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Biblioteka Politechniki Krakowskiej

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LEHRBUCH DER ELEMENTAREN PRAKTISCHEN GEOMETRIE

(VE R ME S S Um S KUND E)

BAND I,

FELDMESSEN UND NIVELLIEREN,

DES LEHRBUCHS DER VERMESSUNGSKUNDE BESONDERS FÜR BAUINGENIEURE

VON

DR. E. HAMMER

PROF. AN DER KGL. TECHN. HOCHSCHULE STUTTGART

MIT 500 FIGUREN IM TEXT

Iffeuüicktn Arbeite*

LEIPZIG UND BERLIN DRUCK UND VERLAG VON B.G.TEUBNER

KRAKÖW

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COPYRIGHT 1911 BY B. G. TEUBNER IN LEIPZIG.

ALLE RECHTE, EINSCHLTESZLICH DES ÜBERSETZTJNGSRECHTS, VORBEHALTEN.

c. Nr.

Vorwort.

Man kann heute, wo man von einer im letzten Jahr besonders stark ge-wordnen Lehrbücherflut in der Praktischen Geometrie sprechen muß, das Vorwort eines neuen, wenn auch seit mehreren Jahren vorbereiteten Buchs dieser Art nicht anders als apologetisch beginnen. Der Hinweis auf Zweck und erwünschten Leserkreis dieses Bandes möge dieser Notwendigkeit gerecht zu werden suchen.

Das Buch wendet sich durchaus an Anfänger und zwar hauptsächlich an Studierende technischer Fächer an Technischen Hochschulen, die Kenntnisse und Fertigkeiten in „Praktischer Geometrie“ allesamt nicht entbehren können, in der Kegel aber beim Eintritt in die Hochschule noch gar kein geodätisches Meßgerät in der Hand gehabt haben: an angehende Architekten, die einen Lageplan nicht nur verwenden, sondern auch selbst aufnehmen lernen sollen und im Gebrauch des Nivelliers zu den einfachem Messungen genügende Übung erhalten müssen; an Maschineningenieure, denen eine etwas eingehendere Behandlung der Planimeter, die Handhabung von Libellen usf. willkommen sein kann und denen es auch nicht schadet, wenn sie wegen der Ermittlung irgend eines Höhenunterschieds nicht zum Geometer laufen müssen; endlich besonders an Bauingenieure, deren weitergehende Bedürfnisse in der praktischen Geometrie im

II. Band weiter verfolgt werden werden. Der Mathematiker also wird nicht viel Anregung zumal aus diesem I. Band erhalten können (für ihn ist u. a., soweit die Niedere Geodäsie in Betracht kommt, durch die „Einführung in die Geodäsie“ von Eggert, Leipzig, B. G. Teubner 1907, hübsch gesorgt), und ebenso wird der angehende Feldmesser, Geometer und Landmesser vieles in meinem Buch entbehrlich finden (weil er den Stoff aus seiner Lehrzeit bereits bis zu einem gewissen Grad kennt) und noch mehr andres vermissen.

Ich wiederhole, daß mein Lehrbuch für Anfänger in der praktischen Geometrie bestimmt ist; nicht nur angeblich und allenfalls im Titel, sondern tatsächlich. Aller paar Seiten wird der Leser dem Satz begegnen: „dem Anfänger ist zu empfehlen . . .“ oder „der Anfänger ist davor zu warnen . . .“ oder „man kann bei geringer Übung des Messenden nicht dringend genug raten . . .“ Dem Anfänger soll mein Buch auch wirklich Antwort geben auf die Fragen, die er meist zu stellen hat und Auskunft über die Zweifel, die ihm das Vorwärtskommen zu erschweren pflegen. Der Stoff dieses I. Bandes ist deshalb auch sehr beschränkt: im Gegensatz zu Büchern, die die Niedere Geodäsie möglichst extensiv, aber eben damit meiner Ansicht nach für den Anfänger wenig geeignet vorführen, ist hier nur aufgenommen, was in den Rahmen des oft auch (elementares) „Feldmessen und Nivellieren“ genannten Teils der Niedern Geodäsie gehört. Dieses Gebiet, mit besondrer Rücksicht auf die für die bautechnischen Fächer wichtigen Gegenstände, ist aber ausführlich behandelt. Ein solches ausführliches Lehrbuch für den ins Auge gefaßten Leserkreis ist meines Wissens nicht vorhanden; das

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weit verbreitete Handbuch der Vermessungskunde, II. Band, von Jordan (nach seinem Tod von Reinhertz und jetzt von Eggert bearbeitet; zurzeit 7. Auf!., Stuttgart, Metzler 1908) kann mit Nutzen doch nur von Solchen verwendet werden, die bereits ziemlich weit in die Sache eingedrungen sind. Und das ausführlichste moderne „Hand- und Lehrbuch der Niedern Geodäsie“, das wir haben, das von Hartner-Dolezal (10. Aufl., Wien Seidel, 1910, 2 Bände) ist z. T. für. andre Kreise bestimmt als das vorliegende Buch. Man kann gegen eine solche ausführliche Darstellung einwenden: „messen lernen kann man ja doch nicht aus einem Buch!“ Und dies ist in gewissem Sinn ganz richtig; gleichwohl kann und sollte das Lehrbuch gerade dem Anfänger mehr leisten, als bisher üblich war.

Das vorliegende Buch gibt im ganzen den „Vortrag 1“ über „Praktische Geometrie“ wieder, wie ich ihn dreistündig (im Wintersemester) in den letzten Jahren an der Technischen Hochschule Stuttgart für eine aus Architekten und Bauingenieuren, auch einzelnen Maschineningenieuren (früher haben auch alle Maschineningenieure diesen Vortrag gehört und an den Übungen I teilgenommen) und wenigen Lehramtskandidaten zusammengesetzte Zuhörerschaft gehalten habe. Den Vortrag begleiten eine Anzahl von Übungsstunden, zwei wöchentlich für den einzelnen Studierenden, nur zu Beginn und gegen Schluß des Wintersemesters im Freien, sonst an den Instrumenten im Zimmer; beides zusammen, Vortrag I und die Winterübungen, bildet die Vorbereitung für die Messungsübungen I im Sommerhalbjahr (ein Nachmittag für Architekten, ein Nachmittag für Bauingenieure, dazu einzelne Feiertage). Zu diesen Vermessungsübungen I des Sommers tritt in demselben Semester ein fünfstündiger Vortrag für die Bauingenieure (Ergänzungen zum Gebrauch des Theodolits bei Lagemessungen, die verschiednen Arten der Höhenmessung, dann besonders tachymetrische Messungen), dessen Gegenstände in den Übungen II (l N. M.) und auf der „geodätischen Exkursion“ (zu Anfang der Herbstferien; 12 Arbeitstage) eingeübt werden.¹) Ich gehe hier auf diesen Vortrag II nicht näher ein, muß jedoch ausdrücklich bemerken, daß einzelnes daraus hier bereits in den I. Band berübergenommen ist (so in Kap. 3 beim Theodolit, in den Kap. 5 und 6 des I. Abschnitts; auch im II. Abschnitt), besonders um diesen Band abzurunden, aber auch aus andern Gründen. Ebensowenig ist hier der Ort, die sonstigen geodätischen Vortrags- und Übungsfächer der Technischen Hochschule Stuttgart zu besprechen; ich will sie aber wenigstens aufzählen. Für die Bauingenieure sind in dem den Messungsübungen folgenden Wintersemester „Übungen zur Ausarbeitung der geodätischen Aufnahmen“ eingerichtet, z. T. in rechnerischen Übungen, z. T. im Aufträgen der Messungen bestehend. Von den andern regelmäßig abgehaltnen Übungen und vorgetragnen Fächern kommt für den Bauingenieur nur noch das „Plan- und Geländezeichnen“ in Betracht, während Ausgleichungsrechnung (Vortrag und Übungen), „direkte“ Zeit-und geographische Ortsbestimmung (ebenso), Grundzüge der höhern Geodäsie (ebenso, neuerdings auch besondre Rechenübungen eingeführt), Kartenprojektionen für kartographische und geodätische Zwecke, Barometrische Höhenmessung, jetzt in der Regel nur noch von wenigen Bauingenieuren besucht werden; angesichts ihrer Überlastung mit Fächern aller Art erklärlich. Im übrigen beteiligen sich an den zuletzt genannten geodätischen Fächern die Studierenden der Geodäsie, sowie Studierende der Mathematik. Für beide Klassen von Studierenden sind übrigens bei uns noch besondre geodätische Übungen eingerichtet, für jene im Winter und im Sommer (Rechnungs-, Instrumenten- und Messungsübungen), für diese nur im Sommer die Grundzüge der elementaren praktischen Geometrie und der direkten geographischen Orts- und Zeitbestimmung vorführend.

Der vorliegende I. Band meines Buchs über die elementareVermessungs-kunde (der schöne Name praktische Geometrie, von Lambert, den Tobias Mayer, von Gauß u. a. gebraucht und bis in die zweite Hälfte des 19. Jahrh. allgemein üblich, ist trotz der weit vorgeschrittnen Trigonometrisierung auf der einen, Arithmetisierung dieser Approximationsgeometrie auf der andern Seite immer noch brauchbar) ist, wie schon erwähnt, vollständig in sich abgeschlossen, wenn auch ein II. Teil folgen soll. Über die Behandlung des Stoffs und manche besondre Einrichtungen des I. Bandes möchte ich hier noch einige Worte beifügen. Ein Buch über Vermessungskunde, das u. a. auch Theodolitmessungen behandelt — ohne gleichzeitige Vorführung oder Voraussetzung der „methodischen“ Ausgleichung der Messungen, ist das nicht ein Anachronismus? Ich bin der letzte, der die Einführung der Elemente der Methode der kleinsten Quadrate schon bei den einfachsten Messungen tadeln möchte; die Beurteilung seiner Messungen mit Hilfe der mittlern Fehler sollte Jedem möglich sein, der einigermaßen wichtige, wenn auch einfache Messungen auszuführen hat, er sollte mit dem Begriff des Gewichts vertraut sein, die Übertragung und Anhäufung mittlerer Fehler, die Berechnung mittlerer Fehler aus Messungsdifferenzen kennen. Die Zuhörer aber bis zur Beherrschung der allgemeinen Methoden zur Ausgleichung vermittelnder und wenigstens unmittelbarer bedingter Messungen führen zu wollen, verbietet sich für meinen Vortragi und die Übungen I mit Rücksicht auf die verfügbare Zeit und verbot sich deshalb für den vorliegenden Band von selbst. Dieses Ziel zu erreichen ist nur dann, — dann aber auch unbedingt — erstrebenswert, wenn die Zeit gestattet, den Lernenden bis zum geläufigen und rechnerisch gewandten Gebrauch dieser Ausgleichungsmethode zu fördern; ob dies für Bauingenieure irgendwo zutrifft, kann ich nicht beurteilen, 'in Stuttgart ist es nicht der Fall. Jenes Ziel muß erreicht werden mit angehenden Vermessungsingenieuren (die auch an der Technischen Hochschule Stuttgart nicht ganz fehlen, wenn diese Art von Dipl.-Ing. auch in den Augen der württembergischen, an der Baugewerkschule aus-gebildeten Geometer etwas recht Überflüssiges zu sein scheint). Bei dem Stand der Dinge für den Bauingenieur aber ist mir, offen gestanden, ein junger Ingenieurpraktikant, der ein gutes Nivellement auszuführen versteht, lieber als ein andrer, der zwar von der Ausgleichung von Nivellementsnetzen etwas gehört hat, aber weder diese Ausgleichung sachgemäß durchführen, noch auch die auszugleichenden Messungen selbst ausführen kann. Jedenfalls wird man jungen Studierenden, die selbst noch kaum irgend etwas gemessen haben, nicht mit wirklichem Nutzen am Anfang des Unterrichts im Vorbeigehen die Ausgleichung einer großem Triangulation vorführen können. Ein verstorbener hervorragender Geodät (Jordan) war zwar der Meinung, man könne in einem Nachmittag ganz wohl einen Studierenden Horizontalwinkel messen lehren; der Verf. gesteht sehr gern, kein solcher didaktischer Hexenmeister zu sein und zieht deshalb vor, bei beschränkter Zeit den Löwenanteil davon der Anleitung zur sachgemäßen Ausführung der Messungen zu widmen, nicht der Ausgleichungsrechnung, so wichtig diese für den vorgeschrittnen Studierenden ist. Ich will hier keine Abhandlung über die Geodäsie für die verschiednen Arten von Studierenden der Technischen Hochschulen schreiben, kann aber nicht unterlassen zu sagen, daß die nach Koppe „stümperhaften Versuche“ der studierenden Bauingenieure in der Horizontalwinkelmessung, im Nivellieren usf., die durch das hohe Ziel der topographischen Anschauung ersetzt werden sollen, meiner Ansicht nach unbedingt notwendig sind, weil man z. B. Niemand tachymetrieren lehren kann, der nicht Winkelmessen und nicht Nivellieren gelernt hat, und weil meiner Ansicht nach der Weg zu dem, was der trassierende Ingenieur von Geländeanschauung braucht, am sichersten oder allein durch die verschiednen Methoden der Messung von Flächennivellements führt. Weder das einigermaßen geologisch-topographisch geschulte Auge, das Geländestudium im Sinn der Physiographik der modernen Geographie, noch Kenntnisse (aber meist weit von Gebrauchsbereitschaft entfernte Kenntnisse) in der Ausgleichungsrechnung können den angehenden Bauingenieur von der Notwendigkeit befreien, selbst messen zu lernen. Er wird freilich nicht an einem Nachmittag zum fertigen Winkelmesser werden können; ebensowenig aber brauchen seine Messungen „stümperhaft“ zu bleiben.

Was nun also die Ausgleichungsrechnung angeht, so bin ich bei den schon oben genannten Elementen und der Bestimmung einer einzigen Unbekannten stehen geblieben; Ausgleichung vermittelnder Messungen mit mehreren Unbekannten und bedingter unmittelbarer Messungen mit mehr als einer Bedingungsgleichung ist nicht aufgenommen. Ich bitte bei der Beurteilung dieses Umstands die vorstehenden Zeilen zu beachten.

Daß ich mein Buch vom pädagogischen und namentlich didaktischen Standpunkt aus beurteilt sehen möchte, brauche ich nicht nochmals besonders zu betonen. Man findet darin kaum ein Zitat aus einer wissenschaftlichen Zeitschrift. Auf die didaktische Aufgabe aber glaubte ich durch eine bald 30jährige Lehrtätigkeit genügend vorbereitet zu sein. Bei den reichlich eingefügten Mes-sungs- und Zahlenbeispielen habe ich fast ganz ausschließlich solche aus den Übungen der Studierenden verwendet und zwar Messungen von Studierenden, nicht von Assistenten; zum Anfänger sollten auch, so weit es angeht, Anfängermessungen sprechen, jedenfalls nicht Messungen, die ihm ganz unzugänglich sind. In meinen Messungsübungen messen grundsätzlich die Studierenden, nicht wie ich es gelegentlich anderswo gesehen habe, die Assistenten, deren Zuschauer die Studierenden sind; denn „in die Hand“ muß der Anfänger möglichst rasch die einfachen Messungen bekommen, handhaben muß er die Instrumente lernen, mit im Kopf haben ist hier wenig zu machen. Das bedingt allerdings viel Arbeit für die solche Messungsübungen Leitenden, weil der Anfänger fortwährender Aufsicht und Anleitung bedarf.

Zum großen Teil ist im Text neben dem normalen Satz Kleindruck verwendet; damit soll keineswegs überall Nebensächlichkeit dieser Absätze oder die Möglichkeit ihrer vorläufigen Zurückstellung angedeutet sein, wenn dies auch gelegentlich zutrifft. Insbesondre möge der Anfänger die in Kleindruck gegebnen

Rechnuugsbeispiele nicht als überschlagbar ansehen.²) Ich hoffe, daß die Benützer des Buchs sich bald in die Behandlungsweise „hineinlesen“. Die „Übungen“ am Schluß einzelner Abschnitte sollen den Leser nochmals besonders eindringlich zu dem unentbehrlichen, entschlossnen und ausdauernden „Selbsthandanlegen“ ermahnen und ermuntern. Die 'Bezeichnungsweisen des vorliegenden Bandes halten sich im allgemeinen an das jetzt übliche; in der Nomenklatur vergißt heute der Eifer der sprachreinigenden „Beiwert“-Männer oft die Hauptsache, nämlich die begrifflich scharfe Feststellung der Wortwerte. Was gut oder brauchbar ist an den Bestrebungen des Abschiebens entbehrlicher Fremdwörter und der Einführung neuer Bezeichnungen bricht sich selbst Bahn; Voglers „Wendelatte“ oder meine „Höhenstufen“ in der barometrischen Höhenmessung usf. sind rasch in allgemeinen Gebrauch gekommen und es ist in der Tat für solche Wörter das beste, wenn „man“ sich bald nicht mehr erinnert, woher sie stammen.

Die Abbildungen des I. Bandes, rund 500 an der Zahl (da viele mit a und b auftreten), sind in der großen Mehrzahl nach meinen Skizzen (den im Vortrag I an die Wandtafel gezeichneten entsprechend) von meinem I. Assistenten, Obergeometer Heer für die Zinkographie gezeichnet, dem ich auch hier dafür danke. Ebenso habe ich der Verlagshandlung für die Bereitwilligkeit zu danken, mit der sie auf alle meine Wünsche in Beziehung auf die Illustration einging. Eine Anzahl der Figuren ist auch nach Autographien gegeben, die ich zur Verteilung im Vortrag habe hersteilen lassen (so Figg. 90, 104, 110, 148, 188 bis 191, 201, 202, 211, 285 u. 293, 290, 294 [Kopie nach einer Autographie des K. Katasterbureaus], 378). Ebenso stammen unmittelbar aus dem Vortrag (dort verteilte Tabellen) z. B. S. 92/93 und die „Katasterzusammenstellungen“ in 23. und 24., in 47., 75. u. 85.; ich pflege diese Zusammenstellungen der wichtigsten Katasterbestimmungen in großen autographierten Blättern mit vielen ausgerechneten Zahlen im Vortrag zu verteilen und hoffe, mir durch Aufnahme kurzer Auszüge daraus nicht den Vorwurf der Inkonsequenz zuzuziehen, da doch mein Band I sich sonst nicht speziell der Vorbereitung auf die Arbeiten des Feld- und Landmessers widmen kann. Andre Figuren, um zu diesen zurückzukehren, sind den Messungsübungen entnommen (Beispiele: 79, 83, 84 Teile der Handrisse der Lageplanaufnahmen von 1909; 447 Teil der Längenprofile von 1909; 465 Teil des Flächennivellements auf der Exkursion 1907 usf.); die Figg. 111 und 112 sind Kopien von Ausschnitten aus württembergischen „Flurkarten“ (K. Katasterbureau), 113 und 114 aus Plänen des Stadtvermessungsamts Stuttgart. Endlich danke ich bestens einer Anzahl mathematisch-mechanischer Werkstätten für Überlassung von Abbildungen von Instrumenten und Instrumententeilen; ich führe sie hier in alphabetischer Folge auf und betone noch, daß die Nichtbenützung von Figuren andrer unsrer vortrefflichen deutschen Werkstätten keineswegs etwa ihre ähnlichen Instrumente als nicht ebenbürtig hinstellen soll:

C. Bamberg, Berlin, Figg. 384, 398.

F.    W. Breithaupt und Sohn, Cassel, Figg. 205 a, 209, 214a, 379, 380, 399.

G.    Coradi, Zürich, Figg. 109, 148a, 160, 164a und b.

0. Fennel Söhne, Cassel, Figg. 183a, 212c, 214d, 381, 386/88, 405, 407, 412, 414, 418 (hier gebührt der Dank zugleich der Wittwerschen Verlagshandlung in Stuttgart, weil die Abbildungen z. T. auch in dem dort 1910 erschienenen Heft von A. Fennel über seine Nivelliere sich finden).

G. Hey de, Dresden, Figg. 214 e, 385.

M. Hildebrand, Freiberg i./S., Figg. 214f., 389.

Kern und Co., Aarau, Schweiz, Fig. 383.

R. Reiß, Liebenwerda, Fig. 58.

E.    0. Richter, Chemnitz, Fig. 168.

Th. Rosenberg, Berlin, Figg. 214b, 434.

F.    Sartorius, Göttingen, (Tesdorpfsche Konstruktionen) Figg. 210, 213a, b,

214c, 382.

M. Wolz, Bonn, Fig. 208.

Das Bureau der „Schweizerischen Landestopographie“, Bern, hat mir freund-lichst eine Glasphotographie zu Fig. 401 geschickt, wofür ich dem Vorstand, Herrn Oberst Held und Herrn Ingenieur Dr. Hilfiker ebenfalls bestens danke, wenn auch schließlich jene Figur auf andrem Wege hergestellt wurde.

Die in meinem Buch abgebildeten Instrumente oder ihnen nächst verwandte Typen befinden sich sämtlich in der Geodätischen Sammlung der K. Technischen Hochschule Stuttgart, einer nunmehr verhältnismäßig sehr reichen Sammlung geodätischer Instrumente und Geräte (vgl. z. B. die Bemerkungen S. 311 u. 633), die freilich auch viele (der Mißhandlung durch Anfänger ausgesetzte) geringre und z. T. alte Instrumente noch mitführen muß und.in der der Verschleiß angesichts der starken Benützung groß ist. Sie wird im Text vielfach unter der Abkürzung

G. S. T. H. St. angeführt.

Nicht unterlassen möchte ich zum Schluß die Bemerkung, daß ich die Korrektur des Satzes allein ausgeführt habe.

Das Bedürfnis, dem dieses Buch zu genügen sucht, das eines genügend ausführlichen, für den Anfänger bestimmten Lehrbuchs der besonders für den Techniker wichtigen Teile der elementaren Geodäsie, ist nach meiner Erfahrung zweifellos vorhanden; ob meine Arbeit das Bedürfnis befriedigen kann, mögen nun Sachverständige mit genügender Lehrerfahrung beurteilen. Man wird an vielen Stellen Übereinstimmung meiner Ansichten, der gegebnen Messungs- und Rechnungsvorschriften, der mitgeteilten Messungs- und Rechenformulare, von Hilfstabellen usf. mit den entsprechenden Teilen neuerer Schriften über Vermessungskunde finden (und dies gilt besonders auch für meinen noch nicht erschienenen II. Band); die Übereinstimmung rührt aber nicht etwa daher, daß mein Buch nun nach jenen Schriften herauskommt: wenn es je kein schlechtes Zeichen für ein Lehrbuch sein sollte, daß es schon vor seinem Erscheinen Einfluß auf die Literatur gewinnt, so kann ich mit der Aufnahme des vorliegenden Bandes (und besonders auch des Bandes II, den ich in Jahresfrist folgen lassen zu können hoffe) zufrieden sein.

Stuttgart, Weihnachten 1910.

E. Hammer.

Inhaltsverzeichnis.

(Zugleich als Register dienend.)

Einleitung.

1.    Gegenstand der Geodäsie oder Vermessungskunde .

2.    Mathematische Erdform, Krümmungshalbmesser. .

3.    Wirkung verschiedner Werte des Krümmungshalbmessers für verschiedne Zwecke    4

4.    Vermessungsflächen für Lagemessungen

5.    Vermessungsflächen für Höhenmessungen. Andre Einteilungen der Geodäsie 7

Seite

ERSTER ABSCHNITT.

LAGEMESSUNGEN ODER HORIZONTALMESSUNGEN DER ELEMENTAREN PRAKTISCHEN GEOMETRIE.

Unterschiede der praktischen Geometrie gegen die reine

6.    Definitionen.

Mathematik

7.    Einteilung des ersten Abschnitts

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vH vH

Erstes Kapitel.

Kleinmessung oder Stückmessung, Einzelmessung.

8.    Abstecken (Ausfluchten) einer geraden Linie durch Einweisen oder Einrücken 14

16 | 2. Ein Beobachter

9.    Instrumente zum Aufsuchen von Punkten einer Geraden, Ab stecken des

Winkels 180°........

1.    Diopterinstrument, Kreuzscheibe .    .

2.    Spiegelkreuz.........

10.    Prüfung der Werkzeuge zur Absteckung des konstanten Winkels 180°    ...    24

11.    Instrumente zum Abstecken von rechten Winkeln, Errichten und Fällen

1. Zwei Beobachter.

18

19

20

22

3. Prismenkreuz

23

1.    Kreuzscheibe

2.    Winkelspiegel

12.    Prüfung der Instrumente für rechte Winkel X. Kreuzscheibe 2. Winkelspiegel

13.    Vergleichung der bisher erwähnten Instrumente

14.    Genauigkeit, Länge der Lote........

15.    Übungen.................

16.    Längenmessung auf horizontaler Strecke mit Meßlatten (Meßstangen) . . . .

17.    Längenmessung auf horizontaler Strecke mit dem Meßband........

18.    Vergleichung der Messungen mit Latten und mit Band. Wirkung unrichtiger

Stangen- oder Bandlänge........................

b© t© Os Os

30

j 3. Winkelprisma von Bauernfeind    . .

J 4. Andre Winkelprismen (Goulier)    . . 33

34    3. Winkelprismen

39

39

34

40

41

42

43

49

51

19. Genauigkeit der Längenmessung, zunächst für Lattenmessung auf horizontaler

Strecke................................

Fehlerarten (grobe, konstante, regelmäßige oder systematische, regellose oder zufällige).........

1.    Mittlerer Fehler einer Keihe gleichartiger und gleichwertiger wahrer Fehler 57

2.    Mittlerer Fehler einer Messung bei

Seite

53

53

gleichwertigen Wiederholungen der

Messung..........

3. Mittlerer Fehler aus Beobachtungsdifferenzen ..........

20. Fortsetzung. Mittlerer unregelmäßiger Fehler von Längenmessungen aus Wiederholungen der Messung .

Anhäufung und Yerminderung mittlerer Fehler (Fortpflanzungsgesetz mittlerer Fehler) ............

59

60

61

Mittlerer Fehler des arithmetischen

Mittels...........

Mittlerer Fehler pro Längeneinheit Zusammenstellung der Formeln .    .    .

21.    Fortsetzung. Mittlerer Fehler aus Beobachtungsdifferenzen......

22.    Zusammenfassung direkter Messungen derselben Größe von verschiedner

Genauigkeit zum Mittel (allgemeines arithmetisches Mittel)........

Ausgleichung von Längenmessungen mit bekannter Sollsumme......

23.    Zahlenangaben über die Fehler der Längenmessung auf ebner Strecke . . .

65

Katastervorschriften für horizontale Strecken .    .    .

24. Längenmessung auf nicht horizontaler Strecke

66

67

68

80

1.    Staffelmessung..........

2.    Messung auf genau gleichförmig ge

neigter Strecke mit Zwischenmaß („Zugeben“)..........

3.    Gleichförmig geneigte Strecken ohne

Zwischenpunkte........

4.    Messung der Neigung oder Beduktion auf die Horizontale für jede einzelne

25.    Weitre Verschärfung der Längenmessungen...............

26.    Metersystem, Normalmeter.......................

27.    Gebrauch des Normalmeters für unsre nächsten Zwecke: Prüfung der Länge

von Längenmeßlatten und von Stahlbändern...............

28.    Weitere Hilfsmittel zum direkten Längenmessen.............

1.    Meßkette.........

2.    Meßschnüre, Meßdrähte ....

3.    Feldzirkel.........

30.    Übungen zum Längenmessen

31.    Kleine Lageplanaufnahme. Kreuzscheibenaufnahme auf eine Aufnahmslinie.

81

83

86

Stangen- oder Bandlage; Gradbögen,

Horizontalmesser.......

Schneidenlatten.........

Tabelle der Reduktion auf die Horizontale ...........

Katastervorschriften für Längenmessungen .    .    ........

105    4. Meßrad . .

105    5. Abschreiten

106

69

72

75

77

81

vH

CO Ci

92

94

95

97

103

105

106

106

108

1.    Konstruktionsmethode oder Linearmethode ...........

2.    Koordinatenmethode.......

3.    Aufnahmsmethoden mit Messung oder

32.    Fortsetzung Einzelheiten bei einer Lageplanaufnahme..........

1.    Einiges über Aufnahme von Gebäuden 118 | 3. Fortsetzung: Aufnahme von Gleisen 122

2.    Aufnahme von Linien

33.    Fortsetzung. Hilfslinien bei einer kleinen Lageplanaufnahme. Einfache Aufnahmsnetze. Beliebige Aufnahmsnetze

1.    Lote als Hilfsaufnahmslinien ....    127

2.    Parallelen als Hilfsaufnahmslinien. .    128

3.    Parallele Gerade als System von Aufnahmslinien

110

111

120

Zeichnung beliebiger Horizontalwinkel ...........

4. Koordinatenmethode von einer Aufnahm slinie aus. Handriß ....    114

112

114

4.    Andres Aufnahmsliniennetz ....    131

5.    Geschlossnes Aufnahmspolygon und Polygonzüge

34.    Hilfsaufgaben bei der Kleinmessung. Abstecken und Messen mit Hindernissen ....................

35.    Aufträgen der Aufnahme. Herstellung des Plans

Aufträgen des Netzes

137

Aufträgen der Kleinmessung, Kleinkoor-dinatographen........

Seite

134

.    137

145

36. Gezeichnete und gedruckte Pläne. .

146

Abstechcn einer Strecke aus einem Plan

mit Papiereingang.......

Einträgen von Messungen in einen Plan mit Papiereingang.......

Zweites Kapitel.

Berechnung der Flächen von Grundstücken aus Messungszahlen. Teilung von Feldflächen. Berechnung von Feldflächen mit Benützung von Plänen. Flächen in technischen Zeichnungen.

Planimeter.

Allgemeine Einleitung.........................

37. Flächenberechnung einzelner geradlinig begrenzter Grundstücke aus den Messungszahlen ............

1.    Einleitung

2.    Beispiele für die Rechnung ....    166

163

163

163 ; 3. Geschränktes Trapez

169

38. Fortsetzung. Allgemeine Flächenformeln bei einer und derselben Aufnahms-linie. Yerschiedne nicht parallele und senkrechte Aufnahmslinien. Koordinatenumwandlung .......

1. Die L’Huilierschen (Gaußschen) Flächenformeln ...........

2.    Punkte des Polygons auf verschiedne

Aufnahmslinien bezogen.....

3.    Umwandlung der Koordinaten .    .    177

39. Verband von polygonal begrenzten Grundstücken oder große Grundstücke. Ausführung der Zahlenrechnung, besonders für die Rechnungen von 38. (Einzelflächen von Grundstücken). Rechenhilfsmittel...........

170

175

170

179

1.    Direkte Rechnung. .    .

2.    Logarithmische Rechnung

3.    Rechenschieber, Rechenscheiben, Re-

.    .    181    : 4. Andre Zahlentafeln als Logarithmen

tafeln ....

5. Rechenmaschinen

182

.    .    184

185

chenbretter, Rechenwalzen.....183

40. Aufgaben über Flächenteilung . . .

1.    Teilung eines Polygons durch Gerade

von einem Punkt im Innern aus 187

2.    Sog. Parallelteilung ....

3.    Versuche auf dem Feld .    .

4.    Teilung nach Seitenverhältnissen. .    192

5.    Grenzverlegung, Grenzregelung .    .    193

6.    Bonitäten

193

187

194

2. Fehlerform für Rechtecke verschied-ner Form und für andre Flächen .

42.    Teilweise Benützung des Plans zur Flächenbestimmung von Grundstücken

(halbgraphische Methode).......................

43.    Graphische Berechnung von Flächen..................

196

199

1.    Abstechen der Maße.......

2.    Verwandlungsmethode......

3.    Genauigkeit. Berücksichtigung des Papiereingangs ..........

4.    5. Mechanische Messung polygonal begrenzter Grundstücke......

202

203

203

6. Beliebig begrenzte Flächen im Plan,

Parallelennetz........

Besondrer Fall: QuerprofiMächen, mechanische Zirkeladdition der Mittel-ordinaten der Trapezstreifen .    .    .    207

206

44. Fortsetzung. Mechanische Flächenhestimmung. Das Amslersche Polarplanimeter ....

Elementare Theorie

Seite

211

216

I. EaU: Pol außerhalb II. Fall: Pol innerhalb

45. Anwendung des Polarplanimeters auf Berechnung von Flächen aus Plänen

und technischen Zeichnungen.....

1. Pol außerhalb (relative Messung) .    .    221

226 j

2. Pol innerhalb

46. Neuere Planimeter.....

214

219

221

3. Gebrauehsregeln. Genauigkeit .    .    228

229

229

Rollkugelplanimeter .    .

4.    Genauigkeit.....

5.    Traktorienplanimeter

6.    Linearplanimeter .    .    .

47.    Fehlergrenzen für Grundstücksflächen bei der Katastermessung

48.    Übungen.........................

230

230

232

Drittes Kapitel.

235

.    235

236

239

239

242

Der Theodolit zum Messen beliebiger Horizontalwinkel.

49.    Einleitung.....

50.    Fernrohr ......

1.    Die Konvexlinse .    .    .

2.    Lupe.......

3.    Lupe am Theodolit .    .

245

247

4.    Einfaches astronomisches oder Kepp-

lersches Fernrohr.......

5.    Blenden, Diaphragma, Fadenkreuz .    256

6.    Vergrößrung, Gesichtsfeld, Helligkeit 258

51. Fernrohr, Fortsetzung. Heutige Fernrohre. Fadenkreuz. Anzielen eines Punktes mit dem Fernrohr. Zielfehler.................

249

250

253

.    .    251

261

1.    Achromatisches Objektiv.....

2.    Zusammenwirken zweier Linsen in einem

System............

Huygenssches Okular......

Ramsdensches Okular......

261

262

262

263

52.    Libellen .

Allgemeines 1. Gefäß der Röhrenlibelle, Achse .    .    271

53.    Libellen, Fortsetzung.......

1.    Fassung der Libellen

2.    Prüfung der Röhrenlibelle. Benützung 280

270

278

264

Neuere positive Okulare Fernrohr mit aufrechtem Bild .    .    265

265

3.    Fadenkreuz.........

4.    Anzielen (Einstellen) eines Punktes .

5.    Genauigkeit des Fernrohrzielens .    .    269

267

270

2. Empfindlichkeit einer Libelle und ihre

Bestimmung. Libellenprüfer .    .    .    273

3. Dosenlibelle

283

54. Teilkreis des Theodolits und Mittel zur Ablesung an Teilkreisen.....

5.    Andrer („nachtragender“) Nonius .    300

6.    Ablesemikroskope Strichmikroskop .

Skalenmikroskop

278

286

1.    Allgemeines .    .

2.    Der sog. Nonius

3.    Kreisteilungen .

4.    Nonius an Kreisteilungen, Benützung 294

55.    Aufbau des Theodolits.....

1. Die Stative ..........

2 Verbindung des Instruments im engern

Sinn mit dem Stativ.......

56.    Fortsetzung. Einzelheiten der Konstruktion. Behandlung des Instruments .    311

1.    Mikrometerwerk (Klemme und Feinschraube) ...........

2.    Gang und Lage der Alhidade .    .    .    312

3.    Fußschrauben .

4.    Umdrehungsachse

286

288

292

302

305

311

313

3. Das Instrument im engern Sinn. .

300

300

302

307

5.    Korrektionsvorrichtungen ....    313

6.    Einige Beispiele von Instrumenten in Schaubildem

7.    Behandlung des Instruments .    .    .    318

314

302

57. Anfordrungen an die Lage der Achsen des Theodolits: Berichtigung des

Theodolits für Horizontalwinkelmessung, Überblick............

I. Anordnung der Libelle: Feste Alhi-dadenlibelle..........

j II. Anordnung der Libelle: Beitlibelle auf der Kippachse......

323 ;

58. Achsenberichtigung des Theodolits (für Horizontalwinkelmessung) mit fester Alhidadenlibelle: I. Libellenanordnung.................

323

Seite

321

325

1.    Berichtigung der festen Alhidadenlibelle ............

2.    Berichtigung der Ziellinie des Fernrohrs ............

a)    mit Benützung der Ablesungen am

Horizontalkreis.......

b)    durch Umlegen des Fernrohrs .    .

c)    durch doppeltes Durchschlagen.

Wirkung eines Fehlers c der Ziellinie auf die Horizontalprojektion einer Zielung...........

325

329

331

333

335

338

3. Berichtigung der Kippachse .    .    .

a)    Senkelfaden........

Wirkung eines Fehlers * der Kippachse auf die Horizontalprojektion einer Zielung ....

b)    Künstlicher Horizont (Flüssigkeitshorizont oder Glasplatte) .    .    .

c)    Doppeltes Projizieren eines unter

großemHöhenwinkel erscheinenden Punkts..........

339

340

342

343

344

59. Achsenberichtigung des Theodolits (für Horizontalwinkelmessung) mit Reitlibelle auf der Kippachse: II. Libellenanordnung.............

1.    Berichtigung der Beitlibelle ....    347

2.    Berichtigung des Winkels zwischen

Kippachse und Umdrehungsachse .    .

3.    Berichtigung der Ziellinie ....    350

4.    Vergleichung der LibeUenanordnung I und der Libellenanordnung II .

60. Einfluß der Achsenfehler oder AufstelluDgsfehler des Theodolits auf die Horizontalprojektion der Fernrohrzielung nach einem bestimmten Punkt . . . .

1.    Kollimationsfehler c (s. 58. 2. c) .    .    352

2.    Kippachsenfehler i (s. 58. 3. a) . .    352

349

350

3. SteBungsfehler » der Umdrehungsachse .....

Zusammenfassung

61. Weitre, nicht korrigierbare Fehler des Theodolits. Elimination des Alhidaden-exzentrizitätsfehlers. Fernrohrexzentrizität................

352

. .    354

346

351

355

355

.    .    356

e)    Elimination des Exzentrizitätsfehlers durch heliebig viele Nonien 361

f)    Genauigkeitssteigerung der Ablesung dabei.........

g)    Einfluß der Exzentritzität auf die

Nonienlänge........

h)    Elimination der Exzentrizität bei einem Nonius

4. Exzentrizität des Fernrohrs .    .    .    363

361

362

.    363

364

2. Horizontalwinkelmessungsmethoden, Übersicht: einfache Winkelmessung, Satzmessung, Bepetitions-(Multiplika-tionsflMessung.........

3. Einfluß bestimmter „Achsen“-Fehler des Theodolits auf einen mit dem

Instrument gemessnen Horizontalwinkel ...........

369

368

63.    Ausführung der Horizontalwinkelmessung. Erstes Verfahren: Einfache Winkelmessung ...........

1.    Einfache Art.........

2.    Vollständige einfache Winkelmessung

mit Beispiel..........

64.    Ausführung der Horizontalwinkelmessung. Zweites Verfahren: Messung aus Richtungen oder in Sätzen

1.    Messungsvorgang .    .

2.    Wesen des Satzes Formular mit Beispiel

371

373

374

381

.    .    383

385

3. Wiederholte einfache Winkelmessung mit Beispiel.........

377

3.    Berechnung des mittlern Fehlers

einer der gemessnen Bichtungen .    387

4.    Angeschlossne und orientierte Sätze 390

5.    Bemerkungen zur Satzmessung .    .    392

65. Ausführung der Horizontalwinkelmessung. Drittes Verfahren: Sog. Repeti-

tionsmessung oder Multiplikationsmessung eines Winkels.......

394 I 4. Regelmäßiger Fehler der Repetitionsmessung

Seite

394

1.    Wesen der Methode.......

2.    Durchführung mit Formular und Beispielen ............

3.    Bemerkungen zur Messung ....    399 I

396 | 5. Mehrere repetierte Winkel in demselben Standpunkt.......

401

403

66.    Vergleichung der wiederholten einfachen Messung eines Horizontalwinkels und der Repetitionsmessung dieses Winkels in Beziehung auf Genauigkeit

67.    Anwendungen gemessner Horizontalwinkel. Überblick..........

1.    Triangulation

2.    Zugmessung oder Polygonmessung.    .    408

68.    Übungen.............

404

407

408

3. Ahsteckungsaufgaben (im Sinn der Lagemessungen)........

409

410

Viertes Kapitel.

Elemente der Zugmessung.

69.    Definitionen. Vorbereitende Erläutrungen für die Messung......

c) Angeschlossner Zug.....

2. Erste Andeutung über die Messung von Zügen..........

70.    Anlage eines Zugs. Bezeichnung der Polygonpunkte.........

1.    Auswahl der Polygonpunkte ....    420

2.    Örtliche Bezeichnung der Polygonpunkte

71.    Messung eines Polygonzugs auf freiem Feld

1. Messung der Seiten

412

1. Definitionen.....

a) Freier Zug .... h) Geschlossnes Polygon

412

413

413

421

423

3. Bezeichnung eines Polygonpunkts zum Anzielen........

415

418

422

2. Messung der Polygonwinkel .    .    .    424

Feldhuch mit Beispiel

426

419

423

72.    Berechnung eines freien Zugs .

1.    Notwendigkeit der Berechnung der Koordinaten der Eckpunkte.....

2.    Vorbereitende Rechnungen im rechtwinkligen Koordinatensystem. .    .    .    429

73.    Berechnung eines geschlossnen Polygons

1.    Beispiel durch Zerlegung.....

2.    Rechnung nach dem allgemeinen Verfahren

428

435

428

Beispiel einer Zugrechnung . .    .    433

3. Schematische Rechnung desselben Zugs

434

437

3.    Rechnungsschema.......

4.    Geschlossnes Polygon, in dem nicht

75.    Polygonometrisches Netz für größre Vermessungen. Einige Vorschriften und

Fehlergrenzen für Polygonisierung in der Katastervermessung. Grobe Fehler im angeschlossnen Zug oder geschlossnen Polygon............

1. Zweck des Polygonzugnetzes. .    .    .    448    3. Grobe Fehler im angeschlossnen Zug

oder geschlossnen Polygon ....    450

76.    Feinre Zugmessungen oft trotz kurzer Seiten. (Stadtmessung, technische

Zwecke.) Weniger genaue Züge. Rechenhilfsmittel ............

2. Katastervorschriften

.    436

448

1.    Verschärfung der Messung ....    452

2.    Weniger genaue Züge

4. Durchführung an einem bestimmten Beispiel mit Formular.....

444

3. Hilfsmittel zur Berechnung .    .    .    454

435

439

448

Fünftes Kapitel.

Elementare Aufgaben der Kleintriangulierung.

Seite

77. Selbständige Kleintriangulierungsaufgaben

1.    Triangulation durch ein einziges Dreieck 455 !

2.    Kette oder Netz von Dreiecken .    .    458 |

3.    Bestimmung einer Strecke mit gegenseitig nicht sichtbaren Endpunkten aus einem Dreieck

462

460

78. Zwei weitre Yierecksaufgaben der selbständigen Kleintriangulierung. Fünfecks-, Sechsecks- usf. Aufgaben....................

1.    Aufgabe der unzugänglichen Entfernung .....

2.    Rückwärtseinschneiden

467

455

467

(Snelliussche Vielecksaufgabe, oft sog. Pothenotsche Aufgabe); mit Diskussion.....

468

3.    Erweitrungen zu Fünfecks- und

Sechsecksaufgaben, verwandte Aufgaben ...........

4.    Bezeichnung der Punkte zum Anzielen 471

5.    Logarithmische Rechnung bei den Aufgaben in 77. und 78. .

471

.    .    472

79.    Andeutungen über eine „Landestriangulation“

1.    Stufen oder Ordnungen

2.    Grundlinien der Triangulation .    .    .    474

3.    Dauernde Bezeichnung der Dreieckspunkte

80.    Rechtwinkliges Koordinatensystem. Deutsche Landesvermessungskoordinaten

systeme. Spezielles Beispiel: Württembergisches Landesvermessungskoordinatensystem ..........

1.    Landesvermessungssysteme rechtwinkliger Koordinaten........

2.    Koordinatensysteme im Deutschen Reich 482

3.    Beispiel: Württembergisches Koordinatensystem

472

473

477

481

483

4. Beispiel: Württembergische Landestriangulation

.    478

480

Flurkarteneinteilung......

4. Stadttriangulationen und Stadtvermessungen ..........

485

487

81. Rechnungen im rechtwinkligen Koordinatensystem

1. Definitionen und Bezeichnungen .    .    489

489

2. Die zwei vorbereitenden Grundaufgaben ...........

82. „Trigonometrischer Anschluß“ einer großem Lageplanaufnahme an die Festpunkte (Triangulierungspunkte) einer Landesvermessung durch „Einschneiden“ von trigonometrischen Neupunkten

1.    Definitionen..........

2.    Einfache Bestimmung durch Einschneiden. Einschneiden mit überschüssigen

493

Messungen (mehrfaches Einschneiden, Ausgleichungsaufgaben) .    .

3. Einfache Fälle als Beispiele an der Hand von Figuren......

83. Einfaches Vorwärtsein scheiden eines Neupunkts C

1.    AUgemeines. Formeln......

2.    Beispiele (Formular, Übungsbuch Techn.

Hochsch. St.).........

491

493

.    .    494

497

498

3.    EinfachesVorwärtseinschneiden „ohne

Visur in der Grundlinie“ ....    502

4.    Günstige oder ungünstige Lage des

Neupunkts C.......

5.    Orientierte Richtungssätze .    .

84. Einfaches Rückwärtseinschneiden eines Neupunkts D über drei gegebne

498

50)

504

.    . 504

1.    Allgemeines. Formeln......

2.    Beispiel...........

3.    Formular (Übungsbuch Tech. Hochschule St.) .    .    _.......

4.    Bemerkungen zur Rechnung .    .    .    513

5.    Günstige oder ungünstige Lage des Neupunkts D

85.    Anhang. Bemerkungen über die Ausgleichungsaufgaben beim Einschneiden

von Punkten. Katastervorschriften über die trigonometrische Punktbestimmung (Kleintriangulierung).....

1.    Allgemeines

514

3. Katastervorschriften (Preußen, Bayern, Württemberg) ........

3. Punktverlegung

517

523

4. Einfaches kombiniertes Einschneiden. Gleichzeitiges gegenseitiges Kück-Wärtseinsehneiden zweier Punkte über zwei gegebne Punkte (Hansensche Aufgabe). Mareksche Aufgabe. . .    531

Sechstes Kapitel.

Elementare Aufgaben über Absteckungsarbeiten (im Sinn der Lagemessungen) mit Hilfe des Theodolits.

Einleitung..............................

88. Abstecken von geraden Linien mit dem Theodolit bei gegebnen gegenseitig sichtbaren Endpunkten der Strecke...................

1. Ausführung der Absteckung (Ahstecken des Winkels 0°)........

2. Weitre Genauigkeitsuntersuchung

(Einfluß der Achsenfehler) ....    537

89. Abstecken des Winkels 180°. Yerlängrung einer Geraden. Absteckung einer Geraden bei gegenseitig nicht sichtbaren Endpunkten aus einem Zwischenpunkt. Abstecken eines beliebigen vorgeschriebnen Winkels, z. B. eines rechten Winkels. Abstecken einer Geraden durch unmittelbare Übertragung aus einem Plan auf das Feld..................

1.    Absteckung des Winkels 180° (Ver-

längrung einer Geraden).....

2.    Absteckung aus einem Zwischenpunkt

hei gegenseitig nicht sichtbaren Endpunkten ...........

3.    Absteckung durch Messen des Win-

534

539

540

kels (180° oder beliebig vorgeschrieben, z. B. 90°)........

4.    Verlängrung einer Geraden und Absteckung aus einem Zwischenpunkt. 542

5.    Ahstecken einer Geraden nach einem Plan

540

.    544

90. Abstecken von Geraden nach Winkeln, die auf Grund einer Zugmessung

oder Triangulation erst zu berechnen sind................

1. Zugmessung als Grundlage ....    545

2. Dreieckskette oder Dreiecksnetz als Grundlage. Beispiel......

548

Seite

514

518

524

533

534

539

545

91.    Hauptpunkte für einfache Kreisbögen

1.    Allgemeines..........

2.    Hauptpunkte bei zugänglichem und benützbarem Tangentenschnittpunkt; mit Beispiel

3.    Hauptpunkte hei nicht zugänglichem

92.    Hauptpunkte und Haupttangenten für sog. Korbbögen

1. Zweiteiliger Korbbogen (die zwei Grundaufgaben)........

554

. .    555

554 , oder für die Absteckung nicht brauchbarem Schnittpunkt S der zwei Tangentenrichtungen

a)    Hilfsstrecke .

b)    Einmal gehrochner Hilfszug .    .    .    562

. 560

560

566

2. Dreiteiliger Korbbogen, Grundaufgabe. Beispiel........

570

93. Zwischenpunkte oder Kleinpunkte der abzusetzenden Kreisbögen . . .

3.    Rechtwinklige Koordinaten von der

Sehne ans ..........

5.    Reine Peripheriewinkelmethode für nicht lange Bögen

573

Allgemeines..........

1.    Rechtwinklige Koordinaten von der Tangente aus mit gleichen runden Abszissenahschnitten. Rechnungsarten 573

2.    Rechtwinklige Koordinaten von der Tangente aus mit runden genau gleichen Bogenabständen der einzelnen Punkte. Rechnungsarten. Vergleich mit 1,

579

583

584

587

Seite

573

94. Übungen

588

1.    Praktische Durchführung der Absteckungen auf dem Feld....    588

2.    Zahlenbeispiele zur Absteckung einer Geraden mit Hilfe eines Polygonzugs 588

3.    Differentialformeln bei der Kreis

bogenabsteckung nach rechtwinkligen Koordinaten ...    .....

4.    Absteckung einer Ellipse nach rechtwinkligen Koordinaten mit Beispiel. 591

589

ZWEITER ABSCHNITT.

HÖHENMESSUNGEN ODER VERTIKALMESSUNGEN DER ELEMENTAREN PRAKTISCHEN GEOMETRIE.

95. Einleitung. Arten der Höbenmessung

1.    Nullflächen für die Höhen ....    595

2.    Mathematische und optische Horizon-

595

tale

595

3. Arten der Höhenmessung; geometrische Methoden (Nivellieren und trigonometrische Höhenmessung) und physikalische Methoden .    .

. .    597

Siebentes Kapitel.

Nivellieren oder Einwägen.

96. Erster Überblick über Instrumente und Methoden des sog. geometrischen Nivellierens..........

1.    Nivellierinstrument und Nivellierlatte.

2.    Geschichtliches........ .

3.    Prinzip des Nivellierens.....

600

600    | a) Nivellieren aus der Mitte ....    603

601    ¹ b) Wechselpunkte zur Einteilung einer 603

zu nivellierenden Strecke .    .

. . 606

97. Verschiedne Genauigkeiten in der Arbeit mit dem Nivellier. Einteilung der Nivellementsarbeiten........................

609

98. Ergebnisse der Feinnivellierungen. Die N. N.-Höhen im Deutschen Reich .

4. Erhaltung der Festpunkte auf lange

I Zeit............

i 5. Anschluß der Messungen II. O. usf an die Festpunkte des Feinnivelle ments..........

1. Verschiedne Genauigkeiten, sog. Ordnungen der Nivellierung.....

a)    Nivellierungen I. O. (Feineinwägungen) ..........

b)    Nivellierungen II. O......

c)    Nivellierungen III. und IV. O. .    .    611

609

610

610

612

. .    614

.    614

614

1.    Feinnivellementslinien im Deutschen

Reich............

2.    Die Normal-NuU-Höhen im Deutschen

Reich............

3.    Bezeichnung der Höhenfestpunkte .    .    617

99. Nivellierinstrumente für Einwägungen II.O. und geringrer Genauigkeit. . .

1. Einteilung: Nivelliere mit festem Fernrohr und Nivelliere mit Ringfernrohr 623

615

616

2. Einige Typen Hammer: elementare praktische Geometrie.

620

621

633

3.    Einige Einzelheiten

4.    Behandlung des Nivellierinstruments 635

100.    Nivellierlatten für II. 0. und für geringre Genauigkeit

1.    Allgemeines

2.    Einiges über Feinnivellierlatten .    640

3.    Latten für II. und III. 0.....643

4.    Latten für IV. 0.

101.    Berichtigung eines einfachen Nivelliers

1. Anfordrung an das Nivellierinstrument „mit festem Fernrohr und fester Libelle“...........

a)    Dosenlibelle........

b)    Winkel zwischen Achse der Längs-

libeüe und Umdrehungsachse der Alhidade.........

c)    Hauptanfordrung: Ziellinie parallel zur Achse der Längslibelle .    650

637

646

5.    Aufsetzen der Latten (Wechselpunkte)

bei II. 0. (Bodenplatten) .    .    .    .

6.    Vertikalrichtung der Latte .    .    .    .

647

648

2.    Art der Ablesung an der Latte.

Vorbereitungen der Erfüllung der Hauptanfordrung.......

3.    Fortsetzung der Berichtigung (I. Aufstellung: Nivellieren aus der Mitte;

2. Aufstellung: nahe bei dem einen Punkt)...........

4.    Zahlenbeispiel. Ausrechnung des Fehlers vor der Berichtigung ....

102. Fortsetzung. Einzelheiten zur Berichtigung des einfachen Nivelliers. Berichtigung eines Theodolitfernrohrs als Nivellier. Wirkung eines Fehlers des Nivellierinstruments auf das Nivellement mit dem Instrument......

1.    Zusätze zur vorigen Nummer (a) Gegen-

visuren; b) Einfluß des nicht horizontalen Ablesefadens; c) Libellenkreuzung) ..........

2.    „Gang“ der Okularröhre.....

649

650

649

649

660

662

654

659

.    .    664

103. Berichtigung eines Nivelliers mit durchaus beweglichen Teilen (Ringfernrohr und Setzlibelle) z. B. für Einwägung II. 0...............

1.    Gleichheit der Bingdurchmesser

2.    Berichtigung der Libelle.    .    .

3.    Zentrieren des Fernrohrs .    .

4.    Dosenlibelle.......

.    668 I 5. „Elevationsschraube“

669

. .    670 j

.    .    671 !

6. Anschlag am Fernrohrträger zur Hemmung der Rotation des Fernrohrs um die Lagerringachse .    .

671

.    672

104. Berichtigung des Nivelliers mit Ringfernrohr und am Fernrohr befestigter Libelle................................

1.    Allgemeines .........

2.    Berichtigung bei fehlerfreier Wendelibelle ...........

673

3.    Breithaupt’s Schwebelibelle

4.    Prüfung der Wendelibelle für sich,

.    .    675

674 |

105. Bestimmung einiger weniger Höhenunterschiede zwischen der Lage nach gegebnen Festpunkten. Einfaches Längennivellement zwischen Festpunkten längs einer gegebnen Linie. Feldbuch und Rechnung..........

mit Beispiel

675

Seite

637

649

660

667

673

678

1.    Ermittlung einzelner Höhenunterschiede ...........

2.    Einfaches Längennivellement II. O.

(Festpunktnivellement längs bestimmter Linie)..........

3.    Feldbuch, Rechnung .    .    .    . .

4.    Die „Unrichtigkeit der Horizonte“

im vorstehenden Formular ....    686

5.    Andre Formulare für Messung und Rechnung

106. Fortsetzung: Längennivellements. Arbeitsleistung. Einzelheiten und besondre Einrichtungen. Lattenfehler......................

678

679

683

687

689

1.    Arbeitsleistung .    .

2.    Einige Einzelheiten

107. Sichrung eines Längennivellements, z. B. II. 0. Netz von Einwägungszügen auf großen Flächen....... .................

689    3. Besondre Einrichtungen

690    4. Lattenfehler ....

. .    691

692

1.    Sichrung durch Nivellement hin und zurück ....

2.    Zwei verschiedne Nivellierungen

gleichzeitig in derselben Richtung .    695

a)    Zwei getrennte Latten mit ver-

schiednen Wechselpunkten .    . .    696

b)    Wendelatte

.    694

697

c)    Dekadische Ergänzungen . . .    699

d)    Zwei Lattenaufstellungspunkte auf

derselben Fußplatte.....

3.    Andre Art von Kontrolle durch beiderseitigen „Anschluß“......

4.    Nivellementsschleife......

5.    Nivellementsnetz.......

700

700

701

701

108.

Elementare Fehlergesetze des Nivellierens

1.    Fehleranhäufung bei konstanter Zielweite auf wenig geneigten Linien .    702

2.    Fehleranhäufung in Gewichtsform.

Verteilung eines Schluß- oder Anschlußfehlers. Berechnung des mitt-lem 1 Hm-Fehlers aus Schluß- oder Anselilußfehlem

Seite

702

109.

3.    Endgültige Höhe und m. F. eines

von verschiednen fehlerfreien Punkten aus durch gleichartige Nivellements eingewognen Punkts .    .    .    707

4.    M. F. der Nivellementseinheitsstrecke aus den Messungsdifferenzen von Doppeleinwägungen auf Strecken von bestimmten Längen

Fortsetzung. Einige Zahlenbeispiele zu 108. Nivellementsnetze. Lattenfehler. Regelmäßige Fehler.......

1.    Zahlenbeispiele zum Vorhergehenden 709

2.    Nivellementsnetze.......

3.    Lattenfehler.........

4.    Große Höhenunterschiede. Neuer Ausdruck für den m. F. des Höhen-

705

708

709

110.

Unterschieds der Endpunkte einer Nivellementsstrecke s .    .    .    .    .    .

5.    Weitre regelmäßige Fehler beim Nivellieren ..........

6.    Ungleiche Zielweiten......

Messung des Längenprofils einer bestimmten Linie der Erdoberfläche. Aufträgen des Längenprofils . . .

1.    Definitionen.........

2.    Längenmessung und Bezeichnung der

Punkte des Längenprofils ....    719

715

716

717

718

718

719

111.

719 | 3. Einwägung der Punkte des Längenprofils ...........

4.    Längenprofile besondrer Art .    .    .    721

5.    Aufträgen eines Längenprofils .    .    721

Aufnahme von Querprofilen oder Querschnitten mit dem Nivellier und mit der Setzlatte............................

720

723

1.    Definitionen .........

2.    Aufnahme mit dem Nivellierinstrument ............

3.    Aufnahme mit der Setzlatte .    .    .    728

112.

113.

114.

115.

116.

723 [ a) Beschreibung des Meßapparats .    .    728

b)    Prüfung und Berichtigung der Setzlatte ............

c)    Gebrauch und Genauigkeit der Setz-

724

728

latte

Ausarbeitung und Aufträgen von Querprofilen

.    731

1.    Allgemeines

2.    Aufträgen von Querprofilen, mit dem

Nivellier aufgenommen.....

Flächennivellement......

732

1.    Allgemeines.........

2.    Aufnahme mit dem Nivellier, Lage

plan mit reichlichen Lagepunkten auf der Hache vorhanden ....    736

729

731

3.    Aufträgen von Querprofilen, mit der

Setzlatte aufgenommen.....

4.    Ausführung der Beinzeichnung .    .    733

733 ( 4. Aufnahme mit dem Nivellier, ohne

vorhandnen Lageplan......

5. Aufnahme durch Absteckung der einzelnen Höhenlinien.....

733

742

742

3. Aufnahme mit dem Nivellier, im Lageplan nur die Umfangsgrenze der zu nivellierenden Fläche vorhanden . .    741

Fortsetzung. Ausarbeitung des Höhenplans. Umfassende Flächennivellements

1.    Einträgen der Höhenpunkte (Kotierung des Plans)........

2.    Höhenlinien (Höhenkurven, Horizontalkurven, Isohypsen, Schichtlinien) 744

Höhenabsteckungsarbeiten. ....

1.    Angabe eines Punkts mit vorgeschrieb-

ner Höhe (an einer Wand; als zu schlagender Pflock; durch Querlatte an einer senkrechten Latte) .    .    .    756

2.    Profilierarbeiten

Übungen zum Nivellieren oder Ein wägen (an den Instrumenten; Rechenübungen ; Zeichenübungen)......................

743

757

733

743

3.    Zeichnung der Höhenlinien auf dem

kotierten Plan........

4.    Umfassende Flächennivellements .    .    753

747

756

3.    Abstecken einer Linie mit vorge-

schriebner Neigung......

4.    Gefällmesser.........

5.    Vorarbeiten für ein Wegprojekt. .

io lO iO r— t- l—

761

b*

EINLEITUNG.

?D

Es wird später anzugeben sein, wie unsre einfachen

(m) = -m v ]/$/ioo

muß genau parallel sein der Aufsetzlinie BB] die T

§ 2.

ist die Aufnahmslinie geschickt zu legen, so daß der Betrieb nicht gestört wird und daß die Aufnahme nicht fortwährend wieder unterbrochen wer-

36. Gezeichnete und gedruckte Pläne. Eigentumsplän

2F = 2519,15 F = 1259,58 cpm

1. Teilung eines Polygons durch gerade Linien, die

(2)

(2) es ist — beizusetzen, weil der Drehungssinn entgegen dem oben als + festgesetzten ist.

W,

Neben dem Horizontalkreis des Theodolits zum Messen der Horizontal-vvinkel oder Azimutalwinkel kommt für die praktische Geometrie auch

Die Libelle ist das wichtigste Mittel talen Gerade

ist, d. h. wo für einen bestimmten Zweck Winkelang

Mit den oben angeführten Namen von Werkstätten für

Der Bruch auf der rechten Seite ist aber nichts an

Ist z. B. an einem 21 cm-Theodolit mit Nonienangab

einen Strahl gleich Null, d. h. zieht die definiti

schneller als bei der einfachen Winkelmessung ' gemessen werden. Die 6-malige Repetition eines Winkels, wenn beide Zielpunkte bequem auffindbar sind, ist in 3 bis 4 Minuten zu erledigen.

2. Messung der Polygonwinkel. Wir setzen einen 30"- oder 20"-Nonientheodolit voraus. Nack 68., 2. b) hat es keinen Wert, die Winkel

Ganz ebenso ist Berechnung und Verteilung der drei Fehler w^, wx, wy hei Polygonen mit beliebig vielen Ecken.

OM

(4)

2. Koordinatensysteme im Deutschen Reich. Auf ein solches System rechtwinkliger (ursprünglich rechtwinkliger sphärischer) Koordinaten, in großen Staatsgebieten auf mehrere solche Systeme sind nun z. B. in den deutschen Staaten die sämtlichen Triangulationspunkte „bezogen“ und es sind also auch in diesem System» die Koordinaten der Polygonpunkte und sonstigen Messungspunkte zu berechnen, wenn es sich um den „Anschluß einer Lageplanaufnahme an das Landes-vermessungssystem“ handelt.

(6)

ecke ACD und BCD können zwar ohne Schaden für die

„ K „

3. Statt der bisher erwähnten Verfahren der Theodolitabsteckung des Winkels 180°, die wie die Verfahren für die Absteckung des Winkels 0°

Außer „einfachen“ Kreisbögen kommen auch sog. Korb

Für die Konstruktion wäre, da mit t und r wieder d

(8)

HÖHENMESSUNGEN ODER VERTIKALMESSUNGEN DER ELEMENTAREN PRAKTISCHEN GEOMETRIE.

(Die Strecke Amsterdam-Berlin ist bedeutend, und w

genügender Genauigkeit und Häufigkeit dieser Fests

folglich ist die Summe der an der Latte gemachten

strichen in dem Formular S. 685 steht, ist von derselben Aufstellung des Instruments aus gemacht: erste Ablesung Rückblick nach dem letzten Wechselpunkt; dann beliebig viele Zwischenablesungen; letzte

vgl. (18), und ähnlich umgekehrt, vgl. (20).

Bemerkung. In der Spalte Bern, nähere Bezeichnung

(271)

¹

Bei den elementaren Messungsübungen I und II wird mein „Übungsbuch“ zugrund gelegt (Messungsformulare, auch Tabellen und Zusammenstellungen bietend), erst vor kurzem im Buchhandel erschienen (Meß- und Rechenübungen zur Praktischen Geometrie, 4. Aufl., Stuttgart, Metzler 1910, vorher als Ms. für die Übungen gedruckt; größre Ausgabe für Bauingenieure, kleinre für Architekten usf.). Die Formulare dieses „Übungsbuchs“ (seit 18 Jahren im Gebrauch) erscheinen z. T. auch im Text des vorliegenden Lehrbuchs. Es wird oft kurz als Übungsbuch Techn. Hochsch. Stuttgart (Üb. T. H. St.) angeführt.

²

Die Fertigkeit und besonders Sicherheit im trigonometrischen Zahlenrechnen der in die Hochschule eintretenden Studierenden ist nach meinen Beobachtungen in beständiger Abnahme begriffen; der Zustand wird meiner Ansicht nach kaum dadurch verbessert werden, daß z. B. hier in Stuttgart seit kurzer Zeit die Trigonometrie als Fach der Bauingenieurvorprüfung gestrichen worden ist. Die Pflege der Trigonometrie an den Vorschulen in dem für uns erforderlichen Sinn wird dadurch nicht gewinnen. Ich möchte Solche, die nur wenig weit gehenden Unterricht in der Trigonometrie genossen haben, auch hier auf mein Lehr- und Handbuch der Trigonometrie hinweisen (3. Aufl., Stuttgart, Metzler 1907), das sich die Vorbereitung auf geodätisch-trigonometrisches Rechnen zur besondern Aufgabe macht.

EINLEITUNG.

1. Gegenstand der Geodäsie. Die Geodäsie oder Vermessungslehre im engern Sinn beschäftigt sich mit der Ausführung aller Messungen, durch die terrestrische Punkte gegeneinander festgelegt werden, sowie mit der Berechnung und überhaupt weitern Verarbeitung dieser Messungen. Solche Messungen sind zu politischen und volkswirtschaftlichen Zwecken, dann besonders zu technischen Arbeiten und endlich für wissenschaftliche Aufgaben erforderlich.

Dabei hat man bei dieser gegenseitigen Festlegung z. T. bestimmte Voraussetzungen über die mathematische Form der Vermessungsfläche, der sogenannten mathematischen Erdoberfläche zu machen, z. T. dienen die Messungen zur Ermittlung ebendieser Fläche, wobei dann in manchen physikalischen Messungen über die obige Definition hinauszugehen ist; noch andre Messungen endlich haben die Feststellung der Formen der physischen Erdoberfläche zum Gegenstand, z. B. die sogenannten topographischen Messungen. Zur Ausführung aller dieser Messungen sind mannigfaltige Gerätschaften und Instrumente notwendig, deren Einrichtung, für feinere deren Theorie, ebenfalls die Geodäsie, zu lehren hat. Die gegenseitige Festlegung der Messungspunkte selbst geschieht z. T. mit Hilfe gewisser Koordinatensysteme, deren Einrichtung das Studium der Abbildung von Teilen der mathematischen Erdoberfläche auf die Ebene erfordert, z. T. in graphischen Darstellungen verschiedenster Art, von denen Pläne und Karten ja allgemein bekannt sind.

Von dem angedeuteten außerordentlich umfassenden Gebiet der gesamten Geodäsie kommen für unsre elementare Vermessungslehre oder praktische Geometrie nur kleine Teile in Betracht, die zu umgrenzen sein werden, nachdem wir einen Blick auf die für die einzelnen Abschnitte der Vermessungslehre anzuwendenden Vermessungsflächen geworfen haben werden.

Vorläufig sei nur bemerkt, daß in jedem der Abschnitte der Vermessungslehre zu unterscheiden sind:

Lagemessungen oder Horizontalmessungen und Höhenmessungen oder Vertikalmessungen.

Die ersten beschäftigen sich mit der Feststellung der gegenseitigen Lage der Horizontalprojektionen der Vermessungspunkte auf die Vermessungsfläche mit Hilfe der Lote von den einzelnen Punkten auf diese, sowie mit den weitern Verwendungen dieser Horizontalprojektionen; die Höhenmessungen dagegen haben die Ermittlung von Höhenunterschieden zwischen den Vermessungspunkten und die weitere Verwertung dieser Vertikalabstände zum Gegenstand.

Hammer: elementare praktische Geometrie.

2. Mathematische Erdform. Krümmungshalbmesser. Die mathematische Form der Erdoberfläche, von der uns die in Ruhe befindlich gedachte Oberfläche der Meere große Stücke vorstellt, entspricht bekanntlich ziemlich genau der Oberfläche eines etwas abgeplatteten Rotationsellipsoids von etwa 6378 fim Länge der großen Halbachse der Meridianellipse (Aquatorhalbmesser) und rund

Abplattung.¹) Diese geringe

300

| auf 1 m abgerundet. Abplattung (Quotient: große Halbachse in die Differenz der großen und kleinen —g-j-g; oder Quadrat der numerischen Exzentrizität e²= 0,0066744.

Die „mittlere“ Unsicherheit des Abplattungsnenners 299,15 ist aber + 4,67. Meridianquadrant $= 10000856 m (+ 498 m „mittlerer Fehler“).

Halbmesser der Kugel von derselben Oberfläche mit dem BesselschenEllipsoid 6370290 m;

Halbmesser der Kugel von demselben Kubikinhalt mit dem Besse! sehen Ellipsoid 6 370283 m;

Halbmesser des Kreises von demselben Umfang mit der Meridianellipse 6366 743 m.

b = 6356079 m

1) Die meisten Angaben über das Erdellipsoid beziehen sich noch immer auf das Besselsche Erdellipsoid (aus 1841 stammend und mit Zugrundlegung von nur zehn damals verfügbaren Meridianbogenmessungen berechnet), dessen Abplattungswert zufällig ziemlich genau übereinstimmt mit dem aus neuern (physikalischen) Messungen sich ergebenden, dessen lineare Abmessungen aber den neuen umfassenden Gradmessungen und Maßvergleichungen gemäß ziemlich zu klein sind (etwa - der Länge). Die Abmessungen des Besselschen Ellipsoids, das noch den meisten geodätischen und topographischen oder kartographischen Rechnungen in Deutschland, Österreich-Ungarn, Italien zugrund gelegt wird (während man sich z. B. in England und in Frankreich anderer Ellipsoidflächen bedient), finden sich in Logarithmentafeln und ähnlichen Zusammenstellungen. Die wesentlichen Zahlen sind: große Halbachse der Meridianellipse a = 6377397 m kleine

Halbachse) =

Die im Text erwähnten neuen physikalischen Messungen (relative Bestimmungen der Beschleunigung durch die Schwerkraft g an vielen Punkten der Erdoberfläche, neuerdings auch auf den Ozeanen) haben zu einem zufällig wenig abweichenden Ab-

plattungswert , nämlich p

geführt, und der „mittlere Fehler“ dieses Ab

298,3’

plattungsnenners 298,3 hat sich zu nur +1,1 ergeben; die Gesamtheit der neuen Gradmessungen ferner führt zu einer großen Halbachse nahe bei 6378,2 oder 6378,1 fl

- o die kleine Halbachse & = 6 356 818 m, 298,3

Nimmt man a = 6 378 200 m an, so ist bei p =

m.

298 3 en^sPr^c^^ e^n Qua(irat der

numerischen Exzentrizität e² = 0,0066934. Ygl. dazu Helmert, im Bericht Tätigk. Zentralb. Intern. Erdmessung i. J. 1906, Berlin 1907, S. 5; in der Mitteilung „die Größe der Erde“ inSitz.-Ber. Preuß. Ak. Wiss. 1906 (I, Jan.—Juli) S. 525—537 leitet Helmert als besten Wert der großen Halbachse aus den bis dahin vorhandenen Gradmessungen

6 378150 m ab, der unbedeutend sinkt, wenn die Bedingung: Abplattung ==

(aus den Schweremessungen) eingeführt wird. Über die Längeneinheiten vgl. u. Nr. 25. Den im Text zunächst folgenden Zahlen sind diese neuen Erddimensionen zugrund gelegt, ohne daß dies freilich für die Zwecke dieses Buches irgendeinen Unterschied bringen würde.

ferner Q = 10002 067 m; dem Abplattungswert

cc

Abweichung der Meridianellipse von der Kreisform, der mathematischen Erdoberfläche von der Kugelform (der Abstand der zwei Pole des Erd-ellipsoids von der Äquatorebene, die kleine Halbachse, ist etwa 6357 h lang, nur rund 21 hm kürzer als der Halbmesser des Äquators, die große Halbachse) hat zur Folge, daß man selbst bei feinen geodätischen Rechnungen verhältnismäßig bedeutende Stücke der Ellipsoidfläche durch eine Kugelfläche von passend gewähltem Halbmesser ersetzen kann. Die in verschiedenen Gegenden der Erdoberfläche anzuwendenden Halbmesser dieser Kugeln werden dabei nicht sehr viel voneinander ab weichen: in einem Punkt des Äquators der Erde ist der Krümmungshalbmesser des Ellipsoids in der Richtung Nord-Süd rund 6335 hm, in der Richtung Ost-West gleich dem Äquatorhalbmesser oder 6378 hm, und diese Zahlen zeigen den größten Unterschied (rund 43 hm) der beiden Hauptkrümmungshalbmesser, der in einem und demselben Punkt der Ellipsoidoberfläche vorhanden ist. Für einen Standpunkt in der mittlern geographischen Breite 45° lauten dieselben Zahlen, wie die vorstehenden und die folgenden je auf 1 hm abgerundet: Krümmungshalbmesser in der Richtung N.-S. 6367 hm, in der dazu senkrechten Richtung 6389 hm, Unterschied noch 22 hm; am Pol der Erde, in cp = 90° Breite, ist die Krümmung der Ellipsoidoberfläche nach allen Richtungen dieselbe, es gibt keine Hauptkrümmungshalbmesser mehr, in jeder Richtung ist der Krümmungshalbmesser 6399 hm, Unterschied 0. Die Krümmungshalbmesser der Ellipsoidfläche sind im Vergleich mit allen den Augen eines terrestrischen Beobachters unmittelbar zugänglichen Entfernungen oder Abmessungen sehr groß; jene liegen, wie die für die geographischen Breiten 0°, 45° und 90° angegebenen Zahlen zeigen, alle zwischen den Extremen 6335 und 6399 hm, während die längsten geodätischen Zielungen nach hohen Berggipfeln 300 hm kaum überschreiten. Für manche Rechnungen genügt es deshalb sogar, die ganze Ellipsoidoberfläche durch eine Kugeloberfläche von mittlerem Halbmesser ersetzt zu denken; solche Halbmesser für eine sphärisch gedachte ganze Erde sind: rund 6371 hm Halbmesser einer Kugel von gleich großer Oberfläche mit dem Erdellipsoid (zugleich Halbmesser einer Kugel von gleichem Volum mit dem Ellipsoid); dagegen nur rund 6367 hm Halbmesser eines Kreises von gleichem Umfang mit der Meridianellipse. Ein solcher Halbmesser von rund 6371 hm, wie er für manche Zwecke für eine sphärisch gedachte ganze Erde ausreicht, wäre aber schon zu groß als Halbmesser eiuer Kugelkalotte, die ein äquatoriales Flächenstück des Ellipsoids ersetzen soll: der Halbmesser muß für diesen Zweck auf eine Mittelzahl zwischen 6335 und 6378 hm, etwa 6357 hm ermäßigt, für eine Kugelkalotte dagegen, die eine Polarkalotte des Ellipsoids ersetzen soll, auf 6399 hm erhöht werden. Im mittlern Deutschland (Breite 50°) wird man als Halbmesser einer Kugel, die dort ein Stück der Ellipsoidfläche ersetzen soll, einen Mittelwert zwischen den Krümmungshalbmessern in der Richtung N.-S. und in der Richtung senkrecht dazu in der genannten Breite, d. h. zwischen 6373 und 6390 hm, etwa 6381 hm anzunehmen haben.

Diese einfachen Verhältnisse des Rotationsellipsoids sind bei der tatsächlichen mathematischen Oberfläche der Erde nicht mehr vorhanden. Es sind vielmehr kleine

Aufwölbungen über die Fläche des Ellipsoids und kleine Einbiegungen unter diese Fläche da, Verkleinerungen und Vergrößerungen der Krümmungshalbmesser im Vergleich mit dem Ellipsoid. Man nennt die Fläche der tatsächlichen mathematischen Erdoberfläche das Geoid. Es ist diejenige Niveaufläche, d. h. diejenige, die an der Erdoberfläche vorhandenen Lotrichtungen überall senkrecht schneidende Fläche, von der uns die ruhend gedachte Oberfläche der Ozeane (ohne Ebbe und Flut, ohne Strömungen, ohne Windstau usf.) ein Stück vorstellt und die man sich unter den Kontinenten weg durch ein System von in sich und mit dem Meer zusammenhängenden Kanälen fortgesetzt denken kann. Übrigens sind die vertikalen Abstände zwischen

———— und jener tat-298,3 J

sächlich vorhandenen mathematischen Erdoberfläche, dem Geoid, überall gering, viel kleiner, als man noch vor wenigen Jahrzehnten annahm. Man muß sich unter dem Geoid eine „unregelmäßige“ Fläche denken, auf der die Krümmungshalbmesser im Vergleich mit den „normalen“ Werten (d. h. den auf dem Ellipsoid in demselben Punkt und derselben Richtung vorhandenen) gewisse aber nicht sehr große Veränderungen zeigen.

der Fläche des Rotationsellipsoids mit « = 6378150 to und p =

3. Wirkung verschiedener Werte des Krümmungshalbmessers für verschiedene Zwecke. Jedenfalls ist also unsere „mathematische Erdoberfläche“ eine überall nach außen konvexe Fläche, deren Krümmungshalbmesser in verschiedenen Punkten und in verschiedenen Richtungen im allgemeinen um 6300 bis 6400 hm- groß sind. Dieser Wert des Krümmungshalbmessers ist so groß, daß für viele Zwecke seine Veränderung innerhalb ziemlich weiter Grenzen gleichgültig ist. Denken wir uns z. B., Fig. 1, die

Erdoberfläche in einem bestimmten Punkt A und in einer bestimmten Richtung mit dem Krümmungshalbmesser 6300 hm. Der Abstand y zwischen der Tangente in A und dem Kreisbogen mit 6300 hm Halbmesser ist, normal zur Tangente gemessen, wenn AB = x die links angeschriebenen Werte annimmt, in der kleinen Tabelle links verzeichnet; wird dagegen R um volle 100 hm größer, zu 6400 hm angenommen, so gelten für dieselben x die in der rechten Tabelle angeschriebenen y.

rrrrrrrrrr'

Mittelpunkt

Fig. 1.

B = 6300 Am

'O

ü == 6400 Am.

500 m-1000

1 Am

0,020 to == 20

0,079 to = 79

TOTO

TOTO

500 to

1000 to

0,020 to = 20

1 Am 0,078 to = 78

TOTO

TOTO

2 Am. 5 Am 10 000 m. = 10 Am

2000 to

5000 to

(N GO ^ CO Cä

cT t-T i-

2000 to

5000 to

10 000 to

2 Am

5 Am 10 Am

*00*0 *05

K O' K

Also selbst bei der Strecke AJB = 10000 m ist der Unterschied der beiden y noch nicht viel über 1 2m.

Fragen wir ferner in beiden Fällen, nämlich wenn der Bogen AC den Halbmesser 6300 fim und wenn er den Halbmesser 6400 km hat, nach den Unterschieden zwischen bestimmten Abszissen AB = x, den zugehörigen Sehnenlängen AC und Bogenlängen AC, so finden wir selbst für bedeutende x nur kleine Unterschiede, die deshalb auch von der Größe des Halbmessers R nur in geringem Grad abhängen. Nehmen wir z. B. zunächst die Sehnenlänge AC; für sie ist

Sehnenlänge AC = ]/x‘z -J- iß = x~j/1 -f- T oder, da ein sehr kleiner echter Bruch ist,

~x{l + h)’~x + h'

oder: selbst mit x = 20000 zahl der zwei obigen Tabellen, wobei y für

R = 6300000 y = 31,75

wird, ergibt sich als Zuschlag, der zu x zu machen ist, um die Sehnenlänge A C zu erhalten, nur

oder = 25,2

40    ⁷

der Unterschied zwischen der Abszisse x = 20000 m und der zugehörigen Sehne ist in beiden Fällen nur rund 2% cm und diese Zahl unterscheidet sich links und rechts nur um etwa ³/₄

Noch geringer ist der Unterschied zwischen der Sehne AC und der Bogenlänge AC. Denken wir uns endlich den Punkt B mit dem Mittelpunkt 0 des Bogens AC verbunden und sei C' der Schnittpunkt dieser Geraden B 0 mit dem Bogen A C, so ist, wenn a den kleinen Zentriwinkel AOB in O bedeutet, der in dem Winkel C'BC in der Figur nochmals erscheint als Konvergenz der Lotrichtungen in A und B, die Strecke

CC' = y » sin a, wobei a folgt aus tg a = ~ •

Dieser Winkel a ist so klein, daß sein sin und seine tg gleich gesetzt werden dürfen und wir haben demnach

1007,8

40000

m.

noch einmal so groß als die letzte Abszissen-

R = 6400000 y = 31,25 m

mm

976,6

40000

mm.

oder

976,6 OA A

40 = 24,4 mm;

CC'-

y ‘R’

wie auch aus der Ähnlichkeit der Dreiecke ABO und CC'B abzulesen ist. Dies gibt im einen und andern Fall 31,75 • 20000 6300000

CC'

= 0,105

CC'

31,25 • 20 000

6400000

= 0,098

= 105

mm

= 98

mm.

Um diesen geringen Betrag, in beiden Fällen auf 1 cm genau um 1 Dm, ist die Bogenlänge AC’ größer als die Bogenlänge AC. Denken wir uns

also in einem beliebigen Punkt der Erdoberfläche die Horizontalebene, d. b. eine Ebene senkrecht zur Richtung des Lotfadens daselbst, und auf dieser in beliebiger Richtung die Strecke x = 20000 m hinausgemessen (Punkt B), so liegt zwar ein Punkt C, der dieselbe Höhe wie A hat, an dieser Stelle B bereits um BC= 31,75 m (bei der Annahme R = 6300000 m) oder BC = 31,25 m (jR = 6400000 m) unter jener Horizontalebene in A: dagegen bewegen sich die Unterschiede der Längen AB = x, Sehne AC, Bogenlänge AC und selbst Bogenlänge AC' nur in den cm und sind sehr wenig empfindlich selbst für die große Änderung von 100 hm in der Annahme für R.

Die zuletzt genannten unbedeutenden Differenzen zwischen Abszisse x, Bogenlänge AC und Bogenlänge AC' werden nun für sog. Horizontalmessungen in Betracht kommen; AB gehört ja der Horizontalebene durch A an. Es zeigt sich, daß solche Horizontalmessungen oder Lagemessungen selbst bis zu verhältnismäßig großer Ausdehnung der Messung keine Rücksicht auf die Krümmung der Erdoberfläche nehmen müssen. Für x = 1000 m oder 2000 m und noch viel größere Werte kommen selbst für die schärfsten möglichen Messungen die Unterschiede zwischen x, Bogen AC und selbst Bogen AC' nicht in Betracht.

Ganz anders dagegen für die Höhenmessung oder Vertikal-messung, für die offenbar die Strecken y = BC in Betracht kommen; diese Strecke beträgt für x = 500 m schon 2 cm, für x = 1000 m schon 8 cm, für x = 2000 m schon etwas über 30 cm und schon bei dieser kleinen Strecke von 2 hm zeigt sich BC, bei Rechnung auf 1 cm, nicht unabhängig von der Änderung um 100 hm in R.

4. Vermessungsflächen für Lagemessungen. Nach dem Vorstehenden wird man für Lagemessungen annehmen dürfen,

m. -

1.    daß bis zu verhältnismäßig bedeutender Ausdehnung des Vermessungsgebiets die Vermessungsfläche, auf die wir alle Punkte unserer Messung „beziehen“, die Horizontalebene sei, nämlich eine Ebene senkrecht zur Richtung des Lotfadens in der Mitte des Vermessungsgebiets. Wir nehmen also im Sinn der vorigen Betrachtung _R = oc an; alle Lotrichtungen in unserm Vermessungsgebiet sind parallel, senkrecht auf unsrer Vermessungsebene. Man kann für diese und jede der folgenden Stufen einen Bereich angeben, bis zu dem die angegebene Voraussetzung über die Vermessungsfläche ausreicht. Dieser Bereich hängt aber selbstverständlich von der verlangten Genauigkeit der Messung und Schärfe der Rechnung ab. Man pflegt anzageben, die Voraussetzung: Horizontalebene als Vermessungsfläche reiche fürLagemessungen aus, so lange es sich um ein Vermessungsgebiet handle nicht größer als etwa 50 <j^m. Für viele Zwecke darf dieses Gebiet, immer noch unter Voraussetzung einer Horizontalebene als Vermessungsfläche viel größer genommen werden; mit x = 10 ttm handelt es sich bei kreisförmiger Begrenzung des Vermessungsgebiets schon um über 300 Man spricht bei dieser ersten Voraussetzung über die Vermessungsfläche für Lagemessungen wohl auch von der Geodäsie der Ebene.

2.    Eine „Vermessungskugel“ von bestimmtem Halbmesser, wie oben erläutert für jeden Punkt der Erdoberfläche jedenfalls zwischen 6300 und 6400 &m, wird als Vermessungsfläche für die Horizontalmessungen schon für große Gebiete ausreichen. Ganze Landesvermessungen für Staaten wie Württemberg (rd. 20000<jßm) oder selbst Bayern (ohne Pfalz rd. 70000 sind auf Grund einer einzigen sphärischen Vermessungsfläche durchgeführt worden; nur zur Berechnung der sogenannten geographischen Koordinaten ist von der Voraussetzung zu Gunsten der nächsten Annäherung 3. an die Wirklichkeit abzuweichen. In dieser „sphärischen Geodäsie“ schneiden sich alle Lotrichtungen des Vermessungsgebiets im Kugelmittelpunkt.

3.    Eine Ellipsoidfläche von bestimmten Abmessungen wird der Lagemessung und ihren Berechnungen zugrund gelegt in der sogenannten ellipsoidischenGeodäsie. Allbekannt ist das Besselsche Ellipsoid aus dem Jahr 1841, dessen Formzahl (z. B. Abplattung) zufällig mit den Ergebnissen neuerer Foschungen ziemlich genau stimmt, dessen lineare Abmessungen aber um etwa ₁₀ J— zu klein sind; vgl. die Anmerkung bei 2. Die Richtungen der Normalen auf dieser Vermessungsfläche (Lotrichtungen) schneiden sich nur noch dann, wenn die betrachteten Punkte demselben Meridian oder demselben Parallelkreis angehören, sonst liegen diese Richtungen windschief zu einander. Diese Annahme reicht für Rechnungen auf sehr großen Stücken der Erdoberfläche aus, sie ist sogar die Grundlage aller Erdmessungsrechnungen. Die moderne Aufgabe der Erdmessung, die Bestimmung der

4.    tatsächlichen „mathematischen“ Erdform, die „geoidische Geodäsie“ wird immer von einem „Referenzellipsoid“ ausgehen müssen, dessen Ermittlung selbst eine wichtige Erdmessungsaufgabe bildet, aber doch nur Mittel zum Zweck ist: ihre Aufgabe ist vor allem die Bestimmung der Abweichungen derjenigen Niveaufläche der Erde von jenem Referenzellipsoid, von der die ruhend gedachte Oberfläche der Meere Stücke vorstellt.

5. Vermessungsflächen, für Höhenmessungen. Andre Einteilungen der Geodäsie. Es ist schon in 1. angedeutet, daß in jedem dieser Abschnitte der Geodäsie: Geodäsie der Ebene, sphärische Geodäsie, ellip-soidische Geodäsie, Geodäsie des Geoids, Lagemessungen oder Horizontalmessungen und Höhenmessungen oder Vertikalmessungen zu unterscheiden sind. Jene betrachten, wie wir gemäß der vorigen Nummer jetzt sagen können, nur die gegenseitige Lage der Projektionen von Punkten der physischen Erdoberfläche auf die Vermessungsfläche, wobei die projizierenden Linien die Lote sind, über deren Richtungen in der vorigen Nummer, l.bisß., Angaben gemacht sind; die Höhenmessungen dagegen haben die Bestimmung von Höhenunterschieden zum Gegenstand, Abstände von Niveauflächen zu ermitteln. Man kann bei den Höhenmessungen nicht wie bei der Lagemessung schlechthin nach dem Umfang des Vermessungsgebiets einteilen.

Immerhin zeigen schon die einfachen Rechnungen in 8., daß fürHöhenmessungen die Erdrundung, oder wie man hier in der Regel sagt, die Erdkrümmung schon bei verhältnismäßig ganz kurzen Zielungen berücksichtigt werden muß. Auf eine Zielweite von 500 m sinkt die „mathematische Erdoberfläche“ um 2 die Horizontalebene durch den Standpunkt, bei 1000 m Zielweite bereits um 8cm; und schon bei Zielweiten von wenigen km, wie sie die „trigonometrische Höhenmessung“ verwendet, machen sich sogar die Unterschiede der Krümmungshalbmesser bemerklich. Für so kurze Zielungen, wie sie beim „Nivellieren“ Vorkommen, ist allerdings auch bei großer Feinheit der Messung die Erdkrümmung fast unmerklich, auf 50 m Zielweite z. B. ~ von 20

cm

= 20

mm

unter

oder 0,2

.für ganze Landesvermessungen in Beziehung auf die Höhenmessungen die Voraussetzungen der sphärischen Geodäsie (2. der vor. Nr.) auszureichen pflegen.

1 im

mm

mm

betragend. Immerhin kann man sagen, daß

Ebenfalls im Zusammenhang mit dem Umfang des Vermessungsgebiets steht, aber auch noch andern Rücksichten gibt Raum folgende weitere Einteilung des Gesamtgebiets der Geodäsie:

I.    Feldmessen und Nivellieren, der erste Name sich auf die einfachen Lagemessungen, der zweite auf die einfachste Art der Höhen-messungen beziehend. Dieser Abschnitt umfaßt den grösten Teil des politisch-volkswirtschaftlichen und des technischen Yermessungswesens.

II.    Landmessung und Landesvermessung bezieht sich auf Vermessung größerer Flächen bis zu ganzen Staaten. Bei der Landesvermessung kommt die Anlage von „Landestriangulationen“, großer zusammenhängender Dreiecksnetze als Grundlage für I. in Betracht. Zur Landmessung gehören auch die topographischen Messungen in ihrem ganzen Umfang als Grundlage für wissenschaftliche und besonders auch kartographische und technische Zwecke, wmbei außer dem Nivellieren auch die übrigen Arten der Höhenmessung und der tachymetrischen Messung mitzuwirken haben. Flüchtige Messungen auf Reisen in unerforschten Gebieten bilden einen besondern Zweig der Topographie und damit der Landmessung, den der Verfasser als geographische Landmessung zu bezeichnen pflegt. In der Topographie sind nicht immer Lagemessung und Höhenmessung getrennt, es gibt vielmehr Messungsverfahren, die schon soeben erwähnten tachymetrischen Messungsweisen, die geradezu die Verbindung von Lagemessung und Höhenmessung zur Voraussetzung haben. Nicht nur für kartographische Zwecke im engern Sinn, sondern auch in der Landesvermessung spielen die Kartenprojektionen eine große Rolle beim Studium der Landesvermessungskoordinatensysteme.

III.    Erdmessung beschäftigt' sich mit der Anlage der Haupttriangulierungen, besonders im Sinn der Meridianbogen- und Parallelkreisbogenmessungen, mit der feinen direkten Bestimmung der geographischen Koordinaten der Dreieckspunkte zum Zweck des Studiums der Lotabweichungen (Abweichungen der tatsächlichen Lotrichtungen von den auf dem Refe-renzellipsoid vorhandenen), um daraus die Geoidfläche ableiten zu können. Die geodätischen Messungen im engern Sinn werden hier ferner durch physikalische Messungen ergänzt, und bei der Verarbeitung der Messungen treten zu den mathematischen Theorien physikalische hinzu.

Auch diese Einteilung ist nicht restlos; z. B. gehört, wie schon angedeutet die Lehre von der Abbildung bestimmter Teile der Erdoberfläche z. T. nach II., z. T nach III.; große Dreiecksnetze werden häufig so angelegt, daß sie sowohl Landesvermessungszwecken, wie der Erdmessung dienen können; feine Nivellierungen sind ebenso als Grundlage der Topographie und technischer Arbeiten notwendig, wie für die Erdmessung, z. B. zur Verbindung der Meerespegel an denen die Meeresmittelwasserstände verschiedener Küstenpunkte des Festlandes ermittelt werden.

Eine noch andre Einteilung der Vermessungslehre ist die einfachere in

A.    Niedere Geodäsie oder Praktische Geometrie und

B.    Höhere Geodäsie, bei der ein mathematischer und physikalischer Teil unterschieden werden kann. Dabei entspricht A. dem Abschnitt I. und einem Teil von II. der letzten Einteilung, B. umfaßt einen Teil von II. und den Abschnitt III. Der Name Praktische Geometrie ist in Deutschland besonders im 18. und in der ersten Hälfte des 19. Jahrhunderts üblich gewesen, und auch jetzt noch brauchbar, trotz der weitervorgeschrittenen Trigonometrisierung auch der elementaren Gebiete der Geodäsie, da ja die Trigonometrie auch nur ein Zweig der Geometrie ist.

In Frankreich und in Eßgland gebraucht man den Namen Geodäsie (geodesie, geodesy) meist nur für die Messungen und Berechnungen, die wir als höhere Geodäsie bezeichnen. Niedere Geodäsie heißt in Frankreich „Lever des plans et nivelle-ment“ (Arpentage ist der feldmesserische Teil dieses Abschnitts) und daneben wird der „Topographie“ eine selbständige Stellung angewiesen, wärend das englische und amerikanische „Surveying“ das „topographical surveying“ mit umfaßt (Nivellieren ist im englischen „leveling“; dem „elementary surveying“ und „topographic surveying“ steht dann das „geodetic surveying“ gegenüber). Übrigens sei noch besonders darauf aufmerksam gemacht, daß im Französischen und in den übrigen romanischen Sprachen vielfach der Ausdruck „Topographie“, „Topografia“ nicht nur die bei uns üblich gewordene Bedeutung hat, sondern unsre ganze „praktische Geometrie“ (elementare Lagemessungen, Nivellieren, Absteckungsarbeiten) einschließlich unsrer Topographie umfaßt und also dieser „Topographie“ die „Geodäsie“ gegenüber gestellt wird.

ERSTER ABSCHNITT.

LAGEMESSUNGEN ODER HORIZONTALMESSUNGEN DER ELEMENTAREN PRAKTISCHEN GEOMETRIE.

groß, die Lot-

50, 100, 200 und mehr cfh

6. Definitionen. Unterschiede der praktischen Geometrie gegen die reine Mathematik. Der elementare aber praktisch sehr wichtige Teil der Geodäsie, der für den ersten Abschnitt des vorliegenden Buchs allein in Betracht kommt, die Lagemessungen „der ebenen Geodäsie“, macht die Voraussetzung, die dem ersten Anblick nach in ebener Gegend, Tiefland, breiter Stromtalebene, von der Natur unmittelbar dargeboten zu sein scheint: die Vermessungsfläche sei eine horizontale Ebene, eine Ebene senkrecht zur Richtung des Lotfadens, wobei in unserm ganzen Vermessungsgebiet, bis zu richtungen einfach als parallele, auf unsrer Vermessungsebene senkrechte Gerade gelten. Nach der Rechnung in 3. ist diese Annahme R = oo für beträchtliche Ausdehnung des Vermessungsgebiets zulässig, obwohl in Wirklichkeit die Lotrichtungen in zwei Punkten, die die Entfernung 1,1;

2,2; 5,5; 11 h 6' einschließen.

voneinander haben, einen Winkel von rund 0',6; l',2; 3':

Unter einem Punkt verstehen wir in der elementaren Lagemessungslehre stets die Horizontalprojektion eines materiell auf der physischen Erdoberfläche bezeichneten Punkts auf unsre Vermessungsebene. Berg und Tal der natürlichen physischen Erdoberfläche, die ja nur in kleinen Stücken der Voraussetzung der horizontalen Vermessungsebene einigermaßen nahe kommt (am vollkommensten in der Eisoberfläche eines zu-gefrornen Sees; in Wirklichkeit gehört die Oberfläche des Eises, wenn dieses auf dem Wasser schwimmt und überall gleich hoch aus diesem vorragt, einer Kugelfläche an, die aber über 6000 km Halbmesser hat, vgl. 3.) sind für uns bei der Lagemessung nicht vorhanden. Eine Gerade kann z. B. über Berg und Tal wegführen; es ist mit dem Wort eben eine bestimmte Vertikalebene oder ihr Schnitt mit unsrer Vermessungsebene gemeint, während der Schnitt mit der physischen Erdoberfläche jede Form haben kann. Die Strecke oder Entfernung zwischen zwei ungleich hoch liegenden Punkten der physischen Erdoberfläche ist die Horizontalprojektion der schiefliegenden Verbindungsstrecke zwischen beiden. Ebenso ist unter dem Flächeninhalt eines Grundstücks stets der Inhalt der Horizontalprojektion auf unsre Vermessungsebene zu verstehen, so daß an Berglehnen der wirkliche Inhalt der physischen Oberfläche des Grundstücks nicht unwesentlich größer sein kann als was für unsre Vermessungsfläche oder deren verkleinertes Abbild, den Plan, darunter zu verstehen ist.

Unterschiede der praktischen Geometrie gegen die reine Mathematik.

11

Es ist eben erwähnt, daß im Gegensatz zur reinen Geometrie, wo der Punkt eben ein ideelles Gebilde nullter Dimension, z. B. der Schnittpunkt zweier ebenfalls ideeller Linien ist, ein Punkt der praktischen Geometrie im allgemeinen immer irgendwie materiell bezeichnet sein muß. Ein solcher Punkt in unserm Sinn, Vermessungspunkt, ist z. B. auf freiem Feld die Mitte (etwa durch eine Ausbohrung an der Oberfläche bezeichnet) eines in den Boden geschlagenen Holzpflocks oder die Mitte eines Marksteins, der auf einer der Grenzlinien eines Grundstücks (Eigentumsgrenze) steht, oder die Achse eines durch ein eingehauenes Dreieck als „trigonometrischer Punkt“ bezeichneten Steins, oder die Achse einer senkrecht in den Boden gesteckten hölzernen Stange; in Ortschaften eine vertikale Hauskante, ein in das Pflaster versetztes Stück eines Gasrohrs, ein auf dem Gehwegrandstein eingemeißeltes Zeichen, z. B. Kreuz oder dgl. Alle diese Dinge bezeichnen Punkte in unserm Sinn.

Eine gerade oder krumme Linie kann auf dem Feld in der Regel nicht so hergestellt werden, wie z. B. auf dem Reißbrett oder Reißboden; man muß sich im allgemeinen damit begnügen, sie durch einzelne ihrer Punkte in passenden Abständen voneinander zu bezeichnen. Ausnahmen kommen vor: eine gerade Linie kann z. B. gelegentlich auf dem Feld durch gespannte Schnur längs ihrer ganzen Erstreckung bezeichnet werden oder auf einem städtischen Gehweg geradezu mit Kreide oder Blaustift gezogen werden.

Die Definition der anzuwendenden Maße (Längenmaße, Flächenmaße; dann Maß für die Horizontalwinkel) ist erst bei den Längenmessungen, Flächenbestimmungen, Winkelmessungen zu geben.

Dagegen mag hier noch, zunächst ebenfalls im Sinne einer Definition angedeutet sein, welche mathematischen und rechnerischen Hilfsmittel die elementare Vermessungslehre voraussetzt. Außer genauer Kenntnis der theoretischen Planimetrie und der Elemente der analytischen Geometrie der Ebene sind vor allem gute trigonometrische Kenntnisse zu verlangen, insbesondere Gewandtheit und Sicherheit im Rechnen. Wer hierin nicht die erforderliche Übung hat, wird bei der Verwertung selbst der elementarsten Messungsergebnisse unüberwindliche Schwierigkeiten finden. Der Trigonometrieunterricht unsrer Vorschulen leidet vielfach an dem Mangel, zu wenig „praktisch“ zu sein.¹) Eingeschlossen müssen bei der Rechengewandtheit sein die praktische sichere Anwendung von Teilen der algebraischen Analysis, besonders der praktische Gebrauch von Reihen, z. B. der binomischen Reihe, der sin- und der cos-Reihe. In Deutschland ist ferner die auf die Differentialrechnung gegründete Ausgleichungsrechnung nach der Methode der kleinsten Quadratsumme der Verbesserungen, deren Anwendung jahrzehntelang nach ihrer Begründung durch

C. F. Gauß (1794, diese Jahreszahl ist besser als die meist nach Gauß selbst angegebene 1795, erste Veröffentlichung in der „Theoria motus“ etc.

9 Wer hierin Nachhilfe notwendig hat, sei auf des Verfassers: „Lehr- und Handbuch der Trigonometrie“, 3. Aufl., Stuttgart Metzler 1907, verwiesen, weil sich dieses Buch zur speziellen Aufgabe macht, auf Geodäsie (und sphärische Astronomie) vorzubereiten.

1809), und durch Legend re (erste Veröffentlichung 1806) wesentlich auf die Aufgaben der höhern Geodäsie beschränkt blieb, mit gutem Erfolg auch in die niedre Geodäsie, sogar in deren allerelementarste Aufgaben eingeführt worden. Das vorliegende Lehrbuch sieht von der Verwendung der Ausgleichungsrechnung im allgemeinen ab, gebraucht aber gelegentlich den „mittlern Fehler“, dessen Definition und Bestimmung in einfachen Fällen deshalb an geeigneter Stelle angegeben wird, ebenso wie eine Erläuterung über die Zusammensetzung oder Anhäufung mittlerer Fehler. Jedenfalls sollten die Grundbegriffe der Differentialrechnung niemand fehlen, der messen lernen will; sie werden auch hier da und dort verwendet.

Zur Ausführung der Rechnungen der niedern Geodäsie bedarf man besonders der logarithmisch-trigonometrischen Tafeln als Hilfsmittel, je nach der erforderlichen Genauigkeit 4-, 5-, 6-stellig; 7-stellige Rechnung kommt für die niedere Geodäsie nicht in Betracht. Daneben spielt noch, besonders für Berechnungen untergeordneter Genauigkeit, aber auch als Hilfsmittel hei entsprechend vorbereiteten feinem Rechnungen der logarithmische Rechenschieber eine große Rolle.¹) Neben dem gewöhnlichen Taschenrechenschieber von 250 mm gauzer Teilungslänge kommen mehr und mehr auch mechanisch-logarithmische Rechentafeln, Rechenscheiben, Rechenwalzen mit langen Teilungen (bis 20™,) in Gebrauch, die die 4- bis 5-stellige logarithmische Ziffernrechnung ersetzen können. Ferner erleichtern graphische Zahlentafeln (Nomogramme) neben den numerischen mancherlei Zahlen- und Rechenbedürfnisse. Endlich hat in der letzten Zeit neben der numerisch-logarithmischen, mechanisch-logarithmischen und nomographischen Rechnung die rein mechanische Ziffernrechnung in den vier Spezies mit Hilfe sogenannter Rechenmaschinen immer größere Ausdehnung angenommen, ja die Bedeutung dieser kostspieligen Apparate wird schon heute überschätzt.

Zum Schluß dieser „Definitionen“ sei der Anfänger davor gewarnt, allzu viel vom Gebrauch eines Lehrbuchs über Praktische Geometrie oder vom Anhören eines Vortrags darüber zu erwarten, so unentbehrlich das eine und das andere ist: messen lernen kann man nicht aus einem Buch, sondern nur durch zweckmäßige Anleitung an den Gerätschaften und Instrumenten selbst und demnächst durch eigene Übung mit ihnen. Immerhin ist das vorliegende Buch mit dem Bestreben möglichst intensiver praktischer Behandlung der Grundlagen der elementaren Messungen geschrieben.

7. Einteilung des ersten Abschnitts. Die elementaren Horizontalmessungen sind wie folgt einzuteilen:

Erstes Kapitel. Kleinmessung oder Stückmessung, d. h. Aufnahme (nach dem in Norddeutschland üblich gewordenen Ausdruck: Auf-

x) Sie ist immer noch nicht genügend gewürdigt. _ Man darf z. B. geradezu sagen, daß die Anwendung der Methode der kleinsten Quadrate in der niedern Geodäsie nur dann rationell ist, wenn sie sich vollständig auf den Gebrauch des logarithmischen Rechenschiebers gründet. Anfänger, die in der Schultrigonometrie und bei sonstigem Rechenunterricht den Rechenschieber noch nicht gebraucht haben, seien auf des Verfassers Schrift: „Der logarithmische Rechenschieber und sein Gebrauch“, 4. Aufl., Stuttgart Wittwer 1908, verwiesen. Der Rechenschieber soll auf dem Felde und zu Hause stets zur Hand sein, so auch beim Studium des vorliegenden Buchs.

messung) eines Grundstücks oder eines nicht sehr ausgedehnten Verbands von Grundstücken, was mit den Elementaraufgaben des Absteckens gewisser konstanter Winkel (flacher Winkel, rechter Winkel) und der einfachsten unmittelbaren Längenmessung, unter Verwendung einer Aufnahmslinie oder mit Benützung einiger weniger Hilfslinien erledigt werden kann. Das Ziel der Kleinmessung ist in der Regel die Herstellung eines Plans in bestimmtem Längenmaßstab 1: M von jenem Grundstück oder kleinen Grundstücksverband, ferner die Ermittlung der Fläche des Grundstücks oder der Grundstücke; diese Flächenbestimmung und Flächenteilung (vgl. Kap. 2) ist die Spezialarbeit des Feldmessers, während für technische Zwecke meist zunächst nur der Plan in Betracht kommt.

Zweites Kapitel. Flächenberechnung, Flächenteilung. Die Berechnung der Flächen kann aus den bei der Aufnahme erhobenen Zahlen, aus den „Messungszahlen“ geschehen, sie kann aber unter Umständen vorteilhafter auch erst ausgeführt werden, nachdem der aus der Aufnahme entstandene Plan 1: M scharf gezeichnet oder gedruckt vorliegt. Bei der Flächenbestimmung aus dem Plan werden vielfach besondre Instrumente, Planimeter verwendet. Die Flächen auf dem Feld sind häufig nach bestimmten Anforderungen zu teilen und alle diese Feldmesseraufgaben der Flächenteilung, Grenzregelung usf. gehören in dieses Kapitel, ohne daß sie, der Bestimmung des vorliegenden Buchs entsprechend, hier ausführlich behandelt werden könnten.

Drittes Kapitel. Theodolit zur Horizontalwinkelmessung. Es wird sich zeigen, daß der Bereich der Instrumente und Gerätschaften, die im ersten Kapitel zu behandeln sind (Einzelmessung, Kleinmessung), ziemlich geringen Umfang hat. Wir müssen, um diesen Bereich nachhaltig erweitern zu können, ein Instrument haben, mit dem beliebige Horizontalwinkel mit der für den jeweiligen Zweck notwendigen Schärfe gemessen werden können. Dies ist der sogenannte Theodolit, ein Fernrohrinstrument mit fein geteiltem Horizontalkreis; seine Theorie und Praxis ist eingehend zu erörtern.

Viertes Kapitel. Zugmessung. Zu einer ersten Erweiterung des Messungsgebiets verhilft uns der Theodolit in Form der Zugmessung (Polygonmessung, Polygonisierung, Polygonierung«., polygonometrische Punktbestimmung). Jeder einigermaßen ausgedehnten Aufnahme ist nicht, wie im ersten Kapitel vorausgesetzt, eine einzige Aufnahmslinie oder einige Hilfslinien dazu zugrund zu legen, sondern eine Folge von Aufnahmslinien, deren beliebige Brechungswinkel nun eben mit dem Theodolit zu messen sind, während die Längen der als Aufnahmslinien dienenden Strecken noch, wie alle sonstigen Maße der Kleinmessung, unmittelbar mit Längenmeßwerkzeugen bestimmt werden. Die Zugmessung ist also eine Kombination von Längenmessung und Winkelmessung.

Fünftes Kapitel. Kleintriangulierung. Eine abermalige Erweiterung des Messungsgebiets, nunmehr bis zu beliebiger Ausdehnung, kann uns die Dreiecksmessung (Triangulation, Triangulierung, trigonometrische Punktbestimmung) verschaffen, die die unmittelbare Längenmessung auf eine einzige Strecke, die Grundlinie oder Basis beschränkt oder bei großer Ausdehnung der Triangulierung (die über den Rahmen dieses Buchs hinausgeht) auf einige wenige Grundlinien beschränkt, während im übrigen nur Horizontalwinkel mit dem Theodolit gemessen werden. Die Methode, in der jetzt noch festgehaltnen Form erst 300 Jahre alt, (Snellius 1614) schafft die Grundlage für Groß- und für Kleinmessungen; für uns kommt sie nur in der Form der sogenannten Kleintriangulierung in Betracht.

Sechstes Kapitel. Absteckungsarbeiten im Sinn der Lagemessung. Bei der auch so genannten Übertragung von Bauingenieuroder Hochbau-Planentwürfen auf das Feld, aus dem Plan aufs Gelände, sei es Absteckung der „Achse“ eines zu erbauenden Verkehrswegs (Bahn, Straße, Kanal usf.), für den ein Projekt ausgearbeitet ist, sei es Absteckung einer Baulinie oder dergl. im Hochbau, kommen vielfach neben den in den Kapiteln 1, 4, 5 behandelten Aufgaben noch besondere Vermessungsaufgaben vor, die man als technische Vermessungen im engern Sinn bezeichnen kann.

Die vorstehende Aufzählung der Kapitel 1 bis 6 der Lagemessungen schließt ein Yermessungsinstrument aus, das früher für die Aufgaben der Kleintriangulierung, der Zugmessung wie der Kleinmessung eine große Rolle gespielt hat, den Meßtisch, ein fest und horizontal gelegtes Reißbrett, auf dem Horizontalprojektionen von Zielungen an einer Linealkante gezogen werden. Die Horizontalwinkel werden also hier auf der Zeichen- oder Planfläche sogleich auf dem Feld graphisch aufgetragen, statt daß sie, wie jetzt mit dem Theodolit, zunächst in Zahlen (Gradmaß) abgelesen und dann erst weiter rechnerisch verwendet werden. Die Bedeutung des Meßtischs für die reine Lagemessung ist jetzt gering geworden; sein Gebrauch ist aber auch heute noch keineswegs überhaupt als veraltet zu bezeichnen, vielmehr nur fast ganz auf die Topographie zu beschränken, in besondern Formen auch auf die Topographie der geographischen Landmessung.

ERSTES KAPITEL.

KLEINMESSUNG ODER STÜCKMESSUNG, EINZELMESSUNG.

8. Abstecken (Ausflüchten) einer geraden Linie durch Einweisen oder Einrichten. Über Punkt und Linie ist schon in 6. das Notwendigste gesagt. Die erforderliche materielle Bezeichnung eines Punktes kann schon vor Ausführung unsrer Messung vorhanden sein und der Punkt heißt dann „natürlich bezeichnet“, z. B. durch einen Blitzableiter, eine Hauskante, auf freiem Feld durch ein Feldkreuz, die Achse eines Baums (Markbaum) und dergl.; oder er ist erst bei der Vermessung „künstlich zu bezeichnen“ durch einen eingeschlagenen Pflock, eine in den Boden versenkte aufrecht gestellte Drainröhre, ein in einen Stein eingehauenes Zeichen, einen Markstein usf. Diese „Versteinung“ von Grenzpunkten oder sonstigen Punkten sich die sicherste und dauerndste, aber auch teuerste Bezeichnung, die auch seit Jahrtausenden im Gebrauch ist.

Neben der dauernden künstlichen Bezeichnung von Punkten ist von Wichtigkeit eine künstliche, meist nur vorübergehende Bezeichnung zum Zweck der Sichtbarmachung (Signalisierung) der Punkte auf kleinere oder größere Entfernung. Das Signal bestellt für unsre nächsten Zwecke stets einfach darin, daß eine dünne Stange auf dem Punkt in den Boden gesteckt, der Punkt „aufgesteckt“ wird. Diese dünnen zylindrischen oder prismatischen Stangen heißen Stäbe, Absteck- oder Fluchtstäbe (vom Abstecken einer Linie, besonders dem sogleich zu besprechenden Ausflüchten einer Geraden).

Andre Namen sind bei uns überflüssig, wie das französische und auch deutsch-schweizerische Jalon; auch das Wort Bake, das seit einigen Jahren aus dem Niederdeutschen eingeführt worden ist, hat gar keine Vorzüge vor Stab. Die deutsche Sprache und besonders die Sprache der Technik kann zwar nur dankbar sein für Bereicherung durch Dialektwörter, aber im vorliegenden Fall ist es zum mindesten unnötig, statt des Wortes: Stab oder bei größerer Stärke des Zeichens: Stange, das Wort Bake gebraucheu zu wollen, das von jeher ein Signal für die Seefahrt bezeichnet hat.

mvyi

"25mm,

1,8 m

fV 'V' .

:/7/7"7

Fig. 3.

Fig. 2.

40 mm

Die gewöhnlichen Fluchtstäbe sind 1,5 bis 2 m lang, 20 bis 30 stark, mit gutem zugespitztem Stahl schuh versehen, in runden Abschnitten rotweiß oder schwarzweiß gestrichen, damit sie sich von jedem Hintergrund gut abheben; Querschnitt, wie schon angedeutet, am besten rund, oft achteckig, selbst quadratisch, neuerdings manchmal dreiseitig mit abgerundeten Ecken wegen bequemen Zusammenlegens von 6 Stück zum Transport im Bündel, Fig. 3 oder scharfeckig zum Zusammenfügen beliebig vieler Stäbe; doch haben prismatische Stäbe mit wenigen Kanten und besonders also diese dreiseitigen den Nachteil im Vergleich mit runden, daß sie je nach der Lage ihres Querschnitts zur Richtung der Sonnenstrahlen verschieden beleuchtet werden, verschiedene Phasen zeigen, während runde Stäbe alle denselben Anblick bieten. In einer Anzahl von Stäben soll oben ein Einschnitt zum Einstecken eines Papierstücks sein; auch ist für viele Messungen zweckmäßig, rotweiße und schwarzweiße Stäbe zur Stelle zu haben. Dünne Stäbe aus Möbelrohr mit oben auszuziehender rotweißer Scheibe kommen neuerdings vielfach in den Handel; sie sind nicht so bequem wie hölzerne. Längere Stäbe (Stangen) mit oben angenagelter oder angebundener Fahne (3 m lang, 35 bis stark) sind für unsre nächsten Aufgaben noch nicht erforderlich.

Der Stab muß fest und aufrecht in den Boden gesteckt werden; bei etwas hartem Boden dient zum Vorbohren der schwere Stab der Kreuzscheibe (s. u.) oder ein besondrer Vorschlag. Wo Härte oder sonstige Beschaffenheit des Bodens (Pflaster, Gehweg in der Stadt) das Feststecken nicht ermöglicht, sind besondre Mittel zum Fest- und Senkrechthalten des Stabs erforderlich: auf einem Bauplatz Umlegen des Stabfußes mit einigen Backsteinen und dgl.; Doppelringe, durch ein Gelenk verbunden und mit Klemme an jedem Ring versehen (Fig. 5), durch den einen horizontalen Ring wird der Stab, durch den zweiten ein Strebenstab gesteckt und festgeschraubt; zwei oder drei Stäbe werden mit dem senkrecht und festzustellenden zu einer Pyramide zusammengebunden Fig. 4; ein weitres zweckmäßiges Mittel ist das Bereithalten einer Anzahl besondrer Stab-

gestelle oder Stabhalter, oben mit horizontalem Ring vom Durchmesser 35 oder 40

mm und mit Halteschraube, während die drei Füße des Gestells durch Gelenke mit jenem Ring verbunden sind, so daß sie in verschiedenen Neigungswinkeln gespreizt werden können. Für die geodätische Sammlung der Technischen Hochschule Stuttgart sind solche Gestelle mit nur 40 langen Gelenkfüßen zum Preis von nur 2 Jfl pro Stück angefertigt worden. Stabhalter mit langen Füßen aus starkem Draht, z.B. die Häußermannsehen

Stabhalter, haben oft die Vorrichtung, daß ein unten mit Gewicht beschwerter Eisen-

cm

Fi

Fig. 4.

MLIlÄ

Fig. 5.

Fig. 6.

rohrstab auf dem Kopf des Gestells eingehängt und zentriert, auch durch Verschiebung einer Klemmufte verschieden lang gemacht werden kann; doch sind solche Vorrichtungen schon teurer.

Der einen Punkt bezeichnende Stab muß gut vertikal gestellt werden. Es geschieht dies durch Anhalten einer Senkelschnur von zwei Seiten her oder mit Hilfe eines Libellenstabrichters (u. a. unter dem Namen Lattenrichter von Butenschön in Bahrenfeld zu beziehen), vgl. Fig. 6; die zwei Flügel F1} F₂ werden an den Stab angeschlagen, oben ist eine kleine Dosen-Wasserwage, nach deren Einspielen der Stab vertikal stehen soll. Die Richtigkeit Zimmer an einem im Stab-

der Wirkung dieser Libelle muß zuvor im halter aufgestellten gut geraden und mit dem Senkel sorgfälltig vertikal gestellten Stab geprüft sein. Genauigkeit sorgfältiger Vertikalrichtung gut gerader Stäbe mit dem Senkel im Freien bis etwa 20' (7₃°), im Zimmer etwas genauer, mit dem Libellenstabrichter ebenfalls etwas genauer. Ist der Stab 2 m lang und weicht um XJ₂° von der Vertikalen ab, so weicht die

Horizontalprojektion des obern Endes des Stabs um 2 • — •

— rund 2 cm vom Fnßpunkt des Stabs ab, der zunächst den Punkt bezeichnet.

100

57,3

cm

Das Ausfluchten einer Geraden geschieht nun wie folgt:

1. Zwei Beobachter. M und N seien zwei gegebene Punkte, z. B. durch Pflöcke bezeichnet, auf die Stäbe gut vertikal gesteckt sind; die Strecke ]\IN sei z. B. etwa 100 m lang. Es sind zwei Leute da, die die Absteckung zusammen besorgen, der eine I „weist einu, der andre, II,

„läßt sich einweisen“; I stellt sich z. B. hinter dem Stab 31 auf (nicht zu nahe! stets mehrere Meter hinter dem Stab; mit dem Auge etwas links und rechts gehen) und gibt II, der einen Stab versuchsweise in C' vertikal hält (Stab ganz oben nur zwischen zwei Fingern fassen, so daß er sich selbst vertikal hängt, mit der Spitze ganz wenig über dem Boden), etwa 30 Schritte oder 25 m von N entfernt, Zeichen durch Winken mit dem Arm (für beide Richtungen je einen Arm zum Winken nehmen, z. B. wenn II in C' steht, winkt I mit dem rechten Arm); II geht von C' versuchsweise nach C", merkt sich aber C', wird wieder nach der andern Seite gewiesen (linker Arm von I), halbiert am besten nach Augenmaß die Fehlerstrecke C'C" in C'", nach neuem Wegweisen die Fehlerstrecke CG'" in GIY usw. Bewegung von I mit dem Arm oder beiden Armen nach abwärts heißt: II soll den Stab dort feststecken. Rufen rechts! oder links! bringt Verwirrung, da für den nach I sehenden II die Bedeutung umgekehrt ist. Wenn II in bequemer Ruf- oder Sprechweite

I- C'

oC'K

O

o rm

oC"

-etwa 100 tu Fig. 7.

I ist (50

11T

z. B.), so können statt der Winke von I, bei denen II

von

seine Aufmerksamkeit zwischen I und den Punkten auf dem Boden teilen

m ein Stab eingewiesen ist. Grund zu ein, nicht

oder 30

muß, die Rufe von! oder gegen! benutzt werden, so daß II stets die Punkte auf dem Boden im Auge behalten kann. Beim Einweisen hat I scharf auf die Fußpunkte der einzuweisenden Stäbe zu achten, besonders wenn diese nicht ganz gut vertikal gehalten werden. In der Regel ist eine Gerade genügend (z. B. für die folgende Längenmessung in der Geraden) bezeichnet, wenn alle 25 m

satz ist: man weist stets in der Reihenfolge auf sich von sich weg, d. h. II wählt für die von I (hinter 31) einzuweisenden Punkte die Reihenfolge C, D, E, nicht umgekehrt. Nachdem C an den richtigen Platz gesteckt ist, kann sich II in D, wieder etwa 30 Schritte von C schon sehr nahezu selbst einrichten, indem er zunächst nach C und N sieht und sich nach diesen Stäben einrichtet, dann erst sich umkehrt und auf Winke oder Rufe von I achtet.

Dieses Einweisen ohne jedes Hilfsmittel als das Auge und die vertikal gehaltenen Stäbe liefert verhältnismäßig hohe Genauigkeit, wenn die Entfernung der zwei Stäbe 31 und N nicht groß ist; beträgt sie wie angegeben z. B. etwa 100 m, so kann man jeden der Zwischenstäbe leicht bis auf 1 cm (halbe Stabbreite) an seinen richtigen Ort bringen, fties entspricht für einen Stab in der Mitte von MN einem Winkelfehler von

• o oder mit p in ' dem Fehler —*

^    oUUO

• 3438'= 0',7;

1 (cm)

50 (m)

diese „Zielschärfe des bloßen Auges“ läßt sich in der Tat bald erreichen.

Es ist dabei vorausgesetzt, daß man die „Deckung der Stäbe“ tatsächlich beobachten kann, d. h., daß die Absteckung oder das Ausfluchten der Geraden auf

Hammer: elementare praktische Geometrie.

einer Ebene zu machen ist. Die Gerade der Lagemessung der praktischen Geometrie kann ja aber im Längsschnitt auf der Bodenoberfläche jede beliebige Form haben (vgl. 6.), z. B., Fig. 8., über eine Einsenkung (Tal, Einschlag) wegführen. In diesem Fall läßt sich die angegebene Genauigkeit nicht festhalten. Führt die Gerade MN

IM

yyyyi/ypip/f)')'l'p'7rl

Längenschnitt in MN Fig. 8.

Fig. 9.

über eine Erhebung (Fig. 9), so versagt, wenn M und N gegenseitig nicht sichtbar sind, die direkte Einweisung in der angegebnen Art zunächst ganz; s. u.

Auf größere Entfernungen als 100 oder 150 m ist das Einweisen mit bloßem Auge und gewöhnlichen Fluchtstäben zwar immer noch möglich, nur muß man dann größere Abweichungen als 1 cm der Zwischenpunkte aus der Geraden erwarten. Ferner ist schon bei 150 m, unbedingt bei 200 m zu empfehlen, den Einweisenden und den Einzuweisenden je mit Feldstecher (etwa Vergrößerung 5, selbst 3 genügt) auszurüsten. Das Winken mit den Armen ist, auch bei dieser Ausrüstung, zweckmäßig zu ersetzen durch deutliches Neigen einer 3 bis 4 m langen Stange, an die oben ein großes rotweißes Tuch gebunden ist.

Wenn die Länge der Strecke noch größer ist oder wenn die geforderte Genauigkeit wesentlich größer wird, so genügt auch das mit Feldstecher ausgerüstete Auge nicht mehr; man nimmt dann ein in M oder N fest aufgestelltes Zielfernrohr, z. B. an einem Theodolit, zu Hilfe, vgl. Kap. 6.

2. Ein Beobachter. Auch ein einziger Beobachter I kann ohne Benützung eines Instruments Punkte einer Geraden aufsuchen, eine Gerade ausfluchten oder wie man hier sagt, sich in diese ein richten, nämlich durch Verlängerung. Steckt I z. B., wenn M der gegebne Anfangspunkt ist, den Stab A auf, so kann er B durch Verlängerung von MA

o ---1

Fig. 10.

an seinen richtigen Ort bringen; auch dabei ist dringend zu empfehlen, das Einrichten nicht so zu machen, daß B in der Hand behalten, nur auf Armlänge von sich abgehalten wird, sondern daß B vertikal und fest gesteckt wird und dann I einige Meter hinter B zurücktritt. Man kann mit diesem Selbsteinrichten durch stete Verlängerung ebenfalls verhältnismäßig lange Gerade mit guter Genauigkeit hersteilen, doch ist diese etwas geringer als bei der vorigen Methode mit zwei Beobachtern.

Immerhin kann ein Beobachter auf diese Art auch die in 1. behandelte Aufgabe lösen: Gegeben M und N, verlangt Punkte der Geraden zwischen beiden Punkten;

nur ist er auf den Versuch angewiesen: er muß A nach Gutdünken annehmen und durch Verlängern von MA sehen, oh er nach N kommt. Er wird so verfahren: A" nach Gutdünken eingesteckt, dann wird nach Ngegangen und nach dem Anblick A" verbessert, dies wird vielleicht wiederholt und gibt den Punkt A'. Verlängert man nun die Eichung MA' auf die oben angegebene Art, so führt die Gerade MA'B'C'... jedenfalls so nahe an N vorbei, daß man nach Augenmaß das Lot NN' auf diese

A'

C"

N’

Fig. 11.

Gerade herstellen kann; mißt man mit dem Taschenmaßstab seine Länge (z. B. < 1 m), so kann man, nachdem die Strecken MA', MB', MC', MN' abgeschritten sind, bequem mit dem Rechenschieber die Strecken C'C, B'B, ... ausrechnen, durch die die Punkte C', B'. .. in die Gerade MN hereinzurücken sind.

Selbsteinrichten eines einzigen Beobachters in eine Gerade ist im allgemeinen auch immer auszuführen bei der Benützung einer Geraden als Aufnahmslinie, auf die Lote zu fällen sind, wobei aber diese Gerade bereits zuvor durch eine genügende Zahl von Stäben (alle 25 oder 30 oder in noch etwas großem Abständen bei langen Geraden) bezeichnet ist: Einschalten eines Punkts in eine bereits abgesteckte Gerade; man braucht dazu mindestens zwei bereits stehende Stäbe auf dem Zweig der Geraden, nach dem man sieht.

9. Instrumente zum Aufsuchen von Punkten einer Geraden, Abstecken des Winkels 180°. Trotz der Möglichkeit des Selbsteinrichtens eines einzigen Beobachters in eine Gerade sind aber doch auch Instrumente notwendig, mit denen ein Punkt einer durch zwei Punkte gegebnen Geraden aufgesucht werden kann. Eines dieser Instrumente löst z. B. die Aufgabe im Fall der Fig. 9 am einfachsten; sind ferner die zwei Punkte M und N} zwischen denen die Gerade abgesteckt werden soll, oder einer davon ganz unzugänglich, z. B. durch Blitzableiter auf Gebäuden gegeben, so wird ebenfalls das Verfahren von Fig. 11 mühsam, ungenau oder nicht anwendbar.

Es handelt sich also zunächst um Instrumente zum „Abstecken von flachen Winkeln“, Winkeln von 180°. Von solchen Instrumenten zur „Herstellung konstanter Winkel“ auf dem Feld sind noch wichtiger als die eben genannten (nämlich durchaus unentbehrlich, während die genannten meist, im Notfall eigentlich immer, durch Methoden ohne Instrumente ersetzbar sind) die zur Herstellung des rechten Winkels, zum Fällen und Errichten von Loten; sie sind in der Regel, ihrer Verwendung bei der Lageplanaufnahme entsprechend, mit den Instrumenten für den konstanten Winkel 180° kombiniert. Es wird von ihnen in der nächsten Nummer die Rede sein.

Von Instrumenten zur Herstellung konstanter Winkel 180° oder 90° gibt es dreierlei, die man als

1.    Diopterinstrumente,

2.    Spiegelinstrumente und

3. Prismeninstrumente zu bezeichnen pflegt. Spiegel- und Prismen-instrumente sind den Diopterinstrumenten schon als katoptrische Instrumente gegenübergestellt worden, doch trifft der Name nur für die Spiegelinstrumente zu, da bei den Prismeninstrumenten auch die Gesetze der Lichtbrechung in Betracht kommen. Hauptvorzug und Hauptnachteil der beiden Arten von Instrumenten sind folgende: die Diopterinstrumente müssen feststehen, versagen also auf hartem Boden, wo die Spiegel- und Prismeninstrumente ohne weitres anwendbar bleiben, da sie nicht festgestellt zu werden brauchen. Dagegen sind jene Diopterinstrumente mit vertikalen Absehebenen wieder insofern allgemeiner brauchbar, als geneigte Zielungen ganz ebenso bequem sind wie horizontale, während die Spiegel-und Prismeninstrumente mit vertikal stehenden Spiegelebenen und vertikalstehenden Prismenkanten zunächst nur die Punkte sichtbar machen, die in der Horizontalebene durch das Instrument liegen, also für Zielungen nach oben oder nach unten versagen. Daraus ist leicht erklärlich, daß z. B. in Deutschland (wenigstens im S.W.) und Mitteldeutschland mehr Diopterinstrumente, in Norddeutschland (und allerdings auch Bayern) mehr Spiegel-und Prismeninstrumente im Gebrauch sind. Alles Vorstehende gilt nicht nur für die Instrumente für Absteckung des Winkels 180°, sondern für alle Instrumente zur Herstellung konstanter Winkel.

t Z!k

1,4 m

Tig. 12.

1. Ein einfaches Diopter (Werkzeug zum „Hindurchsehen“), nach dem alten Feldmesserausdruck „das Absehen“ (oder Absehebene) ist das sogenannte Spaltendiopter, gebildet durch zwei Spalten, die längs zwei sich gegenüberliegenden Mantellinien in den dünnen Mantel eines hohlen Kegelstumpfs oder Zylinders oder Prismas aus Blech eingeschnitten sind. Dieser Kegelstumpf oder Zylinder oder dieses Prisma sitzt auf einem schweren, neuerdings stets eisernen Stab, der im Boden festgesteckt werden muß. Stabachse und Achse des Kopfes fallen zusammen und müssen vertikal stehen, denn wir brauchen vertikale Absehebenen; die Vertikalstellung geschieht nach Augenmaß oder mit dem Senkel oder mit einer auf den Kopf gesetzten Dosenlibelle, die auf die in 8. beim Stabrichter angegebene Art zu prüfen ist. Die Absehebene des Spaltendiopters muß „doppelseitig“ sein, zum Durchsehen nach beiden Richtungen brauchbar. Übrigens enthält der Mantel nicht nur eine Diopterebene, durch zwei sich gegenüberstehende Spalten gebildet, sondern deren zwei, je durch zwei Spalten gebildet und diese zwei Diopterebenen schließen einen rechten Winkel ein. Man nennt deshalb das Werkzeug Kreuzscheibe (französisch equerre [d’arpenteur], englisch square [surveyors’ sq.J; beide Ausdrücke umfassen aber auch die katoptrischen und Prismeninstrumente, die hierher gehören, im Französischen equerres ä miroirs ou ä prismes, im Englischen optical squares). Grund- und Aufriß einer Kegelkreuzscheibe sind schematisch in Fig. 12 angedeutet; Höhe etwa 1,4 m (nicht größer, weil man gelegentlich auch noch, tiefer als die Kreuzscheibe stehend, nach oben durch diese muß sehen können), bei H der eiserne Stab zweckmäßig mit Leder-

mantel oder Schnurumwickhmg versehen; Durchmesser des konischen Kopfs an der Basis des Kegels etwa 15 cm oder etwas weniger, darüber vorstehend kräftiger Kreisrand zum Schutz, Durchmesser oben etwa 6 cm. Spalten von konstanter Breite, nicht zu schmal, nicht unter 0,4 oder 0,5 Weite, da sonst leicht beim Durchsehen Lichtbeugungserscheinungen ein-treten, die die Arbeit erschweren oder unmöglich machen; am obern und untern Ende jedes Spalts zweckmäßig ein größres Loch von etwa 2 Durchmesser eingestochen zur Erleichterung des Aufsuchens von Punkten (Stäben). Der Kegel (S.W. Deutschland) hat vor dem Zylinder oder Prisma (Norddeutschland) den Vorzug, daß die Weite des Gesichtsfelds, gegeben durch die Breite des gegenüberliegenden Spaltes, wenn das Auge dicht am diesseitigen Spalt sich befindet, innerhalb gewisser Grenzen willkürlich gewählt werden kann: z. B. ist Gesichtsfeldbreite bei 0,4 mm Spalt und an der Stelle, wo 15 cm Abstand zwischen diesseitigem und jenseitigem

mm

mm

Spalt, ^ • q oder in ' = ^ • 3438' oder 9'). Bei

Spalt

Haar

Spalt

Fig. 13.

den norddeutschen Winkelköpfen oder Winkeltrom- Haar mein (wie die Kreuzscheiben dort mit zu umfassendem Namen vielfach heißen) in Zylinder- oder Prismenform sind oft statt der Spaltendiopter Spaltenhaardiopter angewandt, an denen die zwei einander gegenüberstehenden Diopterteile nach Andeutung der Fig. 13 nur zur Hälfte als Spalt, zur andern Hälfte als weite Öffnung mit darüber gespanntem Haar (Roßhaar, fester feiner Faden) gebildet sind. Dies gibt schönes helles weites Gesichtsfeld, doch sind die Haare usf. zu leicht verletzbar.

An Breithauptseben Instrumenten dieser Art mit Zylindermantel ist oft der Okularspalt durch eine Folge von feinen Löchern längs der Mantellinie ersetzt, was erheblich zur Verbesserung der Bilder beiträgt. Kugelförmige Kreuzscheibenköpfe, bei denen die Spalten Schnitte längs Großkreisen sind, kommen in Frankreich und Italien vor, sie haben aber keinen Vorteil und den Nachteil schwierigerer guter Herstellung.

Beim Fadendiopter für die Kreuzscheibe ist auch noch das sogenannte Winkelkreuz oder Visierkreuz zu erwähnen, das auch durch Senkelfäden gebildet werden kann, die an die vier Arme kreuzförmig gelegter horizontaler Brettchen angehängt werden und wobei nur die zentrale Unterstützung des Kreuzes das Durchsehen gestatten muß; dieses Senkelfadenkreuz entspricht fast vollständig der groma der altrömischen Feldmesser. Es ist jetzt ebenso unwichtig wie das Visierkreuz (Fadendiopter oder auch bloß Zielspitzen an den Enden der vier Arme kreuzweise gelegter Brettchen) oder die Kreuzscheibe in der Form von Spalten die durch den massiven (Holz-)Körper des Kreuzscheibenkopfs durchgesägt waren usf.

Von der Kreuzscheibe brauchen wir für die vorliegende Aufgabe: Absteckung des Winkels 180°, zunächst nur die eine Absehebene. Die Verwendung ist beim Aufsuchen von Punkten einer Geraden, die durch zwei Punkte (Stäbe) A und B gegeben ist, folgende (s. Grundriß Fig. 14, die den Fall andeutet, daß man nicht ohne Instrument einweisen könnte, weil man nicht hinter die zwei Punkte kommen kann): bei C soll ein Punkt von AB aufgesucht werden; Kreuzscheibe nach Gutdünken in C fest und

vertikal gestellt, so gedreht („orientiert“), daß beim Durchsehen von 1 aus der Stab A in der Mitte des Gesichtsfelds erscheint, wobei die Kreuzscheibe so fest stehen muß, daß das Drehen des Stabs in seiner Achse nicht leicht möglich ist; Beobachter tritt auf die andre Seite, sieht von 2 aus durch;

BJ

'4

Fig. 14.

_B ist nicht im Gesichtsfeld; neuer Versuch in C" und so durch einige Versuche nach C.

2. Das katoptrische Instrument der hierhergehörigen Art ist das Spiegelkreuz: zwei so ftbereinandergesetzte kleine Planspiegel (brauchen nur etwa 4 cm lang, 2 bis 3 cm hoch zu sein), daß ihre Ebenen senkrecht aufeinander stehen; I sei der obere, II der untere Spiegel (Fig. 15). Beim

N!

M'

XL

h.

M"

N”

Fig. 15.

Hineinseben von 0 aus in der Richtung des Pfeils erscheinen im obern Spiegel I die Bilder von Stäben 31'N'. .

Bilder von Stäben 31" N" zur Rechten des Beobachters. Es ist sehr leicht an den Winkeln der Figur abzulesen, daß der Standpunkt des Spiegelkreuzes in der Geraden 31’ 31" liegt, wenn die Spiegelbilder (31') von M' im obern und (31") von 31" im untern Spiegel „zusammenfallen“ nämlich in derselben Vertikalen erscheinen, Fig. 16, und wenn die beiden Spiegelebenen senkrecht aufeinander stehen, so daß in Fig. 15 x und y Komplementwinkel sind. Anwendung: Man sieht von 0 aus gegen beide Spiegel und geht langsam vor und zurück, bis die Stabbilder in I und II zusammenfallen; der so erhaltene Standpunkt des Spiegelkreuzes ist der gesuchte Punkt. Korrektionsschrauben gestatten beim Spiegelkreuz die Berichtigung des Instruments, vgl. die folgende Nummer.

Der große Vorzug vor der Kreuzscheibe ist der, daß es auf die Größe der Winkel x und y (Fig. 15) nicht ankommt, wenn nur beide Komplemente sind; der Stab des Spiegelkreuzes braucht also nicht im Boden festzustehen. Man kann sogar das Spiegelkreuz als Freihandinstrument

i.

')

II

TM")

Fig. 16.

. zur

Linken, im untern II die

mit Handhabe und angehängtem Senkel gebrauchen; doch ist es bequemer, das Instrument auf einem Stab (gewöhnlicher Fluchtstab, nur etwas kürzer, oben mit Loch zur Aufnahme des Holz- oder Metallgriffs) zu verwenden, der aber nicht festzustehen braucht, sondern lediglich als Lotstab dient. Das Spiegelkreuz wird gewöhnlich mit einem „Winkelspiegel“ zu einem Instrument zusammengesetzt, vgl. Nr. 11., weil nur beide Instrumente zusammen eine „Kreuzscheibe“ vorstellen.

“CO

E-V-

-E

Fig. 17.

3. Das Spiegelkreuz kann ersetzt werden durch ein Prismenkreuz, in dem man etwas bessere Bilder erhält als von den gewöhnlichen Spiegelglas-Planspiegeln. Die längste Seitenfläche der Prismen ist mit Belag versehen und wirkt also einfach als Spiegel. Die zwei Prismen brauchen für unsere jetzigen Zwecke nur gleichschenklig zu sein, ohne denselben Winkel in beiden Exemplaren zu haben, und müssen so übereinandergesetzt werden (gekreuzt), daß die belegten Flächen senkrecht aufeinander-stehen; diese längsten mit Belag versehenen Flächen wirken, wie gesagt, einfach als Spiegel. Denken wir uns nämlich ein gleichschenkliges Glasprisma mit belegter längster Seite, die nur einige Zentimeter lang zu sein braucht (bei Ibis 2cm Höhe des Prismas), so macht ein das Prisma passierender Strahl z. B. den in Fig. 17 angedeuteten Weg, die belegte Fläche wirkt, da unter der Voraussetzung desselben x Kantenwinkels d links und rechts gemäß dem Lichtbrechungsgesetz und Reflexionsgesetz a Oi und ß bei der Brechung an der linken und rechten Seitenfläche dieselben Winkel sind und / demnach die in der Figur mit y bezeichneten Winkel gleich sind, genau wie ein ebener Planspiegel, der nur bei EE d. h. gegen die belegte Fläche des Prismas parallel zu dieser um eine Kleinigkeit versetzt zu denken ist. Setzen wir also zwei solche gleichschenklige Prismen, deren Winkel ö aber nicht derselbe zu sein braucht, so übereinander, daß die Ebenen EE beider, d. h. die belegten Flächen senkrecht stehen, so haben wir wieder das Spiegelkreuz von vorhin. Der Gebrauch ist auch ganz derselbe: Verwendung freihändig mit angehängtem Senkel oder bequemer auf einem Lotstab, der nicht festgestellt, sondern nur vertikal gehalten zu werden braucht.

/'w*-

CA)

rA

Fig. 18.

Der Allineator von Porro ist ein Prisma mit zwei Spiegelflächen, die einen rechten Winkel einschließen, vgl. Fig. 18, und kann dazu dienen, zwei Punkte mit dem Standpunkt (gedachter Schnitt der zwei Spiegelflächen des Prismas) zu alignieren, von denen der eine hinter, der zweite vor dem Beobachter liegt; der zweimal reflektierte Strahl muß nur an der Kopfseite des beobachtenden Auges vorbeikommen. Man kann das Instrument Prismenspiegelkreuz heißen; es kommt weniger für unsre jetzigen Zwecke, als z. B. dafür in Betracht, zu entscheiden, ob zwei Punkte A und B gegenseitig sichtbar sind wegen eines Sichthindernisses zwischen beiden in der Gegend der Aufstellung des Allineators.

10. Prüfung dieser Werkzeuge zur Absteckung des konstanten Winkels 180°. Bei der Kreuzscheibe, so weit wir sie jetzt brauchen, nämlich nur zum Absehen vor und zurück, ist nur zu prüfen, ob die zwei einander gegenüberstehenden Spalten usw. wirklich Mantellinien des Kegels, Zylinders oder Prismas sind; die Ebene, die unter dieser Bedingung durch beide gelegt werden kann, das Absehen (die Diopterebene oder Zielebene), wird jedenfalls genügend genau die Achse des Kegels usf. und die Stabachse enthalten. Mit andern Worten: bei Kegel- oder Zylindermantel könnten die Spalten keine Mantellinien, sondern etwas gebogene Linien dieser Oberflächen sein, beim Prismenmantel usf. gerade Linien, die etwas windschief gegeneinander liegen. Prüfung: bei gut vertikal gestellter Stabachse und mit Hilfe des obern Teils der Zielebene scharfer Punkt gut in die Mitte des Gesichtsfelds gebracht; geht man mit dem Auge längs dem Okularspalt herunter, so muß der Punkt scharf in der Mitte des Gesichtsfelds bleiben. Eine Abweichung wird man bei einem Instrument aus einigermaßen guter Werkstatt nicht feststellen können.

Beim Spiegelkreuz sei daran erinnert, wie man auf dem Reißbrett die Geradlinigkeit einer Linealkante untersucht, Fig. 19: macht man in der Lage L des

b₂ ...

Lineals mehrere scharfe Bleistiftmarken

...........Lz    an verscbiednen Stellen

.......ss '•

M,

Ms

L,

Mg. 19.

der Kante und „legt sodann das Lineal j um“, und zwar so, daß Mx und M± scharf an denselben Stellen der Kante wie zuvor anliegen, so ist die Kante gut, wenn M₂ und ebenfalls wieder anliegen. Ist dies nicht der Fall, so liegt z. B. der richtige Punkt M₂ in der Mitte zwischen den Marken M₂ in beiden Lagen des Lineals.

So können wir auch mit einem nicht richtigen Spiegelkreuz einen Punkt der Geraden zwischen den zwei gegebnen Stäben A und B aufsuchen: es sei der Winkel zwischen beiden Spiegelebenen nicht gleich 90°, sondern derart, daß bei der Lage C,₁ des Spiegelkreuzes das Bild von A im obem Spiegel I und von B im untern Spiegel II in dieselbe Vertikale zusammenfallen, wenn man von 0₁ aus gegen die zwei Spiegelebenen sieht.

Ql

IlJ°2

ii

cj

Fig. 20.

Kehrt sich jetzt der Beobachter mit dem Instrument um, und bringt dieses in den Punkt C%, auf dem er von 0₂ aus gegen die Spiegel sehend, abermals das Bild von A im obern und das von B im untern Spiegel in dieselbe Vertikale zusammenfallen sieht, so sind die zwei Punkte Ct und C₂, wenn sie nicht zusammenfallen, ja jedenfalls beide unrichtig, der gewünschte richtige Punkt C halbiert aber einfach die Strecke CxCr Es wäre also mit einem Spiegelkreuz, dessen Spiegelebenen nicht senkrecht aufeinander stehen, richtig zu arbeiten, wenn man jeden Punkt zweimal, in jeder Lage des Spiegelkreuzes, von 0₁ und von 02 aus gesehen, einmal aufsuchen wollte.

Eine andre Prüfung des Spiegelkreuzes ist aber noch daraufhin notwendig, ob die zwei Spiegelebenen auf derselben dritten Ebene (Grundebene) senkrecht stehen. Ein Fehler dieser Art würde sich darin zu erkennen geben, daß die Bilder zweier sehr gut eingesenkeiter Stäbe oder noch besser zweier Senkelschnüre links und rechts vom Beobachter in den Spiegeln I und II überhaupt nicht in dieselbe Linie gebracht werden können, sondern an der Übergangsstelle von I zu II geknickt erscheinen. Der Fehler müßte freilich schon ziemlich grob sein, wenn er auf diese Art auffallen sollte.

Ganz in derselben Art, wie das Spiegelkreuz ist ein Prismenkreuz der oben angedeuteten Art darauf zu prüfen, ob die zwei belegten Flächen der zwei Prismen senkrecht aufeinander stehen.

An den Spalten der Kreuzscheibe kann nichts verbessert werden; die Korrektionseinrichtungen (Richtschrauben oder Justierschrauben) von Spiegelkreuz und Prismenkreuz sind ganz ähnlich wie beim Winkelspiegel angeordnet, auf den deshalb verwiesen wird, vgl. 12.

11. Instrumente zum Abstecken von rechten Winkeln, Errichten und Fällen von Loten. Es wird sich sogleich zeigen, daß bei der Lageplanaufnahme ein Punkt im allgemeinen dadurch „aufgenommen“ wird, daß man von ihm ein Lot auf eine abgesteckte Aufnahmslinie fällt und dann für den Punkt seine so gebildeten rechtwinkligen Koordinaten mißt. Ferner sind bei einer Lageplanaufnahme meist auch Lote in Punkten der Aufnahmslinie zu errichten als Hilfslinien. Zu beiden Aufgaben braucht man Werkzeuge zur Herstellung des rechten Winkels.

Die wichtigsten Instrumente zur Absteckung des konstanten Winkels 90° sind (ihre französischen und englischen Namen bereits in 9. 1. erwähnt):

1.    die Kreuzscheibe in verschiednen Formen, die schon in der letzten Nummer angedeutet sind: zwei Diopterebenen stehen senkrecht aufeinander.

2.    Der Winkelspiegel. Diesen Namen könnte man allen den katoptrischen Instrumenten zur Herstellung bestimmter („konstanter“) Winkel geben, wobei dem festen Spiegelwinkel des Winkelspiegels ein bestimmter Betrag gegeben werden muß, den wir sogleich erkennen werden; doch heißt speziell Winkelspiegel das Instrument für rechte Winkel.

3.    Das Winkelprisma, als zu diesem Gebrauch tauglich erst vor 60 Jahren von Bauernfeind erkannt (1851).

4.    Andre Prismeninstrumente, die man ebenfalls als Winkelprismen bezeichnet, besonders das fünfseitige Prisma von Goulier oder von Prandtl, usw.

Alle die andern zahlreichen Instrumente, Anlegen von großen Holzwinkeln auf dem Boden, mit dem einen Schenkel an die abgeschnürte oder aufgerissene Aufnahmslinie und mit Lattenverlängerung der Richtung des zweiten Schenkels bis zu dem nahen Punkt, von dem aus das Lot auf die Aufnahmslinie zu fällen ist (diese Methode ist bei norddeutschen Stadtaufnahmen in Gebrauch gekommen); „Winkelrohre“ ver-schiedner Einrichtung (meist Kombination des dioptrischen und des katoptrischen Prinzips); Prismen von noch andern Formen usw., sind im Vergleich mit den oben aufgezählten vier Instrumenten nicht von großer Bedeutung. Dagegen ist im Anschluß an die Winkelprismen nochmals auf die Prismenkreuze zur Absteckung des Winkels 180° zurückzukommen.

Beschreibung und Gebrauch. 1. Kreuzscheibe. Ihre Einrichtung ist schon in 9. angegeben; es kommen jetzt beide Absehebenen (Schlitzdiopter oder Spalten-Haardiopter usf.) in Betracht, der Winkel zwischen beiden soll ein rechter Winkel sein.

Die Aufgabe, im Punkt C der Geraden AB ein Lot zu errichten, ist mit der Kreuzscheibe unmittelbar zu lösen: Kreuzscheibe in C festgesteckt, Stab vertikal gerichtet, die Stabachse so gedreht, daß beim Durchsehen durch die Diopterebene I in beiden Richtungen sowohl Stab A als Stab B scharf in der Mitte des Gesichtsfelds erscheint (nach dem entferntem Punkt zuerst sehen); in die Diopterebene II ist dann der Stab D unmittelbar einzuweisen. Hier kann man wieder, damit der Einzuweisende, der den Stab D hält, stets seine Punkte auf dem Boden im Auge behalten kann und da die Länge des Lots nicht groß sein kann, die Zurufe „von!“ oder „gegen!“ anwenden (vgl. 8.).

Die häufigere Aufgabe, von C das Lot CD auf AB zu fällen, d. h. in AB den Punkt D derart aufzusuchen, daß CD mit AB einen rechten Winkel bildet, ist dagegen mit der Kreuzscheibe nur durch Versuche lös-

<?C

?D

ir

wd

Din b₂

Fig. 21.

Fig. .22.

bar, Fig. 22: Dx in AB nach Gutdünken angenommen (Regel: man richtet sich durch Links- . und Rechtssehen in AB aus und sieht dann gerade aus; bei einiger Übung trifft man damit rasch den Fußpunkt bis auf wenige Dezimeter genau); Kreuzscheibe dort festgestellt und so orientiert, daß I I beim Durchsehen in beiden Richtungen nach A und B weist; Durchsehen durch II gegen C zeigt, daß die Kreuzscheibe nach rechts versetzt werden muß (sogleich nach Anblick bei C abschätzen um wie viel); zweiter Versuch in D₂ auf dieselbe Art usf. Wie immer beim Gebrauch der Kreuzscheibe ist mißlich, daß sie feststehen muß, auch wenn der Punkt noch ganz unrichtig ist; deshalb Regel: bei den ersten Versuchen sich nicht auf halten durch gutes Feststellen und scharfes Vertikalrichten, beides kommt erst in Betracht, wenn man schon nahe bei dem gesuchten Punkt ist.

Linken des Beobachters. Mit diesem Bild (A)

zur

2. Winkelspiegel. Man bezeichnet speziell so das Spiegelinstrument zur Feldherstellung von rechten Winkeln. Das allgemeine Prinzip dieser Zweispiegelinstrumente ist folgendes: Zwei auf derselben dritten Ebene senkrechte Spiegelebenen mögen den Winkel cc einschließen Fig. 23, wo die belegte Seite der Spiegel angedeutet ist. Sieht man von 0 aus in der Richtung des Pfeils gegen den Spiegel I, so erscheine dort gemäß dem gezeichneten Weg des an I und II reflektierten Lichtstrahls das Bild (A) eines Stabs A

von A, auf dem Weg All IO zustandkommend, mag sich „decken“, d. h. in dieselbe Vertikale damit zusammenfallen, der direkt gesehene Stab B, nach dem über oder unter dem Spiegel I weg gezielt wird. Wie groß ist der Winkel ß, den die Geraden OA und OB einschließen (in dem Sinn, in dem er in die Figur eingetragen ist)?. Man liest, wenn

ir

*\/o

(9°° - |)

und

)oc

'CD/

(90° - f)

9°-|

IA)

Fig. 23.

die Winkel sind, die der an I und II einfallende und reflektierte Strahl mit den Ebenen I und II bildet (die

Einfallslote an I und II halbieren die Winkel cp und iß), unmittelbar aus der Figur ab:

(1)

ß = cp fl- iß (Außenwinkel am Dreieck rechts) und

(2)

a -180" -

} 90»-| ₊(90°-f))~! +

lö

somit

(3)

73 = 2a.

Diese Beziehung (3) ist unabhängig von der Größe der Winkel cp oder iß, d. h. die Richtung des Einfalls des von A auf II kommenden Strahls ist nicht von Einfluß darauf; mit andern Worten: die Gleichung (3) ist unempfindlich gegen Drehung des Winkelspiegels gegen die Schenkel des Winkels AOB, jeder solche „Winkelspiegel“ ist ein Freihandinstrument, das nicht festzustehen braucht; ist AOB ein Horizontalwinkel wie in unsrem Fall, so ist der Stab, auf dem man das Instrumentchen am besten wieder gebraucht, lediglich Lotstab.

Die Gleichung (3) sagt: der Spiegelwinkel erscheint verdoppelt in dem Winkel, den die Richtungen nach dem doppelt reflektiert betrachteten und nach dem direkt beobachteten Stab, die sich decken müssen, miteinander einschließen. Wollen wir also, wie in unserm Fall, ein Instrument haben, das ß = 90° liefert, so muß a = 45° gemacht werden.

Einen andern speziellen Fall, a = 90°, folglich ß = 180° haben wir in dem Spiegelkreuz schon kennen gelernt (vgl. 9.) wo die Beziehung ß = 2 a noch einfacher als oben unmittelbar der Figur zu entnehmen war.. Eine allgemeine Anwendung, nämlich die zur Messung beliebiger „Positionswinkel“ findet das katoptrische Prinzip der Gleichung (3) in dem sogenannten Spiegelsextanten, an dem der

Spiegeln drehbar ist und wobei der jeweilige Winkel zwischen beiden Spiegelebenen an einem geteilten Kreis (mit sogleich verdoppelter Bezifferung) abgelesen werden kann. Die „Positionsebene“, d. h. die die drei Punkte A (doppelt reflektiert gesehen),. B (direkt gesehen) und 0 (Standpunkt) enthaltende Ebene kann beliebige Lage haben, es kann eine Horizontalebene, eine Yertikalebene oder auch eine beliebig schief liegende Ebene sein.

■ >

Die Ausführung unsres Winkelspiegels ist schematisch skizziert z. B. diese: die Spiegel I und II von 4 bis 5 cm Länge und etwa 3 cm

Höhe, auf derselben Grundebene G senkrecht stehend (beim Gebrauch horizontal, so daß die zwei Spiegelebenen vertikal sind) müssen den Winkel 45° einschließen. Sieht man von 0 aus gegen Spiegel I, so zeigt sich dort das Bild (Ä) des Stabs A zur Rechten des Beobach--o ters: Weg des Lichtstrahls A All 10; mit diesem Bild (H) von A ist zur Deckung gebracht der direkt gesehene Stab B, für den ein Fenster Fx über I in die Gehäusewand geschnitten ist, dann hat man einen rechten Winkel ROH. Da man im allgemeinen die Wahl hat, nach A oder nach B direkt zu sehen, so gibt es stets mehrere verschiedne Lagen, in denen der Winkelspiegel verwendet werden kann. Der Anfänger merke sich nur, daß stets zwischen die zwei Spiegel hineinzusehen ist, durch das eine Fenster direkt nach dem einen der zwei Punkte (im einen Schenkel des rechten Winkels) und daß in der unter diesem Fenster liegenden Spiegelfläche der andre, nicht direkt

innen

Ai

A₂

(A)

90°

Ib

Fig. 24.

₉C

-%

■V-

oC

(TB)

B»

B,

Fig. 25 b.

Fig. 25 a.

gesehene Stab erscheinen muß. Um z. B. das Lot von C auf AB zu fällen (Lotfußpunkt B in AB aufzusuchen), können die zwei Lagen der Fig. 25 oder die zwei Lagen der Fig. 26 gewählt werden; man muß in der Linie AB so lange nach links oder rechts rücken, bis das direkt gesehene G

mit (M) (linke Fig. 25) oder mit (B) (rechte Fig. 25) oder bis das direkt gesehene A (linke Fig. 26) oder B (rechte Fig. 26) mit (0) sich decken. Meist ist beim Lotfällen die Lage Fig. 25 die bequemere: direkt nach dem

₉C

oC

A3

a₂

. 0 a,

B,

B₂

b₃

Fig. 26 b.

Punkt sehen, von dem das Lot auf die Aufnahmslinie zu fällen ist, in der man mit dem Winkelspiegel steht; ob bei dieser Lage 25 des Instruments der Winkelscheitel 0 in der Aufnahmslinie liegt, sieht man daran, ob bei 25 a die Spiegelbilder (At), (A₂) . ., bei 25 b die Spiegelbilder (HjJ, (B₂) . . im Spiegel sich decken; der Winkelspiegel selbst leistet nichts zur Entscheidung darüber, ob 0 in der Aufnahmslinie AB liegt. Er wird deshalb häufig kombiniert mit einem Spiegelkreuz, wie Fig. 27 zeigt, wo diese zwei Instrumente übereinandergesetzt sind; nur so ersetzen beide katoptrische Instrumente zusammen die iß Kreuzscheibe vollständig für die Fälle, in denen es sich nur um nahezu horizontale Zielungen handelt.

Um das einseitige Vergleichen der übereinanderliegenden Stäbe („Zusammenfallen“ des Spiegelstabs und des direkt gesehenen Stabs) zu verbessern und aus andern Gründen bat man neuerdings vielfach Abänderungen an dem einfachen Winkelspiegel vorgenommen: entweder man wendet

Fig. 26 a.

F,

Sp.

3p. I

Fl

R"

Sp-f"

Fig. 29.

statt des einen Fensters über jedem Spiegel zwei Fenster bei jedem Spiegel, je eins darüber und darunter an, Fig. 28 (Skizze der einen Gebäusewand) oder man nimmt den direkt gesehenen Stab dadurch zwischen zwei Stücke des Spiegelstabs, daß das Fenster durch eine nicht belegte Stelle an jedem der zwei Spiegel gebildet

Fig. 27.

Fig. 28.

wird, Fig. 29 (ebenso); besonders die zweite Anordnung bietet auch Vorteile im Fall nicht ganz horizontaler Zielungen, wo bei Überschreitung gewisser Grenzen in den Neigungen der Winkelspiegel zunächst versagt.

3. Winkelprisma von Bauernfeind (für rechte Winkel) besteht aus einem gleichschenklig-rechtwinkligen Glasprisma, dessen Hypotenusenfläche belegt, zum Spiegel gemacht ist.

Beim Eintritt eines Lichtstrahls aus der Luft in einen Glaskörper an einer ebnen Fläche dieses Körpers wird der Lichtstrahl „dem Einfallslot zu“ gebrochen (Glas spezifisch schwerer als Luft) und das Brechungsgesetz (von Snellius, dem Erfinder der

Slfl ££

Triagulierung, vgl. die Einleitung 7., fünftes Kap.) sagt, daß das Verhältnis .    = n —

einer Konstanten sei, vgl. Fig. BO; für die verschiednen. Glassorten ist n ziemlich stark verschieden, bei den für uns in Betracht kommenden um n — ■§ (Kronglassorten um 1,5,

sin ß sin a

den Lichtstrahl vom Glas in Luft austretend, so wird er vom Einfallslot weggebrochen; da a

— — = etwa l ist. Denken wir uns n

Flintglassorten [bleihaltig] 1,6 bis 1,7), so daß

— <x₀ — 90°, sin a₀ = 1 ist, so gibt es eine gewisse Grenze ß₀ für ß, jenseits

max

der der Lichtstrahl das Glas nicht mehr verläßt, sondern an der Grenzfläche Glas/Luft reflektiert wird, vgl. die Linie - -

II

der Fig. 30, und zwar ist für -h = -|

sin ß₀ = -| = 0,67 oder ß₀ rund 42°; wird ß größer als dieser Wert, so tritt Reflexion ein.

K= 90°

Einfalls lot

Luft

OL

ms

in

Xö.

ycc

O’j

B°

4o '

Fig. 81.

Fig. 30.

Es sei nun Fig. 31 der gleichschenklig - rechtwinklige Querschnitt des Glaskörpers, I die geblendete Hypotenusenfläche, II und III die Kathetenflächen (je nur 2 bis 3 cm lang). Ein Lichtstrahl treffe in der Richtung des linken Pfeils auf die Kathetenfläche II, in der Nähe der Kante des rechten Winkels, der Einfallswinkel sei a; nach der Brechung sei im Glas gemäß der Brechungsgleichung der Winkel ß vorhanden. Unter Winkel ß wird Kathetenfläche III getroffen und hier tritt, da dieser Winkel zu klein, (90° —- ß) zu groß ist, (nämlich > ß₀) als daß der Strahl austreten könnte, Reflexion ein; ebenso Reflexion an der Fläche I (Spiegel, sonst würde hier der Strahl austreten); endlich nochmalige Brechung an III, wo der Strahl schon reflektiert worden ist, und zwar vom Einfallslot weg gebrochen, sodaß der Strahl endlich in der Richtung des neben

den Strahl gezeichneten Pfeils austritt. Von 0 aus sieht man also in der Richtung des dortigen Pfeils, ziemlich dicht hei der Kante des rechten Winkels, das Bild (M) des Stabs A zur Rechten des Beobachters. Umgekehrt: sieht man gegen die Spitze des neben den vorhin austretenden Strahl gezeichneten Pfeils, also in der Richtung ungefähr senkrecht gegen die Hypotenusenfläche, in die Kathetenfläche III nahe bei der Kante 45°, so erblickt man daselbst einen Stab zur Linken des Beobachters in der Richtung gegen 0; endlich würde man beim Einblick in derselben Richtung aber nahe bei der Kante I/II, also bei der linken scharfen Kante einen Stab zur Rechten des Beobachters im Prisma sehen. Ob man jeweils den hier in Betracht kommenden „festen Strahl“ im Prisma hat oder ein andres im Prisma erscheinendes Bild, erkennt man daran, daß jenes feste Bild eine kleine Drehung des Prismas nicht mitmacht. Der Winkel a und damit ß ist nämlich innerhalb gewisser Grenzen gleichgültig; immer stehen, bei richtigen Prismen winkeln, die Richtungen O'A und OB senkrecht aufeinander. Man liest dies leicht aus der Figur ab: der von 0 aus verfolgte Strahl, der mit ß gegen III dort abgeht, trifft so auf die Hypotenusenfläche, daß der Winkel mit I (in die Figur eingeschrieben) (45° fl- ß) ist (Außenwinkel an dem Dreieck, dessen Winkel an der gegenüberliegenden Seite, nämlich III, ß und 45° sind); derselbe Winkel (45° -f- ß) kommt also in dem letzten kleinen Dreieck, das an der Kante I/III entsteht, wieder vor (in der Figur, um sie deutlich zu halten, nicht eingeschrieben), und da ein zweiter Winkel dieses Dreiecks 45° ist, so ist der dritte 180°— (45°-f- 45°-f ß) = 90° — ß oder: der Strahl, der nach Reflexion I wieder an III kommt, bildet dort wieder mit dem Einfallslot denselben Winkel ß, wie der eintretende Strahl an der Kathetenfläche II. Ist aber beim Austritt des Strahls von Glas in Luft an III im Glas ß vorhanden, so ist nach dem Austritt wieder a vorhanden, und wir haben also zwei gleiche Winkel a an II und an III, die so liegen, daß zwei ihrer Schenkel senkrecht aufeinander stehen (Einfallslote an II und an stehen auch die zwei andern Schenkel senkrecht aufeinander, d. h. es ist O'A A. 0'B, wie gewünscht.

an

III), folglich

Man kann auch beim Prisma, wie bei den Spiegelinstrumenten, den Satz, von dem Gebrauch gemacht wird, allgemein fassen: Ist in einem dreiseitigen Glasprisma ein Winkel genau das Doppelte eines zweiten, d. h. sind in zwei Ecken des Querschnitts die Winkel y und 2y vorhanden, so kann man mit Hilfe eines Glasprismas einen Lichtstrahl um den Winkel 2 y aus seiner anfänglichen Richtung ablenken. Doch hat dieser Satz nicht dieselbe praktische Bedeutung wie der entsprechende bei den Spiegelinstrumenten (Spiegelsextant).

Man hat bei Anwendung des rechtwinklig gleichschenkligen Prismas, des sogenannten Winkelprismas, ganz ähnlich wie beim Winkelspiegel, „zur Deckung zu bringen“ (in dieselbe Vertikale zusammenfallen zu lassen) das Bild eines Stabs, das so zustand kommt, daß der von ihm zum Prisma gelangende Lichtstrahl an jeder der zwei Kathetenflächen gebrochen und dazwischen an der Hypotenusenfläche und an der einen der Kathetenflächen reflektiert wird, mit einem direkt gesehenen Stab, nach dem über oder unter dem Prisma weg gesehen wird.

l CO

Der Anfänger merke sich wieder, daß der „feste Strahl“ stets in der Nähe einer Kante zu suchen ist, uud daß man entweder ungefähr parallel zur Hypotenusenfläche oder ungefähr senkrecht zur Hypotenusenfläche gegen das Prisma zu sehen hat, d. h. daß in jedem Fall die

Hypotenusenfläche ungefähr in die Richtung des einen Schenkels des rechten Winkels zu bringen ist. Sieht man etwa parallel zur Hypotenusenfläche gegen die eine Kathetenfläche, so zeigt sich in der Nähe der Kante des rechten Winkels das Bild eines Stabs, der links oder rechts vom Beobachter, abgewandt yon der Belagseite der Hypotenusenfläche steht;

sieht man gegen eine Kathetenfläche ungefähr in der Richtung senkrecht zur Hypotenusenfläche, so ist der feste Strahl in der Nähe der Kante 45° links oder rechts zu suchen: an der linken Kante erscheint das A Bild eines Stabs zur Rechten des Beobachters, an der rechten Kante das Bild eines Stabs links vom Beobachter. Die vier Fälle sind in den Figg. 32 und 33 schematisch im Grundriß (bei Fig. 33 auch im Aufriß) dargestellt.

Das Winkelprisma wird in verschiedener „Fassung“ geliefert, u. a. mit aufklappbarem Ring, der es gegen Beschädigungen beim Transport schützt; sonst wird es zu diesem Zweck in ein kleines Etui gelegt. Zum Schutz der Kanten des Prismas habe ich gut gefunden, den Boden und den Deckel des Blechgehäuses, in das das Prisma gewöhnlich eingelegt ist und das hinter der Hypotenusenfläche zusammenhängt, neben den Kanten noch mit Stiften zwischen Ober- und Unterplatte zu verbinden. Es ist das bequemst transportable der Gerätschaften für rechte Winkel.

Der Scheitel des rechten Winkels liegt beim Winkelprisma außerhalb des Instrumentchens. Man hat neuerdings Vorrichtungen getroffen, um diesen Exzentrizitätsfehler unschädlich zu machen; doch ist er im allgemeinen bei der Kleinheit der Abmessungen des Prismas ohne Bedeutung und es soll hier nicht weiter darauf eingegangen werden.

Das Winkelprisma wird, wie der Winkelspiegel, am besten auf einem Lotstab benützt, der aber nicht festzustehen braucht.

4. Andere Winkelprismen, vier- und fünfseitige, werden neuerdings ebenfalls benützt.

?B

B?

•o

CAT

Fig. 32.

B?

?B

(A)

(A)

Fig. 33.

SO

CO

Z. B. ist mit dem vierseitigen Wollastonschen Prisma (das nicht speziell zu diesem Zweck hergestellt wurde) ebenfalls die Ablenkung eines Lichtstrahls um 90° möglich; es hat die Winkel 90°, zweimal 67yj° und 135°, vgl. Fig. 34. Ferner gibt es vierseitige Prismen zum Abstecken rechter Winkel von Bauernfeind, Vogler, Jadanza u. a., auf die hier nicht einzugehen ist.

Eigentlich, ein vierseitiges Prisma ist auch das fünfseitige (Penta-gon-)Prisma von Goulier oder Prandtl, das in letzter Zeit für viele Zwecke verwendet worden ist und deshalb hier für den Zweck der Absteckung rechter Winkel noch erläutert sei. Der viereckige Querschnitt hat die Winkel 90°, zweimal je 112y₂⁰ und 45°, wobei die scharfe Kante des letzten Winkels (Flächen belegt) abgeschnitten ist und so eben das Penta-gonprisma oder Pentaprisma entsteht, in dem dann neben den Winkeln 90° und zweimal 112¹/i° noch zweimal der Winkel 112y₂⁰ auftritt, Fig. 35. Das Prisma, das man Prismenwinkelspiegel nennen kann (vgl. das Prismenspiegelkreuz am Schluß von 9.), hat vor dem Bauernfeindschen dreiseitigen Winkelprisma den Vorzug großem Gesichtsfelds und hellerer

B Q.

A.°

7 SO]

45°

(Al

IV

67i

«o

A

135°'•

90°

Fig. 35.

Fig. 34.

Bilder, auch ist der Einfluß von Fehlern in den Winkeln 90° und 45° ein geringerer als beim gleichschenklig-rechtwinkligen Prisma. Es kommt für uns nur darauf an, daß I/II (belegt) den Winkel 45° und III/IV den Winkel 90° miteinander bilden. Von 0 aus gesehen, erscheint Stab A als (A) im Pisma; direkt nach JB. Daß in Q ein rechter Winkel vorhanden ist, ist leicht zu zeigen: es ist nämlich genau wie beim Winkelspiegel in P ein rechter Winkel vorhanden; die zwei von P auf die Seitenflächen III und IV kommenden Strahlen bilden also, da III/IV 90° ist, mit III und IV gleiche Winkel, folglich sind auch nach der Brechung, beim Austritt in die Luft, die Winkel der von 0 kommenden und nach A gehenden Strahlen mit den Einfallsloten von III und IV einander gleich, d. h. diese zwei zuletzt genannten Strahlen stehen _L aufeinander, in Q ist ein rechter Winkel.

Wie schon oben erwähnt, ist jetzt, nach 3. und 4., nochmals zurückzukommen auf die Zusammensetzung zweier Prismen für rechte Winkel

Hammer: elementare praktische Geometrie.

zum Prismenkreuz für Winkel von 180°, vgl. 3. Das bis jetzt fast allein gebräuchliche Prismenkreuz, das Bauernfeind sehe, verwendet nicht zwei beliebige gleichschenklige Prismen, deren belegte Seitenflächen senkrecht zueinander gelegt sind, sondern zwei „Winkelprismen“, zwei gleichschenkligrechtwinklige Prismen, deren Hypotenusenflächen rechtwinklig zu kreuzen sind; früher geschah dies in der Art der Pig. 36, neuerdings in der Art der Fig. 37. Die „Okularebene“ war bei Fig. 36 die vordere, beim obern und untern Prisma in der Lage übereinstimmende Kathetenfläche; das Instrumentchen war so von der Okularehene aus als Spiegelkreuz für 180° wirksam und mußte zur Herstellung rechter Winkel gedreht werden, um eins der Prismen als einzelnes Winkelprisma zu verwenden. Fig. 37 zeigt, daß die neue Form beim Einblick von 0 her (Pfeil) durch Koinzidenz von (M) im obern, (N) im untern Prisma und

Q.

unteresA Prisma

oberes Prisma

o'

(M\ob. (N)0\un.

Fig. 36.

Fig. 37.

direktes Zielen nach A und Zusammenfallenlassen mit (M) (N) auch ermöglicht, zugleich zu entscheiden, ob man in der Geraden MN und im Lotfußpunkt von A auf MN steht; das Drehen des Beobachters um 90° wie bei der Kreuzscheibe oder das Drehen des Instruments wie beim Spiegelkreuz-Winkelspiegel oder beim alten Prismenkreuz (Fig. 36) kann erspart werden.

Auch zwei Pentagonprismen nach Fig. 35 kann man zum Prismenkreuz tibereinandersetzen für Winkel von 180°, und auch diese Kombination bietet Vorteile.

12. Prüfung der Instrumente für rechte Winkel. 1. Kreuz-soheibe. Nachdem bestätigt ist, daß die Mantelschlitze (Spalten) und die gespannten Haare (im Fall des Spalten-Fadendiopters) Mantellinien sind,, so daß durch je zwei sich gegenüberstehende je eine Absehebene bestimmt ist, muß untersucht werden, ob diese zwei Ebenen senkrecht auf-einanderstehen.

Es sei auch hier, der Fig. 19 beim Spiegelkreuz entsprechend, an die Prüfung des rechten Winkels am Zeichendreieck erinnert, Fig. 38: an eine geprüfte, scharf gerade gefundene Linealkante LL wird das Zeichendreieck angelegt, Lage I, und feine Marken bei A und fff, an der zu LL „senkrechten“ Kante gemacht. Sodann wird das Dreieck umgelegt, Lage II, dieselbe Kante an A wieder angelegt; zeigt sich oben abermals fff, scharf an der Kante, so ist das Dreieck gut und Mx A 1 LL-trifft man dagegen auf einen von fff, verschiednen Punkt fff», so ist der Winkel fff, AMa der doppelte Fehler des Zeichendreiecks, und das Lot in A auf LL halbiert diesen Winkel zwischen den zwei unrichtigen Richtungen AMX und AMt.

Zur Untersuchung der Kreuzscheibe nach diesem Verfahren steckt man drei Stäbe genau in gerade Linie und gut vertikal, durch scharfes Ausfluchten oder mit dem einen Spaltenpaar der Kreuzscheibe. C sei der mittlere Punkt und CA und CB je etwa 40 m lang; in C wird die Kreuzscheibe genau vertikal gestellt und so orientiert, daß die Diopterebene I in die Gerade AB fällt; wird durch das Absehen II ein Stab Dx in der Entfernung 25 bis 35 m eingewiesen, so ist zu entscheiden, ob Dx C _L AB ist.

Dreht man die Kreuzscheibe in eine zweite Lage derart, daß jetzt die Diopterebene II in die Gerade AB fällt (wäre die Kreuzscheibe in Ordnung, so wäre sie also genau um 90° zu drehen), und weist nun durch I abermals ein, so erhält man bei fehlerfreier Kreuzscheibe denselben Stab JDV bei einer mit einem Fehler behafteten Kreuzscheibe dagegen einen andern Punkt Z)₃ neben Dx, und der Fehler x der Kreuzscheibe ist die Hälfte des Winkels DXCD₂, die richtige Lotrichtung CD halbiert diesen Winkel zwi-

Mi

m₂

?d₂

ir

Mg. 38.

n c

Mg. 39.

sehen CDX und CD%. Eine Verbesserung der Kreuzscheibe ist nicht möglich. Die Ausrechnung von x ist einfach: mißt man mit dem Taschenmaßstab DXD₂ = e ab und wird flüchtig auch die Strecke CDX = CD₂ = l mit 5 m- und 3 m-Meßstangen, oft genügend durch Abschreiten abgemessen, so ist der Fehler x der Kreuzscheibe gegeben durch:

eL e

stnx = -f = iV

natürlich e und l in einerlei Maß genommen. Es handelt sich hier wieder um einen kleinen Winkel von einigen Minuten; den sin darf man in diesem Fall durch den arc ersetzen, so lange als für die erforderliche Genauigkeitsstufe der Rechnung (arex)³ im Vergleich mit arc x verschwindet. Ist

z. B. x = 10', so ist arc x =

nauigkeitsstufen der Rechnung die 3. Potenz davon, rund

Vergleich mit der ersten Potenz verschwindend klein. Wir dürfen hier in (1) in jedem praktisch in Betracht kommenden Fall setzen:

(1)

10(,)

3438^ ⁼ 344 ’ a^so    a^e möglichen Ge-

41000000

im

(2)

arc x =

und um einen durch seinen arc als reine Zahl gegebenen Winkel in Grad-

maß auszudrücken, ist die arc-Zahl mit q zu multiplizieren, d. h. es ist, um x in Minuten zu erhalten, da q = 3438' ist,

t    6 r

* - 2rQ==

(³)

h •³⁴³⁸'-

Wäre z. B. I = 28

wx

und e = 14 cm gefunden worden, so wäre 3438'

14 (cm)

2 • 2800 (cm)

• 3438' =

400

= sy₂'

die Kreuzscheibe hätte einen sehr bedeutenden Fehler.

Anmerkung. Die einfache Rechnung mit kleinen Winkeln ist von der Schultrigonometrie her im allgemeinen wenig geläufig; recht klar und merke sich bei dieser Gelegenheit ein für allemal die Zahl p, die man jeden Augenblick braucht (während man 7t, das jeder mit überflüssiger Genauigkeit auswendig weiß, fast nie braucht). Die Ersetzung des sin eines kleinen Winkels durch seinen arc bedeutet so viel als: ein rechtwinkliges Dreieck mit einem sehr kleinen

90 °-X Winkel darf als schmaler Kreisausschnitt angesehen werden, dessen Zentriwinkel = jenem kleinen Winkel ist, während sich die längere Kathete und die Hypotenuse (allerdings für eine weniger weitgehende Genauigkeitsstufe der Rechnung) nicht unterscheiden. Setzt man in einem solchen schmalen rechtwinkligen.Dreieck (Fig. 40) die Gleichung an: kurze Kathete — langer Kathete mal tgx, oder = Hypotenuse mal sin x, so zeigt sich, da

sinz — z — zs -(- • • • tg z — z -j- j zs -f • • •

ist (z in analytischem Maß, als arcus gedacht), daß man mit der Annahme kurze Kathete = arcx mal Hypotenuse oder mal längerer Kathete, je die dritte Potenz von arc x im Vergleich mit der ersten vernachlässigt. Setzt man dagegen Hypotenuse == längerer Kathete, d. h. setzt man cos x = 1, so vernachlässigt man, da cos z —

x

1 — A z* • • • ist, bereits die zweite Potenz von x (oder von —, wenn x in Gradmaß

gedacht wird) im Vergleich mit der ersten. Die Zahl p bedeutet geometrisch: Zentriwinkel des Kreisbogens, dessen Länge gleich der Länge des Halbmessers ist. Da der Zentriwinkel des Bogens, dessen Sehne gleich dem Halbmesser ist, 60° beträgt, so

180°

ist p nicht viel kleiner als 60°. Genau ist für ,,alte Kreisteilung“ p° =    ■ ; die Zahl

p wird bald in Graden (selten), viel häufiger in Minuten oder Sekunden gebraucht. Ihr Betrag ist (alte Teilung)

man

mache sich die Gleichung (2)

und

Q° =

<?' =

Fig. 40.

90°

180°

-----= 57°,296 . . . oder abgerundet 57°,3 oder 57°;

(180 • 60)'

7t

= 3438' nahezu, oft ausreichend genau = 3400';

(180 • 60 • 60)"

= 206265" nahezu, für viele Zwecke ausreichend = 206 000".

Zu beachten ist, daß man nicht Sekunden oder Minuten mit Metern oder Zentimetern multiplizieren oder dividieren kann, daß ferner in (3) die richtige Proportion nur entsteht, wenn e und l in demselben Längenmaß genommen werden. Ein im arcws-Maß

7E

(analyt. Maß) gegebener Winkel wird in Gradmaß verwandelt durch Multiplikation mit q ; den arc eines in Gradmaß gegebenen Winkels findet man, wenn man die Gradzahl, in Graden (und Dezimalen) oder Minuten oder Sekunden ausgedrückt, mit q° oder q' oder q" dividiert. Auch Umkehrungen der Gl. (3) rechne man vielfach aus (mit dem Rechenschieber) und interpretiere sie; einige Beispiele: Ein senkrechter Gegenstand in 100

Entfernung und etwa in derselben Höhenlage mit dem Standpunkt des Beobachters erscheint unter dem Gesichtswinkel 1°, wie hoch ist er? Antwort:

1(0)

100

100 • Meter =

57,3 m

= 1,74 m (Mannshöhe). — Ein Stab ist 2 m lang und auf

der nahezu horizontalen Ebene durch den Fuß des Beobachters 250 m von diesem ent-

2 (nv)

fernt vertikal gestellt; unter welchem Gesichtswinkel erscheint er ? Antwort: 2ßö(~)' ^ 2

oder z. B. in Minuten 250'³^38' — 27',5. — In einem Fernrohr sind im Okular zwei

feine Fäden horizontal ausgespannt in solcher Entfernung, daß die Zielungen über diese zwei Fäden den Winkel 17', 19 einschließen. Eine vertikal gestellte Latte ist 3 m lang und wird mit jenem Fernrohr betrachtet, wobei die Zielung nahezu horizontal geht; ihr Bild paßt genau zwischen die Fäden hinein, wieweit ist die Latte

entfernt? Antwort:    wenn (3 der Winkel zwischen jenen zwei Zielungen über

= 600 m.

den untern und obern Faden ist und q und ß in demselben Gradmaß (' oder ") ge-3438

nommen werden, also 3 • ppY9 m

Die Untersuchung des Fehlers der Kreuzscheibe in der angegebnen Art kann bei einigen Wiederholungen, z. B. 4 bis 6, auch mit Stäben leicht auf die Genauigkeit 1' gebracht werden, was genügt. Obwohl man den Fehler nicht verbessern kann, ist eine mit beträchtlichem Fehler behaftete Kreuzscheibe nicht ganz unbrauchbar; man hätte bei ihrem Gebrauch, um richtige Lote zu erhalten, nur alle Arbeit doppelt zu machen, immer in beiden Lagen der Kreuzscheibe das Lot zu errichten oder zu fällen oder bei einmaliger Anwendung und unterscheidender Bezeichnung der Spaltenpaare stets Diopterebene I in die Aufnahmslinie zu legen und für Seitenversetzung der Lotpunkte oder Lotfußpunkte zu sorgen, die von dem ermittelten Fehler der Kreuzscheibe und der Länge der Lote abhängt. Ist z. B. der Kreuzscheibenfehler 5', so ist die notwendige Versetzung bei

10 m Lotlänge

cm

20 „

cm = 2,9 cm

808" ' ¹⁰°0 cm “ J>ß • ²⁰⁰⁰

30 „

cm .

3l38" * 3000 Cm = 4>⁴

Noch einmal so groß als diese Beträge wären bei demselben Fehler 5' und für dieselben Lotlängen die Entfernungen der zwei unrichtigen Punkte, die man als Lotfußpunkte bei Anwendung der Kreuzscheibe in den zwei Lagen erhalten würde und deren Halbierungspunkt allemal der richtige Punkt wäre. Da jene Verschiebung der Punkte bei einseitiger Verwendung der Kreuzscheibe nur Anlaß zu Verwechslungen und damit Fehlern geben würde, und da man auch nicht alle Arbeit doppelt machen will, so wird

man in der Tat eine Kreuzscheibe verwerfen, die einen nachweisbaren Fehler zeigt. Übrigens ist die Herstellung in genügender Genauigkeit für den Mechaniker so einfach, daß selten ein solcher Fehler nachweisbar ist.

2. Winkelspiegel. In allem Wesentlichen genau ebenso zu untersuchen: im Punkt C der Geraden AB wird auf CA ein Lot errichtet und dann auf CB ein Lot errichtet. Fallen beide zusammen, so ist der Winkelspiegel richtig, ergibt sich mit der Lage I des Winkelspiegels das Lot CBX (Lot auf CA), in Lage II das Lot CD₂ (Lot auf CB), so ist der Winkel zwischen beiden Spiegelebenen etwas kleiner als 45°. (Die zwei Lagen des Winkelspiegels sind in Fig. 41 neben den Punkt C gezeichnet, damit die Figur deutlich bleibt.) Wäre umgekehrt CD₂ das angebliche Lot auf CA, CDl das angebliche Lot auf CB, so wäre der Spiegelwinkel etwas größer als 45°. Der Spiegelwinkel kann mit Richtschrauben auf den Sollbetrag gebracht werden; die Ausrechnung des Fehlers vor der Berichtigung kann ganz wie bei der Kreuzscheibe gemacht werden, nur ist hier der Fehler im Winkel der

?D₂

Wl.

Fig. 42.

Fig. 41.

zwei Spiegelebenen V₄ des Winkels BlCD₂, den die beiden fälschen Lotrichtungen bilden. Die Korrektion ist vorzunehmen mit Hilfe eines Stabs D, der in die Mitte zwischen Dl und D₂ gesteckt wird, die dann abgezogen werden können.

Die Justier-, Korrektions- oder Richtschrauben können am Winkelspiegel in verschiedener Art angebracht sein, als Zugschraube und Druckschraube, als Zugschraube mit zwei Druckschrauben, oft ist auch eine Zugschraube mit Druckfeder angewandt. Zugschraube und Feder kann z. B. eine Schraube im Grund des Gehäuses und Blattfeder sein nach Andeutung von Fig. 42. Die zwei Spiegel I und II sitzen auf den Schenkeln einer starken gespannten Blattfeder, die nur vorn links und rechts mit dem Gehäuse verlötet ist. Der Grund der Feder ist mit dem Gehäuse einfach durch die Zugschraube S verbunden-, Nachlassen dieser Schraube entfernt den hintersten Punkt der Feder von der Gehäusewand und vergrößert damit den Spiegelwinkel, Anziehen der Schraube S zieht den hintersten Punkt der Feder gegen die Gehäusewand und verkleinert damit den Spiegelwinkel. Ähnlich ist die Vorrichtung, bei der die

Zugschraube hinten durch die zwei Schenkel der ihr entgegendrückenden Blattfeder geht, auf deren Schenkeln vorn die Spiegel sitzen. Eine andre Zugschrauhen- und Druckfedereinrichtung, die uns später noch öfter begegnen wird, ist die, daß um den Schaft einer Zugschraube ein die zwei Metallstücke, die durch diese Schraube verbunden sind, auseinander drückendes Spiralfederstück gewunden ist.

Zug- und Druckschraube kann folgendermaßen eingerichtet sein: der eine Spiegel ist an der Gehäusewand befestigt, der zweite dagegen mit der andern Gehäusewand nach Art der Fig. 43 verbunden: Zugschraube Z geht durch das den Spiegel aufnehmende Metallstück durch, die Druckschraube D dagegen, kenntlich an dem abstehenden Kopf, stemmt sich nur stumpf gegen dieses Metallstück. Soll der Winkel zwischen beiden Spiegelebenen kleiner werden, so ist das Druckschräubchen D zu lösen und dann die Zugschraube Z so weit anzuziehen, als das Ende der zurückgezogenen Schraube B zuläßt; soll der Spiegelwinkel größer werden, so ist zuerst die Zugschraube Z zu lösen und D nachzuziehen. Regel bei Benutzung von Zug- und Druckschrauben, auch für später: nach der

Druckschraube

|b

(A)

Sp

Fig. 43.

Fig. 44.

Benutzung müssen beide Schrauben wieder festsitzen; deshalb jede Berichtigung in kleinen Zugschraube Schritten der Schraube machen, z. B. nicht im ersten Fall die Druckschraube B weit zurück drehen und nun Z nur so weit anziehen, als augenblicklich notwendig ist, ohne aber das Metallstück wieder bis zum Anstemmen an B heranzuziehen; vielmehr B wenig lösen,

Z so weit anziehen, daß das Ende von B wieder hart ansitzt, erforderlichenfalls mehrfach wiederholen.

Vor Prüfung des Winkels 45° am Winkelspiegel soll auch nachgesehen werden, ob I und II senkrecht zu derselben dritten Ebene (Grundebene) stehen; eine Abweichung würde sich durch Knickung des Bildes des gut vertikal gestellten Stabs A (doppelt reflektiert) gegen die Verlängerung des ebenfalls gut vertikalen direkt gesehenen Stabs B zu erkennen geben, vgl. (verzerrt) Fig. 44. Doch wird man kaum eine Abweichung dieser Art nachweisen können.

3. Die Prüfung des Winkelprismas versteht sich nach dem Vorstehenden von selbst; am einfachsten mit Hilfe eines Lots von E außerhalb AB auf AB, wobei in der Lage: Hypotenusenebene ungefähr in AB, Kante des rechten Winkels gegen den Beobachter gerichtet, gleichzeitig an der linken Kante 45° das Bild (A) von A und an der rechten Kante 45°

Vergleichung der Instrumente für die Winkel 180° und 90°.

das Bild (_B) von B mit dem direkt gesehenen Stab E sich decken muß. Berichtigung ist nicht möglich. Doch erhält man heutzutage fast ausschließlich bis auf wenige Sekunden genaue Winkel an den Prismen, so daß ein Fehler mit den hier gebrauchten Mitteln fast nie nachweisbar sein wird.

30

13. Vergleichung der bisher erwähnten Instrumente. Die Kreuzscheibe vereinigt in sich zwei Instrumente, die zum Abstecken von Winkeln von 180° und von 90°. Bei den Spiegel- und Prismeninstrumenten sind diese zwei bei Lageplanaufnahmen erforderlichen Instrumente im allgemeinen getrennt, aber auf derselben Grundplatte übereinander gesetzt. Der eiserne Stab der Kreuzscheibe muß feststehen, der leichte Stab (neuerdings vielfach ganz dünner aus Messingrohr verschiedener Weite, zum Ineinanderschieben auf bequeme Länge für den Transport eingerichteter Teleskopstab), auf dem die Spiegel- und Prismeninstrumente zweckmäßig verwendet werden, dient nur als Lotstab und braucht nicht festzustehen. Die Kreuzscheibe versagt deshalb auf hartem Boden, die andern Instrumente nicht; nur ganz ausnahmsweise kann die Kreuzscheibe auch auf hartem Boden mit Verwendung eines Stativs oder dadurch gebraucht werden, daß mehrere, mindestens drei Leute, den Stab der Kreuzscheibe von verschiedenen Seiten her mit beiden Händen möglichst fest anfassen. Die Arbeit mit den Spiegel- und Prismeninstrumenten ist wesentlich rascher als die mit der Kreuzscheibe; übrigens ist der Unterschied bei Übung im Gebrauch der Kreuzscheibe nicht so groß, als es auf den ersten Anblick scheint. Für den Transport ist die Kreuzscheibe wenig bequem, während ein Spiegelkreuz mit Winkelspiegel in der Tasche, ein Prismenkreuz in der Westentasche mitgenommen werden kann und der Teleskopstab für die Spiegel- und Prismeninstrumente auf eine Länge von cm zusammengeschoben werden kann. Da aber doch auch eine Anzahl von Stäben und Meßlatten transportiert werden müssen, so ist dieser Unterschied nicht von großer Bedeutung. Dafür hat die Kreuzscheibe den großen Vorteil, daß sie für Zielungen nach oben oder nach unten ganz ebenso bequem ist (wenn auch im allgemeinen nicht ebenso genau) wie für horizontale Zielungen, während in den Spiegel- und Prismeninstrumenten, deren Spiegelebenen und Prismenkanten vertikal zu halten sind, zunächst nur Punkte erscheinen, die in der Horizontalebene durch die Instrumente liegen. Wenn bei Spiegel- und Prismeninstrumenten Zielungen nach wesentlich höher oder tiefer als der Standpunkt liegenden Punkten Vorkommen, so muß man sich der nach Augenmaß herzustellenden Stabverlängerung nach oben oder unten, der Hilfe von Senkelschnüren u. dgl. bedienen. Auch ist die Kreuzscheibe, wenn einmal untersucht und in Ordnung befunden, stets gebrauchsbereit, was nur noch für die einzelnen Winkelprismen ebenfalls zutrifft, nicht aber für Spiegelkreuz, Wrinkel-spiegel, die Prismenkreuze, die vielmehr häufig untersucht und berichtigt werden müssen. Was den Unterschied zwischen Prismen- und Spiegelinstrumenten angeht, so haben jene vor diesen noch den schon genannten Vorteil noch größerer Kompendiosität, ferner den der hellem Bilder, da bei den Spiegeln durch Reflexion an der Vorderseite des Glases Licht

verloren geht, ferner leidet die Schärfe der Bilder bei den gewöhnlichen Spiegelglasspiegeln durch mehrere Nebenbilder.

In Beziehung auf Genauigkeit der Arbeit in der Ebene ist der Unterschied zwischen den Diopter- und den sonstigen Instrumenten nicht groß, vgl. die folgende Nr.

Vielfach werden auch die Instrumente in der Art kombiniert, daß z. B. auf den Deckel einer konischen Kreuzscheibe ein Winkelspiegel aufgeschraubt ist; man kann dann auf weichem Boden die Kreuzscheibe verwenden und ist doch auch für harten Boden ausgerüstet. Auch ein kleines Winkelprisma ist neuerdings auf dem Kopf der Kreuzscheibe befestigt worden.

14. Genauigkeit, Länge der Lote. Es ist bei sorgfältiger Arbeit und genügender Übung nicht schwer, die Genauigkeit mit der Kreuzscheibe abgesteckter Lote auf 2' zu bringen, mit dem Winkelspiegel und den Winkelprismen von Bauernfeind und von Goulier läßt sich die Genauigkeit sogar noch etwas weiter steigern, auf etwa 1'; vgl. auch, was in 8. über die Genauigkeit des Ausfluchtens ohne Instrument gesagt ist. Indessen lassen sich diese Zahlen, auch bei genügender Übung, für die rasch zu erledigende Durchschnittsarbeit nicht festhalten; durchschnittlich muß man mit dem Fehler von etwa 3' in der Richtung eines Lots rechnen, auch auf ebnem Gelände.

-6-0-

Dj D

Fig. 45.

Von diesem Betrag und der geforderten linearen Genauigkeit in der Lage des Fußpunkts hängt nun olfenbar ab, wie lang ein Lot werden darf. Ist von C auf die ^

Aufnahmslinie MN das Lot zu fällen, d. h. also D gesucht und ist die Abweichung der Winkel MD₁C und ND^C von einem rechten zu 3' durchschnittlich anzunehmen, also D₁CD durchschnittlich = 3', so ist nach der mehrfach befolgten 'Rechnungsweise:

(1)

~ -

1100

durchschnittlich, in dem Längenmaß, in dem l genommen wird. Für l = 22, 33, 44, 55 m wird damit D₁D rund = 2, 3, 4, 5

Nun fragt sich also noch, welche Fehlerstrecke DDj ist zulässig? Dies hängt vom Zweck der Aufnahme ab. In der Regel ist dieser Zweck die Herstellung eines Lageplans in bestimmtem Längenmaßstab 1 : M. Je größer M ist, desto kleiner, je kleiner M ist, desto größer ist dieser Längenmaßstab 1 : M. Im Maßstab 1 : 1000 ist 1 m Feldlänge durch

mm

des Plans; bei 1: 250 1 na So große Maßstäbe wie 1 : 500 oder gar 1 : 250 kommen nun nur bei Lageplanaufnahmen in großen Städten mit teurem Grund und Boden vor; für Lagepläne kleiner Städte und Ortschaften ge-

auf dem Plan dargestellt, bei 1:500 lm Feldlänge = 2 in 1: 2500 1 m Feldlänge = 0,4 nana des Plans.

mm

mm

cna.

des Plans; Feldlänge

nügt meist 1 : 1000 und dgl. Für Pläne von Grundstücken auf freiem Land wählt man Maßstäbe von 1: 1500, 1: 2000 und kleiner; bei Plänen für Entwürfe von Verkehrswegen, die also besonders die Bauingenieure angeben, sind Maßstäbe zwischen etwa 1: 1000 (Straßen) bis 1: 5000 (Bahnen) erforderlich. Nehmen wir aber auch einen Plan in dem großen Maßstab 1 : 500, so daß 1 mm des Plans % m Feldlänge vorstellt; welches kleinste Feldmaß kann auf dem Plan noch unterschieden werden? Diese Überlegung ist offenbar für die Strecke DDX maßgebend. Nehmen wir als solche kleinste Planstrecke, die mit dem Zirkel oder durch Ablesung am scharfen Kantenmaßstab unterschieden werden kann, yi0 (die Strecke ist absichtlich etwas zu groß angenommen), so entspricht dies im Maßstab 1 : 500 der Feldstrecke 500 • ^ mm = 5 cm als Größe, bis zu der DDX wachsen darf. Mit der obigen Durchschnittszahl a = 3' Abweichung gibt dies eine zulässige Lotlänge von

mm

(2)

cm = rund 57 m.

l = D.D ■ -- oder hier = 5 • 3438 1 a    3

Da die 3' eine Durchschnittszahl, keine Grenze vorstellen sollen, so geht man in der Regel nicht so weit in der Lotlänge wie (2) angibt; auf der andern Seite ist häufig als Fehlergrenze eine etwas größere Fehlerstrecke als 5 cm zulässig (kleinere Maßstäbe als 1 : 500). Im ganzen pflegt man als Regel festzuhalten, daß die Länge der Lote im allgemeinen 40 nicht überschreiten soll. Das Maß kann gelegentlich vergrößert werden, in andern Fällen geht man nicht über 30 m oder noch weniger weit, z. B. hei feinen Stadtmessungen.

auf 10

Dies bezieht sich auf die Lote bei gewöhnlichen Lageplanaufnahmen. Muß die Genauigkeit wesentlich größer sein als hierbei, wie z. B. bei Absteckungen u. dgl., so ist die Länge der Lote mit Kreuzscheibe und Winkelspiegel usf. weiter zu beschränken, bei Absteckungen z. B. in der Regel

•Ä = 3V₂

seitlichen Fehler,

cm

cm

cm.

Für ganz kurze Lote, z. B. bis 2 m Länge, braucht man, wie schon oben angedeutet (s. Nr. 8 gegen den Schluß), oft gar kein Instrument; man kann eine Meßstange nach Augenmaß senkrecht zur Aufnahmslinie hinauslegen. Ein solcher rechter Winkel nach Augenmaß (Anblick zweier auf dem Boden liegender Stangen) läßt sich leicht mit nicht über 1° Fehler hersteilen. Dies gibt auf 2 m Länge 200 auf 1 m Länge noch nicht 2

15. Übungen. Am Schluß gewisser Abschnitte, wie jetzt am Schluß der Absteckung der konstanten Winkel 180° und 90°, Punkte in Geraden und Lote, werden gelegentlich einige Übungsaufgaben zusammengestellt werden.

Hier sei vor allem nochmals darauf hingewiesen, daß die Übung auf dem Feld mit den Messungsgeräten die Hauptsache ist und sie sei deshalb nochmals angelegentlich empfohlen. Wer nicht Übung hat im Ausfluchten von Geraden, Gewandtheit und Sicherheit im Gebrauch der Kreuzscheibe, der Spiegel- und Prismeninstrumente für die Winkel 180⁰ und 90 kann eine Lageplanaufnahme nicht durchführen. Das Feststecken der Kreuzscheibe pflegt dem Anfänger selbst auf nicht hartem Boden Schwierigkeiten zu machen; man halte beim Einstoßen den Stab stets mit einer Hand und lasse die schwere Kreuzscheibe mehr durch ihr Gewicht wirken.

Übungen.

co

Ein einzuweisender Stab ist, wie schon angedeutet, am besten ganz oben und nur leicht zwischen zwei Fingern zu fassen, wodurch er sich selbst vertikal hängt, mit der Spitze nahe beim Boden.

Von besondern Übungen sei empfohlen:

1.    Absteckung einer Geraden mit der Kreuzscheibe im Fall der Fig. 14.

2.    Lote mit der Kreuzscheibe auf eine Aufnahmslinie von hochgelegenen Punkten, z. B. einem Blitzableiter auf einem Haus, nicht über 40 m entfernt.

3.    Bestimmung des Durchschnittspunkts zweier Geraden, die je nur durch zwei Punkte bezeichnet sind, durch Einweisen, wobei aber zweckmäßig mindestens zwei Leute da sein müssen; wenn drei Leute da sind, so kann je einer in jeder der Geraden einweisen und der einzuweisende Dritte hat abwechslungsweise nach dem ersten und nach dem zweiten Einweisenden zu sehen. Man versuche die Aufgabe auch allein und ohne Instrumente zu lösen.

4.    Dieselbe Aufgabe, Durchschnittspunkt zweier Geraden, die schon ausgefluchtet sind, ohne Gehilfen zu lösen.

5.    Dieselbe Aufgabe, wobei die zwei Geraden wieder je nur durch zwei Punkte bezeichnet sind, mit Hilfe der Kreuzscheibe oder in der Ebene auch mit Spiegelkreuz oder Prismenkreuz; durch einen Beobachter zu lösen. Man nehme dabei auch die Punkte z. T. so an, daß man nicht hinter sie treten könnte (starker vertikaler Kreidestrich an einer Wand) oder daß sie ganz unzugänglich sind (Blitzableiter auf einem Haus u. dgl.).

6.    Eigene Versuche über die Genauigkeit der Absteckung des Winkels 180° und insbesondere der Lote (Winkel 90 °) mit der Kreuzscheibe und den Spiegel- und Prismeninstrumenten, die der einzelne Beobachter in verschiednen Stadien seiner Übung erlangen kann a) bei möglichst rascher, b) bei langsamer und möglichst sorgfältiger Arbeit. Man mache sich bei diesen elementaren Arbeiten, besonders auch bei den bald folgenden Längenmessungen, rasche Arbeit zur Regel. Die Genauigkeit fällt bald nicht geringer aus als bei sehr langsamer Arbeit.

Man überlege auch selbst in verschiedner Art abgeänderte Versuchsanordnungen, durch die jene Genauigkeit ermittelt werden kann, und bilde Mittelwerte für bestimmte Verhältnisse und bestimmte Instrumente.

Es sei bei dieser Gelegenheit auch noch angeführt, daß ich für die geod. Sammlung der Technischen Hochschule Stuttgart eine absichtlich mit grobem Fehler behaftete (konische) Kreuzscheibe habe herstellen lassen; eine der ersten praktischen Aufgaben der Studierenden ist immer die, den Fehler x dieser Kreuzscheibe zu bestimmen und zwar durch Versuche auf ebenem, nicht hartem Boden. Das Mittel einiger hundert Zahlen für x, die auf diese Art durch Anfänger erhalten worden sind, weicht nicht um 0', 1 von dem anderweit genauer bekannten Werte von x ab. Die durchschnittliche Abweichung einer der Versuchszahlen x von dem „genauen“ Werte dieses Winkels ist rund 3' (die sog. mittlere Abweichung, vgl. Nr. 20, wäre danach zu rund 4' anzunehmen). Ich wiederhole, daß dies Zahlen von Anfängern sind, die zwar langsam arbeiten, weil sie dadurch die Genauigkeit zu steigern hoffen, die aber die Kreuzscheibe auch zum ei’stenmal oder zweitenmal in die Hand bekommen.    *

16. Längenmessung auf horizontaler Strecke mit Meßlatten (Meßstangen. Die zweite Hauptaufgabe, in manchen Fällen sogar die einzige Aufgabe, die bei jeder Lagemessung (Lageplanaufnahme) wiederkehrt, ist die Messung von Strecken. Die wichtigsten Werkzeuge dazu sind:

1.    Meßstangen oder Meßlatten,

2.    Meßband (Stahlband);

einige weitere, weniger wichtige Mittel werden später genannt.

Wir beginnen mit dem nicht selten sich darbietenden einfachsten Fall, daß die zu messende Strecke in der Natur sehr nahezu horizontal sei. In der Regel kann die Gerade nicht der ganzen Länge nach materiell bezeichnet sein, Ygl. 8. bis 10.; ist sie kürzer als 25 -m oder so genügt das Aufstecken des Endpunktes, auf den zu zu messen ist; ist sie länger, so wird sie zunächst abgesteckt, ausgefluchtet durch einzelne Stäbe, die in Abständen von 25 bis 30 m eingewiesen oder eingerichtet werden, vgl. ebenfalls 8. bis 10.

30

Eine beliebige Strecke direkt messen heißt bestimmen, wie oftmals eine bestimmte, als Längenmaß oder Längeneinheit dienende Einheitsstrecke in ihr enthalten ist. Die Längenzahl für eine bestimmte Strecke ist eine Yerhältniszahl.

Als Längeneinheit verwenden wir ausschließlich das Meter, das dezimal vervielfältigt und dezimal geteilt wird. Die Verzehnfachung und Verhundertfachung des Meters ist bekanntlich

(nicht sehr gebräuchlich),

m für sehr lange Strecken.

Das nächst höhere Maß, 1 Myriameter = 10000 m, ist nicht gebräuchlich geworden. Die Einteilung nach unten ist:

1 m = 10 Dezimeter (10 3m) = 100 Zentimeter (100 cm),

= 1000 Millimeter (1000

1 Hektometer = 1 Km = 100 1 Kilometer = 1 hm = 10 fvm = 1000

)•

m in

Das kleinste Feldmaß ist für unsre nächsten Bedürfnisse im allgemeinen das cm, bei Höhenunterschieden das mm. Die Strecke 37 Meter 54 Zentimeter wird 37,54

Für feine Längen Vergleichung, z. B. von Normalmaßen, vgl. später, braucht man ein viel kleinres Maß als 1 mm: man verwendet das Tau-

111

nicht 37

54 cm geschrieben.

sendstel des Millimeters unter dem Namen Mikron, Bezeichnung

m.

1 n = 0,001

mm

= 0,000001

Als Feldmaß bestehen in

mm.

Das „metrische Maßsystem“ ist jetzt bekanntlich in fast allen Staaten Europas im Gebrauch; eine Ausnahme bilden nur noch Großbritannien und Rußland, die als Längenmaß beide den englischen Fuß zugrund legen, und dasselbe Längenmaß haben von überseeischen Staaten außer den englischen Kolonien auch die Vereinigten Staaten. Es ist 1 foot = 4 yard = rund 30% cm, etwas genauer 0,3048..m; somit 1 engl. Zoll = ~ foot = yard = 2,540 cm = 25,40 England und den Vereinigten Staaten zwei verschiedene chain s, die „Engineer’s chain“ und die „Surveyor’s chain“. Diese für die Feldmessung bestimmte Kette ist 22 yards = 66 fet = 20,117 m lang (also zufällig nur wenig größer als unser 20 m-Stahlband, s. 17.) und wird in 100 Teile zerlegt, links (Glieder) genannt. In Rußland ist das Feldmaß die Saschehn = 7 Fuß = 2,1336 m. Auch in England und Rußland wird vielfach, in den Vereinigten Staaten durchaus, für wissenschaftliche Messungen das metrische System gebraucht. Auch viele außereuropäische Staaten, z. B. alle amerikanischen Republiken außer der Union haben das Metersystem angenommen.

In Deutschland kommen die alten Fußmaße in ihrer unbeschreiblichen Mannigfaltigkeit insofern gelegentlich noch in Betracht, als die „Landesvermessungen“ der großem Zahl nach in den Zeiten vor Einführung des Metersystems bei uns ausgeführt wurden.

In welcher Art für die Erhaltung des Metersystems gesorgt ist, ist später anzudeuten. Bekannt ist, daß das Meter seiner ursprünglichen Idee nach ein „Naturmaß“ vorstellen sollte; doch kann diese Idee auf dem damals verfolgten Weg überhaupt nicht verwirklicht werden. Es ist ebenfalls später etwas näher auszuführen, wie wir selbst für richtige Länge unsrer Meßwerkzeuge oder für Feststellung ihrer Abweichung vom Sollmaß sorgen können. Vorläufig setzen wir eben richtige Länge unsrer Meßwerkzeuge voraus.

Meßstangen oder Meßlatten (der erste Name mehr in Süddeutschland, der zweite mehr in Norddeutschland im Gebrauch) sind starke Maßstäbe aus Holz von 3, 4 oder 5 uv Länge. Meßstangen von 2 uv Länge kommen nur etwa in der Stadt für Messungen in engen winkligen Höfen und für sogenannte Baumessungen in Betracht, können aber meist bequem durch den 2 m-Gliedermaßstab ersetzt werden; Meßstangen anderseits länger als 5 uv zu machen verbietet der dann unbequeme Transport (beim Gebrauch und außer Gebrauch), auch ist gerade die 5 uv-Stange für das Zählen der Vielfachen das Bequemste.

Die Stangen oder Latten haben runden, ovalen (oft fast rechteckigen, nur mit etwas abgerundeten Kanten), rechteckigen, quadratischen oder kreuzförmigen Querschnitt. Der runde oder ovale Querschnitt der Latten gibt die am bequemsten zu handhabenden; der Querschnitt soll sich dabei von der Mitte nach den Enden etwas verjüngen, z. B. für eine runde 3 uv-Stange von 40

in der Mitte auf 30 oder 25

muv

an den Enden abnehmen, uvuv in der

muv

bei einer 5 uv-Stange mit ovalem Querschnitt von 55 x 35 Mitte auf 35 x 25 mm am Ende. Übrigens gibt es auch viele einfach zylindrische oder prismatische 3 m-Stangen, während für 5 uv-Stangen die Verjüngung nach den Enden wichtiger ist. Die Stangen aus gut getrocknetem Fichtenholz (das billig ist und ankommt) werden zuerst mehrfach mit heißem Ol getränkt, am besten durch Einlegen in einen Trog, dann mit mehrfachem Olfarbenanstrich versehen, um das Eindringen von Feuchtigkeit in den Holzkörper abzuhalten; trotzdem bleiben die meisten ziemlich hygroskopisch, ihre Länge

am

besten gerade bleibt, worauf hier alles

Fig. 46.

ändert sich etwas mit dem Feuchtigkeitsgrad, während die Temperatur nur eine untergeordnete Rolle spielt, da Holz einen sehr kleinen Wärmeausdehnungskoeffizienten hat. An jedem Ende der Stange befindet sich ein Stahlschuh, der in einer gut normal zur Längsachse der Latte liegenden Ebene endigen muß und der zweckmäßig mit einigen längern Lappen (Laschen, Federn) auf mehrere Dm die Stange umschließt. Die Stange wird meterweise (verschiedneFarben sich folgend) weiß und rot, oder weiß und schwarz bemalt; es gehört immer ein Paar Stangen zusammen, derart, daß die zwei Stücke des Paars bei ungerader Meterzahl der Stange sich im Anstrich unterscheiden: bei der einen Stange eines 3 m-Paars, Fig. 46, sind zwei Meter weiß, einer rot oder schwarz, bei der andern Stange umgekehrt. Ebenso sind bei einem Paar von 5 m-Latten an der einen drei Meter weiß, zwei Meter schwarz oder rot, an der andern umgekehrt. Man pflegt die Latten eines 3 m-Paars oder eines 5 m-Paars, an der die Endmeter weiß sind (bei der ß-m-Latte dann also das mittlere Meter rot oder schwarz, bei der 5 m-Latte auch noch das mittlere Meter weiß und nur zwei Meter rot oder schwarz) die weiße Latte zu nennen, die andre die rote oder schwarze Latte. Diese Einrichtung schützt, wie wir sogleich sehen werden, besonders sicher vor dem Verzählen um eine Latte beim Messen, das bei Anwendung zweier gleicher (z. B. überhaupt einfarbiger) Stangen nicht selten vorkommt. Deshalb haben auch 5 na- und 3 w-Stangen den Vorzug vor den 4 wi-Latten, die in der Tat viel weniger im Gebrauch sind.

Hier können eben nur von beiden Latten eines Paares zwei Meter weiß und zwei Meter rot oder schwarz sein, so daß, wenn auch zu Anfang der Messung die zwei Stangen in verscbiedner Art voreinander gelegt werden, die eine so, daß ein weiße» Meter beginnt (im Sinn der Messung) die andre so, daß ein rotes oder schwarze» Meter beginnt, jedes etwa vorkommende Umkebren einer Stange beide gleich macht, ununterscheidbar. Man könnte dadurch helfen, daß man bei solchen 4 m-Latten die eine ganz weiß, die andre ganz rot oder schwarz bemalt, doch ist die abwechslungsweise Meterbemalung mit verschiednen Farben in mehr als einer Hinsicht vorzuziehen. Man könnte auch bei 4 m-Latten eine rotweiße und eine schwarzweiße Latte zusammen verwenden und dann von der „roten“ und von der „schwarzen“ Latte sprechen. Für längere durchlaufende Strecken ist ferner die Zählung der 5 m-Zahlen viel bequemer als die Vielfachen der Zahl 4; und für kurze Strecken, z. B. Lotlängen sind die 3 m-Stangen handlicher als die 4 m-Latten.

müssen bei der Ablesung

cm

Die Meter der Stangen sind durch umgemalte schwarze und weiße Ringe (in der Mitte des Meters Doppelring) in Dezimeter zerlegt; diese cW-Einteilung ist zweckmäßig auch noch durch eingeschlagne Messingstifte bezeichnet. In der Regel sind diese dm das kleinste Maß, das auf der Stange direkt angegeben ist, schon die geschätzt werden.

Handhabung. Beim Messen sind die zwei Latten eines Paars zusammen zu verwenden, am besten durch zwei Leute, von denen der eine dann stets die weiße, der zweite stets die rote oder schwarze Latte handhabt.

Es kann aber auch ein Mann allein mit den zwei Stangen eines Paars messen; auch ist nicht ausgeschlossen, daß man, besonders auf kurzen Strecken, gelegentlich nur mit einer Stange mißt, deren Endpunkt auf dem Boden irgendwie zu bezeichnen ist, z. B. durch eine normal zur Meßrichtung eingesteckte Messerklinge, auf hartem festem Boden durch einen Bleistiftstrich usf., für gröbere Messung durch einen Strich mit einer Stabspitze auf dem Boden, durch einen angehaltnen Fluchtstab usw.

Die normale genaue Messung, besonders längerer Strecken ist aber die mit zwei Stangen, die sorgfältig zusammenzulegen sind; der Endpunkt der auf dem Boden liegenden Stange ist der Anfangspunkt für die vorzulegende (Anfangs- und Endpunkt hier und im folgenden immer im Sinn der Messungsrichtung gezählt). Beim Vorlegen einer Latte läßt man sie, nachdem sie am besten in der Mitte angefaßt vorgetragen worden ist, durch die Hand vorgleiten (durch die Hand „schießen“, woher im Süddeutschen der Ausdruck Stangenschießen für Längenmessen), bis man sie am Anfangspunkt in der Hand hat; dabei steht der Messende nicht so, daß er von der Seite her in die Messungslinie hineinsieht, sondern besser mit beiden Füßen zu beiden Seiten der Messungslinie. Da er die Stange dicht am Anfangspunkt in der Hand hat, kann er sie nach den die Linie bezeichnenden Fluchtstäben leicht durch „Werfen“, durch einen Ruck mit

cm

dem vordem Ende in die Linie hereinbringen, er legt dann die Latte auf den Boden, absichtlich so, daß zwischen ihrem Anfangspunkt und dem Ende der schon liegenden Latte ein kleiner Zwischenraum von wenigen ist; endlich wird die vorzulegende Stange langsam und scharf so weit zurückgezogen, daß ihr Anfangspunkt an dem Endpunkt der liegenden anstößt, ohne daß diese zurückgeschoben werden darf und ohne daß ein Zwischenraum zwischen beiden bleibt, und der Vorlegende sagt dem Nachfolgenden, wenn zwei Leute messen: „ab“, worauf dieser seine Stange zuerst nach rückwärts von der vorgelegten abzieht, sie dann in der Mitte faßt zum Vortragen und beim Vorlegen wie geschildert verfährt.

Absolut notwendig ist, um sich gegen Zählfehler zu schützen, daß eine ganz bestimmte übereinkömmliche Art die Stangenfolge und das Zählen regelt. Es ist sehr zweckmäßig, folgende seit langer Zeit z. B. in Württemberg übliche Regel einzuhalten:

oder 3 m-Stangen zuerst die „weiße“ Stange angelegt, dann die rote oder schwarze;

2.    gezählt wird, und zwar laut, je beim Aufheben einer Latte;

3.    durch die ganze Messung hindurch „hat“ dann die weiße Stange ungerade, die andre Stange gerade Zahlen; die gerufene oder lautgesprochene Zahl bezieht sich auf den Anfangspunkt (s. oben) der auf dem Boden liegenden Stange. Ein Verzählen um eine Latte ist unmöglich; es könnte nur um zwei Latten verzählt werden, was schon weit weniger zu fürchten ist als das Verzählen um eine Stange.

4.    Es wird stets nach Metern gezählt (nicht nach Stangenzahlen), was bei 5 m-Latten auch überall gleich bequem ist; bei 3 m-Latten ist es bei großem Zahlen nicht ganz so bequem (78, 81, 84 . . .), doch kommen solche größre Zahlen für 3 m-Latten im allgemeinen auch nicht in Betracht.

m-

1. am Anfangspunkt der Messung wird bei 5

Die folgende Skizze 47 deutet den Messungsvorgang an; es werde mit

5 m-Latten gemessen, die weiße ist mit t-mit

h , die rote oder schwarze i bezeichnet; die in der Luft gezeichnete Stange wird eben vorgetragen, die dabei stehende Zahl ist die gerufene, die sich, wie erwähnt, stets auf den Anfangspunkt der liegenden Latte bezieht.

Während bei Nichteinhalten einer bestimmten Zählvorschrift 10 gegen 1 zu wetten ist, daß von drei Anfängern, die dieselbe Strecke messen, der eine findet, sie sei 86,36 m, der zweite sie sei 91,36, der dritte 81,36 u. dgl., kann ein „grober Fehler“ (Versehen um eine Stange) bei Einhaltung obiger Vorschriften nicht entstehen; sobald bei Wegnahme einer weißen Stange eine gerade Zahl (bei 5 m-Latten 10-Zahl) gerufen wird oder bei Wegnahme einer roten Latte eine ungerade Zahl (5-Zahl bei 5 m-Latten), so heißt dies: Versehen um eine Lattenlage. Dies ist also mit Sicherheit auszuschließen. Das laute Sprechen der Zahlen schützt auch vor Verzählen um zwei Stangen; ohne daß man ausdrücklich darauf hinhört, fällt auf, wenn nach 30, 35 nun 50 statt 40 gezählt wird oder wenn zweimal nacheinander 65, 70 gezählt wird.

Wer die Messung besorgt, seien es zwei Leute oder einer, muß auch nach längern Zwischenzeiten, während die Stangen unberührt liegen bleiben, wie sie besonders das Fällen von Loten auf die Aufnahmslinie und andre Zwischenarbeit bringen, stets auf die Frage „was ist auf?“ (letzte gesprochene Zahl) Auskunft geben können. Auf hartem Boden ist es deshalb zweckmäßig, bei längerer Unterbrechung der Weitermessung gelegentlich mit Kreide oder Bleistift an den Anfangspunkt der liegenden Latte die zugehörige Zahl geradezu anzuschreiben.

ablesen, wobei am besten

mm

Bei der Ablesung an einem Zwischenpunkt oder am Endpunkt der gemeßnen Strecke ist, wenn der Punkt durch einen Stab bezeichnet ist, stets an der Mitte (Achse) des Stabs abzulesen; zu der zuletzt gesprochnen Lattenvielfachenzahl werden die Meter der an dem Punkt anliegenden Latte vor diesem hinzugenommen, sodann die 3m gelesen und die cm geschätzt. Bei besonders sorgfältiger Messung kann man auch bei gewöhnlicher Lattenmessung gelegentlich auf 1

ein Taschenmaßstab (Rechenschieberkante oder dgl.) angehalten wird.

Endpunkt.

Anfangspunkt.

'Tnmhrr/T/Trnm^mr/vTmr/^mr/vr/W^W/^VfprP/f/^Wwmww'lWlTP/TJ'mwnW

IT/rr/’P/'r/T/'/'/'/T/TPPPP/'P'f’l'/'iv’PN'PPiWPi'PflPl'l'PI'l’l'l’l’l’IWl'l’FWIV'l’l'l’nT/W/'PlWPrt’rriTlTpt’i’/

10!

7777777777

TPhr/T/zr/r)T7PPH/•if/V/rifflWpfawiWlVjWPnWITn'WWVWtWJTnyVWM

77777

"IT.

Fig. 47.

die 5

Bei einiger Übung des Messenden oder der Messenden ist die bei guter Genauigkeit mit der Lattenmessung auf ebnem Boden erreichbare Geschwindigkeit der Messung groß, für 5 m-Latten natürlich etwa Ü^mal so groß als für 3 m-Latten; auch in Beziehung auf Genauigkeit haben m-Latten den Vorzug vor den 3 m-Latten. Dem Anfänger ist auch hier zu raten, von Anfang an sich an rasche Arbeit zu gewöhnen: die Genauigkeit leidet nicht darunter, sie gewinnt vielmehr.

Dem beschriebnen Vorgang des Zusammenstoßens zweier ziemlich schwe-

Fig. 48.

7    rer Meßlatten gegenüb er, die sogenannte

)    Endmaße vorstellen, spielt das Neben

einanderlegen von Strichmarken auf der Oberfläche prismatischer Maßstäbe, länger sind, als ihrem Sollmaß entspricht und die so-

die an jedem Ende einige genannte Strichmaße vorstellen, keine Rolle. Die Koinzidenz solcher Strichmarken (optisch-mechanisches Aneinanderlegen statt rein mechanisches Aneinanderfugen wie

cm

vorhin), vgl. Skizze 48, kann zwar in der Tat noch etwas schärfer gemacht werden als das Zusammenstößen von Endmaßen, wo einmal die liegende Latte etwas zurückgestoßen, das andremal ein nicht beabsichtigter kleiner Zwischenraum gelassen wird; doch ist beim Richtigrücken der anzulegenden Stange mit Strichmaß ebenfalls die Gefahr der Störung der liegenden Latte vorhanden, ferner geht die Messung mit solchen Strichlatten, die eigentlich wechselweise links und rechts von der Messungslinie zu legen sind (wenn nicht die Enden besonders geformt werden), wesentlich langsamer von statten.

Über die Beträge der Fehler, die durch Abweichen der Latten (und des Bandes, s. 17.) aus der zu messenden Geraden entstehen, vgl. die Angabe über die regelmäßigen Fehler der Längenmessung in 20.

17. Längenmessung auf horizontaler Strecke mit dem Meßband. Vergleichung von Latten- und Bandmessung. Im Eingang von 16. ist als nächst wichtiges Werkzeug der Längenmessung das Meßband genannt. Es ist für unsern Zweck stets ein Stahlband (französisch ruban d’acier, englisch steel tape); die „schmalen“ Bänder, die aber für den gewöhnlichen Feldgebrauch zu leicht reißen und deshalb den feinen Messungen Vorbehalten bleiben, sind 5 bis 10 wir sie brauchen, 15 bis 25 gibt 10 m, 20

zwecke, Schachttiefenmessung im Bergbau z. B., solche von 100, 200 mehr aus einem Stück. Das wichtigste für uns ist das 20 m-Stahlband. Es ist in Meter zerlegt durch in das Band eingelaßne runde oder rhombische Messingplättchen, auf denen oft die Länge von jedem Endpunkt aus steht: z. B. auf einem Scheibchen auf der einen Seite 4, dann auf der andern Seite 16; auf dem nächsten (diese 5 m-Plättchen sind weit größer oder anders geformt als die andern Meterzeichen) 5/15; dann 6/14 usf. Die Halbmeterpunkte werden zweckmäßig durch etwas kleinere Niete ohne Aufschrift bezeichnet, die Om endlich, die auch hier als kleinstes Maß angegeben sind, durch ganz kleine Niete oder einfach durch kleine durchgezwickte Löcher.

Außer Gebrauch wird das Stahlband auf einen leichten hölzernen oder neuerdings meist eisernen Haspel aufgerollt aufbewahrt (Durchmesser ohne Schaden für das Band bis zu 25, selbst 20 herunter). Die wichtigste Art des Gebrauchs

25 m, 30

cm

mm breit, die „breiten“ Bänder, wie breit bei 0,3 oder 0,4 m lange Bänder, für besondre Vermessungs-

m und

mm

mm

Stärke. Es

Stahlband.

ist für uns die an zwei Bandstöcken aus besonders zähem Holz, Eschen oder dgl., 1,2 oder 1,4 lang, 35 oder 40

Fig. 49.

mm

stark, weil sie kräftigen Zug aushalten müssen. In der Nähe des Fußes sind an jedem Bandstock zwei kräftige Stifte, bis zu denen die Endringe des Bandes herabgestreift werden können. Der Schuh jedes Bandstocks ist zweckmäßig spatelförmig zum festen Eintreten in den Boden (Spatelschneide normal zu der Richtung der Messung). Anfangspunkt 0,000 und

Hammer: elementare praktische Geometrie.

m des Bandes liegen im Mittelpunkt je eines „Endrings“ (starker Ring meist aus Messing Fig. 49), der durch ein Gelenk mit dem Band verbunden ist, damit dieses nicht leicht abgerissen werden kann; der Endring soll bis auf etwa a/₂ mm oder 1 mm genau durch den Bandstock ausgefüllt werden.

Endpunkt 20,000

Zur Handhabung des Bandes braucht man notwendig zwei Leute,, von denen jeder einen Bandstock führt; das Band darf bei Herstellung

30

xm

Fig. 50.

der nächsten „Bandlage“, überhaupt bei jedem Transport während des Gebrauchs auf dem Boden gezogen werden. Zur Meßbandausrüstung gehören noch zwei Ringe aus starkem Draht, von denen jeder der Messenden am besten einen am Gürtel befestigt und die zur Aufnahme der Markiernägel oder Zählnägel, Zählstäbchen, Zählstifte bestimmt sind. Dies sind einfach zugespitzte,. 3 mm starke Drahtstücke von 25 oder 30 cm Länge, oben mit größerer Ose als Handgriff und zum Aufreihen (Fig. 50). Es ist meist ein „Satz“ von 10 Stück vorhanden; sie dienen, wie ihr Name sagt, zur Bezeichnung des Endpunkts einer Bandlage (Anfangspunkt der folgenden) und zum Zählen.

Messungsvorgang. I und II handhaben das 20m-Band an den Bandstöcken, I geht voraus, II folgt nach; Fig. 51. I hat bei Beginn den vollen Satz von Zählnägeln an seinem Ring, II den leeren Ring. II setzt seinen Spatel bei der Stabachse A ein und setzt sogleich den Fuß vor, so daß man ihm seinen Bandstock nicht wegziehen kann, ruft: „spannen!“, worauf I das Band anzieht, nachdem er sich, vorwärts sehend, in die Messungslinie eingerichtet und um das Band gerade zu richten (es bleibt sonst leicht

^/TA'nTirrrn^TrMrrrrrrr/Trrr/rPr/rrri'rrrr/WwXpifPPPPPpprP^WIWlWW^Wh’P/'iTI'IW/'lWI’m'/'ITI'l'ITI'ITI'ITl'

Fig. 51.

an kleinen Gegenständen in der Linie, auf freiem Felde Grasbüschen u. dgl. hängen und zeigt Knicke, Ausweichungen aus der geraden Linie) seinen Bandstock erst hochgehalten hat. Nachdem er bei „mittlerem Handzug“ (etwa 12 entsprechend) das Band straff gespannt und mit dem Spatel seines Stocks den Endpunkt bezeichnet hat, ersetzt er diesen Punkt durch den ersten seinem Ring entnommenen Markiernagel und ruft „ab!“ oder „weiter!“; beim Vorgehen braucht sich I nicht umzusehen: ist II bei dem gemeinsamen Weitergehen bis auf einen oder einen halben Schritt an den Markiernagel herangekommen, ruft er „halt!“, nimmt zunächst den Markiernagel (nun als Zählnagel dienend) heraus, setzt seinen Spatel an die Stelle ein, den Fuß vor, ruft „spannen!“ und genau derselbe Vorgang ■wiederholt sich. Dabei wandern also Stück für Stück die Markiernägel

von I als Zählnägel zu II und, wenn lange Linien zu messen sind, werden nach Austausch des ganzen Satzes die Ringe gewechselt.

Wo Markier- und Zählnägel nicht eingesteckt werden können (Pflaster, harter Kiesboden, Plattengehweg usf.), müssen andre leicht auffindbare Bezeichnungen für die Endpunkte der Bandlagen gewählt werden, z. B. ein Querstrich mit Kreide oder Blaustift; für weniger genaue Messungen genügt auf weichem Boden ein deutlicher Querstrich mit dem Bandstock selbst.

Andre Handhabungen des Meßbands, die keiner Bandstöcke bedürfen, z. B. an Endhandhaben und dgl. sind für uns augenblicklich nicht wichtig; ebensowenig be-sondre Vorrichtungen zum genauem Aneinanderreihen der Meßbandlagen, feinere „Anreihevorrichtungen“, z. B. die Steinersche oder Löschnersehe.

m.

18. Vergleichung der Messungen mit Latten und mit Band. Wirkung unrichtiger Stangen- oder Bandlängen. In Beziehung auf Schnelligkeit und Bequemlichkeit der Messung ist das 20m-Band im Vorteil; die Messenden brauchen sich nur alle 20 m einmal zu bücken, um den Zählnagel einzustecken und aufzunehmen, bei Bezeichnung des Endpunkts einer Lage durch Querstrich mit dem Bandstock selbst, falls dies möglich ist und ausreicht, fällt das Bücken überhaupt weg. Dieses Bücken, bei der Messung mit langen Latten alle 5 m (gleichgültig ob ein Arbeiter mißt, oder zwei messen, weil im ersten Fall Niederlegen der vorzubringenden und Wegnehmen der vorhergehenden Latte bei demselben Bücken geschieht, im zweiten Falle jeder sich zweimal bücken muß, beim Niederlegen und dann später beim Wegnehmen), beim Messen mit kurzen Latten alle 3 ist die wesentlichste Quelle der Ermüdung.

rvt-

Während aber ein Arbeiter mit Latten noch ganz gut messen kann, wenn er auch in bestimmter Zeit nicht so viel zu leisten imstand ist wie zwei Arbeiter, so kann ein Arbeiter mit dem Meßband nichts beginnen. Auch ist der Unterschied in der Geschwindigkeit der Messung mit 5 Latten und mit dem 20 m-Band selbst auf durchlaufender Strecke nicht so groß, als es nach der ersten Überlegung scheint. Es kommt ferner sehr darauf an, ob zahlreiche Zwischenpunkte abzulesen sind, was beim Band in der Regel einen dritten Messenden verlangt, bei Lattenmessung aber von dem einen der zwei Messenden oder dem allein Messenden ebenfalls besorgt werden kann. In dem Fall vieler Zwischenpunkte auf der zu messenden Strecke wird demnach der Vorteil der raschem Messung mit dem Band noch weiter vermindert.

Endlich ist bei Messung auf nicht horizontaler Strecke, vgl. 21., die Lattenmessung meist bequemer als die Bandmessung, es wäre denn, daß es sich um ganz gleichförmig geneigte Strecken handelt.

In Beziehung auf die Genauigkeit dagegen werden, wie schon die erste Überlegung lehrt, die Latten entschieden im Vorteil sein dem Band gegenüber, trotz dessen größrer Länge; der Endpunkt einer Lattenlage ist durch einfaches Anstoßen der folgenden Latte schärfer als Anfangspunkt dieser Lage festzuhalten, als der Endpunkt einer Bandlage überhaupt festzustellen ist: der Versuch zeigt sofort, daß dieser Endpunkt bei Festhaltung des Anfangsbandstocks mit leichter Mühe um 1 cm hin oder her versetzt

Einfluß unrichtiger Latten- oder Bandlänge. Die letzte Bemerkung führt zu der Überlegung: welche Wirkung bat eine Abweichung der Längenmeßwerkzeuge von ihrer Sollänge auf Strecken, die mit diesen Werkzeugen gemessen werden?

Mißt man mit zu langen Latten oder zu langem Band, so erhält man zu kleine Messungszahlen; mißt man mit zu kurzen Latten oder zu kurzem Band, so ergeben sich zu große Messungszahlen; oder: sind Latten oder Band länger als ihr Sollmaß, so ist zu den unmittelbaren Längenablesungen, die diese Werkzeuge liefern, ein Zuschlag notwendig; sind die Werkzeuge kürzer als ihr Sollmaß, so ist ein Abzug von den Messungszahlen erforderlich. Dieser Zuschlag oder dieser Abzug ist für einen bestimmten konstanten Überschuß oder Abmangel des Werkzeugs offenbar proportional der gemessnen Länge.

Es wird später anzugeben sein, wie unsre einfachen Längenmeßwerkzeuge auf ihre richtige Länge zu prüfen sind; vorläufig genügt die Kenntnis des Vorzeichens und des Betrags der angegebnen Korrektionen.

Zwei Beispiele: 1. Es werden Strecken mit zwei 5 m-Latten gemessen, von denen die eine um 1,5 mm, die andre um 1,2 mm zu kurz ist (die erste also 4,9985, die zweite 4,9988 m lang). Die abgelesnen Strecken sind bei durchlaufender Messung:

57,46 m, 127,18 m, 169,92 m, 267,37 m;

mm:

was sind die verbesserten Zahlen? Die Latten sind zu kurz, also Abzug an den Messungszahlen notwendig, und zwar (1,5 —J— 1,2) mm auf je 10 m gemessner Strecke; d. h. die erforderlichen Abzüge sind in

5,7x2,7,    12,7x2,7,    17,0x2,7,    26,7x2,7

oder am Rechenschieber abgelesen und auf 1 mm abgerundet:

15 mm, 34 mm, 46 mm, 72 mm;

rundet man also wieder auf 1 cm ab, wie der Ablesung der gemessnen Strecken entspricht, so lauten die wegen unrichtiger Lattenlänge verbesserten Zahlen:

m.

werden kann. Ferner ist die Länge der Stange von der Temperatur viel weniger abhängig als die des Stahlbands; der Wärmeausdehnungskoeffizient des Stahls für einen stab- oder wie in unserm Fall bandförmigen Stahlgegenstand beträgt bekanntlich im Mittel für 1°C 0,000010 bis 0,000012 der Länge, d. h. ein Stahlstab oder ein Stahlband von 1 m Länge, der oder das um 10° C erwärmt wird, dehnt sich dabei um 1000 • 10 • 0,00001 aus, wird um yi0 mm länger. Ein Stahlband von 20 m Länge, das bei -f 15° C und bei einem bestimmten Zug, dem es ausgesetzt wird, z. B. 12 seine richtige Länge bat, ist auf einem auf 35° erwärmten Kiesboden, bei

länger, bei

mm

= volle 4yg

etwas größrem Ausdehnungskoeffizienten um 5 mm zu lang.

demselben Zug, um 20000 • 20 • 0,000011

mm

mm

57,44 m, 127,15 m, 169,87 m, 267,30

2. Ein 20 m-Band ist bei einer bestimmten Anwendung um 6,5 mm zu lang; wie lauten die verbesserten Zahlen für die mit dem Band erhaltnen Längenzahlen:

68,43 m, 136,77 m,    204,18 m?

Es ist, da das Band zu lang ist, Zuschlag zu den Messungszahlen notwendig; und zwar von 6y₂mm auf je 20m Länge oder von 0,325 mm auf je 1 m Länge; dies ist nicht

7 cm ,

ganz V₈ mm auf 1 m, und man erhält demnach ohne jedes Rechenhilfsmittel die erforderlichen Zuschläge in cm zu

2 cm,

oder die verbesserten Zahlen zu 68,45 m,

4 cm,

204,25 m.

136,81 m,

19. Genauigkeit der Längenmessung, zunächst für Lattenmessung auf horizontaler Strecke. Allgemeines über Messungsfehler. Die letzte Überlegung, Einfluß des Längenfehlers der Latten auf die Messung damit, führt zu allgemeiner Betrachtung über die Fehler der Längenmessung, die sich wenigstens bis zum Begriff des sog. mittlern Fehlers und zum Gesetz der Anhäufung mittlerer Fehler ausdehnen mag. Es ist nicht die Absicht des Verfassers, in diesem Buche die Ausgleichungsrechnung nach der Methode der kleinsten Quadrate in weiterem Umfang anzuwenden; es soll aber wenigstens der mittlere Fehler zur Genauigkeitsbeurteilung in den einfachsten Fällen zur Verfügung stehen.

Es ist eine Erfahrungstatsache, daß bei allen Messungen, messenden „Beobachtungen“ jeder Art Fehler begangen werden; wir können keine fehlerfreie Messung ausführen. Die Fehler der Messungen werden zwar bei einem geübten Beobachter kleiner ausfallen als bei einem Anfänger, wenn beide dasselbe Instrument unter denselben äußern Umständen zu bestimmten Messungen verwenden; sie werden bei einem und demselben Beobachter und beim Gebrauch desselben Instruments kleiner ausfallen, wenn er günstigere äußere Umstände ausnützen kann; sie werden endlich bei einem bestimmten Beobachter sich verringern lassen, wenn er unter gleichen äußern Umständen ein feineres Instrument verwenden kann. Aber ganz vermeiden lassen sich Messungsfehler unter keinen Umständen, die sog. wahren Werte der Größen, die wir messen sollen, sind uns nicht zugänglich, wir müssen uns mit gröberer oder feinerer Annäherung an die wahren Werte begnügen. Denn unsere Werkzeuge, auch die feinsten, sind keine „vollkommenen“ Instrumente, ebensowenig sind unsre Sinnesorgane „vollkommen“: das menschliche Auge, das Hauptsinnesorgan, das für die Geodäsie in Betracht kommt, ist sogar ein in optischer Beziehung ziemlich mangelhafter Apparat, trotz der im ganzen bewundernswerten Einrichtung. Bei Längenmessungen mit Latten kommt vor allem auch das mechanische Gefühl ins Spiel, und auch dieses ist Täuschungen auegesetzt: man glaubt z. B. jedesmal die Latten genau in derselben Art zusammen zu fügen, stößt aber in der Tat das eine Mal die liegende Latte mit der vorgelegten etwas zurück, läßt das andere Mal, etwa infolge einiger Sandkörner, die sich an die Latte gehängt haben, einen kleinen Zwischenraum zwischen den Latten (mißt also im ersten Falle eine kleine Strecke doppelt statt einfach, im zweiten wird eine kleine Strecke, eben die Lücke zwischen beiden Latten, gar nicht gemessen); oder man glaubt bei der Bandmessung dem Gefühl nach immer denselben Zug beim Spannen des Bands anzuwenden, während dies in Wirklichkeit nicht zutrifft.

Die Feßler, denen Messungen ausgesetzt sind, sind nun von verschiedener Art; man pflegt zu unterscheiden;

1) Grobe Fehler oder Versehen. Sie lassen sich durch Aufmerksamkeit vermeiden und bleiben von der Betrachtung der Messungsfehler im engern Sinn ausgeschlossen. Beispiele bei der Längenmessung; Schreibfehler beim Notieren der abgelesnen Länge, man schreibt 145,36, während es heißen sollte 154,36; Verzählen um eine Lattenlage oder, was nach dem Verfahren in 16. eigentlich nur möglich, um zwei Lattenlagen, z. B. 68,14 statt 78,14 heim Messen mit 5 m-Latten, oder Verzählen um eine Bandlage beim 20 m-Band.

Bei der Wägung eines Körpers, um auch ein physikalisches Beispiel anzuführen: Versehen in einem Gewichtsstück: es wird beim Ablesen der Gewichtsstücke ein 20 Stück als 10 ^ gelesen.

Mit derartigen Fehlern also hat die Fehlertheorie und die „Ausgleichung“ eigentlicher Messungsfehler nichts zu tun.

2)    Konstante Fehler. Man kann so die Fehler bezeichnen, die das Ergebnis einer Messung, falls sie wiederholt wird, stets um den gleichen Betrag im gleichen Sinn entstellen, d. h. um eine Konstante zu groß oder zu klein machen. Sie werden oft mit der folgenden Fehlerklasse 3) zusammen betrachtet, doch ist es konsequenter, unter dem Namen konstante

.'777V"

Fig. 52.

Fehler solche einseitige Fehler abzuscheiden, die vom Betrag der gemessnen Größe nicht abhängig sind. Beispiel: der den Anfangspunkt A der zu messenden, im übrigen horizontalen Strecke Mi? bezeichnende Stab steht so, daß die erste Latte nur oben am Stab angelegt werden kann; er ist bei Beginn der Messung einge-senkelt gewesen, hat aber einen Stoß derart erhalten, daß die zweite und dritte Messung (es sollten drei Messungen der Strecke gemacht werden) aus diesem Grunde der nicht richtigen Punktbezeichnung je um 1 cm kleiner ausfallen als die erste.

Bei einer Wägung: der Zeiger der Wage weist bei unbelasteten Schalen I und II nicht auf die Nullmarke, sondern kann erst durch Auflegen des Gewichts g auf I zum Einspielen gebracht werden. Legt man beim Wägen beliebiger Körper die Gewichtsstücke (ohne g) stets auf I, den Körper auf II, so erhält man das Gewicht des Körpers stets um g zu groß. Dieses Beispiel zeigt auch gleich, wie solche konstante Fehler oft eliminiert werden können durch die Anordnung der Messung: macht man immer zwei Wägungen, wobei bei der einen die Gewichtsstücke auf I, der Körper auf II, bei der zweiten die Gewichtsstücke auf II, der Körper auf I gelegt werden, so fällt im Mittel beider Wägungen der konstante Fehler g heraus, und man hat die Messungsprobe, daß sich bei beliebigen Körpern die zwei Wägungen um 2g unterscheiden müssen.

3)    Regelmäßige oder einseitig wirkende oder systematische Fehler. So heißen Fehlerquellen und Fehler, die das Ergebnis einer Messung stets im gleichen Sinn entstellen, immer zu groß oder immer zu klein machen, ohne, wie die in der vorigen Nummer abgeschiednen „konstanten“ Fehler vom Betrag der gemeßnen Größe unabhängig zu sein; d. h. bei Messungen derselben Art, die sich aber auf verschiedne Größen beziehen, treten diese Fehler mit wechselnden Beträgen auf. Man bezeichnet diese Fehler oft auch als Instrumentalfehler, der Name ist aber nicht umfassend genug. Beispiele bei der Längenmessung. Ein sehr wichtiger Fehler dieser Art, der schon am Schluß von 18. besprochen ist, ist allerdings ein Instrumentalfehler: sind die Stangen oder das Band zu lang, so bekommt man stets zu kleine Messungszahlen für die Strecken, im andern Fall stets zu große, und zwar ist der Fehlerbetrag der Länge der gemeßnen Strecke einfach proportional. Ein andrer regelmäßiger Fehler beim Längenmessen, den man aber nicht Instrumentalfehler nennen kann, ist folgender: jede Abweichung aus der Geraden, gleichgültig ob nach links oder nach rechts (und bei nicht der ganzen Ausdehnung nach „genau“ horizontaler Strecke, jede Abweichung aus der Horizontalen, gleichgültig ob nach oben oder nach unten), macht das Messungsergebnis zu groß. Der Leser sieht schon jetzt ein, daß Messung mit Latten, besonders kurzen Latten (3 m), wobei nur näch einzelnen (z. B. alle 30 m,) die Gerade bezeichnenden Stäben gemessen wird, unter Voraussetzung genau richtiger Lattenlänge, leicht ein etwas zu großes Ergebnis liefern, eine kleine „negative Korrektion“ des Ergebnisses fordern wird.

Diese Klasse der systematischen Fehler ist von großer Wichtigkeit und von der Betrachtung der „Ausgleichung“ von Messungen keineswegs auszuschließen; insbesondre ist die Abscheidung solcher regelmäßiger Fehler von der folgenden Klasse von Fehlern, soweit dies möglich ist, stets eine sehr wichtige Aufgabe.

4) Regellos wirkende Fehlerquellen, sog. zufällige Messungsfehler. Man versteht darunter die Fehlerquellen und Fehler, über die wir uns nicht mehr im einzelnen Rechenschaft geben können und die „gleich wahrscheinlich“ positive wie negative Korrektionen verlangen würden, wenn wir sie eben im einzelnen verfolgen und bestimmen könnten. Sie haben ihren Grund in der Unvollkommenheit unsrer Werkzeuge (Reste von Instrumentalfehlern) und besonders in der Unvollkommenheit unsrer Sinne, endlich in der verschiednen Wirkung verschiedner „äußerer Umstände“; man kann im allgemeinen immer sehr zahlreiche solche Fehlerquellen aufzählen, die bei bestimmten Messungen wirksam sein werden. Es ist schon angedeutet, daß besonders drei Möglichkeiten vorhanden sind, auch diese „zufälligen“ Fehler zu verringern:

a)    besserer, z. B. geübterer Beobachter;

b) * besseres Instrument;

c)    günstigere äußere Umstände.

Da aber auch die Sinnesorgane des besten Beobachters unvollkommen sind, ebenso das beste Instrument Unvollkommenheiten zeigt, die äußern Umstände einer Messung nie den Idealzuständen entsprechen können, so sind eine Menge von „zufälligen“ Fehlerquellen vorhanden, die bewirken, daß wenn auch z. B. derselbe Beobachter mit Aufwendung derselben Sorgfalt mit dem gleichen Instrument und unter übereinstimmenden äußern Umständen mehrmals dieselbe Größe mißt, die Messungsergebnisse kleine Abweichungen untereinander zeigen. Denn tatsächlich sind nicht alle Beobachtungen mit derselben Sorgfalt gemacht, so sehr sich der Beobachter bemüht hat, es zu tun; sein Instrument erleidet in der Zwischenzeit zwischen zwei Messungen und während jeder Messung Veränderungen, die er ohne weitres oder überhaupt nicht bemerken kann; in den äußern Umständen sind Veränderungen eingetreten (z. B. in der Beleuchtung der Zielpunkte beim Winkelmessen, das wir später kennen lernen werden). Für die uns hier beschäftigende Längenmessung seien nur folgende zufällige Fehlerquellen aufgezählt, deren Zahl aufs Doppelte und weiter gebracht werden könnte: auch der geübteste Messer glaubt nur, jedesmal die vorzulegende Latte in genau derselben Art an die auf dem Boden liegende anzufügen, in Wirklichkeit geschieht das Zusammenstößen einmal „härter“, die liegende Stange wird etwas zurückgestoßen, das andere Mal weniger scharf, kleiner Zwischenraum z. B. infolge von Sandkörnern. Die Latten sollen ferner normal zu ihrer Achse abgeschnitten sein; trifft dies nicht ganz scharf zu und kann wegen kleiner Unebenheiten der Meßbahn nicht immer „Mitte gegen Mitte“ der Lattenenden gelegt werden, so wird die Latte mit nicht ganz normal abgeschnittenem Ende gleichsam eine etwas wechselnde Länge erhalten, die z. T. eine positive, z. T. eine negative Korrektion der Lattenlänge erfordern würde, so daß die Fehlerquelle regellos, „zufällig“ wirkt. Oder der Beschlag des einen Endes der einen Latte ist etwas lose, ohne daß man es bemerkt, wodurch ebenfalls die Latte je nach dem Anlegen etwas wechselnde Längen erhält, die sich recht wohl um beträchtliche Teile des Millimeters unterscheiden können. Oder beim Anlegen der ersten Stange am Anfangsstab und noch mehr beim Ablesen der Zwischenstäbe oder des Endstabs, deren Entfernungen von jenem durch die Längenmessung festgestellt werden sollen, sind Schätzungsfehler vorhanden, die ebenfalls als unregelmäßige Fehler z. B. bei der Wiederholung von Messungen derselben Strecke anzusehen sind; diese Fehler können bei Schätzung zwischen die Om-Striche der Latten hinein leicht bis zu 1 cm gehen, besonders bei Latten, deren cWEinteilung nicht sehr sorgfältig gemacht ist, so daß in den Einteilungsstrichen der Latten selbst merkliche zufällige Fehler vorhanden sind. Überhaupt sind „Reste von Instrumentalfehlern“, die man beseitigt glaubt oder als nicht vorhanden annimmt, wichtige Quellen unregelmäßiger Fehler; z. B. ist die Länge der Latten oder des Bandes vor kurzem festgestellt worden, und man glaubt sich darauf verlassen zu dürfen. Die Latten ändern aber während einer längeren Messung infolge wechselnder Feuchtigkeit und infolge wechselnder Temperatur (bei dem Band allein in Betracht kommend) unregelmäßig ihre Länge. Hier spielt also schon auch die Veränderlichkeit der äußern Umstände mit herein, bei der Längenmessung mit Latten die Änderung des Feuchtigkeitszustands des Holzes und die Änderung der Temperatur des Bodens, auf dem die Latten liegen. Auch die Beschaffenheit des Bodens kommt als „äußerer Umstand“ in Betracht: sauberer, aber nicht allzu glatter Grund ohne Schmutz und ohne Sand gibt mit Latten bessere Resultate, als wenn gelegentlich vom Lattenende etwas Erde entfernt werden muß, was einmal sehr sorgfältig, das andremal weniger sorgfältig ausgeführt, ein drittesmal vergessen wird, so daß auch aus diesem Grunde die Lattenlänge als um kleine Beträge unregelmäßig veränderlich anzusehen ist.

Die einfachsten Mittel, um das Vorhandensein von Beobachtungsfehlem nachzuweisen und aus den Abweichungen oder Widersprüchen zwischen den Ergebnissen einzelner Messungen zur Beurteilung dieser Messungen kommen zu können, sind nun, unter der Voraussetzung, daß es sich um direkte Messungen von Größen (nicht um mittelbare Messungen, bei denen die Unbekannten aus den Messungen erst zu berechnen sind) handle, die folgenden:

Durchschnittlicher Fehler einer Messung aus wahren Fehlern.

57

1. Die sogenannten wahren, d. h. fehlerfreien Werte von Größen sind uns nicht zugänglich. In manchen Fällen ist es aber doch möglich, sich Werte für die mit gewissen Instrumenten unter bestimmten Verhältnissen gemeßnen Größen zu verschaffen, die im Vergleich mit diesen zu beurteilenden Messungen so viel mal genauer sind, daß sie (zwar nicht an sich als fehlerfrei gelten können, was nie möglich ist, aber doch) im Vergleich mit jenen Messungen als „wahre Werte“ angesehen werden dürfen: man kann sich also in solchen Fällen genügend genäherte Zahlen für die „wahren Fehler“, die Abweichungen von der Wahrheit, der einzelnen zu beurteilenden Messungen verschaffen.

Beispiel: Selbst ein kleiner Theodolite (Fernrohrinstrument zur Messung beliebiger Horizontalwinkel) liefert durch einige Wiederholungen leicht Ergebnisse bei Nachmessung von rechten oder flachen Winkeln, die mit Kreuzscheibe oder den Spiegel- und Prismeninstrumenten hergestellt sind, welche dieser Absteckung gegenüber als richtig angesehen werden dürfen. Man kann also auf dem angedeuteten Weg leicht „Mittelzahlen“ für die „Genauigkeit“ eines mit der Kreuzscheibe usf. hergestellten rechten Winkels aufstellen. So hat z. B. die Nachmessung von rechten Winkeln, die mit einer konischen Kreuzscheibe in der Ebene durch Errichten und Fällen von 7 Loten an verschiednen Stellen einer Geraden abgesteckt waren, mit einem 10"-Theodolit folgende Zahlen gegeben:

(1) 89°58'5"; 90°0'55"; 90°1'57"; 90°3'15"; 89°58'40"; 89°57'55"; 90°1'10".

Die Abweichungen vom rechten Winkel, nämlich die Beträge (Vorzeichen in dem Sinn genommen, wie der Betrag als Verbesserung zu dem mit der Kreuzscheibe hergestellten Winkel zugefügt werden muß, um diesen richtig zu stellen) sind also:

(2)

e₁ = + 1'55" = + l',9 e₂ = - 0'55" = - 0',9 e₃ = — 1'57" = - 2)0 e₄ = — 3'15" = - 3)3 e₅ - + 1'20" - + l',3 «₆ - + 2' 5'' - + 2',1 <?, = —1'10" = -1',2;

sie dürfen als wirkliche („wahre“) Abweichungen der Kreuzscheibenmessungen von ihrem Sollwert, kurz als wahre Fehler angesehen werden.

Um sie zur Beurteilung dieser Messungen, d. h. der Genauigkeit eines mit der Kreuzscheibe abgesteckten Winkels zu verwenden, wird auf bestimmte Art ein Mittel-Avert der Fehler zu bilden sein. Nehmen wir als sogenannten „durchschnittlichen Fehler“ das Mittel der obenstehenden Zahlen, wobei aber jedenfalls vom Vorzeichen der einzelnen Werte abgesehen werden muß, so ergibt sich, da die Summe der absoluten Zahlen 12',7 oder

(3)

^(absol. e) = 12',7

ist, als solcher durchschnittlicher Fehler

<*) allgemein ist der durchschnittliche Fehler einer Messung in unsrem Fall, wenn e die „wahren“ Fehler der n gleichartigen direkten Messungen vorstellen, definiert durch

<5)

27(abs. e)

Die Ausgleichungsrechnung benützt aus vielen Gründen nicht diesen durchschnittlichen Fehler, sondern ein andres „Fehlermaß“ oder „Unsicherheitsmaß“ zur Beurteilung der Genauigkeit, den sogenannten mittlern Fehler oder die mittlere Unsicherheit. Gauß hat diesen Namen als „mittlern zu befürchtenden Fehler“ eingeführt. Es wäre nämlich vor allem erwünscht, daß dem Fehlermaß das Vorzeichen + zukäme, wie denn auch die e z. T. positiv, z. T. negativ sind; es liegt also am nächsten, das Fehlermaß durch Ausziehen einer Quadratwurzel zu gewinnen, deren Wert von selbst das Vorzeichen + zukommt, das sogenannte quadratische Mittel der Fehlerbeträge e zu nehmen: quadrieren wir die e und nehmen den Durchschnitt dieser e², ziehen endlich aus ihm die Quadratwurzel aus, so gewinnen wir ein Fehlermaß, das man den mittlern Fehler einer der Messungen nennt. Dieser mittlere Fehler m ist also im vorliegenden Beispiel von direkten gleichwertigen Messungen, die die wahren Fehler ev e₂,. . . en haben, definiert durch die Gleichungen

m² =

.Se²

(6)

e²

26,9

(7)

Die Quadrierung der e ist auch deshalb zweckmäßig, weil bei den e² größere Beträge e, d. h. die schlechten Messungen, wie erwünscht, viel stärker ins Gewicht fallen, als wenn man nach (5) mit den ersten Potenzen der e rechnet. Im vorstehenden Beispiel sind die e² die neben auf 0,01 angeschriebenen Zahlen (es würde Abrundung auf 0,1 genügen), deren Summe genähert 26,9 beträgt, so daß nach (6) „das mittlere Fehlerquadrat“ wird

26,9 ₌ 3^4 und hieraus der m. F. m -T/p4-+2',0,

also absolut dieser mittlere Fehler einer Messung größer als der Wert (4) des durchschnittlichen Fehlers.

m² =

Man beachte den großen Wert 10,89 = (— 3,3)² in der Reihe der er. Denken wir uns, die Reihe der e habe statt wie oben so gelautet, wie in den e unten angeschrieben ist (8) (sie unterscheiden sich nur in den letzten vier Werten der Reihe nach um — 1', — 1', + 1', -j- 1' von den obigen e), so sieht man sofort, daß die durch diese e definierte Messungsreihe geringem Wert hat als (2), trotz der kleinen Werte von e\ und e'₇, daß ihr also ein größeres Fehlermaß zukommen sollte als dieser.

Messung

e'²

00

rH co rji io cd

2J(abs. e) Z e'2 = 12,7    = 36,7

Bildet man jedoch nach (4) den durchschnittlichen Fehler einer der Messungen, so ergibt sich, da J£(absol. e) =12,7 geblieben ist, übereinstimmend mit (4)

dagegen ist die 2e'² = 36,7 (gegen 26,9 oben), weil die Quadrate von 4,3 und 3,1 viel mehr Zunahme bringen, als bei den Quadraten der kleinen Fehler e'\ und e\ Abnahme eintritt. Es wird also

(9)

d' =

<10)

= 1/5,24 = ±2',3,

es ergibt sich eine beträchtliche Erhöhung des mittlern Fehlers gegen (7), wie es der unmittelbaren Überlegung nach in Ordnung ist.

Wir wollen die Gleichungen (6) für das mittlere Fehlerquadrat und den mittlern Fehler einer Messung in dem Fall, daß man genähert die wahren Fehler e gleichwertiger und gleichartiger Messungen bestimmen kann, einfach als Definitionsgleichung gelten lassen. Die Ausgleichungsrechnung hat zu zeigen, daß in der Tat dieser „mittlere Fehler“ nach (6) ein viel brauchbareres Genauigkeitsmaß zur Beurteilung von Messungen vorstellt als der durchschnittliche nach (5); sie zeigt auch, daß in der Tat absolut m > d ist, und zwar ist unter bestimmten Voraussetzungen über die Natur der Fehler e und bei langem e-Reihen absol. m = rundf d. Zu beachten ist bei der Detinitionsgleichung (6) immer, daß der mittlere Fehler als Maßstab für die Beurteilung der Genauigkeit um so sicherer ausfällt, je größer n, die Anzahl der Messungen ist, während aus wenigen n nur ein ganz unzutreffender Wert von m zu erwarten ist.

2. Das nächste Mittel, Messungsfehler augenscheinlich zu machen, ist die Wiederholung einer Messung: eine und dieselbe Größe wird mehrfach unmittelbar gemessen; geschieht dies von demselben Beobachter auf einerlei Art immer mit gleicher Sorgfalt, mit unverändertem Instrument und unter denselben Umständen, so werden gleichwohl Abweichungen der Messungsergebnisse unter einander sich zeigen infolge der „unvermeidlichen Messungsfehler“. Wir werden aber unter diesen Voraussetzungen keinen Grund haben, die eine Messung für besser, eine andre für geringer zu halten, die Messungen sind vielmehr als gleichwertig anzusehen, weichungen untereinander, die wir uns aus den stets vorhandnen zahlreichen zufälligen oder regellos wirkenden Fehlerursachen entstanden zu denken haben, sind zur Beurteilung der Güte unserer Messungen zu ver-

Die Ab-

J    /    _//    7    r    ff

wenden, obwohl wir nicht mehr die Mittel haben, wie bei 1. die wahren Fehler der Messungen, ihre Abweichungen von der Wahrheit festzustellen: Beurteilung von Messungen aus den Ergebnissen der gleichwertigen Wiederholung derselben direkten Messung. Z. B. werde eine Strecke s mit denselben Latten vom gleichen Beobachter in derselben Art 5 mal oder 10mal gemessen, die Messungen sind zu beurteilen, der „mittlere Fehler“ einer der Messungen ist zu berechnen.

3. Eine weitre, für die praktische Geometrie sehr wichtige Methode ist die der je zweimaligen direkten Messung (in derselben Art, vom gleichen Beobachter usf.) einer Anzahl von verschiednen, aber gleichartigen Größen. Denken wir uns z. B. eine Anzahl gleichartiger (z. B. alle auf demselben Boden und alle sehr nahezu horizontal liegender) Strecken von verschiedner Länge sv sa, .... sn je zweimal gemessen, so muß es möglich sein, aus den Unterschieden der zwei Messungsergebnisse für jede der n Strecken,

dx = sx — Sj"

= S2 S2 7 ' ' ‘ ‘    = Sn Sn

die Genauigkeit dieser Messungen zu beurteilen: Berechnung mittlerer Fehler „aus Beobachtungsdifferenzen“

4. Endlich kommt, wenn wir hier immer nur direkte Messungen ins Auge fassen, noch folgende Art von Messungen in Betracht: die unmittelbaren Messungen gleichartiger Größen geben für diese Größen Beobachtungswerte, während zwischen den „wahren Werten“ dieser Größen (die uns aus Messungen im allgemeinen unzugänglich sind) eine bekannte Beziehung in Form einer Soll-Summengleichung besteht. Aus dem Widerspruch, den die Einsetzung der Messungsergebnisse in diese Gleichung erzeugt, wird man wieder die Genauigkeit der Messungen beurteilen können. Solche Messungen heißen in der Ausgleichungsrechnung bedingte unmittelbare Beobachtungen, jene Soll-Summengleichung ist die „Bedingungsgleichung“ zwischen den ausgeglichnen Werten der Messungen; in 1. bis 3. dagegen haben wir unabhängige direkte Messungen betrachtet. Es ist natürlich nicht notwendig, daß die Bedingungsgleichung in der Tat eine Soll-Summengleichung oder daß sie überhaupt linear ist, sie kann vielmehr beliebige mathematische Form haben; es ist ebensowenig notwendig, daß nur eine einzige Bedingungsgleichung vorhanden ist, im Gegenteil wird man, je mehr Messungen (n) man benutzen kann und je mehr (r, wobei aber jedenfalls r<^n ist) Bedingungsgleichungen erfüllt sein sollen, eine um so sichrere Berechnung des mittlern Fehlers einer Messung ausführen können.

Einfaches Beispiel: Denken wir uns in einer Reihe von Dreiecken, von mehreren hundert m bis wenigen Am Seitenlange, je die drei Horizontalwinkel mit demselben Theodolit (dem schon in 1. erwähnten Hauptinstrument zur Messung beliebiger Horizontalwinkel) und auch sonst gleichwertig gemessen, so kann aus den Abweichungen der Summe der drei gemeßnen Winkel eines Dreiecks von der Sollsumme 180* der mittlere Fehler eines der gemeßnen Winkel berechnet werden.

nun für die Beurteilung der direkten uns handelt, zunächst

Die Methoden 1) und 4) sind Längenmessung mit Latten, um die es sich für

nicht wichtig, weil uns (Methode 1) im keine Strecken zur Verfügung stehen, die

allgemeinen und ohna e im Vergleich mit

weitres unsern

Messungen als genau bekannt gelten dürften, und weil (Methode 4) für Streckenmessungen (sogenannte Liniennetze, besser Streckennetze) keine so einfachen Bedingungsgleichungen aufgestellt werden können wie am Schluß von 4) für die Winkelmessungen angeführt sind. Bleiben wir also hier zunächst bei den Methoden 2) und 3).

20. Fortsetzung. Mittlerer unregelmäßiger Fehler von Längenmessungen aus Wiederholung der Messung (Methode 2). Um die Genauigkeit einer Längenmessung mit Latten auf ebener Strecke zu bestimmen, wie sie ein gewisser Beobachter unter Einhaltung einer bestimmten Sorgfalt (z. B. einer gewissen Schnelligkeit in der Messung) erreicht, ist es am einfachsten, nach 2) der vorigen Nr. die Messung einer längern Strecke mehrfach mit demselben Lattenpaar zu wiederholen. Die Anwendung derselben Latten ist erforderlich, weil Messungszahlen, die mit verschiednen Lattenpaaren, z. B. verschiednen 5 m- Latten, erhalten werden, zunächst nicht vergleichbar sind; es kann und wird im allgemeinen bei verschiednen Lattenpaaren „verschiedne Länge des Lattenmeters“ vorhanden sein, womit regelmäßige Fehler mit ins Spiel kommen, während wir, wie angegeben, zunächst den zufälligen oder „reinen“ Messungsfehler untersuchen wollen.

Es seien mit denselben Latten n gleichwertige Messungen gemacht, z. B. n = 5, 6 oder 10. Die Messungen sollen gleichwertig sein, d. h. wir haben gar keinen Grund, anzunehmen, irgend eine der Messungen sei besser oder geringer als die andern; ihre Ergebnisse

(Buchstabe l als Anfangsbuchstabe von Länge gewöhnlich als Bezeichnung gewählt) zeigen aber gewisse kleine Abweichungen unter einander. Was soll als Gesamtergebnis der n Messungen angenommen werden? Jedermann sagt ohne Besinnen: das Mittel, der Durchschnitt aller Messungen,

x = ^ ~b ^ ------b L .

n    \

es soll gleichsam von jeder der Messungen scharf der nte Teil genommen und diese nten Teile zum Ergebnis zusammengesetzt werden. . Wenn man aber fragt: warum soll denn gerade dieser Mittelwert x aus den l angenommen werden, nicht irgend ein anderer, natürlich symmetrisch gebildeter Mittelwert, z. B.

=    -Mi+•••• + ?) »der ^ = Vh-h

wo x₂ Mittelung der Logarithmen der gemessnen Größen bedeuten würde,

lo9 ^2 = \ 0°9 h + lo9 k 4-----b log ln),

so vermag zunächst niemand eine Antwort zu geben. Jenes x nach (2) hat freilich gewisse ausgezeichnete Eigenschaften. Bilden wir, um über-

(1)

(2)

Xx

ln

'n)

haupt eine Anschauung der Abweichungen der einzelnen Messungen von einer Mittelzahl zu gewinnen, die Abweichungen v der einzelnen l von dem Mittelwert x nach (2), mit dem Vorzeichen, das ihnen als Verbesserungen der l zum Zweck der Ausgleichung zukommt, nämlich das hier notwendig ist, um jedes l auf den Wert x zu bringen durch Hinzufügung des betreffenden v zu seinem l, d. h. schreiben wir folgende Werte v (Anfangsbuchstabe von Verbesserung) an:

v₁ = x — v₂ = x — l

(3)

vn = x-ln,

so ist die Summe dieser v gleich Null,

27v = 0:

(4)

denn es ist

2Jv = n • x — (lx -f l₂ -f • • • + ln) oder gemäß (2) = 0.

Die Gleichung (4) zeigt sich als wertvolle Rechenprobe; ist sie erfüllt, so ist x nach (2) und es sind die v nach (3) ohne Rechnungsfehler. Doch ist die durch (4) ausgedrückte Eigenschaft des Werts (2) der Unbekannten nicht die wichtigste; diese ist vielmehr, daß diesem Wert x nach (2) Werte der v nach (3) entsprechen, deren Quadratsumme ein Minimum ist. Denn denken wir uns x noch nicht bestimmt und verlangen, den Wert x zu ermitteln, für den 2Jv² zum Minimum wird, so soll also

{x - i,y + (x' - i₂y + .... + (x' - iny = Min.

(5)

werden, d. h. es soll ausquadriert

2V² = n • x’* - 2x (lt + l₂ + • • • • + ln) + Ul²

einen kleinsten Wert erreichen. Setzen wir also die Ableitung des Ausdrucks (6) nach x gleich Null, so zeigt sich, daß x zu bestimmen ist aus dZv"i

(6)

dx

— 2nx — 2 (l± -j- l₂ -f • • • • ln) = 0,

d. h. es muß , ZI

x = —• = x

gewählt werden gemäß (2), damit

Uv² == Min. wird.

Die Gleichung (7) ist

zum allgemeinen Grundsatz der „Methode der kleinsten Quadrate“ zu erheben: die Unbekannten werden, im Fall gleichwertiger Messungen, so bestimmt, daß die Summe der Quadrate der Verbesserungen, die diesen Messungen zum Zweck ihrer „Ausgleichung“ hinzuzufügen sind, den kleinsten Wert erhält.

Der Name „Methode der kleinsten Quadrate“ stammt von Legendre her; Methode der kleinsten Verbesserungs-Quadratsumme wäre bezeichnender.

Wir wollen uns die Gleichung (7), der der Wert (2) unserer (hier nur einen) Unbekannten entspricht, noch an einfachen Zahlen klar machen. Eine horizontale Strecke von rund 107 m ist mit denselben 5 m-Latten 6 mal gleichwertig gemessen worden; die Ablesungen am Anfangs- und Endpunkt (Pflöcke mit kleiner zentrischer Bohrung; es ist hin und her gemessen) sind mit dem Handmaßstab auf 1 Daß hier und in den demnächst folgenden Zahlenbeispielen für Längenmessungen auf 1 ist, soll nicht bedeuten, daß dies die Regel sein soll; vielmehr ist auch bei den feinem Längenmessungen der Feldmessung die Ablesung auf 1 cm die gewöhnliche. Die mm-Ablesung ist hier in den Beispielen nur beibehalten, weil diese Versuchsmessungen entsprechen, wo in der Tat auf 1mm abgelesen ist. Die Ergebnisse der 6 Messungen stehen neben. Um den Mittelwert x zu bilden, können wir als Näherungswert 107,120 annehmen; für den Uberschuß der gemessnen Strecke über diese Zahl 107,120 stehen dann folgende 6 Messungen zu Gebote:

0 mm, — 2 mm

\ = 107,125 l₂ = 107,120 „ l₅ = 107,118 „ \ = 107,132 „ \ = 107,119 „ \ = 107,123 „

WIYW.

, + 12

mm.

WIYW,

mm

YWWl

gemacht.

abgelesen

WlWly

d. h. es ist zu setzen

x = 107,120

5-fO — 2-fl2 — i + 3

mm

= 107,120

+ ¹¹

~ 6

mm

oder auf 1 mm abgerundet

x = 107,123

Wl .

Wir haben hier ^ = 3,0 gesetzt; bilden wir demnach unsere v, so wird die Summenprobe 2Jv — 0 um 1 mm nicht stimmen, es muß 2Jv — + -1 werden, womit dann die v ebenso scharf kontrolliert sind. Die Abweichungen mit dem oben angegebenen Sinn der Vorzeichen lauten!

mm

v₁ = x-\ = 107,123 - 107,125 = v₂ = x-l₂ = 107,123 - 107,120 = + 3 vs = x-l₃ = 107,123 - 107,118 = + 5 vi = x-li = 107,123 - 107,132 = vh = x-lh = 107,123 - 107,119 = + 4 v₆ = x - l₆ = 107,123 - 107,123 =

-2

2JV = + 12 — 11 = + 1

mm.

v\ =

v! = vl =

Die v² geben also die hier angeschriebnen Zahlen; es wird 9 2v² = 135. Diese Zahl würde noch um einen geringen Be-25 trag kleiner werden, wenn wir oben, statt ^ — 9 mm zu setzen, 81 genommen hätten ³₆⁷ = 2,83 mm, doch ist weitre Rechen-16 schärfe als Uv² — 135 nicht notwendig.

Wollten wir aber Mittelwerte x ansetzen, die nur um 2 ,Z+² = 135 oder kleiner wären, als 107,123, so würden sich größere ergeben-

mm

größer

wir finden in der Tat mit x = 107,121, und x" = 107,125 die untenstehenden v' und v" nebst ihrer Quadratsumme:

x = 107,121

x" = 107,125

v[ = — 4

vi = 4* ¹ u

<    — ~b 3 „

<    = —11 „

<    = -f ² n

<    = — ² ,1

mm

16

121

27®'*= 165.

< = 0 v* — 4" 5 „

<    = -i- ? n

<    = -7 „

<' = + ⁶ ii

<    = 4" ² ii

mm

25

49

49

36

2V'S- 163.

Daß in beiden Fällen die Uv' und die Uv" nicht gleich Null ist, ist weniger wichtig, als daß die Uv'“ und Uv''² größer ist als die obige Uv² und zwar Uv'² um 20, Uv"2 um 28. Wären x und die v schärfer ausgerechnet worden, so würde dieselbe Abweichung in x nach unten von x, in x" nach oben von x, dieselbe Vergrößerung der Uv² im Vergleich mit dem Minimum hervorrufen.

Zur Beurteilung der Messungen wird man nun wieder den „mittlern Fehler“ (die mittlere Unsicherheit) einer Messung zu verwenden haben. Wären statt der v die wahren Fehler e der einzelnen Messungen bekannt, so wäre der m. F. einer der Messungen nach der Definitionsgleichung (6) in 19. zu rechnen nach:

(8)

Nun sind aber nur die plausibelsten Verbesserungen v bekannt, die an den l angebracht werden müssen, um sie verträglich untereinander zu machen, d. h. hier um sie auf den Wert x zu bringen; der Wert x selbst wird nicht der „genaue“ (wahre) gesuchte Wert der Unbekannten sein, die v sind also nur, wie man auch oft sagt, „scheinbare Fehler“. Setzen wir die uns allein zugängliche Uv² statt der Ee² in (8) ein, so wird, um m unverändert zu lassen, der Nenner etwas verringert werden müssen; in der Ausgleichungsrechnung wird gezeigt, daß

-UAz;

V n— 1

(9)

zu setzen ist.

Die Gl. (9) läßt sich am besten damit verständlich machen, daß man den Fall n = 1 betrachtet, nur eine Messung ausgeführt. In diesem FalL ist über den m. F. „aus Wiederholung der Messungen“ nichts zu sagen, da keine Wiederholung vorliegt; es bleibt allerdings, wenn l das Ergebnis der einen Messung ist, nichts übrig, als x = l zu setzen, womit v — 0 wird, aber damit ist nicht gesagt, daß auch als m. F. der Messung m = 0 gesetzt werden dürfe, wie es der Fall wäre, wenn in (9) im Nenner n, nicht (n— 1) stände. In diesem Fall würde m = |/H = 0, was aber falsch sein muß; heißt es dagegen, wie in (9) im Nenner (n — 1), so erhalten wir für unsern speziellen Fall m — j/A = unbestimmt, und dies ist richtig.

Wir fassen hier, ohne eine Begründung für (9) zu geben, diese Gleichung eben als neue Definitionsgleichung des m. F. einer Messung auf, wenn er aus „scheinbaren“ Fehlern v gleichwertiger direkter Messungen zu berechnen ist.

Im obigen Längenmessungsbeispiel wird also die mittlere Unsicherheit einer der sechs Messungen:

mm.

-Vir _ t/27 = + 5,2

Mit dieser Zahl ist die „Genauigkeit“ einer unsrer sechs Messungen •charakterisiert; sie ist derart, daß der einmaligen Messung der Strecke von rund 107 m der m. F. + 5,2 mm zukommt. Aber diese Zahl macht, da sie sich eben auf die Strecke 107 m bezieht, die Messungen noch nicht vergleichbar mit andern Messungen andrer Strecken.

Um diese Vergleichbarkeit der Fehlermaße auch in dem Fall der Messung verschiedner Strecken herzustellen, müssen noch einige weitere Sätze aus der Ausgleichungslehre angeführt werden, nämlich die Sätze über die einfachsten Fälle der Anhäufung und der Verminderung mittlerer Fehler oder des „Fehlerfortpflanzungsgesetzes“ Es genügen für uns folgende Fälle:

1. Einer Größe x hafte die mittlere Unsicherheit + m an; was ist die mittlere Unsicherheit M von ax, wenn a eine gegebene Zahl (Konstante, nicht aus Beobachtung hervorgegangen) bedeutet? Offenbar

(u)

M — + a • m.

2. Von zwei unabhängigen Größen xt und x₂ habe die erste den m. F. + m₁, die zweite + m₂; was ist der mittlere Fehler M von (xt x₂)? Zunächst

(12)

M = + mx + m₂,

ein unbestimmter Ausdruck. Es ist nun einfach zu zeigen, daß für diesen unbestimmten Ausdruck zu setzen ist

JSP = m\ -f- ml

oder

(13)

M = Ym\ -f- m\.

Man hat diesen einfachen Satz, der dem Pythagoräischen Lehrsatz der Planimetrie entspricht, den wichtigsten Satz der ganzen Ausgleichungsrechnung genannt. Er ist ohne weiteres plausibel: wenn xt den m. F. + ?%, x₂ den m. F. + m₂ hat, so kann der m. F. von (x₁ -f x₂) nicht z. B. + (absol. % + absol. m₂) sein, das ist jedenfalls zu groß; anderseits muß der m. F. von (xt -f x₂) absolut jedenfalls sowohl > abs. m₁₇ als > abs. m₂ sein. Beides trifft zu bei M als Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks, dessen Katheten ml und m₂ sind. Auch stimmt mit dieser Anschauung, daß, wenn z. B. abs. m₂ klein ist gegen abs. mu das abs. M kaum größer als abs. m₁ ausfällt: gegen die Quadrate großer Fehler verschwinden fast die der kleinen.

Um zu (13) noah einige Zahlen anzuführen: Wenn bei Messung der Strecke zu befürchten ist, so kann der mittlere, in der Zusammen-

100 m der m. F. +1

Setzung zweier solcher Strecken, d. h. in (100    100)m zu befürchtende m. F. nicht

sein, denn es handelt sich ja um regellos wirkende Fehler, die sich zwar z. T. anhäufen, z. T. aber auch aufheben. Der m. F. dieser Strecke 200 m muß also jeden-

±2

cm

cm

Hammer: elementare praktische Geometrie.

falls abs. O als der m. F. von 100 m sein, aber nicht doppelt so groß; der Schätzung nach vielleicht iy₂mal so groß, die Gleichung (13) sagt genauer: ]/2 = 1,41 mal so groß.

2a. Genau derselbe Ausdruck (13) M = ym\ -f m\ gilt auch für den m. F. der Differenz (xx — x₂), wenn x₁ den m. F. + mlf x₂ den m. F. + m₂ hat.

3. Yon einer Anzahl unabhängiger Größen xlf x₂, ... xn wird jede mit einer fehlerfrei gegebenen Zahl (Koeffizient) alf a₂, . . . an multipliziert und die Produkte werden zur algebraischen Summe

+ a₂x₂ — a₃x₃ H------(- anxn

zusammengenommen. Dabei ist x₁ der m. F. ± m1} x₂ der m. F. + ni₂, ... xn der m. F. + mn zuzuschreiben. Der m. F. M jener algebraischen Summe wird

(14)

M = ]/af m\ -f dlm\ -f- a\m\ -f • • • -f-    .

4. Anwendung. Mittlerer Fehler des arithmetischen Mittels, aus gleichwertigen Messungen. In Gleichung (2) ist gesetzt:

x =

wobei jeder der Messungen l der nach (9) zu berechnende m. F. + m zukommt. Der m. F. mx von x ist also nach (14)

nt

.-VG)

n • „

nl

¹„ • m²

oder

(15)

mx = — •

Yn

Dieser Satz sagt: Der m. F. des Durchschnitts gleichwertiger Messungen nimmt ab mit der Anzahl n der Messungen, die zu dem Mittel zusammengefaßt sind; aber nicht proportional n, sondern nur proportional ]/w.

Dies ist abermals plausibel: man kann die Reziproken der m. F. als Genauigkeitszahlen nehmen, wie oben schon mehrfach angegeben; um nun die doppelte „Genauigkeit“ im Vergleich mit einer einzelnen Messung zu erreichen, genügt offenbar nicht das Mittel aus nur zwei gleichwertigen Messungen, man braucht mehr Messungen, die Gl. (15) sagt vier Messungen, um die dreifache Genauigkeit zu erzielen, neun Messungen usf.

Beispiel. Im Fall der oben behandelten sechsmaligen gleichwertigen Messung der Strecke 107 m hat das Gesamtergebnis x = 107,123 (Durchschnitt der sechs Messungen) einen kleinern m. F. mx als m — + 5,2 mm, der für die einzelne Messung gefunden worden ist; es ist aber mx nicht sechsmal kleiner, sondern nur ]/6mal kleiner als m, d. h.

5,2

= —— mm

x    Y⁶

Man pflegt dieses mx dem Werte x selbst hinzuzufügen als mittleres Ge-nauigkeitsmaß; das Gesamtergebnis wird also

x = 107,123 ± 0,002

(16)

= + 2,1

mm.

m.

nur zu

5. Mittlerer Fehler pro Längeneinheit. Wenn der m. F. beim Aneinanderfügen zweier Latten + m ist, so hat sich, nachdem dies n mal geschehen ist, der m. F. 3T nicht znm Betrag + n • m\ sondern nach (13) und (14)

(17)

CO

M = + rn' ]/n

angehäuft. Nach n Stangenlagen ist aber die zurückgelegte Strecke s = n • A, wenn l die Länge der Latten bedeutet, mit denen gemessen wird. Es ist also

(18)

» ~ I

in (17) einzusetzen, und damit erhält man

M - % ]/s,

(19)

yx

wenn s die gemeßne Strecke bedeutet. Die Unsicherheit beim Zusammenlegen der Stangen ist nun in der Tat der wichtigste unregelmäßige Fehler beim Längenmessen mit Latten und die Gl. (19) spricht den Satz aus: der m. F. beim Streckenmessen ist der Quadratwurzel aus der gemessnen Strecke proportional; ferner, falls + m' derselbe mittlere Anlegefehler für 3 m- wie für 5 m-Latten ist, umgekehrt proportional der Wurzel aus der Länge l der Meßstange.

Falls die Voraussetzung desselben m zutrifft, verhalten sich also die mittlern unregelmäßigen Fehler bei Messung derselben Strecke mit 3, 4, 5 m-Latten wie

v-s ■ yr oder wie Ä: l - 2^4 - °'68: °'50: °-46 oäer wie Vl: Vi

1,3 : 1,1 : 1. Die Unterschiede sind also nicht sehr groß, immerhin ist, wenn der m. F. der Messung mit 5 m-Latten zur Einheit genommen wird, der m. F. bei Messung derselben Strecke mit 3 m-Latten etwa 30 v. H., bei Messung mit 4 m-Latten etwa 10 v. H. größer.

- : 1 =

Der wichtigste Teil des Satzes (19), M proportional ]/s, gestattet den m. F. auf eine Längeneinheit zu reduzieren und damit nun die Messungen einer Strecke mit den Messungen einer andern Strecke s₂ vergleichbar zu machen. Als Längeneinheit nimmt man bei Berechnung der Genauigkeit von gewöhnlichen Streckenmessungen immer die Strecke 100m (Ihm); hat man hei Messung der Strecke s den m. F. einer Messung zu + m erhalten, so gilt, wenn s in Metern genommen wird, für den m. F. (m) der Strecke 100 m nach (19)

(m) : m = ]/100 : ]/s,

oder es ist (m) zu berechnen nach

(20)

(m) = -m v    ]/$/ioo

Für unsre nächsten Zwecke kann man, statt 1 bm als Einheitsstrecke zu nehmen, auch auf 1 m als Längeneinheit reduzieren und hat dann den m. F. m₁ pro 1 m gemeßner Strecke (der Index 1 soll eben heißen für 1 m)

(21)

¹ Vs'

b*

Für sorgfältige Lattenmessung auf ebenem Boden ist m₁ oft nur Hb 0,3 vgl. unten; als Mittelzahl kann man m₁ = + 1 wvnv ringern für 5m-Latten, etwas zu mittlere unregelmäßige Unsicherheit der einmaligen Messung der Strecke s Meter mit Latten, bei guter Messung auf ebnem Boden betrachtet werden kann

mm,

annehmen (etwas zu ver-yergrößern für 3m-Latten), so daß als

(22)

ni = -f- 1 mm

■v ■

6. Zusammenstellung der Formeln, ln der folgenden Zusammenstellung der bisher benützten Formeln verwenden wir statt des obigen Zeichens 2J das von Gauß eingeführte Summenzeichen der Ausgleichungsrechnung, nämlich [], so daß z. B. [t?²] = v² + v\ -j- • • • H-v² ist.

Gemessen soll werden die Größe X und zwar unmittelbar; um die Genauigkeit der Messung zu erhöhen, sind n Messungen ausgeführt, die alle unabhängig voneinander und als gleichwertig anzusehen sind. Die Ergebnisse der n Messungen sind

(23)

Der gesuchte „wahre Wert“ X der Unbekannten ist nicht zu bestimmen möglich, erst n = oo würde, falls nur unregelmäßige Fehler die Messungen entstellen, X liefern können; wir müssen uns mit dem plausibelsten Wert aus unsern n Messungen begnügen, nämlich

(24)

PI

Die Abweichungen der einzelnen l von diesem Durchschnittswert x sind nicht die wahren Fehler der l, sondern nur „scheinbare Fehler“, plausibelste Verbesserungen; diese Beträge

vt = x — v» = x — l₂,    ...vn = x — l„

liefern für x und für die v selbst die Rechenprobe

(25)

(26)

Der Wert x aus (24) hat zugleich die kleinste mögliche Summe der Verbesserungsquadrate zur Folge, d. h. er genügt der Anforderung

[v²| = Min.;

dieses [v²] wird also zur Beurteilung des sog. mittlern Fehlers (mittlerer befürchtender Fehler nach Gauß, mittlere Unsicherheit) benützt, der m. F. m einer der Messungen l ist

(27)

ZU

(28)

= i/J>3

V n — 1

Der mittlere Fehler mx des Resultats x aller n Messungen ist ]/w mal kleiner als m, nämlich

(29)

mx ⁼

m_- = 1/

Yn V

n(n — 1)

Bedeutet endlich (m) den m. F. der einmaligen Messung der für direkte

Längenmessungen in der Regel benützten Einheitsstrecke von 100 m (1 Am), die 4/100 oder #/100 mal in der gemessenen Strecke enthalten ist, so wird

(30)

(m) =

VI

vy ioo

oder auch es ist, wenn mx den m. F. pro 1 m einmal gemeßner Strecke vorstellt,

(31)

nh = ~~F- ‘

yi

Alles Vorstehende bezieht sich durchaus auf die unregelmäßigen Messungsfehler; etwaige regelmäßige oder konstante Fehler werden gar nicht davon berührt.

Z. B. kann die Zahl 107,123 m, deren m. F. oben zu 2

und mehr von der Wahrheit abweichen; ist mit zwei 5 m-

mm

= + 0,002 m berechnet

ist, ganz wohl um 20 Latten gemessen, die je um 1,0 mm zu kurz sind, so ist aus diesem einzigen Grund schon die Zahl 107,123 um 10,7 -2

mm

mm

= 21

mm

zu groß.

21. Fortsetzung. Mittlerer Fehler aus Beobachtungsdifferenzen (Methode 3.). Bei Gelegenheit einer Andeutung über die Methode 3. zur Ableitung des unregelmäßigen mittlern Fehlers der Messung pro Längeneinheit sei zunächst noch ein weitrer Begriff aus der Ausgleichungsrechnung aufgeführt, der des sog. Gewichts einer Messung oder eines Rechnungsresultats, obwohl wir hier auch mit dem Begriff der „Genauigkeit“ auskommen könnten.

Es liegt nämlich nahe, in einer bestimmten „Ausgleichung“ als Genauigkeit irgendeiner in der Ausgleichung vorkommenden Größe zu definieren die Reziproke des mittlern Fehlers dieser Größe, oder auch Konstante durch den m. F., also zu setzen:

Konstante

(l)

mittlern Fehler der Größe ’

Genauigkeit einer Größe =

wobei die Konstante durch eine bestimmte Ausgleichung hindurch als solche festzuhalten ist.

Eine viel wichtigere Rolle jedoch als diese Genauigkeit spielt in der Ausgleichungsrechnung der Begriff des Gewichts, mit dessen Hilfe alle Ausdrücke viel einfacher werden als mit Hilfe von (1). Nehmen wir aus einer großen Reihe von gleichwertigen Messungen derselben Größe, für die der m. F. einer dieser Messungen zu + m ausgerechnet ist, das einemal nx Messungen zu einem Durchschnittswert xu das andremal n₂ Messungen zu dem Durchschnittswert x₂ zusammen, so liegt nahe zu sagen: der Wert xx vereinigt in sich und kann also ersetzen nx gleichwertige Beobachtungen, denen wir je das Gewicht 1 geben wollen, hat also im Vergleich mit einer dieser Beobachtungen wt-faches Gewicht; ebenso haben wir der Zahl x₂ das Gewicht n₂ beizulegen. Es ist also, wenn wir allgemein das Gewicht von xx mit gx, das von x₂ mit g₂ bezeichnen (Anfangsbuchstabe von Gewicht; früher hießen die Gewichte stets p, Anfangsbuchstabe von pondus = Gewicht),

Ferner haben wir aber in der vorigen Nummer Gl. (15) und (29) gesehen, daß der mittlere Fehler des Durchschnitts aus gleichwertigen Messungen nach der Quadratwurzel aus der verwendeten Anzahl von Messungen abnimmt; d. h. es ist, wenn m₁ den m. F. von xly und m₂ den m. F. von x₂ bezeichnen

(3)

vV

m₂ =

Die Vergleichung von (2) und (3) zeigt, daß zwischen m. F.-Zahlen und den entsprechenden Gewichtszahlen die Proportion besteht:

l l

m\ * wif ’

oder man hat, vollständig durch den ganzen Verlauf einer bestimmten Ausgleichung hindurch festzuhalten, Gewichte sindZahlen proportional den Reziproken der Quadrate der entsprechenden mittlern Fehler, es ist, mit Festhaltung der Konstanten durch eine bestimmte Rechnung hindurch

(4)

(5)

Gewicht einer Größe =

Konstante

Quadrat des mittlern Fehlers der Größe

Die Gewichtseinheit ist willkürlich, muß aber, nachdem sie gewählt ist, festgehalten werden. Die Gewichtszahl jeder Größe gibt an, wie viel Beobachtungen je vom Gewicht 1 in jener Größe vereinigt zu denken sind, die Gewichte sind also unmittelbareWertigkeitszahlen für Messungen und für aus den Messungen berechnete Größen. Wir machen von dem neuen Begriff weitere Anwendungen in 22. und später. — Umgekehrt ist: m. F. irgend einer Größe = m. F. der „Gewichtseinheit“ (m. F. der vorhandnen oder nur gedachten Beobachtung vom Gewicht 1) dividiert durch Quadratwurzel aus dem Gewicht jener Größe; die Größe sei Q, ihr m. F. mQ, ihr Gewicht g(i, der m. F. der Gewichtseinheit = + so ist also

(6)

Vg

Die mittlern unregelmäßigen Fehler von Strecken s₁,s₂,...sn, die mit denselben Latten gleichartig gemessen sind, verhalten sich nach 20., (19) und (20) wie ]/s₁: ]/s₂ . . : ]/sn, die Gewichte verhalten s^ch also wie die Reziproken der Strecken

0)

«»

Wir nehmen nun an, es liege eine Reihe von Doppelmessungen ver-schiedner Strecken s1}s₂...sn vor, und zwar seien, wie schon angedeutet, diese doppelten Messungen jeder Strecke mit denselben Latten in derselben Art vom gleichen Beobachter unter denselben äußern Umständen gemacht, so daß je die zwei Zahlen für jede einzelne Strecke gleichwertig sind; die Messungen der verschiednen Strecken aber haben wegen deren verschiedner Länge verschiedne Gewichte, vgl. (7). Wir bilden, indem wir die erste Messung jeder Strecke mit dem Index I, die zweite mit dem Index II bezeichnen, je die Differenzen:

Mittlerer Fehler aus Doppelmessungen.

(8)

dx = Si,i — Si,n

d% = S 2,1 — 52,ii

dn 5»,I    5», II-

Aus diesen Differenzen d, die z. T. -f, z. T. — ausfallen, ist der mittlere Dehler, der der Gewichtseinheit g = 1 (einmalige Messung der Ein-heitsstrecke) entspricht, zu bestimmen nach der Gleichung

lAgdd]

¹ ~ V 2 n ’

oder da man gemäß (7) gk — — setzen kann, damit übereinstimmend

(9)

(10)

Di

(== 1 fVm)} so hat das Gewicht \, die Strecke 75 m das Gewicht |,

¹    = ^; in Gl. (10) ist in

Nehmen wir als Längeneinheit die Strecke 100m z. B. die Strecke 200

allgemein die Strecke s m das Gewicht

S (m.)

diesem Fall ebenfalls s in fvm zu nehmen. Soll sich mx auf das Meter

(einfacher Messung) beziehen, so ist gk = ——- in (9) und s inm in (10) setzen.

100

zu

Beispiel. Die zweimalige gleichwertige Messung verschiedner Strecken mit einem Paar 5 m-Latten hat bei der I. und II. Messung folgende Zahlen gegeben (es waren die Seiten eines Polygonzugs); was ist der m. F. der einmaligen Messung der Strecke 100 m?

I.Messung six =132,485m s2I =117,973 s3I =98,241 s4I =113,017 sbl =137,360 s6I =121,277

Sm= 132,479 „ S2II = 117,974 s3II = 98,246 s4II = 113,006 s5II = 137,372 s6II = 121,273.

Die Differenzen der zwei Messungen der einzelnen s sind, im Sinn I — II und in genommen:

(7, = —(- 6    dg = — 1 dg = — 6 dj = -|— 11 dg = — 12 d₆ = -J— 4;

es ist dreimal das Vorzeichen -f-, dreimal das Vorzeichen — vorhanden, was dafür spricht, daß es sich um die Wirkung unregelmäßiger Fehlerquellen handelt. Die Gewichte der einmaligen Messung jeder Strecke sind, wenn der einmaligen Messung der Strecke 100 m das Gewicht g = 1 gegeben wird,

0,85 ’ ^ ⁼ 0,98

man dürfte die g sogar auf 0,1 ab runden, ihre Ausrechnung (Rechenschieber) könnte überhaupt unterbleiben, wenn einfach bei der nebenstehenden Rechenschieberrechnung statt mit g zu multiplizieren mit s dividiert wird. Es findet sich

n.

mm

?1~ 1,32 = 0,76 ’ 9i

Strecke

H c<5 iQ

1,18

d²

27

25

107

105

13

278

= 1,02, gr₄

1,13

0.88, ^⁼⁼1,37 = 0’⁷³’ ⁼

mm

(nur eine Ablesung am Rechenschieber), und zwar ist dies der m. P. der einmaligen Messung der Strecke von 100 m. Der m. P. für 1 m wäre also

= ± 0,48

4,8

1/100

— mm

mm.

Abscheidung eines regelmäßigen Fehlere. In einem andern Fall sind fünf kürzere Strecken je zweimal mit 3 m-Latten gemessen, immer genau in derselben Art und mit derselben Sorgfalt. Es ist aber die zweite Messung durchaus mit einem andern 3 m-Lattenpaar (B) als die erste mit (A) gemacht. Die Ergebnisse sind:

I. Messung | s4I =49,313 s2I = 36,771 s3I =62,144 s4I = 71,308 s5I = 27,326 sin= 49,322 s2II= 36,776 s3II= 62,160 s4n = 71,331 s&II= 27,329.

gerechnet, sind: db — — 3.

II.

Die Differenzen in derselben Art wie oben, dk — skl— sk 14 in

di = — 5

da = — 16

mm

d₄ = — 23

Hier sind lauter negative Vorzeichen vorhanden (bei II — I wären es also lauter positive); dies kann nur daher rühren, daß die Stangenpaare (A) und (B) verschiedne Länge haben. Man ist berechtigt, diesen regelmäßigen Fehler vor Berechnung der unregelmäßigen eigentlichen Messungsfehler, auf den sich die vorstehenden Formeln allein beziehen, zu eliminieren. Auf 49,3 -|- 36,8 -(- 62,1 -|- 71,3 -j- 27,3 = rund 247 m Länge erhält man mit den Latten (B) zusammen um (absolute Beträge der d oben) 9 -f- 5 -f- 16 -{- 23 —{- 3 = 56 mm mehr als mit (A), d. h. ein Meter der Latten (B) ist-nach den vorliegenden Messungen kürzer als ein Meter der Latten (A) um —

= 0,23 mm (braucht am Rechenschieber nicht abgelesen zu werden, da man mit der Einstellung bei den s sogleich die Korrektionen abliest). Um die Zahlen der Messung I mit (A) und die der Messung II mit (B) vergleichbar zu machen, sind also zu den Zahlen I zu addieren die Beträge in mm (auf 1 1-49 = 11, 1-S7-8, 1-62 = 14, 1 71 = 16

diese Beträge die Messungen II mit den Latten (B) zu verringern. Fügt man die Beträge mit dem Vorzeichen sogleich den obigen d hinzu, so erhält man folgende, vom regelmäßigen Fehler befreite zufällige d':

d/ = -j- 2 mm, d% = -{- 3 mm, d& = — 2 mm, d₄ = — 7 mm, d&' = -j- 3 mm,

und damit, wenn wieder der Strecke 100 m, einfach gemessen, das Gewicht g = 1 gegeben wird, so daß die einmalige Messung der Strecken sx, s₂, • • • die Gewichte

2,7, • • • erhält (diese Reziproken brauchen aber nicht abgelesen

247

tnm.

abgerundet) , J^-27 = 6, oder es sind um

mm

0,493    2,°’ 0,368

zu werden am Rechenschieber):

0,493

8,1

~d'd'-

[gd'd']— s (m)    =141, also

&<V² =

= 24,4

100

0,368

“ ±³’⁸

ihd^

49

0,713

68,8

als m. unreg. F. der

einfach gemeßnen Strecke 100 m, oder + 0,38 m. F. der Strecke 1 m, ein für 3 m-Latten sehr gutes Ergebnis.

mm

mm

als

17₅<V² =

0,273

= 33,0

141.

22. Zusammenfassung von direkten Messungen von verschiedner Genauigkeit derselben Größe zum Mittel (sog. allgemeines arithmetisches Mittel). Ausgleichung von Längenmessungen mit bekannter Sollsumme.

Für eine Strecke haben sich hei mehreren Messungen mit versehiednen

• • • K’

Hilfsmitteln, z. B. Stangen von verschiedner Länge, 3w, 4 m, 5 m, folgende Zahlenwerte ergeben:

(i)

Diese Ergebnisse sollen von regelmäßigen Fehlern so weit befreit sein, insbesondre vom Fehler der Stangen, daß sie als unmittelbar vergleichbar gelten können. Sie sind aber nicht gleichwertig, haben vielmehr verschiedne Gewichte, z. B. sei l1} l₃ . . . mit einem Paar 3m-Latten gemessen, l₂,    . . . mit einem 5m-Paar . . ., deren Korrektionen auf richtiges

Maß bekannt und angebracht seien. Die Gewichte der einzelnen Messungen seien zu

• (2)

9i> 9z, • • •9n

oder 3m-Latten z. B.

m-

anzunehmen. Im angegebnen Beispiel würden nach Gl. (19) in 20. die m. F. bei gleicher Sorgfalt der Messung mit 5 l l

sich verhalten wie    oder die Gewichte dieser Messungen wie 5:3;

nimmt man also für die Messung der Strecke mit 5m-Latten das Gewicht (j — 1 an, so hätte eine Messung mit 3 m-Stangen das Gewicht 0,6. Die g nach (2) können aber auch noch aus andern Gründen verschieden sein, wegen Verschiedenheit der Beobachter usw. Um alles „auf die Gewichtseinheit zu reduzieren“, kann man die erste Messung \ als Mittel von gl gleichwertigen Messungen je vom Gewicht, die zweite als Mittel aus g₂ solcher Messungen, . . . ansehen, so daß dem Gesamtmittel aller Messungen das Gewicht g

(3)

9X = [g] = 9i + 9₂ + * • • + 9n

zukommt. Die Unbekannte, wie sie sich aus unsern n Messungen ergibt, ist also offenbar

(4)

x-W.

m

Dies ist das sog. „allgemeine arithmetische Mittel“ der Messungen, nämlich Mittel mit Rücksicht auf die verschiednen Gewichte der einzelnen direkten Messungen (englisch „weighted mean“). Bilden wir wieder die Abweichungen v der einzelnen Messungen l von dem Mittel x, mit den Vorzeichen, mit denen sie Verbesserungen der l vorstellen, vlf v₂, . . . vn, so besteht für x und die v die Rechenprobe

(5)

[gv] = 0.

Der Wert von x und die mit ihm sich ergebenden v sind die, welche

(6)

jj/U] = Min.

machen; Grundbedingung der „Methode der kleinsten Quadrate“. Aus (6) folgt als mittlerer Fehler der Gewichtseinheit

CO

m    l/l>ä]

und damit ergibt sich der m. F. mx des Resultats x gleich dem ]/[#] ten Teil von (vgl. 21., Gl. (6)).

Beispiel. Eine Strecke von rund 124 m ist mit drei verschiednen Stangenpaaren 7mal gemessen, 3mal mit einem 5 m-Lattenpaar, 2mal mit einem 4 m-Lattenpaar, 2 mal mit einem 3 m-Lattenpaar. Yon diesen Latten sind die zwei 5 m-Stangen zusammen um 1,6 die zwei 4 m-Stangen zusammen um 1,4 die zwei 3 m-Stangen zusammen um 0,9 Die unmittelbaren Messungszahlen sind Z₄'= 124,04 Z₂' = 124,05 la' = 124,03 mit den 5 m-Latten

Was ist als Gesamtergebnis für die Strecke anzunehmen unter der (aus verschiednen Gründen nicht genau zutreffenden) Voraussetzung, daß durch Anbringen der Stangenkorrektionen die regelmäßigen Fehler aller Messungen in derselben Art beseitigt seien und daß sich nach 20., (19) die m. F. der Messung mit 5 m-, 4 m-, 3 m-Latten ver-1 1 1

halten wie : yj: y^ oder die Gewichte wie 5:4:3? Was ist ferner der m. F. mx dieses Ergebnisses?

Die mit den Stangenkorrektionen versehenen Messungszahlen, die der Annahme nach unter sich vergleichbar sein sollen (wenn ihnen auch nicht dieselben Gewichte zukommen), lauten:

Z₄' = 124,07 Z/ = 124,05

4 m-Latten

zu kurz zu kurz zu lang.

Z₆' = 124,00 Z/ = 124,03

3 m-Latten.

Z₄ = 124,04 m— 12,4-16

Z₂ = 124,05 „ —......

k = 124,03 „ -......

Z₄ = 124,07 „ — 15,5 ■ 1,4 „ = 124,05 h = 124,05 „ -L = 124,00 „ + 20,7 • 0,9 „ = 124,02

= 124,02 „ ==124,03 „ =124,01

mm

„ = 124,03

Z₇ = 124,03 „ +

„ = 124,05.

abgerundet. Es ist die

Die Z sind, wie die unmittelbar abgelesnen Z', auf 1 Frage, ob die Maß Vergleichung (Stangenkorrektion) so genau ist, daß auch nur in Beziehung auf das cm die Vergleichbarkeit verbürgt ist: 0,2 mm Fehler (in demselben Sinn) in der regelmäßig wirkenden Stangenkorrektion bei jeder der 3 m-Stangen macht auf 124 m Länge schon 0,2-41 je 5, für Z₄und Z₅ je 4, für Z₆ und Z₇ je 3; oder nimmt man die Gewichtseinheit g = 1 für die einmalige 5 m-Lattenmessung, so ist g — das Gewicht der 4 m-Lattenmessung und g—\ das Gewicht der 3 m-Lattenmessung, so daß wir folgende Zusammenstellung und Rechnung haben:

mm

cm

= 8 mm aus. Als Gewichte sind anzusetzen für Z₄, Z₂, Z₃

Messung

\ = 124,02 Z₂ = 124,03 Z₃ - 124,01 Z₄ = 124,05 Z₆ = 124,03 Ze = 124,02 Zv = 124,05

g l in

cm

cm

gv

gvi

CO^ CO_ ©^ ©^ HHH0‘©r0'©r

o< ta os o< k m p obbobob

JnS © _© *Z> jO jO M- "© KM CO K ~©

+ 0,90

+ 1,90

+ 0,54

— 0,10

— 1,68

— 0,08

— 1,26

H rl H ZO tH Cb »O CO ©^©^OO^r^^

cT cT «T cb" ©~ ©~ ©f

ft    ¹

oo

5,8

16,6

= [g]

= [</*]

+ 3,34 —3,12

soll 0

11,1

Ausgleichung von Längenmessungen mit bekannter Sollsumme.

75

Für die Bildung der gl sind nur die cm berücksichtigt, die bei allen l gleichen Zahlen 124,0 sind weggelassen; es ist also der Näherungswert 124,000 für x verwendet, und man hat nun damit als Messungen l die cm-Zahlen der Messungen zu nehmen, ■die über diesen Betrag 124,00 hinausgehen, d. h. die Zahlen 2 cm, 3cm... Damit wird, wie oben schon angeschrieben, [gT\ = 16,6, und da [<jr] = 5,8 ist, so ist x gleich 16,6

124,00 m-f

5,8

cm

oder

X — 124,000 m -j—

16,6

5,8

cm

= 124,029 m,

nur auf 1

[g v] = 0 stimmt nicht ganz, weil

lieh ist, oben ebenfalls schon angeschrieben, [gv*] — 11,1, d. h. also der m. F. der Messung mit dem Gewicht 1, hier die einmalige Messung der Strecke mit den 5 m-Latten,

mm

genau angeschrieben. Die v in 16,6

5,8

= 2,9

sind oben eingesetzt; die Probe gesetzt ist statt genauer 2,87. End-

cm

cm

-y^-±Me

cm

und der m. F. mx des Ergebnisses x

1,36

rnx =

1,36

=    0,56 cm;

Ergebnis nebst m. F. lautet also

x = 124,029 + 0,006 Meter.

Ausgleichung von Längenmessungen mit bekannter Sollsumme. Der vorstehenden einfachen Ausgleichungsaufgabe des sog. allgemeinen arithmetischen Mittels, von der wir später gelegentlich wieder Gebrauch machen, sei noch eine andre ebenso einfache Ausgleichungsaufgabe beigefügt, als Beispiel der in 19. mit genannten „bedingten direkten Messungen“ und zum weitern Beweis, daß die Methode der kleinsten Quadrate sich wie beim arithmetischen Mittel aus gleichwertigen direkten unabhängigen Messungen einer zu bestimmenden Größe (vgl. 20.) in Übereinstimmung befindet mit dem nach der ersten Überlegung, ohne theoretische Begründung zu erwartenden Ergebnis. Es sei für zwei Messungen mit dem Gewicht g₁ und l₂ mit dem Gewicht g% die So 11-summe beider Messungen gleich s bekannt, z. B. aus einer Messung viel höherer Genauigkeit, als sie unsre l haben; die l sind also nicht direkte „unabhängige“ Messungen, sondern direkte bedingte Messungen. Sind und x₂ die zwei Unbekannten, für die die zwei Messungen \ und l₂ vorliegen, so muß sein

(8)

x₂= s

oder

(9)

x₁ + x₂ — s = 0.

Die Summe von lx und l₂ wird aber nicht gleich s sein, wegen der Messungsfehler in den l, die Gleichung, die man durch Einsetzen von und l₂ in (9) erhält, wird vielmehr lauten

es wird ein gewisser Messungs wider Spruch (Anfangsbuchstabe w zur Bezeichnung) auftreten, den die Ausgleichung zu beseitigen hat. Die Messungen lx und Z₂ sind mit Verbesserungen zu versehen; es ist zu vermuten, daß das w, in das sich diese vt und v₂ zu teilen haben, gleich zu verteilen wäre, wenn die Gewichte der l gleich sind, im andern Fall werden die einzelnen v wohl umgekehrt proportional den Gewichten aus-fallen. Die gesuchten Verbesserungen vx und v₂, die an den lx und l₂ anzubringen sind, geben

xi — h + vi oder vx = xx — l X% ⁼ ^2 + ^2    }

Ziehen wir (10) von (9) ah, so wird

(ccx — lx) +    — l₂) = — w

(11)

i•>

v₂ — x₂ 1₂ ■

oder gemäß (11)

(12)

V1 + V2 + W = 0,

wie auch unmittelbar klar ist: der Widerspruch w muß eben durch Verteilung (mit andern Zeichen) auf vx und v₂ beseitigt werden. Die Verteilung hat so zu geschehen, daß nach dem Grundsatz der Methode der kleinsten Quadrate

(13)

9ivl + 9^1 = Min. wird. Die obige Vermutung über diese Verteilung würde geben:

(14)

9i

+4’

v₂= — w-~

9a .

9a

daß dies in der Tat zutrifft, ist einfach so zu zeigen: die zwei Messungen lx und l₂ sind nicht unabhängig voneinander, die ausgeglichnen Werte sind durch eine Bedingungsgleichung (9) verbunden oder es besteht für die v die Bedingungsgleichung (12). Man kann aber auf den Fall unabhängiger Messungen zurückführen: für xx liegen zwei Messungen vorr die eine ist lx mit dem Gewicht gx, die zweite aber ist (s — l₂) mit dem Gewicht g₂. Diese zwei Messungen sind unabhängig voneinander. Es ist also nach dem „allgemeinen arithmetischen Mittel“ (vgl. (4)) zu setzen:

oder, da gemäß (10) s — ^2 = ^ — w ist,

(15)

xx

9i li + 9a (s ~ h)

01+02

01 ?1 + 02 k— <7-2 W _ (01 + 9a)k ~ Ö2W

oder

01+02

oder endlich, im Zähler und Nenner mit gxg₂ dividiert:

(16)

i-*

tH

wie in (14) angegeben. Ebenso wird natürlich

(18)

Es ist also in der Tat, wie vermutet, der Widerspruch w proportional den Gewichtsreziproken zu verteilen; da man für die Proportionalzahlen

~ auch die Strecken setzen kann, so kann man (17), (18) auch schreiben: xi~li z-i-7 - h ₈

(19)

ts

7 w - ls , x₂ = l₂ —

d. h. w ist proportional den Strecken zu verteilen.

Die Betrachtung kann leicht auf direkte Messungen beliebig vieler Unbekannter mit bekannter Sollsumme ausgedehnt werden; auch hier hat die Verteilung des Widerspruchs proportional den Reziproken der Gewichte der einzelnen Größen zu geschehen. Wir wollen auf die Ableitung der m. F. in diesem Fall hier nicht eingehen, sondern uns an der Bestätigung der nächstliegenden Überlegung auch für die einfachste Aufgabe bedingter direkter Messungen durch die Methode der kleinsten Quadrate genügen lassen.

23. Zahlenangaben über die Fehler der Längenmessung auf ebener Strecke. Nach den Aufstellungen der Nrn. 19. bis 22. sind die folgenden Angaben ohne weitres verständlich. Man hat beim Gesamtfehler einer Latten- oder Bandlängenmessung zu unterscheiden den regelmäßigen und den unregelmäßigen Fehler. Der erste ist proportional der gemeßnen Strecke s, der zweite im wesentlichen als der Ys proportional anzusehen. Der Gesamtfehler hätte hiernach den Ausdruck

f— -f- c^]/s}

wobei dem zweiten Glied rechts von selbst das Vorzeichen + zukommt. Der zulässige regelmäßige Fehler ist u. a. abhängig von dem zugelaßnen Fehler in der Länge einer Meßstange (Abweichung von ihrem Sollmaß). Wenn z. B. für die gewöhnlichen Aufgaben der Feldmessung öm-Stangen nicht beanstandet, sondern als richtig angesehen werden, die nicht über iy₂ mm nach oben oder unten von der Sollänge 5000 mm abweichen, so

allein aus dieser Quelle möglich, bei

m also schon bis zu 3 cm. Da alle Abweichungen der Stange bis zu dem zugelaßnen Maximalbetrag möglich sind, so wirkt in gewissem Sinn dieser Fehler, trotzdem er proportional s ist, wie ein zufälliger Messungsfehler, und man kann ihn mit dem unregelmäßigen Messungsfehler, dem zweiten Glied rechter Hand in (1) entsprechend, in die Form

f=VV² + M

zusammengefaßt denken, wobei nun das erste Glied unter der Wurzel dem regelmäßigen Fehler, das zweite dem unregelmäßigen (vor allem An-

(i)

sind Abweichungen bis ^1,5 •

mm

100

(2)

reihe-) Fehler entspricht. Ist s die Entfernung zwischen Punkten, an denen die Anlage des Längenmeßwerkzeugs und die Ablesung einem bestimmten Fehler ausgesetzt ist, der von s nicht abhängt, einem konstanten Fehler (im Sinn von 19., 2. aber hier ebenfalls mit dem Zeichen + zu denken), so wäre in (2) unter der Wurzel noch ein entsprechendes Glied beizufügen, also zu setzen

(3)

/ — y\s² -j- Jc.₂s -f- 7% .

Wenn der Anfangs- oder Endpunkt einer gemeßnen Linie ein gewöhnlicher, oft nur roh behauener Markstein ohne besondres Zeichen ist, so kann der Anfangs-(Anlege-) oder Ablesefehler leicht + 2 cm und mehr betragen. Die Koeffizienten in (1), (2), (3) ergeben sich aus Versuchsmessungen; solche sind vielfach in ausgedehntem Maßstab angestellt worden.

Bleiben wir bei der Form (1). Der Verf. läßt in den ersten Winterübungen der Studierenden (Bauingenieure, die dabei fast ausnahmslos die Meßlatten zum erstenmal in die Hand bekommen) Strecken vou 80 m m mit denselben Latten und mit dem 20 m-Band mehrfach hin-und zurückmessen und c₂ nach dem Verfahren von 20., 5. und 6. berechnen. Für Messungen mit 5 m- und 3 m-Latten (nur ausnahmsweise 4 m-Stangen) haben sich in jetzt vielen Hunderten von Versuchen auf ebenem hartem nicht zu glattem Boden (Kies, Spielplätze, Gehwege in der Stadt) Zahlen ergeben

c₂ = + 0,2 mm (sogar oft noch etwas weniger) bis + 2 mm

(ausnahmsweise auch noch mehr, wobei aber natürlich wenig sorgfältige Messung nachweisbar war). Bei den Messungen mit 3 m-Stangen ist in der Tat c₂ merklich größer als bei 5 m-Stangen, wie es die Betrachtung von 20. 5. verlangt. Als Gesamtmittel dieser Anfängermessungen, und 3 m- und 5 m-Stangen ineinandergerechnet, läßt sich ansehen

c₂ = + i bis 1%

was also ohne längere Übung erreichbar ist.

Für das Meßband, an Bandstöcken und, von den Gehwegen abgesehen, mit Zählnägeln gehandhabt, ohne Kontrolle des Handzugs und der Temperaturveränderungen, ergaben sich weit größere Zahlen, 4, 5 und mehrmal so groß.

Was den regelmäßigen Fehler in (1) angeht, der vorhanden ist, wenn mit Latten von genau richtiger Länge gemessen wird, so ist, wenn nur nach einzelnen die Messungslinie bezeichnenden Stäben gemessen wird, zu vermuten, daß cx in (1) für Lattenmessung meist ein kleiner negativer Betrag sei, für 3 m-Stangen vielleicht etwas größer als für 5 m-Stangen. Dies trifft in der Tat zu und zwar ist für diesen Fall, Messung mit 5 m-Latten nach Stäben in etwa 30 m Abstand voneinander,

cy durchschnittlich etwa = — 0,1

oder etwas mehr, bis — 0,15 mm, für 3 m-Latten meist noch etwas mehr. D. h., wenn man mit richtigen 5m-Latten nach einzelnen Stäben der Linie eine Strecke = 100,00 m gefunden hat, so ist sehr wahrscheinlich die

bis 150

(4)

(5)

(6)

mm

mm

Zahl 100,00 — (0,1 • 100 mm) = 99,99 m besser als 100,00. Es läßt sich dies auch so ausdrücken: bessere Zahlen als mit richtigen Stangen erhält man, beim Messen nach einzelnen Stäben, mit Stangen, die etwas länger sind als ihr Sollmaß, bei 5 m Stangen etwa 0,5 bis 0,8 mm, bei 3 m-Stangen etwa 0,4 mm. Man wird aber doch im allgemeinen die Stangen nicht tatsächlich etwas länger machen als ihre Sollänge; denn man kann gelegentlich diesen regelmäßigen Fehler auch stark zurückdräu gen. Wenn z. B. längs gespannter Schnur gemessen wird statt nach einzelnen Stäben, so fällt meist fast der ganze regelmäßige Fehler weg.

Es mag gleich hier eine Zwischenbemerkung stehen über den Betrag der Korrektion wegen Abweichung aus der Geraden: wenn mit einer Meßstange von der Länge l so aus der Geraden abgewichen wird, daß ihr eines Ende in der Geraden liegt, das zweite um e von der Geraden entfernt, so ist die Projektion dieser Lattenlage l auf die Richtung der Geraden gleich j/2² — e² = I j/l

Vergleich mit l klein sein wird, = 111 — ^jA = l —

oder, da stets e im

~T²

d. h. man hat mit dieser Stangenlage um ^ zu viel gemessen. Würde man die nächste Stange so legen, daß man mit dem Endpunkt dieser zweiten Lage wieder in die Gerade zurückgebracht wird, so wäre in beiden Lagen zusammen der Fehler

e²

e²

und zwar stets mit demselben Zeichen: die gemeßne Strecke ist zu groß. Ist e allmählich entstanden, d. h. bedeutet h nicht die Länge einer Stangenlage, sondern eine größere Strecke, so ist ^

meist ziemlich unschädlich, und es ist eine wichtige Regel für die Längenmessung, daß man, wenn bei Messung nach nur einzelnen die Gerade bezeichnenden Stäben ein gewisses e allmählich entstanden ist, nun nicht plötzlich mit dem Ende der nächsten Latte, sondern allmählich in die Gerade zurückgehen soll. Der

ß%

einseitige Fehler — gilt auch für den Fall, daß e die Differenz der Abstände der Latten-läge l von der Messungslinie ist. Dieser Fehler beträgt für

e²

I — 5m- Latten

1 — 3 m-Latten

e²

e²

21

21

2 2 2 lO

cT cT cT

IsO

~o o o

3 2 2 2 2 2

0,1 m

0,2 m

0,5 m

1,7

6,7

41,7

mm

mm

mm

Die wenigen Zahlen zeigen, daß in der Tat die für 3 m-Latten erforderliche negative regelmäßige Korrektion größer sein wird als für 5 m-Latten, im Verhältnis 5:3 oder 1,7 : 1.

Erwähnt sei hier auch noch, daß, falls ein Messungshindernis durch ein Ausweichdreieck mit den Schenkellängen \ und l₂ und der dagegen nicht großen Höhe e = Abweichung der Spitze aus der Geraden umgangen werden kann, geradezu

/ 6^ 6^ \

I —- -j—~) dadurch gleich an Ort und Stelle an der Messung an-

\2i₁    21₂/

die Korrektion —

gebracht werden kann, daß die Latte nach der jenseitigen wieder in der Geraden liegenden Ecke des Ausweichedreiecks um den genannten Betrag in der Messungslinie weiter hinausgelegt, statt mit der letzten Stange zusammengestoßen wird.

Für das Meßband ist bei Handhabung an Bandstöcken ohne Meßvorrichtung für die Spannung und ohne Temperaturmessung über den regelmäßigen Fehler wenig zu sagen. Man darf bei der Vergleichung von Band und Stangen aber nicht vergessen, daß mit diesen Vorrichtungen und insbesondere einer feinen Anreihevorrichtung der einzelnen Meßbandlagen das Stahlband ebenfalls großer Genauigkeit fähig ist, so daß sogar feine „Grundlinienmessungen“ (vgl. 25.) mit schmalen Stahlbändern, allerdings nur bei Nacht in wenig schwankender Temperatur gemacht werden. Für unsre Zwecke ist das Stahlband hier vorläufig nicht weiter zu verfolgen.

Bei „Vermessungsvorschriften“, z. B. im Katastervermessungswesen der verschiednen Staaten, gibt man für die einzelnen Messungen nicht mittlere Fehler an, sondern „Fehlergrenzen“, die unter keinen Umständen überschritten werden dürfen und die man im allgemeinen gleich dem Dreifachen des zugrund zu legenden m. F. annimmt. Als Beispiel sei hier angeschrieben, was in der Katastervermessung der zwei größten deutschen Staaten und von Württemberg an wichtigsten Vorschriften für die Genauigkeit der Längenmessung gegeben ist. Die Fehlergrenzen sind zu verstehen für den Unterschied zweier unabhängiger Messungen derselben Strecke s Meter.

In Preußen ist über die Längenmeßwerkzeuge bestimmt, daß sieb 5 m-, 3 m-

von ihrer Sollänge ent-Für die Messung sind drei Geländeklassen nach der Schwierigkeit unterschieden, von denen hier nur die I., günstige Verhältnisse herausgegriffen ist (über die II. und III. vgl. den Schluß von 24.). Es darf der Unterschied dj zweier unabhängiger Messungen der Strecke s unter günstigen Messungsumständen (horizontale oder gleichförmig geneigte Strecke, s. die folg. Nr.) im Maximum nicht größer sein als

dj = 0,01 ]/'4 s^0,0Ö5 s²;

es ist also die Form der Gleichung (2) gewählt. Für s — 100 m gibt diese Gleichung z. B. die Fehlergrenze dj = 0,21m, also eine leicht einzuhaltende Grenze, auch bei Anwendung verschiedner Latten: sind z. B. die 5 m-Latten der einen Messung je um den Maximalbetrag 1,6 Maximalbetrag 1,3 herrührenden Unterschied 7%

In Bayern besteht die Vorschrift, zunächst ohne Unterscheidung verschiedner Geländeklassen, Unterschieds grenze zweier Messungen

d = 0,007 )/s -(- 0,02 ;

dies gibt z. B. für s=100m d nur = 0,09 m. Sind jedoch die zwei Messungen nicht mit demselben Werkzeug gemacht, so darf sich die Unterschiedsgrenze erhöhen um 0,0003 s, für s=100m um 3 cm, zusammen also 12 cm; ferner ist für weniger günstiges Gelände eine Überschreitung der Grenze gestattet. Die Meßstangen dürfen bei 5 m Länge bis zu 1,5 20 m-Band bis zu 3,0

In Württemberg endlich sind drei Geländeklassen unterschieden und es ist für die Fehlergrenze die Form (1) zugrund gelegt; der größte Unterschied zweier Messungen auf günstigem Gelände I darf nicht größer werden als

dj = 0,01 ]/s + 0,0005 s

und 2 m-Latten um nicht über 1,6 fernen dürfen, das 20 m-Stahlband um nicht über 3,5

mm

, 1,3

mm

und 1,1

mm

mm.

mm

zu lang, die 3 m-Latten der andern Messung je um den zu kurz, so gibt dies auf 100 m erst den vom Lattenfehler

mm

cm.

mm

, bei 3 m bis 1

mm

von der Sollänge abweichen, das

mm.

Staffelmessung mit Latten.

GO

i—4

oder bei s = 100 m nicht größer als 10 -J- 5 = 15 cm. Dabei sind für die Meßstangen selbst dieselben Fehlergrenzen wie in Preußen vorgeschrieben. Sind ferner die Endpunkte der zu messenden Strecke gewöhnliche Marksteine, so darf zu dem Betrag dj ein Zuschlag von 2 mal 5

gemacht werden.

Es ist bereits erwähnt und sei hier nochmals betont, daß diese Kataster-Fehlergrenzen für andre Zwecke zu weit sind; unter diesen seien z. B. Stadtvermessungen, dann besonders auch technische Messungen, z. B. Absteckungsarbeiten hervorgehoben.

cm

24. Längenmessung auf nicht horizontaler Strecke. Vervollständigung der Genauigkeitsangaben am Schluß von 23.

Alles Vorstehende bezog sich auf den einfachsten Fall der Längenmessung auf horizontaler Strecke und dies gilt im wesentlichen auch für die Vorschriften am Schluß von 23. Ist die zu messende Strecke nicht horizontal, so ist die Strecke in unserm Sinn (vgl. 6.) die Horizontalprojektion der Verbindungslinie der Endpunkte und um die Ermittlung dieser Horizontalprojektion handelt es sich also. Am allgemeinsten brauchbar für diesen Fall ist

1. die sog. „Staffelmessung“ Man mißt mit zwei oder hier auch vielfach nur mit einer Latte „in Staffeln“; im ersten Fall sind am besten drei Leute tätig, im zweiten Fall jedenfalls zwei Leute erforderlich. Jede ^

Stange wird nach Augenmaß horizontal gehalten und es wird vom Endpunkt jeder Stange mit einem Senkel

mit schwerer Birne--———

und feiner Schnur— beimBergabmessen    B

auf den Boden abgesenkelt, beim Bergaufmessen vom Boden heraufgesenkelt, um den Anfangspunkt der nächsten Lattenlage zu erhalten.

Am günstigten ist das Bergabmessen und der Fall einer Bodenbeschaffenheit, bei der die spitze Senkelbirne beim Abloten im Boden stecken bleibt: der Faden des Senkels wird an das Stangenende angehalten (wenn die Stange ovalen Querschnitt hat, wird sie hochkantig gehalten, auch kann zur Aufnahme des Senkelfadens der Endschuh eine kleine Kerbe erhalten), und nachdem die Birne in einigen Ruhe gebracht ist, der Senkel mit kurzem ruckweisem Nachlassen des Fadens auf den Boden fallen gelassen. Wenn der Senkel nicht stecken bleibt, so ist wenigstens der Eindruck der Spitze im Boden festzuhalten. Dies ist eine gute Bezeichnung des Anfangspunkts für die nächste Lage der Stange, wenn sie auch nicht ganz so genau ist, wie das unmittelbare Zusammenlegen zweier Stangen bei der Messung auf horizontaler Strecke. Noch weniger genau ist beim Bergaufmessen das Heraufloten des Endpunkts der Stange und Anrücken der folgenden Lage an den Senkelfaden; je nach der Beschaffenheit des Bodens kann aber das Verhältnis sich auch umkehren. Wenn der Boden z. B. mit Gras bewachsen ist, so ist das Abloten beim Bergabmessen oft wenig sicher möglich, während das Aufloten bei sorgfältiger Aufsuchung des Stangenendes leichter geht; auf moosigem

Hammer: elementare praktische Geometrie.

iff

Fig. 53.

rr

cm

Höhe über dem Boden zur

Waldboden ist das Absenkeln mit dem Schnürsenkel oft ganz unmöglich. Das im Wind schwankende Schnurlot ist vielfach durch einen Lotstab (von nicht rundem, sondern rechteckigem Querschnitt) ersetzt worden, an dem eine (zu berichtigende) Libelle zur Vertikalstellung in der Messungsrichtung dient: die hintere Fläche des Stabs (im Sinn der fortschreitenden Messung) wird an das Ende der horizontal liegenden Stange angelegt, der Stab vertikal gestellt und die hintere Fläche dient wieder als Anfangspunkt für die folgende Stangenlage usf. Indes ist ein solcher scharf geradkantiger, mit Libelle versehener Lotstab nicht überall zur Hand, während man den Senkel ohnehin braucht. Auf komplizierter gebaute „Staffelapparate“ ist hier nicht weiter einzugehen.

m-

Je stärkere Steigungen oder Gefälle Vorkommen, desto bequemer wird für die Staffelmessung die Verwendung einer kürz er n Latte statt der 5 Latte, die der 4 m- oder 3 w-Latte. An steilen Böschungen hinauf oder hinunter kann man nur eine 3 m-Latte, oft sogar nur eine 2 m-Latte anwenden; übrigens kann endlich gelegentlich auch bei einer längern Latte (5 m) nur ein Stück abgesenkelt oder auf sie heraufgesenkelt werden.

Fast alles kommt bei dieser Staffelmethode auf gutes Festhalten des Endpunkts der Latte an, die hier nicht mehr mit ihrer ganzen Länge, sondern nur noch mit einem Punkt oder höchstens ganz kurzer Strecke auf dem Boden aufliegt. Zn verwerfen ist deshalb auch die fast überall gegebne Vorschrift, man soll, um die horizontale Lage der Latte ohne besondres Werkzeug zu erkennen, mit ihr einen Kreisbogen beschreiben und an der der größten Ausladung entsprechenden Lage ab-

Fig. 54.

senkeln; denn der Anfangspunkt der Latte ist dabei selbst bei großer Sorgfalt nicht genügend festzuhalten, die Bezeichnung des Anfangspunkts geht verloren oder wird verschoben (z. B. die im Boden steckende Senkelbirne angestoßen) usf. Es ist besser, die Latte nach Augenmaß horizontal zu halten; die Genauigkeit, mit der dies geschehen muß, ist nicht sehr groß und das Auge für horizontale Richtung genügend empfindlich (wenn auch nicht ganz in gleichem Maß wie für die vertikale Richtung). Ist die Latte von der Länge l um den (nicht großen) Winkel v geneigt statt horizontal, so ist der Fehler des abgesenkelten Endpunkts

V

x — l — l cos v — 21 sin² — .

