WYDZIAŁY POLITECHNICZNE KBAKÓW

BIBLIOTEKA GŁÓWNA

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Biblioteka Politechniki Krak

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Hand- und Hülfsbuch

zum

mit besondere!⁻ Rücksicht auf die

Verwertung der Kegelschnitte

Nebst Anhang:'

Theorie der Rechenschieber, Rechenschieber für Kreisabsteckung, Y erständigungssignale.

Mit Tabellen, Figuren, Beispielen und einem Formular.

Zum praktischen Gebrauche für

Eisenbahn- und Strassenbauingenieure und Vermessungsbeamte.

Bearbeitet von

Karl Hecht,

Ingenieur und Lehrer, vereid. Landmesser.

In zwei Teilen.

Motto :

Wer die Sekunden ausnutzt, der nutzt das Leben aus.

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I. Teil: Text.

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Dresden,

Verlag von Gerhard Kühtmann,

1893.

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Alle Hechte Vorbehalten.

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Vorwort.

Den Grundstein zur Bearbeitung des vorliegenden Werkes legte ich während der Tracierung der seiner Zeit projektierten Wien-Novibahn (Sla-vonien), bei welcher ich, um bei einigen Kurven eine günstige Massenverteilung zu erzielen, den Kreisbogen durch den Parabelbogen ersetzte. Eine mathematische Untersuchung in Bezug auf die Übergänge und eine Vergleichung mit der kubischen Parabel ergaben hierbei günstige Resultate. Das Ergebnis teilte ich später auch meinen Kollegen mit, welche letzteren wesentlich dazu beitrugen, dass ich im gleichen Sinne auch die beiden anderen Kegelschnitte als Ersatz für den Kreisbogen einer Untersuchung unterwarf. Das Gesamtergebnis derselben veröffentlichte ich später in der Zeitschrift für Vermessungswesen, Heft 8, 1891, Seite 207 etc. Damals lag bereits der Plan zu vorliegendem Werke fertig vor, und auch die Haupttabellen waren fast fertig gestellt. An der Berechnung der letzteren habe ich mehrere Jahre lang gearbeitet. Obgleich es ursprünglich in meiner Absicht lag, den Kreisbogen als besonderen Fall der Ellipse ganz ausser Acht zu lassen, so entschloss ich mich doch später zu einer Umrechnung der Kreistabellen; eine solche war dadurch geboten, dass ich, abweichend von den bestehenden und benutzten,¹) sämtliche Kreisformeln und Tabellen, um sie denen der Kegelschnitte anzupassen, auf die Tangentenwinkel (Winkelpunktswinktel, P /) beziehen musste. Der Vollständigkeit wegen fügte ich schliesslich noch die Haupttabellen der kubischen Parabel zu.

Die Berechnung der Tabellenwerte wurde mit Schrön’s siebenstelligen Logarithmen und der zugehörigen Interpolationstafel²) durchgeführt, dieselbe musste systematisch, ich möchte fast sagen fabrikmässig betrieben werden,

um eine möglichst günstige Übersicht der Tabellenwerte, Hülfstabellenwerte und deren Logarithmen zu bekommen, um namentlich das Ineinanderfliessen der einzelnen Werte besser zu übersehen. Dadurch waren von vornherein schon grobe Fehler ganz ausgeschlossen. Die Kontrollen liess ich teils auf graphischem Wege, teils aber auch durch einen anderen Rechnungsgang vornehmen, hier konnte eine Erleichterung Platz greifen, weil sich manche Tabellenwerte zu recht- und schiefwinkeligen Dreiecken ergänzen; so z. B. die Maximalwerte x₀, y₀, t₀, mit dem Winkel    zu rechtwinkeligen

Dreiecken etc. Interpolationen waren nur in einigen Fällen erforderlich, namentlich bei den Rektifikationswerten L der Hyperbel. —

Auf etwaige noch vorzunehmende Verbesserungen, Ergänzungen, die sich gewiss während der Anwendungen der Tabellen lierausstellen, werde ich selbstverständlich gern eingehen; auch beabsichtige ich demnächst die im Anhang angeführte Rechenschieberkonstruktion der Kreisbogenabsteckung noch durch Hinzufügung ähnlicher der Kegelschnitte zu ergänzen. Die Korrekturen der Tabellen sind während des Druckes aufs sorgfältigste durchgeführt worden; und habe ich gleichzeitig noch einmal eine Vergleichung mit den Originaltabellen vorgenommen. — Verlagsbuchhandlung und Druckerei waren bemüht, den ausgedehnten Tabellensatz in ein möglichst handliches Format einzupassen. Ist dies allerdings nicht so gelungen, wie wohl wünschenswert, so lassen sich vielleicht in Zukunft auch in diesem Punkte noch Verbesserungen vornehmen, und werde ich jeden hierauf bezüglichen Vorschlag gern mit Dank in Berücksichtigung ziehen.

Karl Hecht.

Neustadt in Mecklenburg, Mai 1893.

Die Absteckung der Kegelschnitte und der Objekte in diesen Kurven.

I. Die Absteckung der Kreisbögen.

1.    Ausgang vom Winkelpunkt (Tab. K. I.)..............

Beispiele.........................

2.    Ausgang vom Bogenanfang oder Bogenende mittelst Sehneutangentenwinkel

(Tab. K. II.).......................

Beispiel..........................

3.    Absteckung mit Hülfe von Ordinaten und Abscissen.

A.    Allgemeines Verfahren (Tab. K. III.).............

Beispiel.......................

B.    Anwendung auf die wichtigsten Radien (Tab. K. IV.).......

Beispiel .    :.....................

4.    Formeln anderer Absteckungsmethoden, Näherungsverfahren. Hülfstangenten,

Sehnenlänge, Bogenhöhe, Absteckung durch ein umschriebenes Polygon .    .

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Inhalt.

Seite.

II. Die Übergangskurven.

1.    Theorie und Aufstellung der Gleichung der Übergangskurve, Schienenüber

höhung, Spurerweiterung (Tab. A.)...............

2.    Diskussion der kubischen Parabel als Übergangskurve und Verwertung der

selben in der Praxis (Tab. B. bis H.) ..............

Bemerkung. Kombinationen von Kreisbögen mit wachsenden Radien als Ersatz der kubischen Parabel.

19

24

I. Für normalspurige Bahnen II. Für schmalspurige Bahnen

26

28

29

Beispiele

3. Die Kegelschnitte. Allgemeines über Verwendung derselben als Eisenbahnkurven 31

III. Die Parabel als Eisenbaknkurve.

1.    Aufstellung der allgemeinen Gleichungen............

2.    Umformung der Gleichungen für den praktischen Gebrauch (Tab. P. I, II.)

3.    Rektifikation der Parabel (Tab. P. I, II.) .    ...........

4.    Absteckung der Parabel vom Bogenanfang oder Bogenende (Tab. P. IV.)

5.    Absteckung der Parabel vom Hülfsbogenpunkt Q (Tab. P. IV, V.) . . ,

6.    Absteckung von Bogenmitte mittelst Sehnentangentenwinkel (Tab. P. III.)

7.    Beispiele und Anwendungen der Tabellen............

32

34

35

37

43

44

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OS tO h-

IY. Die Hyperbel als Eisenbalmkurve.

Aufstellung der allgemeinen Gleichungen.............

Umformung der Gleichungen für den praktischen Gebrauch (Tab. H. I.)    .    .

Rektifikation der Hyperbel (Tab. H. I.)..............

Absteckung der Hyperbel vom Bogenanfang oder Bogenende durch Ordinaten

und Abscissen mittelst der Asymptotenparallelen (Tab. H. I.).....

Absteckung von Bogenmitte durch Sehnentangentenwinkel (Tab. H. I, II.) Hülfsgleichungen zur Absteckung vom Bogenanfang oder Bogenende und vom Bogenpunkt Q durch rechtwinkelige Koordinaten (Tab. H. III, IV, V.) Umformung der bisherigen Formeln durch geeignete Substitutionen .... Einrichtung der Tabellen Tab. H. I. bis H. VI. Beispiele.......

Y. Die Ellipse als Eisenbahnkurve.

Aufstellung der allgemeinen Gleichungen.............

Umgestaltung der Gleichungen für den praktischen Gebrauch (Tab. E. I.) .    .    76

Rektifikation der Ellipse (Tab. E. I.)...............

Absteckung der Ellipse vom Bogenanfang oder Bogenende' durch rechtwinkelige

Koordinaten (Tab. E. III.).................

Hülfsgleichungen zur Absteckung der Ellipse vom Bogenpunkt Q (Tab. E. IV, V.)    84

Absteckungsverfahren mittelst Sehnentangentenwinkel von Bogenmitte. —

Maximalsehne (Tab. E. II.).................

Umformung der Gleichungen durch geeignete Substitutionen......

Einrichtung und Gebrauch der Tabellen Tab. E. I. bis VI. Beispiele

YI. Vergleichungen, Kritiken und Folgerungen.

Allgemeine Vergleichungen der Kegelschnitte unter sich........

Vergleichende graphische Darstellungen, Kritiken......... .

Theoretische Folgerungen bezw. nachträglich gefolgerte Sätze aus der analytischen Geometrie; Verallgemeinerung der Rektifikationsgleichungen und Näherungen hierfür..................'.

Seite.

47

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91

96

VII. Absteckung der Objekte in Eisenbahnkurven.

Objekte in Kreisbögen............

Objekte in der Übergangskurve.........

Objekte in Kegelschnittkurven. Allgemeine Gleichungen

A.    In Parabelbögen............

B.    In der Hyperbel............

C.    In elliptischen Kurven..........

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110

110

Anhang.

Hülfsmittel für Absteckungen und Aufnahmen. I. Die Konstruktion und Anwendung der Rechenschieber.

(Hierzu 2 lithogr. Tafeln.)

Allgemeines über Rechenschieber................

Der gewöhnliche Rechenknecht (Rechenschieber)...........

Der logarithmische Schieber..................

Der logarithmisch-trigonometrische Rechenschieber, die Sinus-, Kosinus-, Tangens-, Kotangens-Skalen..................

Rechenschieberkonstruktionen für Potenzen, Wurzeln etc.........

Verfassers Rechenschieber für Absteckung von Kreisbögen.

A.    Rechenschieber zur Absteckung von Ordinaten und Abscissen .    .    .    .    118

B.    Rechenschieber zur Absteckung von Bogenmittenabstand und Tangenten

länge .......................

C.    Rechenschieber für Bogenlänge und Tangentenabschnitt......

Schieberskalen für Exponentialgleichungen und andere Rechenschieberkonstruktionen .......................

112

112

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115

121

122

123

II. Die Verständigungssignale.

Optische und akustische Verständigungszeichen bei Feldarbeiten (mit Formular) 124

Berichtigung en.

In der Tabelle H I Seite 124 Ins 199 sind die Asymptotenwinkel d mit )// bezeichnet.

Seite 46,

9. Zeile von oben — = 4,603 statt -- = 4,602.

„ L = 4,13556.470 = 1943,713 statt 4,12556.470 = 1939,013. „ y0 = m = 0,035898.2700 = 96,92 statt 0,035482.2700 = 95,80. „ sin d statt sin d in Gl. 63r

«i

tang 2 statt

Seite 67, 3. Zeile von unten a/2 = 38° 40' statt a/2 — 48° 40’.

Seite 68, 1. Zeile von unten 0,00134 statt 0,00144.

Seite 69, 11. und 13. Zeile von unten 1,012003 statt 1,011957.

12.

Seite 47, 4. „ Seite 61, 6. „

Seite 65,    3.

“I*?

in Formel 11.

Seite 70,

4. Zeile von oben — = 0,257922 statt 0,258516 und

= 0,190047 statt 0,190476

5. Zeile von oben

= 0,017532 statt 0,017932.

13. Zeile von oben t = 0,257922.1200 = 309,506 stattO,258516.1200 = 310,219.

20. Zeile von oben

!q ₌

0,442198 statt 0,442178.

Seite 71, im 2. Beispiel

= 0,076602 statt 0,073743, Bogenmittenabstand 22,981m. Seite 72, Zeile 8 von oben L = 1,27007.80 = 101,606 statt L = 1,28807.80 = 104,046

Seite 84, in Gl. 84 muss es heissen

(Ï)

statt

(Î)’

(t) .or

INS s

Seite 86, in Formel 11 tang

Seite 88, im Beispiel 1 R/r 6,190 statt R/r ^ 5,947 und

3000 6,190

Seite 89, Zeile 5 von oben Tabelle E III statt Tabelle E II;

statt

3000

z' 485 statt 7    ^ 540.

5,947

im 2. Beispiel muss es heissen — ^ 1,820 statt R/r 1,787

Einleitung.

Die Atifgabe, welche der auf dem Felde operierende Ingenieur zu lösen hat, hängt ab von seiner amtlichen Bestimmung. Während der Katastral-beamte sich mehr in den Grenzen von ebenen Figuren mit Berücksichtigung der Bodenbeschaffenheit bewegt, ist es Aufgabe des tracierenden Ingenieurs ausser dem horizontalen geometrischen Zusammenhang der Erdoberfläche und der auf einer Strecke sich befindenden Objekte, auch die Höhenverhältnisse in Betracht zu ziehen. Während die geistigen Arbeiten des Geometers in Ausarbeitung der aufgenommenen Parzellen nach ihrer Kultur und ihrem Flächeninhalte, z. B. zur Verteilung und Bemessung der Steuern, Feststellung der genauen Grenzen bei Streitigkeiten, Teilung nach quantitativem und qualitativem Flächeninhalte bei Separationen besteht, hat der tracierende Ingenieur den körperlichen Teil der Erdoberfläche, um diesen gegensätzlichen Ausdruck zu gebrauchen, mit zu berücksichtigen, um bei der Lage der zukünftigen Verkehrsstrasse in Gemeinschaft anderer auf den Zweck derselben sich beziehenden Rücksichten, die billigste Verteilung der Körpermassen zu erzielen. Während der nivellierende Ingenieur nur die Höhenverhältnisse seiner Strecke erwägt, interessieren den Genieoffizier für gewisse Zwecke nur Distanzverhältnisse. — Zur Aufnahme einer geleisteten Erdarbeit begnügt sich der Ingenieur oftmals mit den primitivsten Höhen- und Längenmessinstrumenten, der einfachen Wasserwage und dem Messband, wohingegen der Topograph zur Aufnahme des Landes ein kompliziertes Instrument nötig hat.

Wenn auch in geistiger Beziehung die Branchen der Geodäsie vielfach auseinandergehen, in Ausübung der Praxis, auf dem Felde, reichen sie sich alle die Hand.

Die Gesamtlösung der Aufgabe, welche uns demnächst interessieren würde, besteht in der Aufnahme der künstlichen oder natürlichen Gegenstände der Erdoberfläche, in der graphischen Darstellung derselben im verkleinerten Massstabe, oder umgekehrt, in der Uebertragung graphischer geodätischer Darstellungen auf das Feld. Die geistige Bearbeitung, die Ausarbeitung der Aufnahmen überlassen wir den verschiedenen Branchen der Geodäsie, und verweisen auf diejenigen wissenschaftlichen Werke, welche sich speziell hiermit befassen. Wir werden uns jedoch erlauben bei unseren Betrachtungen den Eisenbahnbau ganz besonders zu berücksichtigen, und in einem besonderen Teil speziell auf die Tracierungsarbeiten im Eisenbahn- sowie im Strassenbau zurückzukommen.

Hecht, Verwertung

Eine richtige Ausübung der praktischen Geodäsie in Verbindung mit einer richtigen Handhabung der sie unterstützenden Instrumente vom einfachsten bis zum kompliziertesten bildet die Grundlage für die sämtlichen nachfolgenden theoretischen Ausarbeitungen. Geometer und Eisenhahningenieur gehen mit den Daten der Aufnahme Hand in Hand an die Schwelle des Bureaus. Beide haben beispielsweise denselben Winkel gemessen, mit demselben Instrument, nach derselben Methode — jener für das Katasterbureau, dieser für die zukünftige Achse der Bahn. Fehlerhafte Aufnahmen, sowie fehlerhafte Absteckungen, infolge von Mangel an theoretischen oder praktischen Kenntnissen bei Gelegenheit der Feldarbeiten haben schliesslich immer pekuniäre Opfer zur Folge. Mathematische Kenntnisse, um sich in jeder Lage nach dem einen oder anderen Grundsatz, auf welchem die verschiedenen Aufnahms- und Absteckungsmethoden beruhen, auf dem Felde helfen zu können, ohne unverrichteter Sache erst noch einmal umkehren zu müssen, um das oder jenes Buch nachzuschlagen, sind daher die ersten Erfordernisse der praktischen Geodäsie. In zweiter Linie steht erst die Behandlung der Instrumente, der Umgang mit denselben. Im Lehr- und Studierzimmer ist genügend Gelegenheit geboten, die Einrichtung und Behandlung der Instrumente kennen zu lernen, aber den Umgang mit denselben eignet man sich erst auf dem Felde an, und erfordert es immerhin, namentlich im Anfang, einen gewissen Zeitaufwand, um den ersten einfachsten Manipulationen, dem richtigen Einstellen und dem genauen Ablesen gerecht zu werden. Die Kosten der oft genug hieraus erwachsenen Nacharbeiten werden in solchen Fällen gewöhnlich verschleiert irgend einem anderen Titel aufgebürdet. —

Die Kenntnisse der Mathematik, der Instrumente, sowie die Manipulationen mit letzteren bei Aufnahmen und Absteckungen, setzen wir dem Charakter dieses Werkes entsprechend, voraus.

Um dagegen eine Erleichterung in der Verwertung der oft umständlichen mathematischen Formeln anzubahnen, werden wir hierauf unser Augenmerk ganz besonders richten.

finden. Zur Bildung eines die Ausdehnungen desselben, die Grundfläche oder

Ein planmässiger Vorgang in Lösung der Aufgabe, die künstlichen und natürlichen Gegenstände der Erdoberfläche graphisch darzustellen, ist leicht im Begriffe der Entstehung eines Körpers zu solchen benötigt man

in Ermangelung den geometrischen Zusammenhang der Grundlinien und die Höhe. Auf die Feldmesskunst übertragen: Die Aufnahme oder Absteckung von Linien, Winkeln, Kurven, Figuren in erster Reihe, und die Aufnahme oder Absteckung von Höhen in zweiter Reihe.

sich auf Aufnahmen und Absteckungen von Höhen Diese beiden Abschnitte mit selbstredend den nötigen Unterzugleich den elementaren

Zur Erreichung der ersteren würden wir einen Abschnitt des ersteren Teils eines Werkes widmen, in den anderen Teil würden wir alles zusammenfassen, was bezieht.

des

Teil

abteilungen würden als erster

Werkes bilden. In einem zweiten Teil des Werkes würden wir versuchen Unterabteilungen das elementaren Teiles zu kombinieren, um mit Hülfe der Mathematik und hierzu besonders konstruierter Instrumente die körperliche Oberfläche der Erde nach wenigstens zwei Ausdehnungen auf einmal fixieren zu können, wodurch die zeitraubenden Kombinationen des elementaren Teiles erspart werden, ein namentlich für besondere Aufnahmen wichtiges Verfahren. —

Es liegt nun aber einerseits ausser dem Bereich dieses Werkes mit dieser angedeuteten Ausführlichkeit nach dem eben vorgeführten Plan Schritt für Schritt nach Grundsätzen eines Lehrbuches vorzugehen, andererseits wären wir genötigt, die bereits in vielen Lehrbüchern*) besprochenen Grundsätze in anderer Reihenfolge zu wiederholen. Wir werden daher den Tendenzen dieses Werkes als Hülfsbuch entsprechend, nur einzelne Kapitel des oben bemerkten elementaren Teils als neue Hülfsmittel vorführen, uns aber, wie schon angedeutet, in einem weiteren Teil dieses Werkes, wenn auch nicht als Lehrbuch, aber doch mit etwas mehr Ausführlichkeit widmen, als einem Hülfsbuch zukommen würde. Zum genauen Verständnis des Ganzen können wir freilich nicht umhin in beiden Teilen bereits Bekanntes, als unbedingt zum Zusammenhang nötig, vorführen zu müssen.

*) Grundsätze d. trig. Vermessungen v. Dr. Franke, Leipzig. Bauernfeind, Vermessungskunde, Braunschweig. Dr. G. Hunäus, prakt. Geometrie, G. Kühtmann, Dresden.

''

Die Absteckung der Kegelschnitte und der Objekte in diesen Kurven.

i.

Die Absteckung der Kreisbögen.

1. Ausgang vom Winkelpunkt.

Bei Aufnahme oder Absteckung eines Terrains irgend welcher Art, oder zu irgend einem Zweck, ist es zunächst erforderlich von festen Punkten ausgehend eine Axe, eine Ausgangslinie, zu markiren, auf welche Basis XY die sämtlichen seitlichen Gegenstände bezogen werden. Bei kleinen Aufnahmen genügt hierbei eine Einmessung durch rechte Winkel mittelst Kreuzscheibe oder Winkelspiegel a, b, c, d, e (S. Eig. 1) ; grössere erheischen die Anwendung eines genaueren Winkelinstrumentes. Wenn es die Terrainverhältnisse gestatten, behält man eine einzige Gerade als Axe durch das ganze aufzunehmende Terrain bei, da jede Abweichung immer eine Ungenauigkeit nach sich zieht, besonders, wenn nicht eine hinreichende Kontroll-Beziehung auf ein fixes Object — die Verlängerung der Axe YZ trifft das Haus g — vorhanden ist, andernfalls muss man von einer gebrochenen Linie, aus, unter irgend einem Winkel mit einander verbundenen, den Terrainverhältnissen angepassten Geraden zusammengesetzt, als Axe ausgehen.

Eine solche gebrochene Axe, X, Y, Z, U dient nun wiederum zu demselben Zweck, wie jede andere gerade Axe. Sie bildet den Ausgang der Operationen, d. b. an dieselbe schliesst sich unter entsprechenden Winkeln das ganze seitliche Terrain an. f ist bestimmt durch die Länge Y f und den Winkel Z Y f. Zur Kontrolle ist es geboten denselben Gegenstand von mehreren Seiten einzumessen oder einzuvisiren ; z. B. f von Y und von Z. Im Grunde genommen ist letzteres eine Abzweigung in ganzen Figuren von der Hauptaxe. Am Besten eignen sich hierzu immer die Dreiecke und unterstützt die Mathematik den operirenden Ingenieur durch Kontroli-Rech nun gen ganz besonders. Bei den Triangulationen ist dies letztere Princip im vollen Masse ausgebildet.

Mit Beziehung auf die Operationen, welche sich an die Axe anschliessen, wird dieselbe Operationsaxe oder Operationsbasis genannt; im letzteren Falle dient sie zugleich als Beziehungsaxe für die Höhenverhältnisse des aufzuneh-menden Terrains durch geeignete Querprofile. Bei entsprechender Länge der Operationsaxe ist es nötig, zur näheren Beziehung resp. übersichtlichen Darstellung der Längenverhältnisse nach, dieselbe einzuteilen.

Die einfachste Bezeichnung ist hierbei die in der horizontalen Ebene liegenden Bruchstellen Z, Y, welche man Winkelpunkte nennt, der Reihe nach mit Zahlen zu kennzeichnen. Weitergehend und am übersichtlichsten ist die Einteilung in gleiche Längen-Profile. Letzterer Ausdruck deutet die Verwendung der Axe als Höhenbasis an. —

Nach vollendeter Aufnahme, die wir hier als genügend zum Verständnis dieses Kapitels nur angedeutet haben wollen, erfolgen die Arbeiten im Bureau.

Die Operationsbasis bleibt auf dem Felde markiert, während die Kennzeichen der seitlichen Operationen, mit Ausnahme besonderer wichtiger Höhenpunkte, Fixpunkte, vorläufig ausser acht gelassen werden.

Die zunächst liegende Bureauarbeit ist die Auftragung der Aufnahme — die graphische Darstellung des aufgenommenen Terrains. Dann folgt erst die

Fig. 1.

a,

19

eigentliche Bearbeitung der der Aufnahme zu Grunde liegenden Idee. Setzen wir das Projekt eines zukünftigen Verkehrsweges voraus, auf welches sich das Nachfolgende in diesem Abschnitt besonders bezieht, so haben wir dann in den ausgearbeiteten Plänen schon ein vollständiges Bild desselben vor uns. —

Nach erlangter Genehmigung zur Bauausführung interessirt uns nun besonders die Uebertragung der Axe — Traçe — auf das Feld, d. h. die Absteckung des zukünftigen Verkehrsweges.

Die noch auf dem Felde markierte Operationsbasis erleichtert diese, dient wohl auch selbst als ein Teil derselben. —

Eine der nun jetzt öfter wiederkehrenden Operationen ist die Absteckung der Kurven.

Mit den für den praktischen Gebrauch geeignetsten Methoden derselben werden wir uns zunächst eingehender befassen, und dieselben möglichst zu einer Tabellenform passend, bearbeiten.

Als Grundlage dient uns ein Axenkomplex C Wj W₂ N (Fig 2), bestehend aus den der Länge nach bekannten drei Geraden C W, ; W₃ W₂ ; W₂ N, und den Halbmessern R: R₂ der sich an die Zwischengerade G anschliessenden Kreisbögen. Die Terrainverhältnisse sind entscheidend für den Gang der Feld Operationen.

Wir setzen voraus, dass der Winkelpunkt Wj behufs Aufstellung des Instrumentes zugänglich ist und visieren nun nach der Richtung C und nach W„ eventuell einem Zwischenpunkt der Geraden W, W, oder einem Kontrollpunkt W¹.

Aus diesen Visuren ergiebt sich der Winkelpunktswinkel P at.

Mit Hülfe der Grössen R: a₁ sind wir jetzt in der Lage, weitere drei Bogenpunkte zu fixieren. Bogenanfang B Aj Bogenende B Ej und den Abstand m der Bogenmitte vom P.

Letzterer, der Bogenmittenabstand findet sich aus dem rechtwinkeligen Dreieck O B Ax Wx

')

und B vom Winkelpunkt Wj,

Die Entfernungen der Punkte B A Die Tangentenlängen sind bestimmt durcli die Gleichung

Tj = cotg. ~a_

Die Richtung des halben ^ P wird mittelst des Instrumentes angeschlagen, die Entfernung m eingemessen und durch einen Nagel am betreffenden Pflock markiert.

Ebenso werden die Längen der Tangenten Tx eingemessen, in gleicherweise markiert und erhalten eine dem Anfang und Ende des Bogens entsprechende Bezeichnung B A, BE.

Die Bogenlänge als Funktion des Halbmessers Ra und P    er-

giebt sich aus der Formel

180

— «i 180

wobei die Minuten und Sekunden des a, als Dezimalbruch einzuführen sind. Zur Erleichterung der Rechnung dient Tabelle KI, in welcher für den Halbmesser R = 1 und für die P a — 60 ⁰ bis 180 ⁰ von Minute zu Minute die Grössen (m/R), (T/R), (L/R) berechnet sind; und zwar ergiebt sich aus folgenden Formeln allgemein

Lj ■— Rj ^

1)

(t)

2) .

(-)

3)

Gr)

7t

180 — a

180

z. B. Es sei a — 121 ⁰ 44', R — 500 m.

Folgt nach Formel 1, respektive aus Tabelle KI m

—— = 0*144833, demnach

R

m = 500.0*144833 = 72*416

4 = 0-557355,

nach Formel 2.

nach Formel 3-,

K

T = 500.0-557355 = 278-677 m;

4 — 1*016945 und

XV

L = 5001-016945 = 508-472 m.

2. Ausgang vom Bogenanfang oder Bogenende mittelst Sehnentangentenwinkel.

Begnügen wir uns vorläufig mit dem Bogenpunkt M des ersten Bogens und setzen die Arbeit zum anderen Bogen übergehend fort, so benötigen wir zunächst die Länge G der Zwischengeraden.

Fig. 2.

T.

VI

BE,

BE,

L,

BàT

A.

ML

T,

'h,

-2~

i

/ %'''

l.

*W"

Die Tangente T₂ ist bestimmt durch Gleichung 2, in welche für T und « die Werte T₂ und u₂ gesetzt werden; aus der Differenz der Längen WA W₂ und beider Tangenten Tx und T₂ folgt die Länge der Zxvischen-geraden

4)

G = Wx W₈ - (Ta + T₂)

Der Endpunkt derselben ist zugleich Bogenanfang B A₂ und in der üblichen Weise zu markiren.

Terrainschwierigkeiten verhindern uns jetzt Aufstellung im ^ P W₂ zu nehmen; wir müssen daher versuchen, den zweiten Bogen nach einem anderen Verfahren abzustecken.

Zu dem Ende begeben Avir uns mit dem Instrumente auf Bogenanfang Von diesem Punkt und von der uns bekannten Lichtung B A₂ W₂

B Aa.

respective B A₂ W¹ als Basis ausgehend, stellen wir zunächst erst Avieder unsere Bestimmungsgleichungen auf.

Aus der Fig. 2 folgt mit Beziehung auf den Bogenpunkt m, für die Sehnenlänge sA und dem zugehörigen Sehnentangentenwinkel

sin r/ij

S1

2 R₂

In dieser Formel ist uns R₂ bekannt, für sx wählen Avir eine beliebige Sehnenlänge und finden cpt dann durch Rechnung.

Im Felde notieren wir uns den ^ im Horizontalkreis, welcher sich auf die Richtung W₂ bezieht, addieren (oder subtrahieren, je nach der Lage des Bogens) den berechneten ^ cpt, markieren die so gefundene Richtung durch einen Traçirstab, messen Sj von B A₂ aus ein und der Endpunkt der Sehne Sj in der markierten Richtung ist ein Bogenpunkt mp

Ein anderer Bogenpunkt m₂ für eine andere Sehne s₂ passend, findet sich analog durch

S2

2 R<

sm <p₂ =

Allgemein ist daher für diese Art der Bogenabsteckung

B) .    .

sin <f =■ inr

z. B. für den Bogen vom Radius R 750 m und 25 m Sehnenlänge ist

sin

25

folglich

CH

= 0-016666

tp — 0 ⁰

Der Nonius im Horizontalkreis zeige für die Hauptrichtung W₂ Wj 217° 14' 12", hierzu cp = 0° 57' 18" addiert, giebt den Winkel 218» 11' 30", auf welchem wir nun den Nonius von Neuem einzustellen haben. Durch einen Traçirstab wird letztere Richtung markiert, hierauf die Länge 25m eingemessen, der so gefundene Bogenpunkt nochmals einviseirt und durch einen Nagel im Pflock versichert. — Kommen wir, ehe wir weiter auf dieses Verfahren eingehen, nochmals zurück auf Fig. 2, und bezeichnen mit bj diejenige Bogenlänge, welche sich auf die Sehnenlänge Sj also auch auf den X cpj bezieht, so lässt sich letzterer auch ausdrücken durch

90 b,

cp =

"1

R₂ 7t

Für die Bogenlänge b₂ der Sehne s₂ zugehörig, ist

90 b₂

R₂ 7t

Allgemein ist daher der Sehnentangentenwinkel cp bezogen auf den dieselbe umspannenden Bogen b

6)

cp =

90 b

R 7t

z. B. für Radius R — 275 und eine Bogenlänge b = 35ra ist

90.35

cp =

275.3-1415926

3 • 646 Grad.

folglich cp = 3° 38'45"

Es ist einleuchtend, dass letztere Formel für den praktischen Gebrauch nicht in demselben Sinne verwertet werden kann, wie Formel (5), da die Formel (6) die Messung im Bogen, also einen Teil des Bogens schon als bekannt voraussetzt, und die Differenz zwischen Sehnen und Bogenlängen grösser wird, je kleiner der Radius und je grösser die Sehnen- resp. die Bogenlängen. Für kleine Bogenlängen, namentlich bei grossem Halbmesser kann man bei der Absteckung die gleiche Sehnenlänge substituieren; indem der hierbei gemachte Fehler, die eben bemerkte Differenz, für die Praxis verschwindet.

seinem Bogenanfang

Wir werden im folgenden nachweisen, dass durch geeignete Kombination beider Formeln bei der Absteckung eines Bogens von resp. Bogenende aus, wir allen in der Praxis vorkommenden Fällen Genüge leisten können. —

von

Es sind in Tabelle KII für die hauptsächlichst vorkommenden Radien

R == 40m bis R

2000m , sowie für die»-Bogenlängen b = 0 * 1 bis resp. b — 100m die zugehörigen Sehnentangentenwinkel in tabellarischer Ueber-sicht zusammengestellt, und in der Rubrik s die den Bogenlängen analogen Sehnenlängen auf Millimeter genau berechnet.

Mit Hülfe dieser Tabelle können wir jetzt nach Formel 5 die Abstek-kung des zweiten Bogens (Fig. 2) erleichtern, vorausgesetzt, dass die Terrainverhältnisse das Einmessen der Sehnen gestatten. Sind jedoch Hindernisse

Fig. 3.

5

* 1:0

SK

*i

vorhanden wie in Fig. 3 angenommen wurde, so müssen wir, wie schon angedeutet, ein combiniertes Verfahren einschlagen.

Aus einem bekannten Satz der Geometrie folgt nämlich, dass, wenn Fig. 2 die Summe der Sehnentangentenwinkel cp± und cfi₂ gleich ist dem dem Sehnentangentenwinkel cps das Gleiche auch von den sie abgrenzenden Bogenlängen gilt.

ff! + ff2 = Va Und

bj —[— b₂ — bg

Wir können demnach durch Addition meherer Sehnentangentenwinkel

(S. Fig. 3)

(fl <pu (fill cpiv> welche den Bogenlängen bj bn bm bjy entsprechen, den Sehnentangentenwinkel cp₄ finden, welcher dem Bogen b₄ oder der Sehne s₄ entspricht.

• V)

Wenn cpi -f- cpn -f- cpm <p\\ — cp±, so ist auch) bi -|- bn -f- bin + biY = b₄

Nehmen wir nun vorläufig an, dass die einzelnen Sehenlängen Sj Sn sm sjv für die gleichen Bögen beim Abstecken der Bogenpunkte m, ih₂ m₃ m₄ substituiert werden können, dass also sj = bj, Sn — bjj, sm = bni, Sjy — bjy, so suchen wir in der Tabelle für den Bogen bi den cpi, stellen den Horizontalkreis auf cpivon der Haupttangentenrichtung ausgehend ein, visieren vom Bogenanfang aus in der Richtung mi und messen bi, (in Wahrheit die Sehne si), erhalten somit dem Punkt mj. Ebenso suchen wir in der Tabelle für den Bogen bu den cpu, addieren diesen zu cpi, stellen den Horizontalkreis auf die Summen der ^ <jpi -f- cpn ein, und visieren vom gleichen Standpunkt in der Richtung m₂, messen dann von mj aus die Bogenlänge (resp. wiederum die Sehne Sn) ein; der Endpunkt dieser letzteren in der Visurlinie BA₂ m2 giebt den Punkt m₂. Auf gleiche Weise findet sich m₃ und m₄. Das Verfahren lässt sich dann ungemein vereinfachen, wenn man die Sehnen-bezw. Bogenlängen unter sich gleich annimmt. Weichen nun aber die einzelnen Sehnenlängen Si Sji Sni Siy um einen für die Praxis empfindlichen Werth von den Bogenlängen bx bn bjn biy ab, welche Differenz am leichtesten aus der Tabelle zu ersehen ist, so misst man von den bezüglichen Punkten nij m₂ m₃ m₄ aus, natürlich unter Beibehaltung der cpi cpu cpui cpjY statt bi bn bin biy die in der Tabelle daneben stehenden wirklichen Sehnenlängen resp. si Sn Sni Siy ein. —

Das in der Visurlinie BA₂ — mr> stehende Haus verhindert jetzt in derselben Weise weitere Bogenpunkte mQ, m₆ von der Stellung BA₂ einzuvisieren. Durch Umstellung des Instrumentes auf Bogenende BE₂ könnten wir dieses Hindernis umgehen, indem wir von BE₂ aus die noch fehlenden Punkte bestimmen; wir können aber auch ebenso einen der 4 Bogenpunkte als Umstellungspunkt wählen z. B. m₃.

Hat man jetzt ein Instrument, welches das Umlegen oder das Durchschlagen des Fernrohres um 180° gestattet, so gestaltet sich das Absteckungsverfahren von m₃ aus einfach:

Nach erfolgter Horizontalstellung auf m₈ visiert man auf einen der früheren Bogenpunkte m2; liest den ab, und addiert zu demselben denjenigen Sehnentangentenwinkel, welcher dem Bogen m₃ m₂ also bni oder Sm entspricht. Auf diesen neuen stellt man den Horizontalkreis ein, erhält somit eine Hilfstangentenrichtung W₀ und durch Umlegen des Fernrohres die Rieh-tung m₃ W₀, welche nun ihrerseits als Basisrichtung für die fehlenden Punkte m₅ m₆ . . . auch zur Kontrollierung des Punktes m₄ dient. Das Verfahren bleibt jetzt für die Punkte mr> und mc dasselbe, wie oben. Gestattet das Fernrohr die obige Bequemlichkeit nicht, so muss der Nonius, beziehungsweise das Fernrohr auf 180u — cp eingestellt werden, um zu der Hülfstangenten-visur m₃ Wn zu gelangen.

Folgendes Beispiel diene zur Erläuterung: Es sei ein Bogen dem Radius R — 200m entsprechend vom Bogenanfang BA₂ auszustecken und zwar der Reihe nach für die Bogenpunkte vom Bogenanfang ausgerechnet -(-5 -(-15, -[- 45, —|— 67*6, -)- 75, -j- 90, -(- 130, welche den Bogenlängen bj = 5, b₂ = 10, hm *= 30, biy = 22'6, by = 7'4, bVi =; 15 und byn = 40m entsprechen.

56° 55'    0"

00 42' 58-5"

Wir stellen das Instrument auf Bogenanfang und finden die Ablesung in der Hauptrichtung BA₂ W₂.

