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Vermessungsku

Bearbeitet

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von

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Wilhelm Weitbrecht,

Professor an der Kgl. Württ. Fachschule für Vermessungswesen in Stuttgart.

Erster Teil: Horizontalmessungen.

Mit 368 Figuren und einer lithogr. Beilage.

Stuttgart.

Verlag von Konrad Wittwer. 1910.

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Alle Rechte Vorbehalten, insbesondere das Recht der Übersetzung in fremde Sprachen.

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Druck von Carl Hammer, Kgl. Hofbuchdruckerei, Stuttgart;

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Vorwort.

Das vorliegende Lehrbuch entspringt dem Bedürfnis, bei der vermessungstechnischen Ausbildung der württembergischen Geometer erhöhten Nachdruck auf die Bearbeitung praktischer Übungsaufgaben zu legen und die dafür nötige Zeit durch Befreiung der Studierenden von der Führung und Ausarbeitung von Manuskripten zu gewinnen.

Deshalb enthält es im wesentlichen den (auf die niedere Geodäsie beschränkten) Lehrstoff, den Verfasser seit mehr als zwei Jahrzehnten an der Kgl. Württ. Fachschule für Vermessungswesen vorträgt.

Zunächst für angehende Geometer (Landmesser) geschrieben, stützt sich das Buch auf in jahrzehntelanger, heute noch fortdauernder Vermessungspraxis in verschiedenen deutschen und ausser-deutschen Staaten, sowie in Studienreisen gesammelte Erfahrungen und kann daher vielleicht auch dem älteren Praktiker einiges bieten.

Möge es vielen Kollegen ein Leitfaden sein für das Eindringen in das praktische Vermessungswesen und ein Anlass, sich auch mit benachbarten, im Buch nur gestreiften Wissensgebieten zu beschäftigen. —

Ich möchte das Buch nicht der Öffentlichkeit übergeben, ohne dem Herrn Prof. Schenk für seine Unterstützung bei Bearbeitung der ins Lehrbuch aufgenommenen Abhandlungen über Optik, dem Herrn Oberbahnsekretär Knoblich für Bearbeitung des § 101 über „Ausweichungen“, dem Herrn Stadtgeometer Schmidt für seine im Lehrbuch benützten Mitteilungen über „mechanische Planvervielfältigungsverfahren“ und für seine Unterstützung bei der Figurenausführung, sowie dem Assistenten an der Fachschule, Herrn Obergeometer Zagst, für die Beihilfe bei Bearbeitung der Figuren und beim Lesen der Korrekturen aufrichtigen Dank zu sagen.

Stuttgart, Herbst 1909.

Der Verfasser.

Vorwort

Inhalts-Übersicht.

Seite

III

Erster Teil.

Horizontalmessungen.

Abschnitt I. Grundaufgaben der Vermessungskunde.....

Kapitel I. Hilfsmittel zum Abstecken (Siclitbarmachen) von Punkten und Geraden, sowie zum Messen von Strecken

§ 1. Hilfsmittel zum Abstecken (Sichtbarmachen) von Punkten und

Geraden ...................

§ 2. Geräte zum Messen von Strecken...........

§ 3. Längeneinheit. Vergleichungsapparate. Abgekürzte Schreibweise

für metrische Massangaben.............

§ 4. Das Lot oder der Senkel..............

§ 5. Die Wasserwage (Libelle)..............

§ 6. Lattenreiter, Gradbogen, Hängezeug, Gefällmesser und Messkeil

Kapitel II. Einfache Instrumente zum Messen und Abstecken

von Winkeln...................

§ 7. Diopterinstrumente.................

§ 8. Spiegelinstrumente.................

§ 9. Prismeninstrumente................

Kapitel III. Ausführung der geodätischen Grundaufgaben .

§ 10. Abstecken (Sichtbarmachen) von Punkten........

§ 11. Abstecken von Geraden..............

§ 12. Messen von Strecken...............

§ 13. Errichten von Loten, Messen und Abstecken von Winkeln mit Benützung einfacher Instrumente. Anwendung auf die Absteckung von Parallelen..............

§ 14. Fehlerquellen bei Ausführung der geodätischen Grundaufgaben.

Fehlergrenzen.................

Abschnitt II. Aufnahme von Figuren, Planzeichnung, Flächenberechnung . . ...................

Kapitel IV. Aufnahme von Figuren: „Stückvermessung“ .

§ 15. Aufnahmemethoden ...    ............

§ 16. Vorzüge und Nachteile der in § 15 vorgeführten Aufnahmemethoden § 17. Auswahl der im einzelnen Fall anzuwendenden Stückvermessungsmethode. Zweck und Art der Grenz- und Kleinpunkts vermarkung

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Kapitel V. Planzeichnung...............

§ 18. Zeichenhilfsmittel.................

§ 19. Planzeichnung nach direkten Aufnahmemassen......

§ 20. Planeingang...................

§ 21. Kopie, Vergrösserung bezw. Verkleinerung, Vervielfältigung von Plänen ....................

129

129

138

143

145

Kapitel VI. Rechenhilfsmittel.............

§ 22. Methoden zur Erleichterung und Sicherung der direkten Rechnung

§ 23. Tafelwerke...................

§ 24. Mechanische Rechenhilfsmittel............

§ 25. Graphische Rechentafeln..............

Kapitel VII. Flächenberechnung............

§ 26. Flächenberechnung aus direkten Aufnahme- oder aus berechneten

Koordinatenmassen...............

§ 27. Flächenberechnung mit teilweiser Benützung des Plans „halbgraphische Berechnung“.............

Kapitel VIII. Verwendung der Ergebnisse der staatlichen Stückvermessung (Aufnahmemasse, Grundstückspläne und Flächenmasse) für die Rechtspflege, die innere und die Steuerverwaltung ....................

§ 33. Vermessungsakten. Öffentliche Dokumente über das Eigentum an Grundstücken................

156

156

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239

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264

264

Abschnitt III. Schaffung bezw. Sicherung und Verfeinerung des

Zusammenhangs ausgedehnter Stückvermessungen . . . 274

Kapitel IX. Winkelmessinstrumente mit Fernrohren ... 274 § 34. Stative .    . .

§ 35. Glaslinsen    . . .

§ 36. Fernrohren . . .

§ 37. Ablesevorrichtungen § 38. Der Theodolit . .

§ 39. Untersuchung und Richtigstellung („Justierung“, „Rektifikation“) des Theodoliten. Untersuchung und Eliminierung der Wirkung nicht verbesserbarer Instrumentenfehler auf die Messung von

Horizontalwinkeln................

§ 40. Wirkung der bei Richtigstellung des Theodoliten etwa zurückgebliebenen Fehlerreste auf Projektion (Einweisen auf unebenem Gelände) und Winkelmessung. Eliminierung dieser Fehlerwirkung 339

Kapitel X. Messen und Abstecken von Horizontalwinkeln . 347

§ 41. Behandlung und Aufstellung des Theodoliten. Anzielung mit

dem Fernrohr.................

§ 42. Beobachtung von Horizontalwinkeln..........

§ 43. Vergleichende Würdigung der im § 42 vorgeführten Beobachtungsverfahren ...................

274

278

292

301

. 307

318

347

350

§ 44. Absteckung von Winkeln bestimmter Grösse. Absteckung eines zur Stückvermessung nach der Parallelmethode dienenden

372

Netzes von Aufnahmelinien............

380

§ 45. Zentrieren von Richtungen und Winkeln........

Kapitel XI. Trigonometr. Punktbestimmung („Triangulierung“) 389 § 46. Zweck, Wesen und Einteilung der trigonometr. Punktbestimmung 389 § 47. Auswahl der Dreieckspunkte I. Ordnung auf dem Gelände, Versicherung (Vermarkung), Signalbau. Winkelmessung .    .    .    392

394

§ 48. Basis- (Grundlinien-) Messung. Basisnetze........

400

§ 49. Berechnung der Längen der Dreiecksseiten.......

403

§ 50. Berechnung rechtwinklig-sphärischer (Soldnerscher) Koordinaten

für die Dreieckspunkte..............

407

§ 51. Berechnung sphärischer Polar- aus rechtwinklig-sphärischen

Koordinaten.....

. 409

§ 52. Geographische Koordinaten

. 414

§ 53. Bestimmung geographischer Koordinaten aus rechtwinklig-sphärischen (geodätische Übertragung).........

417

§ 54. Einschaltung eines Dreiecksnetzes zweiter in dasjenige erster

Ordnung ...................

435

§ 55. Umwandlung der sphärisch, in ebene Koordinaten. Kartenprojektion 418 § 56. Die Beziehungen zwischen ebenen rechtwinkligen und Polarkoordinaten und die Berechnung von Kleinpunkts- und Bogenschnittkoordinaten ................

. 441

§ 57. Verlegung von Dreieckspunkten (exzentrische Aufsteckung)

446

§ 58. Grundaufgabe: Berechnung der Koordinaten eines Neupunkts aus einem Dreieck auf Grund von Winkelmessung in den

Festpunkten. „Vorwärtseinschnitt“..........

449

§ 59. „Rückwärtseinschnitt“. (Snelliussche, oder Pothenotsche Vierecksaufgabe) ..................

464

468

§ 60. Aufgabe der zwei unzugänglichen Punkte. (Hansensche Aufgabe) 455 § 61. Der zweifach gegenseitige Rückwärtseinschnitt § 62. Kleintriangulierung mit Überbestimmung. Einleitung .... 465 § 63. Vermarkung der trigonometrischen Festpunkte. Spätere Prüfung

ihres Standortes................

a) Punkteinschaltung aus Winkelbeobachtungen.

472

§ 64. Übereinstimmende Berechnung aus zwei nebeneinander liegenden Dreiecken durch stufenweise Ausgleichung nach bedingten

Beobachtungen .................

477

§ 65. Übereinstimmende Berechnung aus beliebig vielen Dreiecken (nach Oberst Tulla). Auswahl der wahrscheinlichsten Lage des Neupunktes in einer fehlerzeigenden Figur als Schwerpunkt der Einzelschnittpunkte...........

§ 66. Rückwärtseinschnitt mit graphischer Koordinatenausgleichung.

Auswahl des wahrscheinlichsten Punktes P in der fehlerzeigenden Figur unter direkter Benützung der Bestimmungslinien .    . 483

494

§ 67. Rückwärtseinschnitt mit rechnerischer Ausgleichung der Beobachtungswidersprüche ..............

506

§ 68. Vorwärtseinschnitt mit rechnerischer Ausgleichung der Beobachtungswidersprüche ..............

511

§ 69. Vereinigtes Vor- und Rückwärtseinschneiden mit rechnerischer

Ausgleichung der Beobachtungswidersprüche......

b) Punkteinschaltung aus Richtungsbeobachtungen.

§ 70. Vorwärtseinschnitt mit graphischer Ausgleichung der Zielstrahlen 512 § 71. Vereinigtes Vor- und Rückwärtseinschneiden mit graphischer Ausgleichung der Zielstrahlen

§ 72. Vorwärtseinscknitt mit rechnerischer Ausgleichung der Beobachtungswidersprüche ..............

§ 73. Rückwärtseinschnitt mit rechnerischer Ausgleichung der Beobachtungswidersprüche ..............

§ 74. Vereinigtes Vor- und Rückwärtseinschneiden mit rechnerischer

Ausgleichung der Beobachtungswidersprüche......

§ 75. Einschaltung eines Punktes als „Folgepunkt“ zu einem vorgängig bestimmten „Leitpunkte“...........

Netzeinschaltung.

525

526

536

545

76.    Zweck der Netzeinschaltung .............

77.    Ausgleichung der Messungsergehnisse hei Netzeinschaltungen

niederer Ordnung................

§ 78. Wiederbestimmung von auf dem Gelände verloren gegangenen

Dreieckspunkten................

§ 79. Fehlergrenzen für trigonometrische Punktbestimmung III. und IV. Ordnung ..................

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550

551

560

563

Kapitel XII. Polygonometrisclie Punktbestimmung („Poly-gonisierung“, „Stationierung“) ...........

80.    Begriffsbestimmung und Zweck............

81.    PolygonometrischeKoordinatenberechnung. Abschlussgleichungen

und Sätze vom geschlossenen Vieleck.........

§ 82. Vermarkung der Polygonpunkte. Messung. Zugsanlage .    .    .

§ 83. Ausgleichung der bei der Koordinatenberechnung eines beiderseits an Festpunkten angeschlossenen Polygonzugs auftretenden Messungswidersprüche...........

§ 84. Zugsanschluss an einen unzugänglichen Punkt......

§ 85. Zugsanschluss au zwei unzugänglichen Endpunkten: „Zugseinhängung“ ..................

86.    Zugsnetze...................

87.    Berechnung fehlender Stücke in Vielecken........

88.    Aufsuchen grober Messungsfehler in Polygonen......

89.    Wiederbestimmung von auf dem Gelände verloren gegangenen

Polygonpunkten.................

§ 90. Fehlerquellen. Fehlerfortpflanzung. Fehlergrenzen .    .    .    .

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Kapitel XIII. Koordinatenumformimg (Transformation) . . 635

§ 91. Formelableitung.................

§ 92. Praktische Anwendung. Ausgleichung von Widersprüchen.

Rechenproben. Beispiel.............

Abschnitt IV. Linienabsteckung.............

Kapitel XIV. Absteckung von Geraden und Kurven ... 642

§ 93. Absteckung von Geraden mit vorgeschriebener Richtung und

Lage (Parallelen und Senkrechte zu Koordinatenachsen etc.) 644 § 94. Absteckung im Fall unmöglicher direkter Zielung (Tunnelachsen, Waldabteilungsgrenzen etc.)

§ 95. Einschneiden von Schnurgerüsten .

§ 96. Berechnung der Elemente zur Absteckung der Bogenhauptpunkte 653 § 97. Absteckung der Bogenkleinpunkte § 98. Flüchtige Bogenabsteckung .    .

§ 99. Korbbögen........

§ 100. Übergangskurven......

§ 101. Ausweichungen (Weichen) . .

635

636

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687

Einleitung.

Aufgabe der Vermessungskunde.

zur

Die Vermessungskunde (Geodäsie) hat die Aufgabe, die bildlichen oder zahlenmässigen Darstellung der Form und Begrenzung, sowie zur Ermittlung der Lage und Grösse bestimmter Gebiete (von Grundstücken, Gemarkungen, Ländern, Erdteilen) erforderlichen Messungen vorzunehmen und weiter zu verarbeiten. Das Eigentumsrecht am Grund und Boden, die Umlage der Grundsteuer, die Projektierung von Bauwerken, die Bewirtschaftung von Grundstücken, verschiedenerlei Massnahmen für den Verkehr u. s. w. stützen sich auf die Ergebnisse jener Messungen. Durch Übertragung der Lage und Höhe von Bauwerken aus dem Projekt auf das Gelände, durch Ermittlung der Ausdehnung geleisteter Bauarbeiten zum Zweck der Kostenberechnung stellt sich die Vermessungskunde in den Dienst der Bautechnik; durch passende Neueinteilung der Grundstücke zum Zweck der Ermöglichung baulicher oder besserer landwirtschaftlicher Ausnützung direkt in denjenigen der Volkswirtschaft.

Sehen wir zunächst ab von den natürlichen Unebenheiten der türdi^Dar-Erdoberfläche, den Bergen und Tälern, und denken uns das auf- dir" zunehmende und darzustellende Gebiet als begrenzten Teil einer horizontalen (zur Meeresoberfläche konzentrischen) Fläche, so erkennen wir, dass dessen getreue Wiedergabe auf einem ebenen Plan unmöglich ist, weil diese Fläche (näherungsweise eine Kugel) sich nicht in die Ebene abwickeln lässt. Wir sind daher genötigt, die Darstellung entweder auf einer der Erdoberfläche ähnlichen Fläche zu bewirken, oder die Verzerrungen in Kauf zu nehmen, welche sich als naturnotwendige Folge der Abbildung auf die Ebene ergeben. Diese Verzerrungen werden übrigens um so eher zurücktreten, je kleiner das darzustellende Gebiet im Vergleich zur ganzen Erdoberfläche ist, je weniger auf dessen Ausdehnung die Kugelform der Erde also abweicht von der Berührungsebene, dem Berührungs-zylinder oder dem Berührungskegel, welche man als abwickelbare Bildflächen in der betreffenden Stelle an die Erde legt. Dabei beträgt, wie wir in § 55 erkennen werden, die räumliche Ausweit b r e c h t, Vermessungskunde.

dehnung des auf abwickelbarer Fläche darstellbaren Gebiets immerhin noch einige hundert Quadratkilometer, wenn man Projektions-Verzerrungen in den Strecken-, Winkel- und Flächengrössen bis zum Betrag von ¹/₁₀ der bei gewöhnlichen Messungen unvermeidlichen Beobachtungsfehler noch zulässt.

An Stelle der schwerfälligen Darstellung begrenzter Teile der Erde auf einer der Erdgestalt ähnlichen Fläche (Engel u. s. w.) beschränken wir uns daher zunächst auf die für den ausübenden Techniker wichtigste Darstellung auf abwickelbarer Fläche, die „Niedere Geodäsie“.

Einteilung: Niedere Geodäsie.

Höhere Geodäsie.

Gelände

uneben

heiten.

Wir reduzieren damit den notwendigen mathematischen Hilfsapparat auf die Gebiete der ebenen Geometrie und Trigonometrie, scheiden aber gleichzeitig diejenigen geodätischen Aufgaben aus dem Kreis unserer Betrachtungen vorerst aus, welche vermöge bedeutender räumlicher Ausdehnung des Vermessnngsgebiets, oder höherer verlangter Genauigkeit eine solche Beschränkung nicht ertragen und der „Höheren Geodäsie“ angehören.

Unsere bisherige Betrachtung gründete sich auf die Annahme, das aufzunehmende Gebiet sei ein Teil der Meeres- oder einer ihr konzentrischen Fläche. Wir müssen diese Annahme jetzt verlassen, weil sie kaum irgendwo zutrifft. Die Unebenheiten der Erdoberfläche mögen wohl im Vergleich zur Gesamtausdehnung der Erde zurücktreten, für das von uns aufznnehmende, (nach dem vorhergehenden) beschränkte Gebiet spielen sie eine sehr bedeutende Rolle; ihre Darstellung bildet geradezu einen erheblichen Teil unserer Aufgabe.

Damit stellt sich aber die Schwierigkeit der ebenen Abbildung einer auf nicht abwickelbarer Fläche gelegenen Figur, der wir durch Zurückstellung eines Teils unserer Aufgabe vorerst entronnen sind, in erhöhtem Masse wieder ein. Die in jahrtausendelanger Arbeit der Naturkräfte geschaffene Gestalt der Erdoberfläche ist ebensowenig abwickelbar, als die Kugelfläche, ja sie ist von noch viel komplizierterer Form, als die letztere.

Horizontalme ssungen.

Vertikal

messungen.

Es bleibt uns — wollen wir uns nicht der, nach Herstellung und Benützung schwerfälligen verkleinerten Kopie, des Reliefs, bedienen — nichts übrig, als auch hier wieder zur Projektion unsere Zuflucht zu nehmen, und unsere Darstellung in eine Horizontal-und eine Vertikalprojektion zu zerlegen.

Damit zerfällt unsere niedere Geodäsie in zwei Hauptabschnitte,

nämlich:

I. „Horizontalmessungen“,

II. „Vertikalmessungen“.

Erster Teil.

Horizontalmessungen.

Abschnitt I.

Grundaufgaben der Vermessungskunde.

(Abstecken von Punkten und Geraden, Messen von Strecken und Winkeln mit Benützung einfacher Instrumente.)

Horizontal-jirojektion für viele Zwecke allein ausreichend.

Einleitung: Wir haben im vorhergehenden uns genötigt gesehen, an Stelle der Wiedergabe der wahren Gestalt von Teilen der Erdoberfläche diejenige ihrer horizontalen und vertikalen Projektion treten zu lassen. Nicht für alle vermessungstechnischen Aufgaben ist aber die Darstellung gleichzeitig in beiden Projektionen notwendig. Vielmehr genügt für viele Zwecke die Horizontalprojektion allein. Für die bauliche, oder landwirtschaftliche Ausnützbarkeit und daher auch für den Verkaufs- und Besteuerungswert eines Grundstücks kommt lediglich dessen horizontale Erstreckung, d. h. die Grösse der Horizontalprojektion in Betracht, nach welcher die Grösse der zu schaffenden Wohnräume, die Entfernung der Gebäude, der vertikal wachsenden Halme und Stämme etc. sich ergibt.

Wollte man umgekehrt die tatsächliche, geneigte Fläche zugrunde legen, so wäre die im öffentlichen Verkehr wichtige Grundstücksgrösse fortwährenden und willkürlichen Schwankungen unterworfen. Der Verkäufer eines Grundstücks könnte dessen Oberfläche durch Erdaflbeiten (Gräben, Dämme etc.) beliebig vergrössern. Nur die Darstellung der Horizontalprojektion schafft ferner die Möglichkeit, auf Grund geodätischer Aufnahmen die Richtung und Länge der Horizontalprojektion unbegangener, ja unzugänglicher Strecken (Waldabteilungsgrenzen, Tunnelachsen etc.) zum voraus und genau zu berechnen und die frühere Lage etwa verloren gegangener Grundstücksgrenzen trotz etwa vor sich gegangenen Geländeumbaus mit Sicherheit wieder anzugeben. Gegen diese zahl-

reichen und wichtigen Benützungsfälle der Horizontalprojektion treten diejenigen zurück, bei denen die wirkliche (geneigte oder krumme) Flächenausdehnung gesucht und zu ermitteln ist (Ausmessung von Pflaster- und anderen Bauarbeiten; Ausnützung von Grundstücken zur Rasenbleiche; Wegkilometrierung etc.). —

Sprachliche

Ungenauig

keiten.

Wir werden daher im gegenwärtigen Abschnitt, wenn nicht ausdrücklich etwas anderes gesagt ist, uns die Abbildung der Horizontalprojektion zur Aufgabe stellen und unter einem „Punkt“ bezw. einer „Geraden“ zumeist nicht solche im mathematischen Sinn, sondern diejenigen geometrischen Gebilde verstehen, die sich horizontal als Punkt bezw. als Gerade projizieren (Punkt, vertikale Gerade; Gerade, einfach gekrümmte Linie in vertikaler Ebene, vertikale Ebene). Ebenso werden wir die Horizontalprojektion einer Strecke AB kurz als Strecke AB, diejenige eines Winkels ABC kurz als den Winkel ABC bezeichnen und in allen Fällen nur die ersteren zu ermitteln suchen.

Kapitel I.

Hilfsmittel zum Abstecken (Sichtbarmachen) von Punkten und Geraden, sowie zum Messen von Strecken.

§ 1. Hilfsmittel zum Abstecken (Sichtbarmachen) von Punkten

und Geraden.

a) Stäbe (Baken, Piquets, Jalons) aus Tannenholz oder Mannesmannrohr dienen zur Sichtbarmachung, zum „Aufstecken“ vonPunkten. Sie haben zylindrische Form, ¹) kreisrunden Querschnitt und 2 bis 4 cm Stärke. Ihre Länge beträgt 1 bis 3 m (je länger um so eher sichtbar auch über Terrainwellen hinweg, aber um so schwieriger in den Boden einzustecken und um so unbequemer bei windigem Wetter). Unten sind sie mit eisernen bezw. stählernen Schuhen versehen, die in gehärteten Spitzen oder (zum Einstecken in Pflasterfugen) in Schneiden endigen. Um ihre Sichtbarkeit auf grössere Entfernungen zu erhöhen sind die Stäbe mit Ölfarbe, meist rot und weiss abwechselnd von 0,5 m zu 0,5 m, angestrichen. Zu kleine oder zu grosse Intervalle (0,1 m bezw. 1,0 m) schädigen die Sichtbarkeit auf grössere Entfernung. Zweckmässigerweise tragen die Stäbe, zur gelegentlichen Verwendung als Massstab, Dezimeterteilung.

Dem Krumm wer den des Holzes kann durch Zusammenlegen mehrerer der Länge nach gespaltener bezw. gesägter Stücke, wie auch durch passende Aufbewahrung (Aufhängen oder Auflegen auf satter Unterlage) vorgebeugt werden.

Bei weniger ausgedehnten, oder weniger wichtigen Arbeiten verwendet man wohl auch gewöhnliche gespaltene oder gesägte, von oben herab eingeschlitzte Stäbe, Weinbergpfähle etc., in die, zwecks besserer Sichtbarkeit, symmetrisch nach beiden Seiten ein Stück Papier eingezwängt wird.

Zum Verstreben eines Stabs, der auf einem Markstein etc. direkt aufgestellt werden soll, sind eiserne Doppelringe zweckmässig,

Fig. 2.

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deren lichte Weite dem Stabdurchmesser entspricht und von denen der eine, am schief in den Boden zu steckenden Strebestab befestigte, sich um eine in der Ebene des zweiten liegende, an letzterem befestigte Achse drehen lässt (Eig. 1).

Zur Aufsteckung von Punkten auf asphaltierten oder chaussier-ten Strassen, Trottoirs etc. verwendet man leichte, dreibeinige Stativehen. Deren horizontale Platte ist entweder zur Aufnahme des Stabs zylindrisch durchbohrt, oder durch einen vertikalen zylindrischen Metallring ersetzt, welcher nötigenfalls mittels Schrauben oder Keils, den auf den Punkt senkrecht gestellten Stab festhält.

b) Handelt es sich um grösstmögliche Zielgenauigkeit (Markscheiderarbeiten, Stadtvermessungen etc.), so treten an Stelle der Stäbe Signalscheibchen, die mittels eines Eussgestells, ähnlich demjenigen der Theodoliten (s. § 38), auf Spreizen oder Stativen aufgestellt werden (s. Fig. 2).

c)    Bei Arbeiten unter Tag werden die unter (b) auf geführten, aus durchscheinendem Material hergestellten Signalscheibchen von hinten beleuchtet, oder man verwendet zu Lämpchen ausgestaltete Senkel (s. Fig. 3), um Zielpunkte sichtbar zu machen.

Bei längeren Zielungen versagen die bisher vorgeführten Signalisiervorrichtungen. Für Entfernungen von V² bis 5 km verwendet man daher

d)    7 bis 10 cm starke, gerade Stangen von 3 bis 5 m Höhe, die man senkrecht im Boden befestigt und entweder mit Kalkmilch anstreicht, oder mit weissem Papier umwickelt. Zur Erleichterung

Fig. 3.

Fig. 4.

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des Auffindens und um Yerweclis-

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lungen mit Telegraphenstangen etc. zu vermeiden, werden farbige Flaggen, Kreuze, angestrichene ballonförmige Körbe etc. an der Spitze angebracht. In Wald gebieten ist man zuweilen genötigt, diese Stangen mit den Gipfeln starker Bäume zu verbinden.

Reicht die Sichtbarkeit der Stangen wegen zu grosser Entfernung nicht aus, so treten an deren Stelle

e) Holzpyramiden, welche aus vier Streben konstruiert und von oben herab verschalt sind (s. Fig. 4). (Über die schädliche Wirkung der verschieden starken Beleuchtung der einzelnen Seitenflächen (Phasen) s. § 42.) Sie erleichtern nicht nur das Aufsuchen und ermöglichen eine Steigerung der Zielgenauigkeit durch Übergang von der breiteren unteren zur schmäleren oberen Sehfläche, sondern sie gestatten auch die zentrische Beobachtung unter der

Pyramide selbst nach anderen Punkten, wenn sich der Durchsicht keine Hindernisse entgegenstellen. Befindet sich der Beobachtungspunkt aber im Wald, oder werden gewünschte Zielungen nach ihm durch Wälder, Bergrücken etc. gehindert, so kann man genötigt sein

f)    Beobachtungsgerüste oder Aussichtstürme zu erstellen. Auf die Konstruktion solcher Bauwerke soll hier nicht eingegangen werden. Nur soviel sei gesagt, dass möglichste'Unveränderlichkeit der Lage während der Beobachtungsperiode unbedingtes Erfordernis ist. Handelt es sich daher, wie gewöhnlich, um Bauwerke aus Holz, so muss dafür gesorgt werden, dass durch Bewegungen des Beobachters oder durch Sonnenstrahlen, Wind etc., der Instrumentenstand keine Erschütterungen und Ortsveränderungen erleidet. Dies geschieht am besten dadurch, dass man letzteren ohne Verbindung mit dem Beobachtungsgerüst erstellt und durch dieses mantelartig umgibt. (Weiteres siehe Hegemann, Lehrbuch d. Landesvermessung u. a. a.O.)

g)    Auf besonders grosse Entfernungen wird die Anzielung selbst von Pyramiden oder Türmen namentlich dann schwierig, wenn sie sich vom Hintergrund wenig abheben. Ist man dagegen imstande, Strahlen einer genügend starken Lichtquelle von dem anzuzielenden Punkt aus, dem entfernten Beobachter zuzusenden, so wird der schädliche Einfluss schlechten Hintergrundes und grosser Länge der Zielung in der Hauptsache ausgeschaltet. Bei Nachtbeobachtungen kann hiebei jede künstliche Lichtquelle verwendet werden, nötigenfalls in Verbindung mit einem parabolischen Spiegel, der die Lichtstrahlen in der Richtung gegen den Beobachter zurückwirft.

Bei Tagbeobachtungen benützt man, einem Gedanken des Göttinger Astronomen G. F. Gauss (1777—1855) folgend, das mittels Planspiegels gegen den Beobachter geworfene Sonnenlicht. Da der scheinbare Sonnendurchmesser ca. ¹j₂ ⁰ beträgt, so reflektiert jeder Punkt des Spiegels einen Lichtkegel von ¹/₉ ⁰ Öffnung. Jeder Beobachter, der sich innerhalb dieses Lichtkegels in der Entfernung d vom

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Spiegel befindet (Durchmesser des Kegelgrundkreises

erhält also Strahlen desselben zugesandt. Da die Sonne in 24

Stunden (scheinbar) einen Weg von 360° zurücklegt, so dauert die

Bestrahlung eines jeden Punktes bei feststehendem Spiegel

Zeitminuten, nach deren Verlauf der Spiegel zu drehen wäre, wenn der Punkt weiterhin beleuchtet sein soll. Es ist also weder nötig, dass der zu beleuchtende Standpunkt genau in der Achse des Lichtkegels sich befinde (bei 50 km Entfernung wird eine Fläche von ca. 500 m Durchmesser beschienen), noch dass der reflektierende Spiegel, entsprechend dem Gang der Sonne, stetig gedreht wird.

24.60

720

Von den verschiedenen Konstruktionen des Instruments, des „Heliotrops“, sei liier nur die einfachste, „Bertramsclie“ angeführt, welche in der neueren Zeit fast ausschliesslich zur Anwendung kommt (s. Fig. 5). Auf einem rechteckigen Brett von ca. 52 cm auf 10 cm, dessen Mittelpunkt durch eine Schraube H auf dem zu signalisierenden Punkt festgehalten wird, und das um diese Schraube in horizontalem Sinn, und mittels einer Stellschraube S um kleine Beträge, auch in vertikalem Sinn, gedreht (gekippt) werden kann, wird einerseits ein mit kleinem Loch versehener Spiegel, anderer-

Fig. 5.

III

Hfl

seits ein Röhrchen aufgesteckt, über dessen, dem Spiegel abgewandte, durch einen Klappdeckel verschliessbare Öffnung, zwei sich senkrecht kreuzende Fäden gespannt sind. Das kleine Loch im Spiegel bildet mit dem Kreuzungspunkt der beiden Fäden eine Ziel-(Diopter)-vorrichtung, welche durch Drehen um die Halteschraube H, bezw. Kippen mittels der Stellschraube S in die Richtung nach dem fernen Beobachter (Theodolit) gebracht werden kann. Theodolitstandpunkt einer-, Fadenkreuzpunkt, Halteschraube und Loch im Spiegel des Heliotrops anderseits befinden sich dann in einer Geraden. (Liegt der Standpunkt des Beobachters zu fern, um vom Heliotropen-stand aus direkt unterschieden werden zu können, so sendet man entweder vom Theodolit aus mittels eines Spiegels reflektierte Sonnenstrahlen dem Heliotropisten zu, oder man berechnet aus der ungefähr zu ermittelnden geographischen Lage und Höhe beider Punkte den Richtungsunterschied ihrer Verbindungslinie gegen eine bekannte, sichtbare Richtung und deren Neigungswinkel gegen die Horizontale, und setzt beide mittels entsprechender Hilfsinstrumente im Heliotropenstand ab.)

Nun wird der Spiegel unter Benützung zweier entsprechender, in horizontalem und vertikalem Sinn wirkender Drehachsen in die-

jenige Lage gebracht, welche den von der durchbohrten Stelle des Spiegels herrührenden Schattenpunkt auf den Kreuzungspunkt der Zielfäden bringt. Ob dies der Fall ist, erkennt man leicht, wenn man die Röhrenöffnung, welche die Fäden trägt, mit einem hellen Gegenstand (Klappdeckel, Papierstück etc.) verschliesst. In demselben Augenblick sind aber die reflektierten Sonnenstrahlen gegen den Beobachter gerichtet. Wegen der wandernden Sonne braucht man dann nur etwa von Minute zu Minute den reflektierenden Spiegel so zu drehen, dass der, von dem Loch im Spiegel herrührende kleine Schattenpunkt, auf den in seiner Lage unveränderten Fadenkreuzungspunkt fällt. Die Zielröhre selbst hindert das Anzielen des Spiegels durch den fernen Beobachter keineswegs. Man kann sie übrigens zum Umklappen einrichten und so zeitweilig aus der Zielrichtung entfernen.

Fallen die Sonnenstrahlen ungünstig ein (liegen z.B. Beobachter, Heliotrop und Sonne in ungefähr derselben Richtung), oder liegt der Heliotropenstand im Schatten, so bedient man sich eines Hilfsspiegels, den man an passender Stelle so befestigt, dass die von ihm nach dem Heliotropenspiegel geworfenen Sonnenstrahlen jetzt wiederholt und ebenso reflektiert werden können, wie ursprünglich die Sonnenstrahlen selbst. Ist das Heliotropenlicht zu stark, so kann es entweder durch ein vor dem Beobachter aufgestelltes feines Haarsieb, oder durch farbige Gläser abgedämpft werden, durch die man es nach erfolgter Spiegelung beim Heliotrop treten lässt. Mit letzterer Einrichtung und mit zeitweiliger längerer oder kürzerer Bedeckung des Spiegels (Lichtblitze) erhält man gleichzeitig ein Mittel zur optischen Verständigung zwischen dem Beobachter und dem Helio-tropisten nach Art des Morsealphabets in der Telegraphie.

§ 2. Geräte zum Messen von Strecken.

Die gewöhnlichen Streckenmessgeräte zerfallen in zwei Hauptgruppen, nämlich in

a)    Endmasse, deren Enden (Flächen, Kanten, Ringmittelpunkte) um eine bestimmte, der Messung zugrund liegende Länge voneinander entfernt sind, und

b)    Strichmasse, bei welchen Strichmarken diese Länge begrenzen. Zu letzteren zählen in gewissem Sinn die Nivellierlatten (s. dieselben). Im übrigen kommen sie hauptsächlich bei feineren Streckenmessungen, „Basismessungen“ (s. § 48) zur Anwendung. Über optische Hilfsmittel zum Streckenmessen vergl. „Tachy-metrie “.

Zu den Endmassen gehören:

Messstangeu

oder

Messlatten.

a) Die Messstangen oder Messlatten von 2, 3, 5 m Länge aus astfreiem, trockenem Fichtenholz²) mit rundem, ovalem, vereinzelt auch rechteckigem Querschnitt und 2—4 cm Stärke. Zum Schutz gegen Bruch werden sie gegen die Mitte um etwa 1 cm stärker.

Zum genaueren Anlegen bei möglichster Unveränderlichkeit der Länge sind die Enden mit eisernen Kappen (Zwingen) versehen,

Fig. 6.

welche in Ebenen, Kanten (Schneiden) oder Zylinderflächen senkrecht zur Stangenachse oder in Kugelkappen endigen und durch seitlich spiralförmig angeordnete Holzschrauben mit versenkten Köpfen an den Stangen befestigt werden. Fig. 6.

wm.

\A

Wichtig ist, dass zwischen der inneren Kappenendfläche und der Stirnfläche des Holzes kein hohler Zwischenraum verbleibt, wegen der andernfalls leicht sich einstellenden Längenveränderung infolge Anfwerfens der Stange beim Messen. Es empfiehlt sich daher, vor dem erstmaligen Gebrauch nach erfolgter Wegnahme der Befestigungsschrauben den Versuch zu machen, mittels eines schweren Hammers die Zwinge einzutreiben. Gelingt dies, so wird sie zuerst herausgenommen und der Zwischenraum, soweit erforderlich, mit Papierscheibchen ansgelegt.

Fig. 7.

Erfahrungsgemäss nützt sich die Stange am raschesten direkt hinter der Zwinge ab, weil dieser Teil durchs Aufwerfen bei der Messung in abschenernde Berührung mit Steinkörperchen etc. gerät. Fig. 7. Um dieser Abnützung und dem schliesslichen Bruch entgegenzuwirken, werden neuerdings eiserne Schutzstreifen von 0,5 bis 1 m Länge mit den Zwingen vernietet und an der Stange befestigt, eine Einrichtung, welche sich gut bewährt hat.

Zur Erleichterung des Ablesens und zur Abhaltung schädlicher Nässe versieht man die Messstangen mit einem Ölfarbanstrich, dessen Farbe von Meter zu Meter wechselt. Die Grenzen der einzelnen Dezimeter werden durch farbige Ringe (diejenige der halben Meter doppelt) und überdies noch durch kurze Stiftchen bezeichnet.

Die Verwendung der Stangen beim Messen geschieht immer paarweise; durch etwas verschiedenen Anstrich der beiden Individuen eines Paars erlangt man ein Mittel, sich vor Zählfehlern einiger-massen zu schützen (s. § 12).

Zerlegbare oder zusammenklappbare oder Messstangen mit Justiervorrichtung sind nicht zu empfehlen. Erstere sind zwar in gewöhnlichen Fuhrwerken bequem zu transportieren, was bei starrer Normallänge von 5 m nicht zutrifft, letztere lassen sich leicht auf die Solllänge einstellen. Bei beiden geht aber diese Bequemlichkeit, angesichts der heftigen Erschütterung beim jedesmaligen Aufwerfen der Stange, auf Kosten des wichtigsten Erfordernisses, der möglichsten Unveränderlichkeit während der Messung.

Die ovale Form des Querschnitts hat gegenüber der kreisrunden den Vorzug weniger leichten Rollens, leichterer Verwendbarkeit bei schmutzigem Wetter und geringerer Abnützung der Dezimeterstriche, weil die Auflage immer auf derselben Seite erfolgt, ferner denjenigen grösserer Sicherheit gegen das Verbiegen und Einschlagen, sie ergibt aber schwerere und unhandlichere Stangen, die weniger leicht als bei der runden Form mit einer Hand zu bedienen sind. Die gewöhnliche Form der Zwingenenden ist die ebene. Kleine Abweichungen von der geraden Messungsrichtung in horizontalem, wie in vertikalem Sinn erzeugen bei dieser Form Klaffungen zwischen den Endflächen, welche massverkleinernd, also entgegengesetzt den direkten Folgen der Zickzackmessung wirken.

Es liegt daher der Gedanke nahe, den Einfluss der letzteren durch entsprechende Dicke der Messstangenenden sich aufheben zu lassen. Weicht eine Stangenlage um den Winkel a nach der einen, die folgende um denselben Winkel nach der andern Seite ab, so beträgt die durch Zickzackmessung und Klaffung der Endflächen bedingte Massvergrösserung (vergl. Fig. 8)

v = 2 1 — 2 (1 cos a) — 2 d sin a = 2 1 (1 — cos a) — 2 d sin a

d sin a \

2 j

( ' 2-

fcO 8

£*

fco a

Dieser Betrag wird = 0 (abgesehen von dem selbstverständlichen Fall a = 0) für 1 sin ~ — d . cos oder für d = 1. tg

Fig. 8.

:!•

/«

Nimmt man an, das eine Stangenende weiche von der Geraden um den Betrag a ab, so wird tg “ = — und d = | . Es müsste also die Dicke des Stangenendes veränderlich und jeweils = sein,

wenn die beiden Fehlereinflüsse sich aufheben sollten. Jedenfalls ergibt sich aus dieser Untersuchung, dass die ebene Form des Stangenendes einen Teil der Folgen schlechter Messungsrichtung eliminiert, namentlich insolange die jeweilige Ausbeugung a zwischen 0 und 2 d bleibt. Sie ist also aus diesem Grund, wie auch wegen der bequemeren Handhabung beim Senkeln, bei gewöhnlichen Messungen der Keilform dann vorzuziehen, wenn dafür gesorgt ist, dass die Zwingenenden genau _L zur Stangenachse angeordnet sind. Bei Anwendung der Keil-(Schneiden)-enden ist, etwa durch Messung längs gespannter Schnur, für scharfe Einhaltung der geraden Messrichtung Sorge zu tragen.

Veränderungen der Länge von Messstangen werden, abgesehen von direkten Beschädigungen, namentlich erzeugt durch Krummwerden (Verziehen) der Stangen und durch Einwirkung der Feuchtigkeit. Letztere erzeugt bei 5 m langen Latten Längenänderungen bis zum Betrag von 2 bis 3 mm. Beiden Fehlerquellen wird vorgebeugt durch satte Lagerung in trockenen Räumen, sowie durch Verwendung gut abgelagerten Holzes und dreimaligen Ölfarbanstrich.

ß) Das Messband, aus Leinen mit Stahldrähten durchzogen, oder aus gehärtetem Stahl, ist in der Regel 10 bis 20 m lang, 1 bis 3 cm breit und etwa x/₂ mm dick. Ausnahmsweise, bei Verwendung in ebenem Gelände, werden Stahlbänder von erheblich grösserer Länge (in den Vereinigten Staaten von Nordamerika bis zu 100 m Länge bei 6,3 mm Breite) benützt. Eingeschlagene Stift-chen oder eingeätzte Striche bezeichnen die Endpunkte der Dezimeter, die halben und ganzen Meter werden durch aufgenietete

Messingplättchen (um die Ablesung zu erleichtern, von verschiedener Grösse und Form) hervorgehoben. An den beiden Enden sind durch Vermittlung je zweier Gelenke metallene Ringe befestigt, welche über die zugehörigen zylindrischen Bandstäbe gestreift werden und

Fig. 9 a.

Fig. 9.

1 Oferzz

deren Mittelpunkte zumeist die Anfangspunkte der Teilung bezeichnen (s. Fig. 9). Die Bandstäbe endigen unten in Spitzen, oder spatenförmigen Schuhen. Stifte oder Scheiben verhindern das Abgleiten des Rings.

Zur Messungseinrichtung gehört noch eine Anzahl 20 bis 40 cm langer eiserner Nadeln mit Ösen, welche während des Messens in einem Ring am Gürtel getragen werden und zur jeweiligen Bezeichnung des vorderen Bandendes dienen. Zum Auf bewahren und zum Transport wird das Band über ein Holzkreuz (Haspel), oder eisernen Ring gewickelt und samt den Nadeln und Ringen in einem Kästchen untergebracht (s. Fig. 9 a).

Die Länge der Stahlbänder ändert sich bei wechselnder Temperatur, und zwar für 1° C. um das 0,000012 fache ihrer Länge. Bei einem Band von 20 m Länge verursacht also eine Temperaturveränderung von 20° C. eine Längendifferenz von

20 X 20000 X 0,000012 mm = ca. 5 mm.

Bei feineren Messungen darf dieser Betrag nicht vernachlässigt werden. Man bringt ihn daher entweder bei der gemessenen Strecke in Rechnung, oder schaltet an einem Bandende eine Berichtigungsvorrichtung zwischen Band und Endring ein, mit der die Bandlänge der jeweiligen Bandtemperatur entsprechend verändert werden kann. Da Änderungen in der Bandtemperatur denjenigen der Lufttemperatur nicht durchweg parallel verlaufen, so bildet die Feststellung der ersteren eine Quelle für Ungenauigkeiten bei feineren (Basis-) Messungen. Sie erfordert bei solchen besondere

Messkette.

Massnahmen und Einrichtungen. Weitere Messungsfehler werden erzeugt durch Veränderung des Anreihepunktes bei mehrmaliger Anlegung des Bandes, z. B. infolge starken Zugs mit den Bandstäben, und durch Veränderung dieses auf das Band ausgeübten Zugs selbst. Der Anlegefehler kann eingeengt werden durch Verwendung von Stäben mit spatenartigen Enden, oder besser durch Ersetzung der Endringe durch End striche. In diesem Fall dienen die Ringe nur noch zum Spannen des Bandes, das an jedem Ende um 1 bis 2 dm über den Endstrich hinaus verlängert ist.

Zur Erzielung bezw. Feststellung gleichmässigen Zugs kann man eine Federwage zwischen Spannring oder Handgriff und einem der Endstriche einschalten.

Nach Jordan ist die günstigste Spannung rund 15 kg. Bei geringen Abweichungen von dieser Normalspannung streckte sich ein 20 m langes, 20 mm breites, 0,3 mm starkes und 1,675 kg schweres Band bei Temperaturen zwischen —j— 15° und -f- 18° C. positiver negativer

+ 0,14 mm bei glatter Auflage -j— 0,2 mm

—    0,5 mm -f- 0,6 mm (

—    1,9 mm j

Die Untersuchung der Bandlänge (s. § 3) hat bei Ausübung der Normalspannung zu erfolgen.

Bei Messungen ohne Federwage sind Spannungsunterschiede von etwa + 2 kg zu befürchten.

für jedes kg

Spannungsänderung

um:

| im Fall des Auf liegens nur in der Mitte

im Fall freier Hängung.

y) Die Messkette — eine Kette aus x/₂ m, früher 1 Fuss langen, durch Ringe oder Metallplättchen verbundenen Metallgliedern, an beiden Enden, wie das Messband, mit Stabringen versehen — ist für genauere Messungen heute nicht mehr im Gebrauch, weil Abnützung, Dehnen und Verschränken der Ringe, Einschieben fremder Körper zwischen dieselben schwer kontrollierbare und schwankende Einzelfehler verursachen, die das Messungsergebnis ungünstig beeinflussen. Dagegen hat sie im Vergleich zum Messband den Vorzug leichterer Reparierfähigkeit.

Die die Glieder verbindenden Metallplättchen tragen die Angabe ihrer Entfernung vom Teilungsanfang (Mitte des hinteren

Endrings).

Nur für oberflächliche Längenbestimmungen und in dem Falle verwendbar, dass nicht die Horizontalprojektion einer Strecke, son-

dem, ohne Rücksicht auf die Geländeform, letztere selbst gesucht ist (Strassenkilometrierung etc.), sind ferner

Drelilatte.

Fig. 10.

d)    Die Drehlatte, oder der Feldzirkel (Fig. 10), eine geteilte Latte von 3 m (früher 10') Länge, in der Mitte mit einem Handgriff, an beiden Enden aber mit senkrecht zu ihrer Längsachse angeordneten Spitzen versehen, die es gestatten, ähnlich der Verwendung des Zirkels auf dem Papier, unter Festhaltung des einen Endes auf dem Boden

den Apparat um die betreffende Spitze um 2 R zu drehen (herumzuschleudern).

e)    Das Messrad, ein Rad von bestimmtem Umfang (1—5 m), Messrad. das beim Wegführen über eine Strecke um eine in einer Gabel festgehaltene Achse sich dreht, wobei der Radumfang die durchlaufene Strecke abwickelt.

Die Zählung der Radumdrehungen erfolgt mittels eines von der Radachse in Bewegung gesetzten Zählwerkes. Für die Kilometrierung von Strassen- und Eisenbahnstrecken kann man das Rad mit einem Glockenschlag versehen, der nach Durchlaufen der jeweiligen Teilungseinheit automatisch zum Tönen gebracht wird.

§ 3. Längeneinheit. Vergleichungsapparate. Abgekürzte Schreibweise für metrische Massangaben.

Längen

einheit.

Längeneinheiten sind, im Gegensatz zu der durch Teilung einer vollen Umdrehung zu gewinnenden Einheit für die Winkelmessung, die sich jeder an jedem Ort selbst herstellen kann, künstlich, d. h. nicht von der Natur gegeben, sondern durch Vereinbarung zwischen Personen, Gemeinden, Völkern etc. festgesetzt. An dieser Tatsache ändert das ursprünglich vorhanden gewesene Bestreben, die mittlere Grösse einzelner in der Natur auftretender organischer Gebilde (Fuss, Elle, Klafter, Spanne etc.) oder menschlicher Leistungen (Schritt, Wegstunde etc.) als Längeneinheit festzusetzen, nichts. Denn die Verschiedenheit in der Ausdehnung der Einzelindividuen solcher Gegenstände und Leistungen ist zu gross, als dass ein beliebiges von ihnen als Massstab für irgend eine nur einigermas^en wertvolle Sache hätte dienen können.

So blieb zunächst nichts anderes übrig, als dass jedes selbständige Gemeinwesen, sei es für sich allein, sei es in Anlehnung an ein anderes, politisch oder wirtschaftlich mächtigeres, einen Mittelwert des gewählten Naturmasses als für seinen Machtbereich

gültige Längeneinheit erklärte und — häufig durch Einmauern oder Einmeisseln an Kirchen (Notre Dame in Paris, Dom in Freiburg i/13, etc.) — seinen Angehörigen zur Verfügung stellte. Tatsächlich besass derart noch bis gegen Ende des 18. Jahrhunderts fast jedes selbständige deutsche Stäätchen, jede freie Reichsstadt ihre eigene Masseinheit. Ja man unterschied sogar in einem und demselben Gemeinwesen, ursprünglich wohl um den bei der Feldmessung zu überwindenden Rainen und Böschungen Rechnung zu tragen, zwischen einem grösseren „Feld“- und einem kleineren „Werk“mass.

In dem Grad jedoch, in dem der Verkehr zwischen entfernteren Völkern sich hob, wuchs das Bedürfnis nach allgemein gültigen und — verständlichen Längenmassen. Für gewisse Zweige der menschlichen Tätigkeit bürgerten sich aus solchem Grund nebenher, ohne Rücksicht auf die heimische Längeneinheit, mit fast internationalem Geltungsbereich die Masse desjenigen Volkes ein. das auf dem betreffenden Gebiet eine führende Rolle übernommen hatte (z. B. englisches Mass im Maschinenbau, etc.).

Aber auch da, wo man sich scheute, die altüberkommene Längeneinheit zugunsten einer verbreiteteren fremden kurzerhand zu verlassen, sah man sich genötigt, das Verhältnis zwischen den heimischen Massen und denjenigen eines politisch oder wirtschaftlich mächtigeren Staatswesens amtlich festzustellen. Dabei konnte man als dauernde Grundlage das eigene Urmass beibehalten, oder auf dessen Beibehaltung verzichten, sich künftig lediglich auf die festgestellte Verhältniszahl und das fremde Urmass stützend.

Der übermächtige politische Einfluss Frankreichs, sein Reichtum und die dadurch ermöglichte Inangriffnahme grosser baulicher und auch geodätischer Aufgaben auf der einen, die Ohnmacht und Zerrissenheit Deutschlands zu Ende des 18. und zu Anfang des 19. Jahrhunderts auf der anderen Seite brachten es mit sich, dass die Massdefinitionen der deutschen Staaten sich durchweg auf französische Masse stützten. So setzt z. B. ein Direktorialbefehl vom 28. Oktober 1773 für Preussen die Länge einer preussischen oder rheinländischen Rute = 12 preuss. Fuss zu 1669,56 Pariser Linien fest.

Die Massordnung für Württemberg vom 30. Nov. 1806 bestimmt unter Abschaffung der verschiedenen, in den hinzugekommenen Teilen des neugeschaffenen Königreichs in Verwendung gewesenen Lokalmasse, dass 1 Fuss durch die bei -(-13° Reaumur zu messende Länge derjenigen alten Masse bestimmt sei, „welche sich bei den Städten Stuttgart und Tübingen befinden“, dabei aber „die in Alt-Württemberg gebräuchlich gewesene Länge von 127 alt Pariser Linien“ beibehalten soll! (Dessen unpraktische Unterteilung bezw.

Zusammenfassung — 1 Fuss = 12 Zoll, 1 Rute = 16Fuss — wird bei diesem Anlass durch dezimale Teilung ersetzt.)* Diese mehrfache, sich widersprechende Definition der Längeneinheit brachte es in der Folge mit sich, dass für alle öffentlichen Messungsarbeiten (z. B. auch fiir die Grundstücksaufnahme der Landesvermessung, die vom Jahre 1818 bis 1840 dauerte) der „gesetzliche“ Fuss = 127 Pariser Linien, für die Grundlage der Landestriangulierung, die „Basis-messung“, dagegen der „Landesvermessungsfuss“ = 126,97 Pariser Linien zur Anwendung kam!

Schon am 8. Mai 1790 hatte die französische Nationalversammlung, um der Vielgestaltigkeit der Massverhältnisse ein Ende zu machen, beschlossen, wegen Aufstellung eines internationalen Masssystems zunächst mit England in Verbindung zu treten. Nach langwierigen Verhandlungen und auf Grund von geodätisch-astronomischen Messungen („Gradmessungen“) wurde am 10. Dezember 1799 die Länge des „Meters“, die dem 10millionsten Teil eines Erdmeridianquadranten entsprechen sollte, als für Frankreich gesetzliche Längeneinheit festgesetzt und der diese Länge bei einer Temperatur von 0° darstellende Platinstab = 443,296 Pariser Linien als „Urmass“ dem Archiv einverleibt.

(Spätere Gradmessungen zeigten, dass die gefundene Längeneinheit nicht ganz genau der oben genannten Bedingung entspricht und dass die Bogenentfernung vom Äquator bis zum Pol ungefähr 10000856 dieser Einheiten misst. Über die Beziehungen zu anderen Massen vergl. Zeitschrift für Vermessungswesen 1890, S. 265 bis 269.)

Erst im Jahr 1870 gelang es jedoch, eine internationale Kommission zu schaffen, deren Beratungen im Jahr 1875 zu einer Meterkonvention führten (vergl. Zeitschr. f. Vermessungswesen 1877, S. 278), an welche sich nach und nach die meisten Kulturstaaten der Erde anschlossen. (Über die Organisation des Mass- und Gewichtswesens vergl. Zeitschr. f. Vermessungswesen 1890, S. 506—508.) Jeder dieser Staaten erhielt eine möglichst genaue Kopie des Pariser „Archivmeters“, welche bei einer Temperatur von 0° C. für die innerhalb seines Gebiets auszuführenden Messungen die Längeneinheit darstellt. Unterdessen hatten verschiedene Staaten die neue Längeneinheit bereits eingeführt. (Holland und Belgien z. B. schon im Jahr 1816, während in Frankreich selbst die alten Masse für den öffentlichen Gebrauch bis 1840 zugelassen waren.) Andere Staaten, z. B. Baden und die Schweiz hatten ihre Mass-einheit, den „Fuss“ auf ein einfaches Verhältnis, nämlich ³/₁₀ m abgerundet. Durch die Mass- und Gewichtsordnung für den Nord-

Weitbrecht, Vermessungskunde.

deutschen Bund vom 17. August 1868 wurde für dessen Gebiet das Metersystem angenommen, um vom 1. Januar 1870 ab dort allgemein angewandt zu werden. Die süddeutschen Staaten folgten nach.

In Württemberg ist z. B. infolge minist. Verfügung vom 7. September 1871 seit 1. Januar 1872 die Anwendung des Meter-masses für alle öffentlichen Messungen obligatorisch. Für die Umrechnung der früheren Masse ins Metersystem wurden die Verhältniszahlen: 1 gesetzlicher Fuss = 0,286490291 m, 1 Landesver-messungsfuss — 0,28 642 262 m festgesetzt.

Heute haben fast alle Kulturstaaten der Erde das Metermass, wenn nicht obligatorisch, so doch wenigstens fakultativ, eingeführt. Für das Gebiet des Norddeutschen Bundes geschah dies durch die Eichordnung vom 16. Juli 1869 (samt Nachtrag hiezu vom 30. Juni

1870    bezw. 25. März 1878), welche durch Minist.-Verf. vom 14. März

1871    auch für Württemberg Geltung erlangt hat. Sie wurde aufgehoben bezw. abgeändert durch die neue Eichordnung für das Deutsche Keich vom 27. Dezember 1884, besondere Beilage zu Nr. 5 des Reichsgesetzblatts von 1885.

Organisation zur Yerhrei-

Längen-

masse.

Die für das Deutsche Reich gefertigte Kopie des Pariser richtigen Archivmeters, das deutsche „Normalmeter“ wird im Staatsarchiv zu Berlin auf bewahrt und stellt bei 0 ⁰ C. die für Deutschland gesetzliche Längeneinheit vor. Es misst genau 1,00000301 m und dient nur zur Herstellung:

Unmittelbarer Kopien, welche von der Kaiserl. Normaleichungskommission teils zu wissenschaftlichen Zwecken, teils zur Abgabe an die Aufsichtsbehörden der Eichämter hergestellt werden.

Fehler

grenzen.

Diese Aufsichtsbehörden geben sowohl an die Eichämter, als auch an Private Hauptnormale und Kontrollnormale aus, die auf Grund der unmittelbaren Kopien angefertigt werden. Ihre Länge muss innerhalb x/²⁰ des im öffentlichen Verkehr zugelassenen Fehlers mit derjenigen des Normalmeters übereinstimmen. Die von denselben Behörden ausgegebenen Gebrauchsnormale sind zum Gebrauch der Eichämter bestimmt. Mit ihrer Hilfe werden die vom Publikum den Eichämtern vorgelegten Verkehrsmasse innerhalb der Genauigkeit geeicht, welche der Hälfte des im öffentlichen Verkehr äusserstenfalls geduldeten Fehlers entspricht. Ihr Maximalfehler beträgt, wenn die Gebrauchsnormale zur Vergleichung verwendet wird, von:

gewöhnlichen Handelsmassen 0,1 mm .    0,3 mm

Präzisionsmassen

für 1 m aus Messing oder Bronze .    0,04 mm

„ 1 m „ Holz...........

,,    1 Anschlagmeter aus Stahl......

„ 20 m Bandmass hei 20 kg Spannung .    .    .

Der Abstand einer Zwischeneinteilungsmarke, bezogen auf das nächstliegende Ende des Gebrauchsnormals, darf gegenüber der Kontrollnormalangabe um nicht mehr abweichen, als hei

Präzisionsmassen

0,3 mm 1,6 mm

von 1 m Länge aus Messing oder Bronze 0,03 mm

„ Holz........

„ Stahl mit Anschlag .    .    .

„ 1 m „

„ 1 m „

„ 20 m Bandmass bei 20 kg Spannung

gewöhnlichen Handelsmassen 0,1 mm .    ,    0,2 nun

.    .    0,2 mm

.    .    1,0 mm

Der äusserstenfalls noch geduldete Fehler der Verkehrs -masse beträgt für die Gesamtlänge eines 20 m langen Stahlbands, wie einer 5 m langen Messlatte + 8 mm, für Holzmassstäbe von 1 m Länge, sofern nur in Zentimeter geteilt, und für zusammenlegbare Massstäbe von gleicher Länge + 2 mm, für hölzerne Werk-massstäbe von 2 m Länge + 3 mm.

Der hiernach für die Eichung einer 5 m langen Messstange zugelassene Maximalfehler von 4 mm ist für amtliche Messungen zu gross. Deshalb haben deutsche Vermessungsbehördeu für Arbeiten innerhalb ihrer Zuständigkeit besondere Massnahmen getroffen, um eine weitergehende Richtigkeit der Lattenlängen etc. zu sichern. Die preussische Katasterverwaltung schreibt in Anweisung X vom 25. Oktober 1881 z. B. vor, dass jeder Landmesser auf Grund von zu erwerbenden Normalmassen seine Gebrauchsmasse selbst richtig zu stellen hat, und zwar dürfen (unter Berücksichtigung der Wärmeausdehnung) die letzteren, (s. auch Zeitschr. f. Vermessungswesen 1884, S. 160—161) nämlich:

Stahlbänder von 20m Länge höchst. Abweichungen zeigen von + 3,5 mm

„ 10m    „

Messlatten ,,    5 m    „

11

11

11

11

11

11

11

11

11

11

11

„ + 2,4 mm „ + 1,6 mm „ + 1,3 mm „ + 1,1mm

Das württemb. Steuerkollegium, Abteilung für direkte Steuern, verlangt von den Katastergeometern zwar die Verwendung geeichter Messstangen, für solche von 5 m und 3 m Länge aber gleichzeitig die Einhaltung der obigen äusserstenfalls zulässigen Längenabweichungen.

Zum Zweck der Prüfung hat es den Bezirksgeometern geeichte Messbänder von 20 m Länge, also mit einem Maximalfehler von + 4 mm ausgefolgt.

Mass-

vergleicli-

nngs-

apparate

Zur Latten- oder Bandvergleichung können nach dem vorhergehenden Normalmasse erworben werden, deren Länge innerhalb der angegebenen Fehlergrenzen durch die Kaiserl. Normaleichungskommission gewährleistet ist. Solche stählerne Normalmasse mit 1 qcm quadratischen Querschnitt, 1 m Länge und keilförmig abgeschrägten Enden liefert z. B. Mechaniker Bamberg in Berlin. Jeder der Stäbe trägt eine spezielle Bezeichnung, und die Länge eines jeden von ihnen ist als Funktion der Temperatur t durch eine Gleichung ausgedrückt. Für die Länge der beiden Normalmasse der württemb. Fachschule für Vermessungswesen gilt die Gleichung:

1 = 1 m — 0,01 mm -j~ 0,011 (t — 18) mm.

Mit solchen Normalmassen lassen sich nun aber Messlatten und Messbänder (erstere schon wegen der durch die Verdickung gegen innen hervorgerufenen Krümmung) nicht ausreichend genau vergleichen. Einen einfachen, für die gewöhnlichen Zwecke genügenden

Fig. 11.

<9 <Sd

0 <S>

Vergleichungsapparat für Messlatten kann man sich folgendermassen hersteilen: Man befestigt zwei eiserne Prismen mit gegeneinander gerichteten stählernen, abgerundeten Spitzen so in einer Mauer, oder auch in einer Bödseite (Diehle) (Fig. 11), dass ihr Abstand A etwas mehr als 5 m beträgt. (Um die zu vergleichende Messlatte bequem zwischen den Spitzen einlegen zu können, kann man einen Rahmschenkel mit der Hochkante in der Vertikalebene der beiden Spitzen, so auf vertikalwirkende Schrauben stellen, dass Durchbiegungvermieden ist und dem Rahmschenkel beliebige Höhe gegeben werden kann.) Wird jetzt die Entfernung A der beiden Spitzen mittels des oben beschriebenen Normalmasses (das, um längenverändernde Wärmeeinflüsse zu vermeiden, nicht mit blosser Hand anzufassen ist) und mittels eines Messkeils (der zwischen die Spitze

des Vergleiclmngsapparates und die Schneide der letzten Lage des Normalmasses eingesclioben wird und die direkte Ablesung von ¹ j₀ mm gestattet) wiederholt gemessen und schliesslich gemittelt, so braucht man nach entsprechender Regulierung der Höhenlage des Rahmschenkels nur die zu vergleichende Latte mit einem Ende an eine Spitze des Vergleichungsapparates anzuschieben und die Entfernung d des anderen von der zweiten Spitze mittels des Messkeils zu ermitteln. Wiederholt man das Verfahren an mehreren Mantellinien der zu vergleichenden Latte, so lässt sich deren Länge 1 = A—d leicht auf Vxo mm Genauigkeit feststellen. (Bei der Prüfung einer 3 oder 4 m langen Latte schiebt man deren eines Ende an eine der Spitzen des Apparats an und vermindert den Abstand nach der zweiten Spitze durch Einschieben eines oder zweier Normalmasse. Der Rest wird schliesslich mittels Messkeils

gemessen).

Zur Vergleichung der Stahlmessbänder kann man auf der Deckschicht einer Mauer einen zylindrischen Bolzen B befestigen (s. Fig. 12). Von dessen innerer Mantellinie, oder vom Nullpunkt

Fig. 12.

••

iih

«in

if

|l, 'I

j>k$

misst. Auch hier ist CD = AB (s. Fig. 64). Je kürz

Diese schwerwiegenden Nachteile machen es erklärli

+ 3r)

S. 233) bei seinem 50 cm langen, zur Berechnung de

2,20

Der Inhalt des Grundkreises lässt sich, wenn der F

B,

is

f = lf

Wählt man zur Einstellung runde, gleichabständige

In beiden Fällen wächst also die Unrichtigkeit von

Wie aus (5 c) S. 386 festgestellt wurde, beanspruc

,'tßS

e

(2)

0A — ^Mittel

[p] 1 ' ® ~ [p]

Geschieht die Orientierung der inneren Richtungen

Fortsetzung.

weiteren Bedingungsgleichungen zusammenfassen, nac

I = ?n — xn = — f x )

A4"

Knotenpunkt No. 9. Ausgleichung der Koordinaten.4)

£ 14 + 22618,98 + 6244,18

¹

Nach oben verjüngte Stäbe lassen sich, zumal wenn der stählerne Schuh teilweise mit Blei ausgegossen ist, leichter in den Boden einstecken. Sie sind aber im Hinblick auf die Genauigkeit des Einweisens von Geraden weniger zweckmässig.

²

Über metallene Massstäbe vergl. § 48 „Basismessung“.

'jr

|l, 'I

einer Doppelteilung Tj aus, setzt man durch zehnmaliges Anlegen des oben beschriebenen Paares von Normalmassen längs abgesclmürter Geraden möglichst genau (mehrfache Wiederholung), unter Berücksichtigung der Massstabtemperatur, die Strecke von 20 m ab. Man erhält damit den Nullpunkt einer (zweiten) auf eingelassenen Metallplättchen nach beiden Seiten aufzutragenden Millimeterteilung T₂. Das zu vergleichende Band wird jetzt mit einem Endring in den Bolzen B eingehängt. Am anderen Endring wird ein Gewicht, entsprechend dem während der Messung normal ausgeübten Zug, durch einen über eine Rolle geleiteten Faden befestigt.

Zur Bestimmung der Bandlänge misst man nun: 1. den Abstand dj des vorigen Messungsanfangs vom entsprechenden Teilungsanfang des Bandes (Ringmittelpunkt oder 0 Strich) und liest

2. den Abstand dr des hinteren Ringmittelpunktes oder Endstrichs des Bandes auf der hinteren Teilung T₂ ab.

Die Bandlänge ist dann 1 = 20,000 + cf + dr, je nachdem d} und dr in der Messungsrichtung oder ihr entgegengesetzt liegen. Ist die Entfernung des Messungsanfangs vom Nullpunkt der Teilung T₂ nicht = 20,000 m, sondern = A, so tritt natürlich A an Stelle von 20,000 m und es ist 1 = A cf + dr.

Die Länge der Massstäbe und Bänder wird natürlich für diejenige Temperatur ermittelt, bezw. abgeglichen, bei der sie verwendet werden sollen.

Ihre Unterteilung ist gleichfalls zu prüfen, doch haben kleine Ungenauigkeiten darin (falls man daran festhält, nur ganze Latten- oder Bandlängen beim Aneinanderreihen zu verwenden), keine durch Addition sich fortpflanzende Wirkung.

Abgekürzte Schreibweise der metrischen Massangaben.

Bei allen geodätischen Massangaben bezeichnet die Anzahl von Stellen nach dem Komma gleichzeitig die damit angestrebte oder verbürgte Genauigkeit.

Eine innerhalb dm Genauigkeit gemessene Strecke von 34 m wird

cm

„    „ mm

Zur Erzielung gleichmässiger Bezeichnungen und Abkürzungen der Masse und Gewichte im amtlichen Verkehr wurde durch Bundes-

also z. B. geschrieben 34.0 m 34,00 m 34,000 m

ratsbeschluss vom 8. Oktober 1877 (abgedruckt Reichs- und Kgl. preuss. Staatsanzeiger vom 17. November 1877, Reg.-Blatt für Württemberg von 1877, S. 267 ff. etc.) folgende Schreibweise zur Anwendung innerhalb des Deutschen Reiches vorgeschrieben:

1.    das Kilometer = 1000 Meter wird mit km;

„ Meter mit m;

„ Centimeter = Vioo Meter mit cm;

„ Millimeter = Viooo Meter mit mm abgekürzt.

2.    Den Buchstaben werden Schlusspunkte nicht beigefügt.

3.    Die Buchstaben werden ans Ende der vollständigen

Zahlenausdrücke gesetzt (z. B. 25,307 m).

4.    Zur Trennung der Einer- von den Dezimalstellen dient

das Komma, nicht der Punkt.

Hilfsgeräte und Instrumente zum Streckenmessen.

Das Lot oder

der Senkel.

§ 4. Das Lot oder der Senkel

ist ein an einem Faden aufgehängter schwerer Körper, der dem ersteren die Richtung gegen den Schwerpunkt der Erde gibt. Befindet sich der freischwebende Körper in Ruhe, so liegen Aufhängepunkt,

Befestigungspunkt des Fadens, Lotschwerpunkt und Erdschwerpunkt in einer Geraden (Vertikalen). Um den Schnittpunkt dieser Geraden mit der Erdoberfläche bequem bestimmen zu können, erhält das Lot eine nach unten spitz zulaufende Form (Birn- oder spitze Kegelform). Die vier erstgenannten Punkte stellen sich selbsttätig in eine Vertikale, sobald der Senkel zur Ruhe kommt, die Senkelspitze gehört ihr aber nur an, wenn sie in der Verlängerung der Verbindungslinie vom Be-festigungs- und Lotschwerpunkt liegt. Ob dies zutrifft, wird untersucht, indem man den Faden des in Ruhe befindlichen, freischwebend auf gehängten Senkels zwirnt. Der Durchmesser des von der Senkelspitze etwa beschriebenen Kreises zeigt die doppelte Abweichung der letzteren an.

Fig. 13.

Fig. 14.

Weitere, im Interesse pünktlicher Arbeit an den Senkel zu stellende Anforderungen sind: genügende Schwere (ca. 0,25 bis 0,3 kg) und geringe Angriffsfläche für den Wind, geringe Schnurdicke.

18

Um die Kräfte, welche den schwankenden Senkel zur Ruhe zu bringen bestrebt sind, mit möglichst grossen Hebelarmen auszustatten und die Senkelspitze immer scharf zu erhalten, empfiehlt sich, namentlich zur Aufstellung irgend eines Instruments genau vertikal über einem Bodenpunkt die Verwendung des von Geometer Häussermann konstruierten „Prä-zisi ons s enkel s“. Ein radförmiger Metallkörper mit schwerem Aussenring (s. Fig. 13) wird durch eine Schraube gehalten, deren Schaft unten in einer feinen Spitze endigt. Dem oberen Ende kann eine an einem Faden aufgehängte Hülse angeschraubt werden. Solange das Lot nicht verwendet wird, dient die Hülse als Schutzhülle für die Spitze.

An Stelle des einfachen wird vielfach der sogen. Doppelsenkel verwendet, dessen Faden durch ein zentrisch durchbohrtes, zylindrisches Metallstück hindurchgeht, an dessen oberem Ende er zweiteilig an Punkten symmetrisch zum Bohrloch befestigt wird (s. Fig. 14).

Der Doppelsenkel hat den Vorzug, dass er an einem Haken bequem aufgehängt, und dass seine Spitze in jeder beliebigen Höhe festgestellt werden kann. Diese Bequemlichkeit lässt sich übrigens

auch beim einfachen Senkel durch einen Laufknoten leicht erzielen, ohne dass die Angriffsfläche für den Wind durch ein zweites Metallstück und eine zweite Schnur vermehrt werden müsste. Überdies bewirkt eine etwaige unsymmetrische Befestigung des Gegengewichts beim Doppelsenkel eine Verschwenkung der Bohrung und damit eine, wenn auch leicht zu konstatierende, Parallelverschiebung der beiden Teile der Senkelschnur oberhalb bezw. unterhalb des Gegengewichts.

Aus diesen Gründen ist der einfache dem Doppelsenkel vorzuziehen. Weitere Ablotevorrichtungen, sowie solche für spezielle Zwecke siehe § 82.

Wasserwage.

§ 5. Die Wasserwage (Libelle)

dient zur Herstellung horizontaler Geraden und Ebenen (senkrecht zur Richtung des Lotfadens). Wir unterscheiden zwischen a) Röhrenlibellen, ß) Dosenlibellen.

Form des Glaskörpers.

a) Die Röhrenlibelle (Fig. 15, 16 und 21) besteht aus einer gebogenen, oder innen an der zu benützenden Stelle nach einer Drehfläche (Erzeugende = Kreisbogen, Drehachse

Fig. 15.

\S

irvii

m-

«r

= Sehne) tonnenförmig ausgeschliffenen Glasröhre, die nach er-Füiiung. folgter teilweiser Füllung mit einer Flüssigkeit (Weingeist, Schwefel-

Fig. 16.

1,

<-i

ins

in

äther) beiderseits verschlossen (zugeschmolzen) und zum Schutz gegen Beschädigung und direkte Wärmestrahlen in eine, meist metallene, Hülse fest eingebettet wird. Im oberen Teil der Röhre entsteht eine Blase, „Libellenblase“.

Teilung.

Auf der obern (bei Wendelibellen auch auf einer zweiten) Seite erhält die äussere Glasfläche zwei zu einem beliebigen Null-

punkt symmetrische, oder (bei feineren Libellen) von einem Nullpunkt aus nur in einer Richtung bezifferte Teilungen, welche den Zweck haben, die Stellung der bei verschiedenen Temperaturen verschieden grossen Luftblase gegen den Nullpunkt genau erkennen zu lassen. Die Hülse ist auf beiden Stirnflächen mit prismatischen Ansätzen versehen, welche auf vertikalem Ständer befestigt sind oder welche durch rechteckige Öffnungen von Metallplatten hindurchtreten und durch Verbesserungsschrauben s innerhalb derselben in gewünschter Lage festgehalten werden. Diese Metallplatten erhalten unten ein linealförmiges Verbindungsstück (Tischlibelle, s. Fig. 15) zum Aufsetzen auf einer Ebene, oder sie endigen in y-förmigen Haken, mittels derer die Wasserwage auf zylindrischer Achse aufgesetzt (Stützlibelle, Reiterlibelle, s. Fig. 16), oder aufgehängt wird (Hängelibelle).

Verbindung der Metall-lnilse mit i dem Lager.

Libellen

benützung.

Libellen-

aclise.

Die Flüssigkeitsoberfläche bildet, abgesehen von ihrer an den Gruf^b®ferIff Enden infolge Adhäsionseinflusses vorhandenen, aber gleich grossen Aufbiegung, in jeder Lage der Libelle eine horizontale Ebene, welche den Längenschnitt des Libellenkörpers nach einer horizontalen Geraden schneidet. Die Tangente, welche man im Halbierungspunkt (höchsten Punkt) des durch die beiden Luftblasenenden begrenzten Bogens an letzteren gezogen denkt, ist, genauen Kreisschliff vorausgesetzt, parallel dieser Flüssigkeitsoberfläche, also horizontal.

Fällt der Halbierungspunkt der Luftblase mit dem Nullpunkt der Libellenteilung zusammen, d. li. „spielt die Libelle ein“, so erhält die in diesem Punkt an den Kreisschliff gedachte Tangente, die „Libellenachse“*) horizontale Lage. Ist dafür gesorgt worden, dass die Verbindungsgerade der beiden Auflagerpunkte parallel der Libellenachse verläuft (Libellenfüsse, je vom Auflagerpunkt bis zum Schnitt mit der Libellenachse, gleich lang) so hat in diesem Augenblick auch die Unterlage, auf der die Libelle ruht, horizontale Richtung.

Libellen-

empftndlicb-

keit.

Die Genauigkeit, mit welcher diese horizontale Richtung hergestellt werden kann, ist um so grösser, je kleiner der Neigungswinkel e ist, um den die Libelle gekippt werden muss, damit sich die Luftblase um einen Teilstrich fortbewege. Um so „empfindlicher“ ist die Wasserwage.

Das Mass für die „Empfindlichkeit“ einer Wasserwage ist also der 4 £, um welchen die Libelle geneigt werden muss, damit die Luftblase um einen Teilstrich fortwandere.

*) Bei Libellen mit durchgehender Teilung versteht man unter Libellenachse allgemein die Schlifftangente im Halbierungspunkt des durch die Luftblasenenden jeweils begrenzten Bogens.

Abgesehen von dem oben S. 24 angegebenen Zweck der Libellenteilung, welcher erreicht wird, wenn letztere nur aus gleichen Teilen, gleichviel von welcher Grösse, besteht, dient sie jetzt also auch zur Bezeichnung der Libellenempfindlichkeit. Das Winkelmass e für letztere setzt daher immer ein bestimmtes Teilungsintervall (meist 1 Pariser Linie = 2,26 mm, neuerdings auch zuweilen 1 Doppelmillimeter) voraus.

Diese Empfindlichkeit hängt in erster Linie ab von dem Halbmesser des der Schlifffläche zugrunde liegenden Kreisbogens. Möge

Fig. 17.

bei bestimmter Lage der Libelle der Punkt A der höchste der Li-

Tf. bellenschlifffläche sein, so haben

V f —__

l    beide Luftblasenenden gleiche Ent-

-r-

I    fernungen von A und die Flüssig-

'    keitsoberfläche ist parallel zur

Tangente in A, d. h. letztere ist horizontal gerichtet. Neigt man jetzt die Libelle so lange, bis der um das Teilungsintervall b von A entfernte Punkt B der höchste Punkt der Schlifffläche wird, so trifft dasselbe für B zu, die Tangente in B ist horizontal geworden. Die Libelle hat also eine Neigungsänderung gleich dem Winkel s beider Tangenten erlitten, welchen auch die beiden nach A und B gezogenen Schliffradien (da sie senkrecht auf den zugehörigen Tangenten stehen) miteinander einschliessen. Man erhält also, wenn r den Schliffradius bezeichnet

Empfindlichkeit e" = q" = - .206265".

Obige Gleichung sagt: Das Winkelmass für die Libellen empfind-lichkeit ist umgekehrt proportional") dem Schliffradius der inneren Libellenwandung, je grösser der letztere, um so kleiner die Neigungsänderung e, welche nötig ist, um die Luftblase um einen Teilstrich fortzubewegen. Die feinsten Wasserwagen haben Empfindlichkeiten von 4" bis 5" auf 1 Pariser Linie.

Bei ihnen wächst also der Schliffradius auf

n __ 2062G5    ,

2,26    . mm = rund 117 m an,

was bei einer Blasenlänge von 5 cm einer grössten benützten Pfeilhöhe des Schliffs von

mm = ₃yQ mm entspricht. Aber auch eine gewöhnliche Nivellierlibelle mit 20" Empfindlichkeit besitzt noch einen

25²

234000

*) Die Unbequemlichkeit dieses umgekehrten Verhältnisses : „je kleiner das Winkelmass für die Empfindlichkeit, um so grösser letztere selbst“, hat dazu geführt, zuweilen auch den Schliffradius als Empfindlichkeitsmass zu verwenden.

206265

Schliffradius von r — 2,26

20

t-H

5 cm Luftbasenlänge eine grösste Pfeilhöhe =

mm = -

- mm.

mm = 23,3 m, also bei ebenfalls

25² 46600

Hieraus ist ersichtlich, wie genau der Schliff ausgeführt sein muss, d. h. welche Wirkung kleine Unregelmässigkeiten desselben haben. Aus den bisherigen Ausführungen gehen folgende an die Wasserwage zu stellenden Anforderungen hervor:

1. Die Erzeugende der Schlifffläche soll genau kreisförmig

sein.

2.    Die Wasserwage muss eine ihrem Gebrauchszweck ent

sprechende Empfindlickeit e besitzen.

3.    Die Libellenachse muss parallel sein zur Lagerfläche

(Libellenfüsse gleich lang).

Untersuchung zu 1). Man befestigt die Wasserwage auf einem Fernrohr, das sich vertikal um kleine Beträge bewegen (kippen) lässt, und liest durch dieses auf einem in der Entfernung d (etwa 50 m) vertikal gestellten Massstab (Nivellierlatte) (siehe Fig. 18) jedesmal ab, wenn die Luftblase durch Kippen des Fernrohrs um ein Libellenintervall verschoben worden ist. Die Ablesungen an dem Massstab müssen sich dann um gleiche Beträge Aa unterscheiden.

Da Temperaturänderungen Änderungen der Libellenblase erzeugen, ist stets die Blasenmitte mit Hilfe beider Blasenenden zu beobachten. Aus diesem Grund ist es bequemer, umgekehrt den Horizontalfaden des Fernrohrs derBeihe nach auf aufeinanderfolgende cm (oder 72 cm, oder Doppelmillimeter)-Teilpunkte des Massstabs ein-zustellen und auf der Libellenteilung beide Luftblasenenden jeweils abzulesen. Die Stellungen der hieraus sich ergebenden Luftblasenmitten müssen in diesem Fall um gleiche Libellenstrecken Al sich unterscheiden. Aus ihnen kann man, wenn gewünscht, die einem Libellenintervall b entsprechende Bewegung Aa an der Latte berechnen. Diese Untersuchung ist über die ganze, von der einspielenden Luftblase bei wechselnder Temperatur jeweils eingenommene Strecke des Schliffbogens auszudehnen. Ein etwaiger Fehler macht die Libelle unbrauchbar.

Statt die Libelle auf einem Fernrohr zu befestigen, kann man sie zum Zweck schärferer Untersuchung auch auf einem „Legebrett“ auflegen und dessen Neigung gegen die Horizontale unter Be-

An

forderungen.

Unter-suchung zu 1).

Fig. 18.

Aß

Aß

Aß

Unter

suchung

zu

X 206 265".

obachtung des „Libellenausschlags“ verändern. Das „Legebrett“ (s. Fig. 19) bestellt aus einem starren Arm von der Länge 1 (etwa 400 bis 600 nun), dessen eines Ende mittels zweier Stützen S,

das andere mittels einer, durch sein Muttergewinde durclitretenden, fein geschnittenen Schraube auf

Fig. 19.

öS

in

fester Unterlage ruht. Die Schraube trägt eine geteilte Trommel T, welche die Ablesung von hundertstel Umdrehungen der Schraube gestattet. Ist die Ganghöhe der letzteren = g (etwa 0,4 bis 0,6 mm, gemessen durch Abdruck des Schraubengewindes auf Papier und Division des Abstandes zweier beliebiger Striche durch die Zahl der zwischenliegenden Schraubengänge), so entspricht einer vollen Schraubendrehung eine Neigungsänderung von a" = y(>". Durch Schätzung von 1 der Trommelintervalle lassen sich bei genügend sicherer Unterlage Neigungsveränderungen

Ganghöhe, d. h. von

von

II

g . q" 0,5 X 206265" 500 . 500

5001

= 4",

ohne das Zimmer verlassen, einen Massstab aufhalten, oder ein Fernrohr benützen zu müssen, mit Sicherheit feststellen.

Der Techniker wird sich i. a. der ersten Untersuchungsmethode bedienen.

Die Untersuchung zu 2) ergibt sich als Nebenprodukt der ²>- Untersuchung 1: Man bildet das arithmetische Mittel A a der verschiedenen Ablesungsunterschiede. Als Rechenprobe muss sein, wenn die Luftblase im ganzen um n Teilstriche fortbewegt wurde:

(grösste — kleinste) Lattenablesung

Nun erhält man:

tatsächlich vorhandene Libellenempfindlichkeit

Die für einen bestimmten Gebrauchszweck nötige Libellenempfindlichkeit ermittelt man beispielsweise wie folgt: Angenommen eine Wasserwage soll dazu dienen, Zielungen so genau horizontal zu richten (Einwägen), dass der durch ungenaues Einspielen der Luftblase um Vs Skalenteil (noch erkennbare Spieldifferenz) erzeugte Ablesefehler an einer in 50 m Entfernung vertikal aufgestellten

Latte höchstens y₂ mm betrage. Man erhält dann

2,5 X206 265"

V* mm

e"

50000 mm

Q" — ₅ und e" „ötig =

50000

10".

Ausser dem Schliffradius wirken noch andere Umstände auf die Beweglichkeit der Luftblase und die Genauigkeit der mit der Libelle hergestellten Horizontalen ein. Gleiches Füllmaterial vorausgesetzt, spielt hiebei namentlich die Länge der Luftblase eine Rolle: kurze Blase verursacht träge Bewegung. Versuche haben als zweck-mässigste Blasenlänge etwa die halbe Röhrenlänge erwiesen.

4" bis 10" Empfindlichkeit

Für Feineinwägungen verwendet man Röhrenlibellen mit

10" bis 30"

30" bis V

für gewöhnliche Einwägungen verwendet man Röhrenlibellen mit für rohe Einwägungen verwendet man Röhrenlibellen mit

Ist die Empfindlichkeit grösser, als erforderlich, so ist nicht nur der Anschaffungspreis ein hoher, sondern die Luftblase kommt langsamer zur Ruhe, was die Arbeit unnötig erschwert (die praktische Einstellgenauigkeit wächst langsamer, als die Empfindlichkeit). Ist sie zu gering (Schlifftläche zu stark gekrümmt), so ist die verlangte Einstellgenauigkeit nicht zu erreichen, merkbare Abweichungen der Libellenachse von der Horizontalen zeigen sich kaum durch Ausschläge der Luftblase an.

Untersuchung zu 3).

Fig. 20.

; -q-

z'd

£-

Untersuchung zu 3). Die Flüssigkeitsoberfläche (Luftblase) ist unter allen Umständen horizontal, die im Nullpunkt der Teilung an den Libellenschliff gedachte Tangente, die ,,Libellenachse“ aber nur dann, wenn bei erfüllter Forderung (1) der durch die Luftblasenenden begrenzte Bogen des Libellenschliffs vom Teilungsnullpunkt halbiert wird, d. h. wenn die Libelle einspielt. Soll in diesem Zu- rrr stand auch das Lager der Libelle horizontal sein, so muss die Forderung (3) er-füllt sein. Zur Untersuchung bringt man die Libelle zum Einspielen (Libellenachse horizontal) und setzt sie alsdann um (verwechselt die beiden Auflagerpunkte). Zeigt sich jetzt ein Ausschlag von a Teilstrichen, so beweist er, dass in dieser zweiten Lage die Libellenachse nicht mehr, wie bei der ersten, horizontal, sondern um den Winkel a . e" geneigt ist. Da nun aber, abgesehen von der Vertauschung ihrer Füsse, sich an der Libelle nichts geändert hat, so beweist der Ausschlag weiter die Ungleichheit der beiden Libellenfüsse und eine Divergenz um den Winkel a zwischen der in Lage I horizontal gewesenen Libellen-

achse und der Libellenunterlage. Ist (s. Fig. 20, wo die stärkere Linie die erste, die schwächere Linie die zweite Lage vorstellt) c die Entfernung der Libellenstützen von einander, so ist

und 2 a

d. h.: der etwaige Ausschlag der Luftblase in der zweiten Libellenstellung entspricht der doppelten Ungleichheit

Fig. 21.

s.

e=

der Libellenfüsse. Sie wird mittels der vertikal wirkenden Korrektionsschrauben s (s. Fig. 21) zur Hälfte des Ausschlags weggebracht. (Die andere Hälfte des Ausschlags ward von einer unbeabsichtigten Neigung der Unterlage hervorgerufen und muss an dieser verbessert werden.)

Zur Vermeidung unbeabsichtigter Änderungen in der Länge der Libellenfüsse, namentlich während des Transports, sind die Justiervorrichtungen geodätischer Instrumente mit entgegenwirkenden Zug- oder Druckschrauben s, oder einer Schraube in Verbindung mit gegenwirkender Feder, versehen (s. Fig. 15, 16 und 21).

Einrichtungen zur Reduktion von Fehlerquellen bei feinen Libellen.

Die Genauigkeit der mit der Wasserwage hergestellten Horizontalen hängt, abgesehen von den bisher vorgeführten, noch von verschiedenen anderen Einflüssen ab:

Spannungs-

einflüsse.

Ist der Glaskörper der Libelle mit dem metallenen Gehäuse durch Einkitten oder Eingipsen starr verbunden, so erzeugt die verschieden starke Ausdehnung beider Materialien bei Temperaturänderungen Spannungen, welche eine Verbiegung des Glaskörpers zur Folge haben können. Damit ändert sich aber die gegenseitige Lage zwischen Unterlage und Libellenachse, und erstere ist trotz einspielender Libelle nicht horizontal. Die feinmechan. Werkstätte von Ertel in München fertigt daher Wasserwagen an, bei welchen nur an einer Stelle eine starre Verbindung zwischen Glaskörper und Libellenfassung vorhanden ist, so dass die Längenausdehnung der Metallfassung den Temperaturschwankungen folgen kann, ohne diejenige des Glaskörpers zu beeinflussen.

Auch unvorsichtige Benützung der Justiervorrichtungen bewirkt unter Umständen Materialspannungen, welche denselben Einfluss haben, wie die durch Temperaturänderungen hervorgerufenen.

Dies vermeidet eine von der Firma R. Reiss in Liebenwerda nach den Angaben von Prof. Zwicky in Winterthur konstruierte Libelle, welche einer Änderung der Länge der Libellenfüsse nicht mehr bedarf, sondern den Parallelismus zwischen Libellenachse und Auflagerlinie durch Verschiebung der ersteren herstellen lässt. Zn diesem Zweck ist die Teilung nicht auf dem Glaskörper der Libelle selbst, sondern getrennt von ihm, und parallel zu ihrer Längsrichtung verschiebbar angeordnet. Ist der Träger dieser Teilung ein dem Libellenkörper konzentrischer durchsichtiger Ausschnitt eines Zylindermantels, so erfüllt er die weitere wichtige Aufgabe, den ersteren vor der unvermittelten Einwirkung direkter und einseitiger Wär niestrahl eil zu schützen.

einflüsse.

Solche Wärmestrahlen erzeugen gleichfalls Verbiegungen des E^e Glaskörpers, die von ganz erheblichem Einfluss sind. Legt man z. B. die Hand auf das eine Ende eines solchen Libellenkörpers, so folgt nach kurzer Zeit die Luftblase dieser Wärmequelle und zwar entgegengesetzt der Wirkung etwaigen Drucks. Bei zwei

Libellen von

6"

Empfindlichkeit und einem Unterschied von 30° C.

1 —

zwischen Luft- und Handtemperatur ergab sich z. B. auf diese

to Ol

Weise eine Verschiebung der Luftblase um j Teilstriche gegen die

Wärmequelle hin. Würde man also in diesem Zustand die justierte Wasserwage zum Einspielen bringen, so würde die (für horizontal

to o<

gehaltene) Unterlage um

X £, d. h. rund 2' geneigt sein!

Genau denselben Einfluss haben natürlich die Sonnenstrahlen, und in entgegengesetzter Richtung Regentropfen, ein deutlicher Beweis für die Notwendigkeit guter Isolierung der Libellenfassung und der Abhaltung direkter Sonnenstrahlen, oder Regentropfen und Schneeflocken bei genauen Einwägungen.

Kammerlibellen. Eine allzu kurze Luftblase bewegt sich träge und verursacht daher eine geringere Einstellgenauigkeit. Eine allzu lange Luftblase erschwert umgekehrt den Überblick und die Feststellung des genauen Einspielens. Überdies ist der Libellenschliff selten auf seine ganze Ausdehnung völlig fehlerfrei. Es ist daher wünschenswert, dass die Blase eine bestimmte Länge (etwa | der Röhrenlänge) beibehält, derart, dass ihre Enden gleichzeitig innerhalb der relativ besten Schliffstellen sich bewegen. Nun bewirken aber gerade bei feinen, empfindlichen Libellen (wegen der sehr geringen Krümmung) Temperaturschwankungen grosse Unterschiede in der Blasenlänge. Um diese auszugleichen, scheidet man

von dem Hohlraum der Wasserwage durch eine an die obere Leibungsfläche sich anschliessende, nicht ganz herabreichende Zwischenwand eine kleine Kammer ab, welche bestimmt ist, bei zu grosser Blase Luft aus der eigentlichen Libellenröhre zu übernehmen, bei zu kleiner Blase solche an letztere abzugeben. Um diesen Ausgleich zu bewirken, hat man die Wasserwage nach der einen oder anderen Richtung zu neigen, bis die der höchsten Stelle zustrebende Luft, sich in demjenigen Abteil befindet, in dem sie jeweils gebraucht wird.

rheinische

Kinflüsse.

Wende-

libellen.

Es kommt nicht selten vor, dass Wasserwagen, nachdem sie jahrelang ohne Anstand benützt wurden, einen unregelmässigen Gang der Blase, bald klebende, bald sprungweise Bewegung zeigen, der dauernd auftritt, also nicht von augenblicklichen Wärme- oder Spannungseinflüssen herrühren kann. Es handelt sich hier nach Jordan um Ausscheidungen des Glases, welche punktartig die Schlifffläche belegen. Um sie zu reinigen muss die Röhre an einem ihrer Enden geöffnet werden, was sich aber nur bei feinen Libellen lohnt.

Für gewisse, feinere Arbeiten ist es wünschenswert, die Luftblase nicht bloss in einer einzigen Lage der Libelle, sondern auch in einer zweiten, durch Drehung um ihre Längsachse um einen bestimmten Winkel erzeugten Lage benützen zu können. Solche Libellen heisst man: „Wende- oder Reversionslibellen“.

Sie müssen natürlich an zwei entsprechenden Stellen in derselben Weise geschliffen sein, welche bisher nur längs einer Mantellinie verlangt wurde. Zu den früher gestellten Anforderungen für jede der beiden Teilungen kommt aber jetzt die weitere hinzu, dass die beiden Libellenachsen (Tangenten an die Schliffflächen in den Null- oder Spielpunkten) einander parallel sein müssen.

Die Untersuchung dieser Forderung siehe bei Behandlung der Nivellierinstrumente.

Die bisher vorgeführte Wasserwage lässt direkt nur die Horizontierung gerader Linien (von Auflagerlinien) zu. Zur Horizontierung einer Ebene bleibt nichts übrig, als zwei in ihr liegende, sich schneidende Geraden durch entsprechendes Versetzen der Libelle wagrecht zu richten. Um Ebenen durch einmaliges Aufsetzen horizontal, oder gerade Linien vertikal zu richten, verwendet man:

Form des Glaskörpers.

ß) Die Dosenlibelle (Fig. 22 a und b, 23 und 24).

Sie besteht aus einem mit einer Glasplatte oben verschlossenen zylindrischen Metallgefäss, welches mit einer Flüssigkeit (Weingeist

oder Schwefeläther) nahezu angefüllt ist. Die Füllung erfolgt bei verkehrt gehaltener Wasserwage durch eine Öffnung im Boden des Gefässes, welche mittels einer Schraube mit eingepressten Bleiplättchen verschlossen wird.

Teilung und Füllung.

Unter

suchung.

Fig. 22 a.

iMBä

SU

na

in

Fig. 22 b.

Da bei dieser Konstruktion Verdunstung der Flüssigkeit an den in Fig. 22 a mit Pfeilen bezeichneten Stellen zu befürchten ist, so stellt Mollenkopf-Stuttgart neuerdings Dosenlibellen her, bei denen das in die Metallfassung eingebettete Glasgefäss analog der Röhren-libelle unten zugeschmolzen wird (s. Fig. 22 b). Die innere Glasfläche ist oben zur Kugelkappe ausgeschliffen, so dass die Oberfläche des Füllmaterials die Schlifffläche nach einem Kreis schneidet, dessen Ausdehnung mit der Flüssigkeitstemperatur sich ändert. Um die jeweilige Lage dieses Schnittkreises beobachten zu können, sind in die äussere Fläche der Glasplatte einige konzentrische Kreise im gegenseitigen Abstand einer Pariser Linie oder eines Doppelmillimeters eingeätzt, oder auf die Schlifffläche gezeichnet.

Z/t

Anforderung.

Ist der Schnittkreis zwischen Flüssigkeitsoberfläche und Libellenschliff konzentrisch diesen Kreisen — „spielt die Wasserwage ein“ — so ist die Berührungsebene an die Schliff-(Kugel)fläche im Mittelpunkt der Kreise, die „Libellenachse“, parallel der Flüssigkeitsoberfläche, d. h. wie diese horizontal. Dasselbe trifft für die Lager fläche der Wasserwage zu, wenn diese parallel der genannten Berührungsebene ist. Diesen Parallelismus setzen wir als notwendige Anforderung fest.

Zur Untersuchung wird die Wasserwage auf ebenem Lager zum Einspielen gebracht und alsdann ohne Ortsveränderung um ihre Längsachse gedreht. Ein etwaiger Ausschlag erreicht bei einer

Weitbrecht, Vermessungskunde.

Drehung um 2 R sein Maximum und beweist die Divergenz der Lagerfläche gegenüber der oben genannten Berührungsebene. Verbesserung erfolgt durch Abschleifen der Lagerfläche, falls eine Korrektionsvorrichtung (in der Regel drei Zugschrauben, welche in eine Metallplatte eingreifen und denen eine Blattfeder oder je eine Spiralfeder entgegen wirkt, s. Fig. 24) fehlt.

Fig. 24.

Fig. 23.

I;

SI 'r

Empfindlich

keit.

Die Empfindlichkeit der Dosenlibelle ist, wie ihr Schliffradius, erheblich kleiner, als diejenige der Röhrenlibelle. Soll die Libelle

zur Vertikalstellung eines Stabs, oder einer Nivellierlatte verwendet werden (s. Fig. 23 und 24) (wobei eine Abweichung von der Senkrechten von V2 dm auf 5 m Länge erst 0,25 mm Ablesungsdifferenz verursacht), so genügt schon eine Empfindlichkeit

0,05    ,

5    * "

also ein Schliffradius von

£/ =

_ 0,05 X 3437' _ 34/

mm = 0,23 m.

b , _    2,26 X 3437

e' * Q ~~    34

Man verwendet jedoch hier für solche Zwecke Libellen von 5 bis 10 Minuten, für die Horizontierung von Theodoliten solche von etwa 1 Minute Empfindlichkeit.

Empfindlicher als die Dosenlibellen und für die Horizontierung von Ebenen dieselben Vorteile bietend wie sie, sind die sogen. Kreuzlibellen, zwei kreuzweis in einer Platte eingelassene Röhrenlibellen, deren jede für sich justierbar ist. Doch ist ihre Verwendung, da das Auge zwei Stellen gleichzeitig beobachten soll, erheblich unbequemer.

§ 6. Lattenreiter, Gradbogen, Hängezeug, Gefällmesser und Messkeil.

Die Libelle dient zur Herstellung horizontaler Richtungen. Die Grösse der Neigung schiefer Richtungen liefert sie unter Be-

nützung des Ausschlags der Luftblase, entsprechend ihrer Empfindlichkeit, zwar sehr genau, aber nur innerhalb sehr enger Grenzen. (Verfügbare Strecke der Libellenteilung je bis zum äusseren Ende der ausschlagenden Blase etwa 10 Teile, also messbare Maximalneigung + 10 X e".) Soll eine stärkere Neigung gemessen, oder soll eine Gerade von bestimmter Neigung angegeben werden, so kann man hiezu benützen:

a) Den Lattenreiter, ein von Landmesser Schulze der Libelle Lattenreiter, nachgebildetes Instrument (s. Fig. 25).

Die Neigung a einer Schiefen lässt sich innerhalb der soeben angegebenen Grenze von einigen Minuten mit der gewöhnlichen Wasserwage ermitteln. Ja man kann, wenn man deren gleiche Teilungsintervalle entsprechend wählt, diese Neigungswinkel in Grad-mass an der aufgesetzten Libelle direkt ablesen, also die lästige Multiplikation der Anzahl von der Luft-

Fig. 25.

MO

7ö

20

r-

blase durchlaufener Teile mit dem Empfindlichkeitswinkel e sparen. Auch kann man den Berührungspunkt der Libellenachse (Spielpunkt) nach dem einen Ende der Wasserwage verlegen, so dass deren ganze Länge für die Neigungsermittlung zur Verfügung steht. Endlich, und das ist der Schulzesche Gedanke, kann man aber den Schliff der inneren Röhrenfläche, im Gegensatz zur gewöhnlichen Libelle, von stetig sich ändernder Krümmung r machen, derart, dass eine gewisse Funktion des Neigungswinkels a, nämlich der Unterschied d' = 1 — 1 cos a der Länge einer geneigtliegenden 5 m Messlatte und ihrer Horizontalprojektion (vergl. § 12), sich ändert proportional dem bei der Neigungsänderung da von der Luft-

blase zurückgelegten Weg r. da, also dass

= const.

d (1 — 1. COS a)

r.da

Scliräg-

messer.

Die Schulzesche Ableitung der dieser Bedingung entsprechenden Schliffkurve des Instruments siehe Zeitschr. f. VermessungswesenlOOl, S. 550 ff. Der „Lattenreiter“ wird von Ed. Sprenger, Berlin, in einer Länge von 173 mm (also als Tascheninstrument) hergestellt und gestattet die Verwendung bis zu Neigungen von ca. 14° 30'. Einem ähnlichen Gedanken entspringt der neuerdings empfohlene:

b) Schrägmesser (vergl. Zeitschr. f. Vermessungswesen 1907, S. 896 ff.). Von zwei, an der Stirnseite durch ein Scharnier verbundenen Holzstäben, trägt der obere eine Libelle. In einer Nute des unteren, mit Anschlag dem einen Messstangenende aufzulegenden Stabs ist ein Keil verschiebbar, welcher auf den oberen Stab drückt und dessen Libelle zum Einspielen bringen lässt. Dabei tritt ein zum Keil gehöriges Schwanzstück um diejenige Strecke über das das Instrument tragende Stangenende hervor, welche dem von der Neigung abhängigen Reduktionsbetrag entspricht. Die Neigungsablesung fällt damit weg und man hat nur, nachdem die Luftblase zum Einspielen gebracht wurde, das Ende des genannten Schwanzstücks (Schiebers) statt dem eigentlichen Stangenende als solches zu betrachten. Das Instrument wird beim Bergaufmessen auf dem hinteren Ende der vorderen Stange, beim Bergabmessen auf dem vorderen Ende der hinteren Stange aufgesetzt.

Angesichts der geringen Entfernung der Auflagerpunkte beider Instrumente bewirken Durchbiegungen der Messstange oder kleine Unebenheiten, Fremdkörper etc. an den Auf lagerstellen erhebliche Änderungen des Neigungswinkels. Es ist deshalb nötig, den Messgeräten besonders zugerichtete Lager für das Aufsetzen des Lattenreiters oder Schrägmessers zu geben. Die durch die geringe Höhe des Instruments bei jeder Stangenlage erforderliche Beugung des Körpers ist unbequem. In letzterer Beziehung bequemer ist:

Gradbogen.

c) Der Gradbogen (s. Fig. 26). Er besteht aus einem (in der Regel hölzernen) Dreieck von etwa 40—70 cm Seitenlänge, dessen

Fig. 26.

«SB

5.’

ign

Auflagerlinie (Grundlinie) einen in Gradenmass geteilten metallenen Kreisbogen trägt. Im Mittelpunkt dieses Bogens (Scheitel des Holzdreiecks) ist an starrem Lot ein Gewicht aufgehängt, dessen Spitze oder Ablesemarke sich auf der Teilung frei bewegen kann und, in Ruhe befindlich, dem Lot vertikale Richtung erteilt. Die Kreisteilung ist am Holzdreieck derart befestigt, dass die Verbindungslinie ihres Nullpunktes mit dem Aufhängepunkt des Lots senkrecht steht auf der Auflagerlinie. Auf eine geneigte Gerade aufgesetzt, schliesst daher die Richtung des Lots mit jener Verbindungslinie denselben Winkel ein, wie die Horizontale mit der Geraden selbst, d. h. den Neigungswinkel der letzteren. Die Teilung gibt also an der Senkelspitze diesen Winkel

in Gradmass (Unterabteilungen von 10'), zuweilen auf einer zweiten Teilung auch direkt den Betrag d' (s. § 12) an, um welchen das Mass der schief gelegten, 5 m langen Messstange von der Länge ihrer Horizontalprojektion abweicht.

Zu diesem Zweck muss das Instrument folgenden Anforde-

Anforde

rungen.

rungen genügen:

1)    Der Teilungsnullpunkt liege auf dem Lot vom Senkel

aufhängepunkt zur Auflagerlinie.

2)    Teilungsmittelpunkt = Aufhängepunkt des Senkels.

3)    Teilungsintervalle und -Bezifferung müssen dem durch

sie bezeichneten Teil des Vollkreises entsprechen.

Untersuchung zu 1). Aufsetzen des Instruments auf fester Unterlage, Ablesung aj an der Senkelspitze. Umsetzen des Instruments (Vertauschung der Auflagerpunkte).

Die Senkelspitze zeigt auf a₂.

Die Bögen | °    &1 müssen absolut gleich und entgegengesetzt

‘ o — a₂

gerichtet sein, oder Ablesung = — a₂.

Wegen etwaiger Nichterfüllung der Bedingung (2) soll die Auflage bei Untersuchung (1) möglichst horizontal gewählt werden, so dass ai und a₂ nahezu = 0.

Verbesserung durch Abhobeln der Auflagerfläche. Untersuchung zu 2). Es können hier bei etwaiger Nichterfüllung der Anforderung z-wei Fälle unterschieden werden, nämlich

) liegen nicht i liegen

in einer Geraden. Im ersten Fall zeigt sich der Fehler schon dadurch, dass trotz der Erfüllung von Forderung (1) eine beliebig hergestellte (für die Untersuchung möglichst grosse) Neigung auf beiden Seiten der Teilung, d. h. bei umgesetztem Gradbogen verschiedene Werte ergibt, weil die Teilungsintervalle auf dem von der Senkelspitze beschriebenen Weg je nach dem veränderlichen Abstand vom Teilkreismittelpunkt verschieden gross sind.

Im zweiten Fall ergibt sich der Neigungswinkel zwar in beiden gross, klein,

liegt. Man stellt sich daher am besten eine bestimmte Neigung a her (etwa durch Einfügen einer Messstange 1 zwischen einer vertikalen und einer horizontalen Ebene in der Höhe h, so dass

sin a = y, oder nach Art des Lattenprofils (s. später)) und untersucht, ob das Instrument beim Aufsetzen diesen Wert a, bezw.

Teilungsnullpunkt, Teilkreismittelpunkt «und Senkelaufhängepunkt

Lagen gleich, aber zu

wenn der Senkelauf hängepunkt zu

hoch

nieder

den Reduktionsbetrag d' = 1 — 1 cos a (s. § 12) anzeigt. Trifft dies zu, so ist nicht nur die zentrische Lage des Aufhängepunkts, sondern auch die Richtigkeit der betreffenden Teilstriche und -Bezifferung konstatiert. Trifft es nicht zu, so legt man sich eine Tabelle an mit den Spalten: 1. am Gradbogen abgelesene Neigung, 2. tatsächliche Neigung, 3. Reduktionsbetrag für die geneigt gelegte Messstange von lm Länge. Die Spalte 2 kann für die praktische

Fig. 27.

Anwendung nach erfolgter Berechnung der zu (1) gehörigen Beträge (3) wegbleiben.

Untersuchung zu 3). Nachdem unter (2) schon die richtige Lage zweier in grossem und gleichem Abstand vom Teilungsnullpunkt gelegener Teilstriche festgestellt wurde, genügt es, mittels eines Papierstreifens oder Millimetermassstabs die Gleichheit der Bögen von Teilstrich zu Teilstrich zu untersuchen, welche die Ablesemarke bei Drehung um den Aufhängepunkt beschreibt.

Die bisherigen Verfeinerungen des Gradbogens bewegen sich in zweierlei Richtung. Sie entspringen dem Bestreben:

1.    Die Teilung dem Auge zum Zweck bequemerer und

schärferer Ablesung näher zu bringen, oder die Teilungsintervalle zu vergrössern.

2.    Die Bewegung des Lots von Wind und Wetter (Kleben

der Ablesemarke an der Teilung im Falle von Regen) unabhängig zu machen.

Der erstgenannte Zweck wird erreicht durch Yerlängerung der beiden Schenkel des Holzdreiecks und des Lots nach oben, und Befestigung des geteilten Bogens in umgekehrter Lage an den Verlängerungsstücken (System Menner), bezw. durch Vergrösserung des Instruments (Gonser). Der zweite durch Anbringung einer Röhrenlibelle (Empfindlichkeit von 5' genügt) am Lot (s. Fig. 27, Systeme Krayl, Wimmer u. a.).

d) Das Hängezeug, ein geteilter Halbkreis, dessen Teilungsanfang auf dem zum Grenzdurchmesser senkrechten Halbmesser liegt. Parallel zum Grenzdurchmesser, also zur Verbindungslinie der beiden 90⁰ - Teilstriche verläuft die durch Haken hergestellte

Aufhängelinie, während um den Mittelpunkt des Teilkreises ein Lot schwingt. Der Winkel zwischen Aufhängelinie und Wagrechter (Neigungswinkel einer gespannten Schnur) wird, wie beim Gradbogen, auf der Kreisteilung durch den Winkel zwischen freischwebendem Lot und O-Halbmesser angezeigt.

Auch die Anforderungen an das Instrument und deren Untersuchung sind den an den Gradbogen gestellten analog.

Gefall-

messer.

e) Der Gefällmesser dient wie der Lattenreiter, der Gradbogen und das Hängezeug zur Bestimmung des Neigungswinkels, sowie zur Reduktion geneigter Strecken auf die Horizontalebene. Überdies erfährt er aber eine ausgedehnte Verwendung zur direkten Absteckung von Linien bestimmter Neigung auf dem Feld (Tracieren von Feld- und Waldwegen). Er verlangt keine materielle Gerade, auf welcher das Instrument, ähnlich den vorbenannten Instrumenten, aufzusetzen wäre, sondern lässt an die Stelle der Auflagerlinie eine Ziellinie treten.

Die Zahl der Gefällmesserformen ist eine noch grössere, als diejenige der Gradbögen. Einige von ihnen seien im nachfolgenden vorgeführt. Der ihnen gemeinsame Grundgedanke ist etwa folgender: Mit einer Zielvorrichtung (kleines Loch mit gegenüber horizontal aufgespanntem Faden, oder auch Fernröhrchen) ist ein geteilter, während der Benützung vertikaler Kreis, oder ein Zeiger starr verbunden, der die um eine horizontale Achse ausgeführten Vertikalbewegungen der Ziellinie mitmacht. Im ersten Fall wird der Zeiger, im zweiten der Vertikalkreis selbsttätig (mittels Gewichten), oder künstlich (unter Benützung einer Wasserwage) in diejenige Lage gebracht, welche bei horizontaler Zielung die Ablesung 0 und bei beliebig geneigter Zielung die vorhandene Neigung in Gradmass, oder in Prozenten, oder auch dasjenige Mass angibt, um welches die wirkliche, geneigte Strecke (Messbandlänge) grösser ist, als ihre jeweilige Horizontalprojektion.

Ein für die Absteckung von Linien bestimmter Neigung, wie für die Neigungsermittlung bestimmter Linien gleich geeignetes Instrument ist der nachfolgend kurz beschriebene Tesdorpf-sche Spiegel-Gefällmesser (s. Fig. 28'—30). Mit der Zielvorrichtung ist ein beim Gebrauch vertikaler Teilkreis B fest verbunden, dessen Radius nach dem Teilungsnullpunkt senkrecht steht auf der Ziellinie und um dessen Mittelpunkt sich ein mit einer Wasserwage verbundener Zeiger drehen lässt. Die Achse dieser Wasserwage ist senkrecht zum Zeiger angeordnet. Wird die Zielvorrichtung auf einen entfernten Punkt eingestellt und gleichzeitig die Wasserwage L zum Einspielen gebracht, so gibt der jetzt vertikale Zeiger auf dem Teilkreis die

Neigung der Ziellinie in einem der obengenannten Masse an. Soll das Instrument freihändig, oder (was Regel ist) auf einem Stock verwendet werden, so ist es notwendig, die (für solche Benützung nur wenig empfindliche) Wasserwage in dem Augenblick des An-

Fig. 28.

F"'

Zielens zum Einspielen zu bringen. Dies wird dadurch ermöglicht, dass die eine Hälfte des Zielrohrs durch einen schief angebrachten Spiegel S (Fig. 29) ausgefüllt ist. Dieser wirft das Bild der Li-

Fig. 30.

Fig. 29.

•o

'•C.

bellenluftblase, welches durch eine Öffnung in der oberen Rohrwand eintritt, gegen das beobachtende Auge 0. Durch Drehen des Zeigers samt Libelle sorgt man während der Anzielung durch die offene Rohrhälfte A (Fig. 30) dafür, dass das Bild der Luftblase durch den Horizontalfaden halbiert wird (d. h. die Libelle einspielt).

Während bei der soeben beschriebenen Konstruktion der Teilkreis mit der Zielvorrichtung starr verbunden war und dem senkrecht zur Libellenachse angeordneten Zeiger während der Zielung vertikale Richtung gegeben wurde, ist bei der nächsten, Brückner-schen, der Zeiger durch die Zielrichtung selbst ersetzt. Der Teilkreis trägt zwei Teilungen (links prozentische Gefälle von 2 zu 2 % fortschreitend, rechts Reduktionsbeträge d' = 1 — 1 cos a für 1 = 20 m). Er schwingt beim Gebrauch innerhalb einer zylindrischen metallenen Büchse, deren Mantel an zwei gegenüberliegenden Seiten und zwar an der einen durch einen horizontalen Spalt, an der andern durch eine Glasplatte mit horizontalem Strich unterbrochen ist. Spalt und Strich bilden die Zielvorrichtung. Die Sehlinie streift den Teilkreis, welcher, um eine horizontale Achse sich drehend, durch ein Gewicht sich selbsttätig so stellt, dass der Zielstrich bei horizontaler Zielung mit dem 0-Strich übereinstimmt, bei geneigter^ Zielung aber den Betrag dieser Neigung und der entsprechenden Reduktion anzeigt. Zur bequemeren Ablesung dient eine neben der Zielspalte angeordnete Lupe. Das Instrument wird freihändig benützt.

Zum Schutz der den Teilkreis tragenden Horizontalachse gegen Beschädigungen dient eine Arretiervorrichtung.

An die Gefällmesser sind ganz dieselben Anforderungen, wenn auch in etwas veränderter Form, zu stellen, wie an den Gradbogen. Da sich aber die Untersuchung der verschiedenartigen Konstruktionen nicht übereinstimmend in identische Einzeloperationen auf-lösen lässt, wollen wir uns mit der zusammengefassten Forderung begnügen: die Instrumente müssen die beobachteten Neigungswinkel oder prozentischen Gefälle, bezw. die ihnen entsprechenden Reduktionsbeträge richtig ergeben.

Um dies zu untersuchen, ermittelt man auf Grund einnivel-lierter Höhen und gemessener Entfernungen einige Neigungen in zuverlässiger Weise und beobachtet sie auch durch das zu prüfende Instrument.

Die Grundbedingung, dass bei horizontaler Zielung Höhenwinkel und Reduktionsbetrag sich gleich 0 ergeben, wie auch die Bedingung, dass Teilkreismittelpunkt und Zeigerdrehpunkt zusammenfallen, kann man prüfen, indem man den Neigungswinkel einer Strecke AB vor und zurück beobachtet (Gegenzielung, vergl. Justierung des Nivellierinstruments). Die ermittelten Neigungen und Reduktionsbeträge müssen absolut gleich sein, die Höhenwinkel aber verschiedenes Vorzeichen (Höhenwinkel — Tiefenwinkel) haben.

Etwaige Berichtigung erfolgt je nach der Konstruktion des Instruments durch Verschieben des die Lage des schwingenden Teilkreises bestimmenden Gewichts, oder durch Justierung der Zeigerlibelle.

f) Ein einfaches, aber nur bei wenig geneigtem Gelände anwendbares Instrument zur Bestimmung des Reduktionsbetrags d', um den ein geneigt liegendes Messband länger ist, als seine Horizontalprojektion, stellt ein Bandstab mit nachfolgend zu beschreibender Teilung vor. In gleicher Entfernung von der Stabspitze trägt der eine Bandstab eine horizontale Zielvorrichtung, der andere den Teilungsnullpunkt. Da der Reduktionsbetrag beim 20 m-Band und h m Höhenunterschied beider Enden beträgt:

d' = 20 - V 20² — li² also h² = 40 d' — d'², so kann man für Reduktionsbeträge

d' = 1    2    3    4    5    6 cm

* die zugehörigen Höhenunterschiede

h = 63    89    110    126    141    155 cm

berechnen und vom Nullpunkt aus nach beiden Seiten als ungleich-mässige Teilung ab tragen. Der am einen Bandende horizontal zielende Techniker liest dann am anderen Bandstab direkt den zur Bandlage gehörigen Reduktionsbetrag ab.

Messkeil.

g) Der Messkeil von Geometer Menner ist ein Aluminium-winkel von 224/2° in der Form eines rechtwinkligen Dreiecks. Rechtwinklig zur grösseren Kathete sind Teilungsrippen angegossen, deren Längen zwischen dieser Kathete und der Hypotenuse den des öfteren berührten Reduktionsbetrag (s. § 12)

tc B

d' = 1 — 1 cos a — 2 1 sin² - -

für den veränderlichen Neigungswinkel a und für die Stangenlänge 1= 5m darstellen. Die Parallelabstände der Rippen wachsen im Fall der Anwendung eines Gradbogens mit Winkelteilung entsprechend der durch die Rippenlänge dargestellten Funktion ungleichmässig (s. § 25). Die Grösse des zu jeder Rippe gehörigen Neigungswinkels a ist durch angegossene Zahlen ersichtlich.

Gibt der Gradbogen die Reduktionsbeträge in Millimetern an, so werden die Rippenabstände des zugehörigen Messkeils gleich gross.

Kapitel II.

Einfache Instrumente zum Messen und Abstecken von Winkeln.

Die einfachen Winkelinstrumente lassen sich einteilen in

a)    Diopterinstrumente,

b)    Spiegelinstrumente,

c)    Prismeninstrumente.

§ 7. Diopterinstrumente.

Erklärung des Diopters.

Die Diopterinstrumente (Kreuzscheiben) besitzen eine oder mehrere Durchseh- (Diopter-) Vorrichtungen, je bestehend aus zwei einander gegenüberliegenden, ca. 0,2 mm breiten Schlitzen, oder

einem solchen Schlitz in Verbindung mit einem in breitem Spalt gegenüber aufgespannten Rosshaarfaden, oder aus einem kleinen Loch mit gegenüberliegendem Schlitz oder Faden. Der Faden ist je nur auf die halbe Länge der Zielvorrichtung ausgedehnt und geht sodann in den in der Mitte in einem Punkt geschlossenen Schlitz über, so dass in jeder Richtung das an den Schlitz angelegte Auge gegenüber einen Faden vorfindet.

Die Form des Trägers dieser Zielvorrichtung (Kreuzscheibenkopfs) — hohler, metallener Kegelrumpf oder (in der Regel achtseitiges) Prisma oder Kugel, oder Zylinder — ist bestimmend

Fig. 32.

Fig. 33.

Fig. 31.

„,“,1

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■I

Träger des Diopters.

r,

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Ili

für die Bezeichnung „Kegelkreuzscheibe“ (Fig. 31), „prismatische Kreuzscheibe“ oder „Winkeltrommel“ (Fig. 32), „Kugelkreuzscheibe“, „zylindrische Kreuzscheibe“ (Fig. 33). Der Kreuzscheibenkopf trägt zur bequemen Vertikalstellung häufig eine Dosenlibelle und ist auf einem hölzernen oder metallenen Stab (Mannesmannrohr) befestigt, der unten in eine gehärtete Spitze endigt.

Zweck und Einrichtung.

Zum Abstecken von Winkeln konstanter Grösse (1 Rechter,

bisweilen auch sollen die Zielvorrichtungen derart angeordnet

sein, dass die durch sie gebildeten Ebenen den verlangten Winkel miteinander einschliessen.

Sollen die Instrumente zum Messen von Winkeln beliebiger Grösse verwendet werden, so ist bei der Kegelform (Gradscheibe) auf der Verlängerung der Grundplatte, bei der zylindrischen Form (Pantometer) (Fig. 33) auf dem Mantel des in beiden Fällen um

eine vertikale Achse leicht drehbaren Kopfes eine Kreisteilung (Intervall etwa 1 °) angebracht, welche mit einer Ablesevorrichtung (Zeiger, Nonius, vergl. § 37) korrespondiert, die mit dem Stab fest verbunden ist (Nonienangabe 2 bis 4 Minuten). Der Träger der letzteren kann eine zweite Zielvorrichtung (Versicherungsdiopter) tragen, zur Feststellung etwaigen Mitschleppens des Stabes beim Drehen des Kreuzscheibenkopfes (s. Fig. 33). Um Beschädigungen anlässlich des Einstossens des Stabes in den Boden zu vermeiden, , werden Instrumente mit drehbaren Teilen, oder mit Winkelteilungen zweckmässigerweise auf dem Stab nicht festgeschraubt, sondern mittels schwach konischer (kegelrumpfförmiger) Hülsen auf eine entsprechende Verlängerung des Stabs erst gesetzt, wenn letzterer in die Erde eingestossen ist.

Von den verschiedenen Dioptervorrichtungen ist diejenige zweier korrespondierender Schlitze die zweckmässigste (unabhängiger von Witterungseinflüssen als die Fadeneinrichtung, nicht so leicht zu beschädigen, kein Verdecken des Ziels). Als Trägerform empfiehlt sich besonders der Kegelrumpf (oben bei geringer Entfernung der gleich breiten Schlitze grosses Gesichtsfeld und daher bequemes Anzielen, unten kleines Gesichtsfeld und damit grössere Genauigkeit je nach Bedarf verwendbar; durch Abwärtsbewegung des Auges längs des Zielschlitzes Übergang vom grossen Gesichtsfeld zum kleinen allmählich, wodurch Zielung erleichtert und verfeinert; abgesehen von der Kugelform grösstmögliche Steilheit der Zielung; Schutz gegen Beschädigung beim Umfallen durch die verlängerte Grundplatte).

