WYDZIAŁY POLITECHNICZNE KRAKÓW

BIBLIOTEKA GŁÓWNA

r~ Emms

s*

Biblioteka Politechniki Krakowskiej

100000299209

*

rS

m

KÿÜÎ

I

,

'

V,;. s*

■

$

V -

% Ji

■

m

HS m ¹ ÜB

!

.

■k

%

• *>';

:

1 •

•v

A

■)

.

'

I

'

:'/•

rsti

p

.

*r

:

.

/

\

■

<

.

)

✓

V%r

\

3%

-•

itó

v

4c

■-

V-:

i**

\

' *'■

y

“ "N

A-

a#

:

i

m

\

t

%(j

; ■

liii""

iii i ll

'M

■

jsjs

ü

pis;

>>(

g

iß

*•;

■

'ŸH

œ

■

I

;

'

V

;

ï$

/

t

$s

m

'y

i»]

a

M

v<

$

\

Wsj

!r

li

;

>

SB

v:

'S

v

r;"-, ' Ż ,>>Vnw;;,

if.¹

XMttt

>

.V

■ ■■

m

]>

£.38s?ö

(Ą

m

’i}#*

H: !    ,

&

.

;

':•• -vr?‘łj"*i;■;*>;<• .<.,■ w”,v-i ;. -;>'t •

Km

:> s

:

, ...

.

iisiisi

$

y;

»

•t

■

m

■

mm

»

Vorträge über

Mechanik

als Grundlage für das

Bau- und Maschinenwesen.

Y on

Wilh. Keck,

Geh. Kegierungsrat,

Professor an der Technischen Hochschule zu Hannover.

Dritter Teil:

Allgemeine Mechanik.

Zweite Auflage,

bearbeitet von

Dr. Ing. Ludwig HotOpp,

Geheimer Baurat,

Professor an der Technischen Hochschule zu Hannover.

Mit 235 Holzschnitten.

Hannover.

Helwingsche Verlagsbuchhandlung. 1915.

O O/2

KR AK 6 '

•4t

ilb-lHG

Druck von Th. Schäfer, Hannover.

Vorwort zur ersten Auflage.

Der vorliegende dritte und letzte Band meiner „Vorträge über Mechanik“ mit der Bezeichnung „Allgemeine Mechanik“ kehrt noch einmal zu den Anfangsgründen dieser Wissenschaft zurück, um die Grundbegriffe allgemeiner zu fassen, als es bei der ersten Einführung im ersten Teile rätlich erschien.

Das Buch behandelt zunächst das wichtigste aus der geometrischen Bewegungslehre der Punkte und Körper. Dann folgt die Mechanik des Massenpunktes, wobei zur Ergänzung des im ersten Bande Gegebenen namentlich die Wirkung veränderlicher Kräfte berücksichtigt wird mit Anwendung auf elastische und ähnliche Schwingungen, Planetenbewegung, Einwirkung des Luftwiderstandes u. dgl. Hieran schließt sich die Mechanik beliebiger Massengruppen und starrer Körper.

Bei allen diesen Untersuchungen habe ich besonderes Gewicht auf die Durchrechnung von Zahlenbeispielen gelegt; auch wurde angestrebt, durch Vergleiche zwischen den verschiedenen Fällen zum Nachdenken über den inneren Zusammenhang der Formelergebnisse anzuregen. Von Anwendungen auf praktische Fälle mögen genannt werden: die Einwirkung der schwingenden Glocke auf den Glockenstuhl (S. 249), die Schwingungen der Unruhe einer Taschenuhr (S. 274), die Schwingungen eines Eisenbahnwagens (S. 296), die Bewegung eines Eisenbahnzuges unter Einwirkung des Luftwiderstandes uud der Bremsen (S. 284), die Bewegung des Geschosses in einem Kanonenrohr und außerhalb desselben (S. 307).

Den Schluß des Buches bilden kurze Mitteilungen über die wesentlichsten Förderer der Mechanik; begreiflicherweise sind hierbei die noch in vollem Schaffen stehenden Männer nicht mit aufgeführt worden.

Bei der Bearbeitung dieses Teiles wurden besonders folgende Werke benutzt: Lehrbuch der Analytischen Mechanik, von A. Bitter; Theorie der Bewegung und der Kräfte, von Wilh. Schell; Mechanik, von Woldemar Voigt; die Mechanik in ihrer Entwickelung, von Ernst Mach; Allgemeine Mechanik, von E. Budde; Lehrbücher der Statik und Dynamik fester Körper, von Jul. Petersen; Geschichte der Mechanik, von M. Kühlmann.

Alphabetische Verzeichnisse des Inhaltes und der in den Formeln benutzten Buchstaben sind auch diesem Bande beigefügt.

Hannover, im März 1898.

Keck.

Vorwort zur zweiten Auflage.

Nachdem der erste und zweite Teil des vorzüglichen Keck-sehen Lehrbuches über Technische Mechanik bereits in vierter und dritter Auflage erschienen sind, ist nun auch eine Neuauflage des dritten, allgemeinen Teiles erforderlich geworden und deren Bearbeitung, wie die der beiden ersten Teile, von mir übernommen.

Die Umgrenzung des Stoffes hat einige Erweiterung erfahren, die Stoffbehandlung aber ist wiederum nach den vom Urheber des Werkes befolgten Gesichtspunkten geschehen.

In der ersten Abteilung haben die vektoranalytischen Darstellungsmethoden für Zwecke der Mechanik eine kurze Erläuterung gefunden, um einer gelegentlichen Benutzung dieses neueren Hilfsmittels möglichst die Wege zu ebnen. Aus gleichem Grunde ist bei Durcharbeitung des Buches an geeignet scheinenden Stellen neben der kartesischen auch die vektoranalytische Darstellungsart benutzt worden.

In den Abteilungen Mechanik des Massenpunktes und eine Gruppe von Massenpunkten ist bei der Darstellung der Beziehungen zwischen der Arbeit einer Kraft oder eines Kraftfeldes und dem Arbeitsvermögen eines Massenpunktes oder einer Massengruppe der Begriff des Potentials allgemeiner und eingehender behandelt worden. Dasselbe gilt hinsichtlich der durch den Flächensatz ausgedrückten allgemeinen Beziehungen zwischen dem Antrieb einer Kraft oder Kräftegruppe und der Bewegungsgröße der unter der Kraftwirkung stehenden Masse.

Ferner ist in die Abteilung „Mechanik einer Massengruppe“ eine ausführliche Theorie des sogenannten Massenausgleichs und

deren Anwendung auf Kolbenkurbelgetriebe neu aufgenommen worden. Auch sind in einem besonderen Abschnitt die Biegemomente, Querkräfte usw. und die Spannungen und Formänderungen behandelt, die in beschleunigt bewegten elastisch-festen Körpern unter der Wirkung des Kampfes zwischen Kraft und träger Masse entstehen.

Trotz dieser gebotenen Ergänzungen hat das Buch auch in seiner neuen Auflage in der Hauptsache noch als das Werk seines verdienten Urhebers zu gelten.

Hannover, im September 1914.

L. Hotopp.

Seite

Inhalt.

Erste Abteilung.

Gerichtete Größen, ihre Darstellung und Behandlung in der Mechanik.

A. Allgemeines, Begriffserklärung.

B. Mathematische Behandlung der Vektoren.

1.    Die Addition von Vektoren......

2.    Multiplikation..........

a)    Das äußere Produkt zweier Vektoren

b)    Das innere Produkt......

os as to

10

Zweite Abteilung.

Geometrische Bewegungslehre.

A. Bewegung eines geometrischen Punktes.

1.    Geradlinige Bewegung eines Punktes.........

2.    Krummlinige Bewegung eines Punktes.........

a)    Darstellung in einem rechtwinkligen Achsenkreuz .    .

b)    Darstellung durch Vektoren..........

14

15

15

21

g g CO to to to

B. Bewegung eines geometrischen Körpers . . . .

1.    Verschiebung eines geometrischen Körpers.........

2.    Ebene Bewegung eines Körpers; Bewegung einer ebenen Figur in

ihrer Ebene....................

3.    Endliche Bewegung einer ebenen Figur in ihrer Ebene. Rollbewegung

der Polbahnen...................

4.    Drehung eines Körpers um einen festen Punkt. Bewegung einer

sphärischen Figur auf ihrer Kugelfläche..........

5.    Allgemeine Bewegung eines Körpers; Schraubenbewegung .    .    .    .

C. Zusammensetzung und Zerlegung der Bewegungen eines geometrischen Körpers.

1.    Drehung und Verschiebung...............

2.    Drehungen um parallele Achsen.............

3.    Drehungen um sich schneidende Achsen..........

4.    Drehungen um Achsen, die nicht in derselben Ebene liegen .    .    .

5.    Bewegung eines Punktes in einer Bahnlinie mit beliebiger Bewegung

43

45

49

50

Dritte Abteilung.

Mechanik des Massenpunktes.

A. Geradlinige Bewegung des Massenpunktes . . . .

1.    Geradlinige Schwingung eines Massenpunktes........

a)    Schwingungen infolge elastischer Aufhängung......

b)    Lotrechte Schwingung schwimmender Körper......

c)    Eintauchen eines ins Wasser fallenden lotrechten Stabes .    .

2.    Fall eines Massenpunktes aus sehr großer Höhe ohne Rücksicht auf

den Luftwiderstand..................

3.    Bewegung unter alleiniger Einwirkung eines Flüssigkeitswiderstandes

4.    Lotrechte Wurf- und Fallbewegung in einem widerstehenden Mittel

a)    Steigen...................

b)    Fallen....................

c)    Bestimmung der Gleichgewichtsgeschwindigkeit k.....

d)    Übergang zur widerstandslosen Bewegung.......

B. Freie Jmimmlinige Bewegung eines Massenpunktes . .

98

D. Scheinbare (relative) Bewegung.....

1.    Scheinbare Bewegung eines Punktes in bezug auf einen anderen . .

2.    Scheinbare Bewegung in bezug auf einen beliebig bewegten Raum .

Seite

58

60

63

1.    Der Satz der Flächen.................

2.    Der Satz des Arbeitsvermögens. Potential oder Kräftefunktion;

Niveauflächen...................

3.    Bewegung eines Massenpunktes unter Wirkung einer von einem Zentrum

ausgehenden, mit der Entfernung von diesem verhältnisgleichen Anziehungskraft ....................

4.    Bewegung der Himmelskörper unter Einwirkung der Massenanziehung

nach dem Newtonschen Gesetze.............

Umlaufszeit..................

Der Mittelpunkt der Erde als Zentrum........

Der Mittelpunkt der Sonne als Zentrum........

Verhältnis der Masse der Sonne zu der eines Planeten .    .

5.    Wurfbewegung mit Luftwiderstand............

Besonderer Fall einer flachen Wurfbahn........

99

103

113

118

125

125

126

128

129

131

133

C. Bewegung eines Massenpunktes auf vorgeschriebener Bahnlinie

1.    Bewegung eines Massenpunktes längs einer in lotrechter Ebene befindlichen Kreislinie unter Berücksichtigung der Reibung ....

2.    Reibungslose Bewegung eines Massenpunktes unter Einwirkung der

Schwere auf einer in lotrechter Ebene befindlichen Bahnlinie .    .    .

3.    Das Kreispendel................. •

4.    Das Zykloidenpendel.................

5.    Bewegung eines schweren Punktes in einer Parabel mit lotrechter Achse 148

134

137

138

143

D. Bewegung eines schweren Punktes auf einer Kugelfläche;

räumliches Pendel........

E. Scheinbare (relative) Bewegung eines Massenpunktes. .

1.    Bewegung eines Massenpunktes in einem geraden, sich gleichförmig

drehenden Rohr ohne Reibung.............

2.    Bewegung eines Massenpunktes in einem gekrümmten, sich gleichförmig drehenden Rohre ................

3.    Vorgeschriebene Bewegung längs eines Meridians der sich drehenden Erde

Unmittelbare Berechnung der seitlichen Abweichung. .    . .

4.    Vorgeschriebene Bewegung längs einer lotrechten Bahn auf der sich

drehenden Erde ...................

5.    Einfluß der Drehung der Erde auf die Pendelschwingung; Foucaultscher Pendelversuch.................

6.    Scheinbare Bewegung der Planeten in bezug auf die Sonne .    .    .

Seite

150

155

157

160

162

165

166

168

170

Vierte Abteilung.

Mechanik einer Gruppe von Massenpunkten.

A. Gleichgewicht einer Massengruppe.

1.    Satz der willkürlichen Verrückungen; Satz der virtuellen Verrückungen

2.    Anwendungen der Sätze der willkürlichen bezw. der virtuellen Verrückungen .....................

a)    Hebel....................

b)    Schiefe Ebene.................

c)    Aufzugsmaschinen................

d)    Gelenkstangenverbindungen............

c) Klappbrücken .................

172

179

179

180

183

185

189

B. Bewegung einer Massengruppe.

c)    Potential einer Vollkugel.............

d)    Selbstpotential einer Vollkugel...........

192

195

195

196

197

198

199

201

208

205

208

209

210

212

Seite

6.    Bewegungsgröße und Flächensatz in bezug auf eine Massengruppe

7.    Zwangläufige Bewegung einer Massengruppe gegen einen festen

Körper, Massenausgleich...................

215

219

C. Bewegung starrer Körper.

1.    Abhängigkeit des Trägheitsmomentes von der Richtung der Achse

2.    Trägheitsellipsoid und Zentralellipsoid . ............

3.    Berechnung der Trägheitsmomente einiger Körper........

a)    Hauptträgheitsmomente des Parallelepipeds........

b)    Hauptträgheitsmomente eines Zylinders..........

c)    Hauptträgheitsmomente eines Kegels...........

d)    Hauptträgheitsmomente eines Ellipsoïdes.........

4.    Drehung eines starren Körpers um eine feste Achse .......

5.    Widerstände der Achse einer schwingenden Glocke.......

6.    Aus lotrechter Stellung umfallender Stab...........

7.    Drehung eines starren Körpers um einen festen Punkt......

8.    Bewegung des Kreisels....................

9.    Drehung eines starren Körpers um einen festen Punkt ohne Einwirkung bewegender Kräfte.................

10.    Bewegung eines freien Körpers . . ..............

11.    Schwingungen eines Schiffes.................

12.    Drehungspendel; Unruhe ..................

13.    Umfallende, auf dem Boden reibungslos ausgleitende Stange . . .

14.    Rollbewegung auf schiefer Ebene...............

15.    Anhalten eines Eisenbahnzuges durch Bremsung........

16.    Elastische Schwingungen eines Eisenbahnwagens........

17.    Wälzendes oder wiegendes Pendel ..............

a)    Auf ebener Fläche...................

b)    Wiegendes Pendel in einer Hohlfläche; Hypozykloidenwiege .

c)    Wiegendes Pendel auf einer gewölbten Fläche ; Epizykloidenwiege

d)    Die Wippe............•..........

e)    Hängende Wiege....................

18.    Wirkung des Pulvers in einer Kanone......'.......

239

240

243

244

245

246

247

248

249

254

256

261

269

270

271

274

277

280

284

290

294

294

299

302

303

304

307

D. Elastisch-feste Körper in Beschleunigungszuständen.

1.    Allgemeines........................

2.    Um eine wagerechte Querachse sich drehender Stab.......

3.    Pleuelstange im Kurbelmechanismus.....•.........

4.    Biegung einer rotierenden Welle, kritische Geschwindigkeit ....

5.    Spannungen in kreiszylindrischen Ringkörpern durch Rotation oder

Radialkräfte..................... . . .

313

314

319

324

332

Vierte Abteilung.

Kurze Mitteilungen über die wesentlichsten Förderer der Mechanik.

1.    Archimedes.........................

2.    Heron.........................

339

Seite

3.    Pappus.....

4.    Leonardo da Vinci

5.    Stevin......

6.    Galilei......

7.    Huyghens . . .

8.    Newton.....

9.    Johann Bernoulli .

10.    Daniel Bernoulli .

11.    Leonhard Euler

12.    d’Alembert . . . ,

13.    Lagrange.....

14.    Coulomb.....

15.    Poinsot.....

16.    Navier......

17.    Coriolis.....

18.    Poncelet.....

19.    de Saint-Venant .

20.    Weisbach . . . .

21.    Rankine.....

22.    Clapeyron . . . .

23.    Culmann.....

24.    Winkler.....

25.    Grashof.....

26.    Bauschinger . . .

27.    Castigliano . . . .

28.    H. Scheffler . . .

29.    T. Tetmajer . . . ,

30.    W. Ritter . . . .

31.    A. Ritter.....

339

339

340

340

340

340

341

341

341

341

341

342

342

342

342

342

342

343

343

343

343

343

343

344

344

344

344

344

344

Alphabetisches Verzeichnis und Bedeutung der in den Formeln vorkommenden Buchstaben unter Hinweis auf die erklärenden Seiten des Buches Alphabetisches Verzeichnis der behandelten Gegenstände.......

345

Erste Abteilung.

Gerichtete Grössen, ihre Darstellung und Behandlung in der Mechanik.

A. Allgemeines, Begriffserklärung.

Die in der Mechanik vorkommenden Größen sind, abgesehen von ihrer Verschiedenheit im einzelnen, allgemein von zweierlei Art. Den einen ist neben ihrer Größe an sich noch eine Richtung im Raume eigen; sie sind erst durch beide Merkmale, Größe und Richtung eindeutig bestimmt. Man nennt sie daher „gerichtete Größen“ oder „Vektoren“. Die andern „richtungslosen Größen“ sind schon durch ihre Größe an sich, d. h. bei gegebener Maßeinheit, durch eine einzige Zahl eindeutig bestimmt. Man nennt sie in dieser Unterscheidung von den „gerichteten Größen“ „Skalare“.

Zu den Skalaren sind u. a. die Begriffe : Arbeit, Zeit, Masse, Dichte usw. zu zählen. Als Vektoren sind außer den Begriffen: Kraft, Geschwindigkeit, geradlinie Bewegung eines Punktes usw. nach den Darlegungen Bd. I Auflage 4 S. 139 z. B. auch Drehmomente usw., anzusprechen.

Jeder Vektor kann geometrisch durch eine Strecke dargestellt werden, deren Länge, nach irgendeinem Maßstabe gemessen, die Größe des Vektors, seinen „Betrag“ oder „Tensor“ ausdrückt, und deren Richtung auch diejenige des Vektors kennzeichnet. Zur eindeutigen Bestimmung eines Vektors in einem rechtwinkligen dreiachsigen Koordinatenkreuz sind daher drei Zahlenangaben erforderlich, nämlich entweder die seiner Größe und seiner Richtungswinkel gegen zwei Achsen, oder die seiner drei rechtwinkligen Projektionen gegen die Koordinatenachsen, d. i. seiner drei Komponenten.

Keck-Hotopp, Mechanik III. 2. Aufl.

Unter Umständen können gewisse mathematische Operationen mit Vektoren vorteilhaft und übersichtlich ohne Darstellung in einem bestimmten Koordinatensystem mit den Vektoren selbst in kurzer Bezeichnung durchgeführt werden. Für solche Zwecke pflegt man die Vektoren zum Unterschiede von den Skalaren mit deutschen, letztere dagegen mit lateinischen Buchstaben zu bezeichnen. Die Buchstaben 5t, S3 usw. drücken also aus, daß es sich um gerichtete Größen mit den ihnen eigenen, zunächst nicht besonders gekennzeichneten Merkmalen handelt. Will man, wie zuweilen erwünscht, nur die Größe des Vektors an sich, seinen „Tensor“ zum Ausdruck bringen, so kann das nach dem Vorgänge von K. Gans durch eine besondere Bezeichnung etwa wie folgt geschehen: |5lj, [25i usw.

Die besonderen mathematischen Operationen mit Vektorgrößen sind Gegenstand der sogen. Vektoranalysis, die neuerdings in steigendem Maße, insbesondere bei Untersuchung elektromechanischer und hydrodynamischer Vorgänge mit Vorteil Anwendung findet.

B. Mathematische Behandlung der Vektoren.

1. Die Addition von Vektoren.

Bei der Zusammensetzung von Kräften an starren Körpern mit Hilfe des sogen. Kraftecks (Bd. I, Aufl. 4, S. 43), eines Streckenzuges, welcher durch Parallelverschiebung der die Kräfte geometrisch darstellenden Strecken entsteht und in dessen Schlußseite die sogen. Mittelkraft oder Resultante der gegebenen Kräftegruppe erhalten wird, pflegt man diese Mittelkraft, die die gleiche Wirkung auf den Bewegungszustand des starren Körpers ausübt, als alle die Einzelkräfte zusammen, als deren Summe, und zwar, da es sich bei Bildung derselben nicht um eine algebraische Summierung handelt, als geometrische oder graphische Summe zu bezeichnen. Man schreibt

91 =    + • • -i

wobei aus der deutschen Schreibweise der Kräfte ihre Vektoreneigenschaft kenntlich wird. Dieselbe Darstellungsweise läßt sich in bezug die gleichsinnige Zusammenfügung beliebiger anderer gleichartiger Vektorgrößen benutzen, so daß die Gleichung

1)

9t = $i ~b $2 ~b $3 + • . • allgemein aussagt: der Vektor 9t ist die Schlußseite eines aus den Vektoren $!, $₂i ^3 usw. durch Parallelverschiebung gebildeten Streckenzuges (vgl. Fig. 1).

Fig. 2.

Fi g. 1.

it,

fis

Dt

Ist einer der zusammenzufügenden Vektoren mit negativen Vorzeichen behaftet, so ist die ihn darstellende Strecke in dem zu bildenden Streckenzug mit entgegengesetztem Pfeil einzufügen, so daß die Beziehung

9t — $i — $2 “b ^3 + • • • durch die Fig. 2 geometrisch dargestellt erscheint. Allgemein kann man auch die geometrische Zusammenfügung oder Addition von Vektoren ausdrücken durch das Summenzeichen

2)

3)

9t = 2’.$.

Fig. 3.

Sind die zu vereinigenden Vektoren alle von gleicher Richtung, so nimmt der zu bildende Streckenzug die Form einer geraden Linie an. Die Schlußseite als geometrische Summe der Einzelstrecken ist nun zugleich algebraische Summe derselben.

Die in Gl. 1 und 2 gegebene Darstellungsweise des resultierenden Vektors 9t aus den Einzelvektoren $

■>

S<2

L'_

$21 $3 wsw. bleibt auch gültig, wenn die die letzteren ausdrückenden Strecken nicht in einer Ebene liegen. Der zu bildende Streckenzug ist dann ein

räumliches Gebilde (vgl. Bd. I, Aufl. 4, S. 41 und hier Fig. 3).

Die Gleichungen 1 und 2 drücken nur aus, daß der resultierende Vektor allgemein durcli geometrische Summation der Einzelvektoren zu bilden ist. Zur wirklichen Durchführung dieser Operation aber, die auf analytischem oder graphischem Wege geschehen kann, bedarf es einer Darstellung der zu vereinigenden Vektoren in einem etwa rechtwinkligen kartesischen Koordinatensystem oder einer maßstäblich zeichnerischen Darstellung in ein oder zwei Zeichenebenen, je nachdem die Vektoren alle in einer Ebene liegen, bezw. einer solchen parallel sind, oder verschiedene Richtungen im Raume aufweisen. Nur im ersteren Falle kann die Zusammensetzung der Vektoren vorteilhaft und übersichtlich auf graphischem Wege geschehen, während sie in letzterem nur mit Hilfe der darstellenden Geometrie, also nur sehr umständlich und wenig übersichtlich, möglich sein würde.

Das analytische Verfahren kommt immer darauf hinaus, jeden der zu summierenden Vektoren durch seine Komponenten in den zwei oder drei Achsrichtungen eines ebenen oder räumlichen Koordinatenkreuzes auszudrücken, die Komponenten in den einzelnen Achsrichtungen algebraisch zu summieren und die so in den Achsrichtungen erhaltenen zwei bezw. drei Vektoren A und 9), bezw. A, 9) und 3 durch geometrische Addition zu einem einzigen resultierenden Vektor 91 zusammenzusetzen. Sind $₂ usw. die gegebenen Einzelvektoren an a₂ usw., ß, ßo usw., y{, y₂ usw., deren Richtungswinkel in bezug auf die drei Achsen eines rechtwinkligen Koordinatenkreuzes, so erhält man

4)

A = 2’$«cosa, 9) = 2$ • cos/9 und 3 =    • cos/,

wo in den Summengliedern nacheinander die Einzelwerte von a, ß und y einzusetzen sind. Den Tensor des resultierenden Vektors erhält man zu

5)

und für seine Richtungswinkel

ß)

cos ar =

Ir, cosÄ

mr

cos yx =

w

Liegen die Vektoren alle in einer der Koordinatenebenen, etwa in derjenigen A 9), oder sind sie dieser parallel, so daß alle Richtungs-

winkel 7 = —

cos7 — O, so wird auch 3 =    • cos 7 = 0 und

Li

Gl. 4 geht über in

7)

\$t\ = i/r²+$².

Sind die Vektoren Kräfte, deren Richtungslinien durch einen Punkt gehen, so ist durch die Gl. 5 und 6 deren Mittelkraft nach Größe und Richtung bestimmt (vgl. Bd. I, Aufl. 4, S. 42). Stellen die Vektoren Drehmomente ä)£ in verschiedenen Drehungsebenen auf einen starren Körper wirkend dar, so kann man ihre mechanische Zusammenfügung gleichfalls allgemein ausdrücken durch die Gleichung

3 a)

Zur wirklichen Durchführung der Operation aber würden auch hier in bezug auf ein rechtwinkliges Achsenkreuz die Gleichungen 4a) 2Rr = 2*ül- cos <5, 2R₉=2«Wcose, 3Wa = 23)1 • cos 9,

5 a)

I I = VW+ + W und

6 a)

cos <3r =

l«fc| ’

COS £v =

COS^

zu benutzen sein.

Sind bpi Lösung der jeweils vorliegenden Aufgabe noch über die Gl. 4—6, bezw. 4a—6a hinausgehende allgemeine Entwicklungen notwendig, in denen der mechanische Wert einer gegebenen Vektorgruppe eine Rolle spielt, so kann man diesen unter Umständen mit Vorteil, anstatt durch die Gl. 4—6, zunächst bequemer und kürzer durch die Gl. 3 bezw. 3 a ausdrücken.

Sind die Vektoren Kräfte im Raume, die in verschiedenen Angriffspunkten und Richtungen auf einen starren Körper einwirken, so würde die völlige Darstellung ihres mechanischen Wertes in bezug auf ein dreiachsiges rechtwinkliges Koordinatenkreuz der sechs Gleichungen 4—6 und 4a—6a bedürfen (vgl. Bd. I, 4. Aufl., S. 142), während er in allgemeiner und einfacher Form auch durch die Gleichungen 3 und 3a eindeutig festgelegt erscheint.

Will man ausdrücken, daß die Kräfte miteinander im Gleichgewicht stehen, ihr mechanischer Wert gleich Null ist, so kann das in der Vektorenschreibweise allgemein durch die beiden Gleichungen

8)

...2^=0 und 22R = 2fl.r = 0

geschehen, während die Darstellung dieses Zustandes in bezug auf ein dreiachsiges Koordinatenkreuz sechs Gleichungen, nämlich

9)

. . . 2$-cos a = 0, 2’$ • cos ß— 0, 2'$ • cos/= 0,

29JÎ • cos <5 = 0, 22J{ • cos e = 0, 2’3)1. cos = 0 erfordert.

Wenn es sich aber im gegebenen Falle um die wirkliche numerische Lösung einer Gleichgewichtsaufgabe handelt, etwa bestimmte Kräfte (Stützwiderstände) zu bestimmen sind, die mit andern im Gleichgewicht stehen, so wird man sich dabei immer auf ein Koordinatensystem stützen und zweckmäßig die sechs Gleichungen der Gruppe (9) benutzen. Soll dagegen nur allgemein ausgedrückt werden, daß die Kräfte im Gleichgewicht sind, so kann das unter Umständen vorteilhaft durch die beiden Gleichungen Gruppe (8) geschehen.

2. Multiplikation.

Wir wollen zunächst an zwei typischen und zugleich für die Anwendung wichtigen Beispielen der Multiplikation von Vektorgrößen diese Rechnungsart darlegen. Es wird sich zeigen, daß sie in zwei charakteristisch voneinander verschiedenen Weisen ausgeführt werden kann.

a) Das äußere Produkt zweier Vektoren.

Das Drehbestreben, das eine Kraft Jf auf einen in einem Punkte O drehbar festgehaltenen starren Körper ausübt, wird bekanntlich mathematisch ausgedrückt durch das sogen, statische Moment l9Di der Kraft in bezug auf jenen Punkt, bezw. in bezug auf eine durch den Punkt gehende, senkrecht gegen die Drehungsebene gerichtete Gerade als Drehungsachse.

Man schreibt ÏR = $•!(, worin l die Länge des Lotes, vom Drehpunkte auf die Kraftrichtung gefällt, den Hebelsarm der Kraft bezeichnet (vgl. Fig. 4a). Ist r der Radiusvektor des Angriffspunktes A der Kraft $ in bezug auf den Drehpunkt O als Nullpunkt und a der Winkel, den die Vektoren $ und r miteinander einschließen, so läßt sich das Moment auch ausdrücken als

1) *

. . .    ^ • r • sin öl.

Das Moment erscheint geometrisch als doppelter Flächeninhalt des Dreiecks OAJB, das durch die Vektoren $ und t festgelegt ist. Einer der Vektoren wird mit der zu ihm rechtwinkligen

Fig. 4.

tr—

"l

ca

ca

ÏC5

if'*

„äußeren“ Komponente des andern multipliziert. Das Ergebnis wird als „äußeres Produkt“ bezeichnet. Man benutzt dafür in abgekürzter Schreibweise die Bezeichung

2)

. . . 90t = V$-r

Der

und pflegt in diesem allgemeinen Sinne auch r als Hebelarm zu bezeichnen. Dabei wollen wir uns erinnern, daß nach Bd. I, 4. Aufl., S. 139 das Moment 2J1 gleichfalls durch eine Pfeilstrecke, einen Vektor, dargestellt werden kann, der rechtwinklig auf der durch r und $ festgelegten Drehungsebene des Momentes steht.

Winkel a kann naturgemäß alle möglichen Werte von 0 bis 2zr annehmen und würde zwischen 0 und rc zu positiven, zwischen 7t und 2 7t zu negativen Momenten führen.

In der Vektor-Analysis pflegt man, um das positive oder negative Ergebnis der „äußeren Multiplikation“ zweier Vektoren durch diese allein unterschiedlich auszudrücken, die Reihenfolge der Faktoren in dem Produkte dafür zu benutzen, derart, daß

3)

. . . V$.r = -Vr.$

gesetzt wird (vgl. Fig. 4a und 4b). Der Winkel a bleibt dabei auf Werte zwischen Null und 7t, sein Sinus auf positive Werte beschränkt. Für alle Winkelwerte zwischen Null und n ist das äußere Produkt gleich V$-t, für alle Werte zwischen n und 2^ gleich Vr-Ä. Es werde hier noch besonders darauf hingewiesen, daß die Ungleichsinnigkeit der Vorzeichen beider Produkte bei absoluter Gleichheit derselben sich auch dadurch kennzeichnet, daß die dem Produkte V^-r entsprechende Dreiecksfläche OAB durch

Fig. 5.

7t ist zufolge Gl. 1

den Pfeilzug der Vektoren Æ und r im Sinne rechtsherum, die dem Produkte V x • 3Ï entsprechende (Fig. 5) im entgegengesetzten Sinne umlaufen wird. Das äußere Produkt gleicher oder entgegengesetzt gerichteter Vektoren a = 0 oder a

gleich Null.

Ae

!R

-4

Ayr

Wie hier durch die sogenannte äußere Multiplikation zweier gerichteter Größen, Kraft und Hebelsarm, im Sinne der GL 1 das statische Moment gebildet wurde, so läßt sich allgemein das äußere Produkt zweier Vektoren, einerlei, welche mechanische Bedeutung sie haben mögen, durch Gl. 1 definieren und durch

jdf/r

die Schreibweise Gl. 2 ausdrücken.

JV**

Fig. 5 a. A.K-ir

f\'3U

.VU

Gl. 3 könnte man für Vektoren im allgemeinen als Vervollständigung der gegebenen Definition des äußeren Produktes ansehen. Wenn oben das statische Moment der Kraft P in bezug auf den Punkt O gleich dem doppelten Inhalt der Fläche des Dreiecks OAB erkannt wurde, so muß man sich vergegenwärtigen, daß es sich dabei nicht um eine rein geometrische Größe, sondern in gleichem Sinne um eine mechanische Größe handelt, als die Länge einer Strecke, nach bestimmtem Maßstabe gemessen, die Größe einer Kraft darstellt. Hier drückt ein bestimmtes Längenstück die Krafteinheit (Kilogramm oder Tonne usw.), dort ein bestimmtes Flächenstück die Momenteinheit (k?/m, ion‘/m usw.) aus. Grundsätzlich nicht anders würde die Sache liegen, wenn das äußere Produkt irgendeiner anderen mechanischen Vektorgröße und eines reinen Längenvektors in Frage käme.

Besonders wertvoll und wichtig an dem Ergebnis der äußeren Multiplikation ist, daß das äußere Produkt zweier Vektoren wiederum als Vektor durch eine einfache gerade Strecke darstellbar ist, so daß mehrere gleichartige äußere Produkte, etwa statische Momente, durch einfache geometrische Addition ihrer Vektoren zu einer einzigen Vektorgröße vereinigt werden können.

4)

Kommen in einer Untersuchung gleichzeitig mehrere äußere Produkte vor, die alle einen gemeinsamen Faktor haben, so kann man die anderen Faktoren geometrisch summieren und die Summe mit dem gemeinsamen Faktor auf äußere Art multiplizieren . . . VÄj.t + VÄa.r = Y[flj + fl₂]• r,

wobei indes zu beachten ist, daß im Hinblick auf Gl. 3

4 a)

. . . V Æ, • r +' V t • Ä₂ = V [Äj — Ä₂] • r

sein würde.

Äj + Ä₂ = AB+ BC= AC= 91 VÄj *r = Fläche AB DB und rechtwinklig zu dieser V$₂ • r =

Die geometrische Addition der Vektoren -r und ^₂'r ergibt den Streckenzug abc (Fig. 5a), dessen Schlußlinie ca = V3î*r ist. Die Dreiecke ABC und abc sind einander ähnlich

YÄJ .ï + V«₂.ï = Y#.r

Wenngleich nun das äußere Produkt zweier Vektoren, insbesondere das statische Moment 9JÎ einer Æraft SÎ in bezug auf einen Punkt O (Fig. 4) durch die Gleichung 9JI =    • r eindeutig

bestimmt und in dieser Form im Verlauf etwaiger weiterer Untersuchungen bequem ausdrückbar ist, so muß man sich zu seiner wirklichen Auswertung doch meist eines rechtwinkligen Achsenkreuzes bedienen. Sind Æ*, Sty und die Komponenten von Ä in den drei Achsrichtungen, ebenso y, t) und 5 die Komponenten des Vektors r, so daß also Æ =    und x = y -p t) + 3 wird, so hat man

m = V(fl„ + «„ + «,) • (j+_i) + a) =    +

+    +    f- \    • 5 + A • Ï + Sil ' t) 4"    * ä-

Anstatt des einen Vektorproduktes V$-r erscheinen hier dergleichen 9, wobei allerdings zu beachten ist, daß    V$„-t)

und \    ^ je gleich Null sind, weil die auf äußere Art multi

plizierten Vektoren den Winkel a = 0 miteinander einschließen. Ordnet man in den verbleibenden sechs Vektorprodukten die Faktoren durchweg so, daß sie in der Reihenfolge der Achsen sc, y, z aufeinander folgen, setzt also    = — Vj*Ä«, Vä„.j = —V

und    so erhält man

^=(V^.b-Vj.ßy)-MVjVa-Vt)-Ä,) + (VÄ,.s-va.Ä.).

Die drei Klammerwerte drücken jetzt die statischen Momente der Kraft bezw. ihrer Komponenten $*, und in bezug auf die drei Koordinatenachsen aus (vgl. Bd. I, Aufl. 4, S. 144)-Nur wenn der Winkel a, den die beiden Vektoren ^ und x miteinander einschließen, gegeben oder aus den Richtungswinkeln der Vektoren und r bereits berechnet ist, kann die Berechnung des Momentenvektors 9JI unmittelbar mit Hilfe der GL 2 erfolgen.

b) Das innere Produkt zweier Vektoren.

Fig- C.

HM

--1

Die mechanische Arbeit, die eine Kraft auf einen sich bewegenden Massenpunkt ausübt, ist nach Bd. I, S. 44, gleich dem Produkte aus der Kraft und der in ihrer Richtung von dem Punkte zurückgelegten Wegeslänge, wobei es einerlei ist, auf welche Ursache die Bewegung zurückzuführen ist (Fig. 0). Ist die Bahn des Punktes eine gerade Linie, so kann seine Bewegung als gerichtete Größe gelten. Ersetzt man sie durch ihre Komponenten in der Richtung der Kraft und rechtwinklig zu dieser, so pflegt man erstere ê-cosa, den Weg in der Kraftrichtung, als innnere, letztere § • sin <x als äußere Komponente der Bewegung in bezug auf die arbeitende Kraft zu bezeichnen. Das Produkt aus der inneren Komponente der Bewegung und der Kraft, das „innere Produkt“ beider gerichteten Größen, drückt also hier die Arbeit der Kraft aus

5)

. . . 51 = Æ • § • cos öl.

Zu demselben Ergebnis würde man aber auch gelangen, wenn man die Kraft als gerichtete Größe durch ihre innere und äußere Komponente in bezug auf die geradlinige Bewegung des Punktes ersetzt . . . 31 = 5? • cos a • §.

5 a)

Um auszudrücken, daß es sich um das innere Produkt gerichteter Größen handelt, schreibt man zum Unterschiede von •dem äußeren Produkte (fî • ë • sin a = Yß • §) einfach $ • § cos a = j? • è Wie hier bei dem Begriff der Arbeit, so hat man sich allgemein unter dem in gleicher Weise gebildeten inneren Produkte zweier gerichteter Größen, einerlei, welche mechanische Bedeutung ihnen zukommt, eine nicht gerichtete, skalare Größe vorzustellen. Die Summe mehrerer innerer Produkte gerichteter Größen kann also durch einfache algebraische Addition gebildet werden. Auch ist die Stellung der Faktoren des inneren Produktes, wie Gl. 5 u. 5 a erkennen lassen, im Gegensatz zum äußeren Produkte (vgl. Gl. 3) ■ohne Belang. Es ist

6)

1. Verschiebung eines geometrischen Körpers.

0. Zusammensetzung und Zerlegung der Bewegungen eines Körpers.

D. Scheinbare (relative) Bewegung.

<'=¥="r^-

<2 = 7l( k—j;

3. Bewegung eines Massenpunktes unter Wirkung einer von einem Zentrum ausgehenden, mit der Entfernung von diesem verhältnisgleichen Anziehungskraft.

5. Wurfbewegung mit Luftwiderstand.

4. Das Zykloidenpendel.

{(a + -5Ï*"+

2K, = 0.

3. Der Satz des Arbeitsvermögens.

V-S-ß-t1 = 4; VJ'

C. Bewegung starrer Körper.

6. Aus lotrechter Stellung umfallender Stab.

10. Bewegung eines freien Körpers.

16. Elastische Schwingungen eines Eisenbahnwagens.

18. Wirkung des Pulvers in der Kanone.

4. Biegung einer rotierenden Welle, kritische Geschwindigkeit.

Winkler. 343.

. . . 31 = st ■ S = § ■ St.

Das innere Produkt zweier Vektoren fällt positiv oder negativ aus, je nachdem der Winkel «, den sie einschließen, ein spitzer oder stumpfer ist, was bei Summationen beachtet werden muß.

Ist die Bahn des sich bewegenden Massenpunktes, während die Kraft auf ihn einwirkt, eine krumme Linie und vielleicht auch die Kraft St nach Richtung und Größe veränderlich, so kann man das Bahnelement d§ jedenfalls als gerade,, und während es vom Massenpunkte durchlaufen wird, die Kraft St nach Richtung und Größe als konstant ansehen, also die geleistete Arbeit d% nach Gl. 6 als inneres Produkt berechnen

6)

dSl = Ä-rfS.

Durch algebraische Summation erhält man dann

7)

Die Arbeit erscheint damit als sogen. Linienintegral der Kraft. In gleicher Weise kann die Summe der inneren Produkte zweier beliebiger veränderlicher Vektoren gebildet werden.

Anwendung.

Es möge hier zunächst nur die Anwendung der Regeln für die graphische Addition von Vektoren auf die Ermittelung des Schwerpunktes dargelegt werden.

Für die Bestimmung des Schwerpunktes eines starren Körpers wurden in Bd. I, Aufl. 4, S. 151, die Gleichungen aufgestellt 1)    ... M' Xq = 2’m • sc, M-y₀ — 2m-y, M-z₀ = 2'm-z.

Dazu war man gelangt, indem man den Schwerpunkt als Mittelpunkt von Parallelkräften m-p ansah, die an den einzelnen Massenpunkten angreifend sich verhältnisgleich der Masse über den Körper verteilen und allen Massenteilchen m die gleiche Beschleunigung p beibringen, etwa die Beschleunigung der Schwere p = g. Die Mittelkraft war dann gleich 2’ m • p = p • 2’ m — p • M, und aus den Momentengleichungen in bezug auf die drei Achsen eines rechtwinkligen Koordinatenkreuzes konnte der gemeinsame Faktor p aller Glieder fortgelassen werden. Das führte zu obigen Gleichungen. Die Kräfte m-p, bezw. ihre Mittelkraft M p sind durch Fortfall der gerichteten Größe p in richtungslose Größen übergegangen. Die Koordinaten æ, y und z, bezw. tr₀, y₀ und z₀ können als Komponenten der Radienvektoren r, bezw. r₀ der einzelnen Massenpunkte, bezw. des Schwerpunktes S gelten und verdienen als solche die Bezeichnung j, t) und 3, bezw. j₀, l)₀ und 3₀.    Durch graphische

Addition der drei Gleichungen erhält man dann

M' (£„ + ho + so) = ^m (s + b + a)i oder da

2)

£o + bo + äo = r₀ WQd £ + h + a = r auch ... M-x₀ = 2’m • r.

Durch diese Gleichung ist der Radiusvektor r₀ des Schwerpunktes 5 und damit auch die Lage dieses letzteren ebenso eindeutig bestimmt, wie durch die drei Gleichungen 1.

Freilich, zur analytischen Auswertung der Gl. 2 im Sinne einer wirklichen Schwerpunktsbestimmung wird man sich meist doch der drei Gleichungen 1 bedienen müssen.

Die graphische Ermittelung der Vektorensumme 2’m-r führt im allgemeinen zu einem räumlichen Streckenzuge, läßt sich also nur mit den Hilfsmitteln der darstellenden Geometrie durchführen. Nur in den allerdings nicht seltenen Fällen der Anwendung^ in denen es sich um die Bestimmung der Schwerpunkte ebener Flächen oder einfach gekrümmter Linien handelt, führt die Bildung der 2’m-r zu einem ebenen Streckenzuge, in dessen Schlußlinie 2m-r erhalten wird. Dabei treten an Stelle der Massenteilchen m die Flächenteilchen A F, bezw. die Längenteilchen A s.

einander gleich machen kann (vgl. Fig. 7). Ist dann ihre Anzahl gleich n, so hat mau n-As = s, bezw. n- A F = F und damit As-2' y n • A s

AF-2y

*o =

n- A F

Mit Bezug auf die Fig. 7 und 8 erhält man l'As-x .

-— i bezw. r₀ =    ,,

S    X

Besonders einfach und bequem fällt die Anwendung dieser Kegeln aus, wenn man die Teile A s der Gesamtlänge s der Linie, bezw. die Teile A F der Gesamtfläche F ohne umständliche Einteilung

*o =

2AF-r

Fig. 7.

■9—-,

Fig. 8.

ts •

V5

\Xo

\t0

tl

\$F

'A‘

ri-

s O» ' !

"1,

ft

—, bezw. r₀ = n

Man hat also, um r₀ nach Richtung und Größe zu finden, nur den Streckenzug 2r zu bilden. Die Richtung seiner Schlußlinie ist auch die von r₀, und 1/« derselben ist gleich der Größe von r₀.

Trägt man die Vektoren r von vornherein in 1/n ihrer Länge auf, was auch schon um deswillen vorteilhaft sein kann, damit die Größe der Figur sich in bequemen Grenzen hält, so ergibt die Schlußlinie ohne weiteres r₀.

Zweite Abteilung.

Geometrische Bewegungslehre.

Oie geometrische Bewegungslehre verfolgt nicht das Ziel, die Bewegung eines Körpers aus der Wirkung gegebener Kräfte herzuleiten; vielmehr setzt sie die Bewegung als gegeben voraus und untersucht nur ihre Eigenschaften und kennzeichnenden Merkmale. Da nun in dieser Bewegungslehre die Kräfte nicht Vorkommen, so braucht auch die Masse der Körper nicht berücksichtigt zu werden, vielmehr erscheinen letztere nur als geometrische Körper.

A. Bewegung eines geometrischen Punktes.

1. Geradlinige Bewegung eines Punktes.

Bewegt sich ein Punkt auf einer geraden Linie A B (Fig. 9), so ist die Bewegung völlig gegeben, wenn für jeden Zeitwert (Zeitpunkt) t der Abstand s des beweglichen Punktes P von einem auf der Bahnlinie AB befindlichen Festpunkt A bekannt ist, etwa durch die Gleichung

Fig. 9.

fc

2""9

■B

1)

Ändert sich während des Zeitteilchens dt der Abstand s um PQ — ds, so ist ds die während der Zeit dt zurückgelegte Wegeslänge, und das Verhältnis

2) heißt die Geschwindigkeit des beweglichen Punktes in dem Zeitpunkte t. Mißt man die Wegeslänge nach Metern, die Zeit nach Sekunden, so bedeutet die Geschwindigkeit Meter in der Sekunde (m/s., s. 1. Teil, Aufl. 4, S. 7) Richtung und Sinn (Pfeilrichtung) der Geschwindigkeit stimmen mit derjenigen der Bewegung überein.

Die nach Gl. 2 berechnete Geschwindigkeit v ist im allgemeinen mit der Zeit t veränderlich; erfährt sie während der Zeit dt einen Zuwachs um dv, so nennt man das Verhältnis

3)

/"«)

die Beschleunigung des Punktes im Zeitpunkte t, und zwar mit der Bedeutung Meter in der Quadratsekunde (ra/s.», s. 1. Teil, Aufl. 4 S. 13). Die Richtung der Beschleunigungp stimmt bei geradliniger

dv

Bewegung mit deren Richtung überein; bei positivem — hat p mit v gleichen Sinn, bei negativem Wert entgegengesetzten Sinn.

Bekommt ein Punkt, der sich zu Anfang, d. h. für den Zeitpunkt t = 0, im Festpunkt A befindet und die anfängliche Geschwindigkeit c hat, eine Bewegung mit gleichbleibender Beschleunigung jo, so wird nach Gl. 3

dv = p • dt, also v — pt C,

worin, weil für t — 0 v — c sein soll, C=c; aus Gl. 2 folgt dann ds — v • dt

(c + pt) dt, also durch Integration

s = c t -j-

T + c"

oder, weil für t = 0 auch .9 = 0 sein soll, Cx = 0, daher

pt²

s = ct+^-.

Ist die Anfangsgeschwindigkeit c = 0, so wird die Wegeslänge

pt²

4)

5)

2. Krummlinige Bewegung.

a) Darstellung im rechtwinkligen Achsenkreuz.

Bewegt sich ein Punkt in einer räumlichen Kurve, so kann man den augenblicklichen Ort P desselben mittels der Koordinaten x, y und z auf ein rechtwinkliges Achsenkreuz beziehen. Sowohl die Bahnlinie, wie auch die Bewegung in derselben sind völlig bestimmt durch die 3 Gleichungen

oc = f(t)\ y — F {t) ;    z = (p(t);

die Geschwindigkeit des Punktes im Zeitpunkte t und bezeichnet auch Bichtung und Sinn derselben als mit denen der Bewegung übereinstimmend. Die Dichtung der Geschwindigkeit ist also tangential zur Bahnlinie, insofern die unendlich kleine Sehne PPX mit der Tangente an P zusammenfällt. Nennt man a, ß und y die Neigungswinkel der im Punkte P gezogenen Bahnlinien-Tangente gegen die drei Achsen, so sind

8)

denn auf Grund dieser Gleichungen kann man für jeden Zeitpunkt t den Ort- P des beweglichen Punktes berechnen. Entfernt man t aus den Gleichungen, so ergeben sich zwei Gleichungen zwischen æ, y und z als die Gleichungen der Bahnlinie. Bewegt sich der Punkt während der Zeit dt von P nach Px (Fig. 10), also um die Wegeslänge d s — PPX, so versteht man auch bei der krummlinigen Bewegung unter

Fig. 10.

zi

AJ

-Q—X

7)

ds

~x

..y

dt

ds • cos a = dx, ds ■ cos ß = dy und ds • cos y = dz

die Projektionen von ds auf die Achsen. In Fig. 10 ist aber die projizierende Gerade PQ rechtwinklig zur il, der Punkt Q also die Projektion des Punktes P auf die A X und somit die Gleichung x = f{t) das Gesetz, nach welchem sich die Projektion des Punktes P längs der AX bewegt. Dasselbe gilt für die Bewegung der Projektionen des Punktes längs der Achsen A Y und A Z. Die Geschwindigkeiten dieser Projektionsbewegungen sind nach Gl. 6 und Gl. 2

9)

Vx = f (t) =

dy

dz

dt' v*~ dt

und vz = -r-

und zufolge Gl. 8 auch

10) vx — ~ cos o. — v • cos a, vy — -7- cos ß — v • cos ß und dt    dt

ds

vz — — • cos y — v - cos y d t

d. h. die Geschwindigkeiten der Projektionen des Punktes P äuf die drei Achsen sind gleich den Projektionen der Geschwindigkeit v der wahren Bewegung des Punktes P auf dieselben Achsen.

Da nun cos² a-[-cos²/?+cos²/= 1, so wird

1, oder

V²

V-

î/2 —    -f- Vyî -|_ vz“.

Es ist daher die Geschwindigkeit v des Punktes P nach Größe und Richtung die Diagonale eines Parallelepipeds aus den Geschwindigkeiten der Projektionsbewegungen längs dreier, winkelrecht zueinander stehenden Achsen, oder die geometrische Summe derselben (vergl. 1. Teil. Aufl. 4, S. 20).

Man kann dem Punkte P seine Bewegung längs der räumlichen Bahnlinie B P auch dadurch erteilen, daß man ihn von dem Punkte B aus (dessen Koordinaten xv, są, zx) nach dem Gesetz x — / (t) parallel der x- Achse um B C = x — xx bewegt (Fig. 11), gleichzeitig der Geraden BC eine Parallelverschiebung um C Z>, parallel der y- Richtung, erteilt, so daß jeder Punkt der B C der Gleichung Y' y—F(t) folgt und auch noch zu derselben Zeit der Ebene BCD eine Parallelverschiebung um DP im Sinne der 2-Achse nach dem Gesetze z—cp(t) gibt. Vermöge dieser drei gleichzeitigen Bewegungen um BC', CD, DP gelangt der Punkt von B nach P, und weil die einzelnen Bewegungen den Gleichungen 6 folgen, so gelangt der bewegliche Punkt auch in jedem Zwischenzeitpunkt an die richtige Stelle seiner Bahnlinie BP. Die drei Einzelbewegungen heißen die Seitenbewegungen der wahren oder Mittelbewegung BP. Die Projektionen der wahren Geschwindigkeit v auf die drei Achsen sind zugleich die Geschwindig-

Keck-Hotopp, Mechanik III. 2. Anfl.

ID

Br

Fig. 11.

X~XĄ

-0/

z/y

keiten der drei Seitenbewegungen oder die Seitengeschwindig-k ei ten.

Die vorstehenden Entwickelungen gelten in ihren Hauptzügen auch für ein schiefwinkliges Achsenkreuz, nur bekommen dann die Gl. 10 und 11 eine etwas andere Form. Das Ergebnis dreier gleichzeitiger Geschwindigkeiten ist also stets eine wahre oder Mittelgeschwindigkeit v, welche sich nach Größe, Richtung und Sinn als die Diagonale eines Parallelepipeds aus den Seitengeschwindigkeiten oder als die geometrische Summe der Seitengeschwindigkeiten ergibt.

Bei der krummlinigen Bewegung ändert sich während eines Zeitteilchens dt im allgemeinen sowohl die Größe, wie auch die Richtung der Geschwindigkeit; diejenige Geschwindigkeit du nun, welche mit der im Zeitpunkte t vorhandenen Geschwindigkeit v zusammengesetzt werden muß, um mit ihr die im Zeitpunkte t-\-dt geltende Geschwindigkeit v + dv nach Größe, Richtung und Sinn zu ergeben, heißt die Elementarbeschleunigung und liefert, durch dt geteilt, die Beschleunigung p der krummlinigen Bewegung im Zeitpunkte t nach Größe, Richtung und Sinn.

Fig. 12.

II

Ist (Fig. 12) PQ ein Bewegungsteilchen ds und bilden die an den Stellen P und Q der Bahnlinie vorhandenen Geschwindigkeiten v und v -p dv den Winkel d a miteinander, so trage man v—FG und v-\-dv

Q,

—    FH von einem Punkt F aus nach Größe, Richtung und Sinn auf; dann ist GH=du

da

—    p- dt die Elementarbeschleunigung, und die Beschleunigung p — du : dt stimmt nach Richtung und Sinn mit GH überein. Bei krummliniger Bewegung weicht hiernach die Richtung der Beschleunigung p von der Richtung der Geschwindigkeit v ab. Da v Ar dv die geometrische Summe von v und d u ist, so kann die Elementarbeschleunigung als geometrische Differenz von vdv und v, oder, weil sie unendlich klein ist, als das geometrische Differential von v, die Beschleunigung als die geometrische Abgeleitete von v bezeichnet werden.

Projiziert man das beliebig im Raume liegende Geschwindigkeitsdreieck FGH (Fig. 13) auf die Achse A X, so ist Fx Gx die Projektion wenn e und Ç die Neigungswinkel der Beschleunigung p gegen die AY und die AZ sind; d. h. die Beschleunigung der Projektions- oder Seitenbewegung ist gleich der Projektion der Beschleunigung der wahren Bewegung auf dieselbe Achse. Es wird

14)

von ty also nach S. 18 die Seitengeschwindigkeit vx in der x~ Richtung im Zeitpunkte t, Fx Hx die Projektion von v+ dv, d. h. die Seitengeschwindigkeit vx + dvx im Zeitpunkte tĄ-dt.

Somit ist Gx — d vx die Elementarbeschleu-

Fig. 13.

nigung der Seitenbewegung in der ^-Richtung. Zugleich ist aber 6rj Hx auch die Projektion der Elementarbeschleunigung GH der krummlinigen Bewegung,

YcP-------

! \ Fj

G\

du\\

<f

d. h. wenn du—GH mit der x-Achse den Winkel à bildet,

d vx

Sonach wird, wenn man mit px —

d t

d vx = du • cos (5.

Beschleunigung der Seitenbewegung oder die Sei ten b es chleu nigung in der ^-Richtung bezeichnet, dvx P* ⁼ ~dt

d Vy d u

. COS Ô = P COS Ó.

dt

12)

Pv

^ cose —pcose,

d v- d u Pz ~~dt~~dt

oder mit Bezug auf die Gl. 9 auch

d²x

dt2’ Vy =

13)

• • . Px —

• cos £ — p cos £,

<Py

dt²

und

P~ =

d“Z

dt²'

p = Vjox² + Pii² + pi¹ •

Also ist die Beschleunigung p des Punktes P nach Größe und Richtung die Diagonale eines Parallelepipeds aus den Seiten-heschleunigungen längs dreier, rechtwinklig zueinander stehenden Achsen, oder die geometrische Summe derselben. Auch wenn die drei Achsen schief zueinander stehen, bleibt p die Diagonale des

Parallelepipeds aus px, py und pz; nur ändern sich dann die Gleichungen 12 und 14, wohingegen Gleichung 13 ihre Form beibehält.

Das Geschwindigkeitsdreieck F G H (Fig. 14) liegt in der durch zwei aufeinander folgende Tangenten bestimmten Ebene, der sog. Krümmungsebene des Bahnteilchens PQ. In dieser Ebene liegt also auch du und die Beschleunigung p = du : dt. Die Elementarbeschleunigung du läßt sich zerlegen in GJ und JH, von denen GJ in die Richtung der Tangente an die Bahnlinie, JH in die Kichtung der in der Krümmungsebene liegenden Normalen zur Bahnlinie, der sog. Hauptnormalen fällt. Entsprechendes gilt von der wahren Beschleunigung p, insofern man dieselbe in die Tangentialbeschleunigung pt — GJ : dt und die Normalbeschleunigung pn — JÏÎ'.dt zerlegen kann. Nach der Figur 14 ist

GJ — (v + dv) cos da — v - dv

0&'

L>

Ja\

ds

\Q

Fig. 14.

Y>*

Y !

d0

G J

(wegen cos da. — 1), also

15)

dv

p‘=di-

JII — (v + dv) sin da = v da

(weil sin da = da und dv • da unendlich klein 'zweiter Ordnung). Weil ferner da — ds : q '{q = OP der erste Krümmungshalbmesser) und ds — v • dt, so wird

v²

— dt, also Q

JH= v - -dt

16)

V,v Q '    *

Die Tangentialbeschleunigung bringt die Größenänderung der Geschwindigkeit zum Ausdruck, während die Normalbeschleu-nigung die Kichtungsänderung der Geschwindigkeit darstellt. Die Normalbeschleunigung wird noch bestimmter Zentripetal-beschleuuigung genannt, weil ihr Sinn nach dem ersten Krümmungsmittelpunkte der Bahnlinie gerichtet ist.

Die vorstehenden Lehren finden sich dem Wesen nach schon im 1. Teil S. 3—30 eingehend behandelt und sind hier nur des Zusammenhanges wegen noch einmal kurz wiederholt.

Fig. 15.

Yi

v dt

Ablenkung (Deviation). Hätte der Punkt, der in Wirklichkeit eine ungleichförmige, krummlinige Bewegung mit der Gesamtbeschleunigung p ausführt, vom Zeitpunkte t an keine Beschleunigung erfahren, so würde er mit der damaligen Geschwindigkeit v sich geradlinig und gleichförmig fortbewegt haben ; er wäre in dem nächsten Zeitteilchen dt, statt von P nach Q, von P nach P gelangt (Fig. 15), worin PP = v • dt ist. Der Ortsunterschied BQ ist das Ergebnis der Beschleunigung p. p*

Er heißt die Ablenkung oder Deviation (nämlich von der geradlinig-gleichförmigen Bewegung).

Zerlegt man die wahre Bewegung PQ in zwei Seitenbewegungen, von denen die eine in die Richtung PX der im Punkte P an die Bahnlinie gelegten Tangente, die andere in die Richtung PY der im Punkte P vorhandenen Beschleunigung fällt, so ist im Zeitpunkte t die Seitengeschwindigkeit in der «»-'Richtung vx=v, in der y-Richtung vy = 0, weil die wahre Geschwindigkeit v in der «»-Richtung liegt; es ist die Seitenbeschleunigung in der «»-Richtung Null, in der «/-Richtung py — p, weil die wahre Beschleunigung in der «/-Richtung liegt. Daher ist die Seitenbewegung in der .»-Richtung eine gleichförmige mit der Geschwindigkeit », die Seitenbewegung in der «/-Richtung eine gleichförmig-beschleunigte Bewegung mit der Beschleunigung^, der Anfangsgeschwindigkeit Null dt'²

und der Wegeslänge p--^r (nach Gl. 5, S. 15). Hieraus folgt, daß die

17)

Ablenkung RQ = p

ist un dnach Richtung und Sinn mit derBeschleunigungj? übereiriktimmt.

b) Darstellung durch Vektoren.

Wie die geradlinige Bewegung eines Massenpunktes eindeutig mit allen ihren Eigentümlichkeiten durch die Gleichung s = f(t) (vgl. S. 14 Gl. 1) dargestellt werden konnte, so kann dies auch geschehen bei einer beliebig krummlinigen Bewegung eines Massen-

punktes, wenn man unter ë den Radiusvektor des Massenpunktes in bezug auf irgendeinen Festpunkt A versteht (vgl. Fig. 16). Statt der drei Gleichungen (6) auf S. 16 genügt dann die eine Gleichung

Fig. 16.

18)

*CL

zur eindeutigen Darstellung auch einer krummlinigen Bewegung mit allen ihren Eigentümlichkeiten. Freilich sind zur eindeutigen Bestimmung der Radienvektoren ë für die einzelnen Lagen des sich bewegenden Punktes im Raume immer drei Angaben notwendig, nämlich entweder die drei Komponenten des Vektors j, t) und 3 in bezug auf ein rechtwinkliges Achsenkreuz oder seine Größe (<S) und zwei Richtungswinkel.

Wie unter s in Gl. 1 die algebraische Summe aller Bahnelemente verstanden ist, die in der Zeit t durchlaufen sind, so ist unter ë in Gl. 18 die geometrische Summe aller Bahnelemente dë zu verstehen, die zurzeit t durchlaufen sind, vorausgesetzt, daß man wie bei der geradlinigen Bewegung den Nullpunkt A auf der Bahnlinie und zum Anfangspunkt der Bewegung wählt, was indes im allgemeinen nicht erforderlich und vielfach nicht zweckmäßig ist. Bei der geradlinigen Bewegung war es allerdings sehr zweckmäßig, wenn auch nicht unbedingt notwendig, den Nullpunkt A auf der Bahnlinie zu wählen.

//

//

'«s'

Sr8 + dö

Zur Darstellung der Vektoren der Geschwindigkeit und Beschleunigung gelaugt man durch folgende Überlegung.

Während der Punkt das Bahnelement PI\ = dè durchläuft, das als gerichtete Größe gelten muß, findet eine Vergrößerung des Radiusvektors im geometrischen Sinne um ein gleiches Maß statt, ausgedrückt durch die Beziehung ëx=ë-\-dë\, dë—ëx—ë ist also zugleich das geometrische Differential des Radiusvektors ë. Der Vektor t> der Geschwindigkeit, zur Zeit t, hat die Richtung des Bahnelementes dë und berechnet sich zu

19)

dë

(Vgl. Gl. 7.)

Während der Punkt das Bahnelement dä durchläuft, ändert sich seine Geschwindigkeit nach Richtung und Größe von ö auf iq, also um ^0 = 0! —0 und zwar so, daß der veränderliche Vektor der Geschwindigkeit stets in der Krümmungsebene des Bahnelements d& und tangential zu diesem gerichtet bleibt. ist nach Richtung und Größe gleich der Elementarbeschleunigung du (Fig. 16) während des Zeitelementes dt. Den Vektor der wirklichen Beschleunigung erhält man daher zu

20)

oder mit bezug auf Gl. 19

21)

d²ä

dt²'

Wie das durch die drei Gl. 6 ausgedrückte Bewegungsgesetz hier durch die eine Gl. 18 dargestellt ist, so sind die in den je drei Gl. 9 und 13 ermittelten Geschwindigkeits- und Beschleunigungsgesetze hier durch je eine Gl. 19 und 21 ausgedrückt.

Bei der zahlenmäßigen Ausrechnung wird man freilich meist von den bequemen Vektorgleichungen zu den Komponentengleichungen übergehen müssen.

Beispiel : Ein Punkt bewege sich nach den auf ein rechtwinkliges Achsenkreuz bezogenen Gleichungen:

22)

. c    c

x — rsm — t-, y = rcos— t-, z = ut, r    r

worin r, c und u unveränderlich sein sollen. Zeitgröße aus den Gleichungen, so entsteht

c

x — r sin-

23)

z

Entfernt man mit t = — die

2- y — r cos

ru

als die beiden Gleichungen der räumlichen Bahnlinie. Es bezeichnet dies eine zylindrische Schraubenlinie. Quadrierung und Addition der Gl. 23 liefern nämlich

x³ + y² = r²,

messer r.

d. h. die Projektion der Bahnlinie auf die x y -Ebene ist ein Kreis vom Halb-Die Seitengeschwindigkeiten sind

dx

^ ⁼ W=CC0S

— t\ vy = — c sin ^ t; vz = u.

Betrachtet man nur die Seitenbewegungen in der xy-Ebene, so wird deren Geschwindigkeit

d. h. der Kreis vom Halbmesser r wird von der Projektion des Punktes auf die xy-Ebene gleichförmig durchlaufen, und da der Punkt in der z-Richtung eine ebenfalls gleichförmige Bewegung mit der Geschwindigkeit u hat, so beschreibt er gleichmäßig eine zylindrische Schraubenlinie (Pig. 17) von dem Halbmesser r und dem Ansteigungsverhältnisse

, u

tg a = —

25)

Fig. 17.

I o u

h — 2 r 7c —

der Ganghöhe mit der Geschwindigkeit 26) v = yc² + u² = cÿ~ 1 -f tg² a = Die Seitenbeschleunigungen sind: dvx

c² . c — sin — t — —

c sec a.

c² x r r ’

___;

C²

c1 = — — IL

r r

Die Projektionsbewegung in der x y -Ebene erfolgt mit einer Beschleunigung

P = V.Px²+P/ = C

py —--cos

und pz = 0.

<>

27)

KV

r ;

sie ist, weil diese Bewegung eine gleichförmige Kreisbewegung, eine reine Zentripetalbeschleunigung (vgl. Gl 16, S. 20), d. h. stets nach dem Mittelpunkt A des Kreises gerichtet. Weil aber p, — 0, so ist auch die Gesamtbeschleunigung der Schraubenlinienbewegung

c²

deren Richtung und Sinn an jeder Stelle der Schraubenlinie nach der Achse derselben gekehrt und zu dieser rechtwinklig ist.

Bezeichnet aber p den ersten Krümmungshalbmesser der Schraubenlinie, so muß nach Gl. 16, S. 20 und Gl. 27 auch

v² c²

Pn = P = — P

sein, also wird

oder nach Gl. 26

p = r sec² a.

Die entsprechenden Krümmungsmittelpunkte liegen auf den Richtungen von p, jedoch um p — r — r tg² a jenseits der Achse. Ihr geometrischer Ort ist also eine Schraubenlinie vom Halbmesser r tg² a und der Ganghöhe h.

In Vektorform würde das durch die drei Gleichungen 22 gegebene Bewegungsgesetz lauten:

28)

c    c

. . § = r sin — t + r cos — t + u ■ t;

x    x

die wirkliche Geschwindigkeit sich berechnen zu

30)

c    c

= c • cos — ■ t — c • sin — • t + u

und die wirkliche Beschleunigung zu

31)

dH

' ' ' dt²

ca . c . c² c , =--sin — t--cos — t.

Die Tensoren von §, b und p sind

32)    . ..|8[ =

|/(r-sin|i)²+(

r • cos

^)² + (Wi)²=^r² + (u<)²,

33)    ... |ö| =

sin —t\ + u² — y c² + u\ * •

84)    . . . |pj

Das Minuszeichen des Wertes von |p| läßt erkennen, daß es sich um eine nach der Achse der Schraubenlinie zurückgerichtete Zentripetalbeschleunigung handelt.

B. Bewegung eines geometrischen Körpers.

Drei nicht in einer Geraden befindliche Punkte I?, C und D eines Körpers unveränderlicher Form bestimmen die Lage desselben.

Fig. 18.

v\

r\\

i-'i

1?

NN

\\

>b

b"

Es seien xx, zx; V2i #31 Vs 1 »3 die rechtwinkligen Koordinaten der drei Punkte. Sind nun zunächst xuyx, zx gegeben, so ist dadurch der Punkt JB bestimmt (Fig. 18). Zur Festlegung von C sind dann aber nicht mehr drei, sondern nur zwei Koordinaten, etwa x₂ und z/₂ erforderlich, da der an dem unveränderlichen Körper gegebene Abstand von B und C die dritte Koordinate ersetzt. Auf der zur z - Achse parallelen, durch die Koordinaten x₂ und y₂ bestimmten Geraden EF liegen freilich im allgemeinen zwei Punkte C und Cj, die von B den gegebenen Abstand B C haben ; aus den besonderen Umständen des Falles muß dann hervorgehen, welcher von beiden in Frage kommt. Zur Festlegung des Punktes 1) ist nur noch eine der Koordinaten erforderlich, etwa x₃, weil die Abstände dieses Punktes von B und C die anderen beiden ersetzen. Nach der gegenseitigen Lage, der Punkte B, C, D im Körper hat die von D auf BC gefällte Winkelrechte eine bestimmte Länge h und trifft die BC in einem bestimmten Punkte E, der nun im Baume schon eine bestimmte Lage hat. Beschreibt man um E als Mittelpunkt und mit h als Halbmesser einen Kreis, dessen Ebene rechtwinklig zu BC steht, so schneidet dieser Kreis die zu Y AZ parallele, durch die Abszisse x₃ gegebene Ebene HJK in zwei Punkten, welche mögliche Lagen des Punktes D im Raume sind; wiederum muß aus den besonderen Umständen des Falles entschieden werden, welcher von beiden der richtige ist. Abgesehen von diesen Zweideutigkeiten, ist hiernach die Lage eines Körpers im Raume durch sechs Koordinaten bestimmt.

1. Verschiebung eines geometrischen Körpers.

Fig. 19.

Die Bewegung eines Körpers heißt eine Verschiebung (oder fortschreitende Bewegung), wenn alle Punkte desselben kongruente und parallel zueinander liegende Bahnen beschreiben, so daß alle Teile des Körpers ihrer Anfangslage parallel bleiben. In Fig. 19 sind die Bahnlinien dreier Punkte J5, C, D des sich verschiebenden Körpers dargestellt. In diesem Falle genügt offenbar schon die Kenntnis der Bewegung eines einzigen Punktes zur Bestimmung der Bewegung des ganzen Körpers, so daß die vorstehenden Lehren über die Bewegung eines Punktes auch auf die Verschiebung eines Körpers unmittelbare Anwendung finden.

2. Ebene Bewegung eines Körpers; Bewegung einer ebenen Figur in ihrer Ebene.

Sind die Bahnlinien dreier Punkte eines Körpers, welche nicht in derselben Geraden liegen, einer gegebenen festen Ebene parallel, so bewegen sich sämtliche Punkte des Körpers parallel der gegebenen Ebene, und jeder zu dieser letzteren parallel geführte Schnitt des Körpers bewegt sich in seiner Ebene. Eine derartige Bewegung des Körpers heißt eine ebene Bewegung, und zu ihrer Kenntnis genügt die Kenntnis der Bewegung einer solchen ebenen Schnittfigur in ihrer Ebene.

Die Lage einer Figur in einer Ebene ist schon durch die Lage zweier Punkte B und C bestimmt, sobald ein ümklappen der Figur in eine symmetrische Lage ausgeschlossen ist. Um z. B. das Dreieck BCD (Fig. 20) gegen ein ebenes Achsenkreuz XAY festzulegen, mögen für den Punkt B die beiden Koordinaten xx und Hi gegeben sein. Für einen zweiten Punkt C sind dann nicht mehr zwei Koordinaten erforderlich, sondern nur eine derselben, nämlich x₂, weil der gegebene Abstand BC der beiden Punkte die Ordinate y.₂ ersetzt. Auf der zur y -Achse parallelen, durch die Abszisse x₂ bestimmten Geraden EF liegen freilich im allgemeinen zwei Punkte G und <7t, die von B den gegebenen Abstand BC haben; aus den besonderen Umständen des Falles muß dann hervorgehen, welcher von beiden in Frage kommt. Hiervon abgesehen, ist also die Lage einer ebenen Figur in ihrer Ebene durch drei Koordinaten bestimmt.

Ist nun BC (Fig. 21) die Verbindungsgerade zweier Punkte, deren Lage die Lage einer ebenen Figur bestimmt, und ist B{C\ eine zweite Lage derselben Geraden in der Ebene der Figur, so läßt sich die Überführung der Geraden aus der Anfangslage BC in die andere Lage BlCl durch Drehung um einen in der Ebene befindlichen Punkt O bewirken. Zieht man die Verbindungsgerade

Fig. 20.

cl

xx

iy*

xz

e1

BBX und zu ihr in ihrem Mittelpunkt E eine Winkelrechte EF’ so haben alle Punkte der EF gleichen Abstand von B und Bx ; durch Drehung um irgendeinen Punkt der EF würde daher B in die neue Lage Bx gelangen.

Fig. 21.

Gr

//

K/

iF

Dasselbe gilt bezüglich der Punkte C und Cx von jedem Punkte der Geraden G H, welche in der Mitte von CCl rechtwinklig zu CCX gezogen ist. Wird nun die Drehung um den Schnittpunkt O von EF und GH ausgeführt, so gelangt dadurch B nach Bx und, weil OBC^OBxCx, gleichzeitig C nach C], d. h. die bewegliche Gerade BC in ihre zweite Lage BXC\.

Fig. 22.

C,

Bei dieser Drehung um O beschreiben B und G Kreisbögen um O als Mittelpunkt (Fig. 22). Die Drehungshalbmesser BO und CO der Anfangslage sind rechtwinklig zu den kreisförmigen Bahnlinien BBX und CCX.

cj

Po

Fig. 23.

B,

Sind außer der beweglichen Geraden BC noch bestimmte Bahnlinien der Punkte B und C gegeben (Fig. 23) und wählt man auf der Bahnlinie des Punktes B einen sehr nahe bei B gelegenen Punkt Bx, so findet man den zugehörigen Punkt Cy leicht durch Abtragen der Länge BC, so daß Bx Cx = BC ist. Dann ist Bx Cj eine der Anfangslage BC der beweglichen Geraden benachbarte Lage. Konstruiert man nun in B eine Normale zu der Kurve BBX, in C eine solche zu CCX, so mögen sich beide in dem Punkt O schneiden.

Po

Bei einer Drehung der beweglichen Geraden um O werden die von B und C beschriebenen Kreise um so mehr mit den wahren Bahnlinien BBX und CCX zusammenfallen, je kleiner BBX gewählt

wurde. Denkt man sich B Bl unendlich klein, B C und Bx 0, als zwei unendlich wenig voneinander abweichende Lagen der beweglichen Geraden, so kann man die unendlich kleine Bewegung der Geraden BC als mit der Drehung um O übereinstimmend ansehen. Dieser Punkt O heißt deshalb der augenblickliche Drehpunkt oder der Pol für die bewegliche Gerade in der Lage BC. Also: Die Bewegung einer ebenen Figur in ihrer Ebene kann man in jedem Augenblick auffassen als Drehung um einen PunktO in ihrer Ebene, den augenblicklichen Drehpunkt oder Pol. Dieser ist bestimmt durch die augenblicklichen Bewegungsriehtungen zweier Punkte 4er Figur.

Fig. 24.

Die Aufsuchung des Poles O für die Bewegung einer ebenen Figur in ihrer Ebene bietet den Vorteil, daß aus den Bewegungsoder Geschwindigkeitsrichtungen zweier Punkte und der Geschwindigkeitsgröße eines Punktes die Größe und Richtung der Geschwindigkeit jedes anderen Punktes ermittelt werden kann. Geben z. B. in Fig. 24 die in den Punkten B und C angebrachten Pfeile die Bewegungsrichtungen dieser Punkte an, so sind die zugehörigen Drehungshalbmesser oder ^

,C

Polstrahlen BO und CO rechtwinklig zu den Bewegungsrichtungen. Zieht man von dem Pol O einen Polstrahl nach einem beliebigen Punkte D der Figur, so ist die Richtung der Geschwindigkeit dieses Punktes rechtwinklig zu O D. Da nun bei einer Drehung die Umfangsgeschwindigkeiten den Drehungshalbmessern, hier also den Polstralilen verhältnisgleich sind, so gilt für die Geschwindigkeitsgrößen v und c der Punkte B und D die Gleichung

OB V~C OB'

bei gegebenem c ist also v bestimmt. Ebenso wie die Lage einer ebenen Figur in ihrer Ebene nach S. 27 durch drei Koordinaten gegeben war, so ist ihr augenblicklicher Geschwindigkeitszustand durch ebenfalls drei Stücke, nämlich zwei Richtungen und eine Größe c, bestimmt.

Sind die Bewegungsrichtungen zweier Punkte einander parallel (Fig. 25), so liegt der Pol O in unendlicher Ferne; infolgedessen, haben alle Punkte der Figur Geschwindigkeiten, die nach Richtung,

Fig. 25.

—c“>“c

->

B,

Größe und Sinn übereinstimmen, d. h. die Bewegung ist in dem betreffenden Augenblick eine Verschiebung (oder eine rein fortschreitende Bewegung).

Beispiel I: Bewegung einer Kurbelstange. Der Punkt C der Kurbel- !    >    ■

stange B C (Fig. 26) wird durch die Kurbel

Fig. 26.

CA

ÛI

A C in einem Kreise mit dem Mittelpunkt A geführt, während der Punkt 22 vermöge der Geradführung gezwungen ist, sich längs einer Geraden AB zu bewegen. Die Winkelrechte zu der Bewegungsrichtung des Punktes C ist die Verlängerung der Kurbel AC, während der zu dem Punkte B gehörige Polstrahl BO rechtwinklig zu AB steht. Hierdurch ist der Pol 0 der Kurbelstange in der Lage B C bestimmt. Ist nun c die Geschwindigkeit des Kurbelzapfens (7, so ergibt sich die Geschwindigkeit eines beliebigen Punktes Q der Stange zu

O IQ

\\

N'.s

Diese Beziehung wird benutzt, wenn man behufs Ermittelung des erforderlichen Schwungradgewichtes einer Dampfmaschine das Arbeitsvermögen der Kurbelstange berechnen will.

Fig. 27.

»4

Beispiel 2: Pol einer Gelenkstange. Ist ABCE (Fig. 27) eine an den Widerlagergelenken A und E aufgehängte Gelenkstangenverbindung, so kann der Punkt B sich nur rechtwinklig zu AB, der Punkt C sich nur rechtwinklig zu EC bewegen.

Für die mittlere Stange BC sind daher ABO und ECO zwei Polstrahlen, die den Pol 0 bestimmen Mit Hilfe des Poles läßt sich leicht derjenige Punkt der Stange B C angeben, der bei einer unendlich kleinen Verrückung der Stangenverbindung sich wagerecht bewegen wird; es ist dies derjenige Punkt Q, dessen Polstrahl OQ lotrecht steht. Wie weiter unten gezeigt werden wird, hängt diese Eigenschaft des Punktes Q damit zusammen, daß die Figur AB CE die Gleichgewichtsform ist für eine bei Q an der sonst unbelastet gedachten Stangenverbindung aufgehängte lotrechte Last (vgl. 1. Teil, Aufl. 4, S. 221 und Fig. 255).

Fig. 28.

Q,

Beispiel 3: Ellipsenzeichner. Ein Stab B C (Fig. 28) werde so geführt, daß ein Punkt B derselben sich nur auf einer Geraden AX, ein Punkt C derselben sich nur auf einer Geraden A Y bewegen kann, wobei AX und A Y irgendeinen Winkel a miteinander bilden. Wird nun an einer Stelle Q des beweglichen Stabes ein Zeichenstift eingesetzt, der von B und C um b bezw. a absteht, so beschreibt der Stift eine Ellipse mit dem Mittelpunkt A. Bezeichnet man nämlich die auf AX und A Y bezogenen schiefwinkligen Koordinaten des Punktes Q mit x und y\ setzt AG — y — u und AB - x = v, so ist in dem Dreiecke CQB:

a² — u² -f x² — 2 cos a • u ■ x.

U

Ferner ist nach der Figur —

y

„ y'² + x² — 2 cos a . ~ yx x² y²

1 = —r + 4t-

, mithin

d² =

oder

Fig. 29.

1)

d²

b²

2 cos «

-ÖTxy•

C,

Diese Gleichung bezeichnet eine Ellipse, weil

cos² a

a² b²

> 0 ist.

d² b²

Wird im besonderen a. = 90° (Fig. 29), so geht Gl. 1 über in

\6

ii

A,

2)

y².

a² ^ b² ’

x²

-X

d. h. die Ellipse hat die Halbachsen a und b.

Der Polstrahl des Punktes B ist J AX, derjenige des Punktes C_LA Y; sonach ist der Pol 0 der vierte Eckpunkt eines Rechtecks ABOC und hat» weil die Diagonalen eines Rechtecks gleich lang sind, vom Punkt A den Abstand AO = B C = a + b.

Da zum Punkte Q der Ellipse ein Polstrahl O Q gehört, der beschreibende Punkt Q sich also für einen Augenblick rechtwinklig zu OQ bewegen muß, so ist auch die Tangente an die Ellipse im Punkte Q rechtwinklig zu OQ, d. h. es ist der Polstrahl OQ eine Normale der Ellipse im Punkte Q.

3. Endliche Bewegung einer ebenen Figur in ihrer Ebene. Rollbewegung der Polbahnen.

Fig. 30.

,<7

/>

,-;"A

Sind BC, BXCX, B₂C.₂, B₃C₃, B₄C₄ verschiedene Lagen der beweglichen Geraden BC (Fig. 30) in einer Ebene, u. zw. einstweilen in endlichen Abständen voneinander, so läßt sich nach S. 28 die Überführung aus der Lage BC in die Lage Bx Cx bewirken durch Drehung um einen Punkt 0 ; der Winkel weg dieser Drehung BOBx = COC\ sei $2 ; alle Punkte der beweglichen Figur beschreiben bei ihr Kreisbögen um 0. Zu dem Übergange von BXCX nach B-2 C₂ gehöre der Drehpunkt 0, mit dem Drehungswinkel ll- s- £ Die Verbindung der Drehpunkte durch Gerade liefert dann den Linienzug 00x0₂0₃0₄ . . .

G°

Nun stelle man sich vor, die bewegliche Figur BC sei auf einer größeren Scheibe S aufgezeichnet, welche auf einer festen Tafel T liege. Die Punkte O gehören zur festen Tafel T; auf ihr sei der Linienzug 00x 0₂0₃0₄ gezeichnet. Während die Drehung um 0 erfolgt, möge ein Punkt P der beweglichen Scheibe S mit 0 zusammenfallen; diese beiden Punkte verschieben sich während der Drehung nicht gegeneinander; man kann sich deshalb während der ersten Drehung durch P und 0 eine Nadel gesteckt denken; es wird hierdurch die Drehung nicht gehindert vrerden. Sobald aber B C in der zweiten Lage Bx Cx angelangt ist, hört der Punkt 0 auf, Drehpunkt zu sein; es tritt dafür Ox an die Stelle, und es wird während der zweiten Drehung ein Punkt Px (Fig. 31) der Scheibe S mit Ox zusammenfallen. Da in

CO

co

dem Augenblicke, wo BC in der Lage Bl Cx sich befindet, P noch mit O zusammenfällt, so muß P,, welches gleichzeitig mit Ox sich deckt, um die Länge PPl = OOx von P entfernt sein.

Ebenso wird während der Drehung um 0₂ ein Punkt P2 der beweglichen Scheibe mit 0₂ in Berührung sein, so daß wiederum eine durch P₂ und 0-2 gesteckte Nadel die Bewegung nicht hindern kann.

Offenbar muß nun P, P2 = Oj 0₂ sein. Die Lage von P, und P₂ findet man folgendermaßen :

einer Drehung um den Winkel •&i der Punkt P, auf Ox falle, muß der Winkel Ox OPx = dx sein; hiermit ist P, gefunden.

Verlängert man OOx nach Tx,

Oj 0₂ nach T₂, u. s. f. ; ebenso PPi nach TJX, so fällt nach der ersten Drehung P£7j auf OTx. Damit nun nach der Zurücklegung eines weiteren Drehungswinkels $₂ der Punkt P₂ auf 0₂, d. h. die Gerade P, P₂ U₂ auf Ox 0₂ T₂ falle, muß

Damit nach

Fig. 31.

\>

\'r

T.>

iB*

UXPXU₂+ TxOxT₂ = ü₂, also UxPxU₂ = d₂-TxOxT₂

gemacht werden. Hiernach steht mit Px P₂ — Ox 0₂ der Punkt P2 fest. In derselben Weise findet man P₃, P₄, P₅ . . . Wenn nun die Punkte P der beweglichen Scheibe der Reihe nach mit den Punkten O der festen Tafel T in der beschriebenen Weise zusammenfallen, so führt das Vieleck PP, P₂ . . . offenbar eine Rollbewegung (ohne Gleiten) aüf dem Vieleck 00x0₂ . . . aus. Die Folge dieser Rollbewegung ist dann, daß die bewegliche Figur BC der Reihe nach die vorgeschriebenen Lagen Bx Cx, B₂ C₂ u. s. f. einnimmt. Solange die bewegliche Figur BC ihre Anfangslage innehat, liegt

Keck-Hotopp, Mechanik III.

PlBC^OlB₁Cl

der Punkt, der demnächst mit 0₄ zusammenfällt, in P₄; wenn aber BC die Lage B₄C₄ hat, so fällt P₄ mit 0₄ zusammen; daher muß P₄ gegen BC ebenso liegen, wie 0₄ gegen _B₄<7₄, d. h.

P₄BC^0₄B₄C₄, ebenso ist u. s. f.

Fig. 32.

Im vorstehenden waren nur einzelne bestimmte Lagen der beweglichen Figur als gegeben angenommen und die Vielecke O Ox 0₂. . ., sowie PPy P₂. . . so gezeichnet, daß die bewegliche Figur BC der Reihe nach die verschiedenen Lagen Bx Cx,

Sind aber außer

B₂C₂ . . . durchschritt, wobei die Punkte B und C jedesmal Kreisbögen von den Mittelpunktswinkeln d₂ . . . beschrieben.

(?)

1(0

o(0)

der Anfangslage BC noch die Bahnlinien B(B) bezw. C(C) der Punkte B und G (Fig. 32) gegeben, wodurch die Bewegung der Figur BC völlig bestimmt ist, so entspricht jeder unendlich kleinen Verrückung der Figur ein augenblicklicher Drehpunkt O auf der festen Tafel, sowie im Sinne der vorstehenden Entwickelung ein Punkt P der beweglichen Scheibe S, auf welcher sich die Figur BC gezeichnet findet. Statt des Vielecks 00x0₂ . . . erhält man dann eine Kurve 0(0) als geometrischen Ort der augenblicklichen Drehpunkte O der festen Tafel T, sowie statt des Vielecks PPX P₂ . . . eine Kurve P(P) als geometrischen Ort derjenigen Punkte P der beweglichen Scheibe, welche nach und nach mit den Punkten 0 zusammenfallen. Die Kurven 0(0) und P(P) heißen die feste bezw. die bewegliche Polbahn, und bei der gegebenen Bewegung erfolgt eine Rollbewegung der beweglichen Polbahn auf der festen Polbahn.

Hiernach ist jede Bewegung einer ebenen Figur in ihrer Ebene gleichwertig mit dem Rollen einer mit

der Figur verbundenen Polbahn auf einer festen Polbahn. Dementsprechend ist die ebene Bewegung eines Körpers gleichwertig mit dem Köllen einer mit dem Körper verbundenen Zylinderfläche P auf einer festen Zylinderfläche O; die Leitlinien dieser Zylinderflächen sind die vorstehend behandelten Polbahnen; die Erzeugenden stehen rechtwinklig zu den Ebenen, in denen die Kör per punkte sich bewegen.

Beispiel 1: Bei der Erzeugung der gemeinen Zykloide ist die Gerade AO (Fig. 33) die feste, der erzeugende Kreis OB G die bewegliche Polbahn. Der Berührungspunkt 0 beider ist der augenblickliche Drehpunkt, daher OB der Drehungshalbmesser, also auch die Normale für den Punkt B der Zykloide,

BG also die Tangente; diese mittels der Analytischen Geometrie nachzuweisenden Eigenschaften folgen hier ohne jede Rechnung.

