5 (1 - x²)

5 (1 — x²)

— 5 (1 — x²)

— 5x² + 5

~6x² —14x+T

__5 (1 - x²)

6x²— 13x-j-6    V

(1 - x²)-

6x² — 13x + 6

0.

Also entweder:

1 _ x² = 0

x = + /T

Xi = + 1

x₂ = — 1,

oder :

6x² — 13x-f6~" 1=0 6x² — 13x + 6 = 1 6x² — 13x + 5 = 0 13 + ]/169—120

12

13 ± 7

12

x»⁼ ~3

x^⁼ T

26.

X -f- m

a ■ j-- ni

m    x —[— n

m    a -f- n

x² — m² — a² -f m² _ x² — n² — a² -j- n²

(a -f- m) (x — m)

(a -f- n) (x — n)

x² — a²

x² — a²

(a + m) (x — m)

(a -f n) (x — n)

(x² — a²) •

(a + m) (x — m)

(a H- n) (x — n)

also entweder:

oder:

x² — a² = 0

xi = + a x₂ = — a

(a + m) (x — m)

(a + n)(x — n)

(a -j- n) (x — n) = (a + m) (x — m)

nx

ax — an + nx — n² = ax — am -j- mx — m2 mx = n² — m² — a m + a n

27.

also :

und:

28.

X²

x²

(n — m) x — (n — m) (n -J- m -j- a) x3 == n ~f* m + a.

(m — n) x² — nx (m — n) x² —

_ n dl ^n2 -f 1m (m — n)

2 (m — n)

x = - ± t'fr-Sm)8 2 (m — n)

__ n + /(n-2m)²

2 (m — n)

Xi =

x₂ =

ab²

2 (n — m)

2 (m — n)

2 (m — n)

14a² — 5b (a -f 2 b) 2a —3b

18 a² b²

2a — 3b

2 ab

i a

xi--

ab²

14a² — 5 b (a + 2 b)

18 a² b²

2a—3b .

2ab

2a—3b

18 a² — 18 ab —14a² -f-5ab-f-10 b²

18 a² b²

x² —

4a² — 13ab -f 10b²

18 a² b²

= 0.

2a — 3b\²

4 (4 a² - 13 ab -f- 10 b²

18 a² b²

2a —3b

a (2a — 3b)² — 2-4(4 a² —

2 ab

1 /2a — 3b ,    1

* 2*1

2 ab

6 ab

2a—3b

2 ab

13 ab-f 10 b² ^

|/36^²+81 b²- 108ab-32a²+104ab - 80b^ / 4a² — 4 ab -j- b²

36 a² b²

6ab

rH CM

2a — 3b

2a — b

2 ab

6 ab

Xl== “2

6a — 9b -f- 2a — b

4a — 5b

Gab

6 ab

x₂ = T

6a — 9b — 2a + b

2b

6 ab

Sab

29.

2 yiT— x

x (2 y a — x) = a — b

2 yT

x² — 2 y a =    (4- 2 y a + y4a — 4 a -f 4b )

U

— a-j-b = 0

— (a — b) = 0

y (2 /a ± 2/^

Xi = y a -f y b

x₂ = y a — y b.

30.

1+1

b x

a — b -j- x

tH CÖ

rH Lû

x — (a — b -j- x)

(a — b -j- x) • x

ab

(a — b -j-x)x

(b — a) • |~

(a — b -f- x) x und da b — a nicht Null sein soll, so muß :

—r- = 0

oder:

(a — b -f- x) x

ab = (a — b-f-x)x

ab

x² (a — b)x — ab = 0

LO l-i

- (a — b) ± 1 (a — b)² + -tat. 1

■l [- (a - b) ± (a + b)]

x₁ = b. x₂= —

15 x² — (5 a —f- 3 b —3 c) (50 b — 12 a— 90c + 15x) = 15 bc + 324ac — 169ab

Rechnet man die Produkte aus und vereinigt die gleichnamigen Glieder, so kommt:

x² — (5a -j- 3b — 3c) x -f* (4a² — 3ab -f- 6ac — 10b2 + 27 bc — 18c²) = 0

31.

a.

= Y t(5a + 3b — 3e) +

|/(5a-|-3b — 3c)²—4 (4a²—3ab-}-6 a c — 10b²-|-27bc—18c²)] = Y [5 a -f- 3b — 3c +

u

\ 9 a²    49 b² -f- 42 a b -j- 81c² — 54 a c — 126 bc

=4 [5a + 3b — 3c ±i (3a -f- 7b — 9c)² ]

u

=4t5a + 3b — 3c + (3a + 7b — 9 c)]

= 4a —}— 5b — 6c und: x₂ = a — 2 b + 3c.

32.

x³ — 1

Führt man die Division wirklich aus, so kommt: x² + x + 1 = 0

i(- 1 ±1~T=T)

— _j_ — y—3

2 2

--- i /=sr

X1= —

Xo= —

CO t—*

x2n _j_ ax” = b

Setzen wir xn = y, so kommt: y² -[- a y — b = 0, also :

33.

CO

+1

tH d

P

10

er

also :

yi = —

H⁻ 2-y a2 + 4 b

y² -

fcO I-*

y a² + 4 b

und hieraus:

Xj bis x n =

F'

2"

+ \ y a² -f- 4 b

— - - — -|~ya² + 4b.

x⁴ -f- 28224 = (25 x)². Setze wieder x² = y und es kommt : y² — 625 y -f 28224 = 0

y = i- (625 + /625² —4-28224)

U

xn+ibisx2n =

beide Wurzeln liefern je n Werte.

33 a.

• j/ 625 ± y 625²

— 4 • 28224

Xj = -f- 24; x« — — 24; x₃ = 7 u. x₄ = — 7.

(13 x²)² -f- (12 x)² = 52 169 x⁴ -f 144 x² — 25 = 0

34.

oder:

x² =

169 y² -f- 144 y — 25 = — 144 + y 144² + 169ÖÖ⁻

338

72 + 97

169

-, also:

xi

und |xj| =|x₄| = +y-l.

35.

(65 x)⁴ + (65²x)² + 1848² == 0

= y

x²

65⁴ • y² + 65⁴y + 1848² = 0 1848²

y² + y +

(— 1 ±    - 3696= j)

= f(- ¹ ±î4 )'râ2ÏT529-)

654

CO H-¹

Yi =

!(-i±

89-23

4225

■)

1089

4225

und y₃

3136

4225

Xj und x₂ =

x₃ und x₄ =

+1

051 en Cn| 05

36.

x⁴ — ax

+ b² = 0 y² — a y b² = 0

oder nach der Formel;

fb=f-

y = y (a ± y a² — 4 b ³)

]/- - ± Y l'a² -4 b²

. -|/ a² - b² ±l/-|— j y?-b²

fcO

CO h-*

y-.

a² —4b²

1/i

a²

a² —4 b²

14-

ns

cr

+1

io

no*

[V a + 2 b + V a — 2b~] •

37.

x⁴ — 4abx² = (a² — b²) x² = y

y² -f- 4 ab y — (a² — b²)² = 0

—    2 ab + Y 16 a²b² 4-4 (a²—b²)²

—    2 ab ± -î-y (2a² + 2 b²)²'

= — 2 ab + (a² + b²)

Mayer, Mathematik IV

yx = — 2 ab -f- a³ 4 + b⁴ = (a — b)⁴ y₂ = — 2ab — a⁴ — b⁴ = — (a -j- b)⁴

also :

und hieraus:

xx und x₂ = + (a — b)

x₃ und x₄ — + (a —f- b) |/— 1.

38.    4 m⁴ = (a + b + x) (a + b — x) (x -f- a — b)

(x — a -|- b)

Fassen wir rechts die zwei ersten und die zwei letzten Faktoren zusammen, so erhalten wir:

4 m⁴ = [(a + b)⁴ — x⁴] • [x⁴ — (a — b)⁴]

= — a⁵ — b⁵ — x⁵ + 2a⁴b⁴ + 2a⁴ x⁴ + 2b⁴x⁴ x⁴ — 2(a⁴ H- b⁴)x⁴ = (a⁴ — b⁴)⁴ + 4m'⁴ = 0 x⁴ = y substituiert:

y⁴ — 2 (a⁴ + b⁴) y + (a⁴ — b⁴)⁴ + 4m⁴ = Ö y = a⁴ -j- b⁴ + -w- "Z 4 (a⁴ + b⁴) — 4 (a⁴ — b⁴)₂— 16 m⁴

Là

y = a⁴

38.

Setze hier: und es kommt:

(2,5 — x)⁵ -f- 0,5625 = 2,5 (2,5 - x)⁴ (2,5 - x)⁶ = y

y⁴ + 0,5625 — 2,5 y = 0 y (2,5 ± i 2,5⁶ — 4-0,5625 )

y = \ (2,5 + VD

y = Y ⁽²’⁷ i ²⁾

also :

Vx = 2,25

y₂ = 0,25 und hiernach:

daher:

= 1.

(2,5 — x)² == 2,25 2,5 — x = + /^25 + 1,5

Ferner:

25x² - Vx±-Öx² = 25x² - 3 / - 1. Nach Herausheben von 25x² kommt:

]/x⁴ — 6x² =3 y—1 x⁴ — 6x² = — 9

39.

x⁴ _ 6x² + 9 = 0. ' Durch Substitution

also:

x² = y kommt: y² — 6y-j-9 = 0 (y - 3)² =

y =

CO o

x₃ =

x₂ =

y“3T

(x² — 8x + 11)² + (x — 4) (x² — 8x + 16 — 5)² -J- (x — 4)2 [(x — 4)² — 5]² -f- (x — 4)² — 25 (x _ 4)4 — 10 (x — 4)² + 25 + (x -

(x — 4)² == y y² — 9 y = 0

7i = 0 y₂ = 9 (x - 4)² = 0

xL und (x —

40.

25

25

25 = 0

Setzen wir: dann kommt: und hieraus:

also : daher :

41.

Setzen wir: so kommt:

x⁶ _j_ 27 = 28 x³

x³ = y

y² _ 28y -f 27 = 0

= 14 ± 4- y 28² — 108

y = 14 + 13 = 27 y₂ = 1 X₃ = 27

Xj, x₂ und x₃ = 3 • Jr-p

= |TT

y 1 hat drei Werte, einen reellen und zwei komplexe, der reelle ist 1 und die beiden komplexen:

- 1 + i fŚ

also :

yi

x₄, x₅ und x

s₂ —

Siehe auch Band VI.

42.

x⁸ _ 97X4    1296 = 0

Wir setzen: und es kommt:

x⁴ =

y² — 97 y -f 1296 = 0 y = 4- (97 + y 97² — 4 • 1296 )

U

y = i- (97 ± / 9409 — 5184 ) (97 + 65)

yi=

y²=

t-J. CO

05    I-¹ IO H

Also :

x⁴ = 81

x² =

+1 +

x₂ = — 3 X3 = 3 /- 1 x₄ = — 3 ]/ — 1 x⁴ = 16 x² = + 4

x,

X5 — "f 2

= — 2

x? = + 2/ -l

x₈ = — 2 y — î.

Jede Gleichung- hat also soviele Wurzeln, als ihre Gradzahl Einheiten zählt.

Textgleichungen.

1. Multipliziere ich die Anzahl der Markstücke, die ich bei mir habe, mit sich selbst so erhalte ich 132,25. Wieviel Markstücke habe ich bei mir?

Nehmen wir an, ich hätte x Mark bei mir. Multipliziere ich x mit sich selbst, so erhalte ich x². Nach den Bestimmungen der Aufgabe soll dieses Produkt 132¹/₄ sein, also:

x² = 132,25, also : x = +y 132,25 = ± 11,5

32 : 20

1125 : 220

Ich habe also ll¹^ Mark bei mir; die zweite Lösung — ll¹/₂ hat nur dann einen Sinn, wenn zwischen Vermögen und Schulden unterschieden wird.

2. Eine Zahl zu finden, deren fünfter Teil mit ihrem siebten Teile multipliziert 4235 gibt.

Die Zahl sei x. Der fünfte Teil der Zahl ist dann ~ u

5

x

deren 7. Teil-y Das Produkt aus diesen beiden Teilen

x²

^ • Die Aufgabe verlangt, daß dieses Produkt 4235 gibt, also oo

besteht die Gleichung:

x²

4235

x² = 4235-35

x = + / 4235 - 35 =+)/ ll²-5²-7² -=±11.5-7 = ± 385.

Die gedachte Zahl ist also ± 385 oder — 385.

3. Multipliziere ich das 3⁴/₇ fache einer gedachten Zahl mit dem 8,68 fachen derselben Zahl, so erhalte ich 5239. Wie heißt die gedachte Zahl?

Die Zahl sei x, so muß nach den Festsetzungen der Aufgabe :

3yx-868x == 5239

25

= 5239

217    ₂

7 ' 25 X

x² =

5239

31

= 169

x = ± y 169 = ± 13. Die gedachte Zahl heißt also ± 13.

4, Die Zahl 20 in zwei Teile zu zerlegen, so daß sich die Quadrate der Teile wie 1: 2¹/^ verhalten.

Angenommen der kleinere Teil sei x, dann ist der größere 20 — x; nach dem Text gilt dann die Proportion:

x² : (20 - x)²

= 4:9.

= 1: ®

Da nun eine geometrische Proportion richtig bleibt, wenn man alle vier Glieder mit derselben Zahl radiziert, so ist:

x : (20 — x) = ± 2 : 3 3x ± 2 (20 — x) = 0

(3 ± 2) x = + 40.

Xj = -}- 8,    20 — Xj — 12

x₂ = — 40, 20 — x, = 60.

Mit oberem Vorzeichen:

„ unterem „

Die beiden Teile sind also entweder: 12 und 8, oder — 40 und + 60; die zweite Lösung läuft zwar gegen den alltäglichen Sprachgebrauch, ist aber logisch richtig.

5. Wie groß ist die Seite eines Quadrates, dessen Inhalt 9

um das fache größer wird, wenn die Seite sich um 3 Meter verlängert ?

Angenommen die Seite des Quadrates sei x Meter. Nach dem Text der Aufgabe muß dann die Gleichung bestehen:

o

(x -f- 3)²

± (x + 3) = 4-

— 1 _ x2 16

rx

4x -f- 12 = 5x

= 12

— 4x — 12 = 5x

— 9x = 12

12

x₂ = - 9

Die Seite des Quadrates ist also 12 Meter lang, der negative Wurzelwert hat für die Aufgabe keinen Sinn.

6. In einem rechtwinkligen Dreieck, dessen eine Kathete das -f fache der anderen beträgt, ist die Hypotenuse 1000 Meter lang. Wie groß ist jede der beiden Katheten?

Angenommen die eine Kathete sei x Meter, dann ist die andere 3-f-x Meter. Nach dem pythagoreischen Lehrsatz ist dann die Hypotenuse = /x² -j- (3-fx)². Nach Text soll diese aber 1000 Meter sein, also gilt die Gleichung:

/24 \2 \ 7 /

= 1000² oder x² -}-

= 1000²

576    ₉

49 X

625

ISO

Ci

x² =» 1000²

= 1000²

25

Tx

= + 1000

25 x = + 7000 xj = + 280 u. 3-f-Xj = 960 — 280.

xa =

Die eine Kathete ist also 280, die andere 960 Meter lang, die negative Wurzel hat hier keine Deutung.

wegen

gleicher und gleichförmiger Geschwindigkeit nach dem Scheitel

7. Zwei Körper, deren Entfernung d Meter beträgt, bei sich auf den Schenkeln eines rechten Winkels mit

punkt hin. Der erste geht t Sekunden früher ab als der zweite und trifft n Sekunden nach seinem Abgang mit diesem in dem Scheitelpunkt des rechten Winkels zusammen. Wie viel Meter legt jeder der Körper in einer Sekunde zurück?

Angenommen jeder der beiden Körper lege in einer Sekunde x Meter zurück. Beim Zusammentreffen ist der erste n Sekunden, der zweite n — t Sekunden unterwegs, der erste hat also nx und der zweite (n —t) x Meter zurückgelegt. Ihre ursprüngliche Entfernung war d; die zurückgelegten Wege sind die Katheten eines rechtwinkligen Dreiecks, dessen Hypotenuse d ist. Nach dem pyth. Lehrsatz ist also :

n²x² -f- (n — t)²x² = d2 x² [n² -f- (n — t)²] = d²

y n² -f- (n — t)²

8. Das Quadrat einer Zahl, nebst dem 13 fachen derselben Zahl gibt 264. Wie heißt die Zahl?

Angenommen die Zahl heiße x. Nach dem Text besteht dann die Gleichung:

x² + 13x = 264 x² -f 13x — 264 = 0

4- (— ¹³ ± y 13² + 4-264 ) y (— 13 + / 169 + 1056 )

Y (- 13 ± 35)

xŁ = —j— 11 u. x₂ = — 24.

Die gesuchte Zahl ist also -f- 11 oder — 24.

9. Der Inhalt eines Rechteckes, dessen eine Seite um 7 Meter länger ist als die andere, beträgt 494 Quadratmeter. Wie lang ist jede Seite?

Angenommen die kürzere Seite sei x Meter, dann ist die andere (x -f- 7) Meter. Der Inhalt dieses Rechteckes ist dann : x (x -f- 7) qm. Nach Aufgabe soll er aber 494 qm sein, also ist:

x (x -j- 7) = 494 x² + 7x — 494 = 0

öt (— 7 + y 49 -j- 4 • 494 )

x² =

x = \ (- 7 ± 45)

xq = —{— 19 und xt -f- 7 = 26. x, = — 26 und x₂ + 7 = — 19.

Die eine Seite ist 19 m, die andere 26 m lang⁻. Die negative Lösung liegt nicht im Sinne der Aufgabe.

10. Auf der Verlängerung einer Linie von a Centimeter Länge einen Punkt zu bestimmen, so daß das Rechteck aus der Entfernung dieses Punktes von den Endpunkten der Linie einem Rechtecke von n Quadratzentimeter gleich wird.

Nehmen wir an, der Punkt habe von dem ihm zunächst gelegenen Endpunkt eine Entfernung von x cm, dann ist die andere Seite des Rechtecks (a -f- x) cm und der Inhalt desselben x(a -f- x) qcm. Nach Aufgabe aber soll der Inhalt n qcm sein, also muß die Beziehung bestehen:

x(a + x) = n x² -fax — n — 0

% +    + 4n.

Xi =

% + Va² +

Der negative Wurzelwert läßt im Sinne der Aufgabe eine Deutung nicht zu.

11. Zwei Hausfluren, beide von quadratischer Form, die eine 2¹/s Meter breiter als die andere, erfordern zusammen zum Belegen 1429 quadratische Platten, deren 9 auf einen Quadratmeter gehen. Wieviel Platten erfordert eine jede derselben?

Wir nehmen hier nicht die Anzahl der Platten als Unbekannte an, sondern die Breite der kleinen Flur. Diese sei also x Meter, dann ist die breitere (x -f- 2¹/₃) Meter. Da 1429 Platten notwendig sind und 9 auf 1 m² gehen, so haben

qm. Es be-

1429

die beiden Fluren einen Gesamtinhalt von —^— steht daher die Gleichung:

+ (x + ²ïï)

49 . 14 TT i--o~x

y o

9x² + 9x² + 49 + 42 x — 1429 = 0 18x² -f 42x — 1380 = 0 3x² -{- 7x — 230 = 0

₌ — ⁷ ± 1 49 + 12 -"230"

x²

x² + x² +

1429

1429

7 + 53

X1

CO to

23    2    2

Die eine Breite ist also m, die andere 7= 10m.

O    ö    O

Nun ist die Anzahl der Platten 9 x² resp. 9 ^x -j- 2-^-^ , also

9 • (f)= 529 resp. ⁹ * (y + 4) = ⁹ ' ¹⁰² = 900.

12. Was ist das für eine zweizifferige Zahl, in der die erste Ziffer rechter Hand doppelt so groß ist als die zweite, und die durch das doppelte Produkt ihrer Ziffern dividiert 1 zum Quotienten, und 8 als Rest gibt?

Nehmen wir an, die Ziffer der Zehner sei x, also die der Einer 2 x. Die Zahl heißt dann 10 x -j- 2 x == 12 x. Es muß nach dem Text nun die Gleichung bestehen:

12 x

2 • x • 2x

12 x = 4x² -J- 8 x²— 3x—j— 2 = 0

X = \    3 ±i 9 - 8) = ~ (+3 + 1) xA = 2 und x₂ = 1.

Die Zahl heißt also 24. Die andere Lösung 12 ist hier nicht zu gebrauchen, weil das doppelte Produkt der Ziffern, nämlich 4, kleiner ist als der Rest, der bei der Division bleiben soll.

13. Welcher Quotient, dessen Dividend um 2x/₂ kleiner ist als sein Divisor, gibt zu seinem reziproken Werte addiert 2¹/₂?

Nehmen wir an, der Divisor sei x, dann ist der Dividend x — 2,5. Nach den Bestimmungen in der Aufgabe muß die Gleichung bestehen:

nun

, x — 2,5 ~ x X² + (x - 2,5)'2 x'² -f- x² -j- 6,25 — 5x 0,5 x² — 1,25 x — 6,25 x² — 2,5 x — 12,5

\ (2,5 ±y2,5² + 4-12,5)

x — 2,5

2,5

O O JO to Cn "en

tH <M

JO

ot

X x io

cj co

+1

en

Ci

o>

x = f (2,5 ± 7,5)

Xj = 5 und x₀ — — 2,5.

2 5

Der eine Bruch heißt also:

-g- und der andere -•

14. Zwei Bäuerinnen, A und B, gehen auf den Markt; die erste mit Eiern, die zweite mit dreimal soviel Aepfeln. Jede hat den Preis ihrer Ware so festgesetzt, daß, wenn A der B ihre Eier für die Aepfel gibt, A 20 Heller verliert. Aus diesem Grunde behält A noch ²/₅ von den Eiern und läßt sich von B alle Aepfel geben, wobei aber B um 12 Heller zu kurz kommt. B beschließt deshalb, die Eier zu einem höheren Preis zu verkaufen, als A es bestimmt hatte, und indem sie sofort jedes Ei für 6 Heller verkauft, gewinnt sie noch den Preis von 12 Aepfeln hinzu. Wieviel Eier und Aepfel haben A und B gebracht und welche Preise waren dafür bestimmt?

Nehmen wir an, die Eier seien zu x Heller, also die Aepfel zu (x — 20) Heller angesetzt gewesen. Nimmt die A ®/₆ der Aepfel, so hat die B ³/₅ der Eier. Diese sind s/^x Heller wert, sie soll dabei aber um 12 Heller g-eschädigt sein, d. h. sie soll von den ³/₅ der Eier 12 Heller weniger einnehmen, als ursprünglich für ihre Aepfel, also muß die Gleichung bestehen:

j x = (x — 20) — 12

Die Eier waren also zu 80 Heller, und die Aeptel zu 60 Heller angesetzt. Die Anzahl der Eier sei nun y, dann ist

80

Heller und ein

die der Aepfel 3 7. Ein Ei kostet nun on

Apfel — Heller. Die B löst für ein Ei 6 Heller, also für ihre 7

3    3

— y Eier 6 Ty Heller. Nach Aufgabe muß nun die Glei-5    5

chung bestehen :

20

co ho

7 = 60 + 12-

240

18

_y = 60 +

18y² — 300 y — 1200 = 0 3 y² — 50 7 — 200 = 0

50 + ]/ 2500 + 2400

= 20.

50 + 70

Es waren also 20 Eier und 60 Aepfel und ein Ei kostete daher 4 Heller und ein Apfel 1 Heller. Die negative Lösung hat hier keinen Sinn.

15. Aus jedem von zwei Beuteln, welche eine verschiedene Anzahl von Kugeln enthalten, nimmt A eine Handvoll. Jetzt ist die Anzahl der Kugeln in dem größeren Beutel gleich dem Kubus der Zahl in dem kleineren oder gleich dem Quadrate einer Handvoll Kugeln. A nimmt dann aus dem größeren Beutel so viele Kugeln heraus, daß die Anzahl der übrig bleibenden gleich dem Quadrate der Anzahl der Kugeln in dem kleineren Beutel wird, schüttet jetzt den ganzen Inhalt des größeren in den kleineren und findet, daß die ursprüngliche Anzahl des kleineren um ²/s vermehrt ist. Man soll die Anzahl der Kugeln finden, welche anfangs in jedem Beutel waren, und die Anzahl, welche in einer Handvoll herausgenommen wurden!

Nehmen wir an, in dem kleinen Beutel seien nach Herausnehmen einer Handvoll Kugeln noch x Kugeln, dann sind in dem großen noch x⁸ Kugeln. Da nun das Quadrat einer Handvoll gleich x³ ist, so ist eine Handvoll selbst = "j/x³

3

= x . Schüttet nun A den Inhalt des größeren Beutel, nachdem er denselben auf x² Kugeln reduziert hat, in den kleineren Beutel, so sind in dem kleineren Beutel (x² -j- x) Kugeln.

Nach den Bestimmungen der Aufgabe aber sollen jetzt der Inhalt des kleineren Beutel um ²/₃ der ursprünglichen Kugelanzahl vermehrt sein. Ursprünglich waren x + eine

Handvoll = (x -j- x2) Kugeln darin, also jetzt: (x + *+

4~3"(x+ x^) = g- (x + x^) Kugeln. Es besteht dementsprechend die Gleichung:

_ ⁵ , - g- X +

>o CO

X¹

x2 _j_ x

oder mit x die ganze Gleichung dividiert:

X + 1 = f + X*

02 OT

/ x, quadriert :

x² —

loi

25

9x² — 12x -j- 4 — 25 x = 0 9x² — 37x + 4 = 0

37 + y 37² — 4-4-9

18

37 +y 1369 — 144

18

37 + y 9225

18

37 + 35

18

n>

<M 100

11—I

to

i—i

oo

In dem kleineren Beutel blieben also noch 4 Kugeln; eine Handvoll ist 4T = y 64 = 8. In dem kleinen Beutel sind

also ursprünglich 12 Kugeln, und in dem großen 4³ + 4 = 64 -j- 8 = 72 Kugeln. Die zweite Lösung liegt nicht im Sinne der Aufgabe.

16. Ein Kapitalist verleiht sein Kapital von 160000 Mark zu einem gewissen Prozent auf Zinsen. Am Ende des ersten Jahres nimmt er für seinen Unterhalt 2400 Mark weg und vermehrt mit dem Ueberschuß der Zinsen sein Kapital. Zu demselben Zinsfuß verleiht er im zweiten Jahre sein Kapital und sieht sich nach Abzug von abermals 2400 Mark im Besitz von 168987 Mark. Zu wie viel Prozent hatte er sein Kapital ausstehen?

Angenommen, das Kapital sei zu x Prozent ausgeliehen

2400 Mark weg, es bleiben also: (160000 •

2400) Mark,

100

gewesen. 160 000 Mark wachsen in einem Jahr dann an zu 160000

100 + x

100

-, denn 100 Mark wachsen bei x Prozent in

100 -fx

einem Jahre an zu (100 -f- x) Mark, also 1 Mark zu

100

und 160000 Mark zu 160000

100 -f- x

100

• Hiervon nimmt er

diese stehen im zweiten Jahre aus und wachsen nach derselben Entwicklung bis zum Ende des zweiten Jahres an zu:

160000-

100 -f x

100

— 2400

100-j-x

100

Nach den Bestimmungen der Aufgabe soll diese Summe nach Abzug von weiteren 2400 Mark, einen Wert von 168987 Mark darstellen, es gilt also die Gleichung:

[1600 (100 + x) — 2400]

100 -f- x

100

— 2400 = 168987

16 (100 -f- x)² — 24 (100 + x) — 2400 — 168987 = 0 16 (10000 + 200 x 4- x²) — 2400 — 24 x — 2400 — 168987 = 0 16 0000 +3200 x-f 16 x² — 2400— 24 x— 2400 —168987 = 0

16x² + 3176 x — 13787 = 0

— 3176 + ]/ 3176² -J- 4 • 16 . 13787

32

— 3176 +/10086976 +882368    3176+]/10969344

32

und hieraus:

32

— 3176 + 3312

32

136 Xl = ~32~

17. Ein Landmann hat a hl Weizen ausgesät; im zweiten Jahr säet er das Geerntete weniger b hl und erhält bei gleicher Fruchtbarkeit das c-fache seiner Aussaat nebst d hl. Wieviel hat er das erste Mal geerntet?

Nehmen wir an, er habe das erste Mal xhl geerntet, dann

ist das Fruchtbarkeitsverhältnis—-• Das zweite Mal erntete er

Nach den Bestimmungen der Aufgabe

also ; (x — b) — hl.

a

aber soll er : [c • (x — b) -j- d) hl ernten, also muß die Gleichung bestehen:

(x — b) — = c (x — b) H- d

cl

(x-b)x = ac(x-b)fad x² — bx — acx-J-acb — ad = 0 x² — (b-j-ac)x-f-acb — ad = 0

rH Id H d

(b + a c + / (b -j- a c)² — 4 (a c b — ad))

(b -J-ac + y b² -f- a²c²-|-2acb — 4acb-f-4ad)

tH |d

(b -j- a c + ]/ (a c — b)² -f- 4 a d ) •

Er hat also das erste Mal

a c + y (a c — b)² -f- 4 a d ) hl geerntet. Der

zweite Wurzelwert hat deshalb keinen Sinn, weil er kleiner wird als b, er also nicht b hl weniger säen kann.

x = \ (b +

18. Die Seite eines Würfels ist nm 2,5 Zentimeter länger als die eines anderen der 2501^ Kubikcentimeter weniger Inhalt hat. Wie groß ist jeder der Würfel?

Die Kante des einen Würfels sei x cm, dann ist die des andern (x — 2,5). Nach den Bestimmungen der Aufgabe gilt nun, da der Inhalt eines Würfels gleich dem Cubus seiner Kante ist, die Beziehung:

x³ — (x — 2,5)³ = 2401-J-.

x³ — x³

3x² • 2,5 — 3 x • (2,5)² -j- (2,5)³ — 2501 7,5 x² — 18,75x — 2486,25 = 0 x² — 2,5 x — 331,5 = 0

l>* 00

0.

to H-i

(2,5 ± y6,25 -f 4 • 331,5 )

i-H d

(2,5 ± y 6,25 -f 1326,0) =

tO| H-»

(2,5 +y 1332,25)

\ (2,5 ± 36,5)

x₁ = 19,5 und x — 2,5 = 17.

Die Kante des einen Würfels ist 19,5 cm, die des andern 17 cm. Daraus ergibt sich als Inhalt:

J, = 19,5³ = 7414,875 ccm und J₂ — 17³ = 4913 ccm.

19. Wie läßt sich die Summe der unendlichen Reihe

)))

y (2 -f- y (2 -f- y (2

bestimmen.

Man setze die Summe der unendlichen Reihe x, also:

¹

b (2a -f b)

²

a 4- b

³

⁴ +“n* f 16 a⁴ b⁴ — m⁴)

⁴

LÀ

⁵

= ± f a⁴ + b⁴ ± 2 i (a b)⁴ —h?

⁶

= a⁴ -j- b⁴ + 2 y (ab)- — m⁴

⁷

|/ a⁴ -f- b⁴ + 2 y (ab-}- m) (ab — m)

X = 1(2 + 1(2    +1(2 + • • • •)))

Quadriere nun beide Seiten:

x² — 2 -j- / (2    -f- f (2 —f— y (2    + ••••)))

Der zweite Teil rechts ist, weil natürlich immer noch unendlich gleich x, also

x² = 2 -j- x x² — x — 2 = 0

± yi + 8) =\ a ± 8)

x₁ = 2 und x₂ = — 1.

Der zweite Wurzelwert ist unbrauchbar, weil neg’ativ.

20. Wie groß ist die unendliche Reihe

y₍a +y(a +y(a + .....)))?

Man setze die Summe der unendlichen Reihe x, also

Beiderseits quadriert:

Der zweite Teil rechts ist, weil immer noch unendlich = x, also:

x² = a + x

X² - X

Es ist näherungsweise:

21.

HA

jTO-^a₊y ..±^4

und zwar um so genauer, je kleiner b gegen a ist. Warum? Beweis:

Man setze : ]/ a³ + b = a + e,

also:

a ³ + b = (a + «)³ = a³ -j- 3 a ² £ + 3 a £² + £³

oder auch

+ b = + 3 a² s + 3 a £²,

wenn man + £³ als eine sehr kleine Größe (kl. Gr. III. 0.) vernachlässigt.

Also ist:

3a £² + 3a²£ = + b

brauchbar ist

nur : xx —

x = \ (1 ±Ÿ l + 4a~) (1 + /1 + 4 a )•

tH

£²

a£

3a

CO] HA

Also:

Z a³ + b = a + £ =

tH <M

)/t

±3^

Das negative Zeichen ist unbrauchbar, weil für b = 0 der Näherungswert in a selbst übergehen muß.

22. Man berechne nach Formel in 21:

s,—

y 2 = ?

Man erhält:

]T2~ = ] 1,2³ + 0,272 = 0,6 -f y 0,36 + 0,0755 = 1,2599.

Mayer. Mathematik. IV.

V 2 = f 1,2599³ + 0,000100242 201 = 0,62995 -f j/ 0,396 837 002 5 +

0,000100242 201

3,7797

= 0,62995 4 i 0,396 863 523 705 65 124 = 1,259921049895.

Gleichungen mit zwei und mehr Unbekannten.

1.

2    x² — 3y² = 6

3    x² — 2 y² = 19

Nach der Additionsmethode gelöst, ergibt sich: 6x² — 9y² = 18 6x² — 4y² = 38

5 y² = 20 y² = 4 y =    2

2x² — 12 =

+1 CO

2 x² = 18

x² = 9

x = + / 9

x = ± 3 /üt

2.

x² + y² = 40 x — 3y

Es ist:

also durch Substitution:

x = 3y

9 y² y² = 40 y² = 4 y = + 2. x = 3y = ± 6.

x • y = 12 2x + 3y = 18

3.

also :

12

24

+ 3y = 18

y

24 -f 3 y² — 18 y == 0 3y² — 18 y + 24 = 0

-f- 18 ± V 18² — 964T

18 + |/ 324 — 288

y = -

yi= 4 y₂= 2. Also:

+ 18 + 6

oder :

x • 4 — 12 xx = 3 x-2 = 12

x₂ = 6.

X- 4" 2xy — y² = 7 (x — y) 2 x — y = 5

Wir erhalten : x. + y (2 x _ y) = 7 (x _ y) oder nach Gleichung 2 :

4.

x² + 5y — 7x-f- 7y = 0 x² + 12y — 7x = 0 x² -f 24x — 60 — 7x = 0 x² -f- 17 x — 60 = 0

= ¹ (— 17 ±y~289 + 240")

tc| (-t to[

( — 17 ± 23)

Xj = 3

x₂= — 20

und hieraus:

— Yx = 5 — 6 Yx = 1

— y₂ = 5 — 2 x₂ = 5 + 40

y₂ — — 45.

5.

x + xy = 35

y + xy = 32

CO CO

toll-* to! I—>•

Yx

y₂

xi

X2

3 + y + (3 -f- y) y — 35 3 + y + 3y + y² = 35 y² -j- 4y <— 32 = 0

(— 4 ± (/' 16 + 128 )

(— 4 ± 12)

= — 8.

= 4 + 3 = 7 = — 84-3 = — 5.

6.

oder:

4x² — 9 y² = 0 4x² + y² = 8 (x -f- y)

4x²

x²

9 y² + y2 10 y² — 20 y

Yx

y₂

CO

Cl

to| CO

+1

O O 00

^ co I CCI

>>

9 y² + y²

i-iy + r)

y₃

y*

und hieraus:

Xi

° 1+ °

CO |(M

to

r+

çc

+1

tO 02

CCI xO

+1

CO jio

-J

I—i *"

to V-

12 : y

4x = 9 y xy = 144

x = -T y

CO

• y² = 144

y² =

4 • 144

x = +-—-8=+18 ~ 4

8.

Wir setzen:

und es kommt:

a-u² — b v² = O

b v² = O

*(ł+0‘-

— bv² = O

a    ₂ i ² a v

-^- + av- + ~

v²(a — b) + ^Tv+-^

4 a²

c²

- 4 4(a -b)

c²

2 (a — b

+ — V 4a² — 4 a² -j- 4ab c '    '

2 (a — b)

2 a + 2 y ab

2 c (a — b)

a + y ab

c (a — b)

4~ y a b

a — b-j-a+yab

c (a — b)

c (a — b)

c (a — b)

also:

c (a — b)

2a — b +yab c (a — b) a di i ab

x *y x 4~ y — a

y-}/x -f y = b

crj p

x*y (x + y) = ab b + y) = ab

' ⁺ b

t^⁸ + t^s

(pr + T⁵")

a + b

a • y²

a² y

b²

3.

ay

a y³

- = ab

b³

y³ -

b³

b³

= b-

a -j- b

n+b

ay

b“ — b •

i a -f- b

fl -f- b~

10.

X —j— y — 58 ]/ x + "Z y —10

Man erhält:

x_|_y_|_2]/x*)/y = 100 oder mit Benutzung- der ersten Gleichung-2-fxïÿ- = 100 — 58 = 42 4y xy = 84 x + y + 2 y x*y = 100

x + y — ^ y x y — 16

yr - yyy = w

y x — yy = + 4

yx + y_y” = io

2 ]/ x = 14

yy = 7

X = 49

oder:

2/T = 6

y x = 3

x = 9

und:

2yy =6

oder:

/ 7 = 3 y = 9

2yy = u yy = 7

y = 49.

Die Symmetrie der Wurzeln folgt aus der Vertauschbarkeit der Unbekannten.

ii.

Fir + yj

x -)- y =

Man dividiere die zweite Gleichung durch die erste und es kommt:

(x + y):(³yx y v y ) = ³y*² — W + ³y y²=

a

Nun quadriere man die erste Gleichung und man erhält :

hierzu :

b_a³-f- b

y xy = a² -j--

a

xy =

hierzu : wodurch die Aufgabe auf einen typischen Fall zurückgeführt ist.

12.

x + y = a

x² + y² = b

x² -j- y² + 2xy = a2 x² + y²

2xy = a² — b

x² -J- y² — 2xy = b — a² + b (x — y)² = 2 b — a2 x — y = x -j- y = a

+ /2b — a²

2 x — a -j- / 2b — a2 _ a -j- ]/ 2 b — a²

13.

xy = a

x² + y² = b

x² + y² + 2xy = b + 2a x + y = /b-f- 2a x² + y² — 5xy = b — 2a x — y —fb—2 a~

V b + 2a — )/ b — 2 a

x 4- y a

inry ~

X² + y² = m2

b x -j- b y = bx — ax = — by — x (b — a) = — y (a + b)

ax

— ay

ay

15.

X (a — b) = y (a

(a + b)2 (a - b)L

(a -f b)²

y² =

y² -

.2 _

b)

a -f-

y

2 • y² + y² = m²

(a — b)

= m²

m²

(a + b)²

(a — b)

m²

(a -f- b)² -f- (a b)²

(a - b)²

m² • (a — b)²

m² (a — b)'

(a + b)² -f- (a — b)²

2(a₂ + b²)

m (a — b)

/ 2 (a² + b²)

(a -\- b) • m (a — b _ m (a -f- b)

~ (a — b) • yiT(a² -j- b2 _ f 2(a²+ b²)

x²-{-xy-f-y² = 2a

x² — xy -j- y² = 2 b

erhalten :

Wir subtrahieren die zweite Gleichung von der ersten und

2xy = 2a — 2b xy = a — b

Diesen Wert addieren wir zu der ersten Gleichung und subtrahieren ihn von der zweiten; es kommt:

und:

x² + 2xy-f-y² = 2a-|-a — b = 3a — b (x -j- y)² = 3 a — b x. + y= + / 3 a — b

x² — 2 x y -|- y² = 2b — a -]- b (x — y)² = 3b — a

= + /3b — a

x — y x + y = + /3a—b

2x = 4 |/ 3 a — b + ]/ 3 b — a 4 / 3 a — b 4 ]/ 3 b — a

2y — 4 y 3a — b" -f /3b —a 4 /3a — b + /3b —a

16.

xy -]- x = a xy — y = b

x (y + i) = a x

y+1

ay — y² — y = by + b — y² + y(a— 1 — b) — b = 0 y² — (a — b — 1) y -j- b = 0

1 [a _ b — 1 ±Ua — b - l)²-4b ]

a-f-b — 14 / (a — b — l)²— 4b

a-fb — 1 -{- 2 4 V (a — b — l)² — 4b

2a

4b

a + b-f-14/(a — b — 1)‘

xy = a x² —j— y² —j— x y — b

x² + y² + 2xy = a-f-b (x + y)² == a -j- b x + y = +/a-{-b 3xy = 3a

18.