Der Kopf der (namentlich in Württemberg, wo die übliche Aufnahmemethode möglichst genauen Winkelscheitel verlangt, 'gebräuchlichen) Kegelkreuzscheibe hat etwa folgende Dimensionen:

„    1 2x/₂ cm

.    .    8 cm.

oberer Durchmesser ca. 4—5 cm unterer „

Höhe etwa .    .

Der Kegelrumpf ist unten abgeschlossen durch eine gegen die Wirkung heftiger Stösse mit Kippen verstärkte Grundplatte, welche ein Muttergewinde trägt, zur Befestigung auf dem Stab.

Die prismatische, wie auch die zylindrische Form wird meist in kleineren Dimensionen hergestellt (Prisma mit etwa 4—6 cm Durchmesser und ca. 7^2 cm Höhe, Zylinder mit ca. 9 cm Durchmesser), weil sie Anwendung namentlich in denjenigen Ländern finden, in denen Aufnahmemethoden üblich sind, die nicht genauen Winkelscheitel verlangen (s. § 17).

Anforderungen an die Kreuzscheibe.

Anforde

rungen.

Unter

suchung.

1.    Die beiden zusammengehörigen Zielvorrichtungen (Schlitze,

oder Spalt mit Faden) eines Diopters müssen je in einer Ebene liegen.

2.    Die Schnittlinie beider Diopterebenen muss mit der Stab

achse zusammenfallen.

3.    Die Diopterebenen müssen sich unter dem verlangten

Winkel schneiden.

4.    Die Libelle muss bei vertikalem Stab einspielen.

5.    Der Stab muss gerade sein.

Fig. 34.

Untersuchung zu (1). Bei beliebig (nicht notwendigerweise vertikal) gestelltem Stab muss das am Diopter auf und ab bewegte Auge ein und denselben Punkt (Blitzableiterspitze etc.) im Gesichtsfeld erblicken (Einfluss windschiefer Schlitze auf die Zielung siehe Fig. 34).

Die Anforderung (2) zerfällt in die wichtigere:

a)^Die Schnittlinie der Diopterebenen muss parallel sein der Stabachse, und die weniger wichtige:

ß) Der Parallelabstand der beiden Linien muss = 0 sein.

Zu a). Bei vertikal gestelltem Stab muss der Faden eines freischwebend, nahe bei der Kreuzscheibe aufgehängten Lots ganz im Gesichtsfeld des entsprechend orientierten Instruments erscheinen.

Zu ß). Durch die Schlitze jedes der Diopter werden nach beiden Seiten 4 Punkte in geringer, ungefähr gleicher Entfernung vom Instrument eingewiesen. Nach erfolgter Drehung um etwa 2 R und genauer Einstellung auf einen der genannten Punkte muss je der zugehörige, rückwärts in gerader Linie liegende wieder im Gesichtsfeld erscheinen. Etwaige Differenz entspräche dem vierfachen Fehler.

Fig. 35.

Zu (3).

c rt

a) Für rechtwinkligen Schnitt der Diopterebenen:

Oy

V Yt jLl/

Nachdem die Kreuzscheibe in beliebigem Punkt B (Fig. 35) vertikal gestellt ist, weist man durch ° die beiden Diopter die Stäbe A und C

ein. Dreht man alsdann die Scheibe um ihre vertikale Achse so, dass der Stab A im Gesichtsfeld des bisher nach C gerichteten Diopters erscheint (um ca. 1 R), so muss Stab C durch das andere Diopter sichtbar sein. Etwaige Abweichung entspräche dem doppelten Kreuzscheibenfehler.

Auch beim Vorhandensein eines solchen kann man übrigens einen genauen rechten Winkel mit dem Instrument abstecken. Man hat zu diesem Zweck die Absteckung nur bei um 1 R, gedrehter Kreuzscheibe zu wiederholen und die Entfernung der beiden eingewiesenen Punkte zu halbieren.

ß) Für 45 ⁰ Schnitt der Diopterebenen.

Von jedem der beiden Schenkel des (wie oben angegeben)

abgesteckten rechten Winkels trägt man nach innen den zu prüfen-R

den Winkel von ab durch Einweisen eines Punktes nach erfolgter Orientierung der Kreuzscheibe. Die etwaige Abweichung beider Richtungen ist gleich dem doppelten Fehler des Schnittwinkels.

Zu (4). Mit Hilfe eines Senkels oder einer Dosenlibelle (s. Fig. 23) stellt man den Kreuzscheibenstab vertikal. Spielt in dieser Stellung die Wasserwage ein, so wird umgekehrt künftig auch bei einspielender Libelle der Stab vertikal stehen.

Andere Art der Untersuchung: Bei Drehung des auf dem Boden aufgestellten, oben in einer yförmigen Gabel festgehaltenen Stabs um seine Längsachse muss die zum Einspielen gebrachte Luftblase einspielend bleiben.

. Zu (5). Bei rascher Drehung des Stabs um seine Längsachse zeigt sich etwaige Krümmung desselben durch leicht wahrnehmbare Schwankungen in horizontalem Sinn.

Die Wichtigkeit der oben aufgezählten Anforderungen für die Anwendung ist verschieden, und nimmt ab in der Reihenfolge der vorstehenden Aufzählung.

Verbesserungen an der Kreuzscheibe sind durch den Mechaniker auszuführen.

Für die Absteckung längerer Schenkel rechter Winkel, wie sie bei Anwendung der Parallelmethode für die Stückvermessung (s. § 17) vorkommt, kann sich die Anwendung kreuzweise aufgehängter Fernröhrchen an Stelle der Kreuzscheibe empfehlen.

§ 8. Spiegelinstrumente.

Spiegelungsgesetz. '

Die Anwendung der Spiegelinstrumente in der Geodäsie beruht auf dem optischen Reflexionsgesetz, wonach ein Lichtstrahl von einer spiegelnden Fläche in der Ebene des Einfallslots unter demselben Winkel zurückgeworfen wird, unter dem er auftrifft.

a) Zweispiegelige Instrumente mit Verwendung je' einmaliger Reflexion.

Fig. 36.

:rr-

es

Kommt ein einziger Spiegel zur

in Verbindung mit einer Dioptervorricht

hierdurch gebildeten Ziellinie einen bestimmten Winkel

Fig. 37. °c, c°

tr

Wendung, so steht er und schliesst mit der lif?mentetm

Ph

(s. Fig. 36) ein. Sorgt man durch entsprechende Stellung der Stäbe A bezw. B, oder durch entsprechende Wahl des Instrumetenorts dafür, dass das durch den Spiegel Si bezw. S₂ erzeugte Bild 21 oder 23 der ersteren in die über die Spiegel hinweg durch die Diopter gesehene Richtung C₂ Ci fällt, so bildet der den Spiegel treffende Strahl ASX bezw. BS₂ mit der Zielrichtung des Diopters den doppelten Winkel zwischen letzterer und dem Spiegel.

Häufiger kommen zwei Spiegel zur Anwendung, die einen konstanten, oder einen veränderlichen Winkel miteinander einschliessen, und welche die von den Zielpunkten ausgehenden Lichtstrahlen ein- oder zweimal reflektieren.

\Oi

m.

Zweispiege-lige Instrumente.

Das Pantogon von G. Meissner, Berlin besteht (s. Fig. 37) aus einem Teilkreis LL von etwa 80 mm Halbmesser mit Teilungsintervallen von ¹/i °, die aber ihrem doppelten Betrag entsprechend beziffert sind, und einem senkrecht tfazü und parallel zum O-Radius fest angeordneten Spiegel S. Ein zweiter etwas breiterer Spiegel S' ist um eine durch den Kreismittelpunkt gehende, zum Teilkreis senkrechte Achse drehbar; sein Trägerarm endigt bei der Winkelteilung in einem Nonius (s. § 37).

Dreht man nun den beweglichen Spiegel S' (s. Fig. 38) bis das durch ihn erzeugte Bild 23 des Punktes B in derselben Richtung erscheint, wie das durch den festen Spiegel S erzeugte Bild 21 des Punktes A (so dass Deckung

j>k$

beider Bilder entsteht), so besteht zwischen dem Winkel co der die Spiegel treffenden Strahlen und dem Winkel a zwischen den Spiegeln die Beziehung:

(Fig. 38) co = 2 R — \ 2 ß + 2 R — 2 y j = 2 y —2 ß a = 2 R —    — y

(0 = 2 a.

(Fig. 39) « = 2 R — 2 /? + 2 R — 2 y = 4 R — 2 ß a = 2 R — (ß + y)

co = 2 a.

Fig. 40.

7/7

Fig. 38.

Fig. 39.

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CJC

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Statt hintereinander, kann man die beiden Spiegel auch übereinander so anordnen, dass das innerhalb des Winkelraums befindliche Auge (vergl. den „Winkelspiegel“ S. 49) die Spiegelbilder 3t und 33 der beiden ~B Punkte A und B in der Schnittlinie der Spiegel erblickt — „Spiegelkreuz“.

Ist der Winkel zwischen beiden Spiegeln = R, so ist in

diesem Fall derjenige zwischen den Strahlen AC und BC = 2R —, letztere bilden eine Gerade (Fig. 40).

ß) Zweispiegelige Instrumente mit Verwendung doppelter Reflexion.

Weg des Lichtstrahls.

Stellt ABC in Fig. 41 einen Schnitt _L zu den Spiegelebenen vor, welche gegen das Innere des Winkelraums a angeordnet sind, so wird ein von P kommender Lichtstrahl in E nach D und in D

Fig. 41.

fco

"Sa

hj ?

hj

io

nach 0 zurückgeworfen, so dass ein in 0 befindliches Auge das Spiegelbild ^ß von P über den Spiegel AB hinweg in der Entfernung D^ß = (EP + ED) erblickt. Die beiden in Betracht kommenden Strahlen P E und ^ß D 0 bilden miteinander den Winkel

oj = 2R — 2 /? -j- 2 R — 2 y — 4 R — 2 (ß -f- y)

= 4 R — 2(2R — a)

= 2 a

d. h. (o ist gleich dem doppelten Winkel der beiden Spiegel.

Spiegel

sextant.

Zum Zweck der Anwendung dieses Gesetzes kann man, wie beim Pantogon, den einen der beiden Spiegel auf einem Teilkreis und senkrecht zu dessen Ebene fest, den andern dagegen auf einer Schiene, welche sich um eine durch den Kreismittelpunkt gehende zum Teilkreis senkrechte Achse drehen lässt, und welche wieder an dessen Teilung in einem Nonius endigt, so anordnen, dass die Spiegelfläche des ersteren parallel zum O-Radius der Kreisteilung,

diejenige des letzteren parallel zum O-Radius der Noniusteilung verläuft, oder dass beide um denselben Winkel gegen diese Nullradien verdreht sind. „Sextant“ (s. Fig. 42).

Alsdann kann zum Zweck der Winkelbeobachtung durch entsprechende Drehung der Schiene dafür gesorgt werden, dass das durch doppelte Reflexion erzeugte Spiegelbild des rechten Schenkels eines beliebigen Winkels co in die Richtung des mit freiem Auge

Fig. 42.

oder mittels Fernrohrs direkt über den Spiegel hinweg gesehenen linken Winkelschenkels fällt. Das beim Nullpunkt des Schienennonius abgelesene, auf dem Teilkreis in seinem doppelten Betrag bezifferte Winkelmass, der doppelte Spiegelwinkel, ist dann gleich demjenigen der beiden Strahlen, von denen aber, im Gegensatz zum Pantogon, der eine direkt, der andere erst nach doppelter Spiegelung ins Auge gelangt.

Spezielle Fälle.

Gewöhnlicher Win-kelspiegel.

R

Werden die beiden Spiegel unter einem Winkel a = fest

gegeneinander angeordnet, so schneiden sich die beiden genannten Strahlen unter 1 R und das Instrument — der gewöhnliche Winkelspiegel — bezeichnet den Scheitel eines rechten Winkels zwischen dem Strahl P E und dessen mit einem Winkelschenkel zur Übereinstimmung gebrachten doppelt reflektierten Strahl ^3DO (Fig. 41).

Den Spiegelwinkel a = R benützt das „Spiegelkreuz“ (s. Fig. 40). Beide speziellen Fälle vereinigt der Wendelsteinsche Winkelspiegel, bei welchem drei gegeneinander gerichtete Spiegel die Seitenflächen eines dreiseitigen Prismas von rechtwinklig gleichschenkligem Querschnitt darstellen.

Zur Verbindung der Spiegel dient ein Gehäuse (s. Fig. 43 Einrichtung, und 44), mit welchem der eine Spiegel fest, der andere (AB) durch Schrauben (Zug- und Druckschraube, Schraube in Verbindung mit gegenwirkender Feder) so verbunden ist, dass kleine Änderungen des Spiegelwinkels möglich sind, sich aber nicht selbsttätig voll-

Fig. 43.

Fig. 44.

SK:

fA

PF/

t-'

i'

ziehen können. Zuweilen sind die Spiegel auch auf einem federnden, durch die Schraube S festgehaltenen Stahlband ABC befestigt, welches sich mit den vorderen Enden gegen die Seitenwände des Gehäuses presst. Über den Spiegeln, neuerdings wohl auch als nicht belegter horizontaler Streifen inmitten der Spiegelflächen, befinden sich fensterartige Öffnungen. In den Boden des Gehäuses ist ein Handgriff mit Haken eingeschraubt, an welchem man ein Lot befestigt.

Zweckmässiger ist der Abschluss .des Handgriffs durch eine Metallkugel, welche in die abwärts sich verengende Bohrung eines unten mit Blei ausgegossenen Stabs eingedrückt wird.

Verfeinerung. Von dem Punkt P (s. Fig. 41) gehen oo viele Strahlen aus, welche den Spiegel BC in verschiedenerlei Punkten E und je nach der Lage des Spiegels unter p9 veränderlichem Winkel treffen.

Der Scheitel des durch den eintretenden und den doppelt reflektierten Strahl gebildeten Winkels ist daher, und zwar bei der normalen Instrumentengrösse von ca. 3 cm Spiegellänge um im Max. etwa 3^2 cm veränderlich (Fig. 45).

Fig. 45.

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kV" I

\0

w///

-v

p, \

*/.K

Für ß (s. Fig. 41) - R bezw_

>R

Für ß (s. Fig. 41)

wird die Abweichung der Schnittpunkte paralleler Maximum Minimum

geht der mehrfach reflektierte Strahl ins Spiegelge-häuse ohne auszutreten.

to fcd

Strahlen zu einem

(s.P₁u.P₂ in Fig. 45)

Um die dadurch hervorgerufene Unsicherheit der Winkelabsteckung wegzubringen werden neuerdings besondere Einrichtungen getroffen. Vergl. Zeitschr. f. Instrumentenk. 1907, S. 125; Zeitschr. f. Vermessungswesen 1906, S. 457; Allgem. Verm.-Nachrichten 1906, S. 157 u. a. a. 0.

(Anwendung, Prüfung und Korrektion des Winkelspiegels siehe § 13.)

$ 9. Prismeninstrumente.

ttj

Fig. 46.

ur- 4R-l2(a-ßH-2R + R+2/3} = R-2a

Licht-

brechungs-

gesetz.

Die Anwendung der Prismeninstrumente in der Geodä sie, von Bauernfeind 1851 erstmals gezeigt, beruht auf dem optischen Gesetz von der Brechung ^ des Lichtstrahls beim Übergang

§₊ß

.o

• -7

Fig. 47.

D/

La.

'ß..

0-

von einem Mittel in ein anderes von veränderter Dichtigkeit. Sind a und ß (s. Fig. 46—48) die Winkel zwischen Einfallslot und Lichtstrahl, so ist sin a = fisin/?, wobei <uder vom Dichtigkeitsverhältnis der uy- lR-{R+2iR-a)J vom Lichtstrahl durchdrungenen Materien abhängende Brechungskoeffi-

%£A

j-ß

f-ß

- R+2cc

zient ist. Für den Übertritt von Luft in Glas wird er durchschnitt

lich = 1,5.

1. Bauernfeindsches Winkelprisma. Tritt ein in einer Ebene senkrecht zur Prismenkante befindlicher, vom Punkt P ausgehender Lichtstrahl in ein dreiseitiges Prisma aus Glas von gleichschenklig-rechtwinkligem Querschnitt, dessen Hypotenusenfläche als Spiegelfläche wirkt, so kann er im Prisma, je nach dem Ort und der Richtung seines Eintritts, die in Fig. 46—48 angegebenen Wege machen. Das in 0 befindliche Auge wird daher in der Richtung 0 ^3 das Spiegelbild von P erblicken. Wir erkennen, dass der Lichtstrahl das Prisma immer unter demselben Winkel a gegen die eine Kathetenfläche verlässt, unter dem er die andere getroffen hat und dass in den Fällen der Fig. 46 und 47 der eintretende mit dem austretenden Strahl den Winkel w = R + 2 a einschliesst, je nachdem der vom Ein

weg des Lichtstrahls im Prisma.

ab

gekehrt ist. Da jede

fallslot aus der rechtwinkligen Kante

kleine Drehung des Instruments den a und damit den « ändert, so wird das Spiegelbild ^3 von P je nach der Haltung des Prismas seine Lage ändern — es wird einen beweglichen Strahl ins Auge senden. Dieser bewegliche Strahl findet beim einfachen Winkelprisma in der Geodäsie keine Verwendung.

Im dritten Fall (Fig. 48), in welchem an einer Kathetenfläche totale Reflexion deshalb eintritt, weil der Winkel ß zwischen ihr

zu-

Fig. 48.

Fig. 49.

äs

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/’    ß

■p\ß

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§-+ß

US* 6R-{(a-ßl+t2R+2/3> HR-2/3)+(2R-ct*/3)}

und dem Strahl unter den Grenzwert für die Austrittsmöglichkeit herabsinkt, fällt er bei der Ableitung von o> heraus, d. h. oj ist

(unabhängig von etwaiger Instrumentendrehung) = R. Der vom Gegenstand P ausgehende und der von dem gleichweit entfernten Spiegelbild $ ins Auge gelangende feste Lichtstrahl stehen jl aufeinander. Dieser feste Strahl wird in der Geodäsie beim Bauernfeindschen einfachen Prisma zum Abstecken rechter Winkel allein angewandt.

Einrichtung.

Zum Schutz des Glaskörpers gegen Beschädigung und zum Zweck seiner Verbindung mit einem Senkel oder Stab ist das Prisma in ein Metallgehäuse, welches die Deckflächen und die Hypotenusenfläche umfasst, eingeschlossen. Dieses endigt wie beim Winkelspiegel, zum Zweck des Anhängens eines Senkels, oder der Befestigung auf einem Stab, nach unten in einem Haken, einer Öse, einer Schraube oder einer Metallkugel (s. Fig. 49).

Zum Messen bezw. Abstecken von Winkeln beliebiger Grösse verwendet man eine Verbindung zweier Glasprismen, die übereinander so angeordnet sind, dass ihre Seitenkanten parallel gehen.

2. Die „Prismentrommel“. Das obere Prisma ist um eine, den Seitenkanten parallele Achse drehbar.

Die von zwei Punkten A und B (s. Fig. 50) ausgehenden Lichtstrahlen, von denen einer ins obere, der andere ins untere

Prisma eintritt und deren

Fig. 50.

fd

i\

AP

bewegliche Bilder, bei entsprechender gegenseitiger Stellung der Prismen, in identischer Richtung 33 3t 0 insAugegelangen, schliessen nach dem vorhergehenden mit der letzteren die Winkel R — 2öi bezw. R -f- 2 a₂, d. h. unter sich den Winkel o) = 2 R -j- 2 (a₂ — cii) ein. Der Winkel (a₂ — öi) ist gleich dem Winkel zwischen beiden Einfallsloten an den übereinanderliegenden Kathetenflächen, d. h. gleich dem Winkel der letzteren selbst.

Sein doppelter Betrag bezeichnet den Überschuss des Winkels zwischen beiden von A bezw. B nach dem Prisma gesandten Strahlen über 2 R. Würde man also das obere Prisma in der Richtung der dem Auge zugekelirten Kathetenfläche mit einem Zeiger, das untere mit einem Teilkreis verbinden, dessen Mittelpunkt in der Drehachse des oberen und dessen Nullpunkt in der Richtung der dem Auge zugekehrten unteren Kathetenfläche läge, so könnte man mit der Prismentrommel genau ebenso Winkel beliebiger Grösse messen, wie mit dem Spiegelsextanten. Die gewöhnliche Prismentrommel (Fig. 51) entbehrt allerdings dieser letzteren Einrichtungen, so dass sich ihre Prismen wohl auf Winkel beliebiger Grösse, die durch drei Punkte auf dem Gelände gegeben sind, einstellen lassen, (etwa zum Zweck der Verlegung des Winkelscheitels eines konstanten Winkels bei Absteckung von Kreisbögen durch drei gegebene Punkte). Zur Ermittlung des Gradmasses solcher Winkel ist die Prismentrommel dagegen nicht eingerichtet.

Fig. 51.

;Llj.....„

üivjW-IÜ

Einen speziellen Fall der Prismentrommel stellt

3. das Bauernfeindsche „Prismenkreuz“ dar, bei welchem die beiden dem Auge zugekehrten Kathetenflächen parallel gehen (bezw. in eine Ebene fallen). Da jetzt der Winkel a₂ — ai (s. Fig. 50) zwischen den genannten Kathetenflächen = 0 ist, so wird co — 2 R, d. h. die von verschiedenen Seiten ins Prisma gelangenden Strahlen bilden eine Gerade, sobald die Spiegelbilder der sie aussendenden Punkte sich decken.

4. Das Prandtische (fünfseitige)Glasprisma oder das Winkelspiegelprisma. Zwei durch Versilberung zu Spiegelflächen umgestaltete Grenzebenen AB und DE des Prismas schliessen den

Fig. 52.

Winkel y miteinander ein. Die

beiden, für den Ein- und Austritt der Lichtstrahlen allein bestimmten Seitenflächen B C und C D stehen senkrecht aufeinander und bilden mit den Spiegelebenen Winkel, deren

Summe =

y R ist. Die hin-

tere Grenzfläche AE ist beliebig gelegt.

91

Tritt ein Lichtstrahl bei einer der Seitenflächen BC oder CD so ein, dass er nach erfolgter Brechung den gegenüberliegenden Spiegel ED oder AB trifft, so wird er von ihm nach dem zweiten

Spiegel und von diesem nach der Seitenfläche C D bezw. B C zurück-geworfen, durch welche er in die Luft austritt.

Innerhalb des Glaskörpers macht dann der eingetretene Strahl genau denselben Weg, wie heim gewöhnlichen Winkelspiegel hei gleichfalls doppelter lteflexion, folglich stehen seine beiden Teilstrecken LF und GH senkrecht aufeinander. Da demnach die Schenkel der beiden Winkel GHC und FLB paarweise senkrecht aufeinander stehen, sind sie einander gleich: der Lichtstrahl trifft innerhalb des Glaskörpers die beiden Flächen BC und C D unter gleichen Winkeln. Folglich ist dies auch ausserhalb des Glaskörpers — in der Luft — der Fall, BLL ist gleich CHI, und der Winkel PKI zwischen ein- und austretendem Strahl ist gleich demjenigen zwischen den beiden offenen Flächen BC und CD also gl eich 1 R.

Das Winkelspiegelprisma hat also dieselbe strahlenablenkende Wirkung wie das dreiseitige Winkelprisma. Zwei der fünfseitigen Prismen lassen sich genau ebenso zum Prismenkreuz zusammensetzen, wie zwei der letzteren.

Wie beim Winkelspiegel wechselt auch beim Winkelprisma der Schnittpunkt der beiden Richtungen eines durch ihn gegangenen Lichtstrahls (Winkelscheitel) seine Lage mit der Eintrittstelle und dem

Fig. 53.

NI

V.

po

u2

Winkel zwischen Strahl und Eintrittsebene. Er befindet sich im allgemeinen ausserhalb des Prismenquerschnitts. Bei der normalen Grösse der '••••••■P4. Prismen (Querschnitts-

7)

o

P, kathete ca. 19 mm) beträgt die Maximalentfernung des tatsächlichen Winkelscheitels von der durch den Querschnittsschwerpunkt gehenden Handgriffachse ungefähr 147a mm (s. Fig. 53). Um diese Unsicherheit zu vermindern, setzt man neuerdings das Prisma in ein Gehäuse, in welchem Spaltöffnungen die Veränderlichkeit von Eintritts- und Austrittsstelle einschränken. Vermeiden lässt sie sich durch eine von Schellens gezeigte Einrichtung, welche den Ablotepunkt nach dem im Falle bestimmter Instrumentenhaltung (Hypotenusenfläche parallel oder senkrecht zur beobachteten Richtung) tatsächlichen Strahlenschnittpunkt ausserhalb des Prismenquerschnitts verlegt und diese Haltung des Instruments durch Einstellung eines mit dem Instrument verbundenen Stifts auf

das Bild ermöglicht. (Vergl. Zeitschr. f. Yermessungswesen 1906,

S. 457 ff.; Zeitschr. f. Instrumentenk. 1907, S. 125 ff.).

(Anwendung, Prüfung und Richtigstellung der Prismeninstru-mente siehe § 13.)

Kapitel III.

Ausführung der geodätischen Grundaufgaben.

§ 10. Abstecken (Sichtbarmachen) von Punkten.

Wir verstehen darunter die vertikale Aufpflanzung eines Stabs, die Anbringung einer Zieltafel etc. in dem durch einen Pflock, eine Röhre oder einen Markstein bezeiclmeten Punkt.

Zur Vertikalstellung dient — wenn die näherungsweise Beurteilung nach dem Auge nicht genügt — ein in etwa 2 m Entfernung aufgehaltener Senkel, längs dessen freischwebendem Faden man das Auge in einiger Entfernung bewegt, um zu untersuchen, ob er dem Stab auf seine ganze Ausdehnung parallel verläuft. Diese Untersuchung hat in zwei senkrecht zueinander stehenden Ebenen zu geschehen. Zweckmässig ist auch die Verwendung eines mit Dosenlibelle verbundenen Winkeleisens, das an den Stab angelegt wird (s. Fig. 23). Erweist sich eine Veränderung der durch Ein-stossen des Stabs erhaltenen Stellung als nötig, so ist immer (z. B. durch gleichzeitiges Festtreten der Erde) dafür zu sorgen, dass beim Abdrücken kein Hohlraum zwischen Stab und der ihn haltenden Umgebung entsteht.

Kann der betreffende Punkt nicht direkt aufgesteckt werden, weil dessen Materie das Eindringen der Stabspitze hindert (Markstein etc.), so verwendet man einen Dreifuss, dessen Platte gerade Raum bietet für den durchzusteckenden und auf dem Punkt aufzustellenden Stab, oder man befestigt den letzteren mittels Streben an einigen in der Nähe in den Boden eingetriebenen Pflöcken. Kann man einen Stab nahe beim aufzusteckenden Punkt genügend fest in den Boden schief einstecken, so dass er den an richtiger Stelle vertikal gehaltenen Stab berührt, so kann man beide mittels einer Schnur, oder noch besser mittels des durch Fig. 1 beschriebenen Doppelrings aneinander befestigen.

Ist der aufzusteckende Punkt jeweils nur von einer bestimmten Richtung her anzuzielen, so kann man den Stab auch vor, oder hinter dem Markstein in der genannten Richtung in die Erde stecken. Nur darf dann nicht versäumt werden, die Aufsteckung zu verändern, sobald die Zielrichtung sich ändert.

Zahl der Punkte.

Ausführung des Einrichtens.

Die Aufstellung der zur Erreichung grösserer Zielgenauigkeit verwendeten Signalscheibchen (s. Fig. 2) wird hei der Aufstellung des Theodoliten beschrieben werden.

Sollen, zur Sichtbarmachung auf grosse Entfernungen, dickere Stangen an bestimmter Stelle aufgepflanzt werden, so ist mittels eines hiezu geeigneten Gerätes (Hopfenlocher), oder mittels Grabwerkzeugen zuvor eine Grube von genügender Tiefe herzustellen, in welcher hernach die Stange eingesetzt und eingestampft, bezw. verkeilt wird. In diesem Fall wird der Sollpunkt vor Beginn der Arbeit in mindestens zwei, ungefähr senkrecht zueinander angeordneten Richtungen in bestimmter Entfernung versichert („abgelegt⁴). Diese Versicherungspunkte dienen dazu, während der und nach erfolgter Aufpflanzung der Stange die Übereinstimmung ihres Standortes mit dem Sollpunkt herstellen, bezw. prüfen zu können.

§ 11. Abstecken von Geraden

(„Einrichten“ oder „Einweisen“ zwischen zwei gegebenen Punkten, „Verlängern“ über einen der gegebenen Endpunkte hinaus).

Eine Gerade gilt als abgesteckt, wenn von ihr so viele Punkte an Ort und Stelle bezeichnet sind, als den vorhandenen Umständen nach (Zweck der Absteckung, Witterung, Geländeform, Individualität des die Gerade Benützenden) nötig erscheint. Punktentfernung 10 m bis 60 m.

Nur in seltenen Fällen, namentlich bei kurzen Linien, erfolgt die Bestimmung der Geraden durch „Abschnüren“, sonst aber meist durch Zielung mit freiem, oder bewaffnetem Auge. Der Gehilfe welcher einen Stab vertikal in der Hand hält, wird dabei durch Hand- bezw. Armbewegung (mit dem linken Arm, wenn der Stab nach links, mit dem rechten, wenn er nach rechts verschoben werden soll; rasch, wenn es sich um einen grossen, langsam, wenn es sich um einen kleinen Rückungsbetrag handelt; mit gesenktem Arm, wrenn der Stab im ganzen, mit erhobenem Arm, wenn er nur oben—senkrecht stellen! — zu verändern ist) darüber verständigt, an welcher Stelle und wie er den Stab einstecken soll. Das Signal „Feststecken“ wird durch Vertikalbewegung eines Arms, das Zeichen „Fertig“ durch gleichzeitige Vertikalbewegung beider Arme gegeben. Bei geringer Entfernung können die Weisungen auch zugerufen werden („vor“, „zurück“, je mit Angabe des ungefähren Rückungsbetrags).

Ein Punkt der Geraden ist näherungsweise gewonnen, wenn der eingewiesene Zwischenstab vom Anfangspunkt aus beobachtet, den Endstab der Geraden verdeckt. Für die endgültige, genaue Feststellung muss man sich aber noch vergewissern, ob die Bewe-

gungen des Auges nach links und rechts gleich gross sind, welche vom Anfangspunkt aus gemacht werden müssen, um den, vom soeben eingewiesenen, jetzt verdeckten hinteren Stab zu erblicken.

Der Einweisende stellt sich niemals direkt am Anfangspunkt, sondern immer einige Schritte hinter dem betreffenden Stab auf, auch wählt er die Zielrichtung derart, dass er Sonne und Wind möglichst im Rücken hat und den Anfangsstab unten benützt.

Die Art des Hintergrunds ist für die deutliche Sichtbarkeit des Endstabs, also für die Genauigkeit der abgesteckten Geraden von grosser Bedeutung. Häufig ist eine bessere Sichtbarkeit des Endstabs zu erzielen, wenn sich ein Messgehilfe aufrecht mit geschlossenen Beinen genau hinter ihm aufstellt. Ist die abzusteckende Linie kürzer als 200 m, so wird von „aussen herein“, d. h. zunächst der entfernteste, dann der zweite, nach ihm der dritte u. s. f. immer weniger entfernte Punkt abgesteckt, ist sie länger, oder die Witterung ungünstig, so ist es besser, zuerst den zunächstgelegenen Punkt abzustecken, und hernach durch Aufstellung des Einweisenden hinter diesem den zweiten u. s. w.

ning-.

Wird die Fortsetzung der Geraden AB über einen der gegebenen venänge-Punkte, z. B. über A hinaus verlangt, „Verlängerung“, so wird zuerst der äusserste Punkt der verlangten Richtung so gesteckt, dass von ihm aus der zunächst gelegene (A) der gegebenen Stäbe als genau „eingewiesen“ erscheint. Alsdann wird die nötige Zahl von Zwischenpunkten nach dem Einweiseverfahren bestimmt.

Beim Verlängern einer Geraden ist zu beachten, dass jede Unrichtigkeit in der Aufsteckung eines der beiden gegebenen Punkte (ungenaue Punktwahl, ungenaue Vertikalstellung, oder Krümmung des Stabs, einseitige Beleuchtung) sich um so schädlicher äussert, je kürzer deren Entfernung und je grösser das zu verlängernde Stück ist.

Ungenaue Vertikalstellung der Stäbe wirkt besonders schädlich bei unebenem Gelände, wenn bald das untere, bald das obere Stabende zur Verwendung kommt.

Gelände

schwierig

keiten.

Befindet sich zwischen beiden Endpunkten der Geraden ein Tal, so wird zunächst der tiefste Punkt eingewiesen. Zu diesem Zwecke lässt man das Auge längs des, im vorliegenden Fall besonders genau senkrecht zu stellenden, Stabes oder, noch besser, längs des Fadens eines über dem Anfangspunkt aufgehängten Senkels in der Richtung nach dem jenseitigen Endpunkt abgleiten, die durch beide gebildete Vertikalebene nach unten verlängernd. Diese verlängerte Vertikalebene bestimmt den verlangten Punkt. (Je grösser diese Verlängerung, d. h. je stärker der Neigungsunterschied der beiden

Zieluugen, um so unsicherer die Bestimmung, um so nötiger die Anwendung eines Projektionsinstruments z. B. eines Theodoliten). Von ihm aus erfolgt jetzt das Einrichten an beiden Talhängen aufwärts nach den soeben vorgeführten Methoden. Zur Probe müssen die zwei, dem tiefsten Punkt zu beiden Seiten benachbarten Punkte mit ihm in einer Geraden liegen.

Sind die beiden Endpunkte unzugänglich, oder verwehren Geländeerhebungen die direkte Absteckung, so kann man ohne Anwendung eines Trojektionsinstruments meist nur genähert zum Ziel gelangen. Am einfachsten löst sich die Aufgabe, wenn mittels Ersetzung eines der allzu niederen Endpunkte durch eine (in diesem Fall besonders genau vertikal aufzuhaltende) Messstange, oder besser, durch Wahl eines nachher herabzulotenden Richtpunktes an einem Gebäude die Sichtbarkeit vom andern Endpunkt aus erzielt werden kann.

Die Methode des „gegenseitigen Einweisens oder Einrückens“ (s. Fig. 54) ist anwendbar, sobald sich zwei Punkte finden lassen,

Fig. 54.

■-1

JB

von deren jedem aus man über den andern weg einen Endpunkt der Strecke sehen kann. Man wählt zu diesem Zweck einen Punkt Ci, möglichst entfernt von A, und einen zweiten C₂, möglichst entfernt von B so aus, dass die Punkte in der Reihenfolge, A C₂ Cj B aufeinander folgen. Nun weist man von Ci aus den Stab C₂ in der Richtung nach A, von C₂ aus den Stab Ci in der Richtung nach B ein und fährt damit abwechselnd solange fort, bis CiC₂A und C2C1B als Gerade erscheinen. Man hat damit nichts anderes getan, als die Strecke Ci C₂ nach beiden Seiten bis A, bezw. B, verlängert. Für die Genauigkeit der Geraden gilt daher das beim Verlängern Gesagte: ihre Ausbauchung (bezw. Einschlag) wächst

A B

c,cs-

Dass und wie die Zahl der vergeblichen Rückungsversuche durch einfache Überlegung reduziert werden kann, braucht wohl

bei geringer Ungenauigkeit im Einweisen im Verhältnis

nicht besonders erklärt zu werden.

Dieses Verfahren setzt die Verfügung über einen Gehilfen voraus. Man kann aber auch ohne einen solchen zum Ziel gelangen durch Verwendung der Kreuzscheibe, des Spiegelkreuzes oder des Prismenkreuzes (s. §§ 7 bis 9) auf einem Zwischenpunkt, wenn von ihm aus beide Streckenendpunkte sichtbar sind. Wenn ein solcher Punkt sich nicht finden lässt, so kommt man durch Zerlegung der Strecke in Teilstrecken mittels mehrmaliger Annäherungsversuche je in wechselnder Richtung zum Ziel.

Bauliche

Hindernisse.

Stehen bauliche-, oder Kulturhindernisse (Bäume etc.) der direkten Absteckung im Weg, so wählt man eine beliebige andere Gerade, möglichst nahe und gleich gerichtet der abzusteckenden AB (Fig. 55). Man fällt sodann mittels eines der

Fig. 55.

lei

st

%-n«*

bei, so ergibt sich ohne Rücksicht

x₄)

' xB — XA

yi — yA

im zweiten Kapitel vorgeführten Instrumente Lote von ihr nach den gegebenen Endpunkten A und B und misst sowohl deren Länge yA und yB, als auch den Abstand xA und xB ihrer Fusspunkte von einem beliebigen Punkt der abgesteckten Geraden. Es ergibt sich dann durch einfache Rechnung die Länge der Lote yi, y₂ • •. bis zur gesuchten Geraden, welche senkrecht zur abgesteckten Linie von denjenigen Punkten aus abzumessen sind, die man gelegentlich des Durchmessens bezeichnet hat.

Legt man nämlich den in der Vorwärtsrichtung und rechts von der abgesteckten Linie verlaufenden Strecken das Vorzeichen -f-, den übrigen das Vorzeichen auf die Lage der Figur aus ihr die Proportion (man denke sich zu deren Gewinnung durch A eine Parallele zur x-Achse gezogen bis zum Schnitt mit der verlängerten Ordinate von B)

(yB — Ya) : (xb — xA) = (yi — yA): (Xi — XA),

woraus

~~lA (Xi — XA) oder yx = yA -f (x

■Xß M

y* = yA + (x₂ —xA)

Beispiel: yB — yA = — 14,08 — 18,14 = — 32,22 (z.Fig.55). xB — xA = 154,18— 15,34 = 138,84

1.50813 n 2.14251

xA = 15,34 Xj = 47,92 x₂ = 79,58 x₃ = 97,85 x₄ = 123,86

yB —yA xB — xA

Xi—xA=-j- 32,58 x₂ — xA = -f- 64,24 x₃ — XA = + 82,51 x₄ — xA = —(— 108,52

Yt = 18,14— 7,56 = 4-10,58 y₂ = 18,14— 14,91 =4- 3,23 y₃ — 18,14— 19,15 = — 1,01 y₄ = 18,14— 25,18= — 7,04

9.36562 n

1.51295

1.80781

1.91651

2.03551

(x — xA) —

V A xB

— yA

x4

0.87857 n 1.17343 n 1.28213 li 1.40113 li

Sl 3

I etc.

Kann man die Teilpunkte zwischen xA und xB auf der ganzen Länge richten, so wird die Proportionalrechnung wesentlich vereinfacht; ist es möglich, die Hilfsgerade parallel der abzusteckenden Geraden zu legen, so fällt jede Rechnung weg, sämtliche y sind gleich gross. (Über Abstecken von Parallelen s. § 13.)

Je geringer die Divergenz zwischen der abgesteckten und der abzusteckenden Geraden, um so geringeren Einfluss auf den berechneten Wert der Ordinate y haben kleine Ungenauigkeiten in den Entferungen x, um so weniger genau braucht man diese also zu messen.

Ist die abzusteckende Gerade AB sehr lang, oder gelingt es aus anderen Gründen nicht, eine Hilfsgerade auf ihre ganze Ausdehnung zu legen (Tunnelabsteckung, Abteilungsgrenzen in Wäldern), so ist man genötigt, eine Verbindung von Strecken, deren Längen und Brechungswinkel gemessen werden (Polygonzug), oder eine Kette von Dreiecken zu benützen, deren Eckpunkte durch Winkel-bezw. Streckenmessung in gegenseitige Verbindung gebracht werden.

Die Messung dieser Grössen und die Berechnung der Absteckungselemente aus ihnen siehe Abschnitt III und IV.

§ 12. Messen von Strecken.

Ver-

messungs-

horizont.

In allen Fällen, in denen es sich um die Ermittlung der Horizontalprojektion irgendwie begrenzter Gebiete und zu diesem Zweck um die Messung von Strecken handelt, sind natürlich nicht

die tatsächlichen Längen dieser Strecken, sondern diejenigen ihrer Horizontalprojektionen gesucht.

Fig. 56.

-Vs

'/■

-—Dm-

Bei der Aufnahme grösserer Gebiete ist dabei zunächst festzustellen, auf was für eine Fläche (Vermessungshorizont) die Projektion erfolgen soll, und namentlich in welcher Entfernung von der Meeresoberfläche dieser Vermessungshorizont gedacht werden will. Als Projektionsfläche für die Aufnahme und Darstellung eines Landes von der Ausdehnung eines deutschen Mittelstaates, darf trotz der unregelmässigen wahren Erdgestalt, die Kugel gewählt werden, ohne dass dadurch allzu grosse Verzerrungen in den Abbildungen entstünden. Dabei ist aber

das Mass für eine Strecke AB merklich verschieden, je nachdem man die Projektionsfläche in Meereshöhe, oder in irgend welchem grösseren Abstand von ihr wählt.

Der Unterschied DH — DM beider Masse für die Strecke AB

ist genähert d = H.    .

Für eine mittlere Höhe H = 500 m einer Strecke D = 10 km

wird z. B. dieser Unterschied d = 500.m

bo /U

— 79 cm!

Die meisten Staaten haben als Vermessungshorizont direkt die Meeresoberfläche gewählt. Die Landesvermessung Württembergs wählte hiefür, entsprechend der mittleren Landeshöhe, die in einer Entfernung von 844 Pariser Fuss (= ca. 274 m) über dem Meer liegende Kugelfläche. Alle Längenmasse sind auf diesen Horizont reduziert.

(Dies wäre bei der Vergleichung von Längenmassen verschiedener Staaten zu beachten.) Zur Aufnahme von Geländen, die 500 m höher als dieser Horizont gelegen sind, muss daher jede 5 m lange Messlatte das

mm = 0,4 mm überschreiten.

5

normale Mass von 5 m um d = 500 .

a) Messung mit Messstangen (Messlatten).

a) In horizontalem Gelände. Es werden zwei Messstangen Messungs-verwendet, von denen abwechslungsweise immer eine auf dem Boden liegen bleibt, bis die nächste am vorderen Ende der ersteren angelegt ist. Man beginnt konsequent immer mit einer und derselben Stange und zwar damit, dass man am hinteren Ende anfassend, durch Wippen zunächst deren vorderes Ende in die Gerade bringt.

Alsdann erst wird das hintere Stangenende mit dem Anfangspunkt

der Strecke zur Übereinstimmung gebracht. Die zweite Messstange wird, nachdem ihr vorderes Ende auf gleiche Weise in die Gerade gebracht worden ist, mit ihrem hinteren Ende am vorderen Ende der liegenden Messstange (1) angelegt. Nun wird Messstange (1) aufgenommen, an (2) angelegt und so fort bis zum Endpunkt der Strecke.

Wichtig ist, dass durch das Anlegen der Messlatten keine fremden Körper (Steine u. dergl.), auf denen die Stange ruht, aufgekantet werden, weil diese leicht infolge nachträglicher äusserer Einwirkung sich bewegen und die auf ihnen ruhende Stange verschieben könnten. Das genaue Anlegen erfolgt daher durch Einstreifen des betreifenden Stangenendes von oben herab, unter gleichzeitiger Beseitigung solcher Körper durch Drehen der Stange um ihre Längsachse (hiebei niemals in der Längsrichtung ziehen oder schieben!).

Beim Aufnehmen der hinteren Messstange (Vorsicht, damit die vordere keine Verschiebung erleidet!) wird das niederste Mass, das auf der liegenden Messstange abgelesen werden kann, laut gezählt.

Zur Bedienung der Stangen ist in horizontalem Gelände immer nur ein einziger Messgehilfe erforderlich, welcher die aufzuhebende Stange an ihrem vorderen Ende anfasst und während des Vorgehens bis zum vorderen Ende der liegenden Stange in der Hand bis zur Mitte gleiten lässt. An letzterem Punkt angelangt, wirft der Gehilfe durch kurze schleudernde Bewegung das vordere Stangenende in die Gerade vor, während er das hintere zum Zweck des Anlegens in der Hand behält. Abgesehen von der Messung längs einer Mauer etc., an welche die Latte angepresst wird, wobei je ein Mann die Festhaltung der Stange, ein dritter das Anlegen besorgt, darf niemals eine Latte während des Anlegens in der Mitte angefasst werden.

Das Schlussstück auf der zuletzt angelegten Messlatte gibt, zur zuletzt gerufenen Zahl addiert, die ganze Streckenlänge.

Ist die Zahl der Längeneinheiten pro Messstange ungerade (3 m, 5 m), so ergeben sich beim Aufheben der Messstange (1) (Unterscheidung durch verschiedenfarbigen Anstrich) immer ungerade Zahlen, beim Aufheben von (2) lauter gerade Zahlen, wodurch man einen gewissen Schutz gegen Zählfehler gewinnt.

Zerfällt eine Strecke in verschiedene Abschnitte (Abszissen), so werden diese zweckmässigerweise nicht abgesetzt, sondern es

wird die ganze geradlinige Erstreckung durchlaufend gemessen und an den Zwischenpunkten jeweils nur abgelesen.

Häufig kommt es vor, dass nachträglich noch weitere Punkte n^e Kif-in die zuvor durchlaufend ausgeführte Messung einzuschalten sind. vos,fpmikten. Beschränkt sich dies auf einen einzigen Punkt, so kann man seine Entfernung von je einem vorwärts und einem rückwärts gelegenen, bereits abgelesenen Punkt ermitteln und durch Addition bezw. Subtraktion das ihm zugehörige Mass mit Probe rechnen. Ist die Zahl der einzuschaltenden Punkte grösser, so zieht man zum Schutz gegen Rechnungs- etc. Fehler vor, an einem früher abgelesenen, in der Nähe der einzuschaltenden Punkte gelegenen Punkt das ursprünglich abgelesene Mass wieder anzulegen (die ursprüngliche Stangenlage herzustellen), und alsdann weiter messend die fraglichen Ablesungen nachzuholen. Niemals darf dann jedoch versäumt werden, an einem weiteren, gleichfalls in der ersten Messung enthaltenen, am Ende der einzuschaltenden Punktgruppe gelegenen Punkt die Richtigkeit der nachträglich wiederhergestellten Stangenlage zu prüfen.

ver-

Die Wiederholung der ganzen Messung vom Anfangspunkt aus wäre nicht bloss zeitraubender, sondern, infolge der unvermeidlichen, teilweise in schiedener Richtung wirkenden kleinen Messungsfehler, auch ungenauer.

Die Einschaltung kann in der ursprünglichen Messungsrichtung, oder ihr entgegengesetzt erfolgen. Im ersten Fall ist natürlich aufwärts wie bei der Urmessung, im zweiten Fall abwärts laut zu zählen und zwar in beiden Fällen immer das kleinstmögliche Mass, das auf der jeweils liegenden Stange abgelesen werden kann.

Ist eine Folge von Messstangen wesentlich und allmählich aus der zu messenden Geraden gekommen, so ist die Fehlerwirkung auch bei verhältnismässig erheblicher Ausbeugung unbedeutend, wenn die Rückkehr in diese Gerade nicht plötzlich, sondern allmählich geschieht. Bei einer Ausbeugung z. B. um 50 cm würde sofortiges, auf eine einzige Lattenlänge beschränktes, Einschwenken in die Soll-Gerade ein um (ö — V5² — 0,5² )m = 25 nun zu langes Mass ergeben. Die Verteilung des Einschwenkens auf 5 Messstangen würde dagegen diesen Fehler auf 25 — V25² — 0,5² m = 5 mm herabdrücken.

ß) In geneigtem oder unebenem Gelände. Unsere Aufgabe besteht, wie wir festgestellt haben, in der Ermittlung der Horizontalprojektion der verlangten Strecke AB.

Staffel-

messen.

Diese wird erhalten (1) durch „Staffelmessen“ (s. Fig. 57), bei welchem jede Messstange horizontal derart gelegt wird, dass sie in einem Punkt auf dem Boden aufruht. Mittels Senkels sorgt man dafür, dass das hintere Ende der anzulegenden Stange genau

vertikal über oder unter dem vorderen Ende der andern sich befindet. Da das Auge nicht gleichzeitig an zwei Punkten (oben und unten) die Übereinstimmung von Stangenende und Senkel prüfen

Fig. 57.

td

Fig. 58.

fmm R

kann, wird die Senkelschnur mit dem Zeigefinger der rechten Hand gegen das höher liegende Stangenende gepresst, und die ganze Aufmerksamkeit auf die Übereinstimmung des unteren Stangenendes mit der Senkelspitze gerichtet. Die horizontale Lage wird mittels eines Gradbogens, einer Libelle oder auch bloss nach dem Augenmass hergestellt. Um das „Einschlagen“ der nur in einem Punkt auf dem Boden auf liegenden, meist nicht völlig geraden Latte zu verhindern, ist deren Bogen nach oben zu richten, was dann erreicht ist, wenn der grösste Kraftaufwand gegen selbsttätige Drehung der Stange um die Verbindungsgerade ihrer Enden nötig ist.

Bei sehr stark geneigtem Gelände fällt das Absenkeln wegen der grossen Höhe des einen Stangenendes über dem Boden schwer. Es werden in solchem Fall vielfach Teile der Stangenlänge (2, 3, 4 m) abgesenkelt. Dieses Verfahren ist unzweckmässig, weil die Unterabteilungen der Messgeräte häufig nicht genügend genau bezeichnet sind, überdies die Fehlerfortpflanzung eine ungünstige und die Gelegenheit zu Zählfehlern leicht gegeben ist. Auch das indirekte Abloten ganzer Stangenlängen durch Seitwärtsaufstellen des Beobachters und Zielen entlang der Senkelschnur ist ungenau. Besser ist es, direkt und grundsätzlich nur ganze Stangenlängen abzuloten und zu diesem Zweck Rillen R entlang derjenigen Mantellinie jedes der beiden

Zwingenenden "einzufeilen, welche nach oben zu liegen kommt, wenn man die Stange mit dem einen Ende auf den Boden, mit dem andern auf die flache Hand legt (Krümmung nach unten). Bei der Messung bringt der Messgehilfe, welcher das auf dem Boden auf liegende Stangenende anlegt und festhält, die an diesem angebrachte, folglich auch die andere Rille, nach oben. In

| Bergabmessen mit 4 ) Bergaufmessen mit 3 hilfen (an jedem Stangenende ein Gehilfe). Ersteres erfordert einen Gehilfen mehr als das letztere, zum Anlegen und Festhalten des hinteren Endes der vorderen Messstange, der beim Bergaufmessen dadurch erspart werden kann, dass der absenkelnde Gehilfe das vordere Ende der hinteren Messstange nebenbei mit dem Fuss auf dem Boden festhält. Er hat aber in diesem Fall — nach erfolgtem Anlegen der Stange am Senkelfaden bezw. während des Festtretens von deren äusserstem, auf der Erde aufliegendem Ende durch den dritten Mann — jedesmal zu kontrollieren, ob hiebei nicht eine Verschiebung der soeben angelegten Messstange erfolgt ist. Dies geschieht durch Beobachtung etwaiger Schwankungen des Senkels, dessen Faden während des Festtretens des vorderen Stangenendes an dem hinteren Ende angepresst bleibt. Sodann übergibt er das soeben angelegte Stangenende dem hinteren Gehilfen, nimmt die hintere Stange nach vorn und setzt seinen Fuss hinter denjenigen des dritten Mannes, der jetzt erst loslassen darf, um (auf der entgegengesetzten Seite vom Absenkelnden) eine Stangenlänge weiter vorn auf Zuruf des letzteren das Ende der nächsten Stange wie zuvor festzuhalten u. s. f.

letzterer läuft der nötigenfalls hinten bei A (s. Fig. 58) gehaltene Senkelfaden, wenn es bei horizontaler Stangenhaltung unmöglich ist, zu dem hochgehaltenen Stangenende zu gelangen.

Die Frage, ob bergauf oder bergab gemessen werden soll, ist eine teils technische, teils wirtschaftliche.

Die besten Resultate liefern das

bergauf oder bergab ?

Ge-

Bei Beschränkung des Hilfspersonals auf zwei Mann muss man bei steilem Gelände darauf verzichten, das obere Stangenende festtreten zu lassen, und sich mit der freien Haltung des unteren begnügen. Man läuft aber Gefahr, dass hiebei Verschiebungen der jeweils in horizontaler Lage unverändert zu erhaltenden Stange eintreten, welche Längenfehler erzeugen.

Ist die Geländeneigung nur gering, so ist es nicht absolut er- staffeln bei forderlich, beide Messstangen gleichzeitig horizontal zu halten. Viel- nXSX. mehr kann dies auf diejenige Stange beschränkt werden, deren vom Boden abstehendes Ende eben angelegt werden soll, oder für das Anlegen der nächsten Stange massgebend ist. Nur darf dann nicht vergessen werden, die Senkelspitze mit demjenigen Punkt der geneigtliegenden Messstange in Übereinstimmung zu bringen, der bei Rückkehr zur normalen (horizontalen) Stangenhaltung seine Lage beibehält, — d. h. dem auf dem Boden auf liegenden. Ausgeschlossen ist diese Erleichterung, welche beim Messen bergauf wie bergab je einen Gehilfen sparen, d. h. bergauf mit zwei Ge-

hilfen auskommen lässt, wenn (vergl. Fig. 59) das obere Ende E der geneigt liegenden Stange den Boden nicht berührt und daher beim

Fig. 59.

-V

----unrichtige

-richtige

Lotlinie

- Staffelmessen

ichtige Latliruie

KE

Lotlinien. <$• Stnngenlag

en

bergauf

Lotlinie

■richtige

*Lclitüj

Kippen selbst einen Kreisbogen um den Auflagerpunkt A beschreibt.

Messung bergab mit

Auch beim Messen bergab lässt sich übrigens mit zwei ae^bsenk”is. Gehilfen auskommen, wenn man die folgende Stange nicht an der freischwebenden Senkelspitze, sondern an dem Punkt anlegt, den der am knotenfreien Faden vom oberen Stangenende rasch aber ruhig abgleitende Senkel auf dem Boden erzeugt. Voraussetzung für dieses bequeme und rasch fördernde Verfahren ist nur, dass die Bodenverhältnisse sich liiefür eignen (keine Geröllhalden), und dass die durch kleine Senkelschwankungen und Ablenkungen beim Einspicken der Senkelspitze in den Boden verursachten Fehler in Kauf genommen werden wollen*

Bei sehr geringen Neigungen und wenn drei Mann zur Verfügung stehen, empfiehlt es sich, zwei Stangen in der Mitte zusammenzuhalten und (bei Anwendung von 5 m langen Stangen) je 10 m abzusenkeln.

Einen Ersatz für das immerhin zeitraubende Stalfelmessen bildet bei wenig und gleichmässig geneigtem Gelände:

Messen mit „Zugeben".

2) Das Messen mittels „Zugeben“. Man legt hiebei die Messstange auf den Boden, lässt aber, gleichgültig, ob bergab oder bergauf gemessen wird, einen kleinen Zwischenraum d zwischen den Stangenenden offen, dessen Grösse von der Geländeneigung abhängig ist, und sich ergibt als Abstand des Fusspunkts des bei horizontal gehaltener Stange vom hochgelegenen Ende herabgelassenen Lots von dem Ort, den dasselbe Stangenende einnimmt, wenn man bei

Festhaltung des oberen Endes die Stange auf das Gelände herabkippt (s. Fig. 60). Dieser „zuzugebende“ Zwischenraum d wird entweder auf die soeben geschilderte Art von Zeit zu Zeit versuchs-

Fig. 60.

- z-

Cf,

*3

ö4

rU₂ \

weise, oder durch Verwertung des Höhenunterschiedes h der beiden in Betracht kommenden Stangenenden rechnerisch ermittelt.

Ist nämlich die Stangenlänge = 1, so wird d = Vl² + h² — 1

oder durch Entwicklung

_i_ ll6 _

21    81⁸ ' 1G1⁵

Für kleine Höhendifferenzen h treten die hinteren Summanden gegenüber dem ersten völlig zurück, wie nachstehende, für die Lattenlänge 1 = 5 m berechnete Tabelle zeigt.

II

III

Gesamt-

mass

Summ and

II

III

Gesamt-

mass

dm -j- mm — mm -f- mm

mm

dm

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mm

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(M    CO    05    <U

i—l    i—l    i—l    i—H    OJ

Die zusammengehörigen Werte in der ersten und letzten Spalte zeigen bis zum Höhenunterschied h = 9 dm die sehr einfache und leicht zu merkende Beziehung:

d =

h²

= (h dm)²,

₁₀ m etc. oder d

d. h. das Quadrat des in dm ausgedrückten Höhenunterschieds ist bei Anwendung von 5 m langen Messgeräten gleich der Anzahl der zuzugebenden mm. (Der durch un-

mm

richtige Lattenhaltung erzeugte Fehler fh im Vertikalabstand h wirkt auf die Entfernung d mit dem Betrag fd = 2 . h . fh, wächst also mit der Höhe.)

Beim Überschreiten von Tal- und Rückenbildungen tritt die Frage auf: an welchem Stangenende (vorderen oder hinteren) soll das Mass d offen gelassen werden? Sie erledigt sich einfach durch die Betrachtung, dass jede Zwischenablesung (welche bei horizontal gehaltener Stange gemacht wird) übereinstimmen muss mit derjenigen, welche sich beim Staffelmessen ergeben hätte. Daraus folgt, dass immer das höher gelegene Stangenende diejenige Lage erhalten muss, die es beim „Staffeln“ einnehmen würde, so dass z. B. (siehe Fig. 60) beim Übergang Gefall zu Steigung beide Lücken nebeneinander Steigung zu Gefäll keine der Lücken

tlradbogen-

messung.

auftreten.

von

Statt das zuzugebende Stück d aus dem Höhenunterschied h zu berechnen, welcher auf eine Stangenlänge 1 entfällt, kann man es auch aus dem Neigungswinkel a der Messstange ermitteln, den man mit Hilfe des in der Stangen mitte aufgesetzten Gradbogens, oder Lattenreiters abliest.

Es ergibt sich nämlich für die Horizontalprojektion von d

d' = 1 —1. cos a =

CM

CO

As

ic a

Für die Stangenlange

1 = 5m wird d' =

ic a

Trägt der Gradbogen oder der Lattenreiter statt einer gleich-massigen Winkelteilung eine (in diesem Fall ungleichmässige, und von der Länge der verwendeten Latte abhängige) Teilung nach runden Werten des horizontalen Reduktionsbetrags d', so wird dieser direkt abgelesen und braucht nicht erst errechnet zu werden.

Bei Anwendung des „Schrägmessers“ (s. § 6) erscheint das zuzugebende Stück d' direkt zwischen den betr. Stangenenden, sobald die Wasserwage einspielt. Andernfalls schiebt man entweder den Messkeil bis zu dem der abgelesenen Stangenneigung entsprechenden Strich zwischen die aneinander anzulegenden Lattenenden, oder man legt sich nach vorstehender Formel für die zu verwendende Lattenlänge 1 und wechselnde Werte des Neigungswinkels a eine Tafel über die Reduktionsbeträge d' in der Form der nachstehenden, dem v. Schlebach-schen Geometer-Kalender entnommenen, an (s. S. 71). Letztere liefert für 1 = 10 m die horizontal gemessenen Reduktionsbeträge:

d' = 20 sin² “ .

Für Neigungswinkel a in alter Teilung:

Für Neigungswinkel Teilung:

in

neuer

d'

d'

d'

d'

d'

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mm

mm

mm

mm

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40

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40

20

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80

40

60

80

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1020

1034

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1062

1076

Bei Verwendung 5 m langer Latten sind vorstehende Tafelangaben also nur je zur Hälfte zuzugeben. Sind innerhalb der beiden Endpunkte einer Strecke Zwischenablesungen oder Absteckungen zu machen, so lässt man zwischen den einzelnen Stangenlagen je den Zwischenraum d' offen, andernfalls ist es bequemer, die Latten durchweg zur Berührung zu bringen, und die Summe dieser Reduktionsbeträge d' am Schlüsse von dem zusammenhängend und geneigt gemessenen Gesamtmass abzuziehen.

Erfolgt die Ablesung auf einer geneigt liegenden Messstange, so ist für die Schlussstrecke natürlich nur der verhältnismässige Anteil des auf die ganze Stange entfallenden Reduktionsbetrags in Rechnung zu nehmen (Beispiel einer Gradbogenmessung mit nachträglicher Berücksichtigung der Reduktionsbeträge s. § 44).

Vor dem Aufsetzen des Gradbogens ist, um unbeabsichtigte Lattenverschiebungen zu vermeiden, darauf zu achten, dass jede Messlatte satt auf dem Boden aufruht. Erhalten in dieser Lage die aneinander anzulegenden Stangenenden verschiedene Höhe, so ist deren Übereinstimmung durch Abloten, keinesfalls aber (im Gegensatz zur Staffelmessung) durch nachträgliche, wenn auch noch so geringe, unberücksichtigte Änderung der bereits in Rechnung gezogenen Stangen-neigung herzustellen. (Nötigenfalls wiederholte Ablesung der veränderten Neigung.) Etwaige unbeachtete nachträgliche Hebung eines

Fig. fit.

oc*o

.•

Stangenendes wirkt um so verhängnisvoller, je grösser die Neigung der Stangenlage gegen die Horizontale ist (s. Fig. 61 Lattenende links).

Von besonderer Wichtigkeit bei der geneigten Messung ist das Anlegen am richtigen Stangenendpunkt. (Bei Stangen mit Endflächen, konsequent Unterkante an Unterkante, keilförmige Enden sind hier vorzuziehen.)

Gegenüber der geneigten hat bei der Verwendung von Latten die Staffelmessung den Vorzug, dass sie keinerlei Überlegung,

sondern nur einige Übung des Messgehilfen erfordert. Auch erzeugt bei ihr ein gewisser Neigungsfehler cler horizontal zu haltenden Messstange unabhängig von der Geländeform einen konstanten und nur geringen Anlegefehler (n² mm bei n dm Fehler in der Höhe eines der Stangenenden), während bei geneigter Messung der Einfluss desselben Neigungsfehlers proportional dem sin² der halben Lattenneigung wächst. Je stärker die letztere, um so verhängnisvoller ein bei ihrer Ermittlung unterlaufener kleiner Fehler. Aus diesem Grund wird die Staffelmessung, auch wenn die einzelnen unveränderlichen Fehlerquellen bei der Gradbogenmessung kleiner sind, bei stärkeren Geländeneigungen die genaueren Resultate liefern. Man kann die Grenzneigung, bis zu welcher die Gradbogen —, von welcher ab aber die Staffelmessung im Hinblick auf die Genauigkeit im Vorteil ist, angenähert wie folgt errechnen:

Hauptsächliche Fehlerquellen der Staffelmessung Einfluss unrichtiger Höhe des abzusenkelnden Stangenendes .    .    .    . —(—1,5 mm

Einfluss des Stangeneinschlags ......

Vernachlässigter Einfluss der Senkelschnurdicke . —0,5mm,

Unsicherheit des Anlegens

am schwankenden Lot . + 1,5 mm (windigesWetter, stumpfe Spitze)

Verschiebung der Latte beim Horizontalhalten,

Absenkeln etc. .    .    . + 1 mni

Mittlere Gesamtwirkung

= ÜAÖ² + 1,5² + l² = 3,1 mm

Hauptsächliche Fehlerquellen der Gradbogenmessung

-f- 1,5 mm

regel. Fehler

unreglm.Fehler

Anlegefehler (Unterkante

an Unterkante) .    . . (± 0,5 mm)

Zulässiger Einfluss des Fehlers f a in der Ermittlung der Lattenneigung a +3,1 mm

Entwickelt man

also zulässig 1 cos a — 1 (cos a + f a) = 3,1 mm. und setzt den unvermeidlichen Fehler in der Neigungsermittlung

(Ablesefehler, Einfluss von Wind und Regen, Divergenz zwischen Stangenachse und Auflagerlinie etc.) fa = + 10' a. T. ^ so wird

cos f(t = 1

sin fa == fa

3.1 mm = + 1. fa sin a und sin a =

3,1

l.fo = a = ca. 12°.

3,1 • Q' 5000.10

= 0,2,1

Die Richtigkeit vorstehender Annahmen vorausgesetzt, liefert also die Gradbogenmessung bis zu Neigungen von 12° die besseren Resultate. Bei stärkeren Neigungen ist die Staffelmessung überlegen.

Bei der vorstehenden Untersuchung wurden regelmässige, in konstanter Richtung wirkende, Fehlerquellen mit zufälligen vermengt, was streng genommen unzulässig ist. In der Tat zeigen die mit Studierenden der württb. Fachschule für Vermessungswesen seit Jahren angestellten Versuche, dass die mehrfach wiederholte Staffelmessung mit schätzungsweiser Herstellung der horizontalen Stangenlage für dieselbe gleichgültig — ob mehr, oder weniger geneigte — Strecke nicht bloss den grösseren unregelmässigen Fehler, sondern immer ein (erheblich) grösseres Mass liefert.

Wirtschaftlich ist die Gradbogenmessung durchaus im Vorteil, weil sie weniger Personal und erheblich weniger Zeit beansprucht, als die Staffelung, und etwaige Zählfehler des Messgehilfen durch die Zahl der notierten Reduktionsbeträge offenbart.

Band- bezw. Ketten-messnng.

b) Zum Messen mit Band oder Kette sind zwei Mann erforderlich, von denen jeder einen der durch die Endringe gesteckten Stäbe bedient. Der erste stellt seinen Stab auf den Anfangspunkt und weist den andern Gehilfen zunächst in die Gerade ein. (Vorgängiges Einweisen von Zwischenpunkten bei der Band-messung unnötig.) Es folgt sodann ein kurzes Heben mit gleichzeitigem Anspannen des vorderen Band- (Ketten-) Endes. Dabei wird der Endpunkt des Bandmasses auf dem Gelände eingestochen und sodann mittels einer Nadel bezeichnet. Beide Gehilfen bewegen sich nun vorwärts, bis der am hinteren Ende befindliche die vorhin gesteckte Nadel erreicht, die er durch seinen Bandstab ersetzt. Das Verfahren wiederholt sich in gleicher Weise bis zum Endpunkt der Strecke. Die Zahl der vom hinteren Gehilfen gesammelten Nadeln gibt die Zahl der durchmessenen Bandlängen an. Während der Fortbewegung ist, namentlich bei Verwendung des Bandes, darauf zu achten, dass dasselbe sich nicht verschränkt, weil es sonst beim Anspannen leicht bricht. (Über Einrichtungen zur Verringerung des Anreihefehlers und des Einflusses veränderten Zugs vergl. § 2 ß).

d' = 1 — lcos a.

Bei geneigtem Gelände wird an einem der Bandstäbe ein Gefäll-messer, am andern in gleicher Höhe von der Stabspitze eine Zieltafel befestigt. Man erhält dann den Reduktionsbetrag d' wie bei Verwendung des Gradbogens aus der beobachteten Neigung « des Bandes und seiner Länge 1:

i.«

10000

Zeigt der Gefällmesser die Neigung in Prozenten p an, so wird d' = 1 —

und durch Ausziehen der Wurzel

d' =

P²1

P⁴1

20000 ~ 800000000

Das zweite und die weiteren Glieder treten bei geringen Neigungen gegenüber dem ersten zurück und es bleibt für das 20 m lange Band und Geländeneigungen bis etwa 10% eine ebenso leicht zu merkende Regel, wie S. 69 für die 5 m-Stange:

d' in inm = p²,

d. h. das Quadrat der in Prozenten aus gedrückten G eländeneigung ist bei Anwendung von 20 m langen Messgeräten gleich der Anzahl der zuzugebenden mm.

Stangen-, Band- oder Kettenmessung?

oder

P²1

d' in mm = 20 Für die Bandlänge 1 = 20 m wird

p⁴l

800000

d'

' * mm

P⁴

“P²+ 4ÖÖÖÖ ^

Vergleichende Würdigung der Stangen-, Band- und Kettenmessung. Die Anwendung von Band und Kette ist bei stark wechselndem Gelände (Mauern, Raine, Konvexformen) sehr schwerfällig und bei Schollenbildung gegenüber der Stangenmessung weitaus minderwertig; bei stark mit Gräben etc. durchzogenem Wiesengelände, gleiclimässige, nicht allzugrosse Neigung vorausgesetzt, dagegen der Stangenmessung vorzuziehen. Immerhin beansprucht sie neben dem ablesenden Techniker stets zwei Messgehilfen, während die Stangenmessung (wenigstens in der Horizontalen) nur einen Mann erfordert. Dagegen ist der Zeitaufwand für die Bandmessung in horizontalem Gelände schon mit Rücksicht auf den Wegfall der Absteckung von Zwischenpunkten in die Gerade geringer, der Transport des Bandes ist bequemer, als derjenige der Messstangen.

Über die bei Anwendung der verschiedenen Geräte und Messungs-Verfahren erzielbare Genauigkeit und den damit verbundenen Aufwand an Zeit und Arbeitskräften geben Messungsversuche Aufschluss, welche unter wechselnden Umständen je mehrfach ausgeführt werden. Die bei einer Messungsreihe erreichte Genauigkeit zeigt sich rechnerisch wie folgt: Die mehrfache, gleich sorgfältige Messung einer Strecke, ausgeführt

habe folgende Werte ergeben:

nach einem Verfahren (oder mit Geräten) A

11    == 255,26

1₂    = 255,36 ]₃ = 255,27

1₄    = 255,31

1₅    = 255.11 ]₆ = 255,25

nach einem Verfahren (oder mit Geräten) B

1/ = 255,31 1₂' = 255,21

V    = 255,20

V    = 255,21 1₅' = 255,31

V    = 255,32

Als bestmöglichen Wert für die Streckenlänge erhält man in beiden Fällen das arithmetische Mittel

L = 255,26

1/ = 255,26.

Bildet man jetzt die Verbesserungen v in beiden Gruppen, welche den einzelnen Messungsergebnissen zuzuschlagen sind, um diese zum wahrscheinlichsten Wert zu ergänzen (deren Summe = 0 sein muss), je ausgedrückt in cm:

IO

O H lO

h-» Qi

io co

2 = 16 16

2 = 16 16

so bildet deren Grösse einen Massstab für die bei jeder Einzelmessung erreichte Genauigkeit um so sicherer, je näher das gebildete arithmetische Mittel der wahren Streckenlänge kommt. Für die bei einer Messung in jeder der beiden Gruppen im Mittel erreichte Genauigkeit ist man geneigt, den durchschnittlichen Betrag der zugehörigen v, im vorliegenden Fall also beidesmal zu setzen: durchschnittlicher Fehler einer Messung

d = _+ -^- = + 5,3 cm.

Die nähere Betrachtung der Abweichungen v beider Gruppen zeigt aber, dass die beiden Messungsgruppen durchaus nicht die gleiche Zuverlässigkeit verbürgen, dass vielmehr in der ersten Gruppe nur das zufällige Auftreten einiger, dem Mittelwert nahestehender Beobachtungswerte die zugehörige Verbesserung v über Gebühr herabdrückte. Denn lediglich als glücklicher Zufall ist es zu betrachten, wenn bei einem Messungsverfahren, das bei einzelnen Messungen 10 und 15 cm Abweichung liefert, zwischenhinein sehr kleine Abweichungen, (wenn auch mehrmals), auftreten. Nicht derjenige gilt als guter Schütze, der zwar einigemal ins Schwarze trifft, gelegentlich aber sogar die Scheibe fehlt! Die Erfahrung lehrt, dass auf allen Gebieten derartige Zufallstreffer die Folgen einer vorhandenen gegensätzlichen Veranlagung nicht dauernd beeinflussen können. Wir müssen also, der Erfahrung folgend, die stärkeren Abweichungen stärker in die Wagschale werfen, wenn wir uns ein zutreffendes Urteil bilden wollen, und dies geschieht, wenn wir statt der Abweichungen selbst, eine Potenz von ihnen betrachten. Um das störende Vorzeichen wegzubringen, wählen wir hiezu eine gerade, und, einem allgemeinen Naturgesetz entsprechend, im Zweifelsfalle die einfachste, also die zweite Potenz, vergleichen also jetzt die Quadrate der Abweichungen:

IC

Io

Io

to to

Ol Ol h o o

O (ß iQ lO ® (N CT CO fM (M CO

352

172

Der Mittelwert der quadratierten Abweichungen v ist in beiden Gruppen jetzt erheblich verschieden. Wir wählen nun zum Vergleich der Messungsgenauigkeit beider Gruppen im vorliegenden Fall, in welchem nur der wahrscheinliche, nicht der wahre Wert der Strecke L bekannt geworden ist, nicht das einfache arithmetische Mittel, sondern dividieren durch die Zahl der überschüssigen Beobachtungen, (vgl. hierüber u. a. Weitbrecht, Ausgleichungsrechnung. Leipzig 1906, Göschenscher Verlag, S. 27), also hier durch 5.

Der mittlere Fehler einer Messung ergibt sich hiernach zu:

m = +Vf

Gruppe A ’    °

= + 8,4 cm

172

= + 5,9 cm.

m = +

Gruppe B

Um ein völlig objektives Urteil über die mit einem Verfahren erreichbare Genauigkeit zu erlangen, wird man i. a. nicht Versuchsmessungen lediglich zu diesem Zweck vornehmen, sondern man wird die Ergebnisse von Doppelmessungen, wie sie in der Vermessungspraxis, namentlich bei Polygonisierungen in grosser Zahl ausgeführt werden, zum Vergleich heranziehen, und in Gruppen mit gleichen äusseren Umständen (Verfahren, Geländeneigung, Kulturzustand, verwendete Geräte etc.) vereinigen. Die dabei errechneten mittleren Fehler müssen zum Vergleich dann von der Länge 1 auf gleiche Streckenlänge (etwa die Längeneinheit) zurückgeführt werden. Da die auftretenden Abweichungen bei jeder Doppelmessung, welche mit gleichen Geräten nach gleicher Methode und unter gleichen äusseren Umständen ausgeführt wurde, in der Hauptsache nur zufällige, nicht systematische Fehler zum Ausdruck bringen, die sich nicht wie die letzteren proportional zur Länge, sondern proportional zur Wurzel aus dieser fortpflanzen), so erhalten wir als mittleren Fehler pro Längeneinheit [i = yy •

Die Vergleichung der Abweichungen von für praktische Zwecke ausgeführten Doppelmessungen hat ergeben, dass gleiche Übung des Messgehilfen mit jedem der Geräte vorausgesetzt, die Messung mit Messstangen die schärfsten Resultate liefert, und dass die unvermeidlichen Messungsfehler bei Anwendung der üblichen Messungsmethoden sich bei Stangen-, bezwr. Band-, bezw. Kettenmessung

Verwendung

von

Parallelen.

ungefähr verhalten wie 3:5:8. Tatsächlich hat sich denn auch die Anwendung von Messstangen für feinere Messungen (z. B. Stadtvermessungen) überall durchgesetzt.

c) Ermittlung unzugänglicher Strecken.

Ist es möglich, von jedem der Endpunkte A und B der .

gesuchten Strecke aus, den andern zu sehen, so steckt man b eine Parallele zu AB in he-liebigem (möglichst geringem) Abstand dadurch ab, dass man n (s. Fig. 62) in A und B Lote auf A B errichtet und auf ihnen die

Fig. 62.

//

yy.

beliebige Strecke AC = BD abmisst. Es ist alsdann AB = CD. Lässt sich das verwendete Rechteck nicht direkt abstecken,

weil zwischen A und B nicht zusammengesehen werden kann, so kann man die Parallele CD auch gewinnen, indem man AC zunächst schätzungsweise _l AB abmisst und sodann D derart bestimmt, dass

4 CDB=R \ und B D = A C f. Jetzt wird C definitiv so abgesteckt, dass

4 ACD = R 1 und A C = BDI.

Verwendung

gleich

schenkliger

Trapeze.

Bequemer als nach dieser Einrückungsmethode wird die

Parallele folgendermassen gewonnen (s. Fig. 63):

Von einer beliebigen Geraden L werden Lote nach A und B gefällt. Die Endpunkte C und D ’ y der auf ihnen abgemessenen beliebigen, aber gleichen Strecken AC = BD bestimmen die Seite CD des Parallelogramms ABDC, so dass AB = CD.

Statt des Parallelogramms lässt sich zur Ermittlung der unzugänglichen Streckenlänge A B auch ein gleichschenkliges Dreieck oder — Trapez anwenden, welches man er-f FD = FB \ EC = EA

j_ einer beliebigen Geraden E F ab-

Fig. 68.

Fig. 64.

-9B

pB

hält, wenn man

je

misst. Auch hier ist CD = AB (s. Fig. 64). Je kürzer die Lote, um so besser die Bestimmung der gesuchten Strecke.

Hilfssera den.

Hat man zur Absteckung von AB (vergl. Fig. 55) eine be-liebige Gerade benützt, so lassen sich die gemessenen Koordinaten

Ja

beider Endpunkte zur Berechnung von AB verwenden. Es

XA XB |

gilt nämlich unter Beachtung der dort gegebenen Vorzeichenregel allgemein:

A B = V (Jb — Ja)² + (xb — xa)².

Im Gegensatz zur Absteckung der Geraden bei geringer Divergenz der Hilfslinie kommt es aber bei Bestimmung der Streckenlänge mehr auf die Genauigkeit der Abszissen x, als der Ordinaten y an.

Das Beispiel zu Fig. 55 liefert:

AB = V (— 14,08 — 18,14)² + (!54,18 — 15,34)* = V(— 32,22)² 4- (138,84p = V1038-f 19277 = V 20315 = 142,53.

Fig. 65.

Ist der senkrechte Abstand eines durch ein Hindernis verdeckten Punktes A von einer Geraden MN zu messen (Fig 65), so kann man in beliebigem Punkt B ein Lot B D auf der Geraden und durch A wieder ein Lot I) A auf dem eben abgesteckten Lot errichten. Man erhält dann aus dem abgesteckten Rechteck wie vorhin den gesuchten Abstand EA = BD und (wenn gewünscht) den Lotfusspunkt E durch Ab tragen von ~m BE — DA.

Die Lote sind hier, da sich eins auf das andere aufbaut, mit besonderer Sorgfalt zu fällen. Kleine Unsicherheiten in denselben wirken um so ungünstiger, je länger DA ist.

Fig. 66.

Ist weder die gesuchte Strecke AB selbst, noch eine andere ungefähr in ihrer Richtung verlaufende Strecke begeh-bar (See, Fluss, s. Fig. 66), so fällt man in dem einen Endpunkt B auf AB ein Lot BC und auf CA ein zweites Lot, welches die Verlängerung von AB in D schneidet. Es ist dann

BC²

oder x =

DC²

DC² — BD²

BD

BD

Man kann die gesuchte Strecke auch durch Messung proportionaler oder gleicher Strecken finden. Zu diesem Zweck fällt man (s. Fig. 67 und 68) in B und D Lote und wählt

Fig. 68.

- x-

Fig. 67.

rnv

i)

die Punkte C und E so, dass (s. Fig. 67)

bezw. (s. Fig. 68)

AB = BD.

BC

DE —CB

BC

Gerade. Alsdann ist

CD •

(Für BC = CD wird AB = DE).

In beiden Fällen ist anzustreben, den Winkel bei A annähernd zu machen. Je spitzer derselbe, um so ungünstiger die Wirkung-

etwaiger kleiner Messungsfehler in den Hilfsgrössen.

R

Ist ein Instrument zum Abstecken von yzur Verfügung, so gewinnt man Streckenlängen, z. B. über einen Fluss oder Bach, wie in Fig. 69 an gedeutet, wo AB = BC, wenn B = R.

Fig. 69.

Alle die angegebenen Methoden zur indirekten Erlangung unzu-HjP    gänglicher Strecken bringen Fehler-

••    quellen in die Bestimmung herein,

welche die direkte Messung vermeidet, — jedes abgesteckte Lot, jede eingelegte Hilfsstrecke enthält eine Ungenauigkeit, deren Betrag von dem benützten Instrument, der Sorgfalt und Gewandtheit des Technikers abhängt.

Verfahren im Falle des Mangels an Winkel-instrumen-ten.

Stehen Instrumente zum Abstecken rechter Winkel nicht zur Verfügung, so zieht man von einem Endpunkt der zu bestimmenden Strecke AB, z. B. A aus (s. Fig. 70) eine beliebige Gerade und misst auf ihr zwei beliebige aber gleiche Strecken

AC = CD ab. Verlängert man dann BC um sich selbst bis E, so ist DE gleich und parallel AB.

Auch der Abstand eines Punktes A von einer Geraden MN lässt sich ohne Winkelinstrument bestimmen. Misst man die Ver-

Fig. 71.

Fig. 70.

A <*V —

A

A.

I)

bindungsstrecken AB und AC zweier beliebiger Punkte B und C der MN mit A und ferner BC, so ergibt sich (s. Fig. 71):

— CA² + AB² + BC²

2 BC

BD =

und

DA = V A B²

BD² = yiC² — CD².

Versagen die bisher angegebenen Mittel zur Erlangung der Länge nicht direkt messbarer Strecken, so kommen je nach den Umständen, Polygonzüge und Dreiecksketten (s. Abschnitt III), oder auch optische Distanzmesser zur Anwendung.

Für ganz untergeordnete Entfernungsbestimmungen genügt unter Umständen auch das Abschreiten (gegebenenfalls mit Schrittzähler), das Schätzen, oder die Beobachtung der Zeit, in welcher man zu Fuss, oder mit irgend einem Beförderungsmittel, oder in welcher der Schall die zu messende Strecke zurücklegt.

§ 13. Errichten von Loten, Messen und Abstecken von Winkeln mit Benützung einfacher Instrumente.

Anwendung auf die Absteckung von Parallelen.

Wie bei den Strecken handelt es sich auch bei der Messung und Absteckung von Winkeln nicht um ihre Grösse zwischen den tatsächlich abgesteckten Schenkeln, sondern um diejenige zwischen deren Horizontalprojektionen.

Die Aufgabe tritt in doppelter Form auf und zwar:

a) Gegeben der Winkelscheitel B und Punkte A eines von B ausgehenden Schenkels des abzusteckenden Winkels. Gesucht ein Punkt C des zweiten Schenkels.

ß) Gegeben die Richtung des einen Schenkels durch Stäbe Al5 A₂... und ein Punkt C des andern. Gesucht der Scheitel B des Winkels a, wobei a = R, oder = 2 R, oder von irgendwelcher gegebenen Grösse ist.

Weitbrecht, Vermessungskunde.

Absteckung.

Lösung.

a) Mittels Diopterinstrumenten. a) Ein Schenkel und der Winkelscheitel gegeben.

Die Kreuzscheibe wird im gegebenen Scheitel B (s. Fig. 72) vertikal aufgestellt und der Stab um seine Längsachse so gedreht, dass A₂ oder A₃ mitten im Gesichtsfeld der einen Dioptervorrichtung

Fig. 72.

Cr

erscheint (orientiert). Hierauf wird durch die zweite Dioptervorrichtung ein Stab C in die Mitte ihres Gesichtsfelds eingewiesen. (Ist die benützte Entfernung BA, „die Anlage“, kürzer als der abzusteckende Winkelschenkel, so ist die Zielung nach einem der entfernteren Punkte z. B. Ax zu nehmen und daher der Stab A2 zuvor schief zu drücken, falls er nicht so tief steht, dass über ihn hinweg das Fussende des entfernteren Stabs anzielbar ist.)

Zur Verlängerung einer Geraden über den Scheitelpunkt hinaus kann man ein und dasselbe Diopter nach beiderlei Richtung benützen, doch liefert die Absteckung mit freiem Auge im allgemeinen ein schärferes Ergebnis.

Soll — mittels Gradscheibe oder Pantometers — ein gegebener Winkel a (d. h. nicht der Schnittwinkel der Diopterebenen) abgesteckt werden, und macht man nach erfolgter Orientierung gegen A an der Ablesevorrichtung die Anfangsablesung a, so braucht man nur den Kreuzscheibenkopf bei feststehendem Stab zu drehen bis die Ablesemarke auf c = (a -J- a) zeigt. Jetzt wird durch die erstmals benützte Zielvorrichtung der Punkt C in die Mitte des Gesichtsfelds eingewiesen.

Verwendet man das Pantometer, so kann mittels der mit dem Stab fest verbundenen zweiten Zielvorrichtung untersucht werden, ob beim Drehen des oberen Teils des Kreuzscheibenkopfs nicht ein Mitdrehen des Stabs stattgefunden bat. Zutreffendenfalls müsste die fragliche zweite Zielvorrichtung vor dem Einweisen von C wieder nach A orientiert werden.

Sorgt man durch vorgängige Einstellung, dass die Anfangsablesung, welche sich bei Zielung nach A ergibt, gleich 0 ist, so zeigt die Ablesemarke bei Zielung nach C den Winkel a und umgekehrt.

ß) Winkelscheitel B gesucht.

Im näherungsweise angenommenen Winkelscheitel Bx, auf der gegebenen Richtung Ax A₂ A₃ (s. Fig. 72), wird das Instrument vertikal aufgestellt und nach einem der entfernteren Stäbe A orientiert. (Nötigenfalls vorheriges Umdrücken der Zwischenstäbe.) Erscheint alsdann der gegebene Punkt C nicht im Gesichtsfeld der zweiten, oder der um den « verdrehten Zielvorrichtung, so wird durch Auf- und Niederbewegen des Auges an der letzteren seine Abweichung e von der Ziellinie geschätzt, oder, nach erfolgtem Einweisen eines Stabs in die Ziellinie, gemessen. Nun wird die Kreuzscheibe um den derart ermittelten Betrag e auf der gegebenen Richtung verstellt und das Verfahren, wenn die Abweichung geschätzt wurde, so lange wiederholt, bis der richtige Scheitel B gefunden ist.

Unpraktisch wäre es, die Orientierung der Zielvorrichtung von Bi aus statt nach der gegebenen Richtung A nach Punkt C zu bewirken, weil im Falle der Nichtübereinstimmung der Stäbe A alsdann nur diese Tatsache, nicht aber die Richtung und Grösse der Abweichung, um welche das Instrument auf der gegebenen Geraden zu verstellen ist, direkt ersichtlich wäre.

b) Mittels Spiegelinstrumenten.

Wir unterscheiden dieselben Formen der Aufgabe wie bei (a).

Fig. 73 h.

Fig. 73 c. Fig. 73 d. Fig. 73 a.

(unpraktisches Verfahren) (praktisches Verfahren)

c,

CA

x\

-o-

bj

cht-

OO

Oj

>A

r'O

■\Viiikel-

sclieitel

Zu a). Man hält das Instrument, dessen Spiegelebenen den halben abzusteckenden Winkel einschliessen, mittels Stabs oder Senkels gegeben‘ vertikal über dem gegebenen Winkelscheitel B so auf, dass (wie in

Fig. 73 a und b ersichtlich) die von Ax bezw. A₃ und etwaigen weiteren Richtungspunkten kommenden Strahlen nach doppelter Zurückweisung durch den Spiegel ins Auge 0₄ bezw. 0₂ gelangen, dort die Vorstellung erzeugend, als ob sie von den Spiegelbildern 2b 2t₂ bezw. 2l₃ 2I₄ herkämen.

Weise nun, über den Spiegel hinwegschauend, den Stab Ci bezw. C₂ so ein, dass er die Fortsetzung der Spiegelbilder 2li 21₂... zu bilden, d. li. mit ihnen der Richtung nach zusammenzufallen scheint.

Ungenau wäre es, bei stark geneigtem Gelände die Spiegelebenen vertikal zu halten, weil in diesem Fall die Spiegelbilder Sb 2l₂ . . . erheblich höher oder tiefer als C sich befänden, wodurch die Feststellung der Deckung wesentlich erschwert würde. Vielmehr ist, zumal wenn einer der Winkelschenkel horizontal liegt, der Schnittlinie der Spiegelebenen die Lage _l zur Schenkelebene A B C zu geben. Allerdings erscheinen dann die Spiegelbilder der vertikal gesteckten Stäbe At A₂ ... als geneigte Gerade und man hat nur die Möglichkeit, den abzusteckenden Winkel zwischen den Richtungen nach einem bestimmten ins Auge zu fassenden Punkt des Stabs A und einem solchen des Stabs C herzustellen (vergl. hierüber und über die Unterscheidung zwischen Horizontalwinkel und Positionswinkel, welche bei der verlangten Instrumentenhaltung in Frage kommt, S. 89.)

Unpraktisch ist es ferner, direkt, d. h. über die Spiegel hinweg, statt nach dem einzuweisenden bezw. dem anzuwinkelnden Punkte, in der durch mehrere Stäbe gegebenen Schenkelrichtung Aj A₂ bezw. A₃ A₄... zu zielen und das Spiegelbild © von C zu benützen (s. Fig. 73c und d). Denn erstens muss von dem in C durch den Messgehilfen aufgehaltenen Stab zumeist die Vertikalstellung konstatiert bezw. herbeigeführt werden, was bei Benützung des Spiegelbildes wegen der veränderlichen Spiegelhaltung unmöglich ist. Sodann ist das gleichzeitige Einweisen des Winkelspiegelstabs selbst in die gegebene Schenkelrichtung A durch den Gehilfen nur bei der Haltung nach Fig. 73 (a) und (b), nicht aber nach Fig. 73 (c) und (d) möglich, weil hier der Beobachter im Wege steht. Ferner ist nur bei der Behandlung nach Fig. 73 (a) und (b) die Schätzung von Richtung und Grösse des notwendigen Rückungsbetrags e direkt möglich (vergl. oben auf S. 83), und endlich ist der anzuwinkelnde Punkt C häufig der lichtschwächere (Hauskante etc.), so dass eine Lichteinbusse durch die Spiegelung hier vermieden werden sollte.

Winhel-

scheitel

gesucht.

Zu ß). Man bewege den Spiegel, wie in Fig. 73 (a) und (b) gezeigt, auf der gegebenen Richtung A₄ A₂. .. hin, bis die Spiegel-

bilder der Stäbe A den über den Spiegel hinweg direkt gesehenen anzuwinkelnden Stab C decken, bezw. dessen scheinbare Fortsetzung bilden. In diesem Augenblick befindet sich das Instrument vertikal über dem gesuchten AVinkelscheitel.

Prüfung und Berichtigung des Winkelspiegels.

Von den einfachen Spiegelinstrumenten verlangen wir neben Anforderung, der leicht zu untersuchenden Bedingung ebener und heller Spiegel (Verzerrung der Bilder im Falle unebener Spiegel) nur, dass die Spiegelebenen unter sich, oder mit der Diopterebene den nach vorhergehendem verlangten Winkel einschliessen.

pH <N

dieser Winkel =

Um z. B. beim einfachen Winkelspiegel zu untersuchen, ob Prüfun*?-ist, steckt man mit freiem Auge eine Gerade ACB (Fig. 74) ab und hält über dem Zwischenpunkt C das Instru-

-o

ob *

V¹

^ "F

KJ

bö *

Do CB = R und somit der Winkel zwischen den Spiegeln

ment so auf, dass das einemal das Bild 91 von A, das anderemal das Bild 93 von B im Spiegel sichtbar ist. Beidemal wird ein Stab I) bezw. D₂, in der oben angegebenen Weise eingerichtet. Fallen die Punkte Dx und D₂ zusammen, so ist jeder der abgesteckten Winkel ACD

Ver

besserung.

Andernfalls wird der letztere mit Hilfe der Korrektionsschrauben (vergl. Fig. 43, 44 und 45) so verbessert, dass der die Strecke Di D₂ halbierende Punkt D von den Spiegelbildern gedeckt wird.

R

Soll der Spiegelwinkel = ₄ sein, so wird auf gleiche Weise wie vorher sein doppelter Betrag von jedem der Schenkel eines rechten

Winkels nach innen abgetragen, wobei wieder beide erhaltenen Richtungen sich decken müssen.

Zur Untersuchung des Spiegelkreuzes steckt man entweder mit freiem Auge drei Punkte einer Geraden ab und verbessert hienach nötigenfalls den Winkel der Spiegel des auf dem Zwischenpunkt aufgehaltenen Instruments, oder man steckt die Gerade mit letzterem doppelt und zwar von beiden Seiten einrückend ab. Die etwa sich ergebende Abweichung entspricht letzterenfalls dem doppelten Fehler.

Unter-suchung des Sextanten.

Reim Pantogon und dem Sextanten treten zu der Bedingung ebener Spiegel noch die Forderungen hinzu:

1.    Beide Spiegel müssen senkrecht zur Teilkreisebene stehen;

2.    der feste Spiegel muss parallel zum O-Radius des Teil

kreises, der bewegliche so angeordnet sein, dass die Verlängerung seiner bilderzeugenden Ebene durch den Teilkreismittelpunkt und durch die Ablesemarke (Noniusnullpunkt) geht, (eine gleichzeitige Verdrehung beider Spiegelebenen um denselben Betrag und in gleichem Sinn wäre unschädlich);

3.    der Drehpunkt des beweglichen Spiegels muss identisch

sein mit dem Mittelpunkt der Kreisteilung;

4.    die Radien nach den einzelnen Teilstrichen müssen mit

dem O-Radius die durch die Bezifferung angegebenen Winkel (oder ihre Hälften) einscliliessen.

Untersuchung zu 1. Legt man die Teilkreis ebene mittels einer Wasserwage horizontal, so müssen die durch die Spiegel erzeugten Bilder von Fäden aufgehängter Senkel mit anderen ebensolchen zur Deckung gebracht werden können.

Zur etwa notwendigen Verbesserung sind die spiegeltragenden Platten mit Verbesserungsschrauben versehen.

Zu 2. Dreht man die Schiene des beweglichen Spiegels so, dass beim Pantogon die in beiden Spiegeln erzeugten Bilder eines und desselben Gegenstands, beim Sextanten der letztere und sein durch den einen Spiegel gesehenes Bild sich decken, so muss die Ablesemarke (Noniusnullpunkt) die Ablesung 0 zeigen.

Etwaige Verbesserung erfolgt durch obengenannte Verbesserungsschrauben.

Zu 3. und 4. (Teilungsfehler). Beliebige, mittels eines Theodoliten auf dem Gelände hergestellte Winkel müssen sich, mit dem zu prüfenden Instrument nachgemessen, innerhalb entsprechender Genauigkeitsgrenzen übereinstimmend ergeben. Ohne Hilfsinstru-

ment: zerlegt man einen, ohne Instrument auf dem Gelände ab-steckbaren Winkel (2R, 4R) durch Zwischenstäbe in einzelne, mit dem Sextanten messbare Teile und misst diese, so muss ihre Summe mit dem Sollbetrag übereinstimmen.

Verbesserung ist auf einfachem Weg unmöglich. Im Falle vorhandener Teilungsfehler kann man aber mit Benützung eines fehlerfreien Instruments Winkel von bestimmter runder Grösse abstecken und diese sodann mit dem fehlerhaften Instrument nachmessen. Die (nötigenfalls durch Interpolation ergänzte) Gegenüberstellung zusammengehöriger Werte beider Gruppen bildet für das betr. Instrument eine Tabelle zur Umwandlung der mit ihm gemessenen in verbesserte Winkel.

Schlussbemerkung. Der Scheitel des abgesteckten Winkels fällt streng genommen nicht mit der Handgriff- bezw. Stabachse zusammen, sondern ist der veränderliche Schnitt des eintretenden und des doppelt reflektierten Strahls (s. § 8). Die aus dieser Veränderlichkeit resultierende Unsicherheit übersteigt jedoch bei normaler Instrumentengrösse im Mittel kaum den Betrag von 2 cm. Über Einrichtungen, welche diese Fehlerquelle beseitigen s. § 8.

c) Mittels Prismeninstrumenten.

Aufsuchen des festen Strahls.

Wir haben in § 9 erfahren, dass wir bei der Verwendung von Prismeninstrumenten zwischen beweglichem und festem Licht-

Fig. 75.

\c ?«s

tc

tu

1«:

?«3

rv

-x

CO

C> o

Absteckungs-

Verfahren.

Anforderung ans Winkel-pri smo.

In-

strumenten-

prüfung.

strahl zu unterscheiden haben. Wir müssen also ein Mittel finden, das durch den festen Strahl erzeugte, zum Abstecken rechter Winkel allein benützbare Bild als solches zu erkennen. Merkmale hiefür sind: 1. das vom festen Strahl erzeugte Bild ist lichtschwächer, als das vom beweglichen Strahl erzeugte, 2. es bleibt beim Drehen des Prismas um seine Achse (abgesehen von kleinen Schwankungen infolge von Neigungen dieser Achse) in Buhe, 3. der feste Strahl tritt in der Nähe einer Seitenkante aus und zwar bei zur Sehrichtung annähernd paralleler Stellung der Hypotenusenfläche beim rechten Winkel, bei annähernd senkrechter Stellung derselben beim V* R-Winkel.

Die Anwendung des Prismas zum Abstecken rechter Winkel ist ähnlich der des Winkelspiegels. Die durch den festen Strahl erzeugten Bilder 21 der gegebenen Richtungsstäbe A müssen mit der über das Instrument hinweg direkt gesehenen Richtung nach dem abzusteckenden Winkelschenkel übereinstimmen, sie müssen die scheinbare Fortsetzung des anzuwinkelnden Stabes C bilden. Auch hier wird zweckmässigerweise nicht in der Richtung des gegebenen Schenkels, sondern in derjenigen nach dem anzuwinkelnden Punkt direkt gezielt (s. Fig. 75).

Bei der Verwendung der Prismentrommel und des Prismenkreuzes zum Abstecken beliebig grosser Winkel und gerader Linien gebraucht man den beweglichen Strahl. Man bewegt sich mit aufgehaltenem Instrument auf dem festen Schenkel, oder in der Halbierenden der gesuchten Richtungen, bis die durch den beweglichen Strahl erzeugten Bilder 21 und 23 der beiden Linienpunkte A und B (die bei Drehung des Instruments sich bewregen, ohne aber ihre gegenseitige Lage zu ändern) in den beiden, in entsprechende gegenseitige Stellung gebrachten Prismen übereinander stehen, eine Gerade bilden (s. Fig. 50). Alsdann befindet sich das Instrument in dem gesuchten Scheitelpunkt.

Anforderung: Das Prisma muss rechtwinklig gleichschenkligen Querschnitt besitzen.

Die Prüfung des einfachen Prismas erfolgt ebenso, wie diejenige des Winkelspiegels. Eine Verbesserung etwaiger Abweichung ist jedoch nur durch Erneuerung des Glasschliffs möglich.

Auch beim Prisma fällt, wie beim Winkelspiegel, der Schnittpunkt der verwendeten Strahlen nicht mit der Handgriffachse zusammen, sondern hat veränderliche Lage. Die hiedurch erzeugte Unsicherheit des Winkelscheitels ist um so kleiner, je kleiner das Instrument selbst ist. Über Einrichtungen zur Wegschaffung dieser Fehlerquelle vgl. § 9.

Hei der Prismentrommel verlangt man noch, dass die Seitenbauten beider Prismen einander parallel laufen. Dies trifft zu. wenn hei entsprechender Instrumenthaltung parallele Gerade, z. B. die Fäden zweier aufgehängter Senkel in beiden Prismen Bilder erzeugen, die in eine Gerade fallen.

Anforderung-an die Prismen-trommel.

Für etwa notwendige Veränderung der gegenseitigen Lage beider Prismen ist eines von ihnen an dem Gehäuse fest, das andere derart aufgehängt, dass eine Drehung, und mittels dreier Korrektionsschrauben, die auf die Prismenfassung drücken, auch eine kleine Neigung des letzteren bewirkt werden kann.

kreuz.

Beim Prismenkreuz müssen wir weiter noch die Bedingung Anforderung stellen, dass zwei Kathetenflächen einander parallel gehen. Ob dies zutrifft, wird untersucht, wie die analoge Forderung beim Spiegelkreuz, etwaige Abweichung aber wird durch Drehung des auf gehängten Prismas gehoben.

der

instrumente.

Die Spiegel- und Prismeninstrumente gewähren beimvorzügfnmi Messen und Abstecken von Winkeln gegenüber den Diopterinstru- nlöptm",' Ile!-menten die Vorzüge rascheren Arbeite ns (weil das unter allen ^f^snTen*1 Umständen zeitraubende, oft unmögliche Einstecken des Stabes in den Boden entfällt), bequemeren Transports, der Möglichkeit gleichzeitigen Beobachtens beider Winkelschenkel (wertvoll namentlich bei beweglichem oder unsicherem Standpunkt, bezw. beweglichen Zielen), der gelegentlichen Verwendung zur Herstellung horizontaler Zielungen (Spiegelbild des am Handgriff befestigten Senkelfadens bei ungefähr horizontaler Haltung des Handgriffs), eines grossen Gesichtsfeldes, und ca. dreimal billigeren Preises.

Dieser Summe von Vorzügen steht neben der lästigen Veränderlichkeit des Winkels zwischen den Spiegeln ein einziger, aber sehr gewichtiger Nachteil gegenüber: die Spiegel- und Prismeninstrumente geben nicht die verlangte Horizontalprojektion der gemessenen Winkel (Horizontalwinkel), sondern, wenn die Spiegel-bezw. Prismenflächen senkrecht zur Ebene der beiden Winkelschenkel gehalten werden, die Winkel zwischen den beobachteten Strahlen selbst (Positionswinkel) an.

In horizontalem Gelände, wo dieser Nachteil nicht zur Geltung kommt, weil Positions- und Horizontalwinkel gleich sind, ist also die Verwendung der Spiegel- und Prismeninstrumente vorzuziehen; in geneigtem Gelände ist zu beachten, dass der mit ihnen gemessene, bezw. abgesteckte Winkel im allgemeinen nicht gleich dem zu zeichnenden oder verlangten Horizontalwinkel ist, und dass der Fehler mit der Geländeneigung

wächst. Nur wenn wenigstens ein Schenkel horizontal liegt, ist der mit geneigtem Instrument abgesteckte rechte Winkel auch in der Horizontalprojektion = R. (Je nach der Lage der Winkelschenkel zur Projektionsebene kann die Projektion eines Winkels alle Werte von 0 bis 4R annehmen. Ein in bergigem Gebiet mittels der Spiegel- oder Prismeninstrumente rechtwinklig abgesteckter Neubau würde beispielsweise bedenkliche Abweichung gegen die Rechtecksform zeigen, wenn nicht zufälligerweise einer der Winkelschenkel horizontal verläuft. Hier ist daher die Anwendung der Diopterinstrumente, bei denen die Zielungen in vertikalen und unveränderlichen Diopterebenen liegen, deren Keilwinkel die verlangte Grösse R, ^ etc. hat, unerlässlich.)

In der Gruppe der Spiegel- und Prismeninstrumente haben erstere den Vorzug lichtstärkerer Bilder, leichter Ersetzbarkeit etwa zugrunde gegangener Spiegel und billigeren Preises, die letzteren dagegen denjenigen der Unveränderlichkeit und des noch bequemeren Transports.

Rechte Winkel durch Verreibung.

d) Ohne Winkelinstrumente.

1. Yom gegebenen Scheitel B des abzusteckenden Winkels (s. Fig. 76 a) wird in der gegebenen Richtung das Stück BA = 3 Längeneinheiten (m, Ellen,

Fig. 76 a.

Fig. 76 h.

Fig. 76 c.

>/

i4-

D,

■l

A ~³~ B

A₂

Ruten etc.) abgemessen. In A und B werden Bänder oder Schnüre befestigt, welche 5 bezw. 4 derselben Längeneinheiten messen, angespannt und solange gedreht, bis ihre Endpunkte in C sich decken. Alsdann ist C ein Punkt des gesuchten Winkelschenkels, weil AB² -f BC² = 3² + 4² = 9 -f 16 = 5² = A C². (Pytha-goräischer Lehrsatz.)

2.    Vom Winkelscheitel B (s. Fig. 76b) aus werden auf der gegebenen Richtung nach beiden Seiten gleiche Stücke BAX — BA₂ abgetragen. Werden die Endpunkte eines Bandes, das länger ist, als Ax A₂ in Ax und A₂ befestigt und wird alsdann das Band angespannt, so bezeichnet sein Halbierungspunkt (horizontale Bandhaltung vorausgesetzt) einen Punkt C des gesuchten Lotes.

3.    Das eine Ende eines Bandes wird im gegebenen Winkelscheitel B, das andere in einem Punkt A der gegebenen Richtung festgesteckt und der Mittelpunkt des angespannten Bandes in D markiert. Alsdann wird das Bandende bei B in die Verlängerung von AD nach C versetzt, derart, dass das gespannte Band über D geht. C ist ein Punkt des gesuchten Winkelschenkels, weil DA = DB = DG und ADC Gerade (Winkel im Halbkreis, s. Fig. 76c).

Winkel beliebiger

Um Winkel beliebiger Grösse zu messen, bildet man je nach Sachlage

durch Verreibung.

ein beliebiges, ein rechtwinkliges, oder ein gleichschenkliges Dreieck, das den Grösse fraglichen Winkel (oder sein Supplement, oder seinen Überschuss über 1 R) enthält, und misst in demselben (vergl. Fig. 77) die Strecken m, mx und n. Ist

Fig. 77.

INA

C\ . $

14'

B* “ - ” - ■*

für die Weiterverwendung der Zahlenwert des Winkels nötig, so lässt er sich aus den gemessenen Strecken berechnen; für graphische Benützung dienen die letzteren direkt.

Absteckung von Parallelen.

Parallele Gerade sind abzustecken als Grenzlinien von Strassen etc., zur Ermittlung unzugänglicher Strecken, im Falle paralleler Wegnetze bei Feldbereinigungen, sowie bei Anwendung paralleler Aufnahmelinien für die Stückvermessung (z. B. der in Württemberg amtlich bevorzugten Parallelmethode, s. §§ 17 und 44). Liegt kein Bedürfnis für grössere Genauigkeit vor, so führt der Aufbau von Lot auf Lot zum Ziel. In einfacheren Fällen kann man nach Fig. 62, 63, 67, 68 oder 70 verfahren.

Ist der Parallelabstand von der Grundlinie dagegen gross und ist möglichste Genauigkeit der abzusteckenden Parallelen nach Lage und Richtung anzustreben, so stützt sich deren Bestimmung auf mindestens zwei; besser aut drei, oder vier ungefähr gleichweit voneinander entfernte und durchzumessende Senkrechte. Die (nötigenfalls abzugleichenden) Endpunkte dieser Senkrechten bilden die Stützpunkte der abzusteckenden Parallelen.

§ 14. Fehlerquellen bei Ausführung der geodätischen Grundaufgaben.

Fehlergrenzen.

Infolge der Unzulänglichkeit der menschlichen Sinne sowohl, als auch infolge von äusseren Einflüssen und von Mängeln an den verwendeten Instrumenten und Geräten treten bei der Ausführung-aller Vermessungsarbeiten Ungenauigkeiten auf, welche deren Ergebnis schädlich beeinflussen.

Die „groben“ Fehler, welche durch Unachtsamkeit, oder durch abnorme Einwirkung störender äusserer Einflüsse hervorgerufen werden, sind unter allen Umständen durch entsprechende Massregeln (wiederholte Beobachtung, oder Beobachtung anderer Grössen, welche mit den gesuchten in bekannter Beziehung stehen) auszumerzen, und berühren uns jetzt nicht.

Grobe Fehler.

Aber auch nach ihrer Wegschaffung bleiben uns die wahren Werte der Beobachtungsgrössen unzugänglich. Die Messungsmittel sind HciTÄ. durch eine Reihe „unvermeidlicher“ Fehlerquellen entstellt. Die Grösse des Einflusses dieser Fehlerquellen hängt von der angewandten Beobachtungsmethode, der Erfahrung und Sorgfalt des Beobachters, von der Art und Güte der verwendeten Instrumente, von den äusseren Verhältnissen (Witterung, Zustand der Bodenoberfläche etc.) und davon ab, ob die einzelnen wirksamen Fehlerteile sich zufälligerweise mehr oder weniger aufheben. Durch praktische Versuche lassen sich Mittelwerte für die bei Anwendung einer bestimmten Beobachtungsmethode voraussichtlich ein tretenden unvermeidlichen Fehler, sowie Werte für die im ungünstigsten Fall (der zufälligen Addition der einzelnen unvermeidlichen Fehlerwirkungen) zu befürchtenden Maximalfehler feststellen, deren Kenntnis für den Techniker, der seine Angaben und Arbeiten vertreten muss, von grosser Bedeutung ist und die Voraussetzung bildet für die amtliche Festsetzung von höchstenfalls zulässigen „Fehlergrenzen“.

Fehler beim Eimveisen.

ab von der Luftdurchsichtig-

Die Grösse der beim Einweisen von Geraden mit freiem Auge auftretenden Fehler hängt — abgesehen von der Sehschärfe des Beobachters (s. § 35) und von der mehr oder weniger scharfen Bezeichnung der Ausgangspunkte

keit, der Beleuchtung des Ziels und dessen Hintergrund, der Windrichtung und -Stärke, der Bodenform (eben, konkav, konvex) und von der Entfernung des Einzuweisenden und des Endpunktes vom Beobachter. Prof. Jordan hat mit ungeübten Beobachtern einen mittleren Zielfehler von V bis 2' festgestellt, während Prof. Stampfer mit geübten Beobachtern bei günstigen Umständen den Zielfehler auf 10" und weiter herabdrückte.

Strecken-

feliler.

Die Genauigkeit der Streckenermittlung hängt bei Anwendung bestimmter Messungsmethoden und bestimmter Geräte ab von der Form und Beschaffeneit der Bodenoberfläche — horizontal oder bergig; kurzer Rasen, bezw. krümelige Erde, oder grobe Schollenbildung, Stoppelfeld, hohes Gras, Klee etc. Schneefeld —, von der Witterung — Regen, Wind, Schmutz — und von der Gewandtheit und Sorgfalt des Messgehilfen. Die hiebei auftretenden unvermeidlichen Fehlerteile folgen verschiedenerlei Gesetzen.

Entspringen sie z. B. kleinen Unsicherheiten der Endpunkte (unregelmässige Marksteine etc.), kleinen Lattenverschiebungen infolge ungünstiger Auflage (Steine, Stoppeln etc.), Ungenauigkeiten im Anreihen der Messwerkzeuge (Zwischenraum, Kückstoss, schwankender oder stumpfer Senkel), Ungenauigkeiten im Aufsetzen oder Ablesen des Gradbogens etc., so wirken sie bald positiv bald negativ und heben sich mehr oder weniger gegenseitig auf. Sie wachsen also nicht proportional zur Streckenlänge, sondern, wie Überlegungen auf Grund der Wahrscheinlichkeitsrechnung ergeben und praktische Versuche bestätigen, proportional ihrer Wurzel.

Zufällige

Fehler.

Wir bezeichnen die Wirkungen solcher Ursachen als „zufällige“ oder „unregelmässige“ Fehler. Ist irgendwie fest-gestellt worden, dass auf 1 m Länge der mittlere unregelmässige Fehler fiu mm beträgt, so wird sein wahrscheinlicher Betrag bei einer Strecke von s m Länge wachsen auf mu = /«u Vs mm (s* § 12).

Fehler.

Entspringen die Fehlerteile anderseits Ursachen, welche, jede für sich, immer in derselben Richtung und ungefähr gleicher Grösse wirken, wie z. B. Ungenauigkeiten der Stangenlänge, Ausbiegungen aus der Geraden, Abweichungen von der horizontalen Stangenlage. Einschlagen der Latten und Bänder, der Vernachlässigung der Senkelschnurdicke beim Staffeln, unrichtigem Nullpunkt der Gradbogenteilung, Abgleiten des Senkels beim Einspicken in den geneigten Boden etc., so wächst ihre Wirkung proportional zur Streckenlänge.

Man bezeichnet sie als „regelmässige“ Fehler. Ist der regelmässige Fehler pro 1 m Länge zu (iv mm festgestellt worden, so wird sein wahrscheinlicher Betrag bei einer Strecke von s m Länge anwachsen auf mr = /it. s mm.

Messen wir eine Strecke mehrmals nach derselben Methode VTluag,ier

Wirkung des

unter gleichen äusseren Umständen mit denselben Geräten, so regeimässi-zeigt sich in den auftretenden Widersprüchen in der Hauptsache ')_es nur die Wirkung der unregelmässigen Fehler, da die regel-mässigen immer in ungefähr gleicher Grösse und Richtung auftreten.

Verwenden wir dagegen verschiedenerlei Messgehilfen, Methoden und Geräte, und messen unter veränderten äusseren Umständen, so gesellt sich zu der ersteren noch die Wirkung regelmässiger Fehler.

Jede richtige Fehleruntersuchung und -Einteilung und jede behördliche Feststellung von Fehlergrenzen muss beide Fehlergattungen trennen und im Fall ihres Zusammenwirkens dem Ausdruck für den höchstens zulässigen Streckenfehler d etwa folgende Form geben: d = fin Ys -j-^r .s, oder, falls eine teilweise gegen-

seitige Aufhebung beider Fehlergattungen als Kegel angenommen werden will: d = Vs +    • s².

Bestimmungen, welche, wie das früher üblich war, den höchstens zulässigen Fehler etwa in Prozenten der Länge ausdrücken, sind bei langen Strecken zu lax, bei kurzen Strecken kaum erfüllbar (0,1 °/o ergäbe z. B für 1000 m Länge 1 m, für 1 m Länge 1 mm, d. h. im ersten Fall einen viel zu grossen, im letzteren einen nicht aufrecht zu erhaltenden zulässigen Fehler). Sie gleichen einem Kleid, welches das eine Mal um den Leib schlottert, das andere Mal viel zu eng ist.

Für die Grösse des unvermeidlichen unregelmässigen Fehlers pro Meter Länge hat Prof. Jordan aus einem ausgiebigen, zum Teil vom Deutschen Geometerverein gesammelten Material mittlere Werte berechnet, nämlich:

„ Band    „

„ Ketten „

für Lattenmessung fin = + 3 mm fin = + 5 mm = +8 mm.

Nimmt man, wie üblich und praktisch durchführbar, als äusserstenfalls zu duldenden und möglicherweise von unglücklichem Zusammenwirken der Einzelfehler herrührenden Maximalfehler den dreifachen mittleren Fehler an, so erhält man hiefür aus den obigen Werten 0,00⁹VS bezw. 0,015 Vs bezw. 0,024 Vs.

Amtliche

Fehler-

jjrenzen.

Für Württemberg sind als äusserste Fehlergrenzen, welche von dem Unterschied der Ergebnisse zweier amtlich ausgeführten Messungen keinesfalls überschritten werden dürfen durch die techn. Anweisung vom 19. Januar 1895 festgesetzt:

Im Falle unsicherer Endpunkte treten für jeden derselben noch weitere B cm hinzu.

In Geländeklasse I (nahezu eben) d = 0,010VS + 0,0005 si „    „    II(etw. geneigt) d = 0,015 Vs +0,0006s|

„    „    III(sehr uneben) d = 0,020 Vs +0,0007sj

Für P r e u s s e n bestimmt hierüber die Anweisung VIII vom 25. Oktober 1881, bezw. die Anweisung II vom 21. Februar 1896 (unter der näheren Erläuterung, dass der zulässige Fehler sich in allen Fällen, in denen die Streckenendpunkte nicht auf 1 cm genau bestimmbar sind, auf 1 dm erhöht):

d = 0,01 V 4s+Ö7005s2 d = 0,0lV 6 s + 0,0Ö75~s2 d = 0,0lV8s + 0,01s².

Geländeklasse I

II

III

Bei Ermittlung aus Plänen in kleinerem Massstab als 1:4000 ist das 1 y₂ fache des hienach sich ergebenden Betrags, wenigstens aber eine Strecke von 3 dm als Fehler zugelassen.

Für Bayern lauten die Fehlerformeln (nach der Anweisung vom 25. Juni 1885):

d = 0,012Vs+ 0,0008 s d = 0,018 Vs -f 0,0008 s d = 0,024 Vs-f- 0,0008 s

Geländeklasse I

II

III

Für Elsass-Lothringen bestimmt die Anweisung vom 30. Januar 1889 hierüber:

Geländeklasse

II

III

d = 0,008 Vs-f- 0,00064 s d = 0,012 Vs + 0,00064 s d = 0,016 Vs+ 0,00064 s.

Die oben gegebenen Ausdrücke für den höchstens zulässigen Längenfehler sind weder abhängig von der Art der verwendeten Messgeräte, noch von der angewandten oder durch die Umstände bedingten Messungsmethode, sondern nur von der Geländeneigung und der Länge. Es bestehen also, gleiche Geländeneigung vorausgesetzt, keine behördlichen Bestimmungen, welche eine schärfere Messung hochwertigen Geländes verlangen. (Für die Messung eines Grundstücks, bei dem 1 qm tausende von Mark wert ist, ist amtlich keine grössere Schärfe vorgeschrieben, als für ein völlig wertloses Grundstück! Diese Vernachlässigung der wirtschaftlichen Bedeutung einer Messung wird sich auf die Dauer nicht aufrecht erhalten lassen.)

Gegenüberstellung zulässiger Streckenfehler in einigen Staaten.

Strecke

in

Höchstens zulässige Abweichung zweier Messungen in cm Württemberg

Geländeklasse

I II III I II III I II III I II III

Preussen

Geländeklasse

Bayern

Geländeklasse

Elsass-Lothringen

Geländeklasse

Die Fehler beim Abstecken von Loten und beim Messen von Winkeln mit Benützung der in §§ 7—9 vorgefübrten Instrumente unterliegen denselben Einflüssen, wie diejenigen des Ein-weisens von Geraden mit freiem Auge. Nur werden letztere noch vergrössert durch die Helligkeitseinbusse und die Beugung, welche die Lichtstrahlen beim Durchtritt durch das benützte Instrument

erleiden, sowie durch die Wirkung etwaiger unrichtiger Haltung, bezw. Aufstellung des letzteren.

Prof. Lorber in Leoben gibt in der Zeitschr. f. Instrumenten-kunde 1888, S. 381 ff. als mittleren Fehler der Absteckung eines rechten Winkels an:

was auf 50 m Schenkellänge einer linearen Unsicherheit von

Bei Benützung

2.8    cm entspricht

3.8    cm ,,

1.9    cm

1,6 cm v

der Kegelkreuzsclieibe + 1,6'

± 2,6' „

± „

± LI' „

„ Zylinder des Winkelspiegels „ Winkelprisma

Abschnitt 11.

Aufnahme von Figuren, Planzeichnung, Flächenberechnung.

Kapitel IV.

Aufnahme von Figuren: „Stückvermessung“.

§ 15. Aufnahmemethoden.

Zahl der nötigen Be-

Um die Horizontalprojektion eines abgegrenzten n-Ecks nach Nti^üe™gs Gestalt und Grösse darstellen zu können, müssen wir zunächst diejenige Zahl voneinander unabhängiger Bestimmungsstücke — Strecken oder Winkel — ermitteln, welche nach den Grundsätzen der Planimetrie nötig ist. Sie beträgt für ein Dreieck 3, für jede weitere Ecke 2 weitere, für das n-Eck also allgemein (2n— 3) unabhängiger Stücke.

Auswahl der ■l\\ messenden Be-Ktimmungs-stiieke.

Nun haften aber allen durch Beobachtung gefundenen Grössen Mängel und Unvollkommenheiten an, die im Vergleich zur Ausdehnung der Einzelgrösse vielleicht ohne Bedeutung sind, die aber je nach der Anordnung der fehlerhaften Stücke im Zusammenwirken das gesuchte Resultat — Figur oder Inhalt des n-Ecks — erheblich und ungünstig beeinflussen können.

Wenn z. B. ein Punkt durch den Schnitt zweier Kreisbögen sich bestimmt, deren Radien gemessen sind, so ist die Wirkung F etwaiger Messungsfehler f dieser Radien auf die Lage des Punktes eine wesentlich verschiedene, je nachdem die Kreisbögen sich unter spitzem oder rechtem Winkel schneiden.

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Bezeichnet man mit a den spitzen Schnittwinkel zweier Kreisbögen, und setzt den Messungsfehler f (Ungenauigkeit ihrer Halbmesser) als gleich voraus, so ist (s. Fig. 78)

Fig. 78.

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— in der Richtung der Halbierenden von a

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senkrecht zur Halbierenden von a

- Fmüi. — f

Für den Schnittwinkel a = R wird F für a — 0 wird F

Konstruiert man unter Benützung eines derart unrichtig festgelegten Punktes durch Bogenschnitt einen zweiten Punkt, baut sodann auf diesen einen dritten auf etc., so wird jeder folgende neben den Fehlern seiner eigenen Bestimmung noch diejenigen seiner Vorgänger enthalten und es werden durch Addition der an sich vielleicht kleinen Finzelfehlerund ihrer Wirkungen schliesslich sehr merkbare und schädliche Abweichungen des Bildes von der wahren Gestalt sich ergeben.

Dieses zwingt zu einer in der reinen Planimetrie nicht geübten Rücksichtnahme auf die Auswahl und Anordnung der Bestimmungsstücke, d. h. auf die Wahl passender Aufnahmemethoden.

Max.

= GO.

Max.

K iiibin (lerne tli orte.

Aufnalnne-

metboden.

Lassen wir die in der Hauptsache auf Winkelmessung sich stützende Methode des Einschneidens (s. „Trig. Punktbestimmung“ und „Messtischverfahren“) vorläufig ausser Betracht, und beschränken wir uns zunächst auf diejenigen Verfahren, welche zur Festlegung ausschliesslich oder hauptsächlich in Zahlen ausgedrückte Streckenlängen verwenden, so müssen wir folgende Aufnahmemethoden unterscheiden.-1. Die Einbindemethode (s. Fig. 79). Sie verwendet als Be-stimmungsstücke ausschliesslich Längenmasse, die zu Dreiecken verbunden, die Konstruktion jedes Punktes durch Schnitt zweier Kreisbögen (Bogenschnitt) ermöglichen. Durch passende Anordnung der Messungslinien (z. B. Verlängerung der Verbindungslinie zweier

Weitbre cli t, Vermessungskunde.

aufzunehmenden Punkte bis zum Schnitt mit den Seiten eines durch 2n — 3 gemessene Strecken bestimmten Dreiecksnetzes) ist es häufig

Fig. 79.