Wie groß darf hiernach, statt daß die Latte horizontal gehalten wird, v werden, damit x nicht über ¹/i

(1)

mm

beträgt? Antwort: es ist hier

(2)

21 sin= 4 2 T

mm

V    1

zu setzen, also bei Messung mit einer 5 m-Latte, d. h. 21 — 10 000 mm, sin² ^ = - —

V

oder sin —

20000

V    1

^    • 3438' = 24', 3, v = 49' oder rund s/₄°. Der entsprechende

141 ’

Höhenfehler in der Haltung des frei in der Luft befindlichen Lattenendes ist also h = ±-b00

cm = 7 cm.

Diese Fehlergrenze kann mit freiem Auge wohl eingehalten

Staffelmessung mit Latten und mit dem Band.

83

werden. Höchstens kann man eine grobe Bleiwage (Lotsetzwage) oder grobe Libellensetzwage, wie sie von Baubandwerkern verwendet werden, auf die Latte bringen. Die folgende kleine Tabelle enthält einige zusammengehörige Werte von x, v und h für 5

m-

und für 3 m-Stangen:

5 m-Latten.

3 m-Latten.

zugelass. x

sin v

zugelass. x

sin v

3 3 3 3 3 3

o* cT r-T

0° 22 0° 49' 1° 9'

3 cm

7 cm

10 cm

o* cT -r-T

0°28' 1° 3' 1° 29'

Cv i\S Kf-*>

6    ft    fi

3    3    3

Für 5 m-Latten merke man sich auch schon bei dieser Gelegenheit die Regel: weicht das eine Lattenende um einige ck, z. B. h 2m von der Horizontalen durch das andre Lattenende ab, so ist der Unterschied zwischen der Lattenlänge (5000 mm) und ihrer Horizontalprojektion (x in der obigen Bezeichnung)

(3)

x = (/i(tW))²

z. B. oben in der Tabelle h = 10 ent = 1 <2m, gibt x = (l)²mw

Eine ähnliche Regel für das 20 m-Meßband lautet: liegt das Band um £>% geneigt (vgl. den Anfang von 2.), so ist es länger als seine Horizontalprojektion um

mm;

= 1,0

ntnt.

(3 a)

oder ist wieder h 2m der Höhenunterschied zwischen beiden 20 m-Band-stöcken, so ist

(3b)

(Ä(3 m))²

mm .

Mit dem Stahlband ist die Staflfelmessung weniger bequem als mit Latten, falls es sich nicht um geringe Neigungen der zu messenden Strecke handelt; bei etwas großem Neigungen kann man ein 10 ■m-Stahl-band statt des 20 m-Bands nehmen, erreicht dann aber in Beziehung auf Geschwindigkeit der Messung kaum noch einen Vorteil gegen die Latten

messung.

Bei kurzen Strecken, 10 m, 20 nt u. dgl., die als Ordinaten links und rechts senkrecht zu einer Aufnahmslinie mit 3 m-Latten hinausgemessen werden, darf man, wenn es z. B. auf 2 cm Fehler in der Strecke nicht ankommt, beim Bergauf- und Bergabmessen, z. B. an einem Damm, oder beim Wegmessen über ein Messungshindernis, gelegentlich unbedenklich einen runden Fluchtstab statt des Schnurlots oder des kantigen Lotstabs mit Lot oder Libelle verwenden; man mache sich nur zur Regel, den Stab ganz oben zwischen zwei Fingern zu fassen, so daß er sich selbst vertikal hängt.

2. Messung auf genau gleichförmig fallender oder steigender Strecke: Messung mit Zwischenmaß oder mit „Zugeben“. Solche Strecken kommen vielfach vor. besonders auf Bahnen und Straßen. Die

Neigung einer Bahnstrecke wird stets in der Form 1: n angegeben, d. h.

auf n vw horizontal lm in die Höhe oder Tiefe. Diese Neigungen sind neben der Bahnlinie auf Neigungstafeln (Gradientenzeigern) angeschrieben. Hier ist also stets die vertikale Kathete in dem Gefällsdreieck die runde Zahl 1, je größer die horizontale Kathete n, desto kleiner die Neigung.

Der Bruch - ist die tang des Neigungswinkels; da hier meist nur ziem-n .1 lieh kleine Neigungen Vorkommen, so kann man in der Regel - • q als

Neigungswinkel in Gradmaß annehmen. Auf Hauptbahnen (mit Schnellzügen) geht n nicht unter 40 herab; auf Nebenbahnen kommen allerdings viel größere Neigungen (kleinere n) vor. Das Gefälle der Straßenstrecken wird in Prozentform angegeben, 3¹/₂%, 2,32 v. H., p°/₀, d. h. auf 100 vw horizontal gemessne Strecke p vw in die Höhe oder Tiefe; hier ist stets die lange horizontale Kathete des Gefällsdreiecks die runde Zahl , die vertikale Kathete die in der Regel nicht runde Zahl p. Der

Bruch ^ ist die tang des Neigungswinkels. Beide Arten der Gefälls-

angabe sind wesentlich identisch, indem eben die tang des Neigungswinkels genannt wird, bei der Bahn mit der Einheit als Zähler, bei der Straße mit 100 als Nenner. Ist p die Neigung in Prozenten, n der Neigungsnenner in der Form 1: n für eine und dieselbe Strecke mit gleichförmiger Neigung, so besteht die Beziehung

= 100

100

100

p =--

L n

Ist nun auf einer Strecke zu messen, die genau gleichförmig mit 1: n fällt oder steigt, so kann die Messung genau ebenso bequem wie auf horizontaler Strecke gemacht werden, indem die Stangen nicht nur mit

einem Ende aufliegend und sonst horizontal in der Luft gehalten zu werden brauchen, sondern wieder ganz auf den Boden gelegt werden. Um aber nicht die schiefe Strecke zu erhalten, die sich beim Zusammenstößen der Stangen ergeben würde, sondern die „auf die Horizontale reduzierte“ Strecke, die wir ja messen sollen, ist ein bestimmter Zwischenraum z zwischen je zwei Stangen zu lassen, es ist „zuzugeben“ das Zwischenmaß oder die „Zugabe“ z. Ist l die Länge des Meßwerkzeugs, so ist in dem durch die horizontal gelegt gedachte Stange und die Projektion ihres Endpunkts gebildeten Gefällsdreiecks der Figur 55 die horizontale Kathete l, demnach die vertikale , also das Zwischenmaß z zu finden aus

-jS«

(5)

2.

Fig. 55.

hier ist n eine im allgemeinen nicht kleine Zahl, n² also eine in der Regel ziemlich große Zahl, ei*¹ kleiner Bruch, folglich

CB [

(1 + ^) ⁼¹ +

die hohem Potenzen der Entwicklung dürfen vernachlässigt werden. Es ist somit

(6)

oder das gesuchte Zwischenmaß z zu bestimmen aus

(?)

2w²

Diese Gleichung ist sehr wichtig. Zwei Beispiele mögen ihren Gebrauch zeigen: 1. man mißt mit 5 m-Latten auf einer Straßenstrecke von 5% Steigung, welches Zwischenmaß muß zwischen je zwei Latten bleiben (was ist jeder Latte zuzugeben), damit man horizontale statt der schiefen

Strecken erhält? Hier ist n =

¹⁰⁰ c)n i 1    1

5    ’ aS° 2n% 800⁷

maß z — der (horizontal gedachten) Länge oder für 5 m-Latten |o°₀Q = 6,3 mm ; für 3 in-Latten wäre z = ³₈⁰₀°₀° = 3,8 für die 5 m-Latten stimmt auch die Regel der frühem Gleichung (3):

, hier ist h in dm = -dm — ^ dm = 2^, '    n    20    2⁷

2. Mit einem Stahlband von 20 m Länge

und Zwischen-

mm

. Mit z = 6V₄

mm

z für 5 m-Latten = (h (Dm))2 somit z = (2|)²

wird auf einer geraden Strecke einer Bahn mit 1 : 50 Gefälle gemessen. Welches Zwischenmaß ist beim Aneinanderreihen der Meßbandlagen zu lassen, um sogleich an Ort und Stelle den Abzug der „Reduktion auf die Horizontale“ zu machen? Mit n = 50 (in Prozentform, die aber wie erwähnt bei Bahnen nicht üblich ist, wäre p = ^ = 2) wird z = 25Q0 2

der Länge oder beim 20 m-Band z = 4 Regel (3a): z für 20 m-Band = (p(°/p))²mm, da hier p = 2 ist. Die Beispiele zeigen, daß es sich selbst bei nicht ganz geringen Neigungen um kleine Zwischen maße handelt; es ist aber nicht zu vergessen, daß bei /i-mal größerer Neigung die Reduktion oder das Zwischenmaß 7c² mal größer wird.

mm

in nt

mm.

mm

; übereinstimmend mit der

Vielfach ist zu empfehlen, bei Linien mit einigermaßen gleichförmiger nicht großer Neigung diese in °/₀ zu schätzen, worin man bald große Übung erhält, um danach dem Messenden das notwendige Zwischenmaß z anzugeben. Bei kleinem Neigungen wird man so z fast immer auf mindestens ]/2 Latten; der Fehler ¹/i

2°-i

einer solchen Strecke konstanter Neigung zahlreiche Zwischenpunkte abzulesen sind,, wie bei Kleinaufnahmen fast stets, so ist das angegebne Verfahren besonders bequem,, weil man dann bis zu jedem dieser Zwischenpunkte sogleich die horizontale Strecke angeben kann; fiir die Ablesung am Stab oder Pflock ist, wenn man wie gewöhnlich auf 1

wenn z selbst 1

die letzte volle Stangenlage überschießenden Ablesung b den Abzug ~ • z machen.

mm

cm

genau treffen bei 5

gibt bei 20 Lagen erst einen einseitigen Fehler von , der sich ohne Schaden mit andern Fehlern vermischt. Wenn an

mm

m-

mm

cm

abliest, nicht notwendig, die betreffende Lattenlage horizontal zu halten, ist, man kann höchstens bei großen Zugaben z an der über

cm

3. Fortsetzung: Gleich förmig geneigte Strecke ohne Z wisch, en-punkte. Ist eine gleichförmig fallende oder steigende Strecke ohne Zwischenpunkte zu messen, was z. B. hei Polygonseiten (vgl. Kap. 4.) vorkommt, so ist es viel bequemer, statt wie in 2. zwischen je zwei Latten- oder Bandlagen das Zwischenmaß z zu lassen, zunächst die schiefe Strecke s ganz zu messen, d. h. die Latten wieder auf den Boden zu legen, aber ohne Zwischenmaß zu lassen, vielmehr zusammenzustoßen, und ebenso mit dem Band in Stücken parallel mit der Gefällslinie, aber ohne Zwischenmaß zu messen. Die ganze schiefe Strecke 5 ist dann nach Schluß der Messung „auf die Horizontale zu reduzieren“. Der dazu erforderliche Abzug a ist gegeben durch

(8)

t-S !5

a = s — s₀ = s — s cos a = 2 s- sin²    ,

wenn a der Neigungswinkel ist, oder für kleinere a, so lange 2 sin^ = sin a 1 ^

= tg a = — = Neigungsverhältnis gesetzt werden darf

a =

(9)

2 w²

Zur logarithmischen Rechnung nach (8) in der letzten Form genügen drei-bis vierziffrige Logarithmen stets; will man dagegen die auf die Horizontale reduzierte Strecke s₀ direkt nach der Form

(10)

s₀ = s • cos a

rechnen, so braucht man schon bei nicht sehr hoher Genauigkeit sechs-zififrige Logarithmen. Besonders bequem ist die Rechnung des Abzugs a nach (8) oder (9), wenn für die vorkommenden Neigungswinkel a oder Neigungsverhältnisse 1: n die Werte: Abzug für lm schiefer Länge fabuliert vorliegen. Eine solche Tabelle wird unten in 4. mitgeteilt. Der Winkel a oder das Neigungsverhältnis 1: n muß hier bei Rechnung nach (8) oder (9) genügend genau bekannt sein, bei nicht ganz kleinen Neigungen genauer als durch Aufsetzen eines der kleinen in 4. zu erwähnenden Instrumente möglich ist. Soll z. B. in der Berechnung des Abzugs a kein größerer Fehler als 5 mm vorhanden sein wegen des Fehlers in a bei einer Strecke s = 100m, so erhält man zur Bestimmung der erforderlichen Genauigkeit von a aus (8)

(11)

da = s • sin a • da oder

(12)

da' =

da

s ■ s in cc

also mit s = 100 m, da = 5 mm

l'

(13)

5-3438'__

1Ö0000 • sin u 5,82 • sin ct

Dies gibt bei a = 5°, 10°, 15°, 20° Neigungswinkel der Reihe nach da — 2',0, F,0, 0',7, 0',5. Es ist also bei großem Neigungen schon recht genaue Kenntnis der Neigung erforderlich, damit die Korrektion a genügend genau bestimmt werden kann. Vgl. auch die Tabelle in 4.

4. Ein weitres Verfahren, besonders bei verschiednen Neigungen in der zu messenden Linie, besteht darin, daß man die Latten ebenfalls auf den Boden legt oder mit dem Band in schiefen Strecken von 20 m mißt und wieder die Lattenenden zusammenstößt oder die Bandlagen mit den Enden genau zusammenfügt wie auf ebener Strecke oder wie in 3., dagegen für jede einzelne Latten- oder Bandlage den Neigungswinkel a gegen die Horizontale mißt mit Hilfe eines besondern Instruments (Neigungsmesser, Klinometer) oder sogleich an einem ähnlichen Instrument den Abzug abliest, der an jeder einzelnen Lattenlage oder Bandlage anzubringen ist, um auf die Horizontale zu reduzieren. Zu dieser Neigungsmessung oder Reduktionsablesung sind eine Menge von kleinen Pendel- und Li-bellen-Instrumenten bestimmt, Gradbögen, Lattenreduktoren, Lattenreiter usf. bei den Stangen; Gefällmesser, Neigungsmesser, Horizontalmesser usw. bei dem Meßband. Die Instrumente sind bei der Stangenmessung zum unmittelbaren Aufsetzen auf die Latten, bei der Bandmessung zum Auf- oder Anstecken an einen Bandstock eingerichtet.

oj\0

Fig. 56.

Vielfach ist ein- und dasselbe dieser Instrumente als Pendel-Henkel-) und als Libelleninstrument eingerichtet. Die einfachste Form der Aufsetzinstrumente auf Latten ist in Fig. 56 angedeutet: AA ist die Aufsetzlinie des Gradbogens (sollte nicht unter 50 bis 60cm lang sein); ein schweres (unten breites) Pendel P hängt vom Mittelpunkt des geteilten Bogens TT herab; an diesem Bogen wird am Nullstrich der Schneide von P die Neigung oder die Reduktion z. B. einer 5m-Latte auf die Horizontale abgelesen; oft ist an zwei Teilungen von T übereinander an zwei Indizes von P beides ablesbar gemacht. Anforderungen: Drehpunkt 0 von P der Mittelpunkt der Teilung T; diese richtig; Aufsetzlinie AA des Gradbogens senkrecht zur Verbindungslinie von 0 mit dem Nullpunkt der Skale TT. Das Pendel muß so schwer sein und nach dem Umlegen so viel Reibung auf TT haben, daß nach dem Rückwärtsumlegen des Bogens und Hochnehmen statt bei aufgesetztem Bogen abgelesen werden kann. Prüfung des Bogens auf rechten Winkel zwischen Aufsetzlinie AA und Ö-Null durch Umsetzen auf genau denselben Punkten, wobei gleiche Ablesung sich zeigen muß; Richtigkeit der Teilung dadurch nicht geprüft, etwaige Exzentrizität des Drehungspunkts von P gegen den Mittelpunkt von T nur soweit, daß Drehungspunkt auf der Linie O-Null liegt. Das Prinzip der Libellenaufsetzgradbögen zeigt Fig. 57: PP die Metallplatte zum Aufsetzen auf LL (kann ziemlich kurz nur sein, wenn es sich um scharf geradkantige, prismatische Stangen handelt); um das horizontale Gelenk C ist der Arm AZ drehbar, auf dem die korrigierbare Libelle N festgeschraubt ist und der vorn einen Zeiger Z bei gleichförmiger Skale TT, d. h. dem Instrument als Geiällmesser in Graden usf., mit Nonius, trägt. Der Mittelpunkt der Kreisbogenskale TT muß mit ■dem Drehungspunkt 0 des Arms A Z zusammenfallen; die Gerade 0-0

muß genau parallel sein der Aufsetzlinie BB] die Teilung muß richtig sein. Bequem untersucht kann wenigstens werden die parallele Lage von CO und BB: man stellt den Zeiger scharf auf 0, setzt BB auf eine horizontale Linie LL auf und bringt die Libelle zum Einspielen durch Unterlegen von LL auf der einen Seite, setzt endlich vorsichtig und genau auf denselben Punkten von L das Instrument

um;

schlägt die Libelle aus, so ist der halbe Ausschlag an der Korrrektionsschraube der Libelle wegzubringen und der Versuch ist mehrfach zu

35- Z

ArvC_J

/ ° A.

-Ti

Fig 57.

Fig. 58.

wiederholen. Ein andres Prinzip (ungleichförmig gebognes Libellenglas) hat Schulze in seinem Lattenreiter verfolgt. Diese Aufsetzinstrumentchen auf Latten, kleine Pendel- oder Libelleninstrumente (die wie schon erwähnt,

vereinigt werden können), leiden vielfach an dem Übelstande, daß die Aufsetzpunkte der Benutzungslinie zu kleinen Abstand voneinander haben (so z. B. bei dem Schulzeschen Lattenreiter, bei dem oben abgebildeten Libellenneigungsmesser von Wimm er-Reiß Fig.58, der im übrigen den Vorteil sehr bequemen Transports hat, dem Deubelschen Instrument

usw.). Von den großem von Go ns er (schweres

Fig. 59.

Gradbögen hat ziemliche Verbreitung gefunden der Pendel mit Libelle daran). Von oben ablesbar, ohne daß er abgenommen werden muß, ist der vor zehn Jahren für die geodätische Sammlung der Technischen Hochschule angefertigte Gradbogen (Fig. 59), dessen Zeiger auf dem obern Teilungsstirnbogen spielt; ebenso ist von oben ablesbar, während das Instrument aufgesetzt bleibt, die auf einem horizontalen Steg aufgetragne Skale (Reduktionen für eine 5 wLatte) des Gradbogens (Lattenreduktors) von Krayl, der zudem sehr große Entfernung der beiden Auf-

setzpunkte auf den Latten zeigt, ohne daß das Instrument unhandlich oder für den Transport unbequem wird, weil es dazu in kleines Format zusammengelegt werden kann-, vgl. Fig. 60a bis 60c (Sch die Schuhe an

_Z

7.

Sp

Latte

MH

MUL

331

i vom 0

V V

liim I 1

0 3    04    05    0 6    0 7    0 8    0,9

IUI

jo

Fig. 60 a.

7» - e »V

Fig. 60 b.

dH

109 8 ?    6    5    4    3

g

Cf)

«!. 3. « 5.6.-7.Ö.9

Icm

2. *». 6.8.

uTnTTTTTn

g~4VZ

z -ujn

UI3

Fig. 60 c.    .

den Aufsetzpunkten A₁ und A₂, CC Yersteifungssteg, ZZ die Skale, in 60c im mittlern Teil gezeichnet, P das Pendel mit Libelle L; 60b das Instrument zusammengelegt). Die zwei zuletzt genannten „Gradbogen“ für Latten sind mir im Gebrauch am bequemsten vorgekommen. Ein einfacher

befestigt) sind in Deutschland besonders unter dem Namen Tesdorpfs Höhenwinkelmesser bekannt geworden (die Konstruktion stammt von Abney her), neuerdings führten auch Randhagen (s. oben), Butenschön (Bahrenfeld bei Hamburg) u. v. a. solche Instrumente aus.

Wo an den Lattenreduktoren oder Bandneigungsmessern sogleich die Reduktionen abgelesen werden, ist das Instrument zunächst nur für eine Lattenlänge oder Bandlänge brauchbar. Man kann zwar auch z. B. zwei verschiedne Skalen mit einem Zeiger für jede an dem Pendel oder Zeigerarm anbringen, ist dann aber Verwechslungen ausgesetzt. Wo zunächst die Neigungswinkel cc abgelesen werden, ist der Lattenneigungsmesser für jede Lattenlänge 5, 4, 3nr brauchbar, wenn dazu noch eine Tabelle vorhanden ist, die die Reduktionen (l ist die Länge des schiefliegenden Meßwerkzeugs)

l — l cos a — 21 • sin²

Neigungsmesser für das Meßband ist der „Horizontalmesser“ der preußischen Katasterverwaltung (F. Gr. Gauß), zum Aufstecken auf den nachfolgenden Bandstock, eine Verbindung eines Diopterröhrchens mit einem geteilten Bogen, Prinzip der Fig. 61: mit dem Diopter (am einen Ende des Röhrchens befindliches Okularloch und am andern horizontal ausgespannter Faden) wird nach einem Zieltäfelchen auf dem andern Bandstock gezielt, am Bogen TT wird am Pendel P statt der Neigung a sogleich die Reduktion eines 20 ™-Bandes auf die Horizontale abgelesen. Auch hier muß die Gebrauchslinie, diesmal die Ziellinie DD des Diopters auf dem Nullhalbmesser der Teilung 00 senkrecht stehen; bei Zielung bergauf und bergab, bei Aufstellung der Bandstöcke auf denselben festen Punkten A und B (das eine Mal Bandstock I in A, II in B, das zweite Mal umgekehrt), muß die Ablesung dieselbe sein links und rechts von der Null der Teilung. Auch derartige Neigungs- oder Reduktionsmesser für das 20 m-Band sind sehr zahlreich konstruiert worden; z. B. von Sickler in Karlsruhe (nach Zugmaier, groß und wenig handlich), von Randhagen in Hannover, Wolz in Bonn (nach Brandis und Ko 11, klein und im Gebrauch bequem). Bei diesen Instrumenten stellt gleichsam der schwere geteilte Kreis selbst das Pendel vor, indem er sich, einseitig belastet, nach der Auslösung von selbst in die zur Ablesung erforderliche Lage stellt. Selbstverständlich lassen sich auch Libelleninstrumente dieser Art herstellen; es wird bei ihnen die Blase einer kleinen Libelle mit Hilfe eines im Diopterrohr festsitzenden Spiegels in das Gesichtsfeld dieses Rohrs reflektiert. Solche Instrumente (Freihandhöhenwinkelmesser; in unserm Fall am besten an dem einen Bandstock

JA:

T,

je

<x\

Fig. 61.

"YD

OL

ausgerechnet liefert. Eine solche Tabelle folgt hier (s. S. 92 u. 93); Hauptargument Neigungswinkel a in alter Kreisteilung, rechtes Argument entsprechende Neugradzahl (l² = 100; lg (n. T.) = ,⁹₀ eines Grades alter Teilung),

weitres linkes Argument bis zu 6°: Neigung in der Form 1 :n und in Prozentform, s. oben bei 2. Intervall im Hauptargument 10' bis 4°, von dort an 5'. Bei über 10° Neigung ist mit dem Gradbogen bei gewöhnlich geformten Lattenenden nicht mehr zu messen, es ist besser abzusenkeln. Die erste Reduktionswertspalte liefert, auf 0,01 mm angegeben, die Zahl für 1 m schiefer Länge zur Reduktion langer durchlaufender genau gleichmäßig geneigterStrecken s auf die horizontalen Strecken s₀. Beispiel: schief auf 2° 52' geneigter Strecke gemessen s —137,485 m, die Tabelle gibt für 2°52' bei 1 m die Reduktion at = 1,22 + 5 • 0,15 = 1,25 zug an s

vnm

somit Ab-

a = 1,25 • 137,5 = 137,5 + 34,4 = 172 (im allg. Rechenschieberablesung) oder

s₀ = 137,313

min

114.

Die Tabelle reicht für ziemlich feine Messungen dieser Art aus. Eür gewöhnliche gerade abgeschnittne Latten sind die Reduktionen von 3 m, 4 m, 5m-Latten bis auf 1 mm abgerundet (Max. Fehler (4 mm) angegeben,

«2

7777777 777/7"'/'/'/ 7

Grundriß.

Fig. 62.

Fig. 63.

rffimwrm

Z’/y’/'/y'/'/y ’/v’/’/ VT?'/'/ '/'//'V⁷

Fig. 64.

für Schneidenlatten (s. u.) von derselben Länge bis auf yiomm genau (Max. Fehler y₂₀mm).

Bei diesem Auflegen jeder Latte auf den Boden und Messen der Neigung oder der Reduktion für jede Stange ist besonders bei stark wechselnden Neigungen der Fehler mit großer Sorgfalt zu vermeiden, der vom unrichtigen Zusammenstößen der Latten nach Fig. 62 herrührt; es ist bei solchen Brechungen des Gefalls streng die Regel: Lattenmitte gegen Lattenmitte legen zu beachten, sogar eine geringe Ausweichung des einen Lattenendes aus der Geraden (um z. B. 2 oder 3 cm, die nach 23. bei einer 5m-Latte nur etwa yiomm Fehler bringt) nach Fig. 63 ist besser als 62. Dieses richtige Legen der Latten „Mitte gegen Mitte“ wird erleichtert durch besondre Formen der Lattenenden, sog. Endschneiden, Endkanten an den Latten, die aber keineswegs sehr scharf zu sein brauchen. Solche „Latten mit Endschneiden“ oder kürzer Schneidenlatten liefern überall, auch in der Ebene, besonders aber eben bei Mes-

Reduktion schief gemessner Längen auf die Horizontale.

Steig.-1 Yerh. %

Neiggs-| winkel 1 m A. T.

Schneidenlatten Gewöhnl. Latten Band

3 m 4m 5m äO m

Neigungswinkel N. T.

1:

mm

mm

mm

mm

oo

344

172

115

_0 JD C> JD

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CO Ci

86

69

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76,0

46

61

76

304

11,11

sungen auf schiefen Strecken mit Ablesung der Neigungen oder Reduktionen eine wesentliche Verschärfung der Messung. Die Endschneiden sind die (absichtlich nicht scharfen, sondern mit sehr großem Keilwinkel,, rechtwinklig oder sogar stumpf, abgeschnittnen) Kanten keilförmiger Flächen am Stahlschuh der Latte, ygl. Fig. 64. Oft sind die Kanten sogar etwas abgerundet (Krümmungshalbmesser aber zweckmäßig nicht > 2 mm); sie sind an einer und derselben Latte so gestaltet, daß sie an den Enden der Latte gekreuzt stehen und daß das Zusammenfügen der Lattenenden nach Fig. 64 geschehen kann, stets „Mitte gegen Mitte“, wozu oft das eine Lattenende etwas zu unterlegen ist. Eigentlich sind Latten mit (scharfen) Endschneiden überhaupt nicht auf das Zusammenstößen berechnet, sondern es wird bei feinen Messungen ein kleiner Zwischenraum gelassen, der mit einem „Meßkeil“ für sich gemessen wird, vgl. 26.; bei der gewöhnlichen Streckenmessung auf dem Feld wäre auch für feinere Messung dieses Verfahren zu umständlich, hier kann es sich nur um Zusammenstößen der Latten mit den Endschneiden handeln, was aber sehr sorgfältig gemacht werden muß. Die obige Tabelle gibt für 3, 4, 5m-Latten mit Endschneiden die Abzüge wegen Schräglage auf 0,1 mm genau (für gewöhnliche Latten auf mm abgerundet, s. oben). Für die Zahl der Lattenlagen hat man bei dieser Messungsweise mit auf der schrägen Linie liegenden Latten und Notieren der Neigungswinkel oder der Abzüge eine weitre Probe (gegen grobe Fehler) in der Anzahl der Reduktionszahlen.

Fehlergrenzen für Längenmessung bei Katastervermessungen. Die am Ende von 28. aufgezählten Vorschriften einiger deutscher Staaten für Längenmessung auf horizontaler Strecke in der Feldmessung sind nunmehr zu erweitern für den Fall nichthorizontaler Strecken. Man kann hier nicht dieselbe Genauigkeit verlangen wie dort, denn es kommen neue Fehlerquellen hinzu; a) heim Staffelmessen: 1. Durchschlagen der Latte oder des Bandes (das nicht mehr so bequem zu spannen ist), Latten mit elliptischem Querschnitt sind zur Verringerung des Einschlagens hochkantig zu halten; 2. Fehler im Horizontalhalten; 3. Ablotungsfehler, die bei größrer Ablotungshöhe und ferner besonders hei wenig geeignetem Boden, endlich bei zu starker oder schwankender Senkelschnur große Beträge erreichen können; allein heim Abloten gibt es eine ganze Reihe von Fehlerquellen, wie überhaupt in jedem Falle der abgelotete oder aufgelotete Endpunkt der horizontal gehaltnen Stange ein weit weniger scharfer Anfangspunkt für die folgende Lattenlage ist als der Endpunkt der auf dem Boden liegenden Stange, h) Auch beim Anreihen von auf dem Boden liegenden Stangen, sei es nach 2. mit Zugeben (Zwischenraum) oder nach 3. 4. mit Zusammenstößen und Neigungs- oder Abzugsablesung sind neue Fehlerquellen im Vergleich mit der Messung auf horizontaler Strecke da: 1. nicht konstantes Zwischenmaß z bei gleichförmiger Neigung, bald etwas zu groß, bald etwas zu klein, wesentlich unregelmäßiger Fehler; 2. Fehler in der Neigungsschätzung für z, regelmäßiger Fehler; 3. Fehler in der Neigungsmessung und damit falsche Reduktion oder Schätzungsfehler in der Abzugsablesung; 4. Anreihefehler von der Art der Fig. 62 oder selbst hei Schneidenlatten, wenn nicht genügend Mitte- gegen Mitte gelegt wird. — Man wird also die für horizontale Strecken angenommenen Fehlergrenzen für andre Strecken mittlerer oder großer Messungsschwierigkeit erweitern müssen. Es ist schon am Ende von 23. angegeben, daß in der Regel Geländeklasse I = günstige Umstände (horizontale Strecken oder nur gelegentliches Absenkeln zur Überschreitung eines Hindernisses u. dgl.), II = mittlere Verhältnisse, III = ungünstige Verhältnisse unterschieden werden. Für 1. sind die in der preußischen, bayrischen und württembergischen Katasterverwaltung gelten-

den Vorschriften in 23. genannt (nebst einigen weitern Angaben); sie sind hier mit II. und III. nochmals mit angeschrieben. Die Zahlen gehen stets die Beträge an, die von den Unterschieden zweier unabhängiger Messungen derselben Strecke nicht überschritten werden dürfen; s und d sind in Metern zu nehmen.

Preußen.

(Anweisung von 1881)

Bayern.

(Kat. Inst, von 1898)

Württemberg. (Anweisung von 1895)

aus-

I = „ebenes oder wenig unebenes und auch sonst nicht ungünstiges Terrain“; 11= „mittleres Terrain“; III = „sehr unebenes oder sonst ungünstiges Terrain“.

dL = 0,01 pAs ~f- 0,005 s2 djj = 0,01 |/6s -f 0,0075s-djix = 0,01 |/8s -f 0,01s*

Für Polygonstreckenmess u n g:

d = 0,007 j/s -f 0,02; wird die zweite Messung nicht mit denselben Meßwerkzeugen ausgeführt, so j erhöht sich die Grenze um : 0,0003 • s.

In ungünstigem Gelände ist Überschreitung der Fehlergrenze um y, (in der Stadt) oder um ²/s nahmsweise gestattet.

1= „wenig unebenesTer-rain, wo bei der Messung mitMeßstangen nur ausnahmsweise zu senkein ist“;

II = „mittleres Terrain, wo häufiger zu Senkeln ist“;

III = „unebenes Terrain, wo regelmäßig zu senkein ist“.

<ZX = 0,01 Ys + 0,0005-s dlx= 0,015 ]/s+ 0,0006 • 8 dlu = 0,02 yä -f 0,0007 • s

Einige weitre Notizen (z. B. württemb. Zuschlag bei nicht scharf gegebnen Endpunkten) s. in 23., wo auch schon darauf hingewiesen ist, daß diese Grenzen zunächst nur für die gewöhnlichen Messungen auf freiem Feld brauchbar sind, für viele, besonders auch technische Zwecke aber zu weit wären. Die Geländeklassen lassen sich nicht scharf trennen; die obigen Angaben lassen zudem z. T. praktisch wichtige Fälle (z. B. Messung auf gleichmäßigem Gefall) zu unbestimmt.

Erwähnt sei noch, daß in Preußen die Strecken auf 1 nur bei Polygonseiten und für die ganzen Strecken in Liniennetzen, in geschlossnen Ortschaften, endlich bei der Stückmessung wertvoller Grundstücke (Stadt, wenn scharfe und dauerhafte Grenzbezeichnung vorhanden). In allen andern Fällen werden die Strecken auf 1 Dm abgerundet. Auch in Bayern ist nur bei Polygonseiten und sonstigen ganzen Strecken auf 1 Aufnahme nur bei Stadt- und Ortschaftsvermessungen. Alle andern Maße sind auf (halbe Dm) abzurunden.

5 cm

cm

abgelesen werden

cm

abzulesen, bei den Maßen der Klein-(Stück-)

25. Weitre Verschärfung der Längenmessungen. Eine weitre Steigerung der Genauigkeit gegen die mit auf dem Boden liegenden Schneiden-latten (bei guter Feststellung der Lattenlänge vor oder nach der Messung) erreichbare kommt für die elementare Geodäsie nicht in Betracht; diese

reicht z. B. für Polygonseitenmessung auch in der Stadt stets aus. Man pflegt auch jetzt noch die „Genauigkeit“ von Längenmessungen vielfach

obwohl dies eigentlich nicht zu-

in Bruchform anzugeben, y lässig ist, indem nur

V,

2000? /8000 ?

der regelmäßige Fehler der Messung der Strecke s proportional s ist, der unregelmäßige Fehler aber etwa proportional Ysr und konstante Fehler (z. B. beim Anlegen oder Ablesen am Anfangs- oder Endpunkt) von s unabhängig sind. Die „Genauigkeit“ y

m, wenn die Endpunkte durch Stäbe bezeichnet sind, al&

halb bei s = 10

2000

z. B. ist des-

hoch zu bezeichnen, bei s = 100 nx ist sie aber ziemlich gering. Je länger die Strecke s ist, desto kleiner ist der Bruch — (wo x die lineare Fehler-

strecke bedeutet) für den „relativen“ Fehler, der tatsächlich derselben Genauigkeit der Messung entspricht.

anders macht.

100000

Uber die Genauigkeit von etwa V₂oooo bei Strecken von einigen hundert Metern Länge ist nun mit den Mitteln, die wir bisher kennen gelernt haben, nicht zu kommen; es stellt auch schon 7₁₀₀₀₀, Schneidenlatten in der Stadt (lcnv auf 100 m) bereits eine recht gute Genauigkeit vor. Es ist auch bereits erwähnt, daß auch das Meßband solcher und höherer Genauigkeit fähig ist, wenn für verfeinerte Anreihevorrichtung gesorgt wird (Band mit aufgeschraubtem Metallplättchen, an dem an einer kleinen Linealkante senkrecht zur Messungsrichtung ein Endstrich gezogen werden kann oder ähnliche Einrichtung) und die konstante Spannung durch einen Spannungsmesser kontrolliert wird. Zu beachten bleibt, daß beim Stahlband die Temperaturänderung um 1° die Länge um

für Grundlinien III. Ordnung zur selbständigen Klein-für Grundlinienmessung II. Ordnung, z. B. für eine nicht

74

0 000

00 000

für Grandlinienmessung I. O.,

V:

Die vorhin genannte Genauigkeit von etwa V10 000 hei Strecken von einigen hundert Metern Länge oder etwas besser reicht für unsre Zwecke stets aus. Eine höhere Stufe der Genauigkeit wird aber meist von der „Grundlinie“ einer Triangulation verlangt. Man kann hei solchen Basismessungen, die in der Regel auf großem Strecken auszuführen sind, etwa drei Genauigkeitsstufen unterscheiden, nämlich für 1 Am Länge gerechnet, etwa um triangulierung ; um x/2 gerade sehr genaue, aber doch schon größre Triangulierung; so genau als überhaupt möglich, jedenfalls schon bei 1 Am Länge um /100o₀oo Grundlage von Landesvermessungen und Triangulierungen für Erdmessungszwecke.

Zu solchen Grundlinienmessungen dienen ausschließlich Metallmasse, starre Masse sowohl als neuerdings Drähte und schmale Bänder. Die altern Basismeßapparate waren stets Mehrstabapparate, wobei die 4 oder 5 Meßstangen nicht auf den Boden, sondern auf eine Messungsbrücke aus Holz gelegt wurden; zwischen den scharfen keilförmigen Enden der einzelnen Stangenlagen blieben kleine Zwischenräume, die mit dem Meßkeil bestimmt wurden. Für jede Stange mußte genau bekannt sein: Länge für eine bestimmte Normaltemperatur tg, Ausdehnung für die Temperaturintervalle (t — #₀), die beim Gebrauch vorkamen. Bei der Messung selbst war sorgfältig die Temperatur jeder Stange (eingelassne Thermometer durch ein Fenster in der Holzumhüllung der Stange abgelesen), ihre Neigung (mit einem auf zwei bestimmte Punkte der Stange gesetzten feinen Libellengradbogen) zu ermitteln; endlich waren und sind besondre Alignementsvorrichtungen zum Einhalten der zu messenden Geraden notwendig. An Stelle der eingelassnen Thermometer sind z. B. noch in dem Besselschen Basismeßapparat) Metallthermometer gebraucht worden, gebildet aus zwei Metallen mit sehr verschiednen Wärmeausdehnungskoeffizienten. Bei einem der neuern amerikanischen Basisapparate ist für konstante Temperatur 0° der Stange gesorgt worden, indem sie mit schmelzendem Eis umgeben wurde.

An Stelle dieser Endmasse der ältern Basisapparate sind die neuern Apparate mit starren Maßstäben Einstabapparate; die Lage zweier feiner Strichmarken in der Nähe der Enden des Stabs („Endstriche“) wird durch Schraubenmikroskopablesung festgestellt, wobei diese Mikroskope auf starken seitlichen Supporten stehen, so daß die Aneinanderreihung der Stablängen wesentlich optisch, nicht mehr wie früher rein mechanisch geschieht. So ist z. B. der Ib anez-Brunn er sehe Apparat eingerichtet. Als Material des starren Stabs ist in vielen neuern Apparaten Stahl verwendet. Die Verwendung von nichtstarren Massen zur Grundlinienmessung ist von

dem schwedischen Geodäten Jäderin ausgegangen vor 30 Jahren; er hat einen Stahl-und einen Messingdraht zusammen verwendet und für konstante Spannung der Drähte durch eingefügte Dynamometer gesorgt. Man hat mit Stahldrähten und schmalen Stahlbändern, 30, 50 und selbst 100m lang, dann aber mit starker Spannung und mehrfacher Zwischenunterstützung (besonders in den Vereinigten Staaten durch Messung bei Nacht, d. h. bei wenig veränderlicher Temperatur) sehr hohe Genauigkeiten erzielt. Eine weitre Vervollkommnung der Draht- und Bandmessung war möglich, nachdem das Stahlnickelgemisch Invar erfunden war (rund 64 v. H. Stahl und 36 v. H. Nickel), dessen Wärmeausdehnungskoeffizient merkwürdigerweise im allgemeinen nur von dem des Stahls beträgt (bei Stahl 0,000 010 bis 0,000 013 der Länge für 1° C, bei Invar meist nur 0,000 0003 bis 0,0000004, also viel weniger als bei Holz), so daß es selbst für sehr feine Messungen nicht mehr darauf ankommt, die Temperatur des Drahts oder Bands oder Stabs auf 1° genau zu bestimmen, was meist schwer ist. Mit solchen Invardrähten kann die Messung wieder bei Tag gemacht werden; die Messung geht mit ihnen so rasch von statten, daß 500, selbst 1000 m und noch mehr (bei langen Drähten) in der Stunde gemessen werden können. In der Regel sind die Drähte nur 24 m lang, ls/4 Spannung des Drahts von 10 ■&$ verwendet, die durch angehängte Gewichte hergestellt wird. Bei dem Guillaume-Carpentierschen Basismeßapparat dieser Art werden die Entfernungen feiner Kreuzschnittmarken auf sog. Markenstativen an den Kanten kleiner Maßstäbe abgelesen, die in der Nähe der Enden der Drähte angebracht sind. So hat die Invardrahtmessung für Grundlinienmessung II. O., selbst I. O., die Anwendung der starren Maßstäbe rasch verdrängt, und zur Verlängerung und Vermehrung der direkt gemessnen Grundlinien geführt; Genauigkeit von ¹ja

mm

stark und werden bei der konstanten

und

00 000

schon bei 1 km Länge ist leicht zu erreichen. Bedauerlich ist, daß die Invardrähte keine große Konstanz der Länge zeigen: Länge bei einer bestimmten Spannung und einer bestimmten Temperatur verändert sich in kurzer Zeit um merkliche Beträge; die Drähte verlangen äußerst sorgfältige Behandlung, z. B. beim Aufrollen, ferner ist ein besondrer Übelstand die ziemlich große Empfindlichkeit gegen anhaltende Erschütterungen, durch die die Drähte im allgemeinen sich verkürzen. Übrigens sind solche Veränderungen von Maßstäben und Drähten aus allen andern Metallen ebenfalls vorhanden: die Länge jedes Maßes ist nicht nur abhängig von der Temperatur seines Materials und andern augenblicklich vorhandnen Umständen (bei hölzernen Maßen z. B. besonders von der Feuchtigkeit), sondern erleidet dauernde Veränderungen, ist zu verschiednen Zeiten unter denselben Umständen (gleiche Temperatur, gleiche Unterstützung usf.) verschieden, ist wie man zu sagen pflegt, eine Funktion der Zeit.

V.

00 000

All das Vorstehende liegt an sich außerhalb unsres Rahmens, sollte aber doch flüchtig berührt werden, weil es im Zusammenhang steht mit der für uns sehr wichtigen Frage: wie ist die Länge der für uns in Betracht kommenden Längenmeßwerkzeuge, Meßlatten und Stahlmeßbänder zu prüfen?

26. Metersystem. Normalmeter. Der durch die Einführung des Metersystems in Frankreich ursprünglich mit verfolgte Zweck, die Längeneinheit und damit alle andern Maßeinheiten als „Naturmaß“ (als Viooooooo der Länge des Erdmeridianquadranten) zu definieren, konnte nicht erreicht werden, weil die Messungen von Meridianbogenstücken der elliptisch gedachten Erdoberfläche dazu an Genauigkeit nicht ausreichten (nach heutiger Vorstellung über die Meridiane des Geoids sind diese zudem nicht gleich langj und weil diese neue Längeneinheit doch nur mit Hilfe

Hammer: elementare praktische Geometrie.

des Maßstabs definiert werden kann, der jener Meridianbogenmessung oder jenen Meridianbogenmessungen zugrund gelegt wurde. Wir wissen jetzt, daß der Quadrant des von Bes sei 1841 berechneten Erdellipsoids, (aber mit dem mittlern Fehler von fast + 500 m), nicht den zurzeit vorhandnen Erdmessungen entspricht, sondern daß die großen neuen Meridian- und Parallelkreisbogenmessungen einen Quadranten von m oder noch größer verlangen, so daß das Meter seiner ursprünglich beabsichtigten Definition nach um etwa Y₅₀₀₀ (% eines eine für feine Maß Vergleichung enorme Strecke)

10000856

10002000

mm,

zu kurz wäre. So große

Breite und 4mm Stärke („Metre des archives“);

mm

Schwankungen der Definition der Maßeinheit waren natürlich schon zu Ende des 18. Jahrh. nicht statthaft; man hat deshalb das Grundmaß des neuen Maßsystems lediglich auf Grund der alten französischen Toise festgesetzt, die bei der Gradmessung in Peru gedient hatte, oder vielmehr willkürlich festgesetzt, indem bestimmt wurde: Das Urmaß des Metersystems ist ein aus Platin bestehender Maßstab im Besitz der französischen Regierung, ein Endmaß von rechteckigem Querschnitt mit 25

Sicherung des Metersystems

zur

als Länge dieses Stabs wurde zugleich festgesetzt, sie soll bei der Temperatur 0° des Stabs 443,296(000) Linien sein, deren die Peru-Toise (eine Eisenstange) 6x12x12 = 864 enthält bei der Temperatur 4-13° R dieser Eisenstange. Damit war also das Metersystem auf die altfranzösische Toise begründet; es ist dies an sich nicht wesentlich, vielmehr ist eben jenes Urmaß des Archiv-Platinmeters als willkürliche Längeneinheit anzusehen. Immerhin mußte für die Erhaltung dieser Grundlage des Metersystems sicherere Vorsorge getroffen werden, als sie eben der eine Platinstab („metre vrai et definitif“) in Paris bieten kann; zumal als in der Folge immer mehr Staaten das metrische Maß- und Gewichtssystem annahmen. Die internationale Meterkonvention, 1875 endgültig begründet, beschloß, daß 30 Meterstäbe hergestellt werden sollten, möglichst genau gleich dem „metre des archives“, aber nicht wie dieses als Endmaße, sondern als Strich maße. Als Material sollte ferner nicht reines Platin gewählt werden wie beim Archivmeter, dessen Gefüge nicht einwandfrei ist, sondern eine Platiniridiumlegierung (90 v. H. Pt, 10 v. H. Ir); die Querschnittsform (im ganzen 20 mm hoch und breit), wobei aber nur beinahe kreuzförmig gestellte Rippen von 3 mm Stärke mit verbindendem horizontalem Steg gelassen sind, wurde so gewählt, daß die Oberfläche des Stegs die „neutrale Schicht“ des Stabquerschnitts bildet und die beiden feinen Striche, deren Entfernung bei der Temperatur 0° das Meter definiert, von der Durchbiegung des Stabs kaum beeinflußt werden. Der Stab hat nicht durchlaufend aufzuliegen, sondern auf zwei Rollen, die im Abstand von je 0,28 der Stablänge von der Mitte nach auswärts unterzulegen sind.

halten 1 Mikron (1 g = if

Von diesen Stäben (Meterprototypen) ist erst vor wenigen Jahren je einer an die bei der Meterkonvention beteiligten Regierungen abgegeben worden. Durch das Los hat das Deutsche Reich den Stab Nr. 18 er-an dem bei 0° Temperatur die Entfernung der Endstriche um mm) kürzer ist als das für das internationale

Meter angenommene Maß. Für je 1° Zunahme der Angabe des zu dem Meterstab gehörigen Thermometers wird die Entfernung der Endstriche des Stabs größer um

(8;59£ -f 1,70 tf²) [i.

(Die Wärmeausdehnung des Platiniridiums ist nach dieser Zahl nicht groß, ziemlich geringer als die des Stahls.)

Die Kaiserliche Normaleichungskommission in Berlin, die dieses „Urmaß“ für das Deutsche Reich verwahrt, hat für die richtige Durchführung des Maßes als Grundmaß aller Maßstäbe zu sorgen, vgl. unten. Besonders aufmerksam gemacht sei hier darauf, daß das neue internationale Meter einen metronomisch bedeutenden Unterschied zeigt gegen die früher den geodätischen Messungen in Preußen (preußische Landesaufnahme) zugrund gelegte Metereinheit, die auf den durch Bes sei vorgenommenen Vergleichungen beruht. Um Zahlenangaben in den frühem Metern in solche in den neuen internationalen Metern zu verwandeln, sind zu den Logarithmen jener Zahlen 58,0 Einheiten der 7. Stelle des Logarithmus zu addieren. Jenes frühere Meter, in dem z. B. die Besselschen Halbachsen des Erdellipsoids lauteten:

& = 6356078,96 m

a== 6377397,15 m,

(vgl. 2.), beruhten durchaus auf den Zahlen (vgl. oben die Definition des frühem gesetzlichen Meters auf Grund der Peru-Toise):

Toise

^ Meter “ ° " 289 8199'³’

, Meter ^ Toise ~

9 • 710 1800 -7 — 10

und den Vergleichungen der Besselschen Toise mit der Peru-Toise. Der Unterschied des jetzigen „internationalen Meters“ gegen das frühere Meter der preußischen Landesaufnahme, 58,0 Einh. der 7. Dez. des Log., entspricht 13,4 Millionstel oder

1% Hunderttausendstel der Länge (nämlich ^ 0000058 0 ³    °    \    JT₁₀= 0,43429

0,00001336^

oder aufs

Meter 13,36g = 13,36 Tausendstel des Millimeters, um die das jetzige internationale Meter kürzer ist als das frühere Meter der preußischen Landesaufnahme. Auf die Strecke von 1 Am = 1000 m Länge ist der Unterschied immerhin schon 13,4 mm, in Bruchform beträgt er    der Länge. Der Unterschied kommt also für Genauig

keiten von etwa x/₂

merklichen, nicht in Betracht; erst bei Genauigkeiten von etwa i/6 berücksichtigen.

Eine Frage ist immer noch die: wenn auch in geeigneten Zeitabschnitten mit allen Mitteln der modernen Metronomie Vergleiche der internationalen Meterprototype ausgeführt werden, wie weit ist dadurch für die Zukunft die Grundlage des metrischen Systems gesichert? Es ist schon oben ausgeführt, daß die Länge jedes Metallstabs eine „Funktion der Zeit“ sei. Nun kann man sich wohl denken, daß alle die 30 Prototype des Meters, die aus demselben Material zur gleichen Zeit nach demselben Verfahren hergestellt wurden, minimale Veränderungen im Lauf der Zeit erleiden, von denen nur ein Teil durch die Vergleichung der Stäbe untereinander erkannt werden kann. Nach solchen Überlegungen hat man versucht, die Länge des Meters auch noch an ein „Naturmaß“ zu knüpfen; man wäre dann selbst hei Zerstörung aller 30 Prototype immer noch in der Lage, das Meter wiederherzustellen. Man hat die Meterlänge in den letzten Jahren mit der Wellenlänge eines bestimmten Lichtstrahls verglichen. Dies ist in Paris von mehreren Physikern mit außerordentlicher Feinheit geschehen mit dem Ergebnis, daß das internationale Meter gleich sei 1553164,1 Wellenlängen des roten Lichtstrahls im Cadmiumspektrum (reduziert auf ganz trockne Luft von 760

die oben als äußerste Grenze der für unsre Messungen

an ist er zu

0 000

mm

Druck und -f-15⁰ Temperatur des Wasserstoffthermo-

meters). Daß durch diese Beziehung unsrer Längeneinheit auf das „Naturmaß“ der Wellenlänge eines bestimmten Lichtstrahls ein Fortschritt in der Gewähr für die unveränderte Erhaltung unsres Maßsystems gegeben ist, ist sicher, obwohl wir keine Gewähr dafür haben, daß dieses „Naturmaß“ nun in der Tat eine Konstante ist, die es aller Wahrscheinlichkeit nach in der Natur so wenig gibt, wie einen Punkt, der seine Lage nicht verändert.

Das Meterprototyp Nr. 18 ist schon durch eine Novelle zur Maß-und Gewichtsordnung vom 26. April 1893 als Urmaß des Deutschen Reichs aufgestellt worden; das neuste deutsche Gesetz über die „Maß-und Gewichtsordnung“ vom 30. Mai 1908 (veröff. im Reichs-Gesetzblatt Nr. 33 vom 1. Juni 1908) bestimmt in

§ 1.

Die Grundlage der Maße und der Gewichte sind das Meter und das Kilogramm. Das Meter ist der Abstand zwischen den Endstrichen des internationalen Meterprototyps bei der Temperatur des schmelzenden Eises.

Das Kilogramm ist die Masse des internationalen Kilogrammprototyps.

§ 2.

Als deutsches Urmaß gilt derjenige mit dem Prototyp für das Meter verglichene Maßstab aus Platin-Iridium, welcher durch die Internationale Generalkonferenz für Maß und Gewicht dem Deutschen Reiche als nationales Prototyp überwiesen worden ist. Es wird von der Kaiserlichen Normal-Eichungskommission aufbewahrt.

§ 3.

Aus dem Meter wird die Einheit des Flächenmaßes — das Quadratmeter — und die Einheit des Körpermaßes — das Kubikmeter — gebildet.

Für die Teile und die Vielfachen der Maßeinheit gelten folgende Bezeichnungen.

A) Längenmaße.

Der zehnte Teil des Meters heißt das Dezimeter.

Der hundertste Teil des Meters heißt das Zentimeter. Der tausendste Teil des Meters heißt das Millimeter. Tausend Meter heißen das Kilometer.

B) Flächenmaße.

Der hundertste Teil des Quadratmeters heißt das Quadratdezimeter.

Der hundertste Teil des Quadratdezimeters heißt das Quadratzentimeter. Der hundertste Teil des Quadratzentimeters heißt das Quadratmillimeter. Hundert Quadratmeter heißen das Ar.

Hundert Ar heißen das Hektar.

Hundert Hektar heißen das Quadratkilometer.

C) Körpermaße.

§ 4. Deutsches Urgewicht .... § 5. Teile und Vielfache des Kilogramms. § 6 bestimmt, daß zum Messen und Wägen im öffentlichen Verkehr nur geeichte Maße, Gewichte und Wagen angewendet und bereit gehalten werden dürfen; ebenso zur Ermittlung des Arbeitslohns.

Die folgenden Paragraphen geben Vorschriften über die Eichordnung. Die Erneuerung der Eichordnung ist aber bis jetzt (Oktober 1909) nicht erschienen, sondern steht noch in Aussicht.

Die Kaiserliche Normaleichungskommission in Berlin (s. oben) hat im Deutschen Reich dafür zu sorgen, daß Urmaß und Urgewicht des Deutschen Reichs den Maßen und Gewichten des Verkehrs in der Tat zugrund gelegt werden können. Insbesondere sorgt sie für Herstellung und Untersuchung weiterer „Normalmaße“. Mit absteigender Genauigkeit gibt es im Deutschen Reich, wenn wir bei den Längenmaßen als für uns allein in Betracht kommend bleiben: Unmittelbare Kopien des Urmeters, Hauptnormale, Kontrollnormale, Gebrauchsnormale, neu geeichte Verkehrsmaße.

7»

mm

Für unsre Zwecke kommt nur das Normalmeter mit der Genauigkeit eines Gehrauchsnormals in Betracht, höchstens das Normalmeter mit der Genauigkeit eines Kontrollnormals. Der größte Fehler eines Metallmeterstabs als eines „Gebrauchsnormals“ (als Präzisionsmaß) darf nicht überschreiten (für die Gebrauchsnormalmeter als Handelsmaß ist die Grenze weiter), die größte zulässige Abweichung eines Kon-trollineals ist entsprechend kleiner. Die für den „öffentlichen Verkehr“ bestimmten 5 -m-Holzlatten und 20 wStahlbänder haben in der Eichordnung zulässige Fehlergrenzen, die für die meisten Vermessungszwecke viel zu weit sind; es sind deshalb z. B. schon in den Katastermessungsvor-schriften für die gewöhnlichen Feldmessungen engere Grenzen gezogen, s. 23. Schluß.

Das Material solcher Normalmeter mit der Genauigkeit eines Präzisions-Gebrauchsnormals ist entweder Stahl oder Messiug; dieses leicht bearbeitbar, aber mit großem Wärmeausdehnungskoeffizienten (durchschnittlich 0,000018 bis 0,000021 der Länge für 1°C), jenes mit viel kleinerer Wärmeausdehnung, nicht viel über halb so groß als Messing (durchschnittlich 0,000010 bis 0,000013, ebenso). Die Gebrauchs normale sind ferner entweder Endmaße oder Strichmaße. Im ersten Fall haben sie meist scharfe, an den beiden Enden gekreuzt stehende Endschneiden, wobei auf den Keilflächen durch je einen Strich die Stellen bezeichnet sind, deren Entfernung bei der Normaltemperatur des Stabs das Meter vorstellen soll und wobei meist zwei solcher Endschneidenmeter, mit a) und b) gezeichnet, in demselben Kästchen zusammengepackt sind; der Querschnitt dieser

Metallstäbe ist meist etwa 1

Im zweiten Fall ist das Normalmeter

cffrm.

zu beiden Seiten des Strichs aufge-

VYlWl

ein stärkerer Stahlstab, der einige cm länger als 1 m ist, gegen die Enden ist je ein Silberplättchen fest eingestemmt, und auf jedem ist ein feiner Strich gezogen (endlich ist je 1 tragen und in '/j-nvm untergeteilt); die Entfernung dieser beiden Hauptstriche soll hei der Temperatur t₀ und bei horizontalliegendem der ganzen Länge nach unterstütztem Stab das Meter vorstellen. Solche Normalmeter kann jeder gute Mechaniker anfertigen; man verlangt aber bei der Bestellung gleich die Beigabe eines Prüfungszeugnisses der Kaiserlichen Normaleichungskommission oder der Physikalisch-Technischen Reichsanstalt, das die Länge des Stabs bei der Normaltemperatur und die Angaben über die Temperaturausdehnung bietet. Die Stäbe sollen, auch die Gebrauchsnormale schon, am besten nicht mit bloßen Händen, sondern mit weichem Leder angefaßt werden. In die Gebrauchsnormale als Endmaße ist in der Regel kein Thermometer eingelassen, die Strichmaße (Kontrollnormal-

Ein Normalmeter von Fennel als Strichmaß, Nr. 5249 (1902), Stahl, quadratischer Querschnitt, jedoch mit Ausarbeitung von 3*4 cm Länge bei den Endstrichen, dort Silberplättchen eingelassen, je 1 mm zu beiden Seiten des Endstrichs in ye-mm zerlegt. Der Stab ist zum unmittelbaren Anlegen an die Meterstriche von fein geteilten flachen hölzernen Latten (Nivellierlatten) bestimmt. Durch drei eingelassne Thermometer wird die Temperatur des Stabs festgestellt. Die Angaben für die Fehler der Striche des Stabs sind von der Kaiserl. Normaleichungskommission Aug. 1901 wegen der eigentümlichen Form des Stabs, bei der die Teilung nicht in der neutralen Schicht liegt, nur mit der Genauigkeit 0,005 mm = 5 (i gemacht. Es sei hier nur die Gesamtlänge des Stabs angegeben: bei T° Temperatur als Mittel der drei Thermometer ist die Stablänge

mm

mm.

meter) zeigen ein oder mehrere solcher Thermometer, deren Quecksilbergefäße in den Stab versenkt sind. Als Normaltemperatur für Gebrauchsnormale ist jetzt in Deutschland ziemlich allgemein üblich -j- 18° C.

Um einige Beispiele anzuführen, befinden sich in der geodätischen Sammlung der Technischen Hochschule Stuttgart (von Linealen mit Teilung, Koordinato-graphen und großen Transversalmaßstäben abgesehen, die ebenfalls die Genauigkeit von Gebrauchsnormalen haben) 9 Normalmeter, nämlich 1 Normaldoppelmeter von Breithaupt als Endmaß (sehr starker Stahlstab); 1 Normalmeter von Bamberg als Strichmaß (Genauigkeit eines Kontrollnormals, Stahlstab Nr. 1419 von 20 mm Stärke des quadratischen Querschnitts, je 1 striche“ auf Silberplättchen in x/5 gelassen); 1 Kontrollmeter von Bamberg (Stahl, 1904; Nr. 7910, ähnlich ausgestattet);

1    Halbmeter von Bamberg (Nr. 11299, Nickelstahl [Invar], 1907, 16 tischen Querschnitts, 2 meterglasskale von 5 (Strichmaß von Tesdorpf, je 1

2    Paar Normalmeter von Bamberg als Endmaße (Nr. 1788a und b und 1789a und b); 1 Normalmeter von Fennel als Strichmaß. Über die zwei zuletzt genannten Normalmaße als Beispiele mögen noch folgende Notizen hier angegeben sein:

Zwei Normalmeter von Bamberg als Endmaße mit scharfen Schneiden aus Stahl, in ein Holzkistchen verpackt, auf den Stäben selbst mit Nr. 1789a und Nr. 1789b bezeichnet. Die Stäbe sind nicht untergeteilt, sie dienen nur zur Feststellung von ganzen Meterlängen; Querschnitt quadratisch, je 1 qcm groß, ohne eingelassne Thermometer; als Temperatur der Stäbe wird eben die der umgebenden Luft in dem Zimmer, in dem sie verwendet werden, angenommen. Die Normaltemperatur der Stäbe ist -j-18° C, ihre Gleichungen lauten:

mm

zu beiden Seiten der „Endzerlegt; ein Thermometer in den Stab ein-

mm

mm

Seite des quadra-geteilt; dazu eine Mikro-

mm

an den Endstrichen in ¹/5 Länge in 50 Teile zerlegt); 1 Normalmeter aus Messing zu beiden Seiten der Endstriche nur in

-mm

cm

mm

zerlegt);

1789 a: bei -|-18° C 1 m-f 0,011 1789b: bei —)- 18 ⁰ C 1 m -f- 0,008

Zunahme der Länge für -f- 1° C

-f 0,011

L = lm -f 0,020mm -f 0,012 (T — 18)

wenn der Stab auf ebener horizontaler Grundlage ruht. Mit kräftiger, im Holzkistchen des Stabs beigegebner Lupe liest man an der Stabteilung die Stellung eines feinen Strichs direkt auf x/₁₀ des Intervalls von y₅-mm, d. h. auf ¹/B0 mm ab. Zur hoch feinem Verwendung von Strichnormalmetern müssen sie auf einen metallnen Komparator mit Schraubenmikroskopen zur Ablesung gebracht werden. Für uns hier genügt das Anlegenormalmeter.

Für jedes Normalmeter rechnet man sich selbstverständlich eine kleine Tabelle seiner Länge aus, die L sofort liefert für jede beim Gebrauch in Betracht kommende Temperatur.

27. Gebrauch der Normalmeter für unsre nächsten Zwecke: Prüfung der Länge von Längenmeßlatten und von Stahlbändern. Auf den feinen Gebrauch solcher Normalmeter auf teuren metallnen Komparatoren und mit Hilfe sehr genauer optisch-mechanischer Ablesevorrichtnngen (Schraubenmikroskope) für die Strichmaße ist hier nicht einzugehen; es ist nur kurz ihre Anwendung zur 'Vergleichung der Meßlatten auf etwa % oder 710 zu betrachten.

mm

mm genau und der gewöhnlichen Meßbänder auf % mm genau

Wenn Meßlatten von 3, 4, 5 m Länge nur ganz gelegentlich einmal mit dem Normalmeter geprüft werden sollen, so kann man ganz wohl auf geeigneter Meßbahn, z. B. Korridorboden, bei 3 m langen Latten auf genügend langem Zeichentisch u. dgl. das Normalmeter oder die zwei Normalmeter (Endmaße) in derselben Art benützen (abschieben) wie die Latten auf dem Feld: hat man zwei Endmaße, so werden sie mit äußerster Vorsicht zusammengestoßen, hat man ein Strichmaß, so werden die Entfernungen feiner Striche oder feiner gerissner Linien, die auf der Unterlage von m zu m gezogen sind, unmittelbar an der x/₆ mm-Teilung des Strichmaßes, in der Lupe

abgelesen. Man kommt so in der Normalstrecke, mit der die augenblick-

mm

auf V«o

liehe Länge der 3-, 4- oder 5 m-Latte zu vergleichen ist, leicht auf die Genauigkeit yi0 mm, in der 20 m-Strecke für das Meßband leicht auf die Genauigkeit x/₂ mm, was ausreicht.

Sind jedoch Latten oder Meßbänder häufig zu prüfen, so benützt man am besten dauernd hergestellte Normalstrecken, für Latten absichtlich etwas (1 cm) länger als 3 m, 4 m, 5 m; man hat eine rohe Komparatoreinrichtung notwendig, Lattenvergleichsbrett. Ein solcher Lattenkomparator für 5 m-Latten ist z. B. wie folgt einzurichten: in einer starken Bohle BB (s. die schematische Figur 65), am besten aus mehreren Lagen von Hartholz mit verschiednen Richtungen der Holzfasern, ist eine Rinne zum Einlegen der Latten ausgearbeitet, bei A ist ein Anschlag aufgesetzt, dessen Seitenfläche genau eben und genau senkrecht zur Längsrichtung von BB ist. Der Anschlag kann bei verlangter größrer Genauigkeit durch eine Schneide wie bei S ersetzt sein; dem Anschlag A gegenüber ist nämlich in der Entfernung von etwas über 5 m ein Stahlstück aufgeschraubt, dessen Schneide ebenfalls genau senkrecht zur Längsrichtung von B liegt. Der Abstand M/S wird gelegentlich mit zwei Endnormalen festgestellt; er ist wegen der Veränderlichkeit von B selbst veränderlich, aber viel weniger und langsamer als die den Witterungseinflüssen ausgesetzten Meßstangen. Der Abstand AS wird durch vorsichtiges Abschieben zweier Endmeter festgestellt, das letzte kleine Stück zwischen der Endschneide des letzten Normalmeters und S durch Zwischenschieben des Meßkeils K. An Stelle eines einzigen Meßkeils wird neuerdings vielfach die Anwendung zweier Meßkeile zur Messung der kleinen Strecke empfohlen, die mit der schiefen Fläche aneinander gelegt werden. Nachdem AS bekannt ist, wird die Stange eingelegt, an A angestemmt und die Entfernung ihres Endpunkts von S in derselben Art mit dem Meßkeil ermittelt.

mm

Z. B. ist AS an einem bestimmten Tag mit zwei Endmetern bestimmt worden zu 5 Normalmeterlagen -f- 10,45

(Mittel aus drei Messungen); die Normalmeter haben bei der Temperatur der Messung die Längen 1,00004 und 1,00003 m, so daß

Strecke AS war = 6,00000 m -|- 10,45 mm -j- (3 • 0,04 -J- 2 ■ 0,03) mm = 5,01063 m.

Nach Einlegen der 5 m-Stange gab die Strecke zwischen Stangenende und S, mit demselben Meßkeil bestimmt, 11,65 mm; die Stange war also, auf '/₁₀ mm abgerundet,

lang.

4999,0

mm = 5 m — 1,0 mm

Meßstangen, die regelmäßig in Benützung sind, sollen mindestens jede Woche einmal nachgemessen werden. Man findet häufig, daß Meßlatten, nachdem sie z. B. den Winter hindurch im Haus auf bewahrt waren, ' heim Gebrauch im Freien im Lauf der Zeit an Länge etwas zunehmen, im Lauf eines Sommers z. B. um 0,2 mm pro m Länge.

Ein Lattenkomparator ungefähr von der Einrichtung der Figur 65 ist in der geodätischen Sammlung der Technischen Hochschule Stuttgart im Hörsaal aufgestellt. Die vier Unterstützungen N der Bohle JBB sind Schrägen mit hölzernen Fußschrauben, damit die Oberflächen genau gleich hoch gestellt werden können. Die Schneide S ist, da das Yergleichsbrett für 3 m- und für 5 m-Latten dienen soll, ersetzt durch zwei Metallzylinder von etwa 30 mm Durchmesser, von denen der eine bei 3 m-Latten, der

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II

'u

Kg. 65.

andre bei 5 -m-Latten mit der genau eben und normal zur Zylinderachse gearbeiteten Endfläche an das Lattenende anzuschieben ist. An jedem Zylinder ist ein kleiner Metallstreifen als Flügel angesetzt, der einen Indexstrich und einen Nonius trägt, so daß die Lage des Indexstrichs gegen die mm-Striche eines neben der Rinne auf dem Yergleichsbrett festgeschraubten, einige cm langen Stücks einer mm-Teilung auf ¹/₁₀ mm genau ohne weitres Hilfsmittel abgelesen werden kann. Die Lage der Striche mm von A auf diesen Stücken von mm-Skalen ist, wie oben die der Strecke bis S, von Zeit zu Zeit mit dem Normalmeter zu prüfen.

3000

mm

und 5000

Weniger veränderlich als das Yergleichsbrett ist für Latten eine „Mauerstrecke“, in dem Anschlag A und der Schneide S bestehend oder in zwei Schneiden, die eine zum Anstoßen der Latten, die andre zur Ablesung am Meßkeil, und die beide in eine starke massive Mauer eingelassen sind. An solchen Mauerstrecken findet man oft monatelang keine merkliche Änderung.

Für die Bestimmung der Länge eines Stahlmeßhands von 20 eine Yergleichsstrecke notwendig, längs der dem Meßband der Zug gegeben werden kann, bei dem es verwendet werden soll, z. B. 12 Wenn die Endpunkte des 20 m-Bands durch die Mittelpunkte von Endringen (meist aus Messing), wie oben immer angenommen, bestimmt sind, so ist es am einfachsten, wenn der Anfangspunkt der Normalstrecke 20 m auf einer Mauer oder einem sehr festen Stein- oder Zementfußboden ein

ist

Meßkette, Meßschnüre, Meß drahte.

105

zylindrisch.er Zapfen sein kann, über den der eine Endring gerade paßt. Die gewünschte Spannung des Bandes wird durch angehängtes Gewicht (z. B. 12 &<j) oder durch sonstigen Zug an der im andern Endring befestigten Schnur usf. hergestellt; beim Zug durch angehängtes Gewicht läßt man diese Schnur über eine Rolle laufen, sonst ist der Zug durch ein eingefügtes Dynamometer (solche Federspannungsmesser sind in Eisenhandlungen billig zu haben und in der Regel auf etwa + ¹/₂ hcp zuverlässig) zu kontrollieren. Wichtig ist, daß die Bandlänge nicht nur bei derselben Spannung, sondern auch bei derselben Form des Bands geprüft wird, in der das Band gebraucht wird, z. B. nicht das Band seiner ganzen Länge nach aufliegend auf der Probestrecke, wenn es nachher an den Bandstöcken freihängend mit bestimmtem Durchhang gebraucht wird. Am Endpunkt 20,000 ™ der Normalstrecke ist zweckmäßig eine Skale von einigen cm Länge, in ™™ geteilt, befestigt, an der an die Endringmitte bezeichnendem Strich oder an sonstiger Bezeichnung des Bandendpunkts (kurzes Querstück u. dgl.), direkt mit einer Lupe abzulesen ist.

28. Weitre Hilfsmittel zum direkten Längenmessen. Außer Latten und Stahlband sind noch folgende Hilfsmittel im Gebrauch oder im Gebrauch gewesen:

1.    Die Meßkette oder Gliederkette von früher z. B. 10 Ruten oder Klaftern, später 20 m Länge, bestand aus Drahtstücken aus geglühtem Messingdraht oder später Stahldraht oder Stahlschienen von 25, 30, 50 cm Länge, die in Ösen oder Gelenken zusammengehängt waren. Sie wurde genau in derselben Art gehandhabt wie jetzt das Band, meist an Kettenstöcken oder Kettenstäben mit auf diese geschobnen Endringen, ist aber jetzt zugunsten des Bands ganz verlassen; mit Recht, da an den Ösen an den einzelnen Drahtstücken leicht Unordnung entstand: eingeklemmter Lehm u. dgl. hielt einzelne Ösen übereinander geschoben fest, so daß die Kette zu kurz war; ein kräftiger Zug gab der Kette eine dauernde Verdehnung usf. Für Katastervermessungen ist die Kette in Deutschland jetzt überall verboten; in England und in den Vereinigten Staaten ist die surveyor’s chain von 66 feet Länge, dezimal (in 100 links) geteilt, noch das Hauptlängenmaß des Feldmessers.

2.    Meßschnüre, Meßdrähte, Meßdrahtseile kommen für die Längenmessung' bei Feldarbeiten wenig in Betracht, spielen aber z. B. noch eine große Rolle bei Grubenmessungen, wo z. B. Schachttiefen oft einfach dadurch gemessen werden, daß die zwei Punkte, deren Tiefenunterschied zu bestimmen ist, durch kurze horizontale Schnüre (mit Hängelibelle) auf die mit einem bestimmten Gewicht gespannte Lotschnur übertragen werden (eingebundener Faden) und der Abstand dieser Marke dann beim Aufwinden mit einem Anlegemeßstab (früher „Lachterstab“) gemessen wird. Hier wird also die zu messende Strecke materiell hergestellt, am Meßstab vorbeigeführt, während bei „Messungen über Tag“ stets der Meßstab der zu messenden Strecke entlang geführt, aneinander gereiht wird. Übrigens ist schon oben bemerkt, daß bei den „Grubenmessungen“ des Bergbaus auch lange Meßbänder (100™, und noch viel länger an einem Stück) zur Messung von Schachttiefen Verwendung finden. Gelegentlich gibt es auch Fälle bei Feldmessungen, wo man einen Meßdraht oder dgl. mit Vorteil gebraucht: um z.B. über einen nur 50™ breiten Fluß hinüberzumessen,

bei einer Querprofilaufnahme über das Flußbett u. dgl. versagen unsre seitherigen Mittel. Man kann hier einen Draht (z. B. sind Invardrähte von 72 m Länge im Gebrauch für solche Zwecke) oder ein leichtes Drahtseil hinüberspannen '(erforderliche Spannung mit Rücksicht auf den Einschlag bald ziemlich groß) und durch in das Drahtseil gesteckte Zeichen (Bänder von verschiedner Farbe usf.) einteilen von 5 zu 5 m oder nach Bedarf. Bei der Anwendung von Meßschnüren ist zu beachten, daß gewöhnliche Hanfschnur stark einläuft bei Feucht- oder Naß werden (z. B. 2 v. H., aber auch viel mehr); man sollte deshalb nur stark gedrehte Schnüre verwenden, die längre Zeit in heißem Ol gelegen haben und dann noch geteert worden sind.

3. Der Feldzirkel oder die Drehlatte, in Bayern vorgescblagen, bestand aus einem zwischen zwei eingesetzten Spitzen z. B. 3 m langen Maßstab, der auf dem Feld in derselben Art verwendet werden sollte, wie der Teilzirkel auf dem Reißbrett, nämlich nach Eindrücken der einen Spitze in den Boden, um diese umzuschwingen, war in die neue Lage. Mit Recht nie in die Praxis eingedrungen und jetzt nirgends mehr im Gebrauch.

Die zur Fahrt auf einer Schiene

mm.

bis 10000

4 Wichtig ist für manche Zwecke das Meßrad. Die Idee, Strecken durch Zählen der Umdrehungen eines auf der Strecke geführten Rades von bekanntem Umfang zu messen, ist sehr alt. Man hat jetzt zweierlei Meßräder, solche zur Verwendung auf der Schiene eines Gleises, wo die Methode ziemlich großer Genauigkeit fähig ist, und solche zum Fahren auf nicht derart vorbereiteten Strecken. Der Umfang des Rads ist meist 1 m (ausnahmsweise 2 m, für manche Zwecke noch größer); Durchmesser im ersten Fall 1000/jr -mw =318,31 bestimmten Räder sind meist auf beiden Seiten mit Spurkranz versehen, wobei nur zu beachten ist, daß die Radstirn breit genug ist, daß nicht gelegentlich das Rad mit dem Spurkranz, wo der Umfang größer ist, an der Schiene anliegt. Die Räder mit glatter Stirn zum Fahren auf beliebiger Strecke sind mit einem Abstreifer für Erde usf. versehen. Der Umfang eines Meßrads ist meist auf der innern Seite mit 1 cW-Strichen versehen; die ganzen Vielfachen der Umdrehungen werden an einer be-sondern Zählvorrichtung abgelesen, die in der Regel bis 1000 oder auch m. geht. Die Räder mit glatter Stirn haben gleichsam einen andern Umfang je nach dem Untergrund, auf dem gefahren wird, z. B. einen kleinern Umfang auf glattem reinem Boden (Asphaltstraße, Plättchengehweg) als auf nassem sich anhängendem Sandboden oder unregelmäßig geformtem Lehmboden. Einigermaßen zuverlässige Resultate mit dem Rad außerhalb einer Schiene sind nur auf Grund von Versuchsmessungen auf Strecken von derselben Beschaffenheit zu erhalten. Für die Feldmessungen ist das Meßrad nicht von großer Bedeutung.

5. Eine an Genauigkeit noch geringere Art von Längenmessung, die aber trotzdem für manche Zwecke ausreicht und sehr einfach und bequem ist, ist das Abschreiten auf nahe horizontalen oder nach ganzer Länge bekannten Strecken von gleichmäßiger Neigung. Es ist stets zu empfehlen, daß der Abschreitende seine „natürliche“ Schrittlänge beibehält, nicht etwa einen „Normalschritt“, z. B. den des Militärs, oder gar „Meterschritte“ zu machen versucht. Die natürliche Schrittlänge ist zunächst abhängig von der Länge des pendelnden Beins des Abschreitenden, also von dessen Körperlänge, sodann aber weitgehend Sache der Gewohnheit. Der Verf. hat bei über 700 Studierenden der Technischen Hochschule Stuttgart ihre gewohnheitsmäßige natürliche Schrittlänge (ohne Rücksicht darauf, ob sie schon gedient hatten oder nicht) durch Abschreitenlassen auf horizontalen Strecken bei Gelegenheit der ersten Längenmessungsübungen bestimmt und als Durchschnittszahl 83 cm gefunden. Dabei zeigt sich aber deutlich die Abhängigkeit der Schrittlänge von der Körperlänge in folgender Art: die Durchschnittsgröße der Studierenden war 1,73 m (mit Fußbekleidung, so daß zum Vergleich mit dem Militärmaß etwa 2 cm abzuziehen sind) und ihr entspricht also die Schrittlänge 83 cm; für jedes cm Zunahme oder Abnahme der Körperlänge wächst oder sinkt durchschnittlich die Schrittlänge um \ cm, beträgt also z. B. für einen 1,89 m großen Abschreitenden durchschnittlich 91 cm, für einen 1,61 m großen durchschnittlich 77 cm (die ausführlichen Zahlen werden demnächst veröffentlicht werden). Die Abweichungen von diesen Durchschnittsregeln sind aber verhältnismäßig groß, so daß man bei Ergebnissen eines Abschreitenden auf horizontaler Strecke, ohne daß seine Schrittlänge kurz zuvor oder danach besonders bestimmt est, mit mindestens + 5 v. H. mittlerer Unsicherheit rechnen muß. Ähnliche Zahlen sind auch von andern bei solchen Versuchen gefunden worden, z. B. von Jordan, ebenfalls bei deutschen Studierenden im Durchschnittsalter von 20 Jahren, mittlere Schrittlänge 81 cm; noch andre geben aber stark abweichende Zahlen an, z. B.

cm

F. G. Gauß als natürliche Schrittlänge junger deutscher Männer (Soldaten) schon bei 160 cm Körperlänge 85 cm, bei 170 cm 88 cm, bei 180

91 cm, bei 190

cm 94 cm, Schrittmaße, die allgemein hingestellt, sicher zu hoch sind. Regel muß sein, sobald das Abschreiten nicht nur den Wert einer rohen Schätzung haben soll, die individuelle Schrittlänge des Abschreitenden (die auch von Ermüdung, Beschaffenheit des Wegs usf. ziemlich abhängig ist) kurz vor oder nach dem Abschreiten an einer Strecke von bekannter Länge zu bestimmen.

Am sichersten wird das Abschreiten beim Einschalten von Punkten auf einer Strecke von im ganzen bekannter Länge. Es sei z. B. Fig. 66 AB —am aus einem

n'

n"

Fig. 66.

Plan im Maßstab 1: 2500 auf m genau abgestochen; die Strecken von A bis zu den Zwischenpunkten C, D, bis zu denen man von A aus n , n" Schritte braucht, während zu AB = a n Schritte gebraucht werden, kann man nach

AC = a •

AD — a

n”

— m

— m,

n

leicht bis auf 1%, ja % % richtig bekommen, was für viele Zwecke, z. B. für gewöhnliche Flächennivellements (s. II. Abschnitt) völlig hinreicht; und diese Methode der relativen Messung durch Abschreiten bleibt auf Linien, die nicht horizontal sind, aber fast genau gleichförmige Neigung haben, noch fast ebenso genau. Bei

einseitigem Abscbreiten (absolute Bestimmung durch Abschreiten) erreicht man auf horizontalem Boden, auch wenn die Schrittlänge des Abschreitenden gut bestimmt ist, meist keine Genauigkeit über 2°/₀. Und noch weniger zuverlässig wird die Messung durch einseitiges Abschreiten auf nicht horizontalem Boden; die oft zu lesende Formel von Rziha, daß, wenn s die Schrittlänge auf horizontalem Boden sei, die Schrittlänge

auf der Steigung mit cc° Neigung betrage s (1 — sin cc) auf dem Gefälle mit a° „

ist ganz individuell und nicht zu verallgemeinern.

Längenmessung durch Schrittzahl kommt vielfach vor, nicht nur bei der schon obengenannten Messung, z. B; zur Identifizierung von Gegenständen in einem Plan, Marksteinen u. dgl., ferner zur Lagebestimmung der Punkte bei barometrischen Höhenmessungen, überhaupt in oft ausgedehntem Maß bei topographischen Aufnahmen, dann bei Itineraraufnahmen in wenig erforschten Ländern. Die hier oft verwendeten Instrumente zum mechanischen Zählen der Schritte (Schrittzähler oder Pedometer, im Englischen Podometer oder Passometer) taugen im allgemeinen nicht viel, sie machen in der Regel zu große Angaben, oft 2 bis 5 v. H. und mehr zu viel. Ein Instrument zu automatischen flüchtigen topographischen Aufnahmen, das die Längenmessung auf die Schrittzahl stützt, ist derPedograph von Ferguson; ein Instrument zu ähnlichen Aufnahmen von demselben, das die Umdrehungszahlen eines Rads (vgl. 4.) am Fahrrad zugrund legt, ist der Zyklograph. Für die Aufgaben dieses Lehrbuchs kommen diese Instrumente nicht in Betracht, ebensowenig die für Itineraraufnahmen statt der Schrittzählung viel benutzte Längenschätzung nach der Gehoder Reitzeit, wobei mehrfach an Versuchsstrecken unter verschiednen Umständen der Wert einer Gehstunde des Reisenden oder des Reittiers in Kilometern festgestellt werden muß und große Sorgfalt in den Beobachtungen erforderlich ist; wo die Reise zu Wagen möglich ist (wie in Südafrika), ist die Entfernungsmessung für derartige flüchtige topographische Messungen, wie sie die Itineraraufnahme vorstellt, viel sichrer durch die Umdrehungen eines Rads zu messen, wie beim Zyklographen; vgl. 4.

80. Übungen (zur Längenmessung). 1. Sehr wichtig ist, daß der Lernende sich durch eigene Versuche Aufschluß verschafft über die für ihn zunächst und dann bei fortschreitender Übung erreichbare Genauigkeit der Messung mit Latten von 3, 4, 5 m Länge,

a)    auf horizontaler, glatter und ebner Strecke (Gehweg u. dgl.);

b)    unter verschiednen andern Umständen;

c)    auf nicht horizontaler gleichmäßig geneigter Strecke.

Die Übungen a) und b) kann der Lernende allein durchführen, zur Staffelmessung oder zur Übung in den Messungen mit dem Stahlband bedarf er eines Gehilfen. Die m. F. bei Wiederholung der Messung derselben Strecke sollten stets ausgerechnet werden. Indirekte Vergleichung der Längen verschiedner Latten durch Messen derselben horizontalen Strecke in gleicher Art, besonders mit feinen Latten.

2. (Zu 24., 2. 3.) Beachte, daß, wenn L eine schiefe (bei größrer Strecke als eine Stangenlage, durchlaufend mit zusammengefügten Latten auf gleichförmig geneigter Strecke) gemessne Länge ist, die den Neigungswinkel cc hat, der Abzug a an L zur Reduktion auf die Horizontale lautet

(1)

CC

a = L — L cos cc = 2 L • sin² - •

2

will man dagegen auf genau gleichförmig geneigter Strecke mit dem Neigungswinkel cc „mit Zugeben“ messen, das Zwischenmaß z zwischen je zwei Latten von der Länge l

lassen, um statt der schiefen Längen sogleich die horizontalen Strecken zu erhalten, so ist dieses z nicht dasselbe z =    ■ sin²^

sondern

(2)

z — 21-

•2

cos cc

Der Unterschied zwischen (1) und (2) ist bei demselben l — L um so kleiner, je kleiner cc ist; immerhin ist für die schief gemessne Strecke L — 5,000m bei cc = 10° der Abzug nach (1) a — 15,192 mm, bei l — 5,000 m und a = 10° das Zwischenmaß nach (2) dagegen z = 15,427 mm; bei L — 50 m schiefer Länge dort Abzug = 152 mm, hier

je bei 10° Neigung. Die zwei Zahlen a und z verhalten sich bei derselben Länge L oder l selbst wieder wie cos ex. : 1 oder auch bei

Summe der Zwischenmaße = 154

mm,

. 10⁰ noch genügend genau wie ^1 — \    j : 1 = (1 — ~^): 1 =

Glieder in

65 : 66.

3. Prüfe das Vorstehende auch an 24., Gl. (5) bis (7), indem dort die höhern nicht vernachlässigt werden; auf ein Glied weiter entwickelt

•    CC

lautet diese Wurzel wie? Ferner genauerer Zusammenhang zwischen cc oder sin -

und dem Neigungsverhältnis 1: n = tg cc. Prüfe die Genauigkeit der in 24. Gl. (3) angegebnen Regel für die Reduktion der 5 m-Latte auf die Horizontale; wenn der Höhenunterschied beider Endpunkte h 3m beträgt, so ist für z in Metern:

(5 -|- z)* = 5² -j- (10/i)²,

oder wenn links z² gegen 10z vernachlässigt werden darf und 5² auf beiden Seiten weggelassen wird,

= (A3m)².

mm

10z(Meter) = 1007*s, oder z in

Man ist nach diesem Verfahren der Messung oder Schätzung der konstanten Neigung oder des genauen Absenkelns enthoben. Wie lang und bis zu welcher Neigung ist das Zwischenmaß z oder die Reduktion a nach der angegebnen Regel auf 0,8 mm, wie lang auf 1

mm

richtig und identisch? Ebenso für Gl. (3 a) a. a. O.

4.    Wilski hat für die Reduktion schiefer 20 m-Bandlagen eine Vorrichtung angegeben, die darin besteht, daß vom Kopf des tiefer stehenden Bandstocks eine horizontale Zielung nach dem höher stehenden Bandstock mit Hilfe eines Freihandhöhenwinkelmessers (von der Art der 24. 4. angegebnen) hergestellt wird. Dieser Bandstock trägt eine (nicht gleichförmige) Teilung, an der nicht der Höhenunterschied der zwei Bandstöcke abzulesen ist, sondern sogleich der Betrag der Reduktion an den 20,000 m schiefer Länge des Bandes. Hier ist also a direkt abzulesen. Man berechne sich selbst eine solche Teilung und trage sie auf den Bandstöcken auf.

Auch für einen Lattenreduktor irgendwelcher Art, mit geteiltem Bogen oder geradem Steg ist zu raten, selbst eine Teilung der Reduktionen zu berechnen und aufzutragen.

5.    Rei Gelegenheit der Übungen im Längenmessen nach 1., das man möglichst frühzeitig zu beschleunigen versuchen soll, bestimme man auch mehrfach seine natürliche Schrittlänge; man kann dazu übrigens meist genügend auch die Hektometersteine jeder geraden horizontalen Landstraßenstrecke verwenden.

31. Kleine Lageplanaufnahme. Arten. Kreuzscheibenaufnahme auf eine Aufnahmslinie. Handriß. Es mag sich, zunächst um Aufnahme oder „Aufmessung“ eines polygonal begrenzten Grundstücks handeln, z. B. Fig. 67, des Sechsecks ABCDEF, vielleicht etwa 100m lang, 50m breit. Von den zusammen 2n Stücken (Seiten und Winkeln) eines «-Ecks sind nur

(2n — 3) unabhängig voneinander oder das w-Eck ist durch (2n— 3) unabhängige Stücke bestimmt, unter denen also nicht alle n Vieleckswinkel sich befinden könnten, für die ja eine bestimmte Summe zum voraus bekannt ist, so daß nur (n — 1) unabhängig sind. Das Sechseck „aufnehm en“ heißt nun, solche Messungen daran ausführen, daß es durch sie vollständig nach Form und Größe bestimmt ist und man u. a. einen Plan des Sechsecks in beliebigem Längenmaßstab 1:31 genau zeichnen kann.

Die (2n — 3) unabhängigen Stücke zur Bestimmung des w-Ecks brauchen aber nicht nur Polygonseiten und Polygonwinkel zu sein, es können auch andre Stücke, z. B. Diagonalen sein. Es können ganz wohl alle (2n — 3) Stücke Strecken sein, die aber unabhängig voneinander sein müssen, also z. B. bei dem obigen Sechseck, wo neun Stücke gebraucht werden, außer den sechs Seiten nur drei solche Diagonalen sein können, von denen nicht eine durch die übrigen Strecken bereits gegeben ist*, es sind also z. B. nicht möglich, als unabhängige Stücke, neben den sechs Seiten die drei Diagonalen BD, EC und EB: die eine der zwei ersten ist durch die vier Seiten des Vierecks BCDE und die andre Diagonale bereits bestimmt,

A-

Fig. 67.

Fig. 68.

und es würde also zur „einfachen" Bestimmung des Sechsecks eine an die Diagonale, z. B. BF fehlen. Die Diagonalen BF, BE, BD zerlegen das Sechseck in Dreiecke, und zwar ist ein w-Eck in (n — 2) Dreiecke zerlegbar. Da zum ersten Dreieck drei Stücke, zu jedem folgenden aber noch zwei gebraucht werden, so ergeben sich o-j-2(w 3) = 2n 3 Stücke als notwendig. Durch diese Dreieckszerlegung ist klar, daß die Aufnahme eines Polygons durch Längenmessung allein geschehen kann, sofern nur in jedem der Dreiecke alle drei Seiten gemessen werden können. Weitre Stücke über die (2n — 3) hinaus sind zur „einfachen" Bestimmung nicht erforderlich, bieten aber willkommene Messungsproben.

ft2_)_c2_a2

1. Man hat diese Aufnahmsmethode durch Längenmessen allein früher vielfach als „Konstruktionsmethode" oder „Linearmethode" bezeichnet. Bei der Aufgabe z. B., den Winkel indirekt zu bestimmen, den zwei abgesteckte Gerade A 31 und A N miteinander bilden Fig. 68, wäre sie so anzuwenden: B und C sind beliebige Punkte von A3I und AN, Fig. 68; gemessen werden die Strecken a, b, c. Der Winkel a kann auf dem Reißbrett einfach konstruiert werden; ist er im Grad maß auszurechnen, so ist

0)

2 bc

cos u =

oder nach bekannter Umformung

Ganz ähnlich würde bei der Aufgabe: den Inhalt F des Dreiecks ABC zu bestimmen aus der Messung der drei Seiten a, b, c des Dreiecks sich ergeben:

(3)

F = j/s(s — a)(s — b) (s — c).

Fig. 69.

2. Dieser Lmearmethode der Längenmessung allein steht gegenüber die „KoordinatenmethodeAufnahme nach rechtwinkligen Koordinaten, die nicht nur Längenmessung, sondern damit kombiniert das Fällen von Loten verwendet. Die gegenseitige Lage der Endpunkte eines Polygons z. B. wird nicht durch Messung der drei Seiten aller Dreiecke bestimmt, in die das Polygon zerlegt ist, sondern durch die Koordinaten für jeden Eckpunkt in Beziehung auf ein und dieselbe bestimmte Abszissenachse oder Aufnahmsachse oder Aufnahmslinie, es wird, wie man zu sagen pflegt, eine Kreuzscheibenaufnahme gemacht (wobei unter Kreuzscheibe immer auch die Spiegel- und Prismeninstrumente mit zu verstehen sind, die wir in Nr. 9. und 11. kennen gelernt haben). Daß zur Kreuzscheibenaufnahme auch Längen-messung, Abszissen- und Ordinatenmes-sung gehört, wird als selbstverständlich in der Bezeichnung nicht ausgedrückt. Zur „Aufnahme“ des Winkels NAM, vgl. 1. und Pig. 09, wird vom Punkt C auf AN das Lot CD auf AM gefällt, und es werden die Strecken AD = x, DC = y gemessen; es ist dann

(4)

tg a =

sowohl für die Bestimmung des Winkels a aus Zeichnung, als bei Ausrechnung in Gradmaß bequemer als (1) oder (2). Ebenso wird bei der zweiten Aufgabe in 1., Bestimmung des Inhalts des Dreiecks ABC von C auf AB das Lot CD mit Kreuzscheibe (oder Winkelspiegel oder Winkelprisma) gefällt; AB = c und CD = h gemessen gibt

(5)

(2)

tg

-V

(s — b)(s — c)

s(s — a)

mit s =

2 F = c-h,

viel einfacher als (3). Da häufig die Berechnung des Flächeninhalts des Grundstücks der Hauptzweck dieser Aufnahme ist, so entscheidet die bequeme Form (5) oft allein schon zugunsten der Koordinatenmethode 2., bei der auch im allgemeinen viel weniger zu messen ist als bei der Konstruktionsmethode 1. Es kommt zwar hier bei 2. zur Messung von Strecken das Fällen von Loten hinzu; aber die Strecken sind zusammen immer viel kürzer als bei 1., und das Lotfällen ist eine im Vergleich mit der Längenmessung rasch und bequem zu erledigende Arbeit. Ferner sind im allgemeinen bei der Methode 2. viel weniger Messungshindernisse vorhanden als bei der Linearmethode, wenn bei der Koordi-

natenmethode die Aufnahmslinie geschickt angenommen wird. Wenn es sich tatsächlich um eine unabhängige Aufnahme eines polygonalen Grundstücks handelt, so kann man bei 2. an Arbeit noch dadurch sparen, daß man die Aufnahmslinie so legt, daß die Ordinaten möglichst klein werden; oder    so, daß zwei    Ordinaten Null werden,    indem    man    eine Diagonale oder    eine Seite als    Aufnahmslinie wählt, z.    B. bei    dem    Sechseck

Fig. 70 die Diagonale AD    als Aufnahmslinie. Das    Fällen    der Lote FF',

DB',    FF',    CG'    ist rasch

\E>

Aco

Fig. 70.

zu machen und um so genauer, je kürzer die Lote sind; zu messen sind nur die Strecke A D mit Ablesen der Zwischenpunkte F', D', F', C' und die Längen der Lote F F, B' B usf. Gegen die 9 Strecken der Fig. 67 ist sehr wesentlich an Arbeit erspart, und der Flächeninhalt ist nach den Hilfslinien, in die die Figur durch die Aufnahme zerlegt Avird, sehr einfach zu berechnen.

3. Aufnahmemethoden mit Messung oder Zeichnung beliebiger Winkel. Wenn uns schon ein Instrument zur Messung beliebiger Horizontalwinkel zu Gebot stehen würde, wie wir es im Theodolit kennen lernen werden, so könnte man noch an folgende weitre Aufnahmsmethoden denken:

a)    Jedes Dreieck ist dadurch bestimmt, daß man eine Seite und zwei Winkel (oder zur Probe alle drei Winkel) mißt. Zerlegt man also das Sechseck AB CDEF wie in Fig. 67 z. B. durch die Diagonalen BF, BE, BD in Dreiecke, so können diese in ihrer Form festgelegt werden durch Messen der Winkel und in ihrer Größe dadurch, daß nur eine einzige Seite gemessen wird, z. B. AF. Im Dreieck ABF wäre also AF gemessen, ferner die drei Winkel (Messungsprobe), in jedem der folgenden Dreiecke ebenfalls alle Winkel (je Messungsprobe); wir könnten damit alle Seiten der Dreiecksfolge durch fortgesetzte Anwendung des Sinussatzes berechnen. Auch der Inhalt jedes Dreiecks ist ziemlich einfach zu berechnen, nach 2 F =bc ■ sin «, wenn & und c zwei Seiten und cc der zwischenliegende Winkel sind. Diese Messungsweise ist die Methode der „Triangulation“, vgl. Kap. 5; sie wird im allgemeinen auf die Kleinmessung, um die es sich hier für uns handelt (das Grundstück sollte nur 100 m lang, 50 m breit sein) nicht angewendet, bildet vielmehr nur die Grundlage größrer Messungen bei entsprechender Abstufung der Feinheit der Winkelmessungen. In besondern Fällen, d. h. auf einem Gelände, das die Längenmessung nach 1. oder selbst die Aufnahme nach rechtwinkligen Koordinaten nach 2. ausschließt, können aber auch kleinere Figuren bei verhältnismäßig grober Winkelmessung (selbst Gradscheibe usf. bei kleinen Figuren) nach dieser Messungsweise der Triangulation bestimmt werden.

b)    Eine andre Methode, die sich bei der Möglichkeit der Messung beliebiger Winkel darbietet, ist die der Verbindung von Längenmessung und Winkelmessung, das Verfahren der sog. Polygonisierung (Stationierung, Zugmessung), vgl. Kap. 4; wir könnten z. B., wenn es die örtlichen Verhältnisse gestatten, dem Umfang unsres Sechsecks nach stationieren, Seite für Seite und Winkel für Winkel messen in sog. Umfangszugmessung. Man hätte damit drei Stücke mehr gemessen, als geometrisch notwendig wäre zur einfachen Bestimmung des Polygons, so daß sich damit drei

Messungsproben darbieten müssen. Sonst dienen also die Seiten des Polygons nur als Grundlage der folgenden Kleinmessung der Kreuzscheibenaufnahme. Auch hier kann gelegentlich, bei geringer geforderter Genauigkeit, oder sehr geringer Größe der Figur, an die Stelle des kleinen Theodolits die Gradscheibe (Polymeter, Pantometer auf Stockstativ wie die Kreuzscheibe) mit Winkelmessungsgenauigkeit von nur einigen Minuten treten. Wir werden bald zu dieser Verbindung der Theodolitwinkelmessung ' und Streckenmessung zurückkehren. Die Berechnung der Fläche des Polygons wird am besten so gemacht werden, daß man aus den Messungen rechtwinklige Koordinaten der Ecken in irgendeinem System bestimmt; vgl. über die dazu erforderliche Berechnung Kap. 4.

c)    Eine besondre Abart dieser Kombination von Längenmessung und Winkelmessung ist das „Strahlen und Messen“; denken wir ein Winkelmessungsinstrument von genügender Genauigkeit in einer Ecke des Sechsecks ABGDEF, z. B. in B aufgestellt, von wo nach allen andern Eckpunkten gezielt werden kann und von wo aus alle Strecken bis zu diesen Punkten gemessen werden können. Man nimmt dann also hier nach Polarkoordinaten auf, jedes der Dreiecke, in die unsre Figur zerlegt wird und die alle eine Ecke in B gemeinschaftlich haben, wird durch Messen zweier Seiten und des zwischenliegenden Winkels bestimmt. Wir werden im II. Bande dieses Lehrbuchs sehen, daß die Aufnahme nach Polarkoordinaten, oder Strahlen und Messen, für gewisse Messungen, sog. tachymetrische Messungen, von großer Bedeutung dadurch wird, daß man die Entfernungen nicht mehr direkt mißt, mit Latten usf., sondern wie man zu sagen pflegt, optisch mißt, mit Hilfe des „entfernungsmessenden Fernrohrs“ und der zugehörigen vertikalen Latte im Endpunkt. — Auch hier ergibt sich der Inhalt leicht als Summe von Dreiecksinhalten, von denen jeder nach 2F = bc • sin a zu berechnen ist.

d)    Die Winkel, von denen im Vorstehenden bei a) b) c) die Rede war und für deren Messung wir bald den Theodolit kennen lernen werden, brauchen keineswegs notwendig im Gradmaß, zahlenmäßig, bestimmt zu werden; man kann, um sie festzulegen, auch einen sog. Meßtisch mit Meßtischaufsatz oder Kippregel (früher oft Diopter-Kippregel, jetzt fast ausschließlich Fernrohr-Kippregel) benützen, wobei auf einem fest aufgestellten, horizontal gelegten Zeichenbrett die Horizontalprojektionen von Zielungen an der Kante des Lineals der Kippregel gezogen, also zugleich aufgetragen werden. Mit diesem Meßtisch kann „graphisch trianguliert“ und „graphisch stationiert“ werden (beides schwerfällig), er kommt ferner besonders für die Messungsmethode c) „Strahlen und Messen“ in Betracht, wobei das Messen der Strecken wieder meist nicht direkt, sondern mit dem entfernungsmessenden Fernrohr der Kippregel ausgeführt wird. Diese Meßtischaufnahme nach Polarkoordinaten ist in der Tachy-metrie auch heute noch wichtig, keineswegs veraltet. Dagegen kommt allerdings der Meßtisch für unsre einfachen Lageplanaufnahmen, die alle Ergebnisse in Zahlen liefern sollen, heute nicht mehr in Betracht.

4. Im allgemeinen ist also aus den angegebnen Gründen die Methode der Stückmessung nach rechtwinkligen Koordinaten gegen die Linearmethode (Längenmessung allein) im Vorteil; es tritt aber fast bei jeder Aufnahme auch die Linearmethode in Verbindung mit der reinen Koordinatenmethode auf, es werden auch „schiefe Längen“, nicht nur solche in der Abszissenachse und in der Richtung senkrecht dazu, gemessen, Schnittpunkte von Geraden abgelesen, und es werden weitre Aufnahmslinien „eingebunden“ durch Längenmessung, ein Netz von Aufnahmslinien hergestellt.

Bleiben wir zunächst bei der Koordinatenmethode von einer Auf

nahmslinie aus, so sind die Arbeiten bei ihr folgende:

Hammer: elementare praktische Geometrie.

a) Abstecken der Aufnahmslinie (Abszissenachse). Die Arbeit bei der Aufnahme ist wesentlich bedingt von der richtigen Wahl dieser Linie:

b)    Fällen der Lote von den aufzunehmenden Punkten auf diese Linie;

c)    Längenmessung der Fußpunkte in der Aufnahmslinie und der Ordinaten. Die Abszissenmessung geschieht im allgemeinen während der Aufnahme selbst, d. h. gleichzeitig mit dem Lotfällen, wobei die Abszissen am besten von einem bestimmten Anfangspunkt an durchlaufend, auch bei einfachen Figuren nicht von Fußpunkt zu Fußpunkt abgesetzt gezählt werden, und die Latten oder das Band so lange in der Aufnahmslinie liegen bleiben, bis auf diese Stelle der Aufnahmslinie kein Lotfußpunkt mehr fällt. Abszissen und Ordinaten sind also mit zwei ver-schiednen Längenmeßwerkzeugen zu messen; man nimmt in der Regel am besten zu den Abszissen 5 rw-Latten oder das 20 m-Band, für die Ordinaten 3m-Latten, da die Ordinaten meist und zweckmäßig kurz sind und häufig bergauf und bergab führen, während die Aufnahmslinie möglichst horizontal angenommen wird.

oder 2 cwv-Papier;

cm-

d)    Führung des sog. Handrisses (Feldskizze, Brouillon). Yon größter Bedeutung ist sorgfältige und klare Führung des Handrisses; er muß jede gemessne Zahl eingeschrieben enthalten und alles in so deutlicher Skizze darstellen, daß über keine Zahl oder ihre Bedeutung irgend ein Zweifel sein kann. Er muß jedermann, nicht nur dem Aufnehmenden während der Aufnahme, verständlich sein, z. B. von einem bei der Aufnahme nicht Beteiligten „aufgetragen werden“ können, d. h. es muß nach ihm ein Plan in bestimmtem Längenmaßstab 1M hergestellt werden können. Die Führung eines guten Handrisses erfordert Übung; während die Längenmessung der Abszissen und Ordinaten von tüchtigen Meßgehilfen rasch erlernt wird, sogar das Lotfällen, ist die Führung eines guten Handrisses nicht ihre Sache, weil dazu auch zeichnerisches Geschick gehört. Man darf vor allem auch keine Zahl vergessen aufzuschreiben; denn die Zahl, nicht die Zeichnung der Skizze ist maßgebend, die Verbindung der Punkte im Handriß dient nur dazu, den Zusammenhang herzustellen, wo aber die Zahl fehlt, ist der Punkt verloren. Vielfach ist üblich, sich bei der Führung des Handrisses eines besondern kleinen leichten Zeichentischs zu bedienen und auf ihm mit Lineal und Zirkel zu arbeiten; auch wird vielfach vorgeschrieben, die Feldzahlen mit Tinte zu schreiben, erstens, um sie besser zu fixieren, zweitens, um willkürliche Änderungen an ihnen zu vermeiden. Es ist vorzuziehen, die Feldskizze mit ziemlich hartem Bleistift und scharf eingegrabenen Zahlen zu führen, während man einfach das Handrißpapier mit Gummiring auf Pappdeckel oder Mappe befestigt. Dabei gebraucht man zweckmäßig Millimeterpapier, mit blauer oder gelber Farbe liniiert, oder wenigstens dies ist viel besser, als einfach weißes Papier zu nehmen. Vielfach ist geradezu verboten, die Skizze ziemlich genau maßstäblich zu führen und jedenfalls soll allerdings auf dem Feld kein Zirkel verwendet werden, schon weil dies viel zu sehr auf hält. Aber auch Lineal und kleine Winkel sind ganz entbehrlich, wenn man mm- oder cm-Papier nimmt; und einigermaßen den richtigen Verhältnissen entsprechend soll die Skizze doch aus-

fallen, was eben durch solches Papier gewährleistet ist. Die einzelnen Blätter des Handrisses sollen auch bei umfassenden Aufnahmen nicht zu groß sein, jedenfalls nicht über Kanzleiformat 33/21 freilich, bei einzelnen Katasterverwaltungen, große Feldbögen z. B. von cm geradezu vorgeschrieben, die dann einen Feldtisch beanspruchen und auf denen Maßstab und Zirkel zu verwenden sind; andere Katasterverwaltungen schreiben um so kleinere Handrißblätter vor. Als Maßstab der nach Maßgabe der mm- oder cm-Linien des Papiers, im übrigen nach Augenmaß aufzutragenden Handrißskizzen dient für freies Feld, wo nicht allzuviel kleine Maße Vorkommen, oft 1: 1000, meist bequem ist 1: 500

gehen. Oft sind

cm

50/70

(10 m Feldlänge = 2

cm

des liniierten Papiers); bei 2 mm-Liniierung stellt bei 1: 500 jede kleinste auf dem Handrißpapier vorhandne Netzmaschenseite 1 m Feldlänge vor. Auf ganz freiem Feld mit großen Grundstücken kann man den Maßstab des Handrisses selbst auf 1: 2000 verringern; umgekehrt muß der Maßstab bei zahlreichen kleinen Maßen, besonders bei „überbauten Lagen“ in Dorf und besonders Stadt vergrößert werden auf 1: 250, selbst 1: 100. Man schreibt bei 1: 500 gleich bei Beginn der Aufnahme längs der als Abszissenachse gewählten Linie des wvm-Papiers an jedes zweite cm in kleinen Zahlen 10, 20, 30 . . . (*n) an, womit eine bequeme Übersicht der Längen gegeben ist; ähnlich bei andern Maßstäben.

Außerordentlich wichtig ist, daß beim Schreiben der gemessnen Strecken im Handriß ein ganz bestimmtes System festgehalten wird, das Irrtümer über die Bedeutung einer Zahl sicher ausschließt. In Württemberg ist seit alters üblich, die Koordinatenzablen so in den Handriß zu setzen, daß sie senkrecht stehen zu der Richtung, in der sie gemessen sind und daß sie am Endpunkt der durch sie gegebnen Strecke stehen; man sieht damit jeder Zahl sogleich an, in welcher Richtung ihr Anfangspunkt liegen muß, ferner sind Zahlen längs der Aufnahmslinie, quer zu dieser geschrieben, ausschließlich Abszissen, Zahlen bei aufgenommenen Punkten im allgemeinen Ordinaten, nämlich dann, wenn sie senkrecht zur Ordinatenrichtung geschrieben sind. Zahlen für Strecken, die nicht in diesen zwei Hauptrichtungen • liegen, z. B. sog. Kopfmaße, werden durch Striche über den Zahlen oder durch Striche oder Häkchen, zwischen die sie gesetzt sind, besonders bezeichnet. Ein kleines Stück des Handrisses der Aufnahme einiger Grundstücke auf freiem Feld sieht nach diesem System folgendermaßen aus, Fig. 71; die einfachen kleinen Ringe sind Marksteine (Grenzsteine), die Linien zwischen ihnen die durch sie gegebnen

- an-

geradlinigen Eigentumsgrenzen. Die Aufnahmslinie ist durch---

gegeben; die Abszissen in dieser Linie sind in der Richtung der Pfeile gemessen, 0,00 Anfangspunkt (Pflock) der Messungslinie, 102,13 Endpunkt (ebenso, durch Doppelring bezeichnet), im Handriß doppelt unterstrichen, um die Bedeutung dieser beiden Punkte zu zeigen. Die Zahlen neben der Abszissenlinie stehen senkrecht zu dieser gleich auf der Seite angeschrieben, auf der man das Lot nicht braucht, da dort die Zahl am ungestörtesten geschrieben werden kann; man sagt beim Lotfällen oder Ablesen der Abszissen des Fußpunkts sogleich: Lot nach links oder Lot-nach rechts (im Sinn der Abszissenmessung gesehen). An den Endpunkten der Ordinaten stehen die Ordinatenlängen, stets normal zur Richtung, in.

der sie gemessen sind, d. h. also parallel zur Aufnalimslinie; die Zahlen 4,93, 17,23, . . . stehen umgekehrt im Vergleich mit den übrigen Ordinaten-zahlen, damit sofort der Sinn der Messung aller dieser Zahlen aus dem

IC 2,13

Handriß erkennbar ist. Die Zahl 2,3 bei dem Markstein (22,17; 16,14) steht ohne besondre Bezeichung dort; sie kann nichts heißen als:

die Grenzlinie----zwischen

is, zs

SC, 31

1S,S3

%//

71,33 i"

cm

kW I •

,Qj :

4/

Fig. 71.

<Z>

V¹ srr.ffz-

I

"1 S*t,ZZ

Wiese

hc-

szu

7,7 s

/£

29CS

4-2,90'

1 37,SS

31,51

Wiese

in 91

zs,fr$

27,17 1

Acker

IS,30'

---

a o,oo

Acker und Wiese (keine Eigentumsgrenze, sondern nur „Kulturgrenze“ auf demselben Grundstück) schneidet die linke Grenzlinie in 2,3 m Entfernung von jenem Markstein. Die Zahlen sind hier mit wenigen Ausnahmen auf 1 abgelesen, was für freies Feld mit gewöhnlichen Marksteinen eigentlich überflüssig ist; man kann hier entweder auf gerade cm oder auf ¹/₂Om (5cm) abrunden, selbst 12m genügt noch nach manchen Vermessungsvorschriften. Maße, die sich nicht auf solche feste Punkte beziehen, wie Marksteine immerhin sind, werden jedenfalls nur auf 1 Zm abgelesen. In der Stadt oder in Dorf lagen, bei scharfen Punkten und teurem Grund und Boden, wird jedenfalls auf lcm abgelesen; vgl. einigeNo-tizen darüber in den Katastervorschriften über Längenmessung am Schluß von24. Manchmal werden im Handriß die Lotfußpunkte durch von andern Punkten unterschieden, was aber meist überflüssig ist; wo nichts steht beim Abgang einer----Linie von der Auf

nahmslinie handelt es sich eben stets um einen „angewinkelten“ oder „angeloteten“ Punkt bei dieser„Aufnahme“(=„Aufinessung“ in Norddeutschland).

Der Handriß Fig. 71 entspricht einer fast reinen Kreuzscheiben-(Koordinaten-) Aufnahme; immerhin sind gelegentlich Schnittpunkte von Grenzen mit der Aufnahmslinie abgelesen, bei 18,30 und 82,51 (was nur angeht, wenn der Schnittwinkel

ordinaten festgelegt sind. Die erste Strecke 15,72 soll sein = l/4,30² -f- 15,12²; die links-(7,78 — 3,48)² = 4,30²= 18,49 (58,02 — 42,90)² = 15,12² = 228,61

stehende Ausrechnung mit der Quadrattafel zeigt Übereinstimmung noch im zweiten Zahl zeigt sich Widerspruch von 2 cm:

bei der

mit der Abszissenlinie nicht zu spitz oder zu stumpf ist; ist der Schnittwinkel <(30° oder )> 150°, so hat die Ablesung des Schnittpunkts keinen Wert mehr), ferner sind auch einige „schiefe“ Maße (nicht parallel zu einer der Hauptrichtungen) genommen, s. u. fliese Maße bieten (die ersten, wenn die Grenzen genügend geradlinig sind) Messungs-

25,89 — 10,42

proben; es muß z. B. sein 18,30= 10,42 -j-

• 5,12; die Rechenschieberaus-

5,12 -f 4,93 Ähnlich bei 32,51. Von „schiefen Maßen“

rechnung zeigt einen Widerspruch von 2 sind abgelesen die „Kopfbreiten“ - 15,72 - und -14,55-; auch sie bieten Kontrollen, da es sich um Strecken zwischen Punkten handelt, die auch durch ihre rechtwinkligen Ko-

cm.

247,1

= 15,72    yi3,31² + 5,84² soll = 14,55, ist aber 14,53.

Endlich liegen die vier Marksteine (37,88; 29,08) bis (80,31; 14,24) auf einer sog. Steinlinie, d. h. einer geraden Linie, was die Auffindung der Steine erleichtert. Auch hierdurch ergeben sich Messungsproben, indem z. B.

29,08 — 14,24 80,31 — 37,88

sein soll, usf.; die Ausrechnung (mit dem Rechenschieber) zeigt auch in diesen Punkten Widersprüche von nur wenigen

18,83 = 14,24 -f

(80,31 — 67,16)

cm.

zu

Dem Anfänger begegnet bei der Handrißfübrung leicht der Fehler, daß er im Bestreben möglichst richtigen Skizzierens nach den abgelesnen Maßen vergißt, diese abgelesnen Zahlen einzuschreiben. Wo die Zahl fehlt, ist aber der Punkt verloren, denn für das folgende Aufträgen des Planes ist selbstverständlich, so nützlich ein guter, sauber und nach Augenmaß maßstäblich geführter Handriß ist, niemals die Zeichnung in diesem, sondern nur die beigeschriebene Zahl maßgebend. Daher die Regel in manchen Vermessungsvorschriften, „nicht maßstäblich“ skizzieren; mm-Papier zugrund zu legen ist aber, wie mehrfach erwähnt, immer zu raten, besonders dem Anfänger. Mit kleinem Maßstab (Kantenanlegemaßstab) und kleinen Winkeln auf dem Feldtisch auf nicht liniiertes Papier zu zeichnen, ist ebenfalls vielfach Vorschrift. Um das Abändern eingetragner Zahlen zu verhindern und die Zahlen besser vor Verwischen zu schützen, soll nach manchen Vorschriften der Handriß in Zahlen und Linien mit Tinte geführt werden' (siehe oben); harter Bleistift schützt aber besser vor dem Verwischen, selbst durch Regentropfen. Eine für den Anfänger wichtige Vorschrift lautet noch: sofort die Linien, zwischen den einzelnen aufgetragnen Punkten ziehen, die sie verbinden;, er hat sonst vielfach Punkte auf dem Handriß, von denen er nfcht weiß,, wie sie zusammengehören. Zu einzelnen isolierten Punkten schreibt man die Bedeutung hinzu oder bezeichnet den Gegenstand durch ein überein-kömmliches Zeichen. Der Handriß ist so klar und deutlich zu führen, daß nicht nur der Messende ihn anstandslos auftragen kann, sondern auch jeder andere Sachverständige. Die Handrißführung ist für den Anfänger bei einer Kleinaufnahme weitaus das schwierigste Geschäft; sie erfordert, wie schon erwähnt, zeichnerische Fertigkeit und auch gutes Augenmaß, selbst auf mm-Papier. Bei der Handrißführung sind gewisse überein

32. Fortsetzung. Einzelheiten bei einer Lageplanaufnahme. Hilfslinien. Im Zusammenhang mit den letzten Bemerkungen sei zunächst

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Fig. 72.

Fig. 72, in der die Stellen Besonders bei zahlreichen rechteckigen Absätzen, Vorsprüngen usf. ist das

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kömmliche Zeichen unentbehrlich, von denen für die Kleinaufnahme auf freiem Feld der letzten Figur schon einige angegeben sind: o für

Marksteine; © für Pflock in der Messungslinie--

linie (Eigentumsgrenze),.....für sog. Kulturgrenze (z. B. Wiese/Acker in

der Fig. 71), wo sie nicht zugleich Eigentumsgrenze ist, so auch für den einen Rand des unständigen Weges. Einige weitre Zeichen, die schon hei Messungen auf freiem Felde Vorkommen, sind die für Einfriedigungen:

Einfriedigung aus Holz (Zäune mit Pfosten und

Einfriedigung aus Eisen •°;

unständig (siehe oben);----

Fußweg. Die Art der landwirtschaftlichen Benützung der Grundstücke wird in den Handriß einfach eingeschrieben; nur einzeln stehende Bäume sind mit besondern Zeichen in den Handriß aufzunehmen, entweder mit einer Grundrißbezeichnung, ^ oder <0} oder einer Aufrißzeichnung Jji f 5, > Je riach der Art. Sie werden später auch im Plan durch solche Zeichen ausgedrückt. In die einzelnen Grundstücke sind ferner die „Parzellennummern“ und die Eigentümer einzuschreiben. In sog. Orts-lagen, Lageplanaufnahme in einer Ortschaft oder in der Stadt, kommen natürlich vor allem die besondern Zeichen für Gebäude hinzu. Man will der Art der Bezeichnung eines Gebäudes sogleich anseheD, ist es ein Wohnhaus oder ein nicht bewohntes Nebengebäude (Scheune, Schuppen, Stall; Fabrikgebäude usf.), auch soll oft der Eigentümer erkennbar sein: Staat (wozu benützt, Forsthaus usf.) oder Gemeinde (ebenso; z. B. Kirche), Gutsherrschaft, Privatbesitz. Vgl. die Zusammenstellung unten.

für Grenz-

Mauer:

Stangen oder Latten, Plankenzäune); —x—x Haag oder Hecke, oft auch • • ZI Feldweg;

(Draht); mit Gräben:

Straße

1. noch einiges über Aufnahme von Gebäuden angeführt. Von einem im Grundriß rechtwinkligen Haus sieht man von der Aufnahmslinie aus höchstens drei Ecken, es x'x ist aber auch nicht notwendig, alle vier Ecken anzuwinkeln, es genügen drei, sogar zwei mit Messen von Länge und Breite des Hauses. Weitre Proben kann man häufig durch Ablesen der Schnittpunkte der verlängerten Hausfluchten mit der Aufnahmslinie usw. sich verschaffen, vgl. die die der abzulesenden Zahlen andeuten.

Messen am Gebäude selbst statt aller der vielen Lote auf die Aufnahmslinie, auch wenn sie möglich wäre, wie in Fig. 73, angezeigt, vgl. Fig. 74: es sind hier nur drei Ecken angewinkelt, im übrigen nur die Maße am

V/y

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. z.

Fig. 73.

Haus genommen (zweckmäßig meist nicht auf dem Boden, sondern an der Hauswand entlang, auf einem Sockelvorsprung oder dgl.), so jedoch, daß vielfache Proben vorhanden sind.

Z. B

13,98 soll' = 1/4,78² + 13,14*,

26,66 soll = V9,12* -j- 25,05²;

26,66* -f 13,98* soll = 4,02² + 29,83*

(beides Ausdrücke für das Quadrat der Diagonale des Handrisses von links vorn und rechts hinten); Ausrechnung mit der Quadrattafel oder dem Rechenschieber zeigt genügendes Stimmen dieser Proben. (Die andern Messungsproben 14,12 -{- 12,54 soll = 26,66; 19,98 — 6,00 soll = 13,98 liest man unmittelbar im Handriß ab). Zur Ausführung solcher kleiner Rechnungen, Hypotenuse eines nicht großen rechtwinkligen Dreiecks aus beiden Katheten oder eine Kathete aus Hypotenuse und zweiter Kathete nimmt man, wie schon angegeben, in der Regel die Quadrattafel. Da die Proben gleich ^ auf dem Feld angestellt werden sollen, wo die Quadrattafel verhältnismäßig umständlicher zu gebrauchen ist, wird vielfach auch der Rechenschieber vorgezogen, der besonders dann bequem ist, wenn die eine Kathete verhältnismäßig klein ist gegen die andre, also Hypotenuse um sehr wenig länger als diese. Ist z. B. zu rechnen a = ]/&* -f- c²,

wo c klein ist im Vergleich mit b, so erhält man nach ~\/b² -{- c² = bj/1 -f-

= bl 1 -(- £52) ⁼ fr ^~ 2b’ Um S° sc^r^er’ Je kleiner c im Vergleich mit b ist.

ferner aber auch

nächst a

LZZL

Fig. 74.

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CL

zu

Wenn in der Entwicklung ]/l -f- z oder ]/l — z mit z als kleinem echtem Bruch ein weitres Glied berücksichtigt werden muß, nämlich

]/l -f- z = 1 -)- \z— -J-0² oder ]/l — 0=1—\z— |0²,

kann die Rechnung auch noch mit dem Rechenschieber gemacht werden, wenn auch nicht mehr so bequem. Man wird sich auf die Anwendung dieser Gleichungen beschränken, wenn keine Quadrattafel zur Hand ist, und insbesondre um zu entscheiden,

c²

genügt. Z. B. ist oben zu rechnen:

ob das erste Glied rechts nach 1, \z oder oben

yi3,14<+ 4,78* - 13,14]/l + (—)’=

13,14

b+«-hiS)‘]

13,14²= 172,66 4,78²= 22,85

195,51 Y~ = 13,98

27,35² = 748,02 10,32²= 117,07

4,78²

¹ e² =

26,3

= 13,98. Mit der Quadrattafel (falls sie auf dem Feld zur Hand ist) erhält man die linksstehende Rechnung.

Ebenso als zweites Beispiel:

10,822 54,7

= 13,14 -f

26,3

13,14 -f 0,87 — 0,03

“l/⁷27,35² — 10,82* = 27,35 —

e²

54,7

= 27,35 — 2,14 — 0,08

= 25,13; mit der Quadrattafel wie links, endlich mit fünfstelligen Logarithmen nach

Y~ = ]/(27,35 + 10,82^(27,35 — 10,82) =]/38,17 • 16,53 = 25,12. Es ist auch leicht, sich Rechenschieberregeln für die Rechnung von kleinen rechtwinkligen Dreiecken aufzustellen für den Fall, daß die zwei Katheten wenig verschieden sind.

630,95 V~~= 25,12

Zahlreiche graphische und graphisch-mechanische Rechenhilfsmittel zu solchen Rechnungen an kleinen rechtwinkligen Dreiecken, die selbstverständlich nicht nur bei Gebäuden, sondern bei fast jeder Aufnahme wiederkehren, sind ebenfalls vorhanden (Pythagorastafeln und ähnliche Namen), die in der Handrißmappe mitgenommen werden können; bequemer als der Rechenschieber sind sie alle nicht.

Zur Aufnahme von Gebäuden selbst ist noch die Bemerkung zu machen, daß ein anlaufender Sockel SS im allgemeinen stets weggelassen wird, Fig. 75, daß vielmehr als Hauskanten die ersten vertikalen am Haus vorhandenen Kanten gelten. Der Grund ist nach der Figur leicht zu sehen (rechtwinkliges Haus u. U. sonst im Grundriß des Plans nicht rechteckig).

Aufri ß.

Vig. 75.

2. Aufnahme von Linien. Bisher ist nur von geraden Linien bei der Aufnahme die Rede gewesen; auch sie sind durch Aufnahme einzelner ihrer Punkte festzulegen, zur Kontrolle für eine Gerade gerne mehr als zwei Punkte, drei, vier . . ., besonders bei langem Geraden. Auch jed beliebige andre, krumme Linie, sie sei „regelmäßig“ oder „unregelmäßig geformt, kann nur dadurch aufgenommen werden, daß eine so große Zahl ihrer Punkte eingemessen wird, daß man die Linie in dem zu wählenden Planmaßstab mit genügender Genauigkeit zeichnen kann. Bei „regelmäßigen“ Linien, Kurven mit nicht sehr kleinen und nicht sehr rasch wechselnden Krümmungshalbmessern können diese Punkte verhältnismäßig wenig zahlreich sein, sie brauchen oft keinen kleinern Abstand voneinander zu haben, als man ihn auch (mit Rücksicht auf die Kontrolle) für gerade Linien nimmt. Für einen Kreisbogen (Beispiel gekrümmtes Gleis) z. B. würde die Aufnahme von drei Punkten genügen, für einen ganzen Kreis (Beispiele: Gasometer, Drehscheibe auf Bahnhof) ebenfalls drei Punkte oder auch drei Tangenten [oder Mittelpunkt (falls zugänglich) und Durchmesser (ebenso)] u. dgl.; man nimmt aber auch hier zur Probe mehr Punkte auf, als zur „einfachen“ Bestimmung erforderlich wären. Bei ganz „unregelmäßigen“

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Fig. 76.

Linien dagegen sollte die Zahl der gemessnen Punkte eigentlich oo-groß sein. Um z. B. den kleinen Bachlauf, Fig. 76, der nachher im Maßstab 1:1000 dargestellt werden ^ soll, mit allen seinen kleinen Krümmungen zu messen, sind sehr viel Punkte (alle nur auf 1 2m abzulesen) erforder- 3 lieh. Es ist in der Figur schon angedeutet, daß man gelegentlich von Parallelen und Senkrechten zur ursprünglichen Aufnahmslinie als Hilfslinien Gebrauch zu machen

x....

(Abtragböschung')

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(Auftragböschung)

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Fig. 78.

haben wird, vgl. die folgenden Nummern. „Regelmäßigere“

Linien sind in der folgenden Fig. 77 dargestellt, Stück eines Fahrwegs (ohne Marksteine usf.) mit Anschnitts- und Auffüllungsböschung und Graben auf der Bergseite. Hier sind einfach in bestimmtem rundem Abstand (20 m) voneinander Lote zur Aufnahmslinie gelegt-, nur bei der Dohle sind Einlauf und Auslauf mit nicht runden Abszissen aufgenommen. Die hier gezeichnete Aufnahmsstrecke 152,55m lang; die runden Abszissenzahlen sind beim Aufträgen bequem. Fig. 78 zeigt ein kleines Stück eines Aufnahmshandrisses in einer Altstadt, Fig. 79 zwei Aufnahmslinien

-4.

von einer Aufnahme durch Studierende der Architektur 1909. Das Netz der Aufnahmslinien selbst war polygonometrisch hergestellt, vgl. Kap. 4; darauf beziehen sich die Zahlen (x, y) für die Punkte (1), (2), (3) in Fig. 79.

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Die zwei Figuren sind hier auf etwa ¹/7r0 bis ¹/₆₀₀ der natürlichen Längen reduziert, übrigens unmittelbare Kopien der bei der Aufnahme geführten Handrisse; diese (auf mm-Papier mit 2 Linien) hatten den Maßstab 1:500.

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Fig. 79.

3. Fortsetzung. Aufnahme von Gleisen. Eine besondre Art von Linien, die dem Techniker vielfach Vorkommen, sind ferner Bahngleise. Ihre „Achsen“ (Mittellinien der zwei Schienen) setzen sich im allgemeinen, wie später bei den „Abstckungen“, Kap. 6 auszuführen sein wird, aus geraden Strecken und diese berührend verbindenden Kreisbögen zusammen. Yon andern Kurven kommen bei Eisenbahnen nur sog. Übergangskurven vor, die zwischen Gerade und Kreisbogen als kurze Zwischenstücke einzuschalten sind.

bis zu 300

WX

Auch

WX.

Die Halbmesser der gekrümmten Gleisachsstticke gehen (auf der freien Bahn; anders auf Bahnhöfen) hei Hauptbahnen (Schnellzugsverkehr) herunter, bei Nebenbahnen (wo langsam gefahren wird und keine so langen Fahrzeuge verkehren) bis zu 100 m, bei Industriegleisen, bei Straßenbahnen in Städten usf. noch weiter, bis 50 und 30 für einen Kreisbogen nimmt man, wie schon in 2. angegeben, in der Regel mehr als drei Punkte auf, um ihn bei der Aufnahme mit Proben festzulegen.

In Plänen großen Maßstabs, z. B. Stadtplänen 1:250 oder 1:500 trägt man nun die zwei Schienen eines Gleises (Straßenbahn beim Stadtplan) einzeln ein; in Darstellungen in 1:1000 und kleiner fast stets nur die „Achse“ (Mittellinie) eines Gleises. Diese Linie ist in einem fertig gebaut auf dem Feld vorliegenden und aufzunehmenden Gleis nicht unmittelbar vorhanden; es müssen die einzelnen Punkte dieser Linie, die aufgenommen werden sollen, auf dem Feld selbst erst hergestellt werden. Es geschieht dies bei „schmaler Spur“ des Gleises (60cm, 75cm, selbst noch bei 1 m) vielfach genügend nach Augenmaß; bei „Normalspur“

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Fig. 80.

1,436

dagegen jedenfalls und oft auch bei Schmalspur mit Hilfe von „Gleisstäben“ Dies sind gewöhnliche Fluchtstäbe, an denen in der Entfernung s/₂ vom Kopfende an (s = Spurweite) ein starker Ring mit blauer Kreide umgezeichnet ist. Man bringt diesen Ring an Ort und Stelle an mehreren Stäben an, damit nicht immer nach einem solchen Gleisstab gelaufen zu werden braucht. Die Spurweite oder Spur eines Gleises ist die Entfernung von „Innenkante“ (es ist eigentlich keine Kante da, aber der Ausdruck ist gebräuchlich) zu Innenkante der zwei Schienenköpfe, vgl. Fig. 80. Bei allen „normalspurigen“ Bahnen (Hauptbahnen oder Vollbahnen und wichtigen Nebenbahnen) ist dieses Maß (mit Ausnahme von Rußland, wo breitere Spur vorhanden ist) 1,435 m (es wird oft angegeben, es solle eigentlich m heißen, was aber nicht zutrifft; das Maß ist, und zwar schon seit dem Beginn des Eisenbahnbaus, 4 Fuß 8ys Zoll englisch, und da 1 engl. Fuß bis auf ¹/10Q mm genau gleich 304,80 mm anzunehmen ist, 1 Zoll also zu 25,40 mm, so sind 4' Sl/₂" = 1,435 m). Bei unwichtigen Nebenbahnen, Kleinbahnen, Industriebahnen und -gleisen, Straßenbahnen in Städten und auf Landstraßen, ist „schmale Spur“ vorhanden, lm, 75 cm, sogar 60 cm. Für Haupt- und Vollbahnen ist also s/₂ = 0,718 m, genügend genau 0,72 m, für die andern Bahnen 50 cm, 37¹/₂ cm, 30 cm. In dieser Entfernung vom Stabkopf wi»’d der Ring umgezeichnet; stößt nun der Stabkopf auf der einen oder andern Seite an die „Innenkante“ eines Scbienenkopfs an, nach Augenmaß normal zur Gleisrichtung an dieser Stelle, falls nicht von selbst die Ordinatenrichtung (die der 3 m-Stange) das Gleis etwa rechtwinklig schneidet, so ist durch den Ring ein Punkt

der Gleisachse bezeichnet. Liegt eine der 3m-Stangen über das Gleis herüber, so kann an dem Ring die Ordinate der Gleisachse abgelesen werden, Fig. 81, Grundriß und Aufriß.

Eine Besonderheit dieser Aufnahme von Gleisen, bei der Eisenbahn auf Bahnhöfen vorkommend, bei Straßenbahnen an den Ausweichstellen, sind die Ausweichgleise, Weichen und Kreuzungen. Die zwei Fahrgleise Fx und F₂, Fig. 82, auf einer Station sind durch das Ausweichgleis AA miteinander verbunden, dessen Achse sich an die Achse von Fx und F₂ berührend anlegt in bestimmten Punkten Sx und S₂. Diese zwei Punkte sind die „Weichenspitzen“, die als Hauptpunkte bei der Aufnahme selbstverständlich anzuwinkeln sind; die Richtung der Achse ist nicht so stark schräg zu der von F±FX und F₂F₂ wie in der Skizze, der „Weichenwünkel“ beträgt nur z. B. 1:10.

Wo die rechte Schiene von Fx (in der Richtung des Pfeils für die Abszissenmessung gesehen, von der linken Schiene von A, und da wo die linke Schiene von F₂ von der rechten Schiene von A geschnitten wird, sind die sog. „Kreuzungen“, Durchschneidungen dieser zwei Schienen, meist in sog. Herzstücken durchgeführt. Man nimmt als Kreuzungspunkte Kt, K₂ die Stellen, an denen die zwei durcheinanderschneidenden Schienen oder das Herzstück die Breite

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Fig. 81.

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/Sch.

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Ordinaten

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Fig. 82.

eines Schienenkopfs haben. Für uns, die wir Achspunkte der Gleise aufnehmen, sind nicht Kx und K₂ anzuwinkeln, sondern die ihnen nach Augenmaß entsprechenden Achspunkte Kx, K": K₂, Ki". Die Dreiecke S₁K₁'K₁" und S₂K₂K₂" (mit einer gekrümmten Seite) heißen die Weichendreiecke; sie werden auf Bahnhofsplänen, auf denen die Gleisachsen als blaue Linien ausgezogen werden, blau schattiert oder blau angelegt.

Bei Aufnahme auf Bahnhöfen, die im Betrieb sind, ebenso bei Straßenbahnen in der Stadt, schon auf jeder Straße, auf der gefahren wird,

ist die Aufnahmslinie geschickt zu legen, so daß der Betrieb nicht gestört wird und daß die Aufnahme nicht fortwährend wieder unterbrochen wer-

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Maßstab dieser Skizze ist rund 1: 750, der des Originalhandrisses, von dem Fig. 83 zinkographisch kopiert ist, war 1: 500 (auf mm-Papier mit 2 mm-Linien aufgetragen).

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Tig. 83.

den muß, oder der Aufnelimende und der Meßgehilfe beständig in Gefahr sind. Besonders auf Bahnhöfen Aufnahmslinien seitlich von den Gleisen legen, nur dann zwischen zwei Gleise, wenn deren Abstand genügend groß ist; wenn es sich nicht vermeiden läßt, daß Gleise von Aufnahmslinien geschnitten werden, so soll der Schnittwinkel möglichst groß sein. Es

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Auch der Maßstab der Fig. 84 liegt zwischen 1:750 und 1:800, sie ist von dem Originalhandriß (1: 500)

reduziert: vgl. die Bemerkung bei Fig. 83.

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Fig. 84.

ist auf Bahnhöfen auch besonders zu beachten, daß im Handriß alle einzelnen Gleispunkte sogleich richtig verbunden werden, da sonst manche Zweifel entstehen können. Die zwei vorstehenden Figuren 83 und 84 geben

Handrißstücke von einer Lageplanaufnahme eines Bahnhofs durch Studierende der Bauingenieurabteilung (1909 Westbahnhof Stuttgart), und zwar von zwei Linien, einer Aufnahmslinie zwischen den Gleisen und einer Aufnahmslinie vor dem Stationsgebäude mit Straßenbahngleisen, je in zinkographischer Kopie einer Handrißzeichnung an Ort und Stelle. Die einzelnen Aufnahmslinien sind wieder polygonometrisch zusammengehängt, vgl. oben 2. und Kap. 4. Es ist aber auch vielfach von Hilfslinien Gebrauch gemacht, die in das Netz der Zugseiten eingebunden oder sonstwie auf dieses Netz gegründet sind.

D.

Zu den Bäumen unten in Fig. 84 sei noch bemerkt, daß man in einer derartigen Baumreihe die einzelnen Bäume im allgemeinen ebensowenig aufnimmt wie bei Baumäckern oder Baumwiesen auf freiem Feld; es genügt- in jenem Fall, die Reibe als solche aufzunehmen durch gelegentliche Punkte, und allenfalls die durchschnittliche Entfernung der Bäume aufzuschreiben. Hur der erste oder letzte Baum werden eingemessen. Es kann allerdings auch Vorkommen, daß von Bäumen jeder einzelne aufzunehmen ist, z. B. wenn auf dem Plan, auf dem ein Projekt für eine Straße oder dgl. auszuarbeiten ist, erkannt werden soll, ob ein bestimmter Baum stehen bleiben kann oder entfernt werden muß.

/ä-

Fig. 86.

Fig. 85.

Fig. 87.

33. Fortsetzung. Hilfslinien bei einer kleinen Lageplanaufnahme. Einfache Aufnahmnnetze. Beliebige Aufnahmsnetze.

Von Hilfslinien der Aufnahme kommen zunächst solche in Betracht, die senkrecht oder parallel zur (Haupt-)Aufnahmslinie liegen.

an-

1. Hilfslote zur Aufnahmslinie sind als Nebenaufnahmslinien schon im Vorstehenden mehrfach angedeutet. Über ihre Absteckung ist nur zu sagen, daß man sie gern bei einer runden Abszissenzahl nimmt. Man soll ferner solche Hilfslote nicht nur durch zwei, sondern durch mehr Stäbe bezeichnen, damit man sich selbst in dieses Hilfslot als Aufnahmslinie einrichten kann und nicht fortwährend eingewiesen werden muß. Oft sind aufzunehmende Punkte von der Aufnahmslinie aus gar nicht sichtbar, z. B. A, JB in Fig. 85, während sie auf die Hilfslinie CD leicht zu winkeln sind. Man nimmt häufig in solchen Fällen, nachdem Stab C scharf abgelesen ist (falls er nicht am Ende der 5 w-Stange steht) und die Enden der 5 w-Stangen in MN, z. B. durch Blaustriche auf dem Boden ge-

nügend sicher bezeichnet sind, so daß die Stange nachher auf 1 oder 2 mm genau wieder angelegt werden kann, die 5 m-Stangen aus MN weg, um sie in der Hilfslinie CD zu gebrauchen; die Ordinaten dann auch hier mit den 3 -m-Latten gemessen. Die Länge solcher Hilfslote kann so groß sein, als überhaupt Lote genügend genau mit der Kreuzscheibe usf. abgesteckt werden können; wir haben früher (vgl. 14.) 40 bis 50m- dafür ausgerechnet. Manchmal kann man ein längeres Lot benutzen, das dann nur mit Zuhilfenahme von Längenmessung erhalten werden kann, vgl. unten, 3.

2. Ebenso häufig und noch wichtiger (auf freiem Feld) sind Parallelen zur ursprünglichen Aufnahmslinie. Wenn auf diese zahlreiche lange Lote zu fällen und zu messen wären, so liegt sehr nahe, die Arbeit dadurch abzukürzen, daß man als Hilfslinie eine Parallele zur ursprünglichen Linie absteckt: Parallelverschiebung der Aufnahmslinie. Die Aufgabe, durch den Punkt C eine Parallele CD zu MN abzustecken, kann gelöst werden

a) mit der Kreuzscheibe(Winkelspiegel usf.) allein (s.Fig.86,S. 127): CE_L MN, d. h. Lotfußpunkt Evon C aufgesuckt, und CE _L CE. Das Verfahren ist offenbar wenig genau; wenn z. B. der extreme Fehler, der in der Richtung des Lots mit der Kreuz-

Ei

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M DD'

Fig. 88.

scheibe zu befürchten ist, 8' beträgt, so kann die Richtung CD im äußersten Fall um 10' falsch werden, d. h. der Punkt E auf nur CE — 25 m Länge schon um 25-AA.m = 11 bis 12

falsch zu liegen kommen. Man wird also so nur verfahren dürfen, wenn man CE nur auf wenige Meter Länge braucht und wenn CE nicht allzu kurz ist.

b) Auch mit Längenmessung allein kann die Parallele abgesteckt werden (s.Fig. 87, S.127): die Punkte E, E auf MN und F auf CE (scharf in die Linien einweisen!) beliebig gewählt und die Strecken CF, DD und EF gemessen; berechnet man

cf Cef

z— und verlängert EF um diese Strecke, so ist G ein Punkt der Parallelen

FG =

cm

EF

durch C zu MN (halbiert man z. B. CD scharf in F, so ist FG — FE zu machen).

c) Die beste Lösung ist aber die mit Hilfe von Loten und Längenmessen: Lotfußpunkt D von C auf MN aufgesucht (Fig. 88) und Strecke CD scharf gemessen. Errichtet man in den Punkten E, F, G von MN (scharf einrichten!) Lote und macht EH = FJ = GK = CD, so sind Punkte H, J, K, der Parallelen gefunden (Probe). Es kommt dabei durchaus nicht auf gute rechte Winkel in D, E, F, G an, selbst ganz grobe Absteckung der rechten Winkel hätte nichts zu sagen. Läge z. B. D' so, daß D' CD ein ganzer halber Grad wäre, also bei CD z. B. = 28,6 m,

DD' = -f

= 25 cm, so würden, da cos \ ⁰ = 1 — ~    —j , d. h. nur um

kleiner ist als 1, die Längen von CD und CD’ nur um diesen Teil ihrer Länge, also um -^oo ⁼ 0,000038 von 28,6 ahweichen, für gewöhnliche Lattenmessung nicht merklich. Der ganze Erfolg der Arbeit hängt eben, während die Lote ganz flüchtig gefällt und errichtet werden können, davon ab, daß D, E, F, Gr scharf in der Geraden MN angenommen und die Lotlängen scharf gemessen werden. Diese Überlegung allein schon zeigt die Methode als die beste; und zeigt zugleich, daß man auf diese Art Parallelen in viel großem Abständen von MN ahstecken darf, als sonst mit der Kreuzscheibe beherrscht werden können. Es hat z. B. gar keinen Anstand, Lote von 80m Länge (statt sonst 40 m beim Anwinkeln eines Punkts) zu nehmen für diese Parallelverschiebung; kann man nur die Endpunkte von EH,... auf lcm genau gleich CH (oder CH') einmessen, so kommt jeder der Punkte H,... mit dieser Genauigkeit in die gewünschte Parallele.

m oder 1 mm voneinander

Für die Parallelverschiebung der Aufnahmslinie oder Aufnahmslinien ist fast bei jeder Stückmessung gelegentlich zweckmäßige Anwendung vorhanden.

A2

3. Parallele Gerade als System von Aufnahmslinien. Die Parallelenabsteckung bietet nach dem Gesagten auch noch das Mittel, das Aufnahmsgebiet der Kreuzscheibe beträchtlich zu erweitern. Dieses ist nach der früher berechneten Länge der Lote zunächst ein Streifen von 30, 40, im äußersten Fall ^

50 m Breite zu beiden ²

Seiten der Aufnahmslinie, also auf 60, 80, lOOw Breitebeschränkt.

Legt man aber, auf pas- _ sendem Gelände, in der Entfernung 80 m von der urspriinglichenLinie eine Parallele zu ihr, so ist der Aufnahmsstreifen von 80 m auf M die doppelte Breite erweitert; und dies kann man sogar wiederholen, selbst mehrfach, wenn es gelingt, Punkte dieser Parallelen mit genügender Schärfe „aufeinander zu beziehen“, d. h. zu der Parallelen ein genügend genaues Lot abzustecken: die Parallelen selbst kann man genügend scharf abstecken bis zu so großer Entfernung von der ersten Aufnahmslinie, als man sich auf genügende Genauigkeit der Längenmessung der Lote verlassen will, z. B. bis zu 3 X 80m = 240m, welche Strecke noch mit wenigen Zentimetern Fehler auf günstigem Boden zu erhalten ist. Man kann also so ein genügendes „System von parallelen Aufnahmslinien“ hersteilen; aber kann man auch eine dazu senkrechte Richtung mit genügender Genauigkeit haben? D. h. welcher Punkt A₁ oder A₂ von MtNt oder M₂N₂ in 80 oder Abstand von MN „entspricht“ einem gegebnen Punkt A auf MN? Für diesen Zweck reicht die Genauigkeit des Kreuzscheibenlots, die für das Abstecken der Parallelen mehr als genügend ist, nicht aus; man hat die „Aufgabe des langen Lots“ zu lösen, was mit Hilfe genauer Längen-

z.B. 80,00 m

160

<s~

Fig. 89.

z.B.80₍oo m.

Hammer: elementare praktische Geometrie.

messung mit gewöhnlichen Latten auf günstigem Boden leicht mit der erforderlichen Schärfe geschehen kann. Um z. B., Fig. 89, den Punkt A zu bestimmen, der dem Punkt At auf M₁N₁ so „entspricht“, daß AXA _L MN und _L MXNX ist, steckt man durch At die Gerade A₁B₁ aus (genügend länger als AAV aber auch nicht allzulang, da sonst wieder AB zu lang

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Uig. 90.

wird), am besten so, daß AXB etwa das iy₂fache von AtA wird. Es werden nun die Strecken AXA (genügend scharf in der Strecke AxAf zu haben, wenn auch AXA’ nur das Kreuzscheibenlot von 80 m Länge vorstellt, viel zu lang, als daß es den Ort des Fußpunkts A genügend liefern könnte) und ebenso AXB sorgfältig gemessen; aus ihnen ist zu berechnen die Strecke

bä-Va^-a^’'

womit A von B aus z. B. auf 1 cm

genau einzumessen ist. Ähnlich für den entsprechenden Punkt A₂ auf M₂N₂. Mit dieser Feststellung ent-

sprechender Punkte auf den Parallelen ist erst das System dieser Linien zum brauchbaren Aufnahmsliniennetz geworden. Zur Probe wird man auf einige hundert Meter Länge der Parallelen diese Arbeit an ver-schiednen Stellen machen. Man kann dann durch Einmessen z. B. der Punkte Co von A₂ aus, Cx von Ax aus und Abstecken der Linie Cx C₂ auch eine für bestimmte Zwecke günstig liegende „schiefe Aufnahmslinie einbinden“ und so das Parallelennetz überhaupt zu einem Aufnahmsliniennetz erweitern.

Das System paralleler Aufnahmslinien hat u. a. bei der Parzellarvermessung der württembergischen Landesvermessung sehr ausgedehnte Anwendung gefunden; zu ausgedehnt insofern, als es z. T. auch auf nicht dazu geeigneten Flächenstücken des freien Feldes „über Stock und Stein weg“ gebraucht wurde. Ein etwas schematisiertes Beispiel zeigt Fig. 90. Ein Übelstand dieser „Parallelenmethode“ der württembergischen Landvermessung ist auch der, daß ihre Maße leicht zu fälschen sind (Summen der Ordinaten eines Punktes auf zwei benachbarte Parallelen gleich Abstand dieser Parallelen usf.).

4. Andre Aufnahmsliuiennetze. In der Regel ist bei Aufnahme eines Grundstücks oder eines kleinen Verbands von Grundstücken eine einzige Aufnahmslinie nicht ausreichend und auch Lote und Parallelen zu ihr geben wenigstens nicht das kürzeste Verfahren. Es habe z. B. ein größres Grundstück die Form von Fig. 91; es seien zudem noch Messungshindernisse für lange Lote von den Eckpunkten auf z. B. die Seite AB vorhanden. Hier liegt nahe, ein Dreieck ABC von Aufnahmslinien zu bilden (wobei selbstverständlich nicht notwendig die Verbindungslinie zweier Ecken die eine Seite dieses Dreiecks sein muß) und diese drei Linien zunächst in sich festzulegen. Es kann geschehen durch Messen der drei Seiten AB, BC, CA des Dreiecks, die man einmal sorgfältig für sich mißt, ohne Rücksicht auf die Lotfußpunkte auf ihnen; die zweite Messung, mit Ablesung der Lotfußpunkte bei der Kleinmessung (Aufnahme der einzelnen Eckpunkte auf die nächstgelegne der drei Linien, nur E zur weitern Probe doppelt) ist jedenfalls weniger genau. Eine feine Probe für die erste Seitenmessung (falls diese nicht wiederholt werden soll) kann man wieder mit Hilfe der Aufgabe des „langen Lots“ (vgl. oben bei 3.) erhalten, indem man nach Anloten des Punkts C auf AB, z. B. in dem Punkt I)', das wir uns möglich denken, CD' mißt, womit man erhält:

K/

/\

V-

/V

Fig. 91.

und ebenso

AD = V(A C + CD')(A C - CD') BD = V (BC -f CD')(BC-CD') ■

Die Summe beider Zahlen muß AB geben. Für den Inhalt des Aufnahm sliniendreiecks wäre die Feststellung von I) nicht notwendig; ist der Inhalt Q, so ist genügend 2Q = ÄB-CD', was mit der Rechnung aus den drei Seiten übereinstimmen muß.

Ein andres Aufnahmsliniennetz, ein Viereck, zeigt Fig. 92. Man kann zu solchen „Umfangsnetzen“ oft dadurch gezwungen sein, daß das Innere der Figur nicht zugänglich ist, wie bei diesem See, oder bei

Absteckungs- und Sichthindernissen, wie bei einem Waldstück, Parkstück usf.

Die vier Pflöcke A, B, C, B werden so geschlagen, daß man die vier Seiten des Vierecks direkt messen und auch die Winkel in A und B durch die Lote CE und GFgenügend festlegen \ ^pßkann. Man hat dann mit - vier Seiten und zwei Win-kein eine Messungsprobe für das Viereck (5 Stücke notwendig). Da auch die Hypotenusen B C und A G aus den Katheten gerechnet werden können, sind noch zwei weitere Kontrollen vorhanden, von denen die zwei letzten hier zufällig je auf das Zentimeter stimmen:

r-.

cp

_jE

Fig. 92.

■ZG'ZS

(1)

j/18,36² + 36,12² = 40,52;

(2)

yiy,85* + 42,08² == 4(3,32.

Der Punkt D hätte, wenn er auf AB hätte angewinkelt werden können, folgende Koordinaten erhalten:

18,36-

(3)

61,33

40,52

Abszisse,

36,12 -

61,33

40,52

Ordinate.

Beachte, wie diese Ausdrücke bequem mit dem Rechenschieber zu rechnen sind:

61,33    40,52 -f- 20,26 -j- 0,55

40,52

61.33

„ ist wenig größer als 1V», es ist 40,52    ö    u

Ausdrücke (3) gleich ^18,36 -|- 9,18-)-    • 18,4 j und ^36,12-f 18,06-(-

mit Ablesung der letzten kleinen Glieder am Schieber

( 27,54 -f 0,25 = 27,79 m

\ 54,18 -f- 0,49 = 54,67 m.

40,52

, also die zwei

0,55

40,5

• 36, l)

oder

und

Dies wären, wie gesagt, die Koordinaten von _D auf AB und mit A als Nullpunkt. Es soll also noch als dritte Probe:

56,56 soll - 1/(82,92 — 27,79)*'fl- (54,67 — 42,08)² = yÄöfljF fl- 12,59*; die Wurzel mit der Quadratzahl oder nach 12,59²

iLööfl 110,3

(5)

55,13 fl-

e²

= 55,13 -f 1,44 — 0,02 = 56,55 m

ausgerechnet zeigt einen Widerspruch in der dritten Messungsprobe von 1

cm.

Man

kann also das Netz von Aufnalnnslinien, z. B. mit Benutzung der eben berechneten Koordinaten des Punkts D (zur Kontrolle „mit Bogenschlag“ von A und C aus) in beliebig großem Längenmaßstab sehr genau zu Papier bringen. Die „Kleinpunkte“, hier Punkte des Seeufers, sind bei der Aufnahme wieder auf die nächstgelegene Linie anzuwinkeln, wie bei CD angedeutet.

Solche „Liniennetze“ für Lageplan aufnahmen (sie sollten, um anzudeuten, daß wesentlich Längenmessung allein, nämlich yon einigen Loten abgesehen, zu ihrer Festlegung dient, besser Streckennetze heißen) lassen sich hei gehöriger Verstrebung durch Kontrollstrecken mit befriedigender Genauigkeit auf eine verhältnismäßig große Fläche ausdehnen. Ihre rechnerische Ausgleichung, im Sinn der Methode der kl. Q. ist, nebenbei bemerkt, mühsam. Zu beachten ist für die Kleinaufnahme, der sie als Grundlage zu dienen haben, daß nicht nur die Strecken des Netzes seihst als Aufnahmslinien verwendet werden können, sondern auch beliebige „eingebundene“ Linien oder „Bindelinien“, deren Anfangspunkt und Endpunkt auf einer der Linien des Streckennetzes durch Längenmessung von einem der Punkte des Hauptnetzes aus festgestellt werden.

Das Aufträgen des Streckennetzes als Grundlage des Plans geschieht durch Konstruktion, den Messungen entsprechend, oder nach vorhergehender Berechnung rechtwinkliger Koordinaten, vgl. die Fig. 91 und 92 und zugehörige Rechnungen.

(4)

ß4

ßs

sr₄

ss\

p)

>SS₃

ße

(6?

ßX*²>

S;

ss

ßi

p7

(7

(1)

s,

Fig. 93.

5. Geschlossne Polygone mit Seiten- und Winkelmessung als Aufnahmspolygone. Polygonzüge. Der wichtigste Fall, in dem die Seiten eines gescblossnen Polygons als Aufnahmslinien der Kleinmessung dienen, ist das „Umfangspolygon“ (wie Fig. 92 mit Kreuzscheibenfeststellung der Winkel), wobei aber die Horizontalwinkel mit dem Theodolit gemessen werden, Fig. 93. Mißt man in einem w-Eck alle n Winkel direkt und gleichwertig mit dem Theodolit (nicht in der Art von Fig. 92, ^ wo nur zwei Winkel und nicht direkt, sondern durch ihre'tang gemessen sind) und alle n Seiten (unmittelbar mit Latten in der seitherigen Art), so sind drei Stücke mehr gemessen als zur einfachen geometrischen Bestimmung des n- Ecks erforderlich wären; es sind also drei Messungsproben vorhanden, vgl. darüber Kap. 4. Ein solches Polygon wird im allgemeinen nicht so zu Papier gebracht, daß man seine gemessnen Winkel mit Hilfe ihrer tang oder ihrer chord aufträgt, sondern dadurch, daß man in einem beliebig angenommenen Koordinatensystem die rechtwinkligen Koordinaten der Ecken des Polygons berechnet und das Polygon mit Hilfe dieser Koordinaten aufträgt. Für die Feldmessung im Sinn der Katasteraufnahme noch wichtiger als geschlossne Polygone sind Polygonzüge, die an „trigonometrische Festpunkte“ „angeschlossen“ werden. Die Züge verbinden die trigonometrischen Punkte (Signalsteine) auf möglichst kurzem Weg miteinander und bilden das Zwischenglied zwischen der Dreiecksmessung (Triangulation) und der Kleinmessung. Es seien z. B., Fig. 94, I und II zwei trigonometrische Festpunkte, deren Koordinaten (xj 2/1) und

(•rn Uli) in einem „Landesvermessungskoordinatensystem“ oder im Koordinatensystem einer Stadtvermessung fest gegeben sind. Der Zug I 1 2 3 4 II ist zwischen diese zwei Punkte eingehängt, an sie „angeschlossen“; wie, wird im Kap. 4 anzudeuten sein. Die eigentlichen Polygonwinkel sind die Winkel ßn /3₂, ßs, ß₄, die Zugseiten die Strecken s,, s₂, ss, s₄, sn. Für die Polygonpunkte 1, 2, 3, 4 sind zum Aufträgen des Zugs, im vorliegenden Fall zum Einträgen oder Einlegen der Eckpunkte in das Landesvermessungskoordinatensystem, ihre rechtwinkligen Koordinaten in diesem System zu berechnen. Die Polygone und Polygonzüge (polygonometrische Punktbestimmung), die wir durchführen können, wenn wir den Theodoloit kennen gelernt haben, sind unser erstes Mittel zur nachhaltigen Erweiterung unsres Messungsgebiets, viel ausgiebiger und geschmeidiger als das starre Parallelennetz. Jede Seite des Polygons 93 oder des Zugs 94 oder jede auf Grund dieser Polygonpunkte „eingebundne“ Linie wie AB in 93 ist Aufnahmslinie für die Kleinmessung. Jede dieser Linien liefert für sich ein Handrißblatt.

Sjr

s«.

ß,

S₃

(3)

(1)

(2)

Fig. 94.

34. Hilfsaufgaben bei der Kleinmessung. Bei der Kleinaufnahme nach rechtwinkligen Koordinaten, unterstützt durch die Linearkonstruktion, sind nicht^ganz selten besondre Aufgaben zu lösen, besonders in dem Sinn der Überwindung von Messungshindernissen. Man hat früher zum Teil viel Kunst zur Bewältigung solcher Aufgaben aufwenden zu müssen geglaubt, und die altern Lehrbücher der praktischen Geometrie enthalten meist lange Abschnitte darüber; neuerdings sucht man diesen Aufgaben durch zweckmäßige Anordnung der Messungselemente, der Messungslinien usf. aus dem Weg zu gehen. Immerhin ist dies nicht immer möglich, und es sind deshalb hier wenigstens einige solcher Hilfsaufgaben zusammengestellt.

1. Abstecken der Geraden zwischen zwei Punkten A und B mit einem Sichthindernis zwischen beiden, Fig. 95. Durch A

Yi

A‘

y₂

Y3

X₂

Fig. 95.

x3

wird die Hilfslinie AC' abgesteckt, nahe an dem Hindernis vorbei, ferner BB _L AC kergestellt. Ist AB = a, BB=b gemessen, so ist

(1) y = — • x die Gleichung der Geraden AB mit AC als Abszissenacbse,

A als Nullpunkt. Die Gleichung (1) liefert zu jedem beliebigen Wert .xv x₂ . . . von A in A C gemessen den zugehörigen Wert yv y₂ . . . der Ordinate: Rechenschieber für kleines b, oder kleines y\ auch für größere brauchbar, wenn die Zahlen geeignet hergerichtet werden.

in den über

Es sei z. B. AD = a — 123,48 m, DB = & = 20,12 m, so daß das

cm

10 m hinausgehenden Ordinaten mit dem gewöhnlichen Rechenschieber nicht mehr sicher wird; beachtet man aber, daß

20,12    20,58 — 0,46    1    0,46

123,48

ist, so ergibt sich z. B. zu x₃ = 100,00

ys = 100,00 Q -

123,48    6    123,5

der Wert von

0,46

123,5

16,667 — 0,373 = 16,294

genau. Kann die Hilfslinie nicht von A und B selbst ausgehen, so steckt

mm

auf 1

man sie möglichst nahe bei A und B vorbei aus; sind die Lote von A und B auf eine solche Hilfslinie M N gleich a und &, und ist c der Abstand der zwei Lotfußpunkte in MN, so lautet die Gleichung der abzusteckenden Geraden in Beziehung auf ein System mit Nullpunkt im Lotfußpunkt von A und «-Achse in MN:

. b — a

y ⁼⁼ a -J--- • x.

2.    Lot mit Hindernis. In C soll auf der Geraden AB ein Lot errichtet werden, während das Messungshindernis H vorhanden ist, Fig. 96. Lot in 1) nahe am Hindernis vorbei, gibt durch Lote EF, GrK auf diesem Hilfslot und gleich CD Punkte der gesuchten Linie.

K>

F-

3.    Parallelabweichen zur Umgehung eines Hindernisses beim Längen-messen. Die Strecke BC der Linie MN könnte wegen eines Hindernisses nur unbequem gemessen werden (z. B. wäre über einen Gegenstand wegzumessen, der zwar nicht das Ausfluchten verhindert hat, aber die Messung sehr mühsam [Haufen von Pflastersteinen]) oder unsicher machen würde (unregelmäßige Sandhaufen usf.); BD und CE Lote auf -MN, gleichlang, gehen MN = MB + DE + CN.

O— -

A

B~

-Ö-

Fig. 97.

Fig. 96.

x aufzunehmen: die Lot-

4. Bei solchen „Aufgaben mit Hindernissen“ spielt eine große Rolle der Umstand, ob ein Punkt nicht zugänglich ist; z. B. kommen sichtbare aber nicht zugängliche Punkte, die auf eine Linie aufgenommen werden sollen, nicht ganz selten vor. Man kann zwar von einem solchen Punkte P das Lot PQ auf die Aufnahmslinie MN fällen, aber die Strecke PQ nicht messen, weil man zum Punkt P nicht kommen kann, der jenseits eines Baches oder Kanals liegt, über den man nicht wegmessen kann oder jenseits einer eisernen Einfriedigung, Fig. 98, die nicht überschritten werden kann, oder auf einem Haus (Blitzableiter); z. B. sei das Haus H jenseits des Eisenzauns — x—* fußpunkte Q₁ Q₂ Q₂ können aufgesucht werden, aber die Längen der Ordinaten P₁Ql, . . . können nicht gemessen werden. Diese „Hindernisaufgabe“

ist schließlich noch die wichtigste. Man verwendet hier am einfachsten eine sog. Halbschnittscheibe oder ein andres Werkzeug zum Abstecken des konstanten Winkels 45°; es kann dies eine Kreuzscheibe oder ein Winkelspiegel oder ein Winkelprisma für 45° sein. Sucht man nämlich außer den Lotfußpunkten Qx Q₃ auch noch die Punkte Q[    in

Absteckung dieses

zur

denen Linien unter 45° von Bx P₂ P₃ ausgehend die Aufnahmslinie MN treffen, so sind die Lotlängen auf diese Aufnahmslinie umgelegt und meßbar. In einer sog. Halbschnittscheibe ist außer den zwei Diopterebenen II und IIII für die rechten Winkel noch eine dritte Absehebene IIIIII angebracht, die den einen rechten Winkel halbiert, vgl. Fig. 99. Die Anwendung ist nach dem früher über die Kreuzscheibe Gesagten (vgl. 11., 1.) klar. Ein 45°-Winkelspiegel (d. h.

Winkels, nicht eines rechten Winkels) muß zwei auf derselben Grundebene

UE

Fig. 99.

öl

ir

vH

Ö, ö'₂ Qz Q 3

"C'D

ßs

Mg. 98.

See

Fig. 100.

senkrechte Planspiegel enthalten, deren Ebenen einen Winkel von */₄ eines rechten Winkels oder 22¹!₂° einschließen. Dieser Winkelspiegel sitzt oft und zweckmäßig über dem gewöhnlichen zu 90°. Winkelprismen endlich für 45°-Absteckung lassen sich in vielen Formen angeben; es gibt solche von Dörgens, Jadanza u. v. a. Auch über den Gebrauch der Spiegel-und Prismeninstrumente ist nach dem Frühem nichts zu bemerken.

5. Streckenmessen mit Hindernissen. Wo Parallelabweichen nach 3. nicht angeht, ist oft, vgl. Fig. 100, folgendes Verfahren möglich: gesucht Strecke AB, die über eine breitere Wasserfläche geht; abgesteckt BG, in 4 auf AB das Lot AC errichtet, oder von A auf BC das Lot AID gefällt; es ist dann:

AB=VbÖ²-AC*=V(BC + AC)(BC-AC) oder AB =VBD* + AD²-, mit Quadrattafel, Rechenschieber oder Logarithmen zu rechnen.

Eine andre Aufgabe ist diese: P₁ nnd P₂ sind nicht zugänglich, vielleicht ist auch zwischen beiden noch ein Hindernis; 1\ P₂ soll bestimmt werden, unter der

selbstverständlichen Voraussetzung, daß die Abmessungen der Figur die Anwendung der Kreuzscheibe zulassen und deren Genauigkeit ausreicht. Stecke durch 0 zwei zueinander senkrechte Linien OM und ON ab, vgl. Fig. 101 und bestimme die Lotfußpunkte P[, Pi; P'/, P⁷/, womit

/N

p₁ p₂ = y p[ p' *+pf pp,

\v

zu berechnen wie oben oder mit vierstelligen Additionslogarithmen oder einem Hilfswinkel.

"'o

35. Aufträgen der Aufnahme.

x / S\ Pf"'

«Ni

Fig. 101.

Herstellung des Plans. Wir haben bisher hauptsächlich von der Benützung einer Aufnahmslinie und Hilfslinien dazu (sekundäre Achsen der Feldmesser) gesprochen, wobei die Hilfslinien senkrecht oder parallel zu jener Aufnahmslinie liegen, sind jedoch in 33. auch schon wesentlich über diesen Rahmen hinausgegangen zu einem Netz von Messungslinien, sei es ein Streckennetz oder ein Polygonnetz (geschlossnes Polygon oder Zug), je auch mit eingebundnen Linien als Aufnahmslinien. Überall wo mehr als eine Aufnahmslinie benützt wurde (und Parallelen in kleinen Abständen oder Lote dazu), ist zunächst das Netz von Aufnahmslinien für sich aufzutragen und erst nachher, auf Grund der Handrisse der Kreuzscheibenaufnahme für die einzelnen Linien, die eigentliche Kleinmessung; man arbeitet in zwei Stufen beim Aufträgen.

Zum Aufträgen eines zu zeichnenden Plans dient am besten festes, nicht zu starkes, lange abgelagertes Whatman-Papier; es wird nur glatt auf genügend großen, gut ebenen Zeichentisch oder Reißbrett gelegt, nicht „aufgespannt“. Man hat früher geglaubt, dem Planpapier größere Unveränderlichkeit dadurch geben zu können, daß die Rückseite mit Leinwand beklebt wird; es ist aber das Gegenteil des Gewollten erreicht worden. Papier ist und bleibt hygroskopisch, wobei die verschiednen Papiersorten allerdings stark verschieden sind in Beziehung auf das Verhalten bei wechselnder Feuchtigkeit; und die Kleisterschicht zwischen Papier und Leinwand bringt auch nach langem Trockenen keine Verbesserung der Veränderlichkeit.

Die „Netzpunkte“ des Aufnahmsliniennetzes werden häufig nach, rechtwinkligen Koordinaten berechnet, in einem großen Landesvermessungskoordinatensystem, das sich über Zehntausende von Quadratkilometern erstrecken kann, so daß Koordinatenzahlen von 100000 uv in den Abszissen und von 50000 oder 60000 m in den Ordinaten Vorkommen, oder in einem kleinern Stadtvermessungskoordinatensystem, das sich auf einige hundert oder weniger Quadratkilometer ausdehnt, oder endlich in einem für den bestimmten Messungszweck, z. B. technischen Zweck, willkürlich angenommenen Lokalsystem, dessen Abmessungen sogar über einige

hundert m oder wenige hm nach keiner Richtung hinausgehen. Diese Rechnung der Koordinaten der Netzpunkte (Endpunkte der Aufnahmslinien) wird (vgl. Ende von 33.) stets durchgeführt, wo eine Polygonmessung oder eine Zugmessung der Kleinaufnahme zugrund liegt, und ist vielfach auch anzuwenden bei Streckennetzen.

Was nun auch der Maß stab des Plans werden soll, ist für das Einträgen der Netzpunkte nach diesen ihren rechtwinkligen Koordinaten ein Koordinatennetz von Quadratmaschen auf dem Plan notwendig. Man nimmt dazu in der Regel die Maschenweite 10 cm (oft auch nur 20 cm) natürliches Maß auf dem Plan. Je nach dem Maßstab des Plans stellt diese 10

cm-

= 50 m Feld-

Strecke verschiedne Feldlängen vor; ist z. B. 1: M = 1:500, so hat das Quadratnetz eine Maschenweite von 10 • 500 cm länge, bei 1: M = 1: 2000 eine Maschenweite von 200 m Feldlänge usf. Zur Herstellung des Quadratnetzes ist das einfachste notwendige Werkzeug eine scharf geradlinige Linealkante von so großer Länge, als der größten Ausdehnung des künftigen Plans entspricht, ein sehr genauer Maßstab (auf dem vorläufig die Striche 10 cm, 20 cm, 50 cm genügen), endlich gute und für größere Pläne genügend große Stech- und Bleistifteinsatzzirkel.

Das Lineal muß aus Metall bestehen; Prüfung, vgl. 10., S. 24. Empfehlenswert, weil auch billig, sind die Sägeblattlineale von Wolz in Bonn, die ich mir zum Schutz gegen Verbiegen quer zur Kante in großer Breite (15 cm) habe anfertigen lassen; die Ziehkante des an sich dünnen Stahllineals ist noch abgefast und hat an dieser Fläche eine -Teilung in feinen Strichen, die bei + 18° C. (muß angeschrieben

ihre richtigen Entfernungen zeigen.

10 cm

V:

sein) mit der Genauigkeit von -/₁₀₀ mm Es wird nun zunächst eine Linie an der Linealkante gezogen und durch Zirkelstiche an den Strichen der Linealkante (Zirkelfuß senkrecht stellen!) oder durch Einteilung mit dem sonstigen guten und richtigen (wenn aus Metall, besonders Messing, bei der Temperatur, in der er verwendet wird, richtigen) Maßstab in 10 cm-Strecken zerlegt. Hat man nur einen hölzernen Kantenmaßstab (der aber geprüft sein muß), so ist oft empfehlenswert, eine größere Strecke, z. B. 50 cm, auf einmal abzutragen und mit dem Handzirkel sorgfältig einzuteilen oder wenigstens die von dem Maßstab unmittelbar entnommenen 10 cm-Punkte auf diese Art zu prüfen. Von einem Strichmaßstab, der keine Kantenfase zum unmittelbaren Einträgen der Punkte hat, kann man mit dem Stangenzirkel dieses größre Maß von 50 cm entnehmen und dann teilen. Bei der Herstellung der Lote durch diese Punkte wird man sich nicht auf einen Zeichenwinkel, auch nicht einen metallnen, verlassen, jedenfalls sollte er sehr lange Schenkel haben und in zwei Lagen verwendet werden können; besser ist meist sorgfältige direkte Konstruktion der Lote, indem aus zwei ziemlich weit außenliegenden 2m-Punkten der Grundlinie mit dem Bleistifteinsatzzirkel (möglichst groß) oder Stangenzirkel Bögen nach beiden Seiten geschlagen werden, in Fig. 102 z. B. aus B und F, um das Lot in I) zu konstruieren; Halbmesser 30 bis 35 cm für einen sehr großen Handzirkel, 50 cm für einen Stangenzirkel aus Metall. Probe: die Verbindungslinie der Bogenschnittpunkte muß scharf durch 1) gehen. Trägt man auf dieses

Lot in derselben Art wie auf LL 10 om-Punkte auf, so erhält man durch einige weitere Lotkonstruktionen und 10 cm-Abtragungen leicht auch für einen großem Zeichenbogen ein Netz von 10 cm-Punkten mit zahlreichen Proben in ausreichender Schärfe. Auf den Kantenfasen mancher solcher Netzlineale sind noch Teilstriche für Diagonalenproben des Quadratnetzes angebracht, nämlich für die Strecke 141,42... nim und ihre Vielfachen. Es ist zweckmäßig, das Netz nach seiner Prüfung sogleich mit feinen Linien besondrer Farbe (rot oder blau) auszuziehen und es am Rand des Blattes sogleich mit den entsprechenden Koordinatenzahlen zu beziffern; z. B., wenn die Aufnahme in einLandesvermessungs-koordinatensystem eingelegt ist und der Maßstab 1: 1000 werden soll, so daß die 100 mm-Linien des gezeichneten Netzes 100m Feldlänge entsprechen, x = + 27700, +27800,... y = + 8100, + 8200,...

Erwähnt sei für diesen Fall der Einlegung einer Aufnahme in das große Koordinatensystem einer Landesvermessung oder einer Stadtvermessung auch gleich folgende Netzauftragungsaufgabe: eine bestimmte Aufnahmslinie zwischen den Punkten Px und P₂ mit den gegebnen Koordinaten («x y±), (x₂y₂) in diesem System soll so auf den zu zeichnenden Plan zu liegen kommen, daß dieser nachher parallel und senkrecht zu dieser Linie beschnitten werden kann; wie sind die x- und ^/-Richtungen auf dem Planpapier anzunehmen? Z. B. mögen hei der Lageplan-Aufnahme eines Bahnhofs die Endpunkte der Messungslinie (5) (6) = 158,60 m, die vor dem Stationsgebäude parallel zu den geraden Fahrgleisen der Station zwischen die Gleise gelegt ist, bei der Koordinatenberechnung des Polygonnetzes die Koordinaten erhalten haben:

xh = + 27 832,95 yh = + 7 972,41

xß = + 27 928,14 y₆ = + 8099,26;

diese Linie (5) (6) soll nun nachher „horizontal“ (wenigstens nahezu parallel zum untern Rand) auf dem Plan erscheinen; wie ist die Richtung + x auf dem Plan zu legen? Der Winkel zwischen der Richtung (5) (6) und der «-Achse, der sog. „Richtungswinkel“ der Strecke (5) (6), sei qp (für die Richtung von (5) gegen (6) genommen gedacht; + x ist immer die Richtung Null, die Richtungswinkel werden von hier rechts herum von 0° bis 360° gezählt), so ist

tgcp

Punkte in je l7)m

D E F

Entfernung

\/

Fig. 102.

y₆ — y,

^und die Strecke (5) (6) ist

₌ y₆ — yA

sin cp

Die Ausrechnung steht unten; es würde für den Winkel qp vierstellige, selbst dreistellige Rechnung genügen (da seine Rechnung für unsern Zweck auf 1' und selbst x/₂° genügt), er ist aber fünfstellig gerechnet, um die Kontrolle für die Strecke (5) (6) zu zeigen. Um also die Aufnahmslinie (5) (6) „horizontal“ auf den Plan zu bringen, muß die Richtußg + x gegen links um den Winkel 53,1° von der Richtung AA (untrer Rand) abweichen. Um den Winkel z. B. in Pan PC anzulegen vgl. Fig. 103, entnimmt

x₆ — x₅

+    ^5

cos cp

)■

man aus den vierstelligen wirklichen Werten einer „Logarithmentafel“ tg 53,1° = 1,332 oder chord 53,1° = 0,894; nämlich z.B. BD = 200 mm, senkrecht dazu DE— 200- 1,332 = 266,4

DF =200 ■ 0,894 = 178,8

Kreisbogen, in diesen die Sehne eingelegt gibt in BF ebenfalls diese Richtung. Von ihr aus ist nun wie oben angegeben zu verfahren, um das Netz der 10 cm-Maschenpunkte zu Papier zu bringen. Es ist oben auch die Länge 158,60 der Strecke (5) Qf) nochmals ausgerechnet, in genügender Übereinstimmung mit der direkten Messung; es soll damit angedeutet werden, daß nach Eintragung der Punkte des Liniennetzes zunächst an diesen Strecken sich zeigt, ob die Netzpunkte richtig aufgetragen sind, vgl. unten.

Außer der oben angegebnen selbstverständlichen einfachsten Vori’ichtung zum Zeichnen des Quadratpunktnetzes, Lineal, Maßstab (am Lineal) und Zirkel gibt es natürlich auch eine große Zahl von besondern Apparaten zu diesem Zweck, Quadratnetzzeichner und Quadratnetzstecher usf., von verhältnismäßig billigen Einrichtungen bis zu sehr teuren Instrumenten, die dann zugleich zum feinen Aufträgen von Punkten mit beliebigen Koordinaten in diesem Quadratnetz dienen. Von diesen „Ko-ordinatographen“ ist noch unten die Rede. Yon den einfachen und billigen Vorrichtungen für das Quadratnetz seien erwähnt der Quadratnetzstecher von Rödder (Oberlandmesser in Königsberg); der von Rosenberg (Mechaniker in Berlin, sehr gut

und genau, geod. S. der T. H. Stuttgart)*), endlich der von Stiefelhagen (Vermessungstechniker in Gera; diese Vorrichtung besteht aus einer dünnen Kupferplatte mit ein-gestochnen 10cm-Netzpunkten, die aufs Planpapier durchgestochen werden, Genauigkeit gut, Preis je nach Größe von 60 Jl an; geod. S. derT. H. St.). Man kann auch durch Umlegen des Zeichenbogens in der Mitte ein Quadratnetz ohne besondre Vorrichtung mit guter Ge-AJ nauigkeit konstruieren; endlich kann man auch Zeichen

mm

gibt BF\ oder um B mit BD = 200

2/g — 2/c = + ¹²⁶,85

E

Xq — Xfi = -j— 95,19

tg cp

©(§)

mm

2.10329

0.09700

1.97859

0.12470

2.20029

cp = 53° 6',9 © © = 158,60 m

53,1°

Fig. 103.

mm

■X

papierbögen mit fertig ein-- Punktnetz kaufen, z.B. bei dem oben genannten Stiefelhagen,

gestochnein 10 bei den technischen Versandgeschäften usf.

cm

In dieses Koordinaten-Maschennetz werden nun die durch ihre berechneten rechtwinkligen Koordinaten gegebnen Punkte des Liniennetzes (Endpunkte der Aufnahmslinien; Endpunkte eingebundner Linien) eingetragen. Man bedient sich in der Regel dazu eines sog. „Transversal-Maßstabs“ für das „Verjüngungsverhältnis“, das der Plan

1) Hier und in Zukunft ist geod. S. der T. H. Stuttgart oder ähnliche Abkürzung = geodätische Sammlung der Technischen Hochschule Stuttgart.

erhalten soll. Maßstäbe „mit Transversalen“ in der ersten linken Abteilung sind auf Karton, auf Holz, und (für feinere Pläne allein brauchbar) auf Metall aufgetragen zu haben. Das Metall ist meist ^tessing, das aber den Nachteil eines großen Temperaturausdehnungskoeffizienten hat, in der Nähe von 0,00002 der Länge für 1°C., so daß die Veränderung der Länge für 10° Temperaturunterschied bei einem 1 m langen Maßstab mit dem Stangenzirkel leicht nachweisbar wird. Die Normaltemperatur eines Metallmaßstabs zum Aufträgen (d. li. die Temperatur, bei der seine Längen richtig sind) sollte nicht unter -f- 20° C sein, weil der Maßstab viel mit der Hand berührt wird; neuerdings ist Invar ein willkommenes Material (vgl. 25.). Der Maßstab ist nach Bedarf lang, selbst mit großem Handzirkeln können kaum über 20 cm abgenommen werden, mit kleinern nicht über 15 Für den Stangenzirkel hat man solche Maßstäbe bis 50 cm Länge. Wenn ein 10 cm-Maschennetz schon aufgetragen ist, bedarf es nur eines 10 cm langen Transversalmaßstabs zum weitern Aufträgen. Oben und unten sind zweckmäßig Leisten an dem Maßstab, um die Teilung zu schonen und das Beschmutzen der Zeichnung durch das Messing zu verhindern; oft ist er auf Stützen schräg gestellt, usf. Fig. 104 zeigt als Beispiel die Maßstäbe 1 : 500, 1 : 1000, 1 : 2500 (dieser auch für 1 : 250 brauchbar, wenn die untern Zahlen alle mit 10 dividiert werden).

cm.

und bis 100

cm

Die Einrichtung ist folgende, am Beispiel des obersten Maßstabs 1 : 500 erläutert : auf dem Längenmaßstab der untersten Linie sind Stücke von je 10 m Feldlänge _ 10000

Punkt 9 unten mit

₅₀₀ mm = 20 mm Länge auf dem Maßstab mehrfach von 0 nach rechts aufgetragen, was die Punkte 10, 20, 30 ... m gibt, und einmal nach links aufgetragen. Diese Strecke 0—10 nach links ist in 10 gleiche Teile, je 1 m entsprechend, zerlegt und entsprechend beziffert. Man könnte an diesem Strichmaßstab durch Schätzung auf yj0 m oder yj0 m abstechen, z. B. 32,0: der rechte Zirkelfuß bei 30 eingesetzt, der linke bis 2,6 der linken Teilung geöffnet. Die Transversaleneinteilung ermöglicht nun aber die Abgreifung weit schärfer zu machen; diese Transversalen sind eine Mikrometer-einrichtung zum Ablesen von Teilen der Grundstrecke 1 m, wie wir sie später ähnlich beim Nonius finden werden. Es sind parallel mit der den Strichmaßstab tragenden Grundlinie in beliebigen, aber genau gleichen Abständen voneinander 10 Gerade gezogen, links herauf mit 1, 2, ... 10 beziffert und durch alle Zehnerpunkte der Teilung der untersten Linie, Grundlinie, sind Vertikalen gezogen. Die linke Grundstrecke 10 ist auf der obersten Parallelen 10 ebenfalls in 10 gleiche Teile zu je 1 m zerlegt, und nun sind die Transversalen so gezogen: Punkt 0 unten ist mit Punkt 1 oben, Punkt 1 unten mit Punkt 2 oben, Punkt 2 unten mit Punkt 3 oben,

Punkt 10 oben verbunden. Diese Transversalen sind also parallele Gerade, der Abstand zwischen je zweien, auf einer beliebigen Horizontalen gemessen, ist je = 1 m; zwischen der ersten Transversalen und der Vertikalen durch 0 aber liegen auf der Horizontalen 1, 2, ... 9 die Strecken A, ... ^ des Grundteils, d. h. hier von 1 m (ebenso links zwischen der letzten Transversalen und der Vertikalen durch 10, nur in der Folge von oben nach unten). Der Gebrauch ist nun klar, auch wie man die Genauigkeit dadurch steigern kann, daß man zwischen die Parallelen hinein noch schätzt. In dieser ersten Fig. 104 ist z. B. das Abgreifen der Strecke 10,35 angedeutet: 10 -f- 0,35 nämlich rechter Zirkelfuß in der Vertikalen 10 soweit herauf, daß auf der Horizontalen durch den Zirkelfuß die Strecke 0,35 zwischen der Vertikalen durch 0 und der ersten Transversalen liegt, nämlich in die Mitte zwischen Parallele 3 und 4, endlich zweite Zirkelspitze auf dieser Horizontalen auf die Transversale 0, ähnlich für 44,77, für 37,03.

70m.

■Ul OSI

300m.

ozi

so.

ZOO.

-ir

001

M= 1:500.

30.

M = 1:1000.

cp

So.

M — 1:2500.

00}

Fig. 104.

.2

50.

.2

Ö <ö •« JP N

Ganz ähnlich ferner Einrichtung des untersten Maßstabs für 1 : 2500: Grundstrecke 100 m Feldlänge =40 Stücke der 10 Horizontalen von der Grundlinie aus nach oben zwischen der ersten

mm

auf dem Maßstab, Grundteil 10

(=4

<ti

mm

des Maßstabs);

Transversalen und der Vertikalen durch 0 gleich von 10 m=lm,2m,..,9 m, 10 m; Abstechen von 263,3 nach Andeutung der Skizze als 3,3 (³/₁₀ zwischen Parallele 3 gegen 4 hin) + 200 + 60 m, ebenso 108,7. (Die Figur haben keine Bedeutung mehr.) Dieser Maßstab zugleich für 1 : 250 mit andrer Bezifferung: 10, 9, 8, 7, ... 0 links, nach rechts 10, 20, 30 m; die in der Figur angedeuteten Maße sind dann 26,33 und 10,87; das (wie das 3m für 1 : 2500),

mittlere Figur 104 würde mit der Grundstrecke 10 m (= 10 Grundteil 1 m (1

die Grundstrecke 10 m in nur 5 Teile zu je 2 m (2 mm) und beziffert dann dementsprechend die Parallelen nicht mit 1, 2, ... 10, sondern mit 2, 4, ... 18, 20, da die Strecke zwischen der Vertikalen durch 0 und der ersten Transversalen je um 0,2 m Feldlänge von Parallele zu Parallele wächst. Das Abstechen von zwei Strecken ist auch hier angedeutet in der Figur.

Man kann als Regel merken, daß man mit einem guten Transversalmaßstab mit dem Zirkel ohne Anwendung einer Lupe in Beziehung auf Schärfe des Abstechens bis auf etwa + ^„mm, selbst noch etwas weiter kommen kann. Nehmen wir z. B. y₂₅ twm, so entspricht dieser kleinen Strecke

mm

JL

cm

bei den abgestochnen Maßen in der

cm

hier kaum noch merklich

__1

= 0,04

= 40 g. Für den Maßstab 1 : 1000 des Maßstabs) und Maßstab) die Teilung etwas „eng“; man zerlegt deshalb hier meist

250

cm

25

mm

mm

mm

im Maßstab 1: 500 die Feldstrecke 500 • y₂₅

1000. y*

2500. y*

mm =    2 cm

1:1000 „ 1:2500 „

mm = 4 cm

mm

= 10

cm

= 0,1 m,

und diese Beträge können also in den genannten Maßstäben beim Aufträgen eben noch berücksichtigt werden.

Beim Aufträgen eines Punkts (man sagt dafür oft auch Absetzen), eines Linienendpunkts, Punkts des „Netzes der Aufnahme“, von den Schnittpunkten der Maschenecken des Koordinatennetzes aus mit dem Transversalmaßstab wird man selbstverständlich zweckmäßig immer vom nächstgelegnen Koordinatenmaschenpunkt ausgehen, um kleinere Strecken auftragen zu müssen, z. B. den Punkt (6) mit x = -f 27928,14, y = -f- 8099,26 von den Maschenlinien + 27900 (+28,14) und +8100 (-0,74) aus auftragen, wenn Linien von 100 zu gezogen sind, Pig. 105. Entfernung der unabhängig voneinander auf- ⁺27 900. getragnen Punkte sogleich verifizieren, s. oben.

100

'Vx

+28000.

Fig. 105.

Tef

+ 8100.

+y

Eine Hilfsaufgabe sei hier auch erwähnt: Braucht man für ein Blatt noch ein Stück einer Aufnahmsiinie, deren Endpunkt aber nicht mehr aufgetragen werden kann, so kann man sich, wenn nach berechneten Koordinaten der Eckpunkt aufzutragen ist, oft dadurch helfen, daß man den Halbierungspunkt (oder Drittelungspunkt) der Strecke noch auftragen kann; z. B. hätte der Halbierungspunkt von (5) (6) nach den obenstehenden Zahlen die Koordinaten

3+«0

f 27880,54

V s + ?/₆

+ 8035,83.

Sind die Endpunkte der Messungslinien durch Winkelmessung festgelegt, so darf man im vorliegenden Falle einen solchen Winkel auf nicht große Strecke des noch zu verwendenden Schenkels auftragen nach Andeutung von Fig. 103 mit Hilfe der tang oder chord. Sind endlich die Punkte durch Längenmessung bestimmt und keine Koordinaten berechnet („Bogenschnitte“), so kann man, nachdem (7) und (8) aufgetragen sind und die Richtungen (7) (9) und (8) (9) noch für einen Teil dieser Strecken gebraucht

werden, Fig. 106, während (9) nicht mehr aufs Blatt geht, von (7) und (M) — Halbierungspunkt der Strecke (7) (8) aus mit den halben Strecken (7) (9) und (8) (9) das Hilfsdreieck (7) (M) (N) konstruieren.

(7)

Rand

Wie überhaupt die Endpunkte der Messungslinien aufzutragen sind, wenn diese wesentlich durch „Linearkonstruktion“ festgelegt wurden und keine Koordinaten berechnet sind, bedarf wohl keiner nähern ^ Anleitung. Beim Aufträgen solcher Punkte „durch Bogenschlag“ ist nur zu beachten, daß die Fehlerfortpflanzung äußerst ungünstig ist und deshalb, wenn es sich nicht um nur ganz wenige Dreiecke handelt, die Konstruktion mit der äußersten Sorgfalt geschehen muß. Bei kleinen Aufnahmsfiguren, vgl. z. B. Fig. 91, 92, kommt häufig Kombination von rechtwinkligen Koordinaten (direkt gemessen, nicht berechnet) und schiefen Längen vor.

Zum Aufträgen von Punkten nach berechneten rechtwinkligen Koordinaten sind besondre Koordinatographen hergestellt worden, denen die großem auch zur Herstellung der Koordinatenmaschen dienen können (s. oben). Das vollkommenste Werkzeug dieser Art ist der freirollende Koordinatograph von Gr. Coradi, Zürich, der jedoch wegen seines hohen Preises (rund 1000 Mark) nur für Zentralbehörden der Landesvermessung in Betracht kommt und auf den wir deshalb hier nicht ein-gehen.

(MX

(8)

Fig. 106.

von

Auch wenn kein Quadratnetz auf dem Plan zu entwerfen ist zum Zweck des Auftragens der Endpunkte der Messungslinien (z. B. bei Linearkonstruktion dieser Linien, Streckennetz ohne Koordinatenberechnung), so ist doch für feinere Planzeichnungen,‘auf deren Maße es später noch ankommt, stets anzuraten, wenigstens durch die Mitte des Papiers zwei aufeinander senkrechte Gerade zu ziehen (fein mit besondrer Farbe ausziehen) und auf ihnen bis zum Papierrand durch feine Querstriche in 10 cm oder 20owe Abstand voneinander runde Längenwerte nach dem Maßstab zu bezeichnen, mit dem der Plan aufgetragen ist. War das Planpapier gar aufgezogen („aufgespannt“ mit Befeuchtung), so ist wenigstens dieses Linienkreuz unbedingt erforderlich, wenn man nachher noch irgend-

welche Strecke oder Fläche mit einiger Genauigkeit dem Plan will entnehmen können. Es genügt nicht (was auf jeder Planzeichnung geschehen muß), daß unten parallel zum untern und obern Rand ein Längenmaßstab aufgetragen wird; da das Papier nicht in allen Richtungen gleichmäßig eingeht, muß noch in der zur ersten senkrechten Richtung ein zweiter Maßstab mit ursprünglich richtigen Maßen aufgetragen werden. Natürlich ist es aber besser, wenn auf verschiednen Teilen eines großem Planblattes mehrere Möglichkeiten der Feststellung der ursprünglich richtigen Maße vorhanden sind, wie dies in dem Maschennetz geboten wird.

Aufträgen der Kleinmessung. Nach Aufträgen und Kontrolle des Netzes der Messungslinien werden nach dem Handriß jeder Aufnahmslinie die „Punkte der Kleinmessung“ oder „Detailaufnahme“ eingetragen. Dazu dienen sehr verschiedne Vorrichtungen. Lange war fast allein Zirkel und Transversalmaßstab (s. oben) mit kleinen Zeichenwinkeln im Gebrauch; diese Methode ist recht genau, aber auch mühsam, wenig förderlich. Man gestattet sich deshalb oft hier, da keine Fortpflanzung kleiner Auftragefehler zu befürchten ist, statt des Transversalmaßstabs einen Anlegemeßstab, Kantenmaßstab, meist nur aus starkem, gut getrocknetem Holz, nicht aus Metall, mit einfacher Strichteilung zu nehmen; der Querschnitt des Maßstabs oft Hach mit Abfasung für die Teilstriche (wobei der Maßstab aber leicht krumm wird), besser in etwa gleichseitig dreieckiger Form, wobei man für sechs verschiedne Maßstäbe auf den drei Seitenflächen Raum hat. Die Entfernung der letzten Teilstriche (direkte Angabe, von der yi0 zu schätzen) soll, da der Maßstab ohne Lupe verwendet wird, nicht unter ¹/₂ mm und nicht über 1 mm betragen, beim Maßstab 1:1000 würde die Halbmillimeter-Teilung Strecken von % m zu % Feldlänge entsprechen, so daß durch Schätzen der Zehntel 5 cm Feldstrecke eben noch merklich wird; zur Schätzung feine Nadel oder die Spitze des Bleistifts. Mehrfach sind die Kantenholzmaßstäbe durch solche aus Glas ersetzt worden (unempfindlich gegen Änderung des Feuchtigkeitsgrads der Luft, aber leicht zerstörbar), wobei die Teilung auf der untern ebenen Glasfläche aufgeätzt oder eingerissen wird Um auch noch des Errichtens der (meist kurzen) Lote beim Aufträgen einer Kreuzscheibenaufnahme enthoben zu sein, sind vielfach Klein-Koordinatographen zum Aufträgen solcher Aufnahmen konstruiert worden, deren Bereich in der Ordinaten-richtung, wie erwähnt, nicht groß zu sein braucht: geht man mit der Länge der Kreuzscheibenlote bis zu 40 m, so sind die längsten Lote zu beiden Seiten der Aufnahmslinie z. B. im Maßstab 1:1000 nur 4 cm lang, so daß ein 10 cm langer Ordinatenmaßstab für diesen Maßstab des Plans ausreicht.

Jeder gute Mechaniker liefert solche Apparate aus Metall zu den verschiedensten Preisen, bestehend aus einem Abszissenlineal •• und einem Ordinatenwinkel oder sonstigen Ordinatenanschlagstück (z. B. auch rechteckig, wobei die verschiednen Seiten des Anschlags verschiedne Maßstäbe aufnehmen können, wenn auch das Lineal doppelseitig ist. Ein einfacher Apparat dieser Art ist in Fig. 107 dargestellt (g. S. T. H. Stuttgart; von Breithaupt, Cassel geliefert): 1 m langes, starkes, im Querschnitt rechteckiges Abszissenlineal LL mit Ordinatenwinkel O. Neben der Null zur Einstellung der Kante dieses Winkels auf eine bestimmte Abszissenzahl ist ein kleiner

10

Hammer: elementare praktische Geometrie.

„Nonius“ N, der die Einstellung verschärft. Die Linealkante LL ist um den Abstand 0A verschoben parallel zu MN, der Aufnahmslinie, zu legen; von der Null auf der Abfasung des Ordinatenwinkels geht die Ordinatenteilung nach beiden Seiten, und der Punkt kann sogleich mit einer Nadel an FF eingestochen werden. Von

=s

F .....N

]I!I I P I I I | I I I I | I I I I | I I I ! I I I II p

o    WO    200    300

MP

I I I I | I II I | I I ! I | I I I I | I I I I [ I I I I | I I I I | I I I I | I I I I | I I I I | I I ! i | I I I I |

500    600    700    800    900    1000

Hg. 107.

andern in der g. S. T. H. St. vorhandnen Auftrageapparaten für die Kleinmessung der rechtwinkligen Koordinaten sei noch erwähnt der recht einfache und billigere von Rosenberg, Fig. 108. Ferner ist zu erwähnen der neue Klein-Koordinato-graph (und Koordinatometer) von G. Coradi in Zürich (über den großen Koordi-natographen s. oben), der, wie der Name sagt, nicht nur als „Detail“-Koordinatograph, sondern auch zum Ablesen der rechtwinkligen Koordinaten bereits aufgetragner Punkte dienen soll (Prospekt von Coradi), aber beträchtlich teurer ist als die zwei genannten Apparate Fig. 109. Mit Berücksichtigung etwas andrer Zwecke ist konstruiert der

Apparat von Waue (g. S. T. H. St.) , indem er durch Verstellung, ohne Reduktion der Maße, bequem einem beliebigen „Eingang“ des Papiers Rechnung zu fragen gestattet, den wir aber bei seiner immerhin noch geringen Verbreitung nicht weiter erläutern wollen. Auf noch andrem Prinzip beruhen die zahlreichen „Schiebdreiecke“, „Auftragsdreiecke“, „Koordinatendreiecke“ usf., die eine Vergrößerung des Maßstabs, an dem die Maße eingestellt werden, dem wirklichen Planmaßstab 1: M gegenüber dadurch erzielen, daß z. B. die Hypotenusen gleichschenklig-rechtwinkliger Zeichendreiecke (wo der Maßstab    ⁼ aufgetragen ist) aneinander verschoben werden;

so sind z. B. die „Wegmannschen Schiebdreiecke“ hergestellt, empfehlenswert, weil bei Metallausführung hohe Genauigkeit bei geringem Preis liefernd. Doch haben sich auch diese Schiebedreiecke und ähnliche Auftragsapparate noch keiner besonders großen Verbreitung zu erfreuen (in Österreich werden sie schon allgemniner verwendet als bei uns).

I I IIIIII

o-

100

111

I I I I I l'l

Hg. 108.

36. Gezeichnete und gedruckte Pläne. Eigentumspläne (Katasterpläne), Stadtpläne. Maßstäbe. „Signaturen“. Abmessen von Strecken aus Plänen.

Neben gezeichneten Plänen, deren Entstehen oben einigermaßen erläutert ist, und zeichnerischen Kopien solcher Pläne kommen für viele, besonders auch technische Zwecke gedruckte Pläne, mechanisch vervielfältigte Pläne, in Betracht.

Zu den gezeichneten Kopien sei hier nur erwähnt, daß man beim Kopieren einfacherer Pläne mit wenigen Punkten und Linien von sorgfältigem Durchstechen Gebrauch machen kann, wenn der Maßstab der Kopie derselbe sein soll wie der des Originals. Soll die Kopie den Maßstab 1: M' erhalten, während das Original den

Maßstab 1 : M hat, (wobei nur für den Fall an Genauigkeit der Kopie im Vergleich mit dem Original nichts verloren gehen kann, daß M' ]> M, d. h. daß der Längenmaßstab der Kopie kleiner ist als der des Originals), so kann man sich, wenn nicht überhaupt von Haus aus das Original beim Aufträgen mit einem Quadratnetz überdeckt wurde, zur Übertragung eines Quadratnetzes bedienen. Wird auf dem Original ein solches Quadratnetz hergestellt, oder ist es dort bereits vorhanden, genau den (ursprünglich aufgetragnen) Maßen 1 : M des Originals entsprechend, so wird zuerst auf dem Zeichenpapier, t . das die Zeichnung aufnehmen soll, ein solches Netz in 1: M' sorgfältig hergestellt und es werden sodann in jedem einzelnen der Quadrate die Punkte vom Original auf die Kopie übertragen; man kann sich dabei eines sog.Reduktionszirkels bedienen, der zwei einander vom Zirkelgelenk aus gegenüberstehende Spitzenpaare hat und der so eingestellt werden kann, daß, wenn a die Entfernung der zwei Spitzen des einen Paars ist, die des andern Spitzenpaars

:)

rf

tt.

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Se.

Fig. 109.

• a wird. Im vorliegenden M'

Fall ist n — —zu machen M

!i

nur noch bei den billigen, weniger genauen Sorten Holz, bei den feinen Sorten Metallröhren. Neuerdings wird der Hängepantograph

und selbstverständlich die Einstellung des Zirkels an den Maschen der zwei Quadratnetze in 1: M und 1: M' mehrfach zu prüfen. Immerhin sind diese Reduktionszirkel etwas umständlich anzuwenden. Viel bequemer zur Plankopie mit Maßstabsveränderung sind „Pantographen“ (früher einfache sog. Storchschnäbel mit Holzschienen); diejetzigegroße Genauigkeit in der ' „Planreduktion“, wie man die Kopie in verändertem Maßstab nennt, verdankt man den Hängepantographen, am besten von G. Coradi, Zürich, zu beziehen, ziemlich teuer aber sehr genau: der Pantograph ist an einem schweren Eisenkran aufgehängt, die Schienen aus

mit freiem Pol geliefert, so daß nicht mehr durch den Pol ein Stück des Originals

unübertragbar bleibt. Auch bei der Verwendung eines dieser guten und feinen Panto-graphen ist übrigens zu raten, wenigstens ein weitmaschiges Quadratnetz auf beiden Blättern zur Schaffung von Anhalts- und Festpunkten zu verwenden, nach denen eingestellt werden kann. Die g. S. T. H. St. hat sechs Pantographen vonCoradi; Prospekt durch die genannte Werkstatt zu erhalten. Auch mehrere deutsche Werkstätten fertigen jetzt Hängepantographen.

Noch weit bequemer als jede Pantographenkopie eines Plans sind selbstverständlich heutzutage photographische Kopien herzustellen, wobei ebenfalls beliebige Reduktion des Maßstabs sehr einfach möglich ist. Auch hier hat man für streng vergleichbare Anhaltspunkte auf beiden Blättern zu sorgen.

Vervielfältigungen genau aufgetragner Planzeichnungen sind sehr vielfach unumgänglich notwendig. Alle Vervielfältigungsarten des Kartenstichs und Kartendrucks sind auch in den Dienst der Planvervielfältigung gestellt: vom Kupferstich und Kupferdruck durch alle Arten der ältern Lithographie bis zu den zahlreichen modernen Arten der Anwendung der Photographie in der Lithographie, „Algrapkie“ usf. Es kann hier auf die verschiednen Arten der Herstellung der Druckplatten durch Stich, Federzeichnung, mechanische Verfahren, besonders photomechanische Verfahren für die zahlreichen Verfahren des Tief- und Flachdrucks (Hochdruck kommt kaum in Betracht) nicht eingegangen werden.

Erwäbnt sei nur, daß die ersten vervielfältigten Katasterpläne bei den „allgemeinen Landesvermessungen“ in Bayern und Württemberg, den ersten vollständig und einheitlich, zusammenhängend über große Gebiete durchgeführten L a g e -planaufnahmen großen Maßstabs zur Darstellung aller einzelnen Grundstücke ganzer Staaten, auf lithographischem Wege hergestellt worden sind. Der Steingravierung konnte aber natürlich nicht auch die Planzeichnung auf dem Stein selbst vorhergehen; diese Steingravierung ist vielmehr die mechanische Kopie (mit Hilfe einer „Graviermaschine“) eines auf Papier gezeichnet gewesnen Originals; alle Unrichtigkeiten in den Abmessungen dieser Papierzeichnung sind unverändert auf den Stein, die Druckplatte, übergegangen. Daher kommt, daß, schon auf den Steinen gemessen z. B. die württembergischen „Flurkarten“, die Quadrate von 4000 württb. Landesvermessungsfußseite, im Maßstab 1 : 2500 gleich 16 Zoll Seite, vorstellen sollten, z. T. beträchtliche Abweichungen von der Form des Quadrats und von den Sollmaßen einzelner Seiten zeigen. Dazu kommt nun aber ferner, daß man deutliche Abdrücke von Steingravierung (wie beim Kupferstich) im allgemeinen nur erhält, wenn das Papier beim Druck stark befeuchtet ist. Nach dem Drucken und Trocknen stimmen aber dann die Maße auf dem Abdruck nicht mehr mit den auf der Druckplatte, hier auf dem Stein, vorhandnen überein: das Papier ist „eingegangen“. Bei den gewöhnlichen lithographischen Kartendruckpapieren für den Abdruck von Steingravierungen zeigt sich nach dem Trocknen ein Papiereingang von durchschnittlich etwa 1% v. H. der Länge in der Richtung, in der das Papier durch die Walzen gezogen wurde, und von etwa 1 v. H. in der Richtung senkrecht dazu. Bei den wüirttem-bergischen „Flurkarten“ ist die erste Richtung die parallel zu West- und Ostrand der Karte (nahezu Richtung Nord-Süd), die zweite die parallel zu Nord- und Südrand der Karte (nahezu Richtung West-Ost). Die angegebnen Zahlen sind aber nur Durchschnittszahlen, die große Abweichungen im einzelnen Fall zeigen können. Wenn die Druckplatte mit einem Quadratmaschennetz von bekannter Sollfeldlänge der Seiten versehen ist, so hat man darin das Mittel, auf dem Abdruck an jeder beliebigen Stelle den „Papiereingang“ (die Papierkontraktion) sofort feststellen und damit unschädlich machen zu können.

Neuerdings sind zahlreiche Trockendruckverfahren erfunden worden, deren Abdrücke an Deutlichkeit („Schärfe“) nicht oder kaum hinter dem der Verfahren mit Befeuchtung des Druckpapiers zurückstehen; auf die Druckplatte selbst wird das Original fast stets photographisch übertragen, ja sogar diese könnte immer fast rein photomechanisch hergestellt sein. Die Druckplatte ist entweder der lithographische Stein, oder eine dünne Zinkplatte, eine dünne Aluminiumplatte usf.; auch geeignete Papiersorten sind in immer größrer Vollkommenheit hergestellt worden (die Papiere nicht mehr so stark wie die Papiere für feuchten .Druck, sondern dünn und glatt, aber fest, auch später nicht starken Änderungen bei Änderung der Luftfeuchtigkeit unterworfen), so daß man jetzt ziemlich eingangsfreie und ziemlich gut „maßhaltig bleibende“ Abdrücke erhalten kann. Man muß aber doch für alle genauen Arbeiten stets in der Lage sein, das Papier an einem Koordinatenmaschennetz oder wenigstens an je einer geteilten Geraden in zwei zueinander senkrechten Richtungen prüfen zu können.

Die Katasterpläne in Bayern und Württemberg, die aus den „Landesvermessungen“ hervorgingen, sind schon erwähnt; in Bayern haben (kleine Teile mit starker Zerstückelung des Grundbesitzes ausgenommen, wo 1 :2500 angewandt ist) die „Steuerblätter“ den Maßstab 1 : 5000, der der „Flurkarten“ Württembergs ist 1 : 2500. Diese Blätter, die das ganze Staatsgebiet zusammenhängend in den genannten Maßstäben darstellen, sind sämtlich auch lithographiert und in München und Stuttgart gedruckt zu haben zu billigem Preis. In Württemberg z. B. sind es über 15 000 Blätter, je zum Preis von 90 Pfg. für jedermann zugänglich, für amtlichen Gebrauch sogar zu 30 Pfg. zu haben. Diese gedruckten Blätter 1 : 2500 sind für viele technische Aufgaben eine nicht hoch genug zu schätzende Unterlage, ganz abgesehen davon, daß die Lageplanzeichnung topographischer Karten in Ländern mit einer solchen zusammenhängenden Flurplandarstellung wesentlich eine Reduktionsarbeit aus diesen Blättern ist, mit Höhendarstellung zu versehen und topographisch zu ergänzen. In andern deutschen Staaten sind solche unmittelbar zusammenhängende Lageplandarstellungen des ganzen Gebiets in sehr großem Maßstab nicht vorhanden; immerhin bricht sich allerorten mehr und mehr die Erkenntnis Bahn, daß alle vorhandnen guten Lageplanaufnahmen großen Maßstabs wenigstens in kleiner Auflage vervielfältigt werden sollten, wozu heutzutage billige und rasche Verfahren zu Gebot stehen. Im Sinn von Eigentumsplänen oder z. B. zur graphischen Flächenbestimmung aus diesen Plänen ist der Maßstab 1 : 2500, geschweige denn 1 : 5000 auch für das freie Land heute zu klein; hier steht, wenn es sich nicht um große Grundstücke handelt, der Maßstab 1 : 2000 an der Grenze des Brauchbaren.

Von sonstigen Maßstäben für Lagepläne war schon einmal flüchtig die Rede (vgl. 35.); wir stellen nochmals folgendes zusammen:

Ein für viele technische Bedürfnisse sehr wichtiger Maßstab ist 1:1000 (1 m Feldlänge = 1 mm auf dem Plan). Stadtpläne, d. h. Darstellungen von Gebieten mit sehr wertvollem Grund und Boden verlangen noch größere Maßstäbe, z. B. 1:500 oder 1:250. Uber diesen geht man in der Regel nicht hinaus, die noch großem Maßstäbe 1:200 oder gar 1: 100 kommen nur für einzelne Grundrißdarstellungen von Gebäuden (nebst Grundriße in teilung), d. h. im Sinn des Architekten, kaum mehr für die Feldmessung in Betracht. Z. B. hat die Stadt Stuttgart eine zusammenhängende Plandarstellung ihres überbauten Gebiets im Längenmaßstab 1:500, in der Altstadt 1:250; die Pläne gedruckt kauf lieh, ziemlich genau maßhaltig; mit 100-und 50 m-Koordinatennetz versehen, die Maschenecken in kleinen Kreuzen angegeben; Beispiele vgl. unten.

Auch auf den schon erwähnten württembergischen Flurkarten 1 : 2500 ist auf den neuen Abdrücken ein 200 m-Koordinatennetz durch kleine Kreuze angedeutet (also in je 8 cm Entfernung voneinander ohne Rücksicht auf Papiereingang); die alten Flurkartenabdrücke hatten nur am Rand eine 1000 Fuß-Teilung. Für Stadtgebiete in Württemberg hat man bei der „Landesvermessung“ neben der Darstellung auf den „Flurkarten“ 1 : 2500 auch den doppelten Flurkartenmaßstab verwendet, nämlich sie in 1 : 1250 dargestellt. Einige württembergische Städte haben auch lithographierte Pläne in 1:1000.

Jede Plandarstellung, auch in sehr großem Maßstab, braucht gewisse „Signaturen“, übereinkömmliche Zeichen zur Bezeichnung gewisser Gegenstände In Fig. 110 sind beispielsweise eine Anzahl solcher Zeichen zusammengestellt, die in den württembergischen „Flurkarten“ 1:2500 angewandt sind (für den Unterricht zusammengestellt und autograpliiert); bei einigen ist angegeben, wie in der Handzeichnung, dem gezeichneten Plan des Feldmessers, die einfarbige Schraffierung usf. des gedruckten Plans durch Anwendung von Farben ersetzt ist. Aufmerksam gemacht sei bei gezeichneten Plänen für technische Zwecke, besonders des Bauingenieurs, auf die Anwendung der folgenden Farben: beschotterte Fläche der Bettung der Gleise mit blaß .Karmin angelegt; Straßen- und Wegeflächen hell mit gelbem Ocker; Wasserflächen hell Preußischblau; Einschnittsböschungen braun (ziemlich dunkel, kolorierte Sepia), Auffüllungsböschungen grün (ebenfalls ziemlich dunkel); an diesen beiden Arten von Böschungen unterscheidet man ferner in der Zeichnung meist eine belichtete und eine im Schatten liegende Seite (bei Einschnitts- oder Anschnitts- und bei Auffüllungsböschungen auf entgegengesetzten Seiten). Wo Gleise Vorkommen, werden ihre Achsen (nur bei sehr großen Maßstäben die zwei Schienen einzeln) mit starkem dunkelblauem Strich gezogen, Weichendreiecke blau angelegt.

Fig. lila und b und 112a und b geben zwei Ausschnitte aus den württembergischen Flurplänen 1: 2500, die ersten zwei für Feld und Wald (bei Feuerbacli bei Stuttgart), die letzten zwei für eine Ortschaft (aus Feuerbach und aus Essingen).

Die Fig. 113 und 114 sind Stücke aus den Stuttgarter Stadtplänen 1 : 500 und 1 : 250.

In diesen beiden letzten Figuren sind den sonstigen Bezeichnungen noch einige weitre Zeichen für Gegenstände, die der Stadt eigentümlich sind, hinzugekommen, Laternen, technische Gegenstände wie Schächte der Kanalisation, Richtung des Wasserlaufs in den Kandeln usf.

Zu den Figuren 111 bis 114 ist zu bemerken, daß durch die Zinkographie in der Größe der Originale die Linien ziemlich stark vergröbert worden sind; auf den Originalen sind sämtliche Linien, Buchstaben und Bezeichnungen viel feiner und reiner.

Ein Wort ist zum Schluß noch anzufügen über Maßstäbe von Plänen, die scheinbar ungereimt sind, nämlich nicht passen in unser heutiges dezimales System der Maße, das auch in den Planmaßstäben zum Ausdruck kommt. So hat man z. B. in Baden für Lageplandarstellungen den Maßstab 1 :1500 (nicht vervielfältigt, während

Einfarbiger Plan (Graveur). Mehrfarbiger Han (Geometer).

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Gebäude ftir Handel,

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Betrieb.

Staatsgebäude.

Gemeinde-und Körper* schafts-Gebäude.

Gutsherrliche Gebde.

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Rotgelbe-(Zinnoüer)

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Fig. 112 b. Ausschnitt aus der württemb. Flurkarte. N.O. XXIX. 63. Maßstab 1:2500. (Aus Essingen bei Aalen.)

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Fig. 114. Ausschnitt aus dem Ortsplan von Stuttgart. 10. H. II. Maßstab 1: 250.

Im Original sind die Gebäudeflächen nicht schraffiert, sondern mit grüngrauem Ton überdruckt.

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Maßstäbe für Pläne.

die kleinen Gemarkungskarten in 1 : 10000 farbig lithographiert sind), in einigen österreichischen Kronländern für die lithographierten „Katastralmappen“ außeralpiner Gegenden den Maßstab 1: 2880. Beides erklärt sich aber sehr leicht: in Baden war früher, schon vor Einführung des Metersystem6, ein Fuß eingeführt, der genau zu normiert und dezimal in Zoll und Linien geteilt war (ist auch in der Schweiz eingeführt gewesen), so daß man sehr leicht auf das Verjüngungsverhältnis 1 : 1500 geführt wurde; und in Österreich war zur Zeit der Drucklegung jener „Katastralmappen“ noch das Wiener Klaftermaß im Gebrauch (1 Klafter Wiener Maß = 6 Fuß zu je 12 Zoll zu je 12 Linien), 1 : 2880 heißt also: 1 Zoll Wiener Maß des Plans stellt 2880 Zoll Feldmaß oder 240 Fuß oder 40 Klafter Feldmaß vor. Die englischen topographischen Karten werden auch heute noch (und da in England noch immer nicht das Metersystem oder ein andres Maßsystem mit dezimaler Teilung angenommen ist, ganz zweckmäßig) geradezu hiernach bezeichnet: eine „one inch map“ ist eine topographische Karte, auf der die englische Meile (Landmeile zu rund 1609 m) durch einen Zoll englisch dargestellt ist; es entspricht dies nach unsrer Bezeichnung dem Maßstab 1 : 63360. Die größten englischen topographischen Karten sind die „6 inch-maps“, 1 Meile durch 6 Zoll dargestellt, 1 : 10560; bei den Eigentumskarten oder vielmehr Plänen in noch größrem Maßstab ist man aber auch in England schon längst meist zu 1: M mit M als runder Zahl übergegangen, „Parish plans“ in 1 : 2500, „Town plans“ 1 : 500 usf.

Ausnahmsweise kommen für technische Zwecke auch absichtlich verzerrte Lagepläne vor, in denen in zwei zueinander senkrechten Richtungen verschiedne Längenmaßstäbe angewandt sind, sagen wir Abszissenmaßstab und Ordinatenmaßstab; jener sei 1 : Ma, dieser 1 : Mh, der zweite sei weit größer als der erste, d. h. Mb wesentlich kleiner als Ma ■ Um z. B. die Anordnung der Gleise und Gleisverbindungen auf einem sehr langgestreckten Bahnhof deutlich darzustellen, kann man in der Richtung der Fahrgleise wohl 1 : 2500 wählen (Abszissenmaßstab), wenn in der dazu senkrechten Richtung ein größerer (Ordinaten-)Maßstab, z. B. 1 : 1000 oder 1: 500 gewählt wird; im zweiten Fall wäre Ma = 5 Mb, der Ordinatenmaßstab 5 mal größer als der Abszissenmaßstab. Die Wirkung dieser Verzerrung ist leicht zu übersehen; der Grundriß eines quadratischen Gebäudes, dessen Seitenflächen in den zwei Hauptrichtungen liegen, wird ein Rechteck, dessen Seiten sich wie 1: 5 verhalten, liegen dagegen die Diagonalen des Grundrißquadrats in den zwei Hauptrichtungen, so wird der Grundriß zum gleichseitigen Rhombus mit dem Diagonalenverhältnis 1 :5. Rechteckige Gebäude bleiben im Plan nur rechteckig, wenn ihre Seiten den Hauptrichtungen parallel sind, andernfalls erscheinen sie als Parallelogramme; ein Kreis, z. B. der Rand einer Drehscheibe, erscheint als Ellipse mit dem Achsenverhältnis 1:5 usf. (Solche Darstellungen kommen auch in der Hydrographie vor; wir werden sie später auch bei Höhendarstellungen [Darstellungen von Schnitten von Vertikalebenen oder horizontalprojizierenden Zylindern mit der Erdoberfläche] wieder antreffen). Die Wirkung der Maßstabsverschiedenheit auf die Flächen ist ebenfalls leicht einzu-

M

sehen; für den Maßstab 1 : Ma sind die Flächen im Plan a mal zu groß, für den

Mb

M

Maßstab 1: Mb sind sie —2. mal zu klein dargestellt. Ist Fp eine Planfläche in natür-Mb

liehern Maß (z. B. <jcm), so ist die entsprechende Feldfläche

F=F„'Ma.Mb.

Abstechen einer Strecke aus einem Plan. Gezeichnete oder gedruckte Pläne dienen, wie wir im folgenden Kapitel 2. sehen werden, sehr häufig zur Berechnung von Grundstücksflächen.

Ebenso sind ihnen häufig Strecken durch Abstechen zu entnehmen. Würde ein gezeichneter oder gedruckter Plan maßhaltig bleiben, so wäre die Entfernung zweier beliebiger Punkte sofort mit Benutzung eines richtigen Transversalmaßstabs abzustechen, mit der Genauigkeit, die diesem Längenmaßstab entspricht. Für das Folgende ist stets vorausgesetzt, daß der Plan an sich so genau richtig ist, als überhaupt gezeichnet werden kann; es handelt sich nur um die durch den Papiereingang (in ganz seltnen Fällen auch Papierdehnung) verursachten Veränderungen, die die ursprünglich genau richtigen Maße des Plans erlitten haben oder die der gedruckte und getrocknete Plan gegen die genau richtigen Maße der Druckplatte zeigt.

Das Planpapier sei in der Richtung I um p v. EL, in der Richtung II um q v. H. der Längen eingegangen. Wäre p=q = r°/₀, so wäre allen Strecken, die dem Plan mit genau richtigem Maßstab 1 : M entnommen würden, r/₁₀₀ ihrer Länge zuzuschlagen; so aber sind Strecken, die in der Richtung I liegen, um p°/₀ ihrer Länge, Strecken, die in der Richtung II liegen, um q°/₀ ihrer Länge zu vergrößern. Strecken, die in keiner dieser beiden Richtungen liegen, sind offenbar um ein prozentisches Maß zu vergrößern, das zwischen p/₁₀₀ und %₀₀ liegt. Wenn p und q selbst auf 0,1 angegeben sind (Viooo der Länge entsprechend) und nicht viel voneinander abweichen, so genügt oft Schätzung des prozentischen Eingangs für eine Strecke, deren Richtung zwischen den Richtungen I und II liegt; ist z. B. p — 1,0%, q — 0,7%, so darf für Richtungen, die mit

I den Winkel 30° oder 150° einschließen 0,9%

0,8%

0,7%)

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60° „ 120°

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angenommen werden, wobei auch die Winkel zwischen der betrachteten Richtung und I geschätzt werden dürfen. Ist aber der Unterschied zwischen p und q größer oder die geforderte Genauigkeit größer, so reicht die Schätzung nicht aus.

Zur Feststellung von p und q zunächst vergleicht man die mit genau richtigem Maßstab abgegriffnen Koordinatenmaschenlängen in beiden Richtungen mit ihren Sollängen, selbstverständlich in der Nähe der Strecke, um die es sich nachher handelt. Z. B. seien auf einem Plan im Maßstab 1:2000 Netzlinien von 200 zu 200m gezogen; das Nachmessen mit genau richtigem Maßstab 1: 2000 gab Fig. 115

A₀A₂ = 198,20 m,

A₀B₂ = 199,40 rn,

All

Papier-Eingang q%

Ap

m'

n’

A₀A₂ = 198,25 m, Aq B₁ = 199,40 m,

somit wird

Papiereingang

p%

Pi

1'

B₂

1,78

0,89 % und 2 = ^ = 0,30%.

Die Strecke PXP₂ nun, die man aus dem Plan zu entnehmen hat, fand sich an. demselben Transversalmaßstab, an dem A₀A₁ usf. abgelesen wurde, Z' = 261,75 m.

A₂

Fig. 115.

Welcher Zuschlag Al ist erforderlich? Projiziert man l’ in die zwei Hauptrichtungen I und II, so seien die Projektionen m und n ; endlich sei

(1)

Z = Z' + Al'

die gesuchte richtige Länge. Statt der Größen m und n, die der Plan enthält, würde man bei nicht eingegangnem Papier die Strecken

und n -f n • ^

erhalten haben. Es bestehen also folgende zwei Gleichungen, die erste für die korrigierten Längen, die zweite für die auf dem Plan tatsächlich vorhandnen:

”' + “'■150

<2)

(¹ + wö) +w'²(¹⁺Ioö)

und

(3)

r* = m’* + n'².

Der gesuchte Zuschlag Al', der an l' erforderlich ist, ist nun im Vergleich mit l selbst so klein, daß

(4)

z* = (r + Aiy = i'²-\-2i' ■ Ar

gesetzt, d. h. (Al')² als kleine Größe 2. 0. vernachlässigt werden darf; ebenso ist

(5)

u I JLY = ₁₊ ²p (1 + jlV₌

\ ⁺ 100/ ^ 100 ¹ \ ⁺ 100/

2q

¹⁺Toö

zu setzen, die quadratischen Glieder sind als kleine Größen 2. 0. zu vernachlässigen. Entwickelt man hiernach (2) und zieht (3) davon ab, so wird also

2p

2q

100’

oder der gesuchte Zuschlag Al' ist

(6)

Es ist sehr einfach, sich diesen Zuschlag auch in prozentischer Form darzustellen. Da m' und n' nur in der Klammer des kleinen Betrags (6) Vorkommen, so braucht man sie nicht fein abzustechen, sondern nur ganz beiläufig, z. B. auf lm genau. Im obigen Beispiel ist m = 132 m, n' — 226 (je auf 1 m), l' (scharf) wie schon oben angegeben = 261,75 m (Probe: 132²= 17424, 226* = 51076, 2 ■■= 68500; 261,75ä = 68513, völlig genügend stimmend); es wird demnach

(Rechenschieber)

Al’ — —[— (132² • 0,89 -f 226² ■ 0,30)

und also

⁼ Ä ⁽¹⁵⁵⁰° + 15S°0) = 1,18 m

(?)

l = 261,75 -f 1,18 = 262,9₅ m.

Im vorstehenden Beispiel macht die Richtung der Strecke mit der Hauptrichtung I (p) den Winkel arctg ^ • g = 59,7° oder rund 60°. Hätte man also den prozentischen Eingang r°/₀ der Strecke geschätzt zu r% = (Z% +    — g)°/₀, so wäre er gerade

0,50

0,30 -)- ^ • 0,59 = 0,50 °/₀ oder der Zuschlag

Zahlen sind: prozentischer Zuschlag 0,45°/₀ und Al' — 1,18m. Zieht man statt der prozentischen Angabe die Angabe in Bruchform vor, so lautet die Gleichung (6), wenn

in der Richtung I des Plans die Längen um

100

• 262 m = 1,31 m, während die richtigen

tH |

, in der Richtung II um ihrer Be-

träge zu klein sind und die aus der Karte unmittelbar entnommene Strecke l' (scharf, s. oben) sich in die Strecken m' und n' (beiläufig) der Richtungen I und II projiziert:

(8)

1 /m'²    n'²\

Auch hier kann man leicht den Zuschlag in Form eines Bruchs angeben, der zwischen

- und — liegt.

V    w

Einträgen von Messungen in Pläne mit Papiereingang (besonders also feucht gedruckte Pläne). Das Vorstehende ist wichtig auch beim „Kartieren“ in Plänen mit Papiereingang. Sind in den Richtungen I und II (Maschennetzlinien) Maximum und Minimum des Papiereingangs p°l₀ und q°/₀ vorhanden, so sind beim Einträgen von Punkten nach ihren rechtwinkligen Koordinaten in dieses Netz die x-und y-Werte (aber nur vom nächsten Maschennetzpunkt aus, nicht im ganzen gerechnet) vor dem Eintrag in den Plan um p/₁₀₀ und ⁹/₁₀₀ zu verkleinern; beim Eintrag einer Strecke in schiefer Richtung kommt die umgekehrte Gleichung (6) oder (8) in Betracht. Wie steht es nun aber mit dem Einträgen von Winkeln, für uns zunächst der in Wirklichkeit rechten Winkel zwischer der (schräg zu den Koordinatennetzlinien) liegenden Abszissenrichtung und der zugehörigen Ordinatenrichtung einer Kreuzscheibenaufnahme oder beim direkten Einträgen nach Polarkoordinaten (Winkel z. B. mit dem „Transporteur“ oder nach ihrer tang eingetragen)? Denken wir uns auf der ursprünglichen richtigen Planzeichnung, z. B. der Druckplatte, um einen Punkt einen Kreis beschrieben, so bleibt dieser Kreis nach der Kontraktion des Papiers nur dann ein Kreis, wenn der Eingang nach allen Richtungen derselbe ist; ist er in verschiednen Richtungen verschieden, erreicht er in zwei zueinander senkrechten . Richtungen einen größten und einen kleinsten Wert, so wird aus dem Kreis eine (wenig exzentrische) Ellipse, deren Achsen in den Richtungen des größten und kleinsten Papiereingangs, unserer Voraussetzung nach also in den Richtungen der Koordinatennetzlinien liegen. Die Ellipsenachsen oder Halbachsen verhalten sich wie

100

^ = ^1    : 1; die Form der Ellipse ist also durch den

Betrag ^

kontraktion, wie jede Gerade, eine Gerade, er wird zum Ellipsendurchmesser, der nicht mehr denselben Winkel mit den Koordinatennetzlinien bildet. Ist y der Winkel zwischen der betrachteten Richtung und der Richtung des nachherigen minimalen Papiereingangs vor der Kontraktion und y' der Winkel nach der Kontraktion, so ist

100

bestimmt. Ein beliebiger Kreisdurchmesser bleibt nach der Papier-

oder

(10)

tg (v — Y)

(P — 2) si-n ^ y

(200 -f- p — q) -(- (p q) COS 2 y

der Nenner rechts ist immer nicht viel von 200 verschieden, (y — y') nicht groß, so daß man mit fast stets genügender Näherung auch setzen darf

also z. B. in Minuten:

(11)

,    (p — q) sin 2 y

200 Q’

(12)

(y — y ')' — (p — s) sin 2 y • ii\2.

y = 0° und y = 90° oder ein ganzes Vielfaches davon gibt je, für beliebiges (p — q) die Differenz (y — y') = 0, wie unmittelbar klar; es ist leicht zu sehen, warum in der Gegend von y = 45° (135°,..) das Maximum von (y — y') eintritt. Eine kleine graphische Tafel mit den zwei Eingängen (p — q) und y liefert nach (10) oder genähert nach (12) die Winkelverzerrung. Liegt eine Aufhahmslinie ungefähr in der Richtung der Hammer: elementare praktische Geometrie.

Winkelhalbierenden zwischen der p- oder ^-Richtung, so erscheint der in Wirklichkeit rechte Winkel zwischen ihrer Richtung und der dazu senkrechten Richtung (Abszisse und Ordinate) infolge der Papieränderung verzerrt um 2co nach

ff — g__

100 -f \{p — q)

Für einige Werte von {p — q) gibt die folgende kleine Tabelle diese Beträge der größten möglichen Verzerrung eines rechten Winkels:

(13)

2 oo

ff-3 = 0,5%    1,0% _ 1,5%    2,0%

2ta = 0°17'    0°34'    0°51'    1°8'

Kann man also z. B. bei einem Nachtrag auf einem Plan mit p — q— 1,5% die Abszissenlinie durch scharfes Einmessen auf in der Karte bereits vorhandne Punkte ohne Richtungsfehler in den Plan ein tragen, so ist, wenn y nahezu =45° ist, die Ordinatenrichtung um rund %⁰ falsch, wenn sie im Plan senkrecht zu dieser Abszissenlinie genommen wird, d. h. der Endpunkt einer 25 m langen Ordinate kommt, wenn der Planmaßstab 1 : 500 ist, auf dem Plan um fast 0,4 Feldstrecke 0,2 m als Fehlerstrecke entsprechend). Diese sehr bedeutenden Maße zeigen, daß bei ungleich eingegangnem Planpapier beim Nachtrag von Messungen auch Rücksicht auf die Wink e 1 Verzerrung genommen werden muß. Trifft die Annahme, daß Maximum und Minimum der Papierkontraktion in der Richtung der Koordinatennetzlinien liegen, nicht zu z. B. x- und ^/-Richtung schräg über das Blatt gehend (vgl. Fig. 103), so daß die Walzrichtung beim Druck nicht mit der einen Maschenseitenrichtung stimmt, so werden die Maschennetzrichtungen konjugierte Durchmesser der vorhin betrachteten Ellipse, und es sind demnach, wenn die Abweichung des Schnittwinkels der x- und y-Richtung von einem rechten scharf bestimmt wird, Richtung und Länge der Ellipsenhalbachsen leicht zu berechnen (Summe der Quadrate konjugierter Ellipsenhalbmesser = Summe der Quadrate der zwei Halbachsen; Fläche des Dreiecks, dessen zwei Schenkel konjugierte Ellipsenhalbmesser sind, konstant bleibt).

Ein Wort ist noch beizufügen über die Fläche dieser Ellipse. Hat der ur-

mm

falsch zu liegen (der

spriingliche Kreis den Halbmesser 1, so hat die Ellipse die Halbachsen 1.^1 , also die Fläche F'

100

und 1. ^1 —

100

= 71^1 —

_ff

100

oder mit Vernach-

lässigung von

pq

10000

gegen

und . die Fläche

100

100

(14)

F'

100

Die Fläche des Kreises ist aber

(15)

F = n\

es ist demnach

(16)

F--F’

\    ~ 100 J 100 ’

d. h. die Fläche der Ellipse auf dem Plan mit p°/₀ und q°/₀ zu kleinen Maßen ist um der Fläche zu klein. Und was für die Ellipse gilt, gilt für jede beliebige andre Fläche: die Flächen auf unserm Plan müssen, um auf richtiges Maß zu

P "4“ Q

kommen, gleichgültig wie sie geformt sind, mit dem Zuschlag ^ * ihres Betrags versehen werden.

ZWEITES KAPITEL.

BERECHNUNG DER FLÄCHEN VON GRUNDSTÜCKEN AUS MESSUNGSZAHLEN. TEILUNG VON FELDFLÄCHEN. BERECHNUNG VON FELDFLÄCHEN AUS PLÄNEN ODER MIT TEILWEISER BENÜTZUNG VON PLÄNEN. FLÄCHEN IN TECHNISCHEN ZEICHNUNGEN. PLANIMETER.

Allgemeine Einleitung. Bevor wir zur Erweiterung unsers Messungsgebiets mit Hilfe der Horizontalwinkelmessung, zunächst der Zugmessung mit dem Theodolit übergehen, betrachten wir die Ermittlung von Grundstücksflächen, sei es aus den bei der Aufnahme unmittelbar erhobnen Längenmaßzahlen, sei es zum Teil mit Benützung des bereits hergestellten Plans, sei es ganz aus einem solchen Plan. Diese Arbeit ist die wichtigste Arbeit des Feldmessers, besonders auch im Sinn der Teilung gegebner Flächen, Abtrennung eines bestimmten Flächenstücks von einem gegebnen Grundstück, andre Verteilung einer großem Grundstücksfläche im Vergleich mit dem bisherigen Besitzstand. Diese Aufgaben treten in vielfacher Wiederholung und vielerlei Form auf bei Erbteilung, Kauf oder Verkauf, Änderung der Grenzen von Grundstücken bei Grenz-regelungen, und in besonders großem Maßstab bei Neuregelung der Grundstückseinteilung überhaupt bei „Zusammenlegungen“ und „Feldbereinigungen“.

Für die Zwecke dieses Buches steht der Lageplan als solcher, als Grundlage für technische Entwürfe, mit in erster Linie, weniger die Grundstücksinhaltsbestimmung, so daß dieses feldmesserisch wichtigste Kapitel der Vermessungskunde hier nur kurz behandelt wird. Dagegen sind die Flächenbestimmungen nach der technischen Seite hin (Querprofile z. B.) etwas ausgedehnt, insbesondere ist auch das Polarplanimeter als auch zu einer Menge von Flächenermittlungen in andern technischen Zeichnungen, nicht nur Lageplänen, dienend, eingehender behandelt.

Erinnert sei nochmals daran, (nach dem was in den letzten Nummern über die Plandarstellung, ferner nach dem was früher über die Längenmessung gesagt ist, selbstverständlich), daß wir unter der Fläche eines Grundstücks stets nur zu verstehen haben den Flächeninhalt seiner

Horizontalprojektion. Wir können jetzt auch mit Rücksicht auf den Plan sagen: ist F der Flächeninhalt des Grundstücks, Fp der Inhalt seiner Darstellung auf dem Plan im Längenmaßstab 1 : M (wobei F in „natürlichem Maß“, z. B. cj-cm oder cpm genommen sei), so ist

F = F- M\

_p_

Seitenlänge, also

cm

Z. B. stellt 1 <jcm natürliche Fläche auf einem Plan im Längenmaßstab 1 : 500 eine Feldfläche von 1 • 250000 <jcm = 25 <jm vor; ein Quadrat von 8 4<pm. Fläche auf einem Plan im Maßstab 1: 2500 eine Feldfläche von .64 • 6 250000<jcm = 400000000 cfcm == 40000 <jm = 400 a = 4 ßa. Über die Flächeneinheiten vgl. 26.

37. Flächenberechnung einzelner geradlinig (polygonal) begrenzter Grundstücke aus den Messungszahlen. 1. Einleitung. Für die mög-liehen Fälle der Messung einzelner polygonal begrenzter Grundstücke sind Inhaltsformeln zum Teil schon in 31. angegeben, indem die Polygone in Dreiecke usf. zerlegt sind. Für die Dreiecksfläche lauten die Inhaltsformeln:

a) bei Aufnahme durch Längenmessung allein. Die drei Seiten gemessen mit den Ergebnissen a, b, c; nach der Heronischen Dreiecks-a —j— b —J— c

formel ist mit s =

(i)

F = ys (s — a) (s — b) (s — c);

b) bei Aufnahme nach Polarkoordinaten. Ist der Pol der Aufnahme (durch „Strahlen und Messen“) in einer Ecke des Dreiecks, d. h.: sind gemessen zwei Seiten und der zwischenliegende Winkel, z. B. b, c, a, so ist für den doppelten Inhalt

(2)

2F = bc • sin a:

c) bei Aufnahme durch Winkelmessung allein, wobei also von einer andern Messung her eine Seite des Dreiecks bekannt sein muß. Gegeben also z. B. a, gemessen die Winkel ß, y (zur Kontrolle vielleicht auch der dritte); der doppelte Inhalt wird

(3)

2F =

a²

ctg ß -f ctg y sin (ß -f y)

a² sin ß sin y a² sin ß sin y sin cc •

d) bei Aufnahme nach rechtwinkligen Koordinaten. Die Aufnahmslinie der Kreuzscheibenaufnahme sei eine Seite, z. B. a, so ist also bei Anwinklung der dritten Ecke die Höhe 1l von dieser Ecke zu jener Seite gemessen und es wird

(4)

2F = a

wenn nur der Inhalt des Dreiecks gebraucht wird, auf seine Form nichts ankommt, so ist die Lage des Fußpunkts auf a gleichgültig, es kommt nur auf die Strecken a und h an. Die Formel (4) ist die weitaus einfachste.

Mit Hilfe dieser Dreiecksformeln kann man z. B. auch für ein beliebiges Viereck eine Anzahl von Inhaltsformeln für verschiedne Fälle aufstellen, indem man z. B. für den Fall, daß alle vier Winkel (Probe) und alle vier Seiten gemessen sind (zwei weitere Proben, da im ganzen drei Stücke mehr gemessen sind als zur einfachen geometrischen Bestimmung des Vierecks notwendig wäre), d. h. für den Fall der vollständigen Polygonisierung des Vierecks, zwei Gegenseiten bis zum Schnitt verlängert; es wird (Fig. 116)

a²sin asin 8 c²sin ß sin y &²sin cc sin ß d²sin y sind sin (cc -)- $) ' sin (ß -j- y)    sin (a -)- ß) ■ sin (y -j- S)

Für das Trapez mit den Parallelseiten a, c und den Winkeln cc, d an der Parallelseite a, also ß = 180° — a und y = 180° — d an der Seite c wird

a²— c²

sin (cc -(- ö) ctg cc -f- ctg c)

Die Gleichung (5) oder die Trapezformel (6) sind nicht gerade wichtig,

(5)

(6) 2T = (a²- c²)

sin cc sin d

sin (cc -(- 8)

= (a -f- c) (a — c)

sin cc sin S

ebensowenig viele andre Trapezformeln; die eigentlich allein wichtige Trapezformel ist die einfachste: Summe der zwei Dreiecke, in die das Trapez durch die eine oder andre Diagonale zerfallt, also mit den vorigen Beziehungen, a und c die Parallelseiten, wenn noch h deren senkrechten Abstand, die sog. Höhe des Trapezes, bedeutet:

(?)

2T = (a -f- c)h,

wie auch, wenn z. B. c die kürzere Parallelseite ist und durch den einen Endpunkt von c eine Parallele zu der andern nicht parallelen Trapezseite gezogen, d. h. das Trapez in ein Parallelogramm und ein Dreieck mit der Grrunddlinie (a — c) und der Höhe h zerlegt wird, aus

2T = c ■ h + 0 - c)h

hervorgeht. Man beachte, daß nach (7) wieder die Fläche des Trapezes durch a, c, h bestimmt ist, ohne daß seine Form bestimmt wäre; erst ein viertes unabhängiges Stück, z. B. eine der nicht parallelen Seiten, ein Winkel, eine Diagonale würde auch die Form festlegen.

et

Fig. 116.

Von Bedeutung ist oft auch die Inhaltsformel für ein beliebiges Viereck, dessen Di-agonalen e und f sich unter dem 2 YVinkel s schneiden:

(8)

2F = ef ■ sin £;

hier ist also durch drei Stücke schon der Inhalt bestimmt, während zur Bestimmung* auch der Form noch zwei weitre Stücke gegeben sein müßten. Ist in (8) s — 90°, so ist 2F = ef. Der Satz (8) läßt sich auch so aussprechen: der doppelte Inhalt eines Vierecks ist gleich einer Diagonale multipliziert mit der Projektion der zweiten Diagonale auf eine zur Richtung jener ersten Diagonale senkrechte Richtung, Fig. 117. Er sagt in dieser Form nur

(9)

2F=a(h'+ h"),

doppelter Vierecksinhalt gleich einer Diagonale a mal Summe der Höhen Ji und h" von den Endpunkten der andern Diagonale auf jene erste a, Summe der zwei Dreiecke, die a als gemeinschaftliche Seite haben. Ist das Viereck nicht konvex und nimmt man als Diagonale a diejenige, bei der die Lote von den Endpunkten der zweiten Diagonale auf a auf derselben Seite von a liegen, so heißt es in (9) selbstverständlich (9')2F=a(Ji—h"), Differenz der zwei Dreiecke, in die das Viereck durch diese Diagonale a zerfällt. In Fig. 117 schneiden sich die zwei Diagonalen (konvexes Viereck), es schneiden sich nicht zwei Seiten des Vierecks; in Fig. 118 (Viereck mit einspringender Ecke) schneiden sich die zwei Diagonalen nicht, es schneiden sich auch zwei Seiten des Vierecks

nicht; ein dritter für das Viereck möglicher Fall ist der, daß die Diagonalen sich nicht schneiden, dagegen zwei Seiten des Vierecks sich schneiden (geschränktes Viereck), Fig. 119.

In diesem Fall muß der Vierecksinhalt allgemeiner, als sonst in der Planimetrie und für unsre Zwecke im allgemeinen notwendig ist, definiert werden; wir werden aber wenigstens geschränkte Trapeze sogleich kennen lernen. Zwischen vier be-

liebigen Punkten der Ebene können =

= 6 Strecken gezogen werden, von

denen vier einen fortlaufenden Linienzug bildende die vier Seiten, die zwei andern die zwei Diagonalen eines Vierecks vorstellen können; die sechs bilden eben ein „vollständiges Viereck“. Die Fig. 117 und 119, konvexes und geschränktes Viereck,

4 • 3 1 2

h"/

;a:

Ih"

Fig. 117.

Fig. 118.

entsprechen den Fällen, in denen zwei von den sechs Strecken sich schneiden, keiner der vier Punkte innerhalb des von den drei andern Punkten gebildeten Dreiecks liegt, Fig. 118 entspricht dem Fall in dem keine zwei der sechs Strecken sich schneiden, einer der vier Punkte innerhalb des Dreiecks der drei andern liegt.

Sowohl beim Dreieck als beim Viereck (und bei einem wichtigen speziellen Viereck, dem Trapez) werden wir also, vgl. (4), (7), (9) auf die Verwendung rechtwinkliger Koordinaten zur Inhaltsbestimmung geführt und diese Rechnungsweise, die unsrer wichtigsten Kleinmessungsmethode, der Kreuzscheibenaufnahme entspricht, läßt sich ohne weitres auf beliebige Polygone ausdehnen, indem man diese den im Handriß stehenden Zahlen gemäß aus Trapezen und Dreiecken nach (7) und (4) zusammensetzt.

2. Beispiele für die Rechnung. Es ist dabei zu raten, die Zahlen des Handrisses unverändert zu lassen, nicht die eine (Grundlinie oder Höhe in einem Dreieck usf. zu halbieren), so daß man zunächst 2F erhält und erst am Schluß zu halbieren hat. Das Viereck (1) (2) (3) (4) sei durch beistehende Kreuzscheibenaufnahme Fig. 120 aufgenommen, bei der die Aufnahmslinie eine Seite des Vierecks ist. Nach Anblick der Figur ist Viereck = Dreieck links -f- Trapez in der Mitte + Dreieck rechts, d. h.

356,82

4- 423,68

15,46 • 23,08 2F⁷ = ■ -p 32,62 • 53,30 = + 1738,65 + 14,02 • 30,22

2F = 2519,15 F = 1259,58 cpm

qm.

= 12 a 60

Man rundet die Flächen einzelner Grundstücke stets, auch bei scharfer Messung, auf 1 qm ab; vgl. darüber unten, bei Besprechung der Genauigkeit der Flächenbestimmung. In (10) sind bei der Ausrechnung 0,01 qm ausnahmsweise angesetzt, damit die Abrundung keine Fehler von 0,1 qm in 2F hineinbringen kann.

Es ist leicht zu sehen, daß man an Rechnung etwas sparen kann. Denkt man sich in dem Viereck eine der in Fig. 120 angedeuteten Linien gezogen, so hat man das Viereck in ein Dreieck und in ein solches Viereck zerlegt, in dem die Diagonale und die Summe der Lote von den

(3)

(4)

3c;z%

Z3,er-

Fig. 119.

U)'

aocr

9YS1

Fig. 120.

CO

zwei andern Punkten auf diese Diagonale unmittelbar im Handriß steht. Im Fall der Linie (5) wird

(11)

2F =

48,08 • 23,08 + 30,22(62,10 - 15,46)

1109,69

+ 1409,46

oder

wie oben; und im Fall der Linie (6) ist

2^=2519,15

(12)

23,08 • 48,08 + 30,22 (62,10- 15,46)

d. h. man wird auf dieselben Zahlen wie bei Anwendung von (5) geführt. Die eine der zwei Hilfslinien (5) oder (6) reduziert also die Multiplikationen von drei nach (10) auf zwei und liefert denselben Ausdruck für die doppelte Vierecksfläche. Diese Reduktion von drei Multiplikationen auf zwei kann statt geometrisch nach (11) oder (12) auch sofort arithmetisch nach (10) eingesehen werden, indem 53,30 = 23,08 + 30,22 ist und danach die drei Produkte (10) zerlegt werden können in 23,08 (15,46 + 32,62) + 30,22 (32,62 + 14,02), was abermals dem Ausdruck (11) oder (12) entspricht. Man kann leicht den allgemeinen Satz beweisen, daß man immer, wenn die Ecken eines Vierecks auf eine und dieselbe Aufnahmslinie (die dabei keineswegs notwendig eine Seite oder eine Diagonale, d. h. eine Linie sein muß, bei der zwei der Ordinaten Null sind) durch rechtwinklige Koordinaten bezogen werden, mit Ausführung von zwei Multiplikationen zur Berechnung des Vierecksinhalts ausreicht. Dieser Satz läßt sich auch leicht geometrisch deuten (s. u. in Nr. 38).

Ein weitres Beispiel, nochmals ein Viereck, bei dem die Aufnahmslinie abermals eine Seite ist, sei noch angegeben, Fig. 121. Statt nach

8,46 • 17,82

150,76

158,74

2F = l -f 29,48 • 40,96 f = J 4- 1207,70 — 6,86-23,14

oder 2 F— 1199,52 <jm zu rechnen kann man durch Zerlegung des mittlern der drei Produkte so rechnen (geometrisch Verwendung der Linie (a)):

2 F= 37,94 • 17,82 -J- (31,08 — 8,46) • 23,14

|    676,091

_ \ -f 523,43 | _

1199,52

F = 6 a 00

<jm.

Die Rechnung mit (6) als Hilfslinie führt neben einem Dreieck auf ein geschränktes Viereck; man lese auch dafür die Zahlen ab, mit denen man auf die angeschriebnen zurückkommt.

Die Ausdehnung dieser Flächenrechnung durch Zusammensetzung aus Dreiecken und Trapezen oder besser aus Dreiecken und Vierecken (diese aus Diagonale mal Höhensumme) hat keine Schwierigkeit.

MZZ

2314-

17,Xt

(a

13.76

(b)

oo'o

37,94-

Fig. 121.

*°S9'24

_\OG'64

Jl'S9

9F‘2L

Im folgenden Beispiel (Sechseck) Fig. 122 ist als Aufnahmslinie abermals eine Gerade verwendet, die durch zwei Ecken des Sechsecks geht (die längste Diagonale). Mit Verwendung der zwei ....Linien kommt man mit vier Multiplikationen aus:

977,55 4- 2103,63 4- 633,92 .4- 441,40

45,68 • 21,40 + 55,04 • 38,22 + 26,68 • 23,76 4- 72,36 • 6,10

am.

2F — 4156,5 <,m _F= 20 <x 78

Wenn die Ordinaten von zwei benachbarten Punkten des Polygonumfangs auf die Aufnahmslinie zwar auf derselben Seite von dieser liegen, aber beide außerhalb der Fläche, so ist das betreffende Trapez abzuziehen. Bleiben wir zunächst genau bei der Trapezzusammensetzung und bezeichnen die Trapeze, gebildet durch die Ordinaten yk und yt von den sich folgenden Punkten K und L des Polygonumfangs auf die Aufnahmslinie, das Abszissenstück x,— xk der Aufnahmslinie und durch die Seite KL

37,32 • 80,64 =-1----

23,74 • 59,32 = -]----

30,36 • 35,58 = -j----

des Polygons mit \KL\, so kann über die Vorzeichen der Trapeze kein Zweifel sein, solange beide Ordinaten auf der gleichen Seite der Aufnahmslinie liegen. Dieses Vorzeichen ist für den Fall solcher Trapeze entweder + oder —.

Im Fall der Fig. 123 ist:

2* |6,7| =

2* |7,8| =

- 2 • |8,9| = — 28,02 • 27,32 = — • 2- |9,10| =

2 • |10,11| =

Hier ist alles klar und einfach; nur, wie ist bei dem Trapez [9,10;, einem sog. geschränkten, zu rechnen?

3. Geschränktes Trapez. Dies ist ein solches, dessen nichtparallele Seiten sich schneiden, in denen die zwei angeloteten Punkte zu ver-

(6)

92,36

(7)

3Z2r

yc

(8)

112 2 e

Z Z '991

//

c* a! _„

-----1--------

Pl

r~i

i

¹ $ ! *

j>c-erW/,

6,22

P5

Qi

-S>

96191

ybi

'M/cnw

(11)

(10)

Fig. 123.

;A

Fig. 124.

schiednen Seiten der Aufnahmslinie liegen. Es sei in Pig. 124 AB CD wieder ein Stück des Umfangs eines zu bestimmenden Polygons und dabei BC\ das „geschränkte“ Trapez. Die Abszissen der Punkte, von irgend einem Anfangspunkt an, z. B. in der Richtung des Pfeils, gemessen, seien xa, xb, xc, xd. Die Werte der Ordinaten ya, yb7 yc, yd wollen wir als absolute Strecken nehmen (im Gegensatz zu 38.). Ist dann S der Schnittpunkt der Seite BC mit der Aufnahmslinie, so ist

B'S : SC' = yb: yc B'S:(xc-xb)=yb:(yc-\-yb)

1*®-*+*; (*•-*)

K-O*

oder

oder

und ebenso

C'S =

Vc

Vb+Vc

Es ist also

2-A M’S-Ä-sfrr (-.-*) 2-A CC’S-yc-

und

Vc_

(14)

Vb+Vc

Rechnet man die an dieses Trapez \BC sich anschließenden „gewöhnlichen“ Trapeze \AJB\ und | CD\ mit beiden Parallelseiten auf derselben Seite der Aufnahmslinie beide voll, nämlich

2-\AB\ = {ya+yb){xa-xb)

2 • | CB \ = (yc+ yd) (xd — xc),

so muß, um 2 F richtig zu erhalten, 2-A CC'S addiert und 2-A BBS subtrahiert werden; nach (13) ist aber

yl—yl

Vb^Vc

(15)

und

(16) 2(ACC'S — ABB'S) =

(xc - xh) = (yc - yb) {xc - xh).

Man erhält also die Fläche im ganzen richtig, wenn jedes solches „geschränkte“ Trapez gerechnet wird wie ein gewöhnliches, wobei nur die außerhalb der Figur liegende Ordinate negativ zu nehmen ist, d. h. es ist die Abszissenstrecke mit der Differenz der Ordinaten zu multiplizieren, mit dem angegebnen Zeichen; die anstoßenden gewöhnlichen Trapeze, mit Parallelseiten auf derselben Seite der Aufnahmslinie sind voll zu rechnen. Der Betrag der doppelten Fläche der geschränkten Trapeze (doppelter Unterschied der zwei Dreiecke zu beiden Seiten der

Aufnahmslinie) ist j~^j je nachdem die Ordinate die größre ist.

| der Figur liegende

innerhalb außerhalb

Beispiel. Der Kreuzscheibenhandriß für ein Fünfeck ist neben gezeichnet Fig. 125; |2,3| wird negativ, weil die größere Ordinate 7,68 außerhalb liegt, |5,6|

dagegen positiv, weil die größre Ordinate 16,63 innerhalb ist.

’ 11,2 j = -f 33,74 • 24,31 |2,3| = — 2,36- 4,56 2F= |3,4 = -f- 22,77 • 16,87 |4,5| = -(- 34,14 • 20,78 , 15,11 = -f-25,53 • 8,60 2F = 2099,8 <jm F= 10 «50

3,/z-

S9L

(2)

(4)

(5)

A-Z6/J

S9‘9P

oder

0)

Fig. 125.

38. Fortsetzung. Allgemeine Flächenformeln bei einer und der-

Polygon (w-Eck) (1) (2) (3) . . . (n) (1) durch Lote

selben Aufnahmslinie. Verschiedne parallele und senkrechte Aufnahmslinien. Koordinatenumwandlung. 1. Die DHuili er sehen Formeln. Die oben in der Hauptsache verwendete Rechnungsweise, Zerlegung der zu bestimmenden Polygonfläche in die Trapeze, die durch das Anwinkeln der einzelnen Eckpunkte auf dieselbe Aufnahmslinie entstehen, entspricht wie leicht zu zeigen, folgender allgemeiner Regel. Ist das

von seinen Endpunkten (1), (2), (3), . . . (ri) auf eine bestimmte, beliebig liegende Aufnahmslinie und Messen der Abszissen x (durchlaufend) in dieser Aufnahmslinie und der Ordinaten y senkrecht dazu aufgenommen, sodaß also für die Ecken die rechtwinkligen Koordinaten (xxyx)f (x₂y₂), . . . (xnyn) vorliegen, so ist der doppelte Flächeninhalt des w-Ecks gegeben durch die Gleichung mit leicht nachweisbarer allgemeiner Gültigkeit:

( + 2F— (x₂ — xt) (y₂ + yx) + (x₃ — x₂) {y$ + 2/2) H----

+ fe- *.-1) U/„ + y«~i) + Oi - Uh + </„)•

Dabei ist in dieser Gleichung (1) vorausgesetzt, daß

1.    die Ecken des Polygons folgeweise mit (1) bis (n) numeriert sind;

2.    zwei Seiten des Polygons sich nicht schneiden, während gleichgiltig ist, ob auch ein- oder lauter ausspringende Ecken vorhanden sind und wie die Aufnahmslinie zu den Ecken liegt;

3.    daß die zu den zwei verschiednen Seiten der Aufnahmslinie liegenden Ordinaten im Vorzeichen unterschieden werden (im Gegensatz zu 37., 3), wobei es aber gleichgiltig ist, auf welcher Seite der Aufnahmslinie die mit -f- bezeichneten Ordinaten angenommen werden, die der andern Seite sind eben die — Ordinaten. In (1) ist =t vorgesetzt, weil sich die Fläche aus den einzelnen, im allgemeinen die Vorzeichen -f und — zeigenden Teilprodukten im ganzen mit dem Vorzeichen -f oder — ergeben kann.

Die Gleichung (1) kann man symbolisch abgekürzt so schreiben:

k — n

± 2 F    (xk+x - xk) (yk+x + yk),

4 = 1

<2)

•d. h. 2F gleich der (algebraischen) Summe der Produkte, die man erhält, wenn die Differenz der Abszissen zweier benachbarter Punkte (stets im gleichen Sinn genommen, Abszisse des folgenden minus Abszisse des vorhergehenden Punkts, so daß die Differenz + oder — sein kann) multipliziert wird mit der Summe der Ordinaten dieser selben zwei Punkte (ebenfalls algebraisch zu nehmen mit den richtigen Vorzeichen der y). Dieses „Teilprodukt“ für eine Seite des Polygons ist folgeweise auf alle Seiten des Polygons auszudehnen; wird in (2) mit Ti = 1 die Reihe der Produkt-Summanden begonnen, so ist mit li = n (wobei n -f- 1 = 1) zu schließen.

Da die Abszissen vor den Ordinaten nichts voraus haben, so muß auch die folgende Gleichung richtig sein, die nur 2F mit anderm Vorzeichen liefert als (2), weshalb hier + 2F geschrieben ist:

+ 2 F=2U)t

k = 1

<3)

-24)0*₊t+ **)•

Diese sog. Trapezformeln (2) und (3) für den doppelten Inhalt eines beliebigen Polygons gelten mit den obigen Voraussetzungen 1. bis 3. allgemein; in (2) kommen nur die Differenzen von Abszissen vor, für

Die Gleichungen (2) und (3) sind übrigens nicht die einfachsten Ausdrücke für den Flächeninhalt. Vielmehr ist leicht zu sehen, daß in (2) und (3) gewisse Glieder je zweimal, das eine Mal mit dem Zeichen -f-, das andre Mal mit dem Zeichen — Vorkommen und deshalb weggelassen' werden können. Schreibt man nämlich (1) aus, so sieht man, daß im 1. und 2., 2. und 3., vorletzten und letzten, letzten und ersten Posten der rechten Seite sich hebt x₂y₂ gegen — x₂ij₂, xsy₃ gegen — x₃ya,, . . . xnyn gegen —xnyni X\V\ gegen —xiVi unc^ *n Zusammenfassung der Glieder und mit Änderung aller Vorzeichen geschrieben werden kann:

verändern. Stimmen die Ergebnisse der zwei getrennten Rechnungen nach (2) und (3) miteinander überein, so ist die Rechnung vollständig kontrolliert.

(4)

+ 2F=x₁ (y₂ - yn) + x₂(y₃ - yx) + • • • + xn(yx - yn_x)

oder

(5)

bemerken, daß man offenbar bei großem Abszissenzahlen

(3) ist noch

diese sämtlich um denselben Wert kürzen darf, ohne den Ausdruck zu

zu

+ 2F=j£xk(yk+1 - y*_j),

*=i

d. h. man erhält die doppelte Fläche des w-Ecks auch, wenn man folgeweise jede Abszisse mit der Differenz der Ordinaten der zwei benachbarten Punkte multipliziert und zwar: Ordinate des folgenden minus Ordinate des vorhergehenden Punkts zu nehmen. Dabei ist wieder sorgfältig auf die Vorzeichen zu achten und die algebraische Summe dieser n Produkte zu nehmen. Selbstverständlich könnte man auch überall nehmen: Produkt jeder Abszisse mit der Differenz der Ordinate des vorhergehenden minus der Ordinate des folgenden Punkts, da damit nur das Zeichen aller Teilprodukte verändert würde; bleiben wir aber bei der oben aufgestellten Regel. Wenn (4) und (5) richtig sind, so muß ebenso richtig sein die Gleichung

(6)

± 2 F yk ■ (xk

k= 1

Xk -1)>

wie man in der Tat durch andre Zusammenfassung (Ordnung in (4) nach den y) erhält; d. h. es ist jede Ordinate mit der Differenz: Abszisse des folgenden minus Abszisse des vorhergehenden Punkts zu multiplizieren, wobei abermals sorgfältig die Vorzeichen zu beachten sind. Die algebraische Summe dieser n Teilprodukte gibt wieder 2F, und zwar mit dem entgegengesetzten Zeichen, als man es aus (4) erhält.

Die einzelnen Summanden von (5) und (6) sind im allgemeinen z. T. -j-, z. T. —; oft sind auch alle + oder alle —. Jedenfalls geben, wie bei (2) und (3), die Formeln (5) und (6) die doppelte Fläche mit entgegengesetztem Vorzeichen: fällt die Fläche nach (5) + aus, so wird sie nach (6) — und umgekehrt. Die Formeln (5) und (6) heißen im Gegensatz zu den „Trapezformeln“ (2) und (3) wohl Dreiecksformeln oder L’Huilier-sche (oder Gaußsche) Polygonformeln. Den Namen Dreiecksformeln haben sie davon, daß z. B. yz\xi — x₂) die doppelte Fläche eines Dreiecks

Allgemeine Inhaltsformeln: spezielle Fälle.

! CO

mit der Grundlinie (#₄ — x₂) und der Höhe y₃ ist; wir haben von dieser Art der Zerlegung der Polygonfläche (statt der Zerlegung in die durch die Aufnahmslote gebildeten Trapeze) auch schon geometrisch mehrfach Gebrauch gemacht, siehe z. B. die Fig. 120, 121 und die dortige Rechnungsweise.

Spezieller Fall: Dreieck. Sind die Ecken PXP₂PS eines Dreiecks auf ein beliebiges rechtwinkliges Koordinatensystem seiner Ebene „bezogen“, nämlich (x₁y₁), (*22/2)1 (*s 2/3)1 so ist bekanntlich der Wert der Determinante

1    *1    2/i

G)

1 *2 2/2 1    *₈    2/s

der doppelte Flächeninhalt 2F des Dreiecks; das „Verschwinden“ (Nullwerden) der Determinante drückt die Bedingung dafür aus, daß die drei Punkte Px P₂ Ps in gerader Linie liegen. Ausgerechnet, nach den 1 der ersten Kolonne geordnet, liefert die Determinante (7)

(8)

(*2 2/S — *3 2/2) + (*S 2/l — *1 2/S) + (*1 2/2 — *2 2/l) = 2 F-

Ordnet man diesen Ausdruck einmal nach den £c, das andremal nach den y, so findet man

2F — x₁(y.₂    2/3) "b *2 (2/s    2/i) “t“ *» (2/i —2/2)

— ²F= 2/1 (xa — x.) + y.(x₃ —x.) + yB (xx — x₂),

(9)

wie man auch unmittelbar aus (7) sieht, wenn man nach den Elementen der zweiten und dritten Kolonne auflöst. Diese zwei Gleichungen (9) sind aber die L’Huilier-schen Formeln (5) und (6) für den speziellen Fall des Dreiecks.

Fügt man dem Dreieck PXP₂P₃ an der Seite P₁PS ein zweites Dreieck P, P₃ P₄, d. h. den drei ersten Punkten einen vierten Punkt P₄ derart hinzu, daß die Bezeichnung (1) (2) (3) (4) der Punkte zyklisch, mit dem oder gegen den Uhrzeigersinn um das Viereck P₁P₂P₃P₄ geht, so ist die Fläche F des Vierecks gegeben durch:

*i

2 F = i x₂

(10)

I *8

und man sieht durch Entwicklung oder nach dem Additionstheorem der Determinanten leicht, daß die Glieder xsy₁ und x₁y₃ je zweimal mit verschiednen Vorzeichen Vorkommen, sich aufheben und also für die Vierecksfläche entsteht:

2F=x₁(yi — y₄) + x, (y₃ — yx) + x₃ (y₄ — ya) -f xi (yt — y₃) und ebenso

(ii)

r = 4

2 F = ^ Vr (*r+ 1    */•-1)>

r — 1

wo der Index 4 -f- 1 == 1 ist; also abermals die L’Huilierschen Formeln, die sich auf diesem Weg als für ein beliebiges Polygon gültig nachweisen lassen. Ebenso einfach ist der Nachweis, der von Polarkoordinaten ausgeht, vgl. z. B. meine Trigonometrie, 3. Aufl., Stuttgart 1907, S. 406.

Beim Viereck ist noch beachtenswert, daß man die zwei Formeln (11) noch weiter in folgende einzige Inhaltsformel znsammenfassen kann:

oder

2F=(xi - xs) (y₂ — &) + (x₂ - z₄) (y₈ - y±)

(12)

2F=(xt — x₃) ()/₂ - yx) - (xs - xt) (?/, - ?/₃),

Produkte

j— 2160,67

Rechnung nach (5)

y*+i-yk-i

21,40 4 6,10 = 4 27,50 38,22 — 0,00 = 4 38,22

23,76 — 21,40 = 4 2,36 | 4 107,80 \ — 2103,63 0,00 — 38,22 = — 38,22 — 6,10 — 23,76 = — 29,86

<■

0,00

4 68,08 + 107,80 |— 4264,30 — 68,08

— 2F = 4156,5

= 0,00 (Probe) j —F= 20 a 78 am

xk

4 10,24 4 45,68 4 65,28 -f- 72,36 4 49,90

womit der in 37.1. erwähnte Satz bewiesen ist, daß der Inhalt eines Vierecks mit gegebnen Eckenkoordinaten stets (und nur auf eine Art) durch zwei Produkte dargestellt werden kann. Die einfache geometrische Bedeutung dieses Satzes suche man selbst.

Auch die Dreiecksfläche nach (9) läßt sich demnach selbstverständlich stets auf einen zweigliedrigen Ausdruck bringen (Dreieck P₁P₂P₃ ist das Viereck P₁P₂P₃P₄, wenn die Seite P₃P₄ 0 geworden ist); er entsteht, wenn man in der Determinanten form (7) die Elemente einer Zeile von denen der andern abzieht, d. h. die Koordinaten des einen Eckpunkts des Dreiecks zu Null macht, womit einer der drei Summanden in (9) Null wird. Arithmetisch kommt dies darauf hinaus, daß man in (8) den Betrag

(3)

Punkt

X--N    /~S    /-N    /-\

•?H Ol CO    O    CD

V_x s X V. X    V / ' -X

(2)

ZZ,76

Produkte

4- 977,55

4 2103,63

4- 633,92

4- 441,40

4-4156,5

-\- 2F = 4156,5

ö-

20 a 78

o>

X>6 6ir

+y

j__r

3 (6)

*z'S9

9CZL

-y

Fig. 126.

Rechnung nach (6)

xk+i~xk-i

Punkt yk

CD

CD

00

CD

co

CD

00

CO

CD

CO

of

»cf

ZD

ko

of

co

TU

»O

Ol

01

b-

4- 127,40

— 127,40

co

CD

GO

cd

co

0,00 (Probe)

of

*T

of

cd

i-

0    10,24

4 21,40    45,68

4 38,22    65,28

-f 23,76    72,36

0    49,90

— 6,10 0,00

x₂y₂ addiert und subtrahiert, womit die Glieder zu zwei Produkten zusammengefaßt werden können, nämlich zu

2F=(xl-xi){yi-y₃)

+ (%₃—x₂)(yi—y₂) oder

(13)

2F=(x₁-x₂)(y₂-y₃)

-(x₂-x₃)(y₁ -t/₂).

Beispiel für die Anwendung der Formeln (5) und (6): das oben durch Zusammensetzung der durch die Aufnahmslinien gebildeten Trapeze berechnete Seehseck, Fig. 122. Die Ecken werden mit dem Uhrzeigersinn oder gegen den Uhrzeigersinn folgeweise mit (1) bis (6) bezeichnet, wobei selbstverständlich in einer be-

Punkte des Polygons auf verschiedne Aufnahmslinien bezogen.

175

liebigen Ecke begonnen werden kann. Um zu zeigen, daß nur die zwei y-Richtungen zu beiden Seiten der Aufnahmslinie im Vorzeichen unterschieden werden müssen, gleichgiltig, ob man die rechts von der -}-a;-Richtung liegende als -f- oder als — nimmt, wollen wir hier die links von der Aufnahmslinie liegenden Ordinaten (im Sinn der Messung in der Abszissenlinie gesehen) mit -f-, also die rechts liegenden mit — bezeichnen, Fig. 126, während wir sonst in Zukunft stets die Richtungen -J- x und -f- y so annehmen, daß von -j-x aus im Uhrzeigersinn um 90° gedreht werden muß, um in die Richtung -)- y zu kommen.

— 24-1)

Die Gleichungen (5) und (6) werden stets beide verwendet zur durchgreifenden Kontrolle. Bei der Berechnung links könnte die Spalte (ock+1—xk_x) beim 1. und 5. Posten leer bleiben, ebenso bei der Rechnung rechts die Spalte (yk beim 1. und 6. Posten, da der eine Faktor in jedem dieser Fälle 0 ist. Die Zahlen sind aber doch eingesetzt, weil vor Ausführung der Multiplikationen noch die für die Faktoren willkommene Rechenprobe besteht:

k — n

E<st

t = l

(14)

-*t-1> = °

Für die Rechnung rechts ist noch zu bemerken, daß der 2. und 4. Posten (der 1. ist 0) zusammen gerechnet werden können, wie die Klammer andeutet, so daß man hier mit 3 Produkten ausreicht statt mit 4.

Bei der Rechnung links sind zufällig alle Produkte positiv; sie entspricht in den Zahlen genau der Rechnung durch Zusammensetzung gemäß Fig. 122 (s. oben), wird aber jetzt durch die zweite Rechnung (rechts), bei der nur ein einziges Teilprodukt dieselbe Zahl gibt wie links (und dies auch nur infolge der Zusammenziehung zweier Posten), vollständig kontrolliert. Bei der Rechnung rechts haben (vor der genannten Zusammenziehung) zwei Teilprodukte das Vorzeichen zwei das Vorzeichen —, zwei sind 0.

2. Die Punkte des Polygons sind auf verschiedne Aufnahmslinien bezogen. Wenn neben der Hauptaufnahmslinie als Hilfslinien für die Aufnahme nach rechtwinkligen Koordinaten nur Senkrechte oder Parallelen zu jener verwendet sind, Nr. 33., so ändert sich an der Flächenberechnung nichts Wesentliches. Sind aber andre Aufnahmslinien gegen die ursprüngliche festgelegt, so kann man unter Umständen zweckmäßig zuerst einen Kern der Figur berechnen, nämlich das von den Aufnahmslinien gebildete Polygon (Dreieck, Viereck usf.), und dann erst die Flächenteile additiv und subtraktiv beifügen, die in Beziehung auf die einzelnen Seiten des Aufnahmspolygons nach unsern Dreiecks- und Trapezregeln entstehen.

Der Kreuzscheibenhandriß Fig. 127 legt das Aufnahmsdreieck ABC zugrund-der Fußpunkt des „langen Lots“ CE ist nach 33. 3. berechnet und von B aus eingemessen, (wie 64,34* = 91,00² — 64,36* zeigt (Quadrattafel, auch für das Folgende). In ACE entstand damit ein kleiner Widerspruch; es ist

82,46*= 6799,65 64,36*= 4142,21 E= 10941,9 AC=y~= 104,60

während AC direkt zu 104,62 gemessen ist. Widersprüche, die so klein sind, kann man ohne Änderung der Zahlen auf sich beruhen lassen; rechnet man z. B. das Dreieck ABC einmal aus Grundlinie mal Höhe, das andremal aus den drei Seiten, wie sie in die Figur eingeschrieben sind, so erhält man den untenstehenden Vergleich, der in (F) nur 1 (bei 47a Fläche) zeigt, was offenbar nicht in Betracht kommt. Man wird also jedenfalls die einfachere Rechenweise vorziehen.

Punkte des Polygons auf yerschiedne Aufnahmslinien bezogen.

176

2(F) = ah = 146,80 2 • 16 673 X 64,36 1-80 862 2(F) j 8 • 97 636 2 (F) = 9448,2 <fm (.F) = 47 <x 24

MB = C = 146,80 B C = a = 91,00 C A = & = 104,62

2s = 342,42 s= 171,21

2 • 23 353 1 • 38 757 1 •90423 1•82341

s — a— 24,41 s — & — 80,21 s — c = 66,59

hH *

7•34874 3 - 67 437

i.

Probe s — 171,21

(F):    4725 <jm

= 47 a. 25 <ftn

Berechnet man als „Kern“ K der Figur das Viereck AB CD, so erhält man für dieses auf einmal (Diagonale 45xSumme der zwei Höhen darauf), CE-(-6,12)

2K= 146,80 • 70,48 = 10346,7 <jm.

Die Ausrechnung (wie auch die der folgenden kleinen Zuschläge und Abzüge) steht unten; (für diese letzten genügt 4stellige Rechnung). Zu diesem Kern kommen nun

IV

jA\vfe

i-ra

gV ’

! -K‘9

Fig. 127.

von den Aufnahmslinien A C und B C noch folgende kleine Stücke, z. T. -j-, z. T. —; sie sind hier, wie K, unmittelbar naeh den Messungszahlen, d. h. zunächst in doppelter Fläche berechnet:

und

|MC||| + 38,46-14,18 + 44,16(14,18 —4,34) — 22,00-4,34 | CB 11| + 35,52 • 3,64 — 45,54( 8,42 — 3,64) — 9,94 ■ 8,42. Im Ganzen erhalten wir also nun

2K— 10346,7 + 884,4 — 172,1

F = 5530 afm

2F — 11059,0 ,

= 55 a 30 cf nt.

Die angedeutete Rechnung mit Logarithmen ist sehr bequem und rasch; gelegentlich ist sie für kleine Flächenstücke durch den gewöhnlichen Rechenschieber oder auch durch direktes Ausmultiplizieren zu unterstützen, wofür unten je ein Bei-

868

spiel angedeutet ist (22 • 4,34 direkt zu rechnen 868 ; 9,94 • 8,42 mit den untern

Skalen C/D des gewöhnlichen Schiebers. Über die Zahlenrechnung überhaupt vgl. Nr. 39.

146,80    2-16 673

70,48 12-84 807

4-01480    2 K= 10346,7

38,46    .1 ■ 5850

14,18    1 - 1517

35,52

3,64

1 •5505 0•5611

2 • 7367

+ 545,4

2•1116

-f 129,3

44,16    1 • 6450

9,84    0 • 9930

45,54

4,78

2•6380

-f- 434,5

1 • 6584 0 • 6794 2•3378

— 217,7

2 • | CB | = — 172,1

— 22,00 • 4,34 == — 95,5

2 - | AC\ = -{- 884,4

- 9,94-8,42 = — 83,7

3. Fortsetzung. Umwandlung der Koordinaten, vielfach ist in dem Fall verschiedner Aufnahmslinien für die Punkte eines zu berechnenden Polygons aber auch angezeigt, die „Koordinaten umzuwandeln“, d. h. zu berechnen, was hätten die Punkte für Koordinaten erhalten, wenn sie auf die und die Aufnahmslinie angewinkelt worden wären.

Die allgemeinen „Koordinatentransformations form ein der ebenen analytischen Geometrie“ für zwei Systeme rechtwinkliger Koordinaten lauten bekanntlich zur Umwandlung der Koordinaten aus dem „neuen“ ins „alte“ System folgendermaßen. Ein Punkt P habe in dem System 0' („neues System“) die Koordinaten (x'yr)- was sind die Koordinaten von P in dem System 0 („altes System“)

stem 0' gegen das alte 0 durch folgende Angaben festgelegt ist: der Nullpunkt 0' hat in dem System 0 die Koordinaten (a, 6); dazu muß noch ein Winkel gegeben sein, um das System ö gegen 0 vollends festzulegen.

Der Winkel zwischen den Abszissenachsen sei a und zwar soll die Richtung -f x im Uhrzeigersinn um diesen Winkel a (zwischen 0° und 360°) gedreht werden müssen, um in die Richtung 4- x' zu kommen. Es ist dann allgemein gültig, für alle Koordinatenwerte und für jeden Wert von a

wenn

das neue Sy-

~*+x

Mg. 128.

+y

(15)

x = a -f- x' cos a — y' sin a y = b + x' sin a + y' cos a.

Fällt 0' mit 0 zusammen, so ist a = b = 0.

Soll z. B. in Fig. 127 (voriger Absatz 2.) berechnet werden der Inhalt des von der Diagonale F G abgeschnittenen Stücks von F, so ist am einfachsten auszurechnen: was hätten F und G für Koordinaten erhalten, wenn sie auf AB bezogen „oder koordiniert“ worden wären, statt, wie es geschehen ist (um kleinere Lote bei der Hammer: elementare praktische Geometrie.

Die Stücke für (xQ), (yG) kann man mit Hilfe der sin-Skale eines gewöhnlichen Taschenrechenschiebers genügend genau ablesen; rechnet man auch dort, wie für Xp, yF mit 4stelligen Logarithmen, wobei in cc und ß die Genauigkeit 1' genügt, also bei Anwendung der 5stelligen Tafel die Interpolation wegfällt, so hat man die folgende Rechnung, wobei schon in den Teilstrecken auf 1

abgerundet ist:

cm

Aufnahme zu haben oder wegen Messungshindernissen usf.), auf andre Aufnahmslinien, nämlich im Beispiel F auf AC und G auf CS. Man kann (wie es auch im Beispiel zutrifft) vielfach, statt die Formeln (15) zu verwenden, was man braucht aus der

64,36 82,46

Figur ablesen. Es sei z. B. der Winkel CAB — cc gegeben durch tgcc =

oder

(nicht genau identisch, aber für uns doch genügend gleichwertig) sin cc

64,36

der Winkel CBA = ß gegeben durch tg ß =

64,36

, ferner

104,62

64,36

, so liest man

für die Koordinaten, die F in Beziehung auf AB (A = Nullpunkt, AB + Abszissenachse) erhalten hätte, da AC den Winkel cc mit AS einschließt, eine zu AC Senkrechte also den Winkel (90° — cc) mit AS einschließt, und ebenso für die Koordinaten von G in einem System mit S als Nullpunkt und S A als Richtung + {x) (mit ähnlicher Betrachtung über ß und (90° — ß)) folgendes ab, wobei zunächst die Koordinaten Xp, yF und die Koordinaten (xG), (yG) als absolute Strecken angesehen werden:

64,34

oder sin ß =

91,00

Xp = 38,46 cos cc — 14,18 sin cc yF — 38,46 sin oc + 14,18 cos cc

(xG) = 9,94 cos ß + 8,42 sin ß | (yG) = 9,94 sin ß — 8,42 cos ß j

64,36 j 1 • 8086 82,46    1 • 9162

1 •4817

tgcc

9 • 8924

COS cc 38,46 sin cc

9•8967 1.5850 9•7891

cos ß 9,94

sin ß

64,36    1 • 8086

64,34    1 • 8085

1 • 3741

0•8468 9 • 8494 0•9974 9•8495 0 • 8469

0•0001

1 •0484

COS cc

14,18

sin cc

9 • 8967 1 •1517 9• 7891

cos ß 8,42 sin ß

0•9408

0•7747 9■8494 0•9253 9•8495 0-7748

XF = 30,32 — 8,73 = 21,59 yF = 23,66 + 11,18 = 34,84

(xG) = 7,03 + 5,95 = 12,98 (yG) = 7,03 — 5,95 = 1,08

Da SC zufällig ziemlich genau den Winkel 45° mit SA bildet, so können die zwei letzten Zahlen auch so mit dem Rechenschieber geprüft werden (untere Skalen, 1/2 = 1,414..)

(xg)

9,94 — 8,42

1/2

1,075

(Vg)

9,94 + 8,42

V2

12,97.

Die Koordinaten der Punkte F und G in dem System der Aufnahmslinie AB (A — 0,0, AS als + Abszissenachse) lauten also:

yF = 34,84 (eigentlich —) y₍. = 1,08 (ebenso)

Xp = 21,53

xG = 146,80 — 12,98 = 133,82.

Nun kann nach frühem Regeln der Inhalt der Figur ABBGF berechnet werden.

Man findet, wenn das Viereck ADBG aus Diagonale mal Höhensumme und das Dreieck AGF nach der L’Huilierschen Formel berechnet wird,

2 Viereck ADBG = 146,80(6,12 -J- 1,08) = 146,80 • 7,20 = 1057,0 (direkt ausmultipl.) 2 Dreieck AGF — 133,82 • 34,84 — 1,08 • 21,59

= 4639,0

2 F = 5696 cjm F = 28 <x 48 cfm.

Diese Form für den Dreiecksinhalt ist gewählt, um an einem Beispiel zu zeigen, daß gelegentlich die direkte Rechnung einfach zum Ziel führt, ohne alle Hilfsmittel und ohne direktes Ausmultiplizieren, nämlich

133,82 • 34,84 = 100 • 34,84 -f ^ . 34,84 -f \ • 34,84 — 0,013 • 34,84,

was sich alles sehr bequem im Kopfe rechnen läßt, sodaß man das Ergebnis unmittelbar hinschreiben kann; das zweite kleine Glied 1,08 • 21,59 mit den C/D-Skalen des Rechenschiebers.

39. Verband von polygonal begrenzten Grundstücken oder großen Grundstücken. Ausführung der Zahlenrechnung, besonders für die Rechnungen der vorigen Nr. (Einzelflächen von Grundstücken.) Neben der Berechnung der Flächen der einzelnen Grundstücke kommen im Katastervermessungswesen auch Berechnungen von Komplexen von Grundstücken vor, sog. Massenberechnungen, Kontrollflächen, Blöcke, auf die die Summe der Beträge der Einzelflächen, wie sie die Rechnungen nach der vorstehenden Nr. geliefert haben, „auszugleichen“ ist. Von solchen sog. Massenberechnungen gibt es wieder verschiedene Arten; z. B. faßt man in Preußen zur kleinen Massenberechnung (die besonders auch vor dem Übersehen kleiner Grundstücke schützen soll) in einem möglichst gerundeten Komplexe bis zu 50 einzelne Parzellen (oder Bonitätsabschnitte) zusammen: die Fläche dieser „kleinen Masse“ darf je nach dem Maßstab verschieden groß werden, z. B. bis 80 Ka für den Maßstab 1 : -1000, nur bis zu 2 fv<x für den Maßstab 1 : 500 betragen. Jede einzelne Parzelle ist für sich zweimal unabhängig zu berechnen, wobei die eine Rechnung womöglich in der vorstehenden Art „aus den Messungszahlen“ zu machen ist, namentlich bei langen und schmalen Parzellen, die zweite Rechnung kann graphisch, im Plan, auch mit Hilfe des Planimeters (s. unten) geschehen. Bei Flächen unter 1 fux soll stets die eine der zwei Rechnungen direkt aus den Messungszahlen gemacht werden. Die „kleinen Massen“ werden dann wieder auf eine „große Masse“ ausgeglichen, und zwar auf Grund des Quadratnetzes, in das die Messungspunkte eingetragen wurden. Ähnlich z. B. für die „Kontrolleflächen“ in Bayern, wo auf die Fläche eines ganzen Messungsblattes oder aber auf die Fläche großer Polygone die Summen der Einzelflächen auszugleichen sind.

Für solche große Flächen kommen zum Teil (wie auch schon für größere Einzelflächen) andre Rechnungsweisen in Betracht als die aus Messungszahlen, vgl. unten.

Wenn die Fläche eines Polygons direkt aus Koordinaten seiner Eckpunkte zu berechnen ist, so ist gelegentlich die Bemerkung wichtig, daß, wenn die Koordinaten große Zahlen sind, weil die Ecken sich auf ein allgemeines Landesvermessungskoordinatensystem beziehen, von ihren absoluten Beträgen beliebige Konstante abgezogen werden dürfen, um dann erst nach der Vorschrift der L’Huilierschen

Formeln zu verfahren. Bei dem einen der zwei Faktoren, aus denen jeder Posten dieser algebraischen Summen besteht, geschieht die Zurückführung auf kleinere Zahlen von selbst, weil dieser Faktor die Differenz zweier Abszissen oder Ordinaten ist; der andere Faktor kann aber in diesen Fällen eine sehr große Zahl sein, so daß mit einer an sich ganz überflüssigen Genauigkeit gerechnet werden müßte, um ein genügendes Ergebnis für F zu erhalten. Es sei z. B. zu berechnen das Viereck Px P₂ Ps P₄, dessen Ecken in einem Landmessungskoordinatensystem wie folgt gegeben sind:

#, = + 74220,25 y₁ — — 13868,42 = + 7*4911,72 y₃ = — 14475,91 #s = + 74183,62 y₃ = — 15006,14 x. = + 73 697,01 | 2/₄ = — 14 679,26.

Man könnte diese Zahlen reduzieren auf die folgenden mit ' bezeichneten oder endlich, um je eine Zahl der Abszissen und der Ordinaten zu 0 zu nehmen, auf die mit bezeichneten Zahlen, bei denen in den y noch die Zeichen — in + verwandelt sind:

= + 131,58

x\ = + 220,25 x\ = + 911,72 y\ = — 475,91 x₃ = + 183,62 y'₃ = — 1006,14 x\ = — 302,99 y\ = — 679,26

<    = + 523,24 y'l =

<= + 1214,71 < = + 607,49 x” = + 486,61 y'l =•+ 1137,72

<    =

0,00

0,00 +'==+ 810,84

Die letzten Zahlen geben z. B. doppelte Fläche = 523,24(— 203,35) + 1214,71 ■ 1137,72 + 486,61 • 5103,35 = 1214,71 ■ 1137,72 — 36,63-203,25, so daß man wieder, wie immer beim Viereck, mit zwei Produkten ausreicht, vgl. 37. 2., 38. 1.; auf dieselben Zahlen kommt man bei der Ordnung nach den y". Fünfstellige logarithmische Rechnung mit den Zahlen ' oder " reicht aus, obwohl sie das einzelne <jm entfernt nicht mehr geben kann; denn es kommt bei diesen großen Flächen offenbar auf 10 <jm und auch 1 <x nicht an. Dagegen hätte man mit den ursprünglichen Koordinaten mindestens 7-stellig zu rechnen, um dieselbe Genauigkeit zu erlangen. «

Was nun die Rechnungshilfsmittel für die Flächenberechnung angeht, so ist für die auszuführenden Multiplikationen in erster Linie zu erwähnen die logarithmische Rechnung, die die Multiplikation, abgesehen vom Aufsuchen von Zahlen in einer Tafel (Logarithmen zu gegebenen Zahlen, Zahl zu gefundenem Logarithmus) in eine Addition verwandelt. Auch die Rechenschieber und ihre Spezialformen sind bekanntlich logarithmische Rechenwerkzeuge, die also denselben genannten Vorteil bieten, dabei aber noch die Addition der Logarithmen mechanisch zu machen gestatten, statt in Ziffern. Graphische Multiplikationstafeln bieten hier keinen Vorteil. Nur für kleine Flächenstücke kann neben diesen logarithmischen und den folgenden Hilfsmitteln direktes Ausmultiplizieren der Produkte in Betracht kommen, die übrigens auch ihre Vorzüge bietet. Besondere Zahlentafeln, sog. Rechentafeln, sind als Ersatz des direkten Ausmultiplizierens zahlreich vorhanden; die Teilprodukte muß man aber doch addieren. Endlich aber kommen für solche Rechnungen mehr und mehr die Rechenmaschinen in Gebrauch. — Wir wollen auf alle diese Hilfsmittel kurze Blicke werfen, ohne daß aber hier auf die Einrichtung der Rechenmaschinen oder auch nur der großem Rechenschieber eingegangen werden könnte.

1. Beim direkten Multiplizieren sind nach Möglichkeit Proben zu verwenden, besonders die Neunerprobe ist nützlich (Neunerrest der Quersumme der Produktzahl muß gleich sein dem Neunerrest aus dem Produkt der Neunerreste der zwei Faktoren; die Probe deckt aber z. B. Fehler durch Versetzung zweier Zahlen nicht auf), auch verlangt sie vollständige Ausmultiplikation, während vielfach die „abgekürzte Multiplikation“ angewendet werden kann und besonders geschickte Zerlegungen mit passenden Abrundungen die Rechnung in Beziehung auf Übersichtlichkeit, Schnelligkeit und Sicherheit unterstützen. Um z. B. 232,48 x 26,51 zu rechnen, schreibe ich, statt direkt mit den vier Ziffern des Multiplikators zu vervielfältigen, die Zahlen in folgender Art an (schon wegen größerer Sicherheit gegen Versehen beim Verzetzen der Ziffern um je eine Stelle):

232,48 x

( 0    ¹ + 4" + 77^); dies gibt, wenn gleich auf je ¹/₁₀ abgerundet wird:

\ 4:    & lUU/

5812,0 (25 mal) 232,5 (1 mal) 116,2 (% mal) 2,3 (Vioo mal)

6163,0

(Die Zahl mit allen Stellen ist 6163,0448). Oder: um 134,31 x 26,91 zu bilden auf 0,1 <jm, kann man entweder rechnen nach

• 26,91,

wobei für den letzten Summanden in der Klammer gleich y40 bis y₆₀ gelesen wird; oder nach

(lOO + ¹°° + 1 - 0,023)

134,31 Fr +¹ + (‘ ~ i^) + so}

Beide Rechnungen geben die nebenstehenden

2691,0    3357,8

897,0

26,9

3614,9 — 0,6 3614,3

Zahlen (die Zahl mit allen Stellen lautet 3614,2821). Es gibt kaum zwei Faktoren, bei denen man nicht durch solche Zerlegungen dem 134,3 direkten Ausmultiplizieren gegenüber und selbst im Vergleich mit 120,9 der sog. abgekürzten Multiplikation im Vorteil ist; freilich spielen 1,3 Gewöhnung und Übung hier eine große Rolle. Der Vorteil der 3614,3 Zerlegungen ist aber auch noch der, daß man fast stets auf zwei verschiedene Arten einfach zerlegen und so sich eine vollständig durchgreifende Rechenprobe verschaffen kann; z. B. kann man beim

0,853); wobei nur der

ersten der zwei Beispiele auch rechnen nach 26,51 ^200 +

letzte Posten am Rechenschieber abzulesen ist; dies gibt die nebenstehende nur dreigliedrige Rechnung. Die Hinzunahme des gewöhnlichen Rechenschiebers für die kleinen Produkte, soweit die Ablesung von drei Stellen genügt, -f- 883,7 erleichtert in der Regel die Rechnung sehr.

Erwähnt sei hier auch, obwohl nicht zur Multiplikation gehörig, in 1^163)1 Beziehung auf die Zusammenfassung der zum Teil +, zum Teil — Teil-Produkte, wie sie bei den obigen Flächenberechnungsvorschriften Vorkommen, eine Rechnungsweise, die vor Fehlern schützt und doch die Rechnung so bequem macht, als ob es sich um lauter gleichzeichige Posten handeln würde: ich pflege die negativen Posten leicht durchzustreichen und dann überall, wo man bei der Addition an eine durchstrichene Zahl kommt, diese Zahl abzuziehen statt

5302

22,6

zu addieren; z. B. sei

7248,5 — 117,8 — 2364,2 + 1798,4 + 630,7

zu rechnen; schreibt man wie neben und zählt von unten her zusammen: 7 —J— 4 = 11, — 2 = 9, —8 = 1, + 5 = 6; 8 + 8 (unterste und oberste Zahl) =16, —11 (Summe 7248,5 der durchstrichnen) =5; 12 — 7 + 4 = 9 usf., so geht diese gemischte 147,8 Addition und Subtraktion rascher und sicherer von statten, als wenn zuerst 2304,2 die + Posten und die — Posten je für sich addiert werden und dann ihre 1798,4 Differenz genommen wird. Mit den vorstehenden Zahlen erhält man dabei

+ 9677,6

630,7

7195,6

= + 7195,6.

Wo nur zwei Zahlen zu addieren oder zu subtrahieren sind, kann nicht genug anempfohlen werden, das Ergebnis von links nach rechts zu sprechen und zu schreiben; schon bei nicht sehr weitgehender Übung wird man finden, daß die Zahl der Rechen-und Schreibfehler abnimmt. Man kann damit auch zum Teil unsrer im Deutschen so überraschend unzweckmäßigen Aussprache der Zahlen entgegenwirken, indem man Ziffer für Ziffer von links nach rechts liest; wir bringen es ja allein von allen Völkern fertig, beim gewöhnlichen Aussprechen von z. B. 23 465 zuerst die zweite, dann die erste, dann die dritte, dann die fünfte und endlich die vierte Ziffer zu sprechen!

2.    Logarithmische Rechnung. Im allgemeinen reicht selbst für große Polygon„massen“, deren Eckpunkte nicht direkt auf eine Aufnahmslinie angewinkelt werden können, sondern auf dem Weg der Rechnung von Polygonzügen nach rechtwinkligen Koordinaten berechnet sind, für die Flächenbestimmung fünfstellige Logarithmenrechnung aus; dabei ist vorausgesetzt, daß, wenn die Koordinatenzahlen groß sind, sie durch Abziehen konstanter Zahlen von ihren absoluten Werten auf kleinere Zahlen gebracht sind. Für kleinere Flächen ist jedenfalls stets nur fünfstellig zu rechnen, für Flächenstücke unter 100Ö qm reichen sogar in der Regel vierstellige Logarithmen aus, für Flächenstücke < 100 cpm der gewöhnliche Rechenschieber.

Die Schnelligkeit und Sicherheit der logarithmischen Rechnung ist bei geringer Übung so groß, daß diese Rechnungsweise bei der Multiplikation durch keine andere ersetzt werden kann. Es ist ferner schon deshalb ganz verkehrt, die Logarithmentafel aus dem Instrumentarium der Feldmessung streichen und ganz durch die Rechenmaschine ersetzen zu wollen, weil eine fünfstellige Tafel 2 Ji (eine sechsstellige 4 Ji, eine vierstellige 1 Ji oder 60 Jft), eine leistungsfähige Rechenmaschine 600, 800, 1000 Ji kostet. Ich habe schon oft Versuche über Rechengeschwindigkeiten angestellt und bin sicher, daß bei Aufgaben wie den vorliegenden mir auch ein gewandter Maschinenrechner in der Leistung nicht gleichkommt, wenn ich mit fünfstelligen Logarithmen rechne. Von den uns später beschäftigenden Fällen zu schweigen, in denen der eine der beim Multiplizieren auf der Maschine einzustellenden Faktoren selbst erst aus einer Zahlentafel aufgeschlagen werden muß; man darf in diesen Fällen die Anwendung einer Rechenmaschine als methodisch unrichtig bezeichnen. Freilich ist für andre Aufgaben der praktischen Geometrie und überhaupt praktischen Mathematik eine leistungsfähige Additionsmaschine fast unentbehrlich; und in dem uns beschäftigenden Fall der Multiplikation direkt vorliegender Zahlen ist eine wirkliche Multiplikationsmaschine, die wenigstens für jede Zahl des Multiplikators nur eine Umdrehung erfordert und die dabei zugleich als Additions und Subtraktionsmaschine brauchbar bleibt, nicht zu verachten, vgl. darüber 5., weil die Anstrengung des Kopfes für die meisten geringer ist bei der Maschine als bei Logarithmen. Aber der hohe Preis der Maschine ist zunächst in vielen Fällen ein ganz unübersteigliches Hindernis.

3.    Größere Rechenschieber auch für größere Flächenstücke. Die Anwendung der mechanischen logarithmischen Rechnung, d. h. die Anwendung des gewöhnlichen logarithmischen Rechenschiebers für kleinere Flächenstücke ist in 2. schon erwähnt. Wenn es gelingt, Schieber oder

sonstige Werkzeuge zur mechanischen logarithmischen Rechnung einzurichten, die wesentlich größere Genauigkeit haben, ohne an Bequemlichkeit allzuviel einzubüßen, so ist für Zwecke wie der vorliegende viel gewonnen. Die Multiplikation zweier Faktoren mit der A/JB- Skale des gewöhnlichen Rechenschiebers mit 25 cm ganzer Teilungslänge gibt hei gewandten Rechnern einen mittlern Fehler von + xJm bis ± Viooo des Produkts. Die Benutzung der C/D- Skalen (untere Zungen- und untere Stabskale), die einen doppelt so großen Maßstab haben, läßt einen kleinern m. F. erreichen, wenn auch nicht den nur halb so großen. Längere geradlinige Schieber, z. B. von 37x/₂ oder besonders von 50 cm ganzer Teilungslänge werden bald unbequem, steigern auch, wenn aus Holz gefertigt (wegen der ungleichen Kontraktion von Stab und Zunge), die Genauigkeit nicht ihrer Länge entsprechend. Mehr als solche lange Rechenschieber leisten Rechenschieber in gewöhnlicher Form aber mit in zwei Stücke abgesetzter Skale, wie der Rechenschieber von Lallemand (in der französischen Katasterverwaltung eingeführt) und der von Frank (Martz, Stuttgart). Es läßt sich mit dem Frankschen (ursprünglich und zweckmäßig Einskala-Rechenschieber, d. h. nur für Multiplikation und Division bestimmtem Schieber) von 25 cm Teilungslänge bei Multiplikation zweier

± 0,04%    des Produkts (m. F.)

Faktoren leicht die Genauigkeit von

des Produkts. Bei Thacher ist die

bis + y

24000

30000

erreichen, so daß er für Rechnung von Flächenstücken bis zu einigen hundert qm ausreicht. Rechenscheiben, z. B. in großer Form von Füller, in kleinern besonders von Röther, sind bei großem Durchmessern nicht so handlich wie Schieber; die Rechenräder (z. B. Beyer len) konnten sich keinen großem Wirkungskreis erobern. Dagegen sind noch solche Formen des mechanisch-logarithmisclien Rechenwerkzeugs zu nennen, die die ganzen Teilungen in mehrere Streifen, nicht nur zwei wie Lallemand und Frank, zerlegen. Solche Werkzeuge sind die von Hannyngton (ein Stabrost, in den ein Zungenrost eingesetzt wird, Material Holz mit Metallbeschlägen), die Rechentafel von Scherer und die ähnliche von Grünert („Multiplex“ getauft; die „Stab“teilung auf Metallblech in einzelnen Stücken aufgetragen, darauf ein ebenfalls aus verschiednen Streifen bestehender Schieber [Zunge] aus Glimmer gelegt und verschoben). Diese Werkzeuge geben schon ziemlich hohe Genauigkeit (Scherer im Format 33/21 cm, Grünert ebenso 32/2(15 cm; beide etwa ± 0,02% bis + 0,015°/0 [= + y₅₀₀₀ bis Veooo] m- ^ • des Produkts aus zwei Posten), die im allgemeinen für Flächenberechnung ausreicht. Dabei hat die Grünertsche Tafel noch den Vorzug großer Billigkeit, auch die Scher ersehe ist nicht teuer. Nochmals größere Genauigkeit haben (weil sie noch größre Länge der Teilung ohne allzu großes Format ermöglichen) die Rechenwalzen, z. B. die von Thacher und die von Billeter (Zürich) und von Dämen-Schmid (Örlikon bei Zürich, Preis 1909 250 M). Die Walze von Thacher der geod. S. d. T. H. Stuttgart gibt bei einfacher Multiplikation einen m. F. von + 0,0031% (oder gegen + V₃₀₀₀₀) des Ergebnisses, Preis 1891 130 Jt', die Rechenwalze von Dämen-Schmid derselben Sammlung den m. F. von + ¹f Teilung auf 40 metallnen Stegen, die einen zylindrischen Hohlraum um-

geben, und in denen die zylindrische metallene Zunge verschoben wird, untergebracht, bei Dämen-Schmid auf 50 Mantellinien in je 1 cm Entfernung auf einem metallnen Zylindermantel, über dem die aus einem Mantellinienrost gebildete Zunge als Mutfe mit derselben Teilung verschoben wird; Thacher hat zwei verschiedne Teilungen, A und D des gewöhnlichen Rechenschiebers entsprechend, Dämen-Schmid nur die eine Teilung, die Quadratwurzelteilung fehlt. Die Rechenwalzen werden sicher noch weitre Verbreitung erlangen, obwohl bei ihnen der Unterschied an Zeitaufwand gegen fünf bis sechsstellige logarithmische Rechnung nicht mehr so groß ist wie bei dem geradlinigen Schieber (gegen z. B. vierstellige Rechnung), überhaupt die Anwendung nicht mehr dieselbe Bequemlichkeit zeigt wie die des einfachen Schiebers, der nur versagt, wenn mehr als drei Stellen abgelesen werden müssen. Die Rechenzylinder mit spiraliger Teilung (Füller, Smith) sind nicht bequem genug.

4. Andre Zahlentafeln als Logarithmen zu Multiplikationen. Graphische Tafeln. Sog. Multiplikationstafeln sind zur Erleichterung der direkten Multiplikation schon sehr zahlreich hergestellt worden. (Die geod. S. d. T. H. Stuttgart enthält nicht weniger als 20 solche Tafeln, die hier nicht alle aufgezählt werden können. Die verbreitetsten sind die Tafeln von Crelle (l. Aufl. Berlin 1820 erschienen; 10. Aufl., von Seeliger, Berlin 1904), die die fertigen Produkte aller 3 x 3-stelligen Faktoren geben, aber unbequemes Format haben, neben dem schwer zu schreiben ist; neuerdings sind viel verbreitet die kleinern, handlichem Tafelwerke:

H. Zimmermann, Rechentafel (2x3 Stellen, 5. Aufl., Berlin 1907), L. Zimmermann, Rechentafeln (2x4 Stellen, Liebenwerda 1895). Das neueste Werk ist (wieder in sehr großem Format) Peters, neue Rechentafeln für Multiplikation, mit ein- bis vierstelligen Zahlen, Berlin 1909. Zahllose andre Tabellenwerke von Henselin usf. übergehen wir. Auch andre Tabellen als diese Tafeln unmittelbarer Produkte aus zwei Faktoren kann man zur Multiplikation verwenden, indem diese in eine Addition oder Subtraktion der den Tafeln entnommenen Zahlen verwandelt wird wie bei der logarithmischen Rechnung.

Z. B. ist in diesem Sinn eine Tafel der Dreieckszahlen vorgeschlagen worden, ohne daß der Vorschlag dauernd in die Praxis übersetzt worden wäre; etwas mehr gebraucht ist die Quadrattafel, z. B. in dem Umfang wie sie in der F. G. Gaußschen fünfstelligen Logarithmentafel enthalten ist, nach der prostapliäretischen Methode (z. B. schon von Ludolff 1690, aber bereits der griechischen Arithmetik bekannt)

a & = 4{ (a -f- &)* — (a — &)*};

107,08* = 11466 49,56* = 2 456

9 010

d. h. es sind, um a • b zu multiplizieren, erst (a -f- b) und (a — b) zu bilden, deren Quadrate zu suchen, abzuziehen, Differenz zu vierteln. Z.B. 78,32-28,76 gibt nach nebenstehender Rechnung 2252,5 (genaue Zahl 2252,4832). Das Verfahren ist aber kaum einfacher als direkte, z. B. abgekürzte Multiplikation und versagt besonders, wenn a und b sehr ungleich groß sind, etwa a sehr groß, b sehr klein, da dann Produkt = 2 252,5    (a + 6) und (« — b) nicht sehr viel voneinander abweichen, also

ab als Differenz zweier nicht viel voneinander verschiedner Zahlen zu bilden ist, was immer möglichst zu vermeiden ist (Grenzfall oo — oo, unbestimmt). Um die Viertelung zum Schluß zu vermeiden, hat J. Blater eine

Tafel der Viertelquadrate geschaffen (Wien 1889), die für das Argument n den Wert —

n²

gibt. Eine neue sehr kompendiöse Tafel solcher Yiertelquadrate ist die von Bojko (Zürich 1910), die aber mehrmalige Zusammensetzung des Resultat verlangt. Im ganzen wird die Anwendung der Quadrattafel zur Multiplikation auf Fälle beschränkt bleiben, in denen man auch die Quadrate selbst braucht, z. B. bei manchen Koeffizientenrechnungen in der Methode der kleinsten Quadrate.

Yon rein graphischen Tafeln, (Abakus, Nomogramme; Lalanne, Yogler, Lallemand, d’Ocagne u. a.) ist für die Multiplikation zweier gegebner Zahlen noch weniger zu erwarten, auch wenn die Zeichnung groß und fein ausgeführt ist.

5. Rechenmaschinen. Die zwei ersten Rechenmaschinen stammen her von den Philosophen Blaise Pascal in Paris (1623—1662) und

G. W. Leibniz in Hannover (1646—1716), dem vielseitigsten deutschen Gelehrten und scharfsinnigen Denker, Erfinder der Differentialrechnung und eines großen Teils der Zeichensprache der Mathematik, wie wir sie heute verwenden. Leibniz erfand das wichtigste Element vieler späterer Rechenmaschinen, z. B. der von Hahn, Thomas, Burkhardt, die Staffelwalze. In der zweiten Hälfte des 18. Jahrhunderts sind schon mehrere Rechenmaschinen gebaut worden, die dem neuen Werkzeug die Aussicht auf wirkliche praktische Verwendung eröffheten, so die von Pfarrer Phil. Matth. Hahn in Württemberg (1774 beendigt); größere Verbreitung erlangte aber erst die Rechenmaschine des Elsässers Thomas aus Colmar (von Houart in Paris ausgeführt), das Arithmometer. Diese Maschine ist in den letzten Jahrzehnten in Deutschland besonders von A. Burkhardt in Glashütte, Sachsen, verbessert worden, dessen weitverbreitete Maschinen sich durch leichten, geräuschlosen Gang auszeichnen (Preis 6stellig mit 12stelligem Produkt oder 8stellig mit 16stelligem Produkt 700 bis 900 JC).

Auf andern Prinzipien beruhen die Maschinen nach Professor Odhner in Petersburg, die in Deutschland unter den Namen Brunsviga (Grimme, Natalis & Co. in Braunschweig), Berolina (Schuster in Berlin; auch als „Duplikator“ mit zwei Zählwerken ausgeführt), Triumphator (Schrey in Berlin, ebenso) gebaut werden und ebenfalls weit verbreitet sind; der Gang aller dieser Maschinen ist ziemlich geräuschvoll. Ebenso beruht auf neuem Prinzip die kleine runde Rechenmaschine, die Mechaniker Chr. Hamann (Friedenau-Berlin) unter dem Namen „Gauß“ in den Handel gebracht hat; sie wäre wegen ihres mäßigen Preises (200 JC) sehr willkommen, ist aber nicht so bequem zu handhaben, z. B. nicht so bequem abzulesen wie die Maschinen, bei denen die Ziffern der Produkte in den Schaulöchern unmittelbar so nebeneinander stehen, wie sie niederzuschreiben sind. Die Hamannsche Rechenmaschine Gauß ist neuerdings umgebaut worden und hat jetzt den Namen Mercedes erhalten (Preis 380 JC, für die Leistung zu hoch). Eine andre Maschine, auf abermals neuem Prinzip, ebenfalls von Chr. Hamann, die besonders u. a. für solche sehr wertvoll ist, die mit der Maschine viel zu dividieren haben, ist vor kurzem unter dem Namen Euklid im Handel erschienen. Alle die zahlreichen weitern neuen Additionsmaschinen hier aufzuführen verbietet der Raum.

Alle bisher genannten Maschinen sind ihrem Wesen nach Additions-

maschinell, die multiplizieren durch wiederholtes Addieren und bei mehrstelligem Multiplikator Versetzen für jede Stelle dieses Multiplikators; der Multiplikand ist einzustellen und dann die Additionskurbel so oft zu drehen, als die Quersumme der Ziffern des Multiplikators angibt.

Um z. B. 2789 mal 1234 zu bilden, wird 2 — 7 — 8 — 9 eingestellt, sodann die Kurbel 4mal gedreht (wobei in den Schaulöchern nach der ersten Drehung 2789, nach der zweiten 5578, nach der dritten 8367, nach der vierten 11156 erscheint); um eine Stelle versetzt und Kurbel dreimal gedreht, womit die Zahl 8367, um eine Stelle versetzt, zu 11156 addiert wird, und in den Schaulöchern also erscheint 94826; ebenso für die zwei letzten Stellen des Multiplikators, womit die (allein zu machende) Schlußablesung lautet 3441626. Die Kurbel mußte 4-|-3-|-2-j-l = 10 mal gedreht werden. Man kann zwar die Anzahl der Kurbeldrehungen gelegentlich dadurch verringern, daß man von der Umstellung des Rechenwerks (bei manchen Maschinen einfach durch entgegengesetzte Kurbeldrehung) auf „Subtraktion“ Gebrauch macht und z. B. für die Multiplikation von 29898 mit 996 von der Zahl 29898000 durch nur viermalige Kurbeldrehung 4 mal 996 = 3984 abzieht. Bei den Maschinen, die von Addition auf Subtraktion und umgekehrt „umgestellt“ werden müssen, läuft man dabei freilich die Gefahr, daß man Fehler begeht, indem man noch subtrahiert, während schon wieder addiert werden soll und umgekehrt. An sich ist bei der Additonsmaschine bequem und willkommen, daß man algebraische Summen von Posten, wie sie gerade bei unserer Flächenberechnung Vorkommen, sehr bequem bilden kann.

Immerhin hat das einförmige Kurbeldrehen der Additions-' und Sub-traktions- (und dadurch Multiplikations- und Divisions-)Maschinen, wenn es auch rasch geschehen kann und muß, dazu geführt, die Konstruktion wirklicher Multiplikationsmaschinen zu versuchen. Von den in Deutschland und der Schweiz hergestellten Maschinen dieser Art sind zu nennen die Maschinen von Professor Selling, Würzburg, (zwei Typen; das Prinzip der Nürnberger Schere verwendend, aber auch jetzt noch nicht vollständig einwandfrei durchgeführt) und besonders die Rechenmaschine „Millionär“ von Steiger und Egli (oder jetzt H. Egli allein, Zürich), die trotz ihres etwas unbequemen Formats, des hohen Preises (1000 Ji für nicht sehr hohe Stellenzahl) und des ebenfalls etwas geräuschvollen Gangs schnell ziemlich große Verbreitung erlangt hat: sie bietet den großen Vorteil, daß das Multiplizieren mit jeder beliebigen Ziffer, 1, 2, ... 9 je nur eine Kurbelumdrehung erfordert, nachdem der Multiplikationszeiger auf diese Ziffer gestellt ist. Die vollkommenste Multiplikationsmaschine, die bis jetzt vorhanden ist, ist die von L. Bollee, die aber wegen ihres Preises für die gewöhnlichen Bedürfnisse der Praxis nicht in Betracht kommen kann.

Einen Überblick über das Gebiet der Rechenmaschinen und der sonstigen Instrumente und Apparate zum mechanischen und graphischen Ziffernrechnen bietet der Artikel „Numerisches Rechnen“ von Mehmke in der Enzyklopädie der mathematischen Wissenschaften, Bd. I., F. 1, Leipzig 1901, S. 938 —1079, kürzlich von D’Ocagne etwas ergänzt in die französische Ausgabe der Enzyklopädie übernommen (Encyclopedie etc. T. I, vol. 4, fase. 3, Paris 1909, S. 196 — 452); vgl. auch D’Ocagne, Le calcul simplifie par les procedes mecaniques et graphiques, 2. Aufi. Paris 1905, und zum Zahlenrechnen überhaupt noch: Lüroth, Vorträge über numerisches Rechnen, Leipzig 1900; Boccardi, Guide du Calculateur, Paris 1902, Bruns, Grundlinien des wissenschaftlichen Rechnens, Leipzig 1903.

Auf die Einrichtung der einzelnen Rechenmaschinen (Werkzeuge zur exakten Multiplikation) oder auch nur der großem mechanisch-logarithmischen Rechenhilfsmittel (Werkzeuge zur genäherten Multiplikation) hier einzugehen, verbietet der Raum; jede dieser Maschinen und sogar jedes der zuletzt genannten Werkzeuge erfordert zunächst ein eingehendes Studium, es ist mit wenigen die Einrichtung skizzierenden Worten, wie sie meist in den Lehrbüchern der praktischen Mathematik und praktischen Geometrie sich finden, doch nicht viel geleistet. Die Fabrikanten gehen den Maschinen ausführliche Beschreibungen und Gebrauchsanweisungen bei.

Dagegen ist hier noch einmal ein Wort beizufügen über die Stellung der Rechenmaschine, des gepriesnen alleinigen Rechenhilfsmittels des modernen praktischen Geometers, zu der logarithmisehen Rechenweise hei der uns beschäftigenden Aufgabe der Flächenberechnung. Bequem ist an der auch zur Multiplikation dienenden Additionsmaschine (die dann selbstverständlich auch zur Subtraktion und damit Division dient), daß bei der Aufgabe der Flächenberechnung die einzelnen Teilflächen nicht herausgeschrieben zu werden brauchen wie bei der logarithmischen Rechnung, werde sie in Ziffern oder mechanisch gemacht, daß man vielmehr die Bildung der einzelnen Produkte und ihre algebraische Summierung zusammen mit der Maschine machen kann. Solange aber für eine leistungsfähige Maschine der hohe Preis von 600—1000 Jt besteht, kann man nicht sagen, daß sie im Stand wäre, die Logarithmentafel und die mechanisch-logarithmischen Rechenhilfsmittel zu ersetzen. Wer ferner nicht tüchtig logarithmisch rechnen gelernt hat, befindet sich in übler Lage, sobald seine Maschine auch nur der kleinsten Reparatur bedarf, was nicht so selten der Fall ist. Im Geschäftsbetrieb des Vermessungswesens steht ferner der angeblich so viel großem und so viel mühelosem Arbeitsleistung mit der Rechenmaschine im Vergleich mit der logarithmischen Rechnung die Notwendigkeit der Abschreibung der Kosten der Rechenmaschine in einigen Jahren gegenüber, was bei Logarithmentafeln ganz wegfällt.

40. Aufgaben über Flächenteilung. Wie schon in der Einleitung dieses Kapitels erwähnt ist, können hier diese in gewissem Sinn wichtigsten Aufgaben des Feldmessers nur in einzelnen Beispielen behandelt werden.

1. Teilung eines Polygons durch gerade Linien, die von einem in Innern gegebnen Punkt ausgehen, in bestimmter Art. Gegeben z. B., Fig. 129, das Fünfeck (1) (2) (3) (4) (5), Punkt P und die Richtung PA, z. B. parallel zur Seite (1) (5). Man soll durch eine zweite Trennungslinie PX auf der obern Seite des Polygons die Fläche Q abschneiden. Man wird zunächst eine Aufnahme des Fünfecks machen, durch die auch der Punkt P gegen die Ecken festgelegt wird, am einfachsten auf PA (oder hier auch (1) (5)) als Aufnahmslinie. Man kann damit ausrechnen das Dreieck 4P(3); ferner ebenso (3)P(4), entweder aus den gemeßnen Koordinaten oder durch Messen der Seite (3) (4) und des Lots von P auf diese Seite. Ist die Summe der beiden Dreiecke AP(ß) und (3)P(4) noch < Q, aber derart, daß X auf (4) (5) fällt, so wird zunächst

gerechnet, womit sich

2 Qf

■ (2)

F auf (4) (5) ist. Damit kann

ergibt, wenn h die Länge des Lots von also der Punkt X einfach eingemessen werden.

Beispiel: Bas durch nebenstehenden Kreuzscheibenaufnahmshandriß Fig. 130 gegebne Fünfeck (1) (2) (3) (4) (5) soll von P aus in drei gleiche Teile zerlegt werden, wobei die erste Trennungslinie PA = P(l) sein soll, was als Aufnahmslinie benützt ist. Bei der Aufnahme sind auch alle Seiten gemessen, ferner die Lote auf (1) (2), (2) (3) und (4) (5). Es sind so zahlreiche Messungsproben vorhanden, die nachzusehen sind, auch für die drei Lote auf die Seiten (z. B. soll 13,36 • 20,87 = 18,79 • 14,84); die andern Proben sind früher mehrfach besprochen, z. B.soll 20,87 = )/l4,68² -\- 14,84². Man rechnet nun zunächst den Inhalt mit dem Ergebnis F — 406,8 <jm; damit ist

<2)‘

also Q = - = 135,6 cjm der Inhalt jedes der verlangten Teile. Für den ersten ge-

%(2)

suchten Punkt (P) erhält man unmittelbar 2 • 135,6 13,36

aus einzumessen durch (2)B — 0,57 m. Nun findet sich ferner

AB =

(3)

== 20,30 m oder (P) von (2)

•    (4)

(1)

As.

V-ü-

/\i \

& t\ \

_ -L _

\V,-

--K—-

■*23

(3)$ ^ $

A,

ÄT'

S.

(5)

(1)

(5)

VV *l‘g

Fig. 129.

Fig. 130.

=    7,6 <jm und

2 • PP (2) = 13,36 • 0,57 2 • P(2) (3) == 19,17 • 7,57 2 • P(3)(4) = 1,29 • 11,62 -|- 9,43 • 9,78 = 107,2 <jm (aus den Koordinaten)

-    145,1 cfm

259,9 <f 2Q = 271,2

2 Q = 11,3

somit Punkt (C) von (4) aus einzumessen durch

(4 ){0 =

= 1,39 m.

11,3 8,09

Man wird in ähnlichen Fällen nicht unterlassen, sich die Probe zu verschaffen: ist der Rest (C)(5)(1)P genügend gleich Q? Und zwar durch eine selbständige Aufnahme; die Messung gab mit A(G) als Aufnahmslinie A{G) — 30,59, Lot von P auf M(C) = 5,88, von (5) aus 2,97, also für das Restviereck 2 F= 30,59 • 8,85 = 270,7, F = 135,4 <jm statt 135,6 <jm, eine Übereinstimmung , wie sie bei unsern Messungswerkzeugen nur durch Zufall entstehen kann.

2. Aufgabe der sog. Parallelteilung. Eine sehr oft vorkommende Aufgabe ist folgende: Von der auf drei Seiten durch die geraden Grenzlinien MA, AB, BN umgrenzten Fläche, Fig. 131, soll durch die Parallele AU zu AB eine vorgeschriebne Fläche Q abgeschnitten werden.

ssto

|A

'X

■M

CC

y Q= 2500 cftn

91'tzA

■09,43 \

Fig. 181.

xrl

N t

Lösung a). Ist AB = a und sind die beiden indirekt (durch ihre tang oder ctg) bestimmten Winkel in A und B gleich a und ß, ferner die Länge der gesuchten Parallelen x und der Abstand, in dem sie zu legen ist, y, so hat man für die zwei Unbekannten x und y die zwei Gleichungen

x = a — y ctg a — y ctg ß = a — y (ctg a -f ctg ß) und

2 Q = (a + x)y.

Aus (1) folgt, um zunächst y zu eliminieren,

dga d- ctgß = °~X:

(1)

(2)

(3)

multipliziert man (2) mit (3), so wird

a² — x* = 2 Q (ctg a + ctg ß)

oder

(4)

x — Ya² — 2 Q{ctg a -f ctg ß) und damit nach (2) der Abstand der Parallelen

(5)

a-\- x

Man wird, um die Punkte X und Y bequem einzumessen, noch berechnen

(6)

AX= y ,

stn a ⁷

sin ß

Wenn die zwei durch A und B gehenden geraden Grenzen AM und BN parallel sind, so ist a + ß = 180°, ctga + ctgj3 = 0, x = a in (1) und nach (4), und damit ist für diesen speziellen Fall 2Q = 2ay oder Q = ay (Parallelogramm) 5 konvergieren die zwei Grenzen auf der Seite von a, auf der Q liegt, so ist ctg a -f ctg /S > 0 und x < a, konvergieren sie nach der andern Seite, so ist ctg a -f ctgß < 0 und x > a, wie in unserm Beispiel.

16,04 j 1-20 520 n 42,68    1 • 63 022

5000    3-69 897

254,65    2 - 40 595

ctg a

7,27

48,31

9 • 57 498 n 0'- 86 153 n 1 • 68 404

— 0,3758

y | 1 • 29 302

ctg ß

9 • 17 749 n —0,1505

Ohne Interp. der log sin- (sin a 9-97 13 Spalte zu entnehmen. \ sin ß 9 • 99 51

ctg ec 4- ctg ß — — 0,5263

a² == 122,16² = 14923 (Quadrattafel)

2 Q(ctga + ctg ß) =

2631

x³= 17554

x = 132,49 (Quadrattafel) a 4- x = 254,65, also y wie rechts oben zu rechnen.

AX 1 • 32 17 B Y j 1 • 29 79

Damit ergehen sich also die zur Absteckung erforderlichen Strecken

AX= 20,97 m,

y = 19,635

B Y = 19,86 m.

Die Rechnung ist also äußerst einfach, die Absteckung so bequem als möglich.

Lösung b). Immerhin müssen die Formeln (1) bis (6) entwickelt oder nachgesehen werden. Man wendet deshalb bei solchen Aufgaben oft das Verfahren des (rechnerischen) Versuchs an. Wenn die zwei

Seiten AM und BN parallel wären, so wäre y — ^ (s. oben); je mehr

diese Grenzlinien sich der parallelen Lage nähern, desto näher wird ctg a -\- ctg ß = 0, und desto näher wird also y gleich dem eben angegebnen Wert. Bei der praktischen Durchführung der Aufgabe entfernen sich nun in der Tat die Geraden AM und BN häufig nicht allzusehr von dieser Lage, man wird also für y einen Näherungswert

y' =

setzen können, wobei dieser Wert gleich etwas j wenn AM und BN gegen Q hin j

(7)

vergrößert

verkleinert

konvergieren i divergieren J.

J werden kann,

Da in unserm Beispiel der zweite Fall vorhanden ist, so setzen wir

(8)

y' =    — 20,00 statt 20,5.

Die mit diesem y' entstehende Länge der Parallelen x' können wir einfach ausrechnen; es wird

16,04-20,00 , 7,27-20,00 ~ 42,68

Die Ausrechnung mit dem Rechenschieber (C/D, damit das cm sicher richtig wird) gibt x' = 122,16 + 7,52 + 3,01 = 132,69.

(9)

(9)

x' = 122,16 4

48,31

Damit ergibt sich als Inhalt des Trapezes zwischen a und x' 122,16 -f- 132,69

(10)

Q'

. 20,00 = 10,00 • 254,85 = 2548,5 <jm.

Die Parallele x' liegt also, von a aus, zu weit außen, und zwar schneidet sie 48,5 <jm zu viel ab. Bei diesen wenigen <jm darf man von der Konvergenz von A M und B N -absehen, nämlich einfach so rechnen: y' muß um Ay verkürzt werden nach

(11)

womit y erhalten wird zu

48,5

132,7

= 0,37 m (schärfer 0,36s m),

(12)

y = 20,00 — 0,36₅ = 19,63₆ m,

genau wie in der obigen Lösung a), nur ist die hier angegebne einfacher. Auch die Berechnung von AX und B Y kann mit dem Rechenschieber ohne Tafel der trigonometrischen Funktionen gemacht werden. Es ist, nach dem binomischen Satz entwickelt,

16,04*

2 • 42,7

AM = j/42,68* -f 16,04* = 42,68 -f

e*

85,4

(13)

BN = j/48,31* -f- 7,27* = 48,31 -f-

yi!_₀

96,6

= 42,68 -f 3,02 — 0,11 = 45,59

= 48,31 -f 0,55 = 48,86

oder rechnet man sich diese Strecken mit der Quadrattafel aus, was Übereinstimmung auf 1

rechnung mit dem Rechenschieber nach 19,64 • 45,59

cm

ergibt. Die Strecken AX und BY findet man dann durch Proportions-

AX

(14)

42,68

19,64 -f-

2,91

BY =

19,64 • 48,86 48,31

= 19,64 4-

42,7

0,55

48,3

■ 19,64 = 19,63s -f 1,34 = 20,97

- • 19,64 = 19,63ß 4- 0,22₃ = 19,86

wie bei Lösung a.

3. versuche auf dem Feld. Die letzte Lösung 2 b) ist keine brauchbare Lösung im Sinn der theoretischen Planimetrie; solche rechnerische Lösungen durch Versuche sind aber im Sinn der praktischen Geometrie nicht nur nicht zu beanstanden, sondern häufig durchaus rationell. Man darf sogar in dieser Richtung noch weiter gehen und hei geeigneten Verhältnissen die Versuche auf dem Feld vornehmen. Wenn z. B. die Aufgabe lautet, das Viereck Fig. 120 durch eine Gerade zu halbieren, die auf (1)(2) senkrecht steht, so ist die Auflösung nach dem vorstehenden 2 b)-Verfahren sehr einfach, wobei der erste Versuch auf Grund eines Überschlags auf ww-Papier geschehen kann, auf das man den Handriß rasch genähert aufträgt.

Nimmt man nämlich, wenn XY die Trennungslinie ist (X auf (1)(2), Y auf (3) (4)), den Punkt X' mit der Abszisse (1)X= 33,00 m an, so kann man die zugehörige Ordinate X' Y' (_j_(l)(2)) ausrechnen:

7,14 32,62

Damit wird für den linken Teil des Vierecks (1) X' Y'(4)

2 0 = 23,08 • 15,46 -f 17,54 (23,08 -f- 26,92) = 356,8 -f 877,0 = 1233,8

(15)

(16)

oder

X' Y' = 23,08 -f

(33,00 — 15,46) oder 23,08 -f 3,84 = 26,92.

<p = 616,9 statt 629,8 <jm, also noch um 12,9 cfm zu klein.

= 0,48 m, also (1)X = 33,48 führt zum

13.9

26.9

Ziel, wie zweite Rechnung sofort zeigt: es wird damit XY=23,08 4

Rechtsverschiebung des Punkts X' um

18,02 32,62

= 23,08 4- 3,95 = 27,03 m und somit 2 Q = 356,2 -f 18,02 • 50,11 (oder mit 50,11

100    |    1    |    1 s

2 10 ‘ 100-'

•7,14

(17)

= 356,2 4- 901,0 4- 1,8 -f 0,2 = 1259,2 <jm (gegen soll 1259,6);

eine Veränderung von X um 1 cm ändert den Flächeninhalt schon um 0,01 • 27 = 0,27 <jm, man kann also nur (1)X = 33,49 statt 33,48 m nehmen.

In andern Fällen wird man aber gar nicht rechnen, sondern auf dem Feld probieren, z. B. bei der Aufgabe, das nebenstehende Viereck AB CD

iS

A'

Fig. 132.

(Fig. 132) durch eine von P ausgehende Linie PXY zu halbieren. Man wird höchstens auf dem Handriß (min-Papier) die Linie X' Y' so annehmen, daß der Forderung ungefähr genügt wird (geradezu Abzählen der 4 cpm-Felder des 2 mm Papiers) dann aber auf dem Feld die Gerade abstecken, X' und Y' einweisen, Y' anloten auf AB, Inhalt von AX'Y'D berechnen und danach X' Y' verschieben. Wahrscheinlich führt schon der zweite Versuch zum Ziel, und man kann fertig sein, bevor ein Ansatz für eine der möglichen rechnerischen Lösungen gemacht ist, sei es eine direkte oder Annäherungsrechnung.

4. Teilung „nach Seitenverhältnissen“. Darunter versteht man Aufgaben wie die folgende: Es soll z. B. das Viereck AB CD, Fig. 133, durch die Gerade X Y in bestimmtem Verhältnis m:n=l:p (so daß

ft

:Y ----

Fig. 134.

AX:XB =DY:YC Fig. 133.

p = 1 Halbierung bedeuten würde) geteilt werden, derart, daß auf A B und auf DG dasselbe „Seitenverhältnis“ vorhanden ist, d. h. daß

(18)

AX: XB = DY: YC

ist. Auch für diese Aufgabe gibt es einfache rechnerische Auflösungen; es ist aber wieder im allgemeinen einfacher, nach einem Überschlag im Handriß X' anzunehmen, womit Y' gemäß (18) zu rechnen und einzumessen ist. Man bestimmt dann die Fläche von AX'Y'D und verschiebt danach X'Y'.

Bei dem Sechseck ABCDEF, Fig. 134, das z. B. im Verhältnis 1:2 geteilt werden soll (Drittel an ABC, die zwei Drittel an DEF) wird bei der Teilung „nach Seitenverhältnissen“ verlangt, daß

(19)

AX.XF^BY: YE — CZ: ZD

wird und daß der Brechungspunkt Y auf der Geraden BE liegt. Mit der Annahme eines Punkts X' auf AF sind also auch die Punkte Y' auf BE und Z’ auf CD festgelegt. Man ermittelt die Fläche der ganzen Figur und des abgeschnittnen Teils, verschiebt danach; der zweite Versuch wird meist zum Ziel führen, wenn man die Länge der gebrochnen Strecke X' Y'Z' und die Wirkung einer Verschiebung von X' auf Z' beachtet.

Ähnlich bei dem Siebeneck ABCDEFG (Fig. 135), das durch XYZ1 halbiert werden soll, wobei Y anf BF, Z auf CF liegt und die Punkte X, Y, Z, T die Strecken AG, BF, CF, DE wieder im gleichen Verhältnis teilen sollen.

Solche Teilungen „nach“ oder „mit“ gleichen Seitenverhältnissen kommen vielfach bei landwirtschaftlichen Grundstücken in Betracht, treten aber auch bei Zerlegung städtischer Grundstücke auf.

5. Grenzverlegung, Grenzregelung. Es ist schon darauf hingewiesen, daß hier auf die außerordentlich vielseitigen Teilungsaufgaben der Praxis nicht näher eingegangen werden kann. Dagegen mag wenigstens noch ein Wort beigefügt sein über Grenzregelungsaufgaben. Es kommt vielfach vor, daß z. B., Fig. 136, die Grenzlinie ABCDEFG zwischen den

---------/X

Y/

g₂

uz

Fig. 136.

Fig. 135.

Grundstücken G₁ und 6r₂, ohne daß der Inhalt verändert werden soll, zu ersetzen ist durch eine einfachere, z. B. eine geradlinig verlaufende Grenze, an die noch eine weitre Anforderung gestellt wird. Sie soll beispielsweise

a)    von A ausgehen (iX);

b)    es soll YZ eine bestimmte Richtung haben, z. B. YZ _L GN stehen (sollte in der Figur näher gegen C und D gerückt sein), oder

c)    ebenso, nämlich parallel MN sein usf.