19.

x² + y² — 2xy = b — 3a (x — y)² = b — 3a x — y = + f b — 3a x -f- y = + / a-j-b.

ax + by = m xy = n

a² x² -f- b² y² + 2 a b x y = m

4abxy = 4abn

a²x² -)- b²y³ + 2abxy = m² — 4abn (ax — b y)² = m² —4abn ax — by = + ]/ m² — 4 a b n ax -j- by = m

2 ax = rn+Vm²—4abn

+ /m² — 4 ab n

2by = m + f m² — 4abn m + / m² — 4 ab n

x³ + y³ = a

xy = b

b³

+ y³ = a

y⁶ — ay³-|-b³ = 0 y³ = z z² — a z -j- b³ = 0

z = 1 (a + y a² — 4b³ )

y³

a + [/ a² — 4 b³

(x -f y) (x² — y²) = a

20.

(x - y)(x² + y²) = b

Wir setzen:

dann ist:

und :

x² 4- y Also erhalten wir:

x² — y² = (x + y) (x — y) = u (x + y)² + (x — y)

u² 4- v²

u² • v = a u² + v²

v³

— 4- -

2 ' 2 v³ = 2b — a

u² - f^2b — a

+ ^2 b — a

y = ô-

i-

-f'2b=ri

21.

(x -f y) (x² + y²) = a (x — y) (x² — y²) = b

Wir setzen wieder:

und es wird :

und:

x² — y² = (x + y) (x — y) =

x² + y² = | (x+y)²+^-(x-y)² =

U-V

U² -j- V*

also:

u² v²

u³

u-v²

u • v² = b

u³

u⁸

u³ = 2 a — b u = V 2 a — b u . v² = v² • ]/ 2 a—b v² =

V 2a - b

22.

x³ — y³ =

xs 4- y³ = — '    x

Es ist:

und

x³ — y³ = (x — y) (x² -f" xy + y²) x³ 4- y³ = (x + y) (x² — xy + y²)

Wir erhalten also:

(x² — y²) (x² -}- x y -j- y²) = a (x² — y²) (x² — x y -}- y²) — b

Durch Addition und Subtraktion beider Gleichungen erhält man:

(x² — y²) (2 x² + 2 y²) = a + b (x² — y²) • 2 x y = a — b

2 (x² — y²) (x² + y²) == a -f- b 2xy(x² — y²) = a — b

Wir setzen nun:

x² y² = u x² — y² == v

dann wird:

also kommt:

- g

2 u v = a -j- b 2v~ Vu² — v² = a

v²

v|/;

(a -j- b)

4 v²

— v² = a — b

-y

(a -f b)² — 4 v⁴

4 v²

~ ]/ (a -j- b)² — 4 v⁴

/ (a + b)² — 4v⁴ = 2 (a — b)

(a -j- b)² — 4v⁴ = 4 (a — b)²

= J (a + b¹) - (a - b)s _ i⁴/ (a + b)

4 v⁴ — (a + b)² — 4 (a — b)²

v*

— (a — b)²

j/' (a + b)

— 4 (a — b)

woraus

sich die übrigen Resultate leicht ergeben.

23.

x -f y = a

x⁴ -f- y⁴ = b

kommt:

Man erhebe die erste Gleichung- in die vierte Potenz, es

oder;

oder:

x⁴ -j- y⁴ -j- 4x³y -}- 6x²y² -|- 4xy³ = a4 x⁴ -j- y⁴ -j- 4xy (x² -f 2xy -}- y²) — 2x²y² = a⁴

x⁴ -f- y⁴ + 4xy(x -f- y)² — 2x²y² = a4 oder unter Verwendung- der beiden g-eg-ebenen Gleichung-en:

b -J- 4xy-a² — 2x²y² = a4 b — a⁴

x² y~ — 2 a² x y —

xy = i [-f- 2a² 4; / 4 a⁴ 4~ 2 b — 2a⁴]

xy

a⁴ + b

±1/'

a⁴ -j- b

xy = a²

Nun ist x -J- y und xy bekannt, erfolgt also die weitere Lösung nach bekannter Methode.

24.

x + y = p X⁵ 4- y⁵ — q

Erhebe die erste Gleichung in die fünfte Potenz, so kommt: x5 4_ y.5 _}_ 5Xy (x 4_ y)3 5 x² (x 4“ y) = p⁵

und setze für x 4" y und für x⁵ 4“ y⁵ die gegebenen Werte ein; man erhält;

9 4" 3 p³ x y — 5 p x² y² — p⁵

*y = 4(p*±|/

P⁵ 4- 4q

5p

Nun ist wieder Summe und Produkt der Unbekannten gegeben und nach bekannter Methode weiterzufahren.

25.

x³ 4" y³ — a xy (x + y) = b

Erhebe die zweite Gleichung in die dritte Potenz, es kommt:

Mayer, Mathematik. IV

10

x⁸ y⁸ [x⁸ -f- y³ -j- 3 x² y -j- 3 x y²] = b3 x³ y⁸ [x³ -f- y³ -f- 3 x y (x -j- y)] = b3 x³y³ [a -j- 3 bj = b³

x³y³ =

b³

a -f 3b

also :

xy =

ÿ a-f- 3b

Diesen Wert in die zweite Gleichung- eing-eführt:

(x + y)-

26.

y a+3 b

x 4~ y — ya4“3b

(x² — y²) (x — y) — 16 x y (x⁴ — y⁴) (x² — y²) = 640 x y

Man dividiere die zweite Gleichung- durch die erste und man erhält:

hierzu (1.)

(x² + y²) (x 4- y) = 40xy (x² — y²) (x — y) = 16xy

(3.)

und subtrahiert:

xy(x -f y) = 12 x y xy (x -f* y — 12) — 0 x • y = 0 xŁ = 0 Yi = 0 x 4- y = 12

Addiert man (1.) und (3.), so kommt:

2x³ 4- 2y³ = 56 xy

x³ 4" y³ = 28xy

und diese Gleichung durch die Gleichung (5.) dividiert:

x² — xy 4~ y* = 3xy und hierzu die quadrierte Gleichung (5.)

x² -f- 2xy 4- y² = 144

also :

und:

(4.)

(5.)

Man addiere die drei gegebenen Gleichungen. Es k ommt xy -J- xy —yz —{— xy + xz -j- xy = m -f- n -{- o 2xy -j- 2xz -f- 2yz = m -j- n -j- o

Von dieser Gleichung subtrahiere man die drei gegebenen Gleichungen und es kommt:

xy+ xz = m

2yz = — m + n-f-o

xy -f- xz + 2yz = n -(- o oder da:

(4.)

also:

oder :

27.

3 x y = 144 — -g- x y xy = 27 x₂ = 9

y₂ = 3 x₃ = 3

y₃ = 9-x(y + z) = m

y (z + x) = n

z (x + y) = o

yz = ~2 (— m + n + o)

und ferner:

xz = -^-(m — n-f-o)

(5.)

und :

(6.)

xy = j (m + n — o)

Multiplizieren wir diese Gleichungen miteinander und radizieren das Produkt mit 2; wir erhalten:

x² • y²z² = -i- (— m -j- n -j- o) (m — n -f- o) (m -f- n — o) o

xy z = +

"j/    • (— m4-n+o)(m — n + o) (m -{- n — o)

Dividiert man diese Gleichung nacheinander durch die Gleichungen (4.), (5.) und (6.), so kommt:

28.

(m — n + o) (m -j- n — o)

2 (—m -f- n + o)

(m -(- n — o) (— m -j- n -j- o)

2 (m — n -j- o)

(m — n + o)(— m -f n + o)

2 (m + n — o)

x — y — a (n — z) x² — y² = b (n² — z²) x^ — y³ — c (n³ — z³)

(1-)

(2.)

(3.)

Man dividiere die Gleichungen (2.) und (3.) durch die Gleichung (1.) und erhält:

r (n +z)

(*•'

a(x² -f- y² + xy) = c(n² -j- z² -f- nz) (5.)

Erhebe nun (4.) ins Quadrat,

x² + y² + 2xy =    (n² -|- z² -f- 2nz)

(n² -}- z² -j- 2 n z) — 2 x y

Setzt man diesen Wert in Gleichung (5.) ein, so kommt:

x2 + y² =

a r~(n² -f- z² + 2nz) — xy

J = c (n² —f— z² —j— n z)

und:

b-(n² z² -f- 2nz) — a²xy = ac(n² —f— z² —f- nz) a²xy = (b² — ac) z² -f nz(2b² ac) -f n²(b² — ac) (6.) Nun erhalten wir aus:

x — y = a (n — z)

X = (b — a²)z -f- n(b -f- a²)

und:

2a

2a

daher:

^ also:

Diesen Wert hat man nun in die Resultate für x und y einzusetzen.

a⁴ — 4 ac + 3 b²

a⁴ — 3b³ -f- 2ac + 2 /3a(a⁸ — c) (ac — b²)

Nach einigen Umformungen erhält

und hieraus:

a² • —

man :

= (b² — a c) z² -f- n z (2 b² — a c) -f- n² (b² — a c) (a⁴ -f- 3 b² — 4 ac) z² — 2 n z (a⁴ — 3 b² -f- 2 a c) -j- n² (a⁴ -f- 3 b² — 4 a c) — 0

₇ _ 2 n (a⁴ — 3 b² -f- 2 a c) + / (a⁴ — 3 b 2 ac)² — 4 n² (a⁴ -j- 3 b² — 4 a c) (a⁴    3b² — 4 a c)

2(a⁴ + 3b² — 4ac)

Setzt man diesen Wert in die Gleichung- (6.) ein, so kommt: b² — a⁴)z² -f- 2 n z (b² -|- a⁴) -j- n² (b² — a⁴)

4 a²

(b² — a⁴) z² -f- 2 nz (b² -f a⁴) -f- n² (b² — a⁴)

to

05

Ç0 Ino

y² + z²

Aus der 3. Gleichung erhält man:

also :

x² — y² = z2 (x + y)(x-y) = z2 a (x — y) = z²

z²

hiezu :

z²

+- a =

z² + a²

a² -f- z²

X = -4-

2a

a² — z²

y    2a

Diesen Wert für x setzen wir in die zweite Gleichung ein und erhalten:

z -j-

a² -f z²

2a

2az-j-a² — 2ab-f-z² = 0 z² —}— 2 az —{— (a² — 2 ab) = 0

— 2a + V 4a² — 4a² 4- 8ab

z = --—— '-

— 2a + 2 y2ab

30.

x + y 4- z = a

yz = bx x² = y³ + z²

Man erhebe die erste Gleichung ins Quadrat und erhält^

x2 + y² H“ z² + 2(xy -j- xz) -f- yz = a2 Addiere hierzu die dritte Gleichung : x² — y² — z²

2 x² -J- 2 (x y -f- x z -f- y z) = a2 oder für y z den Wert aus der zweiten Gleichung- eing-eführt. 2 x² -j- 2 (x y -j- xz -{- b x) = a2 2x(x -j- y z -j- b) = a²

und hierin aus Gleichung- (1.) den Wert für x -|~ y -j- z eingesetzt :

a²

2 (a + b)

Diesen Wert in die erste und dritte Gleichung- substituiert;

y-Lz = a (a + 2_b) y ^    2 (a -f- b)

führt.

y² + zs = (-

a²

2 (a -f b)

Nun ist die Aufg-abe auf einen typischen Fall zurückge-

31.

ax • ay : a⁵ = a13 (ax)y = a⁷⁷

ax + >’ = a18 a*y = a⁷⁷

x + y = 18 xy = 77

x² -f y² -f 2xy = 334 4xy = 308

x — y = /Iß = + 4 xx — 11» ^2 — 7 yt - 7 y2 = ii.

32.

xy == a

xl°gy __ J-,

Man logarithmiert beide Gleichungen und erhält :

logx + log y = log a log x • log y = logb

Nunmehr ist die Summe und das Produkt der Unbekannten gegeben und nach bekannter Weise zu lösen.

Textgleichimgen.

1. Zwei Zahlen verhalten sich wie 5 : 3, ihr Produkt ist 735. Wie heißen dieselben?

Angenommen die beiden Zahlen heißen x u. y. Nach dem Text der Aufgabe müssen dann die beiden Gleichungen bestehen :

x : y = 5 : 3 xy = 735

5y = 3x

= 735

x • — x

5

3x² = 3675 x² = 1225

x = + y 1225 =    5

y —    i-

Die beiden Zahlen sind also + 35 und + 21.

+1 +1

to CO

2. Die Diagonale eines Rechteckes ist 89 m lang. Wäre jede Seite derselben um 3 m kürzer, so würde die Diagonale des neuen Rechteckes 85 m lang sein. Wie lang sind die Seiten?

Nehmen wir die eine Seite x m und die andere y m lang Nach dem pythagoreischen Lehrsatz gilt dann, da die Diagonale nach dem Text 89 m lang ist, die Gleichung:

X² + y² = 89².

Wird jede Seite um 3 m kürzer, die eine also (x — 3), die andere (y — 3) m lang-, und die Diagonale jetzt 85 m lang sein soll, so gilt nach demselben Satz für diesen Fall die Gleichung:

an.

(x — 3)² -f (y — 3)² = 852 x² — 6x 9 -f~ y² — 6 y + 9 = 85²

x²-[-y² — 6x — 6y = 85² — 18

oder da:

x² -f y² = 89²

— 6x — 6y = 85² — 18 — 892 6 (x -f y) = 89² — 85² + 18 = 7921 — 7225 + 18

x -|- y — 119

x = 119 — y (119 — y)² -f- y² — 7921 119² + y² — 238 y + y² = 7921 2y² — 238y -f 6240 = 0 y² — 119y -f- 3120 = 0

j (119 + ]/ 119²—4-3120 ) ~ (119 + 1/14161 — 12480) j (119 ± y 1681 ) j (119 ± 41)

y =

yi= 80 y₂= 39 x₁ = 39 x₂ = 80.

Die eine Seite ist also 80, die andere 39 m lang⁻. Es ergeben sich symmetrische Lösungen, da beide Seiten vertauscht werden können.

3. Von einem Dreieck sind gegeben eine Seite zu 39 m, die Summe der beiden andern gleich 66 m und der von diesen eingeschlossene Winkel gleich 60°. Wie groß sind die beiden andern Seiten?

Angenommen die eine Seite sei x, die andere y m, es gilt dann nach Aufgabe die Gleichung:

(1.)

x -j- y = 66.

Ferner gilt nach dem Kosinussatz für die obigen Bestimmungen als zweite Bestimmungsgleichung:

x² + y² — 2 x y • cos 60° = 392 x² + y² — xy = 392 hierzu Gleichung (1.) quadriert:

x² -f- y² 4~ 2xy = 66²

3xy = 66² — 39² = 4356 — 1521 3xy = 2835 xy = 943

Nun ist x 4~ y und x y bekannt und die weitere Lösung

bekannt.

4. Eine bikonvexe Linse aus Flintglas vom Brechungsindex 1,65 hat eine Brennweite von 14 cm; wäre der eine ihrer Krümmungshalbmesser um 1 cm kleiner, der andere um 1 cm größer, so würde sich die Brennweite auf 13,5 cm stellen. Wie groß sind die Radien?

Nehmen wir an, der eine Krümmungsradius sei x, der andere y cm, so gilt nach der optischen Gleichung:

«(4-+ 4)

nach den Angaben im Text als erste Bestimmungsgleichung:

14

0,65

(4 - 4)-

Wird der eine Krümmungsradius x — 1, der andere y —|— 1, so erhält man nach den Angaben der Aufgabe und der optischen Gleichung als zweite Bestimmungsgleichung:

4 = °’⁶⁵ G4i +

xy — 0,65 - 14y —}— 0,65 • 14x (x — 1) (y — 1) = 0,65 • 13,5 (y — 1) +0,65 • 13,5 (x — 1) Dieses Gleichungssystem ist zu lösen.

5. In einem Kreis von 20 cm Radius ist eine Sehne von 24 cm Länge gezogen. Welchen Abstand vom Mittelpunkt hat der Schnittpunkt der Geraden, die den Kreis in den Endpunkten jener Sehne berühren?

In unserer Figur 1 sei M = x und BS = y. Nach dem Text der Aufgabe und bekannten geometrischen Lehrsätzen (Pythagoras und Satz vom Quadrat der Höhe auf die Hypotenuse) gelten dann die beiden Bestimmungsgleichungen:

x² = r² —

x (y + r — x) ==

(ł)'

A,

Fig. 1.

x² = 20² — 122 x² = 256 x = + 16 16 (y + 4) == 144 16y = 80

y = 5.

Die Entfernung- des betreffenden Schnittpunktes vom Mittelpunkt ist also:

CS = r-{-y = 20-j-5 — 25 cm.

6. Bacchus fand den Silen neben einem vollen Weinfasse schlafend; er benutzte die Gelegenheit und trank während zweier Drittel der Zeit, welche Silen gebraucht hätte, um das ganze Faß zu leeren. Nachdem Silen erwacht war, trank er den von Bacchus übrig gelassenen Rest. Hätten beide zugleich angefangen zu trinken, so wären sie um 2 Stunden früher fertig geworden; Bacchus hatte aber alsdann nur halb soviel getrunken, als er vorher dem Silen übrig gelassen hatte. In welcher Zeit hätte jeder allein das Faß geleert?

Angenommen Bacchus hätte das Faß in x, Silen in y Stunden allein geleert; jener trank dann in einer Stunde—,

dieser — des Fasses. Da Bacchus während derZeit, welche

y    ³

Silen zum ganzen Faß braucht, trinkt, so leert er in dieser Zeit:

3x

des Weines;

für den Silen bleibt also noch

3 x — 2y

3x

3x

■des Weines. Nun braucht Silen

zu 1 Faß •

zu —q— Faß o

y Stunden

Stunden

gebraucht.

Trinken beide zusammen, so leeren sie in einer Stunde

des Fasses.

zu

3x — 2y_ _    (3x — 2y) y

3x

Stunden.

In diesem Falle haben beide also zum Leeren des Fasses: (3x — 2 y)y

3--

Stunden

y + x

xy

Wenn sie zu:

xy

und zu:

des Fasses 1 Stunde brauchen, so brauchen sie zu: 1 • (x -j- y) der Fässer x y Stunden

1 Faß-

xy

Stunden.

x + y

In diesem Fall sollen sie aber 2 Stunden weniger brauchen wie vorhin und es kommt:

xy

3~ +

(3 x — 2y) y

— 2.

Da Bacchus aber jetzt nur die Hälfte trinkt von dem, was. er Silen vorher übrig gelassen hat, so erhält man die zweite Gleichung:

xy

3x — 2y

6x

x(x + y)

oder:

3x — 2y

x-f y

Löst man dieses Gleichungssystem auf, so erhält man:

x = 6 x = 3.

Bacchus hätte das Faß also in 6 Stunden, Silen in 3 Std. allein geleert.

7. In einem Kreis vom Radius 13 cm soll durch einen um 5 cm vom Mittelpunkt abstehenden Punkt eine Sehne gezogen werden, die durch diesen Punkt im Verhältnis 9 : 4 geteilt wird.

Nehmen wir an, der eine Abschnitt sei x, der andere y cm

x : y = 9 : 4 9 y = 4x.

lang-, dann muß nach den Forderungen der Aufgabe die Gleichung gelten:

oder:

Ferner gilt nach einem geometr. Lehrsatz als zweite Bestimmungsgleichung :

x*y =

wenn s die im gegebenen Punkt auf den Durchmesser durch den Punkt konstruierte senkrechte Sehne bezeichnet. Man erhält :

(r + &)(r — 5)

(-f)

= 18- 8 = 144 xy — 144

9 2 Ty

x=Ty = 144

a 4-144 y = —9—

. 2-12 y = ±—8“

9-8

= + 18.

Der eine Abschnitt ist also 8, der andere 18 cm lang.

8. In einem Kreis von 29 cm Radius soll durch einen 21 cm vom Mittelpunkt abstehenden Punkt eine Sehne von 41 cm Länge gezogen werden. Wie lang fallen ihre Abschnitte aus r.

Angenommen der eine Abschnitt sei x, der andere y cm lang. Es besteht als erste Bestimmungsgleichung nach dem Text ohne Weiteres die Gleichung:

x + y = 41.

(-*)■

Ferner muß:

x-y =

g

wenn-^- die in dem gegebenen Punkt errichtete „senkrechte Halbsehne“*) ist. Für s finden:

*) Vergl. Band X.

(-|-)² = (r + 21) (r - 21) = 50 • 8 = 400

also:

x -f* y = 41 xy — 400

x² -f y² + 2xy = 1681 4xy = 1600

00

t—*

►-¹ DO 05 Ox

Cb

-4-1    ^

e

05

OJ

P⁴

Der eine Abschnitt ist also 25 der andere 16 cm lang-.

9. Durch zwei konzentrische Kreise von den Radien r = 17 cm, 9 = 10 cm soll eine Sehne so gelegt werden, daß das in den innern Kreis fallende Stück zwei Fünftel der ganzen Sehnenlänge ausmacht. Wie lang ist die Sehne und wie groß ist ihr Abstand vom Mittelpunkt?

Wir nehmen an, die ganze Sehne sei x cm lang und habe vom Mittelpunkt einen Abstand von y cm. Nach dem bereits oben angewandten geometrischen Lehrsatz und den Bestimmungen des Textes erhalten wir die Gleichung:

= (r + y) (r — y) = r² — y²

x²

= 17² — y2 4

x² -f 4y² = 289-4.

Ferner erhalten wir, wenn wir die halbe in den inneren Kreis fallende Sehne mit a bezeichnen, als zweite Gleichung:

a² = (x + y) (x — y) = x² — y2 a² = 100 — y²

2

(^y

Nach Aufgabe soll aber das innere Stück — x sein, also : = 100 — y²

X²

25 - ¹⁰⁰ - ^ x² = 2500 — 25 y²

2500 — 25 y² -f 4 y² = 1156

_ 21 y² = — 1344 y² = 64 y = ± 8. x² = 1156 — 256 x = ± 30.

Die Sehne ist also 30 cm lang⁻ und hat einen Abstand von 8 cm vom Mittelpunkt.

10. Außerhalb eines Kreises von 8 cm Radius liegt ein Punkt, der um 17 cm vom Mittelpunkt absteht. Von ihm soll nach dem Kreise eine Sekante gezogen werden, deren innerer Abschnitt 12,5 cm beträgt. Wie lang ist diese Sekante?

Wir nehmen an, die von dem gegebenen Punkt nach dem Kreis gezogene Tangente sei x, das von der Sekante außerhalb des Kreises gelegene Stück y cm lang. Wir erhalten dann nach dem Text folgende Gleichungen;

und :

x² = 17² — 8² = (17 + 8) (17 — 8) = 25 • 9 = 225 y (y -f- 12,5) = x² = 225 y² -f 12,5 y — 225 = 0

y = i (— 12,5 ± / 12,5² + 900 )

J

Y (— 12,5 + y 156,25 + 900 )

~ (- 12,5 ± 32,5)

yi= io.

Das außerhalb des Kreises gelegene Stück der Sekante ist also: 10 cm, mithin die ganze Sekante 22,5 cm lang.

11. Die Summe der Grundkreisradien eines Kegelstumpfes von 21 m Höhe und 2926 cbm Volumen beträgt 13 m. Wie groß sind diese Radien.

Angenommen der eine sei x m, der andere y m. Nach den Bestimmungen der Aufgabe ergibt sich dann als erste Gleichung :

x -f- y = 13.

Der Inhalt eines Kegelstumpfes ist:

(RJ + Rr + rs)

Der Inhalt des vorliegenden Stumpfes ergibt sich also zu:

J = ™ g²¹    (x² + xy -f- y²).

Laut Aufgabe aber soll dieser Inhalt 2926 cbm betragen, so daß wir als zweite Bestimmungsgleichung erhalten:

7 n (x² -f- xy -f- y²) = 2926

oder;

x² -f xy -f y²) =

x —j— y — 13 x² —b 2xy + y² == 169

— 133.

2926

22

xy = 169 — 133 = 36 4xy = 144

x = 9 7 = 4.

Der eine Radius ist 9 m, der andere 4 m lang-.

12. Ein Keg-elstumpf hat eine Höhe von 12 m, ein Volumen von 616 cbm. Wie groß sind seine Grundkreisradien, wenn deren Produkt 15 qm beträgt?

Angenommen der eine Radius sei x, der andere y m. Als erste Gleichung ergibt sich nach dem Text der Aufgabe sofort:

x • y = 15.

^g¹— (x² + xy + y²) (x² -f- xy -f- y²) = 616

Ferner erhält man analog dem Gedankengang in der vorigen Aufgabe:

7 =

22 • 12

x² -j- xy -f- y² =

616 • 7

88

= 7 • 7 = 49.

xy

= 15

= 64 = ± 8,

(x + y)-

x -f- y

womit die Aufgabe gelöst ist.

13. Die Seite eines geraden Kegelstumpfes ist 41 cm lang, seine Höhe beträgt 40 cm und sein Volumen 7920 cm. Wie lang sind seine Grundkreisradien?

Angenommen der eine Radius sei x, der andere y cm lang. Aus einer hierzu leicht zu zeichnenden Figur, die sich der einigermaßen begabte Schüler auch leicht vorstellen kann, findet man leicht die Beziehung:

(x — y)² -f- h² — s²

oder nach den Angaben unserer Aufgabe:

(x — y)² + 40² = 41²

(x — y)² = 41² — 40² — (41 + 40) (41 — 40)

(x — y)² = 81 x — y — + 9.

Ferner ergibt sich leicht die zweite Gleichung:

(x² + xy -I- y²) = 7920

7920

22    40    / o .    . o\

y • -g- • (x- + xy + y-) ==

x² + xy + y² = x² — 2xy -\~ y² = 81

21•7920

22-40

= 21 • 9 = 189

3 xy — 108 xy = 36

womit die Rechnung erledigt ist.

14. Ein gerader Kegelstumpf von 9 cm Höhe, dessen Grundkreisradien sich um 13 cm unterscheiden, ist einer Kugel von 25 cm Radius einbeschrieben. Welche Radien haben seine Grundkreise und wieweit sind diese vom Kugelmittelpunkt entfernt?

Angenommen der eine Grundkreisradius sei x cm, dann ist der andere x -f- 13 cm; und der Grundkreis mit dem Radius x habe vom Mittelpunkt eine Entfernung von y cm. Aus einer hierzu gedachten Figur und aus dem Text der Aufgabe ergeben sich dann die Gleichungen :

x² -f y² == 252 (x -f 13)² + (9 — y)² = 252 x² + 26 x + 169 + 81 — 18 y + y² = 625 oder für x² + y² den Wert eingeführt:

625 + 26 x -f 169 + 81 — 18 y = 625

26 x — 18 y = — 251

26 x = 18 y — 251 18 y — 251

26

Setzt man diesen Wert in die erste Gleichung, so ergibt sich y und hieraus x.

15. Der Achsenschnitt eines geraden Zylinders, dessen Mantel eine Größe von 220 qcm hat, besitzt einen Umfang von 34 cm. Wie groß sind Höhe und Grundkreisradius des Zylinders ?

Bezeichnen wir den Radius des Grundkreises mit x und die Höhe mit y, so werden ohne Weiteres die beiden Gleichungen einleuchten:

und:

4x —j— 2 y = 34 2x -f y = 17 2 n • x • y = 220 2x + y = 17

220-7

22 - 2

= 35

4x² -j- 4xy -j- y² = 288 8xy = 280

4x² — 4xy -j- y² = 9

2 x — y = -f- 3 2x -f y = 17

x = 5 y = 7.

Der Radius des Grundkreises ist 3 cm, die Höhe des Zylinders 7 cm.

16. Einer Kugel von 25 m Radius soll ein Zylinder einbeschrieben werden, dessen Mantel 2112 qm groß ist. Wie groß sind Höhe und Grundkreisradius dieses Zylinders?

Angenommen der gesuchte Radius sei x, die Höhe y m ; es ergeben sich die Gleichungen:

4x² 4- y² = 2500

= 48-7

und:

*+œ³

= 25²

2 Ti • x • y = 2112

2112 • 7

xy =

4xy = 1344

(2x + y)² == 3844 2x + y = 62

(2 x — y)² = 1156 2x — y = 34 2x 4- y = 62

4 x = 96 x = 24 y = 14.

Der Radius des Grundkreises ist also 24 m, die Höhe 14 m.

17. Durch Rotation eines Kreises um eine in seiner Ebene liegende Gerade entsteht eine ringförmige Wulst von 9680 qcm Gesamtoberfläche. Der äußere Durchmesser dieser Wulst hat eine Länge von 108 cm. Wie groß ist der Radius des erzeugenden Kreises und wie groß der Abstand seines Mittelpunktes von der Rotationsachse?

Angenommen der Radius des erzeugenden Kreises sei x cm, und der Abstand des Mittelpunktes von der Achse y cm. Die Oberfläche der Wulst ist gleich Umfang des erzeugenden Kreises mal Weg des Schwer- oder hier Mittelpunkts, also:

O = 2t u y — 4 Tr² xy

Nun soll diese laut Aufgabe aber 9680 qcm sein, also haben wir als erste Gleichung

hierzu :

4yi²xy = 9680

xy =

9680 -7-7

= 245

4-22-22

Als weitere Gleichung ergibt sich direkt:

108

x -f- y = —~

&

xy = 245

= 54

x² + 7² + 2xy = 2916 4xy = 980

(x — y)² = 1936 y = 44 x —|— y = 54

3x == 98 x = 49 y = 5.

Der Kreis hat also einen Radius von 49 cm und sein Mittelpunkt ist von der Achse 5 cm entfernt.

18. Die Fläche einer Kugelkalotte, deren Grundkreis um 16 cm vom Kugelmittelpunkt absteht, beträgt 20020 qcm. Wie groß ist der Kugelradius, wie groß die Höhe der Kalotte?

Nehmen wir den Kugelradius zu x cm und die Höhe der Kalotte zu y cm an, so gelten ohne Weiteres die beiden Gleichungen:

x — y = 16 2 n x • y = 20020

x — y = 16

xy =

20 020 • 7

22 • 2

= 455 • 7 = 3185

x²-f y² —2xy = 256 4xy = 1740

x² + ys + 2xy = 12996 x + y = 114 x = 65 y == 49.

Der Kugelradius ist also 65,die Kalottenhöhe 49 cm. (Man löse die Aufgaben auch mit einer Unbekannten.)

19. Ein gerader Kegel von 4 cm Höhe hat eine Gesamtoberfläche von 24 7i qcm. Wie groß sind sein Grundkreisradius und seine Seitenlinie ?

Angenommen der Radius des Grundkreises sei x und die

Seitenlinie y cm lang-. Man erhält dann nach bekannten Formeln und laut Text der Aufg-abe die beiden Gleichungen:

y² — x² = 16 u x (y -j- x) = 24 7i x (x -j- y) = 24 y² — x² = 16 x² + x y = 24 y² — x² = 16

Multipliziere die erste Gleichung mit 2 und addiere hierzu die zweite:

2x² -J- 2xy = 48 y² — x2 == 16

x² + 2xy -j- y² = 64 x + y = 8.

Diesen Wert oben eingeführt:

x (x -j- y) = 8 x = 24 x — 3

y² = 16 + x² = 25 y = 5.

Der Radius des Grundkreises ist 3, die Seitenlinie 5 cm

lang.

20. Einer Ellipse von den Halbachsen 26 und 13 m soll ein Rechteck von 88 m Umfang einbeschrieben werden. Wie lang sind dessen Seiten?

Angenommen die halben Seiten seien x und y; der Umfang des Rechtecks ist dann:

U = 4x -j- 4y

Laut Aufgabe soll diese Summe 88 sein, also muß die Gleichung gelten:

4 x -f- 4 y = 88

Ferner sind x und y Koordinaten von Ellipsenpunkten, es muß für sie also die Ellipsengleichung Giltigkeit haben und wir erhalten als zweite Gleichung:

x²

a²

+ -£

b²

oder die in der Aufgabe angegebenen Halbachsen eingeführt

x -j- y = 22 x² + 4y² = 4 • 13²

x = 22 —

(22 — y)² -f 4y² — 4 • 169 = 0 22² — 44y -f y² -f- 4y² — 4.169 = 0 484 — 44 y -f 5 y² — 676 = 0 5 y² — 44 y — 192 = 0

44 + ]/ 44² -f- 20.192

10

26^ + W

— 1=0

44 + y 1936 + 3840

10

44 + y 5776

10

44 + 76

10

y = 12 x = 10.

Die Seiten des Rechtecks sind 24 und 20 cm.

21. Einer Ellipse von den Halbachsen 51 und 34 m soll ein Rechteck von 2880 qm Fläche einbeschrieben werden. Wie lang- sind dessen Seiten^

Angenommen die Halbseiten des g-esuchten Rechtecks seien x und y m lang; der Inhalt des Rechteckes ist dann:

J = 4x - y

nach den Bestimmungen der Aufgabe soll dieser Inhalt aber 2880 qm betragen, so daß sich als erste Gleichung ergibt:

4 x y = 2880.

Da ferner x und y Koordinaten von Ellipsenpunkten sind, müssen sie der allgemeinen Ellipsengleichung (siehe Band 13) genügen. Wir erhalten, wenn wir in die allgemeine Gleichung die in der Aufgabe verlangten Halbachsen einführen als zweite Bestimmungsgleichung :

x²

y²

51²

34²

oder:

x²

__+ y³..

(3 • 17)² ^ (2-17)²

4x² + 9 y² — 36 • 17² = 0 4 xy — 2880 = 0

(2 x)² -f (3 y)² = 36 • 289 _12xy = 3 • 2880

2x + 2y = ! 36 • 289 + 3 • 2880

Auf dieselbe Weise erhält man 2x — 2 y und die Aufgabe ist gelöst.

22. Eine Ellipse von den Halbachsen 25 und 20 m wird von einer Geraden geschnitten, die die verlängerte große Achse in einer Entfernung von 40 m, die kleine in einer Entfernung von 24 m vom Ellipsenmittelpunkt schneidet. Wo liegen die Schnittpunkte mit der Ellipse?

Nehmen wir an, die Koordinaten des einen Schnittpunktes seien x und y. Da dieser Schnittpunkt sowohl auf der Geraden wie auf der Ellipse liegen muß, so müssen seine Koordinaten den allgemeinen Gleichungen beider Gebilde genügen und wir erhalten, wenn wir in die allgemeinen Gleichungen :

" + f-¹

a b

x²

y²

a2 “f"    1 - 6

die in der Aufgabe verlangten Werte einführen, die beiden Bestimmungsgleichungen :

JL + X. _ i = o

40    '    24

x²

25²

4- _xl

^ 20²

3x + 5 y = 120 16 x² + 25 y² = 10 000

5 y = 120 — 3 x 16 x² + (120 — 3x)² = 10000 16 x² -f 120² — 720 x 4- 9 x² = 10000 25 x² — 720 x 4- 4400 = 0 5x² — 144 x 4- 880 = 0

144 + y 144² — 20 • 88Ö"

10

144 + y 3136

10

144 + 56

10

xx = 20 x₂ = 8,8

5 y* = 120 — 60 = 60 7i = 12

5y₂ = 120 — 26,4 = 93,6 y₂ = 18,72

Die Schnittpunkte haben also die Koordinaten (20,12) und (8,8; 18, 72).

23. Eine Hyperbel hat Halbachsen von 24 und 16 m Länge. Wo liegen ihre Schnittpunkte mit einer Geraden, die die erste Achse in einem Abstande von 45, die zweite in einem Abstande von 36 m vom Hyperbelmittelpunkt schneidet.

Angenommen der eine Schnittpunkt habe die Koordinaten x u. y. Da dieser Schnittpunkt sowohl der Geraden wie der Hyperbel angehört, so müssen seine Koordinaten sowohl der allgemeinen Geraden- wie der allgemeinen Hyperbelgleichung Genüge leisten und wenn wir in die allgemeinen Formen dieser Gleichungen die in der Aufgabe geforderten Spezialwerte einführen, so erhalten wir die beiden Bestimmungsgleichungen :

~ + -Z-45    36

y²

x²

24²    16²

4x -j- 5y = 180 4 x² — 9 y² = (2 • 3 • 8)² = 2304

Diese Gleichungen sind zu lösen.

24. Drei Zahlen geben paarweise miteinander multipliziert die Produkte a, b und c. Wie heißen dieselben?

Angenommen die Zahlen heißen x, y und z. Ihre paarweisen Produkte sind dann xy, xz und yz. Laut Aufgabe sollen diese Produkte aber a, b und c sein, so daß wir die 3 Gleichungen erhalten:

xy = a

xz = b yz — c.

x¹ y¹ z'¹ = a • b • c x¹y¹ = a¹

z¹

bc

usw.

25. In einer geometrischen Proportion ist die Summe der beiden inneren Glieder a, die Summe der beiden äußeren Glieder b und die Summe der Quadrate aller Glieder c. Wie heißt die Proportion.

Angenommen die beiden ersten Glieder seien x und y. dann sind die beiden letzten (a — x) und (b — y). Die gesuchte Proportion heißt dann;

y : x = (a — x) : (b — y)

ax — x¹ = by — y¹

Da nach Aufgabe ferner die Summe der Quadrate aller Glieder c sein soll, so erhält man als zweite Gleichung:

x¹ -f- (a — x)¹ + y¹ + (b — y)¹ — c

oder:

\ (c — a¹ — b¹)

x¹ + y¹ — ax — b y =

Multipliziert man diese Gleichung mit (— 1), so kom mt ax — x¹ —J— by — y¹ — und führt man hier den Wert für by — y¹ ein, so erhält man: 2 (ax — x¹) ==

woraus man nach bekannter Art erhält: a + Z c —b'¹~

T (a* + b’

— c)

c)

(2 a)

26. In einer stetigen Proportion ist die Summe aller drei Glieder a und der Rest, den man erhält, wenn man von der Summe der Quadrate der äußern Glieder das Quadrat des mittleren Gliedes abzieht, b. Wie heißt die Proportion?

Wir nehmen an die Summe des ersten und dritten Gliedes sei x, dann ist das zweite Glied a — x. Ferner nehmen wir an, die Differenz des ersten und dritten Gliedes sei y, dann ist

- y).

das erste Glied — — (x y) und das dritte = (x

—    u

Nun ist also:

(x² — y²) = (a — x)² oder:

(1.)

8ax — 3x² — y² = 4 a²

Ferner erhält man nach den Forderung'en der Aufgabe als zweite Gleichung:

i-i

(2x² + 2y²)-(a- x)² = b

4ax — x² -f- y² = 2a² -j- 2b Addiert man (1.) und (2.), so kommt:

12ax — 4x² = 6a² + 2b 3 a² -f b

(2.)

x² — 3 ax -J-

== 0

3a + / 3a² — 2b

3a + y3a² — 2b

~(— a+/3a²— 2b)

Die weitere Rechnung ist nun leicht auszuführen.