Fig. 33.

if

//

Beispiel 2: Für die in Beispiel 3,

S. 31 behandelte Bewegung mit a = 90° sollen die Polbahnen bestimmt werden.

Schon auf S. 31 wurde gezeigt, daß der Pol 0 der beweglichen Geraden B G sich in einem Abstand AO = B G = a b von dem Schnittpunkt A der Leitlinien AX und AY befindet. Da dieser Abstand keine veränderliche Größe enthält, so ist der Ort des Punktes 0, d. h. die feste Polbahn, ein mit dem Halbmesser B — AO — BG aus dem Mittelpunkt A beschriebener Kreis (Fig. 34). Für eine andere Lage Bx Cl der beweglichen Figur ist 0₁ der Pol, wobei Bx Ol C₁ ein rechtwinkliges Dreieck mit der Hypothenuse B₁G₁. Um nun den zu dem Punkte Ox der festen Polbahn gehörigen Punkt Px der beweglichen Polbahn zu finden, haben wir über BG als Hypothenuse ein zu Bx Oj Cx kongruentes Dreieck BPX C zu zeichnen, dann ist Px der gesuchte Punkt. Der Ort der Rechtwinkelpunkte aller über der Hypothenuse BG gezeichneten rechtwinkligen Dreiecke ist aber bekanntlich ein Kreis mit dem Durchmesser BG — B = 2r-, dieser muß mithin die bewegliche Polbahn P sein. Die gegebene Bewegung also, bei

Fig. 34.

fe; /

------

-X

welcher der Stab BG mit den Punkten B und G den Achsen AX bezw. AY folgt, kann auch bewirkt werden durch eine Rollbewegung des kleineren Kreises mit dem Durch messer B G = B = 2 r auf dem inneren Umfange des größeren Kreises vom Halbmesser B — BG. Wenn ein Kreis auf dem inneren Umfange eines größeren Kreises rollt, so beschreibt jeder Punkt des Umfanges des ersteren eine Hypozykloide. Ist das Verhältnis der Halbmesser r und B der beiden Kreise aber 1:2, so geht die Hypozykloide bekanntlich in eine Gerade, einen Durchmesser des großen Kreises über, zu denen beispielsweise die Achsen AX und AY als Bahnen der Kreispunkte B und C gehören. — Jeder Punkt im Inneren des kleinen Kreises beschreibt allgemein eine verkürzte Hypozykloide, die aber für das Verhältnis 1 :2 der Halbmesser beider Kreise mit einer Ellipse übereinstimmt, wie es nach S. 31 der Fall sein muß. Der Mittelpunkt des beweglichen Kreises beschreibt im besonderen einen Kreis; die übrigen Punkte bewegen sich in Ellipsen der verschiedensten Exzentrizitäten, die Punkte des Umfanges in geraden Linien, nämlich Durchmessern des festen Kreises. Aus diesem Grunde kann mittels der beiden Kreise eine Geradführung hergestellt werden, wie man sie wohl bei älteren Druckmaschinen noch findet. Zu dem Zwecke sind die beiden Kreise mit äußerer und innerer Verzahnung versehen; der Mittelpunkt M des kleineren Kreises wird mittels einer um die Achse A (rechtwinklig zur Bildebene) drehbaren Kurbel von der Länge r — AM im Kreise herumgeführt und hierbei durch die Verzahnung zu einer Rollbewegung auf dem inneren Umfange des großen Kreises gezwungen. Ein an der Stelle B des kleineren Rades angebrachter Zapfen beschreibt dann die Gerade ABX.

4. Drehung eines Körpers um einen festen Punkt; Bewegung einer sphärischen Figur auf ihrer Kugelfläche.

Während die Drehung eines Körpers um eine feste Achse durch Winkelgeschwindigkeit und Winkelbeschleunigung völlig be-. stimmt ist, also nur wenig Mannigfaltigkeit besitzt, ist die Drehung eines Körpers um einen festen Punkt noch in demselben Grade mannigfaltiger, wie die allgemeine ebene Bewegung im Vergleich zu einer geradlinigen Parallelverschiebung.

Schneidet man einen um einen festen Punkt M drehbaren Körper durch eine Kugelfläche vom Halbmesser r, so entsteht eine sphärische Schnittfigur, deren Punkte bei der Bewegung des Körpers stets in dem Abstand r von dem Punkt J/, d. h. in ihrer Kugelfläche, verbleiben werden. Durch die Bewegung der Schnittfigur ist die Drehung des Körpers völlig bestimmt, und umgekehrt. Für die Bewegung der Figur auf der Kugel und demgemäß für die Drehung des Körpers um den festen Punkt lassen sich nun ähnliche

Beziehungen finden, wie vorstehend für die ebene Bewegung entwickelt wurden.

Die Lage einer sphärischen Figur auf ihrer Kugel ist schon durch die Lage zweier Punkte bestimmt, u. zw. sind dazu nur drei Koordinaten erforderlich.

Pig. 35.

Es genügt daher die Beobachtung der Bewegung einer Seite BG einer sphärischen Figur (Fig. 35).

Die Überführung der

r-bG

Seite aus der Anfangslage BG in eine andere Lage By Gy läßt sich durch Drehung um einen Punkt O der Kugelfläche bewirken.

Ol/

-

ff/j

■~o

Man findet O

nach demselben Gedankengange wie bei der ebenen Bewegung auf S. 28; wo aber dort von geraden Linien die Bede war, treten jetzt Größtkreise der Kugel an ihre Stelle. Zieht man durch B und By einen Größtkreis und zu ihm durch die Mitte E des Bogens BBy einen dazu rechtwinkligen Größtkreis EF, so haben alle Punkte des letzteren gleichen Abstand von B und By ; durch Drehung um irgendeinen Punkt des Größtkreises EF würde daher B in die neue Lage Bx gelangen. Dasselbe gilt bezüglich der Punkte G und Gx von jedem Punkte des Größtkreises GH, welcher in der Mitte G von GGy rechtwinklig zu GGy gezogen ist. Wird nun der Schnittpunkt O von EF und GH zum Drehpunkte gewählt, so gelangt dadurch B nach By und, weil OBG^OBy Gy, gleichzeitig G nach Gy, d. h. die Seite BG in ihre zweite Lage By Gy. Eine Drehung der B G um den Punkt O ist auch gleichbedeutend mit der Drehung um den Kugelhalbmesser OM als Achse.

Sind B G und Bx Gx zwei Lagen von unendlich kleinem Abstand, und legt man durch B und G Größtkreise rechtwinklig zu den Bahnlinien BBy und GGy, so schneiden sich diese in dem Pol oder augenblicklichen Drehpunkt O, dem ein Halbmesser OM der Kugel als augenblickliche Drehachse entspricht. Also:

Die Bewegung einer Figur auf der Kugelfläche kann man in jedem Augenblick auffassen als Drehung um einen Po 10 auf der Kugel fläche oder um einen Halbmesser OM der Kugel als augenblickliche Drehachse. Der Pol O und die entsprechende Drehachse OM sind besimmt durch die augenblicklichen Bewegungsrichtungen zweier Punkte der Figur. Dementsprechend kann man die Drehung eines Körpers um einen festen Punkt M in jedem Augenblick auffassen als Drehung um eine durch M gehende Achse; die Eichtung der Drehachse ist bestimmt durch die augenblicklichen Bewegungsrichtungen zweier Punkte.

Fig 36.

Bei einer gegebenen Bewegung entspricht jeder Lage der beweglichen Figur ein besonderer Pol O und eine besondere augenblickliche Drehachse OM (Fig. 36). Der Ort der Pole ist die sphärische Polbahn (0), der Ort der augenblicklichen Drehachsen die Kegelfläche (OM) mit der Spitze im Mittelpunkt M der Kugel.

Oj

0₂

07

Denkt man sich nun die feste Kugel mit einem ihr genau aufgepaßten Überzüge versehen und auf letzteren die Figur B C gezeichnet, so wird bei der Bewegung der Figur der ganze Überzug auf der festen Kugel gleiten. Dort wo der augenblickliche Pol O liegt, wird man Kugel und Überzug durch eine Nadel gegeneinander feststellen können, ohne daß dadurch die vorgeschriebene Bewegung des Überzuges mit der aufgezeichneten Figur gehindert wird. Nennt man P den Punkt des Überzuges, der mit dem Pol O der festen Kugel zusammenfällt, so wird ebenso wie bei der ebenen Bewegung

(S. 34) jedem Pimkt O ein bestimmter Punkt P entsprechen. Der Ort der Punkte Pist eine sphärische Kurve des Überzuges; d. h. mit der beweglichen Figur verbunden, und heißt die bewegliche Polbahn. Sie ist die Leitlinie einer Kegelfläche (PM) mit der Spitze im Mittelpunkt M der Kugel. Die bewegliche Polbahn (P) hat mit der festen Polbahn (O) stets einen Punkt gemeinsam, der auf beiden Bahnen stets um gleiche Bogenlängen sich verschiebt; die bewegliche Polbahn rollt auf der festen Polbahn, oder auch: die bewegliche, mit der Figur verbundene Kegelfläche {PM) rollt auf der festen Kegelfläche. Also :

Jede Bewegung einer sphärischen Figur auf ihrer Kugelfläche kann man auffassen als das Rollen einer mit der Figur verbundenen sphärischen Polbahn auf einer festen sphärischen Polbahn. Dementsprechend ist die Drehung eines Körpers um einen festen Punkt M gleichwertig mit dem Rollen einer mit dem Körper verbundenen Kegelfläche auf einer festen Kegelfläche; die Kegel haben den festen Drehpunkt M gemeinsam zur Spitze.

5. Allgemeine Bewegung eines Körpers; Schraubenbewegung.

Fig. 37.

______

K und Kx (Fig. 37) seien zwei unendlich benachbarte Lagen eines Körpers; irgendein Punkt Mbeschreibe beim Übergang aus der einen in die andere die Bahnlinie MMl ; dann kann man den Übergang dadurch bewerkstelligen, daß man dem Körper zunächst eine Verschiebung um MMX erteilt, wodurch der Körper in die punktierte Zwischenlage gelangt, und ihn sodann noch um den Punkt Mx dreht. Diese unendlich kleine Drehung um den Punkt Mx ist nach S. 38 zurückzuführen auf eine Drehung um eine durch Mx gehende Achse AX.

Also: Jede Bewegung eines Körpers kann für einen Augenblick aufgefaßt werden als zusammengesetztaus einer Verschiebung und einer Drehung um eine augenblickliche Drehache.

Befinden sich die beiden Lagen K und Kx aber in endlichem Abstande, so muß man, wenn der eine Punkt des Körpers in der gegebenen Bahnlinie MMX geführt wird, dem Körper, damit er eine gegebene Bewegung ausführe, gleichzeitig eine Drehung um den richtig geführten Punkt M erteilen, welche nach S. 39 gleichwertig ist dem Bollen einer mit dem Körper verbundenen Kegelfläche auf einer anderen Kegelfläche, die mit dem richtig geführten Punkt Jf parallel verschoben wird. Die Kegel haben den Punkt M gemeinsam zur Spitze. Also:

Die beliebige Bewegung eines Körpers ist gleichwertig dem Bollen eines mit dem Körper verbundenen Kegels auf einem zweiten Kegel, der eine Verschiebung erleidet. Die Verschiebung stimmt überein mit der Bahnlinie desjenigen Körperpunktes, der die gemeinsame Spitze der Kegel bildet.

Je nachdem der führende Punkt M am Körper anders gewählt wird, ergeben sich andere Verschiebungen und Bollbewegungen; es läßt sich daher eine Bewegung in unendlich vielen verschiedenen Weisen auf Verschiebung und Bollen zurückführen. Einfacher und zugleich bestimmter läßt sich aber die Bewegung eines Körpers auf Schraubenbewegungen zurückführen.

Betrachtet man wiederum    eine unendlich kleine Bewegung

Fig. 38.

N₃

o--

m₃

»,

eines Körpers, wobei der Punkt M nach Mx gelangt und außerdem noch eine Drehung um die Augenblicksachse A Mx X ausführt, und legt durch den Körperpunkt M eine zur Achse AX rechtwinklige Schnittebene, so möge eine Schnittfigur MN (Fig. 38) entstehen. Bei der Verschiebung gelangt diese in    ^

die Lage Mv iVj, dann ist aber noch eine Drehung um A X erforderlich, durch welche die

Figur in die Endlage Mx N₂ gelangen möge. Enthält die Schnittfigur mindestens drei nicht in dieselbe Gerade fallende Punkte, so bestimmt sie (nach S. 27) die Bewegung des Körpers vollständig. Man verschiebe nun die Schnittfigur MN zunächst rechtwinklig zu ihrer Ebene in ihre neue, durch Jfj gehende Parallelebene, in der sie die Zwischenlage M₃N₃ einnehmen möge; dann ist nur noch eine Überführung in die derselben Ebene angehörende Lage My N2 erforderlich. Diese Bewegung kann man aber nach S. 28 durch Drehung um einen in der Ebene liegenden Pol O oder um eine zur Ebene rechtwinklige Achse Ay OXx ausführen. Diese letztere Achse fällt im allgemeinen nicht mit AX zusammen, ist aber dazu parallel. Hiermit ist die Bewegung der Schnittfigur MN und damit diejenige des Körpers zurückgeführt auf eine Verschiebung und eine Drehung um eine zur Verschiebungsrichtung parallele Achse; eine solche Bewegung aber (Drehung um eine Achse und Verschiebung parallel oder längs derselben) nennt man nach Bd. I, Aufl. 4, S. 365, eine Schraubenbewegung.

Fig. 39.

>F

vz

Ist c die Verschiebungsgeschwindigkeit längs der Achse und co die Winkelgeschwindigkeit der Drehung um die Schraubenachse, so sind die Geschwindigkeiten vx, v₂ und v₃ dreier Punkte in den Abständen rx, r₂ und 7*3 von der Achse der Größe nach dargestellt als Hypothe-nusen über den Katheten c und rxco, c und r₂co und c und r₃ co (Fig. 39). Sind für einen Augenblick die Lage der Schraubenachse, die Geschwindigkeiten c und co gegeben, so ist für jeden Punkt des Körpers die Geschwindigkeit v mittels eines Geschwindigkeitsdreiecks nach Größe und Richtung bestimmbar. Dabei ist bemerkenswert, daß die Kathete c bei allen diesen Dreiecken nach Größe und Richtung dieselbe ist. Denkt man sich die Geschwindigkeitsdreiecke nicht wie in Fig. 39 in die Zeichenebene niedergeschlagen, sondern mit den wahren Richtungen im Raume konstruiert und mit den Katheten c aneinander gelegt, so

bilden die Umfangsgeschwindigkeiten der Drehung rlco, r₂co und r₃co Strahlen, die zu c rechtwinklig stehen, d. h. in einer zu c rechtwinkligen Ebene liegen. In dieser Ebene befinden sich also auch die Endpunkte F, G, H der wahren Geschwindigkeiten , v2 und v₃.

Fig. 40.

Hierauf gründet sich die zeichnerische Festlegung der Schraubenachse X₁ Xy, wenn von drei Punkten By C und _D des Körpers die wahren Geschwindigkeiten v₁ v₂ und v3 nach Größe und Richtung gegeben sind.

Man trägt nämlich diese drei Geschwindigkeiten von einem Punkt A aus nach Größe    ^

und Richtung auf (Fig. 40), legt durch deren V Endpunkte F, G und H eine Ebene E und '    ^

zieht von A aus eine Rechtwinklige AJ zur Ebene, so ist AJ—c die Verschiebungsgeschwindigkeit der Schraubenbewegung.

Zugleich ist nach Größe und Richtung JF=rxoo; JG = r₂oo\ J H — r₃ co.

Projiziert man nun die Punkte B, C und D des Körpers auf eine zu c rechtwinklige Ebene mit den Projektionen B\ C und D' (Fig. 41) und trägt an diesen Projektionen die Umfangsgeschwindigkeiten rjW, r₂co und r₃ co auf, so müssen Gerade, die man durch B\ C und D' in dieser Ebene rechtwinklig zu jenen Umfangsgeschwindigkeiten zieht, sich in der Projektion O der Schraubenache schneiden.

auch die Drehungshalbmesser r,, r₂ und r₃ fest und somit auch die Winkelgeschwindigkeit co. Da die Lage des Punktes O schon durch zwei Gerade B'O und CO bestimmt ist, so ist die Gerade D'O zur Bestimmung überflüssig. Auch ist co schon aus rxoo und OB' — rx gefunden, mithin sind hierzu die Größen r₂ und r₃ nicht mehr nötig. In den Geschwindigkeiten vl, v₂ und v₃ von drei bestimmten Punkten _B, C und D des Körpers liegen also drei Größen mehr vor, als für die Ermittelung der augenblicklichen Schraubenbewegung erforderlich sind. Es hängt dies damit zusammen, daß nach S. 26

Hiermit stehen dann

Fig. 41.

■89

r±\

■V.

/ '3

d’

c’

s'

ra(o

zur Bestimmung der Lage eines Körpers nicht neun, sondern nur sechs Stücke erforderlich sind.

Sämtliche Punkte der Schraubenachse haben Geschwindigkeiten von der übereinstimmenden Größe c, deren Richtungen sämtlich in diese Achse fallen, weil die Drehungshalbmesser r Null sind. Legt man durch den Körper irgendeine Gerade, welche der Schraubenachse parallel ist, so haben deren Punkte wohl auch Geschwindigkeiten gleicher Größe und Richtung, doch bildet letztere mit der

7* CO

Schraubenachse einen Winkel a, für den tg a = —, der also von

Null verschieden ist. Legt man aber durch den Körper eine Gerade, die mit der Schraubenachse nicht parallel ist, deren Punkte also verschiedene Abstände von der Schraubenachse haben, so sind die Geschwindigkeiten dieser Punkte nach Größe und Richtung verschieden. Hiernach kommt die kennzeichnende Eigenschaft der Schraubenachse, daß die Geschwindigkeiten aller ihrer Punkte in der Richtung der Achse liegen, nur der einen Geraden zu. Während also der augenblickliche Bewegungszustand eines Körpers (nach S. 40) in unendlich vielen verschiedenen Weisen auf eine Verschiebung und eine Drehung zurückgeführt werden kann, ist die Zurückführung auf eine Schraubenbewegung nur in einer Weise möglich. Daher hat man den Satz:

Jede Bewegung eines Körpers kann für einen Augenblick, und zwar nur in einer Weise, auf eine Schraubenbewegung zurückgeführt werden.

0. Zusammensetzung und Zerlegung der Bewegungen eines Körpers.

1. Drehung und Verschiebung.

Ein Körper habe eine Drehung um eine Achse A mit einer Winkelgeschwindigkeit co und erleide gleichzeitig eine Verschiebung in einer Richtung, rechtwinklig zu der Achse, mit der Geschwindigkeit c (Fig. 42). Dieser Fall kommt z. B. vor, wenn sich ein so wird die Geschwindigkeit in O zu Null; hierdurch kennzeichnet sich der Pol O und die in 0 rechtwinklig zur Bildebene errichtete augenblickliche Drehachse. Nennt man xp die zu suchende Winkelgeschwindigkeit um O, so muß xp derartig bestimmt werden, daß daraus der gegebene Geschwindigkeitszustand wieder hervorgeht. Die mit der Achse A zusammenfallenden Punkte des Körpers hatten aber nur die Geschwindigkeit c, rechtwinklig zu OA; durch xp bekommen sie eine Geschwindigkeit Ixp in derselben Richtung mit c, daher muß

Ixp = c

sein, und weil auch

1(0 = c (Gl. 1), so wird

2)

Rad um eine Achse dreht, die Achse aber nicht festliegt, sondern verschoben wird. (Ein besonderer Fall hiervon ist jedes rollende Rad.) Schneidet man den Körper durch eine zur Achse A rechtwinklige Ebene E, so bewegt sich die Schnittfigur nur in ihrer Ebene; es ist daher diese zusammengesetzte Bewegung eine ebene Bewegung, die nach S. 29 für jeden Augenblick als Drehung um einen Pol O oder um eine rechtwinklig zur Ebene stehende Achse O aufgefaßt werden kann. Legt man durch A in der Ebene E eine Gerade AO = l, rechtwinklig zu c, so bekommt der Endpunkt O infolge der Winkelgeschwindigkeit (o eine Geschwindigkeit l <o nach unten, infolge der Verschiebungsgeschwindigkeit c, an der alle Punkte übereinstimmend teilnehmen, eine Geschwindigkeit c nach oben. Ist nun

Ico = c,

Fig. 42.

CA

tV

OJ

lc)

1)

£

l = — und xp — (o. Das heißt: w

Eine Drehung um eine Achse A mit der Winkelgeschwindigkeit (o und einer gleichzeitigen Verschiebung rechtwinklig zu A mit der Geschwindigkeit c lassen sich zu einer einzigen Drehung um eine Achse O \\ A mit der Winkelgeschwindigkkeit co zusammensetzen. A und O liegen in einer zu c rechtwinkligen Ebene; ihr Abstand ist l = c:xv. Umgekehrt

läßt sich natürlich eine Drehung um O mit der Winkelgeschwindigkeit (o zerlegen in eine Drehung um eine zu O parallele Achse A im Abstande l von O mit derselben Winkelgeschwindigkeit a> und eine gleichzeitige Verschiebung rechtwinklig zu der durch O und A gelegten Ebene mit der Geschwindigkeit c—lco.

2. Drehungen um parallele Achsen.

Dreht sich (Fig. 43) ein Körper, vielleicht ein Rad, um eine Achse Al mit einer Winkelgeschwindigkeit coXl befindet sich aber die Achse Ax an einem Kurbelarme von der Länge l, der sich zugleich mit der Geschwindigkeit o)₂ um eine Achse A₂ dreht, so hat der Körper eine von beiden Drehungen beeinflußte Bewegung, die aber, weil sie eine ebene Bewegung ist, in jedem Augenblick auf eine einzige Drehung um eine Achse O zurückgeführt werden kann

Haben co₁ und co₂ übereinstimmenden Drehsinn, so wähle man in der durch Av und A2 gehenden Ebene (Fig. 44) eine zu beiden parallele Achse O, welche von Ax und A₂ die Abstände lx und l₂ hat; diese Achse empfängt von o)x eine Geschwindigkeit lx o)x aufwärts, von co₂ eine Geschwindigkeit l₂co2 abwärts. Die Gesamtgeschwindigkeit der Achse O ist also Null, wenn

Fig. 43.

(l>₂

¹ (oT

A-z

Pgü

HT

Fig. 44.

i

/'oT\

^29

qAi

3) lx = l₂ (o₂ oder

Hierdurch ist die augenblickliche Drehachse gefunden. Für ihre Winkelgeschwindigkeit y> ist Bedingung, daß die zurzeit in den gegebenen Achsen befindlich gedachten Körperpunkte ihre wahren Geschwindigkeiten wiedererhalten. Ax bekommt durch co₂ eine Geschwindigkeit

ù)x

!<-—

(lx + ^2)w2i durch xp eine Geschwindigkeit lx -xp. Ein Körperpunkt A₂ würde durch co₁ eine Geschwindigkeit (lx + l₂) coj, durch xp eine Geschwindigkeit l₂xp erhalten. Daher muß stattfinden:

4)

lx xp — (lx + l₂) co₂ und l₂ xp = (Zj -j- l₂) cj₁ , d. h.

(h + h) V = (h + h) H + "2) oder Also:

xp = CÜ J + OJ₂.

Zwei gleichzeitige Drehun'gen von übereinstimmendem Sinn um Parallelachsen Al und A₂ können in jedem Augenblicke zu einer einzigen Drehung um eine in der Ebene der Ax und A₂, zwischen beiden liegende und zu ihnen parallele Achse O ersetzt werden. Die Abstände lx und l₂ der augenblicklichen Drehachse O von den beiden gegebenen verhalten sich umgekehrt wie die entsprechenden Winkelgeschwindigkeiten. Die Winkelgeschwindigkeit um O ist gleich der Summe der beiden gegebenen.

Für die vorstehende Entwickelung ist es gleichgültig, ob sich der Körper in erster Linie mit um Al und in zweiter Linie mit w₂ um A₂ dreht, oder umgekehrt.

Die Winkelgeschwindigkeit eines sich um eine Achse drehenden Körpers kann wie ein Drehmoment durch eine gerichtete Strecke, einen „Vektor“, dargestellt werden, der rechtwinklig auf der Drehungsebene steht, also mit der Drehachse zusammenfällt, dessen Pfeil den Drehungssinn und dessen Länge die Größe der Winkelgeschwindigkeit ausdrückt (vgl. Bd. I, Aufl. 4, S. 139).

Danach kann man auch bei mehreren gleichzeitigen Drehbewegungen eines Körpers um verschiedene Achsen, die Winkelgeschwindigkeiten, durch ihre Vektoren ausgedrückt, wie Einzelkräfte behandeln und nach den dafür in Bd. I entwickelten Kegeln zu- <_ sammensetzen (vgl. hier auch S. 7 u. 8).    _

Die in Figur 44 durch Drehungspfeile gezeichneten Winkelgeschwindigkeiten cox und a>2 bilden nach vorstehender Erklärung zwei parallele Vektoren oj₁ und co₂ gleichen Sinnes im Abstande l (Fig. 45). Der Mittelvektor ist gleich der Summe der gegebenen, liegt mit cox und a>₂ in derselben Ebene zwischen beiden und ist mit ihnen parallel. Seine Abstände von

Fig. 45.

■I--->

1,

V--

0^ + 0) ₂

den gegebenen Geschwindigkeitsvektoren cox und co₂ verhalten sich umgekehrt wie diese

l i ! Tcy — cü₂ : co

Der so erhaltene Mittelvektor xp — cox + co₂ entspricht genau dem Ergebnisse der Zusammensetzung der Winkelgeschwindigkeiten auf Seite 46.

Ist der Drehsinn von co, dem von <o.₂ entgegengesetzt (Fig. 46), so liegt die augenblickliche Drehachse O auch in der Ebene der Ax und A₂ und zu ihnen parallel, aber nicht zwischen ihnen, sondern außerhalb derselben, u. zw. auf der Seite der Achse mit der größeren Winkelgeschwindigkeit. Wählt man nämlich für cox > co₂ rechts von A eine Achse O mit den Abständen l

Fig. 46.

V'

K-----------h—

—1₇----><

90*

>1 •

'S

und l₂ von Ax und A₂, so empfängt O vermöge cox eine Geschwindigkeit lx co, abwärts, vermöge co₂ eine Geschwindigkeit l₂ co₂ aufwärts, so daß die Gesamtgeschwindigkeit von O wiederum Null wird für

5)

l\ CO, — l₂ CÜ₂

oder !*- = —. h 0Ji

Für die Winkelgeschwindigkeit xp der augenblicklichen Drehachse O gilt wieder

l₂ xp — COy l — (0X (l₂ — ll)

lxxp = co₂l = co₂ (l₂ — lx) also

(l₂ — ly)xp = (CO, — co₂) (l₂ — ly), d. h. xp = (0y—(0₂.

Die Zusammensetzung der Vektoren <ox und <o₂ zu einem Mittelvektor xp nach der Lehre von der Zusammensetzung paralleler Kräfte liefert nach Fig. 46 dasselbe Ergebnis.

Gl. 5 kann man auch schreiben:

6)

co₂

l₂ ly

C0y—C0₂

oder

7)

ly =

co₂

1.

(Oy — CO 2

Stellt man sich.nun vor, daß co₂ unverändert bleibt, daß aber das ursprünglich größere co, sich allmählich co₂ nähert, so daß

xp = Wj — w₂ mehr und mehr gegen Null geht, so wird größer und größer, und im Grenzfalle w{ — w₂ wird xp = 0 und lx = d. h. für zwei gleiche und entgegengesetzte Winkelgeschwindigkeiten um Parallelachsen gibt es keine in der Endlichkeit liegende augenblickliche Drehachse (ebensowenig, wie zwei gleiche Parallelkräfte entgegengesetzten Sinnes eine in der Endlichkeit liegende Mittelkraft haben). Zwei solche gleiche parallele Drehungsvektoren entgegengesetzten Sinnes nennt man ein Drehungspaar (entsprechend der Bezeichnung Kräftepaar, 1. Teil, Aufl. 4, S. 115 u. 119. Da es gleichwertig ist einer Drehung um eine unendlich ferne Gerade in der Ebene des Drehungspaares, und da in bezug auf eine unendlich ferne Achse alle Drehungshalbmesser in dem Verhältnis Eins zueinander stehen, so haben alle Punkte des Körpers Geschwindigkeiten von gleicher Größe rechtwinklig zur Ebene des Drehungspaares.

oo ,

Fig. 47.

CO

i-

loif

Die Geschwindigkeit c ergibt sich einfach durch Beobachtung der Geschwindigkeit der Punkte der Achse A₁ (Fig. 47), nämlich c — Iw nach unten, ebenso für A₂ zu c — lw nach unten.

Ein Drehungspaar ist gleichwertig einer Verschiebung, rechtwinklig zur Ebene des Paares. Das Produkt aus der Winkelgeschwindigkeit w und dem Abstand l der beiden Achsen heißt das Moment des Paares und bezeichnet die Größe c = lw der Verschiebungsgeschwindigkeit. Da die V erschiebungsgeschwindig-keit c allen Punkten des Körpers gemeinsam ist, c also keine bestimmte Lage hat, so haben auch die Achsen eines Drehungspaares keine bestimmte Lage, können vielmehr, ebenso wie Kräftepaare, nicht nur in ihrer Ebene, sondern auch in Parallelebenen beliebig verschoben und verwandelt werden; es kommt bei ihnen nur auf die Größe ihres Momentes, d. h. der gleichwertigen Verschiebungsgeschwindigkeit c — Iw, auf die Richtung dieser zu ihren Ebenen rechtwinkligen Geschwindigkeit c und den Sinn von c an. Eine einzelne Drehungsstrecke dagegen hat wie eine Einzelkraft (s. 1. Teil, Aufl. 4, S. 139) eine bestimmte Lage.. Jede Verschiebungsgeschwindigkeit kann durch ein Drehungspaar ausgedrückt werden.

3. Drehungen um sich schneidende Achsen.

Dreht sich der Körper K um die Achse Oi₂ (Fig. 48) und diese wieder um die Achse OA[, so sagt man, der Körper habe gleichzeitig zwei Drehungen um OAx und OA₂ mit den Winkelgeschwindigkeiten (ol und (o.₂, welche in Fig. 49 als Drehungsvektoren (Drehungsstrecken) aufgetragen sind. Würde sich ein Körperpunkt bei O be-    Q

finden, so hätte dieser die    d

Geschwindigkeit Null;    A*

daher kann die Bewegung des Körpers als Drehung um einen festen Punkt O und nach S. 38 für jeden Augenblick als Drehung um eine durch O gehende augenblickliche Drehachse OP aufgefaßt werden. Es ist die Kichtung von OP und ihre Winkelgeschwindigkeit xp zu bestimmen, u. zw. im Hinblick darauf, daß ein beliebiger Punkt P der Achse, die Geschwindigkeit Null hat. Wählt man O P in der Ebene O Ax A₂ und hat der Punkt P von 0A₁ und OA₂ die rechtwinkligen Abstände oc₁ und a?₂, s0 bekommt P durch col eine Geschwindigkeit xx (ox nach unten, durch co₂ eine Aj Geschwindigkeit x₂co₂ nach oben; ist also xx tox — oc₂ oj₂ , so hat P die Gesamtgeschwindigkeit Null. Nennt man die Winkel der OP mit OA und OA₂ bezw. ßx und ß₂, ihre Summe ßx + ß₂ = a, so ist xx — OPsin ßx; x₂ = OPsin ß₂, cd₁ sin ßx = w₂ sin/?₂, d. h. sin ßx sin/?₂ —

daher muß

8)

o)₂

Fig. 48.

sein.

-^2

Fig. 49.

if?

lÓ£

NSS

-a

Keck-Hotopp, Mechanik. III.

Um die Winkelgeschwindigkeit xp der Achse OP zu erhalten fällt man von A₂ aus die Wmkelrechten A₂Q und A₂P (Fig. 50), dann muß

Fig. 50.

xp • Q A₂ = coj • RA₂ oder

yx -ÖA₂‘ sin ß₂ = cox- O A₂ • sin

sin a sin ß₂

Es läßt sich nun zeigen, daß, wenn man aus cox und co₂ ein Parallelogramm OAx'P'A₂ konstruiert, in der Diagonale OP' desselben der Vektor der Winkelgeschwindigkeit xp erhalten wird, der die Gleichung 8 und 9 erfüllt.

Denn es ist

10) sin ßx : sin ß₂ : sin a = to₂ : cox : xp, was den Gl. 8 und 9 entspricht.

Daraus folgt, daß auch sich schneidende Drehungsvektoren wie Einzelkräfte zusammen-gesetzt werden können.    jL

Wie aus dem Satze vom Parallelogramm der Kräfte der Satz vom Parallelepiped, vom Vieleck und der geometrischen Summe der Kräfte hergeleitet wurde (1. Teil, Aufl. 4 S. 40—43 und hier S. 3 u. f.), so kann dies auch hier bezüglich der Drehungsstrecken in gleicher Weise geschehen.

9) y> — ojj

sin öl

sin ßj

d. h.

sein.

--

Fig. 51.

(■y/Q

mą“²

4. Drehungen um Achsen, die nicht in derselben Ebene liegen.

Sind (Fig. 52) A₁B₁ — (o₁ und A₂B₂ = oj₂ zwei zueinander windschiefe Drehungsvektoren, so lege man durch A₂ zwei Drehungsvektoren A₂C₂ und A₂D₂, beide = und || AXBX, aber unter sich von entgegengesetztem Sinne. Diese beide heben sich gegenseitig auf, denn zwei gleiche entgegengesetzte Drehungen um \ dieselbe Achse tilgen sich gegenseitig. A₂B₂ und A₂C₂ lassen sich nach dem Parallelogrammgesetze zu einer Drehungsachse A₂ P₂ — xp

vereinigen.' A₁ Bl und A₂ D₂ aber bilden ein Drehuügspaar von dem Momente l • coj, wenn l der Abstand des Punktes A₂ von der Richtung Aj B₁ ; dies Drehungspaar ist gleichbedeutend mit einer zur Ebene Bi A₁A₂ rechtwinkligen Verschiebungs-geschwindigkeit c = l • coj. Hiermit sind die gegebenen Drehungsvektoren und o>2 zurückgeführt auf einen Drehungs- nt vektor xp und eine Yerschiebungsge- \ schwindigkeit c.    R

Fig. 52.

Cf

.Ar

w,

Auf Grund dieses Verfahrens kann man beliebig viele im Raume zerstreute Drehungsvektoren zusammensetzen, indem man sie wie Einzelkräfte behandelt und mit ihnen genau so verfährt, wie im 1. Teil, Aufl. 4 S. 141 und hier S. 3 u. f. ausführlich beschrieben wurde. Auch gleichzeitig noch gegebene Verschiebungsgeschwindigkeiten erschweren die Aufgabe nicht, da man sie als Drehungspaare darstellen kann. Wie man bei der Zusammenstellung von Kräften zu einer Einzelkraft und einem Kräftepaare gelangt, so erhält man hier als Endergebnis einen Drehungsvektor und ein Drehungspaar, d. h. einen Drehungsvektor und eine Verschiebungsgeschwindigkeit; und wie man dort durch geeignete Parallelverschiebung der Einzelkraft erreichen konnte, daß die Kräftepaarsachse so klein wie möglich und parallel der Einzelkraft wurde, so kann man in entsprechender Weise auch hier dazu gelangen, daß die Verschiebungsgeschwindigkeit so klein wie möglich und parallel dem Drehungsvektor werde, d. h. daß schließlich eine Schraubenbewegung entsteht. Die Achse der Schraubenbewegung entspricht also der Zentralachse (1. Teil, Aufl. 4 S. 145) einer Kräftegruppe.

5. Bewegung eines Punktes in einer Bahnlinie mit beliebiger Bewegung.

Wenn ein Punkt sich in einer beliebigen Bahnlinie bewegt, die selbst eine Verschiebung erleidet, so gilt nach 1. Teil Aufl. 4 S. 26 für die wahre Bewegung des Punktes, sowie auch für die Geschwindigkeit und die Beschleunigung derselben einfach das Parallelogrammgesetz. Das Ergebnis wird aber zum Teil ein anderes, wenn die Bahnlinie eine beliebige Bewegung ausführt, d. h. neben der Verschiebung auch eine-Drehung erleidet.

Während eines Zeitteilchens dt durchlaufe der Punkt das

Fig. 53. --------_ E

ü;

Bahnteilchen AB (Fig. 53), dieses aber gehe während derselben Zeit in die Lage CD über, indem außer einer Verschiebung um das Stück AC noch eine

-V

Drehung um eine durch C gehende Achse erfolge. Ist nun w die Geschwindigkeit des Punktes längs der Bahnlinie oder seine scheinbare (relative)    a

Geschwindigkeit in bezug auf    -■*-

dieselbe, u die Geschwindigkeit, mit welcher sich der Anfangspunkt A des relativen Bahnteilchens bewegt, v endlich die Geschwindigkeit der wahren (resultierenden) Bewegung von A nach D, so ist, wenn man die Sehnen AB, AC und AD zieht, nach dem Begriffe der Geschwindigkeit einer

krummlinigen Bewegung (S. 16 u. f.) AB — w • dt; AC — u - dt; AD — v’dt. Infolge der Drehung der Bahnlinie verändert sich nun der Winkel a zwischen den Sehnen AB und AC auf ACD

Daher wird, wenn man den gemeinschaftlichen Faktor

= a -f- da. dt in in dt, udt und vdt fortläßt,

v = Vu² -\- w² — 2 uw COS (a + da) ;

da aber cos (a + da) = cos a — sin a - da, sich also von cos a nur um ein unendlich kleines unterscheidet, so wird

1)

v = V u² + w² — 2uw cos a und

sin d : sin (a + d a) = w : v, d. h.

2)

. o w . sm v = — sma,

Eichtung und Größe der wahren Geschwindigkeit v ändern sich hiernach infolge der Drehung der Bahnlinie nicht um eine endliche Größe. Die wahre Geschwindigkeit v ist die

geometrische Summe aus der scheinbaren Geschwindigkeit w und der Geschwindigkeit w, mit welcher sich der Anfangspunkt des Teilchens der scheinbaren Bahnlinie bewegt.

Anders ist es aber mit der Beschleunigung. Erfährt die Bahnlinie nur eine Verschiebung, aber keine Verdrehung, so ist, wie im 1. Teil, Aufl. 4 S. 26 bewiesen wurde, die währe Beschleunigung die Resultierende aus der Beschleunigung des Punktes in seiner beweglichen Bahnlinie und der Beschleunigung, mit der die Verschiebung der Bahnlinie erfolgt. Dieses Ergebnis soll hier, um das Verständnis des Folgenden zu erleichtern, noch einmal mittels des Begriffes Ablenkung (Deviation) (s. S. 21) gezeigt werden. Erfolgte die Bewegung in der sich verschiebenden Bahnlinie ohne Beschleunigung, d. h. geradlinig und gleichförmig, so würde der Punkt etwa von A nach ßl (Fig. 54) gelangen, und die Strecke Bx B ist die Ablenkung infolge der Beschleunigung px der scheinbaren Bewegung, d. h. nach Gl. 17, S. 21

B,B = ^

Fig. 54.

dt²

B nr

A'

i//

cj

Würde die Bahnlinie sich gleichförmig und geradlinig verschieben, so gelangte ihr Anfangspunkt nach <7, anstatt nach <7. Ist nun po die Beschleunigung, mit welcher sich der Anfangspunkt des relativen Bahnteilchens bewegt, so ist deren Wirkung die Ablenkung C₁ <7, d. h.

„ „    dt² .

Würden beide Seiteubewegungen ohne Beschleunigung erfolgen, so müßte der Punkt die Diagonale AEX des aus den geraden Linien ABy und AGX gezeichneten Parallelogramms beschreiben; da er aber in Wirklichkeit nach E gelangt, so muß, wenn seine wahre Beschleunigung p genannt wird, seine wahre Ablenkung

dt-

ExE = p-

sein.

Man erkennt nun leicht Ex E als geometrische Summe von Bx B und CXC. Würde man nämlich AB um die Strecke ACX parallel verschieben, so würde sich AB tangential an C\ Ex legen und B nach F fallen, wenn EXF || BXB und EXF— y₂pxdt², und durch nochmalige Verschiebung um Cx C # FE gelangt A B aus der (nicht gezeichneten) Zwischenlage CXF in die Endlage CE, so daß FE = CX C = y₂p₂ dt\    Ebenso

Fig. 55.

1)

«NT.

Die Folge der Drehung der Bahnlinie ist nun eine Verrückung A des Endpunktes der Bewegung von E nach D (Fig. 55), und diese kann als eine Ablenkung von der reinen Verschiebung, d. h. als Folge einer dritten Beschleunigung p₃ aufgefaßt werden, so daß

nun, wie die wahre Ablenkung ExE=Y₂pdt² die geometrische Summe der Seitenablenkungen Bcr y₂P\dtr und y₂p₂dC ist, muß auch die wahre Beschleunigung p die geometrische Summe der Seitenbeschleunigungen pl und p₂ sein.

c\

dt²

ED = p₃ — wird.

Ist nun CX die augenblickliche Drehachse für die Bahnlinie, um welche sie noch gedreht werden muß, nachdem man sie (gemäß S. 39) entsprechend der Bahnlinie AC des Punktes A verschoben hat, und fällt man von E eine Winkelreckte EG auf die Drehachse, so wird, wenn man 2LEGD—dd setzt, ED = EG -d'd. Nennt man co die Winkelgeschwindigkeit der Drehung um die Achse CX, a den Winkel, den letztere mit dem relativen Bahnteilchen CE bildet, so ist, weil CE—w-dt, EG = CE-s\wrt = wdt- sina und dd = cd dt, dt²

ED — ps — = w d t sin a • co dt = w • co • sin a • d t'².

Da nun diese Ablenkung infolge der Drehung der Bahnlinie zu den vorstehend berechneten Ablenkungen BXB und CXC (Fig. 53) hinzukommt, so muß die gesamte Ablenkung die geometrische Summe von BXB, CL C und ED sein; mithin wird die wahre

Beschleunigung p des Punktes die geometrische Summe der drei Beschleunigungen p}, p₂ und p₃ oder

3)

p = Pi, P-2, p₃, *)

von denen die dritte den Wert hat

4)

p₃ = 2 w • co ■ siu a. **)

Daher der Satz: Die Beschleunigung eines Punktes, der sich in bezug auf eine Bahnlinie scheinbar (relativ) bewegt, ist die geometrische Summe von drei Beschleunigungen: 1. der Beschleunigung pl der scheinbaren Bewegung; 2. der Beschleunigung p₂, mit welcher sich der Anfangspunkte des Teilchens AB der beweglichen Bahnlinie bewegt; 3. einer Beschleunigung p₃ = 2 • w co • sin a, worin w die Geschwindigkeit der scheinbaren Bewegung, (o die Winkelgeschwindigkeit der Bahnlinie um die augenblickliche Drehachse, a der Winkel, den das Teilchen der scheinbaren Bahnlinie mit ihrer augenblicklichen Drehachse bildet; Richtung und Sinn dieser Beschleunigung p₃ stimmen überein mit Richtung und Sinn der Drehung des Endpunktes B des Bahnteilchens AB um seine augenblickliche Drehachse.

Fig. 56.

'M

ts

Beispiel J: Die Rollbewegung des Kreises, bei welcher ein Punkt A desselben eine Zykloide GA (Fig. 56) beschreibt, kann zerlegt werden in eine Drehung um M mit der Umfangsgeschwindigkeit w und eine gleichzeitige Verschiebung, parallel der Geraden GQ mit derselben Geschwindigkeit w. Man kann sich also vorstellen, daß der G beschreibende Punkt sich in dem Kreise von A nach B bewegt, während diese Bahnlinie sich wagerecht verschiebt. Es ist hiernach die wahre Geschwindigkeit v

*) In der Vektorschreibweise p. — Pi + P2 + P.v **) In der Vektorschreibweise p₃ = 2 -V to • w.

die geometrische Summe aus der scheinbaren Geschwindigkeit w in der Richtung AB und der wagerechten Verschiebungsgeschwindigkeit w nach rechts. Bildet die scheinbare Geschwindigkeit w mit der Wagerechten den Winkel 2 »?, so schließt v mit der Wagerechten den Winkel »5* ein und hat die Größe

v = 2 w cos #.

Es ist in diesem Falle pl die Zentripetalbeschleunigung w² : r; pt = 0, weil die Verschiebung der scheinbaren Kreisbahn gleichförmig und geradlinig erfolgt; p:i ebenfalls = 0, weil die scheinbare Bahnlinie nur eine Verschiebung? aber keine Verdrehung erleidet, also w — 0 ist. Hiernach ist die wahre Beschleunigung p gleichbedeutend mit der Zentripetalbeschleunigung p₁ = w² : r und rechtwinklig zu AB, d. h. von A nach M gerichtet. Zerlegt man diese Beschleunigung^ der Zykloidenbewegung in Tangential- und Normalbeschleunigung, so wird letztere, weil nach S. 35 die Normale zur Zykloide die Richtung AQ

\02

hat und mit AM den Winkel # bildet, pn — ~ cos »9. Ist aber p der

sein. Hiernach

v²

Krümmungshalbmesser der Zykloide, so muß auch pn = — kann man den Krümmungshalbmesser p berechnen:

rv²

also nach Gl. 5 also weil die Normale

6)

w² cos $ ’ p = r • 4 cos »9 = 2 • 2 r cos #, A Q = 2 r cos »? : p = 2 Norm.,

d. h. der Krümmungshalbmesser OA gleich der doppelten Normalen AQ.

Beispiel 2: Auf dem Halbmesser M N einer mit der Winkelgeschwindigkeit w sich gleichförmig rechtsherum drehenden Scheibe (Fig. 57) bewege sich ein Punkt mit der Geschwindigkeit w gleichmäßig nach außen. Es sollen für den Augenblick, wo der Punkt sich bei A im Abstand x von der Mitte befindet, die Geschwindigkeit v und Beschleunigung p der wahren Bewegung bestimmt werden.

A B sei das Teilchen dx der scheinbaren Bahnlinie. Der Anfangspunkt A desselben hat eine Geschwindigkeit xw nach rechts; setzt man diese (Fig. 58) mit w (aufwärts)

Fig. 57.

to

-r*    E

BV-----rt

lo.dt

y_.

zusammen, so ergibt sich v, und zwar schließt v mit dem Halbmesser einen Winkel y ein, für den

XU)

tg y =-.

w

Man hat sich im Sinne der Herleitung auf S. 54 den Übergang des Teilchens AB in die Nachbarlage C D (Fig. 57) in der Weise vorzustellen, daß man demselben eine Verschiebung um den Bogen AC in die Zwischenlage CE erteilt denkt und nun um eine durch C gehende augenblickliche Drehachse, rechtwinklig zur Bildebene, eine Drehung von CE nach CD um den Winkel

Fig. 58.

wA

æ. oj

Vll

//

^ v /

y Z¹ /

~V /

fr-

fY

X. Ct>

2\t

2 WM

weil die scheinbare Bewegung ohne Beschleunigung er

folgt. Der Punkt A erfährt bei seiner Bewegung längs AC eine Zentripetalbeschleunigung p₂ — x • <o²; es ist, weil die Drehachse zur scheinbaren Bahnlinie rechtwinklig steht, in Gl. 4 a =90°, daher p.A=2w-w mit dem Sinne rechtwinklig zu CE nach rechts, weil der Punkt E sich in diesem Sinne von E nach D bewegt, p (Fig. 58) schließt mit dem Halbmesser einen Winkel ß ein, für den

dt ausführt, ln diesem Fall ist p₁ — 0, Fig. 59.

tgß =

2 w ■ oj 2 w

Pn

X • U)²

X ■ Ü)

Verlängert man das Geschwindigkeitsdreieck (Fig. 58) um FJ = w nach unten, so ist

Fig. 60.

tg GHJ —

= t gß,

x • w

mithin ist p rechtwinklig zu HJ. Die wahre Bewegung des Punktes erfolgt bekanntlich in einer archi-

BQ—

■Op=ÓE

H-

medischen Spirale (Fig. 59); die Beschleunigung p läßt sich zerlegen in eine Zentripetalbeschleunigung pn nach demKrümmungsmittelpunkte der Spirale und eine Tangentialbeschleunigung^, die olfenbar nach außen gerichtet sein muß, weil die Geschwindigkeit v mit wachsendem x zunimmt.

K-

Beispiel 3: Die scheinbare Bahnlinie sei ebenfalls ein Halbmesser einer sich gleichmäßig drehenden Scheibe; die scheinbare Bewegung erfolge aber nicht nach außen, sondern nach der Mitte hin (Fig. 60) mit der gleichbleibenden Geschwindigkeit w. Man findet v mittels Fig. 61. Es ist wiederum Pi = 0; p.₂=X(u² zentripetal; j),=2w'<u aber nach links gerichtet, weil

Pig. 61.

Fig. 62.

/î\

Pjt

2>

C—

Pn

V»\

x; \

G⁶"

x. o

Nx

> °n

CK'

sich bei der Drehung um C der Endpunkt E von E nach D bewegt. Die Richtung von p wird wiederum rechtwinklig zu HJ in dem Geschwindigkeitsdreieck Fig. 61, an welches man JF=w anreiht. Die Zerlegung von p liefert diesmal in tangentialer Richtung eine Verzögerung (Fig. 62), weil die Geschwindigkeit v mit kleiner werdendem x abnimmt. Die wahre Bahnlinie ist wiederum eine archimedische Spirale.

D. Scheinbare (relative) Bewegung.

In dem vorstehenden Abschnitte war schon von der scheinbaren Bewegung die Rede; dieselbe wurde als gegeben behandelt und mit der Bewegung der Bahnlinie zu der wahren Bewegung zusammengesetzt. In diesem Abschnitte handelt es sich aber um die Aufsuchung der scheinbaren Bewegung, während die wahre Bewegung gegeben sein soll. Wir gelangen dazu durch folgende Betrachtung.

Führt ein Körper in einem Raume, den wir als ein Achsenkreuz auffassen und bezeichnen wollen, eine Bewegung aus, so läßt sich diese für jeden Augenblick als eine Schraubenbewegung dar-

stellen. Bewegt sich nun auch das Achsenkreuz gleichzeitig, so kann man auch dessen Bewegung für jeden Augenblick auf eine Schraubenbewegung zurückführen. Die erstgenannte Bewegung heißt die scheinbare oder relative Bewegung des Körpers in bezug auf das Achsenkreuz, weil ein an der Bewegung des Achsenkreuzes teilnehmender Beobachter nur diese Bewegung mit seinen Sinnen wahrnehmen (sehen und fühlen) kann, wie z. B. die Bewegungen in einem fahrenden Eisenbahnwagen oder Schilfe, oder auch in einem Zimmer, welches doch an den verschiedenen Bewegungen der Erde teilnimmt. Durch die Zusammensetzung der beiden Schraubenbewegungen nach der S. 50 angedeuteten Weise erhält man die wahre Bewegung. Bezeichnen wir die scheinbare Bewegung mit Bschi die Bewegung des Achsenkreuzes mit Bachs, die wahre Bewegung mit Bw, so gilt die Gleichwertigkeit (=)

BSch i Bachs - Bw ,

1)

welche nur andeuten soll, daß die geometrische Summe von Bsch und B

ergebnisse führt wie die Bewegungen auf der anderen Seite. Erteilen wir nun sowohl dem Körper wie auch dem Achsenkreuze noch eine fernere, beliebige Bewegung B, so wird dadurch an dem gegenseitigen Verhalten des Körpers und des Achsenkreuzes, also auch an der scheinbaren Bewegung nichts geändert, man kann daher auch schreiben:

achs

auf der einen Seite des Zeichens = zu demselben End-

2)

Bsch i Bachs i

B=BW, B.

Wählt man nun diese neue Bewegung so, daß sie das Entgegengesetzte der Bewegung des Achsenkreuzes ist, d. h. für jeden Augenblick eine Schraubenbewegung um dieselbe Achse mit gleichen, aber entgegengesetzten Geschwindigkeiten der Drehung und Verschiebung, was wir durch

3)

B - ' Bachs

Ausdrücken wollen, so heben sich Baehs und B vollständig auf, und es wird aus Gl. 2:

4)

(    Bachs) )

Bsch = B

Ł h. die scheinbare Bewegung eines Körpers in bezug auf ein bewegliches Achsenkreuz ist in jedem Augenblicke die geometrische Summe aus der wahren Be-

>r i

wegung des Körpers und dem Entgegengesetzten der Bewegung des Achsenkreuzes.

1. Scheinbare Bewegungen eines Punktes in bezug auf einen anderen.

Wir denken uns durch den zweiten Punkt Px (Eig. 63) ein Achsenkreuz gelegt, welches, da ein Punkt eine Drehbewegung nicht hat, nur eine P a r a 11 e 1 Verschiebung mit dem Punkte P1 ausführt. Die Bewegung des ersten Punktes P gegen dieses Achsenkreuz ist dann die gesuchte scheinbare Bewegung, während seine wahre Bewegung auf ein zu obigem paralleles festes Achsenkreuz mit dem Anfangspunkt A bezogen wird. Die scheinbare Bewegung von P gegen Px ist die geometrische Summe der wahren Bewegung von P und dem Entgegengesetzten der Verschiebung von Px ; die scheinbare Geschwindigkeit w ist die geometrische Summe aus der wahren Geschwindigkeit v und dem Entgegengesetzten der Geschwindigkeit u des Punktes P{, d. h.

w = v, (— u); *)

Fig. 63.

ebenso ist die scheinbare Beschleunigung px die geometrische Summe aus der wahren Beschleunigung p und dem Entgegengesetzten der Beschleunigung p₂ des Punktes P, d. h.

P\ = P, i—Pz)-*)

(p₃ kommt hier noch nicht in Frage, weil das bewegliche Achsenkreuz keine Drehung ausführt, also in Gl. 4, S. 55 co = 0 ist.)

Hat der Punkt P in bezug auf ein festes Achsenkreuz die Koordinaten æ, y, z, der Punkt Pl in bezug auf dasselbe Achsenkreuz die Koordinaten xx, yx, zx, so gilt für die (scheinbaren) Koordinaten £, ?/, £ des Punktes P in bezug auf das mit Px bewegliche Achsenkreuz

£ = % — ;

rfi

>7

AL

g—z — Zl.

*) In Yektorschreibweise tt> = b — u, = p — p₂•

n = y—y g

Fig. 63 zeigt den Fall, wo die Bewegungen nur in einer Ebene vor sich gehen. Dann kann man auch schreiben:

wx = Vx — ux oder

Wy - Vy Uy

oder

dxx

und ebenso für die Beschleunigungen

d²§    d² x    d²xx

dt²    dt²    dt² 1

Plx = Px~P2x

oder

P2y = Py-P2y

oder

d²r) d²y d²yx dt² dt² dt₂

Beispiel I: In derselben lotrechten Ebene werden (Fig. 64) gleichzeitig zwei Punkte P und Pl mit den Geschwindigkeiten c und unter den Neigungswinkeln a und otj fortgeworfen; welches ist die scheinbare Bewegung von P in bezug auf P₁ (wenn man sich vorstellt, daß ein Beobachter [wie Münchhausen auf der Kanonenkugel] die Bewegung von Pj mitmacht). Auf die Punkte soll nur die Schwere, kein Luftwiderstand wirken. Dann ist nach dem 1. Teile, Aufl. 4 S. 53 x — c cos at-,

Fig. 64.

Pa

tCj — Cj COS Äj t}

, gt²

Vi = c, sin ctj t —    ■

$ — (c cos a — cl cos a,) t,

T) = (c sin a — ^ sin aL) t, vjx = c cos a — cx cos <xx,

Wy = c sin a — cx sin otj, w = c, (—cd; Pi =0, d. h. die scheinbare Bewegung erfolgt gleichförmig und geradlinig mit der Geschwindigkeit w.

Es ergibt sich dies noch einfacher, wenn man die Wurfbewegungen zerlegt in die gleichförmig geradlinigen ct bezw. cxt nach den Richtungen der Anfangsgeschwindigkeiten, und die lotrecht abwärts gerichteten */² 9t² bezw, ^ngt². Da die beschleunigten Fallbewegungen beiden Punkten gemeinsam sind, so kann die scheinbare Bewegung nur von den beschleunigungslosen Bewegungen ct und Cj t abhängig sein.

Daher

also offenbar

gt²

y = c sin a t —    ;

Beispiel 2: Zwei Punkte P und Px durchlaufen mit gleichen Winkelgeschwindigkeiten zwei Kreise mit gemeinsamem Mittelpunkt A (Fig. 65). Die scheinbare Bewegung von P in bezug auf Px soll untersucht werden.

Es seien r und rx die Halbmesser AP und APX der Kreise, a der Winkel, den die gleichzeitigen Fahrstrahlen r und rx miteinander bilden, # der veränderliche Neigungswinkel von AP gegen die AX; dann ist

y = r sin »9; xx — rx cos (« + >9); yx = r, sin (a + #);

£ — x — xx — r cos # — rx cos (a + ??) ;

7j — y — yx — r sin >9 — rx sin (« + #).

Bildet man hiernach    so erhält man dafür

r² + rt² — 2 rrx cos a = l² — PPX²,

was übrigens auch schon daraus folgt, daß wegen gleicher Winkelgeschwindigkeit beider Punkte das Dreieck A PPX seine Form unverändert behält, während es sich um A dreht.

Die scheinbare Bewegung von P in bezug auf Px ist also eine Bewegung in einem Kreise vom Halbmesser 1= PPX.

Die wahre Beschleunigung von P ist p = r • w² in der Richtung von P nach A; die Beschleunigung p., — r, u>2 hat die Richtung von Px nach A, daher ist — p., von .AnachPj gerichtet.

(S. das Beschleunigungsdreieck in Fig. 64, rechts.) Da nun p und p₂ mit r und rx verhältnisgleich sind, auch den Winkel a miteinander bilden, so wird das aus ihnen gezeichnete Dreieck ähnlich mit PAPX, daher die geometrische Summe px —l ■ ut² und mit PPX parallel. Die scheinbare Bewegung in einem Kreise vom Halbmesser l erfolgt also mit überall gleicher Beschleunigung. Daher ist die scheinbare Bewegung eine gleichförmige Kreisbewegung mit der Umfangsgeschwindigkeit w = l-w, der Winkelgeschwindigkeit w.

x = r cos

Fig. 65.

A'

“V

P± „ ■■

r.w*

2. Scheinbare Bewegung in bezug auf einen beliebig bewegten Raum.

In diesem Falle sind u und p₂ selbstverständlich Geschwindigkeit und Beschleunigung derjenigen Stelle des bewegten Raumes, an dem der Punkt oder Körper sich gerade befindet. Da ferner nach Gl. 3, S. 55 p —    , p₃. so wird hieraus

1)

Pi=p, (-p₂)ï (—Pa)-

Beispiel 1: Eine wagerechte Scheibe (Fig. 66) drehe sich gleichförmig rechtsherum mit der Winkelgeschwindigkeit w um ihre lotrechte Achse ; oberhalb derselben führe ein Punkt eine gleichmäßige Bewegung längs einer wagerechten Geraden aus, die durch den Mittelpunkt der Scheibe geht. Diese wirkliche Bewegung erfolge mit der Geschwindigkeit v. Es soll die scheinbare Bewegung in bezug auf die Scheibe bestimmt werden. Man stelle sich etwa vor, daß die Kante eines gegen die Scheibe erhöht liegenden Lineals die wirkliche Bahnlinie des Punktes, und daß der Punkt die Spitze eines Bleistiftes sei, den man gleichmäßig an dem Lineale entlang bewegt, während die darunter

Fig. 66.

"V

EV

■w

æ.&>

'e

So

21V.OJ

i?

x.a)

Jro^-'-¥-----^    ^

«ł.

befindliche Scheibe sich gleichmäßig dreht; dann zeichnet der Bleistift die scheinbare Bahnlinie auf. Ist C der Anfangspunkt der Bewegung, so erhält leicht eine Anzahl von Punkten der scheinbaren Bahnlinie, indem man, C beginnend, linksherum den Winkel cu = CME = EMF u. s. f. hintereinander aufträgt und ebenso die Längen v = CG = GH u. s. f. auf der

man

von

Geraden CDM abmißt. Schneidet ein durch H gelegter Kreisbogen mit dem Mittelpunkt M den Halbmesser MF in A, so ist -4 ein Punkt der scheinbaren Bahnlinie. Denn es muß der Geraden CMD, auf der sich der Punkt bewegt, eine Drehung um M erteilt werden, welche der wahren Drehung der Scheibe gleich und entgegengesetzt ist.

& — Ult

—

Setzt man 2Ç G MA — MA = x, CM = r, so ist r — x — V t ;

daraus entsteht

diese Gleichung bedeutet, weil die Beziehung zwischen x und linear ist, eine archimedische Spirale. Die scheinbare Geschwindigkeit w im Punkt A ist die Diagonale eines Rechtecks aus v in der Richtung AM und dem dazu rechtwinkligen xu). — Zur Bestimmung der scheinbaren Beschleunigung ist zu bedenken, daß p = 0, weil die wahre Bewegung gleichförmig erfolgt; daher muß px = (—p.₂), (—p₃) sein. Es bedeutet darin — p₂ die Zentrifugalbeschleunigung x-cu², in der Richtung MA, d. h. rechtwinklig zu KL = x • cu (Fig. 66, rechts unten) aufgetragen. Es ist p₃ = 2w- cu, weil a = 90° ist. Richtung und Sinn von p₃ stimmt überein mit der Bewegung des Endpunkts von iv • dt. also auch von w bei einer Drehung um A mit der Winkelgeschwindigkeit cu der Scheibe, d. h. rechtsherum. Daher ist + p₃ rechtwinklig zu w nach unten, —p₃ also nach oben gerichtet. Hiermit ist px bestimmt Verlängert man in dem Geschwindigkeitsdreieck (Fig. 66, rechts unten) LJ nach links um JJX =w und zieht JXK, so ist A J, KL oo /\ BNQ, denn es ist QN_\_KL) RQ_\_LJX, mithin 2L NQR = 2Ç KL Jx und außerdem NQ = w • KL, QR — cu ■ LJX ; daher wird px\_JxK und px — w ■ JXK. Es weicht px von seiner normalen Seitenbeschleunigung pn {l_w) nach links ab, d. h. die scheinbare Bewegung geschieht mit tangentialer Verzögerung, wie es sein muß, da æw bei Annäherung an die Mitte kleiner wird, mithin w abnehmen muß.

Fig. 67

0,

a₂

Beispiel 2: Zwei Körper Kx und K₂ drehen sich um Parallelachsen Ax und A.₂ (Fig. 67) mit den Winkelgeschwindigkeiten wx und cu₂ entgegengesetzten Sinnes. Es soll die scheinbare Bewegung von K.₂ in bezug auf Kx gesucht werden. Zu diesem Zwecke hat man K₂ außer seiner Drehung w.₂ noch eine Drehung cux, entgegengesetzt der Bewegung von Kx, d. h. mit cu.2 gleichen Sinnes, zu erteilen, wie bei Ax punktiert angegeben. Diese beiden Drehungen um Ax und A₂ lassen sich nach S. 46 für jeden Augenblick vertauschen mit einer Drehung

um eine Achse 0 || Ax mit der Winkelgeschwindigkeit cp = wx + w.₂, u. zw. ist

OAl _ <»2 O A.-, wx

Nach der Zeit t hat die Achse A₂ sich in ihrer scheinbaren Bewegung nach A₂ bewegt, wenn A₂ Ax A₂' = ist. Dann liegt, wenn oj₁ und «₂ sich nicht ändern, die augenblickliche Drehachse bei Oy. Der Zylinder OOy mit der Achse A: und dem Halbmesser Ay0 ist der Ort der augenblicklichen Drehachsen, und da 0 auch von A o einen unveränderlichen Abstand hat, so ist ein mit dem Körper K₂ verbundener Zylinder PPX (Fig. 68) der Ort derjenigen Geraden des Körpers K.,, welche der Reihe nach mit den augenblicklichen Drehachsen 0,

Oj . . . zusammenfallen. Die scheinbare Bewegung von K₂ in bezug auf Kx ist nach S. 34 ein Rollen des Zylinders PPX auf dem Zylinder OOy. Sind diese Zylinderflächen an den Körpern tatsächlich vorhanden, so haben sie an der Berührungsstelle stets die Gleitgeschwindigkeit Null. Es beruht auf diesem Verhalten die Lehre von der Verzahnung der Zahnräder.

Fig. 68.

0,

OP

Keck-Hotopp, Mechanik. III.

Dritte Abteilung.

Mechanik des Massenpunktes.

A. Geradlinige Bewegung des Massenpunktes.

Nach 1. Teil, Aufl. 4, S. 32 erteilt eine Kraft K einem Massenpunkt m die Beschleunigung

V = — m

in der Richtung und im Sinne der Kraft K. Da bei geradliniger Bewegung nach S. 15 die Richtung der Beschleunigung mit der Richtung der Geschwindigkeit zusammenfällt, so muß auch die Richtung der wirkenden Kraft stets mit der Richtung der Geschwindigkeit übereinstimmen, damit eine geradlinige Bewegung entstehe.

Wir betrachten hier im wesentlichen Bewegungen unter Wirkung veränderlicher Kräfte. Um aus der gegebenen Kraft und der daraus unmittelbar bestimmten Beschleunigung p die Geschwindigkeit v und den Abstand x des Massenpunktes von einem Festpunkt A seiner Bahnlinie zu finden, müssen Integrationen ausgeführt werden. Der einzuschlagende Weg der Rechnung ist abhängig von der Art der Veränderlichkeit der gegebenen Kraft.

1. Ist K eine Funktion der Zeit, also K:m—p = F(t), so wird nach S. 15

dv — p • dt — F(t)-dt und S F (£) • d t + C, wofür

v — v = <p{t)

geschrieben werden möge.

Daraus folgt weiter nach S. 14

dæ = v ■ dt — (p (t)'dt und x — f (p (£) d t + Cx, oder x=f(t)

als gesuchtes Bewegungsgesetz.

2. Ist K eine Funktion des Ortes des Massenpunktes, also K:m — p — F(x), so wird dv = p • dt — F{x) • dt.

Multipliziert man diese Gleichung mit

v dt ’

^ x so entsteht

v dv — F(x) • da, und v² = 2jF(x)-dx + C oder v — <p(x). Daraus folgt weiter das — v dt — (p{x)‘ dt.

In dieser Gleichung muß man behufs der Integration die Veränderlichen trennen, d. h. alles mit x behaftete auf einer Seite vereinigen. Dann wird

und

dt —

dx

(p[x)

-r

<P(x)

+ C=ip{x),

hiermit hat man t als Funktion von #, woraus in vielen Fällen

«=/(*)

als Bewegungsgesetz entwickelt werden kann.

so wird

3. Ist die Kaft K eine Funktion der Geschwindigkeit, also K: m = p — F (v),

dv = p • dt — F(v) • dt und nach Trennung der Veränderlichen

dt =

dv

F{v)m

Daraus

dv

F(v)

f C— <p{v).

Die Entwickelung dieser Gleichung nach v liefert Dann wird

y{t).

dx — v • dt = ip (t)- dt, x = SW {t) • d t -j- Ci = / (ż) ergibt.

Die folgenden Untersuchungen liefern Beispiele zu diesen allgemeinen Andeutungen. Der Fall, daß die Kraft als Funktion der Zeit gegeben sei, ist außerordentlich einfach, kommt aber in der Anwendung kaum vor. Daher gehen wir sogleich zu einem Falle der zweiten Art über.

woraus sich

1. Geradlinige Schwingung eines Massenpunktes.

Ein Massenpunkt m stehe unter Einwirkung einer von einem festen Punkt A ausgehenden Anziehungskraft, welche stets das Bestreben hat, ihn nach A hinzuziehen (Fig. 69). Diese Anziehungskraft K sei verhältnisgleich mit dem Abstand x des Massenpunktes m von dem Festpunkt A.

Befindet sich der Massenpunkt in A, so hat die Kraft den Wert Null, es ist daher A die Gleichgewichtslage des Massenpunktes. In ihr befinde sich der Massenpunkt zu Anfang, erfahre nun aber, etwa durch einen Stoß, eine Anfangsgeschwindigkeit c, die ihn aus der Gleichgewichtslage A entfernt. Dann wirkt auf ihn in derselben Richtung, aber in entgegengesetztem Sinne, die Kraft AT, so daß die Bewegung eine geradlinige werden muß. Da K mit x verhältnisgleich ist, so kann man die Beschleunigung setzen

Fig. 69.

Tp

1)

— —k²x.

Dann bedeutet k² die absolute Größe der Beschleunigung im Abstande = 1 von der Gleichgewichtslage, und man erhält

2)

dv

— = — k² ■ x;

multipliziert man mit vdt

dx, so wird vdv — —k² xdx, also v² — —F;r²+ C

und weil v = c war, für x — 0:

3)

v = Yc² — K² x².

Setzt man nun v

dx

dt ’

so wird

dt

dx

1 dx

d{j*)

Vc² — k²x²

n:ru

— x²

dies gibt

*/

X²

4)

(mit Cx = 0, weil x

5)

1    . kx ,

— arc sin--(- Q

k    c

0 für t = 0). Hiernach ist

— sin k t

die Bewegungsgleichung, aus der noch die Geschwindigkeitsgleichung

6)

dx

v = —- = c • cos kt entsteht.

dt

Für t - 0

71

CO (M

2 tz

wird x = 0

« »Sä o

und v — c (Punkt A B

C A Fig. 70.)

und x =

sind größte und kleinste Werte von x; nach einer Zunahme der Zeit um je    d. h.

tC

nach einer Zunahme der Größe kt um je 2tc, kehren in den periodischen Funktionen der Gl. 5 und 6 stets die gleichen Werte wieder.

Fig. 70.

K-

->K-

Während der Zeit — wird die Bahnlinie BG von dem Massen-k

2 71

punkte hin und her durchlaufen. Eine solche Bewegung nennt man eine Schwingungsbewegung oder kurz Schwingung. Der Massenpunkt schwingt um die Gleichgewichtslage als Mitte; es

2 7t

ist — die Zeit einer Doppelschwingung,

7)

t --

- k die Dauer einer einfachen Schwingung.

Fig. 71.

Die Schwingungsdauer ist nach Gl. 7 nur von der Beschleunigungsgröße k² (im Abstande gleich Eins) abhängig; die Geschwindigkeit c, mit welcher der Massenpunkt durch die Gleichgewichtslage geht, beeinflußt nur die halbe Schwingungsweite a\

2k

diese wird für t = nach GL 5

JB

8)

Solche Schwingungsbewegung \    /

kann man sehr einfach zur Dar- \    /

Stellung bringen, wenn man einen    __

Punkt mit gleichbleibender Geschwindigkeit c in einem Kreisumfange vom Halbmesser a = c:k führt und diese Bewegung auf einen Durchmesser projiziert (Fig. 71). Beginnt die Bewegung in Z>, so ist DQ — ct, daher

2ÇDAQ = 2Ç AQP= ct:a = kt,

AP — oc — a sin kt,

d. h. mit Gl. 5 übereinstimmend.

Eine solche Projektionsbewegung einer Kreisbewegung kommt vor bei der Kurbelschleife (Fig. 72). Dreht sich die Kurbel K gleichmäßig um die Achse A, so gleitet der auf den Kurbelzapfen Z

gesteckte würfelförmige „Stein“ in dem Schlitze der wagerecht geführten Kurbelschleife S und überträgt auf sie nur die wagerechte

Fig. 72.

'S

Seitenbewegung des Kurbelzapfens. Die Bewegung der Schleife erfolgt daher nach der Gleichung

x = a • sin kt = a • sin

9)

wenn a der Kurbelhalbmesser, c die Geschwindigkeit des Kurbelzapfens ist.

Beispiel 1: Stellt man sich vor, durch die Erde, deren Dichte überall gleich angenommen werden soll, sei längs eines Durchmessers eine Röhre geführt (Fig. 73), so erfährt ein in der Röhre befindlicher Massenpunkt bei einem Abstand x vom Erdmittelpunkt A nach 1. Teil, Aufl. 4,

S. 62, Gl. 7, eine Fallbeschleunigung

Fig. 73.

9X = 9 - »

wenn r der Erdhalbmesser und g die Fallbeschleunigung an der Erdoberfläche ist. Da die nach dem Punkt A gerichtete Anziehungskraft mit x verhältnisgleich, so ist die Bedingung der Schwingung nach Gl. 5 erfüllt. Für x = 1 wird

A"

S'

ß*

er

Hatte nun der Massenpunkt an der Stelle B die Geschwindigkeit Null, so ist nach Gl. 8

AB = r = a =

die halbe Schwingungsweite, woraus

=ci

11)

c = y gr

folgt als Geschwindigkeit, mit welcher der Massenpunkt die Gleichgewichtslage A durchläuft. Der Massenpunkt langt bei C mit der Geschwindigkeit Null an, kehrt nach B zurück und wiederholt diese Bewegungen fortgesetzt. Das einmalige Durchlaufen des Durchmessers erfordert die Zeit

12)

tx =

TZ

es ist dies die Schwingungsdauer eines mathematischen Pendels von der Schwingungslänge r (Erdhalbmesser) bei kleiner Schwingungsweite (s. 1. Teil, Aufl. 4, S. 83).

Mit r = 6370 000 m und g — 9,si m/g.² wird

tx — Tt

6370000

9,81

= 2532 s. = 42,2 min- ;

c = 1^9,8! • 6370000 = 7905 m/t

Würde man einen zweiten Punkt mit dieser Geschwindigkeit um die Erde führen, so würde er stets in derselben Zeit in B und C eintreff'en wie der erste, den Durchmesser BC durchschwingende Punkt. Übrigens braucht dieser zweite Punkt nicht einmal geführt zu werden, vielmehr wird er, bei B mit der wagerechten Geschwindigkeit c = ]/ gr versehen, wenn kein Luftwiderstand auftritt, die Erde frei umkreisen, ohne einen Druck auf die Erde auszuüben, weil die Schwere mg allein zur Zentripetalbeschleunigung

Cr

gr

verbraucht wird.

Hinzutreteu einer unveränderlichen Kraft. In den meisten Fallen, wo Schwingungsbewegungen auftreten, wirkt außer der veränderlichen Kraft K noch eine unveränderliche Kraft Q, gewöhnlich das Gewicht des Massenpunktes. Es läßt sich zeigen, daß deren Hinzukommen die Grundeigenschaften der Bewegung (< nicht erheblich ändert.

Ist (Fig. 74) A der Ausgangspunkt A (Nullpunkt) der veränderlichen Kraft K = m • k² • x, von welchem aus x gemessen wird, und tritt nun vielleicht in entgegengesetztem

Fig. 74.

-x

<■—e—>1

K    Q

C-<-«-#

i«---*-—»i

Sinne die Kraft Q hinzu, so wird die Mittelkraft = m-k²x—Q,. Diese wird Null für

13)

x — q — c -—-    A.

mkl

d. h. die Stelle A₁ ist jetzt die Gleichgewichtslage. Nennt man z — x — e den Abstand des Massenpunktes von Ax, so wird unter Einsetzung von x — z + e die Mittelkraft nunmehr

m • k² (z -f- e) — Q — m • k² (z + e) — m • k²e = m • k²z,

weil nach Gl. 13 Q = mk²e ist. Diese Mittelkraft ist nach der Gleichgewichtslage gerichtet und erteilt dem Massenpunkt eine Beschleunigung

14)

p = — k² z

Hierin bedeutet k² die absolute

im Sinne des wachsenden z.

Beschleunigungsgröße im Abstande — 1 von der Gleichgewichtslage* Die Vergleichung mit Gl. 1 (S. 68) zeigt nur eine Vertauschung des Buchstaben x mit z; beide bedeuten aber den Abstand des Massenpunktes von der Gleichgewichtslage. Bezeichnet daher wieder

c die Geschwindigkeit in der Gleichgewichtslage, a die halbe Schwingungsweite, tx die Dauer einer einfachen Schwingung, so gilt nach Gl. 7 und 8:

15)

TZ

k'

c — La.

Ist die unveränderliche Kraft Q die Schwerkraft mg, so wird nach Gl. 13

16)

, also 1c- =

jfc²

<x. r-Q

, mithin

17)

« = c "J/ ;

■'Q

d. h. die Dauer einer Schwingung ist nun gleich derjenigen eines mathematischen Pendels von der Länge e = dem Abstande der Gleichgewichtslage von dem Nullpunkte der veränderlichen Kraft = der Verschiebung der Gleichgewichtslage infolge des Hinzutretens der Kraft Q = mg.

Vorstehende Entwickelungen finden auf die meisten elastischen (Feder-)Schwingungen Anwendung, wenn man die eigene Masse des elastischen Körpers gegenüber der angehängten Masse vernachlässigen darf.

a) Schwingungen infolge elastischer Aufhängung.

Hängt an einer lotrechten elastischen Stange (Fig. 75) vom Querschnitt F, der Länge l in (spannungslosem Zustande) und dem Elastizitätsmaß E eine Masse m, so bewirkt

Fig. 75.

deren Gewicht mg eine Gleichgewichtsver-längerung

I mg

Al =

(2. Teil, Aufl. 3, S. 5), während eine Verlängerung um x, verbunden mit einer gleichen Verschiebung des Punktes m aus der Lage A nach unten eine Spannkraft EF l x

hervorbringt. Die Kraft K entspricht also der GL 1 (S. 68); es ist A der Nullpunkt der veränderlichen Kraft. Für x — Al heben sich K und mg auf, daher ist e = Al

die Verschiebung der Gleichgewichtslage Al des Punktes von dem Nullpunkt A der Spannkraft. Wird also der elastisch aufgehängte Punkt m etwa durch einen Stoß oder Schlag derartig in Bewegung gesetzt, daß er mit einer lotrechten Geschwindigkeit c durch die Gleichgewichtslage A{ geht, so führt er Schwingungen um die Gleichgewichtslage aus, deren Dauer gleich der eines Pendels von einer Schwingungslänge = der Gleichgewichtsverlängerung Al\ d. h.

K=

m9s

<■'(

18)

K-

—-A_

»ifif \d

")“V

j Al

____L____Ÿ_

t, = n y ■— ; ferner a

I 9

19)

"‘Uv

Ob die Schwingungslänge 2 a groß oder klein, hat auf tL keinen Einfluß, sofern nur die Gleichung für die Spannkraft

Beginnt die Bewegung hei A, dem spannungslosen Zustande der Stange entsprechend, so geht die Masse m mit der Geschwindigkeit c = 1^0,2 • 981 = 14 cm/s

-durch die Gleichgewichtslage Ax.

EF

x gültig bleibt; es darf also der Stab nicht über die'

Proportionalitätsgrenze verlängert werden; auch darf der Stab bei der Aufvvärtsbewegung sieb nicht ausbiegen. Solange die halbe Schwingungsweite a<Al ist, wird der Stab nur Zugkräfte auszuhalten haben. Ist aber gerade a — Al, so fällt die höchste Lage des Punktes m mit A zusammen, wobei der Stab eben spannungslos wird.

Dieser Fall tritt ein, wenn die Masse m mit der spannungslosen Stange verbunden und plötzlich losgelassen wird. Dann hat m zu Anfang die Geschwindigkeit Null, die Beschleunigung g nach •unten. Es fällt die obere Grenzlage des Punktes mit A zusammen, während die andere Grenzlage C um 2 a = 2-Al tiefer liegt. Der Massenpunkt geht mit der Geschwindigkeit

c — V~A l • g

20)

durch die Gleichgewichtslage Al. Die stärkste Verlängerung des •Stabes beträgt 2 • A Z, d. h. das Doppelte der Gleichgewichts-Verlängerung, die stärkste Spannung also auch das Doppelte derjenigen Spannung, welche entstehen würde, wenn die Masse m ruhend an der Stange hinge (vgl. 2. Teil, Aufl. 3, S. 114).

Die Messung der Schwingungsdauer ti kann zur Bestimmung des Elastizitätsmaßes E benutzt werden. Denn es ist (Gl. 19)

l mg

Al

•2 ’

also

21)

ti² mg • l

tr gF •

Beispiel 2: Für einen Stahlstab sei j57 = 2 500 000 ał ; F,= l<ïcm; I = 5 m = 500 cm; mg = 1000 ks. Dann ist die Gleichgewichtsspannung <7q = 1000 at, die entsprechende Verlängerung

1000 • 500 2 500 000

Die Schwingungsdauer entspricht einer PendelläDge == 0,2

g = 981 cm/s.²

Al =

= 0,2 cm.

cm

und beträgt mit

*i =

-V

0,2

981    22

L Sekunden.

Querschwingungen. Annähernd gelten die Gl. 15—17 auch wenn ein leichter elastischer Stab durch die daran befestigte Masse m nach Fig. 76 in Biegungsspannungen versetzt wird, weil innerhalb der Elastizitätsgrenze die Durchbiegung verhältnisgleich mit der biegenden Kraft wächst. Die Lage A entspricht dem spannungslosen Zustande des Stabes. Die Gleichgewichtslage Ai befindet sich um das Maß der einer Last mg zugehörigen Durchbiegung mg • l³

Yej 1 e

Fig. 76.

22)

>,

!<-

.i...

->i

®T

(2. Teil, Aufl. 3, S. 46, Gl. 7) tiefer als A, wenn l die Länge des Stabes, J das Trägheitsmoment seines Querschnitts. Die Schwingungsdauer entspricht einer Pendellänge /.

Kommt die Masse etwa durch einen nach unten gerichteten Schlag aus der Gleichgewichtslage, so ist die halbe Schwingungsweite a nach Gl. 17 von der dem Massenpunkte durch den -Schlag erteilten Geschwindigkeit c abhängig. Wird nun der Schlag nach einer oder nach mehreren Doppelschwingungen, d. h. in Zwischenzeiten 2 tx, 4 tx oder allgemein 2ntx wiederholt (worin n eine Ganzzahl bedeutet), so entsteht dadurch jedesmal eine Vergrößerung der Geschwindigkeit c und infolgedessen auch der stärksten Durchbiegung und Spannung. Solche Wiederholung von Schlägen oder Stößen kann also einen in elastischen Schwingungen befindlichen Stab zum Bruche führen. Aus diesem Grunde können Brückenträger, für welche die Dauer einer einfachen Schwingung tx beträgt, gefährdet werden, wenn Menschen in gebundenem Schritt über die Brücke marschieren und die Dauer eines Schrittes ein ganzes Vielfaches von 2tj beträgt. Auch die Stöße eines Eisenbahnzuges erfolgen in einem gewissen Takte; daher spricht man von einer „kritischen'¹ Geschwindigkeit eines Zuges in bezug auf eine Brücke. Wiederholen sich aber die Stöße in der Zwischenzeit tx, der Dauer einer einfachen Schwingung, so hebt jeder zweite Stoß die Wirkung des ersten wieder auf, so daß gefährliche Schwingungen weniger leicht zu erwarten sind.

b) Lotrechte Schwingung schwimmender Körper.

Ein prismatischer Stab von dem Querschnitt F und der Länge d (Fig. 77) sei am unteren Ende derartig beschwert, daß er, um die

Länge h in Wasser eingetaucht, in lotrechter Schwimmlage im Gleichgewicht ist. Dann heben sich an dem Stabe das Gewicht mg und der Auftrieb A=yFli (vgl. 2. Teil, Aufl. 3, S. 196) auf, wenn y das Gewicht der Kubikeinheit des Wassers. Beträgt die eingetauchte Länge des Stabes x, so hat der Auftrieb die Größe K= y • F• x, ist also eine mit der Tiefe x des unteren Stabendes unter dem Wasserspiegel verhältnisgleiche Kraft. Unter Vernachlässigung der Bewegungswiderstände des Stabes im Wasser kann mau die Sätze S. 73 auf die Bewegung des Stabschwerpunktes anwenden.

Wenn das untere Ende des Stabes den Wasserspiegel eben berührt, befindet sich der Stabschwerpunkt in der Lage, die dem Werte Null der Kraft K entspricht. Ruhig schwimmend, liegt der Stab um h tiefer als in der eben genannten Lage für K= 0; es ist daher die S. 73 eingeführte Größe e hier

23)

e = h.

Pig. 78.

Wird der Stab durch einen leichten Stoß aus der Ruhelage gebracht, so schwingt er um die Gleichgewichtslage als Mitte, und die Dauer einer einfachen Schwingung entspricht einer Pendellänge, gleich der Eintauchungstiefe h im Ruhezustände. Es darf nur die Bewegung nicht so bedeutend sein, daß der Stab ganz unter Wasser oder ganz aus dem Wasser komme, denn in beiden Fällen verschwindet die Veränderlichkeit des Auftriebes K.

TT

Obige Betrachtungen bleiben auch gültig, wenn der eingetauchte Körper nicht prismatisch ist; es muß nur derjenige Teil des schwimmenden Körpers, der bei der Schwingung durch die Wasserspiegelebene hindurchgeht, eine lotrechtes Prisma von dem wagerechten Querschnitt F sein. Nennt man V den eingetauchten Rauminhalt des Körpers im Ruhezustände, so daß

so vergrößert sich infolge einer Vermehrung der Eintauchung-um ^ der Auftrieb um yFz. Dies ist also die Kraft, welche den Körper in die Gleichgewichtslage zurückzuführen strebt und ihm eine Beschleunigung

yFz

= — k²z

(Gl. 14) erteilt. Dann ist

]c<i^yF_yFg ₌ yFg mg y V

und

(nach Gl. 24), mithin

25)

ll V

<'=¥="r^-

Die Schwingungslänge wird also nach Gl. 16 hier allgemein 26) anstatt des besonderen Wertes h bei prismatischen Körpern.

c) Eintauchen eines ins Wasser fallenden lotrechten Stabes.

Fig. 79.

nv

Läßt man einen prismatischen Stab vom Querschnitt F\ der Länge d, dem Gewichte mg, dessen unteres Ende zu Anfang um hx über Wasser liegt, hinabfallen (Fig. 79), so kann die Tiefe y, bis zu welcher er überhaupt einsinkt, am einfachsten mittels des Satzes vom Arbeitsvermögen (1. Teil, Aufl. 4, S. 315) berechnet werden.

Jl

_„Y_

Längs des Weges hx erfolgt eine gleichförmig beschleunigte Fallbewegung, längs des weiteren Weges y eine Bewegung unter Einwirkung eines veränderlichen Auftriebs, d. h. nach den auf S. 68 u. ff. gegebenen Regeln, und schließlich ist die Aufwärtsbewegung der Abwärtsbewegung symmetrisch. Bei der Berechnung der Arbeit braucht man aber auf die Einzelheiten der Bewegung nicht einzugehen. Einer Eintauchung y entspricht

ein Auftrieb K—yFy, und die Arbeit dieser veränderlichen Kraft beträgt bis zu einer Eintauchung y:

27)

31 = - f.Kdy = - V² y Fy\ Jo

Da nun in der höchsten und in der tiefsten Lage die Geschwindigkeit des Stabes Null ist, so muß die Gesamtarbeit der Schwere und des Auftriebs auch Null sein, daher

mg (Äj + y) = x/%yFy\

Bezeichnet man wieder die Eintauchungstiefe im Gleichgewichte mit h, so ist

mg — y • F-h und 2A(A, +y) — y²‘, dies gibt

28)

von den doppelten Vorzeichen ist hier nur das Zeichen + verwendbar. Diese Gleichung ist aber nur gültig, solange ySd bleibt, weil für 3/ > d der Auftrieb nicht mehr veränderlich sein würde. Demnach muß die Höhe des freien Falles

29)

(n-b

sein. Dies ist nur möglich für dz>2h. Hierbei sind freilich die Bewegungswiderstände und der Arbeitsverlust beim Aufschlagen auf das Wasser vernachlässigt.

dann muß

Beispiel 3: Es sei d = 1«", die Gleichgewichtseintauchung 7* = 0,4™,

7*i

•H

, d. h. 7*j

0,25 m

sein. Läßt man nun den Stab aus der Höhe hl = 0,2m fallen, so beträgt die stärkste Eintauchung

2. Fall eines Massenpunktes aus sehr großer Höhe ohne Rücksicht auf den Luftwiderstand.

Fällt der Massenpunkt aus so großer Höhe, daß die Fallbeschleunigung nicht mehr als konstant angesehen werden kann, so hat man für dieselbe

1)

r2

Fig. 80.