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möglich, die notwendige Streckenmessung nach Zahl und Ausdehnung zu reduzieren.

2. Die Koordinatenmethode bestimmt die gegenseitige Lage der aufzunehmenden Punkte durch Messung von (a) Polar- oder (b) rechtwinkligen Koordinaten in bezug auf einen beliebig gewählten oder gegebenen Punkt als Ursprung (Nullpunkt) und eine durch ihn gehende Gerade als Abszissenachse (Aufnahmelinie).

Polar

koordinaten.

a) Polarkoordinaten (s. Fig. 80). Von dem als Ursprung gewählten Punkt 0 werden die Entfernungen nach allen aufzunehmenden Punkten und die Winkel gemessen, welche diese Verbindungsstrahlen je mit der x-Achse einschliessen (Richtungswinkel).

Unpraktisch wäre es, die Winkel zu messen, welche die genannten Strahlen unter sich einschliessen, weil in diesem Fall ein einziger Winkelfehler nicht bloss den einen Strahl, sondern alle weiteren darauf aufgebauten Strahlen verdrehen würde.

Ist einer der Eckpunkte der Figur als Nullpunkt, eine von ihm ausgehende Grenzlinie als x-Achse gewählt, so sind n — 1 Strecken und (n — 2) Winkel, d. h. zusammen (2n — 3) Stücke zu messen. Wird ein beliebig gelegener Punkt als Ursprung und eine beliebige Gerade als x-Achse gewählt, so braucht man n Strecken und n Winkel, also 2n Stücke. (Der scheinbare Widerspruch gegen die eingangs allgemein geforderte Zahl von 2n — 3 Bestimnmngsstiicken erklärt sich daraus, dass zur Festlegung der nicht der Figur angehörigen Aufnahmelinie und ihres Nullpunkts drei weitere Masse nötig sind.) Ist die aufzunehmende

Fig. 80.

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Figur sehr gross, oder die Zugänglichkeit erschwert, so kann man auch statt eines einzigen Ursprungs und Polarkoordinatensystems deren mehrere verwenden, die durch entsprechende Messungen (etwa nach der Einbindemethode, oder nach dem Polygonalverfahren, s. unter 3.) in gegenseitige Verbindung gebracht werden müssen.

Die Messungsergebnisse werden bei dieser Methode nach pünktlicher Numerierung der Punkte entweder schematisch, oder mit Benützung einer Handskizze ins Feldbuch eingetragen.

Häufiger angewandt und im folgenden immer gemeint, wenn kurzweg von „Koordinatenmethode“ die Rede ist, ist die Aufnahme mittels

Rechtwinklige Koordinaten.

b) Rechtwinkliger Koordinaten (s. Fig. 81 und, als Beispiel der Verwendung mehrerer, geometrisch zusammenhängender, Achsen, Fig. 134).

Man legt eine Gerade (Aufnahmelinie, Abszissenachse) der Längsrichtung nach durch das aufzunehmende Gebiet, so dass sie möglichst nahe den aufzunehmenden Punkten verläuft (wenn möglich durch zwei Grenzpunkte, oder, bei der Aufnahme langgestreckter Bauwesen, entlang deren Achsen und ihren Verlängerungen). Alsdann winkelt man die Eckpunkte der Figur an (fällt von jedem ein Lot auf die Linie) und misst (entweder während des Fällens der Lote, oder — für Anfänger zweckmässiger — nachher zusammenhängend) die Länge sämtlicher Lote (Ordinaten) und ihren gegenseitigen Abstand (Abszissen). Reicht eine einzige Aufnahmelinie nicht aus, so tritt an ihre Stelle ein System von solchen, welche entweder senkrecht bezw. parallel zueinander (s. Fig. 81), oder in beliebiger durch

Fig. 81.

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Streckenmessung geometrisch in gegenseitigen Zusammenhang gebrachter Lage (s. Fig. 134) angeordnet werden. Die Messung der Abszissen erfolgt statt einzeln (von Lotfusspunkt zu Lotfuss-punkt), durchlaufend von einem beliebigen Anfangspunkt aus, weil andernfalls ein etwaiger Ablesefehler nicht bloss den betreffenden Punkt, sondern jeden folgenden verschieben würde, ähnlich wie bei den Richtungswinkeln der Polarkoordinatenmethode.

Da jeder Punkt nur bestimmt ist, wenn von ihm sowohl Ordinate als Abszisse (die Koordinaten) gemessen werden, so ist die Zahl der nötigen Masse im n Eck nicht = 2n — 3, sondern = 2 n. Auch hier sind nämlich, wie bei der Methode 2a, drei Masse nötig, um die Aufnahmelinie nach Richtung und Anfangspunkt in der Figur festzulegen.

Polygon al-jnethofle.

3. Die Polygonalmethode (s. Fig. 82) verbindet die auf-zunehmenden Punkte durch einen Streckenzug, von welchem die Brechungswinkel je zweier aufeinanderfolgenden Strecken und die Längen der letzteren gemessen werden. (Zahl der nötigen unabhängigen Masse = 2n— 3.) Winkel und Strecken werden hier statt in einer Skizze meist in tabellarischer Form aufgezeichnet, weshalb die Eckpunkte mit Nummern zu versehen sind.

Als auf zu nehmender Eckpunkt der Figur gilt bei Mark-steinen und Pflöcken (falls nicht besondere Merkmale, wie ein-gemeiselte Kreuze und Vertiefungen, eingetriebene Drahtstifte etc. hiefür massgebend sind) immer die vertikale Symmetralachse. (Vertikalstellung daher nötig.) Bei Hausecken gilt, je nach den be-

der Eckpunkte.

Fig. 82.

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treffenden amtlichen Bestimmungen einzelner Staaten, der Hausgrund oder das Fundament bezw. der Sockel. In Württemberg dürfen laut Vollziehungsverfügung zur Bauordnung Fussmauern (Sockel) bis zu 20 cm über die Baulinie auf die Strasse vorragen. Es gilt daher als Gebäudegrenze gegen die Strasse der Hausgrund, und zwar bei verputzten Fachwerksbauten die Aussen-kante des Verputzes. (Gegen fremdes Privateigentum dürfen Fussmauern etc. die Grundstücksgrenze natürlich nicht überschreiten).

Kontroll*

masse.

Ausser den kleinen, unvermeidlichen Fehlern, deren möglichste Unschädlichmachung die Aufgabe der gewählten und daraufhin noch zu untersuchenden Aufnahmemethode ist, können sich bei den Messungen infolge äusserer Störungen, von Unachtsamkeit oder Ungewandtheit des Technikers etc. auch noch grobe Fehler (Zählfehler, Ablesefehler etc.) einschleichen. Sie sind noch verhängnisvoller als die ersteren, weil ein einziger von ihnen eine vollständige Verzerrung des die Grundstücksgrenzen und -Einteilung

wiedergebenden Bildes zur Folge haben könnte. Sie müssen daher unter allen Umständen erkannt und ausgemerzt werden. Die näclist-liegende Gegenmassregel, nämlich die wiederholte Messung, bietet hiezu kein sicheres Mittel, weil erfahrungsgemäss einmal gemachte Fehler sich gerne wiederholen. Man zieht es daher vor, andere Grössen, „Kontrollmasse“, zu ermitteln, welche zu den eigentlichen Bestimmungsmassen in bekannter — rechnerisch oder zeichnerisch zu prüfender — Beziehung stehen. Wie viele solcher Kontrollmasse, und welche zur Aufdeckung etwaiger grober Fehler nötig sind, kann allgemein nicht gesagt werden. Durch passende Anordnung derselben sucht man mit möglichst geringem Arbeitsaufwand zu möglichst durchgreifender Sicherung zu kommen und stellt für wichtige Messungen kurz die Bedingung auf: Jedes Mass muss durch ein zweites kontrolliert sein. Zumeist misst man direkte Verbindungsstrecken (Binde- bezw. Kopfmasse) zwischen den aufgenommenen Punkten,

wobei aber beachtet werden muss, dass bei ziemlich

Ordinaten Abszissen

senkrechtem

parallelem

nicht, oder

Verlauf derselben zur Abszissenachse die kaum kontrolliert werden.

(Wenn die Kopfmassrichtung mit der Aufnahmelime den

einschliesst, wird ein Koordinatenfehler F sich im Betrag F

r~ auf dessen Länge übertragen.)

Wir stossen hier auf einen zweiten, wesentlichen Unterschied zwischen der praktischen und der reinen Geometrie — die letztere kennt und braucht keine Überbestimmung.

Winkel

Vä

bo

Ob wir die Kontrollmasse ihrer eigentlichen Bestimmung entsprechend lediglich als Warnungssignale für etwaige grobe Fehler in den Bestimmungsmassen, oder ob wir sie selbst als Bestimmungs-masse ansehen und weiterhin durch Ausgleichung der unvermeidlichen Widersprüche zur gegenseitigen Verbesserung dieser Masse benützen, hängt von der verlangten Genauigkeit und von den zur Verfügung stehenden Mitteln ab. Die im letztgenannten Fall anzuwendende Ausgleichungsrechnung (vergl. u. a. des Verfassers Ausgleichungsrechnung nach der Methode der kleinsten Quadrate. Göschen 1906) bildet ein wichtiges Hilfsmittel der Vermessungskunde.

§ 16. Vorzüge und Nachteile der in § 15 vorgeführten Aufnahmemethoden.

Ver-

Aufnahme-

methoden.

1.    Einbindemethode. Vorzüge: Beschränkung auf die An- gl?icliende wendung einfachster Messgeräte (Stangen und Stäbe), welche überall wdr‘^fung in irgend welcher Form zur Verfügung stehen; erleichterte Möglichkeit systematischer Abstufung des Liniennetzes: „Übergang vom Grossen zum Kleinen“; Wahl der Messungslinien völlig frei, daher bequemes Anpassen an örtliche Verhältnisse, wodurch genaue Messung eher möglich: unreelles Drücken der (durch Rechnung schwer kontrollierbaren) Messungsgrössen auf dem Feld seitens unzuverlässiger Hilfskräfte ausgeschlossen, daher möglichste Messungszuverlässigkeit das einzige Mittel, um Übereinstimmung der beobachteten Masse bei der späteren Ausarbeitung zu erzielen; die hier ausschliesslich verwendeten Verlängerungen und Linienschnitte (sogen. „Abgänge“ bezw. „Richtungen“) sind, wenn nicht zu lange und zu schief schneidend, genauer, als die mit einem der in Kapitel 2 beschriebenen Instrumente gefällten Lote. (Ausgenommen hievon sind Verlängerungen von, aus der Vertikalebene ausgewichenen, alten Mauerflächen.)

Nachteile: Ungünstige Fehlerfortpflanzung bei schiefem Schnitt der bestimmenden Kreisbögen. Addition der Fehlerwirkung beim Aufbau mehrerer Dreiecke; unsichere und komplizierte Feststellung der Ursache von bei der Zeichnung erkannten Messdifferenzen und ihres Ortes (ob von Fehlern der Streckenmessung oder von der Ausbauchung abgesteckter Geraden herrührend); Verwendung der Kontrollmasse zur rechnerischen Verbesserung ihrer selbst und der übrigen Masse schwerfällig, zur Kontrolle nur zeichnerisch verwertbar; die selbständige Aufzeichnung eines bestimmten Teils der Aufnahme (einzelner Grundstücke etc.) ist nur nach vorausgegangener Kartierung eines ausgedehnten Netzes von Messungslinien, die zur verlangten Figur direkt in keiner Verbindung zu stehen brauchen, möglich; zur Wiederherstellung irgend eines verloren gegangenen Punktes (z. B. Grenzpunktes) ist immer ein zweiter aufgenommener Punkt nötig, über den die Aufnahmerichtung geht, und der aber möglicherweise selbst nicht vorhanden ist; die Flächenbestimmung ist ohne umständliche Hilfsrechnungen nur mit Benützung des Planes möglich, ebenso die Ermittlung etwaiger nicht direkt gemessener Strecken und Winkel.

2.    Koordinatenmethode, a) Polarkoordinaten. Vorzüge:

Etwaige grobe Strecken- oder Winkelfehler übertragen sich nicht auf weitere Aufnahmeteile, sondern erzeugen lediglich eine Verschiebung des durch das betreffende Mass bestimmten Punktes;

die unvermeidlichen Messdifferenzen haben infolge rechtwinkliger Schnitte der Bestimmungslinien möglichst unschädliche Wirkung; in Verbindung mit der Polygonalmethode und unter Beschränkung auf geringe räumliche Ausdehnung der Einzelsysteme ist die Messung von Polarkoordinaten überall möglich (z. B. auch zur Aufnahme nur von einer einzigen Seite zugänglicher Höfe innerhalb von Häuserblöcken etc.); bei zweckmässiger Anordnung werden durch jedes Kontrollmass vier Masse (zwei Winkel und zwei Strecken) geprüft, daher geringe Zahl nötiger überschüssiger Masse.

Nachteile: Ohne häufigen Wechsel des Koordinatenursprungs (Beschränkung auf kleine Gebiete) ist die Gesamtlänge der zu messenden Strecken unverhältnismässig gross, wenn es auch (was infolge von baulichen-, Kultur- oder Terrainhindernissen meist nicht zutrifft), möglich wäre, die aufzunehmenden Punkte anzuzielen; die sichere Wiederherstellung eines etwa verloren gegangenen Koordinatenursprungs und, über ihn, der einzelnen von ihm aus aufgenommenen Punkte, ist um so schwieriger, je weniger ausgedehnt sein Aufnahmegebiet ist; zu jeder Arbeit ist die Verwendung komplizierter Winkelinstrumente erforderlich.

b) Rechtwinklige Koordinaten. Vorzüge: Etwaige grobe Ablese- oder Winkelfehler pflanzen sich nicht auf weitere Punkte fort, sondern erzeugen lediglich eine Verschiebung des durch das betreffende Mass aufgenommenen Punktes; unvermeidliche Messdifferenzen haben infolge durchaus rechtwinkliger Schnitte der Be-stimmungslinien möglichst unschädliche Wirkung; zur Zeichnung, wie zur Wiederbestimmung einzelner, nachträglich etwa verloren gegangener aufgenommener Punkte ist ein nur auf den betreffenden Teil sich erstreckendes Liniennetz erforderlich, das an Ort und Stelle um so leichter wieder herstellbar ist, je mehr noch vorhandene Punkte auf dasselbe bezogen sind, d. h. je länger die Aufnahmelinie gewählt wurde; die spezielle Wiederbestimmung eines Punktes erfolgt völlig unabhängig von etwaigen weiteren Punkten derselben oder einer benachbarten Grenze; die rechnerische Feststellung vonFlächen-. Strecken-, und Winkelgrössen ist aus Originalmassen ohne Verwendung eines Planes auf elementar-mathematischem Wege möglich; die Kontrollmasse lassen sich nach Belieben und leicht zur rechnerischen oder zeichnerischen Prüfung, wie zur Ausgleichung der Messungsgrössen verwenden.

Nachteile: Wenig ausgeprägte Gliederung des Liniennetzes; gebundene Messungsrichtung und damit Erschwerung, Verteuerung und Genauigkeitseinbusse bei den Streckenmessungen; geringe Möglichkeit, das Liniennetz abnormen Begrenzungsformen anzupassen, daher häufig lange und ungenaue Lote; Unanwendbarkeit in überbautem Gelände und im Wald; mangelnde Identität der zur Flächenbestimmung und zur etwaigen späteren Grenzwiederherstellung dienenden Masse — der Koordinaten einer-, der Kopfmasse andererseits

Leichtigkeit, Kontrollmasse statt durch Messung durch

Rechnung zu gewinnen (unzuverlässige Hilfskräfte!).

3. Polygonalmethode. Vorzüge: Anwendung überall möglich, weil die Aufnahmelinien (Polygonseiten) der Bodeneinteilung und Geländeform sich am leichtesten anpassen lassen; durchgreifende Kontrolle gegen grobe Fehler schon bei einem einzigen überschüssigen Stück im Polygon wenigstens summarisch vorhanden; Messungsgenauigkeit und -Bequemlichkeit wegen der leichten Anpassung an Geländeform etc. am grössten.

Nachteile: Zur Aufnahme, wie zur etwaigen späteren Wiederherstellung verloren gegangener Punkte sind kompliziertere Winkelinstrumente nötig. Der Zeitaufwand ist verhältnismässig gross, schon in Rücksicht auf die nötige rechnerische Ausnützung der gemessenen Grössen. Die Fehlerfortpflanzung ist die denkbar ungünstigste, insofern ein einziger Streckenfehler den ganzen ferneren Zugsteil parallel verschiebt, ein Winkelfehler denselben sogar verschwenkt.

§ 17. Auswahl der im einzelnen Fall anzuwendenden Stückvermessungsmethode.

Zweck und Art der Grenz- und Kleinpunktsvermarkung.

Die Wahl der Aufnahmemethode ist abhängig von der Geländeform und der Benützungsart des Aufnahmegebiets, von dem Zweck der Aufnahme und da, wo letztere öffentliche Glaubwürdigkeit beansprucht, von behördlichen Vorschriften. Der letztere Umstand bedingt es, dass in jedem einzelnen Staat, auch bei sonst ähnlichen äusseren Umständen, und beeinflusst zum Teil von der verschiedenartigen historischen Entwicklung des Vermessungsdienstes die Stückvermessung in mehr oder weniger abweichender Form — die in § 15 vorgeführten reinen Methoden irgendwie kombinierend — erfolgt.

Auswahl der Stiick-

vermessungs-metliode in Rücksicht auf

Geländeform und Benützungsart.

Sachlich empfiehlt sich in bergigem, und bewaldetem Gebiet für die Aufnahme der hauptsächlichsten Grenzzüge die Anwendung der (verhältnismässig engmaschig auszubildenden) Polygonalmethode. Sie liefert die Grundlage für die mittels der Koordinatenmethode zu bewirkende Einschaltung untergeordneten Details.

Je ebener und offener das Gelände, um so weitmaschiger wird zweckmässigerweise das grundlegende Polygonnetz und um so stärker tritt das mit letzterem nach der Einbindemethode geometrisch in Verbindung zu setzende Aufnahmeliniennetz in den Vordergrund.

Ist das Gelände sehr offen und eben, und legt man besonderen Wert auf die Möglichkeit, beliebige Winkel-, Strecken- und Flächen-masse aus direkten Aufnahmemassen bequem berechnen zu können, so kann man für die in das Polygonnetz einzubindenden Aufnahme-linien die Bedingung gegenseitig parallelen, bezw. senkrechten Verlaufs aufstellen: „Parallelmethode“ (s. S. 112). In diesem Fall folgt die mittels der Polygonalmethode, oder durch Triangulierung (s. Kapitel 11 und 12) zu schaffende Grundlage für dieses Netz von Aufnahmelinien sowohl sachlich als zeitlich der Anlage der letzteren. Auch das Stückvermessungsverfahren im einzelnen zeigt die ausgedehnteste Anwendung der Koordinatenmethode.

Jn eng bebautem Gebiet (Städten) wird je nach der verlangten Genauigkeit und den zur Verfügung stehenden Geldmitteln ein enges Netz von Stützpunkten durch Triangulierung (s. Kapitel 11) oder nach der Polygonalmethode (s. Kapitel 12) geschaffen, als Grundlage für die einzubindenden (als Koordinatenachsen für das Detail dienenden) Aufnahmelinien, oder, (in Lichthöfen etc.), für die Aufnahme durch Polarkoordinaten.

Feldbuch.

Feldaufzeichnungen: Welche Aufnahmemethode auch verwendet werden möge, in allen Fällen werden die Ergebnisse der Stückvermessung (Masszahlen, Aufnahmelinien, Grenzlinien und -Punkte, Angabe der Kulturen, Namen der Eigentümer, topographische Einzelheiten, Datum der Aufnahme, anwesende Urkundspersonen etc.) im Feldbuch eingetragen. Eine der Wirklichkeit möglichst ähnliche, deutliche Skizze wird erzielt, wenn man die Länge jedes Lotfusspunkts und die Länge jeder Ordinate, d. h. jeden auf-genommenen Punkt massstäblich erst einzeichnet, wenn die betreffende Strecke gemessen ist und deren Masszahl eingeschrieben werden soll. Die Skizze entsteht dann durch entsprechende Verbindung der aufgenommenen Punkte und hält gleichen Schritt mit dem Fortschreiten der Aufnahme selbst. Bei grösseren Grundstücken empfiehlt sich für das Feldbuch der Massstab 1 mm = 1 m, für Ortsaufnahmen etwa der Massstab 3 mm = 1 m. Der Masseinschrieb erfolgt bei durchlaufender Messung immer senkrecht zur Messungsrichtung am Endpunkt des betreffenden Abschnitts auf der entgegengesetzten Seite der Abzweigerichtung und zwar so, dass die Schreib- und Leserichtung gleichzeitig die Messungsrichtung angibt.

Nur die Ordinaten werden, auch wenn dies in einzelnen Fällen nicht zutreffen sollte, zweckmässig so eingeschrieben, als ob sie von der Achse ausgehend gemessen worden wären. Bei Einzelmessung (z. B. Bindemass zwischen zwei durch Koordinaten auf-

genommenen Punkten), bei welcher nur die gegenseitige Entfernung der beiden Endpunkte einer Strecke abgelesen wurde, wird das Mass parallel zur Messungsrichtung in die Mitte der Strecke geschrieben. Die Übersichtlichkeit des Masseinschriebs wird gefördert, wenn Masse, welche nicht dem System der Aufnahmelinien angehören (durchlaufende Bindemasse und Kopfmasse) überstrichen werden und zwar das Endmass doppelt. Masse für die Abzweigung untergeordneter Aufnahmelinien von solchen höherer Ordnung werden einfach, Endmasse der Aufnahmelinien doppelt unterstrichen. Ordinaten werden durch ausgezogene, Fluchtlinien (Dichtungen) durch punktierte Linien, die betreffenden Fusspunkte durch ein Kreuz bezw. einen Pfeil bezeichnet.

Auswahl der Stüekver-

Rücksicht auf den Zweck.

Ist die Aufgabe mit der Gewinnung eines Planes erledigt, so kann man auf die Anwendung irgend einer der vorbeschriebenen Stückvermessungsmethoden verzichten und sich des Messtischverfahrens, oder, falls die damit erreichbare Genauigkeit genügt, der Tachymetrie (s. Teil II) bedienen.

Soll dagegen die Aufnahme dazu dienen, Flächengrössen, oder die Lage von Grenzlinien derart festzulegen, dass Veränderungen, welche innerhalb enger, oder weiter begrenzter Zeiträume daran vor sich gehen, jederzeit innerhalb der bei der Uraufnahme erzielten Genauigkeit nachgewiesen werden können, so ist die Anwendung einer Aufnahmemethode nötig, welche die Wiederherstellung der Lage jedes aufgenommenen Punktes auf einfachste Weise ermöglicht* Hier empfiehlt sich eine auf ein Polygon- oder Dreiecksnetz sich auf bauende Kombination von Koordinaten- und Einbindemethode. Für die Lage der Aufnahmelinien, die nötige Messungsgenauigkeit und die Art der Versicherung (Vermarkung) der Messungs- und Grenzpunkte ist der Zweck und die Geltungsdauer der Aufnahme massgebend. Es ist deshalb zu unterscheiden zwischen Aufnahmen, welche zur Projektierung von Bauwesen, zu deren Absteckung auf dem Gelände und zur Abrechnung des Grunderwerbs und der Bauarbeiten dienen und welche nach erfolgter Fertigstellung des Baues und der Abrechnung bedeutungslos werden „Aufnahme für Bauzwecke“ und zwischen Aufnahmen, welche zur Feststellung und Sicherung des Eigentums an Grund und Boden dienen und dauernden Wert haben sollen „Katasteraufnahmen“.

Für die Durchführung von Aufnahmen zu Bauzwecken bestehen zumeist keine behördlichen Vorschriften. Zweckmässigerweise werden die Aufnahmelinien so gelegt, dass durch ihre Benützung während der Bauzeit die Bauarbeiten einerseits möglichst wenig gestört werden, dass sie aber andererseits dem Bauobjekt

möglichst benachbart verlaufen (Paralle zu den Achsen) und während des Baues leicht absteckbar sind.

Die Hauptpunkte des Liniennetzes werden derart versichert, dass sie bis zur Beendigung des Baues jederzeit leicht

Fig. 83.

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und unzweideutig wieder aufzufinden und gegen unabsichtliche Beschädigung durch Fuhrwerk etc. nach Lage und Höhe geschützt sind (Oberflächenversicherung mittels eichener Pflöcke und Lattendreiecke, s. Fig. 83). Gegen böswillige Beschädigung schützen verdeckt gehaltene, mit den Hauptpunkten durch Messung verbundene, in genügender Entfernung von ersteren unter die Ackerkrume herabgetriebene Pflöcke.

Die notwendige Messungsgenauigkeit ist, wenn die Lage des Bauobjekts feststeht, grösser in nächster Nähe des letzteren, geringer in solcher Entfernung davon, dass die Aufnahme nurmehr den Zwecken der Übersicht und der etwa nötig werdenden Neuregelung von Rechtsverhältnissen (Fahrlasten etc.) dient.

Jede solche Bauaufnahme, welche alles für das auszuführende Bauobjekt Wichtige — Eigentumsgrenzen, Bäume, Zäune, Brunnen, Quellen, vorhandene Bauten etc. — umfasst, bildet ein für sich bestehendes Werk, das nicht notwendig einer in der Nachbarschaft ausgeführten anderen Vermessung organisch sich eingliedern muss.

Feststellung

Die Aufnahmen für Katasterzwecke zerfallen in „Neuauf-nahmen“ — Feststellung und Vermessung der zurZeit der Aufnahme vorhandenen Grundstücksbegrenzung und Bodenkultur zum Zweck der Anlegung von Grundstücksplänen und Grundsteuer oder Eigentums-katastern — und in „Fortführungsaufnahmen“ der infolge Kaufs, Tauschs, Neubaues etc. im Lauf der Jahre vor sich gegangenen Änderungen am ursprünglichen Bestand nach Tatsache und Ausdehnung und Nachtrag derselben im Vermessungswerk. —

In Verbindung mit den Katastermessungen werden zumeist Bedürfnisse der Topographie und Landeskunde befriedigt durch gleichzeitige Aufnahme topographischer Einzelheiten (Brücken- und Wehrbauten etc.).

Gegenüber den Vermessungen für Bauzwecke weisen die Katastermessungen namentlich folgende Unterscheidungsmerkmale auf:

1.    Die Ergebnisse der Katastermessungen haben eine nicht nur nach einzelnen Jahren zu bemessende, sondern unabsehbar lange Dauer. Danach richtet sich sowohl die Art der Vermarkung der Grenz- und Messungspunkte, als auch die Wahl der auch nach Jahrzehnten immer wieder zu benützenden Messungslinien. Für letztere ist mitbestimmend die anzuwendende Aufnahmemethode. Ist letztere je nach den Gelände-und Grundeigentumsverhältnissen, und dem vorangestellten Zweck (zum Teil auch nach der zufälligen Auffassung der leitenden Behörde) etc. für ein Land einmal gewählt, so ist eine Änderung später nur mit erheblichem Kostenaufwand durchführbar.

Möglichster Unveränderlichkeit und Dauer der Messungspunkte und dauernder Absteckungsmöglichkeit der Messungslinien gebührt bei Katasteraufnahmen grössere Rücksichtnahme, als der Forderung ihrer leichten Auffmdbarkeit während einer beschränkten Zeitspanne. Die Grenzvermarkung erfordert besondere organisatorische Massnahmen.

2.    Katastervermessungen umfassen ganze Provinzen oder Staatsgebiete. Jede Einzelvermessung, auch wenn sie sich über ein verhältnismässig grosses Gebiet erstreckt, ist daher nur ein Baustein in dem Vermessungswerk des Landes, nichts Unabhängiges für sich. Eine gewisse Gleichartigkeit der in verschiedenen Landesteilen von verschiedenen Personen zu verschiedenen Zeiten bearbeiteten Aufnahmen ist daher unumgänglich und durch ins Einzelne gehende Vorschriften, sowie durch behördliche Aufsicht zu gewährleisten. Die nötige Instandhaltung des Vermessungswerks bezüglich der im Lauf der Jahrzehnte vor sich gehenden Änderungen des ursprünglichen Zustandes verlangt besondere Rücksichtnahme.

3.    Die nötige Genauigkeit der Arbeiten ist (je zum mindesten bezüglich der Gebiete von gleichen Bodenwerten) eine über das ganze Land gleichmässige, von dem Bedürfnis und den zur Verfügung stehenden Mitteln abhängige.

Ursprünglich nur dem Bedürfnis einer gerechten Verteilung

der Grundsteuer entsprungen, sind die Katastermessungen in über lOOjähriger stetiger Entwicklung zu den wesentlichsten Grundlagen für die Feststellung des Eigentumsrechts an Grund und Boden, für den Realkredit und den Verkehr mit Grund und Boden, also volkswirtschaftlich von grösster Bedeutung geworden. Den höheren Zwecken mussten sich naturgemäss auch die Anforderungen an Genauigkeit und Zuverlässigkeit der Vermessungswerke und die Aufnahmemethoden anpassen.

Überall da, wo die ursprüngliche Vermessung weder die heute nötige Zuverlässigkeit, noch Vervollkommnungsfähigkeit besass, oder wo die Art des Nachtrags der im Lauf der Jahre eintretenden Veränderungen die Entstehung von Widersprüchen im Vermessungswerk begünstigte, wurde und wird die wiederholte Neuaufnahme zum unabweisbaren Bedürfnis.

Katasterneumessung.

Gegenstand der Katasterneumessung sind sämtliche Grundstücke nach ihren Eigentums-, Kultur-, sowie ihren öffentlichen und privaten Rechtsverhältnissen. Für Zwecke der Landeskunde treten sodann alle topographisch wichtigen Gegenstände (Felswände, Raine, Quellen, Brücken, Wehre etc.) hinzu.

V ermarkung.

Die wichtigste Vorbereitung der Stückvermessung bildet die Vermarkung sämtlicher Eigentumsgrenzen zumeist mit ca. 50 cm langen vierkantig zugerichteten Natur-, oder mit Kunststeinen von entsprechender Form und zwar bei Kleinbesitz derart, dass je eine möglichst grosse Zahl von Mittelmarken auf eine die Grundstücksgrenzen quer schneidende Gerade „Steinlinie“ zu stehen kommt. Letztere spielt hernach die Rolle einer Aufnahmelinie.

Die Haupt- oder Netzpunkte der Aufnahmelinien werden gleichfalls, und zwar im Interesse möglichster Unveränderlichkeit, wo es nötig erscheint, unter der Ackerkrume, vermarkt. Hiefür werden die verschiedensten Hilfsmittel — Drainröhren (zum Schutz gegen Beschädigung durch die Grabwerkzeuge beim Aufsuchen mit einer Steinplatte bedeckt); 30 cm lange Hohlziegel mit quadratischem Querschnitt von 10 cm Seite- und runder, 5—6 cm weiter Längshöhlung; metallene Röhrenstücke; mit Loch zur Aufnahme des Stabs versehene Marksteine; in Betonklötze eingebettete, und (zur leichten Auffindbarkeit, sowie zur Fortsetzung der Strassenoberfläche) von gusseisernen, oben abgedeckten Schutzgehäusen umschlossene Metallröhren, im Eisenbahnkörper einbetonierte, vertikal gestellte, mit einem geformten Ende, oder (zur scharfen Punktbestimmung) oben eingehauenem Kreuz über die Bodenoberfläche hervorragende Stücke von Eisenbahnschienen etc. — verwendet.

Stückvermessungsmethoden.

Nach dem vorhergehenden lassen sich Katastervermessungen nur in der Umgrenzung der einzelnen Staaten näher betrachten. Dabei seien die verschiedenen, in allen deutschen Staaten schon vom 16. Jahrhundert, in Frankreich vom Ende des 18. Jahrhunderts ab begonnenen, tastenden Versuche zur Erlangung eines Vermessungs-

Werkes über sämtliche Grundstücke im nachfolgenden übergangen und es seien nur diejenigen geodätischen Arbeiten (und zwar, da für Wald- und Grossgrundbesitz das Messtisch-, oder das Polygonalverfahren allein in Betracht kommt, in der Hauptsache unter Beschränkung auf die im Gemenge liegenden landwirtschaftlich benützten Flächen) kurz berührt, deren Ergebnisse in unsere Zeit hereinragen und teilweise heute noch grundlegend sind.

Während der ersten Entwicklungsperiode der Kataster- (Steuer-) Vermessungen schien die vermessungstechnische Aufgabe mit der Gewinnung des Flächenmasses für jedes einzelne Grundstück erschöpft. Da sich diese Flächenmasse für Steuerzwecke genügend genau aus einem Plan ermitteln Hessen, so beschränkten sich die Feldaufnahmen auf die Gewinnung eines solchen Plans und es ergab sich dadurch von selbst die Anwendung des am billigsten zum Ziel führenden „MesstischVerfahrens“ zum Teil in Verbindung mit derjenigen des Reichenbachschen Distanzmessers (s. Teil II).

Die Katastervermessung des Königreichs Bayern (1808 bis 1853), welche sich die kurz zuvor begonnene französische zum Vorbild nahm, und von 1817 an diejenige der Länder der österreichungarischen Krone (in neuerer Zeit noch von Bosnien und der Herzegowina) waren Messtischaufnahmen. In Bayern wurde dabei die Lage der topographisch wichtigen Gegenstände und der Verlauf sämtlicher Eigentums- und Kulturgrenzen auf quadratisch begrenzten Plänen von je 8000 Fuss Seitenlänge im Massstal) 1 :5000 zur Darstellung gebracht.

Dem Vorbild Bayerns folgte Württemberg (1818—1840). Da jedoch der sehr zersplitterte Grundbesitz hier eine schärfere Flächenbestimmung nahelegte und die Vermessungsbehörde, um eine solche zu erzielen, die Höhe des dem Aufnahmegeometer zu vergütenden Akkordsatzes u. a. von der Zahl der aus unmittelbar gemessenen Strecken berechenbaren Grundstücke abhängig machte, verlor der Messtisch seine Bedeutung für die eigentliche Stückvermessung. Er diente vielmehr nur noch dazu, die verschiedenen Aufnahmelinien auf den Plan zu bringen.

Die auf dem Gelände erhobenen Streckenmasse und das sie enthaltende Feldbuch („ Brouillon “) erhielten gesteigerte Bedeutung. Letzteres stellt auf dem Feld mit dem Fortschreiten der Aufnahme entstehende, in Heftform zusammengefasste Skizzen dar, welche sämtliche erhobenen Masszahlen für den Verlauf der Eigentums- und Kulturgrenzen je innerhalb einer quadratischen Fläche (Messtischblatt) von 4000 Fuss Seitenlänge (Absteckung der Blattgrenzen s. § 93) enthalten. Über die ganze geradlinige Erstreckung jeder Aufnahme-

linie wurde durchlaufend fortgemessen. Da sodann die Flächenberechnung sich am ehesten rein aus unmittelbar gemessenen Strecken dann ermöglichen liesse, wenn die Koordinatenmethode der Aufnahme zu Grund gelegt wurde, und da jedes neue Koordinatensystem weitere schwerfällige Messtischanwendung und weitere doppelte Aufnahme von Grenzpunkten bedingte, so lag es nahe, die einmal irgendwie gewählte und abgesteckte Koordinatenachse durch Parallelen und Senkrechte, ein Parallelsystem, über möglichst grosse Flächen, nämlich so lange fortzusetzen, als überhaupt Grundstücksrichtung, Bodenanbau und Bodenform dies zuliess. Dies um so mehr, als die durch eine besondere Gemeindebehörde (Untergangsgericht) bewirkte Grenzvermarkung zwar im Lauf der Jahre eine durchgreifende und durch Unterlegung unverweslicher Geheimzeichen (Zeugen) gesicherte wurde, aber der Leitung durch den Vermessungstechniker und deshalb der Anordnung in „Steinlinien“ ermangelte. Denn es entfiel damit der anderwärts zwingende Grund zur Durchmessung gerade dieser, für jedes einzelne Gewende passend gelegten Steinlinien. Die „Parallelmethode“, eine Eigentümlichkeit der württembergi-schen Stückvermessung war entstanden!

Pavallel-

metliode.

Während der ungefähr 80 Jahre ihrer Anwendung auf dem engen Gebiet eines deutschen Mittelstaats hat sie nur verhältnismässig geringe, vielfach auf das Formale sich beschränkende Weiterbildung erfahren. Materiell von Bedeutung ist in dieser Beziehung die Ersetzung des Messtischanschlusses der verschiedenen Systeme von Aufnahmelinien aneinander und an das Landesdreiecksnetz durch polygonometrische, bezw. trigonometrische Bestimmungen (s. Kap. 11 und 12), in Beziehung auf die Stückvermessung speziell aber namentlich, dass überall da, wo eine Neuvermarkung nach „Steinlinien“ erfolgt, die letzteren selbstverständlich durchgemessen werden, auch wenn sie, entgegen dem erstrebten Zustand, mit der Koordinatenrichtung nicht zur Übereinstimmung gebracht werden können. Damit entstand eine Gruppe weiterer, ursprünglich nicht vorhandener, dem Aufnahmesystem nicht angehöriger Messungslinien. Auch sonst hat sich die Zahl der Kontrollmasse, zu den eigentlichen Aufnahmemassen hinzutretend, in teilweise unnötiger und unwirtschaftlicher Weise gesteigert, so dass die heutige Parallel- im Vergleich zu allen anderen Stückvermessungsmethoden das umfangreichste Zahlenmaterial beansprucht. In einer Beziehung bewegte sich die Weiterbildung in der Richtung gegen die Einbindemethode: es werden die Schnitte der Aufnahmelinien mit den Grundstücksgrenzen, die „Abgänge“ und „Richtungen“ abgelesen. Ja die Mittelmarken pflegen unter Wegfall von Koordinaten sogar ganz mittels der Einbindemethode aufgenommen zu werden, s. Fig. 84.

Als Vorzüge der „Parallelmethode“ sind anzuführen:

Vorzüge der Parallelmethode.

1.    Die Möglichkeit widerspruchsfreier Strecken-, Winkel- und Flächenberechnung ohne Zuhilfenahme eines Plans;

2.    die Möglichkeit der Aufzeichnung jedes aufgenommenen Grundstücks für sich allein, ohne Verwendung eines ausgedehnten Netzes von Konstruktionslinien;

Fig. 84.

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4.

3. die erleichterte iederlierstellnng etwa verloren gegangener Markpunkte auf dem Feld infolge der grossen räumlichen Ausdehnung jedes Koordinatensystems und, damit zusammenhängend der grossen Zahl von auf dasselbe bezogenen Mark- etc. -Punkten;

die leichte rechnerische gegenseitige Kontrolle alleifgemessenen Strecken, und 5. die Möglichkeit der selbständigen Konstruktion! des Stückvermessungsnetzes unabhängig vom Polygonnetz.

Weitbrecht, Vermessungskunde.

Diesen Vorzügen stehen aber folgende Nachteile gegenüber:

Nachteile der Parallel-methode.

1.    Die schwerfällige, zeitraubende, daher kostspielige Absteckung und Durchmessung der langen zueinander parallelen oder senkrechten Aufnahnie-linien namentlich in wechselndem oder angebautem Gelände, über Zäune, Hecken, Mauern etc. hinweg, bei der Unmöglichkeit, ihre Lage dem Geländezustand anzupassen;

2.    die dadurch (gegenüber der bei anderen Aufnahmemethoden möglichen Verlegung der Messungslinien auf dazu geeignete Stellen) verursachte Genauigkeitseinbusse;

3.    die Notwendigkeit, bei Wiederherstellung der Aufnahmelinien und Einschaltung auch kleiner Flächenaufnahmen oft viele andere Grundstücke betreten und durchmessen zu müssen (Kulturzustand!);

4.    die bei unregelmässigen Figuren oft unvermeidliche Anwendung langer Lote;

5.    die Ungleichwertigkeit der Masskontrolle (an einzelnen Stellen, namentlich an den Köpfen der Grundstücke kann eine (bis zu) vierfache Kontrolle, im Innern der Gewände, wenn Steinlinien fehlen, oder mit der Aufnahmelinie zusammenfallen ein Mangel jeglicher Messungskontrolle sich einstellen);

6.    die Ungleichartigkeit der Aufnahme im Innern Einbindemethode — welche bei der Flächenberechnung für je zwei Nachbargrundstücke die Einführung desselben Flächenstücks, das eine Mal positiv, das andere Mal negativ bedingt, so dass etwaige in ihm begangene Rechenfehler verdeckt werden;

7.    die grosse Leichtigkeit, mit der sich Kontrollmasse statt durch Messung durch Rechnung erlangen lassen (unzuverlässiges Personal!);

8.    der Umstand, dass zur Flächenbestimmung im allgemeinen andere (die Koordinaten-) Masse dienen, als zur etwaigen Grenzwiederherstellung (Kopf-und Steinlinienmasse), wodurch sich Widersprüche ergeben können;

9.    die Unmöglichkeit, die Methode überall, z. B. auch im Baugelände, also da anwenden zu können, wo gerade eine genaue Flächenbestimmung besonders erwünscht ist.

am Umfang Koordinatenmethode,

Diese schwerwiegenden Nachteile machen es erklärlich, dass ausser dem früheren Fürstentum Hohenzollern-Hechingen, (dessen Aufnahme durch württembergisches Personal erfolgte), bisher kein zweites Land die Parallelmethode seiner Stückvermessung zugrunde legte.

Hessen-

Nassau.

Ähnlich isoliert in bezug auf die Methode der Stückvermessung ist, wenigstens was die Aufnahme der konsolidierten (auf dem Wege der Flurbereinigung neueingeteilten) Feldgrundstücke betrifft, das frühere Herzogtum Nassau. Durch die Verordnung vom 12. September

1829    in Verbindung mit der Vollzugsinstruktion vom 2. Januar

1830    wurde die Vermarkung der Grundstücksgrenzen und deren Instandhaltung mustergültig geregelt. Durch die Vorschrift aber, dass innerhalb jeder Gewann die Steinlinien einander in passenden Abständen parallel sein sollen, leistet die Vermarkung schon einen Teil der Stückvermessung und zwingt diese zur gewannweisen Behandlung. Die Absicht, etwaige spätere Grenzwiederherstellungen ohne Zuhilfenahme von Winkelinstrumenten zu ermöglichen, beschränkt die Stückvermessung weiterhin nach erfolgter Messtisch-,

bezw. (seit 1862) Polygonalaufnahme der Gewanngrenzen auf die Einbindung der Steinlinien in diese und die Erhebung der einzelnen Grundstücksbreiten von Grenzstein zu Grenzstein. Auf eigentümliche Weise und entsprechend sowohl der oben angegebenen Absicht, als dem Bedürfnis der ausgewählten Flächenberechnungsmethode erfolgte die Aufnahme der Bruchpunkte der quer zur Grundstücksrichtung verlaufenden Gewannen- und Weggrenzen. Durch Probieren wurde für jeden derselben eine Parallele zu einer der beiden, den Punkt zwischen sich schliessenden Grundstückslängsgrenzen abgesteckt, und sodann ihr Abstand b₀, ..., b₄ von jener Grundstücks-grenze auf der Steinlinie, sowie ihre Länge 1₀, h... vom aufzunehmenden Bruchpunkt bis zur nächst benachbarten Steinlinie gemessen (s. Fig. 138).

Diese Gewann- und Wegbruchpunkte sind also unabhängig doppelt aufgenommen, das eine Mal bei der Aufnahme der Gewanngrenzen vom Polygonnetz aus, das andere Mal mit der gewannweisen Parzellenvermessung von der Steinlinie aus. Dadurch wird nicht nur eine Mehrarbeit bedingt, sondern es werden auch Widersprüche in das Vermessungswerk hineingetragen.

Gross-

herzogtum

Hessen.

Das GrosslierzogtumHessenleitete seine Landesvermessung durch das Gesetz vom 13. April 1824 ein. Die Stückvermessung gründet sich auf die Gesetze vom 23. Oktober 1830 und vom 11. Januar 1831. Da die Staatsverwaltung für ihre Steuerzwecke sich auf die Aufnahme und Vermarkung der Gemarkungs- und Flurbegrenzung (Flächenstücke von je 50—75 ha, auf deren aus Koordinaten ermittelten Inhalt die Flächen der Einzelgrundstücke abgeglichen werden) beschränkte und den Gemeinden die spätere Vermarkung und Einmessung der einzelnen Grundstücksgrenzen anheim stellte, so ergab sich für die Aufnahme der ersteren die gemarkungsweise angewandte Polygonalmethode und die Schaffung eines engen Netzes von Polygonpunkten von selbst. Die in Bayern, Österreich und Württemberg eingeführte Verwendung künstlicher Grenzen für die einzelnen Vermessungsgebiete (Kartenblätter) fällt weg. Einer straffen Organisation des Vermarkungswesens entsprang sodann die einheitliche Grenzvermarkung in Steinlinien, die hernach als Aufnahmelinien durchgemessen, und — als einzige geometrische Konstruktion — in die bereits festgelegten Flur-, oder in noch weiter polygonometrisch bestimmte Abteilungs- und Gewanngrenzen „eingebunden“ wurden. Die Messung rechtwinkliger Koordinaten fällt in der Hauptsache weg.

Durchgreifende Messungsprobe ergibt die Vergleichung der zusammenhängend gemessenen Entfernung beider Einbindepunkte jeder Linie mit der Summe der hernach abgesetzt gemessenen Grundstücksbreiten.

Die Feldaufzeichnung der Grenzen und Messungszahlen (letztere abgesetzt, als Einzelbreiten gemessen) erfolgt in Handrissblättern, deren jedes möglichst abgerundete Gewanne darstellt.

Der Katasteraufnahme im Grossherzogtum Hessen eigen ist demnach ein durch Flur-, Abteilungs- und Gewanngrenzen ausserordentlich enges Netz von Polygonpunkten, und dementsprechend eine sehr einfache, bei dauerhafter Vermarkung billige und gute, fast ausschliesslich auf die Einbindemethode sich gründende Stückvermessung. Die Wiederherstellung einzelner verloren gegangener Grundstücksgrenzen ist die denkbar einfachste und sicherste. Als Nachteil ergibt sich die der Polygonalmethode anhaftende Erschwerung der sicheren Wiederherstellung verloren gegangener, nicht den Steinlinien ange-höriger Grenzmarken im Fall des Verlustes auch der Polygonpunkte (ungünstige Fehlerfortpflanzung) und der Gewinnung von Winkel-, Strecken- und Flächengrössen direkt aus den Messungszahlen.

Gross-

herzogtum

Baden.

Im Grossherzogtum Baden wird die Katasteraufnahme auf Grund des Gesetzes vom 26. März 1852 durchgeführt. Sie folgt in bezug auf die Stückvermessungsmethode und die gemar-kungs- bezw. gewannweise Abgrenzung der Kartenblätter dem hessischen Vorbild. Wie dieses gründet sie sich auf ein enges Netz polygonometrisch festgelegter Punkte und auf eine straff organisierte, der Vermessung vorangehende Vermarkung in Steinlinien, hat aber mit ihm die scharfe, auch auf die Kostentragung sich erstreckende Trennung in verschiedene Perioden — Aufnahme der Flur-, Abteilungs- und Gewann-, und endlich der Grundstücksgrenzen — nicht gemein. Die gegenseitige Lage der Haupteckpunkte der Gemarkungs- und Gewanngrenzen und nötigenfalls weiterer Punkte wird mit Hilfe der Polygonalmethode (unter ausgedehnter Anwendung von Schnittpunkten) festgelegt. Auf die Polygonseiten als Abszissenachsen werden die übrigen Gewann- und Wegecken mittels rechtwinkliger Koordinaten bezogen (wobei jedoch, um scharfes Absetzen der Lote entbehrlich zu machen, den Kopf- und Bindemassen neben ihrer Bedeutung als Sicherung gegen grobe Messungsfehler in den Abszissenmassen die Aufgabe zukommt, letztere für die Zeichnung und etwaige spätere Wiederherstellung verloren gegangener Punkte zu ersetzen).

Die Gewanngrenzen bilden die Grundlage für die spezielle Stiick-vermessung, welche die Steinlinien auf sie, ähnlich wie in Hessen, einbindet, aber auch die gelegentliche Anwendung der Koordinatenmethode bei Schlussparzellen (Ordinaten nicht über 30 m in der Ebene, 15 m im Gebirge) und des Bogenschnitts (Entfernung von zwei bereits festgelegten Punkten) nicht verschmäht. Die Grund-

Fig. 85.

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stücksbreiten werden abgesetzt gemessen. Zur Kontrolle erfolgt, wie in Hessen, die Messung der Gesamtstrecke von Einbindepunkt zu Einbindepunkt. Die Feldaufnahme wird in Handrissblättern (57 cm auf 45 cm), welche möglichst volle Gewannen enthalten, skizzenhaft eingetragen und zwar, jedes Mass in Einheiten von cm (also ohne Komma) senkrecht zur Strecke in deren Mitte. Die zur Kontrolle gemessenen Gesamtstrecken werden eingeklammert (s. Fig. 85).

Die Vorzüge und Nachteile der in Baden angewandten Stückvermessungsmethode entsprechen in der Hauptsache den für Hessen angegebenen. Bedenklich in bezug auf Genauigkeitsverlust erscheint die Einbindung der Aufnahme-(Stein-)linien auf irgendwelche, z. B. durch Ordinaten festgelegte Gewanngrenzen. Durchbindung auf die Hauptlinien (s. z. B. Elsass-Lothringen) wäre sicherer.

Mit geringen Modifikationen wurde die badische Aufnahmemethode auch nach verschiedenen schweizerischen Kantonen (Bern u. a) übertragen, wo sich das engmaschige Polygonnetz sowohl hinsichtlich seiner Anwendbarkeit im Gebirge, als auch in Rücksicht auf die mögliche gleichzeitige Höhenaufnahme durch Messung der Höhenwinkel für jede Polygonseite bewährte.

Königreich

Preussen.

Die erste Entwicklung der Kataster-(Steuer-)vermessung im Königreich Preussen lässt sich kaum unter einheitlichem Gesichtspunkt betrachten. Jeder Verwaltungszweig und jede Verwaltungsstelle befriedigten ihre vermessungstechnischen Bedürfnisse nach eigenem Ermessen. Dazu hatte fast jeder, der im Laufe des 19. Jahrhunderts nach und nach zu Preussen gekommenen Gebietsteile, als vormaliger Teil eines anderen selbständigen Staats ein den Einrichtungen des letzteren angepasstes Vermessungswerk bereits erhalten, oder die Schaffung eines solchen war wenigstens schon in Angriff genommen. So mussten die Grundsteuergesetze vom 21. Mai 1861, welche später auf die in den 1860er Jahren neu hinzugetretenen Provinzen ausgedehnt wurden, sich darauf beschränken, die vorhandenen, sehr ungleichartigen Messungsergebnisse notdürftig zu ergänzen und einheitlich zusammenzufassen.

Durch Anweisung vom 7. Mai 1868 wurde die Behandlung der Neumessungen wenigstens für die letztgenannten Gebiete soweit als möglich einheitlich geregelt. Die Grundlage liiefür bildeten hauptsächlich die Erfahrungen, welche bei den Katasteraufnahmen in der Rheinprovinz und Westfalen gewonnen worden waren:

Erste Ent-    Unter französischem Regiment, bezw. Einfluss, war schon mit

Periode.' Beginn des 19. Jahrhunderts die Katastervermessung der Rheinlande in Angriff genommen worden, und zwar in der Hauptsache unter Benützung des Messtischverfahrens, aber mit natürlicher

Begrenzung der einzelnen Blätter. Nach dem Übergang an Preussen (1815—1819) wurden am 11. Februar bezw. 22. März 1822 neue Instruktionen für das fernerhin anzuwendende Messungsverfahren erlassen. Die erweiternden Bestimmungen vom 25. August 1857 bezweckten sodann namentlich eine bessere Regelung der, allerdings durch die Grundeigentümer selbst aber von jetzt an in Steinlinien, auszuführenden Grenzvermarkung. Sie beschränkten die fernere Anwendung der Bussole und des Messtisches (s. Teil II) und verlangten in Tinte auf dem Feld geführte, je natürlich begrenzte Fluren umfassende Feldhandrisse. Der erste, vorbereitende Riss, „Vorriss“ hatte dabei Aufschluss zu geben über den Grenzverlauf unter gleichzeitiger Numerierung aller Grenzbruchpunkte. Der „Stückvermessungsriss“ (Format 26 auf 19 preuss. Zoll) dagegen enthielt, (nötigenfalls in Verbindung mit Registern), sämtliche zur Plankonstruktion nötigen Strecken- und Winkelmasse, erstere in der Messungsrichtung und auf die ganze geradlinige Erstreckung fortlaufend eingetragen. Ein Netz von Dreiecken, anfänglich durch direkte Messung der Seitenlängen, dann durch Beobachtung der Dreieckswinkel in Verbindung mit einer in jeder Gemeinde zu messenden und genähert zu orientierenden Standlinie (Basis), später im Anschluss an ein gemeinsames Hauptdreiecksnetz, nach Grösse und Lage gegen die Himmelsrichtungen bestimmt, bildete die Grundlage. Die eigentliche Stückvermessung benützte nach eingetretener Zurückdrängung der Bussole und des Messtisches anfänglich entweder die Einbindemethode (wobei die ausgedehnten geometrischen Konstruktionen direkt auf die Dreiecksseiten aufzubauen waren), oder die Polygonalmethode unter Anschluss an die zuvor festgelegten Dreieckspunkte. Die hiebei nicht erfassten Grenzpunkte Avurden mittels rechtwinkliger Koordinaten von den Polygonseiten oder Einbindelinien aus, ausnahmsweise auch, unter Verwendung anderweitiger Kontrolle, durch Bogenschnitt eingemessen. Dabei hatte die Feldaufnahme möglichst die zur Flächenberechnung (s. Kapitel 7) nötigen Breitenmasse (in regelmässigen Feldlagen Steinlinienmasse) zu liefern.

Zweite Entwicklungsperiode.

Dritte Entwicklungsperiode.

Im Verlauf deiWeiterentwicklung tritt die Einbindemethode immer mehr in den Vordergrund. Die Steinlinien werden direkt in die Polygonseiten, bezAv. Konstruktionslinien eingebunden und durchgemessen. Ein weitmaschiges, an die Dreieckspunkte sich anschliessendes Polygonnetz bildet das Gerippe und dient gleichzeitig zur Aufnahme der Flurgrenzen (Grenzen der Kartenblätter), Avelche mittels Messung rechtwinkliger Koordinaten (ausnahmsweise durch Schieflinien, deren Endpunkte mit dem Polygonnetz auf gleiche Weise verbunden sind) auf die Polygonseiten bezogen werden. Die Aufnahme der unregelmässig

verlaufenden Eigentunisgrenzen im Innern dagegen stützt sich unter Ablesung der Grenzsclmitte und Verwendung rechtwinkliger Kleinkoordinaten auf einen geometrischen Aufbau gerader und zwischen je zwei Polygonseiten oder Konstruktionslinien vollständig durchzumessender Aufnahmelinien. Letztere bilden in ihrer Gesamtheit ein in sich und mit dem Polygonnetz direkt zusammenhängendes, vom Grossen zum Kleinen derart sich abstufendes Netz, dass die Hauptlinien Punkte der Polygonseiten „ Kleinpunkte “ geradlinig verbinden, und jede derart festgelegte Gerade selbst wieder Trägerin von Kleinpunkten ist, also in bezug auf die Linienfestlegung an Stelle der Polygonseite tritt.

Die auf Dreiecksmessung gestützte Polygonalmethode kommt also als grundlegende Operation zur Anwendung. Ihr gliedert sich, und zwar in grosser Ausdehnung, und mit langen Geraden die Einbindemethode systematisch ein, während die Koordinatenmethode nur zur Aufnahme untergeordneter Details Anwendung findet.

Auch für Messungsproben wird, was die Aufnahmelinien betrifft, gesorgt. Für jede Messungslinie, deren Lage nicht durch eine andere, in sie eingebundene, gesichert ist, und deren Einfallswinkel gegen ihre Stützlinie um nicht mehr als 20 ⁰ von der Senkrechten abweicht, muss ausser der Einbindung und der eigenen Länge noch ein versicherndes Mass erhoben werden. —

Die Anweisung vom 7. Mai 1868 überträgt das derart in den Rheinlanden zur Entwicklung gebrachte Verfahren auf alle Neumessungen des Staates. Nur in einzelnen Punkten (z. B. Versiche-rungsmass für die Einbindung einer Linie ist schon nötig, wenn der Einfallwinkel nicht um mehr als ¹/i R von der Senkrechten abweicht; Ordinaten von mehr als 40 m Länge sind bezüglich ihrer Richtung durch Hypotenusenmessung zu sichern; die Anwendung von Bussole und Messtisch ist im allgemeinen verboten etc.) sind Modifikationen nötig geworden. Auch die unterm 25. Oktober 1881 für das Verfahren bei Erneuerung der Karten etc. innerhalb der ganzen preussischen Monarchie mit Ausschluss Hohenzollerns erlassene Anweisung VIII stellt hinsichtlich der Stückvermessung lediglich ein weiteres Entwicklungsstadium der seit 1857 bewährten Vermessungsmethode vor:

Hienach sind auf Grund der vorhandenen Karten „Vorrisse“ (im Format 666 auf 500 mm) anzulegen, welche alle aufzunehmenden Grenzen und Grenzmarken, Grundstücksnummern, Besitzernamen. Kulturangaben etc., sowie die neue Blatteinteilung der Gemarkungskarte und das der Vermessung zugrund zu legende Dreiecks- und Polygonnetz enthalten.

Die Grenzvermarkung, und zwar in regelmässigen Feldlagen

in Steinlinien, durch Grenzsteine oder angekohlte, mit Querholz versehene Pfähle wird überall da angestrebt, wo nicht aufgeworfene Wälle bezw. Grenzhügel, oder Gräben, Hecken, Zäune sie entbehrlich erscheinen lassen und ihr Bestand durch die Feldbebauung nicht in Frage gestellt ist. Besonders bevorzugt ist die Vermarkung mit Hohlziegeln unterhalb der dem Feldbau unterworfenen Ackerkrume, oder wenigstens die Unterlegung unverweslicher Gegenstände unter die Marksteine.

Die Ergebnisse der Stückvermessung werden in „Stückvermessungsrisse“ (Format der „Vorrisse“) auf dem Feld in Tinte eingetragen (bei schlechten Witterungs- und Geländeverhältnissen ist die Verwendung eines Feldbuchs und der Aufschrieb mit hartem Bleistift zugelassen), und zwar derart, dass zunächst die Hauptlinien des trigonometrischen, polygonometrischen und Messungsliniennetzes annähernd massstäblich vorgezeichnet werden, so dass der übrige Eintrag während der Stückvermessung selbst mittels Massstablineals erfolgen kann. Jedes Blatt der „Gemarkungskarte“ füllt mehrere Stückvermessungsrisse aus und zwar erfolgt der gegenseitige Anschluss der Karten und der Risse durchweg nach natürlichen Grenzen. Der Zusammenhang wird durch entsprechende Begrenzungsschrift, sowie für jedes Kartenblatt durch einen „Liniennetzriss“ verdeutlicht, welcher das ganze hiefür in Betracht kommende trigonometrische undpolygonometrische, sowie das Netz der Messungslinien samt dessen Einbinde-, End- und Versicherungsmassen enthält.

Die Stückvermessung, welche alle Eigentums- und Kulturgrenzen, alle Grenzzeichen, Gebäudeflächen (Fundamentlinien, da wo sie zutage treten), Wasserläufe, Deiche, Hecken, Zäune, Mauern, Erdwälle, Steinhaufen etc., Nummernsteine an Strassen, Nivellementsfestpunkte (s. Teil II) der Landesaufnahme, Lochsteine der Bergverwaltung, alle topographisch wichtigen Gegenstände etc. umfasst, gründet sich auf ein Netz von, wo es angeht, mit Steinlinien zusammenfallenden Aufnahmelinien, für deren Lage ihre bequeme Messbarkeit, leichte Möglichkeit der Massbenützung für die Flächenberechnung und Erfassung der Aufnahmeobjekte durch kurze Ordinaten oder unmittelbare Schnitte bestimmend ist, und welche entsprechend der Instruktion von 1857 in das trigonometrische-, oder Polygonnetz eingebunden werden und ganz durchzumessen sind. Die Messung erfolgt grundsätzlich durchlaufend (nicht abgesetzt), der Eintrag der Masse senkrecht zur Messungslinie je zum Endpunkt. Die Endmasse jeder Strecke werden doppelt, die Einbindemasse einfach unterstrichen. Einzelmasse, (Kopfmasse etc.) werden parallel der betreffenden Strecke in ihre Mitte geschrieben.

Neu und sehr zweckmässig ist die Anordnung der Vermarkung der Kleinpunkte mittels gut durchgebrannter Drainröhren 30—50 cm unter der Bodenoberfläche. Sicherungsmessung für die Einbindung einer Messungslinie in eine solche höherer Ordnung wird verlangt, sobald der spitze Winkel zwischen beiden )> ²/s R ist, es wäre denn, dass im Einbindepunkt gleichzeitig weitere Linien abzweigten, oder Messungslinien niederer Ordnung an geeigneten Stellen in die zu sichernde Linie einbinden. Die zulässige Länge der Ordinaten zur Aufnahme von Grenzpunkten und die Aufnahme durch Bogenschnitt sind beschränkt. Auch für die Aufnahme der Grenzlinien sind, „soweit es irgend erreichbar“, Messungsproben vorgeschrieben. Namentlich sind die Schnitte der Messungs- mit den Grenzlinien oder ihren Verlängerungen (Abgänge) abzulesen, falls letztere nicht allzu lang sind. In regelmässigen Feldlagen sind die Grundstücksbreiten ausser in den Steinlinien auch in den Kopfgrenzen, jedoch abgesetzt, zu messen. Die Gebäudeecken sind durch die Schnittpunkte ihrer Fluchten (im allgemeinen die Fundamentlinien) mit den Messungslinien fest znlegen. Zur Probe werden die Dimensionen der Gebäude und ihre Abstände von benachbarten Gebäuden gemessen.

Die Bussole wird auf die Aufnahme von Forstwirtschaftsgrenzen etc. beschränkt. Ihre Anwendung zur Aufnahme von Eigentumsgrenzen ist, wie die Anwendung des Messtisches, untersagt.

Zusammen

fassung.

Das Wesentliche der vorbeschriebenen, auf preussischem Boden entstandenen Stückvermessungsmethode lässt sich kurz folgender-massen zusammenfassen: weitmaschiges Polygon-, und ausgedehntes, diesem in Abstufungen vom Grossen zum Kleinen direkt und geradlinig eingebundenes, im Gegensatz zur Parallelmethode von geometrischen Bedingungen freies und daher nur in Verbindung mit dem Polygonnetz konstruierbares Netz von Aufnahmelinien; Bevorzugung der Einbinde- vor der Koordinatenmethode auch für die Aufnahme der Einzelobjekte; durchgreifende Messungskontrolle für das Aufnahmeliniennetz; Messung der für halbgraphische Flächenberechnung (s. § 27) nötigen Breiten- und Kopfmasse.

mit

Diese Methode vereinigt — im Hinblick auf bequeme Wiederbestimmung etwa verloren gegangener Punkte (lange, und daher, abgesehen von der unterirdischen Vermarkung der Kleinpunkte, leicht wieder herstellbare Linien), und auf die (wenigstens halb-graphische) Flächenberechnung — die Vorzüge der württb. Parallel-, im Hinblick auf die Möglichkeit bequemer, und daher genauer Streckenmessung und leichter Anwendbarkeit auf jederlei Gelände, sowie auf die Unmöglichkeit, Messungsübereinstimmung durch unreelle Mittel zu erzielen — den Vorzügen der in Baden, Hessen etc.

angewandten Polygonalverfahren, vermeidet aber einen Teil der den beiden anhaftenden Nachteile.

Elsass-

Lothringen.

Ihr jüngstes Anwendungsgebiet bilden — abgesehen von neueren Städtevermessungen namentlich in Bayern — die Katasterneumessungen von Elsass-Lothringen auf Grund der^Anweisung vom 30. Januar 1889 und der zugehörigen Nachträge. Der dem

Fig. 86.

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deutschen Süden eigene zersplitterte Grundbesitz, m Verbindung mit der anlässlich der Vermessung lückenlos und systematisch in Steinlinien durchgeführten Vermarkung der Grundstücksgrenzen; das Bestreben endlich, das Vermessungswerk ohne erhebliche Kosten-Vermehrung zum beweiskräftigen Eigentumskataster auszubauen, bedingten hiebei eine Weiterentwicklung auch der Stückvermessungsmethode in Beziehung auf möglichste Genauigkeit und unbedingte Sicherheit gegen grobe Fehler.

Das Polygonnetz wird etwas engmaschiger, als in Preussen (entfernt aber nicht so engmaschig, wie in Hessen und Baden) angelegt. Endpunkte von Aufnahmelinien dürfen weder durch Bogenschnitt.

noch durch rechtwinklige Koordinaten in bezug auf andere Aufnahmelinien festgelegt werden — das Prinzip des geradlinigen, direkten Einbindens in das Polygonnetz wird streng durchgeführt (s. Liniennetzriss Fig. 86).

Fig. 87.

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Kein Mass, welches zur Bestimmung einer Aufnahmelinie, oder einer Eigentumsgrenze dient, gilt als richtig, wenn es nicht durch ein zweites geprüft wird. Um Kosten zu sparen, und im Hinblick auf die gute Grenzvermarkung wird auf die unterirdische Vermarkung der Kleinpunkte verzichtet, auch die sowohl für die Messungsais für die Flächenberechnungskontrolle zweckmässige Bestimmung wird verlassen, wonach in Gewannlagen die Grundstücksbreiten sowohl auf den Gewanngrenzen (Kopfmasse), als auch auf den in deren Nähe verlaufenden Steinlinien zu messen sind. Die zum Zweck der Messungskontrolle in Preussen (wie auch in Württemberg)

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verlangte Herstellung jedes rückwärts vermarkten Parzelleneckpunkts auf der Gewanngrenze, und die Verlängerung von Eigentum sgrenzen auf — in der Nachbarschaft vorüberziehende — Aufnahmelinien wird, ohne an Zuverlässigkeit der Aufnahme zu verlieren, dadurch erspart, dass jede Steinlinie vom Aufnahmegeometer zuerst durchlaufend, jede Grundstücksbreite (auf der Steinlinie, oder, wenn diese die Längsgrenzen sehr schief schneidet, die senkrechte Breite), nachträglich aber vom Revisionspersonal unabhängig abgesetzt gemessen wird. Senkrechte Breiten werden (z. B. für Schlussparzellen) da gemessen, wo die halbgraphische Flächenberechnung dies verlangt (s. Stück-vermessungsriss Fig. 87).

Stäcltever-

messiuig.

Städtevermessungen.

Das Wachsen des Bodenwerts, die Ausdehnung der baulichen, Verkehrs- und Wohlfahrtseinrichtungen in den Städten, die Ausarbeitung von Stadterweiterungs- und Bebauungsplänen (in Preussen z. B. veranlasst durch das Fluchtliniengesetz vom 2. Juli 1875) haben in den letzten Jahrzehnten die Ansprüche erheblich gesteigert, welche an das städtische Kartenmaterial sowohl in Beziehung auf die Ausdehnung der darzustellenden Objekte, als namentlich in Beziehung auf Genauigkeit und Zuverlässigkeit gestellt werden müssen. Überall da, wo das vorhandene Vermessungswerk den erhöhten Ansprüchen nicht genügt, müssen Neuaufnahmen durchgeführt werden. Das trifft namentlich zu für Bayern, wo die graphische Behandlung der Landesstückvermessung von Anfang an darauf hingedrängt hatte, das Vermessungswerk von Zeit zu Zeit auf einen neuen Boden zu stellen, aber auch für grössere Städte des übrigen Deutschland, namentlich Preussens.

Die Gleichzeitigkeit des Bedürfnisses; die überall gleichartig auftretenden Messungshindernisse (Verbauung, Verkehr etc.); die ungefähr gleichen Ansprüche bezüglich der Genauigkeit, der Ausdehnung der zu erfassenden Objekte, und der Fortführungsmöglich-keit; die Unmöglichkeit für einzelstaatliche Vermessungsbehörden, die neue, schwierige Aufgabe sofort durch eingehende lokale Vorschriften zu regeln, brachte es mit sich, dass bei der Städteaufnahme mehr als bei der Aufnahme landwirtschaftlich benützter Grundstücke eine gewisse Einheitlichkeit über ganz Deutschland sich herausbildete. Nur die Frage, ob als Grundlage der Stückvermessung das polygonometrisch bestimmte Netz zugunsten des genaueren, aber kostspieligeren trigonometrisch bestimmten mehr oder weniger zurücktreten soll, ist, weil hauptsächlich wirtschaftlicher Natur, in den einzelnen Städten verschieden beantwortet.

Die für die Stückvermessung passend gelegenen Festpunkte (£>1, <$2, <512, ^ 13, Fig. 88), deren geradlinige Verbindungsstrecken sich zu Hauptlinien der Stückvermessung eignen, werden daher je nach der wirtschaftlichen Lage der Städte und der Bedeutung, welche sie dem Vermessungswerk beilegen, vorwiegend

Fig. 88.

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auf trigonometrischem, oder polygonometrischem Weg auf das Koordinatennetz der Gesamtaufnahme bezogen.

Um die spätere Wiederherstellung der Linien zu erleichtern, werden diese Punkte, wenn immer möglich, auf Parallelen zu den Baulinien, oder so ausgewählt, dass die durch sie gehenden Hauptlinien nach entfernten, dauernd sichtbaren Punkten (Blitzableitern, Türmen, Gebäudeecken etc.) gerichtet sind. Die Markierung von für die Stück-

Vermessung nötigen Zwischenpunkten (auf Randsteinen etc.) erfolgt im Fall starken Strassenverkehrs in den frühen Morgenstunden. An Stelle der Absteckung tritt hernach in diesem Fall für die Stückvermessung die Abschnürung von Zwischenpunkt zu Zwischenpunkt. Lote auf diese Linien können nötigenfalls mittels Schiebdreiecks gewonnen werden. In Strassen, welche häufig aufgegraben werden müssen, in denen also die Vermarkung weder gegen den Verlust, noch gegen Verschiebungen der Messungspunkte durch einseitige Setzungen sichert, ist deren Rückversicherung nach festen Gebäudeteilen, oder an ihnen angebrachten Marken besonders wichtig. Die von dem Hauptnetz abzweigenden Messungslinien werden durch vorhandene Winkel, Höfe, Gärten, Scheuern, korrespondierende Fensteröffnungen etc. vom Grossen zum Kleinen abstufend unter Verwendung ebensolcher Richtpunkte (Fensterkreuze etc.) soweit möglich geradlinig durchgeführt und in das Hauptnetz eingebunden.

Ist die geradlinige Durchbindung der Messungslinien unmöglich (geschlossene Bauweise mit Innenhöfen etc.), so schafft man sich Festpunkte im Innern der Blöcke (polygonometrische Schnittpunkte, oder Herunterbringen von auf den Dächern trigonometrisch bestimmten Punkten, s. Kap. 12) und bewirkt von ihnen aus die Aufnahme mittels Polarkoordinaten. Gegen Widersprüche der verschiedenen benachbarten Kleinsysteme sucht man sich dann durch Messung von Bindemassen (Länge von Trennungsmauern etc.) zu schützen.

Sämtliche Schnitte mit Eigentumsgrenzen, oder Messungslinien (soweit sie nicht allzu spitz sind) werden eingewiesen und abgelesen, im übrigen kann die Stückvermessung unter Bevorzugung der Koordinatenmethode (bei Gebäuden namentlich dann, wenn deren Wände aus ihrer Lage gewichen sind), oder der Einbindemethode (kurze Verlängerungen!) erfolgen.

Fortfüh-rungsver-mes sangen. Zweck.

Die Fortführungsvermessungen

haben den Zweck, in dem durch die Neuaufnahme gewonnenen Vermessungswerk alle Änderungen nachzutragen, welche an der Begrenzung, oder der Kulturart etc. der aufgenommenen Gegenstände im Lauf der Jahre eintreten, d. h. in jedem Änderungsfall gewissermassen einen Teil des Urplans durch ein neues, genau in den vorherigen Rahmen passendes Stück zu ersetzen. Bei richtiger Anlage der Uraufnahme sichert eine entsprechende Organisation und Durchführung der Fortführungsvermessung der ersteren unbegrenzte Dauer. Beim Beginn der Katastervermessungen war man sich in den wenigsten Fällen auch nur über das Bedürfnis einer „Fortführung“ klar, viel weniger also über den dafür einzuschlagenden Weg. Teils glaubte man in der

Hauptsache mit Renovationsmessungen auskommen zu können, welche nach Yerfluss einer gewissen Zeitspanne sich über diejenigen Gebiete erstreckte, in denen zahlreiche Änderungen eingetreten waren (Rheinlande, Bayern etc.), teils beschränkte man sich auf die Fortführung des Flächenbeschriebs ohne gleichzeitige Ergänzung des Kartenwerks (das heutige Bedürfnis der Neumessung Frankreichs und Elsass-Lothringens ist eine Folge davon), teils erfolgte Aufnahme und Nachtrag der Veränderungen jeweils erst nach längeren Fristen (Schweiz etc.), oder mittels anderer, weniger zuverlässiger Messungsmethoden, als sie der Uraufnahme zugrunde lagen. Fast überall beschränkte man sich anfänglich darauf, mittels der erhobenen Masse die neuen, oder veränderten Objekte in den Katasterplan einzuzeichnen und hieraus entweder die Lageübereinstimmung der erfassten Eigentumsgrenzen mit dem früheren Zustand, oder die Tatsache und Ausdehnung etwa eingetretener Veränderungen festzustellen.

Bei guter Grenz Vermarkung war damit eine Zeitlang zur Not auszukommen. Wo diese von Anfang an aber fehlte, oder ungenügend war, waren erhebliche Unsicherheiten unvermeidlich.

Anforderung.

Grundsatz für die Ausführung.

Neuerdings wird von jeder Fortführungsvermessung verlangt, dass sie die Tatsache und Ausdehnung jeder Grenz- etc. Veränderung innerhalb der Genauigkeit der Uraufnahme fest--stelle. Dies ist nur zu erreichen durch Anwendung der Grundlagen und des Verfahrens der letzteren selbst, auch für die Fortführungsvermessung. Aus diesem Grund sind im allgemeinen zur Aufnahme jeder nachzutragenden Veränderung die zur Aufnahme der betreffenden Objekte ursprünglich benützten Messunglinien und -Punkte — ein zwingender Grund für deren dauerhafte Versicherung — wieder zu verwenden, so dass jede sich zeigende Abweichung einer neuen von einer früheren Messungszahl, wenn sie nicht auf Messungsfehler zurückzuführen ist, eine innerhalb der Messungsgenauigkeit feststellbare Änderung des ursprünglichen Zustandes beweist.

Hiernach kann es sich also für die F o r t f üh ru n g s v e rm e s s u n g e n um ein Verlassen der ursprünglichen Aufnahmemethode nur dann handeln, wenn aus Kopf-, Steinlinien-, oder Bindemassen für jeden einzelnen Grenzpunkt die Tatsache und Grösse etwaiger Veränderung mit Sicherheit erschlossen werden kann, die bisherigen und künftigen Messungslinien als solche also nur den nötigen Zusammenhang dieser Masse bezwecken. Eine neuzuschaffende einheitliche Grundlage (z. B. ein auf die Koordinatenachsen des Vermessungsgebiets bezogenes Netz gut und dauerhaft vermarkter Polygonpunkte) ermöglicht dann den allmählichen Aufbau eines neuen Vermessungswerkes aus Anlass der in langen Zeiträumen nach und nach vor sich gehenden Fortführungsaufnahmen.

Kapitel V.

Planzeichnung.

Bei der Aufzeichnung geodätischer Aufnahmen kann es sich nur um verkleinerte ähnliche Bilder des darzustellenden Gebiets handeln, wobei die Verjüngung, je nach dessen Ausdehnung, dem Zwecke des Plans und etwaigen zu beachtenden amtlichen Vorschriften eine verschiedene ist. (1:100, 1 : 200, 1 : 250, 1 : 500, 1 : 1000, 1 : 1250, 1 :2000, 1 : 2500, 1 : 5000.)

§ 18. Zeichenhilfsmittel.

Da auf die Genauigkeit der Zeichnung namentlich da viel ankommt, wo Projekte und Eigentumsfeststellungen sich darauf gründen sollen, und diese von der Güte der Zeichenhilfsmittel wesentlich abhängt, so mögen zunächst diese kurz betrachtet werden.

1.    Das Lineal, längs dessen Kante mit dem keil- oder kegelförmig geschärften Bleistift, der Reissfeder, oder der Zirkelspitze Gerade gezogen werden, muss selbst gerade sein (Prüfung durch Ziehen eines Strichs längs der Linealkante, alsdann Umlegen des Lineals, so dass es auf der vorherigen Oberfläche ruht und jeder seiner Punkte der Länge nach seine erste Lage wieder einnimmt. Der längs der Linealkante jetzt zu ziehende Strich muss den ersten in allen Punkten decken. Etwaige Abweichung zeigt den doppelten Fehler). Es soll sich ferner dem Zeichentisch anschmiegen (biegsam sein), weil ein wechselnder Abstand der Linealkante von der Zeichnung infolge von Tischunebenheiten sogar bei senkrechter Bleistifthaltung Ausbauchungen der Geraden zur Folge hat, wegen der konischen Form der Bleistiftspitze. (Hierwegen, wie auch wegen der von ihnen gebotenen Sicherheit gegen das Krummwerden besonders empfehlenswert sind die von Wolz in Bonn hergestellten „Sägeblattlineale“.)

Zum Abtragen oder Abnehmen von Strecken auf dem Plan verwendet man häufig

2.    den Zirkel, dessen beiden gehärteten und möglichst spitz gehaltenen Stahlenden der gewünschte Abstand gegeben wird. Wichtig ist ein gleichmässiger, nicht allzuschwerer Gang der Zirkel-füsse, welcher durch eine sorgfältige Bearbeitung der beiden aneinander vorbeigleitenden Metallflächen erzielt wird. Stehen die beiden Enden schief auf dem Papier auf, so wird das Eindrücken derselben einerseits eine Erweiterung der Zirkelstiche, anderseits eine Veränderung der Entfernung der Zirkelspitzen hervorrufen. Je schiefer die Zirkelspitzen, um so grösser der Zeichenfehler, zumal bei etwas gewelltem Papier. Es ist deshalb vor jedem Einstechen

Weitbrecht, Vermessungskunde.

Ver

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verliältnis.

Lineal.

Zirkel.

eines Punktes die betreffende Zirkelspitze senkrecht zur möglichst eben gerichteten Papierfläche zu bringen. Um dies zu erleichtern, sind die Zirkel gegen die Spitze meist etwas einwärts, gebogen, so dass die Spitzen bei mittlerer Endentfernung normal zur Papier-fläche stehen. Grössere Strecken als etwa 1 dm sollten mit gewöhnlichen „Handzirkeln“ nicht direkt abgegriffen werden.

Soll zum Abtragen längerer Strecken der Zirkel Verwendung finden, so ist eine hiefür speziell geschaffene Konstruktion, der „Stangenzirkel“ vorzuziehen, dessen beide parallel gerichtete Spitzen in — auf einem prismatischen Stab verschiebbaren — Hülsen senkrecht und so angeordnet sind, dass sie mittels Schrauben und Federn auf eine geplante Entfernung genau eingestellt und in ihrer Lage festgehalten werden können. Allerdings sind Federungen der Stange und der Zirkelspitzen nicht zu vermeiden. Wo die Arbeit dies zulässt, ist es daher zweckmässiger, auf die Benützung des Stangenzirkels zu verzichten (dieselbe auf die Zeichnung etwa vorkommender Kreisbögen, wenn Kurvenlineale fehlen, zu beschränken) und mittels einer feinen Nadel nach einer dünnen, oder prismatisch abgeschrägten, geteilten Linealkante die Hauptmasse einzustechen, deren weitere Unterteilung mittels Handzirkels vorgenommen werden kann.

Papier-

eingang.

Plan-

reduktion.

Zur mechanischen Berücksichtigung des Pap iereingangs bei Bearbeitung älterer Pläne, wie auch zur Vergrösserung, bezw. Verkleinerung eines Plans in bestimmtem Verhältnis kann man „Reduktionszirkel“ verwenden, die statt zwei Spitzen deren vier besitzen. Für die letztgenannte Aufgabe werden die stabartigen, in der Mitte je mit einem prismatischen Schlitz und an jedem der beiden Enden mit gehärteten Spitzen versehenen Zirkelarme an der Stelle des Zirkelkopfes (Scharniers) durch eine Schraube an beliebig veränderlicher Stelle zusammengepresst, so dass zu beiden Seiten der Schraube ein Paar je unter sich gleichlanger Zirkelarme entsteht und die Entfernungen der beiden Spitzenpaare sich verhalten wie die zugehörigen Schenkellängen. Weniger schwerfällig im Gebrauch, als der soeben beschriebene ist der sogen. „Differenz-Reduktion s zirkel, “ eine dem Ingenieur Weidenmüller in Opladen bei Köln patentierte Vervollständigung des gewöhnlichen Handzirkels, welche darin besteht, dass auf dessen beiden mit Teilungen versehenen Armen je eine mittels Schraube feststellbare und mit Einstellmarke (bezw. Nonius s. § 37) versehene Hülse sich verschieben lässt, die eine weitere Zirkelspitze so trägt, dass bei gleicher Einstellung der Hülsen die beiden Paare von Zirkelspitzen proportionale Strecken begrenzen, deren Verhältnis lediglich von der gewählten Hülsenstellung abhängt.

Zur Ermittlung der Längenmasszahlen für auf dem Plan ver-zeichnete Strecken, oder zum Eintrag von, ihren Masszahlen nach gegebenen Strecken in den Plan dienen

Zeiclien-

inassstäbe.

3. Massstäbe aus Holz, Glas oder Metall, mit einfacher oder Transversalteilung (s. Fig. 89), die, um Rechenarbeit zu sparen, nach Grösse der Teile wie nach Bezifferung dem jeweiligen Ver-jüngungs- oder Massstabverhältnis 1 : v entsprechen. Z. B. stellt im Massstab 1 : 500 1 m Planmass 500 m in Wirklichkeit vor. 1 m wirkliches Mass wird also durch J/₅₀o m = 2 mm, 10 m durch 20 mm Planmass dargestellt. Der Endpunkt letzterer Strecke des Massstabs wird nicht mit „20 mm“, sondern mit „10m“ bezeichnet.

Für viele Zwecke genügend sind

a)    die auf prismatisch abgefaster Linealkante angebrachten einfachen Teilungen: Prismamassstäbe aus Holz, Metall oder aus Holz mit aufgeleimten Zelluloidstreifen.

Um das Einschätzen von Unterteilen überflüssig zu machen, bezw. zu verfeinern, verwendet man vielfach

b)    den Transversalmassstab.

Er besteht aus 11 in beliebiger, aber gleicher gegenseitiger Entfernung auf Papier, Holz, Messing, Glas etc. gezogenen Parallelen, welche in Abständen von je 10 m wirkliches, also ¹ m Planmass durch senkrechte Gerade geschnitten werden. Das von der O-Linie links liegende Endstück DA bezw. CB von 10 m

Fig. 89.

Meter

1-500

CO

l>S

Zum Fällen kurzer Lote auf dem Papier dienen

Schieb-

dreiecke.

4. Schiebdreiecke aus Holz, Zellstoff oder, wo möglichste Unveränderlichkeit gefordert wird, aus Metall, die in der Dicke mit dem verwendeten Lineal übereinstimmen (also event. Sägeblattdreiecke). Auf die Richtigkeit ihres rechten Winkels werden sie ganz ebenso geprüft, wie die Winkelinstrumente auf dem Feld, nämlich durch zweifaches Abtragen des Instrumentenwinkels nach derselben Seite einer Geraden und zwar das einemal rechts und das andere-

mal links eines auf ihr liegenden Punktes. Dabei wird, um möglichst lange Anlage zu haben (falls nicht die Reissschiene zur Anwendung kommt), die Hypotenuse (und nicht eine Kathete) angelegt und nachdem ein zweites Schiebdreieck, oder ein Lineal an der linken Kathete satt angeschoben wurde, die bisher rechts liegende Kathete mit diesem zur Berührung gebracht. Die Lage der Hypotenuse bezeichnet alsdann den gesuchten Winkelschenkel. Um trotz häufigen Gebrauchs das Beschmutzen des Plans zu verhüten, werden die Auflagerflächen metallener Schiebdreiecke mit einem dünnen Ölfarbanstrich, oder Papierüberzug versehen.

Zeichnung von Winkeln beliebiger keit genügt, mittels

(Irosse.

Winkel beliebiger Grösse können, wenn die damit erreichbare Genauig-

5. Transporteurs (s. Fig. 90), oder (nach Zurückführung auf spitze Winkel durch Verlängerung eines Schenkels, oder durch ein Lot auf denselben) genauer mittels Sehnen- oder Tangentenlängen s bezw. a aufgetragen werden (s. Fig. 91). Die Werte der letzteren sind für den Radius r = 1 bezw. die Kathete b = 1

Fig. 90.

Fig. 91.

\W ! CL

JTy

fr

,'j

- b-r-1 —

entsprechenden Tafeln zu entnehmen (z. B. Gauss, 5 stellige log. Tafeln, Taf. VII).

Kartierungs-

instrumeiite.

Grössere Arbeitsbeschleunigung und Genauigkeit bei der Zeichnung von durch rechtwinklige Koordinaten aufgenommenen Punkten, als mit Zirkel und Transversalmassstab, lässt sich erzielen durch Verwendung folgender Einrichtung:

Projiziert man eine Teilung t rechtwinklig auf die Achsen eines Koordinatensystems, dessen Abszissenachse x um den gegen die Teilungskante divergiert, so entstehen auf diesen neue Teilungen, deren Intervalle proportional denen der ersten sind: sie zeigen die cosa- bezw. sina-fache Grösse dieser. Will man umgekehrt auf der Geraden x oder y (Aufnahmelinie), Strecken in

Ir,

aber auch y2 mal genauer ablesen, als wenn man im Planmassstab selbst arbeiten würde.

Diesen Gedanken benützt u. a.

Fig. 93 a.

-4

°o*

einem bestimmten Verjüngungsverliältnis 1: v absetzen, so lässt

sich dies durch Projektion der Teilung t erreichen, wenn nur deren Teile ¹

¹ 2    cos a

bezw. — sin a

= seca

Fig. 92.

= coseca mal grösser sind. Nimmt R    ,

₀ , so dass cosa = sin«

man z. B. a =

—, so braucht man auf der Teilung t

V2“’

Y‘2 mal grössere Intervalle, also ein y/2 mal grösseres Verjüngungsverhältnis als dasjenige des zu zeichnenden Plans. Dann kann man

t XV

6 a) ein Patent von C. Müller in Zürich, welches auf Linealen (oder auf der Hypotenuse gleichschenklig rechtwinkliger Schiebdreiecke A) Teilungen in verschiedenen, aufs y2"fache vergrösserten Verjüngungsverhältnissen anbringt (s. Fig. 93 a). Zur weiteren Genauigkeitssteigerung trägt die Hypotenuse des zugehörigen, zur Zeichnung verwendeten Schiebdreiecks B statt blosser Anlege-marken entsprechende Nonien (s. § 37). Legt man die Kathete C D vom Schiebdreieck B an die Ordinatenachse y an und schiebt die Teilungskante von A an die Hypotenuse von B derart heran, dass die Noniusnullpunkte mit den Teilungsnullpunkten übereinstimmen, so gibt die Zeichenkante C D die Lage der zu irgend einem Abszissenmass x gehörigen Ordinate an, sobald man an dem festgehaltenen Dreieck oder Lineal A das Dreieck B berührend so verschiebt, dass der Noniusnullpunkt von B mit dem Abszissenmass x auf der A-Teilung zusammenfällt. Um auch Ordinaten-richtungen für negative Abszissen absetzen zu können, ist die Teilung A in 2 facher Richtung beziffert und sind auf Schiebdreieck B zwei entgegengesetzt bezifferte Nonien aufgezeichnet.

Genau dieselbe Rolle, wie DC für die Abszissen-, spielt die Kante DE für die Ordinatenmasse, wenn man dafür gesorgt hat, dass in dem Augenblick ihrer Übereinstimmung mit der x-Achse sich an der Skale A die Ablesung 0 ergab.

Man erhält somit den Planort jedes durch rechtwinklige Koordinaten aufgenommenen Punktes durch den Schnitt zweier, längs den Katheten vom Dreieck B gezogener Geraden.

Die Müllersche Einrichtung erfordert ebensoviele Dreieckpaare, als Verjüngungsverhältnisse verwendet werden wollen und überdies die rechnerische Berücksichtigung etwaigen Planeingangs. Dies vermeidet

6b) die Wauesche Einrichtung, welche das Dreieck A (dessen Dreieckseigenschaft keine Verwendung erfährt) durch ein auf mehreren Seiten in verschiedenen Verjüngungsverhältnissen geteiltes Lineal ersetzt, das Dreieck B aber mit einer um den Eckpunkt C drehbaren Schiene ausstattet, mit der ein in einer Führung des Dreiecks B

Fig. 93 b.

ITT"!";]; „prs “

ooot:/- oooz.t

Co

oV

laufender, und auf ihr in jeder Lage feststellbarer geteilter Kreisbogen in starrer Verbindung steht (s. Fig. 93 b). Diese Schiene, welche ebensoviele verschiedene Nonien, als das Lineal *ll Teilungen, trägt, tritt als An-legelinie an Stelle der Hvpote-B nuse CE von B und ermöglicht jede beliebige Änderung des Winkels «, also die Anwendung jedes gewünschten Verjüngungs-

C Verhältnisses. Nur ist, wie ein-R

leitend gezeigt, für einen von abweichenden Winkel a die wahlweise Anwendung beider Katheten des Dreiecks B für ein und dasselbe Verjüngungsverhältnis ohne Neueinstellung ausgeschlossen, weil die Parallelverschiebungen von CD das sin «fache, diejenigen der Kathete DE das cos «fache der an der Linealteilung abgelesenen Verschiebung beträgt, also die Gleichheit beider nur für « = 45° besteht.

Statt jeden durch Koordinaten aufgenommenen Punkt als Schnitt zweier mit Bleistift gezogener kurzer Parallelen zu den Koordinatenachsen zu zeichnen, kann man auch die Ordinatenlänge längs ihrer durch die Zeichenkante gegebenen Richtung mittels einer Nadel einstechen. Zu diesem Zweck werden mit dem Waueschen Apparat Ordinatenschieber mit Nadeleinsatz geliefert.

Andere Formen von Kartierungsinstrumenten machen das Ziehen von Geraden zum Zweck der Zeichnung von rechtwinkligen Koordinaten überhaupt überflüssig, ergeben vielmehr für jeden dadurch auf genommenen solchen Punkt direkt einen Nadelstich. Ein solches Hilfsmittel ist z. B.

c) das Nadel-Kartierungsinstrument nach Landmesser Friedei in Düsseldorf. Es besteht aus drei Teilen: nämlich a) dem in dem anzuwendenden Verjüngungsverhältnis mit vor- und rückläufiger Teilung versehenen Abszissenlineal; ß) dem Ordinatenschieber in Form eines rechtwinkligen Dreiecks, von dem eine, am Lineal anzuschiebende Kathete zwei, entsprechend der Linealteilung in entgegengesetzter Richtung bezifferte Nonien, die andere Kathete eine von einem Nullpunkt aus nach beiderlei Richtungen bezifferte mit derjenigen des Lineals genau übereinstimmende Teilung trägt, und y) der Nadelvorrichtung, bestehend aus einem an der geteilten Kante des Ordi-natenSchiebers gleitenden Schlitten mit korrespondierendem Doppelnonius und einer darauf senkrecht stehenden Säule als Führung eines die Nadel tragenden, gegen die Säule federnden Hohlzylinders. Der letztere gleitet bei leichtem Druck, die führende Säule umschliessend, senkrecht abwärts, wodurch die äusserst feine Nadel in das Zeichenpapier ein dringt. Lässt der Druck nach, so hebt sich Zylinder und Nadel wieder nach oben. Sollen Koordinaten aufgetragen werden, so legt man zunächst das Abszissenlineal durch Probieren so, dass in der Normalzusammenstellung — Ordinatenschieber mit der Noniuskathete am Lineal gleitend, Noniusnull der Nadelvorrichtung mit dem Teilungsnullpunkt der andern Kathete des Ordinatenschiebers übereinstimmend — die

herabgedrückte Nadel bei Verschiebung des Ordinatenschiebers die (bereits gezeichneten) Anfangs- und Endpunkte der Aufnahmelinie erfasst, und dass beim Erfassen des Anfangspunkts die Ablesung 0 am Abszissenlineal erscheint. Alsdann braucht man nur am Abszissenlineal den Nullpunkt des Ordinatenschiebers auf das gegebene Abszissen- und an der zweiten Kante des Ordinatenschiebers den Nullpunkt der Nadelvorrichtung auf das gegebene Ordinatenmass einzustellen, um durch leichtes Herabdrücken der Nadelführung die Lage des Punktes in Form eines feinen Nadelstichs zu erhalten.

Neuerdings fertigt Coradi in Zürich für Kleinkartierungen ein dem „Koordinatographen“ S. 137 ähnliches und ähnlich zu verwendendes Instrument,

d) den nachstehend abgebildeten „Detailkoordinatographen und Koordinatometer“ (Fig. 95c).

Fig. 95 c.

A\

10

20

30

Die bisher vorgeführten Kartierungsinstrumente dienen nur zur Aufzeichnung der Stück Vermessungsergebnisse. Handelt es sich um die Aufzeichnung ausgedehnter Aufnahmen, welche grosses Format der Pläne erfordert, so muss sowohl für die Aufzeichnung der Hauptpunkte der Messung (Polygonpunkte etc.), als auch um etwaige spätere — an verschiedenen Planstellen verschieden wirkende — Papieränderungen jederzeit genau feststellen und berücksichtigen zu können, zunächst ein möglichst scharfes Netz gleichabständiger, parallel zu den Achsen des für die Aufnahme gewählten Hauptkoordinatensystems verlaufender Geraden, ein „Quadratnetz“ aufgezeichnet werden. Hier genügt die Verwendung des Schiebdreiecks (schon wegen der unzureichenden Länge seiner Seiten) zum Zeichnen der rechten Winkel nicht mehr. Einige mechanische Hilfsmittel für diesen Zweck mögen nachfolgend kurz beschrieben sein:

7.    Der Quadratnetzstecher, wohl das älteste hieher gehörige Hilfsmittel besteht aus einer ebenen Glas-, Zink-oder Messingplatte mit Bohrlöchern an den Kreuzungspunkten des Quadratnetzes, durch welche diese mittels der Punktiernadel auf das untergelegte Zeichenblatt übertragen werden.

Oberlandmesser Rödder in Königsberg hat daran verschiedene Verbesserungen angebracht und sich patentieren lassen, deren hauptsächlichste darin besteht, dass die Kreuzungspunkte durch, mit der Platte festverbundene aber in ihrer Lage justierbare Nadeln bezeichnet sind. Letztere sind gegen Beschädigung durch eine besondere Vorrichtung geschützt und bezeichnen gleichzeitig sämtliche Netzpunkte auf dem untergelegten Plan, wenn gegen die Platte ein Druck nach abwärts ausgeübt wird. (Vergl. Zeitschr. f. Vermessungswesen 1898 S. 526, 1899 S. 559, 1902 S. 186.)

8.    Der Rahmenapparat von Dennert & Pape in Altona besteht aus einem Stahlrahmen, unter welchem das auf einer Tafel

Fig. 94.

ruhende Kartenblatt festgeklemmt wird. Auf dem Rahmen sind im Abstand gleich einer Seite des zu zeichnenden Quadratnetzes Stahlklötze befestigt. Gegen sie wird ein Lineal gelegt, auf welchem sich ein Schlitten mit selbst-

fallender Reissfeder oder Nadel bewegen lässt, der die Netzlinien zeichnet. Ähnliche Apparate mit Sägeblattlineal, längs dessen das Quadratnetz mit der Handreissfeder gezeichnet wird, liefert Wolz in Bonn.

9. Der Koordinatograph, von Coradi in Zürich, besteht (s. auch Zeitschr. f. Instrumentenkunde 1902 S. 339 ff.) aus einem gusseisernen und vernickelten Abszissenlineal A, welches während des Gebrauchs durch Winkeleisen oder Träger mit dem Zeichentisch T in feste Verbindung gebracht wird. Es trägt auf Zimmertemperatur (-j- 18 bis 20° C.) abgeglichene Teilungen in den gewünschten V erjüngungs-verhältnissen(s. Fig. 95 a). Die Bezifferung für die Teilung ist, um letztere ohne Rechnung für jede beliebige Entfernung vom Koordinatenursprung und für verwandte |

Verjüngungsverhältnisse anwenden zu können, auf einem Leinenband angebracht. Dieses ist auf Metallspulen aufgewickelt und lässt sich mit J j der Linealteilung an beliebigen Stellen zur Übereinstimmung bringen. Eine dem Lineal eingehobelte scharfe Rinne gibt die Führung ab für zwei Stahlrollen r eines Wagens, welcher somit unter Zuhilfenahme der auf einem lose aufgelegten MetalllinealB liegenden LaufwalzeR auf drei Punkten ruht und sich hin und her bewegen lässt. Zur Feinbewegung dient ein Mikrometerwerk m. Der Wagen selbst besteht aus einem Gitter-werk, dessen einer Rahmen, das Ordinatenlineal, eine ebensolche Teilung und Rinne zur Führung der entsprechenden Rollen r trägt, wie das Abszissenlineal. In letztgenannter Rinne ist ein zweiter, kleinerer Wagen beweglich und feststellbar. Die beiden Wagen bewegen sich in zwei zu einander senkrechten Richtungen. Diese Bewegungen werden gemessen durch je eine mikroskopische Verzahnung (0,25 mm) der Teilkanten, in welche entsprechende Zähne

Fig. 95a.

",

;=s

.....

tM.

---------y......

der Massrädchen 0 eingreifen (s. Fig. 95b). Der Umfang der letzteren umfasst eine durch 10 oder 100 teilbare Anzahl von Metern in den gewählten Massstabverliältnissen und misst etwa 20 mm. Auf ihrer Achse ist je m ein geteilter Zylinder Z aus weissem Zelluloid R befestigt, dessen Umfang T^naal grösser 1® ist, als der Umfang des Zahnrädchens. Die Bewegung der Wagen, welche an den Zahnrädchen abgewickelt wird, erscheint also auf dem Teilkreis 7¹/₂mal vergrössert.

Fig. 95b.

__

Der kleine Wagen trägt drei justierbare Punktierstifte (I, II und III), welche durch federnde Hülsen hochgehalten, sich senkrecht zur Blattrichtung niederdrücken lassen, dabei einen feinen Stich erzeugend. Die Spitzen I und II treffen dieselben Ordinate in einem gegenseitigen Abstand von 200 mm. Die Spitze III liegt in einer von der genannten Ordinate um 200 mm verschobenen Parallelen auf dem Mittellot über I—II. Statt der Punktiernadeln lassen sich zur Ziehung des Quadratnetzes auch selbstfallende Reissfedern einsetzen.

TUÖ

Um einen, seinen Koordinaten nach gegebenen Punkt aufzuzeichnen, wird der auf dem Abszissenlineal laufende Wagen mittels des Mikrometerwerks und unter Benützung der Bandbezifferung auf das gegebene Abszissen-, der kleine Wagen in gleicher Weise auf dem Ordinatenlineal auf das gegebene Ordinatenmass eingestellt. Ein leichter Druck auf die zur Verwendung kommende Nadelhülse liefert alsdann einen feinen Stich mit einer Genauigkeit von nahezu mm.

Eine Besprechung der übrigen Zeichenliilfsmittel — Reissfeder, Farben, Pinsel etc. kann hier unterbleiben.

§ 19. Planzeichnung nach direkten Aufnahmemassen.

Die Planzeichnung beginnt mit dem Aufträgen des grundlegenden Netzes, innerhalb dessen nach dem Grundsatz der „Arbeit vom Grossen zum Kleinen“ zunächst die Aufnahmelinien und dann erst die auf sie bezogenen Einzelobjekte eingetragen werden.

Netz-

zeichnung.

Zeichnung und Orientierung des Quadratnetzes bei ausgedehnten Aufnahmen.

Wird zur Netzzeichnung keines der vorgefülirten mechanischen Hilfsmittel verwendet, so hebt man zunächst darauf ab, als Grundläge für clie Zeichnung ein möglichst genaues, den Plan umschliessen-des Rechteck von bestimmten, runden Seitenlangen b und 1 (s. Fig. 97) zu erhalten. Man beginnt mit der scharfen Zeichnung eines in der ungefähren Blattmitte sich rechtwinklig schneidenden Achsenkreuzes. Zu diesem Zweck zieht man zuerst eine Gerade, welche die Schmalseiten des Blattes halbiert. Alsdann kann man mittels Stangenzirkels oder Prismamassstabs von dem auf ihr in der ungefähren Blattmitte gewählten Achsschnitt aus nach beiden Seiten der Geraden gleiche Strecken abtragen und aus deren End- als Mittelpunkten Kreise mit gleichen Radien beschreiben, deren Schnitte Punkte des gesuchten Lots sind.

Hat man die auf der ersten Geraden vom Achsschnitt aus nach beiden Seiten abgetragene Strecke gleich der halben Langseite des zu zeichnenden Rechtecks, und den Kreisradius gleich

wobei b die Breitseite des Rechtecks darstellt, so hat man von den gewonnenen vier Punkten aus nur noch Kreisbögen mit den entsprechenden halben Rechtecksseiten -- und ^

zu beschreiben, um in deren Schnittpunkten die vier Ecken des Umfangsrechtecks zu erhalten. Elastische Durchbiegungen der die beiden Zirkelfüsse verbindenden Stange und federnde Ortsveränderungen der Zirkelspitzen selbst verursachen aber beim geringsten Druck auf den Stangenzirkel Zeichnungsungenauigkeiten. Besser ist es daher, die sich schneidenden Kreisbögen nur in Bleistift und vorläufig zu ziehen. Alsdann erst trägt man mit Benützung der Nadel und eines genügend langen prismatischen Massstabs je in der Richtung nach dem vorläufigen Schnittpunkt, die als Radien vorgesehenen Strecken ein und fällt in den erhaltenen Endpunkten Lote auf den genannten Richtungen, deren Schnitte die gesuchten Netzpunkte ergeben.

Fig. 96.

c-

•D

Auf nicht allzu dickem und nicht zur Wellenbildung geneigtem Zeichenpapier lässt sich das Achsenkreuz auch ohne umständliche Konstruktion wie folgt zeichnen:

i)

Man biegt den Bogen nach Fig. 96 so um, dass die ideelle Falzlinie etwa mit der gewollten kurzen Seite des Achsenkreuzes übereinstimmt und sorgt durch Anschieben eines schweren Lineals möglichst nahe an jene ideelle Falzlinie dafür, dass Papierwellen sich nicht bilden können. Alsdann

stickt man mit einer feinen und senkrecht geführten Nadel einen Punkt D und zwei Punkte B und C so durch, dass die Verbindungslinie der beiden Stiche D und diejenige der Halbierungspunkte der Stiche B und C das Achsenkreuz darstellen. Auf dieses baut sich das Umfangsrechteck auf, wie soeben gezeigt.

Das Quadratnetz des Plans, dessen Teilungslinien in runden

Abständen parallel zu den Achsen des für das Aufnahmegebiet gewählten Hauptkoordinatensystems verlaufen, kann sich nun, je nach der geographischen Lage des durch den Plan darzustellenden Geländes parallel, oder schief zu dem gezeichneten Umfangsrechteck ergeben. Um hierüber Aufschluss zu erhalten, benützt man einen über das fragliche Gebiet in kleinem Massstab gezeichneten Übersichtsplan. Ist dessen Verjüngungsverhältnis nfach kleiner, als dasjenige des zu zeichnenden Plans, so legt man ein auf Pauspapier entworfenes Rechteck (Schablone) mit den Seiten b = 11 und 1 = so auf die Übersichtszeichnung

Fig. 97.

SIS

dass das auf ihr verkleinert dargestellte Bild des gewünschten Kartenblatts sich passend in die Schablone einfügt. Alsdann entnimmt man der Schablone die Abschnitte ai, ct₂, a₃, welche zwei zu zeichnende Netzlinien auf

ajA.?d , COS cc

?s

! /V/y)?

/-feit

*__![

dem Umfangsrechteck bilden und trägt die Strecken n. cti = an a₂, n. a₃ = a₃ im pro-

SUt cc

n. a₂

jektierten Planmassstab auf dem Umfang des Planrechtecks ab. Be-

rechnet man jetzt den Winkel a

b — a, —

zwischen Netzlinie und Umfangs-— (s. Fig. 97), so erhält man — von

Einzeichnung der Polygon -und Kleinpunkte.

rechteck aus: tga —

Ai bezw. A₃ je bis zur Rückkehr nach diesen Punkten alle vier Seiten des Umfangsrechtecks durchlaufend — durch einfache trigonometrische Rechnung unter Probe die Masse, welche auf den letzteren abzutragen sind, um die Schnittpunkte des Quadratnetzes mit dem Umfangsrechteck zu erhalten. Der Übergang von einer Rechtecksseite auf die nächste erfolgt durch Vergleichung ihrer Gesamtlänge mit der Summe der errechneten Abschnitte und Multiplikation des jeweiligen Restes mit tg a bezw. ctga. Verlaufen die Netzlinien parallel zum Umfangsrechteck, so ergeben sie sich auf Grund einfacher Unterteilung der Seiten des letzteren.

Nach Fertigstellung des Quadratnetzes werden die ihren Koordinaten nach bekannten Polygon- und Messungskleinpunkte,

je ausgehend von der zunächst gelegenen, und mit jedesmaliger Kontrolle nach der entfernteren Quadratseite eingetragen. Damit ist eine möglichst innige Verbindung des zu zeichnenden Plans in allen seinen Teilen mit dem Quadratnetz gewährleistet.

Nun erfolgt, übereinstimmend mit der Behandlung kleiner Aufnahmen, bei denen das Netz der Aufnahmelinien (Dreiecke, Vierecke etc.) die Zeichnungsgrundlage bildet, die Aufzeichnung der Stückvermessung.

Detail

zeichnung.

Bei Verwendung des Zirkels werden zunächst die Polygon-, bezw. längeren Umfangsseiten in passende Unterabteilungen von rundem Längenmass (etwa 1 dm wirklicher Länge) in der Weise zerlegt, dass von allen Messungsend - und Kleinpunkten aus die Massdifferenz nach der nächstliegenden runden Abteilungsgrenze vorwärts oder rückwärts abgetragen und sodann die Streckenlänge zwischen dem erhaltenen Teilpunkt und der nächsten Abteilungsgrenze in die nötige Zahl gleicher Teile zerlegt wird. Diese Teilpunkte haben den Zweck, etwaige Papiereingänge, oder kleine Zeichnungsungenauigkeiten im Netz derart zu verteilen, dass sie nirgends zu schädlichen Beträgen sich häufen. Von ihnen, und nicht vom Anfangspunkt der Messung aus werden die Abszissen für Einzelpunkte der Stückvermessung, entsprechend ihren Masszahlen, eingezeichnet. Ganz ebenso verfährt man mit den von Netzlinie zu Netzlinie durchbindenden untergeordneten Aufnahmelinien, deren Lage sich stufenweise durch geradlinige Verbindung je zweier auf den Netzlinien, oder mittels ihrer Koordinaten eingezeichneten Abzweige-(Klein-)punkte ergibt. Sämtliche Kontrollmasse müssen durch Abgreifen geprüft werden.

Bei genügender Sorgfalt und Übung lässt sich selbst bei Verwendung des Zirkels der mittlere Zeichenfehler auf etwa ¹/₁₀ mm pro Punkt herabdrücken (vergl. hierüber Zeitschr. f. Vermessungswesen 1907 S. 531 ff.).

Farbenbehandlung des Plans.

Für die Ausführung der Beinzeichnung bestehen, soweit die Pläne amtlichen Zwecken zu dienen haben, in den einzelnen Staaten Vorschriften, die übrigens im wesentlichen übereinstimmend lauten. Hienach sind:

Die Linien des Quadratnetzes fein rot oder blau, Dreieckpunkte blau oder schwarz, und Polygonpunkte rot, je mit entsprechender Signatur,

Wasserläufe preussisch-blau mit blauer Kolorierung, oder mit Wasserlinien,

bestehende Eigentumsgrenzen kräftig schwarz mit kleinen schwarzen Kreischen, oder Quadrätchen für die Marksteine,

alte, herausfallende Eigentumsgrenzen fein schwarz mit kleinen schwarzen Kreischen, oder Quadrätchen für die Marksteine,

neu entstehende E i g e n t u m s g r e n z e n kräftig rot mit kleinen roten Kreischen, oder Quadrätchen für die Marksteine auszuziehen,

alte, bezw. neu entstandene Kultur grenzen schwarz bezw. rot zu punktieren.

Die Gebäudegrundflächen werden schwarz (Tusche mit etwas Indigo), bei Unterscheidung zwischen Wohn- und Betriebsgebäuden dagegen rot bezw. gelb koloriert, ihre Grenzlinien fein schwarz ausgezogen.

Bei Projekten (Gebäude, Baulinien, Strassen, Eisenbahnen etc.) werden die zukünftigen Grenzlinien rot ausgezogen, die einer Veränderung unterliegenden Flächen rot koloriert, oder bandiert und die Masse rot eingeschrieben.

Genehmigte Baulinien werden blau ausgezogen (in derselben Farbe erfolgt die Angabe der Genehmigungsurkunde) und mit Sepiastreifen gebändert.

Bauverbot

ausgezogen und grün gebändert.

ausgezogen und grün koloriert.

Vorgärten

genehmigt wird blau projektiert wird rot genehmigt werden blau projektiert werden rot Aufgehobene Baulinien werden gelb ausgezogen und gelb gebändert.

Je nach dem Zweck des Plans werden die Aufnahmemasse ganz, teilweise, oder gar nicht eingetragen, ebenso verhält es sich mit den Namen der Grundstückseigentümer, den Parzellennummern und Kulturarten. Ein Orientierungszeichen, ein Massstab im Verjüngungsverhältnis des Plans, oder wenigstens die Angabe dieses Verhältnisses in Zahlen (1 : v) und die Unterschrift des Planfertigers mit Datum darf nie fehlen.

Der Einschrieb der Aufnahmemasse, wo erforderlich, der Eigentümernamen, von Orientierungspfeil, Massstab, Namensunter-schrift und Datum erfolgt in schwarzer, der Einschrieb der Gebäude-, Grundstücks-, Weg-, Wasser-, Eisenbahnnummern in roter Farbe.

Bäume werden mit schwarzen Ringen bezeichnet und indisch-gelb koloriert mit grüner Abtönung.

Die verschiedenen Kultur arten werden entweder blau in Worten (event. unter Beschränkung auf Anfangsbuchstaben) eingeschrieben, oder durch Farbenbänder begrenzt, und zwar Äcker gelb,

Wiesen hellgrün (indisch-gelb und prenssisch-blau),

Gärten grün, (indisch-gelb und preussisch-blau),

Wälder dunkelgrün (indisch-gelb und preussisch-blau), Weinberge Neutraltinte.

Einschnittsböschungen werden mit Sepia, Auffüllungsböschungen grün mit schwarzer Abtuschung,

Chaussierte Strassen und Erdwege indisch-gelb,

Ptlasterflächen (Kandel, Strassenkreuzungen etc.) mit Neutraltinte, Gehwege (Asphalt, Platten etc.) mit Neutraltinte und etwas Tusche, bekieste Gehwege mit gebrannter Siena koloriert.

Zeitraubender, aber allgemeiner verständlich ist die Darstellung durch Kulturenzeichnung, wie sie u. a. für die württembergischen Katasterpläne angewandt wird. (Vergl. Beilage am Schluss des Buchs.)

§ 20. Planeingang.

Fig. 98.

-7*-

Das zur Planzeichnung verwendete Papier und mit ihm die auf ihm entworfene Zeichnung ändern ihre Ausdehnung unter dem Einfluss veränderter Feuchtigkeit und Temperatur. Diese Veränderung, welche bis zu 2—3% ansteigen kann, ist sowohl bei späteren Nachkartierungen, als bei der Entnahme von Massen aus dem Plan zu berücksichtigen. Hiefür bietet das grundlegende Quadratnetz die Möglichkeit. Ist infolge der vorbe-nAalten Umstände an Stelle der ursprünglichen Maschenweite d (s. Fig. 97 und 98)    \

d'

' ⁰\o^

jetzt die um e kleinere Strecke d' getreten (was in Rücksicht auf Massstabverschieden- ( heiten natürlich mit demjenigen Massstab- d$ exemplar festzustellen ist, mit dem jetzt |-gezeichnet, oder abgegriffen werden soll),    *

hältnis p =

Man hat also jedes auf dieser Netzlinie abzusetzende Mass a zu verkürzen um a •= p X 0,01a, und umgekehrt jedes dem Plan entnommene Mass a' zu verlängern um

so beträgt das prozentische Eingangsver-100 e

T -px 0,01 a'.

— a' •

a' ■ i

Das Eingangsverhältnis ist nun nicht an allen Stellen des Plans und in jeder Richtung gleich gross (bei auf mechanischem Weg hergestellten Plänen ist das Eingangsverhältnis namentlich auch in den beiden Blattrichtungen häufig erheblich verschieden), und schon aus diesem Grund darf das Quadratnetz nicht allzu weitmaschig sein. Angenommen nun, die rechten Winkel des Quadratnetzes seien trotz der Papieränderung erhalten geblieben und es sei der Eingang in der Nord-Südrichtung zu p °/o, in der Ost-Westrichtung zu q°/o festgestellt worden, so müssen alle in dieser Richtung einzutragenden, oder zu entnehmenden Masse um p °/o bezw. q °/₀ verkürzt, bezw. vergrössert werden. Es entsteht aber die Frage: in welchem Verhältnis p' sind Masse AB zu verändern, deren Richtung sich schief in das Netz einlegt?

Mögen die Abschnitte der Verlängerung von AB auf beiden

Netzlinien a bezw. b betragen, auf dem Plan aber sich zu a' bezw. b' ergeben, wobei

a' =

JU

100/

b(l

b' =

JLA

100/•

Die zwischen den Netzlinien liegende Diagonalstrecke 1 misst dann auf dem Plan

P =Va/2-f b'²

100

VW

a² p²

10000

2a2p _l_ it2 _ ₉ b2q | 100 ' L ² 100

b² q²

10 000

y/(a² -f b²) [l

2 (a² p -f- b² q)

a² p² + b² q²

100 (a² + b²)

10000 (a² + b²)

oder unter Vernachlässigung kleiner Glieder

- V(a² + b²) [

^ 1 £l

a² p + b² q

100 (a² + b²)

a² p -f- b² q

100 (a² + b²)

]•

Da aber auch P =

gangsverhältnis P' ~

der Schiefen gleich dem arithmetischen Mittel der beiden prozentischen Eingangsverhältnisse der Netzlinien, wenn jedem von ihnen das Quadrat des zugehörigen Netzlinienabschnitts als Gewicht zugeteilt wird.

Der Wert für p' bleibt nach vorstehender Gleichung unverändert, wenn die Netzlinienabschnitte a und b sich proportional verändern, d. h. wenn die Gerade A B parallel mit sich selbst verschoben wird. In diesem Falle bleibt der Winkel cp zwischen der Strecke 1 und der Parallelen zur nordwärts gerichteten Netzlinie, der „Richtungswinkel“, unverändert.

P'

100

), so ergibt sich: das prozentische Ein-

a² p + b² q

a'² p l)'² q

a² + b²

a'² + b'²

Für die zu F Senkrechte CD wird der Richtungswinkel

¹

8    6    4    2

A

(bezw. u. U. 100 m oder 1 m), wird auf der Oten und lOten Linie in 10 Teile geteilt, deren Endpunkte von unten nach oben je um einen Teil ansteigend verbunden werden. Nach der Proportionallelire kann man derart direkt Zehntel und durch Einschätzung noch Hundertstel eines Teils abgreifen. Z. B. zeigt die in Fig. 89 durch Kreuzchen begrenzte Strecke das Mass 26,30 m im Massstab 1 : 500. Um cm abzugreifen sind die Zirkelspitzen in geschätztem Parallelabstand zwischen diejenigen 2 Parallelen einzusetzen, welche der nach oben und unten zunächst benachbarten dm Angabe entsprechen.

Da der Teilungsträger, aus welchem Material er auch bestehen möge, seine Länge mit der jeweiligen Temperatur ändert, sorgt man dafür, dass die Teilung ihre Normallänge bei Zimmertemperatur besitzt, bei welcher der Massstab zumeist verwendet wird.

Soll der Massstab nicht zum Aufträgen, sondern zum Abgreifen von Massen, bezw. zur Planprüfung verwendet werden, so empfehlen sich c) Glasplatten, auf welche entsprechende Teilungen eingeritzt, eingeätzt, oder auf mechanischem Weg (etwa unter Verwendung lichtempfindlichen Belags) übertragen worden sind.

+ 3r)

und da

Si“² {f + 3Kr)

Da nun

= cos g>,

l)

Va² + b²

= sin^,

VaV+b²

so erhält man für das Eingangsverhältnis der Schiefen 1' auch p' = p cos² cp 4- q sin² cp.

cos² cp und cos² (cp -f-    = sin² cp,

so erhält man für das prozentische Eingangsverhältnis von CD: q' = p sin² cp c[ cos² cp

b² p a² q b'² p -f- a'² q

a² + b²

a'² + b'²

Ist das prozentische Eingangsverhältnis der beiden parallelen Netzlinien verschieden, so haben nicht nur die Strecken, sondern auch die Winkel Verzerrungen erlitten. Für die Kartierung der Katasterstückvermessung, welche nur kurze Ordinaten verwendet, bleibt dies ohne Bedeutung; nur muss das Kleinpunktnetz und das Quadratnetz genügend verengt werden, so dass innerhalb jedes einzelnen Quadrates die Anwendung je eines vermittelten Wertes für p und q genügt. Kommen ausnahmsweise längere Lote vor, so berechnet man die Koordinaten ihrer Endpunkte und kartiert letztere unter Benützung des Quadratnetzes. Nur im Falle der Punktaufnahme mittels Polarkoordinaten muss, falls die Berechnung rechtwinkliger Koordinaten unterbleibt (Tachymetrie s. Teil II) und die Kartierung mit Richtungswinkel und Strecke erfolgt, auch die Winkelverzerrung berücksichtigt werden. (Vergl. hierüber u. a. Hammer, „Einträgen von Messungen in gedruckte Pläne“, Zeitschr. f. Verm. 1895, S. 161.)

§ 21. Kopie, Vergrösserung bezw. Verkleinerung, Vervielfältigung

von Plänen.

A) Auf zeichnerischem Wege:

a) Kopie.

Das einfachste Kopierungsverfahren bildet das Durchpausen Kopie, auf Ölpapier.

Soll die Kopie auf Zeichenpapier gefertigt werden, so kann man die zu übernehmenden Punkte entweder von der Pause, oder auch direkt vom Originalplan mittels feiner Kopiernadeln durch-

Weitbreclit, Vermessungskunde.

stechen. Letzteres Verfahren hat jedoch den Nachteil, dass der Originalplan leicht dabei notleidet.

Zur Kopierung von Plänen mit vielen und unregelmässig begrenzten Einzelheiten (topographische Pläne etc. in kleinem Massstab) eignet sich ein engmaschiges, durch entsprechende Linien- oder Farbenunterscheidung möglichst übersichtlich gestaltetes Quadratnetz, das einerseits auf Pauspapier gezeichnet auf den Originalplan aufgelegt, andererseits in gleicher Grösse auf dem für die Kopie bestimmten Zeichenbogen in Bleistift entworfen wird. Der Übertrag innerhalb der einzelnen quadratischen Felder kann dann mit freiem Auge oder mittels einfacher Hilfsmittel (Zirkel, Pausverfahren etc.) erfolgen.

b) Yergrösserung bezw. Verkleinerung.

Massstab-

veränderurig

mittels

Quadrat-

netzes.

Statt die beiden im vorhergehenden verwendeten Quadratnetze kongruent zu zeichnen, kann man auch die Seiten des der Kopie zugrund liegenden Netzes in dem gewünschten Vergrösserungs- oder Verkleinerungsverhältnis verändern. Die Übertragung innerhalb der reduzierten Felder wird dann nach freiem Auge, oder einem mechanischen Verfahren bewirkt (Fig. 99 a und 99 b).

Fig. 99 a.

Fig. 99b.

‘di

SS

X'

///.

■M

Auf den Sätzen der Älmliclikeitslelire beruhen folgende Ver-faliren: Befestigt man das für die gewünschte Figur bestimmte Zei-chenblatt so auf dem Originalplan, dass die Figur des letzteren frei bleibt und zieht irgend eine Strecke der gewünschten Reduktion mittels Schiebdreiecks parallel zu ihrer homologen im Original, so müssen alle übrigen homologen Strecken beider Figuren ebenfalls einander parallel sein. Man braucht daher

nur durch die beiden Endpunkte der grundlegenden Strecke, deren Länge irgendwie gleich dem der gewünschten Verjüngung entsprechenden Teil, d. h. == ™ der homologen Strecke des Originals gemacht wurde, Parallele zu entsprechenden Grenzlinien, oder Diagonalen des Originals zu ziehen, so ergeben sich die einzelnen Ecken der reduzierten Abbildung als Schnittpunkte homologer Parallelen. Im Falle schiefen Schnittes und zur Zeichenprobe kann man von Zeit zu Zeit eine Strecke = “ihrer Originallänge auf dem homologen Strahl abtragen.