27. Eine Zahl wird mit drei Ziffern geschrieben. Addiert man 297 zu derselben, so erscheinen die Ziffern in umgekehrter Ordnung. Die Summe der Ziffern ist 16; die Summe ihrer Quadrate ist 90. Wie heißt die Zahl?

Angenommen die drei Ziffern seien von links nach rechts x, y und z; die Zahl heißt dann in unserem dekadischen System

Zahl = 100 x -f- 10 y -j- z

Addiert man hierzu 297, so soll nach der Aufgabe eine Zahl mit umgekehrter Ziffernfolge resultieren, so daß wir als erste Gleichung erhalten:

100 x -4— 10 y —}— z —j— 297 = 100 z -j- 10 y -f- x.

Aus den Forderungen der Aufgabe ergeben sich ferner die beiden Gleichungen:

x + y + z = 16 x2 + y² 4- z² = 90

99 x — 99z = 297 z = — 3

= — 3 -f- z

— 3-{-z-f-y4-z = i6 — 3 —{— 2 z —}— y = 16

(- 3

9 — 6z + z² + 361 —

y = 19 — 2 z (1    — 2z)² -f z² = 90

j_ z² + z² - 90 = 0 6 z² — 82 z -f 280 = 0 3z² — 41 z + 140 = 0

FF- CO

41 + y 1681 — 12 . 140 41 -f- 1

pT

y = 19 — 14 =

Die gesuchte Zahl heißt also 457. Die zweite Lösung für z entspricht, weil keine ganze Zahl, nicht dem Sinne der Aufgabe.

28. Die Gesamtoberfläche eines Quaders beträgt 552 qcm, seine Raumdiagonale 17 cm. Die Summe der ersten und zweiten Kante ist um 13 cm größer, als die dritte Kante. Wie lang sind die Kanten ?

Angenommen die Kanten seien x, y und z cm lang. Aus der Aufgabe folgen dann ohne Weiteres die drei Gleichungen:

2xy -j- 2xz -f- 2yz = 552 x² + y² + z² = 17²

x + y = z + 13

Addieren wir die erste und zweite Gleichung und es kommt : (x 4- y -f z)² = 552 + 289 = 841

also:

hierzu :

x -j- y -j- z = 29 x + y — z = 13

2z == 16 z = 8.

Nun ist also:

x -j- y = z -(- 13 = 21.

Ferner ist:

(x —j— y — z y = 13²

x² -f- 2xy -j- y² — 2xz — 2yz -j- z² — 169 x² —j— y² —{— z² = 289 eingesetzt:

2xy — 2xz — 2yz = 169 — 289 Ferner für: —2xz — 2yz = 2xy — 552 eingeführt

Hierin

2xy -f- 2xy — 552 = 169 — 289

4xy == — 120 + 552 = 432 x² + y² -]- 2xy == 21² = 441

(x - y)² = 9 x — y = ± 3 x -j- y = + 21

2 x = 24 x = 12

y = 9.

Die Kanten sind also 12,9 und 8 cm lang.*)

*) Andere Lösung des Gleichungssystems siehe in Kapitel II.

Kapitel V.

Ueber Maxima und Minima.

Es gibt eine Reihe von Aufgaben, in denen man zu bestimmen hat, welchen größten oder kleinsten Wert ein algebraischer Ausdruck annehmen kann. Bezeichnet man nun den Ausdruck mit m, so erhält man eine Gleichung, deren Lösung m enthält. Ist nun ferner diese Gleichung quadratisch, so enthält die Lösung für x die Größe m unter dem Wurzelzeichen und es läßt sich leicht bestimmen, welchen Wert m nicht Überoder unterschreiten darf, wenn nicht die Wurzel imaginär werden soll. Dieser Wert ist dann das gesuchte Maximum oder Minimum. Nur von diesem Gesichtspunkt aus wollen wir hier Aufgaben über Maxima und Minima betrachten; wir werden noch später uns ausführlich mit solchen Aufgaben beschäftigen. An einigen Beispielen sei die Methode eingeübt.

Aufgabe 1. In welche Summanden muß man eine Zahl a zerlegen, damit das Produkt aus diesen ein Größtes wird, d. h. größer als das Produkt aus irgend zwei anderen Summanden, in welche sich die Zahl a zerlegen läßt?

Angenommen der eine Summand sei x, dann ist der andere (a — x) und das Produkt dieser beiden:

x (a — x).

ax

Wir bezeichnen dieses größte Produkt mit m und erhalten : x (a — x) = m m == 0 x⁹ — ax-f m = 0

Hier darf nun offenbar höchstens: 4— sein,

a²

und dies ist der höchste Wert, den das Produkt x(a — x) erreichen kann. Für diesen Fall wird:

d. h. in Worten, das Produkt wird am größten, wenn man die beiden Summanden gleich macht. Geometrisch heißt das, das größte Rechteck (inhaltlich) das von 2 Teilstrecken einer gegebenen Strecke konstruiert werden kann, ist das Quadrat über der halben Strecke.

Als Zahlenbeispiel diene:

30    • 34 = 1020 28-36 = 1008 20 • 44 = 880 50 - 14 = 700 40-24 = 960 32-32 = 1024

31    - 33 = 1023.

64 = 30 + 34 28 + 36 20 + 44 50 + 14 40 •+ 24 32 -j- 32 31 + 33

Aufgabe 2. In welche Faktoren muß die Zahl a zerlegt werden, so daß die Summe derselben ein Minimum wird, d. h. daß die Summe derselben kleiner wird, als die Summe irgend zweier anderen Faktoren, in welche die Zahl a zerlegt werden kann?

Angenommen der eine Faktor sei x, dann ist der andere

cl

— und die Summe beider:

Den Minimalwert dieser Summe setzen wir m und erhalten:

i a

x -4- — = m ¹ x

x² — mx + a = 0

In diesem Ausdruck muß m² mindestens 4 a sein und geben wir ihm diesen Minimalwert, dann wird:

und aus:

also :

m² = 4a m = 2 V a x = ]/ a.

a²

Damit also die Summe ein Minimum wird, müssen die Faktoren einander gleich sein, und zwar jeder = ÿ a.

Als Zahlenbeispiel diene:

9 = 13

3 = 15 2 = 20 6 = 12.

12

18

36 = 4-9 12 • 3 2 • 18 6 • 6

druck :

Aufgabe 3. Für welchen Wert von x erreicht der Aus-13 — 5 x -f- x²

sein Minimum?

Wir setzen den Minimalwert:

und daraus wird:

x² — 5x -f- 13 = m

± y 25 — 42 -j-4m

f- ± 1— 17 +4m

Hierin muß mindestens:

17

m = -j- sein, und es wird für diesen Fall:

sein Minimum,

Der obiere Ausdruck erreicht also für x = und    J dieses » .

m kann hier höchstens

Aufgabe 4. Für welchen Wert erreicht der Ausdruck: 10 + 7x — x²

sein Maximum ?

Wir setzen diesen Maximalwert m und erhalten: 10 -f 7x — x² = m — x² + 7x + 10 — m = 0 x² — 7x — (10 — m) = 0

ö- ± y 49+40 - 4m

89

m darf in diesem Falle höchstens — werden und hierfür

4

wird :

bC

Der Ausdruck erhält also für x =

seinen Maximalwert

89

von — •

Aufgabe 5. Welches von allen Dreiecken, deren Grundlinie und Höhe die Summe a haben, hat den größten Inhalt und wie groß ist dieser?

Angenommen die Grundlinie sei x, dann ist die Höhe (a — x) und der Inhalt:

x (a — x)

Dieser Ausdruck soll ein Maximum werden. Wir setzen den Maximalwert = m und erhalten:

x (a — x)

ax

x² —

x² — 2m = ax 4- 2 m =

bi

+1

so

werden und für diesen Fall wird:

= 4- und:

a²

Der Inhalt wird also ein Maximum für

= und a — x

U

to w

Aufgabe 6. Welches einem Kreise mit dem Radius r einbeschriebene Rechteck hat den größten Inhalt, welches den größten Umfang?

Nehmen wir an, die eine Seite des Rechtecks sei x, die eine andere y, dann ist sein Inhalt:

J = x-y

Dieser Ausdruck soll ein Maximum werden.

Nun ist:

x² -f y² = 4r²

x² = 4r² — y²

Wenn J ein Maximum wird, muß auch J² ein solches sein, wir erhalten:

y = x² y2 Y = y² (4r² — y²)

Diesen Ausdruck setzen wir gleich dem Maximalwert m und erhalten:

y = y² (4 r² — y²) = m 4r² y² — y⁴ — m = 0 y² = v

v² — 4r²v -f- m — 0

4r²

£- ± V 16 r“ -

Es darf hier m höchstens:

16 r⁴

— 4r⁴

werden; in diesem Fall wird;

v = 2 r²

und hierfür wird:

' x² + 2r² = 4r2 x² = 2r2 x = r / 2.

M s y • r, Mathematik. IV.

12

Das größte Rechteck ist also das reguläre Viereck und sein Inhalt ist 2r².

Aufgabe 7. Welches von den Rechtecken, die sich in ein gleichseitiges Dreieck beschreiben lassen, hat die größte Fläche?

Die Seite des Dreiecks sei a. Eine Rechteckseite sei x, die andere y. Der Inhalt des Rechtecks ist dann:

J = x • y

Dieser Ausdruck soll ein Maximum sein.

Nun verhält sich offenbar:

= (h — y) : h = \ (Ł - y)

hx = a (h — y)

h = Trtä*

also:

2y _ a y 3 — 2 y

/TT

fT

a l/~3^ — 2y

y-—¹—t=—-

y s.

Wenn J ein Maximum wird, muß offenbar das Produkt y (a ]/ 8 — 2 y) ein solches werden; wir setzen daher diesen Ausdruck m und erhalten:

— 2 y² -j- y • a }/~3~ — m = 0 2 y² — a yiT y + m = 0 a ^3 + i 3a* — 8m

In diesem Ausdruck darf nun m höchstens es wird hierfür:

3 a²

werden und

und dann wird:

a /3 —

fir

Das Rechteck erhält also die größte Fläche, wenn die in

3.

einer Seite des Dreiecks geleg-ene Seite und die darauf

U

senkrecht stehende - / 3, d. h. gleich der halben Höhe wird.

3

Der Inhalt dieses Rechteckes ist-^a².

Kapitel VI.

Unbestimmte Gleichungen I. und II. Grades.

§ 1. Zahlenkongruenzen.

Sind a und m zwei beliebige natürliche Zahlen, so lassen sich stets zwei Zahlen q und r so bestimmen, daß :

a = q • m -f- r.

Ist nun eine andere Zahl b durch die Gleichung bestimmt:

so geben beide Zahlen bei der Division durch m denselben Rest r, die beiden Zahlen sind nach m gleichrestig oder nach Gauß*) kongruent nach dem Modul m (Numeri congrui). Symbolisch wird diese Kongruenz (Zahlenkongruenz), die mit dem geometrischen Begriff der Kongruenz nichts gemein hat, dargestellt durch:

a = b (mod m)

gelesen: „a kongruent zu b nach dem Modul m“ oder kürzer: „a kongruent b nach m“.

Die Zahl q ist Null oder positiv, und r genügt der Be

dingung :

Aus: und :

ergibt sich:

0 <; r<Cm. a = q • m -j- r b = q'm + r

a — b = (q —• q') m

so daß also (a — b) durch den Modul m ohne Rest teilbar oder (a — b) : m eine ganze Zahl ist. Man kann also auch

sagen :

Zwei kongruente Zahlen sind solche, deren Differenz durch den Modul ohne Rest teilbar ist.

*) Siehe geschichtl. Anhang zu Band V.

In dem symbolischen Ausdruck:

a E b (mod m)

heißt a die „Präzedente“, b die „Konsequente“, m der „Modul“ (wie schon erwähnt), von den Größen a und b heißt jede das „Residuum“, der anderen.

Da z. B. 37 und 25 bei der Division durch 6 beide den Rest 1 geben, so ist:

und es ist:

37 — 25 (mod 6) 37 — 25 = 12

ohne Rest durch 6 teilbar. Ferner ist:

denn

47 E — 2 (mod 7)

47 — (— 2) = 49

ist durch 7 ohne Rest teilbar.

Man erkennt ohne Weiteres, daß jede Zahl mit ihrem Rest kongruent nach dem Divisor als Modul ist, also z. B. :

51 E 2 (mod 7)

84 E 3 (mod 9)

117 E 15 (mod 17)

Für das Rechnen mit kongruenten Zahlen gelten folgende

Satz e :

1. Sind m aufeinanderfolgende Zahlen gegeben und eine andere Zahl A, so ist eine, aber auch nur eine von jenen m Zahlen der Zahl A kongruent nach dem Modul m.

Es seien : a, a -f— 1, a —f⁻ 2, a —J~ 3, a —f- 4, • • • • a —j— (m — 1) die m gegebenen aufeinanderfolgenden Zahlen und es sei:

A = s • m -f- r.

Dividiert man A durch m, so ergibt sich der Rest r.

Dieser Rest kann nur eine von den Zahlen 0, 1, 2, 3,......

a+ (m — 1)

(m — 1) sein, und jede dieser Zahlen ist kleiner als m. Dividiert man jede der Zahlen a, a -j- 1, a -f- 2, ebenfalls durch m, so können die Reste keine andern sein

als die Zahlen 0, 1, 2, 3

m — 1, da beim Wachsen jedes Dividenden um 1 gegenüber dem vorhergehenden auch notwendiger Weise jeder Rest um 1 gegenüber dem vorhergehenden wachsen muß. Unter diesen in der Zahlenreihe aufeinanderfolgenden Resten muß aber nun notwendiger einer,

aber auch nur einer, sein, der r gleich ist und die kongruente Zahl ist der dem Rest zugehörige Dividendus. Zwei kongruente Zahlen kann es unter den m gegebenen, aufeinanderfolgenden Zahlen zu A nicht geben, denn sonst müßten unter den m Resten zwei gleiche sein, was aber unmöglich ist.

2. Wenn zwei Zahlen mit derselben dritten

a = b (mod m) b E c (mod m)

nach demselben Modus kongruent sind, so sind sie auch unter sich nach diesem Modus kongruent. Wenn also:

so ist auch:

a E c (mod m).

Es ist nach den Voraussetzungen: ein Vielfaches von m, ebenso

b — c,

folglich auch ihre Summe:

(a — b) + (b — c) = a

was in die Form einer Kongruenz übertragen lautet:

a E c (mod m)

wie behauptet wurde.

3. Sind zwei Kongruenzen modulgleich, so ist dieSumme der Präzedenten kongruent zur Summ e der Konsequenten nach dem gleichen Modul.

Es sei:

A — a (mod m) B E b (mod m)

dann ist:

A + B E a + b (mod m).

Aus den beiden Voraussetzungen ergibt sich, daß ein Vielfaches von m ist, und ebenso:

B — b,

folglich auch ihre Summe:

A — a + B — b = (A + B) — (a + b).

Das heißt in Form einer Zahlenkongruenz geschrieben: A -j- B E a + b (mod m).

4. Sind zwei Kongruenzen modulgleich, so ist die Differenz derPräzedenten kongruent zurDif-ferenz der Konsequenten nach dem gleichen Modul.

A — a (mod m) B E b (mod m)

Es sei:

dann ist auch:

A — B E a — b (mod m).

Nach den beiden Voraussetzungen ist sowohl: A — a

wie auch:

B — b

ein Vielfaches von m, folglich auch ihre Differenz:

A — a — B + b = (A — B) — (a — b)

was in Kongruenzform heißt:

A — B = a — b (mod m)

wie behauptet wurde.

5. Eine bestehende Kongruenz bleibt für denselben Modul richtig-, wenn man Präzedent und Konsequent mit derselben Zahl k multipliziert.

A — a (mod m)

Ist also:

so ist auch:

Ah E a Ti (mod m).

Nach der Voraussetzung ist:

A — a

ein Vielfaches von m, folglich auch:

(A — a) • k = A k — a k,

was in Kongruenzform die geforderte Kongruenz Ak E ak (mod m)

ergibt.

6. Sind zwei Kongruenzen modulgleich, so ist das Produkt der Präzedenten kongruent dem Produkt der Konsequenten nach dem gleichen Modul.

Ist also:

A — a (mod m) B E b (mod m)

so ist auch:

A - B E a - b (mod m).

Nach der ersten Voraussetzung- ist:

A — a

ein Vielfaches von m, folglich auch:

(A — a) B = A B — aB

was in Kongruenzform heißt:

AB — aB (mod m). Nach der zweiten Voraussetzung- ist:

B — b

ein Vielfaches von m, folglich auch

(B — b) a — aB — ab

oder in Kongruenzform :

hierzu:

aB zz ab (mod m)

AB z aB (mod m)

ergibt die Behauptung:

AB E ab (mod m).

Dieser Satz läßt sich auch auf mehrere Kongruenzen mit demselben Modul ausdehnen, woraus sich dann ohne weiteres der Satz ergibt:

6a. In einer bestehenden Kongruenz darf man bei demselben Modul Präzedent und Konsequent mit ein und derselben Zahl potenzieren.

A — a (mod m) Ap E ap (mod m)

Ist also:

so ist auch:

7. Sind zwei Zahlen nach einem Modul kongruent, so können beide Zahlen durch einen gemeinschaftlichen Teiler dividiert werden, wenn dieser zum Modul relativ prim ist.

a zz b (mod m)

und ist r ein gemeinschaftlicher Teiler von a und b und außerdem relativ prim zu m, so ist auch:

Ist also :

(mod m)

Nach der Voraussetzung ist m ein Teiler von a — b, ebenso r, folglich auch: mz. Es ist also:

x — einer ganzen Zahl

m - x.

Also ist:

rr

ein Vielfaches von m, d. in in

Kongruenzform :

— (mod m).

8. Haben in einerKongruenz die beiden Kongruenzzahlen und derModul einen gemeinschaftlichen Teiler, so bleibt die Kongruenz richtig, wenn man alle drei Zahlen durch diesen Teiler dividiert

Ist also;

und ist: x ein gemeinsamer Faktor von a, b und m, so ist auch :

a — b (mod m)

Es sei:

b ( m \ — mod — ) •

* V    t

a = a₁-x b = b ₁*r m₁- r

so ist nach der Voraussetzung:

axr — bjx = m₁r-x = einer ganzen Zahl

folglich:

oder:

m-L r

ai — bi

x = einer ganzen Zahl

x == einer ganzen Zahl

oder:

h ja

x = einer ganzen Zahl

oder:

T) [    ‘ÏYh \

— Imod - -—Lwie behauptet wurde.

9. Die Kongruenz zweier Zahlen bleibt bestehen, wenn zu einer oder zu jeder der beiden kongruenten Zahlen ein Vielfaches desModul addiert oder subtrahiert wird.

Ist also:

so ist auch:

a E b (mod m) a + pm E b (modm)

a E b + p m (mod m) a + p m E b + qm (mod m).

Die Behauptungen lassen sich herleiten aus dem Tatbestand, daß wenn: ein Vielfaches von m ist, auch:

a — b + P m

ein solches ist

Aufgab en.

1. Den Satz über Teilbarkeit der Zahlen durch 9 mit Hilfe der Kongruenzen zu beweisen.

Jede dekadische Zahl ist (siehe Band II) von der Form;

N = a -j- b • 10 + c • 10² + d • 10³ + J...............

Für den Modul m sei nun:

a E a (mod m), b • 10 E b • ax (mod m) c • 10² E c a₂ (mod m)

so ist:

N — a -j- b -j- c a₂ + d a₃ -f⁻

für m = 9 ist nun :

Ö1 = a₂ = a₃ = a₃ = • •

also :

(mod 9).

NEa-ł-b + c-j-d + e-f-

Bezeichnen wir die rechtsstehende Summe mit R, so kann: R = s m

oder: so daß:

R = sm + r,

N E R E r, es ist also für R = sm

N — R = x = eine ganze Zahl und da R ein Vielfaches von 9 ist, so muß auch N ein solches sein. Die Zahl N ist

also durch 9 teilbar, wenn R es ist, d. h. wenn die Ziffernsumme es ist.

Ist:

so ist:

R = sm + r

N — sm

x — einer ganzen Zahl.

Hierin ist aber r kleiner als m, also unmöglich ein Vielfaches von m, s m ist ein Vielfaches von m, so daß N nichts anderes sein kann als ein Vielfaches von m plus demselben Rest r. Es muß also:

N = R • m + r

sein, d. h. die Zahl N muß bei der Division durch 9 denselben Rest liefern wie R, d. h. wie die Ziffernsumme.

2. Wenn von den sieben Wochentagen Sonntag mit 1, Montag mit 2, Dienstag mit 3 usw. bezeichnet wird, und

1. Januar den Wochentag 1 hat, welchen Wochentag haben

1. Februar, 1. März, 1. April usw. a) im Gemeinjahr, ß) im Schaltjahr?

Berechnen wir vom 1. Januar an die Tage bis zum l.Febr., 1. März einschließlich usw. und bestimmen die kleinsten Residuen der gefundenen Zahlen nach dem Modul 7, so erhalten wir:

OHH!M(MC0^^>0>0 (M <M CO CO

rH

K103iO^OO'H<lbOOO^

+++++++++++

61

92

122

153

183

214

245

275

306

336

03 (O ^ o ® H■ <1 CO 00

•o    -<] -CI

+ + + + + + + + + “f

Hiernach erp-eben sich folgende Kongruenzen nach dem Modul 7:

32

60

91

121

152

182

61 E 5 92 E 1 122 E 3 153 E 6 183 E 1 214 E 4

1. Februar im Gemeinjahr: Mittwoch, im Schaltjahr: Mittwoch l.März „

1. April „ l.Mai    „

l.Juni    „

l.Juli

1. August „

1. September 1. Oktober „

1. November 1. Dezember

Freitag,

demnach ist:

244 E 6, 274 E 1, 305 E 4,

335 E 6,

245 E 7 275 E 2 306 E 5 336 E 7

Donnerstag-

Sonntag⁻

Dienstag

Freitag

Sonntag

Mittwoch

Samstag Montag Donnerstag Samstag.

Es handelt sich nun darum, den Wochentag des 1. Januar für jedes beliebige Jahr unserer Zeitrechnung bestimmen zu könnnen. Dies erreichen wir auf folgende Weise.

Mit jedem gemeinen Jahre findet eine Verschiebung des Wochentages statt, da 365 = 52-7 -j- 1, weshalb ein solches Jahr mit dem Wochentag schließt, mit dem es begonnen hat,, das nächste Jahr aber mit dem folgenden Wochentag beginnt. Bei einem Schaltjahr aber finden zwei Verschiebungen statt, da 366 == 52 • 7 -f- 2 ; wenn also in einem Schaltjahr der 1. Januar ein Sonntag ist, so ist der 31. Dezember dieses Jahres ein Montag und der 1. Januar des folgenden Jahres ein Dienstag. Bezeichnen wir das Jahr, für dessen 1. Januar wir den Wochentag bestimmen wollen, mit a, so haben seit Christi Geburt a Verschiebungen stattgefunden. Da aber alle 4 Jahre

3.

ein Schaltjahr ist, so sind -^—weitere Verschiebungen in Rechnung zu setzen. Die Säkularjahre sind keine Schaltjahre, so

3

daß wieder qq- Verschiebungen abzuziehen sind, jedes

4. Säcularjahr ist aber ein Schaltjahr, so daß zu dem vorigen

Resultat—^— Verschiebungen zu addieren sind. Da ferner

das Jahr 0 als Schaltjahr angenommen werden muß, so muß noch eine weitere Verschiebung angerechnet werden.

Hiernach haben wir bis zum Jahre a:

i    a

a + -4

100

j-----[- 1

^ 400 ^

V erschiebungen.

Bestimmen wir nun zu der Anzahl der Verschiebung-en nach dem Modul 7 das kleinste Residuum, so erhalten wir den Wochentag des 1. Januars im Jahre a unter der Annahme, daß der 1. Januar vom Jahre 1 ein Samstag war.

Wir wollen hiernach den Wochentag des 1. Januars 1907, 1920 und 1937 bestimmen. Wir erhalten: als Anzahl der Verschiebungen:

N = 1907 + —₄-

1907    1907 . 1907

100

400

1907 + 476 — 19 + 4 + 1 = 2369

2369 E 3 (mod 7).

Der erste Januar 1907 ist also 3 d. h. ein Dienstag. Für 1920 erhalten wir:

1920    1920 , 1920

N = 1920 -f ~

4

= 1920 -(- 480 — 19 + 4 + 1 = 2386.

100

400

Das Jahr 1920 ist ein Schaltjahr; auf den 1. Januar hat aber diese Tatsache noch keine Wirkung und wir haben in der obigen Summe der Verschiebungen eine zum Abzug zu bringen, erhalten also:

N = 2385 2385 E 5 (mod 7)

Der erste Januar 1920 ist also ein Donnerstag Ferner kommt für 1937:

1937    1937 . 1937

N = 1937 +

4

N = 1937 + 484 — 19 + 4 + 1

100

400

N = 2407 2407 E 6 (mod 7).

Der erste Januar 1937 ist also ein Freitag.

Wir haben gefunden, daß der 1. Januar 1907 ein Dienstag ist; nach der bekannten 28 jährigen Periode*) ist also auch der erste Januar 1935 ein Dienstag, der erste Januar 1936 ein Mittwoch, und der erste Januar 1937, da 1936 ein Schaltjahr, ein Freitag, wie wir durch Rechnung gefunden haben.

*) Siehe Band III.

3. Der erste Januar 1801 war ein Donnerstag: welchen Wochentag hat der erste Januar 1802?

Bis zum ersten Januar 1801 seien y Tage verflossen, dann sind es bis zum ersten Januar 1802: y +- 365 Tage. Da der erste Januar 1801 ein Donnerstag, also 5 ist, so gilt die Kongruenz :

y — 5 (mod 7)

Das kleinste Residuum zu y -f- 365 sei x, dann ist:

also*) : oder :

y -+ 365 — x (mod 7) y -f- 365 — y E x — 5 (mod 7)

365 — x — 5 (mod 7). Nun ist aber auch: 365 E 1 (mod 7).

Hieraus ergibt sich: x — 5 = 1

x = 6,

so daß also der erste Januar 1802 ein Freitag war.

4. Jsaak Newton wurde geboren am 5. Januar 1643. Was war sein Geburtstag für ein Wochentag? Galileo Galilei starb am 8. Januar 1642, auf welchen Wochentag fiel sein Todestag?

erhalten :

Wir berechnen den Wochentag vom 1. Januar 1642. Wir

1642    1642    1642

N = 1642 -+^+

4

= 1642 -f 410 — 16 + 4 + 1 = 2041

100

400

2041 e 4 (mod 7)

Der 1. Januar und damit auch der 8. des Jahres 1642 war also ein Mittwoch ; der erste Januar 1643 ein Donnerstag, also der 5. ein Montag.

5. Am 16. August 1858 kam das erste Telegramm von Europa nach Amerika; was war dieser Tag für ein Wochentag? Bis zum 16. August 1858 sind:

+- 1 -+ 228

400

100

1858.365 + 1858    1858 ' ¹⁸⁵⁸

4

Tage verflossen. Es kommt:

1857 • 365 + 464 — 18 + 4 +- 1 -+ 227 = 1857 • 365 -+ 678 = 1857 (52-7 + 1) -+- 678 E 1 (mod 7).

Der 16. August 1858 war also ein Sonntag.

*) Nach Satz 4.

6. Was war der Todestag- des Ing-enieurs von Tulla für ein Wochentag-, wenn von Tulla am 27. März 1828 starb.

Bis zu diesem Tag sind:

-f- 1 -j- 85

100

400

1827 . 865 + m _ ¹³²⁷ ■ 1827 4

Tage verflossen. Man erhält:

1827 • 365 + 456 — 18 -f 4 -j- 1 -f 85 = 1827 • 365 + 528 = 1827 (52 * 7 —)— 1) —j— 528 1827 + 528 = 2355 E 3 (mod 7)

Der Todestag des Jngenieurs von Tulla war also ein Dienstag. (von Tulla war von 1813 bis zu seinem Tode Chef des großh. badischen Wasser- und Straßenbauwesens; sein größtes Verdienst ist die Anregung zu der 1818 unter ihm begonnenen Kanalisation und Vertiefung des Oberrheins.)

7. Man berechne die goldene Zahl g, den Sonnenzirkel s und die Römerzinszahl r des Jahres 1908.

Im III. Bändchen haben wir die obigen Begriffe erklärt und wollen also dort nachgelesen werden.

Wir erhalten allgemein für das Jahr n:

n -f 1 E g (mod 19) n -\- 9 E s (mod 28) n -j- 3 E r (mod 15)

für unsern Spezialfall also:

wir erhalten:

1909 — g (mod 19)

1909 — 9 (mod 19)

1917 E s(mod 28)

1917 E 13 (mod 28)

1911 E r (mod 15)

1911 E 6 (mod 15).

Das Jahr 1908 hat also die charakteristischen Merkmale:

g = 9 s = 13 r — 6.

8. Es sei zu lösen:

13 x E 5 (mod 7).

Eine solche Kongruenz zu lösen heißt, ganzzahlige Werte für x suchen, die der Kongruenz genügen. Hierbei ist, d. h. wenn die Aufgabe lösbar sein soll, unerläßliche Bedingung, daß der Koeffizient von x und der Modul relativ prim zu einander sind, denn hätte jener und der Modul einen Teiler, der nicht zugleich auch in der zweiten Kongruenzzahl enthalten wäre, so wäre eine Wurzel in ganzen Zahlen unmöglich. Eine Kongruenz I. Grades läßt sich lösen :

I. Nach der Substitutionsmethode.

5 -j_ 1-7 = 12

Man addiert zu 5 solange ein Vielfaches vom Modul 7, bis die Summe ein Vielfaches vom Koeffizienten von x, hier von 13 ist. Diese Operation ist, wie oben gezeigt, erlaubt. Man erhält:

12 : 13 Rest 12

5 _j_ 2 • 7 = 19

19 : 13 Rest 6 26 : 13 Rest 0.

Wir addieren also 3 • 7 und erhalten :

13 x = 5 -f 3 • 7 (mod 7)

13 x E 26 (mod 7).

Hieraus folgt: x = 2 (mod 7).

Mithin ist 2 eine Wurzel der Kongruenz:

13x E 5 (mod 7)

Die übrigen Wurzeln sind enthalten in der Form: x = 2 -J- 7 n,

worin n jede ganze Zahl sein kann.

Löst man das Beispiel mittels Substitution durch Subtraktion, so erhält man:

5 — 1 - 7 = — 2 5 — 2-7 — — 9 5 — 3 • 7 = — 16 5 — 4-7 = — 23 5 — 5 • 7 = — 30 5 — 6-7 = — 37 5 — 7 • 7 = — 42 5 — 8 • 7 = — 51 5 — 9*7 = — 58 5 — 10 • 7 = — 65

Rest: — 2 — 9

11

11

11

11

11

11

— 10

—    5

—    12

13 x EE 5 — 10-7 (mod 7)

Also :

13 x E — 65 (mod 7) x E — 5 (mod 7)

Also ist — 5 ebenfalls eine -Wurzel der Kongruenz; diese Lösung ist natürlich auch in der vorigen enthalten; es ist:

für

x = 2 -j- 7 • n n = — 1

x = 2 — 7 = — 5.

II. Nach der Methode der Faktorenzerlegung-.

Diese Methode eignet sich besonders für größere Zahlen Es sei z. B. zu lösen:

91 x E 17 (mod 73)

Man erhält: 7 • 13x E 17 (mod 73)

Nun eliminiert man nach der vorigen Methode zuerst den einen Faktor, dann den andern. Man erhält:

7 • 13x E 17 — 1-73 (mod 73)

7 • 13 x E — 56 (mod 73)

13 x E — 8 (mod 73)

13x E — 8 -f 1 • 73 (mod73)

13 x E 65 (mod 73) x E 5 (mod 73)

Also ist:

x = 5

eine Wurzel der Kongruenz. Die übrigen Wurzeln sind enthalten in der Form:

x = 5 -j- 73 n,

wo n jede ganze Zahl bedeuten kann.

III. Nach der Methode der Transformation der Kongruenz.

Es sei zu lösen:

Es ist:

also :

oder:

53 x — 8 (mod 37)

37 x E 0 (mod 37)

(53 — 37) x E 8 — 0 (mod 37) 16x E 8 (mod 37)

(1.)

(2.)

(3.)

48 x E 24 (mod 37) oder diese Kongruenz von der gegebenen subtrahiert:

Mayer, Mathematik IV.

Và

5x — — 16 (mod 37)

oder:

15 x E — 48 (mod 37) und diese Kongruenz von (3.) subtrahiert:

oder:

x E 56 (mod 37) x E 56 — 1 • 37 (mod 37) x E 19 (mod 37) x = 19

x = 19 -f 37 n.

oder allgemein:

Die kleinste positive Wurzel der Kongruenz ist also x = 19; die übrigen sind enthalten in x = 19 -J- 37 n.

9. Das kleinste Residuum x zu bestimmen, wenn: 7235¹⁰⁰⁰ E x (mod 7)

Es ist:

7235 = 1033 • 7 -j- 4, also:

7235 E 4 (mod 7)

also:

7235²    E 4² E 16 E 2 (mod 7) 7235¹ • 7235² = 4-2 (mod 7)

7235³    E 8 E 1 (mod 7)

Nun ist:

1000 E 3 • 333 + 1

(7235³)33S e 1333 (mod 7)

7235"° E 1 (mod 7)

7235⁹⁹⁹ • 7235¹ E 1 • 4 (mod 7)

7235¹⁰⁰⁰ E 4 (mod 7)

Also ist zu 7235¹⁰⁰⁰ nach dem Modul7 das kleinste Residiuum

x = 4.

Auf dieselbe Weise sind ähnliche Aufgaben zu lösen.

Ist:

und sind a und m relativ prim, so muß auch r zu m relativ prim sein, denn ein gemeinsamer Teiler von m und r wäre auch ein Teiler von:

a — m • cj —j— r

Aus der Reihe der möglichen Reste:

(m - 1)

r = 0, 1, 2, 3

fallen, wenn man nur die zu m teilerfremden in Betracht zieht, also verschiedene aus und wir bezeichnen die Anzahl der positiven Reste, die zu m teilerfremd sind, mit:

cp (m).

Unter diesen teilerfremden Resten ist jedenfalls stets 1. Ist nun m eine Primzahl, so ist:

<jp (m) = m — 1,

also z. B. nämlich: oder nämlich :

<p (5) = 5 — 1 = 4,

1, 2, 3, 4. cp (11) = 10,

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10.

Ist m eine Potenz einer Primzahl p, so sind alle durch p

teilbaren Zahlen auszuscheiden; ihre Anzahl ist    so daß

P

man erhält:

cp (m) = m

So ist z. B.

49

cp (49) == cp (7)² = 49 — y = 42

1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 0,

23, 24, 25, 26, 27, 2    3

41, 43, 44, 45, 46, 47, 48.

Läßt sich m in Faktoren zerlegen, die zu einander teilerfremd sind, und sind diese Faktoren p, q, s etc., so ist:

nämlich

19,

38, 39,

• • Ol

Ol o

Oh-

J⁻¹ I-*

, 13, 5, 16, 17, 32, 3 , 34, 36,

rH CO

co i-¹

cp (m) — m(l

so ist z. B.

f) (*■-i) -f)

cp (385) = 385 cp (385) = 240, oder:

cp (60) = 60

0 ~ t) 0 1)0-1)0

t)0~1)

1)

cp (60) = 16, oder:

cp (84) = 84 (l — - (l cp (84) = 24.

Auf den Beweis des Satzes gehen wir hier nicht ein.

Es seien nun m und g zwei relative Primzahlen (g be-

tH Ol

CO

)0-i)

zeichne eine Grundzahl, für unser dekadisches System also g= 10). Wir bilden nun die Potenzen

g°» g\ g²- g³, g⁴....................

und bilden hierzu die Reste nach m:

Qo> (h> 9a? 93? ?4- ....................

Diese sind nun ebenfalls relativ prim zu m und da sie kleiner sind als m, so gibt es unter ihnen höchstens cp (m) verschiedene. Es sei nun:

{?k — (?k + f

d. h.

so ist: oder:

g k+f EE gk (modm) k + f __

gk (gf — 1)

durch m teilbar, folglich ist auch:

gf - 1

durch m teilbar.

Es gibt also positive Exponenten f, für die: gf E 1 (mod m)

f soll stets den kleinsten unter diesen positiven Exponenten bezeichnen. Von den f-Potenzen

go, g\ g‘\ gs

g{- i

haben dann keine zwei denselben Rest, weil sich sonst eine kleinere Zahl f' bestimmen ließ, für die

gr = 1 (mod m)

wäre. Wir erhalten also die f verschiedenen Reste :

Qc — l.

J?⁰? 9n Q

Die höheren Potenzen: gf, gf+¹, gf + 2

liefern

immer wieder dieselben Reste in derselben Reihenfolge. Man nennt: die Potenzreste von g.

Ist nun f kleiner als cp (m), so gibt es wenigstens noch einen unter den möglichen, zu m relativ primen Resten, der nicht unter den Potenzresten ist. Es sei dieser r₁. Es sind dann die Reste von:

ri g°> ri g-\ r2 g²

» ri * gf “ ¹

sowohl unter sich als von den Potenzresten verschieden.

Ist ferner:

2 f < cp (m)

so gibt es mindestens noch einen Rest r₂, der unter den

letzten und unter den Potenzresten nicht vorkommt. Zahlen

Die

r-2 g°, r2 g\ r₂ g²

f— i

f2g-

geben wieder Reste, die von sämtlichen obigen verschieden sind. Führt man diesen Schluß immer weiter, so folgt, da die Vielfachen von f nicht immer kleiner bleiben können als qp (m), daß cp (m) ein Vielfaches von f ist. Wir setzen :

cp (m) = e • f

und es ergibt sich der Satz:

g <p(m) = jr (mo(l m)

in Werten:

Die cp (m)te Potenz einer zu m teilerfremden Zahl g ist nach dem Modul zu 1 kongruent (Allgemeiner Fermatscher Satz)*).

Für eine Primzahl m ist

also:

cp (m) = m — 1

E 1 mod (in).

(T

f — 1 gibt. Die

Ist m eine Primzahl oder eine zusammengesetzte Zahl, immer zerfallen die zu m teilerfremden Reste in e Reihen von f Gliedern, die wir die „Periode der Re st e“ nennen. Man erhält diese Reste, wenn man in einem Produkt r • gk dem Exponenten k alle Werte 0, 1, 2, 3,

Auffindung dieser Reste gestaltet sich einfach, indem man den Rest von r • gk dadurch bildet, daß man nicht r • gk — 1 , sondern seinen Rest nach m mit g multipliziert.

¹

\(z + 1 C-b!)

Führt man in obige Gleichung (2 a) den Wert für ax — x¹ ein, so erhält man nach derselben Art und Weise y und b — y.

Es sei z. ß. so ergibt sich:

m = 13, g = 2,

k I Rest

10

11

12

Es ist also f = 12.

*) Zuerst von Euler bewiesen.

S"

<T>

Oq

n>

.2

a

PQ

Ferner:

h-*

ri

Ci ^

g = io

Rest

O r—I

O» O I—I

10

11

12

13

14

15

16

17

18

C^C»COHiOI>OOGi^t>COcOOO^(MH

HHn'H    t—I    hh

es ist also f =    (m)

Ferner sei:

18.

Rest

OO^rOiCrtrf^CObüi—'■ ©

i—I    GO CD

H C OO O'

hier ist:    f = 8, qp (m) = 16,

wir erhalten also zwei Perioden.