9m 9 (a-*)²

zu setzen (1. Teil, Aufl. 4, S. 61), wenn g die Fallbeschleunigung = 9,si an der Erdoberfläche, r der Erdhalbmesser, a — «a? die augenblickliche Entfernung des Massenpunktes von dem Erdmittelpunkte C (Fig. 80). (Der Kreis im unteren Teile der Figur soll die Erde andeuten.) Die Bewegung beginne bei A in der Höhe h über der Erdoberfläche, im Abstand a — liĄ-r vom Mittelpunkte der Erde, mit der Geschwindigkeit Null. Nach t Sekunden habe der Punkt x Meter zurückgelegt, habe die Geschwindigkeit v und befinde sich bei P; dann ist nach Gl. 1

7TT~

i)T

±___a4(

)B

r,

jL

fick

dv

__ gr¹ .

dt•    (a — x)~

dies gibt, mit vdt = dx multipliziert:

v dv = g r²

dx

(a—x)²

= —gr²

d{a — x)

(a—x)² ’ .

mithin ist und wegen v = 0 für x = 0:

0 - ⁹-^- + <7, also

v²

und

~) = 2    —T~ ,

al    a[a — x )

2)

v = r)j

a (a — x)'

GC

Für cc = h, a = r + h und a — x — r wird v zur Endgeschwindigkeit v,, mit der der Punkt bei B an der Erdoberfläche anlangt, nämlich

3)

vi

= r\l

2g h

2 gh

(■r + h) r

Hieraus ist zu ersehen, daß man, sobald die Fallhöhe h gegen den Erdhalbmesser klein ist, vx =V~2gli setzen darf. Bemerkenswert ist ferner, daß man, ebenso wie heim barometrischen Höhenmessen (2. Teil, Aufl. 3, S. 226), in der für konstante Fallbeschleunigung

ersetzen

gültigen Formel vx = Y2gh die Fallhöhe h durch ——

1 +

muß, um den für veränderliche Fallbeschleunigung gültigen Wert zu erhalten.

Für h — r entsteht aus Gl. 3

Y g r.

Die gleiche Geschwindigkeit würde sich auch ergeben, wenn der Massenpunkt die Strecke BC—r (Fig. 81) im Innern der homogen gedachten Erde zurücklegte (siehe S. 72, Gl. 11). Daraus folgt, daß auch die Arbeiten der Schwerkraft längs dieser beiden Wege AB und BG gleich sein müssen. Die auf die Masseneinheit entfallende Schwerkraftarbeit ist aber offenbar Sgx-dx, d. h. gleich der n der durchfallenen Höhe entsprechenden Fläche derjenigen Kurve, welche das veränderliche darstcllt. Für das Innere der Erde ist nach dem 1. Teile, Aufl. 4,

S. 61 die Darstellung von gx eine Gerade CB mit B D = g = 9,81, für die Bewegung außerhalb der Erde eine hyperbelartige Kurve DE mit A E = V⁴ <7- Mithin muß

Keck -Hotopp, Mechanik. III. 2. Aufl.

4)

Fig. 81.

/Mmmmm.

(Jæ

's.,

B CD = ABD E, also auch A BI) E = A B D = y₂g r sein. Die Nachrechnung⁻ ergibt auch mit gx —

g r'²

(a — x)²

und a — 2r

5)

= V

\gxdx =

•J x = 0

gr

Schreibt man Gl. 3 in der Form

6)

2g kr r + h

2gr_

= oc :

'S

so erhält man für Fallhöhen A, gegen die selbst der Erdhalbmesser v vernachlässigt werden darf, d. h. für

7)

v i = V%gr.

D-. h. wenn ein Punkt nach dem allgemeinen Gesetze der Massenanziehung (1. Teil, And. 4, S. 59) aus unendlicher Ferne von der Erde angezogen wird, so ist seine Geschwindigkeit an der Erdoberfläche dieselbe, als ob er mit konstanter Fallbeschleunigung g eine Höhe, gleich dem Erdhalbmesser r, durchfallen hätte. Die Gesamtfläche der bis ins Unendliche über E (Fig. 81) hinaus fortgesetzten Linie DE der Fallbeschleunigung muß daher = gr sein.

Die zur Fallbewegung erforderliche Zeit ergibt sich, wenn man in Gl. 2 v = dx:dt setzt und schreibt

dt

■Vsfpf-F-'"-

Bei der Integration von Ausdrücken dieser Art muß man aus dem Zähler ein etwaiges Wurzelzeichen zu beseitigen suchen; daher multipliziere man Zähler und Nenner mit Va — x, um zu erhalten

-u

a — x ,

——ö ,—.....■-==■ ax.

łgrŁ Vax — xr

Weil nun cl (ax — x²) = (a — 2x) dx = 2    —■ xj dx,

+ und ordne

dt

so vertausche man im Zähler a mit

8)

dt—

~\f a ( ^2a j 2gr² I Vax

x    a

^.dX + 9

dx

x² )

D;)s Integral des ersten Summanden in der Klammer ist Vax — x²; um den zweiten Summanden auf eine der Grundformeln zurückzuführen, setze man vorübergehend x = b—y mit dx = — dy; dann wird

— x¹ = V a b

— ay — b-Ą- 2by y'².

Man bestimmt nun die bis jetzt willkürliche Größe b so, daß unter dem Wurzelzeichen die Glieder mit der ersten Potenz von y verschwinden, also 2b = a, d. h. b — ¹/za werde; dann wird

dx

dy

— x¹    Vab — b-—y²

dy

dy

‘(b)

to s

to

= d (arc cos

— 2x

, l    a

= d I arc cos —

Hiernach liefert die Integration der Gl. 8:

9)

-H?, !>'

ax — x² + g arc cos

Eine Integrationskonstante braucht nicht mehr liinzugefügt zu werden, weil für x = 0 richtig

-fc(°+fai'c cos x)

= 0 entsteht.

Gl. 9 ist nach x nicht auflösbar, doch läßt sich der Klammerausdruck der rechten Seite leicht mittels einer Zykloide darstellen. Läßt man (Fig. 82) einen Kreis vom Durchmesser a auf der Geraden JC rollen und von einem Punkt des Umfanges die Zykloide JA erzeugen und zieht in einer Tiefe All — x unter dem Scheitelpunkt der Zykloide eine Parallele zu so ist HF — V x (a — x) = Va x — x².

Fig. 82.

ir

aj

Ferner ist

cos HKF = cos d =

Y2 a — x

Y2 a

mithin der Kreisbogen

. n a

, AA — — arc cos

u

« — 2x

Macht man also AD—A F und zeichnet den Halbkreis DGF,

so ist LG = 1IF, HL = AD HG = Ÿ

A F, mithin

a — 2x

— x² -\- arc cos

u

Für a = 2r und x = r, d. h. für den Fall aus der Höhe r über der Erdoberfläche his zu dieser, ist eine Zeit erforderlich

— r- + r arc cos 0

Vg r

während der Fall von der Oberfläche bis zum Mittelpunkte der Erde nach Gl. 12, S. 72 nur die Zeit

3Ti/ r

2 F 7

in Anspruch nehmen würde. Der Unterschied erklärt sich dadurch^ daß in dem jetzt vorliegenden Falle die Beschleunigung zu Anfang nur den geringen Wert Y⁴.^ daß daher die Geschwindigkeit nur langsam zunimmt, während in dem auf S. 71/72 behandelten Falle die Bewegung mit der Maximalbeschleunigung g beginnt.

Einen noch klareren Einblick in diese Verhältnisse gewinnt man, wenn man für jede der hier in Vergleich stehenden Bewegungen die Geschwindigkeitskurve (nach 1. Teil, Aufl. 4, S. 10) aufzeichnet, d. h. zu den Zeiten als Abszissen die Geschwindigkeiten als Ordinaten aufträgt.

Für die außerhalb der Erde von A nach B (Fig. 81) verlaufende Bewegung fehlt es allerdings an einer unmittelbaren Beziehung zwischen v und t\ führt man aber die Wegeslängen x als Hilfsgrößen ein, so kann man mittels Gl. 2 das entsprechende v und nach Gl. 9 das zugehörige t ermitteln, wobei zur Erleichterung der Berechnung noch die Fig. 82 benutzt werden kann.

So entspricht beispielsweise x — 0,i r, wenn man dies in Gl. 9 einführt

und gleichzeitig a — 2 r setzt, t = 0,887

Gl. 2 aber liefert mit den

GH = Vg-r FU

CM

Da nun die Fallbeschleunigung in der Höhe r über der Erdoberfläche 74 g an der Erdoberfläche g beträgt, so muß tg « = V⁴ tg «! sein, wenn a und <7 die Neigungswinkel der Kurve bei F und G bedeuten.

Für die Bewegung im Inneren der Erde von B nach C (Fig. 81) gilt, wenn man von der Stelle B aus die Wege und Zeiten mißt, ein Bewegungsgesetz von etwas anderer Form als Gl. 5, S. 69. Es würde nämlich jetzt in

cos —

Fig. 71, S. 70 BQ = ct und B P = x = r (l c — Ÿg ‘ r, x = r[l — cos t j/^-j ; und das Geschwindigkeitsgesetz:

J/f '

gleichen Werten für a und x v = 0,229 Y~gr. bestimmen einen Punkt der Geschwindigkeitskurve, und in gleicher Weise findet man eine beliebige Zahl anderer;

wählt man für

Diese Koordinaten t und v

J'5

das Maß

Fig. 83.

''G

2 CU1, für]Agr ebenfalls das Maß 2 cm, so ergibt sich die Ge-scliAvindigkeitskurve Fig. 83. Die Beschleunigung erscheint nach 1. Teil, Aufl 4. S. 15 als das An-steigungsverhältuis der Gesclnvindigkeitskurve; es ist

■à G

\ce

aj

v = V g ■ r sin t

Setzt mau hierin beispielsweise t = 0,i

/t

so wird v = ) x g ■ r sin 0,i.

Der Bogengröße 0,i entspricht die Gradzahl 5,73 oder rund 5° 44' und der Sinus 0,0999, womit genau genug sin 0,i = 0,i und v = 0,i g ■ r gefunden ist. In dieser Weise ergeben sich die Koordinaten der Geschwindigkeitskurve JK (Fig. 84), welche einen Teil einer Sinuslinie bildet. Es ist KL = V'g - r ,

Fig 84.

JL =

TZ

ij-

------QK

S’ Vh

Das Ansteigungsverhältnis der Kurve JK an der Stelle J ist tg a,, d. h. von derselben Größe Avie tg a, in Fig 83. Da nach 1. Teil,

S. 11 der Inhalt der Gesclnvindigkeitskurve die Wegeslänge bezeichnet, und diese in beiden Fällen = r ist, so müssen die Flächen FGH und JKL einander gleich

J°‘

«1

sein. Die Figur F GII läßt sich in ein Rechteck von der Breite 2,57 "j/ und der Höhe 0,39 \rg ■ r verwandeln, was der Fläche —r entspricht; die

Figur JKL ebenso in ein Rechteck von der Breite 1,57 J/ 0,641 rg-r.

und der Höhe

3. Bewegung unter alleiniger Einwirkung eines Flüssigkeitswiderstandes.

Wird ein schwimmender Körper mit einer Geschwindigkeit c in Bewegung gesetzt und sodann der alleinigen Einwirkung des Wasser- und Luftwiderstandes überlassen, so wird er, weil der Auftrieb der Schwerkraft das Gleichgewicht hält, eine verzögerte Bewegung in wagerechter gerader Linie ausführen. Man kann den Elüssigkeitswiderstand W mit dem Quadrate der veränderlichen Geschwindigkeit v verhältnisgleich annehmen, also setzen

1)

W — Av².

Es empfiehlt sich nun, zur Abkürzung der Ergebnisse eine Geschwindigkeit k einzuführen, bei welcher der Körper oder Massenpunkt m einen Widerstand, gleich seinem Gewichte mg, erfährt. Dann wird aus GL 1 :

mg — Ak²,

woraus durch Verbindung mit Gl. 1

2)

v²

k²

entsteht. Hiernach wird die Beschleunigung

dv

v²

dt

⁹ k²

oder

dt — —

k² dy_ g v²

A I çs-j

, mithin

+ G;

weil für t — 0, v — c war, so muß

k'² 1

0 =----j- C sein ;

ff c

also folgt (durch Abziehen)

4)

ff \v

und hieraus

5)

ff

1 -)--C ’ t

Je'²

Setzt man v =

, und verwandelt c- dt in

, so wird

dx —

ff_

Je'²

also

Je'²

6)

a, = 7l(1 + Fc-<)-

(Die Iiitegrationskonstantc verschwindet hier, weil für t = 0 auch x — 0 wird.) Weil nach Gl. 5

Je²

C't — —

so kann man durch Einsetzung dieses Wertes in Gl. 6 eine unmittelbare Beziehung zwischen Geschwindigkeit v und Länge x erhalten, nämlich

7)

ff

oder v — c • e

9

- 77 X

k²

Nach diesen Ergebnissen ist die Bewegung des schwimmenden Körpers weder der Zeit noch dem Orte nach begrenzt. Es wird v erst zu Null für t — oo (Gl. 5) und für æ=qo (Gl. 7). Ein einmal in Bewegung gesetzter schwimmender Körper wird also, wenn der Widerstand genau proportional dem Quadrate der Geschwindigkeit (Gl. 2) und die Wasserfläche unbegrenzt ist, niemals und nirgends zur

Iiuhe kommen.

Er würde, wenn keine Störungen eintreten, das

ganze Weltmeer durchschwimmen. In Wirklichkeit dürfte dies nicht zutreffen, weil der Widerstand des Wassers der Gl. 2 nicht genau entspricht, weil das Wasser eine gewisse Klebrigkeit hat, die den Widerstand, nachdem die Geschwindigkeit sehr klein geworden ist, erheblich beeinflussen kann, weil endlich Luft und Wasser nie ganz ruhig bleiben.

Beispiel: Ergibt ein Schiff von mg = 3000 t = 3 000000 kg Gewicht bei einer Geschwindigkeit von 7 m/s. einen Widerstand von 15000 kg, so ist nach Gl. 2

3000

k² =    V., — —• 49 = 9800, d. h.

W -    15

Je rund = 100 m.

Erteilte man nun dem Schiff eine Anfangsgeschwindigkeit c — 10 m/s., so würde ohne weitere Triebkraft zur Zurücklegung einer Strecke von 1000m eine Zeit erforderlich sein, die aus Gl. 6 (mit g — 10)

1000 =

10«)

10000

10

i (l 4-

10

10 000

gefunden werden kann. Es müßte

1, oder

¹ l1 + löö) ~

1 + jqq = e = 2,7183, also

t = 172»- betragen.

Das Schiff hat in diesem Augenblicke noch eine Geschwindigkeit (nach Gl. 5)

10

10

1 + 0,oi t

= 3,68 m/g..

2,72

Von der Arbeit, welche nötig war, um dem Schiffe die Anfangsgeschwindigkeit zu erteilen, nämlich

3000000-

c²

2$r

= 15000000 mkg,

sind noch

mg . A = rund 2 030000 mk*,

d. h. 13,5°/o vorhanden, 86,5°/'o durch den Wasserwiderstand aufgezehrt.

Nach einer Stunde (« = 3600) würde v — 0,27in/₈., x = 3611 betragen;

nach 2 Stunden: v = 0,i37m/s., a; = 4290in;

nach 10 Stunden: v — 0,0377m/s., x — 5889m.

4. Lotrechte Wurf- und Fallbewegung in einem widerstehenden Mittel (Luft oder Wasser),

a) Steigen.

Fig. 85.

Wird der Massenpunkt m bei A (Fig. 85) mit der Geschwindigkeit c lotrecht aufwärts geworfen und wirken auf ihn die Schwere mg und der Widerstand W eines Mittels (etwa der Luft) verzögernd, so mag er nach t Sekunden einen Weg AP — x zurückgelegt und die Geschwindigkeit v erhalten haben. Führt man, wie Gl. 2, S. 86, den Widerstand in der Form

W= m9 ki ein, so wird die Beschleunigung

1)

rti

2)

's

mg

q--

J m

Hieraus erhält man die Beziehung zwischen Ge- c schwindigkeit und Zeit, indem man die Veränderlichen — trennt, nämlich schreibt:

-H---

g - dt—

dv

s- «

ft- 'S

y² ’

k¹

so daß entsteht

— k arc tg — + G. k

Weil v—c war für t= 0, so muß ferner sein

0 = — k arc tg ~ + G, k

also nach Entfernung von C mittels Abziehens der letzten Gleichung von der vorhergehenden

3)

-avcigl).

Will mau die Zeit t wissen, nach welcher die aufwärts gerichtete Geschwindigkeit v zu Null geworden ist, so setze man v — 0 in Gl. 3 ein und erhält dadurch die

4)

k

Steigdauer #i = — arc tg

Zur Ermittelung der Steighöhe ist es am einfachsten, x als f{v) zu entwickeln. Zu dem Zwecke multipliziere man Gl. 2 mit vdt= dx; dann wird

cs

■ ol io

= — .7 (l + 'Jda,

oder nach Trennung der Veränderlichen

dx — —

Je²

v • d v

Li    —:

Je¹

v²

, also

1 +TW

Je²

Weil x— 0 für v = c, so wird

Jc²

11 +

c²

und

5)

Ä:² . /fc² + c²\ A’_ 2ÿ ¹ W- + +7 '

WiH man die Höhe x = Jt wissen, bei welcher die Geschwindigkeit zu Null geworden ist, so setze man v = 0 in Gl. 5 ein, und erhält die

6)

k-

Steighölie h — ^

l(‘ +7p)-

Eine unmittelbare Beziehung zwischen x und t ist nicht sehr bequem, kann aber in folgender Weise aus Gl 3 erhalten werden:

Man setze

arc tg +- = ol, also

und

dx- j,g

y‘+-T ) +

Je ) '

Nun ist

Jt gxdx =

sin x

j cos x

dx = —

( d (cos x) ¹ cos x

— — l (cos x), daher

k² I ( qt

X — — t COS OL — '

Je² |

+ C = — l ! cos ol • cos

gt

+ sin öl • sin

!Jt\

+ C,

k²

— I (cos ol) -f C, 9

also

'S» i *5

I ;cos

r + tg« sin

<ß\

und, weil

VI

?f|

o

CO

?y|

.S

in

b) Fallen.

Nachdem die Höhe h erstiegen wurde, beginnt das Fallen mit der Beschleunigung <7, die aber mit wachsender Geschwindigkeit durch den Widerstand des Mittels vermindert wird.

Nach t Sekunden sei die Höhe x durchfallon (Fig. 86), die Geschwindigkeit v geworden, dann ist die Beschleunigung

Fig. 86.

8)

SC

v-

Es möge zunächst die Geschwindigkeit vy berechnet werden, mit der der Massenpunkt unten bei A wieder anlangt. Zu diesem Zwecke multipliziere man Gl. 8 mit vdt— dx\

kV '

“8----H

4*-*-

m₃

vdv=Ąi~A

dx

IO

und schreibe

ft* «2

sc

s- «

2g

woraus entsteht:

(■-3-

da (wegen #=0; v = 0) die Konstante zu Null wird. Hieraus folgt für x — h und v — vl:

9)

1C

h oder

10)

k [l-e

k²

Einfacher führt man vx auf die Geschwindigkeit c des Aufwurfes an derselben Stelle A zurück, indem man aus Gl. G und 9 die Höhe h entfernt, und erhält

11)

">-F-

111 -f-

c²

k²

oder

i’i²

6’²

1+7Ö

k²

, mithin

c²'

d. h. v{ < c.

y¹+

Um nun die Falldauer zu erhalten, schreibe man Gl. 8:

dv

k²

kr — v ² ’

so daß

k²

dv

g J k² — v²

-f- O wird.

Behufs der Integration bedenke man, daß

k² — v²

Ak — AvA- Bk + Bv

k + v k — v

geschrieben werden kann, worin, damit

(A + B) k — (A - B) v = 1 werde (für jeden beliebigen Wert von v),.

A = B und 2Ak= 1

k² — v²

sein muß. Hiermit wird

C dv

)k² — v²    2 k J kv ' 2 k.)k — v

dv

dv

l (k + v) —

l (k — v), also

12)

k , fk + v\

2 g \k — v! ’

indem 0=0 wird, weil y=0 richtig £ = 0 liefert. — Setzt man nun v—i\^ so wird aus t die Falldauer U, d. h.

ik -f 1*0

\k - vj *

Aus Gl. 11 ergibt sich aber

Je + Vy

(c + Ÿ c² + k²)²

Je — vx

Je¹

, mitbin

c +■ V C- + Je-

Je

die Einsetzung dieses Wertes in Gl. 13 liefert:

14)

Je . (c + Vc² + Jc²\

<2 = 7l(-k—j;

hiermit ist die Falldauer unmittelbar auf gegebene Größen zu rückgeführt.

Die unmittelbare Beziehung zwischen x und t wird wieder etwas umständlich. Gl. 12 läßt sich schreiben

1Ł

Je -f- v = (Je — v) e k ,

woraus sich ergibt:

3t

-3t

dx

ek

V - ~=~

dt

3t

_ 3 ek + e k

dx —

k:¹ ek

_ A.

— e,

9 3.

ek

da nun der Zähler die Abgeleitete des Nenners darstellt, so ist

x _ k* 11 y

X~T Ie

Weil t = 0 auch x — 0 geben muß, so wird

Tl2 + 0"

daher durch Abziehen

3t

_ 9_

15)

ek

Die Beschleunigung der Abwärtsbewegung würde zu Null werden, wenn die Geschwindigkeit v den Wert Je erreichte, weil für diesen Fall der Widerstand W = mg werden würde (Fig. 87). Erteilt man also dem Massenpunkt in dem Sinne abwärts die Geschwindigkeit Ä-, so führt er eine gleichmäßige Bewegung aus. Daher wollen wir Je die Gleich ge Wichtsgeschwindigkeit nennen. Bei der

mit der Geschwindigkeit Null beginnenden Fallbewegung kann die Geschwindigkeit v nach Gl. 12 den Weit k aber erst nach unendlich langer Zeit erreichen, denn v = k gibt in dieser Gl. t—oo. Die mit einer Geschwindigkeit, kleiner als k, Big- 87. beginnende Fallbewegung nähert sich daher asymptotisch der gleichförmigen Bewegung mit der Geschwindigkeit k.

rrt,

Bei sehr großer Fallhöhe kann annähernd die Endgeschwindigkeit vx = k gesetzt werden. Erteilt man dem Punkt im Sinne abwärts eine Geschwindigkeit > Ar, so ist seine Bewegung eine verzögerte, nähert sich aber mit abnehmender Geschwindigkeit, und zwar ebenfalls asymptotisch, wie man leicht findet, der gleichförmigen Bewegung mit der Geschwindigkeit k-

k²

herab-

2.9

Läßt man den Massenpunkt von einer Höhe h =

fallen, so würde er ohne Wirkung des Luftwiderstandes eine Endgeschwindigkeit k erhalten. Mit Berücksichtigung des Luftwiderstandes aber wird nach Gl. 10:

16)

v\

= 0,795 k

oder rund 0,8 k.

c) Bestimmung der Gleidigewichtsgeschwindigkeit k.

1st y das Gewicht von lcbm des widerstehenden Mittels: F der größte Querschnitt des Körpers, rechtwinklig zur Bewegungsrichtung genommen; V der Bauminhalt, y] V das Gewicht des Körpers; g eine von der Form und Oberfiächenbeschaffenheit des Körpers abhängige Widerstandsziffer, so wird nach 2. Teil, Aufi. 3, S. 369, Gl. 3

c²

W=gyF

daher, nach Gl. 1 (S. 89', für v = k:

k²

un fi —y i V= gy F jr-

also

17)

k² _ y, V Jl 2 a ~ y F

n 11 cl

Cr r

Setzt man firn kugelförmige Körper vom Halbmesser r £ — 0,5; V= ⁴/3r%; F=r²Jt, so entsteht k'² y y

— ----T

18)

2g

und

k- = 52,32 yL r .

Für Gußeisenkugeln (/, = 7200) in Luft (y = 1,29) wird

19)

2g

= 14 884 r und k² = 292 014 r.

Für Wassertropfen oder Eiskugeln (yy — 1000) in Luft (y — 1,29)

20)

k²

~ = 2067 r und k² = 40 561 r.

2g

Für Gußei s en kugeln (yx = 7200) in Wasser (y — 1000) darf der Auftrieb yV des Wassers nicht vernachlässigt werden, oder es kommt bei der Berechnung der Gleichgewichtsgeschwindigkeit k nur das scheinbare Gewicht der Kugel in bezug auf Wasser (}\—y)V (s. 2. Teil, Aufl. 3, S. 198) in Frage; d. b.

(y\ y) v—y ç F

2g

oder

Dies gibt:

21)

k² _yx—y V 1

2g

k²

= 6,2-

co ;co

und k² =

Y\ —y V 2g

y F S ■

r= 16,5r und fc²= 324r.

Beispiel 1: Eine Gußeisenkugel von r = O 04™ Halbmesser werde mit einer Geschwindigkeit c = 500™/s. lotrecht aufwärts geschlossen. Es sollen h, tx, v, und t., berechnet werden.

Zunächst ist nach Gl. 19

— = 14 884 • 0,04 = 595;    k² = 292 014 • 0,o4 = 11681 und k = 108 ™;

-■=11.

Dann wird die Steigdauer (Gl. 4)

tx — 11 • arc tg 4,03 = 11 ■ arc 77° 49' = 11 • 1,3582 = 14,9 s.

ohne Luftwiderstand).

(gegen

500

— = 51 b.

Die Steighöhe (Gl. 6)

h = 595 l (1 + 4,03²) = 5 95 • 3,o9o = 1839™

(gegen

2 <7

= 12 742™

ohne Luftwiderstand).

Die Aufschlaggeschwindigkeit unten (Gl. 11)

= 105,5,

500

¹ y i+21,44

mithin nur wenig kleiner als k = 108 (gegen c = 500 ohne Luftwiderstand). Die Falldauer (Gl. 13)

,    11, /108 + 105,rA    .

2¹ -⁶'s• ⁴',,s’"²⁴''"•

also selbstverständlich t₂ > t₁ (gegen 51 s. ohne Luftwiderstand).

Bei geringer Geschwindigkeit c ist die Wirkung des Luftwiderstandes unerheblich. Dieselbe Kugel mit k = 108 erreicht mit c = 21,«» Geschwindigkeit eine Höhe h = 23,3» (gegen 23,8m ohne Luftwiderstand).

Beispiel 2: Die aus großer Höhe herabfallenden Regentropfen, Schloßen, Hagelkörner u. dergl. bewegen sich in der Nähe des Erdbodens nahezu gleichförmig mit der Geschwindigkeit k. Nach Gl. 20 ist k verhältnisgleich mit Yr ; kleine Tropfen haben daher sehr geringe Geschwindigkeit, während dicke Tropfen mit größerer Geschwindigkeit auf den Boden schlagen. Für solche kann r — 2,r> »» = 0,oo25 » sein, dann wird

k²

— = 5,i« » und k — 10,i m.

Derartiger Regen hat also beim Aufschlagen eine Geschwindigkeitshöhe von nur 5,18», mag er aus noch so großer Höhe fallen.

Hagelkörner kommen vor von 0,o3m Halbmesser und 0,i kg Gewicht. Für diese ist die Geschwindigkeitshöhe

k²

— = 62 m,

die Geschwindigkeit k rund 35».

Die Schlagwirkung eines Hagelkorns ist nach dem Werte seines Arbeitsvermögens 72 m ■ k² zu beurteilen. Da nun m mit r" verhältnisgleich, k² aber mit r in gleichem Verhältnisse wächst, so ist die Schlagwirkung proportional mit der vierten Potenz von r. Ein Hagelkorn vom doppelten Durchmesser hat also die 16 fache Wirkung eines solchen mit einfachem Durchmesser.

Beispiel 3: Wie lange gebraucht eine Gußeisenkugel von r = 0,3m Halbmesser, um eine Meerestiefe von 8000» zu durchsinken. Wegen der großen Tiefe wird die Fallgeschwindigkeit bald dem Grenzwerte k sehr nahe kommen. Es ist (Gl. 21)

k¹ = 324 • 0,3 = 97,2, also k — 9,8«

und die Zeit, wegen nahezu gleichmäßiger Bewegung,

t., - 8000 : 9,8« =811«. = 13V2 »in..

d) Übergang zur widerstandslosen Bewegung.

Der einfache Fall, in welchem nur die Schwere wirkt, läßt sich aus den vorstehenden Untersuchungen ableiten. Soll nämlich der Widerstand W zu Null werden, so muß in Gl. 1 die für TU maßgebende Größe k = oo gesetzt werden. Dabei liefern dann die Gleichungen 3, 4, 5, 6, 7, 9 bis 14 Ergebnisse, die zunächst

in unbestimmten Formen oo • 0 und auftreten, aber nach den

Lehren der Ditferentialrechnung oder durch sonstige geeignete Umformung in die einfachen Gleichungen der gleichförmig beschleunigten Bewegung übergeführt werden können. Es möge dies beispielsweise an Gl. 4 durchgeführt werden:

Mit wachsendem k, also abnehmendem — verschwindet mehr

k

und mehr der Unterschied zwischen dem Bogen — und seiner

tC

c    c

Tangente, so daß arc tg — mit — vertauscht werden kann. Somit

tC    rC

wird aus Gl. 4: wie es sein muß.

Durch entsprechende Behandlung gehen die übrigen Gleichungen für k— oo über in :

c¹ — v²

2<7 ’

c²

ct

Gl. 6)

Gl. 7) x =

Vj²

Gl. 9)

^ - O ’

2 g

Gl. 10) V\ = YWh,

Gl. 11) v± — c,

Keck-Hotopp, Mechanik III. 2. Anfl.

Gl. 12)

cs.

CS

so

cs*

to

Gl. 13)

Gl. 14)

GL 15)

B. Freie krummlinige Bewegung* eines Massenpunktes.

Eine krummlinige Bewegung entsteht, wenn Kraftrichtung und Geschwindigkeitsrichtung nicht übereinstimmen.

Die Bewegung eines Punktes im Kaum ist bestimmt entweder durch die Bewegungen seiner Projektionen auf drei Achsen oder durch seinen Radiusvektor in bezug auf einen festen Punkt (vgl. S. 15 u. 21). Die Projektionsbewegungen nennt man auch die Seitenbewegungen der Gesamtbewegung. Ist R die auf den Massenpunkt wirkende Mittelkraft, p die Beschleunigung, also R—mp, sind X, Y und Z die Projektionen von R auf die drei Achsen oder die Seitenkräfte in der Richtung der Achsen, p*, py, pz die entsprechenden Beschleunigungen, d. h. die Projektionen von p auf die Achsen, so sind diese nach S. 19 zugleich die Beschleunigungen der drei Seiten- oder Projektionsbewegungen. D. h., wenn æ, y, z die veränderlichen Koordinaten des Punktes sind, ist '    d~ x    dvx    X

px dt²    dt

1)

Py~ dt²

d²y dvy

dt

P* =

d² z dvz dt²    dt

Für die Gesamtbewegung gilt ebenso in der Vektorenschreibweise

_ d²Z    dt) _ fH

dt²    dt m

Es liegt daan die Aufgabe vor, durch Integration aus den Gleichungen 1 die Gleichungen der Projektionsbewegungen x—f{t) usw. oder aus der Gl. 2 die Gleichuug der Gesamtbewegung g =/(/) zu entwickeln.

Zur Erleichterung der Ausführung der Rechnungen in bestimmten Fällen dienen einige allgemeine Sätze, bei deren Ableitung diejenigen Schritte ein für alle Mal gemacht werden, die man ohne diese Sätze in jedem besonderen Falle tun müßte.

1. Der Satz der Flächen.

Dieser Satz ist besonders nützlich für solche Bewegungen, bei denen die wirkende Kraft stets durch einen festen Punkt, das Zentrum O, hindurchgeht, und soll zunächst für diesen Sonderfall dargelegt werden.

Fig. 88.

Es ist leicht zu erkennen, daß eine solche Bewegung in einer ebenen Bahnlinie erfolgen muß, daß sie nicht aus der durch die Anfangsgeschwindigkeit c und das Zentrum O bestimmten Ebene E heraustreten kann. Da nämlich (Fig. 88) die Geschwindigkeit c und auch die Kraft AT, mithin auch die Elementarbeschleunigung p • dt in der Ebene E liegen, so wird die Geschwindigkeit nach einem Zeit- ^ teilchen, welche die geometrische Summe von c und sy P'dt ist, auch in der Ebene E liegen, und da dieser Vorgang sich für jedes weitere Zeitteilchen in gleicher ^

Fig. 89.

Weise abspielt, so bleibt die Geschwindigkeit v stets in der Ebene E. Man kann nun durch O zwei zueinander rechtwinklige, ebenfalls in der Ebene E liegende Achsen OZ und OY ziehen, dann bleibt die Bewegung gänzlich in der Ebene ZOY, und man bedarf der dritten Achse O Z gar nicht bei der Untersuchung solcher Bewegungen

il

Ist nun PQ (Fig. 89) ein unendlich kleines Bewegungsteilchen ds — v-dt und bezeichnet man den rechtwinkligen Abstand des Zentrums 0 von der Richtung der Geschwindigkeit v mit /*, so ist leicht einzusehen, daß v • h konstant sein muß.

Denn haben v und h zu Anfang die Werte v₀ und h₀, so ist v die Resultierende oder die geometrische Summe aus v₀ und den Elementarbeschleunigungen p-dt, welche während der Bewegung vom Anfänge bis zu der Stelle P durch die Kraft K geliefert wurden. Da nun nach Bd. I, Aufl. 4, S. 107 der Satz der Drehmomente auch für Geschwindigkeiten gilt und die Elementarbeschleunigungen sämtlich durch O gehen, also in bezug auf 0 das Moment Null haben, so muß

— v h = — v₀h₀ oder vh — v₀h₀ sein.

Zieht man nun die Fahrstrahlen OP und OQ, bezeichnet 2ÇP0Q mit d#, die Fläche POQ mit dF, so ist

dF —¹/i PQ - h — ¹/zv • dt - h — ¹l2v₀h₀‘ dt, mithin

d F

-jr — ¹/*v₀h₀, d. h. konstant.

Ct V

Setzt man v₀ h₀ = v ■ h — A, so wird

1)

dF A dt ~ 2

und d F = ^ d t,

d. li. in jedem Zeitteilchen dt wird von dem Fahrstrahl OP eine mit dt verhältnisgleiche Fläche dF beschrieben, folglich auch in gleichen endlichen Zeiten gleiche Flächen. Daher hat man den Satz:

Bei Bewegungen, bei denen die Kraft stets durch ein festes Zentrum geht, liegt die Bahnlinie in der durch das Zentrum und die Anfangsgeschwindigkeit bestimmten Ebene, und die von dem Zentrum nach dem beweglichen Massenpunkte gezogenen Fahrstrahlen beschreiben in gleichen Zeiten gleiche Flächen.

Fig. 90.

Die Fläche POQ kann mit Vernachlässigung der unendlich kleinen Größen höherer Ordnung

dF — ¹l%r¹ • dd geschrieben werden (Fig. 90). Will man diese Größe durch die rechtwinkligen Koordinaten æ und y des Punktes P ausdrücken, o so bedenke man, daß

2)

fr*

\&

'/>

r- = x¹ + y² und tg d =

Sä

, also d = arc tg

mithin

dû — d |arc tg 'j

x • dy— y • dæ

x²

X'dy—y'dx x² + y²

X²

3)

und r² dû —X'dy — y-dx wird.

4)

Im Anschluß an die Bezeichnung ds: dt — Geschwindigkeit und co — da : dt — Winkelgeschwindigkeit, nennt man dF : dt, d. h. die in der Zeiteinheit beschriebene Fahrstrahlfläche, dio Flächengeschwindigkeit. Eine Bewegung, bei der die Kraft stets durch ein festes Zentrum geht, erfolgt also mit gleichbleibender Flächengeschwindigkeit. Der analytische Ausdruck dafür ist dF    r² dû    1 X'dy — y-dx A

dt    2 dt    2

wenn A eine Konstante bedeutet.

Dieser Satz rührt schon von Newton her. Ein Sonderfall ist das erste Keplersche Gesetz (S. 127).

Der hier bewiesene Satz ergibt sich auch als Sonderfall einer aus dem Grundgesetz der Beschleunigung herzuleitenden allgemeinem Beziehung zwischen Kraft, Masse und Geschwindigkeit. Ist r der veränderliche Radiusvektor eines sich unter der Wirkung einer beliebigen Kraft $ bewegenden Massenpunktes m in bezug auf irgendeinen Festpunkt O, so erhält man aus der Grundgleichung der Beschleunigung in der Vektorenschreibweise durch Multiplikation mit r auf äußere Art

5)

m‘ dt X‘

Durch Differentiation des äußeren Produktes Vmb-r nach der Zeit erhält man

—- V m • t> •

₊ Y₀.£] = m[VÆB

— b ist.

[vdB

dt ‘r

dt ‘r

weil nach S. 22 mit § = x,

Da nun Yb-b als äußeres Produkt zweier gleichgerichteter Vektoren den Wert Null hat, so ist auch

4-t«.#. t=v

dt

dx

dt

6)

dt

m ’ ——- r,

Die linke Seite der Gl. 7 stellt das statische Moment der Kraft ^ in bezug auf den Festpunkt O dar; auf der rechten Seite ist der Vektor Vm-b die sogenannte Bewegungsgröße des Massenpunktes und Ym • b • r deren statisches Moment in bezug auf Ö. Die letztere Größe möge hier kurz mit dem Buchstaben 25 bezeichnet werden. Dann schreibt sich Gl. 7 als

7 a)

d 25

dt

Ist die Kraft $ dauernd durch den Festpunkt O gerichtet, so liegt der oben behandelte .Sonderfall vor. Das statische Moment der

Kraft ist dann

also

wonach Gl. 5 auch ergibt

7)

. . . Y$-r = -f-Ym -b-r.

dt

Y    J? • r = -^ Y; m • b • r = 0,

Y    m-b'tiC konstant und ebenso

C

Y    b • r = -— — A konstant.

Multipliziert man beiderseits mit dt, so folgt Y p • dt ■ x '== A- dt.

Der Ausdruck linksseits der Gl. 8 stellt ersichtlich die doppelte Fläche dF dar, die der Radiusvektor r in der Zeit dt beschreibt. Gleichung 8 stimmt daher inhaltlich völlig mit Gl. 1 überein, ü • r•dt

8)

Setzt man nämlich

Li

dt, so folgt

dF und dividiert beiderseits durch

9)

dF _ P • r _ A dt ~    ~ T ‘

Fig. 90 a.

Auch wenn die Kraft ^ zwar nicht durch den Festpunkt O gerichtet ist, aber den Wert Null d v

— V m • b • ï

0, also Y o • x = C

(konstant). Jetzt ist auch b konstant; die Bewegung geradlinig gleichförmig. Die schraffierten Dreiecksflächen (Fig. 90 a) stellen die Flächengeschwindigkeit dar. Ihr Inhalt, gleich V    ^

hat, ist

, ist konstant.

Gleichung 7 enthält den Flächensatz in allgemeinerer Form. . Um ihn in dieser Form tunlichst kurz in Worten auszudrücken, möge die Größe Vm-b*r = S3, d. i. das statische Moment der Bewegungsgröße mb in bezug auf den Festpunkt 0 nach dem Vorschläge von Föppel kurz als Drall bezeichnet werden. Der der Gl. 7 entsprechende Satz lautet dann: Bewegt sich ein Massenpunkt unter der Wirkung einer Kraft, so ist die

Änderungsgeschwindigkeit seines Dralles in bezug

auf irgend einen Festpunkt O in jedem Angenblicke gleich dem statischen Moment der Kraft in bezug auf denselben Festpunkt.

Dieser Satz gilt für jede beliebig veränderliche Kraft $ und demnach auch für jede beliebige Bewegung eines Massenpunktes.

2. Der Satz des Arbeitsvermögens. Potential oder Kräftefunktion; Niveauflächen.

Der Satz des Arbeitsvermögens wurde freilich im 1. Teil, Aufl. 4, S. 51 schon allgemein bewiesen; er soll hier aber noch einmal in: anderer Weise entwickelt und zn weiteren Schlüssen benutzt werden.

Zerlegt man die auf den Massenpunkt m wirkende Kraft K (Fig. 91) nach drei Achsenrichtungen in AT, Y, Z und sinder, ?/, 2 die augenblicklichen Koordinaten von m, so ist d²x

. Fig. 91.

V.

ZA /

Pa

dt²

= W;

d²y dt²

-Cf

d²z

dt²

Multipliziert man diese Gleichungen bezw. mit dx, dy und dz und zählt sie zusammen, so entsteht so kann man obige Gleichung auch schreiben:

1)

Xdx + Ydy+ Zdz.

2)

Die linke Seite ist die während der Zeit dt erfolgende Zunahme des Arbeitsvermögens (1. Teil, Aufl. 4, S. 46) des Punktes m, die rechte Seite aber die Summe der Arbeiten der drei Seitenkräfte X, Y und Z. Denn ist PQ, = ds das in der Zeit dt beschriebene Dahnteilchen, sind da?, dy, dz dessen Projektionen auf die Achsen, so ist nach 1. Teil, Aufl. 4, S. 44 X-dx die von X geleistete Arbeit. Im 1. Teil, Aufl. 4, S. 45 wurde schon bewiesen, daß die Arbeitssumme von AT, Y und Z gleich der Arbeit ihrer Mittelkraft K sei. Es ergibt siel} dies auch leicht in folgender Weise: Sind a, ß und y die Richtungswinkel von K gegen die Achsen, also AT cos a = X; K co3 ß — Y', Kcosy—Z; sind ferner oq, ßl und yx die Richtungswinkel von ds oder v, d. h.

3)

ds • cos at = dx; ds • cos ßl = dy; ds • cosyx = dz; und nennt man cp den Winkel, welchen K mit ds (oder v) einschließt, so gilt (vgl. 2. Teil, Aufl. 3, S. 241).

cos cp = cos oc • cos 04 + cos ß • cos + cos y • cos yx, oder wenn man alle Glieder dieser Gleichung mit K-ds multipliziert und die Gl. 2 und 3 benutzt:

4)

Nun ist

1    (dx\²

= 8 d\dtl

und weil

dx drx dt dt ds- d x- -f- d y- + d z-

dt-

dt²

K‘ds- cos cp — X- dx -f- Y- dy + Z- dz,

mithin nach Gl. 1:

5)

, ( m v²\

• • -n-TV

= K‘ d s • cos cp;

die rechte Seite ist die Arbeit der Kraft K, weil ds-coscp die in der Richtung von K zurückgelegte Wegeslänge bedeutet.

Gleichung 5 erhält man in der Vektorschreib weise mit Bezug auf Gl. 21, S. 23 kurz auch wie folgt:

Es ist allgemein

d( b²)    mv²

5 a)

wobei zu bemerken, daß das Kurvendifferenzial dä als gerichtete Größe gleich dem geometrischen Differenzial des Radiusvektors r ist. Multipliziert man obige Gleichung beiderseits mit d x auf innere Art, so folgt

dt

dt

SU ft.

dl

$t-dx', oder auch da -7- =

. . . m • b • d b = m ——— = d ——

Li    Li

Diese Gleichung stimmt, da dx — d§, genau mit der Gleichung 5 überein.

Hat der Punkt m an dem Orte æQ, yQ, z₀ die Geschwindigkeit v₀, an dem Orte xx, yx, z₁ die Geschwindigkeit vl, so ergibt sich für diese endliche Bewegung der Satz des Arbeitsvermögens

6)

m ² mv₀²

= J (Xdoc + Ydy + Zdz) = J‘AT • ds • cos <p.

Li

Die Grenzen für die Integrationen auf der rechten Seite sind durch Anfangs- und Endlage des Punktes m bedingt. Gl. 6 ist offenbar der Satz des Arbeitsvermögens (der kinetischen Energie oder der lebendigen Kraft), d. h. es ist die Zunahme des Arbeitsvermögens gleich der verrichteten Arbeit.

Diese Beziehungen zwischen Kraft, Masse und Geschwindigkeit lassen sich sehr übersichtlich auch vermittels des sogenannten Potentials verfolgen. Um zu diesem Begriffe zu gelangen, möge nun angenommen werden, daß die Bewegung des Massenpunktes innerhalb eines sogenannten Kraftfeldes vor sich gehe, d. h. unter der Wirkung von Kräften, die ihm bei seiner Bewegung folgen und mit seiner Lage nach einem bestimmten, zeitlich konstanten Gesetz stetig veränderlich sind, derart, daß sie an demselben Punkte immer wieder denselben Wert annehmen. Der Ursprung der Kräfte möge dahingestellt bleiben; er könnte beispielsweise in anderen Massenpunkten zu suchen sein. Auf alle Fälle soll das Kraftfeld aber so beschaffen sein, daß andere als rein mechanische Kraftwirkungen auf den Massenpunkt ausgeschlossen sind.

Hat der Massenpunkt, um desseu Bewegung es sich handelt, in irgendeiner Lage eine Geschwindigkeit v und also unabhängig

ïïl V “

von deren Richtung ein Arbeitsvermögen (kinetische Energie)

so wird auch dieser Arbeitsbetrag des Massenpunktes mit seiner Bewegung, von seiner jeweiligen Lage abhängig veränderlich sein, weil die Kräfte ständig arbeitend auf den Punkt einwirken.

Fig. 92.

Schließt in irgendeiner Lage des Punktes seine Bewegungsrichtung mit der ßichtungslinie der Mittelkraft aller auf ihn wirkenden Kräfte einen Winkel q> ein, so ist, weil die Arbeit der Mittelkraft der Summe der Arbeiten ihrer Seitenkräfte gleichkommt (vgl. Teil I, Aufl. 4, S. 45), die beim Durchlaufen eines Wegeelementes ds geleistete Arbeit gleich K-cos cp • ds oder in Vektorschreibweise gleich dem inneren Produkt Ä • d § .

In allen Lagen des Massenpunktes, in denen (p <z */2 (vgl.

in

90°

Punkt I Fig. 92), ist die Arbeit der Kräfte positiv, findet eine Beschleunigung des Massenpunktes, eine Vermehrung seines Arbeits-

1YI

Vermögens —5- statt. Gleichzeitig aber vermindert sich mit dieser

Leistung und zwar in gleichem Verhältnis die Arbeitsfähigkeit des Kraftfeldes in bezug auf den Massenpunkt, die ja bei endlichen Kräften und endlichen Bewegungen nur eine begrenzte sein kann. Diese „Arbeitsfähigkeit“ des Kraftfeldes in bezug auf den Massenpunkt pflegt man das Potential oder die potentielle Energie des Feldes in bezug auf den Punkt zu bezeichnen. Sie vermindert sich mit jeder positiven Arbeitsleistung K• cos (pds (St • d §) des Feldes um einen gleichen Betrag, ist also in ihrem mechanischen Werte gleichfalls von der jeweiligen Lage des Punktes abhängig, eine Funktion seines Ortes (Kräftefunktion). Bezeichnet man diese Funktion mit F, so ist

7)

d V— — K• cos (p ds = — St • dä,

oder ausgedrückt durch die Komponentengleichungen in einem rechtwinkligen Achsenkreuz

SV

dV

8)    —-dx=—X‘dx, — * dy = - Y-dy

3y

3V

-—•dz = —Z'dz.

Die negativen Vorzeichen rechtsseits der Gl. 7 und 8 drücken die

Abnahme des Potentials bei positiver Arbeitsleistung des Kraftfeldes aus.

Ist in irgendeiner Lage des Punktes cp = ~/2 (vgl. Punkt II Pig. 92), seine Bahnlinie also rechtwinklig zur Kicktungslinie der Mittelkraft, so ist dV = 0, d. h. während jetzt der Punkt ein Bahn-element ds durchläuft, leistet das Kraftfeld keine Arbeit, bleibt seine Arbeitsfähigkeit, sein Potential, unverändert; ebenso aber auch das Arbeitsvermögen des Massenpunktes. An allen den Stellen der Bahnlinie des Punktes, an denen ç? :> *•/2, ist dV> 0, findet eine Vermehrung der Arbeitsfähigkeit des Kraftfeldes statt und zwar auf Kosten des im Massenpunkte angehäuften Arbeitsvermögens, das eine gleich große Verminderung erleidet. Nach vorstehenden Darlegungen sind also die Änderungen, welche die Arbeitsfähigkeit, das Potential, des Kraftfeldes in bezug auf den Massenpunkt und des Arbeitsvermögens des letzteren für jeden Teil seiner Bewegung erleiden, einander entgegengesetzt gleich; die Summe beider ist demnach konstant, ausgedrückt durch die Gleichung

= C (konstant).

T7 ! 1ÏI ' V²

P+ 2

Diese wichtige Eigentümlichkeit des Summenwertes rechtfertigt ns, ihm eine einheitliche Bezeichnung beizulegen. Er möge als Gesamtarbeitsvermögen oder Gesamtenergie des Massön-punktes bezeichnet werden, der als sein Träger zu gelten hat. Wenn nun auch die beiden Teile der Summe insoweit mechanisch gleichartig sind, daß sie sich durch einfache Addition zu deren konstantem Gesamtwert ergänzen können, so sind sie doch andererseits in ihrer Porm und insbesondere in der Art, wie sie mit dem Massenpunkte verbunden sind, so verschieden, daß eine unterschiedliche Bezeichnung beider, wie sie weiter oben bereits eingeführt ist, zweckmäßig erscheint. Ist nun die Abhängigkeit der Funktion F, des Potentials, von der Lage des Massenpunktes entweder in bezug auf den Kadius-vektor x des Punktes in der Form

. . . V=F{r)

oder in bezug auf seine Koordinaten æ, y und z in der Form

10)

V=f(x, y, z)

gegeben, so kann man daraus durch Differention auch die Kraft K{$) des Feldes' als Funktion von der Lage des Massenpunktes ableiten.

Nach Gl. 7 erhält man

11)    . . . K

dV

bezw. 11a) . . . Ä

dV

COS (p-dn

und nach den Komponentcngleichungcn (8)

dë

12)

Y= —

-, Z=-

dz '

dx ’

Mit Hilfe der Gruudgleichung der Beschleunigung

= rn • p — m •

dH

dt²

erhält man aus GL 7 dV

dH

dë

dt*'

oder —dV—m-

dë _ dë — 'd — . dt dt

da

Beachtet man, daß — = v, und integriert linksseits zwischen

dt

den Grenzen V₀ und V und rechtsseits zwischen den Grenzen r0 und so erhält man

rr , Tr    m-v²    m-vn²

y i üX.

T 2

worin V und V₀ die Potentialwerte des Kraftfeldes in bezug auf irgend zwei Lagen des Massenpunktes, v und v₀ dessen Geschwindigkeit in diesen Punkten sind. Durch Gleichung 13 wird die oben in Worten bereits allgemein ausgesprochene Wahrheit, daß die Gesamtenergie eines sich in einem Kraftfelde bewegenden Massenpunktes konstant ist, mathematisch ausgedrückt.

Zu dem gleichen Ergebnis gelangt man mit Hilfe der Komponentengleichungen 8, wenn man darin

d? x ~dt2’

oder

13)

= n+^\

X - m -px = rn

d°-y

Y = mpy = m    usw. setzt.

Durch Addition der drei Gleichungen erhält man dann

dV

dV

dx+—.dyĄ

dV

dy

dz

. dz

(dx ,dx, dy ,dy , dz ,dz\ = — wi* — -d— + -r-'d-r + ^r-'d— . \dt dt ' dy dt dt dt)

Linksseits dieser Gleichung steht das vollständige (totale) Differential d V von F, rechtsseits ist

d y

— vx, —~

dx

und

dz

dt~V°¹

folglich

dt ~Vy

d V — — m {vx • d vx + Vy • d vy + vz • d vz)

usw.

oder auch, da vx-dvx —

dV= —

Y d {vx² + Vy² + vz²) =

v²

— md —

Die Integration führt wieder zu Gl. 13.

Denkt man sich nun alle Punkte, in bezug auf die des Potential des Kraftfeldes denselben Wert V besitzt, durch eine Fläche verbunden, so erhält man eine sogenannte Niveaufläche (Äquipotentialfläche). Eine solche kann man sich auch entstanden denken, indem man den Massenpunkt von einer bestimmten Lage ausgehend auf solche Bewegungen beschränkt, deren Kichtung überall rechtwinklig ist zur Richtungslinie der Mittelkraft des Kraftfeldes. Führt der Massenpunkt alle danach möglichen Bewegungen aus, so beschreibt er eine Niveaufläche; denn für alle seine Bahnelemente ds ist nach S. 107 dV— 0, folglich ist auch für seine Gesamtbewegung das Potential V konstant. Nur wenn die Bahnlinie des Massenpunktes die durch seine augenblickliche Lage bestimmte Niveaufläche schneidet, also seine Bewegungsrichtung mit der Richtungslinie der auf ihn wirkenden Kraft einen von ^/2 abweichenden Winkel cp einschließt, ändert sich F, und zwar um so schneller, je steiler die Niveaufläche von der Bahnlinie geschnitten wird; (dV ——Kcoscp-ds) am schnellsten, wenn der Schnitt rechtwinklig erfolgt cp — 0 oder = n ist, die Bewegung in die Kraftrichtung fällt, oder ihr entgegengesetzt gerichtet ist. Im ersten Falle ist dV—-K-ds, im zweiten dV= + K-ds.

Allgemein wird die Schnelligkeit der Änderung des Potentials mit der Bewegung des Massenpunktes ausgedrückt durch den d V

Quotienten — — — AT-cos 99, das sogenannte Potentialgefälle. Es

ist stets gleich der Komponente der Kraft K in der Richtung, in der sich der Massenpunkt jeweils bewegt. Damit stimmen auch die Gl. 12 überein, deren rechte Seiten die Potentialgefälle in den drei Ausrichtungen und deren linken Seiten die Seitenkräfte von K in derselben Richtung ausdrücken. Mit cp = 0 ist das Gefälle gleich — AT, mit cp — ji gleich -j- K.

Denkt man sich das Feld mit Niveauflächen erfüllt und daneben mit Linien, die alle sämtliche Niveauflächen rechtwinklig schneiden, so bezeichnet man jene Linien als Kraftlinien, weil sie in jedem Punkte die Richtung der Kraft angeben.

Fig. 93.

Ist die Bewegung eines Massenpunktes in einem Kraftfelde so geregelt, daß sie in einer bestimmten Fläche erfolgen muß, so lassen sich mit Hilfe der Niveauflächen wichtige Beziehungen zwischen der Kraft und der Bewegung des Punktes erkennen. Sind beispielsweise die krummen Linien V₀ V₀ und VV (Fig.93)

vo

Vo

Schnittlinien der Fläche mit den Niveau-flächen F₀ und F, in bezug auf deren sämtliche Punkte das Potential den Wert V₀ bezw. V besitzt, so ist ersichtlich, daß, wenn sich der Massenpunkt auf irgendeinem Wege B₀B oder O₀<7 usw. von der Kurve F₀F₀ nach der Kurve VV unter entsprechender Arbeitsleistung der Kraft des Feldes bewegt, das Potential sich von F₀ auf V ändert und ebenso die Geschwindigkeit des Massenpunktes von v₀ auf v. Beide Änderungen sind nach Maßgabe der Gl. 13

K• cos cp • ds —

r°

] K-cos cp • cl s.

v Co

Würde der Massenpunkt auf irgendeinem Wege von C nach <7₀ zurückkehren, also im ganzen von G₀ aus über C nach O₀ eine geschlossene Linie beschreiben, so würde er, wieder in C₀ angekommen, seine ursprüngliche Geschwindigkeit v₀ und die Kraft ihr ursprüngliches Potential F₀ wieder erlangt haben; die im ganzen von der Kraft geleistete Arbeit muß der Gleichung genügen

'»C über D

>Co über D, C und E

•Co über E

AT- cos cp • ds = 0.

K- cos cp • d s + jAT-cos^-ds

^ Co    * C    ^ Co

Diese Nullgleichheit des Linienintegrals der Kraft, über irgendeine geschlossene Kurve erstreckt, ist eine charakteristische

Eigentümlichkeit des Potentialbegriffes, ja geradezu die Bedingung für das Vorhandensein eines solchen itn Sinne obiger Darlegungen. Das mathematische Kennzeichen für die Existenz eines Potentials in einem Kraftfelde ist die Möglichkeit der Aufstellung einer für alle Punkte des Feldes gültigen Differentialgleichung in Form der Gl. 7 oder 8.

Die Linien F₀ V₀ und VV sind Niveaulinien, denn die Bewegung des Massenpunktes auf ihnen erfordert keine Arbeitsleistung der Kraft, hat keine Änderung des Potentials im Gefolge.

Das bekannteste und für die technische Mechanik wichtigste Kraftfeld ist dasjenige der Anziehungskraft der Erde, das „Schwerefeld“. Steigt ein Massenpunkt mit der augenblicklichen Geschwindigkeit v₀ lotrecht aufwärts von einer Höhe h₀ bis zu einer Höhe h, in welchem Falle dauernd ip = tt, cos (p = — 1, also dV= — G • cos <p dh = Gdh ist, so erhält man die Potentialänderung durch Integration zwischen den Grenzen F₀ und F bezw. h₀ und li mit konstant angenommenem G zu F—V₀ — G (h — 7z₀), somit, da h>liQ positiv; die Änderung des Arbeitsvermögens im Massenpunkte aber gemäß

Gl. 13 ^ 2

m v²    »u!₀²

g— = — (F—F₀) = — G (h — 7i₀), d. h. negativ.

Mit einer Zunahme des Potentials geht eine gleich große Abnahme des Arbeitsvermögens einher. In der höchsten Lage h=hl, die der Punkt erreicht,.

ist v = vl — 0 ; der Massenpunkt hat sein anfängliches Arbeitsvermögen

völlig verloren, während gleichzeitig das Potential der Schwere auf seinen Höchstwert F, um Fx — F₀ = G (Aj — h₀) angewachsen ist. Bei der Abwärtsbewegung kehren alle Vorgänge sich um, ist cp = 0, cos <p = +1. Bis zur Höhe h₀ nehmen Potential und Arbeitsvermögen ihre anfänglichen Werte wieder an. Der Absolutbetrag des Potentialgrößtwertes Fx hängt davon ab, welche tiefste Lage der Massenpunkt einnehmen kann, wie groß der möglich© Arbeitsweg der Schwere ist. Sobald dieser zurückgelegt ist, ist die Arbeitsfähigkeit der Schwere erschöpft, ihr Potential gleich Null und gleichzeitig ist das Arbeitsvermögen des Massenpunktes auf seinen Höchstwert gestiegen» Wäre es möglich, eine solche Öffnung durch die Erde hindurch herzustellen, daß der Massenpunkt sich unbehindert, d. h. unter der einzigen Wirkung seiner Schwere bis zum Erdmittelpunkte und beliebig darüber hinaus fortbewegen könnte, so würde, damit die Schwere in ihrer größtmöglichen Ausdehnung wirksam werden.

Bis zu dem Augenblicke, wo der Massenpunkt sich durch den Erdmittelpunkt hindurch bewegt, ist 0 = 0, nimmt das Potential der Schwere bis auf Null ab, während die Geschwindigkeit des Massenpunktes und damit sein Arbeitsvermögen ihren Höchstwert erreicht haben. Von da ab wächst das Potential mit <p = - wieder seinem Höchstwert entgegen, während v und

um-

ni^- gegen Null abnehmen, worauf die Bewegungsrichtung sich wieder

kehrt. Dieses Spiel, der Kampf zwischen Kraft und Masse, würde sich ebenso dauernd fortsetzen, als die Bewegung des Mondes um die Erde und der Planeten um die Sonne.

Ein weiteres einfaches Beispiel für den Potentialbegriff bietet die Wirkung der Schwere auf die Bewegung des Kreispendels. Hier ist die Bewegung des Massenpunktes auf einen Kreisbogen beschränkt, in dessen tiefstem Punkte

ihre

7Tb 7)^

jedesmal das Potential der Schwere V gleich Null ist und v und ——

u

Größtwerte annehmen, und in dessen höchsten Punkten V seinen Größtwert

771 V^

erreicht, während v und —gleich Null werden.

u

Fig. 94.

P,

0/

Die hier besprochenen Sonderfälle der Bewegung eines Massenpunktes unter der Wirkung seiner Schwere gehören zu der Gruppe der sogenannten Zentralbewegungen; das sind solche Bewegungen, bei denen die wirkende Kraft stets durch einen festen Punkt, das Zentrum O hindurch gerichtet ist, während zugleich die Größe der Kraft eine Funktion der Entfernung des Punktes vom Zentrum O, dos sog. Fahrstrahls, ist. Ist die Kraft K == F (r) und geht ihre Kich-tung stets durch O (Fig. 94), so ist bei einer unendlich kleinen Bewegung PQ die in der Kraftrichtung zurückgelegte Wegeslänge, d. h. die Projektion von PQ auf die Richtung von r, einfach dr, daher das Arbeitsteilchen

K -ds- cos (p — K • dr = F(r) • dr

und dV — — K- dr— — F(r)dr ist die Differentialgleichung des Potentials , der Kräftefunktion, aus der man diese selbst erhält zu

14)

V=SKdr + C,

wobei zu erwähnen, daß je nachdem 99 ^ tt/2 coś (p ^ 0 ist, V mit wachsendem r abnimmt oder größer wird.

Die Kraftlinien sind vom Zentrum nach allen Richtungen ausgehende geradlinige Strahlen. Da diese Kraftlinien von den Niveauflächen rechtwinklig geschnitten werden müssen, so sind letztere offenbar Kugelflächen mit dem gemeinsamen Mittelpunkt O.

Sobald neben der Zentralkraft noch Reibungs- oder sogen. Mittelwiderstände auftreten, die stets entgegengesetzt der Bewegungsrichtung wirken, sich also mit der Umkehrung der Bewegung ebenfalls umkehren, gibt es kein Potential, keine Kräftefunktion, und also auch keine Niveauflächen.

3. Bewegung eines Massenpunktes unter Wirkung einer von einem Zentrum ausgehenden, mit der Entfernung von diesem verhältnisgleichen Anziehungskraft.

Da diese Bewegung eine Zentralbewegung ist, so muß sie nach S. 99 in einer ebenen Bahnlinie erfolgen, die daher auf nur zwei Achsen OX und O Y bezogen zu werden braucht. Der Punkt befinde sich (Fig. 95) zu Anfang an der auf der OY befindlichen Stelle A im Abstand OA = y₀ vom Zentrum O und habe eine beliebig gerichtete Anfangsgeschwindigkeit c, welche in cx und cy zerlegt werden kann. Da c im allgemeinen nicht mit der Kraftrichtung AO zusammenfällt, so muß nach S. 98 eine krummlinige Bewegung entstehen. Dieser Fall ist eine Verallgemeinerung der S. 68 behandelten geradlinigen Schwingung, insofern die Anziehungskraft K demselben Gesetz unterworfen ist. Wir drücken deshalb K auch wieder in derselben Weise

1) aus, so daß Je² die Beschleunigung im Abstand Eins von dem Zentrum bedeutet.

Da die Seitenkräfte von K in der Richtung der beiden Achsen im Sinne dieser Achsen negativ sind, so wird in der ^-Richtung die Beschleunigung

dr x

Fig. 95.

Px —

dt²

cy

— k-r • cos û — — krx,

weil r cos d = x ist. Entsprechendes gilt A für die ^/-Richtung. Die beiden Beschleunigungsgleichungen

2) Imd %⁼~h,iy lassen sich in diesem Falle ganz unabhängig voneinander integrieren. Wir bedürfen hier der allgemeinen Lösung der Differential-

Keck-Hotopp, Mechanik. III. 2. Aufl.

Dritte Abteilung. B. Krummlinige Bewegung.

S. 69.

gleichungen 2 und müssen deshalb etwas anders verfahren als auf ~f/-f ~— k²x multiplizieren wir auf beiden Seiten mit

2dx und schreiben

2^ .^ ₌ -2kux .di.

dt dt

\2

Dies gibt, integriert:

\dty ~    +

wo

e² die noch unbestimmt gelassene Integrationskonstante bedeutet. Trennung der Veränderlichen führt auf

dM

, dt —

V e² — k²x²

v ]/l

k²x²

e²

1    . kx , a

—- arc sin —- + —, k    e k

worin ~ wieder eine Integratiouskonstante ausdrückt.

Gleichung läßt sich umschreiben in k

—    x — sin (kt — «) oder

e

x — sin (kt — ct) = Ą- sin k t • cos a--—cos kt - sin a

mit

ü./‘f

’il

1.1 ’

gujîd'-

Letztere

mit A bezw. — B vertauscht:

3)

x — A sin kt + B cos kt

und ebenso für die andere Achsenrichtung

4)

y — C sin kt + D cos kt.

Die noch unbestimmten Werte A, B, C und D müssen aus dem Anfangszustand ermittelt werden. Für t — 0 ist

!A=.Vo;

V y :- Cy •

Æ? = 0;

•0

Aus Gl. 3 und 4 ergibt sich aber durch Differentiation:

d x

vx — — — Ak- cos kt — Bk- sin k t,

tW

6)

dy

= Cfc • cos ki — Bk-sin kt. dt

Setzt man in die Gl. 3—6 die Anfangswerte mit t — 0 ein^ so erhält man

0 = A • sio 0 + B- cos 0, d. h. 0 = 75-1 oder B= 0;

yo *= G-0+ D-1, d. h. B = yQ;

A

A = —

= A-k-1 — 0 • h • 0,

• P-¹

d. h. 0=-?-

Cy = C-k-l—D-k-0,

Hiermit geben Gl. 3 und 4 die bestimmten Bewegungsgleichungen

sin kt, k

7)

8)

y =    • sin + y₀ * cos

k

Um die Gleichung der Bahnlinie zu erhalten, also t zu entfernen, muß man Gl. 7 und 8 nach sin kt und cos kt auflösen, beide quadrieren und die Summe der Quadrate gleich 1 setzen. Es wird aus Gl. 7 :

sin kt = —

Çx

und, mit Einführung dieses Wertes in Gl. 8, aus dieser

• sin k t — —

COS kt = —

Cy

cy

Vo fc • yo k²x²

yo cx ■ yo

Cy

-x:

mithin

Cx²

yo c* • y₀

Dies gibt, geordnet:

9)

x² (k'²y₀² + Cy²) + y²c² — 2xycxcy = c*²;^².

Diese Gleichung zweiten Grades bedeutet eine Kegelschnittlinie’

u. zw., da

{k²y₀² + Cy²) cx² - (cx ■ Cy)² = k²y₀²cx² + c*² • cy² - c*² • V

= k²y₀²cx²> 0,

eine Ellipse; da in Gl. 9 Glieder mit x und y allein in der ersten Potenz nicht Vorkommen, so fällt der Mittelpunkt der elliptischen

Bahnlinie mit dem Zentrum 0 zusammen; nur liegen, wegen des mit x-y behafteten Gliedes, die Hauptachsen 2 a und 2b der Ellipse schief gegen das Achsenkreuz, was durch die schiefe Richtung der Anfangsgeschwindigkeit c verursacht wird (Fig. 96).

In der gekrümmten Bahnlinie kann die Geschwindigkeit an keiner Stelle Null werden, weil an einer solchen Stelle die Bewegung in eine geradlinige, nach O gerichtete übergehen müßte, was aber der elliptischen Bahnlinie widersprechen würde.

Die Ellipse muß also in dem gleichen Umfahrungssinne fortwährend durchlaufen werden.

Fig. 96.

A.

Po

\6

Die Zeit eines Umlaufes ist

10)

2 JT

weil x, y, vx und vy nach der Gl. 3—6 stets wieder dieselben Werte annehmen, wenn sich der Winkel łium2;r, also t um 2jz: k geändert hat.

Die Umlaufszeit nach Gl. 10 entspricht der Dauer einer Doppelschwingung nach S. 70. Für yQ = 0, d. h. für den Fall, daß der Punkt m in der Gleichgewichtslage, dem Zentrum, die Geschwindigkeit c bekommt, geht die Gl. 9 in die Gleichung einer geraden, mit der Richtung von c zusammenfallenden Linie

y — — . x über.

Für den einfacheren Fall, daß die Anfangsgeschwindigkeit c im Punkt A parallel der O X ist (Fig. 97), also cx = c, cy = 0, geht Gl. 9 über in

x'-kryp + y-c-

Fig. 97.

y₀

1    i°

—t----------T“

— ypc- oder

------j--------Oß

11)

y-

c\~

y o'²

Dies ist die Gleichung einer Ellipse, bezogen auf ihre Hauptachsen mit den Halbachsen

Y = OB und b = y₀=OA.

fC

Für diese Zentralbewegung gibt es eine Kräftefunktion, welche nach Gl. 14, S. 112

12)

7Ï) Ä*“ fl»2 Li

sein muß. Der Vorzeichenunterschied ist dadurch begründet, daß die Kraft K auf S. 112 nach außen gerichtet angenommen war, hier aber den Sinn nach dem Zentrum hat, so daß hei zunehmendem r eine negative Arbeit geleistet wird, die das Arbeitsvermögen des Massenpunktes vermindert und das Potential der Kraft vermehrt. Ersteres und die Geschwindigkeit v sind in den dem Zentrum am nächsten gelegenen Punkten der Bahnlinie am größten (A Fig. 97) und in den fernsten Punkten am kleinsten (B Fig. 97). Beim Potential der Kraft ist es gerade umgekehrt.

Ist v die Geschwindigkeit in irgendeinem Punkte P der Bahnlinie, V das diesem entsprechende Potential der Kraft und F₀ dasjenige in der Anfangslage, so hat man nach Gl. 13, S. 108 mit vq — c und unter Beachtung der Gl. 12

13)

_ »ir m v2 F— y₀ = —g

und daraus

14)

Vc² — k² (r² — y₀²).

Von den Niveaukugeln (S. 112) kommen nur die Größtkreise als Niveau kreise in Betracht. An den vier Schnittpunkten der Bahnlinie mit einem solchen (in Fig. 96 und 97 punktierten) Kreise hat der Punkt m die gleiche Geschwindigkeit. Je mehr er sich vom Zentrum entfernt, desto kleiner wird seine Geschwindigkeit.

£

Ist in dem Falle der Fig. 97 <z —— >y₀, also c>k-y₀, so

ist a die größere Halbachse.    Am Endpunkte derselben, bei P,

herrscht eine Geschwindigkeit

vl=V c² — k²a² + k²y₀² = k-y^,

weil c-2 — a²k²; es ist also, wenn man y₀ mit b vertauscht, c=k'Ci und vl=k‘b, d. h. die Geschwindigkeit am Ende der einen Halbachse ist verhältnisgleich mit der Länge der anderen Halbachse. Es ist in dem Falle der Fig. 97 c die größte, vy die kleinste Geschwindigkeit.

Soll die Bewegung in einem Kreise vom Halbmesser y₀ und daher auch mit gleichbleibender Geschwindigkeit erfolgen, so muß, weil c = k-a ist und a = y₀ werden soll, c — k • y₀ gemacht werden, Diese Bewegung kommt, wenigstens annäherungsweise, vor-wenn die Kraft K durch den nach allen

Fig. 98.

■ -ji'.iOrä'

Richtungen gleichen Biegungswiderstand eines geraden elastischen Stabes von kreisförmigem Querschnitte geliefert wird. Der Stab sei unten lotrecht eingesjpannt (Figur 98) und trage oben eine Kugel, die so schwer ist, daß dagegen die Masse des Stabes vernachlässigt werden kann.

y 4 ..c

aQ- o yc

Bringt man die Kugel um ?/₀ = O A aus der Gleichgewichtslage O und erteilt ihr etwa mit der Hand oder mittels eines Hammers eine Geschwindigkeit c in wagerechter Ebene, so wird der Mittelpunkt der Kugel die behandelte Ellipsenbewegung ausführen. Läßt mań die Kugel einfach los (c=0), so schwingt sie in einem Bogen AO<7, und ihre wagerechte Seitenbewegung folgt annähernd den Gesetzen der geradlinigen Schwingung (S. 68). y 7

4. Bewegung der Himmelskörper unter Einwirkung der Massenanziehung nach dem Newtonschen Gesetze.

Ftir eine von einem Zentralpunkt m₁ angezogene Maèse m itn Abstand 'r vom Zentrum kann" man (nach Bd. I, Aufl. 4, S. 59) die Anziehungskraft

■‘müJosstoL nîiÆ'f^= "

V:'

1)

r~

Darin bedeutet k die Anziehungskraft zwischen zwei

schreiben.

Masseneinheiten in dem Abstand r=l, q die Anziehungs-

beschleunigung der Masse m im Abstand r=l vom Zentrum. Zerlegt man (Fig. 99) AT in K cos # uud AT sin #, so wird, weit r- ros d = x, r-sin# = y: d²x

y-i:

dt²

x d²y

—

dt²

Fig. 99.

3)

oder mit r² — x² -f- y2 d²x

d²y

(x² + y²)³l*' dt²

Diese Gleichungen lassen sich, weil sie 0 beide x und y enthalten, nicht voneinander unabhängig integrieren, wie dies mit Gl. 2, S. 113 leicht geschehen konnte. Vielmehr gelangt ihàn am bequemsten zur Gleichung der Bahnlinie, wenn man unmittelbar vom Satze der Flächen uud vom Satze des Arbeitsvermögens ausgeht und zugleich Polarkoordinaten anwendet. Es ist nach Gl. 4, 'S. 101

dt²

O-_V-__.    K

^ (x² -F y²p*'    r

r² -dû = A -dt.

Ferner ist das Potential des Kraftfeldes nach Gl. 14, S. 112

2)

V— J K- dr -f- O — k‘mlm

•&+«

k • m₁ m

1-C =

f Ć,

wobei zu bemerken ist, daß der Unterschied im Vorzeichen gegenüber Gl. 14 sich a,us der entgegengesetzten Kraftrichtung erklärt ; das Potential wächst mit zunehmendem r.

Ist zu Anfang r = r₀ und v= i/₀, so wird nach Gl. 13, S. 108

mv²

m i\f

mq mq

ro

, also

r \r₀    - 1

oder, wenn man den konstanten Wert

r₀

■— v₀² = h setzt:

3)

Gl. 2 und 3 müssen nun so umgewandelt werden, daß man aus ihnen nach Entfernung von t die Differentialgleichung der Bahnlinie erhält.

Es ist (Fig. 100)

Fig. 100.

dr

ds- = dr² -j- r² d fl², also dr² + r²dfl²

ds

v² =

dt²

führt man hierin aus Gl. 2 den Wert

dfl ein, so wird mit Benutzung von Gl. 3:

2 q    dr² + r² dfl²

h rTj#r~

dt =

"uN

•Ä²,

oder, nach dfl aufgelöst:

dfl =

4)

A .dr

V2 qrA — h r⁴ — A²r²

Zum Zwecke der Integration setzt man r = mit dr = —

u² •

dann wird d # =

A- du

A- du

2Jl_]l_A2 u³ UK u²

]/~2 qu — h — Ä²u²

Um das Glied mit der ersten Potenz der Veränderlichen im Nenner zu entfernen, setze man u = z + ft; dann wird

2 qu — h — A²u² = 2qz + 2qb-h-A²z² — 2bA²z-k²b². Man wählt nun b derartig, daß 2qz — 2b A²z = 0 werde, d. h.

b = ±

5)

A²

und z — u —    •

Hiermit wird

2 qu — h — Au¹ =

H-h

s*

A²

— A² z² —=rz und

A²

d# — —

Ad z

- A²z²

Hieraus folgt das unbestimmte Integral

A²

»5 = arc cos

Az

ii‘-h

= arc cos

q²

q 1    q

also wegen

Z~U A¹ ~ r    A² ''

'd — a = arc cos

worin oc die Integrationskonstante bedeutet. "Wird diese Gleichung nach r aufgelöst, so erhält man

6)

hA¹

— • cos (d — a)

r

Dies ist die Polargleichung eines auf seinen Brennpunkt F als Pol bezogenen Kegelschnittes.

Geht man nämlich von der Mittelpunktsgleichung der Ellipse

a²

+ t1

Fig. 101.

r»

<P

aus, so findet man (Fig. 101) den Brennpunkt P, indem man BF— a macht. Der Abstand des Brennpunktes vom Mittelpunkte wird bekanntlich = a • e gesetzt und e die numerische Exzentrizität des Kegelschnitts genannt (für den Kreis würde e = 0 sein). Hiermit und mit 7)    b²=a²(l — e²)

wird die Mittelpunktsgleichung

Ist nun F der Pol, FA die Polarachse, so gilt für einen Punkt P, dessen Polarkoordinaten q> und r sind,

r — ^y2jr {x—ae)²

= Va² — a² e² — x² + e² x² + x² — 2 a e x + a² e2 — Va² — 2 a e æ £² æ² — a — e oc',

Der Zähler a(l—£²) ist nämlich die dem Brennpunkt F entsprechende Ordinate lind werde mit p bezeichnet; denn x = as gibt nach Gl. 8:

y z=a{ 1—£²).

Bei der Ellipse ist b reell, daher 5²>0, also nach Gl. 7

(1—£²)>0, d. h. £²<1.

Die Hyperbel unterscheidet sich von der Ellipse dadurch, daß b imaginär, b² negativ, nach Gl. 7 somit

(1 — £²) C O, d. h. £² > 1 ist.

Läßt man £² durch stetige Änderung von Werten <c 1 zu Werten > 1 übergehen, so hat man in dem Zwischen wert

s- = 1

Fig. 102.

da ferner so wird

9)

■X = a • £.-f- r • cos

r—a — a*e² — £*rcosç?, also

a(-l — £²) r —---

1 + £ COS 99

1 -h £ COS 99 ‘

den Übergangsfall zwischen Ellipse und Hyperbel, der als Grenzfall sowohl der Ellipse wie der Hyperbel zugerechnet werden kann. Damit nun für £² = 1

der Brennstrahl r in Gl. 9 nicht zu Null werde, muß offenbar a = 00 sein. Daher ist die Parabel derjenige Kegelschnitt, dessen Exzentrizität £ = 1 und dessen große Halbachse a unendlich groß ist.

Daß hierfür tatsächlich die Ellipsengleichung in die Parabelgleichung übergeht, ergibt sich leicht; nur muß man, damit der Anfangspunkt der Koordinaten nicht in un-

\£ A

»)cï>

endliche Ferne gehe, die Scheitelgleichung der Ellipse benutzen. Vertauscht man (Fig. 102) in

. ';SH

X¹

V² .

H* ⁺    = 1

u3-;;

,v*

x mit a — xj, b² mit n²(l— £²), so wirA (q— ^t)²

a² (1 —• £²) y² — 2 a (1 — £²) X[ —■ ( 1 —* £²) x{².

und daraus

Soll dies in die Scheitelgleichung ftler Parabel y² = 2 ptä übergehen, so muß

e² — 1 und a{ 1 — s'²) — p, d. h. a — 00 werden.

Gl. 9 bezeichnet daher eine

f->

10)

Ellipse, wenn 1 — e- > 0, Parabel,

. Hyperbel, „

1— £²=0,

1— £³<0.

Es läßt sich nun zeigen, daß Gl. 6 mit Gl. 9 im wesentlichen übereinstimmt. Bei Gl. 6 fällt die Polarachse nicht mit der großen Halbachse a der Ellipse zusammen, sondern liegt um den Winkel a dagegen verdreht. Denn nicht für û = 0, sondern für # — oc erreicht cos (#-ra) seiner größten Wert, daher r seinen kleinsten Wert FA. Vertauscht man (Fig. 103) d — a mit 9?, so ist die Übereinstimmung zwischen den Gl. 6 und 9 hinsichtlich der Veränderlichen erreicht.

Die Bedeutung der Konstanten der Gl. 6 für die Bahnlinie der entsprechenden Bewegung ergibt sich nun, wenn man

h A 2

Fig. 103.

3>

A/

H)

— = o(    1

1

e²

setzt; aus beiden folgt

12)

<L

13)

1—£² =

f und h

a4²

qf

Da stets positiv,- so ist 1

Nach Gl. 3 war nun aber h —

to AIV

0, wenn h = 0 ist.

ji

ni :

y², so daß das Vorzeichen

von A, also auch dasjenige von 1 — £², abhängt von 2 q — rv². Eine elliptische Bahnlinie verlangt 1—£²>0, d. h. A> 0, also 2 q>vlr. Da «.nun lq .*= k • ml für einen gegebenen Zentralpuukt eine konstante Größe ist, so darf der Massenpunkt in einem Ab-

stand r vom Zentrum nur eine solche Geschwindigkeit v habenT daß rv²c2q ist, wenn eine elliptische Bahnlinie entstehen soll. Damit die Bahnlinie aber im besonderen kreisförmig werden

könne, muß die Anziehungsbeschleunigung der erforderlichen

r~

Für

Zentripetalbeschleunigung — gleich sein, d. h. rv² — q.

rv²—2q wird h = 0, e² = l, die Bahnlinie eine Parabel; für rv²>2q wird hc 0, e²>l, die Bahnlinie eine Hyperbel; oder, zusammengestellt, die Bahnlinie wird

' ein Kreis eine Ellipse „ Parabel

„ Hyperbel „ v²r>2q.

Bekommt also der Massenpunkt m in einem Abstand r vom Zentrum die Geschwindigkeit v etwa durch einen Stoß, eine Explosion oder dergl., so hängt es nur von der Größe der Geschwindigkeit ab, ob er eine geschlossene Ellipse mit dem Zentrum als Brennpunkt beschreibt, oder in einer hyperbolischen Bahnlinie in unendliche Ferne geht. Diese Fälle einer elliptischen Bahnlinie unterscheiden sich von der auf S. 113 behandelten elliptischen Bewegung dadurch, daß das Zentrum dort den Mittelpunkt, jetzt aber den einen Brennpunkt der Ellipse bildet, daß also die Niveaukreise eine völlig andere Lage gegen die Bahnlinie haben (vgl. Fig. 104 mit Fig 97). Da

14)

v min

für v²r = q,

„ v²r<2q, „ v²r = 2q,

Fig. 104.

* ^niaa»

A.

_____

(Gl. 3) ist, so wird die Geschwindigkeit am größten für rmim, d. h. in der Zentrumsnähe bei A, am kleinsten für r Zentrumsferne bei B.

ma*i

d. h. in der

Umlanfszeit.

Die Zeit, in welcher die elliptische Bahnlinie einmal durchlaufen wird, ergibt sich einfach aus dem Satze der Flächen, Gl. 4, S. 101 : dF=¹/2A’dt: daher F=¹lzA-t oder 2 F

A \

wenn F die ganze während eines Umlaufes von dem Fahrstrahle beschriebene Fläche der Ellipse ist. Da nun F—a-b-n; b = a\^l—e² und nach Gl. 11 A = Vaq{\— e²), so wird

15)

,    2 a² Vl — e% _

t = r.......:-----:--- = d 71

V a q(l — £-)

Vq'

Der Mittelpuukt der Erde als Zentrum.

Jeder Punkt außerhalb der Erde erfährt von dieser eine Anziehungskraft, welche nach Gl. 1

r²

K =

zu setzen ist. Nennen wir nun den Halbmesser der Erde R, so wird für r=R die Kraft K—mg, dem Gewicht eines Massenpunktes an der Erdoberfläche. Daraus folgt mg — ~-, d. h.

16)

q = gR²

für die Erde als Zentralkörper.

Hat ein Massenpunkt m in der Nähe der Erdoberfläche, d. h. für r — R, eine Geschwindigkeit v, so führt er eine Bewegung in einer Kegelschnittlinie aus, deren einer Brennpunkt in dem Erdmittelpunkte liegt. Da für diesen Fall

g R — 9,31 • 6 370 000 = 62 490000,

£ ₌ 9r2

so wird die Bahnlinie nach Gl. 14 ein Kreis eine Ellipse „ Parabel „

„ Hyperbel „ v> V^igR =11179 m/g..

17)

für v = YjR = 7 905 m/₃.

„ v ^iY¥gR= 11179 m/₃.; 1^27^= 11179

(vgl. S. 72);

Die gewöhnlichen Wurfbewegungen geschehen hiernach in Ellipsen, und zwar befindet sich der entferntere Brennpunkt im Mittelpunkte M der Erde (Fig. 105), während der andere Brennpunkt F in geringer Tiefe unter dem Anfangspunkt A der Be- ^ wegung liegt.

Fig. 105.

ii

Hiernach ist dieWurf-bewegung, die im 1. Teil,

Aufl. 4, S. 52 als parabolisch bezeichnet wurde, richtiger eine elliptische zu nennen.

D,

Betrachtet man aber, wie es dort geschah, die Fallbeschleunigung als unveränderlich nach Größe und Richtung, so wird dadurch der Erdhalbmesser als unendlich groß gegenüber der Länge der Bahnlinie eingeführt; dann ist auch die Halbachse a der Ellipse unendlich, und es wird die Ellipse nach S. 122 gleichbedeutend mit der Wurfparabel.

Wird die wagerecht gedachte Anfangsgeschwindigkeit größer und größer, so rückt der Brennpunkt F mehr und mehr nach M hin und fällt bei v= 7905 mit ihm zusammen; in diesem Fall ist die Bahnlinie der Kreis AB]. Bei weiterer Zunahme von v rückt F über M hinaus, etwa nach F₂, und der Erdmittelpunkt M ist der dem Ausgangspunkt A nähere Brennpunkt der elliptischen Bahnlinie, welche sich nun bei B₂ weit von der Erde entfernen kann, aber immer noch wieder nach A zurückführt. Eine parabolische und hyperbolische Bahnlinie PAP und HAH für «/> 11179 sind in der Figur ebenfalls angedeutet.

Der Mittelpunkt der Sonne als Zentrum

Die Bewegung der Planeten und Kometen des Sonnensystems erfolgt unter Einwirkung einer vou der Sonne ausgehenden Anziehungskraft K = mq : r S. 59)

Weil nun allgemein (Bd. I, Aufl. 4,

18)

₇ rn rnx    mq

ist, so muß mit mx als Sonnenmasse,

q — km

d. h. nur von der Sonnenmasse abhängig sein. Mithin ist für alle die Sonne umlaufenden Planeten und Kometen q eine und dieselbe Größe. Sind daher für zwei dieser Himmelskörper, deren Bahnlinien geschlossene Kurven bilden, a und ax die Halbachsen der Ellipsen, t und tx ihre ümlaufzeiten, so wird nach Gl. 15

aiV>

19)

t² a?    - ■

Die vorstehenden Ergebnisse enthalten die von Kepler (geb. 1571 in Weil (Württemberg), gest. 1630 in Regensburg) im Jahre 1618 aufgestellten Gesetze der Planetenbewegung, welche in etwas abgeänderter Form folgendermaßen lauten:

1.    Die Mittelpunkte der Planeten bewegen sich in ebenen Kurven, deren Ebenen durch den Sonnenmittelpunkt gehen; der vom Mittelpunkt der Sonne nach dem Mittelpunkte eines Planeten gezogen gedachte Fahrstrahl beschreibt in gleichen Zeiten gleiche Flächen.

2.    Die Planetenbahnen sind Ellipsen, deren einer Brennpunkt der Mittelpunkt der Sonne ist.

3.    Die Quadrate der Umlaufszciten der Planeten verhalten sich wie die dritten Potenzen der großen Halbachsen ihrer Bahnen.

Das erste Gesetz sagt aus, daß die Planeten Zentralbewegungen ausführen mit der Sonne als Zentralkörper (s. S. 100).

Das zweite Gesetz folgt aus der Annahme einer mit r- umgekehrt proportionalen Anziehungskraft. Für die auf S. 113 behandelte Bewegung, bei der K mit r direkt proportional war, ergab sich zwar auch eine elliptische Bahn, doch lag dort das Zentrum im Mittelpunkte der Ellipse, während es jetzt in dem einen Brennpunkte sich befindet.

Das dritte Gesetz ist der Inhalt der Gl. 19, welche entstand, indem man q für alle Planeten als von gleicher Größe annahm

Kepler folgerte diese Gesetze aus seinen und Tycho de Brahes (geh. 1546 in Kńudstrup (Dänemark), gest. 1601 in Prag) Beobachtungen und gab damit eine Beschreibung der vorhandenen Bewegungen, die er aus den sehr verwickelten scheinbaren Bewegungen in bezug auf die Erde abgeleitet hatte. Die mechanische Entwickelung erfolgte erst 67 Jahre später durch Newton, der eben aus den nach den Keplerschen Gesetzen erfolgenden Bewegungen die Ursache derselben, nämlich die Massenanziehung nach Gl. 18, folgerte.

Verhältnis der Masse der Sonne zu der eines Planeten.

Gl. 15 gibt die Möglichkeit, die Masse der Sonne mit derjenigen eines Planeten zu vergleichen, falls letzterer von einem Mond umkreist wird. Beziehen sich nämlich q, a und t auf den Umlauf eines Mondes um seinen Planeten, </lT und auf den Umlauf des Planeten um die Sonne, so ist nach Gl. 15

n 3

= 4^2.^L_.

a³

t- = 4 7t---

daher

20)

das gleiche Verhältnis gilt nach Gl. 18 auch für die Massen der Zentralkörper, d. h. der Sonne und des Planeten.