Bei allen solchen Aufgaben führt wieder der rationell angeordnete Versuch, am besten mit Zugrundlegung eines Plans oder wenigstens eines guten Handrisses, am schnellsten zur Lösung, indem meist nur eine einzige Verlegung der schon zu Beginn nahezu an richtige Stelle gelegten Linie erforderlich sein wird.

13

6. Bonitäten, Wertigkeit'sklassen. Endlich ist noch darauf aufmerksam zu machen, daß es sich bei Teilungsaufgaben und Grenzregelungsaufgaben vielfach nicht um reine Flächenaufgaben im Sinn der Planimetrie handelt, sondern um Flächen mit verschiednen Werten der Flächeneinheit, gleichsam Flächen mit verschiednen Gewichten. Solche verschiedne Wertigkeitsklassen kommen sowohl bei landwirtschaftlich benützten Grundstücken als auch z. B. bei städtischen Grundstücken (Bauplatz an der Hauptstraße im Vergleich mit Bauplatz für Hintergebäude u. dgl.) in Betracht. Durch diese verschiedne „Bonitierung“ werden Flächenteilungsund Grenzregelungsaufgaben dadurch weiter kompliziert in Beziehung auf rechnerische Lösungen, daß die Bonitätsklassengrenzen ganz anders verlaufen als die Grundstücksgrenzen, und man tut am besten, Versuchslösungen durchzuführen. Um aber wenigstens an einem Beispiel zu zeigen, daß selbstverständlich an sich diese Aufgaben bei einfachen Grenzlinien und Bonitierungsgrenzlinien der Berechnung zugänglich bleiben, Hammer: elementare praktische Geometrie.

mag folgende Aufgabe noch angeführt sein (Fig. 137): die gerade Grenzlinie AB, die mit den ebenfalls geraden Grenzen AM und BN die Winkel cc und ß einschließt (für uns zunächst mittelbar gemessen, nämlich durch ihre tang oder ctg, vgl. die Aufgabe 2.), soll durch eine ebenfalls geradlinige Grenze ersetzt werden, die von dem fest gegebnen Punkt F auf AM ausgeht {AF—e vorgeschrieben). Es sollen nun aber die Inhalte der Grundstücke Gx und Cr₂ nicht gleich bleiben, sondern es soll angenommen werden, daß der Wert der Flächeneinheit des Dreiecks AFG doppelt (im allgemeinen m-mal) so groß sei als der Wert derselben Flächeneinheit des Dreiecks

BEG. Hier fällt also die Bonitätsgrenze mit der seitherigen Grenzlinie AB zusammen, und es soll

A,

G,

A AFG =

* • A BEG (allgemein ~ AB EG)

■E

iy

c₂

fM

Fig. 137.

bei Festhaltung des Punkts F gemacht werden. Mit A B = a, AG — x, also BG = a — x, BE (Hauptmaß der Absteckung) = y, hat man also (bei dem Wertigkeitsverhältnis 2) für die zwei Unbekannten zunächst die Gleichung

2 cx sin a = (a — x)y sin ß'

(l)

(Dreiecksinhalt gleich ¹/₂ des Produkts aus zwei Seiten mal dem sin des Zwischenwinkels; j3'=180°—ß, in Beziehung auf den sin wäre gleichgültig, ob hier ß oder ß' steht, mit Rücksicht auf das Folgende ist aber ß' eingeführt; A links soll die Hälfte des As rechts werden). Fällt man von F und von E Lote auf a, so liest man in der Figur die Proportion ab:

(2)

x — e cos «

cc — x — y cos ß'

e sin u

y sin ß'

Aus (1) und (2) sind die zwei Unbekannten, besonders y zu bestimmen. Man erhält für x mit

(3)

lc — a — e cos cc -f- e sin cc ctg ß'

die quadratische Gleichung

(4)

x² 2hx — a² — 0.

Der allein brauchbare positive Wurzelwert liefert die Strecke AG und damit erhält man aus (1) auch y (vgl. zu dieser Aufgabe meine Trigonometrie, 3. Aufl. 1907, S. 308 und Anmerkung 68, S. 618).

41. Kurze Fehlerbetrachtung über Flächenberecbnung aus Messungs-zahlen. Die bisher allein behandelte Art der Flächenberechnung ist auf Längenmessungen gegründet, deren Fehler wir in 23. und ff. ziemlich ausführlich behandelt haben; dazu kommen bei der Kreuzscheibenaufnahme noch die Fehler der Lotfußpunkte (Abweichungen aus der Aufnahmslinie, wodurch der Anfangspunkt der Ordinate gefälscht wird; Fehler in der Lotrichtung, wodurch eine Abszisse unrichtig wird).

sind, so fallen die Strecken (Dreiecksseiten bei der Konstruktions-

1. Betrachten wir z. B. zunächst einen wichtigen regelmäßigen Fehler der Längenmessung in seiner Wirkung auf diese Flächenbestimmung, den Lattenfehler (Abweichung der Lattenlänge von der Solllänge). Wenn die Latten, mit denen die Strecken in unsrer Fläche gemessen werden, zu lang | zu kurz J

methode, Abszissen und Ordinaten bei der Aufnahme nach rechtwinkligen

Koordinaten)

| zu klein} { zu groß ]

aus, und es werden also die Flächen, die aus diesen

zu klein zu groß

weise, Fig. 138, ein Rechteck mit den Seiten a und b (richtige Längen) mit Latten gemessen, die um p v. H. zu lang sind. Statt der Strecken a, b, die

im Handriß stehen sollten, stehen dort Zahlen, die um ^ ihres Betrags klein sind, d. h. es ist im Handriß eingeschrieben

Messungszahlen berechnet werden, ebenfalls j

|. Es sei beispiels

zu

(i)

(a

ap

100

und

bp

100

statt a und b.

Statt der Fläche F=ab erhält man also nach den Handrißzahlen

(2)

r-a(l

Mg. 138.

eine kleine Zahl handeln kann,

Hier ist wieder, da es sich bei

das Quadrat von zu vernachlässigen gegen ^ (kleine Größe 2. Ord. gegen kleine Größe 1. Ord.), also zu setzen:

F'-ai{ 1    ^

Die Fläche fällt also in diesem Fall um 2p v. H. ihres Betrags zu klein aus (Volumina, wenn es sich um Messung des Inhalts von Körpern aus Strecken mit derselben Genauigkeit wie bei Flächen handeln könnte, was aber bei Erdkörpern u. dgl. Rauminhalten im Feld nicht zutrifft, würden um 3p v. H. ihres Betrags unrichtig werden). Diese Betrachtung fürs Rechteck gilt natürlich für die Messung jeder beliebigen Fläche mit um p°/₀ zu langen Latten.    Sind die    Latten z. B. um    ^öoö    ihres Betrags

zu lang, so sind die auf    Grund der    mit den Latten    gemeßnen Strecken

berechneten Flächen um Y₁₅₀₀ der Flächen zu klein. Läßt man also bis Fehler in der richtigen Länge der Latten usf. zu, so hätte es, von eigentlichen Messungsfehlern ganz abgesehen, schon aus diesem Grund allein keinen Sinn, eine Fläche von z. B. 1500 qpm schärfer als auf 1 qm anzugeben.

Allgemeiner. Sind bei einer Kreuzscheibenaufnahme die Abszissen mit Latten gemessen, die um

die um q°/Q zu lang sind,    so werden    die Flächen um    ^    ²    ihres Betrags

zu klein. Sind dagegen    die' Abszissenlatten um p    v. H.    zu kurz, die

Ordinatenlatten um q v. H. zu kurz, so sind die berechneten Flächen-

ihres Betrags zu erniedrigen; sind endlich die Abszissenlatten um p°/₀ zu lang, die Ordinatenlatten um q°/₀ zu kurz, so ist der berechneten Fläche    ^ires Belrags hinzuzufügen.

Sind z. B. die Abszissenlatten um ¹/₃

zu kurz, so bleiben infolge der scheinbaren Zusammendrückung

(3)

zu

V.

3000

zahlen um

um y

3000

P + 9.

100

100

J>%

nur um

100

zu

lang sind, die Ordinaten mit Latten,

000

zu

lang, die Ordinatenlatten

13

der Aufnahme in der Richtung der Abszissen und der ebensogroßen scheinbaren Dehnung in der Richtung der Ordinaten die Flächen richtig.

2. Nehmen wir nun an, man messe die Seiten eines Rechtecks a und b mit richtig langen Latten; die Messung von a und b ist aber auch in diesem Falle nicht fehlerfrei. Macht man in a den Fehler A a, in b den Fehler Ab (die natürlich positiv oder negativ sein können), so erhält man statt der Fläche F = ab die Fläche

(4)

F + AF = (a -f- Aa)(b + Ab)

oder mit Vernachlässigung der kleinen Größe 2. Ord. Aa-Ab gegen die Größen 1. Ord. a-Ab und b-Aa den Flächenfehler

AF = a - Ab -f- b - Aa

(&)

(der wieder positiv oder negativ oder 0 sein kann). Sind Aa und Ab nicht viel voneinander verschieden, ist dagegen a viel größer als b, so ist a-Ab viel größer als b-Aa. Man soll also bei wesentlich verschiedner Größe von Zahlenfaktoren, die in den Multiplikationen zur Flächenbestimmung aus Messungszahlen auftreten, die kurzen Strecken genauer messen als die langen. Wenn z. B. bei einem Rechteck mit den Seiten m die Seite 10in um lcm falsch gemessen wird, so ist der Flächenfehler (100 • 0,01)    = 1 cpn; wird dagegen die Seite 100 m um

3 cm falsch gemessen (dreimal soviel als in der kurzen Seite angenommen), so ist der Flächenfehler nur (10-0,03) = 0,3 cym, noch nicht ¹/s des Fehlers infolge des 3 mal kleinern Fehlers in der kurzen Seite. Das Beispiel zeigt nebenbei, daß es zweckmäßig ist, selbst bei nicht großen Flächen die Angabe der Fläche auf 1 cym abzurunden, wie schon mehrfach betont.

Hat man bei der Bestimmung der Fläche eines Rechtecks durch Messung seiner zwei Seiten a und b in der Länge a den mittlern Fehler + ma, in der kleinern Breite b den mittlern Fehler dz mh zu befürchten (vgl. die Einleitung über mittlere Fehler in 19.), so wäre der mittlere Flächenfehler, wenn der Längenfehler + ma allein vorhanden wäre,

= + b - m

—    a

100

und 10

(&')

})!

F,a

und der mittlere Flächenfehler, wenn der Breitenfehler + mb allein vorhanden wäre,

(5")

= ±a-mb.

Nun sind aber diese zwei mittlern Flächenfehler gleichzeitig zu befürchten (und sind unabhängig voneinander); sie setzen sich also wieder nach dem Satz (13) in 20., Anhäufungsgesetz mittlerer Fehler nach dem pvtha-goräischen Lehrsatz, zusammen zum

mittlern Gesamtflächenfehler mp = y(b - ma)² -f- {a - mb)².

F,b

(6)

Beispiel. In einem gut bezeichneten Rechteck mit den Seiten 50 und 30m ist bei Messung der Länge a — 50,00 m zu befürchten der m. F. ma = + 4 Betrag soll nicht nur den Längenmessungsfehler selbst, sondern auch die Unsicherheit über die Lage der Rechtecksseite auf dem Feld usf. mit umfassen), bei Messung

cm

(dieser

der Breite b = 30,00 m zu befürchten der m. F. mb — + 3 cm; für den mittlern Flächenfehler mF der Fläche 1500 <jm erhält man dann, wenn alles in m genommen wird,

mF* = (30 • 0,04)* -f (50 • 0,03)* = 1,44 + 2,25 = 3,69 (m⁴)

oder

(?)

nip — + 1,9 <^m, rund 2 <fm.

Auch hier zeigt sich wieder die Wirkung des Fehlers in der kürzern Seite beträchtlich größer als die Wirkung des (großem) Fehlers in der längern Seite.

mb

Je nach der Annahme für die Ausdrücke, die man über die mittlern Fehler ma und mb der Länge der Rechtecksseiten machen kann und will, z. B. ma = mb = m (Fehler konstant, unabhängig von der Länge); ma = k-a, = Jc-b, entsprechend einem proportional der Länge anzunehmenden (regelmäßigen) Fehler; ina = c]/a, mb = cYb (rein unregelmäßige Fehlerquellen);

ma

= Ycx a -f- c₂a², mb = jAq b + c₂fe² (Zusammenwirken nicht bekannter regelmäßiger Fehler mit den unregelmäßigen Fehlern); ma = f/c₀ -+- cx a -f- c₂ a², mb = ]/c₀ + c-Jj + c₂&²; kann man den m. F. mF der Fläche des Rechtecks in Funktion der Fläche F, der Formzahl des Rechtecks (Seitenverhältnis | = 3') und der Koeffizienten der Annahme für die m. F. der Längenmessung hei den Seiten a und b ausdrücken.

Legen wir z. B. die zuletzt angegebne Form für die m. F. der Seitenmessung

zugrund

(8)

mt = ]/c₀ -f-CiS + c,«*,

wobei c₀ dem konstanten Fehler, z. B. einer bestimmten Unsicherheit in der Bezeichnung der Endpunkte der Seiten, d. h. der Eckpunkte des Rechtecks, cts dem unregelmäßigen Fehler der Längenmessung, c₂s² dem regelmäßigen Fehler (im Sinn einer Unsicherheit z. B. über Länge des Meßwerkzeugs u. a. regelmäßig wirkender Fehlerquellen) entspricht. Die Zahlen c₀, c₁, c₂ unter der Wurzel sind lauter positive Koeffizienten, es sind Quadrate von m. F. Für mF² erhält man nach (6), mit Zugrundlegung des Ausdrucks (8):

(9)

m/ = b²(e₀ + cx a + c₂ a²) + a\c₀ -J- cx b -f c₂ fc²)

oder ausmultipliziert

= c₀ (a² -f- &²) cx a b (a -(- b) -f- 2 c₂ a²&².

Setzen wir ab = F ein und bezeichnen die Formzahl des Rechtecks (Seitenverhältnis)

ai    __

— q, also F ——, a = YqF wird, so wird der letzte Ausdruck:

mit q, sodaß

©■*1 a

<z’

(10)

y = co 2^    F + c, ~[/q • F~ + 2c₂ F².

Nehmen wir, um den Ausdruck zahlenmäßig zu übersehen, folgendes an (Längeneinheit Meter):

c₀ = 0,0001 (m. F. + 1

in der Lagebezeichnung der Eckpunkte oder des Anlegens der ersten Latte, entsprechend Lagebezeichnung der Eckpunkte durch Pflöcke); kommt zweimal, am Anfangs- und Endpunkt der Strecken, vor und sollte meist wesentlich größer angenommen werden (bei Bezeichnung der Punkte durch Marksteine z. B.), es geschieht hier nicht, da sonst c₀ bei kleiner Fläche die andern Fehler erdrückt.

cm

cx — 0,000009 (unregelmäßiger Fehler in der Längenmessung + 3 c₂ = 0,00000004 (z. B. der Unsicherheit + 1

mm

mm

in der Kenntnis der Länge

einer 5 m-Stange entsprechend; der Fehler wirkt proportional s), so erhält man für die zwei Formfälle <7 = 1 (Quadrat) und q = 10 (Rechteck mit dem Seitenverhältnis 10 : 1) die folgenden Zahlen, wobei in mp* alle drei Teile angegeben werden, um die Wirkung der verschiednen Größe und der verschiednen Form zu zeigen:

m/ = 0,002 4 0,00028 4 0,000008 = 0,00229 0,02 4 0,009    4 0,0008    = 0,0298

= 0,565 = 19,0 = 1105

mF = 4 0,048 <fm - 4 5 cj3m mF = 4 0,173 cfm = 4 0,2 cfm VIp = 4 0,75 Cfm = 4 0,8 cfm. VIp = 4 4,3 Cfm

mF⁼⁼ i ³²

2 __

VIF

<7 = 1 (Quadrat): F = 10 <fm F = 1 a =    100 cfm

= 10 (Rechteck, dessen Seiten sich wie 10:1 verhalten):

A = 10 Cfm.

1 a =

10 a =    1000    cfm.

1 Aa = 10000 (^m

10 Aa = 100000 cfm

100

Cfm

mF- = 0,0101 -J- 0,00090 -f 0,000008 = 0,0109 mF = 4 0,10 <,m == + 10 cf3m m/ = 0,101 + 0,0285 -f 0,0008    = 0,130

= 1,99 = 46,6 = 1800

mF - 4 0,36    = 4 9,4

Vlp = 4 1,41 cfm = 4 1,4 cfm VIp = 4 6,8 cfm VIp = 4 4:2,5 cfm

(Mit diesen Zahlen vergleiche man die Jordanschen unter andern Voraussetzungen über die m. F. der Längenmessung, Handbuch der Vermessungskunde, II. Bd., 7. Aufl. [Eggert], Stuttgart 1908, S. 112). Diese Zahlen beziehen sich nur auf Rechtecksmessung als den einfachsten Fall der Flächenmessung, und zwar auf die zwei Fälle: Seitenverhältnis = 1 (Quadrat) und Seitenverhältnis = 10 (sehr langgezognes Rechteck). Die Wirkung der ungünstigen Form des zweiten Falls springt beim Vergleich der Zahlen der zwei Tabellen, die sich auf dieselbe Rechtecksfläche beziehen, in die Augen. Die Längen der Seiten der Rechtecke in beiden Fällen sind in den folgenden Tabellen angegeben, in denen der mittlere Flächenfehler in relativer Form m F

—, ziemlich stark abgerundet, beigesetzt ist.

<7 = 1 (Quadrat)

vi „

-4=±

Seitenlänge

10

cfm.

100

cfm

10 a

1 Aa

10 Aa

1000 cfm 10000 cfm 100000

Cfm

b =    3,16 m

b =    10,00 m

& = 31,62 m

b — 100,0 in

6 = 316,2 m

1300 2 3 00

3000

— 0,5 % = 0,2 % = 0,08% = 0,04% = 0,03 %

»1

q = 10 (langgezognes Rechteck) Seitenlängen

10 cjm

100

1 a =

10 a =    1000 cfm

1 Aa -—    10000 cfm

10 Aa = 100000

Cfm

cfm

CI = 1000,0 m, b = 100,0 m

= 1,0%

280 = 0,4% = 0,14%

= 0,07 % 2300 = °,°4%

100

700

1600

Bei andern beliebig gestalteten polygonalen Flächen lassen sich solche Zahlen nicht festhalten. Es ist dabei auch zu bedenken, daß die oben beim Rechteck allein betrachteten Fehler der Längenmessung keineswegs die einzigen sind, diese auch zum Teil viel größere Koeffizienten verlangen; z. B. hat die Abweichung der Fußpunkte der Lote aus der Aufnahmslinie einen großem m. F. als + 1 cm, wie oben beim Rechteck angenommen, die Fehler in der Richtung der Lote fälschen selbst ganz kurze Abszissenabschnitte um mehrere kleinere Flächen relativ viel bedeutendere Fehler als große Flächen. Auf die außerordentliche Vielgestaltigkeit der Flächen, lang und schmal bis abgerundet, fast kreisförmig oder quadratisch, können ohnehin Vorschriften über die zulässigen Fehlergrenzen im Sinn der Katastermessung wenig oder keine Rücksicht nehmen. Diese Fehlergrenzen pflegt man, wie schon bei der Längenmessung angedeutet ist (vgl. Schluß von 2B.) gleich dem 3fachen oder 3 % fachen Betrag des m. F. zu setzen. Immerhin ist durch die vorstehende Untersuchung Aufschluß gegeben über die etwa anzunehmende Form des Ausdrucks für Flächenfehlergrenzen. Man begnügt sich meist mit Angabe der im äußersten Fall zulässigen Differenz zwischen zwei unabhängigen Bestimmungen derselben Fläche und mit einer der Formen:

usf. Sicher erhalten aber auch hier

cm

oder

d=yk₁F -j- k₂F² (z. B. Preußen, Bayern)

d — /q yF -f- \ F (z. B. Württemberg).

In Württemberg sind dabei wieder drei G eländeklassen, je nach der Schwierigkeit der Längenmessung unterschieden, genau wie bei dieser selbst, vgl. Schluß von 24. Im allgemeinen nehmen aber die Flächenfehlergrenzen-Vorschriften keine Rücksicht darauf, ob der Flächeninhalt aus den Messungszahlen (darauf bezieht sich allein die vorstehende Reehtecksuntersuchung) oder halbgraphisch oder reingraphisch-rechnerisch oder mechanisch-reingraphisch bei Mitbenützung oder alleiniger Benützung des Plans ausgeführt ist; wir werden diese vielen Arten der Flächenberechnung bald kennen lernen und erst danach sollen Angaben über die Koeffizienten der Gleichungen (11) gemacht werden. Nur um hier sogleich zu zeigen, wie vielmal größer die Differenzen d sind, bis zu denen die Katastervorschriften Abweichungen zwischen zwei unabhängigen Messungen derselben Fläche gestatten, als was wir bei der Rechtecks Untersuchung gefunden haben, seien die folgenden wenigen Zahlen angeführt.

10 a

Fläche

Preußen

Bayern

Planmaßstab 1 : 1250 (in andern Maßstäben andre Zahlen)

Württemberg Geländeklasse I (günstigste)

100

1000 lüa= 10000 10 Aa = 100000

-O -O

3 5 5?

8 cjm

25

79 <^m

am

283

6 <^m 20 am

63 am

207

tH

ID OS _£ _Ö

3 3 3 3

CO

co »o

42. Teilweise Benützung des Plans zur Flächenbereclinung von Grundstücken. Die bisher allein betrachtete Berechnung aller einzelnen Grundstücksflächen aus den Messungszahlen der Handrisse läßt sich fast nur dort durchführen, wo Grund und Boden sehr hohen Wert hat, wie in der Stadt; wenigstens sollte dort die eine der zwei unabhängigen Berechnungen, die für jede Grundstücksfläche ausgeführt werden sollen, unmittelbar auf die Messungszahlen sich gründen, die zweite kann aber auch hier „halbgraphisch“ d. h. mit teilweiser Benutzung des Plans oder „rein-

graphisch , nur auf den Plan sich gründend, gemacht werden; dabei ist hei den „reingraphischen“ Bestimmungen noch zu unterscheiden, oh noch Rechnung zu Hilfe genommen wird, d. h. die Flächenbestimmung auf im Plan gemessne Strecken sich gründet oder mechanisch verfahren wird, wie mit der Hyperbeltafel oder den Planimetern.

Ö4

bi

<• c,un^'n'C

Va4

Die sog. halbgraphische Flächenbestimmung kombiniert Strecken, die aus dem Plan mit Hilfe des Transversalmaßstabs (bei geringrer verlangter Genauigkeit auch mit dem Anlege- oder Kantenmaßstab, mit Glaskantenmaßstab oder Glastafel mit Parallellinien; bei großer verlangter Genauigkeit auch mit Hilfe von Koordinatometern (Coradi, Roll-koordinatometer, in kleiner billigerer Form dem „Detailkoordinatometer“, vgl. Fig. 109) abgelesen werden, mit Maßen, die direkt auf dem Feld erhoben werden. Nach der Fehlerberechnung der letzten Nummer ist nicht zweifelhaft, welche Maße weniger genau gebraucht werden d. h. aus dem Plan entnommen werden können, und welche Strecken direkt zu messen sind; die alte Regel lautet: lange Maße aus de in PI an, kleineMaße direkt auf dem Feld messen.

^3

"i.....

Diese Regel, die auch der raschesten Arbeit entspricht, werde nochmals durch Steinlinie Betrachtung des Rechtecks, Fig. 139, bestätigt; ist das Rechteck

a6 /

a2

ab = 100 m ■ 10 m = 1000 <jm

b₂

b₅

Fig. 139.

Fig. 140.

zu bestimmen und macht man in a den Fehler 0,2 m, während b richtig gemessen wird, so ist der Flächenfehler nur 10 • 0,2 = 2 <jm; würde dagegen a richtig gemessen, in b aber der nur halb so große Fehler 0,1 m gemacht, so wäre der Flächenfehler 100 m • 0,1 m = 10 cjm oder fünfmal größer als vorhin. Ein Fehler in b wird eben mit einer großen Zahl, ein Fehler in a mit einer kleinen Zahl multipliziert; also a aus dem Plan, b auf dem Feld messen.

natürliches Maß auf dem Plan,

bis zu etwa 12 oder 15

cm

cm

Langgestreckte Figuren der Grundstücke kommen bei kleinern Ackerparzellen sehr häufig vor (Folgen von Teilungen; Bestellung mit dem Pflug); bei Wiesen und besonders Waldstücken sind die Formen häufig der Flächenermittlung weniger ungünstig, doch kommen auch hier langgestreckte Formen vielfach vor, ebenso sind diese fast die Regel bei Weinbergen (schmale Streifen die ganze oder halbe Berghalde hinauf). Wenn solche Grundstücke halbgraphisch ermittelt werden sollen, so sind die Breiten, z. B. sog. Kopfmaße einer Steinlinienstrecke direkt zu messen, die Abmessungen ungefähr in der Richtung der langen Seiten können aus dem Plan genommen werden, der nicht einmal notwendig einen sehr großen Maßstab zu haben braucht. Zu beachten ist aber immerhin selbstverständlich, daß die Messung der Strecken a aus dem Plan um so genauer geschehen kann, je größer der Längenmaßstab 1 : M des Plans, d. h. je kleiner die Zahl M ist. Die Genauigkeit der Abmessung im Plan selbst ist bis zu einer gewissen Größe der Strecke auf dem Plan, z. B. von einigen

kaum von der Größe der Strecke abhängig. Nehmen wir z. B. als m. F. des Ab-

greifens einer Strecke aus dem (an sich als fehlerfrei vorausgesetzten) Plan mit Zirkel und Transversalmaßstab + 0,07 Tat etwa dem, was mit diesen Hilfsmitteln geleistet werden kann), so entspricht diesem Fehler eine Feldstrecke, die je nach dem Planmaßstab verschieden ist; die folgende Tabelle enthält einige Zahlen:

mm.

natürliches Maß an (die Zahl entspricht in der

Längenmaßst ab des Plans 1: M

Feld-Fehlerstrecke

1 : 250

(1)

1 : 500

1 :1000

Je größer der Längenmaßstab 1 : M des Plans, je kleiner die Zahl M ist, desto genauer kann man, gleiche Genauigkeit der Plandarstellung vorausgesetzt, die Strecke a aus dem Plan entnehmen. Mit dem Coradi-schen Koordinatometer kommt man über die angegebnen Zahlenwerte etwas hinaus. Stets ist der Maßstab, mit dem die Maße aus dem Plan genommen werden, mit den auf dem Plan in zwei zueinander senkrechten Rich-

+ 1,8

dh

± 7 + 14 ±17,5

cm

cm

cm

tungen vorhandnen Maßstäben (vgl. 35.) zu vergleichen, am einfachsten mit Hilfe der Netzmaschen der Koordinatenlinien, wenn solche auf dem Plan vorhanden sind. Zeigen diese sich von ihrer Sollänge abweichend (z. B. bei ursprünglich genau richtigen Maßen auf dem Plan und genauer Übereinstimmung des Maßstabs zum Abmessen oder Ablesen oder Abrollen mit dem Planmaßstab infolge des Papiereingangs, in verschiednen Richtungen verschieden) so muß die aus der Karte mit richtigem Maßstab abgelesne Strecke a erst auf ihre Sollänge a gebracht werden in der am Schluß von Nr. 36 angegebnen Art: Zuschlag Aa an a bei p % und q °/₀ Eingang des Papiers in den zwei Richtungen auf die sich a in die Strecken m und n projiziert:

1 :2000

1 : 2500

cm

cm

(2)

Die Messung der Polygone bei dieser „teilweisen Benützung des Plans“ (halbgraphisch) geschieht nun am besten so: das im Plan gezeichnete Viereck V, Fig. 140, wie es auch aufgenommen sein mag, wird durch die eine Diagonale in zwei Dreiecke zerlegt, deren kleine Seiten bx und b₂ (eben die „Kopfbreiten“) auf dem Feld gemessen werden (im allgemeinen schon bei der Aufnahme gemessen sein werden), während die zugehörigen Höhen dieser Dreiecke at und a₂ aus dem Plan abgestochen oder sonstwie im Plan abgemessen werden {a[, a* auf ihre richtige Lage gebracht falls das Planpapier nicht die richtigen Abmessungen beibehalten hat). Ist die nächstfolgende Grenzlinie des Grundstücks G in der mittlern „Steinlinie“ gebrochen, so ist mit den beiden Vierecken, in die das Fünfeck zerfällt, wie angegeben zu verfahren: 6₃, bi7 &₅ direkt auf dem Feld gemessen, as, a₄, a₆, a₆ aus dem Plan. Bei der Berechnung der Fläche nimmt man dann a₃ und a₆ zusammen, nämlich

2G = \(aä + a₆) + &₄a₄+ &₅a₅.

Dieses sog. Ralbgrapbische Verfahren, das in mannigfacher Art weiter ausgebildet werden kann, obwohl der obige Grundsatz der Arbeitsteilung stets bestehen bleibt, hat bei neuern Flächenberechnungen für Katastermessungen, Flächenberechnung und Neuverteilung der Flächen bei Feldbereinigungen und dgl. Arbeiten des Feldmessers Bedeutung erlangt. Voraussetzung seiner Anwendung ist, daß der benützte Plan in Beziehung auf die Genauigkeit seiner Herstellung und auf seinen Maßstab zum Ab-

greifen der a ausreicht. Wenn die direkt zu messenden b ziemlich klein sind, so hat, wie oben gezeigt, ein Fehler in a von 0,1 m und mehr nichts zu sagen. Der Verlust an Genauigkeit, der Berechnung aus Messungszahlen gegenüber, ist unter den genannten Voraussetzungen bei weitem nicht so groß als der erste Anblick vermuten läßt, in der Regel nicht merklich.

43. Graphische Berechnung von Flächen. Der „halbgraphischen“ Bestimmung steht die „reingraphische“ gegenüber, für die bei Grundstücks-fläcben durchaus der Plan in bestimmtem Längenmaßstab 1 : M maßgebend ist, bei sonstigen Flächenmessungen aus technischen Zeichnungen usf. die Zeichnung im Maßstab 1 : M. Wir haben bisher stets nur von der Berechnung polygonal begrenzter Flächen gesprochen, Grundstücken, bei denen dieser Fall in der Tat fast immer die Regel bildet; im folgenden sind auch Flächen mit ganz beliebigen Umgrenzungslinien zu betrachten. Man kann folgende Arten der „reingraphischen“ Flächenberechnung unterscheiden :

si\

■'-A

W'

/a

/,

/gNe g₂

Wh

A 's // h-

cN

Ch—

D \

Fig. 142. S₂

1. Polygonal begrenzte Flächen durch Abstechen der Maße aus dem Plan, die zur (möglichst einfachen) Berechnung notwendig sind; Ausführung der Berechnung in wesentlich derselben Art, als ob die abgestochnen oder abgelesnen Maße Feldmaße wären. Der Transversalmaßstab oder sonstige Maßstab, mit dem abgestochen oder abgelesen wird, muß mit dem Maßstab des Plans verglichen werden, vgl. die vorstehende Nr. und unten. Im übrigen ist das Verfahren nach dem früher über Messung polygonal begrenzter Flächen Gesagten kaum weiter zu beschreiben:

2mal Dreiecksfläche = Grundlinie X Höhe; und ganz ebenso bequem 2mal Vierecksfläche = Diagonale X Summe der zwei Höhen auf diese

Diagonale.

Es ist nach der letzten Regel durchaus nicht erforderlich, nur Dreieck für Dreieck zu bestimmen, vielmehr genügt es Vierecke herzustellen. Man kann z. B. das Viereck Fig. 141 so messen, daß die Diagonale BD = a und die Höhen B oder h" auf sie abgestochen werden. Am besten wird dabei BJD mit einer feinen Nadel, so sorgfältig als man zeichnen kann, vorgerissen; zum abstechen von 1% und h" braucht man die Lote selbst nicht zu ziehen: Man setzt die Zirkelspitze in A ein und schließt den Zirkel bis man mit der andern Spitze BD scharf berührt; ebenso bei h" von C aus. Man braucht nun aber allerdings Ji oder h

Fig. 141.

(ß’K

>F

nicht getrennt am Maßstab abzulesen; sondern kann sie mit dem Zirkel sorgfältig zusammenfügen, wozu vorher das Lot CE wenigstens genähert gezogen (Bleistift) und verlängert werden muß. Macht man CF = h' und öffnet nun den Zirkel von F aus bis E (wieder scharf an der gerissnen Linie BD berührend), so ist mit FE = h

(1)

2V=aJi.

Es gibt Vorrichtungen, Abschiebedreieck mit Anschlaglineal, die zwei zu einander senkrechte Teilungen 1 : M tragen, und an denen man a und h = h' -\- h" ohne Zirkel ablesen kann, ganz ähnlich wie wir bei den Auftrageapparaten für rechtwinklige Koordinaten (Kleinkoordinatographen) gesehen haben, vgl. 35. Schluß.

Das Sechseck AB CHEF in Fig. 142 ist in derselben Art als Summe zweier Vierecke abgemessen, ABEF und BCDE: Diagonale BF, Höhensumme von *Sj aus; Diagonale CE, Höhensumme von S₂ aus. Man kann sich sofort eine Messungsprobe für jedes Viereck verschaffen, indem man je auch die andre Diagonale und die Höhensumme auf sie abmißt.

2.    Sog. Verwandlungsmethode. Das in Fig. 142 auf G~₁ folgende Grundstück sei das Siebeneck mit den Ecken DEFKJHG. Um auch hier beim Abstechen mit zwei Vierecken auszureichen, das Abstechen zweier weitrer Maße zu ersparen, kann man durch sorgfältige Konstruktion „eine Ecke wegschaffen“, das Siebeneck in ein flächengleiches Sechseck verwandeln: zieht man GJ und durch H dazu die Parallele HL, endlich JL, so ist das Sechseck FEHLJK dem Siebeneck gleich. Es ist am besten sich auch hier der Nadelspitze zum reißen zu bedienen, Bleistift nur brauchbar, wenn sehr hart und äußerst fein geschärft.

Dieses „Verwandeln“ oder „Eckenwegschaffen“ ist in neuerer Zeit mehrfach angegriffen worden; sorgfältig ausgeführt erleichtert es aber die Arbeit sehr, ohne die mit dem Abstechen der Längenmaße aus dem Plan 1 : M überhaupt erreichbare Genauigkeit der Fläckenbestimmung zu beeinträchtigen. Man muß nur auf „gute Schnitte“ achten („schiefe“ Schnitte vermeiden, d. h. der Schnittwinkel der Parallelen zu JG durch H mit DG soll sich von 90° nicht weit entfernen, ferner soll die Parallele selbst nicht lang sein, wie HL, die Parallele darf nur einen Teil der Strecke lang sein, der parallel sie gezogen wird).

3.    Genauigkeit. Berücksichtigung des Papiereingangs. Daß die Genauigkeit bei dieser Methode geringer sein muß, als bei der Flächen-berechnung aus Messungszahlen, und selbst als bei der halb graphischen Methode, die wenigstens einen Teil der Maße auf dem Feld bestimmt, ist klar. Denn man arbeitet hier durchaus „vom kleinen ins große“, jeder Fehler in einer auf dem Plan 1 : M abgemessnen Strecke wird mit der Zahl M multipliziert; man kann auch aus Plänen sehr großen Maßstabs (mit kleinem M) die Strecken im allgemeinen nicht mit derselben Genauigkeit abstechen, mit der man sie auf dem Feld messen kann.

X 30

= 1200 <pm aus

XXX

WX

a) Planmaßstab. Daß dieser eine große, ja entscheidende Rolle spielt, ist nach dem eben Gesagten klar; und dies gilt ganz in derselben Weise für alle folgenden Methoden graphischer Flächenberechnung. Aus einem Plan kleinen Maßstabs kann mit keiner Methode eine feine Flächenbestimmung erhalten werden. Wenden wir wieder unsere Rechtecksbetrachtung an: es sei ein Rechteck von 40 dem Plan zu messen. Wir machen aber, in demselben Sinn (zu groß

oder zu klein) einen Fehler beim Abstechen der beiden Strecken von (natürliches Maß auf dem Plan) Y₁₀ mm; nehmen wir an, beide Strecken seien um dieses Maß zu groß abgemessen worden. Dieses 0,1 mm entspricht auf einem Plan

im Längenmaßstab 1: 250 einem Feldmaß von    mm

„ „ 1:1000 „

(2)

1000

₁₀ mm

= 2,5 cm=0,025

— 10 cm —0.10

m.

Wir bekommen also aus dem Plan 1: 250 statt 40 X 30 qm eine Fläche von 40,02₅ x 30,02ö - 1201,8 qm

(3)

(1 : 250)

(Ausrechnung im Kopf 40^ • 30^ = 40 • 30 -f- ^ • 30 -f ^ • 40, das letzte Glied (^)² kommt gegen die zwei vorhergehenden nicht in Betracht); aus dem Plan 1 : 1000 dagegen erhalten wir statt 40 • 30 qm eine Fläche von

40,1 X 30,1 = 1207 qm (ebenso rechnen).

(4)

(1 : 1000)

Der Fehler beträgt im ersten Fall, Plan im Längenmaßstab 1 : 250, 1,8 cp auf 1200 qm, im zweiten Fall, Plan im Längenmaßstab 1 : 1000, das vierfache. Im ersten Fall ist der Fehler re-

7 qm

latiT iS

auf 1200

qm,

== 0,0015 oder 0,15 v. H. der Fläche, im zweiten Fall ₁₂~ = 0,006

oder 0,6 v. H. der Fläche, das vierfache. Der Flächenfehler ist also der Maßstabsreziproken M direkt proportional (dem Längenmaßstab des Plans verkehrt proportional). Zu kleine Längenmaßstäbe des Plans sind für Flächenberechnung nicht brauchbar; in der Stadt sollte M nicht über 1000, besser aber nicht über 500 steigen, auf dem freien Land (große zusammenliegende Güter ausgenommen) nicht über 2000. Kleine Grundstücke können aus 1 : 2500 nicht mehr genügend gemessen werden; die Maßstabsgrenze für sie ist, auch für das freie Land, etwa 1 : 1250.

b) Papiereingang. Eine wichtige Fehlerquelle, die berücksichtigt werden muß, ist auch hier der schon mehrfach erwähnte veränderliche „Eingang“ des Papiers (vgl. 36.) besonders gedruckter, aber auch gezeichneter Pläne. Kur braucht man hier nicht etwa jedes einzelne ab-gelesne Maß a oder b auf seinen Sollwert zu bringen, wie in 42., wo solche Maße aus dem Plan mit direkt gemessnen zu kombinieren waren. Es genügt vielmehr, den Eingang des Papiers in zwei zu einander senkrechten Richtungen festzustellen, am einfachsten wieder mit Benützung eines Koordinatenmaschennetzes, wenn der Plan ein solches enthält oder wenn er wenigstens wie die ältern württembergischen Flurkartenabdrücke auf allen Seiten einen Rand von bekannter Sollänge bietet, an dem der Papiereingang wenigstens für die ganze Blattfläche nachgewiesen werden kann. Es ist besonders bequem, daß die Planmaßstäbe in den zwei Richtungen nur mit dem Maßstab verglichen zu werden brauchen, der zum Abstechen oder Ablesen der Maße a, h aus dem Plan dient, ohne daß es darauf ankäme, ob dieser Maßstab selbst richtig ist (absolut, in der ganzen Länge; er muß selbstverständlich aber richtig geteilt sein). Sind nämlich nach dem Maßstab, mit dem die Maße für F dem Plan entnommen werden, auf dem Plan in den zwei Hauptrichtungen die

vorhanden und ist F' die zunächst mit den am Maßstab abgelesnen Längen berechnete Fläche, so ist einfach F' um vergrößern, d. h. es ist

seines Betrags zu

100

(6)

F=F’ + F'-

100

zu setzen.

Ist z. B. an dem Koordinatenmaschennetz eines gedruckten Plans, angeblich in

in dem Plan)

1 :500, dessen Netzlinien 50 m Feldabstand (ohne Papiereingang 100 von einander haben, in der Gegend der zu bestimmenden Fläche an dem bei Ab-stechen der Maße der Fläche zu verwendenden Maßstab abgelesen worden:

mm

| 49,60 und 149,65 | 49,35 \ 49,36,

so daß also p = 0,75 °/₀, q = 1,30% ist, und sind ferner für ein zu bestimmendes Viereck mit diesem selben Maßstab abgestochen worden a = 37,7s, h'-\-li" = 21,0₆, so ist zunächst

Richtung N.— &, Entfernung zweier sich folgender Koordinatennetzpunkte

Richtung W. — O.,

F*= 37,75-21,05 (durch Zusammensetzung, 20 --f- 1 —j—

= 755,0 -f 37,7 -f 1,9 = 794,6 <fm.

Diese Fläche ist aber noch, ganz gleichgültig in welchen Richtungen zu den Koordinatennetzlinien die Strecken a und ~ti, h" auf dem Plan liegen, um

C0

(8)

(0,75 + 1,30)% = ^

ihres Betrags zu vergrößern, d. h. um größer zu machen, oder es ist

2,05

100

• 795 (Rechenschieber oder Kopf) == 16,3 m.

(9)

F = 794,6 -)- 16,3 = 811    = 8 a 11 <jtn.

4.    Mechanische Messung polygonal begrenzter Figuren (in Dreiecke oder Vierecke zerlegt) mit dem Instrument von Waue. Der Flächenmesser von Waue in Hannover (1905) zur unmittelbaren Ablesung von Dreiecks- und Vierecksflächen besteht aus einem rechteckigen Metallrahmen, in dessen zwei Seitenstücken ein Zelluloidstreifen mit Indexlinie parallel zur dritten Seite des Rechteckrahmens verschiebbar ist, während an dieser untern Fläche des Rahmens um einen zweiten Punkt ein Kantenmaßstab drehbar ist. Der Drehungspunkt ist durch Kreuzschnitt auf Glimmer bezeichnet, der in die eine Ecke des zu messenden Dreiecks zu bringen ist, während der angeklappte Kantenmaßstab mit der Dreiecksseite übereinstimmen muß. Däs Instrument beruht auf der mechanisch ausgeführten Verwandlung beliebiger Dreiecke in solche mit derselben konstanten runden Höhe, so daß in der halben Basis des verwandelten Dreiecks zugleich der Inhalt an dem Kantenmaßstab abgelesen werden kann. Für ein Viereck kann man mit einer Schlußablesung auskommen. Das Instrument ist hübsch erdacht, erfordert aber große Sorgfalt im Gebrauch, indem es wegen der dreimaligen Ablesung und Einstellung von Zahlen doch zu leicht Veranlassung zu Irrtümern gibt.

5.    Dieselbe Messung mit Kloths Hyperbeltafel. Ebenso leicht zu handhaben ist die über ein Jahrzehnt ältere Hyperbeltafel von Kloth, bestehend aus einer Schar gleichseitiger Hyperbeln oder zwei Scharen gleichseitiger Hyperbeln, deren

Äste aber wie in Fig. 143 gestellt sind statt in den Scheitelwinkeln des Koordinatensystems zu liegen. Die Hyperbeläste sind auf einer Glastafel oder einer Glimmertafel aufgetragen, deren Rand (Metall im zweiten Fall) scharf parallel zur einen Acbsen-ricbtung ist; meist sind sie durch Photographie auf diese Tafel gebracht, oft auch aufgeklebt, doch muß wie angedeutet, die Tafel gut durchsichtig bleiben. Die Glastafel oder der Metallrahmen ist an der Kante eines Lineals LL zu verschieben. Die Gleichung einer Schar gleichseitiger Hyperbeln ist

(10)

xy = p,

wobei dem Parameter p passende Werte für den Maßstab 1 : M gegeben werden: die Hyperbeln sind so dicht zu zeichnen, daß zwischen zwei benachbarten nach Augenmaß der Wert von p genügend interpoliert werden kann; man muß dazu an ver-schiednen Stellen der Hyperbelschar dem Intervall der p-Werte verschiedne Beträge geben. An jeden Kurvenast ist in leicht ablesbarer Weise der ihm zukommende Wert von p anzuschreiben. Legt man nun die Tafel so auf ein Dreieck ARG, daß zwei Ecken des Dreiecks, nämlich A und B in Fig. 143, auf den beiden Koordinatenachsen liegen und daß die Seite AC parallel zu einer Achse liegt, so liest man in dem y>-Wert, der an der dritten Ecke C des Dreiecks steht, den Dreiecksinhalt ab (oder den doppelten Inhalt; man wird aber hier die p-Werte so wählen,

jy

daß man sofort die einfachen Inhalte erhält). Um das Dreieck ABC in diese erforderliche Lage zu bringen, legt man die Hyperbeltafel erst so auf den Plan, daß A' im Anfang, A'C’ in der «-Achse liegt, in Lage I der Fig. 143 angedeutet, schlägt das Lineal LL an die Kante BB an und schiebt nun bei fest-gehaltnem Lineal die Tafel so weit herab, bis die Ecke B auf die «-Achse zu liegen kommt, (Lage II) und damit an C der Inhalt ablesbar wird.

'4/

;h

7a

V/,

Fig. 144.

Fig. 143.

6. Beliebig begrenzte Flächen im Plan. Zerlegung in Trapezstreifen von konstanter Breite. Parallelennetz, Harfenplanimeter, Fadenplanimeter.

Ein in den verschiedensten Formen ausführbarer und ausgeführter Gedanke ist der, die zu bestimmende, beliebig begrenzte und z. B. langgestreckte Fläche mit einer Schar von Parallelen in konstantem rundem Abstand zu überdecken. Die Fläche jedes der so gebildeten Trapezstreifen erhält man, indem man die „Mittellinie“, die gleich der halben Summe der zwei Endparallelen angenommen werden darf, mit dem konstanten Abstand der Parallelen multipliziert. Da dieser Abstand = 1 oder = 10 usf. augenommen sein wird, so handelt es sich also um Summierung der Trapezmittellinien. Um z. B. die schraffierte Fläche in Fig. 144 (vom Wasser

bedeckte Fläche eines Flüßchens auf einem Plan im Maßstab 1:2500) zu bestimmen, ist dieser Streifen mit einem Parallelennetz überlegt, dessen Individuen den Abstand 20 m Feldlänge voneinander haben (8 mm auf dem Papier) und es ist nun -f- h₂ +    -f- • • • zu messen. Ist auf einem

gewissen Teil der gesuchten Fläche AA = 274 m, so ist

F = 274 • 20 qm = 5480 qm = 54,8 a.

Das Verfahren ist, wie die Figur andeutet, besonders wertvoll für langgestreckte Figuren und dadurch, daß es gleichgültig ist, ob die Figur polygonal oder beliebig begrenzt ist. Die h wird man nicht einzeln ablesen, sondern in irgend einer Art mechanisch addieren, vgl. unten.

Sowohl in der Art der Herstellung der Parallellinien in dem konstanten runden Abstand a, wie in der Art der Abmessung und der Addition der Mittellinien h der Trapezstreifen ist die größte Mannigfaltigkeit der Ausführung dieser „Harfen“ möglich. Bei den alten Harfenplanimetern oder Fadenplanimetern waren die Parallellinien meist Fäden, die über einen rechteckigen Metallrahmen in genau gleichen Intervallen von z. B. 1

cm

zur

gespannt waren; vor Verwechslung verschiedner Fäden war man durch Zahlen auf dem Rahmen, oft auch durch verschiedne Farben der Fäden geschützt. Ist der Rahmen nicht starr, sondern in den Ecken des Rechtecks mit gleichen Gelenken versehen, so kann, was oft wünschenswert ist (wegen Papiereingang usf.) der konstante senkrechte Abstand zwischen den Fäden verändert und durch einen Zeiger ablesbar oder einstellbar gemacht werden. Manchen solchen Harfen, z. B. der Oldendorpschen waren besondere Addierzirkel zur Bildung der Zh beigegeben. Andre Streifenplanimeter sind nicht nur zur Herstellung der Ti bestimmt, sondern addieren sie auch gleich mechanisch durch eine Rolle, die um Strecken gleich den einzelnen Mittellinien weitergeführt wird; so ist z. B. das Mönkemöllersche Instrument eingerichtet (D. R. P. 78714), das bei nicht hohem Preis (65 Mk.) Flächenermittlung langgestreckter Figuren recht gutes leistet.

Auf eine besonclre Art von Anwendung dieses Prinzips für Flächenbestimmungen untergeordneter Genauigkeit für technische Zwecke ist hier noch einzugehen, auf die Berechnung von QuerprofilHächen.

Quer profile oder Querschnitte sind Darstellungen der Schnitte von Vertikalebenen mit der natürlichen Bodenoberfläche; wir werden im II. Abschnitt dieses Buches, Höhenmessungen, diese Querschnitte näher kennen lernen. Die Vertikalebenen der Querschnitte stehen senkrecht zur Richtung einer Aufnahmslinie, zur Richtung des „Längenprofils“; sie folgen sich in bestimmten Abständen von nach Bedarf 2, 5, 10, 20, 25 m und mehr voneinander. Die Schnitte werden stets „ohne Überhöhung“ (im Gegensatz zu Längenprofilen oder Längenschnitten) aufgetragen, in ihrer natürlichen Form. Der Maßstab ist in der Regel 1 :100, nur sehr ausgedehnte Querprofile (für Bahn- oder Kanalbauten u. dgl., über ganze Talebenen weg) werden auch im Maßstab 1 :200 aufgetragen. In diesen Vertikalschnitten, wenn sie zu irgendwelchem technischen Zweck, Abhebung eines Rückens zur Errichtung eines Gebäudes, Herstellung eines Verkehrswegs (Straße, Bahn, Kanal) aufgenommen sind, wird nun „projektiert“, es wird auch der Schnitt der Querprofilebenen mit der künftigen, künstlich herzustellenden, veränderten Erdoberfläche eingetragen. Die Abstände der Querprofilebene von einem gewissen Anfangspunkt der Längenzählung im Längsschnitt aus werden bei kleiner Erstreckung nach m, bei Straßen u. dgl. meist nach km und m, bei Bahnen nach km und m gezählt. Z. B. seien nun bei der Projektierung einer Straße in die eine der Aufnahmslinien (Zugseite von 692,45 m bis 780,80 m reichend) u. a. bei den Punkten ..., 7    00, 7 -)- 20, 7 -{- 40, 7 -|- 60, .. . Pflöcke geschlagen und

die Höben dieser Pflöcke seien sorgfältig bestimmt (z. B. bei 7 -f- 00 Pfl. H = 273,45, bei 7 -|— 20 Pfl. H = 274,01 . . .), es ist das „Längenprofil“ der Aufnahmslinien des Zugs hergestellt. In diesen Achspflöcken sind kurze Yertikalschnitte senkrecht zur Richtung des Längenprofils gelegt und diese in 1:100 aufgetragen (1 cm des Papiers = lm Feldlänge), neuerdings meist auf gutes 2

Linien stärker gezogen sind, früher auf Zeichenpapier; die Höhe einer bestimmten Horizontalen wird eingeschrieben, runde Meterhöhe, in einer cm-Linie im ersten Fall. Jeder der aufgenommenen Querschnitte der Geländeoberfläche wird so gezeichnet, daß die Achspflöcke in derselben Vertikalen liegen, vgl. die zwei Profile 7 -J- 00 und 7 -(- 20 in Fig. 146, wobei nur der Maßstab größer als hier gezeichnet zu denken ist. Die Höhen, z. B. Straßenrandhöhen oder dgl. für die künftige Straße, sind nun den anzunehmenden Steigungen gemäß zu rechnen; wie die „Achse“ des Straßenprojekts festgestellt wird, gehört ebenfalls nicht hierher, sie fällt nicht zusammen mit der Aufnahmslinie (diese ist ein Polygonzug, jene setzt sich aus geraden Stücken und Kreisbögen zusammen, aber auch in den geraden Stücken fällt Aufnahmslinie und künftige Achse nicht zusammen). Im Grundriß Fig. 145 ist ein Stück der künftigen Straßenachse angedeutet, von dem die Schnittpunkte mit den Querprofillinien in die zwei gezeichneten Profile 7 -f- 00 und 7 -f- 20 herübergetragen sind; ferner sind in diesen Querprofilen nun die Querschnitte mit der künftigen künstlichen Oberfläche gezeichnet. Es handelt sich nun Lageplan. Malsstab 1:1000. stets um Bestimmung der Volumina für „Einschnitt“ und Mg. 145.    „Auffüllung“ (Abtrag und Auftrag und andre ähnliche

Bezeichnungen) zwischen den einzelnen Querschnitten. Man macht, da jede andre Rechnungsart zu umständlich wäre, die Annahme, das Volum des Einschnittskörpers zwischen den Querschnitten I und II, deren Entfernung n ist (bei stark von der Aufnahmslinie abweichender Lage der Achse zu vergrößern oder zu verkleinern), sei

mm-

oder 1

mra

-Papier, auf dem die

7+60

7+40-

7 + 20

7+oo-

(11)

4-

cm-

ebenso das Volum des Auftragskörpers zwischen denselben Querschnitten

+*n

• h ii •

*Tn

Dabei bedeuten F^ F^ die „Einschnittsflächen“ in den Profilen I und II, Fund F^[ die „Auftragsflächen“ in denselben Profilen. Beim Bau einer Straße ist die Achse häufig so zu legen, daß innerhalb kurzer Strecken (verschieden je nach den Kosten, die aufgewendet werden dürfen) nicht mehr Einschnittsmaterial gewonnen wird, als man zur Auffüllung braucht, bei Bahnen muß diese Ausgleichsstrecke, wenn überhaupt in derselben Art wie bei der Straße hier noch auf Ausgleich zu sehen ist, viel länger sein, um so länger, je wichtiger die Bahn ist und je größere Erdmassen überhaupt transportiert werden dürfen. Für den Lageplan des künftigen Verkehrswegs, dessen Achse sich aus geraden Stücken und sie berührenden Kreisbögen zusammensetzt, sind nämlich bestimmte Vorschriften gegeben, besonders im Sinn eines sog. „Minimalhalbmessers“, unter den der Halbmesser der Kreisbögen nicht herabsinken darf.

(12)

Die Kubatur der Erdmassen (und hiernach die Verschiebung der Achse des Verkehrswegs im Lageplan und in den Querprofilen und Erneuerung der Kubaturrechnung) kommt nun also den Gleichungen (11) und (12) entsprechend, auf Flächenbestimmung in den Querprofilen hinaus, für die nur geringe Genauigkeit erforderlich ist (z. ß. von nur 0,1 <pm, also in der Querprofilzeichnung 1:100 10 cpnm in der einzelnen Einschnitts- oder Auffüllungsfläche), da die Formeln (11) und (12) doch Näherungsformeln sind. Diese Flächenberechnung ist hier mit zu behandeln; sie muß bei geringer verlangter Genauigkeit möglichst rasch vonstatten gehen. Das beste Mittel ist das der „Zirkeladdition der Mittel-ordinaten“, die in der Mitte zwischen je zwei cm-Linien des mm-Papiers

nur

klafcstab der Querprofile luoo.

7+o.

’floclc.

272

272

.KAufnahmslinie

7+20.

PCI,

lAifnahmslinie.

Fig. 146.

geboten sind. Da die Profile in 1:100 gezeichnet sind, so teilen die vertikalen cm-Linien des Papiers die zu berechnende Fläche in Streifen, die je lm (Feldlänge) breit sind. Sind die Querprofile auf Zeichenpapier aufgetragen, so befestigt man auf dem Zeichenpapier mit Heftstiften ein Stück Pauseleinwand mit farbigem 1 cm-Parallelennetz. Die Mittelordinaten der einzelnen Streifen werden (in jedem der zwei Fälle) nach Andeutung der Fig. 147 mechanisch mit dem Zirkel addiert, wobei, wie die Linien... unten in vier der lm-Streifen andeuten, eine unregelmäßig geformte Grenzlinie des Streifens oben oder unten nach Augenmaß ausgeglichen wird. Jede Zirkelöflhung, zuerst hx, dann (lix    dann (hx    hs)}...

cm

-Papier oder auf der cm-Parallelenschar der

mm

wird im folgenden Trapezstreifen unten angesetzt und das hier vorhandne h dazugenommen, zu der ersten Zirkelöffnung zu der zweiten hs, . . .; schließlich ist die Gesamtfläche bis einschließlich zu dem Streifen, dessen h noch dazu genommen ist, gleich so viel <jm, als die Zirkelöffnung enthält, also auf dem Pausleinwand sofort abzulesen. Bei großen Flächen, wo eine Zirkelöffnung bald nicht mehr ausreicht, kann man statt des Zirkels einen Papierstreifen nehmen, an dessen Kante die Ji folgeweise mit Bleistiftmarken mechanisch addiert werden.

14

Hammer: elementare praktische Geometrie.

Das Verfahren ist jedem andern Flächenmessungsverfahren für Querprofile überlegen und genügend genau, sollte deshalb allgemeiner angewandt werden, als es auch heute noch geschieht.

7. Beliebig begrenzte Flächen. Direkte Ablesung der Fläche an einem Quadratnetz von bekannter konstanter Maschengröße. Ein ferneres Verfahren zur Abmessung von Flächen aus dem Plan ist die Benutzung eines über den Plan gedeckten durchsichtigen Quadratmaschen-netzes, dessen Maschen einen bekannten runden Feldflächenwert haben, in einfacher Beziehung zum Maßstab 1: M des Plans stehend.

a///07.

&2Z2ZZ7S,

h,+tVh3

Fig. 147.

. Das Qnadratnetz ist für manche Zwecke mit genügender Genauigkeit einfach auf ein Stück Hornplatte, Gelatine, durchsichtiges Zelluloid, Pausleinwand aufzutragen. Wenn es sich z. B. darum handelt, das Einzugsgebiet (Niederschlagsfläche) eines bestimmten kleinen Wasserlaufs bis zu einem gewissen Punkt dieses Wasserlaufs aus einer topographischen Karte 1 : 25000 zu ermitteln, vielleicht nur mit der Genauigkeit von 1    so kann man, nachdem der Umfang des Gebiets G in die Karte

natürliches Maß) überdecken,

mm

eingezeichnet ist, das Kartenblatt mit einem Pausleinwandnetz mit Maschen = 1 <j&m (im Maßstab 1:25000 Seitenlänge jeder Masche 40 auf dem nun Quadrate, die ganz in G hineinfallen, einfach abgezählt werden, während in solchen Quadraten, die vom Kontur von G durchschnitten werden, auf 0,1 nach Augenmaß geschätzt wird. Man bezeichnet deshalb solche Quadratnetze wohl auch als Schätzquadrate oder Abschätzquadrate.

Die Quadratnetze entfalten ihren Nutzen besonders bei weniger genauen Flächenbestimmungen etwa von der angegebnen Art. Sie sind aber auch, in feiner Ausführung, z. B. in der Form kleiner, scharf in ein Glastäfelchen eingerissner qpm-m-Netze, großer Genauigkeit für kleine und kleinste Flächen fähig. Für solche sehr kleine Flächen von nur 20, 50, 100 qmm natürlichem Maß und mit unregelmäßiger Begrenzung gehören die Glas-Millimeterquadratnetze (Übersicht durch kräftigere oder anders gefärbte Linien in runden Abständen gewahrt) und Glas-Viertel-quadratmillimeternetze, selbstverständlich so auf den Plan oder die Zeichnung gelegt, daß die die Teilung tragende Fläche unmittelbar den Plan berührt, zu den feinsten Planimetern, die freilich nur eben für sehr kleine Flächen bequem sind. Ihr Vorteil besteht besonders auch darin, daß es für den Mechaniker verhältnismäßig einfach ist, solche mm-Linien und Kmm-Linien mit selir hoher Genauigkeit auf der kleinen Glastafel zu ziehen; auch als sehr enge Netze, z. B. für mikroskopische Messungen mit 500 und mehr Linien auf das mm, werden solche Netze mit großer Genauigkeit hergestellt. Es ist selbstverständlich, daß man für bestimmte Zwecke auch bei diesen Quadratnetzen für sehr kleine Flächen von den *wm- oder fvmm-Linien ahgehen kann, um für einen bekannten Maß -stab des Plans runde Flächeneinheiten zu erhalten; soll z. B. das kleinste Quadrat auf einer topographischen Karte in 1:25000 die Fläche 500 cpn vorstellen, so sind die Netzlinien in der Entfernung 0,894 mw voneinander zu ziehen.

8. Beliebig geformte Flächen aus Plänen und Zeichnungen mit Hilfe des Planimeters i. e. S.: Umfahrungsplanimeter). ImVor-stehenden ist schon mehrfach das Wort Planimeter, Flächenmesser gebraucht. Im engern Sinn bezeichnet man damit die sog. Umfahrungsplanimeter (im Gegensatz zu der Harfe oder dem Fadenplanimeter, dem Quadratnetzplanimeter usf.): die Fläche wird durch Umfahrung mit einem sog. Fahrstift ermittelt. Diese Umfahrungsplanimeter sind die wichtigsten Instrumente zur mechanischen Flächenbestimmung, die deshalb im folgenden eingehender zu betrachten sind.

von

Die Geschichte dieses Instruments geht schon auf über 100 Jahre zurück. Das Wetlische Planimeter (wie das ältere Hermannsche zur mechanischen Ermittlung von Flächen nach der Quadratur in rechtwinkligen Koordinaten f'ydx eingerichtet) gab zuerst das Mittel zur praktischen mechanischen Flächenermittlung; es wurde dem Astronomen Hansen, Gotha, verbessert (deshalb Wetli-Hansens Instrument) und um die Mitte des vorigen Jahrhunderts in guter Ausführung von dem Mechaniker Aus fei d in Gotha geliefert (ein Ex. in der geod. S. T. H. St., Preis etwa 200 Jt). Es war aber auf ziemlich kleine Flächen beschränkt und auch sein hoher Preis war der weitern Verbreitung hinderlich, es wurde deshalb aus der Praxis bald ganz verdrängt durch das von Prof. Amsler in Schaffhausen 1854 und 1855 konstruierte, 1856 zuerst öffentlich beschriebne „Polarplanimeter“. Zu diesem äußerst bequemen, einfachen und billigen Instrument, das fast gleichzeitig auch von Miller (später Miller von Hauenfels) in Leoben unabhängig von Amsler erfunden wurde, ist in den letzten Jahrzehnten durch Amsler sen. und jun. selbst, dann besonders unter den Händen von G. Coradi in Zürich eine ganze Reihe weiterer Konstruktionen hinzugekommen, die wesentlich dasselbe Prinzip benutzen, wenn sie auch z. T. anders eingerichtet sind (z. B. als sog. Kugelplanimeter). Auf andrem Prinzip beruhen endlich noch weitre neue Instrumente, besonders die Traktorienplanimeter.

44. Fortsetzung. Mechanische Flächenberechnung. Das Amsler-sche Polarplanimeter. Das Instrument besteht zunächst aus zwei Metallstangen, die in einem Gelenk Zusammenhängen und die wir zur bequemen Unterscheidung als Arm und als Stange bezeichnen wollen. Der Arm, dessen einer Endpunkt das Gelenk G ist, trägt am andern Endpunkt einen Nadeleinsatz, den Pol, der in der Ebene der zu bestimmenden Fläche F befestigt wird, wobei zur Sicherheit oft ein kleines Gewicht aufgelegt wird; die Stange, mit dem Arm in dem Gelenk G mit zur Ebene von F senkrechter Achse zusammenhängend, endigt in dem Fahrstift F, mit dem dem Umfang der zu bestimmenden Figur (vorstehend und in der Folge ebenfalls F genannt, was ja nicht zu Anständen führen kann) nach-

14*

(UuricTtf

SaHc7um*ncht

tt

Jtvlle

zufahren ist. Jenseits des Gelenks, vom Fahrstift aus gesehen, befindet sich an der Stange und zwar an einer besondern Hülse, durch die die Stange geschoben ist, die Rolle oder das Rad (Integrierrolle oder Integrierrad), mit kleinem Spurkranz versehen, von dem ein Punkt auf der Ebene von F sitzt. Diese Rolle dreht sich sehr leicht um eine in Spitzen an der Hülse gelagerte Welle, die parallel zur Stange liegt. Die Umdrehungen der Rolle werden gezählt an einem aus zwei Teilen bestehendem Zählwerk: die ganzen Umdrehungen werden an einer Zählscheibe abgelesen, die durch eine in ein Zahnrädchen auf ihrer Achse eingreifende Schraube ohne Ende auf der Welle der Rolle so gedreht wird, daß für je eine ganze Rollenumdrehung x/₁₀ des Umfangs der Zählscheibe am Ableseindex I vorbeigeht. Man kann also bis zu 10 ganzen Umdrehungen

Ämsler 'sch es Polarplanzmeier.

Grundriss.

FaJirsti/Y

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JvOe lonuM Index ll

JJiidex I

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jhi£riss.

y*i

Gelenk

Stange ev

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kn

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QlFa/troffo

Töl Y *

F.

Fig. 148.

direkt zählen, sind mehr vorhanden, so ist für 0 10, für 1 11 usf. zu lesen. Der zweite Teil des Zählwerks ist auf dem Rollenrand angebracht: dieser ist in 100 gleiche Teile zerlegt, durch einen an der Hülse angebrachten zweiten Index II (mit danehenliegendem kleinem Nonius) ablesbar; man benutzt den Nonius aber am besten gar nicht, sondern schätzt Y₁₀ eines Strichs des Rollenrands, so daß bis auf ¹/₁₀q₀ einer Rollenumdrehung abgelesen wird. Die Hauptteilstriche der 100-Teilung des Rollenrands sind meist mit den Zahlen 0 bis 10 versehen. Da das Zahnrädchen auf der Spindel der Zählscheibe etwas Spielraum haben muß, so steht nicht immer der Index I an der Zählscheibe scharf auf einer Zahl, wenn der Index II am Rollenrand auf 0 steht; es kann z. B. sein, daß der Index I noch zwischen 2 und 3 steht, sehr nahe bei 3, während am Index II schon, ... 085 abgelesen wird, die Ablesung heißt dann natürlich 3,085, nicht 2,085. Die besprochnen Teile des Instruments sind in der Fig. 148, z. T. halbschematisch dargestellt.

Beim Gebrauch ruht das Instrument mit folgenden drei Punkten auf der Ebene der zu bestimmenden Fläche F\ der sie enthaltende Plan ist am besten auf horizontalem Zeichentisch befestigt:

1.    Pol, auf der Ebene von F unverrückbar festgemacht;

2.    Fahrstift, stets in einem Punkt des Umfangs der zu messenden Fläche;

3.    Punkt des Spurkranzes der Rolle. Die Rollenwelle wird durch die Reibung des Rollenspurkranzes auf seiner Unterlage gedreht. Es ist beim Gebrauch des Instruments dafür zu sorgen, daß der Winkel zwischen Arm und Stange weder zu klein wird, d. h. der Fabrstift zu nahe beim Pol vorbei geht, noch daß jener Winkel sich zu sehr 180° nähert (dies ist schon durch die Ausführung des Instruments verhindert; trotz der Kröpfung am Arm läßt sich der Winkel nur bis zu etwa 160° vergrößern, die Nähe von 180° ist ausgeschlossen). In beiden Fällen wäre das Instrument zu wenig stabil unterstützt. Schon hier sei auf einige oft vorhandne be-sondre Einrichtungen hingewiesen. Der Rand der Integrierrolle wird oft statt aus Stahl aus Glas gemacht (besonders z. B. bei Instrumenten von Ott in Kempten). Neben dem Fahrstift, mit dem die Planlinien leicht aufgerissen werden, wird vielfach eine regulierbare „Stütze“ s angebracht, mit der man den Fahrstift etwas abheben kann, auch ein „Flügel“ zur bequemem Führung des Fahrstifts f, vgl. Fig. 148 a. Selten ist der Fahrstift

r-

Stange

JMt,

y-

Fahrstift

Gelenk.

Rolle U

b\ Arm

'//

Fig. 148 a.

Fig. 149.

Pol

durch ein von einem Ring gehaltenes Glasplättchen ersetzt mit auf der Unterseite eingeschnittenem Kreuz oder besser kleiner Kreismarke, über die eine Lupe gesetzt sein kann; die kleine Glasscheibe kann auch ersetzt sein durch eine plankonvexe Linse, auf deren unterer ebner Fläche die Fahrmarke eingeschnitten ist.

Der Gebrauch des Instruments ist folgender: Nachdem man sich überzeugt hat, daß man (unter Beachtung der oben angegebnen Regel über den Winkel zwischen Arm und Stange) von der gewählten Polstellung aus mit dem Fahrstift jeden Punkt des Konturs der zu bestimmenden Fläche erreichen kann, drückt man die Polnadel nochmals fest (Gewicht auflegen) setzt den Fahrstift in einen Punkt des Umfangs von F, liest den Stand des Zählwerks ab (ganze Umdrehungen an der Scheibe, die Tausendstel von Umdrehungen am Rollenrand), umfährt nun mit dem Fahrstift die Figur, genau ihrem Umfang folgend und genau bis zum Anfangspunkt zurück, liest den Stand des Zählwerks wieder ab und soll nun in der Differenz N der Ablesungen vor und nach der Umfahrung eine Zahl haben, aus der die mit dem Fahrstift umschriebne Fläche sich einfach ergibt.

Die Abmessungen des Instruments sollen in Zukunft stets folgendermaßen bezeichnet sein, Fig. 149: 1. Länge des Arms, Strecke Pol-Gelenk

sei &; 2. Länge der Stange, zwischen Gelenk und Fahrstift, sei a; 3. Entfernung zwischen Gelenk und Rollenrand sei c; 4. Umfang der Rolle sei u. Die Rolle ist in Fig. 149 einfach als Querstrich am Ende der Stange gezeichnet; wichtig ist nur, daß die Welle der Rolle genau parallel zur Stange a ist und sich möglichst leicht dreht. Yon diesen Abmessungen kann, wie Fig. 148 zeigt, in der Regel a verändert werden, während b meist, c und u stets unveränderlich sind; kleine billige Instrumente haben auch unveränderliches a.

Zu beachten ist, daß hei befestigtem Pol P und weil b konstant ist, das Gelenk G sich stets in irgend einem Punkt des Kreises P mit b als Halbmesser befindet. Zwei wesentlich verschiedene

um

Fälle für die Anwendung oder zunächst Theorie des Instruments entstehen aber, je nachdem bei Umfahrung der Figur mit dem Fahrstift das Gelenk

ft

F₂

Gz,-'

(X

ft

ft

G}

VR3

tr

dß

Fig. 150.

>Pol

Fig. 151.

Pol

einen bestimmten Bogen jenes Kreises b hin und zurück beschreibt oder ob das Gelenk dabei den ganzen Kreis b beschreibt.

Diesen beiden Fällen entsprechen offenbar folgende Lagen des Pols gegen die Figur:

I. Fall: Der Pol ist ein Punkt außerhalb der zu bestimmenden Fläche

(„Pol außerhalb“);

II. Fall: Der Pol ist ein Punkt im Innern dieser Fläche („Pol inner

halb“).

Die Theorie des Instruments hat davon auszugehen, daß man sich jede oo-kleine Bewegung des Fahrstifts in zwei Komponenten zerlegt denken kann, 1. eine oo-kleine Parallelverschiebung der Stange, die dadurch zustand kommt, daß das Gelenk sich auf dem Kreis b etwas verschiebt und die Stange, ohne ihre Richtung zu verändern, in die neue Lage übergeht, indem der Offnungswinkel Stange/Arm um den Winkel dß verändert wird, Fig. 150; der Fahrstift fährt von P₁ nach P₂, Gelenk kommt von G₁ nach G₂, Richtung von a nicht verändert, Winkel Arm/Stange um dß verkleinert. Die 2. Komponente ist eine Drehung der Stange allein um den in bestimmter Lage festgehaltnen Gelenkpunkt 6r₂; der Fahrstift

geht (Fig. 151) von F₂ nach P₃ (Rolle der Stange um a (eigentlich wieder als da zu Veränderung in der Lage des Arms Pft.

Wir wollen auch gleich die Umdrehungszahlen anschreiben, die die Rolle bei diesen beiden Elementarbewegungen des Fahrstifts macht:

1. Fahrstift von F₁ nach P₂ durch Parallelverschiebung der Stange, Versetzung des Gelenks auf dem Kreis b von (ft nach G₂, Fig. 150.

von P₂ nach P₃) durch Drehung denken) ohne irgendwelche

Man kann sich diese Bewegung der Stange abermals in zwei Komponenten zerlegt denken, (aber die Zerlegung nicht tatsächlich ausführen, da G auf dem Kreis b bleibt) nämlich zuerst in eine Verschiebung der Stange in ihrer eignen Lage FtGt so lange, bis F₁ in die senkrechte Projektion F[ von F₂ auf die Richtung F₁G₁ kommt; dabei dreht sich das Rad nicht, es gleitet, ohne sich zu drehen auf der Unterlage, da es in der Richtung seiner Welle verschoben zu denken ist. Nun erst kommt die Parallelversetzung der Stange aus dieser gedachten Lage F[G[B[ in die Lage F₂G₂B2 durch Versetzen senkrecht zu ihrer Richtung um den Betrag li des senkrechten Abstands der Lagen FlGl und F₂G₂ voneinander. Dabei dreht sich durch die Reibung auf dem Papier die Rolle offenbar so oft, als ihr Umfang in diesem senkrechten Abstand h enthalten ist. Wäre h = u, so

würde sich die Rolle genau einmal drehen, wäre h= , so würde die Rolle

eine halbe Umdrehung machen, allgemein ist Anzahl der Umdrehungen nt des Rads bei der Führung des Fahrstifts von F₁ nach F₂ ohne Richtungsveränderung der Stange:

(i)

»i

= -f- — Umdrehungen;

es ist -f beigesetzt, weil wir annehmen wollen, die Bezifferung auf dem Rollenrand und an der Zählscheibe sei derart, daß bei Versetzung der Rolle in der Richtung B^B₂ der Zählwerksstand zu nehme. Damit ist also auch gesagt, daß bei Fahrt des Fahrstifts von F₂ nach Ft (Rolle von B₂ nach Bx) das Vorzeichen — lauten würde. Es ist noch zu erwähnen, daß bei der gedachten Verschiebung der Stange in sich selbst, von F₁G₁B₁ nach F[G[B[ nur Gleiten des Rads eintreten würde, bei der Versetzung von F[G[B[ nach F₂G₂B₂ nur Rollen des Rads ein-tritt; bei der tatsächlichen Bewegung der Rolle von Bt nach B₂ ist gleichzeitiges Gleiten und Rollen des Rads vorhanden.

CC

2. Fahrstift von F₂ nach Fz, Rolle von B₂ nach B₃, Fig. 151, durch Drehen der Stange allein um den Winkel a bei festgehaltnem Punkt G₂. Hierbei tritt wieder reines Rollen des Rads ein und zwar dreht es sich so oft, als in dem Bogen, den der Rollenrandpunkt auf dem Papier zurücklegt (dem sog. auf den Rollenrand aufgewickelten oder von ihm abgewickelten Bogen), der Umfang u der Rolle enthalten ist; wäre dieser Bogen B₂B₃, mit dem Halbmesser c, gleich dem Rollenumfang u, so würde sich die Rolle einmal drehen usf. Die Umdrehungszahl beträgt also, da die Bogenlänge B₂B₃ = c • a ist (a in analytischem Maß genommen,

V ~ 9‘

n₂ — — -Umdrehungen;

d. h. wenn es in Gradmaß gegeben ist, a =

(2) es ist — beizusetzen, weil der Drehungssinn entgegen dem oben als + festgesetzten ist.

Bemerkt sei hier auch noch das Folgende: Fährt man, Fig. 152, mit dem Fahrstift F auf einem Kreisbogen, dessen Mittelpunkt der Pol ist, so ist die aus Gleiten und Drehung kombinierte Bewegung der Rolle, deren Berührungspunkt mit dem Papier dann ebenfalls einen gewissen Kreis um P beschreibt, gleichförmig, da der Winkel y zwischen Stange und Arm hei Bewegung des Fahrstifts auf demselben solchen Kreisbogen konstant bleibt. Dieser Winkel y, Fig. 152, ist z. B. = y, wenn der Fahrstift auf dem Kreis K' geführt wird, oder = y'\ wenn der Fahrstift auf dem Kreis K" fährt.

Reine Drehung der Rolle ohne Gleiten wäre für die Bewegung des Fahrstifts auf einem Kreis um P nur dann möglich, wenn Stange und Arm den Winkel 0° oder 180° bilden würden, was aber konstruktiv nicht möglich ist. Dagegen ist reines Gleiten der Rolle ohne Drehung möglich: unter den Kreisen K um den Pol P ist einer so gelegen, daß, wenn der Fahrstift auf ihm geführt wird, die Erweiterung der Ebene des Rollenrands stets durch den Pol geht; es ist der in der Figur mit K₀ bezeichnete Kreis, der entsprechende Öffnungswinkel Arm/Stange ist mit y₀ bezeichnet (y" ]> y₀ )> y', wenn K" außerhalb, K' innerhalb von K₀ liegt). Wird der Fahrstift auf K₀ geführt, so bewegt sich bei jedem Bogenelement, das F zurücklegt, die Rolle um ein Element des von ihr beschriebenen Kreises um P, das in der Richtung der Stange oder Rollenwelle senkrecht zur Ebene des Rollenrandes liegt und die Rolle dreht sich also nicht. Beliebiges Fahren mit dem Fahrstift auf dem „Grundkreis“ K₀ erteilt demnach der Rolle keine Drehung; liegt K" außerhalb, K' innerhalb von K₀, so dreht sich die Rolle beim Befahren des einen dieser beiden Kreise um so stärker, je größer der Halbmesserunterschied gegen K₀ ist und zwar für K" und K' in entgegengesetztem Sinn. Wir brauchen diesen „Grundkreis“ K₀

für unsre nächste Betrachtung nicht; es ist aber doch für die Anschauung nützlich, schon hier auf das Befahren von Kreisen K", K₀, K' (mit P als Mittelpunkt) mit dem Fahrstift hinzuweisen.

Ko

IC",'.'

a-

U'

90°,

To\b

-y.

m

W: a

dh

’P

<A.

da

"U:

Fig. 152.

Pol

Fig. 153.

I. Fall: Pol außerhalb der zu bestimmenden Fläche. Wir denken uns nun, Fig. 153, eine Fläche F, deren Kontur den Pol nicht umschließt. Dem Stand des Fahrstifts in jedem bestimmten Punkt Hr des Umfangs dieser Fläche entspricht ein ganz bestimmter Punkt H des Kreises b um P, in dem sich das Gelenk befindet. Diesen zu einem beliebigen Punkt Hr des Umfangs von F gehörigen Punkt H des Kreises b um P, auf dem stets Gr sich befindet, erhält man, indem man von H' diesen Kreis mit der Strecke a einschneidet. Die Punkte H können aber offenbar in unserm Fall „Pol außerhalb“ nicht an jeder beliebigen Stelle des Kreises b liegen; es gibt vielmehr zwei extreme Lagen A'A und F'F der Stange, über die hinaus nach der einen und andern Richtung die Stange nicht gelangt, wenn der Fahrstift den ganzen Umfang von F durchfährt; bei dieser „Umfahrung“ von F nimmt das Gelenk jeden Punkt des Bogens AE (Anfangs- und Endpunkt eines bestimmten Bogens des Kreises b) zweimal ein, das Gelenk bewegt sich auf einem bestimmten begrenzten Bogen AE des Kreises b hin und zurück. Dabei ist ganz gleichgültig, ob die Umfahrung von F gerade in Ä (Gelenk in A) begonnen und beendigt wird. Fängt man z. B. in H' mit der Umfahrung an (Gelenk in H) und fährt im Uhrzeigersinn (Pfeil), so bewegt sich das Gelenk zunächst von H bis A, während der Fahrstift auf dem Weg II bis A' kommt; macht der Fahrstift den Weg I von A' bis E', so geht das Gelenk von A bis E, geht endlich der Fahrstift wieder auf II von E' bis PF, so geht der Gelenkpunkt wieder von E bis H zurück. Der Bogen AE wird also vom Gelenkpunkt in der Tat zweimal zurückgelegt, genau einmal hin und einmal zurück, wo auch die Umfahrung von F mit dem Fahrstift begonnen und wieder beendigt wird.

Denken wir uns nun wieder jede Elementarbewegung des Fahrstifts in die oben betrachteten zwei Komponenten zerlegt, z. B. 1. A₁A₂ Parallelverschiebung der Stange durch Verschiebung des Gelenks von G1 nach G₂, Drehung des Arms um dß im Pol, 2. A₂A₃ Drehung der Stange allein um den Winkel da, bei festgehaltnem Gelenkpunkt G₂, so hat man:

(3)

1. AXA₂, Drehungszahl der Rolle nach (1) n₁ = -j- ^ Umdrehungen

c ■ da

2. A₂A₃;

„    (2) n₂ = -

Ist man im Uhrzeigersinn, auf I, von A' nach E' mit dem Fahrstift gekommen, so sind die dh und die n₁ stets ebenso die dß, die sich zu dem Betrag ß des Zentriwinkels APE addiert haben. Die da sind alle aber ihnen entsprechen durchaus negative n₂, so lange man auf I, von A' nach E' im Uhrzeigersinn fährt. Auch die Summe dieser da, der Wert Eda ist ein bestimmter Winkel a, um den der Winkel y zwischen Arm und Stange sich verändert hat zwischen dem Anfangswert y und dem End-Fährt man nun aber weiter, von E' aus um die Figur vollends

wert

herum, d. h. auf II von E' nach Ä zurück mit dem Fahrstift, wobei der Gelenkpunkt wieder von E nach A zurückkommt, so verschwindet ß wieder und auch die E der hierbei auftretenden (— da) ist absolut genau so groß wie die Summe A(+ da), da ja das Instrument in seine Anfangslage PAA' zurückkehrt, Arm und Stange nach der ganzen Umfahrung genau dieselbe Lage haben, wie zu Beginn. Im ganzen ist also für die einmalige vollständige Umfahrung von F, und zwar gleichgültig, wo diese begonnen wird, sowohl

yE-

(4)

Edß = 0 als auch Eda = 0.

Bei dieser ganzen Umfahrung hat aber nach (3) die Rolle die folgende Umdrehungszahl N gemacht (V = Endablesung minus Anfangsablesung am Zähl werk):

nr x-i ,    v-,    -^dh ,    „—e ■ da

N = Enx + En₂ = E— + E-— •

Da gemäß (4) Eda — 0 ist, so fällt das letzte Glied weg und es bleibt

(5)

(6)

dh

ihre Summe ist aber nicht Null. Die dh

Diese dh sind nun, nach unsrer Voraussetzung über das Zeichen -f der Rollen drehung, z. T. -f, z. T.

sind -h 7 s0 lange der Fahrstift auf I von Ä gegen E' hin fährt,

, wenn

der Fahrstift auf dem Weg II von E' gegen Ä zurück ist. Ferner ist die mit dem Fahrstift umschriebne Fläche F die algebraische Summe der oo-schmalen (Höhen dh) Parallelogramme A₁G₁6r₂A₂; algebraische Summe aus dem angegebnen Grund (yerschiedne Vorzeichen der dh). D. h. es wird

(7)

oder

E'

P = absol. 2adh (Weg I)

A'

absol. Nadh (Weg II),

<7)

F = Nadh.

(8)

Multipliziert man in (6) mit der Konstanten au durch, so wird N• au = au • U— = Nadh

(7) und (8): F = N- au.

oder durch Vergleichung von

(9)

Fall:

Diese wichtigste „Planimetergleichung“, die aber nur für den betrachteten Pol außerhalb“ gilt (Gelenk auf einem bestimmten Bogen AE des ^-Kreises hin und zurück) sagt: Fläche der Rollenumdrehungszahl proportional. Genauer: die mit dem Fahrstift des Polarplanimeters bei Pol außerhalb der Figur umschriebne Fläche ist gleich Anzahl der sich am Schluß der Umfahrung zeigenden, bei dieser entstandnen Rollenumdrehungen multipliziert mit der Konstanten au. In dieser Konstanten au, Produkt aus Länge der Stange und Umfang der Integrierrolle, als Flächeneinheit mißt das Planimeter die Flächen. Man sagt wohl auch, die umfahrne Fläche sei das Produkt aus der Stangenlänge a und dem vom Rollenrand abgewickelten Bogen Nu (wobei zu beachten ist, daß es sich in N nur um die Differenz zwischen Endablesung und Anfangsablesung des Zählwerks handelt, wenn rechts [Uhrzeigersinn] um die Fläche gefahren ist; die Umdrehungen der Rolle oder die „abgewickelten Bögen“ dagegen, die sich gegenseitig wieder aufgehoben haben, kommen nicht in Betracht).

Höchst wichtig ist in Gleichung (9), Pol außerhalb, daß von den Abmessungen des Instruments weder b noch c in der Gleichung Vorkommen, vielmehr nur die Länge der Stange und der Umfang der Rolle. Es ist für diesen Fall gleichgültig, wie lang der Arm b ist und wo an der Stange sich die Rolle befindet. Ja, die Betrachtung, die zu (9) geführt hat, bleibt offenbar genau dieselbe, wenn der Bogen AE gar kein Kreisbogen, sondern der Bogen einer beliebigen Kurve ist, die das Gelenk nur nie verlassen darf, sondern genau einmal hin und her zurücklegen muß. Da es aber am einfachsten ist, diese gezwungne Führung des Gelenks auf einen Kreisbogen, mit ganz beliebiger Armlänge b um einen festen Punkt P zu legen, so ist die Einrichtung des „Polar“plani-meters in der oben angegebnen Art die einfachste. Sichere Hin- und

Herführung des Gelenks auf einer Geraden (6 = oo) ist übrigens ebenfalls möglich, ygl. Nr. 46.

> »

betrachten. Hier nimmt, Fig. 154, wenn man mit dem Fahrstift den Kontur der Fläche F von einem Punkt i aus bis zu diesem Punkt zurück durch

II. Fall: Pol innerhalb der zu bestimmenden Figur. Der vorstehende Fall ist der wichtigste schon deshalb, weil man bei ihm nur von zwei Abmessungen des Instruments, a und Rollendurchmesser u abhängt. Wir wollen aber trotzdem den II. Fall. „Pol innerhalb“ ebenfalls gleich

fährt, das Gelenk folgeweise jeden Punkt des Kreises &, (nicht nur eines bestimmten Bogens und zwar zweimal) im allgemeinen einmal ein, bis der Gelenkpunkt wieder nach Gzurückgekehrt ist. Schreiben wir die Radumdrehungszahlen für dieselben differentiellen Bewegungen des Fahrstifts . / a __—

dß^°Pol.

Fig. 154.

Gx auf Kreis der zweite durchDrehung der Stange allein um den festgehaltenen Gelenkpunkt G₁ um den Winkel da. Es ist genau wie oben:

1. Weg des Fahrstifts AA₁; Rollenumdrehungszahl = -f-

(10)

AiH₂;

Nach Vollendung der Umfahrung, Rückkehr des Fahrstifts nach A

ist also:

(U)

dh

d v.

N = Znx + Zn₂ = Z —--cZ--

Hier ist nun aber, im Gegensatz zum vorigen Fall, Zda nicht = 0, sondern diese Summe beträgt offenbar

(12)

ZI da = 2    (in analyt. Maß),

ebenso wie auch Zdß = 360° (in Gradmaß) geworden ist bei Rückkehr des Fahrstifts auf den Anfangspunkt der Umfahrung. Damit geht (11) über in:

(13)

dli

N= 2 — -

2 TtC

Die mit dem Fahrstift umschriebne Fläche F setzt sich diesmal zusammen

1.    aus der UP, der Summe der oo-schmalen Parallelogramme mit der Seite (Grundlinie) a und der Höhe dh, so daß ist UP = Uadh = a • Udh-,

2.    aus der US, der Summe der oo-kleinen Sektoren Ax G₁A? mit Kreishalbmesser a und Zentriwinkel da. Da Uda = 2n ist, so ist diese Summe gleich der Fläche eines Kreises rom Halbmesser a, d. h. US = ita²;

3.    endlich ist aber noch der Kreis b, den Gr vollständig zurückgelegt hat, in der Fläche F enthalten, Fläche itb². Im ganzen ist also

(14)

F = Uadh -f ita² -f xb².

Multipliziert man wieder, wie heim Fall I, die Gleichung (13) mit der Konstanten au durch, so wird

(15)

Nau = Uadh — 2?tac

und durch Vergleichung von (14) mit (15) findet sich F = Nau + n(a² -f b² -f- 2ac)

(16)

oder

(17)

F = Nau + C;

wobei der Wert dieser Konstanten C in (17) ist C = %{a² -f- b² -j- 2ac). Es ist also nun nicht mehr wie bei Pol außerhalb die mit dem Fahrstift umschriebne Fläche F der Rollenumdrehungszahl N proportional, sondern (F minus einer gewissen Konstanten C) oder (Konstante C — Fläche F) ist dem N proportional. Die Fläche F hängt nicht mehr außer von der Rollenumdrehungszakl N nur von den Abmessungen a und u des Instruments ab, wie in (9), Pol außerhalb, sondern alle Abmessungen des Instruments, auch b und c kommen in der Konstanten C vor. Es ist selbstverständlich, daß auch in (17) für N wieder nur die dauernden Umdrehungen der Rolle in Betracht kommen, dagegen diejenigen nicht, die sich gegenseitig aufgehoben haben; es ist eben wieder N = Zählwerksstand nach minus Zählwerksstand vor der Umfahrung oder umgekehrt.

Bedeutung von C. Wir haben schon oben beim I. Fall das Fahren mit dem Fahrstift auf einem Kreis K₀ um P als Mittelpunkt betrachtet (Fig. 152 und zugehöriger Text), der als Grundkreis bezeichnet wurde und bei dessen Befahrung mit dem Fahrstift die Rolle sich nicht dreht,

nur gleitet. Bei der Umfahrung dieses Kreises wäre also N = 0 und die "Fläche dieses „Grundkreises“ muß nach der Gleichung (17) der Wert der Konstanten C sein. Dies vrird durch (16) bestätigt. Der Halbmesser des Grundkreises K₀ ist in Fig. 152 so definiert worden, daß er entsteht, Pol wenn die Ebene des Rollenkranzes durch den Pol geht, mit andern Worten, wenn b sich auf die Richtung der Stange a genau in die Strecke c projiziert Fig. 155; gibt man dem Instrument diesen Offnungswinkel y₀, so ist die damit vorhandne Entfernung R₀ zwischen Pol und Fahrstift der Halbmesser des Grundkreises. Für P₀ ist in der Tat

B₀² = a² + b² — 2ab cos y₀

Fahr,stift

T„

bN

Fig. 155.

(hier ist y₀ stumpf, also cos y₀ negativ), oder es ist, wenn c absolut genommen wird:

R₀² = a² -f b² -f 2ac, nR₀² = %{a² -f b² + 2ac) = C.

somit

(18)

Es ist nicht ausgeschlossen, mit Pol innerhalb noch Flächen zu umfahren, die > C sind, so daß in (17) N in der Tat positiv ist; mit wenigen Ausnahmen wird aber F < C sein, vgl. unten, wenn auch für den Fall II, Bestimmungen mit Pol innerhalb, nur möglichst große Flächen in Betracht kommen. Wir wollen deshalb die Gleichung (17) lieber in der Form

(19)

jF= C-Nau

schreiben und uns merken: um bei Pol innerhalb die mit dem Fahrstift umschriebne Fläche zu erhalten, ist der Betrag Nau von der Konstanten C abzuziehen; dabei ist dann N als (Schlußablesung minus Anfangsablesung) bei Links umfahren der Fläche (gegen den Uhrzeigersinn) zu gewinnen, da Gleichung (17) für den Fall gilt, daß rechts (im Uhrzeigersinn) gefahren wird.

45. Anwendung des Polarplanimeters auf Berechnung von Flächen aus Plänen und technischen Zeichnungen. Die Gleichungen, auf denen die Anwendung des Polarplanimeters beruht, lauten nach (9) und (17) bis (19) in Nr. 44.:

(1)

(2)

F = N-au F= C-Nau

für Pol außerhalb (I. Fall) für Pol innerhalb

(II. Fall; F<C).

Dabei ist im II. Fall der Wert von C = n(a² + b² + 2ac) = 7tR₀² = Grundkreisfläche.

Beide Fälle sind nicht gleich wichtig, der I. der wichtigere; immerhin ist II. nicht, wie es oft geschieht, einfach auszuschließen.

1. Pol außerhalb. Die wichtigste Anwendung jedes Planimeters ist die zur relativen Bestimmung von Flächen: man bestimmt F, indem man es mit Hilfe des Planimeters vergleicht mit einer Fläche Q von bekanntem Inhalt. Umfährt man nämlich F und hierauf Q, je mit Pol außerhalb und derart, daß kleine Instrumentenfehler möglichst wenig von Einfluß sind, nämlich so, daß die Schwerpunkte von F und von Q ungefähr zusammenfallen und daß die Umfänge der beiden Figuren von derselben Polstellung aus überall erreichbar sind, ohne daß das Planimeter weder zu sehr gestreckt (y zu nahe bei 180°), noch zu stark zusammengeklappt werden muß (y zu klein), so hat man nach den zwei Gleichungen

(3) F = Nau,

einfach

(4) Q = N^u

(6)

F=Q~

wobei bedeutet: N die Rollenumdrehungszahl bei der Umfahrung von F, Nt die Rollenumdrehungszahl bei der Umfahrung von Q. Beide Zahlen können selbstverständlich die Mittel aus mehreren Umfahrungen sein, wobei es aber angezeigt ist, nach jeder Umfahrung den Zählwerksstand auf Yjqqq Umdrehung abzulesen. Zu beachten ist, daß bei den Zählwerken der gewöhnlichen Polarplanimeter (von Amsler in Schaff hausen, Coradi in Zürich, Ott in Kempten) bei Pol außerhalb der Stand des Zählwerks zunimmt, wenn (Uhrzeigersinn) umfahren wird, abnimmt, wenn man um die Figur fährt (gegen den Uhrzeigersinn). Es kann ferner Vorkommen, daß man über die 0 der Zählscheibe kommt, wobei dann zu entscheiden ist, ob statt der Ablesung von z. B. 1,428 nicht 11,428 (in ganzen Umdrehungen der Rolle) zu lesen ist. Es ist vielfach üblich, N in Tausendsteln der Rollenumdrehung zu rechnen, sog. Noniuseinheiten; der Nonius am Index II, an der Rolle, gibt 0,1 eines Rollenteils, d. h. einer Umdrehung. Es ist aber, zumal dem Anfänger, entschieden

1000

+27500

ft

cj

o +9200 w

CD

+ 9250

(O

Fig. 156.

JOOO

zu raten, die Ablesungen und ihre Differenzen N stets in ganzen Umdrehungen und ihren Teilen anzugeben, zunächst Zahl der Scheibe vom Index I, dann Komma, dann Zahl am Rollenrand beim Index II bis auf xf der ganzen Umdrehung.

a) Auf Lageplänen ist die „Probefigur“ Q (Kontrollefigur, Probefläche) von bekanntem Inhalt, wenn ein Koordinatennetz durchgezogen oder in Schnittpunktskreuzen angegeben ist, stets eine solche Quadratmasche.

Beispiel: Auf einem gedruckten Plan im Maßstab 1:500 sind Netzlinien von 50m zu 50 m angedeutet; das Quadrat (oder, infolge Papierkontraktion, Rechteck mit wenig ungleichen Seiten oder Parallelogramm mit wenig verschiednen Seiten und Winkel wenig von 90° abweichend), Q stellt also eine Feldfläche von

50 X 50 = 2500 cjm = 25,00 a,

Man beachte gleich, daß es bei der Rechnung nach (5) keineswegs notwendig

vor.

ist, die Papierverzerrungen tatsächlich zu untersuchen oder irgendwie in Rechnung zu bringen, da anzunehmen ist, daß Q und F in derselben Art durch die Papierkontraktion verzerrt sind, sodaß das Verhältnis zwischen beiden nicht verändert ist. Zur Rechnung von F, s. Fig. 156, genügt es, nahe bei F * zu verwenden, das

durch Halbierung der Maschenpunktabstände schaff hergestellt ist. Das Planimeter wird nun so aufgelegt, daß beim Einsetzen des Fahrstifts nicht weit vom Schwerpunkt ungefähr der Öffnungswinkel y₀ vorhanden ist. Die Flächen ^ und F werden

innerhalb der Linie. Die Ablesungen am Zählwerk im vorliegenden

mm

je zweimal umfahren, je einmal /"-"x und einmal x, von A und von B aus. Die Umfahrung wird auch bei geradlinigen Figuren am besten freihändig gemacht, da die kleinen unregelmäßigen Fehler, die dabei Vorkommen, weniger zu fürchten sind, als die beim Fahren an einer Linealkante sich leicht einstellenden regelmäßigen Fehler: man glaubt z. B. an der an eine Linie gelegten Linealkante zu fahren, fährt aber um 0,2 Fall waren nun:

Fahrrichtung

Ablesung

JVi

Fahrrichtung

Ablesung

2,437

2,686

0,249

2,308

2,510

0,202

2,686

2,436

0,250

2,511

2,307

0,204

Mittel = 0,249ä

Mittel = 0,203

Bei der Bildung der N ist die obige Angabe über Zunahme und Abnahme des Zählwerksstands zu beachten: N nimmt bei unserm Fall, Pol außen, zu bei Fahrt, ab bei Fahrt.

•    2500

Ganz ohne Rücksicht auf etwaige Papierverzerrung ist = —    — 625 cjm zu

setzen und es beträgt

625 • 203

249ß

509 cfm.

(Die Zahl kann, da der Nenner nahe bei 250 ist, leicht im Kopf ausgerechnet werden: Erhöhung des Nenners von 249₆ auf 250 erfordert an dem dann rund ⁴/₅ betragenden

Erhöhung der Zählerzahl um ⁴/₆ • 5 = 4 Einheiten der 4. Stelle; es ist also „    625 • 203,    625

_r =-———

Faktor

203

249₅

625

250

250

• 200 + 3,4 • — = 500 -f- 8,5 = 509 <jm.)

Dies ist die fertige Feldmaßzahl, kein Papiereingang ist gesondert zu betrachten.

b) Auf technischen Zeichnungen fehlt ein solches Maschennetz. Oft ist wenigstens in zwei zueinander senkrechten Richtungen der Maßstab aufgetragen, der der Zeichnung zugrund liegt (vgl. S. 144 u.). Man kann dann, indem man das bei a) vorhandne und verwendete Quadrat (oder mit Rücksicht auf Verzerrung des Papiers Rechteck) mit Hülfe dieser zwei Maßstäbe geradezu konstruiert, genau wie bei a) verfahren. Wesentlich einfacher ist hier noch die Möglichkeit, als Probefläche Q eine solche zu nehmen, auf deren Umfang der Pahrstift gezwungen und deshalb sehr sicher, rasch und ohne besondre Aufmerksamkeit geführt werden kann, nämlich einen Kreis von bekanntem Halbmesser. Dazu dient eine kleine

„Probeschiene“ (Kontrollelineal; der Name Lineal ist nicht passend, da von der Schiene nichts gebraucht wird als der Nadeleinsatz und ein Punkt zum Einsetzen des Fahrstifts in bestimmter Entfernung von jener Nadel); sie besteht, Fig. 157, aus einem Metallplättchen, oben 10

mm stark, mit genau ebener Unterfläche, am einen Ende mit eingesetzter Nadel N versehen (gehalten durch eine darüber gesetzte Schraube ScJi), so daß diese Nadel ganz in die Ebene der Fläche F eingetrieben werden kann und die Unter fläche der Schiene auf dieser Ebene liegt. Am andern Ende ist auf einer Abschrägung eine Strichmarke M angebracht, mit deren Hilfe man genau bis zu einem bestimmten Strich Tzurückfahren kann bei Drehung der Schiene um N, so daß genau ein Kreis umschrieben ist. Auf ^ der Oberfläche der Mg. 157..

Schiene sind in Entfernungen von genau 4, 5, 6, . . . meist bis 10 cm Punkte eingestochen, nicht ganz durch die Schiene gehend, aber tief genug, um den Fahrstift des Planimeters sicher darin einsetzen zu können.

Nach Festdrücken der Nadel N ungefähr im Schwerpunkt der zu bestimmenden Fläche, Fig. 158, wird der Fahrstift in einen der Punkte der Schiene, z. B. 7 (cm vom Nullpunkt N) eingesetzt, bei T Bleistiftstrich, nach Augenmaß gegen den Punkt N gerichtet; Schiene mit Marke dorthin eingestellt, Zählwerk abgelesen; Kreis mit 7 Halbmesser zweimal    durchfahren, je mit Ablesung (um grobe Fehler auszuschließen), sodann F ebenfalls zweimal    umfahren. Die Ablesungen in unsrem

bestimmten Beispiel stehen links; dabei ist der durchfahrne Kreis

mm

breit, 1 bis

.4

•6

«10

Pol

Fig. 158.

cm

Kreis

9,473

(1)0,889

(1)2,304

tO\ M-

K = (Tt • 49) cfcm = (50 — 1) Jt cfcrn = 157,08 — 3,14 = 153,9 <jc

F_ 153,9 • 534

r 0,535 \ _    '    ¹⁴¹⁵

10 533/ — ^ Uie Bestimmung ist völlig hinlänglich genau, in .    der Regel kommt es bei solchen technischen Flächen

ermittlungen auf % °/₀ nicht an. Ein etwaiger Unterschied in dem Maßstab des Kontrollineals mit * verglichen) würde auszu-

ist also

m.

Die Fläche F

cjcm = 58,1 Cfcm,.

= 1,415

genügend genau.

gegen den Maßstab, in dem F gezeichnet ist (z. B.

noch eine Korrektion an dem Resultat verlangen, die nach früherem leicht rechnen ist. Neue Kontrollineale, wie sie auf Veranlassung des Verfassers Coradi

cm

in Zürich seit 20 Jahren anfertigt, geben runde Flächen für die umfahrnen Kreise, z. B. 100 cjcm. = 10 000 (jmm, 200 <fcm = 20 000 <pvm u. dgl. (die Zahlen stehen neben den Einsetzpunkten für den Fahrstift; der Punkt 10000 <jmtn hat vom Nadelnull-

punkt die Entfernung

mm =

100

y'-X

- = 56,42 mm).

Die Rechnung wird mit

diesen runden Q-Zahlen noch etwas bequemer.

c) ,,Abstimmen“ des Planimeters auf eine runde Einstellung. Bei der vorstehenden relativen Messung von F kam es gar nicht darauf an, welche „Einstellung“ an der Stange a vorhanden war. Man kann nach a) und b) mit dem Planimeter arbeiten, wie es zufällig vorliegt, ohne irgend etwas daran zu verändern oder explizite den Wert au zu kennen (implizite wird er eben durch die Vergleichung von F mit Q bestimmt). Nun ist aber a nicht (wie u oder c, oder bei fast allen Planimetern auch b) eine absolute Konstante, es darf nur während einer und derselben Arbeit mit dem Planimeter nicht anders werden. Nach Lösung des Klemmschräubchens an der Hülse kann man aber innerhalb gewisser Grenzen die Stangenlange a beliebig verändern. Für manchen Zweck ist nun erwünscht, die Flächenermittlung dadurch in gewissem Sinn zur absoluten zu machen, daß der Wert von au durch entsprechende Veränderung von a zur runden Zahl gemacht wird. Z. B. will man mit dem Planimeter auf einem Plan im Maßstab 1 : 1000 messen, ohne doch jedesmal das Quadrat der Koordinatennetzmasche zu umfahren, sei nun das Papier des Plans nicht eingegangen oder sei es»verändert; man will a so stellen, daß au = der Quadratmasche des Plans ist (habe dieses nun, wie angedeutet, die richtige Länge und Breite oder nicht). Es seien auf dem Plan Linien von 100 zu 100 m Sollentfernung in x und y gezogen, also Maschen von 10 000 <jm = 1 -Ra. Sollfeldfläche gebildet. Stellt man die Stange des Planimeters so, daß die Rolle bei Umfahrung dieser Sollfeldfläche genau eine Umdrehung macht, so entspricht V₁₀₀o einer Rollenumdrehung 10 <pn Feldfläche bei Pol außerhalb (in natürlichem Maß entspricht dies der Einstellung auf au — 100 <jcm, wenn das Planpapier keine Verzerrung zeigt). Wir wollen nun annehmen, es haben sich bei mehreren Umfahrungen rechts herum um eine solche Masche mit Pol außerhalb folgende Ablesungen gezeigt, so daß N im Mittel 0,997 ist; da nur

_ rechts gefahren ist, so wird man auch alle Bestimmungen

von F nur rechtsfahrend machen. Nun soll aber die Rolle genau eine Umdrehung bei der Umfahrung der Probefläche machen, d. h. es soll in der Gleichung

1,345

2,342

3,338

4,336

0,997

0,996

0,998

Q — N ■ au,

wo diesmal Q eine Konstante und u ohnehin eine Konstante ist, N etwas größer werden. Dies kann dadurch geschehen, daß man a kleiner macht und zwar ist hier seiner Länge zu verkürzen. Mißt man also den jetzigen Wert von a bei-an der Kante des Rechenschiebers ab, z. B. = 168 mm, so ist es um zu verkürzen (sollte N kleiner werden, so müßte a größer

Mittel = 0,997

a um % läufig auf 1 • 168

gemacht werden). Diese kleinen Veränderungen yon a kann man mit dem Mikrometerschräubchen neben der Klemme an der Hülse ausführen; zur Feststellung des Betrags der Veränderung dient der Index am Ende der Hülse gegen das Gelenk hin. Ein neuer Versuch mit derselben Polstellung wird jetzt keine merkliche Abweichung des N von 1,000 mehr ergeben und man kann nun mit dem Instrument auf dem Plan messen, ohne jedesmal Q wieder zu umfahren. Längs der Stange sind auf der Seitenfläche einige Strichmarken angebracht, neben denen bestimmte Zahlen stehen; z. B. heißt es bei dem Strich in der Nähe der von uns gefundenen Einstellung: 10 □m 1 : 1000; die Angabe bezieht sich auf die Noninuseinheit, d. h. yx drehung, bei Pol außerhalb. Im vorliegenden Fall soll diese Zahl heißen: bei Messung auf dem Plan im Längenmaßstab 1 : 1000 ist diese Seitenmarke mit dem Index an der

....

mm

7i

mm

= 0,50

mm

der Rollenum-

Hammer: elementare praktische Geometrie.

15

Hülse einzustellen, damit yi000 Umdrehung der Rolle einer Fläche = 10<jm entspricht (1000 ■ 10    = 10000<jm; übereinstimmend mit unsrer oben aufgestellten Rechnung).

Das angegebne Maß für a in diesem Fall, 16 bis 17 cm, trifft bei den billigen Ams-lerschen Planimetern zu; die Rolle hat rund 20 mm Durchmesser im Spurkranz, rund 63 mm = 6,3 cm Umfang, so daß in der Tat a = 16 bis 17 cm sein muß, damit aM=100<fcm groß wird. Die Einstellstriche sind aber, zumal bei den billigen Planimetersorten, die nicht einzeln untersucht werden können, im allgemeinen nicht zuverlässig und deshalb stets zu prüfen, was ja auch wegen etwaiger Papierveränderung erforderlich ist, z. B. bei Querprofilflächenmessung mit dem Planimeter auf mm-Papier, das allerdings heute gut geteilt und wenig veränderlich zu bekommen ist.

2. Pol innerhalb der zu bestimmenden Fläche. Dieser Fall wird nur für große Flächen anzuwenden sein, die mit Pol außerhalb nicht mehr bestimmt werden können; man kann sie zwar durch beliebige Linien teilen und die einzelnen Stücke mit Pol außerhalb messen, doch ist für sehr bedeutende Flächen der Fall Pol innerhalb jedenfalls bequemer, vielfach auch genauer, obwohl, wie wir wissen, dabei alle Abmessungen des Instruments in Betracht kommen.

In der Gleichung

F = G-Nau

15)

»Pol

ist vorausgesetzt, daß N bei Linksumfahrung einer Fläche F < G als Differenz der Ablesungen am Zählwerk nach minus vor der Umfahrung erhalten worden sei. Wir müssen nun vor allem den Wert von C ermitteln, wobei zu bedenken ist, daß jede Neu-einstellung der Stange, vgl. 1. c) ein andres C zur Folge hat, da ja a zweimal in dem Ausdruck C= % (a² + b² + 2ac) vorkommt. C ist also keineswegs eine absolute Konstante, sondern nur für ein bestimmtes a oder au konstant.

'Nullpunkt der Schiene

Fig. 159 b.

Polnadel Fig. 159 a.

CU OO

Bestimmung von C. Es sei nun z. B. an einem bestimmten Ams-lerschen Planimeter a so gestellt, daß au = 100qcm natürliches Maß gemacht ist und für diese Stellung von a soll C ermittelt werden. Von direkter Abmessung der Strecken a, b, c am Instrument ist wenig zu erwarten (obwohl dieses Verfahren oft empfohlen wird); sie kann nur eine genäherte Bestimmung von C geben. Ist z. B. an einem bestimmten Instrument für die Stellung von a, die au — 100 qcm macht, a= 16,5 cm, b = 15 cm, c = 5,5 cm (je ziemlich rund abgemessen), so ist C ungefähr = x(212 + 225 + 11 • 16,5) = ²² • 67 qcm, = rund 2130 qcm,. Scharfe Bestimmung von C wird möglich sein urch Benutzung einer großem Fläche von bekanntem Inhalt. Als solche eignet sich, wenn sie gezeichnet werden muß, ein regelmäßiges Sechseck, da dies rasch genau konstruiert

werden kann und keine so scharfen Ecken mehr aufweist wie das Quadrat; oder auch ein Kreis von genau bekanntem Durchmesser. Auf dem Umfang dieser gezeichneten großen Figur, im angegebenen Fall etwa 1000 bis 1600 cpm Fläche, wird der Fahrstift freihändig geführt, während der Pol ungefähr im Mittelpunkt befestigt wird. Noch einfacher und schärfer wird die Sache, wenn man auch hier eine Probeschiene verwenden kann, die aber etwas anders eingerichtet sein muß, als die bei 1. b) erwähnte. Sie muß nämlich gestatten, die Polnadel durch den Nullpunkt der Längenteilung auf der Schiene hindurch auf der Papierfläche zu befestigen, vgl. Fig. 159a, sie muß ferner länger sein als die in 1. b) angewandte kleine, z. ß. bis 15 oder 20 cm Halbmesser haben; das Einsetzen des Fahrstifts in einen c-m-Punkt der Schienenteilung ist aber dasselbe wie bei 1. b).

Die Ab-

Auch hier kann man eine Schiene nehmen, die einen runden Kreisinhalt liefert, doch hat dies geringe Bedeutung. Der Fahrstift stehe im Punkt 15 cm vom Nullpunkt, Fig. 159b, durch den (die Schiene ist hier dünner, vgl. die Skizze 159 a mit Schnitt durch das Nullpunktsende). Es wird von der Einstellung der Marke M auf den Strich A aus gefahren bis zu diesem Strich zurück (Marke jedesmal sehr genau einstellen, weil bei dem großen Kreis schon ein sehr kleiner Zentriwinkelfehler merklich wird. Wir müssen ferner links fahren, wenn die Ablesung am Zählwerk zunehmen soll, endlich ist genau zu beachten, ob 0 der Zählscheibe am Index I vorbeigeht.

2,315 (1) 6,508 (3)0,703

14,193

14,195

Mittel N — 14,194

----- lesungen bei zweimaligem Linksfahren seien die nebenstehenden. Hier ist der Anfänger durch Nichtbeachtung der Vielfachen von 10 ganzen Umdrehungen der Rolle immer in Gefahr eines Versehens; man sieht freilich bald, daß das Ergebnis nicht richtig sein kann. Der mit dem Fahrstift (gezwungen und deshalb wieder mühelos und genau) umfahrne Kreis ist nun (jt ■ 225) <fcm groß

(= 200 • 3,1416 -f . 3,1416) = 628,32 -f 78,54 = 706,86 <jcm

oder auf V₁₀ <jcm abgerundet 706,9 (j«; ferner ist N im Mittel 14,194, somit besteht, da a«=100<fcm gemacht ist, die Gleichung

oder es ist

706,9= C— 14,194 • 100

C - 706,9 + 1419,4 = 2126,3 ym.

Hiernach ist für dieses Instrument bei der Stellung au= lOO^cm, für Bestimmung einer beliebigen Fläche mit Pol innerhalb der Fläche:

(10)

F = 2126,3 <jcm — N ■ 100 <fcm ;

und damit ist das Instrument, bei dieser Stellung von a mit au — 100 <jcm, bereit zur Bestimmung beliebiger Flächen auch mit Pol innerhalb.

Auch für die Werte C (die sich mit a ändern) für den Fall Pol innerhalb sind in der Regel Angaben an den Instrumenten selbst gemacht oder bei andern im Etui. Bei den gewöhnlichen billigen Am sl er sehen Planimetern (s. oben) erscheint bei einer Einstellung der Seitenmarke der Hülse auf einen Strich seitlich an der Stange (bestimmter runder Wert für Pol außen) auf der Stange oben zwischen den zwei Hülsenstücken die entsprechende (7-Zahl. Sie ist aber weder in ycm noch ymm angegeben, sondern lautet z. B. 20765, was heißen soll 2076,5 qcm oder 207650 <pmm; in unserm Beispiel würde die Zahl lauten 21263.

bei Pol innerhalb (F < C) bei {    } Umfahrung N = j

3. Einige weitre Gebrauchsregeln. Genauigkeit. Bemerkt sei zu den zwei Fällen Pol außerhalb und Pol innerhalb noch, daß in beiden gern gleich viel Umfahrungen der Fläche im Uhrzeigersinn und gegen den Uhrzeigersinn macht, wobei als Regel über N merken ist:

bei Pol außerhalb ist bei {    } Umfahrung N =

man

zu

| Endablesung — Anfangsablesung | (Anfangsablesung — Endablesung (

Endablesung — Anfangsablesung Anfangsablesung—Endablesung.

Wenn F mit Hilfe einer Probefläche Q bestimmt wird, was die genauste Bestimmung ermöglicht, so ist Q möglichst so zu wählen, daß die Schwerpunkte beider Flächen nicht weit auseinander liegen und es ist im allgemeinen Q gleich oft und in gleicher Art zu umfahren wie F (z. B. je einmal rechts und einmal links). Beim Einsetzen des Fahrstifts in der Nähe des Schwerpunkts von F oder Q soll dann bei Pol außerhalb die Rollenspurkranzebene annähernd durch den Pol gehen, sodaß etwa der Offnungswinkel y₀ der Planimeterschienen vorhanden ist. Die Flächenbestimmung mit Pol außerhalb ist in der Regel genauer als die mit Pol innerhalb. Große Flächen können mit Pol außerhalb nur nach Zerlegung bestimmt werden; für Pol innerhalb wird die Genauigkeit der Bestimmung um so besser, je größer die Fläche ist. Wenn z. B. in (11) der Wert von C um 0,5 cpm falsch bestimmt ist, so bringt dies für eine Fläche von wenigen hundert cpm, z. B. mit rund N — 16, einen merklichen Fehler herein, und so kleine Flächen wird man, wenn sie nicht von einer Polstellung aus mit Pol außerhalb ermittelt werden können, lieber zerlegen; mit N = etwa 2 dagegen, bei einer Fläche von gegen 2000 cpm ist jener Fehler von ¹/₂ cpm in C ganz gleichgültig und die Bestimmung mit Pol innerhalb vorzuziehen.

Als m. F. bei Bestimmnung von Flächen zwischen 50 und 300 cpm natürliches Maß mit Pol außerhalb kann man bei gewöhnlichen Polarplanimetern etwa 0,02 ]/.F(<pm) cpm annehmen, aber nur als grobe Durch-schnittsregel, von der große Abweichungen vorhanden sind; insbesondre ist auch der m. F. stets von der Form der bestimmten Fläche abhängig.

Sehr langgestreckte Figuren sind im allgemeinen sehr ungünstig. Für Pol innerhalb läßt sich nicht einmal eine derartige Durchschnittsregel aufstellen, es ist aber für diesen Fall festzuhalten: je größer F, desto günstiger im allgemeinen, da jeder Fehler in C in seinem ganzen Betrag in F eingeht. Die obige Regel für Pol außerhalb nimmt auch auf die Instrumentalfehler Rücksicht; können diese sicher eliminiert werden, werden z. B. nur aus den Abweichungen bei Umfahrung einer und derselben Figur von derselben Polstellung aus die reinen unregelmäßigen Fehler betrachtet (eigentliche Messungsfehler oder „innere“ Fehler), so kann man leicht auf einen Fehlerbetrag kommen, der nur ¹/₁₀ von dem angegebnen ausmacht.

Fehlerquellen sind sehr zahlreich vorhanden; die zwei wichtigsten sind die sog. „Gelenkschiefe“ und die „Rollenschiefe“, von der eigentlich zwei Arten in Betracht kommen: richtig liegende Welle und nicht senkrecht dazu liegender Rollenrand, oder: Rolle richtig auf der Welle sitzend, aber diese nicht parallel zur Stange. Dazu kommt noch an mehreren Punkten des Instruments etwas Spielraum. Die Wirkung der Fehlerquellen zeigt sich darin, daß man z. B. hei Pol außerhalb einer Figur F bei Umfahrung dieser Figur, auch in demselben Sinn, etwas yerschiedne N erhält, je nachdem die Polstellung in Beziehung auf F gewählt wird. Eine nicht unwichtige Fehlerquelle ist ferner die, daß die Drehungen der Integrierrolle nicht unabhängig sind von der Beschaffenheit des Papiers, auf dem sie auf liegt: zeichnet man z. B. auf je zwei Papiere, von denen das eine sehr rauh, das andere sehr glatt ist, genau dieselbe Figur, so gibt dasselbe Polarplanimeter mit derselben Polstellung gegen die Figur etwas yerschiedne N. Sehr deutlich zeigt sich der Einfluß der Glättung des Papiers auch z. B. bei Anwendung einer Probeschiene, sei es mit Pol außen, sei es mit Pol innen, Avenn man öfter und rasch den Kreis durchfährt; man bemerkt in der Regel eine in demselben Sinn fortschreitende Änderung von N. Bei sehr raschem Fahren auf einem solchen Kreis ist oft auch „Schleudern“ der Rolle zu beobachten, weshalb dies unterlassen werden soll. Auf altem runzliehen Planpapier ist mit dem gewöhnlichen Polarplanimeter keine brauchbare Flächenberechnung möglich. Glücklicherweise kann man den schlimmsten aller Fehler, die Rollenschiefe, an einem der neuern Polarplanimeter eliminieren, zu deren kurzen Betrachtung wir nun nach Besprechung der einfachen billigen Polarplanimeter (Preis von 25 JC an) übergehen.

46. Neuere Planimeter. Der Wunsch der eben angedeuteten Fehlerelimination; weitergehende Genauigkeit auch durch andre Einrichtungen, wie z. B. stets Pol außerhalb auch für große Flächen; Unabhängig-machung der Rollenbewegung von der Beschaffenheit des Papiers; Verschärfung der Planimetermessung durch Vermeidung jeder gleitenden Bewegung der Rolle; nach andrer Richtung hin der Wunsch einfachst möglicher Einrichtung eines Planimeters haben in den letzten Jahrzehnten zu einer großen Zahl von Neukonstruktionen geführt, von denen wir nur einige wenige betrachten können: das Kompensationsplanimeter; die freischwebenden Scheiben- und Kugelpolarplanimeter; die Wagen- und die Rollplanimeter (b = oo); die Traktorienplani-meter; neuere Linearplanimeter, bei denen eine Scheibe mit scharfem oder gezähntem Rand nicht rollt, sondern linear verschoben wird.

1. Kompensationsplanimeter, erfunden von dem deutschen Landmesser Lang, ausgeführt von G. Coradi in Zürich, gestattet Elimination des Fehlers der „Rollenschiefe“, ohne das Instrument wesentlich zu verteuern. Der Arm ist ein so hochgestellter Bügel, daß die Stange darunter „durchgeschlagen“ werden kann. Mißt man die Fläche F in zwei Lagen des Instruments I, II, z. B. mit Benutzung der Probefläche Q, die ebenso in diesen zwei symmetrischen Lagen umfahren wird, so fällt im Mittel beider Bestimmungen der Einfluß der Rollenschiefe heraus, Fig. 160. Das Gelenk ist bei diesen Instrumenten nicht ein Spitzengelenk wie bei den einfachen Polarplanimetern, sondern ein Kugelgelenk, indem ein in kleiner Kugel endigender Armstift einfach in eine in die Stange eingearbeitete

Kugelpfanne einzusenken ist. Da eine weitre Verbindung zwischen Arm und Stange nicht besteht, so kann das Instrument nach dem Gebrauch sofort wieder in die zwei Teile zerlegt werden. Die Einrichtung zeigen die Eig. 160a und 160b (Coradi). Die Polnadel sitzt hier meist unten

■f;

Fol

Fig. 160.

an einem kleinen Messingblock. An manchen Polarplanimetern ist, um überhaupt nicht eine Polnadel in die Papierfläche einstechen zu müssen, auch der Pol als „Kugelpol“ ausgebildet, Pfanne in schwerer Metallplatte zur Einsenkung der Kugel am Ende des Arms; die Metallplatte unten allenfalls noch mit Fischhaut zu überziehen, um ihr noch sicherem Halt auf dem Papier zu geben (Ott, Kempten). Es ist ferner bei diesen Lang-Coradischen Kompensationspolarplanimetern in der Regel auch b veränderlich gemacht, indem der Arm aus zwei durch eine kleine Schraube gegeneinander feststellbaren Stücken besteht; auch bei diesen Planimetern, die mit Recht rasch weiteste Verbreitung erlangt haben, wird übrigens die Rolle durch Reibung auf dem Papier gedreht. Der Preis beträgt 42 bis 64 Ji.

2.    Um die Fehlerquelle der Abhängigkeit der Rollenbewegung von der Papierbeschaffenheit zu beseitigen, hat Coradi die freischwebenden Planimeter konstruiert, bei denen die Rolle nicht auf dem Papier sitzt, sondern davon abgehoben ist. Der Pol befindet sich im Mittelpunkt einer schweren auf die Zeichnungsebene gelegten Messingscheibe. Indessen sind diese sog. Scheibenpolarplanimeter und frei-schwebenden Kugelpolarplanimeter verhältnismäßig wenig in die Praxis eingedrungen, so daß die Erwähnung genügen mag. Der Preis schon etwa 160 JC.

3.    Sehr weit verbreitet sind dagegen wieder die Coradi sehen R oll-plan im eter trotz ihres im Vergleich mit den einfachen Polarplanimetern und Kompensationsplanimetern hohen Preises. Sie haben in der Form des Kugelrollplanimeters die Genauigkeit der Planimetermessung auf eine zuvor nicht gekannte Stufe erhoben und gestatten doch zugleich, sehr große Flächen auf einmal mit Pol außerhalb zu bestimmen.

Es ist bei der obigen kurzen Theorie des Polarplanimeters mehrfach hervorgehoben, daß im Fall „Pol außerhalb“ von den Abmessungen des Instruments nur a und u in Betracht kommen, aber nicht c und nicht b; ja daß es sogar ganz gleichgültig ist, welcher Art der Bogen ist, den der Gelenkpunkt hin und her zurücklegt, wenn er nur jeden Punkt dieses Kurvenbogens AE (Fig. 153) beim Hin- und beim Rückgang einmal einnimmt. Die einfachste Art, das Gelenk gezwungen so zu führen, ist nun allerdings die, daß man es den Bogen eines Kreises mit Halbmesser b um den festen Punkt P beschreiben läßt. Fast ebenso einfach und ebenso sicher läßt sich dem Kreis der Halbmesser b = oo geben, das Gelenk in gerader Linie hin und herführen. Es ist dies auf zwei Arten ausgeführt worden; nämlich indem ein Wagen auf zwei hintereinander liegenden Rollen, in der geraden Rille eines Lineals laufend, geführt wird, während außen an einem festen Metallstück dieses Wagens das Gelenk sich befindet, das also eine Parallele zu jener Rille beschreibt. Die Einrichtung eines solchen Wagenplanimeters könnte die der Fig. 161 sein:

ft

iS

Fig. 160 a.

mt

k L

!b 1

Fig. 160 b.

W,

W₃- -

A"

Rlu)

Fig. 161.

Wv W₂ sind die zwei in der Rille BR des starren (oder mit Klammern am Tisch befestigten) Lineals LL laufenden Räder des Wagens, M ein fester Arm, der außen noch eine Laufrolle W₃ hat und im Gelenk 6r der um Gr drehbaren Stange GrF endigt. Auf der andern Seite des Wagens kann auch noch ein Gegengewicht vorhanden sein. Neben dem Fahrstift F ist die Integrierrolle B angedeutet, auf einer Welle parallel zur Stange GrF sitzend. Mit diesem Instrument hat man stets den Fall

„Pol außerhalb“ und es lassen sich sehr langgestreckte Figuren, nur begrenzt durch die Länge von L, auf einmal umfahren. Instrumente dieser Art werden in der Tat gebaut und z. B. bei Schiffsbauzeichnungen verwendet. Es ist nur in Wirklichkeit die Integrierrolle vom Papier abgehoben, das Instrument zum Scheiben- oder zum Kugelplanimeter gemacht (s. u.). Die andre Möglichkeit, für das Gelenk G einen geraden Weg herzustellen, ist der, daß der das Gelenk tragende Rahmen auf zwei schwere genau gleiche Rollen gelegt wird, bei denen durch scharfe Riffelung dafür zu sorgen ist, daß sie nur einen und denselben Weg auf dem Papier hin und her zurücklegen können, nachdem einmal der Rahmen auf die Papierebene gelegt ist. In Fig. 162 deuten Wx und W₂ die schweren geriffelten Walzenrollen an; in der Mitte des Verbindungsstücks St befindet sich das Gelenk G, in dem die Stange GF(= a) sich drehen kann. Mit dem Fahrstift lassen sich Punkte erreichen, deren Lage seitlich nur durch die Länge von a beschränkt ist, während in der Richtung senkrecht dazu, in der Richtung des Abrollens von WXW₂ gar keine Grenze vorhanden ist. F kann in dieser Richtung beliebig lang sein, in der Richtung der Stange bei einem Verlängerungsstück, das in a eingesetzt werden kann,, bis zu 60 cm breit. Auch hier ist in der Figur der Fall angedeutet, daß die Integrierrolle durch Reibung auf dem Papier gedreht wird wie bei den einfachen Polarplanimetern. In Wirklichkeit ist dies bei den Rollplanimetern, die Coradi auf Anregung des bayrischen Baubeamten Hohmann konstruiert hat (deshalb Hoh-m an n-Coradi sehe Rollplanimeter, die Idee geht übrigens ebenfalls auf Amsler sen. zurück) nicht der Fall; die Rolle ist vom Papier weggehoben auf eine Scheibe, so-daß sie sich ein für allemal auf einer ebnen Unterlage von derselben Beschaffenheit dreht, oder sie wird überhaupt nicht durch Reibung auf der Ebene, auf der sie liegt, gedreht, sondern dadurch, daß ihre zylindrische Welle von beträchtlichem Durchmesser sich gegen eine genaue Kugelkappe lehnt, wobei nur drehende Bewegung der Rolle entsteht, jede gleitende Bewegung weggefallen ist (die Idee dieser Bewegung der Integrierrolle stammt ebenfalls von Amsler sen. her, doch hat er sie nicht veröffentlicht). Man spricht bei diesen Hohmann-Coradischen Instrumenten gewöhnlich vom

pF

CG

<b

■Ö

li

St,

St,

Poloo

W₂

-A

■(ui

Fig. 162.

a)    Rollscheibenplanimeter (oder Scheibenrollplanimeter, und

b)    Rollkugelplanimeter (gewöhnlich Kugelrollplanimeter). Die Theorie dieser zwei wichtigen Instrumente ist von der des einfachen Polarplanimeters verschieden und mag wenigstens für den ersten Fall, Rollscheibenplanimeter angedeutet werden.

Die Drehung der Walzen W₁Ws, durch die sich das Gelenk G auf der Geraden LL verschiebt, wird mit Hilfe feiner konischer Zahnräder in eine Drehung der horizontal (parallel zur Ebene der zu bestimmenden Fläche F) liegenden Scheibe (deren Achse also senkrecht zur F- Ebene steht und deren Mittelpunkt 0 senkrecht über der gemeinsamen Achse von Wx Ws liegt) verwandelt, auf der die Integrierrolle B aufliegt. Die Welle A von B wird nur durch die Drehung der Scheibe gedreht; die Anordnung der Scheibe und Rolle, deren Welle in einer Gabel sitzt, ist in der Fig. 163 angedeptet: G Gelenk bei bestimmter Lage des Instruments, FG die Stange in dieser Lage; genau rechtwinklig mit GF verbunden ist das vorn in die Gabel der Rolle endigende Metallstück GB; B bezeichnet in der Figur den Punkt des Rollenrandes, der auf der Scheibe liegt. An der Gabel ist auch das Zählwerk für die ganzen Umdrehungen der Rolle angebracht, deren Teile wieder auf der Rolle selbst abgelesen werden können. Nach dem oben Gesagten ist der Winkel 7, um den die Scheibe Sch gedreht wird, proportional der Strecke x, um die das Gelenk auf L verschoben wird, d. h. es ist zu setzen:

(1)

y=p-X,

wobei die Konstante^ abhängt vom Durchmesser der Walzen WXW₂ und von dem Übersetzungsverhältnis der die Drehung der vertikalen Achse von Sch bewirkenden konischen Zahnräder. Denken wir uns den Fahrstift auf irgend einer Parallelen H zu der Gelenklinie LL bewegt, so heißt dies soviel, als das Instrument wird bei konstantem Winkel gp gerollt, wobei die Rolle B ihren Ort auf der Scheibe Sch nicht verändert, sondern nur gedreht wird. Diese Drehung ist also bei einem bestimmten konstanten Winkel gp dem Weg x des ganzen Instruments, z. B. bei Fahrt des Fahrstifts von F nach Ft proportional. Bei einem kleinern aber ebenfalls konstanten Winkel gp würde der Fahrstift bei der Rollbewegung des Instruments etwa auf LL"H", bei einem großem Winkel gp etwa auf H'H' laufen. Ist bei einer Rollbewegung qp = 0, d. h. bewegt sich der Fahrstift in LL, so dreht sich, da GB stets J_ GF istT dabei die Rolle nicht. Es ist nun, um die richtige Wirkung des Planimeters zu erweisen, nur zu zeigen, daß die Umdrehung der Rolle B, die bei Bewegung des Fahr-stifts auf einer Parallelen LT zu Di entsteht, und nach dem Vorstehenden proportional x ist, s. Gl. (1), auch noch proportional y ist, proportional dem Abstand der Parallelen von LL. Ist r — OB (Vektor, B bezeichnet zugleich den Punkt, mit dem der Rollenspurkranz die Scheibe berührt) so ist dieser Wert r abhängig von OG = c, von GB und von dem Winkel gp; die Seiten OG und (rU in dem Dreieck OGB sind konstant, gp aber nur so lange als der Fahrstift auf einer Parallelen 5 zu li geführt wird (bei Rollbewegung des Instruments ohne Stangendrehung). Der Bogen h, der bei Befahrung von x unter dem Punkt B durchläuft, ist der eines Kreises mit Halbmesser r und mit einem gemäß (1) dem Wert x proportionalen Zentriwinkel, also

h = r ■ px.

Würde die Welle A der Rolle in der Richtung des Vektors liegen, so wäre die Zahl der Dmdrehungen —, wenn u der Umfang des Rollenspurkranzes ist; ist dagegen der

Winkel zwischen dem Vektor r und der Rollenachse AA gleich ß, vgl. Fig. 163 (ß ist von gp abhängig, also nur konstant bei Bewegung des Fahrstifts auf einer Parallelen zu LL durch reine Rollbewegung des ganzen Instruments), so ist die Anzahl der Rollenumdrehungen

(3)

b-cosß prcosß

n = --— = --- • x.

Nach der Figur ist nun

und da nach dem Sinussatz im Dreieck GOR

r sin (qp + y) — c • sin cp ist, so wird ^ pcsin cp

(5)

(6)

Hier ist aber endlich

(7)

sin cp

₌ y_

—, wo a die Länge der Fahrstange ist, also

(8)

SV e

.Xy=C-xy,

/?

d. h. die bei der Fahrt x parallel il mit dem Fahrstift entstehende Rollendrehungszahl n ist in der Tat nicht nur x proportional (womit die Ausdehnung der Fahrt auf HH bestimmt ist), sondern auch proportional y (womit die y Lage der Parallelen HH bestimmt ist). Das Produkt xy ist die Fläche des RechtecksFF₁FiFai dessen Seiten x in den Parallelen HH und in LL selbst liegen. Denken wir uns jetzt diese Fläche FF₁FiFs mit dem Fahrstift umschrieben, ist das Ergebnis:

Sch.

A-

//

r/

O X.

SO

fSP

a/

■7^ G

i90°/

SP

h; h

hT/

\t

-y -

Rollenumdrehungszahl N=n\

denn die Strecken Fx F₂ und Fs F sind in entgegengesetzter Richtung zu befahren, wobei bei jeder Fahrung das Rad R ! genau denselben Weg auf der Scheibe hin und her zu machen ! hat und diese genau in derselben Art hin und her gedreht wird (Befahrung einer Linie senkrecht zu LL ist nur ebenfalls    |

mit Rollen des ganzen Instruments möglich; ohne Rollen    !

könnte F nur einen Bogen um G beschreiben, der auch das j Rad um einen Bogen um G auf der Scheibe versetzen würde) und die Befahrung von F₂FS, eines Stücks von LL selbst, gibt nach dem Obigen keine Raddrehung. Für ein Rechteck F — xy j_j( von der oben angegebnen Lage ist also    ¹

(9)

Fs

y'-

H"

(10)

F —n • C

Fig. 163.

(mit C'—

au

Fig. 164.

wi dx

y l

■L

sodaß, wie beim Polarplanimeter, die Konstante des Instruments nur geändert werden kann durch Veränderung von a). Die Gleichung (10) gilt aber auch für eine beliebige Fläche, die auf der einen Seite von LL liegt und sonst durch eine beliebige Kurve begrenzt ist; wir denken uns die Fläche nach Fig. 164 in ihre Elemente y-dx zerlegt,

pc'

dF—y dx, F — f y ■ dx,

wobei für jedes Element (10) gilt, ohne daß wir doch die parallelen y in der einen und andern Richtung zu durchfahren brauchen. Und damit gilt die Gleichung (10) überhaupt.

(11)

Für die Theorie des Rollkugelplanimeters muß hier, um nicht allzu ausführlich über die Planimeter zu werden, auf die sonstige Literatur verwiesen werden, besonders auf die Broschüren, die von G. Coradi selbst zu beziehen sind (über die Kugelplanimeter speziell; dann über die Planimeter überhaupt) und die auch wichtige Anweisungen über Gebrauch und Behandlung dieser feinem Planimeter (Präzisionsplanimeter) enthalten und schon deshalb von jedem Käufer mit zu bestellen sind.

£1

Der Preis der feinem Coradischen Planimeter geht von 40 bis 70 Jt für die Kompensationsplanimeter, bis zu 200 Jt und mehr für die großem Rollkugelplanimeter. Die Fig. 164 a und 164 b geben Ansichten eines Scheibenrollplanimeters und eines Kugelrollplanimeters. Die Fabrikation solcher feinem Planimeter ist

C Cr

jetzt auch von mehreren Seiten in Deutschland auf-

’ *»

TJ

genommen worden. (Ott,Den-nert und Pape,

Reiß u. a.)

Fig. 164 a.

zu

: fC

M::;

1111 Hl f.

ls]

4. Die Genauigkeit der Flächenbestim-mung (mit Rücksicht auf die Fehler des Instruments, oben in 45. Schluß für '***“ das gewöhnliche gm Polarplanimeter JljS 0,02]/F (<pm) gcm für kleinere und mittlere Flä-    J

chen angegeben, bei F=100 efem also z. B. relativ

H.FISCHER.)^

ZU

Fig. 164 b.

Vsoo) ist bei

bei nur

bis V

1500

1000

günstig geformten Flächen für das Kompensationsplanimeter bei F = 100    auf rund */

einer Umfahrung in beiden Lagen anzunehmen, durch das Rollscheibenplanimeter, schon bei derselben Größe von F, aus einer Umfahrung auf Viöoo un(^ weiter, durch das Rollkugelplanimeter auf y₂₀₀₀ und weiter gebracht, wobei diese Zahlen hei den zuletzt genannten Präzisionsinstrumenten von der Form der zu bestimmenden Fläche weniger abhängig sind, als es auch bei den feinem Instrumenten mit endlichem b zutrifft. Für größre Flächenstücke sinken zudem diese Relativzahlen ungefähr im Verhältnis der Quadratwurzel aus F in cjDm, sodaß für große Flächen die Rollplanimeter Genauigkeiten geben, die denen der Flächenbestimmung aus Messungs-

zahlen fast ebenbürtig sind; bei kleinern Flächen steigen die Relativzahlen, für 50 cfctvt auf etwa das l^fache, für 10 <jcm auf das etwa 3- oder 3 y₂ fache.

Bemerkt sei hier auch noch, daß für sehr kleine Flächen, für die wir im <jmm-Netz und */₄ <jmm-Netz ein brauchbares Hilfsmittel kennen gelernt haben (s. 43. 7.), von Amsler auch mehrere besondre Planimeter, u. a. ein „Pantograph-Planimeter“ konstruiert worden sind.

5. Nicht in demselben Sinn wichtig wie die in 1. bis 4. behandelten neuern Präzisionsplanimeter, sondern wegen ihrer großen Einfachheit und Billigkeit (hei allerdings verminderter Genauigkeit) wichtig sind die Traktorienplanimeter. Das allereinfachste und deshalb in diesem Sinn wichtigste ist das von dem dänischen Generalstabsoffizier Prytz vor 25 Jahren erfundne sog. Stangenplanimeter (es sollte besser Beilschneidenplanimeter oder Beilplanimeter heißen, englisch richtig hatchet planimeter; eine Fahrstange haben die Polarplanimeter usf. ebensogut). Das Instrument besteht nur aus einer Stange, die am einen Ende einen Fahrstift trägt, auf der andern Seite die Beilschneide, nämlich eine gegen die Ebene von F konvexe („Beil“-)Schneide parallel zur Stange, vgl. Fig. 165. Die Strecke zwischen der Fahrspitze und dem Punkt von B auf dem Papier ist die Länge a der Planimeterstange, an

IF

g y/ bHy-⁷/ 4 ■ / / / z/////////////"///////////////7/?;v///>^//7777

Fig. 165.

der gewöhnlichen Ausführung des Instruments z. B. von Knudsen in Kopenhagen ist a = 25cm. Umfährt man mit dem Fahrstift eine Fläche F, ausgehend vom Punkt 0 nach Augenmaß beim Schwerpunkt der Fläche, der beliebigen Linie OA zu einem Punkt des Konturs, dann diesem folgend bis A zurück und endlich auf derselben Linie AO zurück zur Anfangsstellung 0 des Fahrstifts, Fig. 166, macht ferner bei der Abfahrt von 0 und nach der Rückkehr auf diesen Punkt je einen Eindruck mit der Beilschneide B auf dem Papier, so ist, wenn Ex und E₂ diese beiden Eindrücke sind und x die am Maßstab abgelesne Entfernung zwischen Ex und E₂ ist (eigentlich Bogen Ex E₂ am Kreis vom Halbmesser a), genähert

(12)

F — a • x.

Soll F in cfcm erhalten werden, so kann man den Maßstab für x gleich so einrichten, daß F ahgelesen wird. Die Genauigkeit der Bestimmung kann wesentlich erhöht werden, wenn das Mittel aus zwei Messungen genommen wird, die mit zwischenliegender 180°-Drehung der Figur gemacht werden. Sind xx und x₂ die zwei Schlußstrecken dieser Umfahrungen und ist r die durchschnittliche Entfernung des Punktes 0 von den Umfangspunkten der Figur, so ist

(13)

F==

Xx+X₂ ( r³ \

Ist r nicht groß im Vergleich mit a, so darf die Klammer gleich 1 gesetzt werden. Wenn man von der zweiten Umfahrung ahsehen und auch die Befahrung von OH in beiden Richtungen zu Beginn und am Schluß ersparen will (die aber das Ergebnis um so mehr verbessert, je weniger 0 vom Schwerpunkt abweicht), also nur von einem Punkt des Umfangs der Fläche F aus fahren und bis zu diesem Punkt zurückfahren will, so ist die Anfangslage des Instruments in die Richtung der Tangente an F in diesem Punkt zu bringen. Man kann auch für diesen Fall die Genauigkeit der Flächenbestimmung erhöhen, wenn man sich die von der Beilschneide beschriebne Trakt orie sichtbar macht durch ein Kohlenpapier, das zwischen die Ebene von F und ein untergelegtes, mit F zusammen auf dem Tisch befestigtes Stück Zeichenpapier eingeschaltet wird, und wenn die Traktorie einfache Gestalt hat. Die Umfahrung beginne z. B. Fig. 167 in A, d. h. Anfangsstellung des Fahrstifts ist A, Anfangslage der Stange AA₁, die Tangente in A. Bei der Fahrt des Fahrstifts von A über B und C nach A zurück beschreibt die Schneide die Traktorie At B₁ Cx A₂, die durch das zwischengeschaltete Kohlenpapier auf der Unterlage sichtbar wird (wenn auf der Fläche von F selbst die Traktorie erscheinen darf, so hätte hier natürlich die Rolle mit scharfem Rand und Farbkissen, vgl. unten, den Vorteil der Einfachheit gegen die scharfe Schneide der ursprünglichen Form des Instruments). Die Fläche F ist nun, wenn der Bogen A₁ At = l ist, genähert, vgl. Gleichung (12)

(14)

F — a l.

Die Näherung (13) wäre viel genauer, wenn der Bogen At A₂ (Mittelpunkt A, Halbmesser a) die Traktorienfläche A₁B₁C₁A₂ halbieren würde, d. h. die Flächen A₁B₁E und EClA₂ einander gleich wären. Wendet man also, nachdem die Schneide in A₂ angekommen ist, das Instrument um, d. h. hält die Schneide in der

Fig. 166.

B,

\ 0,

\/

A A,= a

Fig. 167.

/Qj \Oo

Nähe von A fest, sodaß der Fahrstift genähert einen Kreisbogen beschreibt, und sucht einen Punkt D nahe bei A für die Schneide derart auf, daß der vom Fahrstift beschriebne Bogen nach Augenmaß diese Ausgleichung zwischen positivem und negativem Stück der Traktorienfläche bildet, z. B. in dem Bogen D₁Di, so ist, wenn die Länge des Kreisbogens D₁D₂ — V ist,

(15)

F— a - V.

Der Flächenfehler der Gl. (14) ist damit ebenfalls sichtbar gemacht; er ist gleich dem Betrag der Fläche A₁A₂D₂D₁. Wenn wie im Fall der vorstehenden Fig. 167 die Traktorie ungefähr die Gestalt eines Z hat, so daß nur ein positives und ein negatives Traktorienflächenstück vorhanden ist, so ist dieses Verfahren ganz bequem. Aber auch bei weniger einfachen Traktorienformen ist es noch ganz gut verwendbar; und das Verfahren ist jedenfalls noch einfacher, als wenn man die Umfahrung von F mit um 180° gedrehter Figur wiederholen muß. Man hat freilich bei dieser einfachsten und raschesten Bestimmung von F durch eine Umfahrung, die zudem in einem Punkt des Umfangs von F beginnen kann, keine Kontrolle; will man diese nicht entbehren, so ist zu raten, es bei der doppelten Umfahrung zu belassen, die zweite nach Wendung um 180° und mit Beginn jeder Umfahrung auf einer nahezu vom Schwerpunkt zu einem Punkt des Umfangs führenden Geraden, die zum Schluß wieder zurück befahren wird. Bequem ist bei der oben angegebnen neuen Methode aber auch, daß man den bei der einen, im Umfang begonnenen Umfahrung begangnen Flächenfehler sich so einfach graphisch vor Augen führen kann. Das Kohlenpapier darf während der Umfahrung selbstverständlich gedreht werden, wenn sich zeigt, daß die Schneide darüber hinauszugehen droht.

Auch bei nur einer Umfahrung ist bei nicht zu ungünstig geformten Flächen die Genauigkeit von yi00 bei Flächen von etwa 100 reichen; dabei kann das Instrument für 10 JC. und noch billiger hergestellt werden. Für viele technische Zwecke ist es deshalb sehr willkommen. Eine gründliche Theorie erfordert ziemlichen mathematischen Aufwand; wir übergehen sie deshalb hier. Das Instrument ist neuerdings in vielen ver-schiednen Formen ausgeführt worden, mehrfach z. B. mit Rolle mit scharfem (Schneiden-Rand statt der Beilschneide, so z.B. von Hamann (Friedenau-Berlin) u. a.; dabei kann mit Hilfe eines kleinen Farbkissens, an dem der Schneidenrand der Rolle oben vorbeistreift, die Traktrix der § Schneide aufgezeichnet werden, ,2> falls dies auf der Zeichnung ^ zulässig ist. Erwähnt seien noch die Instrumente von Kleritj (Belgrad, ausgeführt von Leun er in Dresden), Goodman, und besonders das neuerdings als Präzisions-Stangenplanimeter bezeichnete von Pregdl (Chemnitz, ausgeführt von E. 0. Richter daselbst, vgl. Fig. 168), an dem die eine scharfrandige Rolle durch zwei symmetrisch zu a liegende, in kleiner Entfernung voneinander stehende ersetzt und die Bezeichnung der Anfangs- und der Endstellung des Instruments durch eine Federnadel verschärft und vereinfacht ist usf. Für Messung von Grundstücksflächen aus Plänen kommt aber selbst dieses Instrument kaum in Betracht; wohl aber sind diese Traktorienplanimeter wegen ihrer Einfachheit, Billigkeit und steter Anwendungsbereit-

<fcm zu er-

schaff ohne Untersuchung und ohne Probefläche für eine Reihe von andern technischen Anwendungen bequem, wenn es nicht auf große Genauigkeit ankommt.

Fig. 169

F,

6. Sog. Linearplanimeter, die neuerdings wieder aufgetaucht sind, mögen ebenfalls der Vollständigkeit wegen noch erwähnt werden. Man kann nämlich noch eine Scheibe mit scharfem oder fein gezähntem Rand verwenden, deren Linearverschiebung beim Umfahren der Fläche F für deren Inhalt maßgebend wird. Es sind solche Instrumente von Lippincott, Fieguth (ausgeführt von Grotthaus), Weber (ausgeführt von Kern in Aarau) zu erwähnen. Das zuletzt genannte besteht aus zwei rechtwinklig fest ver-bundnen Armen, Fahr- L stange I und Radstab II, deren Vereinigungspunkt 0 in der Nut des Lineals LL (mit Spitzen auf der Ebene von F befestigt)

mm

sich bewegt, Fig. 169. Auf dem Radstab II sitzt B mit feinem scharfgezähntem Rand (bei den andern Instrumenten scharfem Rand), ferner ist an diesem Arm die Teilung T angebracht zur Ablesung der Verschiebung von B auf ¹/10 genau. Verschiebt sich nämlich bei der Umfahrung der Fläche F mit dem Fahrstift am Ende von I dieses Rad auf II um eine Strecke x, so ist, wenn a die Länge der Stange OF ist,

F = a • x,

(16)

wie leicht zu beweisen ist.

Ist z. B. a auf 200 für die Radverschiebung von II x gelten (bei Messung auf alten Karten u. dgl.), daß Unebenheiten des Papiers keinen Einfluß auf das Messungsergebnis haben; man kann also so den Vorteil des Scheibenplanimeters erreichen, ohne das Rad von der Papierfläche abheben zu müssen und ohne den Preis des Instruments zu erhöhen. Die Genauigkeit ist nach Versuchen des Verfassers ungefähr die des einfachen Polarplanimeters..

mm

gestellt und wird nach zweimaliger Umfahrung von F abgelesen, so ist F = Xycm.. Als Vorteil kann

mm

47. Anhang.

Fehlergrenzen für G-rundstüeksflächen bei Katastermessungen. Wir kehren nochmals zurück zu den Fehlergrenzen für Flächen in den Katastervermessungen (vgl. Nr. 41., Schluß), und zwar mögen beispielsweise wieder die Aufstellungen für Preußen, Bayern, Württemberg (vgl. Nr. 24., Schluß) angegeben sein.

In der Regel wird bei Aufstellung der Fehlergrenzen, bis zu denen zwei unabhängige Bestimmungen derselben Fläche sich im äußersten Fall voneinander entfernen dürfen, in den Katastervorschriften der einzelnen Staaten keine Rücksicht genommen auf die Art der Flächenbestimmungen (aus Originalmaßen, halbgraphisch, ganz aus dem Plan ohne oder mit Benützung eines Planimeters).

Die wichtigsten Bestimmungen über die Feststellung der Grundstücksflächen lauten in den genannten drei Staaten:

I. Preußen (Anweisung von 1881).

Für Einzelberechnungen von Grundstücksflächen (sog. Massenberechnung s. u.) darf, wenn F die Fläche ist, die Differenz zweier unabhängiger Bestimmungen derselben Fläche nicht mehr betragen als

d = 0,01 ]/60F -f 0,02 F¹,

wobei F und d in a. zu nehmen sind. Einige zusammengehörige Werte von F und d (dieses in angeschrieben) enthält die folgende Tabelle:

10 <pn. 20 cfm

20 a

50 a

50

2 000 5 000

lHa =    10000

2 Ha = 20000 5Ha = 50000 10 Ha = 100000 20 Ha = 200 000

|Q »O C5 CO O t—

-ß -ß -ß -ß -ß -C -O

3 H 5 5 n

<jm

100 Cfm 2 a =    200 <jm

5 a = 500 Cfm

10 a = 1000

1 <x

am.

11

17

25

CO CO CO t'" tH CO X ^ H H (M r|f

KT 0- <r CO CO co t-H CO CO ^

Die Flächenberechnung zweimal unabhängig zu machen a) von jeder einzelnen Parzelle (und jedem Bonitätsabschnitt in jeder Parzelle), b) in „kleinen Massen“ von einer Anzahl Parzellen zusammen, c) in „großer Massenberechnung“ von der Gesamtfläche der auf einem Kartenblatt dargestellten Grundstücke.

a)    Einzelberechnung: die eine womöglich aus den Originalzahlen, besonders bei kleinen Parzellen (wenn F <( 1 a eine Berechnung jedenfalls aus den Messungszahlen) und bei langen und schmalen Parzellen, die zweite kann graphisch oder planimetrisch sein. Bei Berechnung aus Koordinaten die auf natenwerte in der Regel auf 0,1 m abrunden. Maximaldifferenz der zwei Bestimmungen die obigen Zahlen. Bei Ermittlung aus Plänen 1:4000 oder 1 : 5000 kann das iy₂ fache der obigen d zugelassen werden. Wenn zwischen der ersten Bestimmung aus Messungszahlen und einer zweiten graphischen eine Differenz O als obiges d sich zeigt, so ist die erste Berechnung maßgebend.

b)    Kleine Massenberechnung: möglichst abgerundete Komplexe von in der Regel nicht mehr als 50 Parzellen oder Bonitätsabschnitten und folgender Maximalgröße :

cm

gegebnen Koordi-

Größte zulässige Abweichung zwischen der Flächenermittlung für die Masse und für die Summe der einzelnen Parzellenflächen ebenfalls d.

c) Große Massenberechnung auf Grund des zur Punktauftragung nach Koordinaten auf der Gemarkungskarte verzeichneten Quadratnetzes. Auf die ganze Sollmasse werden die kleinen Massen und hiernach die Einzelflächen abgeglichen.

II. Bayern (Kat.-Instr. von 1898).

Für Einzelberechnungen darf die Differenz zweier unabhängiger Bestimmungen der Fläche F nicht mehr betragen als

80 Ha für den Maßstab 1 : 4000 1 : 2000 1 :1000 1 : 500

30 Ha

8 Ha

2 Ha

'S

d = 0,005 I/F -\- 0,01 • F² für den Maßstab 1 : 1000

d = 0,010 i/F+ö/mTf* „    „

wobei F und d in Ha zu rechnen sind. Einige ausgerechnete Zahlen, mit Angabe von d in <jm sind die folgenden:

1 :2500,

tH

--

M. ?

INS

Cn

1 :1000

d <^m

1 :2500

10

20

<ftn

50

<ftrt

<jm

fO

10 a

100 cfm 200 <jm

500 cfm

1000 am.

11

16

O ^ (M (N tH tH (M CO

2 000 cfm

50 a =    5 000 cfm

1    Ha = 10000 <jm

2    Ha = 20 000 <jm 5 Ha = 50 000 cfm

10 Ha = 100 000 <jm 20 Ha = 200 000 cfm

22

35

50

71

114

166

245

45

71

100

143

229

332

490

Zweimalige Einzelberechnung aus Originalzahlen, mit dem Planimeter oder graphisch; ganz aus Messungszahlen bei kleinen schmalen Grundstücken, sonst die Breitenmaße auf dem Feld mit aus dem Plan abgegriffnen Längen kombinieren. Ganz aus dem Plan: bei Anwendung des Planimeters zweimal umfahren, stets mit Pol außerhalb; sonst Zerlegung in Dreiecke, Vierecke, Trapeze; Papiereingang berücksichtigen.

Bei Kartierung im Maßstab 1 : 1000 ist die Gesamtfläche des Originalblattes Grundlage der Flächenberechnung (auf diese auszugleichen), wenn Anzahl der Parzellen <(100; sonst Flächenabschluß nach Polygonen, bei 1 :1000 3 bis 4 aufs Blatt; bei 1:2500 4 bis 6; Blattseiten dienen als Polygongrenzen, ihre Durchschnittspunkte mit den Feldpolygonseiten berechnen. Polygonberechnung unabhängig zweimal durchzuführen, kleinere so weit als möglich aus Messungszahlen. Für diese Polygonflächen F gilt eine etwas andre Fehlergrenze als die obigen d, nämlich

Af = £ d -f 0,0008 • F für 1 : 1000 \d + 0,0015 • F für 1:2500.

Die Summe der einzelnen Grundstücksflächen auf das Mittel der Polygonflächen, Summe der Polygonflächen auf Blattfläche ausgleichen.

am :

III. Württemberg. (Anweisung von 1895.) Der Unterschied zwischen den zwei unabhängigen Berechnungen eines Grundstücks oder Grundstücksteils F darf die folgende.Grenze nicht überschreiten; Geländeklasse I, II, III wie bei der Längenmessung, vgl. 24., Schluß, F und d in

dx = 0,25 y~F -f- 0,00075 F dIT = 0,50 l/F -f- 0,00075 F dni = 0,75 YF-f 0,00075 F.

Einige zusammengehörige Zahlen sind in der folgenden Tabelle enthalten:

d

I II III

I II III

10

20

2 <x

50 <^m 100 CfTYl

200 cftn

500

10 a

am

1000 <jm

H H Ol CO ^ CO 05

CO O GO TH

20 a

t''- ^ H H Ol

V-

tH tH

2000 5 000 <ftn

1    -ftct = 10000 CfYYl

2    A<x = 20 000 <pn 5 Aa = 50000 cjim

10 Aa = 100000 20 Aa = 200000 am

50 <x

CO h CO o CO H Ol CO O ö)

^ <M O 0O

tH

»O    b*    CO    H    iO    ^    O

CO    O    GC    <N    O    TH    CO

rH (M CO 4

4    CJ    CO    O    05

(N    IO    O    CO    4

CO

4 CO b* H Ol CO

von

Die Zahlen gelten ohne Rücksicht auf die Art der zwei Flächenbestimmungen. Ist die eine Berechnung graphisch gemacht, so ist entsprechend großer Maßstab des Plans vorausgesetzt, nicht kleiner als 1 : 1250. Muß aus irgend einem Grund die eine Bestimmung auf der Flurkarte 1: 2500 gemacht werden, so ist die im äußersten Fall zulässige Grenze der zwei Bestimmungen das l¹/, fache der obigen Zahlen. Die angegebnen d gelten für: Berechnung des Inhalts eines Grundstücks aus Messungszahlen auf Grund zweier verschiedner Aufnahmen; für Berechnungen des Inhalts denen die eine aus Messungszahlen, die andre ganz oder teilweise aus dem Plan; für graphische Bestimmung nach verschiednen Methoden; zwischen Summe der Einzelflächen und dem auf andre Weise bestimmten Inhalt der Gesamtfläche. Wenn der Unterschied zweier Bestimmungen unter d bleibt und die eine ist aus Messungszahlen gemacht, so ist das Ergebnis dieser einen beizubehalten; wenn beide Ermittlungen graphisch gemacht sind, das Mittel aus beiden zu nehmen.

16

Hammer: elementare praktische Geometrie.

Der Vergleich der Zahlen für die verschiednen Staaten zeigt z. T. sehr auffallende Unterschiede. Es ist ferner schon oben bei den Längenmessungen angegeben (s. 28., Schluß), daß diese allgemeinen Katastergrenzen für besondre Zwecke, z. B. bei Stadtmessungen zu weit sind. Andre technische Zwecke kommen hier, bei der Flächenberechnung von Grundstücken, mit besondern Genauigkeitsbedürfnissen kaum in Betracht, im Gegensatz zu den Längenmessungen (vgl. daselbst). Um so mehr sind solche besondre Bedürfnisse bei sonstigen Flächenbestimmungen in der Technik vorhanden, meist, aber nicht ausschließlich, im Sinn geringerer notwendiger Genauigkeit. Es ist oben bei der Zirkeladdition von Trapezstreifenmittellinien und bei den Planimetern schon hierauf eingegangen worden; hierin weiterzugehen, z. B. namentlich auch auf die Bedürfnisse der Statik und Dynamik des Ingenieurs (Mittelordinate zu gegebner Fläche mit Hilfe des Planimeters, weitre Integrierinstrumente, z. B. für Jy²dx usf.) verbietet der Raum.

48. Übungen. Absichtlich sind am Schluß von Kap. 2 keine Übungsaufgaben zusammengestellt, damit das auf die Kleinaufnahme sich Beziehende im Zusammenhang mit dem vorstehenden Kapitel behandelt werden kann.

Es ist dem Anfänger dringend zu raten, nicht zu feinen Instrumenten, besonders dem Theodolit zu greifen, bevor er wenigstens einige Übung im Gebiet der Stückmessung, der kleinen Lageplanaufnahme und ihrer Verwendung erworben hat. Das Handwerkzeug für eine kleine Lageplanaufnahme ist überall leicht zu erlangen, Kreuzscheibe mit aufgesetztem Winkelspiegel, eine Anzahl von Stäben, ein paar 5 m-und ein paar 3 m-Latten, ein Senkel ist alles was man braucht neben einem Gehilfen. Es werden im folgenden einige Notizen besonders im Sinn des Selbstunterrichts gegeben.

1. Man beginne mit Aufnahme einer ganz einfachen selbst ausgesteckten polygonal begrenzten Figur von einigen 100 <jm Fläche, Vier-, Fünf-, höchstens Sechseck. Die gewählten Eckpunkte bezeichne man womöglich mit andersfarbigen Stäben, z. B. schwarzweiß, die Stäbe der gewählten Aufnahmslinie rotweiß, Lotfußpunkte durch schief gestellte Stäbe (während die die Aufnahmslinie ausfluchtenden gut eingesenkelt werden) oder durch oben in die Stäbe eingesteckte kleine Papiere. Der Handriß ist hier so einfach zu führen (es sind nur ein paar Zahlen einzuschreiben), daß schon ein erster Versuch brauchbar ausfallen wird.

Man nehme eine solche Figur mehrfach, auf verschiedne Aufnahmslinien (lange Seite, lange Diagonale, beliebige quer durchgehende Aufnahmslinien) auf und rechne jedesmal sogleich den Inhalt F nach jeder Aufnahme aus, um gleich von Anfang an durch eigne Versuche zu erfahren, was an Genauigkeit der Fläche zu erwarten ist.

Auch eine Aufnahme durch Längenmessung allein führe man an demselben einfachen Polygon durch uud berechne auch hieraus den Inhalt.

Einfache Teilungsaufgaben, nach 40., können sich zweckmäßig hier sogleich anschließen.

2.    Es mögen einige der Hilfsaufgaben folgen, die in 84. besprochen sind, besonders Abstecken von Parallelen, Loten auf die Aufnahmslinie als Hilfsaufnahms-linien. Auch einige der „Aufgaben mit Hindernissen“ führe man durch, weniger im Hinblick auf künftige praktische Verwendung, als eben als Übungsaufgabe.

3.    Nun erst ist angezeigt die Aufnahme eines kleinen Lageplans, auf einem Platz mit wenig Verkehr; vielleicht ein Gebäude oder eine kleine Gruppe von Gebäuden mit umgebenden Wegen, Straßen, Bäumen oder Baumreihen, einigen Einfriedigungen usf. Der Anfänger muß hieran besonders deutliche Handrißzeichnung erlernen. Man wähle einen Lageplan, für den eine einzige Aufnahmslinie oder ein kleines, leicht herstellbares Liniennetz (Dreieck, Viereck) ausreicht.

Überall sorge man für reichliche Kontrollmaße bei der Aufnahme und prüfe

sofort an Ort und Stelle, ob die Proben genügend stimmen. Dabei ist neben der Logarithmentafel auf dem Feld besonders der Rechenschieber gerade für feinere Rechnung bequem, wofür einzelne Andeutungen oben im Text angegeben sind.

4.    Diesen ersten selbst aufgenommenen Lageplan trage man auch dem Handriß gemäß auf. Es ist zu raten, zunächst einmal den Handriß selbst auf mm-Papier in der Art zu kopieren, daß die einzelnen Maße sorgfältiger als auf dem Feld geschehen ist, nach den mm-Linien eingetragen und die Geraden mit dem Lineal gezogen werden, also eine bessere Zeichnung hergestellt wird, als der Handriß selbst liefert, die aber immer noch als Handriß zu gelten hat und in die deshalb alle Maße der Aufnahme einzutragen sind. Nunmehr trage man den endgültigen Plan möglichst sorgfältig, zunächst ausschließlich mit Zirkel und Transversalmaßstab (nebst genau kontrollierten metallnen Zeichenwinkeln) auf Zeichenpapier auf. Als Transversalmaßstab genügt fürs erstemal einer der billigen Kartonmaßstäbe.

5.    Wenn von dem Gelände dieses kleinen Lageplans schon ein amtlicher Plan besteht, gedruckt und käuflich, wie z. B. überall in Städten oder für jede beliebige Stelle, wenn auch nur in kleinem Maßstab in Württemberg und in Bayern, anderswo beim nächsten Katasteramt, Geometer oder Landmesser zu erhalten oder zu kopieren, so versäume man nicht den Vergleich seiner eignen ersten Aufnahme mit der bestehenden amtlichen.

6.    Bei Gelegenheit der Berechnung der Flächen geschlossner polygonaler Figuren gemäß 1. stelle man sich auch selbst rechnerisch zu behandelnde Übungsaufgaben im Sinn von 37., 38. (über Koordinatenumwandlung usf.), um die allenfalls fehlende rechnerische Übung zu erlangen. Rechenmaschinen sind wegen ihres Preises nicht so leicht zugänglich, wer aber tüchtig logarithmisch rechnen gelernt hat, vermißt sie kaum. Man stelle sich selbst auch weitre Aufgaben zur Behandlung mit dem Rechenschieber; man kann nicht oft genug wiederholen, daß gerade für feinere Rechnungen, die richtig durch Kopfrechnen unterstützt und vorbereitet werden, der Rechenschieber ganz unersetzlich ist. Namentlich wähle man solche Rechenschieberaufgaben gleich hier schon aus den Rechnungen im rechtwinkligen ebenen Koordinatensystem.

Z. B.: Die zwei Punkte Px und P₂ sind durch ihre rechtwinkligen Koordinaten in einem Landesvermessungssystem gegeben (z. B. ist P^P₂ eine Zugseite) und zwar:

| xx = + 28422,33 x₂ = -f- 28529,61

y₁ = -J- 9617,14 m Ui = + 9664,46 m ;

auf der Strecke P₁P₂ sind durch die Maße P₁Q₁ = 42,73 m, P₁ Q₂ = 87,36 m, (PtP2 = 117,26 m), die zwei Punkte und Q₂ „eingebunden“; was sind ihre Koordinaten in dem System, in dem P₁ und P₂ gegeben sind?

Wie ist zu rechnen, damit durch Rechenschieberrechnung das richtig ausfallt? Zunächst ist PXP₂ zu kontrollieren; es ist nach den Koordinaten P₁ Pg = j/107,28² -|- 47,32² oder mit der Quadrattafel Px P₂ = 117,25 m, um 1 weichend von der direkten Messung PXP₂ = 117,26. Nun wie die Koordinaten der Q“? Sind (x'y') die gesuchten Koordinaten von Qt, {x" y") die von Q₂, so ist

42,73 117,26

x' = 28422,33 -f 107,28 •

; y' = 9617,14-f 47,32 •

cm

durchaus

cm

ab-

x" = 28422,33 -f 107,28 •

87,36

117,26

— ; 2/"== 9617,14    47,32-

oder

x" = 28529,61 — 107,28 •

Nun ist

42,73_

117^26

/_ 46,904\ \    117^26/

Ü»| LO

29,90

117,26

4,17.    , 29,90

---—— und------

117,3    117,26

; y" = 9661,46 -47,32-

42,73 117,"26 87,36 117^26 29,90 117,26

29,315

117.26

0,58^

117,3 ’

somit ganz mühelos

y' = 9617,14 + 18,92₈ — 1,G84 = 9634,38 m

y" = 9664,46 — 11,83 — 0,235 = 9652,39g m,

x' = 28422,33 -f 42,91, — 3,82 = 28461,42 m

x" = 28529,61 — 26,82 — 0,53s = 28502,25B m,

wobei nur die letzten kleinen Zusätze am Rechenschieber abzulesen sind; östellige log. Rechnung gibt, vgl. unten, die Zahlen durchaus auf 1

•cm,

übereinstimmend.

Xi = -f- 28422,33 xt = -f 28422,33 Ax' = -\-    39,09    Aas"= +    79,92

107,28 E 117,26

2-03052 7■93085

47,32 E 117,26

1-67504

7-93085

107,28

117,26

42,73

87,36

9-96137

1-63073 1•94131

47,32 117^26 • 42,73 87,36

9•60589

1•63073 1-94131

x’ = -f- 28461,42

x” — + 28502,25

y₁ = + 9617,14    y₁=-f 9617,14

Ay'=-{-    17,24    Ay"=-j-    35,25

Are' A x

1•59210 1-90268

1•23662 1-54720

y/=+ 9634,38

y" = -f 9652,39

Oder: Die Endpunkte zweier Messungslimen P₄P₂ und P₈P₄ haben folgende Koordinaten :

,r₃ = -f 27627,08 ly, = — 17218,92

= -f 27632,61    2/i = — 17265,14

xt = -f 27583,13 ys = — 17203,02    | rc₄ =-|- 27562,22 yK = — 17283,70;

wie lauten die Koordinaten des Durchschnittspunkts der beiden Messungslinien? Ganz ohne besondre Rechenhilfsmittel zu rechnen, ohne Logarithmentafel und ohne direktes Ausmultiplizieren großer Zahlen, nur durch Zerlegung. Oder wie mit Hilfe des Rechenschiebers? Je auf 1

cm

genau.

7.    Halbgraphische und reingraphische Flächenberechnung, mit Benützung eines selbst aufgenommenen und selbst aufgetragnen Lageplans polygonal begrenzter Grundstücke kontrolliere man für den Anfang stets dadurch, daß man das Grundstück auch aus den Messungszahlen berechnet. Bei z. T. nicht geraden Begrenzungslinien, in der Stadt z. B. Gehwegkante, ist Berechnung aus den Messungszahlen nicht so bequem.

8.    Eine Harfe stelle man sich, wenn auch roh, selbst her mit Hilfe starken Kartons, wobei ringsum breiter Rand gelassen wird. Ebenso zeichne man sich selbst für einen zu verwendenden Längenmaßstab ein „Schätzquadrat“ zur Flächenermittlung. — Für jeden Techniker ist endlich Übung im Querprofilrechnen nach der Methode der Zirkeladdition der Trapezstreifenmittellinien auf cm-Papier sehr wichtig.

9.    Für den Gebrauch der Planimeter ist im Text genügend Anleitung gegeben. Der Anfänger beweise auch die richtige Wirkung eines der Scharfradverschiebungsplanimeter, z. B. des Weber-Kernschen, Fig. 169. Die Hauptsache aber bleibt der gewandte und richtige Gebrauch aller dieser Instrumente; wie denn stets im Aug zu behalten ist, daß wir es hier nicht mit reiner oder ideeller, sondern nur mit angewandter und anzuwendender elementarer Mathematik, nicht mit Präzisionssondern mit Approximationsmathematik zu tun haben, was alle praktische Mathematik ist und woraus sich ohne weitres die Verpflichtung zur Fehlerdiskussion ergibt.

DRITTES KAPITEL.

DER THEODOLIT ZUM MESSEN BELIEBIGER HORIZONTALWINKEL.

41). Einleitung. Das Instrument, das uns unser Messungsgebiet beliebig zu erweitern gestattet, ist schon mehrfach genannt; es ist der Theodolit. Wir lernen hier nur die kleinen Sorten des Instruments kennen, mit denen Horizontalwinkelmessung nach Bedarf auf 1', 30", 20", 10", aber auch schon auf 5" und selbst 2" möglich ist durch geeignete Messungs-Verfahren. Der Theodolit ist ein Fernrohrinstrument, die Ziellinie oder Zielebene wird nicht mehr durch ein Diopter oder Absehen fürs bloße Auge, sondern durch die Ziellinie eines Fernrohrs gebildet. Dieses Fernrohr ist um zwei Achsen beweglich, nämlich mit der ganzen sog. Alhidade um eine vertikal stehende Achse (Umdrehungsachse, Alhidadenachse, Achse des Alhidaden-Zapfens, Vertikalachse, I. Achse, Hauptachse, Stehachse; besonders der letzte ganz gute Ausdruck ist in letzter Zeit in Deutschland üblich geworden), und sodann für sich allein um eine quer zur Ziellinie und senkrecht zur Stehachse, d. h. horizontal liegende Achse (Kippachse, Horizontalachse, II. Achse), so daß die Ziellinie nach jedem beliebigen vom Standpunkt aus sichtbaren Punkt gerichtet werden . kann, wobei nur bei den meisten Theodoliten Beschränkung in Beziehung auf die Höhen winkel eintreten, indem man bei zu großen Höhen winkeln nicht mehr durchs Fernrohr sehen kann und ähnlich bei zu großen Tiefenwinkeln die Zielung wegen des Horizontalkreises des Instruments nicht möglich ist. Die Zielung nach einem bestimmten Punkt (Einstellung eines Punkts) erfordert Drehungen um die Stehachse und um die Kippachse; durch Drehung der ganzen Alhidade mit dem Fernrohr um die I. Achse wird der Zielpunkt in die Vertikalebene der Fernrohrziellinie gebracht, durch das „Kippen“ des Fernrohrs (die Fernrohrziellinie beschreibt dabei eine Vertikalebene) um die II. Achse wird der richtige Höhenwinkel hergestellt. Jede solche Zielung der Fernrohrziellinie nach einem bestimmten Punkt wird nun auf den horizontal liegenden geteilten Kreis (Teilkreis, Limbus) projiziert und auf diesem Teilkreis durch besondre Mittel fein „abgelesen“. Da die Kreisteilung durchlaufend, und zwar „von links nach rechts“ (d. h. im Uhrzeigersinn) beziffert ist, von 0° bis 360° (alte Teilung), so ist, wenn a die Ablesung bei der Zielung des Fernrohrs nach einem Punkt A, b die Ablesung an dem unverändert bleibenden Kreis bei der Zielung des Fernrohrs nach einem Punkt B ist, der „Horizontalwinkel zwischen A links und B rechts“ gleich der Differenz der Ablesungen, genauer im angegebnen Sinn y = b — a.

Selbstverständlich lassen sieb Horizontalwinkelmesser auch in der Form von Diopterinstrumenten herstellen; ein solches ist z. B. die Gradscheibe (Winkelkopf oder Winkeltrommel), ein Kreuzscheibenkopf (konisch oder zylindrisch, vgl. 9. u. 11.) mit einer Absehebene (Schlitzepaar oder Spaltenhaardiopter oder Punktreihenhaardiopter usf.), wobei aber auf dem am Fuß des Kegelstumpfs vorstehenden Rand oder auf einer schmalen Kegelstumpffläche an der Basis des zylindrischen Kopfs eine Kreisteilung aufgetragen ist, während der Kopf selbst (das Diopter) drehbar ist.

Durch einen Indexstrich, meist mit beigefügtem Nonius (vgl. unten), liest man an der Teilung durch Schätzung oder mit diesem Nonius auf 5' oder 2' ab. Wo diese Genauigkeit ausreicht, z. B. für ganz flüchtige Zugmessung (s. Kap. 4), kann die Gradscheibe, die wie die Kreuzscheibe ein einfaches Stockstativ hat, oft mit Vorteil verwendet werden. Auch Spiegel- und Prismeninstrumente, ohne Diopter, vielmehr durch die Koinzidenz der zwei Zielpunkte wirkend, lassen sich zum Messen beliebiger Winkel einrichten, wenn der eine Spiegel oder das eine Prisma nicht fest, sondern drehbar gegen das zweite angeordnet und ein Horizontalkreischen beigegeben wird.

Eine andre Art von Horizontalwinkelmesser, der in einer der gröbern Formen jedermann bekannt ist, ist die Bussole, die eigentlich zunächst nicht zum Messen des Horizontalwinkels zwischen zwei beliebigen Richtungen, sondern zur Festlegung einer horizontalen Richtung gegen eine bestimmte feste Richtung, die des magnetischen Meridians, zu dienen hat. Die Differenz zweier solcher „Richtungen“ ist dann freilich wieder der Horizontalwinkel zwischen beiden. Die Bussole kann eine Freihand- oder Stockbussole zur Ablesung von Zielrichtungen ohne Diopter auf 10° oder 5° oder eine Stockdiopterbussole zur Ablesung von 1° und dgl. oder endlich eine feinere Diopterbussole mit längerer Nadel oder eine Fernrohrbussole sein. Wir kehren später gelegentlich zur Bussole zurück, wo sie sich sogar sehr wichtig zeigen wird (z. B. in manchen Zweigen der Tachymetrie); für jetzt kann sie uns nicht dienen.

Der Name Theodolit ist etymologisch nicht recht aufgeklärt. Soweit bis jetzt nachgewiesen, tritt er plötzlich bei den zwei englischen mathematischen Schriftstellern Digges 1571 und 1591 auf als Theodelitus und Theodolitus (das Wort ist ohne h am Schluß zu schreiben und man sagt im Deutschen besser „des Theodolits, dem Theodolit, den Theodolit, die Theodolite“ statt des Theodoliten, . . die Theodoliten). Es handelt sich bei Digges wahrscheinlich um eine Verbindung des englischen Artikels mit einem aus Alhidade korrumpierten Wort, nicht um eine aus griechischen Stammwörtern schöpfende neue Namengebung; aus dem Griechischen überkommen, wie neuerdings deutsche Philologen wieder glaubhaft machen wollten, ist das Wort sicher nicht. Die Alhidade ist arabischen Ursprungs, wie so viele heute noch in der praktischen Geometrie und Astronomie gebrauchte Wörter (Zenit, Nadir, Azimut usf.); es ist eigentlich unrichtig, „die Alhidade“ zu sagen, da Al nichts als der Artikel ist (vgl. „das Eldorado“). Die Bedeutung ist „der Zeiger“; sie war ursprünglich ein um den Mittelpunkt des geteilten Kreises drehbares Lineal, außen mit dem Zeiger zur Ablesung an der Kreistfeilung (deshalb oft auch Arm statt Alhidade in ältern Schriften und die Vermutung, Alhidade hänge mit einem andern arabischen Wort zusammen, das als Ärmling übersetzt werden könnte; die Bedeutung Zeiger ist aber sicher, es wäre nur eigentlich besser, Alidade zu schreiben, wie es im Französischen und Englischen geschieht). Das Instrument hat seine heutige Form hauptsächlich unter den Händen englischer Mechaniker erhalten, besonders haben John Sisson in den ersten Jahrzehnten des 18. Jahrh. (Schüler von George Graham), in der zweiten Hälfte des 18. Jahrh. Short, der große Ramsden, Adams, in Deutschland in den ersten Jahrzehnten des 19. Jahrh. Reiehenbach dem Instrument seine wesentlich endgültige Form gegeben, wenn auch bis heute fortwährend Verbesserungen erfunden worden sind. Bemerkenswert ist, daß, obwohl mit dem AnfaDg des 17. Jahrh. Fernrohre zur Verfügung standen (das sog. einfache astronomische oder Kepplersche Fernrohr seit 1611), die am Theodolit hätten gebraucht werden können, und William Gascoigne (Gascoygne) das Fadenkreuz im Fernrohr gegen 1640 erfunden hatte, doch die Teleskopierung kleiner geodätischer Instrumente nur so langsam vorschritt, daß noch im ersten Drittel des 18. Jahrh. der Theodolit nur dann und wann mit Fernrohr versehen wurde.

Neben dem Horizontalkreis des Theodolits zum Messen der Horizontal-vvinkel oder Azimutalwinkel kommt für die praktische Geometrie auch

noch ein zweiter vertikal stehender Kreis oder Kreisbogen, der Höhenkreis oder Höhenbogen, zum Messen von Höhenwinkeln oder Zenitdistanzen in Betracht. Oft läßt man den Namen Theodolit unverändert auch einem Instrument, das auch mit diesem zweiten Kreis (Höhenkreis oder Vertikalkreis oder mit Höhenbogen) ausgestattet ist; oft heißt ein solches „altazimutales“ (d. h. gleichzeitig zur Messung der altitudo = Höhenwinkel, wie zur Azimutal winkelmessung taugliches) Instrument, wenn beide Kreise denselben Durchmesser haben und gleich fein abgelesen werden können, Universalinstrument oder Universal. Ein Theodolit ohne Höhenkreis dagegen oder mit einem nur nebensächlichem Höhenkreis oder Höhenbogen (der nur als „Sucher“ zu dienen hat), der einen großen feinen Horizontalkreis hat, heißt wohl auch Azimutalkreis; ein Instrument nur zur Messung von Höhen winkeln oder Zenitdistanzen, ohne Horizontalkreis oder nur nebensächlichem kleinem Horizontalkreis (Sucher, d. h. nur zum Aufsuchen von Zielpunkten in bestimmter Azimutaleinstellung bestimmt) heißt oft Höhenkreis oder Vertikalkreis.

Bleiben wir für unsern Zweck durchaus bei dem Namen Theodolit. Von Höhenwinkelmessung, auch wo ein Höhenwinkel in den folgenden Figuren angedeutet ist, machen wir innerhalb des vorliegenden I. Bandes dieses Buchs keinen Gebrauch.

Wir betrachten im folgenden zunächst nur kurz einzelne Teile des Instruments, die wir an andern Instrumenten wiederfinden werden (z. T. schon an frühem Instrumenten erwähnt haben), nämlich

1.    das Fernrohr, und zwar das Fernrohr mit Ziellinie und

2.    die Libellen. Eine solche muß an dem Theodolit vorhanden sein, weil wir nur mit ihrer Hilfe die Stehachse (Achse des Zapfens des

>r

drehbaren Oberteils des Instruments“', der Alhidade) genügend vertikal richten und die Kippachse horizontal legen können. Diese Teile 1. und 2. zusammen geben uns später auch das Instrument zum „Nivellieren“, ein Nivellierinstrument zur Bestimmung von Höhenunterschieden auf die einfachste und genauste Art, vgl. den II. Abschnitt des vorliegenden Buchs. Sodann wenden wir uns zur Einrichtung

3.    des Teilkreises und der Vorrichtungen zur Verfeinerung der Ablesung („Ablesevorrichtungen“), wobei wir uns in den Ablesemitteln für unsre nächsten Zwecke im allgemeinen auf den sog. Nonius beschränken. Erst darauf werden wir

4.    das Instrument zusammensetzen, seine sonstigen Einrichtungen kennen lernen. Erwähnt sei vorläufig nur nochmals, daß es sich für uns hier nur um kleinere Theodolite handelt, deren Teilkreisdurchmesser stets zwischen etwa 9 cm und etwa 21 cm liegen. Die Ablesung durch einen Nonius kann in diesen beiden Grenzfällen, wie wir bald sehen werden, bis auf 1' oder bis auf 10" (alter Teilung) gebracht werden. Dem entsprechen auch die Fernrohre, die von einer Vergrößerung von etwa 10, die heutzutage sich auch an ganz kleinen Instrumenten findet, bis zu etwa 30 oder etwas darüber gelten.

50. Fernrohr. Es können hier nur wenige Andeutungen über die Einrichtungen des Zielfernrohrs unsrer kleinen Theodolite gegeben werden,

und es ist deshalb auch hier nicht von Bedeutung, daß man mit Recht die alte, wesentlich Eulersehe Entwicklung der Fernrohrgesetze schon in den elementaren Leitfäden durch die Gaußschen ersetzt hat, die nicht mehr wie jene die Linsendicken stets als vernachlässigbar annimmt usf.

Auch heute haben noch sicher mehr als 90 v. H. aller geodätischen Instrumente astronomische Fernrohre¹), umgekehrte Bilder gebend; außerhalb Deutschlands legt man allerdings z. T. mehr Wert auf aufrechte Bilder, z. B. in den Vereinigten Staaten. Die Bildaufrichtung muß aber nicht mehr notwendig durch das optisch sehr geringwertige „terrestrische Okular“ besorgt werden. Beim Theodolit zur Horizontalwinkelmessung handelt es sich stets nur um das Anzielen von Punkten, Fußpunkten von Stäben oder Stangen, oder andern Zielpunkten, oft geradezu leuchtenden Punkten, die wie ein Stern erscheinen, so daß man hier durchaus keinen Grund hat, das optisch beste, das sog. astronomische Fernrohr zu verlassen. Das Galileische oder holländische Fernrohr ist als Zielfernrohr nicht brauchbar, weil man nirgends darin ein Fadenkreuz sichtbar machen kann, s. u.

Die „Bedingungen deutlichen Sehens“, der möglichst scharfen Wahrnehmung eines Gegenstandes durch das Auge des Beobachters, lassen sich etwa folgendermaßen aussprechen:

a)    Es ist eine gewisse von dem Gegenstand ausgehende Lichtmenge notwendig, damit auf der Netzhaut des Auges ein Bild entsteht. Das Auge ist in gewissem Sinn ein photographischer Apparat, eine Camera obscura, deren Hintergrund mit sich stets erneuernder lichtempfindlicher Schicht, dem sog. Sehpurpur überzogen ist. Es ist zwar durch die Erweiterung der Pupille bei geringerer Lichtmenge und durch Zusammenziehen der Iris, d. h. Verengerung der Pupille bei heller Beleuchtung automatische Regelung vorhanden, aber unter einer gewissen Grenze der Beleuchtung ist die Wahrnehmung nicht mehr möglich, kann z. B. an einem Strich eines geteilten Kreises nicht mehr abgelesen werden.

b)    Dabei darf die Dauer der möglichen Wahrnehmung nicht zu gering sein, wenn das Bild zum Bewußtsein kommen soll; kommt für uus nicht in Betracht.

eines

(0,1 Mikron = 0,1 p,). Die Beleuch-

mm

0000

c)    Die Größe eines durch die Linse des Auges auf der Netzhaut des Auges entworfnen Bildchens darf nicht unter eine gewisse Größe herabsinken, wenn es zum Bewußtsein kommen, d. h. der Gegenstand wahrgenommen werden soll, von dem dieses Bildchen entworfen wird. Übrigens genügt dazu, besonders auf der empfindlichsten Stelle der Netzhaut, der sog. Netzhautgrube, eine außerordentlich kleine Strecke, nach Broun u. a. rund ¹/1 tung des Gegenstands spielt eine große Rolle (die leuchtenden Sterne in der Entfernung oo wahrgenommen). — Viel größer muß der Abstand zweier Lichtpunkte auf der Netzhaut sein, damit sie getrennt wahrgenommen werden sollen; dieser Minimalabstand ist abhängig vom Durchmesser der in der Netzhaut vorhandnen „Zapfenenden“ oder „Stäbchen“. Für diesen Durchmesser ist im Mittel 4 bis 5 (i gefunden worden. Wenn die Lichtpunkte auf zwei verschiednen Zapfenenden liegen, sieht man sie getrennt, wenn sie auf demselben liegen, nicht.

d) Das Wichtigste ist für uns die sog. deutliche (günstigste) Sehweite, in die man z. T. unbewußt einen Gegenstand vors Auge bringt, um ihn möglichst gut zu sehen, z. B. feinen Druck auf hellem Papier. Für das normale Auge liegt diese „Entfernung des günstigsten Sehens“ in etwa w = 25 cm, bei Augen verschiedner Beobachter schwankt aber die Zahl stark. Ist der Abstand vom Auge, in der ein Beobachter einen Gegenstand am deutlichsten wahrnimmt, wesentlich größer als 25 cm, z. B. 50 cm und mehr, so ist das Auge weitsichtig (normale, allmählich eintretende und fortschreitende Alterserscheinung, meist schon vom 45. oder 50. Lebensjahr an); sinkt er stark unter 25 cm herab (bis auf einige cm bei Einzelnen), so ist das Auge kurzsichtig (kommt in allen Lebensaltern vor; kurzsichtige Augen bleiben dies in der Regel, sind aber häufig sehr scharf).

vom Auge

In beiden Fällen entstehen die Bilder von Gegenständen in 25 durch die normale Brechung der Augenlinse nicht auf der Netzhaut, sondern davor oder dahinter; es muß durch passende Gläser dafür gesorgt werden, daß diese zu große oder zu kleine deutliche Sehweite künstlich auf das Normalmaß gebracht wird und es ist im allgemeinen zu raten, daß bei Beobachtung mit dem Fernrohr, z. B. am Theodolit, dieses Glas nicht abgenommen werde, besonders bei hohen Graden von Kurzsichtigkeit. Immerhin muß auch bei durch Brillen korrigierten Augen die Möglichkeit am Fernrohr usf. gegeben sein, das Instrument für ein bestimmtes, vom normalen abweichendes w einzustellen; schon weil auch für einen und denselben Beobachter w nicht konstant ist, sondern von der Beleuchtung usf. abhängt. Daß das menschliche Auge mit normal etwa w = 25 fernungen (biB zu

wahrnehmen kann, 'hat seinen Grund in der ebenfalls automatischen „Akkomodation“ (die Linse nimmt eine etwas andre Form an, die Irisöffnung, die Pupille, erweitert sich bei größrer Entfernung usw.).

Ungefähr messen kann man w für ein bestimmtes Auge u. a. dadurch, daß man bei geschlossnem zweitem Auge mit der einen Hand einen ziemlich starken, glatten und gleichmäßigen weißen Nähfaden direkt an das Auge hält und mit Daumen und Zeigefinger der zweiten Hand spannt. Man sieht einen undeutlichen weißen Kegel, von dessen Spitze an nach auswärts aber der Faden in seiner wirklichen Form erscheint. Die Entfernung vom Auge bis zur Spitze dieses Kegels, allerdings nur auf einige

von der Beleuchtung und andern Umständen, auch für dasselbe Auge nicht konstant-

cm

trotzdem Gegenstände auch in viel großem Ent-oo, Sterne), wenn auch mit rasch sich vermindernder Deutlichkeit

cm

cm

genau festzustellen, ist w. Es ist, wie schon angedeutet, etwas abhängig

Da unsere Fernrohre im allgemeinen aus Konvexlinsen (Ausnahme bei der einen Linse astronomischer Doppellinsen s. u.) zusammengesetzt sind, so behandeln wir zunächst

1. Die Konvexlinse. Lichtstrahlen, die parallel zur Achse einer Konvexlinse auf diese treffen und sie passieren, vereinigen sich (nahezu) in einem Punkt dieser Achse, der um die sog. Brennweite f der Linse von ihrem Mittelpunkt M entfernt liegt (bei plankonvexer Linse ist der Punkt M auf der gewölbten Fläche anzunehmen).

Der Wert von f ist (wenn wir die Voraussetzung vernachlässigbarer Linsendicke machen, die an sich nicht gerechtfertigt ist, vgl. oben) abhängig von den Halbmessern der die Konvexlinse bildenden Kugelflächen und vom Brechungskoeffizienten oder Brechungsindex der Glassorte, aus der die Linse besteht (vgl. u. a. 11., 3.). Ist dieser Index = n,

z. B. für eine bestimmte Glassorte = 1,49, so ist, wenn rt und r₂ die Halbmesser der Linsenflächen sind

(1)

also z. B. mit rx = r₂ = 20 cm bei dem angegebnen n = 1,49

(O 7 “ °’⁴⁹ (^ + *>) “ °’⁰⁴⁹’

oder

f — 20,4

cm

= 204

mm.

Ist für eine plankonvexe Linse, wo also rx == oo ißt, der Halbmesser der gewölbten Fläche = r, so ist

(2)

* (w-i)i

f    r

oder

— 1

Für plankonvexe Kronglaslinsen (n um 1%) ist also die Brennweite ungefähr doppelt so groß als der Halbmesser der gewölbten Fläche, für plankonvexe Flintglaslinsen (n um l²/₃) etwa iy, mal so groß als dieser Halbmesser.

Läßt man nun durch die Linse L, Fig. 170, von einem beliebigen Gegenstand A außerhalb der Strecke MF — f ein Bild entwerfen, so

F,

Achse

f₂

Fig. 170.

besteht bekanntlich zwischen der „Gegenstandsentfernung“ a (> f), der „Bildweite“ b und der Brennweite f der Konvexlinse die Gleichung

~    ~ = y (dioptrische Grundformel).

Es ist also stets & > f} nur mit a = oo (z. B. Stern) wird = 0, also

~    , b = f, das Bild eines oo-weit entfernten Gegenstands entsteht im

Brennpunkt Fx der Linse; schon für große a, für die im Vergleich mit

* sehr klein wird, trifft dies sehr genähert zu.

Ist z. B. a nur == 100 m, f—Zb cm, so wird für b in 1 1

(3)

cm

oder

b 25    100 • 100

0,03990

25

= 25 (1 + 0,0025) = 25,00 -f 0,06 .. = 25,06 cm, hinter dem Brennpunkt , s. u.

2. Lupe. Die seitherige Betrachtung entspricht einem sog. reellen Bild, das die Linse entwirft; es ist im Vergleich mit dem Gegenstand verkleinert

cm

A — 0,0001    1 — 0,0025

das Bildchen entsteht nur noch 0,6

mm

und liegt umgekehrt. Es heißt reell, weil es „wirklich vorhanden“ ist, z. B. auf einem Papierschirm aufgefangen und beliebig vielen Beobachtern gezeigt werden kann Bei der Camera obscura wird es auf der lichtempfindlichen Platte aufgefangen; und es ist von dem heute so verbreiteten Photographieren her jedermann bekannt, daß man in Übereinstimmung mit der vorstehenden Rechnung von einem gewissen Wert von a an keine Verkleinerung des Abstands b mehr notwendig ist, um alle Punkte scharf auf die Platte zu bekommen, das Bildchen entsteht eben schon z. B. für a — 200 m praktisch genau im Brennpunkt.

Wird aber a <Cf, d. h. tritt der Gegenstand A, von dem die Linse das Bild entwirft, zwischen den Brennpunkt F.₂ und die Linse, so ist

~ > ~ und also nach (3) y = -j— — negativ; das Bild entsteht auf

derselben Seite der Linse, auf der der Gegenstand sich befindet, es ist im Vergleich mit diesem vergrößert und ist aufrecht, die Linse wirkt als Lupe, vgl. die Konstruktion der Fig.l 71. Dieses Bild ist aber nicht mehr reell, kann nicht auf einem Schirm aufgefangen werden, ist nur für einen bestimmten Beobachter vorhanden, es heißt virtuell oder imaginär. Die Grundgleichung der Lupe lautet, wenn die Strecken wieder alle absolut genommen werden

HH

F,

•A

Fig. 171.

MK-f

Fig. 172.

(4)

a b f

3. Lupe am Theodolit. Eine solche Lupe ist nun nicht nur, wie wir gleich sehen werden, der eine Teil eines Fernrohrs, sondern kommt auch sonst am Theodolit vor, besonders zur Ablesung an dem fein geteilten Kreis (oder den zwei Kreisen). Es fragt sich, in welche Entfernung vom zu betrachtenden Gegenstand muß ein Beobachter mit der günstigsten Sehweite w die Lupe bringen, um den Gegenstand vergrößert scharf zu sehen? Es sei z. B., Fig. 172, A ein Strich der durch die Lupe L (Mittelpunkt M) zu betrachtenden Teilung; F sei der Brennpunkt, und wir wollen annehmen, zugleich der Ort des Auges des Beobachters. Das virtuelle, vergrößerte und nicht verkehrt liegende Bild B, das dem Beobachter die Linse L vom Strich A entwirft, soll also in der Entfernung w vom Punkt F entstehen. Nach der Grundgleichung (4) für die Lupe ist damit, wenn l die gesuchte Lupenstellung (Brennpunktstellung gegen Ä) bedeutet,

(5)

l-f

oder nach kurzer Reduktion:

1 =

oder Entfernung des Linsenmittelpunkts M von A

(6)

2 wf— P _ 2f — — w    w

Ist (l — f) für einen Beobachter mit der günstigsten Sehweite wx richtig gestellt, so muß also ein zweiter Beobachter mit der Sehweite w₂ < wx die Entfernung (l — f) kleiner machen, die Lupe zum Strich A hinschieben, bevor er diesen deutlich sieht. Die Gleichung (7) zeigt auch, da (l — f) positiv sein muß, daß als Lupe nur eine Linse wirksam werden kann, deren f < w ist.

Jst z. B. f = 4 cm, für einen Beobachter wx = 25 obachter w₂ = 15 cm, so braucht der zweite Beobachter mit kleinrem w die Lupe um

cm

und für einen zweiten Be-

Q| — j®) cm = rund 4,3 mm näher zum Strich hingeschoben als der erste; beim ersten liegt der Lupenmittelpunkt rund um 33 ¹/₂ mm, beim zweiten um rund 29¹/ä mm von dem Strich entfernt, der durch die Lupe zu betrachten ist.

Als Vergrößrung v der Lupe bezeichnet man nach den vorstehenden Annahmen meist den Bruch

(8)

ii'

V = -w

Hiernach scheint es, daß die „Vergrößrung“, die die Lupe gibt, von der günstigsten Sehweite abhänge und um so kleiner sei, je kleiner w ist. Da aber mit kleinrem w, wie oben gezeigt, die Lupe weiter gegen A geschoben werden muß, so ist der Unterschied unbedeutend. Übrigens ist statt des herkömmlichen (8)

(9)

zu

nehmen,

wenn das Auge des Beobachters nicht wie bisher angenommen im Brennpunkte F sich befindet, sondern dicht vor der Linse. Übereinkömm-lich wird oft als Mittel aus (8) und (9)

(10)

w . 1

*’""7 + 2

angenommen, für die verschiednen möglichen Stel

lungen des Auges zwischen F und L.

das Lupenröhrchen umfassenden federnden Brennpunkt) Lupenring oder Lupenhalter, zweckmäßig während des Durchsehens, um das günstigste Bild gleich festzuhalten. Oft, aber weniger zweckmäßig ist die Verschiebung der Lupe auch durch Aus- und Ein schrauben her-

Die einfachen Lupen, mit denen eine Theodolitkreisteilung (Nonius, s. u.) abgelesen wird, haben zweckmäßig keine starken Vergrößrungen, meist nicht über 3 oder 4, um möglichst unverkrümmte Striche zu sehen. Der Ort des Auges ist oft durch die Art der Lupenfassung gegeben, es soll bei den altern Lupenfassungen dicht an das obere Loch des Lupenröhrchens gebracht werden, Fig. 173. Die Verschiebung der Lupe, die nach (7) jedenfalls möglich sein muß, geschieht von freier Hand in dem oAu£e

Halter

ling

>s lvupe

^"NcStriche der

,---JLimbusteilung.

Striche des Nonius.

Fig. 173.

zustellen, besonders bei österreichischen Instrumenten. Die Linse ist in einer „Fassung“ in das Röhrchen eingesetzt, die jedenfalls herausgeschraubt werden kann, bei Benützung der Linse. Das Gesichtsfeld der Ableselupen ist oft zu schmal, es sollte, um die Lupe bequem brauchbar zu machen,

groß sein. Wenn für eine Lupe stärkre Vergrößrung gebraucht wird, so ist eine sog. Doppellupe (bessre Bezeichnung zweiteilige Lupe) zu nehmen, mit der man bis zur Vergrößrung 6 u. dgl. kommt; die zwei Linsen sitzen am untern obern Ende des Lupenröhrchens.

Solche „zusammengesetzte Lupen“ werden oft auch in der Form der sog. „Mikroskoplupen“ gebraucht (von den Ablesemikroskopen zu unterscheiden; sie dienen nur zur ziemlich stark vergrößerten Betrachtung der Striche einer Limbus-und der zugehörigen Noniusteüung); u. a. macht oft Hildebrand, Freiberg, von solchen in längre Röhren einzubringenden Mikroskoplupen Gebrauch, Vergrößrung bis 10 u. dgl.

4. Einfaches astronomisches oder Kepplersches Fernrohr. Dieses Fernrohr, von Keppler erfunden und in der Dioptrik 1611 bekannt gegeben (man schreibt den Namen Keppler am besten so, wie ihn Keppler selbst in fast allen seinen deutschen Schriften geschrieben hat), besteht einfach aus zwei Konvexlinsen: die eine davon, das Objektiv (die dem Gegenstand oder Objekt zugewendete Linse) bat ein reelles Bildchen des zu betrachtenden Gegenstands zu entwerfen und dieses kleine umgekehrt liegende Bildchen wird durch die zweite Linse, das Okular (Name davon, daß die Linse am Auge liegt), die lediglich die Funktion einer Lupe hat, vergrößert betrachtet. Diese Lupe kehrt, wie wir wissen, nicht nochmals um, man sieht also in diesem „einfachen astronomischen Fernrohr“ ein umgekehrt liegendes vergrößertes Bild des Gegenstandes. Die Objektivlinse hat dabei eine beträchtliche Brennweite F (z. B. bei unsern kleinen Theodolitfernrohren 12, 15, 20, 30 cm, an großem Instrumenten noch mehr), die Okularlinse, als Lupe, eine kleine Brennweite f‘ z. B. f — 1 cm oder 2 cm.

Das schon etwas vor Keppler erfundne holländische Fernrohr (von holländischen Brillenschleifern und dann nochmals von Galilei erfunden) aus einer konvexen Objektivlinse und einer konkaven Okularlinse bestehend und ein aufrechtes Bild gebend, auch heute noch in den billigem Sorten der „Feldstecher“ (Anwendung vgl. z. B. 8. 1.) gebraucht, ist als Theodolitfernrohr und überhaupt als Zielfernrohr nicht geeignet, weil es nicht das Anbringen eines Fadenkreuzes (s. u.) gestattet.

Länge des Fernrohrs und ihre Regelung. Welche Länge muß nun ein solches Fernrohr (F,f) erhalten, d. h. welche Entfernung L muß der Objektivlinse und der Okularlinse gegeben werden, damit ein Beobachter mit günstigster Sehweite w einen Gegenstand, der a vor dem Objektiv sich befindet, im Fernrohr deutlich sieht? Wir wollen bei dieser Gelegenheit nicht nur pochmals den Ort des reellen vom Objektiv ent-worfnen Bildchens (wieder viel dichter hinter dem Brennpunkt Fx des Objektivs zu denken als in der Figur angenommen, weil hier a zu klein gezeichnet werden muß), sondern auch seine Größe berechnen. Für den Ort ist, wenn x die Entfernung des Bildchens vom Mittelpunkt des Objektivs bedeutet, die Gleichung schon angegeben (s. (3))

Für die Höhe z des reellen Bildchens, wenn der Gegenstand selbst die Höhe h hat, ergibt sich nach der Figur die Proportion

(12)

h-F -⁼ a — F

Denken wir uns, um bestimmte Zahlenvorstellungen zu gewinnen, die Objektiv-

; der betrachtete

Gegenstand sei eine starke, 5 m hohe Signalstange in den Entfernungen a = 10 m, 100 m, 1000 m, 10000 m vom Objektiv des Fernrohrs. Man erhält aus (11) und (12) die in der folgenden kleinen Tabelle angegebnen Werte von x und von z:

Das reelle Bildchen rückt also, wie wir schon oben gesehen haben, mit wachsendem a rasch in den Brennpunkt der Objektivlinse, selbst für a nur =10 m liegt es nur stark % dem Brennpunkt, bei a = 100 m nur noch stark Die Größe des Bildchens ferner ist, ganz kleine a ausgenommen, praktisch genau a umgekehrt proportional und nimmt demnach mit wachsendem a rasch ab; bei a — 100 m Entfernung ist das reelle Bildchen der 5 m hohen hoch, bei « = 1000 m also nur l¹/.

brennweite unsres einfachen astronomischen Fernrohrs sei F — 250

F= 250

mm

z für h = 5 m

10

100

1000

10000

256,4

250,6

250,1

250,0

mm

mm

mm

mm

Stange nur noch 1V₄

cm

o<

mm

mm

1,25

mm

0,125

mm

mm.

mm.

mm

cm

hinter

Eben wegen dieser geringen Größe wäre nun dieses reelle Bildchen im Fernrohr von kleinem Nutzen (kommt nur für die Photographie, Objektiv als Linse in Kamera, in Betracht), wenn es nicht durch die Okularlinse als Lupe vergrößert würde. Wir nehmen als Ort des Auges links in Fig. 174 wieder den vordem Brennpunkt der Okularlinse F[ an in der Entfernung f vom Mittelpunkt des Okulars. Das durch die Okularlinse als Lupe vergrößerte Bild soll in der Entfernung w vom Auge des Beobachters entstehen; ist endlich y der Abstand des Lupenbilds von der Mitte der Okularlinse, so liest man also aus der Figur die drei folgenden Gleichungen ab:

(13)    f -j- y = w (Fernrohrbild in günstigster Sehweite)

(14)    ~    # ⁼ F (s* GL (11), dioptrische Grundgl. für die Objektivlinse)

(15)    -jr ^    ~ = y (s. Gl. (4), dioptrische Grundgl. für die Okularlinse).

Die sehr einfache Elimination von x und von y aus diesen drei Gleichungen gibt nach Reduktion den Ausdruck für die Fernrohrlänge L in Funktion der Brennweiten F und f, des Abstands a des Gegenstands vom Objektiv und der günstigsten Sehweite des Beobachters. Der Ausdruck läßt sich leicht auf folgende Form bringen:

(16)

Wenn a groß wird, so wird das erste Glied rasch praktisch genau = F (Nenner des 1. Glieds = 1), und da jedenfalls nicht groß ist, so ist für

Ok

Führungsringe, oben durchbrochen (ur Zahnstange

Fig. 175.

ist. Bei verschiednen a ist von einer gewissen, nicht hoch liegenden Grenze an, L bald nicht mehr zu verkürzen; wenn man einen Gegenstand in a = 200 nt Entfernung deutlich sieht, so sieht man, vgl. die Zahlen x der    |

Fig. 174.

große a nahezu L = F + f, Summe der Brennweite. von Objektiv und Okular. Die Interpretation der Gleichung (16) zeigt aber folgende zwei wichtige Sätze:

a) Für denselben Beobachter, w konstant, muß L um so größer werden, je kleiner a ist und es ist L um so kleiner zu machen, je größer a

Zahnrädchen -tt'Z ahnstan^e

IIIHII _

0bj_

Objektiv-Röhre

3 —f

JjpE

>1

4i

■chs

sc

b) Wenn zwei verschiedne Beobachter wx und w₂ (z. B.

< wx) ein Fernrohr zur Betrachtung desselben Punkts in der Entfernung a vom Objektiv verwenden, so braucht der Beobachter mit dem kleinern w₂ Verkürzung des Fernrohrs im Vergleich mit dem Beobachter wx (der Betrag ist z. B. oben bei der Lupe ausgerechnet).

Aus beiden Gründen a) und b) muß die Länge L des Fernrohrs verändert werden können. Beim Handfernrohr geschieht dies bekanntlich in der Form der „Züge“, durch die man zugleich ein solches Fernrohr in bequemes Taschenformat zusammenschieben kann (es soll zur Reglung der Länge bei solchen terrestrischen Zugfernrohren das Fernrohr erst vollständig ausgezogen und dann nur der letzte „Zug“ am Auge benützt werden). Bei den Fernrohren an Meßinstrumenten ist im allgemeinen die Einrichtung stets die, daß das Fernrohr    I

aus zwei Röhren zusammengesetzt ist, dem langem und weitern    |

Objektivrohr und dem dünnem und kürzern, in jenem ver- ₄^ schiebbaren Okularrohr. Die Verschiebung selbst geschieht nur selten von Hand (oft bei Fernrohren großer Theodolite, die nur für große Zielweiten bestimmt sind und hei denen deshalb für denselben Beobachter kaum eine Verschiebung des Okularrohrs notwendig ist), bei den

Fernrohren kleinrer Theodolite stets mit Hilfe von Zahnstange und Trieb, Fig. 175. An der Okularröhre ist eine Zahnstange eingelegt (bei Theodolitfernrohren oben, bei Nivellierfernrohren oft an der Seite) in die ein durch eine Handscheibe FL zu drehender „Trieb“ (im ersten Fall oben, im zweiten oft unten angebracht), d. h. ein Zahnrädchen eingreift. Eine etwas sanftre Bewegung der Okularröhre erreicht man durch die neuerdings vielfach getrolfne Anordnung, daß auf dem kleinen durch H gedrehten Zylinder kein Stirnzahnrädchen angebracht wird, sondern in Schraubenlinien geformte Zähne eingeschnitten sind, die sich auf der Zahnstange in gerade, schrägliegende Zahnstege abwickeln (sog. Schrägstange). Natürlich läßt sich die Herstellung des notwendigen L auch auf eine Bewegung des Objektivrohrs durch eine solche Zahnstange mit Trieb bei fester Okularröhre übertragen, in Amerika viel gebraucht, bei uns fast

Bl !

MM

-F₂

Glas

IN

Fi

Mg. 176.

Mg. 177.

nur in Fällen, wo es nicht anders gemacht werden kann. Anschläge an dem Okularrohr hindern zweckmäßig dessen völliges Herausschrauben; der Gang der durch Ringe (Führungsringe) und Schleiffedern (eine oder mehrere) geführten Okularröhre muß sanft und genau zentrisch (nicht „schlagend“, d. h. ohne Spielraum) sein.

Bei Theodolitfernrohren kommt (bei den hier zu behandelnden Aufgaben) Einstellung von Punkten dicht vor dem Objektiv nicht in Betracht (kann hier ersetzt werden durch Ersetzung des Fernrohrs durch eine andre Zielvorrichtung auf oder am Fernrohr); bei Fernrohren von Nivellieren ist es aber häufig erwünscht, auch auf kurze Strecken noch gute Bilder einer vor dem Instrument stehenden Latte zu erhalten.

5. Blende und Diaphragma. Fadenkreuz. In jedem gut gebauten Fernrohr sind mehrere Blenden zwischen Objektiv und Okular angebracht, in der Mitte durchbrochne befestigte Scheiben, deren Öffnungs-durchmesser vom Objektiv gegen das Okular hin abnehmen und durch die die schlechte Bilder gebenden „Randstrahlen“ abgehalten werden. Die Hauptblende ist im Okularrohr, bei kleinen Fernrohren oft allein vorhanden; diese Blende Jß hat außer der genannten eine fernere wichtige Funktion: sie dient zur Aufnahme des „Fadenkreuzes“. Die Fernrohre unsrer Meßinstrumente dienen nämlich nicht sowohl zur Betrachtung ferner Gegenstände, sondern sind Zielfernrohre; es ist in ihnen eine Ziellinie (auch Absehlinie, Zielachse usf. genannt) herzustellen mit der ein Punkt angezielt, anvisiert wird, d. h. die genau in die Richtung nach dem Punkt gebracht wird. Über den Blendring B mit zentrischer runder Öffnung (Diaphragma) sind nämlich zwei äußerst feine Fäden Ft und Fg vertikal und horizontal gespannt, F₁ oben und unten, F₂ zu beiden Seiten mit etwas Wachs oder Schellack befestigt. Der Anblick von B nach herausgenommenen Okularlinsenröhrchen ist der der zweiten

Fig. 176. Das Material der Fäden sind dünne Spinnfäden (von der kleinen schwarzen Steinspinne, im Freien überall unter Steinen zu treffen) frisch gesponnen, gedämpft und beim Aufziehen auf dem herausgenonunnen und horizontal gelegten Blendring durch angehängte Wachskügelchen etwas gespannt. Der richtige Ort zum Anlegen auf B ist durch dort eingerissne Linien angegeben. Die Fäden sind in sehr verschiedenen Stärken zu bekommen, von etwa 5 ^ an = 0,005 mm bis zu Vielfachen davon, meist in kleinen Instrumenten 10 bis 20 /u stark. Oft ersetzt durch feine Striche auf dünnen Glasplättchen (Glasstriche, meist ebenfalls Fäden genannt); dünne Metallfäden, Silber und dgl. vielfach versucht (wie zu Beginn der Einführung des Fadenkreuzes im Fernrohr), korrodieren aber zu leicht und sind im ganzen nicht als Ersatz der Spinnfäden brauchbar. Fadenkreuze kommen in allen möglichen Formen vor, vgl. Fig. 177, mit einfachem und doppeltem Vertikalfaden (im letzten Fall Zielpunkt in die Mitte zwischen die zwei Fäden zu bringen), mit einfachem Horizontalfaden, mit drei verhältnismäßig weit auseinanderliegenden Horizontalfäden, bei Strichfäden auf Glasplättchen oft mit abgekürzten äußern „Fäden“, was vor Verwechslung noch besser schützt. Schrägliegende Fäden vielfach in Amerika für bestimmte Zwecke verwendet; dort auch feine Drahtspitzen, die nur bis gegen die Mitte des Gesichtsfelds reichen. Die Spinnfadenlinien müssen als feine, scharfe, dunkle Geraden in dem Gesichtsfeld des Fernrohrs erscheinen, die Glasstriche zeigen helle Reflexe an den Kanten. Glasstriche haben den Vorzug der Unveränderlichkeit, während Spinnfäden in feuchtem Wetter schlaff werden können; dagegen beschlägt sich in diesem Fall auch leicht das ganze Glasplättchen und macht das ganze Fernrohr zeitlich unbrauchbar, auch setzen sich Staubkörnchen usf. auf die Glasplatte und diese nimmt auch in ganz reinem Zustand etwas Licht weg. Die Ebene der Fäden heißt Fadenebene oder (bei Glasplatte) Strichebene. Genau in der Fadenebene muß das von der Objektivlinse entworfne reelle Bildchen des Gegenstands in der Entfernung a erscheinen; denn beides zusammen, das reelle Bild und die Fäden, sind gemeinsam durch das Okular als Lupe zu betrachten und dabei sollen die Fäden gegen die Punkte des Bildchens eine feste Lage haben, s. 51.

Durch den Schnittpunkt S der zwei Fäden (Vertikalfaden und Horizontalfaden) auf der Fadenebene und durch den Mittelpunkt der Objektivlinse ist die Ziellinie des Fernrohrs gegeben (Zielachse, oft auch optische Achse genannt, was aber nicht zweckmäßig ist, da man von einer optischen Achse bei jedem Fernrohr ohne Ziellinie sprechen kann; Visierlinie, Absehen, Kollimationslinie sind weitre Synonyma).

Wie schon angegeben Erfindung von William Gascoigne in England gegen 1640, bald auch in Frankreich von Auzout und Picard gebraucht; Spinnfäden erst von der Mitte des 18. Jahrh. an, gleichzeitig Glasplättchen, vorher Metallfäden (Silber) oder feiner Faserstoff (Seide).

Für die Horizontalwinkelmessung kommt eigentlich nur der Vertikalfaden in Betracht. Da dieser aber nie so genau senkrecht im Gesichtsfeld des Fernrohrs steht, daß es gleichgültig wäre, welchen Punkt des Vertikalfadens man zur Einstellung eines Zielpunkts benützt, so braucht

Hammer: elementare praktische Geometrie.

man doch auch schon zur Horizontalwinkelmessung einen Horizontalfaden, der allerdings nur die Funktion hat, einen bestimmten Punkt des Vertikalfadens zu bezeichnen. Man braucht also ein Fadenkreuz.

Ebenso ist später beim Nivellieren oder beim Höhenwinkelmessen der Horizontalfaden die Hauptsache; es muß aber an ihm ein bestimmter Punkt durch einen Vertikalfaden bezeichnet sein.

Die Ziellinie eines Fernrohrs kann im allgemeinen in dem Rohr stets etwas verlegt werden, indem zwar der Objektivmittelpunkt bei kleinen Fernrohren stets ein unveränderlicher Punkt des Objektivrohrs ist, dagegen der Blendring JB, der die Fäden trägt, nicht nach Art der Fig. 176 fest im Okularrohr sich befindet, sondern von Richtschrauben gehalten wird, vgl. 51.

6. Vergrößrung, Gesichtsfeld, Helligkeit. Die wichtigste Zahl für ein Fernrohr, nach der seine Leistung vor allem zu beurteilen ist, ist die Vergrößrung des Fernrohrs; andre wichtige Begriffe sind: Gesichtsfeld, Helligkeit, Trennung eines Fernrohrs.

Als Vergrößrung (lineare Vergrößrung) bezeichnet man das Verhältnis der Winkel, unter dem vom Augpunkt aus das im Fernrohr erscheinende Bild eines Gegenstands und dieser Gegenstand selbst, ohne Fernrohr, erscheinen. Man kann näherungsweise dafür setzen: Brennweite des Objektivs F dividiert durch Brennweite des Okulars f (oder vielmehr am jetzigen astronomischen Fernrohr, vgl. 51., Aquivalentbrennweite des zusammengesetzten Okulars f) (17)

und h = 5 m.

Man pflegt diese Näherungsformel so herzuleiten: hat der mit dem Fernrohr betrachtete Gegenstand die Höhe h, so ist das vom Objektiv entworfene reelle Bild-F

mm

chen z — h ---— hoch, vgl. oben bei (12) mit Tabelle für F — 250

<x — _r

w

Die Okularlupe vergrößert linear dieses Bildchen — mal, die Höhe des virtuellen

w F

Bildes ist also - • h • -----—; und da dieses sich in der Entfernung w vom Auge befindet, so ist, wenn ß den Winkel bedeutet, unter dem dieses Bild dem Beobachter erscheint,

(18)

tgß =

F    h

a — F w f a — F

Der Gegenstand h selbst in der Entfernung a (wobei es gleichgültig ist, ob dieses a noch vom Objektiv oder vom Auge aus gerechnet wird, da die Strecke des Fernrohrs zwischen Objektiv und Auge, genähert (F -f- 2 f) gegen a nicht in Betracht kommt), erscheint aber unter dem Winkel a nach (19)

Es ist also sehr nahezu

R i-Oö

(20)

oder bei jedenfalls kleinem Winkel a und auch nicht großem Wert von ß ungefähr (17) richtig.

Die Vergrößrungen der Fernrohre an unsern kleinen Theodoliten gehen, wie schon angedeutet, von v = 10 oder 12 bis zu v = 30 oder 35 (dies schon nur bei großen Nivellieren, nicht mehr an kleinern Theodoliten, ferner an Tachymetern mit möglichst kräftigem Fernrohr). Bei den Fernrohren großer Theodolite und großer Nivelliere sind oft mehrere Okulare (verschiedne f) beigegeben, um eine Vergrößrung nach Bedarf wählen zu können.

Um die Vergrößrung eines vorgelegten Fernrohrs zu bestimmen, hätte

man nach (17) F und die Äquivalentbrennweite des Okulars f zu messen, was außerhalb einer physikalischen Werkstatt usf. schließlich genügend für F, aber nicht für f geschehen kann. Genauigkeit in der Zahl v ist auch nicht erforderlich, man will nur wissen, ist v = 14 bis 16 oder 24 bis 26.

Man begnügt sich deshalb meist damit, das Fernrohr gegen irgendwelchen gleichförmig geteilten Gegenstand, die Skale einer „Nivellierlatte“ oder auch nur eine Backsteinwand, die Ziegelreihen eines Dachs zu richten und das Bild des Gegenstands im Fernrohr zur Deckung zu bringen mit dem direkt gesehenen Bilde; deckt ein Teil des Fernrohrbildes n Teile (Reihen) des direkten Bildes, so ist v = n. Dieses Verfahren geht nur an, solange die Entfernung bis zur Latte (Wand, Dach) klein ist. Eine kleine Abänderung dieses Verfahrens hat Jordan angegeben: Man sieht mit dem rechten Auge durchs Fernrohr nach einer in der Entfernung l davor senkrecht gestellten Nivellierlatte, mit dem linken Auge nach einem Zirkel, der in der linken Hand in günstigster Sehweite vor dem Auge gehalten und mit dessen Spitze in der Luft, scheinbar an dem Fernrohrbild, die Größe eines bestimmten Stücks der Skale, z. B. 1 3m der Nivellierlatte geradezu abgestochen wird. Ist w die Entfernung der Zirkelspitzen vom Auge und erhält man als Länge der Zirkelstrecke beim Anlegen an den natürlichen Maßstab (z. B. Rechenschieberkante) t mm, während der an der entfernten Skale betrachtete („abgestochne“) Abschnitt T mm umfaßt, so ist

(21)

t T t-l

v==w:T = ^TT'

Das Abgreifen von t mit dem Zirkel in der Luft ist aber nicht bequem; man kann statt dessen eine genügend befestigte Kante in der scharf zu messenden Entfernung w verwenden (vertikaler Kartonstreifen, an dem man mit dem Zirkel abgreifen kann, ohne daß eine Teilung daran zu sein braucht). Eine weitre Methode, die Messung des Durchmessers des hellen Kreises, der als Bild des „nutzbaren“ Teils des Objektivs auf einem unmittelbar hinter dem Okular gehaltenen Schirm erscheint, ist theoretisch einfach, praktisch aber nur genügend mit Hilfe eines kleinen Instrumentchens (dem sog. Dynameter des sogleich zu nennenden Ramsden) auszuführen. Das Verhältnis der nutzbaren Objektivöffnung zum Durchmesser des kleinen Lichtbildchens ist die Vergrößerung.

Das Gesichtsfeld g eines Fernrohrs ist die Winkelöffnung des kegelförmigen Raums, der auf einmal mit dem Fernrohr übersehen werden kann. Es ist bedingt durch die Weite der Diaphragmenöffnung (des runden Lochs in der Blende B, Fig. 176, und durch die Entfernung dieser Blende vom Objektivmittelpunkt. Für a — oo und schon für jedes beträchtliche a ist diese Entfernung = F (reelles Bild im Brennpunkt des Objektivs); ist also b die Weite des Blendringlochs, so darf gesetzt werden (Winkel nicht groß, so daß seine tang genügend gleich dem Winkel selbst in analytischem Maß)

z. B. für g in Minuten g' =    • 3438'.

(22)

wenn wie oben v die Vergrößrung des Fernrohrs bedeutet. Das Gesichtsfeld g ist also, darauf kommt es hier zunächst an, umgekehrt proportional der Vergrößrung v des Fernrohrs und zwar in Minuten in runder Zahl (800 bis 1000)':«;, neuerdings wohl auch wieder etwas größer.

Bei einem einfachen astronomischen Fernrohr mit 00 fach er Vergrößrung wird also das Gesichtsfeld etwa 30' = -^° betragen, bei v = 20 etwa g — s/₄ °, hei v = 10 schon iy₃° (mit 1200' in (23) statt 800' oder 900' lauten die Zahlen für v = 30, 20, 10, gf=s/₄°, 1°, 2°). Großes Gesichtsfeld des Fernrohrs bei kleinen Instrumenten ist erwünscht wegen leichterer Aufsuchung von anzuzielenden Punkten. Bestimmung des Gesichtsfelds sehr einfach: man weist auf einer Wand, vor der in im Entfernung (30m oder 50 m) das Fernrohr so aufgestellt ist, daß die Zielung ungefähr normal zur Wand geht, an dem linken und rechten oder obern und untern Rand des sichtbaren Teils der Wand einen Gehilfen mit einer Bleistiftspitze ein; ist c die Entfernung der zwei

Z. B. war bei einem Theodolitfernrohr von etwa 27 cm Fokal-

Q

Striche, so ist g = --q.

länge und 34 C = 47 cm.

mm

freier Objektivöffnung bei Z = 27,5 m die Entfernung der zwei Striche Damit ist g —    . 3438' = 59', fast genau 1°. Ohne Gehilfen c durch

Ablesung am obern und untern oder linken und rechten Rand an einer Latte, die vor dem Fernrohr vertikal gestellt oder horizontal gelegt ist.

Die Helligkeit des Fernrohrs sei nur noch kurz erwähnt. Die Helligkeit des im Fernrohr sichtbaren Bildes hängt zunächst ab von der Lichtmenge, die in das Fernrohr eindringen kann, ist also unter sonst gleichen Umständen proportional dem Quadrat des Durchmessers der „Öffnung“ des Objektivs; sodann ist bei stärkrer Linearvergrößrung v die Helligkeit kleiner, d. h. die Helligkeit umgekehrt proportional v², unter sonst gleichen Umständen (gleicher Durchmesser des Objektivs usf.) ist die Helligkeit des Bilds in einem iy₂mal so stark (linear) vergrößernden Fernrohr

groß ^ mal so groß ) als in dem andern Fernrohr. Bei der

Erfahrungsgemäß kann man, um unverkrümmte Bilder auch gegen den Rand des Gesichtsfelds zu erhalten, die Weite b im äußersten Fall etwa % besser nur J/₄ der Brennweite des Okulars (nachher, heim wirklichen heutigen Fernrohr mit positiven Okular, der Aquivalentbrennweite des Okulars) machen. Setzt man dies in (22) ein, so erhält man:

1100' _ 1100'

FTf ~ WT“

850'    850'

(23)

mit b = jf | g' = ^• 3438' = rund • 3438' = rund

mit b = jf

F-.f

nur noch etwa halb so

Beurteilung der Helligkeit kommt auch noch in Betracht der selbst wechselnde Durchmesser der Pupille des Beobachters. Immerhin kann man die „Helligkeit“ Ji der Bilder im Fernrohr setzen

(24)

C‘ v* ’

wenn _D den Durchmesser der freien Objektivöffnung in deutet; den Koeffizienten c setzt, um den Vergleich mit der „natürlichen Helligkeit“ = 1 zu erreichen, Jordan = ¹/₆.

Einige weitre für die Beurteilung der Leistung eines Fornrohrs wichtige Begriffe können nur noch aufgezählt werden: die Bilder sollen gut „eben“, reflexfrei, unverkrümmt sein (an dem betrachteten Gegenstand scharf gerade Linien sollen auch im Bild, bis zum Rande des Gesichtsfelds scharf als Gerade erscheinen), die Bilder sollen

mm,

v die Vergrößrung be-

ferner „farblos“ erscheinen, nämlich nicht mit spektralfarbigen Säumen umzogen sein. Auf diese Forderung des Achromatismus ist in der folgenden Nummer näher einzugehen, ebenso auf die Forderung der Geradlinigkeit gerader Objektlinien im Bilde. Ein weitrer besonders für größere Fernrohre wichtiger Begriff ist die „Trennung“. Zwei Fernrohre von gleicher Konstruktion, in allen Abmessungen und damit in Vergrößrung, Gesichtsfeld, Helligkeit nicht verschieden, können von demselben Gegenstand (in derselben Entfernung) Bilder geben, an denen man im einen noch feinere Einzelheiten dieses Gegenstands erkennen kann als im andern; ein guter Prüfungsgegenstand ist z. B. ein Baum mit oder besser ohne Laub in größrer Entfernung. Das eine Fernrohr „trennt“ besser als das andre; hierin zeigen sich vor allem die Güte der Linsen (Homogenität der Gläser, genaue Bearbeitung der Linsenflächen), richtige Abblendungen usf. Geprüft wird die Trennung am besten mit Hilfe einer Figur in Form eines großen gleichwinkligen Straklenbiischek, an dem die sich folgenden schmalen Winkelräume abwechselnd weiß und schwarz bemalt sind und das aus passender Entfernung (z. B. 100 m) mit dem Fernrohr betrachtet wird. Je näher bis zum Nullpunkt des Strahlenbüschels man die schwarzen und weißen Keilfelder noch scharf unterscheiden kann, desto besser „trennt“ das Fernrohr.

51. Fernrohr, Fortsetzung: heutige Fernrohre. Fadenkreuz. Anzielen eines Punkts mit dem Fernrohr. Zielfehler. Das einfache (Kepp-lersche) astronomische Fernrohr, das nur aus zwei Linsen: Objektiv zum Entwerfen des kleinen reellen Bildchens des Gegenstands, Okularlupe zur vergrößernden Betrachtung dieses umgekehrten Bildchens besteht, ist nun längst nicht mehr im Gebrauch und zwar wegen der sog. Farbenabweichung und der sog. Kugelabweichung („Abweichung“ von dem gewünschten Zustand der Bilder; chromatische und sphärische Abweichung oder Aberration).

1,5)

Ob) Rohr

Flint

Fig. 178.

1. Achromatisches Objektiv. Vor allem ist das Objektiv zu achromatisieren, nicht' mehr als einfache Linse zu wählen, sondern als achromatische Linse oder Achromat zu konstruieren. Das reelle Bildchen, das ein einfaches Objektiv entwirft, zeigt farbige Säume, auf der einen Seite rote, auf der andern Seite blaue, die sehr störend sind; bei der Brechung der Lichtstrahlen im Objektiv tritt eben gleichzeitig die Zerlegung des weißen Lichts in die Spektralfarben ein. Durch Zusammensetzung der Objektivlinse aus zwei Linsen aus Glassorten mit ziemlich verschiednen Brechungskoeffizienten ist es gelungen, die Bilder immer besser zu achromatisieren, „farblos“ zu machen. Es wird eine Konvexlinse aus Kronglas (bleifreies Glas, Brechungsindex um und eine Konkavlinse aus Flintglas (bleihaltiges Glas, Brechungskoeffizient um 1,7 und mehr) kombiniert zu einer als Konvexlinse wirkenden Linse (theoretische Arbeiten von Euler 1747 und 1762; praktisch zuerst ge- Kron^ nügend durch John Dollond 1758; fehlerfreie Flintgläser | durch Guinand und Fraunhofer am Anfang des 19. Jahrhunderts). In den Objektiven sind die zwei Linsen in den für uns in Betracht kommenden Fernrohren stets mit „Kronglas voraus“ zusammengesetzt (Kronglas gegen den Gegenstand gekehrt); die Flintglaslinse ist oft fast plankonvex, s. Fig. 178. Beide Linsen sind meist mit feinem Balsam (Canadabalsam) zusammengekittet und dürfen nur von einem sachverständigen Optiker getrennt werden.    Neuerdings auch in

kleinem Fernrohr oft die zwei Linsen ohne Bindemittel zusammengesetzt (im ersten Fall oft Zersetzung des Balsams, im zweiten Fall eindringender Staub störend).

Der Achromatismus des reellen Bildes ist jetzt sehr weit gebracht; übrigens spielt die Intensität der Beleuchtung des betrachteten Gegenstands eine Rolle, z. B. zeigt ein in jeder Beziehung ausgezeichnetes astronomisches Fernrohr von Utz-schneider und Fraunhofer in der geod. S. T. H. St. (Kometen such er mit 75 Öffnung, Fokus 70

mm

cm, Okulare mit v = 60, 80, 100), das von kleinen Fixsternen, am Mond usf. sehr schöne scharfe und farblose Bilder gibt, auf die Yenus gerichtet ziemlich starke farbige Säume; ein Nivellierfernrohr mit v — 35 gibt bei mittlerer Tagesbeleuchtung einer Nivellierlatte ganz farblose Bilder davon, bei Sonnenschein auf der Latte aber blaue Säume, usf.

2. Zusammenwirken zweier Linsen in einem „System“. Negative und positive Okulare, Huygens und Ramsden und neuere Okulare. Abgesehen von dieser Doppellinse als Objektiv enthält aber das heutige Fernrohr nie mehr nur eine weitre Linse als Okular wie bei Keppler; wegen der sog. Kugelabweichungen wendet man vielmehr lieber schwach als stark gekrümmte Linsen an und zerlegt die für einen bestimmten Zweck notwendige Brechung des Lichtstrahls auf zwei brechende Linsen statt sie durch eine einzige ausführen zu lassen.

Zwei solche in einem „System“ zusammen wirkende Linsen kann man sich nun stets „ersetzt“ denken durch eine dem System der zwei Linsen äquivalente“ Linse. Die Brennweite f dieser Aquivalentlinse ergibt sich, wenn /j und f₂ die Brennweiten der zwei einzelnen Linsen sind und e deren Abstand bedeutet, aus der zweiten dioptrischen Grundgleichung:

(25)

f-

fi +    —e

Man hat zweierlei Fernrohreinrichtungen, die diese Zerlegung der Brechung auf zwei Linsen zeigen, die von Huygens (dem großen niederländischen Physiker, Astronomen und Mathematiker 1629—1695; die in Deutschland immer noch ganz überwiegend gebräuchliche Schreibweise Huyghens hat gar keine Berechtigung, Huygens selbst hat sich nie so geschrieben; sprich: Heuchens) und die von Ramsden (einem ausgezeichneten englischen Feinmechaniker und Optiker 1735—1800; sprich: Rämsdn), ferner die aus dem Ra ms den sehen Okular weiter entwickelten neuen Formen. Huygens hat ein in zwei getrennte Teile zerlegtes Objektiv (abgesehen also von der nach seiner Zeit eingeführten zweiteiligen Form der Objektivlinse selbst), Ramsden hat ein einfaches Objektiv (das an sich aus zwei dicht beisammensitzenden Linsen besteht, die es zum Achromaten machen) und dazu ein zweiteiliges Okular, nämlich eine starke Doppellupe zur Vergrößrung des vom Objektiv gelieferten Bildchens.

a) Die bei Huygens vorhandne „dritte Linse“, das sog. Kollektiv, gehört also zum Ohjektivsystem; die im eigentlichen Objektiv gehroch neu Strahlen werden durch das „Kollektiv“ noch stärker gebrochen und stellen dann erst das reelle Bildchen in der Fadenehene her. Dabei sitzt aber diese Kollektivlinse nicht im Objektivrohr (es gibt auch eine Fernrohr-

Diaph. mit Fäden

j_I    Ok. (Doppellupe)

Fig. 181.

konstruktion mit einem solchen Kollektiv im Objektivrohr, d. h. in festem Abstand vom eigentlichen Objektiv, das Porrösche Fernrohr, das aber für jetzt für uns keine Bedeutung hat), sondern im Okularrohr und wird also mit diesem verschoben. Kollektiv und Augenglas sind in der Regel plankonvexe Linsen, früher in genau konstantem Abstand voneinander so montiert, daß ihre Brennpunkte vor dem Okular (Augenglas) zusammenfielen. Das Diaphragma mit den Fäden ist zwischen dem Kollektiv und dem Okular (woraus sich die Zugehörigkeit des Kollektivs zum Objektivsystem ergibt, es ist am Zustandkommen des reellen Bildes be-man die Entfernung zwischen Fadenebene und Augenglas muß verändern können (Beobachter mit verschiednen w brauchen, um die Fäden deutlich zu sehen, die sie zusammen mit dem reellen Bild durch die Okularlinse als Lupe betrachten, verschiedne Entfernungen zwischen Augenglas und Fadenebene) so haben früher die Mechaniker, die Huy-genssche Okulare verwendet haben, die Blende im Okularrohr verschiebbar

Diaph. fest

teiligt). Da

Obj.

Diaph mit Fäden •Br.P- -

z±B

Ti * TZ

HF. Okjfest)

Fig. 179.

Kollektiv

Diaphragma in der Längsrichtung verschiebbar

TT

KoH.

'I LH

Ok in der Längsrichtg verschiebbar

Fig. 180.

HF in Längsrichtung verschi ebbar.

eingerichtet. Neuerdings läßt man lieber den Ort der Blende unveränderlich, muß aber dann das Okular verschiebbar machen, vgl. Fig. 180; es muß durch ein Halteschräubchen feststellbar gemacht werden. Es wird also auf das genaue Zasammenfallen der Brennpunkte von Kollektiv und Augenglas verzichtet.

b) Bei Ramsden ist im Gegensatz hierzu, wie schon erwähnt, das Objektiv einteilig, abgesehen von seiner Zusammensetzung aus zwei Linsen, um Achromatismus des reellen Bilds herzustellen). Die starke Doppellupe zur Betrachtung von reellem Bild und Fäden zusammen besteht in der Regel aus zwei plankonvexen Linsen, die ihre gewölbte Seite einander zukehren; sehr dicht vor der zweiten, gegen das Objektiv hin, liegt das Fadenkreuz. Hier ist zur Herstellung der richtigen Entfernung zwischen Okularlupe und Fadenebene fast stets das Fadenkreuz fest im Okularrohr, die in sich unveränderliche, in einem besondern Röhrchen untergebrachte Doppellupe verschiebbar und durch ein Halteschräubchen feststellbar.

Wie im Fall a) und b) der Blendring in Wirklichkeit im Okularrohr gehalten wird, ist sogleich anzugeben; die Figg. 179 bis 181 zeigen schematisch die Anordnung der Linsen zueinander bei Huygens und bei Ramsden; Trieb usf. ist weggelassen. Das Huygenssche Okular (der Ausdruck ist eigentlich hier nicht streng richtig) heißt oft auch negatives, das Ramsdensche Okular positives Okular. Für beide Einrichtungen werden in den Lehrbüchern meist bestimmte Zahlenverhältnisse für die Brennweiten und Entfernungen der Linsen im Okular angegeben (das Kollektiv bei Huygens gehört eigentlich zum Objektiv), die aber starken Abänderungen bei den einzelnen Zusammensetzungen unterworfen sind und keine allgemeine Gültigkeit haben. Bemerkt sei nur noch, daß bei gleichen Objektiven und auch sonst unmittelbar vergleichbarer Einrichtung der Fernrohre das Huygenssche größres Gesichtsfeld und etwas größre Helligkeit gibt, das Ramsdensche Okular dagegen mit stärkrer Vergrößrung gebaut werden kann.

14 mm

c) Neuere positive Okulare. Der Gebrauch der Huygensschen Einrichtung an den Zielfernrohren der Meßinstrumente ist immer mehr zurückgegangen. Gegenwärtig werden in Deutschland fast ausschließlich Ramsdensche Okulare oder Abänderungen dieses positiven Okulars gebraucht. Eine solche Abänderung ist das „orthoskopische“ Okular von Kellner (Optiker in Wetzlar; Erfindung 1849); „geradsichtig“ oder „rechtsichtig“, nämlich perspektivisch genau richtige Bilder gebend, gerade Linien auch gegen den Rand des Gesichtsfelds scharf und nicht gekrümmt, dabei sind diese gut „ebenen“ Bilder noch besser achromatisiert und das „scheinbare Gesichtsfeld“ des Okulars konnte beträchtlich vergrößert werden. Die Verbesserung im Vergleich mit Ramsden ist besonders dadurch erreicht, daß das Augenglas der Doppellupe (die letzte Linse rechts in Fig. 181) selbst ein kleiner Achromat, nicht eine einfache Linse ist. Mit solchen orthoskopischen Okularen, besonders von Hensoldt in Wetzlar verbessert, werden jetzt fast alle feinem (auch schon die kleinen) geodätischen Instrumente in Deutschland ausgerüstet. Die genannte optische Werkstatt, Hensoldt in Wetzlar, ist 1907 abermals einen Schritt weitergegangen in dem „Euryskop-Okular“, einem positiven Okular mit Doppellupe nach Ramsden, in dem aber nicht nur das Augenglas, sondern auch noch die zweite Linse der Doppellupe als kleiner Achromat ausgebildet ist. Es sind jetzt also nur noch achromatische Doppellinsen im ganzen Fernrohr, die Objektivlinse und jede der zwei die Doppellupe des Okulars bildenden kleinen Linsen. Das scheinbare Gesichtsfeld des Euryskop-Okulars konnte abermals vergrößert werden (bis 45°), Bilder sind absolut eben und farbenrein, Ort des Auges liegt bequemer, weiter als bisher vom Augenglas ab. Der Preisunterschied gegen das orthoskopische Okular ist nicht groß: ein orthoskopisches Okular mit 5 bis Äquivalentbrennweite kostet 12 Ji, ein Euryskopokular mit einer solchen Brennweite 18 Ji.

Die Äquivalentbrennweite positiver Okulare ist die gemäß (25) zu berechnende Brennweite der Doppellupe. Die Zahl, die entsteht, wenn man mit der Okular-Äquivalentbrennweite in die Brennweite des Objektivs dividiert, ist genähert die Vergrößrung des Fernrohrs (vgl. (17)). (Beim Huygensschen oder negativen Okular sollte man eigentlich von der Aquivalentbrennweite des Objektivs sprechen; es kommt aber jetzt, wie angeführt, kaum noch in Betracht.)

Ob ein Fernrohr optisch gut zusammengesetzt ist, ist nach Vergrößrung, Gesichtsfeld, Helligkeit; Trennung; Ebenheit, Richtigkeit, Farbenreinheit der Bilder zu

beurteilen. Eine gute Probe ist folgende: wenn man mit Hilfe des Okulartriebs ein scharfes Bild eines Gegenstands mit genau graden Linien (geometrische Figur schwarz auf weißem Grund; Striche usf. auf einer Nivellierlatte u. dgl.) hergestellt hat, so soll dieses Bild bei geringer weitrer Bewegung der Okularröhre nach jeder der beiden Seiten hin rasch aufhören, scharf zu sein. Ist der angezielte Punkt ein heller Lichtpunkt (Stern Nachts), so soll im angegebnen Fall rasch eine rund begrenzte matt beleuchtete Scheibe aus dem Bild des Lichtpunkts werden. Als bei neuern Fernrohren mit positiven Okularen an Theodoliten und Nivellierern meist ungefähr gültige Regel sei noch angeführt, daß die freie Öffnung des Objektivs meist ziemlich genau so viele beiiP=28 bis 30

stattete Fernrohr „erträgt“ dann ein Okular, das eine Yergrößrungszahl für das Fernrohr gibt, die abermals ungefähr mit jenen zwei Zahlen übereinstimmt, z. B. bei dem genannten Objektiv 26 bis 28fach, so daß als Okular-Äquivalentbrennweite etwa zu wählen wäre. Fernrohre von Theodoliten hat man übrigens neuerdings mit Erfolg abzukürzen gesucht, weil dann auch bei zentrischem Fernrohr, das „durchgeschlagen“ werden soll, der Oberbau des Instruments niedriger, stabiler sein kann. Bei Nivellieren, wo das Fernrohr stets horizontal liegt, kann es ohne Schaden oder Unbequemlichkeit länger gelassen werden als bei Theodoliten.

10 mm

mm

cm

, also z. B. ist

hat, als die Brennweite des Objektivs

u. dgl. Das mit diesem Objektiv ausge-

die Öffnunsr 32

mm

cm

Fernrohr mit aufrechten Bildern. Das terrestrische Okular, das aufrechte Bilder zeigt, ist in optischer Beziehung den astronomischen Okularen nicht ebenbürtig. Die Bildaufrichtung kann aber auch durch Prismen geschehen, u. a. durch das sog. Dachprisma von Hensoldt, das leider nur hinter der Faden ebene (vom Okular gegen das Objektiv zu) angebracht werden kann, was wegen der möglichen unbeabsichtigten Verlegung der Ziellinie mißlich ist und jedenfalls nur an kleinen geodätischen Instrumenten geschehen kann. Durch Prismen lassen sich ferner die Fernrohre in ihrer äußern Form abkürzen (Fernrohr mit gebrochner Brennweite), was für manchen Zweck erwünscht ist.

8. Fadenkreuz. Die Fäden oder Glasstriche des Fadenkreuzes werden durch die Okularlupe allein betrachtet; ob dies nun eine einfache Lupe ist (Huygens) oder eine Doppellupe (Ramsden und die neuern positiven Okulare), jedenfalls erscheinen die Fäden in der Lage, die sie tatsächlich im Fernrohr haben, nicht umgekehrt; was z. B. oben am Vertikalfaden erscheint, ist in der Tat oben, was rechts am Horizontalfaden erscheint, ist an diesem rechts usf. Es ist mehrfach erwähnt, daß der Abstand zwischen Fadenebene und Okularlnpe veränderbar sein muß, weil verschiedne Beobachter verschiedne w haben und auch bei demselben Beobachter w je nach Beleuchtung usw. etwas veränderlich ist. Es muß also entweder der Blendring selbst, auf dem die Fäden ausgespannt sind, oder das Okular in der Längsrichtung der Okularröhre verstellbar sein; im ersten Fall sind für die Halte- und Korrektionsschrauben des Fadenkreuzes (s. u.) in die Okularröhre kleine Längsschlitze eingeschnitten, in denen diese Schrauben bewegt werden können, im zweiten Fall ist zur Festhaltung einer bestimmten Stellung des besondern Röhrchens m, Fig. 183 a der Okularlinse (einfach oder doppelt), das im Okularrohr verschoben werden kann, ein kleines Klemmschräubchen, n daselbst, vorhanden. Die Bewegung dieses Okularröbrchens im Okularrohr geschieht an neuern Fernrohren in der Regel durch Drehung, indem für das genannte Feststellschräubchen, das

Sch₃

zur Führung dient, ein kleines Stück einer Schraubenlinie ins Okularrohr eingeschnitten ist.

Auch wenn der Ort des ganzen Fadenkreuzes im Okularauszug nicht verändert werden kann, ist der Fadenschnittpunkt nicht ein unveränderlicher Punkt der an derselben Stelle bleibenden Fadenebene; der ganze Ring, der die Fäden trägt oder auf dem das Glasplättchen mit den Glasstrichen befestigt ist, wird nämlich von vier Schrauben gehalten, zwei horizontal, zwei vertikal angreifend, die zugleich zum Verschieben des Rings nach links oder rechts, oben oder unten dienen. Diese Möglichkeit der Verschiebung des Fadenschnittpunkts bleibt selbstverständlich erhalten, wenn der Ring selbst ebenfalls in der Längsrichtung des Okularauszugs verschoben werden kann, was durch Angreifen an jenen Halteschrauben geschieht. Die Halte- und Richtschrauben sind alle vier lediglich Druckschrauben; es folgt daraus, daß wenn der Ring R und damit der Schnittpunkt S der Fäden zuverlässig festgestellt werden soll, alle vier Schrauben hart an R anliegen müssen.

Die Fig. 182 ist schematisch und entspricht namentlich insofern nicht der Konstruktion, als man sich den Ring R nicht als schmales Metallstück denken darf, das bei jeder Lockerung der Schrauben in Gefahr wäre, zwischen diesen herauszufallen. Der „Ring“ R ist vielmehr in der Regel ein Metallstück in Form eines Kegelstumpfs, auf dessen schmälerer Basis, dem Auge des Beobachters zugekehrt, die Fäden ausgespannt sind, während die größre freie Öffnung des Kegels dem Objektiv zugewandt ist und die vier Schräubchen am Körper des Kegels angreifen und, wie erwähnt, stets alle vier gut festsitzen müssen.

Da am Fernrohr eines Theodolits, für Horizontalwinkel-

rHSdu,

ifti

-p₄

Ok Röhre

messung allein, die Mög-lichkeit der Verschiebung des Fadenkreuzes im ver-

tyi

tikalen Sinn nicht erforderlich ist, ist in diesem Fall dem Blendring oft auch Schlittenführung ^ zwischen einer obern und untern mit dem Okular-    ^

rohr fest verbundnen Kulisse gegeben; es greifen 5 dann also nur zwei Richtschrauben (horizontal) an dem Blendring an.

Die Ziellinie des Fernrohrs ist schon oben als Verbindungslinie des Schnittpunkts S der Fäden mit dem Mittelpunkt des fest im Objektivrohr sitzenden Objektivs definiert. Durch die Veränderung der Lage von S mit Hilfe der vier Schrauben kann also die „Ziellinie im Fernrohr verlegt“, der Ziellinie eine andre Richtung gegeben werden in Beziehung auf andre feste Linien am Fernrohr, z. B. gegen die Achse, um die das Fernrohr gekippt werden kann. Soll der Punkt S z. B. nach Anblick der Fig. 182 etwas nach links verschoben werden, so werden zunächst die zwei Schräubchen Scht und Sch.₂ kaum merklich gelockert, so daß der Ring B ohne Zwang zwischen ihnen verschoben werden kann; sodann Schraube Sch₃ gelöst und Schraube Sc\ sofort um so viel nachgezogen, als jetzt möglich ist. Dies ist meist mehrfach zu wiederholen, da jede solche Verschiebung nur in ganz kleinen Schritten geschehen soll; nicht Sch₃ drei Umgänge aufdrehen und vielleicht SchA nur mit einer oder zwei

CJSch₂

Fig. 182.

Fig. 183.

Umdrehungen nachziehen, der Ring jR ist sonst zuletzt lose zwischen den Schrauben; sondern jedesmal nach Lockrung von Sch₃ ist sofort Sch± soweit nachzuziehen, als es geschehen kann. Ist in kleinen solchen Schritten zuletzt die Linksverschiebung von S in dem erforderlichen Maß erreicht, so sind auch Sc\ und Sch₂ beide wieder fester anzuziehen, so daß zum Schluß der Ring wieder sicher und fest zwischen den vier Schrauben sitzt. In Fig. 182 sind „Schnittschrauben“ gezeichnet für die vier Schrauben Sch] es ist aber im allgemeinen für alle Korrektionsschrauben am Theodolit oder Nivellier bequemer, Lochschrauben zu haben, Richtschrauben, durch deren Köpfe kleine Löcher gebohrt sind zum Einsetzen des zweckmäßig abgebognen Vorderteils des „Justierstifts“, vgl. Fig. 183.

Anzielen eines Punkts P oder „Einstellen“ eines Punkts P heißt, die Fernrohrziellinie genau in die Richtung nach diesem Punkt bringen. Dies ist fein nicht von freier Hand möglich; die „Feineinstellung“ muß vielmehr mit Hilfe einer „Feinschraube“ oder „Mikrometerschraube“ geschehen, die die ganze Alhidade und damit das Fernrohr fein um die Umdrehungsachse der Alhidade zu drehen gestattet, wenn der Zielpunkt scharf „in den Vertikalfaden gebracht“ werden soll (wie bei unsrer Horizontalwinkelmessung), während in diesem Fall der richtige Höhenwinkel (Kippwinkel des Fernrohrs) genügend von freier Hand hergestellt werden kann; oder mit Hilfe einer Feinschraube, die das Fernrohr um einen kleinen Winkel fein um die Kippachse zu senken oder zu heben gestattet wenn der Zielpunkt scharf „auf den Horizontalfaden gebracht werden soll (später bei der Höhenwinkelmessung), während die richtige Lage der Alhidade im Sinn der Azimutalbewegung in diesem Fall von freier Hand hergestellt werden kann. Wir werden diese Feinschrauben der sog. Mikrometerwerke bald näher kennen lernen. Für jetzt ist die Hauptsache in Beziehung auf den Gebrauch des Theodolitfernrohrs als Zielfernrohr die folgende: damit der Zielpunkt P überhaupt scharf angezielt oder „eingestellt“ werden kann, ist notwendig, daß man sein Bild zusammen mit den Fäden scharf sieht. Das reelle Bild des Punkts muß in der Fadenebene entstehen und dieses Bild ist gleichzeitig mit den Fäden durch das Okular als Lupe zu betrachten. In dem virtuellen Bild der Fadenlinien und dem reellen Bild von P dürfen sich bei kleinen Ortsveränderungen des Auges vor dem Okular diese Fadenlinien gegen die Linien und Punkte des Bildes nicht verschieben. Tritt eine solche Verschiebung ein, so sagt man, es sei (für den Beobachter) eine Fernrohrparallaxe vorhanden (Parallaxe == Verschiebung). Um diese Parallaxe zu beseitigen und damit die Einstellung des Punkts P möglich zu machen, ist

a) erforderlich, daß man sich überzeugt, daß man die Fäden so scharf als möglich sieht. Da man diese Fadenlinien nur durch das Okular als Lupe betrachtet, so daß man sie in der Lage sieht, die sie tatsächlich auf dem Diaphragma haben, so kommt zur Prüfung des Fernrohrs auf diese Anforderung nur die Entfernung zwischen Okular und Fadenebene in Betracht, nicht aber das Bild irgend eines nachher im Fernrohr erscheinenden Gegenstands; ein solches Bild stört vielmehr

zunächst nur die Untersuchung. Man könnte das Okularrohr ganz aus dem Fernrohr herausnehmen und für sich prüfen; doch genügt es, das Fernrohr gegen einen hellen Hintergrund zu richten, bei dem kein Bild die Regelung des Abstands Okular-Fadenebene stört. Am besten ist immer, das Fernrohr gegen den Himmel zu richten; auch eine helle Wand, ein an der Wand befestigtes Blatt weißes Papier, im Winter eine Schneefläche sind gut. Ist das Augenglas bei Huygens, das ganze Okular hei Rams-den usf in der Längsrichtung verschiebbar, so wird dieses m (nach Lösung

Si

P.

Fig. 183 a.

des Halteschräubchens n), Fig. 183 a, ist dagegen der Blendring mit den darauf sitzenden Fäden beweglich, so wird dieser durch Anfassen an den Halte- und Richtschrauben je so lang verschoben, bis die Fadenlinien so scharf erscheinen, als sie der Beobachter (w) bekommen kann. Zur Beurteilung, ob diese günstigste Stellung erreicht ist, dienen gut kleine Unregelmäßigkeiten der Spinnfäden, da und dort anhängende Staubkörnchen, bei Glasstrichen kleine Ausbrüche an den Strichen usw. In dieser Lage schärfsten Sehens läßt man dann Okular und Blendring gegenseitig zueinander (Klemmschräubchen n am Okularschlitz anziehen, wenn das Okular verschoben werden kann). Diese Stellung ist, wie gesagt, von dem Bild irgendeines Gegenstands, der mit dem Fernrohr nachher zu betrachten ist, nicht abhängig und bleibt also für das Anzielen beliebiger Punkte P1} P₂, P₃ . . . unverändert dieselbe. Übrigens ist nicht selten, daß man bei sehr verschiedner Intensität der Beleuchtung doch auch etwas verschiedne Abstände Okular-Fadenebene braucht, um die Fäden scharf zu sehen.

b) Soll

nun aber nach der Regelung a) ein bestimmter Punkt Px angezielt werden, so ist zunächst das Fernrohr von freier Hand nach dem Punkt zu richten, der „Punkt ins Gesichtsfeld zu bringen“. Es geschieht durch Drehen der Alhidade um ihre Achse und durch Kippen des Fernrohrs um die Horizontalachse, so lange bis nach Augenmaßzielung dem Fernrohr entlang, „über das Fernrohr weg“, zu erwarten ist, daß der Punkt im Fernrohrgesichtsfeld sich befindet. Durch Benützung des Triebs am Okularauszug, der mit der Regelung a) nichts zu tun hat, ist dabei vorerst dem ganzen Fernrohr die Länge zu geben, die das Sehen des Gegenstands, zu dem P gehört (Haus auf dem P Blitzableiter ist; Gelände in der Umgebung der Signalstange P usf.) im Fernrohr ermöglicht. Hat man P so überhaupt im Gesichtsfeld aufgefunden, so ist nun vor allem durch Benutzung des Triebs T das Bild von P so deutlich als irgend möglich zu machen. Die dazu erforderliche Länge L des Fernrohrs hängt, wie wir wissen, vor allem von der Entfernung a des Punkts P ab (je größer a, desto kleiner P; je kleiner a, desto länger muß L werden, vgl. 50., 4.), aber auch vom w des Beobachters, nebensächlich auch von der Beleuchtung von P usf. Ist dieses beste Bild von P erreicht, so muß die „Parallaxe beseitigt“ sein, d. h. kleine Ortsveränderungen des Auges

vor dem Okular nach der Höhe oder seitlich dürfen keine Verschiebung der Fadenbilder gegen P zur Folge haben. Und nunmehr kann der Punkt P „eingestellt“ werden, nach Anziehen der betreffenden Klemme, mit Hilfe der zugehörigen Fein- oder Mikrometerschraube am Instrument.

a₂, Entfernung des Punkts P₂, > av Ent-

wenn

Ist der erste anzuzielende Punkt P₁ auf diese Art erledigt, so wird die Klemmschraube, die die grobe Bewegung des Fernrohrs einer der zwei Hauptachsen des Theodolits hemmt, gelöst, es ist P₂ aufzusuchen, wenn Bild in der Nähe der Mitte des Gesichtsfelds, Klemme wieder anziehen, Bild von P₂ so scharf als möglich machen (Regelung der Fernrohrlänge L₂ mit Trieb T, P₂ < Lv fernung des Punkts Pt), Feineinstellung mit der Mikrometerschraube wie oben, usw.

Man kann dem Anfänger nicht streng genug einschärfen, daß er ein Zielfernrohr nicht so zu benutzen sucht, wie es grade zufällig von einer frühem Benützung her eingestellt ist. Hat es vorher ein andrer Beobachter (andres w) gebraucht, so ist zuerst die Entfernung Okular-Fadenebene richtig zu stellen (Anford, a)); hat derselbe Beobachter zuvor mit dem Instrument einen andern Punkt angezielt, so ist L zu regeln. Besonders ist der Anfänger gern zufrieden, wenn er nur überhaupt etwas von den Fäden sehen kann, statt vor allem dafür zu sorgen, daß die Anfordrung a) für sein Auge so gut als möglich erfüllt ist, bevor irgend ein Punkt angezielt wird und daß dann erst, während die Regelung a) nur ein für allemal für einen Beobachter zu machen ist (von großen Beleuchtungsunterschieden abgesehen), das Bild jedes Zielpunkts möglichst deutlich zu machen ist: duldet man eine Parallaxe, so können große Zielfehler durch sie entstehen.

Genauigkeit des Fernrohrzielens. Welcher mittlere Zielfehler ist beim „Einstellen“ eines Punkts auf den Vertikalfaden oder den Horizontalfaden eines Fernrohrfadenkreuzes zu erwarten'? Dabei ist vorausgesetzt, daß ein Parallaxenfehler höchstens noch in so kleinen Spuren vorhanden sei, daß er nicht mehr unmittelbar wahrgenommen werden kann und deshalb nichts mehr zu seiner Beseitigung geschehen kann. Die Genauigkeit der Einstellung wird offenbar wachsen, d. h. der mittlere „Zielfehler“ oder „Einstellungsfehler“ wird sinken mit zunehmender Vergrößrung des Fernrohrs. Natürlich kommt auch die Art des Bilds des anzuzielenden Punkts (z. B. Lichtpunkt, etwa strahlenlos erscheinendes Fixsternbildchen, mit dem Faden zu halbierendes Scheibchen eines Planeten im Vergleich mit einem weniger scharfen oder weniger gut beleuchteten Punkt), sodann die Ruhe des Bildes des anzuzielenden Punkts (völlige Ruhe, leichtes Flimmern oder starkes „Hüpfen“ des Punkts, das die Einstellung ganz unmöglich macht, infolge der „Unruhe der Luft“ entstehend), ferner die Dicke (Winkelwert) und sonstige Beschaffenheit des Fadens (Spinnfaden oder Glasstrich; Doppelfaden, so daß in die Mitte zwischen zwei Fäden in z. B. 20" Abstand voneinander einzustellen ist), endlich aber vor allem das beobachtende Auge in Betracht. Für denselben Beobachter kann man erfahrungsgemäß annehmen, daß für ihn der mittlere Zielfehler + m beim Einstellen gleichartiger Punkte (von derselben Beschaffenheit, Beleuchtung, Ruhe usf.) umgekehrt proportional der Ver-

größrung v des Fernrohrs sei, mit dem der Punkt eingestellt wird, d. h. man kann annehmen:

(26)

= ±F‘

Kann aber schon für denselben Beobachter c ziemlich verschieden sein, je nach der Art der anzuzielenden Punkte, so sind von Beobachter zu Beobachter sehr große Unterschiede in den c da, wobei selbstverständlich die Übung eine große Rolle spielt, aber ebenso die natürlichen Eigenschaften eines bestimmten Auges. Als grobe Durchschnittsregel (Überschlag), ver-schiedne Augen durcheinander gerechnet, kann man unter Voraussetzung nicht weitgehender Übung annehmen

60"

(27)

40"

bei größrer Übung

(28)

— V ’

Anfänger brauchen ziemliche Zeit, um im Durchschnitt diese zweite Zahl zu erreichen; bei manchem geübten Beobachter mit scharfem Auge geht aber die Konstante c auf 20", selbst noch weiter herab, namentlich bei besonders günstigen Zielpunktsbildern.

Für das unbewaffnete Auge haben wir schon in 8. 1. eine Genauigkeitszahl für das Zielen überschlagen; dieser Zielfehler ist dort zu 0,7' gefunden worden, was bei v = 1 mit (28) stimmen würde. Doch ist das Zielen durch das Fernrohr mit parallaxenfreiem Fadenkreuz auch bei schwachen Vergrößrungen verhältnismäßig genauer, d. h. wer mit unbewaffnetem Auge den Zielfehler + 60" erreicht, hat mit dem Fernrohr

gO"

bei v-facher Vergrößrung im allgemeinen weniger als mittlern Zielfehler.

Jedenfalls wird also auch bei nur geringer Übung des Messenden bei der Verwendung eines Fernrohrs mit 20-facher Linearvergrößrung nur ganz wenige mittlerer Zielfehler zu erwarten sein.

52. Libellen. Zur Herstellung vertikaler Linien haben wir bisher (z. B. beim Senkrechtstellen von Stäben, S. 16, zum Absenkeln beim Staffelmessen, S. 81 usf.) fast nur vom Senkel Gebrauch gemacht.

Natürlich kann man mit Hilfe des Senkels mittelbar auch horizontale Richtungen herstellen: stellen wir z. B. an einem genau rechtwinkligen materiellen Dreieck die eine Kathete mit dem Senkel vertikal, so ist die andre horizontal; früher in der „Bleiwage“ der Bauhandwerker benützt, die jetzt fast allgemein durch die („Libellen-“) „Wasserwage“ ersetzt ist. Erwähnt sind aber auch schon mehrfach Libellen zur Herstellung vertikaler oder horizontaler Linien, in der Form der Dosenlibelle z. B. bei dem Anschlagwinkel zur Vertikalrichtung von Stäben, s. Fig. 6, S. 16, zur Vertikalrichtung des Kreuzscheibenstabs, als kleine Röhrenlibelle bei den Neigungswinkelmessern oder Reduktionsmessern bei der Längenmessung usf. (vgl. 24., 4.)

¹

Der Plural von „das Fernrohr“ ist am besten „die Fernrohre“; auch gegen „die Fernrohren“ als Plural läßt sich im ganzen wenig sagen, wenn auch „die Fernrohre“ als Singular nicht gebräuchlich ist. Dagegen ist jedenfalls falsch die Pluralform: „die Fernröhre“, die sich von Gauß und Bessel her, die sie stets anwandten, bis in die letzte Zeit herein erhalten hat.

Herstellung einer horizon-

zur

Die Libelle ist das wichtigste Mittel talen Geraden, mittelbar auch einer vertikalen Geraden, z. B. zur Vertikalrichtung einer Achse. Z. B. kann die Umdrehungsachse (Stehachse) unsres Theodolits nur mit Hilfe einer Libelle genügend vertikal gerichtet werden (wodurch mittelbar auch die Kippachse horizontal gelegt werden kann,

wenn für rechten Winkel zwischen beiden Achsen gesorgt wird); oder es kann nur mit Hilfe einer Libelle die Kippachse unmittelbar horizontal gelegt werden (wodurch mittelbar die Stehachse vertikal gemacht werden kann). Wir brauchen zur „Horizontierung“ des Instruments, wie man diese Vertikalstellung der I. Achse, Horizontallegung der II. Achse zu nennen pflegt, unbedingt die Libelle.

Es gibt zwei Formen von Libellen, die sog. Röhren- oder Längenlibelle und die Dosenlibelle.

Die erste ist eine Erfindung von Thevenot in Paris, 1661, die zweite kam erst am Ende des 18. Jahrh. in Deutschland auf (als „runde“ Libelle, Mechaniker Breithaupt). Im Französischen heißt die Libelle le niveau, vielfach auch ins Deutsche übernommen, z. B. spricht man in der praktischen Astronomie meist vom Achsenniveau (Stiitzen-oder Hängelibelle auf oder an einem horizontal zu legenden Achszylinder); da dasselbe Wort le niveau im Französischen aber auch das Nivellierinstrument bezeichnet (ebenfalls im Deutschen nachgeahmt, z. B. sagen die Markscheider statt Nivellier in der Regel heute noch Luftblasenniveau), so ist für die Libelle selbst in der französischen Literatur neuerdings zweckmäßig ein besondres Wort, „la nivelle“ eingeführt worden. Ähnlich bezeichnet the level im Englischen sowohl die Libelle, wie das Nivellierinstrument.

Blase

Glas

Fig. 184.

1. Gefäß der Röhrenlibelle. Wichtigste Begriffe. Wir betrachten die Röhrenlibelle zunächst „ohne Fassung“, nur als Glaßgefäß, das nahezu ganz mit einer leicht beweglichen, am Glas nicht haftenden Flüssigkeit (bei allen bessern Libellen Äther, nur bei den ganz groben Sorten reiner Alkohol) gefüllt ist. Das Glasgefäß ist außen zylindrisch, oft nur 5 cm, meist zwischen 7 und 15 cm lang, äußrer Durchmesser 8 bis 25 mm; im Innern ist dieses zylindrische Gefäß jedoch flach tonnenförmig aus-geschliffen: längs einer bestimmten Stelle (man spricht in der Regel von einer bestimmten „Mantellinie“) ist eine flache Ausschleifung vorhanden, deren Lehre ein Kreisbogen von beträchtlichem Halbmesser r ist (Fig. 184). Auf die übrige Form des Glashohlraums kommt zunächst gar nichts an; nur bei einer bestimmten Art von Röhrenlibellen, den sog. Wendelibellen oder Doppellibellen, s. u., kommt noch eine zweite, der ersten gegenüberliegende Ausschleifung nach einem Kreisbogen mit etwa demselben Halbmesser r in Betracht. Das Glasgefäß ist an den Enden heutzutage stets zugeschmol- ^ , zen, früher waren oft eingekittete Glasscheiben oder Glaszylinder als Abschluß da, bei dem aber die Libelle zu leicht undicht wurde. Da das Glasgefäß nicht ganz mit Äther gefüllt ist, so bildet sich bei der Horizontallegung (ausgeschliffene Stelle oben) die sog. Libellenblase; diese darf nicht zu kurz sein, da sonst die richtige Wirkung der Libelle notleidet, sie darf aber auch nicht zu lang werden, da man sonst schon bei ganz geringer Neigung des Libellenglases oder selbst bei hori-

zontaler Lage nicht die Enden der Blase auf dem Ausschleifungsbogen beobachten kann. Die Länge der Blase ist nun abhängig von der Temperatur: bei steigender Temperatur dehnt sich die Flüssigkeit der Libelle stark aus (das Glas unmerklich), die Libellenblase wird kürzer; bei fallender Temperatur wird sie länger.

Um die Länge der Blase, die normalerweise nicht unter J/₄, selbst % der ganzen Länge des geschliffnen Bogens betragen soll, willkürlich verändern zu können, haben manche feinre Libellen die Einrichtung der sog. Kammer, durch eine gegen das eine Ende angebrachte Glasscheidewand mit feiner untrer Öffnung gegen den Hauptraum der Libelle gebildet; mit Hilfe dieser Kammer kann dann nach Bedarf etwas mehr Flüssigkeit in den Hauptraum eingelassen oder daraus entfernt werden.

von

Wenn die Ausschleifung der Libelle genau nach einem Kreisbogen gemacht ist, so liegt stets die Tangente an diesen Bogen horizontal, die im Halbierungspunkt der Libellenblasenlänge gezogen zu denken ist. Um die Stellung der Libellenblase und damit die Lage dieser horizontalen Tangente ablesen zu können, muß auf der Oberfläche des Libellengefäßes, entlang der „Mantellinie“ der innern Ausschleifung, eine gleichförmige Längenteilung, die Libellenteilung vorhanden sein. Die Striche dieser Teilung sind auf das Glas geätzt oder darin eingeschnitten und gefärbt; sie haben auch heute noch vielfach den Abstand einer Pariser Linie, rund 2:/₄mm, oder genauer 2,256 mm voneinander, doch kommen neuerdings statt dieser 2V₄ mm auch immer mehr 2% mm-und 2 -mwi-Skalen vor. Die Teilung ist übersichtlich zu machen durch Verlängerung der Fünferstriche, vgl. Fig. 185. Bei den groben und den nicht sehr feinen Libellen ist fast ohne Ausnahme die Teilung in der Mitte unterbrochen, so daß der „Mittelpunkt“ M der Skale oder der Spielpunkt der Libellenblase nicht durch einen Strich bezeichnet ist. Die Teilung beginnt gleichartig in gleichem, aber willkürlichem Abstand Ma₁= Ma% zu beiden Seiten von Jf; die Fünfer- und Zehnerstriche sind bei dieser Art von Libellen in der Regel nicht beziffert. Bei feinen Libellen geht die Skale in der Regel über die ganze Länge der Libelle weg durch und die Striche sind von einem Ende gegen das andre durchlaufend in den Fünfer- und Zehnerstrichen beziffert.

Man sagt, die Blase der Libelle spielt ein (Fig. 185), kürzer, im

at Blase a-z

II >1 M I IN I Ml

CM)

Fig. 185.

übertragnen Sinn, die Libelle spielt ein, wenn der Halbierungspunkt der Blasenlänge mit dem Mittelpunkt oder Spielpunkt M übereinstimmt. Im andern Fall ist ein Ausschlag der Libelle vorhanden, die Blase schlägt um so und so viel Teilstriche aus.

Die Tangente des Ausschleifungsbogens im Spielpunkt M heißt Achse der Libelle (es wäre besser, hier etwa Hauptlinie zu sagen, schon wegen des Analogons der Hauptebene, das dann bei der Dosenlibelle, s. u., vorhanden wäre und weil der Ausdruck Achse wirklichen Achsen, d. h. Linien, um die Umdrehungen zu machen sind, Vorbehalten bleiben sollte; doch ist das Wort Achse nicht mehr auszuschalten). Diese sog. Achse ist also keineswegs die Achse des tonnenförmigen Hohlraums der

Libelle, auch bei einer Wendelibelle nicht, um so weniger bei einer einfachen Libelle, an der ja die ganze Form dieses Hohlraums mit Ausnahme der „Mantellinie“ der Schleifung gleichgültig ist. Die Achse ist vielmehr die Berührende an den Schleifungsbogen im „Spielpunkt“; die Wendelibelle hat zwei getrennte Achsen, die allerdings parallel sein sollen.

Spielt die Libelle ein, so liegt ihre Achse horizontal; schlägt sie aus, so weicht die Achse von der Horizontalen ab, und zwar steigt sie nach der Richtung hin über die Horizontale an, nach der hin die Blase ausschlägt.

2. Fortsetzung. Empfindlichkeit einer Libelle und ihre Bestimmung. Libellenprüfer. Der wichtigste Begrilf zur Beurteilung einer Libelle ist die sog. Empfindlichkeit a (Teilwert, oft auch Angabe) der Libelle. Es ist der kleine, für die meisten Libellen stets in Sekunden anzugebende Winkel, um den man das Libellengefäß neigen muß, damit sich die Libellenblase um einen Strich der Teilung weiterbewegt (s. oben, 2,256 oder 2 oder 2% nvm). Je größer dieser Winkel a ist, desto unempfindlicher, gröber; je kleiner dieser Winkel ist, desto empfindlicher, feiner ist die Libelle. Eine Libelle von 2'= 120" Teilwert ist eine ganz grobe Libelle; eine Libelle von a = 5" stellt schon die feinste vor, die noch an großen geodätischen Instrumenten auf hölzernen Stativen gebraucht werden kann. Noch feinere Libellen von 4", 3", 2", selbst 1" Teilwert kommen nur an großen geodätischen, geodätisch-astronomischen und astronomischen Instrumenten vor, die auf festen gutfundierten Steinpfeilern verwendet werden für Zwecke der Landesvermessung, Erdmessung und astronomischen Messungen.

Wir wollen, um bestimmte Vorstellungen zu erhalten, auch gleich die Ausschleifungshalbmesser berechnen, die bestimmten Verhältnissen entsprechen. Es wäre, worauf ich immer wieder hingewiesen habe, für viele Zwecke besser, sich der Angabe: Libelle mit r = . . . zu bedienen, als der Angabe: Libelle mit Empfindlichkeit a = . . .", besonders dort, wo es sich um Charakterisierung der Libelle handelt und dies sind in der niedern Geodäsie alle jene an Zahl weit überwiegenden Fälle, in denen die Libelle einspielend verwendet wird. Die Zahl a muß nur dort genau bekannt sein, wo die Libelle ausschlagend verwendet wird (feines Nivellieren, feinere Höhenwinkelmessung usf.), muß freilich auch zur Beurteilung der Wirkung eines bestimmten nicht beabsichtigten Libellenausschlags gegenwärtig sein.

Je größer r, desto größer die Empfindlichkeit; dies ist auch mehr dem Sprachgebrauch gemäß als der gleichbedeutende Ausdruck: je kleiner a, desto größer die Empfindlichkeit; besser wäre es noch zu sagen: je kleiner cc, desto feiner die Libelle.

a) Nach welchem Halbmesser r ist eine Libelle zu schleifen, die bei einer Teilstrichentfernung b = 2,256 mm die Empfindlichkeit cc — 15" erhalten soll? Aus der allgemeinen Gleichung: Bogenlänge b in einem Kreis vom Halbmesser r gleich Halbmesser mal Zentriwinkel (in analytischem Maß), also hier b — r • arccc = r • —, wo

Q

cc und q in demselben Gradmaß, z. B. beide in " zu nehmen sind, folgt der Ausdruck für den Krümmungshalbmesser:

18

Hammer: elementare praktische Geometrie.

(1)

arc cc

b ■ — orler mit den angegebnen Zahlen

cc

206 300⁽">

oder rund r — 31 m;

= 31020

r = 2,256 •

also der Schliffhalbmesser 31 m würde den angegebnen Verhältnissen entsprechen. Es ist in r ziemlich stark abgerundet, weil es für die Verwendung der Libellen viel wichtiger ist, daß der Ausschleifungsbogen genau ein Kreisbogen ist, als daß cc ein ganz bestimmtes, genau voraus festgesetztes, z. B. rundes Maß möglichst genau erreicht. Ob eine Libelle 14" oder 16" statt 15" Teilwert hat, ändert nichts an ihrer Verwendung für einen bestimmten Zweck. Feine Libellen, die mit ausschlagender (abzulesender) Blase gebraucht werden, können keineswegs allein nach ihrem cc beurteilt werden, sondern mit danach, ob der Ausschleifungsbogen gut einem Kreisbogen entspricht. Dies gilt um so mehr, je feiner die Libelle, je kleiner ihr Teilwert ist; eine 3"-Libelle z. B. kann geradezu weniger fein sein als eine 4"-Libelle, wenn bei der zweiten die Ausschleifung genauer nach einem Kreisbogen gemacht ist.

Wie das Zahlenbeispiel der 15"-Libelle zeigt, bandelt es sieb bei dieser mittlern Libelle (sie ist nicht mehr grob, aber auch noch keine „feine“ Libelle) schon nm einen beträchtlichen Ausschleifungshalbmesser. Für feine Libellen kommen r = 80 m, 100 m, für die feinsten 200 m und mehr vor; die für uns in Betracht kommenden feinsten Libellen gehen nicht ganz bis zu r = 100 m Halbmesser, für unsre mittlern Libellen sind r von 20 m, 30 m (s. das Beispiel) r = 40 tn, 50 m vorhanden; bei groben Libellen sinkt r auf wenige m, z. B. bei der Empfindlichkeit 2' auf den Strich von 2 mm Ausschlag ist der Schliffhalbmesser nicht ganz 3ya m.

b) Was ist der Teilwert einer Libelle, die bei b = 2,5 mm r — 80 m hat? Antwort: Nochmalige Umkehrung der Gleichung (1) gibt

a" = -    • 206 300"== 6",4,

80 000

für uns eine bereits recht feine Libelle.

Bestimmen kann man für eine (wie seither stets noch angenommen) nicht gefaßte Libelle (Libellenglas) die Empfindlichkeit a" dadurch, daß man dieses Libellenglas mit der Teilung nach oben durch etwas Wachs

unter beiden Enden befestigt auf dem Zielfernrohr eines Meßinstruments (Theodolit, Nivellier), wobei das Fernrohr mit einer Mikrometerschraube fein geneigt werden kann, vgl. die schematische Fig. 186. XL ist die auf dem Fernrohr FF leicht festgeklebte Libelle; in der Entfernung e vor dem Fernrohr wird der Maßstab MM, eine sog. Nivellierlatte (vgl. Hauptabschnitt II) vertikal gehalten oder festgestellt; mit der (in Wirklichkeit anders angreifenden) Feinschraube S wird der Libellenblase an der Skale

(2)

F<=(

15⁽">

mm

mm

Fig. 186.

a2

Halter

der Libelle eine bestimmte Stellung gegeben (z. B. das linke Blasenende zur Übereinstimmung gebracht mit einem bestimmten Strich der Teilung, wobei wir yoraussetzen wollen, daß die Temperatur der Libelle sich während des Messungsversuchs nicht andre, also auch die Länge der Blase konstant bleibe). Die Ablesung am Horizontalfäden des Zielfernrohrs auf der Latte MM sei gleich ax\ die Skale MM ist in der Regel eine em-Skale, an der durch Schätzung auf 1 mm abgelesen wird. Wird jetzt die Libellenblase mit Hilfe der Schraube S verschoben, in der Figur nach rechts, was (geschieht, wenn die Spitze der von unten an greifenden Schraube S gesenkt wird), und zwar genau um n Striche der Teilung (linkes Ende der Libellenblase scharf auf den Strich n von dem zuerst verwendeten aus) und nun an der Latte die Ablesung «₂ am Horizontalfaden erhalten, so ist

(3)

tg(na) -    ,

wobei rechts (a₂—ax) und e beide in demselben Maß zu nehmen sind, z. B. beide in mm. Da (n • a) jedenfalls, auch bei größrem n, immer noch ein genügend kleiner Winkel ist, sodaß seine tg gleich dem arcus gesetzt werden darf, so wird

(4)

//    1    ' rr

’ = — • --• Q .

n e s

Ea sei z. B. e = 42 m, a,= 1,375 m, a₂ = 1,396 m, wobei zwischen beiden Ablesungen die Libellenblase genau um 5 Striche verschoben wurde mit der Feinschraube, so ist

1 1,396 — 1,375    1

a =-------- 206300 = — •

42

5    42000

21

------ 206000"= 21".

Man kann die Bestimmungsweise auf diesem Weg verfeinern, wenn statt der etwas unsicbern 4 mm feine 2

Skale eine feinere Teilung genommen wird, z. B.

Zielweite selbst

Schätzung an der

-Felder auf der Latte M oder für kräftiges Fernrohr und 30

-Strichteilung, wobei stets auf yi0 des kleinsten Lattenteils abgelesen wird. Immerhin ist die Bestimmung nicht sehr fein; z. B. macht bei 40 m Zielweite und 1 cm-Skale die Falschschätzung bei einer der Ablesungen um 1 mm den Winkel (n • a)" schon um ₄₀J₀₀ • 206000"= 5" unrichtig, bei n = 5 also cc um 1" falsch. Es handelt sich also bei diesem Verfahren im allgemeinen nur um Feststellung der Art der Libelle.

mm-

mm

cm-

cm

Quer

em,

Zur feinem Untersuchung des «-Werts und des Schliffs von Libellengläsern bei gefaßten und nicht gefaßten Libellen verwendet man in Instituten und Werkstätten sog. Niveauprüfer oder Libellenprüfer (in der einfachsten Form Legebrett). Der letzte Name rührt davon her, daß einfache Werkzeuge dieser Art früher einen Holzkörper hatten; neuerdings sind selbst die billigsten Sorten aus Metall. Z. B. ist, Skizze 187, geod.

S. der T. H. St., T ein starker Stahlstab mit Querstab, je 2 x 2 schnitt, auf den zwei festen Fußspitzen FX) F₂ und der Schraubenspitze S ruhend auf einer schweren gußeisernen Platte PP, am besten auf Achatplättchen. Die Platte PP liegt ihrerseits auf einem starken, auf einer Steinplatte stehenden Tisch mit vier Fußspitzen, von denen die eine durch Schraube verlängert oder verkürzt werden kann; noch besser ist, wenn

18*

der Libellenprüfer mit FXF₂S (auf untergelegten Plätteben) direkt auf die Oberfläche eines starken Steinpfeilers gelegt werden kann. An T sind zwei Stützen 0₁ und C₂ verschiebbar, ferner ist auf T ein verschiebbarer kleiner Stahltisch H- auf jene Stützen, von denen die eine zweckmäßig auch noch kippbar gemacht ist, können Libellengläser ohne Fassung, auf den Tisch verschiedenartig gefaßte Libellen gelegt werden. Die Schraube S ist eine Feinschraube von geringer Ganghöhe g] dreht man diese Schraube genau einmal um (Stellung eines auf der Scheibe Sch gezognen Strichs

Fi

k-

Ct

C₂

auf den Index J), so ändert man damit die Neigung der Oberfläche Sch von T und aller fest damit ver-bundnen Linien, z. B. einer Libellenachse, um

landsch

Handsch.

- f •

also z. B. mit g = 0,50 mm, l = 0.50

(5)

um

^ • 206300"

500

p^'

Fig. 187.

Ci

= 206",3. Macht man einer Schraubenumdrehung direkt P (durch Schätzung ¹/i₀₀₀) ablesbar, so kann man selbst mit dieser (nicht sehr feinen) 0,5 ww-Schraube Neigungsänderungen von T auf 2" direkt und durch Schätzung noch kleinre ablesbar machen. Diese Teile von Umdrehungen werden sichtbar gemacht durch Einteilung des Rands der mit der Schraube fest verbundnen Teilscheibe Sch; an dieser Teilung wird die Stellung des mit dem Stab fest verbundnen Index J abgelesen. Man kann auch einen mit dem obern Teil der Schraube fest verbundnen Zeiger nehmen, der aber dann zum Kippen eingerichtet sein muß und mit dem an der feststehenden Scheibe Sch abgelesen wird.

Die g. S. T. H. St. enthält drei solche Libellenprüfer, einen groben für Dosenlibellen und grobe Röhrenlibellen, aus einer Messingschiene bestehend, mit Ä' — 386", und zwei feinere, einen mit M = 113",5 (Scheibe 120 Teile, da beabsichtigt war, den Wert eines Scheibenteils gleich 1" zu machen) und einen mit M = 125" (Scheibe 100 Teile, je l",25 wert).

Zur Ermittlung der Empfindlichkeit A" des Niveauprüfers selbst (Neigungsänderung der Stab Oberfläche für genau eine Schraubenumdrehung) ist man, da die Ganghöhe der Schraube nicht mit genügender Genauigkeit, unmittelbar gemessen werden kann (am besten noch durch sorgfältiges leichtes Abdrücken einer großen Anzahl von Vorgängen der ganz heraus-genommnen Schraube auf feinem Papier und Abmessen von 20 oder 40 Umgängen mit Zirkel und Maßstab), auf dasselbe Verfahren angewiesen, wie es oben bei 1. angegeben ist; dabei ist hier eine viel größere Genauigkeit als dort mit diesem Verfahren erreichbar, weil genau einmalige Umdrehung der Schraube sich sehr genau feststellen läßt und man im Mittel aus 20 oder 30 Ablesungen für je eine Schraubenumdrehung an der etwa

m entfernt aufgestellten 4miw-Latte das Lattenstück, das einer Umdrehung entspricht und damit A" sehr genau erhalten kann.

60

Beim Gebrauch des Niveauprüfers zur Libellenblasenverschiebung kann man wieder so verfahren, daß man das Blasenende scharf auf die sich folgenden Striche der Libellenteilung einstellt und jedes Mal die Scheibenablesung notiert, oder so, daß man die Scheibe je um eine gewisse runde Anzahl von Scheibenteilen weiter dreht und die Libellenblasen-stellungen abliest (bis auf Skalenteil schätzen). Sehr wichtig ist beim Gebrauch der Schraube folgende Überlegung: die Schraube kann mit den eingeschnittnen Schraubenflächen nicht zugleich mit beiden Seiten dieser Flächen in der Mutter anliegen; es ist deshalb hier wie bei allen Feinschrauben zu beachten, daß die Schraube stets nur in derselben Richtung drehend zum Einstellen verwendet wird, stets beim Durch schrauben; ist man beim Durchdrehen zu weit gekommen, so darf man nicht im Rückwärtsdrehen der Schraube einstellen, sondern muß weiter als an sich notwendig, zurückdrehen und dann die Einstellung der Schraube wieder im Vorwärtsdrehen machen. Je feiner die Libelle ist, desto länger muß man ferner warten, bis die Libellenblase zur Ruhe gekommen ist, ihre Schwingungen aufgehört haben.

Beispiel. Ungefaßte Kammerlibelle von Peßler in Freiberg. Temperatur bei der Untersuchung genügend konstant, so daß je nur das vordre oder bintre Ende der Libellenblase eingestellt oder abgelesen; Teilstriche der Libelle = 2,26 mm voneinander entfernt; Teilung in der Mitte unterbrochen.

Libellenprüfer mit A" = 114", 1 Scheibenteil

114"

120

linkes Ende der Blase auf Strich

Ablesung am Zeiger der Scheibe

n für 2 Lib.-Teile

GO Ci ^

78,4

89,6

10

101,2

112,3

(12)3,9

0",95.

Im Mittel ist aus nebenstehendem Versuch, wobei in den beiden Hälften die Libellenblase in derselben Richtung verschoben worden ist, fürV erschiebung der Libellenblase um 2 Striche

3,3

» = 11 -f -5- = 11,4,

rechtes Ende der Blase auf Strich (andre Seite)

somit

a" = 5,7 • 0",95 = 5",5

10

tO 05 GC

11,3

11,7

10,8

12,0

(womit

r = 2,26 •

206300

5,5

mm

= rund 84 bis 85 m).

(Die Bestimmung mit demselben Libellenprüfer bei Verschiebung der Libellenblase durch Drehung der Schraube um je 10 Teile der Schraube und Ablesung beider Blasenenden je auf y₂₀ Libellenteil, bei Bewegung der Libellenblase in beiden Richtungen gab im Mittel a = 5",4, entsprechend r = 86 m).

Gröbre Niveauprüfer sind einfache und billige Instrumente; bei feinem darf die Meßschraube nicht, wie vorstehend angenommen, zugleich Unterstützungspunkt des Niveauprüfers sein, die Meßschraube ist vielmehr zu

entlasten. Solche feine Niveauprüfer mit entlasteter Meßschraube, auf die dann auch ganze Instrumente mit der zu untersuchenden Libelle gesetzt werden können, baut z. B. Hildebrand in Freiberg/Sachsen.

Nur nebenbei für unsre Zwecke sei bemerkt, daß an manchen feinen Libellen eine Abhängigkeit der Empfindlichkeit von der Temperatur wahrgenommen worden ist (auch wenn mit Hilfe einer Kammer die Blasenlänge auf demselben Betrag erhalten werden kann), bei andern dagegen nicht. Auch stark wechselnder Luftdruck ist bei manchen Libellen nicht ohne Einfluß auf den Teilwert. Für die gröbern Libellen, die wir hier verwenden, kommt beides nicht in Betracht.

53. LibeHen, Fortsetzung. 1. Fassung der Libellen. Man könnte für manche Zwecke, z. B. als sog. „Tischlibelle“ ein Libellenglas dadurch brauchbar machen, daß es unten so weit angeschlilfen wird, daß die Libelle auch ohne „Fassung“ auf die horizontal zu legende Linie gelegt werden kann. Im allgemeinen kann man aber eine Libelle nur in einer Fassung benützen, bestehend zunächst meist aus einem Metallrohr, in das das Libellenglas eingeschoben wird und an dem die weitern Einrichtungen zur Benützung der Libelle, besonders auch die Korrektionsvorrichtung, sich finden, s. unten. Das Libellenglas soll möglichst spannungsfrei in der Fassung sitzen, selbst große Temperaturänderungen und die Benützung der Korrektionsschrauben oder Korrektionsschraube der Libelle sollen keine Spannung auf das Libellenglas übertragen können, das durch diese Spannungen in der Form verändert würde, wodurch große Fehler entstehen können. Aus diesem Grund hat z. ß. seinerzeit Ertel in München die Gläser der Libellen seiner Instrumente nur in einen Metalltrog gelegt und durch zwei ganz leichte Metallbügel gehalten; dieses Freilegen der Libellengläser hat aber, abgesehen von der leichten Zerstörbarkeit, Ubelstände. Das Metallrohr, in das das Libellenglas im allgemeinen eingeschoben wird, hat oben einen breiten Ausschnitt, an dem der Stand der Libellenblase beobachtet werden kann. An der Fassung ist eine Korrektionsvorrichtung der Libelle (Richtschraube oder Richtschrauben, Justierschrauben, Korrektionsschrauben) angebracht, durch die der Libellenachse eine etwas andre Lage gegen die Benützungslinie der Libelle gegeben, insbesondre parallele Lage oder senkrechte Lage zwischen beiden hergestellt werden kann.

Je nach der Art der Verwendung der Libellen unterscheidet man

1.    freie Libellen oder Setzlibellen,

2.    am Instrument befestigte Libellen,

und je nach der Art der Fassung der Setzlibellen spricht man von Tischlibellen (unmittelbare Horizontallegung einer Geraden), Anhaltelibellen oder Änschlaglibellen (zur Vertikalstellung einer Geraden), Stützen- oder Reitlibellen (unmittelbare Horizontallegung einer zylindrischen Stahlachse), Hängelibellen (ebenso oder Horizontalstrecken einer genau gleichmäßigen straffen Schnur) usf. Die Korrektions Vorrichtung besteht entweder in einer einfachen Schraube, was für manche Tischlibellen genügt, oder mehrern einfachen Schrauben, wie an den Füßen Tesdorpf-scher Reitlibellen (nicht gut), oder zwei Halteschrauben, zwischen deren Enden das Ende der Libellenfassung sitzt, oder einer Zug- und einer

Druckschraube, oder einer mittlern Zug- und zwei seitlichen Druckschrauben (ygl. den Winkelspiegel, Nr. 12. 2.), oder einer Zugschraube und einer Druckfeder (Blattfeder oder Spiralfeder, diese um den Schaft der Zugschraube gewunden) usf. Die Köpfe der Korrektionsschrauben sind entweder mit Schnitten versehen zum Einsetzen des Schraubenziehers oder zweckmäßiger, weil allgemeiner verwendbar, sind durch sie Löcher von 1 bis 2 2 mm Weite durchgebohrt, so daß man den „Justierstift“ dort einsetzen kann, vgl. Fig. 183; oft ist beides vorhanden.

Bei der neben abgebildeten „Tischlibelle“, Fig. 188, z. B. ist EE die genau eben geschlilfne Platte, die zum Aufsetzen oder zum Auflegen der Libelle auf eine zu horizontierende Gerade oder Ebene dient (oft durch zwei besonders bearbeitete Stellen gegeben). Das linke Endstück At der Libellenfassung ist durch eine Schraube mit der Unterlage verbunden, so daß aber doch noch eine kleine Drehung der Fassung um diesen Punkt

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Fig. 188.

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Fig. 189.

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Fig. 190.

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Fig. 191.

möglich bleibt, das rechte Endstück A₂ dagegen hängt mit der Unterlage durch eine Zug- und zwei Druckschrauben zusammen, die in der Fig. 189 gezeichnet sind (der Kopf der mittlern Zugschraube Z sitzt auf A₂ auf, die Köpfe von Dx und D₂, die nicht wie Z in das Stück M hineingreifen, sondern sich nur dagegen stemmen, stehen über A₂ vor). Statt zweier Druckschrauben läßt sich, wie angegeben, auch eine einzige verwenden, oder es könnte A₂ zwischen einer von oben und einer von unten angreifenden Halteschraube sitzen usf. Zugschraube und Druckfeder, die sehr viel angewendet werden, können wie in Fig. 190 aussehen, wo, um den Schaft der Zugschraube Z gewunden, eine starke Spiralfeder F zwischen das Endstück A₂ und das untre Metallstück M eingelegt ist.

Eine andre Tischlibelle, an der als Korrektionschraube eine Schraube genügt, die weiter durchzudrehen oder weiter auszuziehen ist, zeigt Fig. 191, wo die Libelle auf zwei festen Spitzen der Fassung und der Spitze der Korrektionsschraube ruht und ' die Ebene durch diese drei Punkte die Benützungsebene der .Libelle vorstellt.

Oft sind, besonders an feinen Setzlibellen, an'dem den Hauptkorrektionsschrauben für Yertikalversetzung des einen Endes der Libellenfassung gegenüberliegenden Ende der Fassung, zwei horizontal angreifende Korrektionsschrauben vorhanden, um die sog. Libellenkreuzung verbessern zu können: es kann sein, daß die Libellenachse und die Benützungslinie der Setzlibelle zwar in parallelen Ebenen, aber etwas windschief gegeneinander liegen.

Feine Libellen sind vor einseitiger Erwärmung sorgfältig zu schützen, da sie dabei rasch unrichtig werden; bei ganz feinen Libellen genügt z. B. das Anhalten des Fingers am einen Ende der Fassung, um die Libellenblase um mehrere Striche (gegen die bewegte Stelle zu) zu bewegen. Im freien Feld sind feine Libellen nur unter einem Schirm, nicht bei einseitiger Bestrahlung durch die Sonne u. dgl. zu gebrauchen; gröbre Libellen erfordern natürlich auch weniger Yorsichtsmaßregeln. Feine Libellen nebst Fassung werden in der Regel mit schlechten Wärmeleitern umgeben (Tuchumhüllung, das ganze in einem Holzkistchen verwahrt; oben durch ein Überglas ablesbar). Auch weniger feine Libellen werden neuerdings oft mit Hüllglas oder mit Stotfhülle umschlossen.

2. Prüfung und Berichtigung der Röhrenlibelle. Benützung Die Libelle ist in Ordnung, wenn ihre Achse parallel oder senkrecht zur Benützungslinie der Libelle (bei Tischsetzlibellen oft Benützungsebene) liegt. Die Prüfung geschieht stets durch Umsetzen, sei es, daß dieses Umsetzen der Libelle auf ihrer Unterlage tatsächlich ausgeführt werden kann, wie bei einer Setzlibelle, oder daß bei fester Verbindung der Libelle mit einer durch sie vertikal zu richtenden Achse die Libelle wenigstens durch Drehung um diese Achse in eine zweite, zur ersten symmetrische Lage gebracht werden kann.

Ist die Libelle in Lage I eingespielt und bleibt sie nach dem Umsetzen (Setzlibelle) oderUmwenden (Drehen des ganzen Stücks, an dem sie befestigt ist,um eine vertikal zu richtende Achse) in die Lage II nicht einspielend, sondern zeigt sie dabei einen Ausschlag der Blase von n Strichen, so rührt dieser Ausschlag, (n ■ cc)" entsprechend, zur Hälfte vom Libellenfehler her, zur andern Hälfte davon, daß die mit der Libelle horizontal zu legende oder vertikal zu stellende Linie noch nicht die verlangte Lage hat. Es ist also stets nur die Hälfte, und genau die Hälfte des nach dem Umsetzen oder Umwenden sich zeigenden Ausschlags an der Eorrektionsvorrichtung der Libelle zu verbessern, die andre Hälfte an der „Unterlage der Libelle“, mit Hilfe der „Fußschrauben“, durch die der Libellenunterlage eine andre Neigung oder der mit der Libelle vertikal zu richtenden Achse eine andre Stellung gegeben werden kann.

Die folgenden drei Beispiele mögen die Sache erläutern:

a) Es sei, Fig. 192, AB die genau ebene Oberfläche eines Metallstabs M, die mit der Setzlibelle L, mit genau eben geschliffnem Fuß, horizontal gelegt werden soll; dabei möge M auf zwei festen Fußspitzen Ft F₂ und der Spitze der „Stellschraube“ S auf einer sehr festen Unterlage liegen. Die Setzlibelle in Lage I auf AB gebracht und mit der Schraube S scharf eingespielt; C bedeute die Korrektionsvorrichtung der Libelle. Libelle sorgfältig abgehoben und bei ganz unverändert gelassner Unterlage wieder aufgesetzt, mit Vertauschung der Enden, Lage II. (Ist AB nicht der ganzen

Länge nach sehr genau eben gearbeitet, so sind oft zwei besondre Plättchen auf AB vorhanden, auf die die Libellenenden in Lage I und Lage II zu bringen sind.) Bleibt die Libelle in Lage II einspielend, so ist die Libelle in Ordnung, die Benützungslinie oder Benützungsebene parallel zu ihrer Achse, und zugleich liegt AB horizontal. Zeigt sich aber der Libellenausschlag n Striche, —n-a", so rührt er zur Hälfte davon her, daß Benützungsebene der Setzlibelle und ihre Achse nicht parallel sind, und zur Hälfte davon, daß AB noch nicht horizontal liegt: Benützungslinie und

Achse der Libelle machen den Winkel

— ^ miteinander, und ebenso weicht die Nei-

gung von AB von der Horizontalen um den Betrag

n K ab (AB steigt nach der

Richtung hin an, nach der der Libellenausschlag liegt). Die Hälfte des Ausschlags ist also an C zu verbessern, die andre Hälfte an der Stellschraube oder Fußschraube S der Unterlage. Das Libellenumsetzen ist mehrfach zu wiederholen, um so öfter, je feiner die Libelle ist; zeigt sich nach drei- bis viermaligem Umsetzen, und nach Wegschaffen je des halben Ausschlags an C und an S, kein Ausschlag mehr, so ist

Al

vr-g;

777^p77777777777777777777777y77777777777777777Z777Z77Z7/7777777./

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L-u

S.

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3]/

Fa

7777777777777777777777^.

I—\a

F₂

Fig. 193.

Fig. 192.

die Libelle berichtigt und zugleich AB horizontal. Die Genauigkeit, mit der beides geschehen kann, hängt ab von der Empfindlichkeit a" der Libelle, etwas auch von der Feinheit der Stellschraube <S, die im richtigen Verhältnis zu cc stehen muß (zu grobe Ganghöhe der Schraube läßt eine feine Libelle nicht ausnützen, zu feine Stellschraube hat bei groben Libellen keinen Wert, erfordert zu große Umdrehungszahlen).

Die ganze Betrachtungsweise und Korrektion bleibt genau dieselbe, wenn die Setzlibelle eine Stützenlibelle zur Horizontallegung der Achse eines Stahl Zylinders ist, wie z. B. bei der Kippachse eines Theodolitfernrohrs.

b) G sei eine Glasplatte (Fig. 193), deren Oberfläche mit der Genauigkeit ganz weniger " eben geschliffen ist. Diese Ebene soll horizontal gelegt werden mit Hilfe einer Setzröhrenlibelle, die auf G aufgesetzt werden kann. Die Glasplatte liegt mit ihrer Unterseite auf drei feinen Spitzen Sl S₂ S₃ in einer Unterlage (Metall, oft Stein), die mit den drei gleichabständigen Fußschrauben F₁FSFS versehen ist; die Fußschrauben stehen auf einer sehr festen Unterlage, z. B. der Oberfläche eines Steinpfeilers. Durch die drei Fußschrauben FtF₂Fs kann man der Oberfläche von G innerhalb bestimmter Grenzen jede beliebige Lage geben. Man nennt diese ganze Vorrichtung einen „künstlichen Horizont“, vgl. Nr. 58. 3. b) bei der Berichtigung des Theodolits. Um eine Ebene horizontal zu legen, sind zwei sich schneidende Gerade (nahezu senkrecht zueinander), die dieser Ebene angehören, horizontal zu legen. Wir haben als diese zwei Gerade die Richtungen „parallel zu zwei Fußschrauben'1 und „über die dritte Fußschraube“ zu wählen. D. h. wir setzen die Libelle zuerst so auf G, daß ihre Achse parallel zur Verbindungslinie zweier Fußschrauben T\₂ Fs geht und spielen die Blase mit diesen beiden Fußschrauben ein; dabei zu merken; von den zwei Schrauben FaFa wird jede mit einer Hand (Daumen und Zeigefinger) gefaßt und beide werden genau gleichförmig gedreht, aber in verschiednem Sinn, entweder „einander entgegen“ oder „auseinander“. Die Blase der Libelle „folgt dabei dem Zeigfinger der rechten Hand“, vgl. Fig. 194.

Diese I. Lage der Libelle ist in Fig. 194 angedeutet; C bedeutet die Korrektionsschraube der Libelle. Zunächst ist nun zu sehen, ob die Libelle justiert ist. Sie wird also um 180° umgesetzt, in die Lage F gebracht, Fig. 195; die Hälfte des Ausschlags ist an C der Libelle, die Hälfte an Fs Fa (zu drehen wie oben angegeben) zu verbessern. Mehrfach wiederholt, wenn beim ersten Mal der Ausschlag beträchtlich war, und im allgemeinen um so öfter, je feiner die Libelle ist. Sodann die Libelle in Lage II gebracht, Fig. 195, „über die dritte Schraube“ Ft (Achse senkrecht zur Verbindungslinie FiFa, d. h. senkrecht zur Lage I und I', wobei es aber nicht darauf ankommt, daß die Achse grade „über“ Fx geht, es handelt sich nur um die Richtung. In dieser Lage II könnte man die Libelle

Blase—

Blase

«]

p₂

p₃

f₂

Mg. 194.

o y,

⁰ )Fi

nochmaligem setzen der Libelle in

ebenfalls mit F₃ Fa einspie-len, nur müßten diese genau gleichförmig, d. h. um genau denselben Betrag, und zwar in gleicher, nicht F₃ in entgegengesetzter Richtung, wie in Fig. 194, gedreht werden, da sonst bei Auf-

/R

fT₂

<■

r'l

c4t°

Fz

Pz

Mg. 195.

Mg. 196.

Lage I wieder ein Ausschlag sich zeigen würde. Man verwendet deshalb zum Einspielen in Lage II tatsächlich nicht F₂Fs, sondern Fx. Auch aus Lage II wird die Libelle zur Kontrolle nochmals um 180° umgesetzt in die Lage II'. Nachdem so \\FsFa und „über iö “ mehrfach eingespielt und umgesetzt und die Libelle endgültig verbessert ist, ist die (genügend genau ebene) Glasplatte so genau horizontal gelegt, als der Empfindlichkeit der Libelle entspricht; z. B. bei a = 10" bis auf einige wenige " in jeder beliebigen auf G angenommenen Richtung.

c) Die Betrachtung von b) bleibt abermals ganz dieselbe, wenn die Achse eines zylindrischen oder meist konischen Stahlzapfens, um den eine Scheibe (Alhidade eines Theodolits) gedreht werden kann, vertikal zu stellen ist, wobei wieder die Stellung dieser Zapfenachse mit Hilfe von drei Fußschrauben Fx Fa Fa beliebig verändert werden kann. Die Vertikalrichtung der Zapfenachse soll geschehen durch eine „feste“ Libelle, sog. „feste Alhidadenlibelle“, die einfach jede Drehung der Alhidade mitmacht. F₁FiFa sind, vgl. Fig. 196, wieder die Fußschrauben oder Stellschrauben, die Alhidadenscheibe A ist um einen konischen Zapfen drehbar, der in einer „Büchse“ im Zentrum des Unterbaus oder Dreifußes geführt wird, von dem die Fußschraubenarme ausgehen. Die Alhidadenscheibe A, überhaupt der ganze drehbare Oberteil M „dreht sich um den Punkt Af“, wie man zu sagen pflegt (Schnittpunkt der Zapfenachse mit • der Alhidadenscheibe A). Die Röhrenlibelle L, die zur Vertikalrichtung der Zapfenachse dient, ist in der Regel nicht auf der Alhidadenscheibe festgeschraubt, sondern an dem einen der beiden „Fernrohrträger“ Tt, dies sind Metallstücke, die auf der Alhidadenscheibe befestigt sind. Diese „feste Alhidadenlibelle“ L (Gegensatz zu der Setzlibelle bei b)) sei z. B. mit Tx fest verbunden. Um die Achse M vertikal zu richten, drehen wir die Alhidade z. B. zunächst so, daß die Libellenachse „über Fx liegt“ (nicht so zu verstehen, daß die Achse von L in der Tat nach Ft weist, sondern so, daß L I Fz Fz liegt) L₁, und spielen mit dieser Schraube allein ein, genau wie bei b) (Regel wie dort); sodann wird die Alhidade um 180° gedreht, wodurch Tx an die Stelle von T₂ kommt, die Libellenachse aber immer noch „über .Fj“ geht. Diese Lage I' ist in Fig. 196 nicht gezeichnet; die Korrektions Vorrichtung liegt, während sie bei I gegen JE, gewendet lag, jetzt von Ft abgewendet. Zeigt sich nach diesem Umdrehen um 180° ein Ausschlag der Libelle, so rührt er je zur Hälfte davon her, daß der Winkel zwischen Libellenachse und Umdrehungsachse von 90° abweicht, und zur Hälfte davon, daß diese Umdrehungsachse, in der „ersten Lage“, gegen F₁ zu, noch nicht vertikal steht. Es ist also die Hälfte des Ausschlags an C der Libelle, die andre Hälfte an Ft zu verbessern. Nunmehr wird die Alhidade auch um 90⁰ gedreht, so daß die Libelle in die Lage II, || Fa Fs kommt und mit diesen beiden Schrauben eingespielt (Regel wie bei b)); auch hier um 180° gedreht. Ein sich noch zeigender kleiner Ausschlag nochmals zur Hälfte an C von L, zur Hälfte an FaFs verbessert (diese recht gleichmäßig auseinander oder einander entgegen drehen). Um die Drehungen um 180° ziemlich genau zu machen, wenn es sich um die letzten feinen Verbessrungen handelt, wird man die Stellung eines ani angebrachten Index/ an den Strichen der Kreisteilung K ablesen und den Index dann auf die um 180° vergrößerte Ablesung stellen. Wenn die Libelle z. B. 20" Empfindlichkeit hat und durch mehrfaches Drehen der Alhidade um 180° so genau als möglich justiert ist, z. B. auf ys Strich, so kann man mit der dieser Justierung entsprechenden Genauigkeit, im Beispiel auf etwa x/₆ • 20", d. h. auf wenige " genau die Umdrehungsachse vertikal stellen; man beachte nur, daß sie, um „nach allen Richtungen vertikal“ zu stehen, als Schnittlinie zweier Vertikalebenen herzustellen ist, von denen die eine durchAfund eine Fußschraube Fx, die andre durch M parallel zu zwei Fußschrauben FaFa geht. Bei dieser festen Alhidadenlibelle ist die Achse der Libelle nicht parallel zu ihrer Benützungslinie, der Winkel zwischen beiden ist nicht Null, sondern muß ein rechter sein.

3. Dosenlibelle. Zur Horizontallegung einer ebnen Glasplatte, wie in 2. b), oder zur Vertikalrichtung eines Achszapfens, wie in 2. c), ist viel bequemer als die Röhrenlibelle die sog. Dosenlibelle, die ebenfalls sowohl als Setzlibelle wie als feste Libelle ausgefiihrt werden kann.

In der altern Form ist sie ein mit Glasdeckel verschlossnes Metallgefäß, wieder fast ganz, bis auf eine kleine „Luftblase“, gefüllt mit reinem Alkohol oder Äther, der Glasdeckel ist innen nach einer Kugelschale ausgeschliffen, so daß diese Libelle im Gegensatz zur Röhrenlibelle, die nur in der Richtung ihrer Achse wirksam ist, gleichzeitig nach allen Richtungen wirkt. Bei Setz-Dosenlibellen unterscheidet man solche mit „festem Fuß“, die nicht berichtigt werden können, falls sie einen Fehler zeigen, und rektifizierbare; dasselbe gilt für solche „feste“ Dosenlibellen, die an einem Instrument befestigt sind, z. B. auf dem Deckel einer Kreuzscheibe zur Vertikalrichtung des Stabs. Dosenlibellen auf der Alhidaden-

scheibe eines Theodolits zur Vertikalrichtung der Umdrehungsachse der Alhidade müssen stets korrigierbar sein. Schematisch ist der Querschnitt 'einer Dosenlibelle mit festem Fuß der von Fig. 197; der Glasdeckel konnte bei diesen alten Dosenlibellen, die vom Boden her (Schraube Sch) gefüllt wurden, nur mit dem Metall fest verkittet sein, weshalb solche Dosenlibellen leicht undicht wurden und nachgefüllt werden mußten.

* Auf der Oberfläche des Glasdeckels sind hier, wieder meist in der Entfernung von 1 Par .-Linie = 2,26 mm oder 2¹/₂ mm voneinander einige konzentrische Kreise gezogen (oft auch nur einer), deren Mittelpunkt M der Spielpunkt ist. Stimmt der Mittelpunkt der hier kreisförmigen Blase mit M überein, so spielt die Libelle ein, im andern Fall ist ein Ausschlag vorhanden. An die Stelle der „Achse“ der Röhrenlibelle tritt bei der Dosenlibelle eine Ebene, die Tangentenebene an die Ausschleifungs-M

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Fig. 197.

Fig. 198.

kugel, in dem dem Spielpunkt M entsprechenden Punkt, die sog. Hauptebene der Dosenlibelle. Spielt die Libelle ein, so liegt also ihre Hauptebene horizontal; es fragt sich, ob damit zugleich die Benützungsebene EE der Libelle horizontal gelegt ist. Dies ist offenbar nur der Fall, wenn diese Benützungsebene parallel zur Hauptebene ist. Der Ausschleifungshalbmesser (Halbmesser der Kugelkalotte) kann hier nie so groß sein wie der Halbmesser des Ausschleifungsbogens einer Röhrenlibelle, Dosenlibellen sind stets wenig empfindliche Libellen, z. B. mit den Schliffhalbmessern 2 m, 3 m, hm, höchstens 10 m. Bei nur 2 m Schliffhalbmesser bewegt sich die Libellenblase um 2 % mm bei Neigung der Libelle

•3438'= 4',3 und selbst noch gröbre Dosenlibellen von 6', ja

um

2,5

2000

10' Teilwert (Ringwert) genügen für manche Zwecke (Schliffhalbmesser von 1 %m und Im, selbst noch etwas weniger). Bei 10m Ausschleifungshalbmesser und 2% mm Abstand der Ringe ist Neigung der Libelle um

nur

2,5

10000

• 3438'= 0',86 notwendig

zur

Verschiebung der Libellenblase

um einen Ring, und solche Dosenlibellen von etwa 1' Ringwert gehören schon zu den feinsten.

An Setzdosenlibellen sind statt des in Fig. 197 angegebnen ganzen Ringfußes zum Aufsetzen oft auch drei Fußspitzen im Winkelabstand 120° vorhanden; der Fuß der Libelle kann ferner durchbrochen sein, wobei durch drei Korrektionsschrauben ebenfalls im Winkelabstand 120° (Zugschrauben mit zwischen G und M eingefügter starker Spiralfeder um jeden Schraubenschaft oder zwischen G und M eingelegter Blattfeder) dafür gesorgt ist, daß die Libelle korrigierbar ist, die Benützungsebene (Ebene durch die drei Fußspitzen SlS₂S₃) parallel gemacht werden kann zur Hauptebene der Dosenlibelle, vgl. Fig. 198. Prüfung und Berichtigung: Aufsetzen auf eine genau ebene Platte, vgl. z. B. G in Fig. 193, und Einspielen durch deren drei Fußschrauben; Umsetzen der Libelle auf dieser Ebene um 180°, halber Ausschlag an den Korrektionsvorrichtungen C^C₂C₃, andre Hälfte an den Fußschrauben der Unterlage zu verbessern. Bei der Frage, welche Korrektionsschraube der Libelle kommt nach dem Umsetzen vor allem in Betracht, hat man sich die Linie von dem Punkt, an dem die ausschlagende Blase sich befindet, nach dem Punkt M (dem sie um den halben Ausschlag genähert werden soll) zu denken; die Linie weist auf das zu verwendende C hin, ebenso auch auf die Fußschraube der Unterlage, mit der vor allem die zweite Hälfte des Ausschlags wegzuschaffen ist.

Ganz ebenso wie in Fig. 198 angedeutet, ist auch die Korrektionsvorrichtung einer festen Alhidaden-Dosenlibelle einzurichten, die in der Mitte der Alhidadenscheibe sitzt und bei der nur die Fußspitzen S₁S₂S₃ wegfallen. Um mit dieser Libelle die Zapfenachse der Alhi-dade vertikal zu stellen (vgl. 2. b) für die Röhrenlibelle), ist so zu verfahren: bei beliebiger Stellung der Alhidade (darin liegt eben die Annehmlichkeit der Dosenlibelle gegen die Röhrenlibelle, daß die Alhidade nicht hin- und hergedreht zu werden braucht, sobald die Libelle korrigiert ist) wird die Libelle eingespielt, dann Alhidade um 180° gedreht (allenfalls roh am Kreis ablesen), Hälfte des etwa sich zeigenden Ausschlags an der Libelle, Hälfte an den Fußschrauben verbessert (beachte wieder die Linie von dem Punkt, an dem die Libellenblase sich befindet, nach TU; diese weist auf die zu gebrauchende Korrektionsschraube und Fußschraube); ein paarmal wiederholen.

Fig. 199.

Die neuere Form der Dosenlibelle vermeidet den Ubelstand, daß durch Undichtwerden die Dosenlibelle leicht unbrauchbar wurde. Es ist neuerdings gelungen auch bei Dosenlibellen, wie bei Röhrenlibellen, ge-schlossne Glaskörper zu verwenden, die im Querschnitt etwa wie Fig. 199 aussehen (zuerst Mollenkopf, Stuttgart 1904); es kommt in diesem Querschnitt wieder nur auf die Form der Kugelkalotte an, die Form des untern Teils des Glaskörpers ist gleichgültig. Dieses Libellenglas wird in den Zylinder des Metallgehäuses fest eingegipst und durch oben überragenden Rand festgehalten. Diese neuen Dosenlibellen haben sich gut bewährt.

An den meisten neuen Theodoliten finden sich Dosenlibellen und Röhrenlibellen, ebenso ist an den Nivellierern außer der Haupt(Röhren-) libelle eine kleine Dosenlibelle. Und dies ist zweckmäßig, weil das Vertikalrichten der Umdrehungsachse der Alhidade mit der Dosenlibelle viel rascher geht als mit der Röhrenlibelle, für viele Zwecke der Theodolitmessung überhaupt genügend ist und jedenfalls die etwa notwendige schärfere Richtigstellung der Umdrehungsachse mit der Röhrenlibelle erleichtert. Für manche Fälle der Horizontalwinkelmessung genügt die Genauigkeit von 30" oder selbst Y in der Vertikalstellung der Um-drehungsacbse des Theodolits selbst dann, wenn die Winkel auf ganz wenige " genau zu messen sind, und dazu reicht eine 2'-Dosenlibelle aus. Ähnlich später beim Nivellieren, wo eine verhältnismäßig grobe Vertikalrichtung der Umdrehungsachse überhaupt immer genügt und die feine Röhrenlibelle

Horizontallegung der Ziellinie gebraucht wird.

nur zur

Wenn freilich die Umdrehungsachse einer Alhidade auf 5" oder auch nur 10" genau vertikal zu richten ist, so kann dies mit einer Dosenlibelle nicht gemacht werden, man braucht notwendig eine genügend empfindliche Röhrenlibelle dazu.

Wir haben auch früher schon an Meßwerkzeugen Röhren- und Dosenlibellen kennen gelernt, und es ist jetzt, nachdem wir sie im einzelnen betrachtet haben, auf jene Anordnungen nochmals zu verweisen: Anschlaglibelle zum Vertikalrichten eines Stabs, Setzlibelle nach Fig. 6; feste Dosenlibelle auf der Kreuzscheibe zum Richten des Stabs, vgl. Fig. 12; Röhrenlibelle am Pendel der Gradbögen, vgl. Fig. 59, 60a; an den Neigungsmessern aller Art, vgl. S. 90. Das Vorstehende enthält jetzt auch alle notwendigen Angaben zur Prüfung jener Libellen.

54. Teilkreis des Theodolits und Mittel zur Ablesung an Teilkreisen. 1. Allgemeines. Der Horizontalkreis des Theodolits ist bereits mehrfach erwähnt. Sein Umfang ist durch feine Striche in Grade zerlegt, die je nach dem Teilkreisdurchmesser weiter untergeteilt sind. Das Material des Teilkreises ist häufig ein in das Messing, aus dem der ganze Unterbau besteht, eingelassner Silberstreifen, weil auf diesem Material (unter den Metallen) die reinsten gleichmäßigen Striche gezogen werden können, die Oberfläche des Teilstreifens hell (günstig beleuchtet) und als Edelmetall im ganzen wenig veränderlich ist. Ein ebensogutes, nicht metallisches Material wäre Glas, das aber aus naheliegenden Gründen für Instrumente, die transportiert werden müssen, nahezu ausgeschlossen ist. (Zeiß [Pulfrich] in Jena wendet übrigens für die Teilkreise gewisser Theodolite Glas an.) Nur die verhältnismäßig große Empfindlichkeit des Silbers gegen manche chemische Verbindungen (es „läuft an“, wird sogar bei Gegenwart von Schwefelverbindüngen rasch dunkel) zwingt oft dazu, die Kreise auf andern Metallen teilen zu lassen.

Als solche haben sich für die g. S. T. H. St. (nahe bei einem chemischen Laboratorium der Hochschule) mehrere Argentan-(Neusilber-)Sorten gut bewährt für die gewöhnlichen Gebrauchsinstrumente. Messing ist nur für gröbre Teilung brauchbar, ist auch zu dunkel (die Oberfläche wird leicht sogar beinahe schwarz); eher könnte harter polierter Stahl oder Nickelstahl in Betracht kommen, doch sind diese Metalle auch bei Bedeckung des Kreises durch Mäntel in der feuchten Luft beim Feldgehrauch der Instrumente zu leicht der Oxydation ausgesetzt.

Der geteilte Kreis, Teilkreis oder Limbus (= Saum, Streifen) war früher stets ein Teil der beim Gebrauch des Instruments horizontalen

Ebene, zu der der „Unterbau“ des Theodolits (an dem die drei Arme mit den Fußschrauben sitzen) sich oben erweitert. Neuerdings trägt man bei den kleinen Instrumenten, die für uns in Betracht kommen, die Teilung fast immer nicht mehr auf einem ebnen Kreisstreifen auf, sondern auf dem Mantel eines Kegelstumpfs mit ziemlich flacher Öffnung, an dem die Teilstriche bis zum Rand des obern Begrenzungskreises gezogen sind. Die Teilstriche des „Nonius“ sind dann auf einem mit diesem Kegelmantel übereinstimmenden Kegelmantelstumpf zu ziehen, bis zum Rand seines untern Begrenzungskreises. Zwischen diesem untern Begrenzungskreis der Alhidadenscheibe und dem obern Begrenzungskreis der Limbus-scheibe ist nur soviel Zwischenraum (ein kleiner Teil des Alhidade im Limbus gedreht werden kann.

), daß die

An gleichförmigen Skalen mit feinen scharfen Kantenstrichen auf hellem Metall aufgetragen, geht man mit der „Unterteilung“, d. h. dem kleinsten, auf der Teilung selbst noch anzugebenden Teil, falls die Teilung mit Hilfe eines „Nonius“ (s. u.), nicht durch ein Mikroskop (ebenso) „abgelesen“ werden soll, bis auf etwa ¹L oder besser XL mm Abstand der sich

o-

ro

CO

er«

CD

OO

ro

CO

Öl

Fig. 200.

mm

folgenden Teilstriche. Sind die Teilstriche über 0,4 oder gar 0,5 auseinander, so wird in der Regel der Nonius lästig lang, sind die Teilstriche enger als ¹/z mtw beisammen, so wird die Teilung wenig übersichtlich, selbst mit der Lupe schwer lesbar.

0,02

mm

Zur Ablesung der Stellung eines an gleichförmiger Skale verschiebbaren Index oder Zeigerstrichs an jener Teilung genügt sehr häufig die Genauigkeit der unmittelbaren Schätzung nach Augenmaß nicht, obwohl Übung diese Genauigkeit unerwartet hoch steigern läßt. Will man z. B. die Stellung der Nullmarke auf dem an MM verschiebbaren Metallstück N an der gleichförmigen Skale MM Fig. 200 durch Schätzung feststellen, d. h. das kleine Stück a schätzen, das zu der Zahl 4 des vor der 0 (im Sinn der fortschreitenden Teilung) liegenden Strichs hinzugefügt werden muß, so kann diese Schätzung wohl auf halbe Zehntel gehen: 0,5 ist zu wenig, 0,6 zu viel für a, die beste Zahl wird 0,55 sein. Man kommt sogar, wie schon angedeutet, leicht durch Übung etwa über das y₂₀ in der Schätzung hinaus, wenn die Teilstriche an M nicht zu eng liegen, z. B. in 2 mm Entfernung für diese Au genmaß Schätzung. Wenn aber in diesem Fall z. B. sicher bis auf x/₅₀ oder gar yi00 des Teilungsinter-valls abgelesen werden soll (bei 2 mm Entfernung also auf 0,04 oder gar ), so läßt sich dies durch Schätzung nicht mehr machen. Man braucht also sehr häufig zur Bestimmung des kleinen Stücks a (Fig. 200) zwischen dem nächst vorhergehenden (Sinn der Teilungsbezifferung) Strich der Teilung und der Nullmarke, deren Stellung zu bestimmen ist, eine besondre „Ablesevorrichtung“. Solche zur Ablesung an gleichförmigen Teilungen dienende Mikrometer sind, soweit sie für Kreisteilungen in Betracht kommen,

1.    der sog. Nonius und

2.    3. 4. Ablesemikroskope; nämlich

2.    das Strich- oder Fadenmikroskop,

3.    das Skalenmikroskop,

4.    das Schraubenmikroskop.

Andre früher gebräuchliche Ablesemittel, wie besonders Transversallinien (ähnlich wie bei dem Transversalmaßstab, Fig. 104) oder Transversalenpunkte sind verlassen und es ist auch kein Grund für ihre neuerdings versuchte Wiedereinführung vorhanden.

Für unsre Zwecke, d. h. für kleinere Theodolite zu weniger feinen Messungen (bei denen z. B. in den Winkeln über die Genauigkeit 1” jedenfalls nie hinauszugehen ist, während oft 1', oft 30", oft 10" Genauigkeit genügen) ist das Hauptablesemittel an der gleichförmigen Kreisteilung der sog. Nonius mit darüber gesetzter Lupe von geringer Vergrößrung. Für manche Zwecke ist bequem das Strichmikroskop, das zur optischmechanisch verfeinerten Zehntelschätzung zurückkehrt, für andre Zwecke das Skalenmikroskop, an dem ebenfalls zwischen die Striche einer be-sondern feinen Hilfsskale hinein noch Zehntel zu schätzen sind. Das bei manchen Geodäten und Mechanikern zu bemerkende Streben dagegen, an allen, auch den kleinern Instrumenten zu gröbern Messungen den Nonius zu verdrängen und durch das Schraubenmikroskop (Schraubenmikrometer) zu ersetzen, das feinste Ablesemittel an Teilungen, das wir haben, ist nicht zu billigen. Erstens werden dadurch die kleinen Instrumente überflüssig verteuert, zweitens sind die Schraubenmikroskope durch den kleinsten Stoß aus der Ordnung gebracht, während dem „einliegenden“ Nonius überhaupt kaum ein Unfall zustoßen kann, drittens ist der, auch viel größre Genauigkeit als auf den ersten Anblick möglich scheint, bietende Nonius, wenn einmal, dann auch stets richtig, während das Schraubenmikroskop (ebenso auch das Skalenmikroskop) stets vor dem Gebrauch des Instruments berichtigt, auf die Teilung „abgestimmt“ werden muß.

2. Der sog. Nonius zur Ablesung an einer geraden, gleichförmigen Skale. An der Kante des geradlinigen metallnen Maßstabs M, der mit feinen, bis zur Kante gehenden Strichen versehen ist, soll mit Hilfe eines sog. Nonius abgelesen werden.

Nebenbei bemerkt, ist der Name Nonius für die hier zu beschreibende Vorrichtung nicht richtig; was Nonius (latinisierter Name von Pedro Nunes, einem portugiesischen Mathematiker des 16. Jahrh.; der Name ist nicht, wie fast allgemein üblich geworden, Nunez zu schreiben) als Ablesemittel an Kreisteilungen vorgeschlagen hat, ist etwas von unserm „Nonius“ durchaus Verschiedenes, praktisch nicht Brauchbares; der jetzt in Deutschland (aber nur hier) so genannte Nonius stammt z. T. von dem deutschen Mathematiker Clavius her, bekam aber seine endgültige, an der abzulesenden Teilung verschiebbare Form erst durch den Franzosen Pierre Vernier (1631) und heißt deshalb auch im Französischen wie im Englischen und in andern Sprachen richtiger als bei uns Vernier Doch ist der Name Nonius bei uns kaum mehr zu verdrängen.

Es ist eine kleine, an die Ablesemarke 0 sich anschließende und mit ihr zu verschiebende gleichförmige Hilfsteilung, deren Teile etwas

andre Länge haben als die der abzulesenden Limbusteilung. Denken wir uns z. B. in Fig. 201 diese Hilfsteilung „Nonius“ so hergestellt, daß 9 Teile der Limbusteilung, die z. B. Striche von mm zu mm vor-stellen, in 10 Teile auf dem Nonius zerlegt sind (in I ist die Noniusnull

der Limbusteilung angelegt, der Endstrich 10 des Nonius reicht also bis zum mm-Strich 291), so ist also ein Teil des Nonius gleich ⁹/io eines Teils der Limbusteilung und es ist bei dieser Anlage I des Nonius der Abstand zwischen dem 1. der Null folgenden Strich des Nonius und dem Strich 283 der Limbusteilung gleich y,0 der Abstand zwischen dem 2. Strich des Nonius und dem Strich 284 gleich ²/₁₀ mm usf.; der Strich 5 des Nonius, durch Punkt ausgezeichnet, ist scharf in der Mitte zwischen 286 und 287: der Abstand des vorletzten

beim Strich 282

mm

mm,

Noniusstrichs vom Strich 291 des Limbus ist ⁹/₁₀ eines mm. An die einzelnen Striche des Nonius schreiben wir nun nicht die Werte an (oder denken sie uns an geschrieben), die ihnen in Limbusteilen wirklich zu-

. Strich

kommen, nämlich hier nicht an dem ersten, zweiten, dritten des Nonius von der 0 an die Zahlen ⁹/,₀ mm sondern gleich die oben angegebnen Differenzen: yiomm • • • ⁹/io mm> 7io

Lage und versuchen die Stellung der Null abzulesen, z. B. in der Lage II der Figur 201; die sog. Rohablesung, nämlich der Limbusstrich, der vor der Noniusnull (Indexstrich, dessen Stellung stets abzulesen bleibt) steht, im Sinn der fortschreitenden Beziffrung der Teilung, heißt 299 und der Nonius soll uns die Strecke zwischen dem Strich 299 und dem Null-

mm.

, 2. ⁹/₁₀ mm, 3. ⁹/₁₀

. ²/iqmm, ³/₁₀

Rücken wir nämlich nun den Nonius in beliebige

mm

, • • *,

mm.

strich des Nonius messen. Gehen wir den Nonius durch bis zu dem Strich, der mit einem Strich des Limbus übereinstimmt (koinzidiert), so ist, wenn dies wie bei II der Strich 7 ist (nämlich „⁷/₁₀

“) die

2 80

Z90

300

3/0

TT

io

LI I I

3-

I.

Fig. 201.

I.

zu messende Strecke (Strich 299 bis Noniusnull) == y^ mm; denn man hat von der Koinzidenzstelle nach links in den Abständen zwischen den

• • Vio

gleichvielten Nonius- und Limbusstrichen folgeweise yi0, ²/: und diese letzte Zahl ist die gesuchte.