Ferner sei:

m = 13, g- = 10 k Rest

O CP ^ CO LO H O

h-*

H O Ol (M 00 ^ H

es ist also:

f = 6, cp (m) = 12,

wir erhalten zwei Perioden.

Erhält man bei willkürlicher Wahl von g und m nur eine Periode, ist also f = <p (m), so heißt g primitive Wurzel von m. Nach obigen Entwicklungen ist also 2 primitive Wurzel von 13, ferner 10 primitive Wurzel von 19.

Wir wollen nun unsere bisherigen Entwicklungen auf periodische Dezimalbrüche anwenden.

In dem Bruch:

7 = --

n

seien m und n positive relative Primzahlen und n außerdem teilerfremd zu 10. Es läßt sich alsdann der Bruch in einen unendlichen Dezimalbruch :

verwandeln.

z (m) — z^ Zo Zg

Zwei solche Brüche : y — ——

n m'

haben nur dieselben Mantisse, wenn m' sich von m durch ein Vielfaches von n unterscheidet, oder ist:

m Ë m' (mod n)

dann ist:

z (m) = z (m')

Da es cp (n) verschiedene zu n teilerfremde Reste gibt, so gibt es auch cp (n) verschiedene Mantissen zu demselben Nenner n. Aus der Mantisse von y erhält man die von 10y, indem man in z (m) die erste Stelle wegläßt, also mit z₂ beginnt; durch wiederholte Anwendung erhält man:

z (10k m) = zk + i zk + 2 zk + 3......

Ist nun aber:

10f EE 1 (mod n)

z (10f m) = z (m)

so muß: sein, d. h. es ist : z f i = z±

Die Ziffern in der Mantisse wiederholen sich also von der (f -f- l)ten Stelle ab in derselben Reihenfolge. Die Ziffern zerfallen in Gruppen von je f Glieder, und eine solche Gruppe nennen wir die Periode der Mantisse; der Dezimalbruch heißt periodisch, f gibt die Länge der Periode an.

Ein gemeiner Bruch, dessen Nenner relativ prim zu 10 ist, läßt sich also in einen periodischen Dezimalbruch verwandeln.

Jeder andere Bruch läßt sich durch Multiplikation mit einer Potenz von 10, also 10kin einen Bruch verwandeln, dessen Nenner relativ prim zu 10 ist. Um dann wieder zu dem ursprünglichen Bruch zurückzukehren, hat man im Resultat das Komma k Stellen nach links zu rücken und dadurch treten vor die Periode noch andere Ziffern, so daß die Periode nicht gleich hinter dem Komma beginnt. Solche Dezimalbrüche heißen im Gegensatz zu obigen „unrein periodisch“. Bezeichnen wir die Periode mit:

P (m) = z₄ z₂ z3 P (10 m) = z₂ z₃ z4 P (10² m) = z₃ z₄ z₅

dann ist:

P (10 f-1m) = Zf Zj z₂ z3 <P (n) = e • f,

Zf

zi

z₂

Ist nun:

so hat man für e verschiedene Werte von m solche Perioden zu bilden, um alle Perioden für den Nenner n zu erhalten. Ist e= 1, f — (p (n), so genügt ein einziger Wert, etwa m — 1,

um alle echten Brüche — in Dezimalbrüche zu verwandeln.

Ist e O 1, so hat man mehrere Perioden zu berechnen. Wir wollen nun Beispiele behandeln:

Es ist n = 7.

Wir dividieren nach der gewohnten Methode:

10 : 7 = 142857

80 '

28

h-4 lo

60

56

40

35

50

Hierin ist: î — cp (m), d. h. e = 1, wir erhalten die Periode 142857, die unterstrichenen Zahlen sind die Potenzreste. Demnach ist:

= 0,142857

3

z₂ beginnt:

eine Stelle nach rechts gerückt, gibt die Periode für y, die mit Y = 0,428571...............

2

eine weitere Stelle nach rechts gibt die Periode für y, die mit z3 beginnt, man erhält:

% = 0,285714

ebenso:

y = 0,857142 y = 0,571428

y = 0,714285........

Die Punkte bedeuten Wiederholung der vorangehenden Zahlen in derselben Reihenfolge.

Als nächstes n wollen wir 13 wählen. Wir erhalten:

10 : 13 = 076923

00

100

91

90 78

30

26

co o

hier ist f = 6, qp (n) = 12, man hat also zwei Perioden. Aus der obigen erhalten wir:

~ = 0,076923

= 0,769230

O CO

rH | rH

»k col co col to <*oj °

= 0,692307

= 0,923076 = 0,230769 = 0,307692

Um die zweite Periode zu erhalten hat man einen der fehlenden Zähler zu dividieren, wählen wir als Zähler 2 und es kommt:

|    O OS

_ iO »O iO ICO

O CO 1> I® I ¹

C\l |r—(    ¹

13 = 153840

O -rh H IO

rH |r—I

c4 os

-CI I 00 CO o

OO o

und hieraus ergibt sich:

= 0,153846

lü

^ = 0,538461

JL o

COi kJ 031 cn

CO

00

H-

CO

.    = 0,461538

i-O

13 —

0,615384

17

Ferner sei: Wir erhalten:

H OlM ool O O¹ © Crc o

rH

0588235294117647

O CO »O ICO

r—I Ir—I

sie;

, .wlœlg'ê ® 0i

00 CO l-t ©

an o|

CO| Cn

^ o

>-t| H-t

. Cn| 05 051 -3 C0 O 00 o

O , troi |t—I

I 1° 05 iS |o

IO C- CO I— jrH l,z; ICO |i—I T-H |i—I

O 05

S|:

Hieraus ergibt sich also, daß f = 16, d. h. e = wir haben eine Periode. Es kommt:

,-H    O    t>    HO t>    rH    N

I¹⁻¹    1-H    T—I    H H    T—I    r-H

= 0,0588235294117647

= 0,5882352941176470

= 0,8823529411764705

= 0,8235294117647058

~ = 0,2352941176470588 ~ = 0,3529411764705882 -y = 0,5294117647058823 = 0,2941176470588235

1 A

yy = 0,9411764705882352 ■jj = 0,4117647058823529 = 0,1176470588235294

1 I

-jj = 0,1764705882352941

-J CO

= 0,7647058823529411

11

₁₇ = 0,6470588235294117

-jj = 0,4705882352941176

12

₁₇ = 0,7058823529411764

Es sei:

Wir erhalten:

n = 19.

10 : 19 = 052631578947368421

00

100

95

50

38

120

114

.    O 05

O .!>• O0 IrH

ko |io ¹

rH

O io

rH |05

I—'I I-* CO OX CO Ol

O ,Cd

|t— Uo tH I rH

I—¹ 1-» ~dl 00 ' L O

O 00 iO CO hH 100 05 |t>* rH ItH

,o CO|^ loo

O ^ © Cd 00 ItH O |t>* CO ItH CO liO I

I> ’iO rH |i-H rH |t—I

H|M oo O CO ©

Auch hier ist also : f = <P (n) = 18 und wir erhalten:

i = 0.052631578947368421

19

10

~ = 0,526315789473684210 = 0,263157894736842105

19

12

-==- = 0,631578947368421052

19

= 0,315789473684210526 iy

19

= 0,157894736842105263

11

~ = 0,578947368421052631 iy

15

~ = 0,789473684210526315

17

= 0.894736842105263157

19

18

■iź = 0,947368421052631578

19

19

= 0,473684210526315789

14

₉ = 0,736842105263157894

CO CO

— — 0,368421052631578947

05 CO

= 0,684210526315789473

yy = 0,842105263157894736 ₁₉ = 0,421052631578947368 yy- = 0,210526315789473684 ~ = 0,105263157894736842

Wählen wir für n die nächste Primzahl 23.

Es kommt:

10 : 23 = 043472608695652173913

00

©I ©

to o

O C\l O .05 iH 105

00 Io H I

O r—I

00 |©

H |tH

05 00

H Ir—I

I© ,© KH ICO O rU bN rH IrH

I-¹ to O to 00 o ool O O Ol ^ o

I—‘I l-M

bO| tO COl 05

o to ooo Hl o

O 00 O 50 iOICO CO li—t rH Ir—I n—I Ir—I

o iO j(M I ’—¹

tH I l—!

50

0.1 © 00 o

46

40

toi to

C> h—1 HI ©

23

170

toi cc1 CO o

161

90

051 HI © ©

Hieraus erhalten wir also die Perioden :

A = 0,0434782608695652173913

uö

10

= 0,4347826086956521739130

UÖ

= 0,3478260869565217391304

uö

11

^ = 0,4782608695652173913043

23

18

^ = 0,7826086956521739130434

23

19

== 0,8260869565217391304347

uö

A = 0,2608695652173913043478

23

14

= 0,6086956521739130434782

UÖ

A = 0,0869565217391304347826

23

20

^ = 0,8695652173913043478260

23

16

= 0,6956521739130434782608

23

22

23

= 0,9565217391304347826086

13

= 0,5652173913043478260869

23

15

23

= 0,6521739130434782608695

12

= 0,5217391304347826086956

uö

A ₌ 0,2173913043478260869565

UO

4- = 0,1739130434782608695652

17

— = 0,7391304347826086956521

CM CM

= 0,3913043478260869565217

= 0,9130434782608695652173

₂₃ = 0,1304347826086956521739

-jg = 0,3043478260869565217391

Wählen wir die nächste Primzahl 29. Wir

erhalten :

10 : 29 = 034482758620689551724137931

00

100

87

© © CO ItH

260

232

,    © er

© © hH ,00 kH |rH 05 |05 rH |r—I

^ °

© tH 05 |C-CO I© ItH >tH 05 loi

o .oo

OO liO

160

145

COI CO ©' CO CO ©

150

145

■kJ

Er

Oï ©

toi Ü* © ©

I OO io ©

:§i8

© © ©1^ Ol I© 05 11—I

CO CO o¹ I—¹‘ Ü1|<1 CO o

, |_il LO oo¹ ©

^.1 H* col ^ Ol o

001 ł—¹ CO ©

toi CO ©■ oo oo ©

COI CO ©I -5 t-¹ ©

001 ©

•kJ* ©

o c-

260

230

co| oo *-* © o

Mayer, Mathematik IV

= 0,2068965517241379310344827586 A = 0,0689655172413793103448275862-

20

= 0,6896551724137931034482758620

CO 05

Hieraus erhalten wir:

A = 0,0344827586206896551724137931

ui)

10

CM H

= 0,3448275862068965517241379310

o7r = 0,4482758620689655172413793103

ui)

14

= 0,4827586206896551724137931034

24

2g = 0,8275862068965517241379310344

— = 0,2758620689655172413793103448

29

22

= 0,7586206896551724137931034492

17

= 0,5862068965517241379310344827

u\)

25

~ = 0,8620689655172413793103448275

18

^ = 0,6206896551724137931034482758

29

= 0,8965517241379310344827586206

28

₌ 0,9655172413793103448275862068

29

19

29

= 0,6551724137931034482758620689

16

.    = 0,5517241379310344827586206896

= 0,5172413793103448275862068965

15

9g = 0,1724137931034482758620689655

21

29

= 0,7241379310344827586206896551 4r- = 0,2413793103448275862068965517

LiV

2Q = 0,4137931034482758620689655172

= 0,1379310344827586206896551724

11

29

= 0,37931034482 75862068965517241

23

27

~ = 0,7931034482758620689655172414

~~ = 0,9310344827586206896551724137 = 0,3103448275862068965517241379 ■gg- = 0,1034482758620689655172413793

Für n = 31 erhalten wir:

10 : 31 = 032258064516129

00

T—I

col

O CO

O

l - ICO

05| 00

te o

ä io CO O O O |00 (M|o N'H

ssr

CO

05 O

O xO

O

^ |(M

rH IrH

tOi te 0^1 ot1 00 O

O IO

50

31

M K) Oł I CO <J 00 ÜJ O co O

190

Hier ist f=15, also e = 2, denn 10 ist keine primitive Wurzel zu 31; wir erhalten 2 Perioden.

Aus obigem Divisionsschema erhalten wir:

-L = 0,032258064516129 .....

31

10

= 0,322580645161290 oi

gj- = 0,225806451612903

gj- = 0,258064516129032

18

öt- = 0,580645161290322

CO

CD

Ol

CT

l—i

Dl

to

o-<

CO

CO

CD

rH

to

CD

CO

to

Crc

O 1—I    I-T—|

(M CO

i—l iCO

16

CD

CJl

CO

CO

IC

o<

CO

>o

CD

05

TO

Ol

Ol

OI

00

CD

--- = 0,516129032258064 ~ = 0,161290322580645

31

19

₃₁ = 0,612903225806451 = 0,129032258064516 — = 0,290322580645161

31

28

= 0,903225806451612

Um die zweite Periode zu erhalten, verwenden wir einen

Es kommt:

der noch nicht vorhandenen Zähler, etwa 3.

30:31 = 096774193548387

00

toi CO

-vl¹ O

CO o

O CO r-H 100 Ol IrH

to

tot

H-U rf*.

-J o

O t-CO I '~i

loi

to

I—>1 I—l

to¹ CO CO. OI ^ o

h-il o

IO

Oi

CO o

o oo -- i’M .Ol

iah¹

Ot O

150

124

to to

Oil

00 o

CO to CO o

O 00

SIS

to. to H to -et o

CO

Hieraus erhält man:

rH O t—t l—I i—(

00 CO CO <M CO

= 0,096774193548387

= 0,967741935483870

= 0,677419354838709

24

-    == 0,774193548387096

Ol

23

-Q1 = 0,741935483870967

OjL

13

T,₁ = 0,419354838709677

ol

4- == 0,193548387096774

ol

29

= 0,935483870967741

ol

11

o = 0,354838709677419

o JL

17

= 0,548387096774193

Ol

15

= 0,483870967741935

31

2« 5

= 0,838709677419354

31

12

31

= 0,387096774193548 .....

27

-st- = 0,870967741935483

31

22

₃₁ = 0,709677419354838

Es sei ferner:

n = 37.

Wir erhalten das Divisionsschema:

10: 37 = 027

00

o

O |t>-

ICi to c- Oi

o‘ o

oi

io

rH

CO DO CO M CO -J © -<ll © -q

Cd

DO

Ferner:

20 : 37 = 054

00

200

IrH

i^r

r—I |r—(

oo ©

und hieraus:

37“ = °>054

20

-gÿ = 0,540

15

öf = 0,405

ferner:

30 : 37 = 081

00

300

296

40

37

und hieraus:

⁵⁰ ICO CO ICO

= 0,081

= 0,810

= 0,108

und hieraus:

37

13

37

19

37

ferner :

und hieraus :

37

23

37

37

ferner :

50 : 37 = 135

37

130

111

190

185

= 0,135

= 0,351

= 0,513

tO| LO col 05 toi CO o

co

05

LO

00 ŁO O O¹

ko

= 0,162

= 0,621

cT

LO

05

co

00

o ,eo co co Ico

w = 0,189 •

33

37 = 0,891 •

34

W = 0,918

ferner:

90 : 37 = 243

74

160

148 120

111

und hieraus:

₃₇ = 0,243 •

16

3^ = 0,432

12

w = 0,324 •

ferner:

und hieraus:

11

37

110 : 37 = 297

74 360 333

270 259

11

0,297

(D l> N N CO CO <M CO

0,972

140 : 37 = 378

111

roi to Ot| COj CO o

DOj 03 CO l-k

Oł o

4-

und hieraus:

ferner:

14

w = 0,378

29

w = 0,783

31

w = 0,837

170 : 37

459

148

220

185

ool co

031 cn 03 O

und hieraus:

17

37

= 0,459

ferner:

(M l> iO O CM CO CO CO

= 0,594 •

= 0,945 •

180 : 37 = 486

148

320

296

. tel to ¹⁻¹ toi 4^ CO to o

37“ = °,486

18

32

37

= 0.864

37 = °’⁶⁴⁸

und ferner:

24

210 : 37 = 567

185

und hieraus:

O 03 io 103 03 103

toi tO C'l 00

O Ci

LC

21

37" = 0,567

25

= 0,675

37

28

37 = 0,756

Für den Nenner 37 erhalten wir also 12 Perioden, es ist f = 3, e = 12.

Wählen wir den Nenner 41; wir erhalten:

10 : 41 = 02439

00

001 o to o

O

CO ICO

r-l t-H

■    ¹—‘I l—¹¹

CO CO to Ci Cil *<l CO o

O Ci rH

■— = 0,02439

10

= 0,24390

41

18

= 0,43902 41

16

= 0,39024

4^ CO

¹—¹ *vj

CO

4^

Ferner:

4-

00

4^

I '-‘l to CO CO C5| ©

toi Oi o 00 o

LO. co COi CO 001 to toi CO -O o

O 00

und hieraus:

4^

oo

4—

20

4T = 0,48740

36

_ = 0,87404

32

4J- = 0,74048 • •

33

-7T- = 0,40487

und hieraus:

tf>- LG ^

i—¹ co i—¹

ferner :

also:

41

40

© t"

o.o © loo co Io CO |03

o ,co co loi

T—I IrH

co

rH

«<]

co

-<l

O L'OS |00 (M 03

CO

= 0,73170 • •

= 0,31707

Vl

co

0.0 O IO "st* IO ICO

CO

O L-1—l ICO

co 1er

LG| LG

ol co OT o

lg| lg ►M Cn

O CD

OS

co

-I

iO

co

31

41

= 0,75609

23

-=ź = 0,57091 •

41

25

-=~- = 0,60975

41

ferner :

50 : 41 = 12195

41

, I 00| CO

hM 00 to¹ o 1—1 o

CO CO Oil CO CO O

toi co ol h-* Ol o

Ol

und hieraus:

39

21

ferner:

41 = 0,12195

-TT = 0,21951 41

A1 = 0,19512 41

M = 0,95121 41

= 0,51219

—LJ ^    cs

OjI CO (—k o ^ o

co

CO o

toi to cM Ci Ci O

rH

O

t- ,co

M

co

also :

4f = 0,14634

19

41

= 0,46342

26

^ = 0,63414 41

14

= 0,34146

41

17

41 ⁼ °’⁴¹⁴⁶³

ferner:

110 : 41 = 26829 82

cci co

to' ^ o> o

oo o

cc. co ool co a œ ki o co o

und hieraus:

11

₄₁ - 0,26829

28

= 0,68292 41

CO

= 0,82926

12

■A-i = 0,29268 41

38

~ = 0,92682 41

und hieraus:

15

41

27

150 : 41 =

123

O CO

v-

CM «CM

LOI

O¹ rf*-CH O

IO

OOi 00 LOI CH

00 o

O xO CM IO CM <CM

rH

cn

CO

CJ<

oo

o<

₄₁ = 0,65853

24

₄₁ = 0,58536

35

41

= 0,85365

36585

22

₄₁ = 0,53658

Weitere Beispiele möge nun der Schülerselbstaufstellen.*) Für einen zusammengesetzten Nenner ergibt sich hinsichtlich der Periodenlänge der Satz:

Die Länge derPeriode d e r D e z im al b r üc h e für einen zusammengesetzten Nenner n ist gleich dem kleinsten gemeinschaftlichen Vielfachen der JPeriodenlünge für alle die Brüche, deren Nenner Teiler von n sind.

n = n' • n"

Denn ist:

und n' und n" relativ prim, und sind f und f" die kleinsten Exponenten, für die:

10f/ — 1 10f" — 1

und

durch n' und durch n" teilbar sind, so ist :

10f — 1

nur durch n teilbar, wenn f zugleich ein Vielfaches von n' und n" ist. Ist die Periodenlänge f, so muß :

*) Siehe auch Tabellen im Anhang.

10r — 1

durch n teilbar sein; man weiß also, daß alle Nenner mit der Periodenlänge f unter den Teilern von 10f—1 enthalten sind. Umgekehrt ist die Periodenlänge eines Bruches, dessen Nenner ein Teiler von 10f — 1 ist, entweder gleich f oder gleich einem Teiler von f.

Hiermit wollen wir die unendlichen Dezimalbrüche verlassen und zu den unbestimmten Gleichungen I. Grades übergehen.

§2.

Unbestimmte Gleichungen I. Grades.

Lösung mittels Zahlenkongruenzen.

Unbestimmte Gleichungen I. Grades haben wir schon im

III. Band behandelt; hier soll nur eine etwas andere Lösung gezeigt werden, sonst bleibt sich die Angelegenheit gleich. Es handelt sich darum, unbekannte ganze Zahlen zu bestimmen, von denen gewisse Eigenschaften verlangt werden. Die einfachste Aufgabe lautet:

Es seien a, b und c gegebene ganze Zahlen; es seien zwei andere ganze Zahlen x und y gesucht, so daß die Gleichung besteht:

ay — bx = c.

Wenn nun hierin a und b gemeinsamen Teiler d besäßen, so müßte, wenn die Aufgabe lösbar sein soll, auch c durch d teilbar sein; wir wollen also annehmen, daß a und b teilerfremd sind.

Wie nun Diophantische Gleichungen mittels Zahlenkongruenzen gelöst werden, wollen wir an nachfolgenden Beispielen zeigen (vgl. Heis, Aufgabensammlung § 79).

1.    71 in zwei Zahlen zu zerlegen, von denen die eine

durch 5, die andere durch 8 ohne Rest teilbar ist.

Der eine Faktor sei x, der andere y, dann ist:

5x -f- 8y = 71

und es ergeben sich die Kongruenzen:

5x E 71 (mod 8) 8y E 71 (mod 5)

Mayer, Mathematik IV.

5x E 71 - 2 ■ 6 E 55 (mod 8) x E 11 (mod 8)

15

x = 11 + 8 n

8 y E 71 — 3 • 15 (mod 5) 8y E 56 y E 7 (mod 5) y E 2 (mod 5)

y == 2 — 5 n.

und da der eine Faktor abnimmt, wenn der andere wach st allgemein :

Wir erhalten :

für n = 0:

x = 11

für n — — 1 :

die anderen Lösungen sind unbrauchbar.

2.    131 in zwei Teile zu zerlegen, so daß der eine Teil

durch 7 dividiert zum Reste 3 und der andere durch 11 dividiert, zum Reste 5 läßt.

Angenommen der eine Faktor sei x, der andere y, so ergibt sich nach den Bestimmungen der Aufgabe die Gleichung:

oder :

(7 x —j— 3) -4— (11 y + 5) = 131 7 x -f- 11 y = 123

Hieraus ergeben sich die beiden Zahlenkongruenzen:

7 x E 123 (mod 11) lly E 123 (mod 7)

7x E 123 — llE 112 (mod 11) x E 16 (mod 11) x E 16 (mod 11) E 5 (mod 11) lly E 123 — 7 • 5 E 88 (mod 7) lly E 88 (mod 7) y E 8 (mod 7) y E 1 (mod 7)

x = 16 — 11 n y = 1 4- 7n

für n = 0: und für n — 1 :

3. Jemand kauft 124 Stück Vieh, nämlich Schweine, Ziegen und Schafe für 2400 Mark. Ein Schwein kostet 27 Mark, eine Ziege 19 Mark und ein Schaf 7¹/₂ Mark. Wieviel Stück von jeder Gattung sind es?

Angenommen es seien x Schweine, y Ziegen und z Schafe. Es ergeben sich dann nach den Bestimmungen der Aufgabe die Gleichungen:

x + y z = 124.

27x -f- 19y -J- 7¹/₂z == 2400

54 x -f 38 y -f 15 z = 4800 15x -j- 15y -f- 15z = 1860

und hieraus:

und :

39 x + 23 y = 2940

39 x e 2940 (mod 23) 23 y E 2940 (mod 39)

3 • 13x E 3 • 980 (mod 23)

13 x E 980 (mod 23)

13 x E 980 — 7 ■ 23 (mod 23)

13x E 819 (mod 23) x E 63 (mod 23) x E 40 (mod 23) x E 17 (mod 23)

23 y E 2940 (mod 39)

23 y E 2940 — 75-39 (mod 39)

23 y E 15 (mod 39)

69 y e 15 (mod 39)

also :

78 y E 0 (mod 39)

9y E — 45 (mod 39)

Hier dürfen wir nun — 45 und 9 nicht ohne weiteres durch 9 dividieren, da 9 zum Modul 39 nicht relativ prim ist. Wir erhalten nach den früheren Sätzen :

3 y E — 15 (mod 13) y E — 5 (mod 13) yE — 5 -)- 13 E 8 (mod 13) y E 21 (mod 13) y E 60 (mod 13) y E 99 (mod 13).

Wir haben also :

x = 17 + 23 n y = 99 — 39 n

Es sind also :

oder : oder:

17 Schweine, 99 Ziegen und 8 Schafe 40 Schweine, 60 Ziegen und 24 Schafe 63 Schweine, 21 Ziegen und 40 Schafe.

3a. Jemand kauft Ochsen und Pferde, und zahlt für einen Ochsen 198 Mark, für ein Pferd 282 Mark und findet, daß die Ochsen 36 Mark mehr gekostet haben als die Pferde. Wieviel Ochsen und Pferde sind es gewesen?

Angenommen es seien x Ochsen und y Pferde gewesen ; es ergibt sich dann ohne weiteres die Gleichung:

oder:

und hieraus ergeben sich die Kongruenzen:

198 x = 282 y -f 36 33 x = 47 y -j- 6

33 x — 6 (mod 47)

11 x E 2 (mod 47)

11 x E 2 + 3 • 47 (mod 47)

11 x E 143 (mod 47) x E 13 (mod 47)

47 y E — 6 (mod 33)

33 y E 0 (mod 33)

14 y E — 6 (mod 33)

7 y E — 3 (mod 33)

7 y E — 3 — 5 • 33 = — 168 (mod 33) y E — 24 (mod 33) y E — 24 + 33 (mod 33) y E 9 (mod 33)

also :

x = 13 -j- 47 n y ■— 9 —|— 33 n worin n jede ganze positive Zahl sein kann.

4. Hätte ich 8 mal so viel Eier, als ich jetzt habe, spricht eine Bäuerin zur andern, und Du 7 mal soviel, als Du jetzt hast, und gäbe ich Dir alsdann ein Ei, so hätten wir beide gleich viel Eier. Wieviel Eier hatte jede der Bäuerinnen?

Angenommen die eine Bäuerin habe x, die andere y Eier, dann ergibt sich aus den Bestimmungen der Aufgabe die Gleichung :

oder:

8x — 1 = 7y -f 1, 8x = 7y + 2. Hieraus ergeben sich die Kongruenzen :

8 x E 7 (mod 7)

7 y E — 2 (mod 8)

hierzu :

8x — 2 (mod 7) 7 x e 0 (mod 7)

x E 2 (mod 7)

7    y E — 2 (mod 8)

8    y E 0 (mod 8)

daher:

y — 2 (mod 8) x = 2 + 7n y = 2 -j- 8 n

worin n jede positive ganze Zahl sein kann. Lösungen sind also:

x = 2, x — 9,

5. Ein gezahntes Rad mit 17 Zähnen greift in die Zahnlücken eines andern Rades von 13 Zähnen ein. Wieviel Umdrehungen wird jedes der Räder machen müssen, bis jeder Zahn des ersten Rades wieder in dieselben Zahnlücken des zweiten Rades eingreift?

Angenommen das erste Rad mache x, das zweite y Umdrehungen, dann ergibt sich die Gleichung:

17 x = 13y

17 x E 0 (mod 13)

13 7 E 0 (mod 17)

ö ö

co v-

rH rH

6. Die Zähne eines gezahnten Rades, welches mit einem andern in Verbindung steht, sind der Ordnung nach mit den Zahlen 1, 2, 3 bis 35 bezeichnet; ebenso sind die Zahnlücken des zweiten Rades nacheinander mit den Zahlen 1, 2, 3, bis 47 bezeichnet. Wenn nun der erste Zahn des ersten Rades in die erste Zahnlücke des zweiten Rades eingreift, wieviel Umdrehungen wird jedes Rad gemacht haben, wenn der erste Zahn des ersten Rades in die achte Zahnlücke des zweiten Rades eingreift?

Es ergibt sich die Gleichung:

35 x = 47 y + 7.

also :

35 x — 7 (mod 47)

47 7 E — 7 (mod 35)

35 x = 7 (mod 47)

5 x E 1 (mod 47)

5x E 1 + 2-47 (mod 47) 5 x e 95 (mod 47) x E 19 (mod 47)

47 y E — 7 (mod 35)

35 7 — 0 (mod 35)

12y e — 7 (mod 35)

12 7 e — 7 -j- 5 • 35 E 168 (mod 35) 7 E 14 (mod 35)

also :

x = 19 + 47 n 7 = 14 —}— 35 n,

worin n jede ganze positive Zahl sein kann.

7- Wenn ein gezahntes Rad 27, ein anderes 35 Zähne hat, wird alsdann nach und nach jeder Zahn des ersten Rades

in jede Zahnlücke des zweiten Rades kommen? Wird dieses auch geschehen, wenn das erste Rad 28, das zweite 35 Zähne hat? Von welcher Art muß die Anzahl der Zähne bei zwei ineinander greifenden Rädern sein, wenn alle Zähne des einen nach und nach in alle Zahnlücken des anderen Rades gelangen sollen?

In den Kongruenzen:

27 x — 0 (mod 35)

35 y — 0 (mod 27)

sind Präzedent und Modul relativ prim, es muß also das erste Rad 35, das zweite 27 Umdrehungen machen, bis wieder derselbe Zahn in dieselbe Lücke greift; es greifen also alle Zähne in alle Lücken. In:

28 x — 0 (mod 35)

ist zu vereinfachen:

4x E 0 (mod 5) x = 0 -j- 5 n.

Alle 5 Umdrehungen des ersten Rades greift also derselbe Zahn des ersten Rades wieder in dieselbe Lücke des zweiten Rades, es können also nicht alle Zähne des ersten Rades in alle Lücken des zweiten Rades eingreifen. Das allmähliche Eingreifen jedes Zahnes des ersten Rades in jede Lücke des zwei-ten Rades ist also nur dann möglich, wenn die Anzahl der Zähne des ersten Rades zur Anzahl der Lücken des zweiten Rades relativ prim ist.

8. Welche Zahl gibt durch 4 dividiert 1, und durch 5 dividiert 3 zum Rest.

Die Zahl hat die beiden Formen:

und : also : oder: hieraus ;

4x =    5y -j- 2

4x — 2 (mod 5)

5y E — 2 (mod 4)

4x E 2 -f 2 • 5 = 12 (mod 5) x E 3 (mod 5)

5 y E 10 (mod 4)

also :

7 = 2 (mod 4) x = 3 + 5 n 7 = 2 -j- 4 n.

Setzt man in die Form:

4x + 1

den Wert für x ein, so kommt:

4 (3 + 5 n) -f- 1 = 13 + 20 n

also heißt die Zahl für n — 0, 1, 2, 3.....

n = 0 n = 1

13

33

n = 2 :    53

n = 3 :    73 etc.

9. Welche Zahl läßt, durch 3, 5 und 7 dividiert, nach der Reihe die Reste 2, 2 und 5?

Die gesuchte Zahl hat, da sie für 3 und 5 den gleichen Rest läßt, die Formen:

und : daher: oder: also:

15 x + 2

7 7 + 5

15x —2 = 7y —f— 5 15 x = 77 + 3 15 x E 3 (mod 7)

7 7 E — 3 (mod 15)

15 x — 3 (mod 7) 14 x E 0 (mod 7)

x E 3 (mod 7)

7 7 E — 3 (mod 15) 14y E — 6 (mod 15) 15 7 E 0 (mod 15)

also allgemein:

y zz 6 (mod 15)

15 n.

Die Zahl heißt also:

to.

co

15 (3 -f 7 n) + 2 = 47 -f 105 n Solche Zahlen sind also :

n = 0:    47

n = 1:    152

Cd

CO

vO ço CO

10. Welche Zahl läßt durch 4, 10 und 24 dividiert nach, einander die Reste 1, 7 und 9?

Die gesuchte Zahl hat die Formen:

4x -j- 1 10 y + 7 24 z -f- 9.

Es ist daher zunächst:

und hieraus:

also allgemein:

1 = 10y + 7 2x = 5y -j- 3

2x E 3 (mod 5)

5 y E — 3 (mod 2)

2x — 8 (mod 5) x E 4 (mod 5)

5xE — 3 + 4- 2 = 5 (mod 2} y E 1 (mod 2)

x = 4 + 5 n y = 1 +2n.

Setzt man in die Form:

4x -}- 1

den Wert für x ein, so kommt:

4 (4 + 5 n) + 1 = 17 + 20 n

also auch:

24z + 9 = 17 + 20 n 24z = 8 + 20 n 6 z = 5n 2.

Es ist also :

6 z — 2 (mod 5) 5 z E 0 (mod 5)

z E 2 (mod 5)

5 n E — 2 (mod 6) 6n E 0 (mod 6)

also allgemein :

n — 2 (mod 6)

kommt:

n = 2 -f 6m.

Setzt man diesen Wert in die Form der Zahl ein, so

17 -f 20 (2 + 6 m) = 57 + 120m, worin m jede ganze positive Zahl sein kann. Gesuchte Zahlen sind :

57

n = 0: n = 1: 177 n = 2: 297 n = 3: 417

11.

Welche Zahl gibt, durch 3, 5, 7 und 11 dividiert, die Reste 1, 4, 1 und 9.

Die gesuchte Zahl hat die Formen:

21 x + 1

⁵ 7 + 4 11z + 9

Es ist also zunächst:

und hieraus:

21 x + 1 = 5y + 4 21 x = 5y -f 3

21 x — 3 (mod 5)

5 y E — 3 (mod 21)

21 x — 3 (mod 5) 20x E 0 (mod 5)

x E 3 (mod 5)

5y E — 3 (mod 21) 20y e — 12 (mod 21) 21 y E 0 (mod 21)

also allgemein:

y — 12 (mod 21)

x — 3 —j— 5 n y = 12 -f- 21 n

Die gesuchte Zahl hat daher die Form:

21 (3 + 5 n) + 1 = 64 -f 105 n Es ist daher ferner:

und hieraus:

Hz 4- 9 = 64 4- 105n

11 z = 55 4“ 105 n

11z E 55 (mod 105) 105 n E — 55 (mod 11)

z — 5 (mod 10ö)

21 n E — 11 (modli)

also allgemein:

21 n E — 11 -f 11 (modli) n E 0 (mod 11)

O Çjt

4- 105n -i- U m.

Die gesuchte Zahl hat also die allgemeine Form:

64 + 105 (0+- 11 m) = 64 + 1 155 m und hieraus erhalten wir als einige der gesuchten Zahlen:

K) H O

64

1219

CO I O

CO

12. Ein Gärtner hat weniger als 1000 Stück Bäume. Pflanzt er dieselben in Reihen, so daß in jede Reihe 37 kommen, so

und hieraus erhalten wir als allgemeine Form der gesuchten Zahl:

37 (21 + 44 n) + 8 = 37 • 21 -f 37 • 43 n + 8

Da die Anzahl der Bäume kleiner sein soll als 1000, so ist dieselbe:

bleiben ihm 8 Stück übrig; pflanzt er sie aber in Reihen, so daß in jede Reihe 43 kommen, so bleiben ihm 11 Stück übrig. Wieviel Bäume sind es?

Die gesuchte Anzahl der Bäume muß die Form haben: 37 x -f 8

und ebenso die Form:

43 y + 11.

Es muß also: 37x -j- 8 — 43y -f- 11 37 x = 43y -f- 3

und hieraus ergibt sich:

37 x = 3 (mod 43)

43 y = — 3 (mod 37)

37 x = 3 (mod 43) 43 x = 0 (mod 43)

hierzu :

6 x = — 3 (mod 43)

36    x =

37    x = 3 (mod 43)

18 (mod 43)

co r— CO

hierzu;

CO co

<1 Ci Ca

v; vc< x:

21 (mod 43)

—    3 (mod 37) 0 (mod 37)

—    3 (mod 37)

—    18 (mod 37) 0 (mod 37)

also allgemein:

y = 18 (mod 37)

x = 21 +

y = 18 +

CO

co

z = 37 • 21 + 8 = 785.

^3. Welche Zahl gibt, durch 28 dividiert, den Rest 20, durch 19 dividiert, den Rest 12 und, durch 15 dividiert, den Rest 10? (Vergl. auch Bd. III, Aufgabe 3, Seite 150).

Die gesuchte Zahl muß die Formen haben: 28 x -f 20 19 y + 12 15 z + 10.

Es ist also zunächst?

28 x + 20

oder:

und hieraus:

19 y -f 12 28 x = 19 y — 8 19 y = 28 x -f- 8

28x = — 8 (mod 19) 19 y E 8 (mod 28)

7 x — — 2 (mod 19)

7 x E — 2 + 6-19 (mod 19) 7 x E 112 (mod 19) x E 16 (mod 19)

28 y — 0 (mod 28)

9 y E — 8 (mod 28) 27 y E — 24 (mod 28)

Allgemein also:

y — 24 (mod 28)

x — 16 -J- 19 n y = 24 -j- 28 n.

Setzt man den Wert für x in die entsprechende Form der Zahl ein, so kommt:

28 (16 -f 19 n) + 20 = 468 + 532 m Es muß also auch:

oder:

15z -f 10 = 468 + 532 n 15 z = 532 n + 458

und hieraus ergibt sich:

15z = 458 (mod 532) 532n = — 458 (mod 15)

15 z = 458 -j- 532 (mod 532) 15 z = 990 (mod 532)

also allgemein.

z ee 66 (mod 532)

532 n 525 n

— 458 (mod 15) 0 (mod 15)

7n = — 458 (mod 15)

— 458 4-31-15 (mod 15) 7 n =7 (mod 15) n = 1 (mod 15)

z = 66 4 532 m n = 1 -f 15 m,

daher die allgemeine Form der Zahl:

468 4- 532 (1 4- 15 m) = 1000 -j- 7980 n. Für n = 0 kommt:

Für n = 1 kommt: Für n = 2 kommt:

z = 1000 z = 8980 z = 16960.

14. Dreißig Personen, Männer, Weiber und Kinder, verzehrten zusammen für 232 Mark; ein Mann bezahlte 14 Mark, eine Frau Mark und 1 Kind 1 Mark. Wieviel Männer, Weiber und Kinder waren es?

Es seien x Männer, y Weiber und z Kinder gewesen, dann bestehen nach den Angaben der Aufgabe die beiden Gleichungen :

x -j- y + z = 30 14 x 4~ 5,5 y 4- z = 232

28x + 11 y 4~ 2z =464

2x4-2y'4~2z = 60

Hieraus ergibt sich:

26 x 4~ 9 y = 404.

26 x = 404 (mod 9)

9y

404 (mod 26)

13 x = 202 (mod 9)

13 x = 202 — 8-9 (mod 9)

13 x = 130 (mod 9) x = 10 mod 9)

9y

9 y = 404 — 26 (mod 26) 378 (mod 26)

42 (mod 26) y = 16 (mod 26)

also allgemein :

x = 10 + 9n y = 16 -j- 26 n.

Es waren also 10 Männer, 16 Weiber und 4 Kinder.

15. Es wird angezeigt, daß 3 Reisfässer, deren jedes gleichviel Reis enthält, von Dieben zum Teil geleert worden sind. Man wußte nicht, wieviel Reis im Ganzen sich darin, befand, jedoch in jedem Faß weniger als 1000 Ho, aber es ergab sich, daß in dem einen Fasse noch 1 Ho übrig gelassen war, in dem zweiten noch 11 Ho und in dem dritten noch 1 Ho. Als man der Diebe habhaft wurde, gestand A, daß er mit einer Schaufel mehrere Male aus dem ersten Faß den Reis in einen Sack gefüllt habe; B, daß er in der Eile einen hölzernen Schuh ergriffen und diesen mehrere Male aus dem zweiten Fasse voll geschöpft, und C, daß er eine Schüssel mehrere Male aus dem dritten Faß gefüllt habe. Diese drei Gefäße, deren sich die Diebe bedient haben, sind zur Stelle und es ergibt sich, daß die Schaufel 11 Ho, der Holzschuh 17 Ho und die Schüssel 12 Ho enthalten. YVie viel Reis befand sich in jedem Fasse?