Die große Halbachse ax der Erdbahn ist 398,87 mal so groß wie die große Halbachse a der Mondbahn; die Umlaufzeit der Erde ist t{ = 365,26 Tage, die des Mondes t = 27,32 Tage. Hiermit wird

( 27,32 y

v 365,26/

d. h. die Masse der Sonne ist 355 000 mal so groß wie die der Erde-Für die Erde als Zentralkörper war q — g • R² = 9,81 • 63700002 (Gl. 16); für die Sonne als Zentralkörper wird hiernach = 355 000 • 9,81 • 6 370OOO⁻² = 1 413 • IO¹⁷.

Sollte die Erde in einem Abstand r= 148 472 -IO⁶ Meter von der Sonne (dies ist etwa die große Halbachse der Erdbahn) sich kreisförmig bewegen, so müßte sie nach Gl. 14 eine Geschwindigkeit

1413-IO¹⁷ \1/s

<1\

<Z

• 398,87³ = 355 000

-I'M

148 472 • 10*

= 30 850 m/s. haben.

Diese Bedingung ist wirklich nahezu erfüllt, und daher ist die Bahn der Erde nur sehr wenig exzentrisch; die beiden Achsen der Ellipse verhalten sich wie 7001:7000. Wäre die Geschwindigkeit V~2 mal größer, so würde die Bahnlinie nicht mehr geschlossen sein können.

5. Wurfbewegung mit Luftwiderstand.

Legt man durch die Anfangsgeschwindigkeit c der Bewegung eine lotrechte Ebene, nimmt in dieser die A X wagerecht, die A Y lotrecht nach oben, so muß die Be

wegung in der Ebene XA Y (Fig. 106) erfolgen, weil dieselbe die Anfangsgeschwindigkeit, sowie auch die Kräfte

Fig. 106.

WJ

■X

mg

und den Widerstand W— mg-v²:k² enthält (s. S. 89).

Es ergibt sich dann, wenn d der Neigungswinkel der Bahn an A beliebiger Stelle ist,

d²y

d²x _ dt²

— — cos d =---- v'² • cos d

k²

— sin d — —g ( 1 + m    \

k'² ’

sin .

Setzt man nun

1)

2)

; cos'd = —■; sin d =    ,

dt    ds    ds

g ds dx _ W~dt~dt

ds

so wird

d² x

dt²

und

d²y

dt²

4'+fSS)-

Schreibt man Gl. 1:

(t?)

k²

dt

Keck-Hotopp, Mechanik. III. 2. Aufl.

so folgt

l (^) = — -p- 8 + l(c •cos a) (weil ^ = c cos a für s = 0) und

--JLS

~ k² '

dx

l¹

c •COS a

oder

3)

dx

—— = vx = c • cos a • e

dt

-4,

fc²

Führt man für die weitere Behandlung die Hilfsgröße

= cIl

dx

ein, so wird aus dy — <p-dx, wenn man nach dt differentiierfund bedenkt, daß (p und dx beide von t abhängen:

d'²y = cp • d²xdx • dq), also d²x    dx d(p

dt²    dt ' dt ‘

Aus Gl. 2 wird aber, wenn man auch darin dy — cp-dx setzt:

g ds dx ⁼ ~ ⁹ H 1t (p ' 1t ’

4)

d~y

d t²

d²y

dt²

oder, weil nach Gl. 1:

<P-

g ds dx    d²x

k² dt dt    dt²'

d²x 1t²'

Verbindet man dies mit GL 4, so erhält man

d²y

dt²

= —gJrCp

d(p

/ć/aA

\1t)

also, wenn man beiderseits mit dx:dt dividiert:

dcp

dx

(dx\r ’ \dt)

woraus wegen Gl. 3 entsteht:

d(p

=__2__** .

c² COS² a

Die weitere Behandlung der Aufgabe ist nur mittels zeichnerischer Flächenermittelung oder mittels Hilfstabellen möglich. Ein näheres Eingehen auf diesen für die Militärwissenschaft sehr wichtigen Gegenstand liegt außerhalb des Bahmens dieses Buches. Es möge hier auf das Kompendium der theoretischen äußeren Ballistik, von Professor Dr. Cranz (Stuttgart), 1896, Verlag von B. G. Teubner (Leipzig) verwiesen werden.

Besonderer Fall einer flachen Wurfbahn.

Eine annähernde Lösung in geschlossener Form ergibt sich für flache Wurfbahnen, bei denen man die Bogenlängen mit ihren wagerechten Projektionen vertauschen, also ds=dx; s = x; cos a — 1 ; cos d — 1 ; tg a = a ; tg d — cp — d setzen darf. Dann ergibt Gl. 3:

6)

doc

vx = -jT = c • e dt

k²

■ also

d.t = --eki •da; und daraus

7)

k²

t = — \e — 1/ , oder

c-g

8)

Aus Gl. 5 wird

(1 *,2

c²

drp = dd = e dx und gibt

9)

k2 X

2 c²

daher

dy — û • dx = a • dx — Ve

— 1 dx

und durch Integration

10)

y = x[ cc +

2 c²/ 4gc²

Setzt man y — 0 und x = der Wurfweite l, so wird aus Gl. 10, wenn man nach dem Steigungswinkel oc auf löst:

11)

lit

k- ¹

k-

a — 1--=r₇ \e

4g • c-l

Für den Scheitelpunkt C der Bahnlinie (Fig. 107) sei x = b, y = 7i; die Bedingung dafür ist d = 0; hiermit gibt Gl. 9, nach x — b aufgelöst :

2 c²'

12)

-£>(■

2 c-

Fig. 107.

x£L

Die Pfeilhöhe h der Wurfbahn findet man, indem man den Zahlenwert von b in die Gl. 10 der Bahnlinie einsetzt; es ist dann h = y.

l-b

v*

Die Zeiten t{ und G, nach denen der Massenpunkt in C bezw. B angelangt ist, ergeben sich, wenn man in Gl. 7 für «a? die Werte b bezw. I einführt.

Beispiel: Eine Kruppsche Kanone von 0,305m lichter Weite, also 0,07 306 <im Öffnungsquerschnitt, schießt Granaten von 1 m Länge und 455 Gewicht. Die Granate hat eine annähernd kegelförmige Spitze, deren Kegelseite mit der Achse einen Winkel e bildet, u. zw. ist ungefähr sine = 0,5. Dann beträgt der Luftwiderstand nach Bd. II, Aufl. 3, S. 373, Gl. 13 bei einer Geschwindigkeit v

W = 0,83-^.FV si 9

-oder mit ^ = 1,2 ; i^=0,o7 3O8; sins = 0,5:

W — 0,00 371 • v■.

Für W = mg = 455 wird v = k (Gleichgewichtsgeschwindigkeit), also

455

O,00 371

= 350 m/s. .

Für eine Wurfweite Z = 8460 m sollen der Höhenwinkel (Steigungswinkel) a und die Einzelseiten der Bewegung berechnet werden, wenn die Anfangsgeschwindigkeit C = 630 m/fl>.

Gl. 11 liefert für den Steigungswinkel a = 0,1740 = rund 10°, was mit dem Schießversuch übereinstimmt. Für die Gesamtdauer t₂ des Wurfes gibt Gl. 7 mit x — 8460:

t₂ = 19,u s-.

Die Geschwindigkeit v — vx hei B (Fig. 107) wird nach Gl. 6: vx = 630 • e k* = 320 m/s> ;

die Neigung ß der Bahn nach Gl. 9:

ß — — 0,270 = — 15,5 ⁰ .

Der Scheitelpunkt der Bahn liegt nach Gl. 12 um b = 4251 m vom Ausgangspunkt entfernt und nach Gl. 10 in einer Höhe 7t = 462 m. Dm Zeit, nach welcher dieser Scheitelpunkt erreicht wird, beträgt nach Gl. 7 : tx = 9,12 s- ; der abfallende Teil der Bahnlinie von 3739 m wagerechter Projektion wird in t.₂ — tj = 10,02s- zurückgelegt.

C. Bewegung eines Massenpunktes auf vorgeschriebener Bahnlinie.

Bei den vorstehenden Untersuchungen war der Massenpunkt nur gegebenen Kräften unterworfen und führte unter deren Einwirkung mit einer gegebenen Anfangsgeschwindigkeit eine freie Bewegung aus. Ist der Massenpunkt aber mit festen, unbeweglichen Körpern in Berührung, die ihm für seine Bewegung eine bestimmte Bahnlinie vorschreiben, ihn auf diese beschränken, so kann man diesen Zwang, diese Einwirkung auf die Bewegung des Punktes, durch eine Widerstandskraft ausdrücken. Nachdem diese Widerstandskraft an dem Massenpunkt angebracht ist, kann seine Bewegung wie eine freie Bewegung behandelt werden.

Der Widerstand der vorgeschriebenen Bahnlinie kann zerlegt werden in einen Normalwiderstand N (rechtwinklig zur Bahnlinie) (vgl. Bd. I, Aufl. 4, S. 71) und eine tangential gerichtete Kraft, den Reibungswiderstaud /• iV, dessen Sinn stets der Bewegung entgegengesetzt ist (vgl. 1. Teil, Aufl. 4, S. 235); darin bedeutet / die Reibungsziffer (den Reibungskoeffizienten).

Der Normalwiderstand N ist zunächst unbekannt hinsichtlich seiner Größe, seiner Richtung innerhalb der zur Bahnlinie winkelrechten Ebene und seines Sinnes; er tritt in solcher Größe und

Richtung, in solchem Sinne auf, wie erforderlich ist, damit der Massenpunkt sich längs der vorgeschriebenen Bahn bewege. N ist daher von der Form der Bahnlinie, von den gegebenen bewegenden Kräften K und der Anfangsgeschwindigkeit abhängig.

Während in den Fällen der freien Bewegung sämtliche Kräfte gegeben waren, die Form der Bahnlinie und die Bewegung in derselben gesucht wurden, so bleibt in den Fällen der Bewegung auf vorgeschriebener Bahn die Aufsuchung dieser letzteren natürlich fort; es sind aufzusuchen der Normalwiderstand N und das Gesetz der Bewegung längs der Bahn. Es ist dazu erforderlich, die Kräfte nach tangentialer und normaler Richtung zu zerlegen und die Werte der Tangential- und Zentripetalbeschleunigung (s. S. 20) zu benutzen.

1. Bewegung eines Massenpunktes längs einer in lotrechter Ebene befindlichen Kreislinie unter Berücksichtigung der Reibung.

Der Massenpunkt m habe im tiefsten Punkt A des Kreises (Fig. 108) die Geschwindigkeit c. An der durch den Winkel # bestimmten Stelle P sei die Geschwindigkeit v; es wirken die Kräfte mg, N und, der Bewegung entgegen, / • N.

Als gesamte Zentripetalkraft ergibt sich N—mgcos #, als Tangentialkraft im Sinne der Bewegung — m^sin#—/N.

Daher wird nach S. 20

p = — mgńnd—fN oder dv    . « .N

=    T;

= — — ^ cos $, also

1)

v-

Pn = —

Fig. 108.

m9<

ST

v-

J'*

— —■ + q cos d r

und hiermit aus Gl. 1 :

dv dt

Multipliziert man mit

2 V'dt— 2 ds = 2 V'dd,

so ergibt sich die Gleichung

2 vdv — — 2^r (sin$ + f - cos &) dd — 2f • v²dd,

aus der das Bewegungsgesetz entwickelt werden kann.

Setzt man behufs der Lösung vorübergehend v² = y,

2)

3)

$ = x,

so nimmt Gl. 2 die Form an:

SJ

4)

= — 2 g r (sin x + f • cos x) — 2 f ■ y und mit 2gr (sin x + f • cos x) = X:

5)

dy

Zur Integration dieser Gleichung wird y = u- v,

eingeführt, wodurch entsteht:

6)

also dy = u • dv + v • du

du

u-^i—h»,T- = — X — 2 f-u-v, oder dx dx

u^x + 2f-V)+Vdx

Man wählt nun den einen Faktor v in u • v = y derartig, daß in Gl. 7 das erste Glied verschwinde, d. h.

7)

du

= — X.

was

8)

— 2/a

bedingt.

Dann wird aus Gl. 7 :

du =

X-dx

v ²/’ x j

X ■ e    dx

, also

• 9)

U — Ci--qS e

2 f-x

X-dx\

und aus Gl. 6 mit Hilfe von Gl. 8 und 9:

— 2 f-x

Je

2 f-x

• X • dx,

y = u- v= C-Ci-e oder wenn man C- Cx == A und für X den Wert (Gl. 4) wieder einführt:

.0)

y = A-e

— 2 gr-e

— 2 f-x

J (sin x + f ■ cos x) e

2/• x

dx.

Die beiden, nach Auflösung der Klammer im letzten Gliede entstehenden Integrale ermittelt man durch sog. teilweise Integration. Um

2 f • x

S sin X ■ e

zu finden, setzt man vorübergehend

2 / • x

- dx

du₂ —2 f ■ e

; d = sin x - d x ; dann ist

2 f-x

2 f-x

11) Jsinic-e Nunmehr wird geschrieben

■dx; vx = — cos#, daher

2 /• x

-dx=ul-v j —Jv^-du^ — cosx-e

+ 2fJcosx-e

2 f-x

dx.

u.₂ — e

2/• x

dv.₂ = cos x - dx-, dann ist

d u₂ = 2 f • e

2f-x

2 f-x

dx — u₂ ■ v₂ — Svi‘ du2 — sinx ■ e

dx-, v₂ = sinx, mithin

2 f • x

'fcosx- e

Die Einführung dieser Gleichung in Gl. 11 ergibt

— 2//sin x ■ e

2 f-x

dx.

/sin x - e somit

2 f-x

dx = — cos x - e

2 f-x

+ 2 f sin x ■ e

2 f-x

— 4/² J*sin x ■ e * dx,

2 f-x

2 f-x

/sin x - e ln derselben Weise findet man

12)

(2 f - sin x — cos x).

13)

/cos x - e

2 f-x

2 f-x

dx =

(2 f • cos x + sin x).

1 + 4 f²

Mit Hilfe dieser Werte wird Gl. 10, wenn man zugleich wieder y mit v², »9 mit x vertauscht,

14)

v² = e

-2/-,9

\A + 2 grj

2 f- ,9

[(1 — 2P) cos *9 — 3/sin ?9]| .

1+4 P

Setzt man zur Ermittelung von A die Geschwindigkeit v = c für »9 = 0, also

c² = 1 \ A 2gr

1+4/

ä à-s n;

so ergibt sich

A = c²

2 gr

1 + 4/²

(1 — 2f²), also Gl. 14:

15)

2 {(1 —2/²) cos# —3/-sin #}

j£lT-a-2 n\e~2/'ä

1 -j⁻ 4f “    ¹ ’)

Soweit läßt sich, die Aufgabe in einfacher Weise behandeln.

v² =

1 + 4/

+ +-

Des weiteren v

dd

— zu setzen und daraus t als / (#) zu entwickeln, ist in geschlossener Form nicht möglich.

Gl. 15 gibt die Geschwindigkeit v für jeden Wert von $, d. h. für jede Stelle des Kreises. Auch kann man berechnen, wie groß die Anfangsgeschwindigkeit c genommen werden muß, damit der Punkt an einer bestimmten Stelle a mit der Geschwindigkeit Null anlange. Mit v = 0, # = a ergibt nämlich Gl. 15:

(Für / = 0 wird c- = 2g r ( 1 — cos a

16) c² =

cos a —

3/* sin a Je

2/- a)

/•

>■)

' Soll der Punkt gerade noch den Punkt B (Fig. 108) erreichen, so wird mit a

90°:

2 qr (

1 +4/² \ während der Endpunkt C (mit dingt, wobei

17)

c\‘ —

f-\

1 — 2/² + 3/- e a = it) die Geschwindigkeit e₂ be-

18) e₂²:

ist.

2yr /

1+4/² (.

l-2/²+(l-2f)e

2/~|

Der Massenpunkt erlaugt bei der Abwärtsbewegung die ursprüngliche Geschwindigkeit nicht wieder, da die Reibung mit der Umkehrung des Bewegungssinnes ebenfalls ihren Sinn wechselt, d. h. keine Funktion des Ortes ist, keiner Kräftefunktion entspricht (s. S. 91).

Beispiel: Für f= 0,i wird (Gl. 17)

Cj² — 1,337 • 2 gr; c₁ = l,i56    2 gr;

e₂² = 2,70 • 2 gr = 1,35 (4 gr); c₂ = l,i62    4 gr .

(Gl. 18)

2. Reibungslose Bewegung eines Massenpunktes unter Einwirkung der Schwere auf einer in lotrechter Ebene befindlichen Bahnlinie.

In diesem Falle verrichtet nur die Schwere eine Arbeit, so

Fi g. 109.

daß wagerechte Linien Niveaulinien darstellen (s. S. 111).

Liegt die Stelle B, an der die Bewegung mit der Geschwin- h digkeit Null begaun, um h über der «-Achse, so gilt für die Geschwindigkeit v in der Höhe y:

P.

V~z= 2 g (ä — y)-

Hat die Bahnlinie hier die Neigung d gegen die Wagerechte,

so muß

mv²

= N—mg cos#, also

(h — y) oder

1)

N — mg

sein.

Für die Bewegung findet man

— V~2g{h — y), also

-2)

dt =

ds

V~2 g Yh — y '

3. Das Kreispendel.

Fig. 110.

Im 1. Teile, Àufl. 4 wurde auf S. 82—84 der Normalwiderstand schon vollständig behandelt, die Schwingungsdauer aber nur finki eine Schwingungen; hier soll die Aufgabe auch für beliebig große Schwingungen durch-geführt werden (Fig. 110).

Es ist, weil bei der Bewegung von B nach G die Ordinate y abnimmt,

P,

x-

sin ê — —

ds — — dy : sin d, x V~2ry—y'²

daher (Gl. 2) :

dt =

dy

Y 2g Ÿ2r — yYhy— y²

tc| l-a

-Va

Yhy — y²

2 r,

Ist nun tx die Zeit einer einfachen Schwingung, so wird der Weg BG in der Zeit ¹/2tl zurückgelegt, wofür gilt

tVï

-.o

dy

1 ^hy — y²

, oder

'h

~h

i)

-V,

dy

i — s-

-V*

Der letzte Faktor wird nach der binomischen Reihe entwickelt:

1 _    ₌ i ,ili ¹'³ (lY

2 r)    ^ 2 2r 2-2-2 \2r)

Hiermit ergibt sich aus Gl. 1 die Reihe von Integralen:

1-3-5

■oder

— Va

J_v_ I 1-3 ( y' 2 2r 2-4\2r,

__(X)³

2-2-2-1-2-3V2W

1-3-5 ly'

2 - 4-6 V2r,

,7i

2)

-y

«a I I

dy

]Thy — y²

_1_ Jl^ 2 ' 2r

y ■ dy

/fry — y¹

'o

ft

1-3 M 2 • 4 ' ° -

1-3-5 / 1

Y'hy — y²

2-4-6

y% d y

Vliy — y²

Das erste dieser Integrale ist sehr leicht zu lösen:

ft

dy

dy

y~hy — y²

'o

dy

dy

,A

fr-V)

jv-t-w

«'o

3)

= arc sin 1 — arc sin (— 1) = 2 • arc sin 1

Die übrigen Integrale lassen sich auf das erste zurückführen.

zu integrieren, teile man im Zähler und Nenner durch

Um

yn d y

Y Ky — ÿ¹

Vy 1 so daß entsteht

yn~'hdy

lrh~y

. Nun setze man

dy

= dv, dann ist

u; —--

Yli-y (n — V²) • yn~³^ dy =du;

dy

fh-y

= — J^Tt — y) 1/2d (7t — y) = — 2 j/"/i — y — v, und es wird

' yndy

Yhy — y¹

oder

Cy*dy

J — 2/³

— */•

— fu ■ cüm = — 2y”

+ (2ot — 1)    — y ■ yn~Z,2dy

Yhy-? + (2 n - i)    y)

= — 2 yn ~¹ Yhy — y² + (2 n — 1) 7*

= = uv

-Æ=.y"-Uy

-y²

Y~¹-dy

y^jy_

— y²'

also, wenn man das letzte Glied auf die linke Seite bringt und durch 2w teilt:

A»f£Ü«.

J ]Ay — yl

Nimmt man dies zwischen den Grenzen 0 und 7t, so wird das erste Glied der rechten Seite Null, und man erhält

Ç Vndy

J V~hy yl

— (2 n — 1

•ak

4)

Z/n • dy

\rhy — y'-

1. Ä i yn -dy \Vhy — y¹

Dies ist die allgemeine Zurückführungsformel für Gl. 2.

,h

n = 1 gibt

ydy

dy

Y hy — y²

]fhy — y²

nach Gl. 3.

n — 2 gibt

__₌ _

Yh y — y² 4

*»

y-dy

1-3

2-4

h²~.

-VO

t/Q

n — 3 gibt

'f d y_₌ _

V lly — y’-    ⁶

ih

y² d y

1-3-5

Vhy — y¹

2-4-6

Ä® TT

und so fort.

Hiermit wird Gl. 2:

ö) ti

-‘Vt ¹⁺(Ds⁺(H)’fô’+(

1 • 3 • 5\²/ h\³

2-4-6

,2r,

Der Quotient des (n+l)ten Gliedes dieser Eeihe durch das wte Glied ist

2n — 1\² h

Da dieser Ausdruck mit wachsendem n sich mehr und mehr dem

I

— nähert, so ist die Reihe

unter der Einheit liegenden Grenzwert konvergent.

Durchläuft der Massenpunkt den ganzen unteren Halbkreis, ist also h — r, so wird

225

2ö6 ¹ 72-256

oder in Dezimalbrüchen:

= TT i/-^-{l + 0,125 + 0,0352 + 0,0122 + ...}

Dies gibt

6)

£j = 1,180 7i

ŸT

Für nicht so große Schwingungen genügen die beiden ersten Glieder der Reihe in Gl. 5, nämlich 7) für kleine Schwingungen ergibt sich, wie im ersten Teile,

8)

-fj

Die Reihe liefert

für    a    = 1°    den    Wert    1,000019,

OL =

5°    „    „    1,000 476,

„    a =10°    „    „    1,001907,

„    a    = 20°    „    „    1,007 670.

Betrachtet man für kleine Schwingungen die kreisförmige-Bahnlinie als übereinstimmend mit ihrer Horizontalprojektion. (Fig. 111), so ist, weil die Tangentialbeschleunigung

Fig. 111.

Vt~9 sin ^ ⁼ 9 ' ~

beträgt, aber im Sinne einer Abnahme von æ gerichtet ist,

d?x dv dt² dt

Da dies mit Gl. 2, S. 68 übereinstimmt, wenn man

mg

Je- = g : r

o-

h'

t^= Jl

sm‘|

1 • 3 • 5\² . . a ,

sm62+

2-4-6

... .

Da

h 1 — COS a

. o a

sm" "2 •

kann man Gl. 5 auch schreiben

setzt, so ist eine Pendelbewegung von geringem Ausschlage nach den Gesetzen einer geradlinigen Schwingungsbewegung zu betrachten; man erhält für die Dauer einer einfachen Schwingung nach Gl. 7, S. 70 auch auf diese Weise

IO

S- I

4. Das Zykloidenpendel.

Fig. 112.

Ist der Massenpunkt gezwungen, sich unter Einwirkung der Schwere auf einer Zykloide zu bewegen (Fig. 112), so nennt man die Vorrichtung ein Zykloidenpendel.

Die Zykloide ABC sei dadurch

entstanden, daß der Kreis vom ₄₀__

Halbmesser a auf der oberen Wage- ^ rechten AR rollt. In B sei die °\

Geschwindigkeit Null gewesen; zu beliebiger Zeit t befinde sich der Punkt in P. Dann ist (vgl. S. 35), wenn QR den lotrechten Durchmesser des erzeugenden Kreises bezeichnet, PQ die Tangente, PR die Normale der Zykloide.

Um zunächst den Normalwiderstand N zu finden, bedenke man, daß (S. 56) der Krümmungshalbmesser der Zykloide q = 2 PR ist, also weil

20

1)

PR = 1rRQ-RS='^2a{2a — y) und PR V~2a(2a—y)

cos # —

QR

-v

2a — y

nach Gl. 1, S. 138 stattfindet:

N — — my

jV 2a— y 1 Jr¥a +

h — y , V~2 a (2 a — y) \

2)

h + 2 [a — y) V~2a(2a — y)

Für y — h wird

begänne die Bewegung im Punkt A, so würde dort, mit h iV₀ = 0 sein.

Beim Kreis pendel wird N am größten im tiefsten Punkte (s. 1. Teil, Aufl. 4, S. 72), weil dort #= 0, v am größten, £ überall gleich ist. Beim Zykloidenpendel aber ist im tiefsten Punkte Q am größten, daher nicht ohne weiteres selbstverständlich, daß dort

N am größten werden muß. Aus Gl. 2 wird nach entsprechender Vereinfachung

mg Vz h — 3 a -f y V~2~a (2 a — y)³'"- ’

Da der Nenner für den hier vorliegenden Fall (y<2a) stets positiv, so ist

dN

dy

dN_ >

- "f ^ 1

wenn

l + .V —3«z^0.

dJV

Da nun    und auch y<2a, so wird überall

d. h. es wird mit abnehmendem y die Druckkraft N stetig größer, und man erhält für y — 0

dy

< 0,

4)

mnx

Zur Berechnung der Schwingungsdauer ty wird Gl. 2, S. 138 mit

ds = —

dy

sin d

und

pq vr2

sin 'd = — a

1    1r2a

Y 2 g Y y V~ h — y also für die Bewegung von B his G

dt = —

dy

i~n

1 Ijl

I 2o

—V;

dy

9 V^hy — y -

dy

9 ] Vliy — y-'

mithin die ganze Dauer einer Schwingung

b 5#

t/₀

— y-

Das Integral hat nach Gl. 3, S. 139 den Wert ;r, daher kann man schreiben

5)

= 2^r ~|/    =7rj/^,

d. h. die Schwingungsdauer eines gegebenen Zykloiden-pendels ist völlig unabhängig von der Größe des Schwingungsbogens, was beim Kreispendel nur für kleine Schwingungen gilt.

Fig. 113.

Dieses Pendel läßt sich am einfachsten dadurch verwirklichen, daß man (Fig. 113) zwei Zykloidenhälften vom .Rollkreishalbmesser a als Schienen oder dergl. AD und DE körperlich ausbildeć, in D einen unten mit einem dichten Körper m beschwerten biegsamen Faden von der Länge 4 a befestigt und den Körper m in Bewegung setzt. Da die Evolvente der Zykloidenhälften AD und DE eine gleiche Zykloide ACE ist, so wird der Körper m in der Zykloide ACE schwingen, weil der in D befestigte Faden sich gegen die Evolute ADE legen wird. Die Fadenlänge 4a erscheint auch in Gl. 4 als Schwingungslänge.

Professor Stampfer in Wien hat ein solches Zykloidenpendel für eine Turmuhr der Stadt Lemberg verwendet. Diese Verwirklichung des Zykloidenpendels, überhaupt die Lehre von seinen Eigenschaften rührt schon von Huyghens (vgl. Bd. I, Aufl. 4, S. 36) her, der die Lehre von den Evoluten und Evolventen, die Theorie der Kettenlinie begründete, die Theorie des Pendels ausbildete, auch die Optik und ihre Anwendung auf die Astronomie erheblich förderte.

Fig. 114.

P'

P0P—. i j3

Die Zykloide ist auch die Linie des schnellsten Falles zwischen zwei nicht in derselben Lotrechten befindlichen Punkten, die sog. Brachistochrone (von ßga/iorog — kürzeste und XQÖvog — Zeit), d. h. wenn ein schwerer Punkt in kürzester Zeit von A nach B gelangen soll (Fig. 114), so muß man ihn längs einer Zykloide A PB gleiten lassen, deren Rollgerade eine durch A gelegte Wagerechte ist.

Dies läßt sich (nach Schell, Theorie der Bewegung und der Kräfte) in folgender Art beweisen:

Ist die Kurve AB die Linie des schnellsten Falles zwischen den Punkten A und B, so muß sie es auch zwischen je zwei zwischen-

10

Keck- Hotopp, Mechanik. III. 2. Aufl.

liegenden Punkten P und P₁ sein; man würde sonst den Bogen PP, der Kurve mit einem Stück einer anderen Kurve vertauschen können, auf welchem der Punkt in kürzerer Zeit von P nach Pl gelangte, und infolgedessen würde die Zeit der Bewegung von A nach B auf der ursprünglichen Kurve nicht die kürzeste sein.

Fig 115.

w»

\V

\\»

—flVrX' rf-ä

Sind P, P

P₂ (Fig. 115) drei Nachbarpunkte der Kurve, ist v die Geschwindigkeit im Punkte P, v₁ diejenige im Punkte P,, so kann man v für PP, und vl für P, P₂ als gleichbleibend ansehen. Die Zeit zum Durchlaufen von PP,P₂ ist dann

PP, , P,P₂

Vl

Würde anstatt Pl der Punkt Q derselben Wagerechten in unendlich kleinem Abstande dos von P, gewählt, so würde PQP₂ in der Zeit

PO QP₂

durchlaufen. Macht man PP — PQ, P₂5'=P₂P₁, so kann man die beiden Zeiten auch schreiben

und

PP\ ,p₂s

Vl

PB, QP,

Vl

der Unterschied beträgt dann P,P QS

Vl

Vl

wenn d und die Neigungswinkel der Bahnstrecken PPt und P} P2 gegen die Wagerechte sind. — Soll nun die Zeit zum Durchlaufen der Strecke PPX P₂ ein Minimum sein, so muß die unendlich kleine Verschiebung des Punktes Pl nach Q eine Änderung der Zeit von

, oder

der Größe Null hervorbringen, d. h. es muß C°b-~ = C°S -■

V    Vy

cos i?

-überall gleich, die Geschwindigkeit v proportional dem Cosinus

v

des Gefällwinkels d der Kurve sein. Man setze also cos d = v • Const. Zu Anfang, wo v noch = Null, ist, muß also auch cos d = 0, d. h. #=90° sein, d. h. die Kurve muß mit lotrechter Richtung beginnen. Es ist nun nach S. 138 v = V~2 gy', wobei y' die durchsunkene Höhe, d. h. die Tiefe des beliebigen Punktes unter dem Anfangspunkt A der Bewegung bedeutet; es muß also

6)

cos

d — Const. 1^2 g y' = CXVy'

sein. — Nach Gl. 1, S. 143, ist aber eine kennzeichnende Eigenschaft der Zykloide:

2a —

cos d

-y

oder, wenn man nach dem obigen die Tiefe des Punktes P in Fig. 114 unter der Stelle A, wo die Kurve lotrecht ist, mit y' bezeichnet, d. h. 2 a — y — y' setzt,

cos d

= l/^

\ 2a

Fig. 116.

a. n

was mit der notwendigen Bedingung 6 der Brachistochrone übereinstimmt; mithin ist die durch die gegebenen Punkte A und B (Fig. 114) gelegte Zykloide mit der Spitze in A die Linie des schnellsten Falles zwischen A und B.

na

Liegen z. B. die beiden Punkte A und B ‘ \ \

(Fig. 116) so gegeneinander, daß man zwischen dieselben gerade eine halbe Zykloide legen kann mit AC=aJt, BC=2a, so gebraucht ein schwerer Punkt zum Durchlaufen der Zykloidenbälfte nach Gl. 5 die Zeit

je -j / 4 a

⁼ 2 r y

Läßt man den schweren Punkt aber die Sehne AB = av 4 + durchlaufen, so ist seine Beschleunigung

AB

p = g • sin a = g •

und, weil AB —    , . die Zeit

2AÆ • Ai?

{J ' 2 a

y y. Vi+

= 1,186

n “I / 4 a

‘2 r y

Das Durchlaufen der Geraden Ai? erfordert also 1,186 mal soviel Zeit wie das Durchlaufen der Zykloidenhälfte AB.

5. Bewegung eines schweren Punktes in einer Parabel mit lotrechter Achse.

Der Punkt sei gezwungen, sich auf der Parabel AP (Fig. 117) vom Parameter a zu bewegen und habe im Punkt A die Geschwindigkeit c, bei P die Geschwindigkeit (nach 1. Teil, Aufl. 4, S. 73)

v = Vc² + 2g-y;

es soll der Normalwiderstand N in P berechnet werden.

Aus der Parabelgleichung

x² = 2 a • y folgt

Fig. 117.

<------X------

Al

«Z?²

2y. d<1y ¹

a²    a ’ dx²

daher der Krümmungshalbmesser

C?<Z?²

Daher wird mittels der Formel für die Zentripetalbeschleunigung

N + mg cos d

a! — g2 + %gy

mg

Für c~ — g • a wird durchweg iV=0, d. h. der Massenpunkt bedarf in diesem Fall einer Stützung seitens der Bahn nicht, durchläuft dieselbe vielmehr als freie Bahnlinie.

Bekanntlich ist ja für die freie Bewegung eines mit der Geschwindigkeit c wagerecht geworfenen Punktes (Bd. I, Aufl. 4, S. 54)

x — ct; y—^ligt², mithin v-g—

oder

c²

also, weil

dx

dx

COS ü = — = —pr.-------=

ds v dx²-\- dy²

i + *-*

N— m

c²+2gy

2y

(c²

%gy

»(■+?)}

x² = 2 — ?/,

9

c²

was eine parabolische Bahnlinie mit dem Parameter a — —

bedeutet und mit obiger Bedingung c² = g • a für N — 0 übereinstimmt.

D. Bewegung eines schweren Punktes auf einer Kugelfläche; räumliches Pendel.

Der Massenpunkt sei mittels eines Fadens von der Länge r an den Mittelpunkt A der Kugelfläche gefesselt (Fig. 118 a). Bildet der Faden in der Lage A P mit den drei Achsen die Winkel a, /?, yy so ist

Fig. 118 a.

r cos a = X', r cos ß — y \ r cos y — z.

In der x- Bichtung wirkt nur — N * cos a, in der 2/-Richtung nur — N- cos ß, in der ^-Richtung mg — N- cosy. Daher erhält man die Gleichungen

dz x

dt²    m v

⁷V

jv\r

1)

a?

-X

2)

dt²

■ü

N_y

d“ z

—'*—

Nx

Y T Fig. 118b.

³⁾ î?

und wenn man das Quadrat der unbekannten Kraft N durch die

oc

Summe der Quadrate ihrer Seitenkräfte N— usw. ausdrückt, die

Gleichung der Kugel

4)

x- ■+■ y² +    — r<1 •

Da der Normalwiderstand N keine Arbeit verrichtet, so gilt, wenn zu Anfang der Massenpunkt sich in einer Tiefe z — h unter dem Mittelpunkt A befand und die Geschwindigkeit c hatte, für die Geschwindigkeit v an der beliebigen Stelle P:

v- = c²-\-i2g(z — h) = c¹ — 2 g h + 2 gz.

5)

Um nun zunächst N zu bestimmen, . multipliziere man die Gleichungen 1, 2 und 3 bezw. mit x, y, z und zähle sie zusammen; man erhält dann:

xd²x + yd²y + zd²z

⁶⁾    ---“f—m    r

Gl. 4 gibt aber, zweimal nach t differentiiert :

xdxA-ydy + zdz — 0 und xd²x + dx² + yd%y + dy² + zd²z + dz₂ = 0, d. h. xd²x + yd² y + zd²z

7)

dt²

N x² + y% +

= g z--r.

dx² + dy² -f-dz²

dt²

— — v² = — (c² — 2 g h -j- 2 gz)

(nach Gl. 5). Verbindet man letztere Gl. mit Gl. 6, so ergibt sich N

gz--r— — c²+2^A — 2^72, also

S)

N= m

(»*7 + T-⁸'*)-

dz

Hiermit ist N als Funktion von 2 gefunden.

Eine Gleichung für die lotrechte Seitengeschwindigkeit vz —

läßt sich ziemlich leicht entwickeln. Die Seitenbewegung parallel der xy-WüQTiQ (Fig. 118 b) erfolgt nämlich nur unter Einwirkung

der beiden Kräfte N-— und N-—, welche, da AP' — q —Vx² + y², eine stets nach A gelichtete Mittelkraft N • — = N sin y liefern.

r

Daher muß für diese Projektionsbewegung nach S. 100 der Satz der Flächen gelten, so daß nach Gl. 4, S. 101, wenn man darin r mit Q vertauscht,

9)

10)

q² dfi = A- dt oder nach Gl. 3, S. 101 x • dy — y • dx = A • dt wird.

Bildet man aus Gl. 7 :

xdx -f- y dy — — z • dz,

quadriert diese und addiert sie zu der quadrierten Gl. 10, so ergibt sich x²dx² + 2xy • dx • dy + y² dy² — z²dz2 y²dx² — 2xy • dx • dy 4~ x²dy² = A²dt2 (x² + y²) dx² + (x² + y²) dy² — z² • dz² -Ą- A² • dt²

Vertauscht mau nun, um x und y zu entfernen, x? und y² mit r² — z² (nach Gl. 4), so wird

(r² — z²) (dx² + dy²) — A² dt² + z² dz²,

und wenn man weiter, um auch dx und dy zu beseitigen, links noch r² dz² — r²dz² hinzufügt,

(r² — z²) {dx² + dy² -\~]dz²) — r² dz² = A² dt², also, weil dx² + dy² + dz² — ds² = v² dt² — (c² — 2gh-Ą-2gz)dt² (Gl. 5):

(r² — z²)(c² — 2gh + 2gz) dt² — r² dz² — A² dt².

Hieraus ergibt sich

H)

dz²

(:r² — z²) (c² — 2 g h + 2 g z) — A²

dt²

Eine interessante Beziehung für die Höhe der Kugelzone, innerhalb welcher die Bewegung überhaupt erfolgt, erhält man unter der Voraussetzung, daß die Anfangsgeschwindigkeit c w a gerecht gerichtet war. Dann ist nämlich, wenn der Anfangswert von q mit

Qo=V    + yQ² = V r² — h²

bezeichnet wird (Fig. 119),

£₀ • d'd = c • dt,

also nach Gl. 9 für den Anfang der Bewegung

Fig. 119.

Vo,

dïr

lo

p'

fc.dt

A — q{)² ^ = qqc — c Vr² — hr, d. h. d z

A² = c² (r² — h²).

Mit Einführung dieses Wertes wird aus Gl. 11:

(r² — z²(c² — 2 g h -f- 2 gz) — c² (r² — h²)

dz²

di²

was sich leicht zu

dz² 2g (r² — z²) (z — /i) — c² (z² — A2)

r²

und dann auch zu

12)

dz²

dt²

umschreiben läßt.

Will man diejenigen Werte von z kennen, für welche — = 0

dz

(L Z

wird, so setze man die rechte Seite gleich Null. Dem entspricht zunächst z = h, was selbstverständlich ist, weil ja angenommen war, daß die Anfangsgeschwindigkeit c wagerecht sei. Setzt man aber den ein geklammerten zweiten Faktor der rechten Seite der Gl. 12 gleich Null, so folgt, daß für

13)

— — ±z 2 2g

r-- f,+m

dz

ebenfalls — zu Null wird. Von den beiden Werten zx und z₂,

welche durch Gl. 13 bestimmt werden, ist, wie Zahlenrechnungen zeigen, der eine, absolut genommen, stets kleiner als r, der andere stets größer als r. Da aber bei der vorgeschriebenen Bewegung auf der Kugelfläche vom Halbmesser r ein Wert von z, der größer als r ist, nicht Vorkommen kann, so liefert Gl. 13 nur einen brauchbaren Wert zx. Die beiden Werte z = h und z= zn welche d z

— zu Null machen, bezeichnen Maximum und Minimum von z,

d t

Fig. 120.

begrenzen also diejenige Kugelzone, innerhalb deren die Bewegung erfolgt. An den wagerechten Rändern dieser Zone hört der Punkt auf zu steigen bezw. zu fallen, kehrt also seine lotrechte Seitenbewegung um.

Po

Bei bestimmtem Halbmesser r der Halbkugel und bestimmter Tiefe h des Anfangspunktes der Bewegung gibt es auch eine Anfangsgeschwindigkeit c, für welche die beiden äußersten Werte h und zl von z einander gleich werden, so daß dann die Bewegungszone zu einem wagerechten *

Kreise mit konstantem z — h zusammenschrumpft.

Man findet diese Geschwindigkeit c, indem man in Gl. 13 z=h einführt. Dann folgt

c²

Ä *² , 1 {*)* 2 h =tx(Fig-i2o) u°d

ik+jł-)=

r² — h²

r2_

oder

Die Vorrichtung bildet mit dieser Geschwindigkeit c das im

1. Teile, Aufl. 4, S. 73 behandelte Kegelpendel. Die Bewegung in dem wagerechten Kreis erfolgt gleichförmig, die Umlaufszeit ist

tO

Beispiel: An dem Endpunkt eines bei A (Fig. 118) befestigten Fadens von r = lm Länge befinde sich eine kleine Bleikugel; der Faden sei derartig ausgestreckt, dnß die Kugel sich anfänglich in einer Tiefe h = 0,5 m unter A befinde. Es soll die Kugel nun wagerecht und rechtwinklig zum Faden mit einer Geschwindigkeit c fortgeschnellt und der Wert zl ermittelt werden, welcher mit h die Bewegungszone begrenzt. Für c sollen der Reihe nach verschiedene Größen eingeführt werden.

c²

Für — =    4®

3">

0,75 m

0,5 m

0,25 m

d. h. c =    8,86

weil nach Gl. 13

7,67

6,26

4,43

3,84

3,13

2,215

+ 0,651    -(- 0,819

- 1,151    - 1,069 .

-f- 0,366    -f- 0,5

- 1,366 - 1,25

Zl — -0,268    — 0,18

Z.₂~ — 3,732 - 2,83

Negative Werte von z bedeuten Stellen der Kugelfläche, welche oberhalb des Mittelpunktes liegen. Bei Geschwindigkeitshöhen > 0,75 steigt der Massenpunkt von der um h — 0,5 m unterhalb des Mittelpunktes gelegenen Anfangslage bis zu der durch zl angegebenen Höhe empor, um dann wieder zu der ursprünglichen wagerechten Ebene zurückzusinken. Diese Bewegung auf- und abwärts wiederholt sich fortwährend, wobei der Massenpunkt übrigens im allgemeinen nicht wieder die gleichen Stellen durchläuft. Bei einer Geschwindigkeitshöhe = 0,75 m fallen (in Übereinstimmung mit Gl. 14) zx und h zusammen, d. h. der Punkt bleibt stets in gleicher Höhe. Bei Geschwindigkeitshöhen < 0,75 m ist 0, > h}, d. h. der Massenpunkt sinkt aus der Anfangshöhe herab. Bei a’len vorstehend angenommenen Werten von c und daraus berechneten Größen zl bleibt N durchweg positiv, kann also durch einen Faden ausgeübt werden.

Kleine Schwingungen. Befindet sich der Massenpunkt zu Anfang in nur geringer Entfernung vom tiefsten Punkte der Kugel-fiäche und bekommt er eine so wenig erhebliche Geschwindigkeit, daß er sich nur unbedeutend heben kann, so wird annähernd

(mit z — li — r und kleinem nach Gl. 8:

N = mg.

Hiermit gehen Gl. 1 und 2 (S. 150) über in

cP oc

cP y

dP

-dï = -°    *

Diese stimmen mit der Gl. 2, S. 113 überein, wenn k² = g : r gesetzt wird, bezeichnen daher eine elliptische Bewegung um den tiefsten Punkt der Kugel als Mittelpunkt und mit der Umlaufszeit (Gl. 10, S. 116)

2 71    i/

t>=T⁼.²*l '

{Vgl. auch S. 142, Fig. 111).

Auch der allgemeinere, S. 150—153 behandelte Fall führt, wie in Dr. Woldemar Yoigts Mechanik gezeigt wird, zu einer Bahnlinie, deren Horizontalprojektion Ähnlichkeit mit einer Ellipse hat, deren Hauptachsen sich aber fortgesetzt drehen.

E. Scheinbare (relative) Bewegung eines Massenpunktes.

Auf S. 63, Gl. 1, wurde gezeigt, daß die scheinbare oder relative Beschleunigung pl eines Punktes in bezug auf einen beliebig bewegten Raum zu finden ist als geometrische Summe der wahren oder absoluten Beschleunigung p und zweier Ergänzungsbeschleunigungen (— p₂) und (— p₃). Davon bedeutet p.2 die Beschleunigung, mit welcher sich diejenige Stelle A der scheinbaren Bahnlinie bewegt, an welcher sich der Massenpunkt augenblicklich, d. h. im Zeitpunkte t, befindet; (— p₂) ist das Entgegengesetzte von p-2. Ferner ist nach S. 55 p₃ — 2 • w • co • sin a, wenn w die augenblickliche scheinbare Geschwindigkeit des Massenpunktes, co die Winkelgeschwindigkeit, mit der sich die scheinbare Bahnlinie um die durch den Punkt A derselben gelegt gedachte augenblickliche Drehachse dreht, a der Winkel, den diese Achse mit der scheinbaren Bahnlinie bildet. Ist AB das während des folgenden Zeitteilchens clt beschriebene Bahnteilchen der scheinbaren Bewegung, so stimmt p:i

nach Richtung und Sinn mit der Bewegung des Punktes B bei der Drehung um die Augenblicksachse überein; —p₃ ist das Entgegengesetzte von p₃.

Die wahre Beschleunigung p ist die Folge der Mittelkraft K der wirklich vorhandenen Kräfte, es ist also

und da p

p = K:m oder K — mp = 0 (ft), (p₃K so ist auch

1)

(— mpi), (— mp-₂),    (— m p₃) = 0

oder in Vektorschreibweise

1 a)

— m p! — m p₂ — m p₃ = 0, d. h. die beschleunigende Kraft ist entgegengesetzt gleich der geometrischen Summe der den Einzelbeschleunigungen entsprechenden Trägheitswiderstände (Ergänzungskräfte). Gl. 1 drückt den Kampf zwischen Kraft und Massen, und in diesem die Gleichheit der Wirkung und Gegenwirkung aus. Sind in Gl. 1 die Kraft K, die Beschleunigungen p₂ und p₃ bekannt, so kann daraus die scheinbare oder relative Beschleunigung pl des Massenpunktes leicht ermittelt, werden. Man erhält

2)

m px =K\    (— m p₂) ;    (— mp₃).

Die so ermittelte Kraft mpx ist ebenso bestimmend für die scheinbare oder relative Bewegung des Massenpunktes, wie irgend eine wirkliche Kraft für die wahre oder absolute Bewegung eines solchen. Man bezeichnet sie daher auch wohl als scheinbare Kraft. Die . Trägheitswiderstände (— mp₂) und (— mp₃) nennt man in diesem Sinne Ergänzungskräfte, welche die wirkliche Kraft K zu der scheinbaren ergänzen. Ist so die der scheinbaren Beschleunigung entsprechende scheinbare Kraft gefunden, so kann erstere daraus ohne Berücksichtigung der Eigenbewegung der Bahnlinie ermittelt werden.

Die dritte Beschleunigung, entsprechend der Drehung der Bahnlinie mit der Winkelgeschwindigkeit o> ist nach S. 55 p₃ = 2 woj • sin a, wird daher zu Null, wenn tu = 0 ist, d. h. wenn die Bahnlinie oder der Raum, in bezug auf welche die scheinbare Bewegung betrachtet wird, sich nur verschiebt, nicht aber dreht, und ferner, wenn w = 0 ist, d. h. wenn der Massenpunkt in dem sich drehenden Raume scheinbar ruht, also dessen Drehung einfach mitgemacht. Diese beiden, erheblich einfacheren Fälle wurden schon im 1. Teile, Aufl. 4, S. 84 und 92 behandelt.

1. Bewegung eines Massenpunktes in einem geraden, sich gleichförmig drehenden Rohre ohne Reibung.

Die Drehung des Rohres OC (Fig. 121) erfolge mit der gleichbleibenden Winkelgeschwindigkeit co (rechts herum) um eine das Rohr rechtwinklig schneidende Achse O. Der Massenpunkt befinde sich im Zeitpunkte t bei A im Abstand x von O und habe in bezug auf das Rohr eine Geschwindigkeit w mit dem Sinne nach außen. Die Schwere mg werde vernachlässigt oder stehe rechtwinklig zur Bildebene, so daß sie durch einen gleichen Gegendruck des Rohres aufgehoben wird; es sollen nur die in der Bildebene auftretenden Bewegungen und Kräfte betrachtet werden.

Dann ist der in der Bildebene wirkende Normaldruck N des Rohres die einzige an dem Massenpunkte wirklich vorhandene Kraft.

Wir bestimmen zunächst den Normaldruck N mit Hilfe der Gl. 1, S. 1.56, indem wir darin K = N setzen.

Die Beschleunigung p₂ des Punktes A der Mittellinie des Rohres, der sich mit der Winkelgeschwindigkeit co gleichförmig im Kreise vom Radius x dreht, ist gleich dessen Zentripetalbeschleunigung x • co² und die Beschleunigung p₃ nach den auf S. 156 gegebenen Darlegungen, weil für die hier vorliegende Drehbewegung a = 90° p₃ = 2 w • (o mit der Richtung rechtwinklig zur Achse des Rohres. Danach muß also sein

Fig. 121,

<ü

H-

4-

zm.iv.u

iV

m.x.iü

(—mp{)\ (—mxco²);    (—2mw(o) = 0.

Die durch das zweite und dritte Glied dieser Gleichung ausgedrückten Trägheitswiderstände treten wie die entsprechenden Beschleunigungen in der Achse des Rohres auf, die beiden anderen Werte rechtwinklig zu dieser.

Gl. 1 bedingt daher, daß jedes der beiden Wertpaare den Wert Null hat, die Einzelwerte eines jeden Paares also einander entgegengesetzt gleich sind. Daraus folgt N= 2ni’W(o und

p, — XOJ² ,

1)

2)

•3)

wobei zu bemerken ist, daß, da der Pfeilsinn von p₂ stets nach der Drehungsachse hinzeigt, px nach außen gerichtet ist, die zugehörigen Trägheitswiderstände aber beide entgegengesetzten Pfeilsinn haben. (Vgl. in Fig. 122 das schließende Krafteck 1,2,3,4,5.)

⁴?f

Fig. 122. i m.woo

Da ferner

und w =

dx

dt ’

p,jn

'X(jo²m

so ergibt sich aus Gl. 3

. . . . w • dw — x - dx • ui-.

Hatte der Massenpunkt zu Anfang für t = 0 den Abstand x = a von der Achse O und längs des Rohres die Geschwindigkeit w — c, so erhält man aus-Gl. 4 durch Integratien zwischen den Grenzen c und w bezw. a und x

w² — c² — co² (x² — a²), also w = Vc²' -f- co² (x² — a²) und N = 2 m • co • Vc² + co² {x² — a²), also

4)

5)

6)

Ö3

beides Funktionen des Ortes.

Um das Gesetz der Bewegung längs des Rohres zu erhalten? schreibe man

d²x

dt²

= X • O)²

und integriere diese Gleichung zweimal. Das Ergebnis der ersten Integration liegt schon in Gl. 3, weil dx-w-dt ist, nämlich

dx

dt

2 ~h x² — a², also

— co • dt.

c²

—o + x² — a²

ü)¹

— oj -t:

co

Hieraus findet man leicht

¹

ieraus folgt

7)

{(a + -5Ï*"+

worin man noch den Drehungswinkel d — cot des Rohres einführen kann. Die Geschwindigkeit längs des Rohres als Funktion der Zeit wird

8)

Die wahre Bahnlinie des Punktes ist nach Gl. 4 mit d = oj t eine Spirale OAX (Fig. 123).

Fig. 123.

TT

Mit Hilfe des Satzes der Arbeit gelangt man auf folgendem Wege zu einer Lösung. Die wahre Geschwindigkeit des Massenpunktes zur Zeit t ist v = V~w² -\- w²x² und also sein Arbeitsvermögen

9)

. . . 21 =

Cw² + io²X²).

.V

In der Zeit dt ändert sich w um dw, x um dx und 21 um <i2D, Gl. 9 geht also über in

10)

21 + <ü2t = ^(w; + dw)² -f- w² (x + dx)².

Durch Subtraktion der Gl. 9 und 10 folgt bei Außerachtlassung unendlich kleiner Größen zweiter Ordnung

11)

dM = m (wdw + w²xdx).

Diese Arbeit wird lediglich durch N geleistet und ist danach auch gleich N. w ■ x ■ dt, womit Gl. 11, wenn man beiderseits mit dt dividiert, übergeht in

N:

, oder weil

m ( d iv    , dx\

- w TT + Ui² x -j—

»•x \ dt    dt !

dw

~d7 = p'

= w²x und    = w auch

dt

12)

N = m(w ■ co + woj) = 2 mww,

übereinstimmend mit Gl. 2.

Von den beiden einander gleichen Summanden in der Klammer Gl. 13: entspricht der erste der Beschleunigung des Massenpunktes im Rohr relativ zu diesem, der zweite derjenigen rechtwinklig zum Der Arbeitsaufwand für

beide ist also in jedem Zeitteilchen dt derselbe, nämlich je gleich

(Gl. 12). Die weitere Lösung verläuft wie oben.

2. Bewegung eines Massenpunktes in einem gekrümmten, sich gleichmäßig drehenden Rohre.

Fig. 124.

Eine in wagerechter Ebene befindliche Scheibe drehe sich mit gleichbleibender Winkelgeschwindigkeit oj um eine lotrechte Achse O (Fig. 124). Auf dem Ringe der Scheibe, welche von dem inneren Halbmesser rl zu dem äußeren Halbmesser r₂ reicht, befinde sich ein gekrümmtes Kohr. Der Punkt möge bei C eine Geschwindigkeit wx gegen das Eohr gehabt haben; bei A in dem Abstande OA = x von der Achse sei w die Geschwindigkeit gegen das Kohr, q der Krümmungshalbmesser des Rohres, der Winkel zwischen dem Drehungshalbmesser OA — oc und der Normalen zum Rohre. Dann ist N wie S. 157 die einzige wirklich vorhandene Kraft in der Drehungsebene.

Zu den drei Beschleunigungen py, p₂ UQd P3 tritt jetzt noch die vierte p₄ als Zentripetalbeschleunigung in der gekrümmten relativen Bahnlinie, so daß an Stelle der Gl. 1 S. 156 jetzt die Gleichung

1)

N) (— mpi), (—mpa), (—mp₃)»    (~ mP₄) = 0

den Kampf zwischen Kraft und Masse ausdrückt. Darin ist wieder p₂=zx-oß,

Ps = 2 • w • (o und

indes zu bemerken, daß p₃ und p₄, beide in die Normale zur relativen Bahnlinie fallend, entgegengesetzten Pfeilsinn haben. Gl. 1 geht damit über in

Fig. 125.

w¹

wobei

"xa>¹ m

w¹m

<?

U.m

6)

w • dw — co² x dx,

woraus durch Integration zwischen den Grenzen w{ und bezw. ry und x folgt, wenn man für w löst

7)

\rivY ² + co² (x² — rx ²).

Zu dem Ergebnis der Gl. 6 gelangt man auch, wenn man beachtet, daß die relative Beschleunigung px unter der Wirkung der der Winkelgeschwindigkeit co entsprechenden Fliehkraft (relative Kraft) zustande kommt. Nach dem Satz der Arbeit erhält man

m co²

zueinander rechtwinkligen Ausrichtungen normal und tangential zur relativen Bahnlinie in A folgende beiden Komponentengleichungen abgelesen werden:

3)

2

W-f- 2m • iv • co — sccßm cos — mW — 0.

i'

4)

px m — x co² m sin d = 0.

Aus der Gl. 3 erhält man sofort

5)

f w²    I

IV = m y— + xco² cos d — 2w • co\.

dvj

Gl. 4 liefert mit px = -jj- und w —

ds

dt sin d • dt'

x • dx —    (?c₂ — wx²),

woraus Gl. 6 ohne weiteres hervorgeht.

Bei den Radialturbinen bewegen sich die Wasserteilchen an Schaufeln entlang, die etwa die Form CABD haben, und üben dabei nach dem Gesetze der Wechselwirkung auf die Schaufel eine der Kraft N entgegengesetzte Druckkraft aus, welche eben die Triebkraft für das Rad bildet und daher an jeder Stelle positiv sein soll. Dagegen würde N — 0 die Bedingung sein für die Form derjenigen scheinbaren Bahnlinie, welche der Massenpunkt ohne Einwirkung wahrer Kräfte auf der sich drehenden Scheibe beschreiben würde. Die wahre Bahnlinie ist in diesem Falle eine Gerade.

Keck-Hotopp, Mechanik III. 2. Anfl.

3. Vorgeschriebene Bewegung längs eines Meridians der sich drehenden Erde.

Ein Massenpunkt m werde auf der nördlichen Halbkugel der Erde mit der Geschwindigkeit w längs eines Meridianes im Sinne von Norden nach dem Äquator bewegt; dann wird außer der Anziehungskraft der Erde noch der Widerstand der Bahnlinie wirken, welcher sich in eine Seitenkraft Nj. in einer Meridianebene und in eine Seitenkraft iV2 rechtwinklig zur Me-ridianebene und tangential zum Parallelkreise des augenblicklichen Ortes A (Fig.

126) zerlegen läßt.

Um iVj und iV₂, besonders die letztere, leicht bestimmen zu können, denkt man sich die Drehung der Erde weg und dafür die den beiden Be-

Fig. 126.

Ja-

B,

,,o

sr>

schleunigungen p2 und/>₃ entsprechenden

Trägheitswiderstände

nach 1. Teil, Aufl. 4, S. 98, die wir allein

(Ergänzungskräfte) angebracht. Die erste Ergänzungskraft ist die dem augenblicklichen Ort A entsprechende Zentrifugalkraft; sie kann unberücksichtigt bleiben, wenn man als Schwere sogleich die scheinbare Schwere m •

wahrnehmen und messen können, einführt und welche schon die Mittelkraft aus der wahren Schwere und der Zentrifugalkraft wegen der Erddrehung darstellt. Die Richtung dieser scheinbaren Schwere fällt mit der Richtung des Lotes zusammen.

Schneidet der Meridian den Äquator in C und ist M der Mittelpunkt der Erde, so bezeichnet der Winkel A MC—ft die geographische Breite des Ortes A. Legt man durch A eine Drehachse parallel der Erdachse, so bildet diese mit dem Bahnteilchen AB ebenfalls den Winkel ft, weil die Erdachse zu CM rechtwinklig-ist. Dreht man das Bahnteilchen AB um die durch A gelegte Achse im Sinne der Erddrehung, d. h. von West nach Ost, so bewegt sich dadurch B in seinem Parallelkreise nach Osten; die der Beschleunigung entsprechende Ergänzungskraft tangential zum Parallelkreise ist daher nach S. 156 mp₃ = 2 • m • w • w sin 0 mit dem Sinne nach Westen. Da nun der Massenpunkt bei seiner scheinbaren Bewegung die Meridianebene nicht verläßt, so müssen sich die rechtwinklig zu dieser Ebene wirkenden Kräfte aufheben, jl. h. es muß die zweite Ergänzungskraft durch einen eben so großen Gegendruck

1)

JV₂ — 2 • m • iv • oj . sin d

aufgehoben werden. Diesen Seitendruck muß die westliche Seitenwand der vorgeschriebenen Bahn leisten.

In der Meridianebene führt der Punkt eine gleichförmige Kreisbewegung aus, wenn man die Abweichung der Erdform von einer Kugel nicht beachtet. Ist r der Erdhalbmesser, so entspricht dieser Kreisbewegung eine Zentripetalbeschleunigung w² : r, welche von der Zentripetalkraft m g^ — N{ erzeugt werden muß. Sonach ist

2)

m w²

Ni=m9# — — -

Wj ist der Widerstand des Erdbodens, also, lotrecht nach unten genommen, der Druck, den der Massenpunkt auf den Erdboden ausübt. Derselbe vermindert sich nach Gl. 2 mit zunehmender Geschwindigkeit w. Er wird zu Null für

2)

w = gÿ • r — 7905 m/g.

(s. S. 72 und 125), wenn man g^ — 9,si und r = 6370000™ einführt (s. 1. Teil, Aufl. 4, S. 99). Für Geschwindigkeiten, wie sie im menschlichen Verkehr auf fester Bahn Vorkommen, z. B. auf Eisenbahnen, ist genau genug Nx =mg wie im Ruhezustände.

Blickt man im Sinne der Bewegung die Bahn entlang, so ist bei der Bewegung von Norden nach dem Äquator die westliche Seitenwand der Bahn, die den Druck N₂ zu leisten hat, die rechtsseitige. Der Massenpunkt übt also bei der Bewegung einen wagerechten Seitendruck nach rechts aus und äußert dadurch das Bestreben nach rechts von der Bahn abzuweichen. Erfolgt die Bewegung umgekehrt vom Äquator nach Norden hin, so vertauschen die beiden Nachbarpunkte A und B des Bahnteilchens ihre Rollen, ähnlich wie in dem Beispiele S. 56—58; der Endpunkt des Bahnteilchens bewegt sich dann, wenn man das Teilchen um eine durch den Anfangspunkt gelegte Achse übereinstimmend mit der Erde sich drehen läßt, nach Westen; daher erhält die zweite Ergänzungskraft einen Sinn nach Osten, der Seitendruck N₂ einen solchen nach Westen. Diese muß von der östlichen Seitenwand ausgeübt werden; das ist für den nunmehrigen Sinn der Bewegung des Punktes wiederum die rechtsseitige Wand.

In gleicher Weise findet man, daß ein .Massenpunkt, der auf der südlichen Halbkugel längs des Meridians bewegt wird, sich stets gegen die linke Seiten wand preßt.

Die Druckkraft ist nach Gl. 1 verhältnisgleich mit der Geschwindigkeit w und dem Sinus der geographischen Breite, ist also am Äquator Null, am Pol am größten.

Nach 1. Teil, Aufl. 4, S. 98 ist

o = 2 7t : 86164 = 0,000073.

Für Hannover ist

# = 52° 23', sin # = 0,7921, œ • sin$ = 0,000057 8, 2 • w • 0,000 057 8

W₂

9,81

= 0,000011 78 w .

mg

Hiernach übt auf der nördlichen Halbkugel ein mit 20,n/s. Geschwindigkeit längs des Meridians fahrender Eisenbahnzug von 150000 kg Gewicht eine wagerechte Druckkraft gegen die rechtsseitige Schiene aus von

N₂ = 150000 • 0,OOOOii 78 • 20 = 35,3 k&.

Auf einer zweigleisigen Bahn, wo jedes Gleis stets in derselben Fahrrichtung benutzt wird, also stets dieselbe Schiene den Seitendruck N₂ empfängt, würde man trotz der Kleinheit von N2 im Verhältnis zu mg vielleicht auf den Gedanken kommen können, der Gefahr einer seitlichen Verschiebung des Gleises oder gar einer Entgleisung nach rechts durch eine Überhöhung der rechtsseitigen Schiene vorzubeugen, wie man in Eisenbahnkurven die äußere Schiene überhöht (s. 1. Teil, Aufl. 4, S. 77). Für den Winkel «,

um den die Querlinie des Gleises gegen die Wagerechte gedreht werden müßte, gilt

35,3

u==3_ ₌

mg

was bei 1500mm Schienenentfernung einer Überhöhung der rechtsseitigen Schiene um 0,35 mm entspricht. Eine so geringe Überhöhung hat aber praktisch weder Sinn noch Zweck. Da in einer Kurve vom Halbmesser q für den Winkel a gilt (1. Teil, Aufl. 4, S. 77)

2)

150000

= 0,000235 6,

a :    -,

9Q

so würde obiger Wert von a bei tu = 20m/s. einem Krümmungshalbmesser q= 173100™ entsprechen.

Wird ein Massenpunkt mit der Geschwindigkeit w längs des Meridians in Bewegung gesetzt, ist aber eine vorgeschriebene Bahn, welche die Druckkraft ausüben könnte, nicht vorhanden, so wird er mit einer der zweiten Ergänzungskraft entsprechenden Beschleunigung 2 w • w • sin d vom Meridiane nach rechts hin abweichen. Bleibt diese Beschleunigung während der Zeit t unverändert, so erfährt der Punkt eine seitliche Abweichung

3)

z = w • w : sin d • t² — l • w • sin d • t, wenn man w • t mit l vertauscht. Diese Abweichung kommt z. B. in Präge, wenn ein Massenpunkt in der Richtung des Meridians geworfen wird. Darin bedeutet w die mittlere wagerechte Seitengeschwindigkeit.

In dem Beispiel auf S. 132 wurde die Wurfweite von 8460m in 19,14s- zurückgelegt. Die hiernach berechnete rechtsseitige Abweichung ergibt sich zu

^ = 8460 • 0,000 057 8 • 19,14 = 9,36 m , wenn das Geschütz in der Richtung des Meridians in der geographischen Breite Hannovers abgefeuert wird.

Unmittelbare Berechnung der seitlichen Abweichung.

Die Beseitigung der Bewegung des Raumes, in welchem die scheinbare Bewegung erfolgt, und die Ersetzung derselben durch die Ergänzungskräfte ist zwar für die Beantwortung mancher Frage sehr vorteilhaft, verdunkelt aber den wirklichen Vorgang; es ist deshalb nützlich, in geeigneten Fällen die scheinbare Bewegung auch durch Betrachtung der wirklichen Bewegungsverhältnisse zu untersuchen. Solches möge hier hinsichtlich der seitlichen Abweichung nach rechts (auf der nördlichen Halbkugel) geschehen.

Eig. 127.

+dx

Bei dem Übergange des Massenpunktes von A nach B (Fig. 127) ändert sich der Drehungshalbmesser von    x auf    x + d x, d. h. von

r cos    d auf    r (cos d — sin d • d d).    A

d»

Der    Punkt    A der Erdoberfläche    /

k>

hat die Umdrehungsgeschwindigkeit / x • co, der Punkt B aber die um '— r • co • sin d ■ d d kleinere. Der von A nach B kommende Massenpuukt bringt nun außer der scheinbaren Geschwindigkeit w längs des Meridianes die Drehungsgeschwindigkeit x-co — r-co- cos# längs des Parallelkreises mit und ist nun, nachdem er in B angelangt, der hier langsamer sich bewegenden Erdoberfläche mit der Geschwindigkeit r • co • sin $ . d û nach    Osten    vorausgeeilt. Dem entspricht in der Zeit dt eine

östliche Voreilung um

dz = r • co sin# • dû • dt,

oder, weil r • di) — AB — w • dt ist, um dz = w • co • sin d • dt², also für kleine endliche Bewegungen in kurzem Zeiträume t um z — w . co • sin d • t²,

oder auch, wenn man die Wegeslänge AB — w- t — l setzt; z = l • co • sin $ • t,

übereinstimmend mit Gl. 3.

4. Vorgeschriebene Bewegung längs einer lotrechten Bahn auf der sich drehenden Erde.

In einem lotrechten Rohre AB (Fig. 128) von der Höhe h falle ein Massenpunkt; dann ist zunächst die Schwere eine der wirklichen Kräfte. Von den Ergänzungskräften ist die erste schon berücksichtigt, wenn man mit der scheinbaren Schwere rechnet. Legt man nuu durch A eine zur Erdachse SN parallele Achse

= 0.

und erteilt der Bahn AB eine Drehung w, so bewegt sich der Endpunkt B nicht nach vorn, sondern nach rückwärts im Sinne nach Westen; die Bahnlinie bildet mit der Drehachse einen Winkel a = 90° — $, wenn d die geographische Breite des Ortes A; daher ist die zweite Ergänzungskraft 2 m • w • co • cos d, u. zw. mit dem Sinne nach Osten, und da die scheinbare Bahn- WÄ linie AB geradlinig ist, so wird diese /

Ergänzungskraft aufgehoben durch eine ent- f gegengesetzte Kraft

Ar₂ = 2 m • w • co • cos #, welche nach Westen gerichtet ist, also von der östlichen Bohrwandseite ausgeübt wird.

Der Massenpunkt drückt daher mit einer Kraft N₂ gegen die östliche 'Seite der Rohrwand und wird, wenn man das Bohr entfernt, den Punkt also frei fallen läßt, mit der Beschleunigung Fig. 129.

2 w • co • cos von der Lotrechten in östlichem Sinn abweichen. Ist AB (Fig. 129) die Lotrechte, AP G die Bahn des freien Falles in bezug auf die sich drehende Erde, z die östliche Abweichung, so ist

/7² z

—— = 2 • w • co • cos 'd.

Fig. 128.

\ »

NT"

l)

-n

dt²

T?C

Die Geschwindigkeit w längs AP G kann wegen der Geringfügigkeit von z nach den gewöhnlichen Fallgesetzen beurteilt werden; dann ist vj—gt^ also

d²z

Dies gibt

dz

—- = g ■ co • COS • t²,

dt y

wobei die Integrationskonstante fortbleibt, weil für t — 0 auch

d 2

w = 0, JV₂ — 0 und — = 0

sein muß. Weiter wird

z=g-

13

co • cos

o

hieraus kann mit x

2x

Es wird

■— also t² = —

2    g

cos d 12 x\3,1

— die Zeit entfernt werden.

und für x — h:

2)

8"

• cos d • h

V“

Die eigentliche Ursache dieser östlichen Abweichung eines frei fallenden Körpers von der Lotrechten, die am Pole Null, am Äquator (mit cos d = 1) am größten ist, liegt natürlich darin, daß der bei A freigelassene Körper die seiner Anfangslage entsprechende östliche Umfangsgeschwindigkeit der Erddrehung mitbriugt und der bei B mit geringerer Umfangsgeschwindigkeit sich bewegenden Stelle der Lotrechten also vorauseilt. Daher ist auch auf beiden

Halbkugeln der Erde die Abweichung übereinstimmend nach Osten gerichtet.

Versuche über diesen Vorgang sind besonders in einem Schachte bei Freiberg in Sachsen angestellt worden. Dort ist die geographische Breite $ = 51°; die Fallhöhe betrug 158,5”. Dann ist nach Gl 2 :

. 0,000 073 • 158,5 • COS 51°

2 • 158,5

9,81

= 0,0276”,

während die Beobachtung 0,0283” ergab. Der Unterschied beider Zahlen ist leicht dadurch zu erklären, daß wegen des Luftwider-

Standes die Falldauer >

Ti

— werden muß.

5. Einfluß der Drehung der Erde auf die Pendelschwingung; Foucaultscher Pendelversuch.

Bei kleinem Ausschlagwinkel kann die Pendelbewegung nach S. 142/43 annähernd als geradlinige Schwingungsbewegung aufgefaßt werden. Das S. 142 entwickelte Gesetz der Pendelschwingung galt unter der Annahme, daß die Erde in Ruhe sei; unter dieser Voraussetzung erfolgt die Schwingung in einer unveränderlichen lotrechten Ebene. Untersucht man aber die scheinbare Bewegung

eines Pendels in bezug auf die sich drehende Erde, so ergibt sich eine von dem französischen Physiker Foucault (geboren am 18. September 1819 zu Paris, gestorben daselbst am 11. Februar 1868) im Jahr 1852 gefundene Abweichung. Bei einem am Äquator schwingenden Pendel haben Aufhängepunkt, Erdoberfläche, sowie auch der Massenpunkt des Pendels die sehr große Umfangsgeschwindigkeit der Erde nahezu gemeinsam. Daher sind die Verhältnisse mit großer Annäherung dieselben, als ob das Pendel in einem Kaum aufgehängt wäre, der eine geradlinige, gleichförmige Verschiebung erfährt; die scheinbare Schwingung erfolgt daher ganz so, wie es bei ruhender Erde geschehen würde; nur kommt statt der wahren Fallbeschleunigung die scheinbare Fallbeschleunigung am Äquator, d. h. gQ = 9,781 (s. 1. Teil, Aufl. 4, S. 98) bei der Berechnung der Schwingungsdauer zur Anwendung.

Ist eiu Pendel aber am Pol aufgehängt, so hat der Aufhänge-punkt keine Bewegung. Auf den Massenpunkt wirkt die wahre Schwere mit der Fallbeschleunigung ^ = 9,831 (1. Teil, Aufl. 4, S. 100) und die Fadenspannkraft.

Die wahre Pendelschwingung erfolgt in einer unveränderlichen Ebeue. Die Erde bildet einen Raum, der sich gegen diese unveränderliche Ebene in einem Sterntage ein Mal in dem Sinne von Westen nach Osten dreht; umgekehrt wird also die Schwingungsebene des Pendels in einem Sterntage sich ein Mal in dem Sinne von Osten nach Westen scheinbar gegen die Erde drehen.

Fig. 130.

O)

's

Rw ^—I u

/ ÜJ.COS&

' 'co.sin S'-

Ist das Pendel aber bei P (Fig. 130) in einer nördlichen geometrischen Breite d aufgehängt, so kann man, um die scheinbare Bewegung der Schwingungsebene des Pendels zu finden, die Winkelgeschwindigkeit co der Erde als Strecke MR auftragen und nach dem Satze vom Parallelogramm der Winkelgeschwindigkeiten (S. 50) in die Teilstrecken UR— co • cos d und M U = co • sin d zerlegen. Von diesen beiden hat co-cos#,

wie vorstehend für das am Äquator aufgehängte Pendel erläutert, keinen Einfluß auf die Schwingungsebene des Pendels, sondern nur eine verkleinernde Wirkung auf die scheinbare Fallbeschleunigung g^ — 9,806 — 0,025 cos 2 #(1. Teil, Aufl.4, S. 100). Die Winkelgeschwindigkeit to • sin d, deren Achse durch den Aufhängepunkt P des Pendels geht, bedingt aber, nach Vergleich mit dem für ein am Pol aufgehängtes Pendel, eine scheinbare Drehung der Schwingungsebene mit der Winkelgeschwindigkeit to • sin d in einem Sinne, welcher der Drehung der Erde entgegengesetzt ist, d. h. in demselben Sinne, in welchem der scheinbare Umlauf der Sonne um die Erde erfolgt, nämlich für die nördliche. Halbkugel von Ost über Süd nach West, für die südliche Halbkugel von Ost über No'rd nach West. Da die Winkelgeschwindigkeit to der Erde einer Umlaufszeit gleich einem Sterntag entspricht, so wird bei der kleineren Geschwindigkeit to • sin $ ein Umlauf die Zeit von 1 : sin d Tagen erfordern. Für Hannover mit sin d — 0,7921 ergibt dies 1,26 Tage. In dieser Zeit dreht sich die Schwingungsebene des Pendels scheinbar um die durch den Aufhängepunkt desselben gelegte Lotrechte.

6. Scheinbare Bewegung der Planeten in bezug auf die Sonne.

Auf S. 118 bis 122 wurde die Bewegung der Planeten um die Sonne unter der Voraussetzung behandelt, daß der Mittelpunkt der Sonne ein festes Anziehungszentrum sei. Dies ist aber nicht

streng richtig; vielmehr wirkt die Kraft (Gl. 1, S. 118), welche

Fig. 131

(Fig. 131) und

rg.~

die Sonne auf einen Planeten von der Masse m ausübt, in umgekehrtem Sinne auch auf die Sonne von der Masse m erteilt dieser eine stets nach dem Planeten gerichtete Beschleunigung

P -2 =-5 •

r-

Die Keplerschen Gesetze betreffen nur die scheinbare Bewegung der Planeten in bezug auf die Sonne, d. h. in bezug auf ein durch den Mittelpunkt der Sonne gelegtes, mit diesem sich parallel verschiebendes Achsenkreuz. Um die scheinbare Beschleunigung zu erhalten, muß man zu der wahren Beschleunigung p = q : r² des Planeten im Sinne nach der Sonne noch das Entgegengesetzte der Beschleunigung p₂ hinzufügen. Da nun -f- p2 den Sinn von der Sonne nach dem Planeten hat, so ist der Sinn der Ergänzungsbeschleunigung —p.₂ ebenso wie p vom Planeten each der Sonne gerichtet, und die scheinbare Beschleunigung p{ wird die Summe beider, nämlich

nt

p.=A(l+—'•

Da die früheren Untersuchungen S. 118 auf einer Beschleunigung ■q : r² beruhten, so sind deren Ergebnisse noch in der Weise zu berichtigen, daß der von der Sonnenmasse abhängige Festwert q

7ïï

■durchweg noch mit 1 + — multipliziert wird. Für die Bewegung

m : m, meist

der Planeten ist diese Änderung unbedeutend, da eine kleine Zahl, für die Erde 1 : 355000, für den Jupiter freilich ■etwa 1 : 1000. Für die Bewegung des Mondes um die Erde ist ■dieser Umstand schon erheblicher, da deren Massenverhältnis etwa 1 : 77 beträgt.

Vierte Abteilung.

lechanik einer Gruppe von lassenpunkten.

Jede beliebige Anzahl von Massenpunkten, deren Bewegungen in irgendwelchen Beziehungen zueinander stehen, oder deren gleichzeitige Bewegungen wir betrachten, kann in ihrer Gesamtheit alseine Massengruppe angesehen werden. In der Regel werden die einzelnen Massenpunkte einer Gruppe gegenseitige Kräfte aufeinander ausüben, die man als innere Kräfte der Gruppe bezeichnet; infolge davon wird die Bewegung eines Punktes der Gruppe einen gewissen Einfluß auf die Bewegung der anderen Punkte ausüben. Aber auch, wenn diese Kräfte Null sind, so daß die Massenpunkte gar nicht aufeinander ein wirken, kann man sie als eine Gruppe von Massenpunkten auffassen.

A. Gleichgewicht einer Massengruppe.

1. Satz der willkürlichen Verrückungen; Satz der virtuellen Verrückungen.

Man bezeichnet eine Massengruppe als im Gleichgewichte befindlich, wenn jeder ihrer Massenpunkte im Gleichgewicht ist, d. h. ruht, oder sich gleichförmig, geradlinig bewegt. Damit dies •der Fall sei, müssen die an jedem Massenpunkte wirkenden Kräfte sich aufheben, d. h. eine Mittelkraft von der Größe Null liefern.

Diese Mittelkraft Null verrichtet bei jeder Bewegung des Massenpunktes auch eine Arbeit von der Größe Null. Da nun für einen Massenpunkt die Arbeit der Mittelkraft gleich der Arbeitssumme •der Einzelkräfte ist (nach 1. Teil, Aufl. 4, S. 45), so muß, wenn •die an einem Massenpunkte wirkenden Kräfte im Gleichgewichte sein sollen, die Arbeitssumme dieser Kräfte bei jeder Bewegung des Massenpunktes sich zu Null ergeben. Auch wenn der Massenpunkt in Wirklichkeit sich gar nicht bewegt, kann man, um aus der Nullsetzung der Arbeitssumme der an ihm wirkenden Kräfte die erforderlichen Bedingungen für das Gleichgewicht dieser Kräfte abzuleiten, ihm irgendeine beliebige Bewegung erteilt denken und kann diese gedachte Bewegung stets so wählen, wie es für die gerade gewünschte Bedingungsgleichung zweckmäßig erscheint.

Fig. 132.

V\

yB

Befindet sich z. B. ein Massenpunkt in Ruhe unter Einwirkung eines gegebenen Gewichtes Q und zweier Kräfte Kx und AT₂, deren Größen unbekannt sind, deren Richtungen aber mit der Lotrechten gegebene Winkel und <x₂ bilden (Fig. 132), so kann man die Größen der Kräfte Kx und K₂ durch Nullsetzung der Arbeitssumme bei zwei beliebigen Bewegungen finden. Denkt man zunächst dem Massenpunkt eine wagerechte Bewegung AB erteilt, so verrichtet die Schwerkraft Q, dabei keine Arbeit (nach 1. Teib Aufl. 4, S. 45), weil Q rechtwinklig zu AB ist. Die Wegeslänge A B gibt auf der Richtung von Kx eine Projektion Aü-sinaj, auf der Richtung von K₂ eine Projektion —Aü-sina₂. Sonach liefert die Nullsetzung der Arbeitsumme

0 — Kx • A B • sin — K₂ • A B • sin a₂ oder

1)

0 = Kj • sin 04 — K₂ sin a₂.

Denkt man dagegen dem Massenpunkt eine lotrechte Bewegung AC erteilt (Fig. 133), so verrichtet

Q die Arbeit — Q • AC,

„ .    • A C • cos a₁,

K₂ „

„    Är₂-4C' cos ct₂.

Sonach liefert die Nullsetzung der Arbeitssumme:

2)

0 = — Q, • A C + Kx • A C • cos cq -j- K₂ • A G • cos a₂ oder 0 = — Q -f Kx cos cq + K₂ cos cc₂.

Fig. 133.

Diese Gleichungen 1 und 2 sind offenbar nichts anderes als die im 1. Teil, Aufl. 4, S. 70 gegebene Regel: Es muß die Summe aller wagerechten Seitenkräfte Null sein und die Summe aller lotrechten Seitenkräfte ebenfalls. Nach Gl. 1 ist

K₂ = Kx -

sin cq

sin oc₂

setzt man dies in Gl. 2 ein, so wird

Q = Kx cos cq -f- Kx

sin cq

sin a₂

COS 0(₂

oder

(sin a₂ cos cq + cos a₂ sin oq)

sin a₂

3)

sin a₂

sin (cq + a₂) ’

: ebenso wird

4)

K₂ — Q

sin a₂

sin (cq -f «2) '

Fig. 134.

Pb.

Diese gedachten Bewegungen AB und AG waren für die Berechnung von Kx und K₂ nicht gerade sehr bequem, weil sie auf zwei Gleichungen mit je zwei Unbekannten führten. Man kann die gedachte Bewegung aber auch so einrichten, daß man für jede der Unbekannten nur je eine \ 2 Gleichung bekommt.    Wählt man die    \

vû

gedachte Bewegung A D rechtwinklig zu K₂ (Fig. 134), so verrichtet K₂ bei der Bewegung AB die Arbeit Null; AD liefert auf den Richtungen Kx und Q die Projektionen A B • sin (cq -f- a₂) bezw.

— AB • sin oc₂. Die Nullsetzung der Arbeitssumme gibt:

0 = Kx • A B • sin (cq + ct₂) — Q ■ AB • sin cc2 und führt unmittelbar auf Gl. 3. Man kann also durch zweckmäßige Wahl der gedachten Bewegung denselben Vorteil erreichen

wie durch Anwendung der Momentengleichung unter Benutzung eines auf der Richtungslinie von K₂ gelegenen Drehpunktes. Dieses Verfahren wird besonders daun wertvoll sein, wenn es sich gar nicht um die Entwickelung aller unbekannten Kräfte handelt, sondern z. B. in dem Falle der Fig. 134 vielleicht nur Kl ermittelt werden soll.

Wendet man dies nun auf eine Massengruppe an, so kann, man jedem Punkte derselben beliebige Bewegungen erteilt denken und die für jeden Punkt berechnete Arbeitssumme gleich Null setzen. Solche ganz willkürliche Lageänderungen nennt man Verrückungen. An jedem Punkte muß die Arbeitssumme von der Größe Null sein, mithin auch die Arbeitssumme an der ganzen Massengruppe. Daher hat man den Salz (kr willkürlichen Verrückungen: Ist eine Massengruppe im Gleichgewichte, so muß die Summe der von sämtlichen an der Massengruppe wirkenden. Kräften bei jeder willkürlichen oder gedachten Verrückung verrichtetenArbeiten sichgleichNullergeben,

In dieser allgemeinen Form freilich ist vorstehender Satz wenig verwendbar, denn in den meisten Fällen der Anwendung besteht die Massengruppe aus sehr vielen Punkten, die durch Kräfte aufeinander wirken, so daß in der Arbeitssumme sehr viel Unbekannte auf-treten würden. Die Kräfte lassen sich aber derartig in zwei Gruppen' zerlegen, daß die Arbeitssumme der einen Gruppe unter gewissen? Bedingungen ohne besondere Untersuchung gleich Null gesetzt werden kann, so daß man nur noch die Arbeitssumme der zweiten Gruppe aufzustellen braucht. In vielen Fällen nämlich sind die einzelnen Massenpunkte nicht ganz frei beweglich, sondern hinsichtlich ihrer Verriickbarkeit an bestimmte Bedingungen gebunden,., die sich durch geometrische Gleichungen ausdrücken lassen. Jede Beschränkung der freien Beweglichkeit kann aber auch aufgefaßt werden als Wirkung von Kräften, die genau so beschaffen sind,, daß sie eine Abweichung von den beschränkenden Bedingungen verhindern. Diese Kräfte mögen Bedingungs- oder bedingte Kräfte genannt werden, während die übrigen Kräfte als unbedingte Kräfte bezeichnet werden sollen.

Bei einer ganz willkürlichen Verrückung der Massenpunkte,, welche auf die beschränkenden Bedingungen keine Rücksicht nimmt, würden sowohl die bedingten, wie auch die unbedingten Kräfte-

Arbeiten ergeben; erteilt man aber der Massengruppe nur solche Verrückungen, welche mit den die freie Beweglichkeit beschränkenden Bedingungen verträglich sind, so liefern, wie sich zeigen läßt, die bedingten Kräfte für sich allein die Arbeitssumme Null, so daß man dann zur Prüfung des Gleichgewichtszustandes nur die Arbeitssumme der unbedingten Kräfte gleich Null zu setzen braucht. Solche mit gegebenen Bedingungsgleichungen verträgliche Bewegungen einer Massengruppe nennt man virtuelle Verrückungen (von virtus = Fähigkeit, Möglichkeit) und die dabei sich ergebenden Arbeiten der bedingten Kräfte virtuelle Arbeiteu.

Die Beschränkungen der freien Beweglichkeit können verschiedener Art sein:

1. Es können einzelne Punkte unbeweglich, also feste Punkte sein. Sind #, y, z die Koordinaten eines solchen Punktes P, so sind die geometrischen Bedingungsgleichungen für die Unbeweglichkeit:

x = a; y = b; z = c,

worin a, b, c unveränderliche Größen bedeuten sollen. Die entsprechende Bedingungskraft ist aber ein Widerstand W, der den Punkt P unbeweglich erhält. Virtuelle Verrückungen würden in diesem Falle solche sein, bei denen der Punkt P seine Lage nicht ändert; dann ergibt aber auch die bedingte Kraft W keine Arbeit.

2.    Es können einzelne Punkte gezwungen sein, auf gegebenen Flächen zu verbleiben. Für einen solchen Punkt wäre dann die Gleichung der Fläche /(#, y, z) — 0 die Bedingungsgleichung, der Normal widerstand N der Fläche die Bedingungskraft. Virtuelle Verrückungen wären solche, bei denen der betreffende Punkt längs der Fläche, d. h. rechtwinklig zu N bewegt wird, wobei (nach

1. Teil, Aufl. 4, S. 45) von N keine Arbeit verrichtet wird.

3.    Es kann auch ein Teil der Punkte miteinander in starrer Verbindung sein. Die Bedinguugsgleichungen sind dann von der Form

(x₂ — xx)² + (y-2 — yx)² + (*2 + *i)² = «²i wenn xx, yx, zL und x.₂, y-₂, z.₂ die Koordinaten zweier Punkte und a eine unveränderliche Länge ist. Die Bedingungskräfte sind die inueren Kräfte des starren Körperteiles, virtuelle Verrückungen solche, bei denen die starr verbundenen Punkte ihre gegenseitigen

Abstände nicht ändern.

Die virtuellen Arbeiten der bedingten Kräfte sind dann (nach 1. Teil, Aufl. 4, S. 175) Null. Auch bei

einer Verbindung einzelner Massenteile durch Ketten, Fäden oder dergl. von unveränderlicher Länge sind die virtuellen Arbeiten Null, wenn die Ketten oder Fäden bei der Verrückung nicht schlaff werden.

Auch jeder beliebige Teil eines elastisch-festen oder flüssigen Körpers oder überhaupt einer beliebig veränderlichen Massengruppe kann, wenn er ira Gleichgewicht ist, hinsichtlich der Bedingungen des Gleichgewichts wie ein starrer Körper, wie eine Gruppe von starr miteinander verbundenen Massenpunkten behandelt werden. Denn es muß die Arbeitssumme aller an dem betreffenden Teile wirkenden Kräfte (nach S. 175) bei jeder willkürlichen Verrückung Null sein. Als Verrückung kann man daher auch eine solche wählen, bei der die einzelnen Massenpunkte genau in ihrer gegenseitigen Lage verbleiben. D. h. man kann sich jeden beliebigen Teil einer im Gleichgewichte befindlichen Massengruppe, z. B. eines elastisch-festen oder flüssigen Körpers, zur Untersuchung der Bedingungen des Gleichgewichts erstarrt denken und auf ihn die Bedingungen des Gleichgewichts starrer Körper anwenden. Die inneren Kräfte der Massengruppe, also die Spannkräfte elastischfester Körper, sowie die inneren Normalkräfte flüssiger Körper sind dann bedingte Kräfte und liefern daher keine Arbeit.