Der vorliegende Nonius leistet offenbar, bei 1 Limbusteil = 1 mm, noch nicht, was sich an der geradlinigen Maßstabkante überhaupt (ohne Benützung einer Lupe) erreichen läßt. Wollen wir schärfer als auf yi0 mm, z. B. auf y₂₀ mm ablesen, so sind 19 Limbusteile (zu je 1 mm) in 20 gleiche Teile auf dem Nonius zu zerlegen; an die einzelnen Striche des Nonius, dessen Teile also nun ¹⁹/₂₀ eines Limbusteils, d. h. ¹⁹/20 sind, sind von der Null aus nicht die Zahlen ¹⁹/₂₀, ³⁸/₂₀, ⁵⁷/₂₀ . . . mm anzuschreiben oder angeschrieben zu denken, sondern gleich die Differenzwerte y₂₀, ²/₂₀, ³/₂₀ . . .mm. Der Nonius wird im ganzen lang (hier und im folgenden immer zwischen dem Nullstrich, Index, und dem letzten bezifferten Strich gerechnet) 19 mm, nicht ganz 2 cm und ist also noch bequem zu übersehen. Wir sehen aber auch leicht, wie er abgekürzt werden könnte. Die Limbuskantenstriche können auch für Ablesung ohne

107 •

mm

mm

lang

Hammer: elementare praktische Geometrie.

19

Lupe näher zusammen gesetzt werden als auf 1 mm', halbieren wir die mm

Y₂-Striche kürzer, die 1-Striche länger: jeder 5 mwStrich mit Punkt oder Doppelpunkt; so genügt es, wenn jeder 10-m/m-Strich beziffert wird), so ist ein Nonius, der y₂₀ mm, d. h. V₁₀ der jetzt vorhandenen Limbus-teile abzulesen gestattet, offenbar dadurch zu gewinnen, daß abermals 9 der jetzt vorhandnen Limbusteile in 10 gleiche Teile auf dem Nonius zerlegt werden; der Noniusteil ist ⁹/₁₀ eines Limbusteils, d. h. ⁹/₁₀ • ya

= %o

teile = 4%

Lupe mit der Vergrößerung 2 oder 2ya über den Nonius zu setzen.

Wir können jetzt gleich allgemein Folgendes anschreiben als Grundgleichung für den Nonius: soll an einer gleichförmigen Skale, einem „Lim-bus“, dessen Teile die Länge T haben (konstanter Abstand der sich unmittelbar folgenden Striche des Limbus), mit Hilfe eines daran verschiebbaren Nonius bis auf y von T abgelesen werden, so ist dieser Nonius (Hilfsteilung) so einzurichten, daß (n — 1) Teile T in n gleiche Teile auf dem Nonius eingeteilt werden. Bedeutet also t die Länge der im Vergleich mit den Limbusteilen T etwas kürzern Teile des Nonius, so muß

n • t = (n — 1) • T

gemacht werden, so daß ein Teil des Nonius — eines Teils der Limbus-teilung wird:

setzen auf die Limbuskante Teilstriche von ya mm zu

mm

(1)

(2)

V.

mm

(die

mm

lang und der Nonius hat im ganzen die Länge 9 Limbus-Es wäre hier allerdings offenbar schon gut, eine kleine

mm.

t = -—¹ • T.

Noch in einer dritten Form wollen wir die Noniusgleichung anschreiben, nämlich: Unterschied zwischen dem Limbusteil T und dem Noniusteil t muß y T sein,

(3)

T — t = -T,

n ⁷

wenn der Nonius bis auf ¹/n von T an der Limbusteilung abzulesen gestatten soll.

An den 1., 2., 3. . . . (n — l)ten (vorletzten) Strich des Nonius, von der Null (Indexstrich) an gezählt, ist aber nicht der natürliche Wert dieser Striche in Teilen des Limbus, d. h. nicht ihre Entfernung von der Noniusnull, in Teilen T gerechnet, angeschrieben zu denken, d. h.

nicht (4)    1 • —- T,    2 • —-    T,    • • • (» — 1)    - T,

v 7    n ⁷    n ⁷ v    '    n ⁷

T,

sondern (5)

die Differenzen der Zahlen (4) gegen 1-T, 2- T, . . . (n —- 1) • T, und nach dieser Bezifferung (5) sind die einzelnen Striche des Nonius zu lesen.

Der Nonius ist das „Koinzidenz-Mikrometer“ (beruht auf ähnlichem Prinzip wie die Koinzidenzmethode hei der Vergleichung zweier nur nahezu gleichgehender Uhren, z. B. einer Mittlern Zeit-Uhr und einer Sternzeit-Uhr.

Die Ablesung mit Hilfe eines Nonius besteht immer aus zwei Teilen: die sog. Rohablesung ist einfach Notieren oder Merken des Limbusstrichs, nach dem (im Sinn der Beziffrung der Limbusteilung) der Null strich des Nonius (Index, abzulesender Punkt) an der Teilung „einschneidet“; sodann ist der Nonius durchzusehen, um den seiner Striche festzustellen, der scharf mit einem Limbusstrich übereinstimmt (Koinzidenz). Ist dies der mte Strich (Nullstrich als Null gezählt), so muß zu

der Rohablesung der Betrag ^ • T hinzugenommen werden, wenn der Nonius im ganzen n Teile enthält (zwischen Anfangsstrich Null und dem letzten Strich, an dem eine Zahl steht). Da der Nonius nach T beziffert ist, ygl. (5), so ist • T nicht etwa auszurechnen, sondern bietet sich unmittelbar als Ablesung auf dem Nonius.

Der Betrag — T, „bis zu dem“ ein Nonius abzulesen gestattet, heißt

seine Angabe oder wohl auch Lesung.

einzurichten.

mm

100

„Zu weit getriebener“ und „nicht weit genug gehender“ Nonius. Wir können uns an dem einfachen Fall der geradlinigen gleichförmigen Skale auch gleich klar machen, weshalb ein Nonius „richtig weit getrieben“ sein soll. Versuchen wir z. B. an der mit mm-Strichen versehnen Kante einen Nonius zur Ablesung von ¹f Man hat sich bei jedem Nonius, um die für ihn notwendige Einteilung zu erkennen, nur zu fragen: der wievielte Teil ist das, was der Nonius als Lesung geben soll, von einem Limbusteil T? Ist dies der n. Teil, so lautet die Antwort auf die Frage, wie ist der Nonius einzurichten, einfach: es sind (n — 1) Limbusteile in n Teile auf dem Nonius zu zerlegen; der Noniusteil t ist = —-— T zu machen. Im vorliegenden Fall

V:

100

wäre, bei T = 1 mm, n = 100; es wären also 99 T in 1001 auf dem Nonius zu zerlegen. Der Nonius würde im ganzen, zwischen der 0 und dem letzten bezifferten Strich, 99 mm lang, rund 1 2m, nicht bequem zu übersehen. Dies wäre aber noch nicht das Schlimmste; noch unbefriedigender fällt die Antwort auf die Frage aus: kann man die Einrichtung dieses Nonius (ohne Zuhilfenahme einer Lupe) auch ausnützen? Antwort: Nein, weil man nicht mehr genügend entscheiden kann, welcher Strich des Nonius mit einem Limbusstrich koinzidiert, es werden mehrere aufeinanderfolgende Striche des Nonius mit sich folgenden Limbusstrichen gleich gut übereinstimmen, weil der Nonius zu weit getrieben ist. Abkürzen können wir den Nonius auf die schon angegebne Art: zerlegen wir den Limbus in y,2mm, T — Yg mm, so ist die geforderte Angabe des Nonius von mm noch y₅₀ dieses T, d. h. n — 50 und es sind also 49 T = 50 t zu machen, 49 jener Halbmillimeter in 50 gleiche Teile auf dem Nonius einzuteilen und dessen ganze Länge wird 24y₂mm. Er ist aber trotzdem (zur Verwendung ohne Lupe) zu weit getrieben. — Umgekehrt: geht ein Nonius nicht weit genug, ist seine „Lesung“ nicht klein genug im Vergleich mit einem Limbusteil, so kommt es bei bestimmter Anlage des Nonius am Limbus vor, daß gar kein Noniusstrich mit einem Limbus-

strich koinzidiert, man kann nicht scharf genug ablesen. Zwar könnte dann hier Schätzung der Noniusablesung zu Hilfe kommen, deren Anwendung auch heim Nonius nicht ausgeschlossen ist; doch ist es besser, in jedem Fall den Nonius so weit zu treiben, als den Limbusteilen gemäß möglich ist.

1/

(10 bis 7 a) natürliches Maß unterscheidbar, d. h.

mm

150

Man verwendet an den Nonien ferner mäßig starke Lupen, meist nur 3 bis 4mal vergrößernd, um ein großes Gesichtsfeld zu haben und aus andern Gründen. Mit 3 mal vergrößernder Lupe kann der Nonius etwa Vioo bis

ablesbar machen, bei 5fach vergrößernder Lupe 5jx.= ¹/2oo'mm? immer an sehr scharfen Teilungsstrichen an einer Metallkante. Diese Zahlen sind nachher besonders für unsre Kreisteilungen wichtig.

Sog. Überstriche am Nonius. Häufig ist vor der Noniusnull (im Sinn der fortschreitenden BezifFrung des Limbus; wenn dieser also von links nach rechts beziffert ist, links von der Null des Nonius) noch ein Strich oder es sind zwei Striche der Noniusteilung aufgetragen. Diese dienen besonders dazu, die Nonius-Null scharf auf einen Strich der Limbus-teilung zu stellen; es kann dies schärfer geschehen, wenn man für einen oder zwei Striche rechts und links von der Null die „Bayonettstellung“ der Nonius/Limbus-Striche beobachten kann statt nur einseitig. Wir werden bald bei der Winkelmessung Fälle kennen lernen, wo die Einstellung eines bestimmten Limbusstrichs mit der Noniusnull erforderlich ist.

3. Kreisteilungen. Wir können alles über die gleichförmigen geraden Teilungen und ihre Nonien Gesagte sinngemäß unmittelbar auf Kreisteilungen ausdehnen und können dabei alles statt in Längen (mm) gleich in Zentriwinkeln rechnen, da ja in demselben Kreis Bogenlängen und zugehörige Zentriwinkel durchaus proportional sind.

Etwas über die Kreisteilungen selbst mag vorausgehen. Der Limbus (Teilkreis) ist stets mit Gr ad strichen versehen und die Grade sind, je nach dem Durchmesser des Kreises, verschieden weit „untergeteilt“.

Die auch heute noch beinahe allein gebräuchliche Kreisteilung ist die jetzt sog. „alte“ Kreisteilung, der rechte Winkel in 90 Grade zu je 60 Minuten, zu je 60 Sekunden¹) zerlegt; auf den Quadranten kommen also 90-60 = 5400 Min. alter Teilung oder 90-60-60 = 324 000 Sek. a. T. Die „alten schönen Zeichen“ für Grad, Minute und Sekunde („Bogenminute“ und „Bogensekunde“ in der sphärischen Astronomie im Unterschied von Zeitminute und Zeitsekunde, die man früher oft mit denselben Zeichen schrieb, jetzt aber stets und zweckmäßig mit m und s bezeichnet) ⁰ ' ", hat man neuerdings unnötiger- und unrichtigerweise auch vielfach für die „neue Kreisteilung“ empfohlen, die da und dort mit Vorteil verwendet wird.

Man soll nach diesem Vorschlag höchstens, wo überhaupt ein Zweifel sein könne, gelegentlich die Bezeichnung A. T. (= alte Teilung) und N. T. (== heue Teilung) beisetzen, was aber ganz unzweckmäßig und unschön ist. Es gibt viele Fälle, in denen unbedingt die Unterscheidung zwischen Grad alter und Grad neuer Teilung tatsächlich in der Bezeichnung, nicht aus einem Zusatz erkennbar sein muß, und es ist deshalb weit vorzuziehen, für den „Grad N. T.“ und seine Teile eine besondre Bezeichnung, sowie auch einen besondern Namen, bei uns etwa Neugrad zu wählen (im französischen steht „degre“ und „grade“ zu Gebot). Als solche Bezeichnung ist in Frankreich und jetzt auch fast ganz allgemein bei uns 1 Neugrad = 1 g oder ls üblich geworden,

(Vioo des rechten Winkels),

le = — «

100 i

so daß, da lcf auch = 90° ist, genau

(6)

1& =

9°

10

= 0° 54'

ist. Für die Unterteile des „Grads N. T.“, 1' = (zu Sprechen am besten Neuminute) und 1” = -V-' =    *₀₀ e (1 Neuminute) ist in Deutschland an manchen Orten

schreibt. Aller-

cm

(z. B. in der württembergischen Katastermessung) die unglückliche Bezeichnung c und ⁰⁰ üblich geworden, die für die Schrift unbequem und im Druck nicht deutlich genug ist. In mehr als 90 v. H. der Fälle in denen Winkel zu schreiben sind, hat man weder bei der Messung noch bei der Rechnung überhaupt die Zeichen ⁰ " " oder e ' zu schreiben, weil man Formulare verwendet, in denen die Zeichen vorgedruckt sind; auch würde man, wenn je die Zeichen für Grad usf. in N. T. zu schreiben wären, sich eines Hauptvorteils dieser „neuen“ Teilung begeben, wenn man die in ihr auszudrückenden Winkel nicht dezimal schreiben würde; d. h. man wird 86e,97 schreiben, nicht 86e 97', so wie man auch 36,42 m, nicht 36 m 42 dings ist es in Frankreich üblich geworden, z. B. 56s,4085".0 zu schreiben, um die vierte Dezimalstelle des Neugrads zu bezeichnen. Es gibt aber auch viele Fälle, in denen man eine besondre Bezeichnung für kleine Winkel unbedingt braucht, indem man z. B. +20", nicht + 0S,0020 schreiben will; und jedenfalls kann und darf man in solchen Fällen, auch wenn z. B. aus dem Verlauf der Rechnung hervorgeht, daß „neue Teilung“ verwendet ist, nicht + 20" für + 20" schreiben.

Zum Vergleich der Unterteile alter und neuer Teilung (über die Grade siehe Gl. (6)) ist zu merken, daß

also ungefähr

(?)

100 • 100 = 90-60',

1'

¹

Ein schönes Beispiel für die Willkür der Sprache (auch der „logischsten aller Sprachen“, die ti’otzdem [oder vielleicht deshalb?] nach der immernoch herrschenden Ansicht vieler Philologen und Schulmänner als Grundlage allen Unterrichts in der Schule allein brauchbar sein soll), ist es, daß wir bei Kreis- und Zeiteinteilung nicht von Primen und Sekunden, sondern von Minuten und Sekunden sprechen müssen; von den partes minutae primae und den partes minutae secundae, müssen wir bei der ersten Unterscheidung, den Minuten, die Bezeichnung: kleiner Teil, bei der zweiten Unterscheidung aber, den Sekunden, die Bezeichnung: zweiter kleiner Teil nehmen!

ist, d. h. wo für einen bestimmten Zweck Winkelangaben auf 30" zu machen wären, • ist in neuer Teilung 1' zu wählen; ferner ist

100 • 100 • 100" = 90 • 60-60"

oder ebenfalls stark abgerundet

(8)

i"

Gerade für die Unterteilung des Kreises und für den Gebrauch des Nonius und der andern Ablesemittel ist die alte Teilung deshalb bequemer, weil die Zahl 60 eine ganze Menge von Teilern aufweist, von denen für uns besonders 2, 3, 4, 6, 12 in Betracht kommen, während die Zahl 10 nur 2 und 5 als Faktoren hat.

(= 10 cm) Durchmesser (man

mm

Nach der oben angegebnen Regel über Max. und Min. des Abstands der Lim-busteilstriche auf Kreisteilungen, die mit dem Nonius abgelesen werden sollen (Min. 0,4 bis 0,3 mm) wird man nun z. B. einen Kreis mit 100 gibt bei geteilten Kreisen stets den Durchmesser, nicht den Halbmesser an, um die Größe zu bezeichnen) bei alter Teilung in halbe Grade zerlegen können: Umfang des

Kreises 100 • n sr; 314

lang, die Grädstriche haben also einen Abstand von |||-= 0,87 mm, der gut noch Halbierung erträgt (Entfernung der Striche 0,44 mm). Ein Kreis von 140

mm

mm

Durchmesser, Umfang 3% • 140 = 420 —{- 20 == 440 mm, ist schon in 7S ⁰ zu teilen möglich, Entfernung der Striche /oTo ~ 0,41 mm; ein Kreis von 21

210 • 3%

mm

cm

Durchmesser kann in l/₆ ⁰ zerlegt werden, Entfernung der Striche

660

6 • 360

mm = —

2160

= nicht ganz 0,31 mm, was gerade noch angeht.

Bei neuer Kreisteilung sind die Möglichkeiten viel beschränkter. Am meisten

Durchmesser ist die \®- Teilung,

gebräuchlich bei kleinen Kreisen, z. B. von 13

cm

bei der hier die Teilstriche die Entfernung —

130 • 3,14

2 • 400

= 0,51

mm

erhalten. Für

die großem Kreise fehlt aber eine bequeme Teilungsmöglichkeit, x/₄ ^-Teilung fällt aus der dezimalen Teilungsart schon zu sehr heraus und y₆®-Teilung wird meist

3,14 • 170 5 • 400

Entfernung der Teilstriche, was für Noniusablesung meist schon

schon zu eng, gibt nämlich z. B. bei 17

= 0,26 bis 0,27 etwas zu eng ist.

mm

cm

Durchmesser des Kreises

mm

Wir bleiben im folgenden im allgemeinen bei dem Gebrauch der „alten“ Kreisteilung, ohne gelegentlich die „neue“ auszuschließen.

Zwei weitre Kreisteilungsarten sind mit Recht bis jetzt in die geodätische Praxis nicht eingedrungen, nämlich

a)    der Vorschlag, den ganzen Umkreis, nicht den Quadranten dezimal zu teilen, zunächst 100 Teile auf den vollen Kreis zu nehmen (deren jeder also 4® umfassen würde) und diese Teile weiter dezimal unterzuteilen; ¹/l0Q0 des vollen Winkels (=0,4®) wäre hier als Einheit anzusehen. Die Anhänger dieser „vollständigen Dezi-malisation“ der Kreisteilung machen geltend, der „Winkel“ zwischen zwei Richtungen sei doch nur mechanisch befriedigend zu erklären, durch die Drehung einer Geraden, bei dieser Drehung sei aber die einmalige vollständige Umdrehung die Einheit, wie auch im Kreis der volle Zentriwinkel die Einheit vorstellen müsse und wie man den ganzen Tag zur Einheit der Zeit gemacht habe. Dem stehen aber gewichtige geometrische Gründe gegenüber, die den rechten Winkel, nicht den vollen Winkel als Einheit verlangen; wir sind an den rechten Winkel ein für allemal gebunden durch den Grundsatz aller Geometrie, den pythagoräischen Lehrsatz, das rechtwinklige Koordinatensystem usf.

b)    Der Vorschlag, den alten Grad, 1 ° = ±q beizubehalten und ihn dezimal zu teilen, widerspricht allen sonstigen Einteilungsprinzipien. Es ist zwar richtig, daß man durch diese Willkür einen Teil der Vorteile der dezimalen Winkelteilung für die Rechnung erlangen könnte; es ist aber wohl nicht minder richtig, daß wenn der Vorschlag so nützlich wäre, wie seine Anhänger behaupten, er in den mehreren hundert Jahren, seit er aufgetaucht ist, längst durchgedrungen sein müßte, was nicht zutrifft. Nur in der Physik und leider mehr und mehr in den Schulen wird diese völlig inkonsequente Teilungsart benützt.

Eine andre Möglichkeit wäre noch die, statt 360° oder 400® oder 1000miU auf den Umkreis zu rechnen, auf den Umkreis 6,283185 . .. Hauptteile (Halbmesserlängen) zu rechnen, nämlich den Kreis nach Arcuswerten einzuteilen. Doch scheitert der Versuch daran, daß wir für die Rechnung für den vollen Winkel und den rechten Winkel eine runde Zahl brauchen.

4. Nonius an Kreisteilungen. Benützung. Wie im Eingang von 3. angegeben, können wir bei Nonien an Kreisteilungen durchaus sogleich mit Zentriwinkel statt mit Bogenlängen rechnen; es ist aber zu beachten, was über die mit dem Nonius und 3 bis 4fach vergrößernder Lupe sichtbar zu machende Strecke gesagt worden ist.

Um einen fertig vorgelegten Nonius zur Ablesung gebrauchen zu können, braucht man nur

a)    nachzusehen,' was ist der (kleinste) auf der Limbusteilung angegebne Teil T?

b)    in wieviel Teile ist auf dem zugehörigen Nonius der ganze Bogen zwischen Nullstrich und dem letzten (bezifferten) Strich eingeteilt?

Man darf dabei nicht nur die am Endstrich stehende Zahl lesen, sondern muß sehen, ob die durch diese Zahl genannten Teile nicht noch weiter in je 2, 3, 4, 6 gleiche Teile zerlegt sind, so daß, wenn e die Endzahl des Nonius ist, die Gesamtzahl seiner Teile n = 2e, 3e, 4e oder 6e ist. Ist nun also n die Gesamtzahl der Nonienteile zwischen Nullstrich (Index, dessen Stellung an der Teilung stets „abgelesen“ werden soll)

und beziffertem Endstrich, so ist einer dieser Nonienteile t = W 1 T lang,

die n Nonienteile zusammen sind = (n — 1) Limbusteilen und der Nonius gestattet, bis auf ¹/n T abzulesen, die Angabe oder Lesung des Nonius ist ¹/n T und es sind die auf den Nullstrich des Nonius folgenden Striche

denken mit % T, ²/„ T, »/. T ■ ■ ■ "-J T, “ T

dieser Hilfsteilung beziffert zu

(Endstrich); die Zahlen lassen sich selbstverständlich nicht alle an die Noniusstriche anschreiben, so wenig man, für Lupenablesung, alle einzelnen Striche des Limbus beziffern kann. In der Regel steht für Lupenablesung nicht einmal an jedem ganzen Grad strich des Limbus die Zahl, sondern nur jeder 10°-Strich ist beziffert, die 5°-Striche sind nur durch einen Punkt oder dgl. ausgezeichnet.

Beispiel 1. In der Skizze 202 zeigt der Limbus (die obere Teilung) eine

y, °-Teilung (Stück eines Kreises von 13 cm Durchmesser). An der Ablesestelle kann man hier nicht sehen, ob alte oder neue Kreisteilung vorhanden ist, man wird also rasch die Stelle 0 der Teilung aufsuchen: heißt die Zahl vorher 350, so ist alte, bei 390 neue Teilung vorhanden; oder ein Blick auf den Nonius entscheidet ebenfalls (hier steht am Endstrich 30, also alte Teilung, bei neuer könnte es nur 50 heißen); manchmal ist auch die Art der Unterteilung des Limbus selbst schon entscheidend,

mm.

z.    B. y₈°- oder y₆°-Teilung nur bei alter Teilung usf. Der Nonius in Fig. 202 hat zwischen 0 und dem Endstrich, an dem eine Zahl steht, 30 Teile, es ist e = 30 und diesmal auch n = 30; er gibt also Ablesung bis auf ¹/so eines Limbusteils, d. h. auf y₅₀ • 30' = 1' und an den 1., 2., 3., .. . Noniusteilstrich von 0 aus, ist angeschrieben zu denken 1', 2', 3' .. . In Wirklichkeit stehen nur die Zahlen 10(,), 20(,), 30(,) auf dem Nonius, die Fünfer-Minutenstriche sind nur durch Punkte ausgezeichnet. Die Länge dieses Nonius mit 1' Angabe ist 30 • ²⁹/„₀ Limbusteile = 29 Limbusteile = 14y₂⁰ Zentriwinkel, bei 13cm Durchmesser des Kreises rund 16yä

Die Ablesung bei einer bekannten Stellung des Noniusindex setzt sich, vgl. S. 289, aus zwei Teilen zusammen, der Rohablesung (Limbusstrich vor der Noniusnull) und der zuzufügenden Feinablesung (Noniusablesung) an dem Noniusstrich, an dem die Koinzidenz mit einem Limbusstrich vorhanden ist. In der Figur ist die Rohablesung 131%°= 131°30'; Nonius durchgesehen bis zum Koinzidenzstrich, dieser ist 17'; zusammen: Ablesung = 131°47'.

Es ist dem Anfänger dringend zu raten, vor der Ablesung am Nonius jedesmal auch die Stellung der Noniusnull an der Limbusteilung zu

schätzen. In Fig. 202 ist der Index deutlich an der Mitte zwischen 131% und 132, d. h. an 131°45' vorbei, aber wohl noch nicht ganz auf ³/5 des Abstands beider Striche, d. h. nicht ganz hei 131°48'; als Ablesung mit Hilfe des Nonius ist also 16' oder 17', noch nicht ganz 18' zu erwarten. Ferner ist der Anfänger davor zu warnen, sich mit schlechten Bildern der Limbus- und Noniusstriche in der Lupe zu begnügen; es ist sorgfältig durch Verschiebung der Lupe in ihrem Ring dafür zu sorgen, daß das beste Bild der Teilstriche aufgesucht wird (Entfernung zwischen Lupe und Strichen abhängig von der günstigsten Sehweite des Beobachters, auch von der Beleuchtung); endlich ist darauf zu achten, daß man den zu lesenden Noniusstrich ungefähr in die Mitte des Lupengesichtsfeldes bringt, nicht nach links oder rechts schräg durch die Lupe abliest.

Es werden jetzt durchaus „einliegende“ Nomen angewandt: Noniusteilung und Limbusteilung liegen auf übereinstimmenden Flächen (entweder beide in der Ebene der Albidadenscheibe, oder Konus des Alhidadenrandes übereinstimmend mit dem Kegel, der die Limbusstriche trägt; auch Zylinderstirnteilungen kommen vor). Aber auch dabei kommt es vor, daß ein kleiner Absatz zwischen diesen Flächen, die zusammenfallen sollten, vorhanden ist, der Nonius auf dem jetzt oft so genannten „Zeigerkreis“ z. B. etwas tiefer sitzt als der Limbuskreis. Dann muß erst die den Nonius tragende Alhidade so weit gehoben werden, daß dieser Fehler, der bedeutende Parallaxenfehler bei der Ablesung verursachen kann, wegfällt (s. unten, Aufbau des Theodolits). Früher waren statt „einliegender“ oft sog. „aufliegende“ oder „Klappnonien“ im Gebrauch; man muß sich bei solchen ältern Instrumenten durch leichten Fingerdruck

gegen den auf der Rückseite des Nonius angebrachten Stift versichern, daß kein Abstand zwischen Noniusrand und Limbusebene vorhanden ist, da sonst wieder bedeutende Parallaxenfehler in die Ablesung kommen können.

Beispiel 2. Eine Kreisteilung von 17cm Durchmesser zeigt Zerlegung der ganzen Grade in drei Teile (also jedenfalls alte Teilung), längere Gradstriche, dazwischen je zwei etwas kürzere ys°- und ²/₈°-Striche; der Nonius trägt die Zahlen 0 (Index), 10, 20 (bezifferter Endstrich), also e = 20, es ist aber jeder dieser 20 Teile in 3 gleiche Teile zerlegt, somit n = 60. Diese 60 Nonienteile sind zusammen so lang wie 59 Limbusteile. Der Nonius gibt dann (Lesung, Angabe) Ablesung bis auf ¹/₆₀ eines Limbusteils, d. h. bis auf y₆₀ von 20' oder auf 20" und die einzelnen Striche des Nonius sind beziffert zu denken mit 0'20", 0'40", 1' (etwas längerer Strich), 1'20", 1'40", 2' (ebenso), ... 20'. Dieser Nonius ist im ganzen lang (zwischen 0 und dem Strich 20') 60 • || = 59 Lim-

busteilen = (~^)° Zentriwinkel = 19%°, in nicht zu unbequem zu übersehen.

Beispiel 3. Eine Kreisteilung von 21 cm Durchmesser zeigt Zerlegung der Grade in 6 Teile (also alte Teilung), Striche von 10' zu 10' (Gradstriche lang, Halbgradstriche etwas kürzer), die Striche 10', 20', 40', 50' noch etwas kürzer, vgl. Fig. 203). Der Nonius zeigt die Zahlen 0 (Index), 2, 4, 6, 8, 10 (=e); jeder dieser 10 Teile ist aber weiter in 6 Teile zerlegt, so daß n = 60 ist und der ganze Nonius 59 Limbusteile = (“)° = 9s/₆° Zentriwinkel umfaßt, bequemer übersehbar als der vorige, 9,83

-• mm

57,3

weil nur 105 •

/So

10

30

Fig. 202.

mm

mm

59

3    57,3

¹    • 85

mm

=rund 29

mm,

noch

lang. An die einzelnen Striche des Nonius ist an-

geschrieben zu denken O'IO", 0'20", 0'30" (etwas länger) . . . l'O" (noch länger), . . . 2'0" (ebenso, angeschrieben 2) . . . 10' (angeschrieben), siehe Skizze. Bei bestimmter Stellung des Nonius, z. B. Rohablesung (Limbusstrich vor der Noniusnull, im Sinn der 280

₂(')

4(0

Fig. 203.

fortschreitenden Limbusbeziffrung) 195°40'; Nonius durchgehen bis zum Koinzidenzstrich, er heiße 7'50" (Strich vor der „Minuten“zahl 8 des Nonius), Gesamtablesung 195°47'50".

Ganz dieselbe Überlegung führt auch zur Herstellung eines gewünschten Nonius; dabei ist zu beachten, daß der Nonius, dem Durchmesser des Teilkreises entsprechend, richtig weit zu treiben ist (vgl. 2.) und daß er bequem benutzbar sein muß, besonders nicht zu lang sein darf. Die Haupt- und Grundfrage ist stets: der wievielte Teil ist die verlangte Lesung des Nonius von einem Limbusteil T? Ist dies der n. Teil, so ist die Strecke (Bogen) von (n — 1) Limbusteilen in n gleiche Teile zu zerlegen

um den gewünschten Nonius zu bekommen und die Be-

ziffrung der Noniusstriche ist nach Vielfachen von ¹/n T zu machen.

Durchmesser soll Nonienablesung auf l' hergestellt werden (alte Teilung); wie ist Teilkreis und Nonius einzurichten? Zerlegen wir den Kreis in ganze Grade, T= 1°; es wäre dann die verlangte Lesung des Nonius, 1', der 60. Teil von T, also n — 60, es wären 59 Limbusteile in 60 Teile auf dem Nonius zu zerlegen, der Nonius würde im ganzen 59° Zentriwinkel, sehr

nahe den 6. Teil des Kreisumfangs beanspruchen ^Länge in

sehr unbequem im Gebrauch. Nun ist aber auch T, in 180°

, also mit -= q° — 57,3° in der Tat

7t

(*=Vr)

Beispiel 1. An einem Teilkreis von 13

cm

mm

mm

59

mm

= 67

57,3

gerechnet = 65 •

(-

130 • n

65

360

^ mm lang, d. h. 1,14

mm

57,3

oder

57,3

ganz überflüssig lang. Der Grad des Limbus kann halbiert, also T — ys° genommen werden (Teilstriche immer noch 0,57 angabe ist dann yso des Limbusteils, n = 30, es ist 29 • T in 30 -t zu zerlegen und man erhält die Lösung von Fig. 202, der Nonius nimmt im ganzen (²₂⁹)⁰ Zentriwinkel in Anspruch = 14ya° (ist etwa 16x/2 zu, ob die Leistung des Nonius möglich und angemessen ist: bezeichnen wir hier und im folgenden die Ablesung, die der Nonius geben soll, nämlich {T—t) mit a (Angabe), so soll also hier a — (T— t) — ¹/so T — T sein, in y₆₃ mm, weit innerhalb der Grenze von etwa ysoo mm, die oben für die Leistung des Nonius bei 3 bis 4fach vergrößernder Lupe angegeben ist. Der Nonius könnte demnach, bei 13

auf 30" (mit dem Nonius festzustellendes a in natürlichem Maß x/₁₀₅ mm, was schon bei 3facher Lupenvergrößerung gut geht).

Beispiel 2. An diesem Teilkreis von 13 a — 30" einzurichten. Einteilung des Limbus auf T = ^°, d. h. auf den Kreisumfang

1«0 - TT

720 Teile, die also die Entfernung ——

mm

voneinander entfernt); die verlangte Nonien-

mm

lang) und wird damit bequemer. Sehen wir noch

mm

y,o • °>⁵⁷

mm

= 0,019 mm, rund

cm

Durchmesser der Teilung weiter als auf 1' getrieben werden, z. B.

— mm

cm

Durchmesser Nonienablesung mit

,    1    65

oder - •-----

2 57,3

mm

= 0,57

mm

voneinander

erhalten, wie schon oben ausgerechnet. Da a = 30" = A. 1» werden soll, so ist n = 60, also 59 T — 60 t zu machen, so daß der Nonius ⁵⁹/ä Grad = 29 % ⁰ lang wird, in natürlichem Maß etwa 34 mm, also schon unbequem, zu lang. Wir können aber auch ganz gut noch den Limbus in Ys° zerlegen, Striche von 20' zu 20', die 0,38

20'

voneinander zu liegen kommen, gut brauchbar; mit a = 30" soll dann a = — =- ^

werden, d. h. es ist n = 40 oder es sind 40 t = 39 T zu machen und der ganze Nonius umfaßt (⁸⁹/s)° = 13° Zentriwinkel, wird also rund 15 mm lang, weit bequemer als der vorige. An die einzelnen Striche ist angeschrieben zu denken 0'30", 1', 1'30", 2'. . ., die 30"-Striche etwas kürzer, die '-Striche etwas länger; wirklich angeschrieben können werden die Zahlen 5', 10', 15', 20' oder allenfalls 2', 4', 6', . . .

Beispiel 3. Ein Teilkreis von 17 cm Durchmesser soll 20" durch den Nonius

170-tt 1 85

mm

geben; T = V₃° bringt die Limbusteilstriche in Entfernungen von

T 20'

voneinander, was gut ist; w = — = 20" ~ sagt, es sind 60 t = 59 T zu

machen, ganze Nonienlänge = ⁵⁹/₃° = 19ys°, linear 29 mm, etwas lang, aber noch brauchbar; Striche des Nonius beziffert zu denken mit 0'20", 0'40", (beide kürzer),

3 • 360    3 P<®> mm

= 0,49

mm

20

• 85

l'O" (etwas länger) usf. Linear ist hier a = T — t (= 20" Zentriwinkel)

= 0,0082 mm = Yj2o mm (Veo von 0,49 mm).

Beispiel 4. Teilkreis von 21

T = ^° setzt die Limbusstriche in Entfernungen von 105 • ^    ^ ^

= 60, 60 t = 59 T, ganze

206000

mm

cm

Durchmesser soll 10" Nonienlesung geben;

= 0,31

mm

voneinander, was noch angeht; n ist =

10'

/_ 210 • Tt\

\    6 • 360/

10"

Länge des Nonius = (v)° — 9⁵/e ⁰ (= 18 mm), bequem, siehe das obige Beispiel 3. bei Fig. 203. Hier wird linear a = (^₀T—T—t=)A.o,31 an der Grenze dessen liegend, was mit dem Nonius bei etwa 3- bis 4 maliger Lupenvergrößrung geleistet werden kann.

Beispiel 5. Teilkreis von 14

mm

== 0,005

mm

Durchmesser soll mit neuer Teilung versehen werden und durch Nonienablesung a = 1' geben. Nehmen wir T = so kommen

fjt , 1 AQ

die Teilstriche in die Entfernung ——

800

cm

-mm

(im Kopf mit it — 3Y₇) = 0,55 mm; es

T 50'

ist — = r- = 50, also 49 T — 50 t, Nonius im ganzen lang 49 T = ⁴⁹/äe Zentriwinkel

24,5‘s>

63,7<B)

Die einzelnen Striche des Nonius beziffert zu denken mit 1', 2', ... 50' (angeschrieben

= 24Y*S (in alter Teilung rund 22°), also linear =

• 70

mm

= 27 mm, geht noch.

0, 10', 20', ... 50'). Linear ist a=T—1(= 1')

1'

•70

mm

= 0,011

mm

— mm,

140

mm

Q' = 6366'

leicht möglich; es würde sogar gerade noch angehen, bei einem Durchmesser Noniusablesung auf 50" einzurichten.

Die hier zusammengestellten paar Beispiele entsprechen wirklichen Verhältnissen. Es ist schon erwähnt, daß die für uns in Betracht kommenden Kreisdurchmesser zwischen den Grenzen 8 cm Man richtet in der Regel für die in der folgenden kleinen Tafel (S. 299) angegebnen Kreisdurchmesser die beigesetzte Noniusablesung a ein, wobei in dem ersten Teil der Tafel alte, in dem zweiten Teil neue Kreisteilung berücksichtigt ist und in jedem Fall alle einzelnen Umstände des Nonius mit angeschrieben sind. Die Tafel zeigt wieder, wie viel weniger bequem für Nonienablesung an kleinen Kreisen die „Neue Teilung“ ist;

und 21

cm

liegen.

z. B. ist mit 21 cm Kreisdurchmesser die Ablesung 25” (an sich nicht bequem und aus dem Dezimalsystem herausfallend) kaum noch mit Nutzen herzustellen (der Kreis sollte dazu 23 oder 24 während 50” unnötig grob wäre und andre Zahlen nicht zu Gebot stehen.

Andere Nonien, als die der Tafel kommen kaum vor, immerhin sind unten noch einige andre Einrichtungen angegeben. Bei alter Teilung hat man früher oft zwischen l/₃' = 20" und %'= 10" die Ablesung a= %' = 15" benutzt. Zu merken ist, daß in der Tat um a = 10 bis 7 p, (Yioo bis V

Lupenvergrößrung liegen.

cm

Durchmesser haben),

180

) natürlicher Länge die besten Nonien für die 4fache

Kreis

Durch-'

messer

i in cm.,

Alte Teilung (360°; p" = 206265")

(T linear)

(mm)

Länge des

(a linear)    Länge des ganzen ganz. Nonius

(mm und ft) Nonius (Zentriwinkel) linear, auf

abgerdt.

1 mm

io

13

15

17 -

21

(HS =M4) (*S“°.®8)

(^-0,44)

G⁵o^ = M9)

1'

30"

20"

20"

10"

o\ jx -g jto j* 'm- **© "os V- &

v__' v---- v_/ v_x vx

7/= 14%° ⁸⁹/s ⁰ = 13 0 B% ⁰ = 19% 0 6% ⁰ = 19% ⁰

e76°= 95/₀°

13 mm

15 mm

26 mm

29 mm

18 mm

(lang)

(lang)

Neue Teilung (400e; p” — 636620”)

Kreis Durch-' messer , in cm ,

j, {1 linear)

(mm)

(a linear)

(mm Und ft)

Lange des Nonius im    'V.

e /rj , . . i 1N ganz. Nonius ganzen (Zentriwinkel) Br    f

N. T. und A. T. , lmear0 au*, 1 mm abgerdt.

CPJ CT3 CPJ

GH = °^)

(i^=⁰-³³)    ⁵⁰"

GooH^³³) ²⁵"

(Vioe?    ⁹>⁴)    50    ⁴%e    = 24,5^ (rd. 22«)

(V₁₆₀;    G,7)    50    ⁴⁹/₄g    = 12y₄s(rd. 11°)

(%«;    M)    80    ⁷V    = 15,8« (rd. 14°)

23 mm

16 mm

26 mm (lang)

Einige Ausnahmen, d. h. weitre mögliche und vorhandne Einrichtungen seien noch namhaft gemacht: 1) schon auf 11 cm-Kreisen kann man 30" mit dem Nonius ablesbar machen; mit T= %⁰ = 30', also a=¹/₆₀T, n = 60, Noniusteil = ⁵⁹/₆₀ eines Limbusteils wird a = -⁸⁰oi^- • 55 mm = ~ mm = 8 ft natürliches Maß, was gut geht. 2) Ein Hildebrandscher 14cm-Theodolit der Gr. S. T. H. St. gibt 20" Noniuslesung bei Teilung des Limbus in ¹/₄° (Striche des Limbus von 15' zu 15'); hier ist mit

= 45, d. h. es sind 44 Limbusteile in 45 Teile auf dem Nonius

, T 900"

20"

T= 15 n = — a

zerlegt (Bezeichnung der Striche zu denken 0'20", 0'40", l'O" (länger) 1'20", . . .), a ist linear =    |⁹ - • 70 mm = mm — 6,6 ft. Da dieses Maß schon ziemlich fein ist,

ist auch die Limbus- und Nonienstrichteilung recht fein und es sind über die Nonien statt der gewöhnlichen Lupen kräftige Mikroskoplupen von etwa 8facher Vergrößrung gesetzt.

Feinere Ablesung als auf 10" an Kreisen mit > 21 cm Durchmesser wird heutzutage nicht mehr mit dem Nonius eingerichtet.

Man hat früher an solchen großem Kreisen auch noch Nonienablesung auf 5" und selbst 4" eingerichtet, z. B. enthält die G. S. T. H. St. einen Theodolit (von der Schweizerischen Triangulation in den 30er Jahren des vorigen Jahrhunderts stammend) mit 35

Teilungsdurchmesser; es ist auf der Limbusteilung 1° in 12 Teile zerlegt, d.h. es sind Striche von 5' zu 5' vorhanden (für die man also vier verschiedne-Strichlängen braucht, für 1°, y₂°, ¹j₄°, yi2°). Die Limbusteilstriche 5' haben die Entfernung 350 • 7t

cm

12-360

mm

= 0,25 bis 0,26

mm

voneinander (also schon außerhalb des oben angegebnen

Rahmens liegend, Limbusteilung sehr fein). Die Ablesung geht auf 4", so daß T 5'    300"

4"    4"

75 ist und also 74 der Zwölftelgrade des Limbus in 75 gleiche

Teile auf dem Nonius zerlegt sind. Beziffrung zu denken von 0 aus: 4", 8", 12", 16", 20", ... 1', 1'4" ... 5' (Endstrich). Länge des ganzen Nonius (jf)⁰ Zentriwinkel

37 175

= 6 Vg ⁰ Zentriwinkel, linear — •

mm

— rund 10

mm

(= 74 • 0,255 mm). Für solche

*. /⁰⁾

feine Ablesungen an großem Kreisen nimmt man aber jetzt ausschließlich Mikroskope zu Hilfe und zwar Schraubenmikroskope, vgl. 6.

5. Andrer Nonius. Neben dem im Vorstehenden allein behandelten Nonius,

dessen Teile etwas kürzer sind als die Limbusteile, t — U— * T. wenn die Nonius-

n

lesung -T sein soll, war früher noch ein andrer Nonius im Gebrauch, dessen Teile

Vh I 1

etwas größer waren als die Limbusteile, nämlich t' —    ^ T. Jener erste Nonius

mit t<^T hieß der Vortragende, der zweite mit t’^>T, bei dem abermals die runde Zahl n von Teilen auf dem Nonius vorhanden war, der nachtragende Nonius. Dieser nachtragende Nonius macht ganz ebenso wie der Vortragende Yn T ablesbar und hat damit, daß seine Teile bei nicht großem n wesentlich größer sind als die des entsprechenden nachtragenden (Verhältnis (n -j- 1): (n — 1)) einen Vorzug vor diesem: man kann bei den großem Noniusteilen schärfer den koinzi-dierenden Strich feststellen und ablesen. Einmal aber ist ein darin begründeter Vorteil bei den fast stets notwendigen großem Zahlen n (30 oder 60 für alte Teilung) kaum noch vorhanden, sodann steht dem Vorteil ein bedeutender, ja entscheidender Nachteil gegenüber: während bei Vortragendem Nonius die Bezifferung des Nonius in demselben Sinn zu gehen hat wie die des Limbus, muß sie beim nachtragenden Nonius entgegengesetzt gehen, was für die Ablesung sehr störend ist und zu Irr-tümern Veranlassung gibt. Der nachtragende oder (bessrer Name) rückläufige Nonius ist deshalb zugunsten des Vortragenden oder rechtläufigen an den geodätischen Instrumenten mit Recht vollständig verschwunden.

6. Ablesemikroskope. Yon den in 1. aufgezählten dreierlei Arten von Mikroskopen bleibt das Schraubenmikroskop außerhalb unsrer Betrachtung; es gestattet sehr wesentliche Verfeinerung der Ablesung im Vergleich mit dem Nonius, z. B. ist in einem Mikroskop von nur 20facher Vergrößrung und mit guter Mikrometerschraube Ablesung auf 2 und 1 ja

(²/l000 oder \

Lupe, über 5 [i nicht hinauszukommen ist; 1 Bogen entspricht an einem Kreis von 125 mm Halbmesser (Teilkreisdurchmesser 25 cm) dem Zentri-0,001

ooo

mm) möglich, während mit dem Nonius, auch bei kräftiger

winkel

• 206265,/ = 1",65, und man richtet in der Tat 25 c-m-Kreise

zur Ablesung mit Schraubenmikroskopen auf 2", selbst 1" ein. Man kann natürlich auch bei kleinern Kreisen mit dem Schraubenmikroskop die Ab-

125

lesung entsprechend verfeinern, z. B. an der Mikroskoptrommel schon 5" ablesbar machen bei Kreisen von nur 13 cm Durchmesser, wo der Nonius nur auf 30" getrieben zu werden pflegt. Indessen sind die Schraubenmikroskope für unsre Zwecke zu feine Instrumente, die äußerst sorgfältiger Behandlung bedürfen.

Von den andern Arten von Ablesemikroskopen ist nur die eine, das Skalenmikroskop, ebenfalls etwas feiner als der Nonius (zwischen diesem und dem Schraubenmikroskop stehend); das andre dagegen, das Strichmikroskop hat seine Berechtigung hauptsächlich in der Bequemlichkeit der Ablesung.

275

se

275

Fig. 204.

Fig. 205.

zum Zweck der Drehung der Alhidade, weil dadurch die

von

Beginnen wir mit dem Strichmikroskop. Es hat den weitern Vorteil, daß es keiner Berichtigung bedarf, wenn nur der Faden genügend parallel zu den Strichen des Limbus steht und keine Parallaxe vorhanden ist. Im Gesichtsfeld eines kleinen Mikroskops mit nicht sehr starker Vergrößrung erscheint nämlich außer den Strichen der Limbusteilung das Bild eines feinen, im Mikroskop okular ausgespannten Fadens. Die Kreisteilung ist hier fast stets derart, daß durch Schätzung 1' erbalten wird; jeder Grad in 6 Teile zerlegt und an jedem vollen Grad mit mikroskopisch kleinen Ziffern die volle Zahl (im Mikroskop aufrecht erscheinend) angeschrieben. Mindestens eine dieser Zahlen muß im Gesichtsfeld erscheinen. Der Faden ist der Indexstrich, an dem abzulesen ist; die „Rohablesung“ ist wie immer der vorhergehende Teilstrich, im Beispiel der Fig. 204 275° 10', die Feinablesung besteht in Schätzung auf ¹/1Q (oft auch l/₂₀) des Intervalls zwischen den beiden Teilstrichen, in der Figur z.B. 8', also Gesamtablesung 275° 187 Die zwei Anforderungen an das Mikroskop sind bereits genannt (Faden den Limbusstri-chen, Parallaxen -freiheit); man vermeide beim Gebrauch eines Theodolits mit Strichmikroskopen nur sorgfältig das Anfassen des Mikroskops während der Messung, z. B.

Mikroskopachse eine andre Stellung als zuvor erhält und Fehler vielen ' entstehen können.

Durch-

cm

mm — 0,19 mm, was

messer

Genauigkeit der Zehntelschätzung ist bei Kreisen von 13 (hier hat %⁰ nur die Länge von g - • 65

für den Nonius viel zu fein wäre) bei etwa 12mal vergrößerndem Mikroskop derart, daß man bei der Schätzung der 1' die mittlere Ableseunsicherheit von + Y ' bis %' erreicht. Man bezeichnet das Strichmikroskop auch als Fadenmikroskop oder als Schätzmikroskop. Der Name Schätzmikroskop wird oft auch, aber nicht zweckmäßig, dem folgenden Ablesemikroskop, dem Skalenmikroskop beigelegt.

x bezeichnet. Die Striche dieser Skale müssen solchen

Im Skalenmikroskop ist im Fokus auf einem feinen Glasplättchen eine aus 11 Strichen bestehende (10 gleiche Teile umfassende) Hilfsteilung mit sehr feinen, gleichförmigen Strichen eingeschnitten, der Indexstrich länger gezogen und oft mit o--o oder mit x

Durchmesser mit ys °-Teilung sicher erreichen, wo der Nonius erst 20" geben kann; Ablesung auf 0,1 pars = 0',1 = 6" bei y₆°-Teilung bei Kreisen von etwa 21

cm

Ahstand voneinander haben, daß man 1. noch yi0 des Intervalls zwischen zwei sich folgenden genügend schätzen kann, 2. die 10 Teile zusammen genau einem Intervall der Limbusteilung entsprechen. Die Teilstriche des Limbus laufen, um sie nicht in ganzer Länge fein ziehen zu müssen, wie Fig. 205 andeutet, oft und zweckmäßig in Spitzen aus und an dieser Spitze eines Teilstrichs wird in der Mikroskopskale abgezählt und geschätzt; im vorliegenden Fall ist z. B. ßohablesung = 275° 20', Schätzung 4,1 partes. Da 1 pars der Skale den Wert yi0 • 20' = 2' hat, also 4p,1 = 8',2 sind, so lautet die Ablesung 275° 28'12". Diese Ablesung-durch Schätzung auf 0,1 pars = 0',2 = 12" läßt sich mit dem Skalenmikroskop von löfacher Vergrößerung schon an Kreisen von etwa 15

cm

Durchmesser, wo der Nonius erst auf 10" zu treiben ist.

Das Skalenmikroskop verlangt aber „Abstimmung auf die Teilung“. Man muß das Bild der Limbusstriche mit Spitzen und die Skalenstriche im Okular parallaxenfrei und scharf sehen und die ganze Strecke zwischen Indexstrich und letztem Skalenstrich muß genau dem Intervall zweier Limbusstriche entsprechen. Diese „Abstimmung“ ist durch Probieren zu erreichen. Zuerst wird das Okular des Mikroskops so gestellt, daß der Beobachter mit der Sehweite w die Skalenstriche des Okularplättchens möglichst scharf sieht. Hierauf wird das Objektivrohr des Mikroskops so weit ausgezogen, daß auch die Teilstriche des Limbus scharf gesehen werden. Stimmt die Entfernung zwischen 0 (Index) und Endstrich der Skale nicht mit dem Intervall der Limbusstriche, so ist das ganze Mikroskop in seiner Fassung der Teilung zu nähern oder davon zu entfernen; damit geht die Deutlichkeit des Bilds der Limbusstriche verloren, die zunächst wiederherzustellen ist, usf. Zu beachten ist, daß diese „Abstimmung“, wenn an bestimmter Stelle der Kreisteilung gemacht, wegen der Fehler der Teilstriche des Limbus und (wichtiger) wegen des „Exzentrizitätsfehlers“ zwischen Alhidade und Limbus (Alhidade dreht sich um einen Punkt, der nicht genau mit dem Mittelpunkt des Limbus zusammenfällt) an andern Stellen der Teilung vielleicht wieder kleine Abweichungen zeigt Diese Bemerkung-gilt übrigens auch ähnlich für den Nonius und für andre Ablesevorrichtungen; beim Skalenmikroskop ist zu raten, die „Abstimmung“ an mehrern nebeneinanderliegenden Intervallen der Teilung und sodann ebenso an der der um 90° entfernten Stelle der Teilung nachzusehen.

55. Aufbau des Theodolits. Der Theodolit im Gebrauch besteht bei den kleinen für uns in Betracht kommenden Instrumenten aus zwei nur während der Messung fest miteinander verbundenen, sonst aber getrennten Teilen, dem sog. Stativ und dem darauf ruhenden Instrument im engern Sinn.

schmiedbarem Eisenguß; durch

aus

1. Die Stative für Theodolite sind fast ohne Ausnahme Teller-glatten- oder Scheiben-)Stative, auf deren Oberfläche (Teller, Scheibe, Kopf) das Instrument mit drei Fußschrauben (mit Spitzen oder Unterlegeplättchen) oder einer Platte (auf der dann erst die drei Fußschrauben stehen) sitzt. Der Kopf oder Teller der neuern Stative besteht stets aus zähem Metall (Rotgußplatte, Platte Rippen verstärkt); an Ansätzen dieser Platte sind die drei hölzernen Beine

des Stativs angeschlagen, die unten mit starken spitzen Eisenschuhen und Tritten (am besten aus Stahlblech gebogen und angeschraubt) zum Eintreten in den Boden versehen sind. Die Stativscheibe ist mit runder (nicht zu enger!) Öffnung versehen, da der Theodolit zum Zweck seiner „Zentrierung“ über einem auf dem Boden gegebnen Punkt nach allen Richtungen um mehrere cm muß verschoben werden können, während die an der Vertikalachse des Instruments unten hängenden Senkelschnur noch durch jene Öffnung in der Stativscheibe durchgeht; deshalb sind

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Fig. ‘205 a.

Zapfenstative, die für Nivelliere brauchbar sind und vor allem die Vorteile geringen Gewichts und bequemer Zusammenlegung haben, bei den Theodoliten im allgemeinen nicht zu verwenden. Jedes der drei Beine des Stativs ist aus zwei runden oder besser aus zwei hochkantig gestellten dünnen Holzschienen mit Verbindungsstegen (zur Versteifung) zusammengesetzt. Den Beinen wird eine solche Länge gegeben, daß bei mäßiger Spreizung der Beine (Winkel mit der Vertikalen am besten 20° bis 30°) der Teller des Stativs etwa 1,10 bis 1,20 m über dem Boden liegt. Die Kippachse kleiner Theodolite erhält damit 1,3 bis 1,4 m Höhe über dem Boden, erfahrungsgemäß die beste für mittelgroße und große Beobachter; kleine Beobachter stellen das Instrument etwas niedriger, doch sind die

Unterschiede in den „natürlichen“ Instrumentenhöhen nicht so groß als die der Körperlänge der Beobachter.

Für Theodolite, die häufig auf sehr stark geneigtem Boden aufgestellt werden müssen, ist oft eines der Beine des Stativs verkürzbar. Auf besondre Arten von Stativen zur Aufstellung unter besondern Verhältnissen (z. B. bei Grubenmessungen oder Tunnelmessungen, in sehr engen Räumen) oder zur besondern Erleichterung oder Verfeinerung des Zentrierens (was z. B. bei genauerer Winkelmessung mit kurzen Winkelschenkeln, ebendort oder auch bei Zugmessung „über Tag“ wichtig ist; sog. Zentrierstative) ist hier noch nicht näher einzugehen. Fig. 205 a zeigt als Beispiel einer besondern solchen Stativeinrichtung die Möglichkeit sehr großer Verschiebungen des Instruments auf dem Stativkopf (Breithaupt, Cassel).

Die Verbindung der drei Beine mit dem Kopf des Stativs wird auf verschiedne Arten hergestellt. Es werden vielfach für bestimmte Stativformen besondre Urheber- oder Ursprungsortsnamen verwendet, die aber z. T. nicht zutreffen (Wiener Stativ, Pariser Stativ usf.).

Hier seien folgende Arten erwähnt:

a) Das sog. Reichenbachsche Stativ (nach dem hervorragenden Münchner Konstrukteur geodätischer Instrumente in den ersten Jahrzehnten des 19. Jahrh.); an

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Fig. 207.

Fig. 206.

jedem Bein ist oben ein horizontaler Gelenkbolzen vorhanden, von dessen Mitte ein vertikaler Metallbolzen durch den hölzernen Stativkopf bis zu dessen Oberfläche durchgeht, oben mit Schraubengewinde versehen mit auf dem Teller aufsitzender oder darin versenkter Schraubenmutter. Dieses Stativ bedarf eines besondern, am Stativ oder im Instrumentenkasten für den Transport sorgfältig zu befestigenden Schlüssels zum Anziehen der Stativschrauben, wodurch erst jedes Bein mit dem Kopf in feste Verbindung kommt; auch hindern auf dem Teller vorstehende Schraubenmuttern besonders bei ziemlich kleinem Stativkopf das leichte Aufstellen des Instruments. Das Stativ findet sich nur noch bei aus früherer Zeit stammenden Instrumenten und darf als veraltet bezeichnet werden.

b) Das sog. Flügelschraubenstativ, jetzt am weitesten verbreitet als Theo-dolit-(wie als Nivellier-)Stativ. Bei den altern Stativen dieser Art ist der Angriff der Gabel jedes Beins, vgl. Fig. 206, an dem vom hölzernen Stativkopf vorstehenden Lappen L\ diese Einrichtung ist auch noch beibehalten worden, als die Holzplatte des Stativkopfs (aus mehreren Lagen mit gekreuzten Fasern stark zusammengeschraubt

und verleimt) durch Metall ersetzt war. Neuerdings ist der Anschlag der Gabel der Stativbeine in der Regel nach Andeutung der Fig. 207 gemacht: an der Unterfläche des oben gut eben geschliffnen Metallkopfs sind kräftige Rippen angegossen und an diese je zwei starke Lappen Lx und die dann ein ziemlich langer, durch das obere Ende der Gabel des Beins gehender Bolzen B miteinander verbindet. Durch die drei Flügelschrauben F läßt sich diesem Stativ nach Eintreten der Beine (Tritt unten) große Festigkeit geben. Es ist klar, daß dieses Stativ viel höhere Stabilität zeigen wird als die Anordnung Fig. 206; trotzdem hatte ich z. B. Mühe, einen Stuttgarter Mechaniker zum Aufgeben der Form Fig. 206 zu bewegen.

Fig. 208.

c) Ebenso sind gute Stative die verschiednen Arten der sog. Kugelstative: die zwei Zinken jeder der drei Stativbeingabeln endigen oben in Gelenkkugeln, die in kalottenförmigen Pfannen sitzen und parweise durch je J ein von unten mit einer Flügelschraube anzupressendes Metallstück starr festgestellt werden können, ln Deutschland ist dieses Kugelgelenkstativ besonders von Vogler empfohlen worden und wird z. B. von Wolz in Bonn und mehreren Berliner Werkstätten (Rosenberg u. a.) gern angewandt. Vgl. Fig. 208 (von Wolz), ferner Fig. 214b (Rosenberg).

Sehr wichtig ist stets, daß das Stativ trotz großer verlangter Stabilität nicht zu schwer wird.

2. Verbindung des Instruments i. e. S. mit dem Stativ. Auf dem Stativteller ist nun das Instrument aufzusetzen, entweder direkt mit den Spitzen dreier Fußschrauben (auf hölzernem Stativkopf) oder mit drei „Unterlagsplättchen“ unter den Schraubenspitzen oder mit drei „Kugelfußplättchen“ unter den Enden der Fußschrauben (auf hölzernem oder me-tallnem Teller); oder endlich ist unten am Instrument eine genau eben geschliffne Platte vorhanden, die auf die eben geschliffene Metallplatte des Stativkopfs aufgesetzt wird. Selbstverständlich muß das Instrument auf dem Stativ befestigt werden; nach der „Aufstellung zum Gebrauch“, d. h. vor Beginn der Winkelmessung, muß Instrument und Stativ ein starres Ganzes bilden. Zuvor muß das Instrument „horizontiert“ und „zentriert“ werden, d. h. so aufgestellt sein, daß die Stehachse genügend genau vertikal ist (Kippachse horizontal liegt) und die nach unten verlängert gedachte vertikale Stehachse durch einen auf dem Boden als Winkelscheitel oder Standpunkt des Instruments vorgeschriebnen Punkt geht (Bohrung in einem in den Boden geschlagnen Holzpflock; Zeichen, z. B. eingehaunes Kreuz, Mitte eines eiugehaunen Dreiecks auf einem Stein usf.). Über diese Aufstellung des Instruments vgl. die folgenden Nummern. Die Verbindung zwischen Instrument und Stativ geschieht in der Regel durch eines der folgenden Mittel:

a) Sog. Stengelhaken. In der Mitte des sog. Dreifußes des Theodolits (Fußgestell des Instruments selbst mit den drei Fußschrauben, s. 3.) ist unten eine starke Öse angebracht, in die der Haken des durch die zentrale Telleröffnung des Stativs heraufragenden Stengelhakens eingehängt wird. Die feste Verbindung zwischen Instrument und Stativkopf wird dann durch Zusammenpressen einer starken Spiralfeder hergestellt, die um den unten mit Schraubengewinde versehnen „Stengel“ gewunden ist, sich oben gegen den Kopf des Stativs stemmt und durch Hoch schrauben einer Handscheibe (Mutter) an dem genannten Gewinde gespannt werden kann. Der Stengelhaken ist für Instrumente, bei denen es auf gute Zentrierung über einem gegebnen

20

Hammer: elementare praktische Geometrie.

Punkt ankommt, nicht geeignet und deshalb für kleine Theodolite, mit denen z. B. Zugmessung ausgeführt werden soll, so gut wie ganz verlassen. Das notwendige starke Spannen der Spiralfeder übt auch leicht einen schädlichen Druck auf die Stellschrauben am Fußgestell des Theodolits aus.

b) Den zuletzt genannten Fehler hat zwar auch die sog. Schraubenstange (Zentralschraube, Schraubenstengel) mit Spiralfeder, die aber doch weit besser als der Stengelhaken ist, weil wenigstens ihre Achse, falls sie nicht verbogen ist, in der Richtung der Stehachse des Instruments liegt. Die Schraubenstange endigt oben in einem starken Muttergewinde, das über eine genau passende Schraube am untern Ende der Stehachse des Theodolits (Schraubenstutz) geschraubt wird; vgl. z. B. Fig. 209 (von Breithaupt, Cassel.) Nach diesem Einschrauben der Zentralschraube oder Herzschraube ist zunächst die Spannfeder f noch lose, der Theodolit noch nicht fest mit dem Stativ verbunden, sondern ohne weitres auf dem Teller des Stativs verschiebbar, was für die Zentrierung notwendig ist. Um den Schaft der Schraubenstange ist ganz wie beim Stengelhaken eine starke Spiralfeder f gelegt, durch deren Zusammendrücken mit der am Schraubengewinde des Schafts hochzuschraubenden Handscheibe u eine federnde Metallplatte an die Unterfläche des Stativkopfs oder gegen einen be-sondern Metallring unten am Stativkopf gepreßt wird. Wird nach Einschrauben der Zentralschraube (mit der untern, in fester Verbindung mit der Schraubenstange stehenden Schraubenscheibe) die Spiralfeder durch Hoch schrauben derHandscheibe w gespannt, so ist feste Verbindung zwischen Theodolit und Stativ hergestellt, die kleinste Verschiebung oder Drehung des Theodolits auf dem Stativkopf ausgeschlossen. Unten an w ist ein Häkchen p zum Anhängen des Senkels.

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Fig. 209.

Die Zentralschraube mit Spiralfeder ist jetzt die am meisten übliche Befestigung des Theodolits auf dem Stativ. Bei manchen Instrumenten ist nach Abschrauben der Zentralschraube diese nebst der dreieckigen Federplatte ganz vom Stativ wegzunehmen und für sich im Transportkasten des Theodolits zu verpacken (wie z. B. bei vielen kleinen Breithauptschen Instrumenten); bei den meisten Instrumenten bleibt sie jedoch nach dem Abschrauben am Stativkopf hängen. Wenn sie so stark ist, daß bei gewöhnlichen Transporten kein Verbiegen zu befürchten ist, (sie ist durch die Stativbeine geschützt), so ist dagegen nichts zu erinnern; für größere Transporte ist sie an einem oder besser zwei Stativbeinen festzubinden.

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Sowohl beim Stengelbaken als bei der Zentralschraube wird das zum Zentrieren des Theodolits über einem gegebnenPunkt dienende Lot (beim Transport ebenfalls im Kasten des Theodolits untergebracht) an einer Schnur in ein kleines Häkchen gehängt, in das der Stengelhaken und die Schraubenstange unten endigt; jpinFig. 209. Anders ist dies bei c) derZentralschraube mit Schraubenplatte, wo derSenkel unten am Theodolit selbst, nicht an der Zentralschraube an gehängt wird: von der Stehachse hängt ein feines, aber starkes, mit dem Theodolit ein für allemaD — fest verbundnes Stahldrahtkettchen von 10 oder 15 Länge herab, unten mit kleinem Haken zum Anhängen des Senkels. Die untre Platte des Instruments selbst (Schrauben- KjVJ platte) ist eben abgeschliffen und wird j| V durch Anziehen der darin einzuschrau-benden großen, für das Kettchen weit gkll P ausgebohrten Zentralschraube fest genug ||li| auf die Ebene des ebenfalls gut ge- Im schliffnen Stativtellers gepreßt. Das An- | hängen des Lots ungefähr in der Höhe iiM der Führung der Fußschrauben hat den *|p \

Vorteil, daß man durch Horizontieren 1 des Instruments die Zentrierung nicht mehr stört. Die Fußschrauben des Theodolitunterbaus stehen entweder mit Kugelplättchen direkt auf dem Teller des Stativs oder in einer besondern auf dem Teller liegenden Metallplatte. Fig. 210 zeigt die Anwendung dieser von Tesdorpf eingeführten Zentralschraube mit Schraubenplatte. (Von Sartorius Göttingen geliefert.)

3. Das Instrument im engern Sinn. Der Aufbau des Theodolits

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i. e. S., d. h. des Instruments, wie es auf das Stativ (s. 1.) zu setzen und mit diesem fest zu verbinden ist (s. 2.), ist zunächst in den wesentlichsten Teilen betrachtet, folgender:

a) Das Fußgestell oder Grundgestell, Dreifuß oder Unterbau ist bereits erwähnt. Der Unterbau trägt die Fuß- oder Stellschrauben

RepctUionsjUTieodolit

A.    Fernrohr.

ax Okularauszug. a₂ Objektiv.

B.    Kippachse.

b, Höhenklemme. b₂ Reitlibelle. b₃ Feinschraube der Höhenbewegung.

C.    Höhenkreis.

D.    Träger.

d,    Seitenlibelle.

E.    Alhidade.

e,    Dosenlibelle. e₂ Lupen. e₈ Alhidaden-

klemme.

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F. Limbus

f, Limbusklemme.

Q. Fußgestell.

g\ Stellschrauben.

H. Stativ.

J. Schraubenstange.

(Nach einer für den Unterricht    I

angefertigten Autographie; hier etwa Vs nat. Gr.)

Mg. 211.

zur Horizontierung des Instruments. In der beistehenden Fig. 211 ist das wie gewöhnlich dreiarmige Fußgestell mit G bezeichnet, die Fußschrauben an den drei, Winkel von 120° gegeneinander bildenden Armen oder Spreizen mit gv Der Gang dieser Fußschrauben kann leichter oder schwerer gemacht werden, indem die die vor-Ansicht. dere „Klaue“ zusammenhaltende Schraube nachgelassen oder angezogen wird. Die Fußschrauben stehen hier in Unterlagsplättchen auf dem Teller H des Stativs; an diesem sind die Flügelschrauben sichtbar. Die mit Spiralfeder versehne Schraubenstange J, in das am untern Ende des Fußgestells vor-handene Schrauben-Ä gewinde eingedreht, Y^\ stellt die Verbindung \ H \ zwischen Instrument und Stativ her. Der zentrale Zylinder des Unterhaus ist zur „Büchse“ (die Mechaniker sagen meist Buchse) ausgebohrt, oben und unten fein konisch bearbeitet, auf dem Mittelstück nur grob zylindrisch oder konisch abgedreht.

b) Diese „Büchse“ nimmt beim sog. Repetitionstheodolit gewöhnlich den Limbuszapfen auf, der seinerseits wieder in derselben Art konisch-zylindrisch ausgebohrt ist, um dem Alhidadenzapfen zur Führung zu dienen. Hierin unterscheidet sich der „Repetitionstheodolit“ (der Name Multiplikationstheodolit wäre besser und ist früher auch vielfach gebraucht worden, doch ist der Name Repetitionstheodolit nicht mehr auszumerzen), das zur „Repetition“ der Horizontalwinkel eingerichtete Instrument, vom sog. einfachen Theodolit; bei diesem ist der Achszapfen der Alhidade direkt in der Büchse des Dreifußes geführt, die Limbus-scheibe ein fester Teil des Unterbaus, nicht selbst um eine Vertikalachse drehbar. Wir haben beim einfachen Theodolit also nur eine Vertikalachse, die des Alhidadenzapfens, beim Repetitionstheodolit aber zwei Vertikalachsen, die der Alhidade und die des Limbus, die allerdings beide zusammenfallen sollen. An jedem Theodolit ist die Alhidade mit „Mikrometerwerk“ versehen, aus Bremse oder Klemmschraube, und aus Feinschraube oder Mikrometerschraube bestehend; nach Anziehen der Klemme können mit der Feinschraübe, der eine Fedei entgegendrückt, noch kleine Drehungen der Alhidade gemacht werden. Beim Repetitionstheodolit hat auch der Limbus, die den Teilkreis tragende Metallscheibe, der für sich um eine der Stehachsen drehbar ist, sein besondres Mikrometerwerk.

c)    In der Limbusscheibe, sei sie selbst mit dem Unterbau fest verbunden (einfacher Theodolit) oder für sich um eine Stehachse drehbar, kann, mit ganz geringem Abstand zwischen den zwei Kreis- oder Kegelrändern die Alhidade herumgedreht werden. Man bezeichnet so in der Regel den ganzen „drehbaren Oberteil“ des Instruments, Alhidadenscheibe nebst allem darauf Befindlichen. Alhidade heißt (vgl. S. 246) eigentlich Zeiger und man spricht neuerdings auch von dem im Limbus drehbaren Zeiger kreis statt von der Alhidade (in den romanischen Sprachen und im englischen schreibt man, sprachlich eigentlich richtiger, Alidade). An zwei sich diametral gegenüberliegenden Punkten der Alhidadenscheibe befindet sich je ein Zeigerstrich, der Nullstrich des Nonius I und der des Nonius II. Uber beiden Nonien sitzen in Haltern verschiebbare Lupen mit Blenden dahinter, e₂ der Figur.

d)    Auf der Alhidadenscheibe stehen die zwei Träger oder steht die Trägergabel DD des Fernrohrs. Früher war auf dem Theodolit meist eine zentrale Säule, in der ein Oberteil des Alhidadenzapfens geführt war. Bei allen neuern kleinen Instrumenten wählt man aber, um das Fernrohr unmittelbar „durchschlagen“ zu können, zwei allerdings meist unten verbundne Träger. In der Regel kann man das Fernrohr mit dem Objektivende durchkippen; soll mit dem Okularende durchgeschlagen werden, so soll dies auch noch mit weit ausgezogner Okularröhre möglich sein, so daß nicht erst zum Durchschlagen das Okularrohr hineingeschraubt und nach dem Durchschlagen wieder herausgeschraubt werden muß. Dadurch wird allerdings die Höhe des ganzen Instruments vergrößert, aber der Vorteil (Fehlerelimination, wie wir gleich sehen werden) ist doch überwiegend. Man nennt Theodolite, bei denen das Durchschlagen des Fernrohrs ohne weitres möglich ist, gleichgiltig ob es einfache oder Multiplikationstheodolite sind, „Kompensationstheodolite“; welche Fehler kompensiert werden, wird sich bei der Winkelmessung zeigen. Die Träger D endigen oben in Lager zur Aufnahme der zylindrischen Stahlzapfen B der Kippachse des Fernrohrs.

e)    Kippachse und Objektivrohr des Fernrohrs sind fest miteinander verbundne Stücke. Auch die Kippbewegung des Fernrohrs ist mit Mikrometerwerk versehen, bestehend aus Klemme und unten an einem fest mit B verbundnen Hebel allgreifender Feinscbraube fr₃. Auf der Kippacbse festgeschraubt ist der Höhenkreis C des Theodolits (falls ein solcher vorhanden ist), der für die Zwecke dieses Buchs nicht in Betracht kommt. Am Okularauszug aj des Fernrohrs, mit dem darüber sichtbar werdenden Trieb verstellbar, sind die vier Halte- und Richtschrauben des Blendrings angedeutet. Es ist beim Fernrohr (vgl. 50. 4. Schluß) erwähnt, daß die Vorrichtung zur Verlängrung und Verkürzung des ganzen Fernrohrs (Deutlichmachen des Bilds der anzuzielenden Punkte) manchmal auch aufs Objektivrohr verlegt ist. Am Trieb soll auf beiden Seiten eine Handscheibe vorhanden sein, damit man in der jetzt vorhandenen und in der zweiten „Lage“ des Fernrohrs (nach dem Durchschlagen) den Trieb mit der rechten Hand an derselben Stelle findet.

Horizontierung des

zur

f) Noch nicht erwähnt sind die Libellen Instruments. Es kann dazu eine auf der Alhidade befestigte Libelle oder eine Setzlibelle (Reitlibelle) auf der Kippachse verwendet werden; oft ist beides an demselben Instrument vorhanden. In der Figur sind drei Libellen angedeutet, zwei feste Alhidadenlibellen ex und d'x, sowie eine Reitlibelle, &₂; von jenen ist e₁ eine Dosenlibelle in der Mitte der Alhidadenscheibe, die zweite dx eine Röhrenlibelle „in der Richtung der Zielung“ seitlich auf einer Stütze am einen Fernrohrträger festgeschraubt. Die kleine wenig empfindliche Dosenlibelle ex sollte an keinem Instrument fehlen; wenn das Instrument auch einen Höhenkreis hat, auch zur Messung von Vertikal winkeln dienen soll, so muß eine Röhrenlibelle dx „in der Richtung der Zielung“ (Achse parallel zur Kippebene der Fernrohrziellinie) da sein, deren Teilwert im richtigen Verhältnis zur Feinheit der Ablesung am Höhenkreis stehen muß. Für unsre jetzigen Zwecke, Horizontalwinkelmessung, ist die Richtung der Achse und der Ort einer auf der Alhidade befestigten Röhrenlibelle ganz gleichgültig. Es ist schon erwähnt, daß die Dosenlibelle oft durch zwei gekreuzte wenig empfindliche Röhrenlibellen (sog. Kreuzlibelle) ersetzt ist.

Eine weitre Libelle, die oft noch vorhanden ist (in der Figur nicht), mag gleich noch erwähnt sein, die sog. Nivellierlibelle auf dem Fernrohr. Die Tautologie des Ausdrucks hat Berechtigung: die Libelle macht den obern Teil des „Oberteils“ des Instruments zum Nivellierinstrument. Sie ist auf dem Objektivrohr des Fernrohrs festgeschraubt und ihre Achse muß parallel zur Ziellinie des Fernrohrs sein (dabei kommt dann vor allem der Horizontalfaden im Okular in Betracht, der bei der Horizontalwinkelmessung nur eine Nebenrolle spielt), sodaß diese durch Einspielen der Nivellierlibelle horizontal gelegt werden kann. Soll die Nivellierlibelle für beide „Lagen“ des Fernrohrs wirksam bleiben, so muß sie eine Wendelibelle sein. Die Nivellierlibelle kann auch, obwohl sie jede Kippbewegung des Fernrohrs mitmacht und also keine feste Alhidadenlibelle im Sinn von e, oder dx ist, durch Festklemmen der Kippachse zur festen Alhidadenlibelle gemacht und damit zur etwa notwendig werdenden feinem „Horizontierung“ des Instruments (feiner Vertikalrichtung der Umdrehungsachse) gebraucht werden, falls auf der Alhidade nur eine grobe Dosenlibelle vorhanden ist.

Je nach der Art der zum Horizontieren des Instruments dienenden Libelle spricht man von Libellenanordnung I und von Libellenanordnung II: jene bedeutet feste Alhidadenlibelle, diese Reitlibelle auf der Kippachse, vgl. 57.

g) Zusammenstellung der Hauptkorrektionsyorrichtungen (Achsenjustiervorrichtungen) des Theodolits. Diese sind:

a) die Korrektionsschrauben oder Korrektionsschraube der Libelle; ß) die Richtschrauben des Fadenkreuzes; y) die Justierschrauben des „beweglichen Lagers“.

Von den beiden Lagern der Kippachse kann nämlich das eine etwas gehoben und gesenkt werden, ygl. u.

An der Korrektionsvorrichtung a) kann, wenn die Libelle eine feste Alhidadenlibelle ist, der Winkel zwischen Umdrehungsachse (Stehachse, Achse des Alhidadenzapfens) und Libellenachse (Röbrenlibelle) oder Libellenhauptebene (Dosenlibelle) verändert werden, so daß nach Herstellen des rechten Winkels zwischen beiden die Libelle das Mittel bietet, die Stehachse vertikal zu richten;

durch ß) kann der Winkel, unter dem die Fernrohrziellinie die Kippachse schneidet, verändert, insbesondre zu einem rechten Winkel gemacht werden;

durch y) endlich kann der Winkel zwischen der Umdrehungsachse der Alhidade (I. Achse, Stehachse) und der Kippachse (II. Achse) verändert, insbesondre zum rechten Winkel gemacht werden.

56. Fortsetzung. Einzelheiten der Konstruktion. Behandlung des Instruments. Es sind zunächst noch einige Konstruktionseinzelheiten anzugeben, ohne daß wir zu weit auf diese Dinge eingehen könnten: jede der zahlreichen guten Werkstätten für geodätische Instrumente hat besondere Typen für die Achsenanordnung, für diesen und jenen speziellen Teil des Instruments, Besonderheiten im Material für die einzelnen Teile usf. Die g. S. T. H. St. enthält im ganzen (Anfang 1910) 61 Theodolite (und Tachymetertheodolite, reine Höhenkreise sind nicht gezählt); davon sind nur ausnahmsweise einige paarweise, ein Typus in drei Exemplaren vorhanden. Die Instrumente stammen aus verschiednen Werkstätten und aus der Zeit 1820 bis 1910.

1. Die „Mikrometerwerke“, je aus Klemme (Bremse) und Feinbewegungsschraube (Mikrometerschraube) bestehend, mit denen an jedem Theodolit die Alhidade (und fast immer auch die Kippbewegung des Fernrohrs), bei „Repetitionstheodoliten“ auch der Limbus ausgerüstet ist, gestatten nach Anziehen der Klemme nur noch kleine Drehungen, Feinstellungen und kommen in sehr verschiedner Form vor.

Die Bremse oder Klemme der Alhidade war früher vielfach eine „Randklemme“, indem zwei kleine Klemmbacken, die mit dieser Klemmschraube zusammenzupressen waren, von oben und unten den Rand der Limbusscheibe faßten; nach Anziehen der Klemme steht die Alhidade fest, nach Lösen ist sie drehbar. Die zugehörige Feinbewegungsschraube, die nach Aufhebung der Freihanddrehung der Alhidade noch feine Verdrehung gestattet, greift an einem Stift an, an dem ihm früher eine hochgestellte starke Blattfeder entgegendrückte. Neuerdings ist die Blattfeder fast ausnahmslos durch den sog. Federbolzen ersetzt, eine genügend starke Spiralfeder in einem kleinen Zylinder eingeschlossen, der am Angriffs-stück der Feinschraube dieser entgegendrückt; und die „Randklemme“ ist auch bei der Alhidade durch eine „Zentralklemme“ ersetzt. Beim Limbus

des Multiplikationstheodolits waren auch schon früher neben Randklemmen zentralwirkende Klemmen im Gebrauch. Durch eine solche sog. „Zentralklemme“ wird entweder ein kleiner Bremsklotz (Bremsplatte) gegen den festzustellenden Achszapfen gepreßt (sog. feste Ringklemme), was natürlich nur an einer nicht fein bearbeiteten Stelle des Zapfens geschehen darf, oder es wird durch Anziehen der Bremse an dem festzustellenden Teil ein Bremsband scharf angelegt (sog. federnde Ringklemme).

Wenn der einer Peinschraube entgegendrückende Federbolzen zu schwach geworden ist, kann man ihn selbst dadurch verstärken, daß man die Federbüchse nach ihrem Herausschrauben aus dem Halter aufschraubt (Achtung; beim Abgehen der Schraube springt die Feder heraus) und die Spiralfeder sorgfältig streckt. Nicht so einfach zu helfen ist bei der altern Konstruktion des Repetitionstheodolits, bei dem am Limbusmikrometerwerk in der Regel der Feinschraube eine starke, an der Außenwand der Zentralbüchse fest verschraubte Stahlblattfeder entgegendrückt; das Schwachwerden dieser Feder ist die Quelle vielen Ungemachs beim Repetieren mit solchen altern Instrumenten.

Das Mikrometerwerk für die Kippfeinbewegung endlich (für die gewöhnliche Horizontalwinkelmessung ganz entbehrlich, bei der hier nicht zu verfolgenden Höhen winkelmessung unentbehrlich) bedient sich zur Feststellung der Kippachse (Aufhebung der Freihandkippung) in der Regel eines kleinen Bremsklotzes, der von oben an die Achse gedrückt wird; die Feinschraube greift unten an einem langen, mit der Kippachse fest verbundnen vertikalen Hebel horizontal an, der zum einen Fernrohrträger herabgeführt ist und an dem in entgegengesetzter Richtung wieder ein Federbolzen der Feinschraube entgegendrückt. Soll, z. B. beim „Umlegen“ des Fernrohrs, die Kippachse aus den Lagern herausgenommen werden, so ist zunächst die Höhenfeinschraube weit zurückzudrehen und dann erst, nach Offnen der zwei „Schließen“, die über den Zapfen der Kippachse liegen und diese oft mit leichtem Federdruck im Lager fest-halten, kann das Fernrohr herausgehoben werden.

2. Eine Regelung des „Gangs“ und der Lage der Alhidade ist deshalb notwendig, weil die Ebene der Alhidadenscheibe oder die Alhidaden-randkegelfläche, auf der die zwei um 180° auseinanderliegenden Zeigerstriche (0) und daran anschließend die zwei Nonien I und II aufgetragen sind, genau übereinstimmen muß mit der Ebene oder dem Konus der Limbus-(Kreis-)teilung. Man darf beim einfachen Theodolit nicht das ganze Gewicht der Alhidade auf die konischen Lagerflächen der Büchse im Unterbau drücken lassen, es ist vielmehr durch eine unter den Achszapfen der Alhidade gelegte Federung für Entlastung dieses Stützlagers zu sorgen. Es ist meist im Boden der Büchse eine kleine Blattfeder eingefügt, mit der die Alhidadenlage reguliert werden kann. Beim Multiplikationstheodolit ist auch eine Federung oder Entlastung für den Teilkreis selbst vorhanden, neuerdings manchmal, besonders bei großen Instrumenten, in der Form von Stahlkugellagern.

Erwähnt sei bei dieser Gelegenheit der Anführung großer Instrumente zu feinen Messungen auch, daß es Theodolite gibt, die insofern zwischen einfachen und zum Repetieren eingerichteten stehen, als der Horizontalkreis zwar für sich gedreht werden kann, aber nicht mit Mikrometerwerk versehen ist; es kann also dem Kreis ohne

Änderung der Alhidadenlage eine andre Stellung des Teilungsnullpunkts gegeben werden, er kann aber meist gar nicht durch eine Klemme festgestellt werden, sondern wird nur durch die Reibung in seiner Lage erhalten, sodaß die im Kreis sich drehende Alhidade sehr sorgfältig jede Berührung mit dem Kreis vermeiden muß; doch gibt neuerdings z. B. Hildebrand in Freiberg solchen Instrumenten auch eine von unten her den Kreis in bestimmter Lage festhaltende Klemme (ohne daß aber eine zugehörige Feinschraube notwendig wäre wie beim Repetitionstheodolit).

3.    Bei den Fußschrauben zur Horizontierung des Instruments ist noch zu erwähnen, daß man mehrfach versucht hat, mit zwei statt drei Fußschrauben auch am Unterbau des Theodolits (der dann also nicht mehr Dreifuß heißen kann) auszukommen, indem ihnen Gelenke, Federn oder Federbolzen gegenübergestellt wurden. Horizontal-angreifende Stellschrauben sind bei der sog. Nußvorrichtung vorhanden, die aber selbst bei ganz kleinen Theodoliten kaum noch angewandt wird. Die Einrichtung mit zwei vertikal gestellten Fußschrauben und jenseits von horizontalen Gelenken gegenüberstehenden vertikalen Federbolzen hat Tesdorpf in seiner ,,Patenthorizontaleinstellungu versucht. Sie hat sich aber, für Theodolite jedenfalls, nicht bewährt und wird wohl kaum mehr gebraucht. Eine verbessernde Abänderung zu einer Art Cardanischer Aufhängung des Theodolits ist neuerdings von andrer Seite für kleine Instrumente wieder aufgenommen worden.

4.    Die Anordnung der Umdrehungsachse, sei es als Stahlzapfen der Alhidade beim einfachen Theodolit, sei es als doppelte Stehachse („Achsensystem“) beim Repetitionstheodolit, ist selbstverständlich keineswegs nur in der Art möglich, die Fig. 211 andeutet; auch hier kommen vielmehr die größten Verschiedenheiten vor. So ist man z. B. neuerdings, gerade bei feinen Theodoliten, wieder zu der zentralen Säule der ältern Instrumente (die das unmittelbare Durchschlagen verhindert) zurückgekehrt; der drehbare Oberteil, die Alhidade des Instruments, wird auf den nach oben sich konisch verjüngenden Acliszapfen (mit Entlastung) gehängt. Bei manchen Anordnungen des „Achsensystems“ des Multiplikationstheodolits ist sehr schwer erreichbar, daß die zwei Umdrehungsachsen der Alhidade und des Limbus genügend genau zusammenfallen, wie es an sich doch,zu verlangen ist. Es ist bei der Beschreibung des „Repetierens“ der Horizontalwinkel noch einiges darüber zu sagen.

5.    Die Korrektionsvorrichtungen der Libelle und der Fernrohrziel

linie sind früher genügend ausführlich beschrieben. Noch nicht näher erläutert ist die des „beweglichen Lagers“, durch die der Winkel zwischen Stehachse (Alhidadenachse) und Kippachse verändert werden kann; das zweite Lager ist fest, d. h. der Abstand der Mitte des in diesem Lager liegenden Achszapfens von der Alhidadenehene ist konstant. Die Einrichtungen sind an der Korrektionsvorrichtung des „beweglichen Lagers“ außerordentlich verschieden, z. B. sind an den kleinen ältern Instrumenten häufig wieder Zugschraube Z und zwei Druckschrauben^ und_D₂, Fig. 212a, oder es ist Zug- und Druckschraube auf jeder Seite davon vorhanden; oder es ist neuerdings vielfach statt des ganz durchgehenden horizontalen Schnitts durchs Lager der Schnitt nicht ganz bis zum Ende von    geführt, so

daß dort Federwirkung entsteht und einfache Zug- und Druckschraube D, Z am andern Ende zum Zusammenhalten genügen, Fig. 212 b. Oft liegt neuerdings der Lagerschnitt auch vertikal, nicht horizontal und die zwei Stücke sind durch horizontale Zug- und Druckschrauben zusammengehalten, womit offenbar ebenfalls das „bewegliche“ Lager etwas gehoben oder ge-

senkt werden kann, eine Anordnung, von der z. B. die Fennelsche Werkstatt in Kassel gern Gebrauch macht, vgl. Fig. 212c. (Vgl. auch Fig. 214a, Breithaupt; in Fig. 213a und b sind die Anordnungen des horizontal und vertikal durchschnittnen Lagerstücks nochmals nebeneinander gesetzt, nach

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Fig. 212 c.

Sartorius.) Bei den Punkten A) Fig. 212a und b, sind die Lagerflächen etwas gewölbt, so daß die Kippachse nur auf einem Punkt links und rechts auf liegt (die Wölbung ist nicht so stark wie in Fig. 212 angedeutet, besonders aber auch in der Richtung der Kippachse, senkrecht zur Ebene der Zeichnung vorhanden).

6. Einige Beispiele von Instrumenten in Schaubildern. Es sollen hier einige Gesamtansichten von kleinen Theodoliten, wie sie für uns allein in Betracht kommen, eingefügt werden, Fig. 214a bis 214f.

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Fig. 213 a'und b

horizontal und vertikal durchschnittnes Lager.

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Fig. 214 a ist ein . einfacher Theodolit (d. h. ohne Repetitionsvorrichtung) von F. W.

Breithaupt & Sohn in Cassel, mit Höhenkreis versehen, der für unsre Zwecke nicht gebraucht wird. Der Theodolit ist mit Horizontalkreis von cm Durchmesser zu haben, für alte Teilung ist dabei der Kreis in V, V₈°, y,° zerlegt, die zwei Nonien geben je 1', 30", 20"; der Horizontalkreis ist verdeckt mit Fenstern für die Nonien. Das Fernrohr, zentrisch und durchschlagbar, hat in den drei Fällen 20, 27,

35 mm Öffnung des Ob-jektivs und rund 18, 21, ■HKIliÄsä: 26 malige Vergrößrung.

Als feste Alhidaden-libelle ist

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Fig. 214b.

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tung der Umdrehungsachse dienen (vgl. 55.

3. f)). Statt dieser Libelle, die gestattet, mit dem Instrument auch zu nivellieren (vgl. Hauptabschnitt II) kann auch eine Röhrenlibelle seitlich am Fernrohrträger gewählt werden. Stativ mit Metallkopf, Schraubenstange.

Fig. 214 b ist ein Rep etitionstheodolit von Th. Li osenberg in Berlin, ohne Höhenkreis, Ausführungen mit Horizontalkreis von 12, 14, 16, 18 cm

Durchmesser; Teilung des Kreises in den vier Fällen und bei alter Kreisteilung V2⁰; Vs⁰? Vs® xl%, die zwei Nonien geben je 30", 20", 20", 10". Horizontalkreis verdeckt mit Fenstern für die Nonien. Das Fernrohr, zentrisch, durchschlagbar, hat in den vier Fällen die Vergrößrung 20, 25, 28, 30. Dosenlibelle auf der Mitte der Alhidadenscheibe, Röhrenlibelle am Fernrohrträger, endlich Reitlibelle auf der Kippachse vorhanden. Nivellierlibelle auf dem Fernrohr, siehe den Schluß des vorigen Absatzes, Stativ mit Holzkopf und guter Regeleinrichtung (nach Vogler und Eggert), Schrauben- jj stange.    M

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Fig. 214 c.

Fig. 214 d.

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Fig. 214c, ähnliches Instrument von L. Tesdorpf (früher Stuttgart, jetzt F. Sartorius in Göttingen), ebenfalls ohne Höhenkreis und ebenfalls zum Repetieren der Horizontalwinkel eingerichtet. Der Theodolit ist mit Horizontalkreisdurchmessern von 10, 12, 15, 17, 20 dementsprechend sonstigen Dimensionen; der Kreis ist in den fünf Fällen (alte Teilung) in T^⁰, V₂°, V₃°, ¹/₃°, Y₆° zerlegt und die zwei Nonien geben je 1', 1', 30", 20", 10" Ablesung. Das Fernrohr, zentrisch und durch-schlagbar, hat bei der kleinsten Nummer des Instruments 20, bei der größten 36 mm Objektivöffnung, und (ebenso) LSfache bis 32fache Vergrößrung. Von Libellen ist Dosenlibelle auf der Alhidadenscheibe und Röhrenlibelle

am

Fernrohrträger vorhanden, ferner Wendelibelle auf oder unter dem

Fernrohr zum Nivellieren (vgl, Hauptabschnitt II und Schluß des vorletzten Absatzes. Große Zentralschraube mit Platte, nach Fig. 210.

5G Fig. 214d zeigt ein Instrument von Otto Fennel Söhne, Cassel, ohne Höhenkreis, zum Repetieren der Horizontal winkel eingerichtet. Die Ablesung geschieht durch zwei kleine Strichmikroskope. Die Teilung des Horizontalkreises von 10 oder 13 cm Durchmesser geht auf Y₃⁰ oder y₆° alter Teilung mit Beziffrung jedes Grades; die Zehntelschätzung am Mikroskopfaden gibt

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Fig. 214 e.

Fig. 214 f.

also 2' (bis 1') oder F (bis 30"). Horizontalkreis verdeckt mit Fenstern; Kreuzlibelle zur Horizontierung. Fernrohr 18-mm Öffnung und Vergrößrung 12 beim kleinen, 25 mm Öffnung und Vergrößrung 19 beim großem Modell.

Fig. 214 e ist ein Theodolit von G. Hey de in Dresden, als einfacher Theodolit ausgeführt (d. h. ohne Repetitionsvorrichtung) und mit Skalenmikroskopen am Horizontalkreis ausgestattet, Höhenkreis nicht vorhanden. Kreis 12 cm Durchmesser, Teilung auf Y₃°, ein Teil der Skale der zwei Mikroskope deshalb 2' und durch Schätzung 0',2 = 12" ablesbar. Vergrößrung der Mikroskope etwa 18. Fernrohr zentrisch, durchschlagbar, 30 mm Öffnung, Vergrößrung 25. Alhidadendosenlibelle, feste Alhidadenröhrenlibelle, Setz(Reit-)libelle auf der Kippachse; Nivellierlibelle auf dem Fernrohr (s. oben).

Fig. 214f endlich ein ähnliches Instrument (aber als Repetitionstheodolit gebaut) von M. Hildebrand in Freiberg, Sachsen, mit Höhenkreis, was für unsre jetzigen Zwecke überflüssig ist. Horizontalkreis 14x/2 Durchmesser, in Y₄° alter Teilung zerlegt; jeder Teil der Mikroskopskalen (15 auf das Intervall zweier Limbusstriche) gibt 1', daher Schätzung bei der Ablesung auf 0,1; Vergrößrung der Skalenmikroskope etwa 20 fach. Fernrohr 25 mm Öffnung, Vergrößrung 24. Libellen: Kreuzlibelle auf der Alhidade (die eine Seitenlibelle am Fernrohrträger für Höhenwinkelmessung, für uns außer Betracht), Setz-(Reit-)libelle auf der Kippachse.

cm

Die vorstehenden sechs Instrumente geben selbstverständlich nur wenige Typen; die zwei letzten sind nur der Vollständigkeit halber aufgenommen, da wir uns ja auf Anwendung von Nonieninstrumenten beschränken und höchstens das Strichmikroskop mit verwenden wollen (vgl. 54. 1. Schluß); Theodolite mit Schraubenmikroskopablesung sind aus diesem Grund gar keine hier vorgeführt. Die Instrumente können noch mit Zutaten ausgerüstet werden (z. B. Beigabe einer Reitlibelle auf der Kippachse, wo dies oben nicht ausdrücklich genannt ist). Auch gibt es noch kleinere und besonders billigere Theodolite als die ersten Nummern der Instrumente a bis c, die ebenfalls von den genannten Firmen in noch einfachrer Ausstattung (unverdeckter Kreis usf.) ausgeführt, in der Regel als einfache „Bautheodolite“ bezeichnet und etwa zum Preise von 160 bis 200 Jt verkauft werden. Der Preis der oben abgebildeten Instrumente bewegt sich je nach Größe und Ausstattung etwa zwischen 300 und 650 Jt.

Mit den oben angeführten Namen von Werkstätten für kleinere geodätische Instrumente ist selbstverständlich auch keineswegs die Liste der empfehlenswerten und leistungsfähigen Firmen für Theodolite usf. auch nur in Deutschland erschöpft; es wären noch mindestens 10 weitre leistungsfähige Werkstätten bei uns namhaft zu machen, doch ist diese Aufzählung hier nicht möglich.

7. Behandlung des Instruments. Es sind hier noch einige Winke für die manuelle Behandlung des Instruments zu geben. Wer an ein ihm nicht genau bekanntes, im Transportkasten verpacktes Instrument herantritt, sehe sich vor allem aufs genauste die Lage aller Teile bei der Verpackung an. Ordnungsmäßig ist auf die Innenseite des Transportkastendeckels ein Zettel geklebt mit Verzeichnis der einzelnen in den Kasten gehörenden Teile, z. B. Reitlibelle, seitlich an der Wand mit Riemen festgeschnallt; Staubdeckel auf dem Objektiv des Fernrohrs; Senkel, Ölflasche, Staubpinsel, Schraubenzieher, Justierstift, oft Okularprisma, alles auf besondrem Rahmen und durch Verschluß des Kastens absolut sicher vor dem Herausfallen geschützt; Sonnenblende (über Holzzapfen zu stülpen), Schraubenstange oder Zentralschraube (ebenso, müssen besonders gegen das Herausfallen beim Transport geschützt sein). Die Transportkisten kleiner Instrumente sind mit Tragriemen versehen, das Instrument wird selbst auf ziemlich weite Strecken vom Gehilfen einfach als Tornister getragen. Beim Bahn- oder Wagentransport ist sehr wichtig, daß das Instrument in seinem Kasten gestellt, nicht gelegt wird, wodurch die Achszapfen dauernd zu Schaden kommen; auf der Bahn behält man am besten das Instrument bei sich, gibt es nicht in den Gepäckwagen ab, wohin das Stativ mit Stäben zusammengepackt gegeben werden kann. Wenn man im Wagen selbst mitfährt, so stellt man ebenfalls das Instrument zu sich; sonst ist der Transportkasten sicher mit Stroh zu umgeben, so daß er nicht umfallen kann.

Zweckmäßig ist auf dem Brett, auf dem der Theodolit festgeschraubt in die Transportkiste geschoben wird (dann durch Schrauben zu befestigen), die Lage der Mikrometerwerke usf. angedeutet, z. B. steht auf dem Brett: Mikrometerwerk der Alhidade vorn! Klemme des Limbus hier! Objektiv des Fernrohrs oben! Höhenkreis (falls vorhanden) hinten! Oft ist schon bei kleinen Instrumenten (bei großem stets) im Transportkasten das Fernrohr aus den Lagern ausgehoben, in besondrem Baum, auf zweitem Brett, über dem Raum des Theodolits selbst verpackt, wobei die Kippachse in gepolstertes Holzlager eingelegt und das Fernrohr festgeschraubt wird; dabei genau zu beachten, wie das Fernrohr verpackt war; auf dem meist zuerst heraus- und zuletzt hineinzuschiebenden Fernrohrbrett (muß angeschrieben sein!) muß stehen: Objektiv, Okular, an der Stelle, wo beide hingehören. Beim Yerpacken des Instruments nicht vergessen, den Staubdeckel aufs Fernrohrobjektiv zu schieben. Beim Verpacken sind ferner alle Klemmen zunächst zu lösen (Alhidade, Limbus, Kippbewegung, falls das Fernrohr auf den Lagern bleibt) und erst nach vollständig richtiger Lage des Instruments wieder anzuziehen; wenn der Oberteil durch einen zwischen den Fernrohrträgern durchgehenden Holzbügel gehalten wird, so ist oft die Alhidadenklemme nicht anzuziehen, was angeschrieben sein muß. Bei langen Bahntransporten empfiehlt sich, die Klemmen festzubinden, da sie sich durch die lange gleichmäßige Erschtittrung oft ganz herausspielen und herausfallen.

Beim Anfassen, Tragen des Instruments auf kurze Entfernungen ohne . Stativ, z. B. schon beim Herausnehmen aus dem Kasten zum Aufsetzen auf das Stativ, ist es sehr wichtig und kann dem Anfänger nicht scharf genug eingeprägt werden, daß das Instrument nur unten, am Unterbau, den Spreizen des Dreifußes, anzufassen ist, nie am Horizontalkreis oder an der Alhidade. Nach dem Aufsetzen auf das zuvor gut einzutretende und festzuschraubende Stativ halte man das Instrument so lange, als die Schraubenstange (Herzschraube) oder Zentralplattenschraube noch nicht eingeschraubt ist, was sofort zu geschehen hat; andernfalls ist das Instrument der Gefahr des Herabwerfens vom Stativ und damit gänzlicher Zerstörung ausgesetzt. Beim Transport auf nicht große Strecken, 100 m oder dgl., z. B. bei Polygonwinkelmessung, bleibt das Instrument auf dem Stativ sitzen und die Feder der Schraubenstange bleibt gespannt; das Stativ ist aber dann so zu tragen, daß die Stehachse ungefähr vertikal bleibt (Aufsetzen des gespreizt bleibenden Stativs auf die Schulter oder Tragen mit zusammengeklappten und festgestellten Stativbeinen), jedenfalls nicht so, daß das Instrument herabhängt und bei jedem Schritt schwankt und steten Er-schüttrungen ausgesetzt ist.

Gute, sorgfältige Behandlung des Instruments belohnt sich sehr durch größre Leistungsfähigkeit und längre Dauer. Alle Achsen sind möglichst schonend zu behandeln; z. B. beim Einlegen der Kippachse in die Lager das Fernrohr nicht plötzlich fallen lassen, sondern bei zurückgeschraubter Feinschraube der Höhenbewegung und zurückgezognem Federbolzen ganz langsam einlegen. Beim Drehen der Alhidade nicht einseitig irgendwo ziehen, sondern gleichförmig von beiden Seiten mit zwei Fingern die beiden Träger des Fernrohrs anfassen, so daß kein einseitiger Druck auf den Achszapfen der Alhidade entsteht. Der Anfänger ergreift beim Drehen der Alhidade gern das Fernrohr, gar an der Okularröhre; man kann dadurch die Fernrohrziellinie im Fernrohr verlegen, die doch bei der Messung eine unveränderliche Lage haben soll, selbst die Fernrohrkippachse in den Lagern etwas verlegen. Ähnlich am Multiplikationstheodolit beim Limbus, der am besten durch zwei an gegenüberliegenden Stellen von unten angelegte Finger gedreht wird. Keine Drehung am Instrument ausführen wollen, bevor die betreffende Klemme (Alhidade, Limbus beim

Repetitionstheodolit, Kippachsenklemme) gelöst ist! Beim Kippen des Fernrohrs ebenfalls nicht an dem durch den Trieb verschiebbaren Teil des Fernrohrs (meist Okularauszug) anfassen, sondern an dem nicht verschiebbaren Teil (meist Objektivrohr). Beim Lösen jeder Klemmschraube, ebenso bei der Benutzung einer Fußschraube, nicht seitlich auf die Schraube drücken, ebenso nicht etwa nach einer Richtung ziehen, ebenso hei der Benutzung einer Feinschraube. Jede Handscheibe einer Schraube wird leicht zwischen zwei Finger gefaßt, mit denen gleichförmig zu drehen ist. Stellschrauben und Feinschrauben sind stets auf solchem Stand zu halten, daß sie nicht zu weit durchgedreht und nicht zu weit ausgezogen sind; eine zu weit ausgezogne Feinsehraube kann z. B. in der einen Richtung gar nicht mehr wirksam sein. Die Fußschrauben sollen möglichst gleichmäßig in Anspruch genommen sein, nicht die eine fast ganz durchgedreht, die andre fast ganz ausgezogen.

Yor Feuchtigkeit und vorStaub ist der Theodolit so viel als möglich zu schützen. Teilungen, die nicht verdeckt sind (wie z. B. fast stets am Höhenkreis, während der für uns hier allein in Betracht kommende Horizontalkreis neuerdings auch an kleinen Instrumenten beinahe immer mit leichtem Blechmantel mit Fenstern für die Nonien versehen wird), berühre man niemals mit bloßer Hand. Im Feld führt man stets für das Instrument eine Kappe aus wasserdichtem Segeltuch oder Guttapercha mit sich, die bei Regen, schon bei Tropfen, über das Instrument gestülpt wird und genügend weit unterhalb des Stativkopfs fest zusammengebunden werden kann; das Instrument kann so geschützt lange Zeit im Regen stehen; beim Nichtgehrauch ist die Kappe am besten am Stativ sicher festzubinden. Nach dem Gebrauch des Instruments, besonders an staubigen Orten, ist vor der Verpackung der Staub sorgfältig mit dem Staubpinsel überall zu entfernen; man nehme dazu, auch bei Instrumenten, die nicht getrennte Verpackung des Fernrohrs haben, die Kippachse heraus, um die Lager zu reinigen. Auch Wassertropfen sind sorgfältig abzuwischen, am besten mit ganz weichem, vielfach gewaschnem Leder. Zum Einfetten der Achsen wird heute in der Regel nur frisches Knochenöl oder Fischöl (Uhrmacheröl) verwendet; eingedickte, verstaubte Fettkrusten kann man mit Petroleum entfernen, nachdem die Achse, z. B. der Zapfen der Alhidade, ganz herausgehoben ist. Man reibt dann mit ganz weicher in Petroleum getauchter Leinwand mehrfach ab, fettet nach sorgfältigem Abwischen des Erdöls mit dem Uhrmacheröl ein und wischt zum Schluß alles Öl ab, wobei eine ganz dünne, aber genügende Schicht von Öl zurückbleibt. Die Herausnahme des Zapfens der Alhidade kann natürlich nur zu Haus geschehen und der Zapfen muß äußerst sorgfältig behandelt werden, wenn nicht das Instrument dauernd notleiden soll. Die Kippachsenenden brauchen so gut wie gar keine Ölung. Feinschrauben sind von Zeit zu Zeit zu reinigen und mit dünner Fettschicht zu versehen, wie für die Achszapfen angegeben ist.

Linsen der Noniuslupen und des Fernrohrs, die sich mit Feuchtigkeit beschlagen haben oder staubig geworden sind, reinigt man nach dem Herausschrauben am besten durch leichtes Abreihen mit feiner oft gewaschner Leinwand, die aber nur leicht aufzulegen nicht scharf anzudrücken ist. Die Leinwandflecke können zuletzt vor dem Trocknen durch Wasser mit wenig sehr fein geschlemmter Kreide gezogen sein. Staub kann einfach mit dem Pinsel entfernt werden; zum Kollektiv Huygensscher Okulare ist allerdings oft schwer zu kommen. Daß man die Linsen, die eine achromatische Linse zusammensetzen, besonders ein achromatisches Objektiv, nicht selbst trennen darf, ist beim Fernrohr in 51. 1. angegeben. Neuerdings sucht man an einzelnen Instrumenten Fernrohre zu verwenden, die vollständig dampfdicht abgeschlossen sind.

Einen Okularfaden, der schlaff geworden oder gebrochen ist, sollte der Benützer des Instruments selbst zu ersetzen imstand sein; wie schon 50. 5. angegeben, eignen sich von Fäden am besten die der kleinen schwarzen Steinspinne, die aber frisch sein müssen. Indessen gelingt das Aufziehen meist nur nach Anleitung durch einen darin geschickten Mechaniker, so daß hier von einer Beschreibung der Manipulation abgesehen wird.

57. Anfordrungen an die Lage der Achsen des Theodolits. Berichtigung des Theodolits für Horizontal Winkelmessungen: Überblick. Durch Nr. 55. ist schon klar geworden, daß es sich um die gegenseitige Lage folgender drei Achsen am Theodolit handelt, wenn das Instrument zur Horizontalwinkelmessung berichtigt sein soll: Stehachse (I. Achse, Vertikalachse, Umdrehungsachse [der Alhidade nämlich]), Kippachse (II. Achse, Horizontalachse) und endlich Fernrohrziellinie. Die zwei ersten sind wirkliche Achsen, um die Instrumententeile gedreht werden: um die erste Achse, die geometrische Achse des stählernen konischen Zapfens der Alhidade wird der ganze Oberteil des Instruments umgedreht; um die zweite Achse, die geometrische Achse des stählernen Zapfenzylinders, wird das Fernrohr gekippt. Die dritte „Achse“ des Theodolits ist nicht in demselben Sinn so zu benennen; man bezeichnet sie auch oft als „optische Achse“ des Fernrohrs, aber ungeeignet, besser ist Ziellinie, Visierlinie des Fernrohrs.

Die Anfordrung an das zum Gebrauch aufgestellte Instrument lautet offenbar: die Fläche, die die Fernrohrziellinie beim Kippen des Fernrohrs um die Horizontalachse beschreibt, muß, bei jeder beliebigen Zielrichtung im azimutalen Sinn, eine vertikale Ebene sein. Je nach der Art und Weise der Horizontierung des Instruments, d. h. der Art der dazu dienenden Libelle, ist diese Anfordrung in verschiedner Art in drei Einzelanfordrungen an die Lage der Achsen zu zerlegen.

Die zur Horizontierung des Instruments dienende Libelle kann nämlich sein: I. eine an der Alhidade befestigte Libelle, die die Alhidaden-drehung mitmacht und nicht ohne weitres von der Alhidade weggenommen werden kann: feste Alhidadenlibelle, die eine Dosenlibelle (meist in der Mitte der Alhidade sitzend) oder eine Röhrenlibelle (meist seitlich am Fernrohrträger angeschraubt) sein kann. Zweckmäßig sind beide Arten fester Alhidadenlibellen vorhanden, grobe Dosenlibelle (2' bis 3') und feinre Röhrenlibelle (20" oder selbst nur 30" bei mittelgroßen Instrumenten, soweit die Libelle nur zur Horizontierung für Horizontalwinkelmessung dient). Neuerdings ist die feste Alhidadenlibelle oft auch als „Kreuzlibelle“ ausgebildet, in der Form zweier auf der Alhidade im rechten Winkel nebeneinander befestigter wenig empfindlicher Röhren-iibellen. Oder:

II. die Libelle kann eine zum Aufsetzen auf die Kippachse bestimmte Libelle sein, als Gabellibelle oder Stützenlibelle oder am besten als Reitlibelle zu bezeichnen. In der Literatur der praktischen Geometrie heißt die Libelle in der Regel Reiterlibelle mit offenbar sehr überflüssiger Zwischensilbe; bei feinen Instrumenten der praktischeu Astronomie und geodätisch-praktischen Astronomie spricht man meist vom Achsenniveau; es ist dort oft nicht als Stützen-, sondern als Hängelibelle ausgeführt, zum Anhängen an die Kippachse bestimmt. Je nach-

Hammer: elementare praktische Geometrie.

dem eine Libelle der Art I oder der Art II zur Horizontierung des Theodolits dient, spricht man oft von Konstruktion I und Konstruktion II des Instruments. Der Ausdruck geht zu weit; von verschiednen Konstruktionen des Instruments muß die Rede sein, je nachdem der Teilkreis selbst um eine Yertikalachse drehbar und mit Mikrometer werk versehen ist, das Instrument zum Repetieren eingerichtet ist, oder nicht: Repetitionstheodolit und einfacher Theodolit sind wesentlich ver-schiedne Konstruktionen, weil man mit der einen nicht alle Messungen ausführen kann wie mit der andern. Die Anordnung der Libelle aber ändert nichts an der Ausführung der Horizontalwinkelmessung im einen und andern Fall; und es geht schon deshalb nicht an, von verschiedner Konstruktion imSinn der verschiednen Anordnung der Libelle zu sprechen, weil an demselben Instrument beide Anordnungen der Libelle vorhanden sein können und tatsächlich oft vorhanden sind. Jedenfalls sollte z. B. auch im Fall einer Reitlibelle auf der Kippachse als Hauptlibelle der Horizontierung eine grobe Dosenlibelle in der Mitte der Alhidadenscheibe zur ersten raschen, wenn auch groben Horizontalstellung nicht fehlen.

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(Stehachse)

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'(Stehachse)

Theodolite (und Nivelliere) zu weniger feinen Messungen werden am besten mit festen Alhidadenlibellen horizontiert; bei feinrer Höhen winkel-messung kann ohnehin eine der Messung entsprechend feine feste Alhi-dadenlibelle in der Richtung der Yisur nicht fehlen. Große Theodolite zu feinen geodätischen und zu geodätisch-astronomischen Messungen werden fast immer, was die Horizontierung für die Zwecke der Horizontalwinkelmessung angeht, mit Hilfe einer Kippachsenlibelle (Reitlibelle) horizontiert. Eine auf dem Fernrohr kleiner Theodolite in der Längsrichtung des Fernrohrs befestigte Libelle, die das Instrument zum Nivellier macht (vgl. 55.3. f.), kann ebenfalls zur Horizontierung des ganzen Instruments gebraucht werden, aber weniger bequem als eine der Libellen I oder II.

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Alh-SchbeU'f

Die zwei genannten verschiednen Anordnungen der Libelle I und II bedingen, wie schon angedeutet, verschiedne Zerlegung der Gesamtanford-rung an das zum Gebrauch aufgestellte Instrument:

Alh. ! | Zpfn 12

Alh

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Fig. 215.

Die Libellenanordnung I, feste Alhi da denlib eile, gestattet unmittelbare Vertikalrichtung der ersten Achse, Umdrehungsachse der Alhidade (Stehachse), so daß die zweite Achse, Kippachse, mittelbar dadurch horizontal zu legen ist, daß für-rechten Winkel zwischen der Achse des Alhidadenzapfens und der Kippachse gesorgt wird;

bei Libellenanordnung II, Reitlibelle auf der Kippachse, gestattet die Libelle unmittelbare Horizontallegung der zweiten Achse (Kippachse), so daß die erste Achse, Stehachse, mittelbar dadurch

vertikal zu stellen ist, daß für rechten Winkel zwischen Kippachse und Umdrehungsachse gesorgt wird.

Schematisch sind die beiden Fälle in Fig. 215 angedeutet.

Nach dem Gesagten ist für jeden der beiden Fälle die folgende Zusammenstellung der Einzelanfordrungen als notwendig und als hinreichend verständlich:

I. Libellenanordnung: Feste Alhidadenlibelle.

1. Die Libelle ist zu berichtigen, d. h. es ist genügend genauer rechter Winkel zwischen der Stehachse (Alhidadenachse, in diesem Fall Benützungslinie der Libelle) und der Achse der Libelle herzustellen (wenn die feste Alhidadenlibelle eine Röhrenlibelle ist; ist sie eine Dosenlibelle, so heißt es statt Achse der Libelle: Hauptebene der Libelle). Ist diese Anfordrung mit genügender Schärfe erfüllt (z. B. x/₃ Strich oder Ring der Libellenteilung), so kann die Umdrehungsachse mit der durch den Teilwert der Libelle gegebnen Genauigkeit (im angedeuteten Fall bei einer 3'-Dosenlibelle z. B. auf etwa y₂', mit einer 20"-Röhrenlibelle auf etwa 6" genau) vertikal gerichtet werden (1. = Anfordrung an die Libellenachse oder Libellenhauptebene und damit an Richtigstellung der Stehachse; Winkel zwischen beiden genügend genau = 90°).

2. Bevor wir verlangen, daß die von der Fernrohrziellinie beim Kippen des Fernrohrs beschriebne Fläche eine Vertikalebene sei, müssen wir verlangen, daß sie überhaupt eine Ebene ist (die zur Kippachse senkrecht steht und die wir nachher dadurch zu einer vertikalen

Ebene degeneriert) um 2 c unterscheidet.

zur

Ebene machen, daß wir die Kippachse horizontal legen). Bildet nämlich die Ziellinie des Fernrohrs nicht einen rechten Winkel mit der Kippachse, sondern die Winkel (90°—c' und (90°-f- c), sodaß die Lage der Fernrohrziellinie den Fehler c hat, so beschreibt die Fernrohrziellinie beim Kippen um die Kippachse keine Ebene, sondern, eine Umdrehungskegelfläche, deren Achse die Kippachse ist und deren Offnungswinkel sich von 180° (womit die Kegelfläche Wir werden also die zweite Anfordrung aufstellen müssen, daß die Fernrohrziellinie senkrecht auf der Kippachse steht (2. = Anfordrung an die Fernrohrziellinie; Winkel zwischen ihr und der Kippachse genügend genau = 90°).

3. Wenn die Anfordrung 2. erfüllt ist, so beschreibt die Fernrohrziellinie beim Kippen des Fernrohrs eine Ebene senkrecht zur Kippachse. Sie ist noch zur vertikalen Ebene zu machen, indem die Kippachse horizontal gelegt wird, genauer: senkrecht gerichtet wird zur Stehachse; wird diese dann, was nach 1. möglich ist, vertikal gestellt, so liegt die Kippachse horizontal (3. = Anfordrung an die Kippachse; Winkel zwischen ihr und der Umdrehungsachse genügend genau = 90°).

II. Libellenanordnung: Reitlibelle auf der Kippachse.

1. Die Libelle ist zu berichtigen, d. h. es ist für genügend genaue parallele Lage zwischen der Kippachse (in diesem Fall Benützungslinie der Libelle) und Achse der Libelle zu sorgen. Ist diese Anfordrung mit genügender Genauigkeit erfüllt (z. B. auf x/₄ Strich der Libelle), so kann die Kippachse mit der durch den Teil wert der Libelle gegebnen

21*

Genauigkeit (im angedeuteten Fall z. B. bei einer 20"-Aclisenlibelle auf 5") horizontal gelegt werden (1. = Anfordrung an die Libellenachse und damit an [bei einer unten noch näher zu besprechenden Voraussetzung über die Zapfenenden der Kippachse] Richtiglegung der Kippachse; Winkel zwischen beiden genügend genau = 0).

2.    Nacdi Erfüllung von 1. ist die Kippachse mit Hilfe der Reitlibelle nur in der grade vorhandnen Richtung beider horizontal gelegt, d. h.: dreht man die Alhidade um ihre Achse um einen beliebigen Winkel, so daß die Kippachse eine andre Richtung erhält, so wird die Libelle aus-schlagen, die Kippachse in dieser Richtung nicht mehr horizontal liegen; wenn nicht dafür gesorgt wird, daß der Winkel zwischen Kippachse (oder gemäß 1. gleichbedeutend Winkel zwischen Libellenachse) und Stehachse ein rechter ist. Erst damit kann die Umdrehungsachse der Alhidade vertikal gerichtet werden (2. = Anfordrung an die Kippachse, genauer an den Winkel zwischen ihr und der Stehachse, soll genügend genau 90° sein).

3.    Endlich ist, wie bei Libellenanordnung I., dafür zu sorgen, daß die Ziellinie des Fernrohrs genügend scharf einen rechten Winkel bildet mit der Kippachse, damit die Ziellinie beim Kippen eine Ebene beschreibt, senkrecht zur Kippachse stehend, bei richtig gelegter Kippachse also eine Vertikalebene (3. = Anfordrung an die Ziellinie; Winkel zwischen ihr und der Kippachse genügend genau = 90°).

Einige weitre Anfordrungen an die Achsen usf. seien gleich hier aufgezählt: a) die zwei Zapfenenden der Kippachse sollen, wenn zur Horizontierung des Instruments eine Kippachsenlibelle dient, genau gleichen Durchmesser haben, so daß der geometrische Körper, der durch sie (an den Auflagestellen, genauer bei Libellenanordnung II., den Aufsetzstellen der Reitlibelle) bestimmt ist, ein Zylinder, nicht ein Kegel (mit allerdings jedenfalls äußerst kleiner Winkelöffnung) ist;

b)    Alhidaden- und Limbusdrehungsachse beim Repetitionstheodolit sollen zusammenfallen;

c)    eine Anfordrung an die Alhidadenachse bei jedem Theodolit ist offenbar auch die, daß sie durch den Mittelpunkt der Limbuskreis-teilung gehen soll. Durch einen „Exzentrizitätsfehler“ der Alhidade entstehen bei der Ablesung an einem Zeigerstrich bedeutende Fehler; es wird sich allerdings bald zeigen, daß sie sehr einfach eliminiert werden können.

d) Eine weitre wichtige Anfordrung an den Vertikalfaden im Fadenkreuz (keine Achsenanfordrung i. e. S.) ist die, daß der Vertikalfaden wenigstens sehr nahezu in der Kippebene der Fernrohrziellinie liegt, sehr nahezu rechter Winkel zwischen Vertikalfaden und Kippachse vorhanden ist; bei sehr scharfer Erfüllung dieser Anfordrung könnte man bei der Horizontalwinkelmessung von der Zielebene statt der Ziellinie des Fernrohrs Gebrauch machen, es wäre gleichgültig, mit welchem Punkt des Vertikalfadens ein bestimmter Zielpunkt eingestellt würde. Da aber die Anfordrung nur genähert erfüllt werden kann, ist zur Einstellung eines Zielpunkts bei der Horizontalwinkelmessung allerdings stets ein Punkt des

Vertikalfadens dickt beim Horizontalfaden zu nehmen. Für genügend rechten Winkel zwischen dem Horizontalfaden (der für uns hier nur einen bestimmten Punkt des Vertikalfadens bezeichnet) und dem Vertikalfaden ist vom Mechaniker gesorgt (Schnittmarken auf der Blende zum Einlegen der Fäden).

e) Eine fernere sehr wichtige Fordrung endlich bezieht sich gar nicht auf die „Achsen“; es ist die, daß der Teilkreis richtig zerlegt sei, jeder einzelne Teilstrich „genau“ die Lage gegen die übrigen habe (z. B. insbesondre gegen den Nullstrich), die ihm gemäß seiner Beziffrung zukommt, und daß ferner die Nonien ebenfalls richtig eingeteilt seien, ihre n Teile „genau“ den (n — 1) Limbusteilen gleichkommen. Von diesen zwei Anfordrungen an die Teilungen wird später ausführlicher die Rede sein müssen.

Die hier aufgezählten Anfordrungen sind mit Ausnahme von d) nicht durch Verändrungen am Instrument, die der Beobachter ausführen kann, erfüllbar.

58. Achsenbericlitigung des Theodolits (für Horizontalwinkelmessung) mit fester Alhidadenlibelle, I. Libellenanordnung.

Die feste Alhidadenlibelle kann eine Dosenlibelle oder eine Kreuz-libelle oder endlich eine einzelne Röhrenlibelle sein. Nach 57. ist:

1.    Winkel zwischen Stehachse (Vertikalachse, Umdrehungsachse der Alhidade) und Libellenachse (bei der Röhrenlibelle; bei der Kreuzlibelle beider Libellenachsen; bei der Dosenlibelle Libellenhauptebene) zu berichtigen: Berichtigung des Libellenfehlers;

2.    Winkel zwischen Ziellinie des Fernrohrs und Kippachse zu berichtigen: Berichtigung der Ziellinie oder Beseitigung des Kollimationsfehlers;

3.    Winkel zwischen Kippachse und Stehachse zu berichtigen: Berichtigung des Kippachsenfehlers, des Neigungsfehlers der Kippachse.

Wir betrachten diese drei Anfordrungen nacheinander und erinnern uns zuvor nochmals der Regel', daß jede Verschiebung eines Punkts an einem Instrument mit den zu dieser Bewegung vorhandnen Korrektionsschrauben in kleinen Schritten geschehen soll und daß, wo die Korrektionsvorrichtung aus Zug- und Druckschraube, nicht aus Zugschraube und selbstwirkender Druckfeder besteht, dafür zu sorgen ist, daß auch die Druckschraube nach Benützung der Zugschraube wieder gut anliegt. Ähnlich bei den Verschiebungsschrauben des Blendrings mit dem Fadenkreuz.

1. Berichtigung der festen Alhidadenlibelle. Diese sei

a) Dosenlibelle, fast stets in der Mitte der Alhidadenscheibe. Bei guter Unterstützung des Instruments, auf dem fest angezognen Stativ gut festgeschraubt, oder z. B. auf dem festen steinernen Femstersims eines massiven Gebäudes und dgl., wird die Dosenlibelle mit den Fußschrauben scharf eingespielt. Irgendwelche vorherige Drehung der Alhidade ist dabei nicht notwendig (Vorteil der Dosenlibelle). Man denke sich beim Einspielen immer die Verbindungslinie des Punkts, in dem die Libellenblase sich augenblicklich befindet, mit dem Spielpunkt, in den die Blase kommen soll; die Linie weist auf die Fußschraube, die jetzt vor allem zu benützen ist. Merke ferner die Regel über die Bewegungsrichtung der

Libellenblase, Nr. 53., Fig. 194: sie folgt dem Zeigfinger der rechten Hand. Nun wird die Libelle um ihre Benützungslinie gedreht; dies ist hier die Umdrehungsachse der Alhidade, mit der ja die Libelle fest verbunden ist, d. h. also: die Alhidade wird um 180° gedreht. Es genügt zunächst, die 180° nach Augenmaß herzu stellen, man merkt sich z. B. ungefähr die Fernrohrrichtung beim Einspielen der Libelle und dreht dann solange, bis das Fernrohr in die umgekehrte Richtung kommt. Zeigt sich nach der Drehung ein Ausschlag der Blase, so entspricht die Hälfte dieses Ausschlags dem Libellenfehler, die andre Hälfte dem jetzt noch vor-handnen Stellungsfehler der Umdrehungsachse; es ist also die Hälfte des Ausschlags an den Richtschrauben der Dosenlibelle wegzubringen, die andre Hälfte durch die Fußschrauben. Bei Benützung der Libellenkorrektionsschrauben (deren gewöhnlich drei in den Winkelabständen 120° auf dem Rand des Libellenfußes angebracht sind; oft sind auch vier in den Abständen 90° da) beachte abermals die Linie vom jetzigen Ort der Libellenblase zum Spielpunkt, sie weist auf die zunächst zu verwendende Korrektionsschraube. Das Verfahren ist mehrfach zu wiederholen, bis sich nach dem Umdrehen der Alhidade um 180° kein wahrnehmbarer Ausschlag mehr zeigt. Will man, nachdem die Berichtigung sehr nahezu beendigt ist, etwas genauer um 180° drehen als nach Augenmaß, so liest man die Stellung des einen Zeigers (0 des einen Nonius) an der Kreisteilung ab (nächster Strich genügt) und stellt dann den andern Zeiger (0 des zweiten Nonius) dorthin. Die Korrektion der Dosenlibelle ist, da die Libelle wenig empfindlich ist (4', 3', 2') rasch erledigt; führt man zum Schluß die Alhidade ganz langsam im Kreis herum, so zeigt sich in keiner Lage mehr ein Ausschlag, die Alhidadenachse (Achse des Zapfens) ist so genau vertikal gerichtet, als die Dosenlibelle eben gestattet. Dreht man, nachdem bei der Rektifikation stets die Alhidade gedreht wurde, beim Repetitionstheodolit zum Schluß auch den Kreis nebst der darauf stehen bleibenden Alhidade ganz langsam um seine Achse, so wird die Dosenlibelle ebenfalls durchaus einspielend bleiben: mit der Genauigkeit, die die Dosenlibelle geben kann, fallen beide Achsen sicher zusammen.

b)    Kreuzlibelle auf der Alhidade: zwei meist kleine, wenig empfindliche Röhrenlibellen, senkrecht zueinander, oft in ein rundes Gehäuse eingeschlossen, sind auf der Alhidade festgeschraubt. Berichtigung genau dieselbe wie bei der Dosenlibelle, man wird nur (ohne daß dies gerade notwendig wäre) die Alhidade so drehen, daß die eine der zwei Libellen, z. B. Lx parallel zur Verbindungslinie zweier Fußschrauben F₂F₃ liegt, die zweite L₂ also nach Fx weist; es wird Lx mit F₂F₃, L₂ mit Ft eingespielt. Nach Drehung um 180° die Ausschläge beider Libellen je zur Hälfte an diesen korrigiert, zur andern Hälfte an F₂F₃ und an Fv

c)    Röhrenlibelle, irgendwo und für unsre Zwecke in ganz beliebiger Richtung an der Alhidade befestigt, seitlich am Fernrohrträger, in der „Richtung der Zielung“ (jedenfalls so, wenn die Libelle zugleich als „Höhenwinkellibelle“ zu dienen hat), oft oben am Verdeck oder am Nonienträger des Höhenkreises; oft auch zur Berichtigung des Instruments für Horizontalwinkelmessung allein auf die Alhidadenscheibe quer zur Zielrichtung geschraubt (parallel zur Kippachse), bei altern Instrumenten mit zentraler Säule vielfach oben an der Säule unter der Kippachse (wobei es sich aber hier nicht etwa um eine an die Kippachse angehängte Setzlibelle, sondern um eine mit der Alhidade fest verbundne Libelle handelt).

man

zu

Hier braucht man zur Vertikalrichtung der Alhidadenachse zwei Lagen der Libelle L: 1. Lage, Alhidade so gedreht, daß Achse von L |j F₂F₃ geht; 2. Lage, Alhidade gegen die 1. um 90° gedreht, sodaß Achse von L über F± geht (ob in der Tat über Fx oder nur nach gedachter Parallelversetzung der Libelle, ist gleichgültig, vgl. 53. 2. b)). Bevor aber durch Einspielen in beiden Lagen von L die Umdrehungsachse vertikal gestellt werden kann, muß der Libellenfehler berichtigt sein. Also: Libelle erst in Lage 1 oder 2, gleichgültig welcher, mit F₂F₃ oder mit Fx eingespielt (beim ersten Versuch nicht auf einen Strich achten, da sich sonst nur aufhält und man doch noch einmal in diese Lage zurückdrehen muß), sodann die Alhidade um 180° gedreht. Der sich zeigende Ausschlag ist zur Hälfte an der Richtschraube der Libelle, zur Hälfte an den Fußschrauben {F₂F₃ bei Lage 1 oder F₁ bei Lage 2) verbessern. Die Drehung der Alhidade um 180° ist um so öfter zu wiederholen, je feiner die Libelle ist; während man mit einer 30"-Libelle rasch fertig ist, erfordert schon eine 10"-Libelle 4, 5malige Drehung um 180°. Damit die Drehung um 180° bei der Berichtigung nicht sehr genau gemacht werden muß, dreht man, nachdem die Libelle nahezu in Ordnung ist, auch einmal um 90° und läßt in der 2. Lage einspielen. Wenn es sich nur noch um ganz kleine Ausschläge handelt, so ist selbstverständlich mit der oder den Fußschrauben möglichst scharf einzuspielen, auch ziemlich genau um 180° zu drehen (genäherte Ablesung am Index des Nonius I, dann 0 des Nonius II dorthin stellen). Nach sorgfältiger Berichtigung wird endlich die Alhidade nochmals um 90° gedreht, womit die Libelle in Lage 2. kommt und mit Ftf wenn bei der Berichtigung F₂1\ verwendet ist und umgekehrt, eingespielt. Zur Kontrolle nochmals auch in Lage 2. um 180° gedreht. Führt man schließlich wieder die Alhidade ganz langsam im Kreis herum, so zeigt L nirgends mehr einen Ausschlag und die Umdrehungsachse der Alhidade steht mit der Genauigkeit vertikal, die die Empfindlichkeit der Röhrenlibelle L geben kann, z. B. bei einer 20"-Libelle auf 5". Führt man bei einem Multiplikationstheodolit nun auch wieder (vgl. den Schluß von b)) den Limbus um seine Achse langsam im Kreis herum, während die Alhidade in fester Stellung auf dem Teilkreis bleibt, so können sich in gewissen Stellungen wohl kleine Ausschläge zeigen, zum Beweis dafür, daß Alhidadenachse und Limbusachse nicht, wie sie sollten, innerhalb der durch die Libelle gegebnen Genauigkeitsgrenze zusammenfallen. Eine Verbesserung ist nicht möglich.

Daß man auch bei nicht ganz berichtigter fester Alhidadenröbrenlibelle die Umdrehungsachse so gut vertikal stellen kann, als die Libelle bei vollständiger Berichtigung zulassen würde, ist klar: Libelle || F₂FS mit diesen zwei Schrauben eingespielt, Alhidade der Ablesung am Kreis gemäß um 180° gedreht, es mögen sich z. B. 3,8 Striche Ausschlag zeigen, davon 1,9 mit den Fußschrauben weggebracht, ohne Ver-ändrung der Libelle; nochmals um 180° gedreht (Ablesung), die Libelle schlage

2,4 Striche nach der andern Seite als vorhin aus; Blase noch um 0,2 Striche mit der Fußschraube zurück. In 2. Lage, über Fx, die Libelle eingespielt, um 180° gedreht (Teilung); es zeigen sich 4,6 Striche Ausschlag, davon 2,3 Striche mit der Fußschraube weggebracht. Zur Probe nochmals um 180° gedreht, 2,1 Striche Ausschlag nach der andern Seite als vorhin. Die Umdrehungsachse der Alhidade ist damit ebensogut vertikal gerichtet, wie wenn die Libelle zuvor verbessert wäre; führt man die Alhidade langsam im Kreis herum, so darf die Libellenblase ihre Stellung mit 2,3 Strichen Ausschlag nicht verändern, die Achse der Libelle (Tangente im Spielpunkt) ist ersetzt durch die Tangente in diesem Punkt der Libellenteilung, es ist der Punkt der Libellenteilung bestimmt, dessen Tangente bei der jetzigen Stellung der Korrektionsvorrichtung der Libelle einen rechten Winkel mit der Umdrehungsachse bildet. Im allgemeinen ist aber selbstverständlich die Libelle stets sorgfältig zu berichtigen.

Wenn mehrere feste Alhidadenlibellen vorhanden sind, so ist jede für sich auf die oben angegebne Art in Ordnung zu bringen. Ebenso, wenn Dosenlibelle und Röhrenlibelle fest auf der Alhidade vorhanden sind; bringt man hier zunächst die Röhrenlibelle in Ordnung und stellt mit ihr die Yertikalachse auf wenige " richtig, so genügt es zur Berichtigung der Dosenlibelle, sie mit ihren Korrektionsschrauben zum Einspielen zu bringen, ohne die Alhidade nochmals drehen zu müssen. Später, bei Benützung der beiden berichtigten Libellen zur Aufstellung des Instruments, macht man es aber umgekehrt, richtet nämlich zuerst die Stehachse mit der groben Libelle genähert vertikal und erst nachher nach Bedarf feiner mit der Röhrenlibelle.

d) Benützung einer Nivellierlibelle auf dem Fernrohr zur Vertikalrichtung der Umdrehungsachse. An manchen kleinen Theodoliten, die nur für Horizontalwinkelmessung eingerichtet sind, ist außer der festen Dosenlibelle auf der Alhidaden-scheibe nur noch eine auf dem Fernrohr in dessen Längsrichtung festgeschraubte Röhrenlibelle da, die das Fernrohr auch zum Nivellierfernrohr macht. Diese Libelle ist nicht in dem seitherigen Sinn eine feste Alhidadenlibelle, da sie jede Kippbewegung des Fernrohrs einfach mitmacht; sie wird aber durch Anziehen der Klemme der Kippbewegung zur festen Alhidadenlibelle. Um ihre Achse J_ Umdrehungsachse zu richten, braucht man hier die Korrektionsvorrichtung dieser Libelle L nicht, dies kann vielmehr mit der Feinschraube der Kippbewegung des Fernrohrs geschehen. Verfahren folgendermaßen: nach Berichtigung der Dosenlibelle und damit genäherter Vertikalrichtung der Stehachse Alhidade so gedreht, daß Fernrohrrichtung (L) z. B. auf Fx weist; Bremse der Kippbewegung in der Lage angezogen, bei der L beiläufig einspielt, ohne auf einige Striche zu achten. Nunmehr Einspielen von L mit der Kippfeinschraube; dann Alhidade um 180° gedreht. Ein (sich jedenfalls zeigender) Ausschlag rührt zur Hälfte davon her, daß der Winkel zwischen Libellenachse und Ste’Jfachse noch nicht ein rechter ist, zur Hälfte davon, daß die Stehachse noch nicht vertikal steht: Hälfte des Ausschlags also an der Kippfeinschraube wegbringen, die andre Hälfte an der Fußschraube Ft. Die Drehung um 180° und Wegschaffen des Ausschlags je zur Hälfte an Kippfeinschraube und an F₁ so lange fortgesetzt, bis nach dem Drehen kein Ausschlag mehr sich zeigt, womit Winkel zwischen X-Achse und Umdrehungsachse ein rechter und Stehachse in der Richtung gegen Ft hin vertikal; Drehen um 90⁰ und Einspielen mit F₂ Fs stellt die Stehachse vollends vertikal.

Nachdem die feste Alhidadenlibelle berichtigt ist, können wir die Umdrehungsachse der Alhidade vertikal richten; mit Hilfe einer 3'-Dosen-

libelle z. B. auf etwa ¹/₂' genau, mit Hilfe einer 20Röhrenlibelle bis auf wenige " genau, falls dies notwendig ist. Und damit kann, wie wir bald sehen werden, die Horizontalwinkelmessung beginnen, selbst für den Fall, daß noch an sich bedeutende, z. B. 1', 2' und noch mehr betragende Fehler in der Richtung der Ziellinie und der Lage der Kippachse vorhanden sind. Denn diese Fehler lassen sich sehr einfach eliminieren. Wir betrachten aber doch auch ihre Berichtigung bis auf kleine Reste.

2. Berichtigung der Ziellinie des Fernrohrs (für Horizontalwinkelmessung). Die Ziellinie des Fernrohrs ist, positives Okular vorausgesetzt, einfach die Verbindungslinie des Fadenschnittpunkts und des Mittelpunkts des Objektivs; beim Huygensschen Fernrohr müßte es eigentlich heißen Verbindungslinie des Fadenschnittpunkts mit dem Mittelpunkt der ideellen, dem System Objektiv/Kollektiv äquivalenten Linse.

Die Fernrohrziellinie soll mit der Kippachse einen rechten Winkel einschließen, nicht die Winkel (90°—c) und (90° -j-c) nach beiden Enden der Kippachse hin gerechnet, wo c den sog. Kollimationsfehler des Fernrohrs vorstellt (das Wort ist aus Kollineation entstanden), den wir uns gleich als kleinen Winkel vorstellen, da ja das Fernrohr vor nicht langer Zeit berichtigt gewesen sein wird. Zu beachten ist nochmals, daß für uns zunächst bei der Horizontalwinkelmessung der Horizontalfaden nur die Bedeutung der Bezeichnung eines Punkts am Vertikalfaden hat.

Würde der Vertibalfaden z. B. auf 1" genau einen rechten Winkel mit der Richtung der Kippachse einschließen und wäre er entsprechend genau gerade, so wäre der Horizontalfäden für unsre Zwecke überflüssig, man könnte einen Zielpunkt mit einem beliebigen Punkt des Vertikalfadens „einstellen“ und man könnte statt von der Ziellinie des Fernrohrs von der Zielebene sprechen (Ebene durch Yertikalfaden und Mittelpunkt des Objektivs), die auf der Kippachse senkrecht stehen müßte. Da die Voraussetzungen nicht zutreffen und im Lauf der Arbeit mit dem Instrument der Winkel zwischen Vertikalfäden und Richtung der Kippachse sich durch kleine Drehungen des Okularkopfs etwas ändern kann, so ist doch auch der Horizontalfaden in dem oben angegebnen Sinn für uns notwendig, und wir bleiben bei der Ziellinie.

Es ist aber anzugeben, wie die Stellung des Vertikalfadens zur Richtung der Kippachse untersucht werden kann, da genähert zwischen beiden ein rechter Winkel vorhanden sein muß: ist das Instrument schon fertig zum Gebrauch aufgestellt, Umdrehungsachse vertikal (und damit Kippachse, was wir allerdings noch nicht untersuchen gelernt haben, jedenfalls nahezu horizontal), so richtet man das Fernrohr so, daß eine vertikale Gerade darin erscheint, z. B. ein gegen eine helle Wand sich abhebender dunkler Senkelfaden, eine mit Senkel oder Dosenlibelle vertikal gestellte Nivellierlatte; da die Genauigkeit nur ganz gering zu sein braucht, genügt hier sogar eine „vertikale“ Hauskante. Erscheint der Vertikalfaden unmittelbar neben einer dieser Linien nicht parallel dazu, so gibt man ihm durch Drehen des „Okularkopfs“ nach Augenmaß die richtige Lage. Okularkopf heißt der vordere für sich allein in einem Schraubengewinde drehbare Teil der Okularröhre, der bei positiven Okularen das Okular und den Blendring, beim Huygensschen Okular das Augenglas und den Blendring, nicht das Kollektiv enthält. Man braucht aber nicht notwendig eine vertikale Gerade, um den Winkel zwischen Vertikalfäden und Kippachse zu untersuchen: zielt man bei beliebiger Stellung des Instruments (Umdrehungsachse braucht nicht senkrecht zu stehen) einen beliebigen scharfen Punkt an, d. h. bringt sein Bild in den Vertikalfaden in der Nähe von dessen Schnittpunkt mit dem Hori-

wo cc und y, sowie q in demselben Gradmaß, z. B. " zu nehmen sind. Ist beispielsweise y = l° = 3600" Abweichung des Vertikalfadens von der Vertikalen vorhanden, ferner cc = 10' (z. B. ist Gesichtsfeld des Fernrohrs g — 40' und man nimmt den Vertikalfaden statt am Schnitt S mit dem Horizontalfaden in der halben Entfernung zwischen $ und dem Rand des Gesichtsfelds), so wird

10",5.

600"- 3600"

206 000"

Wir werden später (Band II) Fernrohre am Theodolit kennen lernen, die weit entfernt vom „mittlern“ Horizontalfaden nach oben und nach unten je einen weitern florizontalfaden haben (Winkelabstand vom mittlern Horizontalfaden z. B. 17',2); dem Anfänger begegnet leicht, daß er S verwechselt mit dem Schnittpunkt des Vertikalfadens mit einem der äußern Fäden. Mit y — 1° und o: = 17',2 wird A = 18",0. Die oben ganz elementar abgeleitete Gleichung für A folgt natürlich einfacher aus der

sphärisch-trigonometrischen Gleichung (rechtw. sph. Dr.) sin y =

, wobei nur an

zontalfaden, so darf bei langsamer Kippbewegung des Fernrohrs nach oben und nach unten, wobei der Zielpunkt je das halbe Gesichtsfeld bis zum obern und untern Rand durchläuft, der angezielte Punkt „den Yertikalfaden nicht verlassen“; Verbessrung wie angegeben durch Drehen des Okularkopfs.

Da es sich hier um einen wichtigen Anfängerfehler handelt, den die Lehrbücher zu übergehen pflegen, wollen wir seinen Betrag noch ausrechnen. Die Richtung des Vertikalfadens weiche, Fig. 215 a, um y von ihrer Sollrichtung (J_ Kippachse, bei richtig liegender Kippachse also in einer Vertikalebene durch die Stehachse) ab, ferner werde der Vertikalfaden nicht am Schnittpunkt mit dem Horizontalfaden zum Anzielen des Punkts P benützt, sondern an einem Punkt, der der Winkelerhebung cc über (oder Winkelsenkung a unter) den Punkt S entspricht, d. h. der Zielpunkt P wird nach Andeutung der Figur eingestellt, statt in den Vertikalfaden dicht beim Horizontalfaden. Nehmen wir endlich an, die Zielung nach dem Punkt P gehe nahezu horizontal und die Strecke vom Theodolitstandpunkt bis P sei Z, so ist die Strecke zwischen dem gedachten Punkt P' (nahezu vertikal unter P, im Fall, daß a -f- ist), nach dem die Ziellinie tatsächlich gerichtet ist, und dem Punkt P, da cc nur ein nicht

großer Winkel sein kann (Max. halbes Gesichtsfeld des Fernrohrs), P'P = Z- a,

_    Q

wenn cc in Gradmaß genommen wird; also die Strecke PQ der Figur, wo Q den neben P gedachten Punkt bedeutet, den der Vertikalfaden bei genau vertikaler Richtung decken würde, PQ — PP' ■ sin y oder, da y ebenfalls nur ein nicht großer Winkel sein

wird, genügend genau PQ = PP' • ? = 1---—, wo y ebenfalls in Gradmaß genom-

Q    Q Q

men ist. Damit wird der Winkelfebler in der Horizontalprojektion der Zielung

pj|

oc

to

S (P)

Fig. 215 a.

sin A sin cc

Stelle der sin der kleinen Winkel die arc zu setzen sind. — Viele nicht genügende Winkelmessungsergebnisse des Anfängers sind darauf zurückzuführen, daß er den Vertikalfaden nicht so scharf senkrecht zur Kippachse stellt, daß l'und mehr Entfernung des zum Einstellen benützten Punkts vom Horizontalfaden nicht in Betracht kommt, oder daß er bei großem Fehlern y■ nicht zum Einstellen einen Punkt des Vertikal

fadens benützt, der genügend nahe bei S liegt. Die Gleichung für A lehrt auch, wie weit darf man sich bei der Einstellung am Vertikalfaden vom Horizontalfaden entfernen, damit A nicht merklich wird. Wir werden wesentlich denselben Fehler beim Nivellieren und noch später bei Benützung des Höhenkreises zur Vertikalwinkel-messung wiederfinden, nur handelt es sich dann in diesen Fällen um Verwendung des Horizontal fadens, nahe bei seinem Schnittpunkt mit dem Vertikalfaden.

Der rechte Winkel zwischen der Ziellinie und der mechanischen Kippachse, oder der Kollimationsfehler c des Fernrohrs (Abweichung des tatsächlichen Winkels von 90°), kann auf sehr verschiedne Art untersucht und bestimmt werden, von denen hier nur drei aufgezählt werden:

a) Eine erste Art c sehr einfach und rasch, aber nur so genau zu bestimmen, als der Ablesungsgenauigkeit am Horizontalkreis des Theodolits entspricht, ist die Verwendung dieses Teilkreises. Sie sei erwähnt, obwohl wir wichtige Begriffe, die dabei in Betracht kommen, besonders die Exzentrizität der Alhidade noch nicht kennen gelernt haben. Zielt man mit nahezu horizontal liegender Fernrohrziellinie (die Stehachse braucht dann nur mit der Dosenlibelle vertikal gerichtet zu werden und auf einen an sich nicht unbedeutenden Fehler in der Lage der Kippachse kommt es in diesem Fall auch nicht an) einen scharfen Zielpunkt P an (Lage I des Fernrohrs), so muß, wenn das Fernrohr durchgeschlagen (zwischen den Trägern um 180° durchgekippt) und die Alhidade sodann so genau als möglich (abhängig von der Ablesegenauigkeit) um 180° gedreht wird, der Zielpunkt P in dieser II. Lage des Fernrohrs wieder am Vertikalfaden erscheinen, wenn kein Kollimationsfehler vorhanden, c = 0 ist. Andernfalls zeigt sich in dem Winkel, um den man jetzt in Lage II an P vorbeizielt, der doppelte Kollimationsfehler 2 c. Oder etwas anders: zielt man in Fernrohrlage I den Punkt P an, wie schon erwähnt, bei genähert vertikal gerichteter Alhidadenachse und derart, daß P nahezu in gleicher Höhe mit dem Aufstellungspunkt (Schnittpunkt der Stehachse, Ziellinie und Kippachse) liegt (Entfernung nach P am besten einige hundert m), macht die Ablesung an beiden Nonien und nimmt deren Mittel (zur Elimination des „Exzentrizitätsfehlers“), schlägt durch, zielt P wieder an und liest wieder an beiden Nonien ab, wobei man abermals das Mittel dieser zwei Ablesungen nimmt, so gibt der Unterschied der Ablesemittel in Fernrohrlage I und in Fernrohrlage II den Wert von 2 c an.

Vom Anzielen eines Punkts mit dem Fernrohr war schon beim Fernrohr in 51., 3. die Rede; es ist zu beachten, daß man vor allem die Fäden deutlich sehen muß, wozu das Fernrohr am besten gegen den Himmel oder eine helle Wand gerichtet wird und, dem w des beobachtenden Auges entsprechend, der Abstand zwischen Fadenebene und Okular zu regeln ist, bis die Fäden so scharf als für den Beobachter möglich erscheinen. Sodann Fernrohr durch Wegsehen darüber auf y₂° genau in die Richtung nach dem anzuzielenden Punkt P (in nicht zu kleiner Entfernung) gebracht, bis P im Gesichtsfeld des Fernrohrs erscheint (beim Drehen der Alhidade und selbst beim Kippen des Fernrohrs nicht am Okularkopf anfassen!); Alhidade angeklemmt, Bild von P so scharf als möglich gemacht (Trieb an der Okularröhre, absichtlich über die beste Lage hinüber und herüber, bevor diese festgehalten wird). Die Kippklemme wird ganz leicht angezogen, so daß freihändiges Kippen noch möglich bleibt aber nicht mehr ganz leicht geht; man kann dann ohne Benützung der Kippfeinschraube das Bild von P genügend auf den Horizontalfaden bringen (leichte Fingerstöße aufs Objektiv), worin ja Genauigkeit keineswegs erforderlich ist, s. oben bei z/; nunmehr Haupteinstellung, die nicht freihändig gemacht werden kann: mit der Feinschraube der bereits geklemmten Alhidade wird das Bild von P so scharf als möglich in den Vertikalfaden gebracht (bei doppeltem Vertikalfaden und geeignetem P in die Mitte der zwei Vertikalfäden genommen). Man prüfe sorgfältig, ob die Parallaxe des Fernrohrs weggebracht ist, ob bei kleinen Verschiebungen des Auges nach links und rechts vor dem Okular der Vertikalfaden gegen P sich nicht verschiebt; andernfalls sieht man die Fäden noch nicht scharf genug oder das Bild von P ist nicht scharf genug. Jetzt ist am Horizontalkreis so scharf abzulesen, als der Nonius gestattet und zwar nicht nur am Nonius I, sondern ebenso an dem sehr nahezu 180° davon abstehenden Nonius II; die zwei Ablesungen sind also (alte Teilung) stets um nahezu 180° verschieden, aber nicht genau um 180°, aus drei Gründen: 1. sind die Ablesungen selbst mit Fehlern behaftet;

2. sitzen die Nonien nicht genau an den Endpunkten eines Alhidaden-durchmessers; 3. dreht sich die Alhidade voraussichtlich um einen Punkt, der zwar sehr wenig, aber doch für die Ablesung sehr merklich entfernt liegt vom Mittelpunkt des geteilten Kreises, sodaß selbst wenn die Gründe

1. und 2. nicht vorhanden wären, bei verschiednen Stellungen der Alhidade verschiedne (zwischen 0 und einem gewissen Maximalbetrag wechselnde) Unterschiede in den Ablesungen am Nonius I und Nonius II, von den 180° Unterschied zwischen beiden abgesehen, vorhanden wären. Wenn am Nonius I abgelesen wird 48°. . so heißt die Ablesung am Nonius II 228°. . .; wenn am Nonius I steht 193°. . ., so steht am Nonius II 13°. . .; aber die ' und " beider Lesungen wTeichen aus den angegebnen drei Gründen voneinander ab (immer von den 180° abgesehen): 1. gibt kleine unregelmäßig wechselnde Unterschiede, 2. gibt einen konstanten Unterschied, 3. gibt regelmäßig wechselnde, je nach der Stellung der Alhidade verschiednen Betrag zeigende Unterschiede. Das Mittel der zwei Angaben vom Nonius I und Nonius II ist einmal genauer (wie wir wissen ]/2mal genauer) als die einzelne Ablesung; sodann ist es befreit von der regelmäßig wechselnden Differenz 3.; in der Differenz zwischen den Mitteln für Fernrobrlage I und für Fernrohrlage II kommt auch 2. nicht • mehr in Betracht.

Mit einem 20"-Nonientheodolit von 16

cm

Teilkreisdurchmesser ist in Fernrohrlage I ein Punkt P in etwa 200 m Entfernung, nahezu gleich hoch dem Aufstellungspunkt des Instruments, angezielt. Die Ablesungen waren:

Fernrohrlage I

Nonius I

132°24'20"

Nonius II 312 ⁰ 25'40"

Nach dem Durchschlagen (Fernrohrlage II) und Wiederanzielen des Punkts P haben die Ablesungen gelautet:

Fernrohrlage II

Nonius I

312° 20'40"

Nonius II 132 ⁰ 21'40"

Nach Angabe des Nonius I ist die Ablesungsdifferenz für beide Fernrohrlagen, von 180° abgesehen,

(1)

2Cj =3'40",

nach Angabe des Nonius II dagegen

(2)

2cI]; = 4' 0".

Es ist also im Mittel aus (1) und (2), d. h. aus den Angaben beider Nonien, zu setzen

2c = 3'50",

(3)

c = 1' 55",

ohne daß dieser Betrag auf 2" sicher wäre, er kann sogar bis 10" unrichtig sein. Wir könnten auch so rechnen: nehmen wir das Mittel aus Angabe des Nonius I und des Nonius II für jede Lage des Fernrohrs (wobei wir diesmal auch die Grade mit mittein wollen, was wir später nicht mehr tun), so haben wir

Fernrohrlage I | Mittel der Ablesungen an beiden Nonien = 222 ⁰ 25'00" Fernrohrlage II

G)

(5)

= 222° 21' 10"

Differenz wie oben 2 e =

3'50"

(6)

1'55".

Der Fehler c ist durch seitliches verschieben des Fadenkreuzes zu verbessern, und es ist leicht zu sehen, nach welcher Richtung das Fadenkreuz in der jetzt vorhandnen Lage II des Fernrohrs zu verschieben ist (Ablesungen in Fernrohr-Lage II sind um rund 2' zu klein, die in Fernrohr-Lage I um rund 2' zu groß); Ausführung vgl. unten. Man würde so immerhin sehr einfach c auf vielleicht 6" oder 10" erhalten, was meist völlig hinreichend ist.

b) Eine zweite Methode ist die des Umlegens des Fernrohrs; darunter versteht man, im Gegensatz zum Durchschlagen, die Vertauschung der Kippachsenenden bei ganz unverändert stehen gelassnen Lagern.

Es wird wieder ein guter Zielpunkt P in passender Entfernung in der oben beschriebnen Art scharf angezielt; die Zielung braucht nicht horizontal zu sein, z. B. sei P ein kleiner Knopf an einem Blitzableiter in 150 m Entfernung; vgl. Fig. 217. Die Linie Z'Z' in Fig. 216 bedeutet die Ziellinie des Fernrohrs, während sie scharf nach P gerichtet ist. Wäre kein Kollimationsfehler da, so wäre die Richtung KK der Kippachse (LtL₂ bedeute die Lag er) genau senkrecht zu Z' Z'\ in der Figur ist hier (wie in den folgenden) der Fehler ganz übertrieben gezeichnet. Das Fernrohr wird nun sorfältig mit der Kippachse aus den Lagern LtL2 herausgenommen (Federbolzen, der der weit zurückzuschraubenden Feinschraube der Kippbewegung entgegendrückt, zurückziehen; oft ist eine Arretierungsvorrichtung für den Federbolzen vorhanden) und mit vertauschten Enden der Kippachse sorgfältig wieder in die ganz unverändert gelassnen Lager P₁P₂ eingelegt. Ist der richtige Höhenwinkel wieder hergestellt, so geht, wenn ein Kollimationsfehler c derart vorhanden ist, daß bei Z’ Z' der Winkel der Ziellinie mit dem rechten Ende

ZieJp.P

z'

Z"

Z'

Fig. 216.

der Kippachse zu klein ist, (90° — c), die Zielung Z"Z" jetzt um den Winkel 2 c links am Punkt P vorbei (vgl. Fig. 217' und 217"; da das Fernrohr umkehrt, erscheint in 217" P links von dem Vertikal-faden). Das Fadenkreuz ist seitlich so zu verschieben, und zwar in der jetzt vorhandnen 2. Lage des Fernrohrs im Beispiel nach links („wie es der unmittelbare Anblick verlangt“, da man das Fadenkreuz in der richtigen Lage sieht, die es im Fernrohr tatsächlich hat, nicht umgekehrt), daß der Vertikalfaden dem zuerst angezielten Punkt P entgegen geführt wird; aber nicht der ganze Ausschlag ist wegzuschaffen, sondern die Hälfte, der ganze Ausschlag entspricht ja 2c. Die Verschiebung des Vertikalfadens von seiner jetzigen Lage auf die Mitte der Strecke bis

zum Bild von P (auf die punktierte Linie, die man sich nur denken kann, d. h. die nicht bezeichnet ist), ist, nachdem obre und untre Halteschraube des

Blendrings ganz wenig gelockert sind, in kleinen Schritten zu machen: linke Ziellinie Z"Z "(Lage 2) Richtschraube % Umdre-

nach Umlegen    '¹

Fig. 217".

ZiellmieZZ’(Lage 1) Fig. 217'

hung auf, rechte sofort um so viel als es geht, zu; ist die Verschiebung noch nicht genügend, noch einmal, usf. Zum Schluß oben und unten Halteschraube ebenfalls wieder gut anlegen.

Der Versuch ist etwa zweimal zu wiederholen, bis nach dem Umlegen der angezielte Punkt P wieder scharf im Vertikalfaden erscheint. Bei dem hier gewählten Zielpunkt kann man c nicht ausrechnen, weil man die Entfernung zwischen dem Punkt P und dem Punkt P" daneben, nach dem nach dem Umlegen Z"Z" zielt, nicht messen kann. Soll c vor der Berichtigung ausgerechnet werden, so kann man als Zielpunkt P ein Zeichen an einer Wand in passender Entfernung nehmen, neben dem ein zweiter Punkt eingewiesen werden kann; z. B. P bei 60 m Entfernung bis zur Wand das Plättchen eines Heftstifts u. dgl. Nach dem Umlegen weist man unmittelbar neben P und in derselben Höhe den Punkt P ' ein, etwa die Spitze eines vertikal angehaltnen Bleistifts, wozu aber ein Gehilfe notwendig ist. Der Einweisende hat zu bedenken, daß das Fernrohr umgekehrtes Bild gibt, der Gehilfe also nach der Seite zu winken ist, nach der sein angehaltner Punkt bereits unrichtig erscheint, nach links, wenn der Bleistift links vom Vertikalfaden erscheint usf. Dieses Einweisen des Bleistifts läßt sich auf 50 oder 60 vn leicht auf 1 mm erreichen. Bei P" macht der Gehilfe nun einen vertikalen Strich, ein Kreuz, einen kleinen Ring, der vom Instrument aus gesehen wird. Ist e die Entfernung der zwei Punkte P (angezielter Punkt) und P", ferner l die Entfernung vom Instrument bis zu der etwa normal zur Zielung liegenden Wand, so ist der Kollimationsfehler

(?)

li

wobei natürlich wieder e und l im gleichen Maß zu nehmen sind. Ist z. B. bei l = 48,6 m, e = 22 mm, so ist

//

. 206300"= 47".

(8)

4» 600

Der Vertikalfaden ist so zu verschieben, daß er einen Punkt P₀ in der Mitte zwischen P und P" trifft. Wenn die Ganghöhe der seitlichen Korrektionsschrauben des Fadenkreuzes bekannt ist und die Entfernung Objektiv—Fadenkreuz gemessen wird (positives Okular vorausgetetzt), so kann man einfach ausrechnen, wie viel Umdrehungen für die Verschiebung notwendig sind; doch ist dies keineswegs erforderlich, der Versuch führt sehr rasch zum Ziel. Man sorge nur für absolutes Festsitzen des Blendrings nach der Berichtigung.

Daß der Meßgehilfe, der bei dem zuletzt beschriebnen Verfahren erforderlich ist, entbehrt werden kann, wenn ein geteilter Maßstab, der in genügender Entfernung ablesbar bleibt, z. B. eine Nivellierlatte, zur Verfügung steht, ist nun auch klar. Legt man in passender Entfernung, z. B. 40 bis 80 m, eine Schätzung auf 1

rechtwinklig zur Zielung vom Fernrohr aus (wobei aber die Latte höher oder tiefer als die Kippachse liegen darf), so lese man z. B. bei der ersten Zielung Z'Z' ab P'— 1,935 m, bei der zweiten Zielung Z"Z” nach dem Umlegen P" = 1,903 m. Ist die Entfernung bis zur Latte 56,4 m, so wird

\ (1,935 — 1,903)

mm

cm-

Skale, an der man durch

ablesen kann, horizontal vor das Fernrohr, nach Augenmaß

(9)

c" =

56,4

• 206 265"

16 • 206300"

56400

59"

und der Vertikalfaden ist so zu verschieben, daß er den Punkt

P' + P"

(10)

1,919

der Lattenskale trifft. Sogar die Kantenteilung des Rechenschiebers (mm) kann man verwenden, wenn man sich mit kurzer Zielung und damit verhältnismäßig geringer Genauigkeit begnügt. Z. B. sieht man bei Z=12m oder 15 m die Zahlen an der Kante des horizontal gelegten

größrung des Fernrohrs noch gut und kann auf 0,1

mm-

Maßstabs bei 20 facher oder seihst 12 facher Ver-

mm

ablesen.

Das Verfahren des Umlegens des Fernrohrs ist aber im allgemeinen nicht bequem, oder jedenfalls schwer genau zu machen; es ist meist nicht leicht, das Fernrohr des Theodolits so aus seinen Lagern zu nehmen, daß man sicher sein kann, daß dabei die Stellung der Alhidade (Richtung KK) bis auf ganz wenige " unverändert bleibt, weil es meist nicht ganz ohne Erschüttrung der Alhidade abgeht. Jedenfalls ist das Verfahren mehrfach zu wiederholen und man wird häufig auch am Schluß noch Abweichungen finden, die 5" und noch mehr betragen. Nur bei solchen Theodoliten, bei denen man nicht unmittelbar durchschlagen kann (vgl. c)), kann das Umlegen empfohlen werden. Es genügt aber meist auch vollständig für alle unsre Zwecke, c bis auf 0',1 = 6" und sogar noch weniger genau beseitigt zu haben; wir kennen jetzt auch schon das Mittel, das einen an sich beliebig großen Fehler c eliminiert: Wiederholung der Messung mit umgelegtem (nach b)) oder viel einfacher mit durchgeschlagnem Fernrohr (vgl. a)). Das Durchschlagen des Fernrohrs kann aber auch zur schärfern Bestimmung von c in folgender Art c) verwendet werden:

c) Methode des doppelten Durchschlagens. Es wird der scharfe, feste Punkt P in passender Entfernung, 100 m, 200 m und beliebig mehr,

genau eingestellt und das Fernrohr durchgeschlagen. Geht die Zielungnach P sehr nahe horizontal (so daß ein etwa vorhandner Fehler der Kippachse nicht in Betracht kommt und ebensowenig ein Stellungsfehler der Stehachse), so würde man im Fall c = 0 durch das Durchschlagen eine Zielung bekommen, die die Rückverlängerung von OP vorstellt, ygl. Fig. 218. Dabei ist die Rückverlängerung nur in dem Sinn „in derselben Vertikalebene durch 0“ zu verstehen, weil die Zielung selbst nach oben oder unten von der wahren Verlängerung der ersten ab weichen kann. Es sei 0 der Standpunkt des fest aufzustellenden Instruments (Schnittpunkt der drei Achsen); die Fernrohrziellinie ZZ ist durch Anzielen von P in die Richtung OP gebracht. Ist ein Kollimationsfehler c vorhanden, so weicht die Richtung der Kippachse L[L'₂ von einer Senkrechten zu ZZ um c ab. Schlägt man also das Fernrohr durch, so weicht die Zielrichtung (besser Vertikalebene der jetzt vorhandnen Zielrichtung! von der Verlängerung von OP über

B’

Z"-

A

L'w\iih

<rWand

Z'

4c

2c

Z"

z.

B"

Fig. 218.

0 hinaus (von der Vertikalebene OP) um den Betrag 2 c ab. In die nach dem Durchschlagen vorhandne Zielrichtung Z' Z' können wir an der Wand W in passender Entfernung (mindestens 30 oder 40 -m; je größer die Entfernung, desto größer wird der Abstand BB') einen Gehilfen mit senkrecht angehaltnem Bleistift einweisen (Umkehrung des Fernrohrbilds wieder beachten, nach der Seite winken, nach der der Bleistift schon falsch zu sein scheint), bei 40™. Entfernung schärfer als auf 1mm genau. Dies gibt den Punkt B' (kleiner Ring oder Vertikalstrich) an der Wand W. Nun handelt es sich darum, zu entscheiden, ob die drei Punkte P (Zielpunkt), 0 (Aufstellungspunkt) und B' (nach dem Durchschlagen ein-gewiesner Punkt) „in gerader Linie liegen“ (genauer, da B' tiefer oder höher als P liegen kann, ob B' mit P in derselben durch 0 gehenden Vertikalebene liegt), ob B mit dem Punkt B (den wir aber noch nicht haben) zusammenfällt. Drehen wir nach Lösen der Alhidadenklemme die Alhidade mit der jetzt vorhandnen Fernrohrlage so, daß P wieder im Gesichtsfeld des Fernrohrs erscheint und stellen wir P nochmals scharf ein, so kommt die Kippachse in die Lage L”L₂ (die von L^L'^ um 2 c ab weicht); schlagen wir nochmals durch, so erhalten wir die Zielung Z"Z", die nach der andern

Seite als OB' von der Richtung OB abermals um den Betrag 2c abweicht. Wird also in die jetzt vorhandne Zielrichtung, unmittelbar neben B' auf der Wand W nochmals ein Punkt B" eingewiesen, so ist der Winkel B OB" der vierfache Kollimationsfehler. Ist W nahezu J_ OB und die Strecke B B"=e} so ist mit OB = l

1 ß ff

T 7 * Q •

Ist z. B. B angezielt in beiden Lagen des Fernrohrs und haben sich auf der Wand W in 32,8 m Entfernung von 0 nach dem ersten und zweiten Durchschlagen zwei Punkte ergeben, die die horizontale Strecke e = 24,5 zwischen sich haben, so ist „ _ 24,5 C    4

(ii)

c" =

xnwx

(12)

ÜSio ' 206300"= 38".

Das Fadenkreuz ist seitlich so zu verschieben, daß von B", wohin die Zielung nach dem zweiten Durchschlagen geht, dem Punkt B', der nach dem ersten Durchschlagen getroffen wurde, entgegen gefahren wird nach dem unmittelbaren Anblick im Fernrohr (im obigen Beispiel, wo der Punkt B" von 0 aus im Fernrohr gesehen links von B' liegt, ist der Vertikalfaden nach rechts zu verschieben); aber nicht bis zur Mitte zwischen B" und B', sondern nur um V₄ der Entfernung, das Fadenkreuz also so zu stellen, daß der Vertikalfaden den Punkt B₀ in der Mitte zwischen B" und B (Halbierungspunkt von B'B') deckt.

Im Unterricht in der Technischen Hochschule verwende ich bei OW — nur Saalbreite (9 m) an der Wand mit Reißnägeln horizontal befestigte und klein nach

abgelesen wird

(die Skalen werden erst nach der Wahl von P, für den geeignete Zielpunkte in passenden Entfernungen, 150 m und mehr, genügend vorhanden sind, befestigt). Es ist nämlich wieder klar, wie man das Einweisen von P'und B", zu dem ein Gehilfe notwendig ist, ersetzen kann; im Freien ist eine horizontal gelegte Nivellierlatte in etwa 50 oder bis 80m Entfernung das beste zur Ablesung der Punkte B' und B". Z. B. habe sich ergeben, nach dem ersten und zweiten Durchschlagen, nachdem jedesmal vorher der Punkt P scharf angezielt war

cm

bezifferte 2

mm-

Skalen von etwa 25

cm

Länge, an denen auf 0,2

mm

B' = 1,735 m;

B” = 1,797 m;

= 1,782 m gerichtet ist. Bei Wieder-Abweichung finden, was

mm

mm

das Fadenkreuz ist so zu verschieben, daß der Yertikalfaden in der 2. Fernrohrlage statt auf 1,797 nach dem Punkt 1,797 — ^ holung des Versuchs wird man vielleicht noch 1 oder 2 gleichgültig ist. Schärfer als auf z. B. 5" läßt sich die Berichtigung des Fehlers c an kleinen Instrumenten mit verhältnismäßig groben Richtschrauben am Okular doch kaum treffen. Das ist aber, wie schon angegeben, mehr als hinreichend genau; selbst ein Fehler c von 20" hat im allgemeinen nichts zu sagen, meist selbst nicht, wenn nur in einer Fernrohrlage die Winkel gemessen werden; und sogar ein weit größrer Fehler c ist dann gleichgültig, wenn Winkel „mit Kompensation“ gemessen werden, jede Messung eines Horizontalwinkels mit durchgeschlagnem Fernrohr wiederholt wird.

Bei den vorstehenden Methoden ist vorausgesetzt, daß das Fernrohr umgelegt oder durchgeschlagen werden kann. Oft ist bei kleinen Instrumenten das erste nicht der Fall, weil „geschlossne Lager“ vorhanden sind; dann ist also b) nicht verwertbar. Kann wenigstens durchgeschlagen werden, so stehen a) oder c) zu Gebot. Ferner ist stillschweigend angenommen, daß das Fernrohr zentrisch auf der Alhidade Hammer: elementare praktische Geometrie.

sitze, wie wir bisher immer vorausgesetzt haben. Es kommen aber auch Theodolite mit exzentrischem Fernrohr vor, bei denen das Fernrohr am Ende der Kippachse sitzt, statt in der Mitte, und die Kippebene des Fernrohrs die Alhidadenebene also nicht in einem Durchmesser der Alhidade schneidet, sondern beliebig seitlich liegt. Die Vorteile dieser Anordnung, die bei großen Instrumenten, meist zu astronomischgeodätischem Gebrauch, wichtig sind, sind die, daß das ganze Instrument niedriger und damit stabiler gebaut werden kann, während das seitliche Fernrohr immer noch durchgeschlagen werden kann, und daß man leichter in große Höhenwinkel hinaufzielen kann (bei Sterneinstellungen bis zum Zenit notwendig). Wenn es sich bei den kleinen Instrumenten, die für uns allein in Betracht kommen, nur um das Messen von Horizontalwinkeln handeln würde, so wäre auch hier eine solche Exzentrizität des Fernrohrs gleichgültig und öfter anzutreffen; höchstens bringt sie bei kurzen Winkelschenkeln eine kleine Unbequemlichkeit in die Ausrechnung der Winkel (bei der Mittelbildung der zwei Fernrohrlagen); diese Instrumente sollen aber gleichzeitig zu Absteckungsarbeiten dienen, und hierbei ist vielfach exzentrisches Fernrohr sehr unbequem oder unbrauchbar. Deshalb zeigen unsre Instrumente nur ausnahmsweise ein exzentrisches Fernrohr und es bleibe dem Leser überlassen, die einfachen Abweichungen gegen die vorstehenden Methoden festzustellen, die bei der Berichtigung eines Theodolits mit solchem Fernrohr notwendig sind, wenn der Schnitt der Kippebene mit der Ebene der Alhidadenscheibe die Entfernung e vom Mittelpunkt hat. Man überlege

besonders auch, wie 2e schärfer als durch Abmessen von e am Instrument gemessen werden kann.

Bevor wir zur Berichtigung der Kipp-achse gehen, wollen wir die Wirkung eines bestimmten Fehlers der Ziellinie auf die Horizontalprojektion einer Zielung betrachten. Die Ziellinie bildet mit der Kippachse die Winkel (90° — c) und (90° -f- c) statt 90° und 90°, und zwar wollen wir annebmen, daß der Winkel mit der linken Hälfte der Kippachse (gegen OKt) zu groß sei. Die Ziellinie sei nach einem Punkt P gerichtet, der unter dem Höhenwinkel cc erscheint; die Entfernung des Punkts ist gleichgültig. Es fragt sich, um wieviel wird die Horizontalprojektion dieser Zielung unrichtig im Vergleich mit der Lage, die sie haben sollte. Denken wir uns, Fig. 219, auf die durch den Aufstellungspunkt 0 gehende Horizontalebene von einem beliebigen Punkt A der Zielung OP das Lot AB' gefällt, so daß OB' die Horizontalprojektion der Zielung OP ist; sie sollte senkrecht stehen auf der Richtung KXK₂ der Kippachse, bildet aber, wenn die Winkel Kx 0 A und K₂OA nicht gleich 900, sind, mit    Winkel, die um cx vom rechten Winkel abweichen, und zwar ist,

wenn wir vorausgesetzt haben Kx OA )> 90 °, auch Kx OB' > 90°. Fällen wir von A und von B' Lote auf die Kippachse, so kommen wir auf denselben Punkt E dieser Achse, denn die Ebene AB'E steht EK₁K₂. Es ist also, wenn OA = l gesetzt wird (es könnte sogleich — 1 genommen werden)

Kf

VI

A,

ft

//

(X

''B'

90°'C₁

Fig. 219.

OE — OA ■ cos (90° — c)

OB' — l cos a, ferner

= ~OB' -cos (90° —cj,

und

d. h. es ist

Einfluß eines Fehlers c der Ziellinie auf die Horizontalprojektion.

339

tH vH

l sin c = 1 cos <x • sin cx oder sin c cos a '

sin e₁ =

oder, da statt der sin der kleinen Winkel c und c₁ die Winkel selbst (und zwar, da es sich nur um das Verhältnis sin c₁ : sin c handelt, beide z. B. gleich in ") genommen werden können

(16)

CliS a

Ist z. B. c — 60 " und or = 60 °,

cos cc

= \ ]/3, so ist der Wert von c.

60"

0,866

-    69";

1 / 10 \*    1 / 10 V

ist cc = 10 also cos cc = 1 —, so ist ct nur um — (——) des Betrags

u \ö I .w/    u \ö I /

von c

•m

größer als dieser, also z. B. bei wieder c = 60" um 30

auf einmal ablesen!) =0",9 größer, c, = 61". Die zwei Beispiele zeigen schon, daß Cp von ganz extremen Höhenwinkeln abgesehen, stets wenig größer als c ist, seihst für sehr bedeutende Höhenwinkel (-f- oder — bringt keinen Unterschied im Vorzeichen von cos a); der cos cc sinkt eben, wenn cc von 0 aus (absolut) wächst, außerordentlich t langsam unter 1. Daß ct = c mit ce = 0 wird, ist ohne weitres aus der Figur klar. Hiernach scheint es, daß der Kollimationsfehler ein ganz besonders schlimmer Achsenfehler sei, da er in der Horizontalprojektion einer Zielung sogar vergrößert erscheint. In Wirklichkeit handelt es sich aber bei der Horizontalwinkelmessung stets um den Unterschied der Horizontalprojektionen zweier Richtungen; da bei einem bestimmten Fehler c die Horizontalprojekti'on dieser zwei Zielungen im gleichen Sinn um Beträge unrichtig ausfallen, die wenig größer als c sind, selbst wenn die Höhenwinkel der zwei Zielungen (-J- oder —) nicht gleich und nicht klein sind, so wird die Differenz der Richtungen der zwei Horizontalprojektionen, d. h. eben der zu messende Horizontalwinkel um einen nicht bedeutenden Betrag falsch, so lange nicht der Höhenwinkelunterschied sehr groß oder auch c selbst sehr groß (z. B. mehrere ' groß) ist. In der Tat ist der Ziellinienfehler der am wenigsten zu fürchtende Achsenfehler, und es würde bei allen für uns in Betracht kommenden Horizontalwinkelmessungen genügen, c bis auf den Betrag 10" oder 15" herabzubringen, selbst wenn nur in einer Fernrohrlage gemessen würde, falls (absolut) die Höheu-winkel < 20⁰ bleiben.

(am Rechenschieber

Wenn die Anfordrung 2. genügend erfüllt ist, Ziellinie _L Kippachse (man beachte, daß dies eine Anfordrung an die Ziellinie, nicht an die Kippachse ist; ferner, daß es hier nicht in Betracht kommt, ob die Achs-zapfen der Kippachse genau gleich dick sind oder nicht), so beschreibt die Fernrohrziellinie beim Kippen eine Ebene (_L Kippachse), nicht eine nahezu zur Ebene degenerierte Kegelfläche.

Nun handelt es sich noch darum, diese Ebene zur Vertikalebene zu machen, indem

3. der Kippachsenfehler berichtigt, rechter Winkel zwischen Kippachse und Stehachse hergestellt wird, womit bei richtig gestellter Stehachse die Kippachse horizontal gelegt wird.

Um den Winkel zwischen Stehachse und Kippachse prüfen zu können, braucht man eine irgendwie materiell bezeichnete Ebene, die mit genügender Genauigkeit vertikal steht und durch den Aufstellungspunkt des Theodolits (Schnittpunkt der Stehachse, Kippachse und Ziellinie) geht;

genauer gesagt, man braucht nur zwei Zielpunkte einer solchen durch den Standpunkt gehenden Vertikalebene, von denen der eine unter möglichst großem Höhenwinkel erscheint, während der zweite einen möglichst bedeutenden Höhenwinkelabstand von jenem hat.

Die Mittel, sich eine solche Vertikalebene oder wenigstens zwei Punkte davon zu verschaffen, sind: Aufhängen eines langen feinen Senkelfadens, die Ebene durch ihn und den Aufstellungspunkt ist die erforderliche Vertikalebene; Benützung eines genügend genau horizontal liegenden Spiegels: ein unter großem Höhenwinkel erscheinender Zielpunkt und sein Spiegelbild in diesem sog. künstlichen Horizont sind zwei Punkte, wie wir sie brauchen; endlich kann man sich durch Herabprojizieren eines unter großem Höhenwinkel erscheinenden Zielpunkts in Lage I und (Durchschlagen) Lage II des Fernrohrs auch mit einem Theodolit, an dem nur die Stehachse richtig gestellt werden kann, einen richtigen „Projektionspunkt“ verschaffen (der übrigens nur in der Vertikalebene durch Standpunkt und Zielpunkt, nicht überhaupt vertikal unter diesem liegen muß, wie bei der Senkelschnur). Wir besprechen diese drei Möglichkeiten einzeln:

Hy—

A’°

iw

oc

Etwaige Höhe des Äufeteliungspunkts B

^y^^0Ä^//////////yy//y//////////y////y/////////////.

Fig. 220.

Pf

'//////////////////////////////////////////,

Fig. 221.

a) Senkelfaden. Im Freien kaum benützbar, da selten genügend windstilles Wetter vorhanden ist, wohl aber leicht im Zimmer, vorausgesetzt, daß hier ein genügend fester Aufstellungsort für das Instrumentstativ oder das Instrument ohne Stativ (im Boden des Erdgeschosses genügend fundierte Beton platte, Stein- oder Betonpfeiler, Träger in starker Wand [Wandkonsole, Wandspreize] und dgl.) vorhanden ist. 0 sei der Achsenschnittpunkt des auf dem Pfeiler aufgestellten Instruments, Fig. 220, 221; die Fernrohrziellinie sei bereits untersucht und berichtigt, die Stehachse mit einer Röhrenlibelle auf wenige " vertikal gestellt. In den Haken H weit oben an der Wand W wird ein feiner Senkelfaden gehängt, am besten feiner schwarzer Nähfaden, der sich von W gut abhebt; das Senkelgewicht muß so groß sein, daß der Faden straff gespannt ist. Ein oberer Punkt A dieses Fadens (dicht unter H, damit dadurch der Punkt bezeichnet ist), unter großem Höhenwinkel, z. B. 30° erscheinend, wird angezielt und das Fernrohr sodann herabgekippt; erscheint der Punkt B des Fadens, bei nach Augenmaß horizontaler Zielung OB, wieder mit dem Yertikalfaden des Fernrohrs zusammenfallend (oder bei nicht genügend richtiger Stellung des Yertikalfadens im Okular wenigstens an demselben Punkt dieses Fadens der auch zum Anzielen von A verwendet wurde, am besten Schnittpunkt mit dem Horizontalfaden oder mit dem mittlern Horizontalfaden, wenn mehrere da sind), so ist die Kippachse in Ordnung, d. h. liegt horizontal, J_ zur richtig stehenden Alhidaden-umdrehungsachse. Ist aber z. B. das linke Ende der Kippachse zu tief, so weicht die Spur der Fernrohrziellinie auf der Wand W (die gemäß der Erfüllung von Anforderung 2., Ziellinie .1. Kippachse, eine Gerade ist), nach rechts von AB ab, gibt z. B. die Gerade ABin dem umkehrenden Fernrohr des Theodolits erscheint B' links von B, d. h. man zielt scheinbar links an dem Senkelfaden vorbei. Läge das rechte Ende der Kippachse zu tief, so wäre die Spur der Ziellinie auf W die Gerade AB", nach links von AB abweichend (im Fernrohr zielte man scheinbar rechts am Senkelfaden vorbei). Wir wollen den ersten Fall voraussetzen, linkes Ende der Kippachse zu tief, Spur AB’, Fig. 221; Theodolit in Fig. 222 angedeutet. Zielen wir nun, mit Benützung der Alhi-dadenfeinschraube, den Punkt B des Senkelfadens statt B' an, wohin die Ziellinie augenblicklich tatsächlich geht, und kippen von B das Fernrohr in die Höhe, bis A wieder am Horizontalfaden ist, so treffen wir, wie wir wissen, mit dem Yertikalfaden des Fadenkreuzes diesen Punkt A nicht. Die Spur BA' der Fernrohrziellinie auf W ist bei diesem Herauf kippen eine Parallele zu AB' durch den Punkt B, vgl. die gestrichte Linie in Fig. 221.

A\ IV

Die oben sich zeigende

!'Z

AlhSch

Abweichung AA' (man spricht auch hier oft von einem „Ausschlag“) ist dadurch wegzuschaffen und zwar in ihrem ganzen Betrag, daß der Winkel zwischen Kippachse und Steli-achse dort verändert wird, wo dies geschehen kann, nämlich an den Korrektionsschrauben des beweglichen Lagers, vgl. Fig. 212 u. 213.

Es ist sofort zu erkennen, in welcher Richtung diese Bewegung zu machen ist: ist wie    _ <-u i____.Tr

iV

Fig. 222.

in unserem Beispiel B' rechts von B (im v/y///////////////}/////////)/////////, Fernrohr links), also Ä links von A (im Fernrohr rechts), so ist das linke Ende der Kippachse zu tief, also, wenn das bewegliche Lager bei der verwendeten Lage des Fernrohrs am linken Träger ist, dieses Lager zu heben, ist das bewegliche Lager am rechten Träger des Fernrohrs, so ist es zu senken. Entsprechend umgekehrt für den zweiten Fall, B" links (im Fernrohr rechts) von B, also- A" rechts (im Fernrohr links) von A.

Der Anfänger mache sich auch recht klar, daß während die beinahe horizontale Zielung OB' vorhanden ist, an der Kippachse nichts verbessert werden kann; hat diese Zielung den Höhenwinkel 0, so bleibt sie (von einer nicht in Betracht kommenden minimalen Höhenveränderung abgesehen) dieselbe, wenn wir auch das eine Ende der Kippachse (das bewegliche Lager) etwas heben oder senken; daraus folgt auch schon, daß der Einfluß eines bestimmten Fehlers in der Lage der Kippachse auf die Horizontalprojektion einer Zielung 0 sein wird, wenn diese Zielung seihst horizontal ist und daß er um so größer sein wird, je größer der Höhenwinkel der Zielung ist. Bei bestimmtem Fehler i der Kippachse wird also der „Ausschlag“ BB' unten und der ebenso große AA' oben um so größer, je größer der Höhen winkel der Zielung ist. Wir müssen diesen Ausschlag AA' erst oben sichtbar machen, und ihn dann durch Heben oder Senken des Lagers wegschaffen.

Einfluß eines bestimmten Fehlers in der Lage der Kippachse auf die Horizontalprojektion einer Zielung mit dem Höhenwinkel a. Wir wollen im Zusammenhang mit dem zuletzt Gesagten und ähnlich wie beim Fehler c der Ziellinie, gleich an der Hand der Figuren 220 und 221 untersuchen: um wieviel wird die Horizontalprojektion der Zielung OA unrichtig, wenn die Kippachse, statt horizontal zu liegen (den Winkel 90° 0' 0” mit der richtig gestellten Umdrehungsachse der Alhidade zu machen), von der Horizontalen um den kleinen Winkel i (vgl. Fig. 222) abweicht (z. B. i = 1' oder 2' usf,)? Der Buchstabe i für den Fehler der Kippachse wird gewählt als Anfangsbuchstabe des Wortes: Inklinationsfehler der Kippachse (Neigungsfehler), wie c in (2) als Anfangsbuchstabe von Collimations-fehler der Ziellinie. Der gesuchte Fehler in der Horizontalprojektion von OA ist der kleine Horizontalwinkei

(17)

H = BOB',

unter der Voraussetzung, daß diese Zielungen OB, OB' sehr nahezu horizontal gehen. Dieser Betrag ix ist leicht auszurechnen: die Wand W ist auch im Sinn der Horizontalwinkel nahezu normal zur Zielung OB gerichtet; in dem schmalen rechtwinkligen Dreieck B AB' ist dann offenbar der Winkel in A gleich i (Winkel iBB'A = 90° — i), demnach die Strecke

(18)

BB' = — • AB ,

wenn i und q in demselben Gradmaß, z. B. beide in " genommen werden... Nun ist der gesuchte Horizontalprojektionsfehler iL, ebenfalls in Gradmaß, wo also wieder q in " oder ' zu nehmen:

(19)

BOB' = ix =

BB'

OB

• q, oder gemäß (18)

(20)

it = i ■

AB

OB

Der Bruch auf der rechten Seite ist aber nichts anderes als die tang des Höhenwinkels a der Zielung OA; es ist also

(21)

i, = i • tga.

Wird z. B. also mit einem Theodolit, dessen Umdrehungsachse bis auf einige " richtig steht und dessen Fernrohrziellinie ebenfalls auf einige " berichtigt ist, dessen Kippachse aber einen Neigungsfehler von 1' hat, ein Punkt mit dem Höhenwinkel a = 25° angezielt, so liegt die Horizontalprojektion dieser Zielung unrichtig um

it = 60” • tg 25° = 60” • 0,466 = 28”.

Umgekehrt können wir die Gleichungen (18) bis (21) zur Bestimmung von i verwenden und deshalb ist dieser Abschnitt über ix schon hier aufgenommen. Im Hörsaal für Geodäsie (5 m hoch, 9 m breit) ist z. B. bei Ausführung des obigen Verfahrens gemessen worden: OB = 8,65 m, Zielung OB sehr nahezu horizontal (durch Abmessen vom Fußboden bis O und an W herauf bis B); Strecke BA an der Wand des Saals

heraufgemessen zu 3,24 m; Strecke B'B sorgfältig am was war il Hier ist fl unmittelbar gegeben durch

fl =

8,0 (mm)

8,0

mm-

Maßstab abgelesen = 8,0 mm;

8650 (mm)

. 206300" = 191"

8650

nicht auf ¹/₂₀ mm sicher); aus fl folgt 191"

tga 3,24 : 8,65

also i = 8',5, ein starker Neigungsfehler der Kippachse. Das bewegliche Lager war das zu tief liegende; da die Entfernung der Lager 130 mm war, so mußte dieses La-8 5

ger um --- • 130 mm = 0,32 mm gehoben werden, um den Fehler zu berichtigen. — 3438

Aus (21) folgt auch wieder, mit or = 0, horizontale Zielung, fl = 0 unabhängig von fl vgl. oben: für horizontale Zielung ist der Fehler der Kippachse ohne Einfluß; für a = l⁰ nach oben oder unten bringt der Fehler i — 1' in fl erst den Betrag 1".

Im Freien ist, wie bereits erwähnt, die Methode der Wegschaffung von i mit einem Lotfaden selten brauchbar; selbst wenn das Senkelgewicht (nach dem Vorgang der Markscheider) in ein Gefäß mit Wasser oder Kalkmilch taucht.

(nicht auf l" sicher, da 8,0

mm

= 510",

b) „Künstlicher Horizont“ ist ein genügend genau ebener Spiegel, der mit genügender Schärfe horizontal liegt; ohne weitres geboten von der Oberfläche eines ruhenden (und nicht etwa an den Rändern durch Kapillarität und dgl. gestörten) Flüssigkeitsspiegels oder in der Tat „künstlich“ durch eine mit genügend empfindlicher Libelle genügend genau horizontal zu legende ebne Glasplatte.

Als Flüssigkeit im ersten Fall, in nicht zu kleiner, flacher Schale mit niedrigem aufgebognem Rand dient Quecksilber, das gute Bilder gibt (Oberflächenhaut mit der geraden Kante eines Papierstücks abziehen), aber nicht überall zu bekommen ist, Ölkienruß-mischung (mit fein verrührtem Kienruß dunkel gefärbtes Öl), ebenso reine blasenfreie gute Bilder gebend,

Tinte, schwarze Tusche, im Notfall Wasser. Der Horizont H ist (Fig. 223) so vordem Theodolit aufzustellen, daß man in ihm das Spiegelbild^

des unter dem großen Höhenwinkel a erscheinenden Punkts A sehen kann; A und At sind dann die erforderlichen zwei Punkte mit großem Höhenwinkelabstand, die derselben durch 0 gehenden Yertikalebene angehören. Zielt man bei gut gestellter Stehachse und berichtigter Ziellinie (Anforderungen 1. und 2. erfüllt) den Punkt A rohr herunter, bis der Punkt A₁ ins Gesichtsfeld kommt, so ist, wenn die Zielung an At seitlich vorbei geht, die Kippachse fehlerhaft.

a\

(5

rrv h

L (»)

ty////////////>///////////;////svs///////////////////////////,

Fig. 223.

an

's

-ö Ai

und kippt das Fern-

Die zwei Höbenwinkel cc und ß der Fig. 223 stehen, da AK und Ax K einander gleich sind, in der Beziehung zueinander

ctg cc

(10)

x-\-h _ x — li    ctg ß

wo x die Höhe von A über der Horizontalebene durch 0 ist und h die Höhe der Kippachse über dem Flüssigkeitsspiegel bedeutet. Aus (10) kann, wenn x neben h und cc bekannt ist, ß bestimmt werden (oder auch, wenn cc und ß am Höhenkreis abgelesen werden können und h bekannt ist, sehr einfach x berechnet werden durch übereinstimmende Addition und Subtraktion links und rechts).

Die genau eben geschliffene Glasplatte als künstlicher Horizont im zweiten Fall, auf drei Spitzen oder Knöpfen in einem mit drei Fußschrauben versehnen Fußgestell ruhend, und ihre Horizontierung nebst Berichtigung der dazu dienenden Libelle ist bereits in 53., 4. beschrieben. Die Platte besteht zweckmäßig aus dunklem Glas, dessen Oberfläche fein eben geschliffen ist; die Libelle sollte etwa 5" Empfindlichkeit haben, wenn i bis auf wenige " beseitigt werden soll. Man ivird den Untersatz der Platte so legen, daß die Verbindungslinie zweier seiner Fußschrauben nahezu JL zur Kippebene AOA₁ geht und besonders in der Lage der Röhrenlibelle || zu diesen zwei Fußschrauben scharf einspielen und kurz vor der Verwendung der Glasplatte die Libelle auch noch einmal umsetzen und Zusehen, ob ihre Berichtigung gut geblieben ist.

von B), je nachdem das zu tief liegt. Man kann nun

c) Doppeltes Projizieren eines unter großem Höhenwinkel erscheinenden Punkts. Am allgemeinsten, z. B. im Freien ohne be-sondre Hilfsmittel, anwendbar ist die folgende Methode, die sich aus den schon bei a) gemachten Andeutungen (Fig. 221) ergibt. Zielt man einen scharfen, unveränderlichen Punkt A, der unter bedeutendem Höhenwinkel erscheint, an, während die Ziellinie des Fernrohrs berichtigt und die Stehachse bis auf wenige " vertikal ist, und kippt das Fernrohr herunter, bis es etwa wagrecht zielt, so ist diese letzte Zielung nur dann die Horizontalprojektion von OA, wenn die Kippachse ihre richtige Lage, senkrecht zur Stehachse hat. Andernfalls erhält man statt der Zielung OB, Fig. 221, die Zielung OB' oder OB" (Br rechts, B" links linke oder das rechte Ende der Kippachse aber den richtigen Projektionspunkt B dadurch feststellen, daß man, wenn B' sich als erste angebliche Projektion von A gezeigt hat (Lage I des Fernrohrs), das Fernrohr durchschlägt, Punkt A wieder anzielt und das Fernrohr nochmals herunterkippt, wodurch B" als zweiter angeblicher Projektionspunkt von A sich ergibt. Weichen B" und B' in der Tat voneinander ab, so ist die Kippachse nicht richtig; der richtige Projektionspunkt B halbiert die Strecke B'B". Dabei braucht B nicht vertikal unter A zu liegen, sondern nur in derselben durch 0 gehenden Vertikalebene mit A, z. B. kann A ein Punkt eines Blitzableiters auf einem Gebäude sein, die Punkte B', B", B aber auf einer näher beim Theodolit liegenden Wand bezeichnet werden. Ähnlich in Fig. 224 (halb perspektivisch) wo wieder gleich angedeutet ist, wie ein einzuweisender Gehilfe durch eine horizontal gelegte Ableselatte ersetzt werden kann. Punkt A mit dem großen Höhenwinkel a ist von 0 aus angezielt; nach Augenmaß in gleicher Höhe mit 0 und in der Richtung rechtwinklig zur Zielung OA

ist die cm-Latte LL horizontal gelegt, an der durch Schätzung auf 1 abgelesen werden kann. Die Latte darf nicht zu geringe Entfernung vom Instrument haben, z. B. mindestens 40 m. Bei der „Projektion“ von A auf die Latte L ergebe sich nun bei der jetzt vorhandnen Lage I des Fernrohrs (Ziellinie ist berichtigt, VV genügend scharf vertikal) die Ablesung ax = 1,435 m; Fernrohr durchgeschlagen, Fernrohrlage II hergestellt, A wieder scharf angezielt, nachdem die Vertikalstellung der Umdrehungsachse nachgesehen ist, wieder auf L projiziert, Ablesung sei jetzt a₂ = 1,417™,. Der Winkel a habe sich am Höhenkreis als Differenz der Ablesungen bei Zielung nach A und bei Zielung L (eine Fernrohrlage genügt dazu) zu

mm

Li

'K{\

oc

Vf;

HI

Fig. 224.

etwa a = -f 23° ergeben, die Entfernung vom Instrument bis zur Latte sei e = 47,5 ™. Was ist zunächst i? Es ist ix (Fehler in der Horizontalprojektion), wenn die Zielung nach L sehr nahe horizontal geht, die Hälfte des Winkels zwischen den Zielungen von 0 nach den Punkten

ax und a₂ der Lattenskale, also i" = der Fehler der Kippachse selbst

i =

Der Punkt a der Lattenskale, der der Vertikalebene durch 0 und A angehört (Schnittpunkt der Lattenskale mit der Vertikalebene OA) lautet mit ax = 1,435, a₂ = 1,417

Vg • 18 (mm)

47500 (mm)

39"

• 206300" = 39", und damit

tgcc

0,42

= 92".

a =    = 1,426

zielen wir mit Hilfe der Feinschraube der Alhidade den Punkt 1,426 statt 1,417, wohin die Zielung nach der zweiten Projektion (Fernrohrlage II) geht, an (die Alhidade ist dabei durch die Feinschraube um den berech-

neten Winkel \ = 39" zu drehen, bei den angegebnen Ablesungen nach links, wenn die Beziffrung der Lattenskale von 0 aus gesehen von rechts nach links geht [im Fernrohr von links nach rechts]) und richten nun das Fernrohr auf, bis A im Gesichtsfeld ist, so geht die Zielung nicht durch diesen Punkt (sondern in unsrem Beispiel links daran vorbei, im Gesichtsfeld des Fernrohrs scheinbar rechts vorbei, d. h. A erscheint links vom Vertikalfaden) und das bewegliche Lager ist so lange zu heben oder zu senken, bis wieder A im Vertikalfaden (nahe beim Horizontalfaden) ist.

Dieses zweimalige (F. R. Lg. I und II) Projizieren eines Punkts A mit großem Höhenwinkel a, der selbstverständlich auch negativ sein kann, wenn man z. B. auf einem Berg oder oben auf einem festen Gebäude steht, ist die beste Methode zum Nachweis und zur Beseitigung des Kippachsenfehlers.

2 mm-Skalen mit

cm

Für den Unterricht sind im geod. Inst. T. H. St. im Hörsaal, der im Winter * zugleich als Übungszimmer zu dienen hat, an der den Aufstellungsplatten für die Instrumente gegenüberliegenden Saalwand ganz oben Marken befestigt, auf Karton gezeichnete kleine Kreise, zur leichtern Auffindung abwechselnd weiße und schwarze Kreisringe mit senkrechten und wagrechten Durchmesserstreifen, weiß auf den schwarzen, schwarz auf den weißen Ringen, gegen den Mittelpunkt an Breite abnehmend. Diese Punkte werden in beiden Fernrohrlagen auf kleine, an der Wand unter den Marken, in Instrumentenhöhe von etwa 1,37 m über dem Fußboden befestigte -Beziffrung (vgl. oben bei 2. c)) herunterprojiziert, wobei nur die Zielweite OW zu kurz ist, d. h. große Fehler i verlangt, um genügende Ausschläge unten zu erhalten.

Zum Schluß sei für diese Berichtigung des Theodolits mit Libellenanordnung I bemerkt, daß die Reihenfolge der Untersuchung der einzelnen Achsen nicht notwendig die angegebne ist; die Untersuchung des Ziellinienfehlers kann vor der des Stehachsen(Libellen)-Fehlers gemacht werden. Jedenfalls ist aber die Berichtigung des Kippachsenfehlers an den Schluß zu stellen.

59. Achsenbericlitigung des Theodolits für Horizontalwinkelmes-sung mit Reitlibelle auf der Kippaehse (II. Libellenanordnung). Vergleichung der beiden Libellenanordnungen.

Auch für die zweite Art der Libelle, die zur „Horizontierung“ des Theodolits dienen kann, Libellenanordnung II, Reitlibelle auf der Kippachse, sind die Anfordrungen in 57. II. bereits zusammengestellt. Danach ist:

1.    Winkel zwischen Libellenachse und Kippachse zu berichtigen, beide sind parallel zueinander zu machen: Beseitigung des Libellenfehlers;

2.    Winkel zwischen Stehachse und Kippachse (oder gemäß 1. Libellenachse) zu berichtigen: Beseitigung des Kippachsenfehlers;

3.    Winkel zwischen Ziellinie des Fernrohrs und Kippachse zu berichtigen: Beseitigung des Ziellinien- oder Kollimationsfehlers.

Auch diese Anfordrungen betrachten wir kurz nacheinander, wobei vor allem nochmals an die Bemerkung über die Benützung der Korrektionsschrauben im Eingang von 58. zu erinnern ist.

1. Berichtigung der Libelle. Die Libelle ist hier eine freie oder Setzlibelle, ihre Benützungslinie die Kippachse, auf der sie umgesetzt werden kann. Libelle über eine Fußschraube F± oder parallel zu zweien F₂F₃ gerichtet, Alhidade angeklemmt. Mit jener Schraube oder diesen zwei Schrauben eingespielt, ohne beim ersten Versuch auf einen Strich zu achten. Nunmehr Libelle bei im übrigen ganz unverändert gelassner Alhidade sorgfältig auf der Kippachse um gesetzt (an neuen Instrumenten stets Haltestift, der das Herabfallen der Libelle verhindert, oder zum gleichen Zweck lange Fußgabel). Ein sich zeigender Ausschlag der Blase rührt zur Hälfte her von nicht paralleler Lage zwischen Libellenachse und Kippachse, zur andern Hälfte davon, daß die Kippachse noch nicht horizontal liegt. Die Hälfte des Ausschlags ist also als Libellenfehler zu berichtigen an den Korrektionsschrauben der Libelle, die andre Hälfte durch die Fußschraube F₁ oder die Fußschrauben F₂F₃ wegzuschaffen.

Nach mehrmaliger Wiederholung des Verfahrens wird die Libelle genügend in Ordnung sein, z. B. eine 20"-Libelle, auch wenn der Fehler anfangs bedeutend war, nach etwa 4 maligem Umsetzen, eine feinre Libelle an größrem Instrument kann häufiges Umsetzen verlangen.

Kd

bo

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HO

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ix

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A,

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A,

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Kreis.

■f₃

Dtp—-— LjJ -_=pF³

z////)//////y////////////////////.

Fig. 225.

b)

Fig. 226.

Das Verfahren ist durch die Fig. 225 nochmals graphisch angedeutet: Alhidade so gedreht, daß Kippachse || F₂F₃] Libelle L aufgesetzt und eingespielt. Ohne daß an der Alhidade einschl. Kippachse irgend etwas verändert wird (vgl. die Bezeichnungen der zwei Figuren, AXA₂ die Alhi-dadenscheibe, TlT₂ die zwei Träger, KXK₂ die Kippachse), wird die Li belle umgesetzt; C deutet die Korrektionsvorrichtung der Libelle an, es ist also, während Kx auf Tx, K₂ auf T₂ liegen bleibt, die Kippachse gar nicht berührt wird, Lx (Ende C) auf K₂, L₂ auf Kx gekommen.

Die Korrektionsvorrichtungen der Libelle sind 55., Schluß, aufgezählt; es sei nur hier nochmals an die Anordnung der Richtschrauben einer Stützen(Reit-)libelle erinnert, die sie erst unten, an den Schenkeln der Gabel, angreifen läßt, Fig. 226. Die Anordnung ist zwar in Beziehung auf die Vei’bindung des Libellenglases mit der Libellenfassung gut spannungsfrei, aber doch nicht zu empfehlen, weil es eigentlich Zufall ist, ob man die vier Korrektionsschrauben gleichzeitig in die gewünschte Lage bringt; in der Regel gelingt es nicht ohne beträchtliche „Libellenkreuzung'b Man sagt, eine solche sei vorhanden, wenn zwar Libellenachse und Kippachse in parallelen Ebenen liegen, aber windschief gegeneinander. Man erkennt sie daran,, daß man die gut eingespielte Libelle, ohne an der Kippachse oder der Berührung zwischen ihr und den Libellenfüßen etwas zu verändern, auf der Kippachse etwas seitlich nach der einen und andern Seite neigt: bei Libellenkreuzung schlägt dabei die Libelle etwas aus. Wenn auch horizontal angreifende Korrektionsschrauben an der Libelle vorhanden sind (vgl. 53. 1.), so kann die Kreuzung weggeschalft werden; für unsre Zwecke ist sie nicht von Bedeutung.

Zapfendurchmesser der Kippachse. Dagegen ist noch eine andre Frage wichtig: Für die Libellenfüße ist die „Kippachse“ nicht zugänglich, denn diese Achse ist die mathematische Achse des Stahlkörpers, der durch die zwei „Zapfendurchmesser“ der Kippachse an den Aufsetzstellen der Libelle gegeben ist. Dieser Stahlkörper ist ein Zylinder, wenn die Durchmesser der zwei Zapfen innerhalb der Beobachtungsgenauigkeit gleich sind; sind sie (für die Libelle) merklich verschieden, so ist der Körper ein Kegel mit allerdings jedenfalls sehr geringer Öffnung an der Spitze. Während es für den Mechaniker sehr leicht ist, die Zapfen innerhalb der Beobachtungsgenauigkeit kreisrund zu drehen, ist es an und für sich nicht sicher und muß deshalb geprüft werden, ob genügend Dx — 1)₂ ist. Ob die Zapfen kreisrund sind, erfährt man so: die Libelle wird eingespielt oder mit dem Blasenende scharf auf einen beliebigen Strich gestellt, und sodann das Fernrohr vorsichtig in kleinen Bewegungen gekippt, 10 °, 20 °, 30 °, 40⁰ nach beiden Seiten, wobei die Libelle einspielend oder eben unverändert bleiben soll; die Libelle kann dabei sitzen bleiben oder

HO

n Striche

ii

L,fp;

ir

'2

J_M₂

■2

))

-Ki

T₂

IT,

2ß

ß"

t₂

Kg. 22V a.

Fig. 227 b.

eie wird abgenommen und nach jeder kleinen Kippbewegung des Fernrohrs sorgfältig wieder aufgesetzt in genau derselben Lage (dabei wird bei nicht sehr sorgfältigem Schutz der Libelle die Blasenlänge sich wegen Berührung mit der Hand ändern, so daß man besser mit einspielender Libelle arbeitet, wenn man nicht bei durchlaufender Libellenbeziffrung beide Enden der Blase ablesen und die zwei Zahlen mittein kann). Die Blase soll keine Verändrung ihres Standes zeigen; man wird bei Instrumenten aus guten Werkstätten selbst bei Anwendung einer feinen Reitlibelle keine Abweichung nachweisen können. Dagegen ist unter Umständen eine kleine Ungleichheit in Dx und Dt auf folgende Art bemerkbar: Die Libelle sei in der oben angegebnen Art korrigiert durch Umsetzen auf der „obersten Mantellinie“ Mx Jf₂, wie man zu sagen pflegt (in Wirklichkeit handelt es sich um zwei seitliche Mantellinien M[M[ und M" M'%, auf denen die zwei Berührungsstellen zwischen Libellengabel und Kippachse anliegen). Es ist also Mx Jf₂ durch Einspielen der Libelle horizontal zu legen. Damit liegt aber nur dann auch zugleich die Achse Kx K₂ (Kx auf Träger 1\, K₂ auf Träger T₂ des Fernrohrs) horizontal, wenn eben D₁ — T)tt ist. Nehmen wir die Libelle ab, Fernrohr nebst Kippachse vorsichtig aus den Lagern heraus, legen die Kippachse um auf den Lagern der Träger Tx und T₂ (vertauschen also auf den sorgfältig ihre Stellung behaltenden Tx und 1\ die Enden der Kippachse), und setzen schließlich die Libelle in der Lage, die sie zuvor hatte, wieder auf, vgl. Fig. 227, so bleibt sie, wenn Dx nicht — Z)₂ ist, nicht einspielend. Der Ausschlag sei n Striche der Libellenteilung, bei der Empfindlichkeit a" der Libelle (n ■ a)" entsprechend. Ist

• 206 300" = rd. 7", z. B. 1 pars einer 7"-Libelle. Bei Instrumenten aus

-Cö

ß' der (ganze) Winkel an der Spitze des Kegels, der bei Nichtgleichheit der Durchmesser D₁ und D₂ durch die Zapfenenden definiert ist, so steigt, wenn nach Fig. 227 a Mx M₂ horizontal gelegt und Dx I)₂ ist, die unterste Mantellinie um ß" nach rechts an. Dies wäre also auch die Steigung der Lagerlinie 2\T₂, an der bei 227b nichts verändert wird; in der zweiten Figur fällt demnach die „oberste Mantellinie“ des Kegels nach links um 2ß". Mit andern Worten: es ist 2ß"—n-cc" oder der „Anzug“ des Kegels bei nicht gleichem Dx und I)₂ ist ß" = ^ • a". Ist z. B. Dx

5(i — *

um

200

mm

stärker als _D₂ und die Entfernung beider Zapfenenden 150

mm

so ist

150000

guten Fabriken wird man auch hier kaum n = 1 oder 2 Strichen bei kleinem or, d. h. feiner Libelle nachweisen können; mit einer gröbern Reitlibelle von z. B. a = 20" u. dgl. ist keine Abweichung nachweisbar. Das Ergebnis ist also wesentlich negativ und die Untersuchung dieser Gleichheit der Zapfenenden nur für feine „altazimutal“ oder „im Meridian“ aufgestellte Instrumente der geodätisch-praktischen Astronomie von Bedeutung.

Nach Beseitigung des Libellen fehlers kann die Kippackse mit Hilfe der Libelle horizontal gelegt werden. Es fragt sich, ob man, wenn dies in zwei zueinander senkrechten Richtungen geschieht, damit zugleich die Stehachse vertikal richtet. Dies trifft nur zu, wenn der Winkel zwischen Kippachse und Stehachse ein rechter ist. Deshalb

2. Berichtigung des Winkels zwischen Kippachse und Umdrehungsachse. Alhidade so gedreht, daß Libelle über Fx oder || jF₂_F₃. Mit jener Fußschraube oder diesen beiden Fußschrauben eingespielt. Nunmehr ist, da es sich um den Winkel zwischen Kippachse, oder gemäß

1. damit identisch zwischen Libellenachse, und Umdrehungsachse handelt, die Benützungslinie der nicht mehr als Setzlibelle, sondern als feste Libelle anzusehenden Libelle die*Umdrehungsachse; also nun, ohne an der gegenseitigen Lage der Teile der Alhidade irgend etwas zu ändern, Alhidade um 180° gedreht. Ein sich zeigender Ausschlag rührt zur Hälfte daher, daß der Winkel zwischen Libellenachse (Kippachse) und Umdrehungsachse von 90° abweicht, zur Hälfte daher, daß die Umdrehungsachse noch nicht vertikal steht. Der Ausschlag wäre also, wenn es sich nur um den rechten Winkel zwischen Libellenachse und Stehachse handeln würde, zur Hälfte an der Korrektionsschraube der Libelle zu verbessern, zur Hälfte an den Fußschrauben. Die Korrektionsschraube der Libelle dürfen wir aber nicht mehr benützen, denn sie ist ja bereits zur Herstellung paralleler Lage zwischen der Kippachse und der Libellenachse gebraucht worden und diese würde durch nochmalige Benützung der Libellenkorrektionsschrauben wieder zerstört werden; auch würde unser Zweck gar nicht erreicht, denn wir wollen den Winkel zwischen Kippachse und Umdrehungsachse richtig stellen. Dieser Winkel kann am beweglichen Lager des einen Fernrohrträgers verändert werden, und die Verwendung dieser Korrektionsschrauben stört die parallele Lage zwischen Kippachse und Libellenachse nicht. Rekapitulieren wir an der Hand der Figg. 228a und b: nach der ersten wird, nachdem schon bekannt ist, daß nach 1. Kippachse und Libellenachse

parallel zueinander sind, die Libelle eingespielt, während die Kippachse parallel F₂F₃ liegt; sodann Alhidade, ohne an der gegenseitigen Lage der Teile irgend etwas zu verändern, um 180° gedreht (wenn der Fehler der Kippachse klein ist oder schon klein gemacht ist, wieder grobe Ablesung am Nonius I, dann Nonius II dorthin gestellt, womit für unsern Zweck genügend um 180° gedreht ist), Alhidade anklemmen. Ein sich zeigender

Ausschlag zur Hälfte durch Benützung des beweglichen Lagers B an dem einen Fernrohrträger wegzuschaffen, die andre Hälfte an F₂F₃. Mehrfache Wiederholung erforderlich, für feine Libellen 4, 5 mal. Zuletzt wird die Alhidade auch 90° gedreht, über Fly mit dieser Schraube eingespielt Damit steht die Umdrehungsachse vertikal mit der Genauigkeit, die der Empfindlichkeit der Libelle entspricht, und die Kippachse liegt bei jeder Zielrichtung horizontal.

3. Die Ziellinie des Fernrohrs muß selbstverständlich so gut wie bei Libellenanordnung I einen rechten Winkel mit der Kippachse bilden. Die Prüfung und Berichtigung ist ganz genau in derselben Art vorzunehmen wie bei Libellenanordnung I, vgl. 58. 2.; wir haben ja die Libelle bei dieser Prüfung gar nicht benutzt, es kann also auch nicht in Betracht kommen, wie die zur Horizontierung des Instruments dienende Libelle angebracht ist. Die ganz grobe Vertikalrichtung der Stehachse, die man auch vor Berichtigung der Ziellinie vornehmen wird, kann man auch mit nicht untersuchter Libelle erreichen; eine Abweichung dieses Punkts 3. der jetzigen Berichtigung des Theodolits gegen 58. 2. ist also nicht vorhanden. Man versäume nicht, vor Untersuchung der Ziellinie den Vertikalfaden auf die dort angegebne Art nahezu rechtwinklig zur Kippachse zu richten durch Drehen des ganzen Okularkopfs.

Reihenfolge der Untersuchungen. Auch hier, bei Libellenanordnung II, ist nicht notwendig in der oben angegebnen Reihenfolge zu verfahren; die Stellung der Ziellinienberichtigung ist beliebig, jedenfalls ist aber 1. vor 2. in Ordnung zu bringen.

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I’ig. 228.

a)

um

4. Vergleichung der Libellenanordnung I und der Libellenanordnung II. Bei Libellenanordnung I kann man unmittelbar vertikal stellen die Umdrehungsachse, nur mittelbar horizontal legen die Kippachse; bei Libellenanordnung II unmittelbar horizontal legen die Kippachse, mittelbar vertikal richten die Umdrehungsachse. Vgl. Fig.215. Die Korrektion der Ziellinie ist in beiden Fällen dieselbe und scheidet hei dieser Vergleichung aus.

Da man bei II nicht die bei I erforderliche Vertikalebene durch den Aufstellungspunkt benützt (zwei Punkte davon, in möglichst großem Höhenwinkelabstand), deren Herstellung auf jedem Weg etwas umständ-

lieh ist, so kann es scheinen, als ob Libellenanordnung II in jedem Fall vorzuziehen sei, als für die Berichtigung des Theodolits einfacher. Dies trifft deshalb nicht zu, weil zur Messung von Horizontalwinkeln eigentlich nur die Umdrehungsachse (Stehachse) ihre richtige Lage zu erhalten braucht, bei bestimmter verlangter Winkelmessungsgenauigkeit um so feiner vertikal, je größre Höhenwinkel bei den Zielungen Vorkommen; dagegen sind ein Fehler der Ziellinie und ein Fehler im Winkel zwischen Kippachse und Stehachse insofern nebensächlich, als ihre Einflüsse auf die Horizontalprojektionen der Richtungen stets durch „Messen in zwei Lagen des Fernrohrs“ (Wiederholung jeder Zielung mit durchgeschlagnem Fernrohr) eliminiert werden kann. Die beiden zuletzt genannten Fehler, Kollimationsfehler und Neigungsfehler der Kippachse (gegen die richtig stehende Umdrehungsachse) stellen deshalb, bei bedeutenden Beträgen, nur eine Rechnungsunbequemlichkeit vor. Bei Libellenanordnung I (feste Alhidadenlibelle) ist nun, wenn über die Berichtigung des Instruments nichts bekannt ist, das Vertikalstellen der Umdrehungsachse einfacher als bei Libellenanordnung II; dort ist nur der Winkel zwischen Stehachse und Hauptebene der Dosenlibelle oder Achse der Röhrenlibelle zu berichtigen, bei Libellenanordnung II (Reitlibelle auf Kippachse) dagegen erst die Libelle zu berichtigen (Achse || Kippachse) und dann noch der Winkel zwischen Kippachse (Libellenachse) und Umdrehungsachse.

Es ist deshalb zu billigen, daß die kleinen für uns allein in Betracht kommenden Instrumente durchaus mit festen Alhidadenlibellen ausgerüstet sind; zweckmäßig zwei vorhanden: Dosenlibelle oder grobe Kreuzlibelle, ferner feinre Röhrenlibelle, meist „in der Richtung der Visur“ seitlich am Fernrohrträger; diese darf nicht fehlen, wenn auch ein Höhenkreis am Instrument vorhanden ist (Empfindlichkeit im richtigen Verhältnis zur Lesung an diesem Kreis). Eine ,,Nivellierlibelleu, die auf dem Fernrohr in dessen Längsrichtung festgeschraubt ist und zum gelegentlichen Nivellieren mit dem Instrument dient, kann ebenfalls zur festen Alhidadenlibelle gemacht werden durch Anziehen der Bremse der Kippbewegung, vgl. 58. 1. d).

Diese Bevorzugung der Libellenanordnung I schließt nicht aus, daß an demselben Instrument auch eine Reitlibelle (Libelle H) verwendet werden kann, die im Instrumentenkasten beigegeben ist. Es ist schon früher erwähnt, daß größre und feine Instrumente, Theodolite für Horizontalwinkelmessung allein, wie Universale, die oft zugleich zu geodätisch-astronomischen Messungen zu dienen haben und bei denen für genauere Messungen die Neigung i der Kippachse mit feiner Libelle scharf bestimmt werden muß (die Neigung* läßt sich mit größrer Schärfe messen, als man sie zu 0 machen oder auf 0 erhalten kann), stets mit entsprechend feiner Reitlibelle (bei Durchgangsinstrumenten oft Hängelibelle) der Kippachse versehen sind.

60. Einfluß der Achsenfehler oder „Aufstellungsfehler“ des Theodolits auf die Horizontalprojektion der Fernrohrzielung nach einem bestimmten Punkt. Wir wollen getrennt betrachten die Fehler in der Horizontalprojektion einer Zielung,

1.    infolge eines bestimmten Kollimationsfehlers c der Fernrohrziellinie (während Stehachse und Kippachse fehlerfreie Lage haben);

2.    infolge eines bestimmten Inklinationsfehlers i der Kippachse (während Umdrehungsachse richtig steht und Ziellinie _L Kippachse ist);

3.    infolge eines bestimmten Stellungsfehlers v der Umdrehungsachse (dabei soll die Ziellinie richtig liegen und die Kippachse an sich

ebenfalls fehlerfrei sein, d. h. _L Umdrehungsachse liegen, womit sie nun aber also nicht bei beliebiger Richtung horizontal liegt, da die Stehachse selbst nicht ihre richtige Stellung hat).

Die zwei ersten Fehler sind bereits in 58. 2. und 3. untersucht; es hat sich

gezeigt:

1. wenn mit einem Fernrohr, dessen Kollimationsfehler c beträgt, während Stehachse und Kippachse des Theodolits richtige Lage haben, ein Punkt P mit dem Höhenwinkel cc angezielt wird, die Horizontalprojektion dieser Zielung um den Betrag c, unrichtig wird nach

(1)

ci =

COS cc

= C ■ sec cc;

2. wenn mit einem Theodolit, dessen Fernrohr keinen Kollimationsfehler hat (und dessen Stehachse wir ebenfalls als richtigstehend annehmen wollen, obwohl jetzt darauf nichts ankommt), nach einem Punkt P mit dem Höhenwinkel cc gezielt wird, während die Kippachse um den Betrag i gegen die Horizontale geneigt ist, so wird die Horizontalprojektion der Zielung unrichtig um den Betrag «j nach

(2)

\ — i-tg cc.

VI

VE.//

Vf T Km/

VE.

Hinzuzufügen ist beiden Gleichungen hier noch, daß c und i Vorzeichen beizulegen sind. Es habe z. B. c das Vorzeichen -j-, wenn der Winkel der Ziellinie (immer in der Richtung: Verlängrung über das Objektiv hinaus zu denken) mit dem linken Ende der Kippachse größer als 90° ist, gleich (90°-f-c) ist (also Winkel mit dem rechten Ende (90°—c)); ebenso i das Vorzeichen -}-, wenn das linke Ende der Kippachse um i über die Horizontale ansteigt. Der Wert c, hat stets das Vorzeichen

von c; ej hat mit i | chen, wenn der Höhenwinkel cc

gleiches

entgegengesetztes

Zei-

Fig. 229.

| positiv')

\ negativ j

ist. Schlagen wir durch und zielen denselben Punkt P nach Drehen der Alhi-dade um nahezu 180° wieder an, so ändern also c und i ihr Vorzeichen und eben damit auch ct und *j. Das Mittel der Horizontalprojektionen der zwei Zielungen nach P in Fernrohrlage I und Fernrohrlage II ist frei von den Einflüssen der Fehler c und i.

3. Noch nicht untersucht ist der Einfluß eines Stellungsfehlers der Umdrehungsachse; die Stehachse habe statt der Richtung des Lotfadens eine um v davon abweichende Lage FF. Durch diese unrichtig stehende Achse ist eine ganz bestimmte Vertikalebene gegeben, die horizontalprojizierende Ebene von FF; diese Vertikalebene wird im folgenden stets mit V.E. bezeichnet, s. Fig. 229. Ihre Durchschnittslinie mit der Ebene der Alhidadenscheibe sei KmKm, so ist dieser Alhidaden-durchmesser die Fallinie der Alhidadenebene, seine Neigung gegen die Horizontale ist v; der dazu senkrechte Durchmesser K₀K₀ dagegen ist horizontal, hat die Neigung 0 (dieser Durchmesser K₀K₀ heißt oft, nach Analogie der Astronomie, wo die Neigungen der Bahnebenen der Planeten stets auf die Erdbahnebene bezogen werden, die „Knotenlinie“ der Alhidadenebene oder Limbusebene; doch ist diese Bezeichnung hier ganz überflüssig). Die Neigung eines beliebigen Durchmessers der Alhidade

Einfluß der Achsenfehler auf die Horizontalprojektion der Zielung.

353

(des Limbus), z. B. KK, ist zwischen den Grenzen 0 (K₀K₀) und v (KmKnß enthalten; es ist sehr einfach zu sehen, daß, wenn y den Horizontalwinkel bezeichnet, der zwischen KK und der Fallinie KmKm (von dieser als 0 an gezählt) vorhanden ist, die Neigung von KK gleich v ■ cos y ist (y = 0 gibt für KmKm Neigung v; y = + 90° gibt für K₀ K₀ die Neigung 0).

Die Kippachse unsres Instruments setzen wir nun an sich fehlerfrei voraus, d. h. sie bildet genau einen rechten Winkel mit der Umdrehungsachse und kommt nur dadurch unrichtig zu liegen, daß diese Stehachse nicht vertikal ist. Die Kippachse ist, anders ausgedrückt, der Alhidaden/Limbusebene parallel; liegt sie in der Richtung KmKm, so ist sie also um v geneigt, liegt sie in der Richtung K₀ K₀, so ist ihre Neigung 0, liegt sie in der Richtung KK, so ist ihre Neigung v-cosy. Ein bestimmter Stellungsfehler v der Umdrehungsachse, die selbstverständlich als unveränderlich anzusehen ist, bewirkt also einen bestimmten Neigungsfehler der Kippachse, der zwischen den Extremen 0 und v liegt und für einen Horizontalwinkel + y zwischen Richtung der Kippachse und der V.E.

(3)

v ■ cos y beträgt.

Senkrecht zur Kippachse liegt nun die Ziellinie des Fernrohrs; die Kippebene dieser Ziellinie ist also im Horizontalwinkel um 90° verschieden von y. Hat z. B. die Kippachse die Richtung K₀K₀ (Neigung 0), so fällt die Kippebene des Fernrohrs mit der V.E. zusammen (die Fernrohrziellinie ist nach irgend einem Punkt der V.E. gerichtet); hat die Kippachse die Richtung KmKm (Neigung v), so bildet im Grundriß die Zielebene des Fernrohrs einen rechten Winkel mit der V.E. Bedeutet demnach nunmehr ß den Horizontalwinkel zwischen der V.E. (als O-Richtung) und der Yertikalebene der Fernrohrzielung nach einem bestimmten Zielpunkt, so ist die Neigung (i) der Kippachse des Fernrohrs

(*)

(i) = v • sin ß.

Nehmen wir wieder die zwei Grenzfälle: ß — 0 oder ß=180° heißt, die Fernrohrziellinie liegt in der F.rE'.-Ebene selbst, dabei liegt die Kippachse horizontal, (*) ist 0, wie Gleichung (4) mit |3 = 0 oder 180° gibt; |3= + 90° heißt, die Zielung geht im azimutalen Sinn senkrecht zu der vorigen, die Kippachse hat ihre größte mögliche Neigung v, es muß (t) = v sein, wie in der Tat sich aus (4) mit ß — 90⁰ zeigt.

Die um den Betrag v unrichtige Stellung der Umdrehungsachse bewirkt also Unrichtigkeit der Horizontalprojektionen der Zielrichtungen durch einen Neigungsfehler (*) der Kippachse, der zwischen 0 und v wechselt je nach der Zielrichtung im horizontalen Sinn. Hat die Zielung noch den Höhenwinkel a, so wird ihre Horizontalprojektion gemäß (2) falsch um

(6)

vi — (®) • ty a oder gemäß (4) um vt — v- sin ß -tg a.

für einen bestimmten Höhenwinkel ct und für

Mit a = 0, horizontale Zielung, ist v wieder ohne Einfluß auf die Horizontalprojektion der Zielung; ebenso mit ß — 0 oder 180°, Zielebene mit der V.E. übereinstimmend, Kippachse in der Richtung K₀ K₀, der Höhenwinkel kommt dann nicht in Betracht. Die extremen Werte von alle möglichen Zielrichtungen im horizontalen Sinn sind 0 und v-tgcc; für eine bestimmte Zielrichtung im horizontalen Sinn (gegebnes ß) ist der Fehler der tang des Höhenwinkels proportional.

23

Dabei ist besonders zu beachten, daß v sein Vorzeichen durch das Durchschlagen des Fernrohrsund das Wiederanzielen des Punkts nicht ändert, da durch das Durchschlagen an der Stellung des Zapfens der Alhidade, Fig. 229, nichts geändert wird; der Fehler in der Horizontalprojektion einer Zielung, der durch unrichtige Stellung der Umdrehungsachse entstellt, kann durch Durchschlagen Hammer: elementare praktische Geometrie.

nicht eliminiert werden (wie dies bei c, und ix möglich war), er ist für Fernrohrlage I und Fernrohrlage II genau derselbe.

Denkt man sich bei einem zur Messung aufgestellten Instrument bei allen möglichen Richtungen ß der Zielungen im horizontalen Sinn (alle möglichen Richtungen der Kippachse), z. B. von 10° zu 10° durch den ganzen Kreis die tatsächliche Neigung der Kippachse i jedesmal scharf bestimmt (mit einer empfindlichen Reitlibelle leicht möglich, ohne daß wir hier näher darauf eingehen wollen), wobei eine und dieselbe Lage des Fernrohrs beibehalten, nicht durchgeschlagen wird, so sind folgende Fälle möglich:

a)    Die Neigung ergibt sich innerhalb der Messungsgenauigkeit gleich; es ist dann diese konstante Zahl der eigentliche Kippachsenfehler (i. e. S.), nämlich Abweichung des Winkels zwischen Kippachse und Umdrehungsachse von 90°, und die Umdrehungsachse steht vertikal;

b)    die Neigung ist bei einer bestimmten Richtung der Kippachse innerhalb der Beobachtungsfehlergrenzen 0, in der dazu senkrechten Richtung der Kipp-achse ein Maximum u, und für je zwei Zielrichtungen, die sich um 180° unterscheiden (ohne daß durchgeschlagen wird, s. oben), ergeben sich entgegengesetzt gleiche Neigungswerte, wenn Ras Vorzeichen von i auf dasselbe Ende der Kippachse bezogen wird; es ist dann kein Kippachsenfehler i. e. S. vorhanden, die um wechselnde Beträge unrichtige Lage der Kippachse rührt von einem Stellungsfehler v der Umdrehungsachse her.

Diese Fälle a) und b) sind die speziellen Fälle, die oben unter 2. und 3. behandelt sind. Der allgemeinste Fall ist der, daß

* = t₀ + (*) = *o + v •sin ßi

und man kann durch Ausgleichung (rechnerisch oder graphisch) aus einer genügenden Zahl von Libellenmessungen i, für deren jedes ein ß' am HorizoDtalkreis abgelesen wird, die Unbekannten i₀, v und dessen Richtung (Ablesung am Horizontalkreis ßg, die der Zielung in der V. E. entspricht) bestimmen.

In jedem der drei Fälle ist selbstverständlich vorausgesetzt, daß sich über die hier ziemlich lange Zeit der Messungen der i weder die Stellung der Stehachse noch der Winkel zwischen ihr und der Kippachse ändert.

c)    die Neigung sich ebenfalls vom Azimut der Zielung (um 90° anders als Richtung der Kippachse) abhängig zeigt, aber nicht in der Art b); dann setzen sich die wirklichen Neigungsfehler i zusammen aus einem konstanten Kippachsenfehler i₀ i.e.S. nach a) und einem mit der Zielrichtung wechselnden Betrag (t) — V • sin ß, nämlich:

(6)

(7)

Sind die drei Achsen- oder Aufstellungsfehler c, i (nach der Gleichung (6) heißt es eigentlich besser i₀) und v gleichzeitig vorhanden, wobei alle drei als kleine Winkel von höchstens wenigen ' zu denken sind, so wird durch sie die Horizontalprojektion nach einem Punkt P unter dem Höhenwinkel a, wobei die Vertikalebene dieser Zielung den Winkel ß mit der Vertikalebene (V.E.) der unrichtig stellenden Umdrehungsachse einschließt, unrichtig um den Betrag d = c • sec a + i₀ • tg a + v • sin ß • tg a,

wobei den Achsenfehlern nach bestimmtem Übereinkommen Vorzeichen zu geben sind. Bedeuten dz und dn die Beträge von (7) beim Anzielen von P für Fernrohrlage I und für Fernrohrlage II, so kommt für das Mittel von dT und Aq, da c und i₀ beim Durchschlagen und Wieder-anzielen von P ihr Zeichen ändern, v aber nicht, nur das dritte Glied in Betracht.

61. Weitre nicht korrigierbare Fehler des Theodolits. Elimination des Alhidadenexzentrizitätsfehlers. Fernrohrexzentrizität. Neben den Achsenfehlern (ferner Zielfehlern beim Anzielen der Punkte und Ablesungsfehlern an der Teilung) werden Unrichtigkeiten der Horizontalwinkelmessung noch besonders durch folgende drei Umstände bewirkt:

1.    Unrichtigkeiten in der Kreisteilung selbst (schon früher erwähnt). In allen Werkstätten für geodätische Instrumente werden jedoch heutzutage zur Einteilung der Kreise Teilmaschinen (nie mehr Handteilung) verwendet, sei es, daß diese Maschinen reine Kopiermaschinen einer feinen Urkrei steilung auf den zu teilenden Kreis oder sog. halbautomatische oder ganzautomatische Kreisteilmaschinen sind; auf diese Einrichtungen ist hier weiter nicht einzugehen, erwähnt sei nur, daß diese Maschinen auch zur Teilung großer Kreise ausreichen müssen, nicht nur für die kleinen Kreise bis 21 cm Durchmesser, wie sie für uns allein in Betracht kommen. Für unsre Zwecke dürfen wir die Kreisteilungen selbst als wesentlich fehlerfrei ansehen. (Man unterscheidet bei den selbstverständlich immer, nur in für uns genügend kleinen Beträgen, vorhandnen Fehlern der einzelnen Teilstriche zufällige, gleich wahrscheinlich positive und negative Fehler, und systematische oder hier bei der Kreisteilung periodische Fehler; die zufälligen Fehler gehen heutzutage bei fein geteilten großem Kreisen nicht über Bruchteile der " hinaus, die systematischen Fehler lassen sich dadurch unschädlich machen, daß man Ablesungen am Kreis, die für einen bestimmten Zweck notwendig sind, an möglichst gleichmäßig auf den Kreisumfang verteilten Stellen vornimmt, vgl. z. B. bei der Horizontalwinkelmessung 62. und If. Nrn.)

2.    Unrichtigkeiten kann auch der Nonius zeigen, indem z. B. seine n Teile nicht genügend genau gleich (n — 1) Limbusteilen sind oder indem einzelnen Striche des Nonius fehlerhaft liegen; die ganze Noniuslänge kann auch an einer gewissen Stelle der Teilung stimmen, an einer andern Stelle des Kreises aber eine Abweichung zeigen, infolge der sogleich zu besprechenden „Exzentrizität“.

3.    Diese Exzentrizität, nämlich „zwischen Alhidade und Lim-bus“, ist eine sehr wichtige Fehlerquelle. Es kann sein, daß die Umdrehungsachse der Alhidade nicht „genau“ durch den Mittelpunkt der Limbusteilung geht. Groß kann der Betrag dieser „Exzentrizität“ nicht sein, schon weil sonst die Alhidade, deren Rand nur einen kleinen Bruchteil eines mm Abstand vom geteilten Limbusrand hat, gar nicht (ganz) herumgedreht werden könnte. Hätte z. B. der Spalt Älhidade/Limbus

Vio

mm Breite, so könnte die Exzentrizitätsstrecke nicht über mm betragen. Es sei in Fig. 230 M der Mittelpunkt der Limbusteilung und 0 der Drehungspunkt der Alhidade (man gestattet sich der Einfachheit halber von einem Punkt der Limbusebene zu sprechen, um den die Alhidade sich drehe, Schnittpunkt der Achse des Alhidadenzapfens mit der Limbusebene); so klein die Strecke OM zwischen beiden festen Punkten auch nur sein kann, ist sie doch in fester, unveränderlicher Lage (Richtung) zu denken; im Beispiel der Figur wäre sie vom Strich 110° zum Strich 290° der Limbusteilung gerichtet. Der Limbus LL (Mittelpunkt der Teilung ist M) ist nun ganz fest zu denken, während die Scheibe

23

AA sich um den festen Punkt 0 dreht. Irgendwo am Rand von A, z. B. bei 0, ist ein Indexstrich, dessen Stellung gegen die Kreisteilung wir abzulesen haben, fein mit der Ablesevorricbtung (für

M= Mittelpunkt der

Kreisteilung    .    .

\ ODrehungspunkt uns Aomus). Diese Ablesung an dem Indexstrich wird nun fehlerhaft. wenn 0 von M verschieden

der Alhidade

A.

--S

liegt, wobei der Fehler zwischen einem gewissen Maximum und Null schwanken wird. Der Ablesefehler 0 ist vorhanden, wenn die Alhidade A so gedreht wird, daß der Ablesestrich 0 in der Linie OM liegt, wo also in unsrem Beispiel 110° oder 290° abgelesen wird; das Maximum des Ablesefehlers wird vorhanden sein (absolut), wenn an einem davon um 90° abstehenden Punkt der Teilung, bei 200° oder bei 20° abzulesen ist. Die Größe des absoluten Maximums s lineare Exzentrizitätsstrecke OM, so ist e von den Punkten des Kreisumfangs aus erscheint, deren Verbindungslinien mit M _L OM stehen, d. h. es ist, wenn r der Halbmesser des Teilkreises,

W°o......

⁰ M -------

-O

oA

Mg. 230.

ist einfach anzugeben: ist e die der Winkel, unter dem e

ni:ix

'C

Ist z. B. bei einem bestimmten Theodolit mit 20 cm Teilungsdurchmesser, also r = 10 cm = 100 mm, die Exzentrizitätsstrecke e = y₅₀ mm = 0,02 mm (20 fi), so ist

(2)

£max

Vso

100

. 206300" - 41",3

während doch an diesem Instrument der Nonius auf 10" getrieben sein wird. Es ist also e wäre e = y₂₀

Dieser Ablesungsfehler infolge der „Exzentrizität“ (nämlich zwischen Al-hidade und Limbus) kann also leicht ein beträchtliches Vielfaches der Ablesegenauigkeit erreichen. Man kann nun z. B.

a) die Exzentrizitätsstrecke so klein machen, daß sie für die Ablesegenauigkeit nicht in Betracht kommt; dies ist wichtig für solche Kreisteilungen, die nur aus einem Bogen, nicht einem Vollkreis bestehen können, wie z. B. bei den Freihandhöhenwinkelmessern und Gradbögen in 24., bei dem Sextanten (in 11. 2. erwähnt) usf. Soll z. B. an einem Kreis nur auf 5' abgelesen werden, so ist diese „Exzentrizitätsfreiheit“ der Alhidade (Wegfall des Ablesefehlers infolge der Exzentrizität) im allgemeinen sehr leicht zu erreichen, auch bei kleinem Kreishalbmesser. Bei 10 cm Halbmesser des geteilten Kreises, wie im obigen Beispiel, brauchte die Exzentrizitätsstrecke nur so klein zu sein, daß kein Ablesefehler z. B. )> 3' dadurch ent-

3

stehen kann, d. h. es brauchte nur auf - - • 100

3438

was sehr leicht ist; oder soll bei dem kleinen Freihandhöhenwinkelmesser nach Abney, mit 11 cm Durchmesser des geteilten Kreises (vgl. 24. 4.) auf 0°,1 abgelesen

mm

(50 g),

mehr als 4 mal so groß als die Lesung des Nonius; so wäre £max noch 2¹/₂mal größer, 103 ",1.

mm =-mm

genau zentriert zu werden,

werden, also kein Ablesefehler )> als z. B. 4' entstehen, so ist e (Strecke zwischen Drehungspunkt des Alhidadenarms und Mittelpunkt der Limbusteilung) <C i*3S’ 55 mm, d. h.    zu halten, was immer noch leicht möglich ist. Es ist neuerdings ge

lungen, „exzentrizitätsfreie“ Sextanten selbst für 10"-Nonienablesung herzustellen (Wanschaff, Berlin); der Halbmesser der Teilung (bei Sextanten hat natürlich der Durchmesser keinen Sinn) ist dabei etwa 14

(also größer als für eine 10"-Nonienablesung an einem Kreis notwendig wäre, es ist aber zu beachten, daß die Beziffrung der Teilstriche und Nonienstriche am Sextanten verdoppelt angeschrieben werden

₅(")

cm

muß), was eine Zentrierungsgenauigkeit von etwa voraussetzt.

■ 140

mm

= 0,0034

mm

(3% ft)

= 3Öömm

Das Verlangen solcher kleiner Zentrierfehler von wenigen g bei jeder Kreisteilung, die das Instrument natürlich verteuert, ist aber, ivie sich in b) zeigen wird, nicht notwendig, weil das Mittel besteht, den Einfluß des Exzentrizitätsfehlers sehr einfach zu eliminieren; es genügt, wenn der Exzentrizitätsfehler nur so klein ist, daß die Länge des ganzen Nonius nicht hei bestimmter Alhidadenstellung merklich beeinflußt wird.

b) Wenig in Betracht kommt für unsre Zwecke auch die numerische Bestimmung der Exzentrizität und ihre rechnerische Berücksichtigung bei der Ablesung an nur einem Nonius. Es kann zwar Fälle geben, wo man in der Tat nur einen Nonius ablesen kann, den, wie wir sehen werden, im allgemeinen stets vorhandnen zweiten gegenüberliegenden nicht (z. B. bei Messung auf einer Fensterbank u. dgl.) und es sei deshalb wenigstens angedeutet, wie die Ablesung an nur einem Nonius zu korrigieren ist, nachdem die Exzentrizitätsstrecke e und ihre Lage (Richtung) gegen die Striche der Teilung bestimmt ist. Es sei z. B. an einem Kreis von 21

0,0180

cm

Durch-

messer (Noniusablesung auf 10") e = 0,0180 mm, also e"ax —

gefunden worden, ferner gefunden worden, daß diese Exzentiizitätsstrecke von 18 p, die Richtung (auf 1° abgerundet) vom Strich 134° zum Strich 314° der Limbusteilung habe, so zwar, daß der Drehungspunkt der Alhidade um 2 • 18p, = 36g näher beim Endpunkt des Strichs 134° als beim Endpunkt des Strichs 314° liege. Wie diese Bestimmung geschehen kann, ist unten wenigstens anzudeuten.

Die Ablesung an einer Kreisstelle, deren Halbmesser den Winkel qp mit der Richtung des Limbushalb-messers 134° macht, ist dann unrichtig um

105

. 206 300 = 35",2

I"

£" = £max • Sin 9b

wo £max den Maximalablesungsfehler (absolut an den Stellen 134°+ 90°) vorstellt; und zwar erhält man, wenn qp von 134° an als 0 im Uhrzeigersinn durch den vollen Winkel durchgezählt wird, für die Korrektion der unmittelbar gemachten Ablesung aus (3) von selbst das richtige Vorzeichen.

Damit wäre für diesen Theodolit die folgende kleine Ablesekorrektionstabelle (S.358) zu berechnen.

Man könnte dann bei diesem Theodolit der untenstehenden Tabelle (die nur auf etwas engere Intervalle Qz. B. 5° zu bringen wäre) unmittelbar die Korrektion entnehmen, die mit dem beigesetzten Vorzeichen der unmittelbaren Ablesung an dem einen vorhanden gedachten Nonius beizufügen wäre, um diese Ablesung vom

(3)

e'8-

°J

nlO

Fig. 231.

Ablesung am Teilstrich

der

(t)

Grad

Kreisteilung:

Korrektion s" an der

unmittelbaren Ablesung am Nonius, auf 0",1

Bemerkungen über die extremen s

(134°)

(0)

(0",0)

Min.

140° 160° 180° 200° 220° 240° 250 0 280° 300°

(6)

(26)

(46)

(66)

(86)

(106)

(126)

(146)

(166)

+ 3",7 + 15", 5 + 25",3 + 32",2 + 35",2 + 33",9 + 28",5 + 19",7 + 8",5

s = + 35",2 beim Strich 134° + 90 = 224°

(314°)

(180)

(0",0)

Min.

320°

340°

0°

20°

40°

60°

80°

100°

120°

(186)

(206)

(226)

(246)

(266)

(286)

(306)

(326)

(346)

s = — 35",2 beim Strich 314° + 90° = 134°— 90° = 44°

Exzentrizitätsfehler zu b e -freien. Nun zeigt aber die Tabelle, daß diese Korrektionen denselben Betrag, aber entgegengesetzte Vorzeichen haben für je zwei Teilstriche die um 180° auseinanderliegen, wie durch

sin (180 ⁰ —J— qp) = — sin cp allgemein bestätigt wird.

Lesen wir also über-hauptnicht nur aneinem Nonius ab, sondern an zwei Nonien, deren Nullpunkte sich auf der Alhi-dade diametral gegenüberliegen, so ist das Mittel der zwei Ablesungen an diesen Nonien vom Exzentrizi-tätsfehlerderAlhidade befreit.

Dies lehrt auch die un

mittelbare Anschauung der Figur, z. B. Fig. 231 für unser Beispiel. Es sind fast stets zwei Nonien da statt eines wie in Fig. 230, einander diametral gegenüberstehend und mit 1, 2; I, II; A, B an den verschiednen Instrumenten möglichst deutlich bezeichnet. Die Mechaniker schreiben diese Bezeichnung oft nur klein auf die Mitte des Nonius; es ist zweckmäßig, sie nochmals groß auf dem Verdeck des Horizontalkreises anzuschreiben. Wählen wir die Lage der Teile dem eben besprochnen Beispiel entsprechend, e = MO — 18fi in der Richtung des Teilkreisdurchmessers 134°—314°; M Mittelpunkt der Limbusteilung, O Drehungspunkt der Alhi-dade, die zwei Nonien sind I und II, ihre Nullpunkte sehr nahezu auf den Endpunkten eines Alhidadendurchmessers. Bei beliebiger Stellung der Allhidadenscheibe ist nun stets I an dem Kreisumfang um genau ebensoviel voraus, als H zurück ist oder umgekehrt; zwischen 134° durch 270° bis 314° ist der Nonius an der Kreisteilung gegen die Sollage zurück (deshalb t in der obenstehenden Tabelle auf diesem Halbkreis +), der gegenüberstehende Nonius aber auf dem Halbkreis von 314° über 0 bis 134° um je ebensoviel voraus (vgl. das Zeichen — der Tabelle auf diesem Halbkreis). Das Mittel der zwei Nonienangaben ist also überall vom Exzentrizitätsfehler befreit; dieser an und für sich oft bedeutende Fehler ist also doch ziemlich harmlos, weil er so einfach eliminiert werden kann. Man liest in der Tat im allgemeinen stets an zwei Nonien ab; nur wenn die Ablesung nur so weit genähert zu sein braucht, daß der Exzentrizitätsfehler keine Rolle spielt, kann man sich mit Ablesung an einem Nonius begnügen.

Die Bestimmung von e nach Größe und Richtung kann dadurch geschehen, daß man möglichst viele Ablesungen am Non. I und Non. II bei allen möglichen Stellungen der Alhidade, z. B. nach Drehungen um je 5° zusammenstellt. Die Differenz I—IL beider Ablesungen, mit Weglassung der selbstverständlichen 180°, rührt z. T.

daher, daß die Nonien (Nullpunkte) nicht genau um 180° auseinanderliegen, sondern, daß im Uhrzeigersinn in 0 gezählt der Winkel zwischen Nullpunkt von I und Nullpunkt von II (180° -f- c) oder (180° — c) beträgt, somit der Winkel zwischen 0 von II links und 0 von I rechts (180° — c) oder (180° -{- c) ist; z. T. daher, daß eben eine Exzentrizität MO vorhanden ist. Die erste Ursache der Differenz (I—II) wird diesen Unterschied, von Ablesefehlern abgesehen, als konstant zeigen; die zweite gibt, ebenfalls abgesehen von den Ablesefehlern, wechselnde Beträge, die zwischen 0 und (absolut) einem gewissen Maximalbetrag liegen. Könnten alle Ablesefehler = 0, die Ablesungen exakt sein, so würden drei Ablesungen am Non. I und Non. II genügen, um die drei Unbekannten c, e„und x aus den Gleichungen

(I—II)'i' = c" + ±.sinqPlV/

(4)

(I—II)" = c" + ^ • sin qp₂ • q"

(I—II)" = c" + ® • sin qp₃ • q"

zu bestimmen, in denen noch, wenn a,, a₂, a₃ die Ablesungen am Nonius I bei dem 1., 2., 3. Versuch und x die gesuchte Kreisablesung (an I) mit dem Ablesefehler 0 an I, c an II wäre, mit der die Richtung von e festliegt,

cp₃ = x — a₃

cp₃ — x — a₂

tjpj = x — at

zu setzen wäre. In Wirklichkeit wird man sich, weil eben die Werte (I—II) stets durch Ablesefehler entstellt sind, mit diesen drei Gleichungen (4), die für gleiche Winkelabstände <p₃—qp₂ = qpä — cp, = a₂— a₃ = a₁ — a₂ = 120° aufzustellen wären, nicht begnügen, sondern man wird, wie bereits erwähnt, möglichst viele Gleichungen (4) in konstanten kleinen Intervallen (ak — ak-i) aufstellen, aus denen dann durch rechnerische oder graphische Ausgleichung die drei Unbekannten zu bestimmen sind und wobei man dann auch Aufschluß über den mittlern Fehler einer Ablesung und die mittlern Fehler der drei bestimmten Unbekannten erhält.

c) Die in b) angegebne einfache Elimination des Exzentrizitätsfehlers ist, wie dort erwähnt, im allgemeinen stets anzuwenden. Die Lehrbücher der praktischen Geometrie geben meist einen andern als den oben angewandten Beweis dafür, daß das Mittel der Ablesungen an zwei auf der Alhidade diametral gegenüberstehenden Nonien vom Exzentrizitätsfehler frei ist, der noch kurz angedeutet sei: der Drehungspunkt O der Alhidade liegt um e verschieden von dem Teilungsmittelpunkt M. Die zwei Nonien I und II denken wir uns so angebracht, daß sie in der Projektion der Fernrohrziellinie liegen, I unter dem Objektivende, II unter dem Okularende des Fernrohrs bei der jetzt vorhandenen Fernrohrlage. (In Wirklichkeit sind die zwei Nonien um +90° anders angebracht, weil man bei der Ablesung nicht bequem mit dem Kopf unter dem Fernrohr beikommen kann; unsre Annahme erleichtert aber zunächst die Betrachtung und der Schluß bleibt bestehen auch für die wirkliche Lage der zwei Nonien). Der Winkel zwischen der Zielung nach A und der Zielung nach B, vgl.' Fig. 232, der Winkel AOB, ist für jede in Betracht kommende Genauigkeit auch bei den kürzesten Zielungen von AMB nicht verschieden, weil schon für ganz wenige Meter Zielweite die Strecke e, sie mag liegen wie sie will, für die mögliche Winkelmessungsgenauigkeit verschwindend ist. Nach einem bekannten Satz der Kreislehre ist nun der Winkel

d) Eine besondre Frage ist noch die: wie groß darf c werden, vgl. die am Schluß von b) gebrauchten Bezeichnungen, d. h. wie genau müssen die Noniusnullpunkte von I und II auf den Endpunkten eines Alhidadendurchmessers liegen, damit in der Tat Elimination des Exzentrizitätsfehlers eintritt, I genügend scharf ebenso weit an der Teilung voraus, wie II zurück ist und umgekehrt? Man bezeichnet den Betrag von c oft als Knickung der Nonienlinie. Nach (3) ist

(3)

£" = £max • sin Ti

wo £ma;s. von e und r abhängt, für ein bestimmtes Instrument einen festen Wert be-

ß

deutet, vgl. (1), g"ax — — • q". Ist II von I nicht genau um 180°, sondern im Uhrzeigersinn von I nach II um (180° -f- c) entfernt (wobei selbstverständlich c auch negativ sein kann), so ist

(?)

£n = £max •sin (¹⁸⁰° + T + C) = — g" ax • sin (cp -f c)

und es fragt sich also, wie groß darf hier c werden, damit genügend genau noch f'j = — gesetzt werden kann, g^ -f- g^ — 0. Da c jedenfalls nicht groß ist, dürfen wir setzen

£I = £max • sin Ti

(8)

zwischen den zwei durch 0 gehenden Kreissehnen OA und OB gleich dem arithmetischen Mittel der zwei zugehörigen Zentriwinkel y und y , d. h. es ist

(5)

Vi+h

v = —r-

Am

KAI

r₂i

T,

T]

*<A)

Mg. 232.

(6)

Yi ~~^i ai>

Diese beiden Winkel y-j- und yu entsprechen nun aber dem Winkelwerte für wie ihn der Nonius I und wie ihn der Nonius II liefert: sind aT und an die Ablesungen am Nonius I und Nonius II, während nach A gezielt wird, ebenso b₁ und bn -die Ablesungen an I und II bei der Zielung nach B, so ist

V,

7ii ^ii an 5

und damit ist abermals gezeigt, daß die Verwendung von zwei Nonien an den Endpunkten eines Alhidadendurchmessers vom Exzentrizitätsfehler Alhidade/Limbus befreit.

£

sin (qp —J— c) = sin cp -)— • cos cp, also nach (7)

(9)

£I = fmax • sin T,

g" = — g" n    max

77 • COS cp

oder nach (1)

— g"

max

• sin cp —

O

Co

In dem letzten Ausdruck für ist, da g” im Zähler und Nenner wegfällt, c nun ebenfalls in " zu nehmen, und es fragt sich einfach, wie groß ist der Wert von c" für den

(10)

e „

■ C • COS Cp

r

merklich wird. Vom Vorzeichen können wir, wie schon geschehen, absehen; der schlimmste Fall ist absolut cos <p = 1, d. h. cp — 0° oder 180°, Ablesung an den Stellen des Kreises, an denen der Ablesefehler wegen Exzentrizität selbst 0 ist (im vorstehenden Beispiel bei 134° und 314°). Für diesen für die Wirkung von c ungünstigster! Fall, cos cp absolut =±= 1, soll also noch

(11)

• c ' <T mittler Ablesefehler am Nonius

sein.

V.

Der mittlere Ablesefehler an einem „richtig weit getriebenen“ Nonius kann zu (bis y₈) der „Angabe“ (Lesung) des Nonius angenommen werden. Im Fall des obigen Beispiels, 21 cm-Kreis, Ablesung auf 10", kann der mittlere Ablesefehler zu + 5" oder etwas weniger angenommen werden (er wäre natürlich aus Versuchen zu bestimmen). Setzen wir das zulässige Maximum des infolge der Nonienknickung nach (11) entstehenden Fehlers z. B. gleich 2", so ist sicher genügende Gewähr für die Unschädlichkeit von c vorhanden. Damit würde

-- • c" = 2"

oder mit

0,018

105

c" = 2" ■

(12)

= 2 • 5800" = rund 3°.

105

0,018

Es würde also genügen, die Nullpunkte von Nonius I und Nonius II auf 3° genau auf die Endpunkte eines Alkidadendurchmessers zu setzen; die bei den frühem „Klappnonien“ oder „aufliegenden“ Nonien gegebne Möglichkeit der seitlichen Verschiebung des Nonius (Wegschaffung von c) hat praktisch keinen Wert. Allerdings wird man mit Rücksicht auf die bequemere Rechnung doch c klein halten; es geht bei den einliegenden Nonien gut zentrierter heutiger Instrumente selbst an kleinen Instrumenten über einige wenige ' nicht hinaus.

e) Die Elimination des Exz entrizitätsfehlers des Alhidadendrehungspunkts gegen den Mittelpunkt der Limbusteilung läßt sich nicht nur durch Ablesung an zwei Nonien an den Endpunkten eines Alhidadendurchmessers erreichen, sondern auch durch Ablesen an beliebig vielen Nonien, die in gleichen Winkelabständen (120°, 90°, 72°, 60°) auf den Alhidadenumfang verteilt werden. Man bringt aber jetzt fast nirgends mehr über zwei Nonien an kleinen Instrumenten an, weil sonst die Ablesung zu mühsam wird, zu lange dauert und bei den großen Theodoliten ist die Feinheit der Ablesung (durch Mikroskope) jetzt so groß, daß man ebenfalls nicht mehr aus dem Wunsch der Verfeinerung der Ablesung zu mehr als zwei Mikroskopen zu greifen braucht. Früher, als auch an großen Theodoliten noch Nonien verwendet wurden, hat man dort meist vier Nonien abgelesen (in 90° Abstand). Es sei aber angeführt, daß z. B. in Amerika noch große Theodolite gebraucht werden mit drei Ablesemikroskopen (in 120°-Abständen) und daß Meridiankreise (große Höhenkreise an astronomischen, im Meridian aufgestellten Instrumenten) meist sechs Mikroskope haben.

f) Genauigkeitssteigerung der Ablesung bei mehrerenNonien. Neben dem Hauptnutzen der Elimination des Exzentrizitätsfehlers hat die Ablesung mehrerer Nonien den Vorteil der Genauigkeitssteigerung, so daß es auch bei vollkommen exzentrizitätsfreier Alhidade guten Sinn hätte, an

Ganz ebenso für drei oder vier Nonien: liest man an n nJonien ab, so hat, wenn + m' der mittlere Ablesefehler an jedem der Nonien ist, das Mittel der n Ablesungen den mittlern Fehler

Yn

mehr als einem Nonius abzulesen. Es sei + m der mittlere Ablesefehler an einem Nonius (bei gut eingerichteten Nonien etwa die Hälfte oder etwas weniger der „Lesung“ oder „Angabe“), so wird das Mittel der Ablesungen an zwei Nonien einen kleinern Ablesefehler als + m haben; allerdings wird er nicht halb so groß (2mal kleiner), sondern nur ]/2mal kleiner als m sein, vgl. Gleichung (15) in 20. Ist at die Ablesung am Nonius I, a₂ die am Nonius II, während + m den m. F. der Ablesung für jeden der zwei Nonien bedeutet, so hat

(«! + a₂) den m. F. J/W² -f- m

'2

= + m' Y2

also

(13)

«1 + «S

1+

iH |(M

+1

(14)

Ist z. B. an einem 21 cm-Theodolit mit Nonienangabe 10" der m. F. einer Ablesung an einem Nonius + 5", so hat das Mittel der Ab-

lesungen an beiden Nonien den m. F. — = + 3",5; wären drei oder vier

Nonien auf der. Alhidade, so würde das Mittel der drei oder vier Ab-5    5

lesungen den m. F. — = -f- 2",9 oder _ = + 2",5 haben. Die zwei letzten

y s    “    y 4    ~

Zahlen zeigen, daß die Genauigkeitssteigerung durch Ablesen zahlreicher

(n) Nonien nicht im Verhältnis zur großem Arbeit und zum Zeitaufwand steht, sobald n nur den Wert von etwa 3 überschreitet; man beschränkt sich deshalb an unsern kleinen Instrumenten durchaus auf zwei Nonien, es handelt sich für uns meist auch um möglichst rasche Messung, weil dabei am ehesten auf unveränderte Lage der einzelnen Teile des Instruments gegeneinander gerechnet werden kann, z. B. Erhaltung des Kreisnullpunkts bei der sog. Satzmessung usf.

g) Einfluß der Exzentrizität auf die Nonienlänge. Nach der vorstehenden kurzen Würdigung der Hauptwirkungen der Alhidadenexzentrizität und ihrer Elimination werfen wir noch einen Blick auf ihre Wirkung auf die Nonien-länge. Sind die n Nonienteile genau gleich (n — 1) Limbusteilen, so erscheint trotzdem, wenn eine Exzentrizität der Alhidade vorhanden ist, der Nonius nur an zwei Stellen des Kreises in richtiger Gesamtlänge, in unsrem obigen Beispiel in b) in der Nähe von 224° und 44°; dagegen scheint der Nonius an allen andern Stellen zu lang oder zu kurz zu sein, am meisten an den Stellen, an denen der Ablesefehler infolge der Exzentrizität 0 ist, im Beispiel bei 134° und 314°. An dem dort vorausgesetzten Instrument mit r— 105mm, ¹ja° = lO'-Teilung und 10" Nonienangabe

/59\0    59    i

ist der Nonius im ganzen / j =9°50' Zentriwinkel lang, linear • 105 •

= 18,021 mm (mit Voraussetzung der Zahl 105,00 strecke e — 0,018

-mm

9p

mm

für r); rückt er um die Exzentrizitäts-gegen das Ende der Striche der Teilung vor oder davon weg,

mm

so nimmt er bei unveränderter eigner Länge einen etwas andern Zentriwinkel als ^¹ 2 3 4 56⁶)⁰ in Anspruch, nämlich

(15)

18,021 (mm)

(105,00 + 0,018)

mm

. q = 9°49'53",9 oder 9°50'6",1.

(Diese Zahlen ergeben sich einfacher als durch direkte Berechnung mit dem Rechen-

105,018 105,000’

schieber aus der Proportion: 9°50' •

104,982    ,

— und 9°50 •

d. h. Abmangel oder Über-

105,000

schuß an oderüber9°50'gleich9°50/ •    = 35400" •

angeschrieben, um auch die Änderung der Bogenlänge für denselben Zentriwinkel 9a50' sichtbar zu machen, wenn der Kreishalbmesser 105,00 mm sich um 0,018 mm ändert.

• 0,018 mm = 0,0031 mm = 3,1 g). Der Maximalfehler von

18

105000

= 6",1; sie sind wie oben

Diese Änderung ist

35400

206 300

6" in der ganzen Länge des Nonius (im schlimmsten Fall) ist erträglich, da er kaum über die mittlere Ableseunsicherheit des 10"-Nonius hinausgeht. Von der Berücksichtigung der Konvergenz der Teilstriche ist im vorstehenden abgesehen, dieser Nonienfehler wird, da er am Nonius I und II in entgegengesetztem Sinn auftritt, zudem durch Ablesen an beiden Nonien eliminiert. Immerhin wird man vom Mechaniker verlangen, daß der Exzentrizitätsfehler der Alhidade nicht so groß ist, daß überhaupt die Ablesung an einem Nonius in diesem Sinn beeinflußt werden kann d. h. man wird bei einem neuen Instrument vor allem mit jedem der zwei Nonien an Teilungsstellen in je 10° oder 20° Intervall durch den ganzen Kreis hindurch nach-sehen, ob beim Einstellen des Nullstrichs des Nonius auf einen bestimmten Teilstrich auch der Endstrich des Nonius mit einem Teilstrich innerhalb der Wahrnehmbarkeitsgrenze (Überstriche beachten!) übereinstimmt. Bei neuen Instrumenten aus guten Werkstätten, mit einliegenden Nonien, wird man keinen Anstoß finden; anders oft bei den frühem Klappnonien, die sich besonders an Höhenkreisen noch lange erhalten haben, nachdem sie an Horizontalkreisen nicht mehr angewendet wurden, jetzt aber auch dort ganz verlassen sind (die Gründe für das lange Beibehalten waren die bequeme Verschiebung, die am Höhenkreis aus gewissen Gründen erwünscht ist und ferner der, daß am Höhenkreis ein Klaffen zwischen Alhidaden-, d. h. Noniusrand und Teilkreis bei einliegenden Nonien nicht so einfach zu beseitigen ist wie am Horizontalkreis und wie bei den aufliegenden Nonien.

Auch

li) Elimination des Exzentrizitätsfehlers bei Anwendung eines Nonius. Wichtig ist auch noch die Bemerkung, daß die „Messung in beiden Fernrohrlagen“ auch bei Ablesung nur eines Nonius den Exzentrizitätsfehler eliminiert; schlägt man, nachdem ein Punkt P angezielt und der eine vorhandne Nonius abgelesen ist, durch, zielt P wieder an und liest am Nonius wieder ab, so sind im Mittel beider Ablesungen (bei dem man von den 180° Verschiedenheit absehen kann) nicht nur die Fehler der Ziellinie und der Kippachse beseitigt (vgl. 60. Schluß), sondern auch der Exzentrizitätsfehler Alhidade/Limbus.

anders

mm

bei Anwendung des Schnurlots für die Aufstellung zu befürchten ist (vgl. Nr. 62.) und also nicht weiter zu betrachten.

Es gibt aber, wie in 58. 8. erwähnt, Theodolite und Universale „mit exzentrischem Fernrohr“, Fernrohr am Ende der Kippachse statt in der Mitte der Al-hidade, Gründe a. a. 0. Sie kommen für uns wenig in Betracht; immerhin ist darauf

F/

\Pm

A-Non.-O fei ' Lag ei

K,

>\K

aufmerksam zu machen, daß diese Fernrohrexzen-trizität ebenfalls durch Durchschlagen eliminiert wird: Zielt man den Punkt P bei Lage I des Fernrohrs (Fi) an und liest den Nonius ab (wir wollen der Einfachheit halber zunächst nur einen betrachten), schlägt sodann durch, zielt P wieder an (_Fn) und liest wieder ab, so ist das Mittel beider Ablesungen, wie die Fig. 233 zeigt, vom Einfluß der Fernrohrexzentrizität frei; denken wir uns den Noniusnullpunkt an der Alhidadenstelle, die von der Kippachsenrichtung um 90° entfernt liegt (die Voraussetzung ist an sich unnötig), so ist die Noniusablesung bei Zielung F₁ um x größer, bei der Zielung Fji um x kleiner als sie bei derselben Lage des Nonius und zentrischem Fernrohr wäre. Der Wert x selbst ist durch

(16)

a

sm x — —

Non.OfeiLag'e/

Fig. 233.

gegeben, wo a die Exzentrizität des Fernrohrs (Abstand der Horizontalprojektion der Ziellinie vom Mittelpunkt der Alhidade) und Z die horizontale Strecke zwischen Aufstellungspunkt 0 und Zielpunkt P ist. Wenn Z nur 50 oder 60 mal größer ist als a (was also jedenfalls noch sehr kurze Zielung vorstellt) und umso mehr für längere Zielungen, darf für jede Genauigkeit der Messung (16) ersetzt werden durch

(17)

Z. B. gibt a = 156,0 mm, Z = 124,7 m, x immer noch =258 = 4'18', und um 2x = 8'37" unterscheiden sich, von 180° und der durch die Exzentrizität Alhidade/Lim-bus verursachten Differenz abgesehen, die Ablesungen am Nonius in Fernrohrlage I und Fernrohrlage II; selbst für die lOmal so große Zielweite Z= 1247 m, kommt der Betrag« auch für nur 20"-Ablesung noch in Betracht (« = 26", 2x = 52"). Da auch für kurze Z die Ablesungen an dem Nonius in Fernrohrlage I und Fernrohrlage II sich nur um eine Anzahl ' unterscheiden, wird auch für einen einzigen Nonius auch bei exzentrischem Fernrohr der Exzentrizitätsfehler Alhidade/Limbus eliminiert (vgl. 3. h.); da überhaupt nicht nur ein Nonius da ist, sondern zwei gegenüberliegende, so findet diese Fehlerelimination ohnehin statt.

62. Vorbereitungen der Horizontalwinkelmessung. Vor der Beschreibung der Horizontalwinkelmessung ist vor allem zu besprechen:

1. Die Aufstellung des Theodolits über einem auf dem Boden gegebnen Punkt, dem Scheitel des zu messenden Winkels. Wo der Theodolit auf einem Steinpfeiler, einem Punkt einer Brüstung u. dgl. aufzustellen ist, ist eine sog. Zentrierspitze nützlich, ausziehbarer zugespitzter Stift unten in der Mitte des Unterhaus, doch kann man sich hier auch dadurch helfen, daß man mit einem groben Zirkel Kreise um den gegebnen Punkt beschreibt, nach denen dann die Fußschrauben zu stellen oder die Fußplättchen zu legen sind. Dieser Fall ist für unsre Zwecke nur ausnahmsweise vorhanden; es handelt sich fast ausnahmslos um „Zentrierung“ des Theodolits über einem auf dem Boden gegebnen Punkt, Pflock, Stein, eingehauenem Zeichen usf. und zwar stehen zu dieser Zentrierung im allgemeinen weder ein „starres Lot“ (Lotstab oder Lotzylinder) oder optische Mittel zu Gebote, sondern es ist mit Hilfe des Schnurlots zu zentrieren.

Die Aufstellung des Instruments über einem am Boden gegebnen Punkt umfaßt die „Horizontierung“ und die „Zentrierung“ des Theodolits; die eine ohne die andere ist ohne Wert, und nach Ausführung beider muß der Theodolit mit seinem Stativ fest verbunden sein. Es sei gegeben der Pflock P mit zentrischer Bohrung Fig. 234, über der aufzustellen ist. Zur Verbindung des Instruments mit seinem Stativ sei Schraubenstange (Stengelschraube) und Spiralfeder da. Der Theodolit sei auf das Stativ aufgesetzt nach P transportiert worden, was auf kurzen Strecken von wenigen 100 m zu empfehlen ist; nur der Senkel ist beim Transport ausgehängt worden, da er sonst zu leicht verloren geht.

Stat-Kopf.

HT

S + A pv

[A3

Fig. 234.

Nach Ankunft bei P wird das Stativ so über P gebracht, daß nach Augenmaß die Platte des Stativs horizontal liegt (es ist vielmehr zu empfehlen, sich hier auf das Augenmaß zu verlassen, als sich mit Benutzung der wenn auch groben Dosenlibelle D aufzuhalten) und daß, wozu der Senkel wieder an H angehängt werden muß, der Endpunkt der Schraubenstange bis auf ganz wenige cm (z. B. 2 oder 3 cm) genau über P liegt, wenn die Schraubenstange etwa durch die Mitte der kreisförmigen Öffnung des Stativtellers geht. Diese Öffnung muß nämlich hinreichen zur Zentrierung, es darf zum genauen Einspielen der Senkelspitze auf P nur eine Verschiebung des Theodolits auf dem Teller erforderlich sein, die auch tatsächlich ausgeführt werden kann; weite Durchbrechung des Stativtellers, die bei den jetzigen metallnen Stativköpfen auch ohne weitres möglich ist, ist deshalb bequem, vgl. Fig. 205a. Die Spiralfeder der Schraubenstange ist zu lösen (sie wird beim Transport angezogen gelassen), damit der Theodolit auf dem Teller verschoben werden kann. Am Stativ werden nun auf weichem Boden die Beine fest in den Boden getreten mit Hilfe der Ansätze A₁A₂A₃', da die Beine möglichst fest im Boden stecken müssen, so ist es für den Anfänger nicht leicht, besonders auf nicht horizontalem Boden in der nächsten Umgebung von P, zugleich auch die annähernd horizontale Lage des Stativkopfs und die Lage der Schraubenstange auf ganz wenige cm genau über P zu erreichen.

Auf gepflastertem Boden u. dgl. sucht man für die drei Beinspitzen Fugen; auch auf ganz hartem Boden tritt man auf die Ansätze A₁ Aa As. Daß man bei Aufstellung auf stark abfallendem Gelände gern ein Bein des Stativs verkürzbar hat, ist schon früher erwähnt.

Das Stativ wird nunmehr, nachdem auf weichem Boden durch Treten auf die Beinansätze A rohe Zentrierung hei roher Horizontierung des Stativtellers erreicht ist (man achte darauf, daß das Eintreten nicht ruckweise geschieht, wodurch das Instrument oft schwere Erschütterungen erleidet) und die Beine fest im Boden stecken, für sich vollends fest gestellt, indem die Flügelschrauben oben an den Beinen angezogen werden, womit also das Stativ unbeweglich festgestellt wird. Nun folgt feine Zentrierung und Horizontierung des augenblicklich auf dem Stativteller noch verschiebbaren Theodolits; beides muß wie schon oben bemerkt,, gleichzeitig erreicht werden. Würden wir mit dem Senkel noch so genau über P zentrieren und dann erst „horizontal stellen“ (d. h. Umdrehungsachse vertikal richten), so würde durch diese Horizontalstellung der Punkt H (Häkchen zum Anhängen des Senkelfadens) wieder verlegt und. die Zentrierung wieder zerstört werden; und ebensowenig Wert hat die Horizontierung, ohne daß zugleich zentriert ist. Deshalb

a)    vor allem ungefähr Horizontalstellung des Theodolits mit der Dosenlibelle D auf der Alhidadenscheibe (die selbstverständlich berichtigt sein muß, an der man aber vorläufig auf einen Ring nicht achtet; die Dosenlibelle [oder eine Kreuzlibelle] hat den Yorteil, daß man nicht die Alhidade, wie bei der Röhrenlibelle als einziger fester Alhidadenlibelle in zwei Lagen hin- und herdrehen muß);

b)    Verschieben des Theodolits auf dem Stativteller, bis der Senkel etwa auf P einspielt (von zwei Richtungen her betrachten; Senkelspitze nahe über P schweben lassen durch richtige Länge der Senkelschnur). Durch diese Verschiebung ist die Horizontierung wieder gestört, deshalb:

c)    Verbessrung der Horizontierung, immer noch mit der Dosenlibelle, oder, falls keine da ist, ohne auf einen oder zwei Striche an einer Röhrenlibelle (stets in zwei Lagen) zu achten;

d)    Verbessrung der Zentrierung mit dem Senkel, jetzt auf 1 bis 2 mm genau;

e)    nochmals Nachsehen der Horizontierung, Dosenlibelle scharf einspielen oder Röhrenlibelle in zwei Lagen vollends einspielen lassen; langsames Umdrehen der Alhidade, um zu sehen, ob die Umdrehungsachse für den betreffenden Zweck genügend vertikal steht. Jetzt kann, auch für den Fall, daß diese Vertikalrichtung noch nicht ganz genügt, der Theodolit mit dem Stativ fest verbunden werden durch Zusammendrücken der Spiralfeder (Hochschrauben der Handscheibe) an der Schraubenstange (oder durch scharfes Anziehen der Zentralschraube, falls eine solche mit Platte da ist). Nochmalige Verbesserung der Horizontierung, die nur noch gering sein wird.

Ist das Instrument bei weitern Transporten als oben angenommen, z. B. bei Triangulierungsarbeit, im Kasten, d. h. getrennt vom Stativ befördert worden, so ist es das beste, zunächst das Stativ ohne Instrument für sich fest aufzustellen, so daß die Platte nach Augenmaß horizontal ist und daß zentriert werden kann (wenn die Schraubenstange am Stativ bleibt beim Transport, so ist einfach an sie der Senkel anzuhängen, ist die Schraubenstange im Instrumentenkasten oder ist keine solche, sondern eine Zentralschraube zur Verbindung von Theodolit und

Stativ da, so kann man, wenn man auch in diesem Fall den Theodolit erst auf das feststehende Stativ setzen will, oben am Stativ den Senkel anhalten. Nach Festtreten der Stativbeine und Anziehen der Flügelschrauben oben setzt man den Theodolit auf den Teller und schraubt sofort Schraubenstange oder Zentralschraube ein (wobei aber noch im ersten Fall die Spiralfeder lose bleibt, im zweiten ebenfalls durch nicht völliges Anziehen der Zentralschraube noch Verschiebung des Theodolits auf dem Teller möglich sein muß; nun ist weiter wie oben angegeben zu verfahren: Zentrierung und Horizontierung zugleich herzustellen und Theodolit mit Stativ fest zu verbinden (Spiralfeder an der Schraubenstange, Zentralschraube ganz fest anziehen).

Vor Beginn der Messung muß die Umdrehungsachse des Theodolits (Stehachse) genügend genau vertikal stehen; z. B. für unsern Zweck auf 1' genau vertikal, wozu die Dosenlibelle endgültig ausreicht, wenn die Zielungen nicht über 1° oder 2° Neigung haben; auf 40" oder 30" genau vertikal, wenn -j- oder — Höhenwinkel der Zielungen bis 5° Vorkommen; auf etwa 20" vertikal, falls Neigungen der Winkelschenkel bis 10° Vorkommen (alles dies noch mit nicht sehr empfindlicher fester Alhidadenröhrenlibelle zu machen) und ähnlich weiter. Nur bei sehr großen Neigungen der Schenkel der zu messenden Horizontalwinkel ist auch schon bei geringen Anforderungen an die Genauigkeit der Winkel-messung verhältnismäßig scharfe Vertikalstellung der Stehachse erforderlich (um so mehr natürlich für die uns hier nicht berührende sehr feine Horizontalwinkelmessung).

Arbeitet man z. B. auf ganz horizontaler Fläche, etwa dem Planum eines Bahnhofs, und sind die Zielpunkte die Fußpunkte von Stäben, die 80 m, 120 m, 160 m vom Theodolit entfernt stehen, so kommen in diesen Zielungen, bei 1,35 m Höhe des In-

1 35

struments bis zur Kippachse, Tiefenwinkel von • p, ... oder von 1°, 0°,6, 0°,5 vor,

80

sodaß bei selbst sehr genauer Winkelmessung die Horizontierung des Instruments mit der Dosenlibelle vollständig genügt. Bei längern Zielungen, bis zu einigen Um Länge, wie sie auch für uns noch in der Kleintriangulierung in Betracht kommen, sind auch im Hügel- oder Bergland Neigungswinkel über 5° oder gar über 10° sehr selten; die Zielung z. B. nach einem 3000 m entfernten Punkt, der 200 m höher liegt als der Standpunkt, steigt nur mit rund 3°,8 an (bekanntlich überschätzt der Anfänger Höhenwinkel, besonders bei Zielungen nach entfernten Punkten, meist stark, oft ums doppelte und dreifache). Ausnahmen, d. h. sehr beträchtliche Neigungen der Winkelschenkel kommen natürlich bei kurzen Zielungen (z. B. in der Stadt nach einer wenig weit entfernten Turmspitze) und bei längern Zielungen (Mittelgebirge oder gar Hochgebirge) vor; für sie heißt es bei der Horizontalwinkelmessung, wie wir noch genauer sehen werden, vor allem: Umdrehungsachse scharf vertikal.

Der zur Zentrierung dienende Senkel war bis vor kurzem meist ein sog. Doppelsenkel: das eine Ende des Senkelfadens war an dem „Gegengewicht“ (so schwer als die Senkelbirne) befestigt, das andre Ende ging durch dieses Gegengewicht durch zur Senkelbirne. Diesem Doppelsenkel, der in sehr einfacher Weise die Senkellänge zwischen Aufhängepunkt und Senkelspitze zu regeln gestattet, ist in letzter Zeit (in allzu summarischer Weise) der Krieg erklärt worden (es sei eine „Künstelei“, was man eher von den dafür vorgeschlagnen Einrichtungen sagen kann;

richtig ist, daß er im Wind etwas stärker schwankt, als ein einfacher Senkel, schon weil er dem Wind mehr Angriffsflächen bietet, hei einigermaßen lebhaftem Wind ist aber mit einem einfachen Senkel ebensowenig genau zu zentrieren, wie mit dem Doppelsenkel). Man verwendet lieber einfache Senkel, in deren Schnur ein Knoten zur Regelung der Senkel-länge gemacht wird oder die zu diesem Zweck mit einem kleinen hölzern Schieber, durch den die Schnur geht, versehen sind. Bei ruhigem Wetter kann man mit dem Schnürsenkel leicht auf 2

mm genau zentrieren, was seihst bei kurzen Winkelschenkeln für uns ausreicht: bei m langer Zielung kann dieser Zentrierungsfehler im ungünstigsten Fall (nämlich bei der Richtung der 2wm-Strecke quer zur Zielung) diese • 206000" = 4" unrichtig machen und entsprechend weniger

100

um

ioo mm

bei längern Zielungen.

2. Horizontalwinkelmessungsmethoden, Übersicht. Es gibt wesentlich drei solche Methoden, von denen übrigens die zwei ersten sich nur in der Zahl der Zielpunkte unterscheiden, nämlich:

a)    die sog. einfache Winkelmessung zur Bestimmung eines einzigen Winkels, des Unterschieds zweier Richtungen. Der Standpunkt sei O, die Zielpunkte, zwischen denen der Horizontalwinkel zu messen ist, A und B. Bei beliebiger, aber fester Lage des Horizontalkreises (Nullpunkts des Kreises) wird durch geeignete Drehung der Alhi-dade (grob mit freier Hand, fein mit der Feinschraube) und geeignetes Kippen des Fernrohrs A angezielt, der Kreis an beiden Nonien abgelesen; bei unveränderter Lage des Limbus Albidade „nach B gedreht“, B ebenfalls eingestellt, beide Nonien ahgelesen. Um den Winkel zwischen A links und B rechts zu erhalten, ist dann, da die Kreisteilung von links nach rechts (Uhrzeigersinn) beziffert ist, an jedem Nonius zu nehmen: Ablesung bei B minus Ablesung bei A. Der Anfänger macht besonders bei Winkeln nahe bei 180° hier leicht Fehler, wenn er sich die ausge-sprochne Regel nicht ein für allemal einprägt. Die Messung kann selbstverständlich beliebig oft wiederholt werden und man spricht dann von wiederholter einfacher Winkelmessung (nicht mit Repetition zu verwechseln, vgl. c)).

b)    die sog. Satzmessung oder (süddeutsch) satzweise Messung von Horizontalwinkeln, Messung von Horizontalwinkeln aus oder nach Richtungen faßt in derselben Weise, wie in a) zwei Richtungen behandelt sind, mehr als zwei Zielungen zusammen in einen sog. Satz (Gyrus), innerhalb dessen die Limbusstellung sich nicht verändern darf. Theoretisch kann ein Satz beliebig viele Richtungen enthalten, praktisch jedenfalls nicht über 6, weil die Messung sonst zu lange dauert, zu wenig Gewähr für genaue Erhaltung der Lage des Nullpunkts vorhanden ist. Die Winkel sind als Differenzen der Richtungen zu bilden. Die einfache Winkelmessung, ist wie schon angedeutet, nichts als eine Satzmessung mit nur zwei Richtungen; wie diese kann auch die Satzmessung mit 3, 4, 5 Richtungen beliebig oft wiederholt werden: es werden nach Bedarf 2, 3, 4 Sätze zwischen diesen Richtungen gemessen und zum Schluß zum Mittel zusammengefaßt.

c)    Prinzipiell verschieden von diesen beiden Methoden a) und b) ist

die sog. Repetitionsmethode (besser Multiplikationsmethode, denn im eigentlichen Wortsinn repetieren kann man jede Messung bei a) und

b) auch), bei der es sich wieder nur um einen einzigen Horizontalwinkel bandelt; dabei ist von vorn herein zu entscheiden (was bei a) ganz unnötig war), was der Punkt links und was der Punkt rechts sein soll, z. B. A links, B rechts. Das Wesen der Methode ist, daß nicht der Winkel y zwischen A links und B rechts, sondern sogleich ein Vielfaches von y gemessen wird (deshalb wäre die Bezeichnung Multiplikation des Winkels besser als Repetition, was eigentlich Messung von y, dann wieder Messung von y usf., also die wiederholte einfache Messung bezeichnen sollte; doch ist die schlechtere Bezeichnung Repetition die allgemein übliche geworden). Und zwar ist das Vielfache, wie wir noch hören werden, in der Regel ein gerades Vielfaches von y, man mißt 2y} 4y, 6y und der geforderte Winkel ergibt sich erst nach Division mit 2, 4 oder 6.

Die Messungen a) und b) können mit einem einfachen Theodolit oder einem Repetitionstheodolit ausgeführt werden, zur Messung c) ist unbedingt ein zum Repetieren (Multiplizieren) eingerichtetes Instrument erforderlich, dessen Teilkreis also selbst um eine Vertikalachse gedreht werden kann und mit Mikrometerwerk versehen ist.

Bei jeder der drei Messungsmethoden ist selbstverständlich der Einfluß des Exzentrizitätsfehlers der Alhidade durch Ablesen an zwei einander gegenüberstehenden Nonien I und II zu eliminieren (vgl. 61. 3. b)). Über weitre Fehlerelimination vgl. den folgenden Absatz 3., über die Durchführung der Messungen die drei folgenden Nummern.

3. Einfluß bestimmter „Achsen“-Fehler des Theodolits auf einen mit dem Instrument gemessnen Horizontalwinkel.

Die Achsenfehler seien nicht ganz weggeschafft, es sei vielmehr ein kleiner Ziellinienfehler (Kollimationsfehler) c vorhanden, ein kleiner Kippachsenfehler (i. e. S., vgl. 60. 3. c)) i₀ und endlich ein kleiner Stellungsfehler v der Umdrehungsachse der Alhidade. Mit dem Instrument ist der Winkel zwischen Punkt A links und Punkt B rechts gemessen, von denen A unter dem Höhenwinkel cc , B unter dem Höhenwinkel ab erscheint (beide können positiv oder negativ sein); ferner bilde die Zielebene nach A mit der V. E. der unrichtig stehenden Umdrehungsachse den Horizontalwinkel ß die Zielebene nach B mit dieser V. E. den Winkel ßb, vgl. 60. 3. Die Horizontalprojektion der Zielung nach A wird dann unrichtig um (vgl. Gleichung (7) in Nr. 60):

(1)

(2)

ü = C ' sec aa + *o ' f9 % + * • Sin ßa ■ ebenso wird die Horizontalprojektion der Zielung nach B unrichtig um: Sb = c ■ sec ccb + i₀ • tg afj -f v ■ sin ßb ■tg ab.

Der Horizontalwinkel zwischen A links und B rechts, d. h. die Differenz der Ablesungen am Nonius, wie sie unmittelbar gemacht sind, fällt also um den Betrag

A = §b — 8a unrichtig aus,

A = c (sec ab — sec cca) + i₀ (tg afj — tg aa) + v (sin ßb tg ab — sin ßa tg ccj.

II (Kippachse)

(3)

I (Ziellinie)

Hammer: elementare praktische Geometrie.

d. h. also um

III (Stehachse)

24

Die Gleichung (4) bezieht sich auf Messung in einer Fernrohrlage; den Achsenfehlern c und i sind dabei bestimmte Vorzeichen beizulegen, vgl. (JO. 1. 2. Um zunächst zu zeigen, wie viel weniger von Bedeutung in jedem Fall ein Kollimationsfehler c ist als ein gleich großer Kippachsenfehler *₀, sind hier zwei kleine Tafeln für die Feträge der Klammern in I und in II zusammengestellt (beachte, daß für positive wie für negative spitze cc cos cc und sec cc stets -)- ist, während tg cc das Vorzeichen von cc hat). Das Höhenwinkelintervall ist 10°, zur Übersicht ausreichend.

Koeffizienten von I. (sec ccb — sec cca)

— 3o°

— 20°

— 10°

0°

-f 10°

-f 20°    + 30°

—    30°

—    20° — 10°

0°

+ 10° + 20° + 30°

+ 0,091

0,000

0,000

0,000    + 0,091

0,000

+ 0,139 + 0,049 0,000 — 0 015 0,000 + 0.049 + 0,139

0,000

0,000

Koeffizienten von II. (tg ab

“« =

“6 =+

—    30°

—    20° — 10°

— 30°

— 20°

— 10°

0°

+ 10°

+ 20°

+ 30°

0°

+ 10° + 20° + 30⁶

0,000 + 0,213 + 0,401 + 0,577 + 0,754 + 0,941 + 1,155

— 0,213 i —0,401 0,000 —0,188 + 0,188 0,000 + 0,364    +    0,176

0,000

+ 0,176 -t- 0,364    + 0,188

—    0,941

—    0,728

—    0,754

—    0,540

—    0,353    — 0,540

—    0,176    — 0,364

0,000 | —0,188

0,000

+ 0,401    + 0,213

0,000

Für die praktische Anwendung könnten beide Tabellen übersichtlicher durch graphische Tafeln mit zwei Eingängen ersetzt werden, doch reicht zu unsrem jetzigen Zweck die Zahlenzusammenstellung aus. Sie zeigt auf einen Blick die Harmlosigkeit des Ziellinienfehlers im Vergleich mit einem ebensogroßen Kippachsenfehler; z. B. ist mit ab — + 20° aa = — 10°, ferner c = i = 60" (je absolut) der Betrag von I = 60". 0,049 = 3", der Betrag von II = 60" • 0,540 = 32", das lOfache. Die Vorzeichen der

gleich

Glieder I und II des Ausdrucks (4) sind j Tafeln, je nachdem c und i₀ das Vorzeichen j |

entgegengesetzt

dem der vorstehenden

haben.

Die Gleichung (4) zeigt, daß für horizontale Lage beider Winkelschenkel, ab = aa = 0, alle Achsenfehler ohne Einfluß sind; der Kippachsenfehler i₀ ist ferner auch ohne Schaden für den gemessnen Horizontalwinkel, wenn ab = aa ist, die Zielpunkte unter demselben Höhenwinkel erscheinen (demselben Höhenwinkel oder demselben Tiefenwinkel); der Ziellinienfehler c endlich ist auch dann ohne Schaden, wenn ab = + ua ist, die Höhenwinkel nach den zwei Zielpunkten gleich oder entgegengesetzt gleich sind (auch hierin zeigt sich also die geringere Schädlichkeit des Ziellinienfehlers).

Der Ziellinienfehler c und der Kippachsenfehler ?'₀ ändern ferner ihre Vorzeichen, wenn das Fernrohr durchgeschlagen wird und dieselben zwei Punkte wieder angezielt werden; durch „Messen mit Kompensation“ befreit man also den gemessnen

Horizontalwinkel vom Einfluß von c und i₀, und auch der für die Messung in nur einer Fernrohrlage u. U. große Einfluß des Kippachsenfehlers wird damit ungefährlich.

Auch beim Messen mit Kompensation bleibt aber das bisher nicht betrachtete letzte Glied des Ausdrucks (4), Einfluß des Stellungsfehlers der Umdrehungsachse,

IH = v ■ (.sin ßb tg ccb — sin ßa tg aa);

für dieses Glied ist ohne Einfluß, ob F. R. L. I oder F. R. L. II vorhanden ist. Die ß sind die Richtungswinkel der Zielungen, gezählt von der Y. E. der unrichtig stehenden Umdrehungsachse aus. Der Ausdruck der Klammer rechts in (5) könnte ebenfalls nomographisch ablesbar gemacht werden. Für uns genügt jetzt folgende Überlegung: die Klammer wird nur dann 0 oder klein, also auch, bei bestimmtem v, III = 0 oder klein, wenn entweder ctb — aa = 0 oder klein ist (horizontale oder nahezu horizontale Zielung); oder wenn ßb und ßa je = 0 oder = 180° oder wenig davon verschieden sind: für Messung eines kleinen oder von 180° wenig verschiednen Horizontalwinkels ist auch bei beträchtlichen Höhenwinkeln der Steh achsenfehler v dann nicht von Bedeutung, wenn zufällig die Zielungen nahezu in der Y. E. liegen. Winkel von nahezu 180° kommen bei der sog. Zugmessung häufig vor; wenn man mit Kompensation mißt, sodaß c und i₀ nicht in Betracht kommen und wenn ferner mit gut berichtigter Libelle gearbeitet wird, so ist bei der Aufstellung des Theodolits auf gutes Einspielen der Röhrenlibelle in der Richtung quer zum Zug (quer zu den Schenkeln der annähernd 180° betragenden Winkel) zu achten, um so mehr je größer die vorkommenden Höhen winkel der Zielungen sind. Der schlimmste Fall ist für den Einfluß des Fehlers v der Stehachse der, daß die Höhenwinkel groß und annähernd gleich (beide bedeutende Höhen- oder beide bedeutende Tiefenwinkel) sind und daß ßb — + 90°, ßa ist. Der zu messende Horizontalwinkel ist (ßb — ßa); sein Fehler wird mit ßb = 90°, ßa — — 90° (= 270°) oder umgekehrt, und mit ccb — cca — cc absolut

= 2 v ■ t g cc .

Dies ist der größte Betrag, um den ein Horizontal winkel, dessen Schenkel dieselbe Neigung cc haben, infolge des Stellungsfehlers v der Umdrehungsachse falsch werden kann. Mit cc — -f- 20° (Zielungen an beiden Berglehnen eines engen Tals hinauf, Winkelscheitel unten im Tal) oder mit cc — — 20° (Zielungen von einem schmalen Bergrücken nach beiden Seiten hinunter) und für ungünstigste Lage der zwei Winkelschenkel in Beziehung auf die ß (zu messender Winkel 180° und Schenkel quer zur Y. E.) wird z. B. für v — 1' absolut Illmax = 120" • 0,364 = 44", auch wenn mit Kompensation gemessen wird. Zu messende Winkel von nahe bei 180° Betrag (Zugmessung) bei beliebiger Lage der Schenkel zur Y. E. sind dagegen willkommen, wenn cca = — ccb ist, da dann mit sinßb = — sinß(l und tg ccb — — fr/ ccw die Klammer in (5) 0 wird. Das wäre der Fall der gestreckten Zugmessung auf gleichmäßig steigender oder fallender Linie.

(5)

(6)

UI

um

max

annähernd 180° verschieden, nämlich 90°

Zu merken ist jedenfalls: für die Horizontalwinkelmessung ist das wichtigste Vertikalstellung der Umdrehungsachse; hei gleicher verlangter Genauigkeit der Messung um so schärfer, je größre Höhenwinkel und Tiefenwinkel in den Zielungen Vorkommen. Fehler des Winkels zwischen Ziellinie und Kippachse und des Winkels zwischen Kippachse und Stehachse können durch Messen in beiden Fernrohrlageu immer eliminiert werden.

63. Ausführung der Horizontalwinkelmessung. Erste Art: Einfache Winkelmessung. Die drei Arten der Messung sind oben in 62. 2.

aufgezählt und hier nun einzeln zu erörtern; zunächst die „einfache Winkelmessung“ und „wiederholte einfache Winkelmessung“.

1. Der Theodolit ist über dem als Winkelscheitel gegebnen Punkt 0 aufgestellt nach 62. 1.; Stehachse so genau vertikal als der verlangten Genauigkeit der Winkelmessung und den Neigungen der Zielungen entspricht, z. B. bei Messung mit einem 20"-Theodolit und Neigungen der Winkelschenkel abs. < 3° genügend mit der 2'-Dosenlibelle der Alhidade. Ist der zu verwendende Theodolit ein Repetitionstheodolit, an dem vielleicht die Limbusaclise und Alhidadenachse statt zusammenzufallen einen kleinen Winkel bilden, so ist die Achse der Alhidade, nicht aber die des Limbus vertikal zu richten.

Zu messen ist der Horizontalwinkel zwischen zwei gegebnen Zielpunkten A und B. Der Nullpunkt des Kreises hat bei der Aufstellung eine ganz beliebige Lage erhalten, die er aber während der Messung nicht verändern darf; beim einfachen Theodolit Instrument fest mit dem fest aufgestellten Stativ verbinden, beim Repetitionstheodolit außerdem Limbus-klemrne scharf anziehen. Alhidade von freier Hand so gedreht und Fernrohr so gekippt, daß nach Augenmaß (über das Fernrohr hin zielen!) der Punkt A im Gesichtsfeld sein wird. Sieht man ihn und hat ihn ungefähr ins mittlere Drittel des Gesichtsfelds gebracht, so wird die Alhidaden-klemme angezogen (braucht nicht so scharf gemacht zu werden wie bei der Limbusklemme des Repetitionstheodolits); bestes Bild des Punkts hergestellt mit dem Trieb des Okularauszugs (nachdem schon vor Beginn der Messung füi deutlichstes Sehen der Fäden durch Regelung der Entfernung Okular — Fadenebene gesorgt wurde, auch muß vor Beginn der Vertikalfaden nahezu senkrecht zur Kippachse gestellt worden sein), Punkt durch Freihandkippen des Fernrohrs ganz in die Nähe des Horizontalfadens gebracht (des inittlern Horizontalfadens, wenn drei da sind; dem Anfänger fällt meist leichter, auch den richtigen Höhenwinkel des Fernrohrs mit Klemme und Feinschraube der Kippbewegung des Fernrohrs herzustellen, bei einiger Messungsübung braucht man aber dieses Höhenmikrometerwerk nicht, wenn man nur dafür sorgt, daß durch ganz leichtes Bremsen der Kippachse das Kippen des Fernrohrs nicht zu leicht geht). Nochmals nachsehen ob keine Parallaxe da ist, kleine Vertikalbewegungen des Auges vor dem Okular dürfen Bild von A gegen den Horizontalfaden nicht verschieben; nunmehr Haupteinstellung: scharfes Anzielen von A für die Horizontalwinkelmessung, nämlich mit der Feinschraube der Alhidade (freihändige Drehung würde nicht zum Ziel führen können, ist übrigens ja durch das Klemmen der Alhidade unmöglich) Vertikalfaden scharf auf A, z. B. Stab A am Fuß, den Stab mit dem Vertikalfaden scharf halbieren; bei weiter entferntem Stab oder. Stange und doppeltem Vertikalfaden Fuß der Stange scharf in die Mitte zwischen beide Fäden bringen. Ablesen beider Nonien, die Ablesungen seien ax (Non. 1) und a₂ (Non. 2).

Alhidade gelöst, dabei nicht ziehen an der oder drücken gegen die Klemmschraube, diese gut zentrisch zwischen zwei Finger nehmen nnd nun drehen. Alhidade so drehen, daß B angezielt werden kann. Beim Drehen der Alhidade nicht das Fernrohr anfassen! Der Anfänger dreht

gern die Alhidade dadurch, daß er das Fernrohr am Okularkopf ergreift; dadurch ist man bedeutenden Fehlern ausgesetzt, die Ziellinie kann verlegt werden (c einen beträchtlich andern Wert bekommen) da der Okularkopf trotz aller Führung etwas Spielraum hat, selbst die Kippachse kann in den Lagern etwas verlegt werden. Beim Drehen der Alhidade faßt man vielmehr die zwei Fernrohr träger so an, daß kein einseitiger Druck auf den Zapfen der Alhidade entstehen kann, d. h. mit zwei Fingern gleichmäßig von beiden Seiten her. Wenn B etwa „im mittlern Drittel“ des Gesichtsfelds, Alhidade wieder klemmen! Bild Fernrohr kürzer, wenn B viel weiter entfernt ist, am besten aber womöglich Fernrohr nicht verändern, damit c sich nicht ändert; Höhenwinkel (am besten freihändig, s. bei A, so richten, daß das Bild von B nahe beim Horizontal-faden ist, ohne daß es bei nahezu richtiger Stellung des Vertikalfadens auf V ankäme, dann B scharf auf den Vertikalfaden (Feinschraube der Alhidade); Ablesen beider Nonien. Man hat damit also folgendes Schema:

von

B scharf machen, z. B.

Standpunkt O Nonius 1.

Nonius 2.

Zielpunkt A Zielpunkt B

Da die Beziffrung des Kreises im Uhrzeigersinn geht, so erhält man stets den Winkel zwischen A links und B rechts, indem man von der Ablesung hei B die Ablesung bei A abzieht.

Bei einem spitzen zn messenden Winkel sieht auch der Anfänger die notwendige Art des Abziehens ohne weitres, auch wenn die abzuziehende Zahl die größre ist: man hat eben dann zur andern 360° hinzuzufügen. Liegt aber der zu messende Winkel nahe bei 180°, so entstehen für ihn meist Zweifel, wie abzuziehen ist. Es ist aber ein für allemal an der ausgesprochnen Regel festzuhalten, und nach Bedarf die Ablesung, von der abzuziehen ist, um 360° zu vergrößern.

Nach vorstehendem Schema ergibt sich also als Wert des Winkels y zwischen A links und B rechts:

nach den Ablesungen am Nonius 1 y₁ = bt — oi

2 y₂ = b₂ — a₂, endgültig als Mittel

w|

r>

(2)

wobei dieses Mittel vom Exzentrizitätsfehler Alhidade/Limbus befreit ist. Zahlenbeispiel. Messung mit 20"-Theodolit: ...; Datum: ...; Beobachter: ...

Standpunkt P

Non. 1.

Non. 2.

Zielpunkt A

172° 28' 40" 258° 57' 00"

352° 30'00" 78° 58' 40" (438)

Winkel zwischen A links f y₁ = 86° 28'20" und B rechts

86° 28' 40" = y.

\ endgültig y = 86° 28' 30".

Diese Messung genügt für manche Fälle, besonders bei geringer verlangter Genauigkeit und wenn die zwei Zielungen kleine Neigungen, 1 bis 2° haben, wie im Beispiel der Fall war, so daß auch große Achsenfehler geringen Einfluß haben. Sowohl bei A als bei B, im Beispiel etwa 90° weiter rechts, lautet die Ablesung am Nonius 2, von der Differenz 180° abgesehen, um etwa iy₂' größer als am Nonius 1. Es scheint hiernach, daß an dem Instrument der Bogen zwischen Nonius 1 links und Nonius 2 rechts etwas größer, der zwischen Nonius 2 links und Nonius 1 rechts etwas kleiner als 180° ist, was, wie wir wissen, völlig gleichgültig ist. Der Anfänger ist geneigt, seine Messung für um so besser zu halten, je näher die Ablesungen am Nonius 1 und Nonius 2 in ' und " miteinander übereinstimmen; ein sehr gefährlicher Irrtum. Man lese, nachdem Nonius 1 abgelesen ist, stets den andern ab, ohne sich irgendwie von der zuerst gemachten Ablesung beeinflussen zu lassen; ablesen, „was man sieht“! Die Messung wird dadurch besser.

2. Vollständige einfache Winkelmessung. In vielen Fällen genügt aber auch die vorstehende Messung in der I. Lage des Fernrohrs nicht, sondern ist in der II. Lage des Fernrohrs, nach Durchschlagen zu wiederholen. Diese Messungen zusammen erst nennt man dann einfache vollständige Messung des Winkels AB. Man erhält also bei ihr, da in jeder Lage des Fernrohrs beide Nonien abgelesen werden, bei jedem der zwei Punkte im ganzen 4 Ablesungen, nach folgendem Schema, in dem der Index, wie oben, den Nonius, der Akzent die Fernrohrlage andeutet. Dabei ist in dem Schema gleich die „Ausrechnung der Ablesungen“, die Mittelbildung, die Berechnung des Winkels aufgenommen.

Stand- Zielpunkt punkt

Fernrohrlage I Ablesungen

Fernrohrlage II

Non. 1J. Non. 2

Mittel

Ablesungen

Mittel

Gesamtmittel

Non. 11 Non. 2

a\

a'%

a' =

b' =

V{

a a"

2 *-&? + &*■ b = ⁶' + b"

Winkel zwischen A links nnd B rechts y = b — a.

Das Zeichen X im Formular bedeutet Durchschlagen des Fernrohrs; die Werte in den Spalten „Mittel“ (für Fernrohrlage I und für Fernrohrlage II) und „Gesamtmittel“ (aus allen vier Ablesungen bei demselben Punkt) sind keine abgelesnen, sondern berechnete Zahlen. Statt viermal die Differenz: Ablesung bei B minus Ablesung bei A zu bilden (in jeder Fernrohrlage für jeden Nonius), d. h. statt die Zahlen zu bilden:

y\ = h\ -

n 7 rr    rr

y[₂ = &' — a'₂ (für Fernrohrlage I an jedem Nonius)

¥ 2 ⁼⁼ ^2    ^2 ( 11    11 F „    ,,    )

aus denen sich als endgültiger Winkel erst

(4)

r _ ¹ (ti + y'z | y'i + y'a} ⁷ ~ 2l 2 ^    2~\

ergibt, ist es im allgemeinen bequemer so zu rechnen, daß je aus den Ablesungen am Nonius 1 und am Nonius 2 bei derselben Zielung das Mittel genommen wird, nämlich die Mittel gebildet worden:

a' ₌ ai + «2 2

y = ~h &2

(o)

F.R.L. I

a" =    + a'²'

F.R.L II

und diese abermals zum Mittel zusammengefaßt werden:

a -j- a”

(6)

Gesamtmittel

r=—ä-

V + b"

aus deren Differenz sich als Winkel zwischen A links und B rechts ergibt

(⁷)

y = b — a.

Bei der angegebnen Rechnungsweise ist dann auch eine etwa vorkommende (besonders beim Anfänger nicht seltne, aber auch bei größrer Übung und rascher Messung nicht ausgeschlossne) Verwechslung der zwei Nonien bei der Ablesung ohne Schaden, wenn nur einmal die Grade richtig gelesen sind. Die Zahlen der Spalte Gesamtmittel stellen gleichsam endgültige Ablesungen beim Punkt A und beim Punkt JB vor, gemittelt aus den tatsächlich gemachten Ablesungen. Die Ablesung am Nonius 2 ist stets um sehr nahe 180° verschieden von der am Nonius 1; ist Ablesung a₁ am Nonius 1 < 180°, so ist a₂ ~ ax -f 180°; ist a, > 180°, so ist a₂ ^ ax — 180°), so daß auch bei bedeutendem Exzentrizitätsfehler Alhidade/Limbus mit der Ablesung der Gradzahl an einem Nonius auch die Gradzahl am andern Nonius feststeht (wobei nur an die möglichen Fälle ax = 72° 59'00", a₂ = 253°1'00", d. h. hier 252° 61'00"; oder ax = 315° l'lO", a₂ = 134°58'30", d. h. hier a{ = 314° 61'10" erinnert sei); es kann also offenbar die Ablesung am Nonius 2, nachdem die Grade am Nonius 1 sorgfältig mit abgelesen sind, sich auf ' und " beschränken. In Fernrohrlage II könnten also die Grade ganz wegbleiben, da auch bei bedeutenden Achsenfehlern c und i (die eben durch Wiederholung in Fernrohrlage II eliminiert werden) die Grade am Nonius 1 um 180° anders lauten als an demselben Nonius in Fernrohrlage I (mit denselben Ausnahmen, wie eben angedeutet), die Grade am Nonius 2 werden jedenfalls so wenig gelesen, wie in Fernrohrlage I; es ist aber dem Anfänger entschieden zu raten, auch in Fernrohrlage II wenigstens am Nonius 1 die Grade nochmals sorgfältig zu lesen. Gradfehler und selbst 10°-Fehler sind beim Anfänger viel häufiger als man denken sollte.

Zahlenbeispiel. Instrument: 20"-Theodolit (gelegentliche Schätzung 10") .... Datum usf. wie oben.

Stand - Zielpunkt punkt

Fernrohrlage I

Ablesungen

Non. 1

Non. 2

Mittel

Fernrohrlage H

Ablesungen

Mittel

ji Ge samtmittel

Non. 1

Non. 2

238° 24' 20"    23' 00"    23' 40"    58° 26' 40"    25' 20"    26' 00"    5S_° 24' 50"

349° 17'30"    16'30"    17'00"    169° 20'00"    18'40"    19'20"    169° 18'10"

Winkel zwischen A links und B rechts y = 110° 53'20"

Zu diesen Zahlen ist noch folgendes zu bemerken: die Gradzahlen am Nonius 2 sind als selbstverständlich nicht abgelesen: sie würden in Fernrohrlage I bei A und B lauten 58° und 169° (wie sie in Fernrohrlage II am Nonius 1 heißen), in Fernrohrlage II stand bei der Zielung nach A und B am Nonius 2 238° und 349°. Die Ablesung der Gradzahlen am zweiten Nonius ist also völlig entbehrlich. Die Mittelbildung je für Fernrohrlage I und Fernrohrlage II beschränkt sich auf ' und ", die Grade bleiben außer Betracht, da sie ja nur an einem Nonius (I) überhaupt gelesen sind. Bei der Mittelbildung beachte man, daß die zusammenzufassenden Zahlen vielfach so wenig voneinander abweichen, daß das Mittel ohne Besinnen angeschrieben werden kann; man betrachte nur immer den Unterschied zwischen zwei solchen nahezu gleichen Zahlen und schlage den halben Unterschied zur kleinern zu oder ziehe den halben Unterschied von der großem ab. Wenn die Minutenzahlen beide gerade oder beide ungerade sind, so kann man auch Minuten für sich und Sekunden für sich mittein; z.B. bei Mittel aus 20'00" und 18'40": Mittelaus 20'und 18' gibt 19', Mittel aus 00"

47' -f- 49'

und 40" gibt 20"; ebenso etwa bei Mittel aus 47'30" und 49'10": 30" -f10"

= 20".

a -f- a" '

2 ’ ⁼

= 48' b' + b"

Bei den Gesamtmittelzahlen a =

hätte es abermals keinen Wert, auch die Grade in die Mittelbildung einzubeziehen; falls man die Grade vom Nonius 1 stehen ließe, die allein abgelesen sind, erhielte man nur zwei Zahlen, die um 90° größer sind als die in der einen, um 90° kleiner sind als die in der andern Fernrohrlage abgelesnen Gradzahlen, im Beispiel:

_ 238° 23' 40" -f 58° 26' 00"

= 148° 24'50"

= 259° 18' 10".

349°17'00"-f 169°19' 20"

Die Differenz beider Zahlen (b — a) ist selbstverständlich genau dieselbe, wenn man die Grade nicht mit mittelt, sondern sie ent-weder von Fernrohrlage I oder von Fernrohrlage II (bei beiden Punkten A und B aber von derselben Fernrohrlage) stehen läßt, wie sie am Nonius 1 abgelesen sind. Deshalb ist im Formular beim Gesamtmittel gleich eingesetzt 58° und 169°; ebensogut hätten 238° und 349° genommen werden können.

Wir wollen uns ferner nochmals erinnern, daß bei der obigen Rechnungsweise die Mittelzahlen der zwei Nonien (die Zahlen a', &', ebenso a", 6") vom Exzentrizitätsfehler Alhidade/Limbus befreit sind; er scheint an dem oben verwendeten Instrument klein zu sein, denn sowohl bei A als bei B in um 111° verschiednen Richtungen liest man am Nonius 2 immer nahezu gleichviel mehr ab als am Nonius 1, 1' 20" bis 1' 0". Nun setzt sich ja der Unterschied der zwei Nonienablesungen, von 180° abgesehen, aus einem konstanten Teil (Winkel zwischen beiden Nonien 180° + e")

und einem variablen Teil t"

■ sin cp zusammen, von der Exzentrizität herrührend, vgl. 61. (3). Hier ist nun die Ablesungsdifferenz in zwei zueinander fast senkrechten

a -j- a"

Richtungen fast dieselbe, also jedenfalls die Exzentrizität klein. Die Mittel a =

b = —- endlich sind von dem Einfluß der Achsenfehler befreit, soweit dieser durch

Durchschlagen eliminiert wird (c und i₀). Da die Zielungen kleine Höhenwinkel hatten, so ist für beide i₀ tg cc wenig von Bedeutung, die Hälfte der Differenz a — a" — — 2' 20", b' — b" = — 2' 20", zufällig beide gleich, stellt (abgesehen von Ablesefehlern) den Kollimationsfehler c vor, absolut = 1' 10".

Ein gutes Feldbuch (Feldausweis, Winkelprotokoll, Formular, Schema) für das Aufschreiben der Messungen ist sehr wichtig; selbstverständlich gibt es aber einmal so viele solcher Winkelformulare, als es Behörden gibt, die Winkelmessungen brauchen, und sodann noch viele andre. Bei vielen Formularen zur einfachen Winkelmessung (s. oben) und zur Satzmessung (s. folg. Nr.) sind die Ablesungen in beiden Lagen des Fernrohrs übereinander gesetzt (z. B. in den Formularen mehrerer deutscher Katasterverwaltungen); es ist aber entschieden vorzuziehen, die zwei Fernrohrlagen nebeneinander zu stellen.

3. Wiederholte einfache Winkelmessung. Daß man diese einfache vollständige Winkelmessung beliebig oft wiederholen kann, ist klar. Man wird aber die weitern Messungen nicht mit derselben Limbusstellung machen, sondern zwischen je zwei Messungen der Null des Teilkreises eine andre Lage geben. Zwischen zwei Messungen wird man auch die Horizontierung des Instruments nachsehen, (während innerhalb einer Messung selbstverständlich keine der Fußschrauben berührt werden darf!). Um an symmetrisch gelegnen Stellen der Kreisteilung mit der Ablesung herum zu kommen, wodurch, für feinre Messung wichtig, die periodischen Kreisteilungsfehler eliminiert werden, verdreht man den Kreis zwischen je zwei Messungen nicht ganz beliebig, sondern, wenn der Winkel n mal

180°

vollständig gemessen werden soll, jedesmal ungefähr um ^ , ohne, selbst

beim Repetitionstheodolit, auf einige Minuten oder 20' oder 1° zu achten

/18t \ n

ist besser als    da man an die gegenüberliegende Stelle des

Teilkreises ohnehin durch die Ablesung am 2. Nonius kommt, also noch

erreicht, als bei

der Fall wäre^. Diese „Verdrehung“ des Teilkreises läßt sich beim

einfachen Theodolit nur durch Versetzen des ganzen Instruments erreichen, so daß hier jedesmal neu zentriert und horizontiert werden muß; bei Anwendung eines Repetitionstheodolits einfacher durch Drehen des Kreises um seine Vertikalachse und Wiederfestklemmen (Limbusklemme wieder scharf anziehen!). Soll der Winkel z. B. dreimal gemessen werden und ist bei der ersten Messung bei der Zielung nach A (Fernrohrlage I) am Nonius 1 abgelesen worden 287° 20) so soll für dieselbe Fernrohrlage bei der zweiten Messung hei der Zielung nach A am Nonius 1 etwa 287° 20' 60° 0' = rund 347° und bei der dritten Messung 287° 20' -j- 120° = rund (407°) = 47° stehen. Selbstverständlich mißt man, nachdem bei der ersten vollständigen Messung die Fernrohrlage II beendigt ist, bei der zweiten

180°

mehr verschiedene symmetrische Kreisstellen mit----

J    n

360°

Messung zunächst mit dieser Fernrohrlage (nach Verdrehung des Kreises) weiter; es ist aber dem Anfänger zu raten, diese Lage dann auch als II. in die nächste Messung des Winkels einzutragen, überhaupt die zwei Fernrohrlagen in unzweideutiger Art auseinanderzuhalten, z. B. mit Hilfe des Höhenkreises, falls einer vorhanden ist (Höhenkreis links, Höhenkreis rechts von der Zielung) oder mit Hilfe der Nivellierlihelle auf dem Fernrohr (Libelle oben, Libelle unten) und dann beim Aufschreiben sich streng hieran zu halten (an sich ist dies ohne Bedeutung, wenn die Mittel wie oben quer auf jeder Zeile gebildet werden). Der Anfänger halte sich überhaupt streng an die Vorschrift: jede Ablesung an ihren richtigen Platz! (auch z. B. in Beziehung auf die Nonien). Selbstverständlich hat man sich, um wesentliche Irrtümer bei Winkeln nahe bei 180° zu vermeiden, besonders davor zu hüten, eine bei einem Zielpunkt gemachte Ablesung zum andern Zielpunkt zu schreiben.

Zahlenbeispiel für dreimalige Messung eines Winkels: Instrument ein 10"-Theodolit mit gelegentlicher Schätzung von 5"; wie die Ablesungen zeigen, Abstand beider Nonien um etwas über 1' anders als 180°, bei geringer Exzentrizität Alhidade, Limbus. Achsenfehler alle gering; die Zielpunkte aber nicht sehr scharf und in geringer Entfernung, so daß die Genauigkeit der Messung im ganzen keine hohe sein wird.

Stand- Zielpunkt punkt

Fernrohrlage I

Fernrohrlage II

Non. 1

Non. 2 Mittel

Non. 1

Non. 2 Mittel

Winkel in Gesamt- ! P₆ zwischen mittel P₅ links und P₇ rechts:

P₆

Pr,

162° 4'50" 6'10" 5'25" 342° 5'l0" 6'15" 5'42"

erste j Messung

Pi

343°47'00" 48' 5" 47'32" 163°47'20" 48'30" 47'55"

162° 5'33" 343°47'44"

181° 42'11"

PG

223 41 0 42 15 41 37

43 41 30 42 35

42 02    43° 41'50"

zweite

Messung

45 23 20 24 05 23 42    225 23 45 24 50

24 17

225° 24'00"

181° 42'10"

P₆

dritte

Messung

282 59 0 (6)020 59 40 104 41 25 42 30 41 57

59 20 (6)035 59 57 41 50 43 05 42 27

102°59'49"

284°42'12"

181°42'23"

Ergebnis der dreimaligen Messung: Winkel zwischen P₅ links und P₇ rechts =181° 42' 15"

Zum Mittel der drei Messungen, 181°42'15" ist noch zu bemerken, daß zwischen je zwei Messungen neu zentriert und neu horizontiert wurde, sodaß bei den kurzen Winkel schenkein von rund nur 150 m Länge in den Abweichungen der drei Messungen untereinander nicht nur Ziel- und besonders Ablesefehler (neben etwaigen kleinen Kreisteilungsfehlern), sondern auch Zentrierungsfehler bei der Aufstellung des Theodolits zum Ausdruck kommen. Über den mittlern Fehler des gemessnen Winkels s. u. Bei der Berechnung der einzelnen Messungen ist bei der Mittelbildung in beiden Fernrohrlagen und beim Gesamtmittel auf die ¹/₂" nicht geachtet, Mittel z. B-aus 47'0" und 48'5" gleich 47'32" nicht 47'32",5 gesetzt (1. Messung, Fernrohrlage I bei P₇), und so mehrfach. Die Folge ist, daß gelegentlich einmal 1" Abrundungsfehler entsteht, was aber nicht von Bedeutung ist, weil die einzelne Messung doch nicht auf 1" richtig sein kann; es zeigt sich dieser Abrundungsfehler u. a. darin, daß, wenn

man z. B. bei der 1. Messung für jede Fernrohrlage und jeden Nonius die Differenz (P₇ —P₆) bildet, die 4 Zahlen entstehen:

181°42'10";    42'5";    42'10"; 42/15";

das Mittel gibt 181°42"10" statt 11", wie infolge der Abrundungsfehler bei der Mittelbildung als Ergebnis der 1. Messung oben steht. Doch ist dieser Widerspruch, wie erwähnt, nicht von Bedeutung.

Sehr wichtig ist, daß man sich hei dieser „einfachen Winkelmessung“ bei der Messung, beim Aufschreiben, gar nicht zu überlegen braucht, was soll nachher, dem in die Berechnung einzuführenden Winkel gemäß, Punkt links und was soll Punkt rechts sein. Man kann aus derselben Messung den einen und den andern Winkel haben, z. B. im vorliegenden Beispiel den zwischen Punkt P₅ links und P₇ rechts, oder den zwischen P₇ links und P₅ rechts; es kommt dabei nur darauf an, wie abgezogen wird. Um den ersten der genannten Winkel zu erhalten, ist zu nehmen: Ablesung bei P₇ minus Ablesung bei P₅; um den zweiten zu erhalten, Ablesung bei P₅ minus Ablesung bei P₇. Es ist dabei ganz gleichgültig, die Gradzahlen von welcher Fernrohrlage im „Gesamtmittel“ stehen gelassen werden, nur muß es selbstverständlich bei beiden Punkten von derselben Fernrohrlage geschehen; so stehen im Beispiel bei der ersten Messung die Grade von Fernrohrlage I., bei der zweiten und dritten Messung die von Fernrohrlage II.

Die drei Werte für den Winkel in P₆ zwischen P₆ links und P₇ rechts lauten (auf die Abrundungsfehler bis 1" durch die Mittelbildung ist schon aufmerksam gemacht, wir bleiben also bei den im Formular angegebnen "):

1.    Messung 343°47'44" — 162°, 5'33" = 181°42'11"

2.    Messung 225 24 00 — 43 41 50 = 181 42 10

3.    Messung 284 42 12 — 102 59 49 = 181 42 23

Mittel = 181° 42'15".

-o

P7

p₆

Fig. 235.

Hätte man dagegen zu verwenden den Winkel in P₆ zwischen P₇ links und Pa rechts, so wäre einfach anders abzuziehen, wobei man, wenn man nicht die obigen Zahlen bei Ps <>_ einfach um 360° vergrößern P5 will, was man bekanntlich immer darf, die Gradablesungen am Nonius 1 in der andern Fernrohrlage als oben verwenden, nämlich so rechnen kann:

1.    Messung 342° 5'33" — 163°47'44" = 178°17'49"

2.    Messung 223 41 50 — 4§ 24 00 = 178 17 50

3.    Messung 282 59 49 — 104 42 12 = 178 17 37

Mittel = 178° 17'45".

Man erhält also für diesen zweiten Winkel in P₆, zwischen P₇ links und P₆ rechts, in der Tat Zahlen, die durchaus, bei jeder einzelnen Messung und im Durchschnitt, die Implemente der vorigen Zahlen (Winkel zwischen P. links und P₇ rechts) sind. Dies ist selbstverständlich keine Messungsprobe, sondern nur eine Rechnungsprobe; vgl. Fig. 235.

Mittlerer Fehler des gemessnen Winkels. Die wiederholte einfache Messung eines Winkels gibt das Mittel zur Beurteilung der Genauigkeit der Messung. Man legt dabei am besten die fertigen Zahlen für den Winkel, den einzelnen Messungen gemäß, zugrund, weil diese Zahlen unter sich vergleichbar sind, nicht aber die Ergebnisse, wie sie Fernrohrlage I und Fernrohrlage II liefert (wenn wir sie getrennt ausrechnen würden), weil hier die Achsenfehler c und i in Betracht kämen, die erst im Mittel aus beiden Fernrohrlagen herausfallen, oder die Ergebnisse von Nonius 1 und Nonius 2 (ebenso), weil der Exzentrizitätsfehler Alhidade/Limbus in Betracht käme. Bilden wir die Abweichungen der einzelnen Messungen von ihrem Mittel, nach der Vorschrift von 20., so haben wir für den ersten Winkel (P₃ links, P₇ rechts; der zweite würde genau dieselben Abweichungen, nur mit entgegengesetzten Zeichen geben, alles folgende wäre genau gleich) und ihre Quadrate,

[«*] = 105,

also der mittlere Fehler der einmaligen Messung des Winkels

1.    181 42'11"

2.    18142 10

16

25

3.

181 42 23

64

x = 181 42 15

[v] soll = 0

105

-Vf

105

i=₁/53 = + 7",3;

der mittlere Fehler von x ist kleiner als ml, aber nicht 3 mal, sondern “|/3mal (vgl. 20., Gleichung (15)), d. h. es ist

7,3

m„— —±

X ]/3    j/3

H= = + 4 ,2

-VS)

und wir dürfen als besten Wert für den Winkel, nebst seinem m. F. setzen:

Winkel in P₆ zwischen P. links und P₇ rechts = 181° 42'15" 4- 4"

„ K 7    = 178 17 45 ±4"!

Da, wie schon oben angegeben, zwischen je zwei Messungen neu zentriert und hori-zontiert ist, da ferner die Höhenwinkel nicht groß waren, so ist vom Stellungsfehler der Umdrehungsachse, dessen Einfluß nicht eliminiert werden kann (wie der von c und i₀) nichts zu befürchten. Der berechnete m. F., +7" für eine Messung, + 4" für das Ergebnis der drei Messungen, ist unsicher, weil die Zahl der Messungen n zu klein ist. Jedenfalls ist aber, bei den kurzen Ziellängen, die Messung als gut zu bezeichnen, weil in den Abweichungen auch der Zentrierungsfehler des Instruments zum Vorschein kommt.

Um noch zu zeigen, daß die Abrundung durchaus auf 1" bei der Mittelbildung im Formular ohne sachlichen Schaden angesichts der m. F. der vorliegenden Messungen ist, sei noch angeführt, daß, wenn überall auf 0",1 gerechnet wird, sich als die drei Messungswerte ergeben

181°42'10",0,    181°42'10",0,    181°42'23"8,

womit x = 181°42'14",6 (%" kleiner als oben, angesichts des m. F. von 4" für die Zahl ganz gleichgültig); ferner [v²] = 126, ziemlich größer als oben, aber wird

doch nur um */," größer

nx wird y

126

= 1/21 =±4",6,

2 • 3

also auch nur ¹/i" verschieden, worauf es hier gar nicht ankommt. Bestehen bleibt aber selbstverständlich die Warnung, mittlern Fehlern aus kleinen w-Zahlen überhaupt zu trauen; ßie können durch Zufall viel zu klein ausfallen.

64. Ausführung der Horizontalwinkelmessung. Fortsetzung. Zweite Art: Messung aus Richtungen oder in Sätzen. Wenn man sich bei derselben Messungsweise: Anzielen jedes Punkts und Ablesen der beiden Nonien, nicht auf zwei Strahlen beschränkt, wie bei der vorstehenden „einfachen Horizontalwinkelmessung“, sondern gleichzeitig die gegenseitige Lage von drei, vier, fünf Strahlen bestimmt, so spricht man von Richtungsmessung. Man erhält, wie vorhin, Winkel erst durch die Differenz zweier solcher Richtungen, und zwar kann man jeden Winkel zwischen zwei beliebigen Richtungen eines solchen „Satzes“ von Richtungen haben, alle diese Winkel sind gleichsam zusammen gemessen. Die Gesamtheit der bei unverändertem Limbusstand beobachteten

Richtungen, fast stets in beiden Lagen des Fernrohrs beobachtet, heißt Richtungssatz oder Satz (Gyrus). Die vorige „einfache Winkelmessung“ ist die Richtungsmessung mit nur zwei Richtungen.

1. Der Messungsvorgang ist folgender: Es seien zu messen, in einem Richtungssatz, die Horizontal winkel, die die von 0 ausgehenden Strahlen OA, OB, OG, 01) mit einander einschließen; Theodolit in 0 zentriert und horizontiert, Alhidadenumdrehungsachse um so schärfer vertikal, je größre Neigungen die Winkelschenkel haben. Falls ein Repetitionstheodolit verwendet wird, ist die Alhidadenachse vertikal zu richten, nicht die etwa nicht scharf damit zusammenfallende Limbusachse; Lim busklemme in diesem Fall des Repetitionstheodolits bei beliebiger Lage des Kreisnullpunkts scharf anziehen! Punkt A wird angezielt, beide Nonien abgelesen; Alhidade gelöst, 13 angezielt, beide Nonien abgelesen; dann ebenso C und I). In der Regel gilt die jetzt vorhandne Gesamtheit von Ablesungen, bei jedem Punkt zwei, erst als Halbsatz; es wäre denn, daß man die Winkel rasch und wenig genau braucht, bei kleinen Neigungen der Zielungen. Im allgemeinen wird stets durchgeschlagen, Fernrohrlage II hergestellt und die ganze Messung wiederholt. Dabei stellt man gern zuerst I), dann C, dann B und endlich A ein, ohne daß für unsre Zwecke großer Wert hierauf zu legen wäre; man muß nur beachten, daß alles an dem richtigen Ort aufgeschrieben würd, nicht eine Ablesung, die bei C gemacht ist, zu Punkt D usw. Die Gesamtheit der jetzt vorhandnen Ablesungen, bei jedem Punkt vier, heißt der gemessne Satz. Der einzige grobe Fehler (Versehen), der gemacht werden kann, ist der (von Ableseversehen um 5°, 10°, oder um 10' u. dgl. abgesehen, die aber sofort sich herausstellen, wenn man in beiden Fernrohrlagen mißt und jedesmal am Nonius 1 die Grade mit abliest, oder mehrere Sätze mißt und wenigstens in einer Fernrohrlage die Grade mit ab liest), daß man bei Verwendung eines Repetitionstheodolits einmal einen Punkt mit der Feinschraube des Limbus einstellt, während nur die Feinschraube der Alhidade zur Einstellung verwendet werden darf. Hierauf ist der Anfäuger besonders hinzuweisen.

Die ganze Messungsweise, Art des Aufschreibens usf. ist der bei der „einfachen Winkelmessung“ durchaus analog, nur daß hier mehr als zwei Zielungen vorhanden sind. Denken wir uns, wie bemerkt, vier Zielungen, zwischen denen die Winkel (durch Ablesung der „Richtungen“ nach den Punkten) gemessen werden sollen, so wird also das Schema eines vollständigen Satzes dieser vier Richtungen das folgende sein, in das

außer den Ablesungen auch gleich wieder die Ausrechnung der Richtungen mit aufgenommen ist:

Ziel

punkt

Fernrohrlage I

Fernrohrlage II

Ablesungen Non.l Non.2

Mittel

Non. 1 Non. 2

Mittel

Gesamt

mittel

Stand-

punkt

*»• iH    v »H

e    ä.

a[ -f- al

a" —

o" + a''

a -f- fl"

ja.

v, b'AA±*±

2

C’₌<±Ä

2

j>_-f- dg

d -    ■

b" =

vi + v;

+ c"

b' + b"

c -j- c"

d'

d" =

<r; + <r:

d'-{- d’

Die Ablesungen am Horizontalkreis sind wieder mit denselben kleinen Buchstaben bezeichnet, wie der Zielpunkt; die Indizes 1, 2 beziehen sich auf den Nonius, die Akzente ', " auf die Fernrohrlage.

Die Mittel a, b', c, d' der zwei Nonienangaben (wobei die Grade, die am Nonius 2 nicht gelesen zu werden brauchen, nicht mit gemittelt werden) für die Fernrohrlage I und a", b", c", d" für Fernrohrlage II (ebenso) sind vom Exzentrizitätsfehler Alhidade/Limbus befreit. In den

Gesamtmitteln a =    , 6 =

V + b"

. ., die wieder gleichsam definitive Ablesungen bei den einzelnen Punkten vorstellen, und bei denen es abermals einfacher ist, die Grade nicht mit zu mittein, sondern von einer der zwei Fernrohrlagen und vom Nonius 1 stehen zu lassen, ist auch der Einfluß der Fehler der Ziellinie und der Kippachse eliminiert (falls sie überhaupt infolge bedeutenderer Neigungen der Winkelschenkel in Betracht kommen); nicht ohne weitres eliminierbar ist, wie wir wissen, der Einfluß eines Stellungsfehlers der Alhidadenachse. Aus den definitiven Zahlen der vier Richtungen a, b, c, d kann man nun Winkel zwischen zwei Zielpunkten ablesen, welche man will; z. B. ist nach dem bei der „einfachen Winkelmessung“ Gesagten:

Winkel zwischen A links und B rechts = b — a,

= d — a,

— c — b,

= a — d usw.

„ G „

Aus allgemein n Strahlen von einem Punkt aus kann man anscheinend so viele Winkel zwischen je zwei Zielpunkten bilden, als man die n Strahlen zu je zweien kombinieren kann, d. h.

n (n — 1)

(i)

o-

einzelne Winkel;

in Wirklichkeit noch einmal so viele, da für die Rechnung (wenn

auch nicht für die uns hier beschäftigende Art der Messung) der Winkel zwischen P links und Q rechts ein andrer ist als der zwischen Q links und P rechts: beide sind Implemente, ergänzen sich zu 360° (man kann also auch sagen, der eine ist der negativ genommene andre). Es ist also

(2)

n(n — 1)

einzelne Winkel zwischen n Strahlen zu bilden möglich, von denen allerdings allemal zwei zusammen (genau) 360° geben. Die bei vier Strahlen OA, OB, OG, OB möglichen Winkel sind 2 ■ (£) = 4 • 3 = 12 an der Zahl, nämlich:

zwischen A links und B rechts

zwischen B links und A rechts

r>

i:

5:

5;

51

51

5:

51

51

5:

51

51

i:

5:

5j

5j

(Daß in der Tat allemal zwei dieser n Winkel Implemente sind, sieht man an der Anzahl des Vorkommens der einzelnen Strahlen als Strahlen links oder als Strahlen rechts; jeder ist sowohl bei den ersten 6 als bei den zweiten 6 Winkeln im ganzen dreimal linker, dreimal rechter Strahl, vgl. auch die Pfeilspitzen in den Figg. 236 a und 236 b, bei jedem Strahl dreimal.) A'

Alle zwölf Winkel sind aber sofort aus den a, b, c, d ablesbar Sie sind aber keineswegs unabhängig voneinander; auch die sechs Winkel der linken und rechten Hälfte noch nicht; z. B. ist nach der Berechnung, dem vorliegenden Schema entsprechend,

Winkel zwischen A links und C rechts genau (rechnungsmäßig) gleich dem Winkel zwischen A links

A>

rB

rD

Fig. 23G a.