(Vergl. auch Bd. III, Aufgabe 4, Seite 153.)

Nach den Bestimmungen der Aufgabe enthält das erste Faß: 11 x —|— 1 Ho, das zweite 17 y 4- 11 und das dritte 12z. + 1 Ho. Da in jedem gleichviel Reis ist, so ist vorerst:

und hieraus :

llx + 1 = 17y 4- H llx = 17 y -f 10

11 x = 10 (mod 17) 17y = — 10 (mod 11)

llx = 10 + 2 - 17 (mod 17) 11 x = 44 (mod 17) x = 4 (mod 17)

17 y = — 10 —{— 4 - 11 (mod 11) 17 y = 34 (mod 11)

2 (mod 11)

also allgemein:

2 = 4 7 = 2

Hiernach ist auch:

17 n

lin

12z + 1 = 17 (2 + 11 n) + 11 12z = 187 n + 44

und hieraus :

12 z = 44 (mod 187) 187 n = — 44 (mod 12)

3 z = 11 (mod 187)

3 z = 11 + 1* 187 (mod 187) 3 z = 198 (mod 187) z = 66 (mod 187)

187 n = — 44 (mod 12)

17 n = — 4 (mod 12)

17 n = — 4 + 6 • 12 (mod 12)

17 n = 68 (mod 12)

. also :

4 (mod 12)

z = 66 -f- 187 m n = 4 + 12 m.

Also allgemein der Faßinhalt:

187 (4 -f 12 m) + 45.

Da aber der Inhalt nicht größer als 1000 Ho sein soll, so muß m = 0 gewählt werden, und es kommt:

J = 187 • 4 + 45 = 748 + 45 = 793 Ho.

Ein Faß enthielt also 793 Ho.

16. Eine Gesellschaft nimmt von ihren ordentlichen Mitgliedern je 10 Mark, von den außerordentlichen je 3 Mark als Vierteljahresbeitrag, ihre Gesamteinnahme im Vierteljahr stellt sich auf 800 Mark. Wieviel Mitglieder jeder Art zählt sie, wenn -die Gesamtzahl aller Mitglieder zwischen 90 und 100 liegt? Angenommen es seien x ordentliche und y außerordent-liche Mitglieder, dann betragen nach den Festsetzungen der Aufgabe die Vierteljahreseinnahmen:

(10 x -]- 3 y) Mark.

Nach Aufgabe soll diese Einnahme 800 Mark betragen, so daß die Gleichung besteht:

lOx + 3 y = 800

und hieraus ergibt sich:

10 x = 800 (mod 3)

3 y = 800 (mod 10)

allgemein :

allgemein :

x = 80 (mod 3) x = 80 — 26 • 3 = 2 (mod 3)

x = 80 — 3 n 3 y = 800 -j- 10 • 10 (mod 10) 900 (mod 10) y = 300 (mod 10)

y = 0 -j- 10 n.

Lassen wir nun für n den Wert 2 eintreten, so kommt: x = 80 — 6 = 74 y = 0 + 2 • 10 = 20

so daß es also insgesamt 94 Mitglieder sind, 74 ordentliche und 20 außerordentliche.

§3.

Lineare Kettendivision.

Erklärung der Gaußschen Klammer [ ].

Wir unterscheiden im folgenden zwischen End wert und seinen Vorwerten.

[5J

Der Ausdruck:

bedeutet so viel als 5 selbst, sein Vorwert ist 1. Eine leere Klammer ist also gleich einer algorithmischen Eins zu erachten, also:

[•] = I-

Wird hierzu noch ein Vorwert nötig, so ist er 0.

Bei zwei Elementen ist der Klammerausdruck gleich dem

16

Mayer, Mathematik IV

Der Endwert ist also 267, die Vorwerte sind 5, 36, 77

oder:

um 1 vermehrten Produkt der in der Klammer stehenden beiden Elementen, wie wir in dieser Angelegenheit die Zahlen in der Klammer nennen. Es ist also:

oder:

[7,5] = [6,9] =

CO lO

1 = 36 1 = 55

[2,7] = 14 + 1 = 15 etc.

Der End wert in diesen Beispielen ist 36, resp. 55, resp, 15 ,-der Vorwert ist 5, resp. 9, resp. 7.

Ist jeweils noch ein Vorwert nötig, so ist dieser in allen Fällen 1. Bei drei Elementen:

[2, 7, 5]

werden der vorige Vorwert 5 und der vorige Endwert 36 als Vorwerte benützt und in die linke und rechte Kolonne geschrieben. Nun wird der Endwert von oben, hier also 36, mit dem neuen Element 2 multipliziert, das Produkt in die linke Kolonne geschrieben und zu dem darüber stehenden Wert addiert. Dies ergibt den Endwert, hier 77 Wir haben das Schema:

Linke Kolonne Rechte Kolonne

36

72

77

Bei vier und mehreren Elementen wird jeder Vorwert mit dem entsprechenden neu hinzugekommenen Element multipliziert, dieses Produkt in die andere Kolonne geschrieben und zu dem bereits in dieser Kolonne stehenden Wert addiert.

Also z. B.

[3, 2, 7, 5]:

Linke Kolonne Rechte Kolonne

•<1 «<]

“^1 tO Ot

co

CO

to LO 03 03 “<l| H-¹

[6, 3, 2, 7, 5J:

Linke Kolonne

Rechte Kolonne

72

77

1602

1679

36

231

267

Der Endwert ist 1679. Vorwerte sind: 5, 36, 77, 267. Aus diesem Schema erhellt ohne weiteres der Satz:

Ist das letzte El eme nt 1, so darf es fortg-elassen werden, wenn man das vorletzte um eine Einheit erhöht:

So gibt z. B.

und :

denselben End wert; nämlich:

[2, 3, 6, 7, 1] [2, 3, 6, 8]

Linke Kolonne

Rechte Kolonne

48

49

147

155

310

359

und:

Linke Kolonne

Rechte Kolonne

49

147

155

310

359

Es leuchtet nun auch ein, daß der Vorwert einer einzelnen Zahl 1 ist. Ferner ist leicht einzusehen, daß derselbe Endwert resultiert, wenn man die Klammer von links nach rechts, d. h.

62405 63782

[0, 8, 9, 12]

Der Endwert ist also 63782. Ferner:

Vom Ende aus kommt:

Rechte Kolonne

vom Anfang- an berechnet. Man kann diesen Satz als Probe benützen.

Für obig-es Beispiel erhalten wir:

[2, 3, 6, 8]:

Linke Kolonne Rechte Kolonne

42

44

352

359'

also derselbe Endwert. Man berechne:

[7, 6, 2, 9, 5, 14] Man erhält „vom Ende“ aus

Linke Kolonne Rechte Kolonne

14

639

71

653

1306

CM 40 CO T—< CM 05 00 00

1377

Linke Kolonne

12

872

109

Der Endwert ist also 109. Vorwerte sind 12, 109, 884. Faßt man nur den Endwert ins Auge, so gilt der Satz:

Ist das erste Element eineNull, so darf sie mit samt ihrem folgenden Element fortgelassen werden.

Man berechne ferner:

[— 2, 14, 11, 5] = ?

Vom Ende aus:

Vom Anfang aus:

Linke Kol

Rechte Kol.

Linke Kol.

Rechte Kol.

784

789

56

— 297

- 299

— 27

— 1578

— 1495

— 1522

— 1522

Der Endwert ist also — 1522. Ferner zu berechnen:

[- 1, 1, 1, 1, 1, 1, 11

Linke Kolonne Rechte Kolonne

i—H

to

CM CO

co ko

joo

oo

13

— 13

Der Endwert ist also — 5.

314

gegeben. Man suche

nach der in Bd. I, § 7 gezeigten Weise den größten gemeinschaftlichen Teiler:

Es sei nun ein unechter Bruch

100

100

CO 00

I-* o I—1 o ^

CO

l—l

O 00 O 05

**3

rH

^3

2 ist

Will

der größte Teiler, man eine gerade Anzahl

von Quotienten, so erhält

man :

100

CO CO

rH O

i—i

rH

O 00 O 05

^3

to

to to' 05

Der Zähler des vereinfachten Bruches

314

157

50

100

ist, wenn wir die einzelnen Quotienten als Elemente nehmen, Klammer von allen Elementen, und der Nenner-Klammer von allen Elementen mit Ausnahme des Anfangselementes.

157

50

[3, 7, 6, 1]

[7, 6, 1]

= (3, 7, 6, 1).

Soll man nun einen bestimmten Näherungswert ermitteln, z. B. den dritten, so bilde man die Klammer von den drei ersten Elementen und berechne sie vom Ende aus, ihr Endwert ist derZählerund der unmittelbar vorhergehende Vorwert der Nenner des verlangten Näherungswertes.

Für unser Beispiel erhalten wir:

Linke Kolonne

Rechte Kolonne

129

135

also: dritter Näherungswert: = 3.

CO |i—I

Der

erste

End wert

135

orhergehender Vorwert Näherungswert wird:

43

Braucht man aber alle Näherungswerte, so bilde man zwei Klammern und zwar die von allen Elementen, und die von allen mit Ausnahme des ersten Elementes, und zwar beide vom Anfang aus; dann geben die Quotienten der einzelnen Vor werte die gesuchten Näherungswerte.

Für unser Beispiel erhalten wir:

[3, 7, 6, 1J und [7, 6, 6, 1]

Linke Kol.

Rechte Kol.

Linke Kol.

Rechte Kol.

132

135

22

43

50

43

135

157

Die Vorwerte sind also: 3, 22, 135

1, 7, 43

und:

und hieraus ergeben sich die Näherungswerte:

„ 22    135

3, y und; -yp

Man soll die Näherungswerte von

bestimmen.

Man erhält:

443,296 : 139,130

139130 443296 417390

25906

139130 5 129530

9600

2590612

19200

670619600 1

16706

2894

GO O

oo os

rH

00

CO CO

oo:

cp

CO

140 918 6

Um die erlangten Näherungswerte zu erhalten, haben wir die Klammern zu berechnen:

[3, 5, 2, 1, 2, 3, 6, 1, 1, 3, 1, 7J

Î840

78

co

O 00

IC

und :

00 O l

LLl'P

[5, 2, 1, 2, 3, 6, 1, 1, 3, 1, 7] und zwar beide vom Anfang aus. Wir erhalten:

CO

Linke Kolonne IR echte

<u

CO -rH 03

I r-H rH

h-±

16

CO CO

CVI lO

35

51

102

137

411

462

2772

2909

2909

3371

3371

6280

18840

22211

22211

28491

199437

221648

Für die zweite Klammer erhalten wir:

Linke Kolonne

Rechte Kolonne

rH

r—I

11

16

CM CO CO ^

129

145

870

913

913

1058

1058

5913

1971

6971

6971

8942

62594

69565

Die beiden Klammern haben also die Vorwerte:

3, 16, 35, 51, 137, 462, 2909, 3371, 6280, 22211, 28491. 1, 5, 11, 16, 43, 145, 913, 1058, 1971, 6971, 8942. und hieraus erg'eben sich die Näherungswerte:

1-0 I rH

3    16

T T»

Man soll ferner die Näherungswerte des Verhältnisses des Durchmessers einer Kugel zur Seite des ihr an Inhalt gleichen Würfels :

1 : 0805996

bestimmen.

Wir erhalten:

8059961000000jl

805996!

194004 805996 776016

29980

1940046

179880;

1412412998012

28248

1732

^ CO CM IO rH 00 CO

r—i rH

OO

268

CM 00

CO o l>- co

rH t—!

CO

124

LO CO Ol GO OO

to

IO

I—¹ |—11 CO to O

CO

o o

|CM CM

Um nun die Vorwerte und aus ihnen die Näherungswerte zu erhalten, haben wir die Klammern zu berechnen:

und:

[1, 4, 6, 2, 8, 6, 2, 6, 5]

[4, 6, 2, 8, 6, 2, 6, 5],

Wir erhalten:

Linke Kol. Rechte Kol.

30

31

536

567

6938

01 01 -1 CO

3402

3469

7505

45030

48499

242495

250000

Ferner:

Linke Kol,

Rechte Kol.

25

50

54

432

457

2742

2796

5592

6049

36294

39090

195450

201499

Wir haben also die Vorwerte:

5, 31, 67, 567, 3469, 7505, 48499 4, 25, 54, 457, 2796, 6049, 39090 und hieraus die Näherungswerte :

5    31    67    577    3469    7505    48499

4 ’    25 ’    54 '    457 ’    2796    ’    6049    ’    39090    '

Ist in einem Bruch der Zähler negativ, so wird das erste Element negativ, muß aber, damit nicht auch alle folgenden Elemente negativ werden, numerisch um eine Einheit erhöht werden. Es sei z. B der Näherungswert zu bestimmen von:

43

19

Man erhält:

19

CO I>-^ iß

GtH ko

t-H rH

_>o

^ © b*

CM

r-H

Man hat also zu berechnen:

[- 3, 1, 2, 1]

und zwar vom Ende aus, man erhält:

Linke Kol.

Rechte Kol.

CO

— 12

Der vierte Näherungswert ist also; -

Will man alle Näherungswerte, so hat man von Anfang aus zu berechnen:

[- 3, 1, 2, 1, 4J [1, 2, 1, 4]

Man erhält :

Linke Kol. Rechte Kol. und: Linke Kol. Rechte Kol.

rH

CO

9“

cd! cs

36

43

Man hat also die Vorwerte:

CD

Wollte man einen fünften Näherungswert, so hätte man zu berechnen:

und ;

und es käme:

00 T-l r-T CO

CS t-T

t—T rH

CO ^_

h-*

Linke Kol. Rechte Kol. und: Linke Kol. Rechte Kol.

rH

CO

co Ni

<M !iO

T—I | 1—I

27

34

1—M I-*

col crt

34

43

also die Vorwerte:

— 3, — 2, — 7, — 9, — 34 1,    1,    3,    4,    15

und hieraus den fünften Näherungswert, nach Heis Nebennäherungswert: ---

y/

Unbestimmte Gleichungen I. Grades.

Lösung- mittels Kettendivision.

Wir geben im folgenden nur das Verfahren an, nach welchem man diophantische Gleichungen I. Grades mittels Kettendivision lösen kann; auf den Beweis der Richtigkeit des Verfahrens können wir hier nicht eingehen.

Ist:

ax -j- by -f- c = 0

die Normalform, und sind a, b, und c relativ prim, so dividiert man mit dem ersten Koeffizienten in den negativ genommenen zweiten, so zwar, daß man eine gerade Anzahl Elemente erhält. Dann bildet man die Klammer von allen Elementen mit Ausnahme des letzten und berechnet die Klammer vom Ende aus.

x ist dann das c-fache des Endwertes vermehrt um ein n-faches des negativ g-enommenen zweiten Ko effizienten.

y ist das c-fache des letzten Vorwertes vermehrt um dasselbe n-fache des ersten Koeffizienten.

Natürlich wählen wir für das allgemeine Resultat n wieder so, daß man das kleinste positive x erhält.

Beispiel.

47 x — 89y — 1 = 0

-<l

^ 00 DO

1—1

jo o to

00

I    Qx

H mm' co

i—I

[1, h 8, 2, 1]

Linke Kol. Rechte Kol.

i—*

CO

toi DO ml rf*.

*0 100 co ! i—<

00 ICO Ol liO

Also

x = — 53 + 89 n

x = — 53 + 89 • 1 = 36 y = _ 28 -f 47 n

y — — 28 —(— 47 * 1 = 19

Andere Werte erhält man durch Einsetzen von n = 2, 3, 4* • •

23 x    72 y — 1 = 0.

Beispiel:

23— 72—4 =p 92

IC

CO O 03 03

r*H

02

O 00 03 i—I

03

jH I O 02

rH

© h-k

[- 4, 1, 6, 1, 11 = ? Linke Kol. Rechte Kol.

H-H h-k

021 ro    i—¹

to

rH

CO

15

— 60 — 47

Also :

x = — 1 • (— 47) — 72n = 47 — 72n y — — 1 • 15 -j- 23n    = — 15 -f- 23n

x = 47

y = — 15.

Weitere Werte erhält man durch Einsetzen von n = 1, 2,3 - - • -Beispiel:

5x -f- 3y — 70 = 0 5—    — 1

Ot CO

lO

03 rH rH

rH

ir±r±®

h-k

Also :

[- 1, 2, 1] = ?

Linke Kol.

Rechte Kol.

x = — 2 •— 70 — 3n = 140 — 3n Y — — 70 * 3 —f— 5n = — 210 -j- 5n

x = 140 — 46 • 3 = 2 y = _ 210 -f 5- 46 = 20

Die weiteren Werte erhält man wie oben. Beispiel.

6x —f— 17 y — 500 = 0

6— 17 =F 18

616

6j

End wert: — 3, Vorwert 1.

Hieraus :

x = — 500 • (— 3) — 17n = 1500 — 17n. y — — 500 -(- 6 n

x = 1500 — 88 • 17 = 4 y == — 500 -f- 6 • 88 = 28.

16x -f 39 y — 1111 = 0 161— 39!— 3

IhF ⁴⁸i

_2!7 3

111

[ - 3, 1, 1, 3, 1] = ?

Linke Kol.

Rechte Kol.

— 27

- 22

und hieraus:

x = — 1111 • (— 22) — 39 n = 24442 — 39n y — — 1111 • 9 -f 16n = — 9999 -f 16n

x = 24442 — 626 • 39 = 28 y = — 9999 -f 10016 = 17 Weitere Werte sind leicht zu berechnen.

Wie man bei zwei Gleichungen mit 3 Unbekannten zu verfahren hat, möge das folgende Beispiel zeigen.

B eispiel:

x-]-2y-}-3z = 22 4x — 3 y -j- 2z = 14 2x + 4y-f6z = 44 12x — 9y-f- 6z = 42

10 x — 13 y = — 2 lOx — 13 y —2 = 0

h-»

CO o

rH t—H

l-i

CO

CO o

CO

h-¹ coco

ro

rH tH

io

Mayer, Mathematik. IV

[1, 3, 2] = ? Linke Kol. Rechte Kol.

Also :

y = 2-7

_L -|-

CO O

•~i

rH rH

00

O CO

x — 5 —j— 13 n y = 4 -f lOn

Setzen wir diese Werte in die erste der gegebenen Gleichungen ein, so kommt:

5 -f- 13n + 8 -j- 20n -f- 3z — 22 = 0 3 z -j- 33n — 9 = 0 z-f-lln — 3 = 0 Hierin ist also n und z zu bestimmen. |

II— 11

ff 12

oder;

12

11

[— 12] = — 12.

Der Endwert ist — 12, der Vorwert 1.

Also; z = (— 3) • (— 12) — lim = 36 — lim n = — 3 -j- m_

also:

z = 36 — 3 • 11 = 8 n = — 3 + 3 = 0

x = 5 y — 4 z = 3.

Weitere Werte sind :

m = 2:

t—I 00 CO co

16x -|- 9y -f- 4z = 46 9x-f-4y-(-z = 20

Beisp iel:

16x -j- 9y -j- 4z — 46 36 x -f- 16 y -j- 4 y = 80

= 34

20 x -f- 7 y 20x + 7y — 34 = 0. 20 — 7—1

=F ²⁰

CO

o oo

CM r-H

rH

COl> CD

rH

rH

[- 1, 1, 1, 1, 5] = ?

Linke Kol.

Rechte Kol.

11

11

17

— 17

und hieraus :

x = (— 34) (— 6) — 7n = 204 — 7n

34-17 + 20 n = — 578 + 20 n

x = 204 — 29 • 7 = 1

y = — 578 + 20 • 29 = 2 + 2 n

Diese Werte in die zweite der gegebenen Gleichungen eingesetzt :

9 — 63n -j- 8 + 80n + z — 20 = 0

oder:

z -f 17n — 3 = O

hierin ist z und n zu bestimmen ; wir erhalten nach derselben Methode :

— 18

11

Der Endwert ist — 18, der Vorwert 1, und es kommt; z = (— 3)-(— 18) — 17m = 54 — 17m n = — 3 -f- m z = 54 — 3 • 17 = 3 n = 0,

x = 1,

y = 2.

Weitere Werte sind leicht zu finden.

§5.

Weitere Bemerkungen über lineare Kongruenzen.

In § 1 dieses Kapitels haben wir uns beeilt, möglichst rasch an die Anwendung der Kongruenzen zu kommen, um dem Schüler ein gewisses Interesse für diese ihm noch ungewohnten Lehren abzugewinnen. In diesem Paragraphen sei noch einiges über Zahlenkongruenzen ersten Grades, oder wie man auch sagt, über lineare Kongruenzen angeführt.

welche nach irgend einem

Lehrsatz 1. Führt man in eine ganze Funktion*) mit ganzzahligen Koeffizienten für die Variable x zwei Zahlen ein Modul p kongruent sind, so sind auch die sich ergebenden Funkti o ns w ert e nach diesem Modul p kongruent.

- i x -j- am .

" 3-m

Eine ganze Funktion f (x) hat die allgemeine Form: f (x) — a₀ xm -f- aL xm “ ¹ -j- a₂ xm — 2 -j-

Gibt man nun in diesem Ausdruck der Variablen x zuerst den Wert M und dann den Wert N und ist:

*) Vergl. Band VI.

M — N (mod p)

der

so ist auch bei ganzzahligen Koeffizienten a₀, a1} • • •

Wert, den obiger Ausdruck für M erhält, dem nach p kongruent, der sich für x = N ergibt, oder es ist symbolisch:

f (M) — f (N) (mod p).

Beweis. Aus : M ee N (mod p)

folgt :

Mm E Nm (mod p)

Mm — ¹ E Nm — 1 (mod p)

M° = N° (mod p)

Durch Multiplikation mit a₀, a.x etc. ergibt sich: a₀ M m E a₀N m (mod p)

E ajN“

E a₂Nm

(mod p)

am — 1 ^1 — am — 1 N

3-m ZU äm

Addiert man diese Kongruenzen gliedweise, so kommt:

......am _ i M -f- am

am - i N -J- am (mod p

a₀Mm + ax Mm “ ¹ -J- a₂ Mm ~ ² -|---

E a₀Nm -j- a^“ ~ ¹ -}- a₂Nm ~ ¹ • • • • oder wenn wir die Summe links mit

f (M)

f (N)

f(M) e f(N) (mod p),

und die rechts mit bezeichnen, was zu beweisen war.

Lehrsatz2. Sind zwei oder mehrere Zahlen nach mehreren Modulen zueinander kongruent und sind diese Module zueinander relativ prim, so sind die Zahlen auch nach dem Produkt dieser Module kongruent.

Ist z. B.

und :

so heißt dies:

a — b (mod p) a E b (mod q)

a — b

Lehrsatz Ł Ist

eine Lösung der Kongruenz:

f (x) E 0 (mod p),

so sind auch alle Zahlen, die zu a nach dem Modul p kongruent sind, Lösungen dieser Kongruenz.

Bezeichnen wir die zu a kongruenten Zahlen mit x, so folgt aus:

f(x)

a (mod p) f (a) (modp).

Da aber nach Voraussetzung a eine Lösung von f (x) = 0 sein soll, so ist:

f (a) = 0 (mod p) f (x) = 0 (mod p)

folglich :

d. h. die Zahlen x befriedigen die Kongruenz ebenfalls.

Von all den Lösungen nehmen besonders zwei unser Interesse in Anspruch, nämlich diejenige positive Zahl, welche unter allen zu a nachdem Modul p kongruenten Zahlen die kleinste ist, und diejenige negative Zahl, welche unter allen den kleinsten Zahlen wert hat. Von diesen beiden, kann man dann noch den absolut kleinsten Wert auswählen.

Ist:

ist durch p sowohl, als auch durch q teilbar, also auch durch das Produkt p • q, was in Kongruenzform heißt:

a E b (mod p • q).

Lehrsatz 3. Eine Kongruenz bleibt richtig, wenn ihren Modul durch einen seiner Teiler er-

Ist also :

man

setzt.

a — b (mod p • q) a E b (modp) a E b (mod q).

Es folgt dies aus folgender Beweisführung: a E b (mod p-q). a • q E b • q (mod p • q) a E b (mod p).

so ist auch:

oder:

also :

x (mod p)

— X

so ist:

—-= N (— einer ganzen Zahl)

und hieraus:

a — Np,

als allgemeine Form aller Zahlen, welche mit a nach dem Modul p kongruent sind Wir haben von dieser Form bereits in § 2 ausgiebigen Gebrauch gemacht. Schreiben wir:

p (f-4

so erkennen wir, daß wir einen positiven oder negativen Wert erhalten, je nachdem N algebraisch kleiner oder größer als

ist. Den kleinsten positiven Wert erhalten wir offenbar, wenn wir für N eine Zahl nehmen, die am nächsten kommt

3.

und nicht größer ist als — • Ist a positiv, so hat man als N

den Quotienten — mit Vernachlässigung des Restes zu wählen;

ist a negativ, so hat man für N den um 1 vermehrten Quotienten zu nehmen, und zwar mit negativem Zeichen.

Über die Anzahl der Lösungen einer Kongruenz sei folgendes bemerkt. Wir haben oben gezeigt, daß wenn a die Kongruenz

f (x) = 0 (mod p)

befriedigt oder eine Lösung derselben ist, auch alle Zahlen X, welche mit a nach p kongruent sind, diese Kongruenz befriedigen oder Lösungen derselben sind, daß also:

f (X) = 0 (mod p).

Solche Zahlen X gibt es unbeschränkt viele, sie alle aber sind mit a und folglich auch untereinander kongruent, und man bezeichnet die ganze Reihe als eine Lösung der Kongruenz. Genügen also einer Kongruenz

f (x) = 0 (mod p)

nur solche Zahlen X, für die die Kongruenz besteht:

X = a (mod p)

so sagt man, die Kongruenz

f (x) = 0 (mod p)

habe nur eine Lösung.

Hat dagegen die Kongruenz

f(x)

0 (mod p)

Lösungen, von denen die einen durch die Kongruenz:

a (mod p)

definiert sind, die andern in der Kongruenz:

a! (mod p)

enthalten sind, und besteht zwischen a und nach dem Modul p keine Kongruenz, so sag't man, die Kongruenz habe zwei Lösung-en.

Allg-emein also hat die Kongruenz f (x) E 0 (mod p)

n Lösung-en, wenn derselben nurZahlen g-enügen, welche in den Kongruenzen:

-r jp

Cu Cu

(mod p)

enthalten sind, wobei zwischen a, alt a₂ • • keine Kongruenz nach dem Modul p besteht.

Lehrsatz 5. Eine Kongruenz f (x) = 0 (mod p)

0, 1, 2, 3 • • • • p — 1

hat so viele Lösungen, als ihr Zahlen [ausî der Reihe

genügen, und sind

* an

al> a2) a3» ‘

diese Zahlen, so sind:

x E a1? x E aa, x E a₃ • • • • x E a n (mod p) dieLösungen dieser Kongruenz.

= an (mod p)

Wir haben zu beweisen, daß einerseits außer den Zahlen x E alt x E a2, x E a₃ • • keine andern der Kongruenz genügen, und daß andrerseits

diese Zahlen a1? a₂, a₃, • • • • an nicht kongruent sind nachdem Modul p.

Nehmen wir an, außer den angegebenen Zahlen sei A noch eine Lösung der Kongruenz, ohne in einer der obigen Kongruenzen | enthalten zu sein; es genügt dann auch jede Zahl der Kongruenz, die mit A nach p kongruent ist. Die kleinste positive Zahl dieser Lösungsreihe sei a, dann ist:

f (a)

A = a (mod p) o (mod p,

wobei a als kleinster positiver Wert von A unter den Zahlen

0, 1, 2

sein muß. Ist aber a in dieser Reihe und befriedigt f (x) = 0 (mod p), so muß a eine der Zahlen av a₂, a₈ • • • • an sein, weil nach Voraussetzung av a₂, a₃ • • • • an die einzigen Zahlen sind, die der gegebenen Kongruenz genügen. Daß aber a eine dieser Zahlen ist, ist deshalb unmöglich, weil nach Annahme A keiner der Kongruenzen:

= an (mod (p)

x = ai5 x = a<2, x = a₈ • • • • x

genügen soll. Es kann also in Tatsache keine Zahl außer av a₂, a₃ • • - • a„ geben, die die gegebene Kongruenz befriedigt.

Daß keine der Zahlen a₁ a₂ a₃ • • • • an zu einer zweiten der Reihe nach p kongruent ist, läßt sich ebenfalls indirekt beweisen. Wir nehmen an, es sei

ax = a₂ (mod p).

Hieraus würde folgen

a₁ a₂

= N = einer ganzen Zahl.

Dies ist aber unmöglich, da ax und a₂ kleiner sind als p, also auch der absolute Wert von aL — a₂ kleiner als p sein muß und folglich nicht durch p teilbar sein kann.

Lehrsatz 6. Die Kongruenz

ax — b = 0 (mod p)

hat, wenn a und p relativ prim, zueinander sind, immer eine, aber auch nur eine Lösung.

Aus obigem folgt, daß die Kongruenz soviele Lösungen hat, als es Zahlen in der Reihe

0, 1, 2, 3 . .

gibt, die der Kongruenz f (x) = 0 (mod p) genügen, oder als es mit andern Worten Zahlen in der Reihe

-, a • (p — 1) — b

a • 1 — b, a • 3 — b, • •

a • 0 — b,

teilbar sind. Diese Reihe ist eine arithme-

gibt, die durch p tische (siehe Band V) mit der Differenz a, die relativ prim zu p ist und mit der Gliederanzahl p; es wird also eifl, aber auch nur eifl Glied vorhanden sein, das durch p teilbar ist und die Kongruenz

ax

— b = 0 (mod p)

hat nur eine Lösung.

oder:

löst, haben wir bereits gesehen. Wir haben auch gefunden, daß eine Gleichung:

ax

Wie man die Lösung einer Kongruenz ax — b = 0 (mod p) b (mod p)

a x — py = b

lediglich nur eine andere Schreibweise für unsere Kongruenz ist, wenn man in y eine beliebige ganze Zahl voraussetzt; die Lösung der Kongruenz

ax — b = 0 (mod p)

ist also auch eine Lösung der Gleichung.

Für die Lösung von linearen Kongruenzen sei aber nunmehr noch auf nachstehende Methode aufmerksam gemacht, soweit der Schüler noch nicht selbst darauf gekommen ist. Wir haben oben den Fermatschen Satz bewiesen:

a p — ¹ = 1 (mod p)

worin p eine Primzahl ist, und haben auch die von Euler aufgestellte allgemeine P'orm des Fermatschen Satzes

a 'p (n) = l(mod p)

angegeben. Diese beiden Sätze lassen sich auch vorteilhaft zur Lösung von Kongruenzen verwenden.

Es sei zu lösen:

ax — b = 0 (mod p)

1 (mod p) a p — ¹ . b = b (mod p) a p -1 . b — b == 0 (mod p)

p sei eine Primzahl und a nicht durch p teilbar. Nach dem Fermatschen Satz ist: aP “ ¹

oder:

oder: oder: hierzu : gibt durch Vergleichung :

a • b • a p — 2 — b = 0 (mod p) a • x — b E 0 (mod p)

x = bap~²

oder die vollständige Lösung

x — b ap ~ ² (mod p).

Beispiel.

5x — 71 = 0 (mod 3) x = 71 • 5 ³~² = 5 • 71 = 355 x = 355 + 3n — 1 + 3n.

Ist p keine Primzahl, sondern zusammengesetzt, so erhalten wir nach der Eulerschen Form des Fermatschen Satzes

a v E 1 (mod p) a-b-a9?(A> — 1 e b (mod p) a-b-a^(n) — 1 — b E 0 (mod p)

hierzu :

ax — b — 0 (mod p)

gibt durch Vergleichung :

x E b • a ? <n) ~¹ (mod p).

oder allgemein:

Die Formel zur Berechnung von cp (n) haben wir ebenfalls bereits aufgestellt, es ist: <jp (n) — n (l

die sämtlichen voneinander verschie-

wenn p, q, r • denen Primzahlen, die in n enthalten sind.

Beispiel. Es sei :

8x — 13 — 0 (mod 63)

Es ist:

X = 13 • 8 W63)-¹ = 13 • 8³⁶

E 13 • 8³⁵ (mod 63)

oder allgemein:

was noch weiter zu berechnen ist.

Der Schüler mag erkennen, wie mit Hilfe des Fermatschen Satzes die linearen Kongruenzen leicht und oft rasch gelöst werden können.

Zum Schluß dieses Paragraphen wollen wir noch einiges

anführen über Kongruenzen, bei denen Modul und Koeffizient der Unbekannten einen gemeinschaftlichen Faktor besitzen. Wir kennen bereits :

Lehrsatz 7. Die Kongruenz

ax— 6 E 0 (modp)

hat keine Lösung⁻, wenn ein gemeins chaftlicher Teiler von a und p nicht auch ein Teiler von bist.

Für den Fall, daß auch b diesen Teiler (oder diese Teiler) hat, haben wir:

Lehrsatz 8. Haben a und p den größten gemeinschaftlichen Teiler d und ist d auch zugleich Teiler von b, so hat die Kongruenz

ax — 6 E 0 (mod p)

d Lösungen, welche enthalten sind in den Kongruenzen:

(mod p)

(d —1)P

x — a -f-

worin: und a eine Lösung der Kongruenz ist.

Beweis: Aus der Kongruenz :

ax — b E 0 (mod p)

erhalten wir, wenn d der größte gemeinschaftliche Teiler von a und p ist:

0 ^mod -

wo

worin :

a    p

~dT un(* ~cT s*n<^ re^a^v prim zueinander,

ganze Zahlen sind, denn sonst wäre ja d nicht der größte gemeinschaftliche Teiler. Wenn aber — und — relativ prim zueinander sind,

so hat die Kongruenz immer eine Lösung. Möge nun a eine Zahl sein aus der Reihe

Ohre

0, 1, 2, • •

und zugleich die Kongruenz

^mod -

befriedigen, so sind alle Lösungen dieser Kongruenz enthalten in der Kongruenz

a{modic)-

Dieselben Zahlen, und aber auch nur diese befriedigen auch die Kongruenz:

ax — b = 0 (mod p), da sich diese von der Kongruenz

i^°(modl)

ja nur durch einen gemeinschaftlichen Faktor unterscheidet, wodurch bekanntlich die Kongruenz in keiner Weise beeinflußt wird.

Somit sind alle Werte, welche die Kongruenz ax — b = 0 (mod p) befriedigen, enthalten in der Kongruenz;

are

x = a ^mod

0, 1, 2, 3

Wir haben nun noch zu bestimmen, wie viele Zahlen aus der Reihe

ax — b = 0 (mod p)

befriedigen. Eingangs dieses Paragraphen haben wir für die die Zahlen, welche die Kongruenz

die Kongruenz

x = a ^mod

befriedigen, die allgemeine Form aufgestellt:

a —N -Ç-.

d

Hierin darf nun a nicht größer werden als der Modul

cura

—, muß aber größer sein als 0; wir erhalten also aus der Formel Werte von x, die zwischen 0 und p — 1 liegen, nur für:

(d

N = 0, — 1, — 2, • • folglich sind unter den Zahlen der Reihe 0, 1, 2, 3

2), - (d - 1)

folgende d Zahlen :

a -j-

(d — 1) P

und auch nur diese enthalten Werte, welche die Kongruenz

x = a ^mod

euro

und damit auch die gegebene Kongruenz ax — b = 0 (mod p)

befriedigen. Die Kongruenz besitzt also die allgemeinen Lösungen:

2p

(mod p)

(d— l)p

wie behauptet wurde.

So hat z. B. die Kongruenz:

15 x — 9 = 0 (mod 12)

drei Lösungen. Um diese zu bestimmen, dividieren wir durch 3 und erhalten

5x — 3 = 0 (mod 4)

Nach dem allgemeinen Fermatschen Satz also:

(mod 4)

9.1=1.-1 2

allgemein : oder:

x E 15 (mod 4) x E 3 (mod 4)

Daraus ergeben sich für die gegebene Kongruenz:

15x - 9 E 0 (mod 12)

die Lösungen : x = 3 -f- 12 n

x = 7 -f- 12 n

oder:

x = 11 + 12n

H Kl CO

(mod 12)

x E 1

Weitere Beispiele möge und der Schüler selbst lösen; wir wollen nunmehr zu den Kongruenzen höheren Grades übergehen.

§ 6-

Über Kongruenzen höheren Grades.

Wir betrachten hier nur Kongruenzen, deren Modul eine Primzahl ist. Die allgemeine Form einer Kongruenz höheren Grades ist:

A₀xm -|- Ai xm-¹ + A₂ xm~²—j—-----1- Am_i x -f Am

E 0 (mod p),

worin wir also p als Primzahl voraussetzen.

Ist in dem Ausdruck links ein Koeffizient durch p teilbar, so kann offenbar ein solches Glied immer weggelassen werden. Denn wäre z. B. A₂ durch p teilbar, so wäre:

A₂ e 0 (mod p)

folglich auch: A₂ • xm

Subtrahieren wir aber diese Kongruenz von der gegebenen, so befreien wir diese von dem Glied A2 xm ~~ ², wodurch unsere Behauptung bewiesen ist.

Wir nehmen also für das folgende an, daß solche Glieder

E 0 (mod p)

bereits entfernt sind, so daß keiner der Koeffizienten durch p teilbar ist. Der Koeffizient der höchsten Potenz xm ist A₀; da dieser relativ prim ist zum Modul, so wird sich nach dem vorigen Paragraphen stets eine Zahl a so bestimmen lassen, daß die Kongruenz gilt:

A₀ • a — 1 = 0 (mod p) Multiplizieren wir nun diese Kongruenz mit A₁ xm - 1 A„ xm - ²

Am _ i x Am

so erhalten wir die entsprechenden Kongruenzen :

— Aj, xm - ¹ = 0

A₀ Ał a • x m A₀ A₂ a xm - ¹ — A₂ xm - ² = 0

(mod p)

Aq Am — i o xm ^ A m — i x

A-q Am a Am

Addieren wir nun all diese Kongruenzen zu der gegebenen :

A₀xm -j- Alxm — ¹ -{- A₂xm — 2 -|- • • • -j-Am _ ixm-¹-j-Am

= 0 (mod p)

•so erhalten wir:

A₀xm -f- AoAiO • xm - ¹ -j- A₀ A₂axm “ ²+

0 (mod p).

~f~ A₀ Am _ i a xm — 1    A₀ Am a =

Nun ist aber A relativ prim zum Modul p, wir dürfen also nach Satz 7 in § 1 die Kongruenz durch A₀ dividieren und es kommt :

• xm

0 (mod p).

xm-f A^-x“"¹ -j- A₂a + Am a

Wir haben hiermit den Nachweis erbracht, daß maneine solche Kongruenz immer so umformen kann, daß der Koeffizient der höchsten Potenz Eins ist. Unsere ursprüngliche Kongruenz hat aber dieselben Lösungen, wie die, auf die wir sie reduziert haben, wie leicht einzusehen ist. Die beiden Kongruenzen unterscheiden sich also nur in der Form; wrir wählen aber die reduzierte Form, weil sie für unsere Betrachtungen günstiger ist.

Beispiel. Es sei die Kongruenz:

11 = 0 (mod 13)

2 x⁴ -f- 3 x³ + 5 x² -f- 7 x

in eine andere umzuformen, in der x⁴ den Koeffizient 1 hat. Wir haben eine Zahl a zu bestimmen, so daß

2 • a — 1 =0 (mod 13).