Die sechs Bedingungsgleichungen für das Gleichgewicht starrer Körper (s. 1. Teil, Aufl. 4, S. 178) sind mittels des S. 159 folgenden Satzes der virtuellen Verrückungen sehr leicht zu finden. Die inneren Kräfte kommen dabei nicht in Frage. Sind Jij , K₂ ... . die äußeren Kräfte, aj, ßx, yx , a₂, ß.₂, y₂ ... . die Winkel derselben gegen drei rechtwinklig zueinander stehende Achsen, so ergibt sich, wenn man dem Körper eine Parallel-verschiebuug parallel der .r-Achse um dx erteilt, die Arbeitssumme 2K- cos a • dx — dx A AT cos a. Diese muß Null sein, mithin

i)

2 K cos a = 0 ; ebenso

2)

2K cosß=0;

3)

2 K cosy—O.

12

Keck-Hotopp, Mechanik. III. 2. Aufl.

Erteilt man nun dem Körper eine Drehung um die «-Achse mit dem Drehungswinkel co • dt, so ist, wenn man mit die Summe der Momente der Kräfte K in bezug auf die «-Achse bezeichnet und zugleich bedenkt, daß nach 1. Teil, Aufl. 4, S. 268 die Arbeit eines Kräfcepaares gleich seinem Momente mal dem Drehungswinkel ist, die virtuelle Arbeit

0 =    - co - dt, mithin

4)

yjtx — 0 ; ebenso

5)

2Ry = 0;

¹

N, (—mpi), (—m*ä?*cü¹), (—2m*iü*co),

Fig. 125 zeigt das der Gl. 2 entsprechende schließende Krafteck (1, 2, 3, 4, 5, 6). Daraus können ohne weiteres in bezug auf die

6)

2K, = 0.

Fig. 135.

->r

4. Wenn die Teile eines Triebwerkes, Zahnräder (Fig. 135), Reibungsräder, Riemenscheiben (Fig. 136) u. dergl. derartig ineinander greifen oder miteinander gekuppelt sind, daß sie an den Stellen des Eingriffes oder der Kuppelung Geschwindigkeiten von genau derselben Größe haben müssen, so liegen in dem geometrischen Zusammenhänge des Triebwerkes die Bedingungsgleichungen.    T \ -_ ^

Die bedingten Kräfte sind die durch den    <    kJ"'

Eingriff oder die Kuppelung ausgeübten.

Fig. 136.

iis

Da diese auf die miteinander gekuppelten Maschinenteile gleich und entgegengesetzt wirken, ihre Angriffspunkte auch genau gleiche Geschwindigkeiten haben, so verrichten diese Kräfte bei jeder virtuellen, d. h. mit dem geometrischen Zusammenhänge verträglichen Verrückung, Arbeiten, die sich gegenseitig aufhoben.

, ds

Unter einen dieser vier Hauptfälle ist jede Aufgabe zu bringen, bei welcher eine Massengruppe im Gleichgewicht ist und zugleich durch gewisse Bedingungsgleichungen in

der freien Beweglichkeit der einzelnen Funkte beschränkt ist*

Da der Gleichgewichtszustand in manchen Fällen nur bei einer bestimmten Lage der Massengruppe besteht, also bei einer endlichen Verrückung gestört werden könnte, so darf man im allgemeinen zur Ermittelung der Bedingungen des Gleichgewichts nur unendlich kleine Verrückungen benutzen.

Hiernach lautet der Satz der virtuellen Verrückungen:

Befindet sich eine Massengru'ppe im Gleichgewichte, so ist für jede unendlich kleine virtuelle Verrückung die Arbeitssumme der unbedingten Kräfte gleich Null; die Arbeiten dieser unbedingten Kräfte hei virtuellen Verrückungen heißen virtuelle Arbeiten. Die Normalwiderstände einer vorgeschriebenen Fläche oder Linie, die Kräfte, welche Zahnräder aufeinander ausüben, sind zwar bedingte Kräfte, die keine virtuellen Arbeiten liefern: dies gilt aber nicht von etwaigen Reibungswiderständen, die beim Gleiten unter Einwirkung dieser Kräfte entstehen und von ihnen abhängig sind. Die Reibungswiderstände verrichten auch bei virtuellen Verrückungen Arbeit und sind deshalb den unbedingten Kräften beizuzählen. Aus diesem Grunde eignet sich der Satz der virtuellen Verrückungen besonders für die Behandlung solcher Aufgaben, bei denen Reibungswiderstände nicht zu berücksichtigen sind, so daß dann auch die betreffenden Normaldrücke gar nicht ermittelt zu werden brauchen.

2. Anwendungen der Sätze der willkürlichen bezw. der virtuellen Verrückungen.

a) Hebel.

Es sei O (Fig. 137) die feste Drehachse des Hebels, A der Angriffspunkt der Last Q, B derjenige der bewegenden Kraft K.

Drehachse und Gelenkbolzen seien reibungslos. Eine unendlich kleine virtuelle Verrückung be- e steht in einer unendlich kleinen Drehung des Hebels um die VQ feste Achse O. Der Drehungswinkel sei da. Dann beschreiben

Fig. 137.

->0'

I)

"1f

F~

A und B Drehungsbogen AA^ — AO'da und B Bv — BÖ • d a,

12*

welche als geradlinig und rechtwinklig zu AC und BO angesehen werden können. Ist ß der Winkel, den AO mit der Rechtwinkligen OE zu der Last Q bildet, so findet sich der gleiche Winkel ß auch zwischen AA: und der Last Q, so daß die Projektion von AA₁ auf die Richtung von Q ist

A C = A A₁ cos ß = A O • d a • cos ß — 0 E • d a.

Ebenso wird auf der rechten Seite

B D = BBX • cos/ = OB • cos/ • d a — OF -da.

Der Widerstand der Drehachse O sowie die inneren Spannungen des als starr angenommenen Hebels sind bedingte Kräfte. Unbedingte Kräfte sind nur die Last Q und die treibende Kraft K; daher gilt nach dem Satze der virtuellen Verrückungen 0 = — Q • AC+ K-BD, oder K - O F • da — Q • OE - da, d. h.

K• OF — Q • OE.

Dies ist nichts anderes als die Momentengleichung für den Hebel in bezug auf seine Drehachse (s. 1. Teil, Aufl. 4, S. 197).

b) Schiefe Ebene.

Soll ein Körper vom Gewichte Q auf einer schiefen Ebene vom Neigungswinkel a durch eine Kraft AT, welche mit der Normalen der Ebene den Winkel ß einschließt, gleichförmig aufwärts gezogen werden (Fig. 138) und soll dabei die Reibung zunächst unberücksichtigt bleiben, so fassen wir eine Gleitbewegung des Körpers längs der Ebene um die Strecke AB als virtuelle Verrückung Dann kann man den Normalwiderstand N als bedingte Kraft außer acht lassen. Es ist

2ÇABC= cc; 2<ABF> = ß, somit

0 = — Q • A B • sin a + K • A B • sin ß, oder sin a sin/?’

Fig. 138.

x

Ai'r

auf.

Ir«

i)

2)

K= Q

?\

Jill D K

Î¹

XL

Diese Gleichung gilt auch für gleichförmige Abwärtsbewegung und auch für die Ruhe des Körpers.

Soll aber die Reibung f • N mit berücksichtigt werden, etwa für die Aufwärtsbewegung, so ergibt sich zunächst leicht wie Gl. 1 :

O = — Q • A B • sin a + K • A B • sin ß — fN • A B\ oder K • sin ß — Q ■ sin a -f f N.

Nun aber muß mau noch N finden, und dies ist mittels einer virtuellen Verrückung, d. h. einer solchen längs der Ebene, nicht möglich; man muß hierzu den allgemeinen Satz der willkürlichen Verrückungen (S. 175) anwenden. Wir erteilen (Fig. 139) dem Körper eine Parallelverschiebung um die Strecke AE im Sinne von N und behandeln diese nur insofern als eine virtuelle Verrückung in beschränkter Form, indem wir den Körper als eine starre Massengruppe sich parallel verschieben lassen. N gehört nun zu den unbedingten Kräften. Der Verschiebungsweg AE gibt auf den Richtungen von K und /• N die Projektionen: AE-cos AE • cos ß und Null. Daher wird

O = N ■ A E — Q ■ A E • cos a — K • A E • cos ß, also N = Q • cos a + K • cos ß.

Setzt man dies in Gl. 3 ein, so ergibt sich

K sin ß = Q sin a fQ cos a -j- f K cos ß oder

sin a +/ COS a sin ß —/ cos ß ’

Vertauscht man noch / mit tg (p {(p = Reibungswinkel) und multipliziert in Zähler und Nenner mit cos cp, so läßt sich die letzte Gleichung leicht zusammenziehen in

3)

r"

Fig. 139.

</■*

K=Q

4)

sin (a + cp)

sin (ß — cp)

(vgl. 1. Teil, Aufl. 4, S. 240, Gl. 6).

Allerdings kann man diese Gleichung auch unmittelbar* erhalten, indem man für den zu betrachtenden Sinn der Gleitbewegung (in diesem Fall also nach aufwärts) die Richtung des Gesamtwiderstaudes W der schiefen Ebene, d. h. der Mittelkraft aus N und / • N, bestimmt, welche von N um den

Fig. 140. CW-, F «■i A/ i

ß-9

Reibungswinkel cp abweicht, und dem \n a L \ . Körper dann eine Verschiebung JF,

rechtwinklig zu W erteilt (Fig. 140).    K

Sind dann AG und AD die recht-    \ /G'w ^

äV

winkligen Projektionen von A F auf Q und 7V, so ist 2ÇAFG= a + cp, AÇ AFD — ß—<p\ die Projektion von A F auf W wird Null, und es muß

O = — Q • AF • sin (« + cp) + K • À F • sin (ß — cp) sein, woraus sich Gl. 4 ergibt.

Fig. 141.

Längs derselben schiefen Ebene bleiben die Gleichgewichtsbedingungen überall dieselben; daher war es in diesem Falle gleichgültig, ob die Verrückung endlich oder unendlich klein gewählt wurde. Sollte aber der Körper auf einer gekrümmten Fläche durch die Kraft K gehalten, oder langsam aufwärts bewegt oder auch langsam hinabgelassen werden (Fig. 141), so würde die Kraft K von dem Winkel a abhängig sein; daher muß man in diesem Fall unendlich kleine Verrückungen benutzen.

Geschichtliches. Aus der Behandlung des Körpers auf schiefer Ebene ist leicht zu erkennen, daß die Benutzung des Satzes der virtuellen Verrückungen eigentlich nur für solche Fälle bequem ist, bei denen die Reibung nicht berücksichtigt werden soll. Dieses Ergebnis prägt sich auch in der Weise aus, wie der Satz in der Mechanik Anwendung gefunden hat. Er wurde nämlich für den v Hebel, für Rollen und Flaschenzüge von Stevin (geb. 1548 zu Brügge, gest. 1620 zu Haag) als gültig erkannt, für die schiefe Ebene und den Keil 1655 von Galilei (geb. 18. Februar 1564 zu Pisa, gest. 8. Januar 1642 zu Arcetri). Job Bernoulli

(geb. 1667 zu Basel, gest. daselbst 1748) zeigte 1717* daß der allgemeine Satz der willkürlichen Verrückungen zur Lösung aller Aufgaben des Gleichgewichts benutzt werden könne, und Lagrange (geb. 1736 zu Turin, gest. 1813 zu Paris) hat ihn 1788 zu einer der Grundlagen seines Werkes über analytische Mechanik gemacht. Bis gegen das Ende des 18. Jahrhunderts berechnete man die Wirkung von Maschinen noch ohne eingehende Berücksichtigung der Reibung und konnte daher mit der Behandlung einer Maschine als Ganzes nach dem Satze der virtuellen Verrückungen sich begnügen. Die Gleichgewichtsbedingungen starrer Körper wurden von Poinsot (geb. 1774 zu Paiis, gest. daselbst 1859) in der jetzt gebräuchlichen Form entwickelt.

Mit den Fortschritten des Maschinenbaues ergab sich die Notwendigkeit einer genaueren Berechnung unter Berücksichtigung aller Koibungswiderstände; dies führte zu einer eingehenden Betrachtung der einzelnen Maschinenteile und aller an ihnen auftretenden Kräfte, wozu die Gleichgewichtsbedingungen in der im 1. Teile, Aufl. 4,

S. 178 mitgeteilten Form besser geeignet waren als der Satz der willkürlichen Verrückungen. Erleichtert wurden diese Rechnungen noch durch die Benutzung des Reibungswinkels (s. 1. Teil, Aufl. 4, S. 235), dés Kraftecks und des Seilecks (s. 1. Teil, Aufl. 4, S. 131). Erneute Anwendung hat nun aber der Satz der virtuellen Verrückungen gefunden für die Berechnung der Fachwerke, u. zwT. 1864 durch Clerk Maxwell (geb. 1830, gest. 1879) und im Jahre 1874 durch Mohr in Dresden (s. Keck-Hotopp, Elastizitätslehre, 2. Aufl.,

2. Teil, S. 22 u. 32).

Da die Fachwerke als Verbindungen von Stäben mit reibungslosen Gelenken aufgefaßt werden, so sind sie für die Anwendung des Satzes der virtuellen Verrückungen in hervorragender Weise geeignet (s. Keck-Hotopp, Elastizitätslehre, 2. Aufl., 2. Teil, S. 333 u. f.).

c) Allfziigsniaschinen.

Bei der in Fig. 142 dargestellten Bockwinde sind die einzelnen Teile des Triebwerks derartig miteinander verkuppelt, daß irgend einer Geschwindigkeit v der Kurbel eine dadurch genau bestimmte Geschwindigkeit c der Last Q, entspricht. Es ist v : c das durch den geometrischen Zusammenhang bedingte Übersetzungsver-

hältnis der Winde. Die Triebkraft K und die Last Q, sind die einzigen unbedingten Kräfte, während alle anderen Kräfte, nämlich die inneren Spannungen der Kurbel, des Kurbelarmes und der übrigen Teile des Triebwerks und des Gestelles, die Widerstände der Achsen, die Kräfte zwischen den Zähnen zu den bedingten Kräften gehören.

Fig. 142.

wir

Unter Vernachlässigung der Reibungswiderstände wird dann für ein Zeitteilchen dt

0 = K • v • dt — Q • c • dt

W///////ÆWM

oder Q : K= v : c. Hierin liegt der schon von Galilei ausgesprochene Satz: „Was an Kraft gewonnen wird, geht an Geschwindigkeit verloren“

(s. 1. Teil, Aufl. 4, S. 262). Aus der hier benutzten Weise der Herleitung erkennt man, daß der Satz für alle einfachen Maschinen gelten muß, solange man die Reibungswiderstände vernachlässigt.

Ein Körper, der an einem Punkt oder einer Achse befestigt ist, kann im Gleichgewichtszustände sich nur befinden, indem er ruht; denn die Drehbewegung um den festen Punkt oder die feste Achse, welche die einzig möglichen Bewegungen sind, erteilen den einzelnen Massenpunkten krummlinige Bewegungen, während das Gleichgewicht eines Massenpunktes durch Ruhe oder geradlinige, gleichförmige Bewegung bedingt ist. Erteilt man aber der Kurbel der in Fig. 142 dargestellteu Bockwinde eine gleichmäßige Drehbewegung, so wird, wie die vorstehende Entwickelung zeigt, die Summe der virtuellen Arbeiten gleich Null Wollte man also den auf S. 179 ausgesprochenen Satz der virtuellen Verrückungen in der umgekehrten Fassung bringen: Eine Massen gruppe befindet sich im Gleichgewichte, wenn für jede unendlich kleine virtuelle Verrückung die A r b e i t s s u m m e der unbedingten Kräfte gleich Null ist, so müßte noch hinzugefügt werden: unter der Voraussetzung, daß in der Massengruppe nicht etwa sc hon. Winkelgesch windig -

keiten um feste Achsen, oder Punkte bestehen. Denn der Umstand, daß die virtuelle Arbeit Null ist, schließt nur beschleunigte, nicht aber gleichförmige Drehbewegungen aus. Eine gleichförmige Drehung hat auf die Beziehung zwischen den unbedingten Kräften keinen Einfluß, wenn man von der Reibung absieht. Durch eine solche Drehung werden in den umlaufenden Teilen besondere, von der Winkelgeschwindigkeit abhängende Spannungen (s. 2. Teil, Aufl. 3, S. 103) hervorgerufen. Im allgemeinen werden auch die Widerstände der festen Achsen dadurch beeinflußt; doch fällt der letztere Einfluß fort, wenn die Drehachsen freie Achsen sind (s. 1. Teil, Aufl. 4, S. 337). Die durch die Umlaufgeschwindigkeit erzeugten inneren Spannungen sind in sehr vielen Fällen, z. B. bei den durch Muskelkraft bewegten Aufzugsmaschinen, im Vergleiche mit den bei der Geschwindigkeit Null auftretenden Spannungen verschwindend klein; daher man auf den Unterschied zwischen gleichförmiger Drehbewegung und Ruhezustand meist gar keine Rücksicht nimmt. Bei Körpern mit großer Umlaufgeschwindigkeit, z. B. Schwungrädern, Mühlsteinen (s. 2. Teil, Aufl. 3, S 105), Schleudermaschinen (s. 2. Teil, Aufl. 3, S. 212) haben diese Spannungen aber maßgebende Bedeutung.

d) Gelenkstaiigenverbmduiigeu.

A und B (Fig. 145) seien die Auf hängegelenke einer Gelenk-stangenverbindung. Die einzelnen Stäbe seien starr und durch reibungslose Gelenke miteinander verbunden. Das Gewicht jedes Stabes sei zu einem Massen-    a

punkt ni vereinigt gedacht. Diese Massen mx, m₂, m₃ . . . mögen um zi, z₂1 H • • • unter einer festen wagerechten Ebene liegen ; es soll eine Beziehung für die Ruhelage der Stangenverbindung gesucht werden.

Wird der Stangenverbindung eine unendlich kleine virtuelle Verrückung aus der Ruhelage erteilt, so sind die inneren Spannkräfte der Stäbe, die Widerstände der Widerlagergelenke, die gegenseitigen Kräfte in den Zwischengelenken durchweg bedingte Kräfte;

Fig. 143.

mO

/B

"e

m₃ No-

o -cP

.C

virtuelle Arbeiten werden nur von den Gewichten verrichtet. Erfährt nun eine der Massen m bei der unendlich kleinen Verrückung eine Senkung um dz, so ist die entsprechende virtuelle Arbeit mg ■ dz, und es muß, von der Ruhelage aus gerechnet,

sein.

0 = 2’ (mg • dz) — g |ml • dzx m₂ • dz₂ + . .

Dafür kann man, weil die Massen unveränderlich sind, auch schreiben

•)

0 = g • d (ml zl + m₂ z₂ +

Hat der Schwerpunkt S der Massen m in der Ruhelage eine Tiefe z₀ unter der festen wagerechten Ebene, so ist nach der Lehre vom Schwerpunkte

2 m • z = M ’ z₀

(s. 1. Teil, Aufl. 4, S. 169), wenn m — 2'm die Gesamtmasse bedeutet. Daher wird

0 — d (M • Zq) = M ■ dz₀ oder dz₀ — 0 die Bedingung für die Ruhelage der Gelenkstangenverbindung.

' Bei einer unendlich kleinen virtuellen Verrückung darf der Schwerpunkt der gesamten Masse sich weder heben noch senken, d. h. er muß in der Ruhelage entweder möglichst tief oder möglichst hoch liegen.

Befindet sich der Schwerpunkt S in der Ruhelage so tief wie möglich, so wird einer endlichen virtuellen Verrückung eine Bahnlinie des Schwerpunktes entsprechen, wie in Fig. 143 angedeutet. Erfolgt die Verrückung aus der Gleichgewichtslage etwa durch einen leichten seitlichen Stoß, welcher der Massengruppe ein gewisses Arbeitsvermögen erteilt, so wird dieses bei der nunmehr erfolgenden Hebung des Schwerpunktes aus der tiefsten Lage durch die negative Arbeit der Schwere aufgezehrt; die Massengruppe erhält die Geschwindigkeit Null, wird dann durch die Schwere zu der ursprünglichen Gleichgewichtslage zurückgeführt, führt um diese Schwin-

Fig. 144.

^o-O-o^

O-

\

—o-

und kommt, nachdem letztere durch Widerstände

gungen aus

vernichtet sind, schließlich in der sicheren (stabilen) Gleich-

Lag der Schwerpunkt aber im Gleich

gewichtslage zur Ruhe.

gewichtszustande so hoch wie möglich (Fig. 144), so wird der, einem kleinen Anstoße folgenden Senkung des Schwerpunktes eine positive Arbeit der Schwere entsprechen, d. h. die Massengruppe wird sich beschleunigt immer weiter aus der ursprünglichen Ruhelage entfernen und erst in einer neuen sicheren Gleichgewichtslage mit tiefliegendem Schwerpunkte zur Ruhe gelangen.

Die tiefste Lage des Schwerpunktes entspricht also der natürlichen sicheren Gleichgewichtsform, die höchste Lage der künstlichen, unsicheren (labilen) Gleichgewichtsform. Bei unendlich vielen Stangen geht die erstere Form in die Kettenlinie, die zweite Form in die Drucklinie über (s. Keck-Hotopp, Elastizitätslehre,

2. Teil, Aufl. 2, S. 160 u. f.).

Die Gleichgewichtsform einer Kette, die der Bogenlänge nach gleichmäßig belastet wird, ist die gemeine Kettenlinie

Fig. 145.

~xf

to

-?<v

i

—>k-—----

v \ !

Ä'

-ix

r-----

(Fig. 145), deren Gleichung, bezogen auf den Anfangspunkt O (nach Keck-Hotopp, Elastizitätslehre, 2. Teil, Aufl.'2, S. 109) lautet:

1)

V = Var \er + e r) .

Darin bedeutet r den Krümmungshalbmesser im Scheitel C. Da dem sicheren Gleichgewichtszustände die möglichst tiefe Lage des Schwerpunktes entspricht, so kann man auch aus dieser Bedingung die Gleichung der gemeinen Kettenlinie finden, indem man die

Frage stellt: Nach welcher Kurve muß eine bei A und B befestigte Kette von gegebener Länge geformt sein, damit ihr Schwerpunkt so tief wie möglich liege. Die Lösung dieser Aufgabe mit Hilfe der Variationsrechnung führt tatsächlich auf die Gleichung 1. Diese Behandlung überschreitet den Rahmen unseres Buches; doch möge der Nachweis geführt werden, daß, wenn man die im Gleichgewichte befindliche Kette ACB bei C lotrecht abwärts zieht und dadurch (annähernd) in die geknickte Form ACB überführt, der Gesamtschwerpunkt sich von S nach S' hebt.

Hat der Aufhängepunkt B die Koordinaten xl und ylt so findet man die Bogenlänge CB = s leicht zu

_£!

2)

s = ¹/2r\er — e

Für die Höhe des Schwerpunktes S der Kettenlinie ACB = 2 s über 0 gilt daun, wenn man den Faktor 2 beiderseits fortläßt:

weil, wie man leicht erkennt,

ds =

>*i

Dann wird

s-y o =

s-y o =

Weil aber nach Gl. 1 und 2

^y₂-dx,

t o

— -ydx ist.

T

r ■ x:

r²

2 xs

+ 2 + e r I dx oder

r²

2 x\

2*i

2 ,T]

_ 2^*|

yis = -j\e -

so kann man schreiben

mithin

s-yn =

r‘xi i Vrs.

2 ‘ 2 ’

_r • X[ y,

Jo - TT ⁺ 2"

oder für die Tiefe des Schwerpunktes S unter der Sehne AB:

V\ r-x i 2    2 s'

Wird die Kette von der Länge 2s, aber in die Form AC'B gebracht, so ist AC = s und die Tiefe des Schwerpunktes unter AB

Es ist zu beweisen, daß z₀ > Zj , oder z₀² > zx² ; zu dem Ende setzen wir V — z\ = U und untersuchen, ob U> 0 ist. Es wird

2 j/j r • Xj r² • a^²

s² +

s²

Nach den Gl. 1 und 2 findet man leicht

r² + s² = 2/l²;    2/t² — s² = r², so daß

₌ J_ ixi² ■ y? _ 2 a?i yt y

+ r²l ;

da dies ein Quadrat ist, nämlich

so ist ?7> 0, also bewiesen, daß z₀ >    , daß also beim Geradestrecken der

Schwerpunkt sich wirklich gehoben hat.

e) Klappbrücken.

Soll ein Getriebe, an welchem als unbedingte Kräfte nur Schwerkräfte wirken, in jeder Lage im Gleichgewichte sein, so daß bei einer langsamen Bewegung nur Beibimgs-widerstände überwunden zu werden brauchen, so muß für jede Lage dz₀ — 0

sein, d. h. es muß die Ordinate z₀ des Schwerpunktes der gesamten Massengruppe stets denselben Wert behalten.

Diese Bedingung wird erfüllt, wenn der Gesamtschwerpunkt sich bei einer virtuellen Verrückung entweder gar nicht bewegt, oder doch stets in derselben wagerechten Ebene verbleibt.

Derartige Erwägungen finden Anwendung beim Entwerfen größerer beweglicher Brücken, insbesondere Klappbrücken, etwa (Fig. 146) der Brückenkörper AB in die Aage AlBi gebracht

Fig. 146.

Al

je

/ /T

^E/

BÓ—&L

—r£»SL

.//

1/

V'-/-----/b

f! /    /

Soll

werden, so ist dies nach S. 28 am einfachsten durch Drehung um den Punkt O zu erreichen, den man findet, indem man AÄ1 zieht und in der Mitte derselben eine Winkelrechte errichtet, ebenso B mit By verbindet und in der Mitte von BB{ eine Normale zu BBy zeichnet; dann ist O der Schnittpunkt der beiden Normalen.. Bei einer Drehung um O würde aber jeder Punkt, also auch der Schwerpunkt S des Brückenkörpers einen Kreisbogen beschreiben,, so daß hierdurch die gestellte Bedingung nicht erfüllt wird. Soll die Bewegung nun so geregelt werden, daß der Schwerpunkt eine-Wagerechte beschreibt, so könnte man zunächst auf den Gedanken kommen, den Schwerpunkt unmittelbar längs einer Gleitbahn SSt zu führen. Diese Lösung ist aber nicht brauchbar, weil der rechts von der aufgerichteten Klappe befindliche Raum von festen Teilen größtenteils freibleiben soll, um Schiffen die Durchfährt zu gestatten.

Fig. 147.

eS

WH

i ¹    /

i ii

Ol

At*-

ry-

bi

/ //'

ly'

' DtG

Man führt daher (Fig. 147) einen dem Schwerpunkte nicht zu nahe liegenden Punkt D des Brückenkörpers mittels einer um \, einen festen Punkt G drehbaren Gelenkstange in einem Kreisbogen von D nach I)x und gleichzeitig einen anderen Punkt des Körpers, etwa B, mittels-einer Bolle in einer Bahn B Bx, deren Form durch den Kreisbogen DI)y und die vorgeschriebene gerade Bahn SSx des Schwerpunktes völlig bestimmt ist. Nimmt man die Lage des Punktes D am Brückenkörper nach Gutdünken an, so daß dadurch auch Dx festliegt, so ziehe man (Fig. 14G) DDX und in der J/itte E von DDy eine Kechtwinklige EF zu DDX. Dann muß der feste Drehpunkt C der Gelenkstange DC jedenfalls auf EF liegen. Da bei einer Drehung des Brückenkörpers um O (Fig. 146) D auch nach Dx gelangen würde, so muß die Gerade EF auch den Punkt O enthalten. Auf EF kann der Drehpunkt C beliebig

gewählt werden. Da aber die Gelenkstange G D in dem geöffneten Zustande der Brücke eine Lage GDV (Fig. 147) haben muß, welche den Raum für die freie Durchfahrt nicht beengt, da es ferner lür die feste Lagerung des Drehpunktes C erwünscht sein wird, denselben etwa in gleicher Tiefe mit Bv anzuordnen, so wird die Gerade EF (Fig. 146) vielleicht einen zweckmäßig liegenden Drehpunkt G nicht enthalten, so daß also die willkürliche Annahme des Punktes I) nicht glücklich war. Man kann dann auch umgekehrt den Drehpunkt G an passend erscheinender Stelle annehmen, für den Angriffspunkt E> der Gelenkstange aber vielleicht nur eine gewisse Tiefe, d. h. einen gewissen Abstand von der Brückentafel, gegeben durch eine Gerade GII (Fig. 147), festsetzen und nun die Lage des Angriffspunktes T> in der Geraden GH durch Zeichnung in folgender Weise finden. Eine Gerade GO bestimmt diejenige Linie, welche in Fig. 146 EF genannt wurde. Ist nun « der gesamte Winkel, um den die Brückentafel gedreht werden soll, so ist a zugleich der gemeinschaftliche Zentriwinkel aller Kreisbögen, die bei einer Drehung um O von sämtlichen Teilen der Brückenbahn, also auch von Z), beschrieben werden würden. Trägt man im Punkte O an die nach oben verlängerte GO den Winkel %a au, so schneidet der zweite Winkelschenkel die GII in D. Hat man somit die Gelenkstange GD festgelegt, so bleibt nur noch die Form des Führungsschlitzes lür die bei B anzubringende Leitrolle zu bestimmen. Eine analytische Entwickelung der Gleichung der Bahnlinie BBV ist so umständlich, daß man die zeichnerische Ermittelung vorziehen wird. Die in der Brückentafel gegeneinander festliegenden Punkte D, S und B (Fig. 147) bilden ein Dreieck; läßt man D auf dem Kreisbogen D , S auf der Wagerechten SSi sich bewegen, so beschreibt B die Bahnlinie BBX der

Fig. 148.

D,

S,

oB

daher die Punkte der Kurve BB]

Führungsrolle. Man bestimmt

am

bequemsten und sichersten, indem man das Dreieck USB

auf Pauspapier zeichnet oder

aus

starkem Kartenpapier so aus-

schneidet (Fig. 148), daß man I) und 5 auf DDy bezvv. SSl verschiedene Lagen geben und bei B jedesmal einen Zirkelstich machen kann.

B. Bewegung einer Massengruppe.

1, Satz von der Bewegung des Schwerpunktes; Satz vom Antriebe.

Schon im 1. Teil, Aufl. 4, S. 172 wurden die Gleichungen abgeleitet:

d²y

d² z

rp

rł Uj Os    Tr    V

2 m —r— = A. ;    2 m

dt-

Darin bedeuteten x, y und z die augenblicklichen Koordinaten eines Massenpunktes m,

X = 2 K cos öl , Y = A X cos ß, Z — ZK cos y die Summe der in den einzelnen Achsenrichtungen auftretenden Seitenkräfte der äußeren Kräfte K. Daraus folgten nach der Lehre vom Schwerpunkte die Gleichungen

d²x o

~dt* ""Id

worin x₀, y₀, z₀ die Koordinaten des' Schwerpunktes der Massengruppe bezeichnen, deren Gesamtmasse M ist. Diese Gleichungen 2 enthielten den Satz:

Der Schwerpunkt einer Massengruppe bewegt sich so, als ob die ganze Masse der Gruppe in ihm vereinigt wäre und als ob sämtliche äußere Kräfte (parallel verschoben) an ihm wirkten. Die inneren Kräfte der Mas sen gruppe haben auf die Bewegung des Schwerpunktes keinen Einfluß.

Sind äußere Kräfte nicht vorhanden, so kann der Schwerpunkt der Massengruppe sich nur geradlinig und gleichförmig bewegen.

1)

2)

dt²

- Y; 2 m

dt²    M'

dt²

= Z.

d²z o    Z

dt² ~ M'

Die erste der Gleichungen 1 kann mau auch schreiben

dcc

dt

öt

oder wenn v die Geschwindigkeit eines Punktes, vx die Seitengeschwindigkeit desselben in der ^’-Richtung bezeichnet,

Ö 2m vx

öt

= X.

Ist v = c und vx = cx für t = 0, so ergibt die Integration vorstehender Gleichung

3)

2 m vx — 2 m cx = f A

‘dt.

Das Produkt aus Masse und Geschwindigkeit = m v nennt man die Bewegungsgröße der Masse, mvx die Bewegungsgröße in der ^-Richtung. Das Produkt aus einer Kraft und der Zeit ihrer Einwirkung = Kt heißt der Antrieb der Kraft; für veränderliche

Kräfte ist der Antrieb also allgemein JK• dt; es ist

fr

■dt der

Antrieb der in der ^-Richtung wirkenden äußeren Kräfte.

Gl. 3 stellt den Satz vom Antrieb und der Bewegungsgröße dar; er lautet in Worten:

In einer bestimmten Achsenrichtung ist während irgendeines Zeitraumes die Zunahme der Bewegungsgröße einer Massengruppe gleich dem Antriebe der in dieser Richtung wirkenden äußeren Kräfte.

Ist in einer Achsenrichtung die Summe der äußeren Kräfte Null, d. h. X— 2K cos a = 0, so erfährt in dieser Achsenrichtung die gesamte Bewegungsgröße der Massengruppe keine Änderung.

Wegen 2mx—MccQ ist

4)

2mvx — M •

dX()

dt ’

d. h. in einer bestimmten Achsenrichtung ist die Bewegungsgröße der ganzen Massengruppe gleich der ganzen Masse mal der Geschwindigkeit des Schwerpunktes; ändert sich also in einer Achsenrichtung die Bewegungsgröße nicht, so behält der Schwerpunkt die gleiche Geschwindigkeit bei.

Keck-Hotopp, Mechanik. HI. 2. Auil.

13

Ergänzende Bemerkung zü den Schwerpunktsbestinmiungni im 1. Teile, Aufl. 4, S. 159 und 164.

zu

Der Abstand des Schwerpunktes einer Halbkreisfläche von dem Durchmesser wurde im 1. Teile, Aufl. 4, S. 159 gefunden

s» I £ IcO

Fig. 149.

-9

oder, wenn der Halbmesser b genannt wird,

œ₀ =

Die Halbellipse von dem Durchmesser 2 a und der Höhe b (Fig. 149) kann man sich in der Weise aus dem Halbkreis entstanden denken, daß jeder zu dem begrenzenden Durchmesser parallele Flächenstreifen in dem Verhältnis a:b verlängert ist. Infolge dieser Verlängerung ändert sich das statische Moment des Flächenstreifens in demselben Verhältnis a:b. Da nun das statische Moment = Fläche mal Schwerpunktsordinate, so bleibt letztere unverändert, wenn das statische Moment und der Flächeninhalt sich in gleichem Verhältnis ändern. Man kann daher ohne Rechnung schließen, daß der Schwerpunkt der Fläche einer Halb ellipse von der Höhe b in dem Abstande

ö)

3 Jt

von dem begrenzenden Durchmesser 2a liegen muß.    •

Eine ähnliche Beziehung besteht zwischen dem Schwerpunkt eines Halbkugelkörpers und des Körpers eines Halbellipsoides. Vergrößert man, von einem Halbmesser c ausgehend, sämtliche Längen in der ^-Richtung in dem Verhältnis a:c, sämtliche Längen in der ^-Richtung in dem Verhältnis b:c, so ensteht ein Halb-ellipsoid, dessen Grundfläche eine Ellipse der Halbachsen a und b, dessen Höhe = c ist. Jede zur Grundfläche parallele Scheibe hat

sich auf das fache vergrößert, das statische Moment jeder Scheibe

in bezug auf die Grundfläche also in demselben Verhältnisse. Sonach muß die Höhe des Schwerpunktes des Körpers des Halb-ellipsoides von der Höhe c betragen

6)

³/sc,

wie es für den Halbkugelkörper vom Halbmesser c im 1. Teile, And. 4, S. 164 gefunden wurde.

2. Anwendungen des Satzes von der Bewegung des Schwerpunktes und des Satzes vom Antriebe.

a) Gerader, zentraler Stoß.

Fig. 150.

CS®

cT

Wenn zwei Körper von den Massen Mx und M₂ mit den Geschwindigkeiten cx und c₂ in geradem zentralen Stoße Zusammentreffen (mit cx > c₂), so ist, wenn man beide Körper als eine einzige Massengruppe betrachtet, die während der Stoßdauer zwischen beiden Massen auftretende Druckkraft N eine innere Kraft. Es wirkt daher auf die Massengruppe, wenn man die Schwere und die Reibung außer acht läßt, keine äußere Kraft, also ist die Geschwindigkeit u des Schwerpunktes S der Gruppe beider Körper gleichbleibend: es gilt nämlich nach Gl. 4, S. 193

cx -)- M₂ c₂ — (-4/j -(- d/₂) u, d. h.

7)

M\ C, -f- Mty c₂

Mx + M₂ ’

Dies ist zugleich die gemeinschaftliche Geschwindigkeit der Schwerpunkte beider Körper im Augenblicke der stärksten Formänderung (s. 2. Teil, Aufl. 3, S. 139, Gl. 5). Bewegen sich die Massen nach dem Stoße mit verschiedenen Geschwindigkeiten vx und v₂ weiter, so ist, da die gesamte Bewegungsgröße gleich bleibt,

Mx vx + M₂ v₂ — Mx cx + M₂ c₂ , woraus

— v\ _ M*

v-2 — C₂ Mx

wird (s. 2. Teil, Aufl. 3, S. 138, Gl. 4); die Geschwindigkeit des Gesamtschwerpunktes aber bleibt unverändert u (nach Gl. 7), solange keine äußere Kraft, auftritt.

13*

b) Verhalten eines auf dem Wasser schwimmenden Kahnes.

Befindet sich in einem Kahn ein Mensch und haben beide die Geschwindigkeit Null, so hat auch der Gesamtschwerpunkt von Kahn und Mensch die Geschwindigkeit Null und wird, wenu keine äußeren Kräfte in wagerechter Richtung auftreten, auch keine wagerechte Bewegung erfahren. Bewegt sich der Mensch in dem Kahne nach vorn, so wird der Kahn unter ihm zurückgehen, u. zw. wenn man den Bewegungswiderstand des Kahnes vernachlässigt, um genau so viel, daß der Gesamtschwerpunkt an derselben Stelle verbleibt. Die Ursache dieses Verhaltens besteht darin, daß der Mensch heim Vorwärtsschreiten einer Kraft bedurfte, die zwischen seinen Füßen und dem Boden des Kahnes auftrat, den Schreitenden vorwärts, den Kahn aber, nach dem Gesetze der Wechselwirkung, rückwärts trieb.

Hat der Mann den Kahn ans Ufer gerudert und zieht die Ruder ein, um ans Land zu steigen, so wird er, wenn er von der Ruderbank nach dem Vorderende des Kahnes gelangt ist, bemerken, daß dieser das Ufer nun nicht mehr berührt. Ist der Kahn sehr leicht, so wird der Mann nun vielleicht den Uferrand nicht mehr ergreifen können. Befinden sich in der Mitte des Kahnes zwei Menschen, so läßt sich dieses Zurückweichen vom Ufer dadurch vermeiden, daß, während der eine nach dem Vorderende ging, der andere nach dem Hinterende schreitet. Dann heben sich die Wirkungen an dem Kahne gegenseitig auf. Der erstere kann sich am Lande festhalten, und nun darf auch der Gefährte nach vorn schreiten, ohne den Kahn zurückzutreiben, da die Hand des ersteren jetzt eine Kraft ausübt, die den Gefährten und somit auch den Gesamtschwerpunkt nach dem Ufer hinzieht.

Befinden sich in dem Kahne Steine oder dergl., so kann man durch Fortwerfen derselben nach rückwärts den Kahn vorwärts treiben; denn zum Fortschleudern eines Steines ist eine wagerechte Kraft erforderlich, die sich nach dem Gesetze der Wechselwirkung durch den Körper des Werfenden auf den Kahn überträgt und diesen in entgegengesetztem Sinne forttreibt. Auch durch Abfeuern von Gewehren nach rückwärts wird man einen Kahn vorwärts bewegen können.

c) Der Schwerpunkt als Mittelpunkt eiuer Massengruppe.

Der den Bedingungen

Imz

Mxq = Im x, Myn = Irny, Mz₀

entsprechende Punkt S mit den Koordinaten x₀, y₀, z₀, welcher im 1. Teile, Auf. 4, S. 170 als Massenmittelpunkt bezeichnet wurde, läßt sich noch in anderer Weise als Mittelpunkt einer Massengruppe erklären, insofern er derjenige Punkt ist, welcher von der Gesamtheit der Massengruppe den kleinsten Abstand hat (im Sinne der Methode der kleinsten Quadrate verstanden). Denn es läßt sich der Satz beweisen:

In einer Massengruppe wird die Summe der Produkte, die durch Multiplikation eines jeden Massenpunktes m mit dem Quadrate des Abstandes von einem bestimmten Punkt entstehen, ein Minimum, wenn dieser bestimmte Punkt der Schwerpunkt der Massengruppe ist.

Fig. 151.

Sc

Hat ein beliebig in der Massengruppe gewählter Festpunkt B (Fig. 151) die Koordinaten xx, yx, zx, der Schwerpunkt S die Koordinaten a?₀, y₀, #0, ein Massenpunkt m die Koordinaten x, ?/, z, so gilt für den Abstand s des Punktes m von B :

-X

*2 ₌ (x — xx)² + (y — yxY + (z — *i)².

Y'

Bezeichnet man die fragliche Pro-duktensumme in bezug auf den Punkt B mit W, so ist

W = Im {{x — xx)² + {y — yxY + (z — *i)²} ; dieselbe wird in bezug auf den Schwerpunkt S:

W₀ = Im {(,x — x₀)² + (y — VoY + (z — *o)²} •

Der Unterschied beider Summen beträgt:

W— W₀ = Im {{x - xtf- -{x- x₀)² + (y - 2/i)² - (2/ “■ 2/o)²

+ {* — Z\Y— {z — żo )²}-

Führt man die Quadrate aus, bedenkt, daß x₀, y₀, z₀ und x{, yx, zl konstant, daß Zmx — Mx₀ usw. geschrieben werden kann, so ergibt sich nach einfacher Zusammenziehung

W— lf₍₎ = M {x± ~ — 2 x₁ x₀ -j- <%q~)

+ M{yx- — 2?/, 2/₀ + 3/₀:2)

-f- M[zx- — 2z₁z₀-j-z₀²) oder W- W₀ = Jf {(*, -    + (y, - y₀y + 0, - *„)’}.

Nennt man aber e den Abstand der beiden Punkte B und S, so ist ö2 ₌    _ x₀)°- + Q/j — 3/₀)² +    — *₀)2, daher

W—WQ = Me'-.

Da dies wegen des Quadrates s^O, so ist stets WzL ir₀ und erreicht seinen kleinsten Wert Null für e — 0, d. h. wenn B mit S zusammenfällt.

3. Der Satz des Arbeitsvermögens.

Ist c die Anfangs-, v die Endgeschwindigkeit eines Massenpunktes in einer Massengruppe, so ist nach 1. Teil, Au fl. 4, S. 174

i)

2’ ¹/2m v- — 2^/2 m c- — 2’5I/fe + 2’?!;, wenn 2’21* und 2'2h die Arbeitssumme der äußeren bezw. inneren Kräfte der Gruppe bedeuten, oder:

Die Zunahme des Arbeitsvermögens einer Massengruppe ist gleich der Arbeitssumme der äußeren und der inneren Kräfte.

Befinden sich unter den äußeren oder inneren Kräften sog. Bedingungskräfte (s. S. 175), deren Wirkung sich durch gewisse geometrische Bedingungsgleichungen für die Bewegung der Massengruppe ausdrücken läßt, so verrichten diese bei jeder virtuellen Verrückung, mithin auch bei der wirklichen Bewegung nach S. 170 eine Arbeit gleich Null, können also bei der Aufstellung der Arbeitssumme unberücksichtigt bleiben. Dahin gehören nach S. 177 und 1. Teil, Aufl. 4, S. 175 die inneren Kräfte starrer Körper, ebenso auch nach 2. Teil, Aufl. 3, S. 241 die inneren Kräfte tropfbarflüssiger Körper, für welche die Bedingung unveränderlichen Kauminhalts besteht und bei der Bewegung durch ein Gefäß noch die

Bedingung, daß Querschnitt mal Geschwindigkeit für alle Teile des Gefäßes in irgendeinem Zeitpunkte den gleichen Wert haben. Dahin gehören auch nach S. 178 die inneren Kräfte eines Maschinengetriebes. Dieser Satz, daß die Arbeit der Bedingungskräfte Null sei, gilt aber nur, solange diese Kräfte endliche Größe haben. In solchen Bällen jedoch, wo zur Aufrechterhaltung der Bedingungen unendlich große Kräfte erforderlich werden, erscheint ihre Arbeit in der Form oo • 0 und muß durch besondere Verfahren näher bestimmt werden. Mit derartigen Fällen hat man es stets zu tun, wenn die Bedingungen der in Bewegung befindlichen Massengruppe plötzliche Geschwindigkeitsänderungen erfordern. Diese sind nur durch unendlich große Kräfte zu bewirken, und da es unendlich große Kräfte an einer endlichen Massengruppe in Wirklichkeit nicht gibt, so werden die entsprechenden Bedingungen tatsächlich nicht in aller Schärfe, sondern nur annäherungsweise gültig bleiben.

Diese Betrachtung findet auf alle Fälle Anwendung, wo als starr angenommene Körper mit verschiedenen Geschwindigkeiten Zusammenstößen. Würden die Körper beim Stoße völlig starr bleiben, so müßten zwischen ihnen und in ihrem Inneren unendlich große Kräfte auftreten; in Wirklichkeit aber werden zusammenstoßende feste Körper gewisse Formänderungen erfahren, und die inneren Kräfte werden beim Stoße Arbeiten leisten, die (s. 2. Teil, Aufl. 3, S. 140 u. f.) sich nach dem Verhalten der Körper während des Stoßes richten und in den meisten Fällen negativ gefunden werden. Ähnlich verhält es sich hei der Bewegung des Wassers durch Gefäße mit plötzlichen Querschnittsänderungen (s. 2. Teil, Aufl. 3, S. 260). Auch in solchen Fällen werden die bei der Ableitung der Grundgleichung I (2. Teil, Aufl. 3, S. 246) angenommenen Bedingungen nicht mehr scharf zutreffen, es wird daher auch die Arbeit der inneren Kräfte nicht mehr Null sein, sondern einen negativen Wert haben. Diese negativen Arbeiten, die sich durch einen Verlust an äußerem Arbeitsvermögen zu erkennen geben, verwandeln sich (nach 2. Teil, Aufl. 3, S. 348) in Wärme.

Der Satz der Arbeit gilt daher nur unter Berücksichtigung der durch etwaige Stöße veranlaßten Arbeitsverluste.

Beispiel 1: Bewegung einer Kette. Ist eine Kette bei A (Fig. 152) derartig aufgewickelt oder niedergelegt, daß beim Abziehen des freien Endes B kein Klemmen und keine Reibung entsteht, und wird dem bereits gerade gestreckten vorderen Teile von der Länge a eine wagerechte Geschwindigkeit c erteilt, so wird, wenn äußere Kräfte nicht wirken, die Kette sich weiter abwickeln und an der Bewegung teilnehmen'. Es soll berechnet werden, welche Geschwindigkeit v der gerade gestreckte Teil der Kette in einem Zeitpunkte hat, wo eine Länge x abgewickelt ist (Fig. 153). Hierbei muß nach dem

Fig. 15.2.

Fig. 153.

->!

Satze vom Antriebe (S. 193) wegen des Fehlens äußerer Kräfte die Bewegungsgröße stets den gleichen Wert behalten. Ist die Masse der Kette gleichmäßig über deren Länge verteilt, so kann man die Masse der Längeneinheit = 1 setzen. Zu Anfang war (Fig. 152) die gesammte Bewegungsgröße a ■ c; nachdem x Längeneinheiten die Geschwindigkeit v erhalten haben (Fig. 153), beträgt sie x-v\ daher wird

2)

x-v = a-c, oder v = c—.

x

Setzt man nun v — dx: dt, so erhält man

x ■ dx = a • c ■ dt

und daraus, weil x = a für t = 0 werden muß,

3)

x' = a-+2act oder x = ]/ra(a+2ct).

Dies ist die Bewegungsgleichung, welche in Verbindung mit Gl. 2 die Geschwindigkeitsgleichung

4)

1+2 — t

Nach Gl. 2 und 4 wird erst v = 0 für x — oo und für t = oo .

liefert.

Das Abwickeln der Kette würde also bei Abwesenheit aller Widerstände niemals aufhören, wie groß auch die Länge der bei A (Fig. 152) aufgeschichteten Kette sein mag. Diese Betrachtung gilt auch für den Fall, daß die ursprünglich mit der Geschwindigkeit c in Bewegung gesetzte Kette von der Länge a mit einer steifen Stange, etwa einer Harpune vertauscht 'wird, welche gleiche Masse mit einer Ketten- oder Seillänge a hat und infolge der ihr erteilten Bewegungsgröße a • c Kette oder Seil nach sich zieht. Auch auf einen sog. Raketenapparat zur Rettung Schiffbrüchiger findet Gl. 4 Anwendung.

Man kann diese Aufgabe auch mittels des Satzes der Arbeit lösen. Würde man, da äußere Kräfte nicht wirken, unter der Annahme, daß die

inneren Kräfte der undehnbar gedachten Kette keine Arbeit verrichten, die Änderung des Arbeitsvermögens = Null setzen, so müßte V2 xv² = V2 « c², mithin

<5

ri

sein, was mit Gl. 2 in Widerspruch steht und unrichtig ist, weil in jedem Zeitteilchen dt ein Kettenstück dx stoßweise aus der Geschwindigkeit Null in die Geschwindigkeit v des Kettenstückes x übergeführt wird. Hierbei erfolgt während der Zeit dt ein Verlust an Arbeitsvermögen, der (nach 2. Teil, Auf! 3, S. 141, Gl. 13 bezw. 14) mit M— x; Mx = dx\ c — v; cx = 0; k — 0 sich zu

x ■ d x v2 x -f d x 2

bestimmt. Das Arbeitsvermögen der Kette, ²/2XV² erfährt während der Zeit dt eine Zunahme ¹/2d(xv²) und diese ist offenbar ——dx ■ -y (Gl. 5) zu setzen.

Da x und v beide mit t veränderlich sind, so wird aus

d (x v²) = — dx • v'² : x ■ 2 vdv + v² • dx = — v²dx 2 vdv-x= — 2 v²-dx oder

5)

— = dx ■

v²

dx

also

Ix

-¹ (4)+c’

und, weil für x = a sein muß v = c:

la

= l + C, also

und

was mit Gl. 2 übereinHimmt.

Beispiel 2: Schwingung des Wassers in einer gekrümmten Röhre.

Das in einer nach Fig. 154 geformten Röhre befindliche Wasser bilde im Gleichgewichtszustände den Wasserspiegel AB. Der Querschnitt der Röhre sei F\ sie sei auf eine Länge b mit Wasser gefüllt, so daß die Wassermenge das Gewicht Mg = y • F • b habe. Durch irgendeine Ursache werde der Ruhezustand des Wassers derartig gestört, daß das Wasser in der ruhenden Röhre mit der Geschwindigkeit c durch die Gleichgewichtslage hindurchgeht.

Fig. 154.

In dem Augenblicke, wo sich die

linksseitige Oberfläche bei C, die rechtsseitige bei Z) befindet, d. h. um x über bezw. unter der Gleichgewichtslage, sei die Geschwindigkeit der ganzen Wassermasse v-, dann ist die Änderung des Arbeitsvermögens der Wassermasse von der Gleichgewichtslage (x — 0) bis zu der beliebigen Lage (x = x) :

rF.b.!Lz*.

9 2

Arbeit wird bei dieser Bewegung, wenn man die Reibung vernachlässigt, nur von der Schwerkraft verrichtet, denn die Druckkräfte der Röhre gegen das Gefäß stehen überall rechtwinklig zur Bewegung des Wassers längs der Wandungen, und die inneren Kräfte des Wassers verrichten in diesem Falle keine Arbeit, weil plötzliche Querschnittsänderungen nicht vorhanden sind und die Krümmungen mit genügend großem Halbmesser angenommen werden (s. 2. Teil, Aufl. 3, S. 297). Die Arbeit der Schwere kann man am einfachsten berechnen, indem man sich das zwischen B und D ursprünglich vorhandene Wassergewicht y.F-x nach AC verrückt denkt, wobei der Schwerpunkt von S\ nach S, d. h. um x gehoben wird. Dann ist die Arbeit —y • F ■ x*. Aus

= — y ■ F ■ x²

v² — c²

v — i je²

ergibt sich dann

Setzt man zugleich

v = -tt , so wird dt

dt =

]/c*

Wandelt man die rechte Seite um in

r 4-fi)

2 n x²

TV²

so ergibt die Integration

wobei die Konstante verschwindet, weil für t = 0 auch x — 0 sein muß.

Diese Gleichung für die Bewegung der beiden Wasserspiegel und somit

auch für die ganze Wassermasse entspricht der Gl. 4, S. 69 für die geradlinige Schwingungsbewegung

. k

arc sin —

wenn man k = |/ setzt. Daher ist die Bewegung eine Schwingung um die Gleichgewichtslage als Mitte; die halbe Schwingungsweite, d. h. die größte

Hebung und Senkung der beiden Wasserspiegel von der Gleichgewichtslage aus, beträgt (nach Gl. 8, S. 70)

_ c _    / b

a-T-c]rg'

die Dauer einer einfachen Schwingung (nach Gl. 7, S.. 70)

entsprechend einer Pendellänge ¹/2 b .

Beispiel 3: Querscliwingungen eines elastischen eingespannten Stabes.

Der Fall, wo ein eingespannter Stab am freien Ende eine Masse trägt, gegen welche die eigene Masse des Stabes vernachlässigt werden kann, und mit dieser Masse Querschwingungen ausführt, wurde auf S. 76 behandelt.

An dieser Stelle möge nun der Fall betrachtet werden, wo der prismatisch gedachte Stab nur mit seiner eigenen Masse schwingt.

In einem Zeitpunkte t habe die Mittellinie des Stabes die Form APQ (Fig. 155); der Punkt P weiche um tj, der Endpunkt Q um z von der Form im spannungslosen Zustand AB ab; unter Verachlässigung einer etwaigen Durchbiegung infolge des eigenen Gewichtes ist AB auch die Gleichgewichtsform des Stabes.

Fig. 155.

I

Jb

a-

WW/.

■ÓB

Die Biegungslinie APQ ist zunächst unbekannt. Der beliebige Punkt P derselben hat eine aufwärts gerichtete Be-

K,-----3C------- C

op

schleunigung r-, beachtet man, daß an jedem Massenteilchen m = —

y

der abwärts gerichtete Trägheitswiderstand —

■ F■ dx ■ r wirkt, so halten diese

Widerstände den wirklich vorhandenen Kräften das Gleichgewicht; mithin ist APQ die Biegungslinie für eino ruhende stetige Belastung, welche an der beliebigen Stelle P für die Längeneinheit die Größe

1)

F-r hat.

p = —

ö

Befindet sich die Schwingung des Stabes im Beharrungszustande, so erfolgt die Bewegung der Punkte P und Q nach ähnlichen Gesetzen, und da nun beide Punkte in der gleichen Zeit die verschiedenen Wegeslängen rj und z durchlaufen, so müssen sowohl die Geschwindigkeiten wie auch die Beschleunigungen der Punkte P und Q den Wegen 77 und z proportional sein. Für die Geschwindigkeiten u und v, die Beschleunigungen r und q beider Punkte gilt daher

2)

~Z ⁷¹

Hiernach ist die Trägheitsbelastung bei P

P =-^ F^-7j.

9    * ‘

Nach Keck-Hotopp, Elastizitätslehre I. Teil Aufl. 2 S. 178 Gl. 3 wird, wenn man die für den vorliegenden Fall gültigen Vorzeichen beachtet,

3)

P — — F— Tj .

9    ²

Die Lösung dieser Differentialgleichung gibt die Gleichung der Biegungslinie APQ. Weil dieselbe aber transzendent und ziemlich verwickelter Form ist, so möge eine tunlichst einfache Annäherungslösung versucht werden. Da nämlich die dem wirklichen Verhalten entsprechende Belastung nach Maßgabe der Fläche ABQ von der Einspannungsstelle nach dem freien Ende hin stark zunimmt, so wird von den einfachsten Belastungsfällen, deren Bieguugslinien noch in bequemer Weise zu behandeln sind, wohl derjenige mit einer Einzellast am freien Ende den vorliegenden Bedingungen einigermaßen nabekommen, d. h. eine Biegungslinie ergeben, die von derjenigen des schwingenden Stabes in den allgemeinen Verhältnissen nicht zu sehr abweicht. Unter diesen Annahmen möge der Satz vom Arbeitsvermögen auf den Stab angewendet werden.

Sind die Punkte P und Q mit den Geschwindigkeiten u₀ und c durcli die Gleichgewichtslage AB gegangen, so ist die Zunahme des Arbeitsvermögens des Stabes beim Übergange aus der Gleichgewichtslage in die beliebige Lage APQ gleich der Biegungsarbeit desselben, d. h.

4)

y_fw ydx = a.

Einer Einzellast K entspricht aber (2. Teil, Aufl. 3, S. 120 u. 121) eine Durchbiegung

K- (P

3 EJ

und eine innere Arbeit

5)

21 =

3 E-J-z²

Wegen Gl. 2 und 5 wird aber aus Gl. 4:

a*

, weil K = —

3 E-J-z

a:*

vz — c²Ca9J    3 E-J-z²

Wdx = — —

üo

2 z²

aH

Nach 2. Teil, Aufl. 3, S. 46 ist die Gleichung der Biegungslinie für eine Last K:

K fax² x²\ 3z (    ,    x³\

’= wj h" “ -ri " äv» Hr -

somit

6)

L²dx=

9 £2 4 a⁶

f(

a² xx —

■A. a- x> + j dx = 0,236 s² a .

Hieraus folgt

7)

JL F

c² — v²

2 z²

■ 0,236 z²a —

3 EJz²

und

v² — c² — 12,7i

E-Jg

Dies entspricht nach S. 69 mit

a⁴ y-F •

8)

k² = 12,7i

EjJg

a⁴ y • E

der Geschwindigkeitsgleichung einer geradlinigen Schwingung des Stabendes Q. Mithin ist die Schwingungslänge nach S. 73 ₌ g_ a⁴ y • F k²    12,71 EJ

•9)

= 0,63 f, wenn

Y - F-a4 8 E ~J~

die Durchbiegung unter dem eigenen Gewichte des Stabes bedeutet. Die Dauer einer einfachen Schwingung ist nach S. 73

tl = TZ

= - • a²

Y-F

0,777 y • F

12,7i E ■ J ■ g

oder mit J = F • i²:

10)

0,777 Y

Eg

Für einen eingespannten Stahlstab rechteckigen Querschnittes von a = 0,im freier Länge und h = 0,ooim Dicke sei ^= 7800, E = 2 • 1010 kg/qm , dann wird wegen i² — V¹² und i = 0,289 h 0,oi

0,ooi ]

0,777 • 7800

= 0,oo6i Sekunden, entsprechend 164 einfachen Schwingungen in der Sekunde.

0,289 •

2 • 10¹⁰ • 9,81

4. Zerlegung des Arbeitsvermögens einer beliebigen Massengruppe.

(Fig. 156) in bezug auf ein festes

Fig. 156.

Hat ein Massenpunkt m Achsenkreuz MAT, Af, AZ, die Koordinaten x, y, z und der Schwerpunkt S der ganzen Massengruppe die Koordinaten a?₀, yoi toi so denke man sich durch S ein Achsenkreuz S2T,

SY', SZ' gelegt, welches zu dem festen Achsenkreuz stets parallel bleibt, sich also mit dem Schwerpunkt S verschiebt.

Der Punkt m habe in bezug auf das bewegliche Achsenkreuz die

z'

z>

X¹

Y’Ä—' x’—if

Z'° A

----x₀----------cY

/J

-X

Koordinaten x\ y\ z'. Wenn nun m von der Ebene Y' SZ' um x\ die Ebene Y' SZ' von der Ebene Y AZ um x₀ entfernt ist, so muß der Punkt m von der Ebene Y AZ um x = x₍₎-\-x' entfernt sein. Daher hat man die Gleichungen:

x = x₀ + x';    2/ =    + 2/' ; z = z₀+z'.

Hieraus folgt

dx dxn dx' dy dyn , dy dz dz₀ dz' dt dt dt' dt dt ' dt' dt dt dt'

Für die Geschwindigkeit v des Punktes m gilt aber bekanntlich

V-

-(!)'+(f?F+(St

daher wird

. ymv² Vvi((dx₀ dx'V (dy₀

l>    Vdt⁺~dtt ¹ vji

dt

Y /dz,

7 ⁺ V~dt + dt) I ■

Führt man die Quadrate der rechten Seite aus, so bekommt mau einmal die Glieder

m (/dxnV² (dyoy fdz₀\²\

² Y tVdi) + [~dt) ⁺ \~di) V

u. zw. ist diese Summe =

M-ir

—-—, wenn u die Geschwindigkeit des

Schwerpunktes S und M die ganze Masse der Gruppe bedeutet. Ferner entstehen die Glieder

2)

y m ( dx₀ dx1 2 \ dt dt

, o dy₀ dy' dt dt

dzn dz \ dt dt 1’

Nun ist aber in bezug auf die Schwerpunkts ebene Y' SZ' der Wert Emx'— 0, mithin auch 2 m

dt

d x₍₎

dx

= 0.

Da ferner in dem

Gliede 2 die Größe

dt

eine Konstante bedeutet, so wird

Jf(!

d t'

\~T    VU    •11*    f\

Im——, mithin =0, dt

dxn dx'\ dx0 dt dt) dt

und weil für die anderen Achsenrichtungen das gleiche gilt, so wird die ganze Summe 2 zu Null. — Schließlich erhält man in Gl. 1 noch als letzte Glieder:

Ns

to|g

iO

ad a-

io

TYl

so daß die letzte Summe einfach 2—w² geschrieben werden kann. Hiernach wird

3)

Nennt man aber w die relative Geschwindigkeit des Punktes in bezug auf den Schwerpunkt S der Massengruppe, so sind

dx'

dt ¹ dt ¹ dt

die Seitengeschwindigkeiten von w, also dx'V

ni

dy'

dz'

dy'V

dz'V

dt

= w-,

x,mv² M „ .jnw-

²⁻r⁼T“'⁺-~’ d. h. es kann das Arbeitsvermögen einer Massengruppe in zwei Teile zerlegt werden: der eine Teil ist das Arbeitsvermögen des Schwerpunktes, wenn man sich in demselben die ganze Masse der Gruppe vereinigt denkt: der andere Teil ist das Arbeitsvermögen, welches der relativen Bewegung der einzelnen Punkte gegen den Schwerpunkt entspricht. Dieser Satz ist eine Verallgemeinerung des im 1. Teile, Aufl. 4 S. 344/45 für starre Körper bewiesenen; bei starren Körpern kann die relative Bewegung gegen den Schwerpunkt nur in einer Drehung um denselben bestehen, und diese kann nach S. 38 für jeden Zeitpunkt als Drehung um eine durch den Schwerpunkt gelegte augenblickliche Achse mit der Winkelgeschwindigkeit co

7ÏI 'W "

aufgefaßt werden, so daß 2—— für starre Körper gleichbedeutend

u

ist mit ¹/2ja>² (s. 1. Teil, Aufl. 4 S. 316).

Innere Kräfte haben nach S. 192 auf die Bewegung des Schwerpunktes keinen Einfluß, können daher nur das Arbeits-

7ÏÏ VU ~

vermögen 2——der relativen Bewegung gegen den Schwer-

punkt ändern. Äußere Kräfte können sowohl die Bewegung des Schwerpunktes wie auch die relative Bewegung gegen den Schwerpunkt beeinflussen.

5. Potential einer Massengruppe.

Bewegt sich ein Massenpünkt m unter der alleinigen Wirkung m i m

der Anziehungskraft K=k-

r2

eines anderen festen Zentralmassen-

punktes mx (Fig. 157), so gilt nach S. 106 GL 7 für das Potential oder die Arbeitsfähigkeit der Kraft in bezug auf den Punkt m,

Fig. 157.

mit cos (p • ds = dr die Differenzialgleichung k • m m

dr. Wenn der Massenpuukt m sich in

der unendlichen Ferne befindet und auf irgendeinem Wege sich dem Punkte mx bis auf eine Entfernung r zu nähern vermag, so erhält man durch Integration zwischen den Grenzen oo und r

dY = —K-dr

r²

'èr

dr kmxm

Der geometrische Ausdruck für die durch GL 1 bestimmte Ab-

T

hängigkeit zwischen Y und r ist eine gleichseitige Hyperbel.

oo

Befindet der Massenpunkt m sich in irgendeiner endlichen Entfernung r₀ von dem Zentralpunkt mx, die infolge der Bewegung in r übergeht, so ist

1)

OO

Kdr = — k mx m

oo

oo

2)

Y — —\ Kdr = —kmxm

dr

—- — km, m

rH

r²

'»•o

>'o

wofür man auch schreiben kann mit bezug auf GL 1

v; =Yr-Yro

•o    co oo

Beginnt die Bewegung des Massenpunktes m im Unendlichen mit der Geschwindigkeit v = 0, so ist nach GL 1, wenn vr die Geschwindigkeit in der Entfernung r bezeichnet, kmxm mvr2 2~'

Das Potential Y^ der Kraft in bezug auf den Massenpunkt m hat sich in ein gleich großes Arbeitsvermögen des letzteren verwandelt.

Beginnt der Massenpunkt m seine Bewegung in der Entfernung r₀ mit der Geschwindigkeit c, so gilt für seine Geschwindigkeit vr in der Entfernung r die Gleichung

. . . km, m

2 a)

3)

4)

11    1 \ Vjr m • Vr² m c¹

\r rj r° 2

Ist die Bahnlinie des Massenpunktes m so beschaffen, daß dessen Radiusvektor r in stetiger Änderung durch sein Minimum hindurchgeht, so ist in dem Augenblicke, in dem dieses eintritt, das Potential der Kraft in bezug auf den Massenpunkt erschöpft, um alsdann mit r auf Kosten des im Massenpunkte angehäuften Arbeitsvermögens von neuem wieder anzuwachsen.

Wird nun der Massenpunkt m von einer Gruppe von Massenpunkten, etwa von einem festen Körper mit der Gesamtmasse M angezogen (Pig. 158), so ist die gesamte Anziehungskraft K, die der Punkt m von der Massengruppe M erfährt, die Mittelkraft der Anziehungskräfte dK, welche die einzelnen Massenteilchen dM

dM'm

Fig. 158.

Q:

dK

771

dM

o-

auf m ausüben, wobei dK — k-

r2

ist.

= d 31 für

Dieser Anziehungskraft entspricht nach Gl. 1 mit m die Bewegung des Massenpunktes aus der Unendlichkeit bis zur

Entfernung r ein Potential

dVr=

oo

Da nun bei der Bewegung eines Massenpunktes die Arbeit der Mittelkraft gleich ist der Arbeitssumme der Einzelkräfte, so ist auch das Potential der Gesamtanziehungskraft

. . .vr

5)

Cd M

== k • m • l-.

⁰⁰ J r

Darin ist die Arbeit, welche die Gesamtanziehungskraft der Masse M auf den Punkt m während dessen Bewegung aus der Ünendlichkeit bis in die verschiedenen Entfernungen r von den einzelnen Massenpunkten der Gruppe M ausiiben würde, das Potential der Massengruppe.

a) Potential einer dünnen, gleichartigen Kugelschale vom Halbmesser H und der Masse M.

Bleibt (Fig. 159) der Massenpunkt m während seiner Bewegung außerhalb der Kugelschale, so ist (nach 1. Teil, Au fl. 4, S. 60) die gesamte Anziehungskraft K dieselbe, als ob die Masse M der

14

Keck -Hotopp, Mechanik. III. 2. Aufl.

Kiigelschale in ihrem Mittelpunkte vereinigt wäre. Gleiches muß dann auch von der Arbeit der Kraft AT, also auch vom Potential derselben gelten. Es ist demnach das Potential der Kugelschale in bezug auf den aus der Unendlichkeit bis zur Entfernung l vom Kugelmittelpunkte sich heran bewegenden Massenpunkt m, solang l> R:

_ M • m

= k r~‘

Bei veränderlichem l ist die Darstellung des von l abhän-

i

gigen V ^ wieder eine gleichseitige Hyperbel, von der in Fig. 159 nur das Stück BC gezeichnet ist.

Befindet sich der Massenpunkt innerhalb der Kugelschale, ist also l ^ R, so ist die Anziehungskraft der Kugelschale gegen den Punkt gleich Null (s. 1. Teil, Aufl. 4, S. 60/61). Bei der Bewegung des Punktes m aus der unendlichen Ferne her arbeitet daher die Anziehungskraft nur solange, bis der Punkt durch die Kugelfläche ins Innere derselben tritt, 1 = B wird. Zwischen l < R und l = o bleibt also Y konstant, dargestellt durch die Gerade BD (Fig. 159). Setzt man also in Gl. 6 für l den Wert R ein, so wird

Fig. 159.

■g®

tu

00*3

-X

7)

y 0 yR IcMm

R *

oc

b) Potential einer gleichartigen Hohlkugel von endlicher Wandstärke.

Der innere Halbmesser sei Rx, der äußere R₂, die Masse sei M (Fig. 160). Man zerlege dieselbe in lauter konzentrische Schalen von unendlich geringer Wandstärke. Hat eine solche Schale einen Halbmesser r und eine Wandstärke dr, so ist ihre Masse

8)

d M— — • 4 r² • n • d r.

Da nun das Potential eines endlichen Körpers nach Gl. 5 in Form eines Integrals, d. h. einer Summe der Beiträge einzelner Massenteilchen erscheint und da diese Summationen für dünne Kugelschalen durch die Gl. 6 und 7 bereits ermittelt sind, so können nun die Beiträge, weclhe die einzelnen, die Hohlkugel bildenden Schalen zu den Potentialvverten der Hohlkugel liefern, wiederum summiert werden, wobei nur stets diejenigen Kugelschalen, in die der Massenpunkt nach der Form und Lage seiner Bahnlinie hineintreten kann, nach Gl. 7 zu behandeln sind, während für diejenigen Schalen, außerhalb deren der Punkt stets bleibt, Gl. 6 anzuwenden ist.

Je nach der Form und Lage der Bahnlinie des Massenpunktes und dem danach sich ergebenden Kleinstwert von Z, d. i. lmin, sind hier drei verschiedene Fälle zu unterscheiden, nämlich: by) lmin ^ R₂, der Punkt m bleibt außerhalb der Schalen,

Ry, der Punkt tritt in den Hohlraum der Schale hinein, b₃) Ry < lmin < R₂, der Punkt tritt in die Wandung der Schale, aber nicht in deren Hohlraum.

Fig 160.

dr

71

h)

lmin

W)

. . . Für einen außerhalb der Hohlkugel bleibenden Punkt m,

d. h. für lmin > Ro, gilt für alle dünnen Schalen übereinstimmend Gl. 6, daher wird

9)

ylmin kïïh °° lmin

\dM=ka±L.

t)    'min

b₂) . . Für einen in den Hohlraum der Hohlkugel hineintretenden Punkt m, d. h. für lmin < Ry, gilt für alle dünnen Schalen übereinstimmend Gl. 7, doch muß in derselben, da R für die einzelnen Schalen verschieden ist, das dortige

4r²?r* dr

mit

vertauscht werden.

Man erhält dann für die ganze Hohlkugel

10)

T/lmin t

y ^ k • m

.£■4 Xrdr =

0

km^-- 2jt{R₂²- Ry²).

b₃)    ... Für einen aus der Unendlichkeit her auf irgendeiner

Bahnlinie in die Wandung der Schale hinein, aber nicht durch diese hindurch in den Hohlraum derselben tretenden Massenpunkt (i?₂>lnin>jBj) ist für die dünnen Schalen, deren Halbmesser r <1 Imin i die Gl. 6, für die übrigen die Gl. 7 anzuwenden. Erstere

liefern zum Potential der Hohlkugel, wenn man M mit 4 — • r²n • vertauscht, den Beitrag

i?,³'

71 ll

wm    i i •

Imin'

*    9 JR]

Die anderen liefern den Beitrag

• — • Jt (i?₂ ²    Imin) ■

9

& m 4 — ji\r dr — km2 9 Jh

Man erhält dann nach einfacher Zusammenziehung

-i

8i,r

•5

s-

Cu

IO

min

021 to

rlto

CO

•S

c) Potential einer gleichartigen Vollkugel vom Halbmesser R.

Man hat in den vorstehenden Gl. 8 u. 10 nur lil = 0 und R₂ = R zu setzen und zu beachten, daß für den Fall b₃ lmin — 0 ist. Für einen außerhalb der Kugel bleibenden Punkt, d. h. für lmin > R, wird einfach

y/imin

12)

rn M

= hT^'

für einen ins Innere der Kugel hineintretenden Punkt (lmin c R) (nach Gl. 11):

13)

lmin

Hin

= k • m • — • 2 n i?o ---rr-.,

9    ' ' o ⁷

was mit M—^ — R³n auch geschrieben werden kann

k • m • M f 3

14)

lmin

11

Hin

2 RV '

in Fig. 161.

in seiner

Trägt man ylmin Abhängigkeit von lmin als Ordi-naten auf, so erhält man die gleichseitige Hyperbel GE der Gl. 12, welcher sich im Punkte G die Parabel DG der Gl. 14 mit der Achse DA tangential anschließt.

d) Selbstpotential einer gleichartigen Vollkugel.

Maßgabe der Gl. K =

Es fragt sich nun, welches Potential dem Kraftfelde der gegenseitigen Anziehung der Massenpunkte innewohnt, d. h. welche Arbeit die Anziehungskräfte leisten, wenn der Kugelradius sich von einer Länge R auf eine solche Ri ändert.

Auf ein Massenelement von der Form einer konzentrischen Kugelschale vom Radius æ und der Dicke dx (vgl. Fig. 162), also

Führt die Bahnlinie des Punktes bis zum Mittelpunkte der Kugel heran (!min= 0), so wird

F°= =

AD in Fig. 161.

Führt die Bahnlinie des Punktes bis an die Kugeloberfläche heran, so erhält man mit Imin — R aus Gl. 11 u. 13 übereinstimmend

Fig. 161.

Do-

15)

yü km M

= BG

Eine Massengruppe von der Gesamtmasse M erfülle den Kaum einer Vollkugel gleichmäßig und zwar derart, daß die Einzelmassenpunkte unter Aufrechterhaltung ihrer gleichmäßigen Verteilung sich beliebig zu nähern oder zu entfernen vermögen, der von der Masse erfüllte Kugelraum seinen Radius also beliebig ändern kann; zu irgendeiner Zeit habe dieser die Größe R. Die Massenteilchen unterliegen nur der Wirkung ihrer gegenseitigen Anziehung nach k • m, m

von der Masse 4 -Ji-x-dx — , übt nur die von ihm umschlossene

9

dK=4-Ji-x²dx — •

n ■ x?J • —

7 • x³dx

aus, während die Anziehungskraft, mit der die außerhalb des Schalenelementes befindliche Masse im ganzen auf dieses einwirkt, nach S. 210 den Wert Null hat.

Verkleinert sich nun der augenblickliche Radius R der Gesamtkugel infolge der Anziehungskraft um ein Maß dR, so erfährt der Radius x des Schalenelementes eine

Fig 162.

litt

O-----X----W

00

Verkleinerung dR • — und die dabei von der Kraft dK geleistete Arbeit berechnet sich zu

dK• x •

dli IG , ~K~~s”²' f Ii

Für die der Zusammenziehung dR der Kugel entsprechende Gesamtarbeit erhält man durch Integration zwischen den Grenzen x — 0 bis x = R.

16)

H R* • dR.

9~

Um aus Gl. 16 durch Integration zwischen den Grenzen R — R und R — Rx das Potential F^¹ zu erhalten, ist noch zu beachten, daß die Dichte y mit R veränderlich und nur die Gesamtmasse M

3    M

4    jiR*'

15

konstant ist. Daraus folgt M —--

womit Gl. 16 übergeht in

4    y

— nR³, also — à    9

17)

dV=-

dR

R- '

Die Integration ergibt nun

yRl _ ¹ R

18)

5    \R, R)

War die Masse zuerst über den unendlichen Kaum gleichmäßig verteilt, also gewissermaßen zerstäubt, 12 = co, so entspricht der Zusammenziehung bis auf den äußeren Radius Rx ein Potential von der Größe

3 M°-5 Rx '

Diese bei dem Ballungsvorgange geleistete Arbeit setzt sich in dem Verhältnisse

19)

424 nikg = i Wärmeeinheit

(s. 2. Teil, Autl. 3, S. 349) in Wärmemenge um und erteilt der Kugel eine entsprechend hohe Temperatur.

6. Bewegungsgröße und Flächensatz in bezug auf eine Massengruppe.

‘Nach der Lehre vom Schwerpunkt bestehen zwischen den Koordinaten a?, y und z der Punkte einer Massengruppe und denjenigen x₀, y₀ und z₀ des Schwerpunktes derselben in bezug auf ein dreiachsiges Kreuz die Gleichungen

M • #₀ — 2 m • x,

... M ■ y₀ — 2m- y,

. M - z₀ = 2 m • z.

Differenziert man obige Gleichungen beiderseits nach der Zeit und beachtet, daß

dxo

~dt ~ Vxa ’ so folgt

1)

und

d Zq

Vza,

dx

ferner -r- = vx usw.

M • vXa = 2 m • vx,

• • A/ * VyQ ^    * Vy ,

. M • vto = 2m • z.

Durch geometrische Addition der gerichteten Größen beiderseits der Gl. 2 erhält man mit v₀ als wirkliche Geschwindigkeit des Schwerpunktes und v der verschiedenen wirklichen Geschwindigkeiten der einzelnen Massenpunkte

2)

3)

M • v₀ = 2 m • v.

In der Vektorenschreibweise erhält man aus der Schwerpunktsgleichung M• r₀ =    • r (S. 12) durch Differentiation nach der

Zeit mit clr₀ : dt — t)₀ und dx : dt = t) direkt

Jf • b₀ = 2’m • b,

d. h. in Worten: Die Summe der Bewegungsgrößen der Punkte einer Massengruppe ist eben so groß, als die ganze Masse in deren Schwerpunkte konzentriert wäre und sich mit dessen Geschwindigkeit bewegte.

Wirkt nun auf irgendeinen Punkt m der Massengruppe mit der augenblicklichen Geschwindigkeit v im ganzen eine Kraft K, so gilt nach S. 102 Gl. 7 für diesen Massenpunkt in bezug auf irgendeinen Festpunkt O (Fig. 163) in der Vektorschreibweise die Beziehung

3 a)

wenn

Fig. 163

in. v

dt

"V Ä • ï = — • Vm • p • r,

worin r den Radiusvektor des Massenpunktes, V$ • r das statische Moment der Kraft und Vm • b • x das statische Moment der Bewegungsgröße m • b des Massenpunktes oder dessen „Drall“ in bezug auf den Punkt O bezeichnen. Die Kraft 2 wird im allgemeinen aus einer äußeren Kraft und .aus einer inneren von den anderen Punkten der Gruppe herrührenden Kraft IG bestehen. Damit geht obige Gleichung über in

V#a • r + YSti • x = -j— • Vm • b • r. dt

Für jeden anderen Punkt der Massengruppe kaun eine ähnliche Gleichung aufgestellt werden, und durch geometrische Summation aller dieser Gleichungen erhält man

dt

V2¹.    • r + V2fli •x = 4r • ^Vm • b • r.

Beachtet man, daß die inneren Kräfte zwischen den Massenpunkten wechselweise in entgegengesetzter gleicher Größe auftreten, sich im ganzen also aufheben, so bleibt linksseits nur die geometrische Summe der statischen Momente aller äußeren Kräfte bestehen, die nun wieder, da eine Unterscheidung nicht mehr erforderlich ist, mit Sł bezeichnet werden mögen. 2'm-ö-x, die Summe der statischen Momente der Bewegungsgrößen aller Massenpunkte, soll als „Drall" der Massengruppe in bezug auf O mit 25 bezeichnet werden. Damit schreibt sich obige Gleichung

d25

4)

dt

Yl'-ß.- r

Diese Gleichung drückt den Fläcbensatz für eine Massengruppe aus. Er lautet in Worten: Die Änderungsgeschwindigkeit des Dralles in bezug auf einen beliebigen Momente n-festpuukt ist gleich der geometrischen Summe der statischen Momente aller äußeren Kräfte in bezug auf denselben Punkt. Dieser Satz gilt in bezug auf jeden beliebigen Festpunkt O und für jede Art der Bewegung einer Massengruppe oder auch eines starren Körpers.

Um die räumliche Darstellung der in Gl. 4 auftretenden Vektoren mehr als durch zeichnerische Darstellung möglich und zweckmäßig ist, zu unterstützen und ihre Entstehung dem geistigen Auge des Lesers ersichtlicher zu machen, sei dazu noch folgendes hervorgehoben: Die Radienvektoren r der Angriffspunkte der verschiedenen Kräfte $ und der Massenpunkte mit den verschiedenen Geschwindigkeiten b sind im allgemeinen verschiedene Größen und man wird bei Anwendungen zweckmäßig die Gruppe der ersteren und die der letzteren im Sinne der Fig. 163 mit verschiedenen Buchstaben, vielleicht mit r und x' bezeichnen, womit dann Gl. 4 lauten würde

• m • ö • ï'.

V-S-ß-t1 = 4; VJ'

Einzelne Werte von r können natürlich mit solchen von t' zusammen-Die Einzelvektoren der Momente $ • x haben wir uns mit

fallen.

entsprechendem Pfeilsinn rechtwinklig auf der durch den Festpunkt O und die betreffende Einzelkraft festgelegten Ebene zu denken und ebenso die Einzelvektoren der Momente m • 0 • x' rechtwinklig zu der durch O und die Geschwindigkeit 0 des betreffenden Massen-

punktes festgelegten Ebene. Die Vereinigung beider Vektorengruppen $ • x und m • t> • x' kann man sich je durch einen räumlichen Streckenzug vorstellen, dessen Schlußlinie die geometrische Summe V2' • ,ß • x bezw. VA • m • b • r' darstellen. Zur analytischen Durchführung der Summierung könnte man sich die Einzelvektoren beider Gruppen in einem Punkte, etwa dem Festpunkte O zusammengetragen denken und dort in bekannter Weise in ihre Komponenten zerlegen und so vereinigen.

Wäre die Massengruppe oder der starre Körper in einem Punkte drehbar festgehalten und dieser als Festpunkt O angenommen, so könnte die Bewegung derselben in jedem Augenblicke als Drehung um eine durch 0 gehende Achse angesehen werden. Bei der augenblicklichen Winkelgeschwindigkeit co würde dann die Geschwindigkeit ö irgendeines Massenpunktes im rechtwinkligen Abstande g = x¹ sin a von der augenblicklichen Achse ü — g • co sein und das Ergebnis der Projektion aller Vektoren m • b • t' auf die Achse würde sein

4-.X co-Z

d ^j

Tt^œ ' J'

mit J als Trägheitsmoment des Körpers in bezug auf die Achse. Die Projektion der Momentenvektoren Aß • r auf die Achse würde zum Drehmoment 9JI aller Kräfte in bezug auf dieselbe führen und Gl. 4 würde nun lauten

VA

• b • r' sin a —

dt

• m • Q- =

9Jl =

dco

mit e als augenblicklicher Winkelbeschleuuigung. Diese Beziehung ist nichts anderes als das Gesetz der Winkelbeschleunigung (vgl. Teil I, Aufl. 4, S. 325, Gl. 2).

1st 511 = 0 und demnach auch

d(coJ)

— 0, so wird to-J konstant. Würde also bei einem ohne äußeres Kraftmoment sich drehenden Körper das Trägheitsmoment sich ändern, so müßte die Winkelgeschwindigkeit co sich umgekehrt ändern. Würde z. B. die Erde sich infolge von Abkühlung zusammenziehen, so daß J sich verkleinerte, so müßte ihre Winkelgeschwindigkeit co größer werden. Der Umstand, daß zufolge astronomischer Beobachtungen, soweit dieselben zurückreichen, die Zeit der Umdrehung der Erde sich nicht merkbar geändert hat, läßt darauf schließen, daß auch eine wesentliche Abkühlung der Erde in dieser Zeit nicht mehr erfolgt ist.

7. Zwangläufige Bewegung einer Massengruppe gegen einen festen Körper, Massenausgleich.

Eine Massengruppe sei mit einem festen Körper so verbunden, daß beide sich gegenseitig nur zwangläufig, d. h. nur so bewegen können, daß irgendeine mögliche Bewegung eines Massenteilchens relativ zum festen Körper eindeutig bestimmte Bewegungen aller übrigen unabwendbar zur Folge hat. Im übrigen sei die Gesamtmasse der Massengruppe und des festen Körpers frei beweglich. Wirken dann von außen her auf die Gesamtmasse Kräfte nicht ein, oder heben sich etwa angreifende Kräfte in ihrer Wirkung gegenseitig auf, so bewegt sich der Schwerpunkt der Gesamtmasse geradlinig gleichförmig, oder er ruht, wenn er anfänglich in Ruhe war. Es fragt sich nun, wie unter dieser Voraussetzung die zwangläufige Bewegung der Massengruppe gegen den festen Körper geregelt werden müßte, damit dieser eine etwa vorhandene gleichförmig geradlinige Verschiebung (ohne jede Drehung) beibehalte, oder in Ruhe verharre, wenn er zu Anfang ruhte.

Die Zwangläufigkeit der Bewegung der Massengruppe gegen <3en festen Körper bringt es mit sich, daß im allgemeinen zwischen beiden wechselweise Kräfte übergehen (vgl. S. 175; bedingte Kräfte), die dann eine gegenseitige (relative) beschleunigte Bewegung der Massengruppe gegen den Körper und umgekehrt nach Maßgabe der zwangläufigen Verbindung beider zur Folge haben.

Ist [AT] die Gruppe der vom festen Körper auf die Massengruppe ausgeübten Kräfte, [p] die Gruppe der relativen Beschleunigungen der einzelnen Massenteile der letzteren in Bezug auf den Körper, also [ — mp] die Gruppe der entsprechenden Trägheitswiderstände (Ergänzungskräfte), so gilt nach dem Satze von d'Alembert (I. Teil, Aufl. 4, S. 171)

1)

[A'], [-»y>] = 0, wofür man auch schreiben kann, wenn in der Vektorschreibweise Di = 2 • die Mittelkraft aller Kräfte, DRr=V2'R:-r deren resultierendes Moment, 2’—mp die geometrische Summe aller Trägheitswiderstände und V2—mpr deren Momentensumme alles in bezug auf einen Festpunkt O bezeichnen

2)

Di — 2’mp = 0 und D)!r-Y2mp-r = 0;

oder in Komponentengleichungen in bezug auf ein mit dem festen Körper unverrückbar verbundenes Achsenkreuz

X— 2mpx = 0,

4)

... Y — 2 mpy = 0, und Z — 2m p z = 0,

Mx — (2 mpz • y — 2 mpy • z) = 0,

5)

My — (2 mpx • z — 2mpz ■ x) = 0,

Mz — (2’ mpy • æ — 2 mpx • y) — 0 .

(Bezüglich der Klammerwerte in den Gleichungen 5 vgl. Fig. 164.)

Fig. 164.

Ms

ąPz

mPy

wpx +

tjt

■Px

Py

iS

- ' mpz

Darin sind die Beschleunigungen d-x

aus den Bewegungsarten der einzelnen Massenpunkte, wie sie durch die Zwangläufigkeit derselben gegeben sind, zu entnehmen.