Fig. 236 b.

und B rechts plus dem Winkel zwischen B links und C rechts usf. „Unabhängige“ Winkel zwischen vier Richtungen gibt es nur so viele, als man braucht, um vier Strahlen gegeneinander festzulegen, d. h. offenbar 3; allgemein zwischen n Strahlen

(« — 1).

2. Wesen des „Satzes“. Es ist jedoch nicht etwa üblich, alle diese Winkel anzuschreiben; man läßt vielmehr im allgemeinen zunächst immer einen Satz als solchen stehen, d. h. gibt Richtungen, keine Winkel an. Dabei ist für einen Satz zu beachten, daß er ganz unverändert bleibt, wenn zu den Zahlen für die einzelnen Richtungen eine beliebige konstante Zahl addiert oder von diesen Zahlen eine beliebige Konstante subtrahiert wird. Häufig macht man die Zahl für

¹

Exzentrizität des Fernrohrs. Nichtbeabsichtigte Exzentrizität des Fern

²

rohrs, d. h. Projektion der Fernrohrziellinie auf die Alhidadenebene abweichend

³

von einem Durchmesser der Alhidadenscheibe, ist nicht zu betrachten, da sie mir in

⁴

ganz kleinem Betrag möglich ist; beim Einlegen des besonders verpackten Fernrohrs

⁵

in sein Lager ist z. B. wohl möglich, daß es einmal um ein Teil eines

⁶

liegt als ein andres mal. Dieser Fehler, der wie ein ebenso großer Zentrierungsfehler bei Aufstellung des Instruments wirkt, ist aber jedenfalls kleiner als der Fehler, der

einen Strahl gleich Null, d. h. zieht die definitive Zahl für diese Richtung von allen andern Richtungen des Satzes ab; die Zahlen für die übrigen Richtungen bedeuten dann doch die Winkel, vom „Nullstrahl“ rechts herum gezählt bis zu allen einzelnen Strahlen. Alle diese Möglichkeiten deutet die folgende Zusammenstellung am Beispiel unsres Vier-Richtungensatzes an:

Rich-Ziel- tungn. punkt d. Messung

Satz m. Beifügung von kx

Satz

mit Ab

zug von

/i₃

Satz mit Richtung nach A als Null

Satz mit Richtung nachU als Null

genau

iden

tisch

mit

genau

iden

tisch

mit

genau

b — /.'₂ iden- (b) = b — a c—\

d — /t₂

tisch

mit

\ (c) = c — a \ (d)= d — a

genau

iden

tisch

mit

(fe)₁ — a — b

(c)i = c - b (d\ — d — b

Die Zahlen der zwei letzten Spalten (die noch um zwei weitre Spalten, (a)₂..., wobei (c)₂ = 0 wäre, und (a)₃..., wobei (d)₃ = 0 wäre, vermehrt zu denken sind) heißen oft „reduzierte Mittel“.

Häufig reicht ein einziger Satz nicht aus, um die notwendige Genauigkeit der Richtungsmessung und damit Winkelmessung zu erreichen. Man muß vielmehr n Sätze messen, n = 2, 3, 4. Zwischen je zwei Sätzen wird man, wenn n Sätze gemessen werden sollen, ganz in derselben Art wie bei der „einfachen Winkelmessung“ (Satz mit nur zwei Richtungen) den Limbus 180°

um ungefähr verdrehen, bei Anwendung eines Repetitionstheodolits

durch Drehen und starkes Wiederfestklemmen des Limbus, beim einfachen Theodolit durch Versetzen des Instruments. Dabei ist also im zweiten Fall jedenfalls, im ersten ebenfalls zweckmäßig, vor Beginn des neuen Satzes wieder zu liorizontieren und zu zentrieren, während innerhalb eines Satzes ebensowenig eine Fußschraube berührt werden darf, wie die Lage des Kreisnullpunkts sich verändern darf.

Es ist hier zunächst, ohne Zahlen einzusetzen, damit die Übersicht leichter ist, das Formular eingefügt, das ich in den elementaren Übungen der T. H. St. verwenden lasse (aus Hammer, Meß- und Rechenübungen zur Praktischen Geometrie, 4. Aufl., Stuttgart, Metzler, 1910).

Das Formular reicht auf einer Seite für mehrere Sätze aus, z. B. bei 3 Zielpunkten für 3 Sätze, bei 4 und 5 Zielpunkten für 2 Sätze; bei 2 Zielpunkten (wiederholte einfache vollständige Winkelmessung für 4 oder 5 Sätze, d. h. in diesem Fall Messungen des Winkels). Mit Rücksicht auf die wechselnde Zahl der Zielpunkte ist für Satz I absichtlich die Klammer nur halb angedeutet. Die Spalte „reduziertes Mittel“ hat Zahlen aufzunehmen, die einer der letzten Spalten des obigen Satzschemas (Richtung für eine Zielung des Satzes = 0) entsprechen. In der Spalte „Bemerkungen“ 3) werden alle gemessnen Sätze zum Mittel vereinigt, die Spalte v ist erst unten in 3. zu besprechen.

Es ist ferner hier .eine Messung nebst Ausrechnung für einen dreimal gemessnen Satz mit drei Richtungen (daß beide Zahlen gleich

Bemerkung. Vor Beginn der Messung eines Satzes bei Gebrauch eines Repetitionstheodolits die Limbusklemme scharf anziehen;

der Messung eines Satzes keine der Limbusschrauben berühren! Zwischen je zwei Sätzen wird der £

Horizontalkreis (beim einfachen Theodolit das ganze Instrument) um je —-180° verdreht, wenn n Sätze gemessen g

werden sollen. Zwischen je zwei Sätzen auch die Horizontalstellung nachsehen! Während der Messung eines W Satzes auch keine der Fußschrauben berühren!

Satz

punkt

Ziel-

Standpunkt :

während

ii

Non. 1

Non. 2 Mittel I

Non. 1

Non. 2

Mitteln

3) Endg. Richtgn. aus allen Sätzen

2) Zentrierungselemente? a) Standpunkt

b) Zielpunkte

1) Über die Zielpunkte (Beleuchtung) :

Fernrohrlage I

Fernrohrlage II

Beobachter:

Instrument:

Gesamt

mittel

y,(i + n)

(Ablesg.

Wetter:

Reduziertes

Mittel

(„

Horizontalwinkelmessung aus Richtungen. (Dasselbe Formular für wiederholte einfache Winkelmessung)

v.

Bemerkungen

Datum: 191

Zu

Seite . . .

-

sr

CD

3.

!>3

Ox

Seite . . .

0. Febr. 10

Zu

Datum: 191

Bemerkungen

1) Über die Zielpunkte (Beleuchtung) :

2) Zentrierungselemente? a) Standpunkt j b) Zielpunkte

3) Endg. Richtgn. ans allen Sätzen

Pj    0°    0'    0"

P₂    106°    42' 40"

Ps    258°    13' 14"

Horizontalwinkelmessung aus Richtungen.

(Dasselbe Formular für wiederholte einfache Winkelmessung.)

²⁰    ■") (geleg. 10"

geschätzt)

(Ablesg. W etter:

Instrument:

Beobachter: ..

v.

Reduziertes

Mittel

________

(N    !    CO    O    I    <M    ;    i£5

'H j Ol    | tH | O

' O : <M    i    CO    O    !    CN    !    Ol

!    ; tH    t-H

Gesamt-

--il-----    I mittel

Non. 2 Mittel I Non. 1    ¹ Non. 2 Mitteln % (I + II)

Fernrohrlage II

//

1    14 25 I 0

107 ! 57 07 106

259    27 I 53 258

106

258

lO t- o

<M    Ol

^ O i I IQ I Ol

»Ol ^ I    'Hl

v ■># I | t- I 00 I rH | »O | | <M |

^js s

181

287

79

00 62 0

35 168    43

5 320    13

CO

Ol

121

5 45 106 ; 42 35

oa j

co

258

co

CO

^Ii S3lj 31

co I oa |

6 15

ml

ml

242    1 20

44 10

14 30

301    24 20

6 i 40

38 00

K.

Fernrohrlage I

31

56 30

27 ; 05

59 50

42 40

12 35

CO I S| 3l!

gli *°l Sil

//

40

00

13

56

26 30

20

20

10

00

50

00

59

42

12

22

85

Non. 1

20

00

40

20

00

00

10

40

20

14

57

27

43

13

23

36

io

Standpunkt:

q , Ziel-Satz | i j. punkt

Pä    107

Pb 259

Pi 62

89T

Pb 320

Pi 121

P*

sd '

II

III

Bemerkung. Vor Beginn der Messung eines Satzes bei Gebrauch eines Repetitionstheodolits die Limbusklemme scharf anziehen;

während der Messung eines Satzes keine der Limbusschrauben berühren! Zwischen je zwei Sätzen wird der

Horizontalkreis (beim einfachen Theodolit das ganze Instrument um je ^ • 180° verdreht, wenn n Sätze gemessen

werden sollen. Zwischen je zwei Sätzen auch die Horizontalstellung nachsehen! Während der Messung eines Satzes auch keine der Fußschrauben berühren!

sind, ist selbstverständlich keineswegs notwendig, sondern Zufall) KPX, KP₂, KP₃ angeschrieben.

Die zwei ersten Zielungen sind sehr wenig geneigt, so daß die Differenz in den Mitteln, Fernrohrlage I und Fernrohrlage II (Nivellierlibelle oben und Nivellierlibelle unten), auch bei nicht unbedeutendem Kippachsenfehler i₀ allemal eine Bestimmung des Werts des doppelten Kollimationsfehlers vorstellt, nicht sehr fein, weil die Noniuslesung nur 20" ist, aber doch voraussichtlich mit einem m. F. von nicht über einigen Schreiben wir, um dies gleich zu untersuchen, die Differenzen Mittel I —Mittel II für die Punkte 1\ und P₂ (aus dem angegebnen Grund nur für

diese zwei) heraus, so lauten sie (absolut) wie neben; die v-Rechnung ist beigesetzt. Da der Okularkopf bei der ganzen Messung nicht berührt 144 wurde (auch der Trieb am Objektivrohr mußte nicht benützt werden), so ist c als während der Messung konstant anzusehen und es darf wie neben gerechnet werden. Mittel (auf 1") — 63" und dies ist sehr nahezu der (absolute) Wert für 2c, da bei P₁ und P₂ nur kleine Höhenwinkel vorhanden waren, so daß der Wert von i₀ gegen den von c nicht in Betracht kommt beim Durchschlagen. Die Umdrehungsachse war genügend

+ 9",8, rund 10", somit

Mittel 63"

r²

+ 13

— 12

+ 24 — 26

soll 0

169

49

64

49

484

vertikal. Der mitlere Fehler dieses Werts 2 c ist

der von c rund + 5", d. h. es ist absolut und abgerundet

c = 30" ± 5".

Der dritte Zielpunkt P₃ hatte einen bedeutenden Höhenwinkel (etwa 15°), so daß bei ihm außer dem Ziellinienfehler auch der Kippachsenfehler i₀ in der Differenz Mitteil — Mittel II wirksam wird, sowie der Stehachsenfehler, da die Stehachse trotz des bedeutenden Höhenwinkelfehlers nur, allerdings sorgfältig, mit einer 2'-Dosenlibelle vertikal gerichtet war. Im Mittel aus I und II ist der Einfluß von c und i0 auch bei P₃ eliminiert, nicht aber der Einfluß von (*), d. h. des Stehachsenfehlers; übrigens ist vor jedem Satz neu horizontiert.

Bei der Berechnung der drei Sätze ist jedesmal die Richtung nach Pl zu Null gemacht, um sofort vergleichbare Zahlen zu gewinnen, die im Schema rechts unten zum Mittel der ganzen Messung zusammengefaßt sind.

3. Berechnung des mittlern Fehlers einer der Richtungen. Sehen wir die Messungen der einzelnen Richtungen als gleichwertig an (sie sind es aus dem angedeuteten und andern Gründen nicht ganz, P₃ ist nicht so „genau“ wie Pl und P₂ beobachtet), so wollen wir uns auch hier die Aufgabe stellen, wieder den m. F. einer endgültigen Richtung zu berechnen. Es muß dabei selbstverständlich vollständig symmetrisch verfahren werden. Ein solches symmetrisches Verfahren würde darin bestehen, daß man nacheinander in jedem der Sätze die Richtung nach jedem der Zielpunkte zu Null macht, die damit sich ergebenden Richtungen nach den andern Zielpunkten ausrechnet und ihre Abweichungen vom Mittel feststellt. Es wäre, wie wir unten sehen werden, umständlich so zu verfahren; wir wollen es aber doch in Anwendung auf unser Beispiel tun, wobei wir das Mittel jedesmal auf 1" abrunden.

(3)

Satz

p₁ = 0° 0' 0"

P₂ = 0° 0' 0"

II

III

Mittel

P₂ = 106°42'42" Pa = 258°13'28" I Pt = 253°17' 18" | Ps = 151°30'46"

30 13 30 45 (30 35)

42 42 42 35

12    55

13    20

(42 40)

(13 14)

17 18 17 25 (17 20)

Satz

Ps = 0° 0' 0"

II

III

P, = 101°46'32" I P, = 208°29'14" 47 05 46 40

Mittel

(46 46) j

29 47 29 15

+9 25)

Bilden wir, um zur 2 der Quadrate der Verbessrungen der einzelnen gemessnen Richtungen zu kommen, in jeder dieser Spalten die Abweichungen der einzelnen Zahlen von ihrem Durchschnitt, so lauten diese Abweichungen nebst ihren Quadraten:

(4)

—    2    4 — 14 196

—    2    4 f- 19 361

-j- 5 j 25 II — 6 i 36

++1

— 11 121 + 22 484 — 10 100

+ 14 196 +11 121 — 19 361 — 22 484 + 6 | 36 +10 100

(0)133 ] (0) | 705

'2+0) 33    (0) | 593

(0) 593    (0)    705

Die Summe dieser Quadratsummen, von denen jede zweimal auftritt, ist 2662; sie bezieht sich aber auf sechs solcher Reihen, wie wir für eine einzige die Fehlerquadratsumme festzustellen haben. Für diese wird also hier:

(5)

[v²] =    = 444.

Um nun aber hieraus den m. F. + m einer einmal gemessnen Richtung zu finden, fragt sich, welcher Nenner N ist in

(6)

-Vs?

einzusetzen?

Wir müssen hier ohne Beweis einen in der Ausgleichungsrechnung zu beweisenden Satz (in 20. nicht mit aufgenommen, weil es sich dort immer nur um Eine Unbekannte handelte) benützen: sind vx, v₂...vn die Verbessrungen (scheinbare Fehler), die an n gleichartigen und gleichwertigen unabhängigen Messungen gemäß der Methode der kleinsten Quadrate anzubringen sind, damit diese n Messungen, aus denen u «] n) unter sich ebenfalls unabhängige Unbekannte bestimmt werden sollen, keine Widersprüche mehr zeigdn, untereinander sich vertragen (was bei den Beobachtungsergebnissen selbst zunächst nicht der Fall ist), so ist der m. F. einer dieser Messungen der Betrag:

n/M V n — i

m₁

(7)

Für eine Unbekannte, die aus mehreren unabhängigen gleichwertigen Messungen zu bestimmen ist, haben wir diese Gleichung in 20. (9) kennen gelernt. Für n ]> 1 verwenden wir sie hier, wie gesagt, ohne Beweis (plausibel gemacht kann die Gleichung , wieder werden durch die Betrachtung des Falls u — n, wo [+] = 0, also mx = -5 ist).

In unsrem Fall ist oben bald die Zahl der Zielpunkte (Richtungen) n genannt worden, bald die Zahl der gemessnen Sätze. Wir wollen jetzt, um die notwendige scharfe Unterscheidung zu haben, festsetzen, es seien

fp Punkte (Richtungen) in dem Satz vereinigt und es sei

\s mal dieser Satz gemessen worden; die Anzahl der im ganzen ge-

Die Anzahl der Unbekannten,

(8)

(9) p-s.

messnen Richtungen ist dann die aus diesen (p • s) Richtungen zu bestimmen sind, ist nun aber nicht nur die Zahl der unabhängigen Winkel, durch die die p Strahlen gegeneinander festgelegt sind, (diese Anzahl ist, wie oben schon hervorgehoben, p — 1), vielmehr gehören zn diesen Unbekannten auch noch die konstanten Zahlen kx, k₂ - ..ks, die ja zu allen Zahlen des einzelnen Satzes hinzugefügt oder von ihnen abgezogen werden müssen zum Zweck der „Ausgleichung“. Dies sind also weitere s Unbekannte und die Gesamtzahl der Unbekannten bei unsrer ganzen Satzmessung (p Richtungen, s Sätze) ist

Es ist demnach ((6), (7), (9)) als Nenner N zu [4], um wt* zu erhalten, zu nehmen: N = ps — (p — 1) — s = ps — p -)- 1 — s oder N = {p — 1) (s — 1) und es wird

(11)

(12)

(13)

m-

\vv]

{p — 1) (s — 1) ’

In unsrem Beispiel mit p = 3, s — 3 ist also

=±y

[vv\

(jp — 1) (s — 1)

(14)

= ⁼ 1/111 = ±¹⁰'>

Die Zahlen (13) (14) beziehen sich auf die einmalige vollständige Beobachtung einer Richtung in einem Satz. Für das Mittel aus den s Sätzen wird der mittlere Fehler M geringer; dieser m. F. M der «mal gemessnen Richtung ist allerdings nicht smal, sondern nur }/s mal kleiner als m, d. h. es ist

(15) M

= 1/

\v v\

, im vorliegenden Beispiel (16) M —    = + 6",1.

{p — i)(s — 1)*

Eine einfachre Berechnungsweise, als die oben für \vv] verwendete, ist die folgende, gleich auf unser Beispiel angewandt. Bei Messungs- und Rechnungs-

Satz I Satz II Satz III

Mittel auf 1

oder Quersumme

(17)

Messungen P₂

P₅

O S(M co

CO GO

o»    05

Ol to o

© io ©

co CO CO

(18)

Mittel

63"    52"

58"

174" -> 173"

(Abweichungen von (19) | den rechts bei (17) 1 stehenden Mittel

Z soll 0

(20)

Z soll Ö

'S

j co

CO

Z soll 0

Mittel

(22)

V erbesserte Sätze

pl

Ps

(23)

Mittel

(Verbesserungen (24) < x> der einzelnen \ Richtungen

o V- co ¹ GO lO CO 05

o co CO

t-*-    O* Ci    C5

05 CO 05 GO K CO 05

¹ 1    O* CO W 05

05 Ol O GC O C* O

60"

40"

74"

174" | 174"

Z soll 0

Z soll

(Mittel-)Zahlen ist auf 1" abgerundet; bei der Zahl für P₁ ist 359°59'60" statt 0°0'0" geschrieben, um negative Zahlen bei den Mitteln zu vermeiden, ebenso bei Ps 258° 12' -j- den angeschriebnen "-Zahlen. Wären die Messungen ohne Fehler, so wären die Mittelzahlen (18)

P₁+Pi + Ps

in jedem Satz dieselben, da in den Zeilen von (17) dieselben Zahlen stünden; die Zahlen (19) wären alle 0. Daß für die tatsächlichen Zahlen (19), Abweichungen der Zahlen (17) von den rechts bei (17) stehenden Mitteizahlen, die Quersumme nicht genau Null ist, hat seinen Grund nur in den Abrundungen. Um die Mittelzahlen (18) gleich zu machen, nämlich gleich

= 58”

63” -f 52” + 58”

(wieder auf 1” abgerundet), ist der

58” — 52” = + 6” 58” — 58” =    0”

erste Satz mit der konst. Korr. 58” — 63” = — 5” zweite „    „

dritte „

zu versehen. Diese Zahlen (21) ergeben sich auch einfach als Mittel der Zahlen (20). Bringt man diese konstanten Verschiebungen an den Zahlen jedes Satzes an, die wie wir wissen, den Satz ganz unverändert lassen (da man ja zu den Zahlen eines Satzes eine ganz beliebige positive oder negative Konstante addieren kann, ohne den Satz zu verändern), so erhält man als „verbesserte Sätze“ die in (22) zusammengestellten Zahlen, deren Kolumnenmittel nun in der Tat je 58” betragen. Die bei (22) rechts nochmals angeschriebnen Quermittel sind dieselben wie bei (17) und könnten also wegbleiben; sie sind nochmals beigesetzt, um die einzelnen v (Mittel rechts minus Einzelzahl) bequem abzulesen (im letzten Mittel bei (22) rechts würde besser 75 statt 74 stehen, was nur von den Abrundungen herrührt, so daß auch wieder 74 wie in (17) stehen gelassen ist). Die v der einzelnen Richtungen in (24) können selbstverständlich auch abgelesen werden, ohne (22) ausdrücklich anzuschreiben, als Unterschiede der Zahlen (19) minus (21). In (25) sind die Quadrate der v gebildet, deren (26) .£=445 ist. Die weitre Rechnung ist die schon oben in (13) bis (16) an-

115    269    61    445

(26)

[V] == 445

gegebne. Die vertikalen und horizontalen Teilsummen der v² zeigen, daß von den Sätzen der zweite, von den Richtungen die nach P₈ am schlechtesten beobachtet ist. Es gibt noch andre Rechnungsweisen des mittlern Fehlers bei Satzmessungen, die sachlich auf dasselbe führen und hier nicht weiter verfolgt werden können. Auf sog. unvollständige Richtungssätze neben den hier behandelten vollständigen oder symmetrischen und ihre Zusammenfassung gehen wir ohnehin nicht ein.

4. Dagegen ist hier noch etwas beizufügen über sog. angeschlossne Sätze und orientierte Sätze, die wie wir sehen werden, bei der Einschaltung von Dreieckspunkten durch „Einschneiden“ wichtig sind. Wir beschränken uns aber auf einfache Beispiele. Um eine Richtung OB durch Horizontalwinkeltnessung an die gegebnen Richtungen oder festen Richtungen von 0 nach den in ihrer Lage gegen 0 unveränderlich gegebnen Punkten A und C, also an OA und OG anzuschließen, ist ein Satz der Richtungen OA, OR, OC gemessen oder es sind einige Sätze gemessen und es ist ihr Mittel gebildet; die Zahlen sind z. B.:

(27)

0° 0' 0” 110 45 20 230 17 30.

Nun ist aber aus einer im Vergleich mit unsrer Messung als fehlerfrei anzusehenden Messung bekannt oder aus den fest und unveränderlich gegebnen rechtwinkligen Koordinaten der Punkte AL, O und C berechnet, daß der Winkel

(28)

AOG = 230° 17'24”

festzuhalten ist. Wie ist demnach der Satz (27) oder das Satzmittel (27) zu verbessern? Lassen wir die Richtung A = 0⁰0'0", so ist also der Messung gemäß B = 110°45'20", die Richtung C fällt aber mit C— 230°17'30" um 6" zu groß aus gegen die gegebne Zahl. Nehmen wir für die Richtung C diese gegebne Zahl, 230°17'24", so ist nach der Messung B = (230°17'24" — [230°17'30" — 110°45'20"]) = 110°45'14" und die Richtung A würde um 6" kleiner als in (27), nämlich 359°59'54". Die beiden Zahlen für die Richtung B 110°45/20,/ und 110°45' 14" sind gleichwertig, und es ist also definitiv zu nehmen: B — 110°45'17"; der verbesserte Satz „mit Anschlußzwang“ lautet

0° 0' 0"

(29)

110°45'17"

230°17'24" ,

wobei aber zu diesen Zahlen, wie in jedem Satz, eine beliebige Konstante addiert werden kann. Sind z. B. die Punkte A, 0, C durch ihre rechtwinkligen Koordinaten unveränderlich gegeben, gegeneinander festgelegt, und ist der Richtungswinkel (OA) — 95° 47' 42" berechnet, ferner Richtungswinkel (OG) = 326° 5' 6" (womit in der Tat in 0 zwischen A links und C rechts der fest gegebne Winkel 230° 17'24" vorhanden ist), so wird durch Addition der Konstanten 95°47'42" zu allen Zahlen des verbesserten Satzes (29) der gemessne Satz „orientiert“, d h. die Richtungszahlen sind in Richtungswinkel in dem Koordinatensystem verwandelt, in dem A, O, C gegeben sind: dieser Richtungswinkelsatz lautet:

(OA) — 95°47'42" fest gegeben

(30)

(OB)    = 206°32'59" gemessen (OG) = 326° 5' 6" fest gegeben.

Ganz ähnlich im folgenden zweiten Beispiel: Orientierung eines gemessnen Richtungssatzes mit Anschluß einer Richtung an mehr als zwei fest gegebne Richtungen. Es seien in dem Punkt Q mit gegebnen Koordinaten zwischen den Punkten P₁, P₂, P₃, P, von denen Pt, P₂, Ps ebenfalls gegebne Festpunkte sind, die Richtungen gemessen:    _

Standpunkt

Zielpunkt

Richtung

(31)

0° 0' 0" 42°17'27" 189° 57'02" 264° 25'56"

Aus den fest gegebnen Koordinaten sind aber berechnet die festzuhaltenden Richtungswinkel :

(32)

(^Pt)= 185°03'11"

(Q P₂) = 227°20'4l"

(QPS)= 15°00'08"

Die Zusammenstellung von (31) mit (32) gibt

was ist diesmal, der Messung gemäß, als Richtungswinkel (QP) anzunehmen, d. h. wie lautet der „orientierte Satz“?

Unterschied

Standpunkt Zielpunkt

fest gegebne gemessne Richtung Richtung

'öS

185° 03'11"    0° 0' 0"    185° 03' 11"

227° 20'4l"    42°17'27"    185°03'14"

15°00'08"    189° 57'02"    185°03'06"

—    264° 25'56"    —

Mittel =    185° 03' 10"

Diese Mittelzahl 185°03,10" (auf 1" abgerundet) ist also auch zu 264°25'56" als ge-messner Richtung nach P zu addieren, um diese Richtung in einen Richtungswinkel zu verwandeln, d. h. es ist zu setzen

(34)

(QF) gemessen = 449°29'06" «= 89°29'06" und der verbesserte und orientierte Satz lautet:

Zielpunkt Richtungswinkel

(35)

Standpunkt Q

PCI

185° 03 11

227° 20'41"

15°00'08"

89° 29'06"

ö. Endlich sind noch einige Bemerkungen zur Satzmessung selbst zu machen.

a) Nochmaliges Anzielen des ersten Punkts am Schluß des Satzes. Der Erfolg der Satzmessung hängt davon ab, daß der Limbus seine Lage „nicht merklich“ (der Ablesegenauigkeit des Teilkreises entsprechend) verändert während der Messung eines und desselben Satzes, zum mindesten während der Messung eines und desselben Halb-s atz es (Fernrohrlage I oder Fernrohrlage II): zwischen zwei Sätzen erhält der Nullpunkt des Kreises allemal ohnehin eine andre Lage, beim einfachen Theodolit durch Umsetzen des ganzen Instruments, bei einem Repetitionstheodolit durch Drehen und Wiederfestklemmen des Kreises; aber selbst wenn zwischen den zwei Halbsätzen die zum Satz zusammengehören, der Kreis etwas gedreht wird, z. B. aus Versehen durch Benützung der Limbus feinschraube beim Änzielen des ersten Zielpunkts in Fernrohrlage II, so ist dies ohne Bedeutung' für das Ergebnis. Man kann sich dieser unveränderten Lage des Kreisteilungsnullpunkts innerhalb eines und desselben Halbsatzes dadurch versichern, daß man den zuerst genommenen Zielpunkt jedes Halbsatzes am Schluß dieses Halbsatzes nochmals anzielt, also z. B. bei den von 0 ausgehenden vier Strahlen OA, OB, OC, OJD so mißt: Einstellung von A, B, C, JD, A in Fernrohrlage I (Halbsatz I), ebenso von D, C, B, A, B in Fernrohrlage II (Halbsatz II). Dies ist in manchen Vermessungsanweisungen vorgeschrieben und es ist nichts dagegen zu sagen, weil es ein gutes Mittel ist, einen etwaigen groben Fehler (Benützung der Limbus feinschraube des verwendeten Repetitionstheodolits während des Satzes!) aufzudecken. Die Mittel der zwei Nonieuangaben seien z. B. für die Fernrohrlage I a, V, c, d' und («'); zeigt sich zwischen a' und (a) kein Unterschied oder nur ein solcher Unterschied, der dem Ablesefehler am Kreis entspricht (gegen den der Zielfehler beim Einstellen eines Punkts bei kleinen Nonientheodoliten wenig in Betracht kommt), so ist keine Rücksicht auf («') zu nehmen. Ist ein größerer Unterschied zwischen a und («') vorhanden, so kann dieser von einem Versehen herrühren (das schon angegebne bei Verwendung eines Repetitionstheodolits ist eigentlich das einzige mögliche) oder von Drehung des Kreises, eintretend durch „Mitschleppen“ bei der Drehung der Alhidade oder infolge nicht genügender Befestigung des

Theodolits auf dem Stativ oder endlich infolge Verwindens des Stativs während der Messung (durch Sonnenbestrahlung eines Beins, nicht genügend festgestelltes Stativ usf.). Jedenfalls darf man den Widerspruch a nicht etwa auf die zwischenliegenden Ablesungen verteilen wollen, schon deshalb nicht, weil zunächst stets zweifelhaft ist, ob er durch eine der angedeuteten regelmäßig wirkenden Ursachen oder durch eine nur einen Zielpunkt (und den auf ihn folgenden Halbsatzteil) betreffende Ursache entstanden ist. Zeigt sich (a') — a größer als durch Ablesungsungenauigkeit erklärlich, so ist der Satz oder Halbsatz zu verwerfen; es soll dies aber nur an Ort und Stelle und vor Ausrechnung aller Richtungen geschehen.

(a)

Die Stelle dieser Schluß rückkehr zum zuerst angezielten Punkt hat besonders früher bei großem auf Pfeiler aufzusetzenden Instrumenten vielfach ein besondres zweites, sog. „Versicherungs“-Fernrohr (mit Fadenkreuz) am Instrument vertreten, das unterhalb des Limbus mit diesem fest verbunden war und nach einer bestimmten festen „Mire“ gerichtet wurde. Man konnte durch einen Blick in dieses Versicherungsfernrohr sich stets bei jedem einzelnen Zielpunkt überzeugen, daß der Limbus seine Lage nicht verändert hatte.

b)    Anzahl der Punkte eines Satzes. Messungszeit. Bei unsern kleinen, auf Holzstativen stehenden Instrumenten ist ein solches Versicherungsfernrohr schon wegen der Kosten nicht üblich. Das Holzstativ ist stets recht fest aufzustellen; ferner ist die Satzmessung rasch durch-zufiihren, sie wird dadurch nicht schlechter, wie der Anfänger meist befürchtet, sondern besser, auch die Ablesungen an den Nonien gewinnen nicht durch großem Zeitaufwand.

Man soll schon im Interesse dieser höchst erwünschten Abkürzung der Dauer der Messung eines Satzes nicht zu viel Zielpunkte in einen solchen zusammenfassen, jedenfalls nie über 6. Wenn mehr von einem Standpunkt ausgehende Richtungen zu beobachten sind, ist es besser, den Satz in zwei Teile zu zerlegen, die dann allerdings genügend zusammengehängt werden müssen. Die Messung eines Halbsatzes mit sechs Zielpunkten, wenn diese bequem auffindbar sind, muß die Arbeit weniger Minuten sein; dem Anfänger gelingt dies selbstverständlich noch nicht, aber schon er macht bald die Erfahrung, daß die Sätze bis zu einem gewissen Grad um so besser ausfallen, je rascher gemessen wird.

c)    Die für feine Messungen üblich gewordne Methode der Satzmessung, wie sie oben angeführt ist, nämlich in Fernrohrlage I die Alhidade von links nach rechts, in Fernrohrlage II aber von rechts nach links zu drehen (I = „Hingang“, II = „Rückgang“) ist bei guter Feststellung des Limbus und kurzer Dauer der Halbsätze für unsern Zweck nicht gerade von großer Bedeutung. Will man sie anwenden, so kann man die Symmetrie dadurch noch steigern, daß man jeden nächsten Satz (nach

18 0 ö\

Verdrehung des Horizontalkreises um etwa-1 beim nach rechts folgenden Ziel-

n /

punkt beginnt, wobei vorausgesetzt ist, daß so viel Sätze gemessen werden, als Zielpunkte da sind (was natürlich an sich keineswegs notwendig ist); man mißt also bei diesem Verfahren z. B. zwischen drei Zielpunkten A, B, G vom Standpunkt 0 aus drei Sätze, beginnt I bei A, II bei B, III bei C, während im übrigen wie angegeben verfahren wird.

d) Eine besondre Messungsart, gleichsam eine Kombination von einfacher Winkelmessung und Satzmessung ist die, daß ein „Satz“ von Richtungen in alle möglichen einzelnen Winkel „aufgelöst“ wird, die aus seinen Strahlen gebildet werden können und die nun alle auch einfach, jeder für sich (aber wiederholt) unabhängig von den andern gemessen werden (nicht aber „repetiert“, vgl. die folgende Nummer).

Für unsre weniger feinen „Kleinmessungen“ kommt diese für die Triangulation I. Ordnung immer wichtiger gewordne Messungsmethode von General Schreiber, einfache Messung „in allen Richtungskombinationen“, nicht in Betracht und es muß deshalb an dieser Anmerkung genügen.

65. Ausführung der Horizontal Winkelmessung. Drittes Verfahren: Sog. Repetitionsmessung (besser Multiplikationsmessung) eines Winkels.

1. Wesen der Methode. Hier kehren wir wieder zu nur zwei Zielpunkten zurück; man kann nur einen Winkel auf einmal repetieren, den Unterschied zweier Richtungen. Während zu den Messungen 1. und 2. Art (einfache Messung und Satzmessung) ein einfacher Theodolit oder ein Repetitionstheodolit verwendet werden kann, wobei nur im 1. Fall nicht so bequem wie im 2. zwischen je zwei Messungen der Horizontalkreis um einen gewissen Winkel verdreht werden kann, ist bei Anwendung dieser dritten Messungsweise nur ein zum Repetieren eingerichtetes Instrument brauchbar, dessen Horizontalkreis selbst um eine Vertikalachse drehbar ist (die mit der der Alhidade zusammenfallen soll) und wobei der drehbare Limbus, wie die Alhidade, mit Klemme und Feinschraube ausgerüstet ist. Wenn an dem zu verwendenden Instrument die Achse der Alhidade nicht genau zusammenfallen sollte mit der des Limbus (— wenn die Alhidadenachse schon genau vertikal gerichtet ist und man dreht nun den Kreis selbst mit festgeklemmter Alhidade, so bleibt die Röhrenlibelle nicht genau einspielend —), so soll man bei der Aufstellung des Theodolits, falls der Unterschied den Neigungen der Zielungen entsprechend überhaupt in Betracht kommt, diesmal die Limbusachse scharf vertikal richten.

Der wesentliche Unterschied dieser „Repetitions“messung gegen die bisher besprochnen Methoden ist der, daß hier nicht der zu messende Winkel, sondern sogleich ein Vielfaches dieses Winkels gemessen wird (deshalb besser Multiplikationsmethode). Ferner müssen wir uns hier, im Gegensatz zu bisher, vor Beginn der Messung entscheiden, welcher von beiden Punkten soll der Punkt links, welcher soll der Punkt rechts sein.

Wir setzen der leichtern Anschauung wegen voraus, es sei nur ein Index und daran anschließender Nonius auf der Alhidadenscheibe vorhanden (in Wirklichkeit sind es aus bekannten Gründen zwei); wir denken uns die Noniusnull gerade in der Projektion der Fernrohrziellinie auf die Alhidadenebene unter dem Objektivende (abermals im Widerspruch zur Wirklichkeit, da man dort zur Ablesung nicht bequem mit dem Kopf zukommen könnte). Der zu messende Winkel sei der in 0 zwischen A links und B rechts Fig. 237a.

a) Zuerst wird der Punkt A links angezielt, wobei zunächst gleichgültig ist, ob er mit der Limbus- oder der Alhidadenfeinschraube eingestellt wird. Jedenfalls ist aber die Limbusklemme beim Anzielen von A scharf anzuziehen und auch die Alhidadenklemme muß selbstverständlich festgezogen sein. Die Ablesung an dem einen nur voihandnen Nonius sei a, der Nullpunkt des Kreises liege z. B. bei 0, ganz beliebig.

b) Alhidade bei unverändert gelassnem Limbus gelöst und so gedreht, daß B, der Punkt rechts angezielt werden kann. Einstellung mit Klemme und Feinschraube der Alhidade; Ablesung sei bt. Nach dem seitherigen wäre nun

(1)

y =    — a der Winkel aus dieser ersten Messung.

Wir wollen aber gleich ein Vielfaches des Winkels y messen, deshalb

c) : die Alhidade bleibt genau so auf dem Limbus stehen, wie sie jetzt ist, d. h. die Ablesung bleibt b₁, der gelöste Limbus nebst der darauf feststehenden Alhidade wird nach dem Punkt links A zurückgedreht, dieser Punkt A mit Klemme und Feinschraube des Limbus eingestellt (wobei stets die Ablesung \ erhalten bleibt), sodann

d)    Alhidade wieder gelöst, bei genau unverändert gelassnem Limbus, und nach B gedreht, Punkt rechts, B wieder angezielt mit

A,

A,

,B

A,

-\3

Fig. 237 a.

Fig. 237 b.

Fig. 237 c.

Klemme und Feinschraube der Alhidade. Die Ablesung sei jetzt b2 {Fig. 237b), so ist y = b₂— b₁ abermals ein Wert des Winkels; oder besser, die Zwischenablesung bt ist entbehrlich und es ist

(2)

2y = b₂ — a der Wert des doppelten Winkels y.

e)    Das Verfahren kann genau in dieser Weise fortgesetzt werden, theoretisch beliebig oft. Zunächst jetzt wieder, mit genau auf der Ablesung b.₂ unberührt gelassner Alhidade, nach Lösung des Limbus auf den Punkt A links zurückgedreht, A mit Klemme und Feinschraube des Limbus angezielt,

f)    Alhidade bei fest gelassnem Limbus gelöst, nach dem Punkt rechts B gedreht, dieser mit Klemme und Feinscbraube der Alhidade angezielt, Ablesung sei b₃, so ist (Fig. 237 c)

(3)

3y = bä — usf.

Es ist also für dieses Messungsverfahren ein für allemal festzuhalten: der Punkt links wird stets mit Klemme und Feinschraube des Limbus (links Limbus!), der Punkt rechts stets mit dem Mikro-meterwerk der Alhidade angezielt.

Die Zwischenablesungen zu machen hat, wie die Gleichungen

(2), (3) und die entsprechenden weitern zeigen, keinen Wert; es ist nur die Ablesung a bei der ersten Anzielung des Punkts links A und die Schlußablesung bn nach dem w-maligen Anzielen des Punkts rechts B zu machen, womit das n-fache des Winkels y gemessen ist, nämlich

n • y = bn — a.

2. In Wirklichkeit sind nun wieder zwei Nonien vorhanden, um den Exzentrizitätsfehler Alhidade/Limbus eliminieren zu können. Es ist zu Beginn der Messung, nach dem ersten Anzielen des Punkts A links (womit über den Winkel noch gar nichts bekannt ist) und am Schluß der Messung, womit man den w-fachen Winkel hat, sowohl Nonius 1 als Nonius 2 abzulesen, und man erhält statt (4) zwei derartige Gleichungen, nämlich je eine für den Nonius 1, eine für den Nonius 2:

( n ' Vi =*    - %

\n • 72 = K2 “ aZ’

wobei der Index wie in 63. und 64. auf den Nonius hindeutet. Das Mittel aus n ■ yx und n • y₂ ist der endgültige Wert von n ■ y, vom Exzentrizitätsfehler befreit.

Gerade so gut wie bei der Messung nach 63. und 64. will man aber auch hier im allgemeinen durch Messen in beiden Fernrohrlagen die Fehler eliminieren, die von unrichtiger Lage der Ziellinie und von Abweichung des Winkels zwischen der richtig stehenden Umdrehungsachse und der Kippachse von 90° herrühren. Man wählt deshalb eine gerade Anzahl 2n von Repetitionen, nicht n = 3 oder 5, sondern 2n = 2, 4, 6 nach Bedarf, und stellt nach Beendigung der n ersten Messungen die Fernrohrlage II her, um die n folgenden Repetitionen genau in derselben Art weiter zu messen, wie wenn Fernrohrlage I noch vorhanden wäre.

Das Feldbuchschema wird wie in (6) aussehen können, wenn hier

zunächst die Notizen über Instrument, Beobachter, Wetter usf. wegbleiben. Man verwendet auch bei häufigen Messungen am besten ein Formular, das bis zu 6 Repetitionen eingerichtet ist; mißt man tatsächlich weniger, so stehen die Endablesungen eben schon bei der 2., 4., Messung und nicht erst bei der 6. Es ist im Schema angedeutet, daß es stets zweckmäßig ist, wenigstens am Nonius 1 die erste Zwischenablesung b₁ nur auf 1' genau zu machen, damit man in

(4)

(5)

(6)

(fi)j

(7)

Stand

punkt

Zielpunkt

links:

re chts:

Anzahl der Repet. Non. 1.

Ablesungen

Non. 2

Ausrechnung: [2n • y₁ = b 2n • y₂ = b2nj2 - a₂

2n,l

(0)

(1)

(2)

0)

(2 n)

«x

a₂

(\,i)

^2h,1

n, 2

2 n ■ 7, + 2 n ■ y.₍

(b₁ x — a) den ungefähren Wert des Winkels hat und damit gegen Verzählen in der Zahl der Repetitionen gesichert ist. Das Zeichen x bedeutet wieder durchschlagen, es wird je nachdem 2mal, 4mal, 6mal repetiert wird, nach der 1., 2., 3. Messung angesetzt. An jedem Nonius gibt die Differenz Endablesung minus Anfangsablesung einen Wert des 2n-fachen Winkels (2n • yt am Nonius 1, 2w • y₂ am Nonius 2); das Mittel beider Zahlen ist vom Exzentrizitätsfehler befreit, der (2w)te Teil dieses Mittels ist der gesuchte Winkel. Zur Endablesung an einem Nonius kann u. U. lmal, 2mal, ... 360° hinzugenommen werden müssen.

In das folgende Formular (Übungsbuch, vgl. 64. 2.; Form. 3), das bis zu 6-maliger Repetition gestattet (hier überflüssig breit gesetzt), sind gleich zwei Messungsbeispiele eingetragen.

Zu

Horizontalwinkelmessung mit 6facher und mit 4facher Repetition. ..........:.............................,............................ Datum: 191

Seite . . .

Instr.:

(10")

Wetter:

Beob.:

Standpunkt:

Zielpunkt

Anzahl der Mess.

Non. 1.

Non. 2.

Bemerkungen

links:

(0)

5°

21'

30"

185°

22'

00"

(41

57)

1. Beleuchtung der Zielpunkte

rechts: X

2. Zentrierungselemente

224    54

40

44    55

20

6facher Winkel

219    33

10 II 219 i 33    20

■ii....................I...................!...................

Mittel = 219° 33' 15" Einfacher Winkel = 36° 35' 33"

Zielpunkt

Anzahl der Mess.

Non. 1.

Non. 2.

Bemerkungen

links:

(0)

0°

0'

0"

180°

0'

40"

(36

36)

1. Beleuchtung der Zielpunkte

rechts:

146

22

30

326

23

10

2. Zentrierungselemente

4facher Winkel

146    22 j 30

Ir

22

30

Mittel = 146° 22' 30" Einfacher Winkel = 36° 35' 37"

Im ersten Fall ist in der Tat 6 mal repetiert. Bei dieser Repetitionszahl ist die Differenz: Endablesung minus Anfangsablesung (Mittel aus beiden Noniusangaben), äußerst einfach zu dividieren, jeder übrigbleibende y₆°=10', jede übrigbleibende ye' = 10". Bei der Schlußablesung am Nonius 2 im ersten Beispiel, 44° 55' 20" ist vor dem Abziehen der Anfangsablesung (185° 22' 00") erst 360° zu addieren, weil dieser Nonius bei der Messung lmal über 360° gegangen ist. Das Formular könnte selbstverständlich auch so eingerichtet werden, daß auch hier wieder erst das Mittel der Angaben des Nonius 1 und Nonius 2 genommen wird (ohne auf die 180° Unterschied zu achten), womit zum Schluß nur lmal abzuziehen wäre. Doch ist hier die im Formular gewählte Anwendung nicht umständlicher und ebenso übersichtlich.

zu verfahren, sondern mit der Stellung zu beginnen, schon weil dann in der

Begonnen ist in dem ersten Beispiel mit beliebiger Ablesung. Vielfach ist zweckmäßig, nicht so des Nonius 1 scharf auf 0° 0' 0"

Endablesung des Nonius 1 der 2w-fache Winkel erscheint, wie ihn dieser Nonius 1 liefert. Der Anfänger hüte sich nur davor, zu glauben, durch Stellung von 1 scharf auf 0 (Überstriche links von der Noniusnull zu'beachten!) sei nun auch der Nonius 2 auf 180° 0' 0" gestellt; es muß vielmehr zu Beginn der Messung dieser Nonius scharf abgelesen werden, z. B. 179° 59' 20" oder 180° 2' 00", wie auch am Schluß der ganzen Messung beide Nonien scharf abzulesen sind. Nachdem vor Beginn der Messung der Nonius 1 scharf auf 0° 0' 0" gestellt ist, darf natürlich auch schon bei der ersten Einstellung des Punkts links (wie bei allen folgenden) nur das Mikrometerwerk des Limbus verwendet werden, damit eben bei dieser ersten Zielung an der Ablesung nichts mehr verändert wil d (während wenn mit beliebiger Ablesung begonnen wird, es bei der ersten Einstellung des Punkts links, aber nur bei dieser, gleichgültig ist, ob die Feinschraube des Limbus oder der Alhidade genommen wird). Die viermalige nochmalige Messung desselben Winkels mit demselben Instrument und Nullstellung von Nonius 1 zu Beginn gab die als zweites Beispiel eingetragnen Zahlen mit dem Ergebnis: Winkel zwischen P links und Q rechts = 36° 35' 37", oder 4" mehr als bei der ersten Messung.

3. Zu beachten ist für die Repetitionsmessung besonders, daß der Winkel in 0 zwischen P links und Q rechts und der Winkel zwischen Q links und P rechts verschied ne Winkel, d. h. verschieden zu messende Winkel sind, deren Ergebnisse sich zu 360° ergänzen sollen; hier entsteht, wenn die Messungen in der Tat beide gemacht werden, eine Messungsprobe, wie allerdings bei der einfachen Winkelmessung auch, wenn der Winkel zweimal nacheinander unabhängig gemessen wird. Aus einer einzigen einfachen Winkelmessung dagegen (Satz mit den nur zwei Richtungen OK und OL) kann man zwar den Winkel zwischen K links und L rechts bilden und ebenso auch den Winkel zwischen L links und K rechts, aber diese zwei Zahlen bilden nur eine Rechenprobe, da sie sich genau zu 360° ergänzen müssen. Es sei nochmals betont, daß bei der Repetition zwischen P links und Q rechts stets der Punkt links mit dem Limbusmikrometerwerk Qi Li), der Punkt Q mit dem Alhidaden-mikrometerwerk einzustellen ist; jenes liegt meist unten, die Zentralklemme der Alhidade ist in der Höhe des Kreisrands. Der Anfänger sage sich ganz mechanisch bei der Messung vor: links Limbus, rechts

Alhidade (links: untere Klemme; untere Feinschraube; rechts: obere Klemme, obere Feinschraube). Einstellung des Punkts links mit der Alhidadenfeinschraube bringt einen nicht wieder gut zu machenden Fehler in die Repetitionsmessung hinein und ebenso Einstellung des Punkts rechts mit der Feinschraube des Limbus. Uber Messung des Implementwinkels s. u.

Ferner ist für den Anfänger wichtig, zu betonen, daß es im übrigen zunächst ganz gleichgültig ist, in welcher Richtung man die Alhidade herumdreht, und dasselbe gilt für den Limbus; will man, nachdem beim Anzielen des Punkts links der Limbus wieder angeklemmt und die Feinstellung mit der Limbusfeinschraube gemacht ist, den Punkt B wieder anzielen, löst also die Alhidade, so ist es gleichgültig, ob diese nach rechts hin oder nach links hin so lange gedreht wird, bis der Punkt rechts in das Gesichtsfeld des Fernrohrs gebracht ist: beide Drehungen führen die zwei Nonien an genau dieselben Stellen des feststehenden Teilkreises und hierauf allein kommt es an. Ganz ähnlich für den Limbus: ob er nach links oder nach rechts hin mit der darauf festgeklemmten Alhidade so lange gedreht wird, bis im Gesichtsfeld des Fernrohrs wieder der Punkt links erscheint, bringt die Null des Teilkreises in genau dieselbe Lage. Es ist jedoch aus Gründen, die unten noch etwTas zu besprechen sind, zweckmäßig, sich anzugewöhnen, bei den n ersten Repetitionen die Alhidade von links nach rechts zu drehen, bei den zweiten n Repetitionen von rechts nach links zu drehen. Bei jeder Drehung der Alhidade fasse man recht gut zentrisch an beiden Fernrohrstützen mit zwei Fingern an oder mit je einem Finger an zwei Punkten der Alhidadenscheibe, die den Endpunkten eines Durchmessers entsprechen, so daß kein Zug oder Druck auf den Achszapfen der Alhidade kommt; namentlich ist, wrie stets bei einer Alhidadendrehung, die Alhidade nicht am Fernrohr zu ergreifen (durch Anfassen am Okularkopf, was der Anfänger gern tut, kann c verändert werden, sogar die Lage der Fernrohrkippachse in den Lagern kann etwas anders werden). Wie der Limbus gedreht wird, links hin oder rechts hin, ist ziemlich gleichgültig; doch ist auch hier zweckmäßig, die Hälfte der Drehungen nach rechts, die Hälfte nach links hin zu machen, ferner ist bei der Limbusdrehung nicht die Alhidade anzufassen, sondern der Limbus von unten her mit je einem Finger an zwei Stellen die an den Endpunkten eines Durchmessers liegen. Man gewöhne sich daran, sofort, nachdem der Zielpunkt links nahe der Mitte des Gesichtsfelds ist, die Limbusklemme scharf anzuziehen; die Alhidadenklemme braucht jedesmal, wenn der Punkt rechts nahe der Mitte des Gesichtsfelds erscheint, nicht so fest wie die Limbusklemme angezogen zu werden, wenn nur beim Drehen des Limbus nicht an der Alhidade angefaßt wird. Ein für allemal ist auch die Regel zu beachten, daß man nicht, wde dies der Anfänger gerne macht, nachdem eine der Klemmen angezogen und die zugehörige Feinschraube benützt ist, nachträglich nochmals die Klemme stärker anziehen darf! Die letzten vorstehenden Regeln sind vielfach, für nicht sehr weitgehende Genauigkeit der Messung, wichtiger als die Betrachtungen über die „regelmäßigen Fehler“ der Repetitionsmessung, die wir übrigens unten nicht ganz übergehen wollen.

Bei der Schlußablesung an jedem Nonius fragt es sich immer, ist der Nonius während der Messung nicht 1 mal, 2mal, ... über den Nullpunkt (360°-Punkt) der Kreisteilung gegangen, so daß zu der Zahl, die er liefert, 360°, 720°, . . . addiert werden muß. Ein Beispiel ist schon oben die erste Messung, Ablesung am Nonius 2., 44° zu lesen als 360° + 44° = 404°. Hier ist es nicht gleichgültig, wie sonst überall in der Goniometrie und Trigonometrie, ob und wie oft mal 360° zu einer Ablesung addiert wird, da wir hier ja nicht den Winkel, sondern den 2«-fachen Winkel messen, es sich nachher um Teilung des Ergebnisses handelt. Auch mit Rücksicht hierauf, nicht nur wegen des etwaigen Ver-zählens in der Anzahl der Repetitionen, ist zu empfehlen, die erste Zwischenablesung an einem Nonius, z. B. 1. zu machen, das 2w-fache des so sich roh sofort ergebenden Winkels zeigt ohne weitres, ob Omal, lmal, 2 mal . . . 360° zur Schlußablesung hinzuzufügen ist; besonders einfach, wenn am Nonius 1. mit 0 begonnen wurde.

Beispiel: Zweite Messung des oben angeschriebnen Winkels, ebenfalls mit 6-facher Repetition, diesmal jedoch mit Q links (Einstellung von Q mit den Lirnbus-schrauben) und damit P rechts (Einstellung mit den Alhidadenschrauben). Beginn mit der Einstellung 0° 0' 0" am Nonius 1; erste rohe Ablesung am Nonius 1 323°24', vgl. Fig. 238.

Das 6fache davon ist, was die Grade angebt, 1940°, also ist 140° als Schlußablesung am Nonius 1 richtig, nämlich zu lesen als 1800° -f- 140° = 5 • 360° -f- 140°, der Nonius 1 ist 5 mal an der Nullstelle des Kreises vorbeigekommen. Dies braucht

Standpunkt O

10"-Instr.

Zielpunkt

Anzahl der Mess.

Pv(rechts)

ö (links)

Nonius 1

Nonius 2

links

rechts ^

i-i «jj >o «o

0° 0' 0" (323° 24')

180°0'40"

Fig. 238.

140° 26'30"

320° 27' 00"

während der Messung gar nicht beachtet zu werden. Wollte man aus Versehen bei der Repetitionszahl 5 statt 6 aufhören (man glaubt auch in Fernrohrlage II dreimal repetiert zu haben, hat aber in der Tat erst zweimal gemessen), so zeigt ein Blick auf den Nonius 1 das Versehen, wenn eben die erste Zwischenablesung 323° 24' gemacht ist; denn 5 • (323° 24') gibt, was die Grade angeht, 1617°, d. h. die 177°, die nach der Messung 5 am Nonius 1. stehen, sind zu lesen als 4 • 360° -f- 177° = 1440°-}-177°, es fehlt noch eine Messung. Es ergibt sich oben, da am Nonius 2. selbstverständlich ebenfalls 5-360° hinzuzufügen ist (übrigens kann ja in den Graden kein Zweifel sein; man darf, wenn die erste Zwischenablesung gemacht wird und die Gradzahl nach 2w-maliger Messung am Nonius 1 sorgfältig abgelesen wird, die Grade am Nonius 2 ganz weglassen)

am Nonius 1

am Nonius 2

1940°26'30" 0° 0' 0"

2120°27' 00" 180° 0'40"

6 facher Winkel = 1940° 26' 30" = 1940° 26' 20"

Mittel = 1940° 26'25", also

einfacher Winkel = 323° 24'24" zwischen Q links und P rechts.

Beide Repetitionen (die erste siehe oben) zusammen haben also ergeben:

Winkel zwischen P links und Q rechts = 36° 35'33"

= 323° 24' 24"

Summe = 359° 59'57",

Fehler von 3" in der Summe beider unabhängig gemessner Winkel.

4. Diese Repetitionsmessung eines Winkels und (ebensooft und ganz selbständig, aber sonst genau in derselben Art) seiner Ergänzung auf 360° (oder desselben Winkels wie der erste, nur negativ genommen) ist zur nahezu vollständigen Elimination eines kleinen, für feinre Messungen wichtigen, der Repetitionsmessung anhaftenden Fehlers brauchbar. Dieser Fehler besteht in dem sog. Mitschleppen des Limbus, während man nur die Alhidade, bei feststehendem Limbus, drehen will.

Seit Gauß und Struve diesen Fehler des von Tobias Mayer d. ä. erfundnen Repetitionsverfahrens näher verfolgt haben, d. h. seit fast 100 Jahren, sind zahlreiche Untersuchungen angestellt worden.

Der durch das „Limbusmitschleppen“ entstehende systematische Fehler der Repetitionsmessung ist im ganzen nicht bedeutend, es handelt sich meist nur um wenige ein Alhidadenmitschleppen bei der beabsichtigten Drehung des Limbus allein kommt nicht in Betracht, weil bei der Limbusdrehung die Alhidade (vgl. obige Regeln) gar nicht berührt wird. Merkwürdigerweise ist in der Regel das Mitschleppen des Limbus bei der n-maligen Drehung der Alhidade nicht proportional der Repetitionszahl w; immerhin wird man aber, und auch aus andern Gründen, selbst bei der festesten Aufstellung des Instruments die hohen Repetitionszahlen, wie sie vor 100 Jahren üblich waren, nicht mehr an wenden, nicht 20- oder gar 40-mal repetieren, sondern nur bis zu 12-mal, und schon bei dieser Zahl nicht in einer Messungsreihe fortfahren, sondern erst 6-mal den Winkel zwischen A links und B rechts, dann 6-mal den Winkel zwischen B links und A rechts messen (dabei in jeder der zwei Messungshälften nach der 3. Messung durchschlagen oder die erste Reihe ganz in Fernrohrlage I, die zweite ganz’ in Fernrohrlage II messen). Dabei sollen zweckmäßig die zwei Reihen nicht die Implemente AB und BA liefern, sondern die zweite den negativen Winkel AB: man dreht bei der Messung AB stets die Alhidade von links nach rechts (wenn nicht vorgezogen wird, im Beispiel schon je bei den drei Messungen in Fernrohrlage II in jeder der zwei Reihen entgegengesetzt zu drehen), bei der Messung BA aber die Alhidade von rechts nach links (ebenso); jedenfalls ist bei der Messung AB stets der Punkt A mit den Limbus schrauben, der Punkt B

Hammer: elementare praktische Geometrie.

mit den Alhidadenschrauben einzustellen, bei der Messung BA umgekehrt. Durch dieses Messungsverfahren darf für unsre Zwecke der regelmäßige Fehler der Repetitionsmessung als vollständig eliminiert gelten.

Für feine Winkelmessung ist die Repetition heute aufgegeben, eben wegen dieses nicht völlig kontrollierbaren regelmäßigen Fehlers und weil die Theodolite für feine Messungen mit so genauen Ablesevorrichtungen (Schraubenmikroskopen) versehen sind, daß der Ablesefehler den Zielfehler nicht mehr so stark überwiegt, wie bei den Nonieninstrumenten. Man hat daraus vielfach den Schluß gezogen, daß sie auch für weniger feine Messungen nicht mehr anzuwenden sei. Mit Unrecht; während für feine Messungen aus dem genannten Grund die Verringerung der Wirkung des Ablesefehlers auf die Winkelmessung, die man mit dem Repetitionsverfahren erreichen kann, keine Rolle mehr spielt, sind an kleinern Theodoliten mit Nonienablesung, die für unsre Messungen mit Recht immer noch die gebräuchlichsten Instrumente sind, die Ablesefehler die bedeutendsten Fehler und es ist sehr wichtig, ihren Einfluß verringern zu können, vgl. 66. Es ist unrichtig, für die Bedürfnisse technischer Messungen und selbst der Feldmessung die Repetitionsmessung ausschließen zu wollen; z. B. heißt es in der württembergischen Katastervorschrift, daß bei der Kleintriangulierung „womöglich“ Satzmessung anzu wenden sei, Repetitionsmessung nur „ausnahmsweise“ zugelassen werde. Man kann vielfach Repetitionsmessung zu feinem Messung an wen den (mit Beachtung der obigen Vorsichtsmaßregel), wo Satzmessung gar nicht möglich ist, weil man die Ablesungen nicht machen kann, (auf einer Brüstung an Gebäuden usf.).

Macht man im ganzen 4n Repetitionen, 2n „von links nach rechts“ (davon n in Fernrohrlage I, n in II), 2n „von rechts nach links“ (ebenso; der vorhin rechte Punkt ist jetzt der linke und umgekehrt), so ist, wenn y der gesuchte Winkel ist (zwischen dem in der ersten Reihe linken Punkt im Uhrzeigersinn zu dem in dieser Reihe rechten)

(8)

für die 2n ersten Messungen 2n • y = Schlußablesung — Anfangsablesung an jedem der zwei Nonien (mittein);

für die 2n letzten Messungen 2n ■ y = Anfangsablesung — Schlußablesung (ebenso);

das Mittel der so berechneten zwei Werte y ist für unsre Zwecke genügend vom regelmäßigen Fehler der Repetitionsmessung befreit und auch sonst fallen alle eliminierbaren Fehler heraus. Es lassen sich nach diesem Verfahren in sehr kurzer Zeit mit kleinen Nonieninstrumenten, von 20" oder höchstens 10" Ablesung, Winkel mit einer Schärfe messen, die bei Satzmessung nur durch außerordentlich viele Ablesungen möglich ist.

Auch für die Repetitionsmessung gilt natürlich wie bei allen für uns in Betracht kommenden Winkelmessungen, daß sie besser ausfällt, wenn sie rasch gemacht wird. Da alle Zwischenablesungen, bis auf die nur grob zu machende erste, wegfallen, so kann hier verhältnismäßig noch

schneller als bei der einfachen Winkelmessung ' gemessen werden. Die 6-malige Repetition eines Winkels, wenn beide Zielpunkte bequem auffindbar sind, ist in 3 bis 4 Minuten zu erledigen.

5. Mehrere repetierte Winkel in demselben Standpunkt. Anzahl der möglichen Winkel. Es ist seither immer nur von einem einzigen mit Repetition zu messenden Winkel die Rede gewesen, weil auf einmal nur ein Winkel repetiert werden kann. Sind in einem Punkt für einen bestimmten Zweck mehrere Winkel zu messen, z. B. in 0 die Winkel AOB und AOC je mit 4-facher Repetition mit 10"-Theodolit, so wird man in der Regel noch zweckmäßig die eine oder andere Probe messen, z. B. im vorliegenden Fall außer den zwei verlangten Winkeln auch AOC oder COA ebenfalls 4-fach repetieren, vgl. Fig 239. Wie der Widerspruch zu verteilen ist, ist nach 22. klar; ergab sich z. B. bei gleichwertiger Messung:

AOB = 64° 28' 44" 4-3" 47"

(9)

BOC= 51° 17' 36" 4-3" 39" iOC= 115° 46' 29" —3" 26",

so sind die Yerbessrungen und verbesserten Winkel wie daneben angeschrieben zu wählen (vgl. die Aufg. in 22., S. 75). Wird außerdem auch noch der Winkel zwischen C links und A rechts gemessen, vgl. Fig. 239, abermals gleichwertig

(10)

COA — 244°13'35",

so hätten die vier gemessenen Winkel nach ihrer Ausgleichung bereits zwei „Bedingungsgleichungen“ zu erfüllen. Man kann hier noch sehr einfach zum Ziel kommen: die Summe von AOC und COA soll 360° Ö' 0" geben, beide Messungswerte können „vereinigt“ werden; da die Summe zunächst 360° 00' 04" ist, so ist zu dieser Vereinigung, d. h. zur Berücksichtigung auch der Messung COA am Winkel AOC der Abzug 2" zu machen. Es liegen also die drei neben angeschriebnen Messungen vor

AOB= 64° 28'44" B OC = .51° 17' 36" A OC= 115° 46' 27"

(11)

(die letzte ist schon berechnet), die nun aber nicht mehr dasselbe Gewicht haben. Gibt man AOB und BOC das Gewicht 1, so hat das neue AOC (in dem zwei Messungen ebenfalls je vom Gewicht 1 vereinigt sind) das Gewicht 2, und der jetzt vorhandne Widerspruch

(lF)

64°28'44"-f 51°17'36"— 115u46'27" = — 7"

ist also proportional den Gewichtsreziproken j, 4 und 4 zu verteilen, so daß die den in (11) angeschriebnen Winkelwerten zuzuschlagenden Verbesserungen lauten

Verbessrung an AOB —    2",8

(12)

„ B OC = -\- 2",8 •

„ AOC=- 1",4.

und, auf 1" abgerundet, zufällig noch dieselben Werte aus der Ausgleichung hervorgehen, wie die rechts bei (9) unterstrichnen.

Fig. 239.

Zwischen den drei Strahlen der Fig. 239 kann man im ganzen nach der Repetitionsmethode sechs, nicht nur drei unabhängige Winkel messen, nämlich:

(13')

A links B rechts B links C rechts -4 i, C ,,

sodann aber auch je die Ergänzung der obenstehenden Winkel zu 360° oder die

26

negativen obenstehenden Winkel, die für die . Repetitionsmessung andre Winkel sind, nämlich

(13")

B links A rechts C links B rechts.

C i, A „

Sind in der Tat alle diese 6 Winkel einzeln unabhängig repetiert, so müssen, da drei Strahlen durch zwei Winkel gegeneinander festliegen, 4 Bedingungsgleichungen zwischen den vorliandnen Messungsergehnissen bestehen.

Allgemeiner, Zahl der möglichen Winkel. Allgemein kann man zwischen n vom Standpunkt ausgehenden Strahlen nicht nur so viele Winkel einzeln repetieren, als sich die Strahlen zu je zweien kombinieren lassen, nämlich (”), sondern doppelt so viel als diese Zahl angibt; es ist also

(14)

Gesamtzahl der meßbaren Winkel = 2 •(”)==«(« — 1) Winkel;

zwischen 4 Strahlen also 2 • (|) = 4 • 3 = 12 Winkel, vgl. die frühem Fig. 236a und b, wo die sämtlichen 12 Winkel einzeln gezeichnet sind (nur sind sie dort nicht einzeln gemessen, sondern aus einer Satzmessung durch Subtraktion je zweier Richtungen gerechnet).

Sind tatsächlich alle diese n(n — 1) Winkel gemessen, so bestehen, da n Strahlen durch (n — 1) unabhängige Winkel gegeneinander festliegen, zwischen den aus-geglichnen Zahlen der Messungsergebnisse

(15)

n(n — 1) — (n — 1 ) — (n — l)² Bedingungsgleichungen.

Wir können hier auf diese Ausgleichungsaufgabe nicht weiter eingehen.

66. Vergleichung der wiederholten einfachen Messung eines Horizontalwinkels und der Repetitionsmessung dieses Winkels in Beziehung auf Genauigkeit. Die letzten Bemerkungen von 65. führen zu der Frage: welcher mittlere Fehler ist zu befürchten, wenn der Winkel zwischen zwei Zielpunkten A und B n mal wiederholt einfach gemessen und aus den n Ergebnissen das Mittel genommen worden ist, und welcher m. F., wenn er n mal repetiert worden ist?

1 mm

1. Bei der Horizontalwinkelmessung können, wenn wir von den kleinen Fehlern der Kreisteilung absehen; ferner absehen von den Einflüssen der Reste der Achsenfehler, indem wir das Instrument genügend genau justiert und genügend genau aufgestellt ansehen (Umdrehungsachse ausreichend genau vertikal, so daß der Einfluß ihres Stellungsfehlers nicht in Betracht kommt, Fehler der Ziellinie und der Kippachse so klein, daß wir sie gegen die sogleich zu nennenden Fehler vernachlässigen können und diese Fehler während der Messung unveränderlich); ferner Zentrierungsfehler bei der Aufstellung des Theodolits ohne Bedeutung (z. B. Zentrierungsfehler bei Zielweiten von 1000 m gibt Maximalfehler von x 00l₀₀₀ • 206000"= 0",2, verschwindend gegen den Ablesefehler am Nonius); wenn wir endlich absehen von den durch „Mitschleppen“ des Limbus (während nur die Alhidade gedreht werden soll) entstehenden Fehlern bei der Repetitionsmessung: so kommen besonders in Betracht der Zielfehler (Einstellfehler) und der Ablesefehler; dieser zweite ist bei Nonieninstrumenten der größte Fehler. Als mittlerer Zielfehler, Fehler + m1 beim Einstellen eines Punkts mit dem Vertikalfaden (mit einem bestimmten Punkt dieses Fadens, nämlich wo ihn der Horizontalfaden schneidet) ist in 51., Gl. (27) als

wenn v die Ver-

00"

Durchschnittsregel für Anfänger angegeben worden mx = + -    ,

größrung des Fernrohrs ist. Diese Zahl kann bei einiger Übung, mittelscharfes

40"    .    ••    .    25"

Auge des Beobachters vorausgesetzt, bald auf +    , bei großer Übung auf + —-1

bei scharfem Auge noch weiter herabgebracht werden. Die Zählerkonstante ist bei demselben Beobachter auch abhängig von der Art des Zielpunkts, z. B. matter

schwarzer Vertikalstrich auf weißer Tafel zwischen die zwei Fäden des Vertikalfadens zu nehmen bei einer Entfernung und Strichbreite, daß links und rechts zwischen Strichgrenze und Faden ein ganz schmaler weißer Streifen bleibt, ist viel schärfer möglich als einseitig beleuchteter Stab mit dem einen vorhandnen Vertikalfaden zu halbieren. Dieser Einstellfehler + m₁ ist bei Nonieninstrumenten in der Regel viel kleiner als der Ablesefehler. Schon mehrfach ist angegeben, daß der m. F. der Ablesung an einem Nonius, wenn dieser im Verhältnis zum Durchmesser des Teilkreises „richtig weit getrieben“ ist, zu etwa % der Noniuslesung, oft nur zu x/s dieser „Angabe“ des Nonius anzunehmen sei, also beispielsweise bei einem 20"-Nonius am 17 cm-Kreis zu + 10" oder selbst nur + 7", bei einem 10"-Theodolit (21 messer) zu + 5" oder selbst + 4" u. dgl. In 61. (13) ist ferner angegeben, daß die Ablesung zweier Nonien 1. und 2. nicht nur den Alhidadenexzentrizitätsfehler eliminiert, sondern zugleich auch die Ablesegenauigkeit erhöht, nämlich den m. F. der Ablesung im Verhältnis von]/2:l verringert. Es sei

+ der m. F. der Ablesung an einem Nonius, so ist

der m. F. des Mittels des Ablesung an beiden Nonien. Auch

cm

Durch-

i)

(2)

I m2

»h = + -7=

der Betrag von + m oder + ist selbstverständlich von der Schärfe des ablesenden Auges und der Übung des Beobachters abhängig.

Bei der Zielung nach einem bestimmten Zielpunkt A und der zugehörigen Ablesung (Mittel der Ablesungen an den zwei Nonien) begeht man also die Fehler

+ m₁ (Zielfehler) und + m₂ = Ablesefehler;

(3)

sie wirken nach 20., Gl. (13) zum Gesamtfehler

mA — j/mf    zusammen.

Ist bei einem zweiten Zielpunkt B der Zielfehler und der Ablesefehler derselbe, so ist also auch

mB — l/wif -f- m |

und wenn der Winkel zwischen A und B einfach gemessen wird (nur in einer Fernrohrlage), so kommen für die Differenz der Richtungen OA und OB die Fehler mA und mB in Betracht. Sie vereinigen sich zum Gesamtfehler des Winkels AB nach

= ~\/m\ 4- »if -j- vn\ -f- m\ = j/2 (m\ -f- wif).

2. Wir untersuchen nun, wie verhält sich der m. F. des »-mal wiederholt einfach gemessnen Winkels AB zu dem m. F. des mit w-maliger Repetition gemessnen Winkels AB, wobei wir uns in beiden Fällen auf Voraussetzung der Messung in einer Fernrohrlage beschränken können.

a) Wird die einfache Messung des Winkels «mal gemacht, so ist für das Mittel dieser n von einander ganz unabhängigen Messungen der m. F. kleiner als (6), aber nicht «mal kleiner, sondern J/n mal kleiner, vgl. 20. Gl. (15), ferner 68. 3. und 64. Gl. (15), d. h. es ist

(5)

(6)

mAB

~ 1/2 {m\ + mV) =    •

b)u Sätze

b) Wird dagegen der Winkel zwischen A und B n mal repetiert, so ist (ohne Rücksicht auf die kleinen Fehler des Limbusmitschleppens) beim ersten Anzielen des Punkts A links, der Gesamtfehler ma = j/mf -f- m\ vorhanden; beim erstmaligen Anzielen des Punkts B rechts kommt aber nur der Fehler + m₁ in Betracht, da die Ablesung, wenn sie je gemacht wird, mit dem Schlußergebnis nichts zu tun hat; ebenso kommt

(7)

bei jeder weitern Zielung nach dem Punkt A links und nach dem Punkt B rechts je nur der Zielfehler + mx in Betracht, erst bei der letzten Anzielung von B auch wieder der Ablesefehler. Solche Zwischeneinstellungen des Punkts B und des Punkts A, zwischen der ersten Einstellung von A und der letzten Einstellung auf B braucht man, wenn der Winkel n mal repetiert wird, n ■ 2 — 2. Diese geben den Gesamtfehler }/(2n — 2)m\. Endlich kommt nun aber bei der letzten Einstellung auf B, am Ende der n • Repetition, wieder sowohl Zielfehler als Ablesefehler in Betracht, im Betrag |/mf -f- m\-

Diese sämtlichen Fehler, nämlich je ]/mf m\ bei der ersten Einstellung des Punkts links und bei der letzten Einstellung des Punkts rechts, und die Zielfehler Y(2n — 2)m\ bei den Zwischeneinstellungen auf Punkt links und Punkt rechte, geben im ganzen nach dem Pytliagoräischen Lehrsatz der Anhäufung mittlerer Fehler den mittlern Gesamtfehler

(8)

l/2m\ -(- 2#w| -(- 2n • m\ — 2m\ =j/2w • m\ -)- 2m':,.

Dieser mittlere Fehler bezieht sich jedoch nicht auf den Winkel zwischen A und B, sondern auf den tatsächlich gemessnen Winkel, nämlich das w-fache des Winkels AB', der m. F. von AB selbst beträgt, da n eine gegebne Zahl ist, den n. Teil von (8), vgl. 20. Gl. (11), d. h. es ist

(9)

c) Die Vergleichung von (7) mit (9) zeigt, daß

um so mehr, je mehr m₂ (Ablesefehler) gegen mx (Zielfehler) überwiegt. Dabei geht die Repetitionsmessung rascher als die Satzmessung vor sich wegen des Wegfalls der Ablesungen bis auf Anfangs- und Endablesung. Bei Nonientheodoliten ist, wie schon angedeutet, stets mi > w?₁; gibt z. B. der Theodolit 20" Ablesung an jedem der zwei Nonien und ist m!₂ (m. F. der Ablesung an einem Nonius) + 8" durch Versuche ermittelt worden, so daß m₂ (m. F. des Mittels der zwei Ablesungen an 8"

beiden Nonien) m₂= —+ 5",7 ist, gibt ferner das Theodolitfernrohr 20 fache Ver-

größrung und ist für den Beobachter die Konstante des Zielfehlers + 10", so daß , 40" mi — i 20

der m. F. des Mittels dieser 6 unabhängigen einfachen Messungen nach (7)

'    b, 6 Sätze =]/|(4+ 32y =: ± 3",ö,

dagegen der m. F. des Winkels AB aus 6maliger Repetition

= -|/X^4_“|)₌₌₌4: i"i8, nur die Hälfte von (7').

Wenn für ein bestimmtes Instrument und für einen bestimmten Beobachter (ferner für gewisse äußre Umstände, z. B. bestimmte Art von Zielpunkten usf.) die Zahlen m₁ und •mi ermittelt sind, so stellt man sich eine kleine Tabelle der M nach (7) und (9) auf, aus der man dann sofort sehen kann, wie oft muß ich mit diesem Instrument einen Winkel einfach messen, oder wie oft muß ich ihn repetieren, damit der m. F. einen gewissen Betrag nicht überschreitet. Für die Zahlen des Beispiels,

8"

m, — + 2",    — + 8", also) m₂ — —- = + 5”,7 erhält man für die Wiederholungs-

ya

zahlen n bei der einfachen und bei der Multiplikationsmessung die Werte der folgenden Tabelle. Soll also für einen bestimmten Zweck ein Winkel den m. F. + 8" erreichen,

(*ab)

n Sätze

= + 2" beträgt, so ist, wenn ein Winkel 6mal einfach gemessen wird,

(7')

(9')

^AB, 6Repet.

diese dann richtig ist. Der Fehler aber, der bei Nonieninstrumenten alle andern zu überwiegen pflegt, der Ablesefehler (er entsteht aus vielen Ursachen: eigentlicher Ablesefehler, nämlich Schätzungsfehler bei der Ablesung in der scheinbaren Koinzidenz von Nonius- und Limbusstrich; Parallaxenfehler infolge von Nichtübereinstimmung der Flächen von Limbus und Nonius; Fehler des Nonius selbst; zufällige Fehler der Limbusstriche usf.) der bei der Repetitionsmessung um so weniger in Betracht kommt, je größer n wird, spricht doch sehr zugunsten dieser Messung bei Bestimmung einzelner Winkel, wobei man für schärfre Messung nur die in 65. 3. 4. angegebnen Vorsichtsmaßregeln anzuwenden hat (Hälfte der Repetitionen „nach rechts“, Hälfte „nach links“, mit entgegengesetzten Drehungsrichtungen der Alhidade). Bei der Festlegung von ziemlich vielen, vom Standpunkt ausgehenden Strahlen, kommt zugunsten der Satzmessung vor allem in Betracht die schöne Symmetrie der Messung, wobei jedoch dafür zu sorgen ist, daß der Satz oder Halbsatz möglichst kurze Zeit in Anspruch nimmt. Die Repetitionsmessung sorgt schon selbst für diese möglichste Abkürzung der Messung, indem immer nur ein Winkel gemessen werden kann. Im ganzen ist, wo es sich um Messung einiger weniger Winkel handelt, die mit einem Noniustheodolit so rasch als möglich so genau zu bestimmen sind, als dieses Instrument ermöglicht, neuerdings die Repetitionsmessung entschieden zu sehr zurückgesetzt worden zugunsten der Satzmessung. Wo am Theodolit sehr feine Ablese Vorrichtungen (Schraubenmikroskope) vorhanden

j/2

so ist bei einfacher Messung 8 mal zu messen, bei Repetition genügt 4malige Repetition. Zu den zwei letzten Zeilen der Tabelle sei noch bemerkt, daß, wenn man die obige Mahnung, nicht mehr als 6mal in einer Repetitionsmessung fortzufahren und also bei 8 mal zweimal 4 mal, bei 12 mal zweimal 6 mal repetiert, die Mittel aus den Ergebnissen etwas höhere m. F. haben, als in der Tabelle stehen, nämlich bei 2-4 + 1",8, bei 2-6 + l",3; Grund?

Die tatsächlichen Verhältnisse sprechen nun nicht ganz so sehr zugunsten der Repetitionsmessung, auch im Fall eines einzeln zu messenden Winkels: wir haben oben Fehler weggelassen, die die Repetitionsmessung ungünstiger beeinflussen als die

Satzmessung (bei nur zwei Zielpunkten identisch mit der einfachen Winkelmessung); dazu gehört besonders

Anzahl

Einfache

Winkel

messung

Repet.-

Messung

Bemerkungen

das

+ + + +1 + +

GO (JQ tH tH vH

Kein Unterschied zwischen beid. Messungen

siehe Text

„Mitschleppen Limbus“ bei der Alhidadendrehung, manchmal auch die periodischen Fehler der Teilung, falls sie im Vergleich mit den andern Fehlern merklich werden sollten; und es ist fraglich, ob man in der Tat mit dem Instrument des Beispiels bei 12 Repetitionen auf die „stehende Sekunde“ kommen kann oder ob

des

sind, wobei der m. F. m₂ ==    • m'A nicht oder unwesentlich größer als m₁ ist, liegen

die Verhältnisse anders, hier hat man keinen Grund zur Repetitionsmessung.

67. Anwendung der Horizontalwinkel, von der Verwendung ge-messner Horizontalwinkel beliebiger Größe in der Lagemessung ist schon mehrfach die Rede gewesen, z. B. bei Gelegenheit der Besprechung der Arten der Aufnahme eines polygonalen Grundstücks in 31. 3., bei der ersten Andeutung über die Zugmessung in 34. 4. usf. Der Theodolit soll nun aber nicht nur zur Aufnahme einzelner Grundstücke oder eines kleinen Verbands von Grundstücken, sondern zur Erweitrung unsres Auf-nabmsgebiets bis zu ganz beliebiger Größe verhelfen, wobei für sehr beträchtliche Gebiete nur auch entsprechend feinre Theodolite und Messungsmethoden anzuwenden sind.

Die wichtigsten Aufgaben, bei denen mit dem Theodolit gemessne Horizontalwinkel anzuwenden sind, sind diese:

1.    Triangulation. Man*versteht unter der Triangulierung (Dreiecksmessung) die Bestimmung der gegenseitigen Lage von Punkten „durch Horizontalwinkelmessung allein“, indem Dreiecke mit diesen Punkten als Eckpunkten gebildet und deren Winkel gemessen werden. Man unterscheidet dabei Haupttriangulierung (Großdreiecksmessung, Triangulation I. und II. Ordnung), wobei die Dreiecksseiten viele hm lang sind und wobei zur Winkelmessung heute nur größre Schraubenmikroskop-Theodolite in Betracht kommen und Kleintriangulierung (Triangulation III. und IV. Ordnung), mit Dreiecksseiten und Zielungen (es handelt sich nicht mehr stets um geschlossne Dreiecke) von nicht vielen hm Länge bis zu einigen hundert m herab.

Die Bezeichnung: „Bestimmung durch Winkelmessung allein“ ist natürlich nur so zu verstehen, daß in der ganzen Triangulationsfigur, dem ganzen Dreieckskomplex (der sich bei der Haupttriangulation auf beträchtliche Stücke der Erdoberfläche erstreckt) mindestens eine Strecke, die sog. Basis oder Grundlinie der Triangulation direkt gemessen sein muß, wobei besondre „Basismeßapparate“ anzuwenden sind; sie genügt dann für eine große Triangulationsfläche, meist erst mehrere 100 hm von der ersten Basis entfernt findet sich in der Haupttriangulierung eine neue.

20" oder 10" Ablesung.

Die Kleintriangulation, die uns allein hier etwas beschäftigen wird, verzichtet oft ganz auf die Messung einer eignen Grundlinie, ersetzt sie durch den „Anschluß“ an eine feinre Triangulation oder hat die „Einschaltung“ eines oder einiger weniger „Triangulierungsneupunkte“ in ein Netz gegebner Dreieckspunkte zum Gegenstand. Zur Kleintriangulation genügen Nonientheodolite von

Die gegenseitige Lage der durch die Horizontalwinkelmessung bestimmten Punkte ist aus diesen Messungen zu berechnen, die Ergebnisse von Messung und Berechnung sind meist die Koordinaten der Messungspunkte; z. B. geographische Koordinaten oder sphäroidische rechtwinklige oder sphärische rechtwinklige Linear-Koordinaten bei den „Großmessungen“, rechtwinklige ebene Koordinaten oder nur einzelne „trigonometrisch“ zu bestimmende Entfernungen oder Winkel bei der Kleintriangulation.

2.    Zugmessung oder Polygonmessung (Polygonisierung oder Polygonierung, Stationierung). Diese Bestimmungsweise der gegenseitigen Lage von Punkten längs einem bestimmten „Linienzug“, z. B. einer Folge von Aufnahmslinien für die sich anschließende Kleinmessung mit Kreuzscheibe und Latten, ist eine Kombination von Längenmessung und Winkelmessung; die sich folgenden Zugseiten werden direkt mit Latten oder dem Meßband in der aus 16. bis 18. bekannt gewordnen Art gemessen, die Winkel zwischen je zwei Zugseiten mit einem 20"- oder 30"-Nonientheodolit gemessen. Auch hier ist die gegenseitige Lage der

Messungspunkte (Polygonpunkte) durch Berechnung der rechtwinkligen Koordinaten festzustellen, sodaß diese Koordinaten das Messungsergebnis sind; aber auch hier handelt es sich u. U. ebenfalls nur um einzelne „polygonometrisch“ zu bestimmende Entfernungen, besonders bei Aufgaben des folgenden Abschnitts 3.

Zugmessungen untergeordneter Genauigkeit benützen statt des Theodolits, zur Horizontalwinkelmessung auch die Bussole, die bei sehr geringer Genauigkeit im einzelnen im Vergleich mit dem Theodolit diesem gegenüber den großen Vorteil hat, daß man nur in jeder zweiten Ecke des Zugs aufzustellen braucht, in sog. Springständen arbeiten kann, weil die Bussole absolute Richtungen (gegen eine in der Natnr gegebne Linie) gibt, nicht relative, wie der Theodolit; oder sie gebrauchen andre einfache, billige, wenn auch wenig genaue Horizontalwinkelmesser, Gradscheibe, Polymeter, Pantometer usf. zur Messung der Winkel nur auf einige ' genau. Ferner kommen zur Seitenmessung statt der direkten Messung mit Latten oder Band u. a. sog. optische Methoden in Betracht, besonders der sog. Fadendistanzmesser im „entfernungsmessenden Fernrohr“. Solche Züge bleiben von diesem ersten Teil des Buchs ausgeschlossen, sind aber für den zweiten um so wichtiger.

3. Absteckungsaufgaben (im Sinn der Lagemessung; die Höhenabsteckungsaufgaben sind im zweiten Abschnitt Höhenmessung, Nivellieren zu behandeln) sind technisch von großer Wichtigkeit, für die sog. Übertragung von Linien ans dem Projekt auf das Feld. Es handelt sich in der Regel um Absteckung bestimmter Linien und zwar von Geraden und von Kreisbögen; andre Kurven als Kreisbögen kommen nur selten vor (z. B. sog. Übergangskurven beim Eisenbahnbau, zwischen Gerade und Kreisbögen oder zwischen Kreisbögen von verschiednem Halbmesser einzufügende besondre Kurvenstücke; sog. freie Kurven im Straßenbau). Beim Abstecken von geraden Linien setzen wir jetzt voraus, daß, bei kürzern Strecken, die geforderte Genauigkeit so groß oder daß die abzusteckende Linie so lang sei, daß unsre frühem Hilfsmittel, direktes Einweisen oder Verlängern oder Anwendung der kleinen Instrumente für den konstanten Winkel 180° nicht ausreichen, daß deshalb zur Herstellung des Winkels 180° (bei der Verlängerung einer Geraden) oder des Winkels 0° (beim Einrichten zwischen gegebne Endpunkte) der Theodolit oder wenigstens dessen Zielfernrohr erforderlich sei; ähnlich z. B. bei Absteckung eines Lotes, wo ebenfalls unsre frühem Werkzeuge, Kreuzscheibe usf. nicht ausreichen, weil das Lot z. B. zwar nur etwa auf 100 -m Länge aber mit der Genauigkeit von wenigen mm Abweichung aus der Sollage gebraucht wird, also der Winkel 90° 0' 0" mit genügender Annäherung nur mit Hilfe des Theodolits herzustellen ist.

Von diesen drei großen Abschnitten der Lagemessungen, von denen besonders die Triangulation einen außerordentlich umfangreichen Teil der gesamten Geodäsie vorstellt, werden in den folgenden drei Kapiteln unsres Buchs die elementarsten Teile behandelt.

Wir wollen dabei übrigens, der Einteilung unsres ersten Abschnitts in Nr. 7. entsprechend, die Zugmessung als Kap. 4. voranstellen, denn zu ihr sind wir auf unsrem frühem induktiven Weg zuerst geführt worden, während allerdings deduktiv die Triangulation vorangehen sollte, wie oben. Doch stört für unsern Gang nicht, daß die feldmesserisch wichtigste Form der Polygonzüge schon Ergebnisse der voraufgehenden trigonometrischen Punktbestimmung mit verwenden muß. Die Zugmessung ist schon in 7., ausführlicher nochmals in 33. 5. als erste Erweitrung unsres Messungsgebiets erkannt worden, während die Triangulation dann eine abermalige Erweiterung, bis zu beliebig großen Gebieten, vorstellt. Bleiben wir also bei unsrem aufsteigenden Weg, so kommt zuerst die Zugmessung des Kap. 4., die gestattet, Aufnahmslinien für die Kleinmessung unter beliebigen Winkeln aneinanderzufügen, dann die Triangulation des Kap. 5. Jene darf auch deshalb vorangehen, weil sie für viele Messungsaufgaben, besonders technische Messungsaufgaben, die selbständigen Messungsgrundlagen, ohne Zuhilfenahme der Triangulation schaffen kann. Im ganzen System der Landesvermessung, Land-, Feld- und Stadtmessung, ist allerdings die Zugmessung nur ein, wenn auch außerordentlich wichtiges, Zwischenglied zwischen der Triangulation und der Klein-(Stück)messung.

Bei den Absteckungsarbeiten, zunächst nur im Sinn der Lagemessung, Kap. 6. endlich kommen sowohl Zugmessung als Kleintriangulation neben weitern Aufgaben der eigentlichen „Absteckung“ als Anwendungen gemessner Horizontalwinkel vor.

68. Übungen. Seit 48., durch das ganze dritte Kapitel, sind keine „Übungen“ mehr eingeschaltet worden. Man unterlasse nicht

1.    beim Fernrohr mehrere Bestimmungen der Vergrößrung und des Gesichtsfelds (Produkt aus beiden =?);

2.    bei einigen Libellen, Dosenlibellen und Röhrenlibellen, Berichtigung, ferner Bestimmung der Empfindlichkeit (mit Ausrechnung des Ausschleifungshalbmessers), ohne daß die Libellen die am Theodolit angebrachten wären (s. u.).

3.    Es ist dem Anfänger dringend zu raten, sich selbst mehrere Modelle von Teilungen und zugehörigen Nonien herzustellen, mit den einfachsten Mitteln, Holz oder Karton, mögen sie auch noch so ungenau ausfallen. Er gehe aus von geradlinigen Längenskalen; auch die folgenden Kreisteilungen können ganz wohl geradlinig dar gestellt werden (vgl 54., wo dies von einfachen Holzmodellen für den Unterricht angegeben ist, die der Verf. früher meist selbst auf einer Längenteilmaschine mit Reißerwerk eingeteilt hat). Man kann bei Anwendung von Holz die geschnittnen Striche mit dunkel gefärbtem Wachs füllen und die Oberfläche des Holzes dann wieder abziehen und endlich firnissen; auf Karton die Striche fein mit der Reißfeder ziehen. Nur sollen bei Kreisteilungsmodellen bestimmte Annahmen für Kreisdurchmesser und die dadurch sich ergebende 1°-Länge festgehalten werden (die aber zweckmäßig im vergrößerten Maßstab, 3 mal oder 5 mal natürliche Größe, auf der geradlinigen Kante des Holz- oder Kartonabsatzes gehalten werden zum Gebrauch ohne Lupe). Die Strichlängen und Strichbezeichnungen der Teilung wie auf der Kreisteilung, z. B. längre 10°-Striche mit Zahlen, 5°-Striche etwas kürzer mit Punkt oder Doppelpunkt, noch kiirzre Striche für die l/₂° oder y#-Gradstriche usf. Den zugehörigen Nonius suche man so genau als es ohne Teilmaschine möglich ist, berzustellen!

4.    Die an dieser Stelle wichtigste Übung besteht selbstverständlich darin, daß der Lernende unter der Voraussetzung, daß ihm ein wenn auch kleiner Theodolit für längere Zeit zugänglich ist, die Einrichtung dieses Instruments, seine Berichtigung und seine Anwendung zur Horizontalwinkelmessung aufs genaueste kennen lernt. Es sind in den Nummern des hier schließenden dritten Kapitels Anleitungen in diesen Richtungen zahlreich gegeben; doch ist selbständige richtige Behandlung und Verwendung des Theodolits bei der und zu der Horizontalwinkelmessung ganz ohne mündliche und manuelle Anweisung durch einen darin Erfahrenen kaum möglich, wenn diesen auch ein Lehrbuch wesentlich unterstützen kann.

5.    Die Berichtigung des Instruments führe man mit beiden Arten der Libellenanordnung mehrfach vollständig aus, so daß sie geläufig wird; hier bieten die

Nrn. 58. und 59. ausführliche Anleitung und es wird hier eher vorteilhaft sein, wenn dem Anfänger nicht bei jedem kleinen Schritt und jeder Frage sofort mündliche Auskunft zu Gebot steht.

6.    Die Horizontalwinkelmessung nach den drei Methoden von 63., 64., 65. muß vollständig geläufig werden; man kann nicht weitergehen zur Verwendung der Horizontalwinkel, wenn diese nicht rasch und gut gemessen werden können. Wie im Text mehrfach betont ist, sollte schon der Anfänger den größten Wert darauf legen, jede Messung so rasch als ihm der Stand seiner Übung erlaubt durchzuführen; die Messungen werden besser dadurch.

Die im Text verwendeten Formulare für die zwei wesentlich verschiednen Arten der Horizontalwinkelmessung, Satzmessung (eine Satzmessung mit nur zwei Richtungen ist die „einfache“ Winkelmessung) und Repetitionsmessung, sind, wenn man sie sich nicht selbst anfertigen will (durch Hektographieren z. B.), in größrer Zahl von Exemplaren in dem schon mehrfach genannten Übungsbuch des Verf. (4. Aufl., Stuttgart, Metzler, 1910) vorhanden. Es ist zweckmäßig, für die Linien und überhaupt den Vordruck der Formulare eine Farbe zu wählen, von der sich die Bleistift- oder Tintenniederschrift bei der Messung besser abhebt als vom Schwarzdruck; man wählt oft rot dazu, das genannte Übungsbuch ist hellblau gedruckt. Der Zeitaufwand für die einzelnen Winkelmessungen, auf den man bei guter Übung herabkommen kann, ist gelegentlich im Text angedeutet.

7.    Nicht oft genug kann auch dem Anfänger empfohlen werden, sich durch Berechnung mittlerer Fehler aus seinen eignen Messungen Aufschluß darüber zu verschaffen, was er mit einem bestimmten Instrument bei dem augenblicklichen Stand seiner Übung zu erreichen vermag. Durch wiederholte Satzmessung zwischen denselben Punkten mit Fehlerberechnung nach 64. 3. ist der mittlere Fehler einer Richtung bei einmaliger Beobachtung festzustellen. Aus wiederholter einfacher Winkelmessung ergibt sich, wenn eine genügende Zahl von Messungen desselben Winkels vorliegt, der mittlere Fehler der einmaligen Messung des Winkels, sei es in einer, sei es in beiden Lagen des Fernrohrs. Man sehe, ob diese zwei Zahlen, m. F. • für die Richtung, m. F. für einmal gemessnen Winkel, einigermaßen zusammenstimmen (die zweite j/2 mal größer als die erste, wenn je in einer oder je in beiden Lagen des Fernrohrs gemessen ist). Sodann repetiere man denselben Winkel auch vielfach je 2 mal, je 4 mal, je 6 mal (mit verschiednen Anfangsablesungen, damit die Endablesung unbefangen gemacht wird) und bilde jedesmal den m. F. des Winkels, wie er aus der 2 maligen, 4 maligen, 6 maligen Repetition hervorgeht. Nehmen diese Zahlen ab in der den Angaben von 66. entsprechenden Weise? Wie verhalten sich für den Beobachter die m. F. der wiederholten einfachen Messung und der Repetitionsmessung (ebenfalls nach 66.)? Ist es dem Beobachter möglich, demnach Zielfehler und Ablesefehler zu trennen? (Es gehen diese letzten Fragen eigentlich schon über Absicht und Rahmen dieses Buchs hinaus; man mache trotzdem einen Versuch. Ebenso zur Lösung der Fragen: wie lassen sich wohl sonst mittlerer Zielfehler und mittlerer Ablesefehler am Nonius je für sich bestimmen? Stimmt ihre Zusammenwirkung nach 66. mit dem direkt aus Wiederholung von Messungen bestimmten mittlern Gesamtfehler genügend überein?) Auf einen Umstand bei solchen Versuchsmessungen mit Benützung „derselben“ Zielpunkte, auf den der Anfänger zu wenig achtet, sei noch hingewiesen: man muß sorgfältig darauf halten, daß z. B. in Fernrohrlage II auch in der Tat derselbe Punkt P angezielt wird, wie in Fernrohrlage I und ebenso bei weitern Messungen. Wenn Gebäude in der Nähe der Versuchsmessungen sind, so nimmt man gern und zweckmäßig Gebäudepunkte, besonders Blitzableiter; der Anfänger zielt aber dann den Blitzableiter das eine Mal oben, das andre Mal unten an und glaubt denselben Punkt damit zu nehmen, was natürlich nicht genügend zutrifft. Ist z. B. die Blitzableiterstange nur um 1° geneigt vom Theodolit aus gesehen; es kommen größere Abweichungen solcher Stangen usf.

von der Vertikalen vor) und man nimmt das eine Mal die Spitze, das andre Mal einen um 3 m darunterliegenden Knopf der Blitzableiterstange, so hat man, wenn vom Standpunkt des Theodolits aus zum Blitzableiter 100 m Entfernung ist, zwei um

300 (cm) •-

iööööm 'e" “ ⁶’a4 •²⁰"’⁶ "¹⁰⁸"

mm

verschiedne Zielungen, selbst bei 500 m Entfernung noch zwei um 22" verschiedne Zielungen. Man achte also streng darauf, daß in der Tat dieselben Punkte als Zielpunkte genommen werden, wenn die Ergebnisse verschiedner Messungen verglichen werden sollen; überlege ferner, bei verschiednen Aufstellungen des Instruments auf demselben Punkt, auch stets, auf welchen Betrag in der Zentrierung ist bei der und der Entfernung der Zielpunkte noch zu achten? Z. B. bringen 2 Zentrierungsfehler bei der Zielweite von 100 m, 200 m, 500 m im ungünstigsten Fall einen ßichtungsfehler von 4",1,    2",1,    0",8 hervor.

VIERTES KAPITEL.

ELEMENTE DER ZUGMESSÜNG.

69. Definitionen. Vorbereitende Erläuterungen für die Messung. Wie schon mehrfach erwähnt, ist die Zugmessung (Polygonmessung, Polygonisierung, Stationierung, polygonometrische Punktbestimmung) mit dem Theodolit (sie kann sich auch als Winkelmesser in untergeordneten Zügen einer Gradscheibe, einer Bussole als Winkelmesser bedienen, ferner auch mit Meßtisch und Kippregel, d. h. mit graphischer Horizontalwinkel-zeichnung statt -messung auszuführen sein) eine Verbindung der Messung der Horizontalwinkel zwischen den sich folgenden Zugseiten mit dem Theodolit und der Längenmessung dieser Zugseiten. Für unsre jetzigen Zwecke setzen wir durchaus voraus, daß die Längenmessung direkt mit Meßstangen oder mit dem Meßband geschieht, wie wir es im ersten Kapitel, Nr. 16., 17., 24., 25., kennen gelernt haben. Wir werden aber im II. Band dieses Buchs auch Züge kennen lernen, deren Seiten nicht „direkt“, sondern mit andern Hilfsmitteln zu messen sind.

1. Definitionen. Der Polygonzug ist eine Folge von Strecken s (Anfangsbuchstabe von Seite), die unter (zunächst beliebigen) Winkeln ß (Anfangsbuchstabe von Brechungswinkel) Zusammenstößen. Die s sind mit Latten oder Band zu messen und meist nicht lang, z. B. nicht über 250 m lang, auf der andern Seite, auf freiem Feld, nicht unter 60 m lang. Die ß sind mit einem kleinen Theodolit, auf freiem Feld 30" oder 20" Nonienablesung, zu messen. Je weniger sie sich von 180° entfernen, desto mehr „gestreckt“ ist der Zug; wären alle ß = 180°, so würde der „Zug“ geradlinig verlaufen.

In manchen Beziehungen ist ein solcher vollständig gestreckter und dazu noch gleichseitiger Zug die Idealform eines Polygonzugs im Sinn der Feldmessung, von der aber selbstverständlich die wirklichen Züge große Abweichungen zeigen müssen. Für manche technischen Anwendungen der Zugmessung ist ohnehin an diese Idealform nicht zu denken, weil der Zug einer bestimmten, auf der physischen Erdoberfläche gegebnen, durch deren Formen bestimmten, also „unregelmäßigen“ Linie folgen muß.

a) Man spricht von einem freien oder fliegenden (offnen, nicht angebundnen) Zug, wenn die Stationierung zwischen frei auf dem Gelände ausgewählten Endpunkten verläuft, d. h. diese Endpunkte nicht durch eine andre Messung bereits gegeneinander festgelegt sind. Z. B. beginnt der Zug Fig. 240 im Punkt (0) und endigt im Punkt (5), hat

ßz

Sl

(O)

P.

(1)

S3

ß3

(3)

(5)

(*)

(2-)

Fig. 240.

also fünf Seiten s, die Strecken (0)(1), (1)(2), . . . (4) (5) und, da im Anfangs- und Endpunkt kein Polygonwinkel zu messen ist, vier Polygonoder Brechungswinkel, in (1), (2), (3), (4). Die Endpunkte eines Zugs (Polygonpunkte) sind, wie es in der Figur geschehen ist, folgeweise (ohne Sprung und ohne Lücke) mit fortlaufenden Zahlen bezeichnet, manchmal auch fortlaufend literiert, A, JB, C...

Eine Unterbrechung dieser regelmäßigen Nummernfolge der Polygonpunkte kann nur dort entstehen, wo z. B. Züge sich vereinigen oder durchschneiden u. dgl., nicht im einzelnen Zug, den wir zunächst allein betrachten; etwaige bei der Zugmessung gleich mit festzulegende „Seitenpunkte“ oder Nebenpunkte, die nicht zum eigentlichen Zug gehören (wie in der Fig 240 der Nebenstrahl 2—2 a) werden am besten mit den Ziffern der Polygonpunkte, von denen sie ausgehen, und Indizes oder Akzenten bezeichnet, so daß im Zug die Numerierung weitergeht.

Wir wollen gleich hier auch über die Bezeichnung der Seiten und Winkel folgendes festsetzen:

(1)    sk soll die Strecke zwischen den Polygonpunkten (Je — 1) und Je sein, d. h. es soll der Index von s durch den Endpunkt der Seite im Sinn der fortlaufenden Numerierung gegeben sein;

(2)    ßk soll in der Ecke (Je) der Winkel zwischen der vorhergehenden Ecke (Je — 1) links und der folgenden Ecke (Je + 1) rechts sein; anders ausgedrückt: als Polygonwinkel nehmen wir die Winkel, die, im Sinn der Numerierung des Zugs gesehen, links vom Zug liegen.

Nach diesen Festsetzungen (l) und (2) sind . die Bezeichnungen der Fig. 240 nach Seiten und Winkeln verständlich. Ähnlich bei Literierung der Züge.

zu-

b) Läßt man den Zug in sich zurückkehren, so entsteht ein ge-schlossnes Polygon; von Winkeln in der Nähe von 180° könnte in diesem nur die Rede sein bei sehr großer Zahl von Polygonseiten, wie sie in Wirklichkeit nicht vorkommt. Die Ecke (n) fällt mit (0)

sammen, die Seiten sind (Strecke (n) (1)), s₂, s₃ . . . sn (Strecke (w — 1) (n)), die Polygonwinkel sind ß₁₇ ß₂ ... ßn. Wenn wir bei unsrer oben getroffnen Festsetzung (2) bleiben, so sind diese ß nur dann die Polygonwinkel im Sinn der Planimetrie (Innenwinkel), wenn die Ecken-beziffrung des Polygons gegen den Uhrzeigersinn um das Polygon geht. Geht dagegen die Eckenbeziffrung mit dem Uhrzeigersinn, so sind die Polygonwinkel in unsrem Sinn die Außenwinkel; ygl. die zwei Figg. 241a und 241b desselben Sechsecks, von der Ecke A — (1) aus gegen und mit dem Uhrzeigersinn numeriert; Sind im geschlossnen Polygon alle Seiten und alle Winkel gemessen, wie wir zunächst voraussetzen wollen, so sind drei „Stücke“ mehr gemessen als zur geometrischen Bestimmung des Polygons erforderlich sind. Es müssen sich also auch

S,

(5)

s5

(6)

ß₅

(4)

(3l

S₄

(41

ßv

ßa

's*

'S 5

H «3)

\S%

(5)( jßa

ß,

iS3

\S₆

ß²/

\2)

Al

S|

Fig. 241a.

Fig. 241b.

drei Messungsproben ergeben, während der fliegende Zug a) gar keine darbietet. Die eine dieser Messungsproben liegt auf der Hand; sie lautet

(3)    27/3 soll = k • 180° sein, wo k eine ganze Zahl bedeutet, und zwar ist

(4)    *-{

beziffert sind, d. h. die ß die j

{n — 2)

(n + ²)

gegen den mit dem

| Uhrzeigersinn | des Polygons sind Die zwei

| je nachdem die Polygonecken j Innenwinkel Außenwinkel

andern Messungsproben entstehen dadurch, daß das Polygon „schließen“ muß, auch rechnerisch oder bei gedachter Konstruktion zum Anfangspunkt zurückkehren muß. Daß diese „lineare“ Messungsprobe (neben der Winkelmessungsprobe (3)) die zwei weitern Messungsproben stellt, geht daraus hervor, daß die Summe der Projektionen der Seiten dieses geschlossnen Polygons auf jede der zwei zueinander senkrechten Achsen gleich 0 sein muß. Wir werden später näher darauf einzugehen haben.

Wenn nicht alle Seiten und Winkel meßbar sind, so geht mit jedem fehlenden Stück auch, eine Messungsprobe verloren. Wenn z. B. alle n Seiten meßbar sind, dagegen nur (n — 1) Winkel, weil etwa an der einen Ecke kein genügend harter Untergrund zur Aufstellung des Theodolits vorhanden ist, so fehlt die Messungsprobe (3), zwei weitre sind aber vorbanden; man kann vielleicht auch, wenn (Je) diese Ecke ist, die Winkelprobe durch die Diagonale (k — 1) (k + 1) wiederherstellen, während die Länge dieser Diagonale nicht meßbar ist, wodurch das w-Eck auf ein (n — 1)-Eck gebracht werden könnte, vgl. Fig. 242. Aus dem Dreieck (7c — 1) (7c) (k -j- 1) kann in diesem

Fall mit Probe, nämlich aus zwei direkt gemessnen Seiten und zwei Winkeln die dritte Seite (k—1) (k -f- 1) berechnet werden, womit das Polygon wenigstens rechnerisch auf ein (n — 1)-Eck gebracht ist. Mindestens müssen in einem w-Eck (2n — 3) Stücke und zwar unabhängige Stücke gemessen sein, so daß nicht alle n Winkel sondern nur («— 1) Winkel unter den unabhängigen gemessnen Stücken zählen können. Bei (2 n — 3) unabhängigen gemessnen Stücken können also zu bestimmen sein:

a)    ein Winkel und zwei Seiten;

b)    zwei Winkel und eine Seite;

c)    drei Winkel.

Alle diese Polygonaufgaben können praktisch werden, besonders bei „Absteckungsarbeiten“, sechstes Kapitel; z. B. können (Fig. 243) in dem Viereck SACA₁,

(k)

.O..

(ßv

w///m/////w////m//,w///////^/m////////////////////

(k⁺¹)

,(k-i)

Fig. 243.

Fig. 242.

weil der Schnittpunkt S der zwei Richtungen SN und SNt gar nicht zugänglich ist, statt aller 8 Stücke nur die 5 unbedingt notwendigen gemessen werden, CA = a, CA₁ = al und die drei Winkel in A, C, Ax; man verlangt die drei fehlenden Stücke. (Der Winkel in S ergibt sich sofort, die Strecken SA und SAl verlangen etwas Rechnung). Wenn tatsächlich nur (2n — 3) unabhängige Stücke im w-Eck gemessen sind, so fehlt wieder jede Messungsprobe.

c) Im Sinn der Feldmessung (Katastermessung) ist aber weder der freie Zug noch das geschlossne Polygon, sei es mit oder ohne Messungsproben die wichtigste Zugform; für diesen Fall ist dies vielmehr der angeschlossne oder angebundne Zug oder ein Netz von solchen Zügen.

Der angeschlossne Zug verbindet zwei Punkte, die in ihrer gegenseitigen Lage bereits durch eine vorausgegangne genauere Messung (Triangulation) festgestellt sind; und nicht nur die Entfernung dieser beiden Endpunkte des Zugs ist festgestellt und unveränderlich gegeben, sondern auch die Lage dieser Strecke gegen weitre Punkte eines umfassenden Festpunktnetzes. Die Zugeudpunkte I, II sind z. B. „trigonometrische^ Festpunkte einer über einen großen Bezirk (Vermessung eines Stadtgebiets mit 50, 100 oder mehr    Fläche; Vermessung eines ganzen Landes

mit 10000, 20000, 50000 und mehr cjlbm Fläche) sich erstreckenden Vermessung, wobei diese Festpunkte durch ihre rechtwinkligen Koordinaten in einem solchen einheitlichen Stadtvermessungs- oder Landesvermessungskoordinatensystem gegeben sind. Denken wir uns z. B., Fig. 244, es sei der Zug 1,2, 3 ... 6 angelegt, um die zwei Punkte I und II, deren Koordinaten in einem solchen System fest gegeben siijd, und die wir uns etwa 1000 m voneinander entfernt denken wollen, miteinander zu verbinden; hier wird man womöglich einen ziemlich gestreckten Zug wählen, um die Verbindung auf möglichst kurzem Weg herzustellen. Sowohl von I als auch von II aus, deren Koordinaten (Xjyj), (^n2/n) w*e bemerkt unveränderlich gegeben sind, ist der Turm A sichtbar, der ebenfalls ein Punkt jenes umfassenden Festpunktnetzes ist, d. h. dessen Koordinaten (Xa])a) in demselben System ebenfalls fest vorgeschrieben sind. Die Richtung des Pfeils in der Fig. 244 deute z. B. die Richtung des positiven Zweigs der #-Achse des Systems an. Die Aufgabe dieser Zugmessung ist, die Koordinaten der Zugpunkte 1, 2, ... 6 durch den in I und II angesclilossnen Zug festzustellen, es handelt sich um „poly-

A%

+x

(Pa)

£a)

+X

(Si).

PhD* ir

ß>

ßr

s₂

jAl

ß₃

■ßs

S3

ßs

S5

Fig. 244,

gonometrische Punktbestimmung“. In diesem in beiden Endpunkten an-gebundnen Zug ist auch im Anfangspunkt und Endpunkt des Zugs ein Polygonwinkel zu messen; es sind dies insofern keine Polygonwinkel im Sinn der Zugwinkel ß₁ ... ßG als diese „Anschluß-“ und „Abschlußwinkel“

(5)

ßj- in I zwischen A links und 1 rechts und

ßn » H jeden beliebigen Wert haben können, während die eigentlichen Zugwinkel ßx bis ß₆ sich in diesem möglichst gestreckten Zug nicht sehr weit von 180° entfernen werden.

Bedenkt man, daß durch die unabänderlich gegebnen Koordinaten der Punkte I, II und A auch fest gegebne, allerdings erst zu berechnende Zahlen vorgeschrieben sind für die Strecken IIA = sA, AI = $i und den Winkel ßA zwischen beiden, so sieht man, daß man in diesem Fall wieder ein geschlossnes Polygon hat, in dem alle Seiten gemessen (zwei unabänderlich indirekt gegeben) und ebenso alle Winkel gemessen sind (einer unabänderlich indirekt gegeben). Es gilt also für die Summe der tatsächlich gemessnen Polygonwinkel in dem Neuneck

(6) Uß = ß₁ -f- ßt + ß₂ + ßs + ß± + ßs + ßß + ßn

soll

(9 — 2) • 180° — ßA,

es ist für diese Summe eine feste Zahl vorgeschrieben und ebenso ist klar, daß zu dieser ersten Probe die zwei weitern Proben des geschlossnen Polygons treten, U der Projektionen aller Polygonseiten so-

Fig. 245.

punkt I und II verwendet werden kann, sondern wenn ein solcher Punkt A vom Anfangspunkt I, ein andrer JB vom Endpunkt II des Zugs aus sichtbar ist, Fig. 245.

Auch hier sind drei Messungsprobengleichungen für die Richtigkeit des Zugs, nämlich die Messuug und Rechnung der Koordinaten der Zugpunkte vorhanden, bestehend in

(9) Zß

soll

einem feststehenden Wert, Differenz der fest gegebnen Richtungswinkel der Richtungen (IIB) minus (IM);

(10)    2J(s ■ cos a) einem feststehenden Wert 0rn — xx), genau wie in (7),

(11)    2J(s • sin a) —¹¹ einem feststehenden Wert (yn — i/j), genau wie in (8).

von

d) Polygonzugnetz. Polygonometrisches Netz. Während für technische Aufgaben vielfach ein einziger Zug oder ein einziges Polygon genügt, ist für eine umfassende Lageplanaufnahme im Sinn der Feldmessung, z. B. einer ganzen Gemarkung, ein Polygonzugnetz als Zwischenglied zwischen die Triangulation und die Kleinvermessung (Stückvermessung) einzufügen. Dabei sind einzelne dieser polygono-metrisch bestimmten Punkte gleichzeitig in zwei Zügen vorhanden, es sind Schnittoder „Knotenpunkte“ von Zügen; in ihnen sind zwei, oft mehr, Züge oder Zugstücke „verknotet“. Auch bei städtischen großem Lageplanmessungen handelt es sich um ein Polygonnetz als Grundlage der Messungen, das oft nur bei enger Überbauung ganz andre Formen als auf freiem Feld annimmt, eine Menge Seitenstrahlen und kurzen fliegenden Zugstücken zeigt.

27

P«

wohl auf die Richtung der rr-Achse als auf die Richtung der ?/-Achse gleich Null. Dabei kann man offenbar die Rechnung der Seiten si und entbehren, indem als Messungsproben, wenn av cc₂ . . . «n die Richtungswinkel der Seiten slf s₂ . . . Su, bezogen auf die ^-Richtung bedeuten^ zu (6) hinzutreten

sx ■ cos a₁ + s₂ ■ cos a₂ -f- • • • -+- sn • cos an sx • sin ax + s₂ ■ sin <x₂ -f- • • • + sn • sin aIX    yn — yI.

Diese drei Messungsproben (6) (7) (8) werden zunächst nicht ganz erfüllt sein, es wird sich um „Ausgleichung“ bestimmter Widersprüche wx, wy handeln.

Die Sache wird nicht anders in dem allgemeinem und fast stets vorliegenden Fall des „angeschlossnen“ Zugs, wenn nämlich nicht derselbe „Seitenpunkt“ A, der an und für sich nichts mit dem Zug zu tun hat, sondern nur einen fest gegebnen Hilfspunkt vorstellt, im Anfangs- und im End-

(?)

(8)

/c

—d"\

st

(Z

ß₅-

soll

xJl ~ X1

ßn

Cö'°-p

s₂

si

S4

S₅

Selbstverständlich müssen nicht ausschließlich die Polygonseiten selbst die Aufnahmslinien der sich anschließenden Kleinmessung abgeben, vielmehr werden in Hammer: elementare praktische Geometrie.

das Polygonnetz hinein weitre Aufnahmslinien eingebunden, durch Einmessung ihrer Endpunkte auf Polygonseiten festgelegt.

2. Erste Andeutung über die Messung von Zügen. Es handelt sich um Verbindung von Streckenmessung und Winkelmessung.

a)    Uber die Messung der Seiten s ist zunächst nichts weiter zu sagen, sie unterscheidet sich nicht von dem, was wir früher in 16., 17., 24. kennen gelernt haben.

Es sei nur gleich hier darauf aufmerksam gemacht, daß bei Stadtmessungen heutzutage in der Regel scharfe Messung der Polygonseiten mit Schneidenlatten angezeigt ist (vgl. 24., Fig. 64), ebenso für manche technischen Messungen, besonders für die Fälle, in denen im geschlossnen Polygon nicht alle Stücke meßbar sind. Für die Feldmessung auf freiem Feld reichen auch gerade abgeschnittne Latten stets aus.

b)    Dagegen ist bei der Winkelmessung ß darauf aufmerksam zu machen, daß die im allgemeinen kurzen Winkelschenkel u. a. scharfe Zentrierung des Instruments verlangen. Die Zugseiten s sind 200, 150, vielfach nur 100 m lang. Machen wir einen kleinen (linearen) Zielfehler bei einem oder bei beiden Zielpunkten oder einen kleinen Zentrierungs-

(4)

ßs

(6)

---o

(5)

s₆ - ioo m

Fig. 246.

—o

(6)

(6)

.........r"

v(6)

(4)

(6)

S5~~

(51

Fig. 248.

Fig. 247.

fehler bei der Aufstellung des Instruments, so wird also dieser Fehler schon bei geringer Größe als Fehler in dem gemessnen Winkel fühlbar werden.

Denken wir uns eine Zugmessung auf freiem Land, wobei als Zentrierungsmittel des Theodolits jedenfalls nur das Schnurlot, als Zielzeichen für die zwei Zielpunkte nur gewöhnliche Fluchtstäbe zur Verfügung stehen.

cm links (im Fernrohr Der Polygonwinkel ßr> wird damit um den Winkel

(6)

an.

«) Wir nehmen an, wir stellen, Fig. 246, im Standpunkt (5) des Theodolits beim Anzielen den Punkt (4), Fußpunkt eines Stabs daselbst, genügend richtig ein, z. B. auf 2 bis 3 mm (Y₁₀ Stabbreite) linear richtig, dagegen statt des Punkts (6) einen Zielpunkt (6'), der von (5) aus gesehen, 1 cm links von (6) liegt; z. B. hängt der Stab im Punkt (6) nach links, wir bemerken dies (im Fernrohr geht der Stab merklich nach rechts unten) und nehmen deshalb sorgfältig den Fußpunkt des Stabs beim Anzielen, d. h. wir glauben dies zu tun, der tatsächliche Fußpunkt ist aber durch eine Bodenwelle verdeckt; Anblick im Fernrohr, verzerrt wie Fig. 247, wir zielen statt (6) den Punkt (6') 1 rechts) von

Dies ist freilich der ungünstigste Fall in Beziehung auf die Richtung von e. Der günstigste Fall ist A ß₆" — 0 und kann eintreten, wenn nicht (x -f- y) als Fehler von ß₆, sondern (x — y) oder (—x -f- y) als dieser Fehler in Betracht kommt, d. h. wenn der tatsächliche, von (5) verschiedne Aufstellungspunkt des Theodolits weder innerhalb des Winkelraums von ßB noch innerhalb des Scheitelwinkelraums, sondern in einem der zwei Nebenwinkelräume von ßa liegt. Er tritt in der Tat ein, wenn der wirkliche Standpunkt des Theodolits statt in (5) selbst in einem Punkt (o") des Kreises liegt, der durch die drei Punkte (4) (5) (6) gegeben ist. Ist ßa = 180°, der Halbmesser des Kreises = oo, so ist diese günstigste Richtung der Zentrierungsfehlerstrecke e die der Geraden (4) (5) (6) selbst.

Immerhin zeigt auch diese Betrachtung ß) mit dem möglichen Maximalfehler von über 40" bei 1

cm

Zentrierungsfehler und 100 m langen Seiten, daß es bei der Polygonwinkelmessung vor allem ankommt auf gute Zentrierung des Instruments und gute Bezeichnung der scharf einzustellenden Zielpunkte (genau senkrechte Stellung des Zielstabs, falls je dessen Fußpunkt nicht sichtbar), keineswegs auf Anwendung eines großem, feinem Theodolits (z. B. 10"-Nonientheodolit oder Mikroskoptheodolit) oder häufige Messung der Winkel mit einem kleinern Theodolit, z. B. 30"- bis 20"-Theodolit, der zur Messung auch wichtiger Züge ausreicht.

70. Anlage eines Zugs. Bezeichnung der Polygonpunkte. Welcher Art die Stationierung auch sei, offner Zug, geschlossnes Polygon, (z. B. Umfangspolygon oder Polygon als Grundlage einer Absteckung), oder an-

27

(6')(5)(6) = x" der Fig. 246 zu klein und dieser Winkel beträgt, wenn

m lang ist, schon

s₆ = Strecke (5) (6) 100

(12)

A ß₅ = x =

. 206300" = 21".

10 U00

Ist unser Theodolit ein 20"-Nonieninstrument, so hat es also keinen Wert, damit den Winkel ß₅ mehrfach zu messen; auf 10" ist er, gute Zentrierung des Instruments und scharfe Bezeichnung der Zielpunke vorausgesetzt, durch einmalige vollständige Messung leicht zu erhalten. Genau zu derselben Einsicht führt natürlich die Betrachtung eines

ß) Fehlers in der Zentrierung des Theodolits. Denken wir uns den Theodolit in-(5) um 1 cm falsch aufgestellt (an sich ist dieses Maß auch bei Schnurlotzentrierung kaum zu befürchten; aber es sei z. B. der Pflock (5) durch nicht bemerktes Anfahren um den genannten Betrag aus seiner Lage gekommen, während der Theodolit von transportiert wurde). Der Polygonwinkel Fig. 248 wird am meisten falsch, wenn die Zentrierungsfehlerstrecke e in der Richtung der Winkelhalbierenden von jd₅ liegt: in (5') statt (5) als Theodolitstandpunkt wird ßh> im Vergleich mit dem richtigen ß₅ um (cc + y)" zu groß, in (5") statt (5) als Theodolitstandpunkt wird ß₅" im Vergleich mit dem richtigen ß₅ um (x + y)" zu klein. Ist, wie gewöhnlich, ß₅ nicht weit von 180° entfernt, so wird also bei der ungünstigsten Lage von e = 1 an und bei Winkelschenkeln s₅ = s₆ = 100 m der Betrag von (x + y), d. h. des Fehlers

(4) nach (5)

(13)

—(lOOOO

• ²⁰⁶⁰⁰°" + 10000

• 206000")= 41".

geschlossner Zug, die Arbeiten sind im wesentlichen dieselben, nämlich:

1. Auswahl und Bezeichnung der Polygonpunkte, 2. Messen der Seiten und Winkel, 3. Rechnung; davon wollen wir hier zunächst die erste besprechen.

1. Auswahl der Polygonpunkte. Die Wahl der Polygonpunkte legt die Form der Zugmessung fest, ist also mit Rücksicht auf günstige Form des Zugs zu treffen und hat ferner Rücksicht auf günstige Verhältnisse bei der Messung zu nehmen, z. B. womöglich Fußpunkte der Stäbe von jedem Standpunkt aus sichtbar; Zugseiten nicht mit großem Gefall bergauf oder bergab zu messen.

daß

Die Seitenlängen sollen, wie bereits angedeutet, nicht unter ein gewisses Maß sinken und sich auch nicht über ein gewisses Maß erheben; man nimmt für Messung auf freiem Feld im allgemeinen an jedenfalls

(i)

250 wx s 60

Als beste Zugseitenlänge kann für freies Feld etwa 150 m bezeichnet werden. Dabei ist großer Wert darauf zu legen, daß in demselben Zug nicht gar zu verschieden lange Seiten Vorkommen; bezeichnet s die längste, smin die kürzeste Seitenlänge in derselben Zugmessung, so sollte jedenfalls

(2)

< 2 sein.

■'inax ^min

Auf freiem Feld lassen sich diese Bedingungen (1) und (2) im allgemeinen stets festhalten; anders bei Stationierungen auf beengten Räumen, z. B. in alten winkligen Stadtteilen usw. Wenn es ganz unvermeidlich ist, kurze Seiten mit in den Zug aufzunehmen, so sollen womöglich nicht sehr lange und sehr kurze Seiten sich unmittelbar folgen.

Die Winkel sollen im freien oder im angeschlossnen Zug sich womöglich nicht über 30° vom gestreckten Winkel entfernen, es sollte

(3)

210° > ß > 150° sein,

was sich sogleich bei der Auswahl der Punkte, von der wir sprechen,

_2_

Fig. 249.

Tn

wohl beurteilen läßt. Im angeschlossnen Zug auf freiem Feld läßt sich die Anfordrung (3) fast immer erfüllen, obwohl man auch hier vielfach gegebnen Verhältnissen sich anpassen muß, z: B. ist (Fig. 249) dem Fuß des Hügels B mit dem Zug zu folgen, wo ohnehin die Zugseiten für die nachfolgende Kleinmessung gebraucht werden, statt den Zug, in bessrer Grundrißform aber mit viel schlechtem Bedingungen für die Messung über den Berg zu führen, auch wenn in (3) und (4) ungünstige Winkel zu bilden sind.

Wenn der Zug einer bestimmten natürlichen Linie zu folgen hat (z. B. einer durch die Bo den Oberfläche gegebnen Linie mit bestimmter Steigung wie vielfach beim Straßenbau) so ist von Einhaltung bestimmter Winkel keine Rede, man hat sich eben an jene Linie zu halten und kann nur dafür sorgen, daß nicht zu ungleiche, besonders nicht zu kurze Seiten Vorkommen; ähnlich bei Messungshindernissen, vielfach bei städtischen Messungen usf. Bei Anlage eines geschlossnen Polygons ist ohnehin eine Winkelgrenze nicht möglich; die Idealformen für diesen Fall der Zugmessung sind noch die regelmäßigen Polygone mit gleichen Seitenlängen (oder wenigstens gleichen Winkeln), die aber beim 4, 5, 6, 8, 10, 12 . . . Eck dieser Art, falls die Innenwinkel als Polygonwinkel in unserm Sinn anzusehen sind, betragen: 90°, 108°, 120°, 135°, 144°, 150° . . ., also erst beim Zwölfeck die Grenze unsrer Anfordrung (3) erreichen würden.

2. Bei der Bezeichnung der Polygonpunkte ist örtliche Bezeichnung und Bezeichnung zum Anzielen zu unterscheiden. Jene örtliche Bezeichnung geschieht auf freiem Feld in der Regel vorläufig, vielfach auch endgültig durch ein geschlagne hölzerne Pflöcke 4 bis 10 cm stark und je nach dem Boden verschieden lang 15, 25, 50 cm (diese auf Wiesen oder moorigem Boden, wo oft noch viel längere Pflöcke erforderlich werden). Der Pflock ist zentrisch in der Mitte des Kopfs mit einer Ausbohrung von etwa 1 oder 1V₂ cm Durchmesser versehen, deren Mitte den Punkt scharf bezeichnet und zugleich zur Aufnahme der Stabspitze beim „Aufstecken“ des Pflocks zum Anzielen bestimmt ist. Der Pflock wird mit dem Boden ganz oder sehr nahezu „bündig“ geschlagen, d. h. so eingeschlagen, daß der Kopf nahezu mit der Bodenoberfläche stimmt; zur leichtern Auffindung wird in der Regel ein zweiter Pflock daneben geschlagen, der 20 oder 30 cm über den Boden vorragt und auf ange-schnittnem „Blatt“ den Namen des Pflocks trägt. Auf sehr hartem Boden, einer chaussierten Straße u. dgl. versagt oft der Pflock, selbst bei vorheriger Anwendung eines „Vorschlags“. Hier leisten gute Dienste kurze Stücke von Gasröhren mit äußern Durchmessern von 20 oder 30 mm, die man sich in verschiednen Längen gesägt und unten etwas angespitzt (mit scharfem Rand angedreht) vorrätig hält; sie können unmittelbar noch in sehr harten Boden geschlagen werden und die Mitte des obern kreisförmigen Endes bezeichnet noch genügend genau den Polygonpunkt zur Aufstellung des Theodolits und ist zur Aufnahme der Stabspitze beim Aufstecken ebenfalls unmittelbar bereit.

bis 20

Durchmesser,

mm

mm

Dünnere Sorten solcher Gasrohrstücke, z. B. von 10 leisten auch noch sehr gute Dienste auf gepflasterter Fläche. Auf sonstigem sehr hartem Boden ist man aber oft genötigt, Polygonpunkte nur durch eingehauene Zeichen oder durch eingegossne Bolzen (z. B. in die Gehwegrandsteine eingemeißelte Kreuze, Bolzen in besondern Punktbezeichnungen) zu verwenden; bei städtischen Vermessungen werden oft noch andere besondre Bezeichnungen verwendet, vgl. u. Vielfach ist zweckmäßig oder notwendig eine Versichrung der Polygonpunkte und der Polygonpunktbezeichnnng; bei Pflöcken auf freiem Feld und für technische Zwecke oft einfach aus einem oben mit Lattenstücken verbundnen Dreieck von umgeschlagenen Pflöcken im Abstand von wenigen 3m bestehend, vgl. Fig. 250, besonders wenn der Punkt auffällig gemacht, vor Anfahren oder Zerstörung durch Abgraben oder Bedeckung durch Zufüllen mit Erde u. dgl. geschützt werden soll. Wenn der Punkt in Gefahr ist, leicht zerstört zu werden, ist noch eine weitre Ver-

sichrung zweckmäßig in Form einiger (mindestens 3, besser 4) weiter abliegender Versicherungspflöcke, ebenfalls gebohrter Pflöcke in 3, 4, 5 oder mehr m Entfernung von dem zu versichernden Polygonpunkt, deren Entfernungen von diesem auf wenige

genau gemessen und mit

mm

P.P.

mm

Fig. 250.

Skizze notiert werden, damit man selbst im Fall der Zerstörung des Polygonpunkts (P. P.) seine Lage auf ganz wenige genau rasch wiederherstellen kann. Ähnlich für den Fall, daß sich in der Umgebung des P.P. schon Punkte befinden (z. B. in der Stadt), „auf die“ er zur Versichrung „eingemessen“ werden kann.

Es ist schon erwähnt, daß diese vorläufige Bezeichnung der Punkte durch Pflöcke auf dem Feld, durch Gasrohrstücke auf harter oder gepflasterter Straße u. dgl. häufig auch als definitive, dauernde Bezeichnung der Zugpunkte genügt. Für Bauzwecke verwendet man in der Regel, auch wenn der Punkt ein Jahr oder länger gebraucht wird, keine andre Bezeichnung. Im Sinn der Feld-(Land- und Stadt-)Messung wird aber oft für die „polygonometrisch bestimmten Punkte“ eine noch längere Dauer versprechende örtliche Bezeichnung verwendet. Die dauerndste Bezeichnung ist für freies Feld die „Versteinung“: man verwendet Grenzsteine oder setzt besondre Marksteine zur Bezeichnung der Polygonpunkte, die häufig durch ein im Kopf eingehauenes Loch („Loch st eine“) als solche bezeichnet und zugleich zum Aufstecken tauglich gemacht werden.

Eine andre dauernde Bezeichnung, die durch in dem Boden tief versenkte, auf Steinplatten oder dgl. vertikal gestellte Drainrohrstücke ist einfach, billig und dauerhaft, wird aber wenig mehr angewandt, weil das bedeckte Rohrstück beim Aufgraben oft schwer gefunden wird, auch wenn seine annähernde Stelle durch Erdhügel u. dgl. oberflächlich gut sichtbar gemacht ist. Auch P. P.-Marksteine werden oft unter den Boden versenkt. Die besondern Verhältnisse dauernder Polygonpunktbezeichnung in der Stadtvermessung werden unten noch etwas näher besprochen.

3. Die Bezeichnung eines Polygonpunkts zum Anzielen bei der Winkelmessung für den Zug (oder auch bei sonstigem spätem Gebrauch des Punkts, z. B. „Abstecken einer Messungslinie“ usf.) geschieht einfach durch Aufstecken mit einem gewöhnlichen Fluchtstab, falls diese möglich ist (Pflock, Gasrohr, Drainrohr, manche städtischen Bezeichnungen). Für die Messung auf freiem Feld reicht dies stets aus; andre Bezeichnungen in der Stadt s. u. Wenn bei der Winkelmessung der Fußpunkt des Stabs angezielt werden kann, so kommt es auch nicht darauf an, daß der Stab besonders gut vertikal steht oder daß er gut gerade ist; anders dagegen, wenn ein Sichthindernis den untern Teil des Stabs verdeckt: dann ist sehr sorgfältig darauf zu achten, daß nur sehr gut gerade Stäbe verwendet und daß diese vom Gehilfen mit dem Anhaltestabrichter (Libelle) vgl. Fig. 6, oder mit angehaltnem Senkel recht gut vertikal gestellt werden; beim Gebrauch des Senkels hat der Gehilfe natürlich darauf zu achten, daß bei gestrecktem oder fast gestrecktem Zug der Stab nicht quer zum Zug geneigt ist, d. h. er hat beim Anbalten des Senkels in der Zugrichtung zu sehen (gegen den jetzigen oder künftigen Standort des Theodolits).

Wo ein Stab nicht ohne weitres „aufgesteckt“ werden kann (auf eingemeißeltem Kreuz als P.P. oder dgl.), muß eins der früher genannten Hilfsmittel gebraucht werden: Doppel ring für den aufzustellenden Stab und einen schräg stehenden Strebenstab, Fig. 5, zusammengebundne Stäbe, Fig. 4, Drahtdreibein-gestell für den Stab. In der Stadt werden oft statt Stäben feinre Zielzeichen, Drahtstücke u. dgl. durch ähnliche Halter aufgestellt. Auf freiem Feld kann man den dort stets zu verwendenden Stab, wenn er nicht unmittelbar aufgesteckt werden kann, bei der Winkelmessung, wo er nur während des kurzen zweimaligen Anzielens gebraucht wird, auch einfach von einem Gehilfen halten lassen, z. B. auf einem anzuzielenden trigonometrischen „Signalstein“ als Anfangs- oder Endpunkt eines Zugs; dies ist oft kürzer als jede andre Vorbereitung.

oder 150

71. Messung eines Polygonzugs auf freiem Feld. Wir wollen für das Folgende zunächst die besondern Verhältnisse der Stadtmessung ausschließen, nur die Messung auf dem Land betrachten. Die Eckpunkte (Polygonpunkte) sind nach 70. gewählt und mit Pflöcken bezeichnet, auf denen Stäbe aufgesteckt werden können; Zugseiten durchschnittlich 100 tiv lang, Polygonwinkel im angesckiossnen Zug nicht allzuviel von 180° abweichend.

1. Messung der Seiten s nach den in 16., 17., 24. gegebnen Vorschriften. Jede Seite ist zuerst genügend auszufluchten, durch Stäbe in Entfernungen von etwa 30 m oder für Lattenmessung sogar 25 m voneinander zu bezeichnen; der Anfänger ist hierauf besonders hinzuweisen, da er gewöhnlich zu wenig Wert auf Ausfluchten vor der Messung legt. Das Ausfluchten kann auch bei 150 m und selbst 200 m Länge mit freiem Auge geschehen, da immerhin große Genauigkeit bei diesem Abstecken der Linie zum Zweck der Längenmessung allein (also nicht im Sinn der Absteckung als Aufnahmslinie) nicht notwendig ist. Uber die Messung selbst ist nur etwa noch zu sagen, daß es hier fast immer notwendig ist, die Lattenkorrektion (tatsächliche Länge der Meßstangen) genau zu kennen, vgl. darüber 27., und sie sogleich an den gemessnen Strecken anzubringen (-j-, wenn die Latten zu lang sind, —, wenn die Latten zu kurz sind); ebenso für das Meßband.

Die Seiten sind jedenfalls zweimal zu messen, am besten zuerst durch den ganzen Zug hin und dann (mit demselben Werkzeug und in derselben Art) zurück. Diese zweimalige Messung reicht dann aber im allgemeinen auch aus; nur bei grundlegenden Zügen der Stadtvermessung, die wir aber hier ja vorläufig ausschließen, kommt mehr als zweimalige Messung in Betracht. Auf nicht horizontaler Strecke ist eine der in 24. angegebnen Methoden zu verwenden, bei beiden Messungen am besten wieder dieselbe.

Zweckmäßig ist, bei der einen der zwei Messungen die Strecken abgesetzt* bei jeder Ecke mit Null beginnend, Seite für Seite zu messen, bei der andern aber, z. B. auf dem Rückweg, durch den ganzen Zug an den Polygonpunkten nur abzulesen, die Messung aber selbst durchlaufen zu lassen, indem nur die letzte Lattenlage bei einem Eckpunkt um diesen, ohne Verändrung der Ablesung, in die Richtung der neuen Seite gedreht wird; groß ist bei Polygonwinkeln nahe bei 180° die Drehung ja meist nicht. Es wird so viel eher ein grober Fehler (Verzählen um 10 m bei 5 m-Latten, um eine Bandlage von 20 m beim Band) vermieden, als wenn die beiden Messungen abgesetzt gemacht werden; besonders wenn in diesem Fall die beiden Messungen unmittelbar aufeinander folgen, besteht immer die Gefahr, daß ein bei der ersten gemachter Fehler bei der zweiten ebenfalls begangen wird. Z. B. seien bei der ersten Messung erhalten worden:

Sj = 132,45 s₂ = 147,04 ss = 121,11 s₄ = 107,29 Ss = 139,72

bei der zweiten dagegen sei auf dem Rückweg durchlaufend, vom Endpunkt an gemessen, abgelesen worden an den Polygonpunkten:

II

I 1038,57 m

$₁ = 132,46 = 146,97 s₃ = 121,13 si = 107,22 s. = 139,76

Die zweite Messung gibt damit für die Polygonseiten die als II angeschriebnen Zahlen als Differenzen der Ablesungen an den Polygonpunkten.

pro Meter angezeigt sei, d. h. man würde mit genau richtig langen Stangen

große Strecken er-, die andre

zu kurz. Es ist dann von den Messungszahlen, wie sie sich unmittelbar auf 10 m oder 0,28 mm pro m, sondern 0,28 -)- 0,15 pro Meter abzuziehen und die Verbessrungen der obigen (gemittelten)

mm

um 1% Zehntelmillimeter pro Meter gemessner Länge zu halten; von den verwendeten 5m-Stangen sei ferner die eine um 1,5 um 1,3

ergeben haben, nicht nur 2,8 = 0,43

gemessnen Zahlen sind der Reihe nach (Rechenschieber) zu setzen:

Wie aus solchen Doppelmessungen derselben Strecken (mit denselben Werkzeugen und in derselben Art; auch die zweite Voraussetzung trifft genügend zu, wenn auch bei der zweiten Messung an jedem Pflock abgelesen, bei der ersten neu angelegt ist, wenn nur sonst in derselben Art gemessen wurde) der mittlere reine Messungsfehler für die Einheitsstrecke 100m abgeleitet werden kann, ist in 21. ausführlich auseinandergesetzt, worauf hier zu verweisen ist. Man rechne selbst das vorstehende Beispiel durch. Ebenso ist die „Stangenkorrektion“ in 18. Schluß, 21., 22. ausführlich auseinandergesetzt; positive Verbesserung der unmittelbaren Messungszahlen wird notwendig, wenn die Stangen zu lang sind, negative Korrektion, wenn die Stangen zu kurz sind. Dabei ist übrigens Rücksicht zu nehmen auf einen etwa für die Art der Messung bekannten regelmäßigen Fehler, vgl. 23. Gl. (6). Z. B. wisse man, daß bei der im Beispiel angewandten Art der Messung mit 5 m-Latten nach etwa 30 m voneinander entfernten Stäben eine negative regelmäßige Verbessrung von 0,15

mm mm

mm

mm

mm

132 • 0,43 = 57 147 • 0,43 = 63 121 • 0,43 = 52 107 • 0,43 = 46 140 • 0,43 = 60

mm

mm

mm

mm

mm

oder es ist st = 132,45ö m — 5,7 So -    147,00₆ m — 6,3

s₃ = 121,12 rn — 5,2 s₄ = 107,25s m — 4,6 s. = 139,74 m — 6,0

cm

cm

cm

cm

cm

= 132,40 m = 146,94 m = 121,07 m = 107,21 m = 139,68 m

2. Messung der Polygonwinkel. Wir setzen einen 30"- oder 20"-Nonientheodolit voraus. Nack 68., 2. b) hat es keinen Wert, die Winkel

mit diesem Instrument mehrfach, z. B. auch nur 4 mal zu messen, es genügt einmalige vollständige Messung (einmal in jeder Fernrohrlage) auch für Hauptzüge. Für weniger wichtige Züge, Nebenzüge, genügt sogar die einmalige Messung in einer Fernrohrlage dann, wenn die Neigungen der Zielungen gering sind. Da man jedoch hier gar keine Kontrolle erhält, selbst z. B. ein grobes Ableseversehen um 10° nicht aufgedeckt wird, so ist im allgemeinen allerdings angezeigt, die Polygonwinkel auch in Nebenzügen wenigstens zweimal (aber auch in Hauptzügen nicht öfter) zu messen, je einmal in jeder Fernrohrlage. Dabei eliminiert man dann zugleich auch, für den Fall größrer Höhenwinkel der Zielungen, die Einflüsse des Fehlers in der Ziellinie und des Fehlers in der Kippachse (Abweichung des Winkels zwischen Kippachse und Stehachse von 90°); nicht ohne weitres eliminierbar ist der Stellungsfehler der Stehachse, und das erste Gebot, bei großem Höhenwinkeln der Zielungen, ist wie wir wissen: Umdrehungsachse genügend genau vertikal. Wir wissen auch schon aus der Diskussion in 62. Schluß, daß bei Zugwinkeln von 180° die Stehachse besonders in der Richtung quer zum Zug gut vertikal zu stellen ist, sobald beträchtliche Höhenwinkel Vorkommen und daß der Zugwinkel 180° günstig für die Fehlerverringerung ist, wenn die Höhenwinkel der Zielungen entgegengesetzt gleich sind.

Es bleiben uns, wenn wir die Zugwinkel je einmal in jeder Fernrohrlage messen wollen, das Verfahren der einfachen vollständigen Winkelmessung (mit Durchschlagen in der Mitte der Messung) oder das der zweimaligen Repetition (ebenso). Für die zweimalige Repetition, die bei Polygonwinkeln in manchen Katastervermessungeil, z. B. der württembergischen vorgeschrieben ist, lassen sich jedoch nicht viele Gründe anführen; mehr für die einfache Winkelmessung (Satzmessung mit den zwei Zielpunkten: vorhergehender und folgender Punkt), die wir im folgenden beibehalten. Bei der Repetitionsmessung ist in jedem Standpunkt des Theodolits als Punkt links der vorhergehende Polygonpunkt, als Punkt rechts der folgende Polygonpunkt zu nehmen, der Definition unsrer Polygon winkel gemäß; man kann auch die erste Messung von links nach rechts, die zweite, mit durchgeschlagnem Fernrohr, „von rechts nach links“ machen, vgl. die Beschreibung der Repetitionswinkelmessung in 65. Bei der einfachen Winkelmessung ist bekanntlich gleichgültig, in welcher Reihenfolge man die Punkte nimmt; ob z. B. von P₆ als Standpunkt aus zuerst P₅ und dann P₇, oder umgekehrt, ist ganz ohne Bedeutung: ob man den Winkel zwischen P₅ links und P₇ rechts erhält oder umgekehrt kommt nur darauf an, wie nachher abgezogen wird. Wenn man den Winkel zwischen P₅ links und P7 rechts will, so ist zu nehmen: Ablesung hei P₇ (endgültig) minus Ablesung bei P₅ (ebenso). Über das Formular (Feldbuch) sogleich näheres.

Im übrigen ist bei der Winkelmessung die größte Sorgfalt auf genaue Zentrierung des Theodolits bei der Aufstellung und auf genaue Bezeichnung der Zielpunkte (Stäbe genau vertikal, wenn Fußpunkte nicht sichtbar) und genaues Anzielen dieser Punkte zu verwenden.

Fehler in der Einstellung eines Zielpunkts, bei 100 m Seitenlange schon 10" Fehler in den Winkel hineinbringen (an dem der Beobachter u. U. gar keine Schuld trägt, weil er den einseitig von der Sonne beschienenen Stab um den genannten Betrag, oft viel mehr, infolge der Irradiation falsch anzielt, während er ihn tatsächlich so gut als möglich einstellt) und weil 5 der Theodolitaufstellung den Winkel mit 100 m langen Schenkeln, im ungünstigsten Fall allerdings, um 21" falsch machen, so sind diese beiden Dinge, gute Zentrierung und gutes Anzielen die Hauptsache. Bei ruhigem Wetter kommt man mit der Schnurlotzentrierung auf die Genauigkeit von 1 bis 2 mm, bei windigem Wetter ist leicht mehr Zentrierungsfehler zu befürchten. Sehr wichtig ist die Bemerkung, daß man bei nahezu gestrecktem Zug, und selbst bei ß, die sich ziemlich weit von 180° entfernen, das Hauptaugenmerk auf die Zentrierung in der Richtung quer zum Zug richtet. Der Anfänger sei ferner noch davor gewarnt, den auf einem Pflock zum Zweck der Aufstellung des Theodolits abgezognen Stab senkrecht neben sich zu stecken; man steckt vielmehr den Stab auffallend schief ein oder legt ihn noch besser auf den Boden: manche Irrtümer in Zügen entstehen bei dem Anfänger dadurch, daß er beim Weggehen mit dem Theodolit den senkrecht stehenden Stab auf den eben verlassnen Pflock zu stecken vergißt und von der nächsten Theodolitaufstellung aus diesen ganz falschen Punkt anzielt.

Da 5

mm

Zentrier ungsfehler bei

mm

Als Feldbuch beim Aufschreiben könnte bei der Winkelmessung das Formular in 64. für die Satzmessung verwendet werden, wobei in der ersten Spalte statt „Satz“ (da nur ein einziger gemessen wird) einzusetzen wäre: Standpunkt. In den geodätischen Übungen der Technischen Hochschule Stuttgart lasse ich in dem „Übungsbuch“ der Teilnehmer ein be-sondres Formular verwenden, das hier abgedruckt ist und wobei sogleich für drei Standpunkte die Aufschreibung und die Rechnung eingesetzt ist.

unterscheiden sich dadurch

ii

Das Formular S. 427 nimmt auch gleich Rücksicht auf die Seitenmessung. Es ist für 'einen angeschlossnen Zug bestimmt, der vom Festpunkt I nach dem Festpunkt II führt und für den deshalb auch in I und in II je ein Polygonwinkel zu messen ist (vgl. Fig. 245), in I Zielung A links und 1 rechts, in II Zielung letzter Zugpunkt links und B rechts. Die beiden Winkel ßJ und ß von den eigentlichen Polygonwinkeln ß₁, ß₂, . . . daß sie, selbst bei einem ganz oder nahezu gestreckten Zug (ßx, ß₂ . . . alle nahe bei 180°) jeden beliebigen Wert zwischen 0° und 360° haben können. Daß für jeden Standpunkt im Formular drei Zeilen im Winkelmeßformular vorgesehen sind, hat seinen Grund darin, daß gelegentlich gleich ein Seitenstrahl mit festzulegen ist, so im folgenden Beispiel von 2 aus der Strahl 2'.

Die Seitenmessungen sind in das Formulur nicht eingesetzt. Die zwei „eigentlichen Polygonwinkel“, deren Messungszahlen angegeben sind, sind ßx = 191°9'30", ß₂ = 193° 17'00" Die Richtung für den Seitenstrahl 2—2' (83°23' von 1 aus gegen rechts) kann auf 1' abgerundet werden, da der Strahl nur etwa 70m lang ist und keine Fehlerfortpfianzung von seinem Endpunkt aus stattfindet.

Der Theodolit kann bei dieser Messungsweise ebensogut ein einfacher wie ein Repetitionstheodolit sein; im zweiten Fall ist jedoch hier die Repetitionseinrichtung unnütz und man läßt am besten die Limbusklemme ein für allemal scharf angezogen. Der Theodolit wird so aufgestellt, daß der Nullpunkt des Kreises ganz beliebige, zufällige (aber während der Messung feste) Lage erhält. Sollen dagegen die Polygonwinkel mit zweifacher Repetition gemessen werden, so setzt dies selbstverständlich einen Repetitionstheodolit voraus.

Das Messen eines Polygonwinkels in der angegebnen Art ist das Werk weniger Minuten, einschließlich Aufstellung des Theodolits, aber unter der

II

(2'    (170    4 | 0

3    279    58 00

86    41 20

8    14 , 00

I 177    4 ! 40

39 57 : 00

A 17    21 20

//

4 40)

59 20

42 40

14 40

6 00

58 00

22 00

(4 20)

(350    6

20

9) (00 l

40)1(170 ! 5 30)

58 40

42 , 00

14 20

5 20

IS

21

100 00

266 ! 43

188 I 16

357 I 6

219 59

197 23

20

00

44

40    1

20 43

20

20

00

00

00

40

17

09

40 17

00

40    7

20 59

24 00 23

00

40

30

279    59 50 193

86    42 50

368    15 40 191

177    6 10

39    58 35    22

17    22 35

17 00

ßi

9 30

36 00

Stdp. Zielp.

Beob.:

Theod.:

Fernrohrlage I Non. 1 Non. 2 | Mitt. I

(Ablesg. 20") Wetter:

Zug von I=

Anschlußrichtungen: I — A = I —

nach 11 =

Non. 1

Non. 2 Mitt.II

Fernrohrlage II

Gesamt

mittel

Reduz. Rieht. (Polyg. W.)

Latten oder i Länge =.....

Band j Korr, pro m

...... II — B = II —

Zugmessung bei Messung der Polygonwinkel aus

2 — 3 =

2 — 2'

(ß₂' zwischen 1 links und 2' rechts 83°22',7).

Datum: 1910

Rechnung s. S.

Zur Aufnahme

Korr.

Endg. Mittel

Seiten (und Strahlen)

Richtungen in beiden Fernrohrlagen.

Seite . . . .

Voraussetzung, daß die Polygonpunktspflöcke geschlagen sind; auch der Anfänger bewältigt bei kurzen Instrumenttransporten leicht 3 bis 4 Polygonpunkte in der Stunde, später steigert sich die Leistung leicht auf 6 und mehr, so daß im Tag viele Dutzende gemessen werden können.

Wenn es sich um ein geschlossnes Polygon, nicht um einen freien oder angeschlossnen Zug handelt, so ändert sich gar nichts wesentliches; nur kann man im Polygon, nach Ausrechnung der ß, gleich auf dem Feld noch die erste Hauptmeßprobe sich verschaffen, die für Uß, was hei dem angeschlossnen Zug, wo die Probe eine größre Rechnung voraussetzt, meist nicht angeht.

Dies führt noch auf ein Wort über den m. F. der Messung der Polygonwinkel. In der angegebnen Art mit einem 20"-Theodolit oder selbst nur 30"-Theo-dolit gemessen, einfach vollständig, je einmal in jeder Lage des Fernrohrs mit Ablesung beider Nonien, bei genügender Berichtigung der Stehachse im Fall größrer Höhenwinkel der Zielungen, Zentrierung mit Schnurlot, Zielpunkte Stäbe, meist am Fußpunkt sichtbar und hei Zugseiten von 150 m oder selbst 100m Länge, sind die Polygonwinkel durchschnittlich mit einem

mittlern Fehler von etwa +15" bis +20" behaftet.

Die Summe von n solchen Winkeln hat dann einen m. F. von nicht (15 • n)" bis (20 • n)" sondern

+ 15" ]/n oder +20'++;

d. li. mißt man z. B. in einem geschlossnen 9-Eck mit den angegebnen Seitenlängen die Winkel auf die angegebne Art und addiert gleich auf dem Feld die ß, so ist als mittlerer Fehler ein Betrag von + 15"]/9 oder + 20"|/9 = + 45" oder + 1' zu erwarten, bei der einen derartigen Messung (9-Eck) + 20", bei der andern — 1'25", bei einer dritten + 1'05", bei der vierten nur — 35" Widerspruch u. dgl. (Solche ge-schlossne Polygone, bei denen man von nichts abhängig ist als von der eignen Winkelmeßgenauigkeit, nicht von Koordinatenfehlern der gegebnen Punkte usf. wie bei angeschlossnen Zügen, bieten neben mehrfacher Wiederholung der Messung auf demselben Punkt mit neuer Zentrierung des Instruments usf. eins der besten Mittel zur Erforschung der unter gegebnen Bedingungen erreichbaren Genauigkeit der Polygonwinkelmessung).

72. Berechnung eines freien Zugs. Polygonzüge werden im allgemeinen nicht so zu Papier gebracht wie sie gemessen werden, durch Aneinanderfügen gemessner Strecken s und „Aufträgen“ der Brechungswinkel ß zwischen ihnen.

Bei gröbrer Messung nicht angeschlossner und nicht geschlossner Züge, die z. B. als Vorarbeit beim Feld- und Waldwegbau dienen, kommt allerdings dieses Aufträgen nach s und ß vor. Wenn z. B. in diesem Fall die ß gar nicht mit dem Theodolit, sondern mit einer Gradscheibe (Winkeltrommel) auf einige ' gemessen sind, so verlohnt sich meist die Berechnung der Züge nicht, man trägt vielmehr die ß mit Hilfe ihrer tang oder ihrer chord auf (auf die oft sehr schlechten Teilungen auch größrer und selbst metallner sog. Transporteure, auch der Vollkreis-,,Regel“-(d. h. mit Lineal-Ziehkanten versehnen) Transporteure soll man sich im allgemeinen nicht verlassen, schon angesichts der oft ganz ungenügenden Zentrierungsvorrichtung des Transporteurs), vgl. darüber Fig. 103, und auf der so gewonnenen Richtung in dem gewünschten Maßstab 1: M des Lageplans allemal die Strecke s. Die Fehlerfortpflanzung ist sichtlich ungünstig.

1. Sobald ein Theodolit, wenn auch ein kleiner, zur Messung der Polygonwinkel verwendet ist, ist der Zug im allgemeinen dadurch auf zu-

tragen, daß die rechtwinkligen Koordinaten der Eckpunkte berechnet und der Zug erst auf Grund dieser Koordinaten auf dem Lageplan zu Papier gebracht wird. Wir nehmen an, es handle sich vorläufig um einen freien Zug, für dessen Berechnung wir das Koordinatensystem wählen können, wie es uns am bequemsten liegt, ohne Rücksicht auf ein Landesvermessungs- oder Stadtmessungs-Koordinatensystem. Wir wählen für den freien Zug (0), (1), (2) ... (6) den Anfangspunkt 0 als Kulipunkt des Koordinatensystems und die Seite als eine der Achsen, z. B. in der Fig. 251 als -f y-Achse. Der Zug ist nicht stark gekrümmt,

(i)

P)

(4)

s₅

(5)

|(6)

⁺y

Fig. 251.

weicht in seiner ganzen Richtung nicht sehr viel von der y-Achse ab, die x aller Polygonpunkte werden nicht groß.

Gemessen sind die Seiten s₁ bis se und die Polygonwinkel ßl bis ß₅; diese sind die Brechungswinkel links vom Zug.

Es ist nun zunächst an folgende Grundsätze über Winkelbeziehungen und Koordinatenrechnung im rechtwinkligen Koordinatensystem zu erinnern: der geodätische Anfänger hat in der Regel in der Schultrigonometrie gerade von diesen praktischtrigonometrisch wichtigsten Dingen wenig erfahren und sei deshalb auf mein „Lehr-und Handbuch der Trigonometrie“, 3. Aufl. Stuttgart 1907, Kap. Y. „Ebene Polygono-metrie“ verwiesen.

2. Sind K und L zwei beliebige Punkte der Koordinatenebene, so nennt man den Winkel, den die Gerade KL mit der Richtung der x-Achse des Koordinatensystems einschließt, den Richtungswinkel von KL\ genauer: der Richtungswinkel von KL ist der zwischen 0° und 360° genommene Winkel, den man erhält, wenn man die durch K, den Anfangspunkt der Strecke KL gezogne Parallele zum positiven Zweig der #-Achse im Uhrzeigersinn dreht, bis sie in die Richtung KL kommt.

In der preußischen Katastervermessung heißt der Winkel Neigung, was aber besser Vertikal winkeln Vorbehalten bleibt; statt Richtungswinkel gebraucht man oft auch Azimut, was aber zu Verwechslungen führen kann. Bei den süddeutschen Landesvermessungen in den ersten Jahrzehnten des 19. Jahrhunderts war Direktionswinkel im Gebrauch, in Österreich wird Südwinkel gebraucht, was aber sachlich nicht zutrifft, auch wenn im Nullpunkt des Systems -f- x nach Süden geht.

Die Richtung x ist also stets die Kullrichtun'g, von der aus die Richtungswinkel und zwar im Uhrzeigersinn gezählt werden; Richtungswinkel 0 heißt: Parallele zur Richtung -f Richtungswinkel 90° Paral-leie zur Richtung -f- y-, Richtungswinkel 180° Parallele zu —x\ Richtungswinkel 270° Parallele zu — y. Bezeichnung des Richtungswinkels von KL am einfachsten (nach Jordan) mit (KL)- man könnte x hinzufügen, wie es früher in Württemberg vielfach üblich war, (xKL) oder (x, KL), es ist aber überflüssig, da ein für allemal festgesetzt wird, daß von der Richtung + x, (die an sich ganz beliebig angenommen werden kann, dann aber fest ist), als 0 aus gezählt wird. Wählen wir einen Buchstaben für den Richtungswinkel, so sei es stets a, z. B. a = (KIj).

Auch hier sind die verschiedensten Bezeichnungen gebräuchlich. Der „Neigungswinkel“ oder die „Neigung“ in der preußischen Katasterverwaltung heißt stets v (Anfangsbuchstabe von Neigung) und zwar ist der Neigungswinkel von AB, den wir (AB) nennen, mit v\ bezeichnet; die Wahl eines Buchstabens für den Richtungswinkel ist oft zweckmäßig oder notwendig, weil tg v oder sin v, oder cos v nicht nur eine geometrische, sondern auch die iibereinkömmliche analytische Bedeutung hat, während (KL) nur geometrisch deutbar ist. Die Bezeichnung n.AB der württembergischen Katasterverwaltung für (AB) ist (vgl. Südwinkel in Österreich) unrichtig, wenn n — Nord gelesen wird, und das n ist völlig überflüssig, wenn es 0 bedeuten soll.

Wir brauchen nun hier folgende Richtungswinkelbezeichnungen:

a) Die Richtungen KL und LK sind die Umkehrungen voneinander,

d. h. es müssen sich die R. W. (KL) und (LK) scheiden: in der Tat ist

um

180° unter-

(1)

(LK) = (KL) ± 180°

allgemein gültig; vgl. Fig. 252. Es ist rechts + 180°, nicht nur -f- 180° gesetzt, wie es nach Fig. 252 genügen würde, weil wir die R. W., wie gesagt, stets zwischen 0° und 360° nehmen wollen, und wir ferner mit -f- 180° und mit — 180° zwei Winkel bekommen, die sich um 360°, d. h.

+x

+x

+x

+x

(PQ)

(KL)

(LK)

Ten

\(PR)

Fig. 253.

Fig. 252.

zu er-

nicht unterscheiden. Ist in (1) (KL) selbst < 180°, so ist rechts + 180°; ist (KL) selbst > 180°, so ist — 180° dazu zu nehmen, um (LK) halten. Diese Grundgleichung (1) ist sehr wichtig (Umkehrungsgleichung der Richtung); sie ist nur ein spezieller Fall der folgenden ebenfalls für unser augenblickliches Bedürfnis fortwährend in Betracht kommenden Beziehung.

b) Ist in einem Punkt P yQR der Winkel zwischen dem Punkt Q links und dem Punkt R rechts (Fig. 253), so ist

(2)

(PR) = (PQ) + y

QR'

Die Gleichung (2) gilt in vollständiger Allgemeinheit; führt die Addition rechts über 360° hinaus, so bleibt eben von der Summe 360° wieder weg.

Zug) ßs, A>, ßio, ßn-

Die Gleichungen (1) und (2) gestatten nun schon im Koordinatensystem die Richtungswinkel a aller Seiten eines Zugs rekurrierend zu berechnen, wenn der R. W. der ersten Seite gegeben oder (wie in unsrem vorläufigen Fall) angenommen ist: es sei z. B., Fig. 254, (8) (9) (10) (11) ein Zugstück, seine Brechungswinkel (links vom Wir wollen annehmen, a₈₉ oder auch a₉ = ((8)(9)) sei berechnet; nun ist nach (1) ((9) (8)) = ((8) (9)) + 180° und nach (2)

(3)

«9,10 = «io = ((9)(10)) = ((9)(8)) + ß₉ = ((8)(9)) ± 180° + ß₉,

wobei man im Fall der Figur auf der rechten Seite von (3) über 360° hinaus käme, was also wieder wegzubleiben hätte; und die Gleichung gilt in derselben Art für die folgenden R. W., nämlich

(4)

«u = ((10) (11)) = a₁₀ + 180° + ß10 «12 ⁼ ((11) (12)) ==    + 180° 4- ßn, allgemein

«r +1 ⁼ «r + 1^^° + ß

d. h. man erhält den Richtungswinkel jeder folgenden Seite in einem Zug, wenn man den Richtungswinkel der vorhergehenden Seite (die R. W. der Seiten stets im Sinn der fortlaufenden Bezififung des Zugs genommen) um 180° verändert und den Polygonwinkel zwischen beiden Seiten hinzufügt.

Der Anfänger mache sich die Bedeutung dieser R. W.-Gleichungen (4) noch besonders klar an dem Fall, daß alle ß = 180° seien, Polygonzug gerade gestreckt; dann müssen alle a gleich herauskommen, was mit (4) zutrifft (gleich oder um 360° verschieden, was ebenfalls gleich bedeutet). Ist ferner in einer bestimmten Ecke (r) eines Zugs

(5)

ßr < 180° oder > 180°, so biegt in dieser Ecke, in der Richtung der Zugnummerierung gesehen, der Zug

(9)

(10)

!«-

Gl)

(8)

Fig. 254.

nach links oder nach rechts ab, der R. W. der folgenden Seite nimmt im Vergleich

mit dem der vorhergehenden j^J, vgl. Fig. 254 (wobei nur bei Zügen nahezu

parallel der «-Achse gelegentlich 10° größer ist als 355°, nämlich jenes als 370° zu lesen).

Wir wollen nach diesen Regeln zunächst die R. W. für den Zug der Fig. 251 bei den folgenden Ergebnissen der Winkelmessung (ß) ablesen (die Winkel ß sind nur mit einem kleinen Theodolit von 1' gemessen und deshalb im Ergebnis je auf ^' abgerundet):

(6)    = 162°47',5, ß₂ = 169° 10',5,    /5₃ = 193°23', ß₄ = 202°8\ ß₅ = 187°39,,5.

Die Richtungswinkel werden folgende: oq — ((0)(1)) = 90°0' angenommen a, = 90°0'    ± 180° + ft = 90° — (180° — ft)

= 90° — 17°12',5    — 72°47',5

(?)

ccs = 72°47',5    +    180° +    ft = 72°47',5 — (180° — ft) = 72°47',5 — 10°49',5 = 61° 58'

a₄ = 61°58'    +    180° -f-    ft = 61°58'    +    (ft — 180°) = 61°58' -f    13°23' = 75°21

ec* = 75°21'    +    180°    -f    ft = 75°21'    -f-    (ft — 180°) = 75°2l' -f    22° 8' = 97°29'

a₆ = 97°29'    ±    180° -f    ft = 97°29'    -f    (ft — 180°) = 97°29' -f    7°39',5 = 105°8',5.

Es ist hier z. T. mit (180° — ft, z. T. mit (ß—180°) gerechnet, um allemal den folgenden Richtungswinkel zu erhalten; sind die ß wie im vorliegenden Fall nicht sehr viel von 180° entfernt, so ist es in der Tat am bequemsten so zu rechnen.

Ist ß <( 180°, so ist der folgende Richtungswinkel um (180° — ft kleiner als der vorhergehende,

ist ß ]> 180°, so ist der folgende Richtungswinkel um (ß — 180°) größer als der vorhergehende, (vgl. (5).

In der Tat wird man die Ausrechnung der a tabellarisch machen, vgl. u. Die zwei ersten ß im Beispiel sind < 180°, deshalb nehmen bis dahin die R. W. ab, die folgenden drei ß sind > 180°, die R.W. wachsen. Eine Rechenprobe (aber nur eine solche; nämlich keine Messungsprobe), erhält man dadurch, daß man die Differenz des ersten und letzten Richtungswinkels nimmt. Da in den a sukzessive alle ß addiert worden sind, so muß diese Differenz (ce₆ — oq), von einer gewissen ganzen Anzahl mal 180° abgesehen, mit E ß stimmen. In der Tat ist nach (6)

(8) Eß = 915° 8',5, nach (7) «₆ - at = 15° 8',5 = 915° 8',5 - 900°, womit die a kontrolliert sind.

c) Koordinaten. Sind Pr und Pr + 1 Koordinatensystems, sr + 1 nach unsrer obigen Bezeichnung die Strecke zwischen beiden (diese Strecke ist stets absolut, d. h. positiv

zwei beliebige Punkte des

r +1

zu nehmen, und ar r + 1 = (PrPr+1) der Richtungswinkel der Strecke, im Sinn PrPr + t genommen, so gelten in vollständiger Allgemeinheit die zwei Bleichungen:

• cos (P,Pr + 1) = xr + ft + i • cos ar> r + 1

• sin ur.

xr+i = PrP

ft+i = ft + Frpr+i ■ sin (PrPr+t) = yr + sr

(9)

r + 1⁻

Wir werden später und gleich nachher auch vielfach die Umkehrung dieser Gleichungen brauchen, vorläufig genügen sie in der Form (9). Speziell angewendet auf unsern Fall gehen sie, nachdem (xQ y₀) angenommen oder gegeben ist und alle a nach b) berechnet sind:

x\ ~ xo + ft ' cos at — xx + s₂ • cos «₂

X3 = X2 + ft ' cos a3

(10)

ft = ft + ft • sin at ft ⁼ ft T⁻ ft sin cc2 ft ⁼ ft ft ft sin cc₃

man erhält rekurrierend die Koordinaten der einzelnen Zugpunkte. Die s sind wie erwähnt, alle vorzeichenlose, d. h. positive Strecken; es ist also

nur auf die Vorzeichen von cosa und von sincc zu achten, die bekanntlich, für R. W. zwischen 0° und 360°, die in folgender Tabelle enthaltnen sind.

Wenn die ß eines Zugs alle nicht sehr viel von 180° abweichen (und der Zug geht nicht zufällig ungefähr parallel zu einer der Koordinatenachsen), so sind in der Regel alle a in demselben Quadranten (sie wären alle gleich, wenn alle ß = 180° wären); alle cosa haben dann dasselbe Vorzeichen, ebenso alle sina, also auch alle s-cosa dann unter sich, alle s-sina unter sich dasselbe Vorzeichen. Bei unsrem obigen Zug trifft dies schon nicht zu, weil die R. W. bis a₄ „im ersten“, a₅ und a₆ dagegen „im zweiten Quadranten“ liegen.

Rechnen wir unsern Zug mit den weitern Messungsangaben für die Seiten (11) Sj = 124,6 m, s, = 142,9 m, s₃ = 120,3 m, S₄ = 132,1m, Sg = 159,9 m, Sg = 168,5 m

vollends aus, wobei, da die Seiten auf 0,1 m abgerundet gegeben und die Polygonwinkel und damit R. W. auf 0',5 abgerundet sind, vierstellige Rechnung genügt (der Zug soll später nur im Maßstab 1 :2000 zu Papier gebracht werden, so daß der Maximalfehler von 5 cm oder selbst 1 3m in den Koordinaten nicht von Bedeutung ist; es ist die Gaußsche 4stellige Logarithmentafel verwendet, die hier gar keine Interpolation in den Zahlenlogarithmen verlangt, weil das Argument in s nicht nur bis 100,0, sondern bis 1000,0 geht), so haben wir mit den cc nach (7) und den vorstehenden s folgendes:

R. W.

Vorzeichen von sin a

cos a

+ 11 +

++ I I

7c = 3

Jc = 6

sk ■ cos ak

1.6261

1.7524

1.5239

1.3185w

1.6436%

cos ak

sin ak

9.4711

2.1550

9.9801

9.6721

2.0803

9.9458

9.4030

2.1209

9.9856

9.1147%

2.2038

9.9963

9.4170%

2.2266

9.9846₅

sk ■ sin cck

2.1351

2.0261

2.1065

2.2001

2.2112s

+ 42,28 -f 56,55 ; -f 33,41    — 20,82

+ 136,5₀ | + 106,2₀ | -fl27,8₀ | + 158,5S

— 44,01

+ 162,6₅

sk ■ cos ak — sk ■ sin ak =

d. h. wir haben als Koordinaten für die einzelnen Eckpunkte des Zugs in dem angenommenen System die folgenden Zahlen:

x₀ — 0,00 xx — 0,00

5.=    0,00 + 42,2₈ = 42^

£» = 42,2d + 56,5g = 98,83 x±= 98,8g -f 33,4X = 132,24 132,2₄ - 20,8₂ = 111,4,

^e = Hl,4, —44,0! = 67,4t

Die kleinen unten angesetzten Ziffern in den x und y sollen andeuten, daß die nicht scharf sind, wenigstens nur in x scharf sind (rechnungsmäßig), weil der Zug nicht sehr abweicht von der Richtung der y-Achse.

Hammer: elementare praktische Geometrie.

y₀ = ⁰>Q

Vx = 124,6

124,6₀ + 136,5₀ = 261,1„ y» -- 261,1₀ + 106,2₀ = 367,30 lh = 367,3₀ + 127,8₀ = 495, ln 24 = 495,1₀ + 158,5₃ = 653,6, 24 = 653,6S -f- 162,6g = 816,3

cm

28

Rechenprobe: x₆—xx muß = U(s • cos «) sein, yG— y₁ muß = U(s ■ sin cc) sein, was stimmt. Eine weitrc Probe für die Rechnung ergibt sich nach dem scharfen Aufträgen des Zugs (mit den Hilfsmitteln, die in 35. angegeben sind) indem jedes s seine richtige Länge zeigen muß, was sofort geprüft wird.

3. Schematische Rechnung. Diese Zugrechnungen wird man nun selbstverständlich mit Zugrundlegung eines Schemas ausführen; zu dem folgenden, in das sogleich die Berechnung für den vorstehenden freien Zug eingesetzt ist, ist wohl keine weitre ins einzelne gehende Erklärung mehr notwendig.

Es ist hier 5-stellig gerechnet, um zu zeigen, daß in der Tat bei der Art der Daten für die vorige 4-stellige Rechnung, die sehr wesentlich bequemer ist, ausgereicht hat, und in den Koordinaten formell keine größre Abweichung als 1 cm vorkommt. Richtungswinkel cc und Polygonwinkel ß sind in dieselbe (zweite) Spalte übereinander gesetzt, damit man bequem addieren kann. Die erste Spalte enthält den Namen (Nummer) der Ecke (rechts unten); links oben, allemal zwischen den Ecken, deren Entfernung sie angibt, steht die Seite s. In den zwei letzten Spalten stehen wieder je s ■ cos cc und x, sowie s • sin cc und y übereinander; die unterstrichnen Zahlen unten auf jeder Zeile dieser zwei Spalten sind die gesuchten Koordinaten des Polygonpunkts, der in der ersten Spalte links auf derselben Zeile steht.

Seite

Richtungswink, cc

Ecke

Polygonwinkel ß

< cos cc log j s y sin cc

log j

S ■ COS CC

s ■ cos cc

s • sin a

s • sin cc

0.

0,00

0,00

8t = 124,6

cq = 90°00'00"

1.

ßx = 162⁰47',5

0,00

+ 124,60

= 142,9

a₂ = 72°47',5

2.

ß₂ - 169°10',5

9.47107

2.15503

9.98011

1.62610

2.13514

+ 42,28

4- 42,28

+ 136,50

+ 261,10

s₃ -- 120,3

<xB = 61°58'

3.

ßs = 193°23/

9.67 208 2.08027 9.94 580

1.75235

2.02 607

-f 56-,54

-f 106,19

- 98,82

-f- 367,29

g₄ - 132,1

<*4 =

75°21'

4.

ß₄ = 202°(i8/

9.40297 2.12090 9.98 565

1.52387

2.10655

-f 33,41

4- 127,81

4- 132,23

-f- 495,10

s₅ = 159,9

97°29'

5.

ßs = 187°39/,5

9.11 474w 2.20 385 9.99629

1.31859%

— 20,82

4- 158,54

2.20014

+ 111,11

-f 653,64

s₆ = 168,5

cc₆ = 105° 8',5

6.

9.41699%

2.22660

9.98465

1.64359%

— 44,01

-f 162,65

2.21125

-f- 67,40

-f 816,29

Die zwei nebenstehenden Proben sind

lediglich Rechenproben; eine Mes- s ' cos a) — "b 61,40    -{■ 816,29 — Z(s • sin cc)

==2/6—2/ o

= x₆ — x₀

sungsprobe irgend welcher Art besteht in dem Zug nicht

damit den x) wie selbstverständlich nirgends ein Unterschied )> 1 aber auch in den s • sin a steigen die Unterschiede nicht über diesen Betrag (was nicht vermutet werden konnte und auch in der Tat nur Zufall ist); jedenfalls ist für den vorliegenden Zug 4-stellige Rechnung völlig ausreichend. Für Hauptzüge auf freiem Feld ist aber jedenfalls 5-stellig zu rechnen, selbst für weniger wichtige Züge am besten 5-stellig; 6-stellige Rechnung dagegen kann nur für Stadtmessungen in Betracht kommen. Die 4- oder 5-stellige Rechnung eines ziemlich langen Zugs ist das Werk einiger Minuten, kommt im Vergleich mit der Feldarbeit gar nicht in Betracht. Einiges weitre über Rechenhilfsmittel ist noch später anzugeben.

Die Vergleichung mit der 4-stelligen Rechnung zeigt, daß in den s ■ cos a (und

vorhanden ist;

cm

73. Berechnung eines geschlossnen Polygons, für sich, bestehend, d. h. ohne Zusammenhang mit einem Polygonzugnetz oder überhaupt einer Landes- oder Stadtvermessung. Wenn das Polygon, in dem wir zunächst alle Seiten und alle Winkel gemessen voraussetzen, so daß drei Messungsproben vorhanden sein müssen (vgl. 69. 1. b)), nur wenige Seiten enthält, so könnte man die geforderten Koordinaten der Eckpunkte in dem willkürlich anzunehmenden Koordinatensystem durch Zerlegung des Polygons berechnen, ohne unsre allgemeinen Zugformeln (4) und (10) zu benützen. Es ist aber doch auch schon bei Vierecks- und Eünfecks-aufgaben und um so mehr bei Rechnungen an mehreckigen Polygonen zu raten, stets diese Gleichungen (4) und (10) zu verwenden, schon weil sie am einfachsten auf die „Schlußfehler“ führen.

Es seien z. B. in einem Viereck (1) (2) (3) (4), dessen Ecken gegen den Uhrzeigersinn numeriert sind, so daß die Polygonwinkel auch in unsrem Sinn die Innenwinkel des Vierecks sind, folgende Seiten und Winkel (20"-Th.) gemessen (Fig. 255):

ß± = 68° 08' 05" ßt = 71° 24' 25" ßs = 96° 25' 10" ß₄ = 124° 03' 20"

®i ⁼ (4) (1) — 97,28 *, = (!) (2) = 182,49 s₃ = (2) (3) = 119,79 (8)00=110,47

Es sind 8 Stücke gemessen, 5 geometrisch notwendig, also drei Messungsproben vorhanden, von denen die erste auf der Hand liegt, . nämlich    ^

(3)

(4)

s,

s,

ß.

ß«

,S3

ß²/

s₂

(2)

Fig. 255.

Zß son 360° 00'00" sein.

In Wirklichkeit lautet mit den gemessnen Winkeln diese Gleichung

(3)

(4)

(5)

ZJß ist 360° 01' 00", d. h. es ist ein Winkelwiderspruch von — l'OO" vorhanden, der vor allem zu verteilen ist.

Da die Winkel gleichartig gemessen sind, so können wir die Verteilung dieses nicht großen w gleichförmig machen (es wäre an sich berechtigt, den Winkeln mit kurzen Schenkeln etwas mehr von w zur Last zu legen als den mit längem Schenkeln, also z. B. von den 60" je nur 12" auf ß₄ und ß₂ und je 18" auf ßs und ß4 zu nehmen; doch gäb dies Korrektionen, die von den bei gleichförmiger Verteilung entstehenden 15" auf jeden Winkel nur um 3" abweichen, was hier vollständig gleichgültig ist). Ziehen wir also 15" von jedem der gemessnen Winkel ab, so ist die erste Messungsprobe erledigt und wir haben:

28

+x

ßt = 68° 07' 50" ßa = 71° 24'10" ßs = 96° 24'55" ß₄ = 124° 03' 05"

Uß ist nun = 360° 00'00"

Nun könnte man die Lote von (3) und (4) auf (1) (2) benützen, Lotfußpunkte und Lotlängen rechnen, und damit die Koordinaten von (3) und (4) in Beziehung auf (1) (2) als Achse und (1) oder (2) als Nullpunkt feststellen. Aber wie stände es dann mit den zwei weitern Messungsproben?

(6)

(7)

(D,

Si

ß4

Verbesserte (ausgeglichne) Winkel

£4

ßs

o:

ßt

2. Rechnung nach dem allgemeinen (3) J Verfahren. Es wird besser sein, nach unsern Gleichungen (4) und (10) zu verfahren; nehmen wir z. B., Fig. 256, ein Koordinatensystem an, dessen Nullpunkt in (2) und dessen + x Richtung in (2) (1) liegt (stets von -f- x nach -f- y Drehung im Uhrzeigersinn um einen rechten Winkel), so können wir die Richtungswinkel von (2) (3), (3) (4), (4)(1) sofort anschreiben und

zwar mit Benützung der ß aus (6) nach Verteilung des Winkel-fehlers «^endgültig. Es wird, wenn wir zunächst ohne Schema rechnen: a₂ — ((1)(2)) = 180°00'00" angenommen; (nicht 0°0'0", was der Richtungswinkel (2)(1) wäre)

Fig. 256.

a₃ = ((2) (3)) = 71° 24'10"

,a₄ = (₍3) (4)) = 71° 24' 10" + 180° + 96°24'55" = 347°49'05"

= ((4)(1)) = 347°49'05” - 180° + 124° 03'05" = 291° 52' 10", endlich (Rechenprobe für die cc)

a₂ = ((1)(2)) = 291° 52' 10" - 180° -f 68° 7'50" = 180° 00'00", richtig.

also

Die Koordinatenrechnung ist nun folgende:

Seite

R. W.

( cos cc

logl s log

\sincc

S • COS Ci

s ■ sin cc

s ■ cos cc

s ■ sin cc

s₂ = 182,49    o:₂ = 180°00'00"

— 182,49

0,00

s₈ = 119,79    = 71°24'10"

9.50 368 2.07 842 9.97671

1.58210

2.05513

-f- 38,20    -f- 113,53

s₄ = 110,47

a₄ = 347°49'05"

9.99011

2.04324

9.32432»

2.03335

1.36756»

+ 107,98

23,31

st — 97,28

ax = 291°52'10"

9.57112 1.98802 9.96 756»

1.55914

1.95558»

+ 36,23b

90,28

In den einzelnen s- cos a und s • sin a ist auf ¹/₂ cm abgerundet. Nun sollte die Summe der Projektionen aller 4 Seiten des Vierecks sowohl auf die ^-Richtung als auf die ^-Richtung je Null sein, es sollten die Gleichungen bestehen:

2J(s-coscc) = 0

U(s ■ sin a) —1 0 sein.

Diese zwei Gleichungen sind die zweite und dritte Messungsprobe ((3) war die erste), die vorhanden sein müssen, ln Wirklichkeit sind die Gleichungen (9) und (10) nun zunächst wieder nicht ganz erfüllt; es findet sich aus den berechneten Zahlen (wenn wir wieder auf ¹/₂ cm abrunden):

2(8 ■ cos ce) Ist — 182,49 -f 182,41₆ = — 7³/2 2(s ■ sin a) ist -f- 113,53 — 113,59 = — 6 cm;

(9)

(10)

(ii)

(12)

cm

es sind Widersprüche „in der Abszisse“ und „in der Ordinate“ von

wx = 7 Vs

iv = 6

(13)

cm

(14)

cm

(absolut)

( „ )

cm

andre Ordinate hat. Der „lineare Schlußfehler“

vorhanden, die Rechnung des Polygons als Zug führt von dem Punkt (2) (0,00; 0,00) nicht nach diesem Punkt zurück, sondern nach einem Punkt (2'), der eine um 7% andre Abszisse und eine um 6 cm des Vierecks ist offenbar

ws = y7,5² -f 6ä

und diesen Schlußfehler ws von rund 1 3m werden wir nicht beim Punkt (2) angehäuft sitzen lassen dürfen, sondern durch Verteilung der wx und der wy auf die einzelnen s • cos cc und s • sin a wegzuschaffen haben. Wie man verteilt, ist bei der verhältnismäßig geringen Größe von wx und wy ziemlich gleichgültig. Die endgültigen Koordinaten s. bei 3.

(15)

cm

cm

3. Scb.emati.sch gerechnet wird dasselbe Beispiel folgendermaßen aussehen. Es ist nur gegen das Rechenschema in 71. 3. in die drei Spalten: „Richtungswinkel und Polygon winkel“, ferner „s-cosu“ und „s-sinu“ noch je aufgenommen „Verbessrung“, nämlich Verbessrung an ß zur Verteilung von Wp} Verbessrung an s-cosa zur Verteilung von wx) Verbessrung an s• sin a* zur Verteilung von w . Beginnen wir die Rechnung im Punkt (2) als angenommenem Nullpunkt, so lautet sie also so: s. S. 438.

Nach Einsetzung der s und ß ist zunächst 2ß = 360° 01'00" gebildet, womit sich Jß =— 15" für jeden Polygonwinkel ergibt; dies ist auf der dritten Zeile der zweiten Spalte einzusetzen. Die einzelnen mit den verbesserten ß zu bildenden a sind also die, mit denen endgültig zu rechnen ist. Das Koordinatensystem ist so angenommen, daß a₃ = 71° 24'10" = ß₂ -j- A ß wird; für jedes folgende a ist das vorhergehende cc um 180° zu ändern und das entsprechende (ß -f- A ß) zu addieren. Die Durchrechnung der s cosa und s-sina liefert selbstverständlich dieselben Zahlen wie oben,

linearer Schlußfehler rund 10 cm.

cm

[Abszisse zu verbessern um -f 7X/S I Ordinate „

Der Punkt (2'), in den der Zug statt nach (2) (0,00; 0,00) durch die Rechnung zurückkehrt, hat die Koordinaten av — 0,07-, y₂' = — 0,06. Die oben in das Schema aufgenommenen „Verbess. an s-cosa“ und „Verbess. an s ■ sin au sind ziemlich

Seite

Ecke

R. W. cc Polygonw. ß Yerbess. an ß

(COS CC

log | s log 1 sin cc

S ■ COS CC

s ■ sin cc

s ■ cos cc

Yerb.

s ■ sin cc

Verb.

Yerb.

s ■ cos cc

Yerb. s ■ sin cc

ß₂ = 71°24'25"

(2)

— 15"

0,00

0,00

s₈ = 119,79

(3)

as = 71°24' 10" (3S = 96°25'10" — 15"

9.50368 2.07 842 9.97 671

1.58210

2.05 513

+ 38,20    + 113,53

-f 38,21

-f 113,56

4- 38,21

4- 113,56

s₄ = 110,47

(4)

oci = 347°49,05" ßi = 124°03'20" — 15"

9.99011 2.04 32 4 9.32 432 n

2.03335

4- 107,98

23,31

4- 108,01

23,30

1.36 756 n

4- 146,22

-f- 90,26

= 97,28

(1)

ax = 291°52,10" ßt = 68°08'05" — 15"

9.57112 1.98802 9.96 756 n

1.55914

1.95 558 n

4- 36,23₆    — 90,28

4- 36,24

90,26

+ 182,46

0,00

s₂ = 182,49

(cc₂ — 180°00'00") stimmt

— 182,49

0,00

— 182,46

0,00

(2)

(+ 182,41₆); (-113,59)

0,00

0,00

Zß 360°01'00" also Verbesserung an jedem ß Jß = — 15"

Z(s- cos cc) ist Z(s- sin cc) ist = _ 0,07g    = — 0,06

zu verb. um zu verb. um

+ ?y₂

cm

cm

willkürlich angesetzt; die endgültigen Koordinatenabschnitte und die daraus berechneten endgültigen (x, y) der einzelnen Punkte (unterstrichen) stehen in den beiden letzten Spalten. Zu beachten ist, daß durch die „Ausgleichung“ (Verteilung) der wx und wy die Winkel ß abermals geändert werden im Vergleich mit den Werten, die sie nach der Verteilung von iCß erhielten, auch die Richtungswinkel cc sind zum Schluß nicht mehr dieselben, wie sie links erscheinen; z. B. ergibt sich aus den endgültigen Koordinaten gerechnet

Winkel ß₂ = arc tg

113,56 38,21 ’ Q

2.05523

1.58218

ß₃ =]71° 24' 12"

nur zufällig übereinstimmend mit dem linksstehenden ausgeglichenen Wert (71° 24'10"), (schon die starke Abrundung der Koordinatenrechnung beweist, daß die Übereinstimmung zufällig ist); dagegen ist der Richtungswinkel von (3) (4) aus den endgültigen Koordinaten zu rechnen nach

0.47 305

tgcc₄

₌ Pi — ?/•! _ — 23,30 108,01

und im 4. Quadranten zu nehmen;

x₄ xs

dies gibt a₄ = 347° 49'35", ¹/₂ anders als links steht, immer noch zufällig gut stimmend.

Ganz ebenso ist Berechnung und Verteilung der drei Fehler w^, wx, wy hei Polygonen mit beliebig vielen Ecken.

4. Geschlossnes Polygon, in dem nicht alle Stücke gemessen sind. Wir gehen hier unter nochmaligem Verweis auf das Lehrbuch der Trigonometrie des

Yerf., 3. Auflage S. 395 bis 406 nicht näher ein auf die Berechnung von w-Ecken, in denen nicht alle 2 n Stücke gemessen sind. Solche Aufgaben kommen besonders hei Absteckungsarbeiten (Kap. 6) sehr häufig vor; im allgemeinen ist für die Berechnung stets Koordinatenberechnung im rechtwinkligen System zu empfehlen, wobei oft die Unterschiede gegen die vorstehende Rechnung nur unbedeutend sind. Konnten z. B. alle Seiten gemessen werden, aber nur (n—1) Winkel, so ergibt sich eben dieser fehlende Winkel sofort aus der bekannten Zß und es bleibt alles folgende wie oben, nur ist eine Messungsprobe weniger vorhanden, eben die für Zß.

74. Berechnung des angeschlossnen Zugs im Koordinatensystem einer großem Vermessung (Landesvermessungs- oder Stadtvermessungs-Koordinatensystem): „Polygonometrische Punktbestimmung“, zunächst durch einen einzigen vollständig angeschlossnen Zug.

Die Aufgabe ist schon oben angedeutet: die Koordinaten der dem Zug (1) (2) (3) . . . augehörenden Polygonpunkte in einem großem Vermessungssystem sind zu bestimmen mit Benützung von bereits bekannten, gegebnen Punkten (Dreieckspunkten), die der Zug verbindet und mit fernrer Benützung weitrer seitlich liegender Punkte zum Anschluß des Zugs.

1. Anlage und Messung des Zugs. Der Zug führt von dem Festpunkt I zum Festpunkt II (z. B. sind beide Punkte versteinte trigonometrische Punkte,,,Signalsteine“). Alles bleibt in Beziehung auf die Messung wie früher, nur wird in den beiden Endpunkten des Zugs ebenfalls noch je ein Polygonwinkel gemessen, in I der Winkel ßx zwischen dem gleichfalls gegebnen trigonometrischen Punkt A links und dem ersten Zugpunkt (1) rechts, in II der Winkel ßn zwischen dem letzten Zugpunkt links und dem trigonometrischen Punkt B rechts.

Während die eigentlichen Polygonwinkel ßt, ß₂ . .. sich hier, beim angeschlossnen Zug im Sinn der Feldmessung, nicht sehr weit von 180° entfernen sollen, der Zug möglichst gestreckt sein, d. h. auf möglichst kurzem Weg von I nach II führen soll (s. 70. 1., 210° )> ß 150°), können dagegen der sog. Anschlußwinkel ßx und der Abschlußwinkel ßn jeden beliebigen Wert zwischen 0° und 360° haben, d. h. die Lage der Seitenpunkte A und B zum Zug ist, was die Richtung angeht, völlig beliebig. Man wird nur nicht Punkte nehmen, die zu nahe beim Zug liegen. Die Entfernungen IA und IIJB brauchen wir nicht, nur die Richtungswinkel dieser Strecken; diese können durch Fehler in den gegebnen Koordinaten der Punkte I, A; II, B, ziemlich entstellt sein, wenn IA oder IIB verhältnismäßig sehr kurz ist. Wir haben die „gegebnen Punkte“ aber als fehlerfrei zu behandeln, s. u.

In der Messung des Zugs tritt außerdem, daß also ßx und ßu hinzukommen, gar kein Unterschied gegen bisher ein. Es wird manchmal empfohlen, den An- und Abschlußwinkel besser zu messen als die andern Polygonwinkel, z. B. 4mal zu repetieren, wenn diese zweimal repetiert werden.

Bleiben wir aber dabei, alle Winkel, auch ßt und ßjj, (deren einer Schenkel ja allerdings viel länger ist als die der übrigen Polygonwinkel, deren zweiter Schenkel aber ebenso nur Zugseite ist wie bei den andern), je einfach vollständig zu messen, für die Landmessung mit 20,,-Theodolit, für Stadtmessung allenfalls mit einem 10"-Theodolit. Beim Zielen nach dem Stein I und II, bei Messung von ßt und des letzten eigentlichen Polygonwinkels, am einfachsten auf dem Stein einen Stab aufhalten lassen, wenn keine Stabgestelle oder Stabringe zur Hand sind.

Es liegen also (Fig. 257j gemessen vor die Winkel ßlf ß1} ß₂,. . . ßn

und die Seiten s1} s₂, ss, . . . sn.

Die Länge eines solchen „angeschlossnen“ Zugs kann 1000-m betragen, selbst bis 2000 m auf freiem Feld gehen (bei durchschnittlich 150 m langen Zugseiten 6 oder 12 Polygonpunkte); in Stadtvermessungen sind die Züge meist kürzer. Es kommt natürlich darauf an, wie weit die durch die Züge zu verbindenden trigonometrischen Festpunkte auseinander

rs

ß.

02

3₂

$3

04

?’\ r\"'

-7 s./f

S₄

S6 ⁶

Vig. 257.

liegen. Die Endpunkte I und II des Zugs, sowie die weitern Festpunkte (Seitenpunkte, Richtungsanschlußpunkte) A und B sind durch ihre Koordinaten (^j-t/j), (xaya)] (%i2/n), (xbth) und unveränderlich gegeben.

2. Rechnerische Vorbereitung. Wir brauchen hier die Richtungswinkel (IA) und (IIB), die Winkel, die diese fest gegebnen Anschluß- und Abschlußrichtungen des Zugs mit der rr-Achse des Koordinatensystems einschließen, in dem die vier Punkte I, II; A, B gegeben sind und in dem die Koordinaten der „polygonometrisch bestimmten“ Zugpunkte (1) (2) . . . (7) zu berechnen sind.

Sind K und L zwei ganz beliebige, durch ihre Koordinaten in einem rechtwinkligen System (xkyk), (xtyß gegebne Punkte, so ist der Richtungswinkel der Richtung von K nach L, der Winkel aK] oder einfach {KL) nach unsrer frühem Regel gegeben durch

tgaKL oder tg{KL) =

Ordinatendifferenz durch Abszissendifferenz, je mit Voranstellung des Endpunkts, gibt die Tangens des Richtungswinkels. Wollte man den R. W. von LK rechnen, so wäre demnach zu setzen

Beide Werte rechts, in (1) und (2) stimmen nun nach Größe und nach Vorzeichen genau überein; trotzdem sind, wie wir wissen,

{KL) und {LK) um 180° voneinander verschieden.

Es ist nun aber auch in der Tat

(i)

(2)

tg{LK) =

yt-yk.

*i-V

tff{ 180° + qp) = tg<P = tg(iJ) — 180°),

die „Periode“ der Funktion tangens ist analytisch schon n, nicht 2 5t, wie bei sin und cos. Es scheint also hier eine Zweideutigkeit der Bestimmung eines Richtungswinkels aus gegebnen Koordinaten vorzuliegen, es scheint, daß es zwei Werte gibt,

die der Gleichung (1) und der Gleichung (2) genügen und die sich um 180° unterscheiden. Nun gibt es aber geometrisch nur einen zwischen 0° und 360° liegenden R. W. für {KL) und ebenso nur einen für (LK), von {KL) um 180° verschieden; dies muß also auch arithmetisch zutreffen. In der Tat ist die Zweideutigkeit nicht vorhanden; es ist nämlich mit der Gleichung (1) zugleich festgesetzt, daß sin {KL) das Vorzeichen des Zählers, {yl — yk)

(3)

cos {KL) „

,, Nenners {xx— xk) hat;

ebenso sind die Vorzeichen von sin{LK), cos{LK) in (2), bestimmt, nämlich den eben angeschriebnen entgegengesetzt. Der Grund für die Festsetzung (3) ist der, daß allgemein die Gleichungen gelten:

Vi — Vk = % • sin {KL)

G)

xi — xk = ski ■ cos (KL) und in diesen Gleichungen, die wir jetzt augenblicklich nicht weiter brauchen, skl = slk stets eine absolute, d. h. positive Strecke ist, die an und für sich mit dem Koordinatensystem nichts zu tun hat, z. B. dieselbe bleibt wie auch die Richtungen der Achsen und damit die der Strecke KL entsprechenden Koordinatenabschnitte auf diesen Achsen sich ändern.

Wenn man nun von einem Winkel nur die Tangens nach Größe und Vorzeichen kennt, so gibt es allerdings zwischen 0° und 360° zunächst zwei Winkel (um 180° verschieden), die diesen Angaben genügen; kennt man aber zugleich noch die Vorzeichen von sin nnd cos (beide müssen gleich sein, wenn tg -j-, beide verschieden, wenn tg— ist), so gibt es nur noch einen Wert, der den Angaben genügt. Ist tg cp = -f- 1 und sin cp -j- (dann also auch cos qp, da tg -(- ist), so ist qp zwischen 0° und 360° nur = 45°; ist aber tg cp = -)- 1 und sincp— (dann also auch cos cp—, da sin cp : cos cp -]- sein soll), so ist qp nur = 225°; ist tg cp — — 1 und sincp-]- (also dann cos cp —), so ist qp nur = 135°; ist tg qp = — 1 und sin cp — (also dann cos cp -j-), so ist qp nur = 315°.

Diese Eindeutigkeit trifft nun also immer zu: aus

(5)

*Ä/1

gibt es nur einen Richtungswinkel {P₁P%) (zwischen 0° und 360° gezählt), weil zugleich über die Vorzeichen von sin und von cos bestimmt ist; man hat {P₁ P₂) nach folgender Übersicht zu wählen:

gibt (PXPS)

Vorzeichen von y₂ — yx Vorzeichen von x₂—xx

zwischen

(6)

mit Beachtung der bekannten Quadrantenrelationen für die praktische Rechnung [(90° -f- spitzem Winkel) oder (270°-)- spitzem Winkel) gibt Vertauschung von tg mit ctg des spitzen Winkels, (180°-f- spitzem Winkel) gibt nicht Vertauschung],

In unsrem Fall sind also durch die gegebnen Koordinaten die Richtungswinkel (1.4) und (ILB) der Anfangsrichtungen unsres Zugs fest und eindeutig gegeben durch die Gleichungen:

tg{lA) =

(?)

Va~y I

Xa~X I yb — y ii

xb — XTL

Wir denken uns beide Werte ausgerechnet. Nun ist ßi der in I zwischen A links und 1 rechts gemessne Winkel, also (vgl. 72., 1., (2))

(11) = a₁ = Richtungswinkel von s₁ = (IM) + ßi

und von hier aus geht die Richtungswinkelrechnung weiter wie immer, vgl. Gleichung (4) in 72.:

(9) ar+i = ar + 180° + ßr, bis zum Richtungswinkel (IIB) ;

die Zusammenstellung aller dieser Gleichungen ist diese:

Es fragt sich nun, ob die letzte Gleichung (10), in der (IIB) ein ebenfalls feststehender und berechneter Wert ist, erreicht wird. Dies wird immer nicht genau der Fall sein, da die ß und also auch Uß nicht fehlerfrei sind. Addiert man nämlich alle Gleichungen (10) und läßt die links und rechts vorkommenden Größen alf a₂, c^; . . . cen, weg, so zeigt sich, daß die Summe der ß, ßi und ßXI eingeschlossen, gleich sein soll der Differenz der gegebnen Richtungswinkel (HJ5)— (IA), abgesehen von einer ganzen Zahl mal 180°:

(11) Uß (IIR) — (IM) + 7c • 180° (Je eine ganze Zahl).

An die Stelle dieser Gleichung wird, wenn die gemessnen ß addiert werden, treten:

(8)

«i = (1^0 + ßi a₂ = at ± 180° + ßt cc₃ = a₂ ± 180° + ß₂

(10)

a₆ ± 180° + ßh ccx = cc₆ + 180° + ß6 an⁼ — 180° + ßx (II B)=*‘au± 180° + ßu

(12)

ZJß M (IIB) — (14.) + Je • 180° 4- Wp

und man hat also wieder einen Wiederspruch w^ in den gemessnen Winkeln zu verteilen. Wenn die Seiten s ziemlich gleich lang sind (und die Winkel ß, wie wohl stets, gleichwertig gemessen werden), so ist Wp gleichförmig zu verteilen; höchstens könnte man den Winkeln ßi und ßjx etwas weniger von Wp zur Last legen. Im vorliegenden Fall wäre also

~wti (7+2) =

jeder gemessne Polygonwinkel um

- zu verbessern.

Mit den so verbesserten ß rechnet man die Richtungswinkel a nach (10) endgültig und widerspruchsfrei durch.

Rechnet man dann die Koordinatenabschnitte (Projektionen der einzelnen Zugseiten auf die x- und die «/-Richtung), nach den Gleichungen (10) in 72., nämlich

Xi gegeben xx = xx +    • cos ax

x₂ = xx + s₂ • cos cc2 x₃ — x₂ + s₃ • cos a₃ yi gegeben

Vi = Vi + «i ■ sin ax

y2 ~ Vi + s% " sifi cc₂

Vi ⁼ Vv S3 ’ Slfi K3

Xrj — Xq + S₇ • COS (Xr-* COS

yx    y& sx • sin ccx

yn ~ y*i + sn • s^n aiu

so wird wieder die letzte Gleichung (13) links und rechts, in der xIJ; und yu unveränderlich gegebne Werte sind, nicht genau erreicht werden; addieren wir die Gleichungen (13) links und rechts und lassen, was auf beiden Seiten jeder Gleichung gemeinschaftlich ist, weg, so zeigt sich, daß sein soll

2J(s • cos a) -°h Xjj — xx = gegeben 2J(s • sin a) = ylx — yT = gegeben.

Die Gleichungen sind der Ausdruck des bekannten Satzes: Die 2J der Projektionen der Seiten eines Polygonzugs auf eine bestimmte Richtung ist gleich der Projektion der geraden Verbindungslinie des Anfangs- und Endpunkts des Zugs auf diese Richtung.

Wir haben in (11), (14), (15) wieder genau wie beim geschlossnen Polygon drei Probegleichungen für unsre Messung (und Rechnung) des „angeschlossnen Zugs“.

Durch die Rechnung mit den verbesserten a und mit den gemessnen s wird man an Stelle dieser Gleichungen (14) und (15) zunächst wieder finden

(16)

(17)

U(s ■ cos a) 2J(s • sin a")

.3II .31|

X11 — XI + Wx Vn — !/i + »«>

es werden gewisse Widersprüche wx „in der Abszisse“ und wy „in der Ordinate“ vorhanden sein; die lineare Anschlußfehlerstrecke des Zugs ws, d. h. die Strecke zwischen dem Punkt II, dem gegebnen Abschlußpunkt des Zugs auf dem Feld, und dem Punkt II', in den der Zug rechnerisch tatsächlich zunächst führt, ist wieder

(18)

IIII' = ws = Ywl 4- w\

und wir haben diesen linearen Anschlußfehler durch geeignete Verteilung der wx und wy auf die einzelnen (s ■ cos a) und ('s ■ sin a) wegzuschaffen. Man pflegt diese Verteilung entweder proportional den Seitenlängen s oder proportional den absoluten Beträgen der (s • cos a) und ('s ■ sin a) selbst zu machen; beide Verteilungsarten kommen offenbar um so mehr auf dasselbe hinaus, je mehr der Zug gestreckt ist, bei geradlinig verlaufendem Zug fallen sie zusammen. Es wäre also nach der ersten Art zu setzen:

(19)

Verbessrung an

Wx - Sk

sk • cos ak =

(20)

w • sk

Verbessrung an sk • sin ak =--—

In das Rechnungsformular, wo in der zweiten Spalte auch wieder für die 4ßk nach (12') zu sorgen ist, sind in den Spalten s-cosa und s-sina ebenso wieder Zeilen für die 4(sk ■ cos ak) und z/([sk • sin ak) aufzunehmen, nach deren Hinzunahme zu den zunächst berechneten Projektionen der Zugseiten auf die zwei Achsenrichtungen der Zug auch rechnerisch nach dem vorgeschriebnen Endpunkt (xkl yu) führt, wodurch auch eine durch-

greifende Rechenprobe gegeben und der Zug zum Einträgen in das Koordinatennetz der gegebnen Punkte (Landmessung, Stadtmessung) bereit ist.

4. Durchführung der Rechnung an einem bestimmten Beispiel. Nach dem Vorstehenden sind zur Berechnung der folgenden Zugmessung (ganz in der Nähe der Stadt Stuttgart) aus den geod. Übungen der Bauingenieure an der T. H. St. (Mai 1909) nur noch wenig Erläutrungen notwendig.

Zwischen den gegebnen Festpunkten (trigonometrischen Punkten) „Feuerbacher Heide Nebenpunkt“ (Bezeichnung I) und „Hauptmannsreute“ (II) ist ein, wie die eigentlichen Polygonwinkel zeigen, nahezu gestreckter Zug von 5 Zwischenpunkten (und rund 640 m Länge) durch folgende Winkel- und Seitenmessungen festgelegt worden: die Winkel (in dem Formular wie S. 427 aufgeschrieben und je einmal in jeder Fernrohrlage gemessen; aber mehrfach, Übungsbeispiel; die folgenden Zahlen sind Mittel) sind hier fertig niedergeschrieben, wie sie aus der Messung hervorgingen; an den Seitenzahlen sind noch Korrektionen erforderlich. Gemessne Winkel:

in I ßx zwischen A links und 1 rechts = 56° 02' 56" 1 ßi

51

17

= 193° 19' 52"

11

11

11

1?

11

(21)

15

ßs

11

55

11

11

11

ßi

11

11

11

11

11

ßs

11

11

I¹

11

„ II „ „ B »

=172°11'00" = 181° 07' 40" = 180° 01' 55" = 174° 20'22" = 115° 03'30".

Die Winkel sind mit verschiednen aber gleichartigen (20"-)Theodoliten mehrfach (von jeder Abteilung aber nur je einmal in jeder Fernrohrlage) gemessen, die vorstehenden Zahlen als gleichwertig anzusehen. Die größten Abbiegungen des Zugs aus der Geraden in einzelnen Punkten sind rund 13° nach rechts (immer im Sinn der Zugnumerierung) im Punkt 1, die nächst große nur etwa 8° nach links im Punkt 2.

Die Seiten sind mit verschiednen 5 m-Lattenpaaren gleichartig gemessen, aber Sj und s₂ mit einem Paar, das zusammen um 2,5mm zu lang ist, ss und s₄ mit einem Paar, das zusammen um 0,8 mm zu lang ist, s₅ und Sjj mit einem Paar, das zusammen um 2,0

Seite, die aus den angegebnen Stangenkorrektionen sich ergebenden Reduktionen und die endgültigen Seitenzahlen sind diese:

mm

zu kurz ist. Die Zahlen für die zweimalige Messung jeder

Mittel

Korr.

mm

-f 2,5 • 10,6 = 4-27 + 2,5-12,7 = + 32 + 0,8 • 7,8 = + 6 + 0,8 • 11,0 = + 9

—    2,0 • 13,1 = — 26

—    2,0 • 8,6

= — 17

Die Koordinaten der gegebnen Punkte, Anfangspunkt und Endpunkt I und II des Zugs, sowie der Seitenpunkte A und B sind die folgenden (im Koordinatensystem

=12 = {

(22)

«,.= 23 = {

106,12

106,16

126,58

126,58

78.46

78.47 110,16 110,16 131,38 131,41

106,14

126,58

78,46₅

110,16

*5= 45 = {

, _ *tt_ f 85,93 «II— • II— | ₈₅₎₉₈

131,39₅

85,95g

mm

mm

mm

mm

mm

mm

st = 106,17

s₂ = 126,61

s₃ = 78,47

s₄ =110,17

s₅ = 131,37

SIT= 85,94

der württemb er gischen Landesvermessung, auf das auch die Stadtvermessung Stuttgart bezogen ist). Dabei ist zu bemerken, daß von I und von II aus als Fernpunkt nur ein einziger bequem sichtbar war, so daß A = R ist (was im allgemeinen, wie oben angegeben, nicht zutrifft), nämlich Degerloch, Aussicbtsturm, Helmstange, mehrere von der Messungsstelle entfernt.

aq = + 29 950,28 yx = -f 7529,84 ®n= + 29 461,29 2/n= + 7122,09

I = Feuerbacher Heide, Hebenpunkt II = Hauptmannsreute, Signalstein M = Degerloch, Aussichtsturm, Helmstange xa = -J- 25899,59 ya = -f- 9184,03

R = Derselbe Punkt (M)

xb = + 25899,59 yb = -f 9184,03.

Diese sämtlichen gegebnen und gemessnen Zahlen werden nun zunächst in das Rechenformular S. 446 eingetragen; dieses ist das in meinem Übungsbuch (Üb. z. pr. Geom., T. H. St., 4. Aufl., Stuttgart 1910) enthaltne, zu dem unten noch einige Angaben gemacht sind. Zunächst sind auf dem rechten Rand die Richtungswinkel (IA) und (HR) auszurechnen, da in der Differenz beider, im Sinn (IIR) — (IM) die Kontrolle für Eß (abgesehen von k • 180°) gegeben ist. Die Rechnung ist auch hier 5-stellig geführt, ebenso wie für den Zug selbst, man erhält zwar 5-stellig die zwei Anschlußrichtungswinkel nicht auf 1" genau (der Fehler von 1 Einheit der 5. Dezimalstelle von log tg im Winkel macht den Fehler im ungünstigsten Fall um 2",5 falsch), es kommt aber auch auf einige wenige " nicht an, da die gemessnen Polygonwinkel doch nicht auf diesen Betrag richtig sein können.

Die beiden Richtungswinkel (IM) und (IIR) liegen beide im 2. Quadranten, da für beide sin (Vorzeichen der Ordinatendifferenz) -j-, und cos (Vorzeichen der Abszissendifferenz) — ist. Ihre Differenz in dem richtigen Sinn (IIR) — (IM) (nicht umgekehrt abziehen) ist die fest gegebne Zahl

(IIR) — (IM) = 149°55'56" — 157°47'10" = 509°55'56" — 157°47'10"

= 352° 8'46";

damit soll, von einer ganzen Zahl mal 180° abgesehen, Eß stimmen. Es wird also links nach Einsetzen der sämtlichen gemessnen Polygonwinkel ß die Summe dieser ß gebildet, die unter der Spalte angegebne Eß ist = 1072°7/15", rechts noch einmal auf den Rand unter die daselbst vorgeschriebne Zahl 352°8'46" gesetzt. Es zeigt sich, daß (1072°= 4 • 180°-j- 352°) die Eß zu klein ist um 1'31" = 91", so daß jedem der gemessnen Polygonwinkel (5 eigentliche, dazu je einer in I und II) 13" zuzuschlagen sind. Dies ist links gleich unter die ß eingesetzt. Es wäre, wie oben bemerkt, gerechtfertigt, den ßr und ßxx etwas weniger von w j zu geben, z. B. je 10", womit für die 5 übrigen 71", oder für jeden 14" blieben, doch ist dies gleichgültig.

Damit können nun die Richtungswinkel cc aller Seiten endgültig (für die Rechnung!) gebildet werden, z. B.

oq = 157°47'10" -f 56°02'56" + 13"

(ohne Verändrung um 180°, weil (IM) nicht (MI) gerechnet ist und ßx Winkel zwischenM links und 1 rechts), oder

cq = 213°50,19";

dann wie gewöhnlich weiter, jeder folgende R.W. gleich dem vorhergehenden, verändert um 180°, und Polygonwinkel (nebst Verbessrung) hinzugefügt; z. B.

cq = 213°50,19" -f- 13°19,52" (statt 193°19'52") -f 13" = 227°10'24" usf.;

am Schluß heißt es unten: Probe (IIR) = 149° 55'56", denn auf diesen feststehenden Wert muß man bei richtiger Rechnung (und richtiger Verteilung des w^) kommen. In der Tat wird

(IIR) = an± 180⁰ -f ßii(+^ßii) = 34° (statt 214°) 52'13"-f 115°03'43" = 149° 55'56", wie es sein soll.

Seite

Berechnung des Zugs von I = Feuerbacher Heide, Nebenp., nach II = Hauptmannsreute, Signalstein Zur Aufnahme

Messung s. S.

Berechn, d. Anschlußrichtungen

+ 29950,28, 4- 7529,84

+ 25899,59i + 9184,03

+ 29461,29 + 7122,09

+ 25 899,59! + 9184,03

Log

=1

Ph

Verbesserte Koord.-Abschn. und endgült. Koordinaten

Absz-Abschn.| Ord.-Abschn.

Ord. y

Absz. x

+ 29 950,28 I + 7529,84 59,12

88,17

Koord.-Abschnitte

s sin a

Verb.

S COS CC

Verb.

s cos cc s sin cc

\Log {

cos cc

1 sin cc

Log

Richtungswinkel a Polygonw. ß Verb, an ß

Punkt

(IA) = 157° 47' 10”

56 02 56

+ 13_____

50 19    9.91940«    1.94540«    — 88,19    —59,12

yA-r yi= +1654,1913 • 21859 X,—Xi = — 4050,69 3-60753«

tg (I, A) 9-61106«

Log

3-31428

3-55165«

yB-yn=+²⁰⁶¹^

XB—xl\ — ~ 3561,70,

^ (II, B) 9-76 263« (II, B) = 149°55+6” (I, Ä) = 157° 47'10”

(II, B) — (I, A) — 352 ⁰ 08' 46” Zß = 1072o07'15”

„ISA +

91”

Zß zu verb. um =

xIX — Xj = — 488,99 Zs cos cc = — 489,08

Absz.-Absch. zu verb. um + 0,09

gO‘o+ = ran-qj9Anz-qosqv-pjO

8il10f — = » uis sg    ~

9LlL0f — =    — Il/i

Lin. Anschlußf. wt — 0,09 m

= VW% + wf

+ 29862,11 j + 7470,72 92,85

49,76

19 52    2.02 600

Seite s

I—1 = 106,17    213

193

+ 13 9,74574« 1 77174« +    2

1—2 = 126,61 | 227    10    24    9.83237«    1.93484«    —    86,07    —    92,86

172    11    00    2.10247

+ 13 9.86535« 1.96 782« _+_1_ +    1 + 29776,05    + 7377,87

219    21    37    9.88828«    1.78298«    —    60,67    —    49,76

181    07    40    1.89470

86,06

60,66

2—3 = 78,47

0 | -f- 29715,39    + 7328,11

+ 13 | 9.80222« | 1.69692« | +

71,53

83,76

3—4 = 110,17    220 29 30    9.88110«    1.92316«    — 83,78    —71,54

180 01 55    2.04206

+ i 13    9.81247«    1.85453«    +    2    +    1    + 29631,63    + 7256,58

85,36

99,84

4—5 = 131,37    220 31 38    9.88087«    1.99937«    — 99,86    — 85,37

174 20 22    2.11850

+ 13 | 9.81279« | 1.93129« | +    2    +    1 | + 29531,79    + 7171,22

49,13

70,50

5—11 = 85,94    214 52 ! 13    9.91405«    1.84 825 n — 70,51    — 49,13

115 03 30    1.93420

0    + 29461,29    + 7122,09

9.75718 « | 1.69138« | +    1

— 489,08 — 407,78

ist =

ist —

|27(s • cos a)\Z(s ■ sin cc)|

8lj +

II

Probe(II5) = |(149 55 56)

i?t |1072 07 15)1

Nun kommt die logarithmische Rechnung der s • cos cc und der s • sin cc. Die cc liegen alle im III. Quadranten; da der Zug nur wenig von der Geraden abweicht, so schwanken auch die cc nicht sehr, beachte nochmals, daß, wo /J)> 180° ist, der R.W. zunimmt, wo ß <( 180° ist, der R.W. abnimmt. Der Zug geht etwa von Nordost gegen Südwest, R.W. durchschnittlich etwa 220° (-j- x geht sehr nahezu nach Norden). Die Vorzeichen von cos cc und von sin cc sind also alle negativ; Aufschlagen 180°-f-spitzem Winkel, Funktionen nicht vertauschen. Statt alle die n an die Logarithmen

X= + 30 000

Feuerbacher Heide, \ Nebenpunkt.

'56 ° 02\ 56 ’’ gemessen =

X-+29800

Degerloch ,AT.

3,

X= + 29 600

J=\

Sig- Hptmsreuti

U15°03' 30 ”

Jgemesf,en=ßjr

+    X=+ 29400

ii

7 000

B- o Degerloch,A.T.

y=+ 7 400

y^+|7 600

!Fig. 258.

anzuschreiben, würde es genügen, bei s • cos cc und bei s ■ sin cc (viert- und drittletzte Spalte) überall gleich das Zeichen — zu setzen. Beim Aufschlagen der cos und der sin rechnet man möglichst ohne die Proportionalteile mit j¹-', da es auf 1" nicht ankommt und ein Blick auf die Differenz für 1' auch sofort zeigt, ob die 1" etwas ausmacht; z. B. bei cq 19"—0',3, bei a₂ 24"=0',4, bei ccs 37" = 0',6 usf. Die 5-stellige Rechnung ist so äußerst bequem.

Die zu den Logarithmen s ■ cos cc und s • sin a auf 1 cm aufgeschlagnen Zahlen (zufällig hier alle Logarithmen 1..., so daß man das cm ohne jede Interpolation erhält, womit ein Maximalrechenfehler von \ cm vorhanden ist) werden sofort in die

Spalte Koordinatenabschnitte eingesetzt. Nun kommen aber die weitern Zugmessungsproben :

E(s • cos a) xn — Xj E(s ■ sin a) so11 — yT;

es ist deshalb sofort unter die Spalten s ■ cos cc und s - sin a die Summe der Projektionen gesetzt und rechts nochmals herausgeschrieben. Hier zeigt sich, daß die

,,    -j- 3 cm,

s • cos cc im ganzen zu verbessern sind um -{-9 cm., die s • sin u „

so daß die lineare Anschlußfehlerstrecke des Zugs nur |/‘J¹-{-3¹ = 94 trägt bei einer Zuglänge von

cm

be-

Es = 106 -f 127 -f 78 -f 110 -f 131 -j- 86 = rund 640 m,

ein nicht zu verlangendes Ergebnis (man müßte auf mehrere 2)m Abschlußfehler gefaßt sein auch unter den vorhandnen günstigen Verhältnissen). Bei der Geringfügigkeit der wx und wy ist es wieder ziemlich gleichgültig, wie sie verteilt werden; bei großem Beträgen wäre nach den Gleichungen (19) und (20) mit dem Rechenschieber zu rechnen. Die A(sk-coscck) und A (sk • sin ak) sind gleich unter die sk-cosak und sk-sinuk gesetzt, um in den zwei letzten Spalten je oben den verbesserten Abszissenabschnitt und den verbesserten Ordinatenabschnitt einsetzen zu können, unten durch rekurrierende Rechnung die endgültigen x und y der links stehenden Polygonpunkte; die Rechnung muß, wenn die wx und wy richtig verteilt und keine Rechenfehler gemacht sind, auf (ajjj, yn) führen, wie es im Formular zutrifft.

Die Polygonpunkte stehen damit zum Einträgen in das Koordinatensystem, in die Pläne bereit, die Zugseiten direkt oder mittelbar als Grundlage der Kleinaufnahme. Der obige Zug würde selbst für den größten Planmaßstab (1:250) einer Stadtvermessung an Genauigkeit ausreichen.

Eine Skizze des oben berechneten Zugs in kleinem Maßstab ist, absichtlich erst hier, beigefügt, s. Fig. 258.

75. Polygonometriscbes Netz für größre Vermessungen. Einige Vorschriften und Fehlergrenzen für Polygonisierung in der Katastervermessung. Grobe Fehler im angeschlossnen Zug oder geschlossnen Polygon. 1. Die Polygonzüge dienen, wie schon mehrfach hervorgehoben, bei umfassenden Lageplanaufnahmen, in der Katastervermessung über ganze Gemarkungen u. dgl., als Zwischenglied zwischen der Triangulierung und der Klein Vermessung, indem sie zunächst Linienzüge zwischen den Festpunkten (trigonometrischen Punkten) des Triangulationsnetzes hersteilen.

Auf die Anlage von Netzen von Polygonzügen gehen wir hier nicht ein; es ist nur nochmals an die sog. Yerknotung oder Verknüpfung von Zügen an Schnittpunkten, z. B. S in Fig. 259 oder Vereinigungspunkt F in Fig. 260 zu erinnern: hier ist für S oder F durch Rechnung von Zugstücken von den einzelnen Festpunkten aus, 1/8, IIS, IIIS, IVS im Fall 1, oder IF, IIF, IIIF im Fall 2 für Verbindung mit Ausgleichung zu sorgen; der II. Band dieses Buchs wird hierauf noch etwas eingehen.

I. Preußen. Anzahl der Polygonpunkte richtet sich nach der Bodenbeschaffenheit, Größe der Parzellen und dem Maßstab der Kartierung. Es soll im Durchschnitt mindestens 1 Polygonpunkt auf folgende Fläche fallen:

„Terrainklasse“

1 :2000

Parzellen im Mittel

5 <x

Kartierung im Maßstab 1 :1000

Parzellen zwischen Parzellen 5 a Städte Dörfer

5 u. 50 <x

1 : 500

I (ohne Hindernisse) .    .

II (mittlere Verhältnisse) . IH (schwierige Verhältnisse)

7.5    Ha 5,0 Ha

2.5    Ha

3,0 Ha 2,0 Ha 1,0 Ha

1 Ha

75 a

50 a

I.

22

71

'25

26

27

•ij

72

73

JL

74

Fig. 259.

Fig. 260.

nr

In großen Wäldern, Heiden, Sümpfen (Kartierung 1 : 4000) dürfen die Zahlen in der Geländeklasse I, II, HI steigen auf 15 Ha, 10 Ha, 5 Ha. Vermarkung der Punkte vor der Messung, nicht nachher durch versenkte Drainröhren von 4V2 Messung aller Polygonseiten doppelt, mit der größten zulässigen Differenz beider Messungen, die in 24. Schluß angegeben, der Polygonwinkel mindestens einmal in jeder Lage des Fernrohrs, ebenso auf den beiden Anbindepunkten.

Äußerster zulässiger Fehler in Sß ist l',5 }/n (a • T) oder 3 }/n (n • T), An-und Abschlußpunkt mitgerechnet. Für n = 2, 4, 6, 8, 10, 12, 15, 20 gibt dies (für a-T)2',l, 3',0, 3',7, 4',2, 4',7, 5',2, 5',8, 6',7. (Ausnahmsweise bei besonders schwierigen örtlichen Verhältnissen ist Erhöhung zulässig).

Der lineare Schlußfehler eines Zugs    muß, wenn [s] die Ge

samtlänge des Zugs bedeutet, kleiner sein als folgende Zahlen

in Geländeklasse I (günstige Verhältnisse) fx = 0,01 ]/4[s] -j- 0,005 [s]²

) fs = 0,01 V6 [s] + 0,0075 [s]²

) fs = o,oij/8[s| + o,oT[7p.

Verteilung der Koordinatenfehler fx und fy „sachgemäß“; die endgültigen Brechungswinkel (aus den endgültig angenommenen Koordinaten berechnet) dürfen sich in

Hammer: elementare praktische Geometrie.

cm

lichter Weite.

1?

II (mittlere III (schwierige

11

den Geländeklassen I, II, III um nicht über 2', 2',5, 3' a. T. (4', 5', 6 n. T.) von den nach Yerteilung der f^ sich ergebenden ß unterscheiden.

Geschlossne Polygone nur ganz ausnahmsweise.

II.    Bayern. Haupt- und Nebenpolygonzüge; Anzahl der Polygonpunkte in der

Regel zwischen 20 und 60 pro <+m. Polygonseiten < 300,    50 m. Große Unter

schiede in aufeinanderfolgenden Seitenlangen zu vermeiden. Versichrung der Polygonpunkte durch Steine (60 cm lang), auf Pflaster Eisenröhren 60cm lang, 2 bis

3 cm

lichte Weite, 4 bis 5 mm Wandstärke. Polygonwinkel zu messen mit 30"-Theo-dolit durch einfache Richtungsbeobachtung in beiden Fernrohrlagen; Hauptzüge in den Enden an Dreieckspunkte anzubinden. Polygonseiten mit 5 m-Latten, in der Ebene auch mit 20 m-Stahlband, doppelt, aber nicht unmittelbar nacheinander, tunlichst in entgegengesetzten Richtungen; Maximaiditferenz beider Messungen As — 0,007 j/s + 0,02 m, wenn beide nicht mit demselben Werkzeug + 0,0003 • s. Fehlergrenze in £ß ist, wenn n die Anzahl aller Winkel (+ An- und Abschlußwinkel) 48")/«+ 25". (Gibt für n= 1, 2, 5, 10, 15, 20: 73", 93", 132", 177", 211", 240"). Beim linearen Anschlußfehler ist Längen- und Querabweichung unterschieden: jene A l, diese A w dürfen nicht größer sein als

m.

A l < 0,0035 ]/[s] + 0,00044 [s] + 0,05 m A w < 0,00025 [s] + 0,05

III.    Württemberg. Länge der Polygonzüge womöglich <( 1000m; Vermarkung durch Steine, ausnahmsweise unterirdisch. In kurzer Entfernung annähernd parallel laufende Züge zu vermeiden, jedenfalls durch Querzüge zu verbinden. Polygonseiten < 500 m, )>50 m. Winkelmessung: mindestens je einmal in jeder Lage des Fernrohrs („es empfehlen sich Repetitionsbeobachtungen“ s. oben), Polygonseiten doppelt mit Meßstangen und Gradbogen oder Senkel, Länge der Meßstangen muß gut bekannt sein. Größte Abweichung unter den zwei Messungen in sich gegeben durch die Vorschriften über Längenmessung, vgl. 24., Schluß. Die Zß darf jedenfalls um nicht mehr falsch sein als l',5 j/n oder 2',8j/«; linearer Schlußfehler /'=)//^ + /| muß kleiner sein als folgende Zahlen:

I (günstiges „Terrain“) fj = 0,01]/[s] -)- 0,0005 [s] + 0,1 )/«—1

„    ) fu = 0,015|/[s] + 0,0006 [s] + 0,1 }/h — 1

) fjn = 0,02|/[s] + 0,0007[s] + 0,1 y1

II    (mittleres

III    (ungünstiges „

vermarkte

Auf der Netzkarte 1:10000, wo die trigonometrischen Punkte mit dem Zeichen ^ erscheinen, sind die vermarkten Polygonpunkte mit <^j, nicht mit zu bezeichnen.

3. Grobe Fehler in angeschlossnen Zügen oder gescblossnen Polygonen. Bei aller Vorsicht und selbst guter Messungsübung können Versehen in einer Seite (z. B. 20 vn-Fehler beim Band) oder in einem Winkel (Ablesefehler von 10°, Fehler im Niederschreiben der Ablesung 145° statt 154° u. dgl.) Vorkommen. Wir können hier vorläufig nicht näher auf die einfach mögliche Aufsuchung eines solchen Fehlers eingehen, die dem Band II Vorbehalten bleibt, wollen uns aber wenigstens noch die Wirkung eines groben Fehlers klar machen:

a) grober Fehler in einer Seite des Zugs, die andern Seiten und alle Winkel in Ordnung; Fig. 261. Bei der Rechnung zeigt sich also 2ß genügend in Ordnung, und nur die Koordinatenrechnung zeigt grobe Abweichung des Punkts IT, in den rechnerisch der Zug führt, vom Punkt II. Der Fehler liege in s₄, was aber zuvor nicht

bekannt und aus der Rechnung nicht ohne weitres zu sehen ist, s₄ sei in der Rechnung um den groben Betrag A s₄ zu lang angenommen; die Folge ist geometrisch, daß alle Punkte von 4 einschließlich an um diesen Betrag A s₄ parallel zu s₄ versetzt werden.

Die grobe Fehlerstrecke II IT ist also gleich A s₄ und ihr Richtungswinkel stimmt mit dem von s₄, d. h. mit a₄ überein. Hiermit ist auch schon angedeutet, wie man, nachdem die Koordinaten des grob abweichenden Punks IP berechnet sind, die Fehlerseite finden kann.

b) Grober Fehler in einem Winkel des Zugs, die übrigen Winkel und alle Seiten des Zugs in Ordnung. Hier zeigt sich, nachdem (HR) und (IA) berechnet und Zß gebildet ist, sofort der Fehler, oft sicher dem Betrag nach (10°), ohne daß man aber zunächst sagen könnte, wo der Fehler liegt. Die geometrische Wirkung eines groben Fehlers in einem Winkel, z. B. in ß₄, vgl. Fig. 262, ist diese: alle auf die

¹

Einige Katastervorschriften, besonders Fehlergrenzen für Polygonzüge. Für die drei deutschen Staaten, für die in Nr. 24. und in Nr. 47. die Katastervorschriften für Längenmessung und für Flächenberechnung angegeben worden sind, mögen hier auch kurze Notizen über die Polygonisierung im Sinn der Feldmessung angeführt sein:

4'

OM

S4

r.'

F«i

ßs

Fig. 261.

fV

Fig. 262.

S3

S₂

S1

f₂

fl

Fehlerecke folgenden Punkte 5, 6, II der Figur kommen in grob falsche Lage 5', 6', II' derart, daß 5 5', 6 6', IIII' je auf einem Kreisbogen mit 4 als Mittelpunkt und der Strecke 4 5 = sB, Diagonale 4 6, Diagonale 4II als Halbmesser liegen. Der auf die Fehlerecke folgende Zugteil ist in 4 um A ß₄, in sich selbst 'unveränderlich, verseht wenkt; und falls man mit den in einem Stück unrichtigen ß und den damit sich ergebenden a den Zug durchrechnet, führt er in II' weit seitab von II. Auch diese Andeutung mag für jetzt genügen.

Beides gilt für die zwei Arten eines groben Fehlers selbstverständlich ganz so, wie für den angeschlossnen Zug, auch für das geschlossne Polygon; zwischen beiden ist ja (theoretisch) kein prinzipieller Unterschied.

Auch in Beziehung darauf, was ist im geschlossnen Polygon noch als zulässiger Schlußfehler anzusehen, kann man sich an die Aufstellungen für die angeschlossnen Züge halten. Für Zß (soll im n-Eck entweder = (n — 2) • 180° oder = (n-f-2)-180° sein) gilt sogar genau dasselbe wie für den angeschlossnen Zug, z. B. Fehlergrenze für einen Polygonpunkt 1', dann Fehlergrenze für die Winkelsumme im w-Eck l'j/n. Dies gäbe z.B. als Winkelschlußfehlergrenze für dasPolygonPder Fig.263 l')/Tl= -f- 3r,3 oder — 3',3.

Den linearen Schlußfehler betrachtet man bei Figuren wie P oft besser nicht für das ganze Polygon P (solche Figuren kommen bei Aufnahmen von der Art der

29*

bei der Kleinmessung in 32. B. genannten Bahnhofsaufnahmen u. dgl. vor) sondern, sucht das Polygon in zwei getrennte Züge 1. und 2. zu zerlegen, indem die Punkte I und II „trigonometrisch berechnet“ (vgl. Kap. 5) und die zwei Züge für sich

r-.

Zug 2

Fig. 263.

behandelt werden. Haben sie nicht bedeutenden Querabstand, so ist allerdings zu raten, sie noch durch eine oder mehrere Querlinien D gelegentlich auch in der Mitte durch Winkel und Entfernungen miteinander zu verknüpfen.

7:

1000

76. Feinre Zugmessungen, oft trotz kurzer Seiten. (Stadtmessung, technische Zwecke.) Weniger genaue Züge. Rechenhilfsmittel. 1. Die Fehlergrenzen, wie sie für Katastermessung vorzugsweise auf freiem Feld in der letzten Nummer angegeben sind, sind für andre Zwecke zu weit. Wenn einer Lageplanaufnahme in sehr großem Maßstab, z. B. 1:500 und 1:250, wie sie in Städten vorkonmit (vgl. 36.), eine wesentlich feinre und dichtre trigonometrische Punktbestimmung zugrund liegt als es für freies Land notwendig ist, so wird auch die Zugmessung entsprechend zu verfeinern sein. Wenn z. B. bei 100 bis 150 m langen Seiten auf freiem Feld die relative Genauigkeit der Polygonseiten von oder höchstens y₂₍,0o ausreicht, so wird bei Hauptzügen in der Stadt die relative Genauigkeit bei 100 m langen Seiten auf y₅₀₀₀ und weiter gesteigert, durch Anwendung von Schneidenlatten mit genau bekannter Abweichung von der Sollänge, Messung längs einer gespannten Schnur, bei gleichmäßigem Gefall mit Reduktion der schief gemessnen Länge auf die Horizontale usf., vgl. 24. Bei der Winkelmessung kommt weniger ein wesentlich feinrer Theodolit (Mikroskoptheodolit) in Betracht, als Verschärfung der Zentrierung bei der Aufstellung und Verschärfung der Zielpunkte.

1 mm

Für beides sind eine Menge von Vorrichtungen ersonnen worden, z. B. für die Zentrierung des Instruments starre Lote statt des' Schnurlots zur Zentrierung auf oder schärfer, ferner statt überhaupt eines mechanischen Abloteverfahrens „optisches Abloten“, auf die verschiedensten Arten, neuerdings einfach mit Hilfe von Fernrohrzielung durch den hohlen Zentralkörper des Theodolits hindurch; der Fernrohrziellinie muß dabei mit Hilfe einer mit dem Fernrohr verklemmten Libelle genau die Richtung nach dem Nadir gegeben werden können. Wir können hier auf solche Einrichtungen am Theodolit und die feinre Bezeichnung der Punkte zum Anzielen nicht eingehen, auch nicht auf die Bezeichnungsart der Stadtmessungspolygonpunkte (oft in besondern Kästchen verwahrte Bolzen, usf., auf die Stahlnadeln als Zielzeichen für kurze Strecken aufgesteckt werden können).

Es sei aber wenigstens noch ein Wort beigefügt über den Fall kurzer Seiten, z. B. auf 30 m und noch weiter herabgehender Zugseiten, die bei Stadtmessungen und bei manchen Messungen zu technischen Zwecken (Absteckungen usf.) nicht vermieden werden können. Die Bezeichnung solcher Zielpunkte mit einem auf ihnen vertikal gesteckten Fluchtstab ist zu grob, ebenso wie das Absenkeln mit dem Schnurlot am Instrument; zu grob nicht im örtlichen Sinn, sondern in Beziehung auf die Fehlerfortpflanzung, d. h. es kommt nicht sowohl darauf an, daß z. B. auf 1 Punkt örtlich bezeichnet ist, als darauf, daß auf diesen Betrag genau und noch genauer, \ und ^ mm, derselbe Punkt, der bei der jetzigen Aufstellung des Instruments als Zielpunkt gedient hat, für die nächste Aufstellung des Theodolits auch dessen Standpunkt wird. Ob derselbe Punkt dann bei der dauernden Bezeichnung (Vermarkung) um 1

ein

mm

falsch zu liegen kommt, ist gleichgültig, wenn nur jene Ge-

mm

Durchmesser mit aufgetragnem schwarzem

cm

mm

gegenseitig vertauschbar, und damit ist der oben

mm

nauigkeit in der Vertauschung von Ziel und Standpunkt während der Messung hergestellt werden kann; für die örtliche Versichrung des Punkts genügt sogar bei sehr feiner Messung das Schnurlot zum Absenkeln. Eine der besten und zugleich einfachsten hierher gehörigen Einrichtungen ist die, deren sich Markscheider seit langer Zeit bedienen, und die daher im Stollen- und Tunnelbau (bei gekrümmtem Tunnel) längst benützt wird, bei Stadtvermessungen aber noch wenig im Gebrauch ist, die sog. „Casseler“ und „Freiberger Aufstellung“ (Breithaupt in Cassel, Hildebrand in Freiberg). Es sind auf drei genau gleichen Stativen (im Bergbau auf „Spreizen“ usf.) drei genau identische Dreifüße (Unterbaue) aufgestellt, von denen die zwei äußern die zwei Zielzeichen, der mittlere den Theodolit aufnehmen. Die „Signale“ bestehen aus runden Glasplatten von etwa 12 Staffelkreuz mit weißen Mittelstegen (für die Grube transparent für Beleuchtung durch rückwärts angehängte Grubenlampen), um eine horizontale Achse in Gabel kippbar und in der Mitte mit einem ganz kleinen Visierröhrchen von wenigen äußrem Durchmesser versehen, durch das man die Scheibenfläche normal zur Zielung vom Theodolit her richten kann. Das Signal ist nämlich auch noch außer dieser Kippachse in der Gabel, mit der Gabel um eine Stehachse drehbar, gebildet durch die Achse eines konischen Zapfens in der Büchse des durch Zentralschraube und Feder mit dem Stativkopf verbundnen Unterbaus mit Stellschrauben. Über dem Zapfen in der Mitte der Gabel sitzt eine kleine Dosenlibelle, mit der man (nach ihrer Berichtigung) die Achse jenes Zapfens durch die Stellschrauben vertikal richten kann. Das Signal ist mit dem Dreifußstellschraubenunterbau durch eine Klemmschraube verbunden, nach deren Lösung es sofort aus der Büchse gehoben werden kann, während der Dreifuß auf dem Stativ fest bleibt. Der Unterbau mit den drei Stellschrauben und dem konischen Zapfen des Signals stimmen nun auf das genaueste überein mit dem Dreifuß-Unterbau und dem konischen Zapfen des Theodolits, dessen sog. Steckhülsenvorrichtung ebenfalls gestattet, ihn nach Lösung der Klemme sofort aus dem Unterbau herauszuheben, wobei dieser auf dem Stativ so befestigt bleibt, daß die Achse der Büchse vertikal gerichtet ist. Theodolit und Signal sind so gegenseitig innerhalb der Lagegenauigkeit eines kleinen Bruchteils des angegebne Zweck: Verbessrung der Fehlerfortpflanzung im Zug durch genauste Zentrierung sehr einfach erreicht, die Zugseiten können ohne Schaden für den Zug auf ganz geringe Beträge herabsinken. Abbildungen werden im II. Band erscheinen.

Die Polygonnetze in dicht überbauten Städten müssen vielfach auch in andrer Beziehung ganz anders aussehen als die des freien Landes; es gehen meist sehr viele Seitenstrahlen oder aus einigen wenigen Strecken (zwei u. dgl.) bestehende fliegende Zugstücke vom Hauptzug aus ab; um durch Einfahrten und Eingänge in die Hofräume hineinzukommen usf.

2. Über weniger genaue Züge auf der andern Seite ist schon oben

Berechnung die 5-stellige,

zur

einiges angegeben; auch darüber, daß sie oft unmittelbar der Messung gemäß nach Seiten und Winkeln aufgetragen, nicht berechnet werden. Wenn man mit einem Winkelkopf, Winkeltrommel, Pantometer, Grapho-meter (vgl. darüber 67. 2.) die Brechungswinkel von Zügen, deren Seiten ebenfalls nur auf etwa 1 bis 2 dm gemessen sind, nur auf einige ', z. B. 5' genau zu messen braucht (beim Feld- und Waldwegbau), so verlohnt sich kaum, vor dem Aufträgen eines solchen freien für sich bestehenden Zugs ihn nach Koordinaten zu berechnen. Der Fehler 5' in einem Brechungswinkel versetzt bei Festhalten des einen Schenkels den Endpunkt des

100-5

100 m langen zweiten Schenkels um

= 0,15

= 1% dm, so daß

3438

die Seitenmessung ebenfalls in der angegebnen Weise genügt; auf dem Plan in 1:1000 (welcher Maßstab gewöhnlich bei Wegprojekten für den Lageplan verwendet wird), sind iy₂ dm Feldstrecke x/7 Zwecke genügend klein.

mm

lang, für diese

3. Alle andern Züge, mit Ausnahme von 2. sind aber zu berechnen, wozu in den letzten Nummern Anleitungen gegeben sind. Uber die Hilfsmittel zur Berechnung mag hier am Schluß dieses Abrisses der Polygonmessung noch einiges beigefügt werden. Es ist erwähnt, daß 4-stellige log. Rechnung für gröbre Zugmessung ausreicht, bei Nebenzügen auch in der Katastervermessung; für Hauptzüge auf freiem Feld und in der Stadt ist die wichtigste Tafel 6-stellige Rechnung kommt allenfalls für die feinsten Hauptzüge der Stadtmessung bei langen Seiten in Betracht.

Neben dieser a) direkten logarithmischen Rechnung kommen in Betracht oder sind versucht worden

b)    Verwendung der Rechenmaschine. Diese hat aber hier entschieden keinen Vorteil: man muß aus einer Tafel der natürlichen Werte der sin cc und cos cc (4-, 5-, 6-, 7-stellig für alte und neue Teilung zu haben) diese Werte entnehmen, also ganz genau dieselbe Arbeit tun, wie bei der Entnahme von log sin cc und log cos cc aus der Logarithmentafel, und jede dieser Zahlen mit s multiplizieren auf der Rechenmaschine; bei der oben angewandten Rechenweise kommt statt des Einstellens und Kurbeldrehens nur hinzu Entnahme von log s, Addition je zweier Logarithmen, Aufschlagen der zugehörigen Zahlen (meist ganz ohne Interpolation oder nur mit Augenschein-Interpolation). Wer überhaupt logarithmisch rechnen gelernt hat (— die Zahl derjenigen, die dies von sich sagen können, nimmt allerdings wie es scheint, immer mehr ab, weil die Schulen zu wenig dafür tun —) wird hier gewiß die Rechenmaschine nicht verwenden; vgl. 89. 4.

c)    Anwendung sog. Koordinatentafeln. Es gibt sehr zahlreiche Tafeln, ebenfalls für alte und für neue Teilung, sog. Koordinatentafeln, von sehr kleinen Bändchen bis zu großen Folianten, die ebenfalls die Bildung der s • cos cc und s ■ sin cc erleichtern sollen. Sie sind aber zwar meist in dem Argument cc ausführlich genug (z. B. geht das große englische Werk von Gurden von 1' zu 1' durch den ganzen Quadranten), aber im zweiten Argument s nicht, man muß zusammensetzen; wenn s mit dem Intervall 1 bis zu 100 geht, wie bei Gurden, muß man, um 162,45 • cos cc zu rechnen, addieren: 100 ■ cos cc, 62 ■ cos cc, 45 -cosa (um 2 Stellen versetzt). Manche Rechner halten dies immer noch für einen erheblichen Gewinn an Zeit der logarithmischen Rechnung gegenüber; man hat aber dabei neue Fehlerquellen, auch macht man in den Quadrantenrelationen und Vorzeichen sicher leichter Fehler als bei direkter logarithmischer Rechnung. Ich sehe hier ab von einer Aufzählung der nach Dutzenden vorhandnen Tafeln.

d) Auch die Anwendung von mechanischen und graphisch-mechanischen Hilfsmitteln konnte bis jetzt die logarithmische Rechnung nicht ersetzen. Man kann große logarithmische Schieber in verschiedner Form herstellen mit den Argumenten s und a, die an Genauigkeit meist ausreichen würden, weil sie beinahe die Genauigkeit der 5-stelligen logarithmisehen Rechnung zu erreichen gestatten (vgl. 6. und 89. 3.); eine solche logarithmische Einrichtung, die bei guter Ausführung an Genauigkeit meist ausreichen würde, hat z. B. Hocken kürzlich hergestellt (Z. f. Yermw. 1909, Bd. 38, S. 241). Über die Verbindung einer Zahlentafel (ohne Interpolation und ohne Zusammensetzung) mit einer einfachen mechanischen Vorrichtung zur Berechnung kleiner Korrektionsglieder, vgl. meinen Aufsatz in Z. f. Vermw. 1908, Bd. 37, S. 457. Aber alle diese Dinge machen die direkte logarithmische Berechnung nicht überflüssig.

FÜNFTES KAPITEL.

ELEMENTARE AUFGABEN DER KLEINTRIANGULIERUNG.

77. Selbständige Kleintriangulierungsaufgaben. Es sollen hier zunächst einige Triangulationsaufgaben (Aufgaben der Dreiecksmessung) behandelt werden, bei denen es sich nur insofern um Bestimmung der gegenseitigen Lage von Punkten handelt, als gewisse Strecken, die z. B. der direkten Messung gar nicht zugänglich sind, indirekt zu bestimmen, d. h. mit Hilfe gemessner Horizontalwinkel zu berechnen sind.

Vorausgesetzt wird dabei, dem Wesen der Triangulation entsprechend, daß nur eine einzige Strecke, eine Dreiecksseite direkt gemessen oder „gegeben“ sei. Bei Vierecksaufgaben (vgl. diese und die folg. Nr.) wollen wir ausnahmsweise auch zwei Seiten als gegeben zulassen. Man vgl. zu den folgenden Aufgaben auch des Verfassers Trigonometrie, 3. Aufl. 1907, S. 320 und ff.

1. Triangulation durch ein einziges Dreieck; einfachste Triangulierungsaufgabe. Die Strecke Hü, die direkt nicht gemessen werden kann (Fig. 264), und die wir uns, um bestimmte Vorstellungen zu haben, einige

z. B. 300

100

wi

Fig. 264.

lang denken wollen, ist mit Hilfe des Dreiecks ABC zu bestimmen, in dem die Seite AB in bequemer Lage (fester Boden z. B. längs einer geraden Straßenstrecke mit geringem Gefäll) mit genügender Genauigkeit gemessen werden kann und in dem die Dreieckswinkel A, B, C mit dem Theodolit gemessen werden. Es sei AB = c, z. B. mit Schneidenlatten von gut bestimmter Korrektion (vgl. 24.4. Fig. 64) längs gespannter Schnur einigemal gemessen, = 196,45 5 m; ferner hat die Messung der Dreieckswinkel A, B, C mit einem 20 "-Theodolit bei je 4 maliger Repetition (je 2 mal rechts, 2mal links repetiert) folgende Ergebnisse geliefert:

A= 82° 39'35" R= 6 3 C = 34 13 28

29" verbessert Man wird zunächst die Summe der gemessnen Winkel prüfen und den Winkelwiderspruch von 18", da die Winkel gleichwertig gemessen sind, gleichmäßig verteilen, womit die rechts hei (1) angeschriebnen "-Zahlen entstehen. Bei der Messung ist bei der Kürze der Zielungen besonders auf scharfes Einstellen des Zielpunkts (Fußpunkt der Stäbe) und scharfes Zentrieren des Theodolits zu achten; steht z. B. in A der Theodolit um 5 Maximum unrichtig um

7 15

(i)

9"

22"

180° 0'18"

mm

00"

}>

unrichtig zentriert, so wird die Richtung 45 im

iwm * 206000"= 5".

(Der tatsächliche Betrag ist abhängig von der Richtung der Exzentrizitätsstrecke 5 mm; die zu berechnende Strecke AC wird sich sogleich zu etwa 312 m ergeben, der Zentrierungsfehler 5 mm bringt in der Richtung AG einen Maximalfehler von ₃₁₂⁵00ö • 206000 ~ 3" hervor. Der Winkel A, Unterschied der Richtungen AB und AC, kann aber nicht im Max. um die Summe der eben bestimmten Maximalfehler der zwei Richtungen (5"+3") unrichtig werden, die Zentrierungsfehlerstrecke 5 mm kann liegen wie sie will. Dieser Maximal winkelfehler 8" wäre nur dann möglich, wenn der Winkel A nicht weit von 180° entfernt wäre und die Zentrierungsfehlerstrecke ungefähr in der Winkelhalbierenden liegen würde. Man rechne sich selbst den möglichen größten Fehler im vorliegenden Fall mit A — 82%° und e = 5 m aus.)

Der Sinus-Satz liefert sofort die Auflösung des Dreiecks

c • sin B sin C ’

also bei 5-stelliger Rechnung, die ausreichen wird, s. neben

mm

bei Schenkeln von 312 m und

196

(2)

& = 311,56

m.

Wir wollen hier sogleich eine Genauigkeitsüberlegung anfügen. Wenn in

(2) z. B. der Winkel B um 10" zu groß ist, der c 2.29 326 Winkel C um 10" zu klein, nach ganz willktir-sin B 9.95 034 licher Annahme, um wieviel wird b unrichtig? Neue E sin C 0,24 994 Rechnung auf demselben Weg gäbe b' — 311,53 m, b 2.49354 um 3 cm kürzer als vorhin. Dieselbe Veränderung um 10" in B und in C ändert die log sin der beiden Winkel nicht um denselben Betrag, log sin B' ist nur um 1 Einheit, log sin C’ um 3 Einheiten der 5. Dezimalstelle anders geworden. Die Änderung des spitzen

Winkels C ist also von viel größrem Einfluß als dieselbe Änderung des Winkels B. Dasselbe Ergebnis erhalten wir natürlich einfacher, ohne nochmalige logarithmische Rechnung, wenn wir die Gleichung (2) differentiieren. Es wird

c = 196,45s B = 63° 7'09" C = 34° 13'22"

b = 311,56 m

c = 196,456 B' = 63° 6'59" G = 34 13 32

V = 311,53 m

(3)

2.29 326 9.95033 0.24991

2.49 350

sin B' E sin G

db —

db

db

dB

wobei dB und dC in „analytischem Maß“ zu verstehen sind, d. h. als Nun ist

Anzahl der "

^//

db

dB sinCC°sB''

— c sin B (— sin ~² C) cos C =

c sin B cos C sin C sin C

Setzen wir in (4) je wieder b — c ^ B quotienten:

ein, so werden die zwei Differential-

(5)

cb

dB

= b • ctg B;

= — b ■ ctg C

und damit wird also nach (3)

(Die Gleichung ist an dem speziellen

Fall b = c, ctgB = ctg C zu verifizieren; hier muß mit dB — dC der Betrag db — 0 werden, da das Dreieck damit gleichschenklig bleibt.) Im vorliegenden Beispiel ist

dC=Jr göeAoo ’

•2ok^6307, + c^ ³⁴⁰¹³')

(0,507-f-1,470) = — 2,98cm (Rechenschieber) wie oben.

(6)

(?)

db = b(ctg B • dB — ctg C • dC).

dB =__iQ—

206 200 ’

db = — 31200

cm

also

312

206,3

Gehen wir von den Differentialen zu mittlern Fehlern über, so addieren sich die durch die mittlern Fehler mB und mc entstehenden Teilfehler, nämlich

nach dem Pythagoräischen

— b • ctg G. mG

Anhäufungsgesetz mittlerer Fehler, Gl. (13) in 20. (es ist gleichgültig, daß unsre zwei Glieder in (6) verschiedne Vorzeichen haben), d. h. nach der Formel

ml — b² • ctgiB • mB -f- 6² • ctg²C • m^

(8)

(9)

b ctg B • m

und

oder

mb = b '\/ctgiB ■ to| -j- ctg²G-    oder es ist der in der Trian

gulierung übliche „relative mittlere Fehler“ von b

^ = Vctg*B ■ m^ -f- ctgiG •    .

Wir können nach dieser Gleichung Fragen beantworten wie diese: wenn die Winkel B und C mit demselben m. F. gemessen werden sollen, -J- mB = + mc, wie groß

darf dieser Fehler höchstens werden, damit der relative Fehler ^ im vorliegenden

Fall eine bestimmte Größe z. B. *₀₀ nicht übersteigt? (Bei b — 311,6 m würde diesem yi6000 der Wert mb — + 20 bis 21mm entsprechen). Es wird

= x Yctg- 6 3 ⁰ 7' + ch/ ² 3 4° 135.

(10)

(11)

(12)

Die zwei Summanden

15000

unter der Wurzel sind 0,507² -)- 1,470² = 0,26    2,16 = 2,42; sie zeigen jetzt noch

deutlicher, daß das Verfahren, mB und mc gleich zu nehmen, unrationell ist, da der Faktor von m‘²c 2,16, der von mB nur 0,26 beträgt. Es müßte also der Winkel C viel genauer gemessen werden als der Winkel 5, wenn rationell verfahren werden sollte. Nehmen wir aber wie gefordert mB und mgleich an, so ist im Beispiel

x"]/2,42    1500Q ,

Maß ist; es wird also

wo x der gesuchte m. F. der beiden Winkel in analytischem

ai = +

23300

(13)

(Rechenschieber mit einer Einstellung) oder in Gradmaß 206300"

23300

mB = mC = ±

= ±9".

Dies läßt sich mit einem 20"-Theodolit schon durch zwei Repetitionen erreichen. Es wäre aber, wie schon bemerkt, an sich rationeller, die zwei Fehlerkomponenten rechts unter der Wurzel in (10) bis (12) ,,ins Gleichgewicht zu setzen“, so daß

wird, d. h. zu verlangen, daß

(14)

ctg B ■ mB = ctg C ■ mc

zu

5000

der spitzere Winkel C schärfer gemessen werde als der Winkel B\ im Beispiel würde damit mB = + 19", wc= + 6",5, es könnte B ziemlich weniger genau gemessen werden, wenn nur C schärfer gemessen wird, um immer noch ^ — Vi

erhalten. Doch wäre an Arbeit hier damit wenig erspart, weil der Theodolit doch auf beide Punkte gebracht werden muß und darin der Hauptzeitaufwand liegt, nicht darin, ob ein Winkel 2 mal oder 4mal repetiert wird Es ist im vorstehenden angenommen, daß es sich nur um Winkelmessung in den Punkten B und C handle (der dritte Winkel als Ergänzung der zwei gemessnen auf 180° berechnet werde); man sagt in diesem Fall, die Lage des Punkts C gegen AB, insbesondre also die verlangte Strecke AC, sei durch „Seitwärtsabschneiden“ bestimmt, während man bei Winkelmessung in A und B von „Vorwärtseinschneiden“ oder Vorwärtsabschneiden des Punkts C von A und B aus spricht. Es ist ferner bei unsrer Fehlerbetrachtung der Fehler nicht berücksichtigt, der in der gemessnen Strecke AB = c vorhanden ist, + m , wir gehen hierauf auch nicht weiter ein. Jedenfalls merken wir uns aus der vorstehenden Diskussion die Regel, daß bei der Dreiecksmessung in geschlossnen Dreiecken vor allem die spitzen Winkel scharf zu messen sind, um so schärfer je kleiner sie sind. Ferner ist ohne weitres klar, daß hei einer bestimmten verlangten linearen Genauigkeit der Dreiecksseiten alle Winkel um so schärfer zu messen sind, je länger ihre Schenkel sind. Der Satz gilt überhaupt ganz allgemein für alle Horizontal winkelmessungcn.

2. Kette oder Netz von Dreiecken. Das Verfahren der „Dreiecksmessung“ d. h. Horizontalwinkelmessung in den Dreiecken, läßt sich auf beliebige Konfigurationen von Dreiecken, sog. Ketten und Netze, ausdehnen, deren sämtliche Seiten dann, von der gegebnen ausgehend, durch fortgesetzte Anwendung des Sinus-Satzes berechnet werden können. Man hat früher als reine Kette von Dreiecken eine solche Folge von Dreiecken bezeichnet, bei der von der gegebnen Anfangsseite, z. B. a ausgehend, eine durch die Triangulation zu berechnende Seite, z. B. b, nur auf einem einzigen Rechnungsweg erreicht werden kann. Denken wir uns z. B. in den 6 Dreiecken der Fig. 265, bei denen auf „gute Form“ (Vermeidung zu spitzer und zu stumpfer Winkel) zu sehen ist, alle 18 Winkel unabhängig gemessen, z. B. je durch einige Repetitionen, so ist zunächst in jedem der Dreiecke die „Schlußprobe“ (Winkelsummenprobe) vorhanden:

(15)

1 + 2 + 3 — 180° muß = 0, 4 + 5 + 6 — 180°    „    =0.

Auch können außer den 18 Winkeln noch weitre gemessen sein, so daß zu den 6 „Bedingungsgleichungen“ (15) noch weitre „Stationsbedingungsgleichungen“ vorhanden sind. Nach „Ausgleichung“ der gemessnen Winkel, Erfüllung dieser sämtlichen „Bedingungsgleichungen“, führt aber von a zu b nur der Rechnungsweg über clf c₂, . . . c₅. Das Ergebnis ist, wenn 1, 2, ... 18 eben die ausgeglichnen Winkel bedeuten:

(16)

sm 2 sin 1

Co Co §• §■

Ml®⁵

Co Co

S' §'

Hl⁰⁰

loilS

3121

•s |.§

co ; co

ISUSS

In der Fig. 266 dagegen, in der außerdem statt der eben vorausgesetzten Winkelmessungen Richtungsmessungen (30 gemessne Richtungen in 8 gemessnen Richtungssätzen, die selbst wieder je das Mittel aus mehreren einzelnen Sätzen sein können) angenommen sind (die natürlich ganz ebenso auch in der Kette gebraucht sein könnten), sind zwei weitre Seiten hinzugekommen, die Kette ist zum Netz geworden. Der Unterschied zwischen den Bezeichnungen Kette und Netz wird aber neuerdings nicht mehr in dieser frühem Art streng festgehalten.

'6

Co

7.8

'15 16

X

1!2

c₃

kr

u \

7\

C*>

17

16.

23

?6 25

30

29^

28

10

15

Cs

18.

13

²¹ 22 -20P

Fig. 266.

Ul8

Mg. 265.

Es sind auch hier in dieser Fig. 266 zunächst Dreiecksschlußgleichungen vorhanden; diese sind hier, bei Richtungsmessungen von der Form

(17)

(3 — 1) -{- (5 — 4) -f- (16 — 15) — 180° muß = 0 sein usf.

(von solchen Winkelsummengleichungen sind in dem obern vollständigen Viereck offenbar nur drei voneinander unabhängige vorhanden, die Winkelsumme für das vierte Dreieck und ebenso für das Viereck stimmt, wenn drei Dreiecke „schließen“ von selbst; ebenso gibt, nachdem die Summengleichungen für die fünf Dreiecke mit gemeinschaftlicher Spitze im innern des untern geschlossnen Fünfecks angeschrieben sind, die Winkelsummengleichung für das Fünfeck nichts neues mehr und hat wegzubleiben). Es muß aber in dieser „Netz“-Konfiguration der Fig. 266, wo von a zu b verschiedne Rechnungswege für die Anwendung des Sinus-Satzes möglich sind, noch eine ganz andre Art von Bedingungsgleichungen geben, die ausdriicken, daß nach der Winkelausgleichung diese verschiednen Rechnungswege dasselbe Ergebnis liefern müssen, sog. Seitenbedingungsgleichungen oder Sinusbedingungsgleichungen; wir gehen hier auf diese Art von Bedingungsgleichungen nicht weiter ein.

Durch solche Ketten oder Netze von Dreiecken, wie sie zuerst von Snellius angewendet worden sind (vgl. 7.), kann man, von einer direkt gemessnen Basis a ausgehend, auf theoretisch beliebig großer Fläche die gegenseitige Lage von Dreieckspunkten bestimmen. Denn nicht nur die Längen aller Dreiecksseiten können auf diesem Weg bestimmt werden (was freilich am einfachsten ist, weil man nach Ausgleichung der ge-messnen Dreieckswinkel nur fortgesetzt den Sinus-Satz anzuwenden braucht), sondern auch die Entfernungen zwischen zwei ganz beliebigen Punkten der Konfiguration, die Länge jeder beliebigen Diagonale der ganzen Figur.

Will man bei den Gleichungen zur Auflösung ebner Dreiecke bleiben, so erfordert die folgeweise Rechnung aller Diagonalen der Figur, nachdem die Seitenlangen berechnet sind, die fortgesetzte Auflösung von Dreiecken aus zwei Seiten und dem zwischenliegenden Winkel, am besten also mit Anwendung der Mollweideschen Gleichungen; man erhält sukzessive Polarkoordinaten der Punkte. Einfacher und systematischer wird aber die „gegenseitige Festlegung“ der Punkte der ganzen Figur, wenn wir die Punkte auf ein rechtwinkliges Koordinatensystem beziehen, die rechtwinkligen ebnen Koordinaten aller Punkte in Beziehung auf ein System ausrechnen, dessen Nullpunkt und dessen a:-Richtung in unsrem Belieben steht; man wird zu jenem einen Dreieckspunkt, zu dieser eine von ihm ausgehende Dreiecksseite wählen. Aus diesen .Koordinaten sind dann nicht nur die Entfernungen zwischen beliebigen Punkten sehr einfach zu berechnen, sondern z. B. auch die Winkel, die zwei von einem bestimmten Punkt nach zwei andern Punkten ausgehende Richtungen miteinander einschließen. Eine hierher gehörige Triangulierungsaufgabe, die eine Kette von Dreiecken verwendet, wird in unsrem Kapitel 6 Absteckungsaufgaben (Fig. 347) behandelt werden.

Bei Dreiecken bis zu einigen km Seitenlange darf bei diesen Dreiecks-recbnungen die Grundvoraussetzung unsres ganzen ersten Abschnitts, Vermessungsfläche eine Horizontalebene, durchaus festgebalten werden, da auf der Erdoberfläche ein Dreieck erst 1" Exzeß bat (Winkelsumme um 1" größer als 180°), wenn seine Fläche nahezu 200    beträgt,

z. B. also eine Seite 20 km und die dazu gehörige Höhe ebenfalls etwa 20 km oder eine Seite 25 km, die zugehörige Höhe etwa 16 km lang ist. Solche Dreiecke gehen bereits über das hinaus, was unsrem kleinen Nonien-Theodolit zugänglich ist.

3. Bestimmung einer Strecke, deren Endpunkte gegenseitig nicht sichtbar sind und eine andre Aufgabe mit Messungshindernis.

OL

Fig. 267.

dolit verwendet werden) genügender Genauigkeit gemessen werden können und messen ebenso genügend scharf mit dem Theodolit den Winkel a. Es ist dann nach

Die gegen den Schluß von 2. angeführte Berechnung eines Dreiecks aus zwei Seiten und deren zwischenliegendem Winkel kann selbständig auch bei folgender Aufgabe in Betracht kommen (Fig. 267): die Strecke SC ist zu ermitteln, während ihre Endpunkte gegenseitig nicht sichtbar sind (Kreuzscheibenauflösung siehe in 34. 5.; hier soll, für längre Strecken oder größre Genauigkeit, der Theo-Wir nehmen A so an, daß AS und AC mit

(18)

SC = öf=]/&² -f- c² — 2 bc • cos a

oder nach einer den Moll weide sehen Gleichungen entsprechenden Umformung dieser Gleichung zu rechnen. Man versuche selbst eine Genauigkeitsdiskussion ähnlich der in 1. angestellten.

Die Aufgabe ist als Triangulierungsaufgabe angeführt, weil es eine Drei eck saufgabe ist; sie setzt aber zwei gemessne Strecken voraus, ist also eigentlich eine Zugmessungsaufgabe (Kap. 4).

Ein andrer Fall dieser Aufgabe mag auch noch angeführt sein, nämlich der, daß a sich wenig von 180° unterscheidet, c und b beinahe in gerader Linie liegen Fig. 268: Berechnung der Länge einer einmal „leicht gebrochnen“ Strecke

.......a

Fig. 268.

aus den zwei Teilstrecken und dem Winkel zwischen beiden; bei Basismessungen u. dgl. vorkommend. Da a von 180° wenig verschieden, also

(19)

s = 180°— a

oder

ein kleiner Winkel ist, so ist BC = a nur sehr wenig kleiner als (b -f- c). Nach a =]/(5 + c)²— 2&e(l -(- coscc) =f/(5 -f- c)²— 2bc (1 — coss)

«=]/Wd²

(20)

£

— 4 bcsin²

wobei das zweite Glied unter der Wurzel sehr klein ist im Vergleich mit dem ersten, wird

(21)

a = (6-f-c) j/l

4 bc

(6 4-c)

oder durch näherungsweise Ausziehung der Wurzel nach dem binomischen Satz (Abbrechen beim zweiten Glied der Entwicklung j/l — x, wenn x sehr klein ist, =1 — \x~\ )

(22)

“-(!, + c)-2(RV)(o) ’

wobei die kleine Korrektion rechts bequem mit dem Rechenschieber auszurechnen ist. Beispiel: c = 247,501 m, b = 312,487 m, a = 178⁰30'00", also f==l°30'0",

, ,. , s 5400 analytisch

wird a = (b -)- c)

bc

2 (6 + c)

• (4nÜr) **" 559,988 — 0,047 V206265/

= 559,941 m (Rechenschieber für das Korr. Glied reicht an Genauigkeit selbst für die feinste Basismessung aus). Der Brechungswinkel a braucht nur roh gemessen zu werden; wie groß darf der Fehler in a werden, damit aus ihm der Fehler im Abzug an. (b -j- c) und damit der Strecke B C nicht größer als 1 Bis zu welcher Abweichung des Winkels a von 180° darf man die Entwicklung der Wurzel in (21) bei x¹ abbrechen? (Das folgende Glied wäre —jic² nach

4 bc

mm

wird ?

sin* ~ ist.)

Eine andre trigonometrische Basismessungsaufgabe, Unterbrechung einer Grundlinie durch ein nicht unmittelbar meßbares Stück, sei wenigstens angeführt und zur Durchrechnung empfohlen: Die Strecke AB ist scharf geradlinig abgesteckt, kann aber auf einem bestimmten Stück CCt nicht direkt gemessen werden, Fig. 269. Es sind AC=a, BCl = b scharf gemessen; auf dem Punkt P sind (durch einige Sätze) die Winkel a, ß, y gemessen, unter denen die Strecken a, 5, CC₁ — x von P aus erscheinen. Wie lang ist dieses fehlende Stück x? Auch hier sind zwei Strecken direkt gemessen, die Aufgabe also keine Triangulationsaufgabe i. e. Sinn mehr. Es ist eine Fünfecksauf-

~[/l — x= 1 —

tO\ M-

x²- • • wobei x =

(& + c)*

gäbe, also sind 7 Stücke erforderlich, was auch zutrifft: a, b\ a, 7, (3; Fünfeckswinkel in C und Cx je 180°. Wie wird die Auflösung (Strecke AB) wenn diese beiden Winkel in C und Cx noch leicht von 180° abweichen?

4-. Zwei Vierecksaufgaben, in denen abermals zwei gegebne Seiten Vorkommen, seien noch angeführt:

a) Die Entfernung CP zu bestimmen, wobei die Punkte gegenseitig nicht sichtbar sind und nicht nach 3.a) verfahren werden kann. Es sind, Fig. 270, gemessen die

A°-

Ti:

Ci b

;P

cJX

,a

Fig. 269.

Fig. 270.

Winkel ec, ß, 7, zur Probe vielleicht auch der Winkel d in P; womit {u -f- 7 -[- ß -)- 8) auf 360° auszugleichen wäre, und die Strecken CA = a, CB = b. Nimmt man als Unbekannte die Winkel ACP=cp, BCP—ip, so sind cp und 1p zu bestimmen aus

und

qp + = 7

sin (cp -f- a) a sin a sin (xp -)- ß) b sin ß

(Ähnliche Auflösung mit den Winkeln APC — £, BPC — r\ als Unbekannten). Nach Berechnung von cp und xp (oder £ und 73) können die Dreiecke ACP oder BCP aufgelöst werden, so daß sich CP mit Probe ergibt. Andre Auflösung durch Zerlegung des Vierecks durch die Diagonale AB: im Dreieck ACB, gegeben durch zwei Seiten und den Zwischenwinkel, kann man berechnen die Winkel BA C und A BC, damit Dreieck ABP nach dem Sinus-Satz aufzulösen, so daß AP und BP bekannt; schließlich ACP und BCP je aus zwei Seiten und dem Zwischenwinkel. Auch hier ist, wie hei 1. der Punkt C durch Messung der Winkel in A und B, der Punkt P von den Punkten A und B aus „vorwärts eingeschnitten“, aber „ohne Visur in der Grundlinie ABU, vielmehr mit Benützung eines weitern Punkts C.

h) Die drei Punkte A, C, B sind wieder gegeben durch die zwei Strecken CA = a, CB = b und den zwischen beiden gemessnen Winkel 7 (Fig. 271); in C können auch

gemessen werden die Winkel ACP = yx und BCP = 7₂, die die Richtung nach P mit CA und CB bildet. Probe der Messung yx -}- 7₂ = 7. Dagegen eignen sich die Punkte A und B nicht zur Aufstellung des Theodolits, so daß dort kein Winkel gemessen werden kann; auch ist von P aus C nicht sichtbar, (während P von C aus sichtbar ist, wenigstens ein oberes Stück einer dort gut vertikal gestellten Zielstange von einigen m Höhe, dagegen kann von Instrumentenhöhe in P aus kein Zielpunkt in C gesehen werden). Endlich sind aber von P aus die Punkte A und B sichtbar und es wird dort der Winkel d gemessen, womit die erforderlichen fünf Stücke (7 zählt neben yx und 7₂ nicht) für das Viereck vorhanden sind. Denken wir uns hier den Punkt P konstruiert, so entsteht er, während bei 4.a) sich P als Schnitt-

(23)

= m.

Ac

yL

>B

Fig. 271.

punkt zweier gerader Verbindungslinien ergab, hier als Schnittpunkt einer geraden Linie {CB) und eines Kreisbogens (über AB als Sehne und mit 8 als gefaßtem Peripheriewinkel). Auch die rechnerische Auflösung ist sehr einfach (vgl. z. B. meine Trigonometrie S. 338/39). Durch eine Winkelmessung auf dem Punkt selbst, dessen Lage gegen gegebne Punkte bestimmt werden soll, wird stets ein Kreis als Bestimmungslinie für den Punkt festgelegt; man spricht dabei von Rückwärtseinschneiden über die gegebnen Punkte, im Gegensatz zum Vorwärts- Ein- oder Abschneiden (s. oben), Winkelmessung auf gegebnen Punkten, durch die als Bestimmungslinie für den gewählten Punkt eine Gerade festgelegt wird.

5. Genauigkeit der Winkelmessung und der gegebnen Strecken. Bei allen diesen selbständigen Kleintriangulierungsaufgaben, bei denen ein 20"- oder 10"-Nonientheodolit zur Winkelmessung ausreicht, weil die Seiten des Dreiecks über ganz wenige &m Länge jedenfalls nicht hinausgehen, ist, der geforderten Genauigkeit der zu bestimmenden Stücke sowie den Abmessungen der Figur entsprechend, stets zu überlegen:

a)    Wie genau muß die Grundlinie (oder müssen die ausnahmsweise vorkommenden zwei Grundlinien) gemessen werden? Wir setzen hier, wenn nicht überhaupt an Stelle der direkten Längenmessung der „Anschluß an eine fertige Triangulation“ treten kann, voraus, daß jedenfalls die Genauigkeit von Schneidenlatten ausreicht, die noch auf den Boden gelegt und sorgfältig zusammengestoßen werden und deren Neigung abgelesen wird. Voraussetzung ist, daß die Entfernung der Schneiden jeder Stange genügend genau bekannt ist; vgl. über diese Schneidenlattenmessung Nr. 24.

b)    Wie genau müssen besonders die Winkel gemessen werden. Ein Beispiel dieser Überlegung ist in 1. angegeben. Der mittlere Zielfehler des zu verwendenden 20"- oder 10"-Nonientheodolits sei + mx (für eine bestimmte Art von Zielpunkten und einen bestimmten Beobachter) und der mittlere Ablesefehler + m₂ (bezieht sich auf das Mittel der Ablesungen beider Nonien; ebenfalls für verschi.edne Beobachter etwas verschieden, wenn auch nicht so stark wie mx). Im allgemeinen wird für die gewöhnlichen Genauigkeitsbedürfnisse, auch technischer Art, das Mittel aus 2, 3, 4 Sätzen oder bei einzelnen Winkeln 2, 4, 6malige Repetition ausreichen, wenn die Zielungen einige hundert m bis 2000 m lang sind. Man überlege stets, daß ein Richtungsfehler von 10" auf die Ent-

200

500

1000

fern ungen

eine Zielpunktsverschiebung quer zur Zielrichtung um

m,

m,

m,

2000

200000 • 200000

io

J 206 000

• 500000

Hl Ul

, . . .,

hervorbringt. Man merke sich auch auswendig die bequem zu behaltenden zusammengehörigen Zahlen 10", 200 m, 10 mm. Die Zahlen sind sehr wichtig, sie kommen auch stets bei der Überlegung der notwendigen Zentrierungsgenauigkeit des Theodolits, der erforderlichen Übereinstimmung des tatsächlichen Zielpunkts mit dem Punkt, der durch das Zielzeichen definiert sein soll, usf. in Betracht. Wenn es sich z. B. um Zielungen von 2000 m Länge handelt und um Winkelmessungen, die nicht über 2" Genauigkeit hinaus-

d. h. um 10 mm, 24

mm.

49 mm, 97

mm

gehen können und hinauszugehen brauchen, so ist die Zentrierung des Instruments auf 1 mm genau ganz unwesentlich, da

400000 206000

2000 • 2 206265

cm ~ 2 cm

ein Zentrierungsfehler von einigen mm also ohne Bedeutung ist. Derartige Überschläge sind für Anordnung und Ausführung von Winkelmessungen immer von Wichtigkeit.

6. Bezeichnung der Zielpunkte, dauernd und vorübergehend (Zielzeichen, Signalisierung, Einrichtungen zum Anzielen der Punkte) bei derartigen selbständigen Kleintriangulierungsaufgaben. Die Verpflockung und direktes Aufstecken der Stäbe reicht für unsere Zwecke meist aus, solange die Ziel weiten nicht über 600 m oder selbst 1000 m hinausgehen; nur sind die gewöhnlichen rotweiß gestrichnen Fluchtstäbe von 1,7 bis 2 m Länge und etwa 30 mm Stärke, auf gewöhnliche gebohrte Pflöcke gesteckt, nur bis zu 250 m Zielweite gut brauchbar, bei 300 m schon zweckmäßig mit oben angebundner kleiner rotweißer Fahne oder mit über den Stab gestreiftem rotweißem Kartonrechteck oder Zieltafel versehen. Für Entfernungen bis zu 1000 m nimmt man stärkere Stäbe von etwa 40 bis 50

Durchmesser und 3 m Länge, oben mit angebundner oder angenagelter rotweißer Fahne oder rot weißem Wimpel; oft kann man auch, wenn der Stab nicht nach allen Seiten gleichzeitig sichtbar gemacht werden soll, sondern nur für einen bestimmten Winkelsektor seines Horizonts, drei solche Stäbe neben einander stecken, den mittlern auf den Pflock, die äußern in je etwa 20 cm Entfernung daneben. Es kommt natürlich in Beziehung auf die Sichtbarkeit auch sehr auf den Hintergrund an, von dem der Stab sich abhebt beim Anzielen; überall kommt man mit solchen Stäben von 40 bis 50 mm Durchmesser nicht bis auf Zielweiten Jedenfalls achte man darauf, daß die Pflöcke, die den Triangulierungspunkt örtlich und für sehr lange Dauer bezeichnen, und auf denen die Stäbe aufzustecken sind, sehr stark sind, z. B. 8 bis , mit zentrischer Bohrung; schwächere Pflöcke zerspringen sehr leicht beim kräftigen Einsetzen des starken Stabs. Die Pflöcke sollen so fest in den Boden geschlagen werden (am besten nach Vorbohrung mit „Vorschlag“ oder „Hopfenlocher“, s. u.), daß sie bei mehreren weitern Schlägen nicht mehr „ziehen“. Auf noch größre Entfernungen, bis zu wenigen km, wie sie bei der Kleintriangulierung Vorkommen, braucht man stärkere „Signalstangen“, 10 cm im Durchmesser und 4 bis 5 uv lang, aus „Bahmenschenkel“ vom Schreiner gehobelt und dann ebenfalls in 50 cm-Abständen rotweiß gestrichen oder man nimmt noch einfacher gut gerade gewachsene Fichten- oder Taimenstangen von derselben Länge und untern Stärke (Stücke von Hag- oder Hopfenstangen), die gar nicht oder kaum bearbeitet (entrindet) werden.

mm

von 1000

10 cm

m.

Man kann sie mit Kalkmilch bestreichen lassen oder streckenweise (z. B. in 1 m-Stücken) mit Papier fest umbinden; beides ist freilich nach einigen Tagen Regenwetter nicht mehr viel wert, auch hat der Verf. die Erfahrung gemacht, daß das Papier Neugier und Zerstörungslust der Raben stark erregte. Jedenfalls ist oben an die Stange, sie sei bearbeitet oder nur eine gerade Fichtenstange, ein breites Latten-

oder Bretterkreuz von 60 auch genügend, einen Strohbusch oder dergl. lest umzubinden; beides dient zum leichtern Auffinden der Stange, wenn sich diese, vom Standpunkt des Theodolits aus gesehen, nicht vom Himmel abhebt oder wenn andre Stangen (Telephon und Telegraph) in der Nähe stehen, die horizontal angenagelten Latten auch für den (uns hier nicht interessierenden) Fall, daß auch Höhenwinkel nach einem bestimmten Punkt der Stange zu messen sind. Die Stange wird natürlich beim Aufstecken mit dem Senkel gut vertikal gerichtet (von zwei Seiten betrachten); bei häufig stark windigem oder stürmischem Wetter ist die Stange zu sichern, was ebenfalls mit überall leicht zu bekommendem Material geschehen soll: man schlägt in der Entfernung von 1 oder 1% m zwei Pflöcke Px und P₂ fest in den Boden (ungefähr mit rechtem Winkel P₁StP₂) und nagelt an Stange St und an P₁₍ P₂ zwei Lattenstücke Lt, P₂ fest an, die die Stange etwa lm oder etwas mehr über dem Boden fassen, Fig. 273. Die Stange trotzt so den stärksten Stürmen, auch wenn sie selbst nicht sehr tief eingegraben ist und die Latten L können nur dann beim Anzielen etwas stören,

Länge fest anzunageln (vgl. Fig. 272) oder es ist oft

cm

4-5 m

St

l₂

Li

]P1

^10 cm

Pz

-ThA>d

Stein

Fig. 272.

Fig. 273.

Fig. 274.

wenn zufällig eine Zielung ziemlich in der Richtung einer der Streben kommt, worauf ja bei der Versichrung Rücksicht genommen werden kann. Selbst wenn die „Signalstange“ bei der Benützung des Punkts als Standpunkt des Theodolits gelegentlich entfernt werden soll, bietet diese Versichrung mit Xn X₂ keine Schwierigkeit, man braucht nur die obern Nägel zu lösen. Solche einfache Stangen sind für die Kleintriangulierung allen künstlichen Signalbauten vorzuziehen, weil sie von jedem Arbeiter mit den überall vorhandnen Mitteln hergestellt werden können, während schon das einfachste andre Signal, z. B. ein „Pyramidensignal“ (vier in den Kanten einer regelmäßigen Pyramide gestellte starke Pfosten mit obrer Verbretterung der Pyramidenfläche und einem als Zielzeichen dienenden Helmholz; Höhe so, daß in der Pyramide das Instrument über dem Stein aufgestellt werden kann, mit dessen Achse die des Helmholzstücks übereinstimmen muß, vgl. Fig. 274) den Zimmermann verlangt und viel teurer ist.

Beim Entfernen und Wiedereinsetzen der obigen Stange ist nur zu beachten, daß sie sehr sorgfältig hochgehoben wird, damit das Loch im Boden nicht mit nachgerutschter Erde usf. sich füllt. Das Loch beim ersten Aufrichten der Stange wird in Süddeutschland gern mit einem „Hopfenlocher“ gestoßen (Vorstoß von 50 Pfd. Gewicht, durch sein Gewicht wirkend, unten spitz, an der breitesten Stelle etwa

30

Hammer: elementare praktische Geometrie.

dick, oben mit Stiel versehen, alles aus einem Stück Eisen von etwa 1 m Länge) mit dem man in nicht zu hartem Boden leicht in etwa % m Tiefe und mehr eindringt.

12 cm

bis

cm

Sie sind geviertelt weiß-rot oder weiß-schwarz bemalt mit zwei weißen

cm.

Zu erwähnen sind hier auch noch rechteckige Zieltafeln aus Holz oder Blech, die gelegentlich gebraucht werden können, in der Größe von etwa 40x30 80x60

einander diagonal gegenüberstehenden Feldern, oft auch (zur Einstellung mit dem doppelten Yertikalfaden eines Theodolitfernrohrs) nur weiß bemalt mit starkem mittlerem schwarzem Vertikalstrich; in jedem Fall sollen die Farben matt sein, nicht glänzen. Eine solche Tafel hat zwar den Übelstand, daß sie einen Punkt, auf dem sie steckt, nicht für dessen ganzen Horizontalumkreis sichtbar macht (wenn die Tafel zu schmal erscheint, von dem fernen Standpunkt des Theodolits aus, so ist sie möglicherweise nicht aufzufinden), auch bietet sie dem Wind viel Angriffsfläche. Die Tafeln eignen sich trotzdem sehr gut z. B. zur Bezeichnung von Punkten auf Mauern (Brüstungsmauer, starke Deckplatte einer Balustrade an der Terrasse eines Gebäudes u. dgl.); der Punkt wird durch eine in die Mauer eingegossne (Zement, Blei) Schraubenmutter bezeichnet, in die ein Schraubenstück am untern Ende der Tafel eingeschraubt werden kann.

Wenn die bei einer Kleintriangulierungsaufgabe gebrauchten Punkte lange Zeit erhalten werden sollen, z. B. über eine voraussichtlich lange Bauzeit, und Bezeichnung durch starke Eichenpfähle zum unmittelbaren Aufstecken von Stäben (s. oben) nicht ausreicht, sondern wie zuletzt beschrieben bei Zielweiten von mehreren Km solche Fichtenstangen oder gehobelte Rahmenschenkel zur Signalisierung der Punkte verwendet werden müssen, so ist auch eine dauernde Bezeichnung der Punkte im Boden dem einfachen Einstecken der Stange in ein vorgestoßnes Loch vorzuziehen. Die dauerndste Bezeichnung, für alle Zeiten brauchbar, ist wie immer die „Versteinung“ der Punkte, Bezeichnung durch gut und tief fundierte, mit A bezeichnete Steine (Festpunkte, Dreieckspunkte, Signalsteine), die für Landesvermessungszwecke auch die Regel bildet, für techniche Zwecke aber meist zu teuer ist und auch sonst weniger in Betracht kommt. Sie hat u. a. den Nachteil, daß wenn der Punkt zentrisch durch einen Stein bezeichnet wird, er mit einer einfachen Stange nicht unmittelbar zentrisch aufgesteckt werden kann (dies ist aber durch ein Pyramidensignal nach Fig. 274 möglich) und man bei Anwendung dieses einfachsten Zielzeichens fortwährend zur Anwendung von Hilfspunkten und Zentrierungsrechnungen genötigt ist, vgl. später.

Weite,

Länge sägen, die in einer am Ort der Dreieckspunkte

Durchmesser mit durchgehender Bohrung von 8 oder 10

cm

cm

Zur zentrischen Bezeichnung eines Dreieckspunkts mit der Möglichkeit zentrischen Aufsteckens durch eine Stange für technische Triangulationen u. dgl., war früher in Stücken der hölzernen Wasserleitungsröhren („Brunnenteuchel“) ein sehr gutes Hilfsmittel geboten; man läßt sich aus einem Fichten- oder Tannenstamm von etwa 20

cm

Stücke von 40, 50 und mehr ausgehobnen Grube aufrecht gestellt und wieder fest umstampft werden (vgl. Fig. 275). Das beim Aushub übrigbleibende Material diente zum Aufwurf eines kleinen Hügels über dem Punkt bei Nichtaufsteckung, nachdem das „Teuchelstück“ durch den Spund Sp verschlossen wurde. Beim Aufstecken war der Erdhügel und Sp zu entfernen und die Stange durch eingetriebene Keile fest und vertikal zu stellen. Diese einfache, billige und viele Jahre dauernde Bezeichnung der Punkte ist neuerdings schwieriger zu bekommen, weil die hölzernen Wasserleitungsröhren fast überall durch eiserne ersetzt sind, die sich weniger gut eignen. In sehr hartem Boden oder gar Felsgestein

kann man solche eiserne Rohrstücke einbetonieren und etwa 1,2 m hoch über den Boden vorstehen lassen; sie können dann bei geeigneter Einrichtung nicht nur als Zielpunkt dienen, sondern durch Abdecken auch zur Aufstellung des Theodolits statt des Stativs verwendet werden. Doch ist dies teuer und selten verwendbar.

78. Zwei weitre Vierecksaufgaben der selbständigen Kleintriangulierung. Fünfecks-, Sechsecks- usf. Aufgaben. Wichtiger als die zwei Vierecksaufgaben in 77. 4. sind die folgenden zwei Vierecksaufgaben: „Aufgabe der unzugänglichen Entfernung“ und „Snelliussche Vierecksaufgabe.“

1. Die Aufgabe der unzugänglichen Entfernung oder unzugänglichen Distanz, bei der Rechnung im rechtwinkligen Koordinatensystem auch als Hansensche Aufgabe oder Aufgabe der zwei Punktepaare bezeichnet (sie könnte übrigens, wenn sie einen Beinamen tragen sollte, ebenfalls nach Snellius benannt werden, da der Erfinder der Triangulierung in unsrer heutigen Form, der Niederländer Snellius, alle Fälle

A,

<P

Pig. 276.

?A-

~~OL—

2Ö25XH1 Pig. 275.

der Aufgabe schon ausführlich behandelt bat) besteht in folgendem: Die Entfernung der zwei Punkte B und C (gegenseitig sichtbar, aber Entfernung nicht unmittelbar meßbar) ist zu bestimmen allein durch Horizontalwinkelmessung auf diesen Punkten selbst und zwar nach den Endpunkten einer Basisstrecke AA₁ von angemessner Länge, vgl. Fig. 276; man kann z. B. weder an B noch an G anliegend eine passende Basisstrecke messen, die einfacher ein Dreieck zur Berechnung von BC wie oben in 77. 1. zuließe, wohl aber ist in geschickter Lage bei AAX eine größre Basisstrecke scharf meßbar. In B und G sind dann folgende Winkel gemessen:

(1)

( in B der Winkel ß zwischen A links und C rechts

-^1 V    1} (    V

ßi

in G der Winkel y zwischen B links und A rechts

„ C „

Yt

Man hat also im Viereck fünf unabhängige Stücke, so daß es „bestimmt“ ist. Die folgende symmetrische Lösung ist wesentlich die von Bohnenberger 1802: Unbekannte sind die zwei Winkel A AtB = cp und A^B = ip. Diese sind zu bestimmen aus Summe und Verhältnis der Sinus; es ist nämlich, mit

(2)

a = 180°— (ß + y),

«i = 180°— (ß± + yß),

d. h. a und ax als dritten Winkeln in den zwei Dreiecken ABC und AXBC, in denen die zwei Winkel ß, y und ßv yx gemessen sind, das Verhältnis:

bekannt, ferner

(3)

sin cp sin y/sin cc sin 'ip sin yx / sin ux

(4)

ebenfalls durch die Winkelmessung gegeben. Sind aus beiden Gleichungen die Unbekannten bestimmt und damit alle Winkel des Vierecks bekannt, so führt der Sinussatz sofort zum Ziel. Setzt man

. sin cp    sin y/sin a

6h/ A • 7"    •    / •    «

a    sm sm yx / sm at ⁷

tg -U - tg • ctg (45» +4),

womit aus (4) und (6) cp und xß bekannt sind. Man erhält, wenn AAX = e = gemessner Basisstrecke und

BC = a = gesuchter „unzugänglicher Entfernung“, und wenn

u. sin yx__

sin ccx sin xp

(5)

(6)

(?)

(8)

(9)

sin y 1 sin cc sin cp

so wird nach einfacher Umformung

(Probe!) gesetzt wird:

(10)

a m • sin (ß — ßt)

Mit konsequenter Festhaltung der obigen Bezeichnungen gelten die Gleichungen für jeden Fall, in dem A und Ax auf derselben Seite von BC liegen, ob die Diagonalen AC und Ax B des Vierecks AAXCB sich schneiden oder nicht. Liegen dagegen die Punkte A und Ax auf verschiednen Seiten von BC (wobei abermals beide Strecken sich schneiden oder nicht schneiden können), so ist oben überall an Stelle der Differenz (ß — ßx) die Summe (ß -j- ßx) zu nehmen, in (4) und in (10). — Diskussion, durchgerechnete Beispiele, andre Auflösungen in meiner Trigonometrie, 3. Aufl. S. 332—336.

Selbstverständlich könnte statt a aus e au,ch umgekehrt e aus a berechnet werden, wenn a, die Entfernung der Punkte, in denen die Winkel gemessen werden, bekannt ist oder gemessen werden kann, und die Gegenseite e berechnet werden soll. Doch kann man dann auch ohne Kenntnis der vorstehenden Auflösung in andrer Art symmetrisch verfahren, es handelt sich dann um eine Aufgabe des Vorwärts-, nicht des Rückwärtseinschneidens, wie oben.

2. Noch wichtiger ist folgende Vierecksanfgabe, die von Snellius (dem Erfinder der Triangulation; oft und auch bei uns sogar noch meist nach Pothenot benannt: Po the not sehe Aufgabe oder Po-thenotsches Problem); sie bietet die Möglichkeit, die Lage eines Punkts P gegen drei der Lage nach gegebne Punkte zu bestimmen durch Winkelmessung auf P allein; vgl. Fig. 277. Es sind gegeben die zwei Strecken CA = a, CB=b und der Winkel y, unter dem sie Zusammenstößen (Winkel im Viereck ACBP). In P, der vierten Ecke des Vierecks, sind gemessen die zwei Winkel a und ß, unter denen von P aus a und b erscheinen, genauer

a zwischen A links und C rechts,

Snelliussche Yierecksaufgabe (Rückwärtseinsehneiden).

469

Man soll berechnen die Entfernungen des Punkts P von den drei gegebnen Punkten, die Strecken

PA = rx, PC = r, PP = r₂.

>B

Die jetzt allgemein übliche symmetrische Lösung der Aufgabe ist die sog. Burckhardtsche (1801) nach folgenden Gleichungen: Führen wir wieder die zwei Yiereckswinkel in A und P als ^

Unbekannte cp und iß ein, so sind diese abermals aus Summe und aus Sinus Verhältnis zu bestimmen:

(12) cp + iß = 360° — (a + ß + y),

\    : T *    /

n\ r Xr₂

oc

(13)

sin cp r ■ sin a sin ip

r • sin ß sin ß

cs g

Fig. 277.

Nachdem cp und iß berechnet sind, kann man die Dreiecke links und rechts, ACP und PCP einzeln nach dem Sinussatz auflösen, wobei sich als Probe die Gleichung (13) bietet, nach der r sich aus beiden Dreiecken gleich ergeben muß.

Das Dreieck der drei gegebnen Punkte ACP könnte selbstverständlich auch beliebig anders durch drei unabhängige Stücke, die es vollständig bestimmen, gegeben sein, z. B. durch die drei Seiten, oder durch eine Seite und zwei Winkel; die Gleichungen (12), (13) zeigen, daß der einfachste Fall für die Berechnung des Vierecks allerdings der ist, daß y, a, b die gegebnen Stücke sind. Die Bestimmung von cp und iß ist genau wie in 1.; setzen wir wieder ctg eines Hilfswinkels X gleich dem

bekannten Sinusverhältnis, so erhält man eine Gleichung für tg - ₂ Mit

sin a

aj sin a b/sin (3

ctg l = ~.n— = oder (14) tg l = u sm ip sm ß    \ s ?

wird wieder

(15)

cp - ll)    cp -f- 1p

tg = tg ^T-

• ctg (45° + l),

wobei (p als positiver oder negativer spitzer Winkel zu nehmen ist. Aus (12) und (15) hat man also cp und iß, und damit nach dem Sinussatz:

^ • sin iß (Rechnungsprobe)

a

r = —— • sin cp sm a *

und

T3B

(16)

rx = —— sin (a + cp)

¹ sm cc v t j

s'Aiß s*n (ß    für die gesuchten Entfernungen.

Auch hier durchgerechnete Beispiele, andre Auflösungen (worunter besonders die mit dem Collinsschen Hilfspunkt auch praktisch verwendet wird, obwohl kein bestimmter Grund zum Verlassen der vorstehenden Lösung vorhanden ist) vgl. a. a. 0. S. 326—332.

Bei der außerordentlichen praktischen Wichtigkeit dieser Aufgabe (des „Rückwärtseinschneidens“ des Punkts P über die drei gegebnen Punkte A, P, C, vgl. 77. Schluß von 4.) soll auch schon hier auf eine kurze Diskussion der Aufgabe eingegangen werden:

Wenn das Viereck ACBP, was nur bei einem „konvexen“ Viereck, also nicht im Fall der Fig. 277 möglich ist, ein Kreisviereck (Sehnenviereck) ist oder diesem Fall sich nähert, so wird die Lösung der Aufgabe vollkommen unbestimmt oder im zweiten Fall wenigstens praktisch nicht mehr genügend scharf. Geometrisch konstruiert gedacht, entsteht der Punkt P als Schnittpunkt zweier Kreise, die über a und b so beschrieben werden, daß sie die Peripheriewinkel a und ß „fassen“. Ist aber das Viereck ein Kreisviereck, so fallen diese Kreise in einen zusammen, eben den Umkreis des Vierecks; anders ausgedrückt: der Punkt P ist in diesem Grenzfall ein Punkt des Umkreises des Dreiecks der drei gegebnen Punkte oder liegt wenigstens im zweiten Fall diesem Kreis nahe. Ob der Fall des Kreisvierecks genau oder genähert vorliegt, sieht man zwar nicht unmittelbar in der Natur, aber sofort, nachdem die zwei Winkel a und ß gemessen sind: im Kreisviereck ist die Summe je zweier gegenüberliegender Winkel 180 °. Ist also u ß -f- y (gemessne + gegebner Winkel) gleich oder nahezu gleich 180°, so liegt der Grenzfall genau oder genähert vor, in dem die Bestimmung des Punkts P nicht möglich ist (theoretisch nicht oder wenigstens praktisch nicht genügend). Zwei dem Grenzfall nahekommende Fälle sind in Fig. 278 angedeutet. Der Umkreis des gegebnen Dreiecks AGB heißt der „gefährliche“ Kreis bei der Snelliusschen Aufgabe; ist der Punkt, dessen Lage gegen die drei gegebnen zu bestimmen ist, diesem Kreis nahe, so ist die Bestimmung

T \b

Ac

>B

Ax

A-

Oi'

,oc

P-

Fig. 278.

Fig. 279.

Fig. 280.

des Punkts praktisch nicht genügend möglich, wegen „zu schiefen Schnitts“ der zwei (noch nicht ganz zusammenfallenden) Kreise. Diese geometrische Überlegung zeigt sich natürlich auch in der obigen analytisch-trigonometrischen Lösung: ist

cc -(- ß -f- y — 180 °, also auch qp -|— -j/j = 180 °, so ist tijf ^    — = OO, während tgl — 1

wird (a/sincc ist der Durchmesser des Umkreises des Dreiecks AGP, b/sinß der Durchmesser des Umkreises des Dreiecks BCP), also 1 = 45° und ctg (45⁰ -(- 1) = 0, so daß in der Tat die Lösung

tq ---— = oo • 0 == — = unbestimmt wird.

y 2 0

Günstig für die Bestimmung der Lage von P wird sein, wenn dieser Punkt möglichst weit abliegt vom Umkreis des gegebnen Dreiecks AGP, wie z. B. in Fig. 279 (P Mittelpunkt des von den gegebnen Punkten gebildeten gleichseitigen Dreiecks), wobei indessen die Werte a/sinu und b/sinß, die Umkreisdurchmesser der zwei Dreiecke nicht zu groß werden dürfen im "Vergleich mit dem Umkreisdurchmesser des gegebnen Dreiecks, wie -z. B. in Fig. 260, wo zwar P ebenfalls weit abliegt vom gefährlichen Kreis, aber trotzdem abermals infolge schlechten Schnitts der zwei Bestimmungskreise schlecht bestimmt wäre. Man suche auch selbst den in Fig. 281 dargestellten, für eine bestimmte geodätische Aufgabe wichtigen Spezialfall, besonders auch in Beziehung auf die Genauigkeitsverhältnisse ^

r;=l80°

:*>

zu behandeln: y = 180°, a = b, a = ß oder wenig- -

oc

Fig. 281.

stens nahezu a = ß. Bei welcher Lage von P ist hier z. B. der Fehler von CP am kleinsten? (Der Punkt P darf offenbar nicht zu nahe an C heranrücken und sich auch nicht zu weit von C entfernen; bei a = ß = 450 schneiden sich die zwei Bestimmungskreise rechtwinklig; ist dies der günstigste Fall? Der Fall a — b, a — ß zeigt, auch wenn y nicht genau 180° ist, daß die Aufgabe des „Rückwärtseinschneidens“ von P über A, C, B gelegentlich auf „Vorwärtseinschneiden“ zurückführt, denn man kann in diesem Fall sofort die hier ebenfalls gleichen Winkel bei A und B ablesen.

3.    Sog. Erweitrungen der vorstehenden Aufgaben zu Fünfecks- und Sechsecksaufgaben, sowie verwandte Sechsecks- und Achtecksaufgaben sind praktisch im allgemeinen nicht von großer Bedeutung; sie sind besonders früher viel behandelt worden, analytisch schön und systematisch zuerst von Lambert, in der Neuzeit besonders von Marek, Läska, Herz (alle drei Österreicher). Ygl. dazu u. a. meine Trigonometrie, 3. Aufl., S. 336—338, S. 621—623 und meinen Aufsatz in der „Zeitschr. für Vermessungswesen“, 1895 (Bd. 24), S. 593 ff.: „über die Aufgaben der einfachen trigonometrischen Punkteinschaltung“, der ausnahmsweise zitiert sei, weil dort diese Aufgaben der trigonometrischen Lagebestimmung von Neupunkten aus gegebnen Punkten einigermaßen systematisch verfolgt sind, allerdings mit Zugrundlegung des Koordinatensystems (vgl. unten), d. h. es sind die „gegebnen“ Punkte durch ihre Koordinaten gegeben und für die gesuchten Punkte die Koordinaten gesucht. Wir können hier auf diese an und für sich schönen trigonometrischen Aufgaben nicht weiter eingehen.

4.    Für die Bezeichnung der Punkte, besonders zum Anzielen, gilt hier natürlich dasselbe wie für die Aufgaben in Nr. 77., vgl. dort 6. Nur kommt hier schon häutig zu der daselbst behandelten künstlichen Bezeichnung der Punkte auch die „natürliche“ Bezeichnung von Punkten. Die zwei gegebnen Punkte A und Ax in der Aufg. 1. oder die drei gegebnen Punkte A, C, B in 2. können „natürlich“ bezeichnete Punkte (Gebäudepunkte, Hochpunkte) sein, oder auch z. B. ein Feldkreuz u. dgl., deren Koordinaten schon früher in einem gewissen Koordinatensystem „trigonometrisch bestimmt“ sind; alle diese Punkte sind im Sinn der praktischen Geometrie natürlich bezeichnete Punkte (zwar künstliche Punkte, aber nicht zum Zweck der Messung hergestellt). Bei Hochpunkten, Kirchturmspitzen, Blitzableitern auf sonstigen Gebäuden, Schornsteinen usf., sollte im allgemeinen angegeben werden, auf welche Stelle der Helmstange usw. sich die gegebnen Koordinaten beziehen, weil diese Helmstangen usf. nicht so genau vertikal sind, daß diese Angabe entbehrlich wäre, vgl. den Überschlag bei 68. 7. Schluß.

Wenn die gegebnen Punkte solche durch ihre Koordinaten gegebnen Punkte sind, so ist die gegebne Strecke zwischen beiden im Fall der Aufg. 1. oder es sind die Strecken CA, CB und der Winkel y zwischen beiden im Fall der Aufg. 2. erst aus den Koordinaten zu berechnen, vgl. unten.

5. Logarithmisehe Rechnung bei den Aufgaben der Nr. 77. und 78. Wenn die Rechnung in den gesuchten Strecken bis auf 1 bis 2 cm ausreicht, so ist im allgemeinen

5-stellig zu rechnen, so lange alle Abmessungen der Figur < 1000 m sind,

,,    > 1000 m werden.

6-stellig „

wenn die

Dabei rundet man in den Winkeln auch hei 6 stelliger Rechnung am besten auf die ganze " ab; bei 5-stelliger Rechnung erhält man die einzelnen " ohnehin nicht scharf: (Maximalfehler z. B. bei Bestimmung eines Winkels a aus log tg a tritt für eine bestimmte Ungenauigkeit des log dann ein, wenn a in der Nähe von 45° (135°, .. .) ist. Denn es ist

• da oder umgekehrt

SITl CC

sin 2 a

0,869 '

Mit a = 45° erreicht sin 2 a seinen größten Wert 1 und es wird für diesen Fall z. B. mit cllog tg a — 0.00001, d. h. für einen Fehler von 1 Einheit der 5. Log. Dez.

(17)

(18)

d (log tg a)

M₁₀    1

tg a cos² a

• da =

da — dilog tg a) ■

da

oder im Gradmaß

100000 0,869

206 265"    1_

100000 ' 0,869    ’ ’

(vgl. die 5-stellige Log.-Tafel, Diff. für 1' bei a — 45 ⁰ etwas über 25 Einh. der 5. Dez. von log tg a).

Weiter in der Schärfe der Rechnung als bis zu 6-stelliger logarithmischer Rechnung zu gehen, ist im allgemeinen hei keiner Aufgabe der Kleintriangulierung notwendig, weil die Daten nicht entsprechend scharf sind.

da" —

79. Andeutungen über eine „Landestriangulation“. Um die Grundlage für die Vermessung eines ganzen Landes zu schaffen, wird das Land trianguliert; sei es, daß diese Triangulation den sich anschließenden wissenschaftlichen (Erd-)Messungsarbeiten oder einer „topographischen“ Aufnahme oder endlich einer allgemeinen Landesparzellenvermessung als Grundlage zu dienen hat.

Die Triangulation ist in der Form, wie wir sie heute noch verwenden (— die Grundidee geht viel weiter zurück —) eine Erfindung des Niederländers Snel (Snel-lius; vgl. Nr. 78., 1. und 2.), der eine Dreiecksmessung zur Bestimmung der Länge eines Meridianbogens bei Leiden (und damit zur Ermittlung des Halbmessers der damals noch sphärisch vorausgesetzten mathematischen Erdoberfläche) an wandte im zweiten Jahrzehnt des 17. Jahrhunderts (der „Eratosthenes Batavus“ erschien 1617). Schon im nächsten Jahrzehnt hat der Schwabe Schickhart die Methode der gegenseitigen Lagehestimmung von Punkten zur Triangulation von Württemberg als Grundlage einer topographischen Landeskarte benützt; Apian hat in Bayern sogar schon lange vor Snellius als Grundlage der bayrischen „Landtafeln“ trianguliert, wenn auch seine Methoden etwas anders waren, als die von Snellius.

Man bestimmt die gegenseitige Lage einer großen Zahl von „trigonometrischen Punkten“ (Dreieckspunkten, wenn versteint Dreieckssteinen, Signalsteinen, trigonometrischen Festpunkten oder Signalpunkten) auf der triangulierten Fläche; für wissenschaftliche Zwecke (und z. T. für topographische Zwecke) dient dabei die Triangulation zur „geodätischen Übertragung“ der geographischen Koordinaten, d. h. zur Rechnung der geographischen Koordinaten Länge und Breite jedes einzelnen Dreieckspunkts auf einem Ellipsoid von gegebnen Dimensionen, ausgehend von der gegebnen (direkt „astronomisch“ bestimmten) geographischen Breite (Polhöhe) und geographischen Länge (oft zu Null angenommen) eines Dreieckspunkts und des Azimuts einer von diesem Punkt ausgehenden Dreiecksseite: bei der Landestriangulation im Sinn der „DetailVermessung“ werden rechtwinklige Linearkoordinaten der einzelnen Punkte bestimmt, s. u.

1. Stufen oder Ordnungen. Besonders im letzten Fall, Dreiecksmessung als Grundlage der folgenden Kleinmessung (durch die Polygonzüge, 4. Kap., zur Kleinmessung, 1. Kap.) kann man die hier sehr große Zahl der im ganzen erforderlichen Dreieckspunkte nicht in einer einzigen zusammenhängenden Messungsoperation bestimmen; man zerlegt vielmehr die ganze Arbeit in einzelne Stufen oder Ordnungen, arbeitet „vom Großen ins Kleine“, trennt Haupttriangulation und Kleintriangulation. Nur die großen Dreiecke dienen, im Gegensatz zu früher, heute allgemein zugleich wissenschaftlichen und Landesvermessungszwecken. Man überzieht nämlich die zu triangulierende Fläche zunächst

a)    mit großen sog. Dreiecken I. 0. (ihre Eckpunkte sind Dreieckspunkte I. 0.) mit Seitenlangen von 20, 30, 40, 60, 80 Rm Seitenlange. Weiter als bis zu etwa 70 Rm Seitenlange geht man bei uns im allgemeinen kaum mehr, z. B. ist die noch von Gauß benützte Dreiecksseite Brocken-Inselsberg, früher die längste in Deutschland, mit 106 Rm Länge, in der neuen Triangulierung jener Teile von Deutschland durch einen Zwischenpunkt geteilt worden. Angeführt mag sein, daß die längste Seite eines geschlossnen Dreiecks (Zielung, die von beiden Endpunkten her beobachtet ist; dabei ist also abgesehen von einseitigen „Schnitten“ nach Punkten, die nur als Zielpunkt gedient haben, wie vielfach in Ostindien nach Himalayagipfeln, neuerdings auch in Kalifornien nach Gipfeln der Sierra Nevada, und die 300 Rm erreichen und übersteigen) 294 Rm Länge erreicht (Vereinigte Staaten) und daß auch in Europa bei dem Verbindungsviereck zwischen der spanischen und der algerischen Triangulation über den westlichen schmalen Arm des Mittelmeers hinweg zwei Dreiecksseiten von 270 Rm Länge vorhanden sind. Zur Horizontalwinkelmessung in solchen großen Dreiecken dienen ausschließlich die größten, feinsten Schraubenmikroskoptheodolite. Die Summe der drei gemessnen Winkel ist um den Exzeß des Dreiecks größer als 180°; diese Exzesse selbst großer Dreiecke sind nur wenige ", z. B. ist ein Dreieck mit 10" oder gar 15" Exzeß schon ein sehr großes geodätisches Dreieck. Je etwa 200 <jRm der Erdoberfläche entsprechen 1" Exzeß; in den größten gemessnen Dreiecken übersteigt der Exzeß allerdings 1'. Die genauste Winkelmessung in großen geodätischen Dreiecken hat neuerdings den m. F. eines Dreieckswinkels in günstigsten Fällen auf etwa + 0",3 herabgedrückt (mittlerer Dreiecks schlußfehl er etwa 0",3 }/3 = + 0",5).

b)    Auf diese Dreiecksseiten und Dreieckspunkte I. O. werden für Landesvermessungszwecke Dreiecke II. O. gegründet, bei deren Berechnung immer noch auf die Krümmung der Erdoberfläche (Exzeß) Rücksicht zu nehmen ist, deren Seitenlängen etwa zwischen 10 und 40 Rm liegen und deren Winkel heute ebenfalls nur mit großen Schraubenmikroskoptheodoliten gemessen werden.

Der Schlußfehler in Dreiecken I. 0. (Abweichung der Summe der gemessnen Winkel von der Sollsumme 180° -|- s) beträgt heute nicht mehr als im Mittel 1", höchstens 2", bei Dreiecken II. 0. schon bis 3" und mehr. Als Zielzeichen dienen auf den Punkten I. und ILO. neuerdings fast ausschließlich sog. Heliotrope, Sonnenspiegel, die im Gesichtsfeld des Fernrohrs als Stern erscheinen, oft auch Lichtsignale mit künstlichen Lichtquellen für Beobachtungen bei Nacht, wo meist ruhigere Luft vorhanden ist. Die Dreiecke I. und II. 0., die man wohl als Haupttriangulierung zusammenfaßt, kommen für uns nur in ihren Ergebnissen in Betracht, eben als Grundlage der weitern sog. Kleintriangulierung.

c) Bei Dreiecken III. und IV. Ordnung sinken die Dreiecksseiten von etwa 10 hm Länge oft bis zu 1 hm und noch etwas weiter herunter, wenn hier überhaupt noch als Regel von geschlossnen Dreiecken, nicht von Zielstrahlen beim „Einschneiden“ von Punkten die Rede ist. Die Schlußfehler in Dreiecken III. und IV. Ordnung dürfen je nach der Größe der Dreiecke Beträge von 6", 10” bis 40" erreichen. Es kommen also schon für die Dreiecke III. 0. 10"-Nonientheodolite mit in Betracht, für die Punktbestimmung IV. 0. sogar vorzugsweise Nonieninstrumente mit 10"-oder 20"-Nonienablesung. Die Genauigkeit jeder Triangulierungsordnung muß derart sein, daß ihre Ergebnisse für die nach unten folgenden Messungen als fest und unveränderlich zu gelten haben. Während bei der Auswahl der Dreieckspunkte I. und II. Ordnung nur die günstigste Form der Dreiecke und günstigste Länge der Dreiecksseiten in Beziehung auf Genauigkeit in Betracht kommt, spricht bei der Auswahl der Punkte III. und besonders IV. Ordnung das örtliche Bedürfnis bedingend mit. Je nachdem in der Dreiecksmessung III. und IV. 0. in das Netz der Punkte I. und II. 0. Ketten und Netze geschlossner Dreiecke oder nur einzelne Punkte durch „Einschneiden“ eingeschaltet werden, spricht man von Ketteneinschaltung oder von Punkteinschaltung bei der „Kleintriangulierung“.

Schematisch gezeichnet sieht ein Netz einer „Landestriangulation“ folgendermaßen aus (Fig. 282), wobei (•), O und o Dreieckspunkte I., II. und III. und IV. 0.

bedeuten, -, -- Dreiecksseiten I. und II. 0., —••• Dreieckseiten und Zielnngen

(Einschueide-Zielungen) für Punkte III. und IV. 0.

Die Dichte des trigonometrischen Netzes (durchschnittliche gesamte Zahl der Punkte aller Ordnungen auf bestimmter Einbeitsfläche, z. B. 10 ist für verschiedne Zwecke und deshalb für verschiedne Landesteile (nach Oberflächenbeschaffenheit, Kultivierung oder überhaupt Bodenbedeckung, Parzellierung usf.) auch auf dem freien Land sehr verschieden. Daß eine Stadttriangulierung viel mehr, 5 und 10 mal so viel Punkte auf derselben Fläche braucht als das freie Land, ist klar.

2. Grundlinien der Triangulation. Bis jetzt war nur von der Horizontalwinkelmessung die Rede, wie man denn auch die Triangulierung als Lage-Punktbestimmung durch Horizontalwinkelmessung allein zu bezeichnen pflegt. Irgendwo in dem Netz muß aber selbstverständlich eine Strecke, die Basis oder Grundlinie gemessen werden, wobei man neuerdings auch in den Grundlinien Basen I. und II. 0. zu unterscheiden pflegt. Es dienen zu diesen Messungen besondre „Basismeßapparate“, für Grundlinien II. 0. und selbst I. 0. neuerdings vielfach Draht- und Band-, besonders Invar-(Nickelstahl-)Dralit- und -Bandapparate.

Die Basisstrecken sind stets kurz im Vergleich mit den Abmessungen des ganzen Triangulierungsnetzes und selbst meist kurz im Vergleich mit der Länge der einzelnen

Seite im Netz I. 0. Beim Beginn „allgemeiner Landesvermessungen“ in Deutschland zu Anfang des 19. Jahrhunderts (zuerst Bayern, dann Württemberg) hat man verhältnismäßig lange Grundlinien gemessen, in Bayern 1801 München-Aufkirchen 21 ys Am lang, in der Pfalz 1819 Speyer-Oggersheim 15¹/% Um, in Württemberg Soli-tude-Ludwigsburg 13 Am; alle nur einmal gemessen, so daß kein Nachweis aus der „innern“ Übereinstimmung der Messungen über ihre Genauigkeit möglich war und ihre Kontrolle nur durch die trigonometrischen „Anschlüsse“ an die Nachbartriangulationen geschah. Später ging man unter dem Einfluß des von Prof. Schwerd in Speyer geführten Nachweises, daß mit einer viel kürzern unmittelbar gemessnen Grundlinie ganz ebenso genügende Genauigkeit erlangt werden könne, wenn man nur ein rationelles „Basisentwicklungsnetz“ anwende (— Schwerd hat die eben genannte

Fig. 282.

Basis Speyer-Oggersheim mit sehr geringem Fehler aus einer nur 860 m langen, zweimal direkt gemessnen Grundlinie trigonometrisch abgeleitet, 1822 —) zu immer weitrer Verkürzung der Grundlinien über, besonders als auch die Genauigkeit der Grundlinienmessung immer größer werden konnte: mit den Einstabmikroskopapparaten kam man auf + 1

Schweiz 1880/81 an drei verschiednen Stellen des Landes mit dem Ibanez-Brunner-schen Apparat drei Grundlinien von je 2 % bis 3 Länge gemessen, bei denen der m. Kilometerfehler + 0,7 bis 1,3 kürzung der Grundlinien willkommen war, ist besonders der, daß mit den kurzen starren Metallstäben nur eine sehr langsame Messung möglich war, z. B. nur 100 m Fortschritt in der Stunde, und die Grundlinienmessung deshalb sehr teuer war. Übrigens ist man dann doch bald zu Grundlinien von 5, 6, 8 Länge zurückgekehrt.

Auch bei diesen ist aber noch ein „Ent-wicklungs-“ oder Vergrößrungsnetz erforder lieh, um von der Basislänge b (vielleicht 5 fim) auf die Länge s einer Dreiecksseite I. 0. (etwa 10 mal so groß) zu kommen. Diese Entwicklungsnetze haben meist Formen, wie sie Fig. 283 schematisch andeutet; es sind besondre kleine Triangulierungen, in denen die Winkel aufs schärfste gemessen werden müssen: auf b sind zwei ungefähr gleichschenklige Dreiecke mit nicht großen Winkeln ß', ß" an der Spitze gestellt, um in 2 schon eine ziemlich starke „Vergrößrung“ der Grundlinie b herzustellen.

mm

m. F. für das Kilometer und weiter herunter. Z. B. wurden in der

mm

betrug. Der Grund, aus dem möglichste Ver-

-S)

'ß¹

4)

1»

Fig. 283.

Wir wissen aus der Überlegung in 77. 1., daß es bei der Winkelmessung vor allem auf Schärfe in den spitzen Winkeln ß' und ß" ankommt, wenn die Schenkel der Dreiecke und damit die Strecke z genau ausfallen sollen; die nächste Entwicklungsstufe von z aus führt vielleicht schon zu einem s von brauchbarer Länge. Neuerdings ist man durch die Schnelligkeit, mit der 24 m lange Drähte oder gar 50 m lange schmale Bänder aus Invar (Metallgemisch von rund 64 °/₀ Stahl mit 36 % Nickel) Grundlinienmessungen durchzuführen gestatten (1 Am in der Stunde und mehr, 10 mal so große Geschwindigkeit als mit den kurzen starren Metallstäben) wieder dazu geführt worden, die direkt gemessnen Grundlinien zu verlängern; sie werden sicher auch in kurzer Zeit stark vermehrt werden. Vor wenigen Jahren sind in Englisch-Süd-afrika mehrere Grundlinien mit der durchschnittlichen Länge von gegen 20 Am gemessen worden und die längste davon erreicht 34Am, ist also (bei geeigneter Lage der Endpunkte) unmittelbar als Dreiecksseite I. 0. brauchbar. In Mexiko hat kürzlich eine solche mit Invardrähten gemessne Grundlinie gar 40 km. erreicht. Diese Ver-längrung und Vermehrung der Grundlinien infolge der billiger gewordnen direkten Grundlinienmessung wird die bei sehr großen Zielweiten sehr langwierige und teure Winkelmessung abkürzen; man kann sich mit geringrer Genauigkeit in den Winkeln begnügen, wenn mehrere direkt gemessne Strecken vorhanden sind. Man hat früher bei Landesvermessungen eine Grundlinie als ausreichend angesehen für die Fläche von z. B. 20000, ja 50000 <jkm; es wird wohl bald eine Grundlinie auf eine bedeutend geringre triangulierte Fläche fallen.

Von der oder den Grundlinien ausgehend sind nun, nach Ausgleichung der Widersprüche der gemessnen Winkel oder der gemessnen Richtungen (und bei mehr als einer Grundlinie der ,,Grundlinienanschlüsse“) nach der Methode der kleinsten Quadrate zunächst alle Seitenlängen der Dreiecke I. 0. zu berechnen, ohne Rücksicht auf die sich anschließenden Triangulationsstufen. Sodann kommt Ausgleichung und Seitenlängenberechnung II. 0. usf., je unter Voraussetzung der Unveränderlichkeit der Ergebnisse der nächst höhern Stufe. Bei der Berechnung der Dreiecksseitenlängen bleibt man aber nicht stehen; das Gesamtergebnis der Berechnung sind vielmehr die Koordinaten der Dreieckspunkte, entweder geographische Koordinaten (Länge und Breite), zu deren Berechnung („Übertragung“) aus der Triangulation noch unmittelbar („astronomisch“) die geographische Breite (Polhöhe) eines Dreieckspunkts und das Azimut (Horizontalwinkel mit dem Meridian) einer von ihm ausgehenden Dreiecksseite gemessen und die geographische Länge dieses Dreieckspunkts ebenfalls

t>-

bp

77777//////77777,

Meeres

Fig. 284.

direkt bestimmt (mit Hilfe des Vergleichs der Ortszeit seines Meridians mit telegraphisch übermittelten Zeichen für bestimmte Ortszeiten eines andern Meridians) oder willkürlich angenommen (z. B. = 0° 0'0") sein muß; oder es sind lineare rechtwinklige Koordinaten (x, y) der Dreieckspunkte zu berechnen, wie man sie für die Land- und Feldmessung unbedingt notwendig hat.

Bei der Berechnung der Dreiecksseitenlängen der Triangulation (und damit der x, y der Dreieckspunkte) ist noch zu beachten, daß (Fig. 284) die Strecke zwischen zwei Punkten eine etwas andre Länge erhält, je nachdem sie in der Meereshöhe H oder im Niveau der Meeresfläche (Höhe 0) gemessen oder gemessen gedacht wird. Man spricht von einem bestimmten „Horizont“ einer Vermessung oder einer Triangulation; bei fast allen Vermessungen ist dieser Horizont das Meeresniveau. Die tatsächlichen Abmessungen in der Natur sind aber größer, als sie im Meeresniveau wären und der

Unterschied -wird nicht unbedeutend, wenn H einen beträchtlichen Wert erreicht. Allgemein ist, wenn b₀ die Länge im Meeresniveau, b die entsprechende Länge in der Meereshöhe 22, ferner B den Halbmesser der Erdkriimmung an der betreffenden Stelle und in der betreffenden Richtung bedeutet:

(1) d. h. es ist an b der Abzug

(2)

Jb=b-b₀ = b-ß

zu machen, um die „auf das Meeresniveau reduzierte Länge“ zu erhalten ^umgekehrt ist bei einer Triangulierung, die aufs Niveau des Meeres reduziert ist, der

Zuschlag, der an der Länge s₀ gemacht werden muß, um s in der Natur, nämlich in H\

der Höhe 22 zu haben, s₀ • — J • Wir wissen, daß die B der Erdoberfläche (in ver-

schiednen Breiten und in demselben Punkt in verschiednen Richtungen etwas verschieden) in runder Zahl zwischen 6300 und 6400 Am liegen. Ist also z. B. 22= 1000m = 1 Am (auf deutschen Mittelgebirgen überall vorhanden und übertroffen, z. B. Feldberg, Schwarzwald 1495m, Lemberg, Alb 1114m u. dgl.), so ist b um rund 1/6400 größer als b₀₁ eine 6400 m lange gemessne Strecke, z. B. Basis (und damit auch jede aus dieser Basis berechnete Strecke s von dieser Länge) wird um lm anders (eine 1000 m lange Strecke um rund 16 cm anders), je nachdem sie in der Höhe 1000 m oder im Meeresniveau gemessen wird; dieser Betrag, 1/6400 der Länge, ist schon für Schneidenlattenmessung direkt fühlbar (vgl. 24. 4. und 25.). Ist in einem bestimmten Fall B = 6380 Am, so ist der Unterschied zwischen b und b₀ oder zwischen s und s0 für je 100m Höhe von b oder« 1/63800 der Länge; man drückt die Zahl in der Regel in Form der Logarithmen von b und b₀ oder von s und s₀ aus, in Einheiten der 7. oder 6. oder 5. Dezimalen des Logarithmus. Der angegebnen Zahl 1/63 800 entspricht

(3) log s— logs₀ = 6.81 Einheiten der 6. Dez. d. Log. für je 100m Erhebung also z. B. für 22 i= 1000 m etwa 68 Einh. der 6. Dez. oder 7 Einh. der 5. Dez.

3. Dauernde Bezeichnung der Dreieckspunkte. Die von einer Landestriangulation gelieferten Punkte müssen dauernd bezeichnet werden. Es sind z. T. natürlich bezeichnete Punkte, hei denen also nichts weiter notwendig ist, in Kulturländern Punkte von langer Dauer versprechenden Gebäuden, Kirchtürme, sonstige Türme usf., sonstige ausgezeichnete vor der Messung vorhandene Punkte, Bäume u. dgl. Die weit überwiegende Zahl der Triangulationspunkte aller Ordnungen muß aber künstlich bezeichnet werden. Für Punkte I. O. sind oft kostspielige Steinbauten (Triangulationspfeiler; selbst ganze Türme) herzustellen, die bei der Messung zugleich als Instrumentenstandpunkte und als Signalisierungspunkte zu dienen haben. Punkte der niedern Triangulationsordnungen sind auf einfachere Art zu „ver st einen“, mit Sign aisteinen, Dreieckssteinen, trigonometrischen Steinen dauernd zu bezeichnen. Die Steine sind besser zu fundieren als gewöhnliche Grenzoder Marksteine, auch in Form oder Größe von diesen verschieden; in verschiednen Ländern sind verschiedne Formen solcher Triangulations-

steine gebräuchlich, die den Punkt z. T. „zentrisch versichern“, z. T. so, daß der durch den Stein bezeichnete Punkt noch durch eine Stange unmittelbar aufgesteckt werden kann. Fast überall wird ein solcher Stein durch ein eingehauenes Dreieck als „Signalstein“, „Dreiecksstein“ bezeichnet.

4. Beispiel: Württembergische Landestriangulation. Um die Angaben in 1. bis 3. an einem bestimmten Beispiel zu erläutern, sei das Folgende über die der württembergischen Landesvermessung zugrund liegende Triangulation mitgeteilt.

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Nach einer für den Unterricht angefertigten Autographie. Vgl. auch die Bemerkungen S. 479 zu diesem Netz.

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Fig. 285.

Das trigonometrische Netz besteht aus drei Abstufungen,

a)    Netz I. 0. mit Seitenlangen von

b)    „ II. 0. „

c)    „ III. 0. mit Seiten und Zielungen von 700 m „

Die Netzpunkte heißen „trigonometrische Signalpunkte“ oder „Signalpunkte“ I., II., III. 0. Jeder der Punkte ist mit einem Namen bezeichnet nach der Örtlichkeit, bei Bodensignalen mit dem Namen der Flur. Auf württembergischem Gebiet sind 29244 Signalpunkte aller Ordnungen bestimmt, davon sind 2890 durch Gebäudeteile festgelegt (also in unsrem Sinn natürlich bezeichnete Punkte), „Gebäudesignalpunkte“,

>1

10000 m bis 80000 m Länge, 4000 m ,, 30000 m ,,

5 000 m

11

26354 „Bodensignalpunkte“. Yon den Dreieckspunkten I. 0. liegen die meisten außerhalb der Grenzen Württembergs, ebenso noch verhältnismäßig zahlreiche II. 0., während von Punkten III. 0. relativ nicht mehr viele jenseits der Landesgrenze liegen. Das Württembergische Netz I. 0. umfaßt 75 Punkte, von denen nur etwas über 40 % innerhalb der Landeegrenze liegen, die andern, auf fremdem Gebiet, dem Anschluß an die Triangulationen der Nachbarstaateu Bayern rechts des Rheins, Schweiz, Baden, Elsaß, Pfalz, Hessen dienen. Das Dreiecksnetz II. 0. enthält 478 Punkte, 6mal so viel als Punkte I. 0.; die Zahl der Dreieckspunkte III. 0. ist 50 bis 60mal so groß als die der Punkte II. 0. Diese rund 30000 württembergischen trigonometrischen Signalpunkte geben bei einer Landesfläche von 19 500 rund lVs Punkte auf 1 <f&m Fläche, ein sehr dichtes Punktnetz, der Kleinparzellierung fast des ganzen Landes entsprechend, übrigens in sehr ungleicher Dichte verteilt, je nach dem örtlichen Bedürfnis.

Das Netz I. 0., in den ersten Jahrzehnten des 19. Jahrhunderts gemessen, ist durch beistehende Fig. 285 angedeutet; es sind z. T. recht mangelhafte Dreiecksformen und Dreiecksverbindungen vorhanden, weil der Triangulator von der folgenden Kleintriangulierung und Kleinmessung gedrängt wurde. Der Punkt „Römerstein“ auf der Alb, deren breiter flacher Rücken die Hauptschuld an der mangelhaften Verbindung zwischen den Netzteilen im „Unterland“ und „Oberland“ trug, ist erst vor kurzer Zeit mit den von ihm ausgehenden Dreiecksseiten nach Kornbühl, Solitude, Kaisersbach, Kochenberg, Roggenburg und Bussen eingeschaltet worden.

Die Winkelmessungen im Netz I. 0. wurden mit einem Reichenbachschen 12-zölligen (34 cm-)Noniustheodolit nach der Repetitionsmethode (große Repetitionszahlen, 20 und mehr) gemacht, die im Netz H. und III. 0. sind mit 8-zölligen (24 cm-) Nonius-Theodoliten gemessen. Nicht verschwiegen darf werden, daß mehrere Zielungen, die in Fig. 285 als gemessen (nach Köhler) eingetragen sind, in der Natur gar nicht möglich sind.

Als „Landesvermessungsfläche“ dient eine Kugelfläche von [log B = 6.80 539 m] Halbmesser. Der Landesvermessungshorizont (s. 2.) ist nicht die Meeresoberfläche, sondern liegt 274 m über dem Meer. Das Ergebnis der Basismessung Solitude—Ludwigsburg (s. Fig. 285) ist nämlich nicht auf den Meereshorizont, sondern auf die angegebne Meereshöhe reduziert. Die Grundlinie ist mit einem 5Stab-2 Toisenapparat nur einmal gemessen (eine „Lage“ der Stangen zusammen 10 Toisen; die 5 eisernen Stangen sind mit Endschneiden versehen und wurden auf eine „Messungsbrücke“ aus Holzböcken so gelegt, daß die Zwischenräume mit Meßkeilen bequem gemessen werden konnten, vgl. 25.; Temperatur und Neigung jeder Stange abgelesen); Ergebnis auf m umgerechnet:

unmittelbar = 13032,81 m auf das Meeresniveau reduziert = 13032,14 „ im württemb. Landesvermessungshorizont = 13032,70 „ ,

und diese letzte Zahl ist der Berechnung der Abmessungen der württembergischen Landestriangulierung zugrund gelegt. Differenz der Logarithmen der zwei letzten Zahlen 186 Einh. der 7. Dez. der Log. (= 19 Einh. der 6. Dez. = 6,8 x 2,74 nach (3) oben). Die Kontrolle der Triangulation bildeten die Anschlüsse an die Nachbartriangulationen, die alle befriedigend ausfielen. Die Dreiecke I. und II. Ordnung sind sphärisch berechnet, die III. 0. nach den Formeln des ebnen Dreiecks. Die Dreieckspunkte sind, wie schon erwähnt, z. kl. T. „natürlich“ bezeichnete Gebäudepunkte, Turmhelmstangen (z. B. Roggenburg, Dreifaltigkeitsberg, vgl. Fig. 285), Fahnenstangen auf Aussichtstürmen, Blitzableiter auf Schlössern (z. B. Solitude, Waldburg, vgl. Fig. 285), die Mittelpunkte von runden Türmen (z. B. Katzenbuckel, ebenso) oder viereckigen Türmen (z. B. Hohentwiel, ebenso), zum größten Teil sind es „Bodenpunkte“, durch „Signalsteine“ bezeichnet. Die alten Signalsteine

waren nur zum kleinen Teil zentrisch auf den Punkt gesetzt, dadurch gekennzeichnet, daß an zwei einander gegenüberliegenden Seitenflächen des aus dem Boden vorragenden Steins je ein Dreieck eingehauen ist, wie z. B. auf dem Punkt Ober-gailnau (s. Fig. 285); in der Regel waren die Steine so gesetzt, daß durch Anrücken einer 10

Seitenfläche des Steins der Punkt „aufgesteckt“ war, der Stein saß also neben dem Punkt derart, daß der durch ihn bezeichnete Punkt 5 mit dem A Zeichen lag, vgl. Fig. 286. Die neuen Signalsteine sind aus dauerhaftrem Material (Granit) und der Punkt ist zentrisch bezeichnet, das A dementsprechend auf der Oberfläche des Steins eingehauen Der eigentliche Dreieckspunkt bei den neuen Steinen ist übrigens das Kreuz P, das in die Mitte der Oberfläche der Unterlagsplatte 35 x 35 x 10

cm

starken Stange dicht an die Mitte der mit eingehauenem A bezeichneten

cm.

cm

vor der Seitenfläche des Steins

des Signalsteins eingehauen ist, während der daraufgestellte

9xvm

Aufriß.