Eine solche Zahl ist: a — 7

also:

2 • 7 — 1 = 0 (mod 13)

Multiplizieren wir diese Kongruenz mit den übrigen Gliedern, so kommt:

2 • 7 • 3•x³ — 3x⁸ = 0 (mod 13)

2 • 7 • 5 • x² — 5x² = 0 (mod 13)

2 • 7 • 5x — 7 x = 0 (mod 13)

2-7-11 — 11 = 0 (mod 13)

Addieren wir nun diese Kongruenzen zu der gegebenen, so kommt:

2x⁴ + 2-7- 3x³ + 2-7-5 x² -f- 2-7 - 7x + 2-7-11 = 0 (mod 13)

oder durch 2 dividiert:

0 (mod 13);

x⁴ -f 21 x³ -f 35 x² + 49 x + 77

in dieser hat x⁴ den verlangten Koeffizienten 1. Wir haben ferner den

Lehrsatz 1. Ist p eine Primzahl, so kann die Kongruenz mf£? Grades

xm -f- xm - ¹ + A₂ xm

— -2

-p • • • • -|- Am _ i x -(- Am

= 0(modp)

nicht mehr als m Lösungen haben.*)

ten

Für n = 1 haben wir die Richtigkeit dieses Satzes bereits bewiesen. Um nun den Satz für jeden beliebigen Grad zu beweisen, zeigen wir, daß derselbe für jede Kongruenz m Grades gelten rmiß, wenn er für Kongruenzen vom (m—l)î£? Grade erwiesen ist-

Den Beweis führen wir indirekt. Wir nehmen an, daß die Kongruenz :

*) Die Koeffizienten Alt A.₂ etc. sind natürlich hier andere, als die in der Form A₀xm Ax x“ — 1 -j- A.₂x>n — 2 etc.

18

Mayer, Mathematik. IV.

xm + Aa Xm - ¹ -j- A₂ Xm “ ² -]- • • • • -f- Am _ 1 X + Am

= 0 (mod p)

kann nur dann mehr als m Lösungen haben, wenn dieselbe aus der Reihe

0, 1, 2, 3, • • • -, p — 1

mehr als m Zahlen, nach unserer Annahme also m + 1 Zahlen, befriedigen. Diese m -j- 1 Zahlen seien:

3 m*

a₀> aH 3-2» a3

Wir nehmen aus diesen eine beliebige, etwa a₀ heraus und dividieren den Ausdruck links durch

ao

und erhalten hierdurch offenbar einen Quotienten von der Form:

xm — i Bxm_2 -f- Cxm — 3    • • • • +Qx + S

und hierzu noch einen gewissen Rest R, so daß wir unsere Kongruenz schreiben können:

+ Qx + S)

(x — a₀) (xm - ¹ -f B xm - ² + Cxm"³-f |ReO (mod p)

Setzen wir hierin:

so ergibt sich

x = a₀,

R = 0 (mod p)

Diese von x vollständig unabhängige Kongruenz subtrahieren wir von der letzten Kongruenz und erhalten unsere ursprüngliche Kongruenz in der Form:

■f Qx -J- S)

(x - a₀) xm - ¹ -f Bx" - ² -f Cxm

= 0 (mod p)

+ Cxm 3 -f- •••• + Qx -j- S=0 (mod p)

Hat nun eine Kongruenz von der Form: xm ~ i +Bxm

nicht mehr als m — 1 Lösungen, so können nicht alle aus der Reihe

0, 1, 2

entnommenen m-Zahlen die Kongruenz befriedigen.

am

Es möge nun diejenige Zahl der Reihe 3₀, a1? a₂

sein, die der Kongruenz nicht genügt. Setzen wir nun diese Zahl in den linken Ausdruck der obigen Kongruenz ein, so* wird :

aim_1 4“ Bai“"² + C axm - ³ +

Qai 4- S

eine Zahl darstellen, welche durch p nicht teilbar ist, welche also, da p eine Primzahl ist, zu p relativ prim ist. Dasselbe müssen wir aber auch über

ai ao

sagen, denn beide sind nicht größer als p — 1 und immer größer als 0, sie können also in ihrer Differenz jedenfalls keine durch p teilbare Zahl darstellen, so daß also sowohl

ai — ao

wie auch

4" Q ai + s

aim - ¹ + B a±m ~ ² -f- O aam - ³ +

zwei Zahlen darstellen, die beide relativ prim sind zu p; mithin ist aber auch ihr Produkt

(ai — ao) (aim ~ ¹ + Baim - ² 4 Ca^ - ³ + • • • • + Q ax + S) relativ prim zu p. Dies widerspricht aber der Voraussetzung, daß at die Kongruenz befriedigt; unsere Annahme, die Kongruenz ml^B Grades könne mehr als m Lösungen haben, muß also falsch sein. Aus diesem Satz ergibt sich der

Lehrsatz la. Sind nicht alle Koeffizienten der allgemeinen Kongruenz mlfB Grades:

A₀xm + AjX““¹ -f A₂ xm

4“ Am _ i x -j- Am

— 0 (mod p)

kann die Kongruenz nicht

durch p teilbar, mehr als m Lösungen haben.

Wären alle Koeffizienten durch p teilbar, so könnten alle Glieder eliminiert werden und die Kongruenz würde sich auf die Identität reduzieren:

0 — 0 (mod p)

Für den Fall aber, daß nicht alle Koeffizienten durch p teilbar sind, werden wir dieselbe auf eine Form reduzieren, in der kein Koeffizient mehr durch p teilbar ist, und deren höchster Exponent höchstens m sein kann. Wir können aber dann der Kongruenz eine solche Form geben, daß die mA Potenz von x den Koeffizienten 1 hat und diese kann, wie wir oben bewiesen haben, nie mehr als m Lösungen haben.

Lehrsatz 2. Satz von Wilson:

Ist p eine Primzahl, so ist:

18*

Bemerkung-. Ein Produkt von schreibt man auch abgekürzt durch

der Form 1 • 2 • 3 - • • - n

n!

gelesen „n Faccultät“, so daß der Wilson’sche Satz auch geschrieben werden kann:

(p — 1)1 -h 1=0 (mod p).

Aus der Tatsache, daß die Kongruenz:

— b EË 0 (mod p) eine und nur eine Lösung x aus der Reihe der Zahlen

• • P - 1

ax

0, 1, 2, 3 • •

hat, folgt der spezielle Satz:

Ist a eine durch p nicht teilbare Zahl, so gibt es immer eine Zahl a' aus der Reihe

1, 2, 3 •

die der Kongruenz

oder:

a • a' — 1 — 0 (mod p) a • a' E 1 (mod p)

genügt.

Diese Zahl a' ist offenbar dann und nur dann gleich a, wenn a E 1 oder a E — 1 oder, was dasselbe ist: a E p — I ist; denn:

a² — 1 = (a — 1) (a + 1)

ist nur dann durch p teilbar, wenn a — 1 oder a -f- 1 durch p teilbar ist.

Die Zahlen 2, 3 0

——^—- Paare von Zahlen a und a', deren Produkt mit 1 kon-

U

gruent ist; das Produkt der beiden übrigen Zahlen, nämlich 1 und p — 1, ist mit — 1 kongruent, folglich ist das Produkt

(p — 1) E — 1 (mod p)

1-2*3......(p — 1) + 1 E 0 (mod p)

was auch für p = 2 richtig ist, weil -f 1 = — 1 (mod 2) ist. Die Umkehrung dieses Satzes lautet:

Ist p eine natürliche Zahl, und (p — 1)! + 1 durch p teilbar, so ist p eine Primzahl.

Der Satz von Wilson gibt uns also ein Mittel an die Hand, eine Primzahl zu erkennen.

Aus dem Wilson’schen Satz ergibt sich ferner folgendes: Ist p wieder eine ungerade Piimzahl, so gibt es zu jeder Zahl a der Reihe

oder:

p — 2 zerfallen daher in

1-2-3

1, 2, 8,.......

eine Zahl a", die der Kongruenz

a • a" EE — 1 (mod p) genügt. Hat nun die Kongruenz:

x² E — 1 (mod p)

keine Lösung, so kann niemals a" = a sein, und die Zahlen

p — 1 zerfallen in ——^—— Paare, deren Pro-

1, 2, 3

dukt nach dem Modul p mit — 1 kongruent ist, daher ist:

p — i

(p — 1)1 E (— 1) (mod p) und nach dem Wilsonschen Satz auch:

(p — 1)! e — 1 (mod p),

so daß also:

eine ungerade Zahl sein muß. Ist aber die Kongruenz:

x² — — 1 (mod p)

lösbar und ist x = a eine Lösung, so ist (x — a) oder (x -j- a) durch p teilbar, also:

x — + a oder x — — a.

Es gibt also zwei und nur zwei Lösungen aus der Reihe

1, 2, 3

P — 1,

und deren Produkt:

CC • (p - Ci) ist — - «² — i.

, p — 1 zerfallen also jetzt

Die Zahlen 1, 2, 3

p _ 3

in ——=- Paare von Zahlen a und a", deren Produkt mit

kongruent ist und es bleiben zwei Zahlen a und p — a übrig, für die

a • (p — a) — + 1 (mod p) ist. Bilden wir wieder das Produkt, so kommt:

(p - 1)! E (- 1)    ² E - (- 1) ²

P — 1

E — 1 (mod p)

es muß also:

eine gerade Zahl sein.

_ J

Alle ung-eraden Zahlen p, für die ——^- eine g- e r a d e

Zahl ist, können auf die Form

4n + 1

g-ebracht werden, während alle ung-eraden Zahlen, für die ~- eine ung-erade Zahl ist, in der Form

Li

4n -j- 3 oder 4n — 1

enthalten sind.

Für die Primzahlen, die zu der ersten Klasse g-ehören, ist nun die Kongruenz:

x² — — 1 (mod p)

lösbar, für die der zweiten Klasse aber nicht; dies ergibt den

Lehrsatz 3. (Euler.) Ist p eine Primzahl von der Form 4n + l, so kann man für x eine solche g-anze Zahl setzen, daß x² = — 1 (mod p) wird, während dies für eine Primzahl von der Form 4n — 1 nicht m ög-lich ist.

Die Lösung- der Kongruenz

x² = — 1 (mod p)

für die Primzahlen der ersten Klasse g-estaltet sich nach dem Wilson’schen Satz einfach.

Es ist:

io

mod p.

(p

p = 4n -J- 1

Ist also:

so zerfallen die Zahlen des Produktes (p — 1)! in zwei Hälften •*

2, • • .

und:

2 n -J—    2 n 2,

in der Art, daß das Produkt der ersten Reihe mit dem der zweiten kongruent ist

Nach dem Wilsonschen Satz ist daher:

also :

(—2-)! (mod P)

Ist z. B. p = 17, so ist:

also muß:

x E 8! (mod 17) x E 40 320 (mod 17) x E 13 (mod 17)

x² + 1 — 0 (mod 17) und es ist tatsächlich:

169 + 1 E 0 (mod 17)

Lehrsatz 4. Ist p eine Primzahl, so kann die Kongruenz m!E? Grades

xm + A^“-¹ 4- Ajx“-² + A₃x“-3 -f.......

+ Bp-ix + Bp

+ Am _ i x + Am= 0 (mod p) immer durch eine Kongruenz (p — l)î£? Grades Bi xp ~ ¹ + B₂ x p - ² +

= 0 (mod p)

ersetzt werden, wobei das Polynom BjXP“ ¹ + B₂xp - ²-j-

der Rest ist, welcher bei der Division des gebenen Polynoms

-f-Bp—i x 4- Bp

g-e-

xm —)— Axxm -¹ 4- A₂ xm - ² 4-durch:

Ą- Am _ i x -j- Am

xp

erhalten wird.

Dividiert man xm 4- Ai xm ~ ¹ 4- A₂ xm durch

+ Am — i x 4~ Am

xp — x,

so werden Quotient und Rest ganze Funktionen von x mit ganzzahligen Koeffizienten sein ; der Grad des Restes wird offenbar nicht größer sein als p — 1 und wir bezeichnen ihn mit:

4-Bp _ ix 4- Bp

Bi x p ~ ¹ -f B₂ xp — 2 -j-.......

und den Quotienten mit F (x), so daß :

+ A₂x”-² +

xm -f- Ai xm -= F (x) (xp — x) -f- B! x p — 1 4“ B₂ xp 2 4“

Bp_i x -f- Bp.

Nun ist offenbar der Ausdruck

xp

für beliebige Werte von x kongruent Null nach p, denn schreibt man

xp

X = x(xP⁻¹ - 1

so erkennt man, daß, wenn x ein Vielfaches von p ist, der erste Faktor durch p teilbar ist, und wenn nicht, so genügt der zweite der Kongruenz:

x p — 1 — 1 = 0 (mod p).

Hieraus folgt, daß für beliebige Werte für x:

0 (mod p)

F (x) (x p — x)

und hieraus folgt, daß ich von der gegebenen Kongruenz:

xm -j- Ax xm — 1 4- A₂ xm - ² 4-

E 0 (mod p)

F (x) (xp — x) E 0 (mod p)

die Kongruenz

subtrahieren darf, ohne die Kongruenz zu beeinträchtigen. Es ergibt sich also:

x m -J- A₁ xm — ¹ 4“ A₂ xm — 2 -j-.......

4- Am — F (x) (xp — x) E 0 (mod p),

der Ausdruck links reduziert sich auf:

Bj_x p - ¹ -f- B²x p so daß wir erhalten:

Bxxp ~~¹ -j-B^xP ~ ² +

E 0 (mod p),

was zu beweisen war.

So können wir z. B.

x⁵ -j- x² — 1 — 0 (mod 3) auf den 3 — 1 = 2ten Grad reduzieren.

Es kommt:

(x⁵ -f x² — 1) : (x³ — x) = x² + 1 X² 4- X³

_j—    —J— _ 1

X³ - X

Der Rest ist x² -j- x — 1, so daß wir die gegebene Kongruenz ersetzen können durch:

x² -}- x — 1 E 0 (mod p).

Am — 1 — x —|— Am

Lehrsatz 5. Hat die Kongruenz: xm —)— Ax x m - ¹ + A₂ xm - ² -(- . . .

E 0 (mod p)

x durch

m Lösungen, so sind die Koeffizienten in dem Reste der Division von xp -

x m —Ax xm — 1 -f A₂xm~² -j- . alle durch p teilbar.

Bezeichnen wir den Quotienten von xp — x durch

xm-f- A₁xm ~ ¹ -|- A₂xm-² -f.....

mit ä>(x)und den Rest mit cp (x), so ist:

Xp

-    x — $(x) (xm -j- AiX“ ~ ¹ -j- A₂ xm — 2 -j-........

+ A m) = cp (x).

Bilden wir nun die Kongruenz:

Xp

-    x — <P(x) (xm + AjX"1 — 1 -f- . . . . -(- A m) E 0 (mod p),

so läßt sich leicht zeigen, daß diese unter der gemachten Voraussetzung nicht weniger als m Lösungen hat; denn der Ausdruck

Xp

ist für beliebige Werte von x kongruent Null nach dem Modul p und das Produkt:

² -j- . . • + Am - 1 X -f- A m)

£ x (xm —j— AjX“-¹ -f A₂ xm

wird für alle die Werte kongruent Null nach p, welche die Kongruenz :

xm -b A₁ xm - ¹ -{- A₂ xm

= 0 (mod p)

befriedigen. Diese Kongruenz hat aber nach Voraussetzung m Lösungen, somit hat die Kongruenz:

Pp — X — #(x) (xm + AL xm - ¹ -f Ao xm - ² -f-........

"j⁻ Am — 1 X -j- Am)

0 (mod p)

mindestens m Lösungen. Diese Kongruenz ist aber, da

Xp

X — ^ (x) (xm + A₁ xm - ¹ -f- A₂ xm - ² -j-........

+ Am _ 1 X -f A m) = cp (x)

zurückführbar auf:

Nun ist aber <p(x) sicherlich von kleinerem Grade als vom mten, da es ja den Rest von xp — x durch

+ Am - ¹ x -j- Am

.xm —j— AL xm — ¹ -j- A₂ xm — 2 +

darstellt, es müssen also nach Lehrsatz 1 a alle Koeffizienten von cp (x) durch p teilbar sein.

Von diesem Lehrsatz gilt auch die Umkehrung:

Lehrsatz 5a. Sind in dem Reste der Division von xp — x durch:

+ Am - ¹ x -f Am so hat die

¹ -j- A₂xm~²

x m 4- xm

alle Koeffizienten Vielfache von p, Ko ngruenz

-j- Am _ i x -j- Am

xm -f- Ai xm - ¹ -(- A₂ xm - ² -(-

0 (mod p)

m Lösungen.

Den Beweis möge der Schüler selbst ableiten, da er ihm nach Vorausgegangenem nicht schwer fallen kann.

Wir haben durch diese beiden Sätze ein Kriterium, ob eine Kongruenz m^^ Grades m Lösungen hat oder nicht; man dividiert

xp

durch die linke Seite der Kongruenz und wenn dann die Koeffizienten in dem sich ergebenden Reste alle Vielfache von p sind, so hat die Kongruenz m Lösungen; sind aber diese Koeffizienten nicht alle durch p teilbar, so hat auch die Kongruenz keine m Lösungen.

SOS

7.

Kongruenzen zweiten Grades.

Die allgemeine Form einer Kongruenz zweiten Grades ist:

ax¹ + hx + c = 0 (mod p).

Diese Kongruenz kann man in zwei Fällen auf eine Kongruenz ersten Grades reduzieren, und zwar: bx -)- c) : (x² — x) = a,

(a x2 ax² + ax

ax

+ bx + c,

also erhält man die identische Kongruenz vom ersten Grad: ax -f- bx -J- c = 0 (mod 2)

oder:

0 (mod 2).

2. Kann die Kongruenz ersten Grades auf eine solche ersten Grades zurückgeführt werden, wenn in der Form

0 (mod p)

ax² -j- bx -j- c a ein Multiplum von p ist; denn in diesem Fall ist:

a = 0 (mod p)

oder

ax

0 (modp)

und diese Kongruenz von der gegebenen subtrahiert: ax²-j-bx + c — ax² = O(modp) b x -j- c = 0 (mod p).

Wir wollen nun den Fall betrachten, daß weder p = 2 noch a ein Multiplum von p ist.

Da p eine ungerade Primzahl ist und a kein Vielfaches von p ist, so wird auch 4 a relativ prim zu p sein und es wird infolgedessen die Kongruenz:

0 (mod p)

ax² -f- bx -j- c

und die Kongruenz:

4a (ax² + bx -j- c) = 0 (mod p) identisch sein. Die letzte Kongruenz können wir aber schreiben (2 a x -j- b)² — b² + 4 a c = 0 (mod p)

oder:

Wir setzen nun: und erhalten:

(2ax + b)² = b² — 4ac (mod p) 2 ax -j- b = z

z² ÏEE b² — 4 a c (mod p)

Die Lösung dieser Kongruenz wird nach dem, was wir über die Lösungen von Kongruenzen in der Form

f(x)

0 (mod p)

gesagt haben, durch eine oder mehrere Kongruenzen in der Form:

= a (mod p)

dargestellt werden; wir werden also zur Bestimmung von x nur noch die Kongruenz ersten Grades:

2ax + b = a (mod p)

z² = b² — 4ac(modp).

zu lösen haben. Die ganze Aufgabe dreht sich also darum,, die Kongruenz:

zu lösen.

Wir setzen der Kürze halber:

al so :

b² — 4 a c = q

z² = q (mod p)

wenn:

durch :

Aus dieser Form erkennen wir sofort, daß die Kongruenz, q E 0 (mod p)

z — 0 (mod p)

befriedigt wird und daß dies die einzig m ögli che Lösung ist, denn sobald die Kongruenz

q E 0 (mod p)

besteht, drückt die Kongruenz :

z² E q (mod p)

nichts anderes aus, als daß z² durch p teilbar ist; da aber p als Primzahl nicht durch das Quadrat einer Zahl teilbar sein kann, so muß z selbst durch p teilbar sein nach dem Satz: Ist b ein Teiler des Quadrats einer Zahl a, ohne selbst durch das Quadrat irgend einer Zahl teilbar zu sein, so ist b auch Teiler von a.

Wir merken uns also:

Ist in der Kongruenz:

z² E q (mod p)

q kongruent Null nach p, so ist:

z E 0 (mod p)

die einzige Lösung der gegebenen Kongruenz.

Ist q nicht kongruent Null nach p, so gilt der

Lehrsatz : Ist q nicht kongruent Null nach dem Modul p, so hat die Kongruenz

z² E q (mod p)

entweder gar keine oder zwei Lösungen.

Beweis: Es möge a diejenige Zahl aus der Reihe

1, 2, 8

p — 1

sein, die der Kongruenz Genüge leistet; diese Zahl a kann nicht Null sein, denn sonst würde die Substitution z = 0 die Kongruenz 0 E q (mod p)

ergeben, was gegen unsere Voraussetzung ist. Wenn aber die Kongruenz durch a befriedigt wird, so muß dieselbe auch durch p — a befriedigt werden, weil (p — a)² = p² — 2ap -j- a² kongruent a² nach p ist. Es ist also p — a immer eine zweite Lösung der Kongruenz, wenn p — a unter den Zahlen p — 1 enthalten und von a verschieden ist. Das Erstere folgt daraus, daß a nicht größer als p und nicht kleiner als 1 ist, während p — a von a verschieden sein muß, weil sonst:

1, 2, 3

p = 2 a

sein müßte, was unmöglich ist, da p eine ungerade Primzahl ist. Da nun eine Lösung immer eine zweite bedingt, außerdem aber eine Kong'ruenz zweiten Grades nicht mehr als zwei Lösungen haben kann, so hat also die Kongruenz:

z² E= q (mod p)

für den Fall, daß q nicht kongruent 0 nach p ist, zwei oder gar keine Lösung. Wir wollen nun zusehen, ob wir nicht ein Kriterium aufstellen können, nachdem wir entscheiden können, ob die Kongruenz :

z² — q — 0 (mod p) zwei Lösungen oder gar keine hat.

Nach den Sätzen in § 6 finden wir leicht ein solches Kriterium. Wir haben den Rest zu bestimmen, welcher bei der Division :

zp z² — q

bleibt. Um diesen leichter bestimmen zu können, schreiben wir:

Zp

ZP

(z²) ²

[q-

l]

In diesem Ausdruck ist:

p — i

(z²) ²

durch :

teilbar, es wird also:

zJ — q

der gesuchte Rest sein.

Nach Lehrsatz 5 a in § 6 schließen wir also, daß die Kon

gruenz:

z² — q — 0 (mod p)

zwei Lösung-en hat, wenn:

p — i

q ² —1

ein Vielfaches von p ist, oder wenn nach unserer Schreibweise in Kongruenzform :

p — i

q ² E 1 (mod p)

ist. Sollte aber diese Kongruenz nicht bestehen, so hat die gegebene Kongruenz:

z² — q (mod p)

gar keine Lösung.

Wir fassen diese Tatsache in dem Satz zusammen: Die Kongruenz:

z² — q (mod p)

hat zwei Lösungen, wenn die Kongruenz besteht:

p — i

q ² E 1 (mod p) ;

besteht aber diese Kongruenz nicht, so hat die gegebene Kongruenz gar keine Lösung.

haben :

Es sei zu untersuchen, ob folgende Kongruenzen Lösungen

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8)

Es ist:

5 — 1

9)

z² E 2 (mod 5) z² E 2 (mod 7) z² E 2 (mod 11) z² E 8 (mod 5) z² — 3 (mod 7) z² E 3 (mod 11) z² E 5 (mod 7) z² E 5 (mod 11) z² E 7 (mnd 11)

(4 ist nicht kongruent 1 nach 5) (8 ist kongruent 1 nach 7)

(9 ist nicht kongruent 1 nach 5)

8 ²    = 27

ii-i

2 ² = 82

(82 ist nicht kongruent 1 nach 11)

(27 ist nicht kongruent 1 nach 7)

li — i

3    ²    = 343

(343 ist nicht kongruent 1 nach 11).

(125 ist nicht kongruent 1 nach 7)

5 ²    =126

li — i

5 ²    = 3125    (3125 ist kongruent 1 nach 11}

li — i

7    ²    = 16807 (16807 ist nicht kongruent 1 nach 11).

Von den gegebenen Kongruenzen haben also nur die zweite und die achte zwei Lösungen ; die Lösungen erhält man durch Probieren :

z² E 2 (mod 7) z E 3 (mod 7) z E 4 (mod 7)

und:

z² E 5 (mod 11) z E 4 (mod 11) z E 7 (mod 11)

Sind p und q keine großen Zahlen, so ist leicht zu berechnen, ob die Kongruenz

p — i

1 (mod p)

besteht oder nicht. Sind jedoch p und q große Zahlen, so wird diese Untersuchung beschwerlich und wir wollen nun zusehen, ob man nicht die Existenz dieser Kongruenz nach-

p — i

weisen kann, ohne den Wert von q ² zu berechnen.

Wenn q und p relativ prim sind und p eine ungerade Primzahl ist, und dies haben wir vorausgesetzt, so muß offenbar eine der beiden Kongruenzen bestehen:

D - 1

oder:

q ² El (mod p). p — i

— 1 (mod p).

Denn bestände keine dieser Kongruenzen, so müßte sowohl:: p — i

wie auch :

2    i i

q    —j— 1

relativ prim zu p sein, also auch ihr Produkt:

/ ^-i 2

\q

= qp ⁻¹ — l,

was aber unmöglich ist, da nach dem Fermatschen Satz: qp ~ ¹ — 1 = 0 (mod p)

ist. Es muß also eine der beiden Kongruenzen: p — i

(mod p)

q =1

p - i

q ² = - i

bestehen; beide gleichzeitig können nicht bestehen, denn man erhielte hieraus :

1 E — 1 (mod p)

was bei einer ungeraden Primzahl unmöglich ist. Wir haben also :

q J E + 1 (mod p).

Wird nun diese Kongruenz mit dem Zeichen -f- befriedigt, so hat die Kongruenz:

z² — 9 (mod p)

zwei Lösungen und man nennt q einen quadratischen Rest der Zahl p; wird die Kongruenz aber mit dem Zeichen — befriedigt, so hat die Kongruenz:

z² E q (mod p)

keine Lösung und man nennt q einen quadratischen Nichtrest der Zahl p. Man ist nun übereingekommen, anstatt zu schreiben :

„p und q befriedigen die Kongruenz p — i

q ² El (mod p)

und die Kongruenz:

z² z q (mod p)

hat daher zwei Lösungen“, kurz das Symbol zu gebrauchen:

und im entgegengesetzten Falle:

= — 1.

(f)

Nach unserm obigen Beispiel wäre also zu schreiben:

CO r>.

und : oder man wird sagen:

„Die Zahl 2 ist ein quadratischer Rest von 7“, und: „Die Zahl 5 ist ein quadratisch er Rest von 11“. Dagegen wird z. B. sein:

ebenso ;

oder :

G4)

— — 1 etc.

oder man wird sagen :

„Die Zahl 2 und ebenso die Zahl 3 ist ein quadratischer Nichtrest von 11“ etc.

Umgekehrt werden wir aus obigen Ausdrucksweisen schließen, daß die Kongruenz:

z² E 2 (mod 7)

zwei Lösungen hat, die Kongruenz

z² E 3 (mod 11)

aber keine.

die Eigenschaften des Symbols

hat den Wert 1 und

19

Wir wollen nunmehr

Symbol (E)    ^

Symbol ^—p~~) ^ e n W e r t (— 1) ² •

etwas näher betrachten. Lehrsatz. Das

das

Mayer, Mathematik IV.

Setzen wir hierin : q = 1 und q = — 1, so erhalten wir :

(i)

p — i

mod p.

gruenz :

Wir wissen, das Symbol    befriedigt

p — i

stets die Kon

(y) (m°d p).

und: (— 1) ²

oder:

(ł)

(- 1) ²

(V)

(mod p).

Der Zahlwert beider Symbole ist aber 1, es müssen also:

(i)

= H- 1

und :

(~v) = <- « ⁸

sein, wenn nicht die beiden Differenzen 2 resp. — 2 werden sollen. Nun kann aber weder 2 noch — 2 kongruent Null nach dem Modul p sein, da p eine von 2 verschiedene Primzahl ist, es muß also wirklich:

(I)

und:

sein.

Lehrsatz. Setzt man das Produkt

qi-qa-q⁸

* qn = Q,

so ist:

fr)

Die obigen Symbole befriedigen die Kongruenzen:-

(ł)

9i

(f)

q₃

(?)

q₃

(î)

> (mod p)

qn

(?)

Multipliziert man all diese Kongruenzen miteinander, mit Ausnahme der ersten, so kommt:

p — i

[qi • q₂ • q₃ •••• qn] ²

oder da das Produkt links = Q :

p — i

(?)(?)(?)-(?) i"»-*

oder da:

(?) (?) (?)

(?)

© - (?) (?) (?) - (?>•<»««

Da nun der absolute Zahlwert der Symbole

m w œ......(f>

jedenfalls 1 ist, so muß, da p von 2 verschieden ist, der Minuend gleich dem Subtrahend sein, also:

(?) - (?) (?) •

(?)■

Mit Hilfe dieses Lehrsatzes kann man die Berechnung des

Symbols    wenn Q eine zusammengesetzte Zahl ist, auf

die

Bestimmung der Symbole    0~pO ⁶^C' zur^ckftihren,

19*

. qn die in Q enthaltenen Primzahlen be-

wobei ql5 qa, deuten.

Beispiel. Man berechne das Symbol :

30107 13

Dieses Symbol läßt sich zurückführen auf:

/30107\ fl\ /11\ /17\ /23\

( 13 ) — \1SJ (13) Us) (l3)‘

Wählt man in obigem Satze speziell: 9i ⁼⁼ 92 — 9s ~.......

so kommt:

so ist also z. B. :

(f) - (f )“ ff) - (ff) - ff)⁴

Ist n = 2, so ist:

da nun

ff)

ff) - ff)’

entweder = + 1 oder = — 1 ist, so ist stets :

ff)

= 1.

Daraus folgt, daß man in der Form:

ff)

ffff) - ff) ' ff)

stets weglassen kann, was in Worten heißt:

Bei der Berechnung des Symboles

kann

man jeden Faktor vonQ, derein vollständiges Quadrat bildet, weglassen.

Lehrsatz. Sind q und q^ach dem Modul p kongruent, so ist:

(f) - w-

Es ist nach Voraussetzung:

folglich

q = 9i (mod p) p — 1

= 9i

² (mod p).

Es bestehen aber die beiden Kongruenzen :

p — i

(ł)

folglich :

• »ft)

(?)⁵ © im”a1,1

ft) - ft)

qi

(mod p)

, oder:

— 0 (mod p),

woraus sich, da p eine ungerade Primzahl (also nicht 2),

ft) - ft)-

sache:

Aus diesem Lehrsatz ergibt sich folgende wichtige Tat-Ist r derRest derDivision von q durch p, so ist:

ft)-ft)-

Es ist ja stets in diesem Fall:

r E q (mod p).

Symbol    berechnen zu können, haben wir

Um das

noch zwei Sätze zu erwähnen, auf deren Beweis wir hier des beschränkten Raumes wegen nicht eingehen wollen.

*

Satz 1. Ist p — 8n + 1. so ist

= 1,

ist aber p = 8 n + 3, so ist :

(f)

(i)

= — 1.

Satz 2.*) (Leg eil dreschesüeziprozitätsgesetz zweier Fr im zahlen).

Sind v und s zwei ungerade Primzahlen, so ist:

ft)-ft)

V — 1    8—1

*) Siehe auch geschichtl. Anhang in Band V.

Hieraus ergibt sich folgende Berechnung des Symbols

, 1. Ist q größer als p, so setze man für q den Rest seiner Division durch p oder den kleinsten negativen Rest von q nach p, falls dieser wesentlich kleiner als jener.

(V) - © • (t)>

Man hat dann:

2. Zerlegt man R in seine -Primfaktoren und vernachlässigt alle Faktoren, welche ein vollständiges Quadrat bilden. Man erhält so:

3. I s t n u n

| a.

r = 2,

so bestimmt sich der Wert nach obigem Satz 1. Ist r ungerade, so drücken wir nachdem Rezipro-

aus und verfahren hier-

zitätsgesetz    durch

mit ebenso wie mit(- -)

er

und erhalten schließlich:

(f)

worin r' r.

4. So fahren wir fort, bis wir schließlich auf:

oder auf:

kommen, deren Wert wir leicht bestimmen können. Wir wollen hiernach einige Beispiele lösen.

Beispiel 1.

Man erhält:

/1123\ V 877 /

/1123\ V 877 /

246

(w) (A) (w>

Nun ist:

(m)

= — 1, da

¹

wenn der Modul p = 2. Denn nach dem Lehrsatz 4 des vorigen Paragraphen ist die Reduktion einer Kongruenz m_ten Grades auf eine solche (p — l)ten Grades immer möglich, wenn p eine Primzahl ist.

²

• Man hat in diesem Falle die linke Seite durch

x'² — x

zu dividieren und erhält:

877 = 8 • 110 — 3.

Ferner:

©■*-«

= — l.

Ferner ist:

877 — 1    41 — 1

©•*

also :

©-©- + ¹

(w) = <- ¹¹ <- « (+!) = + ¹

also ist die Kongruenz:

z² — 1123 e 0 (mod 877) lösbar, d. h. es genügen ihr zwei Werte.

Beispiel 2. /2319\ V1151/ Wir erhalten:

/2319 \    / 17 \

\1151 / — \1151/

(ntl) - (Mr)

1151 — 1    17—1

-- <m) -.

-1)

4600

® - ©) - m - © ■ (A)

17 — 1    3-1

(")

• (~ 1) =

ff) - ©•

Hierin ist:

also :

p = 3 = 8.0 + 3,

CO

d. h. die Kongruenz:

z² — 2319 E 0 (mod 1151)

hat keine Lösung.

Beispiel 3.

/ 4407 \ V 1451 /

Man erhält:

/ 4407 \ _ / 54 \ __ /

V 1451 ) ~ V 1451 / “ V

(—) (—) (—) = (-—) (—Y

V 1451 / V 1451 / V1451 / V 1451 / V 1451 /

2 • 3 • 3²

1451

■)

Nun ist :

denn :

Ferner ist:

(-J-)

V1451 /

1451 = 181-8-1-3.

= — 1,

V1451 / V 3 )

1451 — 1

* (- 1) ²

*(- 1)

725

also :

(-T-) - - (i)

/ 4407 \ V1451 )

= (- 1) (— 1) = 1

d. h. die Kongruenz:

ist lösbar.

z² — 4407 = 0 (mod 1451)

Beispiel Ł

/14631 \ V 7307 )

Es kommt:

14631

7307

7307

17    '(    ¹

29224

Nun ist:

17 = 8-2 -f- 1, also :

= 1.

Ferner ist:

also :

(I) = (ł) -(ł)~(i)

Da

(w) = <+ »    =

d. h. die Kongruenz:

z² — 14631 = 0 (mod 7307)

hat keine Lösung.

Wir haben nunmehr gezeigt, wie man das Symbol ^

berechnen und hiermit entscheiden kann, ob die Kongruenz z² — q E 0 (mod p)

Lösungen hat oder nicht; wir gehen jetzt dazu über, die Lösung der umgekehrten Aufgabe zu finden, nämlich in dem

die Unbekannte zu bestimmen, wenn die Glei-

Symbol

chungen bestehen:

oder:

(f)

Die Gleichung;

(t)

drückt aus, daß die Kongruenz besteht:

p — i

x ² =l(modp).

— Lösungen, weil :

Diese Kongruenz hat ■

xp

durch : teilbar ist, dann ist:

xp

Zahlen :

Diese --- C)—— Lösungen befinden sich in der Reihe der

1, 2, 3 .... p - 1;

die Zahl 0 scheidet aus, weil diese die Kongruenz offenbar nicht befriedigen kann. In der Reihe

1, 2, 3 . . . .

... p - 1

sind also ^    —— Zahlen quadratische Reste nach dem

U

sind quadratische Nicht-

Modul p, die übrigen ——^

reste nach p, d. h. sie genügen der Gleichung⁻:

(f)

Man könnte nun die Zahlen, die quadratische Reste nach p sind, einfach durch Probieren aufsuchen, dies wäre aber bei großem p außerordentlich mühsam und umständlich. Wir suchen daher eine andere Lösungsart.

Wir wissen, daß die Kongruenz :

p — i

x ² E 1 (mod p)

die Bedingung' ist für die Möglichkeit der Kongruenz: z² = a (mod p).

^ 2—— denn ihre Summe ist p und die eine muß größer

Wir haben auch gefunden, daß wenn a eine Lösung der Kongruenz ist, die andere Lösung durch p — a dargestellt wird; keine der beiden Lösungen kann ferner größer sein als

sein als die andere.

Ist daher:

oder:

= 1,

so wird sich in der Reihe der Zahlen

1, 2, 3

immer eine Zahl finden, welche, für z gesetzt, die Kongruenz : z² — a E 0 (mod p)

befriedigt, es wird mit anderen Worten eine der Kongruenzen bestehen:

(modp).

Da nun a kleiner ist als p, so muß sich a unter den Resten der Division der Zahlen

l², 2², 3²

a . die Zah-

p — i

l² E a 2² = a 3² E a

durch p befinden. Sind a^ a₂, a₃ . . . .

len aus obiger Reihe, die die Kongruenz

p — i

x ² El (mod p)

befriedigen, so sind die Lösungen enthalten in den Kongruenzen :

x — a1 x E a2 x E a₃

(mod p)

Die Gleichung : hat also die Lösungen:

x = aL + n • p x = a₂ + np

Beispiel. Es seien die Lösungen der Gleichung zu bestimmen :

(f)

= 1.

Diese Gleichung- hat:

13 — 1

= 6.

Lösungen, welche sich durch die Kongruenz darstellen

lassen :

x — ax

cf cf cf cf cf

(mod 13),

wenn a1? a₂, a₃, a₄, a₅, a₆ die Reste sind, die sich bei der Division der Zahlen :

l², 2², 3², 4², 5² 6²

durch 13 ergeben. Diese Reste sind:

1, 4, 9, 3, 12, 10,

also sind die Lösungen der Gleichung

enthalten in den Kongruenzen:

x = 1 x = 4 x = 9 X Er 3

X = 1

(mod 13),

CM o

oder es heißen die Lösungen:

1 + 13n

3    + 13 n

4    -J- 13 n 9 -f 13 n

x = 10 -j- 13n x = 12 4- 13n.

Die Lösungen der Gleichung:

sind nun leicht zu finden.

Wir haben vorausgesetzt, daß x und p relativ prim sind und dann, daß diejenigen Zahlen, welche der Gleichung

nicht genügen, notwendig die Gleichung:

befriedigen müssen. Hieraus ergibt sich, daß wir, um die Lösungen von;

zu erhalten, von all den Zahlen, die nicht durch p teilbar sind, diejenigen fortlassen müssen, welche die Gleichung

befriedigen.

(?)

Formen:

Es lassen sich nun alle Zahlen darstellen durch die

. . np -f p — 1;

np, nP + 1. np -f- 2, np -j- 3,

die Vielfachen von p kommen für uns in Wegfall, so daß als Lösungen der beiden Gleichungen:

(f)

(f)

die Zahlen bleiben:

np-j-1, np -j- 2, np -j" 3,

np -f- p — 1.

Lassen wir nun aus dieser Reihe die Zahlen fort, die die Gleichung

befriedigen, so erhalten wir die Lösungen der Gleichung:

Beispiel.

= — 1.

Wir haben oben als Lösungen von = + 1 gefunden : x = 1

.13

CO -r*

CO o

+++ ++4-

13 n

13 n

13 n

13 n

13 n

so daß sich für die gegebene Gleichung die Lösungen ergeben :

x = 5 x = 6 x = 7 x = 8 x = 11 -j- 13 n.