Die erste Bogenlänge 5m giebt den es ist folglich der Nonius des Horizontalkreises einzustellen auf den

57° 37' 58*5"

und am Ende der von BA₂ in der Richtung ruj eingemessenen 6m der Bogenpunkt nij zu fixieren.

Der Bogenlänge bn — ^0 entspricht cpn —

Wir messen von m₄ nach m₂ 10m Länge (genau 1 weniger) ah — aus der Tabelle ist ersichtlich, dass die Differenz zwischen Sehnen und Bogen 1 und visiren den Punkt m„ am Ende dieser Länge in der neuen Richtung auf den ^ ein

Die folgende Bogenlänge bjn = 30m, welche der Sehnenlänge aus Tabelle 29'9 74ni entspricht, kommt der zu; es ist also die horizontale Yisur einzustellen auf und am Ende der Sehne 29 * 974m der Punkt markieren.

1° 25' 57.0"

mm

mm

beträgt —

59” 3' 55-5"

4° 17' 51-0" 63° 21' 46-5"

m₃

zu

Eine Kontrolle können wir jetzt dadurch bewerkstelligen, dass wir den Punkt m₃ direkt vom Bogenanfang abstecken. Die Summe der 3 Bogenlängen beträgt 45m . Dieser ent-entspricht laut Tabelle einem von 6° 26' 46-5"

hierzu die Anfangsstellung des Horizontalkreises

56° 55' — "

resultiert wie oben

Der Bogenlänge b₃ — 45m entspricht die Sehnenlänge s₃ = 44 * 909m, welche von BA₂ einzumessen ist und welche an ihrem Endpunkte den gleichen Bogenpunkt m₃, in der bereits berechneten Visurlinie 63° 21' 46• 5" liefern muss.

Die nächste Bogenlänge ist 22 * 6m, der zugehörige findet sich durch Addition nach der Tabelle für 20 m Bogenlänge 2 „ „

0’6 „ „ giebt die horizontale Ablesung für m₄

63° 21' 46-5"

63° 21' 46-5"

qiv

2° 51' 54-0" 0° 17' 11-4" 0° 5' 9-4" 66° 36' 1-3"

Die Länge der von m₃ aus einzumessenden Sehne der Bogenlänge 22‘6 zugehörig, findet sich aus den Bogenlängen 20m und 25m hinreichend genau durch Interpolation 22 ‘ 492m : Für die nächste von m₄ aus einzumessende Bogen- oder diesmal gleiche Sehnenlänge by = 7 • 4m ist der Zuschlagswinkel (py

.Qm

’ 4,,

Die horizontale Yisur ist einzustellen auf

und am Ende der Länge 7 ‘ 4 von m₄ aus eingemessen der

Punkt m& einzuvisieren.

Wir sind jetzt genötigt, das Instrument auf m₅ umzustellen, und visieren nach vollendeter Horizontalstellung den Punkt m₃ an; die Ablesung, welche sich ergiebt, sei die Entfernung m₅ m₃ beträgt 22*6 -J- 7 • 4 = 30m ; für 30m ergiebt sich nach Tabelle als ^ Sehnentangentenwinkel Die Hülfsvisur (m₃ W₀ Fig. 3 entsprechend) folglich

für

Ô CO

(M

O CD

oo”co

r:

67° 39' 37-5"

220° 4'    30"

4° 17'    51"

Das Fernrohr durchgeschlagen ist der letztere der welcher der Yisurlinie der Hiilfstangente (m₃ W₀ Fig. 3) entspricht. Statt dessen kann man das Fernrohr um 180° — 4° 17' 51" = 175° 42' 9" drehen und den Nonius auf 220° 4' 30" — 175° 42' 9" = 44° 22' 21"

224« 22'    21"

einstellen; dann 180° zu

44° 22' 21" addirt,

folgt, wie oben

Die noch fehlenden Bogenpunkte m

224° 22'    21"

wie oben;

m₆ ergeben sich,

Zunächst m₆ durch Addition die zum Bogen hyi ge= hörigen g)Y1 zur Hauptvisur.

Die Länge 15m (resp. 14.998) wird von m- einge-

2° 8' 55-5"

messen und in die Visur die Summe beider ^ am Ende obiger Länge der Bogenpunkt m₆ einvisiert.

Dem letzten Punkte m₇ in der weiteren für byn = 40m einzumessenden Entfernung von 39.936m laut Tabelle II entspricht,

folglich ist der einzustellende ^

Die Terrainverhältnisse sind bezügl. der Einmessung dieses letzten Punktes massgebend. Dieselbe kann von m₆ oder von m₅ aus geschehen; in beiden Fällen sind für die Bogenlängen bVII — 40 m und byi -j- b — 65m die entsprechende Sehnenlänge resp. 39.936 oder 64.719m aus der Tabelle zu substituieren. Am Endpunkt beider Masse in der zuletzt berechneten Richtung liegt Punkt m₇.

226° 31' 16-5"

5° 43' 48-0'

232° 15' 4-5"

vix

3. Absteckung mit Hülfe von Ordinaten und Abscissen.

A. Allgemeines Verfahren.

Wir kommen zurück auf den noch unvollendeten Bogen der Figur 2 mit dem Radius Rj und können in diesem Abschnitt die Absteckung desselben nach einer weiteren Methode vollenden.

Bezeichnet man mit x und y die Abscisse und Ordinate eines beliebigen Bogenpunktes Nj so ist die Ordinate durch den Radius R und die Abscisse x ausgedrückt :

8)

.......y = R — yRlx ²

Führt man in diese Gleichung das Verhältnis

9)

(;)

ein, so lässt sich dieselbe auch schreiben

y =: R (l —.y 1 — n²) oder, für die Absteckung von Kreisbögen am besten geeignet,

■ ■ (&)=*

10) .

■ i i,'⁻

Durch Einführung der Verhältnisse    wird der Radius in

Formel 8 eliminiert, wodurch Formel 10 einen allgemeinen Charakter annimmt und man in einer einzigen Tabelle zur Berechnung der Ordinaten jedem Radius Genüge leisten kann.

Stellt man der Reihe nach, wie aus Tabelle K III zu ersehen, für n = 0-0001 bis resp. n = 1 die aus 1 — Y 1 — n² resultierenden Werte zu einer Tabelle zusammen, so ergiebt sich y einfach durch Multiplikation

enthaltenem Radius.

mit dem im Verhältnis n =    |

Verfasser wandte diese Formel bezw. Tabelle III mit grossem Erfolge im coupiertem Terrain und bei vielen variierenden Radien an. —

Ohne sich auf eine langwierige Wurzelrechnung einlassen zu müssen, kann man jedes Ordinatenverhältnis dem Terrain angepasst wählen und berechnen, und begnügt sich in solchen Fällen gern mit einer Genauigkeit von Centimeter; es lassen sich demnach auch ohne grosse Mühe leicht passende Bogenpunkte einschalten.

Für etwaige nicht in der Tabelle enthaltene Werte von n finden sich leicht durch Interpolation mit hinreichender Genauigkeit die zugehörigen

Tabellenwerte

Z. B.: 1) für den Radius R = 500m und den Abscissen x₁ = 5, x₂ = 10, x₃ = 15, x₄ = 20, x₅ = 25, x₆ = 30, x¹ = 14-5, für welche

der Reihe nach n₄ = 0 • 01 , n₂ = 0 02, n₃ = 0 • 03,

n₄ = 0*04, n₅ = 0-05, n₆ = 0⁻06, n¹ = 0-029, folgen aus der Tabelle III

das Ordinatenverhältnis f und die Ordinaten:

(!)

nach Formel 9 n =

für

(s)

(§)

(g)

(!)

= 0-0000501 , yx = 500-0-0000501 = 0'025m

= 0-0002010 , y₂ = 500-0 000201

= 0-100m

= 0-000451 , y₃ = 0-000451.500 = 0*225m

= 0-000801 f y₄ = 0-000801.500 = 0*400m

= 0-001251 , y₅ = 0-001251.500 = 0-626m

= 0-001806 , y₆ = 0*001806.500 = 0-903m

= 0-000421 , y¹ = 0-000421.500 = 0-211m

2) In. einer bestehenden Kurve, deren Radius 700m ist, soll für die Abscisse x = 12"4m ein Bogenpunkt eingeschaltet werden.

12-4

Aus Tabelle III folgt für n =

= 0-0177; durch Inter-

polation der Werthe

für n irr O’017 und 0.018

CH'

•*

woraus y n O' 109 76 m**) — 0"110m

B. Or din at en und Abscissen für die wichtigsten Radien.

Für die in der Praxis am häufigsten vorkommenden Abscissen und Radien haben wir nach Formel 8 eine tabellarische Uebersicht hergestellt und diese letztere (Tabelle KIV) der Tabelle K II eingereilit.

Es bedeuten dort die in der Rubrik der Bogenlängen stehenden Zahlen zugleich die Abscissen x und sind für die gleichen Radien jener Tabelle in der Rubrik unter y die zugehörigen Ordinaten ausgerechnet.

10,    15)    20,    30,    40,    50m

die Ordinaten y — 0;042m, 0T66m, 0⁻375m, 0*668m, P504m, 2'677m, 4T97m.

Z. B.: Dem Radius 300m entsprechen für die Abscissen xn 5,

4. Formeln anderer Absteckungsmetlioden und Aiilierungsinetlioden.

Obgleich durch die bisherigen Formeln schon genügend Anhaltepunkte zur Absteckung von Kreisbögen geboten sind, müssen wir aber auch auf diejenigen Fälle, welche sich bei besonderen Terrainschwierigkeiten ergeben, und für welche die bisherigen Formeln sich als ungenügend erweisen, Rücksicht nehmen.

Wir setzen, Fig. 2, voraus, dass der ^ PW₂ unzugänglich sei und gingen darum auch bei der Absteckung vom Bogenanfang aus. Statt dessen können wir aber auch, wie aus Fig. 4 ersichtlich, mittelst entsprechend eingelegten Hülfstangenten den PW₂ umgehen

Errichtet man auf W₂ M in M eine Senkrechte, so ist H Hj n a eine Hülfstangente, welche durch die Bogenmitte geht, die Verbindung von Bogenanfang und Bogenende BA — BE₂ S eine der ersteren parallele Sehne; ferner ist die Bogenhöhe MMX — h gleich der Senkrechten aus M auf W₂ BA ; die halbe Hülfstangente

HM = HBA =~=zt₀

Bezeichnen wir dann noch die Sehne BA^M mit s, den oberen Tangenten-theil HW₂ mit t, M₂ W₂ mit tx die bei H und Hj^ mit und den durch eine neue Hülfstangente W₀W₀ entstandenen bei W₀ mit a₂, so ergeben sich folgende weitere Beziehungen:

*) Für n — O’017 ist 1t. Tab. = 0‘0001445.; für n = — Der Differenzzuschlag zum nächst kleinern Werte von für obige Interpolationszahl 7

0-018

(D-

0-0001621.

zu 0-0001445, daher

0 • 0001621 — 0 • 0001445

10

7 = 123

folglich für

n = 0-0177

Ci)-

0•0001445 -f 0 • 0000123 = 0 • 0001568.

\(—²

— v 700

Die Entfernung t im Verhältnis zum Radius R bezogen auf den

cotg-'c/g

1 -f- sin a/₂

Für die von Minute zu Minute fortschreitende a ==60° — 180° und R=l, haben wir vorstehende Werte von

ist

(D

ii)

(0

der Tabelle KI in der letzten

Rubrik angereiht; und ergiebt sich das jeweilige t durch Multiplikation des dem a entsprechenden Tabellenwertes mit R. Hiernach ist

-=S=T

Ferner folgen aus Fig. 4 die Verhältnisbeziehungen:

12)

— 2 sin a/₂

.    .    13)

Wir sind demnach in der Lage analog dem Obigen für ein beliebiges a die Sehne S bezogen auf die Tangente T direkt berechnen zu können

S = T(2:sin a/₉)

Fig. 4.

.    13a)

r ' ÇL'

'/VéfA

Ti

iż

M,

BEZ

BA

Ebenso ist die Länge der Hilfstangente a bezogen auf t

o = t (2 sin a/₂ )    .    .    .    .

13b)

sowie der Tangententeil t₀

*o = Vg t (2 sin a/a )    ...

und die Bogenhöhe h bezogen auf den Bogenmittelabstand m

h = V* m (2 sin a/₂)    .    .    .

13c)

.    . I3d)

Durch Aufstellung des Instruments auf H oder BA und Anschlägen des

cp = 90 — a/₉    .    .

von der Richtung der Haupttangente findet man Hx oder BE₂ am Ende der Länge a resp. S, und umgekehrt.

Mit Beziehung auf die a± und a₂ ergiebt sich leicht

«l = ⁹⁰ + a/a or₂ == 135 -|- a/4

Betrachtet man als neuen P. und berechnet mit Hülfe der Tabelle in der oben angegebenen Weise den Wert

W₀ Wn = (Tj j

welcher der Hülfstangente o für den a entspricht, so lässt sich hieraus, da

.    .    14)

15)

16)

.    17)

mit Hülfe des ot₂ von Bogenanfang oder Bogenende ausgehend der ganze Bogen durch ein umschriebenes Polygon

BE₂ — W₀ — M₀ — W₀ -— M abstecken.

Jeder zweite Punkt von BE.₂ ausgehend, ist ein Bogenpu^ÉÆ.

Z. B. Eür R — 2000 m, a = l&l⁰ 4Ö' ist    Gleichung 15., der

für das Polygon in Rechnung zu ziehend©»* j^fP ^ ™

= 90 + ~ == 90 -f 80° 20' = 170° 20'

LJ

Nach Tab. KI, resp. Gl. 11,

«l

t"

= 0*042354, also

Hj W₀ == t" = 0*042354.2000 L= 84*708; ferner nach Gl. 13 für ax '=■ 170° 20'

. ~ — 1-992888 und

F'

Wn W₀ =■ o*! = 1.992888.84-708 = 168*814, folglich. Jf Wo = W₀ M₀ = W₀ BË

¹ = 84*407.

z

Der zugehörige Polygonwinkel Gl. 16

— 135 -f ~ — 135 % 40° 10' = 175° 10'.

Durch geeignete Verbindungen der eben entwickelten Formeln und mit Rücksicht auf Fig. 4 ergeben sich noch eine Reihe von Gleichungen, deren Verwendbarkeit nur von den Beziehungen derselben abhängig, daher nur in besonderen Fällen geboten ist. Von den möglichen Kombinationen wollen wir die folgenden als besonders wichtig hervorheben:

Der Tangententeil W₂ M₂ ist je nach Bedarf aus den rechtwinkeligen Dreiecken leicht zu entnehmen :

t, = m cos «/₂

a₂

— li colg. ß/₈ = h

Die Bogenhöhe MM₁ = h M M₂, ausser nach Formel 13, ebenso nach folgenden Formeln

18) . .

cos

45 —

tg

45 —

19)

R (l

— sin

20) . .

ferner die Tangententeile t und t₀ bezogen auf m .    . t₀ = m tg — ----

21) . .

t =-

cos aL

Die Sehne S bezogen auf R

22) . .

2 R cos

Z

langente I und der Halbmesser R lassen sich noch ausdrücken, wie leicht zu übersehen durch

und endlich der

h -J- m cos a/₂

R²

(R -(- m) cos

. a m sin

2

= Ym(m + 2R)    . . . 23)

T² — m²

1—sina/₂

2m

24)

sin

io a

*)

25)

cos

26)

27)

Ehe Avir diesen Abschnitt beschlossen, wollen wir noch einige Methoden, beziehentlich Eormeln, die sich

aus

obigen Gleichungen leicht entwickeln lassen,

Fig. 5.

Aj

s- -

o, o

anführen, obwohl zum grössten Teil Näherungswerte, ist doch deren Verwendung an passender Stelle durchaus nicht zu unterschätzen.

1. Für einen beliebigen Bogenabschnitt, welcher die Sehne s umspannt, ist näherungsweise Fig. 5 : Für die halbe Sehne s die Bogenhöhe

h₂ =

s²

8R’

9R

> 13e)

10R'

*) Hiernach kann man aus Tabelle K I innerhalb der Grenzen « = 60° bis 180°

Um z, B. sin 45°

sin « berechnen.

Aus Gl. 25 folgt für R — 1 sin ^

zu finden, sucht man in der Tabelle den Wert

f™) für ~ VR/ 2

m + 1*

= 450, d, i. n = 90°;

derselbe ist 0*414 214, demnach sin 45° =

Hecht, Verwertung.

1 + 0*414214

= 0-70711.

Diese Formeln sind um so genauer, je grösser X P X a; man findet sie aus folgender allgemeinen Näherungsformel.

Für die beliebigen Selmenabschnitte f und g ist nämlich*)

13f)    .    .

f- g.

2 R

13g)

Die Bogenhöhe in der Mitte der Sehne a b .........hj -

2. In Beziehung auf die Tangentenverhältnisse (S. Fig. 4) kann man sich unter gewissen Voraussetzungen folgende Annäherungen gestatten»

Nach Gl. 12 ist für einen beliebigen ^ P T — t -(- t₀. Aus einer gegenseitigen Vergleichung obiger Gleichungen ersieht man nun, dass, je rfeher a = 180°, um so geringer wird die Differenz zwischen t₀ und t ; man kann sich in solchen Fällen die Absteckung dadurch erleichtern, dass man die Tangenten halbiert; hiernach würde 20a) .

z. B. Die Differenz im obigem Beispiel für R — 2000 m und a — 160° 40‘, in welchem nach Tabelle KI T = 2000.0T70334 = 340,668 und t =

und t beträgt

2000.0-085776 = 171,552, zwischen

171-554 —

340,668

= 1,218 m, während

Fig. 6.

X\B

___x -

m,

m.,

für die Winkelpunkte Hx oder H für a = 170° 20' die Differenz, da t" — 85*708 und W₀ BR, —°^ = 84-407, nur t"--— 0-301m beträgt.

Der Bogenpunkt M₀ würde im Falle obiger Näherungsmethode um 0*301. sin (180 — or₂) = 0*025 m nach Hx gerückt sein; für die Bogenmitte M wäre letzterer Wert erheblicher, nämlich 0‘205 m.

3. Wenn man Fig. 6 vom Berührungspunkt einer Tangente CA eines beliebigen Bogens, dessen Radius R, ausgehend, dieselbe um ein beliebiges Stück x (Abscisse) verlängert, am Endpunkt B und in einem gleich näher bestimmten Punkt m die Senkrechten j = Bm₂, z = m mx, nach Gl. 10., resp. Tabelle III oder IV errichtet, so sind m₁ und m₂ Bogenpunkte.

Legt man m so, dass

28)

,v

Am R -

verbindet m mit m₂ und verlängert diese Linie um die gleiche Grösse x, so

g—f    g+f

*) Aus den 3 rechtw. Dreiecken o o, e, o d c, a o d folgt ooj = —-—» cd= ———

Die Wurzeln nach dem binonischen

fe+f)²

und h₀

Lehrsatz aufgelöst und je die beiden ersten Glieder berücksichtigt, findet sich 13f.

r²

ist m Bj eine weitere Tangente; folglich nach demselben Verfahren abgesteckt, sind m₃, m₄ wiederum Bogenpunkte u. s. w. —

Will man sich nun mit einer Annäherung begnügen, so wählt man

a    x

2 ’

dann folgt aus Gl. 8 nach dem binonischen Lehrsatz aufgelöst

x²    x

firI:2

gesetzt nach Gl. 8 und ebenso aufgelöst

A m — m₂ m —

2R

8R

. 28a

= 7* y

cotg -y

945

yo

Fig. 43.

KRAKÓW J

¹

Kröhnke, Absteckung der Kurven, Teubner, Leipzig; Absteckung von Kreisbögen v. O. Sarrazin und H. Oberbeck, Springer, Berlin; Strassen- und Eisenbahnkurven V, Morawitz, Hartleben’s Verlag, Wien.

²

Siebenstellige gemeine Logarithmen von Dr. Lud. Schrön; Interpolationstafel zur Berechnung der Proportionalteile; beide bei Vieweg & Sohn, Braunschweig.

= 7* y

so

z. B. Wenn R — 20 m und x = 4 ¹¹¹

ist noch Formel 10, oder Tab. III, da

R 20 y = 0-404 m,

Am = 20.

0-202

-- 0-2

0-404

4.0

= 2 02 m, folglich z,

da jetzt n —

R

Nach obigen Näherungen dagegen wird

= 0-101 ist, nach Tabelle K III, z — 0-102.

/4\)

X²

2R

x²

8R

V₄ y = o-i m.

II.

Die Übergangskurven.

1. Theoi-ie und Aufstellung der Gleichung der Übergangskurve.

In den bisherigen Formeln betrachteten wir den Endpunkt einer Geraden als Anfangspunkt des Kreisbogens, bezw. den Endpunkt eines Kreisbogens als geometrischen Berührungspunkt einer Tangente. Bei Absteckung einer Eisenbahntrace von Kreisbögen und Geraden ist dies aber unstatthaft, vielmehr muss man in solchen Fällen auch Rücksicht auf diejenigen dynamischen Erscheinungen, welche bei Bewegung eines Eisenbahnzuges in Kurven auf-treten, nehmen. Ein solcher, wenn er sich mit einer gewissen Geschwindigkeit in einem Bogen bewegt, ist vermöge derselben und seiner Masse, also seiner lebendigen Kraft, von Einfluss, namentlich auf den äusseren Schienen-sträng. Die Bewegung in einer Geraden erfolgt, wenn der Oberbau in gutem Zustand ist, ohne Anstand, und ist die Geschwindigkeit nur beeinflusst von Kraft- und Widerstandsveränderungen.

Bei Bewegung in einem Bogen kommt die Zentrifugalkraft in Betracht

2*

und legt man darum den äusseren Schienenstrang höher als den inne-Diese Überhöhung lässt man in der Praxis nicht plötzlich um ein gewisses Mass h, Pig. 7, vor sich gehen, sondern allmählich, in dem man ein Stück Uj Ex einschaltet, welches man zum Theil der Geraden T, zum Theil dem Bogen B entnimmt, und welches von Uj allmählich zu EL der eigentlichen Überhöhung h des äusseren Schienenstranges ansteigt. In der Eigur stellt der obere Teil den äusseren Schienenstrang, und der untere den Grundriss beider Schienenstränge dar. Da nun die Überhöhung dem Halbmesser R des betreffenden Bogens umgekehrt proportionel sein muss, — je kleiner R, um so grösser h — so folgt hieraus, dass man, auf den geometrischen Zusammenhang bezogen, auch nicht direkt von Bogen B zur Tangete T übergehen darf, sondern dass man zwischen beiden erst eine Kurve mit nach der Tangente zu wachsenden Radien •— die Übergangskurve — einschaltet.

ren.

Nach der Art und Weise, wie die Linie Ex Uj mit den Bruchpunkten bei Uj und Ej die Einschaltung versinnlicht, können wir jedoch die Erhöhung noch nicht vornehmen, sondern müssen hei und Ej wiederum Uebergänge ein-

Fig. 7.

hz Pz

V,

ba

ba

legen. Nehmen wir für dieselben Bögen an, deren Krümmungshalbmesser und sein mögen, so beginnt jetzt die Übergangskurve bei Ü und endet bei E, und stellt sich die successive Überhöhung als eine Kurve dar, die sich von U aus an die Gerade anschliessend, in den Bogen übergehend, in der Nähe des theoretischen Bogenanfanges die halbe Überhöhung erreicht, ferner in den Bogen (?₂ übergeht, und bei E in die ganze Überhöhung h, welche dem eigentlichen Bogen entspricht, ausläuft. Ziehen wir nun noch die oben erwähnten dynamischen Erscheinungen in Rücksicht, dann haben wir folgendes.

Nach bekannten Gesetzen der Mechanik ist die Schwungbeschleunigung

G v2

v²

, und die Schwungkraft K m

V²

, in welcher Formel g

= 9⁻808, q der Krümmungshalbmesser der Kurve ist, in welcher sich die Masse m, deren Gewicht G, mit der Geschwindigkeit v bewegt. Durch die Erhöhung der äusseren Schiene soll nun, wie oben angedeutet, der Wirkung der Schwungkraft entgegengearbeitet werden.

Ist w die Entfernung der Schienenköpfe von einander, so ist der

Neigungswinkel Eig. 8 an dieser Stelle sin a =■

, die der Schwungkraft w

entgegenwirkende Komponente K = G sin «, und diese gleicli zu setzen der Zentripedalkraft Kj, somit G v²

G sin a = — -—, woraus obiger Wert für sin a eingefülirt

a)

oder

w v²

w v²

folgt,

g h

Die Schienenüberhöhung des äusseren Schienenstranges für einen konstanten (Kreis-) Radius R ist hiernach dem Quadrat der Fahrgeschwindigkeit

proportional

v²

al)

R g

Sehen wir von der durch die Überhöhung h bedingten Erweiterung

w

der Spur ab, und betrachten — c als konstant, dann folgt der Krüm-

Y²

mungsradius

Setzen wir ferner voraus, dass ein Eisenbahnzug mit gleicher oder der-

c)

Fig. 8.

Kji

«-1

selben Geschwindigkeit die Gerade, den Übergang und die Kurve passiert,

C

so wäre für den Augenblick auch v konstant und p — - -—

Die Übergangskurve müsste somit folgenden Bedingungen entsprechen :

Für den Punkt U ist h — o, Q — oo, die Länge der Übergangskurve L — o. Mit wachsendem L nimmt h im Verhältnis der Höhen hj h₂ . . . . h, welche dem Bildungsgesetz der Übergangskurve p₂) entsprechen, zu. Da nun pj der Radius eines konfexen, p₂ der eines konkaven Kurvenstückes ist, hj^ kleiner, h₂ grösser als die bezüglichen regelmässigen Überhöhungen der Geraden Uj E: sind, so folgt hieraus, mit Bezug auf Gl. d, dass die Übergangskurve selbst in der ersten Hälfte im Verhältnis schwächer gekrümmt sein soll, als derjenige Teil, welcher sich an den eigentlichen Kreisbogen anschliesst.

Vom geometrisch - analytischen Standpunkt aus betrachtet, enthält die Gleichung (d), p und K als Veränderliche, offenbar das Bildungsgesetz einer Hyperbel (Asymptotengleichung der Hyperbel). Es läge hiernach die Annahme einer hyperbolischen Kurve als Schienenüberhöhungskurve für Bahnkurven mit veränderlichen Krümmungsradien zu Grunde. Sehen wir von der Annahme, v als eine Konstante zu betrachten, ab; vielmehr nehmen wir an, dass die Geschwindigkeit, mit der sich ein Eisenbahnzug beim Übergang von der Geraden in eine Kurve bewegt, veränderlich sei — eine Annahme, welche in Anbetracht der Widerstände an Reibung und Steigung allerdings

berechtigt ist — so ändert sich in der Formel q — c , q mit v und h

v2

kleiner wird, h kleiner werden mehr ist es berechtigt das

gleichzeitig, wir sind demnach, weil, wenn v muss, damit q wieder grösser werden kann, um so Wachstum der Krümmungsradien in der Übergangskurve und zwar in der ersten Hälfte derselben geringer zu

An diese Anforderungen, welche wir an in der Praxis verwendbare Übergangskurve stellen müssen, knüpfen sich noch die Bedingungen, dass die Länge derselben und ihr Abstand sprünglichen Bogen im Verhältnis stehen müssen zur praktischen Ausführbarkeit. Je kleiner L und je grösser h, um so schroffer wird der Übergang;¹) dagegen je grösser die Krümmungsradien p₂ und je grösser L, um so sanfter. Für Gebirgsstrecken müsste die Übergangskurve verhältnismässig länger ausfallen, als für Thalstrecken. Im ersteren Fall hat sie auch eine verhältnismässig grössere Bedeutung als für Bahnen in der Ebene, richtigste Mass für die Länge L, abgesehen vom Bildungsgesetz, ist ein proportionales Verhältnis zu h. Die Wichtigkeit der Übergangskurve für die Praxis findet auch darin schon ihre Bestätigung, dass jeder Maschinenführer beim Einfahren in eine starke Krümmung die Dampfzuströmung vermindern pflegt (den Regulator etwas schliesst), — mehr zur Vorsicht in

nehmen, als in der zweiten.

eine theoretisch richtige und

nun

vom ur-

Das

zu

Fig. 9.

T₀

folge des mangelhaften Überganges, als zur Schonung des Oberbaumaterials, eine Vorsichtsmassregel, welche bei einem richtigen Übergang von selbst wegfallen soll. Auch bei Aufstellung des Projektes muss auf die Übergangs-kurve schon Rücksicht genommen werden, insbesondere bei Doppelkurven, damit die Zwischengeraden das Minimalmass nicht unterschreiten.

Suchen wir jedoch, ehe wir endgültige Schlüsse ziehen, noch weitere Anhaltspunkte zu gewinnen.

Es sei UE Fig. 9 ein Teil der Übergangskurve, und zwar der Anfang von der Geraden T T₀, die verlängerte Grade bezw. Tangente. B der Kreisbogen nach dem Übergang. Die Linie TEB möge die Mittellinie zwischen

v²

°"²⁴⁹Jü ^ °'0017 v

v²

h = 0,624 —-- 0-0017 v

D. V.

beiden Schienensträngen darstellen, x die Abscisse in der Tangente gemessen, y die Ordinate, L₀ die Länge bis zum Punkt E, welchem die Schienenüberhöhung h₀ und der Krümmungsradius q entspricht.

Wie oben bemerkt, nehmen wir L₀ proportional h₀ an, und setzen L₀ = fth₀ ; fi ein Erfahrungskoefficient.*) Für die im Bogen gemessene Länge L₀ wollen wir, ohne das Nachfolgende zu beeinflussen, die Abscissen-länge x substituieren, dann wird x=r t/h₀

wu²

e)

Nach Gl. (a) ist dann h₀ —

(?g

; hierin den Wert für h₀ aus (e) ein-

wo²

xg

und

geführt, folgt

Der Krümmungshalbmesser eine Kurve drückt sich aus durch

QS

*)

³/₂

g)

d²y

dx²

in welcher Formel ---    ^

die beiden ersten Differentialquotienten der Gleichung der Kurve, dessen Krümmungshalbmesser q ist, bedeuten.

Erlaubt man sich wieder eine Annäherung, und setzt

/d^yÄ oder ²

VdxV

dx’ dx²

d²y

o dx²

vernachlässigt das Quadrat des ersten Differentialquotienten, so resultiert für die Übergangskurve die Differentialgleichung

d 2y _ g

dx²    t,2w fi

h)

Betzen wir die Konstante

dy

v²wu

= m, so wird nach einmaliger Integration

x³

X²    ü

m — und endgültig y = J m

m 6

Die Integrationskonstanten verschwinden, weil für x = o, y = o und o. Führen wir g = 9’808, w —: l⁻5 Spurweite, v — 17m Fahr-

dx

geschwindigkeit pr. Sec und für fi einen konstanten Mitttelwert ein, so folgt abgerundet m =    und y

x³

6-12000’

29)

29a)

= a gesetzt, y — ax³

als Gleichung der Übergangskurve: die Gleichung einer kubischen Parabel.

Den Koefficient

6-12000

*) Wenn h die Überhöhung dem Kreisradius R, entsprechend, so ist die Länge der Übergangslinie empirisch L = 200 h bis 400h.

2. Diskussion der kubischen Parabel als Übergangskurve und Verwertung derselben in der Praxis.

Entwickelt man den ersten und zweiten Differentialquotient aus der

••    dy    dy² 3

Gleichung der Übergangskurve x = ax⁴, — - = 3ax³,    = 6ax, so wird

allerdings näherungsweise q — —

6ax’

für x — o, q = oo; für x = oo, o — o.

Die Kurve entspricht dem Gesetz abnehmender Radien nach der Tan

gente zu.

Genau folgt aber nach Gl. (g) :

®/a

e--

[1 -j- (3ax³)³]    (1 -}- 9a³x⁴)

³/₂

6xa

Diese Gleichung liefert für x = o, wiederum q — oo, dagegen für

-■v

6xa

X zrz OO, O = — .

* OO

Differentiiert man zur Bestimmung des wirklichen Wertes für ^Zähler und Nenner so ergiebt sich

t . q — 9ax⁴yi-{-9a³x4:, für x = oo wird jetzt q = oo.

Die kubische Parabel hat also einen Mioimalkrüminungsradius zwischen x = o und x — oo

Um die Lage des letzteren zu finden, setzen wir das Differential nach x der Gleichung (i) Null, erhalten aus

d J y i -j-9a³x⁴)⁴ I dxL 6xa J

^45ya    ^45a³    2-58ya

= o,

Der zweite Differentialquotient wird positiv.

Es muss also a sehr klein sein, damit das Minimum von q weit hinausfällt und sich überhaupt die Kurve oder ein Teil derselben als Übergangskurve verwenden lässt. Da nun nach Gl. 29 der Mittelwert a = genommen wurde für die Praxis, so wird

72000

an-

= rot 100m.

2-58

72000

In der Praxis pflegt man die Übergangskurve niemals so lang, sondern nur den 3. bis 5. Teil davon zu nehmen.

x⁴

schliesst das mittlere

Die Zahl 12000 in obiger Gleichung y —

Verhältnis für f.i (Gl. e) in sich.

Wir setzten [x proportional h₀, also ist /n auch proportional der vollständigen Überhöhung h. Nun ist aber h abhängig vom Kreisradius R; nimmt darum fx und also auch m proportional R an.

6-12000

man

Im Mittel kann man

setzen m =

12000’

Bezeichnen wir den Minimalradius der kubischen Parabel bei x —

Y 45 a²

mit r, und setzen diesen Wert in die Gleichung (i), dann wird die Zahlenwerte ausgerechnet,

k)

worin für Radien 600m P = 12000|

)> 600m P = 20 R j 2; 400m P = 20 R bei Nebenbahnen.

11

bei Hauptbahnen;

11

ii

0-567

- der kleinste Radius der

Pür Kreisradien ^ 600m ist a =

/ /ć u u u

zugehörenden kubischen Parabel, letzteren Zahlenwert in (k) eingeführt,

man in diesem Falle,

r = 470m.

Die Länge der Übergangskurve nimmt

L — 20m. Setzt

7*000’

man in die Formel (i) für x = L — 20m, a dann folgt der Krümmungsradius bei 20m Bogenlänge der Übergangskurve

Fig. 10.

A,

B,

G,

4.

f]< L/k ■

'W^-'Vr y;

jj f i/₃ r

[¹ + (³'

72000

■ 20²

r\

31

i 2

= 600m.

6-20

72000

In der Praxis nimmt man für untergeordnete Bahnen (Nebenbahnen), auch Avenn R 600m, L = 20m- hingegen für Hauptbahnen, wenn R 600m, wie in Tabelle B. angegeben.

Der Krümmungsradius beim Anschluss an den Kreis wird dann bei Annahme der obigen Konstanten (Gl. 30) und für x die entsprechenden Längen L eingesetzt so gross Avie dieser Kreisradius. —

Ferner pflegt man in der Praxis die halbe Länge der Übergangskuiwe in die Gerade, die andere Hälfte in den Anschlusskreis zu legen. Fig. 10 soll die praktische Einschaltung veranschaulichen, und geben wir in folgendem die nötigen weiteren Anhaltepunkte.

Es sei A B Bj B₂*der ursprüngliche Kreisbogen, Bj Gj die ursprüngliche Tangente, B E der Übergang zur Hälfte dem Bogen, zur Hälfte der Geraden entnommen. Infolge der wachsenden Radien bis zu Bogenende E Avird die neue Tangente G T um B C, bezAv. Bj D = y' hinausgerückt. Die Bogenlänge der Übergangskurve nimmt man der Tangentenlänge (Abscisse)

gleich E C = E B — L. Ferner macht man y' — ^ B C = */₄ y".

B C findet sich aus Gl. 30, nämlich

j" = C B =

L³

6 P

Setzt man hierin die obigen empirischen Werte für L und P, dann ergiebt sich für jeden einzelnen Pall die grösste Ordinate y", bezw. yi=z¹/iy“. In Tabelle C. sind diese für die hauptsächlichsten Radien enthalten.

Aus

6 P’

für x entsprechende Abscissenlängen eingeführt, berechnet

man die zwischen E und B liegenden Ordinaten; die sich anschliessenden Kreisordinaten hingegen mit Berücksichtigung der Verschiebungslängen DBj rzry', CB = y", CD— L/₂, sind dann in den Kreistabellen Tabelle K I his IV enthalten.

Zur Berechnung der Ordinaten der Übergangskurve haben wir Gl 30 in folgender Weise umgeformt:

yy- («)

und hiernach die Tabellen D, E und F aufgestellt.

R

Tabelle D und E enthalten die Konstanten

die relativen Ordinaten und Abscissen der Übergangskurven, noch in den Tabellen G und H die Koordinaten der Übergangskurven kombiniert mit den hauptsächlichsten Kreisradien für Haupt- und untergeordnete Bahnen enthalten. Die Absteckung auf dem Felde geschieht von der nur um */₂ L verkürzten Geraden GE aus mit dem Anfang in Bogenende (Übe gangsende) E bis zum Kreisbogen B (Übergangsanfang, Bogenende). Diesen letzteren kann man entweder von der Hülfstangente Gj T, oder der Haupttangente aus abstecken. Im ersteren Fall ist Bj in Rechnung zu ziehender Kreistangentenberührungspunkt und kommen die betreffenden Kreistabellen direkt in Anwendung; im anderen Fall, von E aus, müssen bei den Kreistabellen selbstredend für die Abscissen die Längen L/₂ und für die Ordinaten y', y" in Rücksicht gezogen werden.

Eine Tangente in B schneidet auf EC die Länge CF — ¹/₃L ab, und

es ist tg cp —

Die Verschiebung des Winkelpunktes Fig. 10 ist

30)    .    .

, bezw.