20c/m

Grundrifs.

<-25

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Nord

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3 5 .cm

5/cm

Stange

— Dreieck JlOxm

oocm

Süd

35

-cm

k.

Fig. 286.

Fig. 287.

35

x/nv

Stein den Punkt nur über den Boden heraufbringt; wenn je dieser obere Punkt (A von 9 hohen, 20

punkt noch nicht verloren, sondern in dem Kreuz P der Platte noch vorhanden. Vgl. die Fig. 287; wie der Strich N. S. neben dem Grundriß andeutet, werden die neuen Steine nach den Himmelsgegenden orientiert gestellt. Über sämtliche Signalpunkte sind Verzeichnisse vorhanden (beim Katasterbureau für das ganze Land, bei den Bezirksgeometern und den Gemeinden über die für sie in Betracht kommenden Punkte), die auch die örtlichen „Einmessungen“ der Signalpunkte gegen benachbarte Grenzsteine usf. darstellen. Diese Verzeichnisse geben die Koordinaten aller Dreieckspunkte, vgl. Nr. 80. Auch in Übersichtskarten und dann selbstverständlich in die Katasterpläne, deren Grundlage sie ja bilden, sind diese Punkte eingetragen; als Übersicht für das ganze Land dient der sog. trigonometrische Atlas auf dem Katasterbureau 1:50000, 55 Bl., für kleinre Bezirke die Übersichtspläne in 1 : 10000 der trig. Signalpunkte und polygonometrischen Signalpunkte bei Bezirksgeometern und Gemeinden, endlich sind (s. oben) die Punkte scharf nach den Koordinaten eingetragen in die Flurpläne des ganzen Landes 1:2500 (vgl. 80.), die Stadtpläne 1 : 1250, 1: 1000, in Stuttgart 1 : 500 und 1 : 250. Neuerdings werden in den Plänen die Namen der Signalpunkte beigesetzt.

80. Rechtwinkliges Koordinatensystem. Deutsche Landmessungskoordinatensysteme. SpezieHes Beispiel: Württemb. Landesvermessungs-

cm

cm

Seite auf der Oberfläche des 25 x 25

starken, im ganzen 90 über den Boden vorragenden Steins) beschädigt wird, so ist der Signal-

cm

cm

Landesvermessungssysteme rechtwinkliger Koordinaten.

481

Die gegenseitige Lage der sämtlichen Dreieckspunkte einer

System.

Triangulation muß nun durch die Koordinaten dieser Punkte festgehalten werden.

Ein solches Koordinatensystem ist schon mehrfach erwähnt, die geographischen Koordinaten Länge und Breite auf einem bestimmten gegebnen Ellipsoid, die für die Zwecke der Erdmessung die wichtigste Rolle spielen und z. T. auch für die Topographie (topographische Karten) von großer Bedeutung sind. Sie können für alle Dreieckspunkte berechnet werden, sobald Länge und Breite eines Punkts und das Azimut einer von ihm ausgehenden Seite bekannt sind. Ein andres geodätisches Koordinatensystem ist das der Polarkoordinaten: Azimute der Verbindungslinien aller einzelnen Punkte mit dem Nullpunkt, d. h. Winkel dieser Verbindungslinien mit dem Meridian des Nullpunkts, und Entfernungen vom Nullpunkt, auf der Erdoberfläche gemessen. Beide Systeme sind für die an die Triangulierung sich anschließenden Peldmessungsaufgaben der Polygonmessung und der Kleinmessung zunächst nicht brauchbar, diese bedürfen unbedingt rechtwinkliger Koordinaten der Dreieckspunkte.

1. Solche Landesvermessungssysteme rechtwinkliger Koordinaten können durch die verschiedensten „Abbildungsmethoden“ von kleinen Stücken der Erdoberfläche (Ellipsoid- oder Kugelfläche) auf die Ebene gewonnen werden. Das mit wenigen Ausnahmen in den deutschen Staaten verwendete „System“ ist zunächst ein System rechtwinkliger Koordinaten auf einer Vermessungskugel, es sind sog. rechtwinklige sphärische Koordinaten, von Soldner in der Landesvermessung von Bayern, dann von Bohnenberger in der württembergischen gebraucht.

Ist A ein verhältnismäßig kleines Stück der Erd-(Ellipsoid-)oberfläche, 10 000, 20 000, 50000 m groß, z. B. von N. nach S. 200 bis 300 km lang, von W. nach O. schmäler, bis 100 oder 140 km breit (Grund sogleich anzugeben), also wie bemerkt 200 x 100 = 20000 cfkm bis 300 x 140 = über 40 000 <fkm groß, so darf man es für fast jede Messungsaufgabe und -genauigkeit ersetzt denken durch ein Stück einer Kugeloberfläche mit passend gewähltem Halbmesser (zwischen 6300 und 6400 km); A in Fig. 288 a ist viel kleiner zu denken (1° des Kugelgroßkreises oder y₉₀ des Großkreisquadranten ist schon

-P, d.h. bei R—6300

bis 6400 km über 110 km lang). In Fig. 288 b ist A etwas größer gezeichnet; O sei ein zentral gelegner Punkt, wenigstens etwa gleich weit von W est- un d Ostgrenze von A entfernt. Der Meridian von O dient uns, wie in der Fig. 288 b angedeutet, als,, Achse“: in der Regel wird dieser Meridian (oder ein ihm sehr naheliegenderGroß-kreis) als Abszissenachse angenommen, meist mit -J- x im Nord zweig dieser Nordsüdlinie durch O. Um Punkte Px, P₂, Ps • • • des kleinen Stücks A der Kugeloberfläche gegeneinander fest-

Hammer: elementare praktische Geometrie.

I+X

A.

von 4

Kugel

~ Aequator

Fig. 288 a.

Fig. 288 b.

31

zulegen, ziehen wir durch die Punkte Großkreise, die die Achse « senkrecht schneiden (sphärische Lote) P₁Q₁, P₂$₂, PsQa ■ • •; nennen wir die Großkreisbögen 0 Qx — xx, 0    — «₂, 0 Qs = xs • • • (mit Unterscheidung der Vorzeichen der x

gegen N, und gegen S. von 0), die Großkreisbögen auf jenen sphärischen Loten (oder Ordinatengroßkreisen) Q₁P₁ =* y₁, Q₂ P₂ = y₂, Q₃PS = ys • • • (ebenso Vorzeichen gegen 0. und gegen W. verschieden), so liegt der Punkt Pk durch diese

(1)

„rechtwinkligen sphärischen“ Koordinaten (xkyk) im System mit

T3 P3

Fig. 289.

0 als Nullpunkt und Ox als «-Achse fest. Das System rechtwinkliger sphärischer Koordinaten hat den großen Vorteil, daß es, wenn man die (xk, yk) als rechtwinklige ebne Koordinaten aufgetragen denkt, eine Abbildung von A auf die Ebene dieses ebnen Systems liefert, die gegen die auf der Kugeloberfläche tatsächlich vorhandnen Abmessungen, auch bei großen «, so lang nur sehr kleine „Verzerrungen“ zeigt, als die y nicht groß werden. Jene sphärischen Lote PkQk auf der Kugel konvergieren nämlich etwas, um so mehr, je weiter wir uns von der Abszissenachse entfernen; im ebnen rechtwinkligen Koordinatensystem dieser ebnen Abbildung dagegen sind sie als parallele Gerade dargestellt (s. Fig. 289). Die Folge ist, daß in dem ebnen System, in dem die (xk, yk) von der Kugel als rechtwinklige ebne Koordinaten eingetragen sind, zwar in der Richtung _L «-Achse (in der Richtung der y) alle Abmessungen im Vergleich mit denen auf der Kugel genau richtig sind, in der dazu senkrechten Richtung, || zur «-Achse, dagegen die ebne Abbildung im Vergleich mit den auf der Kugeloberfläche tatsächlich vorhandnen Abmessungen um so mehr verstreckte Dimensionen zeigt, als die y absolut (östlich oder westlich von der «-Achse) größer werden. In der «-Achse selbst (y — 0) sind auch in der ebnen Abbildung ebenfalls genau richtige Abmessungen vorhanden. Diese Differenz ist, wie bemerkt, so lang unbedeutend, als die y klein sind; sie nimmt aber, wie leicht zu zeigen ist, mit dem Quadrat von i/, nicht proportional y zu: in der Entfernung 2y von der «-Achse ist die Verstreckung in der Richtung N. S. 4mal so groß als in der Entfernung y. Auch „Winkelverzerrungen“ (Änderungen der Winkel, unter denen die „Bilder“ von Linien in der ebnen Abbildung sich schneiden, im Vergleich mit den Winkeln, unter denen die Originale dieser Linien auf der Kugel sich schneiden) müssen vorhanden sein und auch sie wachsen rasch mit größer werdendem y. So gering beide Arten von Verzerrungen, Streckenverzerrung in jeder Richtung mit Ausnahme der Richtung y (Maximum der Verstreckung in der Richtung «) und Winkelverzerrung (Minimum der Richtungsänderung, nämlich 0, für Linienelemente in den Richtungen « und y, Max. in den Richtungen + 45° und + 135°) in der Nähe der «-Achse sind, so muß man doch, um für die meisten Zwecke von diesen Verzerrungen ganz absehen zu können, d. h. mit den («*, yk) so rechnen zu können, als wären es von Haus aus ebne rechtwinklige Koordinaten, die größte Ordinatenlänge ziemlich klein halten. Man geht aus der angegebnen Absicht mit den y jetzt nicht über etwa 60000 m, äußerstenfalls 70000 m zu beiden Seiten der «-Achse hinaus (deshalb ist oben das Gebiet A als Streifen von höchstens 140 Am Breite bezeichnet). Innerhalb dieses Streifens aber darf man für die meisten Zwecke der Feld- und Landmessung die Formeln des ebnen rechtwinkligen Koordinatensystems auf die («, y) der Landesvermessungssysteme anwenden.

2. Koordinatensysteme im Deutschen Reich. Auf ein solches System rechtwinkliger (ursprünglich rechtwinkliger sphärischer) Koordinaten, in großen Staatsgebieten auf mehrere solche Systeme sind nun z. B. in den deutschen Staaten die sämtlichen Triangulationspunkte „bezogen“ und es sind also auch in diesem System» die Koordinaten der Polygonpunkte und sonstigen Messungspunkte zu berechnen, wenn es sich um den „Anschluß einer Lageplanaufnahme an das Landes-vermessungssystem“ handelt.

Die nächstfolgende Fig. 290 gibt einen Überblick über die deutschen Landesvermessungskoordinatensysteme. Preußen bat für die Katasterverwaltung 40 Systeme rechtwinkliger sphärischer Koordinaten mit den Nullpunkten (1) = Kucklins-herg in Ostpreußen bis (40) = Rissental im Rheinland, jedes System gilt für bestimmte Regierungsbezirke, deren ungefähre Grenzen in der Skizze angedeutet sind; alle andern Staaten haben je ein Koordinatensystem, sogar Bayern (Nullpunkt nördl. Turm der Frauenkirche in München), obwohl die Ordinaten gegen Osten bis 163, gegen Westen bis 187 &m gehen, übrigens ist neuerdings für unsere Zwecke das große bayrische System in Systeme von „Klein-Koordinaten“ aufgelöst. Württemberg hat Tübingen, Schloßturm, als Nullpunkt (s. u.), -f- x nach N., Baden Mannheim, frühere Sternwarte, -f- x nach Süden, damit also -f- y nach Westen (ebenso auch in Oldenburg), Elsaß-Lothringen die zwei Systeme Sausheim und Delme usf. Mecklenburg und Anhalt haben von der überall sonst vorhandnen Einrichtung abweichende Systeme rechtwinkliger Koordinaten, die aber ganz ebenso für die an die Haupttriangulierung sich anschließende Kleintriangulierung, Polygonmessung und Stückmessung als rechtwinklige ebene Systeme anzusehen sind.

3. Beispiel: Württemb. Koordinatensystem. Auch hier diene wieder als näher auszuführendes Beispiel Württemberg, für das zugleich das System der früher erwähnten Flurpläne 1:2500 (s. z. B. Fig. 110 bis 112) zu erläutern ist.

Nullpunkt des Koordinatensystems ist der Mittelpunkt des frühem astronomischen Turms (Sternwarte) auf dem Schloß in Tübingen; der Punkt liegt zu weit gegen Westen, der Nullpunkt hätte besser etwa der Punkt Hohenneuffen sein sollen, vgl. Fig. 285 und 293. Doch hat Bohnenberger Tübingen gewählt, weil er dort schon früher ein Azimut zur Orientierung des Netzes, das Azimut Tübingen (Nullpunkt)—Kornbühl (Salmendinger Kapelle) gemessen hatte, wonach die x-Achse angenommen wurde; das Ergebnis dieser ersten ältern Messung war

Azimut [Tübingen—Kornbühl] = 169° 12' 44",3 (Nord über Ost)

und um so viel weicht also von der genannten Richtung Tübingen—Kornbühl der -)- Zweig der x-Achse nach links hin ab (spätre Messung desselben Azimuts, die aber für die Landesvermessung nicht mehr in Betracht kommt, zeigte, daß der Winkel um IS¹/," größer hätte angenommen werden sollen, was natürlich an sich ganz gleichgültig ist; die «-Achse muß keineswegs im Meridian des Nullpunkts liegen, es könnte vielmehr ein ganz beliebiger Nullpunktsgroßkreis als «-Achse angenommen wQjden). Auch die Polhöhe des Nullpunkts konnte Bohnenberger in Tübingen, wo er Professor war, bequemer messen, als ihm auf einem andern Punkt möglich gewesen wäre. Mit dem einen Azimut und der einen Polhöhe liegt auch für topographische Zwecke das Triangulationsnetz im System der mathematisch-geographischen Netzlinien der Meridiane und Parallelkreise fest, wenn die Längen zunächst vom Meridian des Nullpunkts aus gezählt werden.

Die größte Ordinate (positiv nach Osten, da -j- x im Nullpunkt gegen Norden angenommen) erreicht in der Nähe von Neresheim -|- 103 000 m; die («, y) aller Dreieckspunkte beziehen sich, wie schon in 79. 4. angegeben, auf den „Landesvermessungshorizont“ (274 m über der Meeresfläche), sodaß die Logarithmen um 186 Einheiten der 7. Dez. (19 Einh. der 6., 2 Einh. der 5. Dez.) zu verringern sind, wenn man Abmessungen reduziert auf das Meeresniveau braucht.

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Fig. 290. Nach einer für den Unterricht angefertigten größern Autographie. Längenmaß stab hier rund 1:8 Millionen.

°o

Die Achsen des Koordinatensystems teilen die Landesfläche in vier Regionen, die auf den Flurkarten 1 : 2500 (s. u.) als N.O. (Nordost), S.O. (Südost), S.W., N.W. bezeichnet sind. Diese sog. Flurkarten, ein System über die ganze Landesfläche zusammenfügbarer Pläne im Maßstab 1:2500 sind folgendermaßen entstanden: auf der «-Achse sind von O (= Tübingen, Schloßturm) Abschnitte von je 4000 württemb. Landesvermessungsfuß nach N. und nach S. gebildet, gegen Norden bis zu 104 • 4000 Fuß, gegen Süden bis zu 92 • 4000 Fuß reichend. Durch die Teilpunkte werden auf der „Vermessungskugel“ Großkreise gezogen, die auf dem Grundkreis («-Achse, „Vermessungsachse“) senkrecht stehen. Auf jedem dieser Großkreise werden von der «-Achse aus nach Osten und nach Westen hin abermals Abschnitte von je 4000 württemb. Landesvermessungsfaß abgetragen, so oft dies der Ausdehnung des Landes entsprechend erforderlich ist, vgl. Fig. 291. Die Verbindungslinien dieser Folgen von

l+x

/A-

/oo

r°

KW

tX

+ 20 oooFttfc

N.O.

~+~Zö

'OOO F\}jK

Schicht

v.

+ 16 OOO

N.0.1V3

+ Wfooo

+ 12 OOO

~T~

OOO

m.

-y

+4

ooo

ooo

-8 ooo Fuß

+8 OOO

TL.

+ 4 OOO

-41000

oo b

000-8 +

«i

Schicht

- 41 OOP

— 4 OOP

- 81000

-8 OOP

-n\ooo

ßs

-12 ooo Fuß

\cp

l-X

lO

'o

sw.

s.o.

Reihe

Reihe

Fig. 291.

Fig. 292.

zusammengehörigen Punkten auf den Ordinatengroßkreisen sind auf der Kugel also Kleinkreise, deren Ebenen parallel zur Ebene des Grundkreises (Ebene des «-Achsen-Großkreises) liegen. Denken wir uns diese Einteilung in 4000 Fuß-Abschnitte ganz ebenso im ebnen rechtwinkligen Koordinatensystem gemacht, Fig. 292, so entsteht hier ein System von Quadraten von je 4000 L.V. Fuß Seitenlange; jedes solche Quadrat ist die Fläche einer württembergischen „Flurkarte“, die im Maßstab 1: 2500 genau

L. V. Fuß = 16,000 Zoll L. V. Maß lang und breit ist; auf der Kugel dagegen

4000 2600

sind zwar diese „Kugeltrapeze“ an ihrem Nord- und Südrand ebenfalls überall genau 4000 Fuß lang, am West- und Ostrand dagegen sinken sie, mit zunehmendem y (absolut, gegen Ost und West von der «-Achse symmetrisch) allmählich merklich unter 4000 Fuß.

Das Maß von 4000 L. V. Fuß ist in unsrer jetzigen Maßeinheit

1145,6905 m (Verwandlungslogarithmus

Fuß

Meter

= 9- 457 0073 -1 — 10),

so scharf angegeben, weil große Vielfache, bis zum 104fachen nach N., dieser Zahl in Betracht kommen, gegen S. bis zum 92 fachen, gegen 0. bis 93 bei Neresheim, gegen W. bis 54 bei der Hornisgrinde. Das 100fache der Zahl ist bis auf das cm genau 114569,05 m. Die Fläche einer „Flurkarte“ war also nach altem württembergischem Feldmaß 4000 x 4000 Quadratfuß L. V. Maß = 384 württemb. Morgen, nach jetzigem Feldmaß ist sie (11,4569 • 11,4569) Hektar = abgerundet 13lY₂ -Ra (nahezu iys <jRm).

Breitsöl

Murlemsnest

.Würz bürg

Donnersberg

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iShjjW Foithen

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S

Königreich Württemberg.

Dreiecksnetz I. Ordnung.

10J0

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.....

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Längenmaßstab der Mg. 293 rund 1: 2 950 000

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url »ch.w» ^

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(aisersbadh /

Hohenberg^

, Wülzburg

LarlgenbTänd

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i Gammersfeld

Strassburg.i>

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Stauffersberg

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Feldberg

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Ossenberg

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Wendelstein^»*

Fig. 293.

Nach einer für den Unterricht angefertigten "Wandtafel.

Es sind in Eig. 293 die Randlinien nur für jede 10. Schicht und jede 10. Reihe von Flurkarten angegeben, vgl. die kleinen römischen Ziffern links und rechts (X, XX, . . .) und die kleinen arabischen Ziffern oben und unten (10, 20, . . .). Jedes einzelne Flurkartenblatt

stellt also Vroo der Fläche eines der Quadrätchen der Fig. 293 dar. Über die Zielungen in diesem Netz vgl. auch die S. 479 gemachten Bemerkungen zu Fig. 285.

Die Gesamtzahl der württembergischen Flurpläne 1:2500, zusammenhängend das ganze Land in diesem Maßstab darstellend, ist 15572; sie enthalten alle einzelnen Grundstücke nach Begrenzung und Eigentumsmarken, sind sämtlich lithographiert und gedruckt zu 90 Sft pro Blatt für jedermann käuflich. Ihr Inhalt und ihre Darstellungsweise ist in 36. Fig. 110 ff. kurz angegeben. In jedem der Blätter sind die darauf fallenden Signalpnnkte nach ihren berechneten Koordinaten, als Grundlage der Vermessung des Blatts eingetragen. Die Blätter sind sehr zweckmäßig (alles nach dem Vorgang von Bayern) folgendermaßen bezeichnet: jeder Streifen von Flurkarten zwischen zwei Loten auf der aj-Achse („Vermessungsachse“) heißt eine Schicht von Flurkarten und wird vom Nullpunkt aus nach N. und nach S. hin mit fortlaufenden römischen Ziffern, I, II, III... (gegen Norden bis CIY, gegen Süden bis XCII, s. oben) bezeichnet; jede Flurkartenfolge zwischen zwei Parallelen zur «-Achse heißt Reihe oder Nummer und wird vom Nullpunkt aus nach Osten und nach Westen hin mit arabischen Ziffern 1, 2, 3 . . . bezeichnet (gegen Osten bis 93, gegen Westen bis 54, s. oben). Beide Zahlen stehen auf dem Kopf der Flurkarte, erst die Schicht, dann die Reihe, beiden ist die Region (s. oben) N.O., . . . vorgesetzt. Das in Fig. 292 schraffierte Blatt hat also die Überschrift

N.O. IV. 3;

die Region gibt Aufschluß über die Vorzeichen der Koordinaten der auf dem Blatt enthaltnen Punkte, nämlich für N.O. ist « -f-, y -|-; für S.O. «—, y-f-; für S.W. x—, y—; für N.W. x y —. Aus der Bezeichnung des Blatts liest man ferner nicht nur die Vorzeichen der Koordinaten, sondern auch ihre Werte für die Eckpunkte des Blatts („Sektionspunkte“) in Fuß unmittelbar ab. Z. B. hat die Nordostecke der mit N.O. XXXIV. 19 bezeichneten Flurkarte die Koordinaten:

= -f- 4000 • 34 = -f- 136 000 L. V. Fuß =-f 4000 • 19 =-f 76000 „ „ „

oder nach Verwandlung mit der oben logarithmisch angegebnen Verwandlungszahl in Metern:

« = -f- 38953,48 m, y = -f 21 768,12 m.

Diese (nicht runden) Meterkoordinaten der Flurkarteneckpunkte sind in den neuen Flurkartenabdrücken an die Ecken angeschrieben (die Fußkoordinaten brauchten als runde und unmittelbar nach der Überschrift ablesbare Zahlen nicht angeschrieben zu werden). Umgekehrt kann man für einen nach seinen Koordinaten gegebnen Punkt sofort die Flurkarte namhaft machen, auf der er liegt (die also z. B. zu kaufen ist); so hat ein Punkt P mit den Koordinaten

Xp = — 17461,08 m, yp = — 6862,11 m

nach flüchtiger Verwandlung (mit dem Rechenschieber) beiläufig die L. V. Fuß-Koordinaten

xp^~ 60960 L. V. F., yp^ — 2'6 960 L. V. F.;

er liegt also (je Vielfache von 4000 Fuß) zwischen den Senkrechten —60 000 und — 64000 zur «-Achse und den Parallelen — 20000 und —24000 Fuß zur «-Achse, d. h. die Überschrift seiner Flurkarte (Region S.W., da beide Koordinaten negativ sind) lautet

S.W. XVI. 6.

Die Flurkarten (Flurpläne) nennt man in Württemberg wohl auch Meßtischblätter, weil bei ihrer ursprünglichen Herstellung zur „graphischen Triangulierung“ usf. z. T. auch der Meßtisch mit Kippregel verwendet worden ist, ein Instrument, das jetzt für Horizontalmessungen nicht mehr in Betracht kommt (vgl. 7., Schluß), nur noch für topographische Aufnahmen. Anderswo versteht man auch unter Meßtischblättern (französ. planchettes, engl, plane table sheets, ital. tavolette) stets topographische Aufnahmen (Maßstäbe 1:10000, 1:20000, 1; 25 000, 1:40000), z. B. in Norddeutschland die „Meßtischblätter von Preußen und den thüringischen Staaten“, 1:25000.

4. Stadttriangulationeil und Stadtvermessungen. Für Städte ist schon bei der Polygonisierung und bei andern Gelegenheiten hervorgehoben, daß die Genauigkeitsansprüche den Messungen auf dem freien Land gegenüber wesentlich gesteigert werden müssen. Dies gilt

selbstverständlich auch für die Triangulation, die zudem hier viel mehr Punkte, z. B. pro rjhm, zu liefern hat als auf dem Land. Ein weitrer

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Unterschied ist der, daß in der Stadt stets verhältnismäßig viel mehr von den Triangulationspunkten Hochpunkte (Gebäudepunkte), sind als außer halb der Stadt.

Stadtvermessungen werden häufig in das Landesvermessungssystem, in dessen Bereich die Stadt liegt, eingefügt, z. B. indem zwei oder mehr gut bestimmte trigonometrische Punkte der Landesvermessung in der Kähe der Stadt zugxund gelegt werden, wenn eine eigne Grundlinienmessung der Stadttriangulierung umgangen werden soll. So ist z. B. in Württemberg für Stuttgart verfahren worden, dessen Triangulationsnetz hier als Beispiel für ein Stadtdreiecksnetz abgebildet ist, Fig. 294, (die Triangulation ist vom württemb. Katasterbureau ausgeführt worden, die Koordinaten der Dreieckspunkte beziehen sich auf das System der württembergischen Landesvermessung, aus der die beiden Punkte Solitude, Erdmessungspfeiler, und Kernen, Aussichtsturm, in ihren Koordinaten festgehalten worden sind, so daß die Entfernung dieser beiden Punkte der Stadttriangulation als Grundlage dient; aus ihnen sind zunächst Burgholz, A. T. und Degerloch, A. T. abgeleitet usw.). Auch in andern württembergischen Städten, für die Aufnahmen des Stadtgebiets im „doppelten Flurkartenmaßstab“ (1: 1250) oder in mehreren Fällen 1 : 1000 durchgeführt worden sind, ist so verfahren worden. In Stuttgart ist neuerdings auf Grund der abgebildeten Triangulation und daran angeschlossne Züge eine Aufnahme in 1:500, für die Altstadt 1:250 hergestellt und vervielfältigt, deren Blätter ebenfalls käuflich sind (vgl. Ausschnitte in den Figg. 113 und 114). Ähnlich ist man auch in norddeutschen Städten verfahren, z. B. Hannover-Linden, wo auch die Stadtvermessung in das Koordinatensystem der Katastervermessung eingelegt worden ist; in noch andern Städten dagegen hat man für die Stadttriangulation und Polygonisierung ein andres selbstständiges Koordinatensystem zugrund gelegt, z. B. für Leipzig. Wir können hier weiter auf die besondern Verhältnisse der Stadtvermessungen nicht eingehen.

81. Rechnungen im rechtwinkligen Koordinatensystem. Von diesen war schon einmal die Rede als Vorbereitung für die Berechnung polygonaler Züge und von Polygonen, vgl. Nr. 72. und 74.

1. Definitionen und Bezeichnungen. Wir wiederholen zunächst von dort die Bezeichnungen und Definitionen:

a) Richtungswinkel der Strecke Px P₂, Bezeichnung (P₁ P₂) ist der (von 0° bis 360° durch gezählte) Winkel, den man erhält, wenn durch Px, den Anfangspunkt der Strecke, wenn es sich um PjP₂ handelt, die Richtung -f- x gezogen und diese im Uhrzeigersinn so lang gedreht wird, bis sie in die Richtung PXP₂ kommt.

Wir setzen nämlich stets ein ebnes rechtwinkliges Koordinatensystem (eine „Rechnungsebene“) voraus, in der die Richtung -)- f/ im Uhrzeigersinn um einen rechten Winkel ab weicht von der Richtung-)- x\ diese selbst ist gleichgültig, sie geht aber, wie wir aus 80. 1. wissen, meist im Nullpunkt des Systems nach Norden. Eine Parallele zu -f- x in einem beliebigen Punkt P der Koordinatenebene fällt aber um so weniger mit der Nordsüdlinie von P zusammen, je größer absolut y ist und man soll deshalb die Ausdrücke Richtungswinkel und Azimut streng auseinanderhalten: jener ist von der Richtung -f x als Nullrichtung aus zu zählen, dieser von der Nordrichtung im Standpunkt aus. Beide Begriffe fallen nur für Punkte der x-Achse (;y = 0) zusammen unter der Voraussetzung, daß die .r-Achse die Nordsüdlinie des Nullpunkts ist. Wir haben hier ausschließlich mit Richtungswinkeln, nicht mit Azimuten zu tun.

Aus der Definition und der Fig. 295 ergibt sich der Satz:

(1)

(P₂Pj) sind stets zwei um 180°

(P₂P₁) = (P]P₂) + 180°; die Richtungswinkel von (PtP₂) und von

(P₁P«) = (P₁Pj) + ^ oder

(2')

(PiP») ~ (PrPj) - ß-

c) Grundgleichung. Die Strecke zwischen zwei Punkten hat stets das Vorzeichen +; die Koordinaten der Punkte und somit auch die Koordinatendifferenzen sind aber stets mit Vorzeichen behaftete

+X

verschiedne Zahlen, wie auch daraus augenfällig ist, daß „P₂P“ die gekehrte Richtung im Vergleich mit „P₁P₂“ bezeichnet, eine um 180° andre Richtung. Man darf bei solcher Richtungsumkehrung stets nach Belieben 180° addieren oder subtrahieren, beide Ergebnisse unterscheiden sich um 360°, d. h. nicht; man wählt das Zeichen für die 180°, bei dem das Ergebnis zwischen 0° und 360° fällt.

b) Der Satz (1) ist ein spezieller Fall von folgendem: Gehen von dem

Punkt Pl die zwei Richtungen P^P₂ und PXP₃ aus, Fig. 296, und ist in Pt a der Winkel zwischen P₂ links und P₃ rechts, so ist

um-

a+X

Parallele

zul-tx

Parallele zu + X

P₂

P1P2)

(P2P1)

Pi

Fig. 295.

(p.p.) =■ (AA) + «.

Der Satz gilt ganz allgemein; führt, wie in der zweiten Fig. 296 die Summe über 360° hinaus, so bleiben diese 360° einfach wieder weg. Auch für negative a gilt der Satz: ist z. B. ß der Winkel zwischen P₃ links und P₂ rechts, so ist

(2)

p2

p»

ip*)

m)

oc

A

(PiP₃)

ü?p₂\ pl

p₃

tx,

Fig. 296.

2?

Beträge. Die sämtlichen Aufgaben der „Rechnungen im rechtwinkligen Koordinatensystem“ beruhen auf folgender Gleichung: Sind (xv yß) die Koordinaten eines Punkts Pv (x₂, y₂) die eines Punkts P bedeutet PXP₂ die (stets absolut zu denkende, d. h. positive) Strecke zwischen Px und P₂ und endlich (P₁P₂) ihren Richtungswinkel im Punkt P1; so ist, ebenfalls ganz allgemein gültig

(3)

= P₁P₂ • cos (Px P₂)

Vi — Vi = Pt Pi-sin (P,Pf).

Diese zwei Gleichungen, die wir in zwei verschiednen Formen brauchen, sagen, mit Rücksicht auf das stets -f- Vorzeichen von Px P₂, daß cos (Px P₂) immer das Vorzeichen von (x₂— x^ und sin (PXP₂) immer das Vorzeichen von (2/₂ — 2/i) hat,

2. Von den zwei vorbereitenden Girundaufgaben, die wir nachher stets wieder brauchen, ist die erste bei der Zugmessung (Kap. 4, Nr. 12. und 14.) schon verwendet, von der zweiten nur der erste Teil. Es sind die folgenden Aufgaben:

a) Vom Punkt Px mit den gegebnen Koordinaten (xv yx) geht die Strecke P₁P₂=s (stets -f) unter dem Richtungswinkel (PXP₂) aus, was sind die Koordinaten ihres Endpunkts P₂? In der Gleichung (3) ist nur xx und yx auf die rechte Seite zu setzen, um sofort die allgemein gültige Lösung zu erhalten:

(4)

= Xx + S • COS (Pj P₂)

*/₂ = Vi + s • Sin (P1 Pi),

Abszisse und Ordinate des Endpunkts gleich Abszisse und Ordinate des Anfangspunkts plus Strecke mal cos und mal sin des R. W., diesen im Sinn (Anfangspunkt-Endpunkt) genommen; z. B. also mit andern aber jetzt selbstverständlichen Bezeichnungen:

(4')

(4")

xb= xa-\- AB ■ cos (AB) yb = ya+ AB- sin (AB)

xa = xb + AB • cos (BÄ) ya = yb+ AB • sin (BÄ) usf.

[In (4") darf ebenfalls AB geschrieben werden, da die Strecken AB und BA identisch sind; dagegen sind (AB) und(PJ.) nicht identische, sondern um 180° verschiedne Winkel, sowohl cos (BÄ) als sin (BÄ) haben die entgegengesetzten Vorzeichen von cos (AB) und die Koord.-Differenzen zeigen: cos (AB) hat das Vorzeichen von cos (BÄ) dagegen das von die Vorzeichenregeln für cos und sin zu beachten nach folgender Zusammenstellung für die R. W. in den vier „Quadranten“:

Dabei ist ferner zu beachten, daß man in der Log.-Tafel nur spitze Winkel findet und daß, wenn qp einen spitzen Winkel bedeutet, bei (90°—j— qp) und bei (270°-j-qp) die „Funktionen zu vertauschen“ sind, bei (180 °-f- qp) dagegen nicht; cos qp und sin cp geben, vom Vorzeichen abgesehen, das nach der Tabelle beizufügen ist, | 90° l 270 ⁰

(5)

von sin (AB) wie auch

(xö - Xa)>

(x — xb) usf.]. In den Gleichungen (4) sind

R.W. zwischen

Vorz.

Vorz.

cos

sin

0° und 90°

90° „ 180°

180° „ 270°

270° „ 360°

cos (180 °-j- cp) und sin (180 °-f- qp).

Man merke sich ein für allemal diese einfachen Regeln; ferner setze man grundsätzlich zuerst am Ende der log cos und log sin die Vorzeichen an (es ist dem Anfänger zu raten, nicht nur den Logarithmen, deren zugehörige Zahlen negativ zu nehmen sind, n anzuhängen, sondern auch bei den Log. der positiven Zahlen -f- bei-

sin

1    f 90°    1

-fqpj und cos| 2700+<jPl’ dageSen

zusetzen), ebenso setze man hei allen log s, die als stets -f- keines Vorzeichens bedürfen, zuerst die Kennziffern der Log. ein und lese dann die Zahl s so, wie sie in der Tafel aufzusuchen ist, z. B. wird bei s— 45,135 in log s zuerst 1. eingesetzt und dann die Zahl bei 5-stelliger Rechnung nicht mehr als 45 Komma . . ., sondern als 451 — 3 — J/₂ gelesen; hei 6stelliger Rechnung nach Einsetzung von 2. für log 887,375 die Zahl als 8873 — 7 —% zu lesen usf. Die Notwendigkeit der Vertauschung der Funktionen cos und sin des spitzen Winkels cp bei (90°-|-qp) und (270⁰-j-qp) deute sich der Anfänger stets durch das Zeichen X am Schluß von log cos a

log s log sin a

b) Auch die umgekehrte Aufgabe ist durch die Gleichungen (3) gelöst: Von zwei Punkten A und B sind ihre rechtwinkligen Koordinaten (xa, ya), (xb, yb) gegeben, es ist zu berechnen der R.W. (AB) von AB und die Länge der Strecke. Es wird durch Division der Gleichungen (3)

tang (AB)

Ordinatendifferenz durch Abszissendifferenz gibt tang des R. W., wobei in den Koordinatendifferenzen der Endpunkt der Strecke in dem Sinn, in dem der Richtungswinkel genommen werden soll, voranzustellen ist. Der Richtungswinkel (AB) folgt weil die Gleichungen (3) festsetzen, daß

sin (AB) das Vorzeichen von (yb — ya) cos (AB) „

womit die Tabelle (5) eindeutig den „Quadranten“ zeigt, in dem nehmen ist und wobei die Regeln für (90°-f-qp), (180°+ cp) und (270°+ cp) mit cp als spitzem Winkel, in Beziehung auf Vertauschung und Nichtvertauschung der Funktionen zu beachten sind. Die Regeln (5) sind hier nochmals wiederholt, wobei zu beachten, daß im Zähler stets die Ordinatendifferenz, im Nenner stets die Abszissendifferenz steht, (Vorzeichen), je mit Endpunkt voran; es gibt:

(6)

(^)

(AB)

zu

aus

an.

(6) eindeutig zwischen 0° und 360°,

» Ca-A) hat,

(8)

R. W. zwischen R. W. zwischen R. W. zwischen R. W. zwischen 0° und 90°

Dies alles ist nichts Neues; nur die Berechnung der Strecke AB haben wir bisher (in der Zugmessung, Nr. 74.) nicht gebraucht. Nach (3) ist nun

Vb—yg

sin (A B) = cos (A B) ’

wobei man nicht nach diesen beiden Gleichungen rechnet, sondern nach der „La lande sehen Regel“ am sichersten und schärfsten so verfährt: In gut eingerichteten Logarithmentafeln sind im Kopf für die Winkel 0° bis 45° die Log. der trigonometrischen Funktionswerte in der Reihenfolge sin, lang, cotg, cos (am Fuß also für 90° bis 45° in der Reihenfolge ebenfalls von links nach rechts, cos, ctg, tg, sin) angegeben. Aus der mit tang oder ctg überschriebnen Spalte, in die man beim Aufschlagen des

90° und 180°    180° und 270°    270° und 360°.

(9)

AB =

oder

spitzen Winkels cp geführt wird, der zu 0°, 90°, 180° oder 270° hinzu-zufügen ist, um {AB) nach (6) mit Beachtung von man, nach der Niederschrift von {AB), stets in die letzte rechte Spalte, mit cos üb er schrieben, entnimmt die Ergänzung des dortigen Log., ohne daß man zu überlegen braucht, ob dies nun in der Tat log cos {AB) oder log sin {AB) ist und ohne daß man sich um das Vorzeichen zu kümmern braucht, da AB stets positiv ist, und addiert diese Ergänzung zum großem der Logarithmen {yb—ya) und {xb—xa), zwischen die man sie setzt. (Ist dieser größre Log. mit n versehen, so sollte eigentlich dieser Ergänzung ebenfalls n angehängt werden, es ist aber überflüssig, weil, wie gesagt, das Vorzeichen von AB stets -f- ist).

(8)

erhalten, geht

zu

Der Anfänger gehe hier nicht weiter, bevor er sich (z. B. an der Hand der Trigonometrie des Verf., die speziell auf diese Dinge vorzubereiten hat), an zahlreichen numerischen Beispielen über alles klar ist. Auch gewöhne man sich, falls es noch nicht geschehen ist, die wichtigsten Regeln über Vereinfachung und Versichrung der Rechnung an, z. B. die zwei Logarithmen von s und von cos cc, von s und von sin a von links nach rechts zu addieren usf.

82. „Trigonometrischer Anschluß“ einer großem Lageplanaufnahme an die Festpunkte (Triangulierungspunkte) einer Landesvermessung durch „Einschneiden“ von trigonometrischen Neupunkten. Um das Messungsgebiet einer großem Lageplanaufnahme, z. B. das Gebiet G in Fig. 297 an die Dreieckspunkte einer Landesvermessung oder Stadtvermessung anzuschließen, denken wir uns nach dieser schematischen Figur in der Umgebung von G eine Anzahl von trigonometrischen Festpunkten „gegeben“, d. h. es sind die Koordinaten der Funkte von A bis F sämtlich vorgeschrieben {xa, y^)f {xb, yb), ... {xf, yf) und die Punkte sind auch, soweit es sich nicht um „natürlich bezeichnete“ Punkte handelt, wie bei dem Turm C und der Fahnenstange F, nach Bedarf zum Anzielen aufgesteckt oder sofort aufsteckbar, wobei dieselben einfachen Vorrichtungen in Betracht kommen, wie sie in 77. 6. beschrieben sind, je nach der Entfernung stärkre Stäbe mit Fahnen, oder Fichten stangen mit Lattenkreuzen usf. Denken wir uns, um bestimmte Vorstellungen zu haben, das Gebiet G z. B. innerhalb einer Stadtvermessung mit dichtem trigonometrischem Netz 800 m lang und vielleicht 200 m breit. Es sollen Hauptzüge etwa von I über 1, 2, 3, 4 nach II und von II über 5, 6, 7, . . . 10, 11 nach I gelegt werden, wie wir es in Kap. 4 gelernt haben, wobei aber hier die Punkte I und II nicht gegeben, sondern selbst erst herzustellen und nach ihren Koordinaten {xIf yx), {x11} yn) zu bestimmen sind. Es handelt sich also hier bei diesem „trigonometrischen Anschluß“ zunächst um Bestimmung eines oder einiger weniger trigonometrischer Neupunkte, Einschaltung von trigonometrischen Neupunkten in ein Netz gegebner trigonometrischer Punkte.

1. Definitionen. Das trigonometrische Einschneiden eines Neupunkts kann durch sog. Vorwärtseinschneiden oder durch sog. Rückwärtseinschneiden geschehen; in beiden Fällen wird die Lage des Neupunkts durch Horizontalwinkelmessung mit dem Theodolit bestimmt, seine Koordinaten sind mit Hilfe gemessner Winkel zu berechnen. Unter

V or wärt seinschneiden versteht man die Bestimmung der Koordinaten des Neupunkts mit Hilfe von Winkeln, die auf Punkten von bereits bekannten (nach ihren Koordinaten gegebnen) Punkten gemessen sind; Rück wärt seinschneiden heißt Bestimmung der Koordinaten des Neupunkts durch Horizontalwinkelmessung auf diesem Punkt selbst, mit durch ihre Koordinaten gegebnen Punkten als Zielpunkten. Der Punkt I z. B. in Fig. 297 ist von den zwei Punkten A und B aus vorwärts eingeschnitten (oder abgeschnitten) und zwar nur mit Hilfe dieser beiden Punkte, wenn in A und B die in der Figur angedeuteten Winkel a, ß gemessen sind; der Punkt II ist über die drei Punkte oder nach den drei Punkten C, D, F rückwärts eingeschnitten (geringste mögliche Zahl gegebner Punkte heim einfachen Rückwärtseinschneiden eines Neupunkts ist

///

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Fig. 297.

drei), wenn in II die in der Figur angedeuteten Winkel y, d gemessen sind (bei Messung selbständiger Winkel alle drei mit der Probe: Summe = 360°, bei Messung von Richtungen kann man bekanntlich jeden Winkel zwischen zwei der Strahlen bilden).

Denken wir uns in beiden Fällen den Punkt der Messung entsprechend konstruiert statt berechnet, so erhält man den vorwärts eingeschnittnen Punkt I als Schnittpunkt zweier gerader Linien, die durch die Winkelmessung festgelegt sind: der Richtungswinkel der von A nach I führenden Linie ist z. B. nach 81., (2') und (2), (AB) — a, der R. W. der von B nach I gehenden Linie ist (BA) + ß• Der rückwärts eingeschnittne Punkt II dagegen entsteht, wenn z. B. die Winkel y und d gemessen sind, als Schnittpunkt der zwei Kreisbögen, von denen der eine über CD als Sehne und mit y als „gefaßtem“ Peripheriewinkel, der andre über DF als Sehne und mit d als „gefaßtem“ Peripheriewinkel beschrieben wird. Beim Vorwärtseinschneiden also werden gerade Linien, beim Rückwärtseinschneiden dagegen Kreise durch gemessne Winkel als Örter des gesuchten Punkts festgelegt. (Im französischen unterscheidet man z. B. beide Fälle als „intersection“ und als „recoupement“).

2. Einfache Bestimmung durch Einschneiden und Ein schnei den mit überschüssigen Messungen (mehrfaches Einschneiden, Ausgleichungsaufgaben). Um einen Punkt in der Ebene festzulegen, müssen

VA

mindestens zwei Linien als Örter bestimmt sein, auf denen der Punkt liegen soll; diese Linien sind beim Einsebneiden Gerade oder Kreise.

a)    Sind durch die Winkelmessung auf gegebnen Punkten nur zwei Gerade festgelegt als Bestimmungslinien für den Neupunkt, so ist dieser einfach vorwärts eingeschnitten; dabei können nur zwei Punkte als gegebne Punkte gebraucht werden, oft aber auch mehr.

b)    Sind durch die Winkelmessung auf dem Neupunkt nur zwei Kreise als Bestimmungslinien für ihn festgelegt, so ist der Neupunkt einfach rückwärts eingeschnitten (drei Festpunkte gegeben).

c)    Ist die Winkelmessung z. T. auf gegebnen Punkten, z. T. auf dem Neupunkt gemacht, aber nur eine Gerade und nur ein Kreis als Bestimmungslinien festgelegt, so ist der Punkt einfach kombiniert eingeschnitten (gemischt oder vereinigt eingeschnitten; man spricht in diesem Fall wohl auch je nach Lage der Bestimmungslinien von Seitwärts-abschneiden oder von Bestimmung durch Gegenschnitt).

Sind jedoch mehr als zwei Bestimmungslinien für den Punkt durch die Wmkelmessung festgelegt, so kann der Punkt entweder:

d)    mehrfach vorwärts eingeschnitten sein durch mehr als zwei Gerade als Bestimmungslinien, ausgehend von im allgemeinen mehr als zwei Standpunkten (obwohl auch mehrfaches Vorwärtseinschneiden schon bei Messung auf nur zwei gegebnen Punkten möglich ist); oder

e)    mehrfach rückwärts eingeschnitten sein durch Winkel- oder in diesem Falle fast ohne Ausnahme Richtungsmessung auf dem gesuchten Punkt zwischen mehr als drei gegebnen Zielpunkten (bei Winkelmessung ist auch schon bei drei gegebnen Zielpunkten mehrfaches Rückwärtseinschneiden möglich, s. Punkt II in Fig. 297), oder

f)    mehrfach vereinigt (kombiniert, gemischt) eingeschnitten sein durch Winkelmessung oder Satzmessung z.T. auf gegebnen Punkten, z. T. auf dem gesuchten Punkt, wobei sich mehr als zwei Bestimmungslinien ergeben.

Beim Vor wärt seinschneiden handelt es sich ferner in der Tat stets nur um einen zu bestimmenden Punkt; beim Rückwärtseinschneiden können auch gleichzeitig zwei (und mehr) Punkte eingeschnitten sein, ebenfalls einfach oder mit überschüssigen Bestimmungslinien.

In den Fällen d), e), f) für einen Neupunkt handelt es sich um Ausgleichungsaufgaben: die Bestimmungslinien werden sich eben zunächst nicht in einem Punkt treffen, es sind „Verbessrungen“ an den Messungen zum Zweck ihrer Verträglichmachung anzubringen, die nach der Methode d. kl. Qu. rechnerisch oder auch durch graphische Ausgleichung, auf dem Weg der Zeichnung oder endlich durch besondre (für die Praxis aber kaum in Betracht kommende) Verfahren mechanisch ermittelt werden können.

3. Wir betrachten hier zunächst nur die einfachsten Fälle als Beispiele an der Hand von Figuren; man pflegt sehr zweckmäßig in diesen, um die Winkelmessung sichtbar zu machen, die Zielungen von den Standpunkten aus ganz auszuziehen, gegen die Punkte hin, die nur angezielt sind, zu stricheln. Ferner sind in den folgenden Figuren die gegebnen Punkte stets mit Doppelring, der oder die zu bestimmenden Punkte mit einfachem Ring bezeichnet; Zielungen zwischen gegebnen Punkten sind stark gezogen, andere Zielungen fein.

a) In Fig. 298 ist C von den zwei gegebnen Punkten A und B aus einfach vorwärts eingeschnitten (vgl. die Auflösung außerhalb des Koordinatensystems in 77. 1.);

b) in Fig. 299 ist G ebenfalls von A und B aus einfach vorwärts eingeschnitten, wobei man aber zwischen den Punkten A und B nicht zusammensehen

A.

,A.C

D\

«G

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Fig. 298.

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Fig. 300.

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Fig. 299.

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Fig. 301.

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Fig. 302.

Fig. 303.

kann und deshalb die weiter gegebnen Punkte E und F benützt sind (Aufl. außerhalb des Koord.-Systems in dem speziellen Fall E~ F in 77. 4. a)). Hier sind also für das einfache Vorwärtseinschneiden vier gegebne Punkte benützt;

c)    in Fig. 300 sind in A und B Sätze zwischen den Punkten E, Z), C, F und F, C, G gemessen. Der Punkt ist immer noch einfach vorwärts eingeschnitten von A und B aus, obwohl sechs gegebne Punkte benützt sind. Über Orientierung (Anschluß) solcher Sätze vgl. 64. 4.

d)    Ist in den drei Fällen der Fig. 298 bis 300 auch noch in G der Winkel zwischen B links und A rechts gemessen, so ist C auch gleichzeitig rückwärts über A und B eingeschnitten, es liegt bereits eine Ausgleichungsaufgabe vor, die

Messungen liefern mehr als zwei Bestimmungslinien für (7; die dritte ist ein Kreis über AB als Sehne, der den in C gemessnen Winkel als Peripheriewinkel faßt. Die Ausgleichung ist aber sehr einfach, sie besteht nur darin, daß die Summe der drei Winkel des Dreiecks ABC auf 180° ausgeglichen wird.

e)    In Fig. 301 ist D durch die zwei Winkel einfach rückwärts eingeschnitten über die gegebnen Punkte A, (7, B\ die zwei Winkel liefern als Bestimmungslinien zwei Kreise über AC und CB als Sehnen. Ist auch der dritte Winkel zwischen B links und A rechts noch gemessen, so ist schon wieder eine Ausgleichungsaufgabe vorhanden, drei Kreise als Örter von _D; die Ausgleichung besteht aber wieder einfach darin, daß die Summe der drei gemessnen Winkel auf 360° abgeglichen wird.

f)    In Fig. 302 ist

C durch die zwei Win-    A

iß

kombiniert

.....

kel in A und C einfach

eingeschnitten (einfach seitwärts abgeschnitten; in B kann, wie die Figur andeutet, nicht

gemessen werden); die .....

'd

ic

Mg. 804.

Bestimmungslinien sind eine Gerade von A aus und ein Kreis über AB als Sehne. Läßt sich in der Rechnung offenbar sofort zurückführen auf den Fall der Fig. 298, (Kreis durch Gerade von B aus ersetzen).

N von A aussichtbar, aber nicht A von N aus.

IN

g)    In Fig. 303 istlVmehr-fach vorwärts eingeschnitten, nämlich von drei Winkelmessungsstandpunkten M, B, C aus, mit Hilfe von Satzmessung auf den gegebnen Punkten und mit Benützung von fünf weitern gegebnen Punkten.

p®"

8E

Pig. 305.

h)    In Fig. 304 ist IV mehrfach rückwärts eingeschnitten über die fünf gegebnen Punkte A, B, C, I), E durch Messung einiger Sätze in IV,

deren Ergebnis im Durchschnitt die Richtungszahlen a = 0, &, c, d, e gegeben haben;

i)    in Fig. 305 ist IV mehrfach kombiniert eingeschnitten durch Messen von Winkeln in den gegebnen Punkten A und B (je zwei Winkel) und durch Messen von drei Winkeln in IV; es sind also hier fünf Bestimmungslinien für IV vorhanden.

k)    In Fig. 306 sind die zwei Neupunkte IV, und IV₂ gleichzeitig (gegenseitig) rückwärts eingeschnitten mit Benützung der vier gegebnen Punkte M, B, (7, T) (sog. Mareksche Aufgabe, s. u.).

l)    Werden von IV₁ und Ar₂ aus nur zwei gegebne Punkte als Zielpunkte benützt, fallen in der Figur z. B. A und C zusammen und B und T> zusammen, so hat man die Aufgabe der zwei Punktepaare (sog. Hansensche Aufgabe) im Koordinatensystem; vgl. Aufl.. außerhalb des Koord.-Systems in 78. 1.

m)    Auch drei gegebne Punkte (nicht nur vier wie in k) oder zwei wie in 1)) können bei diesem gleichzeitigen gegenseitigen einfachen Rückwärtseinschneiden zweier

32

Hammer: elementare praktische Geometrie.

Neupunkte und JV₂ verwendet werden; man hat dann die sog. erweiterte (einfach erweiterte) Snelliussche (erweiterte sog. Pothenotsche) Aufgabe, von der ein Fall in Fig. 307 angedeutet ist. Auf der andern Seite kommen natürlich auch Ausgleichungsaufgaben bei gleichzeitigem gegenseitigem Rückwärtseinschneiden von und iV₂ vor; ferner können mehr als zwei Neupunkte gleichzeitig gegenseitig rückwärts eingeschnitten sein usf.

Für die praktische Anwendung aller dieser Aufgaben der Einschaltung eines Neupunkts oder von Neupunkten ins Netz gegebener trigonometrischer Punkte ist die Hauptregel, daß der Neupunkt mit mög-

oA

...•C

N,

N₂

Nf

n₂

"~*0

«B

rig. 306.

Fig. 307.

liehst allen in kleiner Entfernung von ihm liegenden gegebnen Punkten in Zusammenhang zu bringen ist. Wir können uns jedoch hier mit Rücksicht auf den Zweck dieses Buchs nur mit den einfachsten Aufgaben beschäftigen, der „einfachen“ Punktbestimmung, indem wir einige Aufgaben (Ausgleichungsaufgahen) über „überbestimmte Punkte“, die nach der eben gemachten Andeutung durchaus die Regel für die Praxis bilden müssen, dem II. Band Vorbehalten. Im folgenden sind sogar nur die zwei Grundaufgaben: einfaches Vorwärts und einfaches Rückwärtseinschneiden behandelt; das einfache Einschneiden durch einen Vorwärts-und einen Rückwärtseinschnitt (sog. Gegenschnitt usf., s. oben) kommt zu selten in Betracht, als daß besondre Rücksicht darauf zu nehmen wäre.

83. Einfaches Vorwärtseinschneiden

+x

A-

A+X

+xA

(AB)

eines Neupunkts C. 1. Zur Bestimmung der Koordinaten des Punkts C, Fig. 308, sind \ in den zwei durch ihre Koordinaten (xa, ya), ) ,    (xb, yh) gegebnen Punkten A und B die

BA^ zwei Winkel

gemessen:

inAzwischen Glinks u. Brechts der Winkel M

Fig. 308.

»B r>    j) r> @ h

Wir wählen, um allgemein gültige Formeln zu erhalten, ein für allemal folgende Bezeichnung hei der vorliegenden Aufgabe: A, B die gegebnen, C der gesuchte Punkt; wenn man sich auf AB stehend und gegen C hin sehend denkt, soll A der Punkt zur Linken sein. Die Messung muß selbstverständlich an Genauigkeit ausreichen, z. B. bei Dreiecksseiten von 2000 m Länge die Winkel jedenfalls nicht über 5" falsch, also mit 10"-

„ B.

weite verschiebt ein Richtungsfehler von 2" den Endpunkt der Zielung um 200000 cm • 206*265 ⁼ ^ cm. Sollen also die gesuchten Koordinaten auf einige cm richtig ausfallen, so darf die angegebne Fehlergrenze in den gemessnen Winkeln nicht überschritten werden. Bei der Messung ist auf genaue Vertikalrichtung der Zielstangen zu achten, ferner sind diese möglichst am Fußpunkt zu nehmen.

Theodolit z. B. 4mal repetiert (2mal nach rechts, 2mal nach links, mit Probe für jeden der zwei Standpunkte der Messung): bei 2000 m Ziel

Ist in dem Dreieck AGB auch der dritte Winkel in C gemessen, G zwischen B links und A rechts, so ist G zugleich über A und B rückwärts eingeschnitten und man hat schon eine freilich sehr einfach zu erlangende Ausgleichungsaufgabe (s. oben):

An Stelle der Gleichung

(1)

soll

180°

werden die gemessnen Winkel hier zunächst geben

A + B + C J* 180° + w,

und es ist w gleichmäßig auf die drei Winkel zu verteilen, wenn diese gleichwertig gemessen sind.

In dem Dreieck ACB ist nun zunächst die indirekt gegebne Seite AB und ihr Richtungswinkel {AB) im rechtwinkl. Koord.-System, vgl. 81. 2. b))

tg {AB) = torAb*

xb xa

ATZ Vb Va oder Xb xa

AJ*~ sin (AB) = cosjAB) '

(2)

(3)

(4)

zu

berechnen nach (2. Grundaufgabe

Damit ist das Dreieck gleichsam von dem Koordinatensystem gelöst und seine zwei andern Seiten AC und BC sind nach dem Sinussatz zu berechnen nach:

AC = AB■

sin B

(5)

sin C ⁷

BC=AB•

sin A

sin G

Ferner sind, zur Rückkehr ins Koordinatensystem, auszurechnen die Richtungswinkel (AC) und (BC) dieser zwei Seiten AC und BC, nämlich nach 81. 1. b)

(AC) = (AB) - A

(BC) = (BÄ) + B= (AB) ± 180° + B-

(6)

beachte die Vorzeichen, links Subtraktion, rechts Addition des gemessnen Winkels. Endlich ist einfach die 1. Grundaufgabe, zur Kontrolle zweimal, von A und von B aus aufzulösen: vom Punkt j^ j mit gegebnen Koordinaten geht eine Strecke von gegebner Länge ((5)) unter gegebnem

Richtungswinkel ((6)) aus; zu berechnen sind die Koordinaten des Endpunkts C dieser Strecke. Es wird

(7)

| xc = xa + A C ■ cos (A C) und = #₆ + BC • cos (J5(7)

\y₀ = ya -j- J.C • sin (A C) und =    + J50 • sm (SC).

Die Übereinstimmung der zwei Ergebnisse ist natürlich nur eine Rech-nungs-, keine Messungsprobe.

Zur Durchführung der Rechnung sei noch bemerkt, daß für unsre Zwecke, bei Messung der Winkel auf nur einige " genau, 5-stellige Logarithmen sehr häufig genügen, jedenfalls durchaus, so lange alle Seiten und damit auch alle Koordinatendifferenzen (die Projektionen der Seiten auf die Achsenrichtungen, also stets kürzer als die Seiten; im Grenzfall, Seite parallel der einen Achse, ist ihre Projektion auf diese Richtung absolut gleich der Seite, die Projektion auf die zweite Achsenrichtung 0) wesentlich unter 1000 m bleiben. Sind die Seiten über 1000 m oder gar mehrere -ßm lang, so ist, wrenn auf cm gerechnet werden soll, 6-stellige Rechnung angezeigt, die auch bei Stadtmessungen mit feinrer Winkelmessung im allgemeinen stets anzuwenden ist; 7-stellige Rechnung ist in der Kleintriangulation stets überflüssig. Yon Anwendung der Rechenmaschine gilt das früher mehrfach, zuletzt bei der Zugmessung, 76. 3., Gesagt^; ebenso von der Anwendung sog. Koordinatentafeln. die hier, bei langen Zielungen und genauem Richtungswinkeln, im allgemeinen viel weniger verwendbar sind als bei-der Zugmessung.

2. Das erste nachfolgende Beispiel hält sich, zunächst ohne „Formular“ ganz an die obige Bezeichnungsweise und verwendet 5-stellige Log.-Rechnung; Figur wird zunächst absichtlich keine beigegeben.

Gegeben: A    xa = -f- 32477,43    ya~ + 10982,15

B    xb = + 32182,07    yb = -f 10317,28.

verbessert

Gemessen: in A Winkel A zwischen C links und B rechts= 44°21 17'

= 61 57 52 = 73 40 30

11

11

11

>i    G    ii

ii    A    „

yb—Va=~ 664,87

k:mb)

xb — xa = — 295,36

2.82 274 n 0.03911n 2.47 035 n

AB E sin C

2.86185

0.01787

AB : sin C

2.87972

179°59'39"    00"

Ä B : sin C sin B sinA

2.87972

9.94580

9.84455

tg(AB) 0.35 239 AB 2.86185

AC

BC

2.82552

2.72427

66° 2'51" -f B == -f 61 57 59

(4F)=    246° 2'51" j {BA) =

— A = — 44 21 24

(AC)=    201°41'27"

(BC) =    128° 0'50"

AC-cos (AC)

2.79 363n

BC ■ cos (B C)

2.51374 n

cos (A C)

AC

sin (A C)

9.96 811n 2.82 552 9.56773n

cos (B C)

BC

sin(BC)

9.78 947 n 2.72427 9.89 645 -f

Ä C ■ sin (AC)

2.39 325 n

B C ■ sin (B C)

2.62 072 -f

Für die Praxis braucht man selbstverständlich für diese Rechnung, wie für alle ähnlichen, ein vorgedrucktes Schema. Das des Übungsbuchs für die geod. Übungen der T. H. St. ist beistehend abgedruckt (S. 503), für zwei Rechnungen ausreichend. In die obre Hälfte des Formulars sind die Zahlen für die Rechnung des folgenden Beispiels eingetragen (geod. Exk. Neresheim 1909):

Gegeben die Signalpunkte

B = Sauerstich

A = Schuhhäule ^ = + 27438,91 ya = + 95445,72 ^ = + 27602,26 yb = + 94103,79.

Der zu bestimmende Punkt ist G = Klosterturm Neresheim; gemessen sind in A und B die zwei Winkel

in A zwischen C links und B rechts = 49° 46'36"

Die Nichtübereinstimmung der zwei Werte für x^ um 2 cm, der für yc um rührt von Abrundungsfehlern in der Rechnung her; die Probe stimmt genügend, ist übrigens, wie schon oben angegeben, nur eine Rechnungsprobe, keine Messungsprobe. Als Koordinaten des Neupunkts C sind anzunehmen:

xc = + 31855,67 ya — -\- 10 734,83,

zunächst ohne Aufschluß über die Genauigkeit dieser Bestimmung. Nach dem Schlußfehler des Dreiecks ACB von 21" kann es sich, auch wenn die gegebnen Koordinaten (cca, ya), (xb, yb) vollständig fehlerfrei sind und obwohl die Seiten des Dreiecks alle klein sind {log AB = 2.862, logÄC = 2.826 und log B C = 2.724, d. h. AB = etwa 728 m, AC=etwa 670m, BC = rund 530m), nur um Bestimmung des Punkts C auf einige genau handeln, so daß 1 bis 2 Bedeutung sind.

Man entwerfe sich erst jetzt eine Figur, mit Zugrundlegnng eines Quadratnetzes (am besten eines Stückchens Punkte A, B, C nach ihren Koordinaten eingetragen werden, und gehe alle Zahlen der Rechnung nochmals an dieser Figur durch.

cm

cm

cm

Nichtübereinstimmung in der Rechnung ohne

-Papiers), in das, wenn auch nur beiläufig, die

| _ *a = + 82477,43

1 AG-cos(AC) = —    621,77

ya = + 10982,15 AC-sin (AG) = —    247,82    \

xc — -f 31855,66

xc = + 31855,68

ye = + 10 734,83 | yc= + 10 734,84 j

f BC-cos(BC) =—    326,39

I    xb = + 32182,07

B C • sin (B C) =+    417 56

yb = + 10317,28

„ G „    =23° 18'22";

in C ist kein Winkel gemessen (es könnte nur „exzentrisch“ geschehen vgl. 85. und 86.), Winkel in C nur als Ergänzung von (A + B) zu 180 gebildet. Die Ausrechnung ist 5-stellig gemacht, obwohl AB und BC über 1000m gehen (yb — y = — 1341,93); die 5-stellige Rechnung reicht

deshalb vollständig aus, weil die Projektionen von AC und BC auf beide Achsenrichtungen < 1000

bleiben; der berechnete Punkt C mit

xc=A 27058,82 y = -f 95035,78 oder ,79

hatte ohnehin nur als Näherungspunkt für die sich anschließende Rechnung (Ausgleichung) zu dienen. Ausführung der Rechnung s. S. 503.

ot

3. Einfaches Vorwärtseinschneiden „ohne Visur in der Grundlinie“. Zwischen den als Standpunkten gegebnen Punkten A und B,

ald

(««, Va) und }Pb, Vb)

Fig. 309.

kann man nicht zusammensehen (vgl. Fig. 309); es ist aber von A aus der weiter gegebne Punkt K

(xk, y,), von B aus der ebenfalls gegebne Punkt L (xt, yt) sichtbar. Es ist gemessen

in A der Winkel a zwischen K links und G rechts, R ii

Zur Berechnung ist selbstverständlich abermals das Dreieck ACB zu verwenden; zunächst

(8)

oder 3 X*

AB = Vb

sm(AB)

ferner die Richtungswinkel (AK) und (BL) nach

Vk — Va

xk—xa’

Mit diesen hat man sofort auch die Richtungswinkel (AC) und (BC), nach:

eos

(AB)'

(9)

*9 (AK)

tg(BL) = Vl Vb •

xi — x b

(10)

(AC) = (AK) + cc, (BC)=*(BL) + ß.

Die Dreieckswinkel in dem Dreieck AGB werden:

A = (AB) — (A G)

(11)

B — (BC) — (BA) = (BC) — (AB) + 180°

C = (CA) — (CB) = (AC) — (BC).

Ist der dritte Winkel C ebenfalls gemessen, so entsteht durch die letzte Gleichung (diesmal erst hier) wieder eine Messungsprobe. Alles weitre bleibt wie oben,

(12)

AC

A B ■ sin B

sin C

BC-

AB • sin A

sin C

und ebenso die Koordinatenvechnung.

S⁵

CD

% td ty cd

ftg

CD H

o ü

3Q

Pi

tü

CKJ 2. CD

p £

£g. 2. p- 5’

p- ^ P

I»

E« £

c_

S’-s-*

«o

ls

p »

C 0C3 B CD

vx — qx

Vb

Va

E sin C

*** pj td! aq cd P o

g Z

Ej- “

8 ®3

I?

p S-- _

tg (AB)

BCcos(BC)

BC sin (B C)

vx — qx

td

fcti

(zv)Zz

Vb — Va

o

CO

AG sin (AG)

Korr.

Pkt und Absz.-Absch.

Pkt. und | Ord.-Abschn.

= vfi, — q/i ge‘89T +' =vx — qx

C K. T. [+ 27058,82

B Sauerst. + 27 602,26 BC cos (BC) j—

Winkel

+ 95035,77 tg(AB) 0.91461

AB 3.13092 — 1341,93 JE sin C 0 01921

--Vb — Va 3.12773«

+ 94103,79    0.00319«

543,441 BC sin (JB C) 1+    931,98 xb~xa 2-21312

C Klost. T. 1+ 27 058,82

+ 95035,79

A Schuhh. + 27438,91

ACcos(AC)\— 380,091 ÄC sin (AC) I—    409,93

Pkt. und Absz.-Absch.

Form. 6.

|+ 95445,721 A= 49°46'36" Korr. B= 23 18 22 (C=106 55 2)

Pkt. und Ord.-Abschn.

Winkel

den nicht zentr. Winkeln) bis zu Näherungen für A C und B C

Zentrierungen? Probe: C— (CA)—(CB)\

BC

AC

A B : sin C, sin B sin A

Hff +

— (f ff)

I =(07)

= F —

,= (ffF)

B C sin (B C)

sin (B C)

BC

cos (B C)

BCcos {BC) |

ACsin(AC)

sin (AC)

AC

A C cos (A C) \ cos (A C) j

Seiten

Richtungswinkel Koordinatenabschnitte

Zentrierungen? Probe: C—(CA)—(CB) =(AG)—(BC) = 106°55'2"

AC 2.74744 BC 3.03296

{BA)-\

+ B =: +23 18 22 (BC)=1 120 17 4 7

96 56 25

sin A    9.88 283 PC)=I

227    9 49

AB -.sin0 3.15013 (AB)=\ sin B 9.59 731 — A =_

Seiten

IBCsin (BC) 2.96 941 +

sin (BC)

BC

cos (BC)

BCcos (BC)

ACsin(AC)

sin (A C)

AC

276⁰56'25" | AC cos(AC) — 49 46 36

cos (A C)

9 70219« 3.03296 9 93 645 +

2.73515«

2.61272«

9.83245« 2.74 744 9.86628«

2.57989«

Richtungswinkel Koordinatenabschnitte

Triangulierung von C aus Dreieck ACB.

(Einf. Yorw.-Einsch. von A und B aus, oder auch gleichzeitig Rückw.-Einschn. von C über A und B.) Bez.: A, C, B im Uhrzeigersinn um das Dreieck.

Messung s. S. . . .

Seite

4. Günstige oder ungünstige Lage des von A und B aus einfach vorwärts eingeschnittnen Punkts G. Die günstigste Lage für den Neupunkt 0 wird jedenfalls derart sein müssen, daß AC—BC ist, d. h. daß er auf dem Mittenlot von AB liegt. Die zwei geraden Bestimmungslinien für C sollen ferner keinen „zu schiefen Schnitt“ geben, vgl. Fig. 310, die Punkte C' und C"; der Dreieckswinkel in C sollte jedenfalls nicht )> als etwa 140° sein und nicht <) als etwa 40°. Es kommt für die theoretische Untersuchung (Meth. d. kl. Qu.), die wir hier nicht weiter verfolgen können, darauf an, ob auch der dritte Winkel in C gemessen ist oder nicht ('G gleichzeitig auch über A und B rückwärts, oder nur rein vorwärts von A und B aus eingeschnitten). Im Fall des reinen Vorwärts abschnittes ist zu zeigen, daß der günstigste Schnittwinkel der zwei Seiten in C nahe bei 110° liegt (nicht der rechte Winkel C ist, wie der Anfänger ohne Besinnen auf die Frage nach dem günstigsten Schnitt annimmt, sondern um fast 20° davon abweicht; die Winkel in A und B sind rund 35°).

A<

kC

C"

Fig. 310.

5. Wenn in 1. oder 3. in den zwei Punkten A und B, von denen aus C vorwärts eingeschnitten ist, Richtungssätze gemessen sind, die mehrere gegebne Punkte enthalten, so sind diese Sätze nach 64. 4. anzuschließen oder zu „orientieren“, vgl. auch 82. 3. c). Ähnlich wenn in A oder B oder in beiden Punkten mehrere unabhängige Winkel gemessen sind, deren einer Schenkel die Zielung nach einem gegebnen Festpunkt ist (der andre Schenkel ist je die Zielung nach dem Neupunkt).

84. Einfaches Rückwärtseinschneiden eines Neupunkts über drei gegebne Punkte (kleinste mögliche Zahl); vgl. die Auflösung der Aufgabe außerhalb des Koordinatensystems in 78., 2. Früher meist einfache „Pothenotsche“ Bestimmung eines Neupunkts genannt.

1. Formeln. Die Berechnung der Lage (Koordinaten) des Punkts D ist mit Hilfe von Winkeln, die in D selbst gemessen sind, durchzuführen; durch diese Winkel werden bei einfacher Bestimmung zwei Kreise als Bestimmungslinien für D festgelegt. Es sind, Fig. 311, in I) gemessen: Winkel Da zwischen A links und C rechts, Winkel Db zwischen C links

4+X

+x

+X

,(AC)

und B rechts; die Punkte A, C, B sind durch ihre Koordinaten gegeben (xa,ya),{x₀,

,BC)

\ -e*

Vc), Oi, yb)> der Punkt C ist der sog. „mittlere Punkt“ unter den gegebnen, D der gesuchte; Folge A, C, B, D im

Fig. 811.

Uhrzeigersinn um das Viereck.

Wir lösen zunächst das Viereck vom Koordinatensystem los durch Berechnung der Seiten CA und CB des Vierecks (in 78. 2. a und b genannt) und des Viereckswinkels in C (als Richtungswinkelunterschied) nach folgenden Gleichungen

(wir nehmen (AC) und (BC) statt (CA) und (CB) aus sogleich sich zeigendem Grund):

(i)

tg (AC) == ——^

^ v ' x — xa

AC

Ve Va oder Xc Xa

sin {A C)    cos (A C)

tg (BC) = ^-& BC

J v ' x₀ — xb

Vc Vb oder ®c .

sin Ui C) = cos(BC) ’

ferner ist der Winkel des Vierecks in C (der Winkel zwischen zwei Richtungen ist der Unterschied ihrer Richtungswinkel!), zwischen B links und A rechts zu nehmen, Schenkel rechts minus Schenkel links, also

(2)

C = (CA) - (CB) = (AC) — (BC),

da diese in (1) berechnet sind. Nun kann das Viereck ohne Zusammenhang mit dem Koordinatensystem nach den früher angegebnen Formeln aufgelöst werden, aus den fünf gegebnen Stücken: Seiten CÄ, CB und den drei Winkeln C, I)a, Db (die zwei letzten gemessen). Die zwei unbekannten Winkel cp und cp ergeben sich nach 78. 2. mit Hilfe von

A C: sin I)a BC : sin Db

(Verhältnis der zwei Umkreisdurchmesser der Dreiecke ACI) und BCD), wobei X als spitzer Winkel zu nehmen ist, aus

tg    = tg yy. ctg (450 _j_ 2), wobei ^ ^

cp + cp^36Q°-(C + Da + Db)

(3)

(4)

aus

(5)

sich ergibt. Aus (4) ist y ^ als + oder — spitzer Winkel zu nehmen,

erhält

je nachdem seine tg sich + oder — ergibt. Aus ^ und man durch Addition und Subtraktion cp und cp und damit sind alle Winkel der zwei Dreiecke bekannt, sodaß der Sinussatz alle Seiten liefert (CD als Rechenprobe doppelt) und nach Rückkehr ins Koordinatensystem alles wie gewöhnlich vollends auszurechnen ist. Die Entfernungen des Punkts D von C, A, B liefert der Sinussatz aus

bB

qp

CD

AG

(6)

AD

sin T)a

ÄC

• sin cp

und _

sin Db

, (Rechenprobe, bis hier vollständig durchgreifend)

BD

sin I)a BC

• sin (Da + cp)

sin Db

• sin (Db + cp)-

ferner werden die R.-W. von AD und BD, von den oben berechneten

aus:

R.-W. (AC) und (BC)

CO

(AD) = (AC) + cp (BD) = (BC) - cp

im Dreieck A + V V B ,

womit von A und von B aus die Koordinaten von C mit Reclienprobe sich ergeben aus:

xd = xa -f- AI) • cos (.AD)

Va = Va + AD • sin {AB)

Damit ist die Aufgabe gelöst. Rechenproben bestehen vor der Schlußprobe (8) und nach der KontroUe in der ersten Gleichung (6) noch für die R.-W. {AD) und (BD)-, es ist nämlich

(DC)~(DÄ) + Da and = (DB) - Db,

(8)

und

und

xb -f- BD ■ cos (BD) yb + BD • sin{BD).

d. h. es müssen, wenn wir die seither verwendeten R.-W. wieder einführen, die Beträge

(9)

(AD) + Da und {BD)]— Db

dasselbe geben, nämlich den R.-W. (CD). Obwohl endlich nach (8) vollständige Kontrolle für das Schlußergebnis besteht, kann es Vorkommen, daß man die Koordinaten von D auch noch vom „mittlern“, dritten gegebnen Punkt C, aus zu rechnen hat: wenn eine der Strecken AD oder BD viel länger ist als CD, z. B. bei 5-stelliger Rechnung wesentlich länger als 1000 m, während CD < 1000 m ist, so wird man {xdy^} auch noch kontrollieren durch

(10)

xd = xc + CD • cos {CD), yd = ye + CD- sin {CD).

2. Beispiel. Wir gehen genau denselben Weg wie in der vorigen Nummer, rechnen nämlich zunächst ein Beispiel ohne Anwendung eines Formulars durch:

Auf dem Signalpunkt Königsbronner Feld (geod. Exk. Steinheim 1906) sind zum Rückwärtseinschneiden dieses Punkts folgende Richtungen gemessen:

0° 0' 0"

Zangerberg £

Galgenberg £    150° 07' 25"

Steinhirt $    225° 57' 35",

in drei Sätzen mit 20"-Theodolit; geschätzter m. F. einer der angegebnen Richtungen + 5". Die Koordinaten dieser drei gegebnen Punkte sind:

A = Zangerberg xa = -f- 20821,54, ya = -f- 74 904,67 C = Galgenberg xc — -{- 19408,13, yc = -f- 75991,93 B = Steinhirt

xb == + 18 891,31, yb = + 74807,34.

Es ist hier eine Fig. 312 mit ungefährer Lage der gegebnen Punkte nnd des gesuchten D — Königsbronner Feld beigegeben. Mit der oben angeschriebnen Bezeichnungswahl A, C, B geben die drei gemessnen Richtungen folgende gemessne Winkel im Punkt D:

Da zwischen A links und C rechts = 150° 07' 25" „ B „    = 75° 50'10".

Bb

Mit Rücksicht auf die Genauigkeit der Winkelmessung genügt jedenfalls 5-stellige Rechnung. Es werden hier absichtlich nicht alle Zwischenzahlen der Rechnung angeführt, sondern vielfach gleich die Ergebnisse:

mit

yc - ya = 4-1087,26

xc— xa = — 1413,41

X= + 21 000

ye- yb = + ii84,59

xc — xb — 4" 516,82 ergeben sich, wie schon erwähnt 5-stellig: {AC) = 142° 25' 53"I log AC= 3.25120 (BC) = 66 25 44 , log B C= 3.11141.

Es ist also C = {CA) — {CB) = {A C) — {BC) = 76° 00' 09", also

OOO -frZ+=Ä

X=+ 20 000

y=+ 75 OOP

4..*

|y= + 76 OOO

’ö

p.'

er

<7 +    + Z>₆ = 301° 57'44"

<p4-i/> = 58° 2'16"

qp + ^

29° 1' 08".

Die Berechnung von qp und ip und damit der Seiten CD (Probe), AD und BD wird damit die folgende:

X=+19 000

r-s

AC

E sin Da

3.25120 0.30 266

45° + ^ =

69°34'38" 114°34'38"

Fig. 312.

ÄC: sin Da 3.55 386 sin cp 9.40680

s. links

BC

E sin Db

3.11141

0.01340

<P 4^

29° 1'08"

CD

CD

2.96066

2.96066

Probe

stimmt

A C : sin Da B C: sin Db

3.55 386 3.12481

cp—ip

14 14 11

tgX

0.42 905

qp =

ip =

14 46 57 43 15 19

f sin ip B C: sin Db

9.83585

3.12481

s. links

ctg (45° 4 l) y 2

9.6602611

9.74409

4 Da —

164 54 22 il9 05 29

A C: sin Da 3.55 386 sin (qp 4- Da) 9.41565

oben

B C: sin Db 3.12481 sin {ip 4 Db) 9 94143

oben

Probe: E = 360°— C =

283 59 51 283 59 51

AD    2.96951

BD    3.06 624

Damit sind die Entfernungen des zu bestimmenden Punkts von den drei gegebnen Punkten berechnet, CD doppelt zur Probe. Nun noch die Richtungswinkel von {AD), {BD) und zur Probe auch {CD); es wird:

{AD) = \AC) -\- (p — 157°12'50" zurKontrolle , {CD) = {AD)-\-Da= 307°20'14'\ {BD) — {BC) — ip = 23° 10'25" ¹    \{CD) = {BD) — Db= — 52°39'46"

1    = 307°20'14"J.

Die Berechnung der Koordinatenabschnitte AD-cos {AD), AD-sin {AD); B D cos {BD), BD-sin{BD) wie gewöhnlich; auch noch CD und {CD) zu benützen, liegt kein Grund vor, obwohl BD etwas größer als 1000 m ist, sodaß mit BD das cm für den Abszissenabschnitt, der (bei R.-W. 23°) noch etwas über 1000 m sein wird, sich nicht scharf ergeben wird. Doch ist dies sachlich gleichgültig, angesichts der Genauigkeit der Winkelmessung, die mit + 5" Richtungsfehler bei 1000 m Entfernung der Zielpunkte {DA = 930m, X)(7=910m, DB = 1160m) die gesuchten

9.40 435 n

Koordinaten doch nicht auf 1 koordinaten ganz fehlerfrei wären: 100000

und damit

genau liefert, auch wenn die gegebnen Punkt-

_-_. = 27

206000 ⁷²

AD- cos (AD) = — 859,45 m, AD- sin (AD) = + 361,04 BD ■ cos (B D) = + 1070,80 m, BI) ■ sin (J3D) = + 458,35

a;a = + 20 821,54 — 859,45 = + 19 962,09 = + 18891,31 + 1070,80 = + 19962,10

cm

cm •

cm.

Man findet:

von A aus

ya = + 74 904,67 + 361,04 = + 75265,71 = + 74807,34 + 458,35 = + 75 265,69 Die Rechnungsproben stimmen also genügend.

3. Formular. Auch hier ist selbstverständlich für die Durchführung der Rechnung die Anwendung ^eines zweckmäßigen Vordrucks geboten. Das folgende Schema aus dem Übungsbuch T. H. St. ist nach dem Vorstehenden ohne weitres verständlich.

51 *

Als in das Rechnungsformular eingesetztes weitres Beispiel ist ein einfach rückwärts eingeschnittner Punkt bei der Lageplanaufnahme des Westbahnhofs Stuttgarts 1909 (vgl. Kleinmessung bei 32. Fig. 83 und 84) gewählt: D = Punkt I, Nebenpunkt; es sind auf diesem Punkt durch im ganzen 5 Sätze mit mehreren Instrumenten folgende Richtungen gemessen:

Hasenberg, Auss. Turm, Fahnenstange 0° 0' 0"

195° 23' 50"

Forst, Signalstein, Stange zentrisch Pauluskirche, Turm

26s° 17' 16" .

Die Richtungen sind hier mit kleinen mittlern Fehlern behaftet, nicht über + 1" bis 2"; dementsprechend ist auch die Rechnung soi'gfältiger geführt, als im vorstehenden 1. Beispiel; es ist 6stellig gerechnet, aber mit Abrundung auf 1" in den Winkeln. Das

in Entfernungen und Koordinatenabschnitten ist damit überall gesichert. Die Koordinaten des gegebnen Punkts (absichtlich anders geordnet als oben bei der Messung) sind:

cm

Punkt

£ Forst, Stange £ Pauluskirche $ Hasenberg, Turm -(- 27198,07 | + 6919,41

+ 28967,63 j + 6732,48 + 28107,88 ' + 7520,94

Man entwerfe sich selbst nach diesen Zahlen eine Figur. Wie wir die Bezeichnungen A, C, B wählen (welchen Punkt als „mittlern“) ist zunächst ganz gleichgültig, nur sind nachher die gemessnen Winkel D hiernach anzuschreiben. Wir wollen nun aber festsetzen, daß die Winkel Da und Db je <+80° sein sollen, sodaß ihre sin stets positiv sind; s. u. Nehmen wir also z. B.

A = Forst, C = Pauluskirche, B — Hasenberg,

so wird

Da = Winkel zwischen^, links und C rechts = 268°17'16" — 195°23'50" = 72°53'26"

Ä =

C „    „ B „    = 360° 0' 0" — 268° 17'16" = 91°42'l4".

Die 6-stellige Durchrechnung ist in dem folgenden Schema enthalten (S. 510). Zu dem Formular ist nur allenfalls noch zu bemerken, daß die „Probe“ am Fuß der zwei ersten Spalten darin besteht, daß außer den erforderlichen

V a

— Vb = • • •

— xa = • • -1 xc~ xb =• •

unabhängig auch noch gebildet wird:

xb ~ xa = • • ’ oder xa ~ xb = ¹ • • 5

yb-ya = --- oder Va—Vb = was mit der Differenz der zwei drüberstehenden Koordinaten di ff er enzen

stimmen muß:

Vb — Va = (Vc — Va) — (yfl — Vb) ,

xb xa ~ (Xc — Xa) — (xc ~ xb) >

womit die Differenzen vor ihrer weitern Verwendung geprüft werden. Die Probe in der Spalte „Winkel der zwei Dreiecke“ besteht in

(cp -(- Da) + (ty + -DO — 3ß0° — G;

sie ist schon oben erwähnt, wie auch die Proben in den zwei letzten Spalten CD und (CD). Die Übereinstimmung der zwei Ergebnisse für xd und für yd läßt nichts zu wünschen übrig, trotz der kleinen Abweichung der zwei Zahlen für log CD. Vgl. folg. S.

Mit 5-stelliger Rechnung hätte man hier, bei derselben Anordnung der Punkte, schließlich auch noch ausgereicht, wenn 1

scharf erhalten werden soll, weil die Entfernungen nicht sehr groß sind: MD = 1103 (7.0 = 823™., RD = 691™; allerdings ist AD sehr nahezu parallel der x-Achse, (AD) — 179°, 9, sodaß zwar die Projektion auf die i/-Achse selbst 3 bis 4-stellig sehr scharf ausgerechnet werden kann, aber 5-stellig die Projektion auf die ic-Achse nicht auf das

helfen s. u. Die Zahlen der 5-stelligen Rechnung werden hier mit Rücksicht auf den Raum nicht alle angeschrieben; erwähnt seien:

log (ÄC: sin Dc) = 3.08 656, log (BC: sin D₆) = 3.03 789, log tgl = 0.04867 ;

— — = — 3°16'57" (nur 1" anders als unten), cp = 42°24'48", ip — 48⁰58,42,,.

(2.91552 _ 12.91553

cm

cm

in xd und yd rechnerisch

m,

gefunden werden kann. Man'kann sich zur Kontrolle mit CD und (CD)

50" \

61")

log AD =    3.04276 (AD) = 179°53' 24"

log BD =    2.83 964 (BD) = 344° 29' 35" .

Da log (AD ■ cos {AD)) — 3.04276 wird, so ist die zugehörige Zahl 1103,4₆ nicht bis auf 1 cm zu erhalten und nur zufällig stimmt

xd — 28967,63 — 1103,4₆ = —(— 27864,1₇ von A aus auf 1cm überein mit xd = 27 198,08 + 666,10= + 27864,17 von B aus.

Die Ordinate dagegen ergibt sich übereinstimmend von A und von B aus zu

yd = -f- 6734,60, auch auf 1cm übereinstimmend mit der vorigen Rechnung.

Die Rechnung erscheint immerhin noch genügend kontrolliert. Eine noch bessre Kontrolle erhält man, wenn auch noch CD und (CD) verwendet werden. Von C aus

(ins Formular nicht aufgenommen, weil im allgemeinen entbehrlich) ergibt sich gemäß nebenstehender Rechnung:

xd = -j- 28107,88 — 243,70 = -f 27 864,18

womit in der Tat die Abszisse nun auf 1 cm kontrolliert ist und innerhall) dieses Betrags mit dem Ergebnis der 6-stelligen Rechnung stimmt,

_^_= -f 7 520,94 — 786,34 = -f 6 734,60 wie oben.

Man führe diese 5-stellige Rechnung, mit Verwendung des folg. Formulars, selbst sorgfältig durch und vergleiche alle Zahlen mit den hier angegebnen.

CD-cos (CD)

cos (CD)

CD

sin (CD)

log CD

2.38687n

9.47134 n 2.91553 9.98008 n

CD ■ sin (CD) |    1.89 561 n

(CD) = 252° 46'

Seite . . .

Richtungswinkel und Koord. - Abschnitte

{AC)=    137° 28'36"

+ <P=    +42 24 49

179 53 25 72 53 26

252 46 51 252 46 51

(AD)

II

+ Da

= iao) = iao)

-Db= —91 42 44 (BD) =    344 29 35

-48 58 41 33 28 16

-ip =

(BC) =

ad ■ cos(AD)\ 3.042 754 %

cos (AD) | 9.99 9 999 % 3.042755 sin(AD) [7.2833

AD

AD-sin (AD) 0.32 60    +

BD ■ cos (bd)\ 2.82 3 544+

9.983896 2.839648 9.42 7 089 %

cos (B D)

BD

sin (.BD)

B D ■ sin(BD) 2.266737 %

L, C, B.

Messung s. S. . . .

Seiten

ad 3.042755

sin (cp +D~) 9.956193 AG: sin D a ,3.086562 9.828968

sin cp

2.915530 CD) 2.915528

9.87 7 635 BC:sin D 3.03 7 893 sin(V+Db) 9.801755

ijl U/S

2.839 648

BD

Zentrierungen ?

Einfaches Rückwärtseinschneiden von D über Bezeichnung: A, (7, B, D im Uhrzeigersinn um das Viereck.

Winkel der zwei Dreiecke

Bestimmung der gegebnen Seiten usf.

Punkt und Ord.-Absch.

137° 28'36" 33 28 16

= (Da)

= (or)

2.89 6 780

Vc ~ Va

4- 6732,48

104 00 20

72 53 26

91 42 44

268 36 30

91 23 30

0.132532

2.934372%

sin

cos

vx — Dx

=

= va

9.96 2 408%

(D V) dt

2- =

= <h + d)

48 12 13 45° + X = | 93 12 13

45 41 45

cp + U> _

— 3 16 56

tji — di

42 24 49 48 68 41

II II S~ +

115 18 15

140 41 25

104 00 20

3.066904

0.019658

3.086562*

2.779257

0.07 8 748 2.958951

9.820306

3.037699

0.000194

3.037893

0.048669

AG

E sin Da

A C: sin Da

Vc-Vb

sin

cos

xc xb

tg (B C)

BC

E sin Df)

B C: sin Db

tg X (*)

<p+Da~ y + Db =

8.747970%

0.010550

ctg (45° + X) cp + \p

tg

Probe

8.758520w

Form 7.

Punkt und Absz. - Absch.

-f 28967,63

ÄD-cos (AD) j_ 1103,45 VÄD ■ sin(AD)\Ar 2,12

A Forst

-f 6734,60

D I, Nebenp. 4" 27864.18

+ 6919,41

BD-cos(BD) |_j_    666,11 VBD-sin(BDy— 184,81

B Hasenberg Lj_ 27198,07

-f- 6734,60

-f 27864,18

-f 7520,94

C Pauluskirche _L 28107,88

4- 788,46 + 601,53

II II

5>>

859,75 Vc 909,81 Vc

I 4-

II

Ö -o 8 «

I I

I?

!(+186,93)

Probe

(+ 1769,56)

Probe

Gegeben A, C, B\ gesucht D.

Gemessen Da und Db.

((p + rp) bestimmt aus Da, Db, G (<P —+) bestimmt mit Hilfe von

aus

A C/sin Da SC/sin Db

v-V

ctg (45° + 1).

tg X =

ß,

ß,

'A.

\f

IC

Seite . .

Kiclitungswinkel und Koord-- Abschnitte

3 ‘3° 58'11" 350 31 22

344 29 33 195 23 50

179 53 23 179 53 24

—72 53 26 252 46 50

-64 41 46 317 28 36

2.82353

9.98390 2.83963 9.42 710 m

(4C) = + <P =

(40) = + Da, =

= (ao)

= ((70)

II II

~Db

(7 ff)

-v> =

(so) =

AD ■ cos (AD)

cos (4 O)

ar

sin (4 O)

AD-«»(40) 2.26673m

BD-cos{BD)i 2.38686m

9.47134m 2.91552 9.98009m

cos (B D)

(7 ff

sin (B D)

2.89 561 n

BD ■ sin (B D)

L, C, B.

Messung s. S. . . .

Seiten

AD 2.83963

\sin ((p + Da) 9.01 344 M

4C:sin Da '3.82619 n 9.21658 M

sin cp

3.04277

3.04276

(CIO

1(70

9.95620

3.08656

9.S2896

sin ip B C: sin Db sin (ip + Df,)

2.91552

GS

Zentrierungen ?

Rückwärtsein schneiden von D über , D im Uhrzeigersinn um das Viereck.

Winkel der zwei Dreiecke

Bestimmung der gegebnen Seiten usf.

353°58'11" 317 28 36

= (0 ff) = (or)

2.27168m

0.00241

Vc-Va

UW

cos

36 29 35

3.24 786

vx — °x

195 23 50

72 53 26

304 46 51

II II

tg(AC) 9.02382m

3.25027

0.57592m

40

E sin Da

<P + V= 55 13 09

4C: sin Da \ 3.82 619m*

1= -79 40 41 45» +1 =    ₊34 40 41

2.89 678 m

0.13253

2.93437

Vc-Vb

UlS

cos

9x — °x

27 36 34

ifi + d>

= 1-37 05 12

rti — d>

9.96 241m

(0 ff) ß%

350 31 22 64 41 46

185 55 13

137 35 12

II

II

S-

<P + Da

323 30 25 (36 29 35)

Probe

3.06690

0.01966

3.08656 *

BC

E ein Df,

B C: sin Df,

tgX{*) | 0.73 963m

ctg(45° +1) | o.15 998m q> + ip

9.71850

tg

y -V : 9.87 848m

ßt

Einfaches

Bezeichnung:

Punkt und Ord. - Absch.

4- 6919,41 — 184,80

|4- 6734,61]

-f 7520,94 — 786,34

+ 6734,60|

-f 6732,48

186,93

788,46

II

(601,53)

Form 7.

Punkt und Absz. - Absch.

4 Hasenberg |4_ 27198,07

47) • cos (4D) 4_    666,09 V&D -sin{AD)\

(7

-f 27864,16

4- 28107,88

—    243,70 VßD ■ sin(BD)

B Pauluskirche B D ■ cos (B D)

(7

;+ 27864,18

i+ 28967,63

C Porst

II II

1769,56 Vc-Va 4-    859,75 Vc - Vb

= vx — °x

xb =

xc

Probe

(909,81)

Probe

-ß Gegeben 4, C, B; gesucht O.

Gemessen Da und Df,.

f/

(cp + ip) bestimmt aus Da, Dfy, C (<p — ip) bestimmt mit Hilfe von

AC/sin Da B~dsin Db

tg ^ ctg (45° + 1).

aus

tg l —

DaJa.

.    —T- x.

'V

Andre Anordnung der Punkte führt ferner ebenfalls in 5-stelliger Rechnung zum Ziel, ohne daß man die Rechnung vom dritten („mittlern“) Punkt aus notwendig hat. Da die Entfernungen des Punkts D von Hasenberg und von Pauluskirche je < 1000 m sind (die von Forst 1000 m) so liegt nahe, so zu rechnen, daß jene zwei Punkte die Punkte A und B sind. Wir haben damit:

Gegeb Punkte

A = Hasenberg, Auss. Turm C — Forst, Signalstange B = Pauluskirche, Helmstange + 28107,88

4-27198,07    -f 6 919,41

4 28 967,63    + 6 732,48

+ 7 520,94;

damit sind ans den gemessnen Richtungen die folgenden Winkel als Da und D zu bilden:

Da zwischen Blinks und Crechts = 195°23'50"

C n n B ii

= (268° 17' 16" — 195° 23'50") = 72°53'26".

Die Figur bei dieser Wahl der Bezeichnung der gegebnen Punkte ist die folgende, Fig. 313. Hier tritt eine Besonderheit insofern ein, als einer der gemessnen Winkel Z)^>180° angenommen, dessen sin also negativ wird. Nur um zu zeigen, daß die Rechnung richtig bleibt, ist sie hier mit dem Formular aufgenommen. Da (AC:sinDa) den Durchmesser des Umkreises des Dreiecks ACD vorstellt, ebenso wie (B C: sin D,) den Umkreisdurchmesser von B CD, so ist für das negative Zeichen bei dem ersten eine be-sondre Erklärung nötig. Man wird aber, wie die obenstehende Rechnung zeigt, bei konsequenter Durchführung (Ä positiver oder negativer spitzer Winkel je

nach dem Yorzeichen der tg, ebenso ^ 2    ' abermals auf die Koordinaten geführt:

xa = + 27864,18 oder ,17

yd = -f 6734,60 oder ,61 wie oben.

Db

X=+ 29 000

X=+28 000

X“+27000

+ 6 000

Ci=Forf t

Dal \X>

+ X

j k.

•5b=Pauluskirche.

Hasenberg, AT

+ 7 000

000 8+

Fig. 313.

Viel gewonnen ist aber mit dieser zweiten 5-stelligen Auflösung gegen die vorige nicht, weil diesmal AD nicht genügend scharf bestimmt werden kann: es hängt ab von dem sin (cp -)- Da), welcher Winkel nur um 5°55'13" von 180° abweicht, so daß der sin für Ändrung des Winkels um 1" sich schon um 5 Einheiten der 5. Dez. des Log.

verändert; es ist also einigermaßen zufällig, daß doch noch ziemlich genaue Übereinstimmung in (xd, yd) von A und B aus vorhanden ist. Immerhin genügen auch hier die Rechenproben. Man vergleiche alle Zahlen der Auflösung mit der Figur, z. B. cp = 350°31'22" = — 9°28'38" weil die Diagonale CB außerhalb des Dreiecks ABB liegt usf.

4. Bemerkungen zur Rechnung, zur Anordnung der Punkte usf. Über 5- und 6-stellige Rechnung gilt dasselbe wie in 83., und es sind auch im vorstehenden mehrfach Bemerkungen darüber gemacht. Die geometrische Bedeutung der Ausdrücke

BC

sin Bb

AC sin Ba

und

ist ebenfalls bereits erwähnt: es sind die Werte der Umkreisdurchmesser der Dreiecke ACB und BCB; ihr Verhältnis ist = tgX zu setzen. Man wird stets die Bezeichnung ACB und damit die Winkel Ba und Bb so wählen können, daß diese Winkel beide < 180°, ihre sin also -f- sind und tg X damit ebenfalls -f- wird, X als -f- spitzer Winkel zu nehmen ist; je nachdem dann X { ^ } 45° ist, wird ctg (45° + 2.) { + } • Doch ist, wie die letzte Rechnung zeigt, keineswegs notwendig, daß die zwei Umkreisdurchmesser -f- sind; ist der eine negativ, so ist X ein negativer spitzer Winkel. Die Seiten AB und BB müssen sich selbstverständlich jedenfalls -|- ergeben.

Über günstige und ungünstige Lage von B siehe unten in 5. Bemerkenswert ist hier vor allem noch, daß der eine der drei gegebnen Punkte, z. B. A, oo-weit (bei terrestrischen Punkten praktisch sehr weit) entfernt sein kann, ohne daß die Bestimmung von B ungenügend zu werden braucht, vgl.Fig.314.

Es kommt dies darauf hinaus, daß B durch einen Rückwärts schnitt (Kreis über B C mit Bb als Peripheriewinkel) und durch einen Vorwärts-schnitt (Gerade von A oder von C aus mit gegebner Richtung) bestimmt ist: bei oo- großer Entfernung von A ist <p = 0, der Winkel C zwischen B links und A rechts = 180° — Ba, das Rückwärtseinschneiden geht also hier in einen einfachen „Gegenschnitt“ oder Seitwärtsabschneiden über.

Das Rückwärtseinschneiden kann überhaupt in jedem beliebigen Fall in einen Vorwärtsschnitt verwandelt werden, z. B. indem die Mittelpunkte der zwei Kreise um die Dreiecke ACB und BCB verwendet werden. Wir gehen auf diese Zusammenhänge ebenso wenig ein, wie auf andre Auflösungen der Aufgabe des Rückwärtseinschneidens, unter denen die mit Anwendung des sog. Collinsschen Hilfspunkts vielfach praktisch verwendet wird. Auf das gleichzeitige (gegenseitige) Rückwärtseinschneiden mehrerer Punkte gehen wir hier ebenfalls nicht ein.

5. Günstige oder ungünstige Lage des rückwärtseingeschnittnen Punkts. Hier ist es, da mindestens 3 Punkte gegeben sein müssen, und also schon das Dreieck dieser gegebnen Punkte alle möglichen Formen haben kann, nicht so einfach, die „günstigste Lage“ des Neupunkts anzugeben, wie in 88. 4. Der Umkreis des gegebnen Dreiecks A C B bleibt selbstverständlich hier, bei der Rechnung der Koordinaten des Neupunkts als gesuchter Stücke, der gefährliche Kreis, vgl. die Lösung außerhalb des Koordinatensystems, 78. 2. Die zwei Umkreisdurchmesser der Drei-

Hammer: elementare praktische Geometrie.

......9?

/

1+X

®Äoo

®Aoo

Jd> v

Pb

/-e .•

Fig. 314.

U)B

33

ecke ACD und BCD können zwar ohne Schaden für die Punktbestimmung auch gleich groß oder nahezu gleich groß sein, X nahe bei 45°, wenn nämlich das Viereck bei G oder bei D eine einspringende Ecke hat. Im konvexen Viereck aber führt der Fall AGlsin Da = B C/sin Db

zur Unmöglichkeit der Berechnung der Lage von D,

qp + ty

— 90° ist,

= oo • 0 = ^, womit die Rechnung nicht weitergeführt werden kann. Der

l = 45° gibt in diesem Fall, da C -f- Da -\- JDb — 180°, also

Neupunkt D soll von dem gefährlichen Kreis weit entfernt sein, wobei aber die Entfernungen zwischen D und den gegebnen Punkten nicht zu groß werden dürfen: im allgemeinen je kleiner diese Entfernungen, desto schärfer die Punktbestimmung. Wenn D innerhalb des gegebnen Dreiecks AGB liegt, so hat man fast ohne Ausnahme eine gute Bestimmung für D (hei bestimmter Genauigkeit der gemessnen Winkel), Fig. 315; ist das gegebne Dreieck gleichseitig, so wird D beim Mittelpunkt die günstigste Lage haben. Kann man als gegebne Punkte die Punkte derart wählen, daß die drei Zielungen etwa Winkel von 120° gegeneinander einschließen, so ist man jedenfalls mit D im Innern von A CB und die Lage von I) günstig. Auch wenn der „mittlere“ Punkt C innerhalb des Dreiecks AB B liegt (einspringende Ecke bei C)

'••Pu

a/

JX

IV

'a

®Q-(

tC

®Q

Fig. 316.

Fig. 315.

ist die Bestimmung im allgemeinen günstig. Auf dem Feld kann man aber, bei drei gewählten Punkten als gegebnen Punkten, häufig nicht übersehen, ob _D nicht nahe dem gefährlichen Kreis sich befindet; schon aus diesem Grund wird man nie auf einen Satz zwischen nur drei Zielpunkten sich verlassen, sondern wenn irgendmöglich noch wenigstens einen vierten Punkt mit aufnehmen, vgl. unten.

Daß einer der gegebnen Punkte in unendlicher Entfernung liegen darf, ohne daß notwendig die Bestimmung von D leidet, ist schon erwähnt, vgl. Schluß von 4., mit A als oo-fernem Punkt (Fig. 314). Daß dieser weit entfernte Punkt auch der „mittlere“ C sein kann, geht aus Fig. 316 hfervor; hier werden die zwei Halbmesser der Umkreise von ACD und BCD oo-groß, die zwei Bestimmungslinien für D also Gerade von A und B aus, die durch die Winkel CAD = 180° — Da, CBD = 180° — Db festliegen, das Rückwärtseinschneiden ist ganz in einen Vorwärtsschnitt ühergegangen.

85. Anhang. Bemerkungen über die Ausgleichungsaufgaben beim Einschneiden von Punkten. Katastervorschriften über die trigonometrische Punktbestimmung (Kleintriangulierung). 1. Auch beim „einfachen“ Einschneiden eines Punkts, Lagebestimmung durch nur zwei Bestimmungslinien, kann es sich, wie bereits angedeutet, schon um eine Ausgleichungsaufgabe handeln; z. B. sei, Fig. 317, der Punkt G nur von A und von B aus vorwärts eingeschnitten, die Strahlen A G und B G aber durch Messen von Sätzen in A und B an mehr als eine weitre festgegebne Richtung angeschlossen, z. B. der Strahl 4C an drei fest vor-geschriebne Richtungen (Koordinaten der Zielpunkte D, E, F wie die des Standpunkts

A unveränderlich gegeben), der Strahl B C an die zwei ebenfalls fest vorgeschriebnen Richtungen BF und B G. Bei der endgültigen „Orientierung“ dieser zwei Richtungssätze, (die selbst wieder die Mittel aus zwei oder drei gemessnen Sätzen sein werden)

.......

B*

Fig. 317.

in A und B handelt es sich schon um eine allerdings sehr einfach zu erledigende Ausgleichungsaufgabe, die schon in 64. 4 mit Zahlenbeispielen behandelt ist; vgl. 88. 5. Ausgleichungsaufgaben im e. S. bieten sich regelmäßig bei der 2. Mehrfachen Punktbestimmung. Es ist schon hervorgehoben, daß man sich auf die einfache Bestimmung eines trigonometrischen Neupunkts, zum Anschluß der Züge einer Lageplanaufnahme an die trigonometrischen Festpunkte einer Landesoder Stadttriangulation, im allgemeinen nie verlassen wird. Man wird stets die erforderlichen Neupunkte mehrfach vorwärts oder rückwärts oder kombiniert einschneiden; es sind durch die Messung mehr als zwei Bestimmungslinien für einen Neupunkt festgelegt, es liegen Ausgleichungsaufgaben vor, die rechnerisch oder graphisch behandelt werden können, vgl. den Schluß von 82. Bei einzelnen dieser Ausgleichungsaufgaben liegt die Auflösung auf der Hand; ist z. B., vgl. 88. 1. beim Einschneiden des Punkts C von den Standpunkten A und B aus auch in C der Winkel zwischen A und B gemessen (C auch über A und B rückwärts eingeschnitten), so sind durch die Messung drei Bestimmungslinien für C festgelegt, zwei Gerade von A und B aus und ein Kreisbogen über AB als Sehne und mit dem in C gemessnen Winkel als Peripheriewinkel. Die drei Linien schneiden sich, wenn man sie sich z. B. in der Umgebung des Punkts C genau der Messung entsprechend geradezu auf dem Boden aufgerissen denkt, nicht genau in einem Punkt, es entsteht vielmehr ein „fehlerzeigendes Dreieck“ (die dritte Bestimmungslinie, als Kreis über AB ist

bei dem großen Durchmesser

für ein kurzes Stück von etwa 1 m Länge in der

Nähe von C praktisch genau ebenfalls eine Gerade). Dieses „fehlerzeigende Dreieck“ verschwindet aber sofort, sobald man die drei gemessnen Winkel „auf 180° ausgleicht“, worin also hier die ganze Ausgleichungsarheit besteht. Ein ähnlicher Fall sei noch für das Rückwärtseinschneiden angedeutet: wenn in dem zu bestimmenden Punkt Z) zwischen den drei gegebnen Punkten A, C, B nicht nur die zwei Winkel Da, zwischen A links und C rechts, und Db, zwischen C links B rechts, gemessen werden, sondern auch noch (wie Da und Db ganz unabhängig für sich) gemessen wird der Winkel zwischen B links und A rechts, etwa T>\ vgl. z. B. Fig. 315 (sodaß also _Da, Bb, D' nicht etwa aus einem gemessnen Richtungssatz oder dem Mittel einiger solcher Sätze bestimmt werden, wobei ihre Summe bei

®-D

AB sin C

ganz beliebigen Richtungszahlen von selbst 360°0'0" gibt), so werden die durch wiederholte einfache Winkelmessung oder durch Repetitionsmessung unabhängig ermittelten Winkel Da, Db und D', die wir als gleichwertig ansehen wollen, nicht genau die Summe 360° 0' 0" geben, es wird vielmehr

(1)

Da -f- Db -f D' = 360° -f- w sein.

Denkt man sich wieder die drei Kreise konstruiert, die diesmal als Bestimmungslinien für den Punkt _D vorhanden sind, so entsteht in der Nähe von D wieder ein „fehlerzeigendes Dreieck“, aber auch dieses verschwindet sofort, wenn wir das (-)- oder —) iv in (1) verteilen, nämlich setzen (der unterstrichene Wert heißt: ausgeglichen):

(2)

1)

IV

T)

A-

§ CO

sodaß die oben gelehrte Rechnung (s. 84.) mit zweien dieser drei Winkel genügt und die ganze Ausgleichung wieder in der Verteilung von iv besteht

en B

vonE

Bei sonstigen mehrfach bestimmten Punkten (Punktbestimmung mit über-schüss'gen Messungen) ist aber die Ausgleichung nicht so einfach; es entsteht, wenn z. B. C von den Standpunkten A, B, F, F aus vorwärts eingeschnitten ist und wieder die Bestimmungslimen (in diesem Falle Gerade) in der Nähe von C aufgetragen werden, eine kompliziertere „fehlerzeigende Figur“, z. B im .    Maßstab 1:10 gezeichnet

wie neben Fig. 318, und der Punkt C ist so zu wählen, daß er diesen vier Strahlen gleichzeitig möglichst gerecht wird. Wir behalten dem Band II die graphische

^_ B' handlung solcher Aus-

Fig. 818.

von A gleichungsaufgaben vor. Eb sei aber schon hier nochmals darauf hingewiesen, daß „mehrfacheBestim-mung“ eines Neupunkts im allgemeinen immer notwendig ist, schon wegen des Nichtzutreffens der stets stillschweigend gemachten Voraussetzung, alle gegebnen Koordinaten von Standpunkten und Zielpunkten seien fehlerfrei und alle „Nichtstimmigkeiten“ seien auf unsre ei.nen Messungsfehler zurückzuführen. Diese Voraussetzung kann nicht erfüllt sein, wenn sie es gelegentlich auch annähernd ist; wie z. B. wenn wir als gegebne Punkte Festpunkte einer feinen Stadttriangulation verwenden, unsre eignen Richtungen aber nur auf 10" oder 20" genau messen. Wir müssen aber, auch bei sichtlich großem Fehlern der gegebnen Koordinaten, so verfahren, als ob jene Voraussetzung zutreffe, wenn wir die Neupunkte in möglichst gute Verbindung mit den gegebnen Netzpunkten bringen wollen, was doch offenbar notwendig ist; wir müssen alle Widersprüche auf die von uns gemessnen Winkel übrrnehnmn, selbst, wenn diese sicher annähernd gleich gut gemessen sind wie die Winkel, aus denen die gegebnen Koordinaten der Festpunkte hervorgegangen sind. Wenn freilich zum „Anschluß“ an die gegebnen Punkte Korrektionen („Verbessrungen“) an unsern gemessnen Winkeln erforderlich sind, die den bei diesen möglichen Maximalfetder überschreiten, so bilden die gegebnen Punkte nicht mehr eine genügende Grundlage für die Einschaltung der Neupunkte ins Netz. Wiederholt sei au.-h die Regel, einen Neupunkt möglichst an alle in seiner nähern Umgebung befindlichen gegebnen trigonometrischen Punkte „anzuschließen“. Dabei ist es für das mehrfache Vorwärts- oder mehr

fache Rückwärtseinschneiden oder mehrfache vereinigte Einschneiden offenbar von Vorteil, wenn die Standpunkte beim Vorwärts-, die Zielpunkte beim Rückwärtseinschneiden möglichst gleichmäßig auf den Umkreis verteilt sind. Der Idealfall wäre der, daß außerdem noch ziemlich gleich große Entfernungen zwischen gegebnen Punkten und Neupunkt vorhanden wären. Man wird also z. B. heim mehrfachem Rückwärtseinschneiden eines Neupunkts jedenfalls beachten, die Zielpunkte mit gegebnen Koordinaten möglichst gleichmäßig auf den Umkreis verteilt auszuwählen und wennmöglich in nicht allzu verschiednen Entfernungen; bei dieser praktisch einfachsten Einschaltung eines Neupunkts ins Netz gegebner Punkte (Theodolit nur auf dem zu bestimmenden Punkt aufzustellen) wird man ferner, um vollständig symmetrisch zu verfahren, stets Sätze, Richtungen messen, nach Bedarf zwei, drei, vier Sätze zwischen den ausgewählten gegebnen vier (auf drei, einfache Bestimmung wird man sich nie beschränken) oder fünf oder (höchstens) sechs Zielpunkten. Mehr als 6 Zielpunkte in einen Satz zusammenzufassen ist, wie wir aus 64. 5. b) wissen, im allgemeinen nicht rätlich, besonders bei Stativaufstellung des Theodolits.

3. Katastervorschriften. Obwohl bei dem hier gebotnen Nichteingehen auf das tatsächlich praktisch Notwendige (Ausgleichung) die Sache für uns nicht mehr dieselbe Bedeutung hat wie bei Längenmessung, Flächenbestimmung, Zugmessung, seien doch auch hier noch einige Notizen aus den Katastervorschriften für die „trigonometrische Punktbestimmung“ (Kleintriangulierung im Sinn der Katastermessung), für Messungen auf dem freien Feld, in den Staaten Preußen, Bayern, Württemberg angeführt, soweit sie nach dem Vorhergehenden verständlich sind.

I. Preußen hat trigonometrische Punkte I. bis IV. Ordnung. Für Punkte III. 0. ist die Entfernung von Punkten derselben oder höherer Ordnung durchschnittlich 3000 bis 10000 m (also viel größer als z. B. in Württemberg, s. u. und früher), für Punkte IV. O. 3000 m. Zahl der trigon. Punkte als Grundlage einer Neumessung richtet sich nach dem Gelände und der durchschnittlichen Größe der Parzellen; durchschnittlich soll (alle vier Ordnungen zusammengerechnet, aber ohne die „Beipunkte“ oder Punkte V. O.) 1 trigon. Punkt auf 25 Polygonpunkte vorhanden sein. Bezeichnung der trigon. Punkte niederer Ordnung kann durch versenkte Drainröhren geschehen, von vier Versichrungspunkten in je 2 m Entfernung derart umgeben, daß die Diagonalen des Vierecks in dem Dreieckspunkt sich schneiden; außerdem Einmessung gegen feste Punkte der Umgebung. Winkelmessung durch Sätze oder durch Repetition, Wiederholungszahlen abhängig vom Theodolit, mindestens aber

in jeder Lage

des

Fernrohrs.

für Punkte III. 0.: satzweise Beobachtungen viermal Einzelbeobachtung der Richtung (Anschluß an eine feststehende Richtung), mit Repet. sechsmal für Punkte IV. 0.: ebenso dreimal und viermal

Fehlergrenzen: Die aus den endgültigen Koordinaten abgeleiteten „Neigungswinkel“ (unsre Richtungswinkel) dürfen von den aus der Winkelmessung hervorgegangnen endgültig orientierten Richtungen nicht mehr abweichen als

für Punkte III. 0. um 15" (oder 45")

„    „    IV. 0. „ 25" (oder 75").

Trigonometrische Netzkarte 1:10000 bis 1:50000 anzufertigen mit Angabe aller Beobachtungen. Zeichen für die trigonometrischen Punkte so, daß die Ordnung sofort erkannt werden kann.

Trigonometrische Beipunkte (Punkte V. 0.) dienen zur Sichrung der Polygonzüge (Knotenpunkte der Züge usf.), mit ihnen soll schon auf 10 Polygonpunkte 1 trigonometrischer Punkt vorhanden sein; Bestimmung durch Vorwärtsein

schneiden von 3 Punkten aus oder durch Rückwärtseinschneiden über 4 Punkte, 2 Einzelmessungen oder 3 Sätze in jeder Lage des Fernrohrs, Abweichung zwischen Richtung aus endgültigen Koordinaten und Richtung aus der Beobachtung nicht

> 35" (1').

II.    Bayern. Anzahl der trig. Punkte 1 bis 2 pro <j&m. Punkte III. 0. in Entfernungen von 2 bis 5 Am voneinander, Punkte IV. 0. in Entfernungen von 500 m bis 2 Am. Bei Stadtaufuahmen mehr Punkte, ebenso in sehr bergigem Gelände zur Befestigung des Polygonnetzes und Abkürzung der Züge. Vorschriften über Ver-steinung und Versichrung der Punkte („Anmessung“) bleiben hier weg. — Punkteinschaltung durch Vorwärts-, Rückwärts- oder zusammengesetztes Einschneiden: heim Rückwärtseinschneiden eines Punkts mindestens 4, höchstens 6 gegebne Zielpunkte verwenden, bei Vor- und Rückwärtseinschneiden eines Punkts 3 bis 5, heim Vorwärtseinschneiden eines Punkts 4 bis 6 gegebne Punkte verwenden. Winkelmessung mit Theodolit von mindestens 20" Nonienangabe. Satzmessung: im allgemeinen genügen 2 bis 3 vollständige Sätze; mittlerer Fehler einer gemessnen Richtung soll nach Näherungsberechnung bei Punkten III. 0. <[ 4", bei Punkten IV. 0. <( 6" bleiben. Vorschriften über sonstige Fehlergrenzen, Koordinatenverzeichnis, Netzkarte usf. bleiben in diesem Auszug weg.

III.    Württemberg. Einiges schon in 79. und 80. angegeben. Die neu zu bestimmenden Punkte gelten als Punkte IV. 0.; Dreiecksseiten für diese Punkte 300 bis 3000 m lang. Die trigonometrische Methode wird sich mehr in offnem Gelände und bei großer Ausdehnung des Aufnahmesystems, die polygonometrische Methode in bedecktem Gelände, Waldungen, Ortschaften, eignen. Punkte IV. 0. sind, wenn es nicht Hochpunkte sind, zu vermarken mit mindestens 50 vierkantig behauenen Steinen, mit A auf dem Scheitel von 6 unter dem Stein kurze Röhre von Eisen oder Ton. Punkteinschaltung durch Voroder Rückwärts- oder vereinigtes Vor- und Rückwärtseinschneiden; heim Vorwärtseinschneiden den Neupunkt auf 3 bis 6, beim Rückwärtseinschneiden auf 4 bis 8, bei vereinigtem Einschneiden auf 3 bis 7 gegebne Punkte stützen. Beim Vorwärtseinschneiden darf der Winkel zwischen den äußersten Strahlen jedenfalls nicht <| % li, heim Rückwärtseinschneiden Winkel zwischen dem günstigsten mittlern Strahl und dem äußersten nicht ys B sein. Ausnahmsweise mehrere Neupunkte gemeinschaftlich durch Einketten. Winkelmessung womöglich satzweise, meist genügen 2 bis 4 Sätze; hei Repetitionsmessung 3 bis 4 Repetitionen in jeder Lage des Fernrohrs. Berechnung, Netzkarte usf. hier weggelassen, von den Fehlergrenzen sei wenigstens angegeben, daß die Summe der Winkel in Dreiecken IV. 0. um nicht ]> 60" von 180° abweichen darf; ferner darf der Unterschied zwischen einem gemessnen und dem aus den endgültigen Koordinaten abgeleiteten Dreiecks-

I 25"

cm

cm

langen, 15 Seite und 1

cm

starken

cm

Tiefe,

winkel nicht )>

|^| 1000 m lang sind.

35"

| sein, je nachdem die den Winkel einschließenden Seiten

Beim trigonometrischen „Einschneiden“ und

86. Zentrierungen, überhaupt bei trigonometrischen Messungen aller Art kommen sehr häufig „Zentrierungsaufgaben“ vor, indem z. B. ein Zielpunkt nicht direkt hat aufgesteckt werden können (Stange nicht auf dem Punkt selbst, da dieser durch die Achse eines trigonometrischen Signalsteins bezeichnet ist, sondern in der Nähe des Punkts aufgesteckt) oder weil der Zielpunkt wegen eines Sichthindernisses exzentrisch aufgesteckt ist; ferner kann oft der Theodolit nicht auf dem als Winkelscheitel geltenden Punkt selbst aufgestellt werden (Feldkreuz aus Holz oder Eisen; Helmstange eines Turms; bei gewöhnlichen Feldpunkten darf die den Punkt bezeichnende

Stange oft nicht entfernt werden usf.) usw. Man hat in jedem dieser Fälle zu berechnen, was wäre das Ergebnis der Winkelmessung gewesen, wenn der Zielpunkt nicht der Hilfspunkt, sondern der richtige Punkt gewesen wäre, oder wenn der Theodolit nicht auf dem Hilfspunkt, sondern auf dem Winkelscheitel selbst aufgestellt gewesen wäre, usf. Man unterscheidet hiernach die folgenden drei Arten von Zentrierungsaufgaben.

1. „Zentrieren eines Zielpunkts.“ In I?hätte, Fig.319, der Winkel ß zwischen dem Punkt (z. B. Stein) A links und dem Punkt C rechts gemessen werden sollen; da A nicht unmittelbar aufgesteckt werden konnte (oder auch z. B. von B aus wegen eines Sichthindernisses nicht unmittelbar angezielt werden konnte, falls er zentrisch aufsteckbar ist), wurde die Zielstange in einem von A nur wenig entfernten    //i

Punkt Ä aufgesteckt. Dieser Hilfspunkt Ä / muß nun selbstverständlich gegen A und B / / festgelegt werden; es geschieht durch zweisog.Zentrierungsstücke oder Zentrierungselemente, meist die Strecke AA' = e und den Winkel, den sie mit der Richtung nach B bildet. Z+

Dieser Winkel sei a, in A zwischen B und A' beiläufig gemessen. Ist oC z. B. der Theodolit B vorher oder nachher auch in A aufzu-

A’

A'

(X

oa

stellen, so mißt man bei dieser Gelegenheit in einer Fernrohrlage und mit roher Ablesung an einem Nonius den Winkel a, den man um so weniger genau braucht, je kleiner e (im Vergleich mit BA) ist. Man wird die lineare Exzentrizitätsstrecke e möglichst klein wählen; ist z. B. e = 1,00

Fig. 319.

bei AB = 1000

m, so kann der

Betrag x", um den sich der in B gemessne Winkel ß' und der zu messende ß unterscheiden, je nach der Richtung von e schwanken zwischen den Grenzbeträgen

(1)

ff

•Q

und ± ^

(der erste vorhanden, wenn Ä in der Richtung von A gegen B oder in der Verlängerung von BA über A hinaus liegt, der zweite, wenn e senkrecht zu dieser Richtung liegt; der Maximalbetrag ist + 206",3 = 3'26"). Soll ferner der Punkt A', immer bei e = 1,00 -m auf 1 cm oder l/₂ cm genau in der Richtung senkrecht zu AA' festgelegt werden, so genügt dazu in a eine Genauigkeit von

(2)

A (cm)

100 (cm)

•3438'= 17', also eine Gradscheibe oder dgl.,

am Theodolit, wie schon bemerkt, eine Fernrohrlage mit Schätzung an der einen Nonius-Null auf 0,1°. Die Stange Ä kann bei e = 1 m von A aus nicht mehr mit dem Fernrohr angezielt werden, sondern ist nach Augenmaß einzustellen oder mit dem etwa (als „Sucher“ und für solche Zwecke vorhandnen) groben Visier (Diopter) auf oder am Theodolitfernrohr. Je größer e wird, desto genauer muß aber natürlich a bestimmt werden, bei e = 17 eines großem Sichthindernisses, schon auf 1'; e selbst ist stets so genau zu messen, als überhaupt linear der Punkt A' gegen A festgelegt werden muß. Die Anwendung des Sinussatzes auf das Dreieck AA'B gibt nun für die an dem in B gemessnen Winkel ß' anzubringende Korrektion x

e ■ sin a

bä ’

wobei es im allgemeinen ganz gleichgültig ist, ob im Nenner BÄ oder

--    .    e    1

BA geschrieben wird; so lange ferner das Verhältnis == <

(oder selbst nur <-₅*ö; in der Regel ist es kleiner als selbst < oder jqoq), darf man für jede für uns in Betracht kommende Genauigkeitsstufe der Rechnung (3) ersetzen durch

x" =

(3)

(4)

(auf 1

cm

genau zu messen) z. B., zur Umgehung

sin x =

bleibt

6 * ^ = • sm cc - q ,

BÄ

was mit dem Rechenschieber oder mit 3- bis 4-stelligen Logarithmen auszurechnen ist.

Um diesen Betrag (4) ist in unsrem Fall der gemessne Winkel ß' (in B zwischen Ä links und C rechts) zu verkleinern oder zu vergrößern, um den eigentlich zu messenden Winkel ß zu erhalten, je nachdem, von B aus gesehen, Ä links oder rechts von A liegt. Im Fall der Fig. 319 ist

(5)

ß = ß' - x = ß' _

BÄ

Man zeichnet sich eine genaue Skizze der Zentrierungsstücke gleich ins Winkelmeßformular; vgl. die „Bemerkungen“ daselbst S. 385 und S. 397, sowie die Bemerkung „Zentrierungen“ in den Rechenschemata S. 503 und 510.

Die Entfernung der Punkte A oder Ä und B muß in (3) bis (5) bekannt sein. Ist sie dies nicht anderweit, z. B. aus gegebnen Koordinaten von B und bereits genähert bekannten von A, so muß eine vorläufige Rechnung mit nicht zentrierten Winkeln einen Näherungswert für die Entfernung BÄ liefern.

Manchmal kann die Zentrierungsrechnung des Zielpunkts dadurch vereinfacht werden, daß man mit der Kreuzscheibe und Meßstangen oder Taschenmaßstab den Hilfspunkt Ä auf die Linie AB anwinkelt oder A auf ÄB anwinkelt und den senkrechten Abstand mißt; ist dieser e,

■ q", mit richtigem Zeichen zu nehmen.

BÄ

2. Zentrieren des Standpunkts. Zentrierung eines gemessnen Winkels. Das Instrument kann nicht im Punkt C (Zentrum), wo

so ist die Korrektion (6) x” =

der Winkel gemessen werden sollte, aufgestellt werden, sondern muß in dem benachbarten Punkt T (Tbeodolitstandpunkt) aufgestellt werden.

8’

Man rechnet hier, um eine allgemein brauchbare Formel zu erhalten, am besten nach der Zentrierung von Richtungen, nicht gleich die Zentrierti^g des gemessnen Winkels; der Betrag der Winkelzentrierung ist die Differenz der Zentrierungen der zwei Richtungen. Wir wollen die Richtungen zählen von der Verbindungslinie des Punkts T, in dem der Theodolit steht, mit dem Punkt C, in dem er stehen sollte, aus als Nullrichtung, von 0° bis 360° durchlaufend rechts herum; vgl. Fig. 320. Der Winkel in T zwischen Olinks und dem entfernten Zielpunkt A rechts sei hiernach = d'

Fig. 320.

(das also eigentlich eine Richtung bedeutet, von TG als Null der Richtungen an); die „zentrierte Richtung“,

nämlich der Winkel in G zwischen derselben Nullrichtung und der Richtung nach dem entfernten Punkt A, sei d, so ist, wenn e die Exzentrizitätsstrecke TG bedeutet, für jeden Fall gültig

d = d' + A=-smd'-p", GA

(?)

vT

Tr

Fig. 321.

C e 'Tl

wobei das Vorzeichen von sind' zu beachten ist (+ für d' zwischen 0a und 180°, — für d' zwischen 180° und 360°). Es ist dabei wieder meist gleichgültig, ob wir im Nenner bei (7) CA oder TA schreiben.

Ein Winkel ist nun die Differenz zweier Richtungen; um einen in T statt in G gemessnen Winkel zu zentrieren, ist also dem gemessnen Winkel hinzuzufügen der Betrag

(8) Zentrierung der Richtung (des Schenkels) rechts minus Zentrierung der Richtung (des Schenkels) links,

immer mit Beachtung der Vorzeichen der sin der zwei zu verwendenden Winkel. Es sei (Fig. 321) in T statt G gemessen der Winkel y zwischen A links und B rechts; was ist der Winkel y, der in C gemessen worden wäre, wenn TC=e und in T mit TG als Nullrichtung die Winkel der Zielungen TA und TB mit TG sind, nach rechts gezählt:

yx = Winkel zwischen C links und dem linken Punkt A der Winkelmessung rechts,

yr = Winkel zwischen C links und dem rechten Punkt B der Winkelmessung rechts?

Aus der Definition von yv yr und dem gemessnen Winkel y geht hervor, daß mit unsern Bezeichnungen ganz allgemein gültig

(9)

Yr = Yi + / ist.

Die Antwort auf die Frage ist gemäß (7) und (8), ebenfalls ganz allgemein gültig:

6    •    rr -    6    .    //

CA

= ■ sm yt ■ q + = -stnyr-Q ,

mit Beachtung der Vorzeichen, das für sin yl und für sin yr (Richtung für den Schenkel links und für den Schenkel rechts) selbst wieder -f- oder — sein kann. Die Strecken CA und CB in den Nennern der zwei Korrektionsglieder sind die Entfernungen des Punkts links und des Punkts rechts vom Winkelscheitel (Schenkellängen links und rechts), wobei wieder meist gleichgültig ist, ob die Entfernungen von C oder vom Standpunkt T des Theodolits aus gerechnet werden.

Absolut genommen sind die Beträge der zwei Zusatzglieder der rechten Seite die kleinen Winkel x" und y" in A und B, vgl. Fig. 321. Es ist dem Anfänger zu empfehlen, sich an der Figur klar zu machen, daß x und y mit demselben Zeichen und mit verschiednen Zeichen als Korrektionen Vorkommen können. Es sind überhaupt die vier in den folgenden Figg. 322 bis 325 dargestellten Fälle möglich, . in denen wir nun x" und y" stets absolut nehmen, aber die Übereinstimmung mit (10) nachweisen, wobei 1. und 2. Glied immer die Zusatzglieder bedeuten.

1.,    Fig. 322; y = y—x '— y" (in (10) bleibt 1. Glied rechts —, weil yx <( 180°,

das 2. wird ebenfalls —, weil yr )> 180°);

2.,    Fig. 323; y = y -j- x" -f- y" (in (10) wird 1. Glied -j-, weil yx )> 180°, das 2.

bleibt weil yr <[ 180°);

3.,    Fig. 324; y = y — x" -f- y" (die Vorzeichen bleiben tatsächlich wie in (10), da

sowohl yx als yr <( 180° sind);

4., Fig. 325; y = y' -)- x" — y" (die Vorzeichen werden beide anders als in (10), da

sowohl yx als yr )> 180° sind).

Von der Beifügung von Rechnungsbeispielen sehen wir hier ab; es ist noch in den Übungen 86. einiges anzugeben, andres bleibe dem Band II dieses Buchs Vorbehalten.

Bei dieser Aufgabe der Standpunktszentrierung ist es nicht immer, wie seither stillschweigend angenommen, möglich, die Exzentrizitätsstrecke e und ebenso

ihre Richtung gegen die Winkel- Ac Schenkel direkt zu messen; vielmehr verlangt die Bestimmung von e und seiner Lage selbst manchmal schon eine komplizierte Kleintiiangulierungs-arbeit, besonders wenn z. B. C ein sehr hochgelegner Punkt ist (Turmspitze oder dgl.), T aber ein am Fuß des Turms möglicher Standpunkt; mit Rücksicht auf große Höhenwinkel beim Anzielen von C erfordert hier oft die Bestimmung von e eine ziemlich umfangreiche Messung.

3. Punktverlegung. Oft ist es, statt viele Zielpunktszentrierungen oder viele Winkel (Standpunkts-) Zentrierungen zu berechnen, einfacher, den Punkt tatsächlich in den Hilfspunkt „zu verlegen“, d. h. ihn durch diesen Punkt mit zu berechnenden Koordinaten zu ersetzen. Ist z. B. der Punkt C, Fig. 326, nicht bequem zugänglich, so ersetzt man ihn durch C\ der gegen C festgelegt wird durch 'Strecke CG'—e und Winkel in C zwischen einem bekannten Punkt K, (xk, yk) links und C' rechts —n oder, falls p nicht bequem ge-messen werden kann, in C' zwischen C links und K rechts.

Wenn K so weit entfernt ist, daß CKC nur klein

x’*

ie

(ii)

x”

x”

Fig. 322.

Fig. 323.

-rCX-r’-

y”

tJe

»B

y”

>B

y*

C;

rv.

C'

Fig. 324.

x”

-T

■»-o

Fig. 326.

Fig. 325.

ist, so ist für die Zentrierungs- oder Verlegungsrechnung genügend, besonders bei kleinem e

(12)

v ~ 180°— p

zu setzen, d. h. die sin von p und von v sind genügend gleich. Die Koordinaten von C mögen gegeben sein, (xc, yc), ebenso, wie schon erwähnt, die des weit entfernten Punkts K, (xk, yk). Zur Berechnung der Koordinaten von C' hat man zunächst:

(13)

also ist

tg(CK) = —--V\

xk — xc

(14)

(<7C') = (<7iT) + p

oder unter der gemachten Voraussetzung auch

genügend genau = (CK) -(- 180°— v,

und demnach sind die Koordinaten des Hilfspunkts C', der nun dauernd C ersetzt, zu rechnen nach

(15)

xc'= xc -j- e ■ cos ((7(7'),

yc'=yc + e‘sin(CC')i

bis zu e = einigen m mit dem Rechenschieber, bis c = 20m od. dgl. mit 4-stell. Log. Nach der Größe von e, die stets auf 1 auf 1

cm

cm

genau zu messen ist, wenn die Koordinaten bekannt und zu berechnen sind, muß sich die Genauigkeit richten, mit der p oder v zu messen ist.

Eine besondre Art von Verlegung eines trigonometrischen Punkts ist häufig in folgender Art bequem: S ist, Fig. 327 ein Signalstein, der zentrisch sitzt, also nicht zentrisch mit einer Stange aufgesteckt werden kann, auch zur Aufstellung des Theodolits über S selbst frei bleiben soll, während die Signalstange in S' nicht abgezogen werden soll. Man steckt diese Signalstange S' in die Entfernung e — 1.00 m oder e — 2,00 m von S und genau in die Richtung von S auf einen bekannten Punkt zu, z. B. den Turm K\ die Koordinaten von S' ergeben sich aus denen von S einfach durch die Gleichungen

(16)

— *.+ («* — *»)• = ysr = y* 4- (yk — y«) ■ ==-

X/

e=l,oom

SK ’

Fig. 327.

wo rechts SK aus den Koordinaten von S und von K mit der Quadrattafel zu berechnen ist oder auch aus einer Übersichtskarte, z. B. in 1:10( 00 genügend abgestochen werden kann und damit die kleinen Zusatzglieder mit Hilfe des Rechenschiebers zu berechnen sind. Es ist dann nur notwendig, bei allen Aufschreibungen stets genau die Punkte S und S' auseinander zu halten, z. B. Standpunkt des Theodolits: S, Stein, oder bei Anzielen des Punkts S' von einem andern Punkt aus: Zielpunkt S\ StaDge.

87. Übungen. 1. Neben den Feldübungen zur trigonometrischen Punktbestimmung, für die oben in den einfachsten Fällen und sowrit die Aufgaben für dieses Buch in Betracht kommen, genügende Anleitung gegeben ist, handelt es sich für den Anfänger besonders auch um genügende Rechennbung, und hierzu sind, neben den wichtigen und geläufig zu machenden Grundaufgaben des einfachen Vorwärts- und einfachen Rückwärtseinschneidens die Aufgaben der gleichzeitigen einfachen trigonometrischen Bestimmung mehrerer Punkte ganz gut, wenn auch für die Praxis fast ganz dasselbe von ihnen gesagt werden kann, was für viele „flilfsaufgaben“ oder ,,Hindernisaufgaben“ bei der Kleb messnng früher gesagt worden ist, vgl. 34.; im Sinn von Rechenübungen sind Aufgaben wie die der . zwei Punktepaare (Hansensche Aufgabe, gleichzeitiges gegenseitiges Rückwärtseinschneiden zweier Neupunkte über zwei gegebne Punkte), die sog. Mareksche

Aufgabe und die sog. erweiterte Snelliussche (oder Pothenotsche) Aufgabe, gleichzeitiges und gegenseitiges Rückwärtseinschneiden zweier Neupunkte über je zwei (im ganzen vier) oder über drei gegebne Punkte durchaus nützlich. Es sind unten einige Zahlen auch dafür angegeben.

2. Vorerst sind hier noch einige Rechenübungen zum normalen einfachen Rückwärtseinschneiden eines Neupunkts angegeben. Solche zum Vorwärts-abschneiden sind in 3. zusammen mit Zentrierungsaufgaben aufgeführt und es genüge hier zum einfachen Vor wärt seinschneiden das eine weitre Beispiel (aus den Messungsübungen 1903 bei Stuttgart):

a) Zur Bestimmung des Neupunkts C an der Gäubahn sind folgende Winkel gemessen (je 4 mal repetiert);

in A zwischen C links und B rechts = 43° 51'25"

= 83 52 38 = 52 16 10

180° 0' 13".

Die Koordinaten der zwei gegebnen Punkte sind:

A = Feuerb. Heide I xa =-(- 30457,04 ya =-j- 8150,15 B — Feuerb. Heide II xb — -j- 30119,32 yb = -f- 7602,32.

Die Koordinaten von C werden, nach Verteilung des Dreiecksschlußfehlers von nur 13" und bei 5-stelliger Rechnung:

xc = -f 29 673,70 yc = + 7947,69.

b) Zur trigonometrischen Bestimmung der Koordinaten des Polygonpunkts 43 — D (Zugmessung für die Lageplanaufnahme auf dem Westbahnhof bei Stuttgart Bauingenieure, Mai 1908) und mit Zugrundlegung der Koordinaten folgender drei gegebnen Punkte:

Punkt

A = Hasenberg, Auss.-T.

C — Pauluskirche, Helmstange B = Rathaus, Turm

sind auf dem zu bestimmenden Punkt die Winkel gemessen: Da zwischen Hasenberg, T., links und Paul-K.

„ Rathaus, T.,

+ 27198,07 + 28107,88 -f 28394,14

-1- 6919,41 -j- 7520,94 -f 9341,64

Paul.-K.

rechts = 162° 34'45" „    = 39 14 00 .

-Papier, z. B. nur im Maßstab = 1000m Feldlänge. Fünfstellige Rechnung gibt von A und von

cm

Den wirklich gemessnen Richtungssatz s. bei c). Man zeichne sich sogleich eine Lageplanskizze dieser Punkte auf ein Stückchen 1:25 000, 4 B aus:

*a = + 27198,07 AI) ■ cos (AD) = -\-    269,18

Vc = + 6919,41 AB • sin (AD) = -f 268,29

____________Vd = + 7187,70

yb = -f- 9341,64 BD ■ sin (B D) = — 2153,96 y«* = + 7187,7.

Bei der angewandten 5-stelligen Rechnung erhält man also in xd von B das sicher, in yd von B aus höchstens das Dm. Die Probe ist aber dennoch ausreichend Will man noch hessre Kontrolle haben, so rechnet man auch noch von C aus mit Hilfe von

_ xd = + 27 467,25

xb = 4- 28 394,14 BD ■ cos (BD) = —    926,90

xd = 4~ 27 467,24

cm

nicht

log CD = 2.85 86* j, (CD) = 207° 29' 00",

und findet von diesem dritten Punkt aus

xd = + 28107,88 -- 640,62 = -f 27467,26 yd = -\- 7 520,94— 333,25==-)- 7187,69.

Sechsstellige Rechnung, die schon ziemlich weniger bequem ist als fünfstellige, liefert keine nennenswerte Abweichung im Ergebnis.

c) Man versuche auch hier wieder, die Rechnung auch vom „mittlern“ Punkt C aus dadurch zu verbessern, daß den Punkten andre Bezeichnungen gegeben werden; nehmen wir als Punkte A und B die mit den kürzesten Entfernungen von D, nämlich A = Pauluskirche, B — Hasenberg, A.-T., also C = Rathaus, Turm (die Koordinaten der drei Punkte sind oben angegeben), so werden gemäß dem tatsächlich gemessnen Richtungssatz (Mittel aus drei gemessnen Sätzen)

Hasenberg Pauluskirche

0° 0' 0"

162° 34' 45"

Rathaus, Turm 201° 48' 45", die zwei in der Rechnung zu verwendenden Winkel:

Da = 39° 14' 00", Db — 158° 11' 15", und man erhält mit abermals 5-stelliger Rechnung

(AD) = 207° 28' 59" [übereinstimmend mit oben, dort (CD)] und auch (BD)— 44° 54'14" stimmt auf 1" mit oben, [dort (AD) J.

Dagegen stimmt nur noch log AD gut mit oben (2.85 682, übereinstimmend mit dort log CD = 2.85682), während log BD hier = 2.57 987 wird (gegen 2.57 984 für log ÄD der obigen Rechnung): zufällig ist (ip -f- Db) = 177° 0' 12", rund nur 3° von 180° verschieden, wodurch BD nicht sicher genug ausfällt. Es wird zwar auch hier, von den Punkten A und B aus übereinstimmend

+27467,^}, yd = + 7187,™}

wie oben, aber viel gewonnen ist mit der Ändrung der Punktbezeichnung gegen vorhin nicht wegen der Lage der Richtungen. Vgl. auch die Berechnung des Hilfspunkts I im Textbeispiel bei einer Lageplanaufnahme auf demselben Gelände.

d) Für einfachen Rückwärtseinschnitt mit 6-stelliger Rechnung (aber Abrundung auf 1" in den Winkeln) seien auch noch zwei Zahlenbeispiele angegeben, das erste mit kleinen, das zweite mit großen Koordinatendifferenzen und Seitenlängen. Gegebne Punkte:

-f 28360,85 + 28090,90 -f 28240,15

-f 9621,99 -f 9461,88

-4- 9255,14 ; gemessen sind:

Man findet log CD — 2.410739 (Probe), (CD

Da = 89°55'40", Db = 64°27' 10".

= 355°43'22"; log AD = 2.254773, (AD) = 265°47'42", log BD — 2.334 791, (BD) — 60°10'32"; xd = + 28347,67, yd =-f 9442,68.

Ferner, von einer Lageplanaufnahme des Bahnhofs Vaihingen a. F. bei Stuttgart, 1906, Rückwärtseinschneiden des Punkts L der Zugmessung mit folgender Messung und gegebnen Koordinaten:

A = Rohr £

C — Vaihingen £ B = Degerloch £

154° 6' 20" 238.° 28' 7" 0° 0' 0"

Sätzen mit einem 10"-Non.-Theodolit

a = 84° 21'47" 121° 31' 53".

4 21905,11 4 23 672,09 4 25 899,59

4- 3991,04 4- 4342,27 4 9184,03

log AD = 3.239904 log BD = 3.694121

von A und B aus genügend übereinstimmend:

Man findet 6-stellig (was hier durchaus notwendig ist)

log CD = 2.830 30g j (Kontrolle) (CD) = 117° 33'06" und mit (AD) = 33° 11'19"

(BD) = 239° 04'59"

^ = 4 23359,^}

yÄ = 44942,JJ}.

Selbstverständlich kann man auch hier noch von C aus rechnen und die Zahlen dazu sind bereits angeschrieben; es ist aber überflüssig, obwohl C der am nächsten bei D liegende Punkt ist.

e) Bei der Lageplanaufnahme des Bahnhofs Korntal bei Stuttgart im Jahr 1907 ist ein Punkt D = II als einer der Zuganschlußpunkte trigonometrisch durch Rückwärtseinschneiden bestimmt worden. Das Beispiel kann dazu dienen, zu zeigen, daß einer der Punkte verhältnismäßig sehr weit entfernt sein kann, ohne daß die Schärfe der Bestimmung leidet (s. Text S. 513/514). Die Zahlen sind folgende:

A = Solitude, Erdmessungspfeiler C = Signalstein Schnaidtwiese B = Korntal, £

*a = 4 29 698,48 ya = 4 2461,32 I xc = 4 34170,30    yc == 4 4249,70

xb = 4 34673,69    yb = 4 5367,90

Die zwei gemessnen Winkel sind aus dem Mittel der drei mit 20"-Theodolit ge-

Da = 103° 3'16" I)b= 94° 59'25".

messnen Sätze gebildet. Die Ergebnisse sind mit 5-stelliger Rechnung log AD = 3.67193 (also für 5-stellige Weiterrechnung viel zu groß), logBD = 3.04452 (geht noch an), log CD = 2.64139 (Kontrolle); (AD) = 26° 52' 46", (BD) — 224° 55' 27", (CD) = 129° 56' 02". Von A aus erhält man nur etwa die 3m-Koordinaten von D, von B aus wird

= 4 33 889,20, yd = 4 4585,50.

Rechnet man zur Probe hier wieder von C aus, so findet man xd auf das einstimmend, yd 1

Derselbe Punkt ist von einer andern Arbeitsgruppe mit Hilfe eines andern, nicht so weit wie Solitude entfernten dritten Punkts nochmals einfach rückwärts ein-

cm

über-

cm

kleiner.

geschnitten worden durch folgenden Richtungssatz zwischen dem Punkt A = Signalstein Schnaidtwiese, C — Korntal £, B — Signalstein Halde, wobei die Koordinaten dieser drei Punkte sogleich mit angeschrieben werden:

A = Signalst. Schnaidtwiese I xa = 4 34170,30

Xc = 4 34673,69 xb = 4 33925,72

C = Korntal £

B = Signalst. Halde

Va = 4 4249,70 Vo = 4 5367,90 yb = 4 5489,60

Gemessne Rieht. 0° 0' 0" 94° 59'24" 137°45' 8"

Der Richtungssatz ist das Mittel dreier vollständiger Sätze mit einem 20"-Theodolit, der m. E. einer Richtung des Mittels zu 4 5" zu schätzen. Das Ergebnis für die Koordinaten des gesuchten Punkts (ebenfalls 5-steilig gerechnet) stimmt zufällig auf 1

cm

mit den vorhin angegebnen Zahlen:

Xd = 4 33889,^5 j, ^ = 4 4585,4*}.

Die log der Entfernungen nach den zwei mit der vorigen Bestimmung gemeinschaftlichen Punkten weichen nur in der letzten Stelle um 1 Einheit ab, R.-W. um 2", log Wl) wird 2.95658, (BD) = 267° 41' 13".

3. Die folgenden Beispiele beziehen sich alle auf Zentrierungsaufgaben.

a) Zur Bestimmung eines Punkts K₂ bei einer Lageplanaufnahme in Zuffenhausen bei Stuttgart 1894 aus den zwei Punkten £ Schützenbühl und £ Elbeplatz sind folgende Winkel gemessen. Da E nicht zentrisch aufgesteckt werden konnte {Punkt zentrisch versteint durch heuen Signal stein), so ist als Zielpunkt von S und von K₂ aus die Stange E' nahe bei E benützt, während der Winkel in E selbst {Theodolit über dem Stein zentrisch) gemessen ist. Es sind gemessen:

in E zwischen S links und K₂ rechts = 17° 47'10"

„ E' „    = 74 12 30

= 88    0 45 .

„ S

E' „

.i    :

Da die Winkel nicht die eines geschlossnen Dreiecks sind, so gibt ihre Addition zunächst keine Messungsprobe. Als Zentrierungselemente von E' auf E ist zunächst die Entfernung E’E— 0,72 m gemessen, ferner durch Versehen eines Studierenden der Winkel in E' (Ort der nachher aufgericbteten Stange), nicht, wie es natürlich gewesen wäre, in E, wo ohnehin der Theodolit aufgestellt werden mußte. Um zu zeigen, daß dies gleichgültig ist, wird der Zentrierungswinkel angegeben, wie er gemessen ist, nämlich

in E' zwischen E links und S rechts = 59°,9

(also zwischen E links und Jt₂ rechts = 59°,9-)-17°,8 = 77°,7). Die Koordinaten der zwei gegebnen Punkte Elbeplatz und Schützenbühl sind:

xe = -J- 35492,15 ye = -f 7318,56 Xt = -f 35 019,85 ys = + 8198,48.

Nach unsrer Bezeichnungsweise von 83. 1. ist A = Signal Schützenbühl, B = Signal Elbeplatz, C = K₂ Man entwerfe sich nach allen diesen Angaben selbst die Figur, auch für die Zentrierungsstücke. Durch vorläufige dreistellige Rechnung, die bei der geringen Größe von e — 0,72m vollständig ausreicht, mit Benützung der nicht zentrierten Winkel, sind Näherungswerte der Strecken AC und BC zu berechnen, die für die Zentrierung der Winkelmessungen in den Punkten A und C genügen (Zentrierungen je des einen Zielpunkts E' auf E). Nach Ausgleich des in der Summe der zentrierten Winkel sich zeigenden Widerspruchs (gleichförmige Verteilung) gilt die endgültige 5-stellige Rechnung:

xc = + 34800,21, yc = -f 7986,50.

b) Zur Bestimmung der Koordinaten des Punkts M (Stange eines Feldkreuzes) sind folgende Winkel gemessen:

in S

zwischen K links und M rechts = 62° 21' 10"

= 63 17 50 = 54 20 20 .

5> M „ S „

„ M' (statt M)

„ K „

Die Koordinaten der gegebnen Punkte 8 und K sind:

xa = + 23 245,13 yt = — 7913,54 ^ = -}- 22 621,88 14 = — 8325,03.

Die Zentrierungsstücke von M' auf M sind neben in der Fig. 328 angegeben: M' M— 1,08 m, Winkel MM'S= 61° 5'.

Auf den beiden Punkten S und K sind als Zielzeichen Signalscheiben auf Eisendrahtgestellen verwendet, die leicht entfernt werden konnten, so daß auf diesen Punkten als Standpunkten die Winkel zentrisch gemessen werden konnten. Die Summe der ge-messnen Winkel 179° 59'20" gibt wieder keinen Wert des Schlußfehlers des Dreiecks, weil einer der Winkel exzentrisch gemessen ist. Die nicht zentrierten Winkel genügen aber vollständig zur Rechnung genäherter Werte der Streiken SM (oder SM') und KM (oder KM'), mit deren Hilfe dann die Zentrierung des in M' gemessnen Winkels auf M gerechnet werden kann. Aus den gegebnen Koordinaten findet man (5-stellig) definitiv

iß),

(KS) = 33° 26' 4", log KS — 2 87 323;

damit durch die nebenstehende Näherungsrechnung log SM— 2.914 und log KM = 2.910 und hieraus

1,08 itv

t>l°5/

M'

Mg. 328.

SM

2.914

M= M' —

1,08

sin K

9.951

KS

2.873 E sin M' 0.090 sinS I 9.947

7.086 — 10 5 348

9.422 — 10

2.376

KM

2.910

1,08

0.0334

5.3144

7.090 — 10 5.348

9.956 — 10

p" • 1,08

5.348

2.394

1,08

sin (115°25') • q".

sin (61° 5') • q"

[2.910]

Die Ausrechnung der beiden Korrektionsglieder steht ebenfalls neben und gibt — 238" -J- 247", sodaß die Zentrierung des Winkels, der in M' gemessen ist, auf — 238" M diesen nur um -|- 9" verändert; es wird also M = 54°20'29", der Messung entsprechend. Damit wird die Summe der drei gemessnen Winkel des Dreiecks KSM

[2.914]

-f 247"

179° 59' 29",

oder man hat nach Yerteilung des Dreiecksschlußfehleis von 31" die verbesserten Dreiecks winkel:

S = 62° 21' 20" JK= 63 18 00 zentriert M = 54 20 40

180° O'OO",

und hieraus ergeben sich bei 5-stelliger Rechnung, die vollständig ausreicht, die Koordinaten des gesuchten Punkts M nach der Rechnungsweise in 83. zu

xm = + 23327,96, yrn = — 8730,49.

c) Yon den zwei vorstehenden Beispielen gab a) die Zentrierung eines Zielpunkts, b) die Zentrierung eines Theodolitstandpunkts; das folgende Beispiel gibt in demselben Dreieck beides. Es sind die drei Winkel gemessen (vgl. Skizze Fig. 329, die nicht den Messungszahlen entspricht, aber doch über das Vorzeichen der Zentrierungsbeträge keinen Zweifel läßt):

in A' (statt A) Winkel zwischen C

11

11

11

links und B' (statt B) rechts = 68° 4'25" = 46 47 32 = 65    6 55 .

n    ii    o

B' (statt B) „    „    A

11

11

Statt des Punkts B, der durch einen zentrischen Stein versichert ist, ist nämlich als Zielpunkt von A' und von C aus die in der Nähe von B aufgesteckte Stange B' genommen, während in B selbst der Winkel zwischen A und C gemessen werden

Hammer: elementare praktische Geometrie.

34

B' (Stange)

""-TA

>A'

'/

konnte; endlich ist statt des Punkts A, auf dem der Theodolit nicht aufgestellt werden kann, als Standpunkt der Punkt A' in der Nähe von A benützt und dort der Winkel zwischen C und der Stange B' gemessen. Die Zentrierungsstücke für die zwei Zentrierungen von B' auf B und von A' auC A sind in den untenstehenden zwei Skizzen Fig. 330 angegeben.

Die Koordinaten der zwei gegebnen Punkte A und B lauten:

A $ Hohkreuz

\\

Fig. 329.

xa = —12 737,04 Va~ — 7325,96 B £ Bachwiesen Stein xb ——12 382,33 y^ — — 8063,72.

Man kann hier verschieden rechnen. Läßt man das Dreieck ACB als das zu be

rechnende, so sind Zentrierungen in folgender Zahl auszuführen:

drei in A (von Ä auf A als Winkelscheitel zu zentrieren, d. h. die zwei von A' ausgehenden Richtungen zu zentrieren; dann nochmals Richtung von A nach B' auf die Richtung von A nach B zu zentrieren, Zielpunktszentrierung); keine in B;

eine in C (Zielung von C nach B' auf B als Zielpunkt zu

o°o'

zentrieren).

o\

B '(Stange)

Stein B

B’-

ad A(Kreuz)

oV~—

BB' = o,50 m Winkel in B zwischen A links und B'rechts - 314-°4.

■Sill,oo m

BVre)

297 “15

1,00 m

>A

Stdpkt A!

AA' - l,oo m

Winkel in A' zwischen B’ links und A rechts = 6Z° 45'.

cao

Fig. 330 a.

229°11’

Fig. 330.

Als endgültige Rechnung reicht die mit 5-stelligen Tafeln aus; (AB) und AR können selbstverständlich gleich endgültig gerechnet werden, Ergebnis

(AB) = 295° 40' 39",

log AB = 2.91308.

Die mit den nicht zentrierten Winkeln 4- oder 3-stellig berechneten genäherten Entfernungen BC und AC (oder B'C und Ä'C) werden

log B C= 2.923,

log AC — 2.818.

Damit erhält man:

1. für die Zentrierung in C:

x" —

0,50 • sin (45°,6 + 46°,8)

[2.923]

• 206 300"= 123"= 2' 3",

oder der in C zwischen B (nicht B') links und A rechts gemessne Winkel wäre geworden = 65° 8' 58".

2. Erste Zentrierung in A (Reduktion von A' auf A), s. Skizze Fig. 330 a, in die die Richtungen nach unsrer allgemein brauchbaren Bezeichnung von 86.2. eingesetzt sind:

Beispiel für einfaches „vereinigtes“ Einschneiden eines Punkts.

531

Schenkel links = —

1,00

[2.818]

• sin (229°,2) • q" = -f 237"

Schenkel rechts = -(-

1,00

[2.913]

• sin (297°,2) • q" = — 224"

Summe = -j- 13".

oder Winkel in A (nicht A') zwischen C links und B' rechts wäre nach der Messung geworden — 68° 4'38".

3. Zweite Zentrierung in A (vom Zielpunkt B' auf B); es ist 0,50 • sin 45°,6 [2.913]

oder es wäre Winkel in A zwischen C links und B (statt der Stange B') rechts = 68° 03' 08". Die drei zentrierten Winkel geben also nun als Schlußfehler des Dreiecks 22"; die verbesserten Winkel sind neben die zentrierten geschrieben. Nach der gewöhnlichen Rechnung erhält man von A und von B aus 5-stellig übereinstimmend

*"

A = 68° 3' 8" |

B = 46° 47' 32"

C = 65° 8'58" ! 9'06"

16"

38"

• 206 300"== 90"= 1' 30",

179°59'38"

a?₀ = — 13180,24 yc = — 7811,71.

4. Die folgenden Aufgaben beziehen sich auf im Text nicht näher Behandeltes, im Sinn von 1. dieser Nummer: a) auf einfaches kombiniertes Einschneiden (das hier nicht Seitwärtsabschneiden ist), b) auf gleichzeitiges gegenseitiges Rückwärtseinschneiden zweier Punkte über zwei gegebne Punkte (Hansens Aufgabe), c) auf die „erweiterte“ Aufgabe des Rückwärtseinschneidens über drei gegebne Punkte, d) ist die sog. Mareksche Aufgabe (ein Fall der Lambertschen Sechsecksaufgaben).

a) Zur einfachen Bestimmung des Punkts N ist in dem gegebnen Punkt A ein Richtungssatz gemessen worden (s. Fig. 331) zwischen den gegebnen Punkten F, E und dem Neupunkt W, der nach Orientierung (vgl.

pC

64. 4 und 85. 1) den Richtungswinkel (AN) und damit die eine Bestimmungslinie (Gerade) für N liefert. Da nun wohl von A nach N, aber nicht umgekehrt von N nach A gezielt werden konnte (Bodenwelle von 1,5 m Höhe

nahe bei N verhindert dies), so ist N auch rückwärts eingeschnitten über die zwei weitern gegebnen, von N aus sichtbaren Punkte B und C durch Messen des Winkels in N

E©''

Fig. 331.

zwischen B links und C rechts. Diese Winkelmessung liefert als zweite Bestimmungslinie für N einen Kreisbogen über B C als Sehne und mit dem gemessnen Winkel als Peripheriewinkel; N ist also einfach bestimmt durch einen Vorwärts- und einen Rückwärtsschnitt, man wird aber nicht (wie es oft in diesem Fall geschieht) von „Gegenschnitt“ sprechen können und der Punkt N wird auch nicht als „seitwärts“ abgeschnitten zu bezeichnen sein. Wie sind seine Koordinaten am einfachsten zu berechnen?

Zahlenbeispiel, für fünfstellige Rechnung, wobei der fertig ausgerechnete, der Satzmessung in A entsprechende R. W. angeschrieben wird, nämlich :

{AN) = 187 ⁰4' 25"; ferner gemessen in N zwischen B links und Crechts = 109 ⁰27'45". Die Koordinaten der drei Punkte A, B, C sind

A    xa=    + 27498,03    ya= -f- 7221,05

B    xb =    -j- 27 803,82    yb = -f 6733,18

C    xc =    -J- 27 849,27    y₀ = -f 7719,73.

b) Sog. Hansensche Aufgabe, „zwei Punktepaare“, gleichzeitiges gegenseitiges Einschneiden zweier Punkte über zwei gegebne; außerhalb des Koordinatensystems als „Aufgabe der unzugänglichen Distanz“ behandelt in 78. 1. Gegeben die Koordinaten von A und von Al (Türme als natürlich bezeichnete Punkte, die keine weitre Arbeit verlangen) Fig. 332:

A xa = — 32416,15 ya = -f 27328,04 A ^ = - 31287,43 yai= + 31296,87;

in den Punkten B und C, deren Koordinaten zu berechnen sind, sind gemessen, (geschätzter Fehler einer Richtung + 3") die Sätze (Mittel aus je drei Sätzen mit einem 10"-Theodolit)

in B:

At 0° 0' 0" C 62°47'14" A 109°22'38"

in C:

A 0° 0' 0" B 57°27'58" A± 128°51' 03".

Fig. 332.

*S.

A<

D₂

Di

Fig. 333.

Af\

PB,

Man führe diese Rechnung 6-stellig durch; versuche auch eine Diskussion dieser einfachsten Art der gleichzeitigen Bestimmung zweier Punkte durch Rückwärtseinschneiden.

c) Gleichzeitiges, gegenseitiges, einfaches Rückwärtseinschneiden zweier Punkte über drei gegebne Punkte, oft so genannte „einfach erweiterte“ Aufgabe des Rückwärtseinschneidens Fig. 333: zwei Punkte B₁ und J)₂ sind gegenseitig sichtbar, von D₁ sind ferner die zwei weitern gegebnen Festpunkte A und O (nicht aber JB), von Z)₂ aus die Festpunkte C und B (nicht aber A) sichtbar. Man mißt also in Dx die Winkel (meist durch Sätze) zwischen den Richtungen I>₁ A, JD₁ C und. Dx Z)₂, in Z>₂ die Winkel (ebenso) zwischen den Richtungen -D₂ Z),, I)₂ C und Z)₂ B. Hieraus sind die Koordinaten der zwei Punkte B1 und -D„ zu berechnen. Es handelt

••••

*AZ

Fig. 334.

sich um eine Fünfecksaufgabe (Fünfeck verlangt sieben gegebne Stücke: drei sind in dem „gegebnen Dreieck“ ACB enthalten, durch je zwei unabhängige Winkel liegen die Richtungen in I)l und in _D₂ gegeneinanderfest); als Unbekannte sind wie bei 78. 2. und 84. wieder emzuführen die Winkel qo und ip in A und B, die aus ihrer Summe und dem Verhältnis ihrer Sinus zu berechnen sind. So-

bald gr und ip bekannt sind, sind alle Winkel der drei Dreiecke bekannt und damit

die weitre Auflösung (mit Proben) selbstverständlich. Zahlenbeispiele wähle man selbst, Diskussion in der Art von 84. 4, 5.

Die Aufgabe läßt sich nochmals „erweitern“, z. B. kann man drei Punkte Dx, D₂, _DS gleichzeitig gegenseitig rückwärts einschneiden, wenn von D₁ aus A, C, D₂, von Dt aus D₁, C, Ds, endlich von Ds aus D₂, C, B sichtbar sind. Man hat dann eine Sechecksaufgabe mit (2-6 — 3) = 9 gegebnen Stücken, 3 für das Dreieck ACB der gegebnen Punkte, je zwei unabhängige gemessne Winkel in jedem der drei Punkte D₂, D₃, deren Koordinaten zu berechnen sind. Auflösung ganz wie vorhin; schon diese zweite „Erweiterung“ (geschweige die theoretisch möglichen weitern) hat aber keine praktische Bedeutung mehr, während c) noch praktisch Vorkommen mag.

d) Gleichzeitiges, gegenseitiges, einfaches Rückwärtseinschneiden zweier Punkte über vier gegebne Punkte, von denen je zwei von jedem der gesuchten Punkte angezielt werden können, die sog. Mareksche Aufgabe. Von den zwei zu bestimmenden Punkten T)x und _D₂, die gegenseitig angezielt werden können sind vom ersten aus die zwei weiter gegebnen Punkte At und A₂ in günstiger Lage sichtbar, vom zweiten Punkt D₂ aus die gegebnen Punkte Bl und B₂. Die gemessnen Richtungssätze (oder Winkel) sind in der Fig. 334 angedeutet. Es handelt sich um eine Sechsecksaufgabe, es müssen also neun ucabhängige Stücke gegeben sein; deren braucht man fünf, die das Viereck A₁BlB₂A₂ festlegen, ferner können in Dt und D2 je drei Richtungen, d. h. je zwei unabhängige Winkel gemessen werden. Auch hier wähle man selbst ein Zahlenbeispiel und versuche eine Diskussion.

Weitergehende Aufgaben dieser Art, insbesondre gleichzeitige einfache Bestimmung von drei und mehr Punkten sind praktisch ohne Bedeutung.

SECHSTES KAPITEL.

ELEMENTARE AUFGABEN ÜBER ABSTECKUNGSARBEITEN (IM SINN DER LAGEMESSÜNGEN) MIT HILFE DES THEODOLITS.

Es handelt sich hier fast ohne Ausnahme nicht um Absteckung von einzelnen Punkten, sondern um Abstecken von Linien (was, wie wir wissen, im allgemeinen freilich auch nur „punktweise“ geschehen kann) im Sinn der Lagemessungen, besonders um die sog. „Übertragung“ einer in ein technisches Projekt eingezeichneten Linie „auf das Feld“. Im Hochbauwesen und bei den „Kunstbauten“ an Eisenbahnen usf. ist hier das sog. Ein schneiden von Schnurgerüsten zu nennen zum Zweck der Angabe (durch gespannte Schnüre mit angehängten Senkeln) der „Fluchten“ herzustellender Mauerkörper usf., wozu in derRegel schon kleine Theodolite, sog. Bautheodolite, verwendet werden. Wir gehen hier auf dieses Einschneiden nicht ein, beschränken uns vielmehr auf die Absteckung von Linien bei den „Erdarbeiten“ zu Ingenieurbauten oder bei Gleisabsteckungen für eine Eisenbahn usf.

Die abzusteckenden „Achsen“ künftiger Verkehrswege, von Eisenbahnen (Hauptbahn, Nebenbahn, Kleinbahn; Straßenbahn), Straßen (Hauptstraßen, Nachbarschaftsstraßen, Feld- und Waldwege), Kanälen usf setzen sich im allgemeinen ausschließlich aus geraden Stücken und diese berührend verbindenden Kreisbögen von bestimmten Halbmessern zusammen. Ausnahmen kommen im Eisenbahnban in den sog. Übergangskurven (zwischen Gerade und Kreisbogen einzuschaltendes Stück einer kubischen Parabel oder zwischen zwei Kreisbögen einzuschaltendes Stück) vor, im Straßen-und Wegbau in Kegelschnitten und „freien Kurven“, doch behandeln wir hier diese Ausnahmen nicht mit.

Die Geraden- und Kreisbogenstücke, aus denen sich die Achse eines zu erbauenden Verkehrswegs zusammensetzt, sind in den Entwurf (Lageplan) eingezeichnet, die Halbmesser der Kreisbögen sind dabei in dieses Projekt eingeschrieben. Die Achslinie ist auf das Feld zu übertragen, d. h. dort durch eine Anzahl von Punkten abzustecken (oder abzusetzen, wie man nach einem Markscheiderausdruck gelegentlich ebenfalls sagt). Wir haben demgemäß zu betrachten:

A.    Abstecken gerader Linien;

B.    Abstecken von Kreisbögen, wobei man das Abstecken von Hauptpunkten und Zwischenpunkten (oder Kleinpunkten) des Bogens zu unterscheiden pflegt.

Wir setzen dabei in jedem Pall voraus, daß die Ausdehnung (Länge) der abzusteckenden Linie, oder, bei kleinen Abmessungen, die geforderte Genauigkeit der Absteckung so groß sei, daß unsre frühem Winkelwerkzeuge für die konstanten Winkel 90°, 180° (und 45°), Kreuzscheibe, Spiegel- und Prismeninstrumente versagen und zum (wenn auch oft nur kleinen) Theodolit gegrüben werden muß.

88. Abstecken von geraden Linien mit dem Theodolit bei gegebnen gegenseitig sichtbaren Endpunkten der Strecke. Nach der ausgesprochnen Voraussetzung behandeln wir als einfachste Absteckungsaufgabe die folgende:

1. Von einer abzusteckenden Geraden sind die zwei Endpunkte gegeben, z. B. durch eingeschlagne ausgebohrte Pflöcke mit der Genauigkeit von 1 mm bezeichnet und gegenseitig sichtbar; es sind weitre Punkte der Geraden zu bezeichnen. Die Arbeit ist, wenn wir einen gut berichtigten Theodolit voraussetzen, sehr einfach folgende, Fig. 335: die Pflöcke A und JB seien die gegebnen Endpunkte; Theodolit in A aufgestellt, gut hori-zontiert, scharf zentriert; auf B Stab aufgesteckt (gewöhnlicher Fluchtstab bis zu 200 oder 300 m ausreichend, bei gutem Hintergrund oft selbst weiter, dann nur mit Fahne oder Wimpel zur leichtern Auffindung zu versehen; für größre Entfernungen stärkre Stangen, vgl. 77. 6.). Dieser Stab mit Theodolitfernrohr scharf angezielt, am Fußpunkt.

Ist z. B. AB ^ 250 m, der Stab 1,8 m lang, so erscheint er, wenig geneigte Ziel-

1,8

linie vorausgesetzt, unter dem Gesichtswinkel

Gesichtsfeld des etwa 20 fach vergrößernden Fernrohrs (rund 50') ungefähr die halbe Höhe ein, so daß der Anblick des Gesichtsfelds vor der letzten Einstellung des Stabs mit der Alhidadenfeinschraube (Klemme vorher anziehen, Limbusklemme im Fall eines Repetitionstheodolits gar nicht lösen) der der Fig. 336 ist: die Zielung geht in diesem Fall noch etwas rechts an dem Stab vorbei (Fernrohr kehrt um, vgl. u.)

250

. 3438' = 25', nimmt also im

am

Nachdem mit dem Vertikalfaden und zwar mit einem Punkt dicht beim Horizontalfaden vollends scharf das Stabbild halbiert ist, ist an dem Theodolit keine weitre Einstellung mehr notwendig und er würde

besten ganz unberührt bleiben, wenn man nicht dem Fernrohr, auch bei Absteckung auf der Ebene, kleine Kippbewegungen derart geben müßte, daß die Zielung stets nach dem Fußpunkt des einzurichtenden Stabs geht und man nicht den Trieb des Okularauszugs verwenden müßte, um beim Näherkommen der einzuweisenden Stäbe das Fernrohr zu verlängern, damit man diese Stäbe deutlich sieht. Da vorausgesetzt werden muß, daß durch Verwendung des Triebs sich die Fernrohrzielung nicht ändert (besonders die Kollimation konstant bleibt), so soll diese Andrang der Fernrohrlänge so viel als möglich hinausgezögert werden. Das Bild der in C, D, . . . aufzuhaltenden Stäbe muß stets in der für B angedeuteten Art im Fernrohr erscheinen und jeder dieser Stäbe ist scharf in den Vertikalfaden einzuwinken. Der Einzuweisende kann hier hinter dem Stab stehen im Gegensatz zu der Einweisung durch Einwinken ohne Zielfernrohr, mit freiem Auge, vgl. 8. Dabei ist schon auf 250 m, selbst Entfernung der Einzuweisende oder ein zweiter neben ihm stehender Gehilfe zweckmäßig mit einem Feldstecher auszurüsten, damit die Zeichen, die vom Instrument her gegeben werden, unzweideutig zu erkennen sind. Diese Zeichen werden stets mit den Armen, bei größrer Strecke mit einem weißen Tuch, allenfalls oben an einer nach links oder rechts zu neigenden Stange befestigt, gegeben, bis beim Näherkommen des Einzu weisen den, z. B. von 100 m an hereinwärts, die Arme (aber linker Arm für linksgehen, rechter Arm für rechtsgehen) ausreichen. Man kommt mit diesen einfachen Mitteln für sehr lange Linien, bis 800 m und dgl. aus, z. B. beim Abstecken von Strecken einer zu messenden Grundlinie.

200

-m

KB)

Zu beachten ist, daß das Fernrohr umkehrt, daß also nach rechts zu winken ist, wenn der einzuweisende Stab im Fernrohrgesichtsfeld zu weit rechts zu stehen scheint, nach links, wenn der Stab links vom Vertikalfaden erscheint; der Anfänger gewöhnt sich oft schwer hieran.

c'

-©

icm

o

C"

Fig. 335.

Fig. 336.

Bedeutet also der in Fig. 336 gezeichnete Stab nicht den Endpunkt B, sondern den Zwischenpunkt C, so entspricht die gez ichnete Stellung etwa dem Punkt, der in Fig. 335 mit C' bezeichnet ist, der Stab ist von A aus gesehen nach rechts zu winken; wird er dann nach C" gesetzt, erscheint also im Fernrohr links vom Vertikal-faden und ist nach links zu winken, so wird der den Stab haltende Gehilfe etwa die Mitte der Strecke CG" aufhalten usf. Zu bemerken ist hier nochmals, daß auch hei nur noch kleinen erforderlichen Versetzungen ebenso deutliche Zeichen, mit großen Ausschlägen z. B. im Fall der bei A zu neigenden Stange mit Fahne, zu geben sind wie für große Versetzungen; wie weit der Stab zu versetzen ist, kann der Einzuweisende beurteilen, sobald er nach den zwei verschiednen Richtungen gewiesen worden ist. Nach Erlangung der gewünschten Stellung ist durch besondres Signal Feststecken zu befehlen, im Fall der Stange mit Fahne mehrfaches Auf- und Abführen der Stange, oder, falls Winken mit dem Arm ausreicht, mehrfaches rasches Auf- und Abwinken mit beiden Händen. Vgl. zu alledem auch das Einweisen einer Geraden durch Stäbe ohne weitre Hilfsmittel, Nr. 8.

Sehr zu beachten ist nur ferner, wie schon oben erwähnt, daß das notwendige Kippen des Fernrohrs, um die Zielung in der beim Einstellen von B aufgesuchten Vertikalebene AB stets nach dem Fußpunkt der einzuweisenden Stäbe zu richten, mit großer Sorgfalt geschieht, ohne Berührung des Okularkopfs; es ist auch durch gutes Vertikalrichten des Vertikalfadens (Winkel zwischen ihm und der Kippachse genügend genau 90°, vgl. 58. 2. Anfang) dafür zu sorgen, daß es gleichgültig ist, ob man den Vertikalfaden um 1' oder 2' vom Horizontalfaden entfernt benützt.

Oft wird bei geklemmter Kippachse die Feinschraube der Kippbewegung ausreichen, um den neuen erforderlichen Höhenwinkel herzustellen: denken wir uns z. B. die Absteckung auf horizontaler Fläche gemacht und Hl? = 300 m, so erscheint bei der Instrumentenhöhe (Kippachse über A um) i — 1,4 m der Fußpunkt des Stabs in

1 4

B unter dem Tiefenwinkel ’ • (> = 16'; liegt C von B um 40 m entfernt, also

oOO

so ist der Tiefenwinkel nach dem Fußpunkt von G 18',5, also leicht

m,

AC = 260

ohne Lösung der Kippachsenklemme an der Feinschraube der Höhenbewegung herzustellen, ebenso noch nach D in 80 m von B (Tiefenwinkel 22*), nach E in 180 m von A (Tiefenwinkel 27') und nur für Punkte näher bei A ist die Klemme der Kippachse zu lösen, was dann hier, bei kurzem Zielungen, auch ohne Bedenken ist

Es ist auch schon erwähnt, daß eine weitre Berührung des Fernrohrs unumgänglich ist, der Trieb des Okularrohrs muß zur Verlängrung des Fernrohrs verwendet werden, wenn die einzuweisenden Stäbe allmählich dem Standpunkt sich nähern. Man muß bei feinem Einweisungen sicher sein, daß der „Gang“ der Okularröhre derart ist, daß durch Verwendung des Triebs sich der Wert des Kollimationsfehlers c nicht merklich ändert.

Nach Gleichung (16) in 50. muß ein Fernrohr mit z. B. F — 25 cm, mit dem B in 300 m von A scharf gesehen wird, für denselben Beobachter um 0,4 bis 0,5 verlängert werden, damit er einen Stab in 100 m Entfernung von A scharf sieht (um mehr als 1

mm

mm,

damit ein Stab in 50 m Entfernung scharf erscheint); da die Okularröhre oft etwas Spielraum hat und schon das Anfassen des Triebs merkliche Veränderung in c hervorbringt, so ist diese mögliche Veränderung von c das Bedenklichste bei der Absteckung.

Für verlangte sehr scharfe Einweisung der Zwischenpunkte kann man, da auf nicht ganz günstigem Boden eingewiesne Stäbe beim Feststecken leicht um 1 bis 2 cm anders zu stehen kommen als der Einweisung entspricht, die Einweisung gleichsam in zwei Stufen zerlegen: man läßt Stäbe aufhalten, schlägt aber, nachdem sie eingewiesen sind, an ihre Stelle Pflöcke mit breiten Köpfen ein und weist durch nochmaliges Aufhalten des Stabs auf jedem Pflock den Punkt nochmals scharf ein; der Punkt kann dann durch einen einzuschlagenden Drahtstift schärfer bezeichnet werden. Bei nicht zu großer Zielweite kann man beim zweiten Einweisen auch Drahtstücke .von der Art der Zählnägel beim Meßband oder bei ganz kurzen Zielungen sogar den einzuschlagenden Nagel selbst nehmen.

Wenn bei der Absteckung das Fernrohr weder gekippt noch verlängert werden müßte, so käme als Fehler eigentlich nur der Zielfehler in Betracht, allerdings zweimal, bei B und bei dem einzuweisenden Punkt. Hat das Fernrohr z. B. v = 20-fache Vergrößerung und ist die Zielkonstante des einweisenden Auges heim Zielen

40"

nach Stäben etwa 40" (vgl. 51. Schluß, 66. 1.), d. h. der mittlere Zielfehler —so

könnte der Beobachter den Winkel 0 zwischen der Zielung AB und der Zielung AC oder AD . . . (— denn darin besteht unsre Aufgabe, Winkel B AC — B AD = • • • — 0

- 40"

herzustellen —) mit dem m. F. von |/2 •    3" absetzen. Dabei ist angenommen, daß

das Einrücken von C oder D . . . mit derselben Genauigkeit geschehen könne, wie das Anzielen eines festen gegebnen Stabs B, was nicht zutrifft, ganz abgesehen von den Fehlern, die dadurch entstehen, daß der abzusteckende Punkt beim Festlegen nach der Einweisung nicht genau an die Stelle kommt, auf die er eingewiesen war. Dieser Fehler läßt sich auf die angegebne Art des doppelten Einweisens stark verringern. Nehmen wir z. B. einen m. F. von + 6" als Gesamtfehler für den eingewiesnen Punkt an (immer unter der Voraussetzung der Nichtberührung des Fernrohrs nach Einstellen von B), so gibt dies einen seitlichen Versetzungsfehler von rund

±9

mm

bei einer Zielweite von 300 m

±6

mm

■n

,,    200 m

±3

mm

,,    100 m.

cm

Die Zahlen werden durch das notwendige Kippen des Fernrohrs und die notwendige Berührung des Triebs zur Verlängrung des Fernrohrs leicht auf das Doppelte und mehr gesteigert. Bemerkenswert ist aber, daß wir selbst in einem kleinen Theodolit das Mittel haben, auf Entfernungen von mehreren 100 m Punkte bis auf ganz wenige genau in eine Gerade hereinzubringen. Wir brauchen für diese erste Aufgabe die Horizontalkreisteilung des Instruments gar nicht; I. und II. Achse, sowie die Fernrohrziellinie dienen nur dazu, die durch den Standpunkt und einen Zielpunkt bestimmte Vertikalebene festzuhalten.

2. Weitre Genauigkeitsuntersuchung ist notwendig, wenn das Instrument, unsrer seitherigen Voraussetzung zuwider, nicht gut berichtigt oder darüber nichts bekannt ist und wenn die Zielungen nach B, C, D . . . beträchtlich verschiedne Höhenwinkel haben. Wenn der Theodolit einen merklichen Kippachsenfehler (eigentlichen Kippachsenfehler, nämlich Abweichung des Winkels zwischen Kippachse und Stehachse von 90°, nicht Fehler infolge unrichtiger Stellung der Umdrehungsachse) oder (und) einen merklichen Ziellinienfehler hat, oder, wie schon erwähnt, über diese Fehler augenblicklich nichts bekannt ist, während die Umdrehungs-(Steh-)Achse genügend genau vertikal gerichtet werden kann (feste Alhidadenlibelle rasch korrigiert), wenn ferner die Zielungen vom Standpunkt A aus nach B und nach den einzuweisenden Punkten große Höhenwinkeldifferenzen zeigen, so kann man die Einweisung dadurch genügend fehlerfrei machen, daß man sie in jeder der zwei Fernrohrlagen macht (u. U. in jeder von beiden in der vorhin angegebnen Art doppelt mit Pflöcken, auf denen dann nochmals eingewiesen wird): es wird B in Fernrohrlage I angezielt und es werden hiernach Punkte Cx, Dx ... in dieser Lage des Fernrohrs eingerichtet und die Stäbe (wenn diese überhaupt zur dauernden Bezeichnung der Einweisung dienen) wieder abgezogen; sodann neben Cx, Dl ... die Punkte Cs, D₂ . . . eingewiesen. Die Halbierungspunkte der Strecken Cx C₂, DXD%... gehören der „Geraden“ AB (Vertikalschnitt, der durch die zwei Punkte A und B bestimmt ist, mit der Bodenoberfläche) an und sind, abgesehen von der Verschärfung der Arbeit durch das zweimalige Einweisen, von den Einflüssen des Fehlers der Kippachse und der Ziellinie befreit. Nur der Einfluß eines Fehlers der Stehachse läßt sich bekanntlich auf diese Art nicht beseitigen, vgl. 60. 3. und es ist deshalb für „genügend“ genaue Stellung der Umdrehungsachse zu sorgen; was hier genügend ist, ist bereits z. B. in 62. 1. angegeben. Wir wollen zur Übersicht nochmals den Fehler in dem Horizontalwinkel BAC(A Standpunkt, B gegebner Endpunkt, G eingewiesner Punkt), der gleich 0 abgesteckt werden soll, anschreiben, er beträgt nach Gl. (4) in 62. 3 bei Anwendung nur einer Fernrohrlage und allgemein, nämlich unter der Annahme, daß AB und AG nicht dieselbe Richtung (Winkel 0) seien,

(1)

A = i (tg hb— tg hc) -J- c (sec hb— sec hc) -)- v (sin ßbtg hb— sin ßc tg hc).

Wir untersuchen die drei Fehler i, c, v in ihrer Wirkung einzeln;

a) der (eigentliche) Kipp achsenfehler i (Fehler der Kippachse bei richtig stehender Umdrehungsachse) wirkt am ungünstigsten, wenn hb und hc große Winkel mit entgegengesetzten Vorzeichen sind; ist z. B., vgl. Fig. 337, hb= -f- 20°, hc— — 30°, der Kippachsenfehler i — 60", so weicht die Richtung A C im horizontalen Sinn von der Richtung AB (statt daß BAC—0 ist) ab um den Betrag 60" (0,364-(- 0,547) = 56"5, was bei einer horizontalen Entfernung AC von nur 100 m einer Seiten-

56.5 206300

Verschiebung des Punkts C aus seiner richtigen Lage um 100000 •

mm

= 27

mm

entspricht.

b) Der Ziellinienfehler c ist, wie wir wissen, ungleich harmloser, auch wäre für ihn auch im Fall großer Höhen- und Tiefenwinkel hc— — hb geradezu ebenso fehlerkompensierend wie hc—hb, da sec(—cp) = sec cp ist; der ungünstigste Fall ist hier vielmehr der: hb großer Höhen- oder Tiefenwinkel, hc klein (positiv oder negativ) oder umgekehrt, vgl. z. B. Punkt E in Fig. 337. Für c — 120" (noch einmal so viel als das eben angenommne i) hb — + 20°, hc= 0 wird der Fehler im Horizontalwinkel B AC erst = 120". (1,064 — 1,000)= 7",7, was bei iC= 100 m horizontaler Strecke

erst rund 4 in C gibt.

mm

seitlichen Fehler

hb

'hc

Fig. 337.

c) Für den Stellungsfehler v der Umdrehungsachse tritt hier in (1) insofern eine Besonderheit ein, als bei dem abzusteckenden Winkel BAG= 0, ßc= ßb ist. Mit ßc= ßb= ß lautet das letzte Glied der Gleichung (1)

(2)

v ■ sin ß (tg hb — tg hc);

der schlimmste Fall in Beziehung auf die Zielrichtung gegen die V. E. der unrichtig stehenden Umdrehungsachse ist ß = + 90°, Zielebne senkrecht zur V. E. In jedem Fall, d. h. für jede Zielrichtung, wird hier übrigens der Einfluß eines Stehachsenfehlers = 0, wenn hc= hb ist, das Fernrohr zwischen Zielung nach B und Zielung nach dem einzuweisenden G nicht gekippt zu werden braucht; dies ist u. U. sehr willkommen. Im schlimmsten Fall ß = + 90° und bei stark verschiednen Höhenwinkeln nach B und nach C aber ist der Stehachsenfehler v von demselben Einfluß wie ein eigentlicher Kippachsenfehler von gleichem Betrag, nämlich

(3)

v    was mit v = 60", hb= -f- 20°, hc= — 30°

den Betrag 56" bis 57" gibt, vgl. a) und entsprechende seitliche Verschiebung von C.

Als Regeln für die Absteckung einer Geraden aus einem gegebnen Endpunkt und bei sichtbarem zweitem Endpunkt kann gelten: selbst ein beträchtlicher Kollimationsfehler c ist auch bei ziemlich bedeutender Erhebung oder Senkung der einen Zielung (gegebner Endpunkt B oder einzuweisender Punkt C) wenig zu fürchten, so lange nur c konstant erhalten wird. Zu fürchten ist der Einfluß des reinen Kippachsenfehlers i um so mehr, je größer der Betrag der Differenz der Höhenwinkel (hb—hc) wird (Vorzeichen der beiden Höhenwinkel beachten). Übrigens lassen sich die Einflüsse von c und von i eliminieren, wenn man die Einweisung doppelt macht, in beiden Lagen des Fernrohrs. Nicht eliminieren läßt sich auf diese Art der Einfluß eines Stellungsfehlers v der Umdrehungsachse, der um so schlimmer wirkt, je größer (-(- oder —) wieder die Differenz (hb—hc) wird und je mehr die Zielebne senkrecht zur V. E. der unrichtig stehenden Umdrehungsachse steht. Es ist also bei dieser Herstellung des Horizontalwinkels 0 auf richtige Stellung der Umdrehungsachse um so mehr zu achten, je größer die Höhenwinkeldifferenz (hb—fy.) wird und es ist bei der Richtigstellung der Umdrehungsachse besonders die Richtung quer zur abzusteckenden Richtung ins Auge zu fassen, während eine verhältnismäßig große Neigung der Stehachse in der Richtung der abzusteckenden Geraden nichts zu sagen hat.

89. Abstecken des Winkeis 180°. Verlängrung einer Geraden. Abstecken einer Geraden bei gegenseitig nicht sichtbaren Endpunkten aus einem Zwischenpunkt. Abstecken eines beliebigen vorgeschrieb-nen Winkels, z. B. eines rechten Winkels. Abstecken einer Geraden durch unmittelbare Übertragung aus einem Plan auf das Feld. 1. Wir haben bei der vorstehenden Aufgabe, Absteckung des Horizontalwinkels 0,

O—

A

B'

-O

°B

B"

Fig. 338.

keinen Gebrauch gemacht von der Horizontalkreisteilung des Theodolits.

Es gibt noch eine solche Aufgabe, bei der diese Kreisteilung nicht zur Verwendung kommt, die Verlängrung einer durch ihre zwei Endpunkte

vorgeschriebnen Strecke oder die Absteckung des Winkels 180°. Es seien, Fig. 338, A und 0 zwei gebohrte Pflöcke in z. B. 150 nung voneinander und man soll AO über 0 hinaus um eine etwa ebensolange Strecke verlängern, d. h. B in etwa 150 m- von 0 in die Gerade AO einrichten, ohne daß der seitliche Fehler von B mehr als etwa 1 cm betrage.

Der Winkel HOB soll hier = 180° 0' 0" werden mit einem zugelassnen Fehler von nicht über --A--- • 206 000" = 14". Um dies zu erreichen, genügt bei gut berichtigtem Instrument (z. B. Ziellinienfehler auf 5" herabgebracht) und kleinem Höhenwinkel der Zielungen einfaches Durchschlagen. Da übrigens bei h = 0 der an sich harmlose Ziellinienfehler für die einzelne Richtung am ungünstigsten wirkt, beim Durchschlagen und kleinen Neigungen der Zielungen die angebliche Verlängrung von A O über O hinaus um 2 c unrichtig wird, so wird man sich hier doch nie auf das einfache Durchschlagen verlassen, sondern so verfahren: Nach scharfer Zentrierung des Theodolits und guter Vertikalrichtung seiner Umdrehungsachse in C wird A in Fernrohrlage I angezielt; sorgfältiges Durchschlagen (Ukularkopf nicht anfassen!) gibt einen angeblich in der Verlängrung von OA liegenden Punkt B', z. B. als vertikalen weißen Strich, 2

Entfer-

cm

breit auf einem 10 bis 20

cm

breiten senkrecht gestellten Brett

stück, das bei B an zwei eingeschlagnen Pfosten angenagelt ist. In der jetzt vor-handnen Fernrohrlage wird A wieder angezielt (also Alhidade um 180° +2c gedreht) und nun das Fernrohr nochmals durchgeschlagen, womit man den Punkt B" erhält. Der Halbierungspunkt B der Strecke B' B" ist der gesuchte Yerlängrungspunkt, der nicht nur vom Kollimationsfehler c, sondern bei großem entgegengesetzten Neigungen der Zielungen 0A und OB auch vom Einfluß des Fehlers i befreit ist. Hingewiesen sei auch nochmals darauf, daß man den einzuweisenden Gehilfen, die Färb- oder Kreidestriche bei der eben gegebnen Andeutung, und ähnliches dadurch ersparen kann, daß man B' und B" auf einem horizontal gelegten, und z. B. festzubindenden Stück eines geteilten Maßstabs abliest. Die Zahlen B' und B" müssen dabei mit dem Fernrohr feststellbar sein; bei einer Nivellierlatte (vgl. Abschnitt II), die wie gewöhnlich in

mit 20fach ver-

zerlegt und nach 3m groß beziffert ist, Ablesung auf */2 größerndem Fernrohr auf 200 m, auf 1

Entfernungen nimmt man eine Halb3m.-Latte mit großen m Zahlen, an der auf 1 durch Schätzung abgelesen wird. Das Augenmerk bei der Aufstellung des Theodolits in 0 ist wieder auf gute Stellung der Umdrehungsachse zu richten (um so schärfer, je größer, -(- oder —, der Betrag (hb— ha) ist), besonders in dem Sinn quer zu AOB; berichtigte feste Alhidadenröhrenlibelle also bei wesentlich verschiednen Neigungen ha und hb besonders quer zu OA scharf einspielen lassen.

Über andre Yerlängrung einer Geraden (Abstecken des Winkels 180° auf andre Art) s. unten bei 4.

cm

cm

mm

auf 150 m leicht möglich, für größre

cm

2. Wenn A und B gegenseitig nicht sichtbar sind und die Gerade zwischen beiden mit dem Theodolit abgesteckt werden soll, so ist dies oft mit Hilfe eines Zwischenpunkts C möglich, von dem aus A und B angezielt werden können.

Schnitt

A'

C'

Grundriß

Fig. 339.

Am einfachsten wird die Sache dann, wenn man sich einen Näherungspunkt C' für G verschaffen kann, mit Benützung eines Plans, mit Hilfe einer Kreuzscheibe usf. Stellt man, vgl. Fig. 339, den Theodolit in diesem Hilfspunkt C' auf und verlängert auf die in 1. angegebne Art z. B. die Zielung C'B über C’ hinaus bis in den Punkt A' unmittelbar neben A, so kann man die notwendige Versetzung d des Punkts C' aus AA' = e und den roh zu messenden oder dem Plan zu entnehmenden Strecken C'B = b, C'A = a sofort anschreiben,

C' b + a

(Rechenschieber).

Nachdem C (allenfalls durch zwei Versuche dieser Art mit Probe) festgestellt ist, können CB und GA jedes für sich mit Zwischenpunkten versehen werden nach 88. Ein andres Verfahren, Messung des Horizontal winkeis in G' zwischen A und J3,

s. in 4.

3. Statt der bisher erwähnten Verfahren der Theodolitabsteckung des Winkels 180°, die wie die Verfahren für die Absteckung des Winkels 0°

Löst man die Alhidade und dreht sie so, daß nach Wiederfestklemmen in der Nähe der Ablesung 296° am Nonius 1 mit Hilfe der Feinschraube an diesem

(206° 4' 20" -f- 90° 0' 0") = 296° 4' 20"

erscheint, so wird noch nicht genügend genau um 90° gedreht sein, da es noch auf die Ablesung am Non. 2 ankommt. Lautet diese Ablesung am Non. 2 116° 4'40", so ist das Mittel der Ablesungen:

„    1) 296°4'30";

in 88. die Teilung des Horizontalkreises nickt verwenden, kann man auch den Horizontalwinkel nahe bei 180° zwischen dem fest gegebnen und dem genähert abgesteckten Punkt im Fall der Fig. 338 oder dem Horizontalwinkel nahe bei 180° im Näherungspunkt G' zwischen A und B im Fall der Fig. 339 mit genügender Schärfe messen. Wir wollen uns dieses Verfahren an der allgemeinen Aufgabe klar machen: in dem gegebnen Punkt A (Pflock), der durch den scharfen Zielpunkt B (Stab auf Pflock) in passender Entfernung bestimmten Richtung AB soll der in Gradmaß vorgesckriebne Winkel a angelegt werden, z. B. a = 90° 0' 0", d. h. es soll ein Punkt G derart abgesteckt werden, daß der Winkel BAG ein rechter Winkel ist (für jedes q andre cc bleibt das Verfahren genau dasselbe) und » daß 7 B. bei einer gebrauchten Länge AG = 100

m der Punkt G von seiner Sollage um nicht mehr als 1 cm abweicht (quer zur Richtung AG), vgl. Fig. 340. Mit der Kreuzscheibe können wir im Fall cc = 90° 0' 0" die Aufgabe also nicht mehr lösen, weil die geforderte Genauigkeit viel größer ist, als die Kreuzscheibe sie geben kann; 1 cm (quer zu zugelassne größte Abweichung des Punkts G von der richtigen Lage verlangt bei

AC = 100 m Strecke die Genauigkeit im Winkel cc von ₁₀J₀₀ • 206000" = 21"

.206000"= 10".

oder AG = 200

Fig. 340.

AG)

AG = 200

tt

ft

tt

tt

tt 20000

a) Bei gut berichtigtem Theodolit und kleinen Neigungen in AN und AC reicht oft bei einem 20''-Theodolit eine Fernrohrlage aus, um die eben berechnete Genauigkeit zu erlangen; man wird aber jedenfalls die Ablesungen an beiden Nonien verwenden müssen, um den Exzentrizitätsfehler Alhidade/Limbus zu eliminieren. Bei der Zielung nach B mit dem in A scharf zentrierten und gut horizontierten Instrument mögen die Ablesungen lauten:

Non. 1

Non. 2

206°4'20"

26° 5' 40".

bei Zielung nach A (Grade vom Non. 1) 206° 5' 00" bei Zielung nach B ( „

es ist also die Alhidade um den Winkel 296° 4'30" — 206° 5' 00" = 89° 59' 30" von B links aus nach rechts gedreht und man hat, um die Drehung von 90° 0' 0" zu erreichen, noch um 30" weiter zu drehen, d. h. am Nonius 1 die Striche 4'40" und 5'00" gleich gut mit Limbusstrichen koinzidieren zu lassen (statt daß jetzt 4'20" koinzi-diert), womit am Non. 2 5'00" und 5'20" koinzidieren werden. Damit ist die Zielung nach C hergestellt und es sind nur noch C und allenfalls gebrauchte Zwischenpunkte in diese Zielung einzuweisen.

b) Besser und im allgemeinen stets einzuhalten ist das Verfahren, bei C einen Näherungspunkt C' zu benützen, den man ebenfalls mit dem Theodolit herstellt: Theodolit in A scharf zentriert und um so besser horizontiert, je größre Höhenwinkel in AB und AC Vorkommen; B angezielt und an einem Nonius roh, etwa auf 1' abgelesen, z. B. 2.86°4'. Löst man die Alhidade und stellt Non. 1 auf 286° 4' -f- 90° 0' = 1G°4', so hat man eine ungefähre Zielung nach C. Unter Umständen kann man sich bei nicht zu langen Zielungen die Näherungsrichtung auch auf andrem Weg, z. B. im vorliegenden Fall mit a — 90° 0' mit Kreuzscheibe oder Winkelspiegel verschaffen, die Genauigkeit von 2' bis 3' geben (da übrigens der Theodolit ohnehin aufgestellt werden muß, so ist mit der Anwendung der Kreuzscheibe oder dgl. an Arbeit nichts erspart). Stellt man in der so gewonnenen Näherungsrichtung, die dabei eben als solche nicht streng festgehalten zu werden braucht, einen genügend scharfen Zielpunkt C’ her (Stab, oder Strich auf Brett, wie oben in 1. angegeben, oder dgl.), so wird man noch den Winkel zwischen B links und dem Hilfspunkt C' rechts mit der Genauigkeit zu messen haben (bei stärkern Neigungen der Winkelschenkel jedenfalls mit Kompensation), die bei der in C verlangten Genauigkeit erforderlich ist. Soll z. B. a in unsrem Fall auf 10" gut werden, so wird man mit unsrem 20"-Theodolit den Winkel BAC' etwa 4mal repetieren (2mal in Fernrohrlage I von links nach rechts, 2 mal in Fernrohrlage II von rechts nach links). Das Ergebnis dieser Messung sei z. B. Winkel in A zwischen B links und C' rechts = 90° 1' 45"; der Punkt C' ist dann, von A aus gesehen, nach links derart zu versetzen, daß der Winkel CAC' = 1' 45" wird, d. h. bei ab-gemessnem AC = 107 m um

C'C= 10700 (cm

x 1,75°    --

) • = ⁵>5 ' 3438(}

cm (Rechenschieber),

sodaß nunmehr der Punkt C von C' aus mit alleiniger Benützung des Taschenmaßstabs an seinen richtigen Ort gebracht werden kann.

Fig. 341.

4. Dieses Verfahren ist auch bei Verlängrung einer Geraden (o: = 180⁰ 0' 0") und bei Absteckung der Geraden AB mit gegenseitig nicht sichtbaren Endpunkten aus einem Zwischenpunkt brauchbar. » a) Für die erste Aufgabe, AO über O hinaus zu verlängern, ist z. B. so zu verfahren: Theodolit in 0 aufgestellt, A angezielt, Fernrohr durchgeschlagen gibt ungefähre Verlängerung OB'. Stellt man etwa dieser Richtung entsprechend einen Zielpunkt B' her (in der Fig. 341 als Senkel-Metalldraht, der in einen Feilstrich der oben in den Türstock eingeschlagenen Klammer gehängt ist), so ist der Winkel zwischen A und B' so genau zu messen, als für die verlangte Genauigkeit der Verlängrung notwendig ist. Es wurde in je 4-maliger Repetition der zwei Winkel (dabei jeder zweimal nach rechts, zweimal nach links repetiert, nach der 2. Messung jedesmal durchgeschlagen) gefunden:

Winkel in O zwischen A links und B' rechts = 179° 58'25"

= 180°1'45";

wird gemessen. Da AB sich selbst bei Abweichung des Winkels AC'B von 1800, um 1° und mehr (s = l° oder mehr) von (a -f- b) nur äußerst wenig unterscheidet (vgl. das Beispiel S. 461), so ist mit ACB = y nahe bei 180° und mit 180° — y' oder y— 180° =■= s sehr genähert:

(5)

ab sin s = (a -f- b) -e,

wenn e den zu bestimmenden senkrechten Abstand des Punkts C' von der Geraden

ausgeglichen also A OB' — 179° 58' 20"; bedeutet l die Strecke OB\ so ist also B' von 0 aus gesehen, nach rechts zu versetzen um

10Q(">

206300⁽"⁾

Endgültiger Feilstrich an der Klammer K auf B' B = 74 während A vor dem Mundloch des Stollens lag und mit gewöhnlichen Mitteln angezielt werden konnte, eine Grubenlampe. Es kann auch der Metalldraht des Senkels selbst genommen werden, (das Gewicht läßt man gern in einen Kübel mit Wasser oder Kalkmilch tauchen), der Metallfaden ist dadurch sichtbar zu machen, daß dahinter ein Schirm mit Ölpapier u. dgl. gespannt und dieser von rückwärts beleuchtet wird. Sonstige „Grubensignale“ sind hier nicht zu besprechen; vgl. die „Freiberger Aufstellung“ in 76. 1.

b) Bei der zweiten Aufgabe, AB von einem Zwischenpunkt aus abzustecken oder zunächst einen solchen Zwischenpunkt C festzustellen, da A und B gegenseitig nicht sichtbar sind, sei C' ein genähert in AB liegender Punkt, von dem aus A und B angezielt werden können; die Strecken CA und CB seien genähert C'A = a, C'B = b, Fig. 342. Der Winkel in C zwischen A links und B rechts

• l oder mit l = 152,3 m um 74

mm.

mm

; als Zielpunkt B' diente,

a.

T;

C'

Fig. 342.

AB bedeutet (beide Seiten der Gl. (5) sind Werte des doppelten Inhalts des Dreiecks AC'B), oder es wird

(6)

Z. B. ist mit y = 179° 55' 10" (4malige Repetition mit 10"-Theodolit), wie C leicht mit der Kreuzscheibe zu erhalten ist, bei a = 137 m, b — 214 m. (beide aus dem Plan abgestochen)

137 • 214 • 100

351

cm •

S90(">

206300(,,)

= H,7

cm

(Rechenschieber).

Durch einfaches Hinlegen des Taschenmaßstabs auf den Boden (für die Richtung genügt Augenmaß) kann man also C vom Standpunkt C des Theodolits aus mit der Genauigkeit bestimmen, die durch die Messung von / gegeben ist, wenn a und &, wie dies hier stets zutreffen wird, genügend fehlerfrei sind. Da

ab ds a —[- b q

ist, so gibt im vorliegenden Beispiel ein Fehler von z. B. 30" in s, d. h. in y', den Betrag e falsch um

(7)

de =

ds

da — 11,7 • -fjjjj

oder man hat den Winkel y auf mindestens 15" genau zu messen, wenn z. B. der

cm

= 12

mm

Punkt C durch Abmessen der Strecke C' C = e um nicht mehr als 6 abweichend gefunden werden soll, sodaß die oben gewählte Messung ausreicht.

Will man bei dieser Aufgabe auch die kleinen Winkel cc und ß in A und B bestimmen, so wird sin a : sin ß = b : a oder mit dem arc an Stelle der kleinen sin

a" : ß" — b : a und also mit cc" -(- ß" = b"

b

a-\-b £ '

(woraus auch wieder e wie in (6) folgt.)

5. Abstecken einer Geraden nach einem Plan. Beim Abstecken von Geraden sind auch sehr häufig Punkte der Geraden vom Plan auf das Feld zu übertragen; z. B. ist in einem Plan 1:2500 (württemb. Flurkarte), der reichlich scharfe Lagepunktangaben (Marksteine auf Eigentumsgrenzen; es handle sich um eine Feldflur) eingetragen enthält, die Gerade AB von einigen hundert m Länge gezogen und nun auf dem Feld abzustecken, Fig. 343. Man wird für einzelne Punkte in AB, z. B.

mm

aus AB

(8)

cc" =

CI J)

"vir

«T,

1:2500.

Fig. 343.

1, 2, 3, 4, 5, die Strecken Dl und Fl, Ü2 und G2, Jz und K‘6, L4, mit genauem Transversalmaßstab sorgfältig aas dem Plan abstechen, um diese Punkte von AB auf Grund gegebner Punkte des Plans und des Feldes unmittelbar aufs Feld zu übertragen. Dabei wird, da es sich meist nur um kleine Strecken handeln wird, oft von der Berücksichtigung des Papiereingangs im Fall der Benützung eines gedruckten Plans abgesehen werden können; je nach Bedarf ist aber dieser Zuschlag nach Art von

S. 159 zu machen, wobei jedenfalls Schätzung des prozentischen Eingangs, nachdem dieser in den zwei Hauptrichtungen festgestellt ist, in der abzustechenden Richtung genügt. Steckt man sich nun nach diesen sorgfältig erhobnen Maßen und auf den im Feld gegebnen Linien die Punkte 1, 2, 3, n der herzustellenden Geraden AB ab, so werden sie, da man „vom Kleinen ins Große“ zu arbeiten gezwungen war, d. h. jeder beim Abstechen auf dem Plan im Maßstab 1: M begangne Fehler mit M multipliziert aufs Feld übertragen worden ist (bei 1:2500 gibt 0,1 mm Planfehlerstrecke 25 cm Feldfehlerstrecke), nicht in gerader Linie liegen, auch wenn der Plan als fehlerfrei vorausgesetzt werden kann; bei großem

M (kleiner Planmaßstab) nicht einmal so genau, als direktes Ausfluchten ohne Instrument die Gerade selbst auf große Strecken herzustellen gestattet. Man hat also die endgültige Gerade AB auf dem Feld zwischen den unmittelbar übertragnen Punkten hindurch zu „vermitteln“, was am bequemsten mit dem bei 1 oder 5, A oder B aufgestellten Theodolitfernrohr geschieht, mit dem dann auch die endgültige Gerade abgesteckt wird, vgl. 1.

Wesentlich genau dasselbe ist zu tun, wenn auf Grund des Lageplans 1:1000, in dem die „Vermessungsachse“ mit den in ihr geschlagnen Pflöcken ..., 6 -f- 0, 6 -f- 20, 6 -f- 40 . . . sowie die Achse einer künftigen Straße (Projekt), aus Geraden und diese berührenden Kreisbögen zusammengesetzt, eingetragen sind, z. B. die Gerade Cr Cr, vgl. Fig. 344, aufs Feld „übertragen“ werden soll: man sticht die horizontale Entfernung von den Achspflöcken bis zu G in jedem der „Querprofile“ (vgl. z. B. 43. 6.) genau ab, wobei

M000.

6+20

G+

6+67

7+20

7+37,3

6+8°

Y+o

iR

= ⁸°rn

7* so

Fig. 344.    i

0,1

mm

Fehler im Plan, dem Maßstab entsprechend, schon 0,1 m Feldfehlerstrecke gibt, und mißt die Punkte auf dem Feld ein; sie liegen nicht genügend in gerader Linie und es ist zwischen ihnen durch zu vermitteln, wobei freilich im Straßenbau für die zwischen 6 —{- 00 und 7-f-20 120 m lange GG kein Theodolit erforderlich ist, sondern Ausfluchten ohne besondre Hilfsmittel ausreicht; im Eisenbahnbau mit z. T. sehr langen Geraden ist der Theodolit, wie bereits angegeben, zu verwenden.

1. Ein

90. Abstecken von Geraden nacb Winkeln, die auf Grund einer Zugmessung oder einer Triangulation erst zu berechnen sind.

Beispiel einer Zugmessung als Grundlage der Absteckung einer geraden Linie ist eigentlich schon in 89., 4. b) angegeben (Fig. 342): die Punkte A und B sind durch den einfachsten möglichen „Zug“, aus der Messung von nur zwei Seiten und dem zwischenliegenden Winkel bestehend, d. h. durch das Dreieck AC B miteinander in Verbindung gebracht; dabei hatte dieser „Zug“ AC'B die Besonderheit, daß der Polygonwinkel (Dreieckswinkel) in C' sehr nahe bei 180° lag und infolgedessen die Seiten G'A und CB nur beiläufig bekannt zu sein brauchten, um C in die Gerade AB durch C'C = e einrücken zu können.

a) Nichts hindert aber daran, zwei gegenseitig nicht sichtbare Punkte A und B, zwischen denen die Gerade hergestellt werden soll, durch einen scharf zu messenden Zug von mehr als zwei Seiten miteinander zu verbinden. Z. B. soll, Fig. 345, zwischen den Punkten A und B am Fuß des Bergvorsprungs V, die gegenseitig nicht sichtbar und nur einige hundert Meter voneinander entfernt sind, der Stollen für einen künftigen geradlinigen Tunnel angelegt werden und es ist in A scharf die Richtung

35

Hammer: elementare praktische Geometrie.

nach B, in B scharf die Richtung nach A abzustecken. Ein Punkt G auf V, von dem aus A und B sichtbar wären, ist nicht vorhanden, auch

andre Mittel zur direkten Lösung versagen. Dem Fuß von V folgend aber kann der Zug A 1,2,3 B die zwei Endpunkte („Mund-' löcher“) miteinander verbinden; mißt man wie gewöhnlich die Polygonwinkel ß1} ß2y ß3y ferner die Seiten sv s₂, s₃, sb, so sind in dem \ Fünfeck A12 3 B drei Winkel und vier Sei-ten, d. h. 7 Stücke bekannt und man kann die drei fehlenden Stücke, nämlich die Seiten BA = sa und die zwei Winkel cp und ijj in A und B berechnen und nach diesen zwei Winkeln die verlangte Richtungsabsteckung in A und B ausführen. Die Berechnung des freien Zugs wird am einfachsten mit Zugrundlegung eines Koordinatensystems, das willkürlich gewählt werden kann, also z. B. mit Nullpunkt in A und mit Al als -f «/-Richtung. Nach den Regeln von 72. oder unmittelbar nach der Figur ergeben sich sofort die Koordinaten der Punkte 1, 2, 3, B in diesem System. Mit (xb, yb) wird aber

² \Qä-z'

?M

Sv

Sb

Fig. 345. öjg-

(1)

AB —

Vb

od.

sin (A B)

cos

xb

(AB)

(ä)

und der in A an Al nach links anzutragende abzusteckende Winkel, der die Richtung nach B gibt, ist

(3)

(4)

cp = 90° — (AB)] ebenso ist in B $ = (BA) - (BA) = (AB) - ab

den Berg hinein zu = einigen hundert m Fernrohrlage und ohne Verwendung der Horizontalkreisteilung ausreicht. — Der Höhenunterschied der zwei Punkte A und B ist bei der Ab-

auch der Höhe nach beim

der an B 3 nach rechts anzutragende Winkel, der die Richtung nach A gibt. Die Entfernung AB ist nach (1) bekannt. Wie die Figur noch andeutet, ist es bei solchen Aufgaben meist zweckmäßig, Punkte M und JA in den Verlängrungen von BA und AB in passenden Entfernungen von A und B herzustellen durch Anträgen der Winkel (180° — cp) in A an A 1 nach rechts und (180° — iß) in B an B 3 nach links; man hat dann zur Absteckung von AB oder BA nur die Richtungen ALA und AB in verlängern, wozu im vorliegenden Fall mit AB der ordentlich berichtigte Theodolit mit einer

einem

II. Hauptabschnitt. Liegt z. B. B um h -m

steckung vorläufig nicht berücksichtigt; um Vortreiben der Stollenstücke von A und von B aus scharf zusammenzu-treffen, muß der Höhenunterschied zwischen A und B bestimmt (aut Weg etwa entlang der Zugmessung nivelliert) werden, vgl. den

höher als A, sodaß die Strecke

100 h (m)

A JB (m)

des Stollens von A und von B aus auch, in diesen hinein zu nivellieren Länge von A aus die Erhebung    nv, ebenso von JB aus

BA von B nach A das Gefälle p°/₀ =

und auf l m

l-p

hat, so ist heim Yortreiben

berzustellen. Zalilenbeispiel für diese Absteckungsauf-

die Senkung

gäbe in den Übungen Nr. 94. am Schluß dieses Kapitels.

b) In dem Polygon zur Absteckung der Geraden AB von einigen 100m Länge und mit gegenseitig nicht sichtbaren Endpunkten können selbstverständlich auch andre Aufgaben Vorkommen als die vorige, bei der eine Seite und die zwei anliegenden Winkel aus den (2 n — 3) übrigen Stücken zu berechnen waren. Alle Aufgaben der Berechnung geschlossner Polygone können praktisch von Bedeutung werden. Z. B. sind nicht selten 2 Seiten und der zwischenliegende Winkel gesucht, gemessen (n — 2) Seiten und (n — 1) Winkel, vgl. die Aufgabe des „unzugänglichen Tangentenschnitts“ bei der Kreisbogenabsteckung, 91. 3., oder die folgende Aufgabe, Fig. 346: A ist ein gegebner Punkt, CA eine scharf gegebne Richtung; diese soll jenseits eines Messungshindernisses M in der Geraden BD fortgesetzt werden, wobei aber der Punkt B selbst erst zu bestimmen (auch Länge AR zu berechnen) und dann BD abzustecken ist. Das Hindernis Mkann durch den Zug AEFGH umgangen werden, in dem die Seiten se, sf, sg, (sk) und die Winkel ßa (zwischen C und E), ßel ßßg zu messen sind.

Voraussetzung ist selbstverständlich, daß die Zugmessung an Genauigkeit für den Zweck ausreicht, z. B. AB nicht über einige wenige 100 m lang ist, und die Richtungsgenauigkeit der Fortsetzung der Geraden von B aus mit dem m. F. von etwa 15" j/ n (wenn n gemessne Polygonwinkel in die Richtung eingehen) genügt. In dem Fünfeck AEFGB sind dann bekannt die Winkel bis auf den einen ß in B und die Seiten bis auf die zwei diesen Winkel einschließenden Seiten BG — a und BA = g. Der fehlende Winkel ergibt sich sofort aus der Winkelsumme im geschlossnen Polygon, im vorliegenden Fall

100

ßa

ße

Se.

(Wald

s,

' üaj^-

Fig. 346.

aD

(5)

ß = 3 • 180°    {(^-180°) + ße-J-ß/+ßg}= 720°-(ßa + ße + ß/ + ßg).

Zu den fehlenden Seiten a und g braucht man das Dreieck ABG, in dem die Seite AG und die Winkel a und y zu berechnen sind, am einfachsten durch Einführung des in der Fig. 346 angedeuteten Koordinatensystems: die Koordinaten von G erhält man auf gewöhnliche Art aus

(6)

X,j — Sf COS CCf -f- Sg • COS DCg

yg — sc S/ • sin af Sy ■ sin ccg, damit

(7

tg {A G) —

, AG =

Vy

oder

sin (A G)

cos

Xg

(AG)

, ferner

(*)

« = (A G) ~ (A B) — (AG) — (270» - ßa).

35*

Der Winkel ß kann kontrolliert werden durch

ß = {BB)-(BH)=(AB)-a/l

(9)

und da auch

(10)

sofort hinzuschreiben ist, so hat man für die Winkel cs, ß, y des Dreiecks ABG nochmals die Rechenprobe a -j- ß -f y — 180°. Endlich wird

y = {GH) — {GA) = cijl — {A G) 4^ 180°

A G ■ sin a sin ß

A G ■ sin y 9 sin ß ’

und es ist nach Vormessen von a auf GH (Endpunkt B scharf einweisen) nur an die Richtung BH nach rechts ß oder an £(? nach links (180° — ß) anzulegen, um die Richtung BH zu erhalten.

(11)

AB =

2. Bei größrer Strecke AB, z. B. von mehreren &m Länge, oder bei größrer verlangter Genauigkeit der Absteckung als sie eine Zugmessung mit den gewöhnlichen Zentrierungs- und Zielhilfsmitteln und mit gewöhnlicher Latten- oder Bandstreckenmessung geben kann, reicht die Verbindung der zwei Punkte A und B durch eine solche Zugmessung nicht mehr aus, sie ist vielmehr durch Triangulation herzustellen. Es wird ein Dreiecksnetz oder eine Dreieckskette angelegt, die neben andern Punkten die zwei zu verbindenden Punkte A und B als Eckpunkte enthält und worin nun alle Winkel mit dem Theodolit, durch Sätze oder einzeln (wiederholte einfache Messung oder Repetition) genügend scharf gemessen werden. Eine gemessne Basisstrecke (wenige hundert m reichen selbst für mehrere km lange AB aus, nur muß dann diese kurze Strecke oft auf eine Seite des Dreiecksnetzes „entwickelt“ werden, vgl. 79., Fig. 283) oder der Anschluß an mindestens zwei Festpunkte einer genügend feinen fertigen Triangulation ermöglicht die Berechnung aller Seitenlängen nach dem Sinussatz.

Berühmt geworden sind solche Triangulationen zur Absteckung langer gerader Linien mit gegenseitig nicht sichtbaren Endpunkten in den letzten Jahrzehnten besonders vom Bau langer Tunnels im Hochgebirge her (Alpen: Mont Cenis, Gotthard, Arlberg, Simplon usf.). Hier handelt es sich um bereits recht feine Triangulationen, die mit ziemlich großen Mikroskoptheodoliten genau gemessen und nach der Methode der kleinsten Quadrate rechnerisch „ausgeglichen“ werden. Wenn bei einem Tunnel von AB = 15 000 m Länge (Gotthard) die von beiden Mundlöchern her vorgetriebnen Stollen auf z. B. mindestens 2 3m, genau Zusammentreffen sollen, etwa in der Mitte der ganzen Länge, so darf die Richtungsangabe in A nach B und die in B nach A

0,1

jedenfalls um nicht mehr von der Wahrheit abweichen als um

7 500

■ 206000" = 2%

bis 8” (von den Fehlern der Verlängrung des zuerst eingewiesnen Stücks zunächst abgesehen).

Für kleine Netze bei geringer Länge AB nimmt man sich meist die (übrigens im Vergleich mit der Feldarbeit sehr geringe) Mühe der „strengen“ Ausgleichung nicht. DerVerf. läßt jedes Jahr auf der geodätischen Herbstexkursion der Studierenden des Bauingenielirfachs eine hierhergehörige Aufgabe bearbeiten; die von 1909 (Neres-heim) sei hier als Beispiel mitgeteilt.

Die in der Skizze Fig. 347 angedeutete Nebenbahn umfährt in scharfer Kurve den Hügelkopf K (Ausläufer eines Plateaus); es sollte unter der Annahme, daß es sich beim Bau um eine Hauptbahn gehandelt hätte, die Absteckung eines geraden Tunnels zwischen den Punkten Pund P, gemessen und berechnet werden. Da PP, nur etwa 400 m

lang ist, hätte eine Z u g -messung von P nach Px an sich ausgereicht (vgl. oben 1. a)); es war jedoch für die Seiten E eines Zugs wenig brauch- . barer Grund vorhanden; und da es sich um ein Übungsbeispiel für das Triangulationsverfahren handeln sollte, so ist das Dreiecksnetz der Figur gebildet worden, das nach den örtlichen Verhältnissen als das zweckmäßigste sich zeigte und das außer den Punkten P und 1\ die Punkte A, B, C, 1), E umfaßt. (D liegt in einem Seitentälchen dem Kopf K gegenüber,

■K

HA

•Neresheim

Heideriheim

Neresheim——

R.

300

200

100

100

Fig. 347.

be-

mm

richtig, Die Strecke AB ist mit rund 300 m

cm

E auf der Plateauhöhe jenseits des „Dossinger Tälchens“). MP ist die auf dem fast horizontalen und geraden Gehweg eines Stücks der Neresheim—Heidenheimer Straße gemessne Grundlinie (von jeder der 9 Arbeitsgruppen mit auf den Boden gelegten gewöhnlichen Latten und Schneidenlatten nach ausgefluchteten Stäben einmal gemessen); das Ergebnis ist A B = 295,470 m + 0,006 m, der m. F. als reiner unregelmäßiger Messungsfehler aus der Übereinstimmung der Einzelmessungen nach Anbringung der Lattenkorrektionen berechnet. Da die Lattenlängen alle bis auf mindestens + */4 kannt waren, so ist die angegebne Zahl auch mit Rücksicht auf den regelmäßigen Fehler jedenfalls auf ganz wenige für den vorliegenden Zweck überflüssig lang; auch darin handelte es sich eben, wie angedeutet, nur um ein Übungsbeispiel. Die Winkel des Netzes sind durchaus in Sätzen mit 20"-Nonientheodoliten gemessen; die folgenden Zahlen sind durchschnittlich aus allemal 4 Sätzen gemittelt. Auch hier geht die Genauigkeit überflüssig weit. Zur Bezeichnung der Punkte haben gewöhnliche gebohrte Pflöcke, als Zielzeichen meist starke rotweiße Stäbe (3 m lang, 50 mm stark) gedient (in P ein gewöhnlicher Fluchtstab); zum Teil war auch der auf dem Zielpunkt stehende Theodolit (Senkel oder Instrumentenmittelpunkt) das Zielzeichen.

Stdp. E Px 0° 0' 0" C 11 05 14

A 0° 0' 0" B 47 48 30 D 62 04 34 E147 50 39

Stdp. C

Die unmittelbare Zusammenstellung der gemessnen Richtungen gab folgendes: Stdp.    A    |    1)    0° 0' 0"

B    30 21 30

B 37 43 14 D 63 49 52 0° 0' 0" 96 42 08

P    60 08 46

|    C    83 10 50

0° 0' 0" 19 28 15 41 29 16 53 17 16 76 13 45

Stdp. D

Stdp. Px

Stdp.    B    A    0°' 0' 0"

Stdp. P A 0° 0' 0" B 82 33 05

I) 126 42 16 E227 18 19 C 280 38 06 P 292 20 16

Wollte man das Netz streng nach der Methode der kl. Qu. ausgleichen, so hätte man die Normalgleichungskoeffizienten für 9 Korrelaten zu bilden, diese 9 Normalgleichungen aufzulösen (es sind 7 Dreiecksschlußgleichungen und 2 Seitenbedingungsgleichungen als unabhängige Bedingungsgleichungen in dem Netz vorhanden) und danach die Verbessrungen für die 26 gemessnen Richtungen abzulesen; eine nicht ganz unbedeutende Rechenarbeit, die bei längrer Strecke PP, aber durchaus angezeigt wäre. In unsrem Fall genügt die Zusammenstellung der Dreiecke und Verteilung des Widerspruchs in jedem Dreieck (womit aber keineswegs alle Widersprüche beseitigt sind, sogar neue Widersprüche und Willkürlichkeiten hereinkommen).

Gemessen

Verbessert

AB

I. ABP

A = 29°47'16" B = 67 39 44 P = 82 33 05

A = 29°47'14" B = 67 39 42 P = 82 33 04

E sin Cjj sin B1X AG

2.47 051 0.13023 9.99248

2.59322

180° 0'05"

180° O'OO"

II. ABC

A = 52°49'20" B = 79 21 54 C = 47 48 30

A = 52°49'26" B = 79 21 59 C = 47 48 35

E sin _Dm sin AIU

0.24422

9.99692

CD

2.83436

179°59'44"

180° O'OO"

E sin E₁ v sin C1Y

0.09912

9.99881

III. ACD

83°10 50 62 04 34 34 44 29

A = 83°10'53 C = 62 04 36 D = 34 44 31

DE

E sin P,y

2.93 229 0.00298

179°59'53"

180° O'OO"

EP,

2.45811

IY. CDE

G = 85°46'06" D = 41 29 16

85°46'05"

41 29 16 52 44 38 E = 52 44 38

sin Dy

D E: sin P,, v sin Ey

9.52 284

2.93527

9.95303

179°59' 59"

180° O'OO"

DP,

2.88 830

Y. DEP,

19°28'15" 63 49 52 96 42 08

19°28'10" 63 49 47 96 42 03

DE

E sin ByI

2.93229

0.00748

180° 0'15" j

180° O'OO"

EB

2.84375

YI. BDE B — 100°36'03"

1) = 53 17 16 E = 26 06 38

B =100°36'04" D = 53 17 17 E = 26 06 39

sin D VI DE: sin ByI

9.90398

2.93 977

sin Evl

9.64356

179°59'57"

180° O'OO"

DB

2.58 333

Es sind oben vorläufig die Winkel der sechs Dreiecke ABP, ABC, ACD, CDE, DEP, und BDE zusammengestellt, weil wir diese sechs Dreiecke nachher zur Rechnung verwenden. Sie sind in der angegebnen Folge in der Fig. 347 mit I bis YI bezeichnet und geben die vorstehenden Zahlen. Die sechs Dreiecke liefern also Schlußfehler (mit dem Vorzeichen der erforderlichen Yerbessrungen der Winkel) von —5", -(-16", -)- 7", -f-1", —15", -}-3"; dies ist bei der Kürze der Seiten und angesichts der verwendeten 20"-Theodolite als sorgfältige Winkelmessung zu bezeichnen. Es sind noch drei weitre geschlossne Dreiecke in der Figur, nämlich BCE, ABD und BGD\ behandelt man sie in derselben Art, so zeigen sie Schlußfehler (notwendige Verbessrungen der Winkelsummen) von -)- 4", — 15", -|- 6". Die 9 angegebnen Schlußfehler der 9 Dreiecke können zur Beurteilung der Genauigkeit der

Winkelmessung dienen; die 2 ihrer Quadrate ist 842, also (vgl. 19. Gl. (6) und 20. Gl. (15)) ein mittlerer Dreiecksschlußfehler von

ms

vorhanden, was einem mittlern Fehler eines Dreieckswinkels von

mw =    = == + 5”, 6

und einem mittlern Fehler einer beobachteten Richtung von

mr

5,6

1/2

+ 4",0

entspricht; wie schon angedeutet, ein gutes Ergebnis, da die Zugseiten meist nur einige 100 m lang sind (logDE — 2,93 •• die größte, s. u.).

rechnen. Für die Rechnung könnten 6-stellige Loga-

zu

Wir nehmen an, die rechts neben die gemessnen Winkel geschriebnen Winkel, die durch Verteilung des Schlußfehlers in jedem Dreieck erhalten worden sind, seien die „ausgeglichnen“ (was nicht zutrifft, aber für uns genügt) und rechnen mit diesen Winkeln nun die einzelnen Seiten der Dreiecke, so weit wir sie brauchen. Da wir nachher ein Koordinatensystem mit A als Nullpunkt und die Richtung AB als Richtung -j- x einführen und in diesem System die Koordinaten von Pt auf dem Wege des Zugs BEPX DB (zur Kontrolle nach B zurück) bestimmen wollen (in demselben System sind dann noch die Koordinaten des von A und B aus ein-geschnittnen Punkts P zu berechnen), so genügt es, die Seitenlangen AC, CD, DE, EPX, DP₁; DB und EB rithmen benützt werden, es reichen aber mit Rücksicht auf die Längen der Seiten (alle <( 1000 m) und auf die Korrektionen der gemessnen Winkel (bis 6") auch noch 5-stellige Logarithmen; diese Rechnung durch einfache fortgesetzte Anwendung des Sinussatzes steht oben. (Nebenbei bemerkt, gibt der Gebrauch 6-stelliger Logarithmen in unsrem Fall nur bei zwei Seiten eine Änderung der 5. Dezimalen um 1 Einheit im Vergleich mit der obenstehenden Rechnung, indem 6-stellig

log CD — 2.83 4354 und logDP₁ = 2.88 8294

wird; der Unterschied ist also nur 0,6 Einheiten der 5. Dez. in beiden Fällen.) Vor der Weiterführung der Rechnung wird man für die Log. der Seiten und für die Wirkung der Verteilung des Dreiecksschlußfehlers gern eine Kontrolle haben und kann zu diesem Zweck z. B. Zusehen, ob man mit dem Dreieck BDA von dem berechneten DB aus genügend auf AB zurückkommt. In dem Dreieck BDA (VII) sind die Winkel nach Verteilung des Dreiecksschlußfehlers von 15" und damit die Rechnung von AB aus BD die nachstehenden:

30°21'25,/

Yll —

jBvn = 126 42 11 I)vil =

22 56 24

180° O'OO"

BD

E sin A sin D

Yll

VII

AB

2.58333

0.29638

9.59081

2.47 052

also angesichts der Form des Dreiecks VII (Winkel D nur 23°) einer nicht zu erwartende Übereinstimmung mit der Ausgangszahl für AB. Damit ist alles bisherige genügend kontrolliert und es sind in dem oben

die Koordinaten der zwei Punkte P und P₁ zu berechnen.

schon angegebnen Koordinatensystem

I. Koordinaten von P,. Aus Dreieck I sind AP und BP zu berechnen; zur Probe ist doppelt

yp — AP ■ sin AL = BP ■ sin Pr, ferner ist xp = AP • cos Ay = AB — BP- cos BI .

in Bß'b( „ D „ A „ ) = 360° —PVII= 233°17'49"

oder auch =

= 233° 17'52".

P YI “1“ BEBC T "II = 100°36'04"

+ 53°19'49"

+ 79°21' 59"

ßb = 227° 18'15" ße = 322 16 46 ßPl = 263 17 57 ßd — 33 49 01 ß'b = 233 17 52 1079°59'51"

L— CC 05 CO CO

in Pi ßvi( -D ßd (

„ ) = 360° —Pliy = 263°17'57"

„    ) aus dem gemessnen Satz

= 53° 17'16" — 19° 28' 15" = 33° 49'01"

VII

„    ) aus dem gemessnen Satz

Die Rechnung steht neben und gibt übereinstimmend:

yp — -|- 136,92 und xp = 4~ 239,20 oder = 295,47 — 56,26₃ = 4- 239,21 mit 6-stelliger Rechnung wird yp =    136,924

xp = -f 239,207    /

II. Koordinaten von Pl. Der Rechnungsweg ist schon angedeutet: wir benützen den Zug BEPlI)B von B aus und dahin zurück, der über Pj führt. Die Seiten sind in diesem Zug nicht, wie in unsern Zügen des Kap. 4., Zugmessung, direkt gemessen, sondern schon aus der Triangulation logarith-misch berechnet (es sind also gleich die Log. gegeben); die Winkel zwischen zwei aufeinanderfolgenden „Zug“-seiten sind ferner hier nicht wenig von 180° verschieden, sondern haben ganz beliebige Beträge. Wir nehmen diese Winkel aus den gemessnen Richtungssätzen, wo sie nicht als Summen von „ausgeglichnen“ Dreiecks winkeln zu Gebot stehen, nämlich in E und in I). Stets nehmen wir aber, unsrer frühem Definition gemäß, als Polygonwinkel ß den Winkel zwischen vorhergehender Seite links und folgender Seite rechts, setzen demnach:

AB 2.44 031

sin Bj AB

E sin Pj sin A L

9.96612

2.47051

0.00368

9.69 616

PI = 67 u 39'42"

Pj = 82 33 04 Az = 29 47 14

BP

2.17035

180° O'OO"

AB ■ sin A1 — BP - sin B₁

2.13647

2.13647

cos

cos Pj

9.93845

9.57987

AP ■ cos A1 B P ■ cos Bj

2.37876

1.75 022

in B ßb (zwischen A links, E rechts) = B in E ße (    „ B „ Px

-f- jByj = 227° 18'15

= 0°0'0" — 37°43'14" = 322° 16'46'

In den zwei Werten von ß'ö (Anschlußwinkel in B) zeigt sich eine kleine Unstimmigkeit, die von der tatsächlich nicht vollständigen Ausgleichung der Winkelwiderspräche herrührt; nehmen wir den zweiten Wert aus den „ausgeglichnen“ Dreieckswinkeln. Die Summe der fünf angeschriebnen ß soll nun aber (und damit erhält man eine weitre Probe für sie) eine ganze Anzahl mal 180° geben, denn von dem Richtungswinkel (AB) — 0°0'0" aus muß man mit Hilfe dieser Zß nach der gewöhnlichen Richtungswinkelrechnung wieder auf (B A) = 180°0'0" kommen. In. der Tat ist Zß zunächst 1079°59'5l", ein neues Zeichen für die Nichtausgleichung des ganzen Netzes; wenn wir auch den geringen Fehler 9" auf sich beruhen lassen könnten, wollen wir ihn doch nochmals einfach auf die Polygonwinkel verteilen (das Verfahren ist an sich hier nicht berechtigt) und für diese die rechts neben die ß geschriebnen Zahlen nehmen. Mit

ihnen ergibt sich für den zu verfolgenden polygonalen Zug folgende Rechnung, in die die log s von oben eingesetzt sind.

Punkt

Kichtnngs-winkel a

Polygon-winkel [i

( cos cc (s • sin a

log

( s ■ cos a \ s • sin a

s • cos cc Korr.

s ■ sin cc

Korr.

Verb.

S ■ COS cc

Verb. s ■ sin oc

{AB) =

0° 0' 0" 227°18' 17"

+ 295,47

0,00

47 18 17

322 16 48

189 35    5

Pi

263 17 59

9.85129 2.84375 9.86627 9.99390«    2.45201«

2.45811 9.22143«

2.67504 -f 473,20

+ 512,89

-f- 473,20

+ 512,89

2.71002

-f 768,67

+ 512,89

— 283,15

47,81

— 283,15

47,81

1.67954«

+ 485,52

-f 465,08

272 53 04

33 49 03

8.7018 2.88830 9.99 945«

1.5901

-f 38,91

— 772,23

-f 38,91

— 772,23

2.88 775«

126 42 07    9.77 645«

2.58 333 9.90404

2.35978«

— 22 *,97

+ 307,16

+ 524,43 — 307,15 — 228,97 + 307,16

233 17 53

2.48 737

+ 295,46

+ 0,01

(180° O'OO")

Probe

+ 512,11 + 820,05 — 512,12 — 820,04 Probe

Probe

In den E(s-.coscc) und E(s • sin u) zeigt sich nur je 1 cm Widerspruch, den wir auf sich beruhen lassen; 6-stellige Rechnung gibt Widersprüche, die nicht 1cm erreichen. Die Koordinaten von Px lauten also

Xp = + 485,52, yp = + 465,08 . III. Richtungswinkel und Strecke PPX.

Xx = + 485,52 a; = +239,21

yx — y 2.51609 Esin 0.09 703

— + 465,08 y = + 136,92

iCj — a: = + 246,31, ^ — 2/ = + 328,16

xx — x 2.39 148

tg(PPx)\ 0.12 461

(PPt) — 53° 06' 33"

PPX 2.61312

PP₁ = 410,32.

Die gesuchte Entfernung der zwei Punkte P und Px ist also 410,32 m; ferner folgt aus dem Richtungswinkel (PPX) = 53° 06' 33":

Winkel in P zwischen A links und Px rechts = (PPX) — (PA) — 53° 06' 33" —

— [180°+ 29° 47' 14"] = 413° 06' 33" — 209°47'14" = 203°19'19".

Winkel in P₁ zwischen 7J links und P rechts = (Px P) — (Px D) = (53°06'33"+ 180°)

— 272°53'04" = 320⁰13'29".

Es ist schon bei der Aufgabe 90., 1. a) angegeben, daß es sich im allgemeinen empfiehlt, zunächst Punkte in den Yerlängrungen von PPX über Px hinaus und von Pj P über P hinaus zu bestimmen, im vorliegenden Pall je im Abstand von etwa 100 oder 150 m von diesen Punkten, so daß die Absteckung selbst in den Berg hinein nur die Verlängrung der so hergestellten Zielung ist. — Ist einer der berechneten

91. Hauptpunkte für einfache Kreisbögen.

1. Allgemeines. Beim Abstecken eines „einfachen“ Kreisbogens liegt die Aufgabe fast ohne Ausnahme so, daß auf dem Feld gegeben (ansgefluchtet) sind zwei Gerade, und im Projekt.(Plan) eingeschrieben steht der Halbmesser r des Kreisbogens, durch den diese zwei Gerade berührend verbunden werden sollen.

Französisch: „raccordement“ der zwei Geraden durch den Kreisbogen; englisch ist Abstecken eines Kreisbogens „laying out“.

Die zwei Geraden sind meist nach 88. und 89. 5. für größre Strecken mit dem Theodolit, für kurze Strecken auch mit freiem Auge ausgefluchtet. Selbst für geringe Anfordrungen an die Genauigkeit des abzusteckenden Kreisbogens genügt es im allgemeinen nicht, sich etwa Punkte dieses Bogens, ähnlich wie Punkte der Geraden in 89. 5., durch unmittelbare Übertragung aus dem Plan aufs Feld verschaffen zu wollen, schon weil die bei der Geraden bequeme Möglichkeit der Verbessrung durch „Vermittlung“ beim Bogen im allgemeinen fehlt. Man muß vielmehr den Bogen fast stets ganz unabhängig vom Plan auf Grund der auf dem Feld ausgefluchteten zwei Tangenten des Bogens und des im Plan vor-geschriebnen Halbmessers r abstecken.

Außer „einfachen“ Kreisbögen kommen auch sog. Korbbögen aus zwei oder mehr einander berührenden Bogenstücken von verschiednen Halbmessern in Betracht, vgl. 92.; wir bleiben hier vorläufig beim „einfachen“ Kreisbogen mit dem Halbmesser r.

m Abstand voneinander begnügen kann, setzt man in den Kreisbögen nach Bedarf Punkte in Entfernungen von 5, 10, 20 m voneinander ab. Man verschafft sich jedoch meist nicht die Gesamtheit dieser erforderlichen Punkte durch eine zusammenhängende Messung, sondern trennt die Arbeit wieder in zwei Stufen, sorgt nämlich

a) für die Absteckung sog. Hauptpunkte des Bogens und geht

Es sind in dem Bogen, um ihn genügend durch einzelne Punkte zu bezeichnen, verhältnismäßig mehr Punkte anzugeben als in einer Geraden; während man sich für die meisten Zwecke bei der Geraden mit Punkten in 25 oder 30

dann erst

b)

zu

Winkel um 10" falsch, so versetzt dies die abzusteckende Gerade in der Mitte der Strecke PP, (205 m von jedem Endpunkt) um 205 000-—-^

«UOOUU

Es genügt also bei den kleinen Abmessungen unsrer Figur vollständig, die Richtungs-angaben in P und auf 20" oder 30" zu machen, und hierzu ist die Genauigkeit unsrer Messung mehr als hinreichend. Tatsächliche Absteckung über den Berg nach den flüchtig (vorläufig! im Bureau berechneten Winkeln in P und P, traf auf Stabbreite zusammen.

mm

, d. h. um 10

mm.

der Absteckung sog. Zwischenpunkte oder Kleinpunkte

des Bogens über.

Die wichtigsten Hauptpunkte jedes Kreisbogens auf dem Feld sind natürlich seine Berührungspunkte mit den sich anschließenden geraden Linien; oft genügen diese zwei Tangentenpunkte als Hauptpunkte, vielfach ist aber auch noch die sog. Bogenmitte (Halbierungspunkt der '

Bogenlänge) als weitrer Bogenhauptpunkt aufzusuchen und es ist die Tangente in diesem Punkt abzustecken; oder es sind selbst nochmals die Halbierungspunkte der Bogenhälften, die sog. Bogenviertel, als Hauptpunkte abzusetzen, und es sind die Tangenten in ihnen abzustecken.

Zu merken ist ein für allemal, daß man mit dem Mittelpunkt des Kreisbogens auf dem Feld nichts zu tun hat; er ist, wenn überhaupt aufsuchbar oder zugänglich, im allgemeinen für die Absteckung ganz wertlos. Man kann einen Kreisbogen von z. B. nur 100 m Halbmesser nicht dadurch herstellen, daß man von dem aufzusuchenden Mittelpunkt aus die Strecke 100,00 m auf beliebig abzusteckenden Halbmessern hinausmißt; von der äußerst unbequemen Arbeit abgesehen, wäre dies im allgemeinen zu wenig genau (wenn z. B. vom Mittelpunkt stets an einem Berghang herunter gemessen werden müßte). Kur Kreisbögen mit ganz kleinen Halbmessern kann man gelegentlich auf dem Feld so „beschreiben¹¹, wie man den Kreis auf dem Reißbrett zieht oder wie der Gärtner seine Kreise absteckt, mit vom Mittelpunkt ausgespanntem Meßband oder Meßdraht oder Meßschnur. Also der Mittelpunkt bleibt im allgemeinen für die Absteckung ganz aus dem Spiel; dagegen sind mit seiner Hilfe die Berechnungen als Grundlage der Absteckung am bequemsten, wie immer bei Kreisrechnungen.

Für die Art der Absteckung der Hauptpunkte kommt ferner in Betracht, ob der Schnittpunkt S der zwei gegebnen Tangentenrichtungen SN und SN₁ ein zugänglicher und für die Absteckung brauchbarer Punkt ist oder nicht (er kann an sich zugänglich, aber für die Absteckung wertlos sein, weil z. B. zu weit entfernt oder für die Längenmessung von ihm aus zu ungünstig gelegen, oder er kann ganz unzugänglich sein, im Wasser, Wald, in Häusern liegen); im zweiten Fall ist der Winkel zwischen den zwei Tangentenrichtungen nicht unmittelbar in S meßbar. Hiernach unterscheidet man für die Hauptpunkte:

Absteckung mit „zugänglichem“ Tangentenschnittpunkt, nämlich mit in S unmittelbar zu messendem Winkel zwischen den zwei Tangentenrichtungen und

Absteckung mit nicht zugänglichem oder für die Absteckung wertlosem Tangentenschnittpunkt. Eine andre Art der Absteckung von Bogenhauptpunkten, ohne Messung des Winkels der Tangenten, ist am Schluß zu erörtern.

2. Hauptpunkte bei zugänglichem und benützbarem Tangentenschnittpunkt s.

a) Messung, Rechnung und Absteckung. Gegeben (abgesteckt oder vielleicht zunächst nur durch je einen Pflock N, Nt in genügender Entfernung von S bezeichnet) die zwei Tangentenrichtungen SN, SNt auf dem Feld, und nach dem Projekt der Halbmesser r des Kreises. Über dem Pflock S (u. U. erst festzustellen und zu bezeichnen) wird der Theodolit aufgestellt und der Winkel zwischen Nt und N gemessen; bei 20"-Theodolit genügt selbst für ziemlich große Eisenbahnkreisbögen in der Regel zweimalige einfache Winkelmessung (damit man eine genügende Probe hat) oder z. B. 4 malige Repetition (ebenfalls mit Probe, 2 mal nach rechts, 2 mal nach links repetieren, oder in je 2 maliger Messung Winkel N₁N und dann Winkel NNt). Vgl. Fig. 348.

Der Winkel in S zwischen Nl links und N rechts sei nun = 2 s gemessen (2 s, weil wir ihn sogleich durch die Gerade SD zum Mittelpunkt des Bogens halbieren). Mit 2s ist auch der Zentriwinkel des Bogens gegeben

26 = ISO⁰ — 2s

oder der halbe Zentriwinkel

(i)

Ö = 90° - s.

Für die unter allen Umständen wichtigsten Punkte des Bogens, die Berührungspunkte T und Tt an SN und SN,, erhält man damit sofort

(2)

ST= ST, = r-tgd

(Tangentenlänge, die zum Zentriwinkel d gehört, ist Halbmesser mal tangens des Zentriwinkels), womit durch sorgfältiges Abmessen dieser Strecken von S aus diese zwei Punkte bestimmt werden können. Häufig, sogar in der Regel, genügen nun T und T, allein nicht als Hauptpunkte; man bestimmt deshalb als weitern Hauptpunkt sogleich noch den Punkt M und die Tangente CC₁ in M mit, es ist' nämlich

(3)

Die Halbmesser r haben bei Eisenbahnen oft sehr große Werte, 2000m und mehr; bei Hauptbahnen (Schnellzugsverkehr) sinkt r im Gebirge oder stark hügligem

Gelände bis auf 300 m herab (oft noch etwas weiter, am Gotthard bis auf 280 m, in Württemberg nach früherem Maß bis auf 1000 Fuß = 287 m), bei Nebenbahnen und Kleinbahnen (langsames Fahren) bis auf löOmund 100m; beiHaupt-. straßen ist die untre Grenze von r etwTa 30 m, ähnlich für Straßenbahnen, bei Wegen noch viel weniger. Man nennt diese in einem bestimmten Fall und für einen bestimmten Zweck zulässige kleinste r-Zahl denMinimalhalbmesser des Verkehrswegs. Das Folgende bezieht sich zunächst meist auf den Fall ziemlich großer Halbmesser.

2le

\V

T,

\p:

co In

Fig. 348.

TG = CM = MC, = C,T, = r • tg ~ ■

Man wird also beim Hinausmessen von S aus auf den zwei Tangentenrichtungen nach T und T, unterwegs auch gleich die Punkte C und C\ absetzen durch die Strecke

SC=SC₁=r-tgd — r ■ tg ^ •

Die Punkte C, T; Cx, rl\ sind bei großem Abmessungen der Figur und größrer geforderter Genauigkeit stets mit dem Fernrohr des ohnehin in S stehenden Theodolits einzuweisen. Mit CC₁ hat man die Tangente in M, und diesen Punkt selbst erhält man als Halbierungspunkt der Strecke CCX, wobei man nun schon eine Messungsprobe für alles bisherige erhält, indem

ti' Os

(4)

CCt = 2r-tg

sich zeigen muß.

Man verschafft sich aber gern noch eine weitre Probe für M und die Absteckung, darin bestehend, daß mit dem in S stehenden Theodolit die Halbierungslinie von 2e abgesteckt wird (bei kleinen Höhenwinkeln der Zielungen genügt dazu jedenfalls eine Fernrohrlage und sogar, wenn SM kurz ist, ein Nonius) und auf ihr die Strecke SM abgemessen wird; ihre Länge ist

sin²

(5)

SM = SO — r =

cos 8

— r = 2r •

<M

cos d

Diese weitre Probe ist besonders willkommen bei verhältnismäßig langem CCX, kurzem SM; die zweite Form (5) zur Rechnung von SM ist nur dann von Vorteil,

V    .

wenn SO = -- so groß ist, daß es z. B. 5-stellig oder selbst 6-stellig nicht auf

1 cm gerechnet werden kann. Wegen der angedeuteten Probe für M durch SM nimmt man den Theodolit in S erst weg nach Halbierung von NtSN, um sodann bei längrer Strecke CCr, nach Absteckung von C und Ct, diese Gerade von einem der Endpunkte aus einzuweisen, dabei auch M.

Die Tangenten WC, GG₁ und C, JV, umgeben nun in der Regel den ab zustecken den Bogen TMTl eng genug, so daß T, M,    in der Tat als Hauptpunkte genügen.

Es ist aber leicht zu sehen, daß und wie für lange und stark gekrümmte Bögen das Verfahren, das zu M geführt hat, wiederholt werden kann, um die „Bogenviertel“ V und V₁ zu bestimmen. Zieht man in V wieder die Tangente, so ist

(6)

TB = BV= VB₁ = B₁ M = ■ ■ • — r ■ tg ~

und V nebst der Tangente daselbst ebenfalls unmittelbar abzusetzen.

Will man V schon durch „rechtwinklige Koordinaten von der Tangente aus“ (also wesentlich nach der ersten Zwischenpunktsmethode, vgl. unten) abstecken, so ist von C aus auf einer der Tangenten CT oder CM die kleine Strecke

'S-

Cb

§

’S

K)| Oe

(N

•I

n.

'CS

abzumessen und irn Endpunkt die kurze Ordinate

(8)

r — r cos — = 2r • sin² —

2    4

zu errichten. Die Strecke C V ist

(»)

V

CV =

sin²- -

cos —

cos

(vgl. oben (5) für SM, mit Bemerkung). Nach Bedarf könnte so nochmals fortgefahren werden zu den Bogenachteln, doch kann im allgemeinen stets mindestens nach unmittelbarer Herstellung der Bogenviertel die Absteckung der Zvvischenpunkte beginnen, vgl. unten.

2 d<">

Die Länge des ganzen, nunmehr in seinen Hauptpunkten feststehenden Bogens, zwischen Anfangs- und Endpunkt T und T1} die man fast stets ausgerechnet braucht, ist

(10)

(")

Bogen TTt = l = r ■

Die unten zu erwähnenden Hand- und Taschenbücher „zum Abstecken von Kurven“ (vor allem, oft ausschließlich Kreisbögen) enthalten vielfach auch Tabellen für die Werte: „Tangentenlänge“ t = ST, TC, SM („Scheitelabstand“); doch ist zu raten, diese einfach zu rechnenden Zahlen direkt 5-stellig auszurechnen. Man überlege sich auch gleich folgendes: Ist 2 s = 90°, also auch 2d = 90°, so ist der abzusteckende Bogen ein Viertelkreis und Tangentenlänge t = ST=r. Ist 2f^90°, also ganzer Zentriwinkel 28 ^ 90°, so ist der abzusteckende Bogen ^ Viertelkreis

und die Tangentenlänge t^r. Man lernt bald das Verhältnis ~ «für bestimmte 2s ungefähr schätzen.

Zahlenbeispiel für die Berechnung der Hauptpunkte bei zugänglichem und brauchbarem Schnittpunkt S der zwei Tangenten:

Gegeben r = 350m, gemessen 2s — 117° 42' 25" (Tangentenlänge also rund 0,6 des Halbmessers).

2s = 117° 42'25"

r = 350,00 m

s == 58 51 12

halb.Zentr. 8 = 31    8 48

<§■ <§• CO ¹ Os

2.54407

9.78129

9.44515

2.32 536

— = 15 34 24

t = r -tg 8 TC—CM—r-tg- 1.98 922

Berechnung der rechtwinkligen Koordinaten von V, falls nach diesen abgesteckt werden soll.

. 8

sm —

9.1319

= 7 47 12 4

ST =■ Sl\ — t — 211,52₄ m TC — CM— •• • — 97,54₇ m

E cos 8

2.54407 0.06 760

sin²

8.2638

2.8451

V

so =

cos 0

2.61167

Absz.

0.5540

2.54407

9.4451

SC=SC, = 113,98 m

SO = 408,95 SO — r = SM— 58,95

tgJ

E cos

9.13 592

0.01625

tq J 2

2 r sin* —

4

: - Ord. 1.1089

TI)=I)V= ■ • • = 47,86 CO = 363,35 CO — r= CV= 13,35

TD = DV

CO

1.68 00 2.56 032

Abszisse = 3,58 Ordinate = 12,85

Bogenlänge l = 380,52 m

2 d = 62°17'35" = 224255" Eg"

5.35 074.

4.68 557c - 10 2.54 407 2.58039

j/Absz.² -f- Örd.

= 13,35 = CV, siehe links; berechnet mit der Quadrattafel oder dem Rechenschieber.

Für die Absteckung ist also auf den Tangentenrichtungen hinauszumessen je 113,98 m, um die Punkte C und Cx zu erhalten, und 211,52, um die Berührungspunkte T und Tx zu erhalten, wobei alle diese Punkte mit dem Theodolit einzuweisen und zu verpfiocken sind. Mit dem Theodolit Winkel in S halbiert; da SM rund 60 Halbierungslinie, wenn M mindestens auf % cm an den richtigen Ort soll

(in der Richtung quer zu

gestellt werden, man wird also bei der Halbierung mindestens, beide Nonien ablesen, aber eine Fernrohrlage ist ausreichend, wenn der Höhenwinkel von S nach M nicht groß ist. Stellt man zuerst den Punkt M durch die Halbierung von 2 s und durch SM her und bringt dann den Theodolit nach C, zielt nach Cv so muß M in dieser Zielung erscheinen, ferner muß CM = MCX = 97,55 sich zeigen. Yon S aus werden bei Gelegenheit der Messung von 2s auch, falls dies nicht schon geschehen sein sollte, die Tangentenrichtungen SN und SNX mit dem Theodolitfernrohr ausgefluchtet, ebenso von C aus die Tangente CCX in M. In C und Cx können die Winkel NCCX und Nx Cx C ebenfalls noch mit dem Theodolit halbiert werden (es genügt ein Nonius in einer Fernrohrlage), auf den Halbierungslinien 13,35 m vorgemessen gibt die Bogenviertel V und Vx-die rechtwinkligen Koordinaten dieser Punkte, falls nach ihnen abgesteckt werden soll, sind 3,58 und 12,85. Man beachte bei dieser Gelegenheit, daß CV nicht etwa die Hälfte, sondern nur etwa */₄ von SM ist. Die Tangente in V, d. li. die Punkte D, Dx usf. braucht man in diesem Bei-

spiel nicht und es ist deshalb oben auch nicht mehr r • tg - berechnet.

lang ist, so muß die

SO), auf

0,5

6000

. 206000 = 17" oder 20" her-

h) Genauigkeitsbetrachtung. Denken wir uns S, N und A⁷, durch Pflöcke fest bezeichnet, ferner r unabänderlich im Projekt vorgeschrieben; welchen Fehler in der Lage der einzelnen Hauptpunkte erzeugt ein bestimmter Fehler im gemessnen Winkel N₁SN‘i Mit ST=t = r-tg8 wird, wenn dd in " genommen wird

r' cos² ö' 206 mr "> ’

also z. B. mit d = 30° (d. h. Zentriwinkel 60° oder gemessner Winkel 2s = 120°), dS — 20" (Fehler im Zentriwinkel == — Fehler in 2s gleich 40") und r = 300 m, Verschiebung der Tangentenpunkte um

dt = 30000

(11)

dt =

cm • —

1 20 » ’ 206000

Die Verschiebung des Bogenhalbierungspunkts M in der Richtung der Halbierungslinie von 2 s wird aber viel kleiner, nämlich

also uur sind-dt, d. h. in unsrem Fall nur rund 2 d* gibt Verlängrung von /SO und damit von SM.)

Wichtig ist auch die Betrachtung der Wirkung einer bestimmten Verändrung von r bei Festhaltung eines gewissen 2s und damit d; wird r um Ar verändert, so werden die Tangentenpunkte hinaus- oder hereingeschoben um

At = Ar ■ tg 8,

(12)

sin 8 cos² 8 ’ 206Q00‘"> ’

cm.

(Positives dö, negatives

dagegen M auf SO wieder weniger verlegt, nämlich nur um

sin²—

A(jSM)r = 2 -Ar •

(U)

2

cos ö

Mit 2e = 120°, 2 d = 60°, d = 30°, r = 300m bewirkt z. B. eine Verändrang von 10 m in r (Ar = 10 m) eine Verschiebung der Tangentenpunkte um 10 • ^ j/3 = 5,77 m, dagegen wird die Bogenmitte M auf SO trotz der großen Verändrung in r nur verlegt um die Strecke

sin²15° cos 30°

oder nur etwa */₄ der Verschiebung der Tangentenpunkte.

Noch geringer wird die Verändrung der Länge der aus geraden Stücken und Kreisbogen sich zusammensetzenden Linie von einem bestimmten Punkt N der gegebnen Tangente SN zu einem bestimmten Punkt Nt der gegebnen Tangente SNt (die Punkte N und N₁ von S aus jenseits der Berührungspunkte liegend). Ist NlMTiNl die Länge beim Halbmesser r = 300 m wieder mit Festhaltung von 2e = 120° 0' 0", so ist, wenn T’ Tx' die Berührungspunkte, M' die Bogenmitte bei r'= 810m sind, NT'M'T[NX nur um 1,07m kürzer als NTMTNX. (Die Bogenlänge TMT₁ ist bei den angegebnen Zahlen % des Kreisumfangs mit Halbmesser 300

bei r = 310m wird die Bogenlänge bei 2d = 60° um 10,47 m größer, die Tangenten je um 5,77 m länger, die Strecke zwischen N oder Nt und dem Berührungspunkt also um ebensoviel kürzer.)

2000

cm •

= 1,55 m

m,

also n • 100 m = 314,16 m, die zugehörige Tangente ST= 100 |/3 = 173,20₅ m;

3. Hauptpunkte bei nicht zugänglichem oder für die Absteckung nicht brauchbarem Schnittpunkt S der zwei Tangentenrichtungen. Sehr häufig ist der Punkt 8 entweder nicht zugänglich (Fig. 349) oder vielleicht auffindbar, aber zu weit entfernt (Fig. 350) oder sonst zu wenig günstig gelegen (Fig. 351), als daß von ihm aus die Tangentenstrecken ST genügend eingemessen werden könnten. Man muß im Fall der Figg. 349 und 350 den Winkel 2f indirekt messen.

/r

T,

-"Ti

///,

'-vis

Wald, Wasser, Häuser oder7 andre Unzugänglichkeit von S.

Fig. 350.

Fig. 349.

a) Die einfachste Möglichkeit dieser mittelbaren Messung von 2 s ist die, daß man auf den gegebnen Tangenten SN und SNt zwei Hilfspunkte A und Ax so wählen kann, daß in dem Dreieck SAAX zwei Winkel oder deren Supplemente (weil meist in der Richtung von A gegen N und von Ax gegen Nx die größre Zielweite zur Verfügung steht) gemessen werden können; auch soll die Entfernung a dieser zwei Hilfs-

punkte A, Ax unmittelbar meßbar sein. Es werden also in Fig.352    ^

gemessen: AAX — a\

Winkel in A zwischen s / Ax links und N rechts \V = a, Winkel in A1 zwischen Nx links und A rechts = ax-, gegeben ist ferner r. Es ist dann zunächst

(1)    2 s = a -f at — 180°,

womit der in S nicht unmittelbar meßbare Winkel 2 s der Tangentenrichtungen bekannt ist. Im folgenden werden statt a und ax gelegentlich auch die Dreieckswinkel A und Ax nach

/Y

i?

K/ Ber^Cs

Fig. 351.

zs tN

<?

:£

Sv ¹

31

(2)

= 180°— a

= 180°— ax,

II

kontrolliert durch

2s = 180°— (A Ax),

verwendet werden. Damit ist auch wieder der Zentriwinkel gegeben; der halbe wird

r\

''r

(3) d = 90° - s{= 180°

Fig. 352.

Rechnet man nun die Seiten SA und SAX des Hilfsdreiecks SAAX nach dem Sinussatz, nämlich

a ■ sin A sin 2 £ ⁷

a ■ sin Ax sin 2 s ⁷

so läßt sich der Punkt S, der nicht zugänglich oder nicht brauchbar ist, ersetzen durch die Punkte A und Av Rechnet man nämlich wie früher:

(4)

SA

SA, =

(5)

S T = Sl\ — t = r • tg ö, ferner auch gleich TC = CM = - • • = r - tg ^

S~M =

COS d

so lassen sich die wichtigsten Hauptpunkte T und Tx einmessen durch

(6)

(7)

-r,

und

(8)

Hammer: elementare praktische Geometrie

( AT = t — SA. i AxTx = t-SAx

36

und ebenso sind die Punkte C und Cx einzumessen nach

(9)

AC = AT — TG (wenn negativ von A gegen S hin)

AXCX = AXTX — TG (wenn positiv von Ax gegen Nx hin).

Hier ist jedoch, noch mehr als bei zugänglichem und

Der Halbierungspunkt der Strecke CCX gibt M mit der Messungsprobe GCX = 2r • tg

brauchbarem S, eine weitre Messungsprobe für M willkommen, die man sich leicht mit Benützung des Schnittpunkts Q der Halbierungslinie SM des Winkels 2 s mit der Hilfslinie AAX verschaffen kann. Zunächst ist der Punkt Q selbst festzustellen nach:

A Q : ÄX Q = SÄ:SA\,

d. h. es ist zu rechnen:

a • SA SA +~SA₁

womit Q eingemessen werden kann. Zugleich mit AQ und AXQ wird auch berechnet:

(10)

AQ =

und

4Q-

a • ~SAX SA + SA ;

(11)

SQ-

SA ■ sin A sin (A -f- s)

und

SAy • sin Ay

sin (Ay -f- s)

Die Strecke QM ist also aus

(12)

QM = SM-SQ

(SM

(11) bekannt)

Andeutung der Figur, mit dem Theodolit den Winkel

oder

aus

(7), SQ

aus

zu

rechnen; legt man in Q, nach

(13)

AXQM = Ax+ s A QM = A + £

an der Dichtung QAX oder QA an (da QM meist klein ist, genügt fast stets eine Fernrohrlage und ein Nonius) und mißt auf der so erhaltnen Richtung QM nach (12) ab, so ist die Absteckung sehr durchgreifend kontrolliert, wenn man denselben Punkt M wie bei der Halbierung der Strecke C Cx erhält. Alles weitre wie früher. Genauigkeitsbetrachtung führe man selbst durch; klar ist vor allem, daß a im Vergleich mit r und den sonstigen Abmessungen der Figur nicht zu kurz sein darf.

b) Oft genug ist die Wahl zweier Punkte A und Ax auf SN und SNX nicht möglich, zwischen denen zusammengesehen und zwischen denen die Strecke gemessen werden kann; es sind dann eben zwei Hilfspunkte, der eine auf SN,, der zweite auf SNt, durch einen mehr als eine Seite enthaltenden Zug (aber von stets möglichst wenigen Seiten) miteinander zu verbinden, z. B. durch den Zug (Fig. 353) A₀A₁AiA&. In dem hier gebildeten geschlossnen Fünfeck können also gemessen werden alle Winkel bis auf einen und die Seiten bis auf zwei. Man hat wieder die Polygonaufgabe von z. B. 90. 1. a); der fehlende Winkel 2 s ergibt sich sofort aus der bekannten Winkelsumme des Vielecks, im Beispiel wäre

die zwei fehlenden Seiten SA₀ und SA₃ sind am einfachsten durch Einführung eines Koordinatensystems, mit A₀ als Nullpunkt, iV_T₀ als a>Achse oder y-Achse zu finden, in dem die Koordinaten von A₃ und daraus die Seite A₀ A₃ und ihre Winkel mit SA₀ und berechnet werden. Das Dreick $A₀AS ist danach einfach nach dem Sinussatz aufzulösen und damit der nicht zugängliche Punkt S durch die zwei Punkte A₀ und Aa ersetzbar.

N<

Nt

OC₀

«3

CCt

OL

V-'b

A3

Äi

Ai

(S)

Fig. 353.

Die Yierecksaufgabe dieser Art, einmal gebrochne Hilfslinie von einem Punkt der Tangente SN zu einem Punkt der Tangente SN ist besondrer Betrachtung wert, weil sie nächst dem Fall a) für die Praxis die wichtigste ist. sich auch ebensoleicht ohne polygonometrische Rechnung erledigen läßt. Es sind gemessen, Fig. 353, die zwei Strecken A₁ Aa und As, ferner die Winkel

(15)

in At zwischen Aa links und N rechts = A₁

11    -^-2

n -As

A    >i

4

11 -^*-2    11

= A-

Mit diesen 5 Stücken ist das Viereck SA₁A₂Aa bestimmt.

Die erste sym-metrischeLösung besteht in der Benützung der Diagonale A₁ As: das Dreieck Al A₂ A₃ ist aus zwei Seiten und dem zwischenliegenden Winkel nach den Neper sehen oder Mollweid eschen Gleichungen aufzu-lösen, womit sich die N Winkel ßl und ß₃ und die Strecke A₁A₃ ergeben, z. B. durch folgende Gleichungen:

(S)

At

ßi

T,

Io

Fig. 351.

(3

As

.V⁵

ßl + ft

-    90® — —¹

(16)

woraus ft und ft bekannt, also mit Probe

Ai A₂

sin ß₃

(17)

Ax As —

■ sin (ft + ft) =

-4 a

sin ft

• sin (ft + ft).

Damit sind auch die Winkel

Yi — 180° -ft + ft Ys — ¹⁸⁰° — 4.₃ + ft

bekannt und es kann danach das Dreieck Sftft nach dem Sinussatz aufgelöst werden, womit sich die gesuchten Seiten ^ft und SAa ergeben. Für die Winkel bat man mit Probe:

(18)

| 2 d = 720° — 180°— (ft + ft + As) = 540°— (ft + A₂ + ft)

\ a = 180°— 2 d und 180°— {yx + ys), endlich ist

ft ft

sin cc

womit die Aufgabe auf den Fall a) zurückgeführt ist. Ganz ebenso wie dort kann man sich noch eine Kontrolle für den Punkt M verschaffen. Die Halbierungslinie

von a,

(19)

(20)

»»r„ sa

sin yx,

die Richtung SO, schneidet die Seite    Je nachdem ft ft ■ sin ft

^ A₂ Ag • sin Ag ist (je nachdem das Lot von ft auf SN oder SNX das längre ist). Der Schnittpunkt Q liege der Figur entsprechend auf ft ft, so ist wieder, mit ft = 180° — ft

ft S ■ sin a/2 sin (ft + a/₂) ’

ft S ■ sin g sin (ft + a/s)

zu rechnen, in Q der Winkel v = ft + a/₂ anzulegen und auf der so erhaltnen Richtung Q M = S M — SQ vorzumessen, was denselben Punkt M wie durch Halbierung von CCX (s. bei a)) geben muß.

Zahlenbeispiel: ftft = 191,23m, A₂ As = 116,78 m;

ft — 152°27' 15", ft= 136°52'45", A₃ = 161°13'20"; r = 350 m.

(21)

AQ

SQ

(N

Man erhält 2d = 540°— ZA = 89°26'40", d = 44°43'20",    = 22°21'40";

a = 90°33,20" (= 180"— 2d).

+    74,45

9    J 2    308,01

oder mit

ft + ft

= 21° 33'38"

ßs ßi

= 5 27 20

ft = 27 ⁰ 0' 58" ft = 16    6 18 .

Damit doppelt log ft ft = 2.45 904; mit

7t = 180°— 152° 27' 15" —j— 16° 6' 18"= 43°39' 3" ys = 180°— 161° 13' 20"+ 27° 0' 58"= 45°47' 38"

wird sodann

(Probe a = 180°— 89° 26' 41"= 90° 33' 19"),

SAX = 206,29, S A₃ = 198,65.: Ferner ist mit dem angegebnen Halbmesser r = 350 m

S T = S Tx = 346,62 m, CT= CM = • • • = 143,98 m

und man erhält also die Berührungspunkte T und Tx durch Abmessen von Ax T — 346,62 — 206,29 = 140,33 ™ von Ax gegen N hinaus,

ASTX = 346,62 — 198,65 = 147,97 ™. von As gegen Nx hinaus;

ferner ist A₁ C = TC — T Ax =143,98 — 140,33 = 3,65™ von Ax gegen S herein As Cx = 1\ Cx — TxAg = 143,98 — 147,97 = 3,99 ™ von As gegen Nx hinaus

zu messen. Die Gerade CCX ist womöglich dadurch abzustecken, daß der Theodolit in C aufgestellt und die Gerade eingewiesen wird; die Strecke muß zur Kontrolle GCX = 2 • CT— 287,96 ™ lang sich zeigen, ihr Halbierungspunkt ist M. — Probe für M: mit ft = 27° 32'45",    a/₈ = 45° 16'40", v = a/₂ -f ft = 72° 49' 25", AXQ= 153,41™

(womit Q einzumessen durch die Strecke 191,23 — 153,41 = 37,82 ™ von Ä₂ aus gegen Ax hin), $$ = 99,85™ hat man nach Anlegen des Winkels v in Q auf QO abzumessen

QM = SM— SQ = SO — r — SQ = 492,60 — 350,00 — 99,85 = 42,75 ™,

womit man denselben Punkt M wie durch Halbierung von CCX erreichen muß.

Eine zweite symmetrische Lösung des Vierecks SAX A₂ As, in dem zwei zusammenstoßende Seiten und der zwischenliegende Winkel aus den übrigen fünf Stücken zu berechnen sind, ergibt sich dadurch, daß als Unbekannte eingeführt werden die zwei Winkel, in die der nicht gemessne Viereckswinkel (dessen Wert mittelbar aus der Summe der drei gemessnen Winkel feststeht) durch die ihn teilende Diagonale zerfällt; für diese zwei Winkel hat man nämlich, wie so oft bei Vierecksaufgaben in der Geodäsie, Summe und Sinusverhältnis. Die zwei unbekannten Winkel in S seien cp und -ip, Fig. 355, der ganze Winkel daselbst wieder 2 s, die drei in A, C, Ax gemessnen Winkel cc, 7, ccx (mit cc = 180° — A, (^ = 180° — Ax zu bilden), die gemessnen Strecken 4C=«, AXC— ax. Die Summe von cp und 1p ist

(28)

CS)

T,

[Q

OL

«i

•1

yO

Fig. 355.

Nf

(22)

cp -J- ip — 2 s = 360°— (a -f- 7 -f- ccx), das Sinusverhältnis

sin cp a sin a sin ip ax sin <x₁

a sin cx ax sin ax ’

= ctg (45°+ l) ■ tg ^    ^ *=tge- ctg (45° -f X).

Die Auflösung zeigt auch wieder, daß cp^ip je nachdem a sin cc ^ ax sin ax ist, und demnach fällt also Q auf a oder ax. Für cp und t/j hat man die Probe

ax sin ax sin ip

a sin (ccx -f- ty) sin ip

(23)

(24)

(25)

(26)

SC=

Setzt man

ctg X

a sin a sin cp

und

so wird bekanntlich

ferner wird

« sin (cc -j- cp)

sin cp

In Beziehung anf Q ändert sich gegen die vorige Auflösung nichts. Man vergleiche zu dieser Lösung auch meine Trigonometrie, 3. Aufl., S. 314—315 und berechne das vorige Beispiel auch nach dieser Methode.

3. In besondere Fällen, z. B. in gekrümmten Stollen, wo die Tangenten an den Bogen rasch ins ganz Unzugängliche führen, müssen die Bogenhauptpunkte ganz anders als bisher angegeben, nämlich durch eine Art umgekehrter Zugmessung im Bogen selbst hergestellt werden, bei der Seiten von gleicher möglichst großer Länge in den Bogen als Sehnen eingelegt und die zwischenliegenden zu berechnenden Peripheriewinkel mit dem Theodolit abgesteckt werden müssen. Doch ist in Beziehung auf dieses Verfahren auf Band II dieses Buchs zu verweisen, ebenso wie für andre Einzelheiten, die bei den Bogenabsteckungsarbeiten Vorkommen.

92. Hauptpunkte und Haupttangenten für sog. Korbbögen. So können hier auch nur wenige Worte Raum finden über die mannigfaltigen Aufgaben der Korbbögen, bei denen der Bogen nicht aus einem einzigen „einfachen“ Kreisbogen, sondern aus zwei, drei oder mehr einander berührenden Kreisbogenstücken mit verschiednen Halbmessern besteht. Wir behandeln hier nur die elementarsten Aufgaben; es kommen bei dem in immer schwierigeres Grelände vordringenden Bahnbau sehr komplizierte Aufgaben dieser Art vor, bei deren Berechnung wieder am besten ein Koordinatensystem eingeführt wird.

Bei den „Korbbögen“ treten zu den Berührungspunkten des Bogens an den zwei vorgeschriebnen (abgesteckten) Haupttangenten als weitre Hauptpunkte die Berührungspunkte zweier benachbarter Bögen und als weitre Haupttangenten die Tangenten in diesen Kreisbogenberührungspunkten.

1. Zweiteiliger Korbbogen. Von den schon ziemlich zahlreichen Aufgaben am zweiteiligen Korbbogen (— zwei sich berührende Kreisbogenstücke aus den Mittelpunkten 0 und 0X mit den Halbmessern r und rx beschrieben; OOx—r — rx, OOx JL zur gemeinschaftlichen Tangente der zwei Kreise in ihrem Berührungspunkt K —) seien hier nur folgende zwei erwähnt. Die gegebnen Tangentenrichtungen SN, SNX schneiden sich in *$; wir nehmen der Einfachheit halber diesen Punkt zugänglich und für die Messung und Absteckung brauchbar an.

a) Gegeben der Berührungspunkt T auf SN (durch die Strecke ST=t, die dem Plan entnommen, auf dem Feld nach gemessen ist; T ist festzuhalten), ferner die Halbmesser r und rx der zwei Kreisbögen; gesucht der Berührungspunkt T'x auf SN, (wobei hier ST und ST, nicht mehr gleich sind wie beim einfachen Kreisbogen), der Berührungspunkt K der zwei Kreisbögen und die Tangente I)D, in K, Fig. 356. Planimetrisch lautet die Aufgabe: Kreis von gegebnem Halbmesser zu beschreiben, der einen gegebnen Kreis und eine gegebne Gerade berührt. Die Auflösung ist erreicht mit Bestimmung der Zentriwinkel ß und ß, der zwei Kreisbögen. Der Winkel a der zwei gegebnen Tangentenrichtungen SN und SN, ist gemessen; denkt man sich den Kreisbogen aus 0 mit Halbmesser r über K hinaus fortgesetzt, bis zum Punkt J derart, daß OJ\\ 0, T, ist und zieht in J die Tangente an diesen Kreisbogen (j| SN,), so ist, da GT=GJ wird und GO den Winkel a in G halbiert

(1)

TG — r ■ ctg

also

SG — r • ctg ---t

und

(2)

SH

= (^r ctg --tj sin cc

bekannt. Ist ßt der gesuchte Zentriwinkel des Bogens K T₁ aus dem Punkt Ox mit r, beschrieben, so setzt sich OJ = r aus folgenden drei Werten zusammen:

0 Q — O (Jl • cos ßL = (r — r,) cos ß₁; QL = rx; LJ = SH es ist

— ^    — tj sin d. h.

(r — i\) cos ß₁JrrlJr /r ctg

—tj sin cc — r

oder

(3) cos = 1

(r ctg ^ — tj sin a

r — rx

Aus dieser Gleichung ist ß₁ zu berechnen und damit ist auch der Zentriwinkel ß des Bogens TK bestimmt, da (Dreieck BBXS)

<x

'S

(4)

ß = 180°— (a -(- ßx) ist. Statt direkt nach (3) zu rechnen, kann

man benützen 1 — cos ßx — 2 sin²

LS

, d. h.

(5) sin

r ctg

--tj sin cc

ßi

CH

2 (r — rt)

Nach Bestimmung der unbekannten Zentriwinkel ßl und ß aus (5) und (4) , ist nun alles vollends einfach; es ist zu ^ berechnen:

r-r,

Pi

ri

•A

ßi

Nt

TB =BK

(6)

= r-Vf

ferner allenfalls

Fig. 356.

(7)

SB

(r y + G tg g¹) sin ßx

SB₁

(rtg 2 + *i tg y ) sin ß

sin u

sin cc

womit von S aus die _D, Bl und Tx einzumessen sind. Die Verbindungslinie der Punkte B und Bx ist die Tangente in dem gemeinschaftlichen Berührungspunkt K, deren Länge sich gleich der Summe der Strecken (6) ergeben muß und auf der K festzustellen ist durch diese beiden Strecken. Die Länge des ganzen Korbbogens wird

(8)

ßi

Die Aufgabe kann auch wieder zeigen, wie für die praktische Geometrie brauchbare Lösungen von Aufgaben, über die planimetrisch oder analytisch-geometrisch kaum etwas zu sagen ist, nicht ohne weitres selbstverständlich sind und diskutiert werden müssen. Die Diskussion der vorstehenden Aufgabe sei dem Leser überlassen: beachte besonders, daß ßx nach (3) aus dem cos bestimmt ist, wenn also ßx ein kleiner Winkel ist, so erhält man die Zentriwinkel ßx und damit ß, in der Natur der Daten begründet, wenig genau; es entspricht dies „schiefem Schnitt“ der Bestimmungslinien für den Punkt Ox. Denken wir uns den Ort dieses Punkts

konstruiert statt berechnet, so liegen die Geraden SN und SN, durch a gegeneinander fest, mit ST=t und TO A.SN, TO — r liegt der Punkt O ebenfalls fest; der Punkt O, ist geometrisch der Schnittpunkt eines Kreises um O mit (r — r,) als Halbmesser und einer Geraden parallel zu SN, im Abstand r, von dieser. Man versuche selbst diesen Weg zur Lösung der Aufgabe im analytisch-geometrischen Sinn zu verfolgen. Die planimetrische Fassung s. oben.

Ein andrer, für den Anfänger vielleicht einleuchtenderer Weg zur Bestimmung von ß₁ aus den Katheten O Q des rechtwinkligen Dreiecks O O,Q mit der Hypotenuse (r — j-j) ist folgender: Ziehe SO, dessen Winkel in S mit SN und mit SN, gleich ö und s seien, so ist r

tgd = [

(9)

(10)

oder

damit

cos S

(Lai an de sehe Regel);

(11)

und also

(12) OL = SO-sin s

bekannt, also auch

(13)

CQ—OL— r, zu berechnen, womit

(14)

OQ

vgl. die obige Bemerkung über die Genauigkeit von ß, und damit ß. Zahlenbeispiel, etwas kompliziert durch die Annahme, daß S nicht zugänglich sei; man zeichne sich nach den Daten selbst die Figur. Auf SN und SN, werden die Punkte A und A, angenommen und es wird gemessen: AA,= 207,35 m, Winkel in A zwischen A, links und N rechts = 149°22'45", Winkel in A, zwischen N, links und A rechts = 121°4'35"; indirekt ist also damit bestimmt der nicht unmittelbar meßbare Winkel a in S zwischen N, links und N rechts = 90°27'20". Die Halbmesser der zwei Kreisbögen sind zu r — 350 m, r₁=210m gegeben (r an SN, r, an SN, berührend), also r — r, — 140,00 m. Der Anfangspunkt T des Korbbogens auf (SW ist gegeben durch die Strecke AT (von S aus gesehen hinaus!) = 73,12 m.

Man findet mit 5-stelliger Rechnung folgendes: SA — 177,60 m, (SAj = 105,62m; mit SA also

t = ST— SA -f A T — 177,60 -f 73,12 = 250,72 m.

Damit wird

Ts R

347,23, r ctg

---t = 96,51 m und sin

-V

96,51 • sin a

280,00

, d. h.

ßt

ß,= 71° 54' 00",

n. = 35° 57' 0",

ß = 180°— (71° 54' 0" -f 90° 27' 20") = 17° 38' 40".

Damit für die Absteckung:

TD = DK =

DD,= 206,61₃ m.

ßt

KD₁=D₁Tl=r₁tg g =152,29

Die Strecken von S bis Z) und Dj werden also:

SD = 196,40 m, SD, = 62,G3m-um Z) einzumessen, ist von dem angenommnen Punkt A. an 18,80 m gegen Ar hinaus zu messen, um Z^ zu erhalten, von A, aus 42,99 m gegen S hin zu messen, ferner ist, um Tt zu erhalten, von A, aus (214,92 — 105,62) = 109,30 m hinaus zu messen gegen Nt. Die Strecke DD, muß sich nach Absteckung der Punkte D und D, ergeben zu 206,61.m, und auf ihr ist Punkt K durch DK und KD, (s. oben) festzustellen. Die Länge des ganzen Korbbogens endlich zwischen dem gegebnen Punkt T und dem abgesteckten 1\ wird

TKTx = 350 • arc (17° 38' 40") -f- 210 • arc (71° 54' 00") = 107,78 -f 263,53 = 371,31 m.

Für die zweite oben angegebne Lösung würde nach Berechnung von SA und SAX und von # = 250,72 m,

tgS =

350

250,72 ’

d = 54°23'4", also s = 36°4'16"; log s = 2.63401, womit

43,494 140,00 ’

ßx = 71° 54' 2",

OL — 253,49₄ und OQ = 43,49₄; cos ßx — genügend wie oben.

b) Die zweite Aufgabe über einen zweiteiligen Korbbogen sei folgende: Gegeben sind die zwei auf SN und SNX festzuhaltenden Berührungspunkte.T und Tx durch ST—t, S2\ — tx, beide nicht gleich; gegeben ferner der Halbmesser r des in T berührenden ersten Bogens und gemessen in S der Winkel a zwischen den abgesteckten Tangentenrichtungen SNX und SN. Mit welchem Halbmesser rx des zweiten Bogens wird der Punkt 1\ erreicht, wie ist der gemeinschaftliche Berührungspunkt K der zwei Kreisbögen und die Tangente in K abzustecken? Auch hier kann selbstverständlich a unmittelbar oder bei nicht zugänglichem oder unbrauchbarem S mittelbar gemessen sein und es können für T und T₁ die Abstände t und tx von S un-mittelbar oder durch (.AüT-\- zu berechnendem SA₀) und {Ak Tx -j- zu berechnendem SAk) gegeben sein.

Für die Konstruktion wäre, da mit t und r wieder der Mittelpunkt O des ersten Bogens gegen T und S festliegt und also wieder der Kreis TK (bei noch nicht bekanntem Punkt K) gezogen werden kann, und da ferner durch das Lot in Tx auch ein Ort für den Mittelpunkt Ox des Kreises K2\ von erst zu bestimmendem Halbmesser gegeben ist, diesmal die Aufgabe diese: es ist ein Kreis und eine Gerade gegeben, auf dieser ein Punkt 2\; zu konstruieren ist Mittelpunkt Ox und Halbmesser rx eines Kreises, der die Gerade in dem gegebnen Punkt Tx berührt und den gegebnen Kreis berührt.

Rechnerisch ist folgender Weg der einfachste: Ziehe wieder SO, so sind, wie bei der zweiten Lösung oben, SO = s und die Winkel, die s mit SN und SNX bildet, zu berechnen nach

(15)

S sin ö

oder

vgl. (9) und (10), also (16) (=(11))

eos d '

In dem Dreieck SO2\ sind damit bekannt die zwei Seiten SO — s,

bekannt.

S 2\ — tx und der Winkel s zwischen beiden; man kann also (Hepersche oder Mollweidesche Gleichung) die dritte Seite O2\ und ihre Winkel mit den zwei gegebnen berechnen. Es werde gefunden OTx—a und der Winkel O Tx S = 90°-f- y, d.h. Winkel 0₁T₁0 = y. (Das Viereck ST02\ ist eben durch 5 Stücke bestimmt, die zwei Winkel u und 90° in S und T und die drei Seiten 2\S=t₁, ST—t und TO = r; es wird, wie angedeutet, am einfachsten durch die Diagonale SO in zwei Dreiecke zerlegt berechnet, doch könnte man es ebenso einfach als Zug berechnen mit Nullpunkt in 2\ oder S und STX als der einen Achse; es ergäben sich so die Koordinaten von O in dem angenommnen System und damit 2\0 = a und y sehr einfach aus den berechneten Koordinaten). Im Dreieck OOxT ist also nun bekannt die Seite OTx = a und der Winkel 0₁2\0\ wendet man den pythagoräischen Lehrsatz des beliebigen Dreiecks an, so wird

oder man erhält, da r\ auf beiden Seiten wegfällt, für den zu bestimmenden Halbmesser rx die lineare Gleichung:

a²— r²

¹ - - •

¹    2 (a cos y — r)

Nach Berechnung von rx ergeben sich leicht die Zentriwinkel ß und ßx (es ist wieder ß -(- ßi + cc — 180°) und damit die Abschnitte TD = DK, KDX — Dx Tx und alles weitre wie oben.

c) Über den zweiteiligen Korbbogen bestehen allgemeine Sätze und sehr interessante auch praktisch (beim Trassieren) wichtige Minimumsaufgaben, auf die aber hier nicht eingegangen werden kann. Einige Andeutungen darüber vgl. in des Yerf. Trigonometrie, 3. Aufl., S. 318—319; etwas ausführlicher sind diese Sätze und Aufgaben behandelt in meinem Aufsatz Zeitschrift für Yermessungswesen Bd. XXIX, 1900, S. 236—241, von wo sie auch in einige der Taschenbücher zum Abstecken der Kurven (Trassierungshandbücher) übergegangen sind, z. B. Knoll-

Weitbrecht, Taschenbuch zum Abstecken der Kurven an Straßen und Eisenbahnen, 2. Aufl. 1902, S. 85 bis 93, vgl. in 98.

2. Dreiteiliger Korbbogen. '(Vsinod.) Die Zahl der möglichen Aufgaben wächst noch mehr mit der Zusammensetzung des Korbbogens aus drei Bögen mit verschiednen Halbmessern, von denen der mittlere jeden der beiden ..    äußern berührt und

jeder dieser äußern ferner eine gegebne (abgesteckte) Gerade berührt.

Wir wollen hier nur eineHauptaufgabe kirr z /    / behandeln; zwischen den beiden gegebnen

üy Richtungen SN und SNX, die der drei-teilige Korbbogen berührend verbinden soll, ist im Schnittpunkt S der Winkel a vorhanden, unmittelbar oder mittelbar gemessen, Fig. 357. Es sind ferner auf diesen Richtungen gegeben die zwei Berührungspunkte des Korbbogens, Endpunkte A und B durch SA — t, SB = tx (hier kann wieder, muß aber selbstverständlich nicht, t — tx sein). Endlich sind vorgeschrieben die Halbmesser r₁₅ r₂ und rs der drei Kreisbögen, von denen der mit rx in A, der mit rs in B berühren soll und von denen sich die mit rx und r₂, sowie die mit r2 und rs unter sich berühren müssen. Gesucht sind diese gemeinschaftlichen Berührungspunkte Kx und JT₂, sowie die Tangenten Ct C₂ und C₂ Cs in diesen Punkten. In dem Dreieck der drei Kreismittelpunkte Ox 0₂ Os sind zwei Seiten

(18)

C-

>K1

lKj0₂=r₂

Pi)

[ti cos(l80-a)j\

*C ] 180 ~ OL

180°+ ß₂

Cz

Y\

ßz'

o*

Fig. 357.

■2

3\

Ni

( Öx Ö₂ = r₂ — rt i Os 0₂ = 1 2    7 3

gegeben; gelingt es, die dritte Seite OxOs zu berechnen, so kann man zunächst (Winkel aus den drei Seiten eines Dreiecks) den Zentriwinkel ß₂ des mittlern

(19)

a = 109° 49' 20"

tx cos cc

2.01128 n

— tx cos a = -j- 102,63

300,00

COS cc

r₂ == 500,00

rs = 330,00

sin cc

9.53 033 n

2.48095

9.97347

tx s in cc

2.45 442

tx sin cc — -f- 284,72

t — 287,44

ra cos cc

2.04 884 n

— rä cos cc — 4 111,90

tx = 302,66

cos a

rs

=28°50'20"

sin cc

9.53033 n

2.51851

9.97347

19 14 45

rs sin a

2 49198

— rs sin cc = — 310,44

(s.Wki.i-

41 54 49

0₁D E sin y

•• ■.<

osn

1.90108

0.11255

1.98507

Z = 89 59 54

tgy

ßi 47 = 57 40 44 7 = 39 29 38

ö, Öjj (1-2

9.91601 2.09 762

287,44

OxJD =    -J- 102,63

' — 310,44 = 77,63

ßx = 18 11 6

ß₂ = 38 29 34

Es

1.88986 2.08 774 1.67 761 7.60 625 — 10

284,72 Os D = l - 300,00 ^ -j- 111,90 = 96,62

cc

109 49 20

3.26146

y= 39° 29' 38"

E= 166 30 00

1.63073

ßs = 13 30 00

ctg

ßi + V

0.25913

dx = 170,00 d₂ = 125,21 d₂ = 200,00

9    5 33

0.45 701

2 s= 495,21

19 14 47

6 45 00

(<%|

0.04688

s — 247,60

ri

2.47 712

Länge des ganzen Korbbogens zwischen A und B

= 300 -arc 18° 11' 6" + 500 • arc 38° 29' 34" + 330 • arc 13° 30' 00"

(am einfachsten ohne Logarithmen, mit den natürlichen arc - Werten zu rechnen) =

95,22 4 335,91 4 77,75 = 508,88 m

tg

ACX

fcti 'S⁻cP tc

Ca Kx = C₂ Ka

9.20423

1.68135

2.51851

9.07 320

1.59171

2.69897

9.54 300

2.24197

= 77,60 = 122,39 = 47,60

s — 247,59

AC₁ = Cl Kx = 48,01

kxg₂ = c\k₂

= 174,57 K₂Cs = G^B

39,06₆

Ct C₂ = 222,58 C213,64

Bogens und damit dann auch die Zentriwinkel und ß₃ der zwei äußern Bögen finden, womit die Aufgabe im wesentlichen gelöst ist. Planimetrisch gefaßt lautet die Aufgabe hier: es ist ein Kreis von gegebnem Halbmesser zu beschreiben, der zwei gegebne feste Kreise berührt. Die Berechnung von Ox 0₃ und seiner Richtung gegen SN und SN₁ kann auch als Zugaufgabe angesehen werden: nimmt man z. B. S als Nullpunkt und SN als die eine Achse eines Koordinatensystems, so sind in diesem aus den gegebnen Stücken leicht die Koordinaten von Ox und 0₃ zu berechnen. Damit stimmt wesentlich die folgende Auflösung überein: es ist nämlich, wenn durch Ox und Os Parallele und Senkrechte zu SA gezogen wird, nach der Figur

Ox I) = t -(- tx cos (180° — u) — r₃ sin u (Projektion des Zugs D0XASB0₃D auf die Richtung SA) und ()s J) = tx sin u -f- rs cos (180° — a) — rx (Projektion desselben Zugs auf die zur vorigen senkrechte Richtung) oder

(20)

I" Ox 1) = t — tx cos a — r₃ sin u \ 0₃JJ = tx sin cc — rx — rs cos a.

Aus beiden Strecken ergibt sich

(ÄJ)

osn

Damit sind in dem Dreieck Ox Ot 0₃ nun in der Tat alle drei Seiten bekannt

Ox 0₃ = d₃, Ox 0₃ =} g 1 x = ds,    0₃    = 1 g i g = dx

und man kann nach bekannten Regeln aus diesen Seiten die Winkel des Dreiecks berechnen; man findet damit ß₂ und (ßx y), wird aber selbstverständlich zur Kontrolle (Summe 180°) auch den dritten Winkel in 0₃ berechnen. Da y aus (21) bekannt ist, so ist auch ßx gefunden, und da endlich

ßi + (180°-]- ß₂) -j-    = 360° — a

ist, so sind jetzt alle drei Zentriwinkel bekannt und es sind die Tangenten abschnitte nach

(21)

(23)

, ferner Ox 0₃ =    —

Ox T) oder 0₃ JJ

sin y

cos y

(22)

ßc

AGX — C₁K₁ — t\ • tg —

(24)

Kiai^C,Ki=r,.tg^

K&=C₃B =rs.tgß₂s

auszurechnen und die Absteckung nach naheliegendem Verfahren durchzuführen: Anlegen von ßx in Cx und von ßs in C₃ mit dem Theodolit gibt die Richtungen der Tangenten in Kx und K₂ (wie genau müssen die Winkel angelegt werden?), ebenso den Punkt Cg mit durchgreifender Probe durch die vorzumessenden Längen.

Zahlenbeispiel (mit Durchrechnung; von der Absteckung einer Hauptbahn): SA = t— 287,44 m, SB = tx — 302,66 m, a — 109° 49' 20" gemessen; vorgeschrieben rx = 300 m, r₂ = 500 m, r₃ — 330 m (s. oben S. 571).

Wir wollen hiermit den Blick auf die Absteckung der Hauptpunkte von Kreisbögen, einfachen oder zusammengesetzten, abscbließen. Andre Aufgaben, die z. B. nicht von gegebnen Tangentenrichtungen ausgehen, sondern umgekehrt an bereits abgesteckte oder sonst gegebne Kreisbögen (z. B. fertig gelegtes Gleis) Tangenten abzustecken fordern, behandeln wir hier nicht Wir wenden uns nlm vielmehr zu den sog. Zwischenpunkten oder Kleinpunkten der Kreisbögen.

m.

93. Zwischenpunkte oder Kleinpunkte der abzusetzenden Kreisbögen. Zwischen die nach 91. und 92. abzusteckenden Hauptpunkte der Kreisbögen hinein, und von diesen Hauptpunkten ausgehend und eine Tangente in ihnen mit verwendend sind nun die sog. Kleinpunkte des Bogens abzustecken, die seinen Verlauf durch genügend eng aufeinanderfolgende Punkte bezeichnen: z. B. ist für manche Zwecke und manche Halbmesser schon erwünscht, alle 2 m einen Punkt bezeichnet zu sehen; für gewöhnlich braucht man aber die Punkte nicht so eng zu setzen, es genügt ein Punkt aller 5 m, aller 10 m oder oft, besonders bei großen Halbmessern, sogar nur aller 20 oder 25

Es gibt drei klassische Methoden der scharfen Absteckung der Kreis-bogenzwischenpunkte, zwei Methoden nach rechtwinkligen Koordinaten „von der Tangente aus“ (nämlich der Tangente in einem der Hauptpunkte aus und mit diesem Hauptpunkt als Nullpunkt; prinzipiell nicht davon verschieden ist die „Absteckung von der Sehne aus“) und sodann eine dritte Methode, die eine Art von Polarkoordinaten benutzt, die sog. Peripheriewinkelsehnenmethode. Wenig wichtig ist ist im Vergleich mit diesen Methoden eine reine Peripheriewinkelmethode für kleine Bögen. Wir sprechen der Reihe nach von

1.    rechtwinkligen Koordinaten von der Tangente aus, mit runden gleichen Abszissenabschnitten;

2.    rechtwinkligen Koordinaten von der Tangente aus, mit runden gleichen Bogenstücken;

3.    rechtwinkligen Koordinaten von der Sehne aus;

4.    Peripherie winkelsehnenmethode;

5.    Peripheriewinkelmethode für kleine Bögen.

Die Methoden 1. und 2. (zu denen 3., wie schon bemerkt, nur einen Anhang bildet) sind besonders in Deutschland gebräuchlich, 1. mehr in Süddeutschland, 2. mehr in Norddeutschland; 4. ist eine überall und viel gebrauchte Methode (in nicht deutschen Ländern fast ausschließlich angewandt), 5. kommt z. B. bei Straßenbahnen u. dgl. vor.

y₂

Al

Fig. 358.

1. Rechtwinklige Koordinaten von der Tangente aus mit gleichen runden Abszissenabschnitten. Der Hauptpunkt T des mit Kleinpunkten zu versehenden Kreisbogens vom Halbmesser r ist gegeben und die Tangente TS in diesem Punkt ist abgesteckt, vgl. Fig. 358. Für genauere Arbeit mag gleich hier und für das Folgende bemerkt sein, daß man oft die Tangentenrichtung durch eine nach einigen Pflöcken gespannte Schnur bezeichnet.

Zu einer beliebigen von T aus gemessnen Abszisse x lautet die zugehörige Ordinate y, von der Tangente aus gezählt,

y = r — ]/V² — x²,

(1)

wie man unmittelbar    aus der Figur abliest    (z. B. in    Fig. 358    Ordinate zu

x₂ gleich OT — OQ,    d. h. r — yV²— x^). Das Vorzeichen +    vor der an

“ sich wie stets mit + zu denkenden Quadratwurzel in (1) hat für uns keine Bedeutung, es würde    die Ordinate des weit    von TS    abliegenden, zur Abszisse x gehörenden    zweiten Kreispunkts    liefern,    mit dem    wir selbst

verständlich nichts zu tun haben. Die Gleichung (1) ist die des Kreises vom Halbmesser r, bezogen auf ein Koordinatensystem mit T (Punkt im Kreisumfang) als Nullpunkt und der Tangente in T als a’-Achse, mit dem — Zeichen vor der Wurzel gültig für den Halbkreis (zu -j- x und — x) zwischen der :r-Achse und der Parallelen durch 0 dazu. Wir brauchen

die Gleichung nur für verhältnismäßig kleine y, wie sogleich näher zu begründen sein wird. Die Gleichung liefert die zu beliebig anzunehmenden Abszissen x gehörigen Ordinaten y\ die Arbeit der Absteckung wird wesentlich vereinfacht, wenn man für die x runde Zahlen nimmt, das Lot y immer am Ende einer Lage des AbszissenlängenmeßWerkzeugs errichtet, d. h. x = 5, 10, 15, 20 . . szissen) oder x = 20, 40, 60, . .

. m annimmt (5 m-Latten für die Ab-(20-w-Band).

Zur Berechnung des y für gegebnes r und für bestimmtes rundes x ist die Form (1) dieser Kreisgleichung dann bequem, wenn die Genauigkeit der Wurzel-ausziehung mit der vorliegenden Quadrattafel ausreicht. Z. B. ist für r = 300 m und x = 50,00 m y nach genauer Rechnung auf andrem Weg = 4,196 m. Nach (1) wird

y = 300,000 — 1/90000 — 2500 = 300,000 — l/87 500;

zieht man die Wurzel mit der Quadrattafel der 5-stelligen Tafeln von Gauß oder Rex aus, so erhält man

also fast das reichend.

mm

y = 300,000 — 295,803 = 4,197 m,

noch richtig und damit die Genauigkeit von y jedenfalls aus-

Man kann aber dem Ausdruck für y teils zur Vereinfachung, teils zur Verschärfung der Rechnung mehrere andre Formen geben, deren wichtigste folgende sind:

a) Zur logarithmischen Rechnung, falls keine genügend ausführliche Quadrattafel vorhanden ist, bequemer als (1) ist

(2)

y = r-V(r + x) (r - x)

wobei man freilich sofort sieht, daß im Beispiel r = 300, x = 50 y mit

5-stelliger Rechnung nur noch das cm sicher 350    2.544068 erhalten werden kann und erst 6-stelligeRech-

250    2.397 940 nung das mm gibt; 5-stellig und 6-stellig

wird (s. links) y = 4,19₆ (3. Dezimale zufällig richtig) und y = 4,196. Man muß also logarithmisch bald zu verhältnismäßig vielziffrigen Zahlen greifen, um die y genügend zu erhalten.

350    2.54407

250    2.39 794

4.94 201 fV 2.47100.

4.942 008 }/~    2.471004

nur

y = 295,804 2/ = L 19₆

y = 295,804 y = 4,196

b) Besonders für große r müßte man yielziffrige Logarithmen verwenden, um die y genügend zu bekommen.

Z. B. ergibt für r = 1000 m, wo mit x — 150,00 m y~ 11,314 m wird, 6-stellige sicher (es wird 6-stellig zwar y = 1000,000 — 988,68

Rechnung kaum noch das == 11,31₄, aber die 3. Dezimalstelle ist nicht sicher, und erst bei 7-stelliger Rechnung kann man das

mm

mm

verbürgen in y = 1000,000 — 988,686 = 11,314 m).

Es liegt also in diesen Fällen mit großem r und kleinem y, wo also dieses kleine y als Differenz zweier großen Zahlen zu bilden ist, von denen nur die eine scharf gegeben, die andre aber demnach mit großer Genauigkeit zu rechnen ist (Grenzfall oc — oo == -|), nahe, den Weg (1) oder (2) für y zu verlassen und die Differenz r — ]/ durch Entwicklung der Wurzel in eine Reihe auf bequeme Form zu bringen. Es ist

yV² — x² = r "j/l —

wobei nun der Radikand und demnach auch die Wurzel sich sehr wenig von 1 unterscheidet: nach dem binomischen Satz ist

H---- oder

X*

XG

2 r²    8r⁴    16r⁶’

also

r]/l

x4.

• • • und

“ r2

= r - ]/r² - x² = ^ +

Wenn man sich auf die zwei Glieder rechts in (3) für y beschränken nicht mehr in Betracht kommt, so läßt die Rechnung nach (3) an Bequemlichkeit nichts zu wünschen übrig, wenn man noch beachtet, daß mit der Abkürzung: Näherungswert für y, y₀ = auch geschrieben werden kann

(3)

kann, das dritte

x⁶

16 r⁵

8r⁸

®²

2 r’

die Gleichung (3)

(b

yt.

2r ⁵

in den Fällen, die sich überhaupt zur Rechnung nach den Formen (3) oder (4) eignen, ist die an y₀ = — anzubringende Korrektion -f

OC ^

Rechenschieber abzulesen. Das Hauptglied y₀ = ^ ^ run(^es r und rundes x direkt im Kopf zu bilden.

Z. B. ist mit r = 1000 m, a:=150m, wie oben 22500 2000

Vo —

= 11,2500 und das Zusatzglied -)- -y — 11,313

(11,25)²

2000

= -j- 0,0633, also

am

auf 1

richtig, und wir sind

hier an der Grenze, bis zu der das zweite Glied rechts in (3) oder (4) genügt; es ist 1 xG 16 ' rb

auch auf dieses Glied y — 11,314 m wird, worin nun das

mm

abgerundet. Das Ergebnis ist nicht ganz auf 1

mit den angenommnen Zahlen = 0,00071m = 0,7

mm

mm

mm

, so daß mit Rücksicht genau ist.

Yon wirklicher Rücksicht auf das dritte Glied in (3) oder (4) rechts kann nicht die Rede sein, wenn die Rechnung nach (3) oder (4) praktisch sein soll; wo immer aber die zwei Glieder rechts in (3) oder (4) ausreichen, ist diese Rechnung die bequemste. Beachte auch die geo-

oc ^

metrische Bedeutung von (3) und (4): y₀ = — ist die zur Abszisse x gehörige Ordinate einer Parabel, für die der abzusteckende Kreis der Scheitelkrümmungskreis ist; da dieser ganz innerhalb der Parabel liegt und die Ordinaten von der Tangente im Scheitel aus gezählt werden, so ist in der Tat die Kreisordinttte etwas größer als die Parabelordinate und

oder ?/o ist dieser Unterschied bis auf kleine Größen 2. 0. einschl.

8r³    t>r

genau, — als kleine Strecke 1. 0. angesehen.

für

Den Betrag 1

mm

erreicht das Glied 3. 0., 'nämlich *

r = 50 m

100 m 200 m 500 m 1000 m 2000 m 5000

bei einer Abszissenlänge x

max

von

max

d. h. bei einem Verhältnis

= 13,1    23,3    41,5    89,1    158,7    282,8    607,0,

X"L gleich

__ *

r 3,8    4,3    4,8    5,6    6,3    7,1    8,3 ’

da die kleinern Halbmesser bis etwa 200m für diese Rechnungsweise nicht in Betracht kommen, so darf also nach (3) oder (4) mit Beschränkung auf das zweite Glied rechts gerechnet werden, ohne daß die Ordinate um mehr als 1mm falsch wird, so lange für Kreisbogenhalbmesser zwischen 200 m und 4000 m die Abszisse kleiner bleibt als y₅ bis Vg des Halbmessers. Wie gering bei, im Vergleich mit r, kleinem y schon

der Betrag des zweiten Gliedes ^ g ist, möge noch ein Beispiel zeigen: bei r = 300m

ist für *=30 m, y₀ — — (Para bei Ordinate) =

900

600

m = 1,500 m, die Kreis Ordinate

aber nur um 4

mm

größer,

8 rs

= 0,004; für * = 60m bei demselben r = 300 m steigt

der Betrag des zweiten Glieds allerdings aufs 16 fache (a?⁴), es ist nämlich y₀ (Pa-= 6,000, das zweite Glied 0,061 m, Kreisordinate um 61

rabel) =

3600

länger als

Parabelordinate, y= 6,061; vgl. im übrigen die unten anzuführenden Tabellen.

600

mm

Es ist nämlich die unmittelbare Rechnung der y nach einer der Gleichungen (1) bis (4) im allgemeinen immer erspart durch vorhandne, ein für allemal ausgerechnete Tabellen. Schon bei Absteckung der Hauptpunkte ist in 91. augedeutet, wie verhältnismäßig wenig selbst bedeutende Andrungen im Halbmesser des Kreisbogens diesen unter be-

stimmten Verhältnissen verschieben; z. B. wird der „Scheitelabstand“ (Lage von M auf der Halbierungslinie SO des Tangentenwinkels) bei a (dort 2 s) = 120°0' 0" im Vergleich mit r = 300 m nur um stark iy₂m verändert, wenn r um volle 10 m verändert wird ( vgl. 91., Schluß von 1.). Diese verhältnismäßig sehr geringe Wirkung großer Andrungen an r zeigt sich selbstverständlich auch an den Kleinpunkten, z. B. ist bei den Halbmessern:

r = 300

m,

400

m,

500

600

die zu derselben Abszissenlänge a: = 50 m gehörige Ordinate

3,14 m, 2,51 m, 2,09 tvt,

y = 4,20

m.

der Kreispunkt rückt der Abszissenachse (Tangente) bei x = 50 m nur um rund 2 m näher, wenn r von 300 m

auf 600

m vergrößert wird (die Verdopplung von r halbiert sehr nahezu die Ordinate). Man nimmt wegen dieser kleinen Verschiebung der Kreisbögen infolge starker Änd-rungen an r beim Trassieren (Entwerfen der Achsen von künftigen Verkehrslinien aller Art, die dann auf Grund dieser Projekte abgesteckt werden) im allgemeinen stets runde Werte von r\ ein bestimmter Zweck, den ein Kreisbogen von 353 m Halbmesser erfüllt, läßt sich fast stets auch mit r = 350 -m erreichen, statt 27 m Halbmesser nimmt man 25 oder 30. Man hat damit den Vorteil, daß man die „Kurvenbücher“ (Taschenbücher oder Handbücher zum Abstecken von Kreisbogenpunkten) für nicht allzuviele Halbmesser zu berechnen braucht. Ausnahmen mit unrunden r, wo dann eben die y zu berechnen sind (z. B. Einschaltung zwischen die Werte der Tabellen hinein und ähnlich, vgl. unten, Übungen) kommen selten vor.

Da man bei dieser ersten Art von rechtwinkligen Koordinaten für die Kleinpunkte die y zu beliebigen x zu berechnen hat, nimmt man selbstverständlich auch die x als runde Zahlen an, weil dies nicht nur für die Rechnung, sondern besonders auch für die Absteckung das bequemere ist. Die verbreitetsten deutschen Hilfsbücher für 1. sind:

Knoll, Taschenbuch zum Abstecken der’^Kurven, 2. Aufl. (bearb. Weitbrecht) Stuttgart 1902 (gibt auch, was nicht nötig, Tangentenlängen usf. für die Hauptpunkte, ferner auch Koordinaten für die Meth. 2., wenn auch weniger genau, ferner Peripheriewinkel für 4. usf.); Jordan, Kreiskoordinaten für 200 Radien, Leipzig 1881 (nur für die Meth. 1.); die Ingenieurkalender, z. B. gibt der Kalender für Straßen- und Wasserbauingenieure von Rheinhard-Scheck (Vermessungswesen bearb. v. Verf.)

durchaus auf 1

die y für 50 verschiedne r, bis zu y = 20 aber praktisch wenig Bedeutung haben, auf 1

, für größre y, die abgerundet. Das „Übungsbuch“

(vgl. z. B. S. 384) enthält nur als Beispiele für einige wenige r die y zu runden x, auf 1 abgerundet. Als rundes Intervall der Abszissen nimmt man etwa bis zu r = 60 m meist den Betrag 2,5 m (rechnet also die y für x = 2,5, 5, 7,5, 10,. . .), von r = G0m bis 300 m das Intervall 5 m, von da an bis zu r = einigen tausend m das Abszissenintervall 10

mm

cm

cm

m.

Bis zu welchem größten Wert ym sind nun die Ordinaten zu berechnen? Daß man beim Absetzen von Kleinbogenpunkten in der Lotlänge sich weit unter dem Maß halten muß, das früher als größte zulässige Länge der Kreuzscheiben- und Winkelspiegellote bei Kleinaufnahmen

Hammer: elementare praktische Geometrie.

berechnet wurde (45, selbst 50 m bei zugelassnem Fehler von 5 Fußpunkt, vgl. 14.) ist klar. Nicht nur würde die Genauigkeit der Lot richtung mit der Kreuzscheibe bei weitem nicht genügen für so lange Lote, sondern die Arbeit würde auch äußerst mühsam und unbequem. Soll der einzurichtende Bogenpunkt (in der Richtung parallel zur Tangente) auf 1 cm an seinen richtigen Ort kommen, so dürfen wir die Lotlängen bei Kreuzscheibenloten nicht wesentlich größer als 10 oder 12 machen und auf diese Längen beschränkt man in der Tat hier den Wert m ist schon sehr lang, 20 m kommt nur ganz ausnahmsweise vor

cm im

ym, 15

bei nicht äußerster verlangter Genauigkeit. Bei Lotlängen von 12 hat 1

m schon

mm in y keine sachliche Bedeutung mehr, weil man zwar die Länge von y mit entsprechender Genauigkeit hersteilen kann (von gespannter Schnur in der Abszissenlinie aus), aber diesem Endpunkt von y nicht in der Richtung quer zu y (parallel zur Abszissenlinie) genügende Genauigkeit geben kann (s. u.). Nach diesen Überlegungen hat sich nun auch die Zahl der Hauptpunkte des Bogens zu richten; werden die größten y, von einer bestimmten Tangente aus, > 12 m, so wird man erst einen weitern Hauptpunkt nebst seiner Tangente (Halbierungspunkt der Bogenlänge zwischen den bis dahin vorhandnen Hauptpunkten) aufzusuchen haben, wodurch im angegebnen Fall die größte Länge der y auf */₄ ihres bisherigen größten Werts sinkt.

30 . .

Die Art der Feldarbeit ist nun, wenn die y für das vorgeschriebne r ausgerechnet zur Hand sind, klar und einfach: man mißt durchlaufend in der Abszissenlinie ST von T aus, z. B. mit 5-m-Latten; TS muß sehr gut ausgefluchtet (mit Theodolit) oder durch gespannte Schnur bezeichnet sein. Bei 2,5, 5, 7,5, 10 . . . oder bei 5, 10, 15, 20 . . . oder bei 10, 20, . m je nach Bedarf (Zweck der Absteckung; Halbmesser, je kleiner desto mehr Punkte bei derselben verlangten Genauigkeit in der Bezeichnung des Bogens; usf.) wird jedesmal ein Lot errichtet und auf ihm mit andern Stangen (die Abszissenstangen bleiben in ST liegen) das y abgemessen. Für die kleinen y bis 2 m reicht der Taschenmaßstab, erst für y > 2 m nimmt man die 3 •m-Stangen. Bei kleinen y, bis 2 m, braucht man meist kein Werkzeug zur Errichtung des Lots, oder es kann hier, auch für noch längre Lote, ein auf den Boden zu legender größrer genauer Holzwinkel (Katheten 1 und 2 m) von Vorteil sein, weil er rascher als die Kreuzscheibe zu arbeiten gestattet; bis zu 6 m kann man mit der Kreuzscheibe bequem direkt nach den auf dem Boden zusammengestoßnen 3 ™,-Latten sehen und so diese gut in die Richtung bringen; nur bei noch größrem y steckt man erst einen Stab in 10 m oder 15 m hinaus, auf den zu gemessen wird und wobei dann der Kreisbogenpunkt bei y nochmals einzuweisen ist. Kreuzscheibe scharf in die Tangente! Bei sehr genauer Absteckung kann man hier ebenfalls in zwei Stufen arbeiten, erst einen Stab einrücken, breiten Pflock schlagen und auf den Pflockkopf nochmals einweisen und einmessen und den Punkt mit Nagel bezeichnen. Ist ym erreicht, so beginnt die Absteckung in derselben Art am nächsten Hauptpunkt. Das Auge ist ebenso empfindlich wie für das Richtigstehen genau vertikaler Stäbe in einer bestimmten geraden Linie für das Richtigstehen von sich folgenden vertikalen Stäben in einem Kreisbogen; tritt

Kreisbogenzwischenpunkte durch rechtwinkl. Koordinaten bei runden Bogenstücken. 579 man etwas seitlich vom Kreisbogen und beachtet stets die „Pfeilhöhe“ li am mittlern von drei sich folgenden Punkten (vgl. Fig. 359), deren äußre man sich durch die Gerade verbunden denkt, so fällt z. B. bei 5 m von-

Fig. 859.

V.

von

einander entfernten Punkten etwa bei r = 200 m sofort jede Unrichtigkeit cm in einem der Punkte stark auf.

Bei dieser Augenmaßprobe ist freilich vorausgesetzt, daß die Bogenpunkte denselben Abstand voneinander haben; bei dieser Meth. 1. mit runden Abszissenabschnitten trifft dies zwar mit großer Annäherung zu, so lange die y klein sind, dagegen wird der Abstand zwischen zwei Bogenpunkten merklich größer als das Abszissenintervall, wenn die y beträchtlich werden. Dies ist die einzige Unbequemlichkeit der in Süddeutschland bevorzugten Methode, die in Norddeutschland ersetzt ist durch die folgende 2. Methode mit genau gleich abständigen Bogenpunkten. Eine vollständige Vergleichung beider Methoden siehe am Schluß von 2.

2. Rechtwinklige Koordinaten von der Tangente aus mit runden genau gleichen Bogenabständen der einzelnen Punkte. Soll der Übelstand vermieden werden, daß wie bei 1. (gleiche Ax) mit wachsendem y die sich folgenden Bogenpunkte allmählich größre Abstände voneinander erhalten, als in der Nähe von T, wo sich dieser Abstand von Ax nicht merklich unterscheidet, sollen vielmehr die Bogenpunkte alle genau denselben Abstand b, dem Bogen nach gemessen, erhalten (6 = 2,5, 5, 10 oder 20 m nach Bedarf), so werden nicht nur die Ordi-naten, sondern auch die Abszissen, als nicht runde Zahlen, zu berechnen sein und die Ax aufeinander folgender Bogenpunkte werden mit wachsender Bogenlänge von T aus (wachsender Ordinate) allmählich merklich abnehmen. Zur Bogenlänge b gehört im Kreis vom Halbmesser r, der beliebig genau auszurechnende Zentriwinkel ß nach

(5)

ß"=-

'S    ff

7m*

(b und r im gleichen Maß zu nehmen).

Die Polarkoordinaten des ersten, zweiten, . . . Bogenpunkts, von T an,

P P

punkt und OT als Achse, nämlich (ß, r),

(2ß,r),... sind nun in rechtwinklige +x.

Koordinaten mit T als Nullpunkt und S TS als #-Achse zu übersetzen nach:

xn = r • sin (nß)

yn = r — r • cos (nß) = 2r • sin² —

(6)

/ 3f?

2> •

. . bezogen auf 0 als Null-

nß

AL

Px

Xi

Fig. 060.

für den nten Bogenpunkt, vgl. Fig. 360. Die direkte Rechnung nach diesen Gleichungen ist bequem: auch die erste für x gibt, so lange (nß) wie gewöhnlich nicht groß wird, gute Resultate mit nicht sehr vielziffriger logarithmischer Rechnung; die erste Form für y dagegen würde wieder, da nach ihr y als (kleine) Differenz zweier großen Zahlen zu berechnen ist, von denen nur die eine scharf gegeben, die zweite also sehr genau zu berechnen ist, Anwendung vielziffriger Logarithmen bei kleinem (nß) verlangen, während die zweite Form für y mit ganz geringem Rechenaufwand zum Ziel führt.

Selbstverständlich läßt sich auch hier ganz ohne trigonometrische Rechnung auskommen; es ist

ist, also

x = r sin (nß), wo ß in analytischem Maß =

x — t sin

x — n-b —

/nb\    1 nsb³

\ r )    ¹ 1 r 6 rs

nbbb

120r⁴

1 nbbb

120 rb

-1

oder

nsbs

6r²

ebenso wird für y (natürlich übereinstimmend, ob von der ersten oder zweiten Form ausgehend)

n²b* , m⁴&4 2r² ' 24 r⁴

oder

y — r — r cos (nß) — r — r 11 —

n⁴fe⁴

n²b² _

2 r 24 r³

-)-••• Diese zwei neuen Formeln

x = n -b —

CO

(n - b)³ (n - b)b "■ "l20r⁴

6r²

_(w-6)²_M)⁴

^ 2r 24r⁸

sind dann bequem, wenn in der ersten das zweite Glied rechts ausreicht; bei y genügt oft, wenn n - b nicht groß ist, das erste Glied. Dies ist auch das erste Glied (Parabelordinate) nach (3) und (4) für die Abszisse x — n-b. Die Reihen (7) konvergieren um so besser, je größer r und je kleiner bei einem bestimmten b die Zahl n ist.

Beispiel. Es sei r — 300m, b = 5,000m, n — 10 (also Koordinaten für den Endpunkt der Bogenlänge 5 x 10 = 50,000 m von T aus); es wird

1    125000    1

00000 120 ’ 8100000000

x — 50,000 —    •

= 50,000 — 0/231₅ -f 0,000₃ = 49,769

100000 • 3125

(8)

y_=

2500    6250000

600    24 • 27000000

4,166₇ — 0,009₇ = 4,157 .

Beide Zahlen sind bis auf die letzte Stelle richtig; x fällt also schon mit dem 2. Glied auf 1

nicht

richtig aus, in y kann das 2. Glied selbst bei Rechnung auf 1 entbehrt werden. Man untersuche selbst die Grenzen für die Fehler 0,5 wie es oben bei (3), (4) geschehen ist.

Auch hier ist aber in der Regel jede Rechnung erspart dadurch, daß nur runde r verwendet werden, bei kleinen Halbmessern Vielfache von 5, bei mittlern r Vielfache von 10, bei sehr großen r Vielfache von 100 m, für die ein für allemal Tabellen berechnet sind. Eine ganze Anzahl solcher Tabellen ist von norddeutschen Ingenieuren

5 mm,

mm

cm

mm

und

und Landmessern herausgegeben worden; einige davon sind: Winckel, Handbuch zum Abstecken usw., Berlin; Kröhnke, Handbuch zum Abstecken von Kurven usw. (Leipzig zuerst 1851, seither sehr viele Auflagen; sehr zuverlässig, gibt im ersten Teil auch ausführliche Tafeln der Tangentenlängen, Scheitelabstände usw. für die Hauptpunkte); Sarrazin und Oberbeck, Taschenbuch zum Abstecken von Kreisbögen (Berlin; ebenso viele Auflagen); Knoll-Weitbrecht (s. 1.) ist für diese 2. Methode ebenfalls eingerichtet, aber weniger genau als für 1.; vgl. ferner die in 1. genannten Ingenieurkalender (Rheinhard-Scheck [von Hammer]), Übungsbuch usf. Kommt einmal ein Halbmesser vor, für den die Tabelle nicht unmittelbar vorliegt, so sind eben die (x, y) zu berechnen, entweder direkt oder durch Einschaltung zwischen die nächstgelegnen Werte von r hinein oder auf differentiellem Wege, vgl. z. B. 94. Übungen.

Die Absteckungsarbeit ist, wenn die Tabelle der (x, y) vorliegt, wesentlich genau dieselbe, wie bei 1. und alles dort darüber Gesagte gilt auch hier; nur sind die Abszissenpunkte hier ebenfalls nichtrunde Zahlen und ebenso genau an den Abszissenlatten abzulesen wie die y an den rechtwinklig dazu liegenden zweiten Latten. Uber die Maximallänge ym der Ordinate s. bei 1. Hier gilt nach der Absteckung in aller Strenge an beliebiger Stelle des Bogens die Augenmaßprobe, die an der Hand von Fig. 359 in 1. angegeben ist.

r = 300

Vergleichung der rechtwinkligen Koordinatenmethoden 1. und 2. Um zunächst an einem Beispiel die Zahlen für beide Methoden bequem vergleichen zu können, seien die Koordinaten für 1. und 2. hei m angeschrieben und zwar je bis auf 1 mm genau. Es ist schon in 1. angedeutet, daß für fast alle Zwecke die Genauigkeit von 1 cm (oder da der größte Abrundungsfehler dabei 5 mm ist, ¹/₂ cm) in den Koordinaten ausreicht. Die Tabellen sind hier bis gegen ym = 11 m ausgedehnt.

r = 300 m

2. Bogenstücke je 10,000m lang

1. Abszissenstücke je 10,000 m lang

Bogenlänge vom Berührungspunkt

an

10,000

20,000

30,000

40,000

50,000

60,000

70,000

80,000

t'*    ^ Ci

CD CD O h Oi O CO T-^ CD^ CD_    (N

O* cT i—T (N r*T CD~ 00

10,863

10,000

20,000

30,000

40,000

50,000

60,000

70,000

80,000

9,998

19,985

29,950

39,882

49,769

59,601

69,367

79,055

00 Ol    JjO    jo jD

~Ci CD    ~Ci    ~Ci 'U

oc:cco>qcqq

Man bilde links und rechts auch die Differenzreihen der y, die zweiten Differenzen steigen links noch etwas, rechts fallen sie, aber nur halb so stark (Grund für beides? Stünden links, zu den runden Abszissenwerten bei den y die Parabel-ordinaten, so wären deren zweite Differenzen konstant). Rechts bilde man auch die Differenzreihen der x. Durch solche Reihen mit 1., 2. oder 3. Differenzen sind die Zahlen einer derartigen Tafel sehr bequem und scharf zu prüfen.

a) Der große Vorzug der 1. Meth. sind eben die runden Abszissen, die nicht nur rascher, sondern auch genauer zu arbeiten gestatten als die nicht runden Abszissen bei 2. Dagegen hat die 1. Meth. den schon genannten Nachteil der mit wachsendem y allmählich weiter auseinandertretenden Bogenpunkte.

Nach den obenstehenden auf 1

mm

abgerundeten Zahlen für r — 300 m ist z. B. die geradlinige Entfernung (Sehne) zwischen den zwei Bogenpunkten zu den Abszissen 20 und 30 m

(90

&20, 30 = Vl 0,000* + 0,837* = 10,000 -f = 10,000 -f 0,035 m = 10,035 m

0,837²

20,00

(Rechenschieber)

dagegen die Sehne zwischen den Bogenpunkten zu den Abszissen 70 und 80 m

(9")

70, 80

= ^10,000* + 2,582* = 10,000 -f

2,582*

20,00

= 10,333 m ,

um 0,30m länger. (Von diesen Sehnenlängen sind die zugehörigen Bogenlängen, -- = 0,033 ist, nicht um %

da hier ^

nur

30

0000

ihrer Länge, d. h. nicht um 1 mm ver-

schieden, weshalb hier auch gleich b geschrieben ist.)

b) Dieser Unterschied ist bei der 2. Meth. vermieden; hier muß aus den obigen Zahlen überall b}, k ₊₁₀ sich = 10,000 ergeben; in der Tat ist hier (rechte Tabelle)

0,833*

19,93

ebenso auch

(10')

(20, 30)

(10")

(70, 80)

= J/9,965* -f 0,833* = 9,965 -f = 9,965 + 0,035 = 10,000 m,

= 1/9,688* -f- 2,474* = f/93,86 -f 6,12~ (Quadrattafel) = 10,000 m

(Rechenschieber)

mm.

und von diesen Sehnen unterscheiden sich ebenfalls die Bogenlängen nicht um 1 Die Zahlen der rechten Tabelle (Meth. 2.) können geradezu auch so geprüft werden, daß die Quadratsumme der Differenz aufeinanderfolgender x und der zugehörigen «/-Differenz 100,00 sein muß.

Der Vorzug der gleichabständigen Bogenpunkte spricht besonders dann für die 2. Methode, wenn eben durch die Absteckung des Bogens zugleich seine Einteilung in runde Stücke verlangt wird. Da man übrigens immer von verschiednen Hauptpunkten aus gegeneinander arbeiten muß, so läßt sich diese Einteilung doch nicht ohne weitres durch einen großen Bogen hin durchführen; und für die Absteckung sind die ebenfalls nicht runden Abszissen bei 2. entschieden unbequemer als die runden x bei 1.

gehende) Tabelle für 1. oder 2. bei einem be-

mm

c) Bemerkt sei zum Vergleich der 1. und 2. Methode nur noch, daß, wenn nur eine genügend genaue (auf 1 stimmten r vorliegt, auch die entsprechende Tabelle für 2. oder 1. rasch angeschrieben werden kann mit Hilfe des Rechenschiebers. Die Formeln dazu sind in den Reihen (4) und (7) angegeben, können übrigens auch leicht als Differentialformeln aufgestellt werden; z. B. folgt aus der Kreisgleichung

y — r — ]/r* — xl unmittelbar

— 2 x ■ dx oder mit ]/V²— x¹ = r — y einfacher

“ j/ra — x-

(ii)

dv = r

x ■ dx

Ist also z. B. nur die Kröhnkesche Tafel zur Hand und dort bei r — 300 m für die Bogenlänge 50m entnommen x= 49,769, y = 4,157 und man will die Ordinate für

die Abszisse 50,000 mkennen, so ist mit dx = -j— 0,23, dy — -\-oder y' — 4,196 m (s. oben, Tab. links), ebenso bequem zu rechnen als unmittelbar nach

= -f 0,089

49,8 • 0,28

296

y,=

y°²

2500 600 ' 600

= 4,166₇ +

4,17²

600

= 4,166₇ -f 0,028₉ = 4,196 m.

Nützlicher noch ist (11) beim Übergang von Koordinaten nach 1. auf Koordinaten nach 2.

Auch sonst ist hier gelegentlich eine Differentialformel von Nutzen; z. B. gibt

nach (11)

dy

X²

dx yr-2_x-^

, ds

~V1 + r‘

X⁹-

dx oder

(12)

ds =

]/V² — x*

dx

d. h. s =

/ r _

J pV² — x²

o

, ■ x dx = r • arc sm ,

wie auch unmittelbar klar. Man kann in (12) aber auch

.-lA

x¹

in die Reihe entwickeln, diese gliedweise integrieren und so den Unterschied zwischen Bogenlänge s und zugehöriger Abszisse x sehr bequem darstellen (vgl. erste

T

Gleichung (7)). Die Gleichung (12) in der Form ds= —dx zeigt auch sehr hübsch,

1 y

dx wird bei einem y, das im

in welcher Art ds größer ist als dx. Mit ds —

Vergleich mit r genügend klein ist, ds ^ ^1 -J- —j dx oder es ist bei kleinem d das V

ds um nahezu dx größer als dx. r

\->ci

C<

3. Rechtwinklige Koordinaten von der Sehne aus.

Ai

Fig. 361:

Oft ist zweckmäßig, statt der Tangente als Abszissenlinie, die rasch zu unzugänglichen Punk-ten führt, eine Sehne als Abszissenlinie zu nehmen, z. B. am gekrümmten Ufer eines Flusses, in einem gekrümmten Stollen, in einem tiefen Einschnitt. Ist z. B., Fig. 361, M Bogenmitte mit der Tangente CCL daselbst, h der Abstand zwischen Sehne und Tangente, 2s die ganze Länge der Sehne, so ist in Beziehung auf ein Koordinatensystem (x, yr) mit Nullpunkt im Halbierungspunkt H

der Sehne AAX, wenn (cc,y) die Koordinaten der Bogenpunkte in Beziehung auf unser seitheriges System mit der Tangente als Abszissenachse bedeuten

(13)

x = x, y' = h — y,

sowohl für Meth. 1. als Meth. 2. brauchbar.