Mit denselben Kräften und Momenten sJl und 9Jlr (Gl. 2 und 3) bezw. JT, Y und Z und Mx, My und Mz (Gl. 4 und 5), welche der feste Körper auf die Massengruppe ausübt, wirkt diese vermöge ihrer Trägheit auf jenen zurück. Die Schwerpunkte beider werden also im allgemeinen beschleunigte Bewegungen gegen-

d² r

^ dt²'

Vv =

d-y

dt²

und pz —

d^z

dt²

einander ausführen und ebenso werden Massengruppe und fester Körper infolge des wechselweise von ein zum andern übergehenden Momentes sich gegeneinander drehen. Da nun nach der Voraussetzung der Schwerpunkt der Gesamtmasse beider keinerlei beschleunigte Bewegung und die Gesamtmasse selbst auch keine beschleunigte Drehung ausführen können, so müssen die Einzelschwerpunkte beider Massen beschleunigte Bewegungen und beide Massen selbst beschleunigte Drehungen auch im absoluten Sinne und zwar beides in entgegengesetzter Richtung ausführen.

Bei der im technischen Sinne gedachten zwangläufigen Verbindung der Massengruppe mit dem festen Körper kann sowohl die gegenseitige als auch die absolute Bewegung beider nur eine räumlich beschränkte, also periodische sein, nur in Schwingungen bestehen. Ist die zwangläufige Verbindung zwischen Massengruppe und festem Körper so gestaltet, daß in den Gleichungen 2 und 3 2'm • p und 2'm • p ■ x je gleich Null werden, so müssen auch die von beiden Massen zufolge ihrer zwangläufigen Verbindung wechselweise aufeinander ausgeübten bedingten Kräfte in ihrer Gesamtwirkung sich aufheben, 9t und 9Jlr je gleich Null sein. Die gegen den festen Körper zwangläufig bewegliche Massengruppe wird also dessen Bewegungszustand im ganzen nicht beeinflussen. Eine solche Regelung der zwangläufigen Bewegung der Massengruppe gegen den festen Körper bezeichnet man als Masseuausgleich.

Unter dem - festen Körper kann man sich z. B. das Gestell einer Maschine unter der beweglichen Massengruppe die Bewegungsorgane derselben, ihre sogenannten Getriebeteile vorstellen. Von besonderer Bedeutung ist der Massenausgleich für mobile Maschinen, Lokomotiven, Schilfsmaschinen usw. Der ruhige Gang eines Schilfes in ruhigem Wasser ist wesentlich bedingt durch den tunlichst vollkommenen Ausgleich der bewegten Massen (Kolben, Kurbeln und Gestänge) der Schilfsmaschinen.

Die infolge ihrer zwangläufigen Bewegung zwischen den einzelnen Getriebeteilen und von diesen auf das Gestell wechselweise übergehenden Kräfte, die in der Trägheit der Massen ihren Ursprung haben, pflegt man auch als Massendrücke zu bezeichnen. Ihr Auftreten hat naturgemäß auch eine Inanspruchnahme der Festigkeit sowohl der Getriebe selbst als auch des Maschinengestelles im Gefolge.

16)

Aus den Gleichungen 4 und 5 ergeben sich für den Massenausgleich folgende sechs Gleichungen:

6) ... 2 mpx = 0,

8)    ... 2mpz — 0 r

7) ... 2 mpy = 0

. .    . 2mps • r/ —    2mpy    ■ z — 0,

. .    . 2’ rnpx • 2 —    2' rnpz    • æ = 0    und

. .    . 2mpy • <2? — 2mpx    • y — 0.

Die bei den beweglichen Teilen    von Kolbenmaschinen mit Kurbel

mechanismen in Frage kommenden Bewegungen, für welche hier das Problem des Massenausgleichs weiter verfolgt werden soll, sind stets eben; und zwar sind die Ebenen, in denen sich alle Massenteile bewegen, rechtwinklig zur Maschinenwelle gerichtet. Bichtung der letzteren finden daher keinerlei Bewegungen statt. Ordnet man nun das Koordinatenkreuz, auf das sich die Gl. G bis 11 beziehen, so an, daß der Nullpunkt in die Achse der Maschinenwelle und die ^-Achse in deren Kichtung zu liegen kommt, (vergl. Fig. 165 und 166) so muß für alle bewegten Massenteile px — 0 sein. Von den den Massenausgleich darstellenden Gleichungen kommt daher zunächst die Gl. 8 in Fortfall und in den Gl. 9 und 10 werden mit p. — 0 auch 2mpz-y und 2'mpz • x je gleich Null. Die Bedingungen für den Massenausgleich reduzieren sich danach auf folgende fünf Gleichungen:

... 2 m y x — 0,

9)

12)

13) . . . 2 mp y — 0

n der

14)

... 2 mpx • z = 0

15) ... 2 mp y • z — 0 und

2mpx • y — 2mpy • x — 0.

Es werde nun weiterhin angenommen, daß die Achsen der Z)⁷linder und Kolbenstangen mit der Achse der Maschinenwelle in einer Ebene liegen. In die Richtung der ersteren werde die AT-Achse des Koordinatenkreuzes gelegt, womit dieses festliegt (vgl. Fig. 165 und 166).

Die Anzahl n der zu einem Maschinensystem verbundenen Zylinder und zugehörigen Kurbelgetriebe bleibe einstweilen dahingestellt, jedoch sei schon hier darauf hingewiesen, daß bei einer einzylindrigen Maschine ein die Gl. 12 bis 16 erfüllender Massenausgleich ersichtlich ausgeschlossen ist.

Es soll nun zunächst untersucht werden, welche Beiträge die beweglichen Massen eines Getriebes zu den Summen werten der

Gl. 12 u. 13 liefern. In Betracht kommen für jedes Getriebe folgende drei Massen, bezw. Massengruppen:

1.    Der Kolben mit Kolbenstange und Kreuzkopf als lediglich in der ^T-Richtung hin- und hergehende Masse m.

2.    Die mit der Maschinenwelle fast verbundenen und mit ihr lediglich rotierenden Teile, als Kurbel nebst Gegengewicht, Schwungrad iisw. von der Gesamtmasse m'.

3.    Die Schubstange von der Masse in".

Fig. 165.

Fig. 166.

!+X '

⁺X|

IV

IV

A<

- —if

Z₂

-----u-

' i'

— Zi

'f'iykLv\

+v ¹    Y

a'“f Ö20i'    ⁷

i fk/

JjL_y

-ér-

\z

Y'Yttr

+Z

\\

J—

2r

23

h-

l4'r

Es wird sich zeigen, daß die Masse m" der Schubstange mit einem Teil zu der lediglich hin- und hergehenden Masse in und mit dem anderen zu den lediglich rotierenden Massen m' gerechnet werden kann, ohne daß das Ergebnis in seiner Genauigkeit irgendwie

beeinträchtigt wird. Um zu dieser Verteilung der Masse m" der Schubstange zu gelangen, wollen wir zuerst deren Beiträge zu den Summenwerten der Gleichungen 12 und 13 untersuchen.

xx und yx — 0 seien die Koordinaten des mit dem Kreuzkopf lediglich hin- und hergehenden Endpunktes A der Schubstange (Fig. 167) x₂ und y.₂ diejenigen des um 0 sich drehenden anderen

Fig. 167.

+Y :

----1* “

'«LJ«

io

mit Kolbenstange

Dann erhält man für die Koordinaten x und y

Endpunktes B.

irgendeines Punktes C der Mittellinie der Schubstange im Abstand £ von A

17)

X = Xy

und 18) y — y*'

Durch zweimalige Differentiation der Gl. 17 und 18 nach der Zeit t erhält man für die Beschleunigungen px und py des Punktes C

—    — À

Py dt² dt- l

d²x d²Xy l — £ , d²x2

Px = ~dF²⁼ ~df

dt²

und

Ein Massenteilchen dm" der Schubstange im Punkte C liefert zu den Summenwerten der Gl. 12 und 13 die Beiträge px-dm" und py-dm" und die ganze Stange daher die Beiträge

19)    \

tJ

px • dm" =

d²xx Cl-£ dt² J l

dm" +

d²x2 r £

dt² J l

• dm",

20)

. . . \ Py * dWl

» ₌ dAi.U.dm".

dt² J /

Bei den aus Fig. 167 ersichtlichen Bezeichnungen ist J(l — £) dm" = m" (l—s) und J*£dm" = m" wenn s den Abstand des Stangenschwerpunktes S von A bezeichnet. Man hat daher auch

21)

• m" •

• m" •

Co

und

22)

py • dm" =

^²3/2

d t²

• m" •

Der Anteil m

„l—s

unterliegt also der Beschleunigung

g

Anteil m" — den Beschleunigungen

der Gesamtmasse m" der Schubstange d²xx

dt²

des Punktes A und der

d² oc 2

dt²

und

d²y 2

dt²

des Punktes B.

Die Beiträge der Gesamtmasse m" zu den Summenwerten Gl. 12

und 13 sind danach genau dieselben, als wenn die Masse von vorn-

1/ — s    s

herein mit m"—r— und m" —

, d. h. so auf die Punkte A und B

verteilt wäre, wie das Gewicht der Stange sich verteilen würde, wenn sie in den Punkten A und B gestützt wäre. Der nach B

s

übertragene Massenanteil m" — gesellt sich also zu der Masse m’ der lediglich um die Achse der Maschinenwelle rotierenden Getrieb-teile, während der nach A hin übertragene rn

der nur hin und her sich bewegenden Teile hinzutritt, die wir uns danach insgesamt im Punkt A konzentriert denken können.

In gleicherweise kann man sich die Masse m' der nur rotierenden

Teile, deren gemeinsamer Schwerpunkt S₀ sein möge, mit — -m' und -——m' auf den Punkt B und die Achse O verteilt denken. Letzterer

,,l s

zu der Masse m

cl** oc    ï/b

Anteil ruht und ersterer erfährt die Beschleunigungen -^₂² und---

des Punktes B.

Keck-Hotopp, Mechanik. III. 2. Aufl.

dt²

15

Für ein ganzes Getriebe ist demnach d²xl

23)    .. . 2'm • px =

J-

dt²

s\ d²x₂(

r dt² l

und

24)    .. . 2'm • py

d²y₂

s0 i    // s

--\- m • —

ir

d² d² üc2 dt² 1    c//²

aus der Bewegungsart der Punkte A und B zu bilden.

Man hat nach Fig. 167 25) ocx — r cos <p + l • cos y>.

27) oc₂ — r cos (p.

Um alle Koordinaten allein auf den Drehungswinkel cp der Kurbel zurückzuführen, beachten wir, daß nach Fig. 167

Es sind jetzt noch die zweiten Ableitungen

und

d²y₂

dt²

26)    2/i=0.

28) y₂ — r sm cp.

r sin cp = l sin xp, also sin ip — ist, oder in eine Keihe entwickelt

y-    ~\ v²

y sin cp und cos ip = V 1 —y sin² cp

m2

sin⁴ cp — ... . ist.

cos ip = l—¹/2-ß sin²<p

Bei den für die höheren Potenzen von r:l in Frage kommenden kleinen Werten kann schon das dritte Glied gegen die Einheit völlig

vernachlässigt werden. Ersetzt man noch sin² 99 durch -—C°S ^ ^,

Li

so erhält man

2² - 2 ! Z⁴

25 a)

xY — r-

cos ç> + 2 (l — ^5) +

cos 2 cp.

Die zweimalige Differentiation der Gleichungen 25a, 27 und 28 nach der Zeit t ergibt, wenn die Winkelgeschwindigkeit co — ^

CL Z

konstant angenommen wird, d²x}

dcp

29)

dt²

— r cos cp co² —

y.2

• cos 293 co²,

30)

d²x o

7z72 =

— r cos cp-co² und 31)    . . .

d²y₂

— —r sin (poj².

Setzt man weiterhin die im Kreuzkopf [A] und ira Kurbelzapfen (B) wirkenden Massen

//(l s

32) . . . m + m

= Ma und 33) . . .

rri s₀

m" • s

so erhält man aus den Gleichungen 23 und 24 nach entsprechender Ordnung

34)

35)

r    V

Zmpx = — [cos cp (Ma + Mb) + y cos 2mpy — — sin (p Mb r oß.

2 (p • MĄ r co²

und

Findet, wie üblich, durch Anbringung von Gegengewichten an

den Kurbeln von vornherein ein solcher Massenausgleich statt, daß der Gesamtschwerpunkt der nur rotierenden Massen einschließlich

des auf den Kurbelzapfen (B) entfallenden Anteiles

"•s

-— der Masse

der Schubstange in die Wellenachse O fällt, so verschwindet die Masse Mb in den Gleichungen 34 und 35, welche letztere damit überhaupt ihre Bedeutung verliert. Es kommen jetzt nur noch Massendrücke in der AT-Richtung in Betracht, herrührend von den nur hin- und hergehenden, in A konzentriert gedachten Massen m

— der

und von den auf den Punkt A entfallenden Anteil Masse m" der Schubstange. Es wird demnach

m" l—

36)

V.

= —[cos <p + y • COS 2 99j

Ma r w².

rnpx

Ähnliche Beiträge, wie die hier für ein einzylindriges Getriebe berechneten, liefert jedes andere Getriebe einer mehrzylindrigen Maschine zu den Massendrücken l'm-px in der Af-Richtung. Ein solches Getriebe, dessen Drehungswinkel cp' von dem des bisher behandelten stets um den Schränkungswinkel a abweicht, für das also <p' = cp-j- a ist, liefert den Beitrag

= — |cos (99 + a) + y cos 2 [cp-j- a)

Ma r co².

36 a) ... 2mpx

Zmpy ist für jedes Einzelgetriebe unter der oben gemachten Voraussetzung gleich Null.    7

Es ist nun immer möglich, die Schränkungswinkel a der Kurbeln für die zu einem Maschinensystem vereinigten Einzelgetriebe so zu

15*

wählen, daß die Vorzeichen der Werte cos (99 + a) und cos 2 (99 + a) für die einzelnen Getriebe und somit auch deren Beiträge zu dem Gesamtmassendruck 2mpx teils positiv, teils negativ ausfällen. Bei einer gewissen Mindestzahl n der verbundenen Einzelgetriebe läßt es sich auch erreichen, daß 2mpx aller Getriebe gleich Null wird, also der Massendruck in der W-Richtung verschwindet.

Summiert man die in Gleichung 36 a für ein Getriebe dargestellten Massendrücke für das ganze Maschinensystem und fordert, daß die Summe gleich Null werde, so führt das zu der Gleichung

37) 2(2mpx) = — 2¹ [cos (99 + a)-f-Ç • cos2 (<p + a)] J/ar • co² = 0,

Die

worin den einzelnen Getrieben sowohl verschiedene Schränkungswinkel öl , als auch verschiedene Massen Ma entsprechen. Winkelgeschwindigkeit co ist für alle Getriebe gleich und zumeist auch der Kurbelradius r und das Verhältnis r:l. Unter dieser Voraussetzung ergibt die weitere Entwicklung der Gl. 37

V

38) — cos 99 2 Ma cos a + sin 99 2 Ma sin a — — • cos 2 99 2 Ma cos 2 a + y • sin 2 cp 2 Ma sin 2 a = 0.

v

Soll diese Gleichung für alle Drehungswinkel 9? erfüllt werden, so muß jeder der Summenwerte für sich gleich Null sein, woraus sich folgende vier Gleichungen ergeben:

38 b) ... 2 Ma sin a = 0,

38 a) ... 2 Ma cos oc = 0,

38 c) ... 2 Ma cos 2 a = 0 und 38 d) . . . 2Ma cos 2 a = 0.

Wir wollen jetzt zunächst noch untersuchen, unter welchen Bedingungen die Gl. 14 und 15 erfüllt, die Massendruckmomente in bezug auf die W-Achse (Gl. 15) und in bezug auf die F-Achse (Gl. 14) je gleich Null werden.

Da die Massen der zu einem jeden Einzelgetriebe gehörigen Getriebeteile (Kolben, Schubstange und Kurbel) als in einer Ebene rechtwinklig zur Z-Achse (Achse der Maschinenwelle) wirkend angesehen werden können, so haben alle auch dieselbe Koordinate z (vgl. Fig. 165 und 166). Man braucht daher, um die Ausdrücke 2mpx • z und 2mpy-z für das ganze Maschinensystem zu bilden, die für die Einzelgetriebe bereits bekannten Massendrücke 2myx

und 2mpy je nur mit der zugehörigen Ordinate z zu multiplizieren und das Ergebnis für das ganze System zu addieren.

Die Massendrücke 2mpy sind aber unter der S. 227 gemachten Voraussetzung für jedes Getriebe gleich Null; daher wird von selbst auch für das ganze System 2mpy-z = 0.

Nach Gl. 36 a liefert jedes Einzelgetriebe zu dem Massendruckmomente l'm-px’Z einen Beitrag

2(99 + a)j Mar-(o²

•S,

J^cos (95 + a) + cos

woraus durch Summierung für das ganze Maschinensystem nach Gl. 14 folgt

jcos (99 + a) + y • cos 2 (99 + oc)J

39)

Ma r ■ co² z = 0

und unter Fortlassung der für alle Getriebe gleichen r und eo² und Entwicklung der cos-Werte, wenn man die cos- und sin-Werte des für alle Einzelgetriebe gleichen Drehungswinkels cp bezw. 2 p absondert

40) — cos <p ZMa cos a • z + sin cp ZMa sin a-z — cos 2 cp ZMa cos 2 a -z + sin 2 99 Z Ma sin 2 a • z = 0.

39 b) .. . ZMa sin a -z = 0,

Soll diese Gleichung für alle Drehungswinkel 99 erfüllt werden, so müssen die vier Summenwerte je für sich gleich Null sein, woraus die vier Gleichungen folgen 39a) ... ZMa-cos z ■ z = 0,

39 c) ... ZMa cos 2 a. z = 0 und, 39 d) . . . ZMa • sin 2 a • z = 0.

Bevor zu der weiteren Besprechung dieser für den Massenausgleich ausschlaggebend wichtigen Bedingungsgleichungen (Gl. 38 a bis 38d und Gl. 39a bis 39d) übergegangen wird, soll nun zunächst noch untersucht werden, inwieweit sich aus der in Gl. 16 ausgedrückten Bedingung der Nullgleichheit des Gesamtmassendruckmomentes in bezug auf die ÜT-Achse (Achse der Maschinenwelle) etwa weitere brauchbare und nützliche Regeln für den Massenausgleich gewinnen lassen.

Wir erkennen zunächst, daß alle in der Richtung der X-Achse lediglich hin- und hergehenden Massen keine Beiträge zu den Summenwerten Zmpxy und Zmpy • x liefern können, weil für alle sowohl y = 0, als auch py = 0 ist.

Ebenso liefern die lediglich um die .Z-Achse rotierenden Massen unter der Voraussetzung konstanter Winkelgeschwindigkeit co keinen

Beitrag zu obigen Summenwerten; denn alle unterliegen nur Zentripetalbeschleunigungen und setzen diesen nur radial nach außen gerichtete Trägheitswiderstände (Zentrifugalkräfte) entgegen, die also keinerlei Momente in bezug auf die Z-Achse haben können. Das ergibt sich auch aus folgender Betrachtung. Ist s der radiale Abstand eines Massenteilchens dm und sind y = s-sin 99, x = S‘ cos 99

—£-cosç?-co²

dessen Koordinate, dann ist^= —    = — s cos    ²—

d~ \f

und py =    ⁼ S ’ sin (p • co² und der Beitrag zu der Differenz

obiger Summenwerte wird

d²x

d²y

• œdm = —s²- cos 99co² sin 99—(— s²- sin (p co²- cos 99)

d. i. Null. Bleibt nur noch der Beitrag der in der Schubstange enthaltenen Masse, die gleichzeitig eine hin- und hergehende und eine Drehbewegung ausführt, zu untersuchen.

Mit den in den Gl. 17 und 18 ausgedrückten Koordinaten x und y eines Punktes C der Achse der Schubstange und den daraus ermittelten Beschleunigungen

_ d-x d²x₁ l—£    d²x2 £

Px~ dt² = ~d¥ ~T-⁺ ~dt² 1

dt²

• y dm

dt²

und py

d²y    dry₂

dJ~~dt² ‘

I Cr>

ist der Beitrag eines Massenelementes dm" in jenem Punkte (einer dünnen Scheibe, die wir uns in C konzentriert denken können) zu der Differenz der Summenwerte 2mpxy— 2 mpyx (Gl. 16)

„( d²x

dm

dt- )

J „ f[d²xl l—£ , d²x2 £\ = dm +

dt²

Summiert man für alle Massenteile dm" der Schubstange, wobei nur £, nicht aber xn x₂ und y₂ als veränderlich anzusehen sind, so erhält man den Beitrag der ganzen Schubstange zu

"(—■y

\dt2 y

dm

iy.a\

dt² I

d²x]

~dëVï

dt² r¹

[f

■dm"

C£²dm" 1 , d?x₀ C£²dm"

J-F-J+

Mit

ern”

.s • rn"

und

'£²dm"

l²

J i²

-p = -ß • m" und nach ent

sprechender Ordnung geht obiger Ausdruck über in dt²    ! U    Pl\dt²

⁺ P l dP

wobei zu beachten ist, daß der Klammerwert des zweiten Gliedes verschwindet, weil der Punkt B (Fig. 167) sich, wie angenommen, mit konstanter Winkelgeschwindigkeit im Kreise bewegt. Der zweite Klammerwert des ersten Gliedes läßt sich umwandeln in

d²xx ~d¥'V2

d²x

dJ-y

d~y-2

dt²

• xx

•y 2

dt² 1

dt²

X-l),

d fd(xi—x-₂) y dy.₂

dt\ dt

\.

dt

die Durchführung der rechts angedeuteten Differentiation führt nämlich wieder zu dem Ausdruck linksseits zurück, wenn man berücksichtigt, daß bei konstanter Winkelgeschwindigkeit co der

ä²y-₂

Maschiuenwelle

d²x o

dt²

•y2

. x-2 = 0 ist. Setzt man nun in vor-

stehender Gleichung x{ — x.₂ = l cos ip ; weiter d (x{ — x₂)

* dt

= — l sin ip

dip

dt ¹

y-2 — l sin ip und

dy₂

dip

dt ¹

so geht sie über in d²xx

-l²-~^-(sm²ip + cos²ip) <~

CLL    CC Tj

und das Massendruckmoment für eine ganze Schubstange wird

dt²

•y2~

xt =

= — l²-

T» -ff

40)    . . . \ dm

"l—y

\dt2 J

-

dPx)

— m" l² •

l i²r

es ist also abhängig von der Winkelbeschleunigung, mit der sich die Schubstange um den Punkt A dreht, und damit natürlich auch abhängig von der Winkelgeschwindigkeit co der Maschinenwelle. Es soll noch auf diese zurückgeführt werden. Man hat

T

nach S. 226 sin ip = — sin cp und mit genügender Annäherung r²

cos ip — 1 — 72 -p sin²cp. Durch Differentiation der letzten Gleichung

erhält man unter Beachtung der ersteren zunächst ~ = -?j-cos cp~^

ci cp    y*

sin cp —- w — — j sin cp co²,

Ct L    L

f-y--r-l• w² sin cp.

V

= y cos 99 w und daraus weiter womit Gl. 40 übergeht in

⁴¹⁾

d²ip

dt²

dt²    /

Das ist das Massendruckmoment einer Schubstange und kann nicht

5 fc²

für alle Drehungswinkel cp verschwinden, weil —---, wenn auch

unter Umständen verhältnismäßig klein, doch stets größer als Null sein muß. Nur bei dem Vorhandensein mehrerer Kurbelgetriebe können deren Massendruckmomente in bezug auf die Maschinenwelle bei geeigneter Stellung der Kurbeln zueinander sich aufheben, weil je nach den Drehungswinkeln cp der einzelnen Kurbeln deren sin-Werte positiv oder negativ ausfallen. Sind a', a" usw. wieder die Schränkungswinkel der Kurbeln im Sinne der Fig. 165 und 167, so ergibt die Summierung der Massendruckmomente, wenn man den Kurbelradius r nnd die Schubstangenlänge l für alle Getriebe gleich annimmt

42) . . 2m"px-y— 2 m"py- x = rl • co² 2m"[ç^--yrj sin {cp -f- cc).

Die Bedingung für das Verschwinden des Massendruckmomentes in bezug auf die Achse der Maschinenwelle (Z-Achse) lautet damit

r-l-iv² 2 m" •    sin (cp + a) = 0.

s

Es läßt sich nun aber auch erreichen, daß die Größen y — y für

Dividiert man

alle Schubstangen den gleichen Wert annimmt, dann obige Gleichung durch diesen Wert und gleichzeitig durch r l co², so geht sie nach Entwicklung des sin-Wertes und Absonderung der allen Summengliedern gemeinsamen Faktoren sin cp bezw. cos cp über in

43)

sin cp 2m" cos a + cos cp • 2 m" sin a = 0.

...2 m" cos a = 0 und 43 b) ... 2’ m" sin a = 0.

Soll diese Bedingung für alle Drehungswinkel cp erfüllt sein, so ergeben sich daraus folgende beiden Gleichungen 43 a)

Diese beiden Gleichungen sind den Gleichungen 38 a und 38b völlig ähnlich; sie unterscheiden sich lediglich durch die Faktoren m" und Ma in den einzelnen Summengliedern. Läßt es sich erreichen, was praktisch kaum erhebliche Schwierigkeiten bieten dürfte, daß das Verhältnis Ma : m" für alle Einzelgetriebe annähernd denselben Wert erhält, so Sind die Gleichungen 38 a und 43 a bezw. 38 b und 43 b sogar identisch, so daß mit der Erfüllung der durch die Gleichungen 38 a und 38 b ausgedrückten Bedingungen ohne weiteres auch das Massendruckmoment in bezug auf die Maschinenachse verschwindet.

Macht man diese Voraussetzung, so ist für den gesamten

Massenausgleich lediglich die Erfüllung der acht Gleichungen 38 a

bis 38 d und 39 a bis 39 d erforderlich und hinreichend.

%

Die hier angestellten Betrachtungen über den Ausgleich des Massendruckmomentes in bezug auf die Maschinen welle haben eine konstante Winkelgeschwindigkeit co derselben zur Voraussetzung und haben nur unter dieser zumeist auch erfüllten Bedingung volle Gültigkeit. Bei starken Änderungen der Winkelgeschwindigkeit co würden allerdings erhebliche Massendruckmomente in Ebenen rechtwinklig zur Maschinenwelle entstehen können.

Ist nun n die Anzahl der zu einem Maschinensystem verbundenen Kolben-Kurbelgetriebe, dann schließen die lte bis n—lte Kurbel mit der rcten w—1 Schränkungswinkel otj, a₂ usw. bis a„ ein. Legt man den Anfangspunkt des Koordinatenkreuzes in den Schnittpunkt der Achsen der wten Kolbenstange und der Maschinenwelle (Fig. 166), dann haben die lte bis n—lte Kolbenstange, bezw. Getriebeebene von der nten Abstände z₁, z₂...zn—l. Sind endlich Ma2 bis Man die hin- und hergehenden Massen, die wir uns im Kreuzkopfe konzentriert denken können und die nach Maßgabe der Gleichung 32 auch den dahin entfallenden Teil der Masse m" der Schubstange umfassen, so schreiben sich die Gleichungen 38 a bis 38 d und 39a bis 39 d, da der Schränkuugswinkel der nten Kurbel gleich Null, sein cos also gleich 1 und sein sin = 0 ist, wie folgt

44)    ... Mai C0S al + COS a₂ + A/ag COS «₃ + . .. Man—i cos Ct«-!

+ Man — 0,

45)    ... Mai sin rj-\ + Ma2 sin a₂ -f- Ma3 sin a₃ +... Man—i sin an_j = 0,

... MaX cos 2 <*! + Jfa2 cos 2 a₂ + Ma3 cos 2 «3 + ... Man-l COS 2 a„_J + Ma n — 0,

46)

47)

an—1

... MaX sin 2 + + Ma2 sin 2 a₂ + J/a3 sin 2 oc3 sin 2    =0,

48)

... Mai cos ai z\ + Ma2 cos a₂ z₂ + Ma:3 cos oc3 —b • • • -Man—1 cos o.n—j zn—j    0,

49)

an—1

... Mai sin a\ z\ + ^a2 sin a₂ z₂ + Ma3 sin «₃ z3 sin oc„—1 zn—i = 0,

50)

... Mai cos 2 «i zi + 4/a2 cos 2 ot₂ :₂ + Jfa3 cos 2 a₃ r3 cos 2 a„_x 2'„_₁ = 0,

51)

an—1

... Mai sin 2 <h h + Ma2 sin 2 a₂ z₂ + Ma3 sin 2 a₃ *3 sin 3 an_! = 0.

Da die Massen Ma und die Abstände ^ in allen Gliedern in derselben (lten) Potenz auftreten, kommt es für die Erfüllung der 8 Bedingungsgleichungen nicht auf die Absolutwerte Ma und z, sondern nur auf deren Verhältniszahlen an. Dividiert man die Gleichungen 44 bis 47 durch Man und diejenigen 48 bis 51 mit Man-Zn—i und setzt die auftretenden Verhältniszahlen Jfal : M Ah i M^a'i • Ma n ⁼⁼ Ah • * * -M-an—] • MLan⁼⁼ Ah»-—i ferner Zi ’ Zn—j , z₂ : zn—x =£ç> ... zn—₂ : zn—i =    ₂, so schreiben sich obige Glei

chungen wie folgt

+ ßi cos ai + ju-2 cos a₂ +... jun—j cos an^ + 1=0, Hi sin cnl + ju₂ sin a₂ + ... /Lin_x sin an

44    a)

= 0,

COS 2 an_! + 1 = 0,

Ah sin 2 (xl -\-ju₂ sin 2 a₂ +... Ah—i sin 2 an_j =0,

Ah cos aL. £i + ju₂ cos a₂ e₂ +... Ah—2 • cos a„__₂ • £„_2 "j~ Ah-—j • cos Ctjj—j ~~~ 0,

Ah sin «i • £j + Ah sin a₂ e₂ +... Ah—2 sin a,j_₂ £n_2 + Ah-i .sina^-^O,

50 a) jiii cos 2 04 • £j + ju₂ cos 2 ol₂ e₂ +... Ah—2 2 • cos a„_₂ e„_2 + Ah—i • cos 2 = 0 und

51a) Ah sin 2 + • ex + Ah sin 2 a₂ £₂ +... Ah—₂ 2 • sin ot„_₂ £„_2 + Ah-i sin 2 an_j = 0.

45    a)

46a) +Ah cos 2 ax +₍a₂ cos2 a₂ + ...Ah 47 a)

48 a) 49 a)

In diesen 8 Gleichungen treten n—1 unbekannte Winkel a, n—1 unbekannte Yerbältniszablen ju und n—2 unbekannte Verhältniszahlen £, im ganzen also n—1+n—1+w— 2 = 3n—4 Unbekannte auf. Sollen sie lösbar sein, so muß die Zahl der Unbekannten, über die im ganzen verfügt werden kann, mindestens 3n — 4 = 8, d. h. n, die Anzahl der Kurbelgetriebe mindestens gleich 4 sein. Mit dieser Annahme wird

44b)    1 + fix cos otj + ju₂ cosa₂ + /u₃ cos a₃ = 0

45b)

jU! sin ax + ju₂ sin a₂ + jx₃ sin a₃ = 0,

46b)    1 + jux cos 2 ax + ju₂ cos 2 o.₂ + ju₃ cos 2 a₃ = 0,

47    b)

48    b)

^ sin 2 otj + ^₂ sin 2 a₂ + sin 2 a₃ = 0, jux cos ax £x -f ju-2 cos a₂ e₂ + ju₃ cos a₃ = 0, jux sin ax £j + ju₂ sin a₂ e₂ + /<₃ sin a₃ = 0, ia₁ cos 2 <*!    + ^2cos 2 a₂ e₂ + ^₃ cos 2 a₃ = 0,

jux sin 2 aj ex -f ju₂ sin 2 a₂ £₂ + ^₃ sin 2 ot₃ = 0.

Zur Auswertung dieser Gleichungen erhält man zunächst aus der Subtraktion der Gl. 45 b und 49 b

49 b)

50b)

51b)

52)

jux sin olx (sx — 1) + ju₂ sin a₂ (e₂ — 1) = 0

und aus Gl. 48 b und 49 b, wenn man die erste mit sina₃, die zweite mit cos a₃ multipliziert und beide voneinander abzieht jUx £x sin (a₃ — ax) ju₂ e₂ sin (<x₃ — a₂) = 0.

Beide Gleichungen führen weiter zu

53)

£,—1 £₂    sin a₂ sin (a₃ — a,)

' £₂ — 1 £t    sin «i sin (a₃ — a₂)

und mit £₁ = zx : 2₃, £₂ = z₂ : z₃ zu

54)

54 a)

_sina₂ sin(a₃ —a,) sin 04 sin (a₃ — a₂) ‘

*2 z3 z\

In gleicher Weise kann man aus den Gl. 47b, 50b und 51b die Beziehungen

55)

56)

... //j sin 2 ax (£j — 1) + ju₂ sin 2 a₂ (£₂ — 1) = 0,

. . . jux £x sin 2 (a₃ —otj) + ju₂ £₂ sin 2 (a₃— a₂) = 0 und

57)

sin2a₂ sin2(a₃—a,)

zj—l3.Ü ______

z₂ —z₃ zx sin 2 otj sin 2 (a₃ — a₂)

herleiten.

Die gleichzeitige Erfüllung der Gl. 56 und 53 bedingt, daß entweder a₃ — oiy =0 und <x₃ — a₂ = 0, d. h. = a₂ = a₃ oder cos (a₃ — aj) = cos(a₃ — a₂), d. h. a₃ — «i — zfc(«₃ — a₂), alsoa₂ = a1 oder a₂ + a₂ =2a₃ sei.

Die Bedingung a₁ =<x₂ = <x₃ ist praktisch nicht erfüllbar, wenn, wie bei Schiffsmaschinen und Lokomotiven, das Anlaufen der Maschinen aus der Ruhe von jedem beliebigen Drehwinkel (p aus verlangt werden muß.

Die gleichzeitige Erfüllung der Gl. 54a und 57 bedingt weiterhin, daß neben der oben schon genannten Bedingung cos(a₃ — aj) = cos (a₃ — a₂), auch noch die Bedingung cosotj = cos«₂, also otj — ±a₂ erfüllt werde. Das ergibt zusammen mit dem oben bereits gefundenen Ergebnis a₂ + ot₁ = 2 a₃, entweder otj = a₂ = a3 oder a₃ = 0. Beide Bedingungen sind wiederum praktisch nicht erfüllbar, wenn man verlangt, daß nicht gleichzeitig zwei oder drei Kurbelgetriebe in die Todstellung gelangen sollen.

Aus vorstehenden Darlegungen ergibt sich, daß die Erfüllung der Gl. 57, die den Ausgleich zweiter Ordnung der Massendruckmomente in bezug auf die Y- Achse - ausdrückt, mit den Anforderungen an die Manöverierfähigkeit der Maschine nicht vereinbar ist, man sich also bei vierzylindrigen Maschinen bezüglich des Massendruckmomentes in bezug auf die Y-Achse auf den durch die Gl. 54a ausgedrückten Ausgleich erster Ordnung beschränken muß.

Die in Gl. 54 a enthaltenen Beziehungen zwischen den Schränkungswinkeln , a₂ und a₃ der Kurbeln und den Zylinderabständen zl, z₂ und z₃ lassen sich geometrisch durch den Schnitt der Kurbelrichtungen mit einer Geraden rr parallel der y-Achse darstellen (vgl. Fig. 165). 0 sei der Schnitt der Achse der Maschinenwelle mit der Bildebene, 01, 0 2, 0 3, und 04 seien die Richtungen der vier Kurbeln zueinander, die hier, wie üblich, symmetrisch zu einer Geraden a a (Fig. 165) angenommen werden mögen. Die Schnittpunkte 1', 2', 3' und 4' der Kurbelrichtungen mit der Geraden rr liegen dann symmetrisch zu der auf a a rechtwinkligen Geraden bb und die Strecken 4'1', 4'2' und 4'3' erfüllen die Gl. 54a.

Nach dem Sinussatze und bei der Symmetrie der Figur 0 1'4' folgt nämlich aus

4 01'3'    .    .    .    1' 3'    : 0 3' =    — sin («3 — otj ) : sin ß,

A 03'2'    .    .    .    2' 3'    : 0 3' =    sin (a₃ — a₂) : sin 0 2' 3',

A 02'4'    .    .    .    2' 4'    : 0 4' —    sin a₂ : sin 0 2' 3',

A or 4'    .    .    .    1'4'    : 04' =    sin ax : sin /?.

Dividiert man zunächst die erste Gleichung durch die zweite, dann die dritte durch die vierte und multipliziert die beiden Ergebnisse miteinander, so folgt

sina₂ sin(a₃ — a,) sin ctj sin (a₃ — a₂) ’

1' 3' 2'4'

2' 3' * 1' 4'

oder mit den aus Fig. 165 ersichtlichen Bezeichnungen

1'3 '=z\-z'₃, 2'3'=—(Ą—/₃), 2' 4' = z'₂ und 1'4 ’ = z'

z'\    z\ > zji_

z>2 z>3 z'\

auch

sin a₂ sin («3 — a,) sin al sin (a₃— <z₂) *

Die Strecken z\, z'₂ und z's sind also den Abständen z₁, z₂ und z3 der einzelnen Getriebe verhältnisgleich. Je nach dem Abstande der Geraden rr von der Wellenmitte 0 fallen sie größer oder kleiner aus. Lediglich praktische Gesichtspunkte bestimmen die Absolutmaße zl, z₂ und z₃.

Bei der symmetrischen Stellung der Kurbeln zueinander sind deren Richtungen lediglich durch die beiden Winkel ocl und a₃— a2=/ bestimmt. Die Entfernung der beiden äußersten Getriebe zx werde hinfort mit Z, die der beiden inneren z₃—z2 mit 2 bezeichnet. Nach Fig. 165 besteht zwischen ai und / die

ïT

y

Beziehung z\tg- - = (z'₃ — z'₂)tg^r, wofür man, da z\ und z'₃—z'₂

A

(Fig. 165) verhältnisgleich sind, den Strecken Z und 2 (Fig. 166) auch schreiben kann

58)

«1

zt*T =

Die angenommene Symmetrie erfordert nun weiterhin, daß die in den Kurbelpunkten 4 u. 1 und 2 u. 3 angreifenden reduzierten Massen Ma je einander gleich sein müssen, so daß jut = 1 und ju₂ = ju₃ werden muß. Setzt man ju₂= ^3= P, so erhält man aus den Gleichimgen 45 b und 47 b

59)

.. . ain «1 + ^ (sin a₂ + sin a₃) = 0,

60)

... sin 2 <*! + ß (sin 2 a₂ + sin 2 cc₃) — 0

und nach Beseitigung von ju aus beiden Gleichungen

2 cos (sin a₂ -f sin ot₃) = sin 2 a₂ + sin 2 a₃,

wofür nach den Regeln der Goniometrie auch gesetzt werden kann

_    . a₀ + a, a₀ — a.>    .    .

2 cos aj sin —- • cos -=-^—- = sin (a₂ + a₃) • cos (a₂ — a₃).

Li    l»

Nach Fig. 105 ist ferner a.₂ + «3 = 360 + otj und a₂— a₃ =—y. Damit geht vorstehende Gleichung nach entsprechender Umwandlung über in

61)

«1

. . COS -r=- • COS =

tc| —

und Gl. 45 b nach Lösung für ju

a,

. . . ft — cos—L: cos

62)

tc

Diese beiden Gleichungen und Gl. 58 stehen also als letztes Ergebnis für die Berechnung des nach den Beschränkungen S. 236 noch möglichen Massenausgleiches zur Verfügung.

Läßt man in Gl. 58 das Verhältnis der Entfernungen der beiden inneren Kurbelmechanismen z und der beiden äußeren Z erscheinen, so schreibt sie sich

= t(J

63)

IC «

z

In den drei Gleichungen 61 bis 63 sind die 4 Unbekannten y, ,u und das Verhältnis z:Z enthalten, von denen man nach Belieben innerhalb gewisser durch praktische Rücksichten gebotener Grenzen eine frei wählen kann.

Wählt man beispielsweise den Winkel otj =65°, also cos-^-

Li

= 0,843, so wird y = rund 107° und cos ^ = 0,593 ; ^ = 0,843:0,593 tg :hg^- — 1,35:0,637 = 2,12.

Li

= 1,42 und Z\z =

IC Ni

C. Bewegung starrer Körper.

I. Abhängigkeit des Trägheitsmomentes von der Richtung der Achse.

In einem starren Körper werde ein Punkt A gewählt, durch diesen ein rechtwinkliges Achsenkreuz gelegt und außerdem eine Achse AP, welche mit den Koordinatenachsen die Winkel a, /?, y bildet (Fig. 168). Hat ein Massenteilchen m die Koordinaten x, y, z und von der Achse AP den rechtwinkligen Abstand r, so liefert es zu dem Trägheitsmoment J des Körpers in bezug auf die Achse AP den Beitrag

Fig. 168.

a*

TtX

Y*

—x—

dJ= m-r-.

Die Yerhindungsgerade AQ von A nach dem Massenpunkt m bilde mit AP den Winkel ö; dann ist

1)

r=AQ- sin#, mithin dJ— m • AQ}sin²# — m • À Q¹ (1 — cos²#).

Hat AQ die Richtungswinkel otj, so gilt für den Winkel # zwischen den Geraden AQ und AP nach den Lehren der Analytischen Geometrie des Raumes die Beziehung

cos # = cos a • cos ocj -f- cos ß • cos ßl + cos y • cos y₁.

Ferner ist

A^-cos^! und somit

A Q} = x¹ + y¹ + z-; x — AQ • cos a, ; y = AQ- cos/?,; z =

A Q • cos # — x cos « + y cos ß + z cos y.

Aus Gl. 1 wird hiermit

dJ— m{X“ -f- y¹ + z¹ —■ a?²cos²a — y- cos² ß — 2²cos²/ — 2 xy cos a • cos ß — 2 xz- cos a • co3^ — 2 y z cos ß • cos.

Da nun bekanntlich

cos² a + cos² ß + cos²/= 1, also 1 — cos² a = cos² ß + cos²/,

so kann man x² — x² cos²a mit x² cos-ßx² cos² y vertauschen, ebenso y²— y²cos²ß mit y² cos²a -f y² cos²/ und z²— z²cos²y mit z² cos² o. + z² cos²/?. Führt man dies in Gl. 2 ein und ordnet nach den Winkeln, so wird

3) dJ— mjcos²a(/² + z²) + cos² ß(x² + z²) + cos²/(#² + y°')

— 2xy • cos a • cos ß — 2xz • cos a • cos/ — 2yz- cos ß • cos/].

Der rechtwinklige Abstand des Massenteilchens m von der Achse AX ist aber V"/² -f- z², das Trägheitsmoment des Körpers in bezug auf die Æ-Achse also Jx — 2m {y² + z²), dasjenige in bezug auf die /-Achse Jy — 2m{x² + z²), in bezug auf die z-Achse J. =    (x² + y²). Bei einer über den ganzen Körper

erstreckten Summierung der Gl. 3, bei welcher die Winkel a, /?, / gemeinschaftlich sind, entstehen aus den letzten drei Gliedern noch die Ausdrücke

2mxy, Zmxz und 2'myz;

Diese Werte heißen nach 1. Teil, Aufl. 4, S. 337 Zentrifugalmomente und werden abgekürzt mit Cz, Cy und Cx bezeichnet, wobei man als Index diejenige Koordinate wählt, welche in der betreffenden Summe nicht vorkommt. Hiermit wird das Trägheitsmoment JAP des Körpers in bezug auf eine Achse AP mit den Richtungswinkeln a, ß, /:

4) Jap= cos² a • Jx + cos² ß • Jy + cos²/ • Jz — 2 cos a • cos ß • Cz — 2 cos a • cos / • Cy — 2 cos ß • cos / • Cx.

Sind nun für einen gegebenen Körper und ein festes Achsenkreuz AZ, A7, AZ die Trägheits- und die Zentrifugalmomente Jx, Jy, Jj, C-, Cy, Cx bekannt, so liefert Gl. 4 für jede beliebige, durch die Richtungswinkel a, ß, / bestimmte, durch den festen Punkt A gehende Achse AP das Trägheitsmoment JAP.

2. Trägheits-Ellipsoid und Zentral-Ellipsoid.

Die Abhängigkeit des Trägheitsmomentes J von den Winkeln et, ß, / läßt sich für sämtliche durch den festen Punkt A des

Körpers gehende Achsen zur Anschauung bringen mittels einer Ellipsoid-fläche. Trägt man auf der Achse AP eine Länge ab, welche mit J in einer bestimmten Beziehung steht, macht man nämlich

5)

AP=JJ (Kg- 169),

Fig. 169.

At

z¹

71

-A

-X

so ergibt sich aus dem Fahrstrahl AP ein bestimmter Endpunkt P; läßt man nun den Winkel a, ß, y alle möglichen Werte annehmen, so ergibt sich als geometrischer Ort des Endpunktes P eine krumme Fläche, deren Gestalt durch Gl. 4 bedingt sein muß. Bezeichnet man die Koordinaten des Punktes P mit den großen Buchstaben JT, F,

Z zum Unterschiede von den Koordinaten œ, y, z des Massenteilchens, so ist nach Fig. 169

cos a = —— X-V J’, ebenso AP

cos ß—Y-VJ; cos y—Z'VJ.

Führt man diese Werte in Gl. 4 ein, so entsteht in allen Gliedern der rechten Seite, weil in denselben nur die Quadrate der Kosinus oder die Produkte zweier Kosinus Vorkommen, der gemeinschaftliche Faktor J. Teilt man die Gleichung dann durch diesen gemeinschaftlichen Faktor, so verbleibt

6) l = JxX* + Ji/Y² + JzZ'*—2CtXY—2CyX'Z—2CxYZ.

Diese Gleichung zweiten Grades nach X, F, Z mit den Koeffizienten Jy, Jz, Cz, Cy und Cx bedeutet die Oberfläche eines dreiachsigen Ellipsoïdes, u. zw. mit dem Mittelpunkt A, weil in ihr Glieder mit einfachem X, Fund Z nicht Vorkommen. Die Hauptachsen dieses Ellipsoïdes, des sog. Trägheits-Ellipsoides, fallen im allgemeinen nicht mit den beliebig gewählten Koordinatenachsen zusammen. Da aber die Hauptachsen des Ellipsoides zueinander rechtwinklig stehen, so ist es stets möglich, den Koordinatenachsen solche Richtungen zu geben, daß sie mit den Hauptachsen des Ellipsoides zusammenfallen. Und weil die auf die Hauptachsen bezogene Gleichung des Ellipsoides die drei letzten Glieder der

16

Keck-Hotopp, Mechanik III. 2. Aofl.

Gl. 6 mit den Produkten zweier Koordinaten nicht enthält, so folgt, daß die Koeffizienten Cz, C„ und Cx dieser drei letzten Glieder zu Null werden, wenn man die Hauptachsen des Ellipsoïdes als Koordinatenachsen benutzt. Es gibt also durch jeden Punkt A eines Körpers ein rechtwinkliges Achsenkreuz, in bezug auf welches die Zentrifugalmomente zu Null werden; diese Achsen heißen die Hauptachsen des Körpers für den Punkt A. Die Trägheitsmomente in bezug auf diese heißen Haupt-Trägheitsmomente; bezeichnet man sie mit Jx, J₂ und J3, so wird die Gl. 4, S. 240, bezogen auf das Kreuz der Hauptachsen,

7)

Jap = J\ cos²a -j- J₂ cos²/? + J₃ cos²/,

wenn die Achse A P mit den Hauptachsen die Winkel a, /?, / bildet. Die Gleichung des Trägheits-Ellipsoides wird in bezug auf die Hauptachsen nach Gl. G (S. 241) einfacher

8)

1 = Ą X² + J0Y² + J₃Z²,

und es sind

t ./, ’ f Ji    Vą

die Halbachsen des Ellipsoides; es entspricht also der kleinsten Halbachse das größte der drei Haupt-Trägheitsmomente und umgekehrt. Kennt man diese, so ist nach Gl. 7 tlir jede andere durch den Punkt A gelegte Achse AP das Trägheitsmoment J zu berechnen.

Sind von den drei Haupt-Trägheitsmomenten zwei einander gleich, so wird das Trägheits-Ellipsoid zu einem Umdrehungs-Ellipsoide. Sind alle drei von gleicher Größe, so wird das Trägheit-Ellipsoid zu einer Kugel. In diesem Falle sind die Trägheitsmomente in bezug auf alle durch den Punkt A gehende Achsen von gleicher Größe, auch hat dann jede dieser Achsen die Eigenschaften einer Hauptachse.

Ist der Punkt A der Schwerpunkt des Körpers, so wird das Trägheits-Ellipsoid im besonderen Zentral-Ellipsoid genannt. Kennt man die Schwerpunkts-Hauptachsen und deren Trägheitsmomente, so kann man nach Gl. 7 das Trägheitsmoment für jede Schwerpunktsachse SP berechnen und daraus wiederum das Trägheitsmoment für jede zu SP parallele Achse APX, welche von SP um eine Länge e entfernt ist, weil nach 1. Teil, Aufl. 4, S. 317

das Trägheitsmoment für eine beliebige Achse gleich ist dem Trägheitsmomente für eine dazu parallele Schwerpunktsachse + M-e¹.

Im 1. Teile, Aull. 4, S. 338 wurden solche Drehachsen eines Körpers, für welche die Zentrifugalkräfte sich vollständig aufheben, freie Achsen genannt. Die Bedingungen dafür waren, daß diese Achsen durch den Schwerpunkt gehen mußten, und daß außerdem, wenn SX eine freie Achse sein sollte, und SY nebst SZ zwei andere zu SX und zueinander rechtwinklige Achsen waren, noch die Zentrifugalmomente 2mxy—Cz und 2mxz = Cy Null sein mußten. Für gewisse einfache Fälle wurden a. a. 0. solche freie Achsen nachgewiesen. Aus den vorstehenden Untersuchungen ergibt sich nun, daß di e-Schwerpunkts-Hauptachsen eines Körpers die Bedingungen freier Achsen erfüllen, daß somit jeder Körper mindestens drei zueinander rechtwinklige freie Achsen hat.

Die im vorstehenden entwickelten Eigenschaften des Trägheitsund Zentral-Ellipsoides rühren von Poinsot (geb. 1777 zu Paris, gest. 1859 daselbst) her (vom Jahre 1834); sie bilden Verallgemeinerungen der in Keck-Hotopp, Vorträge über Elastizitätslehre, Aufl. 2, I. Teil, S. 34 behandelten Eigenschaften der Trägheitsund Zentral-Ellipse für ebene Figuren.

3. Berechnung der Trägheitsmomente einiger Körper.

Ein Körperteilchen vom Bauminhalte dx-dy-dz hat, wenn

y

y das Gewicht der Raumeinheit ist, die Masse m = —• dx • dy • dz

9

und einen rechtwinkligen Abstand von der z-Achse r = V~x² + y², liefert daher zu dem Trägheitsmoment in bezug auf die ^-Achse den Beitrag

somit ist der allgemeine Ausdruck für das Trägheitsmoment Jz eines Körpers überall gleicher Dichte

1)

Jz = jSSS(^² + y-) • dx • dy • dz.

Die Grenzen der Integrationen sind durch die Form des Körpers bedingt. Doch hat man in den meisten Fällen die allgemeine Gl. 1

16*

nicht nötig, wenn man bereits bekannte Ergebnisse zu Hilfe nimmt. Die Werte der Trägheitsmomente drückt man schließlich meist als vielfache der Masse M aus; hei der Berechnung kann

y

man also den selbstverständlichen physikalischen Faktor y (Masse

der Raumeinheit fortlassen, wenn man nachher auch statt der Masse den Rauminhalt des Körpers einführt.

a) Trägheitsmoment eines rechtwinkligen Parallelepipeds von den Kanten a, b, c in bezug auf eine zu der Kante c parallele Schwerpunktsachse.

Fig. 170.

Yi2 a • b (b² + a²)

Eine zur z-Achse rechtwinklige Scheibe des Körpers (Fig. 170) ist eine rechteckige Platte von den Seiten a und b und der Dicke dz. Eine Rechteckfläche von den Seiten a und b hat in bezug auf die Mittellinien die achsialen Trägheitsmomente V12 a ' und Yi2&-a³, mithin das polare Trägheitsmoment

-o-

(s. 1. Teil, Aufl. 4, S. 320). Die Scheibe von der Dicke dz liefert daher zu Jz einen Beitrag

dJz = ±.a-b (6²+a²) dz,

Lu

also ist

2)

J: =

~a-b(b²+ a²).c = ^Af(a² + fc²).

Ebenso ist

3)

= —Af(Z>² + c²);

12

Sind von den drei Kanten zwei einander gleich, z. B. b — a, so wird

M-{az + c²)

Jz = -M-a²;

u

Jx — Jy — 22

und das Zentral-Ellipsoid ein Umdrehungs-Ellipsoid. In diesem Fall ist jede in der xy -Ebene liegende Schwerpunktsachse eine freie Achse mit dem Trägheitsmoment Y!2 Af(a² + c²). — Für

den Würfel ist mit b = c = a Jz = Jy — Jx = 7« Ma², das Zentral-Ellipsoid eine Kugel und jede Schwerpunktsachse eine freie Achse.

b) Haupt-Trägheitsmomente eines Zylinders, bezogen auf den Schwerpunkt.

Fig. 171.

dz

-K

—X

Da das Durchmesser-Trägheitsmoment einer Kreisfläche vom Halbmesser r die Größe ¹/ir‘i7T hat (s. 1. Teil, Aufl. 4, S. 322), so hat eine kreisförmige Scheibe von dem Halbmesser r und der Dicke dz (Fig. 171) das Durchmesser-Trägheitsmoment ¹/irA 7i • d z und ein auf die rechtwinklig zur Bildebene liegende Schwerpunktsachse SY bezogenes Trägheitsmoment

\r*7Z- dz + r-7t‘ dz- z-,

4

weil z die Entfernung dieser beiden Achsen

ist. Hiernach wird    j<—r—>|

r*

Jy— rA 7i h -f- r-7t\z- dz, oder

J-l

r²7ih ( _    h²\

~~rr⁺»)•

J, = J„ = -

4) d Jy =

Jy = — r*7zh + 2 r² 7i-

1 A³

Also ist

5)

In bezug auf die z-Achse aber ist (nach 1. Teil, Aufl. 4, S. 321) r M ,

J‘ ⁼ ~2r~-

Das Zentral-Ellipsoid ist offenbar ein Um-drehungs-Ellipsoid. Dasselbe wird zu einer Kugel für

6)

Fig. 172.

d. h. für

v² h2 ——u    — r²

2^6

h² = 3r², oder für h = rV~3 = 1,73 • r.

/ j \

/ ! \ i/ ; \d \

11/

K----d-J----->

->t

Diese Höhe ist diejenige eines gleichseitigen Dreiecks von der Seite d—2r (Fig. 172). Von einem Zylinder von diesem Höhenverhältnis ist das Zentral-Ellipsoid eine Kugel und jede Schwerpunktsachse eine freie Achse.

c) Trägheitsmomente eines Kegels.

In bezug auf ejne zur Grundfläche parallele Achse AX durch die Spitze A des Kegels (Fig. 173) ergibt sich das Trägheitsmoment einer kreisförmigen Scheibe vom Halbmesser x und im Abstande z von der Spitze gelegen, entsprechend der Gl. 4, zu

dJg = -^x⁴jz-dz -j- x²ji- dz- z².

Fig. 173.

\A

->

-X

oc

-Sh-

Hieraus wird wegen

x — -=-‘ z:

1 V⁴    V²

dJx = —jj‘jr‘Z⁴'dz-j--^'Jt’Z*’dz,

/r²    h²\

= r²?rA    —J , a^s0    r²Jrh = 3M:

J, = ^M(r* + ih?).

Schwingt der Kegel als physisches Pendel um die x- Achse, so ist seine Schwingungslänge (nach 1. Teil, Aufl. 4, S. 328), weil der Schwerpunkt um ³/⁴^ von der Spitze entfernt ist,

^⁼I4<’-2+4a2)=I(⁴⁺$-

Das Trägheitsmoment in bezug auf eine mit AX parallele Schwerpunktsachse wird Jx — J₂ = Jx — M- (³/4 A)², also

s)

9)

Jx = TW

Jx

Kl

also

r²Jt 11 r² \

\TÄ2 ⁺

h²

, oder

In bezug auf die geometrische Achse des Kegels ist (nach

1. Teil, Aufl. 4, S. 273)

11)

h²

Es wird Jx = Ą — J₃ für r² + — = 2r², d. h. für h —

In diesem Fall ist das Zentral-Ellipsoid eine Kugel und jede Schwerpunktsachse eine freie Achse.

(1) Haupt-Trägheitsmomente für den Schwerpunkt eines dreiachsigen Ellipsoïdes.

Fig. 174.

Fig. 175.

Wird eine Kreisfläche vom Halbmesser v in einer Richtung gleichmäßig gedehnt (Fig. 174), so entsteht eine Ellipse der Halbachsen v und u. Bei dieser Dehnung ändern sich der Flächeninhalt und das Trägheitsmoment in bezug auf den Durchmesser 2u in demselben Verhältnisse. Daher bleibt für dieses Trägheitsmoment die für die Kreisfläche entwickelte Formel J= ¹/iF- v² auch für die Ellipse gültig. Dies gibt, mit F = u-V'Jt,

^rU'vK

4

■----*

Ebenso gilt für den Durchmesser 2v

— 1-

J = ^rV • W³,

4

also für das polare Trägheitsmoment

b"

U • V (U'? + V-) .

Schneidet man nun aus einem Ellipsoïde rechtwinklig zur Achse AZ eine elliptische Scheibe von den Halbachsen u und v und der Dicke dz heraus (Fig. 175), so liefert diese zu dem Trägheitsmomente des Ellipsoïdes in bezug auf die ^-Achse einen Beitrag

dJz = ^u-v (u² + v²) d z.

Wird dies von z = 0 bis z = c summiert, so ergibt sich das Trägheitsmoment des halben Ellipsoides, und für dasjenige^des ganzen gilt das doppelte:

Jz —

tNS| ^

u • v(u² + v²) dz.

Nun sind u und z die Koordinaten eiues Punktes des einen elliptischen Hauptschnittes von den Halbachsen a und c, daher

:²

ä*⁺ ?

= 1 oder u² = a² 1 —

*²\

ebenso v² = b² 1 —

'•C

Hiermit wird Jz =

Jt a- b a² + b2 2 ~<?

c²

(c² — z²)²dz

und nach einfacher Ausführung

Da nun

12)

jjrjc-a-b-c(a² + b²).

4

M = —a-b'cn ist, so folgt schließlich o

<7. = ~(a² + &²).

Ebenso wird

13)

(ft² + c²).

Für die Kugel wird mit ft — c — a

jx = jy = jz = ^Ma² (s. 1. Teil, Aufl.4, S.322).

4. Drehung eines starren Körpers um eine feste Achse.

Bei einem starren Körper ist das Trägheitsmoment in bezug auf die Drehachse unveränderlich, daher wird aus Gl. 6, S. 218

da)

dt

dco

Hierin ist die Winkelbeschleuniguug; bezeichnet man dieselbe mit e, so hat man die aus 1. Teil, Aufl. 4, S. 325 bekannte

Gleichung für die ungleichförmige Drehung eines starren Körpers um eine feste Achse

wenn 9J1 die Momentensumme der äußeren Kräfte, J das Trägheitsmoment des Körpers, beide bezogen auf die Drehachse, bedeuten.

Auch kann man, wenn für irgend einen Zeitraum cox den Anfangswert, co den Endwert der Winkelgeschwindigkeit, 21* die Arbeit der äußeren Kräfte bedeutet, nach dem Satze der Arbeit schreiben (s. 1. Teil, Aufl. 4, S. 316)

Die Berechnung der Widerstände, welche an der Drehachse eines Körpers angreifen müssen, um sie unbeweglich zu erhalten, ist auch schon im 1. Teile, Aufl. 4, S. 336 allgemein gezeigt worden. Hier sollen noch einige Beispiele dieser Art durchgeführt werden.

2)

5. Widerstände der Achse einer schwingenden Glocke.

Die an der Achse einer Turmglocke auftretenden Kräfte sind von besonderer Wichtigkeit, da sie nicht nur die Abmessungen des sog. Glocken Stuhles, sondern, wegen der hohen Lage des letzteren, häufig auch die Standsicherheit des Turmes bedingen.

Die zur wagerechten Drehachse (oo- Achse) der Glocke rechtwinklige y z- Ebene durch den Schwerpunkt S ist eine Symmetrieebene (Fig.

176), daher muß in ihr auch der Gesamtwiderstand der Drehachse liegen und sich in zwei Hälften auf die symmetrisch angeordneten beiden Drehzapfen verteilen. Aus diesem Grunde kommen bei dieser Aufgabe nur die

Fig. 176.

z'o /

Fi

FA

Y/

^ I /

S) ï—y₀—^4

M.g

V *

Projektionen der Kräfte auf die yz-Ebene in Präge, wodurch die Untersuchung so vereinfacht wird, daß wir nicht auf die allgemeinen Gleichungen (1. Teil, Aufl. 4, S. 337) zurückgreifen, sondern die Aufgabe unmittelbar behandeln wollen.

In einem beliebigen Zeitpunkte t weiche der Drehungshalbmesser AS = e des Schwerpunktes um den Winkel fl von der Lotrechten ab, Winkelgeschwindigkeit und -beschleunigung seien to und £, die Koordinaten des Schwerpunktes

V₀ = e • sin fl ; *₀ = <?-cos#.

Einem Massenteilchen m der Glocke im Abstand r von der Drehachse und mit den Koordinaten

Fig. 177.

1)

Y-\-

P-"'    ?

->

rtf-

2/ = 7- sin 9? ; z = r cos tp

(Fig. 177) entsprechen nach 1. Teil, Aufl. 4, S. 326 die Trägheitswiderstände (Ergänzungskräfte) m-r-to² und m-r-£, welche in den Richtungen der positiven y- und 2-Achse zusammen die Seitenkräfte liefern

m - r - to² sinç? + m-r-s cos tp = m -y - to² -f- m • z • £ und m-r-co² cos tp — m • r • £ sin (p — m- z-to² — m-y - £.

Die wirklichen äußeren Kräfte H, V und Mg (Fig. 176) müssen nun nach dem Satze d’Alemberts (s. 1. Teil, Aufl. 4, S. 169) der Gesamtheit der Trägheitswiderstände das Gleichgewicht halten, wenn V und II die Seitenkräfte des Gesamtwiderstandes der Drehachse sind. Hiernach wird

2)

3)

H = 2’m •y-to² -f- 2 m-z-£ und V = M-g + 2m- z-to² — 2m -y-£,

oder, weil in diesen Summen die Größen co² und £ gemeinschaftliche Faktoren und außerdem

2my — 31y₀ — Me sin#, 2mz — Mz₀ = Me cos# sind,

4)

II — to² - 31 - e - sin fl + £ • M • e • cos fl,

5)

V— 31-g + to² - M- e • cos fl — £ - 31-e - sin fl.

Ist nun a der größte Wert von #, entsprechend der höchsten Lage des Schwerpunktes mit der Geschwindigkeit Null, so hat sich

der Schwerpunkt bis zu der beliebigen Zwischenlage um e-cos$ — tfcosa gesenkt. Wenn man daher die Bewegungswiderstände der Glocke und auch die zu deren Überwindung aufzuwendende Triebkraft vernachlässigt, so ist nach dem Satze der Arbeit (S. 249)

ei)

cu²^- — 31-g • e (cos d — cos a)

und die Winkelbeschleunigung

7)

_ M • g • 3/0 _M • g • e • sin d

g (cos d — cos a) = (cos d — cos a),

(o² — 2

Führt man noch mit J — 31-i² den Trägheitshalbmesser i der Glocke ein, so ergibt sich 31-e

²sind,

Me . n —j~ '9' sm ü =

und hiermit wird aus den Gl. 4 und 5

<?

8)

H — Mg -ß (3 sin d cos d — 2 cos a sin fi),

9)

V— Mg ^1 + -J? [3 cos²?? — 2 cos a cos &— l]j .

Die Größe des wagerechten Widerstandes II wird zu Null für d = 0, d. h. für die tiefste Stellung der Glocke und für cos ‘d = ²/3 cos a, was nur bei a >90° Sinn hat. H wechselt selbstverständlich sein Vorzeichen übereinstimmend mit $, ist also bald nach rechts, bald nach links gerichtet. Wichtig ist die Kenntnis des Größtwertes von H; diesen findet man leicht durch Nullsetzung der ersten Abgeleiteten von Gl. 8 nach d, d. h.

3 cos² d — 3 sin² d — 2 cos $ cos a == 0, woraus mit sin² d = 1 — cos² $ schließlich sich ergibt :

(COS ccj²

10)

COS = — COS a zt 0

Die äußersten Werte für V ergeben sich für

— 6 cos û sin + 2 cos a sin = 0 ; d. h. für sin$ = 0, oder d — 0 entsteht V, für cos û = 73 cos a entsteht Vmin .

Die Einsetzung dieser Werte in Gl. 9 liefert

H)

v

r max

12)

F min

= Mg (l + 2 y [1 — cos a]j ,

Für die Berechnung der Größtwerte von H und V ist besonders die Kenntnis der Größen e und i erforderlich. Ist nun Fig. 178 der Querschnitt der Glocke und AX die Drehachse, so kann man sich die Glocke in sehr viele wagerechte Ringe zerlegt denken. Ein solcher Ring habe den inneren und äußeren Halbmesser æl bezw. x₂, die Höhe dz, den Abstand z von der AX.

Dann liefert dieser Ring zum statischen Momente © den Beitrag

— xx ²) Ti - d z . z ;

Fig. 178.

„---

—«P»---UP*--->

—X

~xdz

d© = ^-(*₂2 9

das statische Moment der metallenen Glocke ist also

— • Ti S (#2² — x\²)² • dz

cbm

Glockenmetall); dazu kommt noch das

(/ das Gewicht von 1 statische Moment des (gewöhnlich) hölzerneu Helmes der Glocke, welches sich bei gegebenen Abmessungen leicht berechnen läßt. Bezeichnet man dies mit ©A, so ist das ganze statische Moment der Glocke

13)

6-+ 6.-

©A wird übrigens <0, da der Helm (Fig. 176) größtenteils oberhalb der Achse HW liegt. Offenbar ist das Gewicht Mg = ynS{oc₂² — x^) dz + Mh-g, wenn Mhg das Gewicht des Helmes bedeutet. Dann findet sich leicht

14)

5. Widerstände der Achse einer schwingenden Glocke.

253

Das polare Trägheitsmoment des Ringes ist ⁴/2 (#2⁴ — xi⁴) n • dz,

das Durchmesser -Trägheitsmoment mithin

Y4 (æ?₂⁴ — OC Y⁴) TC - dz

und dasjenige in bezug auf die AX:

V⁴(a?2⁴ — x^) n-dz + (x.₂²— x^tt-dz-z¹. Daher wird

15) Jx =

x^) • dz + 2{x₂² — Xl²) z² • dz^ + Jh,

wenn Jh das Trägheitsmoment des Helmes bedeutet. Hiernach findet man

16)

i² =

Jx

Beispiel: Der Geh. Finanzrat Kopeke zu Dresden hat ira Jahre 1871 (s. Protokoll des sächsischen Ingenieur- und Architekten-Yereins vom 18. November 1871, S. 58) nach Zeichnungen und ausgeführten Glocken ermittelt, daß, wenn R den unteren Halbmesser der Glocke bezeichnet, etwa folgende Beziehungen stattfinden :

17)

e = 1,225 jß; Ï² = 1,895 ü²; also

"«ft

= 0,7919 ,

wofür rund 0,8 gesetzt werden möge. An einer vorhandenen Glocke lassen sich diese Werte prüfen durch Beobachtung der Schwingungsdaucr t und Herleitung der Schwingungslänge l aus dieser. Es ist nämlich für die Glocke als Pendel (nach 1. Teil, Aufl. 4, S. 328)

j _ J _ t² _ 1,895 M-e e 1,225

oder rund = t² sein (weil g nahezu = k² ist).

Nimmt man noch an, daß die Mittellinie der Glocke beim größten Ausschlage sich um 20° über die Wagerechte erhebe, daß also a = 110° sei, so wird nach Gl. 10 mit cos a = — 0,342 :

COS = - 0,057 zfc ]^0,5 + 0 057 ² = 0,652 Und - 0,766 .

Dem entsprechen ^ = 49° 18' mit sin ^ = 0,758, sowie t</l = 130°, welcher letztere Wert hier aber keine Bedeutung hat, da er wegen a = 110° nicht vorkommt. Mit = 49⁰ 18 ' wird dann aus Gl. 8 :

= Mg • 0.8 (3 • 0,758 • 0,652 -f 2 • 0,342 • 0,758) = 1,60 • Mg .

Für ■& = 0, d. h. in der tiefsten Lage der Glocke entsteht (Gl. 11)

= Mg • (1 + 2 • 0,8 [1 + 0,342]) = 3,147 Mg ; für cos #.₂ = V3 cos a — —0,ii4, d. h. = 96° 33' entsteht (Gl. 12)

= Mg (l — 0,8 [1 + 0,039]) = 0,i7 Mg.

18)

dies muß

tt²'

Umax

V

' max

R = 1,547 R ;

Bei heftigerem Läuten, d. h. größerem Winkel a würde Vmilt selbst < 0 werden können; bleiben die Verhältnisse der Glocke im übrigen ungeändert, so erfolgt dies für cos a <r — 0 866 oder a >- 150°. Bei so großem Schwingungswinkel würde Vmin < 0 werden, d. h. die Glocke das Bestreben haben, aus den Lagern zu springen.

Wegen des starken Wechsels der Kraftgrößm empfiehlt es sich, die einzelnen Teile des Glockenstuhles so zu bemessen, daß die bei einer statischen Berechnung auf Grund obiger Kräfte entstehenden Spannungen a ein Drittel der Spannungen an der Elastizitätsgrenze nicht überschreiten; für Stabeisen wäre etwa a = 500 kg/qCm zu setzen. Die gedrückten Teile sollen mindestens 7 fache Sicherheit gegen Zerknicken haben.

Bezüglich der Bedingungen für ein gutes Anschlägen des Klöppels möge auf die Zeitschrift des Architekten- und Ingenieur-Vereins zu Hannover, 1877, S. 151 verwiesen werden.

6. Aus lotrechter Stellung umfallender Stab.

Der stabförmige Körper, dessen Schwerpunkt £ in dem Ab

stand e vom unteren Ende A liegt (Fig. 179), sei um das untere Ende drehbar, ursprünglich nahezu lotrecht gestellt und falle um. In einer beliebigen Zwischenstellung, in welcher AS mit der Lotrechten den Winkel d einschlicßt, ist nach S. 251 die Winkelbeschleunigung _ Mg e sin d

Fig. 179.

'£>•

1)

4r sin 0

Ff

und für die Winkelgeschwindigkeit co gilt

o J

co- —

2)

- = Mg — cos v), also co² = 2g (1 — cos d).

Die Widerstände H und F, welche der untere Drehpunkt A im Sinne der Fig. 179 leisten muß, bestimmen sich in der bei dem vorigen Beispiele gezeigten Weise leicht zu

H— M-e-£• cosi) — M-e-oßsmd und V — Mg — J/cfisin d — J/ew²cos i), oder mittels der Gl. 1 und 2 zu

3)

11 = Mg-p sin#(3cos# — 2) und V = Mg ^1 —[1 + 2 cos $ — 3 cos² .

Der Wert von II ist zu Anfang, d. h. für # = 0, ebenfalls Null; er wird wiederum zu Null für cos# = ²/3, d. li. für <9 = 48° (vgl. 1. Teil, Aufl. 4, S. 80). Für c 48⁰ ist cos# >²/³ und II> 0, d. b. (Fig. 179) nach derjenigen Seite gerichtet, nach welcher die Stange umfällt. Es hat also, wenn die Stange nach rechts umfällt, das untere Ende derselben anfänglich das Bestreben, nach links auszugleiten. Zwischen den beiden Nullwerten von H liegt ein Maximum für einen Wert von cos#, den man leicht durch Nullsetzung der ersten Abgeleiteten von Gl. 3 nach # ermittelt zu

cos # —

I₊yi₊(^ = 0,⁸⁹³³ mit # = 26°40'

(ein cos#<0 hat hier keinen Sinn); der entsprechende Wert von II selbst ergibt sich dann zu

Umax — Hg

e²

• 0,Q05.

Flir #>48° ist cos#<²/3 und ATcO; es hat nunmehr das untere Ende der Stange das Bestreben, nach rechts auszugleiten. Für # = 90°, d. h. beim Aufschlagen der Stange auf den wagerecht gedachten Boden ist

II= — 2Mg

Was die Größe des lotrechten Widerstandes V anlangt, so ist zu Anfang, d. h. für # = 0, V — Mg. Mit wachsendem # nimmt V zunächst ab. Ein Kleinstwert von F ergibt sich leicht für cos# = 7³ oder #=70°30', nämlich

3 i²/‘

Dann nimmt V wieder zu, und für # = 90° wird

V.

min

= Mg (l

V=Mg{ 1-4).

e²

Der in vorstehenden Gleichungen auftretende Wert-^-, gleichbedeutend mit y (vgl. S. 253, Gl. 18), wenn l die Schwingungslänge des am unteren Ende A aufgehängten Stabes ist, richtet sich

Fig. 180.

womit man für II und V leicht bestimmtere Ausdrücke aus vorstehenden Gleichungen erhält. Dieselben Werte gelten offenbar für eine rechteckige, lotrecht aufgestellte, um die Unterkante drehbare Platte von gleichmäßiger Gewichtsverteilung.

it

nach der Massenverteilung des Stabes. Ist die Masse gleichmäßig über die Länge a verteilt, so ist

a²

— a, daher 3

% fL

Ist die Anordnung so getroffen, daß durch einen Vorsprung oder eine lotrechte Wand wohl ein Ausgleiten des unteren Endes nach links, nicht aber nach rechts verhindert wird (Fig. 180), so gelten die vorstehend entwickelten Gleichungen nur bis zu dem Drehungswinkel $ = 48° und vermöge des in Wirklichkeit meist auftretenden Reibungswiderstandes noch um ein gewisses Maß darüber hinaus. Bei weiterer Annäherung des Körpers an den wagerechten Boden kann die erforderliche, jetzt negative, d. h. nach links gerichtete Kraft H durch die Reibung nicht mehr geliefert werden, und es findet nun ein Ausgleiten des unteren Endes der Stange nach rechts hin wirklich statt, so daß der umgefallene Körper sich schließlich in einer Lage AXBX auf dem Boden findet. Weiteres s. S. 278.

7. Drehung eines starren Körpers um einen festen Punkt.

Ein Körper drehe sich unter Einwirkung äußerer Kräfte um einen festen Punkt A, dann läßt sich nach S. 38 seine Bewegung in jedem Zeitpunkte zurückführen auf die Drehung um eine durch den Punkt A gehende augenblickliche Drehachse AP. Es wird nun

1.    der Körper seine Lage im Raume ändern;

2.    die augenblickliche Drehachse ihre Lage sowohl im Raume wie auch gegen den Körper ändern;

3.    wird auch die augenblickliche Winkelgeschwindigkeit (o eine Größenänderung erfahren.

Die drei Hauptachsen des Körpers für den Punkt A seien bekannt; dieselben liegen gegen den Körper fest, werden daher ihre Richtung irn Raum ändern.

Wir denken uns durch den festen Punkt A (Fig. 181) drei feste Achsen gelegt, die so gewählt sind, daß sie im Zeitpuukte t mit den Hauptachsen zusammenfallen.

Die diesem Zeitpunkt entsprechende Winkelgeschwindigkeit co kann nach S. 50 (genau wie eine Kraft) zerlegt werden in die Seitengeschwindigkeiten

(p — ü) • cos oc ;

X = M • cos ß ;

ip — oj • cos y

um die Hauptachsen; a, ß, y seien die Richtungswinkel der AP\ ferner seien Jj, J₂, J₃ die drei Hauptträgheitsmomente, SR*, SRy, SR* die Momentensummen der äußeren Kräfte in bezug auf die Hauptachsen.

Um die Beziehung zwischen der Drehbewegung um den festen Punkt A und den äußeren Kräften zu erhalten, wendet man den Satz der Flächen an (vgl. S. 215). Den Drall S3 in bezug auf den Punkt A denken wir uns nach den drei Achsrichtungen zerlegt in seine Komponenten S3*, S3y und S3*. Anstatt der Gl. 4 S. 217 erscheinen dann die drei Ęomponentengleichungen

dt ’ Æÿ~ dt

Um die Drallkomponenten S3*, S3y und S3* in bezug auf zunächst mit den Hauptachsen zusammenfallenden Koordinatenachsen zu finden, bedenke man, daß ein Massenpunkt m (Fig. 182) mit den Koordinaten #, y, z und einem Abstand r{ von der ^-Achse wegen der Winkelgeschwindigkeit cp um die a?-Achse eine Geschwindigkeit (p • r*! mit dem Hebelarme r hat, also einen Beitrag m cp -ry- zu Bx liefert. Ist r₂ der rechtwinklige Abstand des Massenpunktes von der y-Achse (Fig. 183), so entspricht der Winkelgeschwindigkeit y um die y-Achse eine Geschwindigkeit /•r₂, welche sich leicht in y-z und -y-oc im Sinne der oc- bezw. z-Achse zerlegen läßt. Ebenso erhält man wegen der Wlnkel-

Keck-Hotopp, Mechanik. III. 2. Aufl.

Fig. 181.

->

-X

1)

SR*

d S3*

'X

und SR* =

d S3*

dt

17

geschwindigkeit xp um die z-Achse die Seitengeschwindigkeiten -xp-y und -\-xp-x im Sinne der x- bezw. der y-Achse. Zum Drall 33* in bezug auf die <a?-Achse liefern die parallel der #-Achse gerichteten Seitengeschwindigkeiten keinen Beitrag; es kommen

Fig. 182.

Fig. 183.

Fig. 184.

----\

-y~>

<—x----1

vZ.æ

<-

daher, abgesehen von dem schon erledigten Beitrage mcp-rA der Winkelgeschwindigkeit 99, nur noch die beiden in Fig. 184 angegebenen Geschwindigkeiten mit den Momenten —X'x'V UD(i — xp-X'Z in Frage.

Sonach wird der Drall 3?* in bezug auf die ,^-Achse im Zeit

punkte t :

33x — 2’(m 99 • r^) — 2(m • x-y) — 2’(m • xp • x • z).

Da nun die Winkelgeschwindigkeiten 99, j, xp für diese Summen konstante Faktoren sind und da 2(m ■ rx ²) das Trägheitsmoment JY bedeutet, so wird

33x — J\,(P —X2mxy — xp 2'mxz.

Weil aber in bezug auf die Hauptachsen die Zentrifugalmomente gleich Null sind, so vereinfacht sich obige Momentensumme zu .. . 33, = Ji • 99,

2)

und ebenso erhält man

33y = J^X

Zur Ermittelung der entsprechenden Drallwerte für den Zeitpunkt t-\-dt darf man nun nicht etwa in dem Ausdruck Jv-(p einfach 99 mit q>-\-dq) vertauschen. Wohl ist (99-f-</99) der Drall in bezug auf die erste Hauptachse; jedoch ist zu bedeDken, daß die mit der Bewegung des Körpers veränderlichen Drallkomponenten sich immer auf die mit konstanter Richtung durch den Punkt A gehenden festen Koordinatenachsen beziehen, daß die Hauptachsen des Körpers sich aber während der Zeit dt um gewisse,

3)

und

4)

• • .    = J₃y>.

wenn auch unendlich kleine Winkel gegen ihre ursprüngliche Eichtung, d. h. gegen die festen Koordinatenachsen, verdreht haben. Es müssen daher zunächst die Winkel bestimmt werden, welche die Hauptachsen im Zeitpunkte t-\-dt mit der    x—Achse    ein

schließen.

Fig. 185.

Kt//

~~f !

Zu dem Ende denken wir uns auf den Hauptachsen, welche im Zeitpunkte t noch mit den Koordinatenachsen zusammenfallen, die Längen AG — AH = AK — 1 abgetragen (Fig. 185).

Vermöge der Winkelgeschwindigkeit x

°    * ll*

um die A Y bewegt sich G nach Gx um GGX— X’ dt ' Vermöge der Winkelgeschwindigkeit ip um die AZ bewegt sich G um GG, = ip • dt. Die Folge beider Geschwindigkeiten ist eine Verrückung des Punktes G nach G₃, d. h. eine Verdrehung der ersten Hauptachse um den Winkel

GAG₃ = dtV~x² + V²*

b₃

i!

/'/

N.

Die zweite Hauptachse schließt anfangs mit der ,^-Achse den Winkel ^ ein.

Zu

Drehung um AX und um AT, sondern nur durch die Drehung um AZ, so daß im Zeitpunkte tĄ-dt die zweite Hauptachse mit

Jl

der .r-Achse den Winkel HZAG — — -\~W’dt einschließt.

Lu

Der Winkel der dritten Hauptachse gegen AX wird nur durch die Winkelgeschwindigkeit x verändert und geht in

Dieser Winkel wird nicht geändert durch die

—X'dt über.

17*

Multipliziert man die Drallwerte (Momentensummen der Bewegungsgrößen) in bezug auf die drei Hauptachsen für den Zeitpunkt t-\-dt, also

J\{<P+d(p),    Jo(X+d%), J-Ay + cUp),

mit den Kosinus der soeben bestimmten Winkel, so bekommt man durch Zusaramenzählen der Momentensumme in bezug auf die «æ-Achse für den Zeitpunkt t -f- dt ■

33* + (733* = Jy {cp + d(p)- cos {dt\rX¹ + (p-)

+ JAx+dx)‘Ws(^ + l!J'dt)

Weil aber

+ J-AP+ d<p)-QOS (^ — X'dt)-cos {dt'Vx¹ + <p²) — 1,

cos

(tT ~f~ ^    ——sin (<p • dt) = — <p ■ dt,

! -

cos

(7~X’dt) = Sin (X'dt)=X’dt

ist, so wird auch

33* + <733* = + (cp + cUp)~ J₂ (x+ dX)<£-dt + JA<!> + d<i>)'X'dt-Zieht man hiervon den Anfangswert der Gl. 2 ab, vernachlässigt die Unendlichkleinen zweiter Ordnung und teilt schließlich durch dt, so ergibt sich

5)

(7 33*

d(p

dt

und unter Beachtung der Gl. 1 *^¹ dt

Ebenso folgt für die anderen Achsen

6)

d(p

V, -Js)X't = w

7)

dX

’ dt

8)

d ip

Ui — Jo)-(p-X= Wz .

Jr dt

Dies sind die von Leonhard Euler im Jahre 1758 entwickelten Gleichungen für die Drehung eines starren Körpers um einen festen Punkt.

8. Bewegung des Kreisels.

Fig. 186.

Fig. 187.

Unter einem Kreisel denken wir uns einen Körper, bestehend aus einer Achse mit einem darauf befestigten Schwungringe. Dem Körper werde eine bedeutende Winkelgeschwindigkeit <pQ um seine zunächst festgehaltene Achse erteilt; setzt man ihn dann in beliebig schiefer Lage mit dem unteren Ende A der Achse in ein Kugellager, welches den Punkt A (nahezu) unbeweglich macht, oder befand er sich schon, bevor er in Drehung versetzt wurde, in einem solchen (Eig. 186), so fällt der Kreisel unter Einwirkung der Schwere nicht etwa um, wie es ohne die Drehung geschehen würde, vielmehr beschreibt die geometrische Achse des Kreisels bekanntlich eine Kegelfläche, deren Achse die durch A gelegte Lotrechte ist, wobei aber die Leitlinie nicht ein Kreis, sondern eine von zwei konzentrischen Kreisen ein-

geschlossene, epizykloidenartige Kurve ist. Dies ergibt sich wie folgt:

Die geometrische Achse ist offenbar eine Hauptachse des Kreisels für den Punkt A und werde zur .»-Achse ge-Jede durch A rechtwinklig

AM.CJ

nommen.

zur .»-Achse gelegte Gerade ist ebenfalls eine Hauptachse. Wählt man die durch AX bestimmte lotrechte Ebene zur .»z-Ebene, so liegen hierdurch die Achsen AZ und A Y fest; letztere ist in Fig. 187 rechtwinklig zur Bildebene zu denken. Die Lotrechte durch den Punkt A werde AV genannt; sie schließe mit AX den veränderlichen Winkel d ein. Da wegen der regelmäßigen Gestalt des Kreisels das Trägheits-ellipsoid für den Punkt A offenbar ein Umdrehungsellipsoid, so ist J₃ = J₂.

Die Winkelgeschwindigkeiten sind im Zeitpunkte t— 0: im Zeitpunkte t:

Die Kraftmomente rühren, wenn man die Keibung im Kugellager vernachlässigt, nur vom Gewichte her; dann ist 9)U = 0; sro =    sintf; 3Rf = 0.

<Po,

Zo — 0,    0,

<P, Z

(p.

Hiernach wird aus den Eulerschen Gleichungen 6 bis 8, S. 260:

1)

~ = 0;

2)

Jo

d/

(Jo — «/, ) \p • (p = Mg 6 sin $ ;

3)

(Jl-J₂)(p-X= o.

Jo-T¹

² c/Z

Bei der Auflösung dieser Gleichungen folgen wir im wesentlichen Schells Theorie der Bewegung und der Kräfte, 1. Auf!., S. 831. Nach der ersten Gleichung ist q> unveränderlich, d. h.

4)

<P = <P o-

Aus den Annahmen ergibt sich unmittelbar

5)

dd

x= -Tf

Multipliziert man Gl. 2 mit dt = diï und Gl. 3 mit ip-dt, so entsteht

J2X‘dX—{J2 — Ji)<P-X-V-dt= Mgesmü-dü, J₂yj-dy> — (Jl—J₂)(p-x-ig-dt = 0. Daraus wird durch Zusammenzählen:

Jo. (X' dx + y • d<g) — Mg e sin d • dd. Integriert man dies zwischen den Grenzen

V = 0,

•d — &Q und so wird

Jo (X² + V¹) = 2 Mg 6 (cos $₀ — cos d).

In bezug auf die drei Koordinatenachsen, welche im Zeitpunkte t mit den Hauptachsen zusammenfallen (vgl. S. 257), sind die Drallkomponenten

%*= Ji (p = Ji Poi ^y = J2’X und %z = J₂-y. Projizieren wir diese Strecken auf die Lotrechte 4F, so ist die Summe dieser Projektionen der Drall in bezug auf A V. Dies gibt S3 — Jj (p₀ • cos d + J₂ y • sin d.

Dieser Wert muß, weil M-g\\AV, d. h. das Kraftmoment in bezug auf A F Null ist, nach S. 217 unveränderlich, also gleich • seinem Anfangswerte sein.

x=o,

6)

J\ ² Q9n² COS ^o —COS J₂ * sin²$

8)    x = ± ^1/ (cos    — cos ft) (2 Mg e

Sonach wird

oder

Jx cpQ cos ft + J₂ xp • sin ft = J, Ç9₀ cos ft Jx (pQ (cos ft₀ — cos ft) = J₂ xp • sin ft.

Aus den Gl. 6 und 7 läßt sich xp entfernen und ^berechnen, nämlich

7)

Auf der rechten Seite dieser Gleichung ist ft die einzige Veränderliche. Da nun x nicht imaginär werden kann, wird sich ft nur innerhalb solcher Werte ändern können, für welche der Ausdruck unter dem Wurzelzeichen positiv bleibt; diejenigen Werte von ft, welche jenen zu Null machen, sind Grenzwerte. Einer dieser Grenzwerte ist nach Gl. 8 olfenbar der Anfangswert ft = ft₀. Ein anderer Grenzwert ftx ergibt sich, wenn man

2 M-g • e

Jx²

₂ cos ft₀ — cos ftx

sin²$

setzt, wofür man wegen sin²ftx = 1 — cos²ftx auch schreiben kann: 2 M g e J^_ ^ _cog2$^ _ cos #₀ —Cos ^ .

9)

«Po² Jx

Der Einfachheit wegen sollen im weiteren nur solche Fälle berücksichtigt werden, in denen die anfängliche Winkelgeschwindigkeit (p₀ sehr groß oder, bestimmter ausgedrückt, das ursprüngliche

Arbeitsvermögen    sehr groß im Vergleiche mit Mg-eJ₂

ist; dann wird die linke Seite der Gl. 9 sehr klein, mithin auch die rechte; d. h. die Grenzwerte ft₀ und ftx sind nur wenig voneinander verschieden, oder ft ändert sich nur wenig.