R²

120’ 72000’

Tabelle F nach 30,

Endlich sind

r-

2R

y"

sin a/₂

Bemerkung: Einen Ersatz für die kubische Parabel bietet eine Zusammensetzung von Kreisbogen mit wachsenden Radien*).

I. Für normalspurige Bahnen. Alle Radien unter 1000m erhalten Übergangskurven, und wird der Übergang einer Kurve durch Einschaltung von

Schluss an die Gerade hergestellt, wodurch die letztere um ein gewisses Stück 1 —j— x verkürzt wird. Je flacher der Bogen, um so länger der Übergang, z. B. bei R = 900m ist nur ein Stück Bogen von R = 1000¹¹¹ einzuschalten. S. Fig. 11 und 12. Bj ist ursprünglich Bogenanfang, B Überganganfang,

immer wachsenden Radien 400, 600, 800, 900P¹

zum

beiderseitigen An-

*) Österreichisch-Ungarische Bestimmungen,

E Übergangende zugleich Kurvenende. Ferner ist

z — sin a/^ X~y< cot£>^2’ T == t-f 1 + x = t + L — (1-fx)

wirkliche Tangentenlänge. MB gewöhnlicher (Kreis) Bogen, y" grösster Abstand von der Haupttangente, m -f- y' wirklicher Bogenmittelabstand. Maximallänge der Übergangskurve L = 40m. Die übrigen Angaben sind in angeschlossener Tabelle enthalten:

Fig. 11.

l+x

y"

Die Winkel y

totoooo:4^o*o^iooco

O^-viOO^ÖOOOOO

00*00000000

10

10

20

20

30

30

40

40

40

40

1-000

2-000

4-249

6-498

10-413

14-329

17-509

20-726

22- 325

23- 970

0 005 0-010 0-035 0-061 0-137 0-214 0-316 0-420 0-471 0-550

O O (M o o

»C- «O rł H (M (M CO CO CO CO

oow^noipççoç

ÓÓÓÓÓÓHHrlH

-O

OOHH(M(MCOMCOCO

^ H H i-¹ h» OJ 03

öscöosoacoostoisstoco

üi 0< D< ÜI OO OO O O K) tS

crcs

(N

rH

,«oo

si

y’-1,038

0,520 Ozy.

0,050

-lE

m ¹

»— 10 —4— io —4— w —4 in Z. B. für R = 500m ist eine 30m lange Übergangskurve nötig von E aus; nachdem T gerechnet für den Kreis; abhängig von a/₂, erfolgt die Absteckung; von 10 zu 10m sind die Ordinaten wie in Fig. 12 ersichtlich: 0'05, 0-212, 0’520m Mit Berücksichtigung von 1 resp. 1 -1- x unter Zuschlag

y‘

Für die Absteckung wurde folgende Tabelle entworfen.

y'

von y‘ zu den Abscissen, steckt man dann nach 30m Übergang den 500m Bogen wie gewöhnlich ab.

II. Für schmalspurige Bahnen. Alle Bogen (Kreisbogen) unter 300m Radius erhalten eine beiderseitige Übergangskurve; und zwar ein Stück Bogen von 10m Länge zu Radius 150m und einen von 10m Länge zu 300m Radius.

Die Fig. 13 giebt die Zusammenstellung analog der Fig. 11, in Fig. 14 sind die detaillierten Daten enthalten. Es sind auch hier

x = y‘ cotg a/₂, T = t-j-1 + x.

y‘

sin a/₂

rH—S —*--5

0,063

Fig. 14.

5—*— 5

0,167 !

Fig. 13.

R-,äooo

wi

Br

T- t+li-X

R-150

.at

y"

275

10

250

225

10

200

10

175

10

150

10

125

10

100

20

90

20

20

80

20

70

20

60

20

0-833

1-666

2- 499

3- 333 4166

4- 999 7-494 9-990

10- 988

11- 987 14009 14-009

0-014 0-028 0 042 0 056 0-070 0-084 0-209 0-334 0-384 0-432 0-534 0-534

oooooooooooo

6bobGÔGÔGodbH^h^H^Hi^*H^

1. Beispiel. Gegeben sei der ^/P^/« = 120°, R=800m.

Tabelle H liefert für die Abscisse x = 20    40    60    80    100m

die Ordinate yzzzO-08 058 T58 3'09 5T0m Die Länge der Ubergangskurve ist nach Tabelle B, L — 20m, ihre grösste Ordinate für L = 20m, y":=80mm nach Tabelle C.

Die Ordinaten der Übergangskurve für die Abscissen z, B. x = 8m, 16m berechnet man aus Tabelle F, bezw. D; es wird

und also

1 = 0 01, y/R = 000001^,

20

= 0 006m

x = O0P800 = 8m, y = 800-0-00001. ^

3

20

x = 0-02-800 = 16m, y = 800-0-000008. ^ = O048m.

3

Der Berührungspunkt Bj Fig. 10 liegt in der Entfernung y' = 20mm (Tabelle C) von der Haupttangente.

Die Tangente B,Wj berechnet man aus Tabelle KI, für a — 120°:

T =r 0-57735.800 = 461*88m, ebenso den Bogenmittenabstand m = 0-1547.800= 123-76.

Die Verschiebung des Winkelpunktes

7“

— 160mni ;

sin a/₂

W ist demnach 123-76 + 0-16 = 123’92m.

z — WW

der Bogenmittenabstand von

Die weitere Absteckung kann jetzt von B₁₅ D oder Bogenmitte aus erfolgen.

2. Beispiel: ö = 80°, R — 300m Radius. Die Tabellen B, C ergeben. Länge L = 40m; Grösste Ordinate y" '= 0⁻89m, y'= 0'22m. Tangentenlänge (Tab. KI) B^W₁ = T = 1-191754-300 = 357-526m. Der Kreisbogen wird von Bx aus nach Tabelle K II oder III mit Rücksicht auf die Länge B₁B=20m abgesteckt.

Die Übergangskurve nach Tabelle F, Konstante Koordinaten aus

R-

72000

= L25 erhält die

— = 0-03, ü — 0-000027 . 1-25 oder x =

XV    XV

1 = °-°⁶’

1 = °-°⁹-L = 012,

9m, y = 0010m

^ = 0-000216 . 1-25 oder x = 18m, y = 0‘081m R    J

— 0-000729 . 1-25 oder x == 27m, y = 0-273m

XV

= 0-001728 . 1-25 oder x = 36m, y == 0-648m. R    J

u s. w.

Obgleich nun ein Teil der kubischen Parabel als Übergangskurve sich eignet, praktisch eingepasst, sich wenigstens verwenden lässt, so ist sie als Eisenbalmkurve, als Ersatz für den Kreisbogen, und um die Kombination zweier Kurven mit der Geraden zu umgehen, — was doch offenbar sehr naheliegend ist, nicht verwendbar, wie wir in den folgenden Zeilen noch näher beleuchten werden. Es sei OM (Fig. 15) derjenige Teil der kubischen

Parabel, dessen Anfangstück die Übergangskurve bildet. — der Winkel,

z

unter welchem der Durchmesser 2r des kleinsten Krümmungskreises, senkrecht auf die Tangente in M, die Abscissenlinie schneidet. W würde sonach einen Winkelpunkt nach den Grundsätzen unseres früheren § entsprechen müssen. Wir müssten jetzt VW als Mittellinie der zukünftigen Bahnkurve, M als Bogenmitte, WM als Bogenmittenabstand betrachten, und die eine Hälfte OWV symmetrisch an VW abtragen, so dass O als Bogenanfang symmetrisch zu Bogenende liegen würde; da der andere Teil der kubischen Parabel MN, daneben ganz hinwegfallen würde, erst im Unendlichen sich an eine Gerade anschliesst, Gl. (ij). Auf diese Weise erhalten wir eine symmetrisch gebaute vom Winkelpunkt nach beiden Tangenten zu in die Geraden auslaufende Kurve, die Ausläufer sind dann die eben als Übergang verwendeten Kurven, r der (zulässige) Minimalradius, den früheren Kreisradien entsprechend. Die Gleichung dieser aus zwei Hälften kombinierten Bahnkurve lässt sich für jede Hälfte aus (29 a) und Gl. (k) konstruieren.

Entnimmt man aus letzterer Gleichung vom Minimalradius r zu gelangen den Wert a =

um zu einer Abhängigkeit _ 0-56745² _ 0--322

r²

r²

Xs

und setzt ihn in (29a) ein, dann erhält man y =. 0-312

Sind y₀ x₀ die Koordinaten von Bogenmitte M, so folgt aus y₀ — ax₀³

dy

(nach 29a) -—- — tg cp =z tg (90 — a/₂) — cotg o/₂ = 3a xj, d x₀

für den Minimalradius r ist

r²

x₀ —

demnach cotg aj₂ — tg cp —

3a

45a²]

— 0"45 rot.

y 45 a²

Es resultiert also ein konstanter Winkelpunktswinkel von a/₂ — 35³/₄° Abgesehen von der in der Praxis nicht zulässigen Kombination der

Fig. 15.

'''/V

Ji

tp’-W-O-'z i

-''Wi

Y₀>

—0

ń_

-T-

----Ko- -

zwei Hälften in obigem Sinne, würden wir nur für den P a = 2.37³/4 =z 71²/₂° rot. die Kurve verwerten können.

Zu ähnlichen in der Praxis unbrauchbaren Resultaten gelangt man, wenn man den Minimalradius der zukünftigen Bahnkurve, (der also dann stets grösser als der Minimalradms der betr. kubischen Parabel ist) mehr nach Bogenanfang 0 verlegt; selbstredend vorausgetzt die Zusammensetzung der Kurve aus zwei Hälften wäre statthaft, und der entstehende plötzliche oder besser gesagt Knickübergang liesse sich vermitteln.

Sei r₄ der betreffende Minimalbahnradius, Wj der Winkelpunkt, T die Tangentenlänge, so kann man die Konstante a in (29a) nur abhänging von

T und rx bestimmen. Man erhält nämlich schliesslich

12 rj T

⁸/s T

In dieser Gleichung ist jedoch rj tg ay für alle praktischen Fälle stets

x³

ist aber dann, weil sie wie obige

zu vernachlässigen ; die* Gleichung keinen Winkelpunktswinkel mehr enthhält, unbrauchbar. —

6 rx T

3. Die Kegelschnitte.

Da nun die kubische Parabel als Bahnkurve selbst nicht verwendbar ist, hingegen aber als Übergangskurve, also dennoch als Bahnkurve angewandt wird, schliesst dies einen gewissen Widerspruch nicht aus. Der Gedanke liegt indessen sehr nahe, eine solche Kurve als Bahnkurve zu konstruieren hez. zu suchen, welche ohne eine nochmalige Kombination mit einer besonderen Übergangskurve, sowohl als Übergangs- als auch als Bahnkurve, praktisch verwertet werden kann. In erster Linie müsste dies eine symmetrisch gebaute Kurve sein, dann müssten ihre Krümmungsradien von der Symmetrieachse axis nach beiden Tangentenrichtungen hin wachsen. Den letzteren Anforderungen genügen aber die zunächstliegenden Kegelschnitte, besonders die Hyperbel und Planparäbel. Da die Krümmungsradien dieser letzteren im Unendlichen oo werden, so kommt es nur darauf an, weil Kurven, deren Radien 3000m in der Praxis schon als Gerade gelten können, praktische Formeln auszustellen für diejenigen Teile der genannten Kurven, die zwischen den kleinsten Krümmungsradien und dem Krümmungsradius cirka 3000m liegen. Der Minimalkrümmungsradius wäre dann jedesmal an Stelle des kleinsten zulässigen früheren Kreisbogenradius zu setzen. Die Zulässigkeit, besonders der Hyperbel und Parabel lässt sich aber auch noch durch folgendes begründen. Fast allgemein verwendete man bisher den Kreisbogen als Bahn kurve, obgleich derselbe durchaus nicht ganz den mechanischen Anforderungen der Bewegung eines Körpers im Kreis entspricht. Um ihn überhaupt zugängig zu machen, sind eben besondere Übergangskurven nötig. Wenn nun auch die Krümmungsradien der Kegelschnitte nicht wie die der kubischen Parabel sich ändern, wenngleich die letztere selbst auch nur mehr Näherungskurve als Bahnkurve genannt werden kann, so entsprechen sie doch aber mehr als der Kreis, dessen Krümmungsradius eine Konstante ist, den Anforderungen einer Bahnkurve.

Wir werden in den folgenden §§ versuchen näher auf die Sache einzugehen und Gelegenheit nehmen, einen Vergleich in Bezug auf die geometrische Lage, die Kombination eines Kreises mit der kubischen Parabel und mit den Kegelschnitten anzustellen, welcher für die letzteren durchaus nicht ungünstig ausfällt. Jeder Praktiker wird gewiss dann endgültig der Einführung der letztgenannten Kurven statt der Kombination eines Kreises mit einer kubischen Parabel mindestens beistimmen.

Eine Hauptschwierigkeit die 3 Kegelschnitte Hyperbel, Parabel und Ellipse als Eisenbahnkurve zu verwerten, und hierzu bedarf es wohl weiter keines Kommentars von seiten der Praxis, ist wohl einesteils die unbequeme Absteckung, anderenteils das Einpassen der genannten Kurven bei Aufstellung des Projektes* von seiten der Theorie die mangelhafte Rektifikation, namentlich der Hyperbel und Ellipse und lange Tangenten für kleine P

In Bezug auf die Bearbeitung des Projektes pflegt man im Eisenbalm-bau bei Kurven gewöhnlich für die zulässigen Kreisradien Schablonen mit und ohne Übergangskurven zu verwenden. Es ist nun offenbar nicht schwierig, sich auch solche Schablonen für andere Kurven herzustellen, wenn die Herstellung dieser auch umständlich ist. Die zweite mehr ins Gewicht fallende Schwierigkeit, die Absteckung im Felde, lässt sich auch umgehen, oder bedeutend reduzieren, wenn man tabellarische Übersichten vor sich hat, analog denjenigen für den Kreis aufgestellten, um alle zeitraubende Nebenrechnungen zu ersparen, welche freilich möglichst praktische Kontrollen nicht vermissen lassen dürfen. Bei Aufstellung der folgenden Theorien haben wir hierauf und auf die erwähnte Rektifikation ganz besonders Rücksicht genommen, und werden in den einzelnen Fällen nicht unterlassen, auf etwaige Beschränkungen aufmerksam zu machen.

Mit dem aufgestellten Tabellarium haben wir versucht hinreichende Anhaltepunkte für die Praxis zu gewähren, wenngleich, um ein zu umfangreiches Tabellarium zu vermeiden, einige Reduktionen im Vergleich zu den Kreistabellen vorgenommen werden mussten.

III.

Die Parabel als Eisenbahnkurve.

1. Aufstellung der allgemeinen Gleichungen.

YMX Fig. 16 sei ein rechtwinkeliges Koordinatensystem, AME die Parabel, deren Scheitel im Koordinatenanfang M, zugleich Bogenmitte liegt. Die Gleichung der Parabel lautet für diese Lage, wenn p der Parameter, P ein beliebiger Bogenpunkt, dessen Koordinaten xy

a)

....... y = P~

Die beiden ersten Ableitungen sind

1 ₂

X-⁵

2

— : setzt man die-P

dy 2x d²y dx p ’ dx‘^

selben in die Gleichung für den Krümmungshalbmesser (S. S. 23), so wird dieser

b)

~Y(^4-4x²)3

Im Scheitel M wird für x ~ o, q —

Damit wir die Parabel als Eisenbahnkurve verwenden können, machen wir den Parameter dem Durchmesser des früheren Kreisradius r gleich. ..........p = 2 r

Die Gleichung der Parabel als Eisenbahnkurve nimmt dann die Form an

31)

32)

x²

y=27

Es ist weiter (Fig. 16) WG eine Tangente an die Parabel. Die Lage des Berührungspunktes E (Bogenende oder Bogenanfang), also die Länge der Tangente bis zum Anschluss an die Gerade ist T = WE. EG wird so gewählt, dass der Krümmungsradius bei E, R^>3000m wird⁵).

VE = t Tangentenabschnitt, MW = m Bogenmittenabstand, W Winkelpunkt, a ^ P der Hilfsbogenpunkt Q sei durch die Koordinaten xL yx bestimmt. x₀y₀ seien die Koordinaten des Punktes E.

Ferner sei s₀ = ME die Maximalsehne, M QE = — die Bogenlänge der

&

o o OO

Parabel bis zu Bogenende E von Bogenmitte. Die Normale ES bilde mit ZN den Tangentenwinkel der Tangentenwinke] bei Q, sei y. Es ist cp — 90 — a/₂.

Bekanntermassen ist m — y₀

d7o

= t g(p.

Nach (a) y₀ — — x₀², folglich

dx0 dZo _2xo

dx₀

Ph

= tg cp = cotg aj₂ oder

tg «/s =

Ph

Aus der Eigur ergeben sich

= tg cr/₂, x₀ — T sin

2x₀

c)

xo

²yo = T cos «,4 • •

.    . d)

Fig. 16.

/G

tN) N-

JT o

'.-/Tr

Vo

-X-

; <%

Diese Gleichungen liefern in Verbindung mit m = y0 T cos a/₂ —

xo

m = ł T cos aj₂

tg a/₂ ’

Aus (c) x₀ und für p = 2r eingesetzt, folgt zunächst T cos a[₂ = ---■ ₂ —

r c°tg «/a sin a/₂

Substituiert man T in die beiden letzten Gleichungen (d), dann wird

r cotg o/₂, y₀ — |-cotg ²a/₂    .    .    .

Aus den beiden ähnlichen Dreiecken WMV und WZE ergiebt sich

x₀ T

X‘=V ‘ = 2;......

ebenso, weil MEW <aj ^ HVE, wird

f = HV = I m =z 1- y₀

dann

x₀ =

•    • g)

Ł)

i)

Hecht, Verwertung.

Für die Abscisse x₀ wird der Krümmungshalbmesser nach (b)

2p

P _ P__

2x₀    2 T sin a].₂

so wird der Wert aus (f) für T auch eingeführt,

, somit

Da nach (d) x₀ = T sin a/₂, nach (c) tg a/₂ =

P = 2 T sin a/₂ tg aj nach einiger Reduktion k) .

Man sieht hieraus, dass um einen korrekten Anschluss der Parabel an die Gerade zu ermöglichen, für den Krümmungshalbmesser R 7 3000m, die Abhängigkeit zwischen r und dem P in Rücksicht zu ziehen ist. Die Anwendung der Parabel in der Praxis erleidet dadurch eine gewisse Beschränkung.

xi

aus

1) •

(h) in Gl. 32 für den Hilfspunkt Q eingeführt, folgt

¹ X ⁶ —

2r ¹

1 x0⁶

y₀

2r 4

Bi

y₀ = — in,

oder auch nach (g)

■ y* = t cots ä

J cotg

Der Tangentenwinkel y bei Q ergiebt sich aus dem Differentialquotient der Gleichung yx — ^ xi⁶? nämlich

Mit Rücksicht auf (g) und (h) findet man y abhängig von a, es wird

m)

(<

.......tg 7 — Y cotg ~2

Endlich folgt aus der Figur tg ß₀ = —, in Verbindung mit den

xo

Gleichungen (d) (g) und (m)

• • % ßo = Y cotg

weil ß₀ ßi 90    = 180° im ^ MVE, so folgt schliesslich

/i

...... ft = 90 -

Weitere mehr rein theoretische in das Gebiet der analytischen Geometrie zu verweisende Beziehungen, werden wir Gelegenheit nehmen nach Aufstellung der Theorie für Hyperbel und Ellipse noch anzudeuten.

mi) .

= tg y, somit ß₀ — y und

(t + ßo)

Aus den Gl. f, g, k, 1, m folgt unmittelbar

(?)

sin

(h) und (i) liefern ferner:

— tg y

cotg

sin

to S5

.    34)

1    a

= to ßo — Y cotg 2    '

“s T - ‘ (t)

(■)-«•)

(?)=»(?) C)-Î(ï) • =*(?)=1(f)

= cotg

tO £

.    .    35)

.    .    36)

.    . 37)

38)

.    .    39)

und Gl. 32 endlich allgemein

(ł)=ł(T)-

40)

Die vorstehenden Gleichungen dienten als Grundlage zur Aufstellung der Tabellen für die Absteckung der Parabel.

Tab. P I. enthält die relativen Werte der Hauptverhältnisse für die Winkelpunktswinkel a = 60° bis 180° für den halben P von 5' zu 5' fortschreitend auf 5 bezw. 6 Dezimalen genau. Für die Praxis genügt es

vollkommen konstatieren, ob E

Gl. 40 dient zur Absteckung der Parabel mittelst rechtwinkeliger Koordinaten von Bogenmitte aus und dürfte die zugehörende Tab. PII für alle vorkommenden praktischen Fälle ausreichend sein. Auf den Gebrauch der Tabellen kommen wir weiter unten zurück.

T⁷

—- auf 3 Dezimalen zu kennen, da es nur von Interesse ist zu rot 3000m ist.

3. Rektifikation der Parabel.

Die Länge des Parabelbogens M Q E findet man mit Kiicksicht auf die Verwechselung der Koordninaten aus der bekannten Rektifikationsformel

Jo

indem man aus der allgemeinen Formel

jv i+©

den Wert

ns I rÖ

aus der Gleichung y — \ p x einführt und die

Koordinaten vertauscht.

Nach teilweiser Integration wird j/ 1 -|---^ - = u gesetzt, y₀ entwickelt,

ht-

p r

u^o-T

-—- in Partialbrüche zerlegt

U“ — 1

-, A = 4——, somit eingeführt

A    i

x r dn _ p c du

L J 2 (u — 1)    4 J

u² — 1

folgt

T = y»«-

oder für obiges bestimmtes Integral u zurückgesetzt

2 (u -f- 1)

^¹⁺ü +

r-l 00

lognat

i    . p - u + 1

J = y<> « 4- -g- lognat -^¹⁺Wo + 1

l/i

4y₀

Setzt man p — 2 r dann wird nach Reduktion die relative Bogenlänge

Ti =

— lognat

z» i 1

r '    2

JO I—*

Yo

Nach Gl. 36 ist ^ = ¹

— cotg o , hiernach wird Gl. 41. /i    &

= IT cotg

iV

1 + cotg

-« 1

-J +    4 lo£nat

1 + cotg 4- cotg

JO R

~a    ,

c°tg — — cotg

é4i

Es ist aber 1 4~ cotg }

re

x cotg

2 ~7"

sm

sin —, sonach £

lognat

cos

JC R

oder

ö I'M

.    .41a)

1 — cos —

die Reduktionsformeln 1 4~ cos —

cc

und 1 — cos — =2 sin 2

berücksichtigt in Verbindung mit Gl. 34: LT-, ¹ i /

7+4 °£nt f

41b)^ =

JO

cotg -

) = * + \ losnat (

-a

cotg -

Setzt man in 41a) für cos

= 2    , lezw. t — -Î- ^Gl. d^,

dann wird auch

y«

-+ ¹

r '    4

L    , r ₁

T ~ ‘ + T ¹

Diese Gleichungen wurden und die Werte in die Tabelle P I und II übertragen.

lognat T

y₀

t-H

loguat

1 +1±

r r

y₀

oder 41c)

(' + y°) = t +

Vt — y₀/

( t +

\t — m/

*)

.    .    41d)

zur

Berechnung der Bogenlängen verwendet

4. Absteckung der Parabel vom Bogenanfang oder Bogenende

Um einen Parabelbogen von einem Berührungspunkt einer Tangente abzustecken, können wir zwei Wege einschlagen. Der eine ist, dass wir den

Fig. 17.

Kt/⁷

«o

¥T

A-.J

Koordinatenanfang von Bogenmitte nach diesem Berührungspunkt, Bogenanfangoder Ende oder dem Hilfspunkt Q verlegen, und rechtwinkeligen Koordinaten verwenden. Der andere Weg ist Sehnentangentenwinkel (§ 1 Nr. 2) einzuführen bezw. nach dem Prinzip der Polarkoordinaten zu verfahren.

Die Verlegung des Koordinatenanfangs nach Bogenende, die Abscissen-achse als Tangente angenommen, führt zu ziemlich verwickelten Formeln. Einfacher gestalten sich diese, wenn man eine parallele Koordinatenverschie-bung vornimmt, ohne Drehung derselben. Dasselbe gilt auch für Sehnentangentenwinkel.

A) Nach dem ersten Verfahren verlegen wir das Koordinatensystem von Y M X Fig. 17 nach Yj Q Wj und Q Wx sei Tangente, zugleich Abscissen-achse, Q habe wieder als Hilfsbogenpunkt die Koordinaten auf Y M X bezogen yx. Die neuen Koordinaten für einen beliebigen Bogenpunkt seien if, v. Bezogen auf M als Anfang, ist für B

BF =

. a)

— MF²

Aus der Figur findet man

B F — V cos d -f- (jj — s sin d)

MF — x₂ — (£ cos d -f- v sin ö), es wird sonach, in a eingeführt, . v cos d — y± — £ sin d = —    — £ cos d — v sin d'^

Bezeichnen wir die Tangentenlänge Wj Q mit T

Ti — VIp -f ⁴ 7i) 7i > ferner ist yi — t

hieraus findet man cos d —

b) .

xi

x₁ -,    — Tt cos d,

so ist bekanntlich ²Jl

Tx

sin d,

V(p + ⁴ yö yi ’ v P" 4- 4 xi *

, sin d —

2 xx

j/p² -j- 4 Xj²

Setzt man für den Augenblick y p² 4 Xj² — b und für £ = x, v =■ y

dann wird aus Gl. (b), die Werte für sin d, cos d und für yx —

V einge fuhrt,

CÎ

r-f Ph

-?)}

, hieraus folgt

c) .    .    . NB = y =

b3

Bpxxj

8xj

b3

2 Xj

Hier gilt das obere Zeichen für die Absteckung nach W₂ ; das untere für die ‘Absteckung nach Bogenmitte zu. Setzt man p —2r, dann wird b =: 2 y r² -|- und

y — xi

il i >1

d) -

[■-V‘±(ï)

für

xi

_ i [‘ • (i)

ayy=-(ÿ

xi

= d gesetzt, folgt

e) .

c (i - \

i±,J)

Man kann diese Gleichung auch abhängig vom / P / a Fig. 16 aufstellen, Avenn man

xi — ~2 cotS

einführt; nach einiger lieduktion findet sich

f)

[¥('

— V 1±

a^ + xj

COtg

wenn a

■iff. j -.1    ²a\³

\    0 + -4 “'S y)

Den Berührungspunkt ATon Q nach E Bogenende Fig. 16 verlegt, vertäu -

, dann Avird analog ff)

sehen wir Xj mit x₀ oder setzen 2 x, — x₀ = r cotg

y = tg

JO R

-•

1-1/ 1-

— ax J — x I worin •

JO

¹

Empirische Formeln für Schienenüberhöhung abzuleiten, habe ich unterlassen, da sich solche in anderen entsprechenden Werken in der nötigen Ausführlichkeit vorfinden.

Nach den bisher bestehenden Bestimmungen giebt die Tabelle A über Schienenüberhöhung und Erweiterung der Spur einige praktische Anhaltepunkte.

Aus einer grösseren Anzahl praktischer Ausführnngen habe versucht, eine empirische Formel für die Überhöhung ahzuleiten, und gefunden, dass im Gebirgs- und hügeligen Terrain für Radien 1100™

für Thalbahnen, Ë7 1100™ zu nehmen sei.

²

edoch für Radien 600m m =

³

Die Gleichung der Übergangskurve für die Praxis lautet dann

⁴

x⁴

⁵

In der Praxis erhalten Radien 3000m keine Übergänge. S. unter VI«

⁶

Umformung der Gleichungen für den praktischen Gebrauch.

Es scheint für die Praxis am geeignetsten die sämtlichen Formeln abhängig vom Minimalkrümmungsradius r aufzustellen und relative Verhältnisse zu bilden.

⁷

Weitere Folgerungen, Näherungausdrücke S. unter VI.

cotg -y

«i =

Ü(x + cots y)J

Das obere Zeichen entbehren wir, weil sich an E unmittelbar die Gerade anschliesst.

Eine praktische Anwendung dieser Gleichungen ist wohl kaum empfehlenswert, da sie zu einer tabellarischen Übersicht, unter welcher Form eine solche auch zur Anwendung gelangt, zu verwickelt sind.

B) Günstiger gestalten sich die Formeln durch Einführung einer neuen Veränderlichen, dem Sehnentangentenwinkel.

E Fig. 18 sei wieder Bogenanfang oder -Ende. EW die Tangente an den Parabelbogen M E ; v Radius vector und ß der zugehörige Sehnentangentenwinkel für-den beliebigen Bogenpunkt N; die übrigen Bezeichnungen sind die früheren.

Fig. 18.

a/z

Xo

a/z\ U

—*-Ly-

^ E == NEP ist 90° —

( -+*)

JO R

a — v cos

90°—

, folglich

(I + ')] = *sin (t + ß) ■ ( +') • • • •

• g)

JO R

. h)

Zufolge der Gl. der Parabel (32) gilt für E und N

x₀² — 2r y₀, x² = (x₀ — a)² = 2ry .    .

• i)

y₀ aus (i) in (h) eingesetzt, folgt

(t + ')

— y == v cos

oder x₀² — 2ry =2r v cos

(t + '>

Ferner für 2 r y seinen Wert aus (i) und für a — v sin

(t + ')

verwendet, folgt zunächst x² — (x₀ — a)² — 2r v cos entsprechender Reduktion der Radius vector 2x₀ sin

e+>)

und nach

(Î +>)

— 2r cos

(ł + ‘>)

sin

cc

Da nun x₀ = r cotg —, Gl. 37, so ergiebt sich v abhängig vom klein-

sten Krümmungsradius, vom Ausschlag ß und dem ^ P    wie folgt:

42)

cotg — cotg

sin ß

sin

a .

sin — sin

Xt + ')

von

Wir haben es bis jetzt noch unterlassen, vorstehende Polargleichung der Parabel für die Praxis zu verwerten: obgleich dieselbe viel einfacher konstruiert ist, als die im vorigen Falle A. Wie man leicht übersieht, ist für diese Gleichung allein ein voluminöses Tabellarium erforderlich, da v gleichzeitig ö/₂ und ß abhängig ist.

Eine Reduktion auf rechtwinkelig# Koordinate lässt sich hier leichter bewerkstelligen als oben. Ist Fig. 19 E W die Tangentenrichtung, E Bogenende, so folgt unmittelbar y — v sin ß und x — v cos ß oder mit (42) kombiniert

sin —

sin 2 ß

£sin ( a + ß)

und

43) . .

■ (i)

sin ²ß

sin

sin

(a +0

Fig. 19.

tvr

Diese Formeln ersetzen die in A aufgestellten direkten Ausdrücke vollkommen, wenn nur ß (progressiv von 5min zu 5mm circa) so gewählt wird, dass fortschreitende Abscissenlängen von 10m zu 10m wenigstens resultieren; sie erfordern aber auch ein ungemein grosses Tabellarium. In einzelnen besonders schwierigen Fällen bei den Feldoperationen, dürfte es nicht schwer fallen, sie ausnahmsweise in Rücksicht zu ziehen. Um für die praktische Anwendung in solchen Fällen, den Ausschlagwinkel ß betreffend, zu wünschenswerten Grenzen zu gelangen, wollen wir der Vervollständigkeit wegen es nicht unterlassen diese festzustellen.

C) Bezeichnen wir Fig. 20 mit ßn den Ausschlag von der Haupttangente E W aus nach Q, die Bezeichnungen ßt und ß₀ sind schon aus Fig. 16 bekannt, dann folgt unmittelbar aus der Figur, /\ EQ R

(a

cotg

y₀ — yi

Die obigen Werte für y₀, yy und Xy (Gl. 30 bis 40) abhängig von-^p

substituiert, ergiebt sich nach entsprechender Reduktion

1    a

-Tc°tgT = --und entwickelt tg ß

cotg

Zerlegt man cotg schliesslich

(T + ß') = C0‘g 2 (t + ß")

cotg -

ff ’

so findet man

tg ß„ =

*2

a

sin a

7 — cos a

.    .    44)

³ cotg ₂ + 4

Für a — 80° erreicht ßlt das Maximum für den praktischen Gebrauch, dann wird ß„ ■=. 7° 36'.

In derselben Weise findet sich . übrigens auch (S. Gl. (n) S. 34 )

cotg

tg ß, —

sin a

*)

" a 3 — cos a

. . 45)

² + cotg ₂

D) Am geeignetsten für die Herstellung einer praktischen Tabelle erscheint es, wie schon oben bemerkt, behufs Absteckung der Parabel von

Fig. 20.

//

Xo

So

Xr

ft

ßo\

-j-

tT7 *ry

Y /

n.>

Bogenanfang oder -Ende eine parallele Verschiebung des Koordinatensystems vorzunehmen. Die resultierenden Formeln lassen sich durch Einführung von Hilfskonstanten unabhängig von / P / ß aufstellen, sind somit für alle Fälle ausreichend.

Die Gleichung der Parabel für den Anfangspunkt 0 ist Fig. 21 y² — px. Verschieben wir das Koordinatensystem parallel zu sich selbst nach einem beliebigen Bogenpunkt Oi, dessen Koordinaten a, b bezogen auf 0 sein

*) tg ß, =

c°tg y

liefert nach

aufgelöst zwei Werte

VX — ⁸ tg ²/?m für tg /?, = \

tür ß, — 19° 28" 15” ändert sich die Funktion, wie auch aus der Haupttabelle I in der letzten Rubrik zu sehen ist.

(C

tg 2    2 tg ß,

— oder

(t)

mögen, dann wird für den Parabelpunkt P, dessen Koordinaten aufOi bezogen if, v sind, x — £ -4- b, y = a -|- v und die Gl. der Parabel für 0₁ als Anfang

a)

(« + »)² = p (S +1)

= ^ X₀ E Y₀, der

Ist EW wieder Tangente, E Bogenende,

halbe ^ P dann ist für a — x₀, b = y₀, Oi nach E verschoben, zu setzen. Fassen wir jetzt die Abscissenrichtung nach Bogenmitte ins Auge, so müssen wir £ negativ einführen, dann folgt aber Gl. (a) in letzterem Sinne verändert (v -f- a)² — p (b — £) oder v² -|- a² -f~ 2at> = pb — p£, ist wie gesagt a² = x₀² = pb, b =: y₀, demnach v² -f- 2an = v aufgelöst v — — \ p y₀ ± \ p y₀ “Pb

Zur Absteckung nach Bogenmitte zu von E müssen wir endlich noch v auch mit negativem Zeichen versehen um die in Fig. 21 gezeichnete Lage zu erhalten, ausserdem gilt für den gezeichneten Parabelast das obere Zeichen, und folgt dann endgültig die Koordinaten v, £ mit y, x vertauscht in der üblichen Schreibart

• y = /py« — V py<> — px = ypyo — Vp (y<> — x)-

nun

b) .

Fig. 21.

x«

fmJC H

— Pb,

u-v

f-

Y₀

1—

«/*•

*----je---- -»

gesetzt,

Vorstehende Gleichung beiderseitig durch r dividiert, und für p — 2r

\ 2 — = — (nach Gl. 40, S. 35) ist in der Tabelle PI r r r

enthalten; setzen wir dieselbe heraus, dann erhalten wir einen Ausdruck, der sich leicht in tabellarische Form bringen lässt, nämlich

Die Konstante

46)    .    .

(t)

<-i

/s, ».

(:■)

Tabelle PIV enthält für

—— — 0 001 bis 1 die relativen Ordinatenwerte

Der Gebrauch dieser Tabelle erheischt allerdings zur Bestimmung der absoluten Koordinaten eine doppelte Multiplikation auf dem Felde, und zwar

oder, wenn y₀ bereits bekannt, Avas immer vorausgesetzt Averden kann, mit y₀, die Ordinatemverte mit r und der Konstanten

die Abscissenwerte mit r und

y«

■< / yo

X ^ r (Tab P I); ausserdem muss die Abscissenachse seihst von der

besonders markiert Averden.

Tangente E W nach Bogenmitte zu um

(S. Fig. 22). Die Anzahl obiger Multiplikationen beschränken sich indessen immer nur im Maximum auf 9 bezAv. 10, da die sämtlichen andern nur von diesen abgeschrieben, richtig unter einander gesetzt zu Averden hraixchen.

5. Absteckung der Parabel vom Hülfsbogenpunkt Q.

Bei den verhältnismässigen langen Tangenten der Parabel ist es noch mehr als beim Kreis erforderlich, wenn es die Terrainverhältnisse zulassen oder gar gebieten, die Parabel noch von einem ihrer Bogenpunkte zwischen Bogenmitte und -Ende abstecken zu können. Wir haben hierzu den Bogenpunkt Q gewählt, welcher hei allen Kegelschnitten die günstigste Lage hat.

Die Aufstellung der Formeln durch rechtwinkelige Koordinaten erfordert keine besondere Theorie mehr, Avenn wir dasselbe Verfahren wie zu Ende des vorigen Abschnittes (unter D.) einschlagen.

Wir müssen hier zwei Fälle unterscheiden: die Absteckung von Q nach Bogenmitte zu und die nach Bogenende.

Fig. 22 giebt in der Zusammenstellung diese beiden und den eben im vorigen Abschnitt besprochenen Fall. Die Bogenpunkte und N₂ lassen sich vom Bogenpunkt Q aus durch das Koordinatensystem Yi Q Xx hezw. N₂ von E durch Y₀EX₀ ermitteln; X₂ aber auch von Q aus durch Y₂QX₂. Die Lage der Ordinatenachse YiQYg läuft parallel zur ursprünglichen Ab-scissenachse M X.

Auf das Koordinatensystem YxQXi bezogen, lautet die Formel in Gl. 46 y₀ mit yi vertauscht

Fig. 22.