4. Peripherie win kelsehnenmethode. Eine prinzipiell von den seitherigen Arten der Absteckung der Zwischenpunkte nach rechtwinkligen Koordinaten verschiedne und ebenfalls sehr wichtige Methode ist die der gleichen Peripheriewinkel und gleichen Sehnen, oft auch Theodolitmeßbandmethode genannt, obwohl die Anwendung des Meßbands nicht durchaus bezeichnend ist, während allerdings hier zu jedem einzelnen Zwischenpunkt eine Theodolitvisur gebraucht wird.

a) Denken wir uns nämlich eine Sehne von konstanter runder Länge s mehrfach in den abzusteckenden Kreisbogen, / vom Hauptpunkt T aus, eingelegt, so erhalten wir ebenfalls / gleichabständige Bogenpunkte; und denken wir uns, Fig. 362, alle / die Punkte Px, P₂, P₃... mit T verbunden, so sind die Winkel cp / zwischen je zwei dieser Strahlen TPX, TP%, TPS . . . und ebenso / der Winkel zwischen dem ersten Strahl TPX und der Tangente TS alle ein- \ ander gleich und zwar gleich dem Ij halben Zentriwinkel, der im Kreis vom Halbmesser r zur Sehnenlänge s gehört. Dieser ganze Zentriwinkel sei 2cp, so ist also, nachdem r gegeben und s gewählt ist (= 5 m-Latte, 10 Band, 20 w-Band) cp sofort zu be- 5 rechnen aus

m-

Pz

S?2<

Mg. 362.

ii

rar:

¹ Cf    T

«/2

(14)

sin cp = —

in demselben Kreis der Zentriwinkel

(2cp wenig verschieden von dem Zentriwinkel ß, der zur Bogenlänge s in demselben Kreis gehören würde, nämlich 2 cp etwas größer als /3; z. B. gibt s = 20 m als Sehne im Kreis vom Halbmesser r = 200 m sin cp = ^ = 0,05000, log sin cp = 8.69 8970, cp = 2° 51'57",55, 2 cp = 5° 43' 55",1, während der Bogenlänge 20 ß = jqQ = 5° 43'46",5 entsprechen würde. Für uns handelt es sich jetzt durchaus nur um cp.)

Die Linien PXT, P₂T, P^T... bilden in T mit der Tangente TS die Winkel cp, 2cp, 3qp...; es sind also nach Bestimmung von cp aus (14) die Vielfachen von cp auszurechnen, bis z. B. 6- oder lOfachen, wenn 6 oder 10 Punkte nacheinander vom gleichen Standpunkt des Theodolits aus eingewiesen werden sollen. Der gut berichtigte Theodolit ist in T scharf zentriert und genügend horizontiert; man hat mit seiner Hilfe an TS der Reihe nach die Winkel cp,2cp, 3cp ... anzulegen, um die Zielungen nach den Punkten Px, P₂, P₃... herzustellen. Man kann sich bei gut berichtigtem Instrument auf Anwendung einer Fernrohrlage beschränken; unter der Annahme, daß die Exzentrizität der Alhidade nicht bedeutend

und der im ganzen bis zum n mäßig groß ist, gestattet man sich auch, nur einen Nonius, z. B. Non. 1. zu verwenden.

Punkt anzulegende Winkel (ncp) noch immer

ten

Am einfachsten wird die Sache, wenn der Theodolit zum Repetieren eingerichtet ist; man stellt dann Non. 1 scharf auf 0° 0'0" und zielt hierauf S an, mit Festhaltung der Alhidadenablesung, nämlich mit dem Mikrometerwerk des Limbus. Die Alhi-dade wird gelöst und die Ablesung qp am Non. 1. hergestellt (Feinschraube der Alhidade); gleichzeitig wird von T aus die erste Lage von s hergestellt, nämlich das erste s hinausgelegt (5 m-Stange) oder hinausgespannt (10 m- oder 20 m-Band) und der vordere Endpunkt an s (Stab bei Lattenende angehalten oder direkt vordrer Bandstock beim Band) scharf in die vorhandne Theodolitvisuv eingewiesen (Fernrohr kehrt um! nach der Seite winken, nach der der Stab falsch zu stehen scheint). Man erhält so den Punkt P,. Am Non. 1. der Alhidade wird nun 2qp eingestellt, von Pt aus wird die zweite Lage s gelegt oder gespannt, deren vordrer Endpunkt in die Theodolitvisur eingewiesen gibt P₂; am Theodolit 3cp am Non. I., P₂P₈ = s gemacht gibt P₃ usf. Für ein s — 20 m-Band und z. B. r = 500m ist cp = 1°8'46" (für r = 1000 m wäre qp auf 1" genau die Hälfte, 0° 34' 23", auch für r = 250 m noch auf 1" genau das Doppelte, 2° 17'33"). Die nacheinander für den 1., 2., 3., . . . 6. Punkt anzulegenden Winkel im Kreis 500 m sind neben angeschrieben; ist der Theodolit ein 20"-Instrument, so ist beim 1. Winkel 1°8'40" einzustellen, wenn der Nonius nicht ganz weit genug „getrieben“ ist (vgl. S. 291) etwas voll einstellen, nahezu 8' 40" und 9' 0" gleich gut stimmend; für den 2. Punkt 2° 17'20" und 40" gleich gut stimmend, für den 3. 3° 26'20", beim 4. 4°35'0", beim 5. 5° 43'40" und 44' 00" gleich gut u. dgl. Auf die Längenmessung ist sehr sorgfältig zu achten, der abzusteckende Punkt muß genau ans Ende der Lage s kommen und genau den Anfangspunkt der folgenden

qp = 1° 8'46"

2 qp = 2° 17' 32"

3qp = 3° 26' 18"

4qp = 4° 35' 4"

5    qp == 5° 43' 50"

6    qp = 6° 52' 36"

s- Strecke bilden.

Man sagt oft, man stecke hier „nach Polarkoordinaten“ ab im Gegensatz zu den rechtwinkligen Koordinaten der Methoden 1. bis 3.; der Ausdruck ist auch insofern richtig, als für jeden Punkt der Richtungswinkel in T gegen TS verwendet wird, die Entfernungen werden aber nicht von T aus abgemessen, sondern es wird rekurrierend die Strecke s als Sehne eingelegt, jeder folgende Punkt stützt sich auf den vorhergehenden, zwischen je zwei sich folgenden Punkten ist die Strecke s herzustellen. Damit ist auch schon der wunde Punkt der Methode berührt; sie ist zwar äußerst bequem, geht vor allem rasch von statten, wenn die Vielfachen von cp vorliegen für das gegebne r und das gewählte s, und hat als zweiten oft für sich allein entscheidenden oder doch meist sehr wichtigen Vorteil den des geringen Raumbedarfs; man braucht von T aus nach den einzelnen Punkten Pu P₂... nur zielen zu können, zu messen ist lediglich dicht am oder im Bogen selbst, wo immer wieder s als Sehne einzulegen ist. Auf hohen scharf gekrümmten Dämmen von Eisenbahnen z. B. führen beim Abstecken der Gleisachsen Tangente oder Sehne rasch den Abhang hinunter, wo Abszissen und Ordinaten nach 1. bis 3. nicht mehr genügend scharf gemessen werden können, während der Anwendung dieser Methode 4. gar kein Hindernis im Weg steht. Aber die Fehlerfortpflanzung bei dieser Methode wird ungünstig sein, jeder Fehler in einem Punkt überträgt sich auf alle folgenden Punkte.

Man macht sich deshalb bei genauen Absteckungen vor allem zur Regel, nicht zu viele Punkte, z. B. beim Meßband nicht über 6, bei Latten nicht über 10 von einem und demselben Standpunkt des Theodolits aus einzuweisen. Auch wird oft empfohlen, die Absteckung bei dies r Peripheriewinkelmethode nicht vom Instrument weg, sondern gegen den Theodolit her zu machen; vgl. die Absteckung der Geraden in 88.

Die Ausrechnung des Winkels cp und seiner Vielfachen ist im allgemeinen, bei rundem r und (dem jedenfalls runden) s wieder erspart durch fertige Tafeln, Peripheriewinkeltafeln, wie sie sich in dem schon genannten Taschenbuch von Knoll (s. oben), in Gysin, Peripheriewinkeltafeln (Liestal, für alte und für neue Kreisteilung; ausschließlich für diese Methode), in dem „Tracierungshandbuch“ von Hanhart und Waldner (zwei Schweizer Ingenieuren; gibt auch u. a. Tangentenlängen für die Hauptpunkte sehr ausführlich), bei Pernt, Tafeln zum Abstecken von Kreis-und Übergangsbögen (Wien) und vielen andern Schi-iften dieser Art finden. Auszüge auch in den 1. und 2. genannten Kalendern usf.

b)    Die Methode läßt sich so ab ändern, daß man statt einer runden Sehnenlänge s und damit (bei dem vorgeschriebnen, meist runden Wert von r) in der Regel nichtrundem cp einen runden Wert von cp, z. B. cp' anwendet und die dazugehörige nichtrunde Sehnenlänge s' berechnet.

Als solchen runden Wert cp' nimmt man selbstverständlich den kleinsten auf der Limbusteilung vorhandnen Teil, so daß dann einfach Strich für Strich dieser Kreisteilung mit der Null des Non. 1. einzustellen ist, um die Zielungen nach den sich folgenden Kreisbogenpunkten zu erhalten. Dies ist (und nicht nur für den Anfänger) schärfer und bequemer als die Einstellung beliebiger Zahlen wie bei a). Ist z. B. r = 2000 m und soll an dem vorhandnen Theodolit mit ys°-Teilung folgeweise jeder Strich dieser Teilung von 20' zu 20' eingestellt werden, so ist

(15)

•s' = 2 r • sin (0° 20' 0") = 4000 • sin (0° 20' 0") m = 23,271 m

zu machen. Man braucht also nur auf einem 25m-Stahlband bei 23,271 m ein deutliches Zeichen anzubringen (Loch eingezwickt und Stift eingesteckt od. dgl.) neben das der allemal einzuweisende Stab gehalten wird, um die Absteckung ganz genau in der oben angegebnen Art, aber noch bequemer als dort ausführen zu können: nachdem der Non. 1. des Repetitionstheodolits scharf auf den Strich 0° 0'0" der Kreisteilung gestellt und die Richtung S mit Benützung des Mikrometerwerks am Limbus eingestellt ist, ist nun einfach Strich für Strich der ys°-Teilung genau einzustellen, um die Richtung nach jedem folgenden Punkt des Bogens zu erhalten. Die Abstände der Punkte, dem Bogen nach gemessen, sind selbst für solche s', die im Vergleich mit r nicht klein sind, praktisch genau gleich s . Soll z. B. bei r = 400m die Sehnenlänge so gewählt werden, daß der ihr entsprechende halbe Zentriwinkel (Peripheriewinkel) 20'0" beträgt (aufeinanderfolgende Striche der ys°-Teilung zu verwenden sind), so wird s — 4,65419 m = 800 ■ sin (0° 20' 0"), die entsprechende Bogenlänge aber ist 400 • arc 0° 40' 0" = 4,65421 m, ein für unsre Hilfsmittel auch für die Bogenlänge bis zum 10. Punkt noch nicht nachweisbarer Unterschied.

Audi bei dieser Peripheriewinkelsehneumethode nach 3. a) oder 3. b) ist, da die Bogenpunkte wieder genau gleiche Abstände voneinander haben, die Augenmaßkontrolle nach Pig. 359 anzuwenden.

c)    Eine weitre Abändrung der „Theodolitmeßband.“methode ist in letzter Zeit mehrfach empfohlen worden: es kommt vor, wenn sich z. B. der Bogen um einen scharf gerundeten Bergkopf herumzieht, daß man bei Aufstellung des Theodolits^in T nur nach ganz wenigen Punkten in der angegebnen Art zielen kann, während vom Tangentenschnittpunkt S aus der ganze Bogen zu übersehen ist, Fig. 363. Es liegt hier nahe, die Winkel sj, s₂, s₃ ... auszurechnen, die die Zielungen von S nach den Punkten P₁, P₂, Ps . . . (Sehne TP₁ = Sehne P₁P₂ = . . . = s) mit der Richtung ST bilden und die Bogenpunkte nun durch Richtungen von S aus und durch die Strecken s = TPX — P₄ P₂ — . .. einzuweisen. Doch sind die Bedingungen für die Anwendbarkeit des Verfahrens selten gegeben und wir gehen hier nicht weiter darauf ein.

/r

N'

5. Reine Peripheriewinkelmethode für nicht lange Bögen mit kleinen Halbmessern. Ebenso sei nur kurz angedeutet, daß man sich ans drei für einen nicht großen Kreisbogen gegebnen Punkten A, C, B (wobei C der Halbierungspunkt des Bogens AB sein mag oder auch nicht) weitre Punkte des Bogens auf folgende Art verschaffen kann, vgl. Fig. 364: es gibt Spiegeltrommeln und Prismentrommeln (jene z. B. nach Pockels, diese nach Decher u. a.; die Instrumente haben vielerlei Namen, z. B. Arcograph u. dgh), die zusammengesetzt sind wie das Spiegelkrenz und das Prismenkreuz, vgl. 9. 2. und 3., Fig. 16 und Fig. 36 und 37; nur ist, während der untre Spiegel oder das untre Prisma mit der Fassung fest verbunden ist, der obre Spiegel oder das obre Prisma drehbar, so daß innerhalb gewisser Grenzen dem Winkel zwischen den beiden Spiegel -(Hypo-tenusen-)ebenen jeder beliebige Wert gegeben werden kann. Stellt man sich nun in dem mittlern der drei gegebnen Punkte auf und dreht während des Hineinsehens in beide Spiegel oder Prismen den obern Spiegel oder das obre Prisma so lange, bis die im obern und im untern Spiegel oder Prisma sichtbaren Bilder der Stäbe A und B in dieselbe Vertikale zusammenfallen, so hat man den Peripheriewinkel a in die Winkel- oder Prismentrommel „gefaßt“: der Winkel zwischen beiden Spiegel- oder Prismenhypotenusenebenen ist bekanntlich a/₂. In jedem beliebigen andern Punkt D, F, F, Cr, auf dem in der nun unverändert gelassnen Winkel- oder Prismentrommel die Spiegelbilder von A und B im obern und untern Spiegel oder Prisma ebenfalls „zusammenfallen“, steht man anf einem Punkt des durch A, C, B gehenden Kreises. Die Methode ist sehr bequem, aber, wie schon mehrfach angegeben, auf nicht große Strecken (z. B. AB bis zu 60 oder 80 m) beschränkt und nicht sehr großer Genauigkeit fähig, im Weg-, Straßen- und Straßenbabnbau aber vielfach von Nutzen.

Pi

oc

D,

Si

Fig. 363.

Fig. 364.

Auf mancherlei Näherungsmethoden (— z. B. die sog. Viertelsmethode: ist in der letzten Fig. 364 CA = CB und ist V der Halbierungspunkt des Bogens AC, so ist die Pfeilhöhe von V über der Mitte der Sehne AC um so mehr genähert J/4 von der Pfeilhöhe 7i des Halbierungspunkts C des Bogens AB über der Sehne MR, je kleiner h im Vergleich mit AB ist; das Verfahren läßt sich dann selbstverständlich auf die „Achtelpunkte“ des Bogens fortsetzen, deren Pfeilhöhen ¹/₁₆Ji sind, erfordert aber gar zu viel Einweisungs- und Längenmessungsarbeit —), die besonders in der Form sogenannter Einrückmethoden für viele praktische Zwecke sehr wichtig sind, gehen wir hier ebenso wenig näher ein wie auf Absteckung von andern Kurven als Kreisbögen (Bögen von andern Kegelschnitten, ferner sog. Übergangskurven bei den Achsen von Bahngleisen); dies bleibe dem II. Band Vorbehalten.

94. Übungen. Nur einige Übungsaufgaben seien hier noch zusammengestellt.

1. Die praktische Durchführung der Absteckungen aPuf dem Feld ist durchaus die Hauptsache dieser Übungen; es ist oben Anleitung dazu gegeben, soweit dies ohne mündliche Unterweisung an Instrumenten und Gerätschaften geschehen kann.

Aber auch die Berechnungen sind wichtig, schon deshalb, weil, wie wir gesehen haben, jeder großem Absteckung eine Berechnung vorhergehen muß.

2. Zu den zwei Aufgaben der Absteckung einer Geraden mit Hilfe eines Polygonzugs, s. Nr. 90. 1. a) und b) mag noch je ein Zahlenbeispiel angegeben sein:

In Fig. 345 mag es sich nur um ein Viereck statt des dort gezeichneten Fünfecks handeln und es seien gemessen die Seiten A 1 = 120,45 m, 1 2 = 112,81 m, 2B = 149,07 m und die zwei Winkel: in 1. zwischen A links und 2. rechts ßt = 131° 0' 40", in 2. zwischen 1 links und B rechts ß= 122° 58' 10". Es ist die LäDge von AB und es sind die zwei Winkel cp — BAl und ip — 2BA zu berechnen; man entwerfe selbst die Figur ungefähr nach diesen Zahlen. Man kann die Aufgabe — und dies ist deshalb immer der einfachste Rechnungsweg, weil stets nur dieselben zwei einfachen Formeln angewandt werden, die gebrauchsbereit vorrätig sein müssen, nämlich die Grandgleichungen für die Rechnung im rechtwinkligen Koordinatensystem —genau nach der Anleitung von 90. 1. a) lösen: es sind dazu nur in dem dort angewandten Koordinatensystem die Koordinaten der zwei Punkte 2 und B zu berechnen, sodann Richtungswinkel und Strecke AB. Man kann aber selbstverständlich auch andre Wege, ohne Koordinatensystem, benützen; z. B. denke man sich Al und B2 bis zum Schnittpunkt 8 verlängert, so ist das Dreieck $12 aus einer Seite und zwei Winkeln (Sinussatz) und sodann das Dreieck SAB aus den zwei Seiten SA und SB und dem Winkel zwischen beiden zu berechnen, womit sich qp, tp und AB ergeben (Neper-sche Gleichungen oder Mollweidesche). Man findet auf diesem Weg:

y = ßt -f ß₂ — 180° = 73° 58' 50"

(1) Winkel in S

(2)

98,47; S 2

(3)

Es wird also, mit

SA = 218,92,

s₂ ■ sin ßt __ sin y

SB = 237,63.

88,56 und damit

(4)

90° _ 36° 59' 25" = 53° 0' 35"

(5)

_18,71

456,55

■tg(53°0'35"),    ^    ^ = 3° 6' 50", womit

tp = 56° 7'25",

(6)

1p = 49° 53’ 45"

als die beiden Absteckungswinkel sich ergeben und AB übereinstimmend von SÄ und von SB aus 275,11 m wird.

Dieselbe Rechnungsweise kann man natürlich auch auf beliebige Polygone übertragen und da sie wenigstens symmetrisch ist, mag sie wohl da oder dort angewandt werden statt der Koordinatenrechnung. Verlängert man z. B. in Fig. 345 Al und B3 bis zum Schnittpunkt S, so sind sukzessive die Dreiecke 12 3 aus zwei Seiten und dem zwischenliegenden Winkel, $ 1 3 aus einer Seite und den Winkeln, SAB aus zwei Seiten und dem zwischenliegenden Winkel aufzulösen und ähnlich für ein Polygon mit mehr Ecken.

Um auch an einem Beispiel zu zeigen, wie man, ganz ohne eine Formel als die fürs rechtwinklige Dreieck zu kennen, zu cp und t/j kommen kann (und damit dann

auch zu AB) sei noch an der Hand desselben Beispiels folgende Andeutung über eine Auflösung „durch Annäherung“, d. h. durch Versuche gemacht, die allenfalls nur durch die regula falsi zu unterstützen sind. Aus den rechtwinkligen Dreiecken, die man erhält, wenn von den Punkten 1. und 2. unsres Beispiels Lote auf AB gefällt werden und durch s eine Parallele zu AB gezogen wird, liest man ab, daß

(7)

sx • sin cp -}- s₂ • sin [cp — (180° — ßt)] = sb ■ sin ip oder st • sin cp — s₂ • sin (cp -j- ßt) — sb • sin ip = 0 sein muß.

Nun ist qp-f-= 106° 1'10" fest gegeben; mit einem Näherungswert für qp, z. B. cp = cp₀ ist auch ip₀ = 106° 1' 10" — <jp₀ angenommen und man kann so prüfen, ob die Gleichung (7) von diesen Werten qp₀, ip₀ befriedigt wird. Ein zweiter Wert qpx, womit auch ip₁ angenommen und ein drittes Wertepaar qp₂, ip₂ werden mit Hilfe der regula falsi sicher zum Ziel führen. Z. B. geben die Annahmen qp₀ = 54° 0' 0", qpx = 56° 0' 0", qp₂ = 58° 0' 0" (cp₀ nach einer rasch auf mm-Papier aufgetragnen Skizze angenommen, wobei die Winkel ßx und ß₂ nach ihrer tg eben mit Hilfe des mm-Papiers aufgetragen sind) folgende Rechnung:

(8)

cp₀ = 54° 0' 0"    cp₁ = 56° 0' 0"    cp₂ = 58° 0' 0"

ip₀ = 52° 1' 10"    ijy == 50° 1' 10"    ißa = 48° 1' 10"

die linke Seite von (7) wird damit + 97,45 -f 9,85 — 117,50

-f- 99,80 -f 13,77 — 114,23

+ 102,15 -f 17,67 — 110,82

oder

= + 9,00 .

Der genau lineare Gang dieser Zahlen (9) zeigt, daß die einmalige Anwendung der regula falsi in der Tat zum Ziel führen muß; es wird

(9)

= — 10,20

= — 0,00

(10)

4<Pi — +

0,60

9,60

• 120' (qp-Intervall 2° = 120')

= + 7',5

oder

(11) qp == 56° 7',5

(genügend stimmend mit dem Ergebnis der vorigen Rechnung) und damit ip — 49° 53',7 ;

(12)

endlich ergibt sich hieraus

(13)

AB = st • cos cp — s₂ - cos(cp -J- ßx) -f- sb ■ cos ip = 275,11 wie oben.

Derartige „Lösungen durch Annäherung“ sind meist nicht symmetrisch und nicht kürzer, sondern länger als direkte Lösungen; sie sind aber im Sinn der praktischen Trigonometrie durchaus zulässig und haben oft den Vorteil, daß man gar keine Formel zu kennen und nicht nach einer direkten Lösung zu suchen braucht, auch z. T. mit runden Werten ohne Interpolation rechnen kann.

AB und daß die Winkel

Man versuche selbst neben der direkten auch eine solche Näherungslösung für die Aufgabe 1. b) in 90. an folgendem Zahlenbeispiel, vgl. die Fig. 346: B auf FG in der Verlängerung von CA festzustellen, wenn gemessen sind in dem Zug AEFG-. ÄE — 162,40m, FF = 173,88 m, FG (beliebig) = 200,00 m; Winkel ßa zwischen C links und E rechts = 226° 42'20", Winkel ße zwischen A links und F rechts = 133° 10'10", Winkel ßy zwischen E links und G rechts = 133° 47'55"; bei der Näherungslösung ist zu beachten, daß EF nahezu ße und ßy wenig verschieden sind.

3. Bei der Kreisbogenabsteckung nach rechtwinkligen Koordinaten ist oben mehrfach darauf hingewiesen, daß gelegentlich Differentialformeln gute Dienste leisten.

a) Soll z. B. für einen bestimmten runden Halbmesser r, für den eine Tabelle der (#, y) mit runden Abszissen vorliegt, nun für ein nicht rundes, in der Tabelle nicht vorkommendes x die Ordinate y berechnet werden, so hat man außer direkter Rechnung nach (1) oder (4) in 93. die Möglichkeit der Einschaltung zwischen die Tafelzahlen oder den Weg einer Differentialformel. Z. B. geben für r = 400 ™ und x — 31 ™ die zwei genannten Formeln (1) und (4) in 93. den Wert y — 1,203 Schaltung zwischen die gegebnen Tafelzahlen hinein ist etwas umständlich, da die zweiten Differenzen nicht entbehrt werden können. Man hat nämlich in der Tabelle

genommen

m.

Die Ein-

die folgenden Zahlen, wobei die neben beigesetzten Differenzen in sind. Somit wird:

mm

(14) yB1 — 1,127 +

0407 +

thIiO

|64

30

35

534

40

45

+ 407 + 471

+ 534

+ 64 + 63

(die zwei letzten Glieder ™™)

= 1,127 + J, • 407 +

= 1,127 + 81,4 — 5,1 = 1,203 ™.

JL._ A

⁵ • 64

mm

Wenn die Argumentzahlen nicht so einfach sind wie hier, wird man sich des Rechenschiebers bedienen. Die schon in Gleichung (11) in 93. 2. aufgestellte Differential-oc

formel (15) dy — +    ^-dx, oder falls y im Vergleich mit r genügend klein ist,

OC    X^

dy ~ + dx (diese erhält man, wenn y ä — gesetzt werden darf) gibt viel einfacher im vorliegenden Fall

yj= 1,127 +

(16)

30 • 1

399

= 1,202

m.

b) Wichtig ist für manche spezielle Fälle, wo ein nicht rundes oder sonst m den Tabellen sich nicht findendes r verwendet werden muß, daß der Übergang von den Zahlen der Tabelle auf die für dieses r gültigen (#, y) sehr einfach ist. Will man z. B. für r = 405 ™ das y zu # = 80,00™. haben, hat aber nur Tabellen für 400, 420 ...

Ergebnis y₈₀ = 7,980 ™ wieder die Einschaltung oder eine Differentialformel zu Gebot. Jenes Verfahren liefert mit den Tabellenzahlen für Halbmesser von 10 zu 10 ™:

oder 400, 410 .. . ™ zur Hand, so steht außer direkter Rechnung mit dem

für x — 80 ™

Jy

wobei die 4y und J^y wieder in zu verstehen sind, und damit

400

410

420

430

m ca

o CO GO •4 CD K E)

— 201

—    192

—    182

mm

(Einschaltung in die Mitte zwischen 400 und 410, n = 4),

(17) j/_=8,082 —4-201+^“^* -9

= 8,082 —100,5 — 1,1 = 7,980

mm

wie oben. Viel bequemer ist aber noch die Differentialformel

-— dr, r—y

die man wieder, wenn y genügend klein gegen r ist, ersetzen darf durch

dy — — • dr

(18)

dy

(19)

^entsprechend der Näherungsgleichung y ¥ bei großem rj ; im vorliegenden Beispiel wird mit r — 400 m, dr=-(-5 m, y = 8,082 m für r = 400 m und für x — 80,00m,

- 8,082 — 0,102 = 7,980 m wie oben.

2^405 ; 80    8,082 m

8,08

400 — 8

■ 5000

mm

Die Gleichung (18) und das Ergebnis des Beispiels zeigt auch sehr deutlich, wie wenig veränderlich die y von der Tangente aus für dasselbe x selbst für beträchtliche Yerändrungen an r sind (sie sind eben, so lange y nicht groß ist, im wesentlichen umgekehrt proportional r); von r = 400 m aus nimmt die zur Abszisse 80,00 (= y von r) gehörige Ordinate, die 8,08 m lang ist, nur um 10 messer r um volle 5 m wächst.

4. Absteckung einer Ellipse nach rechtwinkligen Koordinaten. Die Baumeister des klassischen Altertums haben Ellipsen mit guter Genauigkeit abzustecken verstanden, wie sie als Grundrisse bei Amphitheatern und Arenen regelmäßig gebraucht wurden. Erst jüngst hat ein österreichischer Geodät, A. Broch, gezeigt, wie wenig sich die Grundrißlinie des Amphitheaters in Pola aus den ersten Jahrzehnten der römischen Kaiserzeit von einer genauen Ellipse (mit dem Achsenverhältnis 7 : 9) unterscheidet; die Abweichungen sind so klein, daß es als wahrscheinlich gelten muß, die Linie sei nicht durch eine Näherungskonstruktion aus einer Anzahl von Kreisbogenstücken, besonders der Scheitelkrümmungskreise, zusammengesetzt worden, sondern als Ellipse, wohl mit Hilfe der Konstanz der Summen der zwei Brennstrahlen abgesteckt worden.

Um zu zeigen, daß unsre modernen Kreisbogentabellen auch für das Absetzen einer Ellipse ohne weitres die notwendigen Daten liefern, sei hier (trotz der Bemerkung am Schluß von 93.) in den Übungen eine Aufgabe angefügt, die mit den Studierenden der Architektur an einem Übungsnachmittag des Sommers 1909 durchgeführt wurde: auf einem großen ebnen Platz (Exerzierplatz bei Cannstatt) war eine Ellipse mit den ganzen Achsenlängen 200,00|[m und 150,00 m (Achsenverhältnis 4 : 3) abzustecken.

Es wurde mit dem Theodolit vom Mittelpunktspflock der Ellipse aus ein Achsenkreuz (Genauigkeit im rechten Winkel etwa 10") abgesteckt; auf diesen Richtungen sind nach beiden Seiten hin die Halbachsen 100,00 und 75,00 abgemessen worden (mit der Genauigkeit von wenigen , Verschiedenheit der Längen der benützten Meßlatten berücksichtigt). In den so erhaltnen verpflockten Endpunkten der Achsen der Ellipse sind je wieder, ebenfalls mit Hilfe des Theodolits, Lote auf den zwei Achsen hergestellt worden (Genauigkeit ebenfalls etwa 10", nämlich Benützung beider Nonien und beider Fernrohrlagen bei einem 20"-Theodolit).

Die Mittelpunktsgleichung der Ellipse ist nun mit a = 100,00, b — 75,00 und x und y ebenfalls in Metern

mm

(20)

---L

10000 ~

= 1.

cm

ab, wenn der Halb-

<y

■At

Fig. 365.

5625

Hieraus wären sehr einfach zu bestimmten x die zugehörigen y zu berechnen oder zu bestimmten y die zugehörigen x, so daß von der Scheiteltangente im Endpunkt B der kleinen Achse aus, Fig. 365, nach rechtwinkligen Koordinaten (x, (6 — y)} und von der Scheiteltangente im Endpunkt A der großen Achse aus nach rechtwinkligen Koordinaten {y, (a — x)} Ellipsenpunkte abgesteckt werden können. Für die ersten

Punkte würde man runde «, für die zweiten runde y wählen. Für die ersten z. B„ Berechnung der y zu runden x, wäre für direkte logarithmische Rechnung:

(21)

y = 75-

oder

y — 0,75 • j/(100 —r- x) (100 -j- x).

Will man die in den „Additions- und Subtraktionslogarithmen“ gebotnen log (1z) und log (1 — z) verwenden (z. B. 6-stellig in der Tafel von Bremiker-Albrecht, 5-stellig bei Gauß oder Rex), so ist (21), will man direkt rechnen, so ist (22) bequemer; man erhält z. B. 6-stellig aus (22) für

y = 74,906 m

V    — 74,624 „ y ⁼ 74,151g „

V    = 73,485 „ y = 72,618ä „ y = 71,545₆ „ usw.

(22)

x— 5 « = 10 x = 15 x = 20 . x = 25 x — 30 „

und damit die von der Tangente im Endpunkt der kleinen Achse abzumessenden Ordinaten

b — y = 0,094 b — y~ 0,376 b — y = 0,8485 b — y = 1,515 b — y — 2,381g b — y = 3,454g

1. Diff. 2. Diff.

282

472g

666g

866g

1073

190g

194

200

206g

Natürlich könnte man auch, statt y und damit (b — y) auszurechnen, sogleich auf diese Unterschiede (b — y) durch Reihenentwicklung des Ausdrucks (21) ausgehen usf.: es gibt hier 3 oder 4 Möglichkeiten bequemer Rechnung, doch ist der direkten logarithmischen Rechnung nach (22) gegenüber keine im tatsächlichen Vorteil. Die Reihe der erhaltnen (b — y) ist, wie angedeutet, durch Differenzen zu prüfen. Ganz genau derselbe Weg kann zur Berechnung von x zu runden y, für Absteckung der Punkte von der Scheiteltangente in den Endpunkten der großen Achse aus, eingeschlagen werden.

Nun kann man aber, wenn Kreisbogentabellen für r = 100 m = a und für r = 75m = & in der Form der Ordinaten y von der Tangente aus für bestimmte runde x vorliegen, überhaupt jede nennenswerte Rechnung ersparen, indem man sich erinnert, daß der Kreis über AAX als Durchmesser und alle Ellipsen mit AAt als großer Achsenstrecke, und ebenso der Kreis über BBX als Durchmesser und alle Ellipsen mit BBX als kleiner Achsenstrecke affine Kurven sind. Die Ellipse ABAlBl kann man dadurch entstanden denken, daß die Ebene eines Kreises über

75

100

= arc cos

AAX als Durchmesser um diesen Durchmesser um den Winkel arccos

(=41° 24',6) gedreht und auf die alte Ebene orthogonal projiziert wird; d. h. man erhält die zu bestimmten x gehörigen Ellipsen-?/, zunächst von der großen Achse aus gerechnet, indem man die zu denselben Abszissen gehörigen Kreisordinaten mit s/4 multipliziert, oder von diesen Kreisordinaten ¹/i ihres Betrags abzieht. Dies gilt auch noch für die Werte (b — y); zu gegebner Abszisse x, von B aus auf der Scheiteltangente abgemessen, erhält man die Ellipsenordinate, indem man von der in der Kreistabelle für r = 100 m gelieferten Ordinate „von der Tangente aus“ ¹/i ihres Wertes abzieht. Ganz ähnlich für Absteckung von Ellipsenpunkten von den Scheiteltangenten in A und Ax aus: die Ellipsenabszissen, die zu bestimmten runden Ordinaten gehören, sind im Vergleich mit den Kreisabszissen zu denselben Ordinaten ⁴/s dieser Kreisabszissen, d. h. die Kreiswerte für r = 75m sind je um */, ihres Betrags zu vergrößern. Man erhält damit ohne nennenswerte Rechnung aus den Kreisbogentabellen für r=100m und für r = 75m, bei unverändert gelassnen runden Abszissenzahlen (die je auf den Tangenten in JS, Bt und in A, Ax abzumessen sind) die folgenden Ordinatenwerte, von diesen Tangenten aus gemessen (es kann keine Verwirrung bringen, daß „Ordinate“ bald von der Achse der Ellipse, bald von der Scheiteltangente aus gezählt gebraucht ist):

1.Tangenten in B, Bx als Absz.-Achse Ellipsen Ordinate y (m)

= (Kreiswert für r = 100 m) — 4- Kreiswert

4

X (m)

2. Tangenten in A, Aj als Absz.-Achse Ellipsenordinate + (m)

== (Kreiswert für r = 75 m) -f- j Kreiswert

X (m)

10

15

20

25

30

35

40

45

50

55

60

0,125 — 0,031 = 0,094 0,501 — 0,125 = 0,376 1,181 — 0,283 = 0,848 2,020 — 0,505 = 1,515 3,175 — 0,794= 2,381 4,606 — 1,151 = 3,455 6,325 — 1,581 = 4,744 8,348 — 2,087 = 6,261 10,697 — 2,674 = 8,023 13,398 — 3,349 = 10,049 16,484 — 4,121 = 12,363 20,000 — 5,000 = 15,000

10

15

20

25

30

35

40

45

50

55

60

0,167 + 0,056 = 0,223 0,670 + 0,223 = 0,893 1,515 + 0,505 = 2,020 2,716 + 0,905 = 3,621 4,289 + 1,430= 5,719 6,261 + 2,087 = 8,348 8,668 + 2,889 = 11,557 11,557 + 3,852 = 15,409 15,000 + 5,000 = 20,000 19,098 + 6,366 = 25,464 24,010 + 8,003 = 32,013 30,000 + 10,000 = 40,000

Für die ersten sechs y links vgl. die obige direkte Rechnung aus der Ellipsengleichung. Die runden Ordinatenwerte, bei x — 60 m, y — 15,000 m, sowie bei #'=45 und 60 m, + = 20,000 und 40,000 m sind selbstverständlich auch im Kopf aus der Ellipsengleichung zu verifizieren. Es ist auch von Interesse, wenigstens für die ersten paar Punkte bei beiden Scheiteln der Ellipse nachzusehen, wie weit diese Punkte von den entsprechenden der Scheitelkrümmungskreise sich entfernen. Die Scheitelkrümmungs-

im Endpunkt der kleinen Achse und

halbmesser der Ellipse sind bekanntlich

a¹

b-

im Endpunkt der großen Achse, also hier 133 V^m und 56 V₄ m; für den ersten Kreis hat man für die vier ersten Punkte, für den zweiten für die drei ersten Punkte

. yl

die Kreisordinaten nach direkter Rechnung mit Hilfe von y =

5 m, Ordinate des Kgskreises 0,223

0,896 2,036.

x = 5 m, Ordinate des Kgskreises 0,094 x = 10 „ x = 15 „ x = 20 „

Da der erste Kreis ganz außerhalb, der zweite ganz innerhalb der Ellipse liegt, so stimmt, daß im ersten Fall die Ordinaten von der Tangente aus allmählich kleiner, im zweiten Fall (und zwar rascher) allmählich größer werden als die oben angeschriebnen Ellipsenordinaten. Man prüfe diese Ellipsenordinaten auch nochmals durch Differenzen, die befriedigenden Verlauf zeigen.

Die Absteckung selbst unterscheidet sich nun, nachdem die Abszissenlinien der Absteckung, die Tangenten in A, A₁ und B, Bt, wie schon oben angegeben, mit dem Theodolit hergestellt sind, nicht von der Absteckung eines Kreisbogens durch rechtwinklige Koordinaten. Da in den Ordinatenlängen nicht über 15 m gegangen werden sollte, also x von B, B₁ aus auf 60 m (wie oben in der Tabelle) beschränkt ist, bei der Absteckung von A aus aber zur Abszisse 60 m schon die Ordinate 40 m gehört, so sind in den Abständen 25,00 m von A und At aus gegen O hin nochmals auf AAt Hilfsabszissenlinien mit dem Theodolit hergestellt worden, womit die größte Länge der Ordinaten im zweiten System ebenfalls auf 15 m herabgebracht war. Die Entfernung der einzelnen Ellipsenpunkte ist ziemlich ungleich, steigt nämlich Hammer: elementare praktische Geometrie.

11

0,375

0,846

1,508

X =

x = 10 „ x = 15 „

11

11

38

von 5,001m bei R, (und 5,005 m bei A, Ax) auf ]/ö,00* -f- 7,99² = 9,48 m bei den von der in A berührenden Achse am weitesten entfernt liegenden Punkten des zweiten Systems. Doch hat dieser Unterschied nichts zu sagen. Er wäre hier auch nicht so einfach zu beseitigen wie beim Kreis in der „2. Methode rechtwinkliger Koordinaten von der Tangente aus“: die Bestimmung der Länge eines Ellipsenbogens führt ja auf ein elliptisches Integral, das auf mehrfache Art in Reihenentwicklung dargestellt werden kann.

Für die Länge des ganzen Quadranten der Ellipse (a, b) ist mit 10000 — 5625

= c*,

also hier e~

10000

0,4375

(23)

9-t(‘

*‘-2^6

doch konvergiert diese Reihe bei der großen Exzentrizität e unsrer Ellipse hier nur langsam; besser ist in dieser Bezienung, mit —

= «, die Reihe

(24)

n{a -f- b)

und ähnliche Formeln. Die Länge des Quadranten ist hier nach (24) 138,15 m, immerhin 0,70 m länger als was die in manchen Handwerken gebräuchliche grobe Näherungsregel geben würde: Umfang nahe gleich dem eines Kreises, dessen Halbmesser gleich dem Durchschnitt der Halbachsen ist; sie gibt eine brauchbare Annäherung nur für ganz kleine Exzentrizitäten. Es sei bei dieser Gelegenheit eine bequeme Näherungsformel für die Ellipsenrektifikation mitgeteilt, die kaum mehr Arbeit macht als die eben angegebne grobe Regel; sie lautet: bis auf das Glied mit eG einschließlich (in (23)) ist der Umfang der Ellipse mit den Halbachsen a und b gleich

ist, d. h. dessen

Durchmesser man erhält, wenn man vom dreifachen arithmetischen Mittel der Halbachsen ihr geometrisches Mittel abzieht. Diese Näherung bleibt, wie angedeutet, bis zu beträchtlichen Exzentrizitäten brauchbar. Im vorliegenden Fall ist der Durchmesser d — 3 • 87,5000 — 86,6025 =175,00 (Halbmesser r — 87,95 gegen 87,50 der ersten

groben Regel); der Quadrant dieses Kreises ist $'=^=138,15, bis auf das

übereinstimmend mit der nach (24) berechneten Zahl. Die Nachmessung des Ellipsenquadranten auf dem Feld nach der Absteckung (wobei bei solchen Längenmessungen in gekrümmter Linie zweckmäßig abwechslungsweise außen und innen an den die Linie bezeichnenden Stäben vorbeigemessen wird) gab auch nur 2 gegen die angegebne richtige Länge.

dem eines Kreises, dessen Durchmesser d

_[,.5±»_yTO]

ctw

cm

Unterschied

ZWEITER ABSCHNITT.

HÖHENMESSUNGEN ODER VERTIKALMESSUNGEN DER ELEMENTAREN PRAKTISCHEN GEOMETRIE.

95. Einleitung. Arten der Höhenmessung. 1. Im ganzen Abschnitt I. ist nur von der gegenseitigen Lage der Vermessungspunkte, im Sinn der Lage ihrer Horizontalprojektionen auf die Vermessungsfläche, nämlich auf die Horizontalebene, die Rede gewesen, sowie von der,Darstellung dieser gegenseitigen Lage im Plan, der für uns einfach gleichbedeutend mit Grundriß ist. In diesem II. Abschnitt dagegen handelt es sich um die Höhenunterschiede von Punkten, Bestimmung und Vergleichung ihrer vertikalen Erhebung über die Nullfläche, von der aus die Höhen gezählt werden, oder über eine Parallelfläche zu dieser Nullfläche.

Wir haben schon gleich zu Beginn des Abschnitts I. gesehen, daß die Ausdehnung des Vermessungsgebiets, für das man als Vermessungsfläche eine Horizontalebene voraussetzen darf, bei den Horizontal- oder Lagemessungen sehr groß ist; z. B. kann man selbst für die feinsten Messungen dieser Art die Vermessungsfläche als Horizontalebene voraussetzen, so lang die Ausdehnung des Vermessungsgebiets 10 nach allen Richtungen nicht überschreitet. Ein Dreieck mit 10 Am langer Grundlinie und 10 Am langer zugehöriger Höhe, also 50 <jHm Fläche, hat nur ¹/₄// Exzeß, d. h. die Summe der drei Winkel des Dreiecks, wenn man sie sich fehlerfrei gemesseu denkt, ist um 0",25 größer als 180°. Da man selbst mit den größten und feinsten Theodoliten in der Genauigkeit der Messung des einzelnen Winkels bei Zielungen von 10 oder 20 Li Länge an Genauigkeit nicht über den m. F. + 0",2 oder + 0",S hinauskommt, so ist man berechtigt, zu sagen, man dürfe von der „Krümmung der mathematischen Erdoberfläche“ auch für sehr feine Lagemessungen so lange ganz absehen, als das (nicht zu ungünstig geformte) Vermessungsgebiet 50 oder selbst 100 <fllm Fläche nicht überschreitet. In zwei Punkten der Erdoberfläche, die 10voneinander entfernt sind, bilden zwar die daselbst vorhandnen Richtungen des Lotfadens einen Winkel von fast 5 miteinander; trotzdem gilt der ausgesprochne Satz.

2. Ganz anders dagegen bei den Höhenmessnngen. Punkte mit derselben „Meereshöhe“, wenn als Nullfläche der Höhen eine ideelle „Meeresfläche“ angenommen wird, können nur dann als derselben Horizontalebene angehörig angesehen werden, wenn ihre Entfernung ganz gering ist; mit andern Worten: für Höhenmessungen auf geometrischem Weg ist schon bei ganz kleiner Ausdehnung des Vermessungsgebiets die Krümmung der mathematischen Erdoberfläche von merklichem Einfluß.

Es mag dazu noch einmal an einige Zahlen in Nr. 3. erinnert sein. Die Krümmungshalbmesser der ellipsoidischen Erdoberfläche (große Halbachse der Meridianellipse 6378,2 Am, Abplattung y₂₉₈) sind Zahlen zwischen 6335 Um (Punkt am Äquator, Richtung des Meridians) und 6400&m (Pol, in jeder Richtung); der Unter-

38*

schied zwischen diesen beiden extremen Zahlen ist nur 1 °/₀. Nehmen wir z. B. einen bestimmten Punkt A unsres Vermessungsgebiets und in einer bestimmten, von dem Punkt ausgehenden Richtung A B an, der Krümmungshalbmesser der „mathematischen Erdoberfläche“ (für unsern Zweck genügend als Parallelfläche zur Meeresfläche zu denken, die ihrerseits von den Küsten aus bis unter unsern Standpunkt erweitert gedacht wird) sei R = 6380 Am; denken wir uns ferner in A die Tangente AH an die Schnittlinie der durch AB gehenden Vertikalebene mit der „mathematischen Erdoberfläche“ (hier als Parallelfläche Fig. 366, so sind schon in 3. zu bestimmten Abszissen x (Entfernungen vom Standpunkt A) die zugehörigen Ordinaten y (Einsenkungen der Punkte, die mit A gleich hoch liegen, unter die durch A gehende Horizontalebene) ausgerechnet. Auch für die größten in Betracht kommenden Entfernungen genügt hier die Gleichung (s. die Absteckung von Kreisbögen, Abweichungen des Kreisbogens von der Tangente, Hauptglied der Gleichung (4) in 93.:

zur

Meeresoberfläche vorausgesetzt) gezogen

(1)

Mit dem für B angenommnen Wert 6380 Um gibt dies für x = 1 Um = 1000 m = 7,85 cm; auf die halb so große Entfernung x = 500 m ist

1_o ₌    1

12760 km

12,76

y gleich dem vierten Teil des vorigen y, d. h. y = 1,96 cm, ziemlich genau 2 cm; auf die doppelt so große Entfernung x = 2000 m ist y das 4-fache der zuerst berechneten Zahl, nämlich y = 31,4 cm, rund % m; für x = 5 Um ist y bereits 25 • 7,85 oder rund 2

= 1,96 m

für x = 10 Um y — 7,85 m usf. Der Wert von y steigt also rasch für größre Entfernungen; auf der andern Seite sinkt aber y auch rasch für kleiner

werdende

cm

m,

Entfer

Xi

x₂

X₃

II

nungen; es ist z. B. für x — 200 m y nur noch 3,1 für x — 100 m 0,78

mm

und

y =

oder rund

Erdmittelpunkt

Fig. 366.

mm

mm, also y immerhin schon für

SU

X = 100 m für uns merklich.

Man bezeichnet in der Regel den Wert von y nach (1) als den „Einfluß der Erdkriimmung“ oder „Betrag der Erdkrümmung“ auf die Entfernung oder Zielweite x; oft spricht man-auch von der „Depression des Horizonts“ auf die Entfernung x. Das Vorstehende bezieht sich nur auf die rein mathematische Depression unter die Horizontalebene von A. Wird die Horizontallinie durch A durch eine genau horizontale Zielung, die genau horizontal gelegte Ziellinie eines Zielfernrohrs, hergestellt, so erleidet dieser Betrag y noch eine Korrektion durch die sog. terrestrische Refraktion. Diese bewirkt, daß die Ziellinie von einem Standpunkt A nach einem ebenfalls innerhalb der Lufthülle der Erde liegenden Zielpunkt B (deshalb terrestrische Refraktion, irdische Strahlenbrechung, im Gegensatz zu der sog. astronomischen Refraktion der Zielung nach einem außerhalb der Erdatmosphäre liegenden Punkt [Gestirn]) nicht genau eine gerade Linie, sondern eine allerdings nur sehr schwach gekrümmte Kurve ist, die im allgemeinen ihre konkave Seite der Erdober-

Lo

■m

H = math. Hör. in A ,,    0 = opt Hör. in A

Erdmittelpunkt M = Schnitt mit math. Erdoberfl., Kreis vom Halbm. R.

Fig. 367.

yiJ

-^*5;

Xz-H-

ry₂~0-

Höhenmessungen. Einleitung. Arten.

597

fläche zuwendet. Bei sog. durchschnittlicher Strahlenbrechung ist die Krümmung dieser Lichtkurve in nicht großen Höhen über dem Meere 6 bis 9 mal schwächer als die der mathematischen Erdoberfläche, der Krümmungshalbmesser der „Lichtkurve“ 6 bis 9 mal so groß als der Krümmungshalbmesser der mathematischen Erdoberfläche, ist die Lichtkurve etwa 7 x/₂ mal schwächer gekrümmt als die mathematische Erdoberfläche, so ist der Krümmungshalbmesser der ersten rund 48000 im; man merke sich als runde Zahl für den durchschnittlichen Krümmungshalbmesser der Lichtkurve zwischen zwei Punkten innerhalb des Luftmeers der Erde 50 000 ^m. Diese Zahl für die Lichtstrahlkrümmung ist aber sehr stark veränderlich; die Krümmung des Lichtstrahls ist z. B. an einem ruhigen Sommertag bei Sonnenaufgang etwa 3 mal so groß als über Mittag (Krümmungshalbmesser bei Sonnenaufgang rund nur 25000 Äm, über Mittag 80000 Um. und mehr), dabei sind noch im Lauf des Jahres große nicht periodische Yerändrungen vorhanden.

mm

auf 500 m

cm

Die genau horizontale Zielung vom Standpunkt aus durch die Atmosphäre, hergestellt z. B. durch die mit Hilfe einer feinen Libelle genau horizontal gelegte Ziellinie eines Fernrohrs, oder, wie man sagen kann, die optische Horizontale durch den Standpunkt, ist nach dem Gesagten von der mathematischen Horizontalen (d. h. einer Geraden im Standpunkt senkrecht zur Richtung des Lotfadens in diesem) merklich verschieden. Die Strahlenbrechung wirkt, wie man zu sagen pflegt, „der Erdkiümmung entgegen“, vernichtet sie zum Teil, aber bei durchschnittlicher Refraktion nur zu x/₇ bis ¹/s ihres Betrags, es kommen bei durchschnittlicher Refraktion nur ⁶/₇ bis ⁷/g des mathematischen Betrags von y nach (1) zur Wirkung. Im Durchschnitt normaler Sommertage mit ruhigem Wetter hat der Bogen A O, Fig. 367, die optische Horizontalebene durch A, wie erwähnt, einen Halbmesser gleich 7 bis 8 mal _R, wenn B den Halbmesser des Bogens AM (Schnitt mit der „mathematischen Erdoberfläche“) bedeutet, es kommen also nur y' = yy in Betracht als Abstand der , „Niveaufläche“ durch A (Schnitt AM mit der mathematischen Erdoberfläche) und des optischen Horizonts AO, statt des Abstands y zwischen AM und der mathematischen Horizontalen A H durch A. Auf 1 im Zielweite ist y' nur 6,8 cm statt y = 7,9 cm, auf 500 m Zielweite y'— 1,7 cm statt y — 2,0 cm, auf 100 m Zielweite y — 0,68 statt i/ = 0,79 mm. Alle diese Zahlen gelten, um dies nochmals hervorzuheben, für den durchschnittlichen terrestrischen Refraktionswert, für die mittlere Lage des stark wechselnden optischen Horizonts. (Der Ausdruck „optische Horizontale“, der mir bei dieser Betrachtung bequem, ja unentbehrlich scheint, ist eingeführt durch meinen Lexikonartikel „Depression des Horizonts“ in Lueger, Lexikon der ges. Technik, 1. Aufl. Bd. III, S. 259/260.) Man merke sich auch auswendig ein für allemal wenigstens die zwei Zahlen y'—lcm auf 1000 m, also rund 2 Zielweite, stark 2/s mm auf 100 m Zielweite.

Diese Verschiedenheit der in A auf der Richtung des Lots senkrecht stehenden Geraden (in der Richtung B) von dem Schnitt der mathematischen Erdoberfläche mit der Vertikalebene AB und von der optischen Horizontalen AB ist bei allen geometrischen Höhenmessungsarten zu berücksichtigen.

3. Die Arten der Höhenmessung, d. h. der Bestimmung von Höhenunterschieden zwischen terrestrischen Punkten, hat man nämlich einzuteilen in

I.    Geometrische Methoden, besonders geometrisch-optische Methoden und

II.    Physikalische Methoden.

Die „geometrischen“ Methoden zerfallen wieder in

I. 1. „Nivellieren“ oder „Einwägen“¹, oft auch „geometrisches“

Nivellieren, geometrisches Nivellement genannt, da man auch alle Höhenunterschiedsbestimmungen als Nivellieren bezeichnen kann und so z. B. auch vom barometrischen Nivellieren spricht.

I. 2. Die „Trigonometrische Höhenmessung“ ist noch weniger als die vorige Methode eine rein geometrische, weil es sich beim trigonometrischen Nivellieren, in dem meist größre Zielweiten angewandt werden, um Berücksichtigung der optischen Horizontalen handelt (auch um deren Bestimmung, Ermittlung des Refraktionskoeffizienten). Die trigonometrische Messung von Höhenunterschieden beruht anf der Messung von Höhenwinkeln. Mißt man mit einem über dem Standpunkte, aufgestellten Theodolit mit Höhenkreis den Höhenwinkel nach einem im Punkt B aufgestellten Zielzeichen, z. B. einer horizontal an einer Stange angenagelten Latte, so ist der Höhenunterschied zwischen A und B zu berechnen, wenn noch ihre horizontale Entfernung e bekannt ist. Wäre die Horizontalebene durch die Kippachse des Instruments der Ort der Punkte, die mit diesem Punkt des Instruments gleich hoch liegen, so wäre, wenn a der gemessne Höhenwinkel ist, der Höhenunterschied zwischen der Kippachse in A und dem an dem Zielzeichen in B an-gezielten Punkt einfach gleich e • lang a. In Wirklichkeit ist diesem Wert e ■ tang a noch y' nach 2. hinzuzufügen, der Abstand zwischen der durch A gehenden Niveaufläche und der optischen Horizontalen durch A] bis zu e = wenigen hundert Metern ist y meist vernachlässigbar, bei e = 500 m beträgt es 2 cm, bei e = 1000 m beträgt es 7 cm (und zwar schon mit geringer Schwankung je nach dem tatsächlichen Wert des Refraktionskoeffizienten*, diese Schwankung wächst schnell mit y', d. h. mit der Zielweite).

In den wichtigsten fremden Sprachen heißt I. 1., das Einwägen oder Nivellieren i. e. S. (im 18. Jahrhundert bei uns ziemlich allgemein „Wasserwägen“ und Nivellierinstrument = Wasserwage), im Französischen niveler, im Englischen leveling (wie jetzt mehr und mehr geschrieben wird, besonders in Amerika, früher stets und in England auch jetzt noch meist levelling), im Italienischen livellare. Die „trigonometrische“ Höhenbestimmung I. 2. auf große Entfernungen wird im Französischen und ähnlich in andern romanischen Sprachen meist als „nivellement geo-desique“ dem gewöhnlichen („geometrischen“) Nivellieren gegenübergestellt.

Die „physikalischen“ Methoden II. benützen die Verändrung einer bestimmten physikalischen Größe mit der Höhe. Die wichtigste Methode II. ist die „barometrische Höhenmessung“: der Luftdruck b nimmt mit zunehmender Höhe H des Messungsorts verhältnismäßig rasch und in bekannter gesetzmäßiger Weise ab und man kann deshalb umgekehrt aus der Messung des Luftdrucks an bestimmten Punkten die Höhenunterschiede zwischen diesen Messungsstellen berechnen. Die Luftdruckmessung geschieht mit dem Barometer (Quecksilberbarometern, ferner Aneroiden oder Federbarometern), neuerdings vielfach auch mit dem sog. Siedethermometer (scharfe Beobachtung der Temperatur, bei der reines Wasser zu sieden beginnt; diese Temperatur steht in bestimmter Beziehung zum Luftdruck und es kann deshalb dieser aus der Siedetemperatur abgelesen werden, womit die Aufgabe auf die vorige zurückgeführt ist).

Trotz der großen Wichtigkeit des Siede- (oder Koch-) Thermometers ist übrigens der vielfach übliche Name Hypsometer (= Höhenmesser) für dieses Instrument nicht gerechtfertigt, da noch viel wichtigere Hypsometer in dem sog. Nivellierinstrument und im Höhenkreis des Theodolits vorhanden sind; diese beiden sind die Instrumente der geometrischen Methoden I. 1. und I. 2. Andre physikalische Methoden als die barometrische Höhenmessung (die siedethermometrische gehört, wie angedeutet, ebenfalls zu dieser) sind bis jetzt nicht im Gebrauch; es ist aber z. B. angeregt, die Abnahme der Zahl g (Beschleunigung durch die Schwerkraft) mit zunehmender Höhe H des Beobachtungspunkts zu einer dann als gravimetrische Methode zu bezeichnenden Messungsart zu benützen, und es ist ziemlich sicher, daß die relativen Messungen von g sich auch ohne Pendelapparate so verfeinern lassen werden, daß die Methode für Berechnung sehr großer Höhen (Sondierballons u. dgl.), in denen die barometrische Messung unsicher wird, mit der Genauigkeit von wenigen 100 m genügt.

Die der größten Genauigkeit fähige Methode der Höhenunterschiedsmessung ist das „Nivellieren“ I. 1.: man kann mit ihrer feinsten Ausbildung z. B. den Höhenunterschied zwischen zwei Punkten, die 1000 m voneinander entfernt sind, und der selbst nicht sehr beträchtlich ist, mit der Genauigkeit eines Bruchteils des Millimeters bestimmen; mit der Genauigkeit einiger weniger einfachen Werkzeugen dieser Methode 1.1. Dabei ist die Fehleranhäufung auf längrer Strecke (Fortpflanzung des mittlern Fehlers) mit einem bestimmten Instrument und bestimmtem Verfahren und immer unter Voraussetzung nicht sehr bedeutender Höhenunterschiede günstig: der Fehler wächst nicht proportional der Strecke s Am, sondern nur proportional ]/s. Dann folgt in der Genauigkeit die trigonometrische Methode I. 2., die z. B. bei e= 1000 m selbst bei Anwendung größrer Höhenkreise mit einigen

die Methode wird jedoch bei großem e noch viel unsicherer wegen der Unkenntnis des Werts des Refraktionskoeffizienten im einzelnen Fall, überhaupt der Unkenntnis der Form des Lichtstrahls. Die am wenigsten genaue Methode ist die barometrische, die aber immerhin doch noch Höhenpunkte, die zwischen zwei der Höhe nach bereits bekannten Punkten mit 100 oder 200 m Höhenunterschied und nicht sehr

mm

noch mit sehr

cm

Fehler rechnen muß, bei Anwendung kleiner Höhenkreise mit¹10

cm

Fehler;

bedeutender horizontaler Entfernung einzuschalten sind, mit Höhenfehlern liefert, die oft +lm nicht ganz erreichen. — Für den Arbeitsaufwand gilt, wie zu erwarten ist, die umgekehrte Reihenfolge: die barometrische Methode ist die rascheste und bequemste, dann folgt die trigonometrische Methode und endlich als mühsamste die des Nivellements mit dem Nivellierinstrument. Bei diesem Vergleich nach Genauigkeit und nach Arbeitsaufwand können selbstverständlich noch andre Dinge mit zu berücksichtigen sein; z. B. verlangen I. 1. und II. jedenfalls das Betreten der Punkte, deren Höhenunterschiede zu bestimmen sind, I. 2. aber nicht notwendig: die Höhen unerstiegner Hochgebirgsgipfel können z. B. deshalb überhaupt auf keine andre Art als trigonometrisch (I. 2.) ermittelt sein.

Wir behandeln im vorliegenden ersten Teil dieses Lehrbuchs nur die Höhenmessungsmethode des Nivellements mit dem Nivellierinstrument, d. h. die geometrische Methode mit horizontaler Ziel-allgemein Ablese-)Linie und zwar nur die einfachem Arbeiten; die Behandlung der übrigen Methoden bleibt dem zweiten Band Vorbehalten.

SIEBENTES KAPITEL.

NIVELLIEREN ODER EINWÄGEN.

96. Erster Überblick über Instrumente und Methoden des sog. geometrischen Nivellierens. 1. Der Apparat zur Messung von Höhenunterschieden nach der Methode des gewöhnlichen Nivellierens oder Einwägens (Ahwägens) besteht fast ausnahmslos aus zwei getrennten Teilen, dem „Nivellierinstrument“ und der „Nivellierlatte“, einem lotrecht zu stellenden geteilten Maßstab, an dem mit horizontaler Ziellinie „abgelesen“ wird.

Diese horizontal zu legende Ziellinie (oder sonstige Ableselinie) des Instruments ist heute bei den Nivellieren im engern Sinn stets die Ziellinie eines Fernrohrs; die Horizontallegung geschieht mit Hilfe einer mit dem Fernrohr in Verbindung gebrachten Röhrenlibelle in der Richtung der Zielung durch Fußschrauben am Unterbau des Instruments, bei feinem Instrumenten ist das letzte (Fein-)Einspielen der Libellenblase meist durch eine besondre Feinschraube (sog. Hebeschraube) am Fernrohr erleichtert. Das Nivellierinstrument im gewöhnlichen Sinn des Worts besteht also in der Regel aus den zwei Hauptteilen: Zielfernrohr und Längslibelle zur Horizontalrichtung der Ziellinie; und von den Eigenschaften dieser zwei Hauptteile, besonders also Vergrößerung des Fernrohrs und Empfindlichkeit der Libelle (Teilwert, Schliff-halbmesser) hängt die Leistungsfähigkeit des Instruments, besonders die mögliche Genauigkeit der Arbeit mit ihm, wesentlich ab.

.. Statt Nivellierinstrument (6silbig) ist im Deutschen neuerdings vielfach das ganz zweckmäßige kürzere „Nivellier“ eingeführt worden: zur nähern Bezeichnung eines Nivelliers dient in der Regel irgendeine besondre Einrichtung am Instrument, oft auch der Zweck des Instruments oder ein Personenname.

Französisch heißt das Nivellier le niveau (also ganz ebenso wie die Libelle; doch ist für diese, um eine Unterscheidung zu haben, neuerdings auch la nivelle eingeführt), wobei zur nähern Bezeichnung meist der Name des Erfinders oder Konstrukteurs beigesetzt wird, z. B. Niveau Lenoir, Niveau Ooulier); der französische Ausdruck niveau „ä bulle d’air“ verschwindet als selbstverständlich mehr und mehr (in der deutschen Markscheidekunde im „Luftblasenniveau“ lange Zeit wörtlich übersetzt). Im Englischen heißt das Nivellier the level (also ebenfalls dasselbe Wort wie für die Libelle) und auch hier wird zur nähern Bezeichnung entweder ein Personenname (Abney Level) oder eine Eigenschaft des Instruments beigesetzt (Wye Level, Dumpy Level) oder ein die Bestimmung des Instruments bezeichnendes Wort (Pre-cise Level, Road Builder’s Level). Das dem Substantiv Nivellierinstrument oder Nivellier und dem Zeitwort nivellieren entsprechende Eigenschaftswort ist im Deutschen nivellitisch oder nivellistisch mit schwankendem Sprachgebrauch.

[!'] bis

Nivelliere für Feldarbeit gibt es in sehr verschiedner Größe und Feinheit, mit Fernrohren von etwa 6facher bis zu 45faclier Vergrößrung und mit Libellen von 2' oder 1' bis zu 5" oder 4" Empfindlichkeit (Schliffhalbmesser bei 2x/₄ mm-Teilstrichen etwa rund 4 m [2'] oder 8

zu 90 m

[5"] bis 120 m [4"]). Noch feinre Libellen als 5" oder im

Nivellier und Latte. Geschichtliches zum Nivellieren.

601

äußersten Fall 4" bringen bei der Anwendung auf Stativen im Freien keine Genauigkeitssteigerung mehr. Schon 5"-Libellen können in diesem Fall rationell nicht mehr einspielend gebraucht werden, sondern es ist an ihnen die Stellung der Blase an deren beiden Enden abzulesen.

Der zweite Teil des Nivellierapparats, die Nivellierlatte oder kurz Latte, ist ebenfalls je nach der beabsichtigten Feinheit der Höhenunterschiedsmessung und damit der Art des Nivelliers, mit dem zusammen sie verwendet werden soll, in verschiedner Feinheit eingeteilt: in 2m oder halbcW geteilt für die gröbsten Nivellierarbeiten, in cm für Arbeiten mittlerer Genauigkeit, in halbem- oder 4 mm-Teilung, neuerdings vielfach selbst 2 mm- oder 1 mm-Teile für die feinsten Nivellierarbeiten.

Im Gegensatz zu den früher vielfach notwendigen Schiebelatten oder Zeigerlatten, an denen eine Zielscheibe u. dgl. auf die durchs Nivellierinstrument hergestellte horizontale Zielung eingeschoben werden mußte, worauf der Lattenträger die Ablesung an der Latte zu besorgen hatte, sind fast alle heutigen Nivellierlatten Latten „zum Selbstablesen“ vom Instrument aus (französisch heißt Nivellierlatte mire und man unterschied nach dem eben Gesagten „mire muette“ und „mire parlante“; englisch ist die Nivellierlatte the leveling rod oder kurz rod).

Das Nivellierinstrument Herons war nach unsrem spätem

cm.

2. Geschichtliches. Es seien gleich hier noch einige Worte eingefügt über Nivellierapparate, die nicht der Zusammensetzung aus Fernrohrlibelleninstrument und Nivellierlatte entsprechen. Daß dieser moderne Apparat nicht der einzige mögliche ist, geht schon daraus hervor, daß man schon Jahrtausende vor der Erlindung des Fernrohrs und des Fadenkreuzes (dieses gegen die Mitte des 17. Jahrhunderts) sowie der Libelle (nach der Mitte des 17. Jahrhunderts) ganz gut zu nivellieren, im Hochbauwesen z. B. gut horizontale Linien herzustellen, im Ingenieurbauwesen Höhenunterschiede zu bestimmen verstand. Daß das schon im ältesten Babylonien und im alten Reich Ägyptens der Fall war, ist nach Hoch- und Kanalbauten zweifellos. Das Nivellierinstrument der alten Ägypter war nach Borchardt eine Lotsetzwage, wie sie im Hochbau auch bei uns bis in unsre Zeit herein gedient hat und die für den Zweck des Nivellierens langer Linien nur in Verbindung mit einem längern. auf Pflöcke aufzusetzenden gut geraden Richtscheit gebracht werden mußte: Borchardt glaubt, daß die Nilometer, die dem Strom entlang in jeder großem Stadt vorhanden waren, schon in sehr alten Zeiten durch eine vom Anlang des Deltas bis zum eisten Katarakt reichende Nivellementslinie verbunden gewesen seien. Aber nicht nur die mittelbare Herstellung der Horizontalen (Senkrechte zum Senkelfaden) stand seit dem 'höchsten Altertum zu Gebote, sondern auch die Horizontalfläche selbst in einer ruhenden Wasseroberfläche; als die „kommunizierende Röhre“ mit vertikalen Rohransätzen erfunden war, konnte auch unmittelbar die horizontale Ziellinie hergestellt werden. Dieser Art war z. B. eins der wichtigsten geodätischen Instrumente des klassischen Altertums* die Dioptra des Heron von Alexandrien in ihrer Verwendung als Nivellierinstrument. Bei ihr war der zweite Teil des Nivellierapparats ganz wie bei uns der vertikale geteilte Maßstab, an dem nur nicht vom Instrument aus abgelesen werden konnte, sondern an dem durch Hochziehen oder Herablassen einer Zielscheibe der Punkt bezeichnet wurde, auf den die horizontale Ziellinie traf und an dem dann nach Ellen, Palästen und Daktylen.abgelesen wurde, wie bei uns nach Metern, 3m,

Sprachgebrauch eine „Kanalwage“, nur war die Ziellinie nicht unmittelbar durch die Oberflächen des Wassers in den beiden vertikalen Rohrschenkeln gebildet, sondern durch zwei Diopterschlitze, es war eine Diopterkanalwage als Nivellierdiopter. Die „Kanalwage“, später als Blechrohr von 50 bis 100 cm Länge mit zwei vertikalen Glasrohransätzen, in denen die Oberflächen des dunkel gefärbten Wassers die Ziellinien-

punkte herstellen, war bis in unsre Zeit herein als Nivellierinstrument im Gebrauch trotz geringer Genauigkeit, weil die „Ziellinie“ schwer gleichzeitig mit der entfernten Latte scharf im Auge behalten werden kann; in der Form der „Schlauchkanalwage“ (die zwei vertikalen Glasröhren kommunizieren durch einen beliebig langen Schlauch, von „Absehlinie“ ist hier gar keine Rede mehr, es handelt sich vielmehr um Herstellung zweier „gleich hoher“ Punkte auf eine Entfernung, die eben der Schlauchlänge entspricht) ist die Kanalwage heute noch für manche Zwecke im Gebrauch, z. B. zur Überwindung von engen, kaum passierbaren, geschweige denn dem gewöhnlichen Nivellierapparat zugänglichen Stellen in Bergwerken oder Höhlen. In andrer Form ist sie (als geschlossne Kanalwage, von Kahle) für Messungen von untergeordneter Genauigkeit wieder in Gebrauch gekommen: B (Fig. 368) ist eine runde oder viereckig geformte geschlossne Röhre aus Hartglas, 20

im Durchmesser oder

cm

25 cm

lang, in der die Oberfläche ZZ der sie zur Hälfte füllenden gefärbten Flüssigkeit stets eine horizontale Ziellinie darbietet. Nach Erfindung der Röhrenlibelle (Thevenot in Paris 1661) hat man die Nivellierdiopter, die bis dahin mittelbar horizontale Ziellinien mit Hilfe des Senkels (Pendels) erhielten und bei uns als Senkelwagen oder Peilwagen bezeichnet wurden, mit diesem bequemen Mittel zur unmittel-

Fi

i;

Fig. 369.

Jfz

Fig. 368.

baren Horizontalrichtung des Absehens ausgerüstet, ebenso wurde das Diopter durch das Zielfernrohr ersetzt (Fadenkreuz erfunden durch Gascoigne in England, wieder erfunden von Auzout in Frankreich); übrigens hatte Picards Nivellier von 1674 ein Fernrohr, dessen Ziellinie noch mit einer Pendelvorrichtung, nicht mit der Libelle horizontal gerichtet wurde. So entstand allmählich für das „Wasserwägen“ (wie man in Deutschland das Nivellieren am Ende des 17. und im 18. Jahrhundert nannte; die Niederländer haben das Wort heute noch als „Waterpassen“ = nivellieren) das heutige Nivellier (Mailet 1702, Bion 1720, beide in Paris; in Deutschland ist, etwas später, um die Mitte des 18. Jahrhunderts, der hervorragende Mechaniker Brander in Augsburg als Verbesserer des Nivellierinstruments zu nennen) in immer feinem Ausführungen. Daß neben dem Stativ-Fernrohrlibellen-Nivellierinstrument auch heute noch andre Formen für besondre Zwecke nicht ausgestorben oder sogar neu entstanden sind, ist schon bei den Kanalwagen angedeutet und mag noch durch folgende Beispiele erhärtet werden: an Nivellierdioptern und Gefällmessern wird häufig die Ziellinie (im zweiten Fall bei beabsichtigtem Gefall 0 der abzusteckenden Geländelinie) durch Senkelwirkung horizontal gelegt, so z. B. bei dem Instrument von Bohne und zahllosen andern „Rahmen“-, Spiegel- u. a. Gefällmessern. Bei dem Apparat der sog. Abwägestöcke der Mai’kscheider (die allerdings vollends rasch durch Nivelliere i. e. S. verdrängt werden) ist eine Absehlinie ersetzt durch eine materielle, horizontal zu legende Gerade, nämlich eine genügend genau gleichförmig runde und nicht lange Schnur, die zwischen den beiden vertikalen, genau gleichen Stöcken (geteilten Latten) zu spannen ist; an der Schnur, genau in der Mitte (wegen des Einschlagens) wird eine Hängelibelle (vgl. 58. 1.) mit ihren beiden Haken angehängt. Ist die Libelle berichtigt (die Benützungslinie, d. h. eben die Schnurachse oder Achse eines Zylinders, der in die Anlegeflächen der zwei Anhängebügel einbeschrieben wird, soll parallel zur Achse der Libelle sein; Prüfung durch Umhängen genau an derselben Stelle der Schnur), so gibt die Differenz der Ablesungen an den Abwägestöcken den Höhen-

unterschied der zwei Punkte, auf denen diese Stöcke stehen; auch in diesem Fall wird man eine zweite Ablesung, nach Umhängen der Libelle an genau derselben Stelle, nicht unterlassen, im Falle nicht berichtigter Libelle wird im Mittel beider unrichtiger Höhenunterschiede der Fehler des „Instruments“, d. h. hier eben der Libelle, eliminiert. Die Methode scheint sehr roh, gibt aber auf kleine Entfernungen ganz gute Resultate und ist deshalb auf engem Raum, wo z. B. vom Aufstellen eines gewöhnlichen Nivelliers gar keine Rede sein kann, noch heute brauchbar: ist z.B., Fig. 369, an der Wand Wt der Nagel N eingeschlagen und es soll an der z. B. 3 m von N entfernten Wand TU₂ ein Punkt M (Marke als Bleistiftstrich oder dgl.) angegeben werden 1 hoch mit N, so wird bei N eine gut gleichmäßige Schnur angehalten oder eingehängt, nach W₂ straff gespannt; hängt man gut in der Mitte der Schnurstrecke eine Hängelibelle an und um und bringt sie jedesmal durch Heben und Senken des freien Schnürendes bei M gut zum Einspielen, so erhält man im Mittel M der zwei Marken M' und M", die auf diese Art bei nicht berichtigter Libelle entstehen, leicht die geforderte Genauigkeit; es ist ysooo • 3438' — rund 1' und mit dieser Genauigkeit läßt sich eine genau gleichförmige, straff gespannte Schnur selbst mit einer Libelle von nur 2' Empfindlichkeit leicht horizontal legen. Die materielle, horizontal zu legende Gerade ist auch schon oben in der Senkelsetzwage (Dreieckssetzwage) erwähnt; sie ist früher im Baugewerbe überall verbreitet gewesen, neuerdings aber überall durch die Libellensetzwage (geprüft durch „Umsetzen“!) verdrängt. Eine besondre Form dieser Libellensetzwage ist die sog. Setzlatte, für einfache nivellitische Arbeiten (Messung von Querschnitten in bestimmten Fällen) auch heute noch von großer Wichtigkeit: sie ist ein zweiteiliges Nivelliergerät, bei dem am „Instrument“ die Unterkante eines genau 3 m langen starken Bretts („Latte“) mit Hilfe einer oben auf-schraubbaren groben Röhrenlibelle horizontal gelegt wird, während die „Nivellierlatte“ aus einem unmittelbar ans Ende der Latte anzurückenden Maßstab von 2 oder 3 m Länge mit Dm-Teilung besteht, an dem an der Unterkante der Setzlatte bei einspielender Libelle auf 1cm abgelesen wird. Wir kommen später auf diese Setztatte zurück.

gleich

mm

3. Prinzip des Nivellierens. Das Folgende bezieht sich nun aber zunächst stets auf die Arbeit mit einem Fernrohrlibellennivellier (auf freiem Feld), mit dem an einer zum „Selbstablesen“ (durch das Fernrohr des Nivellierinstruments) eingerichteten Nivellierlatte bei horizontaler Zielung abgelesen wird, je nach Bedarf auf 1 mm, oder auf x/₂ cm oder 1

cm.

a) Um den Höhenunterschied der zwei Punkte, z. B. wagrechten PHockoberhächen, A und B zu bestimmen (Fig. 370), die etwa 80 m voneinander entfernt

sein mögen, stellen wir in J das Nivellier auf seinem Stativ auf; stellen wir die Latte erst in A, dann in B auf, d. h. gut vertikal und machen von J aus durch das Fernrohr FF

jedesmal die Ablesung an der Latte (das horizontal liegende Fernrohr muß also um eine vertikale Achse gedreht werden können) und zwar jedesmal nachdem die Ferarohrziellinie FF durch Einspielen der Libelle

-F-ae-F-

K=Hb-Ha

—Ha-

etwa 80 m

Fig. 370.

des Instruments horizontal gerichtet ist, so ist, wenn a und b die zwei Ablesungen, z. B. je auf 1 mm sind, endlich Ha und Hh die Höhen der Punkte A und B, vom gemeinsamen „Horizont“ aus gezählt, und h den

Unterschied dieser Höhen bedeuten,

li = Hh-Ha = a-b

j liegende, an dem die    }

(1)

tiefer

höher

der

und zwar ist der Punkt der zwei Ablesungen erhalten wird.

In der Fig. 370 ist dabei sogleich angedeutet (und man merke sich dies ein für allemal), daß es hei dieser Messung nicht darauf ankommt, ob der mechanische Aufsetzpunkt der Latte zugleich auch der Anfangspunkt (Nullpunkt) der Lattenteilung ist. Liegt dieser Nullpunkt z. B. bei 0 der Figur, also beträchtlich über dem Aufsetzpunkt, so bleibt (1) richtig, wenn nur auf A und auf B an derselben Latte abgelesen wird; ganz ebenso, wenn der Nullpunkt gar nicht auf der Latte vorhanden ist, diese unten statt mit 0 mit beliebiger Zahl beginnt, der Nullpunkt der Lattenskale also nur ein gedachter Punkt unterhalb der materiellen Latte ist, es ist nur abermals Voraussetzung, daß auf A und auf B dieselbe Latte gebraucht wird.

Zu bedenken ist cc) daß die Lattenrichtungen m A und B bei daselbst möglichst genau vertikal gestellter Latte nicht genau parallel sind, sondern nach dem Erdmittelpunkt konvergieren und man also z. B. an einer in bestimmter Entfernung e vom Instrument vertikal gestellten Latte durch eine mathematisch genau horizontale Ziellinie stets etwas mehr abliest als wenn die Latte, auf demselben Standpunkt, genau senkrecht zu dieser Ziellinie stünde. Doch ist dieser Mehrbetrag so außerordentlich gering, daß er für keine Anwendung des Nivellierverfahrens in Betracht kommt. Die Abweichung des Winkels zwischen der vom Instrument ausgehenden horizontalen Geraden und der Lattenrichtung im Zielpunkt von einem rechten Winkel (gleich dem Konvergenzwinkel zwischen den zwei Lotrichtungen in

• q , wo B hier überall

den Standpunkten des Instruments und der Latte) ist

= 6400000 m gesetzt werden kann, also selbst für e = 500 m (und soweit kann, wie wir bald hören werden, keine gewöhnliche Nivellierablesung gehen, es kann sich um solche und größre Zielweite für Nivellierablesungen nur dort handeln, wo breite

Wasserflächen zu überschreiten sind) ein Winkel von nur

500

6 400000

•206 000" oder

rund 16" (je 30 m Entfernung rund geben einen Konvergenzwinkel von 1"; 1 ßm Zielweite gäbe rund

von 1° oder 5',4); der cos von 16" ist aber nur um

u ¹⁰ v

2 \206000/

kleiner als 1 oder

kleiner als 1. Die Ablesung auf 500 m Entfernung fällt

336 Mill.

also wegen Nichtübereinstimmung der Lattenrichtung im Zielpunkt mit der Vertikalen im Standpunkt des Instruments, nur um eine für jede Genauigkeitsstufe unmerkliche Strecke zu groß aus und dies würde z. B. auch noch für 2000 zutreffen.

Zielweite

ß) Wichtig ist dagegen, daß wie wir aus 95. 2. wissen, Punkte, die mit der Ziellinie des Fernrohrs tatsächlich gleich hoch liegen, nicht der Horizontalebene durch die Fernrohraufstellung angehören; die durch die Fernrohrziellinie gehende Niveau fläche ist vielmehr für unsre Betrachtung genügend

als Kugel fläche mit dem Halbmesser von rund 6380000 m (zunächst für unsre Breite gültig, aber ebenso für die ganze Erdoberfläche brauchbar) anzusehen. Wir lesen an der in der Entfernung e stehenden Latte mit einer genau horizontalen Ziellinie infolge der Erdkrümmung um

e²

(2)

auf

mehr ab als wir eigentlich wollen; von diesem Zuviel z (in runder Zahl 8 e — 1000 m und 2

Refraktion“ wieder ein Teil vernichtet (optische Horizontale durch die Ziellinie des Fernrohrs ist selbst etwas gekrümmt, wenn auch viel schwächer als die mathematische Erdoberfläche), bei durchschnittlicher Refraktion etwa 0,13 von z, so daß

unter dieser Voraussetzung z in der Tat nur (3) z — 0,87 •

cm

cm

auf e — 500 m Zielweite) wird allerdings durch die „terrestrische

e²

beträgt. Es ist aber

zu beachten, daß der Koeffizient rechts in (3) sehr variabel ist, gelegentlich 1 und selbst über 1 werden kann, anderseits, bei sehr starker Krümmung des Lichtstrahls, bedeutend sinken kann. Bleiben wir bei der Durchschnittszahl 1 — k = 1 — 0,13 = 0,87, so sind die Beträge von z nach (3), für verschiedne Werte von e, wie sie für uns von Wichtigkeit sind:

40 m

(4)

e = 30 m 0 = 0,06

50 m

60 m

80 m    100

(200 m) (500 m)

mm

0,11

mm

0,17

mm

0,25

mm

0,44

mm

0,68

mm

Während also der Betrag des an der Latte mehr als eigentlich beabsichtigt Abgelesnen bei e =

100 m Zielweite 0,7 mm ist, bei Ablesung auf 1

merklich wird, sinkt Vlof%\a7 er für kurze Ziel. weiten rasch auf unmerkliches herab, ist z. B. bei 40 m Zielweite nur noch y₉mm, was bei Schätzung auf 1

Latte nicht mehr in Betracht kommt.

mm

(2,7 mm) (17,1 mm) (rd. 2 cm)

mm

an der

matft. Horizontale durch FF

b-

h=Hb-R

Fig. 371

e6

B;

Die durch A und B gehenden Niveauflächen sind immerhin nicht, wie in Fig. 370 gezeichnet, parallele Horizontalebenen, sondern Kugelflächen, vgl. Fig. 371, je mit rund 6400000 m Halbmesser. Die daraus entstehende Konvergenz der Lattenrichtungen in A und in B ist, wie a) gezeigt hat, in jedem Fall, selbst bei den größten e, ganz ohne Bedeutung. Dagegen unterscheiden sich die Ablesungen a und 6, die man an der Latte in A und in B mittels der optischen Horizontalen durch J macht (Krümmungshalbmesser bei durchschnittlicher Refraktion etwa 49000000 m) um die von ea und eb abhängigen Beträge za und zb von den Ablesungen a und 6', die man der Niveaufläche durch J gemäß eigentlich machen wollte. An die Stelle der Gleichung

(1)

h — Hb — Ha = a — b

tritt zunächst die Gleichung

(5) ist ea = ebl so ist, auch für große e unter der Annahme derselben Refraktion in beiden Richtungen za = zb und die Gleichung (1) bleibt also richtig. Sind dagegen die Zielweiten bedeutend und wesentlich verschieden, ea^eb, so ist auch za ^ zb und zwar wirkt, da e quadratisch in z auftritt, derselbe Unterschied

(ea — eb) oder (eb — ea) verschieden je nach der mittlern Entfernung    . Ist z. B.

tn,

ea = 20 m, eb = 60 m, eb — ea also =40 m, so wird h nach (1) absolut unrichtig um 0,25 — 0,03 mm = 0,22 mm oder ¹/₆ mm; ist aber ea = 60m, eb— 100 m, eb — ea abermals =40 so wird h nach (1) unrichtig um 0,44 mm, grade noch einmal so viel als vorhin.

m oder gar e = 500 m in (4) kommen nur m Zielweite Korr. 3 mm, m Zielweite Korr.

Im ganzen zeigen alle diese Zahlen, daß für das Nivellieren mit einfacher Benützung der Gleichung (1) h = a — b der Betrag von Erdkrümmung und Refraktion eliminiert wird für den Fall ea = eb, den man als „Nivellieren aus der Mitte“ bezeichnet. Aber auch bei ver-schiednen Zielweiten, wobei im äußersten Fall ea oder eb = 0 werden kann, eb oder ea — e betragen mag (dem früher viel betrachteten, jetzt unwichtigen Fall des „Nivellierens aus einem Endpunkt“) ist der Einfluß von Erdkrümmung und Refraktion wenig zu fürchten, so lange man sich mit e in engen Grenzen hält. Bei e = 100 m ist der Betrag der mehrfach genannten Korrektion ²/₈ mm, bei Ablesung auf 1 ium recht merklich, doch verlangt diese Abschätzung von 1 mm an der cm-Latte auf 100 überhaupt bereits recht kräftiges Fernrohr und feine Libelle. Für e = 50 ist selbst bei einseitigem Nivellieren, nicht aus der Mitte, die Korrektion nur x/₆ mm, was bei 1 mm-Schätzung an der Latte nicht mehr in Betracht kommt. Die Größen e = 200 bei Flächennivellierungen (s. unten) vor: auf 200 also bei Ablesung auf 1 cm noch gleichgültig, auf 500 rund 2 cm, bei lcm-A.blesung nicht vernachlässigbar. Man bezeichnet in der Regel die Zielweite 500 m als die Grenze, bis zu der mau bei gröbern Nivellementsarbeiten, wie Flächennivellierungen, von der Erdkrümmung absehen darf.

Für alle feinem Nivellementsarbeiten geht man in der Zielweite nicht einmal bis zu 100 m, meist nur bis 50 m; diese Zahl bildet, wie wir sogleich hören werden, für Einwägungen I. und II. 0. meist schon die Grenze. Dabei wird bei I. 0. grundsätzlich „aus der Mitte“ nivelliert und bei II. 0. ist bis zu 50 oder 60 m Zielweite selbst das Nivellieren aus dem einen Endpunkt wegen des Betrags 2, der noch durchaus vernachlässigbar ist, nicht zu beanstanden.

b) Wenn der Höhenunterschied zwischen zwei ziemlich weit entfernten Punkten A und B nivellitisch bestimmt werden soll, so können wir dies nach dem eben Erörterten nicht inehr nach der Methode der Fig. 370 oder 371 machen, auch wenn der geringe Höhenunterschied beider Punkte es zuließe, sodaß wir aus der Mitte nivellieren könnten. Wenn z. B. die Strecke AB 400 m lang ist und der Höhenunterschied zwischen beiden Punkten etwa 2 oder 3 m beträgt, so könnte man bei guter Beleuchtung und einem kräftigen Fernrohr, dessen Ziellinie mit feiner Libelle sehr genau horizontal gelegt werden kann, an der auf A, dann auf B aufgestellten Latte bei je etwa 200 m langer Zielung noch je

in die cm-Abteilungen der Latte schätzen und so den Höhenunterschied der zwei Punkte aus einer Aufstellung des Instruments bestimmen. Besser wird sein, die Strecke AB, Fig. 372, durch einige passend gewählte Zwischenpunkte z. B. Wx, W₂, W₃, die entweder zum Voraus (Pflöcke mit eingeschlagnen Nägeln u. dgl.; für unsre Zwecke nur in Ausnahmefällen) oder während des Nivellierens (als „verlorne Punkte“ mit Hilfe einer mit zu transportierenden Fußplatte für die Latte, oder als passende „natürliche“ Punkte; diese „verlornen“ Wechselpunkte der einen oder andern Art bilden für uns durchaus die Regel) hergestellt oder aufgesucht werden, in einige Abschnitte zu zerlegen und nun für jeden dieser Abschnitte AWX, W₁W₂, W₂W₃, W₃B, jeder etwa 100 m lang, von je einer Aufstellung des Instruments aus etwa in der Mitte des Abschnitts, den Höhen-

1 mm

w1(V

J₂

Ja

Lj

j₄

W₂"

Vr>-

W₃^

Fig. 372.

50 wi

unterschied der Endpunkte zu bestimmen mit Zielungen von je etwa Länge. Der Höhenunterschied AB ist dann einfach gleich der (in der Regel algebraischen) Summe der Höhenunterschiede in den einzelnen Abschnitten, zwischen A und dem ersten Zwischen- oder Wechselpunkt W], zwischen erstem und zweitem Wechselpunkt Wx und W₂, zwischen zweitem und drittem Wechselpunkt W₂ und W₃ und endlich zwischen letztem Wechselpunkt W₃ und B. Bezeichnen wir die Ablesung an jedem Punkt mit dem kleinen Buchstaben, der der Punktbezeichnung entspricht; dabei ist zu beachten, daß auf jedem Wechselpunkt zwei Ablesungen, von zwei verschiednen Aufstellungen des Instruments aus, zu unterscheiden sind, die Ablesung vorwärts (im Sinn des fortschreitenden Nivellements) vom vorhergehenden Standpunkt des Instruments aus, und die Ablesung rückwärts (ebenso) vom nächsten Standpunkt des Instruments aus; eben von dieser doppelten Ablesung auf jedem der W, wobei nach der ersten das Instrument transportiert und neu aufgestellt wird und sodann die zweite gemacht wird, während der Lattenstandpunkt genügend genau erhalten bleiben muß, haben die Wden Namen Wechselpunkte. Es ist, wenn Ha die „Meereshöhe“ von A (allgemein die Höhe von A über der gemeinsamen Nullfläche der Höhenzählung), Hb die von B ist, die (27 der Rückwärtsablesungen) ^ als die (27 der Vorwärtsablesungen) je nachdem B | tiefer } a^s ^    Ganz allgemeingültig, mit

Rücksicht auf das Vorzeichen wird

(6)

Hb = Ha -j- (2/ Rückwärtsablesungen) — (27 Vorwärtsablesungen). Im Fall der Fig. 372 geht das Nivellement von A gegen B hin bergab;

es ist, wenn wir zunächst die Höhenunterschiede h absolut, ohne Rücksicht auf die Vorzeichen nehmen, wie in (1)

a,wl

u>vw^

WVW3

W3’b

a

w v - Wltr

W , - W2,r h ~ U\r

oder es liegt

(8) B tiefer als A um die 27 h, d. h. tiefer um

(whv + witV + w^v + b) - (a + whr + w^r + wKr)

oder es ist, wie in (6) nun für die Höhen über gemeinsamem Nullpunkt, für die von unten nach oben zu zählenden H:

Hb = Ha -j- (a + w

(9)

l,r

2 ,r

+ W3,r) - K,e + W2,r +    + h)

wobei nun diesmal, beim Bergab nivellieren, die erste Klammer (2b') kleiner ist als die zweite (2¹ v), während umgekehrt beim Bergaufnivellieren 2J r > 2J v ist. In jedem Fall aber liefert Gleichung (6) das richtige Ergebnis in

(10)

Hb-Ha + Zr-Zvi

Höbe des Endpunkts gleich Höhe des Anfangspunkts -f 27 der Rückblickablesungen— 27 der A⁷orblickablesungen.

2 fi m

Nichts hindert daran, solche Einzelstrecken zwischen je zwei sich folgenden Wechselpunkten in beliebiger Anzahl aneinanderzufügen, d. h. der nivellierten Linie beliebige Länge zu gehen, 1000 10 hm und mehr. Längre Nivellementslinien bilden in der Regel ein in sich gut verknotetes System von solchen Linien, die Maschen oder Schleifen eines Nivellementsnetzes.

Das Zerlegen der Strecke AB, auf der der Höhenunterschied der Endpunkte A und B bestimmt werden soll, ist auch schon bei kurzer Strecke AB notwendig (z. B. bei AB = 60 m, wo also nach unsrer vorigen Betrachtung sehr bequem eine Aufstellung des Instruments ausreichen würde) wenn der Höhenunterschied der zwei Punkte größer ist als die Länge der zur Verfügung stehenden Latte, z. B. im angegebnen Fall 5 m, während die Lattenskale 4 m lang ist, z. B. vom dm 3 bis zum dm 43 reicht. Ein Zwischenpunkt W wird hier das Gewünschte leisten.

300

Oft kommt beides, große Länge und großer Höhenunterschied zusammen, um zur Zerlegung der ganzen Strecke durch Zwischen-(Wechsel-) Punkte zu zwingen. Die Zielweiten nehmen wir, wie schon oben angegeben, für feinre Nivellierarbeiten stets nicht größer als 50 m, auch bei kräftigem Fernrohr und feiner Libelle des Instruments; nur ausnahmsweise kommen für feinre Arbeit Zielweiten von 100 m vor. Für gröbre Arbeiten sind dagegen 100 m unbedenklich, sogar 200 m und in manchen Fällen m kommen vor, weiter geht man in der Regel deshalb nicht, weil sonst die Verständigung zwischen dem am Instrument Stehenden und dem Lattenträger z. T. zu schwierig wird (z. B. akustische Signale gegen den Wind).

In der Regel ist beim Nivellieren in Linien wie AB Fig. 372 nicht nur der Höhenunterschied der Endpunkte zu bestimmen, sondern es sind auch die Höhenunterschiede einer Anzahl von dauernden Zwischenpunkten gegen A oder B zu ■ermitteln. Die „verlornen“ Wechselpunkte W werden meist, wie schon oben angedeutet, erst während des Nivellierens gewählt und können nachher nicht wieder hergestellt werden, sie gehen schon während des Nivellierens wieder „verloren“; dagegen handelt es sich meist noch um andre zwischen den Endpunkten der Nivellementslinie einzuwägende, dauernd bezeichnete, feste Punkte.

Die Arbeit des Nivellierens ist, wie Fig. 372 erkennen läßt, eine Längenmessung in der Vertikalen, wobei die einzelnen Stücke der zu messenden Gesamtstrecke nur verscbiednen, nicht derselben Vertikalen angehören und wobei diese einzelnen Stücke nicht konstante, runde Länge haben (wie bei allen direkten Längenmessungen im Sinn der Lagemessung), sondern verschiedne und nicht runde Längen. Endlich werden aber beim Nivellieren die einzelnen Stücke dieser Messung der Vertikalen nach nicht, wie bei den gewöhnlichen direkten Lagelängenmessungen mechanisch, sondern, (wenn auch nicht so fein wie bei den modernen Grundlinienmeßapparaten durch kleine Schraubenmikroskopstrecken) optisch, mit Hilfe langer horizontaler Fernrohrzielungen zusammengefügt.

Die Richtigkeit der Messung eines Höhenunterschieds auf diesem Weg des Nivellements ist in derselben Art, wie die Längenmessungen der Lagemessung, abhängig von der Richtigkeit des verwendeten Maßstabs, hier der Nivellierlatte. Ist das Meter der Latte kürzer als 1 m, so fallen die mit Hilfe dieser Nivellierlatte bestimmten Höhenunterschiede zu groß, ist es länger als 1 m, so fallen die Höhenunterschiede zu klein aus und zwar proportional dem Lattenmeterfehler und proportional dem Höhenunterschied. Hat man z. B. mit einer Nivellierlatte, die genau gleichförmig geteilt ist, bei der aber die Entfernung der zwei Striche 0,100 und 4,100 nicht 4,000 m, sondern 3,998 m betrug, als Höhenunterschied der Endpunkte einer längern Strecke li = 83,718 m erhalten, so ist von diesem Ergebnis h pro Meter 0,5 abzuziehen, d. h. das verbesserte Ergebnis ist

h = 83,718 m — 42

Da man nun, wie wir bald sehen werden, selbst in II. Ordnung das Am Nivellementsstrecke mit einem unregelmäßigen mittlern Fehler (eigentlichen Messungsfehler) von + wenigen

länge herrührende Fehler dem unregelmäßigen Messungsfehler gegenüber stark ins Gewicht, sobald er selbst einigermaßen beträchtlich ist und sobald größre Höhenunterschiede Vorkommen. Im angegebnen Beispiel sei die nivellierte Strecke 2000 m lang; der mittlere unregelmäßige Messungsfehler im Höhenunterschied der Endpunkte sei dann in dem Nivellement II. O. mit sehr einfachen Mitteln auf dem Betrag + 10 regelmäßige Fehler 42 das ist später noch genauer zu überlegen.

mm

mm

= 83,676 m .

tnm

mm

messen kann, so fällt jener regelmäßige, von unrichtiger Latten-

gehalten worden und ihm stünde mit den angenommnen Zahlen der gegenüber, der also jedenfalls beseitigt werden muß. Alles

mm

97. Verschiedne Genauigkeiten in der Arbeit mit dem NiveUier. Einteilung der Nivellementsarbeiten. 1. Verschiedne Genauigkeiten, sog. Ordnungen der Nivellierung. Es ist schon angegeben, daß es Nivellierinstrumente von sehr verschiedner Größe und Leistung der maßgebenden Teile: Fernrohr und Libelle, gibt und ebenso dazugehörige Latten

Hammer: elementare praktische Geometrie.

39

mit sehr verschiedner Feinheit der Einteilung und sehr yerschiednen kleinsten, unmittelbar auf der Lattenskale vorhandnen Teilen gibt. Man pflegt neuerdings, wie bei der Triangulation in der Lagemessung (Kap. 5) vier Stufen oder Ordnungen der Nivelliergenauigkeit zu unterscheiden, I., II., III., IV. Ordnung.

betrug

war). Die Genauigkeit ist aber pro km erreicht, neuer-(ja bei ganz besondern

mm

mm

mm

auf das km erreicht worden). Dabei ist Fehler aufs km vorausgesetzt, daß es

mm

mm

Fehler auf das km

mm

a)    Nivellierungen I. 0., Präzisionsnivellements, Feinnivellements oder Feineinwägungen von Festpunkten dienen wissenschaftlichen Zwecken der Erdmessung (u. a. der Verbindung der Nullpunkte der Mittelwassermesser auf zahlreichen Punkten der Meeresküsten; Feststellung vertikaler Bodenbewegungen auch im Inland), sowie als hypsometrische Grundlage des ganzen Höhennetzes großer Staaten für topographische und für technische Zwecke; sie „übertragen“ einen bestimmten „Horizont“ (Niveaufläche, von der aas alle Höhen gemessen werden, meist nahezu übereinstimmend mit dem Meeresmittelwasser an einem bestimmten Punkt der Meeresküste) in die verschiednen Landesteile. Man hat in Deutschland noch vor 40 Jahren eine solche Feinnivellierung für gut erklärt, wenn der mittlere Fehler des Höhenunterschieds pro 1 km einfach nivellierter Strecke nicht mehr als + 3 (für brauchbar, wenn der m. F. nicht über + 5 seitdem bedeutend gesteigert worden: man hat bald + 1 dings + 0,5mm, mit Voglers Nivellierkathetometer + 0,3 Maßnahmen in einem s. g. Pfeilernivellement mit ganz geringen Höhenunterschieden ist von Schumann der m. F. + 0,1 schon bei den Genauigkeiten + i/t und % sich nur um kleine Höhenunterschiede handle, da sonst die Unsicherheit in der Kenntnis der augenblicklichen Länge des Lattenmeters zu viel Einfluß gewinnt; aber selbst bei sehr großen Höhenunterschieden, z. B. bei einem Nivellement auf den Großen St. Bernhard (Hilfiker) konnte neuerdings + 1 nivellierter Strecke festgehalten werden.

genau festgestellt wird. Die Libelle des Nivelliers

⁰⁰.

mm

Verwendet werden bei Feinnivellierungen große Instrumente mit starkem Fernrohr (Vergrößrung 35, 40, selbst noch etwas mehr) und feine Libellen von 5", selbst 4" Teilwert, sowie sehr fein geteilte Latten, deren Meterlänge täglich mit dem Anlegenormalmeter bis auf ¹/l ist meist zu fein, als daß sie einspielend gebraucht werden könnte; sie wird meist mit kleinen Ausschlägen gebraucht, der Stand der Blase wird an der durchlaufenden Libellenteilung bei jeder Zielung abgelesen und die Lattenablesung mit einer Korrektion versehen, die sie auf horizontale Zielung reduziert. Die Latte wird mit Hilfe einer auf ihrer Rückseite befestigten Dosenlibelle vertikal gerichtet. Nivelliert wird grundsätzlich mit konstanter Zielweite („aus der Mitte“ zwischen je zwei Wechselpunkten) mit Zielungen bis 50 m, bei gutem Luftzustand auch etwas mehr, CO m, selbst 70 m, bei geringem weniger, bis 30 m herunter. Die europäischen Staaten sind schon jetzt mit einem z. T. engmaschigen Netz solcher Feinnivellementslinien überzogen, viele tausend km umfassend, die ein System von Höhenfestpunkten (natürlich in sehr verschiedner Dichte in den einzelnen Staaten Europas) geliefert haben, vgl. 08.

b)    Nivellierungen II. 0. sind für technische Zwecke in mehr als einer Beziehung die wichtigsten, wenn schon auch feinre Abwägungen als unmittelbare Grundlagen mancher technischen Arbeiten nicht entbehrt werden können. Das Nivellierinstrument bei der Ausführung solcher Nivellements II. 0. ist schon mit weniger starkem Fernrohr und weniger feiner Libelle ausgerüstet: 24 bis 30fache Vergrößrung des Fernrohrs, rund 8"- bis 12"-, selbst noch etwas schwäcbre Libelle genügt; dabei wird

Nivellierung II. 0. Nivellierungen III. und IV. 0.

611

1 mm

je nachdem bergauf oder bergab nivelliert wird.

im Sinn

die Libelle einspielend verwendet. Die Latte ist stets eine „cm-Latte“ (kleinster unmittelbar auf der Latte angegebner Teil 1 cm), durch Schätzung wird bis auf 1 mm abgelesen. Die Zielweite geht, dieser Ablesung auf entsprechend, ebenfalls im allgemeinen über 50 m Länge nicht hinaus; gleiche Zielweiten bei Rückblick und Yorblick werden nur (hier ganz von selbst) auf Linien mit geringer Neigung eingehalten, bei stärker steigender oder fallender Linie gestattet man sich schon in II. 0. gelegentlich mit ungleichen Zielweiten zu nivellieren (bergauf längre Rückblicke, kürzre Vorblicke; bergab kürzre Rückblicke, längre Yorblicke). Die Ziellinie des Instruments liegt nur rund 1,4 m über dem Punkt des Bodens, über dem das Instrument steht, die Latte ist aber bei II. 0. in der Regel 4 m lang, so daß bei stark geneigten Strecken, auf denen diese Neigung und die Länge der Latte die mögliche Länge der Zielung begrenzen (während auf ganz gering geneigter Linie die Zielung an sich oft nicht beschränkt wäre, sondern nur durch die Rücksicht auf die Genauigkeit der Ablesung beschränkt wird), das Verhältnis der Länge der als Rückblick und als Yorblick möglichen Zielungen meist 2 oder \ erreicht Rückblick Yorblick

Bei solchen ungleichen Ziel weiten im Rückblick und Yorblick ist aber, bei Nivellierung II. 0., dafür zu sorgen, daß die Berichtigung des Nivellierinstruments stets sorgfältig geprüft und in Ordnung gehalten wird. Bei wichtigen Einwägungen II. 0. ist auch auf stärker geneigter Strecke, wie auf nahezu horizontaler oder wenig geneigter, vorzuziehen, mit gleichen Ziel weiten nach rückwärts und nach vorwärts zu arbeiten.

Die Latte wird bei II. 0. mit einem an der Seite angehängten Senkel oder ebenfalls einer groben Dosenlibelle (3' bis 5') auf der Rückseite senkrecht gestellt. Die Länge des Lattenmeters wird viel weniger häufig als bei a) bestimmt, bei geringen Höhenunterschieden nur gelegentlich einmal, alle Monat oder dgl.; je größer aber die Höhenunterschiede sind, die die Nivellierung II. 0. zu überwinden hat, desto größre Sorgfalt muß auch noch hier der Kenntnis der Länge des Lattenmeters gewidmet werden, doch sind tägliche Vergleichungen wie bei a) in jedem Fall als zu mühsam auszuschließen. Es handelt sich hier schon viel mehr als bei a) neben der Genauigkeit (Qualität) um die Quantität der Arbeitsleistung. Auf Strecken mit geringen Höhenunterschieden will man mit Einwägungen II. 0. den Höhenunterschied zwischen zwei Punkten, die 1 hm voneinander entfernt sind, mit einem m. F. von etwa + 6 bis + 10 mm bestimmen; auf Linien mit starken Neigungen muß größrer m. F. zugelassen werden.

c) Nivellieruhgen III. und IV. 0. lassen an Genauigkeit noch weiter nach und können deshalb auch z. T. kleinre schwächre Instrumente verwenden. Doch kommen bei untergeordneten Nivellementsarbeiten vielfach auch Ablesungen auf sehr große Zielweiten vor, z. B. beim Flächennivellement auf 300 m oder mehr, sodaß trotz der geringen verlangten linearen Genauigkeit der Lattenablesung weder das Fernrohr zu schwach, noch die Libelle zu gering sein darf. Nur dort, wo stets nur kurze Zielungen Vorkommen, genügt für diese Arbeiten ein kleines Fernröhrchen

39*

(oder dieses wird ganz entbehrlich) und eine gröbre Libelle, z. B. bei der Aufnahme von „Querprofilen“ u. dgl. Wenn es sich bei diesen Nivellierungen III. und IV. 0. noch um Einwägungen längs einer bestimmten längern Linie handelt, so kann man etwa für III. 0. mehrere für 1 hm Strecke zulassen, bei IV. 0. sogar einige 3m. Abgelesen wird beim Nivellieren III. 0. am besten noch an einer cm-Latte, es genügt hier aber schon, die Ablesung auf % cm zu machen (— die Rechnung des Nivellements ist damit schon viel bequemer als mit den 1 lesungen des Nivellements II. 0. —); bei IV. 0. jedenfalls nur auf 1 cm, oft nur auf 3m) in beiden Fällen reicht eine „3m-Latte“ oder % 3m-Latte aus, bei der auch auf Vertikalstellung keine besondre Sorgfalt mehr wendet werden muß (Augenmaß bei IV. 0. fast immer ausreichend). Die Zielweiten sind bei IV. 0., wie oben angedeutet, vielfach nicht groß (Querprofilaufnahme u. dgl.), bei manchen andern Aufgaben, besonders beim sog. Flächennivellement aber nimmt man sie so groß, als man sie erlangen kann. Auch schon bei III. 0. sind Zielweiten von 100 m und mehr, falls sie möglich sind, zulässig.

m. F.

cm

-Ab-

mm

ver-

2. Einteilung der Nivellierarbeiten. In andrer Beziehung als mit Rücksicht auf die Genauigkeit sind natürlich ebenfalls ver-schiedne Nivellierarbeiten zu unterscheiden. Man pflegt zu sprechen von: Einwägung einzelner Punkte; Nivellieren von Linien; Nivellieren von Flächen. Dabei sind aber die Grenzen fließend, weil z. B. die „einzelnen Punkte“ längs einer Linie angeordnet sein können, so daß die erste und zweite Abteilung kaum zu trennen sind; und auch das „Nivellieren von Flächen“ besteht im allgemeinen im Einwägen einzelner Punkte, die nur nicht längs einer Linie, sondern auf einer Fläche zerstreut angeordnet sind.

Es kann ferner weiter unterschieden werden, ob es sich um Einwägen bestehender Punkte, Linien, Flächen handelt oder ob die Herstellung solcher Punkte, Linien, Flächen mit bestimmter gegebner Höhe oder Neigung der Zweck der Nivellementsarbeit ist, diese also als „Absteckungsarbeit“ („Höhenabsteckung“ im Gegensatz zu den Lageabsteckungen, Kap. 6) aufzufassen ist. Aber auch bei dieser Trennung sind Übergänge vorhanden. Man stellt im ganzen meist folgende Liste der Nivellementsarbeiten auf:

a) Festpunkt-Einwägung („Fixpunkt-Nivellement“). Es können u. U. nur die Höhenunterschiede zwischen einigen wenigen Punkten, die möglicherweise noch nahe beisammen liegen, gefordert werden; dann reicht oft eine einzige Aufstellung des Nivelliers aus. In der Regel aber sind die festen und gut bezeichneten Punkte, deren Höhenunterschiede zu bestimmen sind, längs einer Linie von oft bedeutender Ausdehnung, 1 hm, mehrere bis viele hm lang, angeordnet und man spricht dann von der Ausführung von Längennivellements, Festpunktnivellierung längs einer Linie.

Dabei ist, wie wir bereits wissen, Einwägung I. bis IV. Ordnung zu unterscheiden. Die Längennivellementslinien schließen sich vielfach, bilden geschlossne Figuren, Schleifen, (man gebraucht auch hier vielfach den Namen Polygone, der eigentlich nicht mehr zutrilft) und durch Aneinanderreihung einer Anzahl solcher geschlossnen Figuren entstehen Längennivellementsnetze. Die Einwägungslinien I. 0. (Fein-

Nivellierungen) bilden fast ohne Ausnahme solche Netze, deren Widersprüche mit Anwendung der M'ethode der kleinsten Quadrate getilgt werden, wobei man u. a. über den mittlern Fehler für 1 Am. nivellierter Strecke Auskunft erhält. Natürlich ist dies wieder nicht die einzige Möglichkeit dazu; man kann z. B. den m. F. pro Im auch aus Doppelnivellierungen derselben Strecken berechnen, die freilich auch nichts andres sind als solche Schleifen. Die Nivellements I. 0. „übertragen“ mit möglichster Genauigkeit auf großen Flächen einen „einheitlichen Horizont“ für die Höhen, sorgen dafür, daß man alle Höhenangaben von derselben Nullfläche aus rechnen kann, im Deutschen Reich z. B. von dem Horizont Normal-Null, abgekürzt N. N. aus, vgl. 98. Die Festpunkteinwägungen H. 0. gehen in der Regel von Höhenzahlen für Festpunkte I. 0. aus und schließen oft auch auf solchen Punkten wieder ab, sodaß auch ihre Ergebnisse jenen Horizont festhalten.

b)    Sog. Längenprofile oder Längsschnitte sind Schnitte der natürlichen oder künstlich veränderten Bodenoberfläche mit einer vertikalen Ebene oder mit einer Folge von vertikalen Ebenen oder mit einer Zylinderfläche mit vertikalen Mantellinien, wobei die Horizontalspur dieser Ebene oder Ebenen oder die Leitlinie dieses Zylinders eine auf der Erdoberfläche oder in einem Lageplan vorgeschriebne „gerade“ Linie oder ein Polygon oder eine sonstwie gesetzmäßig geformte Linie ist.

Das Profil wird, weun es nicht durch eine horizontalprojizierende Ebene entsteht, so dargestellt, wie es durch Ausstreckung der verschiednen vertikalen Schnittebenen in dieselbe Ebene oder durch Abwicklung des Zylindermantels entsteht. Die Messung eines solchen Längsschnitts verlangt offenbar die Verbindung der Längenmessung (in der gegebnen Längenprofillinie des Grundrisses) und der Nivellierung der so festgelegten Punkte; bei einigermaßen gleichförmig geneigter Profillinie sind Punkte in bestimmten runden Abständen, 5 m, 10 m, 20 m, 25 m nach Bedarf nach Lage (Latten oder Band) und nach Höhe (Nivellier) einzumessen, bei weniger regelmäßigen Linien aber auch dazwischen alle Punkte nach Lage und Höhe aufzunehmen, in denen die Neigung der Profillinie sich ändert. Das auf der Zeichnung (s. u.) entstehende Bild des Längsschnitts muß möglichst naturtreu sein. Oft sind die Profilpunkte erst zu verpflocken, auf fertig gebauten Wegen, Straßen oder Bahnen sind aber die Punkte in der Regel anders zu bezeichnen. Außer Längenprofilen von Linien auf festem Boden sind für technische Aufgaben auch Längenprofile von Wasserlinien, längs eines Flusses u. dgl., notwendig. Die Linien der Längenprofile sind oft viele Im lang.

Die Genauigkeit der Einwägung der Profilpunkte entspricht oft einer Nivellierung-

II. 0. (Bahnbau, städtische Straßen, usf.) noch häufiger nur einer Nivellierung III. 0. (Straßenbau) oder IV. 0. (Wegebau). Aufgetragen werden Längsschnitte, wie wir sehen werden, meist „überhöht“, d. h. es wird als Maßstab der Höhen auf dem „Nivellementsplan“ ein größrer Maßstab benützt als für die Längen, z. B. ist der Maßstab für die Längen etwa 1 : 1000, für die Höhen 1 : 100, womit die (meist angewandte) 10 fache Überhöhung vorhanden ist; aber auch öfache und lOOfache Überhöhung (Unterlauf von Strömen usf.) kommen vor.

c)    Sog. Querprofile oder Querschnitte sind verhältnismäßig kurze Vertikalschnitte derselben Art wie die Längenprofile, aber fast ohne Ausnahme im Grundriß (Plan) geradlinig, in der Richtung senkrecht zu der Linie eines Längenprofils.

Sie erstrecken sich von der Linie des Längenprofils aus oft nur 10 m, oft 25 m, oft 50 m zu beiden Seiten dieser Linie, manchmal sind sie aber auch weiter ausgedehnt, gehen z. B. über die ganze Breite eines Flußtals hinüber, die Erstreckung hängt ganz vom Zweck der Querprofilaufnahme ab. Auch hier handelt es sich, da wesentlich dieselbe Arbeit wie beim Längenprofil zu machen ist, um Verbindung von Längen-(Lage-)Messung für die einzelnen Profilpunkte mit Einwägung dieser Punkte. Auch hier soll das gezeichnete Bild des Vertikalschnitts seinem Original in der Natur möglichst ähnlich ausfallen. Die Genauigkeit des Nivellements ist hier meist

IV. 0., schon III. 0. ist selten notwendig. Aufgetragen werden Querschnitte fast stets in ihrer wirklichen Form, mit demselben Maßstab für die Höhen wie für die Längen, in der Regel 1 : 100.

„kotieren“, „mit Höllenpunkten zu versehen“, die in den

zu

d)    Das Flächennivellement hat den Zweck, ein Stück einer bestimmten „topographischen Fläche“ (Abschnitt der natürlichen Bodenoberfläche)

Lageplan der Fläche eingetragen werden und denen die ihnen zukommenden Höhen beizusetzen sind.

In der Regel werden dann aus diesen Höhenpunkten zur übersichtlichen Darstellung der Formen der Bodenoberfläche Höhenlinien (Höhenkurven, Horizontalkurven, Höhenschichtlinien oder Schichtlinien, Isohypsen) konstruiert, d. h. es werden nach den Höhenpunkten auf dem Lageplan der topographischen Fläche Linien gezeichnet, die Punkte mit bestimmter runder Höhe miteinander verbinden, derart, daß diese Höhenlinien einen bestimmten konstanten runden Vertikalabstand zwischen sich haben: das Ergebnis eines Flächennivellements ist also meist ein Höhenkurvenplan. Im Gegensatz zur Einwägung von Punkten längs oder in einer gegebnen Linie (a) bis c)) handelt es sich hier um Einwägung von Punkten, die unregelmäßig auf einer Fläche zerstreut sind, während ihre Lage im Lageplan des mit Flächennivellement zu versehenden Stücks der physischen Erdoberfläche entweder gegeben ist oder bei Gelegenheit der Einwägung (für alle Punkte oder für einen Teil davon) mit zu bestimmen ist. Über eine andre Art der Bestimmung der Höhenlinien s. unten.

Für das „Flächennivellement“ wird bei großen Höhenunterschieden die Arbeit mit dem Nivellier recht mühsam; es kommt für diesen Fall besonders auch die trigonometrische Höhenbestimmung (in der Form des „halbtrigonometrischen“ Flächennivellements und des tachymetrischen Flächennivellements) in Betracht; auch barometrisches Flächennivellement genügt oft zur Einwägung großer topographischer Flächen mit bedeutenden Höhenunterschieden und geringer verlangter Genauigkeit, für topographische Zwecke. Alles dieses liegt außerhalb des Rahmens des vorliegenden Bandes dieses Buchs.

e)    Höhenabsteckungsarbeiten mit dem Nivellier. Die Messungen a) bis d) beziehen sich auf Einwägen bestehender Punkte, Linien, Flächen. Vielfach sind aber auch, besonders für bautechnische Zwecke, Punkte herzustellen, denen eine bestimmte gegebne Höhe zukommt, Linien mit bestimmten Neigungseigenschaften (Steigungs- oder Gefällsverhältnissen) abzustecken, ebenso Flächen von vorgeschriebnen Neigungen durch künstliche Eingriffe in die natürliche Bodenoberfläche (Abgrabung, Auffüllung) zu schaffen, z. B. ein „Bahnhofplanum“ oder eine andre horizontale Fläche herzustellen. Diese Aufgaben sind in gewissem Sinn die Umkehrung der vorigen, ihre Lösung ist aber klar, wenn a) bis d) ausgeführt werden können.

Die N. NT. - Höhen im

98. Ergebnisse der FeinniveUierungen.

Deutschen Reich. Bevor wir die Instrumente zur Ausführung der Einwägungen II. bis IV. 0. und die Arbeit mit ihnen betrachten, müssen wir noch einen Blick werfen auf die Ergebnisse der „Präzisionsnivelle-

ments“, mit deren Ausführung wir uns hier nicht zu beschäftigen haben, auf deren Resultate wir aber in der Regel unsre eignen Messungen stützen müssen, wenn diese von einiger Bedeutung nach Umfang oder Genauigkeit sind.

Diese Ergebnisse der nach der Methode der kleinsten Quadrate aus-gegliebnen Feirmivellierungsnetze in jedem Land sind eine große Zahl von auf denselben „Horizont“ (Nullpunkt der Höhen) zurückgeführten Höhen von Festpunkten, (zu denen in Ländern mit Meeresküsten als Grenzen, oder als Teil der Grenzen, besonders auch die Nullpunkte der Pegel und Mittelwassermesser gehören). Diese Festpunkte sind an den Feinnivellementslinien in verschiednen Entfernungen angebracht und in verschiedner Art bezeichnet.

1. Feinnivellementslinien im Deutschen Reich. Das ganze norddeutsche Feinnivellementsnetz, das Landstraßen und Eisenbahnen ein.ei-seits, Flüssen und Kanälen anderseits folgt, ist im wesentlichen von zwei preußischen Messungsbehörden bearbeitet, von der Trigonometrischen Abteilung der Preußischen Landesaufnahme und vom Bureau für die Hauptnivellements und Wasserstandsbeobachtungen im Preuß. Minist, der öffentlichen Arbeiten. Einzelne Linien dieses Netzes sind auch von seiten der frühem europäischen Gradmessung (jetzigen internationalen Erdmessung) bearbeitet, z. B. Gradmessungsnivellement zwischen Swinemünde und Amsterdam, zwischen Anklam und Cuxhaven, und von diesen Linien geht auch eine ganz in den Süden des Reichs, das Gradmessungsnivellement zwischen Swinemünde und Konstanz. Die süddeutschen Staaten, Bayern, Württemberg, Baden, ebenso auch Sachsen, haben eigne Feinnivellierungen durchgeführt, die vor allem als hypsometrische Grundlage der Topographie dieser Länder dienen.

Das Nivellementswerk der Preußischen Landesaufnahme ist Ende der 60er Jahre des vorigen Jahrhunderts begonnen, 1894 mit Veröffentlichung des VIII. Bands vorläufig abgeschlossen worden, wenn auch seitdem einzelne Messungen fortgeführt werden, z. B. seit 1895 ein „Küstennivellement“ der ganzen preußischen Nord- und Ostseeküste entlang mit Einbeziehung aller Pegel und Flutmesser. Von den 8 Bänden der frühem Feineinwägungen, die alleFehlerdiskussionen usf. mit veröffentlichen, erschien der I. schon 1870, VIII. wie schon erwähnt 1894; später sind daneben, seit 1886 als „Auszüge aus den Nivell. der Trig. Abt. der K. Preuß. Landesaufnahme“, seit 1896 als „Nivellementsergebnisse der Trig. Abt. der K. Preuß. L.-A.“, kleine handliche und billige Hefte erschienen, die für die einzelnen preußischen Provinzen, ferner für Mecklenburg, Oldenburg, die thüringischen Länder, Großherzogtum Hessen, Großh. Baden, die bayrische Pfalz und das Reichsland Elsaß-Lothringen sich auf Angabe der endgültigen (ausgeglichnen) Höhen aller Festpunkte der Feinnivellierungen beschränken, also nur bieten, was man zum „Anschluß“ an diese Punkte braucht. Dieses ganze Netz für das Deutsche Reich, ohne Bayern, Sachsen, Württemberg, d. h. für eine Fläche von 430000 <f&m, bietet allerdings noch nicht einmal 13000 Festpunkte (1500 „Höhenmarken“, 3000 „Mauerbolzen“, weit über 8000 „Nummerbolzen“), sodaß erst auf etwa 33 <f&m Fläche durchschnittlich 1 Festpunkt fällt; da die Netzlinien gegen 16500 km umfassen (15 300 km Schleifenlinien und über 1100km. Anschlußlinien), so fällt auf je 1km nivellierter Strecke durchschnittlich 0,8 Festpunkt, d. h. diese sind an den Linien durchschnittlich 1,2 km voneinander entfernt. Aus den Differenzen der hin und her nivellierten Strecken fand sich in diesem Nivellementswerk der mittlere 1 km-Fehler für die doppelt nivellierte Strecke zwischen + 1,2 Schlußfehlern der Schleifen dagegen berechnete sich der m. F. der 1km-Strecke, doppelt nivelliert, zu +1,5 doppelt nivellierten 1 km-Strecke ansehen +2

mm

bis 2,4

mm.

mm

und + 1,6

mm

, aus den

Im ganzen kann man als m. F. der (m. F. der einfach nivellierten

mm

1 Am-Strecke also ]/2 mal größer, wie wir schon von früher wissen, d. h. rund + 3 mm). Die Ergebnisse des neuen Küstennivellements der Landesaufnahme (s. oben, seit 1895) sind viel genauer, als m. F. des Höhenunterschieds der Endpunkte der doppelt nivellierten 1 Am-Strecke ist der Wert + 0,6 also 0,8 mm).

anzunehmen (einfach nivellierte 1 Am-Strecke

mm

herab-

mm

Diese wesentlich höhere Genauigkeit ist im norddeutschen Nivellementsnetz, schon früher erreicht worden in den Einwägungen des Bureaus für die Hauptnivellements und Wasserstandsbeobachtungen im Ministerium der öffentlichen Arbeiten unter Leitung von Geh. Reg.-Rat Prof. Dr. Seiht, der einen sehr feinen Nivellierapparat und ein sehr feines Messungsverfahren angegeben und verwendet hat. Auch über dieses, noch in rascher Erweitrung begriffne, aber schon jetzt sehr umfassende Nivellementsnetz, das Strömen, Flüssen, Kanälen folgt, erscheinen seit 1878 große Bände mit allen wissenschaftlichen Nachweisen (bis 1903 als „Präzisionsnivellement der ....“-z. B. Elbe, 5 Mitteilungen 1878—1902; oder des .... Kanals; oder der Wasserstraßen im Gebiet . . . .; seit 1904 ist der Titel in „Feinnivellement . . . geändert; daneben neuerdings (seit 1896) kleine für den praktischen Gebrauch bestimmte Auszugshefte (Höhen über N. N. von Festpunkten und Pegeln an Wasserstraßen; 1. Heft Oder, 1896), die sich auf die Angabe aller fertig ausgeglichnen N. N.-Höhen beschränken. Der m. F. des Höhenunterschieds der Endpunkte der doppelt nivellierten 1 Am-Strecke ist auf etwa + 0,4 mm, für die einmal nivellierte Strecke also auf etwa 0,6 gebracht. Erwähnt sei hier nebenbei, daß eine Nivellementslinie des Bureaus für die Hauptnivellements auch schon durch seichtes Meer der Nordseeküste führt: mittels eines Nivellements durchs Wattenmeer sind Höhenfestpunkte der Insel Sylt nivellitisch an die Höhenfestpunkte des Festlands der schleswigschen Westküste angeschlossen worden.

Ähnliche Nivellementsnetze wie in Norddeutschland sind auch in den drei nicht ins norddeutsche Netz aufgenommnen deutschen Staaten Bayern, Sachsen, Württemberg durchgeführt worden. Z. B. sind in Württemberg von 1868 bis 1878 zusammen 1854 Am nivelliert worden, davon 1328 Am einfach, 452 Am zweifach, 74 Am dreifach, meist Eisenbahnlinien folgend; die Ergebnisse der Ausgleichung des Netzes sind 187Ü (Generalbericht Europ. Gradmessung), die Zahlen für die einzelnen Höhenfestpunkte, auf „N. N.“ bezogen, aber erst 1885, nach bessrem Anschluß des württembergischen Netzes an die Nachbarnetze, veröffentlicht worden. Nach heutigen Begriffen kann das Netz nicht mehr als „Präzisionsnivellement“ gelten, als Grundlage für topographische Zwecke genügt es zum größten Teil.

Mit solchen „Nivellementspolygonen“ sind auch die andern europäischen Staaten überzogen oder sie sind dort in Ausführung begriffen; die Maschen sind aber natürlich auf der ganzen Fläche Europas sehr ungleich groß (und werden dies immer bleiben). Nachricht über den Stand der Arbeiten nebst allen Nachweisen der Fehlerdiskussion bringen regelmäßig die „Verhandlungen“ der Erdmessungskonferenzen; Berichterstatter ist seit einigen Jahren der Direktor des „Nivellement general de la France“, Ch. Lallemand. Es mag bei dieser Gelegenheit auch noch erwähnt sein, daß Frankreich das erste Land war, das mit einem systematischen feinem Landesnivellementsnetz ausgestattet wurde (durch Bourdaloue, schon seit 1857); es ist jetzt durch die eben genannte Unternehmung mit weit höherer Genauigkeit ersetzt.

2. Die N.N.-Höhen im Deutschen Reich. Diese Feinnivellementsnetze haben, wie schon mehrfach hervorgehoben, neben ihren wissenschaftlichen Zwecken die für Topographie und Ingenieurtechnik wichtige Bestimmung, auf großen Flächen alle Nivellierungen auf „denselben Horizont“ beziehen, alle Höhen von derselben Niveaufläche aus zählen zu können.

Ergebnisse der Feinnivellements. Die N. N.-Höhen im Deutschen Reich.

617

N. N. oder N. N. + 252,778 m,

Im Deutschen Reich „bezieht man“ jetzt im allgemeinen alle Höhenangaben auf den Horizont „Normal-Null“, Bezeichnung N. N.; z. B. ein bestimmter Höhenfestpunkt ist 252,778 er liegt 252,778 m über dieser gemeinsamen Nullfläche der Höhen. Der Horizont N. N. ist definiert, materiell gegeben durch den sog. Normalhöhenpunkt in Berlin, an der dortigen Sternwarte festgelegt durch den Nullpunkt einer 20 cm langen (+ 10 cm und — 10 cm) Milchglasmillimeterskala, an der Stirnfläche eines Syenitbalkens angebracht (und nicht ohne weitres zugänglich), der in dem tief fundierten Nordpfeiler der Sternwarte eibgemauert ist. Der „Normalhöhenpunkt“ ist 1879 hergestellt (1880 im Bd. 1Y der Nivell. Trig. Abt. Landesaufn. beschrieben, auch als Sep.-Abdruck mit den Abbildungen erschienen); 37,000 m unter diesem Höhenpunkt befindet sich die Höhe N. N., die, soweit die bis dahin vor-handnen Nivellements zu beurteilen gestatteten, sehr nahezu übereinstimmt mit dem Nullpunkt des Amsterdamer Pegels.

27 mm

(Die Strecke Amsterdam-Berlin ist bedeutend, und wenn auch das Nivellementsnetz zwischen beiden Punkten sehr gut kontrolliert ist durch die Maschenselbst-schnit.te, so kann doch nicht überraschen, daß nach den jetzt bekannten Anschlüssen des preußischen an das niederländische Netz die niederländischen, auf A. P. (Amsterdamer Pegelnullpunkt) sich beziehenden Höhen in der Gegend des Niederrheins um vergrößert werden müssen, um sie in Einklang mit den deutschen N. N.-Zahlen der dortigen Festpunkte zu bringen.

Der Horizont N. N. ist nun durch die Feineinwägungen nach allen Gegenden des Deutschen Reichs verbreitet worden, sodaß alle „absoluten“ Höhenangaben von Festpunkten mit ausreichender (mit der Entfernung vom Normalhöhenpunkt aber im allgemeinen abnehmender) Ganauigkeit auf N. N. bezogen werden können, während noch vor wenigen Jahrzehnten der größte Wirrwarr in den Höhenangaben war in Beziehung auf die „Horizonte“, von denen aus diese zu rechnen waren: der Horizont der württembergischen topographischen Höhenangaben z. B. ist mehrfach verschoben worden; verschiedne Verwaltungen in demselben Staat, ja in derselben Stadt hatten verscbiedne Nullpunkte für ihre Höhenangaben. Für alle Teile eines großen Staats reichen natürlich auch sehr feine Nivellierungen noch nicht hin, um die Höhen der Punkte überall tatsächlich, z. B. bis auf ganz wenige mm genau, von demselben Nullpunkt aus rechnen zu können: ist z. B. ein Höhenpunkt 500 ln Nivellementslinie vom Normalhöhenpunkt entfernt, so ist seine Höhe, trotz aller Versteifungen der Nivellementsmaschen, nicht auf wenige mm gegen diesen festzustellen, sondern im besten Fall auf einige cm, was dann aber bei der angegebnen großen Entfernung auch genügt; auf wenige Entfernung um jeden Punkt liegen ja doch die relativen Höhenunterschiede durch die Einwägungen auf wenige mm fest und auf diese relativen Höhen kommt es für die meisten Zwecke allein an.

Der lange von der „Gradmessung“ (Erdmessung) verfolgte Gedanke eines „gemeinsamen Nullpunkts der europäischen Höhen“ ist deshalb in den letzten Jahren auch aufgegeben worden; er würde doch vorläufig nur eine ideelle Höhenvereinheitlichung bringen, unsre Nivellierungen sind immer noch nicht scharf genug, als daß ein solcher gemeinschaftlicher Nullpunkt wissenschaftlichen Nutzen bringen könnte. Und für die Zwecke der einzelnen Staaten genügen (innerhalb gewisser Grenzen willkürlich zu wählende) Landesnullpunkte oder Landesnormalhöheri-punkte.

3. Bezeichnung der Höhenfestpunkte an den Feinnivellementslinien. Die „Höhenfestpunkte“, deren N. N.-Zahlen (in besondern Verzeichnissen zusammengestellt, von denen oben Beispiele angeführt sind) nun also für uns einfach gegebne Zahlen

sind, sind Höhenmarken verschiedenster Art, dann Höhenholzen, beide an altem Mauerwerk (Kirchen, Brücken usf.) angebracht, sonstige Punkte an solchem massivem Mauerwerk, endlich Punkte an Felsen, an besonders gesetzten großen Steinen (in Norddeutschland Bolzensteinen) oder an vorhandnen gut fundierten Steinen (z. B. auf (Jnterlagsplatten stehenden Signalsteinen) usf. Höhenbolzen, aus Bronze oder besser

'//

Höhenmarke

Fig. 373.

Gußeisen, in altes tief fundiertes Mauerwerk fest eingelassen, sind die besten dauernden Höhenpunkte. In Süddeutschland wurde oft der Bronzebolzen in vertikaler Mauer so befestigt, daß sein vordres Ende mit der Mauerfläche fast „bündig“ ist, eine feine zentrische Bohrung bezeichnet den Höhenpunkt genauer. Der Bolzen wird geschützt und zugleich auffälliger bezeichnet durch eine Vorgesetzte Blech- oder Gußtafel mit der Aufschrift „Höhenmarke“ und allenfalls beigeschriebner Höhe. Die Tafel ist in Württemberg durchbohrt, so daß sie nicht notwendigerweise abgenommen werden muß, um zu dem Punkt selbst kommen zu können, s. Fig. 373; man überzeugt sich

y,

mm

HP

H.P

77,

Y/Yy

V'

Fig. 375 a.

Fig. 374.

Fig. 375.

beim „Anschluß“ an den Punkt durch ein in das Loch 0 gesteckteß Metalldrahtstück, daß die Öffnung 0 mit der Bohrung des Bolzens noch übereinstimmt. Für diesen Anschluß an den Festpunkt weit bequemer ist es, den Kopf des Bolzens vorragen zu lassen und ihn zum unmittelbaren Aufsetzen der Nivellierlatte einzurichten. Besonders die kugelförmigen Köpfe gußeiserner Bolzen, wie sie Seibt anwendet, haben sich gut bewährt (von Breithaupt, Cassel, zu beziehen), sie sind auch gleich gut an vertikaler Wand wie auf geneigter Fläche oder auf horizontalem Mauerabsatz anzubringen, vgl. Figg. 374, 375. Die Bezeichnung der Höhenpunkte der preußi-

Bezeichnung der Höhenfestpunkte.

619

sehen Landesaufnahme geschieht in fallender Abstufung der Genauigkeit durch Haupthöhenmarken (20

•dem Boden angebracht, mit vorstehendem rundem flachem Kopf von 14 messer, dessen höchster Punkt zum unmittelbaren Aufsetzen der Latte bestimmt ist, die vordre Fläche trägt in einem eingesetzten Kreis die Höhenzahl angeschrieben; Her durchschnittliche Abstand solcher Hauptpunkte an den Nivellementslinien ist etwa 10 Um), dann durch Mauerbolzen (etwas einfacher ausgestattet und kürzer, 16cm, ■ebenfalls mit rundem, etwa 40 Durchmesser, mit der vordem Inschrift „Niv.-P.u; durchschnittlicher Abstand etwa 5 km), endlich durch Bolzen in besondern Nivellementssteinen, sog. Bolzensteinen {Stein 25x25 der Bolzen 10

mals höchster Punkt des vorstehenden runden Kopfs zum Aufsetzen der Libelle bestimmt; s. Fig. 376). Diese Bolzensteine haben vielfach nicht die erforderliche Beständigkeit gezeigt. Beim württembergischen Präzisionsnivellement hat man außer

cm

lange Bolzen in altem Fundamentmauerwerk ¹/i bis 1 m über

Durch-

cm

mm

vom Mauergrund vorstehendem Kopf von 70

mm

cm

cm

tief gesetzt und ohne besondres Fundament,

stark, aber nur 75 in den Stein eingelassen, vorn mit der Nummer bezeichnet, aber-

cm

Latte

25/Ora ?

25/Cm

5,0m.

H.P

Nr

=p

3-cm

4cm.

*—5cm—*

•1

Fig. 376.

Fig. 377.

Höhenmarken mit Schild (s. oben) auf massivem Mauerwerk (gut fundierte Gebäude, Kunstbauten der Eisenbahn) auch sog. Glaspunkte verwendet, Glaskörper von etwa 5 x 4 x 3 cm, oben oder vorn mit rundem Vorsprung (Zylinder von 20 messer, wenigen

bestimmt ist, während der ganze Glaskörper in den Quader einzementiert ist; anderwärts sind noch andre Bezeichnungen im Gebrauch, Mauerbolzen an massivem Mauerwerk sind aber das beste. Auf freiem Feld sind Punkte nur mit bedeutenden Kosten wirklich dauerhaft zu bezeichnen; Bolzensteine sollten jedenfalls eine sehr tiefe Fundierung durch eine untermauerte Unterlagsplatte erhalten. Mit Rücksicht auf möglichst lange Erhaltung ist es für wichtige Punkte zweckmäßig, sie unterirdisch zu vermarken; z. B. ist der Verf. 1901 so verfahren bei den Festpunkten der Feinnivellementslinie Böblingen—Lustnau, 25 km. Die Festpunkte sind vernickelte Stahlbolzen, in starke tief fundierte Betonkörper gesetzt, au3 diesen wenig vorragend, beträchtlich unter dem Boden liegend, mit hohlem Backstein umgeben und mit einem Ziegel überdeckt. Der Ort des Punkts muß natürlich dann durch einen Markstein bezeichnet sein, auf dem die Entfernung von dem Betonkörper (z. B. 1,5 m) angeschrieben ist. Der Höhenfestpunkt selbst wird erst nach Aufgraben zugänglich. Die Kosten des Verfahrens sind allerdings so hoch, daß es fast nur für wenige besondre Zwecke in Betracht kommen kann (das genannte Nivellement soll zur Untersuchung vertikaler Bodenbewegungen dienen, wozu es alle 5 Jahre wiederholt werden soll; erste Messung 1902, zweite 1907).

Die Höhe aller dieser von den Feinnivellements gelieferten Festpunkte, auf gemeinsamen Nullpunkt ausgeglichen, sind nun in den Nivellementspublikationen enthalten. Um hier ein Beispiel einer solchen aus Württemberg zu geben, seien von S. 1 der Veröff. über das Württemberg. Gradmessungsnivellement (Stuttgart 1885) die ersten Punkte ausgezogen (Punkte an der Technischen Hochschule Stuttgart und an der Württemberg. Hauptbahnstrecke Stuttgart—Ludwigsburg—Bietigheim). In dem Verzeichnis bedeutet H. M. = Höhenmarke (s. oben; die Öffnung zwischen den Strichen

mm

Durch-

mm

Höhe), im ersten Fall horizontal, der zum Aufsetzen der Libelle

— o—, die mit der Bohrung des in vertikaler Wand eingelassnen Bolzens übereinstimmt, gilt als Höhenpunkt); G. P. = Glaspunkt (s. oben, der kleine zylindrische Ansatz entweder horizontal oder vertikal, im ersten Fall Höhenpunkt unmittelbar durch die horizontale Endfläche bezeichnet, im zweiten Fall Mittelpunkt der vertikal stehenden Endfläche); K. = Kreuz, auf horizontaler Steinoberfläche eingehauen; V., D. (eingemeißelte Vierecke, Dreiecke). Die Höhen beziehen sich auf N. N. mit der Genauigkeit, mit der diese bei gegen 7001m kürzestem Nivellementsweg vom Normalhöhenpunkt verbürgt werden kann.

Stuttgart — Bi etigheim — Bruchsal.

H. M. am Polytechnikum, Seite gegen die Alleenstraße .    .

P. Oberfläche der eisernen Platte auf der Türschwelle des Polytechnikums, Eingang in der Kepplerstraße .    .    .

G. P. in der Fensterbank des Souterrains bei der mechanischen Werkstätte des Polytechnikums......

G. P. vertikal im Sockel des Polytechnikums, Ecke der Alleen-und Seestraße...............

G.    P. unter dem vorstehenden, auf dem Fundament des Polytechnikums ................

H.    M. am Bahnhof, Ausgang nach der Friedi'ichsstraße .    .

H. M. am Ende gegen Cannstatt der rechtsseitigen Bahnhofhalle, Ankunftsperron .    .........

G. P. Nr. 94 auf dem Gurtgesims der rechtsseitigen Bahnhofhalle, am Zimmer der Bahnhofinspektion .    .    .    .

G. P. Nr. 93 auf dem Widerlager gegen Feuerbach des Viadukts über die Schillerstraße ..........

G.    P. Nr. 92 auf dem Fundamentvorsprung des linksseitigen Tunnelwiderlagers, Ende des Tunnels gegen Feuerbach

H.    M. am Verwaltungsgebäude, Seite gegen die Bahn . . Zuffenhausen H. M. am Verwaltungsgebäude, Seite gegen die Bahn nach

Ludwigsburg................

Stuttgart

252,778.

250,553

250,680

252,781

251,600

251,705

251,497

249,653

Feuerbach

249,433

275.872

278,442

282,911

Anschlüsse an zweckmäßig gesetzte Festpunkte gewöhnlicher Feinnivellements. sollten ohne weitres möglich sein (Punkt unmittelbar zum Aufsetzen der Latte, vgl. oben die „Bolzen“, hier die „Glaspunkte“); bei den „Höhenmarken“ ist dies nicht-möglich, schon weil sie oft zu hoch angebracht sind. Für unsre Zwecke genügt in diesem Fall unmittelbares Herabmessen mit dem Taschenmaßstab an der Wand auf einen unmittelbar unter der Höhenmarke auf dem Boden zu bezeichnenden Punkt. Bei diesem Anschluß an Punkte eines Feinnivellements sollte immer erst untersucht werden können (durch Vergleich mit andern Punkten in genügend großer Ausdehnung der Linie oder Fläche), ob die Punkte als „unverändert“ angesehen werden können.

4. Erhaltung der Festpunkte auf lange Zeit. Dies ist nach zwei Rücksichten zu beurteilen: a) besteht Aussicht, daß die Punkte, Bolzen usf. an sich fast vollzählig erhalten bleiben? Die Nivellementslinien längs stark befahrner Eisenbahnen mit vielen Umbauten von Kunst- und Hochbauten bieten sehr wenig Aussicht dazu, selbst für die Punkte an „tief fundiertem Mauerwerk“ der Stationsgebäude usf. Es war richtiger, wie in Norddeutschland geschehen ist, sich mit den Hauptnivellementslinien viel mehr an die Hauptstraßen zu halten, statt wie in Süd-deutschlaüd an die Bahn; im Süden sind eben die Straßen vielfach nicht so bequem zu nivellieren, wie die Bahnen mit ihren jedenfalls kleinen Neigungsverhältnissen, auf den alten und vielfach wenig rationell angelegten Straßen kommen überall, selbst im Tal, „Stiche“ mit sehr starken Neigungen vor. Bei den alten Feinnivellierungen

Ändrungen der Höhenfestpunkte I. 0.

621

in Bayern, Württemberg usf. sind auf manchen Bahnstrecken die meisten „Festpunkte“ verloren, sodaß umfangreiche Heueinwägungen notwendig wurden, seien es größre Teilnetze, seien es einzelne Linien oder Strecken von solchen, auf denen Neupunkte zwischen noch vorhandne eingeschaltet werden können. Man hat jahrelang und jahrzehntelang fast überall der Erhaltung der Punkte der Feinnivellierung zu wenig Aufmerksamkeit zugewandt. Es sei in dieser Beziehung nur angeführt, daß in Bayern, wo ursprünglich 1900 Höhenpunkte auf den Staatshahnlinien vorhanden waren, im Jahr 1896 16°/₀ davon verschwunden waren; in ganz Bayern einschl. der Pfalz waren von ursprünglich 2838 Metallbolzen und Steinmarken am Ende des Jahrs

1902    24°/₀ verloren, besonders durch den zweigleisigen Ausbau der Hauptbahnlinien; seit 1897 ist man mit dem Ersatz dafür beschäftigt. Yon den oben aus Stuttgart (in der Nähe der Technischen Hochschule) und einem kurzen Stück einer davon ausgehenden Bahnlinie angegebnen 12 Punkten sind schon jetzt 5 durch Umbau zerstört und sonstwie abhanden gekommen, durch den bevorstehenden Umbau des Bahnhofs Stuttgart werden 4 weitre bald zerstört werden. Mit Rücksicht auf das Vorstehende sollten bei allen besonders wichtigen Punkten die Kosten guter unterirdischer Festlegung nicht gescheut werden.

b) Eine ganz andre Frage, schon am Schluß von 3. gestreift, ist nun aber die: auch wenn ein Höhenpunkt nicht durch Eingriff von Menschenhand oder durch ein Naturereignis zerstört wird, behält er auf lange Zeit die Höhenlage, die für ihn bei seiner Feineinwägung ermittelt worden ist? Es sind vielfach Störungen von Höhenfestpunkten nachgewiesen und zwar

oder mehr andre Höhe.

mm

a) von ganz lokaler Art: z. B. der Stein, der den Bolzen trägt (Preußen) „setzt sich“, der Bolzen erhält in kurzer Zeit eine um 10 Gerade die „Bolzensteine“ auf freiem Feld haben sich z. T. sehr wenig dauerhaft gezeigt. Aber auch an scheinbar sehr festem ältrem Mauerwerk sind solche lokalen Verändrungen durch „Setzen“ vielfach nachgewiesen; z. B. enthält gleich die 1. Seite der Veröff. von Seibt über die Höhenfestpunkte längs des Rheins von Mainz bis zur niederländischen Grenze (Heft XII der „Höhen über N. N.“ des Bureaus für die Hauptnivellements im Preuß. Minist, der Öffentl. Arbeiten) die Bemerkung, daß in der Zeit

gesenkt hatte. Und selbst an einem so alten Bauwerk

mm

1903    bis 1907 der Ausgangspunkt in Mainz, der Bolzen am Gebäude des Großh Wasserbauamts, sich um 8 wie dem Königsberger Dom haben in den letzten Jahren ebenfalls von Seibt an-gestellte Untersuchungen gezeigt, daß er in ziemlich raschem, ungleichem Einsinken begriffen ist.

ß) Nicht nur solche lokale Verändrungen einzelner Steine oder Gebäude sind nachgewiesen, vielmehr auch schon jetzt regionale Höhenändrungen, die ganze Schollen der „Erdkruste“ senken oder heben. An den Küsten des Meeres sind diese Erscheinungen längst bekannt und z. T. genauer erforscht (Hebung eines großen Teils der skandinavischen Küste usf.); im Inland ist man im allgemeinen erst jetzt im Begriff, durch Wiederholung von ganzen Nivellementsnetzen oder einzelnen Linien die vertikalen Bodenbewegungen näher zu erforschen. Einen wirklich „unveränderlichen“ Festpunkt gibt es sicher nirgends auf der Erdoberfläche (weder nach Höhe noch nach Lage). Eine sehr merkwürdige, von Seibt festgestellte Erscheinung sei auch noch angeführt: es gibt an sandigen Meeresküsten Punkte, die mit Ebbe und Flut ihre Höhe periodisch um kleine Beträge verändern.

5. Anschluß der Messungen II. 0. usf. an die Festpunkte des Feinnivellements. Im Deutschen Reich bestehen in den meisten Staaten Vorschriften über die Festhaltung des Horizonts N. N. bei wichtigen N i vellierarb eiten.

Z. B. ist für Preußen durch das „Zentraldirektorium der Vermessungen“ 1895 festgesetzt worden, daß jedes unter Leitung einer Staatsbehörde ausgeführte Nivellement von mehr als 10 Im Länge seine Höhen auf N. N. zu beziehen hat; ist zur Erreichung eines Festpunkts der Feineinwägungen oder eines sonst sicher auf N. N. bezognen Festpunkts ein Anschlußnivellement von mehr als 5 Am Länge dazu erforderlich, so wird der Anschluß erst bei einer Ausdehnung des Nivellements von mehr als 30 Am gefordert. Bei der Annäherung an sichere Festpunkte ist dabei so oft anzuschließen, als mit einer Mehrarbeit von 1 Am auf 10 Am Nivellementslänge erreichbar ist. Auch kürzre Nivellements sind auf N. N. zu beziehen, wenn es ohne zu hohe Kosten möglich ist. Jedes Nivellement, dem „dauernder Wert zukommen“ soll, ist mit Festpunkten in nicht über 2 Am Abstand voneinander auszurüsten (auf Fundamentvorsprüngen fester Gebäude, an massiven Brückenpfeilern, an Felsen usf.); die Festpunkte sind am sichersten durch Bolzen an festem, massivem Mauerwerk zu bezeichnen, sonst auch durch Bolzen an Granitpfeilern, deren Fuß 1 m in den gewachsnen Boden reichen muß. Der höchste Punkt des vorstehenden Bolzenkopfs ist der einzuwägende Punkt. Die Nivellements sind hin und zurück auszuführen oder an beiden Endpunkten an gegebne Höhenfestpunkte anzubinden; Zwischenanschlüsse sind bereits erwähnt. Ein Nivellement gilt als gut, wenn der m. F. des Höhenunterschieds nicht über 3

für 1 Am Länge, als brauchbar, wenn er nicht über 5 1 Am beträgt. (Diese Fehlergrenzen sind für II. 0. zu eng, für I. 0., für die auch genaue Vorschriften über Lattenvergleichung zu geben wären, zu weit.)

In Bayern sind z. B. von seiten der Eisenbahnverwaltung schon vom Jahr 1881 an die Nivellements aller Staatsbahnstrecken, die seitdem gebaut oder projektiert worden sind, an die Höhenpunkte des Präzisionsnivellements der Gradmessungskommission anzuschließen.

auf

mm

mm

In Württemberg sind neue Vorschriften über die Ausführung von Nivellementsarbeiten durch die Feldmesser 1895 erlassen worden; sie sind mit „derjenigen Genauigkeit auszuführen, welche zu dem betreffenden Zweck notwendig erscheint“. Bei Nivellierungen an Eisenbahnen, Straßen, Wasserläufen ist dabei der m. F. von für 1 fim angenommen (oder eigentlich "^2 mal weniger; denn die Fehler-j/w für eine Strecke von n Am Länge stellt die größte zulässige

mm

mm

grenze von 18

Abweichung zwischen der Messung und ihrer „Revision“ vor; die Zahl reicht für II. 0. aus). Die Höhenzahlen sind durchaus auf N. N. zu beziehen und es ist deshalb an die Festpunkte der internationalen Erdmessung, der Eisenbahnverwaltung, der Straßen-und Wasserbauverwaltung, des statistischen Landesamts anzuschließen, falls nicht „unverhältnismäßige Mehrkosten“ dadurch entstehen. Nivellements, denen „ein dauernder Wert zukommt“, sollen in Abständen von nicht über 1 Am mit Festpunkten an massiven Gebäuden, Brückenpfeilern, Signal- und Am-Steinen (falls diese auf „eine feste Unterlage gestellt sind“) versehen werden.

Es gibt im Haushalt des modernen Staats eine Reihe von Verwaltungen, die großes Interesse an einem-'einheitlichen Höhennetz und der Erhaltung dieses Netzes haben: die Behörden, die Herstellung und Fortführung der topographischen Karten zu besorgen haben (in den meisten Staaten Militärbehörden, im Deutschen Reich für die wichtigste heutige topographische Karte, mit Höhenlinien, in Hessen, Baden, Württemberg Zivilbehörden), die Eisenbahnverwaltung (Bau und Unterhaltung), die Straßen- und Wasserbau Verwaltung (Fluß- und Kanalbau und Unterhaltung, Wasserversorgungswesen). Im ganzen Deutschen Reich müssen denn auch z. B. die Staatsbahnstrecken mit auf N. N. bezognen Höhenfestpunkten ausgestattet sein (z. B. Höhenmarke an jedem Stationsgebäude); zahlreiche Höhenfestpunkte entlang einer Bahn sind zur Erhaltung der richtigen Höhenlage der Gleise unbedingt erforderlich. Sie werden von den Bahn Verwaltungen selbst hergestellt, die auch besondre Höhen-

Verzeichnisse darüber ausgeben (z. B. besteben in Bayern und in Württemberg solche Eisenbahnhöhenpunktsverzeichnisse neben den Verzeichnissen der Erdmessungskommissionen). Diese „Eisenbahnnivellements“ sind meist Einschaltungen zwischen Nivellierungsfestpunkte der Grad- und Erdmessungskommissionen, vielfach keine eigentlichen Feineinwägungen mehr, sondern mit schon geringrer Genauigkeit ausgeführt, zwischen I. und II. Ordnung stehend; die Zwischenhöhenfestpunkte sind in Württemberg z. T. durch den Kopf eines senkrecht gestellten, in einen Betonklotz versenkten Schienenstücks bezeichnet. — Manche Staatsbehörden im Deutschen Reich müssen vorläufig noch an einem von N. N. abweichenden Nullpunkt der Höhen festhalten; z. B. gibt die neue topographische Karte von Baden (1:25000 mit Höhenlinien) Höhen, deren Horizont um etwas über 2 von N. N. abweicht.

Ebenso braucht jede Stadtverwaltung für die Zwecke ihres Straßen-und Tiefbauwesens (Wasserzuführung, Kanalisation usf.) ein einheitliches Höhennetz von ziemlich großer Genauigkeit, wenn auch ebenfalls nicht gerade I. 0.: auch für diesen Zweck genügt ein m. F. von etwa + 3 bis 5 mm pro hm (zwischen I. und II. 0.). Eine ganze Reihe deutscher Städte haben als Grundlage der Höhenangaben ihrer technischen Ämter solche Nivellementsnetze in den letzten Jahren ausführen oder erweitern lassen, wobei die m. F. oft noch weiter sinken, bis + 2 mm z. B., so daß das Netz als 1. 0. zu bezeichnen ist. Auch hier kommen noch hergebrachte Abweichungen der Niveaufläche, auf die sich die Höhen beziehen, von N. N. vor.

99. Nivellierinstrumente für Einwägungen II. O. und geringrer Genauigkeit.

1. Einleitung. Eine allgemein brauchbare, restlose, oder allgemein anerkannte Einteilung der Nivellierinstrumente i. e. S. (Fernrohrlibelleninstrumente) ist nicht vorhanden und auch gar nicht möglich. Gegen alle Einteilungsprinzipien (z. B. Haupteinteilung nach dem Unterbau [sogar die Zahl der Fußschrauben ist verwendet worden], die Art des Gebrauchs des Instruments [Feinnivelliere, Nivelliere für II. 0., für III. und IV. 0.] usf.) lassen sich Einwände erheben.

Es genüge für unsre Zwecke, bei denen Feinnivelliere ausgeschlossen sind, zunächst die zwei großen Klassen

I.    Nivelliere mit festem Fernrohr und

II.    Nivelliere mit Ringfernrohr zu unterscheiden.

Die erste Klasse umfaßt die Instrumente, bei denen das Fernrohr „ein fester Teil der Alhidade“ ist, nicht um eine Längsachse gedreht und nicht umgelegt werden kann, überhaupt von der Alhidade gar nicht (oder, wie gelegentlich bei ältern Instrumenten, nur nach Lösung vollständig festgezogner Schrauben) getrennt werden kann. Es kann also in dem Fernrohr nur die Ziellinie etwas verlegt werden (vertikal angreifende Richtschrauben des Fadenkreuzes), insbesondre parallel zur Achse der Libelle gemacht werden. Die Libelle (Hauptlibelle, in der Richtung des Fernrohrs) ist bei diesen Instrumenten der I. Klasse ebenfalls ein fester Teil der Alhidade, nämlich auf oder unter dem Fernrohr mit diesem fest verbunden; nur bei wenigen Instrumenten ist sie mit einem andern Teil der

Alhidade (Fernrohrträger) fest verbunden. Die Libelle kann also bei dieser I. Klasse ebenfalls nicht (oder nur nach Lösung fest angezogner Halte schrauben) von der Alhidade getrennt werden, und es ist nur mit Hilfe der Korrektionsschrauben der Libelle möglich, ihre Achse auf der einen Seite etwas zu heben oder zu senken, um sie z. B. senkrecht zur Stehachse des Instruments zu richten. Eine besondre neuere Art der Libellenkonstruktion ist hier ebenfalls gleich zu erwähnen, bei der die Korrektion der Libelle nicht durch Heben oder Senken an der Fassung, sondern durch Verschieben des Spielpunkts an besondrer, vom Libellenglas getrennter Libellenskale geschieht.

Solche „Instrumente mit festem Fernrohr“ (Klasse I) werden in der Regel so gebaut, daß das Rohr des Fernrohrs überhaupt starr mit der Vertikalachse des Instruments verbunden ist, selten so, daß das „feste Fernrohr“ gegen diese Umdrehungsachse etwas bewegt (gekippt) werden kann.

Die Instrumente der I. Klasse, mit „festem Fernrohr“ und mit ebenfalls „fester Libelle“, heißen wohl auch einfache Nivellierinstrumente.

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zum Aufsetzen auf die Lagerringe des Fern-vor dem Herabfällen geschützt (— man

Die zweite Klasse begreift die Instrumente „mit Ringfernrohr“; das Fernrohr kann nämlich um die gemeinschaftliche Achse zweier am Objektivrohr des Fernrohrs in der Entfernung von 10 bis 20 mehr voneinander angebrachten „Lagerringe“ von genau gleichem Durchmesser gedreht werden. Diese Lagerringe sollen also einem und demselben Kreiszylinder angehören, dessen Achse die eben genannte Drehungsachse des Fernrohrkörpers ist. Im übrigen unterscheiden sich die Instrumente dieser Klasse in der Art der Anordnung der Libelle voneinander, ferner durch Beigabe oder Fehlen und die Art einer Feinschraube (Kippschraube, Elevations- oder Hebeschraube), zur letzten Feineinspielung der Libelle vor der Lattenablesung, sodaß es außerordentlich viele ver-schiedne Formen der Nivelliere gij?t. Die Libelle kann auch hier fest am Fernrohrträger angebracht, also überhaupt eine feste Alhidadenlibelle sein, wenn dies auch nur sehr selten vorkommt. Sie ist vielmehr entweder eine Setz-(Reit-)Libelle rohrs und nur durch leichte Bügel hat solche „Instrumente mit beweglichen Teilen“, dreh- und umlegbarem Fernrohr und umsetzbarer Libelle früher oft als „vollkommne Nivellierinstrumente“ den „einfachen“ Nivellieren der Klasse I gegenübergestellt—); oder aber sie ist mit dem Fernrohr fest verbunden, von diesem nicht oder nur allenfalls nach Lösen ganz fest angezogner Schrauben trennbar und muß also entweder als „Schwebelibelle“ (über den Namen s. u.) ausgeführt sein, wie bei dem Breithauptschen, übrigens selten verwendeten „Kompensationsniveau“ (Libelle hängt zwischen Spitzen und ist unten mit Blei derart beschwert, daß sie beim Wenden des Fernrohrs um seine mechanische Längsachse [Lagerringachse] um 180° sich leicht von selbst in jenen Spitzen dreht und so die Teilung der Libelle oben bleibt), oder sie muß, und diese Ausführung kommt immer häufiger vor, seit man diese Art von Libellen in immer größrer Vollkommenheit herzustellen versteht, eine Reversions- oder Wendelibelle sein. Diese Libelle, von Amsler

sen. (dem Erfinder des Polavplanimeters) Ende der 50 er Jahre angegeben, hat an zwei einander gegenüberliegenden Stellen Kreisbogenausschleifungen statt nur längs einer Mantellinie des Glaskörpers wie bei den gewöhnlichen Libellen. Es wird zu fordern sein, daß diese zwei Ausschleifungen derart liegen, daß die zwei „Achsen“ dieser Libelle innerhalb einer durch die Empfindlichkeit der Libelle bestimmten Genauigkeitsgrenze parallel liegen; bei der 1. Lage des Fernrohrs ist die Ausschleifung 1. der Libelle oben, nach der eben angedeuteten Wendung des Fernrohrs in die 2. Lage (Drehen um die Lagerringachse um oben. Die im allgemeinen feinem Instrumente der Klasse II. sind meist mit einer Feinschraube zum letzten Einspielen der Libelle vor der Ablesung versehen; die Fußschrauben können dann gröber, rascher wirksam sein für die „allgemeine Horizontierung“.

180°) die Ausschleifung 2. der Libelle

So viel Verschiedenheiten schon nach diesem ersten Überblick in der Konstruktion der Nivelliere vorhanden sind, so ist doch (abgesehen davon, daß die zwei wesentlichsten Teile stets dieselben bleiben, Fernrohr und Libelle zu dessen Hdrizontalzielrieh-tung) auch im einzelnen viel gemeinsames da, was bei allen Nivellieren wiederkehrt oder wiederkehren kann. So z. B.

a)    Das Stativ. Es war lange Zeit, besonders bei österreichischen Instrumenten üblich, auch größre Nivelliere auf sog. Zapfenstative zu setzen; der Unterbau des Instruments endigte gegen unten in eine Hülse, die mit einer Ringklemme oder einer andern Bremsschraube mit dem konischen hölzernen Zapfen des Stativs fest verbunden wurde. An dem nach unten in dreieckigem Querschnitt sich verlängernden Zapfen waren die Stativbeine angeschlagen. Man ist mehr und mehr von solchen Zapfenstativen abgekommen, in Deutschland jedenfalls kommen sie nur noch ausnahmsweise vor; die Nivellierinstrumente i. e. S., auch in den kleinern Sorten, werden jetzt vielmehr mit wesentlich demselben Dreifußunterbau versehen wie die Theodolite, der Dreifußunterbau wird auf den Teller eines Scheibenstativs gestellt (neuerdings Kopf aus Bronze oder schmiedbarem Eisenguß) und Instrument und Stativ werden durch eine Schraubenstange mit Feder miteinander verbunden, vgl. Fig. 378. Aber auch viele andre Konstruktionen kommen vor. An das Stativ werden beim Nivellier etwas andre Anforderungen als beim Theodolit gestellt; während z. B. beim Theodolit die Flügelschrauben der Stativbeine bei der Aufstellung (Zentrierung) des Instruments über einem gegebnen Punkt im allgemeinen meist zu lösen und wieder anzuziehen sind und diese Arbeit im Vergleich mit der ganzen Zeit von doch mindestens etwa 5 Minuten, die man auch zu einer einfachen Horizontalwinkelmessung braucht (z. B. bei Zugmessung oder einer Absteckungsmessung) nicht in Betracht kommt, ist das Nivellierinstrument so gut wie nie genau über einem gegebnen Punkt aufzustellen und steht im allgemeinen viel kilrzre Zeit auf einem Stand als der Theodolit (mit Ausnahme des Flächennivellements und dgl. Einwägungen von untergeordneter Genauigkeit) ; man will deshalb hier die Stativflügelschrauben nicht immer lösen und festklemmen, vielmehr bei dauerndem mäßigem Angezogenlassen dieser Schrauben durch sofortiges Festtreten der Stativbeine genügend festen Stand des Stativs und Instruments erreichen.

b)    Der „drehbare Oberteil des Instruments“ heißt auch beim Nivellier wie beim Theodolit Alhidade, obwohl hier der Name (Zeiger) eigentlich keine Berechtigung hat. Bei kleinern Instrumenten selten, bei großem, besonders der Klasse II., fast stets ist die Alhidade mit Klemme und Feinschraube (Mikrometerwerk) für die Azimutalbewegung ausgerüstet. Es ist dies in manchen Fällen bei der Berichtigung des Instruments bequem, beim Nivellieren selbst braucht man die Vorrichtung im allgemeinen nicht.

40

Hammer: elementare praktische Geometrie.

c)    An keinem neuern Nivellier, selbst an kleinen Instrumenten der I. Klasse, sollte eine Dosenlibelle an der Alhidade fehlen, wie immer sonst das Instrument eingerichtet sein mag. Man verwendet sie zur ersten oder zur endgültigen (nur roh genäherten aber genügenden) Vertikalrichtung der Stehachse und nimmt die Hauptlibelle (Röhrenlibelle in der Richtung der Ziellinie) nur zum scharfen Einspielen der Libelle unmittelbar vor jeder Ablesung. Man spart dadurch viel Zeit beim Nivellieren und die geringen Kosten nachträglichen Anbringens einer Dosenlibelle an ältern Instrumenten, wo sie fehlt, kommen bald herein.

d)    Eine besondre Art der Korrektions Vorrichtung der Röhrenlibelle sei an dieser Stelle auch erwähnt, um so mehr als sie bei Besprechung der Libellen nicht berücksichtigt wurde (vgl. 52.) und gerade bei den Libellen von Nivellieren neuerdings vielfach empfohlen wird. Es werden seit einigen Jahren auch in Deutschland manchmal sowohl am Instrument befestigte Libellen, als auch Setzlibellen verwendet (in unsrem Fall Setzlibellen auf den Fernrohrlagerringen), bei denen zum Zweck der Berichtigung der Libelle nicht deren Glasgefäß in andre Lage zur Benützungslinie der Libelle gebracht, d. h. der Winkel zwischen der im festen Spielpunkt die Ausschleifung des Glasrohrs berührend zu denkenden „Libellenachse“ und der Benützungslinie geändert wird, bei denen vielmehr das Glasrohr der Libelle gar keine Längenteilung trägt, also auch kein Spielpunkt am Glasrohr vorhanden ist: die Teilung ist von der Glasröhre gleichsam abgehoben und auf einem verschiebbaren Steg oder ähnlich aufgetragen, während auf dem Glasrohr nur noch ein Indexstrich ist. Hier wird also der richtige Winkel (0° oder 90°) zwischen Libellenachse und Benützungslinie der Libelle dadurch hergestellt, daß die Achse der Libelle ohne Verändrung der Lage des Glaskörpers der Libelle am Glas verlegt wird durch Verschiebung des Skalennullpunkts. Die Libelle ist in Deutschland vor wenigen Jahren nach Angaben von Prof. Zwicky von R eiß - Liebenwerda eingeführt (aber schon vor 40 Jahren in Frankreich durch Oberst Goulier verwendet und auch in Amerika gebraucht worden); sie kann selbstverständlich nicht nur an Nivellieren, sondern auch am Theodolit oder als freie Setzlibelle, auf Glashorizont (s. Fig. 193) und dgl. gebraucht werden. Für feinre Libellen, z. B. schon bei Krümmungshalbmessern größer als 50 m, bietet die Konstruktion keinen Vorteil mehr, wenn sie auch gute Spannungsfreiheit der Fassung des Libellenglases gewährleisten kann (diese Eigenschaft ist wichtiger als die kleine Erleichterung bei der Berichtigung der Libelle). Auch andre Verfertiger von Nivellieren, z. B. Breithaupt-Kassel, Fennel-Kassel, Sickler (Scheurer) - Karlsruhe, von denen z. T. sogleich Instrumente beschrieben werden werden, statten auf Verlangen weniger feine Nivelliere mit solchen Libellen mit verschiebbarer Skale aus. Doch ist die Einrichtung in Deutschland noch so wenig verbreitet, daß wir nicht anders als durch diese Anmerkung darauf ein-gelien wollen.

2. Einige Typen. Wir beschränken uns hier, wie schon angegeben, wesentlich auf Instrumente zur Arbeit II. bis IV. 0. Wie es auch beim Theodolit in der schematischen Fig. 211 geschah, seien hier zunächst

a) an Fig. 378 (nach Autographie, die im Vortrag I verteilt zu werden pflegt), einfachstes Instrument der Klasse I., für Einwägungen IV. 0. und in etwas größrer Ausführung III. 0. bestimmt, die wichtigsten bereits genannten Teile nochmals aufgezählt: auf dem Stativ mit Metallteller steht mit drei Fußschrauben St, S₂, Ss (auf Unterlagsplättchen) der Unterbau des Instruments, der viel niedriger als in der Figur gehalten sein könnte (Zapfen und Büchse weniger lang, <S₁, Si, Ss kürzer). Die Büchse des Unterhaus dient zur Führung des konischen Stahlzapfens FF, mit dem der weitre Aufbau des Instruments fest verbunden ist; mit einem rechteckigen mit F verbundnen Alhidadenrahmen zusammen ein Stück bildet das Objektivrohr des Fernrohrs FF, dessen Okularauszug (Schnitt nach CD besonders gezeichnet) durch den Trieb T

bewegt werden kann. In dem Fernrohr mit Ramsdenschem Okular ist die Ziellinie die Verbindungslinie des Fadenschnittpunkts S mit dem Mittelpunkt der achromatischen Objektivlinse. Auf einem am Fernrohr festgeschraubten Winkelanschlag (Schnitt A B) sitzt als erste feste Alhidadenlibelle die kleine Dosenlibelle L) von nur etwa 3' Empfindlichkeit, mit der nach Berichtigung die Stehachse FF auf etwa 1' oder vertikal gerichtet werden kann. Auf dem festen Stück Zapfen - Rahmen - Fernrohr sitzt über diesem, fest mit dem Rahmen verbunden, die Libelle (Achse mit LL bezeichnet) mit der Korrektionsvorrichtung (Zug- und Druckschraube) K. Mit diesen Richtschrauben K kann der Winkel zwischen LL und FF zu einem rechten gemacht werden (worin geringe Genauigkeit, z. B. l' bis 2' genügt); man könnte mit ihr auch die parallele Lage zwischen den Achsen LL und der Ziellinie SM hersteilen, die so genau als möglich vorhanden sein soll, doch würde durch die abermalige Benützung von K der ebengenannte rechte Winkel L/V wieder zerstört, man macht deshalb

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b) Daß aber auch schon an den kleinsten einfachen Nivellieren gelegentlich eine Hebeschraube vorkommt, zeigt die Fig. 379, Breithauptsches „Taschenniveau“: Fernröhrchen 13 cm lang, 18 mm Öffnung, 15 fache Vergrößrung. Das Instrumentchen, noch kleiner als das vorige, hat am Unterbau statt des Dreifußes mit den vertikalstehenden Fußschrauben die sog. Nußvorrichtung mit zwei horizontalwirkenden Stellschrauben und gegendrückenden Federn, ferner Zirkelgelenke an den Köpfen der Stativbeine. — Die Hebeschraube läßt sich, wie es häufig an den großem Instrumenten

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Länge; Mikrometerwerk an

geschieht, auch schon bei diesen kleinsten Nivellieren zur Meßschraube (Gefäll-schraube und Schraube zur Messung kleiner Höhen winke 1) ausbilden, wie das

z. B. Kern und Co. in Aarau bei ihrem neuen

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kleinen „Reise-Nivellier“ von wesentlich der-fflteaA selben Ausstattung und Größe wie Fig. 379 yppj® getan haben.

||pS§f c) Eine solche (Meß-) Hebeschraube als Tangentenkippschraube zeigt auch das einfache (d. h. mit festem Fernrohr und fester Libelle gebaute) Breithauptsehe Nivellier Fig. 380, das schon zu Einwägungen II. 0. u. dgl. bestimmt ist: Fernrohr 34

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Öffnung, Vergrößrung 28, Trieb seitlich;- Dosenlibelle an der mit Mikrometerwerk versehnen Alhidade; Hauptlibelle 14" Teilwert, auf Wunsch durch Glasiiberzylinder geschützt und mit Libellenspiegel ausgerüstet.

d) Ein einfaches Nivellierinstrument, ebenfalls noch zu II. 0. ausreichend, von Fennel in Kassel, ohne Hebeschraube, zeigt ferner Fig. 381 im Längsschnitt. Die Hauptlibelle ist auch hier über dem Fernrohr angebracht (während sonst Fennel mit manchen andern Mechanikern gern die Hauptlibelle unter das Fernrohr legt, um sie besser zu schützen), Mikrometerwerk an der Alhidade vorhanden. Die

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Fig. 379.

Dosenlibelle ist ersetzt durch eine kleine Querlibelle g vorn auf dem Fernrohr, die mit LLt zusammen eine Kreuzlibelle von allerdings sehr verschiednen Komponenten bildet. Die erste Vertikalrichtung von VV₁ wird aber durch g ebenfalls sehr erleichtert, obwohl

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Fig. 380.

Öffnung, Vergrößrung 26,

eine Dosenlibelle, noch bequemer wäre. Fernrohr 34 Trieb seitlich; Hauptlibelle 20" Teilwert.

e) Ein Tesdorpfsches einfaches Nivellier (Sartorius Göttingen) ungefähr von derselben Leistungsfähigkeit (für II. 0.) mit Libelle unter dem Fernrohr zeigt

Öffnung, Vergrößrung 27fach, Trieb seitlich;

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Fig. 382 in Ansicht: Fernrohr 30

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Libelle 14" bis 16" auf den Strich von 2 mikrometerwerk, doch kann beides selbstverständlich angebracht werden.

Dosenlibelle fehlt, ebenso Alhidaden-

mm.

Von den Instrumenten der Klasse II. sind die früher auch für Einwägungen II. 0. viel gebrauchten Instrumente mit Ringfernrohr und darauf zu setzender loser Reitlibelle im allgemeinen nicht mehr von derselben Bedeutung wie früher für unsre Zwecke; sie sind stark zurückgedrängt worden durch diejenigen Instrumente der Klasse II., die feste Wendelibelle mit dem Ringfernrohr verbinden.

Ansicht: Fernrohr 27

mm

f) Ein Beispiel für die Nivelliere „mit vollkommen beweglichen Teilen“ (Fernrohr in Lagerringen dreh- und umlegbar, Libelle als lose Setzlibelle auf den Lagerringen) aus der schon genannten Kern sehen Werkstatt Aarau zeigt Fig. 383 in Öffnung, Vergrößrung 22 fach, Trieb seitlich; Hauptlibelle Setzlibelle von 20" mit oder ohne Aufsetzspiegel. Dosenlibelle auf dem Horizontalbalken; Mikrometerwerk an der Alhidade vorhanden, ebenso Elevationsschraube.

Bei der andern Gruppe von Instrumenten der Klasse II. (Ringfernrohr aber mit an diesem befestigter Libelle) kommt es vor, daß die Libelle einfach ist, wie die beistehenden zwei Figuren 384 und 385 zeigen mögen. Die erste ist nur ausnahmsweise hier aufgenommen, da das Instrument für die Aufgaben der Feinnivellierung bestimmt ist:

g) Bambergsches Feinnivellier (Modell der Preußischen Landesaufnahme), Öffnung, Vergrößrung 30 fach, Trieb unten, Sonnenglas für

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Fig- 384, Fernrohr 40 grellen Sonnenschein; Libelle nach Wunsch 4" bis 8" Teilwert als Kammerlibelle zur Blasenregulierung, Fassung mit Glas- und Tuchumhüllung zur Abhaltung ungünstiger thermischer Wirkungen. Dosenlibelle kann beigegeben werden, ebenso Spiegel für die Hauptlibelle; Elevationsschraube fehlt in Fig. 384.

h) Fig. 385 zeigt ebenso ein für II. 0. bestimmtes, nach amerikanischem Muster (in Deutschland nur für den Export) gebautes Nivellier mit Ringfernrohr und fester Verbindung der einfachen Libelle mit dem Fernrohr von G. Heyde-Dresden: Fernrohr terrestrisch, wobei die Triebbewegung auf den Objektivteil des Fernrohrs verlegt ist (beides in Amerika fast ausnahmslos verlangt), Trieb oben (in

der Mitte des Fernrohrs sichtbar) Objektiv 33 einfach, mit dem Fernrohr fest verbunden, Teilwert 15". Mikrometerwerk an der Alhidade, Dosenlibelle fehlt. Fuß mit vier Stellschrauben (ebenfalls fast stets in Amerika verlangt).

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Öffnung, Vergrößrung 30; Libelle

Neuerdings wird aber, wie bereits angedeutet, dem Ringfernrohr, wenn die Libelle fest damit verbunden werden soll, meist eine Wendelibelle beigegeben für die Nivelliere II. bis IV. 0.

i) Als Beispiel dazu sei nochmals ein Fennelsches Instrument gewählt und zwar ein mit Feinschraube ausgestattetes: Figuren 386 bis 388; diese zeigen Schnitt, Ansicht und Ansicht der Feinkippschraube (auch das Anschlagschräubchen für die Hemmung der Fernrohrdrehung wird hier sichtbar, wie auch in Schnitt und Ansicht über dem gegen das Objektiv gelegnen Ring der Stift (Anschlag) selbst sichtbar ist, p, im Schnitt). Fernrohr 34 mm Öffnung, 28 fache Vergrößrung, Wendelibelle 18" Teilwert; Dosenlibelle vorhanden. Der ganze obre Teil des Instruments ist um eine zur Stehachse senkrecht liegende Kippachse etwas beweglich, wie der Schnitt zeigt.

k) Daß die Wendelibelle jetzt auch für sehr feine Nivelliere (wo sie eigentlich weniger Bedeutung hat) gebraucht wird, mag schließlich das beistehend abgebildete Instrument von M. Hildebrand-Freiberg zeigen Fig. 389: Präzisionsnivellier mit um-

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Nivelliere mit Ringfernrohr. Einzelheiten zu Nivellieren.

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legbarem Lagerringfernrohr, mit kippbarem Oberteil und Eeinhebeschraube; Fernrohr Öffnung, 36 fache Vergrößrung, Wendelibelle o" bis 8" nach Wunsch. Statt der Dosenlibelle kleine Kreuzlibelle auf der Alhidade. Die Feinschraube für die Azimutalbewegung (Mikrometerwerk der Alhidade) drückt gegen einen Arm, der in der Mitte des Fernrohrträgers an diesem befestigt ist, so daß diese kleine Azimutalbewegung die Libelle nicht beeinflussen kann. Die Feinschraube der Kippbewegung hat 0,24

der Libelle vom Okular aus durch eine Lochscheibe, vor die ein für den Beobachter passendes Brillenglas geschoben werden kann, in doppeltem Libellenspiegel (für die Lagen: Libelle oben und Libelle unten) und Ringmarke auf dem Glasschutzrohr der

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Fig. 388.

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Libelle: Libellenspiegel so zu stellen, daß die sich spiegelnde Ringmarke vom Okular aus als Gerade erscheint. An diesem Instrument, allein unter den hier abgebildeten, sind auch an der Objektivfassung Richtschrauben (Zentrierschrauben) sichtbar, vgl. Nr. 102.; der Staubdeckel sitzt auf dem Objektivkopf ohne die Objektivfassung zu berühren Das Instrument geht über die Zwecke dieses Buches hinaus.

3. Einige Einzelheiten. Mit den vorstehenden „Typen“ sind die Konstruktionen der Nivelliere für II. bis IV. 0. hei weitem nicht erschöpft, so wenig wie die genannten Werkstätten etwa die einzigen empfehlenswerten Bezugsquellen für Nivelliere sind. Die geodätische Sammlung der Technischen Hochschule Stuttgart enthält 35 Nivellierinstrumente im engern Sinn (einige „Nivellier-Tachymeter“ eingerechnet, aber ohne die „Gefällmesser“) und nicht zwei dieser Instrumente sind einander gleich; und Bezugsquellen ließen sich hier sogar noch viel mehr nennen als für kleine Theodolite, besonders für die einfachen billigen Arten, weil das Zusaramensetzen eines für IV. oder III. Ordnung brauchbaren einfachen Nivelliers für jeden Feinmechaniker eine leichte Aufgabe ist, es kommt keine Kreisteilung in Betracht usf. Doch ist hier von der Aufzählung weitrer geodätischer Werkstätten für größre Nivelliere oder gar kleinrer Geschäfte für billige einfache Nivelliere abzusehen. Der Preis der Nivellierinstrumente i. e. S. schwankt zwischen etwa 50 Mk. für das einfachste Bauplatz-Instrument und 300 Mk. für ein feinres Nivellier II. 0. (endlich bis zu 700 oder 800 Mk. für ein Fein-Nivellier).

In Beziehung auf die Konstruktionen (nur für II. und niedrere Ordnung) sei nur noch Folgendes beigefügt:

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a)    Zuerst bei kleinen Freihand-Nivellieren und Gefall- und Neigungsmessern (vgl. z. B. 24. 4.) hat man die Blase der Libelle durch Spiegel oder Prisma in das Gesichtsfeld des Diopters oder Fernröhrchens herein reflektiert, so daß gleichzeitig die Ziellinie (Lattenablesung) und die Libelle ins Auge gefaßt werden kann. Dieser Möglichkeit sucht man sich bei gewöhnlichen Nivellieren durch den Spiegel über der Libelle oder besser neben der Libelle zu nähern, der wenigstens gestattet, ohne Verändrung des Standpunkts des Beobachters nur mit kleiner Erhebung oder Seitenverschiebung des Auges vom Fernrohrokular aus das Einspielen der Libelle kontrollieren, so daß auch damit praktisch ziemlich gleichzeitig Ziellinie und Libelle beobachtet werden kann. Dies ist vorteilhaft besonders dann, wenn für das Instrument kein besonders fester, gegen das Körpergewicht des Beobachters unempfindlicher Standort gewählt werden kann (ungünstigster Fall Moorboden u. dgl.). Bei großem Nivellieren ist jene Reflexion der Libellenblase ins Gesichtsfeld u. a. angewendet worden bei den Feinnivellieren des neuen französischen Präzisionsnivellements (von Berthelemy in Paris; „Niveau ä fiole independante et ä prismes“), in Deutschland hat besonders Tesdorpf (Stuttgart, jetzt Sartorius - Göttingen) viele solche größre Instrumente gebaut (z. T. nach Wagners Angaben) und unlängst ist eine ähnliche Anordnung mit Hilfe von Prismenflächen von Wild bei den neuen Nivellieren der Zeißschen Werkstätte (Jena) benützt worden, die auch sonst manches Bemerkenswerte zeigen (z. B. einfaches, sehr festes Stativ mit gleichmäßigem Gang der Stativbeine; der vollständig luft- und damit staub- und feuchtigkeitsdichte Abschluß des Fernrohrs; auch nicht Nachahmenswertes, wie zylindrischer statt konischer Zapfen der Alhidade usf.).

b)    Prismennivelliere in andrem Sinn stellt Fennel in Kassel her, indem er die Ziellinie des Fernrohrs durch zwei an verschiednen Stellen eingeschaltete Prismen bricht und so das Instrument auf viel kleinre Dimensionen und geringres Gewicht bringt als ein gleich leistungsfähiges Instrument mit geradem Fernrohr sie haben muß.

c)    Theodolit als Nivellier. Schon beim Theodolit (vgl. 55.3. f)) und besonders die Figg. 214, a) b) c) e)) ist mehrfach darauf hingewiesen worden, daß man auch das Theodolitfernrohr dadurch zum Nivellierfernrohr machen kann, daß man eine Libelle aufsetzt, die auch zur Horizontierung des Theodolits gebraucht werden kann (vgl. 58.1. d)). Ist sie fest mit dem Fernrohr verbunden und einseitig geschliffen, so ist sie nur für die eine Fernrohrlage des Theodolitfernrohrs wirksam, bei durchgeschlagnem Fernrohr nicht mehr. Man hat deshalb früher manchmal auf beiden Seiten des Theodolitfernrohrs in dessen Mitte eine kleine Öse angebracht zum Durchstecken eines Stifts, der zugleich an einer in die Öse passenden zweiten Öse die Libelle festhalten konnte, deren Füße auf zwei gut abgedrehten Ringen des Objektivrohrs saßen. Neuerdings ist die Wirkung der Libelle in beiden Fernrohrlagen viel einfacher zu erreichen durch die Wende-(Doppelschliff-)Libelle, vgl. oben bei der Klasse II. der Nivelliere und Nr. 102.

d)    Wie man so gelegentlich kleinre Theodolite auch als Nivellier gebrauchen kann, so werden anderseits vielfach Nivelliere auch mit kleinem geteiltem Horizontalkreis ausgerüstet, um einfache weniger genaue Winkelmessung damit machen zu können (z. B. auf einige ' oder 1', wobei aber bei kurzen Sichten entsprechend genaue Zentrierungsmöglichkeit über dem Winkelscheitel vorhanden sein muß), z. B. bei wenig genauen Zugmessungen, bei Angabe der Richtung von Querprofilen, in besonders eingerichteter Konstruktion bei den sog. Nivelliertachymetern (vgl. Bd. II. dieses Buchs). Besonders die Breithauptsche Werkstätte in Kassel hat an vielen Modellen ihrer Nivelliere solche kleine Horizontalkreise.

Ganghöhe) und Dosenlibelle ausgerüstet und erst auf

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e)    Ein Wort ist auch noch beizufügen über die Bestrebungen zur Beschleunigung der Aufstellung des Instruments. Es ist schon erwähnt, daß das Nivellier (im Gegensatz zu den meisten Anwendungen des Theodolits) seinen Standort im Laufe eines Tags im allgemeinen sehr oft zu wechseln hat und daß also viel darauf ankommt, die „allgemeine Horizontierung“ des Instruments möglichst schnell zu erreichen. Man hat namentlich noch durch besondre Einrichtungen des Stativkopfs zu helfen gesucht; zuerst in Amerika sind „quick levelling tripod heads“ aufgetaucht, an denen der Stativkopf durch eine schräg liegende Ebene zerschnitten und der obre Teil gegen den untern drehbar ist, wodurch noch rascher als durch grobe Stellschrauben die Neigung der Oberflächenebene des Stativs, auf der das Instrument steht, verändert werden kann. Ein ähnliches kleines Instrument von Banzhaf in Stuttgart für die -G. S. T. H. geliefert, an dem die Schnittebene in den Fuß des Instruments selbst nicht ins Stativ verlegt ist, ist befriedigend ausgefallen; doch sind solche Instrumente in Deutschland bis jetzt nicht weit verbreitet und man kann sich in der Tat auch auf viele andre Arten helfen. Es kommt in Beziehung auf die Schnelligkeit der „allgemeinen“ Horizontierung des Instruments sehr auf den Grund und Boden an, auf dem das Instrument aufzustellen ist: auf einer festen Chaussee oder glatten städtischen Straße ist durch Rücken der Stativbeine rascher als mit allen andern Hilfsmitteln die Dosenlibelle der Alhidade ungefähr einzuspielen, so daß wenige Griffe an den Fußschrauben genügen um die „allgemeine Horizontierung“ (Einspielen der Dosenlibelle) vollends herzustellen; auch auf weichem Grund (Acker, Wiese) kann durch Festtreten der Stativbeine leicht dasselbe erreicht werden. Anders auf „unregelmäßigem“ Grund, z. B. dem Schotterbett einer Eisenbahn oder ziemlich wenig regelmäßigem Pflaster; hier müssen die Beine des Stativs vielfach in Lagen festgehalten werden, in denen man von der allgemeinen Horizontierung noch weit entfernt ist. Statt alles notwendige Schrauben an den Fußschrauben des Instrumentdreifußes zu machen, die immerhin nicht sehr grob sein können (sogar nicht grob sein können, wenn keine Feinschraube zum genauen Einspielen vorhanden ist) hat man hier schon auf das Stativ einen besondern Telleraufsatz gelegt mit sehr groben Stellschrauben (Doppelgänge von mehreren ■diese mit wenig Umdrehungen der groben Schrauben nahezu horizontal zu legende Platte den Unterbau des Instruments gestellt (Jordan).

4. Behandlung des Nivellierinstruments Vieles, was über den Theodolit in 56. 7. gesagt worden ist, trifft auch hier zu. So soll man z. B. den Unterbau des Instruments, der stets stehend im Transportkasten untergebracht sein sollte, auch nur stehend transportieren. Ringfernrohr wird im Transportkasten zweckmäßig getrennt von der Alhidade untergebracht, ebenso Setzlibellen. Beim Bahn- oder Wagentransport ist, besonders wenn man das Instrument nicht selbst mitführen kann, alles gut zu versichern, z. T. noch mit Bindfaden festzubinden (z. B. die Klemme •eines etwa vorhandnen Alhidadenmikrometerwerks) und für stehenden Transport des Kastens zu sorgen. Für lange Bahntransporte ist ferner der freie Raum im Kasten mit geeignetem Material (Holzwolle nur in kleinen Päckchen mit Seidenpapierumhüllung) gut auszustopfen. Für kurze Transporte bei der Arbeit kann das Instrument nicht in den Kasten gebracht werden, muß vielmehr (bei II. und niedrerer Ordnung unbedingt, bei I. 0. werden oft manche Teile abgenommen) auf dem Stativ bleiben und mit diesem getragen werden; es ist dabei für gutes Anziehen der Feder an der Zentralschraube zu sorgen, so daß das Instrument nicht beim Tragen schwankt. Alle Stöße und starken Erschüttrungen schaden dem Instrument und der Erhaltung* seiner Berichtigung; auch die Nivelliere belohnen sorgfältig schonende Behandlung durch größre Genauigkeit und Leistungsfähigkeit bei der Arbeit und durch längre Dauer. Den Transportkasten, in dem das Instrument vom Haus her getragen worden ist, läßt man vielfach am Ort des Beginns der Tagesarbeit oder gelegentlich während dieser zurück; es ist aber, wenn der Lattenträger nicht den leeren Transportkasten als Tornister mittragen soll, jedenfalls eine Gummikappe mitzunehmen, die an einem der Stativbeine festgebunden wird und die bei Regen das Instrument vollständig bis weit über den Stativkopf herab bedecken und unten zusammengebunden werden kann. Solche Kappen, deren Inneres aber rein zu halten ist, halten die Instrumente stundenlang trocken. Regentropfen auf dem Instrument werden am besten sofort mit ganz weicher oft gewaschner Leinwand abgetupft; es ist auch bei Anwendung eines Schirms in leichtem Regen, der weiterzunivellieren gestattet, und beim Überstülpen des Gummiüberzugs, beim Transport zwischen zwei Instrumentenständen nicht zu vermeiden, daß das Instrument Regentropfen erhält. Für jede feinre Nivellierung, z. B. schon II. 0. ist ebenso wichtig, das Instrument auch gegen Sonnenschein durch übergehaltnen Schirm zu schützen. Die Instrumente sind tunlichst vor großer Hitze und Kälte zu bewahren und es sind namentlich auch schroffe Temperaturwechsel zu vermeiden. Die vielfach übliche schwarze Farbe *der Lackierung der Instrumente ist für feinre wenig zweckmäßig und das unüberzogen gelassne Messing blendet zu sehr; hellgrauer oder graugrüner Überzug der Metallteile ist zweckmäßig. In Amerika werden vielfach die Außenflächen von Fernrohr, Libelle, ja die ganzen Alhidaden (alles außen nur roh bearbeitet) dicht mit filzartigem Stoff überzogen, was ganz zweckmäßig ist, nur sollte die Farbe des Stoffs statt der üblichen ganz dunklen, meist grauschwarzen, eine lichte sein.

Im Transportkasten sind wie beim Theodolit untergebracht: Schraubenzieher, •Tustierstift, Flasche mit feinstem Knochen- oder Fischöl (Uhrmacheröl), Staubpinsel, Sonnenblende (Blechrohr zum Aufstecken auf die Objektivfassung, wenn Ablesungen nahezu gegen die Sonne gehen), Stücke von ganz weichem Leder und ganz weicher Leinwand (am besten in einem Kästchen seitlich an der Kastenwand). Ein Zettel mit Verzeichnis der in den Instrumentenkasten gehörigen Gegenstände soll am innern Kastendeckel sein. (Staubdeckel für Objektiv und für Okular des Fernrohrs hei Verpackung aufzusetzen nicht vergessen; dieser bei den Instrumenten aus vielen Werkstätten unrichtigerweise nicht vorhanden). Wenn nicht vom Mechaniker durch angeklebte Zettel die Lage der Instrumententeile im Transportkasten genau bezeichnet ist, so bringe man selbst solche Zettel an, besonders in Kästen wenig gebrauchter Instrumente. Die "Fußschrauben sollen in ihren Muttergewinden in den Unterbau armen, stets etwas Öl haben, ebenso Klemm- und besonders Feinschraube des Alhidadenmikro-meterwerks, endlich sonstige Feinschrauben (Hebeschraube; diese auch an der Spitze, damit sie sich nicht ins Metall einfrißt). Am meisten der Abnutzung ausgesetzt sind die Umdrehungsachse und der Okularauszug des Fernrohrs; jene ist stets leicht geölt zu halten (vorher alles Öl aus der Büchse mit großer Sorgfalt entfernen; Büchse und Zapfen auch kleiner Nivelliere sind ebenso peinlich sorgfältig zu behandeln wie am Theodolit); starke Ölung ist überall zu vermeiden, da sie durch Anhäufung von Staub nur zu Schmutzkrusten Veranlassung gibt. Aus den Muttern von Schrauben, aus diesen selbst usf. ist eine solche Kruste mit Benzin zu entfernen (keinen Spiritus an wenden!). Auch der Okularauszug soll an der Stelle, wo die Schleiffeder andrückt, stets etwas Öl haben. Die Fernrohrlinsen, falls sie bestaubt oder feucht geworden sind, werden mit ganz weicher oft gewaschner Leinwand abgerieben, die aber nur ganz leicht darüber geführt, nicht stark reibend angedrückt werden darf, besonders das achroma-

tische Objektiv nach dem Herausnehmen sehr sorgfältig behandeln und dessen Gewinde schonen, damit die Zentrierung nicht Not leidet.

Zwei besonders widerwärtige Ereignisse während der Nivellierarbeit können die zwei Hauptteile des Instruments betreifen: die Zerstörung der Libelle (Springen des Libellenglases durch zu starke Erhitzung usf.) und die Zerstörung der Ziellinie. Beim einfachen Nivellier legt man die Libelle gern unter das Fernrohr, wie schon angegeben, besonders wenn sie leicht beschädigt werden kann (z. B. Nivellieren in einem Stollen, wo die kleinsten von oben herabfallenden Steine usf. die Libelle unbrauchbar machen können); ist die Libelle eine Setzlibelle, so soll der Instrumentenkasten jedenfalls eine Reservelibelle enthalten. Solche Reservelibellen (auch wenn man sie selbst erst befestigen oder anschrauben muß) sind besonders wichtig für Instrumente, die weit entfernt von einer genügenden mechanischen Werkstatt zu gebrauchen sind. Die Zerstörung der Ziellinie durch Bruch oder Schlaffwerden (infolge großer Feuchtigkeit) des Horizontalfadens ist dann weniger lästig, wenn der Nivellierende selbst einen Faden einziehen kann, wozu aber große Übung gehört, Man ist diesem Zufall nicht ausgesetzt bei „Fadenkreuzen“ auf Glas, die sich aber bei großer Feuchtigkeit leicht beschlagen und bei denen die Reinigung der Glasfläche nur mit größter Vorsicht möglich ist (spitzes weiches Holzstäbchen, vorn mit ange-bundnem weichem Leinwandbäuschchen, ganz leicht über die Glasfläche führen von beiden Seiten). Jedenfalls ist (besonders wieder für Nivelliere in Gegenden weitab von einem Mechaniker) das Mitführen eines Reservefadenkreuzes zu raten, das selbstverständlich auch für die ursprünglich mit Spinnfäden versehnen Fernrohre ein Glasfadenkreuz sein kann. Statt der Striche auf Glas wendet man neuerdings vielfach auf das Glasplättchen photographierte Striche an, wobei die Seite des Gläschens mit der lichtempfindlichen Schicht durch ein zweites aufgekittetes Deckgläschen geschützt ist. Diese Strichkreuze sind äußerst haltbar; ein solches Reservefadenkreuz, auf einer in das Fernrohr passenden Blende befestigt, kann sehr viel Ärger ersparen. Um den alten Blendring mit dem gebrochnen Faden (oder dem trübe gewordnen Strichkreuz) zu entfernen, nimmt man den Okularauszug aus dem Fernrohr heraus (vgl. z. B. Fig. 381, f 7), entfernt ferner aus ihm das Okular (die Doppellupe f 9) und zieht die Haltschrauben des Blendrings soweit zurück, daß dieser ganz frei wird. Stellt man den Okularauszug aufrecht auf die Stelle, wo nachher wieder das Okular einzusetzen ist, so wird der Blendring herausfallen, höchstens kann man von oben mit einem langen Holzstäbchen etwas nachhelfen müssen. Kehrt man den Okularauszug um, so kann man den neuen Ersatzblendring mit den Strichen auf Glas sorgfältig hineinfallen lassen und nach richtiger Drehung die Haltschrauben des Fadenkreuzes hineinschrauben, endlich das Okular wieder einsetzen. Wer lieber Fäden anwendet als Glasstriche, soll einen ganzen zweiten Okularauszug als Reserve haben, wenn er nicht selbst einen Faden einziehen kann; mehrere Okularauszüge sind großen Nivellieren (für I. 0. z. B.) ohnehin häufig beigegeben, damit man verschiedne Vergrößerungen des Fernrohrs wählen kann. Manche Werkstätten geben aber auch Nivellieren, die nur mit einer Vergrößrung des Fernrohrs verwendet werden sollen, einen ganzen Reserveokularauszug mit.

gelegentlich verwendet, meist sind dabei lange Latten mit leichten Verlängrungsstücken (zum Aufstecken, „Aufsatteln“) versehen, die nach Bedarf zugefügt oder weggelassen werden können, ferner kommen für solche weniger genaue Arbeiten allerhand

1(M). Nivellierlatten für II. O. und für geringre Genauigkeit. Zubehör. 1. Allgemeines. Der zweite Teil des Nivellierapparats neben dem Instrument i. e. S., von diesem ganz getrennt, ist die Nivellierlatte oder Latte, ein geteilter Maßstab von (im Freien) 2 m, 3 m, 3¹/₂m, 4m Länge; bei Arbeiten untergeordneter Genauigkeit werden auch längre Latten von 5 m und selbst 6 m 4 m

Klapp- und Schiebelatten vor, für den Transport auf bequeme Länge reduzierbar. Für Nivellierung II. 0. nimmt man in der Iiegel 4 lange Latten, auch bei beträchtlichen Höhenunterschieden keine langem Latten; bei feinem Einwägungen kürzre Latten von 3 m oder weniger, weil je kürzer die (hölzerne) Latte ist, desto gleichmäßiger über die ganze Länge ihr Verhalten gegen thermische und hygroskopische Einflüsse sein wird und weil solche feine Einwägungen doch nur auf Linien von geringer Neigung ausgeführt werden, wo kurze Latten ausreichen. Notgedrungen (wegen mangelnden Raums) sind oft die Latten ebenfalls sehr kurz, z. B. für Einwägungen in den Stollen eines Bergwerks oder eines Tunnels nur 1 m oder dgl. hoch oder als „Hängelatten“ zum Anhängen an der Decke noch weniger lang, oft sogar als auf Stativen nur wenige Dm lang.

Wechselpunkte an aufzusteckende Milchglasskalen

Das Material unsrer Latten ist in der Regel Holz, nur für ganz feine Nivellierungen kommen daneben neuerdings andre Materialien in Betracht (z. B. eigentlicher Maßstab in den sog. Kompensationslatten ein Invarstab oder Invardrabt (vgl. 25. Schluß); auch Aluminiumlatten, Emaillatten sind versucht worden. Für sehr feine hölzerne Latten wird Mahagoniholz verwendet, sonst recht altes, gut getrocknetes, mit Öl getränktes und sorgfältig mit Ölfarbenanstrich versehnes Fichten- oder Tannenholz. Den Querschnitt der Latten nimmt man entweder einfach rechteckig (nur für kurze

Skale

Skale.

■Skale

1. Skale.

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2.Skale.

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M-l:5.

Fig. 390.

M‘ l:5.

Fig. 392.

M-V5 Fig. 391.

Latten und untergeordnete Zwecke, z. B. für die vorhin genannten Aufsatzstücke von 1 oder 2 m Länge; Fig. 390); besser mit einer Versteifungsrippe B auf der Rückseite Fig. 391; für feinre Latten wird vielfach der Kastenquerschnitt genommen, rechteckig von etwa 12 cm/4 cm, wobei das vordre oder hintre Holz ziemlich dünn sein kann, damit die Latte leicht bleibt, Fig. 392 (dreieckiger Querschnitt dieser Art ist z. B. in Dänemark angewendet worden); für Nivellierung II. oder III. 0. sind neuerdings Latten mit „Doppel-T“ Querschnitt sehr allgemein üblich geworden, symmetrisch und bequem die Anbringung einer Skale auf beiden Seiten gestattend (Reversionsoder Wendelatte; oder zwei Skalen von verschiedner Feinheit auf beiden Seiten), Fig. 393. Bei den zwei letzten Querschnitten sind die Skalen (und dies ist sehr willkommen) durch die vorstehenden Rippen gut geschützt (diese sollten in Fig. 393 etwas weniger vorstehen, damit nicht u. U. Schatten auf die Teilung fällt). Am Fuß ist die Latte mit einem soliden Eisen- oder Stahlschuh versehen, wobei feine Latten entweder „gerade abgeschnitten¹¹ werden (Aufsetzfläche ist eine genau ebene Stahlplatte, die genau senkrecht zur Längsachse der Latte liegt) oder auch, um einen bestimmten Punkt als Aufsetzpunkt zu bezeichnen, mit einer kugelschalenförmigen Vertiefung in dieser Stahlplatte versehen mit der die Latte auf den nach z. B. einigen halbmesser abgerundeten Dorn einer Unterlagsplatte zu setzen ist (gefährlich, weil man glauben kann, der Dorn sitze in der Pfanne, während noch ein Stück des Stahlbleches, nicht die Vertiefung, auf dem Dorn liegt). Latten für Einwägung II. 0. dagegen tragen vielfach und zweckmäßig umgekehrt unten an dem Eisenschuh den

Fig. 393.

mm

Krümmungs-

Dorn (Zapfen oder Stollen), der in eine Vertiefung (Pfanne, Kalotte) der Unterlagsplatte einzusetzen ist oder mit dem die Latte sonst auf den Punkt gesetzt wird, auf dem abzulesen ist. Diese Einrichtung des (etwas abgerundeten) Stollens unten an der Latte ist die beste für II. 0. usf.

In bequemer Handhöhe muß die Latte zu beiden Seiten Handgriffe bieten; früher waren es meist abschraubbare gerade Hölzer, z. B. bei einer Verstärkungsrippe auf der Rückseite der Latte an jener angebracht Fig. 394, neuerdings sind es in der Regel fest mit der Latte verbundne Bügel nach Fig. 395 (nach den Stuttgarter Latten) oder auch nach Fig. 396 an den Seiten des Doppel-T-Querschnitts angeschlagen. Bei zeitweiliger Nichtbenützung einer Latte auf dem Feld ist es am besten, sie hochkantig auf den Boden an einen trocknen Ort und in den Schatten zu legen (nicht in nassem Gras legen, nicht grell von der Sonne beschienen schräg an die Wand lehnen). Zu Haus wird die Latte am besten aufgehängt und zwar an einem durchaus zugfreien Ort; in die Latten der G. S. T. H. St. sind zu dem Zweck oben Drahthaken eingelassen und an diesen hängen, nicht in unmittelbarer Nähe einer Wand, an einer Eisenschiene ganze Reihen von Latten, die sich so besser gehalten haben als bei dem frühem hochkantigen Liegen auf horizontaler Unterlage. Auch die Latten lohnen gute Behandlung durch längre Dauer, die sehr groß werden kann; man stoße sie nie auf den Boden, schütze sie sorgfältig vor dem Umfallen (wobei sie ganz zerstört werden können) und vermeide so viel als möglich, sie sehr großen Temperaturschwankuugen auszusetzen. Sehr wichtig ist, daß möglichst sofort jede, auch die kleinste notwendig werdende Ausbessrung am Anstrich und an der Bemalung (Teilung) der Latte ausgeführt wird, was man sehr leicht selbst besorgen kann.

Handgriff.

V.

Feine Latten sollten stets in einem Lattenüberzug aus Hancj Leinwand transportiert Griff, werden.

cv.wr.

Handgriff.

M-1'9

Fig. 395.

M-l:9.

Fig. 396.

Fig. 394.

Bei feinen Nivellierungen kommen heute fast stets zwei Latten, bei Nivellierung II. 0. und geringrer Genauigkeit (wenigstens beim Nivellieren von Linien) häufiger nur eine Latte für dasselbe Instrument zur Verwendung.

Da man jetzt nur „Latten zum Selbstablesen“ (vom Standpunkt des Instruments aus mit dessen Fernrohr) anwendet, so ist die Teilung der Latte mit entsprechend großer Beziffrung zu versehen, s. u. Die Latte ist bei der Arbeit vertikal zu stellen; bei Nivellierung I., II. und selbst III. 0. ist dazu eine besondre Vorrichtung an der Latte erforderlich,, vgl. ebenfalls u. 4.; endlich ist zur sichern festen Aufstellung der Latte vielfach eine Unterlagsplatte (Fußplatte, Bodenplatte) aus Gußeisen erforderlich, s. u. 5.

Was nun die Teilungen der Nivellierlatten betrifft, so unterscheiden sie sich

a)    im Betrag des kleinsten Teils, der noch unmittelbar auf der Lattenskale angegeben ist, dieser beträgt bei Nivellierungen I. 0. neuerdings vielfach 2 mm lierung II. oder III. 0. nimmt man stets eine 1 cm-Latte, die also für unsre Zwecke als wichtigste gelten kann, für noch geringre Einwägungen vielfach zweckmäßig die V₂ 2m-Latte oder die 1 2m-Latte.

(ja 1

mm), sonst 4 mm oder 5 mm.

Für Nivel-

b)    In Beziehung auf die Art der Einteilung (Bemalung oder sonstige Bezeichnung dieses kleinsten Teils und größrer Einheitsabschnitte der Latte) hat man besonders zu unterscheiden: Strichteilungen (die kleinsten Teile sind nur durch Striche, wie z. B. auf dem gewöhnlichen Taschenmaßstab oder auf Zeichenmaßstäben, von bestimmter Stärke bezeichnet) und Feld- oder Felderteilungen (bei der einfachen folgen sich weiß und schwarz oder weiß und rot bemalte „Felder“ des kleinsten auf der Latte angegebnen Teils; bei der doppelten Felder- oder Schach-bretteilung stehen zwei Felderteilungen unmittelbar nebeneinander, in den Farben versetzt).

Wir wissen schon aus der Betrachtung in 69. 3. mit Fig. 370, daß es eigentlich gleichgültig ist, ob der Auf setzpunkt einer Nivellierlatte zugleich der Anfangspunkt (Nullpunkt) ihrer Teilung (der „Nivellierskale“) ist oder nicht. Dieser Aufsetzpunkt ist bei gerade abgeschnittnem Fuß ein Punkt der Stahlebene der Abschlußplatte, bei Vertiefung in diesem Fuß der oberste Punkt der Kalottenhöhlung, bei einem „Stollen“ an der Latte der tiefste (unterste) Punkt dieses Stollens. Nicht gleichgültig ist eine Abweichung (beliebiges konstantes Stück) zwischen Nullpunkt der Skale und Aufsetzpunkt einer Latte nur bei einer bestimmten Aufgabe gewöhnlicher Nivellements (Herstellung eines Punktes von gegebner Höhe durch Projektion des Fadenkreuzes [Horizontalfadens] auf eine vertikale Fläche oder Linie), vgl. unten beim Längennivellement, und insbesondre dann, wenn in einem und demselben Nivellement verschiedne Latten, z. B. abwechslungsweise eine andre bei Rückblick und Vorblick verwendet werden; in diesen zwei Fällen muß man die Lage des Nullpunkts der Skale gegen den Aufsetzpunkt der Latte genau kennen.

2. Einiges über Feinnivellierlatten. Obwohl wir die Instrumente für ° . . .

Feineinwägungen im allgemeinen ausschließen (vgl. z B. die Überschrift dieser Nr. 100.)

sollen doch hier einige Abbildungen von Latten für Feinnivellements eingefügt werden,

u. a. um die Verschiedenheit der Teilungen und Beziffrungen zu zeigen.

-Felder-Teilung. Die Latte Die Beziffrung ist nach Halb-3m

-cm

cm.

Um zuerst die Latten der zwei wichtigsten norddeutschen, in 98. 1. erwähnten Feinnivellementsnetze abzubilden, ist in Fig. 397 ein Stück einer Latte der preußischen Landesaufnahme gezeichnet (GL S. T. H. St., von Wolz in Bonn geliefert); es ist eine ,,Kastenlatte“ mit einfacher rotweißer Halb ist 3 m lang, der Kastenquerschnitt 11 x3y2 gemacht und zwar doppelseitig in verschiednen Zahlen: links von jedem (k-Strich stehen (0) 01, 02 .... 60, von unten nach oben fortschreitend, rot, rechts von oben nach unten x 40, x 41, .... x 99 (x 100), schwarz. Das Zeichen x bedeutet „dekadische Ergänzung“, zwei einander an demselben Strich gegenüberstehende Zahlen geben zusammen stets 100 (R3m). Auf dieser Latte ist nicht bei einspielender Libelle des Nivelliers und mit Schätzung von l/₁₀ des kleinsten Teils (also hier auf ¹/i mm) abzulesen, sondern es ist mit dem Horizontalfaden des Fernrohrs jedesmal eine in der Nähe der Ablesung mit horizontaler Zielung liegende Feldmitte einzustellen und

die Neigung der Zielung durch Ablesung der zwei Enden der Libellpnblase an der durchlaufenden Libellenteilung zu bestimmen; hiernach und aus der (konstanten) Zielweite ist jedesmal die Reduktion der Einstellung auf die Ablesung, die mit

horizontaler Zielung erhalten worden wäre, zu berechnen.

Neuerdings hat die Landesaufnahme eine andre Latte, von der Fig. 398 ein kleines Stück ahbildet, verwendet, nämlich eine reine Halb--Strich-Teilung, die ganze Skale ebenfalls 3 m lang und die Latte von demselben Querschnitt wie die vorige. Auch auf ihr ist nicht abzulesen mit Zehntelschätzung (wozu schon die Striche zu stark wären), sondern das Fernrohr des Nivelliers ist mit doppeltem Horizontalfaden ausgerüstet und mitten zwischen die Fäden dieses ,,Doppelfadens“ wird ein Strich der Latten-Strichskale genommen, wobei abermals die Libelle an den Blasenenden abzulesen und die Reduktion der Einstellung wie vorhin angedeutet zu bestimmen ist.

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Vorderseite.

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Rückseite.

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Fig. 398.

Fig. 399.

Fig. 400.

Auch bei dem Seibtschen Feinnivellierverfahren (vgl. 98. 1.) wird die Mitte eines weißen Feldes der Latte mit dem Horizontalfaden des Fernrohrs eingestellt; das dabei verwendete Lattenpaar ist in Fig. 399 in Ansicht gegeben, in Fig. 400 ist ein

Hammer: elementare praktische Geometrie.

41

Stück der einen größer dargestellt nach Photographie der Latten in der G. S. T. H. St. (von Breithaupt). Die Skale zeigt einfache 4 Rückseite sind unterschieden; die Zahlen sind große Doppel-Dm-Zahlen, vom Strich halbiert, schwarz weiß und rotweiß gemalt. Auch diese Latten sind 3 m lang.

mm

-Feldteilung, Vorderseite und

Bei andern Feinnivellierungen ist man bei der Ablesung an der Latte mit einspielender Libelle stehen geblieben, z. B. bei dem neuen französischen Feinnivellement (L allem and, vgl. 98.1. Schl.). Die dort verwendete Latte ist dabei eine reine Strichskale, hat aber drei verschiedne Teilungen neben einander: 1 cm-Skale mit liegender (über den Strich herüber gestellter) IW-Beziffrung, daran anstoßend halb-cm-Skale, wieder daran anstoßend 2mm-Skale, die mit selbständiger kleiner cm-Beziffrung, ebenso liegend, versehen ist. In jeder dieser Strichteilungen

ist die Strichstärke x/6 des Teilungsintervalls

(i7s

Skale, % mm in der 2 Skale); die 1

091

9W

Fsw

2H

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mm

bei der 1

c tri

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621

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mm-

- Skale wird bei Zielungen über 85 m Länge (bis 170 m) benützt, die x/₂ cm-Skale bei Ziel weite zwischen

cm

35 m und 85 m, die 2 Skale bei Zielungen <( 35 m. Mit der Latte sind gute Erfahrungen gemacht worden. Auch z. B. in der Schweiz ist man bei Einwägungen I. 0. auf Gebirgsstraßen (Hilfiker bei Nivellierungen auf den Großen St. Bernhard, ferner über und durch den Simplon) zur Ablesung auf sehr fein geteilter Latte bei einspielender Libelle zurückgekehrt. Die Lattenskale ist eine Kombination der Schachbrett- und 0,565. Strichteilung: die weißen 1cm-Felder jener Teilung sind mit feinen Strichen in 1 mm-Strich-teilung zerlegt, jedes voll beziffert; Fig. 401 (Kopie nach Band XII der Veröff. d. Schweiz. Geod. Kommiss., Zürich 1910). Alle diese Latten für Feinnivellements müssen bequeme Feststellung der „Länge des Lattenmeters“ gestatten; der Erfolg der Feinnivellierung hängt von

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Fig. 401.

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Fig. 402.

0,756.

cm

genügender Genauigkeit und Häufigkeit dieser Feststellung ab, sobald bedeutendere Höhenunterschiede in Betracht kommen. In den Latten der preußischen Landesaufnahme sind an bestimmten Stellen zwei kleine Silberplättchen mit feinen Querstrichen eingelassen, deren Abstand mit dem 1 m - Strichnormalmaß (Temperatur zu berücksichtigen) unmittelbar auf yß0 für jeden einzelnen Strich der Latte der Fehler seiner Entfernung vom Nullpunkt (für eine bestimmte Temperatur und einen bestimmten Feuchtigkeitszustand der Latte) bestimmt werden; jedoch ist die Berücksichtigung dieser Zahlen für jeden einzelnen Strich bei der Rechnung eines Nivellements zu mühsam und man begnügt sich auch für feine Messungen mit einer Korrektion ,,pro Meter Höhenunterschied“, wobei allerdings die Länge des Lattenmeters jeden Tag festgestellt wird. Zur Bestimmung des Fehlers jedes einzelnen Strichs muß jeder Strich, der mit dem Reißer der Längenteilmaschine auf dem Holz gezogen worden ist, trotz des Ölfarbenanstrichs sichtbar sein. Wir können hier auf diese Dinge nicht weiter eingehen.

abgelesen werden kann. Eigentlich sollte

mm

3. Latten für II. und III. 0. Das für II. und III. 0. festzuhaltende Nivellementsverfahren ist: Ablesung auf der Latte bei einspielender Libelle des Instruments, bei II. 0. stets Zehnt elschätzung am Horizontal-faden (also Ablesung auf 1 mm) an der 1 cm-Latte, bei III. 0. entweder ebenso, aber auch auf größre Zielweiten, oder besser auf % cm abgerundet mit großen Zielweiten. Die 1 cm-Latte für II. und III. 0. ist meist 4 m lang.

Auch bei diesen Latten kommen die größten Verschiedenheiten vor; immerhin wird hier reine Strichteilung nur ausnahmsweise verwendet, meist dagegen einfache oder doppelte 1 cm -Felderteilung mit 2m-Beziff-rung gebraucht.

Eine Latte mit einfacher Feldteilung, wie sie vielfach üblich ist, zeigt Fig. 402. Die eigentliche Skale, an der abzulesen ist, befindet sich in der cm-Teilung der linken Kante, an der rechten ist nochmals eine schwarz-weiße 12m-Übersicht gegeben (zweckmäßig jedes ungerade dm weiß, jedes gerade 2m schwarz, wie denn auch bei der cm-Bemalung der Feldteilung die cm in denen 0, 2, 4, 6, 8 abzulesen ist, schwarz, die ungeraden weiß gehalten sind). Die 2m-Zahlen 0 bis 40 sind auf den Strich (über den Strich herüber) gesetzt, das durch die Zahl bezeichnete dm beginnt in dem Zahlstrich. Die Zahlen werden meist umgekehrt auf die Latte geschrieben, damit sie im Fernrohr aufrecht erscheinen; dies ist mindestens überflüssig, weil man sich doch daran gewöhnt hat, im astronomischen Fernrohr alles umgekehrt zu sehen, es stört nur, wenn allein die Zahlen aufrecht stehen. An fast allen Latten, die in Norddeutschland gebraucht werden, sind übrigens die Zahlen anders angegeben, als in der Fig. 402 angedeutet ist, nämlich nicht über den Strich herüber-, sondern auf den Strich gestellt, innerhalb des 2m, der bei der Zahl beginnt. An fast allen diesen norddeutschen Latten sind aber ferner die 2m-Zahlen zu klein, was bei Ablesungen auf größre Zielweiten, z. B. bei III. 0., sehr unbequem ist.

Ein andrer Übelstand von Latten, wie der obenstehenden, ist in der einfachen Felderteilung begründet (Fig. 402): es ist leicht an dem selbst dunklen Faden auf einem weißen

-Feld

-Feld abzulesen, aber weniger bequem auf einem schwarzen abzulesen, man muß auch z. B. (vgl. Fig) die Ablesung 0,565 an andrer Stelle der Skale machen als die Ablesung 0,756. Die weißen Felder erscheinen bei kräftiger Be-

cm

cm

cm-

41

leuehtung infolge der Irradition viel breiter als die schwarzen. Es ist deshalb besser, statt der einfachen Felderteilung die Schachbrett-Teilung zu wählen, s. u. Die in England und Amerika mehrfach gewählte Einrichtung der feinen Spitzen (von feinen Drähten) in der Mitte des Fernrohrgesichtsfelds, statt der durchgehenden Fäden ist in Deutschland nirgends nachgeahmt worden; vgl. die Figg. 403, 404a) und 404b) (zum Vergleich, namentlich bei starken Fäden, an Feld- und an Strichteilung). Eine in Beziehung auf die Zahlengröße verbesserte Latte norddeutscher Art mit einfacher -Feldteilung zeigt Fig. 405, Latte von Fennel; 3m-Zahlen wie gewöhnlich

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Spitze

Faden

IIII

Faden

Spitze

Spitze

Fig. 403.

Fig. 404 b.

Fig. 404 a.

mm

cm

innerhalb des Felds gestellt, das durch sie bezeichnet sein soll, aber nahezu 40 hoch (je genau bis zum cm-Strich 4 reichend aber einige mm über dem 3m-Strich beginnend); auf dem Rand ist eine Übersicht nach Halb-3m gegeben, was gut wirkt. Die Dezimalkomma könnten wegbleiben, sie machen das Bild der Latte nur unruhiger. Abgelesen wird auch, wenn 3m ohne Komma angeschrieben sind, an der -Latte stets nach Metern, 2,314, nicht 23,14; 0,875, nicht 8,75.

Die (notgedrungen) ziemlich, geringe Größe der <)m-Zahlen auf norddeutschen Latten ist mir immer, besonders bei Ablesungen auf größre Entfernungen unbequem vorgekommen; das in Württemberg seit Jahrzehnten übliche Verfahren ist mir viel zweckmäßiger erschienen, die Zahlen groß und nicht an den Anfang, sondern in die Mitte des dm-Felds zu schreiben, das sie bezeichnen sollen. Bei fast allen 1 cm-Latten der G.

S. T. H. St. sind die dm -Zahlen als Skelett - Zahlen genau in die Mitte des dm - Felds, genau 6 cm hoch vom cm - Strich 2 bis zum cm - Strich 8 reichend aufgemalt, die Skale ist eine doppelte Felderteilung. Diese Anordnung ist noch von meinem Amtsvorgänger Prof. Dr. Scho der getroffen worden, aber erst seit einigen Jahren von Verwendern dieser Latten und von Werkstätten (Tesdorpf) veröffentlicht worden. Ein Stück einer solchen Latte zeigt Fig. 406, Sm-Zahlen (ohne Komma) wie bemerkt 60 mm hoch in der Mitte der 2m-Felder, am Rand eine 2m-Ubersicht, neben der cm-Skale eine ftüm-Übersieht.

Viele sonstige Latteneinteilungen fallen besonders durch Aufwand von mehr als zwei Farben ins Spielende und wirken nur unruhig.

Eine 1 cm-Strichlatte, von Fennel-Kassel, zeigt Fig. 407; die 3m-Zahlen stehen klein neben den 3m-Strichen, doppelt, nämlich in dekadischen Ergänzungen, die einen mit x bezeichnet und die zwei Zahlen an demselben 3m-Strich zusammen je 10,0 gebend, vgl. oben in 2. Für die Nivellierungen II. O. usf. ist die Einrichtung weniger wichtig. Eine andre Strichlatte (von Salmoiraghi Mailand) zeigt Fig. 407a).

Das Ende dieser Latten für II. und III. O. ist unten ebenfalls entweder gerade abgeschnitten oder, meist zweckmäßiger, als Dorn („Stollen“) ausgebildet, dieser nach unten sich verjüngend und abgerundet, so daß die Latte auch auf ebner Fläche

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Latten für II. und III. 0.

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Fig. 405.

Fig. 406.

Fig. 407.

Fig. 407 a.

(JStollen dafür zu sorgen, daß jede Ablesung nur auf einer der zwei Lattenskalen vorkommt, z. B. sind die 2m-Felder der „Vorderseite“ mit 0 bis 40, die der „Rückseite“ mit 41 bis 81 bezeichnet, so daß 1,379 nur auf der Vorderseite, 7,115 nur auf der Rückseite abgelesen sein kann. Auch ist dafür zu sorgen, daß die cW-Striche von Vorder- und Rückseite nicht koinzidieren, sondern um ein unrundes (konstantes) Maß auseinanderliegen.

nur mit einem Punkt aufsitzt, vgl. Fig. 408; wie dieser Aufsetzpunkt zum Teilungsnullpunkt liegt, ist, wie schon mehrfach betont, gleichgültig. Eine Latte z. B., deren untrer Teil notgelitten hat, kann in 1, 2, 3 3m. abgeschnitten werden und bleibt dann, aufs neue mit dem Schuh versehen, dienstfähig.

Eine Wendelatte (Reversionslatte) für II. 0. bietet auf jeder der zwei Lattenseiten (bei Querschnitt nach Fig. 393) eine 1 cm-Skale, z. B. die Doppelfelderteilung von Fig. 406. Damit die zwei Seiten der Latte ohne weitres und unbedingt sicher auseinandergehalten werden in den Ablesungen, ist

Pig. 408.

Die Art der Teilung bei der Herstellung solcher 1 cm-Latten für II. (und III. 0.) kann natürlich nicht mehr die gleich sorgfältige wie bei Latten für I. 0. sein, wo (vgl. oben 2. Schluß) Strich für Strich der Lattenskale direkt mit dem Reißerwerk einer Längenteilmaschine gezogen werden muß. Die Latten für II. 0. dürfen nicht über 15 bis 30 jft kosten (die für I. 0. sind 5 bis 10mal teurer). Man überträgt deshalb bei den Latten II. 0. in der Regel nur noch die Meterstriche oder Halbmeterstriche einer langen Komparatorteilung direkt mit dem Reißer auf die Latte und macht schon die cW-Teilung mit dem Zirkel oder mit feinem Anlegemaßstab (Metall); die 1 cm-Teilung wird zweckmäßig mit einer Metallschablone (staffelförmig nach cm-Feldern ausgeschnitten) auf das Holz übertragen, an der die Striche mit sehr scharf meißelförmig geschärftem hartem Bleistift nachgefahren werden. Der Verf. hat z. B. diese Vorrichtung Tesdorpf angegeben und sie hat sich in dessen Werkstatt gut bewährt. Für Latten II. 0. genügt es, wenn die einzelnen Teilstriche keinen größern Fehler als + 0,1 mm oder selbst + 0,15 mm aufweisen. Das Ausmalen besorgt man am besten selbst oder läßt es einen fleißigen Gehilfen unter Aufsicht machen, nicht den Handwerker.

4. Latten für IY. 0. Man kann vielfach noch die vorige Latte nehmen; für sehr große Zielweiten aber, wie sie z. B. bei Flächennivellierungen fast immer Vorkommen, ist, da bei IY. 0. stets nur auf 1 cm abgelesen wird, eine 1 3m- oder V, 3m-Latte bequemer. Bei der Preußischen Landesaufnahme (topog. Abteilung) sind als „Tachymeter-Latten“ „stumme“ Latten mit einfacher 1 3m-schwarzweißer Feldteilung im Gebrauch. Der Yerf. hat viel bequemer eine Strichteilung mit sehr starken Strichen, etwa 8 mm breit, gefunden, wobei die Teilung ebenfalls zu beziffern ist und zwar nach Metern. Diese Meterzahlen lasse ich groß, 20 cm hoch, in Skelettziffern in jede Hälfte des Meters schreiben (oft die Zahl im untern Halbmeter rot, die im obern schwarz); vgl. die Abbildung Fig. 409.

Yon den Nivellierlatten der G. S. T. H. St. ist ein Teil als Wendelatten mit 1 cm-Teilung eingerichtet (s. oben), der andre trägt auf der Vorderseite als „Nivellierteilung“ die 1cm-Skale, auf der Rückseite als „Tachymeterteilung“ und für Nivellierung IV. 0. diese Halb - 3m - Teilung. Einige Latten sind auch nur mit der „Tachymeterteilung“ versehen. — Über Nivellierbänder für IY. 0. s. Nr. 111.

5. Aufsetzen der Latten bei II. 0.: Fußplatte für Wechselpunkte. Bei II. 0. ist fast immer zu empfehlen, der Latte eine Fußplatte (Unterlagsplatte, Lattenuntersatz, in Württemberg vielfach „Bodenplatte“) aus Gußeisen von einigen &<% Gewicht mitzugeben. Sie bildet zwar für den Träger der Latte keine unwesentliche Beschwerde, gestattet aber auch dort, wo sie durch zahllose „natürliche“ Wechselpunkte entbehrlich gemacht scheint, weit sorgloseres Wenden der Latte auf den Wechselpunkten. Man braucht einen viel besser geübten und gewissenhaftem Meßgehilfen, wenn man „natürliche“ Wechselpunkte (höchste Punkte von festen Steinen, keine schiefe Fläche an einem Stein, auch wenn dieser fest sitzt) verwenden läßt und an Genauigkeit dasselbe erreichen will, was Wechselpunkte auf der zuerst festgetretnen Fußplatte ganz von selbst geben. Bei III. 0. allerdings, mit Ablesung auf i/i IY. 0. mit Ablesung auf 1 selbst auf nicht gerade dem günstigsten Boden keine Fußplatte.

oder gar braucht man

P (St.)

cm

cm

Fig. 410.

v.

Fulsplatte.

Fig. 411.

Die Fußplatte für II. 0. ruht auf drei (nicht sehr scharfen) Fußspitzen auf dem Boden, wo sie (auch auf anscheinend hartem Boden) zuerst durch Draufstehen des Lattenträgers festgedrückt wird. Auf glatter Straßenfahrbahn (Asphalt, Holzpflaster; selbst sehr glatt gewalzter Chaussierung aus sehr hartem Material, mit großer Straßenneigung, wobei die Füße der gewöhnlichen Bodenplatte unten sehr rasch spiegelglatt werden) ist es zweckmäßig die Füße der Unterlagsplatte mit zahlreichen scharfen Spitzen zu versehen und sie gut festzutreten. Das Festtreten ist natürlich auf nicht sehr festem Boden um so wichtiger. Wenn der Fuß der Latte wie in Fig. 408 geformt ist, so ist in der Oberfläche der Bodenplatte eine Vertiefung V angebracht, Fig. 411,

Fig. 412.

am

Schnitt Fig. 410 und es ist wichtig, daß diese Vertiefung großem Krümmungshalbmesser der gut kalottenförmigen Vertiefung hat als der Abrundungshalbmesser des untern Stollenendes beträgt; ist die Latte gerade abgeschnitten, so muß der Dorn oben an der Fußplatte sich befinden, Fig. 412, ebenso wenn der Fuß der Latte eine Aushöhlung enthält; wenn dieses ri8- ⁴⁰⁹-letzte zutrifft, so ist dafür zu sorgen, daß diese Vertiefung stets rein, frei von Schmutz bleibt, da sonst durch das Nachsinken der Latte, zwischen zwei Ablesungen an ihr, beträchtliche Fehler entstehen können. Es ist deshalb auch nicht zu empfehlen, am Ende des Lattenfußes geradezu einen kurzen hohlen Zylinder anzubringen, in dem ein kugelförmiger Knopf auf dem Kopf der Fußplatte gerade einpaßt. Die Unveränderlichkeit der Strecke zwischen Aufsetzpunkt der Latte und einem bestimmten Punkt (z. B. dem vorhandnen oder gedachten Nullpunkt) ihrer Teilung ist dabei, wie überhaupt bei jeder Aushöhlung Fuß der Latte weniger sicher gewahrt und schwerer zu kontrollieren, als bei dem Fall des Stollens unten an der Latte und Vertiefung in der Bodenplatte. Latten für II. 0. sollen nicht mit dem Fuß in Straßenschlamm u. dergl. gestellt werden, be-

sonders bei ausgehöhltem Fuß; der Meßgehilfe setze sie, wenn längre Zeit nicht abgelesen wird und nicht die Latte ganz niedergelegt werden soll, einstweilen auf den Stiefel.

0. Die Vertikalrichtung der Latte darf nur bei IV. 0. nach Augenmaß gemacht werden; schon bei III. 0. ist anders dafür zu sorgen. Es steht dazu der Senkel und die Dosenlibelle zu Gebot. Das in den Lehrbüchern immer noch

nicht !

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Mm

vielfach empfohlne Vor-und Zurückneigen der Latte gegen das Instrument und zurück, und Festhalten der kleinsten Ablesung, ist entschieden zu ver

Fig. 413.

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festgehalten werden kann, vgl. Fig. 413

mm

% werfen, selbst für III. 0., weil dabei der Punkt P, auf dem die Latte sitzt, der vielleicht grade ein Wechselpunkt ist, auch bei sehr gutem Grund, ja auf einer Fußplatte, kaum auf einige

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(vgl. auch Fig. 54 bei der Staffelmessung bei Lagemessungen). Der Senkel kann einfach längs der Seitenkante der Latte herabhängen, ohne besondre Vorrichtung für das „Einspielen“ der Spitze (Fig. 401), muß aber genügend lange Schnur haben, auch empfiehlt sich, damit die Anhängeschraube oben nicht zu weit vorstehen muß, für den Lattensenkel besondre Form. Ich habe an den Stuttgarter Latten Senkelgewichte von etwa 10 cm Länge und nur 15 Durchmesser. Beim Umlegen der Latte zum Transport nimmt man zuerst das Senkelgewicht in die Hand. Der Senkel hat den bekannten Übelstand, daß er bei einigermaßen lebhaftem Wind versagt. Besser ist in dieser Beziehung die auf der Rückseite der Latte zu befestigende Dosenlibelle, die aber berichtigt werden muß (am einfachsten mit Benützung des Senkels an der Latte im Zimmer oder sonst windstillem Ort) und ihrerseits den Übelstand hat, aus der Ordnung kommen zu können ohne daß es bemerkt werden kann. Art der Anbringung s. z. B. Fig. 414; die Libelle muß für den Meßgehilfen, wenn er die Handgriffe der Latte, in 1 m bis 1,3 m Höhe über dem Aufsetzpunkt in der Hand hat, bequem vor Augen liegen, in etwa 1,4 m über dem Aufsetzpunkt angebracht sein. Eine genügende Vorrichtung zum Vertikalstellen der Latte ist bei II. 0. wichtig; große Genauigkeit ist aber dabei nicht erforderlich, weil z. B.

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2 ' 57,3²

lesung erst um ß(!₀₀ ihres Betrags unrichtig wird, bei 2° allerdings schon ums vierfache    z. B. bei 4 m Ablesung um ²/s mm und 2²/s mm. Man gewöhne sich an,

einen neuen ungeübten Lattenträger durch ein vom Instrument aus zu gebendes Signal sofort zum Richtigstellen der Latte aufzufordern, sobald man bemerkt, daß die Latte seitlich etwas von der durch die Richtung des Vertikalfadens genügend scharf gegebnen Vertikalen abweicht; der Lattenträger weiß nicht, daß man die wichtigere Vertikalstellung der Latte in der Richtung der Ziellinie, mit den ge-

die Ab-

bei einer Neigung der Latte von 1° ^cosl° = l —

wohnlich vorhandnen Mitteln, nicht kontrollieren kann und wird sich damit überhaupt Sorgfalt in der Haltung der Latte angewöhnen.

Geringer Wind, solange er das Nivellier nicht erschüttert, ist für das Nivellieren an sich nicht störend, vielmehr meist ganz willkommen, weil er die Luftschichten am Boden kräftig mischt und das lästige Luftflimmern nahe beim Boden oft auch über Mittag im Sommer ganz unterdrückt; aber schon ein solcher geringer Wind, der die Arbeit am Instrument in keiner Weise stört, ist für das Richtigstellen der Latte sehr lästig. Lattengestelle irgendwelcher Art, die in einfachen Formen mit großem Erfolg bei Feineinwägungen angewandt worden sind, kommen schon für II. 0. nicht in Betracht als viel zu umständlich. Dagegen kann nicht genug empfohlen werden, dem Lattenträger stets einen Strebenstab für den Fall etwas lebhaften Windes mitzugeben; er trägt den losen Stab sehr leicht mit der Latte zusammen und ein Stab genügt vollkommen; der Stab ist nur ein gewöhnlicher Fluchtstab von 1,8 m Länge. Der Lattenträger setzt ihn nach Bedarf so an der Latte nach rückwärts mit der Spitze in den Boden, daß er ihn oben zugleich mit dem einen Handgriff der Latte fassen kann (wenn gerade Handgriffe vorhanden, auf diesen legen; wenn Bügelhandgriff, durch diesen schieben),

Fig. 415. Man kann so bei ziemlich lebhaftem Wind die mit Dosenlibelle versehne Latte II. 0. sehr ruhig vertikal halten und Nivellierungen II. 0. noch ausführen, die ohne dieses einfache Mittel nicht mehr möglich wären. Starker Wind hindert freilich am Nivellieren II. 0. gelegentlich vollständig.

Handgriff

Latte

Latte

p-Dosenlib.

.Strebenstab

Vig. 415.

101. Berichtigung eines einfachen Nivelliers. 1. Die Anfordrungen an das Nivellierinstrument „mit festem P'ernrohr und fester Libelle“, vgl. die Einteilung in 99. 1., lauten offenbar so:

a)    Alhidadendosenlibelle soll berichtigt sein, sodaß mit ihrer Hilfe der Achszapfen der Alhidade (Stehachse) so weit genähert vertikal gerichtet werden kann, als der Empfindlichkeit der Dosenlibelle entspricht; der Winkel zwischen Libellenhauptebene und Umdrehungsachse genügend ein rechter Winkel.

b)    Winkel zwischen der Achse der festen Röhrenlibeile und Umdrehungsachse soll ebenfalls sehr nahezu ein rechter sein, ohne daß darin große Genauigkeit erforderlich wäre, da die Umdrehungsachse selbst nicht sehr genau vertikal gestellt zu werden braucht und ohnehin unmittelbar vor jeder Ablesung an der Latte die Ziellinie genau horizontal gerichtet werden muß, vgl. c).

c)    Die Hauptanfordrung ist, wie stets beim Nivellier: Fernrohrziellinie genau parallel zur Achse der Röhrenlibelle, sodaß in jeder bestimmten Richtung die Ziellinie dadurch genau horizontal gerichtet werden kann, daß man die Röhrenlibelle einspielen läßt.

Man unterscheidet eben beim Nivellier zweckmäßig zwischen „allgemeiner Horizontierung“ und „genauer Horizontierung“: jene besteht im Vertikalrichten des Achszapfens der Alhidade und braucht nur so genau gemacht zu werden, als mit einer Dosenlibelle geschehen kann; diese besteht im scharfen Horizontallegen der Ziellinie, das aber nicht in jeder beliebigen Zielrichtung vorhanden zu sein braucht, sondern nur in der bestimmten Richtung der augenblicklich erforderlichen Ablesung an der Latte auf einem bestimmten Punkt. Ob die Hauptlibelle in irgendeiner Richtung um einige Striche ausschlägt, ist ganz gleichgültig; scharf einzuspielen ist sie nur unmittelbar vor jeder Ablesung.

Die Anfordrungen a) und b) sind genau dieselben wie beim Theodolit und deshalb unter Verweis auf 58. 1. kurz zu erledigen:

a)    Dosenlibelle bei beliebiger Lage der Alhidade eingespielt, Alhidade um 180° gedreht; halber Ausschlag an der Dosenlibelle verbessert, die andre Hälfte an den Fußschrauben. Einigemal wiederholen, bis beim Drehen kein Ausschlag > Ring der Libelle sich mehr zeigt. Hat diese z. B. 3' Empfindlichkeit, so kann dann die Stehachse des Instruments auf etwa ~ genau vertikal gerichtet werden, was für die „allgemeine“ Horizontierung völlig ausreicht; die „genaue“ Horizontierung der Ziellinie vor jeder Ablesung ist mit der Hauptlibelle zu machen.

b)    Um die Achse dieser Röhrenlibelle ebenfalls _L zur Umdrehungsachse zu machen, wird die Alhidade so gedreht, daß die Libelle auf eine Fußschraube Sx weist oder || der Verbindungslinie zweier Schrauben S₂ S₃ geht, vgl. Fig. 416; die Blase wird im ersten Fall mit S^, im zweiten mit S₂S₃

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Obj.

I I l l CTZD l I l

(Alhidade

s₂

s₃

Fig. 416.

(gleichzeitig gegeneinander oder auseinander drehen) eingespielt. Sodann Alhidade um 180° gedreht (Augenmaß genügt), wenn gelegentlich auch die zweite zur ersten senkrechte Richtung der 10k. Libellenachse hergestellt wird um 90° gedreht); immer die Hälfte des Ausschlags an der Korrektionsschraube C der Libelle, die andre Hälfte an den Fußschrauben (im Fall der Figur S₂ Ss) wegzuschaffen. Diese Drehung um 180° mehrfach zu wiederholen; es kommt aber auf einen schließlichen Fehler von 1 oder 2 Strichen nicht an. Wenn die Korrektions Vorrichtung der Libelle Zug- und Druckschrauben sind, so ist zu beachten, daß nach der Verbessrung wieder die Schrauben fest sitzen.

Wenn die Dosenlibelle a) fehlt (wie an ältern Instrumenten, nachträgliche Anbringung macht sich durch die viel bequemre Arbeit rasch bezahlt!) sodaß die Umdrehungsachse nur mit der Hauptlibelle b) vertikal gerichtet werden kann, so muß man bei Aufstellung des Instruments („allgemeine Horizontierung“) die Alhidade in zwei zu einander senkrechte Lagen drehen (was eben bei Vorhandensein von a) vermieden wird), in Lage Sx und in Lage S₂ S₃. Nach Berichtigung der Libelle spielt dann diese in beliebiger Zielrichtung nahezu ein, ohne daß es auf einige Striche

ankäme. Manche ältre deutsche Instrumente, z. B. solche von Bau mann und von Kinzelbach, früher in Stuttgart, haben vier Fußschrauben $₃; N₂ SA, über die paarweise nacheinander die Libelle zu richten ist, die Ein-spielung ist aber nicht so bequem wie mit dem gewöhnlichen Dreifuß -unterbau. Auch in Amerika sind solche 4 - Schraubeninstrumente noch beliebt. Ferner kommen neuerdings vielfach Unterbaue mit zwei Fußschrauben und gegenüberstehenden Federbolzen vor (Tesdorpf wieder aufgegeben; neuerdings besser z. B. bei kleinen Instrumenten von Warken-tin und Krause, Leipzig).

c) Die Hauptanfordrung: Ziellinie genau || Achse der Längslibelle, kann nur untersucht werden mit Hilfe des scharf bestimmten Höhenunterschieds zwischen zwei Punkten in passender Entfernung voneinander, z. B. 40 bis 60 m. Einen solchen richtigen Höhenunterschied kann man sich mit jedem, auch einem nicht berichtigten Instrument verschaffen mit Hilfe des sog. „Nivellierens aus der Mitte“ (es gibt noch einen zweiten Weg, das „Nivellieren aus zwei Gegenpunkten“ nahe bei den zwei Punkten; der erste Weg ist wichtiger).

Wäre das Instrument fehlerfrei, d. h. Ziellinie || Libellenachse, so erhielte man den Höhenunterschied zweier Punkte A und B in z. B.

LP

Vig. 417

50 nv Entfernung voneinander einfach dadurch, daß man an beliebiger Stelle J das Instrument aufstellt, „allgemein horizontiert“ (wozu Dosenlibelle genügt), dann bei unmittelbar zuvor scharf eingespielter Hauptlibelle die in A aufgestellte Latte abliest, die Latte nach B bringen läßt, nach Anzielen der Latte die Libelle abermals scharf einspielt und die Ablesung b macht. Der richtige Höhenunterschied zwischen A und B wäre

(1)

/q= b — a

dem die Ablesung von

und zwar wäre der Punkt der J aus

daß es dabei ganz gleichgültig ist, ob der Punkt der Latte, mit dem sie auf A und B zu setzen ist, zugleich der Nullpunkt ihrer Skale ist, es kommt nur darauf an, daß die in A und in B verwendete Libelle eine richtig geteilte Skale trägt, die aber im Aufsetzpunkt eine beliebige (gedachte) Zahl zeigen kann.

2. Art der Ablesung; Vorbereitungen der Erfüllung der Hauptanfordrung. Wir wollen den Gang, nämlich Bestimmung des richtigen h, auch wenn das Instrument nicht fehlerfrei ist, unterbrechen,

an

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{tiefer jliegende

{größer] a^s d*e andre ausfällt. Die Fig. 417 deutet nochmals an,

erst in 3. wieder aufnehmen, und hier einige Vorbereitungen besprechen und die Handgriffe bei einer Ablesung an der Latte kennen lernen.

Vor allem hat man sich, vor Beginn des Gebrauchs des Nivelliers, zu überzeugen, daß man die Fäden des Fadenkreuzes scharf sieht, vgl. Fig. 418, die den Okularauszug des Fernrohrs in Ansicht darstellt. Die Figur kann Grundriß (im allgemeinen für Theodolitfernrohre angezeigt) oder hier auch Aufriß sein (am Nivellierfernrohr besser „Trieb t seitlich“). Das Fadenkreuz sitzt hier fest an bestimmter Stelle des Okularrohrs, man kann nur die Blende die es trägt, durch s/s₁ nach oben oder unten verschieben. Die der deutlichen Sehweite des Auges entsprechende notwendige Entfernung zwischen der Doppellupe des Okulars und der Fadenebne muß also durch Verschiebung des Okulars hergestellt werden, indem man dieses an m anfaßt und, nach vorheriger Lösung des Schräubchens (zugleich Führungsstifts) n dreht. Der Führungsstift läuft in dem schiefen Schlitz o des Okularrohrs; das Schräubchen kann nach Herstellung der richtigen Entfernung Okular/Fäden wieder angezogen werden. Ein Kurz-

Si

V.

Soll-Lage

p Im *"0* x

Fig. 419.

Fig. 418.

sichtiger muß das Okular hineindrehen (gegen die Fäden hin), ein Weitsichtiger heraus. Erst wenn man die Fäden scharf sieht (kleine Unreinigkeiten an den Fäden, Staubkörnchen u. dgl. beachten; dabei braucht man keinen Gegenstand zu betrachten, es genügt heller Hintergrund, helle Hauswand, Himmel) kommt mit Hilfe des Triebs t (der die Länge des Fernrohrs, d. h. Entfernung Okular-Objektiv verändert) das Bild des Gegenstands hinzu, hier stets der Nivellierlatte; dieses Bild muß genau in der Ebene der Fäden entstehen, damit beide zusammen, Fäden und Bild des Gegenstands zusammen mit der Okularlupe betrachtet werden können, ohne Parallaxe. Das Wegschaffen der Parallaxe vor jeder Ablesung ist sehr wichtig (ein und für allemal für das beobachtende Auge richtige Entfernung Okular/Fadenebene; dann für jede Zielweite richtige Fernrohrlänge mit Hilfe von t, schärfstes mögliches Bild der Latte! Je näher die Latte, desto länger das Fernrohr, je weiter die Zielung, desto kürzer das Fernrohr. Einer der wichtigsten Anfängerfehler ist Ablesung bei Vorhandensein einer Parallaxe, wegen ungenügenden Bilds der Latte (oder auch ungenügenden Bilds der Fäden).

Ferner ist nun nachzusehen, ob der Horizontalfaden bei zum Gebrauch aufgestelltem Instrument genügend genau horizontal liegt, sodaß es nicht

darauf ankommt, stets sehr genau denselben Punkt dieses Fadens zum Ablesen zu verwenden; mit andern Worten: ob der Horizontalfaden genügend genau einen rechten Winkel mit der Alhidadenstehachse bildet. Man kann ■diese Stellung des Horizontalfadens dadurch prüfen, daß man (richtigen Winkel zwischen Horizontal- und Vertikalfaden vorausgesetzt, für den ■der Mechaniker im allgemeinen genügend sorgt), den Vertikalfaden, durch Drehen des ganzen vordem Teils des Okularkopfs bei richtig gestellter Umdrehungsachse nach einem angezielten Senkelfaden oder nach der Kante der angezielten richtig gestellten Latte vertikal richtet. Man kann aber auch — und dies ist natürlich vorzuziehen — den Horizontalfaden direkt prüfen: stellt man mit dem einen Ende des Horizontalfadens einen scharfen Zielpunkt P ein (durch Fußschraube die Zielung heben oder senken, die keineswegs horizontal zu sein braucht; im azimutalen Sinn kann das Mikrometerwerk der Alhidade verwendet werden, falls eines da ist) und läßt (gegebnenfalls

nun durch eine kleine langsame Drehung der Alhidade an der Mikrometerschraube der Alhidade) den Punkt P

durch das Gesichtsfeld des Fernrohrs gehen, so bleibt der Punkt P am Horizontalfaden, falls dieser seine richtige Lage hat, im andern Fall entfernt sich P vom Horizontalfaden, vgl. Fig. 419, und der ganze Vorderteil des Okularkopfs (Okular nebst Fadenebene) ist sorgfältig zu drehen. Große Genauigkeit in dem rechten Winkel zwischen Horizontalfaden und der Alhidadendrehachse ist wieder nicht notwendig, weil doch immer wenigstens nahezu derselbe Punkt des Horizontalfadens (Nähe des Schnittpunkts mit dem Vertikalfaden) zu verwenden ist bei der Ablesung.

Nachdem diese beiden Anfordrungen erfüllt sind (Fäden im Okular scharf gesehen; rechter Winkel zwischen Horizontalfaden und Umdrehungsachse annähernd ein rechter) und das Instrument an einem bestimmten Standort aufgestellt und „allgemein horizontiert“ ist, ist für jede einzelne Ablesung an der Latte folgendes zu tun:

a)    durch Drehen der Alhidade Latte aufsuchen;

b)    Lattenbild so deutlich als möglich (Trieb am Fernrohrauszug); Parallaxe muß dadurch weggeschalft sein, Bild des Horizontalfadens darf sich bei kleinen Vertikalbewegungen des Auges vor dem Okular gegen die Lattenteilstriche nicht verschieben;

c)    der Horizontalfaden ist, auch wenn er ordentlich _L Umdrehungsachse steht, stets an ungefähr derselben Stelle zur Ablesung zu verwenden, nämlich nahe dem Schnitt mit dem Vertikalfaden; deshalb ist jetzt das Lattenbild an den Vertikalfaden zu bringen, ich pflege zu sagen: jetzt Vertikalfaden auf die cm-Skale, an der wir nachher ablesen wollen; (den Vertikalfaden brauchen wir also hier im Nivellier auch, er bezeichnet uns allerdings nur eine bestimmte Stelle des Horizontalfadens, genau so wie früher bei der Horizontalwinkelmessung im Theodolitfernrohr der Horizontalfaden zur Bezeichnung einer bestimmten Stelle des Vertikalfadens nicht entbehrlich war).

Dieses c) ist eine wichtige Fordrung, die der Anfänger gern vernachlässigt; wir wollen unten (102.), um den Gang der Darstellung jetzt nicht zu unterbrechen, den Einfluß dieses Fehlers rechnerisch verfolgen. Der Fehler schief stehenden

Horizontalfadens ist ohne Einfluß, wenn nur stets derselbe Punkt des Horizontalfadens hei der Ablesung benützt wird (wie in Fig. 420b, nicht 420a ablesen), und obwohl man so schlechte Stellung des Fadens wie in der Figur nicht dulden wird, ist die Fordrung: Yertikalfaden auf die cm-Skale! unbedingt zu stellen.

d)    Nunmehr erst, unmittelbar vor der Ablesung e), ist die Libelle scharf einzuspielen, mit einer der Fußschrauben (der, auf die die Libelle weist), oder, falls eine besondre Feinschraube als Elevationsschraube vorhanden ist, mit dieser; und endlich ist

e)    abzulesen, ohne daß noch etwas am Instrument berührt wird. Bei der Ablesung schätzt man zweckmäßig zuerst die mm zwischen die benachbarten cm-Striche hinein und schreibt dann cm und dm dazu. Dabei sind selbstverständlich die mm und cm in der Richtung der fortschreitenden Sm-Beziffrung der Latte zu zählen (im astronomischen

(L)

(L)

-9n

i

:u

(L)

X nicht, sonienv'⁷'

Fig. 420 a.

Fig. 420 b.

Fernrohr von oben nach unten, im terrestrischen von unten nach oben) und als dm-Zahl ist die zu schreiben, durch deren Raum der Horizontalfaden geht.

Jede andre Reihenfolge der Handgriffe usf. als a) bis e) bei der Ablesung ist insofern schädlich, nämlich zeitraubend, als sie dazu zwingt, alles ein paarmal zu machen: dreht man z. B., nachdem die Libelle fein eingespielt ist (d)), nochmals etwas an der Alhidade (weil die Latte noch am Rand des Gesichtsfelds ist, c)), so muß man die Libelle vor der Ablesung nochmals nachsehen: der Anfänger geht 3, 4 mal mit dem Auge zwischen Okular und Libelle hin und her, bis er endlich zum Ablesen kommt. Er sage sich besonders die folgenden Dinge einige dutzendmal ganz unmechanisch in dieser Reihenfolge bei jeder Ablesung vor: Lattenbild gut (keine Parallaxe!); Yertikalfaden auf cm-Skale!; scharf einspielen!; rasch ablesen!; zwischen diesen zwei letzten Geschäften nichts berühren!

3. Fortsetzung der Berichtigung. Bei den Ablesungen a und b in Gleichung (1) sei nun dies alles befolgt worden, insbesondre entsprechen sie je genau einspielender Libelle. Sie geben nun aber bei beliebiger Aufstellung J des Instruments den Höhenunterschied AB nur dann richtig, wenn in der Tat die Zielungen JA und JB genau horizontal liegen, wenn die Fernrohrziellinie durch Einspielen der

Libelle so gut horizontal gelegt wird, als eben der Empfindlichkeit der Libelle entspricht, mit andern Worten, wenn das Instrument keinen Fehler hat, bereits berichtigt ist, Ziellinie [| Libellenachse ist.

Hat aber das Instrument einen bestimmten Fehler, so liegt bei einspielender Libelle die Ziellinie nicht horizontal, sondern um einen gewissen (konstanten) Winkel gegen die Horizontale geneigt, z. B. um den Winkel c". Dieser Fehler c" des Instruments ist der Winkel zwischen Ziellinie des Fernrohrs und der Achse der Libelle, bei berichtigtem Instrument ist er 0. Alle Ablesungen, die wir mit dem Instrument machen, und zwar stets bei ein spielender Libelle, sind zu groß oder zu klein, je nachdem die Ziellinie (selbstverständlich immer im Sinn Okular-Objektiv genommen) um c über die Horizontale ansteigt oder um c sich unter die Horizontale senkt. Aber nicht nur von diesem konstanten Fehler c" des Instruments hängt der Fehler einer Lattenablesung (mit einspielender Libelle) ab, sondern auch von der Zielweite; der Lattenablesungsfehler ist sowohl c als der Zielweite l proportional, beträgt nämlich (da c klein ist)

(2)

d=l-

wobei c und q in demselben Maß (beide in ") und ebenso d und l in gleichem Längenmaß zu nehmen sind. Statt der Ablesungen e, f, g, . . ., die man von J aus an der auf den Punkten E, F, G, . . . aufgestellten Latte,

Pu

(O

CO

Horizontale

I2.

Fig. 421.

Fig. 421, machen möchte, erhält man, wenn die Ziellinie sich um den Winkel

{trat?}* Ablesungen, die um d1} ds, d₃ . . . | sind, wobei die d nach (2) zu berechnen sind. Ist z. B. c = 30", so ist dieser Betrag für die folgenden Zielweiten die beigesetzten Zahlen von mm:

tr f über ) C \ unter J

zu groß zu klein

(3)

die Horizontale

nx

10 m 15

nx

20 nx 30

nx

40 nx 50

nx

d= I 0,7

nxnx

1,5

nxnx

2,2

nxnx 2.9 nxnx

4,4

nxnx

5,8 nxnx 7,3

nxnx

Man rechne sich seihst mehrere solche Zahlen für yerschiedne Annahmen c und für yerschiedne Zielweiten l aus und merke sich auch auswendig: z. B. für c = 30" und l = 50 nx ist Ablesung um rund 7 nxnx falsch.

Nun zeigt sich aber auch sofort das Mittel, um aus (1) h = b — a auch mit nicht richtigem Instrument richtig zu erhalten: sind in (1) b und a im gleichen Sinn gleich viel falsch, so wird h richtig, was auch c sein mag, wenn nnr b und a an derselben Latte bei genau ein spielender Libelle abgelesen sind. Und die Fehler in den beiden Ablesungen sind im gleichen Sinn gleich groß, wenn la = lb gemacht wird, oder wenn der Höhenunterschied AB, wie man zu sagen pflegt velliert“ wird. Stellen wir das Instrument auf einem Punkt des Mittenlots (Grundriß!) der Strecke AB auf (es braucht nämlich nicht in der Verbindungslinie HI? zu stehen), Fig.422, und lesen an derselben Latte je bei

aus der Mitte ni-

g§

lir

CT*

la

ib

Grundrifö

A<

Fig. 422.

gut einspielender Libelle in A und in B ab, so erhalten wir, wenn das Instrument den Fehler c" hat (der wieder das Vorzeichen haben möge, daß die Ziellinie über die Horizontale ansteigt), nicht die Ablesungen a und b', die wir möchten, sondern a und b, die beide zu groß, mit den Fehlern da und db behaftet sind,

(4) da aber mit la = lb (und nur in diesem Fall) auch = db ist, so erhalten wir h statt aus

li = b' — a,

was wir nicht verwenden können, weil uns eben b' und a' gar nicht zugänglich sind, auch richtig aus

(5) (= b' -f- db — (a -f- da), wo da und db nicht bekannt, aber gleich groß sind). Wir wissen auch schon aus (3) und ähnlichen leicht aufzustellenden Zahlen, wie genau bei einem bestimmten c la = lb sein muß („aus der Mitte“ nivelliert werden muß), damit die Gl. (5) h genügend fehlerfrei gibt. Ist z. B. mit Grund anzunehmen, daß der Fehler c des Instruments (absolut) jedenfalls nicht > V sein wird (z. B. Instrument erst kürzlich berichtigt), so wird es genügen, la und lb auf z. B. 2 m gleich lang zu machen, da bei c = 1' und für la-lb=-\-2m oder — 2m die Differenz

2000 • 1 3438

der Ablesungsfehler nicht über

andern Fehlern in den Kauf genommen werden kann. Diese Gleichheit von la und lb auf 2 m kann man sich leicht durch Abschreiten verschaffen; immerhin ist zu beachten, daß, wenn h nach (5) „aus der Mitte“ genügend richtig werden soll, la und lb um so genauer gleich genommen werden müssen, je größer der Fehler c des Instruments ist, und also, wenn der Fehler c sehr groß ist, u. U. das Abschreiten nicht genügt. Man pflegt sich aber meist mit dem Abschreiten zu begnügen und folgendermaßen bei der Berichtigung zu verfahren: man wählt einen festen Punkt A, auf dem die Latte sicher aufgesetzt werden kann, festsitzender spitzer Stein, höchster Punkt eines flach gewölbten Pflastersteins u. dgl.; der Punkt ist sehr sorgfältig zu bezeichnen, durch kleinen Ring oder Kreuz mit weißer oder blauer Kreide oder dgl., weil man ihn nachher, in der Höhe auf < % mm unverändert, nochmals braucht. Von A etwa 25 m (30 Schritt) entfernt wird das Instrument in J aufgestellt, Fig. 422, allgemein horizontiert, und es wird bei genau einspielender Hauptlibelle die Ablesung a an der in A stehenden Latte gemacht (vgl. oben). Der Lattenträger wird abgerufen und mit Zählung seiner Schritte von A bis J beauftragt; er geht um ebensoviel Schritt weiter, sucht dort einen zweiten sehr festen Punkt B, auf den die Latte ebenfalls mit Sicherheit gegen Andrung um x/₂ mm in der Höhe gestellt werden kann (der aber nicht ebenso notwendig wie A bezeichnet werden muß, weil die Latte auf ihm stehen bleiben kann); die Ablesung an der Latte in B, wieder bei gut eingespielter Libelle, sei b. Nun ist also (da aus der Mitte nivelliert ist) 1t = b — a oder a — b der richtige Höhenunterschied zwischen A und B, auch wenn das Instrument den Fehler c hat, und zwar ist (dies gilt, wenn das Instrument nicht berichtigt ist, ganz allgemein nur

beim Nivellieren aus der Mitte) der Punkt der jtiefere} > an ^em

| kleinre}

^ größre J

so würde der Satz ganz allgemein gelten, ohne Beschränkung auf das Nivellieren aus der Mitte; da wir bis jetzt über den Fehler des Instruments nichts wissen, so gilt für uns der Satz nur für diese erste Aufstellung mit JA = <TB). Oft, z. B. im Fall der Fig. 422, sieht man ja ohne weitres, welcher Punkt der höhere ist; auf nahezu horizontaler Strecke A B kann man dies aber nicht unmittelbar sehen, und da ist die angegebne Überlegung von Bedeutung, damit Fehler in den Vorzeichen vermieden werden.

mm

= 0,6

mm

sich erhebt, was zu

Ablesung gemacht wird (wenn das Instrument fehlerfrei wäre,

Stellen wir nun das Instrument zum zweitenmal auf und zwar möglichst nahe bei dem einen der zwei Punkte; so nahe nämlich, daß wir annehmen dürfen, die Ablesung an der Latte auf diesem Punkt sei nicht mehr merklich vom Fehler des Instruments beeinflußt. Lassen wir x/₂ mm als Fehler in der Ablesung zu, so dürfen wir z. B. im Fall c = 30"

nach (2) oder der Zusammenstellung (3) uns bis zu ~ _ 206000 '    30

Hammer: elementare praktische Geometrie.

3400

von der Latte entfernen mit unsrer

42

Instrumentenaufstellung. Auf ganz kurze l, z. B. 2 m oder noch weniger, kann man häufig nicht mehr mit dem Fernrohr ablesen (auch wenn die abzulesende Stelle z. B. mit der Spitze eines horizontal angehaltnen Bleistifts oder mit einer Nadel usf. bezeichnet wird), da der Okularauszug nicht weit genug herausgeschraubt werden kann. Die neue Aufstellung des Instruments sei Jx nahe bei 7?, etwa 3 m vom Punkt B entfernt, auf dem die Latte stehen geblieben ist, vgl. Fig. 423; die Ablesung bv die man tatsächlich macht, weicht nach dem eben Besprochnen nicht merklich (< j mm) ab von der Ablesung b'x, die man eigentlich machen will. Es kommt bei der Ablesung b₁ auch nicht darauf an, daß die Libelle sehr scharf einspielt

a*_____

c”

Jl

c”

IS. 423.    J3

% oder 1 Strich Ausschlag hat jedenfalls nichts zu sagen. Sendet man nun die Latte nach dem bezeichneten Punkt A zurück, so kann man ausrechnen, was an der dort aufgestellten Latte abgelesen werden muß, wenn das Instrument keinen Fehler hat, nämlich in unsrem Fall:

(6)

dx = b'x — Ji = bx — h

wo h nach (5) durch die erste Aufstellung (Nivellieren aus der Mitte) bekannt ist. Bis jetzt wissen wir gar nicht, ob unser Instrument einen Fehler hat oder nicht; erst jetzt, wenn wir tatsächlich zunächst eine andre Ablesung ax statt a\ an der Latte in A erhalten (Libelle bei der langen Zielung scharf einspielen!), ist ein Fehler des Instruments nachgewiesen. Und diesen Fehler c können wir nun auch sogleich ausrechnen, bevor wir ihn wegschaffen, es kommt dabei außer der Differenz zwischen ax und a[ offenbar noch die Entfernung JXA in Betracht, s. u. 4., Zahlenbeispiel. Die Beseitigung des Fehlers c (Winkel zwischen Fernrohrziellinie und Libellenachse) könnte an der Korrektionsvorrichtung der Libelle geschehen, doch werden wir diesen Weg nicht wählen, weil damit der gemäß 1. b) (s. oben) hergestellte rechte Winkel zwischen Libellenachse und Umdrehungsachse wieder zerstört würde; wir werden vielmehr c wegschaffen durch vertikale Verschiebung des Fadenkreuzes. Wenn ax verschieden von dem berechneten ax ausfällt, so ist das Fadenkreuz so zu verschieben, daß eben dx statt ax bei einspielender Libelle als Lattenablesung in A erscheint. Dabei ist für die Richtung der Verschiebung zu beachten, daß man dem mit dem Horizontalfaden zu treffenden Punkt dem unmittelbaren Anblick im Fernrohr nach entgegenzufahren hat (man betrachtet das Fadenkreuz nur durch die Okularlupe, erblickt es in der Lage, die es tatsächlich im Okular hat, nur das Lattenbild erscheint im astronomischen Fernrohr umgekehrt); der Anfänger kann ferner nicht eindringlich genug ermahnt werden, die Vertikalbewegung des das Fadenkreuz tragenden Blendrings in kleinen Schritten zu machen: z. B. bei

Abwärtsbewegung untres Richtschräubchen etwas lösen, obres soweit nachziehen, als es jetzt geht; nach Bedarf unten nochmals etwas gelöst, oben abermals sogleich nachziehen; ähnlich bei Aufwärtsbewegung. Der Blendring muß stets fest zwischen den Enden der Halte- und Richtschrauben sitzen. Dabei ist nach jedem Schrauben am Okularkopf die Libelle wieder scharf zum Einspielen zu bringen (die Unterlassung ist ein häufiger Anfängerfehler!); die Alhidadenklemme, falls eine vorhanden ist (hier bequem), wird man angezogen lassen. Besonders am Ende der Verschiebung des Fadenkreuzes überzeuge man sich nochmals davon, daß der Blendring fest sitzt.

4. An einem Zahlenbeispiel wollen wir uns diese Berichtigung vollends klar machen. Von der ersten Aufstellung J des Instruments aus, mit la = lb= etwa 25 m, ist an der Latte in A und in B abgelesen worden: a— 1,345, b — 2,418. Der (richtige) Höhenunterschied zwischen beiden Punkten ist h = 2,418 — 1,345 = 1,073 m, und zwar liegt um diesen Betrag der Punkt B tiefer als A. Die zweite Aufstellung Jx des Instruments wird etwa 4 m von B entfernt gewählt und die Ablesung an der Latte daselbst (wobei ein halber Strich Ausschlag der Libelle nichts schadet) ist = 2,829; sie ist (bis auf nähern Nachweis) als fehlerfrei anzusehen.. Die Ablesung an der wieder nach A gebrachten Latte soll also sein:

a\ soll = 2,829 — h {A liegt um h höher als B)

= 2,829 — 1,073 = 1,756.

In Wirklichkeit wird nun aber hier zunächst abgelesen (Libelle scharf einspielen!): at ist = 1,764; erst damit ist gezeigt, daß das Instrument einen Fehler c hat, und zwar weicht die Ziellinie nach oben von der Horizontalen ab, alle Ablesungen fallen zu groß aus. Um c vor der Berichtigung geradezu auszurechnen, müssen wir die Strecke Jx A haben; sie war hier = 43 m, nicht ganz gleich (2-25 — 4) m, weil die erste Aufstellung mit 25 m-Zielungen nach beiden Punkten nicht in deren Verbindungslinie

1,764 — 1,756

lag, dagegen so ziemlich die zweite Aufstellung Jl. Wir erhalten c"

8 (mm)

43 000 (mm)

ablesung wirkend. Der letzte Zahlenausdruck für c zeigt, da der Zähler auf 1 abgerundet ist, daß die Zahl 38" nicht auf 1" scharf sein kann, 7 oder 9 Zähler würden 33" und 43" für c geben, d. h. schon um 5" andre Zahlen. Wenn man in der Tat sich mit einer 40 bis 50, auch 60 m langen Zielung nach dem entfernten Punkt von der zweiten Aufstellung J₁ aus begnügt (und viel größre Zielweite hat wieder keinen Wert, weil das gesetzten kleinen Fernrohr nicht genügend geschätzt werden kann), so ist c auf etwa 6" bis 3" genau zu ermitteln und auch nur auf diesen Betrag genau wegzubringen. Schärfer als auf 3" ist dies mit den von uns zu verwendenden Mitteln jedenfalls (absichtlich) nicht möglich. Im Zahlenbeispiel haben wir, um c wegzuschaffen, von J"j aus statt der zunächst erhaltnen Ablesung 1,764 die Ablesung 1,756 bei gut einspielender Libelle herzustellen, das Fadenkreuz ist in kleinen Schritten etwas zu heben: oben gelöst, unten nachgezogen, Libelle wieder scharf eingespielt, Ablesung 1,761, also weiter hinauf; oben gelöst, unten nachgezogen, Libelle nachgesehen, Ablesung 1,754, also jetzt eine Kleinigkeit herab, vielleicht durch etwas schärfres Anziehen der obern Schraube (ohne Lösung der untern) möglich (Libelle nachsehen!), andernfalls unten eine Kleinigkeit lösen, oben etwas anziehen (Libelle!), Ablesung 1,756. Der Anfänger mache sich ein für allemal klar, daß der Fehler c eines Nivelliers ein Winkel ist; wenn man ihn fragt, was ist nun der

43

• 206 000"= 38", in dem bereits angegebnen Sinn stets zu großer Latten-

mm

mm

für den

mm

auf der Latte dann doch mit dem voraus-

Fehler Ihres Nivelliers, so lautet im Beispiel die Antwort stets 8 offenbar kein Fehlermaß, es kann viel oder wenig sein, je nach der kurzem oder langem Zielweite. Nachdem nun c bestimmt ist, können wir auch sehen, ob die Annahme, die Ablesung von Jl aus an der nur 4 m entfernten Latte sei fehlerfrei,

4000 • 38

mm.

Dies ist aber

zutrifft: der Fehler dieser Ablesung ist

mm

= 0,7

mm

, oder einfach durch

206000

Proportion: auf 43 m Entfernung Ablesungsfehler 8 8 mm, d. h. 0,7 mm; die Annahme der Fehlerfreiheit von ist also nahezu genügend gerechtfertigt. Immerhin ist zu empfehlen, die Berichtigung des Instruments sofort zu wiederholen; dies ist in jedem Fall zweckmäßig, auch wenn c sich so klein zeigt, daß als fehlerfrei gelten kann, es ist ferner unbedingt notwendig, wenn c so groß war, daß selbst nicht fehlerfrei ist. Es ist gut, bei der Wiederholung nicht dieselben Punkte A und B zu nehmen; im vorliegenden Fall hat z. B. Nivellieren aus der Mitte zwischen den neuen Punkten E und F die Ablesungen e = 1,307, f= 1,186 ergeben, also 7z = 0,121 (F höher als E\ bei nur etwa 13m Höhenunterschied kann man dies nach Anblick auf dem Feld nicht unterscheiden); zweite Aufstellung im Punkt J[ nahe bei F gab /j = 1,522, so daß et sein sollte 1,643 m; es zeigte sich zunächst (bei J[E = 53 m) e[= 1,644 m, so daß die Berichtigung als beendigt gelten

Abweichung „genau“ wäre)    • 206 000"=; 4"

mm

gibt auf 4 m den 11. Teil von

kann (der Fehler wäre, wenn das 1

und genauer ist, wie oben angegeben, die Berichtigung doch nicht zu erreichen). Wenn der Fehler des Instruments bei der ersten Berichtigung sich sehr groß zeigte und es auf schließlich gute Berichtigung ankommt, so bleibt eine abermalige Wiederholung oft nicht erspart. Der Anfänger mache sich auch klar, daß, je kleiner der Fehler des Instruments bereits ist, es desto weniger darauf ankommt, daß für die erste Aufstellung „genau“ gleiche Zielungen nach den beiden Punkten vorhanden sind und daß die Zielweite zu dem einen der zwei Punkte von der zweiten Aufstellung sehr gering ist. Im vorstehenden Beispiel war durch die erste Berichtigung der Fehler c jedenfalls auf eine kleine Anzahl von " herabgebracht worden, einige m Unterschied zwischen J' E und J' F bei der ersten Aufstellung der zweiten Berichtigung waren also gleichgültig, ebenso durfte J[F statt 3 m auch 6 oder 8 m sein (wenn der Fehler

10000-10 206000

Anfänger sei auch darauf hingewiesen, daß es bei ziemlich bedeutendem Höhenunterschied der zwei zur Prüfung des Instruments verwendeten Punkte (es ist keine nahezu horizontale Strecke in der Nähe zu bekommen) meist zweckmäßig ist, aus der Mitte zuerst den tiefer, dann den höher gelegnen Punkt abzulesen, damit für die zweite Aufstellung, nahe dem höher gelegnen Punkt, die Latte auf diesem Punkt bleiben kann (und auszurechnen ist, was auf dem tiefer gelegnen Punkt abzulesen ist); wollte man nämlich die zweite Aufstellung nahe dem tiefer gelegnen Punkt wählen, so kann man u. U. (bei größerm h, z. B. h )> 1,2 m) die Latte auf dem höher gelegnen Punkt unten nicht mehr erreichen.

mm

10" ist, so gibt dies auf 10 m Zielweite

mm

= 7,

mm

Ablesungsfehler. Der

102. Fortsetzung. Einzelheiten zur Berichtigung des einfachen Nivelliers. Berichtigung eines Theodolitfernrohrs als Nivellier. Wirkung eines Fehlers des Nivellierinstruments auf das Nivellement mit dem Instrument.

1. Zusätze. Wir wollen zunächst zwei in der letzten Nummer bereits gestreifte Punkte besprechen: a) der richtige Höhenunterschied zwischen zwei Punkten A und B mit einem nicht berichtigten Instrument läßt sich außer durch „Nivellement aus der Mitte“ auch noch auf eine andre Art feststellen, durch „Gegenvisuren“ oder „Gegenstände“ von zwei Aufstellungen aus, von denen die eine genügend nahe bei A,

die andre genügend nahe bei B liegt vgl. Fig. 424. Sind von Jx aus an der Latte in A und in B die Ablesungen ax und \ (statt a\ und b[) und von der Aufstellung in J₂ aus an der Latte in A und in B die Ablesungen a₂ und b₂ (statt a₂ und b₂) gemacht worden, so stimmen die aus den Ablesungen sich ergebenden Höhenunterschiede

(7)

\ — bx — ax (A über B) und h₂ = b₂ — a₂ (ebenso)

nicht miteinander überein und sind auch in der Tat beide unrichtig, wenn das Instrument mit einem bestimmten Fehler behaftet ist; sind dagegen die Zielungen B und J₂A gleich lang und die Zielungen JXA und J₂B so kurz, daß sie innerhalb

a2

K)

Horizontale

a.

c”

a’j

Horizontale

Ji

Grundriß:

Big. 424.

j₂

der Grenze genügend fehlerfreier Ablesung liegen (oder sind etwas allgemeiner zwar Jx A und J₂ B ebenfalls schon außerhalb dieser Grenze, aber ebenfalls einander gleich, vgl. Grundriß der Fig. 424), so ist der richtige Höhenunterschied

- a₂)

(8)

(A über B),

wie man sich leicht durch Einsetzen von Yerbessrungen für die Ablesungen überzeugt. Die Benützung von h zur Yeibessrung des Fehlers c ist ganz dieselbe wie oben.

b) Auch der Fall der Lattenablesung mit einem Punkt des Horizontalfadens abseits von dessen Mitte ist noch zu prüfen. Liest man nach Fig. 420 a statt 420b ab, so ist der entstehende Fehler abhängig von der Neigung des Horizontalfadens (Winkel mit der Horizontalen) und dem Winkel- . abstand der zur Ablesung benützten Stelle des 1 Horizontalfadens vom Schnittpunkt dieses Fadens mit dem Yertikalfaden. Die Betrachtung bleibt ganz genau dieselbe, wie in 58. 2. mit dortiger Fig. 215a bei der Horizontalwinkelmessung (Einstellung des Zielpunkts mit einem Punkt des schiefstehenden Yertikalfadens, der nicht mit dessen Schnittpunkt mit dem Horizontalfaden übereinstimmt), wir haben hier nur den Winkelfehler noch in Längenmaß zu übersetzen. Hat der Horizontalfaden die Neigung i gegen die Horizontale, und benützt man zur Ablesung statt des Punkts M des Horizontal-

(U

(LT

Fig. 425.

662

Libellenkreuzung. Gang der Okularröhre.

fadens (vgl. Fig. 425) einen Punkt N, der von M den Winkelabstand ß hat, so ist, wenn die Zielung über den Punkt M genau horizontal liegt, die Zielung über den Punkt JV um den Betrag v geneigt, wobei sich v aus i und ß (alles in " genommen) ergibt nach

(»)

v" =

i<"). ß(") «<">

diese Neigung v gibt auf die Zielweite l den Ablesefehler d nach

(10)

i-ß

e(/,J

• l    (d und l im gleichen Maß).

Ist z. B. die Neigung des Fadens i= 30' und steht, bei 1° Gesichtsfeld des Fernrohrs, die Latten

Rand des Gesichtsfelds und dem Yertikalfaden, ist also (3 = 15', so wird die Neigung v der tatsächlichen Ablesezielung

-cm

-Skale, an der abzulesen ist, in der Mitte zwischen linkem oder rechtem

v"

1800 ■ 900

206300

7",9

und dies gibt z. B. auf 50 m Zielweite

7,9

•50000

mm

= 1,9

mm

Ablesefehler.

206000

Dabei wirkt der Fehler mit entgegengesetztem Zeichen, je nachdem ß nach der einen oder andern Seite vom Yertikalfaden ab weicht; die Differenz zweier Ablesungen kann also in unsrem Beispiel bei Zielweiten von 50 m und wenn die Latte nicht über die mittlere Hälfte des Gesichtsfelds hinauskommt, um 4 den sonstigen Nivellierfehlern des Anfängers (Fehler und Yerwechslungen in den Ablesungen, z. B. 4

tung des Fortschreitens der Skale verwechselt wird; Nichteinspielen oder nicht genügendes Einspielen der Libelle vor jeder Ablesung; nicht genügendes Festhalten der Wechselpunkte; ungenügende Berichtigung des Instruments bei nicht gleichen Zielweiten) spielt dieser Fehler des Nichteinstellens des Yertikalfadens auf die cm-Skale, bei nicht genügender Horizontallegung des Horizontalfadens, eine wichtige Rolle, und es ist nicht gerechtfertigt, daß ihn die Lehrbücher mit Stillschweigen übergehen.

c) Libellenkreuzung. Ein ähnlich wirkender Fehler wie b), der bisher gar nicht erwähnt ist, ist die sog. Libellenkreuzung. Es ist möglich, daß trotz der angegebnen Berichtigung des Instruments die Libellen achse und die Fernrohrziellinie nicht parallel zueinander liegen, sondern nur in parallelenEbenen, aber gekreuzt liegen. Eine solche „Libellenkreuzung“ kann, wenn die Stehachse der Alhidade nicht genau vertikal gerichtet wird, kleine Fehler in das Nivellement mit dem Instrument bringen, weil die Ziellinie trotz genauer Einspielung der Libelle kleine Neigungen erhält. Die Libellenkrenzung ist durch seitlich (horizontal) auf die Libelle wirkende Korrektionsschrauben zu beseitigen. Sie ist übrigens bei Nivellieren mit festem Fernrohr kaum genügend festzustellen, und es sind deshalb hier auch fast nie seitliche Korrektionsschrauben an der Libelle. Man darf sich trotzdem auch beim einfachen Nivellier gestatten, schon bei H. O., umsomehr bei III. oder IY. O. gestatten, die Umdrehungsachse der Alhidade nur genähert, mit der Dosenlibelle, vertikal zu richten und dann nur vor jeder Ablesung die Hauptlibelle scharf einspielen zu lassen. Für feine Nivellierarbeiten ist dagegen allerdings die Libellenkreuzung einer der Gründe, aus denen man zum Lagerringfernrohr oder Lagerschneidenfernrohr greift; vgl. 103. 2.

2. „Gang“ der Okularröhre. Ein Fehler, der bei ungleichen Zielweiten ebenfalls von Bedeutung werden kann, ist noch zu erwähnen: ein Fehler im „Gang der Okularröhre“. Sind la und lb wesentlich voneinander verschieden (und beide

mm

falsch werden. Neben

mm

der

mm

statt 6

mm

oder umgekehrt, 8 statt 2 u. dgl., weil die Rich-

Gang der Okularröhre. Erhaltung der Berichtigung.

663

< 50 m), so muß zwischen den Ablesungen auf beiden Punkten das Fernrohr wesentlich andre Länge erhalten ^ j

abzulesenden Punkt

verkürzt \ verlängert J

werden, wenn die Zielweite zum zweiten | istj. Es fragt sich, ob durch Benützung des Triebs

größer kleiner

für den Okularauszug nicht die Fernrohrziellinie im Fernrohr verlegt wird; dies wäre der Fall, wenn der Okularauszug sich nach Andeutung der Fig. 426 bewegte: wenn das Nivellier für eine bestimmte Zielweite (die von der zweiten Aufstellung entfernte Latte) berichtigt wäre, so wäre diese Berichtigung für andre Zielweiten nicht mehr vorhanden. Man kann das Nivellierfernrohr auf einen Fehler dieser Art prüfen, indem die Höhenunterschiede zwischen einer Anzahl von Punkten Px bis P₁₀ mit genau gleichen Zielweiten, vgl. Fig. 427, bestimmt werden mit feiner Latte, z. B. 4 ™m-Latte vom Standpunkt Jx des Instruments im Innern des Kreises der 10 Punkte Pt ... P₁₀, wobei die Punkte durch gewölbte Nägel auf festen Pflöcken bezeichnet werden können; die Höhenunterschiede aller Punkte gegen Px ergeben sich sofort aus der Differenz der Ablesungen. Das Instrument sei ferner zuvor mehrfach nach dem oben angegebnen Verfahren für eine bestimmte Ziel weite berichtigt. Eine zweite Aufstellung des Instruments, dicht bei dem einen Punkt, z. B. Pl zeigt dann durch Ablesung auf allen andern Punkten, mit sehr verschiednen Zielweiten, ob der Wert des Höhenunterschieds abhängig von der Zielweite ausfällt; diese Abhängigkeitsuntersuchung kann graphisch gemacht werden. Die Anordnung der Versuchspunkte im Kreis ist natürlich nicht gerade wesentlich, obwohl sie Vorteile bietet; man kann z. B. auch so verfahren, daß man, nachdem das Instrument für eine bestimmte Zielweite sorgfältig berichtigt ist (mit Benützung der Punkte A und JB, Standpunkt JA der zweiten Aufstellung), den Höhenunterschied beider Punkte nun von möglichst vielen weitern Standpunkten des Instruments mit möglichst verschiednen Zielweiten (verschiednen Stellungen des Okularauszugs) nach A und B bestimmt.

An neuen Instrumenten aus guten Werkstätten wird man nie einen Fehler dieser Art nachweisen können; dagegen zeigt er sich oft bei stark abgenützten Instrumenten.

P₆

Pc

Pr

P*

A4

p₂

s-

io

Pi

A4

Fig. 427.

Fig. 426.

3. Erhaltung der Berichtigung. Ein Nivellier für II. oder III. 0. soll, nachdem es sorgfältig berichtigt ist, diese Berichtigung möglichst dauernd erhalten. Man findet in den Lehrbüchern neuerdings vielfach die Angabe, man soll nicht zu oft an einem Nivellier „herumschrauben“ und dieser Bat ist gut, wenn es sich um Feinnivelliere handelt; bei Feineinwägungen wird grundsätzlich genau aus der Mitte nivelliert und auf jedem einzelnen Stand hebt sich also der Fehler des Instruments in der Differenz (Rückblick minus Vorblick) auf. Aber es ist hier, wie in den letzten Jahren so oft, etwas für feinre Messungen Zutreffendes ohne weitres verallgemeinert worden; bei Nivellierungen II. oder gar III. 0. kann man selbst dann nicht alle Punkte aus der Mitte nivellieren, wenn dies für die „Wechselpunkte“ möglich ist, denn die „Zwischenpunkte“ wird man mit andern Zielweiten ablesen; wenn ferner starke Gefälle oder Steigungen zu überwinden sind, so nivelliert man, wie schon oben angegeben, schon bei II. 0. in der Regel auch die Wechselpunkte nicht mehr aus der Mitte, sondern nimmt bergab kurzen Rückblick, langen Vorblick,

Erhaltung der Berichtigung. Theodolitfernrohr mit Nivellierlibelle.

664

sicher bestimmt ist; sie sind ebenfalls nicht „ein für allemal“ brauchbar,

mm

bergauf umgekehrt. Hier muß also das Instrument so gut als möglich berichtigt sein und so erhalten werden. Man sieht bei fortwährendem Gebrauch des Instruments es am besten jeden Morgen nach, ja man muß bei Instrumenten, die die Justierung nicht gut erhalten, die Berichtigung an jedem Halbtag nachsehen. Wenn man längre Zeit jeden Morgen bei Beginn der Arbeit an ungefähr demselben Ort nachsehen will und kann, so ist zweckmäßig, zwei möglichst feste scharfe (u. U. künstlich hergestellte) Punkte A, B zu benützen, deren h durch mehrfaches Nivellement aus der Mitte z. B. auf y,

doch kann man die Punkte so wählen, daß ihr Ji nur gelegentlich einmal nachgesehen werden muß. Es fällt dann die erste der zwei Aufstellungen des Instruments bei der Berichtigung weg, man kann sogleich die zweite nehmen und die Prüfung des Ni-velliers ist das Werk weniger Minuten; schlimm ist aber natürlich, wenn man sich auf früher bestimmtes h verläßt, während es sich merklich verändert hat. Es ist ja richtig, daß bei einer Verstellung der Richtschräubchen sowohl an der Libelle als am Fadenkreuz Spannungen auftreten können, die sich allmählich ändern, wodurch die feinre Berichtigung des Instruments wieder verloren geht. Aber es muß Aufgabe des Mechanikers sein, möglichst „spannungsfreie“ Korrektionsvorrichtungen herzustellen. An der Libelle wird man nur selten etwas zu korrigieren haben, da es auf Genauigkeit im rechten Winkel zwischen ihrer Achse und der Umdrehungsachse nicht ankommt; und die FadenkreuzverschiebungsVorrichtung kann an sich ziemlich spannungsfrei gehandhabt werden. Es ist ebenfalls richtig, daß nicht jede Nichterhaltung der Justierung auf Lockrung und Verändrung der Korrektionsschräubchen durch Stöße usf. zurückzuführen ist, daß z. B. starke Temperaturändrungen, besonders einseitige Erhitzungen oder Abkühlungen des Rohrs des Fernrohrs die Ziellinie verlegen können. Es gibt aber Instrumente, die tage- und wochenlang bei fortwährender Benützung die Berichtigung ausgezeichnet erhalten, andre, von ähnlicher Konstruktion an denen unter ganz denselben äußern Umständen häufig sich kleine Fehler zeigen, trotz desselben (mäßigen) Festziehens aller Schrauben wie dort, die also kurz gesagt, hauptsächlich die Erschüttrungen schlecht vertragen, die sich beim Gebrauch bei aller Vorsicht nicht vermeiden lassen.

4. Berichtigung des Zielfernrohrs eines Theodolits als Nivellier. Es ist schon mehrfach erwähnt, daß kleine Theodolite vielfach, sogar in der Regel, auf dem Fernrohr eine (damit festverbundene) Nivellierlibelle haben, die das Theodolitfernrohr auch als Nivellierfernrohr brauchbar macht (s. die Notizen zu den Figg. 214 a bis f, ferner die Bemerkungen in 99. 3. c); daß die Libelle durch Klemmen der Kippbewegung zur festen Alhidadenlibelle wird und als solche zur Berichtigung des Theodolits [Vertikalrichtung der Stehachse] gebraucht werden kann, ist in 58. 1. d) angeführt). Wir nehmen zunächst an, die Libelle sei eine einfache Röhrenlibelle, mit dem Theodolitfernrohr fest verbunden, mit Korrektionsvorrichtung versehen; für die Kippbewegung des Fernrohrs ist Klemme und Feinschraube da. Der „Oberteil“ eines solchen Theodolits ist als Nivellier berichtigt, wenn Ziellinie ZZ || Libellenachse LL ist; rechter Winkel zwischen LL und Stehachse VV wird dagegen hier nur dann genähert vorhanden sein, wenn eben das Instrument als Nivellier benützt werden soll und wenn VV gut vertikal gestellt ist, was für das Nivellieren aber nicht erforderlich ist; vgl. Fig.428. Das Nivellier ist ein einfachesNivellier (wenn auch das Fernrohr gekippt werden kann, also kein „fester Teil“ der Alhidade ist) und also als solches zu berichtigen: durch „Nivellement aus der Mitte“ zwischen zwei Punkten A und B wird deren Höhenunterschied bestimmt (Aufstellung JA = JB, V ungefähr vertikal mit der Dosenlibelle _D; die Ablesungen a und b an der Latte in A und B je unmittelbar nach scharfem Einspielen von L mit der Feinschraube S nach Anziehen der Klemme Kl der Kippbewegung gemacht; S am Fernrohrträger Ts drückt gegen einen mit der Kippachse fest verbundnen Hebel H; ihr entgegen wirkt als Druckfeder der Federbolzen F an J] auf die andre Seite des Hebels H. Es wird wie immer beim

Theodolitfemrohr mit Nivellierlibelle. Wirkung eines Fehlers c des Nivelliers. 665

Nivellieren aus der Mitte h = a — b oder b — a mit bekannter Regel über den höhern oder tiefem Punkt. Zweite Aufstellung nahe bei _B, Ablesung an der Latte auf diesem Punkt gleich bx; an der Latte in A soll abgelesen werden ax =bx — h oder bx -\-h, je nachdem A der höhere oder tiefere Punkt ist. Ist die Ablesung zunächst a'x, so ist nachgewiesen, daß das Nivellier einen Fehler hat. Dieser könnte auch hier mit den Korrektionsschrauben CxGft des Fadenkreuzes weggeschafft werden, es wird aber hier bequemer sein, die Verbessrung an der Korrektionsschraube K der Libelle zu machen: es wird von Jx aus mit der Schraube S die Lattenablesung ax statt a'x scharf eingestellt und sodann mit Hilfe von K die Libelle L zum Einspielen gebracht (nochmals im Fernrohr nach-sehen, ob in der Tat ax noch eingestellt ist).

Wie man die Stellung der Schraube S erkennen kann, bei der (genähert) rechter Winkel zwischen LL und VVvorhanden ist, ist schon in 58.1. d) erklärt: nach genäherter Vertikalrichtung von VV mit der Dosenlibelle D Einspielen von LL über einer Fußschraube Sx mit Hilfe von Sx; Drehen der Alhidade um 180°, Hälfte des jedenfalls noch vorhandnen Ausschlags der Libelle wegzuschaffen mit Hilfe von Sx, die andre Hälfte mit der Fußschraube. Öfter wiederholen.

5. Die Wirkung eines Fehlers c des Nivelliers auf die mit dem Instrument bei ungleichen Zielweiten gemessnen Höhenunterschiede können wir jetzt auch überlegen und wir wollen dies schon hier tun beim „einfachen“ Nivellierinstrument, obwohl diese Rechnung selbstverständlich bei allen Nivellierkonstruktionen dieselbe bleibt. Wir wollen der Einfachheit halber zunächst annehmen, man nivelliere auf stark aber gleichförmig fallender oder steigender Strecke, so daß die Längen lr der Rückblicke und /a der Vorblicke (vgl. die Angaben über die Wechselpunkte in 96. 3. b) je unter sich ziemlich gleich groß sein werden, dagegen die lr und lv wesentlich verschieden sein werden und zwar

--Z--

j—

Q /Fd.

3ZF1 n

Cz

Bolzen p-t

|Schr.S.

AUnicL

Li^

*Li.

Fig. 428.

beim Bergaufnivellieren „ Bergabnivellieren lB )> lr.

Es sei lr<m der Mittelwert der Länge des Rückblicks, lv m der Mittelwert der Länge des Vorblicks; nach n Aufstellungen des Instruments ((n — 1) Wechselpunkten zwischen Anfangs- und Endpunkt A und E der Nivellementslinie) wird also die

j £ der Längen der Rückblicke n • m und die „ Vorblicke n ■ betragen;

\ II II

folglich ist die Summe der an der Latte gemachten Rückwärtsablesungen r unrichtig um

c(,,)

(12)

und die Summe der an der Latte genannten Vorwärtsablesungen v in demselben Sinn (d. h. Ev ist ebenfalls zu groß oder zu klein wie die Er je nach dem Vorzeichen von c) unrichtig um

(13)

Igroß 1 ie \klein)’ Je

von der Horizontalen bei einspielender Libelle abweicht. Nun ist aber nach 96. 3. b) d.er Höhenunterschied zwischen Anfangspunkt A und Endpunkt E des Nivellements bei fehlerfreiem Instrument (14)

und zwar

Die Er und die Ev sind zu

nachdem die Fernrohrziellinie nach

I oben 1 \ unten j

H — Er — Ev

liegt E |    ) als M, je nachdem diese Differenz (14) { + }, d. h. je nachdem    Ev ist. Der Höhenunterschied H zwischen Anfangspunkt und End

punkt fällt also unrichtig aus um

(15)

A H = A Er — A Ev, d. h. um

(16)

A TT    7    C(,,>    7    C(,,)    ,7    7    \ VI ' C

E’ tL n • lr)jn •    n • tp)Wl •    (v,m 'v,m) '

mit leicht zu entscheidendem Vorzeichen für A H.

Ist in einem bestimmten Fall z. B. c” = 20" sinkend unter die Horizontale (alle Ablesungen zu klein) und beim Berg auf nivellieren mit diesem Instrument

lr,m = ⁴⁰    h,m = ²⁰

so ist nach 20 Aufstellungen des Instruments, mit denen also die Strecke 20 (40    20) m

= 1200 m zurückgelegt worden ist, der Höhenunterschied zwischen Anfangspunkt und Endpunkt des Nivellements zu klein um

(40-20)- 1000 (mm)-

= 39 mm,

20 • 20^

206000(,7)

d. h. mit einem einseitigen Fehler behaftet, der vielleicht das 5- oder lOfache des (absoluten) „reinen“ (unregelmäßigen) Nivellierfehlers beträgt. Man rechne sich selbst eine Anzahl ähnlicher Beispiele für Bergauf- und Bergabnivellieren und für verschiedne Vorzeichen von c aus.    ,

Etwas allgemeiner lautet die Gleichung für A _H, wenn die Strecke nicht gleichmäßig steigt oder fällt und unregelmäßige Unterschiede in den Längen lr und lv vorhanden sind (wobei aber für Bergauf- und Bergabnivellieren stets die am Anfang von 5. angeschriebnen Ungleichheiten gelten werden) so: es sei Elr die Summe der Längen aller Rückwärtszielungen, Ele die Summe der Längen aller Vorwärtszielungen von beliebig vielen Aufstellungen des Instruments zwischen Anfangs- und Endpunkt des Nivellements aus, ferner e" der Fehler des Instruments; dann ist der Fehler im Höhenunterschied zwischen Anfangs- und Endpunkt, der aus dem Fehler c" des Instruments entspringt,

(17)

AH=(Elr- El,)-

e(/,)

wieder mit leicht zu entscheidendem Vorzeichen.

In der Literatur wird gemäß dieser Gleichung (17) oft darauf hingewiesen, daß es zur Elimination des regelmäßigen, von einem Fehler c des Instruments herrührenden

Fehlers im gemessnen Höhenunterschied zwischen Anfangs- und Endpunkt nicht notwendig sei, stets aus der Mitte zu nivellieren, sondern daß es genüge, die Bedingung (18) 2Jlr— 2lv zu erfüllen. (Es fallen damit, was wir jetzt hier nicht weiter verfolgen, auch noch andre Fehler des Instruments heraus, z. B. unrichtiger Gang der Okular-auszugs, vgl. oben 2.). Diese Gleichung (18) kann z. B. sehr nahezu zutreffen, wenn der Höhenunterschied zweier in Höhe nicht sehr verschiednen Punkte A und E über den Hügel H weg zu bestimmen ist, Fig. 429: man nivelliert von A bis C mit lr )> l₀, von C bis E mit lr<^lv, womit (17) u. U. sehr klein d. h. der Höhenunterschied zwischen A

Hügel

Fig. 429.

und E sehr nahezu richtig ausfallen kann. Man darf dabei aber nicht vergessen, •daß die Höhenunterschiede AG und CE unrichtig ausfallen, auch alle Punkte, •die längs der Linie ACE zwischen A und E mitgemessen werden (und solche Punkte hat man fast stets ebenfalls festzustellen) nicht ihre richtigen Höhenunterschiede gegen A und E erhalten. Man sorge also stets für gute Berichtigung des Instruments, sobald in H. 0. oder niedrer Ordnung mit ungleichen Zielweiten gearbeitet werden soll oder muß.

103. Berichtigung eines Nivelliers mit durchaus beweglichen Teilen, z. B. für Einwägungen II. O. Von Nivellieren, deren Fernrohr nicht fest mit der Alhidade verbunden ist, sondern gewendet oder auch gewendet und umgelegt werden kann, kommen für uns besonders in Betracht:

Das Nivellier mit Ringfernrohr und mit Setzlibelle (Reitlibelle) auf den Ringen (das Fernrohr kann in Lagerringen gedreht und in der Regel auch auf den Lagerringen umgelegt werden; die Libelle ist auf diesen Ringen umsetzbar) und sodann das Nivellier mit Ringfernrohr und am Fernrohr befestigter Libelle (meist „Wendelibelle", selten „Schwebelibelle“ oder einseitige Libelle, wie wir •die Libellen sonst bisher stets vorausgesetzt haben; das Ringfernrohr ist bei den Instrumenten mit Wendelibelle oft nur drehbar, nicht auch umlegbar). Andre Konstruktionen kommen für unsre Arbeiten kaum in Betracht; für III. oder IV. Ordnung nimmt man am besten einfache Nivelliere und für II. 0. sind z. B. Schneidenfernrohre statt der Lagerringfernrohre wenig im Gebrauch.

Zu beachten ist, daß man alle Nivelliere wie das einfache berichtigen kann; man darf nur, wenn dies geschieht, auch von der Beweglichkeit der Teile oder einzelner Teile, die also bei der Berichtigung nicht benützt ist, auch während der Arbeit mit dem Instrument keinen Gebrauch machen, sondern muß die Teile in der Lage lassen, die sie bei der Berichtigung gegeneinander hatten. Wir betrachten nun zunächst nur das Nivellier mit Ringfernrohr und Setzlibelle.

Solche Nivelliere mit um zwei Lagerringe drehbarem Fernrohr und Aufsetzlibelle auf diesen Lagerringen wurden früher oft „vollkommene“ Nivellierinstrumente genannt. Die Anfordrungen sind:

1.    Die zwei Lagerringe sollen genügend genau denselben Durchmesser haben, so daß das Fernrohr ohne Verändrung seiner Drehungsachse (Lagerringachse) auch auf den Ringen umgelegt werden darf;

2.    Achse der Hauptlibelle (Setzlibelle, Lagerringlibelle, Reitlibelle) ist parallel zu der Mantellinie des Lagerringzylinders zu machen, auf der die Libelle umgesetzt werden kann, wobei auch etwaige „Libellenkreuzung“ zu berichtigen ist;

3.    Ziellinie des Fernrohrs ist zum Zusammenfallen zu bringen mit der geometrischen (mechanischen) Längsachse der Lagerringe, um die man das Fernrohr drehen kann: man nennt dies das „Zentrieren des Fernrohrs“ (besser der Fernrohrziellinie);

4.    wenn, wie stets zweckmäßig, die Alhidade mit einer Dosenlibelle ausgestattet ist, so ist die Hauptebene der Dosenlibelle _L Stehachse zu machen;

5.    solche feinre Nivelliere sind meist mit einer Feinhebeschraube (Elevationsschraube, Kippschraube; Sinus- oder Tangentenkippschraube) ausgerüstet, mit der die Feineinspielung der Libelle vor dem Ablesen bequemer ist als mit der groben Fußschraube. Ihre Normalstellung oder Nullstellung muß bekannt sein, bei der rechter Winkel zwischen der Achse der Hauptlibelle und der Umdrehungsachse vorhanden ist;

6.    der Horizontalfaden des Fernrohrs soll beim Nivellieren einen rechten Winkel bilden mit dieser Stehachse (Prüfung und Berichtigung des „Anschlags“ für das Fernrohr).

Diese sechs Punkte sind folgendermaßen zu prüfen:

1. Gleichheit der Ringdurchmesser. Sie ist für lange Zeit nur einmal zu untersuchen. Die Ringe seien B₁ und _ß₂; man dreht die Alhidade so, daß das Fernrohr parallel zu zwei Fußschrauben S₂Ss oder über einer St liegt, klemmt die Alhidade und spielt nun im ersten Fall mit S₂Ssl im zweiten Fall mit die Libelle scharf ein, nachdem schon zuvor die Bügel (Halter) der Libelle zurückgeschlagen sind. Libelle nun abgenommen, Fernrohr sorgfältig aus den Lagern von Bx B₂ gehoben und umgekehrt wieder eingelegt (ü₂ auf das Lager, wo vorhin Bl war und

L-

_i£

-²- —L

L-

_iX

Ob) 3

ok

p czrpfjp |    —IPt—"p

T>-/'    Prjn Z3T\

Ri r-m-Rz

. Ok

Am

31 Obj.

kxRi

iV

\V

Fig. 430 a.

Fig. 430 b.

umgekehrt); endlich Libelle in der Lage, die sie vorher hatte, wieder aufgesetzt. (Die Untersuchung ist ganz wesentlich dieselbe wie die der Zapfendurchmesser der Kippachsenenden eines Theodolits, vgl. 59. 1.) Zeigt sich ein Ausschlag, so ist Bx nicht = i?₂ und es ist der Anzugswinkel (Offnungswinkel) des Kegels, der dann statt eines Zylinders durch BJB₂ gegeben ist, leicht zu berechnen; man muß dazu nur noch den Winkel der Y-Lager der Ringe haben, ferner den „Fußwinkel“ der Reitlibelle, falls nicht, wie meist, kreisförmige Lagerführung der Ringe und der Setzlibellenfüße vorhanden ist. Schematisch skizziert ist das in den zwei obigen Fig. 430 a, b Dargestellte zu machen: I und II bedeuten die meist runden Lager, auf denen die Ringe

Bj/B₂ gedreht und umgelegt werden können. Zeigt sich nach dem Umlegen des Fernrohrs (Vertauschung der Enden 3, 4, Bt der vorhin auf I lag, auf II, i?₂, vorhin auf II, jetzt auf I) und Wiederaufsetzen der Libelle in der alten Lage (1, 2 wie vorher, z. B. 1 über I) kein Ausschlag, so heißt dies: es ist gleichgültig, ob R₁ oder B2 unter dem Libellenende 1 liegt, es ist Bx — B₂\ im andern Fall ist Bt nicht = B₂. Korrigiert kann an den Lagerringen nichts werden, es darf eben bei ungleichen Ringen das Fernrohr nicht umgelegt werden, das Nivellier ist als Instrument mit festem Fernrohr zu behandeln. Es gibt eine andre Konstruktion (für feinre Nivelliere besonders von Breithaupt Kassel viel gebraucht), die das Fernrohr zum Lagerschneidenfernrohr statt Ringfernrohr macht, vgl. Fig. 431; die Stahlschneiden S statt der Ringe sind auf beiden Seiten gegeneinander versetzt, die eine unten, die andre oben und jede Schneide steht einer Schraube mit flach gewölbtem Kopf gegen über, so daß der „Durchmesser“ des Fernrohrs an der Schneidenstelle (dem Ringdurchmesser von oben entsprechend) der Abstand zwischen Schneide SS und Schraubenkopf K ist und durch Andrang der Schraubenstellung verändert werden kann.

Fig. 431.

Die Schneide SS liegt auf der genau ebnen Fläche eines glasharten Stahlplättchens EE und ebenso wird die Setzlibelle mit zwei solchen Plättchen auf die zweite

nur an

Schneide und den Schraubenkopf K gelegt. Die Einrichtung kommt aber feinen Nivellieren vor und wir gehen hier nicht weiter darauf ein.

auszu-

2. Berichtigung der Libelle. Wir nehmen nun an, es habe sich Bl = B2 gezeigt; es handelt sich also um einen Lagerringzylinder, dessen Achse in Beziehung auf ihre Richtung durch irgendeine Mantellinie ersetzt werden kann. Um die Hauptlibelle zu berichtigen, wird man mit genäherter Vertikalrichtung der Umdrehungsachse mit der groben Dosenlibelle der Alhidade beginnen, die ganz wie beim Theodolit zu berichtigen ist, vgl. auch unten 4. Zur Berichtigung der Haupt-libelle (Setzlibelle, Reitlibelle) ist sie, nach scharfem Einspielen in der Lage || S₂ Sä oder über St, ohne Andrang irgendeines andern Teils der Alhidade, auf den Lagerringen umzusetzen. Zeigt sich kein Ausschlag, so ist die Libellenachse parallel der Mantellinie des Zylinders, auf der sie umgesetzt wurde; zeigt sich aber ein Ausschlag, so ist die Hälfte davon der Libellenfehler, die andre Hälfte rührt daher, daß die Linie (Mantellinie) auf der umgesetzt wurde, noch nicht horizontal liegt, die Hälfte des Ausschlags ist also an der Korr.-Vorrichtung C der Libelle, die andre Hälfte an S₂Ss oder an SL, je nach der Richtung der Libelle, zu verbessern; das Verfahren solange zu wiederholen, bis nach dem Umsetzen kein merklicher Ausschlag sich mehr zeigt. Die zwei Figg. 431 a, b, zeigen wieder schematisch die führende Bewegung (Libelle allein umgesetzt nach scharfem Einspielen, während alles andre an der Alhidade genau bleibt wie es ist). Wenn die Libellenachse nach mehrmaligem Umsetzen und Verbessern des halben Ausschlags parallel zu der Mantellinie des Lagerringzylinders, auf der sie umgesetzt werden kann, gemacht ist, so ist sie nun also auch parallel zur Achse dieses Zylinders, zu der mechanischen Drehachse, um die man das Fernrohr dreht, wenn man es auf den Lagern I II in den Ringen B₁B₂ rotieren läßt. Wir wissen aber damit noch nicht, ob die Libellenachse || der Ziellinie des Fernrohrs ist (Hauptanfordrung an jedes Nivellier);

wir müssen, um dies zu erreichen, noch die Fernrohrziellinie mit jener Rotationsachse (Lagerringachse) zusammenfallen lassen, vgl. Anfordrung 3.

Zuvor wollen wir noch überlegen, daß man, nachdem durch Umsetzen (Umlegen) der Libelle auf den unverändert gelassnen B₁ Bs kein Ausschlag mehr entsteht, eigentlich noch nicht die parallele Lage der Libellenachse mit der Mantellinie des-Umsetzens behaupten kann: die zwei Linien können noch windschief gegeneinander liegen, die Libellenachse nicht in der Yertikalebene der Lagerringsachse, es kann eine sog. „Libellenkreuzung“ (Libellenachsenkreuzung) vorhanden sein. Dazu kommt, daß die Libelle eigentlich nicht nur auf einer Mantellinie umgesetzt wird (das wäre nur der Fall bei der Einrichtung Fig. 431), sondern (mindestens) auf zwei, dem Öffnungswinkel des Libellenfußes entsprechend. Ob eine Libellenkreuzung vorhanden ist, erkennt man, indem man die Libelle nach ihrer angegebnen Berichtigung auf den Ringen etwas seitlich (nach beiden Seiten) neigt; bleibt sie nicht einspielend, sondern gibt kleine Ausschläge nach verschiednen Seiten, so ist eine Kreuzung vorhanden, die mit den seitlich (horizontal) an der Libellenfassung angebrachten Richtschrauben zu verbessern ist. In der Regel ist die Kreuzung sehr klein und es sind deshalb selbst an feinen Instrumenten mit Lagerringfernrohr die seitlichen Korrektionsschrauben der Libelle oft weggelassen (vgl. 102. 1. c)). Ist x der Kreuzungswinkel

Obj.

Ok

Sfv"

h~

Ob).

Ok

3 = 3F

r\⁴

J£XR₂

IV

Fig. 432b.

IV

Fig. 432 a.

(Winkel im Grundriß zwischen Ziellinie, vgl. 3., und Libellenachse) und wird nun die Libelle aus der Lage, bei der ihre Achse in einer Horizontalebene liegt, um einen kleinen Winkel a seitlich herausgedreht, so ist die Libellenachse nicht mehr horizontal; oder: läßt man die Libelle wieder mit den Fußschrauben einspielen, so wird dadurch die Ziellinie nicht mehr horizontal gelegt. Nimmt man x und a beide in ”, so beträgt die Neigung der Ziellinie (zunächst der Lagerringachse, mit der wir

uns aber gemäß 3. die Ziellinie schon zusammenfallend denken) ^ . Dies gibt

z. B. mit jt = l° = 3 600” und z. B. mit a — 2' — 120” eine Ziellinienneigung infolge

= 2,”1 , also recht merklich für ein feinres

,    .    .    ^    3 600-120

der starken Kreuzung von    ----

⁶ 206000

Instrument; und a kann leicht größer werden. Deshalb ist es zweckmäßig, x klein zu machen und die Setzlibelle in ihrer Normalstellung festzuhalten.

3. Zentrieren des Fernrohrs. Die Ziellinie muß zusammenfallen mit der Längsrotationsachse des Fernrohrs, der Lagerringachse B₁/Bi. Die Ziellinie ist gegeben durch den Fadenschnittpunkt S und den Objektivmittelpunkt M\ diese beiden Punkte sind also in die Ringachse zu bringen. Bei den Fernrohren aller kleinen Instrumente ist übrigens M nicht verschiebbar, vom Mechaniker genügend in die Ringachse gelegt; selbst bei großen Fernrohren von Lagerringnivellieren finden sich selten an der Objektivfassung Richtschrauben zum Zentrieren der Objektivlinse

Ringfernrohr. Zentrieren der Ziellinie.

671

bezeichnete Linie

(s. u.). Wichtig und sehr einfach ist dagegen die Zentrierung des Fadenschnittpunkta S (oder des Horizontalfadens H\ es genügt, daß dieser die Ringachse sehr genau schneidet, nicht drüber oder drunter liegt; er ist nachher noch horizontal zu legen). Man bringt das Bild (P) eines scharfen Zielpunkts P in großer Entfernung (damit eine Exzentrizität des Objektivs nichts schadet) genau auf den Horizontalfadeny dicht beim Yertikalfaden (Azimutalbewegung der Alhidade mit dem Mikrometerwerk; Höhenbewegung mit der Fußschraube und der Feinschraube) Fig. 433 a; es ist dabei ganz unnötig, daß die Zielung horizontal geht. Das Fernrohr wird dann vorsichtig um die Längsachse (Ringachse) um 180° gewendet; bleibt das Bild von P nicht am Horizontalfaden, sondern zeigt sich nach dem Wenden des Fernrohrs der Anblick von Fig. 433b, so ist der Horizontalfaden mit den vertikalwirkenden Richtschrauben nach oben oder unten zu verschieben um eine Strecke, die der Hälfte des ganzen Ausschlags entspricht, in unsrem Fall nach unten auf die mit der Fig. 433 b. Mehrfach wiederholen, bis beim Drehen des Fernrohrs kein Ausschlag mehr sich zeigt. Einer der Striche einer sehr fest aufgestellten Latte ist als P gut. Man kann jetzt auch nachsehen, ob der Mittelpunkt M des Objektivs genügend in der Ringachse liegt und zwar mit Hilfe eines möglichst nahen Punkts Q\ für den der Okularauszug eben noch reicht, z. B. feines Tuschkreischen auf Karton,

(P)

Mg. 433 a.

(P)

Fig. 433 b.

der in 3 m Entfernung an der Wand befestigt: Horizontalfaden scharf auf Mittelpunkt gestellt und vorsichtig Fernrohr gewendet; zeigt sich Q gegen den Horizontalfaden verschoben, so ist merkliche Exzentrizität des Objektivs vorhanden. Korrektion wiebemerkt meist nicht möglich, übrigens ein Fehler fast nie nachweisbar.

Da nunmehr die Ziellinie zusammenfällt mit der Pj/Pg-Achse und diese gemäß

2. || Libellenachse ist, liegt bei einspielender Libelle die Ziellinie horizontal und es ist damit die Berichtigung des Nivelliers im wesentlichen hergestellt. Doch sind noch einige Punkte nachzusehen:

4.    Von der zweckmäßig auch hier vorhandnen Dosenlibelle der Alhidade zur genäherten Vertikalrichtung der Stehachse war schon die Rede. Prüfung wie immer (vgl. 58.1. a)): nach Einspielen, bei beliebiger Azimutalstellung des Fernrohrs, Drehen der Alhidade um 180°, halber Ausschlag an der Libelle verbessern, die andre Hälfte an den Fußschrauben.

5.    An Instrumenten dieser Art ohne „Elevationsschraube“ (das Fehlen ist unzweckmäßig, weil das Feineinspielen der Libelle vor der Ablesung viel bequemer und rascher durch eine solche Feinschraube als durch die Fußschraube geschehen kann) war früher oft unten am einen Ende des die zwei Fernrohrträger verbindenden Rahmens eine Korrektionsvorrichtung vorhanden (Zug- und Druckschrauben) mit der die Hauptlibellenachse und damit die Ringachse _|_ Umdrehungsachse VV gemacht werden konnte: Einspielen über einer Schraube, Umdrehen der Alhidade um 180°v

672

Hebeschraube (Elevationsschraube). Anschlag am Fernrohrträger.

der Ausschlag halb an der Fußschraube, halb an jener Korrektions Vorrichtung am Rahmen zu verbessern.    *

Auf dieselbe Art untersucht man die Normalstellung (Nullstellung) der an neuern Instrumenten stets vorhandnen Hebe schraube: ist sie nur eine Feinschraube für kleine vertikale Winkelbewegungen des Fernrohrs, die nicht gemessen werden sollen, so ist die Normalstellung der Schraube an den zwei „Kulissen“ links und rechts, zwischen denen das von der Schraube bewegte Mittelstück gleitet, durch Striche bezeichnet, mit denen ein Indexstrich an diesem Mittelstück bei der Normalstellung übereinstimmen soll. Ist die Schraube eine Meßschraube zur Ablesung kleiner Vertikalwinkel oder zur Einstellung der Ziellinie auf bestimmte Gefällsverhältnisse, so soll ihre Normalstellung der Einstellung auf 0 (an der Skale für die ganzen Umdrehungen und am Trommelkopf) wenigstens nahezu entsprechen. Der am einen Träger des Fernrohrs angebrachten Kippschraube muß eine Kippachse (_j_ zur Kippschraube) entsprechen, entweder am andren Träger oder über der Stehachse. Eine solche Kipp-(Hebe-)Schraube als Meßschraube ist oben bei dem Instrument mit Ringfernrohr Fig. 386 bis 388 vonFennel abgebildet, eine einfache Hebeschraube an einem Instrument mit festem Fernrohr zeigt Fig. 434 von Mechaniker Rosenberg (nach Vogler): h ist die „Handscheibe“ der Feinschraube, c der Indexstrich, der bei Normalstellung nahezu auf Strich 10 der Skale d stehen soll. Prüfung beim Nivellier mit festem oder mit Lagerringfernrohr: nach „allgemeiner Horizontierung“ des Instruments läßt man die Libelle, bei Nullstellung der Hebeschraube auf eine Fußschraube gerichtet, mit dieser einspielen und dreht dann die ganze Alhidade, ohne Verändrung an irgendeinem ihrehTeile, um 180°; einen sich zeigenden Ausschlag bringt man zur Hälfte mit der Hebeschraube, zur Hälfte mit der Fußschraube weg. Dies wiederholt man mehrfach, bis man die wirkliche „Normalstellung“ (von der angenommnen Nullstellung oft etwas abweichend) der Hebeschraube erkannt hat. Bei der Verwendung der Hebeschraube beim Nivellieren soll man sich nur um wenige Umdrehungen der Hebeschraube nach oben oder unten von ihrer Normalstellung entfernen.

6. „Anschlag“ am Fernrohrträger für einen Stift oder dgl. am Ringfernrohr: Zeichen für die Richtigstellung des Horizontalfadens. Auch dieser „Anschlag für den Horizontalfaden“ ist zu prüfen, er soll die Drehung des Fernrohrs um die Längsachse (Ringachse BJB₃) in der Stellung des Fernrohrs hemmen, bei der rechter Winkel zwischen Horizontalfaden und Stehachse des Instruments vorhanden ist, so daß bei richtig gestellter Alhidadenachse der Horizontalfaden ziemlich genähert horizontal liegt (man wird ihn trotzdem am Schnitt mit dem Vertikalfaden zur Ablesung benützen, vgl. 102. 1. b), ferner Fig. 420). Bei den altern Instrumenten war die Einrichtung meist die, daß das Fernrohr nach dem Zurückschlagen einer am Fernrohrträger angebrachten kleinen Knagge vollständig um 360° herumgedreht werden konnte; nach Vorschlägen der Knagge stieß gegen diese ein am Fernrohr befestigtes Schräubchen, dieses z. B. in Fig. 388 sichtbar. Neuerdings ist oft die Drehung des Fernrohrs um die Ringachse auf 180° beschränkt, indem am Fernrohr feste Anschlagstifte oben und unten angebracht sind, die gegen das Anschlagschräubchen stoßen. In Fig. 386/387 ist Stift p und Anschlagschräubchen s dargestellt. Man stellt wieder, nachdem das Fernrohr so um Achse BJB₃ gedreht ist, daß Knagge oder Stift an dem Anschlagschräubchen liegt, wie beim einfachen Nivellier, bei beliebiger Neigung der Ziellinie das Bild eines scharfen Zielpunkts genau auf das eine Ende des Horizontalfadens ein und läßt diesen Punkt dann langsam das Gesichtsfeld passieren durch Drehen der Alhidade um ihre Achse:

e s¹⁵

— =-10

=-5

]i

SS

st

.

Fig. 484.

verläßt der Punkt den Horizontalfaden, so ist das Anschlagschräubchen etwas weiter heraus- oder weiter durchzudrehen, bis bei neuer Einstellung des Zielpunkts dieser beim Drehen der Alhidade am Horizontalfaden bleibt.

Die Reihenfolge der Prüfungen ist nicht notwendig die obige; z. B. kann (sogar zweckmäßig) mit 4. begonnen werden, ferner 3. vor 2. berichtigt werden usf. Die „Nivelliere mit durchaus beweglichen Teilen“, deren Berichtigung hier kurz erläutert ist, waren früher für bessre Nivellierarbeiten, auch II. 0., sehr beliebt, neben den für III. und IY. 0. bestimmten einfachen Nivellieren mit festem Fernrohr. Sie sind jetzt für II. und III. 0. ziemlich zurückgedrängt durch die Instrumente, die zwar noch ebenfalls ein Ringfernrohr, aber daran befestigte Libelle haben, die neuerdings besonders gern als Wendelibelle angeordnet wird, vgl. 104. Die Instrumente mit durchaus losen Teilen erfordern sehr sorgfältige Behandlung, wie sie bei Arbeiten II. und III. 0. nicht immer möglich ist; man verwendet sie deshalb neuerdings vielfach nur noch zu Feinnivellierungen, wobei dann oft die Lagerringe durch Lagerschneiden, die kreisförmigen oder A - Aufsetzstellen der Libelle durch Lagerplättchen ersetzt sind (Fig. 431). Der ganze Oberteil des Instruments liegt auf einem um eine Kippachse beweglichen Lagerbock; ein Nivellier dieser Art ist das Seibt-Breithauptsche Feinnivellierinstrument, auf das aber hier nicht weiter eingegangen werden kann.

Die Wirkung einer Fehlers c eines [Nivelliers mit losen Teilen bei ungleichen Zielweiten ist natürlich genau dieselbe wie beim einfachen Nivellierinstrument, vgl. den Schluß von 102.

104. Berichtigung des Nivelliers mit Ringfernrohr und am Fernrohr befestigter Libelle. 1. Allgemeines. Es ist erwähnt, daß die Libelle entweder eine einfache oder eine „Wendelibelle“ (Reversionslibelle, Doppellibelle; von Amsler sen. Ende der 50er Jahre des 19. Jahrh. zuerst hergestellt) sein kann. In Deutschland hat besonders Fennel in Oassei die Ideen von Amsler wieder aufgenommen und andre Werkstätten sind dann gefolgt.

Ringfernrohr mit daran befestigter einfacher Libelle kommt für Feinnivellierung manchmal vor. Das Instrument kann nach der Anleitung in 103. berichtigt werden, nur muß, da die Libelle nicht für sich umgesetzt werden kann, an die Stelle von 2. das Umlegen des Fernrohrs in den Lagerringen auf den runden oder Y-Lagern treten. Dabei ist aber genau gleicher Durchmesser von Ht und R₂ vorausgesetzt; um dies gelegentlich prüfen zu können, wird dem Instrument am einfachsten noch eine besondre Setzlibelle für die Lagerringe bei gegeben, die dann nur nicht als Hauptlibelle bei der Arbeit mit dem Nivellier dient, sondern hierbei ersetzt wird durch die am Fernrohr befestigte Libelle.

um

Wichtiger ist für uns die zweiseitige Libelle, Wende- oder Reversionslibelle, die über und unter dem Fernrohr, oder links und rechts vom Fernrohr wirksam bleibt, wenn dieses um die R₁/R₂-Achse 180° gedreht wird.

Das Nivellier mit Lagerringfernrohr und daran befestigter Wendelibelle ist das einzige, das ohne Berichtigung auch mit ungleichen Ziel weiten richtige Höhenunterschiede bequem zu messen gestattet; und wenn auch hierin nicht der Hauptvorzug zu erblicken ist, so ist die Möglichkeit doch für manche Zwecke willkommen. Im allgemeinen wird auch dieses Instrument nur berichtigt gebraucht.

Hammer: elementare praktische Geometrie.

2. Berichtigung unter der Annahme, daß die Wendelibelle fehlerfrei sei. Die Wendelibelle hat zwei einander gegenüberliegende Ausschleifungen; die-zwei Spielpunktstangenten sind die zwei Achsen der Wendelibelle. Diese zwei Achsen sollen parallel liegen; nicht zu verlangen ist, daß die zwei Spielpunkte bei einspielender Libelle genau senkrecht übereinander liegen, oder die zwei Ausschleifungshalbmesser genau gleich seien, annähernd wird beides der Fall sein.

Wir nehmen nun zunächst an, die Wendelibelle sei in Ordnung, ihre zwei Achsen parallel. Man braucht die Libelle nur einmal oder nur in großen Zeiträumen darauf zu untersuchen; vom Verfertiger des Instruments ist zu verlangen, daß er einen Nachweis über die Untersuchung der Wendelibelle beilegt, immerhin muß man dies auch selbst machen können, vgl. unten, 4.

Die Anfordrungen an das Instrument (zum Zweck seiner Berichtigung, die für einzelne Höhenunterschiede nicht notwendig hergestellt zu werden braucht, während man für größre Arbeiten nicht immer Doppelablesungen machen will) bei richtiger Wendelibelle lauten:

a)    Ziellinie des Fernrohrs soll zusammenfallen mit der Ringachse Bl/B.₂.

b)    Die zwei unter sich parallelen Achsen der Wendelibelle müssen || der Ringachse sein; bei der Berichtigung der Libelle auch Beseitigung der Libellenkreuzung, wenn möglich.

c)    Die Achsen der Libelle (und damit gemäß a) b) Ziellinien) sollen sehr nahezu J_ Stehachse liegen, falls keine Kippschraube vorhanden ist. Ist eine solche da, so soll der rechte Winkel bei deren „Normalstellung“ vorhanden sein.

d)    Eine Dosenlibelle auf der Alhidade zur genäherten Vertikalrichtung der Stehachse auch hier, wie bei jedem Nivellier^ erwünscht; Anfordrung bekannt.

e)    Anschlag für die Fernrohrdrehung um B₁ /Rs bei Horizontalfaden _L Stehachse»

a)    Untersuchung und Erfüllung von a) unterscheidet sich nicht von der in 108. gezeigten; nur ist hier bei der Wendelibelle zu beachten, daß eine Verschiedenheit der Durchmesser von R₁ und _ß₂ gleichgültig ist; es genügt, das Fernrohr um die mechanische Längsachse (Verbindungslinie der Mittelpunkte von B₁ und i?₂) herumdrehen zu können. Das Fernrohr ist deshalb hier vielfach nicht umlegbar.

b)    Man läßt die Wendelibelle, z. B bei der Lage „unten“ (bei andrer fester Verbindung mit dem Fernrohr, Wendelibelle neben der Ziellinie, in der Lage „links“) über St oder || SiS₃ einspielen, dreht das Fernrohr um die Ringachse um 180° und verbessert die Hälfte des Ausschlags an den vertikalen Richtschrauben der Libelle, die andre an der oder den Fußschrauben. Mehrfach wiederholen.

Dabei ist ausdrücklich an unsre Voraussetzung zu erinnern, daß die zwei Achsen der Libelle unter sich parallel sind. In diesem Fall sind nach Durchführung der angegebnen Berichtigung nun die Libellenachsen parallel der Lagerringachse und da gemäß a) mit dieser die Ziellinie zusammenfällt, so ist die Hauptbedingung für jedes Nivellier erfüllt. Auch hier zeigt sich eine Libellenkreuzung dadurch, daß bei langsamem geringem seitlichem Drehen des Fernrohrs aus der Normallage (Anschlag) heraus nach beiden Seiten die Libelle nach verschiednen Seiten etwas ausschlägt; Korrektion an den seitlichen Richtschrauben der Libelle, wenn solche vorhanden sind.

Man kann bei der Prüfung b) auch eine Latte anwenden: in Lage I des Fernrohrs, z. B. Wendelibelle unten (hei der angegebnen zweiten Anordnung links) liest man an der genügend entfernt (z. B. 70 m), und sehr fest aufgestellten Latte bei scharf einspielender Libelle ab, an der 1 cm-Latte auf 1 mm (1 mm Alesungsfehler entspricht bei der angegebnen Entfernung dem Winkelfehler --A-— • 206000" = 3"); stellt man Fernrohrlage II durch Drehen um die B₁/B₂ -Achse her (Libelle oben, oder rechts) und liest wieder ab hei abermals scharf einspielender Libelle, so ist, wenn die zwei Ablesungen und a₂ in den beiden Fernrohrlagen voneinander abweichen, die Ziellinie nicht parallel zu den (der Voraussetzung gemäß unter sich parallelen) Libellenachsen. Stellt man die Ablesung

mit dem Horizontal-

faden des Fernrohrs (Ziellinie) ein und bringt die Libelle mit ihren vertikalen Richtschrauben zum Einspielen, so ist die Anfordrung b) erfüllt (mehrfach wiederholen). Bei Instrumenten dieser Art ist deshalb manchmal der Horizontalfaden gar nicht verschiebbar (Diaphragma nicht mit Korrektionsschraube versehen) und die Richtigstellung des Instruments (parallele Lage zwischen Libellenachsen und Ziellinie) durchaus auf die Libelle verlegt. Doch ist diese Anordnung höchstens für kleine Instrumente zu empfehlen.

Die Untersuchungen c) bis e) brauchen nach dem in 103. Gesagten nicht nochmals besprochen zu werden; man darf nur für den Fall, daß keine Kippschraube vorhanden ist, den rechten Winkel bei c) nicht durch Ändrung an der Libelle herstellen.

3.    Breithaupt’s „Schwebelibelle“ (Name von Vogler; die Libelle ist etwas älter als die Wendelibelle), am sog. Kompensationsniveau verwendet, steht eigentlich zwischen den zwei zu Anfang von 1. angegebnen Möglichkeiten, eine einseitige oder eine Doppellibelle mit dem Fernrohr fest zu verbinden. Die Libelle hat nämlich nur eine Ausschleifung, also nur eine Achse, sie wirkt aber als Doppellibelle. Ihre Fassung läuft nämlich an den Enden sehr leicht und fein in zwei Spitzen oder Kugeln und die Fassung ist unten durch einen Bleistreifen derart beschwert, daß die Libellenskale stets oben bleibt, wie auch das Fernrohr um seine Längsachse gedreht wird. Die Libelle kann mit vertauschten Enden in die Spitzen- oder Kugellager eingesetzt werden. Die Spitzenachse oder Kugelachse kann ferner mit besondern Korrektionsschrauben (unabhängig von den Korrektionsschrauben der Libelle selbst) ausgestattet und damit zur Lagerringachse des Fernrohrs parallel gemacht werden; an diesem sind selbstverständlich wie immer Fadenkreuzrichtschrauben.

Das „Kompensationsniveau“ ist aber so wenig verbreitet, daß wir nicht näher darauf eingehen; es hat manche Vorzüge, aber auch Nachteile, besonders ist die selbstwendende Schwebelibelle zu empfindlich gegen Erschüttrung und Stoß.

Noch weniger sind andre Vorschläge durchgedrungen, z. B. der von Baggi, der ein „Kompensationsnivellier“ dadurch herstellt, daß er ein Lagerringfemrohr (ebenfalls wie bei Breithaupt nicht umlegbar) mit zwei symmetrischen einfachen getrennten festen Libellen, einer obern _LX und einer untern _L, ausstattet. Das Instrument eliminiert, nachdem einmal die Achsen beider Libellen L₁ und X₂ parallel zur Ziellinie gemacht sind, beim Nivellieren mit ungleichen Zielweiten und bei Anwendung doppelter Ablesung auch noch den Fehler, der von unrichtigem Gang des Okularrohrs (vgl 102. 2. und Fig. 426) herrührt und leistet also in dieser Beziehung mehr als die Wendelibelle oder die Schwebelibelle.

4.    Prüfung der Wendelibelle für sich. Es ist noch zu zeigen, wie die Amslersehe Reversionslibelle (jetzt meist „Wendelibelle“ oder „Doppellibelle“) für sich auf die parallele Lage ihrer zwei Achsen gepi’üft werden kann, die wir oben vorausgesetzt haben. Dies ist leicht, wenn die Libelle „umgeschraubt“, d. h. von dem Fernrohr, an dem sie befestigt ist, abgeschraubt und mit vertauschten Enden wieder angeschraubt werden kann. Die Libellenfassung ist dazu in einen besondern Rahmen gesetzt; nur auf diesen wirken dann auch, wenn vorhanden, die Korrektionsschrauben für die Libellenkreuzung. Die zwei Enden der Libellenfassung müssen durch Zahlen oder Zeichen 1. 2., A. JB., -f- — unterschieden sein, wenn nicht durch die Libellenteilung (z. B. durchlaufend und beziffert) die Unterscheidung der Lage möglich ist.

Wenn auch nach der oben angegebnen Berichtigung 2 a) b) die Libelle, die in Lage I des Fernrohrs (Libelle unten oder links) eingespielt ist, nach Herstellung von Lage II (Libelle oben oder rechts) einspielend bleibt, so liegt doch die Ringachse um die rryin bei I/II gedreht hat, und also auch die mit B₁S₂ zur Übereinstimmung gebrachte Ziellinie, nur dann horizontal, wenn die zwei Achsen der Libelle

parallel sind. Trifft dies nicht zu, ist vielmehr der Winkel y zwischen beiden Achsen vorhanden, so ist die Rl -Achse und die Ziellinie nach der angegebnen Berichtigung um den Winkel 7/2 geneigt, wie aus der folgenden Fig. 435 sofort hervorgeht: die Achse Bl B₂ ist in diesem Fall bei Einspielendbleiben der Libelle nach der Wendung

den um 7/2 geneigten Linien Lx und parallel. Es ist auch ohne weitres folgende Prüfung einzusehen, bei der die Ziellinie und die beiden Libellenachsen (die in der Richtung jedenfalls sehr wenig voneinander abweichen, y sehr klein) nicht sehr nahezu parallel zueinander zu sein brauchen, sondern einen beliebigen allerdings kleinen r-“-xxj Winkel 8 miteinander bilden können; es ist sogar gut, diesen Winkel 8 während der Untersuchung mehrfach zu ändern.