Fig. 100.

Wählt man irgend einen Punkt der Zeichenebene als Ähnlichkeitspunkt und verbindet ihn mit den Ecken der gegebenen Figur AB.... (s. Fig. 100), so liegen auf diesen Verbindungslinien, o der ihrenVer-längerungen die homologen /

Ecken der zu zeichnenden / ähnlichen Figur 2133 . . .

Ihre Entfernungen vom V'/..

Ähnlichkeitspunkt stehen in demselben Verhältnis ¹ m: n wie die Seiten, überdies sind alle homologen Seiten parallel. Man kann daher denselben Weg einschlagen wie vorhin und hat in den Ähnlichkeitsstrahlen weitere Hilfsmittel für bequeme und genaue Zeichnung.

Storcli-

sclmabel-

Das soeben angegebene Verfahren führt zu einem einfachen mechanischen Reduktionsinstrument, dem „Storchschnabel“ oder (Panto-

graph).

„Pantographen“ (vergl. Deutsche Mechanikerzeitung 1903, S. 125 ff.,

1904, S. 244 ff. u. a. 0.). Vier Flachschienen aus Holz oder Metall werden (bei primitiver Form lediglich durch Löcher und durchzusteckende Schrauben nach Fig. 101, für genauere Arbeiten da-

gegen nach Fig. 102) beliebig veränderlich derart miteinander verbunden, dass die Strecken

C₂ Z == Cx c3 Cj c₂ = C₃Z und P C₂: P Cj = C₂ Z : Cx F = m : n.

Es bilden infolge dieser Proportion die mit senkrechten Stiften versehenen Punkte P, Z und F immer eine Gerade, welche Winkel auch die Rahmen P Ci und F Ci miteinander einschliessen mögen. Stellt man daher einen dieser Punkte, z. B. den Polstift P irgendwo fest, und umfährt mit einem zweiten, etwa dem Falirstift F eine beliebige Figur, so beschreibt der Zeichenstift Z, der den Ähn-

lichkeitsstrahl PF in dem konstanten Verhältnis m:n teilt, die gesuchte Figur.

Fig. 101.

•y*

C,

Bei sehr starker Verkleinerung (auf und weniger) wird die Bewegung des Zeichenstifts unsicher. Für diesen Fall fertigt die Firma Ott in Kempten den Doppelpantograph, bei welchem der normale Zeichenstift des einen durch Verkoppelung den Fahrstift eines zweiten Pan-tographen bildet. Der Zeichenstift des letzteren liefert die stark verkleinerte Figur.

z~

Handelt es sich um Plan-vergrösserung, so folgt man mit dem mittleren Stift Z der gegebenen Figur, alsdann zeichnet F die gewünschte Vergrösserung.

Zum Zweck der reinen Kopie kann man Z feststellen. Um-

Fig. 102.

Üfjr .

(CtjM

fährt man dann mit P die Figur, so liefert der Zeichenstift F das symmetrische Bild der ersteren, das man mittels Nadelstichen auf die abgewandte Seite des Zeichenpapiers als direkte Kopie übertragen kann.

B) Auf mechanischem Wege.

Das Original kann liiefür

in Strich- oder Kreidezeichnung, oder

als Halbtonbild (abgetuscht oder bunt bemalt)

ausgeführt sein.

Erfolgt die Vervielfältigung auf dem Weg a) des Drucks, so wird nach dem Original (Spiegelbild) zunächst die „Druckplatte“

hergestellt, von der unter Beigabe von Druckfarbe die Abzüge nach einem geeigneten Druckverfahren gewonnen werden.

Davon grundsätzlich verschieden sind b) die chemischen Verfahren der Kopie, oder Vervielfältigung durch Verwendung lichtempfindlicher Platten, Papiere etc. (Photographie, Lichtpause).

Eine Verbindung beider stellen c) die photomechanischen Verfahren dar, bei welchen der Übertrag der Zeichnung vom Original auf die Platte auf chemischem Wege erfolgt, während die Kopien mittels irgend eines Druckverfahrens gewonnen werden.

Beim

a) Druckverfahren

Druck

verfahren.

unterscheidet man:

a) den Hochdruck, oder Buchdruck,

ß) den Tiefdruck (Gravüre auf Stein-, Kupfer- oder Zinkplatten),

y) den Flachdruck (Steindruck, Lichtdruck).

a) Der Hochdruck:

Die Bild fläche ist auf der Druckform erhaben und steht frei über dem vertieften Grund. Beim Holzschnitt erfolgt dessen Vertiefung mittels des Stichels, beim Zink- oder Kupfercliclie durch Ätzung, gegen welche die durch den fetten Strich der Zeichnung gedeckten Stellen widerstandsfähig sind.)

Die Werkzeuge (Tampon, Walze) tragen die Druckfarbe nur auf die erhabene Bildfläche auf, der Grund bleibt rein. Der Abdruck von der Form erfolgt mittels Pressen durch senkrechten Druck.

ß) Beim Tiefdruck

ist die Bildfläche in die Druckplatte (mittels des Grabstichels oder der Nadel) eingeschnitten. Das Verfahren beruht auf der i. J. 1798 von Alois Senefelder gemachten Entdeckung, wonach ein gewisser Stein, der bei Solnhofen auftretende Kalkstein, die Eigenschaft hat, sich glatt schleifen zu lassen und aufgebrachte Fettstoffe begierig aufzunehmen, während diese Fettaufnahme unterbleibt, wenn die Steinoberfläche mit einer schwach angesäuerten Lösung von Gummi arabicum präpariert wird.

Wird demnach die zu kopierende Zeichnung in eine derart präparierte Steinplatte mittels eines Stichels eingegraben, so wird dabei die präparierte Oberflächenschicht entfernt und der ursprüngliche, für Fette empfängliche Stein blossgelegt. Reibt man jetzt den Stein mit fetter Druckfarbe (Leinölfirnis und Farbstoff) ein, so wird diese von den präparierten hochstehenden, glattpolierten Flächen abgestossen (bezw. ist leicht abzuwischen), während die vertieften Stellen die Farbe aufnehmen. Der Stein zeigt also die wiederzugebende Zeichnung in schwarzen (oder je nach der Druckfarbe gefärbten) Strichen oder Flächen, in welchen die Druckfarbe die eingegrabenen Vertiefungen ausfüllt. (Kupferplatten werden mittels Stichels oder Radierung ebenso bearbeitet, wie der Stein. Dagegen weist deren Oberfläche die Druckfarbe nicht chemisch ab, sondern muss mechanisch gereinigt werden.) Auf die „Druckplatte“ wird das für die Kopie bestimmte, angefeuchtete Papier gelegt. Zieht man beide zusammen durch die Handpresse, so gibt die Platte die Druckfarbe, d. h. die Zeichnung an das in die Vertiefungen gepresste Papier ab.

Zur Vervielfältigung von Plänen mit höherer Auflage wendet man, zumal wenn Masshaltigkeit verlangt wird,

y) den Flachdruck

(direkter Übertrag der Zeichnung auf die Platte), an. Überträgt man eine Zeichnung in fetter Tusche direkt auf den eben geschliffenen, aber nicht präparierten Stein und behandelt ihn hernach mit der oben genannten ätzenden Lösung, so nehmen nur die von der Zeichnung bedeckten und dadurch gegen die ätzende Wirkung der Lösung geschützten Stellen die angeriebene fette Druckfarbe auf, während die geätzten Stellen der Steinoberfläche diese Farbe abstossen, bezw. von ihr leicht gereinigt werden können. Auch hier zeigt also der Stein die wiederzugebende Zeichnung in schwarzer Farbe. Letztere ist aber nicht vertieft, eher ist dies (infolge der Ätzung) mit dem Grund der Fall. Durch die Presse gezogen gibt der Stein an das aufgelegte (nicht angefeuchtete) Zeichenpapier die Zeichnung ab, es entsteht ein masshaltiges Bild in der Druckfarbe.

Statt das Bild direkt auf den Stein zu zeichnen, kann man es auch auf ein mit einer Kleister-, Gummi- oder Leimschicht überzogenes Papier bringen und dieses mit der Zeichenseite auf die Druckplatte legen (Autographie). Setzt man es alsdann einer Pressung aus und befeuchtet es auf der Rückseite, so löst sich die Kleisterschicht auf, welche das fette Bild trägt und dieses bleibt auf der fettempfänglichen Druckplatte haften. Diese benützt man dann, wie oben gezeigt.

Als Ersatz für den kostspieligen und schwerfällig zu behandelnden Stein verwendet man heute auch Platten aus Zink oder Aluminium, deren Oberfläche durch entsprechende Behandlung die angeführte Eigenschaft des Lithographiesteins erteilt wird.

Für die Auswahl unter den oben angedeuteten Druckverfahren ist der verlangte Grad von Feinheit der Kopie, ihre „Mass-haltigkeit“ (Vermeidung des Papiereingangs), der Kostenaufwand, die grössere oder geringere Korrekturfähigkeit etc. bestimmend. Der Tiefdruck liefert die schärfsten Bilder, auch ist speziell der Kupferstich fast unbegrenzt korrekturfähig und in dieser Beziehung der Stein- oder Zinkgravüre weitaus überlegen. Anderseits schädigt die dabei nötige Anfeuchtung des Papiers die Mass-haltigkeit. Man druckt deshalb auch Stiche, bezw. Gravüren auf Stein, Zink oder Aluminium über (Flachdruck), um die erforderliche Auflage auf der lithographischen Schnellpresse hersteilen zu können.

Der Übertrag der Originalzeichnung auf die Kupfer-, Stein- oder Zinkplatte kann, wie oben gezeigt, mit Hilfe einer Handpause, oder auf photographischem Wege erfolgen.

Bei den

b) chemischen Kopierverfahren

wird die Zeichnung durch Belichtung auf ein lichtempfindliches Papier, bezw. eine mit lichtempfindlicher Masse (Chromsalze in Verbindung mit organischen Stoffen, wie Leim, Eiweiss, Gummi, Zucker etc.) übergossene Metallplatte projiziert. Jene Masse verliert durch die Einwirkung des Lichts, also an den im Original nicht überzeichneten Stellen, ihre Fähigkeit, sich in Wasser aufzulösen, während die von der aufgelegten Zeichnung durch schwarze, gelbe, oder rote Striche bezw. Farbe gedeckten Stellen diese Fähigkeit beibehalten.

Das Positiv-Lichtpauseverfahren erfordert ein auf Pauspapier mittels tiefschwarzer, nicht zu feiner Tuschlinien gezeichnetes Original. (Blasse Tusche lässt beim Belichten Strahlen durch und kopiert daher schlecht. Stark radierte Stellen verursachen auf dem Pauspapier wellenförmige Unebenheiten, werden daher im Kopierrahmen nicht genügend auf das lichtempfindliche Papier gepresst. Dies hat zur Folge, dass in der Kopie unterbrochene Linien entstehen.) Dieses Original wird mit der Bildseite gegen die Glasplatte glatt in den Kopierrahmen gelegt und mit dem lichtempfindlichen Papier — gestrichene Seite gegen das Original — bedeckt. Beide Papiere werden mittels des Rahmens fest aneinander gepresst und so dem Licht ausgesetzt. Die Belichtungsdauer ist je nach der Jahreszeit, sowie der Dicke und Farbe des Originals verschieden. Sie genügt, wenn der vom Pauspapier bedeckte Teil des Lichtpausepapiers fast ebenso weiss geworden ist, wie dessen über die Pause vorstehender Rand. Die belichtete Kopie kommt in ein Wasserbad,

in welchem die vom Licht nicht getroffenen Stellen sich schwarz färben, während der Grund weiss bleibt. Nicht völlig auskopierte Pausen zeigen mehr oder weniger ins Violette gehenden Hintergrund.

Dieses Positiv-Lichtpausverfahren, auch Tintenkopierverfahren genannt, beruht auf der Lichtempfindlichkeit gewisser Ferrisalze (Eisenoxydsalze), welche im Lichte in Ferrosalze (Eisenoxydulsalze) übergehen. Durch die darauf folgende Einwirkung von Gallussäure, welche durch eine besondere Methode in das Papier eingeriehen wird, entsteht mit Ferrisalzen ein schwarzer Niederschlag (Tinte) während die Ferrosalze sich nicht oder bei Luftzutritt doch nur langsam mit der erwähnten Säure färben.

Bei sorgfältiger Behandlung und Auswässerung der Kopien bleiben die Striche ziemlich lange schwarz, doch sind sie nicht unbegrenzt haltbar, mit der Zeit blassen sie ab. Auch leidet die Originalpause darunter, dass sie bei jeder Kopie benützt wird.

Ist daher eine grössere Anzahl von Kopien notwendig, so ist es besser, sich zur Schonung des Originals des Sepia-Lichtpausverfahrens, unter Verwendung eines Silbereisenpapiers, zu bedienen. Das Original, das auch auf Zeichenpapier hergestellt sein darf, wird umgekehrt, d. li. mit der Bildseite gegen die lichtempfindliche Seite des erwähnten Silbereisenpapiers gelegt. Durch Belichtung und Wässerung erhält man ein mit weissen Linien auf dunkelbraunem Grunde erscheinendes verkehrtes Negativ. Von diesem lassen sich beliebig viele Positive mit braunen oder blauen Linien auf weissem Grunde herstellen, je nachdem man für diesen Zweck das obengenannte Sepiapapier oder das blausaure Eisenpapier verwendet.

Als dritte Art der Vervielfältigung auf diesem Wege kommen noch die bekannten Blaupausen in Betracht.

Dieses Verfahren gibt nach Zeichnungen negative Kopien, d. h. Kopien mit weissen Linien auf blauem Grunde und ist daher für geodätische Zwecke wenig brauchbar, wenn es auch den Vorteil der rascheren Kopierfähigkeit besitzt.

Der chemische Vorgang beruht hier darauf, dass auf dem mit einem Gemisch von Ferrisalz und Ferrizyankalium bestrichenen Papier nach der Belichtung im Wasserbad ein Niederschlag von Berlinerblau entsteht, durch Reduzierung des Ferrisalzes in Ferrosalz.

Alle diese Verfahren weisen sehr starken Papiereingang auf, weil sie nach der Belichtung in Wasser behandelt werden müssen und geben daher verzerrte Bilder.

Diesen Missstand vermeiden die unter verschiedenen Namen bekannten direkten Kopierverfahren z. B. :

der Gelatinedruck. Er bedingt wieder ein auf möglichst durchsichtiges Pauspapier gezeichnetes Original. Dasselbe wird auf blausaures Eisenpapier kopiert. Die Kopie wird, ohne sie zu wässern, auf eine mit eisenhaltiger Gelatinemasse übergossene Zinkplatte abgeklatscht. Diese Gelatinemasse hat die Eigenschaft, im Sinne des Lithographiesteins zu wirken, d. li. sie nimmt infolge einer Gerbung durch Ferrizyankalium an den unbelichteten Stellen Druckfarbe an und stösst sie andererseits nach dem Prinzip des Steindrucks an den belichteten Stellen ab, weil die vom Lichte getroffenen Stellen erhärtet worden sind und so die Gelatinemasse beim Überklatschen nicht mehr beeinflussen (gerben).

Für die von Hand zu gewinnenden Abdrücke eignet sich jedes glatte Zeichen-, Schreib- oder Pauspapier, doch ist ihre Zahl auf 10—20 beschränkt.

Die Abzüge sind masshaltig, dagegen sind Korrekturen und Nachträge auf der Gelatinemasse ausgeschlossen.

Sind höhere Auflagen erforderlich und stellt man höhere Anforderungen an die Reinheit der Striche, so verwendet man den sogenannten Gisal-, Faksimile- etc. Druck.

Das auf Paus-, oder holzfreiem Zeichenpapier hergestellte Original wird durch Belichtung auf eine lichtempfindliche (mit lichtempfindlicher Lösung, z. B. doppeltchromsaurem Ammonium, übergossene) Zink- oder Aluminiumplatte übertragen. Ein auf die Platte gerichteter leichter Wasserstrahl löst die dabei vom Licht nicht getroffenen Stellen des Aufgusses und schwemmt sie weg, während die vom Licht getroffenen Stellen erhärten und auf der Platte haften bleiben. Nun wird die Platte mit fetter Druckfarbe eingerieben, wobei letztere in die freigelegten Stellen der Metallplatte eindringt. In fliessendes Wasser gebracht, löst sich schliesslich die noch auf der Platte haftende Lösung auf und wird entfernt, so dass die Zeichnung schwarz auf dem Metallgrund der Platte steht.

Um die Abstossung der Druckfarbe von den leeren Stellen der Platte zu bewirken, wird letztere nun mit einer schwach angesäuerten Lösung von Gummi arabicum und Wasser leicht angeätzt und ist damit zum Druck fertig.

Von diesen Platten lässt sich auf der lithographischen Schnellpresse eine beliebige Zahl von Drucken abnehmen, die masshaltig und dem Original völlig getreu sind. An Schönheit kommen sie einem guten Umdruck von einem Stich oder einer Gravüre nahezu

gleich. Nachträge und Korrekturen lassen sich in beschränktem Mass ausführen.

Vollkommener in letzterer Hinsicht, sowie in Beziehung auf etwaige Änderung des Massstabverhältnisses (Planeingang) sind:

c) die photomechanischen Verfahren.

1. Die Heliogravüre.

Ein verkehrtes photographisches Negativ der bis ins kleinste Detail durchgeführten Originalzeichnung wird durch Belichtung auf eine mit einer Chromsalzlösung übergossene versilberte Kupferplatte übertragen. Bei der darauffolgenden Wässerung werden die nicht belichteten Stellen der Salzschichte aufgelöst und von der Platte weggeschwemmt, während diese an den anderen Stellen erhärtet. Von der so erhaltenen Reliefplatte fertigt man auf galvanischem Wege eine Tiefdruckplatte in Kupfer.

Der Übertrag des Bildes auf die Platte mittels der Photographie gestattet, im Gegensatz zu den früher beschriebenen Verfahren, die Anwendung jeder beliebigen proportionalen Vergrösse-rung oder Verkleinerung des Originalbildes (z. B. auch Papiereingang).

Ähnlich ist die Behandlung mittels

2. der Photolithographie.

Hiebei wird das photographische Negativ des Bildes mittels lichtempfindlichen Chromgelatinepapiers, auf welches die Zeichnung kopiert und mit fetter Farbe eingeschwärzt ist, oder direkt auf die Platte übertragen. Letzteres Verfahren ist in Rücksicht auf die Masshaltigkeit und die Schärfe der Linien vorzuziehen und mag nachstehend kurz angegeben sein: Ein verkehrtes photographisches Negativ wird durch Belichtung auf eine mit einer Chromsalzlösung präparierte Aluminium- oder Zinkplatte übertragen. Diese wird in dunklem Raum mit Druckerschwärze angerieben und sodann in ein Wasserbad gebracht, wobei sich an den vom Licht nicht getroffenen Stellen die Farbe samt der Salzschicht ablöst. Die Platte enthält also dann nur das Spiegelbild des Originalplans, und bedarf lediglich noch einer Ätzung, um druckfertig zu sein. Die lithographische Presse liefert hievon, wie bei der Federzeichnung oder der Auto-graphie, direkt, d. h. ohne Umdruck, masshaltige Trockendrucke in unbegrenzter Zahl.

Ein weiteres Verfahren für die Anfertigung von Tabellen, Übersichtsplänen, graphischen Darstellungen etc. bildet, wenn es sich um grosse Auflagen handelt, die Anwendung der

3. Zinkhochätzung,

einer auf photomechanischem Weg hergestellten in der Buchdruckerpresse verwendbaren Druckform (Cliche).

Mit den bisher angeführten Verfahren lassen sich kolorierte Flächen nicht wiedergehen. Durch Einschaltung von Glasplatten, auf welchen feine, parallel und nahe beieinander verlaufende, schwarze Linien in sich kreuzenden Richtungen gezogen sind „Rasterplatten“ in die photographische Kamera ist es aber möglich, die geschlossenen Halbtöne der Photographie in Punkte aufzulösen, die durch weisse Zwischenräume getrennt, in der Kopie den Eindruck des Halbtons oder Kolorits erzeugen. Das derart bei der Aufnahme in Punkte aufgelöste photographische Negativ wird zur Herstellung einer Druckform für den Buch- oder Steindruck verwendet.

Dieses Verfahren der

4. Autotypie

ist allerdings kaum für die Wiedergabe geometrischer Pläne geeignet, weil es deren Schriften und Linien gleichfalls auflöst, wohl aber für diejenige von Ansichten, architektonischen Bildern etc. Sie liefert Druckformen sowohl für den Stein- als auch für den Buchdruck.

Ist das Original in Farben ausgeführt, so verwendet man zur Vervielfältigung den

5. Lichtdruck,

ein photomechanisches Verfahren, hei welchem die belichtete Chromgelatineschicht direkt als Druckplatte benützt wird und die Farben des Originals einfarbig, aber in ihren Tonarten wiedergibt.

Verlangt man eine farbige Wiedergabe der verschiedenen Farben des Originals durch

6. Farbendruck,

so erfordert jede einzelne Farbe eine besondere (je nur mit der für sie gewählten Druckfarbe angeriebene) Druckplatte. Diese wird ganz ebenso behandelt, wie im vorhergehenden gezeigt wurde.

Sind auf die Pläne Flächentöne einzudrucken, so geschieht dies auf dem Wege des lithographischen Farbendrucks. Der Abdruck auf einem festen, masshaltenden Papier wird mit Rötel eingestäubt, der an den fetten Stellen der Druckfarbe haften bleibt und so auf die für den Flächenton bestimmte Stein-, Zink- oder Aluminiumplatte abgeklatscht werden kann. Der jetzt nur lose auf der Platte sitzende rote Staub gibt die Ausdehnung der Flächentöne und kann nach Deckung der Konturen leicht ahgewischt werden. Die farbig zu gehenden Flächen werden jetzt mit lithographischer Tusche gedeckt und wie hei der Photolithographie weiter behandelt.

Durch Strich- oder Punkttöne (Raster) lassen sich noch Abstufungen in den Farbwerten erreichen.

Zieht man einen Vergleich zwischen den vorgeführten Reproduktionsverfahren, so zeigt sich in Rücksicht auf die Feinheit der Kopie der Kupferstich und die Gravur auf Stein unübertroffen.

Dagegen weisen die photomechanischen Verfahren folgende Vorzüge auf:

1.    Das zeitraubende Übertragen der Zeichnung von Hand fällt weg.

2.    Übertragungsfehler sind ausgeschlossen.

3.    Das Gravieren, bezw. Stechen fällt weg.

4.    Das Lesen der Korrekturen beschränkt sich auf ein Minimum.

5.    Die Zeichnung kann in beliebigem Verhältnis vergrössert oder verkleinert werden. Bei Verkleinerung nimmt die Strichreinheit und -Schärfe zu.

6.    Die Kosten wie auch der Zeitaufwand für die Herstellung der Druckplatte sind erheblich niedriger.

Kapitel VI-

Rechenhilfsmittel.

(Eine eingehende Behandlung dieses Gegenstandes vergl. u. a. Mehmke, Enzyklopädie der mathematischen Wissenschaften, Band I, S. 938—1079.)

Die Umarbeitung der gemessenen Strecken und Winkel in andere Formen — Koordinaten, Richtungswinkel etc. — sowie zur Auswertung von Flächen- und Körpermassen erfordert ausgedehnte Rechnungen, deren Abkürzung unter Verminderung der geistigen Beanspruchung bezw. möglichster Ersetzung durch mechanische Verrichtungen wünschenswert ist. Hiezu dienen verschiedenerlei Kunstgriffe und Hilfsmittel. Wir unterscheiden:

1.    Methoden zur Erleichterung und Sicherung der direkten Rechnung.

2.    Tafelwerke.

3.    Mechanische Hilfsmittel.

4.    Graphische Tafeln.

§ 22. Methoden zur Erleichterung und Sicherung der direkten

Rechnung.

Eine Vorführung der verschiedenen Wege für vollständige, wie auch für abgekürzte Multiplikation, Division etc. möge hier unterbleiben. Dagegen sei gezeigt:

923,82

2110,82 1187,00

923,82

2. Genäherte Division mit Zahlen oder Quotienten nahe bei 1, 10 etc.

Die algebraische Durchführung der Division führt zu folgenden Ausdrücken:

Für sehr kleines

(a)

1. Die Einführung dekadischer Ergänzungen für die Addition und Subtraktion.

Dekadische

Ergänzungen.

Die Addition einer Anzahl teils positiver, teils negativer Summanden erfolgt zumeist getrennt für die Gruppe der positiven und der negativen Summanden je für sich, und nachträgliche Bildung des Unterschieds beider Gruppen. Diese Behandlung erfordert aber neben dreiteiliger Summation eine Trennung der Summanden nach ihrem Vorzeichen, also doppelte Vertikalspalten. Die hiedurch bedingte Tabellenerweiterung wird nach dem Vorgang der preussischen Landesaufnahme vermieden durch Zerlegung jedes negativen Summanden in die Differenz zweier Zahlen, deren Subtrahend eine Potenz von 10, und deren Minuend die dekadische Ergänzung des ursprünglichen negativen Summanden zu dieser Potenz ist. Der negative Summand wird alsdann durch eine einzige negative Einheit an passender Stelle ersetzt, die bei der Addition leicht zu berücksichtigen ist.

Als Zeichen für sie wurde ein liegendes Kreuz an derbetreffenden Stelle eingeführt. Dies berücksichtigend schreiben wir jetzt statt    —    26243,18    jetzt x 73756,82

Beispiel: Man bilde die Summe nachfolgender Zahlen: auf gewöhnliche Weise

X 248,92 x3,06

x,16

,x6

mit Benützung dekadischer Ergänzungen

48,92

| 364,08

712,94

815,08

1348,96

° r¹

GO

48,92 x 635,92 712,94 x 184,92 1348,96 x 2,34

x,82

1 — x -j- X² — x³ -J- X⁴ — • • • x kann man daher setzen:

a-)- x

(b)

Für sehr kleines x —'•

. - ——

' a + x    a-

^T-t|¹ + T+^ + ‘

Für sehr kleines x —’•

7r+T*+^-f •••

x- -¹ +

x a ¹

(C)

1+ -

a

— 1 -j-

(d)

a* T+x"~a (1 —x) hi-* ■' i.'-v '    - s)

Beispiele :

100,64    100 X 1,0064

¹    0,9939

1,0061 ~

0,9992 ~ 1,0008

0,9936    ,    1

TÖÖ~oder~-/

67,32 1,000086

0,64

100 10000

— 67,32 X 0,999965

1,00062

999,38    1000 X 0,99938

oder —    ¹

1000

0,62

265,74    265,74 X 1,000378

999,622 ~

Mit Rechenschieber-Ausrechnung des zweiten Summanden Mit Rechenschieber-Ausrechnung des zweiten Summanden

1000

1000 ¹ 1000 000

-0,999844    (

— 1,0000808 (

3. Genähertes Ausziehen der Quadratwurzel von Zahlen nahe bei 1.

Die Anwendung des binomischen Lehrsatzes liefert:

V"l + x = (l + XV' = ¹ +    1 I“ TF

und für kleines x — ’• VI x ~ 1 +

384,26

384,32

-i +

0,06

384

0,048

594

(e)

Vi

= (1 — X)i = 1 — ~

MM

x³

16

und für kleines x — .'-V¹ — x — 1 — -g-

B eispiel:

V 1,0064 - 1,0032; VTÖÖÄ>4 = V 1,0064 X 10Ö- 10 X 1,0032; Vo^999982 — 0,9999!) 1;

V9999,82 = V10000 X 0,999982 — 100 X 0,999991.

4. Successive Annäherung an einen Wurz eiwert. (Berechnung des Kopfmasses k aus der grossen Kathete Ax und der kleinen Kathete Ay eines rechtwinkligen Dreiecks, oder Berechnung der grossen Kathete A x aus dem Kopfmass k und der kleinen Kathete /ly). Allgemein ist:

k² = (Zl x)² —f- (zl y)²

also k² — (4x)² = (k-f- Ax) (k — Ax) = (Ay)2 k — zlx

(f)

(4y)²__ (4 y)»    (^y)²

⁻ k 4 x 2k 2 (4 x) ‘

Der Unterschied zwischen dem Kopfmass und der grossen Kathete kann hienach mittels des Bechenschiebers (s. § 24) zunächst genähert aus einer der hinteren Formeln (f) bestimmt werden.

von 2 k

Alf, p '4'^

-7,08 \-^

Fig. 103.

ATjr//,22

a oc₂ = 48,82

AüCt = ?

Ihn

abziehend

erhält man den Nenner (k —(— x)

zu 2 (4 x) zuschlagend und damit auch wieder den Unterschied (k — Ax) schärfer u. s. f.

Beispiele siehe beim „Bechenschieber“.

5. Neunerprobe für die verschiedenen Bechenoperationen.

Eine beliebige, mehrstellige, nach der arabischen Schreibweise geschriebene Zahl a b c d e stellt die Summe von e Einern, d Zehnern, c Hundertern, b Tausendern, a Zehntausendern dar, heisst also ausgeführt: a X 10000 -f-b X 1000 + c X 100 -f- d X 10 -j- e.

Da nun 10000 = 9999 -j- 1 999 + 1 99 -j- 1 9 + 1

Teilbarkeit durch 9.

1000 =

100 =

10 =

so lässt sich obige Zahl auch schreiben

a (9999 -f 1) -f b (999 + 1) + c (99 + 1) + d (9 + 1) + e

Klammer I'

= (9999 a + 999 b -f 99 c + 9 d) -j- (a + b + c + d + e) Ebenso können wir die nach arabischer Schreibweise geschriebene Zahl m n o p auseinanderziehen in:

m (999 + 1) + n (99 + 1) + o (9 -f 1) + p

Klammer IX'

= (999 m -j- 99 n + 9 o) -f- (m -j- n + o + p)

Die erste Klammer ist in beiden Fällen «durch 9 teilbar.

Jede der beiden Zahlen ist es also gleichfalls, wenn die zweite Klammer, d. h. die „Quersumme“ ihrer Ziffern durch 9 teilbar ist, oder: Wenn man von einer Zahl ihre Quersumme ab-

Klammer I

Klammer II

zieht, so ist der Rest durch 9 teilbar. Folglich ist auch die Summe zweier, oder beliebig vieler Zahlen durch 9 teilbar, wenn man von fiirUAdditio,?. jedem Summanden seine Quersumme (oder wenigstens deren Über

schuss über ein Vielfaches von 9), d. h. wenn man von der Summe der Zahlen die Summe der Quersummen (oder wenigstens ihren Überschuss über ein Vielfaches von 9) abzieht.

Beispiel:

46 815 Quersumme 24. 7 822

19

Ihr Überschuss über ein ,. Vielfaches von 9 ist ¹

935

17

116712

18

Summe der Quersummen

* 78

2 = 172 284

den Überschuss der 1 me der Quersummen über /    f}

ein Vielfaches von 9    >

172 278.

Dieser Rest muss, als Probe für richtige Addition, durch 9 teilbar sein, also eine durch 9 teilbare Quersumme besitzen.

Im Fall der Subtraktion ist die Quersumme des Subtrahenden von der des Minuenden abzuziehen.

hievon ab Sum

Analog ist die Neunerprobe für Multiplikation:

Neuu erprobe für Multiplikation. benen beiden Faktoren

Von dem Produkt der nach arabischer Schreibweise geschrie-

abcdeXmnop = (Klammerl -(- Klammer P) (Kl. II -f- Kl. IP) ist in der Ausführung jedes Teilprodukt durch 9 teilbar, das die Klammer I, oder Klammer II als Faktor enthält. Folglich ist es auch das Gesamtresultat abcde X mnop und damit seine Quersumme, sobald auch der letzte Summand

(Klammer P X Klammer IP),

d. h. das Produkt beider Quersummen durch 9 teilbar ist.

Trifft dies nicht zu, so muss das Produkt der beiden Faktoren-Quersummen, als einziger nicht durch 9 teilbarer Summand, das nächstgelegene Vielfache von 9 um ebensoviel überschiessen, als das Schlussresultat, also auch die Quersumme des Schlussresultats es tut.

Ihr Überschuss über ein Vielfaches von 9, d. h. „der Neunerrest“ ist

Dieselbe Probe gilt natürlich für jede Zeile der ausgeführten Multiplikation.

Beispiel:

38653 Quersumme 25.

19

973

115959

270571

347877

30

22

36

37609369

43

3 — 2 7 — 5 9 — 7 1 — 0

9 = 7.

Die Neuner probe für die Division geht aus derjenigen für die Multiplikation hervor. Die Begriffsbestimmung:

Dividend = Divisor X Quotient -j- Rest ergibt

a)    für Rest = 0 (Division geht auf)

Neunerrest der Quersumme des Dividenden = Neunerrest des Produkts aus den Quersummen von Divisor und Quotient;

b)    für Rest nicht = 0 (Division geht nicht auf)

Neunerrest der Quersumme des Dividenden = Neunerrest des Produkts aus den Quersummen von Divisor und Quotient -f Neunerrest des Restes.

Auch hier lässt sich jeder Schritt der Rechnung für sich prüfen. Beispiel zu a) mit Beschränkung auf die Schlussprobe:

Neunerrest = 5

Neunerrest = 7 Neunerrest = 2

75218738 : 38653 36565 17780 23191 00000

1946

Probe: 2X7 — nächstvielfackem von 9 = 14 — 9 = 5 = Neunerrest des Dividenden.

Beispiel zu b) mit schrittweiser Probe:

Neunerrest = 6 Neunerrest = 5

Neunerrest

2367 5 4 6 5

57649758 : 2435

894

1644

1837

1330

Neunerrest Neunerrest Neunerrest 0 Neunerrest = 5

t-H

i—> ür CO to CO CO *U CO O

. . . to O

oi y y Y

lO © CO CU

io lO »o o

+ + + H-

QO CD CO lO

co cd co

CD

SS

<2

CD

co >d

CD CD CO CO

wie beim Dividenden.

Die Begriffsbestimmung für das Radizieren

Exponent

-f- Rest

Radikand = Wurzel ergibt für die Quadratwurzel

wurzel.

Radikand — Wurzel X Wurzel -j- Rest, also Neunerrest des Radikanden = (Neunerrest der Wurzel)² ^eune^probe -J- Neunerrest des Restes.

to to to

CO 00

Beispiel für rationale Wurzel:

Neunerrest_7!

V2062096 = 1436

10

171

0000

(Neunerrest der Wurzel)² = 5² = 25 hat den Neunerrest 7, wie der Radikand.

Beispiel für irrationale Wurzel:

Neunerrest

V4Ö379521 = 695553 12 -< 12 138-<—76 391CM—770

13910^--- 7496

139110-<-54075    (

1234191(

Probe:

(Neunerrestv. 6955)² + 8 = 49 + 8 = 57, N^“ter'3 . 69555)²+3 = 9 + 3 = 12,    „

695553)² + 3 = 36 + 3 = 39,    „    3

wie beim Radikand

en.

Ähnlich wie die Neunerprobe sind die Iler, 37er, 101er Probe. Eine untrügliche Garantie gegen Rechenfehler bietet jedoch keine derselben. Zum Beispiel zeigt die Neunerprobe weder Stellenversetzungen, noch die Verwendung einer unrichtigen Faktorziffer an, wenn der andere Faktor den Neunerrest 0 hat.

Man wird daher der Neunerprobe noch eine zweite ergänzende Probe, z. B. Rechenschieberrechnung zugesellen.

§ 23. Tafelwerke.

Für häufig Vorkommen de Beziehungen zwischen mehreren veränderlichen Grössen kann man deren einander entsprechende Zahlenwerte ein für allemal gewissermassen auf Vorrat berechnen und, in Zahlentafeln eingeordnet, der bequemen und allgemeinen Verwendung zugänglich machen.

Diesen Zahlentafeln ist folgende Einrichtung gemeinsam:

Einargu-

mentige

Tafeln.

Die Werte der einen Veränderlichen, des Arguments, die man in gleichen runden Intervallen fortschreiten lässt, füllen die linke Vertikalspalte, den „Einlauf“, aus, die zugehörigen Werte der zweiten Veränderlichen, die Funktionswerte, stehen rechts dabei:    .________ ___-—-

Argument Funktion

O I—I CM CO

O t- Ol CO CM IO OO O

© <o © i-T

Will man die Argumentintervalle auf ¹/₁₀ der vorherigen reduzieren, wodurch obige Tafel zu lang und schwerfällig würde, so wird der Einlauf auch auf die Köpfe der zehn nebeneinander angeordneten, zur Aufnahme der Funktions werte bestimmten Vertikalspalten ausgedehnt. Der zu einem aus Einern und Zehnteln gebildeten Argument gehörige Funktions wert findet sich dann im Schnittpunkt der zu den ersteren gehörigen Horizontal- bezw. Vertikalspalten.

Beispiel.

Argument

,0 ,1 ,2

,3    ,4    ,5    ,6    ,7

,8

,9

ui

a>

ct>

to

Wächst die Zahl der Argumente, von denen jeder Funktions- Zwei-

argumentige

wert abhängig ist, auf zwei, so kann man die runden Werte des Tatern, einen Arguments links in vertikaler, die des andern oben in horizontaler Reihe und den jedem Argumentpaar zugehörigen Funktionswert im Schnittpunkt der durch die beiden Argumentwerte bestimmten Reihen anordnen.

Beispiel: Kilometerzeiger (Ortsentfernungen in km)

Bezirk Sorte

Cannstatt

Fellbach

Hedeltingen

Lobenrotli

Mühlhausen

Münster

Obertürk

heim

Öffingen

Rohracker

Cannstatt

5,0

6,8    14,7

2,2    6,5

6,2

CD

Fellbach

6,8    9,0

6,6

7,2    6,5

8,7

Hedeltingen

15,9

13,3

Lobenrotli

20,6

9,0    1,6

16,3 15,6

11,1

13,5

1,9

Mühlhausen

4,3    13,0

Ebenso Taglohntabelle etc.

Die vorgeführte Anordnung ist nur durchführbar, wenn die Zahl der beiderseits in Betracht kommenden Argumentwerte klein ist. Kommen für eines der beiden Argumente viele Werte in Betracht,

so ordnet man das andere in

horizontaler Reihe oben vertikaler Reihe links

an und zer-

horizontale vertikale

von Seiten. Ist die Zahl von Werten bei beiden Argumenten gross, so dass sowohl in horizontaler als in vertikaler Richtung eine Seite der Tafel nicht ausreicht, so löst man die letztere in so viele Einzeltafeln auf, als das eine von beiden Argumenten Werte annimmt. (Beispiel: Die Crellesche Multiplikationstafel.) Jeder dieser Werte gilt dann für die ihm zugehörige Einzeltafel als Konstante und die Tafel nimmt die Seite 163 gezeigte Form an.

Hängen die Funktionswerte gleichzeitig von mehr als zwei unabhängigen veränderlichen Argumenten ab (Körperinhalte, Zins etc.), so ist ihre Unterbringung in Zahlentafeln dann unzweckmässig, wenn für alle diese Veränderliche eine grosse Zahl von Werten in Frage kommt. Bei geringer Zahl von Werten einer der Veränderlichen zerfällt das Zahlenwerk in eine ebenso grosse Zahl zweiargumentiger Einzeltafeln.

Sind die Funktionswerte, wie dies die Regel sein wird, Irrationalzahlen, so muss man sich bei Anlegung der Tafeln entscheiden, auf wieviele Dezimalstellen jeder von der ersteren berechnet und angegeben werden will.

Man hat demnach zu unterscheiden: einerseits zwischen Tafeln mit 1, 2 und mehr Argumenten, anderseits zwischen 3-, 4-, 5-, 6- und mehrstelligen Tafeln.

Für die Grösse der Argumentintervalle ist die Art der darzustellenden Funktion und die Stellenzahl massgebend, mit der ihre Werte angegeben werden wollen.

Ist die Funktion linear (fx = m . x -f- n), so könnten die Argumentintervalle an sich beliebig gross sein. Die genaue Einschaltung (Interpolation) des Funktionswerts zu einem beliebigen, nicht in der Tafel direkt angegebenen Argument, würde lediglich eine Proportionalrechnung beanspruchen, die durch Beifügung einer einzigen Proportionaltafel für das Fortschreiten der Funktionswerte

auf -/u, i o in Tö'Mi

umgestaltet werden könnte. Trotzdem wird man auch hier die Argumentintervalle der Bequemlichkeit halber (möglichst kleiner Proportionalzuschlag) um so weniger gross machen, je grösser die verlangte Zahl von Dezimalstellen ist.

Noch stärker beschränkt ist man in der Grösse der Argumentintervalle bei Darstellung einer nicht linearen Funktion (Funktion höherer algebraischer Ordnung, transzendente Funktion), namentlich

legt die Tafel durch

Tafel

mit mehr als zwei

Argumenten.

Stellenzahl.

Argument-

intervalle.

Trennungsstriche in die nötige Zahl

des Argumentintervalls in eine einfache Addition

an denjenigen Stellen, an denen sich die Funktionswerte y=(fx) besonders unregelmässig verändern. Unter keinen Umständen dürfen die Argumentintervalle so gross sein, dass die lineare (proportionale) Interpolation zwischen zwei Tafelwerte herein irgendwo einen Funk

tionswert y liefert, der um mehr als ¹j₂ Einheit der letzten Stelle unrichtig ist. (In Fig. 104, wo die zusammengehörigen Argument-und Funktionswerte als rechtwinklige Koordinaten aufgetragen sind, würde z. B. die lineare Interpolation zwischen die normalen Argumente x = 9 und x = 10 herein Funktions-

Fig 104.

werte y bis zur punktiertenGeraden, statt zur Funktionskurve liefern, also erhebliche Ungenauigkeiten zur Folge haben.)

Aus diesem Grund ist es oft zweckmässig, die Argumentintervalle gruppenweise zu verändern.

Zu den 1-argumentigen Tafeln gehören:

DieUmwandlungstaf ein für Winkel-,

Längen-, Flächen-, und Körpermasse, für Geld etc.

Die Quadrattafeln (Gauss, Joppen, Ludwig Zimmermann, Ehrhardt u. a.), und die Kubiktafeln. Die Tafeln für die goniometrischen Funktionen und deren Logarithmen, die Logarithmentafeln etc.

Letztere werden in der Geodäsie am häufigsten gebraucht und sind in 3, 4, 5, 6, 7 und mehr Dezimalstellen für alte und neue Kreisteilung (Vega, Callet, Borda-Delambre, Wiberg, Bremiker, Plansoles, Jordan, Gauss, Wittstein, Schlömilch, Wild, Göschen, Treutlein u. a.) im Buchhandel.

Zu den 2-argumentigen Tafeln gehören:

Die Kilometerzeiger, die Multiplikations- (Crelle, Ernst, Dr. H. Zimmermann, Ludwig Zimmermann, Henselin, Cario-Schmidt u. a.), Koordinaten- (Gauss, Defert, Clouth, Löwe, Ulffers, Dittmann, Reissig, Fenner und Reutzel, Seyffert u. a.) und Tachymetertafeln (Jordan, Jadanzau. a.), die Tafeln für die höchstens zulässigen Messungsfehler in verschiedenen Geländeklassen, die Tafeln für Kreisbogenabsteckung (Hanhart und Waldner, Knoll-Weitbrecht, Sarrazin-Overbeck, Jordan, Winkel, Kröhnke, Kauffmann, Schulze, Hecht, Morawitz, Gysin u. a.), für barometrische Höhenmessung (Schoder, Jordan u. a.); die Taglohnlisten etc.

3-argumentige Tafeln mit beschränkter Ausdehnung des einen oder anderen Arguments sind:

Die Zinstafeln, Tafeln für die Inhaltsberechnung der Bauhölzer etc.

+ oc

Argutn entwerte oc

r-s

FunJctionsmertey

Die Beschreibung der speziellen Einrichtung dieser Tafelwerke und ihrer Anwendung darf hier übergangen werden.

er o

jliiuliuilaiiliinm ®

niHiiniiimiiinmnuB

C|    •

ranrnmmffliS

uhLiliIj

Fig. 105 a.

§ 24. Mechanische Rechenhilfsmittel.

Das einfachste, für die allgemeine Anwendung geeignete, mechanische Rechenhilfsmittel ist

1. Der „ Logarithmische Rechenstab“, oder „Rechenschieber“. (Vergl. u. a. Hammer, „der log. Rechenschieber“, Stuttgart 1908). Dem Wesen nach schon um 1620 von dem englischen Astronomen Gunter erfunden, beruht er auf dem Gedanken, dass man durch passendes Aneinanderreihen von Strecken, deren Länge den Logarithmen der Faktoren eines Produkts entsprechen, die zum Logarithmus dieses Produkts gehörige Strecke, und falls die logarithmischen Strecken mit den zugehörigen numeri beziffert sind, das Produkt selbst, erhält.

B e s c h r e i b u n g a) desgewöhnlichen Rechenschiebers (s. Fig. 105 a und h).

Er besteht aus einem 26 cm langen Stab S mit zwei Nuten Ni (s. Fig. 105 b), in welchen die Zunge (der Schieber) Z, verschoben werden kann. Die oberen, in einer Ebene liegenden Flächen von Stab und Zunge tragen logarithmische Teilungen und zwar wird die Teilungslänge von 25 cm von den einander kongruenten Teilungen A und B zu zweimaliger Darstellung der Logarithmen der Zahlen 1 — 10

Fig. 105 b.

A BCD

IlSiiNj

*fj 1111 mui1111fff i

(log l = o, log 10 = 1 = 12,5 cm)

(oder zur einmaligen Darstellung der Logarithmen von den Zahlen 1 bis 100) benützt. Die beiden unteren, ebenfalls einander kongruenten Teilungen C und D bringen auf derselben Länge die Logarithmen der Zahlen 1 —10 nur einmal, (also im doppelten Massstab) zur Darstellung. Für Multiplikationen, Divisionen etc. kann man also die oberen Teilungen A und B ebensogut benützen, wie die unteren Teilungen C und D, nur ergeben letztere ein genaueres Resultat. Die Bezifferung

und Länge der Teilstriche entspricht den zugehörigen Numeri. Der Läufer (Reiter), L, welcher in zwei, aussen am Stab (Lineal) eingefrästen Nuten N₂ ebenfalls verschiebbar ist, besteht neuerdings zumeist aus einem metallenen Rahmen mit Glasplatte und auf ihr eingeätztem, senkrecht zur Teilkante gerichtetem Ablesestrich. Dieser hat den Zweck, Punkte einer der Teilungen ohne Anstrengung fürs Auge festzuhalten, oder auf eine andere Teilung zu projizieren.

Die Rückseite der Zunge enthält drei weitere Teilungen, eine mittlere, welche die Teilungslänge von 25 cm in 500 gleiche Teile zerlegt und zwei äussere, für die Logarithmen der Funktionen sinus (S) und tangens (T) spitzer Winkel.

Wert und lineare Grösse der Teilungsintervalle sind auf den Teilungen A bis D und den beiden hinteren Aussenteilungen, entsprechend dem ungleichmässigen Fortschreiten der dargestellten Funktionen, wechselnd, und durch Strichlängen und -Bezifferung kenntlich gemacht.

Das wichtigste Erfordernis für eine innerhalb der durch das Instrument bedingten Genauigkeitsgrenzen fehlerfreie Rechnung mit dem Rechenschieber ist die nur durch Übung zu erlangende Sicherheit in der raschen Ablesung jeder beliebigen Stelle der Teilungen.

Anwendung des Rechenschiebers auf die in der Vermessungspraxis häufig auftretenden Rechnungsformen:

1. Multiplikation.

Beispiel: 3,83 X 5,12 =?

stelle Jr. c auf 3,83 von D „    „ unterhalb 5,12 „ C „ I) „    „    19,60 „ ' § £

Die Vertauschung der Faktoren ändert am Ergebnis nichts. Sind mehrere Multiplikationen durchzuführen und tritt ein und derselbe Faktor wiederholt auf, so bleibt die Zungenstellung unverändert, nachdem ihr Index auf jenen konstanten Faktor eingestellt ist. Mit welchem der Indices die Einstellung erfolgt (d. h. etwaige Verschiebung der Zunge um ihre halbe, oder ganze Länge bei Rechnung oben, um ihre ganze Länge bei Rechnung unten), ist, bei Ermittlung der Kommastellung durch Überschlagung, gleichgültig.

Beispiel: 12,35 X 4,75 x 3,14 =?

Rechnung oben:

Stelle J], b auf 12,35 von A und Jl auf 4,75 von B; sodann Ji, b auf Jl und lese oberhalb 314 von B auf A das Schlussergebnis 184 ab.

x) Die Indices der verschiedenen Teilungen A, B, C und D und des Reiters L mögen künftig kurz mit j, A> jm A, jr a;

bezeichnet sein.

Jl, B; Jm, B 5 Jr, B j Jl, C> Jr, Ci Jr,Dj Jl, U

Jl

Rechnung unten:

Stelle Ji, c auf 12,35 von D und JL auf 4,75 von C, sodann Jr c auf Jl ein und lese unterhalb 3,14 von C auf D das Schlussergebnis 184 1 ab.

2. Division.

48,93

9,76

Beispiel:

Rechnung oben:

Stelle 9,76 von B auf 48,93 von A und lese oberhalb eines der Indices von B auf A das Resultat 5,01 ab.

Rechnung unten:

Stelle 976 von C auf 4893 von D und lese unterhalb Jr von C auf D das Resultat 5,01 ab.

Bleibt für eine Reihe von Brüchen der Dividend unverändert, so stellt man den Reiter Jl auf diesen konstanten Dividenden unter Benützung von Teilung A oder II ein und bringt die Zunge unter Benützung der Teilung B oder 0 der Reihe nach mit dem veränderlichen Divisor unter den Reiterindex. Die Ablesung des Resultats erfolgt auf A oder D je nachdem die erste Einstellung auf A oder D (die Divisoreinstellung auf B oder C) erfolgte. (Eine zweite Lösung mit Umkehrung der Zunge bleibt, als weniger zweckmässig, hier weg.) Ist umgekehrt für eine Anzahl von Brüchen der Divisor konstant,

so bringt man den ihm entsprechenden Punkt der Teilung zur Übereinstimmung

oberhalb unterhalb

des dem veränderlichen Dividenden entsprechenden Punktes der Teilung ^

0

das Resultat ab.

mit einem der Indices der Teilungen

und liest der Reihe nach

auf der Teilung

3. Multiplikation und Division mit beliebig vielen Faktoren.

Die Aufgabe stellt eine Erweiterung der bisherigen nur insofern vor, als man darauf verzichtet, die Zwischenresultate, welche als Produkt oder Quotient je zweier Zahlen sich ergeben, abzulesen. Man stellt vielmehr jedes solche Zwischenresultat lediglich mit dem Reiterindex ein und verfährt mit dieser Einstellung weiter, wie wenn sie den einen Faktor eines zweigliedrigen Produkts, oder den Dividenden eines Bruchs darstellen würde. Da die Reihenfolge der Multiplikationen und Divisionen das Endresultat nicht beeinflusst, so kann man durch entsprechende Abwechslung zwischen Multiplikation und Division auch hei Verwendung der unteren Teilung dafür sorgen, dass Verschiebungen der

Zunge um ihre ganze Länge erspart werden können. Zu merken ist nur: Bei Multiplikation Division

wird immer der

Schieberindex

dem Divisor entsprechende Schieb erteilpunkt auf das Zwischenresultat (Reiterindex) eingestellt und hernach der letztere auf dem nächsten Faktor entsprechenden Schieberteilpunkt Schieberindex

Vermessungspraxis besonders häufig auftretende Aufgabe dieser Art ist die

„Proportionalrechnung“. Bei jeder beliebigen Schieberstellung zeigen einerseits die miteinander übereinstimmenden Teilpunkte der Teilungen A und B, anderseits diejenigen der Teilungen C und D alle in gleichem geometrischem Verhältnis zueinander stehende Zahlen, z. B.

den

gebracht. Eine in der

5:3

6 : 3,6 = 7 : 4,2 = 8 : 4,8 = 9 : 5,4 =

10

H CO

etc.

Stellt man daher den Schieber dem gegebenen Verhältnis entsprechend auf die Linealteilung ein, so kann man zu einer dritten Zahl die im selben Verhältnis stehende vierte auf dem Lineal oberhalb der betreffenden Schieberteilstelle ablesen.

Fig. 100.

+JC

atA?__

77^

i /

Im Interesse bequemer und sicherer Rechnung sorgt man durch entsprechende Aufstellung, und nötigenfalls Umformung des Grundverhältnisses dafür, dass

1.    die gesuchte Grösse immer dieselbe Stellung nb’,J2 in der Proportion einnimmt (4. Glied),

2.    kein Wert ohne Probe gerechnet wird und

3.    für die auf der Rechenschieberteilung abzulesende gesuchte Zahl drei zählende Ziffern (Rechenschiebergenauigkeit) genügen.

Die Bedingung (2) ist erfüllt, wenn es gelingt,

die zu berechnenden Grössen so auszuwählen, dass ihre Summe oder Differenz zum voraus bekannt ist

(s. hiezu Fig. 106).

Um die dritte Bedingung zu erfüllen, ist es oft nötig, das Grundverhältnis umzuformen.

Zu diesem Zweck werden folgende Sätze an-

gewandt:

23,26

tA

a) In jeder Proportion verhält sich das erste Glied zur Differenz des lten und 2ten, wie das 3te Glied zur Differenz des 3ten und 4ten.

b) Eine Proportion bleibt richtig, wenn man ein äusseres und ein inneres Glied mit derselben Zahl multipliziert, oder dividiert.

Beispiel: Die Koordinaten der in obiger Skizze durch Kopfmasse eingemessenen Punkte sind mittels des Rechenschiebers unter durchgreifender Probe zu berechnen.

Man entnimmt der Figur

Rechenschieber

(Ak-Ax)¹)

94,90    :

(18,98)²)

92,86    27,66 A x

— (5,532) • 22,16 '

(4,432)

28,32

(5,664)

16,76

(3,352)

94,90

(18,980)

19,56

23,26

0,59 (+) 27,07    50,33

Rechenschieber .

x (4y-0,2.4k)²)

o" ö" cT cT i ®

woraus

*) Für die Berechnung von A x wurde umgeformt:

94,90 : (94,90 — 92,86) = A k : [A k — A x),

94,90 - 92,86

(A k — A x) =

X A k

A x — A k — (4 k — A x).

94,90

4. Quadrieren.

Der Logarithmus der 2. Potenz einer Zahl ist gleich dem doppelten Logarithmus der letzteren. Da die Strecken der Rechenschieberteilungen den Logarithmen der ihnen beigeschriebenen Zahlen entsprechen, so hat man, um die einer Quadratzahl entsprechende Strecke zu finden, also nur nötig, die zur Grundzahl gehörige Logarithmenstrecke, etwa mittels Zirkels, zu verdoppeln. Auf einfachere Weise wird diese Verdoppelung erreicht durch Heraufprojizieren des Endpunkts der auf den Teilungen C und D in doppeltem Massstab aufgetragenen Strecke auf die Teilungen A oder B. Hiezu dient der Reiterindex Jl, oder einer der Indices Ji, b und Jp c bezw. Jr, b und Jr, c- Fällt dabei die Projektion auf die linke Hälfte der Teilung A oder B, so ist die Quadratzahl 1, 3,

5.. . stellig; fällt sie auf deren rechtsseitige Hälfte, so ist die Quadratzahl 2,

4..    stellig.

5. Beim Radizieren

ist umgekehrt der Logarithmus des Radikanden durch den Wurzelexponenten (beim Ausziehen der Quadratwurzel also durch 2) zu dividieren.

Denkt man sich diesen Logarithmus auf der unteren Teilung aufgetragen, so erfolgt die Halbierung der entsprechenden Strecke durch Herunterprojizieren von der oberen, in halb so grossem Massstab aufgetragenen Teilung. Dabei ist

ungeradstellige geradstellige

seitigen Hälfte der oberen Teilung herunterzuprojizieren sind.

aber umgekehrt zu beachten, dass

Radikanden von der

links-

rechts-

G. Multiplikation eines Quadrats mit einer Zahl.

Beispiel: 5,34 X 1,88².

Ist bei mehreren Beispielen der lineare Faktor (hier 5,34) konstant, (wie z. B. bei zr-Berechnung von Kreisflächen), so stellt man einen der Indices der Teilung B auf 5,34 von A nnd projiziert mittels Jl den Teilpunkt 1,88 von C auf A. Resultat 18,9. Tritt umgekehrt die Quadratzahl 1,88² in mehreren Produkten auf, so stelltman

5,34

18,9

Jp c auf 1,88 von D und liest oberhalb ; von B auf A die Resultate ; ab.

7. Division eines Quadrats durch eine Zahl.

Diese Rechnung kommt z. B. vor (vergl. Ziff. 4 S. 159) bei Berechnung der Hypotenuse k eines rechtwinkligen Dreiecks aus beiden Katheten, oder der grösseren Kathete A x aus der Hypotenuse k und der anderen Kathete A y durch

sukzessive Annäherung.

6,34²

Beispiel:

2,08

Stelle Jl auf 6,34 von D und auf Jl den Teilpunkt 2,08 von B. Lese oberhalb eines der Indices von B auf A das Resultat 19,3 ab.

Weitere Beispiele (s. Fig. 103)

AxJ =

11,22²

ki + A x, also

ll,22²\ besJ"rer__

129,88/ Näherung 129,88 — 0,97 A Xj = 64,94 — 0,98 = 63,96

~(

11,22²

11,22²

2 kx

= 0,98,

(k₂ — A x₂) =

7,08²

k₂ -f- A x2 also

7,08² \ in

I besserer 97,24 / Näherung

7,082 2 A x₂

k₂ = 48,62 + 0,51 = 49,13.

~(

7,08²

97,24 + 0,52

= 0,51,

8. Division einer Zahl durch ein Quadrat.

Beispiel:

49,62 5,142_

Stelle Jt, auf 49,62 von A und auf JL den Teilpunkt 5,14 von C. Lese sodann über einem der Indices von B auf A ab —'• 1,88.

9. Quadrieren eines Bruchs.

Schiebe den Bruch nach Aufgabefall 2 und 3 auf Teilung D ab. Die Ablesung auf A oberhalb eines der Indices von B liefert das Resultat.

10. Multiplikation einer Quadratwurzel mit einer Zahl.

Beispiel: 2,8 VI = ?

Stelle Ji, c auf 2,8 von D und lese unter Benützung des Reiters unterhalb des Teilpunkts 7 von B links auf D das Resultat 7,41 ab.

Würde die Projektion des Radikanden von B auf D ausserhalb des Rechenschiebers fallen, so wäre beim Beginn statt Jj, c einfach Jr, c auf den linearen Faktor einzustellen.

11. Quadratwurzel aus einem Bruch.

Schiebe den Radikanden nach Beispiel 2 und 3 auf Teilung A ab. Die mittels des Schieberindexes oder nötigenfalls mittels des Jr, bewirkte Projektion auf D unterhalb des auf A eingestellten Radikanden gibt die gesuchte Wurzel.

linke

Radikanden die

Seite der Teilung zu verwenden und daher

rechte

Bei der Projektion von Teilung A auf D ist zu beachten, dass für ungeradstellige geradstellige

der Radikand zunächst wenigstens bezüglich der Stellenzahl roll zu schätzen ist.

12. Bestimmung des Log einer Zahl.

Da die auf den Teilungen A bis D abgetragenen Strecken nichts anderes sind, als die im Massstab 1 = 12,5 cm (oben), bezw. 1 = 25 cm (unten) aufgetragenen Logarithmen der jeweils beigeschriebenen Zahlen, so braucht man die für einen Logarithmus aufgetragene Strecke nur (etwa mittels eines Zirkels) von einer der Teilungen wieder abzunehmen und auf dem betreffenden Massstab abzumessen. Der Massstab 1 = 25 cm befindet sich auf der Rückseite der Zunge in deren Mitte. Die Abnahme der Logarithmenstrecke mittels des Zirkels wird dadurch entbehrlich, dass in der Normalstellung (zusammengehörige Linealund Zungenindices in Deckung) der Index einer auf der Rückseite rechts vorhandenen Aussparung den Nullpunkt des zu verwendenden Massstabs deckt. Schiebt man daher Ji; c auf irgendeinen Punkt P der Teilung D, so hat sich jener Nullpunkt um ebensoviel verschoben und man kann das Mass der Verschiebung, d. h. den Logarithmus von P an dem Index der hinteren Aussparung rechts ablesen.

Statt den Schieber für jede Zahl frisch einzustellen, kann man ihn auch, die Rückseite nach vorn, derart ins Lineal einscliieben, dass die Bezifferung ihrer Mittelteilung wie diejenige von D von links nach rechts ansteigt und ihr Nullpunkt mit dem der Teilungen A und D übereinstimmt. Der Logarithmus irgend einer Zahl ergibt sich dann durch Heraufprojizieren dieser Zahl von Teilung D auf die Mittelteilung mittels des Reiters und umgekehrt.

13. Wert des sinus eines Winkels.

Man steckt den Schieber wieder mit der Rückseite nach vorn, jedoch so ins Lineal ein, dass die S-Teilung von links nach rechts ansteigt und die Indices

Häufiger, als das Bestimmen eines sin-Wertes kommt die Multiplikation eines solchen mit einer Strecke (Koordinatenbildung), oder die Division einer Strecke durch einen sinus-Wert vor. Hiebei lässt sich der Schieber nicht in der bisherigen umgekehrten Stellung verwenden. Dies ist auch nicht nötig. Vielmehr braucht man den wieder normal eingesteckten Schieber nur so weit herauszuziehen, bis der Winkelwert a der S-Teilung mit dem Index der Linealaussparung rechts der Rückseite übereinstimmt. Alsdann liest man unterhalb Jr, a auf B die sinus-Werte wie zuvor ab.

14. Multiplikation des sinus oder cos eines Winkels mit einer Zahl.

Beipiel:

89,4 sin 35° 48' =

89,4 cos 35° 48' =

Stelle 35° 48' der S-Teilung auf Jr der hinteren Aussparung ein und lese unterhalb 89,4 der Teilung A ab

A j = 52,3.

Ax =-- 72,5.

Bei Berechnung von A x stelle statt 35° 48' das Komplement 54° 12' ein und verfahre ebenso. Damit wird

15. Division einer Zahl s durch den sinus oder cos eines Winkels.

Stellt man den Winkelwert auf Jr der hinteren Aussparung ein, so hat

man nach vorhergehendem dessen sinus-Wert auf B unterhalb Jr von A. Folg-

oberhalb s

mit denen von A und D übereinstimmen. Alsdann liest man direkt über der S-Teilung auf A den zu jedem Winkel gehörigen sinus-Wert ab, wobei nur beachtet werden muss, dass jede Ablesung beginnt mit 0,.. und dass der ersten Wertziffer noch eine Null vorzusetzen ist, wenn die Ablesung auf der linken Seite der Teilung A erfolgt.

Da die S-Teilung nur bis auf 35' heruntergeht, so berechnet man bei noch kleineren “Winkeln

sin a = arc u =

a'

a"

Q‘

Q“

oder man bestimmt den sin eines Vielfachen von a und dividiert diesen dann durch den gewählten Faktor.

Da allgemein cos a = sin (R — a), so kann man die S-Teilung auch zur Bestimmung von cos-Werten verwenden, wenn man nur statt des Winkels a sein Komplement nimmt.

Beispiel:

sin 15° 28' = 0,267 sin 3° 48' = 0,0663

sin 10' 23" =

623"

= 0,00302

oder

206265"

sin 10' 23" = l- X sin 51' 55" = ^51 5    o

cos 37° 15' = sin 52° 45' = 0,796.

= 0,00302

1    s

lieh befindet sich der Wert . oberhalb der Ji sauf A und—;—

sm a    '    sina

von B auf A.

52,4

Beispiel:

Stelle 35° 48' der S-Teilung auf Jr auf A ab —*• 89,6.

sin 35° 48'

hinten

und lese oberhalb 52,4 von B

Die Bestimmung des Werts der tg eines Winkels erfolgt unter Benützung der hinteren T-Teilung genau ebenso, wie diejenige des sinus. Kehrt man den Schieber um, so dass die T- und die D-Teilung aneinander liegen und die Bezifferungen beider in gleicher Richtung ansteigen und bringt man die Indices zur Übereinstimmung, so ergeben sich die tangens-Werte auf D direkt unter den entsprechenden Stellen der T-Teilung.

Z. B. tg 26° 40' = 0,502

tg 15°    = 0,267 etc.

Zum Zweck der Multiplikation, oder Division von Zahlen mit der tangens eines Winkels bleibt der Schieber in der Normallage und die Einstellung erfolgt am J der linksseitigen Aussparung der Rückseite.

des Komplementwinkels.

Für Winkel 45° verwendet man

Rechenschieberteilungen für weitere Funktionen.

Mit dem logarithmischen Rechenstab lassen sich Multiplikationen und Divisionen mit Faktoren ausführen, die ihrerseits beliebige Funktionen von beliebigen Argumenten darstellen, wenn nur die beiden, je zusammen in Verwendung kommenden logarithmischen Teilungen entsprechend ausgestaltet und beziffert werden.

So trägt der Läufer beim „Wild sehen“ Rechenschieber für Zwecke der tachymetrischen Entfernungsbestimmung eine mit der Teilung A für die Zahlen R der natürlichen Zahlenreihe korrespondierende cos² a-Teiluug, (a — Höhenwinkel), welche die Berechnung der Horizontalentfernung d = R X cos² a gestattet. Die Zunge dagegen trägt für Höhenberechnungen eine Teilung mit der Bezifferung a für die Funktion des Neigungswinkels a

f =

womit der Höhenunterschied

Ah = d-tga = R sin 2 a sich ergibt.

Der Rechenschieber nach „Voigt“ (vergl. Zeitschr. f. Verm., Jahrg. 1894, S. 183), von Dennert & Pape in Altona hergestellt, ersetzt die Sinus- und Tangens-Teilung und die zur Bestimmung von Log.-Werten dienende mittlere Teilung der Zungenrückseite durch Teilungen für Funktionen der Argumente s, bezw. ix, A y und <p, wo A x und A y Koordinatenunterschiede zweier Punkte, s deren Verbindungsstrecke, und cp den zugehörigen Richtungswinkel (vergl. § 56) darstellt.

Bei der trigonometrischen Punkteinschaltung nach der Methode der kleinsten Quadrate (s. §§ 67—69 und 72—74) bedarf man für jeden Bestimmungsstrahl der Ausrechnung der Ausdrücke

sin 2 a,

COS (p

^ sin2y 2

/y---1“ Sin 2

cos cp s ^

cos (p

sin cp s ^

sin cp Ax $

sin2gp

₀- sin 2 cp

ÄT* ⁼

sin cp

Mittels zweier Skalen, von denen die eine, gewöhnliche, die Logarithmen der Strecken A x bezw. A y, die andere (auf der

Zungenrückseite) diejenigen des Zählers sin 2 cp ) mit der Bezifferung cp darstellt, lassen sich diese Werte durch je einmalige Einstellung gewinnen, ebenso aber auch durch logarithmische Tei-

lungen, deren eine

, die andere

Y sin 2 cp darstellt.

A x oder A y

Ebenso lassen sich entsprechend geteilte Rechenschieber bei der barometrischen Höhenberechnung verwenden (s. dort).

Der Rechenschieber System „Rietz“ bringt auf dem Stab S vier statt bisheriger zwei Längsteilungen an und zwar:

auf dem oberen Stabstreifen:

A / / entlang vFläche a

aiv4LdnetpnLm-TreX"g) 3mal hintereinander die Log. der Zahlen 1 bis 10

25

(Massstab 1 = -    ■ cm),

entlan

Zung

'enteäun» b n) ^m£d hintereinander die Log. der Zahlen 1 bis 10 (wie beim

25

gewöhnlichen Rechenschieber. Massstab 1 = — cm);

auf dem unteren Stabstreifen:

"Pv/ /entlang der senk vgeschnittenen cm

D (^zimgenteihin^¹¹) ^ m£d die Log. der Zahlen 1 bis 10 (wie beim gewöhnlichen Rechenschieber. Massstab 1 = 25 cm), l-Teiiung) <he mittlere, gleichmässige Teilung der Zungenrückseite.

Dieser Rechenschieber ist in seinem mittleren Teil genau gleich dem gewöhnlichen, eingangs vorgeführten. Die beiden äusseren Linealteilungen ermöglichen aber mit Hilfe des Läufers das direkte Kubieren und Logarithmieren, und die damit zusammenhängenden weiteren Rechnungen.

Verfeine-rungen des Rechenschiebers.

Wichtiger sind die Rechenschieberformen, welche eine Verfeinerung der Rechnungsergebnisse bezwecken.

Der gewöhnliche Rechenschieber von 25 cm Länge gestattet die Ablesung der Endresultate nur auf eine Genauigkeit von ca. Vsoo, d. h. bis auf 3—4 Ziffernstellen (4, wenn die erste zählende Ziffer 1, kaum 3, wenn sie 8 oder 9 lautet).

Diese Genauigkeit genügt für viele praktische Bedürfnisse nicht. Sie ist steigerungsfähig: entweder durch entprechende Verfeinerung der Teilungen in Verbindung mit einem Vergrösserungsglas (Lupe), oder durch Verwendung einer grösseren Längeneinheit für die ersteren.

zu

Den erstgenannten Weg beschreitet Nestler in Lahr, der die Glasplatte des „Reiters“ durch einen als Lupe wirkenden Glaskörper ersetzt. Die Einrichtung liefert aber verzerrte Bilder der beiden Seiten des Ablesestrichs gelegenen Teilungslinien und stört überdies die bequeme Übersicht.

Den zweiten Gedanken sucht eine grössere Zahl von Konstruktionen nutzbar zu machen.

Die nächstliegende ist eine entsprechende Verlängerung des Stabs. Mittels des 5 0 cm langen Rechenstabs kann z. B. die Rechenungenauigkeit auf ca. ¹/i₂oo herabgedrückt werden. Die Unhandlichkeit setzt aber der Anwendungsmöglichkeit so langer Stäbe enge Grenzen.

liechen

scheibe.

Bringt man zwei Kreisscheiben von ungleichen Halbmessern zentrisch so übereinander, dass sich die obere (Schieberscheibe) unabhängig von der unteren (Grundplatte) um eine durch den Mittelpunkt senkrecht zu den Kreisen angeordnete Achse drehen lässt und teilt den Umfang des Grenzkreises sowohl auf der Grundplatte, als auf der Schieberscheibe logarithmisch (Umfang 2 r n = 1 = log 10), so hat man die „Rechenscheibe“, deren Teilungen den Teilungen C und D des Rechenstabs jedoch mit dem Unterschied entsprechen, dass der Teilungsträger zum Kreis umgebogen ist. Der Reiter wird radial und ebenfalls um die erwähnte Achse drehbar an-

geordnet.

Bei gleicher Längen-, aber allerdings grösserer Breitenausdehnung bietet diese Einrichtung gegenüber dem gewöhnlichen Rechen-n fache Vergrösserung der Teilungen C und D

A und B'

Die in

stab eine

2 n „

sich zurückkehrende Teilung enthebt überdies der bei Benützung von C und D des gewöhnlichen Rechenstabs oft sich einstellenden Notwendigkeit, den Schieber um seine ganze Länge zu verschieben.

Versagt einerseits diese einfache Rechenscheibe bei der direkten Ausführung einzelner der mit dem Rechenstab vorgeführten Rechnungsformen, so gestattet der ihr zugrundliegende Gedanke anderseits die Anordnung und rechnerische Verwendung einer beliebig grossen Zahl von Funktionen mittels beliebig vieler, zum bisherigen Teilkreis auf der Schieberscheibe gezeichneter konzentrischer Kreise, sobald der Reiter die radiale Projektion von jedem der letzteren auf die geteilte Grundplatte zulässt. Ermöglicht er nicht bloss die radiale Projektion, sondern noch die Festhaltung irgend einer Einstellung auf der Grundplatte, während der Schieber gedreht und mit irgend einem seiner Teilpunkte, oder dem Index auf den Reiterindex eingestellt wird, so kann man die Teilung der Grundplatte auf einen einzigen, den Nullstrich, beschränken, auf den dann z. B. im Fall der Multiplikation zu Beginn und am Ende der Rechnung der Schiebernullpunkt eingestellt wird. Zur Einstellung, wie Ablesung wird dann neben dem Grundplattennullstrich lediglich Reiterindex und Schieberteilung benützt. (Über Rechenscheiben vergl. u. a. auch Lüdemann, Zeitschr. f. Verm. 1907, S. 241 und 513.)

Rechenrad.

Kehren wir zu den aneinander verschiebbaren, geradlinig geteilten einfachen Längsstreifen zurück und biegen diese zum Mantel eines Kreiszylinders um, so kommt man zum Beyerlenschen „Rechenrad“, welches, — auf einem Gestell vertikal und, wrie der Reiter, um die Zylinderachse drehbar aufgehängt, — die Vorzüge des Rechenstabs mit denjenigen der Rechenscheibe verbindet. Das Zurückkehren der Teilung in sich selbst enthebt, wie bei der Rechenscheibe, der Notwendigkeit, den Schieber jeweils um seine ganze Länge zu verschieben. Der Anbringung beliebiger weiterer Teilungen (sin «, tg a, logarithmische Teilung in halber, Drittelslänge für Quadrate, Kuben etc.) auf Lineal, oder Schieber steht natürlich auch hier keinerlei Hindernis im Wege.

Um eine längere Teilungskante zu erzielen, ordnet der Full ersehe Spiralrechenschieber die logarithmische Teilung auf einer um einen Zylinder sich windenden Schraubenlinie, und zwar in einer Teilungseinheit von etwas über 12,5 m Länge an. Das Instrument besteht aus einem Achszylinder von 30 cm Länge und 6 cm Durchmesser, über welchen der 16 cm lange Teilungszylinder, der Schieber, gestreift wird. Die mit dem Instrument erreichbare Genauigkeit gibt Hammer zu rund Vnooo an. (Näheres vergl. Zeitschr. f. Verm. 1907, S. 434.)

Über den hieher gehörigen Hamann sehen „Proportionalrechenschieber“ vergl. Zeitschr. f. Verm. 1899, S. 660 ff.

Der Anordnung der logarithmischen Teilung in grösserem Massstab, d. h. mit längerer Einheit, wurden neue Möglichkeiten eröffnet durch den Gedanken, hiezu statt einfacher, kontinuierlicher, abgesetzte und parallel oder konzentrisch nebeneinander gestellte, für Stab und Schieber aber gleiche und gleich angeordnete Teilungsträger zu verwenden. Auch die (der S. 168 unten angegebenen entgegengesetzte) Eigenschaft kongruenter, aber gegenläufig angeordneter logarithmischer Teilungen, bei beliebiger gegenseitiger Stellung auf die ganze Teilungslänge Zahlen zur Koinzidenz

woraus

18,98 : (19,56 — 18,98) = 0,2 . A k : (A y — 0,2 . A k), A y - (0,2 X A k) =

0,58

X 0,2 A k

18,98

A y = 0,2 • A k +

0,58

18,98

X 0,2 -4 k.

zu bringen, die ein konstantes Produkt liefern, öffnet neuen Anordnungen den M eg .    abgesetzten

Rechenstäbe

und

-Scheiben mit

Der Franksche Rechenschieber benützt die alte Stab- Teilllllgen' form und -Grösse, ordnet aber die Schieberteilung der Linealteilung' gegenläufig an. Die Teilungskanten A und D mit zusammen 50 cm Länge werden zusammen als eine Teilungseinheit ausgenützt (das rechtsseitige Ende der A-Kante entspricht erst dem Teilpunkt VlO = 3,162), so dass der Teilungsmassstab gegenüber der A-und B-Teilung des gewöhnlichen Rechenschiebers 4mal grösser ist.

Die Ablesegenauigkeit ist daher dieselbe wie bei der C- und D-Teilung des 50 cm langen Rechenstabs.

Den Gedanken der abgesetzten Teilung unter Beibehaltung der Stabform verwendet auch Lallemand (s. Zeitsclir. f. Verm. 1900,

¹

+ X + X² + x³ -j- X⁴ H----

²

) Für die Berechnung von A y wurde das lte und 3te Glied je mit 0,2 multipliziert (Zahlen in Klammern) und hernach die Proportion benützt:

S. 233) bei seinem 50 cm langen, zur Berechnung der Koordinatenunterschiede von Polygonseiten bei der neuen französischen Katastervermessung bestimmten Rechenstab. Die Teilungseinheit ist hiebei auf 1 m gesteigert, der mittlere Fehler auf ca. Vsooo herabgedrückt.

Bei der Rötherschen Präzisionsrechenscheibe (vergl.

Zeitsclir. f. Yerm. 1887 S. 303, 1899 S. 697 und 1907 S. 247 ff. und 513 ff.) sind die Logarithmen der Zahlen von 1 bis 10 auf vier konzentrischen Kreisen von zusammen 2,30 m Umfang angeordnet.

(Die Werte weiterer Funktionen sind auf drei anderen konzentrischen Kreisen aufgetragen und werden radial projiziert.) Die Rechenunsicherheit sinkt bei Anwendung dieser Scheibe im Mittel auf ca. Visooo herab.

Die Scherersche Rechentafel ordnet auf der Grundplatte die Logarithmen der Zahlen 1 bis 10 auf 20 parallel nebeneinander liegenden Geraden abgesetzt und zwar in 4facher Wiederholung so an, dass die Einheit eine Gesamtlänge von 1,5 m erhält. An Stelle des Schiebers tritt eine durchsichtige Zelluloidplatte. Sie trägt genau dieselbe Teilung wie die Grundplatte, aber in einfacher Anordnung. Stellt man daher ihren Anfangsstrich auf den dem einen Faktor entsprechenden Teilpunkt der Grundplatte ein, so korrespondiert (nötigenfalls nach geringer Verschwenkung der aufgelegten Platte wegen der verschieden grossen Ausdehnung beider) der Endstrich mit dem gleichbezifferten Teilpunkt einer der Wiederholungen der Grundteilung. Die Ablesung des Produkts erfolgt auf der letzteren neben dem dem zweiten Faktor entsprechenden Teilpunkt der Zelluloidplatte.

Rechenwalzen mit

Abgesetzte Anordnung des Teilstreifens, und zwar auf den Mantellinien eines Zylinders, verwenden endlich in ausgedehntem Mass die verschiedenen Formen von Rechen walzen. Unter diesen ‘renungen!¹

W e i t b r e c h t, Vermessungskunde.

sei namentlich genannt die (inNordamerika viel gebrauchte) Thacher-sclie, welche die log der Zahlen von 1 bis 10 auf 40, zusammen 18 m langen Mantellinien des inneren, 49¹j₂ cm langen Achsenzylinders unterbringt, über den, wie beim Füller sehen Spiralrechenschieber (s. S. 17 6), ein zweiter Zylinder als Schieber gestreift wird. Letzterer besteht aus 20 Metallrippen von je 47 cm Länge, zwischen denen beiderseits Ableseschlitze offen bleiben. Jede Rippe trägt zwei Teilstreifen, welche satteldachartig nach aussen so angeordnet sind, dass die Teilungsträger mit denen der kongruenten inneren Achsenzylinderteilung zur Deckung gebracht werden können. Der Gebrauch entspricht genau dem des gewöhnlichen Rechenschiebers, oder der Schererschen Tafel; die Rechengenauigkeit kann mit diesem Instrument nach Hammer (vergl. Zeitschr. f. Verm. 1891, S. 441) bis auf ¹/₈₂ooo gesteigert werden, entspricht also nahezu derjenigen östelliger Logarithmen.

Die Dämeil-Schmidsehe Rechenwalze besteht aus einem Zylinder von 47 cm Länge und 50 cm Querschnittsunifang, welcher auf 50 gleichabständigen Mantellinien von je rund 40 cm Länge die Logarithmen der Zahlen von 1 bis 10 in abgesetzter Teilung 2 mal

Fig. 107.

I 09’

RECHEN - WALZE

Sptw:

XSL*'

hintereinander derart trägt, dass jede der beiden Teilungen einen halben (den links- bezw. rechtsseitigen) Vollzylinder kongruent bedeckt. Über die Walze ist eine Muffe (Schieber) von etwa halber Walzenlänge gestreift, welche auf Endringen 50 je ca. 5 mm breite Stege mit einer (der vorgenannten kongruenten) Teilung trägt. Zwischen je zwei Schieberstreifen befindet sich ein ca. 5 mm breiter Schlitz, durch den die darunterliegende Walzenteilung und -Bezifferung sichtbar wird. Der Schieber kann also 2 mal, nämlich sowohl mit der links-, als auch mit der rechtsseitigen Walzenteilung, zur völligen, Ziffern-, wie teilungsgleichen Deckung gebracht werden.

(Bei der Schererschen Rechentafel trifft dies 4 mal zu.) Zur Darstellung der Einheit (log 10) ist eine Länge von 10 m verwendet. Zur Festhaltung der Einstellungen auf dem Schieber bei mehrfacher Multiplikation oder Division dienen „Kluppen“, welche auf denStegen an beliebigen Stellen eingesetzt werden können.

Die Anwendung entspricht, sinngemäss erweitert, derjenigen der Schererschen Rechentafel. Für Division, Proportionalrechnung etc. bringen jedoch die Kluppen eine schätzenswerte Erleichterung. Das Aufsuchen der Teilpunkte und das Ablesen auf der Dämen-Schmidschen Rechenwalze ist bequem, die Resultate erhält man auf 4 und bei Unterstützung durch eine kleine Kopfrechnung auf 5 zählende Ziffern richtig (ungünstigstenfalls, d. h. in der Nähe von 9,99, wird die Einheit der vierten Stelle durch eine Strecke von mm, günstigstenfalls, d. h. in der Nähe von 1,00, durch eine solche von ca. 4,3 mm dargestellt).

Für mehrstellige Multiplikationen oder Divisionen, in denen das Endresultat auf mehr als 4—5 Ziffernstellen genau sein soll, verwendet man:

2. Rechenmaschinen.

Von den verschiedenen Formen sollen hier nur die in der Vermessungspraxis gebräuchlichen Kurbelmaschinen kurz vorgeführt werden, deren wesentliche Bestandteile das „Schaltwerk“ und das „Zählwerk“ bilden.

Das von Leibnitz erfundene, von ihm selbst um 1694 und später von anderen vielfach verwendete Schaltwerk zur gleichzeitigen Drehung aller Zählscheiben je um die gewünschte Zahl von Einheiten beruht auf der Verwendung von Stufen- oder Staffelwalzen, d. h. von Zylindern Z (s. Fig. 108), auf denen 9 Rippen von staffelweise abnehmender Länge so aufgesetzt sind, dass etwa ³/₅ des Zylinderumfangs frei bleiben und der letztere im Querschnitt am unteren Ende 0, am oberen 9 Zähne zeigt. Diese Einrichtung benützten 1770/76 Pfarrer Hahn in Onstmettingen bezw. Echterdingen, 1820 X. Thomas in Colmar, seit 1878 A. Burkhard in Glashütte, später Bunzel in Wien u. a. zum Bau ihrer „Arithmometer“. Von diesen Maschinen sei näher beschrieben:

Die Staffelmaschine „Thomas“.

Staffel-

maschine

Thomas.

Jede von den Zylinderachsen Z trägt hinter dem Zylinder einen automatisch sich verschiebenden „Zehnerzahn“ h (s. nachher). Die Zylinderrippen greifen in Triebe (Zahnräder) T ein, welche auf vierkantigen Wellen A verschiebbar so angeordnet sind, dass je

“3

N

CD

des Zehnerzahnes

Querschnitt (mit veränderter Kurbelstellung).

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Beeilter Teil des Lineals (anfgeklappt).

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Ansicht nach Kntfernung der vorderen Gehäusewand.

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Fig. 108.

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Thomas’sehe Rechenmascliine (Massstab 1:3 d. nat. Gr.).

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Linker Teil der Maschine von unten

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nach ihrer Stellung auf A: 0, 1, 2,... 9 der Rippen als Zähne zur Wirkung kommen und der betreffenden Welle 0 T\y, . vollen Drehung geben, wenn die Stufenwalze eine volle Wälzung ausführt. Letztere wird erzeugt durch jede Volldrehung der Kurbel K, welche einer Kegelradverbindung Ri und durch die Welle W einer zweiten Kegelradverbindung R₂ gleichzeitig ebenfalls eine volle Umdrehung verleiht. Auf jeder Welle A sitzen drei Zahnräder und eine Sicherungsscheibe B. Letztere und das Zahnrad C sind fest mit der Welle verbunden, während die unter sich ebenfalls fest verbundenen Kegelräder Di und D₂ auf ihr — und zwar sämtliche gleichzeitig durch Umstellen des Hebels m — verschiebbar angeordnet sind. Das Kegelrad Di oder (bei Subtraktion, bezw. Division) D₂ dreht durch Vermittlung des Kegelrads F die auf ihrem Umfang mit den Ziffern 0 bis 9 versehene „Zählscheibe“ S um ebensoviele Zehntel einer Volldrehung, als sie die zugehörige Welle A ausgeführt hat, d. h. als Rippen der Stufenwalze zur Wirkung kamen. Je eine Stufenwalze Z, Welle A; Zahnrad T; Di (oder D₂); F und Zählscheibe S gehören also zusammen zur Bildung einer Resultatziffer.

.. f⁹^ einer

Addition und Multiplikation.

Addition.

Multi

plikation.

Verschiebt man beispielsweise mit Hilfe der „Einstellknöpfe“ E, deren Zeiger sich in die Vertiefungen einer von 0 bis 9 gehenden Einteilung des Schaltbrettes H einstellen lassen, die Triebe T auf den Wellen A so, dass von rechts nach links gesehen bezw. 2, 0, 7 Rippen der Stufenwalzen in sie eingreifen können und gibt dann der Kurbel K eine volle Umdrehung, so führen sowohl die Welle W, als sämtliche Stufenwalzen Z ebenfalls eine solche aus. Dabei drehen sich die Wellen A samt den Rädern T, Di, D₂, F und den Zählscheiben S von links nach rechts gesehen um 0... 0 T⁷¥ 0 T²^ einer Drehung. Haben daher vor der Drehung die Ziffern 0 vor allen Schaulöchern J gestanden (Grundstellung), so werden jetzt die Ziffern 0... .0 702 sichtbar sein. Eine zweite Kurheldrehung wird eine zweite, gleich grosse Drehung der Zählscheiben hervorrufen. In dem Augenblicke aber, in welchem die Zählscheibe S, welche nach der ersten Umdrehung 7 zeigte, von 9 auf 0 übergeht, wird durch den Daumenansatz a der Hebel b (in die Stellung wie bei bi gezeichnet) zurückgedrückt. Mit Hilfe des um c drehbaren zweiarmigen Hebels d, und der am verschiebbaren Stift e befindlichen Gabel g bewegt sich dadurch der Zehnerzahn h in die Ebene des Rades C und dreht dabei die nächste Zählscheibe links um y¹^ einer Drehung („Zehnerübertragung“), so dass nach der zweiten Kurbeldrehung die Zahl 1404 unter den Schaulöchern J erscheint. Die Zehnerübertragung

hat also bei der vierten Welle A der ihr zugehörige Einstellknopf die Nullstellung verlassen hätte.

Umdrehung erzeugt, ohne dass

Vor Beendigung der zweiten Umdrehung der (von rechts nach links) dritten Stufenwalze werden Zehnerzahn h, samt dem Stift e und dem Hebelwerk g und d, welche durch die Federn f f in ihrer Stellung gehalten werden, mit Hilfe der Knacke k auf dem Stift s schleifend in ihre ursprüngliche Lage zurückgedrückt. Der Zehnerzahn steht jetzt wieder, von den Federn ff gehalten, in seiner Ruhestellung und kann in dem Zwischenraum zwischen den Sicherungsscheiben B und den Rädern C ungehindert mit den Zylindern Z rotieren. Gleichzeitig legen sich die Metallkörper 1 in die Ausschnitte der Sicherungsscheiben B und verhindern jede unbeabsichtigte Drehung der Wellen A. Nach der dritten Kurbeldrehung erscheint in den Schaulöchern J die Zahl 2106 als Ergebnis der Multiplikation 3 X 702 etc.

Diese Auflösung der Multiplikation in eine fortgesetzte Addition gleicher Summanden wäre bei mehrstelligem Multiplikator viel zu zeitraubend. Die Zahl der auszuführenden Kurbeldrehungen wäre gleich derjenigen der Multiplikatoreinheiten. Um dies entbehrlich zu machen, sind die Zahnräder F samt den Zählscheiben S an einem metallenen Lineal (Schlitten) GG aufgehängt, den man nach rechts um 1, 2, 3 .. . Stellen verschieben kann, wobei sich die am (punktiert gezeichneten, s. Fig. 108) aufgeklappten Lineal sichtbare Lamelle L in die Ausschnitte N der mittleren Gehäusewand einlegt. Ganz analog der direkten Multiplikation ergibt sich damit z. B. das Produkt 702 X 413 wie folgt:-

2106

1. Sämtliche Zählscheiben in Grundstellung. Einstellung der E auf 702, dann Ausführung von drei Kurbeldrehungen gibt als 1. Teilresultat (702 X 3) unter den Schaulöchern..........

Nun: 2. Verschiebung des Schlittens um eine Stelle und einmalige Kurbeldrehung addiert selbsttätig...........

702

als 2. Teilresultat (702 x 13) unter den Schaulöchern.

und gibt

9126

Endlich: 3. Nochmalige Verschiebung des Schlittens um eine weitere Stelle und viermalige Kurbeldrehung addiert selbsttätig .    .    2808

und liefert 289926

als Endergebnis (702 X 413) unter den Schaulöchern.

Im Grund handelt es sich also auch jetzt noch um fortgesetzte Addition von Teilprodukten, die je ebenso gebildet werden, wie das erste Produkt 702 X 3. Die Gesamtzahl der nötigen Kurbeldrehungen ist aber nur noch gleich der Quersumme des Multiplikators, der ebensoviele Zift'ernstellen haben darf, als Schlittenstellungen möglich sind (um 1 weniger als die Zahl der Wellen A). Der Multiplikand darf ebensoviele Ziffernstellen haben, als Stufenwalzen Z vorhanden sind.

Ausser den Schaulöchern J befindet sich auf dem Schlitten noch eine weitere Reihe von Schaulöchern M, in welchen der Multiplikator während der Multiplikation dadurch erscheint, dass die Zahl der Kurbeldrehungen in jeder Linealstellung durch das Rad U auf die Zähne der jeweils mit diesem Rade im Eingriff befindlichen Scheibe P übertragen wird.

Die Ziffern der Resultatreihe J können nach Abnahme des Plrgebnisses durch Bewegen der Zahnstange X mittels des Knopfes Q auf Null zurückgeführt (gelöscht) werden. Im Fall der Belassung werden sie zum folgenden Produkt mechanisch addiert. Bei neueren Maschinen erfolgt die Löschung der Resultatreihe J sowohl, als auch der Reihe M je durch Hebeldruck.

Subtraktion und Division.

Subtraktion.

Division.

Statt Vielfache des Multiplikanden mehrfach zu addieren (rechtsläufige Drehung der Zählscheiben S) kann man sie auch fortgesetzt subtrahieren. Dies geschieht bei den Staffelmaschinen durch Verschiebung der Zahnräder Dx und I)₂ mittels des Hebels m derart, dass jetzt die Räder D₂ statt Dx in F eingreifen. Dadurch drehen sich die Zählscheiben S linksläufig, der am Schaltbrett eingestellte Summand (bezw. Multiplikand) wird zum Subtrahend, das vorherige, unter den Schaulöchern J erschienene Summierungs-, oder Multiplikationsergebnis zum Minuenden, bezw. Dividenden. Die Zahl der Kurbeldrehungen, d. h. die Zahl der möglichen Subtraktionen gibt den Quotienten. Unter den Schaulöchern J erscheint der jeweilige Rest, den durch fortgesetzte Subtraktion gleich Null zu machen die Aufgabe der Division ist. Auch hier wären also ebensoviele Kurbeldrehungen auszuführen, als der Quotient Einheiten hat. Dies wird erspart durch entsprechende Verschiebung des Schlittens, jedoch entgegengesetzt derjenigen bei der Multiplikation. In jeder einzelnen Schlittenstellung wird der Divisor so oft subtrahiert, bis ein Sprung in den Restziffern, oder besser ein für diesen Zweck eingebautes Glockensignal anzeigt, dass die Subtraktion zu oft erfolgt ist. Einmalige Kurbeldrehung bei Additionsstellung des Hebels m führt zum richtigen Teilquotienten (erste Ziffer links) und Teilrest. Nun wird der Schlitten um eine Stelle nach links verschoben und in derselben Weise fortgefahren bis zur Erlangung der zweiten Quotienten Ziffer links etc.

9 Zähnen sich beliebig viele nach innen (Brunsviga etc.), oder seitwärts (Monopol etc.) schieben und dadurch unwirksam machen lassen. Das schon von Leibnitz gekannte Hilfsmittel

wird seit etwa 1890 benützt

Fig. 110.

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: rrr?T: c TD"

Grimmf Nitahs & Co    ' JT*“

asDai

Rechen

maschine

„Gauss“.

Fig. 109.

Eine Abart der vorgeführten Staffel-maschinen stellt die

ü>sr*SMS

Maschine mit verschiebbaren Zähnen.

V,

Rechenmaschine „Gauss“ vor, welche Sclialtbrett und Lineal auf Kreisscheiben anordnet, mit sehr wenig Geräusch arbeitet und erheblich billiger ist, als die S. 179 aufgezählten Konstruktionen (s. Fig. 109).

Weniger Raum, als die Staffelwalzen nehmen Zahnräder in Anspruch, von deren

bei den Rechenmaschinen

System Odhner: der „ Berolina“, des „Duplikator“ und der „Monopol“; bei der „Triumphator“; der von Grimme, Natalis & Co. in Braunschweig hergestellten, sehr verbreiteten

Rechenmaschine „Brunsviga“ (s. Fig. 110) u. a.

Die Einstellknöpfe für den Multiplikanden sind hier ersetzt durch Hebel, die auf die Multiplikandenziffern am Schaltzylinder eingestellt, je ebensoviele Zähne herausschieben und bei der Kurbeldrehung zur Wirkung bringen.

Zur Berücksichtigung der Ziffernstellung bei der Rechnung wird der untere Teil, „Schlitten“, wie bei der Thomasschen Maschine, verschoben. Der Multiplikator (Anzahl der Kurbeldrehungen in jeder Schlittenstellung) erscheint auf dem Schlittenteil links, das Produkt in dessen vertikal unter den Stellhebeln angeordneten Schaulöchern rechts. Bei auszuführender Addition und Multiplikation wird die Kurbel hier rechtsläufig, bei auszuführender Subtraktion und Division linksläufig gedreht.

Diese Konstruktion lässt eine Reduktion der nötigen Kurbeldrehungen dadurch zu, dass man statt 6-, 7-, 8-, 9 maliger Multiplikationsdrehunginderbetreffenden Schlittenstellung eine 4-, 3-, 2-, 1 malige Divisionsdrehung und zum Ausgleich in der nächsthöheren Ziff ernstelle eine lmalige Multiplikationsdrehung ausführen kann [8x = (10 — 2)xJ. Die von der Grundstellung ausgehende Divisionsdrehung wird im Multiplikator (Schlittenteil links) durch rote Ziffern, die Multiplikationsdrehung durch schwarze Multiplikatorziffern angezeigt.

Beide Formen der Rechenmaschinen — Stufenwalze, wie Zahnrad mit einschiebbaren Zähnen — haben in der neueren Zeit eine Vervollständigung erfahren, welche den Zweck hat, das zu bildende Produkt gleichzeitig auf ein zweites Zählwerk addierend, oder subtrahierend zu übertragen, so dass nach erfolgter Durchführung jeder Multiplikation deren Ergebnis auf dem einen, die Summe oder Differenz der von irgend einem Zeitpunkt ab berechneten Produkte auf einem zweiten Zählwerk erscheint.

Fig. in.

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15

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Rechenmaschinenfabrik LUDWIG SPITZ & Co., Gffn.b.h., Berlin

Vag

Bei der Maschine der ersteren Form ist es die „Unitas“, eine Verbesserung der „Saxonia“, von L. Spitz & Co., Berlin (s. Fig. 111),

Fig. 112.

mm

C'ÖB

bei der zweiten die „Duplikator“, eine Verbesserung der „Berolina“ von Ernst Schuster, Berlin, welche diese Erweiterung trägt (s. Fig. 112).

Alle ‘ bisher vorgeführten Rechenmaschinen sind im Grund weiter nichts, als Additionsmaschinen, Avenn auch die Zahl der Additionen unter Beachtung des Ziffernrangs durch Verstellung des

Lineals, oder Schlittens entsprechend dem Verfahren bei der gewöhnlichen Multiplikation erheblich eingeschränkt wurde.

Eigentliche

Multi-

plikations-

masehine.

Die einzige, wirkliche Multiplikationsmaschine ist die von Egli-Steiger in Zürich erfundene und von der Fabrik Stolzenberg in Oos hergestellte Maschine „Millionär“, welche für jede Stelle

Fig. 113.

' ' -V

0*0^

des Multiplikators, oder Quotienten nur eine Einstellung (Zeiger links) und eine einzige Kurbeldrehung erfordert. Hieraus ergibt sich als weiterer Vorzug die Möglichkeit automatischer Schlittenverschiebung. (Näheres s. u. a. Zeitschr. f. Venn. 1899, S. 674 ff.)

Vergleich zwischen der Verwendung logarithmischer Teilungen und von Rechenmaschinen.

Die Rechnung mittels Maschine hat gegenüber derjenigen mit Zahlentafeln den Vorzug grösserer Raschheit, Sicherheit und Einfachheit, gegenüber derjenigen mit logarithmischen Rechenstäben, -Walzen etc. den Vorteil grösserer, beliebig steigerungsfähiger Genauigkeit, beiden genannten Hilfsmitteln gegenüber den Vorteil geringerer Anstrengung der Augen und des Gehirns (Interpolation fällt weg) und der Möglichkeit der Verwendung beliebiger (nicht wie z. B. bei der Rechnung mit Logarithmentafeln zuvor hiefür geeignet zu machender) Formeln. Manche, bei direkter oder logarithmischer Rechnung zu bildende Zwischenwerte werden bei Verwendung der Maschine entbehrlich, die Schreibarbeit wird durch Reduktion der Zwischenrechnungen wesentlich vereinfacht, die Wirkung der Abrundungsfehler eingeschränkt.

Wenn es gelänge, eine Maschine zu bauen, welche neben der Einstellung von Zahlenwerten auch diejenige von sin, cos und tangens von Winkeln direkt an einer Winkelskala gestattete, (statt der Zwischenverwendung von Tafeln mit ihren natürlichen Werten), so wäre wohl die Logarithmentafel bald endgültig aus der Reihe der im Vermessungsberuf zu benützenden Rechenhilfsmittel zu streichen.

§ 25. Graphische Rechentafeln.

(Vergl. Lalanne, annales des ponts et chaussees 1846, S. 1—69; Vogler, graph. Tafeln, Berlin 1877; Zeitschr. f. Verm. 1893, S. 154, 1906, S. 801, 1907, S. 927

u. s. w.)

Der Gedanke, Zahlenwerte durch Strecken darzustellen, der zum logarithmischen Rechenstab führte, lässt sich auch für die zeichnerische Darstellung beliebiger Funktionen verwenden.

I. Graphische Darstellung von Beziehungen zwischen zwei veränderlichen

Grössen.

Hängt der zu berechnende Funktionswert y von einem einzigen Argument x ab, so sind zwei Methoden der Darstellung gebräuchlich, nämlich

a)    durch eine Doppelteilung zu beiden Seiten einer Achse (Beispiels. Fig. 114 einer

Quadrattafel und Fig.

117 einer Proportionalteilung)

und

b)    durch die stetige

Verbindungslinie von Punkten, welche aufgezeichnet werden mittels der als rechtwinklige Koordinaten aufgefassten, — zusammengehörigen, und durch Rechnung (im Falle bekannter Beziehung), oder Beobachtung (im Falle nicht bekannter Beziehung) gefundenen — Argument- und F unktionswertpaare, die „Funktionslinie“.

(Beispiel s. Fig. 115 einer Quadrattafel, Fig.

116 einer Proportionalteilung und Fig. 118 der Berechnung von Querschnittsflächen bei unveränderlichem Normalprofil und veränderlicher Einschnittstiefe.)

Die erstgenannte Methode erleichtert die Ablesung des Funk-tions- zu einem beliebigen aufgezeichneten Argumentwert und umgekehrt und erfordert wenig Raum. Sie ist aber nur anwendbar bei Beschränkung auf zwei Veränderliche, eignet sich also namentlich für Umwandlungstabellen, Darstellung von Fehlergrenzen, Ricli-

Fig. 114.

cc=

10

y-oc²= J o

CC=Tl o TL = 10 r

71=5

TL-0

TT

10

25

CO

rriTi¹

50 60 70 80 90]00

Fig. 115.

— hJ GO    U105    VI 00 CO

Oooooo O CD O

:z:

001

y-u*

tungskoeffizienten bei konstanter (z. B. 1 km) Entfernung, Reduktionsbeträgen für Gradbogenmessung etc.

Die zweite Methode (b) erleichtert sowohl die Interpolation zwischen zwei direkt gezeichnete Funktionsbildpunkte hinein, als auch die Erkenntnis des Wesens der zwischen beiden Veränderlichen bestehenden Beziehung nach den Gesetzen der analytischen Geometrie. Auch kommen bei ihr etwaige Zeichnungs-, oder Beobachtungsfehler schärfer zum Ausdruck. Letztere lassen sich leichter ausgleichen. Aus letzterem Grund eignet sie sich namentlich für die Darstellung von nicht linearen, und von auf Beobachtungen zu erschliessenden Beziehungen.

Die Ablesungsgenauigkeit in der graphischen Darstellung hängt von der Länge ab, die man der Einheit gibt (dem Massstabverhältnis); letzteres ist also im einzelnen Fall aus der nötigen Rechnungsgenauigkeit rückwärts zu erschliessen. Dabei hat das Verfahren (a) den Vorteil, dass sich zur Steigerung der Ablesegenauigkeit, also des Massstabverhältnisses, die Teilungsachse bequem in beliebig viele Parallelstreifen zerlegen lässt¹), während anderseits das Verfahren (b) für die beiden Rechnungsgrössen x und y, die Anwendung von gerade für sie passenden, unter sich nötigenfalls verschiedenen Massstabverhältnissen zulässt, ohne dass dabei das Wesen der Funktionslinie — Gerade, Konkav-, Konvexform etc.— erschüttert würde.

(Verschiedenerlei Massstabverhältnisse werden z. B. angewandt bei Längenprofilen, welche namentlich die Höhenverhältnisse scharf zum Ausdruck bringen sollen u. s. w.)

Die zu verwendenden, bezw. zu berechnenden Argument- und Funktionswerte können nun ebensowohl in numerischer als in linearer Form gegeben oder gesucht sein. In Rücksicht auf möglichste Zeitersparnis ist darauf abzuheben, dass jeder entbehrliche Übergang von der einen zur andern Form vermieden wird. Für die Ausgestaltung des jeweiligen Rechenhilfsmittels sind in dieser Beziehung folgende Fälle zu unterscheiden:

a) die Argumentwerte sind numerisch bekannt, die Funktionswerte numerisch gesucht. (Quadrattafel, Logarithmentafel, Verwandlungstafeln etc., s. Fig. 114 bis 117.)

x) Verlangt man z. B. eine graphische Längenmassumwandlungstabelle, (etwa von Fuss in Meter und umgekehrt), welche die Längen bis auf 1 cm genau ablesen lässt (was sicher erreicht wird, wenn 1 cm durch eine Strecke von 0,5 mm dargestellt wird), so erfordert eine maximale Umwandlungsstrecke von 150 m = 15 000 cm eine Teilungslänge von 7500 mm = 7,5 m. Wird diese

7 5

in Stücke von 30 cm nach Methode (a) zerlegt, so sind also = 25 parallele

Teilungsstreifen nötig, die sich zur Not auf halbem Kanzleiformat unterbringen lassen.

Die gezeichneten Strecken sind hier nur Mittel zu dem Zweck, die Zahlenwerte korrespondierend anschreiben zu können. Die Darstellungsart (a) (s. Fig. 114 und 117) ist vorzuziehen. ß) Die Argumentwerte sind linear bekannt, die Funktionswerte linear gesucht. (Planreduktion etc.)

Fig. 116.

In diesem Fall muss der Umweg über die Zahl möglichst vermieden werden. Der Anschrieb von Zahlenwerten ist daher

-- 7

5:

Fig. 117.

zu beschränken,

oder überhaupt n

²4n

15

20

25

30

entbehrlich. Die Darstellungsmethode (b) z. B. nach Fig. 116 ist bequemer, als nach (a) Fig. 117. y) Die Argumentwerte sind numerisch bekannt, die Funktion s werte linear gesucht. (Planzeichnung in verjüngtem Massstab, Gewinnung der Horizontalentfernung aus dem Lattenabschnitt zwischen den Distanzfäden eines Fernrohrs und dem Höhenwinkel etc.)

Hier beziehen sich die Streckenlängen auf die eine, die beigeschriebenen Zahlen auf die andere Veränderliche. Beide Formen sind gleich wichtig.

ö) Die Argumentwerte sind linear bekannt, die Funktionswerte numerisch gesucht. (Feldaufnahmen, Massübertragung Fig. 118 a.

IO

5-

20

7i,f,

■*— h.f:.

’S*

ö-3

'S

cp

ö.h

J=

h²-£±K

h=2

aus dem Plan aufs Gelände, Ermittlung der Geländeneigung aus gezeichneten Schichtenlinien, graphische Flächenberechnung, Berechnung von Querprofilflächen für bestimmte Normaleinschnittsprofile aus der abgegriffenen Einschnittshöhe, s. Fig. 118 a und 118 b etc.)

Die Beantwortung der Frage, welche der beiden Darstellungsmethoden (a) oder (b) im einzelnen Fall den Vorzug verdient, richtet sich neben der Genauigkeit und Bequemlichkeit der Benützung auch nach derjenigen der Gewinnung der Diagramme. In letzterer Beziehung sind nach irgend einem komplizierteren Gesetz mehrfach gekrümmte Funktionslinien natürlich unerwünschter, als geradlinige, oder kreisförmige. Um erstere in eine der letztgenannten Formen umzuwandeln, hilft man sich nötigenfalls durch entsprechende ungleichmässige Verzerrung der Teilung der Koordinatenachsen (Verstreckung).

Wäre z. B. an Stelle der gekrümmten Funktionslinie Fig. 119 eine geradlinige, etwa AB, und dazu die Beibehaltung der gleich-

Fig. 119.

§*

■k

*■

+OC

tu

'A+X

+70

+ 70 •

+9+8’

,L *

+ e-

+ S'

+e

9*

+ 0'

*7

±0'

-7'

-7

■2

-3 -2’

oo-

massigen Ordinatenteilung erwünscht, so brauchten wir nur durch Parallelen zur Abszissenachse die Funktionsbildpunkte I, II, III.... nach I', IP, IIP.... zu verlegen, wodurch die bisher gleichmässige Abszissenteilung 1, 2, 3 .... in die ungleichmässig verzerrte 1', 2', 3'.... überginge.

Würden wir Wert darauf legen, statt der Ordinaten- die Abszissenteilung unverändert zu belassen, so müssten wir die Ordinatenteilung verzerren, indem wir die zu runden Ordinaten gehörigen Funktionsbildpunkte durch Parallelen zur Ordinatenachse auf die gewählte Gerade übertragen und die erhaltenen Schnitte als Tunkte neuer runder Ordinaten auf die Ordinatenachse projizieren würden.

Ja wir können, falls in beiden Fällen die Ungleichmässigkeit der Teilung zu stark und störend würde, beide Aclisenteilungen gleichzeitig ungleiclimässig verzerren, indem wir auf der gewählten Geraden beliebig (z. B. gleichabständig) ausgewählte Punkte als Ersatz bestimmter ursprünglicher Funktionsbildpunkte .erklären und ihren Projektionsfusspunkten auf die Achsen die Koordinatenwerte dieser Funktionsbildpunkte zuschreiben. In beiden auf den Koordinatenachsen derart neu gewonnenen Punktreihen mit möglicherweise zunächst teilweise unrunden Werten lassen sich hernach die rund-zifferigen Teilpunkte durch Interpolation finden.

Die zuerst vorgeführte Behandlung, welche die Ordinaten unverändert lässt, setzt voraus, dass die Abszissenwerte numerisch bekannt oder gesucht sind, während die Ordinaten werte auch linear eingeführt werden können. Der zweite Weg setzt ersteres von den Ordinaten, und der dritte Weg von beiden, sowohl von den Abszissen- als den Ordinatenwerten, voraus.

Statt die ursprüngliche Funktionslinie nach Fig. 119 zunächst aufzuzeichnen, und die neuen ungleichmässigen Achsteilungen nach Einziehung der gewählten Ersatzlinie (Gerade oder Kreis) graphisch zu bestimmen, kann man genauer auf rechnerischem Weg verfahren.

(X = ^ ° /if°)

Fig. 120. d '=/Osin?~

Als Beispiel wählen wir den Messkeil (s. § 6), mittels dessen das zwischen je zwei Messstangenlagen offen zu lassende, hei bestimmter Lattenlänge 1 nur vom Neigungswinkel a abhängige Stück

dl ==

3°

21 sin*-“- (s. § 12)

während der Messung berücksichtigt wird. Dieser musste bei gleich massige rT eilung der a-Kante eine zweite Kante

besitzen, die der 21-fach überhöhten Kurve sin

spräche, also gekrümmt wäre (s. Fig. 120). Eine solche wäre sowohl für die Herstellung, als auch für die Benützung unbequem. Statt dessen gibt man dem Keil einen beliebigen Winkel/? und erhält dann für die mit «zu beziffernden, ungleiclimässig verzerrten Kathetenstrecken x bei unverzerrten, weil linear zu gebrauchenden Ordinaten y die

= 2 1 sin" “

10 sin H t gß

(3°)

2°

Beziehung:

woraus für

ent-

l2Ü

:/

— = 10 sin . ctg

:/

Fig. 121. d = JO sin?

Biese Kathetenstrecken x wachsen also hei geraden Kanten des Keils proportional zum Quadrat des sin des halben Neigungswinkels (s. Fig. 121).

Als zweites Beispiel wählen wir die Ersetzung einer geschlossenen Funktionslinie durch einen Kreis:

Die darzustellende Funktion zwischen x und y laute: k = mx’-(-nys, wo k, m und n konstante Zahlen, x und y Veränderliche sind.

Diese Funktion lässt sich auch schreiben:

x²

y²

n k mk

in welcher Form die Funktionslinie als Ellipse mit den Halbachsen a

— Y nk h = Y mk = 1, so hätten wir den

Y n k _Yn

Vm k

speziellen Fall der Ellipse — den Kreis. Dies erreichen wir, wenn wir die grosse Achse, d. h. die Abszissen Ym

„    „ Ordinaten Yn

m = 9, n = 4 so müssen die Abszissen in dreifacher, die Ordinaten in doppelter Grösse aufgetragen werden. Die Achsteilungen werden also aufs doppelte, bezw. dreifache verzerrt, bleiben aber gleich mässig geteilt, die Ellipse wird

sich zeigt. Wäre das Aclisverhältnis -    =

kleine

-fach vergrössert auftragen. Sei etwa

zum Kreis.

Die Fig. 119 zeigt, dass vom Verlauf der Funktionslinie, welche durch eine einfach zu zeichnende Linie ersetzt werden soll, der

Grad der Ungleichmässigkeit der Achsteilungen abhängt. Eine allzu starke Ungleichmässigkeit ist aber unbequem wegen der erschwerten Interpolation und in Rücksicht auf die verfügbare Zeichenfläche. Ihr kann man Vorbeugen, indem man die Funktionslinie statt durch eine einzige Gerade durch einen polygonalen Streckenzug A B C D . . . mit wechselnder Divergenz gegen die Koordinatenachsen ersetzt. In Fig. 122 würde z. B. ohne diesen Ausweg die Beibehaltung der Ersatzgeraden AB auf die ganze Erstreckung der Funktionslinie in ihrem rasch ansteigenden Kurvenzweig CD die Ungleichmässigkeit der Abszissenteilung ins Unerträgliche und die Grösse der Zeichnung bis zum Schnittpunkt D' gesteigert haben!

Fig. 122.

9-9’

8’

7’

8*6’

5’

4¹

3’

2*2’

0=0

jx’A

ff

ym'

fm

|vn’

Zf

xY'jv’

IV.

ty

2 ;3 4 .5 6 7 8 9 10 11 12

i .    .1

D’

II. Graphische Darstellung von Beziehungen zwischen mehr als zwei veränderlichen Grössen.

Enthält die darzustellende Beziehung ausser konstanten Grössen nur die Veränderlichen x und y, von denen nach Belieben jede als Argument, oder als Funktion aufgefasst werden kann, so ist sie wie

Fig. 123.

Fimklio7L aj/=s. sztuj?.

L tnierb-^i LeicherAy.

S«100m

90

\n

[7

80

-e>°

70

->

60

S = 50

■>

7h

aE_JZ_

40

fS>

30

20 10

s = o    _

Cf=0°    10° 20° 30° 40° 50° 60° 70° 80° 90° 100° 110° 120° 130° 140° 150° 160° 170° 180°

bisher gezeigt, durch eine einzige Funktionslinie darstellbar. Wächst die Zahl der Veränderlichen über zwei, so genügt zur graphischen Dar-

ay = s sui.cp

Fig. 124. Funktion

Liniengleichcr s

90 80

70

60

Adj =50

Mß

'ß.

40

■>

30

W-

20 '*=■

-20-

■20■

10

10

10

iß

ay-J?

(p = 0° 10° 20° 30° 40° 50° 60° 70° 80° 90° 100° 110° 120° 130° 140° 150° 160° 170° 180° Weitbr echt, Vermessungskunde.

13

Stellung nicht mehr eine einzige Linie, vielmehr wird eine Schar von solchen notwendig, deren einzelne Individuen Linien gleicher Funk-tions- oder Argumentwerte, nach Vogler „Isoplethen“ sind. Jede

Fig. 125.

Funktion &y=s. sin f durch Linien gleicher ^ip

einzelne von diesen wird genau ebenso gezeichnet, wie die bisher jeweils benützte Funktionslinie.

Beispiel:

Die Funktion Ay = s.siny lässt sich darstellen sowohl durch Linien gleicher A y (s. gt Fig. 123), als auch durch Linien gleicher s (Fig. 124), oder gleicher cp (Fig. 125). Um z. B. die Koordinaten von Punkten der zu einem bestimmten ^=0° i80‘ runden Wert von A y gehörigen Isoplethe der Tafel 123 zu fin-3S0°‘*°' den, setzt man diesen in der Grundgleichung ein und berechnet für wechselnde s die e,oc zugehörigen Werte von cp, oder umgekehrt. Jedes solche Wertpaar stellt dann die Koordinaten %?°° eines Punktes der fraglichen Isoplethe, deren stetige Verbindungslinie die letztere selbst dar. Alle drei Darstellungen gestatten nach Belieben, die eine, oder andere Veränderliche als abhängig, als „Funktion“ zu erklären und ihren zu beliebigen Werten der anderen gehörigen Wert auf der x-, bezw. der y-Achse, oder zwischen zwei Isoplethen abzulesen.

g"

70

60

50

40

30

20    30 40 50 GO 70    80    90 II

A/A

A/A

= llv

-10

-20

-30

-50

-60

-70

-80

-90

S= 0

IO 20    30 40 50 60 70    80 90 101

<4

*°°

10° 170‘

%o

Zum Beispiel liefert Fig. 123, wie 124 und 125

für s = 50 m und cp = 25° » 4 y = 45 m „ Aj — 40 m

cp = 55° 10'    „

s = 70 m „

den Wert A y = 21,1 m s == 54,8 m (p = 34« 50'.

Die Tafeln Fig. 123—125 lassen sich ohne weiteres auch für die Funktion A x = s. cos cp verwenden, wenn man nur den Winkelwerten cp noch eine zweite, die Komplementbezifferung gibt [sin <jd = cos (R — 9p)]. Damit ist die Zahl der Veränderlichen auf vier (dx, A y, s, cp) gestiegen.

Begreiflicherweise lässt sich durch entsprechende Verzerrung der Achsteilungen jede der Isoplethen, wie vorhin die einzelne Funktionslinie, zu einer, oder mehreren Geraden oder zum Kreis umwandeln. Im ersten Fall kann man zuweilen die gestreckten Isoplethen durch einen Punkt (Pol) gehen lassen. Dann braucht man sie nicht einmal zu zeichnen, sondern kann mit Gewinn für die Übersichtlichkeit die jeweils gebrauchte Funktionslinie durch Anspannen eines im Pol befestigten Fadens herstellen.

Eine andere, sehr übersichtliche, und für die Anwendung bequeme Darstellungsmethode für Funktionen mit drei Veränderlichen x, y, z, ist die Mehmkesche „Methode der fluchtrechten Punkte“. Diese beruht auf der passenden Auswahl von Trägern von Punktreihen x, y, z, die so angeordnet werden, dass die geradlinige Verbindung je zweier Wertpunkte (z. B. x und y), die dritte Skala in dem zugehörigen Wert z schneidet. Hienach ist u. a. die Werkmeistersche Tachymetertafel entworfen (s. Teil II).

Wächst die Zahl der Veränderlichen über 3, oder kommen Bedingungen für etwaigen Zusammenhang der Argumente unter sich hinzu, so treten weitere Scharen von Isoplethen oder Achsbezifferungen auf und die Überlegenheit der graphischen Rechenhilfsmittel namentlich über die Zahlentafeln wird, soweit es sich um Übersichtlichkeit und Bequemlichkeit handelt, und die damit erreichbare Genauigkeit dem Zweck genügt, eine immer grössere. Ja man kann auch höhere Anforderungen an die Genauigkeit von einzelnen Veränderlichen noch erfüllen, durch entsprechenden Zahlenbeischrieb. So enthalten z. B. die graphischen Fahrpläne in der Regel als Achsteilungen die Angaben von Tageszeit und Kilometerzahl, bezw. Stationsnamen. Die einzelnen Eisenbahnzüge — die Isoplethen — werden als Verbindungslinien zusammengehöriger Orts- und Zeitpunkte gezeichnet. Dabei hindert nichts, ihre Abgangs- und Ankunftszeiten auf wichtigen Stationen in Zahlenwerten beizuschreiben. In der Divergenz dieser Zugslinien gegen die Koordinatenachse drücken sich Fahrtrichtung und -Geschwindigkeit aus. Die Steigungsund Kurvenverhältnisse der Bahnlinie lassen sich parallel zu der die Kilometerteilung tragenden Achse, verschiedenerlei Uhrzeiten, da, wo solche in Frage kommen, parallel zur Tageszeitachse darstellen.

Auch sonst sind derartige graphische Tafeln im Gebrauch und durch den Buchhandel verbreitet. Angeführt seien nur die „Schleussingerschen graphischen Parametertafeln,“ welche zur Berechnung einer Streckenlänge s aus den Differenzen A a und A o der Koordinaten ihrer Endpunkte (wobei A a > A o sein mag) mittels der Gleichung dienen:

s = VAa² + Ao² = Aa + p Ao² = p (2 Aa -f p).

Für die Argumente Aa und Ao, die als Abszissen und Ordi-naten aufgetragen sind, geben die Linien gleicher Differenzen p flache Kurven.

zur

Die Landmesser Fenn ersehen Tafeln dienen, (wie die nach der Methode der fluchtrechten Punkte entworfenen Werkmeisterschen) Bestimmung der Horizontalentfernungen d und der Höhenunter-

Fig. 126.

Bestimmung⁻ der Drainrohrwei'ten

nach der zu entwässernden Tlaclte und dem Gef dlle der Drains ■bei 0,65LiterWasserführung⁻ auf d.ha.und die Sekunde.

-1:600 -1:500

-1:300

- 1=200

-1:100

-1:50 -1:00

-1:30

-1:20

-1-10

3!

Hü

- ;

\U

,-r.

mm

13

IB

MF

IFÜ

Ml

HSS

ÜBBOKSaiH

Tn

VA

YKWKH'Xn

mm

13

[>|53

iiin

schiede zlh aus den Abschnitten 1 zwischen den Distanzfäden und den veränderlichen Höhenwinkeln durch polygonale, verstreckte Iso-plethenscharen (vergl. Tachyraetrie).

Graphische Tafeln von Landmesser Egert-Berlin, wie auch solche von Seyffert, liefern für veränderliche Richtungswinkel cp und

sin cp

cos

Q, b =

Strecken s die Richtungskoeffizienten a = für trig. Punkteinschaltungen.

Die „Hürtenschen Kurventafeln zur Bestimmung der Leistungsfähigkeit unter Druck liegender Bauwerke“ geben die nötigen Querschnitte und Ausflussgeschwindigkeiten für Wasserleitungen, Durchlässe etc. als Funktion der zu befördernden Wassermenge, der vorhandenen Druckhöhe und der Länge des Bauwerks.

Der „Kalender für Vermessungswesen und Kulturtechnik“, herausgegeben von Schlebach, enthält eine von Gebhardt entworfene graphische Tafel mit zwei Scharen von geradgestreckten Isoplethen für Drainrohrweiten und Durchflussgeschwindigkeiten, als Funktion von Gefälle und Grösse des zu entwässernden Gebiets bezw. sekundl. abzuführender Wassermenge (s. Fig. 126).

Soweit solche graphische Tafeln nicht veröffentlicht sind, lassen sie sich unschwer durch Zeichnung hersteilen. Z. B. gibt die Multiplikation mit veränderlichen Faktoren x und y gleichseitige Hyperbeln als Isoplethen (s. Fig. 140), welche zu geraden, die Achsen . unter 45° schneidenden Linien degenerieren, wenn man die Achsteilung statt mit gleichmässigen, mit logarithmischen Skalen versieht, wie beim Rechenstab.