-Ytr

y-jr-y-

DL

.    .    47)

yi

2 Zł sind Avieder in Tabelle P I enthalten, r

und liefert Tabelle P IV die Tabellemverte der Gl. 47.

Die Konstanten

und

Die Absteckungsformel für das Koordinatensystem X₀ Q Y₂, für Bogenende zu, liefert uns Gl. (a), S. 42. In (o -f- a)2 pb -— 2rb eingeführt, nach v aufgelöst folgt

v —

Vertauscht man liier wieder v mit y, £ mit x, setzt b durch r, dann folgt nach bekannter Reduktion schliesslich

Q, nach

■Jf)

+ Y2r (b + £) — y 2rb

yj, dividiert

48)    .    .

(f)

Mit Benutzung der Konstanten aus der Tabelle PI liefert Tabelle P V die nach dieser Gleichung berechneten Absteckungswerte.

6. Absteckung der Parabel von Bogenmilte mittelst Sehnentangentenwinkel.

Dieses Absteckungsverfahren, analog dem des Kreises § 1 Abschnitt 2, wird man überall da in Anwendung bringen, wo es die Terrain Verhältnisse nicht gestatten, rechtwinkelige Koordinaten zu benutzen.

In Fig. 2d ist M. Bogenmitte. Der Bogenpunkt N ist bestimmt durch ß und dem Radius vector v, die Koordinaten von N seien y, x.

Verlegen wir den in Fig. 18 angenommenen Pol (in Bogenende E) nach M, so erhalten wir die der Fig. 23 zu Grunde gelegten Pol- bezw. Koordinatenlage. Für diese ist a/₂ ~ 90°.

In den allgemeinen Gleichungen (42) und (43) Seite 40,

90° gesetzt, resultieren die jetzt zu verwen-

Fig. 23.

V/

⁷X

daher a/₂

denden Abstecküngsformeln. Es wird nach entsprechender Reduktion, selbst- . redend unabhängig von aj₂

49)    .    .

2tgß

cosß

50)    .    .

tg

2 ——die zugehörigen Koordinaten ■ = .2 tg ß,

= 2 tg’ ß

Für ß = o bis 40° ist hiernach die Tabelle P III berechnet, welche wohl keiner Erklärung mehr bedarf.

ï cotg or/₂.

Nach Figur 16 bezeichneten wir den grössten Radiusvector von Bogenmitte, die Maximalsehnenlänge, mit s₀, den zugehörigen Winkel mit ß₀, und fanden S. 34 Gl. m und mx, tg/?0 Nun ist Fig. 16

x0

— =: cos ßü, woraus s0 so

xo

cos ß₀

durch r dividiert, folgt

cos ßQ

Nach dieser Formel sind in Tabelle P I in der 7. Spalte die relativen Maximalsehnenlängen berechnet. Setzt man in (49) für ß = ß₀ , v — s₀, also

tg. ß₀ — I cotg a/₂, cos ß₀    so lindet sich wieder

so

S. 33. In demselben Sinne ergiebt sich aus (50)

~ = 2 cotg ² a/₂ = 2 tg ²ß₀.

In Bezug auf Absteckung durch rechtivinkelige Koordinaten von Bogenmitte, ergänzen sich Tabelle PII und PIII gegenseitig.

xo

— = cotg a/s G1- (g-)

7. Beispiele und Anwendung der Tabellen.

Obwohl die vorliegenden Tabellen in ihren Anwendungen keine Schwierigkeiten bereiten werden, so wollen wir es doch der Vollständigkeit wegen nicht unterlassen, einige Beispiele zu berechnen.

1. Beispiel. Für a — 120° und r = 2000m Minimalradius sind die Hauptdimensionen der Parabel aus den Tabellen zu entnehmen.

Tabelle P I liefert für aj₂ = 60°,

— 1 • 540, woraus R = 1-540.2000

= 3080m, also ^ 3000 m.*)

Tangentenlänge T 0,66667.2000 = 1333 333m; Bogenlänge L — 1-215970.2000 = 2431'94m, Maximalkoordinaten für Bogenende oder Bogenanfang x₀ = 0-577350.2000 = 1154- 70m, y₀ — ⁰‘ 166667.2000 = 333,323m, Maximalsehnenlänge s₀ — 0"600754.2000 = 1201 ’508m; Maximalsehnenwinkel ß₀ = 16° 5' 53"; Bogenmittenabstand m = 333"333m; Koordinaten des Bogenpunktes Q, x₁ — 0-288675.2000 = 577-350m,    \ y₀ =

— — 0 "0417605 also ganz rich-

83'521m. Die Bogenlänge bis

83,333ra. Tab. PII liefert für - -tig nahezu y₁₅ y = 0*0417605

beiderseitig von Bogenmitte durch Interpolation aus Tabelle P II,

I-Î

= 0-289,

zu

0*58603

also L = 0,58603.2000 — 1172,06m.

Soll die Parabel mittelst rechtiv. Koordinaten von Bogenmitte aus abgesteckt werden, dann ergiebt sich von 10 zu 10m aus Tabelle P II

für — =

0-005,

001,    0-015,    0-02,    0-025,    0-030

0,0000125 C000500 0001125 0002000 0003125 0004500....

für x =

10,

0-025

20,

40

50

60m

0,400    0,625    0,900m

0,100

Der Abscissenlänge x =

Tabelle P 111 der Sebnentangentenwinkel ß = 2°20 und die Sehnenlänge v — 0,081562.2000 = 163,114m.

160m, genau 162’988m entspricht laut

Ist es geboten die Parabel von Q durch rechtwinkl. Koordinaten nach

*) Sollte für den gleichen / P / der Minimalradius z. B. r = 500 in Anwendung kommen, dann würde der Anschlussradius R = 1 " 54.500 — 770m, für Hauptbahnen natürlich nicht zulässig.

Bogenende zu abzustecken für die hierher beziigl. Konstanten Tabelle P I,

■fJ7i

— 10-166667= 0*041666

= 0-288675,

dann liefert Tabelle P Y

für

(:)

ft)

0-1

0-2

0-3

• 0-4 ... .

ft.

= 0-04881    0-09545 0,14018 0,18322

0-288675

endgültig

für x =

8-333

28-180

lO

io

00

•000    33⁻333m . . . .

•984    105"782m .. . .

108

2. Beispiel. / ¥ / a = 65°. 10' Minimalradius r = 470™; Tabelle

P I für 32° 35' = a/₂,

= 6-402, R = 6-403.470 = 3009™ rot.'

Die weiteren Hauptdimensionen sind:

Tangente = 2 9054.470 = 1365"562m Bogenlänge L = 4.12556.470 = 1939*013™

Maximalabscissenlänge (Bogenende) x₀ = 1-564659.470 = 725*390™ Maximalkoordinate y₀ = 1 "22408.470 = 575"318™

Bogenmitte m = y₀ = 575*318™

Lage des Bogenpunktes Q, Xj = 0,782329*470 = ~ = 367*695™

7t = ¹UYo = Vi 575*318 = 143,829™. Die Absteckung von Bogenmitte durch Sehnentangentenwiukel Tabelle P1II liefert für

2°,

3°,

ß =    1°,

v— 16*410,    32-845,    49 331,    65*

4°

5°.

u. s. w. u. s. w.

Vom Bogenende durch rechtwinkelige Koordinaten abgesteckt, erhält man

ÛC -

82-554

die diesbezüglichen Werte aus Tab. PIY. Die Konstanten sind

yo

=1-22408

bezw. y₀ = 575,318 und

1/ = 1

•564659. Von 6 zu 6™ wird

für

ft)

0-01 0-02

0-03

0 04 . . .

ft)

J 2^

= 0-0051    0,01005    0,01511    0,02020 .... oder

5,753    11,506    17,259    23,012....

3-685    7-380    11,112    14-852 u. s. w.

3. Beispiel. Es sei r = 2700 und «/₃ = 75°, also R = l'H.2700 = 3000, dann sind die Hauptdimensionen nach Tabelle P I.

T — 0-27740.2700 = 748¹98m L — 0,542242.2700 = 1464'05m x₀ = 0,267949.2700 = 753-46® y₀ = m = 0,035482.2700= 95¹80®

4. Beispiel.¹) Aus irgend welchen Gründen soll in einem Strassen-projekt im Gebirge (Zulässiges Minimum r = 75m) eine Parabel verwendet werden für den kleinsten Scheitelradius r = 100m und / ¥ / cc[.₂ = 40° und r =± 100m.

T = 185¹40 [119¹18], L = 286¹47 [174-53], m = 71¹01 [55¹57] Die in Klammern stehenden Zahlen sind clia entsprechenden Kreisdimensionen nach Tabelle K I.

IV.

Die Hyperbel als Eisenbahnkurve.

1. Aufstellung der allgemeinen Gleichungen.

zu

Um einen Hyperbelbogen als Eisenbahn- (ev. Strassen-) kurve verwenden können, ist es zunächst wieder erforderlich, die sonst übliche Mittelpunktsgleichung der Hyperbel in eine Scheitelgleichung zu verwandeln, so dass die verlängerte grosse Achse der Hyperbel, Ordinatenaclise, der Scheitel zugleich wie bei der Parabel Bogenmitte wird.

Fig. 24 stellt diese Lage dar. AMOE ist der Hyperbelbogen, TMX das Koordinatensystem, M Bogenmitte, E Bogenende (oder Anlang), P ein beliebiger Bogenpunkt dessen Koordinaten x, y und dessen Krümmungsradius p, während r der kleinste (bei M), K der Anschlusskrümmungskreis an die Gerade EG, R^3000m, ist. Die Bezeichnungen sind im übrigen gleichlautend mit denen der Parabel. Die Buchstaben M und G müssen in der Fig. ergänzt werden.

Der Hyperbelmittelpunkt O fällt wie bekanntlich ausserhalb des /¥ /W. dessen Grösse auch es ist daher OM = a die halbe grosse Achse (Konstante), während wir auch mit b die imaginäre Achse bezeichnen wollen.

Aus der Mittelpunktsgleichung der Hyperbel folgt für die der Fig. 24 zu Grunde gelegte Koordinatenlage leicht

(a)

y+a = yj/ x²-f-b²

Die beiden ersten Ableitungen sind

und

dy

d² y

ab

dx

d x²

y(x¹ -f- b¹/

b yx²+b¹

Der Krümmungsradius für den beliebigen Bogenpunkt P

ab⁴

d² y

d x²

b) .    .

c)

Für x = 0 ohne Rücksicht auf Konvexität und Konkavität der Kurve wird — der Minimalkrümmungshalbmesser.

Der Parameter der Hyperbel hat den Wert p ........ p = 2r,

2—- oder (b) eingesetzt, <1

b²

Setzen wir in die Gl. (a) — für a aus (b), dann findet sich die Gleichung der Hyperbel für unsere Verwendung allgemein d) .    .

^ |/x2 + b²

b²

7 Wx²+b²-b]

Fig. 24.

»\

Für x = o wird y o, für x = x₀ (Bogenende)

yo =

Aus der Gleichung (d) die beiden ersten Differentialquotienten entwickelt, oder in die obigen für a seinen Wert aus (b) eingeführt, erhält man

, hiernach wieder für

e) .

ei)

dy ________

dx rÿx² -f-b²’ d x² ry(x²-f-b²)3 -y' [x²(r² -j-b²) “h r2 b²]³

d² y

b³

, für x — o wird jetzt q — r.

r² b³

Der erste Differentialquotient bezogen auf Bogenende E, dessen Koordinaten x₀, y₀ ist zugleich trig. Tangente des Winkels cp = 90 — a/₂, nämlich

tg cp

xo

yv+b²’

oder, weil tg cp = cotg «/₂

tg «/2’

rl/ ¹ +JL

r b² ' x₀²

Aus der Figur folgt unmittelbar x₀ = T sin or/2 Für die Verwendung der Hyperbel als praktische Eisenbahnkurve müssen wir die ideale Konstante b aus solchen Elementen auszudrücken suchen, die uns als absolute Werte in der Praxis vorliegen, dem P X q/₂ und die Tangentenlänge T WE. Hierin liegt bereits schon eine gewisse Abhängigkeit oder vielmehr Beschränkung der Hyperbel in der Anwendung.

Setzt man in Gl (f) den Werth für x₀ aus (g) ein, so erhält man, die Konstante b entwickelt,

g)

V²

. h)

_«/.v ( ¹ y

r / \Tsinor/₂/

«/₂

sin ctL

Letztere Gleichungen enthalten die Bedingungen, dass T

cotg «4

sin a/₂ *

Für unseren Zweck ist es nun von Wichtigkeit diese Ungleichung für T zu umgehen. Es ist dies möglich, wenn wir den Maximalkrümmungsradius R für die Abscisse x₀ (Bogenende — anfang) in Rücksicht ziehen. Suchen wir zu dem Ende zunächst x₀ abhängig von R, b und r zu bestimmen.

In (ej) x für x₀ und q für R gesetzt, folgt

während wir aus Gl (f) S. 33 der Parabel fanden T

j^x₀² (r² + b²) + r² b²j³

r² b³

nach einiger Reduktion ergiebt sich hieraus

x₀ =

i)

r2 _|_ ^2

Damit nun T genau die Länge erhalte, welche dem Krümmungshalbmesser R bei E entspricht, entwickeln wir ferner aus (h) oder (hj) den Wert T selbst; es folgt

sin aj

Weil aber auch T sin or/₂ = (k) kombiniert,

.    . k)

x₀, Gl. (g), so ergiebt sich die Gl. (i) und

l2

r R² —

r² -f- b²

Letztere Gleichung liefert uns nach entsprechender Reduktion einen Ausdruck für b = f (or, R, r), und zwar

r yR

Der Nenner dieses Ausdruckes erhält wieder eine Bedingung

m)

tg²a/₂^R²—    aufgelöst r R sin ³cr/₂

Bei der Parabel fanden wir r = R sin ³«/'₂.

Was nun endlich noch die Hauptelemente x, m, y, t anbetreffen, so können wir diese in der folgenden Weise entwickeln.

Aus /'YEF Fig. 24 ist y₀ — t cos «/₂, somit

)'o

n)

cos a/.₂

oder nach (dj)

ni) .    •

b (/V 4- b2 — b)

COS ß/₂

Ferner ist bekanntlich die Länge der Subtangente WZ

st = zo —

a2

zo

oder es ist

St — yoH~a —

da nun auch St = y₀ -j- m, so folgt durch Gleichsetzung

}'o + a’

a²    b²

m = a — --—-, a rzr — eingeführt, der Bogenmittenabstand

Po T" a    r

V 1)^

m —----— ; auch ist direkt aus der Figur

}ro r + b²

°l)

...... m — (T — t) cos

Ebenso ergiebt sich aus Fig. 24 .......x² =

" und

aus der Hauptgleichung (d) für x —x^, y = y^.

p)

g)

>.•411

b² —

'I

Das Verhältnis—können wir aus (1) oder (lj) ableiten, nach einiger

Reduction gelangt man zu

cos a

und

53)    .    .

52)    .    .

Hi

er

54)    .    .

tg² «/o —

cos ² a/₂

Ph -

Damit jederzeit reelle Werte für resultieren, kommt die Bedingung (tu) in Betracht, nach welcher

sin ³ «/_,

Aus (k) findet man die relative Tangentenlänge abhängig von

.    .    55)

O'

rH rH

sin a/₉ j/ tg ²«/₂

( £T • •

.    . 56i)

In diesem Ausdruck Gl. 54 eingeführt, folgt nach einiger Reduktion

cotg <*k\f

f r

56)

(g) liefert mit Benutzung von (56)

. xo

T

— sin a/₀ —

r    '•

Aus (0), (0i) und (p) folgt

cos a

■. . 57)

( -i)

cos a/₂ =

? (t)

yo _

(bJ

58)

und auch nach (n), (ni)

¹ r    i

_____ r I I f /xo V. (h V _ b

cos a/₂ cos a/₂ r y^T/ ‘ \ r / r Endlich noch geben (p) und (q)

yo

.    59)

xi

tg a

60)

. . 61)

Während bei der Parabel nur ein ganz bestimmter a für zulässig

ist. R

Wodurch ein einmal gewähltes Krümmungsverhältnis nur einem einzigen / Y / angepasst werden kann, wird bei der Hyperbel durch die Bedingungsgleichung (55) r

sin ³a/₂

R

——s— diese Beschränkung aufge-sin ³a/₂

hoben, hierin liegt ein Vorteil der Hyperbel gegenüber der Parabel, ihre praktische Verwendung betreffend.

Ist z. B, R — 3000m, a/₂ = 45°, so folgt aus (55) r 3000.0'3535 X 1060 rot.

Eür einen Winkelpunktwkl. von 90° und einen Anschlusskrümmungsradius von 3000m, lässt sich die Hyperbel für eine Reihe von Minimal-krümmungsradien r anwenden, welcher sämtlichen 1060m sein müssen.

3000

R 3000

500

300

= 10 etc.

Es enthält auch Gl. 53 wieder die Bedingung, welche die letzte bis zu einem gewissen Grade beschränkt. Wie leicht

b    .    ³ r

muss zugleich auch — reel, d. h. sin a/₂|/

freie Wahl von

zu überseheù, dasselbe sagen will, wie Ungleichung (55).

Im vorerwähnten Beispiel, a/₂ = 45°, muss

1 sein, was

r-H Gx

1T³V

^> 1 oder

2³8 sein, d. i. wie oben r 1060m.

3. Die Rektifikation der Hyperbel.

Die Bogenlänge einer Kurve, welche durch zwei Gleichungen gegeben ist von der Form x — f (u), y F (u) ist bekanntermassen,³)

Fig. 25.

q) .    .

S=JU1

d x\ ²

dy

du

du

Der Hyperbelast MQ Fig. 25 hat die Länge s, 31 sei Scheitel, YOX das rechtwinkelige Koordinatensystem mit dem Anfang in 0, dem Mittelpunkt der Hyperbel, a, b die Hyperbelkonstanten.

Die Veränderliche u sei eine Winkelfunktion, und zwar setzen wir in die Mittelpunktgleiehung der Hyperbel x² b² — y² a² — a² b2,

x = f (u) hezw. f (<p), nämlich x = andere Gleichung x = F (<p); es folgt aus der Mittelpunktrechnung y² a² =

-, dann erhalten wir die

cos cp

a²

x² b² — a² b² —

cos ²

b² — a² b², hieraus wird

y² = b²

COS ²cp

= b² tg ² cp und y b tg cp.

Vorstehende beide Gleichungen für x und y lassen sich auch graphisch

darstellen.

Es sei MMj ein Kreisbogen mit dem Radius a und dem Centriwinkel q> Fig. 26. Errichtet man in Mi eine Tangente MiP, so stellt ein recht-

winkeliges /\ OPMi das Verhältnis ¹ 3=    , den cos cp dar. Verkürzt

man a um M/T, sodass OT — h, errichtet die Tangente TS in T, so ist

ST

im /\ OTS, = tg cp oder ST = y = b tg <p die Hyperhelordinate, in Fig. 25 mit PQ bezeichnet.

Differentiiert man in beiden Gleichungen x, y nach cp, so folgt _

d cp cos ²cp

(£)'+(£>' =

dx

asin cp

Oil Oj

— 2 ’ cos zcp

dann wird der Wurzel wert in (q)

a² sin² cp -j- b² a“ -]- b² — a² cos ²cp

a²

a₂ + b²

a²

cos

v)

cos

cos

cos

Setzt man

a2 ^2

—--= c², c eine vorübergehende Konstante,*)

a²

• r)

so erhält man eine für die Auflösung des obigen Integrales (q) passenden Ausdruck; es folgt zunächst

\'(W+ (»)’

.V«'¹

cos ²

COS ²(f

sodann die Bogenlänge der Hyperbel in den Grenzen cp — cpi und cp — cp2 nach einiger Umformung

ac .

2 1/ 1 -

COS £cp *

cos ²

c²

Ł cp 1

Lassen wir den Bogen in M beginnen, so wird cp — 0, vertauschen wir cp2 mit cp (weil cp\ = 0), dann können wir das Integral auch schreiben

cos ²

rp

ac

c² d cp

cos ²cp

Die Wurzel nach dem binonischen Lehrsatz aufgelöst, ergiebt sich**)

ac

d cp

cos

1    cos ²cp

2    ‘ c²

1 cos *cp 1.3 cos 2.4 T*ï 2.4.6 c⁶

1 3.5 cos ⁸cp

1.3.5.7 cos

2.4.6.8 c8 “ 2.4.678.10

h)cp

c¹⁰

~    * J

₌ j/ a⁴ + b²

oder

⁶. wenn e die Ex-a

*) Die sogenannte uumerische Excentrizitât c centrizitât.

**) S. Dr. Dienger, Diff. Int. Rechnung, Stuttgart Metzler, elliptische Integrale.

ca

*P

d (p

cos ²cp

2c²

~*<P

d cp —

r*<p

Jp

2.4.C⁴

cos ²cpdcp —

1.3

2.4.6.C«

cos

Die ersten beiden Integrale aufgelöst und die der vielfachen Cosinusbezeichnet, folgt

potenzen vorübergehend mit "'S

_j2n + 2

si)

ac I 'I - h

1.3

1.3.5

2.4.6.8.c⁸

2e

_V -_____

2.4.c⁴    2.4.6.c⁶

1.3.5.7

2.4.6.8.10.c¹⁰

24-

S.- • ]

Fig. 26.

n x Sm.....—............\

Zur Auflösung der vorstehenden j' verwenden wir am besten die Rein A SiU ⁽P S    m~¹    I m

cos ¹¹¹ x d x = -— \ cos    cp -f-

m l    m

(m—l) (m—3) (m—5)

(m — 2) (m—4) (m—6)

cos (p -j-

kursionsformel.*)

2- =/

(m—1) (m—3)

(m—2) (m—4)

(m—1) (m—3) ....

(m—2) (m—4) .... 4.2

cos

Man findet der Reihe nach

m—3

fr +

m—7

ff + .

(m—1) (m—3) .... 3.1

(m—2) (m—4) 7. . 7 4.2 <P

<P + ffl 2

—2

cos

sin y

cos

(cOS ³<p -(- ³/₂ cos cp^ -f-

COS

1.3

2s

2e

_sin <p

=    (cos ⁵cp -f- ⁵/

(cos ⁷<p -J- ⁷/g cos ⁵(| -f-

₄ COS ³cp -f-

1.3

4.2

cos cp\ -f-

7-5

6-4

cos

³ (p +

7-5-3

6.4.2

cos cp

1. .5

A 476 V

1.3.5.7

co

-t

2.4.6.8

<r-

*) Nach Sohnke, Aufgabensammlung von Dr. H. Amstein.

O«

>o

Diese Werte in Gl. (s^ eingesetzt, die Zahlenwerte ausgerechnet, wird

= a j c tgcp —

io i-¹

j/c + 16^5 (4 Sin 2 f + '>) + 6Ï

sin 2 <p

- sin 2 cp ^ cos

2048 ^(rin2,'t

cos

i(P + ⁵li '<P + \ cos

cos

v+

-<P + ¹⁵/s <f \ + g⁵ <P ) +

(>2)

21

10240 c¹¹

sin 2

cp j^cos scp -f-

CÎ 00

cos ecp +

CO ! QO

cos *cp -j-

315

192

¹

S. VI. Vergleichungen etc.

²

Umformung der Gleichungen für den praktischen Gebrauch.

Die vorstehenden Gleichungen lassen sich in der aufgestellten Form nur vereinzelt in Anwendung bringen. Eine allgemeine Verwendung erhalten sie erst dann, wenn wir sie, wie bei der Parabel, auf den Minimalradius r beziehen. Die Gleichung (d) beiderseitig durch r dividiert, liefert

³

Dieser Satz folgt aus der näheren Einsicht des sogenannten charakterischen A> in welchem das Differential des Hypothenuselements gleich dem Quadrat der Kathetenelemente ist. Durch die geometrische Lage jedes einzelnen Kathetenelements für sich ist das Differential der Hypothenuse (Bogenlänge) ebenso sicher bestimmt als durch ein bekanntes Verhältnis beider Katheten. Populär ausgedrückt: zwei beliebig grosse Linien rechtwinkelig zusammengestellt geben ein rechtwinkeliges Ą, ist das Verhältnis beider gleich 1, beide gleich gross, und werden diese unter einem rechtwinkeligen ^ zusammengestellt so erscheint ein rechtwinkeliges A m Gestalt eines halben Quadrates.

945

cos

384

Nach einigen nunmehr erfolgten genauen und für unserem Zweck in entsprechenden Grenzen gehaltenen Untersuchungen, ergab sich das Resultat, dass für die Rektifikation der Hyperbel für unseren Fall der Verwertung besimmter Hyberbeln als Eisenbahncurven, die vorstehenden 5 Glieder in der eckigen Klammer genügen, sie liefern die Bogenlänge auf 6 Dezimalen.

Die Gl. (sjj) enthält aber noch die Winkelfunktion cp und die Constante c, welche wir vorerst durch uns nahe liegendere Elemente ausdrücken wollen.

•=0+Ö'

Die Konstante c, Gl. (r), können wir schreiben

Aus y — htg cp folgt tg cp —

—l—= i + (

cos zcp    '

1 -f tg ²cp —

sin ²cp — 1 — cos ²cp = 1 —

sin 2 cp —

² TT

er

Nun ist demnach

woraus cos cp — t f    / v \ ²

I ¹ + (t)

somit sin cp =

(i)

, ferner

__. und

2’

endlich folgt aus tg cp =

cp — arc tg ^ y

Setzen wir diese Umformungen ein, dann erhalten wir

arc tg

8 z: a

er

to

«l

2.4

1 Mt)

1.3

ßi

1.3.5

2.4.6

F MO ]

2.4.68

FF KO²]

1.3.5.7

1.3.5.7.9

£i

2.4.6.8.10

IT¹+(01

924.6.8.10.12

FMOT

worin

O- V)

i+G-

-j- arc tg

er

r—I

! > (O V! h (l) I

rH

IO

zn

CO

1.3

2.4

arc tg

b

r-l j CO

cT 1*^

rH

io

IC

Ci

er M

IO

•T

2. 4

f^gt

ICI H-i

H 00

Oil cn

crT

Oî

er

criv;

io

to

h-¹

H-*

erlvj !

Ci

7.5

7.5.3

1.3.5.7

6.4

! MOT

2.4.6

V MOT

2.4.6.8

arc tg

b

Legen wir endlich die Bezeichnung und Koordinatenlage der Fig. 24 zu Grande, in welcher ME = s — —

die halbe Bogenlänge, dann müssen

wir setzen

“ ferner aus Gl. (b) S. 48 für

er h

subsituieren, und

b²

für a = — einführen. Es wird dann die relative Bogenlänge der Hyperbel

I.

— == 2

(ł)

arc tg

er x

by

768

vb+Gn

70'

21 e

²o⁴⁸il>+(t:-),J

10240

Vb+iïïY

worin

to

JO

O

Cf?

rH

I—*

t£>

(i ! I ll

h-¹

co

to

ro

4-

1.3

<T4arctg b

xo

62)

(l tnl

5+ ⁵/₄

5.3

2.4

■ i' • m)

1.3.5

i⁻

2.4.6

arc tg

00 I t-*

rH

rH

te

H—¹

Oi| -3

rH

rH

IO

©«

7.5

6.4

1RfJT

7.5.3 ¹ 24.6

/[■+&)'])

1.3.5.7    x₀

H--- arc tar

' 2.4.6.S ë b

x<>

10

j/i+

W+(?)•]

vb+Wn

9.7

8.6

9.7.5

8L6.4

vb+m

1.3.5.7.9

2.4.6.8

1.3.5.7.9

xo

2.4.6 8.10

arc tg

Auf weitere Umformungen kommen wir weiter unten zurück, § 6.

4. Absteckung der Hyperbel von Bogenende (Anfang) durch Ordinaten und Abscissen mittelst der Asymptotenparallelen.

Die Verwandlung der Koordinaten, eine Tangente der Hyperbel als Abscissenachse betrachtet, und den Koordinatenanfang in den Berührungspunkt verlegt, behufs Absteckung der Hyperbel durch rechtwinkelige Koordinaten, führt auch hier zu mancherlei Schwierigkeiten, namentlich die tabellarische Handhabung der Formeln betreffend; dasselbe gilt auch von der Absteckung durch Sehnentangentenwinkel von Bogenende (Anfang) aus. Der einfachste Weg nach Verfassers Ansicht, von der Tangente aus einen Hyperbelbogen abzusteeken, ist von der Asymptotengleichung der Hyperbel auszugehen.¹)

In Fig. 27 ist OEj ein Teil der Asymptote der Hyperbel; 0 der Mittelpunkt, WE = T wieder Tangente. OxE sei eine Parallele durch den Berührungspunkt E zur Asymptote, sie bilde mit der Tangente den d. P ist ein beliebiger Bogenpunkt, y = BOEi der doppelte Asymptotenwinkel. Ferner ist OB die Asymptote des andern Hyperbelbelastes für M nach Bogenanfang. Zieht man Pp parallel zu OB, dann ist P durch die schiefwinkeligen Coor-dinaten x = Ep y — Pp bestimmt. Der Abstand der Asymptotenparallelen von der Asymptote im Winkel y gemessen, sei u. Endlich sind a, b die bekannten Hyperbelconstanten und A — OEj. Zwischen u, a, A

a² -f- b²

a² I b²

und b findet die bekannte Beziehung statt: u A r=i    , woraus u —

t) . die Asymptotengleichung der Hyperbel folgt.

BOEt bildet ein schiefwinkeliges Koordinatensystem mit dem Anfang in O, für eine beliebige Abscisse A findet sich nach Gl. (t) die Hyperbelordinate u.

Verlegen wir nun, wie schon angedeutet, den Coordinateanfang nach E, dem Berührungspunkt, dann lässt sich aus (t) leicht für den Bogenpunkt P die verwandelte Asymptotengleichung ableiten für das schiefwinkelige Koordinatensystem in E. Man findet zunächst

1 a² -f b² 4 A — x

Substituiert man in diese Gleichung für a² -f- b² obigen Wert aus (t) und nimmt wahr, dass man bei jeder Ordinate die Distanz der Asymptotenparallelen abziehen muss für die Abscissenaxe EOl5 dann folgt der spezielle

D. V.

Fall der Asymptotengleichung, welchen wir für unseren Zweck verwerten wollen, nämlich

Für x — o wird natürlich y — o.

Zur Bestimmung der Konstanten A und u müssen wir zunächst daran erinnern, dass sich der Asymtotenwinkel y einer Hyperbel ausdrückt durch

y b tg -~~ z=z — ë 2

nach (b) S. 48 ist aber r =

b²

somit auch

v)

Fig. 27.

...........5L_____

-ft-

'S’

Aus Fig. 27 ersieht man im EWOi, dass die Winkelsumme ô + ^ - -(-180 — a/g — 180, folglich wird

y __

7)    • •

Im Dreieck EEjK ist EEF = 90 — y/₂, weiter folgt aus der Fig. JK -j- KEX = Asin yj₂ oder EEjK berücksichtigt,

xo -f- u cos (90 — y/₂) = Asin ( . Ebenso ist EG — EK -]- a

2

cos y/₂ oder y₀ -j- a — ucos y[₂ — Acos yj₂ ; A eliminiert, ergiebt sich durch Division

ermittelt man leicht hieraus sin =: -~

cos

Führt man jetzt in Gl. (x) für tg ‘ den Wert aus (v), für sin \ den

2    A

h²

Nach (v) ist

CT i-!

— tg

CM

cos —

2

, durch bekannte trig. Umformung

y

x₀ -j- usin yj\₂

yo + a — UCOS yjt

.    . z₀ -f 2 u sin

— tg hieraus ist ° 2 ’

— (yo + a) tg I

aus (y) und a = -- ein, entwickelt u, so wird nach einiger Umformung

i—I CM

yo

CT i-.

+ h — x₀

Nachdem Avir nun die Entfernung der Asymptotenparallelen u abhängig von yo, x₀, r, b dargestellt haben, wollen wir ebenso auch die andere Constante A in dieselbe Abhängigkeit zu bringen suchen. Es ist A =:

b²

u aus (z) und für a =

1 a² + b²

eingeführt, folgt

[c-r+o

()To '    ^ xo)

CT" fl

Der in den runden Klammern in bei den letzten Gleichungen stehende Ausdruck lässt sich dadurch noch vereinfachen, dass man y₀ aus

—(— b — xq = y Xo² —j— b² x₀

Für die Praxis müssen die drei letzten Gleichungen, sowie die Bestimmungsgleichung (u) noch endlich abhängig von r dargestellt werden. Eine einfache leicht zu übersehende Umformung führt dann endlich zu

einführt, es wird dann x₀

Avorin

(dx) Seite 48

to h-*

(t)²

Der Winkel ô (Gl. w) wird für grosse P sehr klein, es ist darum geboten die Absteckung desselben im Felde durch eine Linie YVj — xj] zu kontrollieren ev. vorzunehmen.

v° ⁺ )

rc v>

Aus dem /\ VViE folgt nach dem Sinussatze X]j: sin ö = t: sin und hieraus die relative Länge von xjj

(?)

sin ô

t sin d

(I)

cos -f—

cos

• • 630

o. Gleichung zur Absteckung der Hyperbel von Bogenmitte durch Sehnentangentenwinkel.

Während sich die Absteckung der Hyperbel durch Sehnentangentenwinkel für die Tangentenberührungspunkte der Praxis entsprechend kaum durch

Fig. 28.

pJ

bequeme Formeln realisieren lässt, gestaltet sie sich für Bogenmitte doch wesentlich einfacher. Die diesbezügliche Polargleichung der relativen Sehnenlängen linden wir durch folgende Betrachtung.

Fs sei Fig. 28 M die Bogenmitte, P ein Hyperbelbogenpunkt, y, x dessen Koordinaten auf M bezogen, ß der Sehnentangentenwinkel, s die Sehne.

Aus der Figur folgt y — s in ß und x = s cos ß, hieraus ist

x _

— -- und tang a = J -

cos ß

Dividiert man die beiden ersten Gleichungen durch r, multipliziert und dividiert durch b, so kann man sie auch schreiben

sin ß

x b

— cos ß = ---

r    b r

(-)

V r / b

— und

s . a y b²

— sm ß = p —

CD²

(?) (?)

66)

sin ß₀ cos ß₀

Auf die obigen in den eckigen Klammern stehenden Konstanten kommen wir weiter unten zurück.

6. Hilfsgleichungen zur Absteckung der Hyperbel vom Bogenanfang oder Bogenende und vom Bogenpunkt 0 durch rechtwinkelige Koordinaten.

Durch eine parallele Verschiebung der Koordinaten (analog § 3, Abschnitt 4 und 5) von Bogenmitte nach Q und E gelangen wir endlich noch zu einem Absteckungsverfahren durch rechtwinkelige Koordinaten von den genannten Bogenpunkten aus, das allerdings nicht so einfach wie bei der Parabel ist, welches wir aber bei etwaigen Terrainhindernissen ausnahmsweise als Aushilfsverfahren nicht unberiicksichtig lassen wollen.

Verschiebt man den Koordinatenanfang von M nach E Eig. 29 parallel zu sich selbst und berücksichigt die umgekehrte Quadrantenlage der Koordinaten, dann findet sich für den Bogenpunkt P, der durch die obige Gleichung

(Anfang in M) y = ~ j/'x² -f b²

— a bestimmt ist, wenn die neuen Koordi-

= yo — J und I — x₀ — x.

Setzt

— 't], SO folgt

(64

er

<-t

und tang ß =.

sin ß

Bezeichnen wir auch hier die Sehnenlänge von Bogenmitte bis Bogenende mit s₀, den zugehörigen Winkel mit ß₀ (S. Fig. 24), dann ergeben sich unmittelbar

65)    .

(?)

(?)

naten mit £ und v bezeichnet werden,

Die verwandelte Gleichung lautet dann

Jo — v

Den Wert

Jo =

j/~x₀² -|- b² — a eingeführt und v mit y, £ mit x

vertauscht, ergiebt sich

^    x°2    1)2 — V(x° — x)² + ¹⁾² ] ’

in relative Abhängigkeit von r gesetzt,

67a) .

‘ nd?)'+(?)'-/(?

i-i

)’+(?)

oder auch

r xo i²

(:) (})

; er

(t) C)

+ 1 67)

Diese Gleichung dient zur Absteckung der Hyperbel von Bogenende nach Bogenmitte zu.

Verlegt man den Koordinatenanfang nach Q, so kann die letzte Gleichung zur Absteckung von Q aus dienen, wenn man x₀ und yo mit xx und yi vertauscht. Auf das Koordinatensystem Qbezogen wird dann

[tl

er x

r xi

+ 1 68)

CT

Fig. 29.

's

_______!

h#'"

Für die Absteckung der Kurve endlich von Q nach Bogenende zu, setzen wir in die letzte Gleichung x und y mit entgegengesetzten Zeichen ein, und erhalten

r xi

CT

i-i er i ^ i X

+ 1    69)

r -*

Der bezügliche Ordinatenachsenwinkel für die Absteckung von E (Gl. 67)

von der Tangente aus. Die Abscissen-

ist, wie aus der Figur ersichtlich,

io s

achse von Q, läuft parallel der Hauptachse.

Bezeichnen wir den halben Winkelpunktswinkel der Tangente Wi Q des

dann findet sich dieser aus Gl. (f) S. 48, wenn

Hilfsbogenpunktes Q mit ~

wir Xo mit Xi vertauschen 70)    .    .

V 2 X1

f (?)’+ (?)

7. Umgestaltung der bisherigen Formeln durch geeignete Substitutionen.

Auf den ersten Blick dürften dem Praktiker die vorstehenden Formeln wohl ziemlich verwickelt erscheinen. Wenn sie dies auch scheinbar sind, so liegt es wohl mehr an der mangelnden Übersicht, die sie in ihrer jetzigen Gestalt gewähren. Wir haben darum, eingedenk der eigenen Praxis, in diesem Abschnitt versucht, nicht allein, um selbst die darauf gegründete Tabellenrechnung thunlichst reduzieren zu können, sondern durch geeignete Substitutionen einen Überblick zu erstreben, welcher dem Praktiker die etwaige Berechnung verschiedener Elemente in Ausnahmsfällen erleichtern soll.