13 n

Hieraus erhalten wir als quadratische Reste nach 13: 1, 3,    4, 9,    10, 12;

und als quadratische Nichtreste:

2, 5, 6, 7, 8, 11.

Es seien ferner die Lösungen zu bestimmen von:

(ä) = i

23

und :

= — 1.

Jede der beiden Gleichungen hat:

23 — 1

= 11

Lösungen.

Wir erhalten als Reste der Division der Zahlen l², 2², 3², 4², 5², 6², 7², 8², 9², 10², ll²

durch 23 die Reste:

1, 4, 9, 16, 2, 13, 3, 18, 12, 8, 6, also als Lösungen der Gleichung:

(D

und hieraus für:

(-)

V23 /

x = 1 x = 2 x == 3 x = 4 x = 6 x = 8 x = 9 x = 12 x = 13

x = 16 x = 18

+ + + +++ + 4- + + +

23 n

23 n

23 n

23 n 23 n 23 n

23 n

23 n

23 n

23 n

23 n

x = 5 x = 7 x = 10 x = 11 x = 14 x = 15 x = 17 x = 19 x = 20 x = 21 x = 22

23 n

23 n

23 n

23 n

23 n

23 n

23 n

23 n

23 n

23 n

33 n

Wir haben also als quadratische Reste nach 23r 1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 13, 16, 18; und als quadratische Nichtreste:

5, 7, 10, 11, 14, 15, 17, 19, 20, 21, 22.

Es erübrigt nun noch, zu zeigen, wie man die Lösungen der Kongruenz:

findet.

z² z= q (mod p)

Wir werden später eine allgemeine und sehr einfache Methode zur Auflösung der Kongruenz:

ax E A (mod p)

angeben, hier wollen wir nur den Fall behandeln, in dem p eine Primzahl von der Form 4n -j- 3 ist, da dieser eine unmittelbare Lösung zuläßt.

Die Lösbarkeit der Kongruenz:

z² E q (mod p)

setzt die Kongruenz:

1 (mod p)

voraus.

WiLsetzen hierin:

p = 4n -f 3

4n 4- 3 — 1

und erhalten : q

1 (mod p)

q2n + 1 = 1    p)

oder beide Seiten mit q multipliziert :

q-2 n + 2 rz q (mod p).

Vergleichen wir diese Kongruenz mit der gegebenen; z² E q (modp)

so erkennen wir, daß dieser letzteren der Wert:

z ~~ q

n + i

genügt.

Flat man nun eine Zahl gefunden, die der Kongruenz

z² E q (mod p)

genügt, so findet man deren unendlich viele aus der Kongruenz z² E ą¹¹^¹ (mod p).

Eine von diesen Zahlen muß positiv und zugleich kleiner sein als p, und zwar ist dies der Rest der Division von qn + x durch p. Ist dieser a, so ist die zweite Lösung enthalten in der Kongruenz:

Beispiel.

Wir erhalten:

z — p — (mod p), z² — 3 = 0 (mod 11).

z = Rest von:

3² + !

11

oder allgemein:

z — 5 (mod 11) z = o 11 n

und:

z = 11 — 5 = 6 z = 6 (mod 11) z == 6 -f- lln.

oo

Binomische Kongruenzen.

Unter einer binomischen Kongruenz versteht man eine Kongruenz von der Form:

xn — A (mod p)

worin n, A und p irgend welche ganze Zahlen bezeichnen.

Ist p = 2, so läßt sich nach Lehrsatz 4 des § 6 dieses

Kapitels auf eine Kongruenz lten Grades zurückführen. Wir nehmen also p von 2 verschieden an und betrachten zunächst die Kongruenz:

xn — 1 = 0 (mod p).

Wir stellen über diese Kongruenz den Lehrsatz auf: „Genügt die Zahl a gleichzeitig den beiden Kongruenzen

¹¹ E 1 (mod p) m E 1 (mod p),

so genügt a auch der Kongruenz xT E 1 (mod p)

nn x der größte gemeinschaftliche Teiler von un d n ist.

Auf den Beweis, der leicht zu führen ist, gehen wir der Kürze halber nicht ein. Aus diesem Lehrsatz ergeben sich sofort die Sätze :

1. Die Lösungen von

xm — 1 — 0 (mod p)

sind auch Lösungen von

x p — 1 — 1 E 0 (mod p).

2. Ist x der größte gemeinschaftliche Teiler von m und p — 1, so hat die Kongruenz:

xm — 1 E 0 (mod p)

x Lösungen, welche sich aus der Kongruenz xT — 1 E 0 (mod p)

ergeben.

Der Kongruenz

xm — 1 — 0 (mod p)

können offenbar nur Zahlen genügen, die nicht durch p teilbar sind, denn für jedes x, das ein Vielfaches von p wäre, bestände die Kongruenz

xm — 0 (mod p).

Für jedes x aber, das nicht durch p teilbar ist, gilt nach dem Fermat’schen Satz:

xp ~ ¹ — 1 E 0 (mod p).

Es genügen also alle Zahlen, die die Kongruenz xm — 1 E 0 (mod p) befriedigen, auch der Kongruenz

20

Mayer, Mathematik. IV.

x P ¹ —- 1 — 0 (mod p).

Ist also r der größte gemeinschaftliche Teiler von m und p — 1, so erfüllen alle diese Werte von x auch die Kongruenz:

xr — 1 — 0 (mod p).

Es ist nun noch zu zeigen, daß diese Kongruenzen wirklich x Lösungen haben.

Da x ein Teiler von p — 1 ist, so ist:

p - 1 eine ganze Zahl, die wir mit n bezeichnen wollen. Es ist also p — 1 = r • n

Man kann also schreiben:

xp

x = x (xT'n — 1) = x [(xT)n — ln].

xz — 1 — 0 (mod p) x Lösungen. Da aber, wie oben gezeigt, diese Kongruenz nur durch Werte befriedigt wird, die der Kongruenz

Aus dieser Form erkennt man, daß xp — x durch xr — 1 teilbar ist, weil an — bn stets durch a — b teilbar ist. Nach einem früheren Lehrsatz (welchem?) hat aber dann die Kongruenz

xm — 1 — 0 (mod p)

Beispiel.

Der größte gemeinschaftliche Teiler von 9 und 13 — 1 = 12 ist 3, also hat die Kongruenz: .

genügen, so hat auch diese letztere Kongruenz x Lösungen und findet man diese Lösungen aus der Kongruenz xT — 1 = 0 (mod p). x⁹ — 1 E 0 (mod 13),

x⁹ — 1 = 0 (mod 13)

drei Lösungen, die aus der Kongruenz x³ — 1 E 0 (mod 3)

gefunden werden.

Man erkennt leicht, daß diese Kongruenz die Lösungen hat

oder allgemein :

T-H CO o

CO CO h-¹¹

CO co CO

n.

Diese Lösungen genügen also auch der Kongruenz: x⁹ — 1 E 0 (mod 13)

z. B. ist:

3⁹ — 1 = 19683 — 1 = 19682

19682 : 13 = ganze Zahl.

Beispiel, x²¹ — 1 E 0 (mod 31).

Der Exponent 21 und 31 — 1 = 30 haben als größten gemeinschaftlichen Teiler 3^ wir erhalten also die drei Lösungen für die gegebene Kongruenz aus der Kongruenz:

x³ — 1 E 0 (mod 31)

Als Lösungen erhalten wir

x = 1 x = 45 x = 25

oder allgemein :

x = 1

x = 5 x = 25 +

~r +

CO CO

31 n,

Die Lösung der Kongruenz:

xm — 1 E 0 (mod p) ist somit auf die Lösung der Kongruenz xT — 1 E 0 (mod p)

zurückgeführt, wenn r ein Teiler von p — 1 ist. Für die Kongruenz xT — 1 E 0 (mod p) gilt nun folgender Lehrsatz: Ist x einTeiler von p — 1, so genügt der Kon

gruenz

eine Zahl

xT — 1 — 0 (mod p)

wenn n relativ prim zu p ist. Aus

folgt :

oder:

ar = np — -1 aT — 1 = np — 1 — 1.

20*

Nach dem Fermatschen Satz aber ist:

nP"¹ — 1 — 0 (mod p)

da n relativ prim zu p angenommen ist; folglich auch: aT — 1 E 0 (mod p). x⁷ — 1 E 0 (mod 29)

Beispiel.

Der größte gemeinschaftliche Teiler von 7 und 28 ist 7, also hat die gegebene Konkurrenz 7 Lösungen.

Lösungen sind:

x = 1 + 29 n

29 — 1

x = 2    ⁷ = 2⁴ = 16.

x = 16 + 29 n

Nach dieser Art kann man unter Umständen Lösungen einer binomischen Kongruenz von obiger Form finden. Um alle Lösungen zu erhalten, benützen wir folgenden Lehrsatz:

Sind a, ß, y . . . . dieTeiler vorn (die 1 mit ein begriffen) und genügt k der Kongruenz

(mod p)

xT — 1 E 0 (mod p) ohne aber eine der Kongruenzen x“ — 1 E 0 xß — 1 e 0 x^ — 1 E 0

zu befriedigen, so erhält man die i Lösungen der gegebenen Kongruenz durch die fortschreitenden Potenzen von k, also

(mod p).

x E k x - k3 x E k⁸

x — kr

Der Beweis dieses Satzes ist einfach und müssen wir hier denselben dem Schüler überlassen.

Beispiel. Es sollen die Lösungen gefunden werden von

Dieser Kong-ruenz genügt offenbar die Zahl 4, denn es ist: 4⁴ — 1 = 255

und

und :

255 : 17 = 15 (eine ganze Zahl).

Die Zahl 4 genügt aber nicht den Kongruenzen: x — 1=0 (mod 17) x² — 1 = 0 (mod 17).

Wir erhalten also als Lösungen:

tO

x E 43 x E 4⁴

> (mod 17)

oder:

«o co

> (mod 17).

Beispiel. Es sollen die Lösungen gefunden werden von: x⁶ — 1 E 0 (mod 7)

Wir erkennen, es ist 2 eine Wurzel der Kongruenz, denn

es ist:

64 — 1 = 63

î©

^ = einer ganzen Zahl.

Es ist nun noch zu untersuchen, ob 2 keiner der Kongruenzen

1 0

X² — 1

III III III

x³ — 1    0

0 J> (mod 7)

genügt; wir sehen, 2 genügt der Kongruenz x³ — 1 (mod 7), wir können also die Lösung 2 nicht gebrauchen zum Aufsuchen der übrigen Wurzeln.

Es genügt der gegebenen Kongruenz auch die Zahl 3; diese genügt keiner der Kongruenzen:

wir erhalten daher als Lösungen der gegebenen Kongruenz: x E 3 x E 32 x E 33 x E 34 x E 35 x E 3⁶

(mod 7)

oder:

(mod 7),

x — 3 x = 2 x E 6 x E 4 x E 5 x E 1

Lösungen, die direkt abgelesen werden konnten.

Wir wollen nunmehr zu dem allgemein eren Fall übergehen in dem A nicht 1, sondern eine beliebige, nicht durch p teilbare Zahl darstellt, p sei wieder eine von 2 verschiedene Primzahl.

Ueber diese Kongruenzen haben wir die beiden grundlegenden Sätze:

1. Die Kongruenz

xm — A — 0 (mod p) ist nur dann möglich, wenn

p — i

A ' E 1 (mod p)

ist, x den grösten gemeinschaftlichen Teiler von m und p — 1 darstellt.

2) Ist die Kongruez

xm — A E 0 (mod p)

möglich, so hat dieselbe r Lösungen, welche aus er Kongruenz]

xT — A-"¹ E 0 (mod p)

erhalten werden, wenn n derBedingung genügt:

- • 7t

Auf den Beweis dieser beiden Sätze können wir des beschränkten Raumes halber nicht eingeh en.

x⁶ — 3 = 0 (mod 11)

Beispiel.

sei zu lösen.

Diese Kongruenz ist möglich, d. h. sie hat Lösungen, denn

es ist:

li — i

3 *    — 1 == 242

durch 11 teilbar, d. h. es gilt die Kongruenz 243 = 1 (mod 11).

Ferner erkennen wir, daß die gegebene Kongruenz 2 Lösungen hat, die aus der Kongruenz

x² — 3^ = 0 (mod 11)

zu finden sind.

Es handelt sich nun zunächst darum, tz zu bestimmen. 7t muß der Kongruenz genügen:

oder die Werte eingesetzt:

m°d y)

2 ⁷⁷

3 7t = 1 (mod 5)

Wir können für 7t also 2 setzen. Es ist daher zu lösen:

x² — 9

x² — 3² = 0 (mod 11) 0 (mod 11)

Dieser Kongruenz genügt offenbar x = 3 und x = 11 — 3 = 8. Die Lösungen der Kongruenz

x⁶ — 3 = 0 (mod 11)

sind also :

x = 3 (mod 11) x = 8 (mod 11).

§ 9.

Kongruenzen von der Form ax = A (mod p).

Über diese Art von Kongruenzen, in denen die Unbekannte als Exponent auftritt, müssen wir uns hier kurz fassen.

p soll eine, weder in a noch in A enthaltene beliebige Primzahl bedeuten.

Wir haben folgende Lehrsätze:

1. Wird die Kongruenz

ax E A (mod p)

durch eine Zahlx = a befriedigt, so genügen auch alle zu a nach (p — 1) kongruenten Zahlen dieser Kongruenz.

Es sei.

z — a (mod p — 1) z — a = (p — 1) • Q az - a= a⁽P“

Nun ist nach dem Fermatschen Satz:

ap — 1 E 1 (mod p)

also auch:

a(p — 1) q rr J (mod p)

a z — a = 2 (mod p) aa E A (mod p) az E A (mod p),

also auch: hierzu : folglich :

was zu beweisen war.

Wir fassen auch hier wieder a und alle zu ihm nach (p — 1) kongruenten Zahlen als eine Lösung der Kongruenz

ax E A (mod p)

auf.

Wählen wir A = 1, so erhalten wir:

Lehrsatz 2. Genügt x = a der Kongruenz: ax E 1 (mod p),

so genügen ihr auch alle Vielfache von a.

Lehrsatz 3. Genügt x — a der Kongruenz: ax E 1 (mod p)

so genügt ihr auch der größte gemeinschaftliche Teiler von a und p — 1.

gruenz

Lehrsatz 4. Die kleinste Zahl, welche derKon-ax E 1 (mod p)

genügt (Null ausgenommen), ist ein Teiler von p — 1; alle iibrigenLösungen sind Vielfache von diesem Teiler.

Die Kongruenz

ax — 1 (mod p)

1

hat immer die —— - Lösungen, die dargestellt

werden durch:

x E 0

x — a x E 2a

(mod p — 1).

(V — ¹

x — a • ( ————

\ «

Ist die kleinste Zahl, welche die Kongruenz ax E 1 (mod p)

befriedigt, (p — 1), so hat die Kongruenz nur eine Lösung, die dargestellt wird durch:

x E O (mod p — 1).

Ist A nicht 1, sondern eine durch p nicht teilbare Zahl, so gilt der

Lehrsatz 5. Wird die Kongruenz ax E A (mod p)

durch eine Zahl ^befriedigt, und istadiekleinste Zahl, welche der Kongruenz:

ax E 1 (mod p)

genügt, so hat die erste Kongruenz

P - 1

Lösungen, die dargestellt sind durch:

x E A x E A + a x E A 4-2a

(mod p — 1)

x = i + (^ ¹

Hat die Kongruenz :

ax — 1 (mod p)

nur eine Lösung, ist also p — 1 die kleinste, von Null verschiedene Zahl, welche der gegebenen Kongruenz genügt, so sagt man:

„a ist primitive Wurzel der Primzahl p.“

Lehrsatz 6. Ist a primitive Wurzel von p und A nicht teilbar durch p, so hat die Kongruenz;

ax E A (mod p)

eine und nur eine Lösung.

Eine solche Zahl x, welche diese Kongruenz befriedigt, nennt man: „den Index der Zahl A“. Die primitive Wurzel a nennt man die Basis derlndices. Ich muß es mir leider versagen, weiter auf diese Lehren einzugehen.

§10.

Kongruenzen II. Grades mit zwei Unbekannten.

Von den Kongruenzen II. Grades mit zwei Unbekannten beschäftigen wir uns hier mit der Kongruenz:

x² + Ay²+ B E 0 (mod p)

Wir haben als

Lehrsatz 1. Istp einePrimzahl und keinTeiler von A, so hat die Kongruenz:

x² + A v² + B E 0 (mod p)

stets Lösungen.

Auf den Beweis müssen wir des beschränkten Raumes halber verzichten. Wir wollen nun annehmen, daß B = 0 sei, und wollen untersuchen, wie p beschaffen sein muß, wenn die Kongruenz durch Zahlen für x und y, die relativ prim zu einander sind, befriedigt werden soll.

Ist die Kongruenz möglich, sosagenwir: p sei ein Teiler der quadratischen Form x² -|- Ay²; ist die Kongruenz aber nicht möglich, so sagen wir, p sei ein Nichtteiler der quadratischen Form.

Die Teiler der quadratischen Form x² -f Ay² stellen wir dar in der Form :

mz a,

worin z eine beliebige Zahl darstellt, oder in der Form au² -f- 2 buv + cv²,

worin u und v beliebige ganze Zahlen sind.

Mit den Teilern von der ersten Form beschäftigt sich die „Theorie der linearen Teiler quadratischer Formen“; mit denen von der zweiten Form die „Theorie der quadratischen Teiler quadratischer Formen“.

Wir beschäftigen uns hier nur mit der ersten Theorie.

x² -|- A y² — 0 (mod p)

Lehrsatz 2. Genügen irgend welche Zahlen x, y, die zueinander relativ prim sind, der Kongruenz:

so hat die Kongruenz:

u² + A E 0 (mod p)

jedenfalls eine Lösung.

Es muß jedenfalls y relativ prim zu p sein und es läßt sich daher jedenfalls eine Zahl u finden, welche die Kongruenz befriedigt :

oder: hierzu :

ergibt :

u • y E x (mod p) u³y² E x² (mod p) x² -f- A y² E 0 (mod p)

y² • u² -}- Ay² — 0 (mod p) u² + A E 0 (mod p)

Ist also die Kongruenz:

x² + Ay² ₌ 0 (mod p)

für teilerfremde x und y möglich, so besteht auch die Kongruenz:

u² -j- A — 0 (mod p).

Besteht umgekehrt diese letzte Kongruenz, so kann die Kongruenz

dadurch befriedigt werden, daß man setzt.

0 (mod p)

Beispiel. Es sei zu untersuchen, ob die Kongruenz: x² -f Ay

x² — 2 y² E 0 (mod 7)

Lösungen hat.

Der Wert des Legendreschen Symbols

(I)

ist + 1; daraus schließen wir, daß die Kongruenz:

u² —- 2 E 0 (mod 7)

Lösungen hat; diese sind:

mod 7.

Daraus ergibt sich, daß es möglich ist, die Kongruenz: x² - 2y² E 0 (mod 7) in ein Vielfaches von 7 zu verwandeln.

Beispiel. Es sei zu untersuchen, ob die Kongruenz: x² — 3y² = 0 (mod 11)

möglich ist.

Der Wert des Legendreschen Symbols

ist — 1 ; daraus folgt, daß die Kongruenz u² — 3 = 0 (mod 11)

keine Lösungen hat. Elieraus ergibt sich, daß man unmöglich ein Vielfaches von 11 in der Form:

x² — 3y²

darstellen kann, so zwar, daß x und y relativ prim zueinander sind.

Beispiel. Es sei zu untersuchen, ob man ein Vielfaches von 11 in der Form

O    K O

x- — 5y-

darstellen kann, so zwar, daß die Werte x und y relativ prim zueinander sind.

Soll dies möglich sein, so muß die Kongruenz möglich

sein :

x² — 5y² = 0 (mod 11)

Der Wert des Legendreschen Symbols

(è)

ist + 1, also hat die Kongruenz

u² — 5 = 0 (mod 11)

Lösungen (4 und 7), folglich kann auch die Kongruenz: x² — 5y² = 0 (mod 11)

durch Werte für x und y, die zueinander relativ prim sind, befriedigt werden oder es lassen sich Vielfache von 11 in der Form

x² — 5y²

darstellen.

Beispiel. Hat die Kongruenz:

0 (mod p)

x2 _|_ v2

Lösungen, wenn p eine Primzahl ist von der Form:

p = 4n -f- 3.

Wir wissen, daß das Legendresche Symbol

für p = 4n -j- 3 stets — 1 ist, folglich hat die Kongruenz u² -]- 1 = 0 (mod p)

in diesem Fall keine Lösung und es ist deshalb unmöglich, ein Vielfaches einer Primzahl von der Form

4n + 3

alsSumme der Quadrate von zweiZahlen, die relativ prim zueinander sind, d ar zu st e 11 e n.

Beispiel. Ist die Kongruenz:

x2 + y² = 0 (mod p)

möglich, wenn p eine Primzahl ist von der Form:

p ⁼ 4 n -"I⁻ 1.

Wir wissen, das Legendresche Symbol

<nr)

hat für diesen Fall den Wert -j- 1, es hat also die Kongruenz : u² -f 1 E 0 (mod p)

Lösungen und es ist also möglich, n so zu bestimmen, daß die Summe der Quadrate zweier teilerfremden Zahlen durch p = 4n + 1 teilbar ist.

Bevor wir uns nun weiter mit den Teilern von quadratischen Formen beschäftigen, sind noch einige Lehrsätze zu erwähnen, die wir hier ohne Beweis zusammenstellen

Lehrsatz 3. Ist A eine Primzahl von der Form 4n +3 und p ein Teiler der quadratischen Form

x² + Ay²

so ist:

— + 1-

(1)

Lehrsatz 4). Ist A einePrimzahl von der Form 4n -j- 1 und p ein Teiler der quadratischen Form

x² H- Ay²,

so ist:

und:

(1)

= —f— 1, wenn p = 4m 1 = — 1, wenn p — 4 m -f- 3 ist.

Lehrsatz 5. Ist A eine Primzahl von derForm 4n + 1 und p ein Teiler der Form:

x² — Ay²,

(1)

so ist:

= + 1.

Lehrsatz 6. Ist A eine Primzahl in derForm 4n -j- 3, und p ein Teiler der quadratischen Form:

so ist:

x² — A y²,

== -j- 1, wenn p — 4 m -J- 1, und

= — 1, wenn d — 4 m -f- 3 ist.

Bei diesen Lehrsätzen ist p als eine ungerade Primzahl vorausgesetzt. Mit Hilfe dieser Lehrsätze ist es nun leicht, die linearen Teiler einer quadratischen Form:

x² + A y²

zu bestimmen, wenn A eine Primzahl ist.

Wir haben gefunden, daß die ungeraden Teiler bestimmt werden durch eine der beiden Gleichungen:

0e

je nachdem:

1.    x² + Ay² mit -j- oder — gegeben ist

CO ÇL,

2.    A die Gestalt 4n +    oder 4n -j- 1 hat

3.    in gewissen Fällen    die Form 4 m -j- 1 oder

4 m -j- 3 hat.

Wir haben aber früher gelernt, die Gleichungen

zu lösen.

Die Zahl p hat als lineare Teiler die Form;

n A -j— a

Dieser Form müssen wir nun eine Gestalt, die zugleich die Zahlen von der Form 4 m -j- 1 und 4 m + 3 d. h. alle ungeraden Zahlen liefert. Wir müssen also n so zu bestimmen suchen, daß nA + a in 2 m -j⁻ 1 (Form jeder ungeraden Zahl, verwandelt wird.

Nach unserer Schreibart muß:

nA -f- a E 1 (mod 2)

oder:

nA = (1 — a) (mod 2)

Ist a eine ungerade Zahl, so genügt der Kongruenz n = 0.

Man erhält also als Lösung:

woraus :

n E 0 (mod 2) n E 2z.

Ist aber a eine gerade Zahl, so genügt n = 1 der obigen Kongruenz und man erhält:

n = 2 z -j- 1.

und :

Setzt man diese Werte in die Form von p ein, so kommt p = 2 Az + a p ⁼ 2 A z —{— A —j— a, je nachdem a ungerade oder gerade ist.

Beispiel. Man soll die Form aller ungeraden Teiler der quadratischen Form: x² + 7 y²

suchen.

7 ist eine Primzahl von der Gestalt 4n -j- 3, folglich muß nach obigem Lehrsatz 3:

== 1

(f)

sein. Um die Zahlen zu finden, die dieser Gleichung- g-enüg-en, dividieren wir:

l² 2² 3²

durch 7 und bestimmen die Reste. Wir erhalten :

1 4 2.

Die Zahlen, welche obig-e Gleichung- befriedigen, werden also durch eine der Formeln dargestellt:

7 n + 1 7n -f 4 7 n + 2.

Damit diese Formen aber ungerade Zahlen darstellen, müssen wir

CO

ersetzen. Wir erhalten also als Formen für die ungeraden Teiler der quadratischen Form:

x² + 7 y~

die nachfolgenden:

14z -f* 1 14z + 9 14z + 11.

Wir haben also hiermit die notwendige Gestalt gefunden für alle ungeraden Zahlen, welche Teiler einer Summe x2 -f- 7 y² sein können, wenn x und y teilerfremd sind.

24283

Die Zahl:

I542    7.9²

ist dargestellt durch:

also müssen ihre Teiler, wenn solche existieren, in den Formen enthalten sein:

14 z —|— 1 14z + 9 14 z + 11.

Der Schüler möge versuchen, Teiler ausfindig zu machen. A — 2, so gilt der

Ist

Lehrsatz 7. Die ungeraden Teiler von x² + 2y²

haben die Form :

8m.-T 1 oder 8m -f- 3

und die Teiler von:

die Form:

x² — 2y²

8 m -f 1 oder 8 m — 1

Beispiele möge der Schüler nun selbst berechnen.

§11.

Zerlegung von Zahlen in Primfaktoren.

Wenn man eine Zahl in ihre Primfaktoren zerlegt, so erreicht man dies in der Arithmetik einfach durch Probieren ; man sucht die Division der Zahl N durch alle Primzahlen, die kleiner als / N sind auszuführen. Bei großen Zahlen und insonderheit bei großen Primzahlen kann man hierbei zeitraubende Rechnungen nicht umgehen, wenn man nur die Lehren der Arithmetik benützt. Bedeutend vereinfachen aber läßt sich die ganze Arbeit durch Anwendung der Kongruenze n Wir beschränken uns auf Zahlen von der Form am + 1.

Es gelten hierfür die Lehrsätze:

1. Die ungerad en Primzahl f aktoren einer Zahl a2 n +1 4- 1

müssen entweder die Formen

2 (n + l)z + 1

haben, oder Teiler von

a -f- 1

sein.

2. Alle ungeraden Teiler von 2²“ + 1

müssen die Form haben:

2 nTi . z _|_ l.

Beispiel. Es sollen die Teiler von 65537 bestimmt werden Diese Zahl hat die Form:

21

M a y er, Mathematik. IV

2²* + 1,

folglich müssen die Teiler von 65537 die Form haben

32 z + 1.

Gibt man z die Werte 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, so erhält man als Zahlen die kleiner als y 65537 sind, die ersten 7 der folgenden Zahlen:

33, 65, 97, 129, 161, 193, 225, 257;

Von diesen sind nur 97 und 193 Primzahlen, diese sind aber keine Teiler von 65537, so daß wir schließen können, 65537 ist eine Primzahl.

Wer sich noch eingehender über die in diesem Kapitel entwickelten Lehren orientieren will, dem empfehle ich das Buch: „Theorie der Kongruenzen“ von TschebyschefF, dem ich in meinen Ausführungen gefolgt bin. Im Uebrigen siehe auch Band VII.

Anhang I. Formeltabelle.

Ist eine Gleichung auf die Form gebracht:

ax² -f- bx -j- c = 0

so heißt die Auflösungsformel:

— b + y b² — I a c

Für die Normalform:

2a

x²-\-px + q= 0

lautet die Auflösungsformel:

— p + i p² — 4q )•

Für die Wurzeln xx und x₂ gilt:

+ *a = — P xx •    = q.

Zur Diskussion einer quadratischen Gleichung diene der Satz :

„Ist eine gemischt quadratische Gleichung auf die Form: x¹ px q = 0 gebracht, so erhalten wir, wenn das absolute Glied q negativ ist, in allen Fällen zwei reelle Lösungen. Die Vorzeichen der Wurzeln sind verschieden. Ist p positiv und zu-

gleich Meiner als so erhalten wir zwei reelle

Lösungen mit gleichem Vorzeichen, und zwar ist dieses gleiche Vorzeichen demjenigen von p ent-

î)²

gegengesetzt. Ist q positiv und größer als -™-, so

sind die Wurzeln der Gleichung nicht reell, sondern komplex, und zwar konjugiert komplex—

Häufig gebrauchte Formeln zu Textgleichungen.

Kreis vom Halbmesser r:

u = 2tt,v J = r²?r

{71 = 3,14159265)

(log⁻ 7i = 0,4971499).

»

Kreissektor mit Zentriwinkel «°:

ct

360 V

Kreissegment vom Zentriwinkel a° :

— sin cc

Ellipse mit Halbachsen a und b:

J = ab st.

sin 45°

l-V²

= 0,7071068

tg45° = ctg⁻ 45° = 1. sin 30° = cos 60° = 0,5

cos 30° = sin 60° =

i j/“3~ = 0,8660254

tg30° = ctg 60° = i fS = 0,5773503

ctg 30° = tg 60° = fS = 1,7320508.

a² = b² -j- c² — 2bc cosct (Kosinussatz).

Inhalt des geraden wie schiefen Prismas:

J = G 11

Inhalt der geraden wie schiefen Pyramide:

G II

Inhalt eines geraden wie schiefenPyramidenstumpfes:

g (O + G • g -f- g)

J= 7i

Inhalt der Mantelfläche eines geraden K r e i s zy li n d er s:

M— 2jtr■h

Gesamtoberfläche :

Inhalt des Zylinders:

O = 2jtr(h -f- r)

J = jtr² •h

Inhalt der Mantelfläche eines Kreiskegels: M = Jtr • s

Gesamtoberfläche :

O = jtr(s -f- r)

Inhalt des Kegels:

jtr² ■ h.

Inhalt des Mantels eines Kreiskegelstumpfes: M - jts(H -f- r)

Inhalt des geraden wie schiefen Kegelstumpfes:

î* • h

r²)

Oberfläche einer Kugelzone:

ö = 2Jtr -U oder:

O =    (Qi-f- ÖJ* + /i² • / (Qi —    — be

inhalt einer körperlichen Zone oder einer Kugelschicht:

~jtJi(3Ql² + 3q₂² + K)

Oberfläche einer Kugelhaube oder Kalotte:

O = 2 jtr - h

Oberfläche einer Kugel:

O — 4 jtr²

Inhalt einer Kugel:

.r=±

7i • r³

Inhalt eines Kugelsektors:

2    o₇

,, jt r • /«> Inhalt eines Kugelsegmentes:

ä ■ h²

3— (3r — h)'

Gleichung einer Geraden durch den Anfangspunkt und Neigungswinkel a gegen x-Achse

y = mx,

wobei m = tga.

Gleichung einer Geraden, welche mit der x-Achse den 2$.ol einschließt und auf dery-Achse den Abschnitt q bildet

Gleichung einer Geraden, die auf den beiden Achsen die Abschnitte a und b bildet

= 1.

Gerade durch (x₁ yj

y — yx — m(x — xx).

Gleichung- einer Geraden, die durch die Punkte Pi (xn 7i) und p2 (xi, Y2) ge ht

# — Vi _ V 2 — Vx

X — Xx

rv* _ ry*

1^2

HessescheNormalform der Geradengleichung x cos cs — y sin cs — d₀ — O.

Allgemeine Form der Geradengleichung ax -f- by -}- c — 0.

Normalform der Kreisgleichung

(X — a)² -f- (y —    == r².

Parameterform der Kreisgleichung X = a 4- r cos (p y = l) -j- V sin q>.

Mittelpunktsgleichung der Kreisgleichung x² -f- y² = r².

Scheitelgleichung des Kreises y² — 2rx — x².

Allgemeine Form der Kreisgleichung:

+ y° + Px + QV -f- s = 0,

(b² = c² — a²).

(xi. 7i)

(2 a = — p; 2 b = — q und a² —j— b² — r² = s). Gleichung⁻ einer Kreistangente im Punkte

x • xx y • yx =

Koordinaten der Berührungspunkte

xl — r • cos a y₁ = r • m a

Potenz eines Punktes in Bezug auf einen Kreis

K = (x - a)² + (y - V* - *•*-

Länge der Sehne, welche unter 2$. a gegen x-Achse durch den Peripheriepunkt (xx yA) gezogen ist

s — 2 [(xx — a) cos cc + (yx — b) sin es].

Gleichung des Kreises in Polarkoordinaten P² — 2    cos (tp — tp₀) -j- r²o — r² = 0.

Kreis durch den Anfangspunkt

q — 2qqcos((p — q)₀) — 0.

Kreis um den Anfangspunkt

Q — V.

Mittelpunktsgleichung der JEllipse

= 1

y?    » y²

(i₂    b²

(b² = a² — c²).

Po 1 argleichung der Ellipse

Q- sin² ff j

q² cos² fp

a²

(xi yi)

Gleichung der Ellipsentangente im Punkte

np . /y»

^ 'X'l I

a¹ ' b²

Gleichung der Tangente aus dem Punkt (x₀, y₀) V — Vo _ — xo?/o ± /6aa?so + a*?/⁸» —

«⁸ — aJ*o

Mittelpunktsgleichung der Hyperbel

y²    *

X — Xq

X²

d²

b²

= l.

AsymptotenwTinkel a:

tga =

Po 1 argleichung der Hyperbel

p² QOS² (f    Q- sin² (p

ö²

(xi, yj

Gleichung der Hyperbeltangente im Punkte _ y g/i ₌ j

ö²

Gleichung der Tangenten im unendlich fernen

Punkt

Gleichung der Tangente aus einem Punkt x₀, y₀) an eine Hyperbel

V — i/o _    — &oVo ± / «³ I'/'o +

/y» _ /y»

a² — x²0 Scheitel gleich un g der Parabel y² = 2pX.

P ol argleichun g der Parabel

2 p QCOSCp

sin²tp

Tangentengleichung für den Parabelpunkt

)xi, Yi)

Ist

so ist auch: ferner :

V Vi = P(x + xj.

A E a (mod m) Ah e a ■ h (mod m) Ak E ak (mod p)

— (mod p),

f

•wenn z ein gemeinschaftlicher Teiler von A und a und relativ prim zu p ist.

Ferner:

wenn r gemein

samer Faktor von A a und p ist. Ferner:

wenn m eine Primzahl, und

!) (’ - 4)

<f (m) = m (l — (l

wenn p, q, s etc. die zueinander teilerfremden Faktoren von m sind.

g v(m) = 1 (mod m),

wenn m teilerfremd zu g ist. (Allgemeiner Fermatscher Satz, aufgestellt von Euler.)

1 (mod m),

gni

wenn m eine Primzahl ist.

Lösung einer unbestimmten Gleichung I. Grades mittels Kettendivision.

Ist:

Ist

so ist auch:

Ist:

so ist auch:

ebenso :

A + pm E ci (mod m)

A E a + P m (mod m) A + pm E a + Q m (mod m) a z: b (mod m) b = c (mod m)

a = c (mod p).

A = a (mod m)

B = b (mod m)

a + b (mod m) AB = a • b(mod m) ą (m) = m — 1

ax -(- by -j- c — 0

die Normalform und sind a, b und c relativ prim, so dividiert man mit dem ersten Koeffizienten in den negativ genommenen zweiten, so zwar, daß man eine gerade Anzahl Elemente erhält. Dann bildet man die Klammer von allen Elementen mit Ausnahme des letzten und berechnet die Klammer vom Ende aus.

x ist dann das c-fache des Endwertes vermehrt um ein n-faches des negativ genommenen zweiten Koeffizienten.

y ist das c-fache des letzten Vorwertes vermehrt um dasselbe n-fache des ersten Koeffizienten.

Wilsonscher Satz:

p — 11 -f- 1 ee 0 (mod p),

wenn p eine Primzahl ist.

Legendresch es Reziprozitätsgesetz zweier Primzahlen:

Anhang II.

Vierstellige Logarithmen der Zahlen 1—1000.

Logarithmen der natürlichen Zahlen.

N. Oll

0000

0414

0043

0792

0453

0086

1139

0828

0492

1461

1173

1492

0864

1206

1523

1761

2041

1790

2304

2553

2068

1818

2330

2095

2788

2577

2355

2810

2601

2833

0128 0170 0531 0569 0899 0934 1239 1271 1553 1584

1847 1875 2122 2148 2380 2405 2625 2648 2856 2878

0212

0607

0253

0969

1303

1614

1903

2175

2430

2672

0645

1004

1335

1644

1931

2201

2455

2695

2900 2923

0294

0682

0334

1038

0719

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2014

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CO CO

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6464

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6474

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i 4099 4116 4265 4281 4425 i 4440 4579 | 4594 4728 ; 4742

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6425

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7782

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IIII1 liii! lilii lilii lilii lilii lilii lilii lilii

6571 6580 6665 6675 6758 6767 6848 6857 6937 6946

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7372

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lilii lilii lilii lilii lilii lilii lilii lilii lilii

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8182

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9335 9340 9385 9390 9435 9440 9484 9489 9533 9538

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S.

90

91

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92

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9671

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9773

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97

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9782

98

9868

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99

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9872

9832

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9814

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9818

9863

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9952

9996

s-

Anhang III.

Logarithmen der trigonometrischen Funktionen.