Kapitel VII.

Flächenberechnung.

Zweck und Unterscheidung.

Die Ermittlung der Flächengrössen ist bei Horizontalmessungen häufig das Endziel der Aufnahmen, bei Vertikalmessungen dann, wenn es sich um Verwendung von Querprofilflächen zur Berechnung von Körperinhalten handelt, Mittel zum Zweck. Je nach den der Flächenberechnung zugrunde zu legenden Bestimmungsmitteln unterscheiden wir zwischen

1.    der Flächenberechnung aus (gemessenen oder berechneten) Masszahlen: „Berechnung aus Originalzahlen ohne Planbenützung“;

2.    der Flächenberechnung mit teilweiser Benützung des Plans, oder „halbgraphischer Berechnung“;

3. der Flächenberechnung mittels ausschliesslicher Benützung des Plans oder „reingraphischer Berechnung“.

qkm.

l ooo ooo

Als Flächeneinheit gilt das Quadrat über der Längeneinheit, in Deutschland also das Quadratmeter, wobei 1 qm =100 qdm = 10 000 qcm =. 1 000 000 qmm =

§ 26. Flächenberechnung aus direkten Aufnahme- oder aus berechneten Koordinatenmassen.

Fläche des Dreiecks.

Die einfachste geschlossene Figur ist das Dreieck. Dessen

Form und Grösse ist bestimmt:

1.    Aus zwei Seiten und dem von ihnen eingeschlossenen Winkel und man hat für die doppelte Fläche (s. Fig. 127)

2F = absiny = bcsina = casin/J.

2.    Aus einer Seite und zwei anliegenden Winkeln und man hat

Fig. 127.

-- B/

h'

i-

für die doppelte Fläche

2F = a'

b¹

c¹

ctg 7 + ctg a

3. Aus drei Seiten und man hat für die Fläche

ctg ß + ctg 7

ctg a + ctg/?

F = y s (s — a) (s — b) (s — c), wobei s den halben Umfang vorstellt.

2F = ah = bh/ = c h".

Ohne Kenntnis der speziellen Form lässt sich aber der Dreiecksinhalt auch berechnen aus Grundlinie und zugehöriger Höhe; und man hat

Fläche des Vierecks.

Der Inhalt des Vierecks wird am einfachsten berechnet als Summe zweier Dreiecke nach den soeben

Fig. 128.

kennen gelernten Regeln oder aus den ”0 Koordinaten der Eckpunkte in bezug auf ein beliebiges Koordinatensystem. Wählt ^ man eine Diagonale f als Abszissenachse, 02 ^ einen Eckpunkt als Ursprung, so ergibt ' j sich der Flächeninhalt am bequemsten .......j (s. Fig. 128)

2 f = fyi + fys = f(D + ys).

Aus beiden Diagonalen f und g und deren Schnittwinkel a ergibt sich der doppelte Inhalt als Summe desjenigen von vier Dreiecken zu

Fig. 129.

2 F = sin ct (fi gi + fi g₂ + fa g₂ + f₂ gi)

= sin « [fi (gi + gs) + fa (gi + ga)]

= f g sin a.

Fig. 130.

Dieselbe Formel führt zu dem (als Differenz der beiden betreffenden Dreiecke aufgefassten)

’S-}

Inhalt des verschränkten Vierecks. Die durch Schraffierung in Fig. 130 angedeutete Dreieckszusammenstellung liefert 2 F = f gi sin a — fi g2 sin a

—    f₂ gi sin a + U g₂ sin a = sin a [fi (gi — g₂)

—    fa (gi — ga)]

= f . g. sin a.

Hievon ist die Inhaltsformel 2 F — ab sin y für das Dreieck nur der spezielle Fall gegenseitiger unendlicher Annäherung zweier Ecken des Vierecks.

Fig. 131a.

Eine namentlich bei der Aufnahme nach rechtwinkligen Koordinaten häufig auftretende Form des Vierecks ist das Trapez, dessen beide Parallelseiten (Ordinaten) senkrecht stehen auf einer der andern (Abszisse). Man hat hier (s. Fig. 131a)

2 h = (yi -j- y₂) • (X₂ — Xi) = 2y . A x.

Liegen die Ordinaten auf verschiede-    oe£—^--

Fig. 131b.

y¹

-AX-

■A:r₂

A 3C/-Ä

n en Seiten der Achse (s. Fig. 131b), und versteht man unter dem Inhalt des (verschränkten) Trapezes wie oben die Differenz (nicht Summe) der beiden entstandenen Dreiecke, so ergibt sich dieser als Trapez, wenn man die kleinere Ordinate (hier yx) vom Endpunkt der grösseren (hier y₂) aus in der Richtung gegen die Achse abträgt. Das durch eine Parallele zur Abszisse abgeschnittene Dreieck ist dann kongruent dem linksseitigen und es bleibt für das verschränkte Viereck die in Fig. 131b schraffierte Fläche 2 F = (Axx -j- Ax₂) (absolut y₂ — absolut yx).

Führt man statt der absoluten Strecken yi und y₂ deren algebraische Längen ein und behaftet, wie bisher konsequent die nach links gehenden

Fläche des Vielecks.

Ordinaten mit einem — Zeichen, so wird

2 F = (ji -f y₂) (x₂ — x,)

vollkommen übereinstimmend mit dem Inhalt des normalen (nicht verschränkten) Trapezes.

Ein beliebiges Vieleck, dessen Eckpunkte durch rechtwinklige Koordinaten aufgenommen sind (s. Fig. 132), wird durch die Eck-

Fig. 132.

Handriß

NOPP

über die Aufnahme eines Grundilückes auf der

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ein de Stuttgart

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5621

Stadtgem

.....ZdPhmH

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31,73z.______ /p2>j~

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104,00

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Erläuterung:

5635-Parzell u Wegmnnmem san&rve BeJhzemamen sanft. ■ romon, Kiiltnrart

Schrift -

Emil Hausmann,

Handelspartner

Boumacker

Wi]h. Schaller, Privatier

Weinbery

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I i i ■■ i i i i i i

10

Maßftab 1-1000

20

30

40

50

6o2£eter

punktsordinaten und die Abszissenachse in lauter Trapeze (eventuell rechtwinklige Dreiecke) zerlegt, deren Flächensumme den Gesamtinhalt der Figur ergibt.

Man muss aber bei verschränkten Trapezen beachten, dass deren Inhalt

ausser inner

negativ positiv nenden Figur fällt.

zu nehmen ist, wenn die grössere Ordinate

halb der zu berech-

Beispiel der Flächenberechnung eines Grundstücks (Fig. 133)

b) aus Kontrollmassen¹):

a) aus Koordinaten:

Abstich

Abszissen-

Differenz

Ordinaten-

Summe

Doppelter Inhalt

§ • •S £

•53 Q

s s

log s

0-1

h CM CO

rfi., Ü0 IO

6,52 —13,72

975,32

s — a s —b s — c

log F2_ log F

1336,05

1535,73

89,45

4-5

5,26

9,38

00' Oi crt

I I I I

O CO -4| Oii

31,22

25,54

14,22

49,34

0-1-8

38,04 ! 32,70 26,53 97,27

GO O UJ CM H r—I GM

'5

*5

1.68695

1.02510

1.20236

1.34449

426,04

25,62

9,84

6,46

18,32

443,95

164,99

469,36

97,27

5.25890

2.62945

— 2,74

26,96

27,55

38,04

4974,74    116,41

2 F = 4858,33 F -- 2429,16 qm = 24 a 29 qm

1-7-8

25,80

91,39

45,69s    1-65987

18,14b    1.25876

7,65s    0.88395

19,89s    1-29874

355,35

91,39

5.10132

2.55066

34,62

25,80

1-2-7

31,73

92,15

46,07s I 1.66347 11,45s    1.05899

20,27₅ | 1.30696 14,34s i 1.15670 92,15    5.18612

2.59306

391,80

25,60

34,62

2-6-7

24,70

84,92

1.62798

1.22686

0.89432

1.24944

315,72

84,92    4.99860

2.49930

10,92

44,10

2-3-4

47,26

102,28

51,    |    1.70876

40,    |    1.60444

7,    I    0.84757

3,    i    0.58883

102,28    I    4.74960

2.37480

00 O to t-1 CD tO

237,03

36,80

52,80

24,70

16,00

2-4-6

44,10

28,10

105,60

8,70

1.72263

1.20412

1.44871

0.93952

454,46

105,60

5.31498

2.65749

32,63

36,80

4-5-6

15,27

0 Um Übereinstimmung zu erzielen, wurden (im Gegensatz zur sonstigen Behandlung) die Koordinaten- und Kontroll-masse gegenseitig ausgeglichen.

84,70

84,70

1.62685

0.98767

0.74429

1.43265

4.79146

2.39573

248,73

F = 2429,13 = 24 a 29 qmJ)

Bei der Flächenberechnung aus Koordinaten wird immer zunächst der doppelte Betrag ermittelt. Die Halbierung jedes einzelnen Flächenteils (Abstichs) würde wie diejenige je eines der Faktoren jedes Abstichs neben der erweiterten Arbeit des Haibierens und der Gefahr der Stellenvermehrung (bei ungeraden cm-Massen müssen durch Halbieren mm mitgeschleppt werden) weitere Fehlerquellen bedingen und die Nachrechnung (Aufsuchen der Abstiche!) erschweren.

Als Beispiel der Berechnung eines nach der Parallelmethode aufgenommenen Grundstücks mit Benützung sämtlicher Aufnahme- (nicht Kon-troll)-Masse möge P. 144 in Fig. 84 dienen, (siehe schematische Figur 133). Durch entsprechende Zerlegung (s. eingetragene Nummern) wurde dafür gesorgt, dass möglichst wenig Abstiche in Nachbarparzellen wiederholt auftreten:

Fig. 138.

WO

f!

lü

re

14,78 22,44 146,39 74,09 24,35

6) (13,32 + 12,34) X 50,00 = 1283,00

0,30

7)    0,24 X 1,24

8) (12,78 -f 14,14) X 60,00 = 1615,20

20,48 40,21

¹

F = fj gi sin (2 R — a) -)- fi g₂ sin a

f2 g2 sin (2 R — a) -f f₂ gi sin a und da sin a = sin(2R — a)

2,20

2 F = 3243,44 F = 1621,72 = 16 a 22 qm.

Mehrere,    Sind statt einer einzigen Abszissenachse der Aufnahme

unter sich

nahmeuiren" mehrere solcher gegeneinander divergierender Geraden zugrunde gelegt, so müssen diese irgendwie in gegenseitige Verbindung gebracht sein. Die in B,ücksicht auf die Flächenberechnung bequemste Verbindung wird dadurch hergestellt, dass je zwei Grenzpunkte

auf zwei aufeinanderfolgende Grundlinien aufgenommen werden (s. Fig. 134).

Die Figur wird in diesem Falle in ebensoviele Hauptteile zerfällt, als Grundlinien vorhanden sind. Als Berechnungsgrenzen für jeden dieser Teile dienen die Verbindungslinien je der beiden auf zwei aufeinanderfolgende Achsen doppelt aufgenommenen Punkte. In Fig. 134 sind die Eckpunkte (1) und (5) doppelt aufgenommen, ihre Verbindungslinie bildet daher die Berechnungsgrenze.

Fig. 134.

100'M

5'-

G'cH 83.76    \

C,9.Wf

234

235

² T-As?*

'i

⁷°⁹.6-0

236

.y/ö

S--

Abstich

Abszissen

differenz

Ordinaten-

summe

Ca05-3COi—‘    Ca    OO to i—‘

H-‘CaO5~300 I—‘ ca CO to

1.    Figur 1—2—3—4—5

26,08'

47,36 20,32 11,26 82,50

2.    Figur 1—8—7—6—5 — 37,78 —16,03

-7,41 — 7,72 41,76

21,76

38,46

13,75

17,31

91,28

1,50

—12,00

39,12

2,50

28,60

28,48

50,80

322,04

2349,60

568,32

l—¹1—¹ 05 GO OO O I—‘ INO 00*—‘05 10 05 00 Ca O CO CD (—¹¹ CD

3811,85

6573,41

2242,44

2F = 4330,97 qm F — 2165,49 qm = 21 a 65 qm.

Ein weiteres Beispiel dieser Art liefert Parzelle 128 in Figur 84.

Ist statt eines der doppelt aufgenommenen Grenzpunkte ein beliebiger anderer, dem Umfang der Figur nicht angehöriger Punkt auf beide Linien bezogen (z. B. der Schnitt der letzteren eingemessen), so lässt sich die Figur ebensogut aufzeichnen, also auch ihrer Fläche nach berechnen. Nur müssen dann zu letzterem Zwecke die auf eine Linie bezogenen Koordinaten eines weiteren Grenzpunktes durch Rechnung auf die andere Linie „transformiert“ werden (s. Kap. 13).

Sind umgekehrt mehr als zwei Grenzpunkte auf je zwei aufeinanderfolgende Aufnahmelinien doppelt aufgenommen, so ist die Verbindung der letzteren überbestimmt. Es müssen daher Widersprüche in der Zeichnung und in der berechneten Flächengrösse auftreten. Um solche zu eliminieren, sind die betreffenden Aufnahme-

masse entweder auszugleichen, oder man verbindet die doppelt aufgenommenen Punkte zu einer Kernfigur, die man aus jedem der Systeme unabhängig rechnet und hernach mittelt oder es sind endlich die überschüssigen Masse lediglich als Kontrollmasse gegen grobe Fehler zu betrachten und für die Flächenberechnung nicht zu verwenden.

Flächen-    ist die Aufnahme nach der Polygonalmethode erfolgt, und

berechnung <    J °    ⁰⁵

nutzun6 S^1{^ rec^winkligen Koordinaten der Eckpunkte durch Rechnung einer Figur, ermittelt, so werden letztere meist weder im Plan, noch im Stückvermessungsriss, sondern nur im „Koordinatenverzeichnis“ eingetragen. Die Gewinnung der einzelnen Abstiche aus der Figur entfällt daher und es wird nötig, allgemein gültige Beziehungen

zwischen Flächengrösse und Koordinaten aufzustellen.

Numeriert man zu diesem Zweck die Eckpunkte so, dass man heim Umgehen nach der Nummernfolge die Figur zur y Rechten hat, so erhält man (mit Einführung der Koordinaten zunächst lediglich ihrem absoluten Wert nach) deren doppelten Inhalt 2 F aus einer Summe von Trapezen je mit den Ordinaten

Fig. 135.

+cc

n-7

n-2

TL

5,

-CG

1.3

als Parallelseiten (s. Fig. 135):

2 F = — (y₂ — yx) (x₂ — xD 4 (y₂ -f y₃) (x₂ — x₃) -f (y₃ 4 y₄) (x₈ + x₄)

4 (y* — y₅) (x₅ — x₄) — (y₅ -f- y₆) (x₆ — x₅) 4 • • • • 4 (yn-2 4 yn-i) (xn — (yn + yi) (xn —x₄).

-i

x„_a) 4 (y„_i + yn) (x„ — xn_i)

Abszissen

Ordinaten

unten links

tives Vorzeichen bei, so geht obige Gleichung über in:

2 F = (yj 4 y₂) (xj — x₂) + (y₂ 4 y₃) (x₂ — x₃) 4 (y₃ + y₄) (x₃ — x₄)

4 (y* 4 y«) (x₄ — xB) 4 (y₅ 4 y₆) (x₅ — x₆) 4 . . . . 4 (yn-₂ + yn-i) (xn—2 — x„_i) 4 (y„_! + y„) (xn_x — xn) 4 (yn 4 yi) (xn — xi).

Legt man sämtlichen nach

gerichteten

nega-

(I)

(II)

Durch Ausmultiplikation und veränderte Zusammenstellung erhält man aus (I):

2 F = (x₄ 4 x₂) (y₂—ji) 4 (x₂ 4 x₃) (y₃—y₂) 4 (x₈ 4 x₄) (y₄—y₃) 4 (x₄ 4 x₅) (y₅ — y₄) 4 (x.> 4 x₆) (y₆ — y₅) 4 • • • • 4 (xn — 2 4 Xn — i) (yn-l — yn-2) 4 (X'n-l 4 Xn) ()⁷n — yn-l) 4 (xn 4 Xj) (yx — yn).

Die beiden Gleichungen I und II, „Trapezformeln“, lassen sich als Satz wie folgt ausdrücken: Hat man heim Umgehen in der Richtung des Numerierungszugs ein durch seine Eckpunktskoordinaten gegebenes n-Eck stets zur Rechten, so ist dessen doppelter Inhalt gleich der Summe von n Produkten, je bestehend aus der Summe zweier aufeinanderfolgenden Ordinaten Abszissen

mal der Differenz der zugehörigen, in der

Abszissen Ordinaten'

Rechenproben und Vereinfachungen. Eine durchgreifende Schlussprobe für die Berechnung liegt in der Übereinstimmung der zwei bei Benützung beider Formeln I und II erhaltenen Ergebnisse.

selben

entgegengsetzten

Reihenfolge eingeführten

Reclien-

proben.

Z w i s c h en p r o b e n für den richtigen Ansatz der beiden Faktoren . jedes Produkts erhält man durch Addition der gleichnamigen von ihnen. Nachstehende vier Zahlengruppen liefern nämlich dabei:

yi    + )’2

y*    + y₃

y»

t* y4

Xi — x₂

X₂    X₃

x₃    x₄

y₂ — yi

y₃ — y2 )'4 — y₃

yn-2 + yn-i xn_2 + xn Xn-l + X„ x„ + xx

-i

yn-i yn yn + yi

Xn - 2    Xn _ i

Xn-l —

— Xj

x»

— 1    } n — 2

—    yn-i

-    yn

yn

yi

2 = 2 [x]

Summenfaktoren

Differenzfaktoren.

Die Ziehung dieser Summenproben wird wesentlich erleichtert durch Einführung dekadischer Ergänzungen für die negativen Summanden (vergl. § 22).

Auf das nachfolgende Beispiel angewandt, hätte diese Massnahme nicht bloss die Addition der Eckpunktskoordinaten erleichtert, sondern auch die sechs Vertikalspalten auf jeder Seite des Tabellenkerns auf je drei zu reduzieren erlaubt.

der

Zahlenkürzung. Liegt der Ursprung des Koordinatensystems weit entfernt von der Fläche, deren Inhalt berechnet werden soll, so sind die Eckpunktskoordinaten, also auch die Summenfaktoren sehr gross und die Multiplikation wird schwerfällig. Eine Vereinfachung, ohne Änderung des Flächeninhalts wird erzielt durch Parallelverschiebung jeder der beiden Koordinatenachsen, d. h. durch Reduktion sämtlicher Eckpunktskoordinaten um beliebige, gleiche runde Beträge. (Im nachfolgenden Beispiel sind die Abszissen um 25200 m, die Ordinaten um 12000 m reduziert.)

421,49

86,48

xr-i — Xr,¹)

37,94    9500,93

20,12

238,47

66,44    4628,87

32,56    7323,40

yr-l + yr

250,42

77,48    5,44

2,06 41,98

35,93

53,59

69,67

224,92

624,55 136,94 136,94 21711,79    507,97

+ 21203,82 qm 1 ha 06 a 02 qm.

pH pH

Ol

619,54

CD    IQ

lO    Tfl

rH

irr

t,

■2

1

K

l|

II

fl

a 'S

Sg

•11 o 1

Ordinate y

y reduziert

—12163,18 —163,18

—12087,24 - 87,24

-11990,24 + 9,76

- 12011,82 - 11,82

—11987,62 +12,38

—12007,93 — 7,93

Abszisse x

x reduziert

+ 25226,24 + 26,24

+ 25264,18 + 64,18

••01

tqun₍[

(M

+ 25258,74 + 58,74

+ 25216,76 +16,76

r + 25180,83 5 i

-19,17

+ 25127,24 — 72,76

+ 25193,68 j -12061,74 — 6,32

61,74

[x] = + 67,67    [y] = + 309,77

2 [x] = + 135,34 2 [y] = + 619,54

|i

l|

* f 3 k

gg

ii

11

ll

•SI

Sf

3«

II

11

g|

11

Xr-i + xr

2,41

91,93

79,08

90,42

122,92

yr — yr-i¹)

75,94

97,00

21,58 75,50

20,31

53,81

101,44 19,92

24,20

197,14 197,14 308,76! 173,42

ii

33 5 S

135,84

2 £ §g

(S c ©

qm.

§| S s 11

li

1629,29

58,32

2020,68

3708,29

CO

00 cs

18

53 2

Ö c cs 5?

sf

11

pq ©

«rS

6866,49

11923,24

1867,10

4255,29

24912,12

pH Ph

Ol

Die vorn zur Bildung von Gleichung (II) ausmultiplizierte Trapezformel (I) liefert durch Streichung der sich aufhebenden Produkte aus Faktoren mit gleichen Indices die weiteren Formeln:

2 F = yi (xn — X2) -f- y₂ (xi x₃) ~i~ y₃ (x2    x₄) “h }r4 (x3    xs)

+ y₅(x4 x₆) +• • .+ yn-₂(xn-3 xn — 1) -1⁻ yn — 1 (Xn — 2    xn)

+ y« (xn—1 — xl)

und

(III)

(IV)

2 F = Xi (y₂ — y„) + x₂ (y₃ — y,) + x₃ (y₄ — y₂) -p x4 (y₅ — y₃)

-j“ x5 (5*6-}T) “h* • • ~f~ Xn - 2 (}n - 1 Vn - ₃) + Xn - 1 (jn ~ yn - 2)

+ xn (yi — yn-i)-

Die beiden Gleichungen III und IV, „Dreiecksformeln“, die sich ebenso wie die Trapezformeln, aus der Figur ablesen lassen (vergl. z. B. die Abstiche 1, 2, 3, 4, 5, 9, 10, 11 in Fig. 133) lauten in Satzform: Hat man beim Umgehen in der Richtung des Numerierungszuges ein durch seine Eck-punktskoordinaten gegebenes n-Eck stets zur Rechten, so ist dessen doppelter Inhalt gleich der Summe von n Pro-

Ordinate

Dreiecks -formeln.

mal der Differenz

dukten, je bestehend aus einer

vorhergehenden — der nachfolgenden Abszisse, nachfolgenden — der vorhergehenden Ordinate. Vergleichung beider Formelgruppen. Die Dreiecksformeln sind für die Rechnung bequemer, als die Trapezformeln, weil bei ihnen die Bildung der Summe je zweier Koordinaten wegfällt, und für jeden auf der Abszissen-, oder Ordinatenachse liegenden Grenzpunkt ein Produkt gleich 0 wird.

Rechenproben: Für den richtigen Ansatz der Differenzfaktoren ergibt sich eine analoge Zwischenprobe, wie bei den Trapezformeln, nämlich:

Abszisse

der

Vergleichung der Berech-uungs-formeln.

Rechen

proben.

— x2 — x3

x₂    — x₄

x3    — x5

Xn

Xi

y*    — Jn

ys    — yi

y₄    — y₂

ys

ys

x₄

x₆

y«

— }'4

X„_3

Xn — 2 Xn Xn_l — Xj

xii — 1

} n — 1    } n — 3

— In-2

— yn-i

yn

yi

2=0.

Als Beispiel verwenden wir das vorn behandelte wieder, führen jedoch an Stelle negativer Zahlen jetzt deren Ergänzungen ein:

qm

yr+l — yr-1

Punkt

Nr.

Abszisse x

reduziert

(25200)

Ordinate y

reduziert

(12000)

Xr —i

— xr+i

qm

X 330,88

X 74,50

25226,24

26,24

X 87886,82 X 836,82

X 29,50

11504,19

11099,29

172,94

25264,18

64,18

X 87912,76 X 12,76

X 67,50

2835,30

4430,17

75,42

25258,74

58,74

X 88009,76

9,76

47,42

462,82

43,91

2,62

25216,76

16,76

X 87988,18 X 88,18

77,91

X 079,10

X 25,43

3,89

25180,83 X 80,83

X 88012,38

12,38

89,52

1108,26

5392,97

X 25,88

25127,24 X 27,24

X 87992,07 X 2,07

X 87,15

101,90

981,18

X 844,75

25193,68 X 3,68

X 87938,26 X 38,26

X 01,00

6112,26

0,00

21203,83 F = 1 ha 06 a 02 qm

0,00    21203,83

F = 1 ha 06 a 02 qm.

Spezielle Fälle.

Vierecks

berechnung.

Die Dreiecksformel (III) liefert für den doppelten Inhalt eines Vierecks

2 F = yx (x₄— x₂) + y₂ (xx — x₃) + y₃ (x₂ — x₄) -f- y₄ (x₃ — x₄) = — |(yi — ys) (x₂ — X₄) -f (y₂ — y₄) (x₃ — Xj)J,

d. li. der doppelte Inhalt eines Vierecks ist gleich der negativen Summe zweier Produkte je bestehend aus der Differenz der Abszissen zweier Gegenpunkte mal der Differenz der Ordinaten der beiden anderen, wobei die faktorenbildenden Koordinatendifferenzen in der Reihenfolge der das Viereck rechtslassenden Umgehung zu bilden sind.

Dreiecks-

bereclinung.

Fasst man das Dreieck als ein Viereck auf, dessen beide Ecken

3 und 4 in 3 zusammenfallen, so dass *⁴ “ *³, so wird der doppelte

Dreiecksinhalt 2 F = (y₄ — y₈) (x₃ — x₂) -f (y₃ — y₂) (x₃ — xx)

= (y* — ys) (xi — x₃) — (yx — v₃) (x₂ — x₃).

Jede der vier Klammern stellt die Abszisse bezw. Ordinate eines der Eckpunkte 1 oder 2 vor,' wenn man das Koordinatensystem parallel mit sich selber in die Ecke 3 verschiebt. Bezeichnet man diese reduzierten Koordinaten mit & y₂ t)i t)2, so ist für das Dreieck:

2 F = d x)₂ — &> r)i (Ursprung in 3)

2 F = J₂ t)3 — ?3 t)2 (

d. h. der doppelte Dreiecksinhalt ist gleich der Differenz der Produkte aus den verwechselten Koordinaten der beiden Eckpunkte, wenn der Koordinatenursprung mit der dritten Ecke zusammenfällt. Fällt dazu noch eine Dreiecksseite mit einer Koordinatenachse zusammen, so dass ein weiterer Eckpunkt auf letzterer liegt, so wird dessen Ordinate = 0 und die obige Formel geht über in die einfachste Form: 2F = £₂t)3 — a.h(s. S. 198).

Sind nicht alle Eckpunkte der Figur auf die Hauptachsen koordiniert, sondern zum Teil auf Verbindungsstrecken koordinierter Punkte mit- ® tels rechtwinkliger Koordinaten aufgenommen, wie das bei Gemarkungs-,

Flur-, Waldvermessungen die Regel ist (s. Fig. 136), so muss zum Zweck der Flächenberechnungjebeim Übergang von einer Polygonseite zur andern, ein Grenzpunkt (nötigenfalls durch Koordinatenumformung, s. Kap. 13) auf zwei aufeinanderfolgende Polygonseiten bezogen werden.

Die dem Hauptpolygon zuzuschlagende, bezw. abzuschreibende Fläche zwischen den Polygonseiten und der Eigentumsgrenze wird dann durch Berechnungsgrenzen je vom doppelt aufgenommenen Grenz- zum fraglichen Polygonpunkt in einzelne Stücke zerlegt, deren Berechnung nach dem oben vorgeführten Verfahren erfolgt.

„ 1) etc.

Fig. 136.

<ro-~

Vieleck als Grundlage der Stückvermessung,

(D'fe

■X

§ 27. Flächenberechnung mit teilweiser Benützung des Plans „halbgraphische Berechnung“.

Die halbgraphische Flächenberechnung, welche jede Einzelfläche als Produkt einer aus dem Plan abgegriffenen Strecke 1 und weMungs-einer direkt gemessenen Strecke b ermittelt, hat namentlich auf dem Gebiet der neueren Katastervermessungen und der Gl’Und-

Weitbrecht, Vermessungskunde.

Wesen und An-

14

stüeksteilungen eine hervorragende Bedeutung erlangt. Ohne der Berechnung aus direkten Masszahlen an Genauigkeit merklich nachzustehen (namentlich wenn beachtet wird, dass die gemessenen Koordinaten mit wesentlich grösseren Ungenauigkeiten behaftet sind, als die der halbgraphischen Berechnung zugrunde liegenden, bequemer zu messenden Kopf- und Steinlinienmasse), erfordert sie wesentlich geringeren Zeitaufwand, benützt zur Flächenbestimmung dieselben Masse, die zur etwaigen Grenzwiederherstellung dienen, und ist bei jedem beliebigen Aufnahmeverfahren anwendbar.

Beste Grundstücksform in Rücksicht auf halb-grapliische Berechnung.

Sind die beiden Längendimensionen 1 und b, durch deren Multiplikation (gleichgültig, ob es sich um ein Dreieck, Rechteck oder Trapez handelt) die Flächenabstiche berechnet werden, mit den (mit algebraischen Vorzeichen eingeführten) Fehlern Al und Ab behaftet, so erhält man statt der gesuchten Fläche

F = 1 X b

die fehlerhafte Fläche F —|— zl F = (1 —zl 1) (b-j-A b), woraus durch Subtraktion AF = 1A b —j— b A1 —j— A1 X Ab, oder mit Vernachlässigung des sehr kleinen letzten Summanden

AF ^ 1 Ab + bA1

als Flächenfehler sich ergibt¹). Dieser Flächenfehler wird um so kleiner, je kleiner die beiden Summanden sind und je weniger einer derselben gegenüber dem andern überwiegt. Es ergibt sich hieraus das Verlangen, dafür zu sorgen, dass

1A b = b A1

oder

Al

VST ¥'

ver-

Die Dimensionen 1 und b einer zu berechnenden Figur lassen sich nur wenig (durch entsprechende Zerlegung der Figur) beeinflussen. Dagegen entspringen ihre Fehler A 1 und A b verschiedenerlei Ursachen und sind — weil die eine Strecke dem Plan entnommen, die andere direkt gemessen ist schieden gross. Der Fehler der abgegriffenen Strecke hängt ausser von der Messungs- und Zeichengenauigkeit namentlich vom Planmassstab, also zum Teil von unserem Willen ab, ist aber jedenfalls grösser, als der reineMessungsfehler. Folglich muss nach obiger Gleichung auch die zu ihm gehörige Berechnungsstrecke die grössere sein, d. h. das grössere Mass (die Länge 1) ist abzugreifen, das kleinere (die Breite b) zu messen. Nimmt man an, aus dem Plane

wird A 1

lasse sich eine Strecke mit einem Fehler von -j^- mm Planmass abgreifen, während sich ein Breitenmass mit einem Fehler von 2 cm messen lasse, so =    - • m^ mm, wobei m das Massstabsverliältnis des Plans bedeutet

und A b = 2 cm = 20 mm.

x) Kürzer: F = 1. b dF=8F

9F

a.

‘dl + Tb A F = b A 1 + 1. A b.

91

• dl»

er

§i

Für m = 1000 (Massstab 1 : 1000) wird damit das erwünschte Strecken-

Verhältnis:

A 1    10

•1000

= 10.

20

Y - ~Ab

Unter obiger Voraussetzung eignet sich demnach der Massstab 1 : 1000 besonders für die halbgraphische Berechnung von Grundstücken, deren Länge 1 ungefähr das Zehnfache der Breite b beträgt, der Massstab 1 : 500 für solche, die fünfmal so lang sind, als breit etc.

Besonders geeignet für die halbgraphische Berechnung sind demnach langgestreckte schmale Figuren. Dieselben werden durch Berechnungsgrenzen (Fig. 137) in Dreiecke oder Vierecke (Doppel-

Fig. 137.

3^

i f:

'A

\\

sr~

?/

213    2t4

/:

2,5 I²¹,⁶ ²'⁷

22 r

\ . A .

²i⁸1\”

\\l\ \ ■■

2I9\

220

's

222

223

!L. f.....:

V-.........

■2241

-16,00-

-73,7(2    - 160'r -

Anmerkung: Die Grenzlinien zwischen Parz. 218/219, sowie zwischen 221/222 sind an den Mittelmarken nicht gebrochen. Die poly-gonometrische und geometrische Grundlage der Stückvermessung ist in Fig. 137 weggelassen.

dreiecke) mit gemessener Grundlinie zerlegt, deren Höhe abgegriffen wird. Allgemein erhält man (s. Fig. 128) den doppelten Inhalt eines Doppeldreiecks (Vierecks) = Diagonale X senkrechtem Abstand der beiden zu ihr durch die zwei andern Ecken gezogenen Parallelen.

Beispiele.

Die Parzelle 213 in Fig. 137 wird von einem beliebigen Punkt der Längsgrenze aus in Dreiecke zerlegt, deren Höhen aus dem Plan abgegriffen werden, während die gemessenen Grenz- (Kopf-) Masse von Markstein zu Markstein die Grundlinien bilden. Zur zweiten (Kontrollbereclinung) wird die gemeinsame Spitze der Dreiecke verändert. Die Zeichnung der Berechnungsgrenzen ist unnötig.

Bei den Parzellen 214 und 215 genügt je eine Diagonale zur Zerlegung in zwei passende Dreiecke. Diese Diagonale wird für die erste Berechnung grundsätzlich linksschief (von den Gewandgrenzen aus gesehen), für die zweite (Kontroll-) Berechnung rechts schief gedacht.

Bei den Parzellen 216, 217 und 218 ist zunächst das zwischen Steinlinie und Gewandgrenze liegende Flächenstück jeder Parzelle in ein Dreieck derart zu verwandeln, dass die Steinlinienbreite Grundlinie wird und die Spitze auf die Verlängerung der linksseitigen Grenze fällt. Durch eine (je von der Gewandgrenze aus gesehen) linksschiefe Diagonale denkt man sich die Grundstücke je in zwei Doppeldreiecke zerlegt, deren gemessene Dimension die Steinlinienbreite ist. Die abzugreifende Höhe ist je der Abstand zweier durch die Gegenecken gezogenen Parallelen zur Steinlinie. Für die zweite Berechnung wird, wenn nicht etwa die Kopfmasse auf der Gewandgrenze gemessen sind, deren Vei^wendung eine Kontrolle sowohl für die Flächenberechnung als auch für die Messung ergeben würde, das Flächenstück ausserhalb der Steinlinie nach rechts hinaus verwandelt und die Trennungslinie für jedes Paar von Doppeldreiecken rechts schief gedacht.

Die Parzellen 219—221, deren Längsfurchen in der Mitte gebrochen sind, werden genau wie die vorigen behandelt, nur erhält man statt zweier Doppeldreiecke für jede weitere Steinlinie ein Doppeldreieck mehr.

Einige der seltenen Fälle, in welchen auch die halb graphische Flächenberechnung die Erhebung von Massen verlangt, die für die Zeichnung und etwaige spätere Grenzbestimmung fast wertlos sind, zeigen die Parzellen 222—224.

Die Gewandgrenze der Parzellen 222 und 223 verläuft so schief gegen die Längsfurchen, dass die zu den Kopfmassen gehörigen Höhen sich nur mangelhaft abgreifen lassen, und überdies nicht das wünschenswerte Verhältnis zwischen abgegriffener Länge und gemessener Breite zeigen. Hier ist es zweckmässig, auch wenn das Kopfmass gemessen ist, noch die senkrechte Parzellenbreite (L o t f u s s-punkt nur näherungsweise nötig, dagegen scharf in die Gerade einzuweisen) zu messen. An Stelle der abzugreifenden Höhen treten hier die Furchenlängen.

Eine Längsgrenze der Parzelle 224 (Weggrenze der „Schlussparzelle“) ist nicht geradlinig. Das Grundstück ist zu schmal, um ähnlich, wie das Grundstück 213 berechnet werden zu können, weil die von einem Punkt der geraden Längsgrenze aus abzugreifenden Höhen zu klein würden. Zur Berechnung dienen hier die senkrechten Grundstücksbreiten (Lotfusspunkte scharf in die Grenze einzuweisen, sonst nur genähert abzustecken), und zwar wird die Figur durch Diagonalen je vom gezeichneten Lotfusspunkt aus nach dem schief gegenüberliegenden Bruchpunkt in Doppeldreiecke zerlegt.

Hilfsmittel zum Ab-

Die abzugreifenden Höhen können mittels des Zirkels (direkt, grafen der oder bei grossen Dimensionen nach Einzeichnung einer in bestimmtem Abstand gezogenen Parallelen zur Steinlinie bezw. Gewandgrenze) dem Plan entnommen werden.

In Rücksicht auf Planschonung, Zeitersparnis und Genauigkeitssteigerung ist es aber zweckmässiger, Glastafeln zu verwenden, auf denen in Abständen von je 1 m oder */₂ m, oder 1 dm (im doppelten Planmassstab, um das Halbieren zu sparen) feine farbige Parallellinien und die zugehörigen Zahlen eingeätzt oder durch Photographie auf eine dünne Gelatineschicht übertragen sind. Dieselben werden (die Ätzung nach unten) auf den Plan so gelegt, dass ihre Linienrichtung mit der Stein- oder Gewandlinie übereinstimmt und alsdann nötigenfalls längs eines seitlich angelegten Lineals parallel verschoben, bis die Nulllinie die Grundlinie bezw.

den unteren Eckpunkt des Doppeldreiecks deckt. Die Ablesung der Höhe, bezw. des Parallelabstandes am oberen Eckpunkt erfolgt durch Einschätzung zwischen die eingeätzten Parallelen.

Für die erste und zweite Berechnung werden getrennte Hefte geführt, die zur besseren Übersicht auf ein Schema gegründet werden können. Der Eintrag der Grundstücksnummern und der Berechnungsmasse erfolgt dann im Interesse der Zeitersparnis und Planschonung in zwei Zügen, nämlich: zuerst Eintrag der Parzell-nummern und der Breitenmasse Grundstück für Grundstück durch die ganze Gewann hindurch aus dem Handriss, sodann, nötigenfalls nach erfolgter Verwandlung der zwischen Steinlinie und Gewanngrenze liegenden Flächenstücke (s. Fig. 137, Parzelle 217—221) und zusammenhängend über den ganzen geradlinigen Verlauf einer Steinlinie oder Gewanngrenze: Ablesung der zu den Breitenmassen gehörigen halben Höhen. Schliesslich folgt, ebenfalls zusammenhängend, die Multiplikation der Abstiche und die Zusammenstellung der Inhalte.

Eine eigentümliche Art der halbgraphischen Flächenbestimmung ist den nassauischen Konsolidationen mit ihren unter sich und zu einer Gewanngrenze parallelen Steinlinien (s. Fig. 138) entsprungen : Für den Inhalt jedes viereckigen, von zwei Steinlinien durchschnittenen Grundstücksteils erhält man nur einen einzigen Abstich.

So ergibt sich FAbcd = E X E, FBcef = m X h₂ etc., wobei im Fall divergenter Längsgrenzen die Mittelbreite m zuerst aus folgender Proportion mittels Rechenschiebers zu berechnen ist:

(m — bs): (b₈ — b₃) = (y — a): d

_ nachoj¹- -'

4-

\:4

i\

Fig. 138.

pz —

nac

1 - by -

hz

*r

......

"V CL

also m — b₃

(b₂ — b₈)

(t-‘)

(E — b₃) (h — 2 a)

m = b₃

(bg b₃) (h —2 a)

2d

§ 28. Reingraphische Flächenberechnung.

An

wendungs

gebiet.

Die reingrapliisclie Flächenbereclinung muss häufig (z. B. für die Ermittlung der Inhalte von Querprofilflächen, Bonitätsabschnitten, sowie für Probeberechnungen) angewandt werden, wenn örtlich erhobene Masszahlen nicht zur Verfügung stehen. Sie wird ausserdem, ohne dass dieser Zwang vorläge, in Rücksicht auf Zeitersparnis sogar bei Grundstücksberechnungen angewandt namentlich beim Vorhandensein von Grossgrundbesitz.

Sind 1 und b die dem Plan zu entnehmenden Strecken (Faktoren), 4 1 und A b die ihnen anhaftenden Fehler, so wird wieder (wie S. 210)

4F = 14b + b4 1.

Da aber jetzt beide Masse abgegriffen sind, so ist auch

4 1= 4 b, daher 4 F = 4 1 (1 + b) = 4 1 • wobei u den Umfang des Rechtecks aus beiden Bestimmungsmassen bezeichnet.

Der Fehler 4 F wird um so kleiner, je kleiner der Abgreiffehler 4 1 und der Umfang u ist. Der erste wird bei gleicher Zeichengenauigkeit um so kleiner, je grösser das Verjüngungsverhältnis, der zweite, je geringer die Verschiedenheit der Dimensionen ist.

Beste Grundform für reingraphische Flächenbestimmung.

Für reingraphische Flächenberechnungen, denen genaue Pläne zugrund liegen müssen, eignen sich daher am besten Figuren von gleicher Längs- und Quererstreckung.

Die einfachste Figur auch für die reingraphische Berechnung bildet das Dreieck oder das Viereck, letzteres betrachtet als Doppeldreieck mit einer Diagonale als gemeinschaftlicher Grundlinie und dem Abstand der zu ihr durch die beiden andern Eckpunkte gezogenen Parallelen als Summen der Höhen. Beide Dimensionen werden (vergl. Fig. 128) aus dem Plan mittels Zirkels abgegriffen, oder (zur Planschonung und Zeitersparnis) mittels Glastafel, oder eines andern Instrumentes abgenommen.

Hilfsmittel für graphische Flächenbestimmungen.

Hilfsmittel

für

flächen.

1. Der Teilungsnullpunkt der im Planmassstab geteilten und graphische abgeschrägten Kathete eines Schiebdreiecks (s. Fig. 139) wird vonvierecki mit dem Eckpunkt A, die Kathete selbst mit der Diagonale AC des Vierecks AB CD zur Deckung gebracht und alsdann die Länge der letzteren abgelesen (s. Lage I). Nachdem das hakenförmige Lineal an die andere Kathete angeschoben ist, wird die erste Kathete auf Punkt B parallel und sodann das Lineal gleichfalls verschoben, bis dessen Haken an der rechteckigen Aussparung des Schiebdreiecks ansteht (s. Lage II). In dieser Lage stimmt der Nullpunkt der im doppelten Planmassstab ausgeführten Lineal-

teilung mit dem Zeiger der linksseitigen Kathete überein. Endlich wird das Dreieck am Lineal nach abwärts geschoben, bis die abgeschrägte Kathete die EckeD deckt. In dieser Lage (III) zeigt der Ablesestrich der linken Kathete auf der Linealteilung die halbe Höhensumme (9,2) an.

Zur Verfeinerung der Ablesung kann man den Ablesestrich auf der Kathete durch einen Nonius (s. § 37) ersetzen.

An Stelle des in Fig. 139 dargestellten Instruments lässt sich zur Entnahme der beiden Berechnungsmasse (Diagonale und Abstand der zu ihr durch die zwei übrigen Eckpunkte gezogenen Parallelen) auch das in § 18 vorgeführte Müllersche, bezw. Wauesche Kartierungsinstrument (s. Fig. 93) in der aus seiner Beschreibung hervorgehenden Weise verwenden.

Fig. 139.

A.

s—

c

'| m 11111 r ]J n l - nr 5

,_T

S.

Lage 1

y/

•V

2. Sehr zweckmässig für die reingraphische Elächeubestimmung von Dreiecken oder Vierecken ist die Klothsche „Hyperbeltafel“.

Die Hyperbel hat bekanntlich die Eigenschaft, dass alle Parallelogramme, von denen zwei Seiten mit den Asymptotenrichtungen übereinstimmen, während die Gegenecke ihres Schnittpunkts auf der Hyperbel liegt, konstanten Inhalt haben.

Für jeden Punkt P einer der in Fig. 140 gezeichneten gleichseitigen Halbhyperbeln, deren senkrecht aufeinander stehende Asymptoten die Koordinatenachsen x und y darstellen, lautet diese Beziehung:

x. y = K.

Wählt man also z. B. die Ordinate des Punktes P als Grundlinie eines Dreiecks, dessen Spitze irgendwo auf der y-Asymptote liegt, so ist dessen Inhalt

F = AyA ₌ K

bei

Der betreffenden Halbhyperbel ist aus diesem Grund die Bezeichnung

geschrieben.

Durch Übertragung der in Fig. 140 dargestellten doppelten Schar von

und den Asymptoten auf eine Glasplatte

Halbhyperbeln samt ihren Werten erhält man die „Hyperbeltafel“.

Um mit ihrer Hilfe den Inhalt des Dreiecks ABC zu berechnen, legt man sie (die mit den Hyperbeln überzeichnete Seite nach unten) so auf den Plan, dass die y-Asymptote mit der Grundlinie AC und der Ursprung mit dem Eckpunkt A übereinstimmt (Normallage

von Fig. 140). Alsdann verrückt man an einem links angeschobenen Lineal die Tafel nach oben parallel mit sich selbst so lange, bis die y-Asymptote durch die Ecke B des zu berechnenden Dreiecks geht. Durch die Glasplatte erblickt man jetzt das Dreieck A B C im

Verhältnis zu den Hyperbeln in der Lage 2Ii 33 ©i und kann in ©i direkt dessen Inhalt F = 5,60 ar ablesen.

Um den Inhalt des Vierecks ABCD zu ermitteln, legt man die +y Hyperbeltafel so auf den Plan, dass deren Ursprung mit einer Ecke (etwa A) und die Richtung der y-Asymptote mit der zugehörigen Diagonale übereinstimmt.

Verschiebt man sie alsdann wie vorhin parallel mit sich selbst nach oben (y-Asymptote durch B, Dreieckslage im Vergleich zu den Hyperbeln = 2li33(£i), so kann man wie vorhin den Inhalt FAbo = 5,6 ar beim Punkt —, verschiebt man sie nach unten, bis die y-Asymptote durch D geht (Dreieckslage = 9l₂ (£₂ 2)), so kann man den Inhalt FACD = 5,0 ar beim Punkt (£₂ ablesen. Daraus erhält man FABCD = FABC -j- FACD = 5,6 -j- 5,0 = 10,6 ar.

Fig. 140.

u..;o

„uv.

oc

OL

-4

,.V5 '

-\-i:

3. Von Waue in Hannover stammt ein auf folgende Überlegung sich gründendes, den Flächeninhalt von Dreiecken ebenfalls ohne Rechnung lieferndes Instrument: Der Inhalt eines Dreiecks

A fl

A33C von 100 m Höhe, F = —g— -100, ergibt sich direkt durch Abgreifen der Grundlinie AC = b im 50-fach verkleinerten Planmassstab zu 110 a. Schneidet man die durch die Ecke 33 gezogene Parallele zur Grundlinie A C in 33" durch einen um C mit dem Radius

tc er

beschriebenen Kreisbogen, so hat das Dreieck A 33' C die Eigenschaft, nicht bloss flächengleich mit A 33 C zu sein, sondern auch in seiner Seite C 33" ein Mass für seine Flächengrösse zu besitzen. Nun ist es allerdings ein seltener Fall, dass das Dreieck, mit der Geraden A C, dessen Inhalt gesucht ist, gerade die Höhe 100 m besitze. Aber wenn seine dritte Ecke zufälligerweise auf der Geraden C 33', etwa in B' läge, so hätte es mit dem Dreieck A 33' C die Höhe h gemein. Die Flächen beider Dreiecke würden

sich also verhalten wie die zugehörigen Seiten C23' und CB'. Also würde die in 100-fach verkleinertem Massstab abgegriffene Strecke C B' genau ebenso ein Mass für den Dreiecksinhalt A B' C abgeben, wie die Strecke Ciö' ein solches für A 33' C. Aber auch die Ecke B des zu berechnenden Dreiecks A B C wird kaum je zufälligerweise auf die konstruierte Gerade C 33' zu liegen kommen. Also ist auch diese Betrachtung zunächst hinfällig. Verlegt man sie jedoch durch eine Parallele zur Grundlinie AC nach B', so dass ABC = AB'C, so ist der Dreiecksinhalt F = C B' direkt abgreifbar. Damit ist die Erklärung des Waueschen Instruments vorbereitet. (Vergl. Zeitschr. f. Verm. 1905, S. 554 ff.).

Fig. 141.

n-n

=    "i"<'i'¹

[220 200 180    160    140    120 ^00    80    6°    ⁴⁰

Es besteht aus einem Metallrahmen in Gestalt eines mit verschiebbarem Zelluloidstreifen oben geschlossenen Rechtecks. Die untere Langseite enthält ein um einen ihrer Punkte C drehbares Lineal mit geteilter Kante. Der Teilungsnullpunkt fällt zusammen mit dem Drehpunkt. Der Zelluloidstreifen lässt sich, sei es mit Benützung des Planquadratnetzes, sei es unter Benützung von Teilungen, welche auf den Schmalseiten des Rechtecks angebracht sind auf die Entfernung 100 m verschieben. Ermittelt man nun an dem Massstab die halbe Länge der Dreiecksgrundlinie und dreht ihn dann so weit, dass das ermittelte Mass den Zelluloidstreifen trifft, so braucht man bloss das ganze Instrument längs eines der Langseite angeschobenen Lineals zu verschieben bis der Massstab die dritte Ecke B des Dreiecks deckt. Die an dieser Ecke auf dem Massstab abgelesene Zahl stellt den Dreiecksinhalt dar.

Bei Berechnung eines Vierecks wählt man eine der Diagonalen als gemeinsame Grundlinie beider Dreiecke und kommt dann mit einer einzigen Einstellung des Massstabs aus.

l) bezw.z“Ä"

- 71

Jedes n-Eck lässt sich durch Diagonalen in (

(wenn zum Schluss ein Dreieck nötig wird) in    Vierecke

zerlegen, deren jedes man mit einem der vorgeführten Instrumente berechnen kann. Sein Flächeninhalt ist dann gleich der Summe der letzteren.

Unregelmässig begrenzte, namentlich langgestreckte Figuren (Flüsse, Strassen etc.) berechnen sich jedoch, wenn über-

haupt Zerlegung angewandt werden will, bequemer durch Zerlegung in Trapeze mittels paralleler Geraden, deren Abstand man gleich einer runden konstanten Strecke a wählt. Man erhält dann mit den je in der Mitte abgegriffenen Breiten b den Flächeninhalt (s. Fig. 142) F = abi -j- ab₂ —(- ... —f- abn —{- R = a [b] -j— B.

Die Parallelen werden möglichst J- zur Längsrichtung der Figur gezogen, weil nur bei solcher Lage die mittleren Breiten b sich ohne Einzeichnung der Mittellinie scharf

Fig. 142.

-CH

-CL-

-a-

-a-

-a-

-a-

abgreifen lassen. Durch leichte Verdrehung der Parallelenist es übrigens bei nicht zu grossem Parallelabstand a möglich, dafür zu sorgen, dass der Rest R wegfällt (d. h. dass an jedem Gewandend eine der Parallelen die Ausgleichungslinie bildet, wie in Fig. 142 am Gewandende links). In diesem Fall ist F — a [b]. Auch die Multiplikation dieser beiden Faktoren lässt sich noch sparen, wenn man die Breitensumme [b] statt im Verjüngungsverhältnis des Plans (-¹-) im Massstab abgreift.

Die Addition der Breiten b erfolgt mechanisch mittels des Zirkels, (das Restglied R ergibt sich nötigenfalls aus vermittelter Länge mal Breite).

Um den Plan zu schonen, werden die Parallelen nicht auf ihn, sondern auf einen Streifen Pausleinwand gezeichnet, welcher auf die Zeichnung gelegt wird.

Noch zweckmässiger ist ein rechteckiger Rahmen aus Karton bezw. Metall oder Holz, von welchem man zwei parallele Gegenseiten in lauter gleiche Stücke a teilt. Die korrespondierenden Teilpunkte werden harfenartig durch Seidenfäden verbunden (s. Fig. 143). Erfolgt die Verbindung der Seiten des Rahmens durch Scharniere, so lässt sich ihr Parallelabstand entsprechend etwaigem Planeingang durch Verschieben des Rechtecks in ein Parallelogramm regulieren.

Fig. 143.

[l{

> - •> •> • vg*

Die mechanische Addition der Breiten b wird noch etwas erleichtert durch Verwendung einer justierbaren Sperrvorrichtung am Zirkel, welche wirkt, sobald die Entfernung der Zirkelspitzen ein gewisses rundes Mass erreicht hat.

Schliesslich gibt es noch Instrumente, welche zum Zweck der Planschonung die Anwendung des Zirkels überhaupt vermeiden und die nötige Breitensumme durch Abwicklung einer über die fraglichen Strecken hinweggeführten Rolle (Planimeter Mönkemöller s. Zeitschr. f. Verm. 1895, S. 831 ff.), oder durch mechanische Addition (Parallelverschiebung einer durchsichtigen, ein Rechtecksnetz tragenden Zelluloidplatte mittels einer Nadel, s. Wildas Planimeter) liefern.

Statt das zu berechnende Vieleck in Dreiecke, oder Vierecke zu zerlegen, kann man es auch mittels Schiebdreiecks in eine solche Grundfigur flächengleich verwandeln.

Fig. 144.

Ver-

wandlung.

\\

//

Nach dem Satz der Planimetrie „Dreiecke von gleicher Grundlinie und Höhe sind gleich“ werden dabei die Ecken, eine nach der andern, verlegt auf eine der beiden nächsten ihr nicht anliegenden Grenzlinien. Fig. 144 zeigt z. B. die Verwandlung des Sechsecks AB CD EF in das Dreieck KDH.

!l

Mil

IS, \

B (/ |\    \

j \ \

X

In Itücksicht auf Zeitersparnis,

!!

1;

's

-L

'A

Genauigkeit des Resultats und möglichste Planschonung sind bei der an sich einfachen Ausführung folgende Regeln zu beachten:

II

1.    Die Verwandlungsbasen sind so zu wählen und der Plan so zu legen, dass

a)    die Grundlinie (hier AF) jeweils auf derjenigen Seite sich befindet, auf welcher die Nadel gehalten wird (rechts) und dass die Zeichenkante des Schiebdreiecks gut beleuchtet ist,

b)    die entstehenden Figuren möglichst gleich lang und breit,

c)    die Winkel zwischen Basis und zu ziehender Parallele möglichst = R.

d)    die nötigen Parallelen möglichst kurz, jedenfalls kürzer, als die zu ihrer Orientierung dienenden Diagonalen werden.

2.    Die in Fig. 144 gezeichneten Diagonalen und Parallelen werden nicht gezogen, sondern es werden nur die Schnitte der Parallelen mit der Verwandlungsbasis mittels feiner Punktiernadel eingestochen.

3.    Die Verwandlung erfolgt mechanisch nach der Regel: Anlegen des Schiebdreiecks am Basisausgangs- und übernächsten Eckpunkt, Parallelschub nach dem zwischenliegenden Eck und Einstechen des Schnittpunktes der Schiebdreieckskante mit der Basis; Wiederanlegen des Schiebdreiecks an der Nadel und links am über-

Schätz

quadrat.

nächsten Eck, sodann Parallelverschub zu dem ihm vorhergehenden Eckpunkt, Einstechen mit der Nadel etc.

Beispiel der Verwandlung eines n-Ecks in ein Dreieck vergl. Fig. 133. Das Ergebnis (strichpunktierte Grenzlinien) ist:

97,6 + 49.7

Gh

— 24 a 25 qm.

Liegt dem Plan ein Quadratnetz zugrunde, so kann man jede zu berechnende Figur in ein Dreieck verwandeln, dessen Grundlinie eine der Quadratseiten ist. Man braucht dann nur die Höhe abzugreifen. Die runde Länge der Grundlinie vereinfacht die Multiplikation und erleichtert gleichzeitig die Berücksichtigung des Papiereingangs.

Für oberflächliche Berechnungen kann man schliesslich auch eine durchsichtige Platte verwenden, auf welcher Quadrate von rundem Flächeninhalt (je nach dem Planmassstabe etwa 1 a, oder 10 qm etc.) durch ein Netz senkrecht und parallel eingerissener Geraden gezeichnet sind: das „Schätzquadrat“. Wird dieses auf die zu berechnende Figur entsprechend gelegt, so braucht man nur die von ihr gedeckten (unter schätzungsweiser Berücksichtigung der nur teilweise ausgefüllten) Quadrate zu zählen und die erhaltene Zahl mit dem Inhalt eines Quadrats zu multiplizieren.

Das Polarplanimeter.

Im Prinzip von dem bayerischen Trigonometer Hermann im begrenzter⁸ Ja^ir 1814 erfunden, wurde das Planimeter seitdem vielfach Flächen, namentlich im Jahr 1856 durch Prof. Amsler in Schafthausen, später durch Holimann, Coradi u. a. verbessert und hat sich eine hervorragende Stelle unter den Flächenberechnungsinstrumenten verschafft, Es liefert den Inhalt einer Figur durch einfaches Umfahren ihres Umfangs.

Das Amslersche Polarplanimeter besteht (s. Fig. 145) aus einem Arm FG, dem Fahrarm, der in dem Fahrstift F endigt und über den eine verschiebbare Hülse D E gestreift ist. Die letztere

Fig. 145.

Instrument zur Berech-

Ein

richtung.

Enter

L)

f'<U

SO

jjüüinim

• tjesbsj:

P -----

trägt die beiden Lager für die parallel zum Fahrarm gerichtete Achse H einer Laufrolle (Fahrrad) A und für ein senkrecht zum Fahrarm stehendes Scharnier C, durch welches der Polarm CP mit dem Fahrarm in Verbindung gesetzt ist. Der bei der Flächenermittlung feststehende Pol P wird durch ein Gewicht Q beschwert.

Durch ein Zahnrad werden die Umdrehungen der Rolle A bezw. ihrer Achse H behufs ihrer Zählung auf eine geteilte Scheibe B übertragen, von deren Umfang sich bei jeder vollen Drehung der Rollenachse ein Teil an einem mit der Hülse verbundenen Zeiger vorbeibewegt. Zur Ablesung von Teildrehungen der Laufrolle ist ihr Umfang in 100 Teile zerlegt. Ein mit der Hülse verbundener, zu einem zehnteiligen Nonius (vergl. § 37) ausgebildeter zweiter Zeiger J ermöglicht die Ablesung von    einer Achsen- bezw.

Rollendrehung.

Die Anwendung des Instruments beruht auf folgender Über- Ableitung der

°    Beziehung

legung¹): Führt man eine Rolle derart über eine Strecke AB — b zwischen hinweg, dass ihre Achse sich in allen Lagen parallel bleibt, so Rollen-wickelt sich auf ihrem Umfang ein Bogenstück a ab, dessen Grösse abhängt von der Länge b der durchfahrenen Strecke und dem Winkel a zwischen ihr und der Radebene. Die Grösse dieser Abwicklung beträgt im Fall der Fig. 146 a, d. h. für

• a = b . cos 0 = b

• a = b cos R = 0.

im Fall der Fig. 146 b, d. h. für a — R

Fig. 146 c.

Fig. 146 a.

CJ ' p2 > 'C3 'b

t#—'ä-—

Fig. 146 b.

Im Fall der Fig. 146 c (a von beliebiger Grösse) bleibt die Abwicklung a unverändert, (a = A C = b cos a), gleichgültig, ob man

Die elementare Ableitung des Planimetergesetzes wird hier derjenigen durch Integration vorgezogen, weil das Planimeter vielfach von Technikern benützt wird, denen jenes mathematische Gebiet fremd ist und weil auch an den geodätischen Fachschulen die Lehre von der Flächenberechnung zumeist vor Einführung in die höhere Analysis behandelt werden muss.

die Rolle über die beiden Katheten des rechtwinkligen Dreiecks ACB, oder staffelförmig über Ci C₂ C₃, oder (mit oo vielen, oo kleinen Staffeln) über AB selbst hinwegführt. Denn die Bewegung in der y-Richtung erzeugt keinerlei Drehung des Rades, während bei Bewegung in der x-Richtung jedesmal das durchfahrene Streckchen sich abwickelt. Die Summe der letzteren ist gleich der Projektion AC von AB. Für das Mass a der Abwicklung gilt also allgemein

a = b . cos a.

Diese zwangsläufige Bewegung der Rolle (konstanter Winkel a zwischen Radebene und Weg) wird nun erreicht, wenn man bei

feststehendem Pol P mit dem Fahrstift F einen Kreisbogen um P als Mittelpunkt durchfährt. Denn in jeder Lage des Instruments (s. Fig. 147) bleiben unter obiger Voraussetzung die Strecken v, f, p und c einander gleich.

Es ist daher

(1)

\V

Fig. 147.

fpr

/Csit-

. (V

A PCF ~ PC'F',

also

Ni' I

±Ld

A PRC - PR'C',

also

2R — a = 2 R — a‘

a — a‘.

Wenn also der Fahrstift von F nach F' geführt wird, wobei das Fahrrad den Weg b — RR' durchläuft, so wickelt sich auf letzterem die Strecke

Rs.

cc>

a = b • cos ci = — 1 • cos a ab.

Q

Um die nicht bequem bestimmbaren Grössen 1 und a aus Gleichung (2) wegzuschaffen, setzen wir aus dem Dreieck PRC durch Projektion von P auf f (allgemein gültig, welches auch die Instrumentenstellung sein möge):

(3)    pcos/? = c-j-l.cosa, also l.cosa = p cos ß — c

und zur Eliminierung von ß (ebenfalls allgemein gültig, da cos ß = — cos (2 R — ß):

(4)    v² = f² —j— p² —f- 2 p f cos ß, also p cos ß =

(2)

v² — f² — p²

Damit liefert Gleichung (2):

— f² — p²

(5) a =

c)

— jt

v2 _ (f> -f p² 2 f c)

Der Klammerausdruck im Zähler, der nur vom Instrument abhängige Grössen enthält, lässt sich geometrisch deuten: Verschiebt man den Fahrstift F auf

dem Radius FP nach innen, oder aussen, bis die Verlängerung der Radebene durch P geht, ___rT (also P sich in R auf den Fahrarm projiziert)

(s. Fig. 148), so ändert sich (nach dem allgemeinen pythagoräischen Lehrsatz) v² in

g-2 = f² —p2 —j— 2 f C,

(6)

so dass Gleichung (5) übergeht in

cp V²-g²

oder

Fig. 148.

•V

i -l

(V

Beide Summanden rechts stellen die Flächeninhalte von Kreissektoren mit dem gemeinsamen Zentriwinkel cp und den Halbmessern v bezw. g, ihr Unterschied also den Inhalt eines Kreisringsektors vor, der, (abgesehen von beiden Radien), von dem durchfahrenen Bogen FF' einerund von dem Bogen GG' desjenigen Kreises anderseits begrenzt ist, auf dem der Fahrstift geführt werden muss, damit die Verlängerung der Radebene stets durch den Pol geht.

Letzterer Kreis heisst der „Grundkreis“. Er hat die Eigenschaft, dass, wenn man den Fahrstift in irgendwelcher Richtung über ihn wegführt,

(wobei der Winkel a zwischen Radebene und Weg konstant = R bleibt), nach Gleichung (1) die Abwicklung a = b.cosR = 0 wird. Das Rädchen gleitet nur, ohne sich zu drehen.

Die Ableitung der Gleichung (7) bleibt nun dieselbe wie oben, wenn der vom Fahrstift durchlaufene Bogen FF' statt ausserhalb des Grundkreises innerhalb desselben fällt, etwa die Lage Fi Fj' annimmt (s. Fig. 149). Nur wird bei der Führung des Fahrstifts von F in der Richtung gegen den Mittelpunkt P der Winkel a zwischen Radebene und Weg immer grösser, erreicht im Fall der Figur 148 den Wert R, und wird schliesslich stumpf.

Damit ändert cos a, in Gleichung (1) also auch die Abwicklung a (Drehrichtung des Rädchens) das Vorzeichen.

Fig. 149.

Ft

<U-

Di'

jj\x

.*5'

wk

G’

F’

Durchfährt man daher in Fig. 149 statt des Bogens F F' mit dem Fahrstift jetzt den Bogen Fi FF, so wickelt sich eine Strecke ai auf dem Fahrrad ah, welche nach (7) mit der Fahrarmlänge f multipliziert den Inhalt des zugehörigen Kr eisringsektors bis zum Grundkreis liefert. Nur nimmt die Abwicklung das entgegengesetzte Vorzeichen der Abwicklung a an, die sich beim Durchfahren von F F' ergab.

Fig. 150.

//

Umfährt man, statt die beiden Bögen F F' und Fi FF zu durchfahren, den Umfang des Sektors F F' FFFi etwa in der Pfeilrichtung (s. Fig. 149 und 150), so entspricht jeder bei der radialen Fahrt F'FF auftretenden Instrumentenstellung eine genau kongruente bei der RückfahrtFi F, da aber letztere der ersteren entgegengesetzt gerichtet und gleich gross ist, werden sich die Abwicklungen beim Durchfahren dieser beiden Radialstrecken gegenseitig aufheben. Bei dieser Fahrt werden sodann

weiter die Bögen FF' bezw. FF Fi in entgegengesetzter Richtung durchfahren.

verschiedener derselben

Seite des Grundkreises G G', so wird sich nach dem Vorhergehenden

G’

Liegen diese also auf

das Fahrrad in

a und ax werden sich

gleicher

entgegengesetzter addieren

Richtung drehen, die Abwicklungen

subtrahieren.

Im Fall der Figur 149 wird also werden:

Fläche FF'FFU = FF'G'G + GG'FFU = af + a,f == Af (8) im Fall der Figur 150 dagegen:

Fläche FF'FF Fi = FF'G'G — GG'FFFj = af — ^f = Af (8)

wenn A die beim Umfahren des Sektors erzielte Abwicklung auf dem Fahrrad vorstellt, d. h. Satz: Umfährt man einen beliebigen Kreisringsektor, in dessen Mittelpunkt der Pol steht, mit dem Fahrstift, so wickelt sich auf dem Fahrrad ein Bogen ab, welcher mit der Länge des Fahrarms multipliziert den Inhalt des Sektors gibt.

Hat man den Inhalt einer beliebigen Figur zu berechnen, so sind zwei Fälle zu unterscheiden, nämlich:

Figur 151 Pol P ausserhalb der Figur „    152    „ P innerhalb „    „ .

Denkt man sich die Figur durch vom Pol P ausgehende Strahlen in schmale Sektoren zerlegt, und das zugehörige Stückchen der Grenzlinie je durch ein kleines um P beschriebenes Kreisbögchen und ein radiales Zäckchen ohne Flächenänderung ersetzt und denkt man sich weiter um P den Grundkreis beschrieben, so erhält man ebensoviele zwischen letzterem und den betreffenden Teilstreckchen des Umfangs liegende Kreisringsektörchen, deren Fläche nach (7) sich berechnen lässt, wenn man die Grenzlinie bei in P feststehendem Pol mittels des Fahrstifts durchfährt. Da die bei den radialen Fahrten (Zäckchen) auftretenden Abwicklungen auf dem Fahrrad wegen der

Fig. 152.

Fig. 151.

C+.

t,

mi

'+

g+

fr

schliesslichen Rückkehr zur Anfangsstellung (je gleicher und entgegengesetzt gerichteter Weg bei kongruenter Instrumentenstellung) sich gegenseitig aufheben, so braucht man diese Fahrten gar nicht erst zu machen. Hieraus erhält man den Satz: Wird eine Fläche, welche den Pol nicht in sich schliesst (Fig. 151) mittels des Fahrstifts umfahren, so wickelt sich auf dem Fahrrad ein Bogen a ab, welcher mit der Länge f des Fahrarms multipliziert den Inhalt J der Fläche ergibt:

(9)

J = a . f (Pol aussen).

Genau dieselbe Betrachtung führt zum Flächeninhalt im Fall der Figur 152 (Pol innerhalb). Die ausserhalb des Grundkreises liegenden Grenzteile geben beim Durchfahren mit Fahrstift positive, die innerhalb liegenden Teile negative Drehung des Fahrrads. Das Produkt aus abgewickeltem Bogen und Fahrarmlänge liefert also nach (9) lediglich die Fläche der zwischen Grundkreis und Flächenumfang liegenden (möglicherweise verschränkten) Figur, d. h. den Unterschied der ausserhalb und innerhalb liegenden Flächenteile. Der Gesamtinhalt ergibt sich demnach durch Hinzufügung der Grundkreisfläche

(10)

J = a . f -f- g² n (Pol innen),

Bedeutung der Noniuseinheit.

Einstellung [einer bestimmten Noniuseinheit.

Einstellung der Fahrarmlänge.

positiv negativ

ist als J, zu berücksichtigen ist.

wobei aber das Vorzeichen der Abwicklung a, das sich kleiner

ergibt,

wenn der Grundkreis

grösser

Der Rollenumfang ist nun schon aus dem Grund nicht etwa in mm eingeteilt, weil er weder eine runde Zahl solcher umfasst', noch darauf erhalten werden könnte (Abnützung). Vielmehr ist er (s. oben S. 221) in (zumeist 100, mit Hilfe des Nonius in 1000) gleiche Teile geteilt. Man kann also nicht die Abwicklung a in mm, sondern nur die Anzahl N von Umdrehungen ablesen, welche das

Fahrrad beim Umfahren einer Figur mit dem Fahrstift gemacht

2 r 7i n

hat und erhält dann die Abwicklung a = N. 2 r n =

wenn

1000

r den Radhalbmesser und n die Anzahl der am Noniusnullpunkt vorbeigegangenen Noniusteile vorstellt. Damit erhalten wir

aus (9) — *• (9 a)

» (!<)) — :• (10a) J =

1000 2 r Ti n

1000

(Pol aussen)

f -J- g² ji (Pol innen).

Der Wert des in 9 a und 9 b auftretenden Ausdrucks

2 r 7v f 1000 ’

welcher bei jedem Planimeter für eine bestimmte Hülsenstellung konstant ist, stellt die Fläche dar, welche umfahren werden muss, damit die Laufrolle sich um einen Noniusteil dreht. Er ist nur von der Länge f des Fahrarms und dem Rollenhalbmesser r abhängig und heisst: „Wert der Noniuseinheit“. Bezeichnet man ihn mit M, so erhält man

aus (9 a) — j • (9 b)    J = Mn

aus (10a) — *• (10b) J == Mn -|- g² ji (Pol innen).

Je kleiner M, um so grösser wird für eine bestimmte Figur die Umdrehungszahl n, um so geringer also der Einfluss kleiner Ablesefehler in n.

Eine Verkleinerung von (11) M =

(11)

(Pol aussen)

2 r Ti f

IMT

lässt sich (da eine Verkleinerung des Radhalbmessers r die Teilungsintervalle, also die Ablesegenauigkeit, in gleichem Verhältnis reduzieren und überdies der Achsreibung grösseren Einfluss verschaffen würde) nur erzielen durch Verkleinerung der Fahrarmlänge f (Verschiebung der Hülse DE (Fig. 145) auf dem Fahrarm). Im ungefähr quadratischen Verhältnis nimmt aber die Grösse der Figur ab, welche bei verkleinertem Fahrarm aus einer Polstellung noch umfahren werden kann. Dies bestätigt die allgemeine Regel, dass die aufzuwendende Mühe im Quadrat der erreichten Verfeinerung des Ergebnisses wächst.

Für die praktische Benützung ist es bequem, M gleich einer

runden Zahl (1, 2, 5, 10 etc.) von qmm Planfläche oder qm Feld-fläche zu haben. Zu diesem Zweck hat man aus (11)

1000 M 2 r n 1000 M. 1000000

, wo f in mm und M in qmm Planfläche,

aus-

oder f —

2 r n . m²

, wobei f in mm, M in qm Feldfläche

gedrückt ist und m das Verjüngungsverhältnis des Plans bedeutet.

1. Beispiel: Gesucht die Fahrarmlänge f für ein Planimeter, dessen Laufradhalbmesser r = 12 mm beträgt, für M = 5 qmm Planfläche.

1000.5

t= 271277* = ⁰⁶>³ mm'

2. Beispiel: Wie lang ist der Fahrarm zu machen, wenn der Wert der Noniuseinheit auf einem in 1: 500 gezeichneten Plan 2 qm Feldmass entsprechen soll und der Radhalbmesser 12,6 mm misst?

1000.2.1000000

2.12,6 7i. 500.500

= 101,05 mm.

3. Beispiel: Wie gross ist die Fläche des Grundkreises für ein Planimeter mit den Dimensionen:

Fahrarm f = 132,6 mm Polarm p = 160 Radachslänge c = 40 Planmassstab 1 : 500?

mm

mm

Gl. (6) liefert für den Grundkreis:

g² n = (f²+ p²+ 2 f c) n = (132,6²—(— 160² + 2.132,6.40) n = 168988 qmm Planmass, oder:

250000 1000000

Nun lässt sich aber weder der Raddurchmesser 2r, noch die Fahrarmlänge f, oder die Radachslänge c am Instrument mit genügender Genauigkeit direkt abnehmen. Die vorstehenden Rechnungen finden daher für praktische Zwecke keine Anwendung. Vielmehr befinden sich in der Regel auf dem Fahrarm Massangaben für den Grundkreis und Marken, auf welche ein Zeichen der Hülse einzustellen ist, damit die Noniuseinheit den bei der Marke stehenden Wert M erhalte. Jedoch ist auch diese Einstellung schon im Hinblick auf den Papiereingang nur als genäherte zu betrachten.

Zum Zweck der genauen Einstellung auf eine gewünschte Noniuseinheit M für einen bestimmten Plan umfährt man mit dem

g² re . m!

1000 000

= (132,6²+160²+2 • 132,6 • 40) tt •

qm = 4 ha 22 a 47 qm Feldmass.

Fahrstift bei ausserhalb der Figur stehendem Pol eine durch die Linien des Quadratnetzes begrenzte, oder wo dieses fehlt, im Planmassstab gezeichnete Figur (Quadrat, Kreis, Rechteck) von bekanntem Inhalt Q, also gewünschter Sollumdrehungszahl. Erhält man hiebei statt der gewünschten Umdrehungszahl n die Zahl ni', so ist nach Gleichung (9 b) Q = n . M = nx . Mi

fl: f,

oder nach Gleichung (11) n : ni = Mj: M = d. h. die Fahrarmlänge ist umgekehrt der gewünschten Umdrehungszahl zu vergrössern oder zu verkleinern.

2 r 7v m 2 r 71 f _

1000 : 1000 —

Zur Probe ist das Verfahren nach erfolgter Veränderung der Fahrarmlänge zu wiederholen. Statt die Kontrollfigur zu zeichnen, kann man unter Verzicht auf die Berücksichtigung etwaigen Papiereingangs auch einen Kreis, oder ein Quadrat umfahren, dessen Umfang in eine Metallplatte eingraviert vist. Oder man setzt den Fahrstift in ein Korn eines mit feiner Nadel auf dem Papier befestigten Metallstäbchens (Kontrolllineals) und zwingt letzteres durch Führung des Fahrstifts, um diese Nadelspitze einen vollen Kreis zu beschreiben.

Bestimmung der Grund-kreisfiäclie.

Der Inhalt des Grundkreises lässt sich, wenn der Fahrarm nach vorhergehendem auf die richtige Länge eingestellt ist, ebenfalls genauer durch Versuch ermitteln. Man umfährt irgendwelche Fläche zuerst mit aussenstehendem Pol (wodurch sich die Umdrehungszahl na ergeben möge), und sodann mit innenstehendem Pol (resultierende Umdrehungszahl ni).

Dann ist nach Gleichung (9 b) J = M X na

„    „    (10b) J = M X ih + g² n

also Grundkreis g² n = J — M. nt — M . na — M. ir = M (na — lq) qmm Planmass

M (na — n ) m1 1000000

Sind nur wenige Flächen zu berechnen, so lohnt es sich meist nicht, die genaue Einstellung durch Probieren zu bewirken. Man wird dann lieber mit genäherter Einstellung die Probefigur Q umfahren und aus der hiebei erhaltenen Umdrehungszahl n die Noniuseinheit

M =

berechnen. Mit diesem (allerdings nicht runden) Wert von M sind die bei Umfahrung der zu berechnenden Flächen erhaltenen Umdrehungszahlen zu multiplizieren, um deren Inhalte zu finden.

Praktische Anwendung des Planimeters.

qm Feldmass.

(12)

Praktische Anwendung des Planimeters.

Um die Zahl n der an der Ablesemarke vorübergegangenen Noniusteile zu erhalten, wird der Pol ausserhalb der zu berechnenden Figur derart festgestellt, dass während des Umfahrens mit dem Fahrstift der Winkel zwischen Polarm und Fahrarm nie sich allzuweit von 1 R entfernt¹) (das wird erreicht, wenn man zunächst den Fahrstift ungefähr in den Schwerpunkt der Figur, den Polstift aber so setzt, dass er in die, die Figur der Breite nach durchschneidende Achse und gleichzeitig in die Richtung der Radebene fällt) und das Rädchen dabei stets auf dem Plan sich bewegt. Der Beginn der Fahrt mit dem Fahrstift ist auf einen Punkt zu verlegen, wo sich das Rädchen möglichst langsam dreht. Der Plan (der selbstverständlich frei von Gummiresten, Falten, Wellen etc. zu halten ist) muss auf satter,

J) Einerseits zum Zweck grösstmöglicher Stabilität der Aufstellung und zur Vermeidung von Druck bezw. Zerrung am Pol und am Scharnier bei Fahrt in der ungefähren Richtung des Polarms, anderseits zur möglichsten Unschädlichmachung etwa vorhandener Rollenschiefe (s. S. 231).

ungefähr horizontaler Unterlage ruhen. Von Wert ist ein gleich-massig rasches, daher am besten freihändiges Umfahren. Beim Anfassen sind Scharnier- und Achslager sorgfältig zu schonen, die Laufrolle darf nicht berührt werden. Es geht daher nicht an, zu Beginn etwa die Ablesung 0 an der Rolle herzustellen, vielmehr wird vor Beginn der Fahrt und am Ende derselben, d. h. nachdem der Fahrstift wieder auf den Ausgangspunkt zurückgekehrt ist, abgelesen. Die Umdrehungszahl n ergibt sich dann als Differenz der beiden Ablesungen. Zum Schutz gegen etwa vor sich gegangene Unregelmässigkeiten wird das Umfahren wiederholt. Über die Anzahl der Wiederholungen bestimmt die preussische Anweisung VIII

betragen muss,

vom 25. Oktober 1881, dass sie mindestens

( mehr als 50    \

wenn das Umfahren der Figur ’ zwischen 30 und 50 ' am Nullpunkt

f weniger als 30    )

vorbeibewegte Noniuseinheiten liefert. Mögen die Ablesungen sein:

nx = 1332

Yor Beginn der Fahrt .... 2543 ) nach Beendigung der ersten Fahrt 3875 > so ist „    „    „ zweiten „

und der Inhalt der umfahrenen Figur J = 1333 X M.

Noch besseren Schutz gegen Ablese-, Umfahrungs- und gleichzeitig gegen Instrumentenfehler gewährt das Verstellen des Pols vor der zweiten Umfahrung.

Ist die zu berechnende Figur zu gross, um mit aussen-steliendem Pol umfahren werden zu können, so kann man den letzteren auch in die Figur hineinsetzen. Man muss dann aber s. Gleichung (10 b) zum Wert M X n noch den Inhalt des Grundkreises nach Gleichung (12) addieren. Dabei muss aber das Vorpositiv negativ

wenn die umfahrene Fläche ^ ist, als der Grundkreis. Erfahrungsgemäss unterlaufen hiebei leicht Fehler und man zieht daher vor, die grosse Figur in kleinere Unterabteilungen zu zerlegen, die je mit aussenstehendem Pol umfahren werden. —

^Mittel — 1333

5209

n₂ = 1334

Zeichen der Umdrehungszahl beachtet werden, welches

ist,

Planimeter

unter

suchung.

Untersuchung des Planimeters. Bei Ableitung der Plani-meterformel setzten wir voraus:

1.    dass gleicher Rollenabwicklung eine gleiche Zahl von Teilungsintervallen entspreche (Rollen- und Noniusteilung gleichmässig und richtig),

2.    dass keine Reibungswiderstände die Rollenbewegung beeinflussen und

3., dass die Radachse mit dem Fahrarm Zusammenfalle, oder wenigstens ihm parallel in der Ebene seiner Projektion auf den Zeichentisch liege.

Die Erfüllung der ersteren Forderung prüfen wir, indem wir den Planimeterpol in den Mittelpunkt eines Kreises stellen, dessen Umfang in gleiche Teile geteilt ist. Durchfahren wir dann mit dem Fahrstift die Bogenstrecken, so müssen die dabei erhaltenen Umdrehungszahlen der Rolle einander gleich sein. Etwa nötige Korrektur wäre Sache des Mechanikers.

Auch auf die zweite Anforderung ist das Planimeter leicht zu prüfen. Führt man nach erfolgter Ablesung den Fahrstift längs eines Lineals von einem scharf bezeichneten Anfangspunkt aus des Öfteren beliebig hin und her, so muss die Schlussablesung nach erfolgter Rückkehr auf den Anfangspunkt (da keine Fläche umfahren würde) mit der Anfangsablesung übereinstimmen.

Parallel verschobene Radachse und

Radebene.

Zu 3. Die Formelableitung ging von der Annahme aus, Fahrarm und Rollenachse fallen zusammen. Es wird aber die auf dem Fahrrad abgewickelte Strecke offenbar nicht verändert, wenn die Radachse von dieser Lage parallel mit sich selbst in der Projektionsebene zum Plan verschoben wird. Denn es ändert sich dadurch weder die Lage, noch die Länge b des vom Rad durchlaufenen Bogens, noch der konstante Winkel a zwischen ihm und der Radebene (s. Fig. 147).

(6)

(10)

Ebenso lässt sich bei der Umfahrung mit aussenstehendem Pol der Abstand c vom Scharnierpunkt bis zur Radebene beliebig verändern, d. h. das Rad an irgendwelcher Stelle des Fahrarms FC, oder seiner Verlängerung anordnen, ohne dadurch die Gültigkeit der Formel (9) (J = a . f) zu erschüttern. Denn eine Längsverschiebung der Rolle auf dem Fahrarm hat lediglich eine veränderte Grösse des um den Pol beschriebenen, bei Umfahrung mit aussenstehendem Pol aus der Formel eliminierten „Grundkreises“ zur Folge. Dasselbe zeigt übrigens schon die Tatsache, dass bei Ableitung von (9) c gar nicht auftrat! Bei Umfahrung mit innenstehendem Pol ergab sich dagegen J = a f -f- g² ji, wo g² = f'² -f- p² —|— 2 f c.

Hier ändert sich also zwar nicht das Planimetergesetz, wohl aber die Grundkreisfläche, sobald sich der Abstand c ändert.

Eine Parallelverschiebung der Radachse nach innen, oder aussen in horizontalem Sinn um die beliebige Strecke a (s. Fig. 153) ändert zwar den ursprünglichen Winkel a zwischen Radebene und Weg um den Betrag d; jedoch bleibt auch dieser neue Winkel (a + d) während der Führung des Fahrstifts auf dem um P beschriebenen Kreisbogen von F nach F' unverändert. Also tritt an Stelle von Gleichung (2) für die Grösse der Abwicklung jetzt lediglich die Gleichung (2 a) a' = b . cos (a + d).

Fig. 153.

'/

*r!

7C

U-,v

\A''

F’

Führt man diesen neuen Abwicklungsbetrag a' in der vorhergehenden Ableitung ein, so ergeben sich wieder die Gleichungen (9) und (10), mit dem einzigen Unterschied, dass der Grundkreis geinen veränderten Wert annimmt. Das Planimeter-Grundgesetz bleibt also unverändert.

Rollen-

schiefe.

Anders liegt die Sache, wenn die Radachse gegen diejenige des Fahrarms um einen Winkel X divergiert, (das Instrument „Rollenschiefe“ aufweist), so dass der Winkel zwischen Radebene und dem vom Rad zurückgelegten Weg statt a wird a + X.

Auch dieser Winkel bleibt zwar, während in Fig. 147 der Fahrstift auf dem Bogen FF' geführt wird, unverändert, so dass auch hier die Abwicklung wird

(2 b)

1 cos (a + X).

a" = b • cos (a + X) =

Aber die Gleichung (3), welche bei (2) zur Eliminierung von a, bei (2 a) zur Eliminierung von (a + d) und schliesslich zu Gleichungen (9) und (10) führte, lässt X unberührt.

Man erhält bei sehr kleinem 2£ X aus (2 h)

<P

(2 c)

A 1 • sin a

a" =    1 (cos a + A sin a) = —^- 1 cos a +

Q    Q    Q

und unbeeinflusst von A: (3) p cos ß = c -(- 1 cos a zur Eliminierung von 1 und a.

Die weitere

Untersuchung zeigt, dass vorhandene Rollenschiefe Abwicklungsfehler erzeugt, die beim Übergang von stumpfwinkliger zu spitzwinkliger Armstellung beständig wachsen (bezw. abnehmen) und in der Nähe der rechtwinkligen Armstellung den Betrag 0 erreichen. (Hierüber vergl. u. a. Zeitschr. f. Verm. 1878, S. 249 ff., 1892 S. 609 ff. und 1894 S. 353 ff.)

an

an.

Um ein Instrument auf etwa vorhandene Rollenschiefe zu untersuchen, wird man daher eine beliebige Figur mit verschiedenen Rolstellungen umfahren. Die erhaltenen Umdrehungszahlen müssen dann innerhalb enger, durch Ablese-und Umfahrungsfehler erklärlicher Grenzen miteinander übereinstimmen. Zur Wegschaffung etwa vorhandener Rollenschiefe bringen einzelne Werkstätten ihren Planimetern eine Vorrichtung zur Veränderung der gegenseitigen Lage von Fahrarm und Radachse

Weitere Entwicklung von Planimeterformen.

Andere

Plammeter-

formen.

Die soeben festgestellte Wirkung der Rollenschiefe hat zur Konstruktion eines Polarplanimeters geführt, der bei der zweiten

Umfahrung eine der ersten symmetrische Stellung der beiden Arme tionfpuni- zulässt, das Coradisclie Kompensationsplanimeter (s. Fig. 154).

meter.

Fig. 154.

Dieses ersetzt das Scharnier C (Fig. 145) durch eine kegelförmige Bohrung D der Fahrarmhülse, in welche ein kugelförmiges Hakenende des Polarms einpasst, so dass Pol und Polarm bei der ersten Umfahrung auf der einen, bei der zweiten Umfahrung auf der andern Seite vom Fahrarm angeordnet werden können. —

Die Gleichung (9) J = a . f zeigt, dass bei Umfahrung mit aussenstehendem Pol die Länge p des Polarms keinen Einfluss auf die Flächenbestimmung ausübt: Fahrarmlänge f und Abwicklung a = b. cos a sind von p völlig unabhängig.

Daraus geht hervor, dass der vom Scharnierpunkt C (Fig. 145) um den Pol beschriebene Kreis auch oo grossen Halbmesser haben, eine Gerade sein darf.

Dies wurde von Prof. Amsler schon im Jahr 1856 erkannt

Fig. 155.

wmm

Der Pol

und zur Konstruktion seines Integrators (Fig. 155) benützt, der in einer Rille eines schweren Metallstücks M die beiden Räder Ri eines Wagens laufen lässt, wobei sich der Scharnierpunkt C parallel dazu bewegt, liegt in diesem Fall senkrecht zur Rille in unendlicher Entfernung, also jedenfalls ausserhalb der zu berechnenden Fläche. Die Auflagerpunkte der

bewegten Instrumententeile sind: der Falirstift F, die Räder Ri und die Unterstützung des Scharniers C. Die (zwischen Fahrstift und Scharnier angeordnete) Fahrrolle R ist in einem Rahmen gelagert, welcher sich um die Spitzen der Schrauben AA, also um eine horizontale Achse drehen kann. Letztere hat also nur diesen Rahmen zu tragen.

Die vier Punkte Ri Ri, C und F ergeben aber eine überbestimmte Lagerung des Instruments und verursachen bei Unebenheiten des Zeichentisches schädliche Bewegungen des Scharniers C (wechselnde Scharnierschiefe). Diesem Missstand begegnet folgende Konstruk-

Fig. 156.

HP⁷

tion, welche gleichzeitig für die mit dem Fahrstift F aus einer Instrumentenstellung umfahrbare Figur wenigstens in einer Richtung jede beliebige Grösse zulässt:

Statt durch ein Metallstück M mit Rille gibt man den Rädern Ri durch ihr eigenes Gewicht und durch eine geriffelte Oberfläche zwangsläufige Bewegung, verlegt also bei gleichen Rad-

Fig. 157.

MPa

durchmessern den in der Richtung der gemeinsamen Radachse liegenden Pol in unendliche (bei um weniges ungleichen Durchmessern in sehr grosse) Ferne. (Fig. 156.) Die in Fig. 155 und 156 angedeuteten Konstruktionen fanden keine praktische Verwendung. Sie führten aber zur Erfindung einer Reihe neuer Planimeterformen (Präzisionsplanimeter) und zwar zunächst des Hohmann-Coradischen Scheibenrollplanimeters (Fig. 157), dann des Kugelrollplanimeters (Fig. 158), des freischwebenden Kugelplanimeters und des Präzisionsscheibenplanimeters (Fig. 159).

Präzisions-

Planimeter.

Fig. 158.

iiim

R'

/>

Dabei wurde, abgesehen von dem berührten Gedanken, das Bestreben wirksam, die Grösse der Rollenabwicklung zu multiplizieren, (so dass kleine Ablesedifferenzen geringeren Einfluss auf die Flächengrösse haben), und sie von dem jeweiligen Zustand des Planpapiers (wellig, zerschlissen etc.) unabhängig zu machen. Um dies zu erreichen, ist — unter Beibehaltung der Grundbedingungen des Planimeters (Scharnierpunktsweg auf einem Kreis um den Pol, Fahrradachse parallel zum Fahrarm F) — das Fahrrad R vom Plan wegverlegt auf eine Scheibe S, welche (unter Verwendung einer Zahnradübersetzung r) unter jenem weggezogen wird (Fig. 157 und 159). Ja sogar diese Scheibe S kommt beim „Kugelrollplanimeter“

Fig. 159.

-s-    i

JT]

IHHIH

IlHÜÜllÜ

schliesslich in Wegfall. Die Achse des bei ihm zur „Zählrolle“ gewordenen Fahrrads R ist zu einem (sorfältig gearbeiteten und polierten) Metallzylinder ausgebildet, der durch Federkraft gegen eine polierte metallene Kugelkappe K gepresst wird. Die Achse Z der letzteren trägt ein Zahnrad, welches in die, mit um weniges kleinerem Durchmesser angelegte Riffelung r der linksseitigen Rolle R' eingreift.

Bei Fortbewegung des Wagens wickelt sich auf dem Zahnrad derselbe Bogen ab, wie auf der Riffelung r und es dreht sich dementsprechend die Achse Z, die Kugelkappe K und, wachsend mit der Entfernung der Berührungsstelle des Zylinders von ihrem Scheitel, die Achse der Zählrolle R.

Beim selten benützten „freischwebenden Kugelplanimeter“ wird, wie beim Scheibenplanimeter (s. Fig. 159), in Ermanglung der Rollen R' die Riffelung r ersetzt durch diejenige einer Polplatte P.

Bezeichnen wir den Faktor, mit dem durch die angedeuteten Einrichtungen die Umdrehungszahl des Fahrrads multipliziert wird, mit k, so tritt jetzt an Stelle von Gleichung (9) (J = a. f) und

(9 b) (J = M • n) die Gleichung (9 c) J = —^

Die zuletzt vorgeführten, komplizierteren Planimeterformen (Fig. 157—159) haben bis jetzt die einfachen Polarplanimeter in der Praxis nicht zu verdrängen vermocht. Ja sie sind, wie das freischwebende Kugelplanimeter, zum Teil wieder verlassen worden. Dies mag daher rühren, dass sie nicht bloss kostspieliger in der Anschaffung, sondern auch empfindlicher gegen störende Einflüsse und falsche Behandlung beim Gebrauch sind. (Flächenberechnungen werden zumeist von Hilfskräften bewirkt!)

von

Aus diesem Grund mag hier die vorstehende, mehr andeutungsweise Behandlung genügen. Näheres vergl.: „ Die Planimeter Coradi “ J. J. Stambach, Stuttgart, Konrad Wittwer 1889 und „Die Planimeter Coradi“ von G. Coradi, Zürich 1895.

Genauigkeit der Plani-meterberech-nung.

Genauigkeit der Flächenberechnung mittels Polarplanimeters (nach Landmesser Lang in Neuwied, s. Zeitschr. f.Verm. 1894 S. 366).

Inhalt des verwendeten mit Amslers Kontrollkreises Polarplan.

Mittl. Fehler einer Umfahrung Mittlerer Fehler des Mittels aus

zwei

qmm

qmm

mit Kompensa- zwei einseitigen z'Winksseitigen tionspolarplan. Umfahrungen | Umfahrungen

mit dem Kompensationspolarplanimeter qmm

qmm

qmm

C<J

i—¹ CU O tO O ©

©88

I—'‘ H-¹ I—1 to 05 CU 00

hP»    I—¹•

HK) °

rc CU -1

"cd 7-- 4-*

I—¹' 00 rfa.

-1 © "io

Auch bei Verwendung des einfachen Amslerschen Polarplanimeters lässt sich die Genauigkeit der Flächenbestimmung steigern, durch gleichpolige Umfahrung eines der zu bestimmenden Fläche benachbarten Netzquadrates als Kontrollfigur und Verwendung des daraus ermittelten Werts der Noniuseinheit.

Untersuchungen von Prof. Lorber in Leoben haben als mittleren Fehler einer Umfahrung u. a. ergeben:

mit dem Rollplanimeter

bei einer Flächengrösse J von qmm

mit Amslers Polarplan.

(M = 10 qmm)

mit freischwebendem Kugelplan. (M = 1 qmm)

(M = 1 qmm)

(M = 0,5 qmm)

1000

75

625

625

1000

5000

355

2500

2000

3000

10 000

682

4167

3333

5000

Stangen

planimeter.

In den Verfeinerungsbestrebungen entgegengesetzter Richtung, nämlich derjenigen der Vereinfachung des Instruments, bewegt sich eine im Jahre 1886 gemachte Erfindung von H. Prytz:

Fig. 160.

£_

S'

diejenige des „Stangenplanimeters“. Letzteres besteht (s. Fig. 160) aus einem Fahrarm f mit dem Fahrstift F am einen und der in ihrer Verlängerung durch F gehenden beilförmigen Schneide S' am anderen Ende. Der gegen Misshandlung so sehr empfindliche Scharnierpunkt C und die Fahrrollen der bisher geschilderten Planimeterformen ’mit ihren ebenso empfindlichen Achslagern sind weggefallen, mit ersterem aber auch die Geltung der oben gegebenen Ableitung des Planimetergesetzes.

Zu dessen allgemein gültiger Ableitung folgen wir Runge (Zeitschr. f. Verm. 1895 S. 321) und Dr. 0. Eggert, „Einführung in die Geodäsie“, Leipzig 1907:

Lässt man einen Stab von konstanter und genügender Länge f (s. Fig. 161) derart fortrücken, dass das eine Ende F dem Umfang einer Figur J, das andere Ende S aber demjenigen einer zweiten Figur G folgt, so bestreicht er beim Übergang von einer Lage I zu einer andern Lage II ein viereckiges Flächenelement, dessen doppelter Inhalt 2 d Q nach § 26, gleichgültig ob die Figur normal oder verschränkt ist, sich ergibt aus

2 d Q = (y' — y — d y) (x' + d x' — x) + (y' + d y' — y) (x + d x — x').

Durch Ausmultiplikation und Vernachlässigung der Glieder zweiter Ordnung ergibt sich hieraus:

2 d Q = [x (y + d y) — y (x -f d x)] — [x' (f + d y') — y' (x' -f d x')]

+ (y' d x + x d y') — (y d x' + x' d y).

Die eckigen Klammerausdrücke stellen (s. § 26) die doppelten Dreiecksinhalte F 0 F', bezw. S 0 S', die runden Klammern die Differenz der Differentiale aus den Produkten der verwechselten Koordinaten beider Endpunkte des Stabs (d. h. das Differential des Dreiecks S 0 F) vor, also

2dQ = 2FOF' — 2SOS' + d(x y') — d (x' y).

Lässt man den Stab f sich so fortbewegen, dass der Endpunkt F den ganzen Umfang von J, der Punkt S denjenigen von G durchläuft, und dass die

Fig. 161.

+ .DC

\\ G

Schlusslage mit der Anfangslage S F identisch ist, d. h. integriert man d Q’inner-halb der genannten Grenzen, so liefert die erste eckige Klammer die doppelte Fläche J, die zweite Klammer die doppelte Fläche G, während die Integration der beiden letzten Glieder diese zum Verschwinden bringt. Man hat also:

2/dQ = 2Q = 2 J —2G

Q = J — G, oder J = Q + G.

Die Anfangsstellung 0 des Fahrstifts F (s. Fig. 160) kann dabei ganz beliebig, z. B. auch innerhalb der Fläche J gewählt werden. Nur müssen letzterenfalls die Wege von der Anfangsstellung zum Umfang der Figur, und umgekehrt von letzterem zur Schlussstellung, identisch sein. Durchfährt man also mit dem Fahrstift F eines Prytzschen Planimeters von der Anfangsstellung 0 S aus zunächst die Strecke 0 U, dann den Umfang der zu berechnenden Figur J und kehrUschliess-lich auf dem Weg U 0 auf den Ausgangspunkt zurück, so nimmt (s. Fig. 160) der Stab f die Lage 0 S' ein und man hat als Fläche Q, welche dieser Stab während der Fahrt bestrichen hat (nachdem er durch Drehung um 0 wieder in seine Anfangsstellung 0 S zurückgebracht wurde) einen zweifach durchlaufenen Kreissektor

S S'

2 —— • f. Der Inhalt der umfahrenen Figur ist also:

(1    J = SSUf+G.

Der Bogen S S' stellt die Abwicklung a beim Polarplanimeter vor, die Formel (9) ist also durch den Wegfall des Scharniers lediglich um die von der Schneide S beschriebene Fläche G erweitert worden.

Der Inhalt dieser Fläche G (welche bei Fahrbeginn am Umfang kreissektorähnliche, beim Beginn im Innern der Figur verschränkte Form annimmt) muss irgendwie ermittelt werden. Er wird aber annähernd gleich Null, wenn man mit der Fahrt in möglichster Nähe des Schwerpunkts 0 der Figur beginnt. Er wird eliminiert, wenn man die Figur doppelt umfährt mitzwei gegeneinander um 2 B, verdrehten Anfangsstellungen des Falirarms und das Mittel aus beiden erhaltenen Bögen S S' einführt. Alsdann erhält man also mit dem Prytz-schen, wie zuvor mit dem Polarplanimeter den Inhalt der umfahrenen Figur:

J =    . f = a f.

Die Stangenlänge f wird natürlich ebensowenig direkt gemessen, als die Fahrarmlänge beim Polarplanimeter, sondern wie dort durch Umfahrung von ihrem Inhalt nach bekannten Flächen bestimmt. (Über die Benützung des Stangenplanimeters zur Schwerpunktsbestimmung siehe Zeitschr. f. Yerm. 1895 S. 331. Über eine Abart des Prytzschen Planimeters siehe Zeitschr. f. Instrumentenk. 1902 S. 221 und 338).

§ 29. Einfluss des Papiereingangs auf die Flächenbestimmung.

Der Papiereingang' beeinflusst das Ergebnis der Flächen-berechnung natürlich nur, wenn Planmasse hiebei benützt werden, also bei Anwendung a) halbgraphischer, oder b) graphischer Methoden.

Papierein

(13 a)

gang b. halb-

grFiäcbener ^ir Eingangsverhältnis = p' °/₀, dann ist (vergl. § 20) die richtige bestimmung. Flächengrösse

Zu a). Die gemessene Breite sei b, die abgegriffene Länge P,

bü h+w)]

h “t⁻ ioo)’

d. h. das ohne Berücksichtigung des Papiereingangs auf halbgraphischem Weg ermittelte Flächenmass erhält denselben prozentischen Zuschlag, wie ihn die abgegriffene Strecke hätte erhalten müssen.

papierein- Zu b). Die prozentischen Eingangsverhältnisse der beiden

gang bei rein-

graphischer abgegriffenen, senkrecht aufeinanderstehenden Strecken m und n,

Flachen-

bestimmung. deren Produkt die Fläche liefert, seien (vergl. § 20)

a/2 p -f- b'² q a/2 -f- b'²

so dass

F = .Xn = i'(l+A)x ri¹ + w)

v‘ + q' i

P' =

und q' =

b'² p -j- a/2 q

a/2 + b'²    ’

- nF n'

100

pUq'

10000

■)

und durch

Vernachlässigung der unbedeutenden letzten Summanden in der Klammer

F = mXn^m'n'|l -f-

p' +q'

100

~m'n' 1-|

ai2 p + b'² q -F b'² p + ai2..q

100 (a'² + l>'²)

(a'² -f- b'²) p + (a'² 4- b'²) q)

100 (a'² -f- b'²)

~m'n'

Die Eingangsverhältnisse p' und q' der zum Quadratnetz schiefen Berechnungsstrecken sind aus der Formel herausgefallen. An ihre Stelle sind die EingangsVerhältnisse p und q der Netzlinien getreten und zwar ist das prozentische Eingangsverhältnis der Fläche ohne Rücksicht auf die Lage ihrer Hauptdimensionen gleich der Summe der beiden Eingangsverhältnisse der senkrecht aufeinanderstehenden Seiten des umgebenden Netzquadrates.

(Zeigen die beiden Parallelseiten des genannten Netzquadrats je verschiedenen Eingang, so wird aus den zusammengehörigen Wertpaaren ein passendes Mittel gewählt.)

| 30. Vergleichende Würdigung der verschiedenen Flächenberechnungsmethoden. Fehlerfortpflanzung. Amtliche Fehlergrenzen.

a) Aus Originalmassen.

Die Berechnung a) aus Originalmassen ergibt (es wäre denn, dass Überbestimmung vorhanden wäre und die gemessenen Strecken sich gegenseitig widersprächen) unabhängig von der Person des Rechners übereinstimmende Resultate, gleichgültig, welche Berechnungsmethode auch benützt wird.

Flächenfehler werden in diesem Fall nur durch Messungsfehler erzeugt und sind unabhängig von der Zeichnungsgenauigkeit, ein Plan ist zur Flächenberechnung überhaupt nicht erforderlich. Sind daher die gemessenen Koordinaten gleich zuverlässig, wie die (bequemer zu messenden) Kopf- oder Steinlinienbreiten, was allerdings nicht ohne weiteres anzunehmen ist, so liefert selbstverständlich die Berechnung aus Originalmassen die genauesten Resultate.

Dagegen ist der hiebei erforderliche Zeitaufwand erheblich.

Zur Flächenberechnung werden, ein weiterer Nachteil, vielfach andere Masse (Koordinaten) verwendet, als zur etwaigen Grenz Wiederherstellung (Steinlinien- und Kopfmasse).

h) Halbgraphische

Die b) halbgraphische Berechnung benützt, s. § 27 S. 210, zur Flächenbestimmung dieselben Breiten- und Kopfmasse, welche Bereohnung' gewöhnlich zur Grenzbestimmung dienen. Deren Messung kann gemeinhin genauer erfolgen, als diejenige der Originalkoordinatenmasse.

Die Berechnung lässt sich leicht schematisch anordnen. Der dafür erforderliche Zeitaufwand ist erheblich geringer, als bei Anwendung der Methode (a). Dagegen erfordert Methode (b) nicht nur einen Plan, sondern die Genauigkeit ihrer Ergebnisse wird auch von dessen Fehlern mitbeeinflusst.

Die c) reingraphische Flächenberechnung erfordert den c)Rein-

,    graphische

geringsten Zeitaufwand. Sie ist beim Vorhandensein eines Plans Berechnung, leicht durchführbar, auch wenn die Aufnahmemasse fehlen, oder die

Aufnahme systemlos erfolgte, so dass für die Flächenbestimmung direkt brauchbare Masse ohne Planverwendung nur auf Grund schwerfälliger Umformungen (s. Kap. 13) ermittelt werden könnten. Sie bedingt aber anderseits das Vorhandensein eines genau gezeichneten Plans und liefert je nach Plangenauigkeit und Individualität des Rechners verschiedenerlei Ergebnisse für identische Flächen.

Die Berechnung aus Originalmassen wird (abgesehen von der württembergischen Katastervermessung, bei der sie die Regel bildet) nur da angewandt, wo äussere Umstände (Hochwertigkeit des Grund und Bodens, der zu berechnenden Bauarbeit etc.) die äusserst erreichbare Schärfe schon bei der Aufnahme verlangen. Die halb-graphische Flächenbestimmung entspricht bei regelmässigen Grundstücksformen allen praktischen Genauigkeitsanforderungen und wird daher bei allen neueren Katastervermessungen, bei Feldbereinigungen etc. zur Berechnung der Flächengrösse von Grundstücken fast ausschliesslich angewandt.

Die reingraphische Flächenbestimmung ist am Platze, wo auf die grösste erreichbare Genauigkeit verzichtet werden kann (grosse, weniger hochwertige Grundstücke in Gebirgsgegenden, Kon-trollberechnungen zum Schutz gegen grobe Fehler etc.) oder wo ein genau gezeichneter Plan in genügend grossem Massstab vorhanden ist, bezw. die Aufnahmemethode den Bedürfnissen der Flächenberechnung nicht vollständig Rechnung tragen konnte. (Querprofilflächen, städtische Grundstücke in eng bebautem Gebiet etc.)

Abgesehen von den angeführten sachlichen Gründen sind endlich vielfach amtliche Vorschriften bestimmend für die Auswahl der anzuwendenden Flächenberechnungsmethode.

Felilerfort-

pfianzung.

Fortpflanzung von Streckenfehlern auf die Fläche.

= 1. b

Da die Flächenberechnung in der Praxis fast ausschliesslich aus Streckenmassen erfolgt, genügt es, die Fortpflanzung von Streckenfehlern auf die Flächen zu untersuchen. Ist der Fehler einer Strecke 1 bezw. b nach Richtung und Grösse = A1 bezw. A b, ergibt sich die Fläche F als Produkt aus Länge 1 und Breite b, also statt

zu

F + AY = (1 + Al) (b -f A b), so beträgt der Einfluss dieser Streckenfehler auf die Flächengrösse: AY = l.Ab + b.41 +Ab.Al,

Fehler A F - 1. Ab-f b . Al¹)

x) Kürzer: dF = d (b . 1) = b . d 1 -f-1. db.

oder wenn man den kleinen, letzten Summanden vernachlässigt, allgemein:

fl)

Sind 1.) die Streckenfehler Ab und A1 unabhängig von der Streckenlänge einander gleich (Unsicherheit der Endpunkte, Abgreifen aus einem vom Papiereingang nicht beeinflussten Plan etc.), so ergibt sich aus (1) der Flächenfehler

A Fi ~ (1 + b) 41 ~ (b -f 1) k ~ ci U, wenn U den Umfang darstellt. Die Wirkung eines konstanten Streckenfehlers auf die Flächengrösse ist also proportional dem Umfang und um so kleiner, je kleiner der Umfang bei bestimmtem Inhalt ist.

Diese Betrachtung führte in § 28 zu dem Schluss, dass für graphische Berechnung sich am besten solche Grundstücke, oder Grundstücksteile eignen, welche ungefähr gleiche Länge und Breite zeigen. Zu ähnlichem Ergebnis führt die Betrachtung der Wirkung nicht ganz scharfer Verfolgung der Grenzlinien mittels des Planimeterfahrstifts auf die Flächen grosse. Auch sie wächst mit (der Wurzel aus) dem Grenzumfang. Je kleiner dieser, um so geringer bei gleicher Flächengrösse der Fehler.

Setzt man demnach voraus: b ~ 1, so wird

AYx ~ 2 VF.k - Ci VF,

d. h. der konstante Streckenfehler pflanzt sich bei quadratischen Figuren fort proportional zur ^Fläche.

1 -j— k 1 statt zu 1 b + k . b „    „ b,

Sind 2.) die vorhandenen Streckenfehler proportional der Streckenlänge (Abgreifen aus einem Plan, dessen Papiereingang unbestimmbar ist, Messung mit zu langen oder kurzen

Messgeräten etc.), ergibt sich also die letztere zu j so wird nach (I)

A F₂ - l.kb + b.kl - 2 b 1. k - c₂.F, d. h. die Wirkung des regelmässigen Streckenfehlers auf die Flächengrösse wächst dieser proportional.

Gegen die beiden vorgeführten Fehlerquellen tritt das Vorkommen des    _

3.) unregelmässigen, proportional zur ^Strecke wachsenden Streckenfehlers erheblich zurück. Er ergibt durch gleiche

Betrachtung aus (I)

A F₃ == 1. k Vb + b k Vl= kVP b + bM = k Vbl(l-fb)

= csvü7f:

Amtliche

Fehler

grenzen.

Eine Fehlerfunktion, welche allen vorgenannten Fehlermöglichkeiten Kechnung tragen würde, müsste also eine Funktion von Fläche und Umfang sein und etwa lauten:

(II)

A F — Ci U + c₂. F -J- c₃ VF. Ü, oder besser A F = ±VkiU²-f-k₂ F² -f- k₃ F. ÜT

Da jedoch der dritte Summand gegen die beiden anderen zurücktreten wird, und es überdies der Einfachheit halber erwünscht ist, den Flächenfehler als Funktion der berechneten Fläche auszudrücken, so kann man sie reduzieren auf:

(III) AF = Ci VF + c₂F, oder besser AF = + Vk₁F + K₈F². In der Tat lautet die durch Steuerkollegialerlass vom 8. Februar 1887 aufgestellte und in die technische Katasteranweisung vom 19. Januar 1895 übernommene Formel für die hei

1.) w ü r11 e m b e l* g i s c h e n amtlichen Yermessungen höchstenfalls zulässigen Unterschiede zweier unabhängiger Flächenbestimmungen:

I (nahezu horizontal) A F = 0,25 V F -j- 0,00075 F / Fu.4F II (mittel geneigt) AF = 0,5 VF -J- 0,00075 F . mqm A F = 0,75 Yf + 0,00075 F (

Für Geländeklasse

ausge

drückt.

„ III (stark geneigt)

Der zweite, den regelmässigen Längenfehlern Rechnung tragende Summand ist hiebei als unabhängig von der Geländeform angenommen, d. h. es sind nur Abgreiffehler und Fehler der Messstangenlänge vorausgesetzt. Ebenso ist der zulässige Fehlerbetrag nicht direkt in Beziehung gebracht zur angewandten Berechnungsmethode. Nur durch Zusatzbestimmung ist bei graphischer Berechnung auf Plänen, deren Verjüngungsverhältnis unter 1 : 1250 herahsinkt (z. B. 1 : 2500) eine Erhöhung des Fehlerbetrags auf das U/2-fache des aus obigen Formeln sich ergebenden erlaubt. Diese Behandlung hängt damit zusammen, dass in Württemberg normalerweise die zweite Berechnung, wenn sie als der ersten gleichwertig angesehen werden soll aus denselben Originalmassen, wie die erste erfolgt, und nur ausnahmsweise auf eine zweite unabhängige Aufnahme oder auf den Plan (letzteres z. B. bei Feldbereinigungen) sich stützt. In anderen Staaten trägt die Formel für den zulässigen Flächenfehler teilweise dem Umstand Rechnung, dass beide Fehlerteile sich nicht notwendig zu addieren brauchen, oder dem Umstand, dass das Verjüngungsverhältnis des Plans auf den Fehlerbetrag von Einfluss ist.

So bestimmt für

2.) Preussen die Anweisung VIII vom 25. Oktober 1881, bezw. die Anweisung II vom 21. Februar 1896, als höchste zulässige Abweichung zweier Flächenbestimmungen auf Grund derselben Ver-

messung:

A F = 0,01^60 F +0,02 F2 wobei F und A F in a augedrückt sind.

Nach dem preussischen Feldmesserreglement v< m 2. März 1871 gilt eine Messung als richtig, wenn die Revisionsmessung keine grössere Flächenahweichungen zeigt, als

1,4 qm pro Ar bei Flächen < 1 ha 0,8 „ „

0,7 „    „

Für die zulässigen Flächenfehler in

3.) Bayern bestimmt die Katasterinstruktion vom 25. Juni 1885 folgende Höchstgrenzen:

A F = 0,005    \^F -f- 0,01 F² beim Planmassstab 1:1000

A F = 0,00625 VF + 0,01 F² „

AY = 0,0125 VF + 0,01 F² „

A F = 0,025 VF + 0,01 F² „

Die 4.) elsass-lothringische Katasteranweisung vom 30. Januar 1889 setzt als obere Grenze für die zulässige Abweichung zweier Flächenbestimmungen fest:

AY = 0,004VF~b0,01 F² beim Planmassstab 1:500 AY = 0,006 VF + 0,01 F² „

AY = 0,008 VF + 0,01 F² „

AY = 0,010 Vf + 0,01 F² „

Hieraus ergibt sich folgende Gegenüberstellung zulässiger Streckenfehler in qm ausgedrückt:

,,

> 1 ha < 10 ha >10 ha.

,5

,,

,,

1:1250 1:2500 1:5000

1:1000 1 :2000 1:4000

wobei F und AF in ha ausgedrückt sind.

wobei F und 4F in ha ausgedrückt sind.

Fläche

1. Württemberg 2. Preussen

Geländeklasse

Är I II III

auf Grund identischer Aufnahme.

3. Bayern

Planmassstab

4. Elsass-Lothring.

Planmassstab

¹/lOOo| ¹/l250 ¹/a500 j ¹/ö000 VöOO Viooo V2000 V4

000

CU

HO

Ci 02

OX

Ol

CO

t©

10    9    17    24

20    13    24    35

100    33    58 i 83

CO

00

HO

CO

CO

t©

Ci

CM

00

uo

CM

CO

CO

CO

Ci

00

02

CO

to ; ©

25

35

79

16    20    40    79 13    19    25    32

22    28    56 113 18    27

50    63 126 251 40    60

36    45

80 101

§ 31. Flächenteilungen.

Die Aufgabe der Flächenteilung tritt in folgenden Formen auf:

A)    Von einer Figur soll ein Flächenstück von bestimmtem Inhalt abgetrennt werden (Flächenzuteilung).

B)    Die Fläche eines Grundstücks soll in Teile von bestimmtem Flächenverhältnis zerlegt werden (Proportionalteilung).

C)    Von einer Figur, deren einzelne Teilflächen verschiedenwertig sind, soll ein Stück von bestimmtem Wert abgetrennt werden (Wertszuteilung).

Parallele

Zuteilung.

Die zu suchenden Grenzlinien der an sich vieldeutigen Lösungen dieser Aufgaben müssen zumeist noch Nebenbedingungen (Grenzrichtung etc.) genügen, wodurch sie erst eindeutig, oder beschränkt-deutig werden.

A. Flächenzuteilung.

a) Parallelteilung.

a) Auf Grund von Originalmassen.

Die gewöhnlichste Aufgabe der parallelen Flächenzuteilung, auf die sich viele Fälle zurückführen lassen, lautet: Parallel einer gegebenen Richtung sollen von einem Viereck Flächenstücke von bestimmtem Inhalt abgeschnitten werden. Die Umfangsgrenzen der Gewann bezieht man, sei es durch Messung direkt, sei es durch Koordinatenumformung (s. Kap. 13) auf eine parallel oder senkrecht zur verlangten neuen Grenzrichtung verlaufende Abszissenachse AB (s. Fig. 162). Verläuft die Gewandgrenze unregelmässig, so schneidet man zunächst durch eine beliebige Parallele zur künftigen Grenze (womöglich die Aufnahmelinie A B selbst) ein Flächen-

stück ab, dessen Inhalt man rechnet. Dann erübrigt für das zuerst abzutrennende Grundstück nur noch, von dieser Hilfsgeraden aus durch eine Parallele Pi P2 das Trapez ABPiP₂ gleich der Differenz zwischen Ist- und Sollfläche nach oben, oder unten abzuteilen.

Von den mancherlei Lösungen dieser Spezialaufgabe möge fol-

---------t,----1 gende hier Platz finden: Durch

-------j-—\p₂ die einzelnen Bruchpunkte der

Gewandgrenzen lege Parallelen ai, a₂... zur neuen Grenz-, d. h. Abszissenrichtung und bestimme (sei es durch Proportionalrechnung, sei es durch Messung)

Fig. 162.

h₃

-cl₃-

CL 2 —

Tx₂

-p,

h,

ITb

"T""”

an

ÄV:

deren Länge a und Parallelabstand h.

Ist die von a₀ aus abzuschneidende Fläche gleich F, so ist (s. Fig. 162)

(1)    12 F = (a₀ + x) y    \

(2)    bezw. (2 a) |(x •— a₀): (at — a₀) = y: hi oder (x—a₀). lu = (ax — a₀). yf

Durch Division kommt als y-Eliminat aus (1) und (2 a)

(x —a₀)h!

ao + x ai ao

2 F _ (x + a₀) (x — a₀)    _ x² — a₀s

ai ao

ai a0

ao

h,

• 2 F.

a0 + X '

Aus diesen Werten ergeben sich die Koordinaten der neuen Eckpunkte durch einfache Addition, bezw. Proportionalrechnung.

Sind, wie z. B. bei Zerstückelung von Allmenden, Bauplätzen etc., mehrere Grundstücke von paralleler Grenzrichtung zuzuteilen, so tritt jede berechnete Grenzlänge x für die nächste Parallele wieder an die Stelle von a₀. Die Berechnung wird in diesem Fall am besten schematisch angelegt, und es wird die Richtigkeit der Zuteilung innerhalb jedes durch die Parallelen a begrenzten und seinem Inhalt nach bekannten Trapezes („Elements“) durch Zusammenstellung der zugehörigen Parzellen und Parzellenteile geprüft.

Sind schliesslich Eckpunktskoordinaten in bezug auf irgend ein anderes, als das zur Zuteilung verwendete Achssystem verlangt, so findet man diese durch Proportionalrechnung aus den ohnedies (für die Absteckung auf dem Feld) zu rechnenden Kopfmassen.

Die Kartierung, wenn überhaupt (für andere Zwecke) erforderlich, erfolgt zusammenhängend erst nach vollständigem Abschluss der Zuteilungsarbeit.

Bei ß) halbgraphischer Behandlung

wobei a₀ und x

ergibt sich die senkrechte Breite y aus (1) y =

abgegriffen werden. Für die Kartierung jeder folgenden Trennungslinie werden die gewonnenen senkrechten Breiten y addiert, so dass eine Addition der bei Einzelkartierung unvermeidlichen Zeichenfehler entfällt. Dabei bildet die in passende runde Unterabteilungen zerlegte Gesamtbreite der Gewann die Grundlage für die Kartierung. Statt nach den senkrechten Breitemassen der Grundstücke kann man auch nach ihren durch proportionale Einrechnung hieraus gewonnenen und fortlaufend zusammengestellten schrägen Steinlinien-, oder Kopfmassen kartieren.

Letztere dienen jedenfalls, ohne Rücksicht auf die Art der Zuteilung, zur Übertragung der neuen Parzellenlängsgrenzen auf das Gelände.

(Beispiel s. in Verbindung mit der Aufgabe einer Grenzausgleichung § 32.)

Eine Erweiterung der obigen Aufgabe zeigt Fig. 163.

Sie bietet jedoch nur theoretisches Interesse, weil die Bedingung durchweg gleicher Grundstücksbreite y die neuen Grenzbruchpunkte in die Halbierenden der Brechungswinkel B, C undD etc. verweisen würde. Diese Lage der „Steinlinien“ ist aber häufig undurchführbar. Es ist in diesem Fall also entweder auf die konstante Parzellenbreite y, oder auf den Parallelismus der Längsgrenzen, oderauf beides zugleich zu verzichten und \e I nach erfolgter Ermittlung der Breite y die Lösung analog Fig. 170 zu suchen.

Fig. 163.

ES

/y

'X

a<>-C

Fig. 164.

Li

Eine Anwendung der gezeigten Lösungfür Parallelteilung bietet auch die Querteilung (s. Fig. 164), wenn es möglich ist, die Richtlinie für die gesuchte Grenze (Baulinie etc.) als x-Achse für die Aufnahme zu wählen. Man hat in diesem Fall auf Grund graphischer Vorbehandlung nur den Inhalt bis zu der Parallelen zur Richtlinie zu berech-

nen, welche durch einen, der neuen Grenze benachbarten Bruchpunkt der Aussengrenze geht, und alsdann mit der Differenz gegen den Sollinhalt nach vorhergehendem zu verfahren.

b) Radiale Zuteilung. a) Auf Grund von Originalmassen.

Radiale

Zuteilung.

Gestatten Geländeform und Kulturart die Bodenbearbeitung mit landwirtschaftlichen Maschinen, so ist die Parallelzuteilung der Radialteilung im allgemeinen vorzuziehen, wenn sie auch in jeder Gewann mit divergenten Längsgrenzen mindestens an einem Ende eine „Missform“ übrig lässt.

Ist jedoch die Divergenz jener Grenzen, der „Gehren“, so gering, dass der Anteil jedes Grundstücks daran auch bei maschineller Bodenbearbeitung vernachlässigt werden kann, oder handelt es sich um Kulturen, welche letztere überhaupt nicht zulassen (Baumgüter, Weinberge etc.), so kann dessen Verteilung auf die Einzelgrundstücke (radiale Zuteilung) angezeigt, ja sogar von Natur gegeben sein (Bergkegel). Dabei kann die Bedingung radialer Längsgrenzen streng (Bauplätze an Bogenstrassen), oder nur genähert (landwirtschaftlich benützte Grundstücke) erfüllt sein müssen.

wähl

1.

2.

Unter allen Umständen entfällt hier die Möglichkeit der Aus-der Abszissenachse parallel zu den neuen Längsgrenzen.

Am einfachsten führt folgendes Verfahren zum Ziel: Vorläufige (d. h. genäherte) graphische Ermittlung der gesuchten Grenzlage, etwa durch Verwandlung.

Abgreifen einer der Koordinaten (yF = —34,20, s. Fig. 165) für einen der beiden neuen Eckpunkte und proportionale Einrechnung der zugehörigen zweiten Koordinate (x = 132,90)

nach der Bedingung, dass der angenommene Punkt auf der Gewandgrenze liegt.