Setzt man

fl

= A, sin -f V ®

dann lassen sich die Gleichungen 52 bis 70 selbstverständlich nach gehöriger Keduktion und entsprechender Kombination in folgende Form bringen:

71) .    .

cos

1. Maximalabscisse:

(?)

= A.

2. Maximalordinate:

(?)

A²

3. Tangente:

(t)

B + 1'

— — cotg

sin

vT

4. Constante:

i-i

5) Bogenmittenabstand:

/B² — 1*

ic a

(?)

cos —

I — A cotg

6) Abscisse des Hilfsbogenpunktes Q:

1 +B

cotg

(?)=(?)■»?=

1 +B

= % ßo •

7) Ordinate des Hilfsbogenpunktes:

i m ( U CM i I < »’[, :

»ff (?)

8. Tangentenabschnitt:

(?)

i-i

']

cos

(?) ff

9. Allgemeine Gleichung, Absteckung von Bogenmitte:

(?)=?[/(?)■+(?)•

bezw.

10. Maximalsebne : —

COS ßo cos ß₀ ’

1 +B

72)

11. Hilfswinkelpunkt :

12. Asymptotenwinkelabschnitt:

^ = | ,f % ß„

* r

sin ô

COS -r-

cos

13. Asymptotenwinkel: tg

ay

ic i-*

14.    Winkel der Asymptotenparallelen: ô —

15.    Absteckung von Bogenanfang oder -ende (schiefw. Koord.):

(« — /)•

(t)

CfH

(f ) - (4-)

, bezw.

(f) _ (')

( ), ( )•

(’)

worin die Konstanten

1 AC

2 B² — 1

— /B* — lj

und

(t)

AC

2 ^B2

l) [ B — y B² — 1 ]

— 1.

16. Bogenlänge: Nach S. 55 ist:

V A² + B² - 1 =

wenn C =

J/ A² + B² — 1

(p z= arc tg

(ł)

V v (ły

— 1, ferner wird

= arc

tg \ B² — 1, und

COS (f =

\f 1 + tg ²(p

/■+( )'

sin 2 <p =

(il)

2 -LbJ

■ + (t)

B²

= 2D, wenn D — -

\ B² — 1

B²

C+'l

dann folgt*)

(t) = sbEt[^

worin

K4)²[+-

l — -jjj- arc tg y B² — 1 + ^    jo0625 a + 0,015625 ß    +

0,00651041 y (A)⁴+ 0,003417967 ô    + 0,002050734 e (~r)⁸}>

und

arc

tg /b- -1, p=d (4+++4-

(b*

+ -T-

4 B²

15

15

arc

105

72}

tg y b² — i

tg /B² - 1

tg | B> — ï

tg y b²— i

arc

B» ⁺ 8 B⁶ ' 48 B⁴ + Î92 B7 + 384 17. Absteckung von Bogenmitte durch Selmentangentenwûnkel (Polarkoordinaten) :

48

arc

)+

945

-arc

384

(4)    (4)

— — ß -r⁻ — V —•—r

r    cos ß *    sin ß

, worin

Cf)

(4)

(4) ' ’

(4)*

; tang ß —

4(4)

18. Abstecknng von Bogenende (-anfang), (rechtw. Koord.):

(0

(4)²

(4)

(4)_(4)T (4) (4)

19. Absteckung vom Bogenpunkt Q (rechtw. Koord.): a) nach Bogenmitte

Xi

Xi

(4)

(4)²

*) Allgemeine Folgerungen S. unter VI.

b) nach Bogenende

Xi

er

(ł)’

20. Bedingungen: r ^ R sin a a /

(- -j)

. .. a sin ° —

in Tabelle P I enthalten

PP

8. Einrichtung der Tabellen und Anwendung derselben auf einige Beispiele.

Mit Benutzung der Gleichungen (72) sind die für die Absteckung der Hyperbel erforderlichen 6 Tabellen berechnet.

Die Haupttabelle H I enthält die relativen Werte der Hauptdimensionen

s0 X][

xo yo

t x,

yi

für von 20' zu 20' fortschreitende halbe Winkelpunktvvinkel und abhängig von 18 verschiedenen in der Praxis am meisten in Anwendung kommenden Krümmungsverhältnissen R/r — IT bis 12. Ferner sind in der Haupttabelle H I die absoluten Werte der Winkel y, d, /io und aj. enthalten, endlich die

Konstanten

Nach Gl. 72 No. 9 ist Tabelle H II entworfen, behufs Absteckung durch rechtwinkelige Koordinaten von Bogenmitte. Für die relativen Abscissen sind daneben die retativen Ordinaten rubriziert; die darin vorkommenden Konstanten sind nur der Haupttabelle zu entnehmen.

Die bei jedem Beispiel zu beachtende Bedingung Gl. 72 No. 20 wird aus der Parabeltabelle P I genommen.

Für einen vorliegenden / P / a/₂ liefert diese das Radienverhältnis

und ist dann stets r kleiner als R dividiert durch dasselbe; hierdurch

e> er. (!> (■)•

hi i Pc

abhängig also vom Minimalkrümmungsradius

r, welches dann mit den vorliegenden ^ P massgebend für die Dimensionen nach Tabelle H I ist. Z. B. a/a = 38°40, R = 3000m. Nach Tabelle PI

R/r = 4T, somit muss r    AÜ 730m.

4T

R

Wählt man den Terrainverhältnissen nach r 430, so folgt — =

r

— 7 und enthält jetzt Tabelle H I für R/r 7 und a/₂ — 48° 40 die

resultiert ein neues Verhältnis

3000

430

PP : *

= 8 und a/₂ = 38° 40.

Dimensionen; oder r zzz 375, dann gilt das Gleiche für

Für r = 600m, also dem Verhältnis R/r — 5 entsprechen die Be-

dingungen Gl. 72 No. 20 nicht vollständig, daher R/r — 5 und a/₂ = 38°40 nicht mehr vorhanden. Ist der P ^ aj₂ — 6 6° 20 und wieder R —

3000

3000, dann giebt Tabelle P I R/r — 1*3 rot., r

X2300m, es können

-L *tj

dann die Verhältnisse beispielweise R/r = 1'5 (r — 2000), R/r ~ 2 (r zu: 1800) R/r — 5 (r = 600) etc. in Anwendung kommen.

Bei verhältnismässig geringer Nebenrechnung ist den Terrainverhältnissen (massgebend sind hier meist T und m) bald entsprochen. Die Absteckung vom Berührungspunkt durch schiefw. Koordinaten mit Hilfe der Asymptotenparallelen ist nach Gl. 72 No. 15 in Tabelle II III enthalten. ER.

Die Konstanten —,    sind in der Haupttabelle H I zu finden. Infolge des

r r

doppelten Relativums sind hier allerdings auch wieder doppelte Multiplikationen erforderlich, die sich aber auch, wie bei der Parabel schon angedeutet, reduzieren lassen. Die zugehörigen Asymptotenhilfswinkel y und ô sind auch der Haupttabelle zu entnehmen; als Kontrolle und um die Absteckung des Z ^ zu erleichtern dient die Länge xjj in Tabelle H I. Diese Tabelle bedarf wohl weiter keiner Erklärung. Die Abscissen werden auf der Asymptotenparalien der Reihe nach markiert und die unter y bestimmten Ordinaten geben dann die Bogenpunkte. Die beiden Tabellen, nach Gl. 72 No. 18, 19 konstruiert, Tabelle H IV und V bedürfen einer Erklärung ihre Anwendung betreffend, da sie mehr Kontroli- oder Hilfsresultate als absolute genaue Werte liefern, wenn man sich mit Interpolationsgenauigkeit begnügen will. Die Absteckung des zu Grunde liegenden rechtwinkeligen Koordinatensystems, vor allem die der bezüglichen Abscissenachsen bietet mit Rücksicht auf die Eig. 29 Seite 63 keine Schwierigkeiten. Die Tabellen selbst enthalten in den ersten vertikalen Rubriken die den relativen Abscissen entsprechenden relativen Ordinaten. Massgebend sei die erste oben stehende

xo

Xi

Horizotalreihe der Zahlen

r    r

-j— bezw. und die der Haupttabelle bereits für die vorliegende abzusteckende Hyperbel entnommenen Werte von x₀ bezw. xj, für welche die Verhältnisse in der genannten horizontalen Zahlenreihe zu bilden sind; nach dieser Vorrechnung können dann die jeweiligen Ordinaten aus der betreffenden vertikalen Rubrik entnommen werden.

Es sei beispielsweise für den Fall R/r zz= P5 und or/₂ zzr 77° 20 die Absteckung vom Bogenende zu kontrollieren, oder der eine oder andere Punkt einzu-

x₀

schalten. Laut Tabelle HIist: -rzzO'251012, b/rzzz 0,504684, somit rot. =0⁻5.

r    o

Tabelle H IV enthält hiernach in der 15. Vertikalspalte unter 0 5 die diesbezüglichen relativen Ordinaten für die relativen Abscissen 0,001 bis 0'4;

nämlich

0)

= 0,00044, 0-00086, 0,00144 u. s. w. bis 0,11304.

= u und daneben die andere Konstante Ti sind der

Die Konstanten

Tabelle H II zu entnehmen; — aus

Die Tabelle H VI dient (auch für die Ellipse) zur Absteckung der Hyperbel (bezw. Ellipse) von Bogenmitte aus mit Hilfe von Polarkoordinaten.

Ein- die Polwinkel ß ■==. 0 bis 30° liefert die Tabelle die Koefticienten

cos ß

g

Berechnung der Leitstrahlen (Sehnenlängen) — nach Gl. 72 No. 17. Auch

diese Tabelle ist Kontrolltabelle, einen oder den andern Bogenpunkt zu kontrollieren, oder endgültig zu berechnen und abzustecken, wenn Tabelle H II nicht in Anwendung kommen kann.

zur

um

bei besonderen Terrainschwierigkeiten

der Haupttabelle. Eine etwas umständliche Multiplikation (ev. mit Logarithmen) ist allerdings nicht zu vermeiden, für einige Punkte aber auch nicht sehr zeitraubend.

Man habe z. B. eine Hyperbel für «/₂ = 51°40 undR/r— 7 von Bogenmitte

abgesteckt nach Tabelle II II für die Abscisse

!)

=0-01-0-02..0,1,0-2;

X    1)

die folgende Abscisse nach = 0’3 —berechnet, lässt sich im Felde nicht

r    r

mehr markieren also auch die zugehörige Ordinate 0,044031 nicht; um nun diesen letzten Bogenpunkt zu erhalten, nehmen wir Tabelle H VI zu Hilfe,

berechnen den Polwinkel ß aus tang ß =. ^    ^ ^

I ist 1,060531,

/ b V

I J = 1-12473 (Tabelle H I); eingesetzt, folgt tangß =

0-047031-1,060531

0.3

= 1-011957,

— 0-155564, ß — 8°50', hierfür liefert Tabelle H VI

cos ß

folglich wird

= 0-3.1 060531.1-011957 = 0,32196, während

i-! X

= 0,3

r

b =0,31815,

Ht

= 0044031

(t)‘

= 0,04922 sein würde. Für r = 430m ist dann

s — 0,32196.430 = 138,44m, während x = 136,804; y = 21*16ra.

1. Beispiel. « = 142°40' und R> 3000m seien die gegebenen Bedingungen, nach welchen die weiteren Dimensionen nach den Hyperbeltabellen berechnet werden sollen.

Aus der Parabeltabelle P I ersieht man, dass für a/₂ = 71°20' R/r ))> 1*177 sein muss. Der Minimalradius r darf sonach nicht grösser als 3000

1-171

= 2540m sein, oder r 2540m. Die Feststellung von r ist von den

Terrainverhältnissen abhängig. Nehmen wir r = 1200m an, für welche Wahl die Kurve am günstigsten für die Massenverteilung liegen möge. Es wird

6,449;    12,898; 19,347; 25,796;    32,245“ etc.

x = 644-91. 0"01

3000

— 2*5 und folgen aus Tabelle II I die relativen Längen der Hauptdimensionen für a/₂ = 71° 20':

dann — —

1200

— — 0,064201, -° = 0,434410, ⁷⁰ = 0,082551, -

r    r    r    r

- = 0,458510, r    r

0,258516, Xlî == 0,090960,

7i

0,017932.

0-888366,

= 0,190476,

Die absoluten Längen sind Maximalabscisse Maximalordinate .

x₀ —0,434410-1200=: 521-292“. y₀ =0,082551*1200 =    99-061 “.

L =0,888366-1200= 1066-039“.

T =0,458510-1200= 550-212. m =0,064201-1200=    77'041.

Asymptotenwinkelabschnitt xn= 0,090960-1200 = 109-152. Tangentenabschnitt .    . t =0,258516-1200= 310.219.

Die Konstanten sind — = 0,537425, — = 0,145676, E= 174-811

Bogenlänge Tangente . Bogenmittenabstand .

Q y= 0,288825, ~ = 1,63882, F = 1966,584 ;

die für die Absteckung erforderlichen Winkel:

X y für die schiefen Koordinaten zur Absteckung von Bogenende 123° 28¹ 26¹¹, Hilfswinkel für die Asymptotenparallele d =9° 35¹ 17¹¹.

Winkel der Maximalsehne /?₀=10° 46¹ 56¹¹. Die Maximalsehne selbst

= 0-442178, s₀ = 530,638“.

ist nach

* 0e0

Die Absteckling von Bogenmitte durch reclitw. Koordinaten Tab. H II lässt sich durch eine kleine Vorrechnung erleichtern.

x

Die relativen Abscissen sind

absolute Abscissenlänge x

= u. r — r

Konstanten bestimmt, b = 0,537425.1200 = 644,91.

— = u —, a Tabellenwert, r    r

= /<b = 644,91 b wird aus obigen

also die

Für

(f)

(⁷r,=

0-01;    0-02;    0-03;    0-04;    0-05

oder

wird

G)²

=    = 0,00005; 0,0002; 0,00045; 0,0008; 0,001249 oder

C⁻

und r

G-)²

1200-0,288825 vorgerechnet, demnach

y/r = \ r ) v

y = 346-59 ^ = 0,017; 0,069; 0,156; 0,277; 0,433“ etc.

Um die Absteckung von Bogenende aus einzuleiten, markiert man sich

Ti

9° 35¹ 17n (Kontrollexn)

die Richtung der Asymptotenparallelen unter d von der Tangente, d. h. Bogenende aus, und berechnen sich aus Tab. H III die Abscissen, deren Ordinaten unter y — 123° 28¹ 26u abgesteckt werden.

Für

(t)

0,005,    0,01,    0,015,

0,02

wird

0,00502512, 0,010101, 0,0152285, 0,0204081.

Hierauf wird für die ersten Punkte

x=r

0-005 = F0-005 = 1966,584. 0-005 = 9 833; 19*665; 29499; 39-342 ....

y —r E 0-00502512 = E 0-00502512 = 174-811. 0-00502512 =0,878;

1-766; 2'662; 3-568 . . . u. s. w.

R 3000

2. Beispiel. Wäre die Bedingung gestellt, dass für den gleichen P / «/g =71° 20 die Tangente, wegen den Zwischengeraden, nicht viel über 200m lang sein kann; dann muss ein anderer Minimalradius r zu Grunde gelegt werden. Nehmen wir r = 300“, dann würde das Verhältnis

r 300 Tab. H I liefern

= 10, für den gleichen Anschlussradius R = 3000m nach

= 0,073743, X° = 0,689554,

= 0,156352, — = 1,42022,

rH *

= 0,727839.

dingung

Hiernach werden die Hauptdimensionen:

Tangente T = 0-727839.300 = 218-352“. .

Bogenlänge L = 426,066“.

Bogenmittenabstand 22*123“.

Maximalkoordinaten x₀ = 206,866, yo = 46,906“.

3. Beispiel. Für den /P / « = 84°, liefert Tabelle P I die Be-

z⁷ 3"338, oder r X

3000

X 900 rot., bei R = 3000“ An-

3-338

Schluss. Entschliessen wir uns für r = 500“ Minimalradius, dann liefert

Tabelle HI für

R 3000

500

6. —

— = 42° die Hauptdimensionen, nämlich:

Maximalkoordinaten .

.    .    x₀ =    1,350386.500 =    675,193“,

y₀ = 0,822941.500 = 411,471“, .    .    T =    2,01812 .500 =    1009,06“,

.    .    m =    0,676817.500    =    338,409“,

.    .    L =    3,28128 . 500 = 1640,640“,

Tangente ....

Bogenmittenlage .

Bogenlänge .    .    .

Koordinaten des Bogenpunktes Q xx = 0,609410.500 = 304,705“,

y1 = 0,181358.500 =

90,679“ u s. w.

4. Beispiel. Liegt die Verwertung der Hyperbel für eine StrassSnkurve vor, z. B. für a — 120°, dann ist weniger der Anschlussradius R an die Ge-

für — = 60° 2

R    a

=: 17 kann in diesem Fall, —r- — 60°, noch in r    ’ 2    ’

R

1-540

rade ins Gewicht fallend. Nach Tabelle P I muss r

sein. Das Verhältnis -

Anwendung kommen für eventuell R = 137“, r — 80“; es wird dann — 1,7. Danach laut Tabelle HI:

136

r “80“

T — 0-689058.80 = 55T25m; m == 0-169419.80 = 13-553“; L = 1.28807 .80 — 103-046“; y₀— 0,175111.80 = 14-009“; x₀ = 0-596742.80 = 47-739“ u. s. w.

Soll ein Teil dieser Kurve durch rechtwinkelige Koordinaten von Bogenende aus abgesteckt werden, der andere vom Bogenpunkt Q, dessen Koordinaten nach Tabelle HI Xl = 0,293445.80 = 23 475“ und yi.= 0,042877.80 = 3,43“ sind, so kann dies mit der Tabelle H IV erreicht werden.

x'o

.    r

Es ist zunächst —

1)

0,596742

2-283319

= 0-261.

Die Abscissenlängen für

Cf)

(f)

= 0-02, 0*04, 0-06, 0-08, 0T0 geben

u. s. w., demnach, weil

x    b    b

-— = 0*02. — u. s. w. oder x = 0-02 r — b — 2-283319.80 = 182,666,

x = 0-02.182-666 = 3 65“; 0-04. b = 7,31“; 0-06. b = 10*96“;

0-08 b = 14-61“; 0-1 b = 18,27“.

Die zu —

⁰ = 0 261 — gehörigen Ordinaten müssen aus den beiden

Rubriken — 0 2

und

x₀

= 0-3

interpoliert werden.

Der erste interpolierte Zahlenwert der relativen Ordinate liegt zwischen 0,00373 und 0,00566, welche Zahlen die Tabelle HIV direkt in der 12. und

13. vertikalen Rubrik liefern für

x ^ ^ ^ b

- — 002 —.

r    r

Man findet nach durchgeführter Interpolation für

0-02,    0-04,    006,    0-08,    0-10,

v‘ = 0-00423, 0-00804, 0*01148, 0 01488, 0-01726;

3-65,    7-31 ,

0-77,    1-469,

ausgeführt für x =

y =

Da nun die hierher gehörige Abscisse X₀ E Fig. 29 parallel läuft der Hauptabscisse, x₀ = 48m rot, Xj = 23m rot, so bleiben bis zu Q von E aus 48 — 23 — 25m rot., von diesen sind 5 Bogenpunkte bis zu 18‘27m wertet und kann man die Zwischenstrecke 23 — 18-27 — 7m rot. entbehren, weil Q bereits seiner Lage nach bekannt.

Von Q aus wird dann das Koordinatensystem XiQYx Fig. 29 abgesteckt,

CO O

14-61,

2-72,

18-i7m,

316m.

ver-

r

und zwar zunächst wieder -

0-293443

er

2-283319

— 0-103 gebildet. Für den

vorliegenden Fall genau genug würden dann die relativen Ordinaten in

der vertikalen Rubrik

(•?)

-— — 0T (genau 0"103) genügen. Für die Ab-

scissen kann man dieselben Werte acceptieren wie oben:

(t)

(t)

— 0-02, 0-04 . . . .

(-f)

►“i I CT*

= 0-0018, 0-00319, 0-00419 . . .

die Rechnung ausgeführt,

x = 3-65, 4-31, 10-96, 14-61, 16-47, y = 0"33, 0-58,    0-58,    0-77,    0-90;

für x = 23m rot. würden wir wieder Bogenmitte erreicht haben.

V.

Die Ellipse als Eisenbahnkurve.

1. Aufstellung der allgemeinen Gleichungen.

Von den drei Kegelschnitten Parabel, Hyperbel und Ellipse stellen sich die Bedingungen für die Verwertung der letzteren als Eisenbahnkurve am ungünstigsten. Obgleich die Annahme des Minimalradius auch hier wie bei der Hyperbel einer Bedingung unterworfen ist, die eine neue Variation in der Wahl von r zulässt, so ist dieselbe doch gerade entgegengesetzt der der Hyperbel, hierdurch wird die Verwendbarkeit der Ellipse in bedeutend engere Grenzen gezogen als die der Hyperbel. Die Aufstellung der Gleichungen können wir ganz nach den gleichen Grundsätzen vornehmen, wie bei der Hyperbel und wollen zu dem Ende auch dieselben Bezeichnungen für die Hauptelemente beibehalten.

Es sei Fig. 30 AMQG eine Ellipse, YW die verlängerte grosse Achse, M Bogenmitte zugleich Koordinatenanfang, YMX das Koordinatensystem. W Winkelpunkt, E Bogenende, WE T Tangente, ES Normale, r (in M) und R (für E) die beiden charakteristischen Krümmungsradien, a grosse, b kleine Achse u. s. w. (Der Buchstabe M muss in der Figur ergänzt werden.)

Vertauscht man die Koordinaten der Scheitelgleichung der Ellipse

y r=

a x — x², löst dann die Gleichung nach y auf, so findet sich

für das in Fig. 30 angenommene Koordinatensystem auf einen beliebigen Punkt P (x, y) bezogen,

a)

— x²

Die beiden ersten Differentialquotienten sind hier

dy

d² y

/(b² —X²)³'

h ^ b² — x² ’ à x²

Der Krümmungsradius somit

tDffiOT

/[x² (a² — b²) + b⁴]3

d ,2y d x²

a b⁴

Für x = o erhält man den kleinsten Krümmungsradius bei Bogenmitte M

b) .

b²

Für x

b wird q am grössten, bekanntlich R

Aus Gl. (b) a

b²

— in obige allgemeine Gleichung (a) eingesetzt, folgt

die Form wie wir sie weiter unten für unsere Zwecke verwerten wollen, nämlich

— J b — \ b² — x² ]

tg (f

Einen gleichwertigen Ausdruck für die trigonometrische Tangente bei E, cotg «/₂ findet sich durch Differentiation der Gleichung y₀ nach unserer obigen Bezeichnung setzt;

tg o/s

(c), indem man x es ist weil

dy° ^ b

dx₀ r J b² — x₀

r \ b² — x₀2 b x₀

e) Aus der Figur folgt auch x₀ = Tsin «/₂.

Es liegen nun hier dieselben Gründe vor, wie wir sie Seite 49 für die Hyperbel aufstellten, um die Konstanten b zu bestimmen, abhängig von T, r und dem P a.

Setzen Avir x₀ aus (e) in (d) ein, so findet sich b entAvickelt,

r T sin a/₂

d) .    .

.    . tang a/₂

xo

tg <r,

TV

x₀²    b²'

f)

y r² — T² sin ²a/₂tg ²«/2 Die im Nenner enthaltene Bedingung lautet hier umgekehrt wie bei der Hyperbel

g)

cotg a/2 sin aL

x₀ und

dann erhält man den an die Gerade sich anschliessenden Krümmungs-

Setzt man in obige Gleichung für den Krümmungsradius, x

b²

radius R im Berührungspunkt E,

Y [x₀² (b² — r²) -|- b² r²]³

r² b³

Aus dieser Gleichung folgt die dem Krümmungsradius R entsprechende Abscisse, abhängig von b und r, nämlich

x₀ =

b \ [rV    ² — ¹⁻²

V ~bT— r²

.    . h)

Fig. 30.

JCP

<f-90-a/z

v!¹ y»

IX

_X*iJCr

JC

lit

Um zu einem bestimmten Ausdruck für T zu gelangen statt der unbestimmten Gleichung (g), suchen wir die letztere dadurch zu umgehen, dass wir die Bedingung, unter welcher überhaupt die Ellipse als Eisenbahnkurve verwertet werden kann, abhängig von solchen Grössen aufstellen, die für uns als veränderliche vorliegen, zu denen, wie bei der Hyperbel r, R und a/2 gehören.

Entwickeln wir aus (f) einen Ausdruck für die Tangente T:

EH •

sin ö/₂

tfeO+G)''

dann ist auch hieraus und nach Gl. (e)

hieraus endlich b abhängig von R, r und a/₂ :

s/-—

k) .    .

ry R

tg aa/a ( |/ Ri — y"r²)

Hierdurch haben wir nun wohl wieder erreicht, dass der Krümmungshalbmesser im Berührungspunkt der Tangente zugleich mit der Maximal-abscisse x₀ zusammenfällt, die obige Ungleichung (g) ist umgangen, dafür erscheint aber im Nenner von Gl. (k) die schon angedeutete Bedingung

K<

r

T sin or/₂

tAf )r+ (17 i⁷(¥7+(i7-Łl

= x₀, oder (h) eingeführt,

r\ r R- — r²?

h'² — r²

sin ³a/₂

Es müsste also umgekehrt wie bei der Hyperbel

r>

Csin ³aj^)

sein.

Diese Bedingung, oder besser gesagt Beschränkung, ist mehr ins Gewicht fallend, als bei der Hyperbel, wie wir bald sehen werden.

Der Bogenmittenabstand ergiebt sich aus der Figur m = T cos a — yo, ebenso endlich, wie leicht zu übersehen, die Koordinaten des Hilfspunktes Q und der Tangententeil t

m)

n)

.    . X,

m tg a/₉,

yi

~[b — i — ie],

¹

Die Absteckung der Kegelschnitte vom Brennpunkt aus mit Hilfe der Focuspolargleichungen, sowie die bezügl. Formeln gestalten sich allerdings auch einfach. Ich habe aber von diesem Verfahren ganz abgesehen, da der Brennpunkt eine so ungünstige Lage, selbst beim kleinsten Minimalradius r annimmt, dass die Einmessung der Leitstrahlen einen ungemein grossen Zeitaufwand erfordern würde, hierbei ganz abgesehen von den wohl selten einmal ganz günstigen Terrainvei’hältnissen.

p)

yo

cos aL

2. Umformung der Uleichungen für den praktischen Gebrauch.

In Bezug auf die Reduktion der vorstehenden Gleichungen auf den kleinsten Krümmungsradius, verfahren wir wie in vorstehenden Abschnitten. Gleichung (c) durch r dividiert, liefert

73)    .    .

Hwer-oyi

Das Verhältnis

G)

Reduktion dieses Verhältnis abhängig von a

leiten wir aus (k) ab, man findet nach einiger und E.

cos a

74)    .    .

G)

sin ²a/₂ y

.    78)

xi

.    .    79)

. 80)

EH J u

.    .    75a)

in diese Formel den reciproken Wert aus (74) gesetzt, wird indentisch mit der Hyperbel

v -K

f r

75)

— == cotg a/₂

Ebenso auch die Maximalahscisse x₀, durch Kombination der Gleichungen (e) und (75),

x₀

R

ctg a/g J/ — sin aj₂

sin afc

Die übrigen relativen Hauptdimensionen aus sind dann noch

EH n

To

/. V 7 •

.    76)

(m), (n), (o), (p) abgeleitet,

= cos a

77)

Die relative Grosse der Tangente nach (i)

i y 1

r r cos a/2

Vergleicht man diese Formeln mit den analogen der Hyperbel Gl. 52 bis 61, so sind, wie nach den Grundsätzen der analytischen Geometrie vorauszusehen, gewisse Übereinstimmungen unverkennbar. Wenngleich auch selbst einige Formeln vollkommen indentisch mit denen der Hyperbel sind, so ist man für diese gezwungen neue tabellarische Übersichten herzustellen; denn wie schon bemerkt, bewegt sich die Anwendung der Ellipse in ganz andere Grenzen, als wir sie in Bezug auf R/r und dem y Y y a

angenommen haben bei der Hyperbel. Nach (\₁ ) muss r

Gl, (74), damit

er

reell bleibt, sin a/₂ 1/ ^

' r

(sin ³al^}

, nach

1 sein. Für den kleinsten

= 30° muss r ])> — bezw. —    8 oder auch vom y_Y y_ selbst

ausgehend, sin ajs y

Jf Yi sein. R/r — 6 würde einen Spielraum in der

' r

Anwendung zulassen, der sich aus sin a/₂ ^

X 0*55 ergiebt, zwischen

Je näher R — r, um so mannigfaltiger gestaltet

1

sich die Verwendung. Für R/r — 2, wird sin a/₂ y ar /0'8.entspricht

V 2

aU — 34° und 30°. Wir sind nun in den Tabellen für jedes gewählte

a/₂ = 30 und 33°.

s,--

Krümmungsverhältnis R/r nicht bis zu 30° herunter gegangen, weil je kleiner

T

a/₂, wie aus Gl. 75 zu ersehen, —, die Tangente wieder um so

grösser wird,

offenbar auch ein Nachteil für die praktische Verwendbarkeit der Ellipse. Alle Rücksichten zusammengefasst und vom praktischen Standpunkte aus erwogen, lässt die Hyperbel eine zirka 8 mal grössere Verwendung zu als die Ellipse.

3. Rektifikation der Ellipse.

In Fig. 31 sei P ein beliebiger Bogenpunkt, dessen Koordinaten x, y, dessen Länge 1 = MP soll rektifiziert werden.

CS

y b² — x²,

Differentiiert man die Gleichung der Ellipse y — a

daim folgt

in die Rektifikationsformel

b y ba — x²

, das Quadrat dieses Differentialquotienten

dx

eingesetzt, folgt

/-ïX

I b⁴ + (a²

I r b2 (b2 _ X2)

j 0

— b²) x²

d x, selbsredend a b.

Substituieren wir in diese Formel für das Quadrat der Excentrizität a²—b²

a² — b² — b² c²,

worin c eine vorübergehende Konstante, dann formt sich obiges Integral zu

b² c² x2 b² - x²

dx

Eine Auflösung dieses Integrales lässt sich nicht ohne Weiteres bewerkstelligen. Die Grösse unter dem Wurzelzeichen muss möglichst zu einem Binom umgestaltet werden, erst dann lässt sich die Wurzel mit Hilfe des binomischen Lehrsatzes zergliedern. Zu dem Ende führen wir eine Winkelfunktion ein für die Veränderliche x und setzen

x rrz b sin ip, wonach dx = b cos \p d if_), dann folgt zunächst das unbestimmte Integral

— sin ²ip

cos

cp d ip = b

"|/1 -f— c² sin ² cp d ip

Um die Grenzen zu sichern, versuchen wir den obigen Hilfswinkel if> graphisch darzustellen. Beschreibt man von Q Fig. 31 mit dem Halbmesser

der kleinen Aclise b einen Kreis, so trifft dieser die grosse Achse im Punkte N, — sin N =: sin ip, also MKQ — ifi,

es ist ;

MQ

QN

7C

Wenn x zu SEj — h anwächst, dann wird \pi ~ —-, (90°), wie leicht

zu übersehen, diese Grenze entspricht dann der Viertelellipse. Wenn x — x₀,

Bogenende nach unserer Bezeichnung, dann wird sin xf'i — Für x

wird endlich sin ipi — q, der Bogen beginnt in M. Die zu setzenden Grenzen sind demnach ifi — 0 und ift = ifi^ und folglich

c² =

-et

Vi +

a² — b²

c² sin ~ip d iji, worin

•    • ff)

er *

— 1 ; sin iJi —

Löst man jetzt die Wurzel mit Zuhilfenahme des binomischen Lehrsatzes auf, ordnet die Glieder und bringt deren Koefficienten in geeignete Zahlenformen, dann findet man:

b²

= b I Ÿ 1 -f- c² sin ²ifi. dip —

TS

t/'l

c²

sin ² ift d ift

1-1

V'I

24

c⁴

sin ⁴ iff d iff -j-

1-1-3

2-4-6

cG fff i)

Ipl

sin ⁶ ift d ifi

1-1-3*5

t/ff

2-4-6-H

c⁸

. R , , 11-3-5-7 „ sm    ,i,. + a.₄.₀--₈.₁₀.»

</' i

sin l0ifj difi —

Die Berechnung des formel vornehmen:

J sin 2n ifi dip = -J- (2 n)₂

(- 1)- f sin 2 n 4

22n — 1

(2n)₁

sin (2 ¹¹ — 2) »/'

2 n — 2

(2 n — 4) ip

hierin gilt für einen beliebigen Abschluss p

...+(- I)¹¹"¹ (2 n)n + (- 1)“ (2 n)n -},

sin 2 ifi

(2 n) p =:

_ 2 n (2 n — 1) (2 n - 2)

1-2-3-

n=l;

Setzt man in diese der Reihe nach n = l, 2, 3, 4 . . so wird*) 1 / sin 2 ip

j sin ²ip dip

2 l

n=2,/io V ** = ±{=^-4 *£*

--^ sin 2 V; + ³/s 'h

n= 3; J sin eip dip = — ~ | Sm 6 ^

6; -4 Ï-2-3

n = 4;^sin sip dip —

~ sin 2    -f-

sin 4 ip

4-3

F» 2 j -

o:

_ ₆ ,

4    '

sin dip -f- ³/₆₄ sin 4ip

15

1 ( sin 8 ip

2⁷ 1 8

sin 6 pi

₆₄ sin 2V' + A p,

8 • sin 4 ty

Fig. 31.

E,

X₀

IO ■<?

sin 2 ip

8 • 7 • 6 • 5 r/j\_

2    ⁺ 1-2-3-4 2 J

sin 4 ip —

n=5;J sin ¹⁰ip dip 10-9-8

,24 ™ 8* - gg sin 6* + f2⁷

7    ,35

32 8m ** +

sin 10 ilj

1-*

128

Vs

4 ip

2-3

II +

if

2»\

10

sin 8 ip

10*9 sin 6 ip

■ 1.2

10- -8-7-6 1jL\_

1 • 2 • 3 * 4 • 5    2/

— 10

10-9-8-7 sin 2ip 1-2-3-4

sin 8ip —

1024

sin 6iji -f-

15

256

sin 4ap —

r-H *-0

sin 2 ip -f-

63

256

V'

u. s. w.

Man erhält jetzt die vorstehenden Integrale der Vielfachen des Hilfswinkels in (q^) eingeführt

*) S. Redtenbaeher, Resultate, Anhang.

worin

«1

ßi =

<*! =

«1 =

-    °⁴ + /i

C8 + « 2^‘tO Cl°

c² — ßx

1-2-3 2 • 4 - 6

c⁶ — dx

1-2-3 •

2-4-6-

CD I Ot

— ~ s™ 21fn + '4 M sin 4,(4 -

¹ 4 sin 2i^i -f- ³/₈ ^i,

<X I—‘

sin 6 t/'i -j- ³/₆₄ sin 41/4 — l5/ 1024 Sin -

1/

/96

sin 6 ipi 4-

35

5120 Sm 10 ' ⁴ ^ 2048

sin 4 V'i —

105

64

sin 2i//! + »/₁₆ i/4,

128^4^1

32 sin 2 ^    +

g)

iph

sin 8 V'i —

15

1024

63

sin 6 i/'i 4~

15

256

sin 2 V4 4-

Übertragen wir diese Rektifikationsformel auf unseren Zweck; die Berechnung der Bogenlänge der Ellipse von Bogenanfang bis Bogenende, dann ist

512

256

(t) -¹’ sin = "¥

c² =

entsprechender Zusammenziehung des Ausdruckes*)

, *h =

x

arc sin —, und wir erhalten nach b

IO

SG.

Ho*

r=> I

fcO

h* *

rO Jh

U>

r-H

5/

worin

sin 2 V'O —

V'O

sin 4 V'O — ¹U sin ² % + ³/s4 V'O» sin 6 V'O — s/

192

05 I r-*

4M Üt

1024

sin 8 V'O —

sin 4 V'O ‘

à sin 6 *• + ïk

sin 2 V'O — ⁵/ie ^o,

sin 4 V'O —■

i-

32 sin ² l^o +

35

128

V'O, und sin V'O =

xo

, V'O ⁼ arc sin —- ist.

*) Die Tabellenwerte habe ich bis zur 12. Potenz von c durch geführt, hierbei aber gefunden, dass sie bereits schon bis zur 8. Potenz von c genügt. Die 10. und 12. Potenz ergänzen sich gegenseitig, und können überhaupt die Potenzen von c nur

D. y.

paarweise in Rechnung gestellt werden.

Hecht, Verwertung.

76

Um aus Gl. (qL) die Viertelellipse zu erhalten, setzen wir ifj = —,

/4i

Mi a

erhält,

also 2 11> = 7V (180°), dann verschwinden die trig. Funktionen, und man vor die Hauptklammer gesetzt,

r)

f²['+

V4 C² - Vs

.2²4-6

cö-

3-5-7

2-4-6-8-10

bl

a²

e Excentrizität der Ellipse.

Setzen wir c =

i'ar

, . b , wobei _

d. h. der Bogen beginnt am Ende der grossen Achse, dann folgt

ll =

ri) . .

GD’

[Cy-HDVJ-I⁴-!