Wir schreiben daher

10)

ft = fto + ö,

worin für große Drehgeschwindigkeit des Kreisels <5 ein kleiner Winkel ist. Hiermit wird

cos ft = cos (ft₀ + ft) = cos ft₀ • cos <3 — sin ft₀ • sin <5 = cos ft₀ — ô ■ sin ft₀ oder cos ft₀ — cos ft = ô • sin ft.

Vertauscht man noch annäherungsweise sin$ mit dem Anfangswert sin$₀, so wird aus Gl. 8 unter Benutzung von Gl. 11:

12)

= ±]A

JC-

Jo

Jo_

ï<Po²V.

Nach Gl. 5 und 10 ist

13)

„    dd    dö

^    dt    dt'

dö

Der größte Wert ô₁ von ö ergibt sich für = 0, also für X— 0 nach Gl. 12 zu

14)

2 Mg • e Jo

<Po² Jl

Um zu erfahren, innerhalb welcher Zeit d von i)₀ in , also ö von 0 in öj übergeht, muß man aus Gl. 13 und 12

dt =

dö

dö

T Vo

^2

1 / 2 Mg-e- J₂ • sin .

F    Vv o²

so wird

entnehmen und integrieren. Setzt man zur Abkürzung vorübergehend Mg • e • J<z • sin #₀

dt =

Jo

J<5

Ji'<PoV~2 aö — \

Nun ist aber

d arc cos ^1 —

d\ 1--

/-(-Ï

1 dö

dö

a j/2ó_

Ô² V~2aö — ö>'

also

a-

Jo

Jr<Po

arc cos ^ 1 —    + (7, oder

15)

Jo

Ji-n

arc cos 1

J\²⁽P²

31 g • e • J₂ • sin

• öj + C.

Rechnet man die Zeit von dem Augenblick an, in welchem <3 = 0, also # = #o war, s0 wird

J₂

d. h. 0=0.

0 = —arc cos 1 + C,

f-n

Löst man Gl. 15, mit 0=0, nach (3 auf, so entsteht

16

, _ Mg • e • J₂ • sin vn / J~i²⁽Po² l

COS

n-t).

Diese Gleichung gibt ó als f{t)\ jedesmal, wenn geändert hat, kehren für <5 dieselben Werte wieder; in der Zeit

J₂

ç>₀t sich um 2Jt

17)

2 7t J₂ >

t{ n J\

Fi g. 188.

,

/

IJ

wird also der Zwischenraum von $₀ bis einmal hin und her durchlaufen. Die Achse AX des Kreisels beschreibt also um die Lotrechte AV einen Kegel mit einer nach Fig. 188 geformten Leitlinie. —

Fig. 188 sei der Grundriß der Bahnlinie des Kreiselschwerpunktes S. Die Größe des Ausschlages CD in radialer Richtung ist durch öj (Gl. 14) gegeben, die Zeit zum Durchlaufen eines Bogens BDE durch Gl. 17. Um auch noch die Länge BCE eines Bogens zu finden, müssen wir die Winkelgeschwindigkeit co berechnen, mit der sich die Ebene VAX (Fig. 187) um A V dreht. Diese erhält mau, indem man die Winkelgeschwindigkeit ip um die Achse A Z zerlegt nach den Richtungen A V und AX (Fig. 189), dann ist die in erstere Richtung fallende Seitengeschwindigkeit der gesuchte Wert

Ao'

/j

Fig. 189.

CO =

xp

sin i) '

y 7° a

Nun ist nach Gl. 7 :

SIS⁰¹

<Po

(cos $0 — cos $)

sin

also mittels Gl. 11, wenn man zugleich nach S. 264 wieder sinv mit sin &₀ vertauscht,

V’ =

9V<5, mithin

18)

Ji

0)= cp₀.

sin$₀ ‘

Da nun ô von Null bis <5X schwankt, so ist auch w zwischen Null und einem Größtwerte (für ô = ôj) veränderlich. Einen Mittelwert von oj erhält man, wenn man für ô den Mittelwert

Jo

MV‘e isintf <Po² Jrsm 0

(Gl. 14) einsetzt, nämlich

Mg • e J\<Po '

2ji Jo

¹ ” n J\

(Gl. 17) dreht sich die Ebene VAX also um den Winkel

Mg-e J₂

n² J,

19)

(ü =

In der Zeit

r) = (ö • tL = 2n wofür man nach Gl. 14 kürzer

2’

20)

ài

/yl ⁷¹ sin

schreiben kann. Auf eine Umdrehung der Ebene VA X kommen sonach

₌ o sin V ~ ôi

21)

Schwankungen der Kreiselachse.

Die Zeit einer vollständigen Drehung der Ebene VA X beträgt

22)

o)    Mg - e

wächst also verhältnisgleich mit der Winkelgeschwindigkeit (p₀ des Kreisels und ist unabhängig von dem Winkel $₀. Bei sehr großer Drehgeschwindigkeit (p₀ des Kreisels ist nach Gl. 14 der Winkel nur klein, n (Gl. 21) groß und t₂ (Gl. 22) groß, d. h. die Kreiselachse beschreibt sehr langsam einen Kegel mit vielen, aber kleinen Rippen, so daß der Kegel fast wie ein Kreiskegel erscheint. Wird

die Drehgeschwindigkeit des Kreisels um seine Achse infolge von Reibung und Luftwiderstand allmählich kleiner, so werden die Schwankungen <5: größer, bis der Kreisel schließlich die Grund-ebene berührt und umfällt oder sonst in seiner Bewegung gestört wird, und die Zeit t₂ einer Drehung der Ebene VAX verkleinert sich. Der Sinn der Winkelgeschwindigkeiten co und (p₀ (Gl. 19) stimmt in bezug auf den Drehpunkt überein; ist ç?₀, von oben betrachtet, rechts drehend, so gilt dies auch für co, und umgekehrt. Über die Form der Kurve BDE (Fig. 188) erhält man noch bestimmteren Aufschluß, wenn man mittels der Gl. 12 und 18 bildet

X¹ _2 Mg ■ e • sin³ #₀ • J₂

à "

= oo, d. h. die Kurve BDE ist bei B und

co²

sin² -&0.

Für d = 0 wird

X²

co²

E radial ; für ô = ôj (Gl. 14) aber wird

2 = 0, d. h. die Kurve

BDE ist bei D rechtwinklich zu AD.

Weil 40= e- sin#₀, so

ist BCE = AG• r] = e • d, • tz (Gl. 20). Betrachtet man annähernd CD als =0.(5j, so paßt auch das Verhältnis BCE:CD = tv auf eine sphärische Epizykloide, welche beim Rollen eines spitzen Kegels auf dem äußeren Mantel eines stumpferen entstehen würde.

Fig. 190.

Beispiel: Ein Kreisel (Fig. 189) bestehe aus einem Schwungringe von 0,045 m mittlerem Halbmesser, der so schwer ist, daß gegen seine Masse diejenige der Achse und der Radarme vernachlässigt werden kann. Die Spitze liege um 0,c2 m unter der Mitte des Schwungringes und sei in einem glatten Grübchen drehbar, so daß man ihre Beweguug als Drehung in einem Kugellager ansehen kann. Dann ist

§—r

i<-ö~

annähernd

,Jy — M ■ 0,045 ² = 0,002 • M, J, = M (^-² + 0,02 ²) = 0,0014 e = 0,02.

■M,

Für diesen Kreisel ist die Schwankung

(Gl. 14)

2 M • 9,8i • 0,02 • 0,ooi4 M ■ sin $₀ _

<p₀² • O,001² • M²

Vo²

die Zeit einer Hin- und Herschwankung

(Gl. 17)

tx — 2 TZ

O,0014

4.4

0,002 • <p₀

<Po

die Zeit eines Umlaufes der Kreiselachse um die Lotrechte

0,002

9,81 • 0,02

die Zahl der Schwankungen der Achse während eines Umlaufes, d. h. Zahl der Rippen des Kegels

(Gl. 21)

(Gl. 22)

t₂ = 2 7T

9>o = °)⁰⁶⁴ <Po ;

Um die Achse des Kreisels sei eine Schnur gewickelt; die Mitte derselben

sei von der Mittellinie der Achse um 4 entfernt, so daß eine Umwicklung

einer Fadenlänge von rund 25 mm entspricht. Wird an dem freien Ende des

Fadens mit möglichst gleich bleibender Kraft gezogen und zugleich die (hohle)

Achse des Kreisels mittels eines hineingesteckten Stiftes festgehalten, so erfährt

der Kreisel eine gleichförmig beschleunigte Drehbewegung. Werden bei dieser

in einer Zeit von drei Sekunden 800 “ Fadenlänge abgezogen, so ist die

Endgeschwindigkeit des Fadens (nach 1. Teil, S. 12, Gl. 4, mit c = 0)

2•800 ... .

_— = 533 miu/s.,

entsprechend einer Drehgeschwindigkeit von

533

25

Umdrehungen in der Sekunde, oder einer Winkelgeschwindigkeit g>₀ = 21 • 2 7T = 132 .

Die Winkelbeschleunigung dieser Antriebbewegung ist

₌ 44 3

Hat der Kreisel ein Gewicht Mg = 0,3 kg, so ist

somit erfordert £ ein Moment

2)1 = £ • Jx = 0,0927 “kg ₅

also an einem Hebelarme von 0,oo4 m eine Zugkraft K — 0,7 kg. Aus <p₀ = 132 folgt die Zeit einer Hin- und Herschwankung

4,4

” Ï32 “ 0,°”S'¹

die Zeit eines Umlaufes der Kreiselachse t.₂ = 0,oo4 • 132 = 8,4 s- ; die Zahl der Rippen eines Kegels n = 0,oi5 • 132² = 261,4 . Einer Schrägstellung der Kreiselachse um den Winkel #₀ = 10° mit sin ?5₀ = 0,i7 entspricht dann

= 0,ooi4 = 5'.

137 • 0,i7

Ist die Winkelgeschwindigkeit <p₀ nur halb so groß, wie vorstehend angenommen, so wird tx doppelt so groß, d. h. O.o66s-; t₂ halb so groß, d. h. 4,2⁸-; die Zahl n der Rippen vermindert sich auf ein Viertel, d. h. auf 65,4 ; während auf das Vierfache, nämlich auf 20' zunimmt.

9. Drehung eines starren Körpers um einen festen Punkt ohne Einwirkung bewegender Kräfte.

Der vorstehend behandelte Fall der Kreiselbewegung wurde dadurch verhältnismäßig leicht lösbar, daß das Trägheitsellipsoid ein Umdrehungsellipsoid war, daß außerdem die Winkelgeschwindigkeit (p₀ sehr groß, die anderen beiden %Q und tp₀ aber gleich Null vorausgesetzt wurden und daß die Achse des resultierenden Kräftepaares in eine Hauptachse fiel. Ohne diese vereinfachenden Annahmen wird die Aufgabe, die Drehbewegung eines Körpers um einen festen Punkt zu untersuchen, meist so schwierig, daß wir von deren allgemeiner Behandlung hier absehen.

Wirken auf dem Körper außer dem Widerstande des festen Punktes keine äußeren Kräfte, sind also die Drehmomente in bezug auf alle durch den festen Punkt zu legende Achsen gleich Null, so nehmen die Eulerschen Drebgleichungen (S. 260) allerdings die etwas einfachere Gestalt

Jr

d(p

dt

= {Ą — Ą)X'V*

Jo-

dX

dtp

Jr

(J₁ — J₂<P-X an.

Die Entwicklung dieser Gleichungen, welche Poinsot im Jahre 1834 gezeigt hat, soll hier nur in ihren Ergebnissen beschrieben werden.

Die Drehbewegung des Körpers um den festen Punkt A ohne Einwirkung von Kraftmomenten geschieht hiernach in der Weise, daß das auf den festen Punkt bezügliche Trägheitsellipsoid des Körpers eine Rollbewegung auf einer Ebene ausführt, die eine unveränderliche Lage hat. Die Lage dieser sog. unveränderlichen Ebene hängt von den anfänglichen Winkelgeschwindigkeiten 9?₀, %₀ und tp₀ um die Hauptachsen ab. Der Fahrstrahl, von dem festen Punkt A nach dem Berührungspunkt O zwischen der Ebene und dem Ellipsoide gezogen, ist die augenblickliche Drehachse, und zugleich ist die Winkelgeschwindigkeit co um diese Achse mit der Länge des Fahrstrahles AO verhältnisgleich. Geschieht die anfängliche Drehung mit der Winkelgeschwindigkeit to um eine der Hauptachsen des Trägheitsellipsoides, so ist der Fahrstrahl AO rechtwinklig zu der unveränderlichen Ebene; der Berührungspunkt O hat in diesem Falle eine feste Lage im Körper und im Raume; die Drehung erfolgt daher mit gleichbleibender Geschwindigkeit dauernd um die Achse HO, als wäre diese eine feste Achse.

Fig. 191.

/'S'

Die Drehung um den festen Punkt A kann nach S. 39 auch als das Rollen zweier Kegel aufeinander betrachtet werden. In dem hier vorliegenden Falle, wo die Momente Null sind, schneidet der mit dem Körper verbunden gedachte Kegel das um den Punkt A gelegte Trägheits-ellipsoid in einer Kurve, deren Gleichung Ähnlichkeit mit der Ellipsengleichung    l

hat. Der andere, unbewegliche, Kegel    i

ist transzendenter Natur; er hat eine etwa nach Fig. 191 geformte Leitlinie (vgl. Budde, Allgemeine Mechanik,

S. 833).

Ist das Trägheitsellipsoid ein Umdrehungsellipsoid, so werden die aufeinander rollenden Kegel beide zu Kreiskegeln.

Ist das Trägheitsellipsoid eine Kugel, so daß jede durch A gelegte Achse eine Hauptachse ist, so gehen die Kegel in eine einzige Gerade über; die Drehachse ändert dann ihre Richtung und ihre Winkelgeschwindigkeit co gar nicht. Dieses letzte Ergebnis folgt auch schon aus 1. Teil, Aufl. 4, S. 339.

10. Bewegung eines freien Körpers.

Das vorstehend über die Drehung eines Körpers um einen festen Punkt Mitgeteilte findet auch sinngemäße Anwendung auf die Bewegung eines freien Körpers. Vereinigt man nämlich die an einem starren Körper von der Masse M wirkenden äußeren Kräfte zu einer durch den Schwerpunkt S des Körpers gehenden Einzelkraft R und einem Achsenmoment 5)1, so wird die Bewegung des Schwerpunktes S nach S. 192 nur durch die Kraft R beeinflußt; diese erteilt dem Körper eine Verschiebungsbesehleunigung

Fig. 192.

im Sinne der Kraft R. Außer der Verschiebung mit dem Schwerpunkte führt der Körper im allgemeinen noch eine Drehung um den Schwerpunkt aus, welche nach 1. Teil, Aufl. 4, S. 346 unabhängig von der Verschiebung so behandelt werden kann, als wäre der Schwerpunkt ein fester Punkt und als drehe sich der Körper um ihn unter Einwirkung des Moments 2JÎ. Für diese Drehung gilt daher das S. 256 bis S. 269 Gesagte. Erfolgt die Bewegung unter alleiniger Einwirkung der Schwere, so beschreibt der Schwerpunkt die bekannte (1. Teil, Aufl. 4, S. 52) Wurfparabel, und die Drehung um den Schwerpunkt erfolgt ohne Einwirkung von Momenten, also nach S. 269 und 270 (vgl. auch 1. Teil, Aufl. 4, S. 346). Wirft man z. B. einen geraden Stab (eine materielle gerade Linie) mit der Hand derartig fort, daß der Stab außer der Geschwindigkeit c des Schwerpunktes noch eine Winkelgeschwindigkeit a> in einer durch die Mittellinie des Stabes gehenden Ebene, also um eine rechtwinklig zu dieser Mittellinie stehende Achse, bekommt (Fig. 192), so wird, wenn man vom Luftwiderstand absieht, die Geschwindigkeit c die parabolische Wurfbewegung des Schwerpunktes bedingen, die Drehung mit der Winkelgeschwindigkeit co daneben aber unverändert erhalten bleiben. Steht die Achse der Winkelgeschwindigkeit w aber schief gegen den Stab, so wird die Drehung um den Schwerpunkt eine veränderliche, wirbelnde Bewegung sein.

11. Schwingungen eines Schiffes.

Die lotrecht auf und niedergehende Bewegung, das sog. Tauchen oder Steigen eines Schiffes wurde bereits S. 77/78 behandelt. Die Dauer einer einfachen Schwingung dieser Art ergab sich zu

F-g'

entsprechend der Schwingungsdauer eines einfachen Pendels von der Länge

2)

r, = 0,994 Ć,²,

wenn V den Inhalt des eingetauchten Raumes im Gleichgewichtszustand, F den Inhalt der wagerechten Schwimmfläche bedeuten.

Von besonderer Wichtigkeit ist das Rollen des Schiffes, worunter man eine Drehung um die zum Kiele parallele Schwerpunktachse (Längsachse) versteht.

Ein aufrecht (gerade) schwimmendes Schiff werde durch vorübergehende Einwirkung eines Kräftepaares derartig in eine schräge Lage gebracht, daß die Querschnitte in ihrer ursprünglichen Ebene verbleiben, und stehe dann wieder unter alleiniger Wirkung des Gewichtes Mg und des ebenso großen Auftriebes A — y-V— Mg, worin y das Gewicht einer Raumeinheit des Wassers. Das Schiff sei von solcher Gestalt, daß auch die Richtungslinie des Auftriebes sich nur in der durch den Schwerpunkt S des Schiffes gelegten Querschnittsebene verschoben hat. Dann fällt die durch den Schwerpunkt S gelegte Achse des wirkenden Kräftepaares (Mg und Ä) mit der Längsachse des Schiffes zusammen, welche annähernd als eine freie Achse angesehen werden möge.

Die Entfernung aus der Gleichgewichtslage werde als nur gering, der Neigungswinkel d (Fig. 193) als klein vorausgesetzt, dann schneidet nach 2. Teil, Aufl. 3, S. 201 der Auftrieb des Schiffes die Schwimmachse FS desselben in einem festen Punkte, dem Metazentrum J/, welches vom Schwerpunkt S um die metazentrische Höhe SM entfernt ist. Liegt der Schwerpunkt E des eingetauchten Raumes oder der Verdrängung F bei aufrechter Lage des Schiffes um

ES = e

Fig. 193.

M-fjr

CM

-I

oel

unterhalb des Schwerpunktes 5 des Schiffes, so ist (2. Teil, Aufl. 3, S. 201, Gl. 5 und 6)

3)

V

SM=~ — e

und das aufrichtende Moment

4)

9R = j' v(~: — ej 0,

Fig. 194.

worin $ das Trägheitsmoment der Schwimmfläche (Fig. 194), in bezug auf ihre Längsachse OX bedeutet. Bei der Kückkehr in die Gleichgewichtslage verkleinert sich der Winkelt, es ist daher die Winkelgeschwindigkeit dieser Drehung

OJ

dd

dt ’

die Winkelbeschleunigung

----->

d'-d

dt- '

Bezeichnet man nun mit J das Trägheitsmoment des Schiffes in bezog auf die Längsachse S, so ist (1. Teil, Aufl. 4, S. 325) d'-d

y.V

di-

— e\i), oder

ft)

dt²

wenn man zur Abkürzung

₇o 3-e-V

k'=r i

setzt. Nach S. 113/14 hat Gl. 5 die allgemeine Lösung d — A sin Je t + B cos k t.

Eine Zunahme von kt um 27t führt das Schiff in den vorhergehenden Zustand zurück, daher entspricht die Zeit ^

Ic

Doppelschwingung; die Dauer einer einfachen Schwingung ist also

6)

2 7t

einer

7)

t‘ = Tc⁼’l

yQ-e>vy

und dies entspricht einer Schwingungslänge, die sich analog Gl. 2 ergibt zu

8)

J-9

e-

y(3-e-v) MSM SM ’

wenn i der Trägheitshalbmesser.

18

Keck-Hotopp, Mechanik. III. 2. Aufl.

Eine Schwingung um die Querachse des Schiffes wird das Stampfen genannt. Für die Dauer desselben gilt

9)

Jo

y(&-*-vy

wenn J₂ das Trägheitsmoment des Schiffes in bezug auf die Querachse, $₂ das Trägheitsmoment der Schwimmfläche in bezug auf die Querachse bezeichnen.

Beispiel : Ein Schiff von a = 120 m Länge, b = 12 m Breito, c = 8,5 m Höhe wiegt 5845 ¹, dann ist im Seewasser (/ — 1025 kg)

V = ^ = 5702 cbm .

1,025

= 4,83 ¹¹¹

F 1181

Die Schwimmfläche betrage F = 0,82 a-b = 0,82 • 120 • 12 = 1181 qm, dann ist die Schwingungslänge des Tauchens (Gl. 2) z = JF 5702

und die entsprechende Dauer einer einfachen Schwingung (1. Teil, Aufl. 4, S. 83)

= 1,003 y l = 2,2 s..

Das geometrische Trägheitsmoment 3 der Schwimmfläche wird auf das Trägheitsmoment des umschließenden Rechtecks (a • b) zurückgeführt und möge wegen der Zuschärfung 60°/o desselben betragen-, dann ist

3 = 0,-.^ =

Die Höhe des Schiffsschwerpunktes S über dem Schwerpunkt E der Verdrängung betrage e = 1,46m, dann wird die metazentrische Höhe

1,46 = 0,6 m .

Für das Trägheitsmoment J des beladenen Schiffes gibt es keine Annäherungsformeln ; vielmehr muß man zu dessen unmittelbarer Bestimmung die Masse eines jeden Teiles des Schiffes mit dem Quadrate seines Abstandes von der Schwerpunktsachse multiplizieren und diese Produkte summieren. Gewöhnlich unterläßt man diese mühsame Rechnung, beobachtet vielmehr die Schwingungsdauer tx, berechnet daraus die Schwingungslänge lx und schließlich nach Gl. 8 das Trägheitsmoment J.

Das vorliegende Schiff gebrauche zu einer einfachen Rollschwingung G = 8 s.; dem entspricht eine Schwingungslängo

0,68-120 • 12 ³

SM = ^ — e =

*i²

12

11750

5702

64

= 11750 m*.

Hiermit wird nach Gl. 8

1,003²    1,003²

= 63,62 m .

** = lx. SM= 63,62 • 0,6 = 38,17 und i = 6,is m. Schließlich 5845 -1000

J = Mt² =

•38,17 = 22743000.

12. Drehungspendel.

Ein elastischer, prismatischer Stab oder Draht sei an seinem oberen Ende fest eingespannt, auch gegen Drehung gesichert; an seinem unteren Ende sei ein Körper von solcher Massenverteilung befestigt, daß die lotrechte Mittellinie des Stabes eine freie Achse des Körpers bilde (Fig. 195).

Anfang befinde sich das Ganze im Gleichgewichte. Wird nun der untere Körper um die lotrechte Achse gedreht, so entstehen in dem mitverdrehten Stabe Schubspannungen, die innerhalb der Elastizitätsgrenze mit dem Drehungswinkel verhältnisgleich sich ändern.

Wird der Körper sodann losgelassen, so erteilt das Spannungsmoment des Stabes dem (^y Körper eine Winkelbeschleunigung, welche demnach verhältnisgleich ist der Winkelabweichung von der Gleichgewichtslage. Wird die Winkelabweichung für einen beliebigen Zeitpunkt mit d bezeichnet, so ist, weil die Be-

Fig. 195.

Zu

L^Q

KD

wegung eine rückläufige, die Winkelgeschwindigkeit co — — die Winkelbeschleunigung

dd

dt ’

1)

d²d ₌ TI dt² ~ J'

wenn das mit d verhältnisgleiche Yerdrehungs-, J das Trägheitsmoment des Körpers in bezug auf die lotrechte Achse bezeichnen. Die einfache Gl. 1 für e ist hier verwendbar, weil nur Winkelbeschleunigungen und Drehungen um eine freie Achse in Frage kommen, so daß (nach Teil I, Aufl. 4, S. 338) die Bewegung wie eine Drehung um eine feste lotrechte Achse geschehen muß.

— lc² • d;

dann bedeutet

2)

Für Gl. 1 kann man schreiben: d²d

dt²

3)

k²

jd

die Winkelbeschleunigung für einen Verdrehungswinkel # = 1=57,3U. Da Gl. 2 mit Gl. 5, S. 273 übereinstimmt, so ist sie die Differential-

gleichung einer Schwingungsbewegung um die Gleichgewichtslage als Mitte, und die Dauer einer einfachen Schwingung ist nach Gl. 7, S. 273

■vT

Hat der Stab oder Draht den Halbmesser r und die freie Lauge A, so ist bei einer stärksten Schubspannung r nach Keck-Hotopp, Elastizitätslehre, I. Teil, Aufl. 2, S. 291 r³ 71 T‘~2~

wenn G das Gleitmaß des Stoffes, also

jr

TR = G TTT- # und nach Gl. 3

G-r-ä

und zugleich v —

2h

5)

k² — G

2 h-J'

Beispiel: Der Draht habe r = 0,i’cm Halbmesser und h = 100c™ Länge. Am unteren Ende sei ein Schwungring von 2 Gewicht und 30 cm mittlerem Halbmesser befestigt. Dann ist, weil bei der Rechnung mit Zentimetern

g = 981 gesetzt werden muß, J =

und mit G = 800000at,

2-30²

981

k² =

800 000 • 0,i⁴ Tr • 981

2 • 100 • 2 • 30²“

= 0,685;

k = 0,828 J t, = jr- = 3,8 S- .

0,828

Kennt man Stärke und Gleitmaß des Drahtes nicht genau genug, so kann k² auch durch einen Verdrehungsversuch ermittelt werden. Ist B der Halbmesser des Schwungringes und setzt man J — /j.B², so ist ji-g annähernd das Gewicht des Ringes. Bringt man nun mit Hilfe zweier Rollen und zweier Gewichtsstücke = ¹/²/-*5r an dem Ringe zwei wagt rechte Kräfte =¹/²A¹^ so an, daß sie auf die lotrechte Achse ein Kräftepaar vom Momente Va fjg • 2 B■ = p.g ■ B übertragen, so wird nach Gl. 3

l² =

6)

/jq ■ B _ fi • B²& B #

Mißt man sodann an dem Ringe die durch das Kräftepaar erzeugte Verdrehung Bd — s im Abstande B von der Mitte, so ist

7)

k² = — und t, = 7fi/—, s    F 9

d h. gleich der Dauer einer kleinen Schwingung eines Pendels von der Schwingungslänge s.

Die Gleichungen 1—4, 6 und 7 gelten auch für die Schwingungen der sog. Unruhe einer Uhr. Die mit der Achse des Schwungrädchens verbundene Spiralfeder setzt der Verdrehung des Rades aus der Gleichgewichtslage ein Spannungsmoment entgegen, welches sich mit dem Verdrehungswinkel annähernd verhältnisgleich ändert.

Die Spiralfeder (Fig. 196) sei am äußeren Ende bei B eingespannt; in der Mitte, wo sich die Drehachse des Schwungrädchens befindet, werde auf das innere Ende der Feder eine in X und Y zerlegte Einzelkraft und ein Kräftepaar 3J1₀ übertragen. Dann ist an einem Punkte P mit den Koordinaten x und y das Biegungsmoment

Fig. 196.

A.Y"

er

iVr

5DÎ = 2%-Xy + Yx.

Wird das Schwungrädchen aus der dem spannungslosen Zustande der Feder entsprechenden Lage um den Winkel # gedreht, wobei es auf die Feder das Moment 2)1₀ und die Kräfte X und Y ausübt, so ist Ü der gesamte Verbiegungswinkel der Feder von der Mitte bis zum Endpunkte B. Für diesen gilt nach Keck-Hotopp, Elastizitätslehre, II. Teil, Aufl. 2, S. 53, Gl. 6a:

8)

9)

EJX # = l ÜDÎ • d s = 2Jł₀ a —X\y-ds + Y\X‘ds,

wenn a die Gesamtlänge der Feder bezeichnet. Da nun der Schwerpunkt der ganzen Spirale von der Länge a bei vielen Windungen derselben nahezu im Anfangspunkte der Koordinaten liegt, so sind

y■ ds und

x ■ ds

e,'0

annähernd Null, und es ist

10)

wenn Jx das Trägheitsmoment des Querschnittes der Feder bedeutet. Somit wird

ad

an Stelle von Gl. 5 treten, wobei J das Trägheitsmoment der Unruhe bedeutet, und die entsprechende Pendellänge

Z = -L

11)

(Gl. 3)

12)

k2 9 EJ^

ist mit der Federlänge a verhältnisgleich.

Es sei der Querschnitt der Feder 0,5 • 0,o4 mm, das Trägheitsmoment also

j _ 0,5 • 0,04 ³ _

—12    y

• 10

mm ⁴

die Länge der Feder a = 200 ™ ; das Gewicht des Schwungrädchens ;j.g — 0,00025 kg, sein Halbmesser 8 mm, sein Trägheitsmoment, bezogen auf

0,016 9 ’

0,oi6 • 200

Kilogramm und Millimeter, J—

, somit

i=

— 48 mm

25000-

10

und die .Dauer einer einfachen Schwingung

t, = l,oo3 ]/*0,ois =0,22 Sekunden.

13. Umfallende, auf dem Boden reibungslos ausgleitende Stange.

Eine Stange von der Länge a und dem Gewichte M-g, die anfänglich lotrecht auf wagerechtem Boden stand (Fig. 197), falle nach rechts um; dann wird, wenn das untere Ende A der Stange nicht festgehalten ist, auch an demselben keine Reibung auftritt, der Boden nur einen lotrechten Normalwiderstand N auf die Stange übertragen. Der im Abstand e vom unteren Ende befindliche

Fig. 197.

Bo

f'Tl

Fig. 198.

Fig. 199.

«S₀

ä₀!o!

Ai

Aq

Schwerpunkt aS der Stange wird sich, weil nur lotrechte Kräfte wirken, lotrecht abwärts bewegen, so daß, wenn die Stange auf dem Boden anlangt (Fig. 198), das untere Ende um A₀Al = e nach links geglitten sein wird. Es sollen die Beschleunigungen und Geschwindigkeiten in beliebiger Zwischenlage und beim Aufschlagen berechnet werden.

In der beliebigen Zwischenlage (Fig 199), wo die Mittellinie der Stange mit der Lotrechten den Winkel # bildet, sei p die

lotrecht gerichtete Beschleunigung des Schwerpunktes, e die Winkelbeschleunigung um die rechtwinklig zur Bildebene gedachte Schwerpunktsachse, welche als freie Achse angenommen wird. Dann ist nach dem Satze von der Beschleunigung des Schwerpunktes

Mg — N V ~ M

N- e- sin #

1)

und

2)

(s. S. 249, Gl. 1),

wenn J=M‘i² das Trägheitsmoment in bezug auf die bezeichnete Schwerpunktsachse bedeutet.

Das untere Ende der Stange hat die lotrechte Beschleunigung p, die Umfangsbeschleunigung e-e. Da seine Gesamtbeschleunigung aber nur wagerecht sein kann, so muß p durch e • e sin $ aufgehoben werden, mithin

3)

e • sin ä

sein. Aus Gl. 2 und 3 ergibt sich

pM

e² sin² # ’

Hiermit bestimmt sich aus Gl. 1 :

4)

ff

Ï¹

è² • sin² &

5)

ferner e =

ff

e • sin ä +

r²

und

6)

Mg

e- sin² ^

Aus diesen Gleichungen kann man die Beschleunigung jedes Punktes der Stange berechnen; diejenige des unteren Endes beträgt nach Fig. 199: <?-e-cos$.

Die Geschwindigkeiten lassen sich am einfachsten nach dem Satze der Arbeit berechnen. In der beliebigen Zwischenlage (Fig. 200) sei u die Geschwindigkeit des Schwerpunktes (lotrecht

Für die Geschwindigkeit w des unteren Endes gilt w — e • ca cos #, also

9)

2g-&(l — cos#)

e² cos² #

gerichtet), ca die Winkelgeschwindigkeit der Drehung um den Schwerpunkt. Dann ist das Arbeitsvermögen y₂ M u²y₂ J ca2 nach 1. Teil, Aufl. 4, S. 345. Die Arbeit der Schwerkraft ist Mg * SS₀; es wird daher, weil SS₀ = e( 1—cos#, wenn man zugleich noch J= M-Ï¹ setzt,

J^r + ^Y-co2== Mg.e{l — cos #),

xc

oder weil, entsprechend Gl. 3, ca =    ist,

_ 2g-e( 1 —cos #)

Fig. 200.

Soo

io r ;

7)

IG

~2

und

e.o)

8)

e² • sin² #

_ 2g • e(l — cos #) e² • sin² # + i²

tg²& +

Für die An fangs Stellung, d. h. #=0, sin # = 0, cos # = 1, geben diese Gleichungen selbstverständlich

p = 0; e = 0; N— Mg; u — 0; oa = 0; w — 0.

Für die Endlage, d. h. # = 90°, sin # = 1, cos# = 0, wird

2g-e .

i² ’

1 + 4

6'²

1 + +r

i² ’

1 + -5-

O)²

w² — 0 ;

2.?- e .

<?² + i² ’

und, wenn v die Geschwindigkeit des anderen Endes, v = u + (a — e) ca, also

<?²+;²’

d. h. v = a • w, wie es wegen w = 0 auch sein muß.

Da in der Endlage w — 0 ist, so stimmt beim Aufschlagen der Stange ihr Geschwindigkeitszustand mit dem einer unten drehbar befestigten (S. 254) überein, nicht aber der Beschleunigungs- und

14. Rollbewegung auf schiefer Ebene.

Fig. 201.

<-------IÎ-.......>,

Auf einer schiefen Ebene von der Neigung a rolle ein Umdrehungskörper von der Masse M (Fig. 201), dem Rollkreishalbmesser R und einem auf die Drehachse bezogenen Trägheit'-moment J—juR²; er trage mittels einer Achse vom Durchmesser d = 2r einen Körper von der Masse i¥, und dem auf dieselbe Achse bezogenen Trägheitsmoment Jl = /ulR². Die Drehachse sei für beide Massen M und Mx eine freie Achse. An der Tragachse der Masse Mx möge Reibung auftreten.

>1 21'■l<

«giß*¹

JW

Kräftezustand. Bei der Vergleichung dieser Formeln mit denen auf S. 254—256 ist zu bedenken, daß i², bezogen auf den unteren Endpunkt (S. 254), gleichbedeutend ist mit i² + e² in den Formeln der S. 278—280.

Für eine materielle Gerade, d. b. einen Stab mit gleichmäßig über seine Länge verteilter Masse', also e = ¹/2a; i² = ¹/i2a²;

— ~ wird in der Eudlage

e==7jf 5 N= Mg ; u² = w² = 0; v² — 3g • a.

Hieraus folgt, wie es wegen w — 0 sein muß, v — 2 u.

•o

lm

el

4H 03

9\

g-a;

OJ²

3*.

Zu Anfang seien beide Massen in Ruhe. Auf schiefer Ebene erfährt nun die Masse M eine abwärts gerichtete beschleunigte Rollbewegung. Die Beschleunigung des Schwerpunktes sei p, dann muß die Winkelbeschleunigung der Drehung um die Achse (nach 1. Teil, Aufl. 4,

S. 349) betragen

p

€ = ■—

Die Masse Mx muß nun die Verschiebung mit der Beschleunigung p vollständig mitmacben; eine Drehbeschleunigung e-L wird ihr nur durch das Moment der Zapfenreibung mitgeteilt, und

zwar tritt dieses Reibungsmoment in verschiedener Größe auf, jo nachdem die Winkelgeschwindigkeit cox der Masse Mx kleiner ist als diejenige der Masse Jf, oder den gleichen Wert hat. Im ersteren Falle kommt die volle Zapfenreibung zur Wirkung, im anderen Falle nur ein Teil derselben. Da nun beide Massen zu Anfang die Geschwindigkeit Null hatten und gleichförmig beschleunigte Bewegungen ausführen, so ist das Verhältnis von cox zu ü) gleich mit demjenigen von ^ zu s.

Fig. 202.

kD

SAß

Erster Fall, geringe Zapfenreibuug: Die Zapfenreibung sei so gering, daß sie nicht imstande ist, der Masse Mx dieselbe Winkelbeschleunigung s zu erteilen, welche die Masse M erleidet. Dann tritt an den Zapfen ein Gleiten auf, und somit ein volles Reibungsmoment Z>-/-r, worin D der Zapfendruck, / die Reibungsziffer.

Der Zapfendruck U stimmt mit dem Gewicht ÄIxg nach Größe und Richtung nicht ganz überein.

Mjg.sina

Seine Richtung weiche von der Kechtwinkligen zur schiefen Ebene um den Winkel ß ab (s. 1. Teil,

Aufl. 4, S. 352). Zerlegt man die auf Mx wirkenden Kräfte Mxg und D nach den Richtungen parallel zur schiefen Ebene und rechtwinklig dazu, so ergibt sich (Fig. 202) in ersterer Richtung eine schräg abwärts gerichtete Gesamtkraft Mxg sina — Z?sin/2, und es muß, weil diese der Masse Mv die Beschleunigung p erteilt,

1)

Mx p — Mx g sin a — D sin ß, oder I) • sin ß = Mx g sin a — Mx p sein, während in der zweiten Richtung

2)

D . cos ß — J\IX g cos a wird.

Das in Fig. 202 links herum drehende Rcibungsmoment 9R = Z>-/*r erteilt der Masse Mx eine Winkelbeschleunigung

3)

£'i =

D-f-r _ D •f-r MxB- '

Mp = Mg • sin a + Mx g ■ sin a — A/j p — T⁷.

4)

An der rollenden Masse M wirken die Schwere Mg, der

Zapfendruck L?, das Zapfenreibungsmoment Tt im Sinne rechts herum und die an der Itoll-

bahn auftretende Normal- und Tangentialkraft N und T; Fig. 203 zeigt diese Kräfte nach zweckmäßiger Zerlegung. Dann gilt für die Beschleunigung des Schwerpunktes

Mp—Mg • sin a -j- D • sin ß— T, oder wegen Gl. 1 :

Fig. 203.

-iY

r-*2H

Y>)s

D.cosß

M-'J

M.g.cost(

Da nun bei der Rollbewegung die Umfangsbeschleunigung der Drehung e • iü gleich der Beschleunigung p des Schwerpunktes sein muß, so wird (vgl. 1. Teil, Aufl. 4, S. 352)

5)

jU • p = T

D-f-r

Setzt man den hieraus folgenden Wert von T in obige Gleichung ein, so entsteht

G)

(M + My + ju)p = (AI +    • sin a — Df—

worin mit genügender Annäherung D = Mxg gesetzt werden kann. Diese Gleichung gilt, so lange an der Achse ein Gleiten stattfindet, so lange also s > oder pR> R-e, d. h.

7)

(M + Mx)g • sin a • R — Mxg •/• r

AI -b Af! + yU

Mi

ist. — Für reibungslose Lagerung (/=0) ist Bedingung 7 ■erfüllt, daher Gleichung 6 gültig, mit/=0.

Zweiter Fall; größere Zapfenreibung, die das Gleiten an dem Zapfen verhindert. Ist die Bedingung 7 nicht erfüllt, ist vielmehr die Zapfenreibung genügend groß, um die Masse Mx vollständig an der Drehung von M teilnehmen zu lassen, so wird £ = £x, und cs tritt das Reibungsmoment 9)1 nur in derjenigen

Größe auf, welche nötig ist, der Masse Mx die Winkelbeschleu-nigung £x — £ zu erteilen, d. h., da wieder £-R—p,

8)

9JÏ = e • jx = £. fiY • JK³ = p • Mi R •

Die Gleichungen 1 und 2 bleiben gültig, ebenso Gl. 4; an Stelle von Gl. 5 aber tritt die folgende:

M-p = T—^= T— Mi •/>;

dies gibt T — (m + Mi)p, und hiermit wird aus Gl. 4:

9)

(M + Mi -f- M + M\)p = (Af+ Mx)g ■ sin a.

Diese Gleichung gilt auch für solche Fälle, in denen M und Mx gegeneinander unbeweglich sind, so daß man sie wie einen einzigen Körper auffassen kann.

Beispiel: Rollbewegung eines mit Wasser gefüllten Gefäßes. Der rollende Körper sei ein dünnwandiges zylindrisches Gefäß von der Masse M und der auf den Umfang bezogenen Masse fi\ er sei mit Wasser gefüllt von der Masse Mx und der auf den Umfang bezogenen Masse //,. Betrachten wir das Wasser als vollkommen flüssig, d. h. ohne Fähigkeit, Reibungswiderstände auszuüben, so wird es beim Abwärtsrollen des Gefäßes nur an der Verschiebungsbeschleunigung p, nicht aber an der Drehung teilnehmen. Es gilt daher Gl. 6 mit / = 0, d. h.

(M + Mx + p)p — (M + Mx) Q • sin a,

Ist das Wasser aber durch radiale Wandungen an der relativen Drehung gegen das Gefäß verhindert, oder etwa zu Eis erstarrt und an dem Gefäße festgefroren, so muß es an der Drehung teilnehmen, und es gilt nun Gl. 9, welche für p einen kleineren Wert ergibt als Gl. 10.

Werden zwei im Äußeren übereinstimmende Gefäße der ersten und der

10)

zweiten Art auf eine schiefe Ebene nebeneinander gesetzt und losgelassen, so wird das erste Gefäß schneller laufen als das zweite.

Ist das Gefäß so dünnwandig, daß man seine Massen M und ;j. gegen die des Wassers Mx und /jx vernachlässigen kann, so wird im ersten Falle

p = g sin « ,

H)

im andern Falle mit /ix = x/a :

12)

2 .

P = y <7 sin a.

Man würde daher durch einen Rollversuch feststellen können, ob die Wasserfüllung sich gegen das Gefäß frei drehen kann oder nicht.

15. Anhalten eines Eisenbahnzuges durch Bremsung.

Die beschleunigte oder verzögerte Bewegung der Fuhrwerke wurde schon im 1. Teile, Aufl. 4, S. 351, jedoch ohne Rücksicht auf den Luftwiderstand, behandelt. Bei schnell fahrenden Eisenbahnzügen ist aber, wie schon im 1. Teile, Aufl. 4, S. 303, gesagt wurde, der Luftwiderstand so erheblich, daß er die übrigen Widerstände übersteigt. Daher soll an dieser Stelle der besonders wichtige Fall des Anhaltens eines Eisenbahnzuges mit Rücksicht auf den Luftwiderstand als Ergänzung des früher gegebenen behandelt werden.

Die Untersuchung bezieht sich auf einen einzelnen Wagen (Fig. 203), wie dieselbe dann auf einen ganzen Zug angewandt werden kann, soll im Beispiele gezeigt werden,

Wie schon im 1. Teile, Aufl. 4, S. 351, erläutert, müssen bei einem beschleunigten Fuhrwerke drei Massen voneinander unterschieden werden :

1.    die Masse M der rollenden Teile, d. h. der Achsen und Räder;

2.    die auf den Halbmesser R des Rollkreises bezogene Masse ju der rollenden Teile;

3.    die Masse Ml der übrigen Teile des Fuhrwerks, welche nur an der Verschiebung, nicht an der Drehung, teilnehmen.

Fig. 204.

Ist v die Geschwindigkeit des Zuges, F seine Querschnittsfläche, y das Gewicht von 1cbm Luft, so kann der Luftwiderstand nach 2. Teil, Aufl. 3, S. 370,

Gl. 4

1)

TU — K— F’V²,

9

worin n eine Erfahrungsziffer < 1 ist, gesetzt werden.

Unter Hinzufügung dieser ^

Kraft TU wird aus Gl. 10,

1. Teil, Aufl. 4, S. 352

2)

Mp = Mg siu a + Ml g sin a — Mxp — T— W, wenn p die abwärts gerichtete Beschleunigung des Wagens bedeutet; oder, wenn man für schwache Gefälle sina mit a vertauscht (Fig. 204) : {M+Mx)p = (M + M\)g-rx -T- TU.

Für die Umfangsbeschleunigung p der Drehung der Räder ist die zwischen Rad und Schiene auftretende Reibung T die beschleunigende Kraft mit dem Momente T R. Als Widerstandsmomente wirken demselben entgegen: 1. das Zapfenreibungsmoment,

welches mit genügender Genauigkeit aus einem Zapfendrucke Mxg zu Mxg-f‘r abgeleitet werden kann (wenn r der Zapfenhalbmesser); 2. das Moment des Rollwiderstandes, welches, ebenfalls annähernd, mit {MĄ-M^g-e eingeführt werden darf (wenn e der Arm des Rollwiderstandes, s. 1. Teil, 4. Aufl., S. 294 u. flg.); 3. das Moment der Bremsreibung P-fx-R, wenn P die Summe der Bremsdrücke, /, die Reibungszifler der Bremsklötze bedeuten. Hiernach wird ß'P • R — T-R — itfj g • f • r — (M -f- Mx) g • e — P* fx R

und somit T= ßP + Mxg + {M+ Mx)g~ + P-/i-

Nennt man aber a₀ das Gleichgewichtsgefälle für sehr langsame Bewegung ohne Wirkung von Zugkraft, Bremskraft und Luftwiderstand, so kann für die Summe vom Zapfenreibungs- und Rollwiderstand nach 1.Teil, Aufl.4, S.353, abgekürzt gesetzt werden:

M.a-f- ~ + (M+ M,)g~ = (M+ M.)g ■ oc₀,

T — ßp -f- (M-\- Mx)g • a₀ + P-/i

womit

wird. Führt man dies in Gl. 2 ein, so entsteht

•F-v²

3)

AL -f- ALX -f- ß

Setzt man nun zur Abkürzung

4)

{M+Mx)g{ « —otp) — P-/i

M. p ALX -f- ß

5)

= B%

so wird

g JM. -(- ALX -j- ß p = — A — B • v² = — (A + B • V-), oder

dv

Hieraus folgt dt

dv

dv

A + B v-

dt —

4Vf)

V A-B

Somit ergibt sich durch Integration

n

War für t — 0 die Geschwindigkeit v = c und soll sie für t — tx zu Null geworden sein, so ist die zum Anhalten des Zuges erforderliche Zeit tv leicht bestimmt zu

Va-b

arc tg v

+ G.

arc tg o ]/Æ

7)

V A-B

Um die zum Anhalten erforderliche Wegeslänge a zu erhalten, multipliziere man Gl. 6 mit

2 v - dt — 2 dx;

2 v • d v A + B - v1 =

2 B - v • dv A + B-v²⁼⁼

l(A + B-v²) = — 2B-x+ Cj. Mit v — c für x = 0 wird Cl — l (A + B c²), also yA + B-c2 1A+ B-v²

die Bremsstrecke x = a folgt für v = 0 zu

dann wird

—2•dx,

— 2B-dx, also

8)

9)

oder

10)

2,3026

log l1 + z °²) *

Das Gleichgewichtsgefälle c^ mit Rücksicht auf den Luftwiderstand ergibt sich für eine Geschwindigkeit <?, indem man in Gl. 3 einführt:

Dann wird

p = 0 und P= 0.

H)

al = a0 + T

nF- c²

9 (M+ Mx)g’

Beispiel: Ein Schnellzug, bestehend aus Lokomotive, Tender, Gepäckwagen, Postwagen und fünf Personenwagen, fahre mit der Geschwindigkeit c = 20 m/s. = 72 km/h. ; es soll die zum Anhalten erforderliche Bremszeit #, und Bremsstrecke a berechnet werden, u zw. auf wagerechter Strecke (<z = 0) und auf einem Gefälle « = 1: 200.

Die Lokomotive wiege 42 t, der Tender 20 *, der übrige Zug 105 t , der ganze Zug also {M + MJ g = 167 t. Das auf den Rollkreis bezogene Gewicht der Achsen und Räder, d. h. nahezu das Gewicht der sämtlichen Radreifen, betrage ng= 14 t. Die Summe aller Bremsdrücke sei etwa gleich dem halben Gewichte des Zuges, nämlich rund P= 84 t, die Reibungsziifer der Bremsklötze = xjt. Dann wird nach Gl. 4 :

84 • V? — 167 (g — a₀)

167+14

• 9,⁸i,

oder, wenn man (nich 1. Teil, Aufl. 4, S. 302) a₀ = 0,oos8 annimmt,

12)

A = 0,7i5 — 9,03 oc.

Bei mittlerem Barometerstando und bei 0°C. wiegt lcbm Luft 1,29^, bei einer mittleren Temperatur von 10° C. daher (nach 2. Teil, Aufl. 3, S. 222)

1    ²⁷³    1 V

Der Lufwiderstand ist nun aber bei einem längeren Zuge nicht allein von der Querschnittsfläche abhängig, sondern auch von der Länge des Zuges, weil mit letzterer der Reibungswiderstand der Luft wächst, der ebenfalls in W nach Gl. 1 enthalten sein muß. Nach Versuchen vom Geh. Reg.-Rat Alb. Frank (Hannover) liefert eine Lokomotive mit Tender zu F den Beitrag 7 qm, der dann folgende Gepäckwagen 1,7qm, jeder folgende Post- und Personenwagen 0,5 qm. Also ist hier zu schreiben :

F = 7 + 1,7 + 6 • 0,5 = 11,7 qm.

Hiermit wird nach Gl. 5 :

13)

B = 1,24 •

11,7

= 0,000 080 2 .

181000

Die zum Anhalten auf wagerechter Bahn erforderliche Zeit wird nach Gl. 7:

= arc tg 20 j/

0,000 080 2 0,715    ’

14)

I 0,715 • 0,000 080

= 132,5 • arc tg 0,2183 = 132,5 • arc(12° 19') = 132,5 • 0,-ns = 28,s sek

Die Bremsstrecke aber wird nach Gl. 9:

2,3026

2 • O,000 080 2 Für a = V200 = 0,co3 ist nach Gl. 11

15)

log (l +

0,000 080 2

0,715

• 20²

j = 262,5 m.

A = 0,715 — 0,045 = 0,670 ,

B wie vorstehend =0,oooo80 2 , somit

I 0,670 • 0,OO0OSO2

arc

17)

2.3026

0,COO 160 4

log (1 +

t₁ = 30,4 sek.

0,COO 080 2 • 400

0,670

j = 292,5 m .

Das Gleichgewichtsgefälle für diesen Zug mit c = 20 ist nach Gl. 11 mit x = l

1,24 11.7-400 9,8i 167000 *

18)

ax = 0,0058 + 0,0035 = 0,0093 = —!^ .

lUo

Will man Bremszeit tx und Bremsstrecke a unter Vernachlässigung des Luftwiderstandes berechnen, so hat man B mit Null zu vertauschen. Hiermit

nehmen nun die Gleichungen 7 und 9 die scheinbar unbestimmte Form -jj- an.

Man kann diese Unbestimmtheit in bekannter Weise durch Differentiation beseitigen, kann aber auch durch einfache Überlegung das Ergebnis finden. In Gl. 7 wird nämlich bei sehr kleinem B auch der Unterschied zwischen dem Bogen und seiner Tangente sehr klein, so daß man dann (wie S. 97)

u-iA

arc tg c

setzen kann; hiermit verwandelt sich Gl. 7 in das einfache

h =

In Gl. 7 kann, weil bei kleinem x 1(1 + x) = x wird, bei kleinem B

i(i + 7i

gesetzt werden, womit dann Gl. 9 die einfache Form

ÜB

19)

20)

c²

a = r annimmt.

2A

Da übrigens für B = 0 die Verzögerung nach Gl. 6 einfach = A wird, £

so folgt t₁ — —auch einfach aus dem Begriffe der Verzögerung und

c²

ct,

a = ~2    2 A

aus der Grundeigenschaft der gleichförmig veränderten Bewegung.

Für wagerechte Bahn mit A = 0,7is (Gl. 12) und e = 20 m/?. wird

‘■“of;-²⁸''¹

Für « = ¹/2oo mit A = 0,6-o wird

2n

ü = n— = 30 8- ; ß = 300m.

0,670

Diese Zahlen weichen von den mit Berücksichtigung des Luftwiderstandes erhaltenen nur so wenig ab, daß es zulässig ist, bei der Berechnung der Bremswirkung den Luftwiderstand zu vernachlässigen. Beim Bremsen genügt schon eine geringe Vermehrung des Bremsdruckes P oder der Reibungsziffer fx, welche beide niemals ganz scharf zu bestimmen sind, um die Vernachlässigung des Luftwiderstandes auszugleichen.

Für die Ermittelung der erforderlichen Zugkraft hat der Luftwiderstand bei großer Geschwindigkeit dagegen erheblichen Einfluß, insofern nach Gl. 18

19

Iveck-Hotopp, Mechanik. III. 2. Anfl.

y    Fc²

bei dem angenommenen Zuge das Gleichgewichtsgefälle a1} welches gleichbedeutend ist mit dem Verhältisse der auf wagerechter Bahn erforderlichen Zugkraft zu dem Gewichte des Eisenbahnzuges, durch den Luftwiderstand von 0,oo58 auf 0,oo93 vergrößert wird.

Auch für den Antrieb des Fahrrades spielt der Luftwiderstand eine nicht unbedeutende Bolle. Ist c die Geschwindigkeit des Badfahrers, so kann das Gleichgewichtsgefälle des besetzten Bades in Übereinstimmung mit Gl. 11, S. 287 und x=1

«i = «o +

g (M + Mx)g

gesetzt werden. Darin bezieht sich a₀ auf den Einfluß der Reibungswiderstände an den Achsen, Kettengelenken u. dergl., sowie des Eollwiderstandes am Boden, das zweite Glied auf den Luftwiderstand. Zugleich bedeutet a0 das Gefälle, auf dem das Bad mit sehr geringer Geschwindigkeit c ohne Kraftaufwand läuft Die Bei bungs widerstände sind an einem gut gearbeiteten und gut unterhaltenen Bade sehr gering; nicht unerheblich aber ist der Ko 11-widerstand auch auf guter Fahrstraße, weil das Eindrücken des Luftreifens bei der Berührung mit dem Boden Quetschungen verursacht, die, wie schon im 1. Teile, Aufl. 4, S. 298 erläutert wurde, Gleitungen und daher Beibungs-widerstände zur Folge haben. Eingehende Versuche darüber fehlen noch. Einstweilen möchten wir nach Angaben des Herrn Landes-Bauinspektors Gloystein in Celle für gute Straße und gutes Bad a₀ = 0,oo7 schätzen. Die Widerstandsfläche F, welche der Badfahrer der Luft darbietet, kann man unter günstigen Umständen zu 0,5 q™ annehmen. Mit y = l,24kg/cbm Luftgewicht ergibt sich dann der Luftwiderstand zu

JL F. c² = ^ ■ 0,5 • C² = 0,063 • c²

g    9,81

in Kilogrammen, wenn c in m/s ausgedrückt ist. Bei einem Gesamtgewichte des besetzten Bades (M + Mx) g = 90 kg würde hiernach das Gleichgewichtsgefälle

«i = 0,oo7 + ^ c² = 0,oo7 (l + Jq) .

also bei

C = 4,5 m/s. (= 16,2 tan/h.) ai = 0,oo7 (l

werden.

Daher ist auf wagerechter Bahn zur gleichmäßigen Bewegung des Bades eine parallel zur Bahn wirkend gedachte Zugkraft

K = (Af + Mx) g •    = 90 • 0,o2i = 1,89

und eine sekundliche Arbeit

E = K - c = 1,89 • 4,5 = 8,51 mkg/g erforderlich.

Ist die Kettenübertragung so eingerichtet, daß bei der Geschwindigkeit von 4,5 m/s. die Kurbelachse in der Sekunde eine Umdrehung macht und beträgt der Kurbelhalbmesser 0i7m, der Hub der Füße also 0,3.11% so ist die mittlere Druckkraft des Fußes auf die Tretkurbel

= 25 kg.

8,51 0,34

16. Elastische Schwingungen eines Eisenbahnwagens.

Fig. 205.

Von den Schwingungsbewegungen eines Eisenbahnwagens treten besonders hervor: die lotrechte Verschiebung, das Wogen, und die Drehschwingung um die wagerechte Querachse durch den Schwerpunkt, das Nicken. Ist die der Gleichgewichtsbelastung entsprechende Durchbiegung der Tragfedern /, so ist nach S. 76 diese Länge zugleich die Schwingungslänge l des Wogens und die Dauer einer einfachen Schwingung

1)

\e

Die Bewegung des Nickens werde an einem von vier Federn getra- „ genen Fuhrwerk entwickelt. Fig. 205 stelle dasselbe im Gleichgewichtszustände dar. Wird der Wagen um einen kleinen Winkel # um die Querachse S gedreht, so wird (Fig. 206) das linksseitige Federpaar um c—yl stärker, das rechtsseitige um y2 — c weniger stark zusammengedrückt als im Gleichgewichtszustände. Die Federdrücke gehen infolgedessen aus den Werten xjïMg über in P₁ und P₂i wobei

k----a--->i<---a---S

Fig. 206.

\êi

i!

V~

"f

Î*

n—Si

also

2)

Pi -

und ebenso

3)

Mg

y<i — c

ist.

19*

der von P₂:

Der Hebelarm von Pl in bezug auf S ist nach Fig. 206: a cos# — esin#, a cos & + e sin &.

Daher entsteht ein der Vergrößerung des Drehungswinkeis & entgegenwirkendes Moment

2JI = Pl {a • cos & — e • sin D) — Pi (a • cos # + e • sin ÏÏ) = (PL — P₂) a- cos # — {Pl + P₂) e • sin &■.

Nach Gl. 2 und 3 ist nun

Pi-P₂

₌ M<t .?/2 —Ih 2 /

Mg 2 c — (y₂ + yx)

Fig. 205 und 206 liefern die geometrischen Beziehungen e -f- c = 3/1 + a • sin ê + e • cos # und <? + c — y.₂ — a • sin # + c • cos #,

woraus man erhält

•2/2 —3/1 = 2 a • sin y₂ + yi = 2 e + 2 « (1 — cos #).

Da der Winkel # meist klein bleibt, so möge sin & — ft und cos $ = 1 gesetzt werden. Hiermit wird dann

Mg 2 a • />

, Pi + P₂ = Mg und

3R = Jf>(~«)0.

Dieses erzeugt eine Winkelbeschleunigung (analog S. 275)

4)

k²

wenn

Mg ( a²    \

=^F\j-e)

das Trägheitsmoment des Wagens in bezug auf die Querachse S bedeutet, womit man auch schreiben kann

g (a²

5)

k²=4r

Gl. 4 ist wieder (s. S. 275) die Differentialgleichung einer Schwingungsbewegung von der Schwingungslänge

i²

//-

a¹

Für einen dreiachsigen Wagen, dessen Endachsen den Abstand a von der Mittelachse haben, bleibt letztere von der Schwingung ziemlich unberührt. Unter der Voraussetzung, daß im Gleichgewichtszustände sämtliche Federn gleich stark belastet sind, wird dann

7)

8)

Pi-P₂ =

CM CO

CM CO

; Pi + P-2 =

»-UH-)

und

i²

2 a²

\m9\

Beispiel: Nach überschlägiger Berechnung ist für einen dreiachsigen Personenwagen mit a = 3,i5m gefunden e = l,iöm, i² = 9,03<im. Es kann bei mittlerer Belastung die Gleichgewichtsdurchbiegung der Federn /=0,i6m angenommen werden. Hiermit ergibt sich

9,03

13,55

= 0,22 m .

2 9,92 0,16

Da das zweite Glied im Nenner gegen das erste sehr unerheblich ist, so kann man es wohl vernachlässigen und erhält dann ebenfalls 0,22m. Mit Rücksicht auf dieses Ergebnis kann man statt Gl. 8 kürzer schreiben:

1,15

62 — l,i6

A f±

2 ' a*

oder, wenn man die auf den Abstand a bezogene Masse /x mit

= einführt,

9)

i²

10)

J — M ■ iz = fi ■ a¹ also

l ₌ A JLf

2 M ' •

Bei dem hier in Frage stehenden Personenwagen ergibt sich

daher

3 ix

2Ï " ¹’s,>

11)

l = 1,38 • f — 1,37 • 0,16 = 0,22 m .

Die einfache Schwingungsdauer des Wagens ist (Gl. 1)    = 0,4S., mit 2¹/² ein

fachen oder F/i Doppelschwingungen in der Sekunde; diejenige des Nickens t., = 0,47s-, mit 2,13 einfachen oder 1,06 Doppelschwingungen in der Sekunde. Bei etwa 9™ Schienenlänge und 20 m sekundlicher Geschwindigkeit erfolgen

die Stöße an den Schienenlücken, welche die wesentlichste Ursache der Schwingungen darstellen, in Zeiträumen von 0,45 s. Dies Verhältnis ist ein günstiges, weil jeder zweite Stoß die Einwirkung des ersten auf das Nicken ziemlich wieder aufhebt.

17. Wälzendes oder wiegendes Pendel.

a) Auf ebener Fläche.

Nach 1. Teil, Aufl. 4, S. 206 ist ein gleichförmiger Kugeloder Zylinderabschnitt, der mit der gekrümmten Fläche sich auf eine wagerechte Ebene stützt, in gesichertem Gleichgewichte. Wird er aus der Gleichgewichtslage gebracht, so führt er unter Einwirkung der Schwere Schwingungen um die Gleichgewichtslage setzt man nun die Berührungsflächen als genügend rauh voraus, daß ein Gleiten an denselben verhütet wird, so entsteht eine Roll- oder Wälzbewmgung, und man nennt solche Vorrichtung (Fig. 207) ein wälzendes oder wiegendes Pendel; auch die Kinderwiege gehört zu diesen.

In der Mittellage befindet sich der Schwerpunkt S₀ lotrecht unter dem Mittelpunkt B₀ des Rollkreises und zugleich in seiner tiefsten Lage.

Beim Wiegen beschreibt der Schwerpunkt einen Teil einer verkürzten Zykloide S₀S₂. Die größte Abweichung von der Mittellage werde durch den Winkel a gemessen.

Um die Dauer einer einfachen Schwingung S^qS-2 zu ermitteln, betrachten wir den Körper in einer Zwischenlage (Fig. 208), die

Fig. 207.

aus;

,a

\s

v.

B₂

So

Fig. 208.

es/

S\

'yN

‘ft

von der Gleichgewichtslage um den beliebigen Winkel & abweicht. Die Wälzbewegung besteht aus einer Verschiebung des Schwerpunktes S mit der Geschwindigkeit u und einer gleichzeitigen Drehung um die rechtwinklig zur Bildebene stehende Schwerpunktsachse S mit der Winkelgeschwindigkeit co. Dann ist das augen-

Mu²

blickliche Arbeitsvermögens des Körpers nach S. 207 ——

u

worin J das Trägheitsmoment des Körpers in bezug auf die genannte Schwerpunktsachse S bedeutet. Es wirken auf den Körper die äußeren Kräfte Mg (durch den Schwerpunkt) und die Widerstände N und T der Berührungsstelle. Die letzteren beiden verrichten bei der Wälzung keine Arbeit, weil ihr Angriffspunkt P die Geschwindigkeit Null hat. Zur Arbeitsverrichtung kommt daher nur die Schwerkraft in Frage. Der Schwerpunkt S liegt um SB- cos ft = e- cos d unterhalb des Punktes P, also, da B stets in gleicher Höhe verbleibt, um e(cos# — cosa) unter seiner Höchstlage. Weil nun in letzterer die Geschwindigkeiten u und co Null waren, so ist nach dem Satze der Arbeit

1)

M-vr , J-co²    / q    \

—— = Mg • e [cos v — cosa).

Li

Für die in der Bildfläche erfolgende ebene Bewegung bildet der Berührungspunkt P den Augenblicksdrehpunkt, sonach muß u ⁼⁼⁼ co - PS = cü-q und auch rechtwinklig zu PS sein. Führt man dies in Gl. 1 ein und außerdem J—M-i², so wird

= Mg . e (cos $ — cos a).

2)

Mco2    ₀ , Mco*

Bezeichnet man aber mit r den Halbmesser PB des Rollkreises, so ist in dem Dreieck PSB

Q² — e² + r² — 2 e - r • cos $ ;

fügt man rechts noch +2e-r und —2e-r hinzu, so kann auch geschrieben werden

g- = (r — e)² + 2 er (1 — cos #).

Hiermit wird aus Gl. 2:

3)

2 g • e (cos ^ — cos a)

(r — c)² + 2 e • r (1 — cos #) + i²

8)

wenn (r — e)² = e².

Für den wiegenden Halbzylinder ist (nach 1. Teil, Aufl. 4, S. 159)

4

-— r = 0,424 r. o

In beżug auf die Achse B ist das Trägheitsmoment (nach 1. Teil, Aufl. 4, S. 321)

Mr-

Weil nun d der bis zur Mittellage noch zurückzulegende Drehungswinkel ist, der sich bei der jetzt betrachteten Bewegung verkleinert,

so ist

(Ù = -

dd

dt

und

(r — e)~ -j- i² + 2 e • r ( 1 — cos d)

2g -e (cosd — cos a)

Die Integration dieser Gleichung wird nur unter Annahme kleiner Schwingungswinkel a einfach; alsdann kann man 2e-r(l — cos$) gegen die übrigen Glieder des Zählers vernachlässigen; führt man nun noch zur Abkürzung

4)

5)

(r — e)² + i²

ein, so ergibt sich

dt

dd

9 V2 (cos d — cos ol)

Weil diese Gleichung mit der entsprechenden Gleichung für das mathematische Pendel von der Länge l (1. Teil, Aufl. 4, S. 83) übereinstimmt, so hat das wälzende Pendel unter Voraussetzung kleiner Schwingungswinkel gleiche Schwingungs-dauer mit einem mathematischen Pendel von der Länge l nach Gl. 5, nämlich

t-y =Z Jt

6)

Vf

Würde der Körper sich als gewöhnliches physisches Pendel um die Achse B drehen, so wäre nach 1. Teil, Aufl. 4, S. 328, Gl. 5 die Schwingungslänge

7)

Jß Js + Me² i² + e²

Me

Me

e.

Es ist also

Jb —

Hiernach wird die Schwingungslänge der halbzylindrischen Wiege (Gl. 5)

9)

1,537 r,

daher

«Ts — Jb — 71/ • c²

- Jf(~0,424²-r²)

und

Js

i⁸ = ^ = 0,320 r².

jüf

(1 — 0,424)² + 0,320

0,424

während für den an der Achse B aufgehängten Halbzylinder die Schwingungslänge

10)

l, =

Jb

M'e 0,424 r

= 1,179 r

Es ist also tatsächlich l >    , weil (7—g)² = 0,332r²,

wird.

e¹ aber nur = 0,180 r².

Für die wiegende Halbkugel ist (nach 1. Teil, Aufl. 4, S. 164 und 322)

11)

e — zl%r Jb = 0,4 M • r² ; Js — Af (0,4— ⁹/64) r² ;

i² = 0,259 r². Daher

(1 —³/s)² + 0,259 r--^-

= 1,732 r;

während für die an der Achse B aufgehängte Halbkugel die Schwingungslänge

³/8

JB    0,4

wird. Es ist also wieder l > lx.

Für eine wiegende dünne Halbkugelschale ergibt sich das Trägheitsmoment JB leicht aus dem des Halbkugelkörpers. Für letzteren ist

12)

= 1,067 r

JB = 0,4 Mr² = 0,4 • ²/3 r⁵ n = ⁴/ió r⁵ 71 ; ändert sich r um dr, so ist die Zunahme von JB das Trägheitsmoment einer Halbkugelschale von der Wandstärke </r, nämlich ⁴/s r⁴ JT• c/r; läßt man hierin den Faktor dr fort, so ergibt sich ⁴/3r⁴^ als Trägheitsmoment einer Halbkugelfläche, und weil deren Größe 2r²Jt beträgt, so wird für dieselbe

4 r*Ji JB = M-— 2r2jr

Da nun (nach 1. Teil, Aufl. 4, S. 162 und 208) <? = —, so

Li

gilt für die Schvverpunktsachse

i² =

13)

1 ,2 _ _ Ä 2

daher

3 r;

für die an der Achse B hängende Kugelschale aber wird nach Gl. 7

²/3 r²    4

0,5 r 3 r ’

d. h. Z = Zn weil (r — 0,5 r)²= (0,5 r)² ist.

Wird ein prismatischer Stab von der Länge a nach Fig. 209 zu einem wälzenden Pendel gestaltet, indem man oben an zwei Seiten kleine Halbzylinder vom Halbmesser r befestigt und diese auf je einer wagerechten Schiene wiegen läßt, a?

so ist e = 0,5 a ; i² = — ;

1 —

14)

0,5

Fig. 209.

Fig. 210.

----------

15) l = a —

U⁻⁰’⁵) ⁺i4

0,5

Nk____

während für die Drehung um die Achse B (nach 1. Teil, Aufl. 4,

wird Gl. 15

S. 332) einfach Z, — ²/3 a ist. Für zwei Werte von —

a

zu Z = ²/3 a, nämlich

1.    selbstverständlich für r = 0;

2.    für r = a = 2 ,

d. h. für eine Wiege, bei welcher der Rollkreis nach Fig. 210 aus einem sehr leichten Kreisbogen vom Halbmesser a gebildet ist.

Für — < 1 ist Z < ²k a. a

b) Wiegendes Pendel in einer Hohlfläche; Hypozykloidenwiege.

Die aufeinander rollenden Kreise (Fig. 211) mögen die Halbmesser r und R haben. Der Schwerpunkt S des wiegenden Körpers liege wieder um e unterhalb des Mittelpunktes B seines Rollkreises vom Halbmesser r. Im Gleichgewichtszustände möge der Körper die Hohlfläche bei P₀ berühren; erteilt man ihm eine Rollbewegung rechts herum, bis die Berührung in P erfolgt (Fig. 212), bezeichnet mit Q denjenigen Punkt, der vorher mit PQ zusammenfiel, so muß PQ = PP0 sein, oder wenn man

2ÇQB P = xp,

2ÇP₀AB = dl

Fig. 211.

■PI

r'' :

-c—

?So

Po

Fig. 212.

setzt,

r • y — R-d

\& / \

P/ ?

:

/S

mithin xp — ■&l —.

jP

Weicht die Gerade BSQ, welche ursprünglich lotrecht war (als B₀S₀P₀), um von der Lotrechten ab, so ist x) der Winkel, um den sich der Körper gedreht hat, als er aus der Gleichgewichtslage in die jetzige Zwischenlage kam, u. zw. ist nach der Figur

-Ó-

Po

d = xp-'&l=d₁ (y-l) =

r^i

also

dx=-^—d.

¹    R — r

Legt man durch den Mittelpunkt A des festen Kreises vom Halbmesser R eine Wagerechte, so liegt der Mittelpunkt B des beweglichen Kreises in der Tiefe 2 = A B • cos = (R — r) cos dy

16)

unter dem festen Punkt H, der Schwerpunkt S aber noch um e • cos û tiefer, d. h. in der Tiefe

17)

y = (R — r) cos + e : cos d

In der höchsten Lage, die bei einer Schwingung vor

unter A.

kommt, möge # den Wert a erreichen; setzt man dann noch (entsprechend GL 16) — — cc — al ; so ist der Wert y in der

Jtl

höchsten Lage

18)

yi = {R — r) cos aL + e • cos a.

Beim Übergang aus der höchsten Lage in die beliebige Zwischenlage hat die Schwere die Arbeit geleistet

19) Mg(y — yx) = Mg{(R — r)(cos#i —

Für die ebene Rollbewegung des kleineren Kreises in dem größeren ist der Berührungspunkt P der Pol; für die verkürzte Hypozykloide, welche der Schwerpunkt S beschreibt, ist daher PS — q eine Normale ; daher muß, wenn man mit u die Geschwindigkeit des Schwerpunktes, mit co die Winkelgeschwindigkeit um den Schwerpunkt bezeichnet, wie auf S. 295,

(O • Q — U

sein, woraus sich, entsprechend der Gl. 2, S. 295, ergibt:

co²{q² + i²) = 2g(y—y₁) = 2g\{R — r){ cos ^ — cos ocj)

+ e(cos$ —cos «)}.

cos

a, ) -f- e (cos d — cos «)}.

Mit co — —

dö

dt

wird dann

dt = —dd

Q² + i²

^9[y—y i)‘

Auch in diesem Falle möge nur auf sehr kleine Schwingungen weiter eingegangen werden, so daß annähernd

Q = r — e;

cos fi — 1 — — :

cos$, =

d²

2 (R — r)

cos a = 1 —

a²

cos a, = 1

a²

2 (R — r)²

gesetzt werden kann.

Dann wird nach Gl. 17 und 18

20)

%9 {y—y\) =    (Cß—r) (—₂—]

= gV²—^²(

(R — r)²

a² — d²1

2~~J

(R-r)

und

dt

dd

Va²— d²

(r — e)² + i²

Setzt man

iR — r)

{r — e)² -f- i²

r2

Il — r

so nimmt der Ausdruck für dt die einfache Form an:

21)

dt — —

7 d&

9 VV^TTd*' was nach 1. Teil, Aufl. 4, S. 83 mit der Gleichung für die Bewegung eines einfachen Pendels von der Länge l übereinstimmt; somit ist für sehr kleine Schwingungen die Schwingungslänge l der Hypozykloidenwiege durch Gl. 20 ausgedrückt. Für R—^o stimmt Gl. 20 mit der Gl. 5, S. 296 für die gemeine Wiege überein.

Bei dieser Hypozykloidenwiege darf e = 0 werden, d. h. S mit B zusammenfallen; dann wird

r² -f- i²

(■R-r),

oder, wenn man J — M- i² — jUr² 'setzt,

-1t

und t

was dem Sinne nach mit Gl. 8 im 1. Teile, Aufl. 4, S. 351, übereinstimmt.

Die Hypozykloidenwiege hat unter sonst gleichen Umständen eine kleinere Schwingungslänge, mithin auch eine kleinere Schwingungsdauer als die gemeine Wiege.

Eine wiegende Bewegung ist nur möglich, wenu der Körper in der tiefsten Lage Standsicherheit besitzt, wenn also (Fig.212) bei einer kleinen Drehung nach rechts die Schwerpunktslotrechte links von der Berührungsstelle P liegt. Bei wagerechter Unterstützungsfläche (Fig. 208) beträgt die linksseitige Entfernung der Schwerpunktslotrechten von dem Stützpunkte P nur e sin $; diese

Größe muß positiv, d. h. e > 0 sein, oder es muß der Schwerpunkt £ unter dem Mittelpunkt B liegen. Für e — 0 wird die Standsicherheit Null und zugleich l = oc, d. h. es kommt keine Schwingung mehr zustande, und für e<z.O wird auch die Schwingungslänge < 0, was für ein Pendel widersinnig ist.

Bei der Hypozykloidenwiege aber darf der Schwerpunkt S auch oberhalb des Mittelpunktes B liegen, wie aus Fig. 212 ersichtlich. Der linksseitige Abstand der Schwerpunktslotrechten von dem Stützpunkte P beträgt nämlich

r sin -f- csin

also für kleine Winkel

r + e d — $ (

\R — r

dieser Wert muß >0 sein. Es wird also eine Hypozykloidenwiege auch noch bei negativem e möglich sein, wenn nur der

r2

absolute Wert des negativen e kleiner ist als

r2

, oder

22)

Für

= — e würde wiederum l = oo.

Es würde z. B.

R — r

für R — 2 r

sein müssen, d. h. der Schwerpunkt dürfte nur um weniger als r oberhalb des Punktes B liegen.

c) Wiegendes Pendel anf einer gewölbten Fläche; Epizykloiden-wiege (Fig. 213).

In diesem Falle muß für Standsicherheit in der Gleichgewichtslage die Bedingung erfüllt sein

e sin d > r sin

oder für kleine Winkel

und wreil und zugleich

, also

e • d > r • d r -yj = R-d

# =    (l +

ü——. R + r

so folgt als Bedingung der Standsicherheit

r2

23)

Bei der Epizykloid en wiege muß der Schwerpunkt also tiefer liegen als bei der einfachen Zykloidenwiege.

Die gleichen Erwägungen, wie sie bei der Hypozykloidcnwiege angestellt wurden, führen hier zu den Gleichungen

Fig. 213.

ff

24)

r'i

und

/V

rtf'

o«

M.//P

-i¹.

dd

V 'S- — ff² ’

worin l wieder die Schwingungslänge der Wiege bedeutet. R = co

führt auch hier wieder zur einfachen Zykloidenwiege mit

(r — c)² + i²

d) Die Wippe.

Fig. 214.

2h

Wird in Fig. 213 der Halbmesser r des rollenden Kreises unendlich groß, so haben wir es mit dem Abwälzen einer ebenen Fläche, z. B. der Unterfläche einer Bohle, auf einem zylindrischen Baume, mit einer Wippe (Fig. 214), !<■ zu tun. Doch sind für diesen Fall die Formeln 23 und 24 nicht unmittelbar zu verwenden, weil r — oo auch e = oo bedingen würde. Vielmehr muß die Höhe des Schwerpunktes der wippenden Bohle über ihrer Unterfläche etwa mit h eingeführt, und in den

Formeln 23 und 24 r — e mit h und e mit ?— h vertauscht werden. Dann wird aus Formel 23:

r2

Br

72

—+1

und, weil r = oo, verlangt die Standsicherheit der Wippe

26)

h < B

Aus Formel 24 wird

h² + ;²

h² + i²

(A² + Ï²)

72 ?— /i (72 + r)

{R-\-r) =

** &

7.(    +l)

72 + r

und mit r — oo als Schwingungslänge der Wippe

h- + i2 72 — h '

Die Formeln 26 und 27 lassen sich auch leicht unmittelbar

27)

finden.

Beispiel : Es soi (Fig. 214) a = 2m; & = 5cm ₌ o,os m; 7j = 0,025m; J2 = 0,im. Daun wird für das polare Trägheitsmoment des Rechtecks nach 1. Teil, Aufl. 4, S. 320 :

i² =

a² + ö² _ 4 + 0,oö²

12

12

= 0,334, daher

= 4,46 m

O,0006 + 0,334 0,1 -0,025

und die Dauer einer einfachen Schwingung

rund y l — 2 1 s.

Offenbar ist für derartige Bohlenwippen genügend genau

= 4,44 m.

a'²

ä²

12 (22 — h)

12 (b- )

e) Hängende Wiege.

Mittels eines Ringes vom Halbmesser 72 sei ein mit dem Ringe starr verbundener Körper über einen festen Zylinder vom Halbmesser r gehängt, wobei r<72 (Fig. 215). Der Schwerpunkt £ der Wiege liege um e unter dem Mittelpunkte des Ringes vom Halbmesser 72. Erteilt man dem Körper eine Rollbewegung links herum, bis der Berührungspunkt sich in P befindet (Fig. 216),

und bezeichnet mit Q denjenigen Punkt, der vorher mit P0 zusammenfiel, so muß PQ = PP₀ oder By> = r-‘d₁ sein. Weicht die Gerade QRS, welche ursprünglich lotrecht war (AqUo-So) um d von der Lotrechten ab, so ist # der Winkel, um den sich der Körper gedreht hat, und zwar ist nach der Figur

Fig. 215.

— und

= 0,

B —

1).

Sa⁶

Legt man durch den Mittelpunkt A des festen Kreises eine Wagerechte, so liegt der Mittelpunkt B des beweglichen Kreises in der Tiefe

Fig. 216.

/V\

r A-dx

%\ S !

! y

z = A B ' cos = (B — r) cos d der Schwerpunkt S aber in der Tiefe y = (B — r) cos 0X + e • cos 0.

In der höchsten Lage, die bei einer Schwingung vorkommt, möge 0 den Wert a erreichen; setzt man dann auch noch

s°-

___Ÿ.

«= «i,

B — r

so ist der Wert y in der höchsten Lage

yl — {B — r) cos ax + e cos a.

Beim Übergang aus der höchsten Lage in die Zwischenlage hat die Schwere die Arbeit geleistet

Mg {y —3/1) = Mg{(R — r) (cos 0j — cos otj) + e (cos 0 — cos a)j. Es wird daher nach dem Satze der Arbeit (wie auf S. 300) mit g — PS = annähernd B-\~ e, co²(g² + i²) = 2g(y — yx)

dt — — dd

{B + e)² + i²

Zg{y—yi)

20

Keck-Hotopp, Mechanik. III. 2. Aufl.

Daraus folgt in ähnlicher Weise wie auf S. 256

dt =

dû

{R + e)²+i²

f<

R²

-r ⁺ V'

Hiermit ist die Schwingungslänge der hängenden Wiege

28)

(R + e)² -j- i²

-j- e

R¹

R — r

Besteht der wiegende Körper nur aus einem dünnen Ringe, so wird mit e = 0 und i² ~ R²:

1 = 2(R — r),

und schließlich mit r = 0 für den ein physisches Pendel bildenden Ring l — 2 R, wie schon im 1. Teile, Aufl. 4, S. 333 gefunden wurde. Mit R + e ——h und schließlich R=oo wird aus der

h² + i²

r — h

(R — r) —

hängenden Wiege wiederum die Wippe mit h² + i²

Rr — (R — r)h

Beispiel: Der in Pig. 217 dargestellte Körper (Taschenuhr) hänge auf einem Stifte von 1 Halbmesser-, es ist R — 8 mm

22²

r = lmm; e = 37 mm. p annähernd =    ; also (Gl. 28)

u

(8 + 37)² + 242

64

= 49,5

mm

Fig. 217.

v>;

+ 37

daher die Schwingungsdauer annähernd

t = V~ö,

37

0495 = 0,22 8. ,

Fast die gleiche Schwingungsdauer hat auch die Unruhe der Taschenuhr (S. 278).

Denkt man sich diese Uhr auf einem schwimmen-

.IpL

22 \

den Brettchen liegend, so wird, weil die schwingende Unruhe nur unter dem Einfluß innerer Kräfte der Uhr steht, die Momentensumme der Bewegungsgrößen der Uhr sich nicht ändern können (S. 217). Behielte nun das Gehäuse der Uhr seine ursprüngliche Lage, so würde vermöge der Schwingung der Unruhe die Momentensumme der Bewegungsgrößen in bezug auf die Achse der Unruhe und auch in bezug auf eine dazu parallele Schwerpunktsachse sich fortwährend ändern. Diese Änderung muß dadurch aufgehoben werden, daß die übrige Uhr kleine Drehschwingungen um die lotrechte Schwerpunktsachse ausführt, welche den Schwingungen der Unruhe stets entgegengesetzt gerichtet sind. Diese Anregung zur Schwingung macht sich auch geltend, wenn man die Uhr nach Fig. 217 aufhängt; stimmt die Schwingungsdauer der aufgehängten Uhr mit derjenigen der Unruhe überein, so kann die aufgehängte Uhr unter günstigen Umständen infolge der Bewegung der Unruhe in deutlich sichtbare Schwingungen geraten.

18. Wirkung des Pulvers in der Kanone.

Infolge der Ausdehnung der entwickelten Pulvergase wird dem Geschosse, welches zu Anfang, ebenso wie die Kanone, die Geschwindigkeit Null hatte, eine Geschwindigkeit v beim Verlassen des Rohres erteilt. Da nun der Gasdruck des Pulvers für die aus Geschoß, Kanone und Lafette bestehende Massengruppe eine innere Kraft ist, so muß, wenn äußere Kräfte von bedeutender Größe in wagerechter Richtung nicht auftreten, der Gesamtschwerpunkt an der ursprünglichen Stelle verbleiben, oder es muß die Bewegungsgröße in der Richtung des als nahezu wagerecht gedachten Rohres Null verbleiben (S. 195). Es werden daher Kanone und Lafette zu einem Rückläufe mit der Geschwindigkeit vx veranlaßt. Ist M die Masse, welche das Rohr mit der Geschwindigkeit v verläßt, Mx die Masse der Kanone und Lafette, so muß — Mx vx + Mv = 0, also

V'⁼MlV

Die relative Geschwindigkeit des Geschosses in bezug auf die zurücklaufende Kanone ist offenbar

sein.

w — V -j- vx

Da das Rohr vom Halbmesser r schraubenlinienförmige Züge vom Ansteigungswinkel a und der Ganghöhe h besitzt, so entspricht der Verschiebungsgeschwindigkeit

hS

noch eine Winkelgeschwindigkeit 9? von der Größe

2)

<P =

r-tgaX Mj h V^MJ'

Ist nun [x die auf die Längsachse und den Abstand r bezogene Masse des Geschosses, so ist das gesamte Arbeitsvermögen in

20*

Ist I die nutzbare Robrlänge, so ergibt sich die mittlere Triebkraft des Pulvers zu 4) und der mittlere Gasdruck zu

2t

. 5)

dem Augenblicke, wo das Geschoß aus dem Rohre tritt, gleich der Ausdehnungsarbeit 21 der Pulvergase im Rohre, d. h.

oder

WL . Ml a 4r-n² ( MV\

Mv'- M,vr- ., . a = -2- + _2- + —2

ju ■ r-(p²

3)

21 =

P r-Jtl r-Jt'

Beispiel: Eine große Kruppsche Kanone von 0,4® lichter Weite und l = 8,5m nutzbarer Rohrlänge (Fig. 218) erteile mit 200 Pulverladung dem

Fig. 218,

W/,

V,

riD

->! nI "V~l

—1    i

£*3M0/ï

! 'j

8,5

-------->1

Geschosse von lm Länge und 700kgr Gewicht eine Geschwindigkeit ^ = 500m/s.. Das Rohr wiege 70 000kff, die Lafette 40 000ks. Die Steigung der Züge betrage h = 18 m.

Die Pulvergase treten zwar nicht durchweg mit der Geschwindigkeit v aus dem Rohre, aber doch der vorderste Teil derselben; daher wird man hei der Berechnung der Bewegungsgröße die Hälfte der Masse des Pulvers, bei derjenigen des Arbeitsvermögens ein Drittel dieser Masse mit zu M rechnen dürfen. Sonach ist die Geschwindigkeit des Rücklaufes

700 + 100 70000 + 40000

Wollte man den Rücklauf ganz verhindern, so müßte man eine Widerstandskraft = K (Gl. 4) wirken lassen ; diese steht aber gewöhnlich nicht zur Verfügung. Übrigens beträgt auch derjenige Teil des Rücklaufes, während dessen die volle Pulverkraft das Rohr zurücktreibt, nur

8,5 • 800

M + Ml ~ 110000 + 800

= 500 •

= 3,6 m/s. .

I-

= 0,061 m .

Das entstandene Arbeitsvermögen der Kanone nebst Lafette

= 72 660 mkg

= 110000 •

2    2g

wird dann durch geeignete Bremsvorrichtungen aufgezehrt.

Die auf die Längsachse und den Abstand r bezogene Masse des Geschosses

350

möge zu der Hälfte der Masse des Geschosses, also zu n —- geschätzt

9

werden. Dann ist die Arbeit der Pulvergase:

800²

767 • 110000

₌ (700 + -)^{1 +

350 4 • 0,2² • t:²    \

⁺ 767'    18²    (¹>⁰⁰⁷²)'| ’

21 = 9768943 (1 + 0,oo76 -j- 0,0025) = 9768943 • l,oioi, 2t = 9867609 mkg,

die mittlere Triebkraft des Pulvers

9867 609

8,5

= 1161000 kg,

der mittlere Druck (mit 20² ^r = 1257) 1161000

1257

= 923 kg/qcra = 923 at.

Das Einpressen des Geschoßmantels in die Züge und die Leibung erhöhen den mittleren Druck noch um etwa x/4, d. h. um 231 at, auf 1154at.