Tangente in Mj

M) einsp.,horiz.

(Neigung y)

Mj

ranginU₂

-----Ach'Se. Rj. R ^ ^Neigung T

Tangente in M ₂

M;2 einsp. ,horiz.

(Neigung yj ~

Mi

Fig. 435.

----xx

(Tangente in Mg) ~ ~

a) Das mit -f- oder 1 oder A bezeichnete Ende der Wendelibelle liegt gegen das Objektiv des Fernrohrs zu. Yor dem Instrument wird in passender Entfernung (nicht unter 60 m, etwa 100 m) eine 1 cm - Nivellierskale sehr fest vertikal gestellt (wenn eine feinre Skale, z. B. eine 2 mm-Teilung vorhanden ist, so ist die Entfernung zu verringern), z. B. in einem Lattenstativ befestigt oder an einem Fenstergitter eines Erdgeschosses festgeschnallt. Man lese bei scharf einspielender Libelle ab a[ (an der cm-Latte auf 1 mm, an der 2 mm-Skale auf 0,2 mm) und nach dem Wenden des Fernrohrs, abermals bei gut eingespielter Libelle a!t. Die Differenz beider Ablesungen (a₂ — a[) hängt ab vom Winkel 8 zwischen der Fernrohrziellinie und der einen Libellenachse; wäre y = 0, so wäre, stets wenig geneigte Zielung vorausgesetzt,

ctg

= 1-

«r

—, wenn l die Entfernung zur Latte ist. Verändern wir, um die Ge-Q

nauigkeit der Untersuchung zu erhöhen, mehrfach den Winkel 8 etwas, indem jedesmal die vertikalwirkende Richtschraube der Libelle etwas bewegt wird, und machen wir nach jeder solchen Verändrung von 8 jedesmal die Lattenablesungen at und a2 in Fernrohrlage I und II (Libelle unten und oben, oder Libelle links und rechts) immer bei scharf eingespielter Libelle, so sind die D ifferenzen je zweier zusammengehöriger Ablesungen, als von 8 abhängig, verschieden:

(1)

ai — ai;

a” — a”;

— a’[';    ... a™ — a™ ;

dagegen würden offenbar die Mittelwerte je zweier zusammengehöriger Ablesungen unter sich übereinstimmen, wenn' keine Ablesefehler und Libellen einspielungs-fehler gemacht würden; die Beträge

ai 4~ a'(.

(2)

a2 ~r a'\

a'” -f <

<4m) -f- a[n)

werden sehr nahezu gleich sein.

Nehmen wir aus allen das Mittel

(3)

_ ¹ \ a\ a» i ai ~l~ a" n l 2    2

_|-----|-

+ a£>

)•

b) Die Libelle wird nun aus ihrem Rahmen berausgeschraubt und mit vertauschten Enden (das mit — oder 2 oder B bezeichnete Fassungsende gegen das Objektiv gewendet) wieder in den Rahmen eingeschraubt. Der Beobachtungsvorgang wird genau- wiederholt; es ergeben sich die zusammengehörigen Ablesungen

b[, &2?    b", &'/; •••; 6iw), &⁽₂W), deren Differenzen

k-*"\ •••    -K}

wieder verschieden sind je nach dem Stand der vertikalen Korrektionsschrauben der Libelle, d. h. je nach dem Wert von d, deren Mittelwerte

6⁽*> + b?[

(5)

K + K

aber wieder unter sich sehr nahe übereinstimmen. Das Gesamtmittel

b?> -f

(6)

1_ | K + K b'j + b" n \    2    2

wird nun aber nur dann mit a aus (3) übereinstimmen, wenn die zwei Libellenachsen parallel sind, y = 0 ist. Die Abweichung zwischen b und a entspricht dem doppelten Fehler y der Libelle, d. h. es ist der Winkel, der zwischen den zwei Achsen der Spielpunktstangenten vorhanden ist

(7)

y" =    • q", b, a und l im gleichen Maß genommen.

Bedingung der Zuverlässigkeit des Versuchs ist bei längrer Dauer nicht nur gut unveränderlich aufgestellte Latte oder sonstige Skale, sondern auch sehr feste Aufstellung des Instruments; am besten nicht auf einem Stativ, sondern auf Unterlagsplättchen auf einem Steinpfeiler, auf starker steinerner Fensterbank u. dgl.

Zahlenbeispiel: An einer an der Mauer in 1 = 21,5m befestigten 1 skale, nach

Schätzung zwischen die 1 Teilwert) eines ältern Breithauptschen Instruments (Femrohrvergrößrung etwa 25).

mm-

Strich-

cm

beziffert, sind folgende Ablesungen gemacht worden (mit Zehntel-Striche) zur Untersuchung der Wendelibelle (etwa 20"

mm-

Nr.

Lage der Libelle

Ende A der Libelle gegen das Objektiv gewendet

Nr.

Ablesung n

Lage der Libelle

Ende B der Libelle gegen das Objektiv gewendet:

Mittel

Ablesung b Mittel ________2

links

rechts

rechts

links

links

rechts

rechts

links

5,71

cm

4,32₅ ,

5,920

5,920

5,922

5,918

rechts

links

links

rechts

rechts

links

links

rechts

_ß

cm

5,922

5,922

5,925

5,925

Gesamtmittel a = 5,920₀

Gesamtmittel b = 5,923:

Der Punkt der Skale, auf den die Ziellinie bei horizontaler Zielung trifft, ist

5,920 + 5,924

5,922 ;

der Fehler der Wendelibelle (Winkel zwischen den Tangenten in den zwei Spielpunkten, d. h. zwischen den zwei Achsen der Libelle) ergibt sich zu

ist aber, wie die Zahlen leicht zeigen, jedenfalls aus diesem Versuch nicht auf 0",1 sicher zu bestimmen, wenn auch ein kleiner Wert von y sichergestellt ist; er ist jedenfalls vernachlässigbar. Dem ganzen Winkel 0",2 entspricht auf 50 m Zielweite der Ablesungsfehler 0,04 mm, auf 100 m 0,08

Bei der Prüfung von 91 Wendelibellen mit Teilwerten von 5”,2 bis 30" (von wem gefertigt wird nicht mitgeteilt) für Nivelliere, die aus seiner Fabrik hervorgingen, fand Fennel als Libellenfehler (aus je 5 Doppelablesungen für jede Lage -f-und — der Libelle) auf 100 m Zielweite die linksstehenden Zahlen; in Winkelmaß übertragen entspricht dem Ablesefehler 0,00, 0,05, 0,10, . . . 0,25 mm auf 100 m Zielweite der Winkelfehler 0",0, 0",1, 0",2, 0",3, 0",4, 0",5. Der Durchschnitt der Fehler mit Rücksicht auf die Häufigkeit ihres Vorkommens ist 0,09 oder 0",2.

Empfindlichkeiten zwischen 10" und 13" ergab sich ebenso, für 100 m Zielweite umgerechnet, 6 mal der Fehler 0,00 mm, 13 mal 0,05 mm, 13 mal 0,10 mm, 3 mal 0,1 mm, 1 mal 0,20 mm, im Durchschnitt (mit Rücksicht auf die Häufigkeit) 0,072 mm auf 100 m, entsprechender Winkelfehler 0",15. Diese 127 Exemplare sind also durchaus Doppellibellen von ganz bergendem Doppelschliff, durchaus vernachlässigbarem Fehler. Andre haben allerdings, zumal bei ältern Wendelibellen, auch wesentlich größre Fehler erhalten, bis 3", 4" und mehr an ziemlich feinen Libellen.

Auch für die in dieser Nr. 104. behandelten Nivelliere mit Ringfernrohr und Wendelibelle gilt selbstverständlich das am Schluß von 102. über die Wirkung eines Fehlers c des Nivelliers bei ungleichen Zielweiten Gesagte, falls nicht der Ablesefehler jedesmal durch Ablesen in beiden Lagen des Fernrohrs und Mittelbildung eliminiert wird; ein Fehler der von unrichtigem Gang des Okularauszugs herrühren sollte, wird aber auch bei diesem Verfahren nicht eliminiert.

23 mal 0,00

5,923₅ — 5,920₀ (cm)

mm

vorra

2 • 2150 (cm)

3,5 (cmm)

4 300000 (cmm)

• 206000"= rd. 0",2,

mm.

(rund yi0 mm) Bei 36 weitern Prüfungen von Doppellibellen mit

mm

105. Bestimmung einiger weniger Höhenunterschiede zwischen

der Lage nach gegebnen Festpunkten. Einfaches Längennivellement " (besonders II. O.) zwischen Festpunkten längs einer gegebnen Linie; Feldbuch und Rechnung. 1. Wir beschäftigen uns, indem wir uns nun zum praktischen Gebrauch der Nivelliere wenden, zunächst mit der Ermittlung einzelner Höhenunterschiede mit der Genauigkeit, die Einwägung II. O. entspricht: wir setzen hier und für das zunächst Folgende voraus, daß ein Instrument von 20 bis 25facher Vergrößrung des Fernrohrs und einer    15"- (auch noch 20"-) Libelle

ferner dieses Nivellier, mit festem oder Ringfernrohr, im all-n berichtigt voraus, s. u. (lassen jedoch augenblicklich diese y meine ^.zung fallen). Ferner setzen wir zunächst durchaus eine richtige 0lausse voraus, an der bei gut einspielender Libelle des Nivelliers

wir

set

zen

zur

Verfügung stehe;

durch. Schätzung auf 1 mm abgelesen wird. Über die Art der einzelnen Ablesung, die stets festzuhalten ist, vgl. nochmals die Reihenfolge der Handgriffe usf., wie sie in 101. 2. angegeben ist.

zu bestimmen,

mm

Um z. B. mit einem Nivellier, über dessen Berichtigung nichts bekannt ist, rasch, d. h. ohne die Möglichkeit vorheriger Untersuchung und Berichtigung, den Höhenunterschied zwischen zwei Punkten A und H (eingeschnittne Zeichen in den Treppenstufen) Fig. 436, mit der Genauigkeit von etwa 1 bis 2 stellen wir das Instrument, von dem vielleicht bekannt ist, daß es vor nicht langer Zeit berichtigt worden und daß sein Fehler also voraussichtlich nicht sehr groß ist, etwa im Punkt Jl auf, der von A uud B ziemlich gleichweit entfernt ist, J₁A — JXB z. B. mit Meßlatten hergestellt. Die Differenz der Ablesungen a und b an der Latte in A und in B, je bei gut einspielender Libelle, leistet das Verlangte. Dies läßt sich selbstverständlich auf die Höhenunterschiede zwischen mehr als zwei Festpunkten ausdehnen, wobei man z. B. die zwischen drei Punkten A, H, C durch eine Aufstellung des Instruments (wenn sie von hier aus erreichbar sind) dadurch erhalten könnte, daß das Instrument auf dem Schnittpunkt der Mittenlote von AB und HU (und also auch AC) aufgestellt wird. Doch würde mit Aufsuchen dieses Schnittpunkts mehr Zeit vergehen, als mit der Messungsart: Höhenunterschied zwischen A und B von einer Aufstellung Jt auf dem Mittenlot AB aus, zwischen B und C von einer Aufstellung auf dem Mittenlot B C, zur Kontrolle zwischen C und B von einer Aufstellung Js auf dem Mittenlot CA aus. Dabei ist vorausgesetzt, daß die Zielweiten nach sämtlichen Punkten nicht größer als 40 bis höchstens 50 m genommen werden und daß die Gleichheit der Entfernungen nach den zwei Zielpunkten allemal dem voraussichtlichen Fehler c des Instruments

entsprechend hergestellt wird. Ist das Instrument entsprechend scharf berichtigt, so kommt es nicht auf die Gleichheit der Entfer-Das Nivellieren aus der Mitte ist

nungen an.

Fig. 436.

ferner auch bei (voraussichtlich) nicht berichtigtem Instrument dann nicht erforderlich, wenn das Instrument ein Ringfernrohr mit Wendelibelle hat, von der die Richtigkeit (parallele Lage der beiden Libellenachsen) von frührer Untersuchung her bekannt ist: man hat mit diesem Nivellier

nur auf jedem Punkt zwei Ablesungen zu machen,

die erste mit Libelle unten (oder links) die zweite nach (um die Ringachse um 180°) gedrehtem Fernrohr mit Libelle oben (oder rechts) und hat als endgültige Ablesung das Mittel der zwei bei gut eingespielter Libelle gemachten Ablesungen zu nehmen.

Sind die zwei Punkte A und H, deren Höhenunterschied bestimmt werden soll, der Lage oder Höhe nach oder nach beiden Stücken so weit auseinander, daß eine Aufstellung des Instruments nicht ausreicht, so ist durch Einschaltung von Wechsel-punkten die Strecke AH in Abschnitte zu zerlegen, die je von einer Aufstellung des Instruments aus zu beherrschen sind.

, Fig. 437.

2. Einfaches Längennivellement II. 0. (Festpunktnivellement längs bestimmter Linie). Solche „Wechselpunkte“ sind bei jedem Längenivellement, das nur wenige hundert Meter lang zu sein braucht, erforderlich. Die Aufgabe ist folgende: Wir wollen annehmen, die N. N.-Höhe (vgl. 98. 2.) des Punkts A sei gegeben A = 334,120 m N. N., die von JB sei zu bestimmen, AB etwas über 300 m lang und der Höhenunterschied gegen 10 na

Wir setzen jetzt voraus, das Instrument sei so gut berichtigt, daß gleiche Rück- und Yorblicke für unsern Zweck nicht erforderlich sind, z. B. ist c auf den Betrag von ganz wenigen " heruntergebracht. Etwa 40 m (50 Schritt) von A wird das Instrument in Jx aufgestellt; Umdrehungsachse rasch ohne Drehung der Alhidade nur mit Hilfe der Dosenlibelle vertikal gestellt, Latte A angezielt (Vertikalfaden auf cm-Skale), Hauptlibelle jetzt scharf eingespielt („Hebeschraube“, nur wenn keine da ist nächstliegende Fußschraube), abgelesen (rückwärts) 2,146. Nehmen wir vorläufig an, der Aufsetzpunkt der Latte sei der Nullpunkt der Teilung (wir wissen schon, daß dies nicht nötig ist) so ist der Horizont (der Name wird hier in andrer Bedeutung als z. B. in 98. gebraucht, wo er Null - Niveaufläche bedeutet; hier bezeichnet er: Höhe der Ziellinie, von der aus abwärts zu rechnen ist) oder die „Höhe der Zielung“ (Visurhöhe,

2,1«

2,722

0,160

J₂

2,894

0,293

2,

Js

3.011

0,347

III

0,4W

Fig. 437.

von

N. N. Prüfen wir

Sichthöhe, Zielhöhe; es ist ganz unzweckmäßig den Namen Zielhöhe für Ablesungen an der Latte zu gebrauchen, wie es oft geschieht!) der Instrumentenaufstellung in Jx = 334,120 + 2,146 = 336,266. Latte sofort nach Ablesung abrufen (ein für allemal zu merken, sobald abgelesen ist, rufen ab!); der Lattenträger geht nun etwa vom Instrument an 40 weiter; er legt die Bodenplatte nieder, tritt sie fest, setzt die Latte darauf, Ruf zum Instrument: Latte steht! Auf diesem 1. Wechselpunkt wird von Jx aus abgelesen (vorwärts) 0,160; wir erhalten offenbar die N. N.-Höhe von Wx (Punkt der Unterlagsplatte, auf dem die Latte mit ihrem Aufsetzpunkt steht) wenn wir vom „Horizont“ der Aufstellung in Jx um 0,160 herabgehen, d. h. Wx hat die Höhe 336,266 — 0,160 = 336,106. Die Latte bleibt auf dem „Wechsel“ Wx stehen; das Instrument geht um etwa 50 Schritt über Wx hinaus, Aufstellung J₂, Ablesung rückwärts nach Wx z. B. 2,722 (ab!), gibt Visurhöhe (Horizont) in J₂ = 336,106 + 2,722 = 338,828; Ablesung der auf W₂ aufgestellten Latte vorwärts 0,293 gibt Höhe von W₂ 338,828 - 0,293 = 338,535 N. N.; alsdann Aufstellung J₃, Ablesung rückwärts nach W₂ 2,894, Horizont in J₃ = 338,535 2,894 = 341,429; Ablesung vorwärts nach W₃ 0,347 gibt Höhe W₃ = 341,082; endlich bleibt die Latte auf dem Wechsel W₃, Aufstellung des Instruments in J₄, Ablesung rückwärts nach W₃ 3,011, Horizont = 344,093, Ablesung nach B vorwärts 0,449 gibt B = 343,644 gleich auch unsre Rechnung nach der Regel: B über A um 2Jr — 2Jv (vgl. (10) in 96. 3.); es ist

Rechenprohen kann man so anstellen, daß man auch hier Er und Ev bildet, Summe der obern und Summe der untern Zahlen in der Spalte Lattenablesungen; man hat wie oben

Er = 10,773 Ev = 1,249

(1)

Ur = 2,146 + 2,722 + 2,894 + 3,011 = Uv = 0,160 + 0,293 + 0,347 + 0,449 *=

10,773

1,249

also B über A um + 9,524, N. N.-Höhe von

Ur - Uv = + 9,524,

B = 334,120 + 9,524 = 343,644 N. N.,

wie vorhin ebenfalls ausgerechnet worden ist.

Man würde sich die Ausrechnung der „Horizonte“ (Visurhöhen oder Zielhöhen), allemal durch Addition der Ablesung „rückwärts“ zur Höhe des vorhergehenden Wechselpunkts (bei der ersten Aufstellung des Instruments zur Höhe des Anfangspunkts) ersparen, wenn die Aufgabe tatsächlich immer so läge, wie hier angenommen ist; statt jedesmal von dem erst auszurechnenden Horizont die Ablesung vorwärts abzuziehen, würde man für jeden Standpunkt des Instruments, nachdem die Ablesung rückwärts r und die Ablesung vorwärts v gemacht ist, sogleich die Differenz (r — v) bilden; um soviel liegt der folgende Punkt höher als der vorhergehende, d. h. ist f (r — v) positiv \ (r — v) negativ

und wir sehen bei dieser Rechnungsweise nochmals unmittelbar, daß die Lage des Nullpunkts der Teilung auf der Latte (Strecke zwischen Aufsetzpunkt und Nullpunkt auf der einen verwendeten Latte) nicht in Betracht kommt. Man könnte also wie folgt aufschreiben und rechnen, wobei positives (r — v) (hier durchaus vorhanden) in die Spalte „steigt“, negatives in die Spalte „fällt“ eingesetzt wird. Hiernach waren in der Tat ältre Nivellierformulare oft eingerichtet, z. B. (mit Weglassung der Notizen über Datum, Ort, Instrument usf.) für den vorliegenden Fall so:

(2)

J so liegt der folgende Punkt j

höher

tiefer

J als der vorhergehende,

Instrum.-

Stand

Punkt

Latten

ablesung

Differenz r — v

<5

steigt

fällt

Höhe N. N.

2,146

0,160

2,722

0,293

2,894

0,347

3,011

0,449

1,986

2,429

2,547

2,562

334,120 A 336,106 Wx

338,535 W₂

341,082 Ws

343,644 B

= 2v =

10,773

1,249

Er — Ev -

9,524

E Steigung = 9,524

Diff. (B — A) = 9,524

Differenz == 9,524 ,

diese muß übereinstimmen mit der Z der Zahlen in der Spalte „steigt“ (wenn auch in der Spalte „fällt“ Zahlen stehen, so heißt es: übereinstimmen mit dem Betrag Z der Zahlen in der Spalte „steigt“ minus Z der Zahlen in Spalte „fällt“); endlich muß mit diesen Zahlen übereinstimmen die Differenz: Höhe des Endpunkts minus Höhe des Anfangspunkts. Man würde in diesem Fall: nur die Höhe von B bei gegebner Höhe des Ausgangspunkts A gesucht, auch die Ausrechnung der Höhen der einzelnen Wechselpunkte unterlassen; sie interessieren uns an sich, wenn es „verlorne“ Punkte sind (s. den folgenden Absatz) gar nicht, wir brauchen sie nur, um das Nivellement fortführen zu können. Ihre Höhen ausdrücklich auszurechnen wäre nur dann erforderlich, wenn einer oder mehrere dieser Wechselpunkte dauernde Festpunkte, nicht verlorne Fußplattenpunkte wären.

So liegt nun aber die Aufgabe auch bei einem kurzen Längennivellement in der Regel nicht, bei einem längern II. 0. fast nie; man hat nicht nur den Höhenunterschied zwischen Anfangs- und Endpunkt zu bestimmen, oder die N. N.-Höhe des Endpunkts, wenn die des Anfangspunkts gegeben ist, sondern es sind zwischen Anfangs- und Endpunkt auch noch Zwischenpunkte zu bestimmen, dauernde Festpunkte im Gegensatz zu den Wechselpunkten, die meist „verlorne Punkte“ sind, nach dem Nivellement gar nicht mehr nachweisbar, weil z. B. nicht be-zeichnete „natürliche“ Punkte oder nur vorübergehend durch einen bestimmten Punkt der sofort nachher wieder weggenommnen Fußplatte be-zeichnete Punkte. Nur bei Feinnivellierungen sind solche Zwischenfestpunkte meist nicht vorhanden, es handelt sich dort nur um Einwägung von Festpunkten in verhältnismäßig sehr großen Entfernungen voneinander, wobei, wie schon mehrfach erwähnt, grundsätzlich gleiche Zielweite beibehalten wird. Bei Nivellierungen II. 0. und niedrerer Ordnung aber hat es keinen Anstand, auf einem beliebigen Standpunkt des Instruments zwischen dem Rückblick nach dem vorhergehenden Wechselpunkt (der immer die erste Ablesung nach Aufstellung des Instruments ist und aus der Höhe dieses letzten Wechselpunkts durch Addieren der Ablesung die neue Yisurhöhe [Horizont] liefert) und dem Vorblick nach dem nächsten Wechselpunkt (der immer die letzte Ablesung von dem Instrumentenstand aus ist und vom „Horizont“ aus durch Abzug der Ablesung die Höhe dieses nächsten Wechselpunkts liefert), beliebig viele, z. B. n Ablesungen auf Punkten zu machen, die zwischen diesen beiden Wechselpunkten oder seitlich vom „Zug“ der Nivellementslinie liegen, Festpunkte oder auch „Bodenpunkte“ sind, auf denen aber natürlich von der Aufstellung des Instruments aus die Latte bei horizontaler Ziellinie erreichbar sein muß. Die Zahl n ist wie gesagt beliebig, 1, 2, 3, sehr häufig auch 0, keine Zwischenpunkte abzulesen. Groß wird man die Zahl der Zwischenpunkte um so weniger wählen, je feiner das Nivellement ist, weil es die Genauigkeit nicht fördert, wenn das Instrument lange auf einem Stand verweilen muß. Ein solcher ebenfalls zu bestimmender Festpunkt zwischen Anfangs- und Endpunkt der Einwägung kann natürlich, wenn er passend liegt, auch als Wechselpunkt genommen werden, die Latte bleibt auf ihm stehen, während das Instrument daran vorbei weiter geht zum nächsten Stand. Es hat keinen Anstand, bei Nivellierung II. 0. und um so mehr niedrerer Ordnung diese Zwischenpunkte in der angedeuteten Art, d. h. mit verschieden langen Zielungen abzulesen,

wenn nur das Instrument gut berichtigt ist; es werden in diesem Fall ja schon die Rück- und Vorblicke nach den Wechselpunkten nur noch auf Linien mit geringen Neigungen gleich groß gehalten (wodurch für jeden Stand im Höhenunterschied der zwei Wechselpunkte der Instrumentenfehler unschädlich bleibt), sodaß auch die Zwischenpunkte, deren Fehler sich nicht fortpflanzt, mit andern Ziel weiten abgelesen werden dürfen.

3. Feldbuch, Rechnung. Aus den angedeuteten Gründen ist es zweckmäßig, beim Aufschreiben die Ablesungen: rückwärts (immer die erste vom neuen Standpunkt des Instruments aus) „zwischen“ oder seitwärts (beliebig viele, häufig auch 0) und vorwärts (die letzte vom Stand des Instruments aus) beim Aufschreiben zu trennen, wie es in dem hier (zunächst wieder ohne eingesetzte Zahlen) beigegebnen Formular des Übungsbuchs für die geodätischen Übungen der Technischen Hochschule Stuttgart geschieht (vgl. z. B. S. 384). Die drei letzten Spalten betreffen die Anwendung einer Wendelatte, die in 106. zu erwähnen ist; auch die Bemerkung am Fuß des Formulars (Seite mit 27 Zeilen für Ablesungen) sei gleich hier mit abgedruckt, obwohl das meiste davon sich ebenfalls auf die Wendelatte und sonstige Sichrungen einer Einwägung bezieht.

Das in der folgenden Fig. 438 im Grundriß angedeutete Stück Nivellement auf einer städtischen Straße ist in das Formular unten eingetragen, und es ist die Rechnung gleich beigefügt. Die Instrumentenstände

Je

W₃

(F

Fig. 488.

braucht man in der Tat nicht fortlaufend numeriert namhaft zu machen, das ist durch die stets zu empfehlende fortlaufende Numerierung der Wechselpunkte überflüssig; es ist aber besonders dem Anfänger dringend zu raten, die Instrumentenstände durch (mit Bleistift bei der Feldarbeit durchgezogne) Horizontalstriche zu trennen und es mag auch zu jeder Horizontzeile der Instrumentstand zugesetzt werden, wie im folgenden Beispiel. Es sind deshalb bei dieser Aufschreibüng, damit die Horizontalstriche sich besser abheben, die einzelnen Horizontallinien für jede einzelne Ablesung weggelassen. Was zwischen zwei Horizontal-

strichen in dem Formular S. 685 steht, ist von derselben Aufstellung des Instruments aus gemacht: erste Ablesung Rückblick nach dem letzten Wechselpunkt; dann beliebig viele Zwischenablesungen; letzte

Form. 10.

Nivellement auf \

Längenprofil j Flächennivellement auf der Flurkarte

Einfaches Nivellement.

Seite

der Linie

Datum 19

Wetter:

Instrument : Latte:

(Lib. ") (Korr. ==

Beobachter:

Nur bei Rev. L.

Punkt Lattenablesungen

(Nr.,

Fntfg.

Zwi-

schen-

usf.)

Rück-blick

T lesung

ab-

Vor

blick

Horizont

Höhe

Korrekt.,

ferner

Bemerkg.

(Festpunkte

usf.)

Rückseite der Latte

Diff.

Er =

= Ev

(Rechnungspr. d. Seite)

Er' =

= Ev

Er — Ev —

Er — Ev =

Rechnungsprobe:

Bemerkung. Jede Ablesung auf besondre Zeile!

Er — Ev muß stets gleich sein dem Unterschied der ersten und letzten Horizontoder Wechselpunkthöhe, zu deren Bildung das erste und letzte r oder v verwendet worden ist. — Die 3 letzten Spalten kommen nur bei Verwendung einer Wendelatte in Betracht (sonst zu weitern Bemerkungen und Skizzen über Festpunkte usf.). Es genügt dann meist die Messungsprobe Er' — Ev' = Er — Ev; nur bei einer großem Abweichung, die nicht als Rechenfehler sich herausstellt, müssen, um die Stelle des Fehlers zu erkennen, in der Spalte Diff. die Unterschiede der zusammengehörigen Rück- und Vorblicke gebildet werden. — Wenn ein Nivellement mit 2 Latten geführt wird (Ablesung an zwei verschiednen Latten auf benachbarten Wechselpunkten von denselben Ständen eines Instruments aus), so sind die Ablesungen ganz zu trennen (auf 2 Buchseiten zu notieren).

Ablesung Yorblick nach dem nächsten Wechselpunkt. Diese Horizontalstriche fehlen in mehreren Reproduktionen des hier gegebnen Formulars, die nach Ansicht ihrer Urheber Verbessrungen gegen die vorstehende Anordnung aufweisen; das Weglassen der Horizontalstriche ist jedenfalls keine solche Yerbessrung. Die kleine Klammer bei jedem Wechselpunkt deutet an, daß auf jedem dieser Punkte zwei Ablesungen zu machen sind, eine vorwärts, die seine Höhe liefert, dann eine rückwärts vom folgenden Stand des Instruments aus, die die neue Yisurhöhe („Horizont“) liefert. Wo einer der einzuwägenden Festpunkte als Wechselpunkt benützt wird, ist z. B. in die Spalte „Punkt“ zu setzen: G = Wi usf. In die Spalte „Bemerkungen“ sind besonders Notizen über die Lage der Festpunkte aufzunehmen, zweckmäßig vielfach mit kleinen Freihand-Lageplanskizzen versehen.

Wie in der Fig. 438 (Grundriß) angedeutet, ist es beim Einwägen auf städtischen Straßen zweckmäßig, die Instrumentenaufstellungen zwischen Gehweg und Straßenfahrbahn zu wählen, z. B. auf dem Pflasterstreifen zwischen Gehweg und chaussierter Fahrbahn. Die Ziel weiten zwischen den Wechselpunkten wurden hier klein, durchschnittlich nur etwa 30 m, angenommen; die Zwischenpunkte sind mit noch kürzern Zielungen abgelesen, das Instrument war gut berichtigt. Auf der hier angegebnen Strecke ist keiner der Festpunkte als Wechselpunkt benützt.

Festpunktseinwägung an der

Straße.

Beobachter

Lattenträger

Instrument ........................................

Auf Fußplatte gewechselt.

Punkt

Rück

blick

Lattenablesung

• u Vor-zwischen j

I (seitlich)

Höhe der Zielung

(Visurhöhe,

Horizont)

Höhe des Punkts

Bemerkungen

0,686

288,162

1,432

1,435

(A)

287,476

1,105

286,730

286,727

287,057

A am Sockel, gegeben. Treppe □ rechts x links

2)

1,905

288,962

1,638

1,300

(A)

1,408

287,324

287,662

287,554

Treppe A Sockel ob. A

1,845

289,399

1,208

1,215

288,191

288,184

Sockel ob. □

4,436

3,728

= Sv

288,184 — 287,476 = 0,708 =Zr — Zv

In jedem Fach (zwischen zwei Horizontal strichen) ist, wie schon erwähnt und durch besondre Bezeichnung Jt, J₂ . . . nochmals angedeutet (nur für den Anfänger) eine Aufstellung des Instruments vollständig enthalten. Die erste Ablesung ist die Ablesung rückwärts, die durch Addieren zur letztvorhergehenden Höhe die Visurhöhe der Aufstellung liefert; alle folgenden Ablesungen von diesem Stand des Instruments aus, Seitwärtsablesungen in beliebiger Zahl, ebenso die letzte, die Vorwärtsablesung, die die Höhe des nächsten Wechselpunkts gibt, sind von der Höhe der Ziellinie (Horizont) abzuziehen. Im Beispiel ist

4,436 3,728

Hr — 2Jv = -J- 0,708

übereinstimmend mit 288,184 — 287,476, womit alle Wechselpunkte und alle Horizonte geprüft sind. Diese Probe, die an beliebiger Stelle des Formulars (für eine ganze Seite oder einen Teil davon) angestellt werden kann, läßt die „Zwischenpunkte“, um deren Höhe es sich doch handelt, ungeprüft und dies ist der Schreib- und Rechenweise dieses „Feldausweises“ zum Vorwurf gemacht worden. Das Formular sei überhaupt veraltet (wegen der Nichtberücksichtigung der „dekadischen Ergänzungen“ s. unten). Es ist aber doch vor allem wichtig, solche Fehler auszuschließen, die sich fortpflanzen, auch alles folgende unrichtig machen, während es genügt, daß einzelne Zahlen, bei denen dies nicht zutrilft, vor der weitern Verwendung, sei es direkt aus dem Feldbuch, sei es vor dem Einträgen in einen Plan oder dgl. durch einen Blick auf ihre Richtigkeit geprüft werden können. Es besteht meiner Ansicht nach kein Grund, die vorstehende alte und bewährte Form des Feldbuchs zu verlassen. Vgl. in 5. andre Formulare.

der

üeilg

123

Stollen.

Pig. 439.

4. Die „Unrichtigkeit der Horizonte“ im vorstehenden Formular. Auf einen Umstand ist bei der Ausrechnung der Sichthöhen (Horizonte) aufmerksam zu machen. Die Überlegung: Höhe des vorhergehenden Punkts ff- auf diesem Punkt im Rückblick an der Latte abgelesner Zahl gibt die Höhe der Visur, (von der die Seitwärtsablesungen nach beliebigen Punkten und der Yorblick nach dem nächsten Wechselpunkt abzuziehen sind), trifft nur dann zu, wenn der Aufsetzpunkt der Latte zugleich der Nullpunkt ihrer Skale ist. Für die „Höhen der Punkte“ (vorletzte Spalte) ist dies ganz ohne Bedeutung, denn für sie kommen ja tatsächlich nur Ablesungsdifferenzen (r — z) und (r — v) in Betracht; und um diese Zahlen, die Höhen der Punkte, auf denen die Latte stand, handelt es sich ja allein. Aber die Zahlen der drittletzten Spalte, Horizont, können (uud werden im allgemeinen immer) um eine bestimmte konstante Zahl unrichtig (verschoben) sein und es gibt einige wenige Nivellieraufgaben, bei denen dies in Betracht kommt. Die wichtigste ist folgende: Es sei z. B. an der Ecke des Hauses bei E ein Strich anzubringen auf die Höhe 289,000; die einfachste Überlegung ist diese: ich projiziere den Horizontalfaden bei der Aufstellung J₂ auf die Wand bei der Ecke (weise dort einen Gehilfen mit der Spitze eines horizontal anzuhaltenden Bleistifts auf den Horizontalfaden ein) und messe von diesem Punkt aus mit dem gewöhnlichen Taschenmaßstab die noch erforderliche Strecke Aufsetzpunkb hinauf oder hinunter. Nun fragt es sich aber also, ist die Sichthöhe bei J₂, d. h. der zunächst eingewiesne Strich an der Hauswand 288,962 hoch, wie im Feldbuch steht oder nicht? Offenbar nur dann, wenn der Lattenskalennullpunkt im Aufsetzpunkt liegt; nur dann sind von dem eingewiesnen Strich noch

5. Andre Formulare für Messung und Rechnung. Es gibt Dutzende, oft nur in Kleinigkeiten verschiedne Nivellierformulare (für den „Feldausweis“ und für die Rechnung) und jeder hält im allgemeinen das Formular, an das er gewöhnt ist und mit dem er infolgedessen, zunächst jedenfalls, auch am meisten leisten kann, für das beste. Es kommt auch in der Tat für das Aufschreiben und Rechnen auf besondre Umstände für das Nivellement an; sind z. B. keine „Zwischenablesungen“ zu machen, wird vielmehr jeder Festpunkt, der zwischen Anfangs- und Endpunkt einzuwägen ist, auch als Wechselpunkt benützt, so hat man keinen Grund zur Ausrechnung der „Horizonte“ und ebenso kann die Spalte „Zwischenablesungen“ ganz wegfallen, man kann sogar alle Ablesungen in dieselbe Spalte schreiben, s. das übernächste Formular.

Man

0,038

= 38

= 289,000 — 288,962 hinaufzum essen, um den ge-Dieser Fall: Aufsetzpunkt der Latte = Nullpunkt ihrer Teilung ist aber selten vorhanden, wie schon mehrfach erwähnt auch gar nicht notwendig; ist die Lage beider Punkte zueinander z. B. die der nebenstehenden Skizze, Fig. 439 (Nullpunkt 123 wm über Aufsetzpunkt, mit Anlegemaßstab auf 1 mm zu messen) so sind alle Ablesungen an der Latte gleichsam um 123 mm zu klein (da es aber die r wie die z und die v sind, so kommt dies für die Höhe der Punkte, auf die die Latte zur Ablesung gesetzt wird, nicht in Betracht), die Zielhöhe der Aufstellung J₂ ist gar nicht 288,962 wie im Feldbuch steht,

m und es sind von dem auf den

mm

wünschten Strich zu erhalten.

sondern 288,962 + 0,123 = 289,085 Horizontalfaden eingewiesnen Zeichen nicht 38 mm hinauf, sondern 85 mm herunter zu messen, um den Strich 289,000 m ziehen zu können.

Allgemein: Liegt der Nullpunkt der Nivellierskale um den Betrag

f über i    •

a \ unter ^em Aufsetzpunkt der Latte, so sind alle Visurhöhen (Horizonte)

J als sie im obigen Feldbuch stehen (aber die

größer kleiner

Punkthöhen sind doch richtig). Dabei kann a ganz beliebig groß sein; die Rückseite einer „Wendelatte“ z. B. beginnt bei vier Meter langer Latte unten in der Regel mit 41 (3m), für die Rückseite liegt also der nur zu denkende Nullpunkt der Skale um mehr als 4 m unter dem Aufsetzpunkt, die Horizonte sind in Wirklichkeit um mehr als 4 m niedriger als sie im Feldbuch stehen.

tatsächlich um a

Ein Formular, das. im Niederschreiben der Ablesungen vom vorigen nicht wesentlich verschieden ist, nämlich auch die drei Arten von Ablesungen trennt (und nur statt des Prinzips des vorigen Formulars: jede Ablesung auf eine Zeile, vorschreibt: für jeden Punkt eine Zeile, so daß auf der Zeile jedes Wechselpunkts zwei Zahlen Vorkommen), dagegen anders rechnet als oben, ist z. B. das folgende (auf dasselbe Beispiel wie oben angewandt); die Rechnung ist hier grundsätzlich von Punkt zu Punkt mit Einbeziehung aller Zwischenpunkte gemacht, sodaß auch die Zwischenpunktshöhen kontrolliert werden; die Hauptprobe: bis zu beliebiger Stelle (2r — A'v) gleich Differenz der entsprechenden berechneten Höhen ist hier genau dieselbe wie oben. Dieses Formular ist aber entschieden weniger übersichtlich, zumal für den Anfänger, als das vorige, z. B. werden ihm die zwei Zahlen auf derselben Zeile für die Wechselpunkte manchen Fehler verursachen, könnte im letzten Formular natürlich auch, statt tatsächlich von Punkt zu Punkt zu rechnen, alle Zwischenablesungen und die Vorwärtsablesungen von einem Stand des Instruments aus von der Rückwärtsablesung von diesem Stand aus

Punkt

Lattenablesungen rückwärts seitwärts vorwärts

Ablesungsdifferenzen Höhen der steigt fällt Punkte

Bemerkungen

0,686

1,905

1,432

1,435

1,845

1,638

1,300

1,105    0,330

0,267 0,338

1,208

1,408

1,215

0,637

0,746    , 286,730

0,003    286,727

287,057 287,324 287,662 0,108    287,554

288,191 0,007    288,184

287,476 A am Sockel gegeben Treppe □ rechts „ x links

Treppe A Sockel oben A

Sockel oben □

abziehen, das „steigt“ und „fällt“ also durchaus vom letzten Wechselpunkt aus rechnen. Es ist dann aber allerdings noch etwas mehr Gelegenheit zu Rechenversehen gegeben, besonders wenn wie oben die Instrumentenstände nicht durch Horizontallinien getrennt werden (was für den Anfänger stets unbedingt zu empfehlen ist), auch sind dann die Zwischenpunkte wieder nicht kontrolliert, worauf es hier noch mehr ankommt, als beim ersten Formular, weil die nachträgliche Kontrolle der Punkte nach der Hauptprobe, {Er—27«), nicht so bequem ist wie im ersten Formular. Trotzdem ist diese letzte Rechenweise („Beziehung“ der Zwischenpunktsablesungen und des Vorblicks auf die Rückwärtsablesung der grundsätzlichen Rechnung von Punkt zu Punkt sogar vorzuziehen, wenn z. B. für die Zwischenablesungen viel geringre Genauigkeit genügt, als für die Wechselpunktsablesungen r und v, was häufig genug vorkommt; und man kann deshalb diese Rechnungsweise keineswegs als (in jedem Fall) „ganz unzweckmäßig“ bezeichnen, wie es z. B. Vogler tut.

Manchmal hört man auch klagen über „Verwechslung“ von Rückblick und Vorblick (nicht von solchen, denen die Trennung der Ablesungen in die drei ver-

schiednen Klassen rationell plausibel gemacht wird, aber von „Praktikern“); es sei übersichtlicher, wenn alle Ablesungen in eine Spalte untereinander geschrieben werden. Dagegen ist natürlich schließlich nichts einzuwenden, wenn durch Horizontalstriche für die Trennung der Instrumentenstände gesorgt und im t Auge behalten wird, daß die erste Ablesung jedes Fachs eine r-Ablesung, die letzte Ablesung (wenn überhaupt mehr als zwei vorhanden, d. h. Zwischenpunkte mitzunehmen sind) eine «-Ablesung ist; hier erhält dann von selbst jeder Wechselpunkt zwei Zeilen.

Punkt

Pflock

0 + 0 0 + 20 0 + 40 0 + 50 0 + 60 0+80 1 + 0=]

Wt

1 + 20 1 + 40 1 + 60

1 + 80

Ws

Latten

ablesung

0,2 7

O tH ©f (N ©f CO

0,18₅

cT t—T ©f co~

0,40

0,61

2,42

Unterschiede Steigen Fallen

Höhe

VO O O O O i

CO O OQ T* »O

CO-    I>^    :

O r-T r-T fff fff CO

»Q O

»O CO o o O CO. H GO o" t-T fff fff

JnSJO

'o'to

378,45

377,82

376,99₅

376,52₆

376,40 g

375,72g

375,19g

375,19g

l— i — u- i>-

JO CO co co

372,30₅

372,09 g 370,28g

Vorstehend (S. 688) ist ein Stück Nivellement III. 0. (Ablesung nur auf Halbzentimeter) gegeben, Einwägung der Pflöcke eines „Längenprofils“ (vgl. unten); das Stück ist auch in der folgenden Fig. 440 dargestellt, durch den Vergleich mit der Niederschrift werden alle Zahlen klar werden: es ist immer vom letzten Wechselpunkt gerechnet, die Höhen der Wechselpunkte und die Ablesungen rückwärts auf den Wechselpunkten sind unterstrichen, um die Zahlen herauszuheben, mit denen beständig zu rechnen ist. Daß vom ersten Stand des Instruments so viele Zwischenpunkte, vom dritten Stand nur einer abgelesen ist, hat seinen Grund in Sichthindernissen heim Nivellement (Wald). Das Unterstreichen der r-Ablesungen hat auch den Vorteil

aus

0,90

1,725

2&5

2,31

2,99p

.-3,52₅

Of20N'

0+4o'

0+5b

kV Val d

0,185

t52

2,335

1+0

der leichtern Kontrolle, wenigstens der Wechselpunkte: (Z der unterstrichnen Zahlen) — (2 der unmittelbar vorhergehenden Zahlen) muß gleich der letzten Höhenzahl minus Anfangshöhenzahl sein; hier (0,27 -(- 0,18fi -J- 0,40)

— (3,52₅ -f- 3,07₆ -f- 2,42) = 0,85s — 9,02 == — 8,16n = 370,28₅ — 378,45 = — 8,16₆. Alle ZwischenpuDkte sind aber auch hier allerdings nicht kontrolliert, sondern erst beim Einträgen der Höhen in den Höhenplan nochmals zu kontrollieren, wobei auch nochmals die Ablesungsdifferenzen zu prüfen sind. Hier wäre also für das abgedruckte Stück des Nivellements die ab-gesetzte Rechnung von Punkt zu Punkt vorteilhafter; es kommt ganz auf die Zahl der Zwischenpunkte an, ist diese gering im Vergleich mit denen der Wechselpunkte, so ist die nicht von Punkt zu Punkt fortschreitende Rechnung gerade so bequem.

Fig. 440.

0,61 _

2,42

W3

Im ganzen scheint mir kein einziges der vielen andern Nivellier-formulare die Klarheit des ersten obigen zu erreichen, wenn in diesem die Instrumentenstände durch Horizontalstriche getrennt werden.

Die Bequemlichkeit der Rechnung beim Nivellieren III. 0. mit Ablesen auf ¹ja cm gewinnt im Vergleich mit der für II. 0. (Ablesung 1 mm') nicht gerade sehr viel; um so größer und besonders dem Anfänger auffallend (er macht nicht die Hälfte der Rechenfehler wie bei der um 1 großem Stellenzahl) ist die Erleichtrung bei IV. 0. (Ablesung auf 1 cm).

106. Fortsetzung: Längennivellements. Arbeitsleistung. Einzelheiten und besondre Einrichtungen. Lattenfehler. 1. Arbeitsleistung. Diese hängt natürlich vor allem von der Übung des Messenden ab, ferner aber schon gleich von Beginn an davon, ob er (und das soll sich schon der Anfänger möglichst angewöhnen) rationell arbeitet, z. B. zeitsparende Dosenlibelle zur allgemeinen Horizontierung ohne Drehung derAlhidade benützt und die Handgriffe usf. bei jeder Ablesung genau nach der in 101. 2. a) bis e) gegebnen Vorschrift ausführt. Es kommt ferner bei jeder Übungs— stufe des Messenden in Beziehung auf die Anzahl der in bestimmter Zeit, einem halben, einem ganzen Tag, zu erledigenden Instrumentenstände darauf an, ob viele Zwischenablesungen zwischen den Wechselpunkten zu machen sind, und in Beziehung auf die

44

Hammer: elementare praktische Geometrie.

zurückgelegte Gesamtstrecke (nach der oft allein gefragt wird), welche größte Zielweiten gestattet oder wegen der Neigungen der nivellierten Linie möglich sind, endlich ist man von der Übung und dem guten Willen des Gehilfen (Lattenträgers) abhängig. Auch der Anfänger aber soll sich darüber klar werden, daß das Nivellieren zu den Geschäften gehört, die bis zu einem gewissen Grad um so besser ausfallen, je rascher sie ausgeführt werden.

Bei nicht vielen abzulesenden Zwischenpunkten und unter der bisherigen Yoraussetzung einer Latte, endlich bei Nivellierung auf Linien mit nicht bedeutenden Neigungen, so daß fast stets die Zielweite 50 m möglich ist (größte Zielweite für Einwägung II. 0.) darf man als normale Leistung für II. 0. die Nivellierung von 1 km Linie in der Stunde Arbeitszeit bezeichnen; die Geschwindigkeit laßt sich bei sehr wenigen Zwischenpunkten (so daß diese als Wechselpunkte genommen werden) und ganz geringer Neigung noch ziemlich steigern. Die genannten Zahlen (1 km in der Stunde, 50 m - Zielweite) entsprechen (r -f- v = 100 m) 10 Aufstellungen des Instruments in der Stunde; man kann also bei II. 0. leicht auf 100 Aufstellungen im Tag kommen. Bei starken Neigungen geben diese 100 Aufstellungen u. U. viel weniger als 10 km nivellierte Länge, weil sich die Zielweite 50 m nicht mehr durchführen läßt. Der Verfasser erinnert sich, vor mehr als 30 Jahren eine Straßen strecke von 6 */₂ km Länge mit nicht vielen Zwischenpunkten (aller 100 m oder gelegentlich 50 m) und kleinen Höhenunterschieden an einem Tag hin und zurück nivelliert zu haben (II. O., Anwendung einer Latte). Für III. oder IY. O. ließen sich ähnliche Zahlen über Anzahl der Instrumentaufstellungen usf. angeben, doch ist dort noch mehr als bei

II.    O. die Arbeitsleistung von den örtlichen Verhältnissen abhängig (z. B. Nivellement

III.    0. auf an sich nicht ungünstiger Linie, die aber viele Sichthindernisse bietet, im Wald u. dgl.), so daß wir hier davon absehen.

Von einer Menge von kleinen Arbeitserleichtrungen, die raschem und mühelosem Betrieb ermöglichen bei großem zusammenhängenden Nivellierarbeiten und die hier nicht alle aufgezählt werden können, seien nur einige wenige genannt.

Der Bleistift zum Schreiben am Ohr oder am Feldbuch geht leicht verloren; man knüpft den Bleistift, in nicht zu langem Stück, mit einem Ende Schnur von bequemer Länge an einem Rockknopf fest. Verständigung zwischen Instrument und Latte geschieht am besten durch kleine Pfeifen: der Lattenträger soll pfeifen, wenn er zur Ablesung auf gestellt ist; der Beobachter soll erst auf dieses Signal hin ablesen; er kann das Signal des Lattenträgers auch durch ein solches vom Instrument aus (langer Pfiff, Achtung!) ersetzen. Nach der Ablesung den Lattenträger nicht auf dem Punkt stehen lassen (wenn es nicht ein Wechselpunkt ist) sondern sofort abpfeifen (kurzer Pfiff, ab!); mehrere lange Pfiffe: ich kann nicht mehr ablesen, sehe beim Bergaufnivellieren vor der Latte in den Boden (also Latte tiefer stellen), beim Bergabnivellieren über die Latte weg (Latte höher stellen); usf.

2. Einige Einzelheiten. Es ist in der letzten Nummer vom „Längennivellement“, Einwägung von Punkten längs einer bestimmten Linie die Rede gewesen, wobei im wesentlichen dahingestellt blieb, ob es sich um die Höhenunterschiede von sehr wenigen Festpunkten längs der Linie oder von sehr vielen Punkten in der Linie, wie bei dem „Längenprofil“ der letzten Tabelle, handelt. Wenn der Nivellementszug (Ausdruck wird wie in Norddeutschland mehr und mehr auch im Süden statt Nivellementslinie gebräuchlich) große Länge hat, während nur ganz wenige Punkte einzuwägen sind (vielleicht braucht man gar nur den Höhenunterschied zweier z. B. mehrere km voneinander entfernten Punkte), so ist dringend zu raten, und ganz besonders dem Anfänger und wenig Geübten, gelegentlich, alle paar hundert Meter? an den Endpunkten stärker geneigter Teilstrecken der ganzen Linie usf., Festpunkte zu nehmen, die man selbst herstellt und die nur solange erhalten zu bleiben brauchen, als das Nivellement dauert. Man schneidet auf einem passend gelegnen kleinen Bauwerk, an dem man vorbeikommt, z. B. dem Deckel einer Dohle an der Straße, auf der der Nivellementszug liegt, auf einem Markstein, im Wald sogar auf einer Baumwurzel u. dgl. ein Zeichen (kleines Dreieck oder ähnlich) ein und nimmt diesen Punkt beim Nivellieren als Zwischenpunkt mit. Man hat damit den namentlich bei rasch zu erledigenden Einwägungen, deren Ergebnis sofort gebraucht wird, wichtigen Vorteil, daß keine große Strecke verloren ist, wenn ein Versehen beim Nivellieren passiert; z. B. wird an das Instrument angestoßen, ehe der Vorblick nach dem nächsten Wechselpunkt gemacht ist oder das Instrument wird unter derselben Voraussetzung ganz weggenommen; oder man nivelliert ohne Fußplatte, mit natürlichen, nicht (auch nur ephemer) bezeichneten Wechselpunkten und der wenig geübte Meßgehilfe verläßt einen solchen, sofort nicht mehr nachweisbaren Wechselpunkt, bevor die Rückwärtsablesung nach ihm von der nächsten Aufstellung des Instruments gemacht ist. Der Schaden ist nicht groß, wenn dadurch nicht Kilometer nivellierter Linie, sondern nur höchstens ein paar hundert Meter, ohne großen Höhenunterschied vom letzten solchen „willkürlichen Festpunkt“ an (selbst nur mit Blaustift bezeichnete feste Punkte sind tagelang, nach Regen usf. zu finden) verloren gehen. Es ist sogar zu raten, allemal mindestens zwei solcher „Festpunkte“ nahe beieinander von derselben Instrumentaufstellung erreichbar, anzuordnen, wegen der bessern Kontrolle. Diese Vorsicht (womöglich drei Punkte zu wählen!) beobachte man auch, wenn der Nivellementszug z. B. abends abgebrochen und am nächsten Morgen fortgeführt werden muß; stimmt der Anschluß an drei solche Punkte gut zusammen, so ist der „Horizont“ gut festgehalten. Es sei z. B. abends an drei Punkten aufgehört worden, an denen man von der letzten Aufstellung des Instruments aus abgelesen hat: K (A auf Dohlendeckel) 2,125, L (Markstein oben) 1,704, M (Markstein oben) 1,622; die Ausrechnung gab die N. N. - Höhen 486,130, 486,551, 486,633. Bei der Fortsetzung der Arbeit wurde von der ersten Aufstellung des Instruments abgelesen bei K 2,945, L 2,525, M 2,441; als Horizont der ersten Aufstellung erhält man also von den drei Punkten aus 489,075, 489,076, 489,074, im Mittel unter der Annahme, daß alle drei Punkte gleich zuverlässig seien, 489,075.

Weitres zur Sichrung von einfachen Nivellierungen s. in 107.

Immerhin ziehe ich im allgemeinen vor, bei Nivellierungen II.

mm.

3. Besondre Einrichtungen. Hier ist namentlich zu erwähnen, daß neuerdings vielfach empfohlen wird, auch in II. O. ein einfaches Nivellement mit zwei Latten zu führen, einer vorausgehenden und einer nachfolgenden, wie es bei I. O. heute stets geschieht; man müsse sonst warten bis die eine Latte vom vorhergehenden Wechselpunkt am Instrument vorbei bis zum folgenden getragen sei, während bei Anwendung zweier Latten Rückblick und Vorblick unmittelbar nacheinander genommen werden können. Die Sache hat jedoch für II. 0. nicht dieselbe Bedeutung wie für die Feinnivellements; auch ist Voraussetzung, daß die zwei Latten entweder genau dieselbe Strecke a zwischen Aufsetzpunkt und Teilungsnullpunkt haben oder daß wenigstens der Unterschied der Strecken und a₂ an Latte I und Latte II so genau bekannt ist, daß selbst ein beträchtliches Vielfaches von {ax — a₂) keinen merklichen Fehler in das Nivellement hineinbringt. Diese Vergleichung kann natürlich durch genügend häufige Ablesungen an den zwei Latten unmittelbar nacheinander auf demselben Punkt mit dem Nivellier selbst gemacht werden. Man wird zwischen je zwei zusammengehörigen Ablesungen an I u. II die Libelle nicht verstellen; es ist dann gleichgültig ob sie sehr scharf einspielt oder nicht. Man kommt durch 10 oder 20 solche Vergleichungen leicht zur Kenntnis von (ax — a₂) auf kleine Bruchteile des

braucht

bis IV. 0. nur eine Latte zu verwenden; die Steigrung der Arbeitsleistung bei zwei Latten wird z. T. durch die angedeuteten notwendigen Vergleichungen wieder aufgehoben, sodann kann die Zeit, die der Lattenträger zur Strecke Wn, W gut zur Rechnung verwendet werden, deren Ausführung auf dem Feld dem Anfänger entschieden zu raten ist (schon wegen der Deutlichkeit aller Zahlen, der unmittelbaren Vorstellung der Verhältnisse usf).

44*

Unter den „besondern“ Einrichtungen, die über das bis jetzt Betrachtete hinausgehen, ist noch die Ablesung „dekadischer Ergänzungen“ auf der Latte zu erwähnen. Ein hervorragender preußischer Geodät, der verstorbne Generalleutenant Schreiber (vgl. z. B. Schluß von 64.) hat diese Ablesung dekadischer Ergänzungen mit großem Erfolg in die Feinnivellements der preußischen Landesaufnahme eingeführt. Die Latten dieser Feineinwägungen haben doppelte Beziffrung, neben der „direkten“ eine zweite, in der stets die Ergänzung der ersten Zahl zu 10 angeschrieben ist, vgl. die Fig. 397, 398 u. 407; die dekadische Ergänzung ist durch das Zeichen x kenntlich gemacht. Man kann sogar auf die zweite Bezitfrung verzichten, sie nur angebracht denken und trotzdem durch diese dekadischen Ergänzungen eine Sichrung der Nivellements erreichen, vgl. 107. Es besteht nur die Gefahr, daß wer vom logarithmischen Rechnen her an häufigen Gebrauch der dekadischen Ergänzungen gewöhnt ist, einen Fehler, der in der ersten Ablesung gemacht ist, in der unmittelbar nachher gemachten dekadischen Ergänzung wiederholt; wenigstens ist z. B. bei dem Verfasser der Hauptwert dieser Kontrolle durch die angedeutete Gefahr nicht vorhanden. Selbst bei Ablesungen an der „natürlichen“ Skale wird oft empfohlen, sich die Vorteile der dekadischen Ergänzungen wenigstens für die Rechnung zu Nutz zu machen, da die „Subtraktion in eine Addition verwandelt“ werde. Wichtiger ist, wie schon angedeutet, gleich die Ablesung dekadischer Ergänzungen, die man daraufhin prüft, ob die Summe aus jeder dekadisch ergänzt abgelesnen Zahl und der natürlichen Zahl verschwindet. Man macht beim Rückblick Ablesung an der natürlichen Skale, bei allen andern Ablesungen dekadisch ergänzte Ablesungen. Der Verfasser muß aber nach vielen Erfahrungen dem Anfänger geradezu widerraten, schon bei den ersten Versuchen nach dieser Methode der dekadischen Ergänzungen zu greifen, so wichtig sie für feine Messungen ist und in den Händen geübter Beobachter auch für II. 0. usf. werden kann. In Süddeutschland ist die Sache in der Nivellements-Praxis noch ganz wenig aufgenommen und man darf dies nicht ohne weitres als „Rückständigkeit“ bezeichnen, wie da und dort zu lesen ist; nach manchem Schriftsteller ist alles „veraltet“, was nicht dekadische Ergänzungen in der Ablesung oder wenigstens in der Rechnung verwendet. Die Regel: bei Rückwärtsablesungen „natürliche“ Zahlen, bei allen andern Ablesungen dekadische Ergänzungen ablesen und nun alle Ablesungen addieren ist auch an sich nicht einfacher als die „natürliche“ Ablesung, und bei ihr Rückblicke addieren, alles andre abziehen. Wir gehen hier nicht weiter auf die Sache ein.

4. Lattenfehler. Es ist seither stillschweigend durchaus vorausgesetzt worden, daß die Lattenskale richtig sei. Dies muß von Zeit zu Zeit geprüft werden, da die hölzernen Latten fortwährenden Verändrungen ihrer Länge, besonders unter dem Einfluß des verschiednen Feuchtigkeitsgehalts des Holzes ausgesetzt sind, z. B. bis zu % mm pro m Länge im Laufe eines Sommers. Während man aber bei den Latten der Feineinwägungen diese Feststellung der „Länge des Lattenmeters“ unbedingt täglich vornehmen muß, hat man sich bei II. 0. mit gelegentlicher Prüfung durch das Anlegenormalmeter (Temperatur berücksichtigen!) zu begnügen. Yon Feststellung und Berücksichtigung der Fehler jedes einzelnen Teilstrichs der Latte gar kann bei II. 0. usf. noch weniger die Rede sein als bei I. 0.; man kann nur die durchschnittliche Längenändrung der Latte messen und in Rechnung bringen. Dabei ist die Latte horizontal zu legen und sorgfältig vor Durchbiegung zu schützen. Wie oft man die Lattenlänge prüfen kann und soll, hängt von verschiednen Umständen ab, wichtig ist dabei die Größe der beim Nivellieren zu überwindenden Höhenunterschiede. Wir müssen uns erinnern, daß das Nivellieren die Messung einer vertikalen Strecke in optisch zusammengefügten Abschnitten ist, daß

der Fehler des Lattenmeters mit der Anzahl der Meter der vertikalen Strecke multipliziert wird und daß also heim Verlangen der Einhaltung einer bestimmten Fehlergrenze in dem gemessnen Höhenunterschied die Länge des Lattenmeters um so genauer bekannt sein muß, je größer dieser zu messende Höhenunterschied ist.

Handelt es sich nur um Einwägungen längs einer Linie mit geringen Höhenunterschieden, so braucht auch der Lattenfehler nichtsehr genau bekannt zu sein; wenn man die Länge der 4 m-Skale um 1

skale, so gibt dies z. B. bei 10™. Höhenunterschied den Fehlerbetrag 2 ya 20™ 5 mm, der schon bei II. 0. erträglich wird, wenn diese 10™ oder 20™ Höhenunterschied auf Strecken von z. B. 1 oder 2ln sich beziehen, auf denen man 10 oder 20 Aufstellungen des Instruments braucht: der Lattenfehler ist im Vergleich mit dem „reinen Nivellierfehler“ (dieser besonders aus nicht genauem Einspielen der Libelle und Schätzungsfehlern an der Latte beim Ablesen entspringend) nicht zu groß. Anders dagegen, wenn der zu überwindende Höhenunterschied bedeutend wird; beträgt er z. B. 100™ auf einer Strecke von Iß™ Länge (Linie von 10°/₀ Neigung), so reicht man mit 4 ™-Latte mit 10 Aufstellungen des Instruments nicht mehr wie vorhin aus, sondern braucht z. B. 30 Aufstellungen, so daß der „reine Nivellierfehler“ hier größer wird (es kommt auch noch der aus ungleichen Zielweiten bei nicht vollständiger Berichtigung des Instruments entspringende Fehler hinzu); aber der Unrichtigkeit in der Annahme des Lattenmeters mit

mm

falsch annimmt, also ¹/i

mm

pro Meter Latten-, bei

mm

pro Meter entspricht bei 100™ Höhenunterschied der Betrag von 1^2-= 25™™, jedenfalls über den reinen Nivellierfehler auch bei 30 Aufstellungen des Instruments (und Nivellieren II. O.) hinausgehend. Es sollte deshalb Regel sein, bei jeder wichtigem Nivellierung II. O. unmittelbar vor oder nach Zurücklegung ein#s großen Höhenunterschieds die tatsächliche Länge des Lattenmeters zu ermitteln und die Abweichung von 1™ sofort als Korrektur an den Ergebnissen des Nivellements anzubringen: Lattenmeter zu kurz verlangt Abzug an den gemessnen Höhenunterschieden; Lattenmeter zu lang verlangt Zuschlag zu den gemessnen Höhenunterschieden, proportional dem Betrag der Abweichung des Lattenmeters von seiner Sollänge und proportional den Höhenunterschieden. Im Fall kleiner Höhenunterschiede nimmt man sich mit der Lattenvergleichung schon bei II. O. nicht viel Mühe, beschränkt sie auf Bestimmung einmal in der Woche, in 14 Tagen, ja in einem Monat bei der Sommerfeldarbeit; man kann sie oft ganz ersetzen durch die Möglichkeit häufiger Anschlüsse an Höhenpunkte, deren N. N.-Höhen durch feinre Messungen als die auszuführenden gesichert ist, wobei freilich vorausgesetzt ist, daß für diese Anschlüsse nicht der Fall der Fig. 429 vorliegt (Berg oder tiefes Tal zwischen den Anschlüssen A und E; für den Punkt C in der genannten Figur nützen die Anschlüsse A, E nichts).

Der Fehler einer Ablesung an der Latte setzt sich, vom „Libellenfehler“, vgl. 109., vorläufig abgesehen, zusammen aus den Fehlern, die den der Ablesung benachbarten Teilstrichen der Latte anhaften, und dem Fehler des Beobachters, der seine Ablesung oder Einstellung auf diese Striche stützt. Von den einzelnen Strichen der Latteneinteilung hat jeder einzelne seinen bestimmten ihm dauernd zukommenden Fehler; z. B. liegt einer dieser Striche um 0,3™™ höher als er sollte, ein andrer um 0,2™™ tiefer. Dies sind konstante Fehler der einzelnen Striche (vgl. 19.2.), die aber selbst bei Feinnivellierungen, wie erwähnt, im allgemeinen nicht einzeln berücksichtigt werden können, sondern, wenn sie nur in den extremen Werten genügend klein sind, mit den unregelmäßigen Fehlern zusammengeworfen werden. Dazu kommen als systematische, einseitige Fehler (vgl. ebenfalls 19. 3.) der einzelnen Teilstriche die Beträge, um die sie durch die Verlängrung oder Verkürzung der ganzen Latte gegen ihre Sollage verschoben werden; diese sind dann ziemlich unschädlich, wenn sie genügend bestimmt und in Rechnung gebracht sind und wenn die ganze Skalen-

mm

länge der Latte gleichmäßig an dieser Streckung oder Zusammenziehung teilnimmt. Ein weitrer „Lattenfehler“ muß aber als „zufällig“ behandelt werden: man hat vor wenigen Tagen das Lattenmeter gemessen und die Länge z. B. = 1 m -f 0,15 gefunden, schlägt also den mit der Latte erhaltnen Höhenunterschiedszahlen

mm

pro m zu, auf 100 m Höhenunterschied z. B. 15

In Wirklichkeit war

mm.

mm

*7.3

nun aber bei der Verwendung der Latte diese bereits wieder etwas kürzer geworden, das Lattenmeter (nicht gemessen) in Wirklichkeit nur noch lm-f 0,10 mm, der Zuschlag hätte dann pro 100m Höhenunterschied nur 10mm betragen sollen; oder die Latte war in den wenigen Tagen etwas länger geworden, es war ein Lattenmeter = 1 m -f 0.17 mm, dann hätte die Zahl 17 mm betragen sollen. Diese Lattenfehler können nicht weiter verfolgt werden, man muß sie, wie gesagt, eben mit den unregelmäßigen Lattenfehlern zusammennehmen. Diese sind wieder sehr mannigfaltiger Art: kleine Fehler bei Bestimmung des Lattenmeters (Reste von regelmäßigen Fehlern; ungleichmäßige Längenändrung der Latte in den verschiednen Stücken ihrer Skale; kleine unregelmäßige Fehler der einzelnen sich folgenden Teilstriche usf. Zu allen diesen eigentlichen Lattenfehlern kommt aber bei der Ablesung noch der Fehler des Beobachters bei Einstellung oder hier Ablesung des Fadens. Bei Einstellung des Fadens auf eine Feldmitte oder der Einstellung eines Lattenteilstrichs zwischen die zwei Komponenten des Horizontalfadens macht der Beobachter unregelmäßige (vielleicht auch einen regelmäßigen) Fehler; diese Methode der Lattenbenützung kommt nur für Feinnivellierungen mit nicht genau horizontaler Ziellinie in Betracht. Ganz ebenso macht aber auch der Beobachter beim Ablesen (Schätzung des kleinsten Teils auf der Latte) an der Lattenskale mit einspielender Libelle (vom Libelleneinspielfehler abgesehen) unregelmäßige Fehler, z. B. bei der Abschätzung der mm an der 1 cm-Skale bei II. O.; man liest das einmal statt 1,434, wie es besser heißen sollte, 1,435 ab, das andre Mal statt des bessern 1,731 aber 1,730 usf. — Alle diese Fehler, eigentliche Lattenfehler und Fehler des Beobachters beim Abschätzen, bewirken Fehler in den Lattenablesungen und damit in den Höhenunterschieden, vgl. 108.

107. Sichrung eines LängenniveUements, z. B. II. O. — Netz von „Einwägungszügen“ auf großen Flächen.

Man versteht unter der „Sichrung“ einer Einwägung, z. B. II. 0., längs einer Linie von bedeutenderer Länge vor allem den Schutz vor groben Fehlern, die in einer einzelnen Nivellierung nicht selten Vorkommen; es soll aber auch manchmal durch solche über das einfache Nivellement hinausgehende Versichrungen die Genauigkeit der Nivellementsergebnisse gesteigert werden. Von groben Fehlern, Versehen sind bei Nivellierung II. 0. erfahrungsgemäß am meisten zu fürchten Sm-Fehler und cm-Fehler, 1 m-Fehler kommen weniger vor. Man liest und schreibt 1,715, es heißt aber 1,615; oder 2,727 statt 2,737. Natürlich kann der grobe Fehler auch ein Schreibfehler sein, es ist richtig abgelesen 3,237, man schreibt aber aus Versehen 3,327. Der Fehler 1 m kommt wenig vor, 1,273 statt 2,273 ist sowohl bei Ablesung als beim Niederschreiben kaum zu fürchten. Auch in den mm sind neben den unregelmäßigen Schätzungsfehlern noch grobe (wenn auch in der Wirkung weniger bedeutende) Fehler möglich, man liest z. B. infolge Verwechslung der Richtung des Fortschreitens der Skale 0,302 statt 0,308. Bei der Nivellierung IV. 0. mit der dm- oder fvDm-Latte, Ablesung auf 1 cm, sind ebenfalls 1 dm-, daneben auch (im zweiten Fall) ¹/₂ 2m-Fehler die häufigsten Versehen.

1. Nivellement hin und zurück. Die beste Sichrung für eine einzelne, für sich bestehende Einwägung ist die, daß die Messung zweimal

gemacht wird, in entgegengesetzten Richtungen, AE und EA. Dazu braucht man freilich genau die doppelte Zeit wie für die Messung in einer Richtung, und deshalb ist diese durchgreifendste Probe (bei der man aber selbstverständlich über die regelmäßigen Lattenfehler auch nichts erfährt) nicht immer möglich.

Z. B. habe man bei dem Nivellement zwischen A und E mit den Zwischenpunkten jB, C, D, wobei die einzelnen Strecken keine bedeutenden Neigungen zeigen und rund die Längen haben: AB = 410m, BC = 320m, CD = 270m, DE— 540m (Gesamtstrecke 1540 m = rund 1 % ttm) die folgenden Höhenzahlen erhalten: (H. 0.) 1. Messung von A gegen E:

A gegeben 378,556

377,154

bei der 2. Messung dagegen, von E gegen A hin, wobei mit der durch die 1. Messung erhaltnen N. N.-Höhe 360,396 bei E begonnen wurde, ergaben sich die Höhenzahlen:

(360,396)

385,717

372,254

377,156

372,259

385,611

360,396;

378,445.

Man erhält also, wenn auch das 2. Nivellement auf die für A gegebne N. N.-Zahl reduziert wird:

Es ist hiernach mit großer Sicherheit zu sagen, daß in einer der zwei Messungen (ohne daß man selbstverständlich sagen kann, in welcher) ein 1 3 Fehler liegt.

Zeigt sich bei mehrmaliger sorgfältiger Kontrolle der Rechnung (die Hauptkontrolle mit Er — Ev habe gestimmt) der Widerspruch nicht als Rechenfehler, so ist ein 1 im-Messungsfehler in der Strecke BC sicher nachgewiesen. In der Tat zeigte sich bei nochmaliger Messung der Strecke BC die erste Messung fehlerhaft, man erhielt als Höhenunterschied BC statt 8,563 bei der ersten (und 8,455 bei der zweiten) Messung, bei der dritten die Zahl 8,458. Führt man

diese Zahl in die 1. Messung eiu, läßt aber im übrigen alles unverändert, so hat man die nebenstehenden Zahlen, die nichts auffallendes mehr zeigen. Man wird jetzt einfach als endgültige N. N.-Höhen die Mittel der hier nebeneinander stehenden Zahlen nehmen. Ferner muß es möglich sein, aus der Abweichung der zwei Zahlen für denselben Punkt, d. h. aus den Unterschieden der zwei Messungen zwischen benachbarten Festpunkten (mit Rücksicht auf deren Entfernung) auf den mittlern Fehler der nivellierten Linie für eine Einheitsstrecke, z. B. 1-ßm, zu schließen, vgl. 108. Die gemittelten Höhenzahlen über N. N. werden

Punkt |

Nr.

1. Messung

2. Messung

m-

378,556

(378,556)

B    385,717

C    377,154

D    372,259

E    360,396

Punkt

Nr.

1. Messung

378,556

B    385,717

C    377,259

D    372,364

E    360,501

(385,722)

(377,267)

(372,365)

(360,507)

2. Messung

378,556

385,722

377,267

372,365

360,507

360,504

372,364

377,263

2. Eine andre Probe für ein einzelnes für sich bestehendes Längennivellement kann man sich dadurch verschaffen, daß man in derselben Richtung zwei verschiedne Nivellierungen, aber von denselben Instru-

378,556

385,720

mentenständen aus, gleichzeitig durchführt. Man braucht also mit einem Nivellierinstrument zusammen zwei Nivellierskalen, die entweder ■a) auf zwei ganz verschiednen Latten (zwei Lattenträger erforderlich) angebracht sein können;

h) auf den beiden Seiten einer und derselben Latte angebracht sein können (Wendelatte oder Reversionslatte);

c) auf derselben Seite einer und derselben Latte angebracht sein können (Skale mit doppelter Beziffrung, am besten die eine nach natürlichen Zahlen und die andre mit dekadischen Ergänzungen).

Fig. 441.

In den zwei letzten Fällen genügt ein Lattenträger, wenn nicht überhaupt grundsätzlich mit besondern Latten für Rückblick und für Vorblick gearbeitet werden soll. Bei a) sind für die zwei Latten am besten verschiedne Wechselpunkte zu wählen, es ist nicht ratsam, mit den zwei verschiednen Latten auf denselben Punkten zu wechseln; bei b) ist nach jeder Ablesung die Latte auf dem Wechselpunkt zu wenden und die Rückseite ebenfalls abzulesen. Man hat endlich auch versucht, mit einer einzigen Lattenskale und doppelten Wechselpunkten zu arbeiten, wobei diese am einfachsten auf einer und derselben Fußplatte als zwei verschiedne Dorne oder Vertiefungen angebracht werden müßten. Doch ist dieser letzte Versuch nicht von Bedeutung.

-CO

a) Zwei getrennte Latten mit verschiednen Wechselpunkten. Die Latten sind entweder durch die Bemalung (die eine schwarz-weiß, die andre rot-weiß) oder durch die Be-ziffrung, die eine 0 bis 40 3m, die andre 41 bis 813m bei 4 m-Latten, unverwechselbar. Die Wechselpunkte, vgl. Fig. 441 sind so zu legen, daß vor jeder Ablesung bei jeder der Latten die Libelle jedenfalls unabhängig eingespielt werden muß. Die Niederschrift für beide Nivellierungen wird grundsätzlich getrennt geführt, doch können natürlich beide im Formular auf demselben Blatt vereinigt sein. Will man wegen zahlreicher abzulesender Zwischenpunkte alle Visurhöhen (und Höhen aller Punkte, so auch der Wechselpunkte) ausrechnen, so ergibt sich für jeden Instrumentenstand die Probe, daßVisurhöhen-z ah len für J' und für J" (wenn alles auf das Nivellement mit Latte I sich beziehende mit alles auf das Nivellement mit II sich beziehende mit " bezeichnet wird) auf jedem Stand eine konstante Differenz zwischen sich zeigen müssen: in Wirklichkeit ist ja nur je ein Instrumentenstand vorhanden, die Zahlen für die „Horizonte“ sind aber trotzdem nicht gleich, wegen verschiedner Strecken a und a" auf der Latte I und II zwischen Aufsetzpunkt und Nullpunkt jeder Skale. Ein solches Doppelnivellement mit zwei Latten und doppelten Wechselpunkten, ohne alle Zwischenpunkte zwischen zwei Punkten A (Anfangspunkt) und E (Endpunkt), Entfernung etwa 500m, 5 Aufstellungen des Instruments, kann in der Niederschrift, zu der man dann kaum ein vorgedrucktes Formular braucht, so gehalten werden:

Summe

7,462    6,093    + 1,369

Er — Ev = + 1,369

ebenso rechts

Punkt

r'

Latte I (schwarz)

Latte II (rot)

Differenz

Punkt

r"

v"

Differenz

r"—v”

1,440

1,203    + 0,237

1,603

1,412    +0,191

1,732

1,076    + 0,656

1,942

1,281 + 0,661

1,803

0,915    + 0,888

2,008

1,102    + 0,906

1,449

1,227    + 0,222

1,635

1,427    + 0,208

1,038

1,672    — 0,634

1,238

1,834

— 0,596

8,426    7,056    , + 1,370

Er" — Ev" = + 1,370 E höher als A um 1,370m; gegeben N = 252,001; E wird = 253,371.

Rechenprobe links Er' — Ev' = E(r — v'),

Er"— Ev" = E(r"— v").

Hauptmessungsprobe: Übereinstimmung der Höhenunterschiede links und rechts. Es bestehen aber nicht nur diese Gesamtproben, sondern auch, wie oben angedeutet, eine Probe bei jedem Stand des Instruments. Wo die Latten I und II auf denselben Punkt gesetzt werden, wird an II 0,164 (auch 0,163, einmal auch 0,162) bei derselben Aufstellung des Instruments mehr an dieser Latte abgelesen als an I, es ist also

a — a' — 0,163 oder 0,164,

vgl. Ablesungen von J₁ aus bei A und von Jh aus bei E) und dieser konstante Unterschied zwischen links und rechts muß sich demnach zeigen z. B. in den Summen:

links 0,237+1,732 0,237 + 0,656 + 1,803 0,237 + 0,656 + 0,888 + 1,449 = 3,230

= 1,969 = 2,696

rechts

0,191 + 1,942 = 2,133 0,191 + 0,661 + 2,008 = 2,860 0,191 + 0,661 + 0,906 +1,635 = 3,393 usf.

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7)

Wenn zahlreiche Zwischenpnnkte abzulesen sind, so wird man, wie schon bemerkt, am besten im Formular die Sichthöhen ausrechnen (zwei Formulare wie S. 685 nebeneinander), die sich dann allemal um a—a" unterscheiden müssen, abgesehen von kleinen Schwankungen, die aus Ablesefehlern entstehen, während die Höhen der eingewognen Zwischenpunkte links und rechts (ebenso) gleich ausfallen müssen. Die Signale zwischen Latte und Instrument und umgekehrt (vgl. 10(5. 1. Schluß) wird man sich natürlich zweckmäßig abändern; z. B. zwei Pfeifen von verschiedner Tonhöhe, oder Pfeife und Hupe am Instrument für I und II verwenden, ebenso vom Lattenträger I und II aus.

nicht aufgedeckt.

W"

yv n +1

Diese Messungsprobe 2. a) greift nicht so weit durch wie die in 1. angegebne, insbesondre wird z. B. eine Verändrung der Sichthöhe (des Horizonts) während des Vorgehens beider Latten von ihren W,', W" nach IU+ x,

nur

b) Wendelatte. Mit zwei Lattenträgern mit verschiednen Latten oder auch einem Lattenträger kann man sich für ein nur in einer Richtung geführtes Nivellement eine Probe auch dadurch verschaffen, daß man stets zwischen zwei

Wechselpunkten (denselben Wechselpunkten) zwei verschiedne Aufstellungen des Instruments nimmt. Doch ist diese Methode nicht zu empfehlen, weil an Zeit gegenüber 1. kaum etwas erspart und deshalb zweckmäßiger zu dieser überhaupt besten Probemethode gegriffen wird.

Ein andres gutes Mittel zur Kontrolle einer nur in einer Richtung zu führenden Einwägung ist aber die Vereinigung zweier Lattenskalen auf derselben Latte, die Anwendung einer Reversions- oder Wendelatte. Die beiden Lattenseiten sind nicht verwechselbar zu gestalten, am einfachsten so, daß jede als Ablesung mögliche Zahl nur auf der einen oder andern Seite der Latte vorkommt, z. B. bei 4 m langen Latten Vorderseite 2m 2 bis 42. Rückseite 2m 43 bis 83.

Man liest auf jedem Punkt, insbesondre auf jedem Wechselpunkt, zweimal ab, einmal auf der Vorderseite, dann, nach dem Wenden der Latte (dafür besondres Signal einführen, vgl. 106. 1.) auch auf der Rückseite. Sehr wichtig ist, daß die zwei Seiten der Latten nicht in den Nn-Strichen, vom Aufsetzpunkt der Latte aus gerechnet, übereinstimmen, sogar bei einem daß die geschätzten

dem Wenden der Latte die Libelle absichtlich etwas zu verstellen und -wieder einzuspielen.

mm

Strich soll dies nicht zutreffen, so auf beiden Seiten verschieden lauten. Auch hier ist nach

c ni

Punkt

Lattenablesungen

(Nr.,

Entfg.

Bück- i blick

usf.)

Zwi-

schen-

ab-

lesung

Vos-

blick

Horizont

Höhe

Korrekt.,

ferner

Bemerkg.

(Festpunkte usf)

Rückseite der Latte

v'u.z'

Diff.

1,320

252,361

251,041

5,512

1,713

250,648

5,905

0,393 | 0,393 j

1,136

251,784

5,328

1,402

1,404

250,382

250,380

(5,593)

(5,595)

1,48

251,30

Straße

j 1,877

249,907

6,069

0,7411 0,7411

0,931

250,838

5,122

1,900

248,938

i 6,092

0,969

0,970

0,814

249,752

5,005

1,277

248,475

(5,469);

1,35

248,40

Straße

1,884

247,868

6,076

1,070 | 1,0711

0,989

248,857

5,181

Das erste mitgeteilte Formular (s. S. 684) ermöglicht in den drei letzten rechten Spalten das Aufschreiben der Ablesungen an der Rückseite der Latte, und es mag gleich hier ein Stück einer Einwägung (II. 0.) in Zahlen angegeben werden, S. 698 u. Man erhält für beliebige Ablesungen von demselben Instrumentenstand aus die Ablesungsprobe, daß, wenn /•, 2, v die Ablesungen auf der Vorderseite, r', z', v die Ablesungen auf der Rückseite sind,

r — v — r — v'\ r — z — r' — z'

sein soll (je bis auf Ablesungsfehler genau) und als weitre Rechenprobe, daß demnach bis zu beliebiger Stelle des Formulars

Zr — Zv = Zr'—Zv — Endhöhe — Anfangshöhe

sein muß. Bis zur Höhe des Wechselpunkts W₄, also (mit Weglassung der letzten noch angegebnen Rückwärtsablesung) wird

Zr - Zv = — 3,173

Zr = 4,201 Zv ■■    7,374

Zr'— Zv = — 3,175.

Zr' = 20,967 Zv = 24,142

vorhanden ist,

mm

Daß zwischen beiden Differenzen eine Nichtübereinstimmung von 2 zeigt auch die Spalte Di ff., wo jedesmal oben (r — v), darunter {r — v) (ohne Vorzeichen) eingesetzt ist und zweimal in gleichem Sinn der Wiederspruch 1 mm vorkommt. Da nur links die Höhen mit Hilfe von r und v ausgerechnet wurden, so stimmt

247,868 — 251,041 = — 3,173

mit {Zr — Zv) überein; soll die Rückseite der Latte, r\ v\ ebenso mitsprechen wie die Vorderseite, so ist im Mittel

3,173 f 3,175

= 247,867 hoch.

W₄ = 251,041 —

Auch die einzelnen Differenzen zwischen zusammengehörigen r und r', v und v (vom gleichen Instrumentenstand aus) kann man vergleichen, sie sollen konstant sein, schwanken hier infolge der Ablesungsfehler in der Tat nur zwischen 4,192 und 4,191. Ob man auch auf den Zwischenpunkten der Rückseite ablesen will, kommt auf deren Bedeutung an, bei den Straßenböhen a, b ist es jedenfalls entbehrlich.

Nach einer gewissen Anzahl von Ablesungen auf Vorder- und Rückseite kann man auch einen schärfern Wert (als nur aus einer oder einigen wenigen Vergleichungen) für den Unterschied in der (ideellen) Lage der Nullpunkte von Vorderseitenskale und Rückseitenskale erhalten, nämlich durch {Zr' — Zr) und {Zv'—Zv). Im vorliegenden Fall ist, wenn wir auch noch die letzte angeschriebne Rückwärtsablesung dazu nehmen:

Zr = 5,190, Zr'= 26,148, Zr'— Zr — 20,958; n = 6 Zv — 7,374, Zv' = 24,142, Zv'— Zv = 16,768; n = 4; im ganzen wird also, wenn a den Abstand der zwei Nullpunkte bedeutet,

oder

9a = 37,726

Skalenabstand a zwischen Vorderseite und Rückseite der Latte

= 4,1918 m ,

und dieser Wert ist, wie die Zahlen selbst zeigen, jedenfalls auf ganz wenige 3mm richtig.

c) Dekadische Ergänzungen. Zwei (nicht gegeneinander versetzte) Lattenskalen auf derselben Seite der Latte erhält man, wie schon oben angegeben, am einfachsten und besten durch Doppelbeziffrung der 1 liehen Um-Zahlen und ihren dekadischen Ergänzungen. Macht man dann immer zwei Ablesungen und überzeugt sich sofort, ob ihre Summe 10,000 gibt, so ist jede einzelne Ablesung kontrolliert. Auf die Gefahr, daß ein Fehler in der einen Ablesung auch (mit entgegengesetztem Zeichen) in der andern gemacht wird, ist bereits hingewiesen. In Norddeutschland gewinnt die Ablesung dekadischer Ergänzungen immer mehr an Verbreitung.

Skale nach den natür-

cm-

d) Zwei Aufsetzpunkte auf derselben Fußplatte. Über diese Anordnung mit einer Skala, die nach jeder Ablesung um ein konstantes Stück verschoben wird, um eine zweite Ablesung zu liefern, ist ebenfalls in der Einleitung von 2. das Notwendige gesagt; die mögliche Verschiebungsstrecke (a—a") ist hier zu klein (so daß z. B. 1 Nn-Fehler, der bei II. 0. am meisten zu fürchtende Fehler, unentdeckt bleiben kann), das Versetzen der Latte auf der Bodenplatte ist ferner dem guten Festhalten der Höhe der Wechselpunkte nicht günstig, so daß, da ohnehin die Kontrolle weniger weit durch greift, von dem Mittel wenig zu erwarten ist.

3. Eine andre Art von Kontrolle durch beiderseitigen „Anschluß“ für eine Einwägung II. O. (oder niedrigerer Ordnung) besteht darin, daß nicht nur die Höhe des Anfangspunkts des „Nivellementszugs“ in N. N. gegeben ist, sondern auch die Höhe des Endpunkts in N. N. bereits mit größrer Genauigkeit bekannt ist, als dem ausgeführten und zu kontrollierenden Nivellement innewohnt.

Wir haben z. B. durch ein vom Festpunkt K mit der N. N.-Höhe 251,041 m ausgehendes Nivellement II. 0. von 1300m Länge, den Festpunkt P mit ebenfalls bereits (aus I. 0. oder sehr feinem Nivellement II. 0.) und festzuhaltender N. N.-Höhe 237,976 m erreicht; unser eignes Nivellement gab aber für diesen Punkt P die Höhe 237,988

1,3 Am Länge an sich noch nicht zu viel und zudem wohl nicht als „reiner Nivellierfehler“ zu deuten: der Höhenunterschied beträgt zwar nur 13m, die Latte war aber seit langer Zeit nicht untersucht, und es ist wohl möglich, daß sie (wir bekommen den Höhenunterschied zu klein) etwas zu lang war.

Die Verteilung eines solchen Anschlußfehlers, in umsrem Fall 12 die eingewognen Zwischenpunkte wird man dem Gefühl nach proportional der Länge machen: Punkte in der Mitte der Linie werden um 6 Punkte auf % der Entfernung von K noch um 3 mm, Punkte in % dieser Entfernung KP um 9

m.

Es ist also ein „Anschlußfehler“ von 12

mm

vorhanden, für II. 0. auf

mm,

auf

mm

zu verändern sein,

mm

, je im Vergleich mit der Höhe, die sie im Feldbuch bei dieser Ein-

Fig. 442.

wägung erhalten haben. Diese Verteilung ist auch theoretisch zu rechtfertigen, wenn die Höhenunterchiede nicht groß sind, wie im vorliegenden Fall, und wenn demgemäß ganz von selbst so ziemlich aus der Mitte nivelliert sein wird. Anders kann die Sache werden, wenn z. B. die zwei Anschlußpunkte am Anfang und Ende, sagen wir A und E, Fig. 442, einen Höhenunterschied von 100 m auf 2 Am Entfernung od. dgl. haben, der aber schon auf die halbe Länge AC = % AE = 1 Am ganz überwunden ist, so daß sich an die stark steigende Strecke HC (10%) eine fast horizontale Strecke anschließt. Dort wird man mit ungleichen Zielweiten (wenn bergauf nivelliert ist,

4.    Nivellementsschleife. Ein besondrer Fall von 3. ist der, daß der Endpunkt E mit dem Anfangspunkt A zusammenfällt, der Nivellementszug zur gescblossnen Einwägungsschleife wird (und wieder ein spezieller Fall dieses „besondern“ Falls ist der Fall 1., daß der Weg der Schleife für die beiden Hälften der „Schleife“ derselbe ist, auf derselben Linie hin und her nivelliert wird).

Kann man mit gleichen Zielweiten nivellieren, so wird durch den „Schlußfehler“ w, der hier an die Stelle des „Anschlußfehlers“ w von 3. tritt und durch die Länge des Schleifenumfangs der eigentliche Nivellierfehler charakterisiert; nichts erfährt man aber selbstverständlich bei Verwendung einer bestimmten Latte über die Länge des Lattenmeters, sodaß, auch wenn w — 0 ist, die Zwischenpunkte längs der Schleife bedeutende Fehler haben können, wenn große Höhenunterschiede auf dem Umfang vorhanden sind.

5.    Nivellementsnetz. Werden solche Schleifen aneinandergehängt, so entsteht ein „Nivellementsnetz“, dessen Widersprüche bei feinen Messungen nach der Methode der kleinsten Quadrate auszugleichen sind, womit man auch im mittlern Fehler für 1 hm Länge Aufschluß über die erlangte Genauigkeit erhält.

mm

mit langen Rückblicken, kurzen Vorblicken) nivelliert haben, oben auf CE ganz von selbst mit gleichen Zielweiten; hier fragt es sich: war die Berichtigung des Instruments so scharf, daß die ungleichen Zielweiten gestattet waren und wie steht es mit der Lattenlänge? Da man jedenfalls den Berg herauf auf der Strecke AC vielleicht dreimal so viel Aufstellungen des Instruments braucht als auf der fast horizontalen Strecke CE, so kann man hier u. U., wenn sich in E ein Anschlußfehler von 18 zeigt, fast den ganzen Anschlußfehler, z. B. 15 wenige

mm

auf die Strecke CE übernehmen.

mm

mm

, auf die Strecke AC und nur

Z. B. hat, wie schon in 98. Schluß, erwähnt, jede Stadt als Grundlage der Höhenangaben ihres Tiefbauwesens ein solches Nivellementsnetz von gleichwertigen Linien II. 0. mit zahlreichen Festpunkten notwendig, so daß überall im Stadtgebiet mit Hilfe kurzer Flügelnivellements oder Anschlußeinwägungen auf den einheitlichen Horizont sich beziehende Höhen zu haben sind. Auch als Höhengrundlage topographischer Aufnahmen dient heutzutage kein trigonometrisches Höhennetz mehr, sondern ein Netz eingewogner Punkte. Dabei hat man in einem Land, das schon mit einem Feinnivellement versehen ist, den Vorteil, daß das weiter erforderliche Nivellementsnetz in absteigender Genauigkeit angelegt werden kann. Die großen Maschen oder Schleifen I. 0., die meist bis hundert, selbst mehrere hundert km Umfang haben, werden durch ein Maschenwerk von Nivellierungen II. 0. (mittlerer Fehler durchschnittlich + 6 pro 1 km) ausgefüllt, das noch zahlreiche weitre Festpunkte zu liefern hat und ebenfalls nach der Methode der kleinsten Quadrate auszugleichen ist. Übrigens genügen hier oft schon sehr einfache Ausgleichungsrechnungen (von denen in der folgenden Nummer einige Beispiele angegeben sind). Auf diese Punkte II. 0. gründet sich ebenso ein Netz von Nivellementszügen III. 0., deren „Festpunkte“ meist schon ziemlich wenig dauerhafter Natur sind (im Sinn von H ö h e n punkten) z. B. gewöhnliche Feldgrenzsteine (Marksteine an Eigentumsgrenzen), von denen, damit sie nicht weiter im Feld bezeichnet zu werden brauchen, grundsätzlich der höchste Punkt als Höhenpunkt genommen wird Und die nur über die Zeit des sich anschließenden Flächennivellements einigermaßen als Festpunkte angesehen werden können, später als solche nicht mehr gebraucht werden können und nicht mehr gebraucht werden.

108. Elementare Fehlergesetze des Nivellierens. Man nivelliere mit einem bestimmten Instrument auf einer wenig geneigten Linie mit konstanter Ziel weite z (alle Rückblicke und alle Vorblicke haben dieselbe Länge z)\ wie groß ist der mittlere Fehler des Höhenunterschieds der Endpunkte einer bestimmten Strecke s?

1. Fehleranhäufung in diesem Fall. Die Leistung eines Nivelliers ist vor allem abhängig von der Vergrößrung des Fernrohrs und der Genauigkeit mit der man die Ziellinie horizontal legen (oder bei feinen Nivellierungen die kleinen Neigungen der Ziellinie messen) kann, d. h. dem Teilwert und der Güte der Libelle; der Fehler des Nivellierinstruments c (Winkel zwischen Libellenachse und Fernrohrziellinie) kommt vorläufig nicht in Betracht, weil stets aus der Mitte nivelliert wird. Die Einwägung sei II. 0., mit einspielender Libelle und Abschätzung von 1

Striche der Lattenskale; der Lattenfehler bleibt vorläufig ebenfalls außer Betracht. Die Genauigkeit, mit der horizontale (oder konstant mit c geneigte) Ziellinie hergestellt werden kann, hängt von der Libelle ab; denken wir uns, der mittlere Einspielfehler sei + */₆ Libellenstrich, so entspricht dies hei einer 15"-Libelle dem m. F. + 3"; bei der konstanten Zielweite z = 45 m gibt dies z. B. einen mittlern

3

Lattenablesungsfehler von + 206000

Dazu kommt der Abschätzungsfehler der hängen von der Größe, unter der das 1 weite und Vergrößrung des Fernrohrs, übrigens kommen auch die sonstigen optischen Eigenschaften des Fernrohrs in Betracht, noch mehr selbstverständlich Auge und Übung des Beobachters (Parallaxenfreiheit bei der Ablesung usf.), endlich spielen

viele „äußre Umstände“ (Ruhe der Luft; Ruhe mit der die Latte gehalten wird, also Übung des Meßgehilfen, usw.) ihre Rolle. So lange z konstant bleibt, wird für ein bestimmtes Instrument, für denselben Beobachter und gleiche äußre Umstände der mittlere Lattenablesungsfehler als konstant angesehen werden dürfen. Nehmen wir ihn in einem bestimmten

Fall, z. B. für z — 45 m, v = 2b und einen wenig geübten Beobachter an einer 1 Latte ebenfalls zu + ²/₈ mm an, so ist nach dem Pythagoräischen Lehrsatz der Zusammensetzung mittlerer Fehler der mittlere Gesamtfehler m einer Ablesung an der Latte gegeben durch

mm

zwischen

die

cm-

• 45000

mm

mm

cm-

rk

= ± 0,65

mm

oder rund + ²/s

mm.

am Horizontalfaden; dieser wird ab-Feld der Latte erscheint, also von Ziel-

<-

><r

vk

k+1

Fig. 443.

cm-

(1)

mm

= + 0,95 mm, sagen wir rund + 1 mm-

Der Höhenunterschied zweier benachbarter Wechselpunkte Wk und TP)₊₁ ist nun, vgl. Fig. 443, der Unterschied der Ablesungen rk und vk von der Instrumentenaufstellung Jk aus

jede der Ablesungen der rechten Seite dieser Gleichung ist mit dem m. F. + m behaftet, es ist demnach für den Höhenunterschied hk+1 der m. F.

— i m i m'i

(3)

wir wissen, daß abermals nach dem Pythagoräischen Lehrsatz der Ausgleichungsrechnung dafür zu setzen ist

(4)

mhk+1 — ]/wi² -f- ms =    2 .

Im Fall unsres Beispiels wäre dies also mh

= + 1,4

mm

oder rund 1%

mm.

Dieser

mittlere Fehler kommt jedem Höhenunterschied zwischen zwei benachbarten Wechselpunkten zu; hat man also n Aufstellungen des Nivelliers gemacht, so ist der m. F. des Höhenunterschieds H zwischen Anfangs- und Endpunkt der ganzen Strecke (nicht n • mY2, sondern nach demselben Gesetz der Häufung mittlerer Fehler, vgl. 20. (13))

Mr = m • "j/2 • Yn .

Nun ist die Ziel weite z konstant; man hat also nach n Aufstellungen des Instruments die Nivellementsstrecke (Länge)

(5)

(6)

s= 2n•z    •

zurück gelegt oder es werden umgekehrt, wenn s gegeben und z angenommen ist, eine Anzahl von

CD

Aufstellungen des Nivelliers notwendig.

Setzen wir diesen Wert in (5) ein, so lautet diese Gleichung für den m. F. des Höhenunterschieds zwischen Anfangs- und Endpunkt der Strecke s:

(8)

Mh

-my2.y±=m.y±

oder

(9)

mh = m ■ • y s.

yz

Diese Gleichung spricht das vorläufig wichtigste Fehlergesetz des Nivellierens aus: wenn auf wenig geneigter Strecke mit kleinen Höhenunterschieden (sodaß der Längenfehler der Latte ganz zurücktritt gegen den „eigentlichen“ oder „reinen“ Nivellierfehler) mit konstanter Ziel weite z nivelliert wird, mit demselben Instrument unter gleichen äußern Umständen von demselben Beobachter (nach alledem konstanter Lattenablesungsfehler vorauszusetzen), so ist der mittlere Fehler des Höhenunterschieds zwischen den Endpunkten einer Strecke s (Vielfaches von e) proportional der Quadratwurzel aus s.

an der

cm

an der Om-Latte zu machen; hier kann

cm

Dieser Satz entspricht also ganz unsrem frühem Satz über den unregelmäßigen m. F. der direkten Längenmessung mit Latten, der ebenfalls proportional der Wurzel aus der gemessnen Strecke s wächst. — Wäre hier in (9) der Betrag + m für ein bestimmtes Instrument, einen Beobachter und konstante äußre Umstände eine konstante Zahl, nicht von der Zielweite z abhängig, so würde die Gleichung (9), in der ]/z im Nenner steht, stets verlangen (was dem Anfänger auch am plausibelsten zu erscheinen pflegt): z so groß als möglich, womit man auch die geringste Zahl n von Aufstellungen, also die rascheste Arbeit erhält. Diese Annahme m — einer Konstanten ist aber nur bei absichtlich ganz grober Ablesung auf der Latte auf 1 1 cm-Latte oder selbst Abschätzung auf 1

man innerhalb der praktisch möglichen Zielweiten z (z. B. bis zu 100 m und mehr) mit m ziemlich unabhängig von der Zielweite z sein (der Libellenfehler ist klein im Vergleich mit dem hier absichtlich sehr großen Ablesungsfehler). In diesem Fall, Ablesung auf 1 cm, bei Nivellierung IV. 0., lautet also die Vorschrift mit Recht: Zielweite so groß als möglich. Die Annahme m — einer Konstanten trifft aber bei Ablesung auf 1 mm (II. 0.) sicher nicht mehr zu; es ist hier z. B. die Schätzungsgenauigkeit jedenfalls von der Zielweite abhängig, auch die ebenfalls von z abhängige Wirkung des Libellenfehlers nicht mehr zu vernachlässigen. Wäre für diese Abschätzung von 1 mm zwischen die 1 die %

also m = + k • z, so wäre M = k ■ ]/z • j/s, d. h. es wäre für diese feine Ablesung z möglichst klein zu wählen. Wäre endlich m proportional ]/z zu setzen, etwa m = k' ■ 1/z, so würde M == k' • }/s, der m. F. des Höhenunterschieds der Endpunkte der bestimmten Strecke s unabhängig von dem Betrag der konstanten Zielweite z.

Je nach der Art der Abhängigkeit des Betrags + m von der Länge der konstanten Zielweite z kann man den Wert z₀ der günstigsten Zielweite bestimmen, der das Minimum von MH hervorbringt, wenn man die Koeffizienten jenes Abhängigkeitsausdrucks angeben kann. Wir können hier weder auf eine genaure Untersuchung des „Libellenfehlers“ + m, noch auf eine solche des Schätzungsfehlers (Ablesefehlers i. e. S.) + m" eingehen. Erwähnt sei nur, daß der von der Libelle herrührende Lattenablesungsteilfehler jedenfalls die Form

m = + \ ■ z

hat, wobei kx von der Empfindlichkeit der Libelle (und sonstigen Eigenschaften der Libelle), ferner vom Beobachter abhängig ist, und daß sich ferner zeigen läßt, daß der Schätzungsfehler + m" an der Latte umgekehrt proportional ist der Quadratwurzel aus Vergrößrungszahl des Fernrohrs, ferner proportional der Wurzel aus der Länge der kleinsten auf der Latte direkt angegebnen Teile (1 cm für II. 0.), endlich proportional der Quadratwurzel aus der Zielweite z (doch ist diese dritte Proportionalität, Faktor mal ]/z, keineswegs allgemein gültig, vielmehr sind dabei je nach der Vergrößrung des Fernrohrs und dem kleinsten unmittelbar auf der Latte vor-handnen Teil sehr große oder sehr kleine z auszuschließen); im allgemeinen wäre aber hiernach für ein bestimmtes Fernrohr

(10)

cm

Striche der Latte bei II. 0. (von x/2 einer feinen Latte für I. 0.) m proportional der Zielweite z anzunehmen,

cm-

mm

zwischen

m" — \ ■ y z

zu setzen, wobei 7c₂ außerdem vom Beobachter und von äußern Umständen abhängt. Nach (10) und (11) wäre also

(11)

m³ = m'² -j- m"³ = k\z³ -J- k\z

zu setzen und auch hiernach wäre, wie bei m = + kz, die Zielweite noch unter allen Umständen möglichst klein zu nehmen.

Kann man dagegen, was für manche Verhältnisse auch für 1 mm-Ablesung möglich ist, setzen:

m = + 7.'j z (mittlerer Libellenfehler), m" = + k₂ (mittlerer Ablesefehler, von der Zielweite z nicht abhängig), so wird

(12)

(13)

(14)

m³ — Tc\z³ -j- k?₂ und

(15)

m³

~ = k\z+ -• z    z

Das Minimum dieser Funktion f(z) von z nach (15) und damit gemäß (9) das Minimum von M, (wo sonst auf der rechten Seite nur noch die Konstante 1/s steht), tritt ein

= 0 , d. h. für den Wert zm, der

für das z mit

dm

dz

aus

= 0 oder aus

(16)

hervorgeht und das durch dieses zm entstehende Minimum des mittlern Fehlers Mu wird

(17)

=.]/2kxkt • |/s.

II, m

Nach (16) kann man die günstigste Zielweite zm ausrechnen, wenn die Annahmen (13) zutreffen und die Zahlen Jcx und Jc₂ daselbst aus Versuchen für das in Frage kommende Instrument (und den Beobachter) ermittelt werden können. Diese Koeffizientenbestimmung ist zeitraubend und nicht ganz einfach; dazu spielen die wechselnden „äußern Umstände“ eine nicht unwichtige Rolle. Wir halten uns deshalb hier an folgende Ergebnisse als Erfahrungstatsachen [nur a) ist oben näher begründet und wird ebenfalls durch die Erfahrung bestätigt]:

a) Nivelliert man mit konstanter Zielweite auf einer Linie mit so kleinen Höhenunterschieden, daß die Unsicherheit über die Länge des Lattenmeters nicht in Betracht kommt im Vergleich mit dem reinen Nivellierfehler (aus Libellenfehler und Ablesefehler i. e. S. sich zusammensetzend), so wächst der mittlere Fehler des Höhenunterschieds der Endpunkte der mit dem Nivellement zurückgelegten Strecke s proportional j/s.

bl Die Zielweite z ist bei Ablesung nur auf 1 möglich zu nehmen, 100 m und mehr, da hier bei nicht zu unempfindlicher Libelle der Libellenfehler zurücktritt gegen den (absichtlich bedeutend gelassnen und als konstant anzusehenden) mittlern reinen Ablesefehler: 5" Neigung der Ziellinie geben auf 50 m Zielweite erst 1,2 mm, auf 100 m 2,4

c)    Schon bei Ablesung auf 1 feinrer Ablesung oder Einstellung) ist die Zielweite kurz zu wählen; man kann jedoch in II. O. bis zu z — 50 m, aber nicht weiter gehen.

d)    Mit etwa 25fach vergrößerndem Fernrohr und 15"-Libelle (einspielend verwendet) für das Nivellier II. O. läßt sich bei 50 m Zielweite der mittlere 1 &m-Fehler der einfach nivellierten Strecke mx = + 3 bis 4 Nivellierungen mit ml = + 6 und + 10

e)    Mit dem Betrag + mx (mm pro 1 Im einfache Nivellierung) hat man nach a) für die Strecke s ßm (einfachen Nivellements) den m. F.

mm

cm

(IV. 0.) so groß als

Unrichtigkeit der Ablesung, an der 1 cm-Latte (II. O., und noch mehr bei

mm

mm

erreichen. Doch sind auch

mm

Fehler noch als solche II. O. anzusehen.

M+i = nh Vs

zu erwarten. Wird diese Strecke s w-mal in derselben Art (+ mx pro 1 Am) nivelliert, so wird also

(18)

(19)

Mg,n

mxY 8

Yn

f) Umgekehrt folgt aus (18), wenn für die Strecke s &m einfachen Nivellements, der m. F. Ms x festgestellt werden kann, für den m. 1 Ilm-Fehler mx nicht MsX : s, sondern der größre Wert

(20)

mx —

Ys

2. Fehleranhäufung in Gewichtsform. Verteilung eines Schlußoder Anschlußfehlers. Berechnung des mittlern 1 Am-Fehlers aus Schlußoder Anschlußfehlern.

a) Nach der Erläutrung der Nr. 21. können wir alles Bisherige auch in „Gewichtsform“ darstellen; wir tun dies mit Rücksicht auf bequemre und übersichtlichere

Hammer: elementare praktische Geometrie.

45

Rechnung der elementaren hierher gehörigen Ausgleichungsaufgaben. Wir beschränken uns hier, wie früher bei der Längenmessung (20.ff.) oder bei den Horizontalwinkeln (63. bis 66.) bei den Ausgleichungsaufgaben auf die Beurteilung unsrer Messungen durch den m. F. in den einfachsten Fällen, nämlich meist auf die Bestimmung einer einzigen Unbekannten nebst ihrem m. F.

Die Wertigkeitszahlen, die wir als Gewichte g bezeichnen, verhalten sich wie die Reziproken der Quadrate der entsprechenden m. F.; es ist innerhalb einer und derselben Ausgleichung durchaus

9k =

9 1

m\

wobei C als Konstante festzuhalten ist, oder umgekehrt

-v,<

dabei ist also yC der „der Gewichtseinheit entsprechende“ m. F. Für zwei beliebige Größen innerhalb derselben Ausgleichung ist

1 1 m\ ' mj.

nun verhalten sich in unsrem Fall des Nivellements (stets nach den gemachten Voraussetzungen, bestimmtes Instrument und derselbe Beobachter, gleiche Zielweite z und nicht bedeutende Höhenunterschiede) die m. F. der Höhenunterschiede der Endpunkte zweier Strecken sk und sr wie "j/s* : "[/$,.also

w| : mj. = Sk : sr oder

¹- : — = sk : s,. oder endlich

9k 9 r

(21)

(22)

mk

9k ' 9 r ⁼⁼

1 1

‘ Sr ’

die Gewichte nivellierter Strecken sind den Reziproker der Streckenlängen proportional. Bei Längeneinwägungen gibt man das Gewicht gl^=l im allgemeinen immer der Strecke s₁ — 1 Am; die Strecke s* Am hat dann also das Gewicht

(23)

9k ■ 9r =

*.i

(24)

Sji (lim)

Ist der m. F. der Einheitsstrecke 1 Am bekannt (genau: m. F. des Höhenunterschieds zweier Festpunkte in 1 Am Entfernung voneinander bei einmaliger Nivellierung der Strecke zwischen beiden), so ist der m. F. des Höhenunterschieds zweier Punkte in Sk Am Entfernung Nivellementslinie voneinander in dieser Einwägung

= miVsk(&m)i

(25)

*k

vgl. (18), und ähnlich umgekehrt, vgl. (20).

b) Verteilung eines Anschlußfehlers. Berechnung des m. F. der 1 &m.-Nivellementsstrecke aus Anschluß- und Schlußfehlern von Nivellementsstrecken. Ist demnach der „Anschlußfehler“ einer an beiden Endpunkten an fest gegebne Höhenpunkte angebundnen Nivellementslinie auf deren Zwischenpunkte zu verteilen, so hat dies umgekehrt proportional den Gewichten der einzelnen Strecken zwischen diesen Zwischenpunkten, d. h. proportional den Längen der Nivellementsstrecken zu geschehen. Ist unter der im Eingang angegebnen Bedingung von A nach B nivelliert, wobei der Höhenunterschied H beider

(28)

Punkte fest gegeben (aus feinrer Einwägung als der unsrigen unveränderlich bekannt) ist, während unsre Einwägung zunächst für B — A statt H den Wert h = H + w (selbstverständlich w + oder —) ergibt, so ist w auf die einzelnen Zwischenpunkte proportional den Weglängen zwischen diesen Punkten, oder wie man auch sagen kann: proportional der Anzahl der zwischen je zwei Punkte fallenden Wechselpunkte oder Instrumentenaufstellungen, zu verteilen.

Ganz dasselbe gilt für den Schlußfehler w eines in sich selbst zurückkehrenden „Nivellementszugs“, einer Nivellementsschleife oder eines Nivellementspolygons.

In beiden Fällen können wir aucb aus diesem Anschluß- oder Schlußfehler w den m. F. für 1 Um sofort anschreiben. Stellt die beiderseits an „fehlerfrei“ (im Vergleich mit unsrem Nivellement) gegebne Höhenpunkte angeschlossne Nivellementslinie oder die in sich selbst zurückkehrende Schleife (— eine solche ist auch das Hin- und Hernivellieren auf demselben Weg zwischen zwei nicht gegebnen Höhenpunkten A und B, wobei der ganze Nivellementsweg s = 21 ist, wenn l die einfache Nivellementsstrecke vorstellt —) einen Nivellementsweg von slm Länge vor, so ist als m. F. der Einwägungsstrecke 1 ßm nach (19) und (25) der Betrag

»ij =

anzusehen, wenn io der Anschluß- oder Schlußfehler ist, da hier der m. F. der ganzen Strecke s &m eben nur gleich w gesetzt werden kann. Doch ist diese Berechnung von mx nach (26) aus einem einzigen Anschluß- oder Schlußfehler w ganz unzuverlässig, dem Zufall preisgegeben und deshalb fast wertlos. Erst aus einer nicht zu geringen Anzahl n solcher angeschlossner oder geschlossner Strecken (oder beiden zusammen), die die Längen s,, s₂, . . . sn &m haben und die Widersprüche wx, w₂, ... wn aufweisen, wird die Berechnung des m. F. der Einheitsnivellementsstrecke 1 Um nach

(26)

(27)

»5 - ¹ pAl

n\_ s J

oder mx

ys

“V./Py] ™''eriässi*-

3. Endgültige Höhe und m. F. eines von mehreren fehlerfreien Punkten aus durch gleichartige Nivellements eingewognen Punkts. Die N. N.-Höhen der Punkte P,, Ps, ... Pn sind (für uns) fehlerfrei gegeben; die N. N.-Höhe des zu bestimmenden Höhenneupunkts Q ist durch Nivellementslinien P, Q, P₂Q, ... PnQ bestimmt mit den Ergebnissen

Hx N. N.-Höhe von Q nach dem gemessnen Höhenunterschied zwischen P, und Q, Weglänge’s.

si

■Pfl 5* Ql

Hn „

Als endgültige Höhe x = H des Punkts Q wäre nur dann das einfache arithmetische Mittel der Werte Hx bis Hn anzusetzen, wenn die Weglängen s gleich groß wären. Dies ist nicht der Fall; es sind deshalb die Werte

Hx mit dem Gewicht gx =

(29)

,,    i,

(hl = -

S2

SS

»o

zum „allgemeinen arithmetischen Mittel“ zu vereinigen nach 22.; man erhält:

x = ffi ^1 4- 9s 4~ ' ' ' 4~ 9nHn 9i *f* 9t + ’ ■ • + 9n

(30)

oder

(31)

\gH]

td

oder endlich, wenn man will x —

[?]

[v]

Dabei ist zur Durchführung der Rechnung in Zahlen stets ein Näherungswert x₀ der Unbekannten einzuführen,

(32)

x = xo -f i

zu setzen, wobei x₀ innerhalb ziemlich weiter Grenzen willkürlich, dann aber festzuhalten ist. Das Gewicht des so erhaltnen endgültigen Werts x = H ist

(33)

öx (= <u) = Cd;

nachdem also die Yerbessrungen der einzelnen Messungsergebnisse, nämlich

= x — nl — x — H.,

(34)

vn = x ~ Hn

angeschrieben sind mit der Rechnungsprobe

[gv] = 0

und nachdem daraus [gvv] gebildet ist, mit der Rechenprobe

[gvv] — [g H II\ — x[gH]

(diese Gleichung ist erst nach Einführung des Näherungswerts x₀ und Ersetzung der Unbekannten x durch die kleine Unbekannte g brauchbar), erhält man für die m. F. folgende Beträge:

(35)

36)

(37)

ml (mittlerer 1 Hm-Fehler) = V ^ |

(in der Regel wichtigste Zahl der Ausgleichungsrechnung) und daraus schließlich

(38)

mx =    = m

¹¹ V9x Vlg]

Das Einzelne wird durch ein Zahlenbeispiel in 109. vollends klar werden.

4. Mittlerer Fehler der Nivellementseinheitsstrecke Messungsdifferenzen von Doppeleinwägungen auf Strecken von bekannter Länge. Ganz in derselben Art wie es für direkte Längenmessungen für die dortige Einheitsstrecke 100 m geschehen ist (vgl. 21.), können wir hier Doppelnivellierungen bestimmter Strecken (immer unter Festhaltung der gemachten Voraussetzungen) den m. F. der Einheitsnivellementsstrecke l&m berechnen.

Sind als Höhenunterschiede der Endpunkte der Strecken von den Längen s , s2, • • • sn Üe in genommen, da s = lk das Gewicht 1 erhalten soll) durch zwei ganz unabhängige Einwägungen (am besten also in den zwei entgegengesetzten Richtungen) die Messungsergebnisse erhalten worden

aus den

aus

zu

Anfang

(39)

K und h" auf der Strecke sl, Unterschied dA = h[ — h"

^2    71    ^2    1?    17

$2 1 •

d₂ = K — K'

sn i

dn = K - K

so ist, genau wie in 21., der m. F. der einfachen Messung der Einheitsstrecke 1 Am. zu berechnen nach

(40)

»h

₌ i/lgdd] ₌ -i / J_ rcP l' V 2n V 2n\_ s J ’

der mittlere Fehler des Mittels aus den zwei verschiednen Messungen ist für die Einheitsstrecke

(41)

m\

Sind die zwei Nivellierungen nicht unabhängig voneinander, z. B. gleichzeitig in derselben Richtung mit einem Instrument und doppelten Wechselpunkten (vgl. 107. 2. a)) oder mit einer Wendelatte auf denselben Wechselpunkten gemacht (vgl. ebend. b)), so müssen statt des Nenners 2 in (40) und (41) kleinre Zahlen stehen.

Zu all diesen elementaren Ausgleichungsaufgaben sind in der folgenden Nummer einige Zahlenbeispiele gegeben.

109. Fortsetzung. Einige Zahlenbeispiele zu 108. Nivellementsnetze. Lattenfehler. Regelmäßige Fehler. 1. Zahlenbeispiele zum Yorh ergehenden. Für die folgenden Zahlenbeispiele ist wieder wie seither stets vorausgesetzt: ein und dasselbe Nivellier, derselbe Beobachter, konstante Zielweite 2, kleine Höhenunterschiede.

a) Nach zahlreichen Versuchsmessungen erhält ein gewisser Beobachter mit einem bestimmten Nivellier den m. F. + 6,5 soll den Höhenunterschied zwischen sfwei 1300 m voneinander entfernten Punkten mit dem m. F. + 4,0

Weg zu nivellieren? Antwort: bei + 6,5 der m. F. 6,57/1,3

m. F. auf + 4,0

mm

mm

pro Um einfacher Einwägung. Er

bestimmen; wie oft ist voraussichtlich die Strecke auf demselben für 1 Am ist auf der Strecke 1300 m

mm

für die einfache Messung zu erwarten. Um den

= ± 7,4

/7 4\ ²

herabzubringen, ist die Strecke also ( ^ )

mm

mal zu nivellieren,

„3y₂“mal. Man wird also mit 4 maliger unabhängiger Nivellierung das Ziel erreichen, am besten zweimal in jeder Richtung = 5.2 Am Nivellement, im ganzen eine Arbeit für 5 Stunden. Man kann aus den Messungsergebnissen selbst entscheiden, ob die Messung nach 4-maliger Ausführung genügt; vgl. c), wobei nur hier alle Gewichte gleich anzusetzen sind.

b)    In einer großem Nivellierung ist als m. 1 Am-Fehler der Betrag + 4,6 gefunden worden; welchen m. F. hat der Höhenunterschied zwischen zwei Punkten, die 2, 3, 4, 5, 10 Am Nivellementslinie zwischen sich haben? Antwort: 4,67/2, . . .

4,67/10

Zahlen (je um 1 Am zunehmende Strecken) sind 1,5; 1,2; 1,1

c)    Zwischen zwei festen Punkten 31 und N sind vier ganz unabhängige Einwägungen, nämlich auf vier verschiednen Wegen gemacht worden:

mm

mm

mm

oder + 6,5; 8,0; 9,2; 10,3; 14,6 mm; die Unterschiede der vier ersten

mm.

1.    auf einem Weg von 1,8 Am Länge, Ergebnis 31 um /ix = 12,425 m höher als A';

11

17

„ 2,7 „ » 2,5 „ „ 1,6 „

11

11

71

17

Die Berechnung ist ganz dieselbe wie bei 308. 3.: die erhaltnen Höhenunterschiede zwischen 31 und N haben je nach den Weglängen verschiedne Gewichte, nämlich

~~n ⁼ 6,67 ; gs — —-

ffi =

1,8

= 0,56 ;

2,7

2,5

= 0,40 ;

t/4 = ^ = 0,62 .

1,6

Nimmt man als Näherungswert der Unbekannten x den Wert 12,410 m an (er ist absichtlich um voraussichtlich 1

Folgende, dasselbe Vorzeichen erhalten), d. h. setzt man

x = 12,410 + g,

so liegen für g, das jetzt unsre Unbekannte vorstellt, die vier Messungen X vor

^3    =    1

denen die soeben angeschriebnen Gewichte g zukommen, da die X und die wirklichen Messungen sich nur um die konstante Zahl 12,410 unterscheiden. Es ist also

= 15

mm

cm ZU

klein angenommen, damit alle X, vgl. das

X₄ = 16

mm,

[g]

und die Verbessrungen der einzelnen X (dies sind zugleich die Verbessrungen der einzelnen h) werden

⁼ £ ;

mit der Rechenprobe bis hierher:

[gv] = 0 .

Bildet man die [#v²], so besteht für sie die Rechenprobe:

lg»*] = [g^] - £ • m •

Endlich ist ml (m. F. des Höhenunterschieds der Endpunkte der 1 fim-Strecke, einmal nivelliert)

mL

₌ T₌ -j/fogo]

und damit

mt

= mx =

Die ganze Ausrechnung, zu der der Rechenschieber zu verwenden ist, steht unten; bequem rechnen, z. B. jeden der Posten gvi mit einer Einstellung; mehrfach muß man schärfer rechnen als an sich notwendig scheint, z. B. will man x und die Verbessrungen v der einzelnen Messungen an sich nicht schärfer als auf 1 aber nicht gleich von Anfang an auf 1 sonst [gv²] nicht genügend genau ausfällt und ohne scharfe Ausrechnung von g die Kontrolle verloren geht.

Vfo]

mm,

man kann

cm

abrunden, weder in g noch in den v, weil

mm

gX

mm

gv

gv²

gx²

15

16

O h O (N O W ^ 50

cT cT cT cT

O vH o

vH    Ci

ccT t-T cT oT

12,9

1,95    19,83

= 9x

[0*]

Z soll 0

= Igv]

+ 2,7 + 3,7

19,1

33,8

20,8

= [gw]

ES

O CO ^

CD* «5* cT 00

288

= tgM]

Aus den oben berechneten Zahlen findet sich

19,83 1,95

== + 10,2 (über die Dezimale s. oben);

Probe für [gvv\ == 288 — 10,2 • 19,83 = 288 — 202 = 86 ,

genügend stimmend mit der direkten Rechnung aus den einzelnen v.

Die Ergebnisse sind also:

I = -J- 10 mm, also x („ausgeglichner“ Höhenunterschied) = 12,410 -j- 0,010

oder x = 12,420 m;

mittlerer Fehler der 1 Rm-Strecke

= ^ = ±M

mm.

Diese Zahl ist die wich-

tigste, sie charakterisiert die Einwägungen als solche II. 0. Der m. F. von g und damit von x wird

= mx

5,4

~ V¥l~

= + 3,9

mm

und das Gesamtergebnis also

Höhenunterschied MN — 12,420 m + 0,004 m.

d) Bei der Einwägung von Festpunkten längs der Linie FK, deren beide Endpunkte fest gegebne Höhenpunkte sind und zwar

F= 251,446 m N.N.,

K = 237,782 m N. N.

bat man, mit der gegebnen Höhe von F beginnend, folgende Höhenzahlen für die Zwischenpunkte und für den Endpunkt K erhalten, wobei die Entfernungen dieser sämtlichen Punkte von F nach dem Nivellementsweg sogleich mit angeschrieben sind:

gemessen: 251,446    251,013    246,175    246,007    240,264    237,679    237,799

statt 237,782

gegeben

Entfg. von F (Am) 0,00    0,31    0,75    0,75    1,13    1,48    1,87;

was sind die verbesserten Höhen der Punkte? Es sind 17 mm Anschlußfehler

17

proportional den Entfernungen zu verteilen, Rechenschiebereinstellung lesung (mm) bei den einzelnen Entfernungen:

1,87

und Ab-

0,0

2,8

6,8

6,8    10,3    13,5    17,0,

womit die endgültigen Höhenzahlen werden:

251,446    251,010 246,168    246,000    240,254 237,666    237,782.

17

ist aber, als zu

= ±12

Die Berechnung des m. 1 km-Fehlers aus m₁ = unsicher, wertlos.

e) Diese Berechnung von ml wird natürlich, wie bei (27) angegeben, um so sichrer, je mehr Anschlußfehler von Linien und Schlußfehler von Schleifen (Ringen) zur Verfügung stehen. Sind z. B. bei demselben Nivellementsnetz (gleichartige Messungen), dem die eben behandelte Linie angehört, außer ihr (die erste in der folgenden Liste) noch die vier weitern in der Liste angeschriebnen Linien von 0,75 bis 2,31 Am Länge mit den beigesetzten Anschluß- und Schlußfehlern bekannt, so

V 1,87

mm

erhält man nach (27) mit der unten berechneten Zahl s J ⁼ ^as oesuc^e

Linie

Länge

Am

Anschluß

oder

Schlußfehler

W²

1 /426

-V ir-±⁹’²

mm.

(mm)

tH (N* CO »O

J“4,    .© JJÖ I-¹

*03 "O ^ *03 GO 05 INS O* H* -3

— 17 + 12

+ 8

— 12

Wären die verschiednen Einwägungslinien in der Tat „gleich genau“, so sollten die einzelnen

io²

155 Beträge nahezu einander gleich sein.

f) M. F. der Einheitsstrecke aus den Differenzen von Doppelmessungen ^ verschiedner Strecken. Icn Beispiel d) ist die Linie FK in Wirklichkeit zweimal in entgegengesetzten Richtungen nivelliert wor-426. den; die Ergebnisse sind die folgenden

62

33

106

I. Messung H. Messung

251,446    251,013    246,175    246,007    240,264    237,679    237,799

251,450    251,020    246,177    246,011    240,257    237,668    237,782.

Nach der Rechnung mit Hilfe des Anschlußfehlers im Endpunkt allein würde man

(s. oben), für die zweite

17

= + 12

für die erste Messung erhalten m₁ — dagegen mx — ~~

wir dagegen mit den Differenzen zwischen der ersten und zweiten Messung für die einzelnen Teilstrecken, so wird sich ein sichrerer Wert von ml ableiten lassen. Dabei wollen wir uns gestatten, statt der zwei dicht beisammen liegenden Punkte B und C einen fingierten Punkt B/C in Messung I und Messung II anzunehmen, für den je das Mittel der zwei Zahlen für B und für C, nämlich

mm

mm

1/1,87

; beide Zahlen sind aber ohne Bedeutung. Rechnen

in I. Messung B/C 246,091

„ II.

B/C 246,094

einzuführen ist. (Für eine ganz „strenge“ Rechnung wäre dies nicht gestattet, -wegen der Gewichtsverschiebung.)

Wir schreiben nun zunächst die Höhenunterschiede zwischen den sich folgenden Punkten nach den Messungen I und II an, wobei wir vom Sinus (Vorzeichen) des Höhenunterschieds absehen können; das — Zeichen bei der letzten Teilstrecke EK ist trotzdem beigesetzt, damit die Höhenunterschiedszahlen in I. und II. Messung geprüft werden können: in der Richtung von F nach K liegt

Höhenunterschied zwischen den Punkten

Absoluter Höhenunterschied bei I. Messung II. Messung

Strecke

(mm)

(Am)

F und A A und B/G B/C und D D und E E und K

0,433 4,922 5,827 2,585 (-) 0,120

0,430 4,926 5,837 2,589 (-) 0,114

— 10

H    CO    lO    05

co    CO    co    co_

cT    cT    cT    cT    cT

29

36

263

46

92

gegeben FK =

13,647

13,664

13,668

13,664

1,87

466

-El

Probe

17

jeder folgende Punkt tiefer als der vorhergehende, nur auf der letzten Teilstrecke EK ändert sich dies. Pie Summen der Höhenunterschiede in I und in II (mit andrem Zeichen für EK) müssen um die „Anschlußfehlerbeträge“ bei der I. und II. Messung vom gegebnen Höhenunterschied 13,664 für EK abweichen.

Vd 2-|

Die weitre Rechnung gibt nun = 466,

s in km genommen, danach den m.

F. pro 1 km einfach nivellierter Strecke •

-Vüt\-V¥^-±»

, rund 7

mm .

(Hier sind zufällig die einzelnen Teilstrecken an Länge wenig verschieden; man könnte

1 87

also mit gleichen Gewichten für die durchschnittliche Strecke von =0,37 km Länge rechnen, auf die eine quadratisch gemittelte Differenz von

mm

dm von

kommt, so daß die einfache Nivellierung der genannten Strecke 0,37 km den m. F. hat. Dies gibt auf 1 km Strecke

6,0

= + 4,2

mm

4,2

oder m₁ = + 6,8

mm

wie oben.

■j/0,37

Es ist damit an Rechnung nichts gespart und der Weg ist, wie gesagt, nur zufällig deshalb möglich, weil die Teilstrecken fast gleich lang sind; die Zahlen sind nur angeführt um zu zeigen, daß ziemlich grobe Abrundung in den s und damit den

— ohne Schaden ist). s

(I ⁼

g) Für einen mehrfach eingewognen Punkt P, Fig. 444, liegen folgende Messungen vor: der Punkt P ist auf der Nivellementslinie zwischen den gegebnen Fest- A punkten A und B mitgenommen, ebenso auf der zwischen den gegebnen Festpunkten C und ]), endlich ist noch BE nivelliert. Die Zahlen A, P,

Fig. 444.

C, D, E sind unveränderlich vorgeschrieben („fehlerfrei“ gegeben). Die Messungszahlen und die gegebnen Zahlen sind nun die folgenden:

Messungen

Strecke

Gegebne N. N. H. Messungs" ergehnis für P

1. Messung P über A um 12,188 m

P „ B „

P unter C „

P über I) ,,

2.

3.

4.

5.

7,017 „ 8,289 „ 10,069 „ P „ E „    9,769 „

2,31 km 1,64 „ 1,02 „ 0,98 „ 0,62 „

A == 247,426

B = 252,599

C = 267,914

B = 249,542

E = 249,836

259,614 = H1 259,616 = if2 259,625 = Hs 259,611 = J34 259,605 = Hb

Was ist die endgültige N. N. Zahl für P und ihr m. F.? Reichten insbesondre z. B. die Messungen aus, um den m. F. von P auf '/,« herahzubringen ?

Die Auflösung ist ganz genau dieselbe wie hei c); die berechneten Höhenzahlen

für P aus den 5 Messungen haben nicht gleiches Gewicht, sondern der Reihe nach, mit #=1 für s = 1 Um Nivellementsstrecke, die folgenden Gewichtszahlen:

0,43,    0,61,    0,98,    1,02,    1,62.

Um das „allgemeine“ arithmetische Mittel der Messungszahlen bequemer zu bilden, führen wir wieder einen Näherungswert ein, diesmal einen, der in möglichst kleinen Zahlen zu rechnen gestattet, 259,610, der Wert ist jedenfalls noch etwas zu klein, also | nach

x = 259,610 + £

geringer angenommen

oder 10

mm

mm

positiv; immerhin ist, wenn wir die Unterschiede zwischen der Messung Ht und dem Näherungswert x₀ — 259,610 wieder mit 2* bezeichnen, und diese 2 als Messungsergebnisse für g ansehen, das eine 2 bereits negativ und es ist nicht gerade willkommen, daß einzelne der g2 das Vorzeichen +, andre das Vorzeichen — haben, weil leichter Vorzeichenfehler entstehen, als wenn alle gl dasselbe Vorzeichen haben, z. B. also "der Näherungswert. x₀ noch um 5 würde. Doch bekommt man selbstverständlich mit Beachtung der Vorzeichen der einzelnen 2 das richtige Ergebnis für reflektiert man auf die Rechnung in den kleinsten möglichen Zahlen, so muß der Näherungswert der gesuchten Zahl schon möglichst nahe kommen: § = 0 würde sich ergeben mit [</2] = 0, so daß bei dieser Rechnung mit den kleinsten Zahlen positive oder negative 2 jedenfalls vorhanden sein müssen.

(mm)

gl

gv

gv²

gP

CO    CO    (N    (M

^    Cy

o~    cT    cT    r-T    t-T

l>- t- T-y

H CO ^ H GO

1,2

0,5

3,2

1,9

— 12,2 + 1,8 + 7,8

— 12,0

+ 1,8 + 12,6

cT crT zo co

22

221

98,6

41

4,66    + 13,0

— 14,4 + 14,4

255

292

soll 0

= [gw]

13,0 4,66

Angabe genügen), das Zehntelmillimeter ist angesetzt mit Rücksicht auf

Die Rechnung für die Unbekannte § ist einfach £ = +

= +2,8

mm

(für x

würde 1 die Probe:

mm

292 — £ • |_gl\ soll = [gvv\ sein;

| • [</2] ist = 2,8 • 13,0 = 36 , also 292 — 36 = 256, genügend = [gw] .

Die gesuchte Höhe ist x = ,r₀ + £ = 259,610 + 0,003 = 259,613 m N. N.; für die Fehlerrechnung wird

256

j-±8,0

mm

m. F. der 1 &m-Strecke;

8,0

= + 3,7

mm

, danach Gesamtergebnis

mt = mx = —

?    j/4,66

Punkt P = 259,613 + 0,004 N. N.

(gestellte Frage, m. F. < */,«m, zu bejahen). Das in der Regel wichtigste Ergebnis ist der Wert von m..

2. Nivellementsnetze. In 108., 109. 1. ist die Rechnung des mittlern Einwägungsfehlers in den einfachsten Fällen und die Bestimmung eines Höhenunterschieds oder der Höhenzahl für einen Punkt mit Ausgleichung behandelt. Wie durchaus in diesem Buch soll auf die Bestimmung mehrerer Unbekannten aus einer Ausgleichung, z. B. die Ausgleichung eines Nivellementnetzes nach der Methode „vermittelnder“ oder „bedingter direkter“ Beobachtungen nicht eingegangen werden; aus den Verbessrungsgleichungen oder den Bedingungsgleichungen (im ersten und zweiten Fall) solcher tatsächlich in Beziehung auf Nivellier verfahren und Nivelliergenauigkeit homogener Netze lassen sich der m. F. der lim-Strecke und die m. F. der einzelnen Punkte am sichersten bestimmen.

C¹

Fig. 445.

Es gibt neben den „strengen“ Methoden auch Methoden der „stufenweisen“ Ausgleichung und endlich zahlreiche Näherungsverfahren zur Ausgleichung von Einwägungsnetzen; in jedem Fall ist, wie auch das weitre Verfahren der Tilgung der Widersprüche der Messung sein mag, zweckmäßig, für alle geschlossnen Figuren (Ringe, Schleifen, „Polygone“) des Netzes die Anschlußfehler zusammenzustellen- Aus ihnen mag nach Gleichung (21) in 108. eine Schätzung des m. Ilm - Fehlers gewonnen werden (die aber vom richtigen Wert etwas abweicht, weil bei jener Bildung sämtlicher Schlußfehler einzelne Strecken doppelt zählen und aus andern Gründen). Bei Näherungsausgleichungen („nach Gutdünken“) von Nivellementsnetzen ist zu unterscheiden, ob das Netz sich auf mehrere fest gegebne Anschlußpunkte gründet oder nur auf einen einzigen, d. h. im zweiten Fall „in sich“ auszugleichen ist. Denn in diesem zweiten Fall kommt es auf die gegebne Höhenzahl zunächst nicht an, sie kann beliebig angenommen oder geändert werden, ohne an dem Netz „in sich“ etwas zu ändern. Im ersten Fall, mehrere Punkte fest gegeben, kann man aus dem Netz diejenigen Linien vorerst ausschalten, die gegebne Festpunkte miteinander verbinden, ohne daß in einem Zwischenpunkt einer solchen Linie eine weitre Nivellementslinie abzweigen würde: jede solche Linie ist nachher für sich, ohne Rücksicht darauf, daß sie mit andern Linien zusammen gescblossne Linien bilden kann, durch Verteilung des Widerspruchs proportional der Anzahl der Wechsel auszugleichen. Ist z. B. das beistehende (Fig. 445) Nivellementsnetz auf die drei unveränderlich-gegebnen Festpunkte A. B, C gegründet, so läßt man die „direkten“ Einwägungslinien AB und AG zunächst außer Betracht. Im übrigen wählt man einen möglichst zentral gelegnen, mit den gegebnen Punkten durch möglichst zahlreiche Linien verbundnen Punkt, hier M, und schreibt die Höhen an, die sich für ihn aus diesen Linien ergeben, im Fall der Figur aus AN M, CNM, CM, CEM und B M. Man wählt aus diesen Zahlen, mit Rücksicht auf die Länge der Linien (Zahl der Wechsel) eine Mittelzahl und hält nun diese fest; es werden auf sie die an den einzelnen Linien gelegnen eingewognen Punkte abgeglichen (Widerspruch in den Linien verteilt). So erhält man z. B. auch eine feste Zahl für den Punkt E, an den der nicht angeschlossne Flügel EF angehängt wird (vielleicht ist EF hin und zurück oder wenigstens in einer Richtung mit Wendelatte gemessen), so daß auch für diese Strecke eine Probe besteht, wenn auch keine „Schlußprobe“.

Im zweiten Fall, ein oder kein Höhenpunkt gegeben, ist es für die Zwecke der Praxis, in dem oft die Ergebnisse eines, selbst bei zahlreichen Unbekannten, keineswegs schwierigen, aber bei geringer Rechenpraxis in diesen Dingen doch etwas

umständlichen, strengen Ausgleichung nicht abgewartet werden können, vielfach üblich, mit irgendeinem „Polygon“ zu beginnen und in diesem den Schlußwiderspruch zu tilgen, an die so gewonnene Anschlußstrecke für die zweite Schleife diese mit ebenfalls unabhängiger Tilgung ihres Widerspruchs anzuhängen usf. Z. B. wird im Fall der Fig. 446 (ähnlich wie Fig. 445, nur soll jetzt keine N. N.-Höhe gegeben, das Netz nur „in sich“ auszugleichen sein, ferner ist die Linie BF noch beigefügt, so daß fünf geschlossne Figuren entstehen) wt ohne Rücksicht auf alles andre weggeschafft, der so sich ergebende Höhenunterschied für AN festgehalten, und mit Rücksicht hierauf w₂ weggeschafft; da nun CN (aus II) und’ NM (aus I) festliegen,

so liegt auch MC schon fest und man geht nach IY usf. Dieses Verfahren ist aber nicht zu empfehlen. Etwas besser ist die ebenfalls oft befolgte Methode, für eine möglichst lange Linie aus Teilstrecken auf verschiednen Wegen Zahlen aufzustellen, mit Rücksicht auf die Weglängen zu mittein, z. B. im vorliegenden Fall für AB die drei Zahlen : AB direkt, ANNMMB, AC+ CE -f FF + FB. Damit ist P dann die Verbesserung für die erste Linie AB festgestellt; AN und AC wird man nach w₂ noch etwas ändern, womit dann AN, AC und CN festgestellt sind usf. Die Willkür ist aber bei

MTZ

W₃

\\\

w₅

Fig. 446.

allen diesen Verfahren groß; etwas allgemein Zutreffendes für verschiedne Fälle läßt sich kaum aufstellen. Dem gegenüber befriedigt um so mehr das eindeutige Ergebnis einer „strengen“ Ausgleichung.

3. Lattenfehler. Es sind verschiedne Lattenfehler zu unterscheiden, vgl. 106. 4.;

a) bekannte Abweichung der Länge des „Lattenmeters“ von der Sollänge bei genau gleichförmiger Lattenunterteilung. Dieser regelmäßige von der Latte herrührende Fehler ist soweit unschädlich, als eben die Annahme für die Länge des Lattenmeters der bei der Verwendung der Latten tatsächlich vorhandnen Länge entspricht. Die danach sich ergebenden Verbessrungen an den mit der Latte er-haltnen Höhenunterschieden sind mit bekannten Vorzeichen sogleich nach der Messung anzubringen; ist z. B. die Latte pro 1 m um 0,35

Latte gemessner Höhenunterschied von (absolut) 47,175 m (II. 0.) um 47-0,35 = 16

mm

zu lang, so ist ein mit der

mm

mm

zu vergrößern, die Zahl auf 47,191 zu bringen. Ist das Lattenmeter um zu kurz, so ist der mit der Latte erhaltene Höhenunterschied von (absolut) mm = 3 cm zu verringern auf 117,96

0,25

117,99m (III. 0.) um 118-0,25 deutende Höhenunterschiede auf verhältnismäßig geringen Längen zu überwinden sind, so kann ein solcher regelmäßiger Lattenkorrektionsbetrag am Höhenunterschied sehr groß sein im Vergleich mit dem „eigentlichen“ Nivellierfehler. Je kleiner die bei der Einwängung zu überwindenden Höhenunterschiede sind, desto weniger kommt es auch auf scharfe Kenntnis der Länge des Lattenmeters an; wenn etwa mit der zuerst genannten Latte ein Höhenunterschied von z. B. nur 10 m auf einer Strecke von mehreren Am in II. 0. (mit dem unregelmäßigen m. 1 Am-Fehler von z. B. + 6 mm) zurückzulegen ist, so ist selbst der ganze einseitige Lattenfehler von 10 • 0,35 = 3% verschwindend im Vergleich mit dem eigentlichen, reinen Nivellierfehler von z. B., auf 4 Am Länge, 6 |/4 = + 12

mm

mm.

m.

Wenn so be-

mm

b) Von zufälligen Lattenfehlern sind mehrere Arten vorhanden: zufällige Fehler der einzelnen Teilstriche, bei Latten für Feinnivellierungen gering, bei Latten II. 0. (1 cm-Latten) meist viel größer, bis + 0,2

mm

und mehr, hier aber trotzdem nicht

in Betracht kommend, weil nur Ablesung auf das ganze ist aber als zufälliger Lattenfehler auch der Betrag anzusehen, um den die bei der Nivellierung tatsächlich vorhandne Länge des Lattenmeters ab weicht von der Annahme, die gemäß der letzten Bestimmung dieser Länge mit dem Anlege-normalmeter, z. B. vor 8 Tagen, und ebenso der Betrag des bei der Lattenvergleichung selbst begangnen unregelmäßigen m. F.

zu machen ist; sodann

mm

4. Große Höhenunterschiede. Neuer Ausdruck für den m. F. des Höhenunterschieds der Endpunkte einer Nivellementsstrecke s. Diese zufälligen Lattenfehler z. B. beanspruchen auch nach Anbringung der regelmäßigen Lattenkorrektion nach 3. a), auf Einwägungsstrecken mit großen Höhenunterschieden Berücksichtigung; der zufällige Fehler des Maßstabs, mit dem diese großen Höhenunterschiede gemessen werden, ist neben dem „i-einen Nivellierfehler“ (wesentlich von Libellenfehler und Schätzungsfehler auf der Latte abhängig) nicht zu vernachlässigen. Deshalb ist seither fast stets, besonders in 108. und 101). 1. 2. ausdrücklich vorausgesetzt, daß die Höhenunterschiede auf den nivellierten Strecken klein seien.

Ist als m. unregelm. Unsicherheit des „Lattenmeters“ der Betrag +1 anzusehen, so erreicht der aus dieser Ursache entspringende unregelmäßige Fehler mh des mit dieser Latte bestimmten Höhenunterschieds h m die Größe

(i)

mh = ±l-h-,

er kann für bedeutende h nicht mehr vernachlässigt werden im Vergleich mit dem „reinen“ Einwägungsfehler, der auf der Strecke s km, wenn mit gleicher Zielweite nivelliert wird, nach unsrer Grundgleichung (9) in 108. den Betrag

(2)

= f* • Vs

hat, wobei der lkm- Fehler g abhängt von den Eigenschaften des Instruments (besonders Libellenteilwert und Fernrohrvergrößrung), von der konstanten Zielweite, der Art der Lattenteilung, vom Beobachter, von äußern Umständen. Ist z. B. eine Strecke s = 6 km Länge zu nivellieren (II. 0.) durch einen Beobachter und mit einem Instrument, endlich einer Zielweite, für die g — + 5 der reine mittlere Einwägungsfehler me = 5 ]/6 = + 12 mittlere Unsicherheit von z. B. + 0,1 diesen 6 km. Nivellementslinie ein Höhenunterschied von 15dm zu überwinden, so beträgt der m. Höhenfehler, der vom Maßstab (Latte) allein herrührt, bereits +150-0,1 = + 15

bei nur + yao

und nicht vernachlässigbar gegen me. Wäre dagegen der zu überwindende Höhenunterschied nur 20 m, so wäre bei 1 = + ¹/₁₀ mm, mh = + 20 ■ 0,1 in Betracht kommend gegen me.

Bei großen Höhenunterschieden, „Einwägungen im Gebirge“, ist unbedingt erforderlich, an Stelle der einfachen Gleichungen (9) oder (18) in 108., nämlich

mm

mm

angenommen werden kann, so ist

mm

zu setzen; ist aber eine für das Lattenmeter vorhanden und ist auf

mm

, es ist also von Vornachlässigung im Vergleich mit me keine Rede; sogar Unsicherheit pro Meter Latte wäre mh in diesem Fall = + 7,5

mm

mm

mm

=    2 mm, nicht

= fh • V s

(gj reiner Nivellierfehler für lkm und s in km) für den mittlern Gesamtfehler des Höhenunterschieds der Endpunkte der Strecke s anzusetzen:

(3)

= +    • Vs-±X-h .

Wir wissen, was an Stelle dieses unbestimmten Ausdrucks nach dem Pythagoräischen Lehrsatz der Ausgleichungsrechnung zu treten hat, nämlich

m* = gl s + l“h² oder ms = pViS + Vh² .

(+

(5)

Die Gewichte g von Einwägungsstrecken mit großen Höhenunterschieden sind also nicht mehr einfach umgekehrt proportional den Längen der Strecken, nicht mehr

nach gk = (sk in Am) anzusetzen nach 108., 2. a), sondern es ist zu setzen:

(7)

= li fs + X*h*

(s in Am, h in in, gt und X in mm) oder

(8)

9k =

gls-\- X-Ir

Dabei ist für die ganze Behandlung dieses Absatzes 4. vorausgesetzt, daß an den h die regelmäßigen Korrektionen wegen bekannter Abweichung des Lattenmeters von seiner Sollänge gemäß 3. a) angebracht sind. Auf die Bestimmung von g1 und X aus großem Netzen, die „Fehlertrennung“ in zahlreichen homogenen „Nivellementspol ygonen“, die z. T. geringe, z. T. bedeutende Höhenunterschiede darbieten, kann hier nicht eingegangen werden. Ebenso ist nur noch ein Wort beizufügen möglich über

5.    weitre regelmäßige Fehler beim Nivellieren. Es sind beim Einwägen noch zahlreiche weitre Fehlerquellen vorhanden. Eine u. U. für feinres Nivellieren sehr wichtige ist das in geringen Beträgen stets zu befürchtende Einsinken des Stativs des Instruments (Erniedrigung der Ziellinie) während des Transports der Latte vom vorhergehenden zum folgenden Wechselpunkt und sodann besonders das Einsinken der Latte auf einem bestimmten Wechselpunkt während des Transports des Instruments zur nächsten Aufstellung. Der erste dieser Fehler wird bei feinen Nivellierungen dadurch unschädlich gemacht, daß man stets zwei Latten verwendet, eine auf dem vorhergehenden, eine auf dem folgenden Wechselpunkt, so daß Rückblick und Vorblick als gleichzeitig gelten können. Der zweite Fehler läßt sich aber nicht so einfach eliminieren, es müßten denn auch zwei Beobachter mit genau gleichen Instrumenten tätig sein, womit aber die Elimination noch nicht gesichert wäre; er bewirkt in der Tat den größten Teil der systematischen Fehler von Feinnivellierungen. Auf chaussierten Straßen, auf die z. B. die Lattenfußplatte ohne vorheriges Abziehen des Schlammes gelegt wird, erreicht der Fehler nach vorhergegangnem Regen oft überraschende Beträge; auf Gebirgsstraßen mit großen Neigungen kommt dazu die Gefahr des im einzelnen nicht fühl- oder nachweisbaren, im Gesamtergebnis vieler Wechsel aber merklich werdenden geringen Abwärtsgleitens der Unterlagsplatten, deren Füße auf sehr harter, gut unterhaltner Straßenbahn spiegelglatt zu werden pflegen. Diese geringe Abwärtsbewegung der Fußplatte bewirkt ebenfalls „Einsinken“ der Latten; man kann es vermeiden durch Zacken an den Füßen der Bodenplatten und sehr festes Eintreten dieser Platten. Zu diesem regelmäßigen Fehler kommt ein weitrer, oft ebenfalls einseitig wirkender Fehler, die Elastizität des Bodens: es ist nicht gleichgültig, wo das Körpergewicht des Beobachters ganz in der Nähe des Instruments wirkt; usw.

6.    Ungleiche Zielweiten. Es sei hier auch nochmals erinnert an die Wirkung ungleicher Zielweiten, die man sich schon vielfach bei Einwägungen II. 0. gestatten muß unter der Voraussetzung scharfer Berichtigung des Instruments. Die Wirkung einer Fehlers c des Nivelliere in diesem Falle (Anwendung langer Rückblicke, kurzer Vorblicke beim Bergauf- und umgekehrt beim Bergab-Nivellieren) ist schon in 102. 5. behandelt. Wenn regellos durcheinander lange und kurze Zielweiten genommen sind, so gelten die einfachen Fehlergesetze von 108. nicht mehr. In der Praxis größrer zusammenhängender Nivellierungen von nicht großer Genauigkeit ist bei der Verteilung von Schluß- oder Anschlußfehlern vielfach das Verfahren üblich, auch hier w proportional der Anzahl der Wechsel zu verteilen (nur bei gleichen Zielweiten entspricht dies der Verteilung proportional s); übrigens macht man das

Einsetzen der Yexbessrungen (Spalte: „Korr.“ im Formular S. 684) bei Verteilung des tv auf einer bestimmten Linie vielfach ohne jede Rechnung nach Anblick, schreibt z. B. bei w = im ganzen 15 ständen -{-2, -)-4, —(- 6 - • - —j— 15 (mm), was dann erst beim Ablesen der Höhen (und z. B. Einträgen der Punkte in einen Plan) berücksichtigt wird.

(zuzuschlagen) in die Spalte „Korr.“ in bestimmten Ab-

mm

110. Messung des Längenprofils einer bestimmten Linie der Erdoberfläche. Aufträgen des Längenprofils. 1. Das Längenprofil oder der Längsschnitt in einer bestimmten Linie der Bodenoberfläche ist bereits in 97. 2. b) erklärt: bei im Grundriß gerader gegebner Linie ist es der Schnitt einer Yertikalebene längs dieser Spur mit der Bodenoberfläche, bei im Grundriß beliebig gekrümmter Form der gegebnen Linie der Schnitt eines horizontalprojizierenden Zylinders längs dieser Spur mit der Bodenoberfläche. Ob die „Bodenoberfläche“ die natürliche, von Menschenhand nicht veränderte Erdoberfläche ist, oder ob es sich z. B. um das Längenprofil einer Straßen- oder Bahnachse handelt, bringt keinen wesentlichen Unterschied. Da man den Längsschnitt in der im Grundriß vorgeschriebnen Linie seiner wirklichen Form gemäß will zeichnen können, so ist nicht nur eine genügende Anzahl von Punkten der Linie des Längenprofils einzuwägen, sondern es ist auch die Lage dieser Punkte in der gegebnen Linie, durch einfache Messung horizontaler Strecken in dieser, durchlaufend vom Anfangspunkt des Profils aus, festzulegen; es ist eine Verbindung von Längenmessung und Uöhenmessung notwendig. Beide können gleichzeitig auszuführen sein, häufiger geht die Längenmessung der Einwägung voraus.

2. Die Längenmessung, Einteilung der Linie (oft „Stationierung“ der Linie genannt, wobei das Wort in andrem Sinne gebraucht ist, als wir gelegentlich im Kap. 4 des I. Abschnitts, s. z. B. 69., getan haben) durch horizontal zu messende Strecken ist in bekannter Art mit Hilfe von Latten oder Stahlband durchzuführen. In der Regel wendet man gern eine „Normallänge“ der einzelnen Strecken oder „Stationen“ an, die je nach dem Zweck des Profils 5« (z. B. bei Erdkörperberechnungen im Hochbau), 10m, 20 m, 25 m, selbst 50m und noch größer sein kann. Dazwischen hat aber die Längeneinmessung der nachher zu nivellierenden Punkte noch alle Zwischenpunkte zu erfassen, in denen die Neigung der Profillinie sich ändert (auf „regelmäßigen“ Linien der künstlich veränderten Bodenoberfläche einen „Visierbruch“ zeigt), sofern diese Neigungsändrung oder plötzliche Höhenändrung so beträchtlich ist, daß sie für den Zweck des Längsschnitts in Betracht kommt. Die durchlaufende Numerierung der horizontalen Längen macht man bei geringer Länge des Längsschnitts nach den natürlichen Meterzahlen, bei Längenprofilen von einigen hundert Metern bis wenigen Am Länge (Wege, Straßen) meist nach Hektometern und Metern, bei Linien von großer Länge (großem Straßenstrecken, Eisenbahnen, Kanälen) nach Kilometern und Metern. Die zuletztgenannten Zählweisen sollen bessre Übersicht wahren; aufeinanderfolgende Punkte eines Längenprofils im ersten Fall sind z. B. ■ ••5 + 2° (520m vom Anfangspunkt des Profils an), 5 + 40, 5 + 60, 5 + 64, 5 + 66^ 5 +    6 + 0 .. ., im zweiten Fall • • * 3 + 250, 3 + 276, 3 + so°,. . . (der letzte Punkt

3 300 m vom Anfangspunkt an).

In vielen Fällen ist diese „Stationierung“ der Linie des Längenprofils zu ver-pflocken, wenn sie als Grundlage eines erst herzu stellenden Baus auftritt, stets; d. h. die einzelnen der Länge nach eingemessnen Punkte werden durch auf diesen Punkten einzuschlagende Pflöcke (auf hartem Boden als angespitzte Stücke von

Gasröhren u. dgl.) bezeichnet. Die Pflöcke sind genau in die Profillinie einzurücken (in Geraden wie gewöhnlich mit Stäben einzuweisen) und ihre Oberfläche ist mit dem Boden „bündig“ zu schlagen; ein „Nummerpflock“ in wenigen 3m Entfernung vom „eigentlichen¹* oder Bodenpflock dient nur zu dessen Aufsuchung. Den Nummerpflock, der auf angeschnittnem „Blatt“ den Namen des Punkts deutlich tragen muß, ebenfalls genau in die Profillinie zu richten wird oft empfohlen, ebenso eine Normalstrecke zwischen beide Pflöcke einzuhalten, beides natürlich mit der Absicht, den Bodenpflock sofort vom Nummerpflock aus auffinden zu können, auch wenn jener z. B. oberflächlich verdeckt sein sollte. Doch lassen sich solche Vorschriften nur Behr selten durchführen und haben deshalb wenig Wert.

Auf den Linien andrer Längenprofile, z. B. in den Achsen fertig gebauter städtischer Straßen u. dgl., lassen sich solche Pflöcke oder selbst Stücke von Gasrohren nicht einschlagen; die eingemessnen Punkte des Längenprofils sind dann durch andre Zeichen sichtbar zu machen, oft nur so lange, als das nachfolgende Nivellement dauert. Häufig ist für diese Fälle blaue Kreide (starker blauer Ölkreidestift) ein gutes Mittel, das in Zeichen (z. B. Kreuz) und selbst beigeschriebnen Zahlen, auch auf nicht sehr festem Grund sogar leichte Niederschläge und ziemlich starken Verkehr lange überdauert. Bei Aufnahme von Längenproßlen in den Achsen fertig gebauter Straßen muß die Stelle dieser Achse gelegentlich durch Quermessung über die Fahrbahn, z. B. zwischen den Randsteinen von Gehwegen in städtischen Straßen, zwischen den Grabenrändern an ländlichen Haupt- und Nebenstraßen und Wegen festgestellt werden..

3. Einwägung der Punkte des Längenprofils. Der Längenmessung und Verpflockung oder sonstigen Bezeichnung der Punkte des Längsschnitts folgt die Einwägung dieser Punkte; bei größrer Ausdehnung und Wichtigkeit des Profils von benachbarten, auf N. N. sich beziehenden Festpunkten feinrer Nivellements ausgehend und wenn möglich auch an solchen Punkten wieder abschließend (besser zwei oder drei gegebne Anfangspunkte und ebenso mehr als einen Abschlußpunkt nehmen). Die Einwägung ist für technische Zwecke vielfach als solche III. 0. genügend, selbst IV. 0. ist z. B. für weniger wichtige Straßenbauten und Wegbauten völlig ausreichend. Für den Eisenbahnbau und z. T. auch für den Wasserbau kommen aber auch feinre Einwägungen in Betracht, bis zu bessrer Nivellierung II. 0. und selbst bis zu I. 0.

geschätzt wird,

mm

cm.

Die Art der Nivellementsausführung ist in 105. genügend erläutert; bei II. 0. Instrument von etwa 25facher Vergrößrung des Fernrohrs, 10" bis 15"-Libelle, 1 cm-Latte, an der bei einspielender Libelle des Nivelliers auf 1 Zielweite nicht über 50 m; bei III. 0. Instrument wie eben genannt oder schwächer (18fach vergrößerndes Fernrohr, Libelle 20" oder 25", nicht zu unempfindlich, weil man an der 1 cm-Latte gelegentlich auf große Entfernung ablesen will, alle Ablesungen auf ¹/₂ cm; bei IV. 0. kann das Instrument noch schwächer sein, Ablesung am besten an einer ■R3m-Latte mit starker Strichteilung, jedenfalls nur auf 1

Das Feldbuch ist am besten genau dasselbe wie für das Längennivellement (Festpunktnivellement, vgl. 105. 8,). Wichtig ist selbstverständlich, daß keiner der Punkte (Pflöcke oder bezeichneten Punkte) vergessen wird; man führt deshalb gleich bei der Verpflockung oder Punktbezeichnung sorgfältiges Register. Sehr wichtig ist ferner für den Anfänger die schon in 10G. 2. gemachte Bemerkung, daß man gelegentlich einen besonders zu bezeichnenden und leicht wieder auffindbaren Festpunkt an der Profillinie (kann beliebig seitlich davon liegen) mitnehmen soll; besonders natürlich dann, wenn das Längenprofil nicht verpflockt ist, während sonst manche Pflockoberflächen leidliche Festpunkte abgeben. Wichtige Profile werden stets hin und zurück nivelliert, weniger wichtige sollen wenigstens mit der Wendelatte eingewogen werden. Wo ein auf N. N. bezognes Längenprofil in der Nähe eines bereits bekannten Höbenfestpunkta vorbeiführt, ist selbstverständlich stets an diesen anzuschließen.

4.    Auf L ängenprofile besondrer Art, von denen namentlich noch Flußprofile als technisch wichtig anzuführen wären, gehen wir nicht näher ein. Dagegen ist hier noch etwas eingehender zu erläutern das

5.    Aufträgen eines Längenprofils. Nachdem die auf N. N. oder bei weniger wichtigen Profilen auf beliebig angenommene Höhe des Anfangspunkts sich beziehenden Höhen aller Punkte des Profils ausgerechnet und geprüft, gegebnen Falls (Anschluß oder Hin- und Rücknivellement) mit den ihnen zukommenden Verbessrungen versehen sind, ist das Profil zu zeichnen: man will den Vertikalschnitt der Boden-oberfiäche längs der im Grundriß gegebnen geraden, gebrochnen oder sonstwie geformten Linie in einem „Höhenplan“ darstellen (das Wort wird in solchen Bedeutungen mißbräuchlich angewandt, es sollte dem kotierten oder Köhenlinienplan Vorbehalten bleiben, s. 113., ist aber anscheinend nicht mehr auszumerzen). Der Längsschnitt ist, falls die Linie im Grundriß (Plan) gebrochen ist oder aus nicht geraden Stücken besteht, stets so zu zeichnen, wie er sich nach Ausstreckung der verschiednen horizontalprojizierenden Ebenen in dieselbe Ebene oder nach Abwicklung des horizontalprojizierenden Zylinders darstellt.

Der Maßstah für die horizontalen Strecken des Profils, 1: M, ist womöglich derselbe wie der Längenmaßstab des Plans, in dem der Grundriß der Profillinie eingetragen oder einzutragen ist; für die Höhen dagegen nimmt man fast stets einen großem Maßstab als für die Längen, man „überhöht“ den Längsschnitt, 5 fach, 10 fach (am häufigsten), bei sehr geringen Neigungs Verhältnissen und Neigungsunterschieden der

M

Profillinie auch 100 fach, nimmt also als Maßstah der Höhen 1 :    ,

M

1 : -jy nsf. Beim Längenmaßstab des Plans und der Horizontalstrecken

des Profils von 1 : M = 1 : 1000 oder 1 : 2500 und bei „10 facher Überhöhung“ des Profils ist als Höhenmaßstab in diesem 1 : 100 oder 1 : 250 anzunehmen. Den Anfangspunkt der Längen legt man gern ans linke Ende der Profildarstellung, sodaß die horizontalen Strecken nach rechts wachsen; Profile längs Flußläufen sollen nach rechts fallendes Wasser zeigen (die Numerierung der Profilpunkte geht hier in der Natur stets mit dem fließenden Wasser). Die Längeneinteilung auf der Profilzeichnung wird sogleich der Verpflockung oder sonstigen Punktbezeichnung gemäß vollständig durchgeführt. Für die Höhen zeichnet man sich in runden

Feldhöhe, dem Maßstab 1 gemäß cm auseinander

, 5 w, 10

Abständen von 1

derart, daß diese Horizontalen mit runden Höhen etwa 10 zu liegen kommen, so viele Horizontalen, als bei der Ausdehnung des Profils der Höhe nach in Betracht kommen. Das Einzelaufträgen der Punkte geschieht dann, selbst für sehr scharfe Profilzeichnung genügend, mit dem Kantenstrichmaßstab von der nächst niedrigem dieser Horizontalen aus. Die Profillinie selbst ergibt sich durch folgeweise geradlinige

46

Hammer: elementare praktische Geometrie.

Wegkreuzg“

Xy

St*

380

Herdweg

370m ü.N.N.

oj wa

.3? a

CO 05

o>

376,34

378,32

378,86

379,24-

379,72

380,15

380,63

380,96-

381,30

382,02

382,53-

382,58-

382,72

382,88

383,21

383,41

383,71

384,12

384,07

383,91-

383.4C-

382,91-

382,58-

382,31-

-381,89

381,33-

380,86-

380,35-

379,96-

379,58-

+0 +20 +37 +46,5

03+ 15+ 0*+

Original: Maßstab der Längen 1: 2000

hier: Maßstab der Längen nahezu 1:3000

1: 300.

Verbindung der einzelnen Profilpunkte; diese sollen bei der Messung so angeordnet worden sein, daß die geraden Verbindungslinien zwischen Nachbarpunkten mit genügender Genauigkeit der Bodenoberfläche angehören. Vielfach kann man, besonders für Längsschnitte untergeordneter Genauigkeit, Millimeterpapier verwenden, das jetzt in zuverlässiger Einteilung überall zu haben ist.

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o.

Aus den Messungsübungen an der T H. St.

r—i

Für die Ausführung der Zeichnung solcher Profile, die in der Regel mit als Grundlage eines technischen Projekts zu dienen haben, sind in den ver-schiednen Ländern wieder ver-schiedne Vorschriften gegeben; es seien als Beispiele wieder die preußischen und wiirttembergi-schen (hier für Feldmesser) genannt.

a) In Preußen ist nach den

j |j „Bestimmungen über die Anwen-°.® ti> düng gleichmäßiger Signaturen für N topographische und geometrische Karten, Pläne und Risse“ (Zentraldirektorium der Vermessungen in Preußen) folgendes bestimmt: die Höhenkoten aller Punkte (womöglich auf N. N. bezogen, vgl. 98. 2. u. 5.) sind in das Profil einzuschreiben. Die Linie des Profils

•e

Sommer 1909 (Bauingenieure).

selbst (Schnitt mit der bestehenden Bodenoberfläche) ist schwarz auszuziehen, ebenso die Horizontale (bestimmte runde N. N.-Höhe) oder die Horizontalen (runde K.N.-Höhen von 5 zu 5 oder von 10 zu 10 m), ebenso endlich die Or-dinatenlinie für jeden Punkt, auch die Ordinatenzahlen sind (unten) schwarz einzuschreiben. Wasserstandslinien sind blau einzuzeichnen.

Sind in die Profillinie und Profilfläche Linien für Projekte von Straßen, Eisenbahnen,Kanälen

Aufträgen eines Längenprofils. Aufnahme von Querschnitten.

723

(z. B. Deichkronen) usf. einzutragen, so sind diese Linien rot zu ziehen, die zugehörigen Ordinaten rot einzuschreiben. Die Profilflächen des „Abtrags“ (Ein- und Anschnitts) sind leicht grau, die des „Auftrags“ (Auf- oder Anfüllung) blaßrot anzulegen, Wasserflächen bis zum Wasserspiegel lichtblau. Vorhandne Bauwerke sind im Schnitt schwarz, projektierte Bauanlagen rot anzulegen oder zu schraffieren. Höhenzahlen, die sich auf Gewässer beziehen, sind blau zu schreiben. Im Lageplan wird die Leitlinie des Längenprofils rot gezogen, Stationspunkte durch rote Ringe, fim-Punkte durch Doppelringe bezeichnet.

b) In Württemberg ist nach einer Verfügung des Ministeriums des Innern vom Jahr 1895 für die Ausführung von Vermessungsarbeiten, (soweit sie nicht unter Aufsicht und Leitung von staatlichen Behörden gemacht werden, die z. T. Sonderbestimmungen haben), bei Längenprofilen als Maßstab der Längen womöglich derselbe Maßstab zu wählen, in dem die zugehörigen Lagepläne gefertigt sind (1 : 500, 1:1000, 1: 2000, 1: 2500, 1 : 5000 oder 1 : 10000). Der Maßstab für die Höhen ist dagegen in der Regel ein größrer, meist der zehnfache. Die Längenprofile sind in der Regel so aufzuzeichnen, daß der Anfangspunkt der Messung, ,,bzw. Numerierung, deren Richtung bei laufenden Gewässern dem Wasserlauf folgen muß, linker Hand liegt.“

„In den Profilzeichnungen sind die Schnittlinien mit der Bodenoberfläche, die Horizontalen und die Ordinatenlinien schwarz, die Wasserstandslinien blau und die projektierten Ändrungen mit den zugehörigen Ordinatenlinien rot zu ziehen, bei Wasserstandslinien mit blauer Bandierung. Ebenso werden die Höhenzahlen, welche sich auf die Bodenoberfläche beziehen, schwarz, diejenigen für die Wasserstände blau und diejenigen, welche die Höhenlage der projektierten oder neu ausgeführten Anlagen angeben, rot eingeschrieben.“ Nicht angegeben ist hier, daß (wie allgemein in Süddeutschland) die Einschnittsflächen leicht gelb, die Auffüllungsflächen leicht rot angelegt werden.

Fig. 447 zeigt ein (nur etwa 550 m langes) Stück des Längenprofils der Achse einer fertig gebauten Straße (ohne Projektierung neuer Anlagen), wie es in den Geodät. Übungen der Bauingenieur- und der Architekturstudierenden der T. H. Stuttgart ausgeführt zu werden pflegt (je etwa 2 fim), hier obrer Teil des Herdwegs, Feldweg und Kräherwaldstraße nahe bei Stuttgart; Längenmaßstab des Originals 1 : 2000, Höhenmaßstab 1 : 200, in Fig. 447 auf ²/₃ reduziert, d. h. mit 1 : M der Längen = 1 : 3000 M

und mit 1 : •— der Höhen = 1 : 300 gegeben.

Bemerkt sei auch noch, daß man zweckmäßig in solche Profilzeichnungen alle Höhenfestpunkte mit aufnimmt, an denen die Profillinie vorbeiführt (Länge einmessen, an der Höhe anschließen und diese beisetzen, Punkt genau bezeichnen).

111. Aufnahme von Querprofilen oder Querschnitten mit dem Nivellier und mit der Setzlatte. Eine meist noch gröbre Nivellierarbeit als die Messung des Längenprofils ist die Aufnahme von Querschnitten, die fast ohne Ausnahme nur als Nivellierarbeit IV. O. ausgeführt wird. Diese Querprofile sind aber außerordentlich wichtig für die Projektierungsarbeiten im Hochbau und besonders bei den Arbeiten des Bauingenieurs, in ihnen vollzieht sich hauptsächlich die endgültige Festlegung der Achse eines zu erbauenden Verkehrswegs; sie liegen fast jeder „Erdmassenberechnung“ zugrund.

1. Die Querprofile oder Querschnitte sind (vgl. 97. 2. c)) meist kurze V ertikalschnitte von Vertikalebenen quer zur Richtung eines Längenprofils mit der Bodenoberfläche, das Längenprofil in dessen Achspflöcken oder sonstigen Achspunkten schneidend. Links und rechts in einem solchen Querprofil (nämlich links und rechts vom Stationspunkt der Längenprofil-

46*

linie) ist schon bei der Aufnahme zu unterscheiden, es bezieht sich auf die Stellung des Beobachters, der in der Richtung der Numerierung des Längenprofils sieht. Bei Querprofilen quer zu Wasserläufen liegt also, da im Längenprofil, vgl. 110., die Numerierung dem Lauf des Wassers folgt, das linke Ufer auch zur Linken.

Man nimmt Querprofile entweder mit dem Nivellierinstrument auf oder, bei großer Querneigung der Bodenoberfläche in den Profilen, auch mit einem bisher nicht erwähnten Nivellierinstrument einfachster Art, der sog. Setzlatte. Andre Aufnahmsmethoden, ebenfalls für große Höhenunterschiede in den zu messenden Querprofilen, die den Höhenkreis eines kleinen Theodolits verwenden und damit ebenfalls noch direkte Längenmessung verbinden oder tachymetrisch verfahren, gehen bereits wieder über den Rahmen dieses Buchs hinaus.

Bei der Aufnahme der Querprofile werden von den Aclispflöcken oder sonstwie bezeichneten Achspunkten des Längenprofils aus zunächst die Richtungen der Querprofile abgesteckt, d. h. man steckt links und rechts von der Achse je einen, oder bei größrer Länge mehrere Fluchtstäbe als Angabe für die Richtung der Längenmessung; zur Herstellung des rechten Winkels zwischen Richtung des Längenprofils und des Querprofils dient wie immer die Kreuzscheibe (Vorteil: auch bei den größten Querneigungen der Bodenoberfläche brauchbar; Nachteil: versagt bei hartem Boden, z. B. auf städtischen Straßen u. dgl.), oder der Winkelspiegel oder eines der Winkelprismen (die Spiegel- und Prismeninstrumente kann man hier meist auch dann brauchen, wenn bei größrer Querneigung der Stab nicht mehr im Spiegel oder Prisma gesehen werden kann), oder auch, wenn vorhanden, das Horizontalkreischen des Nivelliers, vgl. 99. 3. d). Dabei wird man mit der Kreuzscheibe usf. zweckmäßig eine Reihe von Profilen, 5, 6 und mehr, zusammen in dieser Art abstecken. Ist die Längenprofillinie im Grundriß nicht gerade, sondern mehrfach gebrochen, so nimmt man in jedem Brechungspunkt die Richtung des Querprofils in der Regel in der Winkelhalbierenden; bei nicht zu großer Abweichung des Brechungswinkels von 180° geht diese Winkelhalbierung sehr bequem mit der Kreuzscheibe usf. von statten, indem man auf beiden Schenkeln des Brechungswinkels je ein Lot errichtet und den Winkel zwischen diesen zwei Loten nach Augenmaß oder durch Abmessen der Strecke zwischen zwei gleich weit vom Achspflock entfernten Punkten beider Lote halbiert. Ebenso für Absteckung des Querprofils in radialer Richtung bei gebogner Grundrißlinie des Längenprofils; ausnahmsweise kommt auch ein beliebiger Winkel zwischen Querprofilrichtung und Längenprofilrichtung vor, der bei kurzen Querprofilen stets mit Gradscheibe (Winkeltrommel), Spiegeltrommel oder Prismentrommel oder einem Nivellier mit Horizontalkreis genügend, d. h. auf einige ' genau gemessen werden kann, oder durch Koordinatenmessung mit Kreuzscheibe usf.

2. Die Aufnahme mit dem Nivellierinstrument, bei „flachen“ Querprofilen, d. h. geringer Querneigung des Geländes, die einfachste, unterscheidet sich grundsätzlich in keiner Weise von der Arbeit beim Längenprofil. Das Instrument kann sehr klein, leicht transportabel sein (Fernrohr aber z. B. für lange Querprofile, über eine ganze Talebene u. dgl. weg, nicht zu schwach, auch Libelle in solchen Fällen nicht gar zu gering). Es sind vom Achspflock aus horizontale Strecken mit Latten oder Band hinauszumessen, auf 0,1 m abzulesen, die alle Brechungspunkte der Neigung der Querprofillinie erfassen und deshalb oft dicht gedrängt liegen müssen, namentlich auch dort, wo durch Eingriff von Menschenhand die natürliche Bodenoberfläche umgestaltet ist, wo z. B. im Querschnitt nahezu horizontale Wegfahrhahn mit Gräben und Böschungen hergestellt ist. In andern Fällen, bei sehr regelmäßig geformter natürlicher Bodenoberfläche, können aber auch die Querproflipunkte im selben Profil manchmal ziemlich weit voneinander entfernt genommen werden, 3 m, 5 m, sogar 10 w, die Verbindungslinie der Nachbarpunkte im ganzen Profil soll aber mit genügender Genauigkeit je ganz der Bodenoberfläche angehören.

Diese LängenmessuDg in den Querprfiolen links und rechts hinaus macht man erst zusammen mit der Einwägung der eiugemessnen Punkte; diese werden deshalb auch nicht irgendwie bezeichnet, sondern es wird sogleich auf jedem die Nivellierlatte zur Ablesung seiner Höhe aufgesetzt. Diese Lattenablesungen werden durchaus nur auf 1 cm gemacht. Die Visurhöhe (Horizont) des Instruments wird dadurch festgestellt, daß die Latte zuerst auf dem Achspflock oder Achspunkt abgelesen wird, dessen (N. N.-)Höhe durch die Messung des Längenprofils bekannt ist. Man halte sich bei allen Lattenablesungen nicht mit scharfem Einspielen der Libelle auf; eine Neigung der Ziellinie um 1' gibt erst auf 34 m Zielweite den Ablesefehler 1 cm. Bei geringen Neigungen der Bodenoberfläche in der Richtung des Längenprofils und in der Richtung des Querprofils (Querneigung) kann man oft, wenn keine Sichthindernisse vorhanden sind, mehrere Querprofile von demselben Stand des Instruments aus aufnehmen, wobei also die Yisurhöhe des Instruments dieselbe bleibt; man lese trotzdem immer erst auf dem Achspflock ab. Bei etwas großem Querneigungen (die Neigungen in der Richtung des Längenprofils sind, da der zu projektierende Verkehrsweg usf. fast immer kleine Neigungen haben wird, in der Regel nicht groß, z. B. besonders bei Bahnen, wichtigen Straßen, im Hochbau, bei Kanalbauten) empfiehlt sich eine 5 m- oder selbst längre Nivellierlatte (4 m-Latte mit „Aufsatz“, auf dem die Beziffrung in richtiger Weise weitergehen muß); da stets nur auf 1cm abgelesen wird, kann die Latte auch sehr einfach und leicht sein, so daß sie größre Länge wohl verträgt, um so mehr, als sie hier fast immer nur auf ganz kurze Strecken zu transportieren ist.

Für derartige Nivellier arbeiten IV. 0. kann man auch die starre Latte ersetzen durch ein sog. Nivellierband, das zum Mitführen auf dem Transport viel bequemer ist (gerollt in einem kleinen Kästchen zum Umhängen). Es besteht aus starkem breitem Leinenband mit eingewebten Drahtlitzen und wird erst an Ort und Stelle rasch auf der nächsten besten Holzlatte (Dachlatte u. dgl.) befestigt. Das Nivellierband ist mit 1 cm-Feld- oder Strichteilung und mit 3m-Zahlen, oder 1 3m- oder x/₈3m-Strichteilung und großen m-Zahlen versehen; im Kistchen sind Befestigungsschrauben für besondre Löcher im Band, sowie zwei Handgriffe beigegeben. Diese Anordnung ist oft bequemer als die sog. „Reiselatten“ (Schiebelatte nach Wehn u. a., Klapplatten und Schiebeklapplatten), während sich diese selbstverständlich genauer hersteilen lassen als das Band.

Namentlich empfiehlt es sich bei großem Höhenunterschieden auch, die obern Hälften von mehreren Profilen (3, 4) von einem Stand des Instruments aus aufzunehmen, dann die untern Hälften derselben Profile von einer neuen Aufstellung aus; doch ist damit nur etwas erspart, wenn gar keine Sichthindernisse vorhanden sind. Wie man sich ausnahmsweise auch, für einzelne Punkte, die sonst mit der Lattenlänge nicht mehr erreichbar wären, die Lattenlänge um 1 m verlängern kann, ohne Verlängrungs-stück (Hochhalten um 1 m) ist in 113. beim Flächennivellement angegeben. Umstellung des Instruments, gar mehrmaliges, in demselben Querprofil ist im allgemeinen auch bei einfachster Handhabung des Instruments zeitraubend; wenn mehrere Wechsel in demselben Querprofil notwendig wären, so empfiehlt sich statt dessen fast immer die Anwendung der Setzlatte. Eine Prüfung in dem Querprofil gemessner Höhen wird im allgemeinen unterlassen; bei langen Querprofilen kann sie dadurch vorgenommen werden, daß man den letzten Punkt zu beiden Seiten der Achse in

rechts

links

Querprofile mit dem Nivellierinstrument.

Zur Aufnahme

Datum 191

Beobachter:

Profil

Pfl. H. = Ablesung Pfl. =

Horiz. =

links

rechts

Entf. | Ables.

(Höhe)

Bern.

Entf.

Ables.

(Höhe)

Bern.

Profil

5 + 2°

0 = linker Straßenrand.

Pfl. H. = 380,45 Ablesung Pfl. =    0,90

Horiz. = 381,35

links

Entf.

Ables.

0,3

0,6

2,0

5,0

8,0

10,0

15,0

18,0

r-T cT cT tH <m <N CO~

(Höhe)

380,20

380,44

380,50

379,88

379,22

378.40 377,67

376.41

Bern.

Grab.

Rand

Gehweg

Entf.

3,5

7,0

7,3

7,6

10,0

15,0

20,0

rechts

Ables. I (Höhe) 0,75    380,60

0,90    380,45

1,12    380,23

0,90    380,45

0,71    380,64

0,45    380,90

0,12    381,23

Bern. Str. Mi. Str. Rd. Grab. Rand

Profil

5 + 4°

Ebenso.

Pfl. H. = 380,81 Ablesung Pfl. =    0,54

Horiz. = 381,35

Entf.

0,3

0,6

2,1

4,5

0*0 0 tH vH CM

0,77    380,58

0,55 I 380,80 0,50    380,85

1,62    379,73

2,54    378,81

3,87    377,48

5,1,    376,2

Bern.

Grab.

3,5

7,0

Gehw. Rd. Bö. Fuß

7,3

7,6

12,0

15,0

21,0

Ables.    |    (Höhe)

' 0,38    i    380,97

0,55    |    380,80

0,78    380,57

0,56    380,79

0,40    380,95

0,21    381,14

— 0,08    381,43

Bern. Str. Mi. Str. Rd. Grab. Rand

Bemerkung. In der Spalte Bern, nähere Bezeichnung des Punkts (Wegrand, Grabensohle usf.). Beim Aufträgen der Querprofile auf gewöhnliches Papier bleibt die Spalte „Höhe“ leer (Abtragen der Ablesungen vom Horizont nach unten, umgekehrt auf mm-Papier). Wenn in einem Profil ein Wechsel der Instrumentenaufstellung erforderlich, entsprechender Absatz, oder Pflockablesung (Entf. 0) zu links und rechts getrennt.

jedem Profil doch bezeichnet und über die so bezeichneten Punkte der einzelnen Profile ein Längennivellement (IV. 0.) ausführt; durch diese Endpunktsbezeichnungen läßt sich selbstverständlich auch die Richtigkeit der Längen prüfen, wenn die Ausdehnung der Profile dieselbe ist.

In den geodätischen Übungen der T. H. St. lasse ich das vorstehende Formular verwenden (Übungsbuch, Form. 12; das erste, in dem keine Zahlen eingesetzt sind, gekürzt); die Messung zweier Profile ist eingesetzt: aus dem Längenprofil sind bekannt die N. N.-Höhen der Pflöcke

Die

-Papier zu zeichnen, in die die abgemessnen Längen und die an der Nivellierlatte abgelesnen Zahlen sämtlich einzuschreiben sind. Besonders ist dazu zu raten, wenn in demselben Querprofil gewechselt, das Instrument umgestellt wird. Als Wechselpunkt für die Latte ist bei diesen Querprofilen (wenn sie wie gewöhnlich kurz sind, 30, 50 m im ganzen lang; es kommen aber auch lange Profile vor, über Täler weg) jeder einigermaßen feste Punkt, ein Stein, eine Baumwurzel, sogar der festgetretne Boden brauchbar, da ja auch auf den Wechseln nur auf 1

•CI

sf

“T

5+²⁰ = 380,45; 5 + ⁴⁰ = 380,81; verpflockte Aufnahmslinie (Polygonseite) liegt hier am Rand einer auf beiden Seiten mit Gräben versehnen Straße, nach rechts schließt sich fast ebenes Gelände an, nach links sind ziemlich bedeutende Höhenunterschiede den Waldhang hinunter vorhanden. Vom Instrumentenstand aus ist auf 5 + 20 0,90, auf 5 + ⁴⁰ 0,54 abgelesen; beides gibt Visurhöhe (Horizont) 381,35. Die verwendete Latte war 5 m lang. Die Ausrechnung der Höhen der einzelnen Punkte der Querprofile ist nicht in allen Fällen notwendig; vgl. 112., Aufträgen, sowie die Bemerkung am Fuß des Formulars.

Wenn die Querprofillinie sehr „unregelmäßig“ ist, viele Punkte erfordert, so ist häufig empfehlenswert, bei der Aufnahme eine Skizze im Maßstab 1 : 100 oder 1 : 200 auf

cm

00    ^ CO

Ol

TO

0,20

1,28'

1,73"%

2J0

2,05

Weg. Pfl.

3J8;

3,70

i Ä s-§

USf—!---PT""

385

Ifii 1,82\A

'1,23

°>⁷Ä

T7Trrrnr

1,36 < -

jy

037

77

192    2,01

Fig. 448.

abgelesen und höchstens, bei großem Zielweiten, die Libelle etwas besser eingespielt wird als bei andern Punkten. In die Skizze sind die gemessnen Längen auf 1 Nn, die Lattenablesungen auf 1

hervorzuheben) deutlich einzutragen; man hat bei diesem Ersatz des Aufschreibens in einer Tabelle besonders noch den Vorteil, daß man leichter als bei dem oben verwendeten Feldbuch z. B. Notizen über Boden- oder Gesteinsbeschaffenheit aufnehmen kann. Eine solche Skizze eines über einen kleinen Wasserlauf führenden Profils ist in Fig. 448 angegeben; die verpflockte „Aufnahmslinie“ (Polygonseite, Achse) liegt am Rand eines Fußwegs, die verwendete Latte war 4 m lang. Der Punkt (3,70, 1,65)

cm

(Vor- und Rückblick auf den Wechselpunkten klar

am Bachrand ist Wechselpunkt für .7X> von «ü aus ist auf dem Pflock 2,10 ab gelesen.

Wo gelegentlich bei solchen Nivellierungen IV. O. an der Latte auf ganz kurze Zielweiten abzulesen ist, für die der Okularauszug nicht weit genug heraus geschraubt werden kann, als daß das Fernrohr noch zur Ablesung zu benützen wäre, kann man nach Augenmaß dem Fernrohr entlang ablesen; man erhält z. B. auf 3 m Zielweite leicht das

sicher. Sichthindernisse, Bäume u. dgl., sind bei großem Zielweiten nach Zwischenpunkten hier ohne Bedeutung: die Latte wird zweimal so aufgestellt, daß

cm

etwa

(o)

L/-~ ■    - -f Lr-

0,5 m 4

7i~

3,00

-H

Fig. 449.

man links und rechts am Sichthindernis vorbei ablesen kann. Geht endlich die Zielung vor der Latte in den Boden, sieht man aber noch einige 3m vom untern Ende der Latte, so darf man die Ablesung (wenn sie nicht auf einen Wechselpunkt sich bezieht) meist schätzen, vgl. z. B. die Ablesung —0,08 bei 21m rechts bei 5 + 4° oben; ebenso, wenn die Zielung über das obre Ende der Latte weggeht, von dieser aber noch so viel sichtbar ist, daß eine Schätzung möglich wird (5,1₆ bei 20 m links in 5+⁴⁰).

3. Aufnahme mit der Setzlatte. Wie schon erwähnt, wird die Aufnahme von Querschnitten mit dem gewöhnlichen Nivellierinstrument rasch höchst mühsam bei „steilen“ Querprofilen, d. h. wenn die Querneigung des Geländes groß ist. In diesem Pall hat man aber in der Setzlatte, einer der einfachsten Formen des Nivellierapparats, ein ausgezeichnetes Hilfsmittel, das leider nur dort leicht versagt, wo die aller 3 wv sich folgenden Wechselpunkf^e nicht genügend festgehalten werden können, z. B. auf leicht verschiebbarem Sandboden, auf dickem Moos im Wald u. dgl.

a)    Die Setzlatte ist ein (meist) genau 3 m langes Richtscheit, dessen Unterkante U U an Stelle der Fernrohrziellinie bei den Fernrohrinstrumenten die Ableselinie vorstellt, Fig. 449. Diese Unterkante ist mit Hilfe einer auf dem Brett befestigten groben Längenlibelle (etwa 2') horizontal zu legen; die Anfordrung lautet also Z7Z7|| LL. Da an UU nichts geändert werden kann, so ist diese parallele Lage hier nur an den Richtschrauben der Libelle herzustellen möglich, vgl. b). Die 3 m der Latte sind durch grobe m- und -Hßm-Striche zerlegt, so daß Längen an der Latte durch Schätzung bis auf 0,1 m abgelesen werden können. Am einen Ende der Latte befindet sich ein kurzer Ansatz senkrecht zur Längsrichtung der Latte, etwa 0,5 m lang; er dient als Anschlag für den Maßstab, der hier an die Stelle der Nivellierlatte unsrer seitherigen Nivelliere tritt. Auch hier ist nämlich der zweite Teil des Nivellierapparats, der Maßstab, an dem abzulesen ist, vom Nivellier ganz getrennt; er besteht aus einem ebenfalls 3 m oder 2 % m langen gerade abgeschnittnen Stab von 3x3 oder

4x4 cm Querschnitt, der durch 3m - Ringe übersichtlich geteilt ist (alle &nm doppelter Ring, m-Striche dreifach). Fig. 449 stellt den ganzen Apparat, Latte

-    mit angerücktem Maßstab, schematisch vor. Bemalung von Latte und Maß-

-    stab ist hier nicht notwendig; die Enden können, besonders bei U U, mit

Z    Beschlag versehen sein. Die Libelle, auf der Oberkante OO festgeschraubt,

Z    ist eine Tischlibelle; eine Setzlibelle, durch Bügel gehalten, bei der Berich-

Z    tigung der Setzlatte umsetzbar, wäre für die Art der Verwendung der Setzlatte

zu wenig sicher befestigt und bei der Berichtigung nur dann von Vorteil, wenn feststände, daß OO oder vielmehr die Verbindungslinie der zwei Metallplästchen, auf denen die Libelle umsetzbar wäre, genügend genau parallel der Ablesekante UU wäre und bliebe. Man zieht deshalb vor, die Libelle aut OO festzuschrauben; zur Prüfung der parallelen Lage zwischen LL und UU muß dann eben die ganze Latte umgesetzt werden, was ebensoleicht möglich ist.

b)    Prüfung und Berichtigung der Setzlatte. Man braucht dazu zwei genügend scharf gleich hoch liegende Punkte in genau 3 m Abstand voneinander; diese

Punkte brauchen aber nicht, wie m den Lehrbüchern angegeben wird, notwendig Pflöcke oder überhaupt Punkte auf dem Boden zu sein. Viel bequemer ist die Prüfung mit Hilfe des zweiten Teils des Nivellierapparats, der Höhenlatte oder des Ablesestabs (Nivellierstabs), überall dort möglich, wo die Latte nur auf einen leidlich festen Punkt gesetzt und in 3 m Entfernung von diesem Punkt der Ablesestab genügend fest aufgestellt werden kann; es sei z. B. Z eine feste Einfriedigung Fig. 450, auf der Oberfläche A wird mit Kreide oder Ölfarbstift ein Punkt bezeichnet, auf den das eine Ende der Setzlatte gebracht wird; am andern Ende r (Anschlag) wird der Ablesestab angerückt und bei gut einspielender Libelle (Ende der Latte heben oder senken) wird an ihm der Bleistiftstrich ax an der Unterkante TJ gemacht (weil nur Dm-Teilung am Ablesestab vorhanden ist, ist der Strich vorzuziehen, die Ablesung könnte nur auf 1cm gehen, was bei der Berichtigung nicht ganz ausreicht). Nun bleibt der Ablesestab genau auf dem Punkt B stehen (Höhe sollte auf 1 oder 2 mm sicher festgehalten werden) und die Latte wird .umgedreht (punktierte II. Lage), das Ende wieder gut auf den bezeichneten Punkt A gesetzt, Libelle durch Heben oder Senken des freien En- /)-'// des der Latte wieder gut eingespielt und bei U am Ablesestab der Strich a₂ gezogen.

Stimmt a₂ mit at nicht überein, so hat die Setzlatte einen Fehler: der Punkt des auf B stehen gebliebnen Ablesestabs, der mit A gleich hoch liegt, halbiert die Strecke ax a₂; bezeichnet man ihn also und hält TJ daran an (während das zweite Ende von TJ auf A bleibt), so ist der Libellenausschlag mit der Korrektionfcvorrich-tung K der Libelle wegzuschaffen. Zur Probe nochmals umsetzen. Der Fehler der

a₂ — «i

JT

03 CG

Fig. 450.

Setzlatte vor der Berichtigung ist

• q', also z. B. für einen Abstand

2 l = 6 m

(«,₂ — a₁) = 1 cm gleich    . 3400' = 5',7. Auch wenn ein geeigneter Punkt A zum

Aufsetzen des einen Endpunkts von TJU nicht zur Verfügung steht, kann man wie angegeben verfahren: an einem Baum, einer Telegraphenstange, einer Hauswand wird ein kleiner Horizontalstrich angebracht, an dem das eine Ende von TJ mit der Genauigkeit von z. B. 2 wesentlich für diese bequeme Methode der Untersuchung ist aber die Mitverwendung des Ablesestabs. Wo die Libelle auf Metallplättchen auf 00 festgeschraubt wird, wird man bei neuer Untersuchung der Setzlatte selten etwas zu verbessern finden; trotzdem ist die Untersuchung vor jedem Gebrauch der Setzlatte notwendig. Beim Transport wird die Libelle abgeschraubt und in besondrem Kistchen verwahrt, die Latte kann mit Stäben, Meßstangen u. dgl. zusammengebunden transportiert werden. — Es ist leicht, die Setzlatte bis ,,auf 1 mm“ zu berichtigen, d. h. so weit, daß selbst bei grober Libelle die zwei Striche ax und a₂, Fig. 450, um nicht über 2 mm voneinander sind; dies entspricht einem Setzlattenfehler von 1' (= ₃₀¹₀₀ • 3440'). Die Setzlatte ist denn auch an sich (für nur eine Lage der Latte), da stets nur die Ableseweite 3 m vorhanden ist, ziemlicher Genauigkeit fähig; bei mehreren Lagen der Setzlatte wird diese Genauigkeit aber dadurch stark verringert, daß meist die ,,Wechselpunkte“ (Aufsetzpunkte des Ablesestabs) nicht scharf festgehalten werden können.

mm

angehalten werden kann in beiden Lagen der Setzlatte;

c) Der Gebrauch der Setzlatte zur Staffelmessung (vgl. 24.1.), wobei aber diesmal nicht nur die horizontalen Strecken, sondern, und zwar genauer als jene, auch die vertikalen Strecken, die Höhenunterschiede gemessen werden sollen, versteht sich

nach dem Gesagten von selbst: beim Abwärtsmessen in einem bestimmten Querprofil vom Pflock A aus z. B. ist das Ende der Setzlatte ohne Anschlag auf A zu setzen, vgl. Fig 451, die Libelle durch Heben und Senken des Endes der Latte einzuspielen, an den Anschlag der Ablesestab anzulegen und die Ablesung, 1,40, zu machen. Der Standpunkt Wt des Stabs ist nun gut festzuhalten, die Latte weiterzuschaffen, beim Neuanlegen dafür zu sorgen, daß TJU gut auf die Höhe von Wx zu liegen kommt und die neue Lage 2. in Beziehung auf die Längenmessung dem in der Grundrißskizze, Fig. 452, angedeuteten Aneinanderreihen entspricht. Gelegentlich ist es notwendig, vor der Endablesung an einer Lage der Latte Zwischenablesungen zu notieren, bei Lage 3. in Fig. 451 angedeutet. Die sämtlichen Ablesungen am Ablesestab werden auf 1

cm

Ende, sondern muß mit einem Zwischenpunkt auf den Boden gelegt werden, für den selbstverständlich die Länge zu notieren ist, bei Lage 4. angedeutet; die Ablesung am Ablesestab ist dann, im Vergleich mit dem Anfangspunkt der Setzlatte, eigentlich

gemacht. Manchmal kann auch die Setzlatte nicht mit dem

1,44-

f—j-M

2/;

lho

'1

0,63

* Fels

Fig. 451.

Ablesestab auf W-,

^^Vrtschlag

1,30

Lage 2..

Lage 1.

147

Fig. 452.

1-0,20)

1,30

V'' 'Fels

128

1,05

098

Fufsweg'

-K"

Fig. 453.

cm

der Latte bergabwärts zu vordre Ende der Latte, gemäß Fig. 452 (wobei nur die Lagen umgekehrt aufeinander folgen), zu bringen und dieses Ende nach Länge und besonders Höhe gut festzuhalten. , Irrtümer in den Längen links und rechts vom Achspflock, hinauf oder hinunter, sind bei guter Führung des Handrisses so gut wie vollständig ausgeschlossen; die gemessnen

nicht 0,63, sondern (0,63 — 0,40), es sind aber beide Zahlen einzuschreiben; so ist auch über ein kleines Hindernis wegzumessen. Die beste Art des „Feldausweises“ ist hier unbedingt eine Skizze, nicht eine Tabelle, in die die Stabablesungen einzuschreiben sind (nur für Zwischenpunkte auch die Längen) und wobei die ganze Fig. 451 noch weiter zu vereinfachen ist, z. B. wird man die Numerierung der Lagen, ebenso die der Wechselpunkte (Wt, W₂ . . .), endlich die Andeutung des Anschlags weglassen. Es sei hier als Fig. 453 noch die Skizze für die Bergaufmessung vom Pflock A in demselben Profil aus angegeben. (Bei sehr gleichförmiger Querneigung der Bodenoberfläche sind in der Tat die Stabablesungen für eine Lattenlänge bis auf wenige konstant.) Beim Bergaufmessen ist, wie beim Bergabmessen, die Anschlagsseite halten und nach Ablesung am Stab dieser rasch an das

Höhen können in ähnlicher Art gesichert werden (Kontrollnivellement in einer Parallelen zur Aufnahmslinie im Endabstand der einzelnen Profile), wie in 2. angegeben, doch wird dies als zu mühsam meist unterlassen.

Die Arbeit mit der Setzlatte scheint dem Anfänger überaus roh zu sein, ist es aber in Wirklichkeit im einzelnen nicht, s. oben; die Genauigkeit ist fast nur abhängig von der Sicherheit, mit der die Wechselpunkte des Ablesestabs festgehalten werden können. Ist + wi der m- F., mit dem dies bei der Anlage einer einzelnen Lattenlage geschehen kann, so hat man nach n Lagen der Latte, also in 3«m Entfernung vom Achspflock, den m. F. des Höhenpunkts von

m = wq Yn

hat man nach 10 Lattenlagen = 30 m Querprofilstrecke von der Achse

(]/l0cm) zu be-

zu befürchten. Auf festem bloßem Boden ohne Graswuchs u. dgl. ist m₁ unter 1cm; mit ml = + 1 cm

cm

aus einen Höhenfehler (gegen den Achspflock) von erst 3 bis 4 fürchten. Auf grasbewachsnem Boden steigt freilich m₁ sofort stark; auf leicht beweglichem Sandboden und auf dick moosbewachsnem Waldboden kann, wie schon erwähnt, die Methode ganz versagen. Im allgemeinen aber ist bei großen Querneigungen in der Linie von Querschnitten die Staffelmessung mit der Setzlatte ausgezeichnet: einfach, keine längre Ausrechnung erfordernd, genügend genau. Man braucht nur drei Leute, kann ausnahmsweise sogar mit zwei auskommen, während bei der Aufnahme mit dem Nivellier fast immer vier Leute zusammen arbeiten

müssen, einer am Instrument, einer als Lattenträger, zwei zur Längenmessung; die Methode kann für den angegebnen Fall durch keine andre auch nur annähernd ebenso einfache ersetzt werden, ist z. B. auch durch tüchtige Meßgehilfen ausführbar, nachdem sie nur pünktlich ablesen und aufschreiben gelernt haben. Jedenfalls kann das Verfahren, die Querprofile mit dem gewöhnlichen Nivellier aufzunehmen, auch bei Anwendung einer möglichst langen Latte mit der einfachen Setzlattenmessung nicht in Konkurrenz treten, sobald die Höhenunterschiede in den einzelnen Querprofillinien groß werden; umgekehrt soll man nicht Querprofile in ganz flachem Gelände mit der Setzlatte messen, weil hier die Fernrohrziellinie mit beliebig langen Ableseweiten viel bequemer ist.

Auf Besonderheiten, z. B. Querprofile über Felspartien weg, gehen wir hier nicht

weiter ein.

1. All-

112. Ausarbeitung und Aufträgen von Querprofilen, gemeines. Im Gegensatz zu Längenprofilen trägt man Querprofile nicht „überhöht“, sondern in natürlicher Form auf, nach demselben Maßstab für Längen und für Höhen; und zwar wird dieser Maßstab sehr groß genommen, weil alle Einzelheiten der Bodenneigung in den Querschnitten deutlich erkennbar sein müssen und damit auch die Querschnitte des Ingenieurbauwerks, zu dessen Herstellung die Profile dienen sollen, mit allen Einzelheiten, Gräben u. dgl., noch scharf aufgezeichnet werden können. Man wählt als Maßstab der Querprofile meist 1 ; 100, 1 m Feldlänge durch 1 cm auf dem Papier dargestellt, nur sehr lange Querprofile werden auch in 1 : 200 dargestellt.

Dabei werden meist auf einem Blatt mehrere bis zahlreiche Querschnitte in nur Abstand untereinander gezeichnet, so daß die Achspfföcke oder die ihnen

wenigen

entsprechenden Punkte in derselben Vertikalen des Zeichenblatts liegen. Vielfach und zweckmäßig verwendet man jetzt zum Aufträgen Profil muß deutlich die ihm zukommende Bezeichnung (z. B. 5 + 20; 14+12S) tragen, der Achspflock muß angedeutet und dessen Höhe („Pfl. H.“) nach Maßgabe des Längenprofils muß beigeschrieben sein. Die Achse (Pflocklinie) ist in den untereinander

cm

-Papier. Jedes einzelne

stehenden Profilen noch durch einen Vertikalstrich hervorzuheben, der durch jede Profilfläche geht, ferner ist in jedes Profil ein „runder Meterhorizont“ als horizontale Linie einzutragen mit Beisetzung der N. N.-Höhe oder der Höhe gemäß der an-genommnen Höhe des Anfangspunkts. In die Querprofile werden, wieder im Gegensatz zum Längenprofil, die Höhenzahlen oder abgelesnen Maße für die einzelnen Profilpunkte nicht eingetragen.

Über links und rechts beim Aufträgen der Längenprofile s. 111. 1.: links und rechts gilt stets für einen in der Richtung der fortschreitenden Nummerierung des Längenprofils sehenden Beobachter; bei Fluß- oder Bachquerschnitten liegt das linke Ufer also in der Zeichnung links.

2. Bei Querprofilen, die mit dem Nivellier aufgenommen sind, kann man unterscheiden, ob auf Zeichenpapier oder auf mm-Papier aufgetragen werden soll.

a)    Im ersten Fall (Zeichenpapier) trägt man am besten (der Anlegekanten-maßstab genügt stets) den Horizont des Instruments, oder bei Umstellung des Nivelliers die Horizonte, von der willkürlich auf der vertikalen Achsenlinie an-genommnen Pflockhöhe aus, der Ablesung gemäß, als horizontale Gerade auf und trägt nun von dieser Sichthöhe aus, an den durch die Längenmessung bezeichneten Punkten, die Ablesungen auf allen übrigen Punkten nach unten ab; vgl. z. B. die Skizze Fig. 448 oben: man geht dort von dem als Pflock angenommnen Punkt um 2,10 m (= 2,10 cm in 1 : 100) nach oben, zieht die Ziellinie des Fernrohrs, trägt auf ihr gegen links die Entfernungen 1,8; 2,0; 4,8; 10,5 ab und in diesen Punkten die Strecken 2,05; 1,73; 1,28; 0,20 nach unten; ähnlich nach rechts bis zu 12,2m Entfernung. Der Horizont der zweiten Aufstellung liegt um (3,70 — 1,65) = 2,05 m unter dem ersten linken Horizont; von ihm aus sind bei 14,3; 16,3; 17,8 . . . die Ordinaten 1,82 und 1,92; (1,82 und) 2,01; 1,23 . . . nach unten abzutragen. Die „runde“ Meterhöhe in dem Profil ist durch HerabmeBsen eines geeigneten Maßes vom Pflock aus (dessen Höhe aus dem Längenprofil bekannt ist) aufzutragen; hat z. B. der Achspflock in Fig. 448 die Höhe 273,15, so mißt man von ihm aus 3,15 oder besser 4,15cm herunter, um die Horizontale 270,00 oder 269,00 zu erhalten (man legt diesen runden horizontalen Meterstrich für die Höhen in den Profilen gern etwas unterhalb aller Punkte des Profils. Man muß sich hier wieder davor hüten (vgl. 105. 4.), den Horizonten (Visurhöhen) tatsächlich die Höhenzahlen beilegen zu wollen, die sie, falls sie ausgerechnet werden, erhalten; z. B. würde hier der Horizont links lauten 273,15 -f- 2,10 = 275,25, die Zahl 'ist aber nur dann richtig, wenn der Aufsetzpunkt der Latte mit ihrem Teilungsnullpunkt zusammenfällt, was, wie wir wissen, in der Regel nicht der Fall und auch keineswegs notwendig ist, die Horizonte können um eine beliebige konstante Zahl verschoben sein.

b)    Sollen dagegen die Profile auf mm-Papier aufgetragen werden, so ist es viel bequemer, alle Ordinaten auf Grund berechneter Höhen (z. B. N. N.-Höhen) von unten nach oben auftragen zu können gemäß den Netzlinien des Papiers. Jede horizontale cm-Linie ist eine runde 1 m-N. N.-Höhenlinie; nach Ausrechnung sämtlicher Höhen, wie im Schema S. 726, trägt man diese Höhenzahlen nach den an diese cm-Linien mit Bleistift angeschriebnen Nullhöhen ohne Zirkel bei den ebenfalls ohne Zirkel für die horizontalen Strecken aufgesuchten Punkten auf (bei 1 mm-Papier ist für den Maßstab 1 : 100 der kleinste im Liniennetz unmittelbar gegebne Teil 1 3m, bei 2 mm-Papier 0,2 m). Diese zweite Art des Auftragens ist trotz der kleinen Mühe der Ausrechnung der Punkthöhen rascher und bequemer als die vorige, bei gutem

-Papier, wie es jetzt überall zu bekommen ist, meist auch genauer. Sodann ist für die auf die Querprofile meist sich gründende Flächenberechnung nach der Methode von 43. 6. mit Fig. 147 in den vertikalen cm-Linien des mm-Papiers unmittelbar vorgesorgt, was äußerst bequem ist, während bei der vorigen Methode erst ein auf Pausleinwand u. dgl. gezeichnetes 1 cm-Parallelensystem über den Profilen befestigt werden muß.

3.    Für Querprofile, die mit der Setzlatte auf genommen sind, ist die Liniierung -Papiers nur für die Längen links und rechts von der Achse hinaus bequem,

des

-Papier

Ab-

cm

für das Aufträgen der Höhen nützt sie, ohne Addition der „Abstiche“ am Ablesemaßstab, nicht viel. Immerhin ist aber auch hier die Benützung von bequemer als die von Zeichenpapier. Will man auf solches auftragen, so ist zu raten, vor allem die ganze Zeichenfläche mit parallelen Senkrechten in je 3 stand (je einer Lage der Setzlatte entsprechend) zu überziehen, am besten durch 3 cm-Einteilung am obern und untern Rand. Die Bemerkung am Schluß von 2. über die Profilflächen gilt natürlich auch hier.

4.    Für die Ausführung der Reinzeichnung sind im allgemeinen dieselben Vorschriften gültig wie für das Längenprofil, vgl. 110. 5. Im Lageplan sind die Querprofile durch feine Linien anzudeuten, die die Achse in den Pflöcken oder sonstwie bezeichneten Stationspunkten schneiden; dabei soll die Ausdehnung dieser Striche zu beiden Seiten der Achse auch der tatsächlichen Ausdehnung der Profilaufnahme etwa entsprechen. Die Querprofillinien im Lageplan müssen ferner selbstverständlich den Richtungen der Profile genau entsprechen, im allgemeinen stets senkrecht zur Grundrißlinie des Längenprofils (in Bögen dieser Linie also z. B. radial), in Brechungspunkten gerader Strecken des Längenprofils in der Winkelhalbierenden; außen an jede Querprofillinie ist die Nummer deutlich anzusetzen. In der Zeichnung der Querprofile selbst, 1: 100, ist die Schnittlinie mit der Boden Oberfläche mit ziemlich starkem schwarzem Strich zu zeichnen, und es wird in der Regel längs dieser Linie leichte braune Bemalung (Sepia; zwei verschieden tiefe Töne oder Verwaschung u. dgl.) angewandt. Ferner gelten auch hier im allgemeinen überall die Vorschriften: Bestehendes schwarz zu zeichnen, Projektiertes (Linien und Zahlen) rot, auf Wasser sich Beziehendes blau; Abtragsflächen (Ein- und Anschnittsflächen) in Süddeutschland lichtgelb, in Norddeutschland grau, Auftragsflächen (Auffüllungsflächen) lichtrot anzulegen. Die (einfarbige) Zeichnung einiger Querprofile ist bereits in Fig. 146 gegeben.

In Württemberg ist in der in 110. Schluß genannten Verordnung u. a. die Vorschrift gegeben, die Querprofile „so genau aufzuzeichnen, daß die Profilfläche erforderlichenfalls auf graphischem Wege“ (ein andrer Weg als der graphisch-mechanische von Nr. 48. 6., Fig. 147 kommt kaum in Betracht) „mit der nötigen Sicherheit ermittelt werden kann“. Diese Mahnung sollte sich besonders auch an die Aufnahme der Querprofile wenden, die häufig mit zu wenig Punkten in den Profillinien gemacht wird.

113. Flächennnivellement. 1. Allgemeines. In 1)7. 2. d) ist angegeben, daß der seither allein betrachteten Nivellierung von Linien, oder von Punkten an Linien, die Einwägung von Flächen gegenüb ersteht, deren Ergebnis ein „Höhenlinienplan“ des eingewognen Stücks der Bodenoberfläche ist. Diese Höhenlinien, Verbindungslinien von Punkten gleicher runder Höhe, werden fast immer erst nachträglich im Plan konstruiert, nachdem dieser mit einer genügenden Zahl eingeschriebner Höhenpunkte (Höhenknoten) versehen, „kotiert“ ist; nur selten werden die Höhenlinien direkt im Feld abgesteckt und darauf oder gleichzeitig zum Einträgen in den Plan aufgenommen („französische“ Methode).

Es handelt sich also fast stets darum, einen Plan des mit Flächennivellement zu versehenden Stücks topographischer Fläche mit einer Anzahl von Höhenpunkten zu beschreiben, die regelmäßig darauf verteilt sind oder längs bestimmter Geraden (Profillinien) liegen oder endlich noch häufiger regellos darauf zerstreut sind. Die aus Flächennivellierungen hervorgegangnen Höhenlinienpläne sind als Grundlagen vieler Projekte des Bauingenieurs ganz unentbehrlich; auch zu Erdmassenberechnungen im Hochbau werden sie (neben Längen- und Querprofilen) verwendet. Es wird heutzutage kaum ein Eisenbahnbau mehr entworfen, ohne daß über das ganze für die „Trasse“ und ihre „Varianten“ allenfalls in Betracht kommende Gebiet ein Höhenlinienplan oder wenigstens eine Höhenlinienkarte großen Maßstabs vorhanden wäre, während früher, zu Beginn des Bahnbaus genau wie im Straßenbau immer nur Längen- und Querprofile zugrund gelegt wurden und man nur zögernd auch für technische Zwecke den naheliegenden Schritt tat, in diesem Rost der Linien eines Längenprofils und der zugehörigen Querprofile auf dem Plan die Punkte mit derselben runden Höhe durch besondre Linien miteinander zu verbinden, die nun das „Bodenrelief“, die Form der Bodenoberfläche, im Lageplan auszudrücken imstand sind, und ferner Methoden des Flächennivellements zu entwickeln, die bei großem Höhenunterschieden auf der zu nivellierenden topographischen Fläche raschere Arbeit gestatten als das Nivellier mit seinen horizontalen Zielungen oder sonstigen Ableselinien (Setzlatte), heute noch sind Längenprofil und Querprofile Trassierungsmittel auch für den Bahnbau; für eine Bahn, die ganz zweifellos der Linie eines Tals zu folgen hat, reichen sie manchmal auch überhaupt aus, und Erdmassenberechnungen, gerade für die Neben- und Kleinbahnen, deren Bau jetzt in Deutschland wichtiger geworden ist als der weitrer Hauptbahnen, und die sich mit Rücksicht auf die geringem zulässigen Kosten der Anlage viel enger an die gegebne natürliche Bodenoberfläche anschmiegen müssen als eine Hauptbahn, werden auch heute noch im allgemeinen stets auf Grund von (Längen- und) Querprofilen gemacht. Damit aber, daß der Bahnbau auch in immer schwierigeres Gelände vordringt, wird auch immer mehr erforderlich, daß der allgemeine Entwurf einer Bahnlinie auf ein umfassendes Flächennivellement in Form eines Höhenlinienplans gegründet wird, und es sind an die Genauigkeit solcher Flächennivellierungen für Bahnbauten ziemlich hohe Genauigkeitsanfordrungen zu stellen. Nicht gerade eine ebenso wichtige Rolle wie für den Bahnbau spielt der Höhenlinienplan für den Straßen- und Wegbau; er ist auch hier bequem, um z. B. die Steigungsverhältnisse einer (in nicht ganz ebenem Gelände liegenden) Straße festzusetzen, die genaue „Linienfestlegung“ für die Straßenoder Wegachse wird aber im allgemeinen stets auf Grund von Querprofilen, nicht auf Grund eines Höhenlinienplans gemacht. Dagegen ist der Höhenlinienplan wieder unentbehrlich beim Entwerfen ganzer Weg-netze, wie sie bei Bewirtschaftung von Waldkomplexen und Felddistrikten, besonders auch bei Feldbereinigungen auf dem Land, für Stadtbaupläne auf städtischem Gebiet Vorkommen. Endlich spielen Höhenlinienpläne eine wichtige Rolle im Wasserbau, bei Meliorationsarbeiten (Ent- und Bewässrungsanlagen; dabei werden oft sehr genaue Höhenlinienpläne gebraucht), bei Anlage von Sammelweihern usf.

Auch

Diesen technischen Verwendungen von Höhenlinienplänen als den Ergebnissen von Flächennivellierungen stehen wissenschaftliche und andre Verwendungen solcher Pläne und von topographischen Karten großen Maßstabs mit Höhenlinien gegenüber; z. B. ist heutzutage eine ins einzelne gehende geologische Untersuchung und Kartierung oder eine bodenkundliche Untersuchung eines Landes oder Distrikts anders als auf Grund einer Höhenlinienkarte gar nicht mehr denkbar.

Man kann technische und topographische Flächennivellierungen unterscheiden, (wie der Yerf. schon vor mehr als 25 Jahren die sog. Tachymetrie, eines der wichtigsten Mittel des Flächennivellements, in einen technischen und in einen topographischen Teil zu trennen vorgtschlagen hat). Es ist ferner bereits angedeutet, daß jetzt alle Arten der Höhenmessung für das Flächennivellement nutzbar gemacht sind: Ausführung mit dem Nivellier, trigonometrisch (oder besser halbtrigonometrisch, da die horizontalen Entfernungen im Plan gegeben vorausgesetzt werden), tachymetrisch (die Höhenmessung bleibt trigonometrisch, es ist aber zugleich mit der Höhe der Punkte auch ihre Lage, nämlich horizontale Entfernung und Richtung vom gegebnen Anfangspunkt aus zu bestimmen) und photo gramm etrisch (Phototopographie und Stereophotogrammetrie sind besondre Zweige der Tachymetrie);. auch die barometrische Höhenbestimmung ist für Nivellements auf topographischen Flächen mit großen Höhenunterschieden (besonders für die Zwecke topographischer Kartierung, aber auch bei technischen Flächennivellierungen im Sinn von Voruntersuchungen für Eisenbahnlinien u. dgl.) wertvoll.

Alle diese Arten von Flächennivellements ausführlich zu beschreiben wird die wichtigste Aufgabe des II. Bandes dieses Buchs sein. Für den vorliegenden ersten Teil müssen wir uns beschränken auf die Anwendung des Nivellierinstruments zur Ausführung des Flächennivellements. Dabei setzen wir aber im allgemeinen kleine Höhenunterschiede auf der zu nivellierenden Fläche voraus, da im andern Fall die Anwendung der horizontalen Ziellinie recht mühsam wird.

zusammen-

man

Auch mit diesen Beschränkungen sind viele Fälle und Besonderheiten dea Flächennivellements zu unterscheiden; es kommt z. B. in Beziehung auf die Grundlagen des Flächennivellements auf die Größe der Fläche an: jene Grundlagen müssen andre sein, wenn die Fläche nur einige £<x oder wenn sie mehrere oder viele <jHm umfaßt. Es kommt ferner darauf an: ist etwa schon ein Lageplan der zu nivellierenden Fläche vorhanden, der reichlich Punkte enthält und wobei die diesen Planpunkten entsprechenden Punkte in der Natur (Grenzsteine, Kulturgrenzpunkte, Wegpunkte, Gebäudeecken usf.) leicht aufgefunden werden können? Oder trifft dies nicht zu, ist aber wenigstens z. B. die Begrenzung eines großen hängenden Stücks, das mit dem Flächennivellement versehen werden soll, und in dessen Innern nur keine weitern Lageanhaltspunkte vorhanden sind, auf einem Lageplan verzeichnet? Oder endlich, ist überhaupt nichts von einem Lageplan vorhanden? Im ersten der drei aufgezählten Fälle ist die Aufgabe des Flächennivellements im allgemeinen eine reine oder fast reine Höhenmessungsarbeit, für die die Lagemessung bereits erledigt ist; im zweiten Fall ist zwar die Lage der einzuwägenden Punkte mit zu bestimmen, dies aber auf sehr einfachem Wege möglich; im dritten Fall endlich handelt es sich in der Tat um ein tachymetrisches Verfahren, Bestimmung von Höhe und Lage von Punkten zugleich, u. U. mit Anwendung eines „Nivelliertachymeters“, vgl. 99.3. d); dieses Instrument, auf dessen Theorie („entfernungsmessendes Fernrohr“) erst im Band II eingegangen werden kann, leistet auch gute Dienste für den Fall, daß überhaupt das Flächennivellement nicht durch beliebig zerstreute oder in Profilen angeordnete Punkte ausgeführt werden soll, sondern daß die Höhenlinien im Feld abgesteckt und dann oder gleichzeitig aufgenommen werden sollen. Diese Art des Flächennivellements, in größrem Umfang zuerst in Frankreich üblich und deshalb am besten als französische Methode des Flächennivellements zu bezeichnen, kann unter Umständen zweckmäßig, ja allein brauchbar werden, wenn auf Geländeabschnitten mit verhältnismäßig sehr kleinen Höhenunterschieden der Bodenoberfläche doch die Höhenlinien möglichst genau braucht.

Bleiben wir zunächst bei den vorhin aufgezählten drei Möglichkeiten in Beziehung auf Vorhandensein oder Nichtvorhandensein eines Plans, setzen kleine oder mäßige Höhenunterschiede voraus, so daß die Arbeit mit horizontaler Ziellinie des Fernrohrs nicht zu mühsam wird, und nehmen wir endlich an, es handle sich um

eine Fläche von nicht sehr großem Umfang, z. B., um bestimmte Vorstellungen zu haben, einigen Aa bis zu einer großem Anzahl von Aa, z. B. bis 50 Aa = ^ <jAm oder dergleichen. Dabei sei zunächst

2. ein Lageplan vorhanden, in dem reichlich Punkte (besonders Grenzsteine) eingetragen sind, die sich auf dem Feld leicht auffinden lassen. Es handelt sich dann nur darum, für eine genügende Anzahl dieser Punkte (Bodenüäche bei diesen Punkten) die Höhen, z. B. über N. N., festzustellen; werden diese Höhen in den Plan eingeschrieben, so kann man die Höhenlinien konstruieren. Auf freiem Feld und im Wald genügt für viele Zwecke als Maßstab des Plans 1 :2500, selbst 1:5000, z. B. sind diese Maßstäbe bequem beim Entwurf von Bahnlinien und von Wegnetzen; beide Maßstäbe sind hier hervorgehoben, weil in zwei deutschen Staaten lithographisch vervielfältigte zusammenhängende Flurpläne des ganzen Staatsgebiets in diesen Maßstäben vorhanden sind, in Württemberg die „Flurkarten“ 1 : 2500 (Probeausschnitte in den Figg. 111 und 112 angegeben), in Bayern die „Steuerblätter“ 1:5000; Teile von Deutsch-Österreich haben solche Pläne in 1:2880 (vgl. 36. S. 158), ebenfalls lithographisch vorrätig. Wenn Abdrücke dieser Lagepläne käuflich zu haben sind, wie in den angegebnen Beispielen, so ist damit dem Flächen-nivellement bedeutend vorgearbeitet; nicht ganz so bequem ist die Vorbereitung, wenn ausführliche Lagepläne vorhanden, aber nicht vervielfältigt oder nur in wenigen Exemplaren vervielfältigt sind, sondern erst kopiert werden müssen (z. B. Baden 1:1500, Preußen meist in 1:2000); Stadtpläne haben, wie 36. angeführt (Fig. 113 und 114, Beispiele aus Stuttgart) meist größre Maßstäbe, 1:1000, 1: 500 und noch größer.

cm

Mitten durch die mit Flächennivellement zu versehende Fläche führt man nun zunächst ein an die benachbarten N. N.-Höhenfestpunkte angeschlossnes Längen-nivellement, gesichert durch Anschluß auch am Ende oder durch Hin- und Zurücknivellierung oder wenigstens durch Wendelatte (vgl. 107. 2. b)) auf einer dazu sich eignenden Linie, einer Straße, einem guten Weg u. dgl. Dieses „Vornivellement“ ist eine Festpunkteinwägung und nach Bedarf als Nivellement II. 0. oder III. O. auszuführen; es liefert an seiner Linie eine Anzahl von „Festpunkten“, die übrigens als solche nur solange zu dienen brauchen, als zur Messung der Flächeneinwägung Zeit gebraucht wird. Es können deshalb auch an sich nicht gerade gut versicherte Punkte als solche Festpunkte dienen, gewöhnliche Marksteine an dem nivellierten Weg (stets den höchsten Punkt des Marksteins als Festpunkt nehmen!) oder bezeichneter Punkt auf Dohlendeckel, sogar Hektometersteine an der nivellierten Straße (die übrigens meist erst in den Plan einzutragen sind) u. dgl. Die ermittelten N. N.-Höhen dieser Punkte, auf die sich nun das Flächennivellement zu stützen hat, sind, auf 1 abgerundet, vor Beginn der Flächeneinwägung in den Lageplan einzutragen, am besten in blauer Farbe; die eingewognen Punkte werden mit blauen Ringen umgeben (z. B. Marksteine), oder mit Bezeichnungen □ , A u. dgl. gemäß eingeschnittnen Zeichen versehen und die Höhenzahl blau daneben gesetzt. Besondre Beschreibung des Punktes, auf dem Kartenrand am besten unterzubringen, ist in manchen Fällen erwünscht. Die Höhenzahlen dieser „Festpunkte“ sind allenfalls zu unterstreichen (um sie eben als solche hervorzuheben); bei Bodenhöhen, die längs der Linie des Vornivellements ebenfalls z. T. gleich mitgenommen werden können, z. B. Straßenmitte bei Am-Stein .. . oder Am-Stein . . ., Bodenoberfläche bei einem Markstein (der z.B. mehrere 3m hoch sein kann; am Waldrand kommen oft Marksteine von 1 m Höhe vor), werden die Höhenzahlen, in der Regel auf 1 3m abgerundet, ebenfalls gleich blau mit eingetragen. Bei großen Flächen, die wir aber hier vorläufig ausgeschlossen haben, reicht eine solche Nivellementslinie nicht aus, sondern es ist ein Netz von Nivellementslinien II. und III. 0. als Voreinwägung über die zu nivellierende Fläche zu legen und im Anschluß an die nächstgelegnen Höhenfestpunkte feinrer Nivellierungen auszugleichen, vgl. 98. 5. und 107. 5.. Auf die Höhenpunkte dieses oder dieser „Vornivellements“ stützt sich nun die Flächeneinwägung.

Abteilungen bilden.

Sie wird am besten von drei oder vier Leuten ausgeführt, die zwei getrennte Der Beobachter am Instrument hat fortwährend Latten-

ablesungen zu machen und es ist zweckmäßig, wenn er sie einem Schreiber diktieren kann; diese beiden bilden die „innere Abteilung“ I, die sich im Notfall also auch auf den einen Beobachter und Schreiber reduzieren kann. Die „äußre“ Abteilung II besteht aber jedenfalls aus zwei Leuten, dem Kartenführer und dem Lattenträger. Der Kartenführer hat den Lattenträger anzuweisen, auf welche Punkte die Latte zur Ablesung zu setzen ist; er hat diese Punkte in die Karte einzutragen, allenfalls einzuschreiten (s. u.) und mit fortlaufenden Nummern zu versehen, die mit der fortlaufenden Numerierung der Punkte im Feldbuch, das bei I geführt wird, übereinstimmen müssen. Zwischen I und II muß mit Pfeifen oder Hupen (an Knopf des Rocks anhängen, wie auch Bleistift) eine Verständigung hergestellt werden; Rufen reicht hier nicht aus, da man auf möglichst große Entfernungen rund um den Instrumentenstand herum, in einzelnen Richtungen in denen es angeht bis auf 250, 300 m und noch etwas darüber ablesen will. Wichtige Regel muß, um die Übereinstimmung der Numerierung im Feldbuch und im Plan zu sichern, vor allem sein, daß vom Instrument (I) aus nicht abgelesen wird, bevor II signalisiert (durch kurzen Pfiff): Latte ist zur Ablesung aufgestellt, ablesen! Diese Ablesung soll dann auch von I rasch gemacht werden. Von weitern Signalen braucht man von II zu I nur noch eins: kurzer Doppelpfiff bei jedem Punkt, dessen Ordnungsnummer durch 5 teilbar ist (5, 10, 15 . . .) um sich von der wirklich erreichten Identität der Numerierung der Punkte auf dem Plan und im Feldbuch zu überzeugen. Dieses Signal wird beim Abrufen der Latte von I zu II (jedesmal sofort nach Ablesung eines Punkts kurzer Pfiff, ab!), Latte weitergehen, bei jedem Fünferpunkt in derselben Weise (zwei kurze Pfiffe) wiederholt. Im übrigen bedeuten von I zu H: vier kurze Pfiffe: man kann an der Latte unten nicht mehr ablesen, oder wegen Sichthindernis nicht ablesbar; Latte anders (besonders tiefer) stellen, der eben von der Latte ver-lassne Standpunkt ist nicht zu numerieren; zwei lange Pfiffe: man kann oben an der Latte nicht mehr ablesen, die Ablesung ist aber möglich, wenn die Latte 1 m hochgehalten wird (vgl. sogleich das Nähere) und die Punktnumerierung gilt demnach; drei lange Pfiffe: Latte soll auf diesem Punkt bleiben und allenfalls vor der Ablesung etwas fester aufgestellt werden, der Punkt wird als Wechselpunkt benützt. Derartige kurze akustische Signalverständigung erleichtert und fördert die Arbeit sehr, schon auf verhältnismäßig kleinen Flächen; wenn auch nur 200 Höhenpunkte aufgenommen werden sollen, ist sie nicht zu entbehren, mit Rufen (versagt schon auf 200 m und noch kleinre Entfernungen, z. B. gegen leichten Wind) oder Winken kommt man nicht vorwärts. Die Signale üben sich auch sehr rasch ein.

Bei nicht ganz geringen Höhenunterschieden ist das eben erwähnte gelegentliche Hochhalten der Latte um 1 m sehr wichtig. Man mißt bei Beginn der Arbeit am Lattenträger 1 m herauf und sagt ihm, auf das Zeichen: zwei lange Pfiffe (Latte hoch!) wird die Latte bis zu diesem Punkt emporgehoben. Der Kartenführer muß dabei behilflich sein, die Latte in dieser Lage zu halten; am Instrument ferner muß man, wenn das Zeichen notwendig wird, bestrebt sein, möglichst rasch abzulesen, damit der Lattenträger in der unbequemen Stellung (die aber bei einigen °/₀ der zu messenden Punkte ihm ohne weitres zugemutet werden darf) nicht lange aushalten

muß. Man schreibt dann, sobald das Zeichen--gegeben ist, 1 m Ablesung mehr

auf, als man macht, z. B. bei 4 m langer Latte, an der oben 3,98 abgelesen ist, gleich 4,98. Man kann so die Latte gelegentlich um 1 m verlängern, ohne daß man tatsächlich ein entsprechendes Verlängrungsstiick mitzunehmen braucht.

Die Latte ist bei kleinen Höhenunterschieden auf der zu nivellierenden Fläche auch hier 4 m lang, bei großem Höhenunterschieden mit einem Aufsatzstück von 1 m versehen, auf dem die Lattenbeziffrung in richtiger Weise fortgehen muß. Da es sich hier ausschließlich um Nivellierung IV. O. handelt (alle Ablesungen auf 1 cm),

47

Hammer: elementare praktische Geometrie.

man wird also bei der gemachten Annahme (2 cm) eine 20"-Libelle des Ni-velliers auf einige Striche

Fig. 454.

2 Striche 1 Strich 1 Strich

IM

/V

\Jm

so kann die Latte leicht sein und es geht sogar mit der fünf m langen Latte an, sie auf einzelnen Punkte, die man sonst nicht erreichen könnte, lm hochhalten zu lassen. Der Verf. hat auch schon 4 m lange Latten lx/₂ m hochhalten lassen (wieder besondres Signal), doch ist dies schon bedeutend schwieriger und nur von zwei Leuten zu machen. Die Latte wird überall ohne Senkel oder Dosenlibelle nach Augenmaß vertikal gehalten. Die 1 Latte ist durch die 1 <W- oder besser x/₂ 3m-Latte mit grober Strichteilung und Beziffrung der Meter in großen Zahlen zu ersetzen, sobald Zielweiten über 100 m oder 150 m Vorkommen, vgl. Fig. 454, die hier von früher wiederholt wird.

cm-

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Das Instrument darf nicht zu gering sein, da man bei guter Anordnung der Arbeit auch auf große Entfernungen ablesen will, 200 m, 250 m, selbst 300 m (Erdkrümmung bei dieser Zielweite 7 mm, also hier nicht in Betracht kommend); es wären noch größre Ziel weiten gestattet, wenn nicht meist Unruhe der Luft das Ablesen zu sehr erschweren würde und nicht die Verständigung zwischen Instrument und Latte zu schwierig würde. Man braucht also ein ordentliches Fernrohr, auch wenn statt der 1 Latte die x/₂ i)m-Latte gebraucht wird, bei 250 m Entfernung ist auch für diese Latte ein Fernrohr nicht unter 20facher Vergrößrung erwünscht. (Für eine 1

Libelle soll nicht zu gering sein, damit man sie nicht fortwährend scharf einspielen lassen muß. Man hat die Genauigkeit der Horizontallegung der Ziellinie stets im richtigen Verhältnis zu der verlangten Ablesung an der Latte zu halten. Soll die Ablesung jedenfalls um nicht über 2 werden, so muß bei Zielung auf

100 m

cm-

cm

-Latte müßte das Fernrohr stärkre Vergrößrung haben.) Auch die

cm

falsch

250 m Länge

die horizontale Lage der Ziellinie hergestellt sein bis auf die Beträge von

16”,

50 m

150 m

200 m

rd. 80”

rd. 40"

27"

21"

etwas schärfer als 1 Strich

genau einzuspielen haben. Damit dieses Einspielen vor jeder Ablesung mit der erforderlichen, meist geringen Schärfe möglichst wenig Zeit erfordert, stellt man hier beim Flächennivellement, im Gegensatz zur Liniennivellierung, die Umdrehungsachse des Nivelliers bei recht fester Aufstellung des Instruments, möglichst gut vertikal. Das Instrument soll im Gegensatz zu den flüchtigen Aufstellungen bei der Liniennivellierung hier möglichst lange auf demselben Punkt bleiben und es soll nach allen Richtungen hin abgelesen werden. Zahlreiche Umstellungen des Instruments halten die Arbeit hier auf, man muß darauf achten, solche Aufstellungen zu wählen, von denen aus auf einem möglichst großen Stück der zu nivellierenden Fläche die Latte abgelesen werden kann.

Das Flächennivellement geht selbstverständlich von einem der „Festpunkte“ des Längennivellements (Vornivellements) aus, erste Aufsetzung der Latte auf einem solchen Punkt, und schließt entweder für jeden einzelnen Stand des Instruments zur Kontrolle auch auf einem solchen Punkt wieder ab (letzte Lattenaufstellung für einen Instrumentenstand), nachdem dazwischen möglichst viele Zwischenpunkte abgelesen worden sind. Es hat aber keinen Anstand, auch einige Wechsel zwischen Anfangspunkt (Höhenzahl des Vornivellements) und dem Wiederanschlußpunkt (andre Höhenzahl jener Voreinwägung) einzuschieben, auf denen etwas sorgfältiger, mit besser einspielender Libelle, abgelesen wird; nur nicht zu viele, jedenfalls nicht über 4 bis 6, da das Instrument hier oft x/₂ Stunde und länger auf demselben Stand ist. Zeigt sieb beim Wiederanschluß ein Fehler von einigen ist selbst 1 3m erträglich), so wird er einfach auf die Instrumentenstände zwischen den zwei Anschlußpunkten verteilt.

(bei vielen Flächennivellements

cm

Als Feldbuch für das Aufschreiben dient dasselbe Formular wie für Längennivellements und Längenprofile (s. S. 684), und ein Stück der Niederschrift eines Flächennivellements sieht also aus wie folgt. Die einzelnen Höhen sind bei dieser Rechnungsweise nicht geprüft, es genügt aber auch vollständig, zunächst die Wechselpunkte und die Anschlüsse zu prüfen und die ausgerechneten Höhen der Zwischenpunkte nur nochmals beim Einschreiben in den Plan zu kontrollieren. Gelegenheit zu Einträgen in die Spalte „Bemerkungen“ ist hier bei großem Flächeneinwägungen meist nicht viel vorhanden, schon weil die Ziel weiten meist zu groß sind, als daß man vom Instrument aus besondre Standpunkte der Latte sicher bezeichnen könnte.

Dem Kartenführer II fällt bei der Feldarbeit die wichtigste Rolle zu; er hat für richtige Auswahl der Punkte und ihre richtige Eintragung in den Plan zu sorgen, ferner für die im Interesse günstigen Fortschritts der Arbeit richtige Reihenfolge, in der die Punkte abzulesen sind. Wenn der zugrundliegende Lageplan

Datum 191

Wetter:

Beobachter:

Flächennivellement auf dem Plan:

Instrument: 20f. Vergr. (Lib. 25") Latte: 4 m (1 3m-Teilung)

Punkt

Lattenablesungen

Rückblick Zwischen-1 Vorblick ablesung

Horizont

Höhe

Korrekt.,

ferner

Bemerkungen (Festpkt. usf.)

oo

314,90

OfNOCOOr-COtNiOTHCOtMCMOGO X 05 (M «O 05 ^    O r|< H O »O

c© ccT ^ rjT ecT <n~ i-T r-T t-T cf of i-T cT

311,15

311,10

310,98

310,65

310,22

310,00

310,93

312,17

312.88 313,35

313.89 313,42

312.78 312,38 313,20 314,32

314.78

Pkt. Vorn.

Bachrand

Wassersp.

Wegkrzg.

Weg oben Bö.-Fuß

co

317,12

cm

§...

315,22

nicht soviel Punkte (besonders Grenzsteine an Eigentumsgrenzen) enthält, als Höhenpunkte notwendig sind, so genügt für die Situierung weitrer Punkte vielfach das Einschreiten ihrer Lage; dies wird am sichersten auf nahezu horizontaler oder auf gleichmäßig geneigter Linie zwischen feste Endpunkte hinein. Z. B. will man zwischen den im Plan gegebnen und auf dem Feld leicht feststellbaren Punkten (Steinen, auf Grund besonders von Steinlinien leicht zu finden) 8 und 12, Fig. 455, die weitern Punkte 9, 10, 11 einschalten: der Kartenführer zählt von 8 bis 12 durchlaufend seine

'6

Stejniinie

- Papiers

mm

(z. B. 80 cm) auch wirk-

cm

Schritte und trägt danach 9, 10, 11 gleich an Ort und Stelle an die richtigen Plätze des Plans ein durch Proportional-einteilung der ganzen Strecke gemäß den Schrittzahlen. Dazu ist ein kleiner Schrittmaßstab erforderlich, an der Kante eines festen Stücks rasch hergestellt und mit 5-er und 10-er Schrittstrichen versehen. Zum Ein-schalten auf beiderseits angebundnen Strecken ist dabei nicht einmal erforderlich, daß die als Schrittlänge ange-nommne Zahl

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10

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Fig. 455.

lieh die Schrittlänge des Kartenführers sei; wenn z. B. 8, 12 80 m lang ist, nach der Annahme für den Schrittmaßstab also 100 Schritt, nach der Schrittzählung aber 105 Schritt, so lassen sich durch Proportionalverteilung des Widerspruchs die Zwischenpunkte so genau an ihre richtige Stelle bringen, als eben abgeschritten werden kann. Selbst einseitiges Abschreiten auf nicht zu große Entfernungen, bis 25 oder 40 m ist hier meist nicht zu beanstanden, oft selbst mit Loterrichtung nach Augenmaß, z. B. bei 22, 23 und bei 24, 26; nur muß natürlich bei jedem solchen einseitigen Abschreiten die wirkliche Schrittlänge des Zählenden dem Kantenschrittmaßstäbchen zugrundliegen. Die richtige Auswahl der Punkte, derart, daß auf ebnem Gelände möglichst die Yerbindungsstrecken zwischen allen Nachbarpunkten genügend genau der Erdoberfläche angehören, auf etwas bewegterem Bodenrelief (aber dann ohne bedeutende Höhenunterschiede, da sonst die Anwendung des Nivelliers nicht angezeigt ist) wenigstens die in Böschungslinien der Fläche gereihten Punkte so liegen, daß zwischen zwei Nachbarpunkten die Strecke auf der Bodenoberfläche liegt, ist ein wichtiges Geschäft des Kartenführers, zusammen mit der Aufgabe, die gewählten Punkte nun auch an den richtigen Platz in die Karte einzutragen. Er darf z. B. bei Gräben nicht das eine Mal den Rand oben, das andre Mal die Sohle, muß am besten beide Punkte nehmen, ähnlich bei Uferrändern von Wasserläufen, bei Feldrainen u. dgl. Damit ist nicht gesagt, daß man in der Tat jedesmal bei solchen scharfen Unterbrechungen des regelmäßigen Verlaufs der Bodenoberfläche beide Punkte vom Instrument aus ablesen müsse, was vielfach zu sehr auf hält; vielmehr ist ein wichtiges Geschäft des Kartenführers, solche „Unregelmäßigkeiten“-, Einzelheiten, Raine, Gräben, Abbrüche sogleich an Ort und Stelle in der Karte zu skizzieren und mit Bemerkungen zu versehen: bei 27 Grabensohle 0,3 m tiefer; bei 32: Bachrand, Wassersp. v 0,45m tiefer; usf., vgl. Fig. 455: Rain 0,5m bis 0 2 m. Der Kartenführer kann so die Arbeit außerordentlich fördern und für

schärfre und charakteristischere Formen der Höhenlinien mit sorgen. — Überall handelt es sich bei den „Zwischenpunkten“ der Flächennivellements um die Bodenhöhe; die Latte ist also nicht oben auf Marksteinen (nur bei den Anschlußpunkten), sondern auf den Boden bei dem Stein zu setzen, was oft (vgl. S. 736, u.) l/i ™ und mehr Unterschied bringen und damit die Höhenlinie an dieser Stelle auf ebnem Gelände um ein ganz unzulässiges Maß fälschen kann. Die schon erwähnte richtige Reihenfolge der abgelesnen Punkte ist für den Fortschritt der Arbeit sehr wichtig; hier lautet die allgemeine Regel: den Lattenträger keinen unnützen Weg machen lassen! Nicht 100 m hinaus, dann 100m zurück und dazwischen nicht abzulesen usf.

Die Tagesleistung bei solchen mit dem Nivellier abgelesnen Punkten eines Flächennivellements bei ziemlich großer Dichte der Punkte und guter Lageplangrundlage, die nicht regelmäßig die Einschaltung von Punkten der Lage nach erfordert, ist 300, 400 Punkte und mehr; selbst Anfänger bringen 200 Punkte auf V* cf&m oder ‘/₈ <jß™ fertig (die größte Leistung einer 4 Mann - Abteilung von Studierenden, die ich notiert habe, auf der geod. Exk. 1897 war 280 auf % <jH™; Höhenunterschiede nicht ganz gering). Die Leistung läßt sich gelegentlich auf geeigneten Flächen dadurch steigern, daß zwei „äußre Abteilungen“ von demselben Instrument aus versorgt werden; es ist dies aber nur dann zu empfehlen, wenn ein besondrer Schreiber neben dem Ableser am Instrument steht, von jedem Stand des Instruments große Flächen übersehen werden können, also nur wenigemal am Tag das Instrument umgestellt werden muß, und der Ableser durch den einen Kartenführer in der Tat nicht voll beschäftigt wird. Es sind bei zwei Latten die Signale für beide und von beiden zum Instrument durch Pfeife und Hupe zu trennen, ferner ist vom Schreiber je ein Feldbuch für die Latten zu führen, was große Aufmerksamkeit erfordert.

Über das Einträgen der Punkte und die Ausarbeitung des Plans s. 114. Kaum etwas allgemein Zutreffendes läßt sich über die Anzahl der Punkte eines Flächennivellements auf bestimmter Flächeneinheit, z. B. aufs k«. oder auf 1 <jfl™ angeben. Es gibt Flächeneinwägungen (allerdings meist bei großem Höhenunterschieden, also jenseits unsres jetzigen Gegenstands), wo 100 Punkte auf 1 <f-&™ genügen, es gibt aber auch solche, bei denen man 1000 und 2000 Punkte auf 1 ft™ nimmt, sogar solche, für Pläne in großen Maßstäben, wo jeder Punkt von seinen Nachbarpunkten durchschnittlich nicht weiter als 20™, selbst 15™ und 10™ entfernt ist, was bei quadratischer Maschen anordnung 2 500 bis 5000 und 10 000 Punkte gibt. Diese großen Punktzahlen kommen dort vor, wo selbst bei ganz geringen Höhenunterschieden die Lage der Schichtlinien, mit kleinem Yertikalabstand, noch gut festzustellen ist, z. B. bei Meliorationsprojekten.

3. Nur Umgrenzung im Plan gegeben. Wir können uns kürzer über die andern Fälle fassen, da vieles für sie ebenso gilt wie für den vorhergehenden. Ist die zu nivellierende Fläche (immer bei Voraussetzung kleiner Höhenunterschiede, so-daß sich die Arbeit mit dem Nivellier lohnt) zwar in der (versteinten) Umfangsgrenzlinie gut gegeben, enthält aber im Innern keine Lageanhaltspunkte, so überzieht man die Fläche am einfachsten mit Profilen, deren Anfangs- und Endpunkte in die Umgrenzungslinie eingebunden werden, II, IIII, usf., Fig. 456, und mißt in diesen Linien, nach ihrer Ausfluchtung durch einige Stäbe, von einem Endpunkt aus mit einem Meßband die Lage von Zwischenpunkten 1, 2, 3 .... 8; 9, 10, 11 ... . ein. Die Aufnahme ist, abgesehen davon, daß zweckmäßig zwei weitre Leute zur Handhabung des Meßbands hinzukommen, wesentlich dieselbe wie im vorigen Fall, ebenso die Ausarbeitung (s. 114.), z. B. das Ziehen der Höhenlinien, von denen in Fig. 456 einige „von 0.5 ™ zu 0,5 ™“ angedeutet sind. Wenn so viele Leute nicht zur Verfügung stehen, daß gleichzeitig das Meßbandziehen in den Profilen und die Lattenablesung auf den einzelnen eingemessnen Punkten geschehen kann, so müssen diese Punkte bezeichnet und es muß erst nachher die Einwägung vorgenommen werden. Zu jener Bezeichnung sind am meisten zu empfehlen gewöhnliche Dachschindeln, weil sie in großer Menge leicht transportabel sind und wenig Zurichtung bedürfen, auch überall leicht zu bekommen sind; die Schindel ist Bodenpunktbezeichnung und Nummerbezeichnung zugleich.

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Fig. 456.

Nivell. Weg

sondern sogleich die einzelnen Höhenlinien als Verbindungslinien der Punkte gleicher runder Höhen in der Natur aufgesucht (abgesteckt) und dann zum Einträgen in den Plan aufgenommen werden. Wie die Absteckung zu geschehen hat, sei nach Fig. 456 an einem Beispiel gezeigt: es sei die Horizontalkurve 280,00 durch Stäbe zu bezeichnen; bei dem Längennivellement auf dem Weg DEFG hat sich die Höhe der Punkte F und G (wir wollen zur Kontrolle beide nehmen) F = 280,42 (höchster Punkt des Steins) G — 279,75 (ebenso) ergeben; Aufstellung des Instruments z. B. nun in .7; Latte auf F gibt Ablesung 0,78, auf G 1,46; Visurhöhe in 7 aus beiden Punkten genügend übereinstimmend 281,21. Auf jedem Punkt der „Höhenlinie“ 280,00 ist also die Lattenablesung 1,21 zu machen; Latte z. B. in H' aufgehalten, Ablesung 1,28; Ruf: 7cm höher!, Latte geht nach H", Ablesung 1,17; tiefer 4cm!; Stab!. Latte in K' gibt Ablesung 1,00, Ruf 20 cm tiefer, auf K" Ablesung 1,38, Ruf 17 cm höher, so endlich K; Stab!. Man bildet so die Linie HKL.. . mit genügend eng gesetzten Stäben.

Die Aufnahme solcher ganz „unregelmäßiger“ Linien, wie sie nun aber eine solche Horizontalkurve (wie jede „natürliche“ Linie der Bodenoberfläche) bildet, zum Einträgen in den Plan ist nur dann bequem zu machen, wenn gleichzeitig mit dem Einweisen der Punkte TT, K, L . . . auch ihre Lage und zwar durch Ablesungen von 7 aus und am Instrument 7 (Lattenablesungen und Ablesung am Horizontalkreis des mit einem solchen versehnen Nivelliers) bestimmt werden kann, wozu das Instrument durch Horizontalkreis und durch Distanzfäden im Okular des Fernrohrs zum Nivelliertachymeter (vgl. 99. 3. d)) gemacht sein muß: es muß eintachy-metrisches Verfahren, zwar mit horizontaler Ziellinie (Nivellieren) aber mit „Distanzmesser“-Ablesung der Zielweiten JK, JL, . . . durchgeführt worden und es müssen zur weitern Festlegung dieser Strahlen auch ihre Horizontalwinkel mit einem gegebnen Anfangsstrahl abgelesen werden. Dabei ist das Instrument bequemer als in Fig. 456 über einem Punkt von bereits bekannter Lage aufzustellen. Dieses tachy-metrische Verfahren mit dem entfernungsmessenden Fernrohr führt abermals über den Rahmen dieses Buchs hinaus, vgl. darüber Band II.

eingeschrieben, sonst auf ya 3m oder , selbst auf nicht stark geneigten

cm

cm

114. Fortsetzung. Ausarbeitung des Höhenplans. Umfassende Flächen-nivellements. 1. Einträgen der Höhenpunkte. Kehren wir zu der Methode beliebig oder regelmäßig zerstreuter nicht runder Höhenpunkte zurück. Vor allem sind in den Plan alle Höhen der gemessnen Punkte einzutragen, nachdem die „Anschlußfehler“ im Feldbuch auf die einzelnen Instrumentenstände verteilt sind. Beim Einträgen sind die Höhen durch Abziehen der Ablesungen von der Visurhöhe nochmals zu kontrollieren. Wenn die Lage der Punkte im Plan gegeben war (Grenzsteine usf.), so kann das Einträgen der Höhen unmittelbar geschehen, auch wenn einzelne oder zahlreiche Punkte durch Einschreiten bestimmt sind, da diese Punkte schon an Ort und Stelle vom Kartenführer genügend genau eingetragen sein werden, vgl. 118. 2. Wenn dagegen die Lage der Punkte aus Profilen oder aus einem andern Rost (Parallelen und Senkrechte) zu bestimmen ist (118., 3. 4.), so ist selbstverständlich mit dem Lageauftragen zu beginnen und erst nachher sind die Höhenzahlen dazu zu schreiben. Die Höhen werden nur bei sehr geringen Höhenunterschieden, großer Dichte des Höhenpunktnetzes und großer verlangter Genauigkeit der zu konstruierenden Höhenlinien auf 1 (meist) auf 13m abgerundet (Max. Fehler 5 Flächen u. U. leicht erreicht, je nachdem die Latte auf der einen oder andern Seite des Marksteins aufgestellt wird). Der Ort jedes Punkts wird, da es sich um „Bodenpunkte“ handelt (im Gegensatz zu den Festpunkten der Längennivellierungen; diese durch Umringelung des Marksteins, durch kleine Zeichen A oder □, falls solche auf geeigneten „Kunstbauten“ an Straßen usf. eingeschnitten sind und ähnlich bezeichnet) stets durch ein kleines liegendes Kreuz x, angedeutet; wo bei einem Markstein

u. dgl. zwei Zahlen stehen, die eine allenfalls unterstrichen, bezieht sich die größre (unterstrichne), auf 1 cm angegeben, auf den Festpunkt (Markstein oben, höchster Punkt), die zweite niedrigere, meist auf 1 <Wn abgerundet, auf die Bodenoberfläche dicht daneben. Es ist zweckmäßig, in der Farbe der Höhenpunktzahlen eines Flächennivellements die Art ihrer Bestimmung anzudeuten. Der Yerf. hat eingeführt, daß alle mit dem Nivellier ermittelten Höhenzahlen blau geschrieben werden (der allein für uns in Betracht kommende Fall), die andern rot oder grün je nach der Art ihrer Bestimmung. Mit dem Einträgen aller Höhenzahlen ist nun der Plan kotiert; in der Regel bleibt man, wie schon mehrfach angedeutet, dabei nicht stehen, sondern zieht zwischen den Höhenpunkten hindurch Linien gleicher runder Höhen, Höhenlinien, Höhenkurven, Horizontalkurven, Höhenschichtlinien oder Schichtlinien, Isohypsen, Äquidistanten, Niveaulinien oder Niveaukurven usf. genannt.

2. Diese Höhenlinien, die das „Relief der Bo den Oberfläche“ im Plan ausdrücken, sind am besten zu definieren als die Uferlinien stehenden Wassers, dessen Spiegel bis zu der den einzelnen Höhenlinien zukommenden Höhenzahl steigen würde. Man findet sie häufig auch als Schnitte von Horizontalebenen mit der Bodenoberfläche bezeichnet, doch ist diese Definition, wie wir aus der Überlegung S. 605 wissen, nur bis zu wenigen hundert Metern Ausdehnung genügend richtig. Bei größrer Ausdehnung des Gebiets muß es heißen: Schnitte der Bodenoberfiäche mit konzentrischen Kugelflächen, bei sehr großen Gebieten kommen sogar die „Abplattung“ der mathematischen Erdoberfläche und andre Umstände in Betracht, es müßte bei solchen Gebieten heißen: Schnitte von Niveau-flächen mit der physischen Bodenoberfläche. Diesen Horizontalebenen, Kugelflächen, Niveauflächen, als deren Schnitte (je nach der Ausdehnung des betrachteten Gebiets) mit der natürlichen Bodenoberfläche die Horizontalkurven entständen gedacht werden können, gibt man nun im allgemeinen gleiche Yertikalabstände, gleiche Schichthöhen und zwar wechselt dieser Vertikalabstand je nach Zweck und Maßstab des Höhenlinienplans und nach den Höhenverhältnissen auf dem dargestellten Gebiet sehr stark, von 0,2m oder 0,25m bis zu 10 m in Plänen (von 1 m bis zu 20 m in topographischen Karten großen Maßstabs). Wir haben es hier nur mit kleinern Höhenunterschieden, nämlich mit Flächennivellierung im engern Sinn, d. h. unter Anwendung des Nivel-liers zu tun; es wird deshalb auch unser Höhenlinienplan kleine Schichthöhe haben. Je weiter bei bestimmtem (rundem) Vertikalabstand (Schichthöhe, „Aquidistanz“) die Höhenkurven auseinander treten, desto flacher; je näher sie zusammenrücken, desto stärker geneigt ist das Gelände an einer bestimmten Stelle der topographischen Fläche. Ist a der Böschungswinkel eines Elements dieser Fläche an bestimmter Stelle, h die Schichthöhe, der Vertikalabstand zweier sich folgender Schichtlinien, und endlich a ihr Abstand auf dem Plan (horizontale Entfernung), in der Normalen zwischen beiden Linien (Richtung des größten Gefälls, das auf der topographischen Fläche an der betrachteten Stelle vorhanden ist; in dieser Richtung ist der Neigungswinkel a vorhanden, sie steht senkrecht auf der Richtung der Tangente an die Höhenkurve), so findet zwischen den drei Größen die Beziehung statt

(1)

tg a = oder ctg a =

mit den entsprechenden Umkehrungen. In der nebenstehenden Fig. 457 mit 1 m-Höhenlinien (h durchaus = 1 m) auf einem Stück topographischen Flächenplans 1:2500 mit nicht bedeutenden Neigungen, sind einige Werte von a in der Richtung der Linien größten Gefälls angedeutet. Auch sind in RB und in TT einige Rücken- und Muldenlinien eingezeichnet. Diese wichtigen „Geripplinien“ der Höhenkurvendarstellungen topographischer Flächen werden oft auch Höhenlinien und Tiefenlinien genannt; da beide Ausdrücke in ganz andrer Bedeutung vollständig vergeben sind, so ist ihre Anwendung für diese Linien entschieden zu verwerfen. Am

__,/•

T—370

y';'T

■*—371

ro

372    '

• 7f

-373

-374-

a 3.

-375

Fig. 457.

allgemeinsten kann mail diese Rücken- und Einsenkungslinien, oder Gratlinien [der Name paßt aber nur bei „scharfen“ Formen] und Furchlinien als Wasserscheide- und Wassersammellinien bezeichnen. Allgemein sind die Isoplethen der Meereshöhe (eben die Horizontalkurven) und die Kurvenschar der „Linien größten Gefälls“, z. B. G G, ein Orthogonalsystem (überall rechter Schnittwinkel zwischen allen Linien G G und den Horizontalen IIH). Die Strecke a = 30

Feldlänge entsprechend, gibt mit tg ax = die Neigung in dieser Linie zu ax = 0°46'; a = 15

mm

bei 1, 75 m

mm

bei 2., 37%

Feldlänge gilt tg cc₂ = oder

oder 18 m Feldlänge gibt tg a₃ = ^ = 0,056 oder

cc₃ = 3,2°. (Die Figur ist nicht ganz richtig reduziert, deshalb alle a etwas größer.)

cc₂ = 1° 31'; a₃ = 7,2

mm

Der Wert des Vertikalabstands h der Höhenlinien zur Darstellung der wenig geneigten Flächen, die für uns vorläufig allein in Betracht kommen (Anwendung des Nivelliers allein), ist je nach Zweck und Maßstab des Plans und je nach den Geländeneigungen 0,2 1 n, 0,25 m, 0,5 oder 2 m. Auf Flächen mit großem Höhenunterschieden, wo die Flächennivellements zweckmäßig nach andern Methoden auszuführen sind (vgl. oben), kommen, besonders bei abnehmenden Planmaßstäben auch viel größre h (5 m, 10 nv, 20 m) vor. Von der „Normalschichthöhe“ von 10 ausgehend kommt dann häufig auch die „halbe“ Schichthöhe 5 m, ferner die „Viertel-Schichthöhe“ 2,5 m (statt z. B. 2 m)

als Schichthöhe ist schon benützt worden, aber besser durch die 1 Schichthöhe zu ersetzen.

zur

na,

1 nt

na

Anwendung, auch 1Y₄ nv

ni-

Die Höhenkurven oder Niveaulinien, französisch courbes de niveau, englisch contour lines, sind jetzt für viele Zwecke der Darstellung der Bodenformen ganz unentbehrlich, vor allem für technische Zwecke, aber, wie schon erwähnt, z. B. auch in der geologischen Kartierung und für andre wissenschaftliche Bedürfnisse, ferner in der Topographie (u. a. zur wirklichen möglichst naturgetreuen Reliefnachbildung eines Stücks der physischen Erdoberfläche in „Stufenreliefs“).

Die Idee, Punkte der Erdoberfläche von gleicher Höhe durch Linien verbunden zu denken und diese Linien als Isoplethendarstellung jener Oberfläche in den Plan einzutragen, ist noch nicht sehr alt. Zuerst scheint sie in der Hydrographie, für Tiefendarstellung durch Tiefenlinien aufgetaucht zu sein. So hat der Niederländer Cruquius 1729 von dieser Idee Gebrauch gemacht und wenige Jahre später hat Phil. Buache der Pariser Akademie eine Karte des Ärmelkanals mit Tiefenlinien vorgelegt, auch schon den Gedanken ausgesprochen, solche Linien auch als Höhenlinien auf dem Festland zu ziehen; doch hat erst Ducarla Jahre lang nach Buache die Sache praktisch durchgeführt (1771; 1782 als „Expression des Nivellements“ im Druck erschienen, von dem spätem Ingenieur-Geographen Dupain-Triel herausgegeben, der 1791 eine erste Karte von Frankreich mit rohen Höhenlinien erscheinen ließ und auch ferner für die Sache der Höhenlinien tätig war (1804 erschienen die „Methodes nouvelles de Nivellement“). Kotierte Pläne, aber ohne die Horizontalkurven aus den Höhenpunkten zu zeichnen, waren z. B. in der Fortifikation schon seit langem üblich (z. B. Millet de Mureau, Mitte des 18. Jahrhunderts). Als etwas vor der Mitte des 19. Jahrhunderts der Eisenbahnbau begann und die Aufgabe brachte, lange Linien mit geringen Neigungen aufzusuchen und meist „Ausgleich der Erdmassen“ innerhalb bestimmter Strecken dieser Bauwerke zu erzielen, konnte die erst allein befolgte und vom Straßenbau her gewohnte Trassierungsmethode auf Grund von Längsschnitt und Querschnitten bald nicht mehr genügen, um so weniger, je mehr die Bahnlinien die Täler verließen; Höhenkurvenpläne wurden immer wichtiger. Der erste deutsche Techniker, der für den Entwurf von Eisenbahnlinien Horizontalkurvenpläne in großem Umfang benützte, war der bayrische Ingenieur Ritter von Lößl mit seinen „Isopedenreliefs“, wie er seine Pläne nach den „Iso-peden“ (= Linien gleicher Höhe in Fuß) nannte.

Der Anfänger mache sich zum Schluß dieser Einleitung über die Höhenlinien in einem Plan auch noch klar, wie eine bestimmte mittlere

Unsicherheit in der Höhe einer gewissen Horizontalkurve auf die mittlere Unsicherheit ihrer Lage im Plan wirkt.

Hach (1) ist

a = h • ctg a ,

also bei der Neigung cc der Böschungslinie an der betrachteten Stelle

(2)

(3)

da = äh • ctg cc

oder sogleich in mittlern Fehlern:

ma = + mh ■ ctg cc.

Ist also z. B. mh an der betrachteten Stelle +1 3m (wobei dieser m. F. als solcher der Bestimmung der Höhenpunkte in der Nähe anzusehen oder z, T. aus andern Fehlerquellen hervorgegangen sein mag), so ist beim Böschungswinkel

1°    2°    3°    4°    5° der m. F. in der Lage der

(L

4°

1,1 m, oder z. B. auf einem Plan

Höhenlinie mfl = 11,5 m 5,7 m 2,9 m 1,9 m 1,4 im Maßstab 1:1000 die mittlere Unsicherheit der Lage der Höhenlinien

+ 5,7

+ 1,4

+ 1,1

+ 11,5

Je flacher also da3 Gelände ist, desto unsichrer wird bei einem bestimmten Höhenfehler der Punkte die Situierung der Höhenlinien; man hat sich für jede Höhenlinie einen Streifen als Begrenzung ihrer mittlern Lageunsicherheit zu denken, dessen Breite vom mittlern Höhenfehler und besonders auch von der Neigung der Geländeoherfläche an dieser Stelle abhängt.

mm

mm

±2,9

mm

+ 1,9

mm

mm

mm .

3. Zeichnung der Höhenlinien auf dem kotierten Plan; Fertigstellung des Höhenlinienplans. Nachdem alle Höhenpunkte in den Plan eingeschrieben, dieser also vollständig kotiert ist, sind nun die „Linien gleicher Höhen“ zu konstruieren, z. ß. von 0,5 zu 0,5 oder von 1 zu 1 m bei wenig geneigten Flächen. Diese Konstruktion soll womöglich derjenige ausführen, der als Kartenführer bei der Messung des Flächennivellements tätig war und der auch seine Notizen auf der Karte am besten verwerten kann; nur bei einem sehr dichten Netz von Höhenpunkten wird ein andrer ebenso sicher die Höhenlinien zeichnen können. Es sind bei dieser Zeichnung stets die Punkte runder Höhen zwischen den tatsächlich gemessnen Höhenpunkten aufzusuchen als einzelne Punkte der gesuchten Höhenlinien, denen diese Höhen zukommen. Die Höhenpunkte auf der topographischen Fläche sollen so aufgenommen sein, daß zwischen solchen Nachbarpunkten, die wenigstens nahezu einer Falllinie (Böschungslinie) der topographischen Fläche angehören, „linear eingeschaltet“, d. h. angenommen werden kann, daß die gerade Verbindungslinie der zwei Punkte auf dem Feld mit genügender Genauigkeit ganz der Bodenoberlläche angehöre (vgl. Nachbarpunkte bei der Messung eines Längen- oder eines Querprofils, 110. und 111.). Um die Linien größten Gefälls überall ungefähr zu erkennen, ist im allgemeinen immer zu raten, die Linien gleicher Höhe auf dem Plan meist vorläufig ganz flüchtig nach Augenmaß (Anblick) durchzuziehen, indem man nur sieht, zwischen welchen Punkten die Kurve durchgehen muß, um die Linien erst nachher genauer zu konstruieren. Dies ist namentlich dann zu empfehlen oder geradezu notwendig, wenn der Zeichner der Höhenlinien nicht zugleich der Kartenführer bei der Aufnahme war.

(In den Planzeichenübungen der Technischen Hochschulen sollte z. B. eine der wichtigsten Übungen stets die Zeichnung von Höhenlinien auf einem vorgelegten gedruckten kotierten Plan sein; diese „Konstruktion“ trägt viel zum Verständnis der Geländeformendarstellung durch Höhenlinien überhaupt bei.) Z. B. für die erste rohe Zeichnung der Höhenlinien im Planstück der Fig. 458: die Linie 375 geht durch Punkt Cr, etwas unter D vorbei, dicht über F vorbei; es genügt, die vorläufigen Linien in einem Zug, ohne abzusetzen, nach dem Anblick der Punkte zu ziehen.

Durch sie hat man dann schon auf dem Plan einen ersten Überblick über das Gelände, man siehtdie„Rückenlinien“ (Kamm- oder Kuppenlinien) und die „Einsenkungslinien“ (Furchen- oder Muldenlinien), die Wasserscheide- und die Wassersammellinien, s. oben, übersieht die Flächenstücke mit „gleichförmiger“ Böschung und die Stücke mit weniger regelmäßiger Form der Oberfläche, höchste Stellen der Fläche, mit geschlossnen Höhenkurven um diese Kulminationspunkte herum, kurz man kann so entscheiden, zwischen welchen Punkten man, richtige Auswahl der Punkte bei der Aufnahme vorausgesetzt, linear einschalten kann, zwischen welchen nicht.

Die lineare Einschaltung selbst kann auf die verschiedensten Arten gemacht werden, z. B. mit dem Rechenschieber: um den Punkt X, dem zwischen (7= 376,8 und D = 375,3 die Höhe 376,0 zukommt, auf dem Plan festzustellen, legt man die Maßstabkante des Rechenschiebers an CD und findet CP = 23,5 mm; dann ist auf dem Plan

A ±376,4-

-'ÜB* 376,9

C * 376,8

-V"

37*9

U/ 0,3 mF \

-’U-r

375,0

flach

373,0

373,7

Fig. 458.

CX = 23,5 •

376,8 — 376,0

376,8 — 375,3

23,5 • ^ = 12 %

1,5

mm

oder

JDX = 23,5 •

376,0 — 375,3 376,8 — 375,3

23,5 •

_ = li

mm

zu machen.

Man hat den Vorteil, daß man keinen Zirkel und nur den natürlichen des Rechenschiebers braucht. Das Beispiel zeigt aber auch, daß man bei einiger Übung jedes Hilfsmittel nimmt im vorliegenden Fall nach Augenmaß die Mitte zwischen C und D und setzt dann X von dieser Mitte etwas näher zu D; bei Teilung der Strecke HP in Y im Verhältnis A Y: YB = 4:3 reicht gleichfalls das Augenmaß vollständig aus usf. Nicht nur also ein „geübter Topograph wird diese Hilfsmittel entbehren können“, sondern bald auch und besonders auf dicht kotierten Plänen der Anfänger; ebenso sicher aber ist, daß sich dieser und selbst der Geübtere doch immer wieder nach Hilfsmitteln zur Ausführung dieser linearen Einschaltungen umsieht. Das zeigt schon der Umstand, daß alljährlich neue „erfunden“ und mit den schönsten Namen belegt werden: Isohypsograph, Schichtensucher, Schichtlinieneinschalter, Metrostroph usf. Man kann aber allerdings nicht nur „dem einzelnen Topographen die Wahl dieser Hilfsmittel überlassen“, sondern sogar schon den Anfänger auffordern, sich selbst eine Vorrichtung dieser Art herzurichten. Es sind Dutzende von hierhergehörigen Vorrichtungen im Handel, graphischer, graphisch-mechanischer und rein mechanischer Art (die g. S. der T. H. St. hat etwa 15 dieser Vorrichtungen); trotzdem ist die Auf-

mm

- Maßstab

zu

diesen linearen Einschaltungen entbehren kann; man

fordrung an den Anfänger in mehrfacher Richtung von Nutzen. Es seien neben dem Rechenschieber, dessen Gebrauch etwas mühsam ist, nur die folgenden Verfahren erwähnt:

a)    Konstruktion von „Profilen“ (Schnitten) aus den Höhenpunkten des Plans, auf mm-Papier: an der Kante eines Papierstreifens werden an ein an der gefügt die Strecken zwischen Punkten aufgetragen, die sich ungefähr in der Richtung von Linien größten Gefälls folgen, (die Schnittlinien dürfen im Grundriß auch beliebig gebrochen sein, vgl. in Fig. 458 die punktierten Linien); trägt man in der einen Richtung der Linien des mm-Papiers diese Punkte ab und in der zweiten Richtung die zugehörigen Höhenzahlen unter Zugrundlegung eines bestimmten Höhenmaßstabs an der Hand der cm- und mm - Linien (rasch beziffert) und verbindet diese so erhaltnen Schnittpunkte durch eine „stetige“ Kurve, so hat man in den Schnitten dieser Linie mit runden Horizontallinien (z. B. cm-Linien) die gesuchten Punkte, u. U. parabolisch (oder höher und damit besser) eingeschaltet als durch die rein lineare Einschaltung. Die Methode ist an sich gut, besonders z. B. dann, wenn stark und regelmäßig gerundete Formen durch verhältnismäßig wenige Höhenpunkte aufgenommen sind und deshalb die Voraussetzung nicht genügend zutrifft, daß die geraden Verbindungsstrecken zwischen Nachbarbodenpunkten, in ungefähr derselben Linie größten Gefälls, ganz der Bodenoberfläche angehören. Sie hat ebenfalls den Vorteil, daß man keinen Zirkel braucht und keine Zirkelstiche auf dem Plan erhält; aber sie ist ziemlich umständlich anzuwenden und deshalb praktisch kaum im Gebrauch.

b)    Ein mit Recht beliebtes Mittel zu dieser linearen Punkteinschaltung ist das Strahlendiagramm, Fig. 459, dessen Linien den Punkt 0 mit gleichabständigen Punkten auf FC1 OA oder in beliebiger Richtung (zu diesem Nullstrahl) verbinden; an beliebigen Stellen, zweckmäßig aber wieder gleichabständig, sind Senkrechte zu OA (oder allgemeiner Parallelen zv.BC) durchgezogen, die nur den Zweck haben, den Zirkel an beliebiger Stelle genügend genau J_ OA (allgemeiner || BC) stellen zu können. Um nun z. B. die Strecke MN des Plans, an deren Endpunkten die Höhenzahlen 31 = 374,8 und N = 375,5 stehen, in X so zu teilen, daß diesem Punkt die Höhe 375,0 zukommt, ist AX : XB = 0,2 : 0,5 = 2:5 zu machen, 31N mit dem Zirkel also || BC so in das Diagramm zu stellen, daß der eine Zirkelfuß im Nullstrahl, der zweite auf 7 steht (vgl. Fig. 459), die Strecke MX reicht dann vom Nullstrahl bis zum Strahl 2.

Fig. 459.

Das Zeichnen eines solchen Diagramms ist das Werk einiger Minuten, die richtige Lage des Zirkels beim Einstellen in das Diagramm ist ebenfalls sehr rasch zu finden und der einzige Vorwurf, den man dem Diagramm machen kann, ist der, daß der Plan mit dem Zirkel zerstochen werden muß. Der Übelstand läßt sich z. T. umgehen (oder auch ganz, wenn das X nicht durchgestochen, sondern nur durchgedrückt wird) wenn das Diagramm auf Pauspapier oder Pausleinwand aufgetragen und in richtiger Anlage, der nebenstehenden Fig. 459 entsprechend, auf die zwei Punkte des Plans gebracht ist, womit der Zirkel entbehrlich wird. Man hat neuerdings vielfach das Diagramm so abgeändert, daß die Strahlen zu beiden Seiten des Nullstrahls gezogen werden, vgl. Fig. 460, wo abermals die Tei-

lung der vorliegenden Strecke MN im Verhältnis 2 : 5 angedeutet ist. Auch hier gilt dasselbe wie vorhin über Ersparung des Zirkels (Aufträgen auf Pauspapier oder Pausleinwand).

In den beiden Fällen dieses Diagramms braucht man für verschieden ^15 große Höhenunterschiede auf der zu bearbeitenden Fläche, und für ver- / schiedne Maßstäbe des Plans, verschieden „weite“ Diagramme, ver-    13

schiedne Einteilungen BC, z. B. eines mit Teilen auf BC je = 1 cm bei V OB = 10 cm, eines mit Teilen je — 2 mm usf. Man wird diese ver-schiednen Diagramme am besten auf demselben Blatt vereinigen.

c) Ein Spezialfall des Strahlendiagramms, nämlich OB — 00, gleichabständige, parallele Strahlen, ist das Wagnersche, auf Pauspapier gezeichnet, in dem dann aber die richtige Lage der zu teilenden Strecke statt durch Hinaus- oder

r Richtung wie gegen die der

14-

12

11

10

Hereinrücken in bestimmter bei b) durch Ändrung der ’

Parallelen herzustellen ist, vgl. Fig. 461, wo die zur Teilung der gegebnen Strecke EF mit E — 269,76 und F = 270,48 in Y = 270,00 notwendige Anlage des Blatts B auf diese Punkte E und F angedeutet ist. Da die ^

Richtung der Strecke gegen die der Pa-rallelen des Netzes nicht gar zu schief werden darf, anderseits bei senkrechter Lage zwischen Strecke und Parallelen diese * auch ausreichen müssen, so hat man auch hier „verschieden weite“ Strahlen notwendig, die am besten wieder auf demselben Stück Pauspapier oder v Pausleinwand vereinigt werden.

d) Um wenigstens eine der Vorrichtungen anzugeben, v bei denen weder das Ziehen der Strecke auf dem Plan, noch ein Einstechen der Punkte notwendig ist, sei noch der folgende „Proportionalmaßstab“ mitgeteilt Fig. 462:    ' k \

gleiche Längenteilungen sind auf den Schenkelkanten eines Fig. 460. aus zwei Kartonstreifen bestehenden „Zirkels“ aufgetragen,    N

der mit der Außenkante des einen Schenkels an einen weitern, als Lineal dienenden Karton streifen anzuschlagen ist. Um zwischen 242,54 und 243,68    \

den Punkt C = 243,00 einzuschalten, ist die Höhenunterschiedszahl 1,14 an der linken und rechten Teilung so anzulegen, daß die Strecke zwischen beiden Punkten durch richtige Öffnung des „Zirkels“ der ganzen zu teilenden Strecke entspricht; jetzt Lineal angeschlagen, Zirkel daran verschoben bis 4,6 am linken Schenkel liegt, gibt O. Auf die weitem zahllosen Interpolationsmittel usf. gehen wir hier nicht ein, es sei nur noch die 1 riedmann sehe (Bayreuth) Interpolationsscheere erwähnt (Prinzip der Nürnberger Scheere). Ferner sei noch

•6

-o-

4-

11

12

13

14

15

e) eine Abändrung des Diagramms Fig. 459 (nach Zwicky) für den Fall angegeben, daß die Höhenpunkte die Maschenpunkte eines quadratischen Netzes sind, vgl. 113., 4., d. h. der Abstand zweier Nachbarpunkte konstant =a ist (natürliches Maß auf dem Plan, in der Natur z. B. a = 10 oder 20 m). Man zieht, vgl. Fig. 463, wie in 459 z. B. die Strahlen für die Höhenunterschiede von 0,1 zu 0,1 m, aber je nur bis zu einer Parallelen zum Nullstrahl, die von diesem in dem Abstand a== Quadratmaschenweite der Plan-Höhenpunkte gezogen ist, und zieht Vertikalen durch diese Schnittpunkte der Strahlen mit der Parallelen, schreibt endlich oben und unten diese Vertikalen die entsprechenden Zahlen an. Soll eines der a des Plans, dessen Endpunkte z. B. den Höhenunterschied 0,64 m zeigen, im Verhältnis 0,24: 0 40*

an

geteilt werden (z. B. Höhenzahlen 282,76 und 283,40, verlangter Punkt 283,00), so ist aus dem Diagramm einfach in der Vertikalen 0,64 die Strecke 0,24 abzunehmen, vgl. die Fig. 463. Auch hier braucht man verschiedne Diagramme für verschiedne a und für verschiedne Höhenverhältnisse.

¹

   Wenn auch eine solche Umgrenzung oder einige wenige Lageplanlinien nicht schon auf dem Plan aufgetragen sind, sondern es sich z. B. um den Fall handelt, daß Grenzlinien usf. gar nicht in Betracht kommen, so kann man ähnlich verfahren: man legt eine lange Gerade als Längenprofil durch die Fläche und verpflockt. oder verschindelt die Punkte dieser Linie. In den Pflöcken oder Schindelpunkten errichtet man Lote auf der Linie und nimmt ihnen entlang Querprofile auf, die dann hier oft bedeutende Längen erreichen können. Man bildet so einen Rost von Linien (Längenprofil und Querprofile), deren Richtungen und Höhen durch Längenprofile parallel zum ursprünglichen und in bedeutenden Entfernungen von diesem, 100 m oder noch viel mehr, gesichert werden können. Auch die Punkte der Querprofile können nach Bedarf verschindelt und mit Nummern bezeichnet werden; man erhält so ein Lagepunktnetz über die Fläche ausgebreitet, das auch noch zum Einmessen von weitern Punkten dienen kann. In diesem Fall der Bezeichnung der Punkte durch die Schindeln kann wieder die Netzlegung und Punktbezeichnung vorausgehen, die Einwägung folgen, sodaß ein Beobachter mit einem Gehilfen das Flächennivellement durchführen kann. Oft wird das Punktnetz ganz regelmäßig und der Art angeordnet, daß Parallelen und dazu Senkrechte in bestimmten konstanten Abständen über die Fläche gelegt und die Eckpunkte dieses Maschennetzes eingevrogen werden. Das Netz muß aber hier jedenfalls sehr dicht genommen werden, weil sonst wichtige charakteristische Punkte u. U. nicht erfaßt werden.

Auch die Setzlatte läßt sich bei dieser Art des Flächennivellements auf Flächen mit großem Höhenunterschieden verwenden; doch ist die Arbeit mit ihr auch bei 5 m langer Latte hier im allgemeinen nicht förderlich genug, so daß ihre Anwendung hier nicht rationell ist. (In Württemberg bei Flächennivellements im Wald früher viel gebraucht).

²

   Ebenfalls nur noch ein Wort kann hier beigefügt werden über die französische Methode des Flächennivellements, bei der nicht zerstreute charakteristische Höhenpunkte, unregelmäßig über die Fläche verteilt, eingewogen werden,

(271)

ev

Co

CP

' ,F

Oe

(270)

Co

iS

,9T<

s-

ft

A7

(2(79)

Fig. 461.

Fig. 462.

vm lo Q9 Q8 ft7 0,6    0,5

0,4-

03

0,2

A'

>,4-)

V\

P i)

U U 1,0 0,9 0,3 07 | 0,6    0,5

(0,64)

0/4

0,2

Fig. 463

An vielen Stellen der Erdoberfläche wird die Gesetzmäßigkeit „regelmäßiger“ Formen, die in Kulturländern außerhalb des Waldes hauptsächlich durch die Jahrhunderte- und jahrtausendelange Arbeit des Pflugs und der sonstigen Bodenbearbeitung bei der landwirtschaftlichen Benützung des Bodens allmählich entstanden sind, durch „unregelmäßige“ Einzelheiten unterbrochen. Solche Stellen können von der Natur dargeboten werden, z. B.    bei steinigem Untergrund in    einer aus    dem    Boden der

Wiesen- oder Weidefläche    vorstehenden Felspartie, durch    den tiefen    Riß    eines Bachs

oder kleinern Wasserlaufs    usf.; noch häufiger sind sie    innerhalb    des    kultivierten

Landes von Menschenhand    entstanden: ein Steinbruch oder eine große Mergel- oder

Sandgrube unterbrechen die „regelmäßige“ Oberfläche, ebenso ein Weg oder eine Straße mit Einschnitts- oder Anschnitts- und Auffüllungsböschungen; ein Rain oder ein tiefer künstlicher Graben trennt zwei Grundstücke usf. In allen diesen Fällen

ist vermehrte Sorgfalt im Ziehen der Höhenlinien notwendig; oft unterbricht man die Höhenlinien an diesen Stellen einfach ganz, z. B. am Stein- oder Sandbruch mit rascher Verändrung der in Ausbeutung begriffnen Oberfläche, ebensowenig hat das Durchziehen der Höhenlinien durch Gebäude des Plans Wert. Bei Ein- oder Anschnitten und bei Dämmen, ebenso bei Rainen u. dgl. werden die Höhenlinien nicht unterbrochen, sondern den wirklichen, durch diese künstlichen Verändrungen der Bodenoberfläche bedingten Formen nach gezeichnet, ähnlich am Ufer von Wasserläufen, wo bei breitem die Höhenlinien dem Uferrand entlang bis zur Höhe des Wasserspiegels zur Zeit der Aufnahme gezeichnet und nur quer über den Wasserspiegel weggelassen werden, während bei ganz schmalen Wasserläufen auf das Wasser selbst keine Rücksicht genommen und nur die Hohlform des Rinnsals dar-

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Fig. 464.

gestellt wird. Man tut in der Regel gut, an der Stelle solcher Unregelmäßigkeiten von diesen zunächst ganz abzusehen; z. B. werden bei dem Weg TU TU, der sich ziemlich stark eingeschnitten den Rücken BJR heraufzieht, Fig. 464, die 1 m-Höhenlinien zunächst ganz ohne Rücksicht auf TU aus den auf der ungestörten Bodenoberfläche (Flächenstücke A und B) gemessnen Punkten gezeichnet (---über TU

hinweg in der Figur), sodann sind durch Einschaltung der Punkte 271,0, 272,0, 273,0 unter die auf dem Weg selbst eingewognen Punkte die Örter festzustellen, an denen die genannten Höhenlinien den jetzigen Weg schneiden und damit die wirklichen Formen der Höhenlinien bei Überschreitung dieses Eingriffs in die natürlichen Bodenformen zu zeichnen. Ähnlich bei Dämmen, bei Rainen usf. Nach der Sorgfalt, mit der die Zeichnung der Höhenlinien an solchen Stellen bewirkt ist, wird häufig die auf die Aufnahme verwendete Sorgfalt überhaupt beurteilt. In der Regel ist es angezeigt, Böschungen (künstliche an Wegen, Straßen, Bahnen, künstlichen Wasserläufen, künstlichen Teichen usf.; ebenso natürliche an Wasserrissen, Bachläufen, natürlichen Seen), Abbrüche, Feldraine u. dgl. Einzelheiten nicht durch die Höhenlinien oder nicht durch sie allein, sondern durch „Sehraffen“ zu bezeichnen, kurze Parallelstriche in der Richtung der Linien des größten Gefälls senkrecht zum Rand in den genannten Fällen. Auch für Felsen, Steinbrüche, Sand- oder Mergelgruben sind meist besondre „Signaturen“ angezeigt, die besonders die Ränder solcher Unterbrechungen des regelmäßigen Verlaufs der Bodenoberfläche herausheben sollen.

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Die Höhenlinien selbst, auf der „ungestörten“ topographischen Fläche, deren Oberflächen gestalt sie darzustellen haben, zieht man mit gut hervortretenden farbigen Linien aus, oft blau (Ränder gedachter Wasserspiegel), in der Regel aber rot (zinnoberrot), rotbraun (dunkeiindischrot) oder braun (Sepia). Zur bessern Übersicht werden meist verschiedenartige Linien für die Abstufungen der Yertikalabstände angewandt; z. B. zieht man bei 0,5 m- Höhenlinien die Linien mit ganzen Meterhöhen ganz aus, die Ygm-Linien schwächer oder gestricht, jede lOm-Linie gerissen oder ganz, aber stärker u. dgl. Auf den uns hier nicht beschäftigenden Flächennivellements mit großen Höhenunterschieden, wo meist nur 5 Kurven gezogen werden und höchstens oben auf den Kuppen oder in den Talniederungen 2,5 Regel die 10 wt-Linien ganz aus, die 5 •m-Linien gestricht, noch andre Linien, z. B. die 2,5- oder 1 w-Linien punktiert, die 100 w-Linien kräftiger oder stark gerissen.

4. Umfassendere Flächennivellierungen. Zum Schluß dieser Hummern 113. und 114. über das Flächennivellement mit dem Nivellier mag hier nochmals der schon berührte Fall erwähnt werden, daß die einzuwägende Fläche sehr bedeutende Ausdehnung hat; in der Regel sind dann auch, wenn die Fläche nicht ein Stück einer großen Flußebene (z. B. eines der Riede längs dem Mittellauf der Donau) oder ein Stück Tiefebene oder ein langgestrecktes, von Hügeln und Berglehnen gesäumtes Flußtal vorstellt, verschiedne Oberflächenformen auf dieser u. U. viele umfassenden Fläche und auch sonst stark verschiedne Aufnahmebedingungen vorhanden, so daß außer der oben beschriebnen Methode der Flächeneinwägung mit dem Nivellier auch andre Methoden des Flächennivellements, mit nicht horizontaler Ziellinie usw. angewendet werden müssen, die über unsre jetzige Stufe hinausgehen. Im allgemeinen ist aber auch ein solches umfassendes Flächennivellement, das nach andrer Methode zu messen ist, auf ein Netz von Linien zu gründen, an denen Festpunkte mit dem Nivellier (in Messungen II. und III. 0.) eingewogen sind. Über Anordnung, Genauigkeit, Ausgleichung solcher Netze ist freilich allgemein Zutreffendes kaum zu sagen; für Höhenlinienpläne in nicht großen Maßstäben (z. B. 1 : 2 500) genügt es oft, wenn die kleinsten Netzmaschen (III. O., z. T. selbst IV. 0.) des gesamten Vornivellementsnetzes durchschnittlich auf ¹/i    , manchmal sogar, wenn sie nur auf 1 cj&m

48

Fläche gebracht sind; für größre Planmaßstäbe sind meist kleinre Netzmaschenflächen erwünscht. Die beistehende Fig. 465 a gibt einen Abschnitt aus einem umfassendem Flächennivellement (rund 12 mit Anwendung aller Methoden, Maßstab 1:2500) doch ist hier als für uns jetzt allein in Betracht kommend, ein Ausschnitt so gewählt, daß er ganz mit dem Nivellier bearbeitet ist. Die Höhenaufnahme ist auf der geodätischen Exkursion mit Studierenden der Bauingenieurabteilung nach Neresheim 1907 auf Grund der Württemberg]sehen Flurpläne („Flurkarten“ 1 : 2500) von Anfängern gemacht. Die hier im Abschnitt gegebne „Flurkarte“ trägt die Überschrift N. 0. XXIII. 82. (vgl. S. 152/55 und S. 485/87); im Original sind die hier ebenfalls schwarz geschriebnen Höhenzahlen blau geschrieben, die Höhenlinien rot gezogen. Auf jeder der genannten Exkursionen wird von den Studierenden ein Flächennivellement 1: 2500 über etwa 4, 5, auch 6 <jUm je nach Geländeformen, nach den verschiednen Methoden und auf freiem Feld wie auf Waldflächen durchgeführt auf Grund der wiirttembergi-schen Flurkartenblätter. Das Ergebnis der Messungen um Steinheim a/Albuch, einem Hammer: elementare praktische Geometrie.

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Fig. 465 a.

der geologisch (und paläonotogisch) merkwürdigsten Punkte Württembergs, habe ich, in Verkleinrung auf %, d. h. auf den Maßstab 1 :12500, veröffentlicht in [dem Aufsatz: „Über die Bestrebungen der neuern Landestopographie“, Petermann’s Mitteilungen, Gotha, Jahrg. 1907, S. 97—108 mit 1 Karte (Steinheimer Becken). Doch

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geht dies, wie schon angedeutet, über den Rahmen dieses Buchs hinaus. Der oben genannte in Fig. 465 a dargestellte Flächennivellementsabschnitt ist rund nur gegen 50 Aa groß und hier etwa auf den halben Maßstab des Originals, d. h. etwa 1: 5000 reduziert; die linke untere Ecke der Figur entspricht der S.W.-Ecke der oben ge-

48

nannten Flurkarte. In Fig. 465 b ist ein Flächennivellement desselben Flächenstücks aus 1910, durch etwas weiter vorgeschrittne Studierende (der Geodäsie) zum Vergleich beigegeben; in dieser Figur ist die Kotierung weggelassen.

115. Höhenabsteekungsarbeiten. Kurz sollen noch einige Anwendungen des Nivelliers zu Absteckungen betrachtet werden.

1. Von der Angabe eines Punkts (Strichs) mit vorgeschriebner Höhe an einer Wand oder dgl. war schon einmal die Rede, vgl. 105. 4., mit der Auffordrung zur Vorsicht für den Fall, daß der Horizontalfaden auf die Wand projiziert wird: die Horizont-(Visurhöhen-)Zahlen im Feldbuch sind um den konstanten Betrag a zu groß, wenn der Nullpunkt der Skale der Nivellierlatte um die Strecke a unter dem Punkt A liegt, mit dem die Latte auf die einzuwägenden Punkte gesetzt wird (der Nullpunkt befindet sich also in diesem Fall gar nicht auf der Latte, sondern ist nur ein ideeller Punkt der nach unten verlängert gedachten Latte) oder diese Visurhöhen sind um die Konstante b zu klein, wenn der Nullpunkt der Latte um b über jenem Aufsetzpunkt liegt (in diesem Fall ist der Skalennullpunkt auf der Latte vorhanden). Man kann natürlich einen Punkt mit vorgeschriebner Höhe (z. B. N. N.-Höhe) vielfach auch dadurch herstellen, daß die Latte auf diesen Punkt selbst gesetzt und der Punkt nach Bedarf tiefer oder höher gesetzt wird; endlich kann man statt des verlangten Punkts selbst vorläufig einen Hilfspunkt hersteilen, der mit Hilfe der Projektion des Horizontalfadens oder durch Aufsetzen der Latte auf den Punkt bestimmt wird und von dem aus bis zu dem geforderten Punkt z. B. hinaufzumessen ist.

weiter einschlagen! Latte wieder aufgesetzt, Ablesung 1,32 (Höhe hoch, vorsichtig noch etwas weiter einschlagen, nach einigen

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cm ZU

a)    An einem bestimmten Ort ist z. B. ein „Pflock A so zu schlagen“, daß seine Oberfläche die Höhe 274,41 m N. N. erhält. Man weiß dabei schon, daß der Pflock mit der geforderten Höhe an der als Lage für A gegebnen Stelle etwa 20 cm aus dem Boden vorragen wird. In der Nähe ist ein Festpunkt F mit der Höhe 273,07 m gegeben; ist die Strecke von A bis zu diesem Festpunkt nicht über 80, 100m oder dgl., so reicht eine Aufstellung des Instruments aus, im andern Fall ist aber mit Wechseln herzunivellieren. Im ersten Fall stellen wir das Instrument so auf, daß an der Latte auf F und auf A abgelesen werden kann; wenn die Berichtigung des Instruments etwa zweifelhaft ist, so ist die Aufstellung gleich weit von F und von A zu wählen, sonst beliebig. Latte in F gibt die Ablesung 2,71, Visur-höhe 275,78 (vielleicht um a oder b verschoben, s. oben, was jetzt nichts zu sagen hat); Pflock bei A von 50 cm Länge vorläufig so geschlagen, daß er etwa 35 cm über den Boden vorragt; Latte auf Pflock gesetzt, Ablesung 1,20 m, Höhe der Pflockoberfläche jetzt 275,78 — 1,20 = 274,58, noch um 17 cm zu groß, bei richtiger Pflockhöhe muß die Lattenablesung auf dem Pflock 1,37 lauten. Man mißt nun am einfachsten von der jetzigen Pflockoberfläche mit dem Taschenmaßstab 17 cm am Pflock herunter und sägt diesen auf dem damit gewonnenen Strich ab; oder man kann auch den Pflock direkt vollends auf richtige Höhe schlagen: in diesem Fall Zuruf an den Lattenträger: etwa 10 274,46), noch 5

cm.

Schlägen, Ablesung 1,36, noch 1

b)    An andrem Ort B ebenfalls in der Nähe eines gegebnen Festpunkts G mit 298,14 m N. N. ist an dem fest in den Boden geschlagnen und etwa 90 cm vorragenden starken Pfosten P ein Stück Dachlatte L mit oben angenageltem kurzem Querholz so zu befestigen, daß die Oberfläche des Querholzes 301,75 m N. N.-Höhe erhält, Fig. 466. Die Bodenoberfläche bei P ist etwa 299,0 m hoch. Das Lattenstück L mit Querholz kann schon vollständig fertig vorgerichtet sein, z. B. auf 2,50 m Länge abgeschnitten von der Oberfläche des angenagelten Querholzes aus bis zum Anfangspunkt der Dachlatte. Man hat in diesem Fall an dem Pfosten einen Strich C auf die Höhe 301,75 — 2,50 = 299,25 m N.N. anzugeben und diese Latte so anzunageln, daß ihr Anfangspunkt mit

C überein stimmt, C kann durch Anhalten (Auf- und Abschieben) der Nivellierlatte an dem Pfosten gefunden werden. Die Nivellierlatte wird zunächst auf G gesetzt, Ablesung 1,37, Horizont 299,51; die an dem Pfosten angehaltne (nicht auf den Boden gestellte, sondern an P angedrückte) Nivellierlatte ist so lange auf- und abzuschieben, bis die Ablesung 0,26 lautet (= 299,51 — 299,25);

Ablesung sei z. B. zuerst 0,07, Ruf 20 0,28, Ruf 2

Pfosten in Höhe des Stollenfußes der Nivellierlatte, der auch auf G saß, damit Punkt G gefunden, die Dachlatte L von 2,50 m angenagelt. Selbstverständlich kann man auch an P einen beliebigen Punkt _D bestimmen und nach ihm die 2,50 m lange vorgerichtete Latte L annageln oder endlich nach dem Punkt E, der dann nur nicht zu hoch oben am Pfosten sein darf, die Latte L erst abschneiden, statt sie vorgerichtet bereit zu halten. Endlich kann man zur Bestimmung dieser Punkte C, 2), oder E am Pfosten P auch die N.N.-Höhe eines am Fuß von P gelegnen festen Sternchens oder dgl. feststellen und von diesem heraufmessen oder man kann den Horizontalfaden auf P projizieren (Achtung auf den Betrag a oder b zwischen Skalennullpunkt und Aufsetzpunkt der Latte, s. oben).

2. Derartige Aufgaben, Pflöcke mit gegebnen Höhen zu schlagen oder allgemeiner: Punkte mit gegebnen Höhen herzustellen, (wobei es in manchen Fällen auch genügt, den Punkt, der eigentlich im Boden oder wie bei 1. b) in der Luft, ziemlich hoch über dem Boden, angegeben werden sollte, nur durch ein (zweckmäßig rundes) Maß zu bezeichnen, um das von einem bestimmten Strich an einem Pflock oder Pfosten hinab- oder heraufzumessen ist, um auf den Punkt zu kommen) kehren regelmäßig wieder beim sog. Profilieren, der Profilabsteckung. Man versteht unter Profilieren die Herstellung von „Lehren“ aus Pfosten, Pflöcken und Dachlatten in den

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einzelnen Querprofilen eines zu erbauenden Verkehrswegs oder Kanals, einer Flußbettverlegung usf., nach dem die „Erdarbeit“ in Angriff zu nehmen ist: diese Lehren haben genau den Ort des Böschungsfußes einer Anschüttung oder eines Damms und den Ort des Anschnitt- oder Einschnittrandes, sowie die Neigung der Auffüllungs- und Einschnittsböschung zu bezeichnen. Es wird deshalb zunächst in jedem Profil ein Pflock auf nahezu den Böschungsfuß oder den Einschnittsrand in die richtige Entfernung vom Achspflock des Profils geschlagen, wobei die Höhe der Pflockober-

fläche, wie oben angegeben, einzuwägen ist; in einer Entfernung von % m oder dgl. in der Richtung des Profils (beim Anfüllungsböschungsfuß hinein gegen den Achs-pflock, bei der Einschnitts- oder Anschnittskante hinaus vom Achspflock weg) ist aber noch ein zweiter Pflock oder Pfosten zu schlagen und an die beiden Pflöcke ist die Böschungslatte in der Art anzunageln, daß ihre Oberkante durch die Mitte des Kopfs des einnivellierten Pflocks P geht und die für die Auffüllungs- oder Einschnittsböschung vorgeschriebne Neigung erhält, vgl. Fig. 467a und b. Solche Neigungen sind für den Einschnitt vielfach „1: 1“ (auf 1 horizontal, 1 vertikal, Neigungswinkel 45°), aber auch steiler oder flacher in festerm oder weniger festem Gestein, für Auffüllung vielfach 1: 1 x/₂ (auf 1 ys horizontal, 1 vertikal, Neigungswinkel 33°,7), aber auch flacher je nach Gestein (Neigung 1:2, d. h. auf 2 horizontal, 1 vertikal entspricht dem Neigungswinkel 26°,6, 1: 1 x/₄ dem Neigungswinkel 38°,7). Die „Profillatte“ L wird mit Hilfe eines „Böschungswinkels“ angenagelt, der die richtige Neigung durch eine grobe Libelle oder auch durch den Senkel herstellt (in diesem Fall können für verschiedne Neigungen Einspielstriche für die Senkelschnur an demselben Böschungswinkel angegeben sein). Die „Höhe der Dammkrone“ ist durch ein Querstück an einer vertikal angenagelten Latte nach Fig. 466, oben anzugeben. Wir gehen hier nicht noch weiter auf die technischen Einzelheiten bei den Absteckungen des Trassierens ein.

3. Eine andre Absteckungsarbeit mit dem Nivellier ist die Aufsuchung einer Linie (seither war wesentlich nur vom Einwägen von Punkten mit gegebner Höhe die Rede) mit vorgeschriebner Neigung auf der Bodenoberfläche. Es soll von einem bestimmten Punkt A aus z. B. eine Linie mit p °/₀, z. B. p = 4 °/₀ Gefäll abgesteckt werden, d. h. durch eine Folge von Stäben auf dem Gelände bezeichnet werden. Die selbstverständliche Voraussetzung dabei ist, daß die Geländeoberfläche in der Umgebung von A und soweit die Linie abgesteckt werden soll, einen „Böschungswinkel“ (Maximalgefäll) )>p% hat, die geforderte Linie wäre sonst auf der Bodenoberfläche nicht möglich, sondern würde in den Boden hineinführen, ebenso wie die Fordrung der Absteckung einer Linie von q °/₀ Steigung nur dort erfüllt werden kann, wo die Maximalneigung der Linienelemente auf dem in Betracht kommenden Stück der topographischen Fläche )> q % ist; wäre an einer Stelle diese Neigung <3 °/o> s0 würde die Linie an dieser Stelle vom Boden ab in die Luft führen.

Mit Meßband von z. B. 20 m Länge (natürlich auch mit Latten, doch ist hier das Band viel bequemer) und einem kleinen Nivellier ist die Aufgabe sehr leicht zu lösen. Auf 100 m horizontale Strecke sollen wir auf unsrer Linie 4 m in die Tiefe kommen; auf 20 m horizontaler Länge um ⁴/₅ m = 80 cm. Stellen wir die Latte nach A und das Instrument so tief, daß gerade unten an der Latte noch abgelesen werden kann, die Ablesung sei 0,15 ; in der horizontalen Entfernung 20 m von A (erste Meßbandstrecke) soll 80cm mehr, d. h. 0,95 an der Latte abgelesen werden, in der Entfernung 40 m von A (Endpunkt der zweiten Meßbandstrecke) 1,75 m usf. Das Meßband wird von A mit nach Augenmaß geringem Gefäll ausgespannt, Latte am Ende dieser ersten Lage aufgestellt; die Ablesung sei jetzt 1,18, sie sollte lauten 0,95; Zuruf an den Lattenträger: höher um 20 cm (die Zahlen beziehen sich stets auf die Höhe), neue Lattenaufstellung, stets ordentlich am Ende der Meßbandlage, Ablesung 0,91; einige cm tiefer! Stab! Bei diesem Auf- und Abrücken der Latte, bis die erforderliche Ablesung erscheint, ist wie bereits angedeutet, stets gut das Ende der 20 m-Strecke festzuhalten, nicht l/im wegzulassen oder zuzugeben in der Länge. Jetzt wird das Meßband neu gespannt, die Richtung, in der dies zu geschehen hat, ist durch A und den ersten Stab ziemlich gut angedeutet; am Ende dieser zweiten Bandlage C ist die Latte so lange herab- oder hinaufzurücken, bis die Ablesung 1,75 lautet, dann Stab 2; beim Endpunkt der dritten Bandlage muß die Lattenablesung 2,55 werden, Stab 3., usf. Auf freiem Feld (im Wald vielleicht nicht) kann bei 4 m langer Latte noch der Stab 4 mit Ablesung 3,35 erreicht werden; nunmehr ist aber das Instrument umzustellen, was hier genügend auf einem der Punkte der Linie selbst, z. B. bei Stab 4 geschehen kann, aber auch (und meist schärfer) mit Hilfe von andern Wechselpunkten, die nicht unsrer Linie angehören. Der Leser schreibe sich selbst ein Zahlenbeispiel für Benützung von Wechselpunkten außerhalb der gesuchten Linie nieder.

Von der Absteckung ganz spezieller solcher „Gefällslinien“, nämlich solcher mit der Neigung 0, direkte Absteckung der Horizontalkurven, war schon oben in 113. 5. die Rede.

4.    Gefällmesser. Jenes Abstecken von Linien mit vorgeschriebner Neigung wird manchmal erleichtert durch besondre kleine Instrumente, sog. Gefällmesser, deren Absehlinie (Diopter oder Zielfernröhrchen) selbst in die vorgeschriebne Neigung gestellt werden kann. Es gibt Senkel- („Pendel-“) und Libellen-Instrumente dieser Art in den allerverschiedensten Ausführungen; z. B. sind die Instrumente zur Neigungsmessung einer 20 m-Bandstrecke (vgl. Längenmessung, Nr. 24., z. B. Fig. 61), wenn sie eine „Prozentteilung“ haben, ohne weitres als Gefällmesser zu gebrauchen. Wir gehen auf besondre Betrachtung und Berichtigung dieser Instrumente hier nicht mehr ein; erwähnt sei nur noch, daß auch der kleine Höhenkreis eines leichten, bequem transportabeln Theodolits in diesem Sinn gebraucht werden kann, nur ist das Fernrohr doch nicht auf beliebige Entfernung auszunützen; denn wenn z. B. ein Zielzeichen (Zieltafel) an einem Stab in der Höhe der Kippachse (über dem Theodolitstandpunkt) befestigt ist, so bildet nicht die Folge beliebiger Punkte, auf denen das Zielzeichen in der Ziellinie des Fernrohrs erscheint (dem selbst die Neigung p % gegeben ist) eine Linie mit p % Neigung auf der Bodenoberfläche, sondern nur soweit, als die Ziellinie parallel zur Bodenoberfläche geht. Die Ziellinie darf z. B. nicht über eine Mulde oder dgl. Weggehen oder sonst wie beliebig durch die Luft gehen. Auf beliebig große Zielweiten wären solche Gefällmesser nur auf einer topographischen Fläche brauchbar, die eine geneigte Ebene vorstellen würde. Auch auf andre Nivellementsbehelfe, Handnivelliere, noch gröbre Zielkrücken (vielfach in den Bauhandwerken gebräuchlich), u. dgl. gehen wir hier ebenfalls nicht ein.

5.    Vorarbeiten für ein Wegprojekt. Eine solche Linie nach 3. oder 4. ist u. a. im allgemeinen immer als erste Vorarbeit notwendig für einen zu erbauenden Weg oder Straße auf nicht ebnem Gelände, einen Bergabhang hinauf oder hinunter. Dabei kommen natürlich die verschiedensten Aufgaben vor, z. B. sind festzuhaltende Endpunkte für eine Wegstrecke vorgeschrieben, sodaß deren (gleichförmig ange-nommne) Steigung erst bestimmt werden muß. Sind die zwei Punkte in einem Höhenlinienplan eingetragen oder einzutragen, so kann man durch Abzirkeln auf dem Plan mit konstanter Zirkelöffnung zwischen gleichabständigen Höhenlinien die Steigung feststellen (die gradlinige Entfernung der zwei Endpunkte ist natürlich kein Maß für die Linie gleichmäßiger Neigung oder unsern künftigen Weg zwischen den zwei Endpunkten). Andernfalls muß die Neigung durch Versuche auf dem Feld bestimmt werden, wobei mit einer angenommnen Neigung eine Linie nach 3. oder 4. aufgesucht wird; häufig sind von einer solchen abgesteckten Linie aus dann auch andre mit nicht sehr stark andrer Neigung durch Versetzung der Stäbe der ersten genügend zu erhalten.

a) Eine solche sog. „Nullinie“, die als Folge von Stäben etwa in je 20m Entfernung auf dem Gelände abgesteckt ist, folgt nun allen großen und kleinen „Unregelmäßigkeiten“ der Bodenoberfläche, zieht sich in „Einschläge“ (Mulden oder gar „Klingen“, die schärfsten Furchenlinien) zurück und wird auf der andern Seite durch jede unbedeutende „Rückenlinie“ aus ihrer regelmäßigen Lage bergauswärts gedrängt. Diese ganze unregelmäßige „Nullinie“ kann weder als endgültige Achs-linie für den zu erbauenden Weg genommen werden (es wäre denn, daß dieser z. B. ein Fußweg oder ein ganz untergeordneter Fahrweg sei, auf dessen Lagegestaltung gar nichts ankommt) noch kann sie, so weit sie abgesteckt ist, einer Lageplanauf-nahme zugrund gelegt werden. Es wird deshalb

b) die Nullinie durch einen Polygonzug mit möglichst langen geraden Seiten ersetzt, der der Nullinie ziemlich gut, aber doch nicht ängstlich folgt, z. B. auf Abweichungen nach links oder rechts um 1 m oder selbst einige wenige m nicht achtet.

c)    Seiten und Winkel dieses Polygonzugs sind wie gewöhnlich zu messen, im allgemeinen in der Art des nicht angeschlossnen Zugs, vgl. 69., 72., besonders wenn keine Eigentumsgrenzen in Betracht kommen. Man beachte, daß man hier bei vor-geschriebnen Neigungsverhältnissen an etwa für die Genauigkeit der Lagemessung nicht günstiger Form des Zugs nichts ändern kann, vielmehr an durch die Natur vorgeschriebne Form gebunden ist. Wenn die Messung Vorarbeit für einen wenig wichtigen Fahrweg ist, so kann zur Messung der Polygonwinkel oft die Gradscheibe (Winkeltrommel) genügen. Die Längenmessung des Zugs geht hier in der Zählung von einem Endpunkt gegen den andern hin durch, bei Weg oder Straße meist nach vgl. z. B. 110.

d)    Die Polygonseiten sind zu „verpflocken“, es sind nämlich in jede Zugseite so viele Punkte genau einzuweisen und durch eingeschlagne Pflöcke zu bezeichnen, daß die Folge dieser Pflöcke genügend genau das Längen profil der „Aufnahmslinie“ (Polygonseite) oder „Achse“ gibt, z. B. Normalentfernung der Pflöcke 20 m, dazwischen aber Zwischenpunkte auf allen Brechungspunkten der Neigung der Profillinie. Zu jedem Pflock ist ein Nummerpflock zu schlagen, vgl. 110. 2.

e)    Das Längenprofil über diese Pflöcke ist einzuwägen (im Straßenbau III. 0., im Wegbau vielfach nur IV. 0.) und zu sichern.

f)    Von allen Pflöcken des Längenprofils aus sind Querprofile abzustecken und aufzunehmen, bei geringen Querneigungen mit dem Nivellier, bei großen u. a. mit der Setzlatte, vgl. 111. 3. Man mache sich zur Regel, diese Querprofile grundsätzlich ziemlich lang aufzunehmen, je 20 m zu beiden Seiten der Achse schon bei unbedeutenden Wegen, weil häufig bei der endgültigen Bearbeitung des Entwurfs noch die Neigungen der Weglinie geändert werden und dann leicht die Querprofile nicht mehr ausreichen.

g) Lageplan (z. B. 1:1000) gemäß der Polygonzugmessung, Längenprofil (o oder 10 mal überhöht) und Querprofile (1:100 in richtiger Form) sind aufzutragen.

Nunmehr beginnt die Trassierung oder Linienfeststellung, Festlegung der künftigen Wegachse aus Geraden und diese berührend verbindenden Kreisbögen zusammengesetzt, mit Rücksicht auf möglichst geringe Erdmassenbewegung und meist auch an Berglehnen auf Ausgleich zwischen Einschnitts-und Auffüllungsmasse (keine „Seitenablagerung“ und keine „Seitenentnahme“) innerhalb bestimmter Strecken (die um so kleiner sein müssen, je billiger der Weg zu bauen ist), endlich mit Einhaltung eines vorgeschriebnen „Minimalhalbmessers“. Je weniger wichtig der Wegbau ist, je billiger er deshalb sein muß und je weniger es auf „schlanke“ Form des Grundrisses ankommt, desto mehr muß und kann sich die Trasse der gegebnen Boden Oberfläche anpassen; gerade möglichst billig zu bauende Wege sind für den Anfänger das beste Mittel trassieren zu lernen. Der Verf. läßt jedes Jahr auf den Schlußübungen im August eine Aufgabe dieser Art für einige 100 m Weglänge vollständig durcharbeiten und man kann sich kaum eine bessre Einführung des Bauingenieurs in die Praxis kleiner Bauten denken.

h) Nach der Durcharbeitung des Projekts, die über unsern Rahmen hinausgeht, kommt nun die Absteckung, wobei Lageabsteckung der Achse oder Randlinie des Wegs und Höhenabsteckung nebst Profilierung zu unterscheiden sind. Jene Lageabsteckung geht stets von den geraden Strecken aus und legt dann zwischen diese die Kreisbögen mit den im Projekt vorgeschriebnen Halbmessern ein

(vgl. 91.ff.); über die Höhenabsteckung vgl. die vorhergehenden Absätze dieser Nummer.

Mit diesem Rückblick auf einen großen Teil des Inhalts dieses Buchs schließen wir den Abriß des Nivellierens ab.

116. Übungen. Es mögen nun am Schluß auch dieses Kapitels noch einige Übungen angedeutet sein. Auch hier handelt es sich, und mehr als bei einigen andern Abschnitten, um Übung in der Richtigstellung und im Gebrauch der Instrumente. Sodann aber kommen auch Übungen in der Form eigner Erprobung einer Anzahl verschiedner Formulare, und besonders Rechenübungen zu den einfachen Ausgleichungsaufgaben in Betracht, wie sie in 108. u. 109. behandelt worden sind. Endlich sind Übungen in der zeichnerischen Darstellung von Längenprofilen, Querprofilen und besonders Höhenlinienplänen aus dem Flächennivellement nicht zu entbehren.

genau ab, und nun an Wx von S₁ aus dieselbe Strecke hinauf oder

mm

1. Messungsübungen, a) Es ist, bei der heutigen großen Verbreitung der Fernrohrlibellen-Nivelliere, auch zum Selbstunterricht außerhalb der Hochschule oder Fachschule für den Anfänger nicht schwer, sich ein kleines einfaches Fernrohrnivellierinstrument und eine Latte zu verschaffen. Für die ersten Versuche genügt das kleinste Bauplatz-Nivellier und eine Latte, die man sich selbst herstellt durch Aufkleben einer in Schreibwarenhandlungen um billigen Preis käuflichen, auf Papier gedruckten Lattenteilung auf eine gut gerade Dachlatte. Ich rate sogar dem Anfänger stets, nachdem er die erste Nivellierübung hinter sich und im Ablesen an der Latte einige Gewandtheit erlangt hat, sich mit Hilfe von gutem Millimeterpapier selbst eine Lattenskale zu zeichnen und zu beziffern, die nach seiner Ansicht die Übelstände vermeidet, die ihm in der zuerst verwendeten Skale aufgefallen sind. Er mache insbesondre Versuche mit Strichteilungen verschiedner Stärke und Länge der Teilstriche und mit Felderteilungen, ferner mit aufrecht und mit verkehrt geschriebnen Zahlen. Die gedruckten oder gar selbst gezeichneten Papierskalen taugen natürlich an sich nicht viel, aber für die ersten Versuche genügen sie vollständig. — Aufgabe: Kann ein einfaches Nivellier ohne Verwendung einer Latte berichtigt werden? Antwort: ja, und ganz in derselben Art, wie in 101. gelehrt, wenn man z. B. die Möglichkeit hat, an zwei Wänden, oder einer Wand und einem Zaun, an zwei Telegraphenstangen usf. in passender Entfernung voneinander, 40, 60, 80 m, Zeichen, kleine horizontale Striche u. dgl. einzuweisen. Man stellt sich „in die Mitte“, d. h. gleichweit entfernt von W₁ und W₂ auf und projiziert je auf W₁ und W₂ den Horizontalfaden bei gut einspielender Libelle: man läßt den Gehilfen eine starke Nadel, einen Bleistift oder dgl. horizontal anhalten und steckt dann, nachdem durch Rufe: auf, ab, dieser Punkt scharf auf den Horizontalfaden (Nähe des Vertikalfadens) gebracht ist, die Nadel fest oder macht einen kleinen Strich mit der eingewiesnen Spitze, des nun sorgfältig aufzurichtenden Bleistifts. Die zwei Zeichen an Wr₁ und W₂ seien S₁ und S₂; sie Hegen, wenn JWX genügend = JW₂ ist, auch bei nicht richtigem Instrument gleich hoch. Die zweite Aufstellung J' des Instruments werde so nahe bei W₂ gewählt, daß der Fehler des Instruments für die kurze Strecke J' W₂ nicht in Betracht kommt; man projiziert von J' aus den Horizontalfaden in derselben Weise auf W₂ und zwar wird dies neue Zeichen S₂ senkrecht unter oder über &, an W₉ gemacht. Mißt man mit dem Taschenmaßstab die Strecke S₂S’₂ auf 1

herunter bis S[, so hat man die Stelle, auf die die Projektion des Horizontalfadens von J' aus auf W₁ treffen muß, wenn das Instrument keinen Fehler hat. Trifft die Projektion nicht auf S[, sondern auf einen davon um h senkrecht abstehenden Punkt, so ist, wenn l die Entfernung J' TFj ist, der Fehler c des Instrumentes wieder

h

c" = - - • q". Wenn keine Gegenstände Wx und W₂ da sind, an denen die Zeichen S gemacht werden könnten, dagegen ein Fluchtstab oder dgl., so kann man auch wieder zwei feste Punkte A und B auf dem Boden nehmen und durch Nivellieren aus der Mitte, wobei nacheinander auf A und B der Fluchtstab gesetzt wird und an diesem Zeichen eingewiesen werden, den richtigen Höhenunterschied zwischen A und B bestimmen usf.

oder 1 äm genau ermitteln. Aufstellung zwischen beiden Punkten; an

cm

b)    Man überlege auch, daß mit den bisher angegebnen Vorrichtungen, horizontale Zielungen herzustellen, die Möglichkeiten dazu nicht erschöpft sind. Z. B. kann man geradezu gelegentlich aus den bei der Lagemessung vorhandnen Werkzeugen einen Nivelliernotbehelf machen: man hat kein Nivellier zur Hand, wohl aber Winkelspiegel oder Winkelprisma (drei- oder fünfseitig) und eine Meßlatte und will damit den Höhenunterschied zweier Punkte, die z. B. 20 m voneinander entfernt sind, auf einige

dem Prisma P, das mit horizontalliegenden Kanten verwendet wird, ist ein Senkel

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anzugeben. Ebenso

cm

angehängt, dessen Birne man von 0 aus in der Richtung des Pfeils erblickt Fig. 468; auf A ist z. B. die 3 m-Stange vertikal gestellt und der Lattenhalter wird angewiesen, einen passenden Gegenstand (Bleistift genügt auf 10 m Ziellänge, Finger), durch Auf- und Ahrücken dem Zuruf gemäß, in die Höhe der Verläng-rung von 0(S) zu bringen und die „Lattenablesung“ auf 1

<X>-

(S)

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Fig. 468.

auf B, womit man in der Differenz der Ablesungen den Höhenunterschied zwischen A und B hat; beim Umstellen des Körpers, um die zweite Ablesung zu ermöglichen, ist nur auf genaue Festhaltung der Zielhöhe zu achten. Es geschieht dies von selbst auf 1 cm genau, wenn man beim Umstellen nur darauf achtet, den linken Fuß auf die Stelle des vorhin rechten und umgekehrt zu setzen. Man wiederhole den Versuch mit senkrecht gestellter Hypotenusenfläche und Einblick von oben gegen das Prisma.

c)    Allmählich suche man ein feinres Nivellier, mit Ringfernrohr, in die Hand zu bekommen und nehme auch an ihm alle Berichtigungen durch. Zur Benützung des Instruments ist im Text Anleitung gegeben.

Bei den eignen Messungsübungen versuche man besonders auch eine Anzahl verschiedner Rechnungsformulare, Ahlesen dekadischer Ergänzungen, ohne daß auf der Latte solche angeschrieben wären, und Verwendung solcher dekadischer Ergänzungen, usf., um bald auf Grund der eignen Versuche auswählen zu können, was man für das Zweckmäßigste hält, z. B. in Beziehung auf die Sichrung eines Nivellements.

2. Von Rechnungsübungen versuche man, nachdem die erforderliche Messungsübung erlangt ist, einfache Ausgleichungsaufgaben vorzunehmen und stelle sich selbst Aufgaben im Anschluß an die in 108. u. 109. behandelten. Z. B.: eine mit konstanter Zielweite gemessne Einwägungslinie geht von einem fehlerfrei gegebnen Höhenpunkt A aus und schließt bei einer Gesamtlänge L an einen ebensolchen Punkt B ab, wobei sich als Anschlußfehler der Messung der Betrag w ergibt. Wie verhalten sich die Gewichte und was sind die m. F. von eingewognen Punkten, die in den Entfernungen yi0 _L, y₄ P, y₂ L von A oder B an der nivellierten Linie liegen. Oder, es ist folgende Rechenvorschrift zu beweisen: das Nivellement zwischen den fehlerfrei gegebnen Endpunkten A und B wird hin- und zurück ausgeführt und es werden dabei jedesmal sämtliche Zwischenpunkte eingewogen. Aus beiden Messungen nimmt man für jede der Teilstrecken das Mittel beider Ergebnisse und vergleicht die (algebraische) Summe dieser Mittelwerte mit dem fest gegebnen Höhenunterschied zwischen Anfangspunkt und Endpunkt des Nivellements. Zeigt sich dabei der Widerspruch w, so ist zum Zweck der Ausgleichung w proportional der Länge der Teilstrecken auf die (gemittelten) Höhenunterschiede dieser Strecken zu verteilen. Wie ist ferner in diesem Fall aus w und der Länge der einzelnen Teilstrecken der m. F. der doppelt nivellierten 1 Ilm-Strecke zu berechnen? Und ähnliche Aufgaben mehr.

3. Bei den Zeichnungsühungen möge besonders der Anfänger im Studium des Bauingenieurwesens den Hauptwert legen auf die Zeichnung von Höhenlinien in kotierten Plänen,' weil klare Vorstellungen von Geländeformen nach Horizontalkurvendarstellungen für ihn sehr wichtig sind, und weil eigne Zeichnung solcher Darstellungen den „Blick für Terrain“ schärft, nicht nur für die Ausführung von „Höhenaufnahmen“, sondern auch für die Benützung des Geländes beim Trassieren und bei ähnlichen Aufgaben. In den Plan- und Geländezeichenübungen der T. H. Stuttgart erhält jeder Studierende der Bauingenieurabteilung u. a. eine württembergische „Flurkarte“ (vgl. 80. 3., Proben Figg. 111,112; Plan 1: 2500, etwa 1,3 groß; autographisch vervielfältigt und für verschiedne Geländeformen vorrätig), die vollständig kotiert ist, und hat nun darin die Höhenlinien zu zeichnen, die erst am Schluß seiner Arbeit mit der endgültigen Zeichnung der Horizontalkurven auf diesem Blatt verglichen werden. Ein solches Stück eines kotierten Plans in 1 : 1500 (Baden) enthält u. a. auch die Sammlung „Übungsblätter zum Plan- und Terrain-Zeichnen“ von M. Doll (Karlsruhe, Veith 1888); Blatt 7 und 8, auf Zeichenpapier gedruckt, geben einen kotierten Plan von etwa 22 &<*. (=    Fläche aus dem Schwarzwald, und es sind auf diesen

Blättern die 5 m-Schichtlinien zu konstruieren, Blatt 9 zeigt die Ausführung der Einschaltung von Punkten gleicher runder Höhe durch Profile (bei der großen Zahl der Höhenpunkte ziemlich entbehrlich). Der Benützer mag sich selbst ein Diagramm nach Fig. 459 oder 460 auf das Blatt zeichnen, wie denn hier die Auffordrung an den Anfänger wiederholt sei, sich selbst irgendwelche Vorrichtung zur Proportionaleinteilung herzustellen, um auch hier eignes Urteil über Zweckmäßiges und Unzweckmäßiges zu gewinnen. (Die Zeichnung von Linien gleicher Höhe in kotierten Plänen und Karten wird jetzt vielfach auch im Geographieunterricht der Universitäten geübt, vgl. z. B. „Geographisches Praktikum“ von Krümmel und Eckert, Leipzig, Wagner und Debes, 1908; in der Regel beschränkt man sich im Geographieunterricht allerdings, aus allerhand Gründen, auf die Zeichnung von Linien gleicher Tiefe, Isobathen, aus Lotungen in einem Landseebecken oder in einem Meeresteil). Die Zeichnung von einigermaßen richtigen Höhenlinien auf einer topographischen Karte großen Maßstabs, z. B. 1:10000 oder gar 1: 25000 auf Grund nur weniger Höhenpunkte aufs

ist die eigentliche „Kunst“ des Topographen, in der nur große Übung bei gutem „Blick fürs Gelände“, Auffassungsgabe der Geländeformen, etwas zu leisten vermag; auch ist eine solche Zeichnung selbst dem geübtesten Topographen nur im Anblick der Natur, von verschiednen Standpunkten aus, überhaupt möglich. Jene Landsee- oder Meeresbecken-Isobathenkonstruktionen entbehren der Möglichkeit der Vergleichung mit der Natur.

Sobald man einige Übung in Messung, Zeichnung und Gebrauch von Profilen erlangt hat, gehe man auch, als Kombination von Zeichen-, Rechen- und Anschauungsübung an eine Erdmassenberechnung (Volumberechnung) aus Querprofilen, zunächst für kleinre Verhältnisse: an einem Hügel od. dgl. ist eine horizontale Fläche auf gegebner N. N. - Höhe und mit gegebner Form und Abmessung der horizontalen Fläche herzustellen; welche Erdmasse ist auszuheben? Nach der Lösung der Aufgabe durch gemessne und aufgetragne Längenprofil und Querprofile mit graphischmechanischer Flächenermittlung in diesen Querschnitten, vgl. 43.6. u. Fig. 147, löse man die Aufgabe auch auf Grund eines Höhenschichtenplans, z. B. mit Linien gleicher

Höhe von 0,5 zu 0,5 m; auf dem Plan wird ein genügend enges Quadratmaschennetz gezeichnet, durch das der gesuchte Erdaushub in vertikale quadratische Prismen von bekanntem konstantem Normalquerschnitt zerlegt wird, deren Höhen (Längen) unmittelbar aus dem Plan abgelesen werden können und zu addieren sind. Ferner stelle man sich, um auch eine mehr schätzende Berechnung auf Grund eines Lageplans kleinern Maßstabs zu machen, die Aufgabe: auf einem Blatt einer topographischen Karte (womöglich 1:2500 oder 5000, im Notfall auch 1:10000 [Braunschweig] oder sogar nur 1:25000, in welchem Maßstab jetzt überall topographische Blätter zu bekommen sind) mit Höhenlinien wird an der und der Stelle eines Wasserlaufs eine „Talsperre“ gebaut, wobei der Wasserspiegel eine bestimmte Höhe erhalten soll. Wie groß ist die Oberfläche des sich bildenden Sees und was ist dessen Kubikinhalt? (Begrenzung der Oberfläche des Wasserspiegels in der Karte durch die der Höhe nach vorgeschriebne Höhenkurve, die also hier in der Tat der Kontur nicht nur eines ideellen Wasserspiegels würde; Yolum ebenfalls auf Grund von zu konstruierenden Profilen, dann auch auf mehrfache Art mit Hilfe der Höhenlinien des Plans, Fläche zwischen je zwei aufeinanderfolgenden Schichtlinien usf.).

Druckfehler und Verhessrungen.

S.    5,    letzte Zeile, muß statt „kleiner“ stehen „größer“.

S.    28,    Fig. 24: es fehlt an    der vordem Gehäusewand die    Linie zur Andeutung der

Grundplatte G.

S. 44, vor Z. 16 v. o. fehlt: 1 Dekameter = 10 m (nicht gebräuchlich geworden).

S. 49. In der Überschrift von 17. ist „Vergleichung der Latten- und Bandmessung“ zu streichen.

S.    102,    Mitte. Infolge einer    Verwechslung ist die Länge der 1    m-Stäbe    1789 a) und

1789 b) nicht richtig    angegeben (gleichgültig, da es    sich    nur um    ein Beispiel

handelt); sie ist bei -)- 18° C. bei a — 1 m — 0,004 1 p ebensogroß b = 1 m — 0,004 18° + ic° die Länge der Stäbe um + 0,011 -x Stäben selbst eingerissen).

S. 118. In der Überschrift von 82. ist „Hilfslinien“ zu streichen.

S. 142, letzte Fig. 104 (1: 2500): die 0 (cm.) in den Zahlen selbstverständlich mindestens entbehrlich.

S. 153 fehlt an der seitlichen Linie -f- x oben die Pfeilspitze.

S. 162,    Z. 15 v. u. sollen die zwei letzten Wörter heißen: „bleibt konstant“.

S. 170.    In der Überschrift von    38. soll es heißen: „Verschiedne nicht    parallele    und

senkrechte Aufnahmslinien“.

S. 177, Fig. 128: das Lotvon 0' auf die x-Achse ist in der Zinkographie ausgebliehen.

S. 179. In der Überschrift von 39. soll es heißen: „oder große Grundstücke“.

S. 186, Z. 16 v. o. soll stehen: „4 mal 29898 = 119592 abzieht“.

S. 189, Fig. 131 fehlt bei B die Winkelbezeichnung ß.

S. 212, zu Fig. 148 anzusetzen: Nach einer für den Unterricht angefertigten Auto-graphie.

S. 219    und 244. Der Beweis    der Gleichung für „Pol innerhalb“ ist    insofern    unvollständig (ohne daß    das Ergebnis unrichtig würde), als er    nur den    Fall

betrachtet (der vorhanden sein kann, aber nicht vorhanden sein muß), daß der Kontur der Fläche ganz außerhalb des „Grundkreises“ liegt, vgl. Fig. 152 und den zugehörigen Text S. 216. Es war beabsichtigt, das weitre in die „Übungen“ S. 244 aufzunehmen, was durch Versehen unterblieben ist.

S. 257, Z. 27 v. o. sollte auch noch aufmerksam gemacht sein auf die neuerdings viel verwendeten, photographisch auf Glas übertragnen Fadenkreuze, vgl. S. 637.

S. 267,    Z.    13    v.    o.    fehlt die Nr. 4., S. 269, Z. 27 v. o. die    Nr. 5.

S. 361,    Z.    10    v.    o.    soll statt „mittler“ stehen „mittlerer“.

S. 368,    Z.    15    v.    u.    soll statt „die“ stehen „Die“.

S. 423, Nr. 71: in der Überschrift sollte es heißen „auf dem Land“ (im Gegensatz zur Stadt) statt „auf freiem Feld“.

S. 435, Z. 23 v. o. fehlt Nr. 1.

S. 441, Z. 5 v. u. fehlt: „3. Ausführung der Zugrechnung“.

Hammer: elementare praktische Geometrie.

mm.

und bei b) zufällig auf Ferner verändert sich hei der Temperatur (diese Angabe ist auf den

mm

mm

48**

S. 478 und 486, Figg. 285 und 293. Die Vergleichung der zwei Figuren zeigt Widersprüche, z. B. fehlt in Fig. 285 die Zielung Bussen-Änger, in Fig. 293 die Zielung EulbacherHof-Calmit, ebenso Hochmössingen-Feldberg. Mit Rücksicht auf die Bemerkung S. 479, Z. 24 bis 27 von oben ist dies für das als Beispiel gegebne Netz nicht von Bedeutung; erwähnt sei aber, daß die Abmessungen der östlichsten eingetragnen Dreiecke (bei München) in Fig. 285, mit Rücksicht auf den Raum, nicht mehr maßstäblich richtig sind.

S. 482, Z. 13 v. o. ist nach „.. . .nicht groß werden“ einzuschalten: ,,; ferner, daß eine auf der Kugel parallel zur «-Achse gezogne Linie (Kugelkleinkreis) sich in der Ebne als Parallele zur «-Achse abbildet.“

S. 522, Z. 17 v. o. ist im Reindruck die Bezeichnung der Gleichung als (10) ausgeblieben.

S. 617, Z. 16 v. o.: Klammer am Beginn des Satzes fällt weg.

S. 647, zu Fig. 409. Der Nullpunkt der Lattenteilung ist etwa 0,2 m über dem Aufsetzpunkt angenommen, da man häufig doch (und gerade bei IY. 0.) in den untersten 3m der Latte nicht ablesen kann (Grasbusch u. dgl. kleine Sichthindernisse, die auf den Linien für I. und II. 0. nicht vorhanden zu sein pflegen), vgl. auch Figg. 408, 439 usf. Die besondre stafifelförmige Ausstattung des Nullpunkts bei 409 kommt für das Nivellieren nicht in Betracht, sondern nur bei Verwendung der Latte als „Tachymeterlatte“ (Band II).

S. 647, zu Fig. 410. Der „Lattenuntersatz“ (Fußplatte, Bodenplatte) hat selbstverständlich nur drei Fußspitzen (vgl. Text), wie im Grundriß Fig. 411 durch punktierte kleine Ringe in den drei Lappen angedeutet sein könnte. Diese Fußspitzen sind also im Schnitt 410 nicht richtig dargestellt.

S. 665, Fig. 428. Es fehlt in der Figur die Andeutung der im Text erwähnten Klemme Kl der Kippbewegung des Fernrohrs.

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Biblioteka Politechniki Krakowskiej

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