Fig. 165.

128?°'

sz'/z

iooy'

76,48

^i% \ ^

lkC_

+:i‘

130.0"

Ä%

- h~

3.

4.

5.

Berechnung der Koordinaten des Schnittpunkts H der durch den soeben gewählten neuen Eckpunkt F zur Abszissenachse gedachten Parallelen, mit derjenigen Gewandgrenze, welche den zweiten Grenzpunkt E voraussichlich enthält, oder ihrer Verlängerung (x = — 1,72, y = — 34,20).

Bestimmung des Flächeninhalts der Figur AB FH, welcher um den Betrag A F vom Grundstücks-Sollinhalt abweichen möge. Berechnung der Höhe (Ordinatendifferenz) Aj für den gesuchten zweiten Eckpunkt E, so dass A x . A y

FEH =

= A F, also

6.

Jy =

und damit der Ordinate jenes Eckpunktes

2. A F 4V •

Proportionale Einrechnung der Abszisse xE (— 7,60).

Prüfung, ob die derart gefundene neue Längsgrenze genügend genau radial verläuft, entweder (bei Feldgrundstücken) graphisch, oder (namentlich bei Baugrundstücken) durch Vergleichung des

y = -34,20 +

aus den Eckpunktskoordinaten ermittelten Richtungwinkels *) x E F mit dem Sollbetrag x E 0, wobei 0 den Schnittpunkt von D C und A B, bezw. den Mittelpunkt der Bogenstrassengrenz-linie bezeichnet.

Nötigenfalls mit Hilfe des festgestellten Richtungswinkelfehlers :

8.    Verdrehung der (in diesem Fall nur als vorläufig anzusehenden) Grenze E F um ihren Halbierungspunkt und Nachprüfung des Einflusses dieser Drehung auf die Flächengrösse.

9.    Berechnung der zur Übertragung auf das Gelände dienenden „Kopfmasse“ AE und BF aus den Koordinaten der betreffenden Streckenendpunkte.

Beispiel: Von der Grenze AB aus soll eine Fläche J von 16a 86 qm unter angemessener (näherungsweiser) Verteilung der Breitendifferenz des Gewandes A B C D ahgetrennt werden.

Lösung:

1.    Durch Division mit der abgegriffenen ungefähren Grundstückslänge in die Fläche J ergibt sich die ungefähre mittlere Breite, welche im Plan an entsprechender Stelle abgetragen und durch deren Endpunkt die genäherte Grenzlinie radial eingezogen wird. Verwandlung liefert jetzt die für eine zweite Näherung etwa noch nötige Verschiebung und die endgültige Lage eines der Eckpunkte, z. B. F.

2.    Aus dem Plan wird jetzt die Ordinate yF — 34,20 abgegriffen. Rechenschiebereinrechnung liefert hiezu mit Probe die Abszisse:

8,88

1,20

1,70    2,90

75,12 : 14,40 = 66,24 : A x 12,70    15,60 (stimmt).

14,40

3. Zur Ordinate y = 34,20 des Punktes H liefert Rechenschieberrechnung ebenfalls mit Probe die Abszisse:

(Diff.)

1,00 (— 13,88 + 15,60) == 1/72 1 0,12 (— 1,69 + 3,41 =) 1,72 / (stimmt)-

75,12

(12,88)

25,76

22,62 : 12,19 = 3,14 : A x

(11,31)    _ ,    (1,57)

22,62 (11,31)

4. Fläche Jj des Vierecks A B F H: 132,92 X 25,76 3424,0192

0,88

0,88

148,50 X 8,88 1318458

3424,02

1318,68

2 Jx = 4742,70 qm hievon ab 1470,70

gibt den doppelten Sollinhalt 2 F = 3272 qm, und

1470,70

5. die Höhe des abzuschneidenden Dreiecks H E F mit

1470,70 134,62

Hieraus erhalten wir yE = — 34,20 -f- 10,92 = — 23,28.

J) Die Erklärung der Bezeichnung „Richtungswinkel“ s. § 56.

10,92.

qm:

6. Zur Einrechnung der Abszisse xe wird wieder die Proportion (3) benützt:

(Diff.) A x

15,60

0,58    8,00    7,60

22,62: 12,19

(11,31)

14,84 ₌ (7,42) .

0,30    4,19    3,41 (stimmt).

0,88    12,19

7,78

(3,89)

0,88

22,62 (11,31)

7.    Die graphische Untersuchung beweist genügend genaue radiale Richtung der neuen Grenze E F.

8.    Berechnung der neuen Kopfmasse a und b mittels des Rechenschiebers nach einem der in § 24 gezeigten Verfahren.

Viel bequemer ist die:

ß) Halbgraphische Behandlung.

Möge wieder wie vorhin die ungefähre Lage der neuen Grenze E F durch Verwandlung gefunden, und möge das Kopfmass BF = b für den festzuhaltenden Punkt F auf dem Plan zu 9,04 abgegriffen worden sein. Dann erhält man das Kopfmass AE = a, wenn man

die neue Parzelle durch die Diagonale FA in zwei Dreiecke zerlegt, aus:

2 J = 3272 qm = 9,04 X hAi b -f- a X hFi a, also a

3272— 9,04. hA)b

3272 — 9,04 X 140,0

h-F,

119,0

= 16,86 m.

Statt einen der neuen Eckpunkte auf Grund graphischer Berechnung von vornherein als fest anzunehmen und hernach die ganze, dieser weniger* scharfen Methode entspringenden Differenz am andern Ende des Grundstücks zu berücksichtigen, kann man (besonders leicht bei halbgraphischer Behandlung) beide Kopfmasse a und b zunächst als vorläufige ansehen und die an jedem von ihnen anzubringende Verbesserung x berechnen aus

2 J = (b -f- x) hAj b -j- (a -j- x) hF, a 2 J — (b X hA;-b -fax hF, a)

hx., b d⁻ hF,

Ganz analog erfolgt die Lösung im Fall gebrochener Grenzen. Man entnimmt auf Grund vorgängiger graphischer Behandlung dem Plan die sämtlichen neuen Kopf- und Steinlinienmasse k und b bis auf eines (etwa bi) und berechnet hieraus halbgraphisch, oder mittels der aus diesen

+OC

M\

kr \

Ni/

Fig. 166.

JXr

Xivj \

2 . A J

Massen durch Rechnung abgeleiteten Koordinaten der Grenzbruchpunkte den Flächeninhalt der Figur ABCDEHJKBMA. (Im letzteren Fall ist es zweckmässig, diejenige Steinlinie als x-Achse zu wählen, der die gesuchte Breite tq angehört.) Der Abmangel A J gegen den Sollinhalt ergibt dann die noch fehlende Breite bi aus

hx + b₂

4J = b₁.    ₂

, also bi =

hi -|- h₂

Statt am Schluss die eine Breite bi mit der ganzen Flächenausgleichung A J zu belassen, ist bei halbgraphischer Behandlung ebenso bequem die Berechnung des Zuschlags x zu jeder der auf Grund graphischer Zuteilung vorläufig gefundenen Breiten b und k: 2 F = (k₂ -j- x) hka -f- (b₃ -f- x) hbg -)- (b₂ + x) hb2 -j- (bi -f- x) hbt -f- (kx -|- x) hkl,

(wobei h die dem jeweiligen Doppeldreieck, oder Dreieck angehörige Höhe vorstellt). Hieraus

2 J — (k₂ hk2 -f- b₃ hb3 -f-.. .. -f- kt. hkl) hk2 -f- hbs -j- .... -f- hkl In schwierigen Fällen wird die Lösung durch Probieren bewirkt, indem man die neue Grenze zunächst in erster Näherung feststellt, die durch sie abgeschnittene Fläche berechnet und alsdann durch Rückung um den ungefähren Flächenabmangel eine zweite Näherung für die Teilungslinie erreicht. Mit ihr wird dann ebenso verfahren, wie mit der ersten Näherung u. s. f.

B. Proportionalteilung.

Die Proportionalteilung von Grundstücken kommt namentlich bei Erbschaftsübergang, aber auch bei gemeinsamen Grundstückskäufen vor. Ihre Lösung kann genau nach Fall (a) behandelt werden, indem man zuerst den Gesamtinhalt des zu teilenden Grundstücks und hieraus die den einzelnen Teilen zukommenden Flächengrössen berechnet. Letztere brauchen dann nur unter Beachtung etwaiger Bedingungen für die Grenzrichtung „zugeteilt“ zu werden. In einfachen Fällen, namentlich der Längstrennung, lässt sich

jedoch die eigentliche Flächenberechnung und Zuteilung umgehen.

Hat das der Länge nach zu spaltende Grundstück die Form eines Paralleltrapezes — Ordinate yx = y₂ — und würde man diese Ordinaten kurzerhand in die entsprechende Anzahl gleicher Teile zerlegen, so würden die der längeren Grenzfurche zugekehrten Parzellen zu gross, die andern umgekehrt zu klein sich ergeben, und

Längsteilung in zwei gleiche Teile.

zwar erhielte im Fall der Halbierung eines drei

das kürzere Grundstück

„ längere

der überschiessenden seitlichen Dreiecke, von denen jeder

Teil zwei zu beanspruchen hat (s. Fig. 167). die vorläufige Teilungslinie in der Richtung gegen die längere Grenz-

Man hat daher

Fig. 167.

y₂

>£

-77? —

---

i.VJ......

---F----

8— x,

x₂

furche von der Mitte aus noch zu verschieben um

wobei m die mittlere (nur näherungsweise zu ermittelnde) Länge ist

xi yi + x₂ y₂

Ay =

bezw. an den Gewandgrenzen um:

A k = A y • —.

y

Bei Dreiteilung ist die Zahl der überschiessenden kleinen Drei- Längsteilung

°    in drei

ecke beiderseits = 9 (s. Fig. 168). Jedes Teilgrundstück hat also gieiche Teüe-drei von ihnen zu beanspruchen. Wenn die vorläufigen Teilungs-

Fig. 168.

2J1

y₂

___Je.. —

~mf-

— m.

fr

■t yi'

\<

-x-

-x₂-

linien durch die Drittelspunkte der Ordinaten beibehalten würden, kürzeste Teil zu wenig längste „    ,, viel

Dreiecke. Um dies zu vermeiden, sind diese Verbindungslinien zu verschieben um

*Yi =

so hätte also der

² (xi yx + x* y*)

um zwei solcher kleinen

² (xi yi + x2 y«)

bezw. ^ y₂ =

Fällt eines der Gewandgrenzdreiecke über die Figur hinaus (s. Fig. 168), so verwandelt sich das zu seiner Fläche gehörige -f- Zeichen im Zähler in —. Die auf der Gewandgrenze nötige Verschiebung A k wird berechnet wie oben bei der Halbierung.

18 mx

18 m₂

Je ‘kleiner die Summe der überschiessenden seitlichen Dreiecke ist, um so weniger kommt eine kleine Differenz in der Messung der Mittellinien m zur Geltung, d. h. um so oberflächlicher kann m ermittelt werden.

Längsteilung in beliebig viele Teile.

Bei Teilung in 4, 5 und mehr gleiche Teile ändern sich lediglich die Zahlenfaktoren in den Ausdrücken für den Parallelverschub A y.

Verlaufen die Längsgrenzen des zunächst zu behandelnden Vierecks A B C D nicht, wie bisher vorausgesetzt wurde, parallel (s. Fig. 169), so bliebe trotzdem die bisherige Behandlung unverändert, wenn man die neue Grenze von F bezw. G aus gegen die Gewanngrenze je parallel zur Grundlinie AD führen würde.

Fig. 169.

Wc

JB,

Wb

JV

St

kf

Wb

•.

eX*2

hE

Dies ist aber in Wirklichkeit nicht angängig.

Soll, wie es die Regel ist, die Trennungslinie F G bis zur Gewandgrenze beiderseits geradlinig fortgeführt werden, so ist die vorstehende Lösung nicht mehr streng richtig. Die Differenz der in Fig. 169 schraffierten Dreiecke GHJ — EFK stellt den Flächenfehler vor, dessen Wegschaffung den Rückungsbetrag Ay von Fig. 167 um die

4GHJ —4EFK

Strecke

dy =

vergrössern würde. Diese Verbesserung dy wird um so geringer, je geringer die Divergenz der beiden Längsgrenzen, oder der Unterschied der Strecken xx und x₂ ist.

Ist endlich eine der Längsgrenzen z. B. BC in L gebrochen, (so dass das Fünfeck AB LCD an Stelle des Vierecks AB CD tritt) so kann man entweder auch die neue Teilungslinie in M, oder in einem Punkt N der Steinlinie brechen. In diesem Fall erfährt die vorige Betrachtung lediglich doppelte Anwendung. (Vergl. Ausführungen zu Fig. 170.)

Oder man kann die neue Grenze gerade legen, muss sie dann aber um einen dritten Rückungbetrag dy (im vorliegenden

Fall entgegengesetzt 4y und dy) verschieben, der dem halben Dreiecksinhalt BLC entspricht, wobei also

ps

dy =

Damit ist man bereits übergegangen zum Fall:

Gebrochener Längsgrenzen.

Gebrochene

Längs

grenzen.

Sind beide Längsfurchen des Grundstücks n-mal gebrochen, so zerfällt das Grundstück in (n -|- 1) in gleicher Weise wie vorhin zu teilende Vierecke (s. z. B. Ax Bi B₂ A₂ in Fig. 170). Die einzelnen dabei gewonnenen vorläufigen Grenzlinien P] P₂, P₃ P₄ etc. schneiden sich aber dann nicht auf den Kopfgrenzen der einzelnen Vierecke, d. h. auf den Steinlinien Aj Bj. A₂ B₂ etc. Dort würde vielmehr jeder Teil

Fig. 170.

B,

\P2

A₂

Ja-

"Hz

Fig. 170 a.

der neuen Längsgrenze absetzen, um in einem benachbarten Punkt wieder zu beginnen (s. die zwei feinen Grenzlinien in Fig. 170 a), was praktisch undurchführbar ist, sowohl wegen des erschwerten Feldbaus, als wegen der komplizierten Vermarkung. Die auf den Steinlinien erscheinende lineare Differenz d ist daher unter Berücksichtigung der jeweiligen Grenzlängen auszugleichen. Dies geschieht auf Grund der Bedingung (vergl. Fig. 170a)

er er

di . hx = d₂. h₂ oder di: d₂ = h₂: hi und (dx -f- d₂): J — (h₂ -f- hi):    .

Teilung mit halb graphischer Berechnung.

Möge die Teilungslinie auf beiden Gewanngrenzen je um den Teilung

mit halb-

Betrag x aus der Mitte zu verschieben sein, so wird (s. Fig. 171) graphischer

er to er

_    ,    \    o    / Berechnung.

t⁼(t~x) 2 + (t — x)

- (y + x) + (t + x) y

Hieraus ergibt sich:

IO P

ft

x (i+i+i+b

h2\ . b / li h \

¥/ + ¥V¥“~ t)

Fig. 171.

Vov

4 Afcf

•j

L °7

(h, - h.)

2 a (hj — li₂)

4(h₁H-h₂-f2h) a (hx — h₂)

X “ 2(h₁ + h₂ + 2h)*

Sind die neuen Grenzmarken auf „Steinlinien“ zu setzen, die innerhalb der Kopf grenzen des Grundstücks verlaufen, so werden die zwischen Steinlinie und Gewandgrenze liegenden Flächenteile, wie in §27 gezeigt, heraus verwandelt, wobei näherungsweise Annahme der gesuchten Teilungslinie genügt.

Hat das zu teilende Grundstück gebrochene Längsgrenzen (s. Fig. 170), so wird der Verschiebungsbetrag x für jedes der durch die Steinlinien entstehenden Vierecke nach obigem berechnet. Die hiebei für eine und dieselbe Steinlinie auftretenden Verschieden-

II

.i

li

Wh

V •'

vs i

/

Tx₂

m/

fi/

-4—

.T —

heiten der Verschiebungsbeträge, welche zunächst eine „gestelzte“ Neugrenze ergeben würden, werden, wie in Fig. 170a gezeigt, ausgeglichen.

C. Zuteilung nach Wertsklassen.

Die Aufgabe der Zuteilung nach Wertsklassen tritt sowohl bei städtischen als auch bei landwirtschaftlich benützten Grundstücken auf.

Im ersteren Fall sind die Klassengrenzen zumeist durch Privatverträge festgesetzte Parallelen zur Baulinie. Sie begrenzen demgemäss Streifen (Bauplatz, Vorgarten, Hof etc.) von bestimmter gleicher, durch direkte Masszahlen festgelegter Breite. Die Zuteilung der Flächenstücke von vorausbestimmtem Wert erfolgt, schon im Hinblick auf den hohen Bodenpreis, hier in der Regel unter Benützung von Originalmassen. Die Aufgabe, die sich zumeist dadurch vereinfacht, dass die Grundstücksgrenzen senkrecht zur Baulinie (Aufnahmelinie) verlaufen müssen, wird am leichtesten durch Probieren gelöst, indem man die Inhalte und Werte der den einzelnen Klassen angehörigen Flächenstücke bis zu einer vorläufig angenommenen Neugrenze berechnet, zusammenstellt, mit dem Sollwert vergleicht und aus dem Unterschied gegen letzteren

eine bessere zweite Näherung für die Neugrenze gewinnt. Ihr folgt nach Wiederholung des Verfahrens nötigenfalls eine dritte Näherung etc.

Bei der Zuteilung landwirtschaftlich benützter Grundstücke sind zumeist keine zur Flächenberechnung direkt verwertbare Masszahlen für die Grenzen der einzelnen Wertsklassen (Bonitäten) vorhanden. Letztere wurden vielmehr auf einfachste Weise, nur so aufgenommen, dass sie in den Plan an der richtigen Stelle eingezeichnet werden konnten.

Daher kann es sich hier nur um

halbgraphische Zuteilung mit halbgraphischer, oder reingraphischer Berücksichtigung der Wertsklassen

handeln.

a) Parallele Zuteilung.

Auf der irgendwie roh gefundenen Mittellinie AB des künftigen

Grundstücks werden die Strecken h L ... ln abgegriffen, welche von dieser Mittellinie in der

Fig. 172.

lten, 2ten... nten Wertsklasse liegen.

(Da, wo die Klassengrenze nicht geradlinig zwischenbeiden Längsgrenzen des künftigen Grundstücks verläuft, oder wo eine Klasse nicht von der einen zur anderen Längsgrenze reicht, wird dieser Zustand durch graphische Y erwandlung erzielt, wie z. B. bei Kl. I in Fig. 172.)

Würde nun AB die Mittellinie eines 1 m breiten Flächenstreifens bilden, so würden die abgegriffenen Längen gleichzeitig die Anzahl von qm angeben, welche diesem Flächenstreifen in jeder Wertsklasse zugehören.

Man erhielte also den Wert w des 1 m breiten Mittelstreifens als Summe der Werte der einzelnen Klassenabschnitte

w = Wi h -j- w₂12    -f- wn ln

wobei Wi, w₂... den Wert eines qm der betreffenden Klasse vorstellt.

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im

b-

Wird das zuzuteilende Grundstück x m breit, sind also die Inhalte seiner Klassenabschnitte x. h, x 1₂... so wird sein Gesamtwert W = x. b . Wi -f- x 1₂. w₂ -f- ... -(- x ln wn = x [w 1] = x . w.

Bei bekanntem Sollwert W wird also die senkrechte Grund-W

stücksbreite x = —-.

w

(Der Wert der Eckabschrägungsflächen muss natürlich dem zuzuteilenden Sollwert zugeschlagen werden, wenn man sie nicht durch Verwandlung als Längenreduktion wirken lassen will.)

Die Multiplikationen \\t h , w₂ K ... lassen sich bei Berechnung des Durchschnittswertes w schliesslich sparen, wenn man die Strecken

b . . ln statt im Planmassstab — im wechselnden Verjüngungsver-11    m

hältnis----,    • • • abgreift, wodurch man direkt die w-fachen

m. wx m. w₂

Längen wx h, w₂1₂. .. erhält. Auch bei Berechnung des Gesamtwertes W des Grundstücks kann die Flächenbestimmung xh, .. . xln dann zunächst unterbleiben, wenn es sich nur um das Aufsuchen der neuen Grenzlage handelt und diese Flächen hernach bei der Probeberechnung ermittelt werden.

Begreiflicherweise wird sich die Grundstückshreite um so schärfer ergeben, je genauer w ermittelt wurde, d. h. je genauer die vorläufige Mittellinie A B der endgiltigen Mittellinie des künftigen Grundstücks sich anpasste und je genauer die Strecken h,l₂... abgegriffen wurden. Eine Verfeinerung und Ausgleichungsmöglichkeit für letztere ergibt sich durch Zusammenstellung zur Gesamtlänge L, welche, wenn sie nicht direkt bekannt ist (parallele Gewandwege) mittels der Glastafel erhoben werden kann.

Jede einzelne, nach vorhergehendem errechnete Grundstücksgrenze wird sofort — und zwar auf Grund der durch Addition der Einzelbreiten x erhaltenen fortlaufenden Breitenmasse und einer an beiden Enden der Gewann durchgeführten genauen hm Unterteilung der zur Parzellenrichtung senkrechten Gewannbreite — scharf kartiert. Zur endgültigen Bestimmung der neuen Grenze, bezw. zur Probe berechnet man schliesslich sowohl die Grundstücksgesamtfläche, als auch die Flächengrössen der ihr zugehörigen Klassenabschnitte je halbgraphisch, erstere mit den zur Übertragung aufs Gelände dienenden schiefen Kopf- bezw. Steinlinienmassen, letztere mit Benützung der Breite x. (Nur für den Fall, dass eine Klassengrenze nicht beide Längsgrenzen des Grundstücks schneidet, ist reingraphische Behandlung des betreffenden Klassenabschnitts nötig.) Stimmt der hieraus sich ergebende Grundstückswert mit dem Sollwert W nicht genau überein, so lässt sich, wenn gewünscht, d. h. wenn scharfe Zuteilung nötig ist, die Abweichung durch Parallelverschiebung der in diesem Fall zunächst als „vorläufig“ geltenden neuen Grenze wegbringen.

Zur Sicherung gegen Rechenfehler, wie auch zur Übersicht für den Zuteilungsentwurf teilt man vor der Zuteilung (hier hei der Werts-wie früher hei der Flächenzuteilung) die Gewann in, je nach der normalen Grundstücksgrösse, 50 bis 100 m breite „Elemente“ ein, deren Grenzen parallel den zukünftigen Grundstücksgrenzen verlaufen und deren Flächeninhalte und Werte vorgängig berechnet werden. Bei jeder solcher Grenze ergibt sich dann durch Zusammenstellung der im Element bis dahin zugeteilten Grundstücke bezw. Grundstücksteile eine Rechenprobe für Breite, Fläche und Wert.

Sind sämtliche senkrechte Grundstücksbreiten x innerhalb Segnung einer Gewann ermittelt, so erhält man die zur Absteckung dienenden Abs^eacsk™gs' schiefen Steinlinien- und Kopfmasse s oder k durch einfache Proportion, wenn auf irgendwelche Weise (z. B. durch Messung oder Ordinatenumformung auf die Grundstücksrichtung als x-Achse etc.) das einer Anzahl senkrechter Breiten [x] = b entsprechende Steinlinien- oder Kopfmass S oder K bekannt ist, aus:

b: S.

K = Xi:

Ui

x₂:

.1 S₂

Berechnet man derart auch die Mittelsteinlinien und legt die berechneten Masse der Absteckung zugrunde, so erhält man eine bequeme und durchgreifende Absteckungs- und Steinsatzkontrolle durch nachträgliche Untersuchung des geradlinigen Verlaufs jeder Eigentumsgrenze.

Radiale

Zuteilung.

b) Die radiale Zuteilung

unterscheidet sich von der Parallelteilung nur dadurch, dass an Stelle der gesuchten senkrechten Breite x für die halbgraphische Berechnung der ganzen Grundstücksflächen sofort die zur Absteckung auf dem Feld dienende Stein linien- oder Kopf breite tritt, und dass die halbgraphische Berechnung der Klassenabschnitte der reingraphischen weichen muss. Im übrigen wird, wie bei der Parallelteilung, eine vorläufige Grenzlinie der ersten Berechnung zugrunde gelegt und der Unterschied gegen den Sollwert durch Rückung weggeschafft. Die radiale Grenzrichtung wird lediglich auf graphischem Weg festgestellt.

§ 32. Grenzausgleichung. Einrechnung von Linienschnitten.

Die Aufgabe der Grenzausgleichung tritt zumeist in folgenden Formen auf:

Weitbrecht, Vermessungskunde.

Die Grenzlinie zwischen zwei Grundstücken soll derart verändert werden, dass

a) die neue Grenze eine vorgeschriebene Richtung (z. B. _L zur Baulinie) erhält, oder durch einen vorgeschriebenen Punkt geht, und dass

h) die Summe der von dem einen Grundstück zum andern übergehenden Flächen kmal so gross ist, als die Summe der in umgekehrter Richtung vertauschten (einfachste Lösung ergibt sich für k = 1, also flächengleichen Tausch), bezw. dass — auf Grund eines vereinbarten, oder sonstwie festgestellten Wertmassstabs (Bonitierung) — die Summen der zwischen beiden Parteien auszutauschenden Flächenstücke je gleichwertig sind.

Im Grund handelt es sich also auch hier lediglich um Aufgaben der Flächen- bezw. Wertsberechnung und -Zuteilung, die am bequemsten gelöst werden durch: 1. vorläufige Annahme einer genäherten Grenzlinie, 2. Berechnung der zwischen ihr und der alten Grenze liegenden Flächen (je nach der verlangten Genauigkeit aus Koordinatenmassen, oder graphisch) und Werte, und 3. darauffolgende Rückung der vorläufigen Grenzlinie als zweite, bessere Näherung. Alsdann Wiederholung des Verfahrens so lange, bis der Zweck erreicht ist.

Hiebei sind häufig die Koordinaten des Schnittpunkts zweier

Linien (der alten und der neuen Grenze) zu berechnen und zwar:

Linien-

schnitte.

I. Schnitt zweier Geraden AB und CD.

SchnittzweierGeraden. Die Punkte A, B, C und D (s. Fig. 173) mögen (wie gewöhnlich) durch rechtwinklige Koordinaten in bezug auf ein beliebiges Koordinatensystem aufgenommen sein. Von den verschiedenen Lösungen seien folgende angeführt:

Erste (geometrische) Lösung. Berechnet man die Ordi-naten der beiden Hilfspunkte Hx und H₂, in denen die Ordinaten-linien der dem Schnittpunkt zunächst gelegenen Punkte B und C je die andere Gerade schneiden, durch einfache Proportion (Verwendung des Rechenschiebers, nötigenfalls, um damit die verlangte Genauigkeit zu erzielen, nach erfolgter Umformung der Proportion durch Differenzenbildung oder durch Multiplikation zweier homologer Glieder mit einer passenden Zahl) und denkt sich durch einen dieser Punkte (etwa H₂) eine Parallele H, H₃ zur anderen Geraden gezogen, so kennt man

Hs Hj = H₂ B Hi C = yc — yrn,

Fig. 173.

}+-dx

ark

&c.

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A^\B,

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_L_A_ & ^

.h,

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also auch H₃ C und hat nun aus dem A H₂ H₃ C die weiteren Proportionen

H₃ C: (xc — xB) =

Hi C : (xc — xs)

B H₂ : (xB — xs)

Aus diesen Proportionen erhält man

und durch Subtraktion von

Xc — Xs XB — Xs

Xq

die Abszisse xs des gesuchten Schnittpunktes doppelt.

XB

Berechnet man jetzt zu der gefundenen Abszisse die Ordinate ys dieses Schnittpunktes durch Proportion sowohl auf der Geraden A B, als auch auf C D, so liefert die Übereinstimmung beider Werte gleichzeitig eine durchgreifende Probe für die Richtigkeit der ganzen Rechnung.

ver-

(Statt der Schnittpunkte Hj und H₂ der Ordingtenlinien mit den Geraden AB und CD hätten ebensogut die Schnittpunkte zweier etwa durch A und C gezogener Parallelen zur Abszissenachse je mit der anderen Geraden wendet werden können.)

Dieses Verfahren verlangt die Ausrechnung von fünf Proportionen, die allerdings bei sinngemässer Anwendung des Rechenschiebers nicht allzuviel Arbeit erfordern (zumal nur drei verschiedene Anschriebe nötig werden), aber immerhin weitere Vereinfachung wünschenswert machen.

Eine zweite (trigonometrische) Lösung, welche (bei Anwendung von Additionslogarithmen) für die logarithmische Berechnung geeignet ist, ergibt sich durch Verwendung der Richtungswinkel (s. § 56) der Geraden AB und CD. Sind diese abgeleitet, so erhält man allgemein gültig yHt = yA + (xHl — XA) tg x A B

und

xc — Xg =

tgxAB — tgxCD'

Durch Subtraktion dieses Wertes von xc erhält man die gesuchte Schnittpunktsabszisse xs. Ergibt jetzt die auf Grund dieser gefundenen Abszisse durchgeführte Berechnung der gesuchten Schnittpunktsordinate aus ys = yA + (XS — XA) tg x A B und

y» = yc + (xs — xc) tg x c d

übereinstimmende Werte, so ist die Richtigkeit der ganzen Rechnung durchgreifend gesichert.

In der Praxis steht zumeist ein massstäblich gezeichneter Plan zur Verfügung. In diesem Fall ist eine

dritte (halbgraphische) Lösung besonders empfehlenswert.

Greift man die gesuchte Abszisse xs aus dem Plan ab, so hat man dadurch jedenfalls einen Näherungswert Es für sie gefunden. Nun berechnet man zu diesem Näherungswert die Ordinaten i)s der Punkte, in welchen eine durch den Punkt Es gezogene Senkrechte zur Abszisse die Geraden AB und CD schneidet. Dies geschieht entweder mittels der Proportion (xB — xA) : (yB — yA) = (Es — xA) : (ps — yA)

(Es — xB) : (ps yB) ’

welche nach entsprechender Umformung die Anwendung des Rechenschiebers gestattet, oder mittels der allgemein gültigen Beziehung

9s — yA + (Es — xA) tg x A B etc.

und logarithmischer Berechnung.

Ergeben sich hiebei beide Werte ps gleich gross, so hat man beim Abgreifen zufälligerweise den wahren Abszissenwert xs erlangt und die Aufgabe ist gelöst — die

stellen zugleich die gesuchten, endgültigen Xs

vor. Trifft

9s

ys

vorläufigen Werte

dies aber (wie es die Kegel sein wird) nicht zu, so zeigt die Differenz der beiden erhaltenen Ordinaten 9S sofort an, ob £s zu klein oder zu gross abgegriffen wurde. (Ist, wie in Fig. 173, 9 auf AB>p auf C D, so ist £s zu klein abgegriffen und umgekehrt.) Trägt man jetzt die Abweichung d y der beiden berechneten 9 in grossem Massstab (etwa 1 : 10) zwischen den Schenkeln des Winkels senkrecht zur x-Achse auf (s. Fig. 173), so kann man — auf Millimeter genau — die an der vorläufigen Abszisse £ anzubringende Korrektion dx, ebenso aber auch die an jeder der vorläufigen Ordinaten 9 anzubringenden Korrektionen aus dem Plan abgreifen und durch Addition zu den ersteren die endgültigen Werte erlangen.

Yon ganz besonderem Einfluss auf die Zuverlässigkeit des Endresultats ist bei dieser Behandlung die fehlerfreie Berechnung der beiden vorläufigen Werte 9S. Man wird diese daher — wie es sich übrigens auch in allen anderen Fällen empfiehlt — immer von beiden Endpunkten der jeweiligen Geraden herein ermitteln.

Spezieller Fall. Weicht die Richtung einer der beiden Geraden nur sehr wenig von derjenigen der x-Achse oder der y-Achse ab, so greift man zunächst diejenige Schnittpunktskoordinate ab, welche der zur Geraden nahezu parallelen Achse angehört. Aus ihr wird man, auch wenn sie mit einem kleinen Fehler behaftet sein sollte, die andere Koordinate auf die nahezu parallele Schnittgeraden sofort endgültig, d. h. genau einrechnen können. Diese liefert dann umgekehrt auf der stärker divergierenden zweiten Geraden direkt das endgültige Mass für die zweite, zuvor abgegriffene Koordinate.

Die halbgraphische Lösung lässt sich, sinngemäss ausgestaltet, auf die Aufgabe der Bestimmung

II. des Schnitts beliebiger, ihren Bildungsgesetzen nach bekannter Linien

anwenden.

Seien z. B. in Fig. 174 die Koordinaten des Schnittpunktes S eines Kreises um 0 und einer Geraden A B gesucht. Der Kreismittelpunkt 0 und die Endpunkte A und B der Geraden seien in bezug auf irgend ein Koordinatensystem aufgenommen. Die Gleichung des (in der Richtung der x-Achse um xo, in der Richtung der y-Achse um yo verschobenen) Kreises ist unter Berücksichtigung der Vorzeichen dieser Mittelpunktskoordinaten in Fig. 174:

(x — x₀)² + (y + yo)² = r².

Greift man nun wieder den vorläufigen Wert £s für die Abszisse des Schnittpunktes S aus dem Plan ab, so kann man die Ordinaten ps der Schnittpunkte der durch den Punkt £s gezogenen Senkrechten zur Abszisse mit den beiden Linien berechnen. (Bezüglich der Geraden A B wie im vorigen Fall, bezüglich des Kreises um 0 durch Einsetzung des Wertes £s an Stelle von x in vorstehender Gleichung.) Ergeben sich beide Werte für 9 zufälligerweise gleich gross, so stellt die genäherte Abszisse £s deren endgültigen Wert xs dar und es sind damit wieder die endgültigen Koordinaten des Schnittpunktes ge-

funden, andernfalls wird, wie im vorigen Fall, die Differenz dy in grossem Massstab zwischen die Gerade und die in S an den Kreis gezogene Tangente eingelegt und sodann die an £ anzubringende Korrektion d x abgegriffen.

Sind die gegebenen Linien von der zweiten, dritten etc. Ordnung, so wird dadurch an der Lösung prinzipiell nichts geändert.

Mittels der Kopfmasse A S und B S (s. Fig. 174) • ist die Absteckung des Schnittpunktes S auf dem Gelände am bequemsten.

Dieselben lassen sich aus den Koordinaten der betreffenden Punkte nach § 56 berechnen.

Fig. 174.

!%

Afri

h_k____h

Vf fr

. ÖS*I

O

Beispiel. Gegeben xo = -f- 28,91 yo = — 43,30; r = 55 m xa = + 44,93 yA = + xB = + 39,48 yB = + 5,56.

Gesucht die Koordinaten des Schnittpunkts S.

1. Lösung. Die Schnittpunkts ab szisse £s ergibt sich aus dem Plan (also genähert), zu -(-41,90, hiezu liefert proportionale Rechenschiebereinrechnung die Ordinate auf der Geraden AB:

5,45 : 9,88 =

of co

OI oo O 00

co oi

CD Ol ^ <Ä>

= 9s°

15,44

9,88

5,45

Für die Differenz Ay zwischen Kreisordinate und Mittelpunktsordinate hat man A y = Yr^- A^ = V 55* — 12,99* = ^2856,26 = 53,45 also Kreisordinate = — 43,30    53,45 = -(- 10,15 = i)s.

Die Kreisordinate ist also )> die Geradenordinate um 10,15 — 9,94 = 0,21, d. h. die abgegriffene Abszisse war zu klein. (Die Figur 174 entspricht nicht dem speziellen Beispiel.)

Trägt man die Differenz dy von 21 cm in grossem Massstab (etwa 1:10) senkrecht zur Abszisse zwischen A B und die in S an den Kreis gezogene Tangente ein, so kann man direkt abgreifen:

Ordinate = 10,12 „ = 10,12

Abszissenkorrektion dx = -(-0,10 also endgültige Abszisse = 42,00 Geradeordinaten Kreisordinaten

2. Lösung. Man kann auch umgekehrt die Kopfmasse vorgängig ermitteln und aus ihnen, wenn nötig, die Koordinaten xs und ys berechnen wie folgt:

1.    Berechnung des Richtungswinkels xAB und der Strecke AB nach dem im § 56 zu zeigenden Verfahren;

2.    Umformung der Koordinaten xo und yo des Kreismittelpunktes' 0 auf A B als Abszisse und A als Ursprung (s. Kapitel 13). Aus den sich hiebei ergebenden Werten |o und rio kommt:

3. Berechnung des Kopfmasses

AS = |o — Vr² — -rjo2 A S = |o — r cos d, wobei sin <5 =    ;

oder

4. (wenn verlangt): Proportionale Einrechnung der Koordinaten

xs -i aus den

jetzt bekannten Kopfmassen A S und AB und 5. Berechnung des Bogenmasses E S aus

r, wobei q> = E 0 S = x 0 S — xOE

ES =

ys

sich ergibt.

s. § 56.)

(Behandlung des Schnitts zweier Kreisbogen und Kleinpunktsberechnung

Die Berechnung sowohl der Schnittpunktskoordinaten als auch naiimeunie. der vertauschten Flächen wird, soweit sie überhaupt mit Koordinaten durchzuführen ist, wesentlich vereinfacht, wenn die Abszissenachse, auf welche die alten und neuen Grenzpunkte bezogen werden, parallel zur neuen Grenzrichtung verläuft, oder durch den vorgeschriebenen Grenzpunkt geht. (Dies lässt sich, wenn nicht schon bei der Feldaufnahme dafür gesorgt wurde, durch rechnerische Koordinatenumformung, s. Kapitel 13, erreichen.)

Wahl der

Fig. 175.

Für die einfachste Form

s?

-\/33.78 —(126,41) - -i 120.50

*--j no. 38

iooWk

r

178 7/

•4

9T3S,

‘.8S.W

1959

74.

5$

der Grenzausgleichung, den flächen gleichen Tausch, bedarf es in diesem Fall nicht einmal der Annahme einer vorläufigen Grenzlinie. Vielmehr wird man am besten zunächst die Fläche zwischen der alten Grenze 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 (s. Fig. 175) und der Aufnahmelinie A B berechnen und sie hernach von der letzteren aus als Trapez Zuteilen.

’isööo...........s V ,5f

86

Beispiel: Die gebrochene Grenzlinie 1—2—3—4—5—6—7 (s. Fig. 175) soll durch eine Gerade senkrecht zur Baulinie derart ersetzt werden, dass die beiden Grundstücke P. 744 und P. 741 dem Flächeninhalt nach keine Veränderung erleiden.

Auflösung. Als Aufnahmelinie wurde eine Senkrechte A B zur Baulinie (Parallele zur gesuchten Grenze) verwendet und es ergaben sich für die Lage der Grenzpnnkte die in Fig. 175 eingetragenen Masse.

,1*30

L3.67J

#i,

9860Z

(174,64

• •) Gerechnete Maße.

2/

JlO'O

44

BaulüUe

Es folgt nun:

1. Berechnung der Fläche A—1—2—3—4—5—6—7—B.

Abstich

Abszissen-

ditferenz

Ordinaten-

summe

A—1

6,10

15,22

92,84

1—2

30,75

19,79

608,54

2-3

16,65

49,13

818,01

3-4

41,62

113,27

4714,30

4-5

— 30,49

71,33

2174,85

5-6

55,39

30,64

1697,15

6-7

10,12

45,20

457,42

7—B

—13,62

17,18

233,99

8388,26

2408,84 = 5979,42 = 29 a 89₇₁ qm.

2. Zuteilung der Fläche F — 29 a 89,71 qm parallel zur Aufnahmelinie A B und von ihr ausgehend:

a) Berechnung der durch den nächstgelegenen Bruchpunkt C der Kopfgrenze gezogenen Parallelen CD = ax mittels Kechen-schiebers:

3,54

44,63 :17,90 =

17,96 26,67 : X 44,63

7,21 +    3,67

10,69 -j-14,36 17,90

ax = 133,18 — 3,67 = 129,51.

ß) Flächenzuteilung (nach dem Verfahren des § 31 A, a, a).

129.51

116.52 + 12,99 =

33,18

i³ j⁹ i⁵

= CD

AB

ao

ai ao

hi

1.11361

1.52088

ai ao

9.59273

5979,42 = 2F 242,69 = (a₀ + x)

a0 + X

3.77666

2.38505

2340,9

13577

ai ao

a0²

hi

. 2F

Jh__ao

hi

. 2 F.

3.36939

15918

ao² 4

a<>

hi

126,17

a0²

ai ao

hi

24.64

1.39161

y) Berechnung der zur Absteckung dienenden Kopfmasse für die neuen Eckpunkte und der zugehörigen Koordinaten (mittels Rechenschiebers).

Grenze A D

4k

44,63 :

48,09

17,90

9,42 A k 35,21 : A y 44.63

48,09 10,15    58,24

37,94    90,18

48.09

3,54

3,78 + 0,24 14,12 + 14,36 17,90

Grenze B C

16,00 :

20,42

12,68

00 -I

'cn 7^-

05

16,00

46,92 9,52    56,44

10,90 ~67^34 20.42

05 Ül

Vs

12,68

H-¹ t—> I-*

09 IO tc _co o X

To*

oo h o

Die zuweilen auftretende Aufgabe der Begradigung nur schwach gebrochener Längsgrenzen bezw. der Verlegung der alten Grenzknickpunkte auf neue Steinlinien wird am bequemsten direkt auf dem Feld und zwar ohne Ermittlung der Flächeninhalte analog der zeichnerischen Verwandlungsmethode gelöst. Das auf dem Feld natürlich undurchführbare Parallelabschieben wird dabei durch Absetzen der nach erfolgtem Einweisen zu messenden Pfeilhöhen auf der Verwandlungsbasis in gleicher Richtung ersetzt. Handelt es sich nicht um eine Geradstreckung des ganzen Verlaufs der Längsgrenze, sondern nur um Verminderung und Verlegung ihrer Knickpunkte, so werden die Grenzstrecken zwischen zwei aufeinanderfolgenden Steinlinien je für sich ausgeglichen und die dabei auf diesen sich ergebenden „Stelzen“ nach dem in Figur 170 a gezeigten Verfahren beseitigt.

Kapitel VIII.

Verwendung der Ergebnisse der staatlichen Stückvermessung

(Aufnahmemasse, Grundstückspläne und Flächenmasse) für die

Rechtspflege, die innere und die Steuerverwaltung.

§ 33. Vermessungsakten. Öffentliche Dokumente über das Eigentum an Grundstücken.

Ver-

messungs-

zweck.

Um einen zuverlässigen Massstab für eine gerechte Verteilung der Grundsteuer zu gewinnen, deren Höhe von dem erzielbaren Grundstücksertrag, d. li. von der Flächengrösse und der Bonität der Grundstücke abhängt, haben die meisten Kulturstaaten Europas seit dem Ende des 18., namentlich aber während des 19. Jahr-

hunderts zusammenhängende Vermessungen aller einzelnen Grundstücke ihrer Gebiete in Rücksicht auf deren Begrenzung und Kultur durchgeführt bezw. in Angriff genommen (Katastervermessungen). Diese Vermessungen haben nach und nach und zumal da, wo eine regelrechte Grenzvermarkung der Vermessung vorausging, eine Bedeutung auch in bezug auf die Sicherung des Eigentums an Grund und Boden erlangt, die den ursprünglichen Zweck der blossen Grundsteuerumlage weit überragt. Denn sie bilden in vielen Fällen — auch sogar da, wo die ihnen innewohnende Genauigkeit und Zuverlässigkeit an sich kaum einem weiteren, als dem ursprünglichen Zweck genügte — das einzige Hilfsmittel, um über den zur Zeit der Vermessung vorhanden gewesenen, später zum Teil verwischten Grenzverlauf Aufschluss zu geben. In dem Masse, in welchem die Erkenntnis des Werts dieser Seite der Katastervermessungen wuchs, wurden seitens der leitenden staatlichen Behörden die Vorschriften bezüglich anzuwendender Messungs- und Berechnungsmethoden und verlangter Genauigkeit den höheren Zwecken angepasst.

Eigentums

kataster.

Die neueren Katastervermessungen werden von Anfang an unter dem Gesichtspunkt ausgeführt, künftig als Grundlage eines Eigentumskatasters — des Grundbuchs — dienen zu können, dessen Beweiskraft (innerhalb kleiner unvermeidlicher und daher zu duldender Fehler) für die Flächenangaben und namentlich für den Verlauf der Eigentumsgrenzen zum Bedürfnis geworden ist. Wenn derart eine fortschreitende Entwicklung des Katastervermessungswesens den einzelnen Vermessungswerken den Stempel ihrer Entstehungszeit sowohl in Rücksicht auf Zweck als auf Methode, Genauigkeit und Zuverlässigkeit der Durchführung aufdrückt, so waren es andererseits die verschiedenartigen speziellen Bedürfnisse, wirtschaftlichen Verhältnisse und politischen Gruppierungen der einzelnen Staaten, welche der Schaffung eines gleichartigen und gleichwertigen Vermessungswerkes auch nur innerhalb Deutschlands entgegenstanden.

Innerhalb des hier zur Verfügung stehenden Raumes ist daher eine auch nur annähernd erschöpfende Behandlung der Ergebnisse der Katastervermessungen Deutschlands unmöglich.

Aufnalime-

methode.

Gemeinsam ist den verschiedenen Vermessungswerken folgendes: Als Grundlage der Aufnahmen dient ein vom Grossen ins Kleine bis zu Seiten von etwa 1 km Länge herab sich abstufendes Netz von Dreiecken (s. Kapitel 11), auf welches sich ein Netz von Polygonzügen (s. Kapitel 12) stützt. Beide zusammen bilden die Grundlage für die (nach einer der in § 17 geschilderten oder aus ihnen kombinierten Methode ausgeführte) Stückvermessung. Nun erfolgt

Kataster

pläne.

Kataster.

Grundbuch.

Kataster

fortführung.

Württem-

bergische

Kataster

vermessung.

Triangulie

rung.

die Kartierung in über das ganze Land gleichem, oder je nach der durchschnittlichen Grundstücksgrösse veränderlichem Massstab auf Plänen von bestimmtem Format mit natürlicher (Wege, Flüsse etc.), oder künstlicher (Parallele bezw. Senkrechte zur Achse der Landesvermessung) Abgrenzung. Diese Pläne (Katasterpläne) werden nach den jedem Staat eigentümlichen Vorschriften zeichnerisch ausgeführt und dann auf mechanischem, oder auf zeichnerischem Weg kopiert. Kopien sind den Interessenten zugänglich und befinden sich überdies zu allgemeiner Einsichtnahme auf den Rathäusern der Gemeinden. Jedes Einzelgrundstück erhält eine Nummer, unter welcher es samt seiner (nach Kapitel 7 ermittelten) Flächengrösse, dem Namen des Eigentümers, der Lage und Kulturbezeichnung und zwar nach der Nummernfolge (Realordnung) gemeindeweise bezw. markungsweise geordnet im Kataster (Primärkataster, Lagerbuch, Flurbuch) aufgeführt wird. Ein weiteres Buch (Grundbuch) enthält denselben Beschrieb der Grundstücke, vermehrt noch um Angaben über deren private Rechtsverhältnisse und zwar zumeist den gesamten Grundbesitz jedes der in alphabetischer Ordnung aufgeführten Besitzer im Zusammenhang umfassend. (Personalordnung.)

Überall erwies sich nach Schaffung des Vermessungswerkes dessen Fortführung (d. h. Nachtrag der im Laufe der Zeit eingetretenen Veränderungen in Buch und Plan) als notwendig, und überall ist daher ein besonderer Katasterfortführungsdienst — ganz oder teilweise staatlich — organisiert. Auf die zum Zweck der Katasterfortführung entstehenden und gesammelten Akten (Messurkunden, Handrisse etc.) wird in den Urdokumenten (Katastern) bei jedem Grundstück verwiesen, so dass jede im Lauf der Jahre eingetretene Veränderung in der Begrenzung, oder dem inneren Bestand nachgeschlagen werden kann. Die sämtlichen Grenz- und Kulturänderungen werden durch staatliche Behörden überdies in besonderen Kartenexemplaren nachgetragen.

Als spezielles Beispiel möge die Katastervermessung des Königreichs Württemberg dienen, die in verhältnismässig kurzer Zeit (1818—1840), völlig einheitlich nahezu bis ins kleinste Detail, durch geführt wurde.

Das Dreiecksnetz (s. Kapitel 11) steigt in drei ineinander eingegliederten Stufen von 75 km langen Seiten bis auf solche von 0,7 km Länge herunter und gründet sich auf eine gemessene Basis von ca. 13 km Länge (Solitude—Ludwigsburg), im übrigen aber auf Winkelbeobachtungen. Als Ursprung des rechtwinklig sphärischen Koordinatensystems, auf das die Dreieckspunkte bezogen wurden, wurde für das ganze Land (sowie für die hohenzollernschen Lande)

die Tübinger Sternwarte gewählt. Die Abszissenachse bildet (abgesehen von einer geringen, nachträglich konstatierten Abweichung) der Nordzweig des durch den Ursprung gehenden Erdmeridians.

Unter Zugrundelegung der berechneten Koordinaten für die Dreieckspunkte wurde auf dem Felde ein Netz von Linien abgesteckt, deren eine Schar senkrechte Grosskreise zum Nullmeridian (Landesvermessungsachse) in Abständen von je 4000 Fuss bilden. Die hiedurch begrenzten, von West nach Ost ziehenden Streifen heissen Schichten; sie werden mit römischen Ziffern bezeichnet und vom Ursprung aus gegen Nord und Süd je mit I anfangend gezählt.

Als zweite Schar begrenzender Linien dienen Parallelkreise zum Nullmeridian ebenfalls in gegenseitigen Abständen von je 4000 Fuss. Die hiedurch gebildeten von Süd nach Nord ziehenden Streifen heissen Nummern, sie werden mit arabischen Ziffern vom Nullmeridian nach Ost und West je mit 1 anfangend bezeichnet. Durch den Nullmeridian selbst und ihre im Ursprung errichtete Normale wird das Land in die vier „Regionen“: Nord-Ost (N.O.), Süd-Ost (S.-O.), Süd-West (S.-W.) und Nord-West (N.-W.) zerlegt (s. Fig. 176), so dass z. B. durch die Bezeichnung

Plan

begrenzung.

Fig. 176.

NW

Nord.

N.O.

12    3    4    5

N.O. XXL 12

die Lage eines durch die genannten Linien (ungefähr quadratisch) begrenzten Flächenstücks (Kartenblatts) von 4000 Fuss = 1145,69 m Länge und Breite eindeutig bestimmt ist.

IV

in

II

III

_ü.

Sternwa -te

Tübingen

■H)

Stück-

vermessung.

Zur bequemeren Benützung in den Gemeinden tragen die Pläne ausser dieser allgemeinen Landesbezeichnung noch weitere, in der nordwestlichen Ecke jeder Gemeindemarkung mit I beginnende, von West nach Ost und von Nord nach Süd fortschreitende „Gemeindekartennummern“.

Das Karten-(Messtisch)blatt bildet die Aufnahmeeinheit. Im Anschluss an seine Grenzlinien und die innerhalb liegenden, ihren Koordinaten nach bestimmten Dreieckspunkte, „Signalpunkte“, sowie nötigenfalls auf Grund weiterer mittels des Messtisches bestimmter „geometrischer Punkte“, erfolgte die Aufnahme der Grundstücke und Grundstücksteile zumeist nach der Koordinatenmethode. Die

IV

‘g

-

Bezeichnung

der

Kataster

karten.

S.W

s.o.

hiebei gewonnenen Masszahlen sind in (für jedes Kartenblatt getrennten) Feldbüchern, „Landesvermessungsbrouillons“ (die wichtigsten und der württembergischen Landesvermessung eigentümlichsten Dokumente) niedergelegt.

Kartierung.

Auch die Kartierung erfolgte nach den künstlichen Grenzen jener Abschnitte (Kartenblätter) und zwar fürs ganze Land einheitlich im Massstab 1 : 2500. (Einzelne Stadt- und Ortsgebiete wurden überdies, gleichfalls nach künstlichen, rechtwinkligen Grenzen, in grösseren Massstäben, wie 1 : 1250 oder 1 : 1000, dargestellt.) Die Pläne „Flurkarten“ enthalten sämtliche Eigentums-, Kultur- und politischen Grenzen, alle Arten von Wegen und Wasserläufen, die Zeichnung der Kulturarten, die Namen der Oberämter, Markungen und Gewände, jedoch weder Parzellnummern, noch Aufnahmemasse und werden durch Lithographie vervielfältigt. Abdrücke sind käuflich (Preis 90 Pfg.) zu haben.

Die geschilderte künstliche Begrenzung der Pläne ermöglichte neben bequemer Zusammensetzung beliebig vieler benachbarter zu einer auf grosse Flächen sich erstreckenden Karte die einfache Feststellung der auf jedem von ihnen dargestellten Gesamtfläche (4000' X 4000' = 16000000 Quadratfuss = 416-f Morgen = 416f Morgen, 16 Rth).

Sie brachte es aber mit sich, dass einzelne Grundstücke auch bei geringer Grösse durch die Kartenrandlinien in mehrere (bis zu vier) Teile zerlegt werden, deren jeder auf einer anderen „Karte“ bildlich dargestellt ist.

Flächen-

bereclinung.

Aus obengenanntem Grund erfolgte die Flächenberechnung der Grundstücke und Grundstücksteile nach Kartenblättern getrennt, und zwar wie die Aufnahme, ohne Rücksicht auf die politischen (Markungs-, Gemeinde-, Oberamts-, Kreis-) Grenzen. In der Hauptsache wurden dazu Originalmasse verwendet. Soweit dies nicht möglich war (z. B. bei Wegen, Flüssen etc.), kam das reingraphische Verfahren zur Anwendung.

Die Berechnungshefte, „Messregister“ enthalten die Beschriebe der berechneten Grundstücksteile und die Zusammenstellung zu den einzelnen Markungsanteilen sowie zur Gesamtfläche des Kartenblatts. Die (bis zu V₂⁰/₀ zulässige) Differenz gegen die Sollfläche wurde nachgewiesen aber nicht ausgeglichen.

Nume

rierung.

Die Sammlung der berechneten Flächenstücke und die Zusammenstellung zu ganzen Parzellen und Gemeindemarkungen erfolgte nach geschehener markungsweiser Numerierung (Gebäude, Feldgüter, Ortswege, Hauptstrassen, Vizinalwege, Feldwege, Flüsse, Bäche, Wassergräben und — seit deren Bestehen—Eisenbahnen je

mit 1 anfangend) in der Ordnung der Parzellnummern im „Primär-kataster“. Neben der näheren Lagebezeichnung (Kartennummer, Gewandnamen) und der Flächengrösse gibt dieses noch die Kulturart der Grundstücke und die Namen der Eigentümer an.

Kataster.

Eine Abschrift des Primärkatasters, sowie des Verzeichnisses der trig. Signalpunkte samt Übersichtsplan und — soweit die Gemeinden hiefür die Mittel bewilligten — auch der Landesvermessungs-brouillons, sowie je eines Exemplars der mit Parzellennummern versehenen (und durch den Bezirksgeometer auf dem neuesten Stand erhaltenen) Flurkartenabdrücke befindet sich auf den Ortsregistraturen, die Originalakten der Landesvermessung samt den lithographischen Steinen dagegen in der Obhut des Königlichen Katasterbureaus in Stuttgart.

Katasterfortführung.

Mess-urkunclen über Veränderungen.

Im Falle eintretender Veränderungen in der Benützungsart oder Begrenzung von Grundstücken sind die Grundeigentümer gehalten, durch verpflichtete Geometer (Katastergeometer) Messurkunden und Handrisse darüber fertigen zu lassen, welche sich auf die Landesvermessungsdokumente, oder auf die seit der Landesvermessung bereits gelieferten Messurkunden stützen und welche zur alljährlichen Ergänzung eines bei der Bezirksgeometerstelle befindlichen Kartenexemplars (Ergänzungskarte) dienen. Die Gemeinden lassen Erg^™gs‘ ihr Exemplar von Flurkartenabdrücken hienach ebenfalls alljährlich ergänzen.

Mess-

urkunden-

bände.

Die Messurkunden samt Handrissen werden in besonderen, jahrgangweise abgeschlossenen „Messurkundenbänden“ gesammelt, die in der betreffenden Gemeinderegistratur aufbewahrt werden.

Auf sie wird in der Primärkatasterabschrift, wie im Eigentumskataster (Grundbuch) und im Steuerbuch verwiesen.

Ausser den bereits genannten Akten (Primärkataster, Flurkarten, Verzeichnis der Signal-, der trigonometrischen und der polygonometrischen Punkte, Abschriften der Landesvermessungs-brouillons, Messurkundenbände) enthält jede Ortsregistratur noch folgende Dokumente der Katastervermessung:

1. Den Ergänzungsband Teil I, enthaltend den buch- Ergänzung*-mässigen Beschrieb der auf der betreffenden Markung vom Zeitpunkt des Abschlusses der S. 267—268 berührten Aufnahmen bis zum 1. Juli 1840 (dem Schlusstermin für die Landesvermessung im ganzen) vor sich gegangenen Änderungen in der Bodeneinteilung und -Benützung. — Die zugehörigen, von staatlichen Geometern ge-

führten Originalfeldbücher samt Flächenberechnungen befinden sich in einem besonderen Band, dem „Ergänzungsbrouillon“.

Änderungs

protokoll.

2.    Den Ergänzungsband Teil II, enthaltend den bucli-mässigen Beschrieb der zwischen dem 1. Juli 1840 und dem 1. Juli 1849 vor sich gegangenen Veränderungen. — Die zugehörigen, von Privatgeometern beigebrachten Handrisse und Messurkunden sind in einem besonderen Band (Messurkundenband pro 1840/49) vereinigt, gelten nur als Beilagen zum Ergänzungsband II und sind nicht jahrgangsweise abgeschlossen.

3.    Das Änderungsprotokoll zum Primärkataster (bis zum Jahr 1900 „Güterbuchsprotokoll“), in welchem der Batschreiber die zur Kenntnis der Gemeindebehörden kommenden Veränderungen an der Begrenzung, oder dem inneren Bestand der Grundstücke in der Keihenfolge des Anfalls notiert und welches alljährlich abgeschlossen wird. Die erfolgte Berücksichtigung der auf Grund des Eintrags im Änderungsprotokoll von den Beteiligten beigebrachten Messurkunden in den Ergänzungskarten, dem Primärkataster und dem Steuerburch, sowie die erfolgte Vermarkung der neu entstandenen Eigentumsgrenzen wird teils im Messurkundenband und auf den einzelnen Messurkunden, teils im Änderungsprotokoll von den betreffenden Beamten beurkundet.

Öffentliche Dokumente über das Eigentum an Grundstücken.

Auf Grund der genannten Akten der Landes- (Kataster-) Vermessung wurden das Grundeigentumskataster „Grundbuch“ und das Steuerbuch, auf Grund der Katasterkarten und der wasserrechtlichen Konzessionen das Wasserrechtsbuch angelegt.

Grundbuch.

Die Anlage und Führung des Grundbuchs ist geordnet durch das Bürgerliche Gesetzbuch und die Grundbuchordnung (Beichs-gesetz vom 18. Aug. 1896, Landesgesetz vom 28. Juli 1899, Königl. Verordnung vom 30. Juli 1899 und Verfügung des Justizministeriums vom 2. Sept. 1899). In jeder Gemeinde Württembergs ist ein Grundbuchamt errichtet und es bildet der Gemeindebezirk zugleich den Grundbuchamtsbezirk. Das Grundbuchamt wird hier in der Begel von dem Bezirksnotar verwaltet, zu dessen Bezirk die betreffende Gemeinde gehört.

Hinsichtlich exemter standesherrlicher und ritterschaftlicher Güter ist das Amtsgericht, in dessen Bezirk das betreffende Gut liegt, als Grundbuchamt bestellt.

Das Grundbuchsystem dient dem Immobiliarsachenrecht als Grundlage. Alle Grundstücke, soweit nicht gewisse Kategorien vom Gesetz ausgenommen sind (Grundstücke des Königs und anderer

Landesherren, der Bundesstaaten, des Reichs, der bürgerlichen Gemeinden, der Kirchengemeinden und der Amtskorporationen, sowie die öffentlichen Wege und Gewässer etc.), sind dem Buchzwang unterworfen.

Jedes dem Buchzwang unterliegende Grundstück erhält im Grundbuch eine besondere Stelle, das Grundbuchblatt des betreffenden Grundstücks. Die an jedem einzelnen Grundstück bestehenden Rechte Privater werden durch das Grundbuch nachgewiesen. Die Erwerbung dieser Rechte ist für die Regel von der Eintragung des Inhalts der vor einem Notar abzuschliessenden Rechtsgeschäfte im Grundbuch abhängig.

Zu Gunsten desjenigen, welcher ein Recht an einem Grundstück, oder ein Recht an einem solchen Recht durch Rechtsgeschäft in gutem Glauben erwirbt, gilt der Inhalt des Grundbuchs als richtig (öffentlicher Glaube des Grundbuchs). Auf die Angaben über Lage und Grösse des Grundstücks, welche ausschliesslich dem in den verschiedenen Teilen des deutschen Reichs sehr verschiedenwertigen Katastervermessungswerk entnommen sind, erstreckt sich der öffentliche Glaube des Grundbuchs (infolge jener Verschieden-wertigkeit) jedoch allgemein nicht.

Das Grundbuch besteht aus den einzelnen (nach dem Personalformular geführten gemeinschaftlichen) Grundbuchheften, bezw. den (nur ein Grundstück enthaltenden, nach dem Realformular geführten) Grundbuchblättern.

Das beinahe ausnahmslos gebräuchliche Personalformular enthält einen Titel und drei Abteilungen.

Eingetragen werden:

a)    auf dem Titel: die Person des Eigentümers mit Name, Stand oder Gewerbe und Wohnort;

b)    in Abt. I: die Beschreibung nach Parzellennummer, Lage, Grösse und Kulturart der selbständigen Grundstücke, welche dem auf dem Titel eingetragenen Eigentümer gehören;

c)    in Abt. II: privatrechtliche Lasten und Beschränkungen des Eigentums, wie Dienstbarkeiten, Vorkaufsrechte, Reallasten u. s. w. *)

d)    in Abt. III: Hypotheken, Grund- und Rentenschulden.

Bei dem Realformular fällt die Bezeichnung des Eigentümers auf dem Titel weg. An ihre Stelle tritt diejenige der Parzellen-

x) Über öffentlich rechtliche Lasten und Beschränkungen des Grundeigentums gibt das Grundbuch keinen Aufschluss. Soweit solche überhaupt registriert sind, müssen andere Bücher (Baulastenbuch, Reversbuch, Vormerkungsbuch) zu Rate gezogen werden.

nummer. Abt. I enthält hier eine weitere Spalte zur Bezeichnung des Eigentümers. Im übrigen ist die Einrichtung dieselbe, wie bei dem Personalformular.

Die Eintragungen in das Grundbuch erfolgen für die Kegel nicht von Amtswegen, sondern nur auf Antrag derjenigen Person, deren Recht von der Eintragung betroffen wird, oder zu deren Gunsten die Eintragung erfolgen soll.

Zu dem nach der Personalordnung geführten Grundbuch gehört ein Parzellen- und ein Namenverzeichnis; zu dem nach der Realordnung geführten ein alphabetisches Namensregister. In diesen ist das Grundbuchheft (bezw. -Blatt) bezeichnet, in dem das Grundstück aufgeführt ist, bezw. es sind die Nummern der Grundstücke zusammengestellt, welche dem einzelnen Eigentümer gehören.

Interessenten ist die Einsichtnahme des Grundbuchs gestattet.

Wasser

rechtsbuch.

Auf Grund des Gesetzes vom 1. Dezember 1900 über die Benützung der öffentlichen Gewässer und nach den Verfügungen des Kgl. Minist, d. Innern vom 4. bis 12. Nov. 1901 Reg.-Blatt Nr. 28 wurden Wasserrechtsbücher eingeführt, welche den Zweck haben:

1. die sämtlichen neu entstehenden, wie auch die bei Schaffung des Gesetzes bereits vorhanden gewesenen Rechtsverhältnisse an den öffentlichen Gewässern festzustellen und durch Registrierung gegen unbefugte Eingriffe Dritter zu schützen; 2. eine rationelle und möglichst-ausgedehnte Wasserbenützung durch Landwirtschaft und Industrie zu fördern; 3. eine sachgemässe Handhabung der Wasserpolizei zu ermöglichen und 4. Wasserstreitigkeiten künftig tunlichst vorzubeugen. In das Wasserrechtsbuch müssen alle, die Benützung der öffentlichen Gewässer betreffenden Rechtsverhältnisse eingetragen werden, welche nach Inkrafttreten des Gesetzes unter Mitwirkung der Behörden neu begründet, oder hinsichtlich ihres Bestands oder Umfangs geordnet werden. Die zum genannten Zeitpunkt bereits bestandenen Rechtsverhältnisse sollen in das Wasserrechtsbuch eingetragen werden und zwar bei denjenigen Nutzungsrechten, über deren Bestand und Umfang öffentliche Urkunden (z. B. Konzessionsurkunden) bei den Kreisregierungen vorliegen, von Amtswegen nach vorgängiger Vernehmung der Beteiligten, bei den übrigen nach Beibringung der bezüglichen Beweise, zunächst nur auf Antrag der Beteiligten.

Der letzteren Einschränkung wegen vorerst nur als Vormerkbücher und Beweisurkunden für die in ihnen eingetragenen Rechtsverhältnisse dienend und der ausschliessenden Beweiskraft

gegenüber nicht eingetragenen Rechten entbehrend, werden die Wasserrechtsbücher bei den vier Kreisregierungen des Landes und

zwar je von einem technischen und einem administrativen Mitglied, nach Oberamtsbezirken getrennt, geführt.

Innerhalb jedes Oberamtsbezirks zerfallen sie in fünf Teile:

1.    Das T-Buch für „Triebwerke“ mit oder ohne Stauanlagen.

2.    Das E-Bucli für „Entnahme“ von Wasser mittels einer bleibenden Vorrichtung mit oder ohne Stauanlage.

3.    Das B-Buch für „Brücken“, Stege, Führten, Fähren etc.

4.    Das F-Buch für „Flussbau“ (Rechtsverhältnisse, die sich auf die Uferlinien, die Uferbaulast und die Reinigungspflicht beziehen, oder die Unterhaltung der Schutzvorkehrungen gegen Hochwasserschaden bezwecken).

5.    Das S-Buch für „Sonstiges“ (allgemeine Bezirksvorschriften und Gemeindesatzungen).

Jedem der fünf Bücher eines Oberamtsbezirks ist eine Beilagensammlung, eine Inhaltsübersicht und ein Übersichtsplan (Katasterplan) beigegeben.

Jedes eingetragene Rechtsverhältnis erhält eine innerhalb jedes Oberamts und jeder Rechtsart gesonderte Nummer (z. B. Oberamt Ulm, T Nr. 115).

Jedes Oberamt besitzt eine beglaubigte Abschrift der Einträge seines Bezirks.

Die Einsichtnahme bei der Kreisregierung und dem Oberamt ist jedem Interessenten gestattet, auch werden beglaubigte Abschriften auf Verlangen gegen Kostenersatz ausgefolgt.

Steuerbuch.

Das Steuerbuch. Nach dem Steuergesetz vom 28. August 1873 bezw. 8. August 1903 bildet jede Markung einen besonderen Steuerdistrikt. Für jeden Steuerdistrikt ist ein Verzeichnis — „das Steuerbuch“ — angelegt, worin die zur Entrichtung von Grund-, Gefäll- oder Gebäudesteuer verpflichteten Personen und deren steuerbarer Besitz in alphabetischer Reihenfolge (Personalordnung) beschrieben sind (Verfügung des Finanzministeriums vom 18. Januar 1900, Reg.-Bl. Nr. 5).

zum

Die Steuerbuchführung liegt für die Regel dem Ratschreiber ob. Wer ein steuerbares Grundstück, Gefäll oder Gebäude erwirbt hat hievon vor dem 15. Januar des auf die Erwerbung folgenden Jahres dem Ortsvorsteher Anzeige zu erstatten. Tritt eine sachliche Änderung an einem steuerbaren Objekt ein, so muss die Anzeige hierüber ebenfalls dem Ortsvorsteher spätestens bis 15. Januar des auf die Änderung folgenden Jahres gemacht werden. Die Gerichte, Grundbuchbeamten und öffentlichen Notare, sowie

die an der Fortführung des Steuerbuchs nicht beteiligten Gemeindeweitbrecht, Vermessungskunde.

beamten sind verpflichtet, die zum Zwecke der Steuerbuchführung erforderliche Hilfe zu leisten. Deshalb ist namentlich angeordnet, dass die Grundbuchbeamten den Steuerbuchführern periodisch schriftliche Mitteilungen über die in das Grundbuch eingetragenen Veränderungen des Eigentums an Grundstücken (einschliesslich der Gebäude) zu machen haben.

Die Fortführung des Steuerbuchs erfolgt in der Weise, dass die Anfallenden Änderungen in der Steuerpflicht auf den 1. Januar jeden Jahres nachgetragen werden. Der Steuerpflichtige wird nach Name, Stand und Wohnort bezeichnet, sodann die Gebäude, hierauf die Gefälle und endlich die Grundstücke aufgeführt. Je am Schluss der einzelnen Steuergattung wird ein entsprechender Raum offen gelassen für späteren Nachtrag neu erworbener Steuerobjekte.

Die Beschreibung der Steuergegenstände umfasst:

Nummer der Markungskarte und der Parzelle oder des Gebäudes; Lage und Kulturart des Objekts; das Flächenmass. Ferner bei Gebäuden sowohl den Steueranschlag (Kapitalwert) als auch die steuerbare 3°/₀ige Rente dieses Anschlags, bei Grundstücken und Gefällen das Steuerkapital.

Zum Steuerbuch gehört ein alphabetisches Namensverzeichnis der Steuerpflichtigen mit Angabe des Bandes und der Seite des Steuerbuchs, wo sich deren Eintrag findet.

Interessenten ist die Einsichtnahme des Steuerbuchs gestattet.

Abschnitt III.

Schaffung, bezw. Sicherung und Verfeinerung des Zusammenhangs ausgedehnter Stückvermessungen.

Kapitel IX.

Winkelmessinstrumente mit Fernrohren.

A. Zubehörden.

§ 34. Stative    •

sind Gestelle, mittelst welcher Instrumente vertikal über einem auf dem Boden gegebenen Punkt in eine für den Gebrauch bequeme Höhe gebracht werden.

Dieselben lassen sich einteilen in:

Stockstativ.

1. Stockstative, Stäbe aus Holz oder Metallröhren (Mannes-mannröhren), ca. 1,5 m lang, 3—4 cm stark, unten endigend in einer gehärteten Spitze, oben in einem Schraubengewinde oder einer Bohrung bezw. einem Prisma zur Befestigung des mit einem Muttergewinde oder mit Metallkugel, bezw. Hülse versehenen Instrumententeils.

Stockstative eignen sich nur bei Verwendung in weichem Boden und für die Befestigung von Instrumenten, welche durch Stoss nicht .notleiden, bezw. gegen dessen schädliche Folgen durch Verstärkungsplatten, eiserne Rippen etc. geschützt werden können (Kreuzscheiben etc.).

2. Dreibeinige Stative (Dreifiisse).

a)    Das Zapfenstativ, Fig. 177, besteht aus einem zylin- zs^tf®"; drischen Kopfstück, das nach unten in ein dreiseitiges Prisma endigt.

Fig. 177.

Gegen die Seitenflächen des letzteren werden beim Gebrauch die drei, an der betreffenden Stelle eben gearbeiteten, unten in eiserne Spitzen auslaufenden Stativbeine mittelst je einer Flügelschraube gepresst.

Das Instrument, zu dessen Aufstellung das Zapfenstativ dienen soll, muss in einer zylindrischen Hülse endigen, welche über den Zapfen gestreift und in ihrer Lage durch eine zentral wirkende Schraube erhalten wird. Das Zapfenstativ ist in Rücksicht auf die wenig sichere Befestigung des Instruments, den kurzen, der

Horizontaldrehung entgegenwirkenden Hebelarm und den geringen Widerstand der Stativbeine gegen seitliche Biegung nur verwendbar für Instrumente, bei denen eine geringe unbeabsichtigte Drehung in horizontalem Sinn unschädlich ist (Nivellierinstrumente). Dagegen ist es für den Transport bequemer, als

Scheiben

stativ.

b)    Das Scheibenstativ, Fig. 178, bei welchem das zylindrische Kopfstück des Zapfenstativs durch eine ebene (hölzerne oder metallene Platte ersetzt wird. Diese läuft aus in drei Ansätze, gegen welche während der Benützung die gabelförmig gespaltenen Stativbeine durch Flügelschrauben gepresst werden. Weniger zweckmässig, schon weil dem Aufsetzen des Instruments hinderlich, ist die Befestigung der Stativ-füsse durch Schrauhenbolzen, welche die Stativplatte von oben senkrecht durchdringen und unten in Ösen endigen zum Festhalten des Querholzens der Stativ-füsse; (ältere Konstruktion).

Für magnetische Beobachtungen müssen die metallenen Stativbestandteile, welche, falls sie aus Eisen wären, die Richtung der Magnetnadel beeinflussen könnten, aus anderem Material, etwa Messing, hergestellt werden.

Das Scheibenstativ gewährt im Vergleich zum Zapfenstativ eine grössere Sicherheit sowohl gegen Verbiegung der Stativbeine

Fig. 178.

vV

Befestigung des Instruments auf dem Stativ.

,\v

während der Benützung, als gegen horizontaleDrehung der Platte. Letztere istzylindrisch durchbohrt (je weiter die Bohrung, um so grösser die Verschiebungsmöglichkeit desInstruments auf dem Stativ für dessen genaue Zentrierung vertikal über einem Bodenpunkt). Zum Zweck der Befestigung des Instruments auf dem Stativ, zur Sicherung gegen dessen Drehung während der Benützung (oder gegen das Herabfallen heim Transport), sowie zur Erzielung zentrischer Aufstellung über gegebenen Punkten (Zentrierung des Instruments) ist das Stativ mit einer der folgenden Einrichtungen versehen (die man ebensogut als Teil des Instruments, wie des Stativs ansehen kann):

a) Die Schraubenstange oder Zentralschraube (s.Fig. 178), welche unten in einem Haken zum Anhängen des Senkels, oben in einem Muttergewinde endigt, das sich in den, durch die Bohrung der Stativplatte durchtretenden, mit Gewindeteil versehenen vertikal nach unten gerichteten Instrumententeil (Fussgestellachse, Stellachse, Vertikalachse) einschrauben lässt. Dabei nimmt die Schraubenstange die Richtung des letzteren an. Die Pressung des Instruments gegen die Stativplatte wird bewirkt durch eine, gegen letztere von unten drückende Spiral- oder Blattfeder, welche auf einer Halteschraube ruht. Wird die Schraubenstange aus einer ausziehbaren, unten mit Spitze und Trittgabel versehenen Röhre hergestellt, so tritt diese an die Stelle des Senkels und man hat durch Verbindung mit einer Dosenlibelle das von Mechaniker Meissner-Berlin empfohlene starre Lot (s. § 82).

ß) Der Stengelhaken (s. Fig. 179) wird nicht, wie die Zentralschraube, an einem Fortsatz der Fussgestellachse angeschraubt, sondern in eine Öse des letzteren eingehängt. Er nimmt daher nicht die Richtung dieser Fussgestellachse an, sondern hängt, wenn die Halteschraube und die Feder lose sind, selbsttätig vertikal. Bei angezogener Halteschraube kann der Stengelhaken, an dessen

unterem hakenförmigem Ende der Senkel befestigt wird, eine von der Vertikalen sowohl, als von der Fussgestellachse abweichende Richtung annehmen, der Lotpunkt entspricht also bei angezogener

Fig. 179.

pp|2

I; Cr

t-''I

'H

Feder möglicherweise nicht der Stellachse des Instruments und darf daher in diesem Zustande wieder angezielt, noch als Ablesepunkt an Stelle dieser Achse benützt werden.

Bei Schraubenstange und Stengelhaken wird durch das Anziehen der Halteschraube H ein Druck auf die Fussgestellschrauben G des Instruments ausgeübt, der ihre Benützung erschwert und sie möglicherweise beschädigt.

Auch verursachen Verbiegungen der Schraubenstange Zentrierungsfehler in der Instrumentenaufstellung. Endlich bewirkt jede nach erfolgter Instrumentenzentrierung mittelst der Stellschrauben G noch bewirkte Änderung der Stellachsenrichtung (nachträgliche Horizontierung) eine um so grössere Verschwenkung des Senkelaufhängepunkts und damit die Notwendigkeit neuer Zentrierung, je grösser die Vertikalentfernung dieses Aufhängepunkts von der Angriffsebene der Fussgestellschrauben ist.

Diesen Nachteilen begegnet die Ersetzung der Einrichtungen (a und ß) durch

y) einen mit Schrauben-Gewinde ausgestatteten Metallzylinder P', der in eine als Trägerin des Fussgestells dienende Metallplatte P eingeschraubt, die Stativplatte zwischen letztere und sich starr hereinpresst (s. Fig. 180).

Hier erfolgt die Senkelaufhängung im Punkt A, der, weil ungefähr in der Höhe der Angriffsebene der Fussgestellschrauben

Fig. 180.

Jf'

is

liegend, seine Lage bei nachträglicher Instrumentenhorizontierung nicht ändert. (Über den gegen diesen Vorzug eingetauschten Nachteil vergl. übrigens § 38.)

§ 35. Glaslinsen.

Das Sehen mit freiem Auge.

Wenn Lichtstrahlen, die von leuchtenden Gegenständen ausgehen, das menschliche Auge treffen, so erzeugt dieses mit Hilfe seines lichtbrechenden Apparats (Kristall-Linse etc.) Reizungen der Netzhaut, welche die letztere als „Bild“ der betr. Gegenstände dem Gehirn übermittelt.

Bei wechselnder Gegenstandsentfernung und Lichtstärke verändern sich die Krümmungs- und Lageverhältnisse der Kristalllinse und erweitert, bezw. verengert sich die Eintrittsöffnung für die Lichtstrahlen (Pupille) ohne bewusste Arbeit des Menschen derart, dass die Reizungsstelle gerade in der Tiefe der Netzhaut liegt, und dass die zur Erzeugung deutlicher Bilder nötige Lichtmenge eindringt: „ Anpassung “ („ Akkommodation “). Das Auge vermag derart

nach einander Gegenstände in sehr verschiedener Entfernung deutlich wahrzunehmen, dagegen gelingt ihm deren gleichzeitige Beobachtung nicht. (Bei Beobachtungen entfernter Punkte durch Fadenoder Schlitzdiopter wird weder der Faden noch der Schlitz als solcher betrachtet. Vielmehr dienen diese Einrichtungen lediglich dazu, Sehstrahlen in gewissen Bichtungen unmöglich zu machen oder zu begrenzen. Damit erledigt sich der scheinbare Widerspruch gegen obige Feststellung). Auch erstreckt sich die Anpassungsfähigkeit wohl auf sehr grosse, nicht aber auf abnorm kleine Entfernungen. Man erhält die deutlichsten Bilder, wenn sich die beobachteten Gegenstände in der für das betreffende Auge richtigen Entfernung, „der günstigsten oder deutlichen Sehweite“ befinden. Die letztere beträgt für normale Augen 20 bis 25 cm, schwankt aber bei Kurz-, bezw. Weitsichtigen etwa zwischen 10 und 50 cm. (Durch Tragen passender Brillen kann man diesen Unterschied aufheben.)

Von der Schärfe der auf der Netzhaut erzeugten Bilder hängt neben anderen Einflüssen (s. S. 92) die Genauigkeit ab, mit der sich kleine Richtungsunterschiede der Sehstrahlen nach entfernten Punkten feststellen lassen (Zielgenauigkeit). (Durch Ortsveränderungen der Zielpunkte herbeigeführte Richtungsunterschiede werden während der und durch die die Änderung erzeugende Bewegung leichter wahrgenommen, als wenn die Zielpunkte in Ruhe sind. Dies gehört jedoch nicht hierher.)

Für feinere Arbeiten reicht die mit freiem Auge mögliche Zielgenauigkeit nicht aus. Die Ortsveränderung eines 1 km entfernten Punktes um 1 cm J_ zur Zielrichtung bedingt z. B. eine

Richtungsänderung von nur -jöoooo ~ ^ a^so von 5 ^stV ^er unter

günstigsten Umständen mit freiem Auge noch erreichbaren Zielgenauigkeit. (Vergleiche S. 92.)

Zweck und Form der Glaslinsen.

Zu ihrer Steigerung verwendet man Glaslinsen, d. h. Glaskörper, welche durch zwei Kugelflächen begrenzt sind.

Haben diese Grenzflächen eine solche Lage zueinander, dass der Glaskörper in der Mitte dicker wird, als aussen, so heisst die Linse: „Konvex- oder Sammellinse“, wird die Linse gegen aussen dicker, so heisst sie: „Konkav- oder Zerstreuungslinse“. Im folgenden wird in der Hauptsache nur von den ersteren die Rede sein. Die Verbindungslinie beider Kugelmittelpunkte heisst „Achse“, ihr in den Glaskörper fallendes Stück: „Dicke“ der Linse. Der Durchmesser des Schnittkreises von Sammellinsen heisst deren „Öffnung“.

Wirkung der Glaslinsen.

Beim Durchgang durch eine Glaslinse wird die Richtung eines Lichtstrahls i. a. geändert, denn es entsteht bei den kugeligen Grenzflächen in denjenigen Punkten, in denen er die Linse trifft, bezw. verlässt, genau dieselbe Lichtbrechung, wie beim Glasprisma Mittelpunkt. (s> § •*)• An die Stelle der Prismenflächen in § 9 treten hier die in den beiden Treffpunkten an die Kugelflächen gedachten Berührungsebenen. Sind die letzteren (also auch die Radien nach den Treffpunkten) einander parallel gerichtet (s. E in Fig. 181), so erleidet der Lichtstrahl keine Brechung, sondern nur eine mit der - — Divergenz zwischen Lichtstrahl und Achse wachsende, bei der geringen Linsendicke aber nur unbedeutende Parallelverschiebung.

Es ist geometrisch klar, dass sämtliche Verbindungslinien von Endpunkten E paralleler Radien sich in einem Punkt 0 schneiden. Dieser Punkt, durch den also alle Lichtstrahlen gehen, welche beim Durchgang durch die Linse keine Richtungsänderung erleiden, heisst deren „optischer Mittelpunkt“. Seine Lage auf der Achse ergibt sich aus der Proportion

Fig. 181.

§LX-&-

Et

>'

W\

mm

Mj Es: Mx 0 = M₂ E₄ : M₂ 0 d. h.

Mx Sx: Mx 0 = M₂ S₂: M₂ 0 Mx Sx : (Mx Sx — Mx 0) = M₂ S₂: (M₂ S₂ - M₂ 0) rx : 0 Sx

= r₂: 0 S₂ oder: 0 Sx : 0 S₂ = rx : r₂

d. h. der optische Mittelpunkt teilt die Linsendicke im Verhältnis

eine andere

der Kugelhalbmesser. Je

kleiner

grösser

der

Kugelradius ist, um so

liegt der optische Mittelpunkt der zugehörigen Schlifffläche. Bei

näher entfernter plan-konvexen konkav-konvexen

Fig. 181a.

Linsen liegt er

auf

der

jenseits

stärker gekrümmten Fläche (s. Fig. 181 a).

Neben dieser strahlen-

— o.

• — -„o

brechenden Wirkung hat -2. _.    die Glaslinse noch die

Eigenschaft, alle von einem leuchtenden Punkt ausgehenden, durch sie durchtretenden Lichtstrahlen

derart zu brechen, dass sie sich wieder in einem Punkt vereinigen, dort ein Bild des ersteren erzeugend.

Um den Ort des Bildes zu finden, denken wir uns zunächst den Glaskörper so dick, dass ein von P ausgehender Lichtstrahl die Linse in Ax und nach erfolgter Ablenkung die Achse noch innerhalb des Glases in Pi trifft (s. Fig. 182).

Man erhält dann unter Beschränkung auf sehr kleinen Winkel ex zwischen Achse und Lichtstrahl

im Dreieck P Ax Mx:

Ort des Bildes.

Fig. 182.

sin (2R — aj

sin

Yi

p.

Mx Ax Pi :

sin /?!

sin (2R — yx)

_ PMi D+j^ “ PA," D __ M.P, dj — rt -^i 1*1_⁽h

Durch Division wird: S?n <^ ^

sm ßx D (dx — rx)

Es ist aber nach dem Lichtbrechungsgesetze auch

— fi *), woraus

sin ax ’ sin ßx

ff(Ddx — D rj •>- D dj -|- d: rx oder durch Division mit D d: i^

(I)

~lh

Für einen bestimmten Schliffradius ^ und eine bestimmte Gegenstandsweite D ist also dx innerhalb des Geltungsbereichs der vorstehend vorgenommenen Vernachlässigungen konstant, d. h. sämtliche unter kleinem Winkel ex von P ausgehenden und in die Glaslinse eintretenden Lichtstrahlen werden beim Eintritt in letztere so gebrochen, dass sie durch denselben Punkt Pj gehen.

So dick, dass der ganze geschilderte Vorgang in der Linse sich abspielen könnte, ist diese nun aber nicht.

Fig. 182 a.

'jj—    —    —

Bevor der im bisherigen verfolgte Lichtstrahl den Punkt Pj erreicht, verlässt er den Glaskörper wieder in A₂ (siehe Fig. 182 a) und wird hiebei ein -zweites Mal gebrochen, so <-dass er die Achse in iß (statt in P.) trifft (s. Fig. 182 a).

Nun liefern die Dreiecke M₂ A₂ Px bezw. M₂ A₂ iß

M₂ Px r₂ + d₂

sin (2 R —■ ß₂)

sin y₂

und

M₂ iß

i’₂ + d

sin (2 R — a₂)

_•    sin y₂

x) Der „Brechungskoeffizient“ [i ist eine von dem Dichtigkeitsverhältnis der beiden vom Lichtstrahl durcheilten Materien abhängige Konstante.

Ao iß

Durch Division kommt unter Beachtung des Brechungsgesetzes:

sin ßa sin a₂

¹ ^ (r₂ + dg) d

'*'■ (*2 + d)V

woraus durch Ausmultiplikation und Division mit d d₂ r₂

(ii)

* (“C + ir) ~

*2

Wie zuvor dt für eine bestimmte Krümmung r, nur von der Gegenstandsweite D ahhing, also alle von P ausgehenden Strahlen sich in Px trafen, so hängt auch nach Gleichung II die Entfernung d nur ab von der hinteren Linsenkrümmung r₂ und der für alle von P ausgehenden Strahlen als unveränderlich erkannten Strecke d₂ = (dj — Linsendicke). Alle von P (Fig. 182) durch die Linse gesandten Lichtstrahlen treffen also die Achse in iß (Fig. 182a).

Addiert man (I) und (II) und vernachlässigt die Linsendicke (setzt also (ff = d₂), so erhält man

Brennweite.

(III a)

'*(i+--)~i+4+F+

TT +“T ~ ⁽^~ 1} ("TT ⁺ ~h)’

T—I

r₂ ’

oder

Die rechte Seite enthält nur konstante Grössen. Wir können sie daher zusammenfassen und etwa durch

ersetzen. Dann erhalten wir

die Grundgleichung der Linsentheorie:

(III)

Versuche ergehen, dass im gemeinsamen Strahlenschnittpunkt $P ein „Bild“ des Strahlen aussendenden Punktes P entsteht, dessen Entfernung d von der zugekehrten Linsenfläche, oder (unter Vernachlässigung kleiner Ungenauigkeiten) vom optischen Mittelpunkt, bezw. von der zugehörigen „Hauptebene“ (vergl. S. 285) man seine „Bildweite“ heisst.

Um f zu deuten, setzen wir in (III) die Gegenstandsweite D = go , und die Summe der Krümmungshalbmesser (ri -f- r₂) = m.

Damit wird die Bildweite d = f, und

(IV) f =

i'i • r₂

({* — 1) (rt + r₂) {p — l)m’

o*-«(i+i)

Wir erkennen: Die Konstante f ist die Bildweite d eines unendlich fernen leuchtenden Punktes, oder die „Brennweite“ der Linse. Der Bildpunkt F (s. Fig. 183 a) des unendlich fernen Punktes P" der Achse heisst „Brennpunkt“ der Linse. Jede Linse hat zwei Brennpunkte, deren Entfernungen vom optischen Mittelpunkt, bezw. von den Hauptebenen nach Gleichung IV unabhängig von etwaiger Verschiedenheit der Schliffhalbmesser der beiden Linsenflächen beiderseits gleich sind.

Für den Brechungskoeffizienten fi = 1,5 wird die Brennweite , d. h. für l’i = r₂ wird f = rx = r₂

i'i

r2

00    „ f = 2 r₂.

Die Grundgleichung (III) ist im vorhergehenden zunächst nur für leuchtende Punkte auf der Achse der Linse abgeleitet. Sie gilt aber auch für Punkte in der Nähe der Achse, d. h. für kleine Gegenstände. Ja für solche Punkte P ausserhalb der Achse lässt sich auf Grund der festgestellten Tatsache, dass sämtliche

Fig. 183.

Wi

>*-

-D

von ihnen ausgehende Strahlen sich wieder in einem Punkt schneiden und dort ein Bild von P erzeugen, die Lage dieses Bildpunktes sogar bequemer konstruieren, als für Achspunkted^rei^™ndges selbst, sobald wir den Weg von zweien der Strahlen zu zeichnen Bildes> vermögen.

Letzteres gelingt 1. von dem durch den optischen Mittelpunkt 0 gehenden Strahl P 0, der geradlinig durchläuft (wenn man die kleine Parallelverschiebung vernachlässigt, welche der Durchgang durch die Linse verursacht) und 2. von dem parallel zur Achse einfallenden Strahl, der gedeutet werden kann, als herkommend vom oo fernen Punkt der Achse und der daher durch den hinteren Linsenbrennpunkt F geht (s. Fig. 183). Der Bildpunkt des leuchtenden Punktes P ist somit ^3 und umgekehrt ist P der Bildpunkt eines leuchtenden Punktes s$. Die beiden zur Konstruktion benützten Strahlen heissen „Hauptstrahlen“.

Das angegebene Konstruktionsverfahren versagt nun allerdings, wenn, wie es die Regel sein wird, der leuchtende Punkt einen Abstand a von der Achse hat, welcher die halbe Linsenöffnung übersteigt. Denn in diesem Fall trifft der parallel zur Achse kommende Lichtstrahl die Linse überhaupt nicht. Die Schwierigkeit lässt sich aber zunächst für einen oo fernen leuchtenden Punkt P' (s. Fig. 183 a) überwinden, wenn man beachtet, dass sein Bild iß' offenbar ebenfalls in der Entfernung der Brennweite f vom optischen Mittelpunkt der Linse,

Haupt-

ebenen.

sodann aber auch auf dem von P' ausgehenden Hauptstrahl durch den optischen Mittelpunkt liegen muss. Es entsteht also im Schnittpunkt dieses Hauptstrahls mit einer durch den hinteren Brennpunkt F gehenden Kugelfläche, die sich genähert

senkrechte

Fig. 183 a.

eine

p/*

n\

's.

CL

durch

Ebene, die „Brennebene“ ersetzen lässt. Wäre iß' der leuchtende Punkt und P' sein Bild, so läge dieses auch auf dem von iß' zunächst parallel zur Achse ausgesandten, und dann durch den vorderen Linsen

brennpunkt F, gehenden Parallelstrahl zu pO. Folglich liegt umgekehrt das Bild iß' auch auf dem parallel zu P' 0 einfallenden, durch den vorderen Brennpunkt F,, und alsdann, nach erfolgter Brechung durch die Linse, parallel zu deren Achse gehenden Strahl, einem dritten geometrischen Ort. Wir erkennen daraus: jenseits der Linse lassen sich Hauptstrahlen parallel zur Achse auch zu stark divergierenden Strahlen durch Benützung des vorderen Brennpunktes Fj zeichnen und zur Konstruktion des Bildpunktes iß'x eines nicht in unendlicher Ferne befindlichen Punktes P't verwenden, wenn es gelingt, auf einfache Weise deren Weg durch den Linsenkörper zu finden. (Hierüber s. S. 285 ff.).

In Fig. 183 a liegt nach dem Gesagten der Bildpunkt von P'i erstens auf dem Hauptstrahl P'x 0 und zweitens auf derjenigen Parallelen zur Achse, welche die Fortsetzung des Strahlenwegs P' Fx nach erfolgtem Durchtritt durch die Linse bildet.

Zum Zweck bequemer Konstruktion des Wegs eines durch die Linse hindurchgetretenen Lichtstrahls, sowie um die in der Rechnung bisher vernachlässigte Linsendicke berücksichtigen zu können, führen wir die

p'

„optischen Kardinalpunkte“ und „-Ebenen“

Fig. 184.

ja

Eauptebene

ein, nämlich:

Zwei Hauptebenen und zwei Brennebenen,

Y~&2

JC

rn^

■/ft

«SV

— f,---H

?"

ferner zwei Haupt- und zwei Knotenpunkte, die sich zu den bisher benützten zwei Brennpunkten gesellen.

Fällt ein Lichtstrahl S₂ (s. Fig. 184) parallel zur Achse auf eine Linse, so wird er (wie früher gezeigt) zweimal gebrochen und schneidet die Hauptachse im Brennpunkt F₂. SeinWeg folgt

dem LiiiienzugS₂A₂B₂F₂. Die beiden wesentlichen Richtungen des Strahls schneiden sich inD₂. Führt man für weitere von derselben Seite herkommende Parallelstrahlen dieselbe Konstruktion durch, so erhält man ebensoviele Schnittpunkte D₂, welche sämtlich auf einer krummen Fläche liegen. Berücksichtigt man jedoch nur diejenigen Strahlen, welche sehr nahe bei der Achse liegen, so geht die krumme Fläche in eine Ebene D₂ H₂ über, die senkrecht zur Achse ist. Ihr Schnittpunkt II₂ mit der Achse heisst „Hauptpunkt“, die Ebene selbst „Hauptebene“.

Kommen die parallelen Strahlen von der entgegengesetzten Seite Sx her, so gehen sie ganz analog durch den zweiten Brennpunkt Fi und wir erhalten einen zweiten Hauptpunkt Hx. Die Brennweiten der Linse definieren wir jetzt schärfer als vorhin, als die Entfernungen fi = Hi Fx und f₂ = H₂ F₂ ihrer Brennpunkte je von dem zugehörigen Hauptpunkt.

des

Sind die beiden Hauptebenen Hi und H₂ einer Linse und ihre ^|®g aus

Brennweiten L und f₂ gegeben (s. Fig. 185), so erhält man nach dem vorhergegangenen das Bild ^3 eines Punktes P folgendermassen: Man zieht durch

den Haupt-ebenen.

P den Parallelstrahl bis zum Schnitt mit der Hauptebene Hu und von hier aus durch den hinteren Brennpunkt Fi; sodann zieht man durch P den Brennstrahl P F₂ durch den vorderen Brennpunkt F2 bis zur Hauptebene H₂ und dann parallel zur Achse.

’jZI SC ₂

Brennebene

Fig. 185.

' m .w,"

Brennebene

r-fr-A

OL

■

r—CCj—►] /

Der Schnittpunkt ^3 beider Strahlen bezeichnet den Ort des durch die Linse erzeugten Bildes.

Eine Beziehung zwischen Gegenstands-, Bild- und Brennweite erhält man hieraus wie folgt:

Sind Xi und x₂ die Entfernungen der Punkte ^3 und P von den Brennebenen, so erhält man aus ähnlichen Dreiecken:

Xi

fi

x₂

f₂

folglich

ft

fi

X₂

oder (V)

Xi X₂ = fj f₂.

Aus vorstehender Betrachtung geht zugleich hervor:

Liegt ein Punkt B auf der Hauptebene H₂ (x₂ = — f₂), so liegt sein Bild 23 auf der Hauptebene Hx (xx = — fj und umgekehrt, beifebigen    Lie Richtung eines zu einem beliebigen Eintrittsstrahl P B (Fig. 185 a)

Lichtstrahls, gehörigen Austrittsstrahles 33 ^ findet man durch Konstruktion der Bilder 23

Fig. 185 a.

tebene

V- i. ₊x

F iß E) XX

rl

und 33 zu zweien auf dem ersteren liegenden Punkten P und B, (wobei man den letzteren am bequemsten auf der Hauptebene annimmt).

Alle von einem Punkte A (s. Fig. 186) der Brennebene durch die Linse

Weg parallel auf die Linse

treffender gesandten Strahlen verlassen diese in paralleler Richtung, weil der durch sie er-

Licht-strahlen.

Fig. 186.

'rermebene

zeugte Bildpunkt 21 im Unendlichen liegt (Gleich. Y, worin x₂ = 0).

Für das Verhältnis der

Neigungswinkel <p und cp der beiden Richtungen eines beliebigen durch die Linse gegangenen Strahls, z. B. A B 33 21 gegen die Achse gibt Fig. 186

JtZ

Da cp und cp klein sind, kann man also für das Verhältnis derNeigungswinkel cp und cp dervon einem Punkt einer Brennebene ausgehenden Strahlen allgemein setzen:

_ a/k₂ __ fj cp a/fj

Ein einziger Strahl des von A ausgehenden Strahlenbüschels, nämlich der durch den optischen Mittelpunkt gehende, behält nun nach früherem seine ursprüngliche Richtung bei und wird nur um weniges parallel verschoben. Für

== cp, also = k2

und analog für den entgegengesetzt gerichteten Strahl

f₂ = kx.

ihn ist

(VI)

(VII)

<P

Die durch ihre Entfernungen k₂ = bezw. kj = f₂ von den Brennpunkten bestimmten Punkte K₂ und Kj heissen die „Knotenpunkte“ der Linse. Zeichnerisch erhalten wir die Lage des Knotenpunktes K₂ nach vorstehendem als Schnitt einer durch A gezogenen Parallelen zu den jenseits der Linse gegen den unendlich fernen Bildpunkt 2t gerichteten Strahlen und wir finden weiter den Satz:

Ein Strahl, welcher beim Eintritt nach dem vorderen Knotenpunkt K₂ hinzielt, geht beim Austritt durch den hinteren Knotenpunkt Kt und zwar parallel zum eintretenden Strahl. Dabei fallen, wenn die beiden Brennweiten fx und f₂ einer Linse einander gleich sind, was vorne (allerdings unter Vernachlässigungen und mit dem optischen Mittelpunkt als Endpunkt der Brennweite) bewiesen wurde, und hernach (s. Gleichung IVa und IVb) allgemein bestätigt werden wird, nach Gleichung VII die Knotenpunkte mit den Hauptpunkten zusammen.

Fig. 187.

Fz

N,

Um umgekehrt zu einem in beliebiger Richtung einfallenden Parallelstrahlenbündel die gebrochenen Strahlen jenseits der Linse zu finden, konstruieren wir (s. Fig. 187) für den nach dem Knotenpunkt K₂ zielenden Hauptstrahl des Bündels den zugehörigen parallel verlaufenden Austrittsstrahl durch Kj, welcher die hintere Brennebene im Nebenbrennpunkt Nj schneidet. Durch Nt gehen alle Austrittsstrahlen des Bündels.

Lage der optischen Kardinalpunkte.

In Fig. 184 seien rx und r₂ die Radien einer bikonvexen Linse, S₂ A₂ B₂ F2 (bezw. Si Aj Bi F^ ein durch sie tretender Parallelstrahl. Die auftretenden Winkel a, ß,y, ö q> if> sind der Voraussetzung nach sehr klein, so dass man statt ihrer Sinus und Tangens jeweils die Winkel selbst setzen kann.

Nach dem Brechungsgesetz ist daher:

-TT = P-

Da aber

so ist

ferner

<p = a — ß —

l* rl

— (i—-)

U \    /

_ a (p - 1)

ri • f*

Der sin-Satz liefert im Dreieck A₂ C Mx

x : rx = ß : <p, woraus

rx. a . rx p _ rx

^ rx a (fi — 1)    — 1 ‘

Im Dreieck M₂ B₂ C ist:

y : cp = (m -)- x): r₂, also

y -(m + x)

r₂

Ferner ist nach dem Brechungsgesetz

3 = yp =

— = a woraus:

7

l& . cp . (m -j- x)

r₂

Im Dreieck C F₂ B₂ ist

cp = cp -\- 3 — y

= <P 4

li (p (m -(- x) cp . (m -\- x)

1'2

r₂

(m + x)

4-01

= 9 • j H

= ~ j r₂ + (p — 1) (m + x) j. ¹2

r₂

Nun ist im Dreieck F₂ D₂ H₂

also

, a

Io = —-    -,

tg v» ^

| r2 + (p — 1) (m + x)j.

Setzt man cp

— ein, so wird

oder

a -{p — 1) |r₂ + (^ — 1) (m +

P r2 ri

(p — !) \v2 + m (p — 1) + rij

Die Dicke der Linse ist nach Fig. 184

d = r₂ + rx — m,

womit die obige Gleichung übergeht in:

P f2 ri

(IV a)

(p — 1) | d + p m j

Der Abstand z₂ des Brennpunktes F₂ vom Mittelpunkt M₂ ergibt sich aus Dreieck M₂ B₂ F₂:

z₂ =

r₂. <5

z₂: r₂ = 3 : ip, also

r₂. p cp (m + x). r₂

r₂ • <P |r₂ + (j* — 1) (m + x)j

r₂ + (j* — 1) (m + x)

P r2

(VIII)

z₂

r, ₊ ^-l)(m + ₇^-T)

P*2 jm (tu — 1) + r,j (p ~ 1) jr₂ + (p — 1) • m + rtj

p r₂ jm — 1) + rxj (P ~ 1) Jd + P m|

oder

d. h. die beiden, jetzt von der Hauptebene aus gemessenen Brennweiten fx und f₂ ergeben sich auch bei Berücksichtigung der Linsendicke d einander gleich und die unter Vernachlässigung der letzteren abgeleitete Gleichung IV (s. S. 282) erleidet nur eine unbedeutende Modifikation. Es hindert uns daher nichts, für die allgemeine Betrachtung der Linsenwirkung die im Vergleich zur Bild- und Gegenstandsweite sehr kleine Entfernung der beiden Hauptebenen zu vernachlässigen, wodurch die Haupt- samt den Knotenpunkten im optischen Mittelpunkt zusammenfallen.

Hiebei ergeben sich dann folgende Möglichkeiten und Beziehungen zwischen Gegenstandsweite und Bildweite und für die Eigenschaft der erzeugten Bilder:

Die Grund-Gleichung (III) liefert:

(IX)

Bildweite d =    ~

¹ TT

Für D = oo wird damit d = f, d. h. das Bild fällt in den Brennpunkt und ist unendlich klein,

O f 2

für D = 2 f wird d = -j- = 2 f, d. h. Bildweite und Gegenstandsweite sind gleich gross, ebenso wie Bild und Gegenstand selbst. Allgemein erkennen wir: 1) Nimmt die Gegenstandsweite D von oo bis zur doppelten Brennweite ab, so nimmt die Bildweite d erst langsam, dann aber immer rascher von f bis 2f zu. Die

fv

Für die Brennweite fx und die Entfernung zx des Brennpunktes Fx vom Mittelpunkt Mx (s. Fig. 184) findet man durch entsprechende Vertauschung:

f* ri_£2_

(IVb)

ff -

(Villa)

(i* ~ D + l* mJ

_ t* L jm (j* — 1) + r₂j

O — D jd + P mj

Fig. 188.

2E*-

_.i.

jC

C FE

Linse erzeugt von dem Gegenstand AB (Fig. 188) ein umgekehrtes reelles Bild 2103 (das sich auf einer in der Entfernung der Bildweite d aufgestellten Wand auffangen lässt und) das kleiner ist

Weitbrecht, Vermessungstunde.

als der Gegenstand. (Für D = 2f = d wird das Bild so gross als der Gegenstand.)

Dies ist die Wirkung der dem Gegenstand zugekehrten Linse (Objektivlinse) des Fernrohrs (s. § 36).

Für D = f f wird ferner: d =

3 f 2

¹ f

"2 ¹

oo

d. h. 2) Sinkt die Gegenstandsweite unter die doppelte Brennweite herab, bleibt aber grösser als die Brennweite, so entfernt sich das Bild des Gegenstandes CD (s. Fig. 188) sehr rasch von der Linse und wird immer grösser, es bleibt aber reell und umgekehrt.

kf²

Diese Wirkung wird beim Mikroskop sowie dann benützt, wenn man mittels Projektionsapparaten Bilder von kleinen Gegenständen stark vergrössert auf einer Wand erzeugen will. (Demonstrationsmittel.)

kf

f(k-l)

k — 1

also negativ, d. h. 3) Liegt der Gegenstand EG zwischen

Für D = kf (wo k < 1) wird endlich d =

Brennpunkt und Linse, so erzeugt letztere ein aufrechtes, ver-grössertes, virtuelles (nicht mehr reelles) Bild @ © auf derselben Seite, auf welcher sich der Gegenstand befindet — die Linse wird zur „Lupe“. Dies ist die Wirkung der zweiten, dem Auge zugekehrten Linse (Okularlinse) im Fernrohr (s. §§ 36 u. 37).

Zusammensetzung zweier Linsen mit gemeinsamer Achse.

Zwei optische Systeme lassen sich durch ein einziges ersetzen. Das erste System sei gegeben durch die Hauptebenen H und Hx und die Brennweite f (s. Fig. 189), das zweite durch die Hauptebenen H' und HF und die Brennweite f', die Entfernung Hx H' sei e, die Hauptpunkte des Ersatzsystems seien <q und <Qx, seine Brennweite f.

Ein Strahl S A, der parallel zur Achse auf das erste System auffällt, verlässt es in der Richtung A F. Ehe er aber den Brennpunkt F erreicht, trifft er in B' auf die Hauptebene H' der zweiten Linse und wird wiederholt abgelenkt. Um seinen weiteren Verlauf zu konstruieren, suchen wir nach früherem die von der zweiten Linse erzeugten Bilder 3t und BF der Punkte A und B' und finden derart den Linienzug, SAB' Bx'2t als Weg des Parallel-Strahls S A.

Die beiden Linsen wirken also zusammen gerade so wie eine einzige Linse mit dem Brennpunkt $ (in welchem der parallel zur Achse herkommende Strahl S die Achse schneidet), der Brennweite f und der Hauptebene durch den Punkt £) (den Schnittpunkt der endgültig abgelenkten mit der ursprünglichen Strahlenrichtung).

Aus ähnlichen Dreiecken erhält man nun folgende Beziehungen für die Brennweite f und die Lage der Ersatzlinse: a : a = f: (j' -(- x — f), oder (a + a): a = (§' + x): f.

(X)

Fig. 189.

's

F'

w&'t

Ff

06

oc

f-mn.

Aus den beiden in Fig. 189 abzulesenden Proportionen (a + a): a = x: f'

und (a -f- a): a = e : (e — f') folgt ferner

e f'

liefern

, womit (Gl. x) und die letzte Gleichung

a G + x) __ (e — f Q (3' + x)    e — f< ( , e f' \

(a -|- a)    e    e ( * e — f' j

ef

daher

ef' _ e (f — f') e — f»

also *' = -⁰ e

Des weiteren liefert Figur 189 a: u = f : (f — f) = f: p' und a: u = f: (f — e),

f-r s* = f-u- f-(f-e)

— f'

e — f'

(XI)

und

ef

(XII)

p, woraus wir als

Brennweite f der die zwei zusammengesetzten Systeme vertretenden Ersatzlinse erhalten

*' = f

Aus (XI) und (XII) folgt = e(f_f'} — ef

e — f'

ff'

(XIII)

Ihre Hauptebene ist von der hinteren Hauptebene der Linsenverbindung entfernt um

& H/

ef'

f—e + f'

(XIV)

Analog findet man für die Entfernung der zweiten Hauptebene <q der Ersatzlinse von der Hauptebene H der Linsenverbindung

(XI Va)

f— e + f'

Aus der Grundgleichung zu (XII) und aus (XIII) finden wir endlich für die Entfernung des Brennpunktes $ der Ersatzlinse von der f. (f — e) _ ff'(f— e) _ f' (f — e) f(f— e + f') — f— e + f' und entsprechend für die Entfernung ihres zweiten Brennpunktes

f(f'-e) f— e + f

Hauptebene 11/ p' =-j

von der Hauptebene H:

(XV)

(XVa)

§ 36. Fernrohren

Zweck.

haben den Zweck, durch Verbindung mehrerer Glaslinsen die von entfernten Gegenständen ausgesandten und sie durchdringenden Lichtstrahlen derart zu brechen, dass sie ein vergrössertes Bild dieser Gegenstände in der Nähe des Beobachters erzeugen.

Fig. 190.

rC'

B)

WA

(X

Für die Vermessungspraxis kommt hauptsächlich in Betracht das „astronomische Fernrohr“ (s. Fig. 190a), welches von dem beobachteten Gegenstand ein umgekehrtes und das „terrestrische“ (s. Fig. 190), welches von ihm ein aufrechtes Bild erzeugt. Weniger Bedeutung dagegen hat für diese Zwecke das holländische, oder Galileische Fernrohr. (In der einfachsten Zusammensetzung bestehen die beiden ersteren aus Sammellinsen, das letztere aus einer Sammel-und einer Zerstreuungslinse.)

Das einfache astronomische (Keplersehe) Fernrohrnfachln besteht aus zwei, je mit einer zylindrischen Röhre verbundenen Linsen, von denen die grössere, dem Zielpunkt zugekehrte „Objektiv- oder Gegenstandslinse“, die kleinere, dem Auge zugekehrte „Okular- oder Augenlinse“ heisst. Die Röhren sind ineinander verschiebbar, um die gegenseitige Entfernung der beiden Linsen beliebig verändern zu können (Fig. 190 a).

Fernrohrs. Wirkung von dessen Linsen.

‘egenftandr/ObjeJctwjLinfe §

190 a.

O/

F,

7¹

Dringen von einem entfernten Gegenstand AB Lichtstrahlen durch die Objektivlinse, so vereinigen sich hinter derselben je die von einem Punkt dieses Gegenstands ausgehenden und erzeugen von eben diesem Punkt ein umgekehrtes, reelles, verkleinertes Bild 2133 im Innern der auf die betreffende Richtung eingestellten Röhre und in der Nähe des Objektivbrennpunkts Fj (vergl. oben Fall 1). Schiebt man die zweite Röhre so nahe heran, dass dieses Bild zwischen die Okularlinse und ihren Brennpunkt F₂ zu liegen kommt, so erzeugt letztere von dem Bild abermals ein — aber virtuelles — Bild 2P 23', das vergrössert und in seiner umgekehrten Lage erscheint (vergl. oben Fall 3), und welches das hinter die Okularlinse gehaltene Auge dann erblickt, wenn die Entfernung von ihm bis zum Bild 2P 23' gleich der deutlichen Sehweite des Beobachters ist. Letztere Bedingung wird erreicht durch entsprechende, für jedes veränderte Auge verschiedene Verschiebung des Okularauszugs.

Zusammengesetzte Okulare und Objektive.

Fadenkreuz als Zielvorrichtung.

Ziellinie.

Die vom einfachen (Keplerschen) Fernrohr erzeugten Bilder haben infolge der verschieden starken Brechung der in ihrer Gesamtheit den Eindruck weiss erzeugenden farbigen Strahlen beim Durchtritt durch die Objektivlinse farbige Ränder, und sind überdies um so stärker verzerrt, je grösser das benützte Gesichtsfeld ist. Diese Mängel lassen sich dadurch vermeiden, dass man die einfache Objektivlinse durch eine Doppellinse mit Glassorten von verschiedener Dichtigkeit (achromatische Linse) und die Okularlinse durch eine Verbindung von zwei Linsen (Kollektiv- und Okularlinse) ersetzt. (Ramsdensches bezw. Huyghensches Okular s. Fig. 193 a und b.) Die äusseren (Rand-)Strahlen, welche namentlich unklare, verzerrte Bilder liefern würden, werden überdies noch durch Blenden (Diaphragmen) abgehalten.

Soll ein Fernrohr zum genauen Einstellen auf bestimmte Punkte dienen, so erhält es an der Stelle, wo das umgekehrte, reelle Bild 2133 entsteht, ein Fadenkreuz (zwei zueinander senkrechte Spinnfäden, oder mehrere fein eingerissene und geschwärzte Linien auf Glasplättchen), von welchem, wie von dem Bilde 2123 selbst, die Okularlinse ein vergrössertes Bild erzeugt. Das Fadenkreuz wird auf der hinteren Blende, deren sonst beliebig zu wählender Ort eben durch diesen Zweck bestimmt wird und welche aus einer von vier Schrauben (Korrektionsschrauben) gehaltenen Blechplatte mit kreisförmigem Ausschnitt besteht, aufgespannt (s. Fig. 193a u. 193b).

Befindet sich die Blende und damit das Fadenkreuz zu nahe, oder zu fern dem Okularglas, so trifft dasselbe mit dem Bild des Fadenkreuzes zu; dieses erscheint nicht in der deutlichen Sehweite vom Auge und ist undeutlich, oder gar nicht sichtbar. Es ist daher — für jeden Beobachter ein für allemal — die Entfernung zwischen Okularglas und Fadenkreuz durch Probieren so zu regeln, dass das Fadenkreuz möglichst deutlich sichtbar ist. Zu diesem Zweck wird das Fernrohr in beliebiger Stellung des Okularauszugs gegen einen hellen Hintergrund gerichtet und alsdann das samt seiner Fassung eingeschraubte Okularglas (s. Fig. 193a), oder das in Längsschlitzen durch Schrauben festgehaltene Diaphragma (Blende) (s. Fig. 193b) so verschoben, dass das Fadenkreuz deutlich schwarz erscheint.

Die Verbindungslinie des optischen Mittelpunkts vom Objektiv mit dem (samt der Okularröhre und der Okularlinse in der Längsachse des Fernrohrs verschiebbaren) Kreuzungspunkt der beiden Fäden heisst Ziellinie. Sie wird beim Anzielen eines Punktes mit der durch den Punkt, sein Bild und den genannten optischen Mittelpunkt der Objektivlinse bestimmten Geraden zum Zusammenfallen (zur Kollimation) gebracht. Zu diesem Zwecke ist die Okularröhre mittelst des Getriebes (bei jeder Zielung aufs neue) so zu stellen, dass das Bild des Zielpunktes deutlich sichtbar ist, „hell zu stellen“. Alsdann erst bringt man das bei jeder Okularstellung gleich gut sichtbare Bild des Kreuzungspunkts der Fäden zur Deckung mit dem Bild des Zielpunktes: „man stellt ein“.

Parallaxe.

Entsteht das Bild des Zielpunkts nicht in der Ebene des Fadenkreuzes (was zur Folge hat, dass das virtuelle Bild des Gegenstands, oder dasjenige des Fadenkreuzes, oder beide sich nicht in deutlicher Sehweite vom Auge befinden, also nicht bestmöglich sichtbar sind), so scheinen beim Hin- und Herbewegen des Auges vor der Okularlinse diese Bilder sich gegeneinander zu verschieben. Diese Erscheinung heisst man „Parallaxe“, sie macht die genaue Einstellung eines Punktes unmöglich. Sie rührt her entweder von mangelhaftem Hellstellen, oder, wenn das Fadenkreuz unklar, von unrichtiger Entfernung zwischen Okularglas und Fadenkreuz. Um sie wegzuschaffen, ist also im ersteren Fall der ganze Okularauszug mittelst des Okulargetriebes, im zweiten Fall, (bei unrichtiger Entfernung des Fadenkreuzes vom Okularglas) die Blende gegen das Okularglas wie oben gezeigt zu verschieben.

Vom Okularauszug muss verlangt werden, dass bei Benützung der Trieb- Gang des

Okularauszugs.

schraube der Kreuzungspunkt der Fäden sich genau in einer Geraden bewege, die durch den optischen Mittelpunkt des Objektivs geht. Trifft dies nicht zu, so ändert die Ziellinie heim Verschrauben des Okularkopfes ihre Richtung. Zur Untersuchung, ob diese Forderung erfüllt ist, zunächst a: in Beziehung auf die horizontal-projizierende Ebene stellt man das Fernrohr genau über einem festen Punkt auf und richtet gegen einen zweiten, etwa 100 m entfernten Punkt unter Vermeidung von Kippbewegungen eine Anzahl von Zwischenpunkten in ca. 10 m gegenseitiger Entfernung mehrfach so scharf als möglich ein (Bleistiftstrich, Ritz mit dem Messer), wobei der Okularauszug seiner ganzen Länge nach gebraucht wird. Alsdann stellt man das Fernrohr über dem vorherigen Zielpunkt auf und untersucht, ob von hier aus gesehen sämtliche eingewiesenen Punkte wieder in der Geraden erscheinen. Eine etwaige Abweichung würde, richtiges Einweisen vorausgesetzt, von unregelmässigem Gang des Okularauszugs herrühren, und dazu nötigen, entweder auf dessen Benützung zu verzichten (Wahl möglichst gleicher und grosser Zielweiten) oder den Fehler zu beseitigen. Untersuchung b: in Beziehung auf unveränderlichen Vertikalwinkel s. hinten bei: Nivellieren aus der Mitte. (Über die Ergebnisse solcher Untersuchungen vergl. Zeitschr. f. Verm. 1878 S. 805, 1897 S. 272, 1905 S. 673 u. a. a. 0.)

Fernrohrver-

grösserung.

Unter linearer Fernrohrvergrösserung v versteht man das Verhältnis der Gesichtswinkel, unter welchen ein entfernter Gegenstand erscheint, wenn man ihn das eine Mal durch das Fernrohr und das andere Mal mit freiem Auge beobachtet:

2ß

2a

(s. Fig. 191).

Da ß und a sehr klein sind, so wird

tgß    fl/D'

Tga ^ l/d~ ~

Nach Formel IX des § 35 ist nun

= f.—i. =

‘-4

(i)

D.f

f (i +j5+fr«4—)

Fig. 191.

X ...

V-

CC

cc

i\i

y ..-W

J)'*

7/

Vf

(Jr

-f-

oder, da D im Verhältnis zu f sehr gross ist, in erster Näherung d ~ f zweiter Näherung d ~ f -|-

Ebenso ergibt sich für die Okularlinse aus der Formel

Die Bildweite d' ist hier negativ nach Fall 3 des Schlusses vom § 35

woraus

D' '

I)' =

D' d'

4^ + 1^ = = f'

Fd'

d' + F

F.d'

-+ d‘ •

f'(l

F

¹⁺~F

oder, da auch d' 20 bis 30mal grösser ist, als f'

in erster NäherungD' — f' (in zweiter Näherung D' ~ f'—1.

Hieraus liefert (1) v ~

F + d'

d'²

(2)

oder: die lineare Fernrohrvergrösserung ist gleich dem Verhältnis der Brennweiten von Gegenstandslinse und Augenlinse.

Je grösser also die Objektivbrennweite, um so stärker die Vergrösserung, um so länger und schwerer aber auch das Fernrohr. Je kleiner die Okularbrennweite, um so stärker die Vergrösserung, um so stärker aber auch die Verzerrung der Bilder, weil damit die in Fig. 184 als sehr klein vorausgesetzten Winkel wachsen.

Da die Brennweiten, zumal bei zusammengesetzten Linsensystemen, ohne besondere Vorkehrung nicht zu ermitteln sind, bestimmt man jedoch die Fernrohrvergrösserung v am besten wie folgt: Man beobachtet eine Backsteinwand, oder Nivellierlatte mit dem einen Auge direkt, mit dem andern gleichzeitig durchs Fernrohr. Die Zahl der mit freiem Auge gesehenen Backsteinschichten bezw. cm, deren Gesamthöhe der Höhe des Fernrohrbildes einer einzigen Schicht bezw. eines cm gleichkommt, gibt dann die lineare Vergrösserung an.

Das Gesichtsfeld eines Fernrohrs ist der Lichtkegel mit dem optischen Mittelpunkt der Gegenstandslinse als Spitze und der Öffnung der das Fadenkreuz tragenden Blende als Grundfläche. Die ausserhalb dieses Kegelgrundkreises die Blende treffenden, in die Fernröhre eingetretenen Lichtstrahlen werden durch erstere abgehalten, ins Auge zu gelangen. Damit nicht durch Beflexionen letzterer Strahlen das Bild gestört wird, sind die inneren Rohrwandungen rauh geschwärzt.

Ist der Durchmesser der Blendenöffnung gleich c, so ist die Öffnung des Lichtkegels beiZielung nach einem fernen Punkt

Gesichtsfeld.

Fig. 192.

wobei f die Brennweite des Objektivs vorstellt.

Wählt man c ungefähr gleich der halben Brennweite f' des

Objekt io

I'f...........J

c—

Okular

Okulars (zu grosses c ermöglicht störenden Randstrahlen, welche das Bild verzerren würden, die Mitwirkung bei der Bilderzeugung, zu kleines c beschränkt allzusehr das Gesichtsfeld),

_ 0,5 q _ 0,5 q

so wird

0,5 f'

—r* q

(3)

d. h. das Gesichtsfeld eines Fernrohrs ist umgekehrt proportional seiner linearen Vergrösserung.

Um seine Grösse zu bestimmen, liest man entweder auf einem in beliebiger Entfernung D auf die Erde gelegten, oder senkrecht aufgestellten Massstab die äussersten noch wahrnehmbaren Teilpunkte ab und erhält aus deren gegenseitiger Entfernung 1 den Winkel y des Gesichtsfelds c:

7 = w

oder man merkt sich zwei einander gegenüberliegende, durch das Fernrohr gerade noch erkennbare Punkte und misst sodann den gesuchten Winkel y zwischen ihnen direkt.