Direkt abhängig von der grossen Achse a, indem man sich den Bogen oder die Viertelellipse in E, Fig. 31 beginnen denkt²), folgt

i₂==

Di)

3-5-7

)W ],

Ci²

a² — b²

0

numerische Excentricität.

jc

Wenn a = b = r, c — c^ = o, dann folgt V 1₂ — r, U = 2r 7t

/L

der Kreisumfang.    •

4. Absteckung der Ellipse vom Ungenau fang oder -Ende durch rechtwinkelige

Koordinaten.

Die Lösung der Aufgabe, eine Ellipse vom Berührungspunkt einer Tangente, den ersteren als Koordinatenanfang, die letztere als Abscissenachse betrachtet, abzustecken, führt auch hier zu ziemlich verwickelten Formeln, deren Berechnung und übersichtliche Darstellung in Tabellenform zu bringen, sich schwerlich rentieren dürfte. Nach Verfassers Untersuchungen gelangt man auch bei der Ellipse durch eine parallele Verschiebung der Koordinaten wieder zu einem komplizierten Formelbau, der sich aber noch in Tabellenform am leichtesten realisieren lässt, wenn selbst auch die praktische Anwendung der Tabellen, wie wir es schon mehrfach oben hatten, wenigstens für den Hilfspunkt Q, immerhin zwei Multiplikationen in sich schliesst.

— x² der

Verschiebt man das Koordinatensystem von M nach E parallel zu sich selbst (EX₀ als X achse und EY₀ als Yachse Fig. 29), dann gilt für den Bogenpunkt P (x, y), bezogen auf den Koordinatenanfang in M, y = a —

b² — x².

Sind die neuen Koordinaten von P, £ und v, und zwar v =r y₀ —- y, i — x₀ — x, so ändert sich durch diese Koordinatenverwandlung vorstehende Gleichung um in

hi'"---

{Jr:

.    . s)

a

a—Ff

b² — x₀², v =: o.

Für § = o wird, weil y₀ =

Setzt man diesen Wert der Maximalordinate yo in (s) ein, vertauscht iu der üblichen Weise die Veränderlichen v, § mit y, x, dividiert beiderseitig durch r, den Minimalkrümmungsradius, dann folgt zunächst

hierauf

tt/Gy-G

. 82.

Für je zwei zusammengehörige Werte von — und

findet man nach

dieser Formel für eine Reihe relativer Abscissen die entsprechenden relativen Ordinatengrössen. Die auf diese Formel basierte Tabelle, welche wir unten noch eingehender besprechen werden, ist derartig entworfen, dass nur jedesmal eine Multiplikation des Tabellenwertes mit r genügt, um die absoluten Grössen der Koordinaten zu erhalten*).

Eine ähnliche Tabelle für die Hyperbel zu entwerfen, bietet selbstredend keine Schwierigkeiten, die zu Grunde zu legende Formel ist in Gl. 67 (a) Seite 62 enthalten, und würde analog der weiter unten aufgestellten, mit Hilfe

A = cos «

8/" jj

undB — Sinai2 |/    sich auch in ’die Form bringen lassen:

-:y

(})a

.    . t)

man übersieht aber leicht, dass hier ein imenses Tabelarium erforderlich ist, um allen den Fällen, die wir bei der Hyperbel zu Grunde legten, (R/r = IT . . . . 12 für bezw. a/₂ =: 30° bis 90°) Genüge zu leisten. Die weniger umfangreiche Anwendung der Ellipse gestattet schon früher eine Verwertung der Formel 82 in der Tabellenform E III. Aus diesen Gründen zogen wir im vorigen Abschnitt für den gleichen Fall die Absteckung der Hyperbel mit Hilfe der Asymptotenparalleln vor.

Der Ordinatenachsenwinkel Y₀ EW ist «/,.

*). Tab. E III.

5. Hilfsgleichungen zur Absteckung der Ellipse vom Bogenpunkt (}.

Verlegt man durch parallele Verschiebung, wie bei der Hyperbel, den Koordinatenanfang nach Q, Fig. 29, in welcher Figur, wie natürlich auch im vorigen Abschnitt gedacht, MQE ein elliptischer Bogen sein mag, dann können wir die Absteckung vom Bogenpunkt Q als Anfang, dem Koordinatensystem Xi QYi entsprechend, aus Gl. 82 die nötige Formel direkt nieder^ schreiben, wenn wir nur x₀, y₀ mit xi yi den Koordinaten von Q vex-tauschen. Es folgt

l='\v(!)-(?    (:)‘-(?)’l

/ b y

Dividiert man beiderseitig dixrch I— I , dann eignet sich diese Gleichung

83)

besser für eine tabellarische Form; man erhält

83a)

G)

O (t

(?r

:r

l-i

Xl

Setzt man hierin

G) O’

73, Seite 76.

Führt man in vorstehenden Gleichungen 83 und 83a die relativen Koor-x y

dinaten —, — mit entgegengesetztem Zeichen ein, dann erhält man unmittelbar

die Formeln für die Absteckung von Q nach Bogenende zu auf das Koordinatensystem Y₂QX₂ Fig. 29 bezogen, nämlich

84)

O’

(!).(:) e) (!)

Auch für die vorstehenden drei Gleichungen gelten die obigen in IV ausgesprochenen Bemerkungen S. 68,69, sie sind nur als Hilfsgleichungen zu betrachten; die etwaigen Interpolationen nach den zugehörigen Tabellen liefern übrigens immerhin genügend genaue Resultate.

Bezeichnen wir auch hier den halben P für die Tangente im

Punkte Q mit dann folgt für denselben aus Gl. (d) S. 74

Li

• tg

xi²

85) .. :

6. Absteckungsverfahren mittelst Sehnentangentenwinkel von Bogenmitte.

Maximalsehne.

Die hierzu erforderlichen Formeln sind, wie man leicht übersehen wird, bereits in IV, Abschnitt 5 enthalten. Behalten wir auch die dortigen Be-

. . 88)

ßo

Zeichnungen bei (Fig. 28), dann ergiebt sich unmittelbar für die Sehne und den Sehnenwinkel:

tang ß —

sin ß

, oder auch

cos ß

.    . u)

tang ß =

3.

i-ä

, worin

. 86)

cos ß

sin ß

il =:

CT⁴

, ==

.    .    87)

Ebenso (Fig. 30) wird

(?)

x₀

89)

sin ß₀

cos ß₀

7. Umformung der Gleichungen durch geeignete Substitutionen.

Aus denselben Gründen, die wir im gleichen Abschnitt bei der Hyperbel anführten, wollen wir es auch bei der Ellipse versuchen durch die Substitution Gl. 71 S. 64

cos

= A, sin

= B , und überdies

i'(r) K D f ¹ - liS

dem Praktiker eine grössere Übersicht und eventuell hierdurch eine leichtere Berechnung der einen oder anderen Formel der Ellipse in Ausnahmefallen zu gewähren.

Die Resultate der bisherigen Entwickelungen der Gleichungen für die Absteckung der Ellipse deuten, wie auch schon angeführt, auf viele Übereinstimmungen der folgenden mit den Gleichungen (72) hin. Demzufolge sind auch die Tabellen mit einer einzigen Ausnahme — Absteckung von Bogenende — in der äusseren Form dieselben.

Man erhält:

1. Maximalabscisse:

2. Maximalordinate:

4- >

te

3. Tangente:

A

-= cotg - 1

ff    f

«

Sm"2

* Sa

4. Konstante:

C)

5. Bogenmittenabstand :

y i — b²

/ m \    .    a

\ r )=A^-U

yo

cotg ₂

1 -f B

cotg

6. Abscisse des Hilfsbogenpunktes Q:

(")=■

tg

7. Ordinate desselben:

i -f B

= *g ßo-

c) (cc-rcc-cri crh i

2B

r+'B.

8. Tangentenabschnitt:

3 r -i,

A V f

C)

(?)

l+B

cos ——

C)f

9. Allgemeine Gleichung:

(D=(DC

b (D-C ) l

90),

bezw.

Absteckling von Bogenmitte:

C)

Vh

C)

10. Maximalsehne:

Hj g

(?)

COS ßo    cos ßo ’

I + B A² '

12. Absteckung von Bogenende (Anfang), rechtwinkelige Koordinaten:

11. Hilfswinkelpunkt:

ÏC «

2B

Hi

! ICC )- (

C-nD-C)²]

bezw.

⁽ )’[

■er

Hi

C)²

■]

13. Absteckung von Bogenmitte durch Sehnen-Tangentenwinkel :

C)

worin

-i ^ I Hi X

X'. u

C)²

» tg'^ =

14. Absteckung vom Bogenpunkt Q (rechtwinkelige Koordinaten) : a) nach Bogenende:

i-s '<

CÏ

O (£) ('■) (0

i-S

b) nacli Bogenmitte:

( )T

oy

c\

Q) ₊ ( )

(t)    0)

>•

15. Bogenlänge: C —

\i c:r

, worin

1 — arc sin D — \

<) =

. 1 C . 1    / C Y , 5    / C V

° + X'³'d+T:/Vd) + 64¹,(d1 J

⁴ arc sin D,

tt

1 • ^

^ sin 2 il>o —

1    3

sin 4 ipo — sin ² ifj₀ -j—g- arc sin D,

¹    .    ß ,    3    ... 15

92 SIU    6 10    64    sm4*'’»+64

1    1    7    7    35

1024Si" ³*''» - 96 sin6'/’« +128 Si" ⁴    “ 32 sin 2 lf'° +

16. Bedingungen:

und sin ifr₀ — D, a —

/J>    32

sin 2 xjjo —

⁵ arc sinD,

128

arc sin D.

³a

r 7 R sin x 2 X

in Tabelle PI, sin ~ j/~

³cc

Tabelle EI enthält die relativen Hauptdimensionen: s₀ T t L

xo

yi

ausserdem die Konstanten

und die W^kel

ßo-

Der Rechnung wurde hier zu Grunde gelegt die Formeln in Gl. 90: 1 bis 8, 10, 11, 15.

Die Tabelle EU; Absteckung von Bogenmitte durch rechtwinkelige Koordinaten, wurde nach Gl. 90, Nr. 9 entworfen, und ist analog der Tabelle H II ; erfordert also doppelte Multiplikationen in Folge der in EI enthaltenen Konstanten.

Die Zahlenwerte in Tabelle EIII sind nach Gl. 90 Nr. 12 berechnet, sie enthält die direkten relativen Ordinaten y/r unter den in jeder Horizontalreihe stehenden relativen Abscissen x/r, die ihrerseits Avieder abhängig sind von den in der ersten vertikalen Spalte stehenden P ^ a/2.

Tabelle ist offenbar bequemer in ihrer praktischen Handhabung, als die analoge der Hyperbel (mit Hülfe der Asymptotenparallelen), sie erfordert, Avie die Haupttabelle nur eine Multiplikation mit dem Minimalkrümmungsradius.

Tabelle E IV und E V sind

Diese

Hiilfstabellen, nach der Gl. 90, Nr. 14 a, b entsprechender Stelle gemachten

nur

berechnet. Es gelten auch hier die dort an Bemerkungen, und liegt natürlich dort die gleiche Handhabung zu Grunde.

1. Beispiel. a/₂ — 33?0¹ ist gegeben. Es ist nach Tabelle PI R/r X 5 947, also wenn wir wieder R = 3000 zu Grunde legen,

z⁷ 540 zu nehmen. Als Minimalradius r = 600 angenommen,

3000

5-947

3000

gieht für

dimensionen: Maximalkoordinaten .

600

= 5 und

— 33° die Tabelle E I die Haupt-

. x₀ = 1,434107.600 = 860,46“.

y₀ = 1,06490 . 600 = 638,94“

. s₀ = 1,77623 . 600 = 1071,74“

Grösste Sehne

Zugehöriger Sehnentaugentenwinkel . ßo — 36° 35' 43”.

Tangente.....

Tangentenabschnitt .

Bogenlänge ....

Bogenmittenabstand .

Koordinaten des Bogenpunktes Q . xt — 0,74254 . 600 = 445,52“.

yi =: 0,27820 .600 = 166,92“

. T = 2,63313 . 600 = 1579,88“. . t = 1,26972 .600 = 761,83“. . L = 3,7366 . 600 = 2242,00“. . m = 1,14343 . 600 = 686,058“.

Die Konstanten sind = 3,93769

( )■

= 15,50537.

Die Letzteren dienen zur Absteckung von Bogenmitte nach Tabelle E II. Weil b = 3,93769 . 600 = 2362,614, so liefern die relativen Abscissen fi = 0,005; 0,01 ; 0,015 ....

. 0,005, also die absoluten Abscissen

x = 0,005.2362,614; 0,01.2362,614; 0,015.2362.614 .... oder x = 11,813“; 23,626“; 35,439“ ....

r f-—^ ri — 9303,222 rj oder

Die Ordinaten: y =

y =r 9303,222.0,000012 ; 9303,222.0,00005 ; 9303,222.0,000112 .... d. i. y = 0,116“; 0,466“; 1,042“......

Markiert man sich in Bogenende eine Achse parallel der Hauptachse, dann steckt man auf dieser die der Tabelle EII entnommenen Abscisseu-längen ah. Diese sind für

— = 0,015; 0,03; 0,045; 0,060 .... r

x = 9m;    18m;    27m;    36m ....

Die entsprechenden Ordinaten liefert die Spalte für R/r = 5, a/2 = 33°

= 0,02298; 0,04565; 0,06805; 0,09018 . . . ., und zwar

54,11“ u. s. w.

y = 13,69“;    27,39“;    40,83“;

2. Beispiel Für eine Bahn niederen Ranges und dem / P / a = 110° soll eine Ellipse eingelegt werden unter der Bedingung, dass der Anschlussradius R = 1200“ sein soll. Aus Tab. P I folgt für a/* = 55°, R/r

1200

1,787

/ 1,787, somit r z⁷

^ 700“

nehmen wir r = 800“ an; dann

muss

man die Tabellenwerte aus Tab. E I unter a/2 =

55° und

1200

r 800

m 1*5 zu Grunde legen. Man findet

u. s. w.

T = 0,80154-800 = 641,23“; m = 0,23724 • 800 = 189,79“

VI.

Vergleichungen, Kritiken und Folgerungen.

1. Allgemeine Vergleichungen und Folgerungen.

Die vorstehenden 90 Bestimmungsgleichungen mit ihren mehr oder weniger zur Entwickelung und Klarlegung des ganzen Stoffes bedingt und unbedingt zugehörigen Grund- und Nebengleichungen, lassen nns jetzt das ganze Lab or at übersehen; und tritt an uns die Frage, ob wir auch dem vorgesteckten Ziele so nahe gerückt sind, dass wir mit den Formeln, bezw. Tabellen an der Hand, allen Anforderungen in der Praxis Genüge leisten werden. Um allen Genüge zu leisten, müsste man die Tabellen statt von 20 zu 20 Minuten, von Minute zu Minute für jeden Winkelpunktswinkel berechnen, und die Krümmungsradiusverhältnisse R/r zwischen 1 und 12 entsprechend vermehren. Die ohnedies schon langwierigen Berechnungen würden sich dann aber gewaltig steigern, und das Tabellenwerk ein so voluminöses, dass vielleicht die Handhabung und Übersicht darunter leiden dürfte.

Vorläufig bitten wir den Praktiker, sich begnügen zu wollen; es sind übrigens die etwaigen Schwenkungen der Traçe bei der Parabel von 5 zu 5, bei der Hyperbel und Ellipse von 20 zu 20 Minuten für das Einpassen der Kurven in die Achsenzüge immerhin in schon enge Grenzen gezogen.

Parabolische Kurven ^planparabolische) lassen sich für alle Winkel zwischen 30 und 90° einschalten, freilich nur immer eine einzige, bestimmte. Hyperbeln und Ellipsen ergänzen sich innerhalb der angenommenen Winkeldifferenz fast gegenseitig, theoretisch vollkommen; wo nicht eine Hyperbel in Anwendung kommen kann, lässt sich immer eine Ellipse verwenden. Vom praktischen Standpunkte aus haben wir eben hier bedeutende Reduktionen vornehmen müssen, da die jedesmalige, die Hyperbel ergänzende Ellipse, für kleine a infolge des Wachstums der cotg — Tangente, Bogenmitte — für kleine ^ a so unverhältnismässig ausgedehnt wird, dass von einer Anwendung in der Praxis abgesehen werden muss. Es lässt sich nicht abstreiten, dass in den angenommenen Grenzen, wie die Tabellen zeigen, die Elemente der Ellipse immerhin noch verhältnismässig grosse Dimensionen aufweisen.

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CO    OC <1    O O    I o* ^    I

0000*0 1 oo*ol

' IC

CO

CD QO 0>| CS O* O* M I O O O 0*1 O O* O 0*11

Vorstehend geben wir eine Übersicht der Tabelleninhalte. Die ein-geklammerten Grade geben den Umfang der Verwendung der Ellipse, die freien den der Hyperbel. Von Parabel und Kreis kann abgesehen werden. Wie schon bemerkt, beherrscht die Hyperbel ein circa 8 mal so grosses Eeld als die Ellipse.

Eine andere Frage, die wir durch vorstehende Formeln und Tabellen stillschweigend glauben beantwortet zu haben, hat mit der grösseren oder geringeren Vollständigkeit der aufgestellten Tabellen nichts zu thun. Sie war eigentlich der Ausgangspunkt, und betrifft den wirklichen Ersatz der kubischen Parabel, die ja eigentlich die theoretisch richtige Eisenbahnkurve sein soll. Ersetzen können die Kegelschnitte vom rein wissenschaftlichen Standpunkte aus die kubische Parabel oder wenigstens den Teil derselben welcher als Eisenbahnkurve verwendet wird, niemals. (S. Anhang.)

Der kubische Parabel schliesst sich unmittelbar an die Gerade an, tangiert sie, oder besser gesagt, kommt gleichsam aus der Geraden heraus, während die Kegelschnitte inmitten ihres Laufes von der Geraden unterbrochen werden an einer Stelle ihrer Krümmung, die allerdings kaum von einer Geraden abweicht. Zwischen der Geraden und dem Krümmungshalbmesser R findet ein Zwangsanschluss statt; je weiter dieser hinausgeschoben wird, — je grösser R, — um so länger die Kurve und deren Tangente. Wollte man theoretisch R so zu bestimmen suchen, dass die Ordinaten und Abscissen der kubischen Parabel, wie sie zwischen Kreis und der Geraden eingelegt wird, näherungsweise übereinstimmen mit den analogen Kegelsclmittordinaten, dann könnte man in der Weise verfahren, dass man das Koordinatensystem der kubischen Parabel in Bogenende so weit dreht, dass es mit dem des betreffenden Kegelschnittes X₀ E Y(l Fig. 21 oder Fig. 29 zusammenfällt, also um den Ferner müsste man in die Gleichung der kubischen Parabel y = ax3 die verwandelten Koordinaten einführen, und die neue Ordinate, jetzt abhängig von a/2, bestimmen. Diese letztere müsste dann der Parabelordinate Gl. (d) S. ü3, oder der Hyperbel- oder Ellipsenordinate Gl. 67, S. 63 u. Gl. 82, S. 84 gleich gesetzt werden, und schliesslich die Konstanten x₀, y₀, al-2, also die Lage von R so bestimmt werden, dass die Ordinaten der Kegelschnitte zu Anfang mit denen der kubischen Parabel bis zu einem gewissen Prozentsatz übereinstimmen: gleich werden sie nur, wenn x₀y₀ oo sind.

a/2.

Diese Arbeit haben wir nur für einige speziellen Fälle durchgeführt, aber bereits gefunden, dass der gewonnene mathematische Ausdruck nur zu ungemein verwickelten, für die Praxis wertlosen Gleichungen führt. Einen Versuch diese möglichst in eine Tabellenform umzuarbeiten, haben wir selbstredend auch nicht unterlassen, stossen aber hierbei auf solche Schwierigkeiten in Folge der in den Formeln enthaltenen mehrfachen Veränderlichen, die sich nicht eliminieren lassen, dass dadurch die Tabellen ihre Übersicht und Brauchbarkeit vollständig einbüssen. —

Ein sicheres und besonders übersichtlicheres Mittel, um eine Vergleichung der oben behandelten Kegelschnitte mit dem Kreis und der parabolischen Übergangskurve anzubahnen, bildet die unmittelbare graphische Darstellung der sämtlichen Kurven. Wir haben im nächsten Abschnitt versucht näher aut eine solche einzugehen. Wenn wir hierbei Abstand nehmen müssen von rein konstruktiven Zeichnungen, so dürften aber immerhin die aus demselben hergestellten bildlichen Darstellungen genügen; jede konstruktive Zeichnung mit im richtigen Maassstabe eingetragenen Koordinaten würde, wie leicht einzusehen, im Rahmen dieses Buches kaum durchzuführen sein.

2. Vergleichende graphische Darstellungen.

ln fast allen iinseren Beispielen oben nahmen wir stillschweigend den Anschluss an die Gerade zu R = 3000m Radius an, weil Avir von dem Gesichtspunkte ausgingen, dass die Ordinaten der Kreisradien von 3000m so wenig von der geraden Linie, vom Tangentenberührungspunkt aus gerechnet, ab weichen, dass man eine Gerade für den Kreis substituieren kann; ein Übergang für Radien 7" 3000m kommt überhaupt in Wegfall. Für 3000m Radius wendet man noch eine Übergangskurve an, obgleich diese sicherer vom Oberbauleger mit dem Augenmass eingerichtet, als abgesteckt wird. Weiter hinaus den Übergang zu schieben, kommen nur Millimeter bei der Ordinaten-absteckung in Betracht und werden für die Praxis durchaus keine grösseren Vorteile erreicht. Der Vorteil, den hier die Kegelschnitte bieten, liegt vor allem in dem Umstand, dass der Übergang vom Anschlussradius bis zum Minimalradius auf eine bedeutend grössere Länge verteilt wird, als dies bei der Kombination einer kubischen Parabel mit einem Kreis der Fall ist. In allen Fällen handelt es sich zu Anfang der Kurve, um den Ausdruck wieder zu gebrauchen, um Millim. bei der Absteckung der Ordinaten. Diese sorgfältige Abstekung des Ingenieurs macht aber der Oberbauleger mit einem einzigen Seitenstoss zu nichte, und schliesslich resultiert bei Übergängen mit kleinen

Ordinaten wohl eine Übergangskurve zwischen dem eigentlichen Kreisbogen und der Geraden, die aber bei Licht betrachtet, und endgültig nachgemessen, nichts weniger als eine kubische Parabel mehr ist. Nun wollen wir durchaus nicht behaupten, dass dies bei Anwendung der Kegelschnitte anders ist; hier wird aber der Oberbauleger vielmehr gezwungen sein die Richtung zu halten nach der Absteckung, weil der ganze Übergang sich mehr in die Länge zieht, trotzdem der Ausgang bis Bogenende mit R — 3000m isoliert betrachtet, ein wohl bemerkenswerter Kreisbogen ist; der Fehler der durch diesen Kreisanschluss entsteht, gegenüber dem kubischen Parabelanschluss, dessen Krümmungsradius oo₅ ist dann kaum fühlbar. Zur Absteckung einer Übergangskurve für kleine Kreisradien muss der Oberbauleger, weil die Ordinaten viel schneller wachsen, die nötigen Anhaltepunkte haben, hier ist auch stets Wahrscheinlichkeit vorhanden, dass der theoretische Übergang eingehalten wird.

Fig. 32.

'u

u.

Wir haben nun eine ziemliche Anzahl Kegelschnitte mit Hilfe der Tabellen und daneben die Kreiskurve mit Übergang (in grossem Maassstab) aufgetragen, und geben    in den Figuren,    Fig. 32    etc.,    einige hervorragende verkleinerte Beispiele.    In den Figuren    bedeutet H,    r — 1100 eine Hyperbel

mit dem Minimalradius r := 1100m ; P, r = 500; E, r = 800, eine Parabel, Ellipse mit kleinster Krümmung r    und K,    r —    1100 ein Kreisbogen mit

Übergang u. s. w.    Die Länge der Kurven    dazu    zu schreiben, haben wir

unterlassen. Auf den ersten Blick erkennt man, dass die Kegelschnittkurve für denselben Minimalradius, wie der Kreishalbmesser, stets weiter ausgedehnt ist, der Theorie nach auch sein muss. Der Übergang erfolgt allmählicher, günstiger als beim Kreis mit kubischer Parabel, Fig. 32, 33, 35, 37. Die Differenzen des eigentlichen Überganges zwischen Gerade und Kegelschnittt und der kubischen Parabel sind aber für die Praxis so klein, dass von einem fehlerhaften Übergang im praktischen Sinne nicht die Rede sein kann. Um dies deutlich hervorzuheben, haben wir in Fig. 34, 36, 38 eine Reihe von Details hergestellt (der Raum gestattet nicht mehr Kopien vorzulegen), die Ordinaten sind bei diesem den Abscissen gegenüber in verzerrtem Maassstab aufgetragen, so dass in geraden Linien sichtbar, der Lauf der Übergangskurve besser mit dem Kegelschnitt verglichen werden kann. Die Differenzen, welche hier auf-treten, sind so gering, dass sie für alle praktischen Zwecke durchaus nicht fühlbar werden. Unsere oben aufgestellte Behauptung in Bezug auf den An-schlussradius R — 3000m bestätigt sich nicht allein, sondern bei näherer Ein-

sicht scheint es, als könne man den Anschlusskrümmungskreis noch kleiner nehmen, ein Vorteil, der den Kegelschnitten in so fern zu Gute kommt, als man dadurch deren verhältnismässige grosse Ausdehnung vermindern kann, ohne Nachteile für die Praxis. Versucht man Pig. 32 die Kreiskurve ME nicht durch die Parabel MjE, sondern durch die Parabel M₀E zu ersetzen,

Fig. 33.

}{r-2ooo

Pr

M)

I}r -2000 AZ, (R‘ 3Q8o)

7'

welche einen kleineren Minimalradius hat, nämlich r — 800, statt r mz 1100m, wie der Kreis, so wird hier der Anschlussradius nicht 3000m, sondern 2622m, die Parabel fällt aber noch immer zwischen Kreis und Tangente. Die An-fangsordinaten sind (Eig. 34) allerdings um Centim. grösser als die der Übergangskurve, aber selbst hier ist die Differenz für die Praxis nicht so fühlbar,

Fig. 34.

foo£

r^TTf»t>oJ

Tangente

weil sie sich durch den günstigeren Fortlauf der Kurve wieder ausgleicht (bis 20m Abscisse ist die Parabelordinate um 21 mm grösser als die . der Übergangskurve, während für R == 3111, r = 1100 Parabelbogen, die Differenz

4 mm beträgt). Das Radiusverhältnis

2262

800

ergiebt sich aus Tabelle PI,

Ci

Ruprik T/r, indem man für denselben Winkel — die gleiche Kreistangente zu erreichen sucht.

In demselben Sinne lässt sich Fig. 33 für a/₂ — 60° der Kreisradius r = 2000m durch den Parabelbogen r — 1500 bei R = 2310 ersetzen, um

eine kürzere Tangente zu erlangen. Die Berechnung der Ordinaten liefert hier bei 20m Abscisse für P, r = 2000, 20 mm Differenz, bei P, r =: 1500, 45 mm Differenz, um welche die Planparabelordinaten grösser als die Über-gangskurvenordinaten sind (Tabelle P I und IY). In den Figuren 32, 33, 34, 35 sind die Differenzen bei Bogenende auffallender markiert, da bei diesem kleinen Maassstab keine Genauigkeit eingehalten werden kann. Die Vergleichung der Hyperbel mit kubischer Parabel führt zu ähnlichen Resultaten;

Fig. 35.

///•,

222 Kl.

Vh

Fig. 36.

Kt

E_

Tangen le

Bei der Hyperbel in Fig. 35 nahmen wir r = 500m au bei R “ 3000111 Anschluss, somit R/r = 6, a/₂ = 45°. Für a/₂ — 45° lässt sich als kleinstes Verhältnis noch R/r = 3,5 in Anwendung bringen, dieses ergiebt bei r = 500m, R = 1750m Anschlusshalbmesser. Die letztere Kurve liegt auch zwischen Kreis EM und Hyperbel EM,; während die Ordinaten der ersterenEM umMillim. von der kubischen Parabel (in Fig. 36 nicht mit eingetragen) abweichen, kreutzen sich die Kurven K, r = 500 und H, r — 500 ungefähr bis 20m Abscisse, die Hyperbelordinaten werden circa um 30 mm grösser an dieser Stelle.

Der geringe Umfang der Ellipse lässt wie aus Fig. 37 und aus den Tabellen ersichtlich, keine grössere Annäherung der Winkelpunkte Wk und Weo zu. Hier ist übrigens die tlbergangsdifferenz grösser bei Annahme von R 3000, sie beträgt bei 20m Abscisse 16 mm, Fig. 38. Wir legten hier

Fig. 87.

E/

\f

A4

ocv

Yeo

y = 35«, R,r =

2800

= 3,5 zu Grunde und reduzierten bis auf Rjr — 3

(a/₂ — 35°), weil für a/₂ — 35° und R/r 3 die Tabellen keine Ellipse mehr zulassen.

Dieses Reduktionsverfahren, der den Kreis ersetzenden Kegelschnitte, in

800

Bezug auf die Minimaltangentenlängen, bietet mit den Kegelschnitttabellen keine Schwierigkeiten. Viel eher zu diskutieren wäre die Frage, ob überhaupt in der Praxis ein kleinerer Übergangsradius als 3000m bei Kegelschnitten zulässig ist? Bei allen den vorgeführten Beispielen und noch bei vielen anderen in grossem Maassstab aufgetragenen, tritt stets am Ende des Überganges in den Kreis die Kreuzung ein. Hier wendet sich die Kreiskurve fast plötzlich gegenüber dem Kegelschnitt. Die Differenzen bei 3000m Anschlusshalbmesser sind auf die Länge der Übergangskurve verschwindend, bei kleinerem R grösser, und zwar am günstigsten bei der Planparabel und Hyperbel, ungünstiger bei der Ellipse. Ohne einen kleineren Anschlussradius empfehlen zu wollen, glauben wir aber doch, dass das Befahren von solchen Kurven einen geringeren Einfluss auf das Oberbaumaterial hat, als es beim Kreis mit Übergangskurve der Fall ist.

3. Theoretische Folgerungen.

Ehe wir diesen Abschnitt beschliessen, können wir nicht umhin vom mathematischen Standpunkte aus, immerhin aber auch ergänzend zu dem Vor-

Fig. 38.

K/y

Tartuenü’

stehenden, noch einige allgemeine Folgerungen zu ziehen. Wenn auch diese mehr in das Gebiet der analytischen Geometrie übergreifen, so stehen sie aber doch in Beziehung mit der speciellen Verwendung der Kegelschnitte für unsere Zwecke und rufen dem Praktiker einige Eigenschaften der Kegelschnitte in’s Gedächtnis zurück, die ihn hei den Absteckungen nur unterstützen werden. —

Stellen wir uns die Aufgabe eine vergleichsweise Darstellung der bewussten 4 Kurven nach den Tabellen vorzunehmen, für denselben Minimalhalbmesser z. B. r = 100m und denselben Winkel a — 100° unbekümmert, um die Lage des Berührungspunktes (Bogenende, = Anfang) E, dann erhalten wir die graphische Darstellung der Kegelschnitte, wie sie Fig. 39 zeigt.

Die Parabeltabellen geben R/r = 2225, R = 222 5, T r=z 110m,

also R 7

m = 35m; die Hyperbel-Tabelle I: r    > ¹⁰⁰ ^ 2^20

222'5, etwa 300m, also R/r = 3, und T = 121m, m = 37m rot. Die Tabelle I der Ellipse giebt für R/r — 2, R = 200, T = 106m, m — 34m und der Kreis liefert r R — 100, T — 84, m = 31m rot.

Die ausgleichende Parabel hat in Bezug auf m die Mittellage, die Hyperbel die ungünstigste, der Kreis die günstigste Lage.

Geht man von einem gleich grossen Anschlussradius R aus, beispielsweise R = 100, dann erhält man, wenn a/₂ ~ 45°:

t.

Für die Parabel R/r = 2*828, r = 35*4, T — 50, m — 18,

100

»    „ Hyperbel r ^.-^828' *

„    « Ellipse

—- 25 , T = 40, m — 13,

100

2*828’ r r = R = 100,

— 50 , T = 63, m — 24,

„ den Kreis

Hier tritt, Fig. 40, das umgekehrte Verhältnis ein, die Hyperbel hat die kleinste Ausdehnug für die Praxis, der Kreis die grösste.

Untersuchen wir für diesen Fall, wenn R für alle 4 Kurven gleich gross, die Ordinatenänderung hei gleichen Abscissen, also die Einfahrt in die Kurve, den Übergang von der Geraden zur Kurve. Die kubische Parabel hat an dieser Stelle R — oo.

T = 100, m zzz 41.

Fig. 39.

,v

y/ł/

‘ir

Für eine beliebig grosse Abscisse x sind die Krümmungsverhältnisse nach den früheren Abschnitten

— /(p² +4x2)³

Parabel, — o — -

s    2p

Hyperbel, - , - tW + WT*¹]¹ =

ab⁴    ab⁴

Ellipse, — Q = /[x² (a² — b²) -f- b⁴]³ _ /[x² (e² + b⁴)p

ab⁴

ab⁴

__    (1 —j— 9 a² x²)³

6 x a

Lassen wir in diesen 4 Formeln sich x um x ändern, dann giebt uns die Mauclaurin-Taylor’sche Reihe die Ordinatenänderung durch die bekannte Formel

Kub. Parabel, —

Hecht, Verwertung.

Ay =

Parabel, — Ą p —

d^y Ax_

d x² 1-2

p² -|- 4 x²

nämlich

2p²

Hyperbel, — Aq =

Ellipse, — A Q =

3 x e² j/x² e² -(- b2 ab⁴

3 x e²j/x² e² -f- b²

ab⁴

27 a² x³"^ 1 -f- 9 a² x² — jÄ(l -j- 9 a² x²)3 6 ax²

Fassen wir jetzt nun die Homogenität ins Auge, so folgt,

Kub. Parabel, — Ą p —

Ax4-

wenn

y

Zjm

einen Ausdruck für die Differentiationskonstante bezeichnet, mit genügender Annäherung :

Parabel,

— Ae = f (ym, A

Hyperbel,

Ellipse,

- Ae = f(-2]m.-²)

- Ae = f(^ym'x2)

-Ae = f[V

Excentrizität e = |/"a² -(- b². , Excentrizität e = j/ a² — b².

X (x -

Kub. Parabel,

Aus den letzten 4 Formeln können wir jetzt schliessen, dass die Änderung bei der kubischen Parabel am kleinsten ist, und dass sie, wie bekannt, bei den Kegelschnitten direkt proportional dem Quadrat der veränderlichen Abscisse, also grösser als die der kubischen Parabel ist. Die Änderung wird Null bei der Ellipse, wenn a = b, e = o, d. h. dann haben wir einen Kreis mit konstanter Krümmung.

Wir können also den Schluss ziehen, dass sich die Einfahrt in einen elliptischen Bogen am ungünstigsten stellt von allen drei Kegelschnitten, dass die der Hyperbel noch ungünstiger als die der Parabel ist, welche letztere Kurve, abgesehen von der kubischen Parabel den günstigsten Uebergang repräsentiert. —

Wendet man obige Substitutionen zur Vereinfachung der Gleichungen der Ellipse und Hyperbel S. 64 Gl. 71 und 72

A = cos a

/•2 l/ —, B = sin a/s

' r

Y* c

r r

R\²

auch auf die Parabel an, dann muss man setzen

B = 1, A C — cos a/₂ YR/r 5 denn es folgt unmittelbar sin a/₂

aus

K/r=

sin ³a/₂

i/ A'= 1 und aus

* r

sin ²a/₂

-j- cos

■°<-Vö'=ve)'

cos a/<

Die Konstante C stellt mit der Parabel in keiner Beziehung. Für Ellipse

und Hyperbel fanden wir, Gl. 58 S. 51 und Gl. 77 S. 77

_ yo. yo

T / — cos a/o

r

A²

aus den Gl. 72 u. 90 eingesetzt, findet man—

T cos a/₂

rl+B'

r B 1

Diesen Wert in die Formel — = — tg a/₂, Gl. 60 S. 51 und 78 S. 77

übertragen, findet man, weil auch

cotg ai2 V* (S. 77.1

' r

Fig. 40.

‘WO

u/^HWk-

/Pr-35

M/i

E,r50

KrzM-

\¥h

cos a

Xj _ A

7 ⁼ r+B —

1 4“ s^n <*/2 \! —

r r

Die für die Hyperbel und Ellipse gleichen Formeln für den Tangenten-

y₀

t

abschnitt t, S. 89 Gl. (p) lauten durch r dividiert, — =

r , in diese auch

cos a/₂

— eingesetzt, folgt, wie leicht zu übersehen, — r    r

A²

1 B cos al

1 _J_ B cos a/₂

Xl 8 r--

= 7/K/r,

woraus — =

xi

* I Wi

Endlich ist Pig. 24, Fig. 30

A2

tg ßo =

To _

xi

x₀

In Bezug auf die Parabel gelten die gleichen Formeln. . m    T cos a/«

r    r 1 + B

2 m

findet man für B =

— cos a/₂, dem-

nach ganz richtig ^

= cos a/₂, weil yo = m.

Ferner ist t = —-, Xi == somit

2    2    Xi

wenn man für T,

x₀ sin a/₂

x1; xq u. s. w. die Formeln (f), (h) u. s. w. Seite 33 berücksichtigt.

Nun ist aber

sin a/₂

somit auch

xi

* Pä

In gleicher Weise findet man auch tg ß₀ —

yo _

cotg V

xo

y cotg al, =

r cotg a/₂

x₀

xi

Unter anderen in den Formeln der Kegelschnitte enthaltenen Eigenschaften derselben, lassen sich die unmittelbar vorstehenden verwenden zur Bestimmung der Krümmungsradien.