Logarithmen der trigonometrischen Funktionen, sin tang

cos

sin

tang

cos

0,0000

QP

W MîOGOOOWi H H HHH(M(M(M

6.7648    6,7648 0,0000 7,0658 7,0658 0,0000 7,2419 7,2419 0,0000 7,3668 7,3668 0,0000 7,4637 7,4637 0,0000 7,5429 7,5429 0,0000 7,6099 7,6099 0,0000 7,6678 7,6678 0,0000 7,7190 7,7190 0,0000

7.7648    7,7648 0,0000 7,8061 7,8062 0,0000 7,8439 7,8439 0,0000

26 7,8787 7,8787 0,0000 28 7,9109 7,9109 0,0000 30 7,9408 7,9409 0,0000 32 7,9689 7,9689 0,0000 34 7,9952 7,9952 0,0000 36 8,0200 8,0200 0,0000

1    30 8,4179 8,4181 9,9999 35 8,4414 8,4416 9,9998 40 8,4637 8,4638 9,9998 45 8,4848 8,4851 9,9998 50 8,5050 8,5053 9,9998 55 8,5243 8,5246 9,9998

2    0 8,5428 8,5431 9,9997 5 8,5605 8,5608 9,9997

10 8,5776 8,5779 9,9997 15 8,5939 8,5943 9,9997 20 8,6097 8,6101 9,9996 25 8,6250 8,6254 9,9996 30 8,6397 8,6401 9,9996 35 8,6539 8,6544 9,9996 40 8,6677 8,6682 9,9995 45 8,6810 8,6815 9,9995 50 8,6940 8,6945 9,9995 55 8,7066 8,7071 9,9994

89

88

45

35

30

25

20

15

10

38 8,0435 8,0435 0,0000 22 8,0658 8,0658 0,0000 20 8,0870 8,0870 0,0000 18 8,1072 8,1072 0,0000 16 8,1265 8,1265 0,0000 14 8,1450 8,1450 0,0000 12

1    0 8,2419

9,9999    0

89

5 8,2766 10 8,3088 15 8,3388 20 8,3668 25 8,3931 30 i 8,4179

8,2767 9,9999 8,3089 9,9999 8,3389 9,9999 8,3669 9,9999 8,3932 9,9999 8/4181 9,9999

8 0 8,7188 8,7194 9,9994 5 8,7307 8,7313 9,9994 10 8,7423 8,7429 9,9993 15 8,7535 8,7542 9,9993 20 8,7645 8,7652 9,9993 25 8,7752 8,7760 9,9992 3m 8,7857 8,7865 9,9992 35| 8,7959 8,7967 9,9992 4018,8059 8,8067 9,9991 45 8,8156 8,8165 9,9991 501 8,8251 8,8261 9,999o 55 8,8350 8,8355 9,9990 4 “Ö1I83436⁻ 8,8446 9,9989

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8,8699

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8,8865

8,8946

8,9026

8,9104

8,9181

8,9256

8,9330

8,9403

8,9545

8,9682

8,9816

8,9945

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9,0192

9,0311

9,0426

9,0539

9,0648

9,0755

9,0859

9,0961

9,1060

9,1157

9,1252

9,1345

9,1436

9,1525

9,1612

9,1697

4,1781

9,1863

9,1943

9,2022

9,2100

9,2176

9,2251

9,2324

9,2397

9,2468

9,2538

9,2606

9,2674

9,2740

9,2806

COS

tang

8,8446 9,9989 8,8536 9,9989 8,8624 9,9989 8,8711 9,9988 8,8795 9,9988 8,8878 9,9987 8,8960 9,9987

GO 00 co'00 00

OD OD OD CD OD WtOPHO ^-vlCDKl^ ca CO OS GO O

9,9986

9,9986

9,9985

9,9985

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tang

0 86 11 0 9,2806 9,2887 10 9,2870 9,2953 20 9,2934 9,3020 30 9,2997 9,3085 40 9,3058 9,3149 50 9,3119 9,3212 12 0 9,3179 9,3275 10 9,3238 9,3366 20 9,3296 9,3397 30 9,3353 9,3458 40 9,3410 9,3517 50 9,3466 9,3576 0 85 13 0 9,3521 9,3634 10 9,3575 9,3691 20 9,3629 9,3748 30 9,3682 9,3804 40 9,3734 9,3859 50 9,3786 9,3914 0 84 14 ~ö] 9,3837 9,3968 Î0l 9,3887 9,4021 20 9,3937 9,4074 30 9,8986 9,4127 40 9,4035 9,4178 50 9,4083 9,4230 0 83 15 0 9,4130 9,4281 10 9,4177 9,4331 20 9,4223 9,4381 30 9,4269 9,4430 40 9,4314 9,4479 50 9,4359 9,4527 0 82 16 o 9,4403 9,4575

55

50

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9,9912

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0 79

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10

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0 9,4659 9,4853

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00 CO OD CO I>OCOH O H (M CO CO 03 03 03 04 04^ Ca Oj Ca Ca CO

9,2463 9,9934 9,2536 9,9931 9,2609 9,9929 9,2680 9,9927 9,2750 9,9924 9,2819 9,9922

10 9,4700 9,4898 20 9,4741 9,4943 30 9,4781 9,4987 40 9,4821 9,5031 50 9,4861 9,5075 0 80 18 i o 9,4900 9,5118

50

40

30

20

10

50

40

30

20

10

10 9,4939 9,5161 9,4977 9,5203 9,5015 9,5245 9,5052 9,5287 9,5090 9,5329

9,2887 9,9919 fô

cotg sin ! )

Öl 9,5126 9,5370

9,9901

9,9899

9,9896

9,9893

9,9890

9,9887

9,9884

9.9781 9,9878 9,9875 9,9872 9,9869 9,9866 9,9863 6,9859 9,9856 9,9853 9,9849 9,9846 9,9843 9,9839 9,9836 9,9832 9,9828 9,9825 9,9821 9,9817 9,9814 9,9810 9,9806 9,9802 9,9798 9,9794 9,9790 9,9786

9.9782 9,9778 9,9774 9,9770 9,9765 9,9761 9,9757

40

35

20

10

77

40

30

20

10

76

40

30

20

10

75

50

40

30

20

10

74

50

40

30

20

10

73

50

40

30

20

10

72

50

40

30

20

10

cos

cotg

sin

20

50

21

10

20

30

40

50

22

10

20

30

40

50

23

10

20

30

40

50

24

10

20

30

40

50

25

10

20

30

40

50

26

10

20

30

40

50

Logarithmen sin tang

9,5126 9,5370 9,9757 5163 9,5411 9,9752 5199 9,5451 9,9748 5235 9,5491 9,9743 5270 9,5531 0,9739 5306 9,5571 9,9734 9,5341 9,5611 9,9730 9,5375 9,5650 9,9725 9,5409 9,5689 9,9721 9,5443 9,5727 9,9716 9,5477 9,5766 9,9711 9,5510 9,5804 9,9706

0^ 71 27 _0j

sin

CC C7)    C7;

50

40

10

30

20

20

10

30

40

50

9,6570

9,6595

9,6620

9,6644

9,6668

9,6692

tang

9,7072 9,9499 9,7103 9,9492 9,7134 9,9486 9,7165 9,9479 9,7196 9,9473 9,7226 9,9466

0 64

50

40

30

20

10

70 28 0 9,6716 9,7257 10 9,6740 9,7287 20 9,6763 9,7317 30 9,6787 9,7348 40 0,6810 9,7378 50 9,6833 9,7408

9,9459

_CD COCOOCO

co'o'co'o'o

^ rf-tO CO CO 4^- Cr* Cr* tO O CC CO

0 63

50

40

30

20

10

9,5543 9,5842 9,9702 9,5576 9,5879 9,9697 9,5609 9,5917 9,9692 9,5641 9,5954 9,9687 9,5673 9,5991 9,9682 9,5704 9,6028 9,9677 9,5736 9,6064 9,9672 9,5767 9,6100 9,9667 9,5798 9,6136 9,9661 9,5828 9,6172 9,9656 9,5859 9,6208 9,9651 9,5889 9,6243 9,9646 9,5919 9,6279 9,9640 9,5948 9,6314 9,9635 9,5978 9,6348 9,9629 9,6007 9,6383 9,9624 9,6036 9,6417 0,9618 9,6065 9,6452 9,9613 9,6093 9 6486 9,9607 9,6121 9,6520 9,9602 9,6149 9,6553 9,9596 9,6177 9,6587 9,9590 9,6205 9,6620 9,9584 9,6232 9,6654 9,9579 9,6259 9,6687 9,9573 9,6286 9,6720 9,9567 9,6313 9,6752 9,9561 9,6340 9,6785 9,9555 9,6366 9,6817 9,9549 9,6392 9,6850 9,9543 9,6418 9,6882 9,9537 9,6444 9,6914 9,9530 9,6470 9,6946 9,9524 9,6495 9,6977 9,9518 9,6521 9,7009 9,9512 9,6546 9,7040 9,9505

0 69 29 0    9,6856    9,7438    9,9418

0 62

CO CD CO

50

40

30

20

10

50

68    30    0    9,6990    9,7614    9,9375

10    9,7012    9,7644    9,9368

20 9,7033 9,7673 9,9361 30 9,7055 9,7701 9,9353 40    9,7076    9,7730    9,9346

50    9,7097    9,7759    9,9338

67    31    0 p,7118    9,7788    9^331

10 9,7139 9,7816 9,9323 20 9,7160 9,7845 9,9315 30 9,7181 9,7873 9,9308 40 9,7201 9,7902 9,9300 50 9,7222 9,7930 j 9,9292 66 32 “Ü| 9,7242 9,7958 j 9,9284 10 9,7262 9,7986 979276 20 9,7282 9,8014 9,9268 30 9,7302 9,8042 9,9260 40 9,7322 9,8070 9,9252 50 9,7342 9,8097 9,9244 65 33 0 9,7361 9,8125 9,9236

10 9,7380 9,8153 9,9228 20 9,7400 9,8180 9,9219 30 9,7419 9,8208 9,9211 40 9,7438 9,8235 9,9203 50 9,7457 9,8263 9,9194 0 64 84 0 9,7476 9,8290 9,9186

40

30

20

10

10 9,7494 9,8317 9,9177 20 9,7513 9,8344 9,9169 30 9,7531 9,8371 9,9160 40 9,7550 9,8398 9,9151 50 9,7568 9,8425 9,9142

0 61

50

40

30

20

10

0 60

50

40

30

20

10

0 59

50

40

30

20

10

0 58

50

40

30

20

10

57

50

40

30

20

10

9,7072 9,9499    0

cos

cotg | sin I r | o |

0119,7586 9,8452 9,9134

cotg sin

cos

tang

cos

sin

tang

35. 0 9,7586 9,8452 9,9134 0 55 40 0 9,8081 9,9238 9,8843    0 50

10 9,7604 9,8479 9,9125 20 9,7622 9,8506 9,9116 30 9,7640 9,8533 9,9107 40 9,7657 9,8559 9,9098 50 9,7675 9,8586 9,9089

36    0 9,7692 9,8613 9,9080 0 54 41 0 9,8169 9,9392 9,8778    0 49

OI>^HOO t> t> t> t> t> OT GO OT OT OT

OOOOO H 03 CO Ttf lO

37

10

9,7795

20

30

40

50

OT OT OT OT OT*

9,8639 9,9070 9,8666 9,9061 9,8692 9,9052 9,8718 9,9042 9,8745 9,9033 9,8771 9,9023 9,8797 9,9014 9,8824 9,9004 9,8850 9,8995 9,8876 9,8985 8,8902 9,8975

10 9,8184 9,9417 9,8767 20 9,8198 9,9443 9,8756 30 9,8213 9,9468 9,8745 40 9,8227 9,9494 9,8733 50 9,8241 9,9519 9,8722

0 9,8255

10 9,8269 20 9,8283 30 9,8297 40 9,8311 50 9,8324

zo co co co co co co'co'co'c^'co 'ćo

OT OT OT Cn Oi Ol

-o ^ t\o co -o 4^

K OT M Ci O

9,8711

9,8699

9,8688

9,8676

9,8665

9,8653

38    0 9,7893 9,8928 9,8965 0 52 43 0 9,8338 9,9697 9,8641    0 47

10 9,7910 20 9,7926 30 9,7941 40 9,7957 50 9,7973

co co co co co

CO CO O 00 00 O O O TO CO Ci OJ O 00 Oi 00 to OT O

9,8955 50 9,8945 40 9,8935 30 9,8925 20 9,8915 10

39    0 9,7989 9,9084 9,8905    0 51 44 0

9,9848 9,8569 I 0 46

Q CM CO i O CO OOOOO GO CO 00 00 CO OT) OT) OT OT OT

ooooo

tH OJ CO 'rM \0

9,9110 9,8895 50 9,9135 9,8884 40 9,9161 9,8874 30 9,9187 9,8864 20 9,9212 9,8853 10

10 9,8431 9,9874 9,8557 20 9,8444 9,9899 9,8545 30 9,8457 9,9924 9,8532 40 9,8469 9,9949 9,8520 50 9,8482 9,9975 9,8507

0 9,8081 9,9238 9,8843    0

45 0 9,8495 [ 0,0000 9,8495    0 45

cos

cotg

sin

cos

cotg

sin

Anhang IV.

Primzahlen von 1—10000.

1—100    100—200'200—300 300—400 400—500 500—600

t—¹ —J O* CO CO

*-t CO t>- 05 CO O O O O rH

i—1 i—I i—l i—I i—I

i—I CO C» 05 CO r-t Cd CM CM CO CM CM CM CM (M

l>HCO!>H O H r—I r—I CO

CO CO CO CO CO

^ rfn rf*-COKIHOO M H CO CO H

er* Cr* OT Cr* Ot rt^tOWOO I—¹ CO I—k CO CO

CO I> Q CO O

rH rH rH d Ol

t>Ht^05 05 CM CO CO CO 'Cf¹

rH 1—1 rH i—I rH

C3 CO CO CO CO 05 Cr* Cr* CO CO •<! h-' I—¹ CO

!>•    05 CO 05

CO "rfl ^ 'Ol iO CO CO CO CO CO

CO 05 CO 05 C^ CO CO Tt* nf* iß nfi nfl nf -r}H

Cr* Cr* Cr* Cr* er* •<1 05 05 Cr* ifn I—¹ CO CO -<1 *<|

rH l> tH CO !>• CO CO ■'H    ''*+•

i—I C— CO t>- CO 50 lO O CO l> H i—( 1—I H H

05 H N H CO CO C- C^ 00 00 CM <M CM CM <M

l> CO 05 CO 05 CO t>- D- 00 00 CO CO CO CO CO

i—I CO t>- 05 O-CO CO CO l> oo ^ ^ ^ -^1

O- !>■ CO 05 GO 05 05 lOiOłOiO

o* o* co co

1—I t>- 1—t

co CO !>•

05 i—i i“H CO C** fr OO 05 05 05

t—I 1—I 1—I i—l i-H

10

co

CO

397

TT -rfl

CO

05

C0 05C0 05C-I>- C- 00 00 05

CO

CO

600—800

800—1000 1000-12001200-1400 1400—1600

rH Cr co Cr 05

O O rH rH rH

CO CO CD CO CD

00

05 rH

rH CO Cr Ol (M CM 00 00 00

O} CO Oi t-H t-H OHHIMCO

o o o o o

l—I l—I i—I r—l r—I

1201

1213

1217

1223

■ 1229

05 00 Cr 05 CO O CCI CM CC] CO "cH rfl rfl -rH

rH rH rH rH rH

rH rH CO Cr CO CO tcH ''3< rfl XO co co cO cO co

0O 00 00 00 OO Ol Ol Ol 05 C2 CD -HI OO CD CD

CO 05 05 rH rH CO CO lO CO O O O O O HHHrtH

1231

1237

1249

1259

1277

05 l> H CO 05

co ic »o

rjn    rH

rH rH rH rH rH

05 rH 00 Cr CO

1-0 CO Cr Cr Q0

CO CO CO CO co

COCrHCOCr

CD L-r 00 00 00 00 00 00 GO 00

CO 05 Cr rH CO CD CD 00 05 05 O O O O O

rH rH rH rH rH

1297

1283

1289

1291

1279

I—i 1—* i H-1 rfn rfn rfn l4n ^ 00 00 00 00 CO HI CO h-¹ I—¹

rH rH 05 05 Cr

05 O O H CM

CO Cr Cr Cr tr

Cr rH 05 Cr Cr O rH

05 05

1097

1103

rH CM CO 05 05 05

1109

1117

1123

1301

co cr oi

1321

CO 05 rH CO rH 05 05 rH CM CO lO »D rH rH rH rH

Hl HI HI HI H|

Ot Gn ^ co CO HJ I—i CO CO CO

CD CD CD CD CO

HI 05 OT rfn |4X

HHICOIOH

Ot I O

o t—i co co

1171

r>- t-h o co t-h

(M0 0 1>00 CO CO CO CO CO

t-H t-h t-H t-H t-H

UO IG rH r-H

)—i (—i i—i |_i

OT Ot Cn OT D Oi Cn i(h "HI CD CO CD CO

rH 05 CO Cr Cr CO CO Cr GO 05 Cr Cr Cr Cr tr

Cr co rH Cr

Cr OO 05 05 05 05 05 05

HI>C0 GO GO O*

r—i t-h t-h t-H t-H t-H

1399

H 05 CO

Cr Cr 00 05 iG HO iO iG

rH rH rH rH

fl

rH

CO

oo

1800—2000 2000—2200 2200—24001 2400—2600

T—I Cr 05 CO 05 O O O i-i t—i CO CO CO CO CO

rH 1—1 rH rH rH

1801

1811

1823

1831

1847

2003

2011

2017

2027

2029

2203

2207

2213

2221

2237

2411

2417

2423

2437

2441

1—1 Cr Cr Cr CO C3 C3 CO iO CO CO CO CO CO CO rH rH i—I i—I i—I

rH Cr rH co co Cr

00 00 00 00 GO

rH rH rH t—I rH

co t>-

Cr Cr.

co to co co co o o o o o

05 05 OT OO

CO 00 co co

00

co co co co co co co co co co

05 Ci OT ^ co COOMCOO

co co co co co

•3 <1 © CT ^ ■<i co co -a

1667

1669

1693

1697

1699

C5 05 rH Cr. 00 O 00 00 05 05 05

rH rH rH rH rH

1-1 o

00 -rl

co co co co co i-¹ o o o o

1—1 CO 00 00 00

HtOCOH! W

2273

2503

2281

2287

2293

2297

2521

2531

2539

2543

1709

1931

2113

1721

1933

2129

1723

1949

2131

1733

1951

2137

1741

1973

2141

Ol H CO © H OHCOCO^ co co co co co cm cm ©3 ca

to to co to co Or <ot Ot OT Ot O <1 OT CT

h- co    i—¹¹ co

1743

1759

1757

1773

1787

>—i I—i I—i h—i I-* co CO CO co CO co CO CO 00 o CO ~3 CO <] CO

CO CO rH 05

Tf iO co O

H rH rH H

03 03 03 03

2347

2351

2357

2371

2377

2593

1787

00

co co co co co oo oo oo co co co co ao oo co oo co oo

2600 -2800 2800—300013000—3200 3200—3400 3400—3600

2609

2617

2621

2633

2647

CO CO LO CO CO

oo oo

HCOClCOC-O O H co co 00 00 oo

co co co co co

O O O

I—k i—i o

•M03COHH

CM CM O O

CO CO 02

co co co CO CO I—¹ O O CO H Hl co CO

co co

LO CO

C^C0^O5l>-O 1—I CO ^ IO

hH rfi -rfl -rH -rJH

CO CO CO CO CO

2657

2659

2663

2671

2677

CO CO CO LO LO

oo oo

00 OO 00 05 en Ci

co i—¹

»O 1-1 Cû

rH 05 rH l>» 05 •^^COCOD' O O O O O

co co co co co

3251

3253

3257

3259

3271

OC CO 02 CO CO

CO 05 Oł 05 Oi M CO <1 03 H

2683

2687

2689

2693

2699

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9973

Anhang V.

Perioden der Prinizahlnenner von 1—100.

Anzahl

der

Perioden

Reihenfolge der Zähler

(e =    )

Periode

(Reihenfolge für den erstgenannten Zähler)

1, 3, 2, 6, 4, 5

142857

11

1, 10

09

2, 9

18

3, 8

27

36

5, 6

45

13    2

1, 10, 9, 12, 3, 4

076923

2, 7, 5, 11, 6, 8

153846

17    1

0588235294117647

I,    10, 15, 14,4,6,9, 5, 16, 7, 2, 3, 13,

II,    8, 12

19    1

1, 10, 5, 12, 6,3, 11, 15, 17, 18, 9, 14, 7, 13 16, 8, 4, 2

052631578947368421

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Anzahl der Perioden

(e= )

Reihenfolge der Zähler

Periode (Reihenfolge für den erstgenannten Zähler).

I,    10, 13, 14, 24, 8,

29    1

22, 17, 25, 18, 6, 2,

931

20. 26, 28, 19, 16, 0344827586206896551724137 15, 5, 21, 7, 12, 4,’

II,    23, 27, 9, 3

37

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6, 29, 11, 17, 15, 26, 096774193548387 12, 27, 22

1, 10, 26

2, 20, 15

3, 30, 4

5, 13, 19

₁₂    6, 23, 8

7, 33, 34

9, 16, 12

11, 36, 27

14, 29, 31

17, 22, 35

18, 32, 24

21, 25, 28

027

054

081

135

162

189

243

297

378

459

486

567

41

43

47

Anzahl der Perioden

(e= )

Reihenfolge der Zähler

1, 10, 18, 16, 37

2,    20, 36, 32, 33

3,    30, 13, 7, 29

4, 40, 31, 23, 25

5, 9, 8, 39, 21

6, 19, 26, 14, 17

11, 28, 34, 12, 38

15, 27, 24, 35, 22

1, 10, 14, 11, 24, 25, 35, 6, 17, 41, 23,15, 21, 38, 36, 16, 31, 9, 4, 40, 13

2, 20, 28, 22, 5, 7, 27, 12, 34, 39, 3, 30, 42, 33, 29, 32, 19, 18, 8, 37, 26

1, 10, 6, 13, 36, 31, 28, 45, 27, 35, 21, 22, 32, 38,4,40, 24, 5, 3, 30, 18, 39, 14, 46, 37, 41, 34, 11, 16, 19, 2, 20,12, 26, 25, 15, 9, 43, 7, 23, 42, 44, 17, 29, 8, 33,

1, 10, 47, 46, 36, 42, 49, 13, 24, 28, 15, 44, 16

Periode (Reihenfolge fiir den erstgenannten Zähler)

02439

04874

07317

09756

12195

14634

26829

36585

023255813953488372093

04651162790697674186

0212765957446808510638297

872340425531914893617

018867924528

2, 20, 41, 39, 19,

31, 45, 26, 48, 3, 30, 0377358490566 35, 32

4, 40, 29, 25, 38, 9, 37, 52, 43, 6, 7, 17,

0754716981132

11

5, 50, 23, 18, 21, 51, 33, 12, 14, 34,22, 8,

0943396226415

61

Anzahl der Perioden

(e=    )

Reihenfolge der Zähler

Cic4't>co"cq'oc5'iO'^'i>l''^'c^'

NCOHCOHkO CO OliO

o oiS SS s o'S » S 3 O g

^ v| * lO CM kO v. Ci O iO t-H ** Oi

1,    10, 39, 24,    7,

21, 27, 26, 16,    8,

14, 18, 58, 31, 5,

50,    12, 59, 41, 44, 13, 8, 19, 7, 9, 29, 46, 33, 25, 6, 60,

51,    22, 37, 4, 40, 34, 35, 45, 23, 47,1 43, 3, 30, 56, 11, 49,

2,    20, 17, 48, 53, 42, 54, -52, 32, 15, 28, 36, 55

03 d

Periode (Reihenfolge für den erstgenannten Zähler)

0169491525423728813559322

0338983050847457627118644

06779661

0163934426229508196721311

4754098360655737604918032

7868852459

1, 10, 33, 62, 17,

36, 25, 49, 21, 9, 23,

29, 22, 19, 56, 24, 0149253731343283582089552

23880597

39, 55, 14, 6, 60, 64, 37, 35, 15, 16, 26, 59, 54, 4, 40, 65,

47

<M

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03

⁰⁰ co

■S°!o to|*oo

Ci C< d

,03 LC CO OO Ci ÜT

0298507462686567164179104

47761194

71

Anzahl der Perioden

(« = )I

Reihenfolge der Zähler

1,    10, 29, 6, 60, 32, 36, 5, 50, 3, 30, 16, 18, 38, 25, 37, 15, 8, 9, 19, 48, 54, 43, 4, 40, 45, 24, 27, 57,

2,    20, 58, 12, 49,

64

69,    51, 13, 59, 22

1, 10, 27, 51, 72, 63, 46, 22

2, 20, 54, 29, 71, 53, 19, 44

3, 30, 8, 7, 70, 43, 65, 66

4, 40, 35, 58, 69, 33, 38, 15

Periode (Reihenfolge für den erstgenannten Zähler)

0140845070422535211267605

6338028169

0985915492957746478873239

4366197183

01369863

02739726

04109589

05479452

73    9

5, 50, 62, 36,68,23, 11, 37

06849315

6, 60, 16, 14, 67,13, 57, 59

08219178

9, 17, 24, 21,64,56, 49, 52

12328767

12, 47, 32, 28, 61, 26, 41, 45

16438356

18, 34, 48, 42, 55, 39, 25, 31

24657534

Mayer, Mathematik. IV.

23

Anzahl der n Perioden

(e=    )

Reihenfolge der Zähler

Periode (Reihenfolge für den erstgenannten Zähler)

i-s oi

Ol CM oo

rH rH CO

viOOC H COCO

CD t ^ ^ CO

Ol of io co

0126582278481

2, 20, 42, 51, 36, 44, 76, 49, 16

^ to

Ox Ox

Ox I—*■ üc 00

0253164556962

3, 30, 63, 37, 54, 66, 35, 34, 24

oT co

t^CO F- CM

0379746835443

4, 40, 5, 50, 26, 23,

72, 9, 11, 31,73,19, 0506329113924

32

cT oi CO

00 çjj ^1

co

co

00

N rH

T—I CO I>* CO

^    ^

odjC

ZQ    CO    ^    ^ xO>

**    O    Ol    Oi tH

co t> is    i—i    co co

_CO

00

CO

0759493670886

1518987341772

rH

1, 10, 17, 4, 40, 68, 16, 77, 23, 64, 59, 9, 7, 70, 36, 28, 31, 61, 29, 41, 78, 33, 81, 63, 49, 75, 3, 30, 51, 12, 37,

69, 26,

44, 25

0120481927108433734939759

036144578313253

CO t-H

48, 65, 27, 21,

8072289156626506

54, 42, 5, 50

Anzahl der Perioden

Reihenfolge der Zähler

Periode (Reihenfolge für den erstgenannten Zähler)

1, 10, 11, 21,32,53, 85, 49, 45, 5, 50, 55, 16, 71, 87, 69, 67, 47, 25, 72, 8, 80, 88, 79, 78, 68, 57, 36, 4, 40, 44, 84, 39, 34, 73, 18, 2, 20, 22,42, 64, 17, 81, 9

0112359550561797752808988

7640449438202247191

89    2

6, 60, 66, 37,14, 51, 65, 27

0337078651685393258426966

2921348314606741573

97

88. 7, 70, 21,16, 63, 48, 92, 47, 82, 44, 52, 35, 59, 8, 80, 24, 46,    72,    41,    22,    26,

0103092783505154639175257

7319587628865979381443289

6907216494845360824742260

4123711340206185567

Mathematik für Techniker

Gemeinverständliches Lehrbuch

der

Mathematik für Mittelschüler

sowie besonders für den

Selbst-Unterricht.

Von

J. E. Mayer, Ingenieur.

1. Band:

2. Band:

8. Band:

4. Band:

5. Band:

6. Band:

7. Band:

8.    Band:

9.    Band:

Im Jahre 1906 erscheint:

Grundrechnungsarten mit allgemeinen Zahlenzeichen und Proportionslehre.

Die Lehre von den Potenzen, Wurzeln und Logarithmen, nebst einer Anleitung zum Gebrauch des Rechenschiebers. Gleichungen ersten Grades mit einer und mehreren Un-bekannten. Textgleichungen.

Quadratische Gleichungen mit einer und mehreren Unbekannten. Textgleichungen. Exponential- u. Iogarithmische Gleichungen.

Arithmetische und geometrische Reihen. Zinseszins- und Rentenrechnung. Kombinatorik. Binomischer Satz und Anwendungen desselben. Differenzenreihen, Arithmetische Reihen höherer Ordnung. Satz von Moivre etc.

Von den Funktionen. Von den Gleichungen im Allgemeinen. Kubische und biquadratische Gleichungen. Gleichungen höheren Grades.    - - .

Determinanten. Eine gemeinverständliche Einführung in Theorie und Anwendung derselben.

Differentialrechnung.

Integralrechnung und Differentialgleichungen.

Die Schule des

CO

■

Lehrbuch zum

Selbstunterrichte im Maschinenbau

und den dazu gehörigen Hilfswissenschaften.

Begründet von

Ingenieur Karl Georg Weitzel,

Kgl. Sachs. Kammerrat und vormals Direktor des Technikum Mittweida.

I>ritte völlig neeie Bearbeitung

herausgegeben von

Professor Alfred Holzt,

Ingenieur und Direktor des Technikum Mittweida.

Empfehlung.

Die Schule des Maschinentechnikers erscheint gegenwärtig- in dritter völlig neuer Bearbeitung und wird den beteiligten Kreisen zur Anschaffung angelegentlichst empfohlen. Die weite Verbreitung, die das Werk (das überall bekannt ist, wo deutscher Maschinenbau eine Stätte hat — und noch weit .darüber hinaus) in seinen früheren Bearbeitungen gefunden hat, ist der beste Beweis für seine Vortrefflichkeit. Das Werk war für viele, die durch eigenen Fleiß, durch Selbstunterricht ihr Wissen vermehrt und sich weiter ausgebildet haben, Lehrer und Führer, dem sie ihre Lebensstellung verdanken. Diese Erfolge und Anerkennungen finden ihre Begründung durch die nachgenannten dem Werke eigentümlichen Vorzüge :

1. Die schulgerechte das Lernen fördernde Fnt-ivickelung, die vom Leichteren zum Schwereren vorschreitet,

2. die 1 eichtverständl i che Ausdrucksiveise im V er ein mit zahlreichen bildlichen Darstellungen,

8. die besondere Behandlung und treffliche Anordnung des Stoffes, unter Hinweglassung alles Überflüssigen, 4. das Absehen von irgendwelchen Vorkenntnissen mit Ausnahme derjenigen, die in derVolksschule erworben werden. Diese Vorzüge, die schon die bisherigen Bearbeitungen aufwiesen, sind in der dritten Bearbeitung noch ganz besonders klar und umfänglich zum Ausdruck gelangt.

Jeder, der sich dem Maschinenbau, der Maschinentechnik widmet und später Stellung als Maschineningenieur, Maschinentechniker, Fabrikdirektor, Betriebsleiter, Maschinenbauer, Werkmeister, Monteur, Mechaniker usw. annehmen will, aber auch jeder Schlosser, Schmied, Kupferschmied, Former, Metallarbeiter jeder Art, Werkzeugmacher, Modelltischler usw. wird aus diesem Werke reiche Kenntnisse gewinnen. Ebenso werden die Besucher technischer Lehranstalten (Technikum, Ingenieur-Schule, Maschinenbauschule, Gewerbeschule, Werkmeisterschule, Baugewerkenschule, Fachschule für Metallarbeiter usw.) nicht nur während des Schulbesuches, sondern auch später bei Wiederholung des Gelernten und bei Vorbereitung zur Prüfung das Werk als ein kaum entbehrliches Hilfsmittel, sowie als übersichtliches leichtverständliches Hand- und Nachschlagebuch schätzen und mit Nutzen gebrauchen.

Das vollständige Werk umfaßt folgende 17 Bände:

1.    Arithmetik und Algebra (H. Vieweger)

bereits vollständig.

2.    Planimetrie. (A. Holzt)

3.    Trigonometrie. (Paul Killmann)

4.    Stereometrie. ( .,    „    )

5.    Geometrisches Zeichnen und Projektionslehre. (Max Seidel)

6.    Physik. (H. Vieweger)

7.    Mechanik. (Karl Kneip)

8.    Festigkeitslehre. (G. Winzer)

9.    Differenzial- und Integralrechnung.

10.    Graphostatik.

11.    Maschinenelemente. (G. Jerie)

12.    Hebemaschinen.

13.    Dampfkesselanlagen.

14.    Dampfmaschinenlehre.

15.    Kleinmotoren.

16.    Hydraulische Motoren.

17.    Baukunde.

Die Bearbeitung der einzelnen Bände geschieht durch Lehrer des Technikum Mittweida, von denen jeder nur das Fach bearbeitet, in dem er seit Jahren unterrichtete. Hierin liegt die unbedingte Gewähr, daß nur das Beste geliefert wird► Das Werk erscheint in 100—120 Heften, die in 2—3-wöchent-lichen Zwischenräumen ausgegeben werden. Jedes Heft enthält 32 Seiten (oder für je 8 Seiten eine meist farbige Tafel) und

kostet nur 50 Bfg.

Die Verlagsbuchhandlung.

Die Schule des

Bautechnikers.

Lehrbuch zum

Selbstunterricht im Hochbau

und den dazugehörigen Hilfswissenschaften.

Mit zahlreichen Konstruktionszeichnungen und vielen in den Text gedruckten Holzschnitten,

herausgegeben im Verein mit Lehrern an Bau- und anderen technischen Fachschulen von

Professor Franz Stade, Architekt

Lehrer an der kgl. sächs. Baugewerkenschule zu Leipzig. Format geb. 273 : 177 mm.

1.    Band: Die Arithmetik und Algebra. Lehrbuch zum Selbstunterricht bearbeitet von Oberlehrer Albert Behr. Vorwort VIII und 208 Seiten Text. Preis 3 M. 50 Pf., in Leinenband mit Goldtitel 4 M. 75 Pf.

2.    Band: Die Planimetrie, (ebene Geometrie). Lehrbuch zum Selbstunterricht bearbeitet von Oberlehrer Albert Behr. Mit 188 Abbildungen. Vorwort VIII und 104 Seiten Text. Preis 2 M., in Leinenband mit Goldtitel 3 M. 25 Pf.

3.    Band: Die Stereometrie. Lehrbuch zum Selbstunterricht bearbeitet von Oberlehrer Paul Killmann. Mit 59 Abbildungen. Vorwort VIII und 104 Seiten Text. Preis 1 M. 75 Pf., in Leinenband mit Goldtitel 3 M.

4.    Band: Die Trigonometrie. Lehrbuch

zum Selbstunterricht bearbeitet von Oberlehrer Paul Killmann. Mit 45 Abbildungen. Vorwort VIII und 64 Seiten Text. Preis 1 M., in Leinenband mit Goldtitel 2 M. 25 Pf.

5.    Band: Die Physik. Lehrbuch zum Selbstunterricht bearbeitet von Oberlehrer Albert Behr. Mit 188 Abbildungen. Vorwort VIII und 72 Seiten Text. Preis 1 M. 50 Pf., in Leinenband mit Goldtitel 2 M. 75 Pf.

6.    Band: Die Mechanik. Lehrbuch zum Selbstunterricht bearbeitet von Oberlehrer R. Geigenmüller. Mit 119 Abbildungen. Vorwort VIII und 136 Seiten Text. Preis 2 M. 50 Pf., in Leinenband mit Goldtitel 3 M. 75 Pf.

7.    Band: Die Festigkeitslehre. Lehrbuch zum Selbstunterricht bearbeitet von Direktor L. Hummel. Mit 107 Abbildungen. Vorwort VIH und 112 Seiten Text. Preis 2 M., Leinenband mit Goldtitel 3 M. 25 Pf.

8.    Band: Das Wichtigste aus der Graphostatik. Lehrbuch zum Selbstunterricht bearbeitet von Oberlehrer Paul Killmann. Mit 84 Abbildungen. Vorwort VIII, 96 Seiten Text und 2 Tafeln. Preis 2 M., Leinenband mit Goldtitel 3 M. 25 Pf.

9.    Band: Das geometrische Zeichnen, die Projektions- und Schattenlebre.

Lehrbuch zum Selbstunterricht bearbeitet von Ingenieur F. W. G 1 a e s e r. Mit 154 Textbildern und 25 zum Teil farbigen Tafeln. Vorwort VIH und 124 Seiten Text. Preis 5 M., in Leinenband mit Goldtitel 6 M. 25 Pf.

und

Lehrbuch zum Selbstunterricht bearbeitet von Professor

Vorwort VIII und

10.    Band: Vermessungskunde (Feldmessen, Nivellieren Planzeichnen).

F. Albert. Mit 116 Abbildungen und 4 farbigen Tafeln.

72 Seiten Text. Preis 2 M., Leinenband mit Goldtitel 3 M. 25 Pf.

11.    Band: Die Perspektive. Lehrbuch zum Selbstunterricht bearbeitet von Professor F. Albert. Mit 73 Abbildungen und 4 farbigen Tafeln. Vorwort VIH und 74 Seiten Text. Preis 2 M., in Leinenband mit Goldtitel 3 M. 25 Pf.

12.    Band: Steinkonstruktionen. Lehrbuch zum Selbstunterricht bearbeitet von Architekt Franz Stade. Befindet sich im Druck.

13.    Band: Holzkonstruktionen. Lehrbuch zum Selbstunterricht bearbeitet von Architekt Franz Stade. Mit 16 Tafeln und 376 Seiten Text. Preis 8 M. 50 Pf., in Leinenband mit Goldtitel 9 M. 75 Pf.

14.    Band: Architektonische Formenlehre. Lehrbuch zum Selbstunterricht bearbeitet von Professor R. Vogel. Mit 70 Abbildungen und 25 Tafeln. Vorwort VIII und 36 Seiten Text. Preis 4 M., in Leinenband mit Goldtitel 5 M. 25 Pf.

15.    Band: Bisenkonstruktionen. Lehrbuch zum Selbstunterricht bearbeitet von Professor F. Albert. In Vorbereitung.

16.    Band: Feuerungs-, Lüftungs- und Beleuchtungsanlagen. Lehrbuch zum Selbstunterricht bearbeitet von Ingenieur F. Wilcke.

17.    Band: Baumaterialienlehre. Lehrbuch zum Selbstunterricht bearbeitet von Professor F. Albert. Mit 1 farbigen Tafel, 1 Tabelle und 64 Seiten Text. Preis 1 M. 50 Pf., Leinenband mit Goldtitel 2 M. 75 Pf.

18.    Band: Kostenanschläge. Lehrbuch zum Selbstunterricht bearbeitet von Architekt Felix Thalheim. Mit 5 Tafeln und 72 Seiten Text. Preis 2 M., in Leinenband mit Goldtitel 3 M. 25 Pfg.

19.    Band: Buchführung und Wechselkunde. Lehrbuch zum Selbstunterricht bearbeitet von A. Slawinsky. Vorwort VHI und 56 Seiten Text. Preis 1 M., in Leinenband mit Goldtitel 2 M. 25 Pf.

Das mathematische Pensum

des Primaners,

Ein Hilfsbuch für den Primaner humanistischer und realistischer Gymnasien etc. sowie für Selbstunterricht

Herausgegeben von

J. E. Mayer, München.

Das Werk ist. in Heften à 1 Mark erschienen.

Jedes Heft ist einzeln käuflich.

Bei jeder Rechnungsart wird zuerst eine einfache leichtverständliche Ableitung der Formeln gegeben, dann folgen völlig ausgerechnete Beispiele. Indem der Schüler sie nachrechnet, werden ihm die zu befolgenden Gesetze klar, und er wird imstande sein nach dem in der Schule gebrauchten Lehrbuch nun selbständig die einschlägigen Aufgaben zu bewältigen. Es ist die richtige Mitte gehalten zwischen zu großer Ausführlichkeit und zu großer Kürze.

Heft 1.

2.

Progressionen, Zinseszins- und Rentenrechnung.

Kettenbrüche, Teilbruchscheiben, Diophantische Gleichungen Stereometrie I (Anfang).

„    3—4. Stereometrie (Fortsetzung und Schluß), Stereometrische Auf

gaben mit ihren Auflösungen.

Quadratische Gleichungen mit einer und mehreren Unbekannten Höhere Gleichungen, die sich auf quadratische zurückfuhren lassen.

„    6—7. Sätze und Aufgaben aus der ebenen Geometrie. (Potenz, Satz

des Menelaos, des Ceva, harmonische Punkte und Strahlen, Satz des Pascal, des Brianchon, Pole und Polare usw. usw.)

„ 8.

„    9—10. Analytische Geometrie der Ebene.

„ 11—12. Kombinatorik (Permutation, Kombination, Variation). Wahrscheinlichkeitsrechnung. Versicherungsrechnung. Imaginäre Zahlen (Moivre’scher Satz), Maxima und Minima.

Binomischer und polynomischer Lehrsatz. Eigenschaften der Binomial-Koeffizienten. Arithmetische Reihen höherer Ordnung. Figurierte Zahlen.

„ 14—15. Ebene und sphärische Trigonometrie nebst Anwendungen.

„ 16. Von den Gleichungen höheren Grades im Allgemeinen. Kubische Gleichungen.

17—18. Lehre von den Kegelschnitten in elementarer Behandlung. 19—20. Kurzer Abriss der Mechanik.

Grundzüge der geometrischen Projektionslehre.

Die geometrischen Oerter: (Ellipse, Hyperbel, Parabel).

„ 13.

Jedes Heft bringt

zahlreiche Aufgaben mit deren vollständigen Auflösungen.

Richard Schmidt, Leipzig-Reudnitz.

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Biblioteka Politechniki Krakowskiej

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