In das Fernrohr treten, durch die Blenden beschränkt, eine Heiligkeit, bestimmte Menge von Lichtstrahlen ein (Lichtkegel des Gesichts-

feldes), welche das durch die Objektivlinse erzeugte und durch die Okularlinse linear auf das vfache, der Fläche nach also auf das v² fache vergrösserte Bild beleuchten. Folglich muss dieses vergrösserte Bild v² mal weniger hell sein, als das vom Objektiv direkt erzeugte, oder: die Helligkeit H des Fernrohrs ist umgekehrt proportional seiner Flächenvergrösserung,

(3 a)

H = wo k eine konstante Zahl ist.

Einfluss der Okularkon-stuktion auf Vergrösse-rung und Helligkeit.

Wie schon in der Einleitung dieses § begründet, ersetzt man die Okularlinse durch ein System zweier Linsen, und zwar entweder derart, dass das Fadenkreuz ausserhalb der beiden Linsen, dem Objektiv zu, oder zwischen beiden Linsen liegt. Das erste heisst man „Ramsdensch.es“, das andere „Huyghenssches“ Okular. (Streng genommen bildet bei letzterem die innere (Kollektiv)linse einen Teil des Objektivs, ist aber durch die Okularröhre mit dem Augenglas fest verbunden.)

Bezeichnen wir mit f und f" die Brennweiten des Okulars, bezw. des Kollektivs und mit e ihre Entfernung, so können wir die beiden Linsen ersetzt denken durch eine einzige, deren Brenn-

(XIII des § 35).

weite ist

f' f"

Ramsden-sches Okular.

fi + f" _ e

Für das Ramsdensche Okular (s. Fig. 193a) werden die drei Grössen f', f" und e in den verschiedenen Werkstätten ver-

Fig. 193 a.

N\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\V

MOTTTniiTunnromi

9---

L,v‘

nr

Bll

f-

(4)

schieden, jedoch ungefähr nach der Proportion gewählt f': e:f" = 5:4:9.

Damit erhält man

(4 a)

f'. f"

fi- 4-e

9f'

f' + f" —f

iö '

die Entfernung ihres Brennpunktes von der Kollektivlinse y'. Die Formeln (XIII) und (XV) des § 35 heissen also

(6)

ff"

(7)

V'

Durch die Verbindung der beiden Linsen nach Ramsden ist also die Brennweite der Ersatzlinse des Okulars kleiner geworden. Folglich ist nach Gleichungen (2), (3) und (3a) die lineare Ver-grösserung v stärker, das Gesichtsfeld und die Helligkeit geringer als heim einfachen Okular. Für den Abstand y' des Brennpunktes der Ersatz- von der zugehörigen Hauptebene, oder dem optischen Mittelpunkt der Kollektivlinse ergibt Gleichung (XV des § 35)

9    4

5 fi (f/ “ T f<)

9    4

f‘ + Tf'~ Tf/

Beim Huyghensschen Okular (s. Fig. 193b) tritt die Ersatzlinse an Stelle des Objektivs (mit der Brennweite f) und des Kollektivs (mit der Brennweite f"). Ihre Brennweite sei wie bisher f und

Fig. 193 b.

(5)

f" (f' - e)

9f'

50 *

Huyghens-sches Okular.

>A ugen -{Ofoilcu )g7as

Faxlenlcreuz

)jToUckfio-L i/ife

sm

81

f’

f’~

f’

f’L 3f'

f + f" — e —    e)

f —f" — e

Der jetzt veränderliche Abstand e beider Linsen (des Objektivs und des Kollektivs) ist zu eliminieren. Zu diesem Zweck bemerken wir, dass das von diesen Linsen erzeugte Bild vom Okular eine Entfernung haben muss, welche nahezu gleich der Brennweite f' des letzteren ist. Wählt man, wie üblich, die Entfernung zwischen Okular und Kollektiv gleich 2 f' und die Brennweite des Kollektivs 3f', so ergibt sich daraus auch, dass f' = y' ist, und obige Formeln gehen über in

ff = 3f (f—f) 2 f = 3 f

(8)

f = lf

also ist die Brennweite der die jetzt zusammengesetzte Objektivlinse substituierenden Linse nur noch f der Brennweite des eigentlichen Objektivs.

Daraus ergibt sich nach den früheren Entwicklungen für die Huyghens’sche Anordnung:

Die lineare Yergrösserung v ist kleiner, als die des einfachen Fernrohrs, Gesichtsfeld und Helligkeit aber sind grösser.

Ter

restrisches

Fernrohr.

(6 a)

f ,3f'

f + 3 f' — e

(7 a)

9' = f' =

3f'(f— e)

Aus (6a) erhält man:

f —}— 3 f' — e = und durch Einsetzung in (7 a)

f' =

f. 3 f'

(f-e)f

oder (f — e) =

ff

(f-e) =

und aus (6 a)

Gleichsetzung ergibt:

— f.3f' + 3ff'

3 f' (f — f)

Das „astronomische“ Fernrohr (s. Fig. 190a) erzeugt umgekehrte Bilder. Bei mangelnder Übung des Beobachters erscheint dies störend, namentlich wenn mittels des Fernrohrs eingewiesen, oder an einer Teilung abgelesen werden soll. Zur Abhilfe erweitert man durch Einschaltung einer weiteren Sammellinse den Okularauszug des bisherigen astronomischen Fernrohrs selbst wieder zu einem astronomischen Fernrohr im kleinen, das gegen das umgekehrte, durch die Objektivlinse erzeugte Bild gerichtet wird, und von ihm ein abermals umgekehrtes, also jetzt wieder aufrechtes Bild erzeugt. Aus dem einfachen astronomischen wird dadurch ein „einfaches terrestrisches Fernrohr“ (s. Fig. 190). Natürlich geht durch die Einschaltung der weiteren Linse ein Teil der Helligkeit des Bildes verloren.

Statt des einen Umkehrglases verwendet man, um die früher erwähnten Fehler stark brechender Linsen — Verzerrung und Farbenzerstreuung — zu verkleinern, deren zwei oder drei.

Auch die bei dem astronomischen Fernrohr erwähnten weiteren Verbesserungen (achromatische Objektivlinse, Doppelokular) werden bei dem terrestrischen Fernrohr angebracht.

§ 37. Die Ablesevorrichtungen

haben den Zweck, die Genauigkeit der Ablesung an Teilungen über ein — im Hinblick auf die Übersichtlichkeit und die Möglichkeit der Teilungsdurchführung und der Unterscheidung mit freiem Auge nach unten beschränktes — Teilungsintervall hinaus zu steigern.

Sie lassen sich einteilen in

a)    optische Ablesevorrichtungen und

b)    mechanische    „

a) Optische Ablesevorrichtungen (Mikroskope).

Das einfachste Mikroskop ist

Lupe.

Fig. 194.

1) „die Lupe“, eine Konvexlinse, oder eine Verbindung mehrerer solcher Linsen mit kleinen Brennweiten, welche so nahe an den zu beobachtenden Gegenstand herangebracht werden, dass dessen vergrössertes, virtuelles Bild in der deutlichen Sehweite auf derselben Seite entsteht (Gegenstandsweite < Brennweite s. S. 290). Je kleiner die Brennweite, d. h. je stärker die Linsenkrümmung, um so näher dem Brennpunkt kann der Gegenstand unbeschadet der Entstehung des Bildes in der deutlichen Sehweite gebracht werden. Um so stärker ist also die Vergrösserung, um so kleiner aber auch das Gesichtsfeld. Sinkt die Brennweite unter etwa 30 mm, so wird die ein tretende Kugel- und Farbenabweichung störend. Man verwendet daher hier besser Lupen, die sich aus mehreren Linsen zusammensetzen. Für Messinstrumente setzt man in diesem Fall in der Regel zwei plankonvexe Linsen so zusammen, dass ihre gekrümmten Flächen gegeneinander gerichtet sind (Wilsonsche Lupe s. Fig. 194). Die einfachen Lupen haben eine zwei- bis dreifache, zusammengesetzte Lupen aber bis zu 27facher Vergrösserung.

Das 2) eigentliche „Mikroskop“ stellt ein, meist Ramsden-sches, Fernrohr in kleinen, mit zwei getrennten Linsensystemen — Objektiv und Okular — von geringer Brennweite dar, das auf die Teilung des Messinstrumentes eingestellt wird und von ihr ebenfalls in der deutlichen Sehweite vom Auge, ein Bild erzeugt. Die

Entfernung der zu beobachtenden Teilung vom Objektiv bewegt sich bei Anwendung des Mikroskops zwischen der einfachen und der doppelten Brennweite des Objektivs (Strahlengang ähnlich wie bei Fig. 191). Seine hauptsächliche Bedeutung gegenüber der Lupe beruht darauf, dass in der Ebene des reellen Bildes eine Einstell-und Messvorrichtung, bestehend in einer Schar fester Fäden — beim „Schätzmikroskop“ —, oder einem einzigen beweglichen Faden — beim „Schraubenmikroskop“ — angebracht werden kann.

Gegenüber dem hernach vorzuführenden „Nonius“ bietet es den Vorzug, störende Parallaxe und Exzentrizität beider Teilungen leicht wegbringen zu lassen. Dagegen ist es empfindlicher gegen unsachgemässe Behandlung als jener.

Schätz-

mikroskop.

Fig. 195.

Beim a) „Schätzmikroskop“ („Strich-, oder Fadenmikroskop“) ist das Fadenkreuz ersetzt durch eine feine Strichteilung, bestehend aus einer Anzahl (bei Dezimalteilung meist 11) mikroskopisch feiner Parallelstriche, deren Gesamtentfernung ebenso gross ist, als das durch das Objektiv des Mikroskops erzeugte Bild eines Intervalls der zu beobachtenden Teilung. (Zur feineren Einstellung sind die Striche der letzteren häufig in Spitzen ausgezogen.) Als Ablesestelle dient einer der beiden Endstriche (der „Nullstrich“) der Mikroskopteilung. Die Interpolation V innerhalb jedes Intervalls der Haupteilung erfolgt \ durch Abzählen der Mikroskopteile und Schätzung | I von innerhalb dieser Mikroskopteile.

26

25

J    In Fig. 195 stellt z. B. jeder Mikroskopteil

/ eine Doppelminute vor. Die Ablesung lautet 25° 46,8'.

An das Schätzmikroskop stellt man folgende Anforderungen:

1.    Die Strichteilung muss deutlich sichtbar sein (nötigenfalls Verschiebung des Okularglases).

2.    Die Grundteilung muss deutlich sichtbar sein (nötigenfalls Verschiebung der Okularröhre).

3.    Die Strichteilung des Mikroskops muss nach Richtung, Lage und Intervallgrösse mit der Grundteilung übereinstimmen [nötigenfalls a) Drehung des Mikroskops um seine Längsachse; b) Berichtigung der Stellung der an den Fernrohrträgern befestigten Mikroskopträgern mittels der entsprechenden Justierschrauben, bis die beiden Teilungen über einander greifen; c) Veränderung der Entfernung zwischen Teilung und Objektiv, und damit im Zusammenhang entsprechende Verschiebung der Okularröhrel.

4. Die Entfernung der Nullstriche beider Mikroskope soll 2 R betragen (nötigenfalls Verschiebung der Mikroskope nach rechts, oder links durch wiederholte Benützung der Justierschrauben für die Mikroskopträger). ß) Das „Scliraubenmikroskop“ (s. Fig. 196) stellt eine Verbindung von optischer und mechanischer Ablesevorrichtung dar. Die Mikroskopteilung beschränkt sich auf einen einzigen Ablesestrich A (gewöhnlich Doppelfaden), der samt dem ihn tragenden Schlitten B, mittels einer fein geschnittenen Schraube S in einer zur Teilung parallelen Ebene gegen eine sich entgegenstemmende Feder C verschoben werden kann. Jede volle Umdrehung der Schraube ergibt eine Verschiebung des Fadens um das in seiner Ebene erzeugte Bild eines Teilungsintervalls. Teile einer solchen Verschiebung, also einer vollen Schraubendrehung, lassen sich ablesen an einer mit der Schraube S verbundenen, geteilten und achs-gleichen Trommel T.

Fig. 196.

Schrauben

mikroskop.

glllllllllllllftll 11

flllllllülk

Statt die Teilung so eng, oder die Ganghöhe der Schraube so gross zu machen, dass eine einzige Umdrehung der letzteren genügt, um den Faden um das Bild eines Teilungsintervalls fortzubewegen , zerlegt man diese Strecke in der Regel durch einen in der Fadenebene eingebauten „Rechen“ D in eine runde, nach „Berg“ und „Tal“ leicht zu übersehende Zahl von Teilen, derart, dass eine volle Schraubendrehung den Faden von Berg zu Tal und umgekehrt führt. An diesem Rechen lässt sich dann bequem die Zahl der vollen Schraubendrehungen ablesen, während zur Ablesung der Teildrehungen wie vorhin die Trommel T dient.

Die Untersuchung des Schraubenmikroskops, das jedoch bei gewöhnlichen Feldmessinstrumenten keine Verwendung findet, ist analog derjenigen des Schätzmikroskops.

Transversal

teilung.

Nonius.

Genauigkeit.

Anwendung.

b) Mechanische Ablesevorrichtungen.

1.    Der Transversalteilung (für Streckenlängen s. S. 131), für Kreisteilung schon von Tycho de Brahe (1546—1601) angewandt, kommt heute nur noch geringe Bedeutung zu.

2.    Der Nonius (an Stelle eines im Jahre 1542 von dem Portu-

giesen Nunez (lat. Nonius) gezeigten Ableseverfahrens im Jahre 1631 durch den Franzosen Vernier erfunden) erweitert den Ablesestrich, der die wechselnde Ablesestelle an der Hauptteilung bezeichnet, zu einer (zweiten) Teilung, die an der ersten verschoben wird, sich aber von dieser dadurch unterscheidet, dass die einer gewissen Zahl von Teilen entsprechende Strecke der ersteren das Gesamtmass für eine um 1 vermehrte (seltener verminderte) Zahl von Teilen abgibt. Zur ganzen Noniuslänge von n Teilen werden also von der Hauptteilung (n + 1) Teile verwendet. Die Differenz D („direkte Ablesung“, „Noniusangabe“) der Länge N eines Noniusteils und der Länge L eines Hauptteils beträgt demnach

(n + 1) L

D = + -L.

Je kleiner die „direkte Ablesung“, oder „Noniusangabe“ ist, um so schärfer kann innerhalb der deutlichen Wahrnehmbarkeit — entsprechend genaue Hauptteilung vorausgesetzt — abgelesen werden.

Liegt der Nonius so an der Hauptteilung, dass sein mit 1 bezifferter Teilstrich mit einem Strich der Hauptteilung übereinstimmt, so ist sein Nullstrich (Teilungsanfang und eigentliche Ablesestelle) um 1 X D von dem ihm zunächst gelegenen Strich der Hauptteilung nach vorwärts verschoben, stimmt der mit 2 bezifferte Nuniusteilstrich mit einem Strich der Hauptteilung überein, so ist die Entfernung des Nullstrichs von dem ihm zunächst gelegenen Strich der Hauptteilung = 2 X D; stimmt endlich der mit r bezifferte Noniusteilstrich mit einem Strich der Hauptteilung überein, so ist der Nullstrich des Nonius um r X D gegenüber dem ihm vorhergehenden Strich der Hauptteilung vorgeschoben.

20

I II I

INI

Fig. 197. Hauptteilung.

30

.1,1, U

rr

10

Nonius.

Umgekehrt kann man daher die genaue Lage des Null-, oder Ablesestrichs (Zeigers) der Noniusteilung zwischen zwei Strichen der Hauptteilung dadurch bestimmen, dass man zu dem kleineren Wert von beiden das Mass r X D addiert, um welches dieser Nullstrich vorgeschoben werden musste, damit die konstatierte Übereinstimmung des rten Noniusstrichs erfolgte. Die genaue Übereinstimmung irgend eines Noniusstrichs mit einem Strich der Hauptteilung wird nicht allein an diesem Strich selbst, sondern besser an den zu ihm symmetrisch je rechts und links gelegenen Strichpaaren festgestellt, bei welchen, wenn am genannten Strich wirklich Übereinstimmung vorhanden ist, absolut gleiche, aber entgegengesetzt gerichtete Differenzen sich zeigen müssen. Um diese Ablesungsund Einstellungsverfeinerung auch für den Anfangs- und Endstrich des Nonius zu haben, wird letzterer häufig mit 1 oder 2 „Überteilstrichen“ durch Fortsetzung der Noniusteilung über die Enden hinaus versehen.

1. Beispiel. Die durch neun Teile einer Hauptteilung vorgestellte Strecke wurde auf dem Nonius in zehn gleiche Teile geteilt und es wurden die Teilstriche mit 0 bis 10 bezeichnet (Planimeter, Barometer, Kalibermassstab etc.). Welche Ablesung entspricht dem Nullstrich (Zeiger) des Nonius, wenn derselbe (s. Fig. 197) sich zwischen 29 und 30 der Hauptteilung befindet, und der Strich 7 des Nonius mit einem Teilstrich der Hauptteilung übereinstimmt?

Antwort: 29    7 X L = 29,7.

Fig. 198.

N°^S

(ff

10

L1111 /. i. i. i i i i i

Wrmmm

210

220

wenn er

Hauptteilung befindet und wenn sein 23^ Strich mit einem Strich der letzteren übereinstimmt?

Antwort: Die direkte Ablesung ist

2. Beispiel. Ein Yollkreis ist in 1080 gleiche Teile je zu ¹/₃ ⁰ geteilt. Der durch 39 Teile vorgestellte Bogen wurde auf dem Nonius in 40 gleiche Teile zerlegt. Welche Ablesung entspricht dem Nullstrich (Zeiger) des Nonius, (s. Fig. 198) sich zwischen den Werten 211° 00' und 211° 20' der

Die letzte Noniusziffer zeigt dann immer den Wert eines Teils der Hauptteilung an und die Noniusangabe und -Ablesung ergibt sich ohne Rechnung durch einen Blick auf die Nonius-Bezifferung und -Strichlängen.

In beiden vorstehenden Beispielen war die Zahl n der Noniusteile um 1

Vor- bezw.

(Ver^onlus. grösser gewählt, als diejenige der zur ganzen Noniuslänge verwendeten Teile L

der Hauptteilung. Die Länge N eines Noniusteils blieb daher um die Noniusangabe D = — zurück hinter derjenigen eines Teils der Hauptteilung, die

Noniusbezifferung dagegen erfolgte in der Vorwärtsrichtung, d. li. in gleicher Richtung mit der Hauptteilung.

Hätte man zur ganzen, in n Teile zerlegten Noniuslänge dagegen (n -f- 1) Teile der Hauptteilung verwendet, so wäre die Länge N jedes Noniusteils um die

Noniusangabe D = ■ — grösser geworden, als diejenige eines Teiles L der Hauptteilung. Die Noniusbezifferung hätte dann in der Rückwärtsrichtung (entgegengesetzt derjenigen der Hauptteilung, wie beim Schätzmikroskop) erfolgen müssen. Diese Eigenschaft führt zur unterscheidenden Bezeichnung: „Vortragender“ bezw. „rücktragender“ Nonius. Da die letztere Form, trotz grösserer Noniusteile, keine genaueren Ablesungen liefert, als die erstere (Nonienangabe in beiden Fällen

— L), diese aber wegen der mit der Hauptteilung übereinstimmenden Bezifferungsrichtung bequemer ist, wird praktisch nur sie angewandt.

Geht die Bezifferung der Hauptteilung von einem Nullpunkt aus nach zwei einander entgegengesetzten Richtungen (Höhenkreis), so muss dasselbe beim Nonius der Fall sein. Man braucht also einen Doppelnonius mit gemeinsamem Nullpunkt, von dem immer derjenige Teil zur Ablesung verwendet wird, dessen Bezifferungsrichtung mit derjenigen der Ablesestelle auf der Hauptteilung übereinstimmt.

genauigkeit Die Ablesegenauigkeit und die Noniusangabe D sind inner-'zur Noniushalb der Grenzen des Unterscheidungsvermögens, fehlerfreie Teilung vorausgesetzt, einander umgekehrt proportional. Je kleiner D = —,

Doppel

nonius.

Ablese

angabe.

um so grösser ist die Genauigkeit. Letztere lässt sich also unter obigen Voraussetzungen steigern durch Wahl kleiner Intervalle L der Hauptteilung und grosser Zahl n der Noniusteile. Beide Hilfsmittel schädigen aber, wenn zu weit getrieben, die Ablesebequemlichkeit (Unübersichtlichkeit der Hauptteilung, allzu langer Nonius).

Setzen wir für das Vermögen, kleine Breitenunterschiede wahrzunehmen, unter normalen Teilungs- und Beleuchtungsverhältnissen einen Gesichtswinkel von 10" a. T. fest (nach Versuchen von Eggert geht er unter günstigen Verhältnissen bis zu 3" herab),

so lässt sich bei einer deutlichen Sehweite von 300 mm mit freiem

300.10"

Auge noch ein solcher von D —

Q"

= 0,015 mm erkennen.

Auf einer Kreisteilung von beispielsweise 60 mm Halbmesser können

wir also unter obiger Voraussetzung mittels eines Nonius mit freiem

0,015 x q‘

Auge noch Winkelwerte bis zu

60

= rund 1' a.T. ablesen.

Diese Ablesegenauigkeit ist für viele praktische Zwecke ungenügend. Wir sind dann je nach der nötigen Ablesegenauigkeit genötigt, zur Beobachtung des Nonius noch eine Lupe, welche eine 2- bis 8 fache Vergrösserung ergibt, also die Verbindung einer optischen mit einer mechanischen Ablesevorrichtung zu verwenden.

Verbindung von Nonius mit Lupe.

Bei einiger Übung gelingt es leicht, noch Teile einer Noniusangabe D aus der Verschiedenheit benachbarter Unterschiede beider Teilungen heraus zu schätzen, wenn genaue Übereinstimmung eines Noniusstrichs mit einem Strich der Hauptteilung nicht vorhanden ist. Es ist daher nicht dringend erforderlich, die Teilung so weit zu treiben, dass die kleinstmögliche, mit der Lupe noch wahrnehmbare Strecke als Noniusangabe erscheint.

Mikroskop oder Nonius?

Das Mikroskop hat gegenüber dem Nonius den Vorzug, dass das Bild der Ablesemarke mit dem Bild der Teilung genau zur Deckung gebracht werden kann, also Parallax- und Exzentrizitätsfehler (s. S. 312 und 333) wegfallen. Auch ermöglicht das Fadenmikroskop ein bequemeres und rascheres, das Schraubenmikroskop ein genaueres Ablesen. Umgekehrt ist die Justierung des Mikroskops im Falle eingetretener Lageveränderung, oder für Beobachter von verschiedener Sehkraft zeitraubender, als diejenige der Lupenstellung bei Verwendung von Nonien. Das Mikroskop erfordert sorgsamere Behandlung. Für gewöhnliche Feldmessarbeiten, namentlich im Gebirge, ist daher der Nonius in Verbindung mit einer einfachen Lupe dem Mikroskop vorzuziehen.

B. Winkelmessinstrumente.

§ 38. Der Theodolit

ist das vollkommenste Instrument zum Messen von Horizontalwinkeln. Seine notwendigen Hauptbestandteile ergeben sich aus folgenden Funktionen: Vom Winkelscheitel aus müssen die beiden Schenkel mittels einer Zielvorrichtung (Fernröhre) angezielt werden, welche sich zum Zweck der vertikalen Projektion der Zielung auf die Horizontalebene um eine horizontale Achse kippen und, um Zielungen nach verschiedenen Richtungen zu ermöglichen, um eine vertikale Achse drehen lässt. Zur Ermittlung der Grösse der ausgeführten Drehung bedarf es einer Kreisteilung, durch deren Mittelpunkt die Drehachse und zwar senkrecht zur Teilkreisebene geht.

Zum Zweck bequemen Anzielens muss sodann das Instrument in einer mittleren Höhe von etwa 1,2 bis 1,3 m (Aughöhe) über dem auf dem Gelände bezeichneten Scheitel auf einem Gestell, dem „Stativ“, aufgestellt und befestigt werden. Um diesen Forderungen genügen zu können, muss der Theodolit folgende Teile besitzen:

1. das „Fussgestell“ G. Mit ihm fest verbunden (s. Fig. 199), oder mittels einer Achse in vertikaler Büchse drehbar (s. Fig. 200 und 201) ist:

Fig. 199.

lF

2.    der „Teilkreis“ oder „Limbus“ L, welcher eine feine Winkelteilung trägt. An der letzteren wird die Grösse der mit der Zielvorrichtung jeweils ausgeführten Horizontaldrehung abgelesen. Durch die Teilkreisscheibe tritt, gelagert entweder in der Büchse des Fussgestells (s. Fig. 199), oder in einer Bohrung der Limbus-achse (s. Fig. 200) ein während der Messung vertikaler Zapfen, die „Drehachse“ des

3.    „Zeigers“ oder der „Alhidade“ N. Zur — nötigenfalls mehrfachen — Ablesung der jeweiligen Grösse der Zeigerdrehung auf dem Teilkreis dienen Ablesestriche oder Nonien auf dem Zeiger, bezw. Mikroskope, welche mit letzterem durch

4.    die Stützen, oder Träger T fest verbunden sind. Auf den Trägern ruht

5.    die „Horizontal-“, oder „Kippachse“ K, welche mittels eines Ringes die

6.    „Fernröhre“ F umfasst und mit welcher hei den zum Messen von Vertikal winkeln eingerichteten Instrumenten der

7.    „Höhen-“, oder „Vertikalkreis“ H (s. Fig. 200 und 201) fest verbunden ist.

Schliesslich braucht man zur Horizontierung des Instruments, zur genauen Einstellung des Fernrohrs auf einen Zielpunkt und zur Festhaltung dieser Einstellung, sowie zur Erzielung eines leichten Gangs der beweglichen Instrumententeile noch

8.    Vorrichtungen zur, Horizontalstellung, Bremsung und Feinbewegung. Federung.

Fig. 201.

Fig. 200.

H/Ji.

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Der in Fig. 199 dargestellte Theodolit, bei welchem der Teilkreis L starr mit dem Fuss-gestell G verbunden ist, heisst „einfacher Theodolit“ im Gegensatz zum „Repetitions-(besser „Multiplikations“) theo-doliten“ (s. Fig. 200 und 201), bei welchem neben der AlhidadeN auch der Teilkreis L sich um eine durch die Büchse des Fuss-gestells G gegebene Achse drehen lässt.

Kann das Fernrohr um beliebig grosse Winkel gekippt, d. h. „durchgeschlagen“ werden, so nennt man den Theodoliten „Kompensationstheodolit“, weil bei dessen Verwendung die schädliche Wirkung einer Reihe von Instrumentenfehlern durch entsprechende Messungsverfahren kompensiert (zum Verschwinden gebracht) werden können.

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Nähere Betrachtung der einzelnen Instrumententeile.

Fussgestell.

1. Das Fussgestell besteht aus einem zylindrischen Mittel-stück, der Büchse M (s. Fig. 180) mit drei symmetrisch angebrachten, von aussen herein der Länge nach aufgeschnittenen und mit Muttergewinden in vertikaler Bohrung versehenen Ansätzen A.

Durch genannte Bohrungen treten die Stellschrauben S, welche entweder mittels Metalltellerchen direkt auf der Stativscheibe auf-sitzen (Fig. 199 und 201), oder in einer Metallplatte P (sei es nach Art der Fig. 180 oder der Fig. 203) gelagert sind und zur Horizontierung des Instruments dienen. [Für kleinere, (namentlich Nivellier-)

Fig. 203.

Fig 202.

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Instrumente genügt hiezu u. a. auch die Nussbewegung (s. Fig. 202).]

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Zur Festhaltung des Instruments am Stativ dient die Schraubenstange, oder der Stengelhaken (s. Fig. 178 und 179), welche einen Gewindeteil, bezw. eine Öse des Mittelstücks M fassen (federnde Verbindung), oder die Metallplatte P (s. Fig. 203 und 204) in Verbindung mit der Halteschraube P' (starre Verbindung). (Einleitende Vergleichung der Vorzüge und Nachteile der verschiedenen Befestigungseinrichtungen s. § 34.)

Die Konstruktion nach Fig. 180 erfordert innerhalb der Metallplatte P bewegliche Lagerblöcke Q, weil die Entfernung der von ihnen umschlossenen kugeligen unteren Stellschraubenenden (da die Stellschrauben ihre Führung durch die Muttergewinde der Ansätze A

erhalten) sich verändert, sobald die benützten Teile der Stellschrauben (bei wechselnder Stativstellung) ungleiche Entfernung von den Kugelenden erhalten. Diese, wenn auch geringe, Beweglichkeit der Lager bildet eine Fehlerquelle bei Winkelmessungen. Auch die starke Beanspruchung der beweglichen Lagerblöcke Q im Falle schiefer Haltung des beim Wechsel des Standpunkts auf dem Stativ befestigten Instruments erscheint bedenklich.

Diese Nachteile werden ohne Drangabe des erreichten Vorzugs zweckmässiger Senkelaufhängung und des Wegfalls schädlicher Stellschraubenpressung vermieden durch die in Fig. 203 dargestellte Verwendung einer Metallplatte mit radialen Rillen, in denensich die unteren Stellschraubenenden, gegen das Herabfallen durch eine zweite, dünne Metallplatte geschützt, entsprechend ihrem Abstand selbsttätig, aber nur während der Horizontierung verschieben können. —

Fig. 204.

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An Stelle dreier Stellschrauben verwendet man zur Horizontierung auch zwei, unter einem rechten Winkel voneinander abstehende Schrauben, denen je eine gegenüber angebrachte starke Feder entgegenwirkt (Warkentin &M. Krause, Leipzig, s. Zeitschr. f. Instr.-K. 1908,

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II¹"

S. 158), oder welche zweien Metallplatten, von denen eine die andere trägt, Kippbewegungen um zwei senkrecht zueinander stehende horizontale Achsen verleihen: „Cardanische Aufhängung“ (s. Fig. 204).

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Das Mittelstück M selbst, die „Stehachse“, trägt die Führung für die „Vertikal-“, oder „Drehachse“, sei es in Form einer zentrischen, kegelförmigen Bohrung (s. Fig. 199), eines Zapfens, oder einer angeschliffenen Lagerfläche.

2. Der Teilkreis — beim einfachen Theodoliten mit dem Teilkreis-Fussgestell (der Stehachse) starr verbunden, beim Repetitionstheodoliten um eine vertikale Achse drehbar, deren Führung das Fussgestell besorgt — besteht in der Regel aus Messing und wird meist als leicht ansteigender Kegelrumpf angeordnet, weil diese Form bequemeres Ablesen gestattet, als diejenige der Kreisscheibe. Am Rand, „Limbus“, ist ein Streifen eines zur Aufnahme feiner Teilungen geeigneten Materials (Silber, oder entsprechende Legierung etc.) eingelegt.

Für die darauf eingerissene Kreisteilung bildet der Schnitt-

punkt von Vertikalaclise und Teilungsfläche den Mittelpunkt. Die Teilung selbst ist, vom Mittelpunkt aus gesehen, rechtsläufig, nach Sexagesimal-, oder Centesimalgraden (360 oder 400) und Unterabteilungen derselben (^-°, £°, £°, -|°, |-°, TlT°) ausgefülirt. Letztere richten sich nach dem Durchmesser des Teilkreises, der (von Ablesestelle zu Ablesestelle, und nicht, wie bei einzelnen Firmen üblich, von Rand zu Rand gemessen) zwischen 7 und 30 cm schwankt. Die Bogenlänge eines Limbusteils bewegt sich in der Regel zwischen 0,2 und 0,6 mm. Je grösserder Teilkreisdurchmesser ist, um so kleiner ist der zu einer bestimmten Bogenlänge gehörige Winkel, um so grösser also — gleiche Ablesevorrichtung und Teilungsgenauigkeit vorausgesetzt — die Ablesegenauigkeit. Um so schwerer aber auch das Instrument, weil eine Steigerung der Ablesegenauigkeit auch eine solche der Zielgenauigkeit, also der Fernrohrvergrösserung fordert, welche längere Fernrohren, und damit einen kräftigeren Unterbau bedingt.

Die Bezifferung richtet sich nach dem Gesichtsfeld der Ablesevorrichtung, weil stets zwei Ziffern gleichzeitig sichtbar sein sollen und ist in Intervallen von 1°, oder 5°, oder 10° durchgeführt. Die Unterscheidung der Zwischenteile wird durch wechselnde Strkh-längen erleichtert.

Alhidade.

3. Die um eine vertikale Achse drehbare „Alhidade“ (Zeiger) trägt die Ablesevorrichtung, sowie zumeist eine Dosenlibelle. Auch die Zielvorrichtung und eventuell weitere Libellen sind durch Vermittlung der Fernrohrträger auf ihr aufgebaut. Um letzteres zu ermöglichen, ist sie zur Voll-, oder durchbrochenen Scheibe ausgebildet.

Fig. 205.

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(Werden die Ablesevorrichtungen, deren in der Regel zwei einander gegenüberstehend angeordnet werden, durch Nonien gebildet, so setzt man diese etwas tiefer als den Teilkreis, weil, zumal bei starker Lupenver-grösserung, ein an sich kleiner und für die Bewegung nötiger Abstand beider Teilungen als störende Klaffung empfunden würde. Infolge dieser Senkung projiziert sich zwar die Limbus-teilung stets auf den Nonius, s. Pfeilrichtung in Fig. 205, andererseits erhalten aber Beobachter mit verschiedener Augstellung trotz unveränderter gegenseitiger Lage der Teilungen verschiedenerlei Ablesungen. Wechselnde Tiefe des Nonius bedingt ferner scheinbare Änderung der Noniuslänge, also mangelnde Übereinstimmung von Anfangs- und Endstrich.)

Je kürzer der Nonius, um so bequemer die Ablesung, um so grösser aber auch bei gleicher Limbusteilung die Noniusangabe.

Je stärker die Lupenvergrösserung, um so kleiner kann umgekehrt die Noniusangabe gehalten werden. Um so länger ist aber bei bestimmter Limbusteilung der Nonius und um so kleiner das Gesichtsfeld der Lupe, also die Bequemlichkeit und Geschwindigkeit der Ablesung.

Normalerweise beträgt die Noniuslänge 20 bis 30 °, sie geht aber bei weit getriebener Limbusteilung oder geringer Ablesegenauigkeit wohl auch bis auf 6° herab.

Die Noniusangabe bewegt sich zwischen 10" und 1' a. T., die zugehörige lineare Bogenlänge (Unterschied eines Limbus- und eines Noniusteils) zwischen 1 und 20, im Mittel 5 Tausendstelmillimetern.

Nimmt man, wie oben (S. 306), einen Breitenunterschied von 0,015 mm als noch mit freiem Auge wahrnehmbar an, so erfordert also die lineare Teillänge von 5 Tausendstelmillimeter eine 3fach vergrössernde Lupe.

Fig. 206.

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§§

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Fig. 207.

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II

4. Die auf der Alhidade ruhenden Träger T dienen zur Auf-Träger, läge der Horizontal-, oder Kippachse des Fernrohrs und müssen, wenn mit „Kompensation“ gemessen und das Fernrohr nicht exzentrisch aufgehängt werden will, so hoch sein, dass man letzteres „durchschlagen“ kann. Sie müssen aber auch dem m bei Drehung der Alhidade auf sie ausgeübten r Druck ohne elastische, oder gar dauernde “ft Lageveränderung widerstehen können. Damit beim Kippen des Fernrohrs keine andere, als vertikale Bewegung eintritt, soll die Kippachse beiderseits nur in zwei Punkten aufruhen. Zu diesem Zweck endigen die Träger in y förmigen Lagern (s. Fig. 206) mit wiegenartigen Auflagerflächen. Zur Regulierung der gegenseitigen Höhe beider Lager bestehen entweder beide Träger samt ihrer (zuweilen schalenartigen) Verbindung aus einem einzigen Stück (s. Fig. 201), dessen Befestigung auf der Alhidade mit Justierschrauben veränderlich bewirkt ist, oder einer von ihnen endigt (wie in Fig. 199 oder 206 bezw. 207 gezeigt) so, dass dem entsprechenden Auflagerpunkt der Kippachse kleine Höhenänderungen erteilt werden können.

5.    Die Horizontal-, oder Kippachse K (s. Fig. 199 und 201) ist ein aus hartem Metall hergestellter Zylinder, welcher in der Mitte eine ringartige Öffnung zeigt. In diese wird das

Kippachse.

Fernrohr.

Höhenkreis.

Horizontier-

vorrichtnng.

6.    Fernrohr F (s. § 36) eingeschoben oder eingeschraubt und in dieser Lage durch Querschrauben gesichert. (Bei etwaiger Lockerung würde ein seitlich ausgeübter Druck auf das Fernrohr Winkelfehler erzeugen, was bei der Messung zu beachten ist.) Senkrecht zur Kippachse und starr mit ihr verbunden ist bei Instrumenten, welche zur Messung von Vertikalwinkeln dienen sollen:

7.    der „Höhen-, oder Vertikalkreis“ H, welcher jede Kippbewegung des Fernrohrs mitmacht und eine Kreisteilung trägt, wie der horizontale Limbus. Mittelpunkt dieser Teilung ist der Schnittpunkt der Kippachse mit der Fläche des Höhenkreises.

Diese Einrichtung bedingt den für die Teilungsbezifferung wesentlichen Unterschied, dass, während, bei der Messung von Horizontalwinkeln der Zeiger sich am feststehenden Teilkreis, sich bei der Vertikalwinkelmessung der Teilkreis am feststehenden (mit dem Träger verbundenen) Zeiger vorbeibewegt. Will man daher die Höhenwinkel wie die Horizontalwinkel rechtsläufig messen, so muss der Höhenkreis linksläufig beziffert sein. Da die Höhenwinkel häufig schärfer verlangt werden, als die Horizontalwinkel, so muss entweder der Höhenkreis grösser sein, als der Horizontalkreis (was zu schwerfälligen und unschönen Instrumenten führt), oder es muss des ersteren Teilung und Ablesevorrichtung feiner sein, als die des Horizontalkreises. Diese Forderung ist bei den wenigsten Instrumenten erfüllt.

8.    Vorrichtungen zur Horizontalstellung, Bremsung und Feinbewegung. Federung. Achsanordnung.

a) Die Horizontalstellung, welche mittels der Stellschrauben S des Fussgestells erfolgt, wird geprüft durch die am Theodoliten angebrachten Wasserwagen W (s. Fig. 199 bis 201), nämlich 1. die auf der Kippachse ruhende „Reiter-, oder Stützlibelle“, 2. die an den Trägern befestigte „Trägerlibelle“, und 3. die auf der Alhidade ruhende, meist in Dosenform ausgeführte „Alhi-dadenlibelle“. Von diesen Libellen ist die erstere nur bei steilen

Zielungen, die zweite nur beim Messen von Höhenwinkeln dringend erforderlich. Normalerweise genügt für Horizontalwinkel die dritte allein. Die in der Längsrichtung auf dem Fernrohr angebrachte „Nivellierlibelle“ (s. Fig. 201) findet nur bei Höhenmessungen Verwendung.

Brems- und Feinbewe-

b) Einrichtungen zur Bremsung und Feinbewegung müssen nSg“n. überall da angebracht sein, wo zum Zweck feiner Messungen Instru-

mententeile um geringe Beträge aneinander zu verschieben und schärfer einzustellen sind, als es durch direkten Druck mit der Hand möglich ist. Dies trifft beim Theodoliten zu:

1) zwischen Träger und Höhenkreis, bezw. Fernrohr, 2) zwischen Limbus und Alhidade und bei Repetitionstheodoliten, noch 3) zwischen Fussgestell und Limbus.

Gebremst wird mittels Klemmen; da aber nach erfolgter Bremsung noch kleine gegenseitige Verschiebungen der in Frage stehenden Instrumententeile möglich sein sollen, dürfen die Klemmen jene Instrumententeile nicht direkt, sondern nur durch Vermittlung eines mit der Bremsvorrichtung verbundenen Zwischenstücks Zusammenschlüssen, das die Feinbewegung regelt.

Von den in Frage kommenden Konstruktionen seien hier nur folgende drei am meisten verbreitete angeführt (vergl. im übrigen: Vogler, „ Abbildungen geodätischer Instrumente“, Berlin, beiP.Parey):

Fig. 208.

Si

a) die gespaltene, federnde Ringklemme (s. Fig. 208). Der Ring R umfasst lose von aussen die Büchse M des Fussgestells, in deren Bohrung der drehbare Instrumententeil (die Limbus-, oder die Alhidadenachse) läuft.

Ein kurzes, mit diesem drehbaren Instrumenten- ^ teil starr verbundenes Vierkant V wird zwischen Schraube Si und Federbolzen B der Feinbewegungsvorrichtung hereingepresst, so dass diese samt dem Ring jede dem beweglichen Instrumententeil gegebene Drehung mitmachen muss. Wird durch Anziehen der Bremsschraube S₂ der Spalt A verkleinert, so presst sich die Klemme R gegen die Fussgestellbüchse — die gegenseitige Stellung dieser und des Vierkants V wird durch Vermittlung der Klemme und der Feinbewegungsvorrichtung festgehalten.

Eine Verschiebung von V und damit des das Vierkant tragenden drehbaren Instrumententeils ist nur noch mittels Benützung der Schraube Si und innerhalb der von der Feinbewegungseinrichtung gegebenen Grenzen möglich. Die letzte, genaue Einstellung erfolgt hiebei zweckmässig immer derart, dass das Vierkant V nnd durch dieses der Bolzen B entgegengesetzt der Richtung der Federkraft gedrückt wird. Diese Einrichtung hat den Nachteil, dass beim Lösen

und Bremsen die Schraube S₂ um mehrere Gänge gedreht werden muss. Bequemer ist in dieser Beziehung:

ß) die starre Ringklemme (s. Fig. 209). Hier wird die Bremsung statt durch Schliessen eines gespaltenen Rings durch ein

Fig. 209.

St.

$2

im starren Ring angeordnetes federndes Plättchen P erzielt, das beim Anziehen der Bremsschraube S₂ in radialer Richer tung gegen den feststehenden Instrumententeil gepresst wird. Dadurch wird umgekehrt auch der Ring fest an diesen Instrumententeil gedrückt. Die Feinbewegungsvorrichtung ist dieselbe wie unter (a). Die starre Ringklemme hat den Nachteil, dass durch das Anziehen der Bremsschraube S₂ leicht ein radiales Mitschleppen des Vierkants und damit ein seitliches Neigen der Drehachse erfolgt. Diesen Nachteil vermeidet:

Fig. 210.

S,

1 SliK

und zwar

4rm

y) die Rand klemme (s. Fig. 210). Bei ihr pressen zwei Klemmplatten Ki und K₂, wenn die Bremsschraube S2 angezogen wird, einen Teil des Randes des feststehenden Instrumententeils (z. B. des Teilkreises) zwischen sich herein. Mit dem drehbaren Instrumententeil ist ein gabelförmiger Rahmen G verbunden, welcher Feinschraube Si und Federbolzen B trägt. Beide fassen wieder ein — jetzt aber mit dem feststehenden Teil verbundenes — Vierkant V zwischen sich, das von der oberen Kf Klemmplatte Kx emporragt. Wird die Brems-"v schraube angezogen, so bildet demnach der unbewegliche Instrumententeil (z. B. der Teilkreis) samt beiden Klemmplatten und dem Vierkant V eine starre Verbindung, gegen welche der Alhi-dadenkreis durch die an ihm befestigte Fein-^ schraube Sx und Federbolzen B kr* innerhalb der durch den Gabelrahmen G gegebenen Grenzen verschiebbar — festgehalten wird. Diese Einrichtung hat folgende Nachteile: Das Anziehen der Bremsschraube S₂ hat leicht eine Biegung der beiderseitigen Ränder, bezw. eine Neigung der Drehachse infolge Reibung beim Herabziehen der oberen Klemmplatte samt dem Vierkant V zur Folge. Auch erzeugen Schmutz und verharztes Öl in der unteren nutenförmigen Führung des feststehenden Instrumentenrandes, sowie eine etwaige

geringe Verdrehung des Klemmplättchens I\₂ unter Umständen Stauchungen, welche zu Messungsfehlern Veranlassung geben können.

Die beiden Einrichtungen (a) und (ß) sind im allgemeinen der Einrichtung (y) vorzuziehen, weil bei ihnen die angedeuteten schädlichen Wirkungen weniger stark in die Erscheinung treten.

c) Federung. Die Drehachsen der Limbus und der Alhidade Fedenu,&-haben je nach ihrer Anordnung ein grösseres, oder geringeres Gewicht zu tragen. Infolge des hiedurch hervorgerufenen Drucks nach unten würden sich die Achsen beim Mangel von Gegenvorkehrungen im Laufe der Zeit in ihre Lager einbohren, wodurch nicht nur eine Vertiefung der Alhidade samt Nonius (vergl. S. 312—313), sondern auch erschwerte Drehung entstünde. Diesem Einbohren und den nachteiligen Folgen beschädigter Drehachsen wird entgegengewirkt, indem man letztere aus besonders hartem Metall (Stahl, Rotguss) herstellt, die Reibungsflächen nicht auf die ganze Konuslänge erstreckt und einen Teil des Drucks durch Einschaltung von Federn auf hebt.

Achs

anordnung.

Die Art dieser Federung ist, namentlich bei Repetitionstheodoliten, von der Achsanordnung (vergl. auch Vogler, „Abbildungen etc.“) abhängig. Die verbreitetste Achsanordnung ist die Reichenbachsche, bei welcher die aussen konisch geschliffene Limbusachse in der Büchse des Fussgestells ruht, durch eine innere, ebenfalls konische Bohrung aber Raum gibt für die Aufnahme der Alhidadenachse (s. Fig. 180 und 199 für den einfachen, Fig. 179 für den Repetitionstheodoliten).

Fig. 211.

Achsanord-

KliSäiQ

Die Federung E (s. Fig. 179, 180 und 199) hat also beim Repetitionstheodoliten einerseits die Fuss-gestellbohrung und anderseits die Bohrung der Limbusachse, beim einfachen Theodoliten nur die erstere zu entlasten. Die Reichenbachsche nung ermöglicht zwar eine gedrungene Form des Instruments, aber es ist sehr schwer, den äusseren und den inneren Konus des Limbuszapfens achsengleich zu machen.

ü:

Einfacher wird die Federung bei der französischen Achsanordnung (schematisch dargestellt in Fig. 211), bei welcher die Büchse des Fussgestells für die Aufnahme der Alhidadenachse konisch durchbohrt, die Fläche zur Führung der Limbusachse ihr

dagegen aussen angescliliffen ist. Diese Anordnung hat jedoch den Nachteil, dass, falls die äussere Führungs- und die innere Bohrungsfläche des Fussgestells nicht achsgleich sind (s. Fig. 2 31), die gemeinsame Drehung von Limbus und daran festgebremster Alhidade nicht erfolgen kann ohne Stauchungen und Änderungen ihrer gegenseitigen Stellung.

Fig. 212.

Verwendet man eine Winkel-5? beobachtungsmethode, bei welcher / das Durchschlagen des Fernrohrs / ohne Nachteil durch das Umlegen ²³ ersetzt werden kann (Richtungsbeobachtung s. § 42), so können Limbus und Alhidade einen einzigen Achszapfen erhalten, womit sich Führung und Federung wesentlich vereinfacht. Diese Achsanordnung verwenden (Repsold, Pistor und Martins u. a., s. Fig. 212).

Ausserordentlich wichtigist es, die Berührungsflächen der Achsen gegen die ritzende Wirkung von Staub und feinen Sandkörnern und gegen Rost zu schützen.

Instru-

rnenten-

Nach Benützung bei windigem oder regnerischem Wetter, wie behandiung. aucj₁ nach längeren Gebrauchsperioden sind diese Teile daher gründlich zu reinigen und mit einem Fetthauch zu versehen.

Über die Dauer von Beobachtungspausen wird eine genügend weite Schutzkappe über das Instrument gestreift, die möglichst rein zu halten ist. (Nicht auf die Erde legen!)

Das verschiedene Ausdehnungsvermögen der Metallteile bewirkt nach Temperaturwechseln häufig erschwerte Achsdrehung. Durch Emporhebender Oberteile ist hier leicht abzuhelfen. (Weiteres s. S. 347.)

Weitere Winkelmessinstrumente, — Messtisch, Bussole — siehe unter: „Tachymeterinstrumente“.

§ 39. Untersuchung und Richtigstellung („Justierung“, „Rektifikation“) des Theodoliten. Untersuchung und Eliminierung der Wirkung nicht verbesserbarer Instrumentenfehler auf die Messung von Horizontalwinkeln.

An den Theodoliten zu stellende Forderungen.

Die Annahme des § 38, dass die auf der horizontalen (bezw. vertikalen) Kreisteilung gemachten Ablesungen die tatsächliche Grösse der mit dem Fernrohr bewirkten Horizontal- (bezw. Vertikal)-drehung, den Winkel wert anzeigen, stützt sich auf die Voraussetzung, dass 1. die Kippbewegung des Fernrohrs bei jeder Zielung

in vertikaler Ebene erfolgt, und dass 2. der die Ablesungen liefernde Teilkreis nicht bloss eine während seiner Verwendung horizontale (bezw. vertikale) Lage hat, sondern auch eine richtige Teilung trägt, deren Mittelpunkt mit dem Schnittpunkt zwischen Teilkreisfläche und Drehachse zusammenfällt. Der erste Teil dieser Voraussetzung ist erfüllt, wenn während der Beobachtung die vertikale Drehachse (beim Repetitionstheodoliten die beiden Drehachsen) genau vertikal, die Kippachse horizontal und die Ziellinie (Kollimationsachse) senkrecht zur Kippachse gerichtet sind; der zweite Teil, wenn Horizontalkreis- und Nonienmittelpunkt, sowie Schnittpunkt von Ziel-, Kipp- und Vertikalachse bei horizontiertem Instrument in einer Vertikalen (bezw. wenn Kippachse und Mittelpunkt der Vertikalkreisteilung und der zugehörigen Nonien in einer Horizontalen) liegen und dabei die Teilungen selbst richtig ausgeführt sind.

Das Winkelmessinstrument muss demnach folgenden Anforderungen genügen:

Zu 1. a) Die vertikale Drehachse (Vertikalachse, Stehachse) sei senkrecht zur Libellenachse gerichtet.

b) Die Ziellinie stehe senkrecht zur Kippachse.

c) Die Kippachse „

„ Vertikalachse.

Um das Anzielen nicht immer genau mit dem Kreuzungspunkt der Fäden bewirken zu müssen, und um leicht feststellen zu können, ob die angezielten Stäbe etc. vertikal stehen, fügen wir als Bequemlichkeitsforderung noch bei:

d) Der Vertikalfaden des Fernrohrs soll in der Kippebene liegen.

Zu 2. e) Vertikalachse, Kippachse, Ziellinie müssen sich in einem Punkt schneiden.

f)    Teilkreis- und Nonienmittelpunkt müssen in der verlängerten, vertikalen (bezw. horizontalen) Drehachse liegen.

Von den Teilkreisen verlangen wir:

g)    Die nach den verschiedenen Teilstrichen gezogenenTeilkreis-radien müssen mit dem Nullradius die durch Bezifferung und Strichlängen jeweils angezeigten Winkel einschliessen.

h)    Ihre Ebenen sollen senkrecht stehen auf den zugehörigen Drehachsen.

Endlich sollen im Falle der Verwendung eines Repetitionstheodoliten :

i) Limbus- und Alhidadenachse zusammenfallen.

Sind nicht alle Anforderungen a bis i bei einem Theodoliten von vornherein erfüllt, so lässt sich das Instrument innerhalb gewisser

Grenzen wenigstens bezügl. einzelner von ihnen (nämlich der Abweichungen gegen die Forderungen a bis d) durch den Techniker selbst verbessern („justieren“, „rektifizieren“). Abweichungengegen die Forderungen e bis i lassen sich nicht durch Justierung wegbringen. Ihre Wirkung muss durch geeignete Beobachtungsverfahren eliminiert („kompensiert“), oder wenigstens eingeschränkt werden.

Untersuchung und Richtigstellung des Theodoliten in bezug auf die verbesserbaren Fehler.

Für die Reihenfolge der Untersuchung und Richtigstellung gilt die selbstverständliche Forderung, dass eine bereits erfolgte teilweise Justierung durch den weiteren Verlauf der letzteren nicht wieder aufgehoben werden darf. Diese Forderung führt zur Unterscheidung zweier Theodolitkonstruktionen, nämlich Konstruktion I: Libelle fest mit der Alhidade verbunden (Dosenlibelle, Trägerlibelle);

Konstruktion II: Libelle abnehmbar und auf der Kippachse umsetzbar (Reiterlibelle).

Viele Instrumente besitzen beide Arten von Libellen. Bei ihnen erfolgt die Richtigstellung mit der empfindlichsten von ihnen.

Nach ihrer Durchführung und erfolgter Horizontierung des Instruments werden zum Schluss dann die anderen Libellen mittels ihrer Korrektionsvorrichtungen zum Einspielen gebracht.

Libelle fest auf der Alhidade.

Konstruktion I: Libelle fest mit der Alhidade verbunden. (Dosenlibelle, Trägerlibelle).

Wir beginnen mit der Forderung:

Vertikalachse _L Libellenachse.

a) Vertikale Drehachse _L Libellenachse.

Wäre die Anforderung nicht erfüllt, so würde die um die Vertikalachse gedrehte Libellenachse eine Kegelfläche beschreiben, von der höchstenfalls zwei Mantellinien horizontal gerichtet sein könnten; d. h. die Libelle könnte nur in zwei Lagen einspielen, und müsste in jeder anderen Lage einen Ausschlag zeigen. Würde man durch entsprechende Stellung der Drehachse mittels der Stellschrauben dafür sorgen, dass die Richtungen dieser beiden horizontalen Mantellinien senkrecht aufeinander stehen, so würde sich der Maximalausschlag nach einer Drehung um 1^- R (genähert um 2 R) von jeder dieser beiden Grundstellungen aus, zeigen.

Die Untersuchung geschieht daher wie folgt:

Allgemeine Horizontalstellung (Einspielen der Libelle in zwei senkrecht zu einander stehenden Lagen zuerst über zwei Stellschrauben, dann über die dritte) mittels der Fussgestellschrauben, sodann Drehung um die Vertikalachse um 2 R. Der sich zeigende Ausschlag von n Teilstrichen entspricht dem doppelten Fehler der

Achsenstellung (Fehler <jp = —^ wenn e = Libellenempfindlichkeit, s. Fig. 213), ist also zur Hälfte an den Korrektionsschrauhen der Libelle zu verbessern.

Zu grösserer Sicherheit ist die Untersuchung nach erfolgter Berichtigung zu wiederholen, nachdem die allgemeine Horizontalstellung des Instruments wie

Fig. 213.

Stellung

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zuvor mit der jetzt vorläufig berichtigten Libelle wiederhergestellt ist. Damit und mit der Verbesserung an den Korrektionsschrauben wird fortgefahren, bis die Libelle bei Drehung um 2 K, also auch im ganzen Kreis herum, keinen verbesserbaren Ausschlag mehr zeigt.

Weichen beim Repetitionstheodoliten die Richtungen von Limbus- und Alhidadenachse voneinander ab (Widerspruch gegen Anforderung i), so zeigt sich dies bei der Reichenbachschen Achsanordnung, wenn zu vorstehender Berichtigung die eine von beiden Achsen benützt wurde, dadurch, dass bei Horizontaldrehung unter Benützung der anderen Achse die berichtigte Libelle wieder ausschlägt. Die französische Achsanordnung lässt vorhandene Divergenz der beiden Vertikalachsen nicht direkt erkennen.

Eine Verbesserung dieses Achsenfehlers hat durch den Mechaniker zu erfolgen. Solange sie nicht bewirkt ist, muss man das Beobachtungs- und Hori-zontierverfahren der erkannten Instrumenteneigenschaft anpassen (s. Kapitel 10).

Vertikalfaden in der Kippebene.

Wir wenden uns nun zur Forderung:

d) Vertikalfaden in der Kippebene.

Zum scharfen Anzielen eines fernen Punktes oder Gegenstands mit dem Fernrohr benützen wir nach § 36 das Fadenkreuz und zwar verstehen wir unter der „Ziellinie“ die Verbindungslinie des optischen Mittelpunktes vom Objektiv mit dem Kreuzungspunkt der beiden Fäden. Sie zum Zusammenfallen (zur Kollimation) bringen mit der durch den Zielpunkt, den optischen Mittelpunkt des Objektivs und das Bild bestimmten Geraden heisst: „Anzielen des Gegenstands“. Nun ist beim Einstellen des Fernrohrs die Beschränkung gerade auf den Fadenkreuzungspunkt schwerfällig. Wir ziehen daher, wie schon oben angedeutet wurde, vor, irgend einen in seiner Nähe befindlichen Punkt des Vertikalfadens mit dem anzuzielenden Gegenstand zur Deckung zu bringen. Soll dies zulässig sein, so muss aber dieser Faden während der Zielung vertikale Lage haben, oder in der Kippebene liegen. Daher:

Untersuchung: Anzielen eines festen Punktes (Blitzableiter-

Weitbreeht, Vermessungskunde.

spitze etc.) mit dem Kreuzungspunkt der Fäden (bei nicht notwendig horizontiertem Instrument). Kippen nach oben und unten je um das halbe Gesichtsfeld. Der Vertikalfaden darf den angezielten Punkt nicht verlassen.

b) Ziellinie JL Kippachse.

Etwa nötige Verbesserung durch Drehen des Okularkopfes. Die Untersuchung wendet sich nun zur Forderung:

b) Ziellinie senkrecht zur Kippachse.

Wäre sie nicht erfüllt, so würde die Ziellinie beim Kippen eine Kegelfläche um die Kippachse beschreiben. Die Projektion irgendwelcher geneigten Zielrichtung auf die durch die Kippachse gehende Horizontalebene würde also durch diese Kegelfläche, statt durch eine Yertikalebene erfolgen, die Projektionsfläche selbst würde eine zur Kippachse parallele vertikale Bildebene nach einer Hyperbel, statt

Fig. 214.

nach einer vertikalen Geraden schneiden.

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V-.

Fig. 215.

Die Untersuchung kann auf verschiedene Weise erfolgen, nämlich: «) (Analog der Prüfung des Schiebdreiecks) Anzielen eines fernen Punktes P (s. Fig. 214), alsdann vorsichtiges Ausheben der Kippachse und Wiedereinlegen unter verwechselter Benützung der Lager: „Umlegen“. Der Punkt P muss wieder durchs Fadenkreuz gedeckt sein. Eine etwaige Abweichung entspräche dem doppelten Fehler 2 q> des Winkels zwischen Ziel- und Kippachse, und wäre durch seitliches Verschieben des Diaphragmas (Fadenkreuzträgers) mittels dessen Korrektionsschrauben bis zur Mitte der Abweichung wegzubringen.

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^ßppcLch/c-

hrlage

2.Fernro

Auch hier wird man die Untersuchung so lange wiederholen, bis sich keine Abweichung mehr zeigt. Voraussetzung hiebei ist, dass die Zielachse die zwischen beiden Fernrohrträgern liegende Kippachsenstrecke halbiert. Wäre dieses (beabsichtigter- oder unbeabsichtigterweise) nicht der Fall, so hätte die vorstehende Justierung den Winkel zwischen Kippachse und Ziellinie nicht zu einem Rechten gemacht. Den doppelten Exzentrizitätsbetrag 2 e könnte man dann direkt auf einem in der Nähe des Instruments senkrecht zur Zielrichtung aufgelegten Massstäbchen A B ablesen (s. Fig. 215) und bei der endgültigen Herstellung des verlangten rechten Winkels berücksichtigen.

Verfahren ß): Anzielen eines fernen Punktes P. Durchschlagen des Fernrohrs und Drehen der Alhidade um 2 R (bis der Zeiger den „Gegenpunkt“ der ursprünglichen Einstellung zeigt, s. § 40.) P muss wieder vom Fadenkreuz gedeckt sein. Etwaige Abweichung entspräche dem doppelten Fehler 2 cp (s. Fig. 216) und wäre wieder p zur Hälfte mittels der Verbesserungsschräubchen des Diaphragmas wegzuschaffen.

Fig. 216.

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In bezug auf Wiederholung des Verfahrens und etwaige exzentrische Fernrohraufhängung gilt das unter (a) Gesagte.

Die Verfahren (a) und (ß) erfordern nur eine sichere Unterlage fürs Instrument, aber keinen Messgehilfen, ja nicht einmal das Verlassen des Zimmers. Anderseits fordert das Verfahren (a), dass dabei die auf die Kippachse drückenden und Reibung verursachenden Bügel ausser Wirkung gesetzt werden. Dies ist unangenehm bei mangelnder Gleichgewichtslage des Fernrohrs in den Trägern. Ebenso bildet beim Verfahren (ß) die Notwendigkeit, den Gegenpunkt eines Punktes der Kreisteilung zu bestimmen, eine Erschwerung. Deshalb kann sich unter Umständen folgendes

VA

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Y'/ ^

I V 'l| ^Mppachfe

Fig. 217.

Verfahren (y) empfehlen, das allerdings die Instrumentenaufstellung im Gelände voraussetzt: Anzielen eines fernen Punktes P (s. Fig. 217), Durchschlagen des Fernrohrs und Einweisen eines Punktes Pi (bezw. Ablesen auf einem quer gelegten Massstab). Wiederholte Anzielung von P in der durchgeschlagenen Fernrohrlage durch Alhi-dadendrehuug um die Vertikalachse und nochmaliges

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Durchschlagen des Fernrohrs (Wiederherstellung der ersten Fernrohrlage). Der Punkt Pi muss wieder vom Vertikalfaden gedeckt sein. Die etwaige Abweichung P₂ Pi des letzteren von Pi entspräche dem vierfachen Fehler. Mittels der Verbesserungsschräubchen des Okulars wäre daher das Diaphragma so zu verschieben, dass der Vertikalfaden den ersten Viertelpunkt von P₂ gegen Pt deckt.

In bezug auf Wiederholung des Verfahrens und etwaige exzentrische Fernrohraufhängung gilt das unter (a) Gesagte.

Fig. 218.

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Die Methoden (a) bis (y) setzten voraus, dass das Fernrohr durchgeschlagen, oder wenigstens umgelegt werden kann. Diese Voraussetzung ist bei Messtischen und Tachymetertheodoliten häufig nicht erfüllt. In diesem Fall muss die verlangte Senkrechtstellung von Kippachse und Ziellinie geprüft werden durch: d) Verfolgung des Wegs, den die Ziellinie heim Kippen des Fernrohrs beschreibt. Bilden ihre verschiedenen Lagen eine Ebene, d. h. gehen sie durch eine beliebige, z. B. vertikale Gerade, so ist die verlangte Senkrechtstellung beider Achsen vorhanden. Zur Untersuchung/ ob dies zutrifft, sorgt man mit Benützung der Fussgestellschrauben dafür, dass der Fadenkreuzungspunkt des bei festgebremster Vertikalachse gekippten Fernrohrs zwei Punkte A und B mit grossem Höhenunterschied einer Geraden (Hauskante, gespannter Faden etc.) deckt. Alsdann verfolgt man, durchs Fernrohr blickend, ob dies während dessen Kippung auch bei allen andern Punkten der Geraden der Fall ist. Etwaige wachsende und dann wieder abnehmende Abweichung nach Fig. 218 würde (vergl. Einleitung zu b) die mangelnde Senkrechtstellung von Ziellinie und Kippachse beweisen und wäre — ohne Rücksicht auf etwaige exzentrische Fernrohraufhängung — durch versuchsweise Verschiebung des Diaphragmas mittels seiner horizontal wirkenden Verbesserungsschräubchen wegzubringen.

Als letzte folgt die Untersuchung in bezug auf die Forderung:

c) Kippachse 1 Vertikal achse.

c) Kippachse senkrecht zur Vertikalachse. Die beim Kippen von der Ziellinie beschriebene Ebene muss während der Messung vertikal sein. Dies ist nur der Fall, wenn die Kippachse horizontal, d. h. senkrecht zu der mittels der Wasserwagen vertikal gerichteten Stehachse ist.

Verfahren a) der Untersuchung: Nachdem das Instrument horizontiert ist, zielt man einen hochgelegenen Punkt A (s. Fig. 218) einer vertikalen Geraden (Faden mit einem — zur Dämpfung der

Pendelbewegungen — in Wasser gehängten Gewicht) an. Verlässt der Vertikalfaden des Fernrohrs beim Kippen diese Gerade und zwar mit der Grösse der Kippbewegung stetig wachsend, so weicht die dabei wirksame Dreh-, nämlich die Kippachse, von der wagrechten Lage ab und muss mittels der Verbesserungsschrauben des einen Lagers, bezw. der Träger, in diese gebracht werden. Dies ist erreicht, wenn bei horizontiertem Instrument und festgebremster Vertikalachse der Fadenkreuzungspunkt nach erfolgter Einstellung auf A die Vertikale AB beim Kippen nicht verlässt. —

Der vorgezeigte, abgesehen von der Instrumentenstellung — Instrument hier horizontiert, dort Ziellinie durch zwei Punkte A und B gehend — mit der Methode b, d übereinstimmende Weg der Untersuchung, welcher das Aufhängen eines Senkels verlangt, ist unbequem, weil der Senkelfaden durch Luftströmungen beeinflusst wird, und weil bei starker Kippbewegung die Zielweiten sich derart ändern, dass zur Feststellung der Fadendeckung der Okularauszug benützt werden muss. Diese Nachteile werden vermieden durch das Verfahren ß) der Verwendung einer horizontalen spiegelnden Ebene (See; Gefäss mit spiegelnder Flüssigkeit (z. B. reiner Tinte); mittels Libelle horizontierter Spiegel, d. h. „künstlicher Horizont“). Der von einem hochgelegenen Punkt P (s. Fig. 219) ausgehende, auf eine

Fig. 219.

d-'*

spiegelnde horizontale Ebene E treffende, liegt mit dem von ihr zurückgeworfenen, ins Auge, oder ins Fernrohr des horizontierten Instruments gelangenden Lichtstrahl E J in einer vertikalen Ebene (Einfallslot vertikal). Deckt daher das Fadenkreuz nach entsprechender Kippung des Fernrohrs hei festgebremster Drehachse und horizontiertem Instrument sowohl den Punkt P als sein Spiegelbild $J$, so ist die Kippbewegung vertikal, und die Kippachse horizontal, d. h. senkrecht zur Vertikalachse. Wird dabei einer der Punkte P oder ^3 vom Fadenkreuz nicht gedeckt, so muss wie hei (a) das justierbare Fernrohrlager mittels der entsprechenden Verbesserungseinrichtung entsprechend gehoben oder gesenkt werden.

Die beiden Verfahren (d) und (ß) verlangen keine durchschlagbare Fernröhre, auch ermöglicht (ß) die Benützung einer sehr starken Kippbewegung. Doch stehen nicht immer die dabei benützten Hilfsmittel zur Verfügung. Man kann dann, durchschlagbares, oder wenigstens umlegbares Fernrohr vorausgesetzt,

y) den hochgelegenen Punkt P bei horizontiertem Instrument mittels Kippbewegung des Fernrohrs auf einen unten quer gelegten Massstab in beiden Lagen des Fernrohrs (Alhidade um 2 R gedreht, womit die Kippachsenlager verwechselte Stellung einnehmen) herunterprojizieren. Fallen beide Projektionen zusammen, so war die Kippachse horizontal, also senkrecht zur Vertikalachse. Andernfalls halbiert die horizontal projizierende Ebene des Zielstrahls JP die Verbindungsstrecke beider erhaltenen Projektionspunkte, und man hat das justierbare Kippachsenlager mittels der entsprechenden Verbesserungseinrichtung, so zu heben bezw. zu senken, dass (immer bei horizontiertem Instrument) das Fadenkreuz des Fernrohrs den Punkt P, und nach erfolgter Kippung jenen Halbierungspunkt deckt.

Theodolit-Konstruktion II: Libelle auf der Kippachse umsetzbar

(Reiterlibelle).

An Stelle der Forderung (c): Die Kippachse stehe senk

recht zur vertikalen Drehachse, tritt hier die (in der Wirkung Kparaiiei' gleichbedeutende) Forderung: Die Kippachse sei parallel der

Libellen-

aclise.

Libellenachse.

Mit ihr beginnt die Untersuchung:

Bei beliebig gestelltem (nicht notwendigerweise horizontiertem) Instrument und festgebremster Vertikalachse wird mittels der Stellschrauben die Stützlibelle zum Einspielen gebracht und alsdann umgesetzt. Ein hiebei etwa sich einstellender Libellenausschlag würde (wie S. 29) Ungleichheit der Libellenfüsse und zwar (wie dort und in Fig. 220 zu ersehen) in ihrem doppelten Betrag anzeigen und wäre zur Hälfte mittels deren vertikal wirkenden Korrektionsschrauben (zur andern Hälfte durch Veränderung des Lagers mittels der Fussgestellschrauben) wegzubringen.

Fig. 220.

Um schädliche Spannungen zu vermeiden, sind die Ausschnitte der Stützen, mittels derer das Aufsetzen der Reiterlibelle auf der Kippachse erfolgt, grösser, als nötig. Dadurch werden aber kleine gleitende Bewegungen der aufgesetzten Libelle parallel und senkrecht zur Kippachse möglich. Hiebei darf sich kein Libellenausschlag zeigen. Etwaige Ausschläge beim Gleiten parallel zur Kippachse würden auf Unregelmässigkeiten der letzteren schliessen lassen, die durch den Mechaniker zu entfernen wären. Beim Drehen der Libelle senkrecht zur Kippachse etwa auftretende Ausschläge würden windschiefe Lage des Libellenkörpers innerhalb der Li-bellenfüsse beweisen und durch Benützung der horizontal wirkenden Verbesserungsschrauben der Libelle zu entfernen sein.

Durch die geschilderten Untersuchungen und Verbesserungen wurde die obere Mantellinie der Kippachse parallel zur Libellenachse gerichtet, nicht aber die jeweils untere, auf welcher die Wälzung bei der Kippbewegung erfolgt. Etwaige Divergenz beider Mantellinien, d. h. ungleiche Dicke der Kippachse, würde trotz horizontaler oberer, eine geneigte Lage der unteren Mantellinie verursachen, und der Kippbewegung eine von der Vertikalen abweichende Richtung verleihen. Die hiernach nötige Gleichheit der Kippachsendicke ist vorhanden, wenn die aufgesetzte und zum Einspielen gebrachte Reiterlibelle auch wieder einspielt, nachdem das Fernrohr umgelegt (die Kippachse in die verwechselten Lager eingelegt) wurde, oder wenn bei einspielender Reiterlibelle nach Erfüllung der Anforderung (b) die bei Konstruktion I gezeigten Untersuchungsverfahren c «, ß, oder y keine Abweichungen ergeben.

Die — nur nach längeren Zeiträumen zu untersuchende — Gleichheit der Kippachsendicke wäre nötigenfalls durch den Mechaniker herzustellen. So lange sie nicht erzielt ist, müsste das Instrument wie der Konstruktion I angehörig (bei welcher die Kippachsendicke gar nicht in Frage kam), behandelt werden. Es wäre also die umsetzbare Reiterlibelle, gleich als ob sie mit der Alhidade fest verbunden wäre, immer nur in einer und derselben Lage zu benützen.

Nun folgt die Untersuchung der Forderung

a)    Vertikalachse _L Libellenachse,

a) Vertikalachse J_ Libellenachse.

genau, wie unter Ia gezeigt. Eine etwaige Abweichung dürfte aber nicht wie dort an den Verbesserungsschrauben der Libelle, sondern müsste an dem justierbaren Kippachsenlager berichtigt werden.

Die nun folgende Untersuchung und nötigenfalls — Erfüllung der Forderungen:

d) Vertikalfaden in der Kippfläclie und

b)    Ziellinie _L Kippachse

werden genau wie bei Konstruktion I bewirkt.

Untersuchung und Eliminierung der Wirkung der nicht verbesserbaren Instrumentenfehler.

Forderung e): Vertikalachse, Kippachse und Ziellinie sollen sich in einem Punkt schneiden.

a) Alhidaden-aclise und Ziellinie sollen sich schneiden.

Wenn: a) Alhidadenachse und Ziellinie sich nicht schneiden, sei es, weil das Fernrohr, um keine allzu hohen Träger, oder um Raum für die Aufsetzung einer Bussole zu bekommen, mit Absicht seitlich auf gehängt ist, sei es unbeabsichtigterweise, so bildet die Gesamtheit aller Fernrohrlagen beim Drehen der Alhi-dade die Umhüllenden eines Kreises, um den Alhidadendrelipunkt A, dessen Durchmesser gleich der zweifachen Exzentrizität (= 2 e) ist. Auf das Mass eines Höhenwinkels bleibt diese Exzentrizität ohne Einfluss, dagegen erhält man bei der Horizontalwinkelmessung, statt des zu messenden Winkels m = Pi A P₂ als Unterschied

Fig. 221.

der beiden, beim Anzielen der Punkte Pi und P₂ gemachten Ablesungen ax und a2 den Winkel ax, welcher im allgemeinen nicht gleich u> ist. Wiederholt man die Messung mit durchgeschlagenem Fernrohr (wobei dieses auf die andere Seite des Exzentrizitätskreises zu liegen kommt), so erhält man als Unterschied der beiden Ablesungen aF und a₂' den Winkel a₂ und es ergibt sich aus den zwei, je durch gleichgerichtete Schraffur hervorgehobenen Scheiteldreieckspaaren in Fig. 221

«1 + El = CO + £₂

a₂ —|— e₂ = (o + £1 und durch Addition

di ~|— cco — 2 o) oder (o

«1 + «2

d. h. der Einfluss der Fernrohrexzen-

trizität auf die Horizontalwinkelmessung wird durch Messung in beiden Fernrohrlagen aufgehoben („kompensiert“).

In Rücksicht auf die mit dem Instrument auszuführende Aufgabe des Einweisens gerader Linien, wie auch für den Fall der Winkelmessung in nur einer Fernrohrlage (Tachymetrie) kann es wünschenswert sein, die lineare Grösse e etwaiger Fernrohrexzentrizität zu ermitteln. Zu diesem Zweck braucht man nur einen und denselben entfernten Punkt Pi (s. Fig. 221) in beiden Lagen des Fernrohrs anzuzielen und bei jeder Zielung entweder auf dem Teilkreis, oder auf einem in der Nähe des Instruments quer gelegten Massstab abzulesen.

Ist keine Fernrohrexzentrizität vorhanden, so müssen beim ersteren Verfahren, justiertes Instrument vorausgesetzt, die beiden Ablesestellen ai und a/ „Gegenpunkte“ sein (sie müssen mit der Alhidadenachse in einer Ebene liegen) und die Parallax-winkel sind gleich 0. Bei Anwendung des zweiten Verfahrens werden im Fall des Zutrelfens der obigen Voraussetzung die Ablesungen öi und et/ auf dem quer gelegten Massstab einander gleich.

Ist dagegen Fernrohrexzentrizität vorhanden, so zeigt sich deren absolute Grösse e bei der zweiten Untersuchungsart direkt: 2e~a/— cti. Bei Anwendung des zuerst gezeigten Verfahrens der Untersuchung wird die Ablesestelle a/ des Teilkreises vom Gegenpunkt G zu ai um den Betrag 2ci abweichen. Man kann

also e = Sj • — berechnen, sobald man ca, d. h. sobald man den

Gegenpunkt G zu ai kennt, dessen Lage sich bei Einstellung eines der beiden Noniennullpunkte auf aj ohne weiteres als Ort des Nullpunkts vom anderen Nonius ergeben würde, wenn diese beiden Nullpunkte mit der Alhidadenachse in einer Ebene lägen. In Fig. 222 sind z. B. die Punkte a/ und a/' ebenso wie a₂' und a₂" Gegenpunkte, trotzdem ihre Winkelentfernung auf dem Teilkreis mit dem Mittelpunkt T gemessen (infolge vorhandener Exzentrizität, s. S. 331), keineswegs 2 R beträgt.

Diese Annahme ist aber keineswegs zulässig.

Liegen nun die Noniennullpunkte mit der Alhidadenachse nicht Bestimmung

°    ¹    des Gegen

in einer Ebene, so findet man den Gegenpunkt eines Teilpunktes a, i,unktes-

wenn man einen, dem halben Teilkreisumfang etwa gleichen (nämlich den zwischen beiden Noniusnullpunkten liegenden) Bogen von ai aus das eine Mal nach links, das andere Mal nach rechts auf dem Kreis um den Alhidadendrehpunkt A herumträgt (zuerst Nonius I, dann Nonius II auf ax einstellt), als Halbierungspunkt der beiden hiebei erhaltenen jenseitigen Ablesestellen.

Beispiel: Gesucht der Gegenpunkt des Teilungsnullpunktes.

Erste Einstellung Non. I auf 0 Zweite

Ablesung auf Non. II 179° 59' 00" „    „    „ I 179°58'00"

179° 58' 30" 180° 00' 00".

Der Gegenpunkt des Teilungsnullpunktes ist und nicht, wie es eigentlich der Fall sein sollte,

ß) Ziellinie und Kippachse sollen sich schneiden.

Wenn: ß) Ziellinie und Kippachse sich nicht schneiden (erstere höher oder tiefer liegt, als letztere), so bleibt dies ohne Einfluss auf die Horizont alwinkeim essung. Für die Vertikal-winkelmessung bilden die verschiedenen Fernrohrlagen genau ebenso die Umhüllenden eines um den Schnittpunkt der Kippebene mit der Kippachse beschriebenen Kreises mit derselben, (durch Messung in zwei Fernrohrlagen kompensierbaren) Wirkung, wie unter (a) für die Horizontalwinkel gezeigt.

Y)Aihidaden- Wenn: y) Vertikalachse und Kippachse sich nicht Kippachse sch neiden (letztere zu weit vorn, oder hinten lagert) so beschreibt schneiden, die Kippachse bei der Drehung der Alhidade einen Kreis um die Achse der letzteren. Die Kippebenen gehen aber (wenn das Fernrohr nicht etwa nach Fall (a) seitlich verschoben ist) trotzdem sämtlich durch die Alhidadenachse. Also ist der Fehler auf die Horizontalwinkelmessung ohne Einfluss. Der durch die geringe Vor- bezw. Rückverlegung der Kippachse, also des Scheitels zu messender Vertikalwinkel bei diesen sich einstellende Fehler ist schon wegen seiner Geringfügigkeit unschädlich, wird aber überdies durch Messen in zwei Fernrohrlagen eliminiert, weil dabei die Kippachse das eine Mal ebensoweit vor, wie das andere Mal hinter dem eigentlichen Scheitel sich befindet. Die Untersuchung zeigt also:

Der Einfluss etwaiger Abweichungen gegen die Forderung (e) auf die Horizontal- und Vertikalwinkelmessung wird durch Beobachtung in zwei Fernrohrlagen völlig kompensiert.

Forderung f): Teilkreis- und Nonienmittelpunkte müssen in der Drehachse liegen.

Zur näheren Betrachtung werden zunächst nur die vertikale Drehachse und der horizontale Teilkreis herangezogen.

a) Teilkreismittelpunkt T und Alhidadendrehpunkt A sollen zusam-menfallen.

Die Grösse des zu messenden Winkels zweier Zielungen ist gleich der horizontalen Fernrohrdrehung, d. h. gleich dem Winkel zwischen den Horizontalprojektionen der beiden zum Zweck der Zielung hergestellten Fernrohrlagen. Dabei ist es, falls a) Teilkreismittelpunkt T und Alhidadendrehpunkt A nicht zusammenfallen angesichts ihrer höchstenfalls hundertstel von Millimetern betragenden Abweichung und im Hinblick auf die langen

Schenkel für dieses Winkelmass völlig gleichgültig, ob der eine oder andere (oder keiner) von beiden Punkten mit dem Winkelscheitel auf dem Gelände mathematisch genau übereinstimmt. Dagegen unterscheidet sich der Winkel co = Pi A P₂ zwischen den beiden Fernrohrlagen wohl, und unter Umständen erheblich, von dem durch die beiden zugehörigen Ablesestellen am Teilkreis bestimmten Winkel, weil für den Scheitel des letzteren

Fig. 222.

der Teilkreismittelpunkt T gilt und die Schenkel (Teilkreis- Pt halbmesser r) sehr kurz sind.

Der bequemeren Darstellung wegen sollen (was praktisch ohne Bedeutung ist) die Ablese- (Noniennull-) punkte in der Horizontalprojektion der Zielvorrichtung (nicht, wie es ^ tatsächlich der Fall, senkrecht zu ihr) und auf dem Kreis um T (nicht, wie in Wirklichkeit um A) liegend angenommen werden. Sie seien (wie gewöhnlich) zweifach, einander gegenüberliegend angeordnet, so dass sich bei der Zielung nach Px die Ablesungen aU und a/', bei der Zielung nach P₂ die Ablesungen a₂' und a₂" ergeben. Wir erhalten demnach als Differenz der je an identischer Ablesevorrichtung gemachten Ablesungen die Winkelwerte

um.I .._____

a'l

Koni

a/ T a₂' = a₂' — a/ a₂ = a-x" T a₂“ = a₂" —ax",

die weder unter sich noch dem zu messenden Winkel co gleich sind.

Der Unterschied der drei Werte wird um so kleiner, je näher das Viereck mit den Ecken A, T und den beiden Ablesestellen dem Kreisviereck kommt.

0

Er erreicht umgekehrt sein Maximum = —•(>, wenn die eine Zielung in der Richtung AT und die andere senkrecht dazu verläuft. Für e = Tiro mm und r = 8 cm wird er in diesem Fall —

«i

0,01 • g

80

= 26" a. T.

Der Figur 222 ist aber zu entnehmen:

a₂ = 2 e₂ (Zentri- und Peripheriewinkel)

«i = 2cx (    „

«1 + «2

₂    = Si + f₂ = W.

Die vorstehende Ableitung ist auch zutreffend, wenn, wie es in Wirklichkeit zutrifft, die beiden Ablesevorrichtungen um etwa 1 R von der Zielrichtung abweichend angeordnet sind, ja überhaupt, wenn die Ablesung auf dem Teilkreis immer bei zwei festen Punkten der Alhidade erfolgt, die mit dem Alhidadendreh-punkt in gerader Linie liegen. Befinden sich die beiden Ablesestellen nicht scharf in einer Ebene mit der Alhidadenachse, sondern schliessen die Verbindungslinien des Alliidadendrehpunkts mit den beiden Ablesestellen a' und a" den Winkel 2 R + d mit einander ein (s. strichpunktierte Linie in Fig. 222), so werden statt der

a //    p    ß

Ablesungen ¹II am Nonius II bei der Zielung nach ¹ die Ablesungen ¹// ge-a₂    12    a2

macht. An Stelle des Winkelwerts a₂ = ax" T a₂" tritt also für den vom Nonius II zurückgelegten Weg der Winkelwert a/' T a₂". Diese beiden Werte unterscheiden sich aber nur um den Unterschied der beiden Winkel b, und b₂ voneinander,

d. h. um f —

—² • q = ö • —-— und im Maximum (Zielungen in der Rich-

2e . ö

tung A T) um —-— .

Der von mangelnder Gegenständigkeit der beiden Ablese-vorrichtungen — „Nonienknickung“ wächst also proportional zum Produkt aus linearer Exzentrizität und Knickung.

Für e =

herrührende Winkelfehler f

f]\lax —

80

= 80 mm und <5 = 10' wird er im äussersten Fall 2.0,01.10.60 = 0>16„

Dieser Betrag kann bei allen Winkelmessungen für Zwecke der niederen Geodäsie vernachlässigt werden und wir erkennen:

Die Wirkung etwaiger geringer Exzentrizität zwischen Teilkreismittelpunkt und Alhidadendrehpunkt wird durch Ablesung an zwei ungefähr diametral einander gegenüberstehenden Ablesevorrichtungen eliminiert. Wir schliessen aber weiter: Da bei einer zweiten Winkelmessung mit durchgeschlagenem Fernrohr auch bei Benützung nur einer Ablese Vorrichtung diese in Gegenstellung kommt zu ihrer bei der ersten Messung eingenommenen Lage, also hier den Nonius II vertritt, so wird auch durch Messung in beiden Fernrohrlagen der Einfluss etwaiger Alhidadenexzentrizität auf den Winkel kompensiert.

Es wäre nun noch die Wirkung des bisher vernachlässigten Umstandes zu untersuchen, dass die Ablesevorrichtungen bei der Drehung um die Alhidadenachse sich auf einem Kreis um A und nicht auf einem solchen um T bewegen, und dass die Ablesestriche radial gegen A, die Teilkreisstriche dagegen radial gegen T gerichtet sind.

Die Divergenz der Teilstriche an sich ist nun, schon wegen der Geringfügigkeit der Exzentrizität e, unerheblich. Dagegen hat diese Exzentrizität im Falle versenkter Nonien zur Folge, dass nur an einer Stelle, nämlich in der -Yerlängerung B von TA, Teilung und Nonius sich berühren, während sonst überall, am meisten in der Verlängerung Bi von AT, Kl aff ungen sich zeigen, die nicht nur das Ablesen erschweren, sondern auch die mit der Noniusteilung zu vergleichenden Abstände der verlängerten radial gegen T gerichteten Teilstriche verschieden gross erscheinen lassen (um so kleiner, je näher Ablesevorrichtung und Teilkreismittelpunkt aneinander stehen, am grössten bei B). Letztgenannter Mangel würde sich weniger störend zeigen, wenn zur Ablesung bloss ein Strich (wie beim Schraubenmikroskop) und nicht eine Teilung (wie beim Nonius und beim Schätzmikroskop) verwendet würde. Er tritt um so stärker in die Erscheinung, je länger diese Teilung ist, also beim Nonius stärker als beim Schätzmikroskop. Ja er macht den Nonius an denjenigen Stellen direkt unverwendbar, an denen der Abstand des Anfangs- und Endstrichs der n Noniusteile von dem Bogen der zugehörigen (n — 1) Limbus-teile merklich, z. B. um etwa die Hälfte der Noniusangabe abweicht. Hieraus lässt sich die Grösse der äusserstenfalls zulässigen Exzentrizität e berechnen. Dazu kommt ferner beim Nonius, dessen Teilungsmittelpunkt im Drehpunkt A liegen möge, noch der weitere Nachteil, dass seine gegen die Kreisteilung zu verlängernden, gegen A radialen Teilstriche ebenfalls verschieden grosse Abstände zeigen, um so grösser, je weiter entfernt von der Berührungsstelle B.

Wenn also nach der ersten Untersuchung durch Ablesen an zwei gegenüberliegenden Stellen die Wirkung einer etwaigen Al-hidadenexzentrizität e aufgehoben wird und somit das Vorhandensein einer solchen, wenigstens bei Ablesung an zwei Gegenpunkten, gleichgültig erschien, so zeigen die letzten Betrachtungen, dass sie keinesfalls so gross sein darf, dass die Noniuslänge an irgend einer Stelle vom zugehörigen Teilkreisbogen erheblich, z. B. um die halbe Noniusangabe ^ abweicht, oder in den

Noniusintervallen selbst ein merkbarer periodischer Unterschied entsteht. Sie zeigen ferner in Übereinstimmung mit S. 307 die Überlegenheit des Mikroskops über den Nonius.

Nun ist zwar bei eingelassenen Nonien, wie sie beim Horizontalkreis die Kegel bilden, eine allzu grosse Exzentrizität schon deshalb kaum zu befürchten, weil dabei die (durch die Lupe noch vergrössert sichtbare) Klaffung sich beim Ablesen äusserst störend bemerkbar machen würde. Wohl aber kann eine grössere Exzentrizität vorhanden sein bei „Klappnonien“, wie sie häufig, aber schon wegen der in diesem Fall beim Ablesen auftretenden grösseren Parallax-fehler ganz zu Unrecht, an Höhenkreisen Verwendung finden. Dort deckt der auf der Teilung schleifende Nonius an den verschiedenen Stellen lediglich verschieden grosse Stücke der Teilstriche zu.

Wir müssen also, zum mindesten bei Verwendung von Klappnonien, oder wenn aus irgend welchem Grund nicht in beiden Fern-

rohrlagen beobachtet wird, Grösse und Wirkung der etwa vorhandenen Alhidadenexzentrizität feststellen.

Zu diesem Zweck wird zunächst zu untersuchen sein, ob an terAiw”’keiner Stelle des Teilkreises die Noniuslänge von der zugehörigen Länge des Teilkreisbogens um mehr, als etwa höchstens y abweicht, sowie durch Vergleichung sämtlicher Noniusintervalle mit irgend einem der Teilkreisintervalle, ob die ersteren keine wechselnde Grösse zeigen. Das Vorhandensein auch nur eines dieser beiden Fehler würde den Nonius unbrauchbar machen. Das Schätzmikroskop ist—im Fall etwa vorhandener geringer Exzentrizität — auf ein mittleres Teilungsintervall einzustellen.

Sei nun in Fig. 223 A wieder der Alhidadendrehpunkt, mit dem die beiden um ihn sich drehenden Ablesestellen a' und a" zunächst als in gerader Linie liegend angenommen werden, so dass sie Gegenpunkte bezeichnen. T sei wieder der Teilkreismittelpunkt. Dann

wird je nach der Lage der Verbindungslinie der beiden Ablesemarken zur Zentrallinie AT der Unterschied der beiden zusammengehörigen Ablesungen, d. h. (a" — a') sich ändern. Er wird im Fall der Figur 223 gleich 2 R -f c, d. h. mehr, oder, I falls T in den Winkelraum a'Aa" hinein-

OC

fällt, weniger, dagegen nur dann genau 2R betragen, wenn diese „Ableselinie“ mit A T zusammenfällt.

Feststellung der Grösse

dadenexzen-

trizität.

Fig. 223.

T: \b

vU'f'

\a"

ar

Non.

Für die derart veränderliche Abweichung e von 2 R hat man aus dem Dreieck ATa'

e. sin <p

sin =--—

r

oder, da y jedenfalls sehr klein e' =

Dieser Wert erreicht den Betrag 0 für cp = -^5-, die Ableselinie in der Verlängerung von AT liegt, wie oben bereits aus der Figur erschlossen.

•    2 e

e' erreicht sein Maximum, nämlich — q' (z. B. für e = mm,

B»

= 70 mm rund 1' a. T.) für sin <jp = + 1, d. h. für cp = yy

Würde es also gelingen, diejenigen Teilkreisstellen zu finden, an denen der Unterschied der beiden an diametral angeordneten Ablesevorrichtungen gemachten Ablesungen gerade 2 R betrüge, so

(1)

und r

tu

6

2 — • q' sin (p.

d. h. wenn

wäre damit auch die Lage der Zentrallinie A T gefunden. Man könnte dann senkrecht dazu diejenigen beiden Ablesungen machen, deren Unterschied, vermindert um 2R, gleich %ax wäre, woraus sich die lineare Exzentrizität

(2)

f^Max • I'

(3 a)

berechnen liesse. Nun steht aber von vornherein ebensowenig fest, dass die beiden Ablesemarken Gegenpunkte bezeichnen, wie dass die Teilung fehlerfrei ist. Wir müssen im Gegenteil annehmen, die Ableselinie erleide in A eine Knickung um einen unbekannten Winkel <5, so dass die bisher in a" angenommene Ablesestelle II, um d verschoben, in a sich befindet. (Dabei unterscheidet sich, wie oben S. 332 bewiesen, der Winkel a" Ta vom Knickungsbetrag a" Aa so wenig, dass beide einander gleich gesetzt werden dürfen.) Dann wird der Unterschied der zusammengehörigen Ablesungen II — I statt 2 R -}- s jetzt betragen IT II = ü — a⁴ = 2 R —J— s —j— d.

(3 b)

Bringt man nun durch positive Drehung um A die Ablesevorrichtung II auf a', auf welcher Stelle bisher I sich befand, so wird I keineswegs die bisher von II gedeckte Teilungsstelle bezeichnen. Dies wäre nur der Fall, wenn nicht (infolge der Knickung) die Ablesestelle a" nach a verschoben worden wäre. Man muss vielmehr wegen dieser Knickung, nachdem der in der ersten Lage bei a" gelegene Alhidadenpunkt mit a' zur Deckung gebracht wurde, die Alhidade um den Winkel d wieder zurückdrehen, um die bisher bei a liegende tatsächliche Ablesestelle II auf a' zu bringen. Dadurch wird jetzt der Unterschied beider Ablesungen II — I, d. h. der den Punkt T nicht in sich schliessenden Winkel in der neuen Lage ITII = 2R — £ -j- d.

Durch Subtraktion erhält man:

(3a) — (3b) = (2R-f £ + d) — (2R — £ + d) = 2c (4) d. h.: Stellt man nacheinander Nonius I und dann Nonius II auf einen Teilpunkt a' ein und liest jedesmal am anderen Nonius ab (Bestimmung des Gegenpunkts, s.S. 329), so liefert die halbe Differenz der beiden Unterschiede II — I die dem Teilpunkt a' entsprechende Abweichung e der beiden von a' durch Rückverlängerung einerseits über den Teilkreismittelpunkt T, anderseits über den Alhidadendrehpunkt A bestimmten Teilkreisstellen.

¹

Ö • ²⁰' = ³⁰">

somit Ablesung im vorliegenden Fall

2ii o 00' + 23 X 30" = 211⁰11' 30".

Um die Rechnung von r X D zu sparen, sind die Noniusstriche nicht mit 1, 2, 3 . . ., sondern mit 1 X D, 2 X D, 3 X D . . . beziffert, bezw. es sind diese Werte durch die verschiedenen Strichlängen in Verbindung mit der Bezifferung kenntlich gemacht.

Wählt man zur Einstellung runde, gleichabständige Teilpunkte a' und trägt die nach obigem gewonnenen Werte für e in beliebigem Massstab als Ordinaten zu den als Abszissen aufgefassten Werten a' auf, so erhält man durch stetige Verbindung der Bildpunkte, wie

Gleichung (1) zeigt, eine (überhöhte) Sinusoide. Ihr kann man sowohl die Grösse, als den Ort von fMax entnehmen, um daraus nach (1) und (2) die gegenseitige Lage der Mittelpunkte A und T zu berechnen.

Die zweite Einstellung wird nur wenig, und der Unterschied (3b) II — I = 2R — £-f-d wohl gar nicht geändert, wenn man, statt jeweils auch den Nonius II auf das zuvor benützte runde Mass a7 einzustellen, den Nonius I auf a⁷ + 2 R stellt.

Die Addition der beiden Gleichungen (3a) und (3b) liefert (5) = (3a) -f (3b) = (2 R -f- £ + ö) -f (2 R — f -j- ö) = 2 <5, d. h.: die halbe Summe der beiden Unterschiede II — I liefert das konstante Mass ö für etwa vorhandene Knickung der Ableselinie. Die hieraus sich ergebende Forderung gleicher Summen der gebildeten Ablesungsunterschiede bildet also ebensowohl eine Probe für richtige Ablesung, als für richtige Teilung (s. S. 338).

Beispiel. Untersuchung des zum geodätischen Apparat der württembergischen Fachschule für Vermessungswesen gehörigen Nonientheodolits von Kaiser VII. 23. 41. (r = 70 mm.)

Non. I Non. II    II —I

to

O»

II—I

Non. I

Non. II

//

//

//

//

0    02 00    +120    + 225

+ 15

-105    180

58 15

15    01 15    + 75    +165

— 15

90    195

58 30

30    01 30    + 90    +165

+ 15

75    210

58 45

45    00 45    + 45    + 75

+ 15

30    225

59 30

— 15

00 15

75    00 00

45

+ 45

+ 45    255

00 45

90    59 30

30

105

+ 45

+ 75    270

01 15

105    59 45

15    —105

+ 75

+ 90    285    01 30

+ 30

01 45

+ 60

02 00

135    59 00

60 —180

+ 120    315

+ 45

02 15

165    58 00    —120    — 225

-15

+105    345

01 45

Aus Fig. 224, in welcher die Noniuseinstellungen a⁷ als Abszissen, die Beträge e als Ordinaten aufgetragen sind, entnehmen wir:

112" = 1' 52", somit 112". 70 2. q"

2. Die Yerbindungslinie AT schneidet den Teilkreis in den Teilpunkten 68⁰ und 248 °.

1.

£\f ax

= 0,019 mm.

Fig. 224.

150"

■150"

100"-

~Al00"

50' -

.....50”

15°    30°    45°    60°

9? iO? i2?    13?    15?    16? ilia*"

■ OS

.08

„00J

.001

.081

-.081

Statt auf graphischem Weg lässt sich Lage und Grösse der Exzentrizität unter Ausgleichung der obigen Ablesungen natürlich auch mittels der Methode der kleinsten Quadrate finden. —

Wenn ß) der Noniusmittelpunkt nicht, wie unter (a) ange-nommen, mit dem Alhidadendrehpunkt A, ebensowenig aberp"j*ts°uin mit dem Teilkreismittelpunkt T zusammenfällt, so hat diesachse fallen-lediglich eine etwas andere Verschwenkung der Nonius- gegenüber der Limbusteilung und eventuell die schon im bisherigen ins Auge gefasste Knickung der Verbindungsstrecke a' A a" um einen kleinen Winkel ö zur Folge. Das Ergebnis der bezüglichen bisherigen Untersuchung gilt also auch hier.

Die Untersuchung des Vertikalkreises samt den zugehörigen Ablesevorrichtungen und der Kippachse auf das Vorhandensein von Exzentrizität ist identisch mit der soeben vorgeführten.

Forderung g): Die Limbusteilung und die Nonienteilungen müssen genau sein.

Die Fehler, mit denen Teilungen behaftet sein können, lassen sich in zwei Gruppen einteilen, nämlich in:

1.    zufällige, oder unregelmässige, welche die einzelnen Teilstriche um kleine Beträge bald in positivem, bald in negativem Sinn und

2.    periodische, oder regelmässige, welche ganze Gruppen von Teilstrichen in einer gewissen Richtung verschieben.

Erstere Feliler können z. B. entstehen durch ungenaue Einstellung, oder Führung des Reissers bei dem Teilgeschäft, die letzteren durch ungleichmässige Erwärmung des Teilkreises während der Teilung.

Beim Nonius, dessen Teilung im Gegensatz zu der des Teil- u^XYnÖ-kreises nicht in sich zurückkehrt, ist zunächst zu untersuchen, ob vergnieicinmg die ganze Länge der n-Intervalle mit der Sollzahl (im allgemeinen Steilung.

Weitbrecht, Vermessungskunde.

(halbe Noniusangabe s. S. 304) übereinstimmt. Würde die Vergleichung an verschiedenen Stellen des Teilkreises periodisch sich ändernde Abweichungen ergeben, so wäre auf vorhandene Teilungsexzentrizität (s. S. 330 ff.) zu schliessen. Lassen die beim Vergleich sich zeigenden Unterschiede kein Gesetz erkennen, sondern sind bald -f-, bald —, so enthält die Kreisteilung unregelmässige Teilungsfehler. Erscheint endlich die Noniuslänge durchweg zu klein, oder zu gross, so liegt der Fehler an ihr bezw. an der Lage der Alhidadenachse. Letzterenfalls ist diese samt dem Nonius zu heben, oder zu senken.

n — 1) von Intervallen des Teilkreises innerhalb der höchstenfalls zulässsigen Differenz

to ü

erreichen.

Ist die Gesamtlänge des Nonius geprüft, so ist zu untersuchen, ob dessen Teilstriche sämtlich gleichabständig sind. Dies geschieht durch Vergleichung ihres Abstandes mit einem und demselben Intervall derLimbusteilung. Gleichmässiges Wachsen bezw. Abnehmen dieser Abstände Hesse auf einen periodischen Teilungsfehler des Nonius, oder auf eine Verschwenkung der Noniusteilung, also eine Exzentrizität ihres Mittelpunktes, unregelmässig sich ändernde Intervalle auf zufällige Nonienteilungsfehler schliessen. Die Abweichung darf in keinem Fall den Betrag von ~

Untersuchung der Limbustei-lung.

Die Limbusteilung kehrt in sich zurück; bei ihr ist also nicht die Gesamtlänge, sondern nur die Unterteilung zu untersuchen. Dies geschieht, indem man von einem Teilstrich ausgehend eine konstante Bogenlänge auf dem ganzen Kreis herumträgt, vergleichend, ob sie durchweg dieselbe Zahl von Limbusintervallen deckt. Als solchen Bogen kann man entweder die Länge eines Noniusteils, oder diejenige eines ganzen Nonius, wie bei der Untersuchung des letzteren S. 338, oder — um Klarheit darüber zu erlangen, ob etwa sich zeigende periodische Unterschiede von periodischen Limbus-fehlern, oder von Alhidadenexzentrizität herrühren — die Entfernung der beiden Noniusnullpunkte verwenden. Letztere Methode wurde für einen anderen Zweck in dem Beispiel S. 336 angewandt und es sollte nach Gleichung (5) der Knickungsbetrag 2 ö auch bei etwa vorhandener Exzentrizität konstant sein. Auftretende Schwankungen können nur von Ablese-, oder Teilungsfehlern herrühren. Schaltet man die erstere Möglichkeit aus, indem man Einstellungen und Ablesungen mehrfach und unabhängig wiederholt und die gewonnenen Ablesungen mittelt, so erhält man in den Abweichungen der Werte ö von ihrem Mittel die Grösse der Teilungsfehler und zugleich eine Entscheidung, ob es sich bei ihnen um regelmässige, oder unregelmässige Fehler handelt.

Auf die Forderungen h) und i): Die Teilungsflächen müssen senkrecht stehen auf den Drehachsen, Limbus- und Alhidadenachse müssen zusammenfallen — soll in §§ 40 und 43 eingegangen werden, ebenso wie auf die Frage der Eliminierung von Teilungsfehlern.

§ 40. Wirkung der bei Richtigstellung des Theodoliten etwa zurückgebliebenen Fehlerreste auf Projektion (Einweisen auf unebenem Gelände) und Winkelmessung. Eliminierung dieser Fehlerwirkung.

Die Richtigstellung eines Instruments lässt sich keineswegs mit absoluter Genauigkeit durchführen. Auch vollziehen sich durch äussere Einflüsse und unbemerkt zuweilen Verschiebungen in der gegenseitigen Lage der Instrumententeile, welche die nach § 39 bewirkte Justierung wieder stören. Es erscheint daher nötig, die Wirkung zu untersuchen, welche durch kleine Achsenfehler auf die Messungsergehnisse — Einweisen von Geraden bei notwendiger Kippbewegung, Messung von Horizontal- und Vertikalwinkeln — ausgeübt wird. Dabei wollen wir zunächst voraussetzen, dass jeweils nur eine einzige der in § 39 aufgestellten Forderungen unerfüllt bleibt.

Fig. 225.

Wäre das

Zur Untersuchung der Wirkung dieses Fehlerrestes denken wir uns die Teilkreisebene parallel mit sich selbst in den Schnittpunkt 0 der drei Achsen (Vertikalachse, Kippachse, Zielachse) des zur Messung fertig aufgestellten Theodoliten heraufgeschoben, und um diesen Punkt eine Kugel beschrieben.

Instrument fehlerfrei, so läge in diesem Fall die Kippachse in der (heraufgeschobenen) Teilkreisebene und die beim Anzielen beschriebenen Kippehenen ständen senkrecht auf ihr und gingen durch das Zenit Z (Fig. 225).

Wirkung eines Zielachsenfehlers c.

Schliesst dagegen (s. Fig. 226) im Widerspruch zu er Forderung b: die Ziel- mit der Kippachse statt des rechten Winkels den Winkel R + c ein — Zielachsenfehler = c — so zeigt die aufwärts gerichtete Zielachse bei horizontiertem Instrument nicht nach Z, sondern nach Z^ Auch beschreibt sie keine senkrechte Ebene um die Kippachse, sondern eine Kegelfläche, welche beim Kippen zum Zweck des Anzielens von Pa die Kugel nach einem Kleinkreis 7n Pa p! schneidet. Handelt es sich daher um die Projektion einer Zielung 0 Pi in die Horizontalebene, etwa zum Zweck des Ein-weisens einer Geraden, so erhält man die Richtung 0 m an Stelle

der Projektion Opi. Der Zielachsenfehler c verdreht also die Horizontalprojektion der Zielung 0 Px um den Winkel px 0 px = (cx).

Zu dessen Berechnung bedürfen wir eines sphärischen Dreiecks, das wir in Z Px Q erhalten, wenn wir die Grosskreisebene Z q,

Fig. 226.

7.:

P₂

^äZiehuyTUidLr,

\c +(c>)\

?;±c

welche die Ziellinie bei unveränderter Lage der Kippachse beschreiben würde, wenn beide _L aufeinander ständen (Parallele zum Kleinkreis Zx Px px) und eine zweite Grosskreisebene Px Q _L Z q legen. In diesem Dreieck kennen wir die Hypotenuse PxZ = R—hx (wenn der gemessene Bogen pi Pi dem Bogen px Pi gleichgesetzt wird) und die Kathete Pi Q = c. Wir erhalten also für den spitzen Winkel bei Z, der sich auf der Teilkreisebene als c -j- (ci) zeigt

sin [c -f- (ci)] =

sin c

sin (R — hx) '

Da sowohl c als (Ci) jedenfalls sehr kleine Winkel sind, so ergibt sich für den Einfluss pi px = (c) des Zielachsenfehlers c auf die Horizontalprojektion der Richtung 0 Px

(1)

— c = c (sec hx — 1).

(c>) = kk

Besteht die mit dem fehlerhaften Theodoliten auszuführende Aufgabe nicht im Ein weisen der Horizontalprojektion 0 Px, sondern in der Horizontalwinkelmessung, so kann man den Bogen Pi Pi = (c) nicht ohne weiteres als Fehlerwirkung bezeichnen, weil weder eine Projektion Px px noch eine Ablesung in px erfolgt.

Da aber der Kipp- so gut, wie der Alhidadenachse bei fehlerfreiem Instrument eine Drehung gleich der Horizontalprojektion des zu messenden Winkels, bei fehlerhaftem Instrument dagegen eine um den Projektionsfehler veränderte Drehung erteilt wird, so kann man die Fehlerwirkung auf den Horizontalwinkel zweier Strahlen gleich der Differenz der beiden je zwischen Kippachse und Horizontalprojek-

tion der jeweiligen Zielung liegenden Winkel, R + x> oder noch einfacher, ihrer beiden Überschüsse x über R setzen.

Für Zielung nach dem Punkt Pi (s. Fig. 227) ergibt sich der

Winkel R -f- x₁ aus dem rechtwinkelig sphärischen Dreieck Pj Kx und Xj, aus:

sin x: = -f

sin c

Fig. 227.

cos hx ¹

also für kleines c und x

xi = +

4-c-sech! (2)

cos

Ebenso ist für Zielung nach einem Punkt P₂:

'IE

?S»

—r- = + c • sec h₂, cos h₂ —    ’

'%>

X₂ = +

also der Einfluss auf die Horizontalprojektion

eines Winkels Px 0 P₂ = x₂ — Xi = + c (sec h₂ — sec hi)

Zu demselben Ausdruck führt auch die Benützung der Formel (1) und der Figur 226, in welcher px 0 p₂ den richtigen, px 0 p₂ den infolge Zielachsenfehlers unrichtigen Horizontalwinkel, und (c₂) — (ex) deren Unterschied darstellt.

Einige Werte des aus Gleichung (1) sich ergebenden Projektionsfehlers sind in nachfolgender Tafel zusammengestellt.

Projektionsfehler (c) als Folge von Zielachsenfehlern c.

K —Rtcc. —

P)

(3)

Höhenwinkel h

1°

3°

5°

10°

20°

45°

0,1"

0,2"

0,9"

3,8"

25"

2'

0,2"

0,5"

1,9"

7,7"

50"

3'

0,3"

0,7"

2,8"

11,5"

V14"

5'

0,1"

0,4"

1,2"

4,6"

19,2"

2' 04"

10'

0,1"

0,8"

2,3"

9,3"

38,5"

4' 09"

Der aus dem Zielachsenfehler c sich ergebende Winkelfehler c (sech₂ — sec 1h) ist gleich der Differenz zweier, der obigen Tabelle entnommener, zusammengehöriger Projektionsfehler, und gleich 0 für sech₂ = sec hx d. h. für li₂ = +hx, d. h. namentlich für den Fall, dass die beiden Punkte Pi und P₂ ohne Kippbewegung angezielt werden können.

Bei der Messung in der zweiten Fernrohrlage fällt der Ziel-achsenfehler c auf die entgegengesetzte Seite der Vertikalen, er geht über in — c. Die Projektionen in Figur 226 erfolgen entlang den strichpunktierten Kreisen nach pF und p₂', und die Gleichungen (1) und (3) für den Projektions-, bezw. Winkelfehler, nehmen entgegengesetztes Vorzeichen an. Wir finden also: Muss bei der Beobachtung das Fernrohr nicht gekippt werden, so bleibt ein etwaiger Zielachsenfehler ohne Einfluss, andernfalls werden durch Beobachtung in beiden Fernrohrlagen und Mittelung der Ergebnisse sowohl Horizontalprojektion, als Horizontalwinkelmessung befreit vom Einfluss des Zielachsenfehlers.

Als Vertikalwinkel erhält man infolge des Zielachsenfehlers den Bogen px Px statt des Bogens px Px. Beide sind nicht merklich voneinander verschieden, d. h. die Vertikalwinkelmessung wird durch einen kleinen Zielachsenfehler nicht berührt.

Wirkung eines Kipp-achsen-fehlers i.

Weicht (s. Fig. 228) — als einziger Achsenfehler und Verstoss gegen die Forderung c) — die Kippachse des horizontierten Instruments um den kleinen Winkel i von der Horizontalen (um R + i von der Vertikalachse) ab, so beschreibt die Ziellinie beim Kippen eine Ebene, welche aber nicht senkrecht steht auf derjenigen des Teilkreises, sondern mit ihr den Winkel R + i ein-

Fig. 228.

//

//X '

'\

\ I / '!/

w*-

io

schliesst. Die Zielrichtung nach Pi wird deshalb beim Einweisen in die Horizontale nicht nach px, sondern nach px, also um den Winkel px 0 px verdreht heruntergebracht. Die Fehlerwirkung px 0 px = (b) ergibt sich aus dem rechtwinklig sphärischen Dreieck Px px pA, in welchem ausser dem Winkel R — i noch eine Seite, nämlich der Höhenwinkel hx gegeben ist zu:

sin (ix) = tg hx ctg (R — i) = tg hx tg i und da i und (fi) jedenfalls klein,

(4)

(ix) = i tg hx.

Die Wirkung i des Kippachsenfehlers i auf die Projektion wächst also mit der tg des Neigungswinkels und wird für horizontale Zielung = 0.

Die nachfolgende Tafel gibt einige Werte der nach Gleichung (4) berechneten Wirkung (i) des Kippachsenfehlers i.

Projektions fehler (i) als Folge von Kippachsenfehlern i.

Höhenwinkel h

1°

3°

5°

10°

20°

45°

30" ⁴    0,5"

1,6"

2,6"

5,3"    10,9"

30"

cb

cd

i—

cd cs

5,3"

10,6"    21,8" l'OO"

15,8"    31,7"    1' 06"    3'00"

5'

5,2"

15,7"    26,3"    52,9"    1'49"    5' 00"

1'46"    3' 38"    10'00"

10'    10,5"    31,4"    52,5"

Dieser, seinem Wert nach nur vom Höhenwinkel h abhängige Projektionsfehler (i) kommt bei der Messung eines Horizontalwinkels bei beiden Zielungen, also 2 mal zur Wirkung.

Soll z. B. die Horizontalprojektion px 0 p₂ des Winkels Pi 0 P2 gemessen werden, so liefert die Zielung nach Pi die Ablesung pl5 die Zielung nach P₂ die Ablesung p₂, also die einfache Messung als Unterschied der Ablesungen p₂ — pi den Winkel px 0 p₂ statt des richtigen Horizontalwinkels Pi 0 p₂. Der Winkelfehler ist also

Pi 0 p₂ — px 0 p₂ = (i₂) — (ii)

(5)

tg hi).

= i (tg h₂

Dieser Fehler wird = 0 für hx = h₂ = 0 und für tghx = tgh2 also für den Fall, dass das Fernrohr zwischen den Zielungen nach Px und P₂ nicht gekippt werden muss. Er wächst mit dem Unterschied der tg der Höhenwinkel, und es addieren sich also, im Gegensatz zu (3) die beiden Fehlerteile, wenn eine Zielung aufwärts, die andere abwärts gerichtet ist.

Schlägt man das Fernrohr durch und zielt wieder nach Px, so geht die Neigung i der Kippachse auf die andere Seite, d. h. an Stelle von i in Gleichungen (4) und (5) tritt — i. Der Projektions- bezw. Winkelfehler nimmt also entgegengesetztes Vorzeichen an (die Projektion geht in Fig. 228 entlang den strichpunktierten Kreisen) und wir erkennen: Muss das Fernrohr nicht gekippt werden, so bleibt ein etwaiger Kippachsenfehler ohne Einfluss, andernfalls werden durch Beobachtung in beiden Fernrohrlagen und Mittelung die Ergebnisse sowohl des Einweisens, als der Horizontalwinkelmessung befreit vom Einfluss des Kippachsenfehlers. Als Vertikalwinkel erhält man infolge des Kippachsenfehlers den Bogen px Px statt des Bogens px Px. Beide sind nicht merklich voneinander verschieden, d. h. die Vertikalwinkelmessung wird durch einen kleinen Kippachsenfehler nicht berührt.

Wirkung eines Steh-achsen-fehlers v.

Ist — als einziger Achsenfehler und Verstoss gegen die Forderung a) — die Stehachse nicht senkrecht zur Libellenachse (was wir daran erkennen, dass die in 2 _L zueinander stehenden Lagen einspielende Libelle bei beliebiger Drehung der Alhidade oder des Limbus ausschlägt), sondern weicht bei in 2 Lagen einspielender Libelle um den Winkel v von der Vertikalen ab, so erhält sowohl die auf ihr senkrechte Teilkreisebene (auf der die Horizontalwinkel abgelesen werden sollen), als auch die ebenfalls auf ihr senkrechte Kippachse dieselbe Neigung gegen die horizontale Solllage. Die Neigung der Teilkreisebene hat zur Folge, dass, wenn wir zunächst vertikale Kippbewegung voraussetzen, die Zielungen gegen Px bezw. P₂ nach px und p₂ statt nach pi und p₂ projiziert

Fig. 229.

> CNJ

*P, vrv

'-'W

EorizontaL-

ebene.

Sr-"?/

werden, so dass man, gerade wie wenn die Teilkreisebene nicht _L auf der an sich vertikalen Stehachse stände, den Winkel pi Op₂ statt des Horizontalwinkels Pi Op₂ abliest. Der Unterschied dieser

beiden Winkel, d. h. der Einfluss einer geringen Neigung des Teilkreises ist — dies zeigt schon der Anblick von Fig. 229 — bei genügend kleinem v ebenso zu vernachlässigen, wie vorhin der Einfluss des Ziel- und des Kippachsenfehlers auf den Vertikalwinkel (s. oben).

Anders verhält es sich mit der Kippachse. Wenn diese infolge des Vertikalachsenfehlers v um den zunächst unbekannten Betrag (v) gegen die Horizontale neigt, so erzeugt diese Kippachsenneigung nach Seite 342 Projektionsfehler im, unter Umständen sehr erheblichen Betrag von

[(v)] = (v)tgh.

(6)

Die durch den Stehachsenfehler v erzeugte, uns noch unbekannte Neigung (v) der Kippachse ist nun je nach der Richtung der letzteren, oder der Ziellinie verschieden. Sie erreicht ihren Minimalbetrag (v) = 0, wenn die Kippachse mit der Schnittlinie, KK der Horizontal- und der schiefen Teilkreisebene, der „Knoten-

linie“ (also die Ziellinie mit der Vertikalebene durch die Stehachse) zusammenfällt (Winkel a zwischen Knoten- und Ziellinie gleich R, Winkel ß zwischen Knotenlinie und Horizontalprojektion der Kippachse gleich 0). Sie erreicht ihren Maximalbetrag (v) = v, wenn die Kippachse senkrecht steht auf der Knotenlinie, d. h. in die Vertikalebene der Stehachse (und die Zielung in die Richtung der Knotenlinie) fällt (« = 0, ß = R). Die hienach mit dem Winkel ß zwischen Kippachse und Knotenlinie veränderliche Neigung (v) der Kippachse kann bei jeder einzelnen Zielung mittels der Reiterlibelle festgestellt werden. Sie lässt sich aber (s. Fig. 229) auch allgemein in v und ß ausdrücken: oder da v und (v) kleine Winkel

tg(v) = tg v . sin ß,

(v) = v sin ß.

(7 a)

Will man statt des Winkels ß zwischen Knotenlinie und Kippachse den Winkel a zwischen Knotenlinie und Ziellinie einführen, wobei a = ß + R, also sin ß = + cos a, so wird (v) = v cos a

in Übereinstimmung mit dem oben erhaltenen Resultat der beiden Grenzfälle (für a = 0 wird (v) = v, für a — R wird (v) = 0).

Setzt man (7) in (6) ein, so erhält man als Wirkung eines Stehachsenfehlers v auf die Horizontalprojektion einer um den Höhenwinkel h geneigten Zielung

(8)

[(v)] = v cos a tg h = v sin ß tg h.

Sie wächst nur im äussersten Fall (nämlich für cos a — sin ß = l, d. h. für ß = R) auf diejenige des Kippachsenfehlers von gleicher Grösse, ist also ihrem absoluten Wert nach weniger bedenklich.

Während aber die Einflüsse von Ziel- und Kippachsenfehlern bei Beobachtung in beiden Fernrohrlagen dadurch eliminiert wurden, dass dabei diese Fehler entgegengesetztes Vorzeichen annahmen, ändert das Durchschlagen des Fernrohrs am Stehachsenfehler nichts. Die Kippachse behält ihre fehlerhafte Neigung bei. Der Richtigstellung des Instruments ist also in bezug auf die Anforderung (a) auch dann grösste Aufmerksamkeit zu schenken, wenn die Beobachtung in zwei Fernrohrlagen erfolgt.

Die Horizontalprojektion eines Winkels Pi 0 P₂ als Differenz der Ablesungen am Teilkreis bei Zielung nach P₂ bezw. Pi ergibt sich durch die Wirkung des Stehachsenfehlers v unrichtig um

(9) f = vcosa₂ tgh₂ — vcosßi tglp = v(cosa₂ tgh₂ — cos«! tghp.

Dieser Fehler wird nur gleich 0 für ai und a₂ = R, oder hi = I12 = 0, im Gegensatz zum bisherigen aber nicht, wenn beide Objekte ohne Kippbewegung angezielt wurden. Beide Fehlerteile addieren sich, wenn entweder cos at und cos a₂, oder tghj und tgh₂ entgegengesetztes Vorzeichen erhalten. Ersteres ist z. B. der Fall, wenn der zu messende Winkel ungefähr 2 R beträgt (Poly-gonisierung) und die beiden Zielungen aufwärts (Standpunkt im Tal), oder abwärts (Standpunkt auf einem Bergrücken) gerichtet sind.

Zusammenfassung.

Sind alle drei Achsenfehler c, i und v gl eich zeitig vorhanden, so ist ihre Gesamtwirkung

1. auf die nur in einer Fernrohrlage erfolgende Horizontalprojektion (Einweisen)

fp — + c (sec h — 1) + i tg h + v cos a tg h

auf die in beiden Fernrohrlagen erfolgende Horizontalprojektion

fp = + v . cos a tg h,

2. auf die nur in einer Fernrohrlage ausgeführte Horizontalwinkelmessung

fcd — i c (sec h₂ — sec hi) + i (tg h₂ — tg hx)

+ v (cos a₂ tg h₂ — cos ax tg hx), auf die in beiden Fernrohrlagen ausgeführte Horizontalwinkelmessung

4, = + v (cos a₂ tg I12 — cos ai tg hi).

Der Einfluss des Stehachsenfehlers auf die Vertikalwinkelmessung ist gleich (v). Am grössten also, nämlich = v, wenn die Kippachse mit der Knotenlinie zusammenfällt, am kleinsten, nämlich = 0, wenn die Ziellinie diese Lage hat. Um letzteres zu erreichen, benützt man bei der Messung von Vertikalwinkeln eine Libelle in der Richtung der Ziellinie (Trägerlibelle, Ni-vellierlibelle).

Der schädlichste aller Achsenfehler ist, falls die Beobachtung in beiden Fernrohrlagen erfolgt, derjenige der Stehachse. Völlig unschädlich ist unter dieser Voraussetzung der Fehler der Ziellinie und der Kippaclise.

Bei horizontaler Zielung kommen die Achsenfehler nicht zur Wirkung, auch wenn nur in einer Fernrohrlage beobachtet wird. Dasselbe trifft beim Fehler der Ziellinie und der Kippachse zu, wenn das Fernrohr nicht gekippt zu werden braucht.

Die an das Instrument im Falle von Zeitmangel allein, aber auch notwendigerweise zu stellende Forderung ist demnach die unter (a) gegebene: die vertikale Drehachse muss senkrecht stehen auf der Libellenachse, d. h. die Libelle muss bei Drehung um die Vertikalachse im ganzen Kreis herum einspielen.

Gerade diese Anforderung werden wir später beim Nivellierinstrument als nebensächlich erkennen.

Kapitel X.

Messen und Abstecken von Horizontalwinkeln.

Einleitung. Man unterscheidet je nach der Lage der durch die beiden Schenkel eines Winkels bestimmten Ebene dreierlei Arten von Winkeln, nämlich:

1.    Horizontalwinkel, deren Schenkel von vornherein, oder durch Projektion horizontale Lage haben.

2.    Vertikalwinkel, oder Höhenwinkel zwischen einer geneigten Zielung und ihrer Horizontalprojektion.

3.    Positionswinkel zwischen zwei beliebig geneigten Schenkeln. Im gegenwärtigen Teil der Vermessungskunde betrachten wir

nur die Messung von Horizontalwinkeln.

§ 41. Behandlung und Aufstellung des Theodoliten. Anzielung mit

dem Fernrohr.