Wir fanden für alle drei Kegelschnitte

xi

und

Xl

- — tg ß₀. r

Ist E Fig. 41 ein beliebiger Punkt eines Kegelschnittes, EW eine Tangente, V der Schnittpunkt dieser in der Achse ; trägt man sich den Winkel EMV = ß₀ so nach A, dass der Schenkel AV durch Y geht, dann ist AM = r, AV senkrecht auf ME und findet sich der Krümmungshalbmesser

/tV

in E, wenn man t —VE und x^ zzr MV misst, aus R = r ^j .

Ist umgekehrt r bekannt, so lässt sich in jedem Punkt durch Übertragung des Winkels ßo, von M nach A eine Tangente konstruieren an den angenommenen Bogenpunkt E, indem man schliesslich E mit V verbindet und bis W verlängert.

b²

—, für Ellipse und Hyperbel r =

2    a

—, also b

Für die Parabel ist r —

die mittlere geometrische Proportionale aus r und a.

Mit Hilfe von ähnlichen Dreiecken kann man nach den Grundsätzen der

graphischen Arithmetik⁴) am besten für r = 1 obige Division

xi

auch ohne Rechnung finden.

Sucht man sich eine fortlaufende Reihe von Berührungspunkten solcher Tangenten, für welche t = xx (Kreis), t — 2xa, t = 3xx, t = 4xx ; dann wächst R/r in Kuben; es wird R = r (Kreis), R = 8r, R = 27r u. s. w.

Für die Ellipse wird R am grössten, wenn

cr as

, dann ist

, 11 =

/aV b² / a V r Vb/ “Tu/

a²

— b ‘

Es ist hier nicht der Ort und Raum auf weitere analytischen Beziehungen, aus obigen relativen und Winkelverhältnissen abgeleitet, einzugehen; wir wollen uns nur noch gestatten auf die Rektifikationsgleichungen zurückzukommen und versuchen diese etwas mehr zu verallgemeinern.

Fig. 41.

Xo

x,

T-,

ty,

Bezeichnet man die halbe Bogenlänge L mit 1; setzen also demnach für die Kegelschnitte 1 = L/2, wobei 1 die Länge vom Koordinatenanfang, hei Parabel und Ellipse, bis zu einem beliebigen Tangentenberührungspunkt der Ascisse x entsprechend, bezeichnet, und hei der Hyperbel 1 vom Scheitel an zu rechnen ist, dann lassen sich die absoluten Bogenlängen 1 in folgender Weise aus obigen Formeln ermitteln.

Bogenlänge der Parabel. Gl. 41 (d), S. 37 lieferte uns bereits, Fig. 42,

+ \ ]on (cotS V*)-

, konvergent für c X 1. Nimmt man t als Einheit an, weil m t, dann wird näherungsweise,

, oder

¹ =t+\    ¹ \ (cots VJ —

c    / c³ c⁵    \

c = ²(C+3+3+--)

Nun ist lgnat

1 +c

to h-

= ¹ + T (2m + TmS) = ¹ + T (ks + P)

1= M--

0 + t)

, und weil r =

fi=i + ^0+£) ¹ + >-‘s 0 + x)-

; da

ferner p — --, so kann man auch setzen 1 =

m

diesen Näherungsformeln müssen x, m, 1, yx und r in ihren absoluten Längen auf t — 1 bezogen werden. (In der Fig. ist statt y₀ zu setzen.)

— x

In

= 4, p = 4; dann wird y — jVpx == j/" 16 = 4.

und T = /(2x)⁵ + y⁵ = 1/ 64 -f 16 = 8,944, t — Va T = 4,472 und r = ¹/₂ p =: 2. Die Bogenlänge der Parabel bis zur Abscisse x = 4

8,472

Z. B. 1) Es sei m

ist dann 1 = t —f—— lgnat

= 4,472 + 1/2 lgnat

0,472

= 5,917.

2) Die Bogenlänge vom Scheitel bis zur Brennpunktabscisse, für welche

und « = 90°, ist 1 =

m = ¹U P> * = Va T>/ = Va P» T = Y(Va P)⁵ Hr (Va P)⁵ = P YVa" Y + ~T (cot£⁵«/⁴) = P Y Va H- p/⁸- 1.75 =

Fig. 42.

faji

y»

m-je

IT

JC

0,58 p. Nach der Näherungsformel 1    1 —¹/₂ mr

m und r eingesetzt, 1 = 1 —J— V₁₆ p⁵ (1 —(— l/i8 p⁵). Nun ist aber t —

= 2,82 einzuführen, und man

(1 + Vs mV wird,

rH

0,355

¹j₂ T = 0,355 p =1, also ist für p =

erhält zunächst auf t = 1 reduziert die Bogenlänge 1 -j- l/₁₆ (2,82)⁵ (1 -f-V48 [2,82]⁵) — 1 ~h 0,579 = 1,579. Die Bogenlänge auf p bezogen steht nun in demselben Verhältnis zu p, wie t zu p; sie ist demnach 1 = 0,355.1,579 p oder 1 = 0,355 p -f 0,355 p. 0,579 = 0,56 p. Im Vergleich zu obiger Lösung ist sie 20 °/q zu klein.

Bogenlänge der Hyperbel. Die Rektifikationsformel S. 66 Gl. 72 No. 16 auf Fig. 43 übertragen, liefert

CA

B⁵ —

sina/₂ j/A

— 1.

R Krümmungshalbmesser bei E, r Krümmungsradius bei M am Scheitel,

b⁵

—, oder auch

⁽l/~—= —, und sin a/₂— * r 7i

Der Coefficient A ist aus folgender kleinen Tabelle zu entnehmen, aus welcher die fehlenden Werte durch Interpolation bestimmt werden können.

Coefficient l zur Berechnung der Bogenlänge der Hyperhel.

a/2    1-5

NS

2-5

I lg

3-5

Werte von R/r

10

12

218382 237374 247400 j| 252573 ! 254081

0,176986

256178

288589

306152

316469

322634

325930

326925

0,197631

286333

323471

343534

355708

363303

367934

370437

371201

0,290617

339066

364957

380249

389827

395870

399550

401682

402303

0,259334 0,314271 338444 371739 374494 400634 394941 418154 407457 429020 415423 435660 420514 440034 423653 442725 425358 444184 425877 444632

0,291938

379222

417831

439468

452591

460871

466156

469556

471620

472730

473099

0,361385

419284

449384

466826

477618

484271

488564

491262

492888

493754

494011

0,300544

403966

447891

473408

487715

496758

502430

505971

508167

509463

510146

510349

0,351584

432032

470198

491857

504451

512252

517082

520061

521872

522880

523441

523593

0,208071

388279

454463

488083

506832

518285

525117

529283

531799

533277

534107

534519

534639

0,277014

415697

473050

502923

519956

530004

536045

539658

541741

542996

543653

543962

544053

0,352913

455817

501849

526629

540924

548960

553774

556555

558051

558833

559199

559347

559381

¹

sin 2n ifi d ip lässt sich nach folgender Recursions

²

Man geht hierbei aus von der Mittelpunkts gleiehung y — Ellipse; der gewöhnliche Fall.

³

Einrichtung der Tabellen. — Beispiele.

Bei Aufstellung der Tabellen für die Absteckung der Ellipse gingen wir wieder vom Krümmungsradiusverhältnis R/r und dem / P / a aus. Den Umfang der Tabellen haben wir in Folge der schon mehrfach erwähnten, bei der Ellipse ungünstigen Bedingungen auf die Krümmungsradiusverhältnisse R/r = D5 bis 5 beschränken müssen. Theoretisch kann man bei jedem Radiusverhältniss allerdings bis auf a/₂ = 30° heruntergehen, die Dimensionen werden aber dann fur die kleineren Radienverhältnisse, weil diese sich auf grosse Minimalradien beziehen, vom praktischen Standpunkt aus kaum mehr verwendbar; nach sorgfältiger Erwägung glauben wir darum den praktischen Anforderungen durch die vorliegenden Tabellen EI bis E VI vollkommen Genüge geleistet zu haben. Die Tabelle E VI ist mit Tabelle II VI identisch, wie wir dies schon Seite 84 Abschnitt 5 bei Aufstellung der Formeln andeuteten.

⁴

S. Hecht, reine uud angew. Mechanik II. Band. Kühtmann, Dresden.

⁵

osa/₂j/ 4.

Fig. 43.

!/

y" h

---a— *

Die Gleichung (s₃) S. 55 liefert allgemeiner (Fig. 43)

n as

In dieser Formel ist c =

<D I Cw

die soge

nannte numerische Excentricität, ferner ist

1    y . 1 r « ,    1-3 ß ,

2    arctS b + c* [24 + 2-4-6 c²⁺ 2

1-3-5

• 4 • 6 • 8 c⁴

1-3-5-7

2-4-6-8-10

O,

1-3-5-7-9    £ . H

2-4-6-8-10'12c⁸

setzt man

== d, dann findet man a, ß, y, â . . aus

b’

-f- arc tg y

oo I I—>

10

051

d²

H-*

^1 ^

I—*

7-5 1 6 • 4 d²

(± + 9 Id⁸ ^

9.7.5.3

8.6.4.2

,\ , 1-3

/* I 4- 2.4 arc

CO ^

io 'cm

io

CO ^ r-H (M

ce

Cf?

7-53

6-42

9.    1

8.6 ~d⁴

1.3.5.7.9

2.4.6.8.10

1.3.5.7

2.4.6.8

arc tg

arc.

Cf?

9.7.5 1 8.6.4

Will man sieb mit einer Annäherung von circa 2 bis 4°/₀ begnügen, dann kann man zur Berechnung des Hyperbelbogens die folgende Näherungsformel benutzen, welche wir aus den vorstehenden Gleichungen durch Auflösung der trigonometrischen Funktionen und Wurzeln entwickelt haben:

1=⁷

a⁴

b ⁶    16 e³

(dl

es bedeuten hierin wieder e = y a² -j- b² die Excentrizität, a und b die beiden Hyperbelachsen, y die Ordinate des Berührungspunktes, bis zu welchem

Scheitel die Länge 1 zu rechnen ist.

vom

= 0 und 1 =

Für 4- = 1/ 3 = 1,732 wird b

a⁴

32 e³

Bogenlänge der Ellipse. Wir fanden Seite 81 und 82 die Länge der Viertelellipse

'■=fb [■+4

3.5.7 2.4.6.8

iv-

c² —

'r (MÏ- + I ( S)

IC.

c6 —

3.5.7.9

2.4.6.8.10

Y.»

-b2=T

uns bekannten Achsen sind.

Abhängig von der grossen Achse, ist die Viertelsellipse

h = ira t¹ + 4" c‘²

a² — b²

worin c =

e die Excentricität, die Ellipse, a und b die

1 /1.3V 4 ,    1/3.5 V

V \2.4/ Cl +~VV2d4:)Cl

05

wenn Ci² =

a²

Geht man von

0

— die numerische Excentrizität.

oder Ci =

der Scheitelgleichung aus (s. oben) dann hat ein ellip-

tischer Bogen vom Scheitel bis zum Bogenpunkt P, dessen Ordinate y, Fig. 44 die Länge

c² — ß

^    1.3.5.7

2.4.6.8.10

y

worin ip = arc sin — und ferner

2.4

c4 + y

1.3

.4.

C6 — Ô

1.3.5

2.4.6

C3

1028

1 • «

- sin 2 xp +

113

ß = 32 sin 4 ip--sin 2 if< — g

3

sin 6 (// + — sin 4 ip—

1    7

sin 8 ili — — sin 6 i/t -f

192

128

Fig. 44.

</'

I—I CO

sin ² if> + Jg

7    35

sin 4 ili — — sin 2 ip 4- V'

32    ¹ 128

JT

JC

5120

sin 10 11> -f-

ot

15

1024

105

512

2048

sin 2 i/»    — xp, und

sin 6 i// -f-

15

256

sin 4 ip —

my

-my

— 1 , sin i p = ——, \fj = arc sin -f— ist.

b    b

Löst man auch hier die trigonometrischen Funktionen in Reihen auf, verwendet nur die ersten Glieder, dann findet man folgenden Näherungsausdruck für die Bogenlänge eines elliptischen Bogens, welcher kleiner als die Viertelellipse ist und am Ende (oder Anfang) der grossen Achse beginnt.

/a² - b²

5 y die Ordinate des betreffenden Bogenpunktes.

Diese Formel liefert zu kleine Resultate je mehr sich der Bogen einer Viertelellipse nähert, zu grosse Resultate für das Scheitelbogenstück, für das Mittelbogenstück ist die Genauigkeit ca. 4°/₀.

VII.

Die Absteckung der Objekte in Kurven.

Damit die Objekte — Brücken, Wächterliäuser, Durchlässe, Übergänge — in Eisenbahn- und Strassenkurven eine richtige Lage erhalten, d. h. die Längsachsen derselben mit der Normalen des betreffenden Bogenpunktes zusammenfallen, ist es erforderlich, die Absteckung von der Tangente aus einzuleiten. Es genügt das Verfahren von der Haupttangente aus kennen zu lernen, da es sich für jede Hülfstangente wiederholt.

1. Objekte in Kreisbögen.

Im Bogenpunkt P (Fig. 45), welcher um die Bogenlänge lj von Bogenmitte, um 1₀ von Bogenanfang AB (Berührungspunkt) entfernt ist, soll ein

Fig. 45.

to

Object dessen Achse senkrecht auf einer Tangente in P steht, abgesteckt werden.

91)    .    .

Der Winkel a₀ in W₀ ist nach bekannten planimetrischen Sätzen

360 1₀

(io — 180--

360 1,

7t E ’

Der Bogenmittenabstand W₀ P — m₀ und die Tangententeillänge in der Haupttangente von BÄ an gemessen W₀ BA = t₀ (Gl. 1, 2 S. 6) sind

7T R

m₀

92)

R . «o

s,n T

to    ,    «0

Ë = cotg T

Man berechnet sich nach (91) den Winkel ccq und benutzt zur Bestimmung der relativen Längen in Gl. 92 die Tabelle K I.

Soll in Folge von Terrainverhältnissen die Absteckung von einer der Hülfstagenten (Fig. 4) abgeleitet werden, dann substituiert man für a₀ einen der bezüglichen Winkel, welcher sich auf die Haupttangente bezieht nach Gl. 15 und 16 S. 15. Die Berechnung der anderen Elemente erfolgt dann wieder im Sinne der Gl. 92.

Z. B. Es seien a = 161° 26' und R = 275m Kreisradius gegeben und habe Bogenanfang die Profillage (Stationslage), — ein Profil (Station) zu 100m gerechnet, — 26 + 34 78, Bogenmitte liege im Prof. 26 +⁷⁴⁻⁵⁴, und das Object soll nach 26 + ⁸⁰⁻⁵ zu liegen kommen, dann fällt Bogenende nach 27 + 14-30 (Berechnung nach Tabelle KI).

Es werden dann

1₀ — 27,1430 — 26,8050 = 33-80m, b — 80,50 — 74,54 = 596m,

360 33-80

«o = 180    —

«o

= 163° 26' -j-

Tr 275 360 5-96

— 165° 55' oder

re 275

Nach Tabelle K I wird dann endlich

= 163° 26' + 2° 29' = 165° 55'.

t₀ = 0-123523.275 = 33'97m, m₀ = 0-007600.275 = 2’09m.

Fig. 46.

JC

WL__

2. Objekte in der Übergangskurve.

Fällt das Objekt in die Übergangskurve, dann geht man am Besten Fig. 46 von der Haupttangente EW aus, E Bogenende oder Anfang (des Überganges), die dem betreffenden Objektbogenpunkt P zugehörende Abscisse in der Haupttangente ist der Bogenlänge EP gleich; die Ordinate y ergiebt

sich aus y =

Wissenswert ist dann nur noch der Winkel cp, welcher sich durch Differentiation der vorstehenden Gleichung findet, nämlich

dy

tg — 2p

die Konstante P ist auf S. 25 enthalten.

Für die ersten 10m der Übergangskurve kann man ohne Fehler das Objekt senkrecht auf die Haupttangente legen.

x³

6P'

x²

93)

8. Objekte in Kegelschnittkurven.

WE sei hier Fig. 47 wieder die Haupttangente, P derjenige Bogenpunkt, in welchem das Objekt, mit der Axe in der Normalen W₀ N funda-mentiert werden soll.

Für die Absteckung wichtig sind die Länge t₀ in der Haupttangente gemessen, der Winkel N W₀ E = co und die Entfernung m₀ — W₀ P. x ist die dem Bogenpunkt P entsprechende Abscisse, SM = y die Ordinate, cp endlich der Tangentenwinkel der Abscisse entsprechend. Zur Berechung von to, co u. m₀, abhängig von solchen Kurvenelementen, welche in unseren obigen Formeln und Tabellen enthalten sind, m, y, x, or/₂, dient das Viereck WSPW₀. Zerlegt man dasselbe, um zu rechtwinkeligen Dreiecken zu gelangen, durch zwei Linien, die eine parallel zu x durch W₀, die andere senkrecht auf diese, parallel zu SW durch P gehend, dann findet man leicht

(m -f~ y) — m₀ cos cp

m₀ =

t₀ sin a/₂ — x

sin cp

und t₀ =

cos aj₂

Fig. 47.

>E

m₀

fa

VW

Die Kombination dieser Formeln ergiebt mit Berücksichtigung, dass cp = co — «/₂ nach entsprechender Beduktion

_ (m -j- y) sin or/₂ — x cos or/2 sin co

(m + y) — m₀ COS (co — all)

m₀ =

t₀ —

cos

ö/₂

Der Tangentenwinkel cp ergiebt sich durch Differentiation der betreff. Gl. des Kegelschnittes aus

Es wird dann*)

(^tang

— dx/ +    '    '

w = cp + a/2 = ang

Man wird hiernach zunächct to, hierauf m₀ und dann t₀ berechnen. Ist man in Folge von Hindernissen genötigt die Abstekung von der Tangente im Hilfsbogenpunkt Q xx) abhängig zu machen, dann muss der Hilfswinkel-dunkt, dessen Winkel wir oben mit «i bezw. aj₂ bezeichnet haben, und welcher auch in den Tabellen enthalten ist, zu Grunde gelegt worden. Die Rechnung ist auf diesen (statt auf a/₂) bezogen, im Allgemeinen dieselbe, nur sind die Reduktionen auf die dann zu benötigenden Elemente umständlicher, und lassen sich Avoid am besten und ebenso sicher auf graphischem Wege bestimmen. (In der Fig. ist der Winkel mit u statt co bezeichnet.)

A. Absteckung yon Objekten in einem Parabelbogen.

x²

Die Differentiation der Gleichung der Parabel y — —— giebt

/4Y

in (v) eingeführt folgt co —

Die Lage des Objektes von Bogenmitte an gerechnet ist auch hier als bekannt vorauszusetzen. Die zugehörende Abscisse x findet man aus Tabelle

Man bildet sich dann -und sucht den Winkel (angelus), dessen

X

—■ hat, diese zu cc/₂ addiert, wird co bekannt, r

Setzt man den Bogenmittenabstend m n cotg ²cc/₂ (Gl. 36 S. 35) und in obige Formeln (u) ein, dann sind auf den Minimalradius r

dx

P I und II.

trig. tang. den Wert

x²

a/a + ang    ~• . 94)

y = ä;

bezogen, die Längen m₀ und t₀ zu berechnen nach

. ci

sin - —

et

(t)

cos

sin to

to

m₀

— -—- cos

(“

“)

. 95)

cos

Z. B. In einem Parabelbogen, dessen Minimalradius r = 2600m, bei a = 144° Winkelpunktswinkel soll 52 lm von Bogenmitte ein Objekt abge-

'    .    L

stekt werden. Nach Tabelle P II wird wenn -—

X

- zzzzz 0*1, welche dem Bogenpunkt entspricht. Der trig, r

Tangente 0T entspricht der Winkel 6° rot. Dann liegt die Objektachse von

relative Abscisse

521

r 5 600

= 0.20032, die

*) angelus = Winkel, im Gegensatz zu arcus = Bogen.

der Haupttangente aus in der Richtung des ^

= 720 _|_ ₆o _ 78«.

~ + ang tg ~

Setzt man die erforderlichen Werte in Gl. 95 ein, dann sind die weiteren Ahsteckungselemente

m«

sin 72 — 0T . cos 72

Y [cotg ²72 + (0-l)²J

sin 78°

— 0,0246, m₀ =r 63,94m.

to

~Y j^cotg ²72 -j- 0'01 J — 0,0246. cos 6°

cos⁻ 72°

= 0,10297, t₀ = 267,72“

B. Absteckung von Objekten in der hyperbolischen EisenbalmkurYe.

dy _ b

S. 48 Gl. (e) fanden wir

dx

Gl. (u) der vorigen Seite.

r y x² + b² ’

demnach wird nach

96)    .

co —

a . I    b

— 4- ang tang = —

■ my+m

x y

—, — entnimmt man aus den Hyper-r r

Die relativen Grössen von —,

mo __

. _L

r ' r

97)    .    .

to

(r + ł)

sin co m«

--cos

(io

f)

cos —

C. Absteckung von Objekten in elliptischen Kurven.

Verwendet man wieder den ersten Differentialquotient der Gleichung der Ellipse S. 74 und setzt diesen in die allgemeine Gl. (v), und nimmt dieselben Umwandelungen der Formeln (u) wie oben bei der Hyperbel vor, dann erhält man ebenso

98)    .    .

’ /(t)-(t)

m₀

Ill

(Î+-9

a x sin —---

cos —

(v+i)

("

f)

cos —

Während bei der Parabel die Tabelle P II dazu dienen kann zu einem

x

Bogenpunkt die entsprechende Abscisse x bezw. — zu bestimmen, da in

r

dieser Tabelle die relativen Bogenlängen mit enthalten sind, gestatten die Tabellen der anderen Kegelschnitte diese Bequemlichkeit nicht, sondern man muss die dem Bogenpunkt entsprechende Abscisse entweder auf graphischem Wege bestimmen, oder eine entsprechende Zwischenrechnung ausfiihren. Die Abscissen des Hülfsbogenpunktes Q (Fig. 29, 30) sind allerdings in der Tabelle enthalten.

Z. B. Man beabsichtigt im Bogenpunkt Q der Hyperbel Seite 71 Beispiel 3 ein Objekt zu fundieren; es ist die Lage desselben festzustellen. Be

kannt sind uns r := 500m, a = 84°, R/r — 6, xx/r = 0,609410,    =

0,181358, b/r ^ 1,952388, letzterer Wert aus Tabelle H I. Gl. 96 liefert den Achsenwinkel to des Objektes

84 , r

— + ang |^tang

to —

= 1,952388

0,609310

x (0,609410)- + (1,952388)2 420 ang (tg = 0,581740) — 42° + 30° 11' 15" = 72° 11' 15". Die Entfernung m₀ von der Haupttangente bis zum Bogenpunkt Q folgt aus (0,676817 + 0,181358) sin 42° — 0,609410 cos 42° sin 72° 1115"

mo _

0,127462;

man findet m₀ = 500.0,127462 = 63,731m. Die Lage des Scheitels des Winkels to, die Entfernung t₀ in der Haupttangente folgt aus 0,858175 — 0,127462 cos (72° 11'15" — 42°) cos 42°

t₀ = 500.1,066532 = 503,266“.

Die Entfernung des Punktes Q im Bogen gemessen von der Bogenmitte, also die Profillage des Objektes im Bogen können wir dadurch finden, dass wir den dem Bogenpunkt Q zugehörigen Winkelpunktwinkel a, und nach diesem die Bogenlänge Lj aus der Tabelle zu bestimmen suchen. Der Winkel cf, Fig. 47 ist v = to — a/a = 72« 11' 15" - 42 = 32° 11' 15", der diesem entsprechende Winkelpunktwinkel ist (Fig. 28, 29 etc.) L/₂ oq — 90 _ y — 57° 48' 45". Tabelle H I liefert nun die Bogenlänge Lj für E/r

—    6 und zu 57° 40' und 58° 0¹, L₁/r = 2,10956 und Lj/r = 2,08642. Durch Interpolation oder Aufträgen der Kurve findet man die dem Winkel

57° 48' 45" entsprechende relative Bogenlänge — = 2,09944, woraus Lx

—    500 2,09944 =• 1049,720m. Der Bogenpunkt Q, liegt hiernach in der Entfernung . 1049,720 = 524,86m von Bogenmitte.

fo

= 1,006532; wonach

Anhang.

Hilfsmittel bei Absteckungen und Aufnahmen.

I.

Die Konstruktion und Anwendung der Rechenschieber.

1. Allgemeines über Rechenschieber.

Als Ersatz einer tabellarischen Übersicht für mathematische Ausdrücke, aber auch, um einfache mathematische Rechnungen vorzunehmen, verwendet man ein, einem Massstab ähnliches Instrument, den Rechenschieber. Derselbe erleichtert die Berechnung eines einfachen oder zusammengesetzten Ausdrucks durch eine graphische Darstellung desselben, und erfüllt seinen Zweck auch in so weit, als es durch ein derartiges Instrument, ohne seine handliche Brauchbarkeit übermässig zu beeinträchtigen, überhaupt möglich ist. Die damit erzielten Resultate haben bewiesen, dass mit dem Rechenschieber, wenn es auch nicht möglich ist, eine Genauigkeit bis zur 7. Dezimale zu erlangen, dennoch ein Genauigkeitsgrad den Anforderungen der Praxis entsprechend, erlangt werden kann.

2. Der gewöhnliche Rechenknecht oder Rechenschieber.

Denkt man sich auf einer geraden Linie Fig. 48 auf der einen Seite a b die Zahlen von 0 bis 90 in der Weise aufgetragen, dass die diesen Zahlen (Gerade) zugehörenden gegenüberstehenden Teilstrichen den Werten der natürlichen Sinuse entsprechen, also beispielsweise neben 30 die Zahl 0,5 oder 50, neben 90 die Zahlen 1 oder 100 zu stehen kommt, so kann man bei entsprechender Wahl der Weite der Teilstriche die natürlichen Sinus der sämmtlichen Winkel von 0 bis 90°, wie aus einer Tabelle ablesen. Richtet man den einen Teil des Apparates a₁ bt cL verschiebbar ein, und wiederholt die Teilung bx noch einmal durch Auftragung auf bx Cj, nur in umgekehrter Ordnung, so würde man jetzt auch durch Stellung der 0 bei Cj neben dem Teilstrich der Zahl 90° die Cosinus der Winkel ablesen können; statt dessen kann man auch die Teilstriche bt auf jeder Seite des nur halb so gross gedachten Schiebers a₁ bj sichtbar machen, und erzielt das gleiche Resultat durch entsprechendes Anlegen des Schiebers at bj (Sinus — Cosinus — Skala) an das Lineal a b.

Konstruiert man sich nun für die zu benötigenden trigonometrischen Funktionen ähnliche Skalen, überträgt diese sämtlich auf einen prismatischen Körper, einen hölzernen- oder Metallstab, der selbstredend auch mit dem nötigen verschiebbaren Element versehen sein kann, so hat man einen einfachen Rechenschieber zur Ablesung der trigonometrischen Funktionen.

Solche und noch weiter unten zu beschreibende derartige Instrumente sind in Deutschland, England, Frankreich und der Schweiz, sowohl in prismatischer, Avie auch in Kreisform mit festen und beweglichen Skalen ausgeführt worden und käuflich zu haben, sie beschränken sich nicht allein auf die trigonometrischen Funktionen, sondern geben auch in graphischer Übersicht und festen Skalen die Logarithmen, Wurzeln, Reciproken, Quadrate, Kuben.*)

3. Der logarithmische Schieber.

Die logarithmische Skala in der graphischen Form, jedoch die Logarithmen selbst von einer Einheit ausgehend aufgetragen, lässt sich noch zu weiteren mathematischen Operationen verwenden. Ein solcher logarithmischer Rechenschieber bildet den Grundgedanken zur Konstruktion eines Rechenschiebers für Absteckungen, Aufnahmen und tacheometrische Zwecke.

Man trägt sich, Fig. 49 auf einer Linie neben den Zahlen 1, 2, 3, 4 ... . die gemeinen Logarithmen derselben in der Weise auf, dass neben 2, 0,301...,

neben 3, 0,477...., neben 4, 0,0602...

neben 10, 1,000.... zu stehen kommt und geht aber hierbei von dem Zahlenwert der Logarithmen selbst als Einheit aus. Die Ablesung der Logarithmen wie aus den Tafeln, sofern die Teilstrichentfernungen der Unterabteilungen nur gross genug gewählt sind, erleichtert man sich dann noch dadurch, dass man die Zahlen über 10 entsprechend, wie aus der Figur ersichtlich, wiederholt.

Es würde nun hiernach nicht schwer sein, wie mit den Tafeln, oder der anderen oben angedeuteten graphischen Form die mathematischen Grundoperationen vorzunehmen. Durch eine einfache Betrachtung aber, und zwar dadurch, dass man ein verschiebbares Element zufügt, und das ist besonders das Verdienst des Erfinders,**) lassen sich die Grundoperationen — Multiplikation und Division — durch direktes Ablesen vornehmen. Statt aus der Skala, wie aus der Tafel die Logarithmen abzulesen, um ein Produkt zu bilden, die Logarithmen der Faktoren zu addieren und zu dieser Summe die Zahl zu suchen, setzt man die logarithmisch-graphisclien Zahlen der Skala selbst aneinander. Wollte man das Produkt 2.3 hersteilen, so trägt man das Längen mass der logarithmisch-graphischen Zahl der oberen Skala Fig. 49 1 bis 3 an das Längenmass der logarithmisch-graphischen Zahl 1 bis 2 und gelangt dann zur Zahl 6, weil log 2 log 3 = log 2.3 =: log 6. Umgekehrt zur Herstellung eines Quotienten 6/3 würde man das Längenmass der logarithmisch-graphischen Zahl des Divisors von dem des Dividenten 6 nach 1 zu antragen, und gelangt zur Zahl 2, weil wieder log 6 — log 3 = log 6/3 = log 2.

Ersetzt man daher die untere Skala, die in gleichen Teilen aufgetragenen Logarithmen durch dieselbe obere logarithmisch-graphische Zahlenskala, und bringt die Teilstriche derart an, dass bei einer gegenseitigen Verschiebung eine scharfe Ablesbarkeit möglich ist, so haben wir einen Multiplikationsund Divisions stab (a Gunthers)***), Fig. 50. Zur Bildung des Produktes 3.5 stellt man die Zahl 1 der verschiebbaren Skala auf 3 der festen Skala,

*) S. Kalender für Messktmde von Clouth. Pressler’s Messknecht im Verlag von Wold. Türk in Dresden; dieser enthält unter anderen die Brigg’schen Logarithmen auf 5 Stellen, und erfordert es geringe Mühe, sich diese graphische Darstellung nutzbar zu machen.

**) Einem deutschen Ingenieur, welcher im 17. Jahrhundert an der Universität Oxfort in England die logarithmische Skala graphisch in der letzteren Form (Eig. 49) auftrug, gebührt das Verdienst der Erfindung,

***) A Gunthers (ein Gunthers) heissen sie zum Teil noch in England.

Hecht, Verwertung.

und liest neben 5 des Schiebers 15 auf der festen Skala ab, wie man sieb mit Hülfe eines Zirkels leicht überzeugen kann; oder man stellt die Zahl 1 des Schiebers auf 5 der festen Skala, und erhält neben 3 des Schiebers dasselbe Resultat auf der festen Skala.

Das Umgekehrte findet bei der Division statt.

Hat man mehrstellige Zahlen mit einanander zu multiplizieren oder zu dividieren, so entscheiden die Zwischenabteilungen; durch einige Übung mit Einschätzung der Dezimalstellen, sofern die Teilstriche nicht ausreichend sind, gelangt man dann auch leicht zum Resultat. Die Genauigkeit desselben ist in solchen Fällen, wie leicht einzusehen, abhängig von der Einteilung selbst. Um beispielsweise die Zahl 2,55 mit 2,35

man 1 auf den ersten Teilstrich (a) neben 2,5 stellen. Der Teilstrich 2,35 des Schiebers zeigt dann fast auf 6, nämlich auf 5,99. Stellt man die Schieberzahl 5 auf 24, auf den 4. Teilstrich neben der zweiten Zahl 2 des

24

Lineals (b), so zeigt die Zahl 1 des Schiebers auf 4,8 (c), weil log --- =

D

log 4,8. In allen diesen Fällen muss man, um sich die Handlichkeit zu erleichtern, die Grundsätze der Logarithmen vergegenwärtigen.

Aus dem eben Gesagten leuchtet nun auch wohl ein, dass, wenn man den Schieber verkehrt an das Lineal anlegt, so dass zunächst 1 an 10 (bezügl. 100) zu liegen kommt, man direkt die Reciproken ablesen kann,

Fig. 51. Unter 5 steht 2, -g- — 0,2 ; unter 4 (40) steht 25,    = 0,25 u. s.w.

Verschiebt man in dieser verkehrten Lage den Schieber, stellt man beispielsweise 1 des Schiebers auf 6 (60) des Lineales (man nehme für die Figur einen Zirkel zu Hülfe), so deuten die Zahlen des Schiebers an den Teilstrichen des Lineals eine Division von 6 an. Neben 2 steht dann 3,

0

d. h. - — 3; neben 3 steht 2, d. h. —- = 2; neben 6 steht 1 (10) d. h.

Zi    ü

0

-g- ■= 1; neben 15 steht 4, d. h.

Neigungs- und Gefällverliältnisse lassen sich auf diese Weise für die Praxis hinreichend genau ablesen.

zu

multiplizieren, würde

er.

<X> i tH

1,5

—: 4.

4. Der logarithmisch-frigonometrische Rechenschieber. Die sin-, cosin-, tang- und cotang-Skalen.

In Fig. 49 legten wir bei Aufstellung der Log-Skala die Länge MN der Logarithmen 0 bis 1, als absolute Zahlen betrachtet, zu Grunde. Ein Blick in die Logarithmentafel zeigt, und ist dies auch aus dem Aufbau der logaritlnnisch-trigonometrischen Funktionen zu ersehen, dass, wenn man die Kennziffern der log sin 90° und log cos 0°, — 10; die der log sin 5° 44'30" und cos 84° 15' 30", — 9 ; die der log sin 0° 34' 30" und cos 89° 25' 30", — 8 ; die der log sin 0° 3Ü 30" und log cos 89° 56'30", — 7 u. s.w. als dieselben Lineareinheiten wie MN betrachtet und aufträgt, hierbei die Ergänzung der sin und cos durch den rechten Winkel in Rücksicht zieht, man eine Sin = und Cosin-Skala erhalten muss.

Diese muss zugleich den Bedingungen entsprechen, dass man durch geeignete Kombinationen im bereits besprochenen Sinne, unter Zugrundelegung der Grundsätze der Logarithmen, Multiplikationen und Divisionen von Zahlen mit trigonometrischen Funktionen vornehmen kann.

Die Lineareinheit MN Fig. 49 entspricht der gleichen Länge MŁ Nx Fig. 52, und ist diese Skala so konstruiert, dass statt 10 (sin 90°, cos 0°) bis 9 (sin 5° 44' 30"), 100 bis 90 als zählende Einheiten wurden. Die Zwischenwerte 99, 98, 97 ... .91 müssen dann wieder so aufgetragen sein, dass den zug.ehörenden Graden

für sin 7° 14' 0"; cos 82° 46' 0" sin 9° 7' 10"; cos 80° 52' 50" sin 11° 31' 40"; cos 78° 29' 20

9,1 bezw.

9,2

9,3

H (M CO

zu

Grunde gelegt

u. s. w.

entsprochen wird.

Um nun z. B. ein Produkt zu bilden 2 sin 30°, so legt man den Nullpunkt des trigonometrischen Schiebers (sin 90°, cos 0°) an 2 oder 20 der Zahlenskala Fig. 49 und liest bei sin 30° (cos 60°), M oder N, 1 ab. Will man sin 26° 30' mit 145 multiplizieren, so legt man den Nullpunkt an 14,5 Fig. 49 oder Fig. 50 und liest bei 26°3Ö/ derselben Log. — Skala 64,7 ab. Auf gleiche Weise (man nehme wieder einen Zirkel) findet sich 125. cos 25° 30' — 112,7 etc. Durch ein umgekehrtes Anlegen resultiert (Subtraktion der Logarithmen) eine Division; z. B.

Man legt den Schieber cos 50° an 130 des Lineales an und liest bei 0°

130

des Schiebers 0,202 vom Lineal ab;

=: 0,202. Wenn man die Länge

’ cos 50°

des Cos-Schiebers 0° bis cos 50° in den Zirkel nimmt und die eine Zirkel

spitze auf die Zahl 13 (130) des logarithmischen Lineales oder Schiebers Fig. 49, 50 setzt, kann man sich durch die andere Zirkelspitze, welche auf 20,2 zeigt, von der Richtigkeit überzeugen.

Die Konstruktion der Tangentenskala Fig. 53 beruht auf dem gleichen Princip. Als Ausgangspunkt massgebend ist hier, weil tg 45° = cotg 45° = 1 der Wert 10 von log tang 45°. Die Einheiten ergeben sich hiernach, wie leicht zu übersehen, analog dem Obigen. Die Werte der tang 0°, cotg 90° erstrecken sich bis unendlich. Die Charakteristiken sind auf der Zeichnung auch mit angegeben. Es genügt, die trigonometrische Relation zwischen tang und cotang berücksichtigt, den Schieber nur bis 45° auszuführen.

Soll z. B. tang 60° mit 34 multipliziert werden, so legt man den Ausgangspunkt (tang 45°) an Anlegen der Tangentenskala an die Zahlenskala Fig. 50, 49 muss selbstverständlich in dem Sinne erfolgen, dass der Nullpunkt die Zahl 1 der Zahlenskala an die Seite des Ausganges tang 45° der Tangentenskala und die fortlaufenden Zahlen 2, 3 . . . 100 der Zahlenskala nach der Richtung 0° der Tangentenskala zu liegen kommt.