Der wirkliche Druck im Bohr ist unmittelbar nach der Entzündung des Pulvers sehr groß und nimmt mit dem Vorrücken des Geschosses wegen der Ausdehnung der Gase ab. Benutzt man die vom Geschosse zurückgelegten Wegeslängen als Abszissen, die entsprechenden Gasdrücke als Ordinaten, so ergibt sich eine Kurve von der Art der in Pig. 219 ausgezogenen Linie ABU SG. Diese Kurve würde annähernd eine adiabatische Linie (2. Teil, Aufl. 3, S. 355) sein, wenn die ganze Pulvermenge sich gleichzeitig entzündete. Da aber stets ein gewisses Nachbrennen erfolgt, so wird dadurch die Kurve beeinflußt. Weil neuere Versuchsergebnisse bezüglich dieser Linie uns nicht zur Verfügung standen, haben wir den abfallenden Teil derselben als gleichseitige Hyperbel angenommen und so bemessen, daß die mit dem Flächeninhalte des Rohrquerschnittes multiplizierte Fläche ABBS CD die Gesamtarbeit der Pulvergase darstellt, daß also die Fläche gleiche Größe hat mit dem Rechteck AE FD, dessen Höhe dem mittleren Druck 1154 at entspricht. Der größte Druck, den der hintere Teil des Rohres auszuhalten hat, beträgt etwa 2700 at. Ein schneller verbrennendes Pulver erzeugt eine Druckkurve von der Form der in Fig. 219 gestrichelten Linie ABlC₁ mit einer größten Druckordinate von etwa 3750 at, welche dann aber bald stark abfällt, da ihre Fläche unter Annahme derselben Austrittgeschwindigkeit des Geschosses von 500 m/s. den gleichen Wert haben muß wie die Fläche der ausgezogenen Druckkurve. Damit das Geschütz diese gewaltigen Drücke aushalten könne, ist der hintere Teil des eigentlichen Rohres durch mehrere Lagen warm aufgezogener Ringe (Fig. 218) verstärkt.

CO

Es besteht eine bestimmte Beziehung zwischen der Druckkurve und der Art der Bewegung des Geschosses im Rohre.

Da wir den rechnungsmäßig erforderlichen mittleren Druck mit Rücksicht auf die Widerstände um V⁴ erhöht haben, so folgt umgekehrt, daß von der

Fig. 219.

---1

co

Ci Z

Jf

K--------

--------0/5-------

pksx-nq

1V=h03,b

<----->

AX

Gesamtarbeit der Pulvergase nur 80 °/o auf die Bewegung übertragen werden, so daß stattfinden muß, wenn die ausgezogene Druckkurve benutzt und ihre Fläche AB R S C D = F gesetzt wird, 0,8r-7r • F = 2t.

Schreibt man nun

Mv'²

(mit a = l,oioi in dem Zahlenbeispiele), so wird

F.

2 r² r • 0,8

M- «

das Rohr

Da die scheinbare (relative) Geschwindigkeit des Geschosses in bezug auf

w-v\l + w)

ist,

so wird

w² =

2r²7i • 0,8

M- a

At =

Ax

Y² {wx + iv,)

sein. Hiernach kann man die Zeitteile berechnen, die zu den einzelnen Geschwindigkeitszunahmen erforderlich sind, und erhält zugleich die Geschwindigkeitskurve A G FC (Fig. 220) und die Gesamtzeit 0,o28s. für die Zurücklegung des 8,5m langen Weges im Eohre. Die mittlere Geschwindigkeit im Eohr ist sonach 8,5: 0,o28 = 303,6 m/a..

Seitliche Ablenkung des Geschosses infolge seiner Drehung und des Luftwiderstandes.

Fig 221.

Hätte das Geschoß beim Verlassen des Eohres keine Winkelgeschwindigkeit, so würde es im luftleeren Eaume stets seiner Anfangslage parallel bleiben, in der Atmosphäre aber durch den Widerstand D derselben, welcher bei der üblichen Geschoßform ober-

es

halb des Schwerpunktes vorbeigeht, eine derartige Drehung (linksherum in der Fig. 221) erfahren, daß es in eine höchst ungünstige Eichtung zur Flug

bahn des Schwerpunktes gelangen würde.

Entspricht nun einer Wegeslänge x = AP (Fig. 219) die scheinbare Geschwindigkeit wx, dem Werte x + Ax die Geschwindigkeit w², so muß entsprechend vorstehender Gleichung auch gelten

2r² 7T ■ 0,8

M- a

wenn A F = PRS Q ist. Dies gibt für den vorliegenden Fall ₌ 2 ■ g ■ 1257 • 0,8 767 • l,oioi

1,0072² • A F — 25,83 A F.

Mittels dieser Gleichung läßt sich die Geschwindigkeit wx an verschiedenen Stellen des Eohres berechnen und durch die Kurve GJKL (Fig. 219, unten) darstellen.

In der Darstellung der Geschwindigkeit als Funktion der Zeit (Fig. 220) muß die dem Zeiträume At entsprechende Fläche D EFG = Ax, daher annähernd

Fig. 220.

gJf

W= 503,6

W1

ICZ

A<

-0,028

At

Die bedeutende Winkelgeschwindigkeit nun, welche die schraubenlinien-förmigen Züge des Eohres .dem

Geschoß erteilen, verhindert das Überschlagen des Geschosses in ähnlicher Weise, wie die schnelle Drehung eines Kreisels dem Umfallen desselben entgegenwirkt. Überträgt man die Erscheinungen bei der Drehung des Kreisels um den unteren Endpunkt der Achse sinngemäß auf die Drehung des Geschosses um seinen Schwerpunkt, so ergibt sich folgendes: Sobald die Achse des mit großer Geschwindigkeit <p in Drehung gesetzten Kreisels etwas schief gegen die Richtung der Schwere steht, so daß sein Gewicht nicht durch den Drehpunkt geht, beschreibt die Achse des Kreisels, statt umzufallen, einen fein gerippten Kegel, dessen Achse durch den Drehpunkt geht und parallel der Richtung des Gewichtes ist, mi£ einer Winkelgeschwindigkeit u>

Fig. 222.

(S. 265). Dem entsprechend erfährt die Achse des Geschosses eine langsame Drehung um die zu dem Luftwiderstände D parallele Schwerpunktsachse (Fig. 222). Ist die Schraubenlinie der Züge eine rechtsgängige, so ist der Sinn der Winkelgeschwindigkeit (p nach rückwärts gerichtet, und das gleiche gilt dann von w.

D'

Daraus folgt eine Bewegung der Spitze des Geschosses in einem solchen Sinne, daß sie aus der lotrechten Zielebene eine nach rechts gerichtete Ablenkung erfährt. Hierdurch bekommt nun der Luftwiderstand auch im Grundriß eine schiefe Richtung gegen das Geschoß, so daß auch dessen Schwerpunkt nun nach rechts aus der Zielebene hinausgedrängt wird. Freilich ändert die Richtung des Luftwiderstandes D mit der Drehung des Geschosses fortwährend seine Richtung, und die Kreiselung wird infolgedessen eine sehr unregelmäßige. Daher werden auf die erste Ablenkung nach rechts bald solche nach unten, nach links und nach oben folgen. Weil aber das Geschoß bei der ersten Ablenkung noch die größte Geschwindigkeit hat, so ist diese von überwiegendem Einfluß. Erfahrungsmäßig zeigen dann auch alle Geschosse aus rechtsgängig gezogenen Rohren eine nach rechts gerichtete Abweichung aus der lotrechten Zielebeno. (Vergl. die hiervon unabhängige Abweichung wegen der Drehung der Erde, S. 166.)

D. Elastisch-feste Körper in Beschleunigungs-zuständen.

1. Allgemeines.

Wenn ein fester Körper unter der Wirkung von Kräften eine Bewegung ausführt, dann erleidet jeder seiner Massenpunkte in irgend einer Richtung eine Beschleunigung p, der er seinen Trägheitswiderstand entgegensetzt. In der Überwindung aller dieser im allgemeinen nach Richtung und Größe verschiedenen Trägheitswiderstände besteht der Einfluß der angreifenden Kräfte auf den Bewegungszustand des Körpers. Die Wirkung der Kräfte ruft die Gegenwirkung der Trägheitswiderstände hervor und nach d’Alembert sind beide in ihren mechanischen Gesamtwerten einander entgegengesetzt gleich, erfüllen zusammen die Bedingungen für das Gleichgewicht von Kräften an einem starren Körper (vgl. 1. Teil, Aufl. 4, S. 170).

Unter der Wirkung der Kräfte und der Gegenwirkung der Trägheitswiderstände entstehen nun in jedem elastisch-festen Körper im allgemeinen ebenso Spannungen und Formänderungen, als in einem gestützten Körper unter der Wirkung der angreifenden Kräfte und der durch diese hervorgerufenen Stützwiderstände. Kur in den Ausnahmefällen, in denen die angreifenden Kräfte sich in gleicherweise über den Körper verteilen, wie die Trägheitswiderstände, beide sich an jedem Massenpunkte in entgegengesetzter Richtung und gleicher Größe entgegenwirken, treten Spannungen und Formänderungen am Körper nicht auf. Dieser Fall liegt immer dann vor, wenn ein Körper lediglich unter der Wirkung seiner Schwere oder anderer Massenkräfte sich rein verschiebend bewegt. Findet dagegen der Angriff der Kräfte nur in einzelnen Punkten des Körpers statt, so kann ihre Wirkung auf die einzelnen Massenpunkte nur durch den Zusammenhang aller, d. h. durch innere Kräfte oder Spannungen übertragen werden, mit denen dann sofort

auch entsprechende Formänderungen auftreten, und die, wenn sie die Festigkeit des Körpers überschreiten, seine Zerstörung im Gefolge haben können.

Im 2. Teil, Aufl. 3, sind auf S. 99—108 bereits für einige einfache Bewegungsarten die auftretenden Spannungen untersucht; hier sollen noch einige weitere schwierigere Fälle behandelt werden.

2. Um eine wagerechte Querachse sich drehender Stab.

Ein prismatischer Stab drehe sich unter der Wirkung seines Eigengewichts um eine wagerechte Querachse aus einer unter dem Winkel a geneigten Kuhelage und habe zurzeit t die Neigung (p (Fig. 223 a). Seine Querschnittsabmessungen seien gegenüber seiner Länge verhältnismäßig gering, so daß die Geschwindigkeiten und Beschleunigungen aller Punkte eines und desselben Querschnittes als annähernd gleich angenommen werden können. Das Gewicht des Stabes sei gleich q für die Längeneinheit, seine augenblickliche

Winkelbeschleunigung £. Dann erfährt ein Massenteilchen dm

im Abstande x von der Drehachse eine Beschleunigung s-x und

setzt dieser einen Trägheits widerstand dT= dm-s-x =

entgegen. Für die Verteilung des Gesamtträgheitswiderstandes über die Stablänge gilt daher die Gleichung

q-dx

• x dx

dT

1)

q • £

--

dx

9

geometrisch dargestellt durch die Gerade DAE, bezw. die Dreiecksflächen ABD und ACE (Fig. 223a). Denkt man sich nun die Gewichtskräfte der einzelnen Stabelemente zerlegt in Seitenkräfte in der Richtung der Stabachse und rechtwinklig zu ihr, so erscheint die Verteilung der letzteren über die Stablänge dargestellt durch das Rechteck BCFG.

Damit sind die auf Biegung des Stabes gerichteten mechanischen Einflüsse aus Fig. 223 a klar ersichtlich. Bevor zur Berechnung der Biegemomente selbst geschritten wird, sollen die Achsdrücke Da und Dn in der Richtung der Stabachse und rechtwinklich zu ihr ermittelt werden.

Nach d’Alembert hat man bei den aus den Fig. 223 a ersichtlichen Bezeichnungen für die Kräfte rechtwinklig zur Stabachse • b-

{a -\-b)q COS (p + Dn = 0

/N

Fig. 223.

//

//

//

//

//

//

//

///

//

(a)

///

>/

//

■yiv i

-G\

//

//

i>n

//

a.*

cf°

s'?

cf⁰**

G'

\N-

b- G

Ur

3V

\\

tN

und in bezug auf A die Momentengleichung

V'C°S(P . (a2 -b2) _    (a3 ₊ J3) ₌ o.

2    oa

Hieraus folgt

2)

a² — J2 2,qC0S<P'a'^+b3

und damit aus der vorhergehenden Gleichung

3)

Für die Kräfte in der Richtung der Stabachse erhält man unter Berücksichtigung der Fliehkraft die Gleichung

(a + b) q sin a---

•(a³ — b²) — Z>a = 0,

worin co die augenblickliche, dem 2Çcp entsprechende Winkelgeschwindigkeit ist. Diese entnehmen wir dem Satz der Arbeit, der ergibt

q {a + b)    (sin a — sin cp = —-J

Aus beiden Gleichungen folgt nach Beseitigung von a) und Lösung für Da

4) Da

q j(a + b) sin cp —    y3 +- hJ (sin a — sin cp) J .

Für e erhält man aus Gl. 1 und 2, wenn man in ersterer oc = a und w — vl\ setzt

a² — b2 ~2ffC0S (p'a* + b³'

Das Biegemoment in bezug auf einen Querschnitt im Abstande z von der Drehachse berechnet sich zu

5)

'èa

"èa

Mz =

w • dx'{x — z) — \ q dcc (œ — z),

oder, wenn man für w den Wert aus Gl. 1 einsetzt, integriert und zusammenzieht

Mz

2 } 3^" (2a3 +    — 3 za²) — (a z)²j

und unter Beachtung der Gl. 5

6)    ... Mz

= f    ^3 (²+ *³ - 3za¹) - (a — *)²j.

Eine ähnliche Gleichung würde sich für das Stabende b aufstellen lassen. Es möge nun noch der Abstand z₁ von der Achse ermittelt werden, für den Mz zu einem Maximum wird. Die Differentiation der Gl. 6 nach 2 ergibt dMz

7)

dz

(3 a² — b² (z²— a²\    ,    .

= î\2C0S<?)^+T3(-2-j + (--^

/'

Aus dMz\dz = 0 erhält man

8)

___ 4 _a³+ b³

3 cosç?(a² — b-)    a'

Von einer Einfügung dieses Wertes in Gl. 6 zur Bildung eines allgemeinen Ausdruckes für Mt

: max

soll hier abgesehen werden.

Die Querkraft Qz für irgend einen Querschnitt tt ist durch Gl. 7 bekannt (vgl. Keck-Hotopp, Elastizitätslehre, 1. Teil, Aufl. 2, S. 178).

Die Achsialkraft im Schnitt tt erhält man aus der Fliehkraft und der achsialen Gewichtskomponente des Stabendes rechts vom Schnitt zu

9) Nz

/ 3 (a² — b²) (a² — z²)

*12

a³ + b³

(sin a — sin (p) — (a — z) sin qp j.

Fig. 224.

CH

*c|v-

cq!

fr

(b)

Nachdem die Werte Mz, Qz, und Nz für alle Stabquerschnitte bekannt geworden, können die auftretenden Spannungen und Formänderungen nach den Lehren der Elastizität in üblicher Weise berechnet werden.

Eine weitere Untersuchung ergibt, daß die Biegemomente in allen Stabquerschnitten gleichsinnig sind, in der Biegelinie also kein Wendepunkt existiert, wenn die Drehachse A innerhalb des mittleren Drittels der Stablänge sich befindet. Liegt sie in einem der äußeren Drittel, so gibt es in dem längeren Stabende a einen

Momenten-Nullquerschmtt, dessen Lage aus Gl. 6 mit Mz — 0 gefunden werden kann, und beiderseits desselben haben die Biegemomente entgegengesetzte Vorzeichen (vgl. Fig. 223b u. c und 224b).

Besonderes Interesse bietet der Fall, wo die Drehachse sich am Ende des Stabes befindet, eine der Längen, etwa £>, gleich Null und die andere a — l ist (Fig. 224a). Damit folgt aus Gl. 2 w\ — ³/² qcos V und für die wagerechte Lage des Stabes cp — 0, wl — ³/2q. Aus Gl. 3 folgt weiter Dn — q • l cos cp und für die wagerechte Lage cp = 0 Dn = ¹/4 q • l. Der Stab drückt jetzt mit einem Viertel seines Gewichtes auf die Achse und ruft in ihr als Gegenwirkung einen gleichen Stützdruck hervor. Wäre der Stab an beiden Enden gestützt, so würde der Stützdruck in A gleich ein Halb seines Gewichtes sein. Beseitigt man also bei einem auf zwei Endstützen ruhenden, über seine Länge gleichmäßig belasteten Stabe plötzlich die eine Stütze, so daß er aus dem Zustande der Ruhe in den einer beschleunigten Drehbewegung um die andere Stütze übergeht, so vermindert sich dadurch augenblicklich der Druck der letzteren auf ein Halb des vorherigen. Der Stab stützt sich nun gewissermaßen außer auf die Stütze A auf seine eigene Trägheit, deren Gesamtwiderstand T wir uns im Abstande ²/W von A angreifend zu denken haben. In bezug auf den Trägheitsmittelpunkt T als Momentendrehpunkt erhält man

KO

= 0 und daraus-

2

übrigens auch ohne weiteres Dn--^l—ql-

3

JK

= — , wie oben.

4

Aus Gl. 4 folgt mit b = 0 und a = l

Da = q 1 ' (f"sin *p ~ ¥§in a) '

71

Mit oc = —, Bewegung aus lotrechter Ruhestellung, ist für

Si

<p =

~Da—ql, für 99 = 0, Da — —³/<i- ql und für cp =--^

Da =—4ql. Schwingt der Stab aus seiner lotrecht aufwärts gerichteten Ruhestellung abwärts, so ruft er in dem Augenblicke, in dem er sich lotrecht unter der Achse befindet, in dieser einen aufwärts gerichteten Stützdruck gleich seinem vierfachen Gewicht hervor. Ebenso würde ein Turner bei Ausführung der „Riesen-

welle“ in derselben Position sich etwa mit einer Kraft gleich seinem vierfachen Gewicht am Kèck festhalten müssen.

Nach Gl. 8 befindet sich mit b = 0 und a — l das größte Biegemoment im Abstande

*i = i(

4 — 3 cos cp

3 cos cp 1 '

In wagerechter Lage des Stabes, cp — 0, wird zl = l: 3 und nach

Hf — q • l-

max -

Gl. 6

27 '

Bei aus lotrechter Stellung umstürzenden Mauerpfeilern oder Fabrikschornsteinen kann man beobachten, daß sie tatsächlich während des Sturzes zirka in ein Drittel ihrer Länge von der Basis brechen, indem das obere Ende zurückbleibt.

3. Die Pleuelstange im Kurbelmechanismus.

Im Kurbelmecbanismus feststehender Kolbenmaschinen führt die Pleuelstange eine Bewegung aus, die man immer als aus einer

Fig. 225.

Le

m

mpsintp

/)

reinen Verschiebung und einer Drehung um die Kreuzkopfachse A bestehend ansehen kann (vgl. Fig. 225). Bei Schiffs- und Lokomotiv-maschinen tritt noch die Bewegung des Schiffes bezw. der Lokomotive hinzu. Da letztere auf die Spannungen und Formänderungen in

der ‘Pleuelstange nur verschwindend kleinen Einfluß hat, soll sie hier außer Acht bleiben und nur die Relativbewegung der Pleuelstange zum Maschinengestell in Betracht gezogen werden. — Sowohl die Verschiebung der Pleuelstange mit dem Punkt A als ihre Drehung um diesen Punkt sind periodisch beschleunigte Bewegungen.

Die Beschleunigung der reinen Verschiebung in der Richtung der Kolbenstange ist wie diejenige des Punktes A nach Gl. 30 S. 226 für alle Punkte der Stange p = — r cos p • co², und die Winkelbeschleunigung nach S. 232

d-w

£==dW ⁼ ~~l

T

— • sin (p aß.

Die der beschleunigten Verschiebung entsprechenden Trägheitswiderstände sind der Beschleunigung entgegengesetzt gerichtet und unter der Voraussetzung prismatischer Form der des Schaftes der Pleuelstange gleichmäßig über deren Länge verteilt (vgl. Fig. 225).

Es soll hier ausschließlich die Biegung der Pleuelstange durch die Trägheitswiderstände untersucht und Formeln für die Biegemomente aufgestellt werden.

Ist m=— die Masse und q das Gewicht der Stange für die

Längeneinheit, so ist für diese der Trägheitswiderstand im wagerechten Sinne w = — rn-p und derjenige rechtwinklig zur Stangenrichtung wn = — m-p sin ip, oder, da sinxp = (r: l)sin p und p — — cos profi

r-

Wn =

m — oj~ sin (p • cos cp.

Dieser Trägheitswiderstand kann als gleichmäßig verteilte Belastung pro Längeneinheit der in A und B gestützten Stange angesehen werden. Er erzeugt in einem Querschnitte im Abstande x von A ein Biegemoment

1)    M'x = Wn ~r ( Z — x) — —y— CO² sin (p • COS (p — x),

Li    L    —

das in der Stangenmitte für x = l/₂ seinen relativen Größtwert m-r² • co² sin 2 (p l

2)

M'

x m ax

16

annimmt.

in seinen absoluten

Mit 2 V = -?■ UQd 2 <p — n geht M

Li    Li

Größtwert + (m • r² • co²1) : 16 über.

Im Abstande x

= wird Mx zu einem relativen Maximum,

Jt

, dessen absoluter Größtwert für (p = — wird. Die in den Gl. 1 und 5

= mrco² sin <p

M"

lfJ-xmax

9-1^3

3    l²

9-Vs

Der der Winkelbeschleunigung e entsprechende Trägheitswiderstand beträgt im Abstande x von A für die Längeneinheit

T

der Stange w ——e-^m, d. i. mit e — —-sin<p-eo²

mr

3)

iv =

co² sin cp • x

und am Stangenende für x — l

4)

wl = mr• co² sin (p.

Das Dreieck ABC drückt die Verteilung der Trägheitswiderstände über die Stangenlange aus. Die Stange erscheint dadurch ebenso belastet, wie ein in A und B gestützter Balken mit geradlinig ansteigender Belastung. Die dabei in A und B entstehenden Stützdrücke sind

und B —

o

und das in einem Stabquerschnitte im Abstande x von A erzeugte Biegemoment erhält man in bekannter Weise zu

ivx l

Mx = A • X — Wy

tO &

woraus nach Einfügung der Werte für A und wl folgt

(l'²x — #³)

5)

V

M = ni’^-co² sin (p

und (p = —n gleich + mrw²

u

allgemein berechneten Biegemomente wirken natürlich in den einzelnen Stangenquerschnitten zusammen, und zwar sind sie im ersten Quadranten beide positiv, im vierten beide negativ, im zweiten und dritten Quadranten dagegen ungleichsinnig. Im Zusammenwirken beider werden also im ersten und vierten Quadranten größte Biegemomente entstehen.

Die Addition der Gl. 1 und 5 ergibt

6) Mx = M'x + M'ï=

r w²sin cp \

-—- jcos cp - r x(l — x) -f-

l²x —

21

Keck-Ilotopp, Mechanik. III. 2. Aufl.

Mx erscheint hier als Funktion der beiden Veränderlichen x und (p# Bei der Frage nach dem Größtwert von Mx stellen wir zunächst fest, daß das erste Glied in der Klammer der Gl. 6 bei allen

= 0,581 zu einem

Werten von (p für x = -^, das zweite für x =

u

partiellen Maximum wird. Der Einfachheit halber werde hier ein Mittelwert für x, und zwar in Rücksicht auf den größeren Beitrag des zweiten Gliedes x = 0,561 angenommen. Die damit in Kauf genommene Unsicherheit ist unerheblich, weil Mx in der Nähe seines Größtwertes mit x sich nur wenig ändert. Setzt man noch allgemein r:l — n, so geht Gl. 6 über in

m • oß ■ n • sin (p • l³

rs

7) Mx max part —

{0,246 • n • COS (p -f- 0,128} .

Dieser Ausdruck geht hier

8)

. . . COS Cp =

0,13

über.

in einen Größtwert Mx

Von einer Einführung der Werte von cos (p und sin (p in Gl. 7 gemäß Gl. 8 soll hier abgesehen werden, da bei gegebenem n die Berechnung von Mä Weise geschehen kann. Ist beispielsweise r:l=n = 0,30, so wird cos cp = 0,40, sin cp = 0,92, cp — 6672°, und man erhält

Mxmax= 0,15-m-w²Z³ (0,0295 + 0,128) = 0,0235 • m(O⁰-P.

max tot

x max tot

mit Hilfe beider Gleichungen in einfacher

Die erste Ziffer in der Klammer entspricht dem Einfluß der beschleunigten Parallelverschiebung, die zweite der beschleunigten Drehbewegung um A, in die wir die Gesamtbewegung der Stange zerlegt haben. Bei Vernachlässigung des Einflusses der ersteren auf das Biegemoment würde in dem obigen Werte für M erste Ziffer der Klammer und allgemein in dem Ausdruck für Mx (Gl. G) der erste Summand in der Klammer verschwinden. Der

JC

verbleibende Ausdruck für Mx würde für cp = — und x —

Li

= mrcù-l²: (9 • 1^3 ) =

die

l:V 3

liefern (S. 321), M,

x max

— M x max

= 0,064mwcij² • Z³, und mit w = 0,30 wie oben, M.

x max

r co²-P l 9*1/3 = 0,0192 m w²/;i.

Die Vernachlässigung der Verschiebungsbeschleunigung führt also bei n — r:l = 0,30 zu einem um

(0,0235 — 0,0192) m oß P = 0,00+3 m oß P zu kleinem Biegemoment und bedingt eine Ungenauigkeit zuun-

0,0013-100

gunsten der Sicherheit

18 °/o.

Bei verhältnis-

0,0235

mäßig kürzeren Pleuelstangen wird die Ungenauigkeit noch größer, bei längeren kleiner.

Die Gewichtskräfte mg der Pleuelstange sind bei vorstehender Untersuchung außer acht gelassen, weil der Beitrag, den sie zu den Biegemomenten liefern, bei den hier in Frage kommenden schneller laufenden Maschinen sehr klein ist und seine Berücksich

tigung in bekannter Weise geschehen kaun.

Für die Längskraft Da einer Pleuelstange kommt so gut wie ausschließlich die Kolbenkraft in Frage; dieser gegenüber sind die achsialen Trägheitswiderstände ohne wesentlichen Belang; doch ist bei Berechnung der Stärkenabmessungen der Pleuelstange deren Durchbiegung durch die Trägheitswiderstände rechtwinklig zur Stabachse in bekannter Weise zu berücksichtigen.

Die Kuppelstange (Fig. 226).

Kuppelstangen dienen vielfach und insbesondere bei Lokomotiven zur Übertragung der Drehbewegung von einer Welle auf eine dazu

Fig. 226.

fff

pm

■-'T'

/■

r*

.1___L

parallele vermittels gleicher Kurbeln. Ihre Bewegung ist dabei eine reine Verschiebung, wobei alle ihre Punkte Kreise von gleichem

Durchmesser wie die Kurbelkreise beschreiben und folglich auch in jedem Augenblicke die gleiche Beschleunigung erfahren. Nur die Beschleunigung rechtwinklig zur Stabachse ist auf die hier allein zu behandelnde Biegung der Stange von Einfluß. Diese Beschleunigung ist nach S. 226 pn =—rsinç^oj², und demnach der Trägheitswiderstand für die Längeneinheit des Stabes, wenn m dessen Masse gleichfalls per Längeneinheit ist •

wn — — mpn = m r • sin (p co².

Das dadurch in der Stangenmitte erzeugte relativ größte Biegemoment erhält man danach zu

mr • sin (p-ü>²- V-

A/max part

wn • l²

Für (p =

Jt    3

— und (p— — 7i erhält man

U    Li

mr • OJ² • l²

M = +

max — J—

4. Biegung einer rotierenden Welle, kritische Geschwindigkeit.

Auf einer etwa zweifach drehbar gelagerten Welle BG (Fig. 227) sei ein Körper bei A so befestigt, daß sein Schwerpunkt um irgend ein kleines Maß c von der mathematischen Achse der Welle absteht-Die Masse der Welle sei im Verhältnis zu der des Körpers so gering, daß sie hier vernachlässigt werden kann. Wenn die Welle sich mit einer Winkelgeschwindigkeit a> dreht, so wird infolge der „Fliehkraft¹¹, d. h. des Trägheitswiderstandes, den der Körper seiner Zentripetalbeschleunigung entgegensetzt, eine elastische Biegung der Welle um ein Maß z eintreten. Die infolge dieser Ausbiegung in den Stabquerschnitten auftretenden Spannungsmomente suchen die Welle an der Befestigungsstelle des Körpers, die in der Wellenmitte liegen möge, mit einer bestimmten z verhältnisgleichen Kraft K in seine gerade Form zurückzubiegen. Diese Biegekraft hat die erforderliche Zentripetalbeschleunigung zu leisten und ist dadurch, wie die Ausbiegung z der Welle, ihrer Größe nach bestimmt. Um hier den übrigens nur verhältnismäßig geringen Einfluß des Gewichtes auf die Biegung der Welle auszuschließen, werde die Welle in lotrechter Lage angenommen.

1)

Fig. 227.

Zwischen z und K besteht nun zunächst die Beziehung K’P 48 JE'

(vgl. Keck-Hotopp, Elastizitätslehre, I. Teil,

2)

Aufl. 2, S. 118). Ferner bedingt die Bewegung des Körperschwerpunktes im Kreise mit dem Radius c + 2, wenn m die Masse des Körpers ist, eine Zentripetalkraft Z— m • co² • (c + z).

Setzt man die Werte für K und Z, wie sie aus den Gl. 1 und 2 sich ergeben, einander gleich und löst für 2, so folgt

3)

48 JE

JC-

m(o-P

48 JE

oder, wenn man — lä

k setzt,

3 a)

m(o■

k — rn co² ’

Der Radius r des Kreises, in dem jetzt der Schwerpunkt S um BC sich bewegt, ist

3 b)

ci-ö

k — mco-

(Fig. 229).

Aus Gl. 1 und 3 folgt

4)

m co- k

cï-0 •

k — m oj -

Nachdem damit die biegende Kraft K bekannt geworden ist, können die Biegemomente in üblicher Weise berechnet werden.

Verschwindet die Exzentrizität, bezw. ist eine solche nicht vorhanden, so wird mit c — 0 im allgemeinen auch z — 0. Nur in dem wichtigen Sonderfalle, wo die Winkelgeschwindigkeit co einen solchen Wert annimmt, daß auch der Nenner des Bruches rechts-seits der Gl. 3 gleich Null wird, erscheint z in der unbestimmten Form 0/0, kann also jeden beliebigen Wert annehmen. Dieser Wert von co, die sogenannte „kritische Geschwindigkeit“ der Welle berechnet sich aus der Gleichung Ic — co²m = 0 zu

5)

0)K

Der Ausdruck für cok bleibt derselbe auch für jede andere Lagerung der Welle, wobei nur k einen anderen Wert annimmt.

Beim Eintritt dieser kritischen Geschwindigkeit würde die Welle keinerlei Sicherheit gegen Bruch mehr bieten, auch wenn der Schwerpunkt des auf ihr befestigten Körpers so genau wie praktisch erreichbar mit der mathematischen Achse der Welle zusammenfällt. Der Körper befindet sich bei der aus Gl. 5 folgenden Geschwindigkeit im Sinne rechtwinklig zur Wellenachse gewissermaßen im unsicheren, labilen Gleichgewicht, ähnlich wie ein knickender Stab unter der Wirkung der sogen. Knickkraft (vgl. Keck-Hotopp, Elastizitätslehre, Bd. I, Aufl. 2, S. 277 f.).

Wir wollen uns den Vorgang der seitlichen Ausbiegung der Welle auch bei zentrischer Lage des Körperschwerpunkts noch einmal wie folgt vergegenwärtigen: Die Winkelgeschwindigkeit a> wachse von Null allmählich an. In irgend einem Augenblicke erfahre die Welle durch eine vorübergehend wirkende Ursache eine kleine seitliche Ausbiegung, die an der Befestigungsstelle des Körpers einen Wert <5 aufweise. Die dieser Biegung sich widersetzende elastische Kraft würde sein Kä = 48 JEô : l³ — k • ô. Infolge der Ausbiegung ô bewegt sich der Körperschwerpunkt in einem Kreise von gleichem Radius Ô und dies bedingt eine Fliehkraft Z= m-ö-cß. Solange nun    Z ist, kehrt die Welle nach Beseitigung der vor

übergehend wirksamen biegenden Ursache in ihre gerade Form, der Körper in seine zentrale Lage zurück, in der Ks — Z = 0 ist. Sobald aber co einen solchen Wert erreicht, daß K$= Z, also k-ö—möco² wird, kehrt die Welle nach Beseitigung der vorübergehend seitlich biegenden Ursache nicht wieder in ihre gerade Form zurück, sondern vermag, solange die mit der Ausbiegung in den Wellenquerschnitten eintretenden Spannungen sich innerhalb der Proportionalitätsgrenze halten, in jeder Ausbiegung ô zu verharren; sie setzt einer weiteren Ausbiegung bis zum Bruch keinerlei Widerstand mehr entgegen. Daraus folgt wie oben

Ist von vornherein bereits eine gewisse endliche Exzentrizität c vorhanden, so ergibt Gl. 3 für den Eintritt der kritischen Geschwindigkeit co* (Gl. 5) z = oo, der Bruch der Welle tritt aber schon bei kleinerer Geschwindigkeit co ein. Wird er verhindert und wächst co über den Wert co* (Gl. 5) hinaus, so wird der Nenner des Ausdrucks für z- rechtsseits Gl. 3 und damit z selbst negativ. Absolut genommen, wird 2 mit wachsendem co jetzt wieder kleiner und mit co = 00 z = —c. Die Gesamtexzentrizität des Schwerpunktes in bezug auf die Verbindungsgerade BC der Lager ist jetzt cĄ-z = c — c — 0, d. h. der Körper dreht sich um seinen Schwerpunkt und ebenso die Welle mit der jetzt vorhandenen Ausbiegung z — —c um die durch den Körperschwerpunkt gerichtete Gerade BC. Für o = 0, zentrische Befestigung des Körpers auf der Welle, würde diese sich jetzt wieder in gerader Form um ihre mathematische Achse drehen und zwar würde dieser Zustand eintreten, sobald der Nenner des Ausdrucks für z rechtsseits Gl. 3 mit wachsendem co durch Null gegangen ist.

Das Ergebnis dieser theoretischen Untersuchung stimmt mit der praktischen Erfahrung überein. Die überraschende Tatsache, daß Wellen über die kritische Geschwindigkeit hinaus laufen können, ohne zu brechen, ja daß sie selbst ruhiger laufen als bei Geschwindigkeiten, die sich von unten her der kritischen nähern, ist zuerst auf praktischem Wege, nämlich durch Versuche des schwedischen Ingenieurs Laval, für Zwecke der Konstruktion von Dampfturbinen angestellt, erkannt worden. Der Bewregungsvorgang und das elastische Verhalten der Welle bis zum Eintritt der kritischen Geschwindigkeit erscheinen in ihrer Wesenheit auch ohne weiteres durchaus erklärlich; nicht so unmittelbar verständlich sind die Bewegungs- und Formänderungsvorgänge des Körpers mit der Welle jenseits der kritischen Geschwindigkeit. Zur tunlichsten Klarlegung derselben wollen wir uns die Welle zunächst so schwank, d. h. so lang und so dünn und die Masse des Körpers so groß vorstellen, daß ein in die Welle hineingeschicktes Drehmoment nur eine .Drehung des bis dahin ruhenden Körpers um seinen Schwerpunkt, aber selbst bei etwas exzentrischer Lage des letzteren zur Wellenachse keinerlei Bewegung desselben hervor-rufen würde. Der Achspunkt A der Welle an der Befestigungsstelle des Körpers auf dieser würde dabei einen Kreis mit dem

Radius c um den Schwerpunkt de3 Körpers beschreiben und die Welle selbst bei jeder Umdrehung eine zwischen 2 = 0 und z = 2 c veränderliche Durchbiegung erfahren (Fig. 228). Die wirkliche, völlig genaue Herstellung dieses Bewegungszustandes würde allerdings praktischen Schwierigkeiten begegnen, aber als Grenzzustand ist er unserer Vorstellung durchaus zugänglich und wir wollen, von ihm ausgehend, den Bewegungsvorgang jenseits der kritischen Geschwindigkeit verfolgen. Die letztere würde sich bei der hier zunächst gemachten Annahme — sehr große Länge der Welle usw. — sehr klein ergeben, so daß sie alsbald nach beginnender Einwirkung des Drehmomentes bezw. nach Anfang der beschleunigten Drehbewegung überschritten wäre. Für l = 00 würde die kritische Geschwindigkeit sogar schon mit dem Anfang der Bewegung eintreten. Für diesen Grenzwert von l würde nämlich nach Gl. 5 cok = 0 sein. Zu irgend einer Zeit sei nun jedenfalls eine Drehgeschwindigkeit co>œk eingetreten und werde durch dauernde Einwirkung eines die passiven Bewegungswiderstände überwindenden Drehmomentes konstant erhalten. Die anfängliche Kreisbewegung des Achspunktes A mit dem Radius c um den noch ruhenden Schwerpunkt    des Körpers be

stehe noch.

Jetzt wollen wir uns die Welle allmählich steifer werdend

denken, etwa dadurch, daß wir ihre freie Länge l vermindern, indem wir vielleicht ihre Lager B und C einander nähern. Damit wächst dann auch die mit der Ausbiegung z im Achspunkt A

auftretende, auf Verminderung der Biegung gerichtete Biegekraft AT = 48.71? Z³ (Gl. 1), die für £=00 gleich Null sein würde, allmählich an. Da ihre Richtung immer von der jeweiligen Lage des Achspunktes Ax nach dem Punkte A auf der Lagergeraden BC zeigt (vergl. Fig. 228), so muß sie eine Annäherung des Körperschwerpunktes S an J und zwar in der Richtung AXA zur Folge haben.

Die Grenze dieser Annäherung hängt, wie sich zeigen wird, von der Drehgeschwindigkeit co ab; und wenn die einem bestimmten (o entsprechende Annäherung eingetreten ist, werden sich sowohl S wie Ax in Kreisep um A bewegen. Dabei können, wie weiter unten noch gezeigt werden soll, beide stets nur auf derselben Seite von A liegen und ihre Verbindungsgerade Ax S kann nach Eintritt der Beharrung des Bewegungszustandes nur durch A gerichtet sein. Die kreisförmige Bewegung beider Punkte

A{ und S folgt aus der allseitigen Symmetrie des Bewegungsvorganges, die bei Ausschluß einseitig stoßweiser Einwirkungen auf die bewegte Masse angenommen werden kann.

Ist z die augenblickliche Ausbiegung A Ay der Welle (Fig. 230), also Z’k die entsprechende nach A gerichtete Biegungskraft, r—SA der Abstand des Körperschwerpunktes S von A, der Badius der

Fig. 228.

Fig. 229.

Fig. 230.

A± y - s ---0--

lA.

c    —jk- -j

U— c —

Kreisbahn von S, also co²-r die Zentripetalbeschleunigung von /S', die nur durch die Biegungskraft k-z geleistet werden kann, so erhält man aus dem Grundgesetz der Beschleunigung k-z — m-(o²-r und mit z = c + r (vgl. Fig. 230) und Lösung für r

6)

mco² —k ’

mit diesem Werte für r ergibt sich

7)

m co ²

mco² — k

Die Ausdrücke für r und z (Gl. 6 und 7) unterscheiden sich von demjenigen in Gl. 3a und 3b nur durch das Vorzeichen, d. h. wenn co den kritischen Wert cok überschreitet, ändern r und z beim Durchgang durch das Unendliche ihre Vorzeichen.

Geometrisch stellen die in Fig. 231 gezeichneten Linien die in Gl. 6 und 7 bezw. Gl. 3a und 3b ausgedrückten Abhängigkeiten zwischen dem Badius r der Kreisbahn des Körperschwerpunktes und der elastischen Ausbiegung z der Welle einerseits und der

Winkelgeschwindigkeit co andererseits dar. Beide Linien weisen je einen positiven und einen negativen Zweig auf. Sie schmiegen sich der co-Achse bezw. der zu dieser rechtwinkligen Geraden nn um so mehr an, je kleiner die Exzentrizität c ist. Im Grenzfalle c = 0 fallen sie völlig mit beiden Geraden zusammen.

Es möge nun noch dargelegt werden, daß die Punkte <SA, im Beharrungszustande der Bewegung immer auf derselben Seite des Punktes A der Lagergeraden BC liegen müssen. Bei Geschwindigkeiten co unterhalb der kritischen (Fig. 229) ist das ohne weiteres klar. Es stellt sich diejenige Ausbiegung z ein, bei der die Biegekraft k-z mit der Fliehkraft Z=rco²m sich in stabilem Sinne das Gleichgewicht halten. Das ist anders bei Geschwindigkeiten co jenseits der kritischen (Fig. 230). Würde man jetzt etwa durch eine bei A₁ angreifende, in der Richtung A₁A vorübergehend wirksame Kraft den Schwerpunkt S soweit verschieben, daß £ über A hinaustrete, so würden auch nach Beseitigung der störenden Ursache unter der Wirkung der nun gleichsinnigen Fliehkraft Z und der Biegekraft k-z der Schwerpunkt S und der Achs-punkt Aj sich in demselben Sinne weiter bewegen und Beharrung erst wieder eintreten, wenn beide Punkte nach einer nicht so leicht genau zu verfolgenden Zwischenbewegung sich wieder in der in Fig. 230 gezeichneten gegenseitigen Lage eingefunden haben.

Die Bewegung des Körpers in dieser Lage zur mathematischen Drehachse A ist in der Tat eine stabile. Das ergibt sich schon aus der Erwägung, daß eine Änderung der durch Gl. 6 bestimmten Kreisbahn des Körperschwerpunktes nur durch eine Vergrößerung oder Verkleinerung der Winkelgeschwindigkeit co, also durch eine Energieänderung herbeigeführt werden kann. Von einem weiteren Nachweise dieser auch durch die Erfahrung erhärteten Tatsache soll daher hier abgesehen werden.

Das hauptsächlichste Unterscheidungsmerkmal der Drehbewegungen unterhalb und oberhalb der kritischen Geschwindigkeit ist das, daß jedesmal im Be har rungs zu stan de, d. h. bei konstantem co und r von den Kreisen, welche der Schwerpunkt S und der Achs-punkt Ax beschreiben, im Falle co c cok der erste re außen und der letztere innen liegt, während es im Falle co <c cok gerade umgekehrt ist. Der Abstand beider

konzentrischen Kreise ist in beiden Fällen gleich c. Mit c — 0 fallen beide, sofern    in den Punkt A zusammen.

Die Nutzanwendung der vorstehend dargelegten Ergebnisse führt zu der Regel: „Jede, Welle, die ihrem Zwecke •entsprechend mit einer bestimmten Geschwindigkeit sich drehen muß, ist in ihrer Länge und Stärke so zu bemessen, daß ihre kritische Geschwindigkeit

♦r

Fig. 231.

CÖ>G)fc

■^żnie

“Je

u)

ü>

iK

Vk:

entweder größer oder kleiner ist als ihre

<*>k =

Betriebsgeschwindigkeit co₆.“ Ist bei schnell laufenden Wellen cok <c co₆, so ist es geboten, dafür zu sorgen, daß die Be

rn

schleunigung über cok hinaus tunlichst schnell geschieht, damit schädliche Beanspruchungen von Welle und Lager vermieden werden.

Beispiel: Es sei Z = 300cm, die Stärke der Welle 16 cm, E = 2000000att das Schwungrad habe eine Masse m = G : g — 10000 kg ; 981 cm² = 10,16 kg/cm .

5. Spannungen in kreiszylindrischen Ringkörpern durch Rotation oder Radialkräfte.

Fig. 232.

öl

Dann ist

48 JE

48 • 3,14-8⁴-2 000 000

4 • 300³

= 11 400 Łg/cm

und

11400

= 33,5 = 10,07 7r,

10,16

das sind 300 Umdrehungen per Minute. Läuft die Welle mit 250 Umdrehungen, so daß w = 26 ist, so ergibt sich bei einer Exzentrizität von 1 cm die elastische

10,16 - 262 10,16-26² —11400 Die Biegekraft wird z-k — 1,5 • 11400 = 17100 kg und r — z + c — 2,5 cm. Läuft die Welle dagegen mit 750 Umdrehungen, also w = 78, so wird 10,16 • 782 10,16 • 78² — 11400

Ausbiegung zu z — 1 •

= 1,5 cm.

z = l-

= 1,22 cm ₅

und r — z — c = 0,22 cm.

K = z • k = 13900 kg

Dreht sich ein Körper mit irgend einer Winkelgeschwindigkeit co um eine feste Achse, so erzeugen die Trägheitswiderstände, welche die einzelnen Massenteilchen ihrer Zentripetalbeschleunigung entgegensetzen, innerhalb des Körpers Spannungen. Hat der Körper die Form eines an beiden Enden rechtwinklig begrenzten kreiszylindrischen Kingkörpers, dessen Achse zugleich Drehachse ist, so entstehen, wenn man von der Wirkung der Schwerkräfte absieht, in konzentrischen Schnitten nur radial gerichtete Normalspannungen ör und in Radialschnitten nur Normalspannungen cb, die tangentiale Richtungen zu konzentrischen Zylinderflächen aufweisen (vgl. Fig. 232).

Die Spannungen or verteilen sich über jede konzentrische Schnittfläche gleichmäßig, sind aber wie die Spannungen mit dem Radius x dieser Flächen veränderlich.

In Schnitten rechtwinklig zur Zylinderachse treten infolge der Rotation keine Normalspannungen auf.

Ähnliche Spannungen or und ot erzeugen etwa an der äußeren oder inneren Oberfläche des Ringes oder an beiden angreifende, gleichmäßig

über sie verteilte Radialkräfte, wie sie etwa durch innere oder äußere Flüssigkeitsdrucke in geschlossenen, zylindrischen Gefäßen entstehen, mit dem einzigen Unterschiede, daß in solchen Fällen auch Normalspannungen oa in Schnitten rechtwinklig zur Zylinderachse auftreten.

Für die Verteilung der Spannungen or und ot innerhalb des Ringkörpers, einerlei ob sie durch Rotation oder äußere, gleichmäßig über die Oberfläche verteilte Radialkräfte erzeugt werden, gelten denn auch, wie sich zeigen wird, dieselben Grundgleichungen.

Wir betrachten den Spannungszustpnd an einem durch zwei unter da gegeneinander geneigte Radialschnitte und zwei im radialen Abstande dx voneinander verlaufende konzentrische Schnitte (vgl. Fig. 232) begrenzten Körperelement, dessen Länge (normal zur Bildfläche) gleich eins gesetzt werde.

Ist m die Masse der Volumeneinheit des homogen gedachten Körpers, so ist die Masse des bezeichneten Körperelementes

dm — da • x • dx • m (vgl. Fig. 233).

Sind dB und dRx, die in den Schnitten ab und cd, und dT die in den Schnitten a c und b d wirkenden Spannkräfte und ist dZ die auf das Teilchen dm wirkende Zentrifugalkraft, so führt das Gleichgewicht dieser Kräfte, die wir uns in der Bildebene wirkend zu denken haben, zu folgenden beiden Gleichungen:

Fig. 233.

'[dB

- ~,dJ

dZ

dT

dR

\i

Ul

da

dB^ + dZ— dB — 2 • dT-sin— = 0,

7 r„ da    da

d T- cos — — d T - cos —

2 2

= 0.

. da da

Die erste Gleichung vereinfacht sich mit sin — = -g-, und wenn man dBv = dB + d (d R) setzt, sofort in

d{dR)+ dZ— dT- da = 0.

Die zweite Gleichung spricht nur aus, was von vornherein ersichtlich war, daß die Spannkräfte d T und daher auch die Tangential-

1)

dT

in gleichen Abständen x denselben Wert haben

Spannungen ot = ——

CL 00

Sind jetzt or und ör + dor die Radialspannungen in den Schnitten ab und cd, so hat man dH = x- daör und d(dR) = dx- da • ör x - da- dor; ferner d T— dx- öt, dZ = dm-x- w2 = da - x - dxmx - co² = da • a?dæ • mco². Damit geht Gl. 1, wenn man mit da und doc dividiert, über in

2)

or + x •

d ör

dx

öt -f- x² • m • w² = 0.

Diese eine Gleichung reicht zur Bestimmung der beiden Unbekannten ör und ot nicht aus; beide hängen aber noch durch die-eintretenden Formänderungen zusammen, wodurch sich eine zweite Bestimmungsgleichung gewinnen läßt.

Sind nämlich et und sr die den Spannungen ot und or entsprechenden Dehnungen des Körperelementes in tangentialer und radialer Richtung und ist Ax die elastische Änderung von xr dAx die elastische Änderung von da?, so ist ersichtlich

dAx dx

da(x4-Ax — d a-x    Ax .

et — —----= —— und £r —

d a-x

Nach dem Hookeschen Gesetz ist nun ferner dAx

3) or — £r E =

dx

JE;

4)

dOr

dx

E-

d²Ax

dx²

und

5)

Ax

. . . ot = E—.

Damit schreibt sich Gl. 2, wenn man mit E dividiert

xd?Ax Ax , Di ~ dx²

Der Kürze halber werde mco* : E = A gesetzt. Durch Multiplikation

6)

dAx

dx

x² — 0.

dx

der Gl. 6 mit — folgt zunächst nach entsprechender Ordnung

dAx-x — Ax dx

X²

[d A x\,

;— Ax- dx.

Ax

Daraus erhält man durch erstmalige Integration dAx Ax²

—=----—f- Gi, oder auch

dx 2

Axdx -f- dAx- x =

Ax³dx . „    .

—---h CyXdX.

Zu

Die nochmalige Integration liefert

Ax • x =

fG₂,

Ax⁴ Cx x2 ~8~⁺ 2

woraus durch Division einmal mit x² und ein andermal mit x folgt

Ax²

7)

Ax

Ci

hT ⁺

und

Ax —

Ax³ Cyx , C₂

Diese letztere Gleichung nach x differenziert, liefert

dAx dx

8)

_ 3 . ₂ , CI

Ax + 2

Æ² *

Aus den Gl. 3, 5, 7 und 8 erhält man jetzt

*”£Hr^*’ + f- )

9)

und

10)

öt= E

MF+S+ä)-

Diese beiden Gleichungen umfassen alle oben genannten Beanspruchungsarten; man braucht nur die Integrationskonstanten Cj und C₂ danach zu bestimmen.

Wir wollen zunächst allgemein eine über die innere Oberfläche gleichmäßig verteilte Normalkraft pi für die Flächeneinheit und für die äußere Oberfläche eine solche pa voraussetzen. Dann erhält man aus Gl. 9, indem man einmal für x = r, ar=pi und für x=R, ör = pa setzt. Für die Konstanten Cx und C₂ die beiden Bestimmungsgleichungen

ii)

12)

B-+Î-S-

Die Lösung und C₂ ergibt

13)

14)

0₂ =

R₂J

+ ~AE{B? + r‘)\ R²r² f pa pi .3

~E~\W=^⁺iAE

R² — r²

und

Durch Einführung dieser Werte für 0, und C₂ in Gl. 9 und 10 würde man Gleichungen für die Verteilung der Spannungen or und öt in verschiedenen Abständen x von der Zylinderachse erhalten. Wir wollen aber, da in der Anwendung die gleichzeitige Beanspruchung durch innere oder äußere Oberflächenkräfte pt und pa und durch Fliehkräfte infolge Dotation kaum in Frage kommen, die Ausdrücke für ör und ot nur für die einzelnen Angriffsarten entwickeln. Ruht der Ringkörper und wirken nur Oberflächenkräfte pa und so wird mit co = 0 auch A in obigen Ausdrücken und in Gl. 9 und 10 gleich Null, und die Einführung der Werte für und ü₂ in Gl. 9 und 10 liefert

15)

. . . ör =

R² ’Pa — r~pi _ R²-r²(pa pi)

R² — r²

x²(R²— r² ’

16)

R²pa-r²-pi R²r²(pa — pi) *• l~ R²-r²    ^ x² (R² — r²) '

Vgl. Keck-Hotopp, Elastizitätslehre, II. Teil, Aufl. 2, S. 61.

Ist nur innerer Gefäßdruck vorhanden, pa — 0 und pt negativ,

so wird

17)

PiT²

R² — r²

18)

ot =

Vir²

R² — r²

Am inneren Gefäßumfange x — r ist ori — —pi, oti — pi

R² + r2 R² — r²¹

2pir²

am äußeren Umfange x — R, ora = 0, ota —

Sind Oberflächenkräfte pa und pt nicht vorhanden, ist aber (o > 0, so ergibt die Einführung der Werte für Cl und C₂ in Gl. 9 und 10, mit A = mco²:E

R² — r²

R²-r²\ x² /’

3    2 [r² + r²

[3R² + 3r²

Die Radialspannung or ist nach Gl. 19 sowohl in der inneren Oberfläche x = r als in der äußeren x = R gleich Null, was auch

19)

20)

Or — — m(u

— x²

c>t =

co² m

— x² +

3 R²r²

x²

ohne besondere Untersuchung ersichtlich ist. wird or zu einem Maximum, dessen Größe sich berechnet zu

Für x = VR:

21)

3

@r max — ₀ Z/I CO “ {    "    Z*) “ •

Das in Gl. 19 ausgedrückte Verteilungsgesetz für ör und ot ist durch die Linien abc und de hezw. de in Fig. 234 und 235 geo-

R

metrisch veranschaulicht. Ist r = —, so liegt der Scheitel der Kurve im Abstande x = ŸR • r = ^ von der Zylinderachse.

Fig. 234.

Fig. 235.

ati

l/ht-Lime. „ ar~Linie /

Ol ^ ^

^rmax

/ <j* =Liiiie ar=Livie

tu

jr

Die Tangentialspannung ist nach Gl. 20 in der inneren und äußeren Oberfläche d. h. für x—r und x — R

co² m

-^—(R² + 3 r²).

22) ... o„ = ^ (3 iS² + r²) und 23) ..

Ein analitisches Maximum ist für ot nicht vorhanden; oti stellt den absoluten Größtwert dar (vgl. die Linie de, Fig. 234).

Handelt es sich um einen Vollzylinder, so verschwinden in den Gl. 19 bis 23 die Glieder mit r.

Es wird

19a)

20 a)

21a)

or = mco² {R² — x²) ;

O

(3 R² — x²) ; 4r- m CO² J?² .

max —

22

Keck-Hotopp, Mechanik III. 2. Aufl.

Der Größtwert von or tritt in der Zylinderachse mit Y R' 0 = 0 ein und hat hier mit ot genau gleiche Größe, was übrigens auch aus der Überlegung erkenntlich wird, daß sich hier 6r und ot überhaupt nicht unterscheiden.

Am äußeren Umfange des Zylinders wird jetzt nach Gl. 19 a

111 Cü "

ora — 0 und nach Gl. 20 a ota — —• R².

7500

9,18

Beispiel: Es sei für einen Vollzylinder aus Gußeisen i? = l,OOm, = 764 kg/m; iu = 10 7T = 31,4 = 300 Umdrehungen in der

Minute.

Dann ist in der Zylinderachse

g"

3    764 • 31,4² ■ I²

10000

= 280 at,

und am äußeren Umfange

ffra

= 0 und

°ta~

764 • 31,4² • l²

4 • 10000

= 187 at.

Hätte der Zylinder eine .zentrische Höhlung von r = 0,5on, so würde bei der gleichen Geschwindigkeit sein,

'ra = <Tri = °>    ^

3    764-31,4*. (1 — O.s)²

max

10 000

= 70 at,

*ti =

31,4*-764    (3 • l² + 0,5*)

10 000

= 610 at und

= 325 at.

ata

31,4²-764    (1 + 3-0,5*)

“ ' 10000 In zylindrischen Kingkörpern überwiegt also die Tangentialspannung bei weitem die Eadialspannung.

Fünfte Abteilung.

Kurze Mitteilungen über die wesentlichsten Förderer der Mechanik.

1.    Archimedes, geboren 287 v. Chr. in Syrakus, gestorben daselbst 212 v. Chr., ist als Schöpfer der heutigen Gleichgewichtslehre zu bezeichnen. Die von ihm verfaßten und auf uns überlieferten Schriften über Statik haben noch jetzt im wesentlichen Gültigkeit. Seine Untersuchungen bezogen sich auf das Gleichgewicht am Hebel und am Flaschenzuge. Er übersah klar, daß man durch entsprechende Wahl der Übersetzung mit einer gegebenen Kraft jeden beliebig großen Widerstand überwinden könne. Archimedes kannte auch die Schwerpunkte ebener Gebilde, sowie die Grundlehren vom Gleichgewichte flüssiger Körper, besonders vom Auftriebe des Wassers gegen eingetauchte feste Körper.

2.    Heron, der um 120 v. Chr. in Alexandria lebte, erweiterte die von Archimedes am Hebel und am Flaschenzuge gezeigte Möglichkeit beliebig großer Kraftverstärkung (Übersetzung), indem er die Lehre von der Wirkungsweise des Keiles, der Schraube, der Zahnräder, des Rades an der Welle mit Seiltrommel entwickelte.

3.    Pappus, um 390 n. Chr. ebenfalls in Alexandria lebend, zeigte die Entwickelung der Schwerpunkte von Körpern, sowie den Satz, daß der Inhalt eines Umdrehungskörpers gleich dem Produkt aus der erzeugenden Meridianschnittfläche und dem Drehungsweg ihres Schwerpunktes sei. Dann ruhte die Entwickelung der Mechanik bis zur Zeit von

4.    Leonardo da Vinci, geboren 1452 zu Vinci bei Florenz, gestorben 1519 im Schlosse Cloux bei Amboise (Frankreich). Leonardo war von einer fast unbegreiflichen Vielseitigkeit; er zeichnete sich aus als Maler, Architekt, Ingenieur, Mathematiker, Philosoph, Dichter und Musiker. Er besaß eine bedeutende Einsicht in die Gesetze der Bewegung auf schiefer Ebene und des freien Falles. Über das Verhältnis der Bewegungslehre zur Mathemathik sagt er: „Die Mechanik ist das Paradies der mathematischen Wissenschaften, da man in ihr zur Frucht des mathematischen Wissens gelangt.“ Seine Schriften sind aber nach seinem Tode vergessen und erst am Ende des

18. Jahrhunderts wieder entdeckt worden. Seine Nachfolger in der Entwickelung der Mechanik scheinen nicht daraus geschöpftzu haben.

5.    Simon Stevin, geboren 1548 zu Brügge, gestorben 1620 zu Haag, fand die Gleichgewichtsverhältnisse an der schiefen Ebene.

6.    Galileo Galilei, geboren am 18. Februar 1564 zu Pisa, gestorben am 8. Januar 1642 zu Arcetri, ist der Begründer der Lehren von der bewegenden Wirkung der Kräfte, der Dynamik. Er sprach (1638) das Gesetz der Trägheit bestimmt aus, entdeckte, daß bei der Fallbewegung die Geschwindigkeit mit der Zeit verhältnisgleich wächst. Er stellte das Gesetz vom Parallelogramm der Bewegungen auf und gelangte durch Vereinigung der Fallbewegung mit gleichförmiger Bewegung zu der parabolischen Wurfbewegung. Er erkannte, daß die Schwingungsdauer des Pendels proportional mit V l sei, fand auch das Gesetz der parabolischen Kettenlinie.

7.    Christian Huyghens, geboren am 14. AprH 1629 zu Haag, gestorben daselbst am 8. Juni 1695, war als bedeutender Mathematiker besonders befähigt, die neuen Bewegungsgesetze in mathematische Formeln zu kleiden und zu verallgemeinern. Er entwickelte die Lehre vom Schwingungspunkte des physischen Pendels, erfand die Pendeluhr, die Unruhe zur Hemmung der Taschenuhren, berechnete die Größe der Zentrifugalkraft, fand die Eigenschaften der Zykloide, die Lehre von den Evoluten, sowie auch die Veränderlichkeit der Fallbeschleunigung mit der geographischen Breite wegen der Drehung der Erde.

8 Isaac Newton, geboren am 5. Januar 1643 zu Woolstorpe in Lincolnshire, gestorben am 20. März 1726 zu Kensington, hat die Grundlehren der heute geltenden Mechanik zum Abschlüsse gebracht. Er übertrug mit bewundernswerter Kühnheit die auf der Erde gewonnenen Erfahrungen auf Stellen außerhalb derselben und gelangte so schrittweise zu dem Satze der allgemeinen Massenanziehung. Die Abhängigkeit dieser Anziehungskraft von dem Quadrate der Entfernung mutmaßte er aus der Vergleichung der

Zentripetalbeschleunigung des Mondes und der Fallbeschleunigung an der Erdoberfläche. Der Satz vom Parallelogramm wurde von Newton bestimmt gefaßt, auch der Satz von der Wechselwirkung aufgestellt und der Satz von der Bewegung des Schwerpunktes abgeleitet.

9.    Johann Bernoulli, geboren am 27. Juli 1G67 zu Basel, gestorben daselbst am 1. Januar 1748, erkannte die allgemeine Bedeutung des Satzes der virtuellen Verrückungen für alle Aufgaben des Gleichgewichtes. Den Satz des Arbeitsvermögens hat er ohne Beweis ausgesprochen.

10.    Daniel Bernoulli, der Sohn des Vorgenannten, geboren am 29. Januar 1700 zu Groningen, gestorben am 17.. März 1782 zu Basel, verfaßte 1738 ein grundlegendes Werk über Hydrodynamik, entwickelte darin besonders die Formel für die Ausflußgeschwindigkeit iv = V~2gh und folgerte daraus die Gleichungen für den hydraulischen Druck, für den Druck eines Flüssigkeitsstrahles gegen einen festen Körper und für die Keaktion ausfließenden Wassers, die er bereits als Triebkraft für Schiffe in Vorschlag brachte.

11.    Leonhard Euler, geboren am 15. April 1707 zu Basel, gestorben am 18. September 1783 zu Petersburg, der bedeutendste Mathematiker seiner Zeit, schrieb 1736 das erste umfassende Werk über analytische Mechanik. Er führte darin u. a. den Begriff Trägheitsmoment ein, bestimmte die Schwerpunktshauptachsen eines Körpers und entwickelte die Gleichungen für die Drehung eines Körpers um einen festen Punkt. Von Euler rühren auch schon die allgemeinen Gleichungen für das Gleichgewicht und die Bewegung vollkommen flüssiger Körper her, sowie die Grundgleichung der Biegungslinie, mit deren Hilfe er die bekannte Formel für die Knickfestigkeit ableitete.

12.    Jean le Rond d’Alembert, geboren am 16. November 1717 zu Paris, gestorben daselbst am 29. Oktober 1783, machte sich durch die Aufstellung und den Beweis des nach ihm benannten Satzes im Jahre 1743 besonders verdient um die systematische Formgebung der Mechanik behufs Erleichterung der Lösung von Bewegungsaufgaben.

13.    Joseph Louis Lagrange, geboren am 25. Januar 1736 zu Turin, gestorben am 10. April 1813 zu Paris, war ein bedeutender

Nachfolger von Euler und d’Alembert; er verfaßte 1788 sein meisterhaftes Werk über analytische Mechanik.

14.    Charles Coulomb, geboren am 14. Juni 1736 zu Augoulême, gestorben am 23. August 1806 zu Paris, hat sich besonders verdient gemacht durch die Begründung der Lehre vom Erddruck gegen Stützmauern und durch richtige Behandlung der gewöhnlichsten Aufgaben der Fertigkeitslehre.

15.    Louis Poiusot, geboren 1777 zu Paris, gestorben daselbst 1859, führte die Kräftepaare ein und entwickelte mit deren Hilfe die 6 Gleichgewichtsgleichnngen in der jetzt gebräuchlichen Form. Auch fand er das Trägheitsellipsoid und dessen Bedeutung für die Drehung eines Körpers um einen festen Punkt sowie für die freie Bewegung eines Körpers, aufgefaßt als gleichzeitige Verschiebung und Rollbewegung oder auch als augenblickliche Schraubenbewegung.

16.    Louis Navier, geboren am 15. Februar 1785 zu Dijon, gestorben 1836 zu Paris, ist der Begründer der wissenschaftlichen Elastizitätslehre und Baumechanik. Er entwickelte die wichtigsten Fälle gebogener Balken, zeigte die Berechnung der Bogen- und Hängebrücken, sowie der Stäbe, Säulen und Pfeiler mit exzentrischer Druckbelastung.

17.    Gustav Coriolis, geboren 1792, gestorben 1843 zu Paris, hat namentlich für die Ausbildung der Lehre von der scheinbaren (relativen) Bewegung gewirkt, indem er die beiden Ergänzungskräfte derselben einführte.

18.    J. Y. Poncelet, geboren am 1. Juli 1788 zu Metz, gestorben am 22. Dezember 1867 bei Paris, hat die Ausbildung aller Teile der Mechanik* für praktische Zwecke gefördert, hat namentlich wichtige Versuche über Wasserbewegung angestellt; auch hat er der Ausbildung der graphischen Statik erheblich vorgearbeitet.

19.    Adliémar de Saiut-Véïiant, geboren am 23. August 1797 zu Portoiseau bei Melun, gestorben am 6. Januar 1886 zu Vendôme, hat sich um die wissenschaftliche Ausbildung der Elastizitätslehre hohe Verdienste erworben; gestützt auf Navier u. a., hat er besonders in den Jahren 1837, 1843, 1847, 1853 und 1858 bahnbrechende Abhandlungen über die verwickelteren Fälle der Biegungslehre mit Berücksichtigung der Schubspannungen verfjßt und die allgemeine Theorie der Drehungselastizität begründet.

20.    Julius Weisbach, geboren am 10. August 1806 zu Mittelschmiedeberg im Königreiche Sachsen, gestorben am 24. Februar 1871 zu Freiberg, hat sich durch sorgfältige Versuche über Bewegungswiderstände fester, flüssiger und gasförmiger Körper hervorragende Verdienste, besonders um die technische Hydrodynamik, erworben, hat auch dem Studium und der Anwendung der Mechanik durch die Herausgabe eines umfassenden Werkes „Ingenieur- und Maschinenmechanik“ sehr genützt.

21.    Macquorn Rankine, geboren am 5. Juli 1820 zu Edinburg, gestorben am 24. Dezember 1872 zu Glasgow, gehört zu den Begründern der Mechanischen Wärmetheorie, hat ferner die Lehre vom Gleichgewichte der Erdkörper, sowie die Lehre von der Knickfestigkeit gefördert und dem Ingenieurwesen durch das Buch „A Manual of applied mechanics" genützt.

22.    B. P. E. Clapeyrou, geboren am 21. Februar 1779 zu Paris, gestorben daselbst am 28. Januar 1864, war ebenfalls ein wesentlicher Förderer der Mechanischen Wärmetheorie und ist den Bauingenieuren namentlich durch seine Weise der Berechnung durchgehender Träger bekannt.

23.    Carl Culmaun, geboren 1821 in Bergzabern (Bheinpfalz), gestorben am 8. Dezember 1881 in Zürich, begründete, gestützt auf Poncelet und andere, den besonderen Zweig der Gleichgewichtslehre, den er „Graphische Statik“ nannte, und zeigte deren Anwendung auf fast alle Teile des Bauwesens.

24.    Emil Winkler, geboren 1835 in Falkenberg bei Torgau, gestorben am 27. August 1888, war einer der bedeutendsten Förderer der Elastizitätslehre und ihrer Anwendungen auf das Bauingenieurweseu. Er bildete die von de Saint Venant begründete neue Elastizitätslehre weiter aus und schuf unter 'anderem die Berechnungsarten der Bogenträger, wie sie noch jetzt meist in Gebrauch sind; auch die Lehre vom Erddrucke hat er nicht unwesentlich erweitert.

25.    Frauz Grashof, geboren am 11. Juli 1826 zu Düsseldorf, gestorben am 30. Oktober 1893 zu Karlsruhe, nimmt zu dem Maschinenwesen eine ganz ähnliche Stellung ein, wie sein Zeitgenosse Winkler zu dem Bauingenieurwesen, indem er, ebenfalls gestützt auf de Saint Venant, ein gleich vorzügliches Werk über

Elastizitätslehre verfaßte, dessen Anwendungen sich mehr auf Maschinenteile beziehen. Wie sich Winkler mit Erfolg bemühte, die Mechanik auf alle Teile des Bauingenieurwesens anzuwenden, so bearbeitete Grashof mit dem Werkzeuge der Mechanik alle Gebiete des Maschinenwesens.

26.    Job. Bauschiuger, geboren am 11. Juni 1834 zu Nürnberg, gestorben am 25. November 1893 zu München, hat sich als Begründer und langjähriger Leiter des mechanisch-technischen Laboratoriums der Technischen Hochschule zu München besonders um die technisch-wissenschaftliche Untersuchung der Baumaterialien hervorragende Verdienste erworben.

27.    Alberto Castigliauo, geboren am 9. November 1847 zu Asti, gestorben am 25. Oktober 1884 zu Mailand, zeigte die Berechnung der Formänderung elastischer Körper, Träger, Fachwerke u. dgl. mittels der Formänderungsarbeit und benutzte diese Lehren für die Berechnung statisch unbestimmter Träger und Fachwerke.

28.    Hermann Scheffler, geboren 1820 zu Braunschweig, gestorben daselbst 1903. Verfasste neben anderen Arbeiten über Gegenstände der Mechanik und Festigkeitslehre, insbesondere eine „Theorie der Gewölbe und Futtermauern“.

29.    v. Tetmajer, geboren 1851, gestorben 1905 in Wien, hat sich u. a. durch Versuche und Aufstellung von Formeln um die Entwickelung der Lehre von der Knickfestigkeit verdient gemacht.

30.    Wilh. Ritter, geboren 1847, gestorben 1906 zu Zürich, hat auf den von Culmann geschaffenen Grundlagen als Schüler desselben die graphische Statik der Baukonstruktionen weiter entwickelt, insbesondere durch Herausgabe eines Werkes über „Anwendungen der Statik“.

31.    August Ritter, geboren 1826 zu Lüneburg, gestorben daselbst 1908, hat sich um die Entwickelung der Statik der ebenen Fachwerke und insbesondere durch Einführung der nach ihm benannten Momentenmethode zur Berechnung der Stabkräfte verdient gemacht.

Alphabetisches Verzeichnis und Bedeutung der ln den Formeln vorkommenden Buchstaben unter Hinweis auf die erklärenden Seiten des Buches.

15, 193.

C Zeutrifugalmoment. 240.

E Elastizitätsmaß. 204.

F Fläche des Fahrstrahls. 100.

F Querschnitt eines Stabes. 203.

G Gleitmaß. 276.

J Trägheitsmoment. 204, 218.

J,, J.„ J, Hauptträgheitsmomente. 242. K Kraft. 66, 173.

M Masse einer Gruppe von Punkten. 186.

M Biegemoment. 316.

N Normalwiderstand. 133.

Q Gewicht eines Körpers. 180.

B Halbmesser einer Kugel. 211.

T Tangentialkraft. 283.

T Trägheitswiderstand 314, 318.

V    Potential (Kräftefunktion). 106.

V    Verdrängung (Deplacement) eines

Schiffes. 77, 272.

V    Vektor. 7.

W Gesamtwiderstand einer Fläche. 182.

W Luftwiderstand 285.

X Kräftesumme in der «-Richtung. 192.

V    Kräftesumme in der y -Richtung.

192.

Z Kräftesumme in der 2-Richtung. 192.

a Halbe Schwingungsweite. 70. a Länge eines Stabes. 203.

a Abstand der Achsen eines Eisenbahnwagens von dessen Mitte. 291.

b Länge der Wasserfüllung einer Röhre. 201.

c Geschwindigkeit, besonders Anfangs

e Abstand des Schwerpunktes eines Schiffes vomSchwerpunkte seiner Verdrängung. 272. f Reibungsziffer. 133. f Gleichgewichtsbiegung. 76, 291. g Fallbeschleunigung. 71. i Trägheitshatbraesser. 205. k Ziffer der Massenanziehung. 118, 208.

k Gleichgowichtsgeschwindigkeit im widerstehenden Mittel. 94. k² Einheitsbeschleunigung einer Schwingung. 68.

I Hebelarm einer Kraft 6.

I Schwingungslänge. 272.

1    Abstand eines Massenpunktes vom

Schwerpunkteines Körpers. 210. m Masse eines Punktes. 66. p Beschleunigung. 15. pn Normal- und Zentripetalbeschleunigung. 20.

pt Tangentialbeschleunigung. 20.

2    Ziffer der Sonnenanziehung. 118. r Erdhalbmesser. 71.

16.

16.

16.

r Krümmungshalbmesser einer Kettenlinie im Scheitel. 187. r Abstand zweier Punkte. 208. r Abstand eines Punktes von einer Achse. 216. s Wegeslänge. 14. s Bogenlänge. 16, 188. t Zeit. 14.

t Umlaufszeit. 116, 124. tx Dauer einer einfachen Schwingung. 70, 138, 205.

u Geschwindigkeit des Schwerpunktes. 208. v Geschwindigkeit. 14. w Geschwindigkeit der scheinbaren (relativen) Bewegung. 52, 207. xQ, y₀, z₀ Koordinaten des Scliwer-.punktes. 192.

Al Gleichgewichtsverlängerung. 74. a Neigungswinkel einer Ebene 190. a Neigungswinkel gegen die æ-Achse.

a₀ Gleichgewichtsgefälle eines Eisenbahnzuges. 286.

ß Neigungswinkel gegen die «/-Achse.

y Neigungswinkel gegen die0-Achse.

y Gewicht der Körpereinheit. 201. s Winkelbeschleunigung. 249.

$ Drehungswinkel. 272.

[j. Auf den Umfang bezogene Masse. 281.

p Krümmungshalbmesser. 20. r Schubspannung. 276. ip Reibungswinkel. 181.

Ç?, /, (p Winkelgeschwindigkeiten. 46,

257.

w Winkelgeschwindigkeit. 42.

2t Arbeit. 198.

23 Drall (Statischos Moment der Bewegungsgröße). 103, 217.

3 Trägheitsmoment der Schwimmfläche eines Schiffes. 273. fl Kraft 2.

2)1 Drehmoment. 218.

Alphabetisches Verzeichnis der behandelten Gegenstände.

39.

29.

Ablenkung (Deviation). 21.

Achsen, freie. 213.

Achswiderstände einer schwingenden Glocke. 249. d’Alembert. 341.

Antrieb einer Kraft. 193.

Arbeit 2b 104, 198.

Arbeitsvermögen. 103, 198, 207. Archimedes. 339.

Aufzugsmaschinen. 183.

Rauschinger. 344.

Bernoulli. 341.

Beschleunigung. 15, 18, 21. Beschleunigung der zusammengesetzten Bewegung. 53.

Bewegung, allgemeine, eines Körpers.

Bewegung auf einem Kreise mit Reibung. 134.

Bewegung auf einer Bahnlinie in lotrechter Ebene. 137.

Bewegung auf einer Kugelfläche. 150. Bewegung auf vorgeschriebener Bahn. 133.

Bewegung, ebene, eines Körpers. 27. Bewegung einer Kette. 199. Bewegung einer Massengruppe. 192. Bewegung eines freien Körpers. 270. Bewegung eines geometrischen Körpers.

Bewegungen, Zusammensetzung derselben. 43, 51.

Bewegung, geradlinige. 14, 66. Bewegung im widerstehenden Mittel. 89, 129.

Bewegung in einer Parabel. 148. Bewegung in einer sich drehenden Röhre. 157, 160.

Bewegung, krummlinige. 15, 98. Bewegung längs eines Erdmeridians. 162.

Bewegung, scheinbare (relative). 58, 155.

Bewegung, zwangläufige einer Massengruppe. 219.

Bewegungsgrößo. 193, 215. Bewegungslehre, geometrische. 14. Brachistochrone. 145.

Bremsung eines Eisenbahnzuges. 284.

Castigliano. 344. Clapeyron. 343. Coriolis. 342. Coulomb. 342. Culmann. 343.

Deviation (Ablenkung). 21. Drehbewegungen. 45.

Drehpunkt, augenblicklicher, oder Pol.

Drehung eines Körpers um eine Achse. 248.

Drehung eines Körpers um einen Punkt.

36, 256, 269.

Drehungspaar. 48.

Drehungspendel. 275.

Eisenbahnwagen, Schwingungen desselben. 291.

Eisenbahnzug, Bremsung desselben. 284.

Elastische Schwingung. 74. Ellipsenzeichner. 31.

Elliptische Bewegung. 113, 118.

Erde als Anziehungszentrum. 125. Ergänzungskräfte    (Tr ägh ei ts wider

stände) der scheinbaren Bewegung. 156.

Euler. 341.

Fahrrad, Widerstand desselben. 290. Fall aus großer Höhe. 80. Fallbewegung im widerstehenden Mittel. 89.

Fallbewegung in bezug auf die sich drehende Erdo. 166.

Foucaultscher Pendelversuch. 168. Freie Achsen. 243.

Hauptachsen eines Körpers. 242. Hauptträgheitsmomente Jlt Jif J₃. 242.

Heron. 339.

Himmelskörper, Bewegung derselben.

118, 170.

Huyghens. 340.

Hyperbolische Bewegung. 122.

Innere Kräfte. 192, 207.

Kanone, Wirkung des Pulvers in derselben. 307.

Kegelpendel. 154.

Kepler. 127.

Kette, Bewegung einer. 199. Kettenlinie. 187.

Klappbrücke. 189.

Kräftefunktion (Potential). 106. Kahn, Verhalten eines schwimmenden Kahnes. 196.

Kreiselbewegung. 261.

Kreispendel. 138.

Kurbelschleife. 70.

Kurbelstange, Bewegung einer. 30.

Galilei. 182, 340.

Gelenkstange, Pol einer. 30.

Gelenkstangenverbindungen. 185.

Geometrische Bewegungslehre. 14.

Geschoß, Bewegung desselben in der Kanone. 307.

Geschoß, seitliche Ablenkung desselben. 165, 311.

Geschwindigkeit c, v. 14, 15.

Gleichgewicht einer Massengruppe. 172.

Gleichgewichtsgeschwindigkeit k im widerstehenden Mittel. 86.

Glocke, Widerstände der Achse einer schwingenden. 249.

Grashof. 343.

Gravitation. 118.

Lagrange. 183, 341. Leonardo da Vinci. 339. Luftwiderstand. 94.

Massenanziehung. 118. Massenausgleich. 219.

Massengruppe, Bewegung einer. 192. Massengruppe, Mechanik einer. 172. Massenpunkt m.    66.

Maxwell. 183.

Mechanik des Massenpunktes. 66. Mechanik einer Gruppe von Massenpunkten. 172.

Mohr. 183.

Momentensumme der Bewegungsgrößen (Drall). 217.

Pendel, Kreis-Pendel, räumliches. 150. Pendelversuch von Foucault. 168.

76.

Navier. 342.

Newton. 340.

Niveauflächeu. 109. Niveaulinien. 111. Normalbeschleunigung pn. 20. Normalwiderstand N. 180.

Pappus. 339.

Parabolische Bewegung. 148. Pendel, Zykloiden-, 143. Pendel, Drehungs-. 274. Pendel, Kegel-. 154.

138.

Pendel, wälzendes. 294. Planetenbewegung. 118, 170. Poinsot. 243, 269, 342.

Polbahnen. 34, 39.

Poncelet. 342.

Potential einer Hohlkugel. 210. Potential einer Kugel. 212. Potential einer Kugelschale. 209. Potential einer Massengruppe. 208. Potential V. 106.

Schiff, Schwingungen desselben. 271. Schraubenbewegung eines Körpers. 39. Schraubenlinienbewegung. 24. Schwerpunkt als Mittelpunkt einer Massengruppe. 197.

Schwerpunkt, Bewegung desselben. 192.

Schwerpunkt def Fläche einer Halbellipse. 194.

Schwerpunkt eines Halbellipsoides. 194.

Schwingung des Wassers in einer Röhre. 201.

Schwingungen eines Eisenbahnwagens. 290.

Schwingungen eines Schiffes. 271. Schwingung, geradlinige. 68. Schwingung schwimmender Körper.

Schwingungslänge eines Kegels. 246. Sonne als Anziehungszentrum. 126. Spiralfeder der Unruhe einer Uhr. 277.

Stab, umfallender. 254.

Stange, reibungslos ausgleitende. 277. Stevin. 182, 340.

Stoß. 195.

Rankine. 343.

Relative (scheinbare) Bewegung. 58, 155.

Röhre, Schwingung des Wassers in einer. 201.

Rollbewegung auf schiefer Ebene.

280.

Rollbewegung der Polbahnen. 34, 39. Rollbewegung eines mit Wasser gefüllten Gefäßes. 283.

de Saint-Venant. 342.

Satz der Flächen. 99, 215.

Satz der virtuellen Verrückungen. 172. Satz des Arbeitsvermögens. 103, 198. Scheinbare (relative) Bewegung. 58, 155.

Tangentialbeschleunigung p₍.    20.

Torsionspendel. 274. Trägheitsellipsoid. 240. Trägheitsmoment eines Zylinders. 245. Trägheitsmoment eines Ellipsoides. 247.

Trägheitsmoment eines Kegels. 246. Trägheitsmoment eines Parallelepipeds. 244.

Trägheitsmoment J. 218. Trägheitswiderstand (Ergänzungskraft) 156, 162, 219, 313.

Umlaufszeit t. 116, 125. Unruhe einer Uhr. 277.

Verschiebung eines geometrischen Körpers. 26.

Virtuelle Verrückungen. 172.

Vektor. 1, 7.

Wälzendes Pendel. 294. Weisbach. 343.

Wiege. 304.

Winkelgeschwindigkeit w, <J>.    42.

Winkler. 343.

Wippe. 303.

Wurfbewegung mit Luftwiderstand. 129.

Zentralbewegung. 112. Zentralellipsoid. 240. Zentrifugalmoment C. 240. Zentripetalbeschleunigung pn. 20. Zusammensetzung der Bewegungen eines Körpers. 43.

Zykloidenpendel. 143.

Helwingsche Verlagsbuchhandlung in Hannover.

(Gegründet vor 1606.)

In unserem Verlage erscheint:

Bewegliche Brücken.

Ein Hand- und Lehrbuch für Ingenieure und Studierende des Bauingenieurwesens.

I. Teil: Die Klappbrücken.

Von

Dr. Ing. Ludwig Hotopp,

Geheimer Baurat, Professor an der Technischen Hochschule in Hannover.

Mit 302 in den Text gedruckten Figuren.

Preis 12 Mark.

Mit der Entwicklung der Schiffahrtsanlagen im allgemeinen hat auch das in diesem Buche behandelte Spezialgebiet der beweglichen Brücken in den letzten Jahrzehnten sowohl hinsichtlich der Zahl und der Abmessungen der ausgeführten Bauwerke, als auch bezüglich der verwirklichten Konstruktionsgedanken eine rasche Ausdehnung erfahren. Dieser Entwicklung und der Bedeutung, die das Gebiet für das Verkehrs- und Wirtschaftsleben gewonnen hat, ist die bezügliche neuere zusammenfassende Literatur nicht im gleichen Maße gefolgt. Verfügt doch die deutsche Buchliteratur nur über ein einziges neueres Werk auf dem Gebiete. Ich selbst empfand die Knappheit der literarischen Orientierungsmittel, als ich vor einer Reihe von Jahren neben meinem Lehrgebiet „Mechanik für Bauingenieure“ die Vorträge über bewegliche Brücken an der hiesigen Technischen Hochschule zu übernehmen hatte.

Da ich während der meiner akademischen Lehrtätigkeit vorausgegangenen praktischen Betätigung sowohl auf dem Gebiete des Wasserbaues als auch auf dem des einschlägigen Maschinenbaues Gelegenheit hatte mich eingehend mit dem nunmehr lehrweise zu behandelnden Stoffe zu beschäftigen, schien es mir alsbald geboten, mein bescheiden Teil zur Vervollständigung der Literatur des in Frage stehenden Gebietes beizutragen, die Ergebnisse meiner Erfahrung und meiner Forschung in einem Druckwerke der Oeffentlichkeit zu übergeben.

Bei der Umgrenzung des zu bearbeitenden Stoffes wurde zugunsten einer tunlichst übersichtlichen Anordnung desselben alles ausgeschieden, was sich auf Grund der Lehren des allgemeinen Brücken- und Eisenbaues sowie der Statik behandeln läßt. Wo für die Anwendung bekannter Regeln besondere Gesichtspunkte in Frage kamen, wurden diese in Kürze dargelegt.

vor

Das Buch will dem ausübenden Ingenieur, der vielleicht erstmalig die Lösung von Aufgaben auf dem Gebiete gestellt ist, und den Studierenden technischer Lehranstalten eine allgemeine Orientierung auf dem Gebiete der beweglichen Brücken bieten und ihnen nach Möglichkeit die an ausgeführten Bauwerken gesammelten Erfahrungen zugänglich machen. Der letztere Zweck konnte bei der Neuheit wichtiger Arten beweglicher Brücken naturgemäß nur

in beschränktem Maße erfüllt werden. Auftretende wichtige Fragen, w;e die des "Widerstandes von unter Druck aufeinander rollender Bauteile gegen Abnutzung und Bruch, konnten noch nicht endgültig beantwortet werden.

Dem bezeichneten Zwecke entsprechend beschränkt sich das Buch auf die Darlegung der verschiedenen Systeme beweglicher Brücken in ihrer grundsätzlichen Anordnung und mit den ihnen eigenen wichtigen Einzelheiten. Insbesondere werden die Bewegungsvorgänge verfolgt und die Bewegungsapparate besprochen. Daneben wird an einer größeren Anzahl von ausgeführten Bauwerken die Anwendung der den einzelnen Systemen zugrunde liegenden Konstruktionsprinzipien gezeigt.

Der hier vorliegende erste Teil des Buches umfaßt neben einer einleitenden allgemeinen Betrachtung über Zweck, Anwendung und Einteilung der beweglichen Brücken die Klappbrücken in ihren verschiedenen Systemen. Zu diesen wurden auch die herkömmlich als Zugbrücken bezeichnete Art von beweglichen Brücken gerechnet, weil die nur historisch begründete Unterscheidung dieser Brückenart von den Klappbrücken im allgemeinen bei der neueren Entwicklung der letzteren sich nicht mehr aufrecht erhalten läßt.

Die besondere Herausgabe dieses ersten Teiles des Gesamtwerkes findet ihre Begründung in dem Wunsche, die neueren Systeme der Klappbrücken, die in ihrer Bedeutung für den Verkehr alle anderen Arten beweglicher Brücken mehr und mehr überragen, den interessierten Kreisen alsbald in übersichtlicher Form vorzuführen.

Der zweite alle übrigen Arten beweglicher Brücken umfassende Teil wird in Bälde folgen. Ich hoffe, darin auch noch ergänzende Mitteilungen über die Erfahrungen mit den neueren Klappbrückensystemen machen zu können.

Am Schluß befindet sich ein Literaturverzeichnis, in dem auch die bei Bearbeitung des Buches benutzten Quellen kenntlich gemacht worden sind.

Der in Kürze erscheinende Teil II (Schluß) wird den Besitzern des ersten Teiles zu einem

um 20°/o ermäßigten Vorzugspreise

geliefert, sofern die Bestellung durch Vermittlung einer Buchhandlung

der Helwingschen Verlagsbuchhandlung in Hannover vor Erscheinen eingesandt wird.

In unserem Verlage erschienen folgende weiteren Werke von

Wilh. Keck,

weil. Geh. Rt gierungsrat, Professor an der Technischen Hochschule in Hannover.

Vorträge Über Mechanik als Grundlage für das Bau- und Maschinenwesen. Bd. I: Mechanik starrer Körper. Vierte Auflage, bearbeitet von Dr. Ludw. Hotopp. Mit 433 Holzschnitten. M.10.—, gebd. M. 11.50. Bd. II: Mechanik elastisch-fester und flüssiger Körper. Dritte Auflage, bearb. von Dr. Ludw. Hotopp. Mit 365 Holzschnitten. M. 12.—. gebd. M. 13.50.

Vorträge Über Elastizitätslehre als Grundlage für die Festigkeits-

Berechnung der Bauwerke. Zweite vermehrte Auflage, neu bearbeitet

von Dr. Ludw. Hotopp.

Erster Teil. Mit 209 Holzschnitten. Preis M. 8.—, gebd. M. 9.—. Zweiter Teil. Mit 214 Holzschnitten. Preis M. 10.—, gebd. M. 11. — .

Vorträge Über graphische Statik mit Anwendung auf die Festigkeitsberechnung der Bauwerke, als Anhang zu den ,,Vorträgen über Elastizitätslehre“. (1. Aufl.) Mit 83 Figuren und 4 Tafeln. 2. Aufl. Gebd. M. 3. —. .Fragen über die wichtigsten Gegenstände aus dem Gebiet der Mechanik. 4. Auflage. M. —.50.

:

a'ç.

f.

a.4-

uP

ł

$

V

3g

y

/

i

u,.

rto

/

i«

(

\

-

jp

*5*

i

■

\

V

*

. ,>

A

n

W

i

i

vs

r '

•i

i

i

V

\

/

'S;

.X

X

V

pi:

j

\

s

(••r-

7

>

\

Biblioteka Politechniki Krakowskie]

100000299209