Ein entgegengesetztes Anlegen liefert 19,63 , mit anderen Worten eine Division durch tang oder Multiplikation mit cotg:

34 (340) an, und liest bei 60°, 5, 88 ab.

Das

34. tang 60° = 5,88;

34

⁵ tang 60°

= 34 cotg 30° = 19,63.

5. Rechenschieberkonstruktionen für Wurzeln, Potenzen etc. mit trigonometrischen Funktionen kombiniert.

Der Poly meter (ursprünglich ein englisches Fabrikat) gehört zu den ältesten derartigen Instrumenten, hat aber immerhin praktische Vorteile. Sein Zweck ist die meisten in der Praxis vorkommenden Rechnungen, Multiplikationen, Divisionen, Radizierungen, Potenzierungen, Inhalte, Oberflächen möglichst schnell mit allerdings einem geringeren Genauigkeitsgrad zu lösen.

Er hat die Form eines zusammengeklappten Massstabes, und dient zugleich als solcher. —

In der Neuzeit gelangt ein Rechenschieber*) in den Handel, welcher sich durch seine Handlichkeit auszeichnet, und aus diesem Grunde eine nähere Betrachtung verdient, ln den Figuren 54a bis 54e ist derselbe in seinen Teilen in natürlicher Grösse dargestellt.

Der Rechenschieber besteht, wie aus Fig. 54c ersichtlich, aus dem festen Stab BB und dem eigentlichen Schieber A, der erstere enthält auf der hinteren Seite BB Bemerkungen, welche sich auf die spezifischen Gewichte verschiedener Körper, Vergleichungen von Fussmass mit Meter u. s. w. beziehen. Auf dem schrägen Rand CG ist eine Meterteilung in natürlicher Grösse angebracht, ebenso auf dem Rande Cj und im Innern des festen Stabes, die Letztere DD wird erst ersichtlich, wenn der Schieber A nach der einen oder anderen Richtung verschoben wird, Fig. 54a und d. Die Figur 54e stellt den Schieber allein von der Rückseite dar Aj, auf dieser befinden sich die logarithmisch-graphischen Teilungen der sin und tang, die ersteren bis 90°, die letzteren bis 45° nach der dem Rechenschieber zu Grunde gelegten Masseinheit, analog der Fig. 53 und 52.

Der zusammengeschobene und 1 auf 1 gestellte Rechenschieber Fig. 54b enthält zweierlei gleiche Einteilungen EE, FF, ee, ff, welche je mit dem Stab und Schieber übereinstimmen. Die Teilungen EE, ee entsprechen von 1 bis 1 der dem ganzen Instrument zu Grunde gelegten Masseinheit, analog MN Fig. 49. Die Einheit der unteren Skalen FF, ff ist doppelt so gross; die unteren Zahlen sind demnach die Wurzeln, die oberen Zahlen der Teilungen EE die Quadrate der jeweilig gegenüberstehenden Zahlen.

Zahl 5, weil

Die Operationen, welche man nun zunächst mit den beiden Skalen EE, ee, vornehmen kann, sind Multiplikationen und Divisionen. Um 4 mit 5 zu multiplizieren, stellt man die Zahl 1 des Schiebers auf 5 der festen Skala, und liest bei 4 des Schiebers A auf der festen Skala, ee die Zahl 2 d. i. 20 ab. 5.24 ergiebt sich aus dem zweiten grossen Teilstrich nach 1 auf der Skala ee, nämlich 120. Zur Ausführung von Divisionen betrachtet man die Zahlen der Skala A als Dividenden und die der festen Skala als Divisoren, man liest bei 1 der beweglichen Skala EE auf der Skala ee den Quotient ab. Z. B. 8 der A Skala unter 4 (resp. 40) der festen Skala gestellt, liefert bei 1 die 40

= 5. Unterhalb 6 der festen Skala steht in derselben

Stellung der zweite Teilstrich nach 1 der A Skala, folglich

60

600

12 1,2 120 ⁵'

Ohne Rücksicht auf 1 der beweglichen Skala A lassen sich mit derselben Leichtigkeit Proportionen ablesen. Stellt man 4 unter 3, so steht auch 8 unter 6, 1 unter 7,5, 2 unter 1,5 d. h. es ist

IO o

u. s. w.

A = 0,75=^ 8 ’ 2

Da die Einheit der unteren Skala FF noch einmal so gross ist, als diejenige der oberen, so stehen die Quadrate, beziehentlich die zweiten Wurzeln auf den Skalen EE und FF direkt übereinander. Die Ablesung erleichtert man sich dadurch, dass man die beiden Zahlen 1 des beweglichen Schiebers A zu Hülfe nimmt. Stellt man die 1 der beweglichen unter 4 der

*) Zu beziehen durch Donnert & Pape, Altona (Elbe), Friedenstr.

festen Skala ee, so liefert die untere 1 der beweglichen Skala A auf der festen Skala ff, die Skala 2, weil 2² = 4 und J/^4 = 2. Aus der blicklichen Stellung der F'ig. 54a folgt jA5 = 2,236, die letzte Dezimale 6 ist eingeschätzt, umgekehrt findet sich 2,236² =; 5.

augen-

Das umgekehrte Verfahren zum Ausziehen von Kubikwurzeln ist aus dem Grunde nicht anwendbar, weil man gleich, um eine vorherige Division ausführen zu wollen, die Grundzahl als bekannt voraus-Man schlägt hier einen anderen Weg ein, indem man den

Die in Fig. 54a bezeichnete Stellung des Rechenschiebers lässt sich nun gleichzeitig auch verwerten zur Erklärung der Ablesungen von Kuben. Der Teilstrich 1 der unteren Skala FF zeigt auf 2,236 der festen Skala ff und giebt 5 als zweite Potenz, multipliziert man 5 nochmals mit 2,236, d. h. liest man neben der Zahl 2,236 der beweglichen Skala EE die betreffende Zahl der festen Skala ee ab, so hat man in Wahrheit die dritte Potenz von 2,236 gefunden; das Ergebnis ist 2,236³ == 11,2 (11,18). Es folgt hieraus die Regel, dass man von irgend einer Zahl (z. B. 21) die 3. Potenz findet, wenn man die 1 der unteren beweglichen Skala FF auf diese Zahl einstellt, und neben der gleichen Zahl der oberen beweglichen Skala EE auf der festen Skala ee das Ergebnis (hier 9260, genauer 9261) abliest. — Stellt man die 1 der F'-Skala über 2 der f-Skala, so liefert die 1 der E-Skala die Zahl 8, weil 2.2.2 = 8.

setzen musste.

Schieber A umkehrt, so dass jetzt die Schieberskalen wechselseitig zu den Stabskalen zu liegen kommen, wie es in Fig. 54d ersichtlich gemacht ist.

Denkt man sich in dieser Lage die 1 der beweglichen FP¹-Skala beispielsweise auf 27 gestellt (2,7 der festen Skala ee, bezeichnet mit z), so stellen sich die beiden Striche 3 der Skalen EE und ff übereinander. Rückt

1 der Skala F unter 64 (6,4 der Skala), so findet man 64 == 4, da

man

beide Skalen von rechts und links gelesen, ihre Vereinigungslinie in der

Zahl 4 haben. Um 1^15625 auszuziehen, schiebt man 1 unter 1,5625 der Skala ee, mit v bezeichnet, so wird man sich überzeugen, dass die beiden unteren Skalen jetzt ihre Vereinigungslinie in 2,5 haben: es ist demnach

V 15625 = 25. —

Die Zahlen der Skalen 1'' und f sind die Quadratwurzeln der Zahlen auf den Skalen e und E, wird demnach eine Zahl und eine Quadratwurzel übereinander geschoben, welche beide denselben Zahlenwert haben, so müssen sie auch in ihrer gedachten Verlängerung auf der oberen Skala ee das Quadrat liefern: man sieht, dass wenn man sich die übereinander gestellten Striche 2,5 der f und E-Skalen verlängert denkt, sie die Zahl 625 (6,25) der ee Skala treffen, da die f und e Skalen schon ohnedies eine derartige Lage, Quadrat — oder zweite Wurzel haben. Das Einstellen der 2,5 in indirekter (verkehrter) Lage des Schiebers an 6,25 liefert dann noch eine Multiplikation (bezw. Division) der 625 mit 25, das Resultat bei 1 ist 15625.

Es ist wohl selbstredend, dass man auf diese Weise auch die Kuben ablesen kann, indem man zunächst die Quadratzahlen aufeinanderstellt 25 über 25, 3 über 3 und nochmals mit derselben Zahl multipliziert, bei 1 auf der e-Skala findet sich die dritte Potenz.

3 r-

Der gegenwärtige Stand der Fig. 54d ist eingestellt auf j/ 32768, auf die Zahl 3,2768, bezeichnet mit u, auf den beiden Skalen E und f treffen bei w die Striche 3,2 in einer Linie zusammen, es ist also

32 = y 32768 oder 3,2 — y 32,768 oder 0,32 = \ 0,032768.

Zur Ausführung von Multiplikationen und Divisionen von Zahlen mit den trigonometrischen Funktionen dienen die Skalen auf Aj, welche man an die e-Skala anlegt, und nun wie schon oben mitgeteilt, verfährt. Man stellt den Strich hei S (sinus) oder T (tangens), Fig. 54e, auf die betreffende Zahl ein und findet das Ergebnis heim jeweiligen Grad. — Mit Hülfe eines kleinen dem Rechenschieber beigegebenen Blechschiebers übersieht man leichter, dass die Zahlen der Skala f die Quadratwurzeln aus dem Produkt einer Zahl mit einem sin oder tang liefern. Z. B. 90° oder S auf die mittlere 1 der e-Skala eingestellt, liefert für sin 30° den Wert 5; 10. sin 30° = 5. Unmittelbar darunter durch obigen Blechschieberzeiger vermittelt, um ein doppeltes Einstellen zu sparen, steht j/5, nämlich J 10 . sin 30° = 2,24.

6. Verfassers Rechenschieber für Absteckung von Kreisbögen.¹)

A. Rechenschieber zur Absteckung von Ordinaten und Absciss en. Bei Gelegenheit der Aufstellung der Formeln für die Absteckung der Kurven mittelst Ordinaten und Abscissen hatten wir die Gleichung y/R = n— y 1—n² entwickelt. In derselben bedeutet n das Verhältnis der in der Tangente oder Sehne gemessenen Abscisse zum Radius, n — x/R, y der zur Abscisse x gehörigen Ordinate. Für einen bestimmten Wert von n liefert die obige Gleichung daher den relativen Wert der zugehörenden Ordinate, der absolute Wert folgt durch Multiplikation mit R. Die Werte von n bilden eine fortschreitende Zahlenreihe von 0 bis 1. Trägt man sich unter Zugrundelegung einer beliebigen Einheit MN Fig. 49 die logarithmischen Werte der Zahlenreihe n in der bekannten Form auf, so hat man dieselbe nur noch mit R zu multiplizieren, um x zu erhalten. Es kann letzteres wiederum graphisch dadurch geschehen, dass man sich eine bewegliche loga-rithmische Skala konstruiert nach derselben Einheit, die die sämtlichen Radien von 1 bis oo enthält, und diese Skala an die erstere in der Weise anlegt, dass für ein gewisses R die logarithmischen Werte beider Skalen addiert werden. Für die Konstruktion eines Rechenschiebers ist es jedoch vorteilhafter zu einem Reciprokenverhältnis zu gelangen; und zwar dadurch, dass man eine logarithmiscli-graphisclie Division, wie in Fig. 51 geschehen, vornimmt. Man konstruiert sich nun ferner eine andere Skala, für eine, nehmen wir vorläufig an beliebige, die Grösse des Rechenschiebers berücksichtigende Einheit, und zwar für die sämmtiichen Werte von y/R, welche, weil y ^ R wiederum eine Zahlenreihe von 0 bis 1 bildet. Die Bezeichnung dieser zweiten festen Skala muss aber die analog fortschreitenden, bezw. mit dem obigen Reciprokenverhältnis korrespondierenden Werte enthalten; wenn man dann die logarithmisch-graphischen Werte dieser Skala mit R multipliziert, erhält man y. Logaritlimisch-grapliisch gelöst, benötigt man hierzu wieder eine bewegliche Skala wie oben für die Radien 1 bis oo, deren Einheit gleich der für y/R ist.

Das Verfahren Abscisse und Ordinate abzulesen, würde sich nach diesen

Andeutungen so gestalten, dass man sieli für ein gewisses x und R mit Hülfe der ersten beiden Skalen das Keciprokenverhältniss bildet, auf diesen Wert der zweiten festen Skala den Radius der zweiten beweglichen Skala einstellt und nun im Anfangspunkt der zweiten festen Skala y ab liest.

x .    y    cc

Berücksichtigt man, dass — — sina, = 2 sin²-^-, in welchen

Formeln a den Sehnen-Tangentenwinkel bezeichnet, welchen die Sehne 2x mit der Tangente bildet, so lassen sich durch beide Beziehungan die sämtlichen Werte y/R auch berechnen, ohne Rücksicht auf die obigen Formeln, bezw. auf Tabelle Kill zu nehmen. Man sucht zu den Logarithmen der fortschreitenden Zahlen von 0 bis 1 den zugehörigen Winkel a und bildet

ct

sich die Werte 2 sin--—, die so erhaltene Zahlenreihe wird mit Berücksich-

tigung der Einheit aufgetragen und sind dies natürlich die nämlichen Logarithmen, welche man erhält, -wenn man sie direkt aus der Tabelle K III bestimmt. — Z. B. dem Werth x/R = 0,2 entspricht der Logarithmus 0’30103000 — 1 — 9, 0'30103 — 10, als log sin der Winkel 11° 31' 14",

log | 2 sin² y (11° 31'14")] ist aber 8,3054374

der

— 10; für n = 0,2

findet sich y/R “0,020204 und ist der Logarithmus letzterer Zahl 0,3054371 — 2 d. i. auch 8,3054374 — 10. Da nun, je kleiner die Zahl x/R wird, um so genauer der Nenner der Werte y/R mit dem Quadrat von 10

, für n = 0,01

wächst; — für n = 0,001 wird y/R — 0,0000005 =

5000000

wird y/R 0,00005, für n =: 0,1 wird y/R— 0,005, (für x/R — 0,867 wird y/R = 0,501), — so ist es zweckmässig die Einheit der Skala für y/R einhalb so gross zu wählen als diejenige der Werte x/R. Man kann dann bis zu einer gewissen Grenze durch eine einzige Einstellung für einen gewissen Radius Ordinate und Abscisse ablesen.

Für die Praxis ist es ferner gleichzeitig von grossem Vorteil die zugehörenden Ordinaten der Abscissen x für eine gewisse in ganzen Zahlen fortschreitende Bogenlänge zu bestimmen. In der folgenden beschriebenen Rechenschieberkonstruktion habe ich diesen Vorteil in Rücksicht gezogen.

Die Bogenlänge für den Centriwinkel cp ist 1 =

und das Ver-

cpRiW 180

hältnis der halben Sehnenlänge zum Radius ist gleich sin cp. Die halbe Sehnenlänge ist aber die Abscisse in der Tangente gemessen, x/R = sin cp

( fKonstruiert man sich nun für die regelmässig fortsclxrei-V R re /

1/ß    0 bis iij2 = 1,5708 eine loga-

— sin

tenden Werte 1/R, selbstredend von rithmische Skala, so kann man, dieselbe in der gleichen Einheit aufgetragen wie die logarithmischen Werte x/R, zur wechselseitigen Bestimmung von Ordinate, Abscisse uud Bogenlänge für einen gewissen Radius R benutzen.

Die Figur 55 stellt einen nach diesen Grundsätzen konstruierten Rechenschieber dar, die Zwischenteilungen sind bei demselben, namentlich die der Skala C, der Einfachheit wegen weggelassen. A, C, E sind feste Skalen, B und D sind zum Schieben eingerichtet. Die Einheiten von D und E sind halb so gross als die von A, B, C. Die Einteilung der Skala A enthält die Werte log x/R und zwar nicht in Bruchform, sondern mit fortlaufenden Zahlen bezeichnet. Die Skala E enthält die Werte log y/R mit der zugehörenden Bezeichnung der Skala A versehen. Die Skalen A und B sind wie leicht zu übersehen, gewöhnliche Logarithmenskalen; beide haben gleiche Einteilungen, welche, wie Fig. 51, umgekehrt neben einander liegen, A ist hierbei jedoch mit einer auch nach links laufenden Zahlenreihe versehen. Die Skale B enthält die Radien, bezw. Abscissen von 1 bis 10000, von links gelesen die Radien, von rechts die Abscissen, D ist auch eine gewöhnliche Logarithmenskale für die Radien, bezw. Ordinaten von 0,0001 bis 10000. Stellt man den Wert (Radius) 10000 der Skala B auf 1000, so liest man bei 1 der festen Skala A die Abscisse x = 10 ab. Für den Maximalradius R = 10000m lassen sich daher nicht mehr die Koordinatenverhältnisse 10m bestimmen, welche Fälle in der Praxis wohl auch selten Vorkommen dürften, x — 5 der Skala B auf 1 der Skala A eingestellt, liefert für den Radius R — 500 der B-Skala den Wert 100 auf der Skala A; für die Abscisse x 25 d. h. 25 der Skala B auf 1 der Ska^ geschoben, liest man bei R — 1000m auf A die Zahl 85 ab.

Die Skala D enthält die gleichen Radien bis zum Maximum R 10000m, von der rechten Seite gelesen die Ordinaten 0,0001 bis 10000. Stellt man nun beispielsweise den Radius 500 auf die Zahl 100 der festen Skala E, welche Zahl man durch Einstellung für x — 5 und R — 500 fand, anf A, so liest man bei 1 der festen Skala E auf der beweglichen Ordinatenskala D die Ordinate 0,025 ab, nämlich den Teilstrich zwischen 0,02 und 0,03. Stellt man auf die in Folge x — 25 und R = 1000 enthaltenen Zahl 85 den gleichen Radius 1000m der Skala D auf die feste Skala E ein, so liest man bei 1 der festen Skala D die Ordinate 0,313 auf der beweglichen D ab u. s. w.

Beabsichtigt man für einen gewissen Radius z. B. 500m der Reihe nach die Ordinaten für die Abscissen x = 5, 10, 20, 25, 50, 100, 500 zu bestimmen, so kann dies bis zu einer gewissen Grenze durch eine einmalige Einstellung der beweglichen Skalen geschehen. Man stellt für die Abscisse x ~ 5 und R — 500 den beweglichen Schieber B auf die schon erwähnte Zahl 100 der festen Skala A und zugleich den Radius des Ordinatenschiebers D auf die gleiche Zahl 100 der festen Skala E. Denkt man sich nun, wie auch in der praktischen Ausführung vorgesehen, beide bewegliche Skalen B und D durch eine Klemmvorrichtung der Art vereinigt, dass sie sich nun gleichzeitig nach rechts und links um dieselbe lineare Strecke bewegen können, so hat man nur nötig der Reihe nach die weiteren Abscissen 10, 20, 25, 50, 100, 500 des beweglichen Abscissenschiebers B auf 1 der festen Skala A einzustellen, -— es hat sich somit auch der bewegliche Ordinatenschieber D um die gleiche Entfernung nach rechts bewegt. Man liest nun, ohne demnach der besonderen Einstellung für eine jedesmalige Ablesung der Zahlen 90, 70, 60, 10, 9, 1 am Schieber A für den Schieber D auf der Skala E zu benötigen, direkt bei 1 der Skala E die Ordinaten 0, 1, 0,405, 0,625, 2,506, 10, 102, 500 ab. Man wird hierbei bemerken, dass, wie auch schon oben angedeutet, für die Werte 10 der festen Skala E eine Ungenauigkeit resultiert, und ist es für diese Werte nötig die Verbindung B mit D zu lösen und bei Bedarf einer besonderen Genauigkeit den beweglichen Schieber D auf die für den bezüglichen Radius auf A abgelesenen Zahl besonders einzustellen.

Mit Zuhülfenahme eines Zirkels, oder durch Übertragung der beiden beweglichen Skalen B und D auf einen Streifen Papier, wird man sich schnell

1    x

von der übrigens höchst einfachen Manipulation mit dem ganzen Rechenschieber überzeugen können. Zur Realisierung der obigen Andeutung, das Bogenverhältnis 1/R betreffend, stellt die feste Skala C die logarithmisch-

berechnet,

/ 1 180\

vir ir)

graphischen Werte —— nach der Gleichung —- =: sin R    R

dar. Die Verhältnisse 1/R sind in der Skala C besonders eingetragen; zur Bestimmung von 1 wird die Skala B benutzt. Man sieht, dass je kleiner 1/R, um so näher 1/R =: x/R d. h. die Bogenlänge gleich der Abscissenlänge. Einige Beispiele genügen, um sich mit der Manipulation vertraut zu machen.

Stellt man den Radius 400m der Abscissenskala B auf 0,5 der Skala C, so entspricht derselben die Bogenlänge 0,5.400 =: 200m, hingegen der Abscissenlänge, welche man bei 1 der Skala A auf B abliest 191,8 (191,77). Über den Strich 0,5 liest man auf der A-Skala neben 400, 6,2 ab. 200m Bogenlänge oder 191,8m Abscissenlänge entsprechen aber der Ordinate 49m (48,97); denn stellt man den Radius 400 der D-Skala auf 6,2 der E-Skala, so zeigt der Strich 1 der E-Skala auf die Ordinate 48,97. Der Abscisse 200m für den Radius 400 entspricht 1/R — 0,52 (die Zwischenteilungen sind in der Zeichnung weggelassen), demnach die Bogenlänge 1 r= 0,52.400 =: 208m. Die hier zugehörige Ordinate kann man durch Einstellung des Radius 400m der B-Skala auf den Strich 6 der E-Skala ablesen.

Für den Radius 1000m und der Abscisse 10m kann man die Bogenlänge 1 schon gleich der Abscissenlänge für den praktischen Gebrauch setzen, indem schon für die Abscisse 50m und dem gleichen Radius die Differenz nur noch 20 mm beträgt.

Die Verhältniszahlen auf der Skala C für 1/R lassen sich direkt auch verwerten um die Verhältnisse x/R zu ermitteln, indem wir schon mehrfach erwähnt: je kleiner 1/R, um so näher rücken die Striche an x/R heran, und schliesslich fallen die Werte 1/R auf C mit dem Abscissenverhältnis x/R der A-Skala zusammen.

B. Rechenschieber zur Absteckung vom Bogenmittenabstand und Tangentenlänge. Dieser Rechenschieber, Fig. 56, besteht aus zwei festen und einer beweglichen Skala A, C und B. Die feste Skala A stellt

die Logarithmen der relativen Bogenmittenabstände =.

— 1, und

sin a/₂

die feste Skala C diejenigen der Tangente T = cotg «/₂ dar.

In vorstehenden Formeln (S. I. Abschn.) bedeutet R der Halbmesser, to den Bogenmittenabstand, T Tangentenlänge und a den Winkelpunkts- oder Peripheriewinkel.

Bildet man sich zunächst die zur Konstruktion nötigen Einheiten, so wird

-?L=i

R

« = 130° 45' (ca.) ~ = 0,1

IO

— = 2 u. s. w.

Diese Werte bestimmen die Einteilung des Stabes und den Ort der

für a ~    60°

für a — 90°

« = 163°45'

10°30'

« = 168° 29' — = 0,1 T

r = °'0L

a = 178° 50'

T

11° 26' —

= 2 u. s. w.

Ablesung; für Bogenmittenabstand bei 60°, für die Tangente bei* 90°, weil hier die Logarithmen Null sind.

Man trägt nun auf den Skalen A und C nach erfolgter Berechnung der sämtlichen Logarithmen der relativen Grössen co/B und T/B für die Winkel a (in der Fig. von a — 10° an) auf, indem man sich auf den Massstab die Einheiten markiert, jede in 10 oder 100 gleiche Teile teilt, und an den betreffenden Stellen den jedesmaligen logarithmischen Wert für w/B oder T/B des bezüglichen Winkels mit der Bezeichnung des Zahlenwertes desselben aufzeichnet.

Die feste Skala für T ist weiter nichts als eine Kopie der schon früher beschriebenen Tangentenskala S. 114. Der grösste Teil der Zwischenteilungen ist auch hier der Übersicht wegen weggelassen worden. Der bewegliche Schieber ist ein gewöhnlicher logarithmischer Zahlenrechenschieber, konstruiert nach der gleichen Einheit der festen Skala, und enthält die Badien von 10000m ab. Das Prinzip ist hier die logarithmischen Werte m/B und T/B mit B zu multiplizieren. Man wird also für einen bestimmten Winkelpunktswinkel a und Badius B den letzteren nur auf den bezüglichen Winkel der einen oder anderen festen Skala einzustellen haben, und liest an der betreffenden Ablesestelle auf dem beweglichen Bechenschieber den Wert co bezw. T ab.

Da durch eine Vervielfältigung der Badien mit 10, 100 oder 1000 auch die Ablesung des Bogenmittenabstandes oder der Tangente in demselben geraden Verhältnis zunimmt, so bleibt es sich gleich, ob man beispielsweise, für 4000m Badius die Zahlen 4, 40, 400 auf den betreffenden Winkel einstellt, wenn man nur nach erfolgter Ablesung auf den beweglichen Bechenschieber mit dem gleichen Vielfachen von 10 multipliziert.

Für den Badius 300m und a = 140° liest man durch Einstellen der 300 des beweglichen Bechenschiebers auf 140° an der Ablesestelle des Schiebers A den Bogenmittenabstand auf dem beweglichen Bechen Schieber B die Zahl 19,25m ab. Für B =: 30m würde das Besultat co — l,935m sein.

Für den Badius 500m und 175° 30'Winkelpunktswinkel wird co = 0,386; die Einstellung des Badius 100m (Schieber B) auf 175° 30' giebt auf dem beweglichen Bechenschieber kein Besultat, der Massstab ist zu kurz, infolgedessen stellt man den Badius 1000m auf den obigen Winkel und liest die Zahl 0,77 auf dem Schieber B an der Ablesestelle 60° des Schiebers A ab, für Br= 100m, a = 175° 30' ist sonach co — 0,077m. Die Einstellung dieses Schiebers (Schieber B) auf 170° 15' der Tangentenskala C liefert an der Ablesestelle (90°) auf dem beweglichen Schieber für den Badius 800m, T = 682,37m.

C. Bechenschieber für Bogenlänge und Tangentenabschnitt. Für die Peripheriewinkel a und Badius B drückt sich die Länge des

Bogens (s. Seite 6) aus durch die Gleichung = rc

180 — «

180

Denkt man sich in der Bogenmitte eine Senkrechte (Tangente) errichtet, so schneidet diese auf den Haupttangenten die Entfernungen t vom Winkelpunkt bis zu den Schnittpunkten gemessen ab. Der relative Wert derselben stellt sich dar durch die Gleichung

_ cofg «/a B 1 -j- sin a/₂

Mit Hülfe des in Fig. 57 dargestellten Bechenschiebers habe ich ver-

sucht die Ablesung von Bogenlänge und Tangentenabschnitt auf graphischem Wege zu lösen. Derselbe giebt zugleich die Bogenlänge bezogen auf den Centriwinkel an.

Die Skalen A und 0 sind fest, B ist wieder die bewegliche Skala, für den Radius und die Ablesung bestimmt ; sie erstreckt sich bis zu 400m Radius und findet sich L und t für die sämtlichen grösseren Radien auf dieselbe Weise, wie bei dem oben besprochenen Rechenschieber durch Multiplikation des Radius, bezw. der Ablesung mit dem Vielfachen von 10. Das Prinzip der Einstellung und Ablesung durch Multiplikation der relativen Werte L/R und t/R mit R ist das gleiche, wie oben. Um den Ort der Ablesung für die Skala A; welche sich auf die Bogenlänge bezieht, zu bestimmen, setzt

122° 55'. Für « = 0°

man

——- und findet hieraus a —

R

wird L/R — 7t, da nun log 7t — 0,49715, so liegt der Anfang des Rechenschiebers also für 0° Peripheriewinkel ungefähr in der Mitte der gewählten Einheit, für welche a = 0° und a = 122° 55' wird. Die Einheit ist doppelt so gross wie diejenige der Eig. 55 und 56. Der Ort der Ablesung für die Skala C findet sich auch durch Berechnung von a aus der Beziehung

cotg g/2

1 -j- sin aj₂ ‘

Die Konstruktion beider Skalen ist nun dieselbe, wie die der Skalen des Rechenschiebers Fig. 56. Man berechnet sieh zunächst in einer tabellarischen Übersicht die sämtlichen Logarithmen der Werte L/R und t/R für jeden Grad und trägt die gefundenen Zahlen in die in gleiche Teile geteilten Einheiten ein. Für a — 180° wird der log unendlich, je grösser a, um so mehr Zwischenwerte hat man nötig zu berechnen, um dem Rechenschieber die erforderliche Genauigkeit zu bieten. Um nun die Ablesung der Bogenlänge auch für jeden Centriwinkel zu ermöglichen, habe ich in der Skala A eine doppelte Nomenklatur, unterhalb die Winkelpunktswinkel, oberhalb die Zentriwinkel vorgenommen.

Z. B. Um für R— 100m und den Peripheriewinkel a — 161° 45' die zugehörende Bogenlänge abzulesen, stellt man die Zahl 100 der Skala B auf 161° 45' der Skala A, und liest an der Ablesestelle am Schieber B 31,85m ab. Das Resultat für R = 10m wäre 0,3185m.

Dem Peripheriewinkel a — 161° 45' entspricht der Centri-

Der Wert t findet sich durch Einstellen der Zahl 100 auf 161° 45' der Skala C, und liefert die Ablesung 8,08m, hieraus folgt für R = 10,0in, t = 0,808m. winkel 180 — 161° 45' = 18° 15'.

In Fig. 58 sind alle drei Rechenschieber kombiniert dargestellt zu einer Form, wie sie sich zum praktischen Gebrauch am besten eignet.

7. Schieberskalen für Exponentialgleichungen und andere R ech en s cliieb erkonstruktionen.

Infolge von möglichst geeigneten, mehr oder weniger vollständigen tabellarischen Übersichten wurde von der Einführung der Rechenschieber bislang von Seiten der Praktiker noch vielfach abgesehen. Es liegt dies mehr an der Bequemlichkeit, welche solche Tabellen bieten, die sich nicht abstreiten lässt, wenn man sich auch ihre Vollständigkeit durch alle möglichen Hülfsmittel (Ablesen von Wurzeln grösserer Zahlen aus den Potenztabellen u. a.), unter denen die Interpolationen noch die genauesten sind, zu ergänzen sucht; es genügen eben diese Ungenauigkeiten meist in der Praxis. Einige der oben erwähnten, gleichsam graphischen Tabellen, haben aber dennoch eine ziemliche Verbreitung gefunden, nicht allein im Ingenieurfach, sondern auch auf manchen Maschinenkonstruktionsbureaux. Bei einiger Übung kann man sich ungemein schnell in die eigentümliche Art und Weise der Ablesung ein-arbeiten. Für geodätische Höhen — Distanz metrische Aufnahmen ist übrigens der Rechenschieber ein willkommenes Hilfsinstrument. Auf die hier zu Grunde liegende Skalen cos ² ß, ¹/₂ sm2ß etc. können wir an dieser Stelle nicht eingehen. Bemerkenswert sind hier auch diejenigen Fabrikate, welche zur Basis den lOOteiligen Quadranten nehmen. Diese Einrichtung hat den Vorzug, dass der Unterschied zwischen auf- und absteigendem Terrain ganz wegfallen kann. Die Rückseite dieser Rechenschieber ist für algebraische Rechnungen, Wurzeln, Potenzen, ausgenutzt. Der Rechenschieber von Goldschmidt in Zürich, welcher auf dem Schieber ¹/₂ sin 2 ß, dagegen auf einer festen quadratischen Koulisse (Läufer), die sich über Lineal und Schieber bewegt, die cos ²ß Skala verzeichnet hat, enthält zur Verwendung des Schiebers für grosse Distanzen auf dem unteren Teil des Lineals eine Skala für Reduktion des scheinbaren auf den wahren Horizont.

und namentlich tacheo-

Interessant ist auch der von Werner²) konstruierte Schieber zur Auflösung von Exponentialgleichungen mx — n, xm = n u. s. w. Der Grundgedanke hierbei ist die Logarithmen der Logarithmen aufzutragen.

Ein Rechenschieber für die Kegelschnittkurven für den Eisenbahnbau ist selbstredend auch realisierbar, und dürfte dieser eventuell zugleich als Ergänzung der Tabellen dienen können.³)

II. Verständigungssignale, Verständigungszeiclien.

Vom Standpunkt der Wissenschaft dürfte es wohl manchem Leser dieser Zeilen paradox erscheinen, eine Abhandlung über das Signalwesen als gegenseitige Verständigung zwischen Messgehülfen und operierendem Ingenieur oder Geometer bei geodätischen Aufnahmen und Absteckungen zu schreiben. Dieses Signalwesen hat aber, wie gewiss jeder Praktiker zugeben wird, eine gewisse Berechtigung einen integrierenden Bestandteil zu den Hülfsmitteln bei geodätischen Arbeiten zu bilden. Die Zeit, welche verloren geht mit überflüssigen Rufen, Gestikulationen, Pfeifen, Winken, insbesondere, wenn der Messgehülfe aus dem Gesichskreise verschwunden ist, und was dergleichen ja nicht zu umgehende Hindernisse mehr sind, zahlt sich gewiss aus, wenn zwischen dem operierenden Ingenieur und dem Messgehülfen ein optisches oder akustisches Einvernehmen besteht⁴).

Nicht allein jeder Feldmesser, auch jeder Ingenieur hat gewöhnlich sein eigenes Verfahren, sich auf diese oder jene Weise dem arbeitenden Messgehülfen verständlich zu machen, oder er bildet sich mit der Zeit ein solches. Hat man nun aber bei einer Feldarbeit, Katasteraufnahme oder Tracierung, gleichviel, solche verschieden eingeschulte Messgehülfen unter sich, so sind Irrtümer auf Kosten der Zeit, bezw. der Arbeit nicht zu umgehen.

Die in der Regel in Verwendung kommenden Signale sind akustische oder optische. Zu den letzteren verwendet man seine Hand, ein Taschentuch, besser eine Stange (Piquet, Bake) oder Fahne; zu den ersteren eine Pfeife, oder ein eintöniges kurzes Hörnchen, Trompetenmundstück oder dgl. In allen Fällen kommt es darauf an möglichst einheitlich zu Werke zu gehen, und habe ich im beistehenden Formulare die hauptsächlichsten optischen und akustischen Verständigungszeichen, welche ich bei Gelegenheit meiner geodätischen Arbeiten als praktisch bewährt, verwendet habe, vorgeführt. Die akustischen Signale bestehen aus langen (o) und kurzen (•) Tönen, Pfiffen, die optischen lassen sich mit einer l,5m langen leichten roten Fahne, mit einem Taschentuche an einem Stocke ausführen. Die einzelnen Zeichen bedürfen wohl keiner weiteren Erklärung.

¹

Zu beziehen durch die Verlagsbuchhandlung¹ Gerhard Kühtmann, Dresden.

²

Siehe Werner, Tacheometrie, Wien, Lehmann & Wentzel.

³

Die Verlagsbuchhandlung behält sich das Recht der Ausführung vor.

⁴

Über die konstanten optischen Signale bei trigonometrischen Vermessungen etc., Fixierung von Stationen siehe Dr. Franke, trig. Vermessungen, Leipzig; Dr. Hunäus, prakt. Geom., Dresden, Kühtmann, u. a.

fi

KRAKÓW J

No.

Beschreibung des Signales.

Ja (gut).

Weiter (fertig).

Rechts.

Latte oder Stange neigen, schwenken, wenn nichts zu sehen.

Nicht verstanden (was?).

Yerständigungssignale während

Bezeichnung des

akustischen

optischen Signales.

senkrecht nach unten bewegen.

13

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nach der betreffenden Richtung hinschlagen.

halten.

langsam schwenken.

verkehrt halten.

der Arbeiten auf dem Felde.

No.

10

Besehreihung des Signales.

Nein (nicht gut).

Zum Instrument kommen.

Links.

Latte oder Stange heben, hoch halten (verlängern).

Kann nichts sehen.

Bezeichnung des

akustischen

optischen Signales.

schnell hin und herschwenken.

Vor dem Instrument Zurückschlagen nach diesem zu.

halten.

senkrecht nach oben bewegen u, in dieser Lage halten.

tu

umgekehrt

schwenken.

11

Vor (näher) kommen.

Vor dem Instrument stehend, mehrmals 12 Zurückschlagen.

Zurück (weiter fort) gehen.

Yor dem Instrument mehrmals vorschlagen.

1ZX

13

Langsam.

C)

langsam um die Mitte drehen.

14

Schnell, schneller (laufen).

0)

schnell um die Mitte drehen.

Halt!

Achtung auf Signal etc.

horizontal halten. 16

Ist’s so recht?

vor seinem Körper halten.

17

Auf d. Nagel, Pflock Station halten.

über dem Instrument halten.

18

Neben d. Pflock (Station), ev. auf Terrain halten.

schief über dem Instrument halten.

19

Station

verloren gegangen.

nach unten halten oder schwenken nach der Stationslage oder Richtung.

20

Pflock einschlagen, Station markieren.

er

nach unten bewegen, auf die Erde stossen.

21

Latte, Stange, gerade, senkrecht halten.

in schräger Lage

seinem Körper 22 l Kombinationen, z. B. No. 7 —(— 5, 7 —|— G rechts oder links die Latte neigen etc, halten.

vor

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Verlag von

Hecht's Rechenschieber

Gerhard Küïitmarm,Dresden.

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Bogenlänge und Tamjen/eiiab.srhniti

Zu beziehen durch die Verlagsbuchhandlung von Gerhard Kühimann in Dresden. ^

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