Behandlung (s. auch S. 318). Der Transport des Instruments Behan<Uling-erfolgt im Kasten unter möglichster Vermeidung von stossweisen, oder schlitternden Bewegungen. Das Aus- und spätere Wiedereinpacken geschieht, um Verbiegungen von Instrumententeilen zu vermeiden, stets mit gelösten Bremsschrauben und ohne jeden grösseren Kraftaufwand. Die Bremsvorrichtungen sind im Kasten daher immer nach vorn anzuordnen. Erst nachdem man sich (beim Einpacken) von der richtigen Lage aller Instrumententeile überzeugt, und die Kastentüre zur Probe vorläufig geschlossen hat, erfolgt das Anziehen der Bremsschrauben. Vor Regengüssen und direkten Sonnenstrahlen ist das Instrument während der Arbeit durch einen Schirm, vor plötzlichen Staubwolken durch eine Schutzkappe zu schützen.

Letztere darf nie auf die Erde gelegt werden, damit nicht Sandkörner etc. an ihr haften bleiben. Von Zeit zu Zeit, namentlich nach regnerischem oder staubigem Wetter ist das Instrument mittels Pinsels bezw. Lederlappens zu reinigen. Haben sich Sandkörner zwischen die bewegten Teile eingespielt, oder ist das Öl (nament-

lieh an der Vertikalachse, oder an den Randklemmen) dick und zäh geworden, so sind zur Reinigung, — letzternfalls mit einem mit Petroleum angefeuchteten Lappen, — die betr. Teile auseinanderzunehmen. Die bei der Winkelmessung aneinander sich vorbeibewegenden Achsen sind mit einem leichten Ölhauch zu überziehen.

Aufstellung.

Aufstellung. Zum Zwecke der Winkelmessung ist unter allen Umständen der Teilkreis in die Ebene des zu messenden Winkels (bei Horizontalwinkeln also horizontal) — Horizontierung — und sein Mittelpunkt auf den Winkelscheitel — Zentrierung — zu bringen. Beide Teile des Aufstellungsgeschäfts erfolgen nicht getrennt, sondern, zumal bei Verwendung der Schraubenstange (s. § 34), in sukzessiver Annäherung. Zur Ausführung des ersteren dienen die Libellen, samt der Horizontiervorrichtung des Fuss-gestells, zu derjenigen des letzteren in der Regel ein angehängtes Lot (Senkel), ausnahmsweise auch das „Meissnersche starre Lot“, oder ein vertikal abwärts nach dem vermarkten Aufstellungspunkt gerichtetes „Zentrierfernröhrchen“ (s. § 82).

Zunächst wird der auf dem Stativ befestigte Theodolit mit gelösten Stativflügelschrauben so über den Scheitelpunkt gebracht, dass die Stativscheibe nahezu horizontal ist und die Zentriervorrichtung angenähert auf dem gegebenen Punkt einspielt. Dann werden die Stativfüsse in den Boden eingedrückt und die Flügelschrauben des Stativs angezogen. Die Horizontierung erfolgt mittels der Fussgestellschrauben entweder einfach dadurch, dass man in irgendwelcher Lage der Alhidade die Dosenlibelle zum Einspielen bringt, oder bei Benützung einer Röhrenlibelle, durch Horizontieren derselben in zwei senkrecht zueinander gerichteten Lagen (parallel zu zweien und sodann über die dritte Stellschraube).

Wich die Stativscheibe ursprünglich allzu stark von der horizontalen Lage ab (was schon im Interesse möglichst rascher Aufstellung vermieden werden sollte), so ist nicht nur die Horizontierung eine langweiligere (weil die Stellschrauben ausgiebig benützt werden müssen), sondern es kann auch die ursprüngliche Zentrierung über dem Winkelscheitel verloren gehen, wenn der Senkel an der Verlängerung (Stengelhaken, Schraubenstange) der (ursprünglich nicht vertikalen) Stehachse hängt. Nach angenäherter Horizontalstellung ist daher die Zentrierung wiederholt zu prüfen und eventuell zu berichtigen. Wirkt . die Befestigungsschraube auf die Stellschrauben des Fussgestells (s. Fig. 199 bis 201, 211 und 212), so darf sie erst dann scharf angezogen werden, wenn die Horizontierung annähernd vollzogen ist.

Wenn der Standpunkt frei gewählt werden kann, so sucht man zur Vermeidung der durch etwaige nachträgliche unbeabsichtigte Änderungen in der Zentrierung und Horizontierung erzeugten Winkelfehler sumpfiges Gebiet und Geröllhalden möglichst zu umgehen.

Ein getretene Änderungen, d. h. Ungenauigkeiten in der Horiz o n-tierung wirken wie der im vorigen § untersuchte Stehachsenfehler. u„°dnzeXi Wurde der Theodolit statt genau über dem Winkelscheitel C um eine kleine Strecke e unrichtig, nämlich in (£ zentriert, so • beeinflusst diese Ungenauigkeit den zu messenden Winkelwert <n im günstigsten Fall, nämlich wenn A, B, C und © auf einem Kreis-

rung.

Viereck liegen, gar nicht. Da aber über die wirkliche Lage von © ausser dem linearen Ex-

Fig. 230.

zentrizitätsbetrag e nichts bekannt ist, müssen wir, um sicher zu gehen, für die Untersuchung der möglichen Fehlerwirkung f den ungünstigsten Fall voraussetzen, welcher eintritt (s. Fig. 230), wenn der exzentrische Standpunkt auf der Halbierenden des zu messenden Winkels liegt. Dann ist

cu.

f"

= ei" + £2" = ep“sm|(i + r)

der Einfluss dieser Zentrierungenauigkeit. Kommt noch ungenaue Aufsteckung der Zielpunkte A und B, ein „Poin-tierungsfehler“ je um den linearen Betrag ex hinzu, der den Winkel

«■'(t + t)

im Maximum um

ändert, so kann die schädliche Gesamtwirkung äusserstenfalls wachsen bis auf

f" =

Je kürzer die Schenkel und je näher der zu messende Winkel co dem Wert 2R kommt, um so schärfere Zentrierung und Pointierung ist also nötig.

Für o) = 2 R wird

fjlax — Q¹¹    (ß ~h ei)i d* h. für

Anzielung. Je länger    die    Zielungen    und je grösser die nötige

Winkelgenauigkeit, um so mehr kommt es auf Ausnützung der passenden Zeit- und Nebenumstände an. Allgemein soll man Sonne und Wind während der Beobachtung möglichst auf den Rücken bekommen. Die Spätnachmittag- und Abendstunden sind zumeist am

PPP

= b = 1000 m „ e

" a.

4" a.

Anzielung.

günstigsten. Die Einstellung der Zielpunkte (Stangen, Blitzableiter etc.) erfolgt stets möglichst weit unten in der Nähe des Austritts aus dem Befestigungsmittel und zwar möglichst mit dem Kreuzungspunkt der Fäden.

Zum Zweck des Kippens wird das Fernrohr am Objektivende angefasst (die Berührung am Okularauszug ist wegen der möglichen Verschiebung des letzteren unstatthaft).

Um Horizontaldrehung des Teilkreises zu bewirken, fasst man an dessen Rand (zur Alhidadendrehung an den Trägern), keinesfalls aber am Fernrohr an. Das Hereingehen mit dem Fadenkreuz ins Ziel erfolgt mit Benützung der Feinbewegungsvorrichtung immer konstant gegen deren Federdruck gerichtet. Die Brems- und Feinbewegungsvorrichtung der Kippachse wird bei der Horizontalwinkelmessung nicht benützt, vielmehr ist durch entsprechende Aufhängung des Fernrohrs und leichten Druck der Trägerbügel auf die Kippachse dafür zu sorgen, dass ersteres in jeder Lage festhält. Durch Spreizen der Beine sucht der Beobachter eine feste Stellung zu erlangen. Weder Stativ noch Instrument dürfen zur Stütze des Körpers dienen!

§ 42. Beobachtung von Horizontalwinkeln.

A. Winkelbeobachtung.

1. Einfache Winkelmessung.

Einfache

Winkel-

Hiezu genügt ein einfacher Theodolit (nur die Alhidaden-messimg. aciise drehbar), auf dessen horizontalem Teilkreis man an zwei Ablesevorrichtungen (Nonien ctc.) nach erfolgter Einstellung des Fernrohrs auf den Zielpunkt A links (s. Fig. 230) etwa die Ablesungen ai und a₂ machen möge. Nachdem sodann durch Drehung der Alhidade und, soweit nötig, Kippen des Fernrohrs dieses auf den Zielpunkt B rechts eingestellt wurde, ergaben sich auf dem Teilkreis die Ablesungen bi und b₂. Man hat dann die Grösse des zu messenden, vom Fernrohr bestrichenen Winkels ACB = <u, doppelt, nämlich an jeder der beiden Ablesevorrichtungen und es soll sein: o) ⁼⁼ bi — äi = b₂ — a₂.

Falls infolge von unvermeidlichen kleinen Ablese- und Teilungsfehlern, sowie infolge etwaiger Teilungsexzentrizität beide Werte nicht identisch sind, erhält man unter Reduktion der ersteren und Kompensation der letzteren (s. § 40)

(bi —a,)

i (b₂ — a₂) _ bj -f- b₂

' 2 2 Rechnet man den Winkel co nach beiden vorstehenden

^Mittel —

ai T" a2

Gleichungen aus, so liefert die erste eine Probe gegen grobe Ab-lesungs-, die zweite eine solche gegen Rechenfehler.

■Wiederholte

einfache

Winkel-

messung.

Will man neben den Ablesefehlern auch die Wirkung etwaiger Ziel-, Kreisteilungs- und Achsenfehler des Theodoliten reduzieren, bezw. kompensieren, so wiederholt man das soeben angewandte Verfahren, nachdem das Fernrohr durchgeschlagen, und durch Drehung des Instruments auf dem Stativ (bezw. — wenn dieses ein Repetitionstheodolit — nur des Limbus) um etwa 1 R dafür gesorgt wurde, dass bei der Ablesung andere Stellen des Teilkreises zur Verwendung kommen. Dabei werden sich wieder zwei unter sich und gegenüber den vorigen etwas verschiedene Werte ergeben.

Als wahrscheinlichsten Winkel wert wird man das arithmetische Mittel der vier erhaltenen, gleich genauen Messungsergebnisse einzuführen haben.

2. Repetitionsweise Winkelmessung.

Dieses schon von Tobias Mayer (1723—1762) gezeigte Ver-Repetitionsfahren erfordert einen Repetitionstheodoliten und beruht darauf, i»iikationS-> dass man den zu messenden Winkel auf dem Teilkreis mehrmals (2n-mal) aneinander legt und den für die Summe erhaltenen Wert alsdann durch 2n dividiert¹). Dadurch wird der etwaige kleine Ablesefehler 2n-mal verkleinert und auch der Einfluss etwaiger Zielfehler proportional zur Wurzel aus der Zahl der Zielungswieder-holungen reduziert. Auch hier benützt man (zur Eliminierung etwaiger Instrumentenfehler) das Fernrohr n-mal in der einen und n-mal in der durchgeschlagenen Lage.

Bei der Messung verfährt man demgemäss nach bewirkter zentrischer Aufstellung und Horizontierung des Instruments über dem Winkelscheitel C wie folgt:

a)    Anzielen des Winkelschenkels A links, Festbremsen von Limbus und Alhidade und Ablesung aj und an an den Nullstrichen der beiden Ablesevorrichtungen auf dem Teilkreis.

b)    Drehen der Alhidade bei feststehendem Limbus. Anzielen und Einstellen des Winkelschenkels B rechts. Jeder Punkt der Alhidade, folglich auch die Noniennullpunkte, haben jetzt den zum gesuchten Winkel gehörigen Bogen zurückgelegt und man kann an ihnen auf dem Teilkreis die Ablesungen und bn erheben. Die Differenzen — a^ bezw. bn — an ergeben, jede für sich, den gesuchten Winkelwert. (Da diese Ablesung des einfachen Winkels übrigens

b Das Verfahren würde daher besser „additionsweise“, oder „multiplikationsweise“ Messung genannt.

nicht zur eigentlichen Winkelberechnung dient, sondern nur zum Schutz gegen grobe Fehler, und zur Entscheidung der Frage, ob im ferneren Verlauf der Messung der volle Kreisumfang ein-, oder mehrmals überschritten wurde (s. unten), so wird nach einmaliger Messung des Winkels nur bi (am Nonius I) abgelesen und auf bn verzichtet.) Zur Verfeinerung des Resultats in Rücksicht auf etwaige kleine Ablese-, Ziel- und Instrumentenfehler dreht man jetzt

c)    den Limbus samt festgebremster Alhidade zurück, (wobei die soeben erreichte Stellung zwischen Limbus und Alhidade unverändert bleibt) und kippt das Fernrohr, bis der linke Zielpunkt A wieder durch den Vertikalfaden gedeckt erscheint, bremst den Limbus in dieser Lage fest und führt das Fernrohr bei geöffneter Alhidade nach B. Dies wiederholt man n- (ein-, zwei- oder auch drei-) mal. Nun wird

d)    das Fernrohr durchgeschlagen, bei geöffnetem Limbus und festgebremster Alhidade auf den linken Winkelschenkel A eingestellt und in der neuen Fernrohrlage das erste Verfahren gleich oft, (nämlich ebenfalls n-mal) wiederholt.

e)    Die Ablesung an beiden Nonien gibt jetzt die Werte bf²— und bIX— und man hat

bn— — an

b!— — ar

am Nonius I: Mi =

, am Nonius II: w₂ —

Die beiden Werte o)i und co₂ sollten einander gleich sein. Im Falle eines kleinen Unterschieds nimmt man

(bj— aT) -j- (bn— — aIT)

^Mittel —

CO\ -j- oo₂

(bi— -j- bn—)    (ax a^)

Zeigt die mit 2 n multiplizierte erste Ablesung für den einfachen Winkel, dass während der Repetitionsmessung die Ablesestelle den Teilungsendpunkt (4 R) überschritten hat, so erhält die Schlussablesung, oder besser der Winkel <w den aus ersterer zu erschliessenden runden Zuschlag.

Die Rechnung gewinnt an Bequemlichkeit, wenn vor der ersten Zielung auf A die Ablesung 0 wenigstens näherungsweise eingestellt wurde, sie wird geprüft durch Benützung beider vorstehender Gleichungen.

Die Messung wird geprüft durch Beobachtung aller zwischen je zwei aufeinanderfolgenden Strahlen liegenden Winkel um den Standpunkt herum, so dass ihre Summe 4 R betragen muss. Eine etwaige kleine Differenz der Summe der erhaltenen Winkelwerte gegen diesen Sollbetrag wird auf alle Werte gleichmässig verteilt.

Wird jedoch hiebei die Zahl der auf einem Punkt zu messenden Winkel sehr gross, so bietet die Probe: [Winkelwerte] = 4R keinen sicheren Schutz mehr gegen kleine Beobaclitungs- und Ablesefehler. In diesem Fall misst man die Winkel besser in mehreren je sich zu 4R schliessenden Gruppen, sorgt aber

gleichzeitig dafür, dass mindestens zwei Winkelschenkel in den verschiedenen Gruppen wiederholt auftreten. Besonders kurze Strahlen werden ohnedies ausgeschieden und mit Probe hernach eingefügt, weil kleine, unbedeutende Zielfehler bei ihnen grosse Winkelunterschiede hervorrufen würden, die nicht auf die anderen Winkel eingeteilt werden dürfen.

Die Zahl der Repetitionen wird je nach der verlangten Genauigkeit und der zur Verfügung stehenden Zeit bemessen (für gewöhnliche Arbeiten gleich zwei oder vier). Der Aufschrieb geschieht am besten schematisch, s. Beispiel unten.

Bezeichnung

der

Punkte

Zahl der Repetitionen

Ablesung Non. I ||Non. II

Mittel

//

Bemerkungen über Punktversicherung etc. Einfacherwinkel.

Zielpunkt links A . . Standpunkt C .    .    .    .

Zielpunkt rechts B .    .

Ausgeglichener Winkel 33° 04' 10"

T—I TM '    ''f

K.

o ^ c-

O O H

O CO 04 io 1—1

212 : 17

© o o    o

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17:00

£2    15

to    to    o

l—¹    i—¹>    o

-5    |    O

8

53° 04' 19“

Verbesserung wegen Ausgleich, auf 4 R: — 9“

In der vorstehenden Anweisung ist die „Horizontierung des Instruments“, d. h. die Vertikalstellung der Drehachse, verlangt. Dabei ist nun die Frage zu beantworten: Ist die Limbus-, oder die Alhidadenachse vertikal zu richten, wenn beide weder zusammenfallen, noch einander parallel gehen (s. Forderung i des § 35). Der Beantwortung muss die Erledigung der Vorfrage vorausgehen: Ist jede Achsanordnung geeignet für repetitionsweise Winkelmessung? Wesentliches Erfordernis für letztere ist jedenfalls die Möglichkeit gemeinsamer Drehung von Limbus samt Alliidade ohne Änderung der gegenseitigen Lage von Teilkreis und Zeiger. Diese Forderung wird am sichersten erfüllt von Konstruktionen, welche beide Achsen in unmittelbare Berührung bringen . (Reichenbach u. a.). Weniger zweckmässig erscheint in dieser Beziehung die französische Achsanordnung, bei welcher die Büchse desFussgestells sich zwischen Limbus-Alhidadenachse

Fig. 231.

; Lupe)

iw

JLl

und

ss: .i

AI

liineinscliiebt, so dass die geometrische Drehachse des Limbus durch die äussere, diejenige der Alhidade durch die innere Fläche dieser Büchse bestimmt ist. Werden z. B. bei dieser Konstruktion Limbus und Alhidade durch eine Randklemme K (s. Fig. 231) und die zugehörige Feinbewegung zusammengekuppelt und sollen beide dann gemeinsam gedreht werden, so sucht Limbus sowohl, als Alhidade die Drehung je um die eigene Achse auszuführen. Sind also beide Achsen nicht identisch, so treten hiebei Spannungen auf bis zum Betrag der doppelten linearen Exzentrizität d beider Achsen, welche die gegenseitige Stellung von Teilkreis und Zeiger samt der Höhenlage ihrer Achsen zu ändern bestrebt sind. Instrumente mit französischer Achsanordnung eignen sich daher im allgemeinen nicht für repetitionsweise Winkelmessung.

Nach Erledigung dieser Vorfrage kommen wir nun zur Hauptfrage: Soll, die Reichenbachsche, oder eine ähnliche andere Achsanordnung vorausgesetzt, bei der repetitionsweisen Beobachtung die Limbus-, oder die Alhidadenachse vertikal gerichtet werden, falls beide um den Winkel v gegeneinander divergieren?

Richtet man die Alhidadenachse vertikal, so weicht die Achse der Fussgestellbohrung (Limbusachse) um den Winkel v von der Vertikalen ab. Solange nun nur die Alhidadenachse gedreht wird, bleibt sie, wie auch die von ihr abhängigen Kippebenen vertikal. Dreht man jedoch Limbus samt Alhidade, so beschreibt die Achse der letzteren um die Limbusachse eine Kegelfläche. Sie erhält samt den von ihr abhängigen Kippebenen eine geneigte Lage und zwar erreicht die Neigung ihr Maximum v = 2v, wenn die bewirkte Drehung der Limbusachse 2 R beträgt.

Hätte man umgekehrt von Anfang an die Limbusachse vertikal gerichtet, so wäre die Alhidadenachse samt den von ihr abhängigen Kippebenen um den Winkel v gegen die Vertikale geneigt gewesen. Eine spätere Drehung der Limbusachse hätte hieran nichts geändert, sie wäre immer vertikal, die Alhidadenachse immer nur um den Winkel v geneigt geblieben.

Der schädliche Projektionseinfluss des konstanten Alhidaden-achsenfehlers v = v ist aber jedenfalls geringer, als derjenige des von 0 bis 2 v wechselnden im ersten Fall.

Wir erkennen daraus: Für Messungsmethoden, bei denen abwechslungsweise Limbus und Alhidade zu drehen sind (repetitionsweise Winkelmessung), wird zweckmässigerweise die Limbusachse (und nicht die Alhidadenachse), bei Anwendung von Messungsmethoden, welche nur die Drehung der Alhidaden-

achse verlangen (Richtungsbeobachtungen s. S. 356) diese vertikal gerichtet.    _

Würde man den zu messenden Winkel statt 2 n-mal, nur n-mal addierend und dann aber n-mal subtrahierend auf dem Teilkreis aneinanderlegen, so hätte man neben der soeben benützten Summen — (4R) für jeden Winkelwert noch eine durchgreifende Einzelprobe. Dieses, von K. F. Gauss 1843 gezeigte Repetier verfahren der

Gauss’sches

Repetier

verfahren.

3. gleichzeitigen Messung eines Winkels und seines Implements

wendet in der Fernrohrlage I n-malige Repetition an, genau wie oben gezeigt, mit rechtsläufiger Alhidaden- und linksläufiger Limbus-drehung. Nachdem dann die Ablesung an beiden Nonien bewirkt ist, folgt die n-malige Beobachtung in Fernrohrlage II, wobei aber die Alhidade vom Zielpunkt rechts zum Zielpunkt links, der Limbus also rechtsläufig gedreht, und der zu messende Winkel von der auf dem Teilkreis im ersten Teil des Verfahrens erhaltenen Summe n-mal abgezogen wird. Zum Schluss muss sich also die Anfangsablesung wieder zeigen.

Beispiel: Zu messen ist (s. Fig. 230) der Winkel ACB:

Einstellg. des Kreuzfadens auf A. Ablesg. aj^ bezw. an auf Non. I bezw. II. Nach n-facher repetitionsweiser Messung des Winkels co in Fernrohrlage I [s. (a) bis (c) des vorigen Verfahrens] erfolgt die Ablesung .    .    b:- „ bn- „    „    „

Q2n    ₀ 2n

di— n an— „    „

Nach abermals n-facher, rückläufiger Repetition in Fernrohrlage II erfolgt Ablesung

Aus den Ablesungen ergibt sich nun

n (o = bi- — ax = bn— — an n . (— oj) — ai- — bi- = an²-£ — bn-

und durch Subtraktion:

2 n &) = 2 b^ — (ax -j- a^) = 2 b^ — (a„ -f- a^fs), d. h. der 2 n-fache Winkel eo ergibt sich auf jeder der beiden Ablesevorrichtungen als Überschuss der doppelten Zwischen-, über die Summe von Anfangs- und Endablesung. Eine Probe für die wichtige Zwischenablesung ist hiebei aber nicht vorhanden. Sie müsste durch Kontrollablesung etwa an einer weiteren Ablesemarke (vergl. Tachymeterbeobachtung) geschaffen werden.

Die Addition der beiden obigen Gleichungen liefert 0 = ax— — ax = a^ — aIX,

d. h. auf jedem der beiden Nonien muss, eine wichtige Messungsprobe, die Schlussablesung gleich der Anfangsablesung sein.

Dieses Verfahren hat den Vorzug, dass im Falle des Vorhandenseins einer Divergenz v zwischen Limbus- und Alhidaden-achse jeder geneigten Stellung der Kippachse eine zweite von entgegengesetzt gleicher Neigung zugeordnet wird, welche den Fehlereinfluss der ersteren tilgt, sobald man wie bei (2) die Horizontierung des Instruments mittels der Limbusachse bewirkt.

W eitere Beobachtungs verfahren — einfach eWinkelmessung in allen Kombinationen der vom Scheitel ausgehenden Strahlenpaare, nötigenfalls, da die Winkelgenauigkeit trotz gleicher Repetitionszahl verschieden sein wird, sobald Beleuchtungsverhältnisse, Strahlenlänge etc. wechseln, bis zur Erreichung eines als zulässig zum voraus festgesetzten mittleren Fehlers („auf die stehende Sekunde“), Verbindung der zu beobachtenden Richtungen, statt unter sich, mit derjenigen nach einer Nullmarke („Mire“) —, die nur bei Messungen für Zwecke höherer Ordnung Anwendung finden, können hier übergangen werden.

Von grosser Bedeutung für die Aufgaben der niederen Geodäsie ist dagegen

B. Die Beobachtung von Richtungen.

Hiebei handelt es sich nicht um die Ermittelung des Winkels zwischen zwei bestimmten, sondern um die gleichzeitige Feststellung der gegenseitigen Lage aller in Betracht kommenden, von einem Standpunkt ausgehenden Strahlen.

4. Richtungsbeobachtung in vollen Sätzen.

Unter einem „Satz“ versteht man im gegenwärtigen Fall die je einmalige Einstellung aller zu beobachtenden Richtungen in jeder der beiden Lagen des Fernrohrs samt jedesmaliger Ablesung an beiden zum Horizontalkreis gehörigen Ablesevorrichtungen.

Die Ausführung geschieht folgendermassen:

Nachdem das Fernrohr des auf dem Standpunkt zentrierten und, im Gegensatz zur Repetitionsmessung, mittels der Alhidaden-achse horizontierten Theodoliten auf einen der bestbeleuchteten Zielpunkte eingestellt ist, wird an beiden Nonien (bezw. Mikroskopen) abgelesen. Alsdann wird bei festem Limbus und geöffneter Allii-dade das Fernrohr in der Reihenfolge von links nach rechts auf alle Zielpunkte eingestellt und jedesmal an beiden Nonien abgelesen. Zuletzt wird, der Probe halber, wieder auf den Ausgangspunkt eingestellt. Die hiebei gewonnene Kontrollablesung muss mit der Anfangsablesung übereinstimmen. Ist die sich einstellende Differenz zu gross (z. B. grösser als die Nonienangabe), so ist die bisherige Beobachtung zu wiederholen, weil die Abweichung auf einen groben Fehler (Erschütterung des Instruments, Drehung des Limbus, Veränderung des Zielpunkts, Ablesefehler etc.) hinweist. Damit ist ein „Halbsatz“ erledigt.

Nun wird das Fernrohr durchgeschlagen, zuerst auf den letzten Punkt und dann auf die übrigen in umgekehrter Reihenfolge (von rechts nach links) wieder eingestellt unter jedesmaliger Ablesung an beiden Nonien. Auch hier muss die Schlussablesung mit der in der II. Fernrohrlage gemachten Anfangsablesung innerhalb zulässiger Fehlergrenzen übereinstimmen. Andernfalls ist der zweite Halbsatz nachzubeobachten. Ist Übereinstimmung erzielt, so ist der

I. Satz beendet.

Sind s Sätze zu beobachten (für Arbeiten der niederen Geodäsie genügen im allgemeinen deren 2 bis 3), so wird der Limbus, um mit den Ablesungen auf allen Stellen des Teilkreises und des Nonius herumzukommen, vor jedem neuen Satz (und zwar bei Verwendung von Repetitionstheodoliten mittels Öffnung der Limbus-bremsschraube, bei Verwendung einfacher Theodoliten durch Drehung

g

des Instruments auf dem Stativ) annähernd um — R gedreht, die Horizontierung des Instruments mit Benützung der Alhidadenachse in dieser neuen Limbusstellung nachgesehen, bezw. verbessert und die Fernrohrlage I wiederhergestellt. Alsdann erfolgt die Beobachtung des 2., 3., sten Satzes, wie zuvor diejenige des ersten.

Als Anfangsablesung im I. Satz kann man den Wert 0 einstellen.

Mit Rücksicht auf das bequemere Auf suchen von, ihren Koordinaten nach gegebenen Zielpunkten und auf bequemere Abrissaufstellung (s. § 63) ist es jedoch zumeist zweckmässiger, durch vorgängige Berechnung und Einstellung des angenäherten Richtungswinkels <p (s. § 56) für den Anfangsstrahl, auch für die übrigen Strahlen genäherte Richtungswinkel abzulesen.

Beispiel s. S. 358 und 359.

Rechnerische Vereinigung der bei jedesmaliger Ablesung an zwei Nonien und aus s Sätzen für jede Richtung gewonnenen 4 s Richtungswerte.

Die Feldarbeit ergab, soweit nicht auch (um etwa nötig werdende Nachbeobachtungen sofort bewirken zu können) die Weiterverarbeitung sofort an Ort und Stelle durchgeführt wurde, die Ausfüllung der Vertikalspalten 1—4 mit den direkten Messungsergebnissen, nämlich 4 Richtungswerten in jedem Satz für jeden Strahl. Ihre Vereinigung zu je einem Mittelwert ist nötig, erfolgt aber

(Stange exzentrisch)

Standpunkt: Höhe (A mitten) zentrisch

Witterung: trübe.

Bemerkungen und Rechenproben.

Entfernung.

o,935

o,93i

o,933

von

8.

Bei Nebenbeobachtung: Zielpunkt Links: Kappel. Standpunkt: Höhe zentrisch. Signalpunkt: Höhe (Stange).

Winkel.

202° 00'

4⁰ 20'

202° 10'

einfach

zweifach

Mittel

Vewinke?gs' 0>l = 115° 99'00"—50° 02' 43₇₅" = 65° 96' 56₂₅".

(Zum Verfahren nach Anm. 2)

f Probe: [Spalteö] — n. co = [Mittel aus Lage Iu. II —(— Sp. 6a].

403' 37₅" — (3 X 96' 56₂₅" = 89' 68₇₅") = 313' 68₇₅"-

[Mittel a.LageIu.IT\satzi—[Mittel a.LageIu.II~\satzii

=3 334° 03‘ 25“.

C0 Mittel

(Zum Verfahren nach Anm. 3) _ UV 43nü“ — 20V 68₇₅"

d) Probe \6b\u — [6] Satz I.

Verw"ss‘"a = 185° 03' 62₅"—50° 02' 43₇₅" = 135°01'18₇₅". (Zum Verfahren nach Anm. 2)

f Probe: [Spalte5] — n. <w = [Mittel aus Lage I u. II -f- Sp. 6 a]. 226'25" — (3 X 01' 18₇₅" = 3' 56₂₅") = 222' 68₇₅."

111‘ 45₇₅" — U3‘ 12b"

'„qiSf ,66 nf9Z =

0iMittel =

(Zum Verfahren nach Anm. 3)

8) Probe: [6 b]m = [6]7.

Hauptprobe für die Behandlung nach Anm. 2:

111'48₇₈".

112'00".

109'56₂₅".

333'00

Ico

nroo

't

b-t

313' 68₇₅"—89' 68₇₅"

222' 68₇₅" — 3' 562S"

CM

[Spalte 6 Satz 1]

^[Sp. 6 Satz II]—3 6)^1

[Sp.6 „ III] - 3 <

Mittel

Schlussprobe für die Behandlung nach Anm. 3: [7] = \ß]i

rS

*s

rg

*3

.2

"m

bß

ö 'S

lii*

Mittel aus den reduzierten Richtungen 6 a

6b

44

in

co

CO 00

-cf SO

in i-i

X" <m

GO O

in

i -    co

CO

CO CD oo

7.

CM CS

O Ol

CM CO CO Co

lO *o

X- Xb

111

50

50

187

137

ZD CO

£o

CO^

111

-g J l*³

„CQ    Ö

'3^3

Ci ts ö r3

2 N <J 3

<D    -4-3

"1J1

ja = H g •ä ö <o ^ 'S § *s

bß

Mittel aus Lage I und II

Richtungswerte

reduziert

a) nach einer Anfangsrichtung b) nach Satzmitteln

43₇₅

06₂₅

93₇₅

43₇₅^

O CO «5 O CO »O O 'Cf CS lO © b

CO CS co

i—t CD s«

sO sO    sO    so

lO t—    DX    CM    lO    b-    so

CM CO ^ H (M iO CO O Cv* CD ^ O CO CD ^ CD lO ^

SO    b-    sO

S $ SS

cß n3 2 ^ 0)    ^ tß ^3

,H (D -P Ü

■S^I-2

6.

co

co

t-H t—H

OO CM cs Ol CM cs 05 O O CM CO co

CO CD

C- t- Xh

i—l CO T-S O i—l es (M CO b

CO CM Co    CO US «    lO-cfiO

000>    CO CO «5    Ib b- Xb

CO (M -m t—l (M t—i r—I CM iS

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—H

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Mittel

aus

Non. I u. II.

5.

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CM

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sO O CM t-

05 05 CM CM

CD co

CM lO CO b-

CM CO

X " L—

j37₅H

403

wi

Satz

O    O    O    (N    b    b    i-l

00    SO    «5    b    CO    CO    Tf

H    CM    1—1    b|    y—t

»o m

1- [~

GO CO

SS

CD SO

so    so

8§ CO o

C0 Tf CO CO

io CO c- Xb

sO

CM

226

Markung: Heudorf

Gemessen am 2./XI. 1907

II.

Non. I.

’9S13Cf

Ziel

punkte.

4.

Om om inm oo o ocs mt^csi>ooio

escncsenmvo cscn.ee oo cn cn Xb Xb oo cm

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3.

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Kappel .

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CS Tf CO O O CM

O O lO in o le

(S 'Cf IO

O O (M

in in oo oo w cn

[Spalte 3] [Spalte 4]

Lage I und II] =

cg -+—*

II §1

gl®²

3 * I ^ 2 ^ fl 2 ® a ® S

Tf .§ tn r-

m n % .s 3 s ä “

H - g g ö g 2 ®

5 g I -S

u«.s

*    ^ C)

Haiger .

x [Spalte 5] = ^ f Mittel aus

1S p

ü) IC H .

<V ö

•72    <D

^ s •s g>

ö S s :2

'S Ph § o ^ rn ^ m

.2

.2

sa P P

/-—\ /-—1

rH CN

cP

= [Spalte 5] = 2. [Spalte 6, obere Zeile].

(unter Ausschluss der letzten, Kontroll, Ablesung) nur bezüglich der Minuten und Sekunden, während die Gradwerte von Nonius I und Lage I unverändert beibehalten werden. Zur Mittelung der Ablesungen an Nonius I und Nonius II dient Spalte 5, zu derjenigen der so erhaltenen Mittelwerte für Lage I und II die obere Zeile der Spalte 6. Zur Probe zieht man die Summen [], wobei sein muss:

[Spalte 3] [Spalte 4]

Nun sind für jede Richtung noch s Werte, — einer in jedem Satz (s. Spalte 6, obere Zeile) — vorhanden, deren Vereinigung durch direkte Mittelung, namentlich im Fall der Verwendung alter Winkelteilung, allzu schwerfällig wäre. Um sie zu erleichtern, vermindert man die gewonnenen „ Mittel aus Lage I und II “ in jedem Satz um einen konstanten Winkelwert, also ohne Veränderung der gegenseitigen Lage der Strahlen, derart, dass jedem Strahl in allen beobachteten Sätzen ungefähr derselbe Richtungswert zukommt. Dies lässt sich erreichen:

1. indem man dem Anfangsstrahl in allen Sätzen den gleichen, zum voraus gewählten Richtungswert 0 oder (p wie im Satz I zuschreibt, und die danach „reduzierten Richtungen“ in die zweite Zeile der Spalte 6 einträgt (s. aufrechte Ziffern im vorigen Beispiel). Als Rechenprobe ergibt sich dann für die Gesamtsumme der Sp. 6 in jedem Satz, in welchem Reduktion stattfand, [6] = [5]— n. co, wenn n die Anzahl der Strahlen und &> den im betreffenden Satz eingeführten Reduktionsbetrag (den Verdrehungswinkel) bezeichnet, um welchen dessen sämtliche Richtungswerte vermindert wurden. Damit sind s „reduzierte“ Richtungswerte für jeden Strahl gewonnen, von denen diejenigen für den Anfangsstrahl genau, diejenigen für die übrigen Strahlen annähernd einander gleich sind. Aus ihnen wird das in Spalte 7 des letzten Satzes mit aufrechten Ziffern eingetragene „Mittel aus den reduzierten Richtungen“ gebildet. Als Schlussprobe für die richtige Mittelung aus allen s Sätzen ergibt sich dann:

[7] =

1([6] —n.cüj)

I. Satz

+ j> ( [6] — n <p₈)

s. Satz

Statt das durch jeden Satz gewonnene Richtungsbüschel nach einem in allen Sätzen festgehaltenen Richtungswert «i⁰ des Anfangsstrahls zu orientieren und damit für die „reduzierte Richtung“ gerade dieses Anfangsstrahls identische Werte in allen Sätzen einzuführen, hätte man die Orientierung ebensogut nach einem in allen Sätzen festzuhaltenden Richtungswert für den zweiten, oder für den dritten etc. Strahl bewirken können.

Nur hätte der Verdrehungswinkel m, der im ersten Fall

betrug

o)i = aY — «!

bei Benützung des zweiten Strahls betragen eo₂ = «₂° — a₂

(On CCn G5n,

wenn ay a₂.. an die in irgend einem Satz beobachtete, ay° a₂° ... an° die zugehörige orientierte Richtung bedeutet. Diese Werte co weisen kleine Unterschiede auf.

ten

11

11

11

11

Die innigste Vereinigung der in den einzelnen Sätzen erlangten Mittel aus Lage I und II erhält man bei Festhaltung eines von ihnen (z. B. des ersten) als „Leitsatz“, und seiner Richtungswerte als a°, wenn man als Verdrehungswinkel das arithmetische Mittel aus den verschiedenen möglichen Werten co einführt (s. Einträge mit schiefen Lettern in Spalte 6):

(J)L 0)₂    (On

^Mittel —

(q,⁰ — at) 4- ■. . + (an⁰ — aK)

l«"l —' [«]

li

Als Rechenprobe für die Orientierung jedes Satzes hat man in diesem Fall [Sp. 6, 2. Zeile] = [Sp. 6, Satz I]; [Sp. 6] = [Sp. 5] — n <yMittel und als Schlussprobe: [Spalte 7] = [Spalte 6, Satz 1].

Die letztere Art der Vereinigung liefert aus den Widersprüchen v (den Überschüssen der endgültigen Mittelwerte in Spalte 7 über die zugehörigen reduzierten Richtungen in Spalte 6 b) den mittleren Fehler einer aus einem Satz erschlossenen Richtung

[w]

(n - 1) (s - 1)

und den mittleren Fehler des Mittels für eine in s Sätzen beobachtete

m = +

[vv]

Richtung:

(n — 1) (s — 1) s

Für das vorstehende (fingierte) Beispiel berechnet sich hienach

14*

Satz I

Satz II

Satz III

vv

vv

vv

213

1109

ly

17

734

10*

110

3648    71

2304 Haiger 529 Kappel 5041 Halde

340    60^    60^    5491    71    71 ' 7874

i——i

13705

V-

13705

2.2

= 4- 58" n. T.

= ± 33b" n. T.

Laut technischer Anweisung vom 19. Januar 1895 ist für Katastervermessungen in Württemberg höchstenfalls zulässig

M = + 25" n. T.

Es drängen sich jetzt noch folgende Fragen auf:

a)    Welches ist die zweckmässigste Art der Vereinigung der Sätze?

Die Orientierung der Sätze nach einem als fest angenommenen Richtungswert hat den Vorteil, die leichte Ausschaltung einer in irgend einem Satz etwra fehlerhaft beobachteten Richtung zu ermöglichen, ohne die Reduktion seinetwegen wiederholen zu müssen, wenn der Fehler sich durch auffallende Abweichung des fraglichen von den übrigen reduzierten Richtungswerten desselben Strahls zeigt. Seine Nachbeobachtung ändert bei Anwendung des genannten Reduktionsverfahrens an der Orientierung der übrigen Richtungen nichts, und die Reduktionsberechnung selbst ist sehr bequem.

Die Orientierung nach Satzmitteln dagegen ermöglicht die Berechnung des mittleren Beobachtungsfehlers.

b)    Ist es wünschenswerter, viele, oder wenige Strahlen in einen

. Satz einzubeziehen?

Bei Einbeziehung vieler Strahlen können plötzliche Witterungs- und Beleuchtungsveränderungen die Fertigstellung eines Satzes verhindei'n, so dass die in ihm bereits bewirkten Beobachtungen nutzlos sind. Die Einstellung schwer zu sichtender Punkte ist nach längeren Zeiträumen schwieriger, als nach kurzen; etwaige äussere Einflüsse (Stativerschütterungen durch Wind, Folgen schwanken Untergrundes, Drehung des Stativs nach der wandernden Sonne, Federnachwirkungen etc.) wirken in langen Zeiträumen stärker und ungleichmässiger, als in kurzen, Störungen am Instrument durch Ungeschicklichkeit dritter können bei grossen Sätzen die Ausschaltung grösserer Beobachtungsreihen nötig machen. (Im Feldbuch ist bei jedem Fall derartiger Ausscheidung von Beobachtungen die Ursache anzugeben.) Es ist daher zweckmässig, nicht allzuviele Richtungen (nur etwa 6—8) in eine Beobachtungsgruppe aufzunehmen und nötigenfalls die Strahlen lieber (s. unter 6. S. 366) in mehreren Gruppen unterzubringen.

c)    Ist die Vernachlässigung der letzten (Kontroll)-Ablesung bei

der Vereinigung der Beobachtungswerte berechtigt?

Wenn in jeder Fernrohrlage Anfangs- und Endablesung eines Satzes einander gleich sind, so ist die Vernachlässigung der letzteren ohne Bedeutung. Sind beide nicht einander gleich, so kann die Differenz herrühren von unvermeidlichen kleinen Ablese-, oder Zielfehlern, oder von einer während der Satzbeobachtung eingetretenen Teilkreisdrehung.

Bilden die erstgenannten Fehlerquellen den Grund der Abweichung, so würde eine Berücksichtigung der Kontrollablesung bei der Mittelbildung dem Richtungswert des Anfangsstrahls eine \A2mal grössere Genauigkeit, also ein 2fach grösseres Gewicht verschaffen, als den übrigen Richtungswerten. Damit aber auch einen nutzlos vermehrten Arbeitsaufwand bei der Weiterverwendung. In diesem Fall ist also die Vernachlässigung der Kontrollablesung wohl berechtigt.

Rührt dagegen die Differenz zwischen der Kontroll-, und der ersten Ablesung von einer während der Beobachtung vor sich gegangenen Teilkreisdrehung

her, so hat die Vernachlässigung der Kontrollablesung lediglich die Wirkung, dass für die Vereinigung an ihre Stelle die erste, vor der Drehung bewirkte Ablesung tritt. Dadurch entsteht im Winkel zwischen dem letzten und dem ersten Strahl eine Klaffung, welche durch entgegengesetzt gerichtete Fehler in den Winkeln zwischen den übrigen Strahlen verdeckt wird, welche aber, gleichmässige Drehung des Teilkreises vorausgesetzt, bei Mitverwendung der Schlussablesung ausgeglichen würde.

Daraus geht hervor, dass namentlich dann, wenn die Schlussablesung zur Richtungsmittlung nicht verwendet werden will, durch entsprechende Befestigung des Instruments auf dem Stativ, scharfe Klemmung der (besser etwas zu schwer als zu leicht gehenden) Limbusachse und Verhinderung etwaiger Stativdrehung innerhalb eines Satzes durch beschleunigte Beobachtung für möglichst unveränderte Lage des Teilkreises zu sorgen ist. Etwaiges, wenn auch gleichmässiges Mitschleppen des Teilkreises wird nicht etwa eliminiert durch

d) die veränderte Reihenfolge der Anzielung im II. Halbsatz.

Möge z. B. der Limbus je von einem Zielpunkt zum nächsten um den Winkel fi mitgeschleppt werden, so erhält man bei der Drehung der Alhidade von links nach rechts (I. Halbsatz) zu kleine, bei umgekehrter Drehung zu grosse Ablesungen. Die Richtungsfehler betragen demnach im Falle der Beobachtung von n Strahlen:

bei Zielung nach Punkt A im I. Halbsatz (Drehung rechtsläufig)

— fi

im II. Halbsatz (Drehung linksläufig)

— 2 fi

— r fi

— n fi

-f- n[i -[- (n—1) fi 4- (n — 2) (i -|- (n — r) fi

0,

also bei Mittelung unter Vernachlässigung der Kontrollablesung:

i ¹¹

P +-

to a

n — 4    , n — 2r

2“'* +-2

l*-

Würde dagegen in beiden Halbsätzen die Alhidadendrehung rechtsläufig aus-gefübrt, so betrügen bei Zielung nach A die Richtungsfehler im I. Halbsatz 0 „ II.

C ... (R + 1) ... A

55

55

—    2 fi    — r fi

—    2 [a,    — r (*

— n^

—-n P,

also bei Mittelung unter Vernachlässigung der Kontrollablesung:

— fi

-2 fl -r fi.. — n fl.

In beiden Fällen wächst also die Unrichtigkeit von Richtung zu Richtung um fi, die Klaffung zwischen dem letzten und dem ersten Strahl beträgt bei n Winkeln n. fi.

Wenn derart die Anordnung der Beobachtung des zweiten Halbsatzes in entgegengesetzter Reihenfolge für gewöhnlich ohne sachliche Bedeutung ist, so gewinnt sie solche unter Umständen für feinere Messungen durch die Wirkung, eine etwaige gleichmässig drehende Bewegung des Stativs, oder Beobachtungsgerüstes (s. § 43) zu eliminieren. Auch die Wirkungen einseitiger Beleuchtung der Zielpunkte (der stärker beleuchtete, hellere Streifen erscheint breiter, als der dunklere, wodurch an unrichtigerstelle angezielt wird) „Lichtphasen“ werden durch das beschriebene Verfahren, welches die Anzielung zeitlich symmetrisch zur Mittelzielung anordnet, eingeschränkt.

Vereinigung der nach einer Anfangsrichtung reduzierten Rieh

Nachmessungs

tungswerte in den einzelnen Sätzen mit den zugehörigen er g ebniss en.

Zielpunkte

Zielpunkte

1) Röthe

3) Neustadt 7) Korber Höhe v vv

°H" +-;

10) Weidach

ij; -

. , . ₊j_

2) Schmiden 5) Waibl. Wachtt.

' " +-

0 00 00

Satz I

Berichtigter Satz 1 (Mittel)    . . 399 9992

Nachmessung zu Satz I .    .    .

Orientierte Nachmessung zu Satz I 399 99 83

0 00 00

Iß «5 (N O* p <=>

r-4    8-1

112 33 75 100 112 34 04 32 112 34 50

1024

112

co

:o

co

240 55 83 240 5600 240 55 83

286 62 25 9 286 62 04    39

286 62 00 286 6183

370 90 00 1521 370 90 00

23    529 []

(O

352' 08".

0 — 75" + 25"

—17".

Reduzierter Satz II.....

Berichtigter Satz II (Mittel) .    .

Nachmessung zu Satz II . . . (Auf Anfangsrichtung 0 reduziert)

Orientierte Nachmessung . . .

Nach Satz I orientierter berichtigter Satz II......

0 00 00 399 99 87 0 00 00

399 99 75

00001    11

to

1-4

44

112

112

112

1 112

kO O _iß

CO CO

34 25

34 39

240 55 50 240 55 63 240 56 00

240 55 75

240 55 77

konnte nicht beob.

286

61

25

werd. 370 90 370 90

25

25

[]

286

61

50

351' 25". 0 - 50"

- 25".

286

61

25

CO

352' 08" — 351'25"

Y14".

9 286

61

39

26

676 37090

39    16256 []

252' 09".

Reduzierter Satz III ... . Berichtigter Satz III (Mittel) .

Nachmessung zu Satz III .    .

(Auf Anfangsrichtung 0 reduziert)

Orientierte Nachmessung .    .

Nach Satz I orientierter berichtigter Satz III......

Ui

80

J8(0_p

__OOP

O    P    OOP

P O P -4    4^    P lo P

P    to    o 84. Q

p

kß >o P c>

H k-H

112

112

112

112

r.

44

100 112

35 50 35 09 34 25

34 67

34 64

28 784

240 56 25 240 56 25

240 55 80

286

61

75

286

61

96

370 90 370 90

75

75

[]

(O

254' 76".

0 + 125" + 0"

286

61

75

co

352‘08“ — 254‘ 76"

+ 42".

45“.

286

62

17

0 286

61

5i

14

196 370 90 30

7 49 []

352' 06".

Endgültige Mittelwerte aus den 399 99 90 14 13 321 orientierten berichtigten Sätzen    1    1

15 11 10201 112343632311817

240 5580

3! 18 286,61 65 40 39 2393 370'90 23 23 23 834 [] = 352'09".

fllRöthe

= ±Yf

mN.

= ±Vf

HlK.H.

= ±Vf

niw.

=±v

nisch. =

±V?

ni\v.

= ±Vf

= + 13"

= ± 10"

= + 30"

= ± 3"

= ± 35"

= ± 20"

m=±V

5. Nachträgliche Einschaltung von Satzteilen.

Tritt der Fall ein, dass irgend ein Zielpunkt vorübergehend schlecht beleuchtet ist, also nicht eingestellt werden kann, oder ergeben sich bei der Orientierung, bezw. Mittelbildung (Spalten 5 bis 7 S. 358/359) starke, ihrer Ursache nach unbekannte Differenzen einer Richtung in einem, oder dem anderen Satz gegenüber dem Mittelwert, so wird man nicht die ganze übrige Satzmessung wegwerfen wollen. Man wird vielmehr Nachbeobachtungen ausführen und durch sie den angezweifelten Satzteil ersetzen. Zur Nachbeobachtung, welche sich auf die angezweifelten und min-

321 + 201 + 1817 + 18 + 2393 + 834

= ± 24"

- ^3

= ± 14".

destens zwei weitere nicht angezweifelte Werte erstreckt, wählt man natürlich dieselbe Teilkreisstellung und Fernrohrlage, welche hei dem betreffenden Satzteil selbst vorhanden war. Der Einfügung in die ursprüngliche Beobachtung hat die Ausschaltung aller grob fehlerhaften Werte vorauszugehen. Hiezu gehören in erster Linie diejenigen, die durch eine bekannte Fehler-Ursache — Veränderung de*s Zielpunkts, Ablesefehler etc. — beeinflusst wurden, sodann aber auch diejenigen, deren starke Abweichung vom zu erwartenden Mittelwert nur durch unzulässiges Zusammenwirken unvermeidlicher Fehlerursachen erklärlich ist, oder die Wirkung

grober Fehler vermuten lässt. (Dies ist der Fall, wenn diese Abweichung den dreifachen mittleren Fehler¹) überschreitet.) Nach den übrigen Werten a° der ersten Messung im selben Satz wird das durch Nachmessung gewonnene Richtungsbiischel dabei zunächst

orientiert (Verdrehungswinkel o>, der zu den nachbeobachteten Rich-

«i° — «! + •••• + «r° —

—Schliesslich

tungen addiert wird, a> = wird das Mittel der vorhandenen, nicht ausgeschiedenen Werte, bezw. der orientierte Nachmessungswert eingeführt. (Beispiel s. S. 364 und 365.)

6. Einschaltung weiterer Strahlen.

Wenn einzelne zu beobachtende Strahlen infolge mangelhafter Beleuchtung, oder sonstiger vorübergehender Hindernisse wegen zunächst nicht anzielbar sind, oder wenn die Gesamtzahl der auf einem Punkt zu beobachtenden Strahlen für die gleichzeitige Aufnahme in einen Satz zu gross erscheint, so zerlegt man das Strahlenbündel in Gruppen, deren jede eine zulässige Zahl von Strahlen enthält und in der normalen Zahl von Sätzen beobachtet wird. Jede folgende Gruppe muss jedoch in diesem Fall mindestens zwei Strahlen von vorhergehenden Gruppen enthalten. Sind dann die Richtungswerte innerhalb jeder Gruppe, nach Verfahren (4) für sich gemittelt, so erfolgt zum Schluss die Vereinigung aller, durch Auswahl einer „Leitgruppe“ und Orientierung der übrigen nach ihr (s. Beispiel S. 367).

7. Benützung mehrfacher Standpunkte.

Kann örtlicher Hindernisse wegen kein Stand gefunden werden, von dem aus sämtliche auf dem betreffenden Punkt zu beobachtende Strahlen sichtbar sind, so wählt man in der Nähe des letzteren andere, „exzentrische Standpunkte“, von denen aus gruppenweise nach Verfahren (4) die Beobachtungen gemacht und je unter sich vereinigt werden. Auch hier muss jede Gruppe mindestens zwei Strahlen anderer Gruppen wiederholt enthalten. Durch „Zentrierungsberechnung“ (s. § 45) gewinnt man alsdann aus den gemittelten exzentrischen diejenigen Richtungswerte jeder Gruppe, die man erhalten hätte, wenn die Messung auf einem gemeinsamen

¹) Der mittlere Fehler m einer in einem Satz beobachteten Richtung kann für bestimmte Verhältnisse (Strahlenlänge, Beleuchtung, Beobachtungsmethode, Instrument etc.) aus früheren Beobachtungen nach dem S. 861 gezeigten Verfahren erschlossen, oder einer amtlichen Vermessungsanweisung entnommen werden. Die württembergische Anweisung vom 19./I. 1895 bestimmt hiefür in § 56 Abs. 3: m = SVV' a. T. oder 25 \/s" n. T. Als grobem Fehler entsprungen gelten Abweichungen > 3 m.

Vereinigung der Richtungswerte mehrerer, auf identischem Standpunkt beobachteter Strahlengruppen.

//

Zielpunkt

Haiger . . Kappel . . Halde .    .

Kalkofen . Neupunkt 5

Standpunkt: Höhe zentrisch mitten)

Leitgruppe =

Richtungsgruppe I Richtungsgruppe II (Mittel a. 3 Sätzen) (Mittel a. 3 Satz

50    02 58 110    06 88

187

33

02

en)

bi

I —II

III = red. Gr = 11 +

uppe II bi

IV = Vereinigte (trappe I und III

339 96    20

50

02

64    50

137

02

33

75

83    66

79

51

339 96    32

75

H y—i CO

33

40

55

29

61

02

16

40

250

12

77    6

66    55

66 250

75

29

12

80

66

66

135 69 339 96    26

120 73

153 75

111 43

o oka\ Übereinstimmend (oielie o. oOv) mitder Vereinigung der 2. Gruppe im Winkelformul

'Winkelscheitel ausgeführt worden wäre. Zu diesem Zweck ist die Entfernung e des Standpunkts von diesem Scheitel und der Winkel zwischen dieser Verbindungsstrecke und einem der beobachteten Strahlen zu messen und in Spalte 8 (s. S. 358) einzutragen.

Die Vereinigung der zentrierten Gruppen erfolgt schliesslich nach Fall (6).

gleich W Mittel

(= 135' 69“ + 4 bi zur Probe)

(Als Probe für kiinftigeüb ertrage)

are

§ 43. Vergleichende Würdigung der im § 42 vorgeführten Beobachtungsverfahren.

Die vorgeführten Beobachtungsmethoden lassen nach Durchführung, erreichbarer Genauigkeit und nötigem Zeitaufwand zwei Gruppen unterscheiden, nämlich

A die Winkelbeobachtungen (von denen hier eigentlich nur die

Verfahren (2) und (3) in Frage kommen) und B die Richtungsbeobachtungen.

Richtungsbeobachtungen müssen namentlich da ange-An^eer¹^™gs‘ wandt werden, wo nicht zum voraus feststeht, welche Winkel zwischen gegebenen Strahlen im ferneren Verlauf der Arbeit zur Verwendung kommen. (Triangulierung). Allen Richtungswerten, sowie allen aus ihnen durch Abzug je zweier etwa gewonnenen Winkeln, kommt gleiche Genauigkeit und gleiches Gewicht zu, während Genauigkeit, hezw. Gewicht eines aus mehreren gemessenen Winkeln durch Addition oder Subtraktion zusammengesetzten Winkels abnimmt, proportional der Quadratwurzel aus der Anzahl der verwendeten Summanden, bezw. proportional der letzteren selbst.

Richtungsbeobachtungen müssen ferner bei solchen Theodolitkonstruktionen angewandt werden, welche eine unveränderliche gegenseitige Lage von Limbus und Alhidade bei gleichzeitiger Drehung beider nicht gewährleisten (z. B. französische Achsanordnung s. Seite 353), oder hei welchen eine Drehung des Limbus nicht möglich ist (einfache Theodoliten).

Umgekehrt müssen Winkelbeobachtungen da angewandt werden, wo das zum Zweck des Ablesens bei Richtungsbeobachtungeii nötige Umgehen des Instruments nicht möglich oder nicht zulässig ist, also bei der Beobachtung auf steilen Felsen, Turmbrüstungen etc. und auf schwankem Grund (Sumpf). Zum Zweck der Ablesung bringt man in diesem Fall nach erfolgter Messung Teilkreis samt festgebremstem Zeiger in eine für die Ablesung bequeme Lage. Die Beobachtung dagegen kann durch blosse Bewegung des Rumpfes ermöglicht werden.

Winkelbeobachtungen können sich auch empfehlen hei langen Strahlen, bei denen es unter Umständen schwierig ist, sämtliche Punkte ohne Unterbrechung in vollen Sätzen anzuzielen, während die Möglichkeit, gleichzeitig zwei Punkte gut beleuchtet zu haben, öfter gegeben ist. Allerdings kann es sich in solchem Fall nur handeln um Winkelmessung in allen Kombinationen, oder unter Verwendung eines stets sichtbaren Zielpunktes, einer „Mire“.

Genauigkeit von Winkel- bezw. Richtungsbeobachtungen.

Genauigkeit.

Die Richtungsbeobachtungen, bei denen für jeden Satz die Alhidadenachse vertikal gestellt und erhalten wird, sind frei von dem Einfluss des durch etwaige Divergenz zwischen Limbus-und Alhidadenachse verursachten Vertikalachsenfehlers. Bei der Repetitionsmessung ist dieser Fehlerim Fall einer Divergenz v beider Achsen günstigstenfalls = v. Sein, durch Durchschlagen des Fernrohrs zwar nicht, wohl aber durch passende Messungsmethode (s. S. 355) kompensierbarer Einfluss also = vcosatgh (s. S. 345).

Wenn weiterhin Zentrierungs-, Horizontier- und Aufsteckungs-fehler ausser Betracht bleiben, weil sie bei beiden Beobachtungsformen in gleicher Grösse wirken, so setzt sich der zu befürchtende Winkelfehler zusammen aus dem bei jeder Zielung auftretenden Zielfehler + a, welcher abhängt von der Beleuchtung, Strahlenlänge, Fernrohrhelligkeit und —Vergrösserung, Veränderung der Ziellinie (z. B. Druck auf den Okularauszug),

dem Ablesefehler + ß, von unregelmässigen Teilungsfehlern,

Fehlern der Ablesevorrichtung, Nonienparallaxe und ungenauem Ablesen an sich herrührend,

+ y, der herrührt vom Mitschleppen des Lim-bus bei Drehung der Alhidade, Bewegung des Fernrohrs in seinen Lagern etc., und dem periodischen

einem Fehler

Teilungsfehler

Lassen wir vorerst y und ö ausser Betracht, so erzeugen die Quellen a und ß bei einfacher Winkelmessung und jedesmaliger Ablesung an zwei Nonien (bezw. Mikroskopen) den mittleren Fehler

+ ö.

Hl einer einfachen Winkelmessung

== +

Die Messung in s Sätzen kommt in Beziehung auf die Fehler a und ß der 2 s mal wiederholten einfachen Winkelmessung gleich. Der Winkelfehler wird also durch sie auf den Vesten Teil heruntergedrückt und beträgt für das Mittel eines Winkels aus den s Sätzen

-- = + a/— + —

Y2s ~ V s ^ 2s’ also für das aus s Sätzen gewonnene Mittel einer Richtung

M

eines Winkels aus s Sätzen

M einer Richtung aus s Sätzen

±V£ +

Messen wir dagegen mit 2n-facher Repetition, so haben wir 4nmal Gelegenheit, den Zielfehler a, dagegen nur 2mal Gelegenheit, einen Ablesefehler

lesen wird) zu machen.

Daraus folgt der mittlere Winkelfehler

\A4n a² ß²

V*

(weil je an beiden Nonien abge-

M bei 2n-facher Repetition ULI

2n

In Anbetracht, dass bei 2n-facher Repetition jede Zielung 2nmal, bei s Sätzen dagegen jede Zielung 2 s mal beobachtet wurde, dass also für 2n = s Gleichwertigkeit in der Zahl der Zielungs-wiederholungen besteht, werden wir zum Genauigkeitsvergleich die mittleren Winkelfehler aus s Sätzen und 2 n Repetitionen heranziehen und bilden

I) =e= M

V"- +

V s ' 2s 2n (\^4n a² n ß² — Yin a² -f- ß²).

Viwa² + ß²

ß*

— M

Für s = 2 n wird daraus

\/4n a² -j- ß²

aus s Sätzen

D=V

2 ii 4 li

aus 2 n Repetitionen —

2 11

Dieser Wert D wird gleich 0 für n = 1, d. h. für einfache Winkelmessung. Nur für diese sind also beide Verfahren im Hinblick auf ihre Genauigkeit gleichwertig. Je grösser n (oder 2n = s) und je grösser ß, um so ungünstiger wirkt in Rücksicht auf die Genauigkeit die satzweise Messung.

Der Zielfehler a ist etwa gleichzusetzen demjenigen für Beobachtungen mit freiem Auge, dividiert durch die Vergrösserungs-zahl des Fernrohrs, also rund = + 1", der Ablesefehler ß etwa gleich der Noniusangabe. Letzterer beträgt somit das 10- bis 20-faclie des ersteren, wenn gewöhnliche Nonientheodolite verwendet werden. Wir erkennen also:

Wenn aus sachlichen Gründen (weil z. B. die später zu verwendenden Richtungskombinationen während der Messung noch nicht bekannt sind, s. S. 367) .mit Richtungen beobachtet werden muss, so muss wenigstens dafür gesorgt werden, dass der Ablesefehler ß möglichst klein gehalten wird (feine Ablesevorrichtung, grosser Teilkreis), und dass etwa nötige Genauigkeitssteigerungen weniger durch Vermehrung der Zahl der Sätze, als durch Verwendung guter Instrumente und — tüchtiger Beobachter anzustreben sind.

Auch in wirtschaftlicher Beziehung (Zeitaufwand) ist die Repetitionsbeobachtung der satzweisen überlegen, denn sie erfordert, unabhängig von der Zahl der Wiederholungen, nur zwei Ablesungen an jedem Nonius, während die satzweise Messung bei s Sätzen deren 2 s für jede Richtung erfordert.

Dieses Untersuchungsergebnis erfährt nun allerdings eine gewisse Einschränkung zugunsten der s atz weisen Beobachtung im Hinblick auf die Fehlerquellen y und d.

Die repetitionsweise Messung (Verfahren 2 und 3) gibt viel leichter Veranlassung zu unbeabsichtigten Drehungen des Limbus (Mitschleppen, Berühren unrichtiger Schrauben etc.) als die satzweise, und lässt solche überdies nur bei Beobachtung sämtlicher Winkel um einen Punkt herum ([ | = 4 R), und auch dann nur durch andere Fehlerquellen verdunkelt, erkennen. Diese einseitig wirkende Fehlerquelle, wenn sie überhaupt auftritt, zeigt sich dagegen bei der satzweisen Beobachtung sofort nach jedem Halbsatz.

Auch gestattet die satzweise Beobachtung durch Ablesen der Richtungen auf verschiedenen, symmetrisch verteilten Stellen des Teilkreises weit sicherer die Ausmerzung etwaiger periodischer Teilungsfehler d, als die Repetitionsverfahren (2) und (3). Denn die letzteren benützen, zumal bei Messung kleiner Winkel, auch

bei Ablesung an zwei Nonien nur zwei-Teilkreisstellen, auf denen diese Fehler zufälligerweise gleiches Vorzeichen haben können. Aus diesen Gründen, in Rücksicht ferner auf die heute erreichte Verfeinerung der Kreisteilungen und Ablesevorrichtungen, und unter Beachtung der in neuerer Zeit angewandten Methoden der trigonometrischen Punkteinschaltung, welche Richtungs- bequemer als Winkelwerte verwenden lassen, ist das bei den Landesvermessungen des 19. Jahrhunderts fast ausschliesslich angewandte Repetitionsverfahren für Zwecke der niederen Geodäsie neuerdings durch das Verfahren der Richtungsbeobachtung mehr und mehr verdrängt worden.

Gleichwohl können namentlich bei Verwendung kleiner Nonientheodolite, die repetitionsweisen Winkelmessungsverfahren, und unter ihnen namentlich das Gausssche, unter Umständen auch heute noch den Vorzug verdienen. Denn dieses Verfahren liefert für jeden Winkel sofort eine durchgreifende Probe für Zielung und Ablesung: Schlussablesung = Anfangsablesung. Es kompensiert ferner im Fall vorhandener Divergenz beider Vertikalachsen bei vertikal gerichteter Limbusachse den Vertikalachsenfehler dadurch, dass jeder geneigten Gebrauchsstellung der Alhidadenachse eine zweite von entgegengesetzt gleicher Neigung zugeordnet wird.

Fehlergrenzen: Für die höchstens zulässigen Winkelfehler bei amtlichen Messungen sind je nach deren Zweck in den Vermessungsanweisungen Grenzwerte vorgeschrieben. Diese betragen z. B. in Württemberg (Technische Anweisung vom 19./I. 1895):

Höchstens zulässiger mittlerer Fehler einer nach Satzmitteln auf den Horizont abgeschlossenen Richtung

Fehler

grenzen.

Reiner Be-obachtungs-feliler für Triangulierung IV. Ordnung.

:+!+

Ol oo

' a.

'n.

Höchstens zulässiger Widerspruch der Dreieckswinkelsumme gegen 2 R

Von dem Zusammenwirken von Ungenauigkeiten der Festpunkte mit Beobachtungsfehlern erzeugter Max-Fehler im Schlussergebnis.

= + 60" a. T. = + 185" n. T. Höchstens zulässige Abweichung einer endgültig orientierten Richtung gegen den zugehörigen Richtungs-

4° 000^)" (wo g strahlen-

winkel(s.§63) = ^60 -j

länge in m vorstellt).

Höchstens zulässiger Fehler der Winkelsumme bei

{1,5 \/h a. T.{

{2,8 n. T.{

n die Anzahl der verwendeten Brechungswinkel bezeichnet.

Polygonisierungen (s. § 83) =

, wobei

§ 44. Absteckung von Winkeln bestimmter Grösse. Absteckung eines zur Stückvermessung nach der Parallelmethode dienenden Netzes von Aufnahmelinien.

T. Winkel von 0° bezw. 2R: „Einweisen“, „Verlängern“

von Geraden.

a) Wenn die abzusteckende Gerade auf ihre ganze Ausdehnung übersehbar, und

a) wenn Verpflockung der Geraden verlangt ist.

Einweisen auf ebenem Gelände.

Einweisen: Man horizontiert das Instrument über einem der Endpunkte, zielt den andern an und winkt dann, nachdem in dieser Lage die Stehachsen festgebremst sind, in der Nähe des entferntest zu schlagenden Pflockes einen vertikal gehaltenen Stab (und zwar, wenn die Pflöcke unter die Ackerkrume geschlagen werden sollen, zunächst angenähert) ein. Nach Aushebung der nötigen Grube wird der Stab schärfer eingewiesen, der Pflock senkrecht auf die erforderliche Tiefe eingetrieben und, falls die Nachprüfung eine kleine Abweichung erweisen würde, durch seitliches Anschlägen der Erde an den Pflock in die richtige Lage gebracht. Ein Bleistiftstrich bezeichnet, falls so grosse Genauigkeit nötig ist, schliesslich auf dem Pflocke den genau eingewiesenen Punkt. Es folgt nun in gleicher Weise, unter zeitweiliger Prüfung, ob die Fernrohreinstellung unverändert geblieben ist, von aussen herein der zweite, dritte etc. Pflock. Damit ist die Aufgabe dann erledigt, wenn während der Arbeit das Fernrohr unveränderte Lage beibehielt. Musste es dagegen stark gekippt werden, wobei etwaige Achsenfehler zur Wirkung kamen, so schlägt man das Fernrohr durch, zielt in dieser neuen Lage den Endpunkt nochmals an und wiederholt in ihr unter Gewinnung eines zweiten Bleistiftzeichens auf jedem Pflock das Einweisen von innen nach aussen. In die Pflöcke eingeschlagene Drahtstifte bezeichnen schliesslich jeweils die Mitte der beiden Einweisemarken als endgültige Punkte der Geraden. Wird

ß) die Strecke nicht verpflockt, sondern nur mit Stäben abgesteckt, so erfolgt die Arbeit unter allen Umständen von aussen herein. Muss dabei das Fernrohr stark gekippt werden, so dass Achsenfehler des Instruments wirksam werden können, so weist man jeden Punkt sofort doppelt, nämlich in jeder Fernrohrlage, ein. Dabei legt man eine Messstange quer zur Richtung der Geraden je vom eingewiesenen Punkt aus nach entgegengesetzten Richtungen auf die Erde, oder liest beide Male auf einem quer auf die Erde gelegten Massstab ab. Die Mitte zwischen beiden angelegten Stangenenden bezw. Ablesestellen bezeichnet die abzusteckende Gerade. Der in ihr vertikal aufgepflanzte Stab bildet die Anlage für den nächsten u. s. f.

Verlängern.

Verlängern einer Geraden. Ist die gegebene Gerade nur kurz, so kann nach erfolgter Instrumentenaufstellung auf ihrem, der gesuchten Verlängerung ab gewandten Endpunkt das Einweiseverfahren (a) oder (ß) angewandt werden. Nur muss dann der zur Anlage dienende Endstab, falls und so lange er die Zielung nach der einzuweisenden Strecke verdeckt, zur Seite gedrückt und jeweils nur vorübergehend zum Zweck der zeitweiligen Prüfung der Anlage wieder vertikal gerichtet werden. Dies ist unbequem. Man wird daher, zumal wenn die gegebene Gerade lang ist, zur Instrumentenaufstellung ihren, der gesuchten Verlängerung zu gewandten Endpunkt wählen und zunächst den entferntesten Punkt dieser Verlängerung mittels Durchschlagen des Fernrohrs in beiden Lagen, also unter Drehung der Alhidade um 2 R doppelt, wie unter ß, bestimmen. Er spielt dann für das darauffolgende Einweisen von Zwischenstäben die Rolle des Endstabes, wie unter (a) und (ß) gezeigt. Ist die Verlängerung zu verpflocken, so wird ihr nach vorhergehendem zu bestimmender Endstab einige Meter über die nötige Entfernung hinaus eingewiesen, so dass er durch das nachträgliche Eintreiben des Endpflocks nicht berührt wird.

b) Wenn zwischen beiden Endpunkten der abzusteckenden Geraden ein Bergrücken liegt, der die Durchsicht hindert.

Einweisen beim Vorhandensein von Geländehindernissen.

a) Ist das Gelände wellig und liegt der Endpunkt B auf einer höheren, vom Anfangspunkt A aus übersehbaren Welle, so können die Punkte 1, 2... (s. Fig. 232) von ihm, weitere Punkte in der

Fig. 232.

nächsten Geländefalte aber vom entsprechend gewählten Punkt (1) aus nach dem Verfahren a (a) oder (ß) eingewiesen werden.

Ist ß) von keinem der beiden Endpunkte A und B aus der andere sichtbar (s. Fig. 233), können aber beide von einem Zwischenpunkt C aus gesichtet werden, so kann man analog dem S. 61 angedeuteten Kreuzscheibenverfahren durch Probieren dessen Ort so bestimmen, dass der Vertikalfaden des auf A eingestellten und alsdann durch-

geschlagenen Fernrohrs in dessen beiden Lagen den Punkt B deckt, oder —• im Fall von Achsenfehlern — in der Mitte lässt.

Fig. 233.

0»

<x

-e-

______

GL

Diese Probiermethode ist aber zeitraubend und unbefriedigend, wenn der Theodolit nicht justiert ist. Auch ist man in der Genauigkeitssteigerung beschränkt.

Besser ist es daher, in einem (etwa mittels Kreuzscheibe) näherungsweise bestimmten Punkt C den Winkel ACB mit der nötigen Genauigkeit nach einem der in § 42 gezeigten Verfahren zu messen. Ergibt er sich = 2 R, so liegt C zufälligerweise genau in der gesuchten Geraden. Ergibt er sich zu 2 R + e, so erhält man die abzusetzende Strecke e aus: e = a-sin/3 = b sin a.

Ist e < der kleineren von beiden Entfernungen a oder b, was mittels einer Kreuzscheibe leicht erreichbar ist, so dürfen wir (Nachweis s. § 45) statt sin a bezw. sin ß die Winkelwerte a bezw. ß

b /?’

,    a

T+b b

£ a -f- b

setzen, womit: e = a- ß = b- a und

d. h.

oder

a + b _ a -J- ß e

Iß =

und e =

Tb

^anal. —

als spezieller Fall der Ableitung (S. 380).

Fehleruntersuchung. Sind die Werte a, b und e mit den Fehlern

Nötige Messungsgen auigkeit. fa fb fe behaftet, so wird deren Einfluss auf e ungünstigstenfalls

-fe

— j^fMessungsgrösse

de

d Messungsgrösse

(a + b) b — ab f , (a -f- b) a — (a + bT²"    a “* (a + b)²

ab

£ • fb +

ab

• fe.

a-j-b*

Setzt man fa = fb, so geht obige Gleichung über in f — e' •    ia2 | p* I ^e<>

te - <>• (a + b)* r + b 1 + O"

Lässt man einen Max-Fehler von 1 cm an e, also \ cm an jedem der zwei Fehlerteile äusserstenfalls zu, so erhält man für den höchstenfalls zulässigen Fehler fa der Streckenlänge:

fa<

0.005 (a + b)²

a² -f- b²

und für den höchstenfalls zulässigen Fehler ie am gemessenen Winkel s:

0.005 (a + b) • q“

fe"<

ab

Hieraus geht hervor: je kleiner e ist, um so grösser darf der Strecken-=    —, d. h. je kleiner a und h ist, um so

fehler fa = fb, je grösser -a ^

ä D

grösser der Winkelfehler fe sein.

. Hiebei

Die grösste Winkelgenauigkeit ist erforderlich für a = b = darf der zulässige Streckenfehler höchstens betragen: faMax = fb Max = 0,01 • Für e = 5'muss also Z. B. faMax <

Dagegen darf der zulässige Winkelfehler fe unter derselben Voraussetzung -g- höchstens betragen:

Q“j also z. B. für d = 500 muss fe"Max <C 8" a. T.

Für die richtige Bestimmung des Zwischenpunktes C ist also scharfe Winkelmessung unerlässlich.

Die geringste YVinkelgenauigkeit ist erforderlich für der zulässige Streckenfehler höchstens betragen: fa Max ⁼ fb Max ⁼ 0,005 •

a = 1) =

ff//Max

0'

0,01.3437

6,9 m.

{:}

er so

. Hiebei darf

Für e = 5' muss also z. B. fa << 3,4 m.

fe" <

Der zulässige Winkelfehler darf dagegen in diesem Fall wachsen auf: 0;005. a

2. Absteckung eines Winkels ACB von beliebiger Grösse y bei gegebenem Winkelscheitel C.

Sind a) vom Scheitelpunkt C aus die Endpunkte A und B beider Winkelschenkel sichtbar, so zielt man nach Grösse-erfolgter Horizontierung des Theodoliten im Scheitel C, und Noniuseinstellung 0 mittels Drehung der Limbusachse nach A. Alsdann bremst man den Limbus in dieser Lage fest und dreht die Alhi-dade bis zur Noniusablesung y.

Nun wird mit dem Fernrohr ein Punkt des gesuchten Winkelschenkels vorläufig eingewiesen, oder auf einem quer gelegten Massstab abgelesen. DasselbeVerfahren wiederholt man mit durchgeschlage-

Fig. 234.

r<?

■ •• *0

ifA

Winkel

beliebiger

O-

A

fr

l f

J/

liem Fernrohr. Ergibt sich hiebei ein anderer Punkt 33₂, so liegt — vorausgesetzt, dass die Abweichung der Punkte 33₂ und 33! von einander aus Fehlern der Ziel-, oder der Kippachse herrührt — der gesuchte Punkt B in der Mitte.

Bei diesem Verfahren ist man auf das Verständnis des in B aufgestellten Messgehilfen angewiesen. Auch ist beliebige Genauigkeitssteigerung umständlich, weil jede neue Beobachtung einen neuen Punkt 33 liefert.

Besser ist es, wenn man nach erfolgter Einweisung des vorläufigen Stabes33i den Winkel AC33i nach einem der Verfahren des §42 genügend oft misst und aus der Differenz e des Ist- gegen

dessen Sollwert die Strecke e =

— s berechnet, um welche der Q

Stab 33i nach der einen, oder anderen Richtung zu verstecken ist.

Auch hier kommt es hei genügend kleinem e, also genügend genauer vorläufiger Bestimmung von 23, mehr auf genaue Messung von y, als von s an. Denn etwaige Fehler fy und fs an y und s wirken auf den Wert von e ungünstigstenfalls im Betrag von

fe

— jjfMessungsgrösse '

— £ • fs -p S • fj. —

fs “p s ’

d Messungsgrösse

Lässt man für jeden der beiden Fehlerteile äusserstenfalls wieder p cm zu, so muss also sein:

Der zulässige Fehler

fs <

j    | f. < 0,001 x <«' < 3,4 m.

b    \    muss z. B. sein    7

i d. h. der zulässige Fehler in •/ ,

-// ) wächst umgekehrt proportional ff// ^

(' i zur Streckenlänge. Für s = 200 in i v i    muss z. B. sein    7

Der zulässige Fehler

b) In welligem Gelände ist es zuweilen nicht möglich, den Winkelschenkel auf die erforderliche Länge CB direkt abzustecken. Es ist aber anderseits, wenn immer möglich, zu vermeiden, auf ihm

V'<

0,005

0,005 • q“

200

< 5".

Fig. 235.

ifpv'

Z ...

Hn

etwa einen Zwischenpunkt Z nach dem soeben gezeigten Verfahren zu bestimmen und hernach etwa die möglicherweise sehr kurze Anlage CZ bis B zu verlängern. Erhebt sich nun hinter der störenden

Geländewelle, wenn auch in grösserer als derjenigen Entfernung, in welcher der Punkt B verlangt ist, eine zweite, noch höhere, von C aus sichtbare Welle, so bestimmt man auf ihr, wie unter (a) gezeigt, einen Hilfspunkt H, weist dann einen Pflock Z in die Gerade CH ein und stellt endlich den Theodoliten in Z auf, um von dort aus in der Richtung gegen H den Punkt B einzuweisen.

Ist eine solche höhere Geländewelle in der Richtung C B nicht, oder nicht in genügender Nähe vorhanden, so sucht man in der Entfernung CH' >: CB (s. Fig. 234 und 235) durch Absteckung des Nebenwinkels (2 R — y) einen Punkt H' in der Rückwärtsverlängerung des gesuchten Winkelschenkels zu bestimmen, und ihn seihst alsdann mittels doppelten Durchschlagens des Fernrohrs vom Standpunkt C aus wenigstens bis zum Punkt Z abzustecken. In Z wird schliesslich das Instrument aufgestellt, H' (nicht C) wiederholt angezielt und unter doppeltem Durchschlagen des Fernrohrs der Punkt B über H'Z rückwärts verlängert.

Netz

paralleler und senkrechter Geraden.

Anlässlich der Absteckung von Aufnahmelinien für die Stückvermessung nach der Parallelmethode ist häufig die Aufgabe zu lösen, die Verpflockung des freien Winkelschenkels genau auf runde Entfernung bezw. in runden Abständen zu bewirken. In diesem Fall gibt man dem vorläufigen Endpunkt 23 (s. Fig. 234), (dessen vorläufige Absteckung mit der Kreuzscheibe in einzelnen Fällen zunächst genügt), eine etwas grössere Entfernung, als für die Absteckung selbst nötig ist und misst dann die Strecke C 23 möglichst genau (mittels Messstangen und Gradbogen) mehrfach durch. Anlässlich der ersten Messung werden hiebei in der Nachbarschaft der künftigen Zwischenpunkte kleine Holzkeilchen, oder Messbandnadeln je etwa 5 m von den Sollpunkten entfernt gesteckt, die bei den folgenden Messungen abgelesen werden. Aus den mehrfachen Messungen und Ablesungen ergeben sich dann unter Berücksichtigung etwaiger Stangenkorrektion die genauen Sollentfernungen dieser Hilfspunkte vom Anfangspunkt und ihre Abstände a vom jeweils zu verpflockenden Sollpunkt. Ist hernach auf Grund repetitionsweiser Winkelmessung der Punkt B auf dem genauen Winkelschenkel nach früherem bestimmt, so erfolgt die Verpflockung der Zwischenpunkte und des Endpunktes durch Absetzen jener Abstände a unter gleichzeitigem Einweisen nach dem Verfahren (la).

Beispiel. Möge AB CD in Fig. 236a das abzusteckende, für die Stückvermessung grundlegende Rechteck von einigen hm bis 1 oder 2 km Länge bezw. Breite, A den festzuhaltenden Eckpunkt und AB' dessen gegebene, oder nach irgendwelchen Rücksichten ausgewählte Hauptrichtung darstellen.

Man steckt nun die Gerade AB' zunächst mit freiem Auge, oder unter Benützung eines Glases vorläufig, doch immerhin so genau ab, dass die Ab-

weichung von der Sollgeraden an keiner Stelle den Betrag von 1 dm übersteigt. Alsdann misst man die Strecke A B' unter Verwendung des Gradbogens durch, indem man je etwa 5 m entfernt von den Zwischensollpunkten bei g', h' etc.

Fig. 236 a.

0-7

7T^

ae

Flk

0,2

Bezeichnung

der

Punkte

s*,

7i 3ß't7 7i

Nadeln, oder Holzkeilchen vorsteckt. Bei der Rückwärtsmessung werden diese Yorstecknadeln abgelesen, so dass die Feststellung der genauen Ist-Entfernungen von A für sie und B', wie nachstehend gezeigt, erfolgen kann. Die Ausgleichung geschieht am bequemsten in einer schematischen Figur (s. Fig. 236 b), in welcher dafür gesorgt wird, dass die Summe der beiden in entgegengesetzter Richtung erhobenen, je einem und demselben Punkt zugehörenden Masse den endgültigen Wert der Gesamtstrecke liefert.

Grad

bogen

ablesung

Reduktion

Länge

auf

■ ‘ii

ge

g Stang ö läns

im

3 ganzen

geneigt

horizontal

Bemerkungen

Fig. 236 b.

Bezeichnung

Reduktion

Länge

der

Punkte

Grad

bogen

ablesung

aut

en-

ge

8 Stang ^ läne

im

3 ganzen

geneigt

horizontal

Bemerkungen

I. Messung.

Markst.

30

'    ‘/Oas.9.7* B

B'

II. Messung.

vorgest.

10

20,5

20

14,5

g'

00 (t)

16,5

11

424

133.00

132.576

27393,7* + n

ti

h'

io CO .... co

rH IC    ^

20,5

11

30,5

7 00 (t)

(11

) 26,5

437

127.48

127.043

vorgest.

50

11

vorgest.

40

16,5

5 10 3 50

20,5

11

30

4 00

12

h'

20

41

vorgest.

1065

275.00

273.935

fi +

eeefos

g'

3 50 (t)

)¹⁰

1161

269.56

268.399

10

13

20

30,5

'ff'

vorgest.

5 40 4 20

24,5

14,5

B'

40

10

SV6'00*t

4 30

15,5

vorgest.

40 (t)

8,5

18)

1597

402.56

400.963

Markst.

3 00 (t)

(4)

1520

402.44

400.920

AB'

CO O

Mittel 400,942 Stangenkorrektion    0,053

Endgültige Gesamtstrecke 400,995.

Nun legt man die aus den ausgeglichenen Strecken ermittelten Abstände ax a₂ . . . von den Vorstecknadeln bis zu den Punkten g und b vor, bezw. zurück und weist gleichzeitig mit dem Theodolit die Gerade nach früherem ein. Der an der betreffenden Stelle auf die gewollte Tiefe eingetriebene Pflock ist natürlich zum Schluss in beiderlei Bichtung nochmals genau zu prüfen und nötigenfalls durch Eintreiben von Steinen oder Anschlägen von Erde genau richtig zu stellen.

Nun werden in A und B (bei wenig ausgedehntem Netz mittels der Kreuzscheibe) die genäherten Lote auf etwas grössere Entfernung als nötig, nach ©' und 35', abgesteckt. Durch doppelte Messung erhält man, wie vorhin bei AB,

AE'

die entsprechenden genauen Streckenlängen

A ©'

bezw.

BF'

und aus ihnen die

B35'

abzusetzenden Abstände a₃ und a₄, a₅ und a₆. Sind hernach die vorläufigen Punkte 6' bezw. 35' auf Grund repetitionsweiser Winkelmessung nach © und 3), d. h. auf die richtige Schenkellage versteckt, so erfolgt die Verpflockung von C und E bezw. D und F durch gleichzeitiges Einweisen mit dem Theodoliten und Abtragen der ermittelten Abstände a von den Vorstecknadeln wie hei g und h.

Nun wird, zunächst wieder mit freiem Auge, die Gerade C D eingewiesen und unter Vorsteckung und Ablesung der Nadeln i' und k' hin und zurück durchgemessen. Nach erfolgter Ausgleichung und Ermittelung der abzusetzenden Masse a₇ und a₈ erhält man durch Einweisen mit dem Theodoliten und gleichzeitiges Absetzen der Strecken a die Netzpunkte i und k, wie vorher die Punkte g und h.

3. Absteckung eines Winkels A C B von gegebener Grösse y, von dem ein Schenkel und ein Punkt des andern, oder von jedem der beiden Schenkel ein Punkt auf dem Gelände gegeben, der Winkelscheitel C aber gesucht ist (s. Fig. 237a und 237b).

Der Fall kommt verhältnismässig selten (z. B. bei der Kreisbogenabsteckung nach dem Satz von gleichem Peripheriewinkel über gleichem Bogen) vor.

Hat man (etwa mittels einer Gradscheibe, eines Sextanten oder einer Prismentrommel) einen genäherten Punkt (£ gefunden,

Fig. 237 a.

X/

A,

O-..

An

XX

A3

x-

x.

X-

in welchem

und den Winkel A G B = v gemessen, so zeigt dessen Abweichung e = y — v gegen den Sollbetrag y die Richtung an, in welcher der Punkt (£ nach C zu verschieben ist. (Für e — + muss (£ in den Winkelraum ^ 2 R hineingeschoben werden.)

Die Grösse e der Ver-

Fig. 237 b.

A. .....

.v

.£>

!r*Ü;

Schiebung errechnet sich im Fall der Figur 237a aus der Gleichung

sin e. s

sin v oder sin y

oder für kleines e

--- g#

q' (sin y oder sin v)

Ist die Schenkelrichtung A (£ nicht feststehend, so kann man (s. Fig. 237 b) den vorläufigen Punkt © auf der Halbierenden des Winkels v nach C verschieben.

Wir erhalten dann y — v

LC 'S

. V

e sin —

I £'+ b-&

e-p'-siiG(f+|)

in Übereinstimmung mit dem Einfluss ungenauer Instrumentenzentrierung, s. S. 349.

Daraus ergibt sich der lineare Verschiebungsbetrag *'(= y — v)

e sin

i;

e‘

er i—>

Q‘

(a + b) sin

to 'S

in Übereinstimmung mit dem speziellen Fall S. 374,

v — 2R, also sin ~ = 1.

§ 45. Zentrieren von Richtungen und Winkeln.

In Absatz 7 des § 42 hat sich die Notwendigkeit ergeben, einen dem eigentlichen Winkelscheitel C benachbarten Punkt N als Standpunkt für die Winkelbeobachtung zu wählen und hernach die auf ihm gemessenen Werte rechnerisch auf diejenigen zu reduzieren, die man bei Beobachtung im richtigen Scheitel C erhalten hätte. Anderseits kann sich auch der Fall ereignen, dass man infolge von Hindernissen (Gebäuden, Bäumen etc.) statt des eigentlichen Zielpunkts R einen ihm benachbarten Punkt N anzielen und den Einfluss dieser Verlegung auf die beobachtete Richtung hernach rechnerisch berücksichtigen muss.

Wir behandeln zunächst die:

I. Verlegung des Winkelscheitels.

a) Bei Richtungsbeobachtungen.

Im Standpunkt (Nebenpunkt) N statt im benachbarten Zentrum C seien von einem beliebigen Anfangsstralil N 0 (der Verlängerung des Limbushalbmessers nach dem Teilungsnullpunkt) aus

Fig. 238.

■Ä

oA

i

YccAlfi\ k : ‘' Ccc&

AB

N\

r)e-

__linker Schenkel-für

PF ^    ^ [amtliche Winkely

$ \    /

CP\

die Richtungen NA, NB, ND....NR mit den Werten c4, a®, ay ... beobachtet.

Gesucht sind die Werte «£, «c, cic.... a®, welche die Messung im Scheitel C von einem zu NO parallelen Nullstrahl aus ergeben hätte.

Die gegenseitige Lage der Punkte N und C unter sich und gegen die Zielpunkte A, B . . . sei durch die Verbindungsstrecke e, die Entfernungen s der Zielpunkte von C, die beobachteten Richtungen <% und durch den in N mit der Zentralen CN als linkem Schenkel beobachteten Winkel CNR = nach einem der vorgenannten Zielpunkte bestimmt.

Die „Zentrierungselemente“ e und werden womöglich direkt gemessen. Da (vergl. S. 386) die Exzentrizität e möglichst klein gehalten wird, ist dabei aber häufig der Punkt C mit dem Fernrohr nicht direkt einstellbar. In diesem Fall wird eine auf dem letzteren aufsitzende Zielvorrichtung (Diopter) für die Beobachtung beider Schenkel des Winkels CNR benützt (die damit erreichbare Genauigkeit genügt in diesem Fall, vergl. S. 386). Fehlt die Dioptervorrichtung auf dem Fernrohr, so wird der entferntere Punkt mit letzterem direkt angezielt. Bei Anzielung des nahegelegenen Punktes C geht man dann aber, nachdem der Yertikalfaden wie bei einer normalen Fernrohrzielung ins Auge gefasst wurde, mit letzterem so weit vom Okular zurück, bis man den Yertikalfaden deutlich auf Punkte, sich projizieren sieht. (Verwendung des Okulars als Lupe.) Bei etwaiger, zur Fernrohrachse schiefer Okularstellung wird hiebei die durch den optischen Mittelpunkt des Okulars und den Yertikalfaden bestimmte Zielung gegen die zur Einstellung des fernen Punktes benützte eigentliche Ziellinie divergieren. Um den Divergenzbetrag erhielte man daher bei nur einmaliger Beobachtung den Winkel yE unrichtig. Wiederholt man aber die Messung in der zweiten Fernrohrlage, in welcher der erstgenannte auf die andere Seite der eigentlichen Fernrohrziellinie zu liegen kommt, so hebt sich der Fehler auf.

Können (bei unzugänglichem C) die Zentrierungselemente nicht direkt gemessen werden, so benützt man zu deren Gewinnung Nebenmessungen, nötigenfalls unter Dreiecks-, oder Polygonbildung (s. § 84).

Die Strecken CA = sA, CB = sB . . . . erhält man genügend genau (s. S. 385) aus genäherten Koordinaten für die Punkte A, B, C.....

Zur Aufstellung der nachfolgenden Gleichungen aus Fig. 238 denken wir uns an Stelle jeder Zielung NA, NB . . . durch N eine Parallele zum rechten Winkelschenkel CA, CB . . . gezogen. Dann kann man (da Winkel zwischen gleich gerichteten Parallelen einander gleich sind) aus Fig. 238 direkt ablesen:

ö!(j — abs.

(1)

a® — abs. dB ctq ⁼ ttjJ —f- abs. dj) a<3 = «n + abs. dE

Die in jeder Gleichung (1) auftretenden Parallaxwinkel ö ergehen sich mittels des sin-Satzes je aus einem der Dreiecke mit N C als Basis und dem betreffenden Zielpunkt als Spitze und zwar ist:

e sin oder für den

-—, Fall, dass dabS. 0A =

Sa klein genug:

„    „    abs.dB=

obo A" — eSin/P n    n    aUS.OB - gD

oho ,r _ esinrE „    „    aus. 0K ■—    gK

sin <5a

sindB

esin(4R —y-⁴)¹)

e sinyA

(2)

sin dD

sin <5e

Sa

sa

e sin (4R — yB)

e sinyB

e sinyB

sb

sb

Sb

5    5

Qy Q/

e sin yD

SD

e sin yK

Se

womit die Gleichungen (1) übergehen in:

*) Da für die Winkel y nur der Scheitel N in Betracht kommt, sei die spezielle Bezeichnung N künftig wreggelassen.

a£ = 05$ + algeb. <5a oder wenn d klein genug: «^4"— Q sin yA

Sa

a® = a® + algeb. dB „ öo = ÖN + algeb. dD „ öc = On + algeb- 4 »

„ «N + ~ Q Sill yB

»    q sin

„ og + ^siny«

d. h. in die allgemein gültige Gleichung

(3) ac = ön 4~ arc sin q sin yB = aE 4- algeb. <SB.

Die zur Berechnung der Zuschläge d nötigen Winkel yA, yB, yD . . . = C N A, C N B, CND, den gemessenen 4 «4 «4    . . . und dem bekannten Zentrierungs

element yE = CNß. Dazu dient die — sobald man grundsätzlich

positiv negativ

einführt — für Winkeladdition ganz allgemein gültige Gleichung (Additionstheorem):

ANP = AND4-DNE +...4-NH4-HNP, oder für den vorliegenden Fall

den durch

rechtsläufige

linksläufige

sind nun zu ermitteln aus

Drehung entstandenen Winkel als

f yA

CNA = CNR + RNA = CNR 4-(ONA — ONR) = ONA 4-(CNR —ONR) = aA + (yR — «n)

und analog

(4K

yB = CNB = CNR + RNB = CNR -f (ONB — ONR) = ONB 4" (CNR — ONR) = ct% 4- (yB — ag) CND = CNR4-RND = CNR-j-(OND — ONR)

= «£4-(yR-«£)

CNE = CNR 4" RNE = CNR 4-(ONE — 0NR)

= a| + (yR-«I)

yD

yE

Die nach (4) zu jedem inN beobachteten Richtungswert zu addierende Konstante (yR — aR) ist lediglich die Differenz zwischen den beiden im selben Nebenpunkt N beobachteten Werten der von der Zentrallinie einerseits minus der vom Anfangsstrahl Null anderseits ausgehenden Richtung R.

Hätte man, statt dem O-Radius des Teilkreises die in Fig. 238 gezeichnete beliebige Lage N 0 zu geben, durch entsprechende Noniuseinstellung und Limbusdreh-ung, oder durch entsprechende Reduktion in Spalte 6 des Form. S. 358/359 dafür gesorgt, dass eine der Zielungen (z. B. A) den Richtungswert 0 erhalten hätte und hätte man das Zentrierungselement y statt nach einem beliebigen, in die Satzbeobachtung aufgenommenen Strahl R eben nach dem Anfangsstrahl A für die Satzbeobachtung gemessen, so würde die in (4) zu addierende Klammer übergegangen sein in [yK — a^) = yK. An Stelle der Gleichungen (4) wäre dadurch getreten:

(4 a)

yn = «n + yA-

Zu (4a): Wäre y statt nach Schindelrain, nach dem Anfangsstrahl Berg (mit 142° 19'47") beobachtet worden, so wäre die vorgängige Bildung des Verdrehungswinkels entbehrlich, vielmehr zu jedem beobachteten Richtungswert ax lediglich der beobachtete Wert y zu addieren gewesen.

Fehleruntersuchung.

Die Werte y sind nach Gleichungen (3) lediglich zur Berechnung des Zuschlages d = q sin y notwendig. Es fragt sich nun, ob zu diesem Zweck für y Sekundengenauigkeit nötig, oder ob, unbeschadet der Genauigkeit in a₀, eine Arbeitserleichterung durch Beschränkung der y auf Minuten zulässig ist.

Mit der Beantwortung dieser Frage wollen wir gleichzeitig diejenige nach der notwendigen Messungsgenauigkeit von e, s und y überhaupt erledigen.

Nach Gleichung (3) haben die zentrierten Richtungswerte ac gleiche Genauigkeit, wie die exzentrisch beobachteten aN, wenn das Zusatzglied d keine weitere Ungenauigkeit hereinbringt, oder: der Beobachtungsfehler in aN wird ungünstigstenfalls um die Ungenauigkeit von d vermehrt. Dieser Beobachtungsfehler betrage für Triangulierungen IV. Ordnung im Mittel + 8" a. T. (s. S. 371). Lässt man etwa XV dieses unvermeidlichen Messungsfehlers noch als Rechenfehler zu, verlangt also, dass der Fehler an d = Runter allen Umständen kleiner sei als 1" a. T., so hat man im ungünstigsten Fall (wenn die einzelnen Felilerteile sich addieren) für diesen Fehler an d:

ds

diviessungsgrösse

Beispiel zu (4):

Standpunkt Galgen (exzentrisch) yschindeirain = 274°40' Beobacht. Richtungen nach Berg 0°00'00"

142°19'47" 207°52'12" 274°40'

«N

Höhe Schindelrain Deschen Kleinfeld 65°32'25" 132°20'13" 244°38'12" 274°20'11"

26°57'59" 56°39'58"

also y

(zu addierender Verdrehungswinkel = yu—    = 274° 40' — 132° 20'13"

= 142° 19. 47).

(5) f3=n .

— Qsmy

= ~ sin y q" fe +    Q" sin y fs + cos y ■ fy < 1".

Bei gleichmässiger Verteilung des zugelassenen Gesamtfehlers auf die drei Summanden müsste also sein:

(5 a)

1"

(5 b)

-g— siny • fe < -g- a. T.

e sin y

Q"

1"

(5 c)

• fs < -g- a. T. — cos 7 • fy < -4- a. T.

s²

Aus (5a) folgt die Forderung:

Der zulässige Fehler in e darf höchstens sein:

l"

fe <

p" sin y

Der ungünstigste Fall tritt ein (d. h. der zulässige Fehler fe

wird am kleinsten) für sin y = + 1, d. h. y = g¹^. f _ 1" s le ~ 3 p" —

Es zeigt sich also: Der Fehler in der Messung der Exzentrizität e darf proportional zur Ziellänge s zunehmen.

Dann darf

höchstens sein:

618795 ’

Für s =    100 m muss

619 m 1000 m

VW

mm

mm

1,6 mm sein,

oder: Die Exzentrizität e ist mit mm-Genauigkeit zu messen. Kürzere Strahlen als 600 m dürfen, wenn 1" als Maximal-Rechnungsfehler festgehalten werden will, überhaupt nicht exzentrisch beobachtet werden.

Aus (5b) folgt:

Der zulässige Fehler in s darf höchstens sein:

1"

f.<

IT⁸*

p" . e sin y *

Auch hier tritt der ungünstigste Fall (zulässiger Fehler für fg

nämlich

möglichst klein) ein, wenn sin y = + 1, d. h. y =

3 R’

fs<

1" s²

s²

618795 e'

3 e. p"

Je kleiner also die Exzentrizität e, um so ungenauer darf die Strahlenlänge s sein, deren zulässiger Fehler fs überdies noch mit ihrem Quadrat wächst.

Für e = 1 m und s =    600 m muss fs < 0,6 m

1000 m „ fs < 1.6 m s = 2000 m „ fs < 6,5 m.

Werden also Strahlen < 600 m grundsätzlich zentrisch beobachtet und kann e < 1 m gehalten werden, so genügt für s im allgemeinen Meter-Genauigkeit.

Aus (5 c) folgt:

Der zulässige Fehler in y darf höchstens sein:

l"

r;<

ys

e cos y

Weitbrecht, Vermessungskunde.

oder fy <

180 e cos y

a. T.

Der ungünstigste Fall für fy tritt ein, d. h. die relativ grösste Genauigkeit in y wird verlangt, wenn cos y — + 1, d. h. y — ₂°R. Dann muss

Je kleiner also e und je grösser s, um so ungenauer darf y sein:

Für e = 1 m und s =

600 m muss fy <

600'

<    3,3"

<    5,5'

Für y genügt also im allgemeinen eine Genauigkeit von ca. 5' a. T.

Damit ist die S. 384 gestellte Frage beantwortet. Es wäre unnütze Rechenarbeit, wenn y auf Sekunden berechnet werden wollte.

Zum Schluss ist noch die weitere Frage zu erledigen:

Unter welcher Bedingung darf der Parallaxwinkel d nach der abgekürzten Formel

s — 1000 m

fy

180

d" =

j- Q" sin y

berechnet werden, bezw. unter welchen Umständen ist die allgemeine Formel zu benützen:

sin d = sin y?

Lassen wir entsprechend der möglichen Aufschlaggenauigkeit aus der sin-Tafel die erste Formel zu, wenn sie ein Resultat er-

\    i"

gibt, das höchstens um g— unrichtig ist, verlangen wir also

l"

d — sin d <    ,

und unter Vernachlässigung der höheren Potenzen von ö

so wird:

1"

2 q"

d³ <

3!

Es muss also

2 Qu

412530 ⁻

3

^ < Q* 412530 Dies trifft unter allen Umständen zu, wie auch e zum Strahl s liegen möge, und es darf also die abgekürzte Formel benützt

< 0,0244 q' < 84' a. T.

werden, wenn

f<

84'

< 0,0244 wird,

Beispiel. Standpunkt Galgen (exzentrisch) e = 0,970

yschindelrain ⁼ 274° 40'

Schiebzettel: log q" = 5.3144 log e = 9.9868

Beobachtete Richtungen ön (s. S. 384) y

log e . q“ = 5.8012.

nach Berg Höhe Schindelrain Deschen

Kleinfeld

0°00'00" 65° 32'25" 132° 20'13" 244° 38'12" 274° 20'11" 142°20'    207°52'    274°40'    26°58'    57°40'

9.7861

7.0022

log sin y E log s

log ö" 2.0895 <5" = + 2' 03"

9.6697 n 6.8747

9.9986 n 6.7952

9.6566

7.0016

9.9219

6.6916

1.8456 n — 1' 10"

2.0950 n — 2' 04"

1.9594    1.9147

-4- 1' 31"    -f-1'22"

Zentrierte

Richtungen ac=0°02'03" 65° 31'15" 132° 18'09" 244° 39'43" 274° 21'33".

b) Bei Winkelbeobachtungen.

Jeder Winkel kann aufgefasst werden als Unterschied zweier Richtungen. Die im Nebenpunkt N beobachteten Winkel aN lassen sich also allgemein schreiben (s. Fig. 238):

ANB == ONB-ONA = aB — aA BND = OND —ONB = aD — aB

ÖN

A, B

(6 a) l «n’d

Ebenso lassen sich die entsprechenden, in den Hauptpunkt C als Scheitel zentrierten Winkel schreiben:

«<VB

(6 b) j ac

B, D

ACB = 0 C B — 0 C A BCD = 0 C D — 0 C B

Nun ist allgemein:

«c’B

ACB = ANB + (ACB —ANB) = a£-B + (0 CB — ONB)

—    (0 C A — 0 N A) = «n’ ß + algeb. <5B — algeb. öA a^D = BCD = BND + (BCD —BND) = a£D + (OCD — OND)

—    (0CB — ONB) = aB’D + algeb. öD — algeb. dB,

also allgemein

(7) «o = «n + algeb. ö

für rechten Schenkel

algeb. (3 für linken Schenkel*

Wir nehmen das vorige B eispiel nochmals vor, setzen jetzt aber Winkelmessung voraus:

Schiebzettel: log q" — 5.3144 log e = 9.9868

log e . q“ — 5.3012.

Winkel

Standpunkt Galgen (exzentrisch)

/Schindelrain

e = 0,970 = 274° 40'

Berg—Höhe—Schindelrain—Deschen—Kleinfeld—Berg

Beobach. W inkel aN

(Probe [] = 4R) 65°32'25" 66°47'48" 112°17/ 59" 29°41' 59" j 85°39' 49"

152° 20'    207° 52'    274° 40'    26° 58'    56° 40'    142° 20'

(sukzessive Addition der uN zu 7, ausgehend von

^Schindelrain. Ausgangswert 274« 40' muss zum Schluss wieder erscheinen) _

log sin y E log s

Probe:der

9.7861

7.0022

9.6697 n 6.8747

9.9986 n 6.7952

9.6566

7.0016

9.9219

6.6916

9.7861

7.0022

log Ö" 2.0895 ö" = + 2' 03"

1.8456 n — 1' 10"

2.0950 n

— 2' 04"

1.9594 + 1' 31"

1.9147 +1'22"

2.0895 + 2' 03"

<5r — di = (Probe [] = 0)

— 3'13"

— 0' 54"

+ 3' 35"

— 0' 09"

+ 41"

65°29'12" 66°46'54"

112°21'34" 29°41' 50" 85°40'30"

(Probe [ ] = 4 R)

II. Verlegung des Zielpunktes.

Ist der Zielpunkt R selbst durch irgend ein Hindernis verdeckt, gelingt es aber, vom Standpunkt C aus einen ihm benachbarten

Fig. 239.

Nebenpunkt N anzuzielen, so kann man aus den zu messenden Exzentrizitätsele-

N>%

!■

menten e und s (e wie y unter (I) grund-\ sätzlich von der Zentrale zur Signallinie ²) gemessen) den Zuschlag d berechnen:

et sin e.

sin (absol. di) = sin (absol. d₂) =

e₂ sin (4 R — e₂)

e₂ sin e₂

oder für e <    (s. S. 386)

A:

algeb. di = ~ q" sin fx; algeb. d^ = —y- q" sin e₂ und

(8)

öc = ^c¹ + Q" sin fl = o#² + Q" sin c₈.

Wie aus (5 c) S. 386 festgestellt wurde, beanspruchen wir für den Winkel £ die geringste Genauigkeit (Fehler ca. 10' a. T.), wenn cos e = 0, d. h. wenn e = R. Man wird daher N möglichst als Fuss'punkt eines mit der Kreuzscheibe zu fällenden Lots auf R auswählen und e möglichst genau (auf mm) messen. Dann geht (8) über in

(8 a)

Q". s ^

Kapitel XI.

Trigonometrische Punktbestimmung („Triangulierung“).

§ 46. Zweck, Wesen und Einteilung der trigonometrischen Punktbestimmung.

Durch grosse räumliche Ausdehnung, wie solche in ebenem, offenem Gelände an sich möglich wäre, und fortschreitendes Aneinanderreihen der einzelnen auf dem Weg der Stückvermessung, also geometrisch gegeneinander festgelegten Systeme von Aufnahmelinien und Grundstücksgrenzen könnte man zwar ganze Markungen, ja Länder aufnehmen und mit allen ihren Einzelheiten in Plänen darstellen. Allein die bei der Stückvermessung unvermeidlichen Ungenauigkeiten würden dabei um so stärkere Verzerrungen des Planbildes und beliebiger, aus der Aufnahme gewonnener Strecken, Winkel und Flächen verursachen, je grösser die Einzelfehler sind und je öfter durch Aneinanderreihen Gelegenheit zu ihrer Addition gegeben wäre.

Aus diesem Grunde haben wir schon bei der Stückvermessung, statt Grundstücksform an Grundstücksform zu reihen, ein möglichst einfaches Netz von Aufnahmelinien vorgängig und mit möglichster Genauigkeit in gegenseitigen Zusammenhang gebracht, ehe wir — vom Grossen zum Kleinen — an die eigentliche Grundstücksaufnahme gingen. In noch erhöhtem Mass ist die Sicherung für den Zusammenhang der verschiedenen Netze von Aufnahmelinien unter sich nötig, da ihre Eckpunkte durch lange und infolgedessen mit grösseren Ungenauigkeiten behaftete Strecken bestimmt sind. Als sichernder Rahmen für sie dient eine Anzahl mit besonderer Schärfe aufgenommener grosser und einfachster, aneinander anschliessender Figuren, — ein „Dreiecksnetz“, dessen Eckpunkte auf dem Gelände vermarkt werden.

Zur Bestimmung der gegenseitigen Lage der Eckpunkte jedes Dreiecks könnte man an sich ebensowohl ausschliesslich Strecken-, als auch — nach Gewinnung einer einzigen Dreiecksseite — ausschliess-lieh Winkelmessimg verwenden. Die Wahl unter diesen verschiedenartigen Bestimmungselementen wird man je nach dem mit jedem dieser Hilfsmittel erreichbaren Genauigkeitsgrad und dem damit verbundenen Zeit- und Kostenaufwand treffen.

In beiderlei Hinsicht erweist sich die Winkelmessung als der Streckenmessung überlegen. Man beschränkt sich daher, seit Snellius im Jahre 1617 und Schickhardt im Jahre 1629 den Weg dafür gewiesen, und der Bau feiner Winkelinstrumente entsprechende Fortschritte gemacht hat, auf die Messung der Dreieckswinkel und, weil diese für sich allein wohl die Form, aber nicht die Grösse der Dreiecke bestimmen, einer (bezw. wegen der Probe einiger) Dreiecksseiten, „Basen“.

Die zur Weiterbenützung der durch jene Messungselemente bestimmten gegenseitigen Lage der Dreieckspunkte unter sich und gegenüber einem Koordinatensystem nötigen Streckenmasse werden dann durch Rechnung, von der Basis aus-, und von einem Dreieck aufs andere übergehend, gewonnen.

In der weiteren Vorfrage, ob grössere, oder kleinere Dreiecke als Grundfiguren des Netzes zweckmässiger sind, spricht einerseits das zu befriedigende Bedürfnis nach einem genügend engen Netz möglichst genau bestimmter Punkte, die un verhältnismässig rasch wachsende Schwierigkeit und Kostspieligkeit der Beobachtung langer Zielungen, die Tatsache, dass ein gewisser mittlerer, unregelmässiger Winkelfehler m den Endpunkt P einer Zielung s um den linearen Betrag m. s verschwenkt, während die Verschwenkung eine Vn -p lfach geringere ist, wenn gleichgenaue Winkelmessung auf n zwischenliegenden, die Strecke in (n -f- 1) Teile zerlegenden Standpunkten erfolgt (vergl. Kapitel 12), für kürzere Dreieckseiten. Anderseits lässt aber die Forderung möglichst sicherer Übertragung der Azimute oder Richtungswinkel (s. § 50) von einer beobachteten Dreiecksseite auf die andere über weite Gebiete hinweg, möglichster Reduktion des Einflusses unvermeidlicher Zen-trierungs- und Pointierungsfeliler und der Berücksichtigung des Einflusses der Erdkrümmung bei der Streckenberechnung lange Dreiecksseiten als vorteilhaft erscheinen, vollends dann, wenn es sich darum handelt, von einer Ausgangsbasis aus über ein zwischenliegendes Gebiet, welches nicht aufzunehmen ist, oder welches keine Standpunkte liefert, rasch wegzukommen. Bei ausgedehnten, ganze Länder umfassenden Aufnahmen überwiegt die Rücksicht auf die letztgenannten Gründe.

So sind z. B. zur Verbindung des spanischen mit dem algerischen Dreiecksnetz zweiseitig beobachtete Zielungen bis zu ca 270 km, in Nordamerika sogar solche bis zu 294 km Länge, in Ostindien (nach dem Himalaya) einseitige Zielungen bis zu ca. 340 km Länge beobachtet worden. Unter normalen Umständen pflegt man aber für das grundlegende Dreiecksnetz Seiten von nur 20 bis 50 km Länge anzustreben.

Die günstigste Form der einzelnen aneinander zu reihenden Dreiecke ist die gleichseitige.

Mit der Bestimmung der gegenseitigen Lage einiger 20 bis 50 km voneinander entfernter Punkte, ist aber die Aufgabe der trigonometrischen Bestimmung weder nach oben, noch nach unten erschöpft. Nach oben nicht, weil grosse Vermessungen im allgemeinen nicht bloss für die nächstliegenden praktischen Zwecke der Einteilung, Bewirtschaftung und Besteuerung des Grund und Bodens, sowie der Eigentumsfeststellung daran vorgenommen werden, sondern durch Verbindung mit den in anderen Ländern ausgeführten grossen Arbeiten gleicher Art auch wissenschaftlichen Unternehmungen (der Erdkunde) dienen sollen. Nach unten nicht, weil für den Anschluss der Stückvermessung selbst in ebenem und offenem Gelände, ein so weitmaschiges Netz von Festpunkten nicht genügt.

In erster Beziehung sind die Punkte und Dreiecksseiten ihrer Lage auf der Erde, also ihren geographischen Koordinaten und Azimuten nach, festzulegen. Für den letztgenannten Zweck werden in das nach obigem geschaffene „Dreiecksnetz I. Ordnung“ noch weitere Dreiecksnetze (II., III....) Ordnung mit stufenweise abnehmenden Seitenlängen derart eingehängt, dass jeder einem Netz höherer Ordnung angehörige und seiner Lage nach bestimmte Punkt für das Netz niederer Ordnung als fehlerfrei feststeht, und die gegenseitige Entfernung der Festpunkte schliesslich nur noch etwa 1 km beträgt.

In Württemberg erstreckt sich z. B.

„ 4 „ 30 „ „ 0,7 „ o „

das Netz I. Ordnung mit Dreiecksseiten von 10 bis 75 km Länge, und darin eingegliedert „    „ II.

„    ,,    „    „    „ HI.

einheitlich über das ganze Land.

Nach dem Vorgeführten zerfallen die Arbeiten der Triangu

lierung in:

A)    Auswahl der Dreieckspunkte I. Ordnung auf dem Gelände, Versicherung (Vermarkung) und Signalbau.

B)    Winkelmessung.

C)    Basismessung.

D)    Berechnung der Längen der Dreiecksseiten.

E)    Bestimmung der rechtwinklig sphärischen und der geo-

graphischen Koordinaten für die Dreieckspunkte, sowie der Richtungswinkel, bezw. Azimute für die Dreiecksseiten.

F)    Einschaltung eines Dreiecksnetzes II. in dasjenige I. Ordnung.

G)    Auswahl der nach den jeweiligen Verhältnissen günstigsten Methode der Übertragung der sphäroidischen oder sphärischen Bestimmungselemente auf die Ebene (Kartenprojektion) und rechnerische Ableitung ebener Koordinaten für die Dreiecks-punkte I. und II. Ordnung zum Zweck ihrer Weiterverwendung für die gewöhnlichen Vermessungsarbeiten.

H)    Einschaltung weiterer Dreiecksnetze III., IV. etc. Ordnung, je unter Anschluss an die als fehlerfrei anzunehmenden ebenen Koordinaten der Dreieckspunkte höherer Ordnung.

Die Arbeiten A bis G, welche in das Gebiet der höheren Geodäsie gehören, sollen nachstehend nur kurz berührt werden.

I. Schaffung der Grundlagen für die ebene Triangulierung.

§ 47. Auswahl der Dreieckspunkte I. Ordnung auf dem Gelände, Versicherung (Vermarkung), Signalbau. Winkelmessung.

A) Auswahl der Dreiecks-

Signalbau.

Den Feldarbeiten geht die Durchsicht des bereits vorhandenen Psi‘chterung.r’ Karten- und Messungsmaterials, z. B. der Triangulierungen I. Ordnung benachbarter Gebiete voraus, an welche angeschlossen werden muss und deren Punkte daher aufzusuchen und zu benützen sind. Dann folgt, von den letztgenannten Punkten ansgehend, die Erkundung des zu triangulierenden Landstrichs, bei der (wenn möglich unter Benützung topographischer Karten) hervorragende, weithin sichtbare Geländepunkte (Kirchtürme möglichst zu vermeiden) in passenden gegenseitigen Entfernungen so ausgewählt werden, dass die Zielung je zwischen den benachbarten von ihnen möglich ist und ihre Verbindungslinien ein Netz annähernd gleichseitiger Dreiecke liefern. Zur Beurteilung dieser Forderungen und zur Identifizierung der Zielpunkte werden gleichzeitig mit einem kleinen Theodoliten die Winkel und mit einem Aneroidbarometer die Höhen roh ermittelt.

Nun erfolgt die Versicherung der Punkte auf dem Gelände durch Steine mit Unterlagsplatten, oder durch Pfeiler aus Bruchsteinmauerwerk, deren einzelne Schichten durch Dübel verbunden werden. Als Rückversicherung dienen vier in einiger Entfernung unter die Ackerkrume versenkte und auf sichere, dauerhafte Punkte gut eingemessene Steine oder Drainröhren („Nebenpunkte“), in deren Diagonalenschnitt der Hauptpunkt fällt. Müssen ausnahmsweise Kirchturmspitzen zu Punkten I. Ordnung gewählt werden, so sind solche

(in diesem Fall durch Mauerbolzen vermarkte) Nebenpunkte wertvoll für spätere Untersuchung und Feststellung etwaiger Ortsveränderung des Hauptpunktes. Wenn von einem gewählten Punkt aus die Durchsicht nach den anzuzielenden benachbarten Punkten I. Ordnung (z. B. wegen Hochwaldes) nicht möglich ist, so werden Durchhaue oder Signalbauten notwendig. Letztere umfassen in der Regel zwei ineinander ohne gegenseitige Verbindung (s. S. 7) aufgebaute Gerüste: den Instrumentenpfeiler und das ihn umgebende Gerüste für den Beobachter. (Nähere Angaben über Signalbau und Versicherung der Dreieckspunkte s. u. a. Hegemann, Lehrbuch der Landesvermessung, Berlin 1906. S. 15 bis 34).

B) Winkel-messung.

Für die Methode der Winkelniessung ist der Umstand bestimmend, dass bei Ziellängen von 20 bis 50 km infolge widriger Witterungseinflüsse, auch bei Verwendung von Heliotropen (s. S. 7 u. 8), nur selten volle Sätze beobachtet werden können. (Das reflektierte Sonnen-, oder — bei Nachtbeobachtungen — künstliche Licht bleibt bald vom einen, bald vom andern Zielpunkt aus, oder erscheint unruhig). Würde man aus diesem Grund aber in unvollständigen Richtungssätzen beobachten, so käme in der Ausgleichung einzelnen Richtungswerten verschiedenes Gewicht zu, was die Weiterverwendung erschweren würde. Überdies sind grosse Sätze, deren Beobachtung längere Zeit erfordert, namentlich bei Verwendung von Leucht-, oder Signalgerüsten schon aus dem Grund unzweckmässig, weil letztere unter der Einwirkung der Sonne im Laufe des Tages krümmende und drehende Bewegungen machen. (An einem 25 Fuss hohen Fichtenstamm hat General Baeyer im Laufe eines halben Tages eine Drehung bis zu 15' beobachtet).

Man zieht daher bei Triangulierungen I. Ordnung vor, entweder die Sätze je auf eine sehr geringe Zahl von Zielungen zu beschränken, welche in Verbindung gesetzt werden mit einer stets sichtbaren, vom Standpunkt bis 1 km entfernt aufgestellten Zieltafel „Nullmarke“ oder „Mire“, oder wiederholte einfache Winkelmessung in allen Kombinationen der Zielstrahlen zu verwenden.

Mit letzterem Verfahren hat z. B. die preussische Landesaufnahme den mittleren Fehler eines ausgeglichenen, mittels Schraubenmikroskoptheodolits von 27 cm Teilkreisdurchmesser und 62facher Fernrohrvergrösserung gemessenen Winkels hei den rheinisch-hessischen Ketten unter Festhaltung eines konstanten Winkelgewichts 24 (bei zwei Richtungen für jeden Winkel 24fache, hei drei Richtungen löfache, bei vier Richtungen 12faclie etc. Beobachtung) auf + 0,18" herahgedrückt.

Die Dreiecksseiten II. Ordnung (10 bis 15 km Seitenlange) werden von der preussischen Landesaufnahme mit 21 cm Theodoliten in sechs vollen Sätzen beobachtet. Dabei ergab sich ein mittlerer Fehler von + 3,2" pro Messung.

§ 48. Basis (Grundlinien)messung. Basisnetze.

Durch die Messung der Länge einer Dreiecksseite wird das durch blosse Winkelmessung nur der Form nach bestimmte Dreiecksnetz aus der unendlichen Zahl ähnlicher Figuren herausgehoben zum praktisch verwendbaren Einzelgebilde von bestimmter Grösse. Der endgültigen Einführung eines Wertes für die gemessene Strecke muss aber eine Entschliessung über die Form (Kugelfläche, Ellip-soid etc. s. S. 304) und Lage (Höhe über dem Meere) des der Aufnahme zugrund zu legenden Aufnahmehorizontes (s. S. 63) vorausgehen.

Form und Lage des Vermessungshorizonts.

Die Erde hat in erster Näherung die Form einer Kugel, in ; zweiter Näherung die eines Umdrehungsellipsoids, das durch Drehung einer Ellipse um ihre kleine Achse b entstanden ist. Aus zehn Breitengradmessungen hat Bessel im Jahr 1841 die halbe grosse Achse a = 6377,39716 km, die halbe kleine Achse b = 6356,07896 km berechnet. Diese Masse sind zwar keineswegs fehlerfrei. Sie können vielmehr durch Berücksichtigung weiterer Erdmessungen stetige Verbesserungen erfahren. Trotzdem sind sie, weil für geodätische Zwecke genügend scharf, für solche in Deutschland heute noch allgemein im Gebrauch. Ja es wird, um die Berechnungen zu vereinfachen, an Stelle der wahren Erdgestalt für die Wiedergabe von Gebieten, welche sich über nur drei bis vier Breitegrade, also rund 400 km Länge und Breite erstrecken, als Vermessungshorizont die Kugelfläche eingeführt, welche sich jener in der Mitte des Vermessungsgebiets in Meeres-, oder mittlerer Landeshöhe möglichst anschmiegt und deren Halbmesser r (Krümmungshalbmesser des Ellipsoids an der betreffenden Stelle) gleich dem geometrischen Mittel der beiden Krümmungsradien ihres Meridians und ihres zu diesem senkrecht gedachten Normals sind. Auf sie sind die gemessenen Grundlinien zu reduzieren, falls deren tatsächliche Lage eine andere Höhe hatte.

Für die württembergische Landesvermessung wurde z. B. der Vermessungs-horizont (Kugelfläche) 844 Par. Fuss = 274 m über dem Meer liegend, und das in dieser Höhe gedachte Ellipsoid in Tübingen (g0 = 48° 31') berührend, angenommen. Es ergab sich hieraus der zugehörige Halbmesser der Schmiegungskugel zu r = 6388336 m. Auf diese Kugelfläche wurde die in einer mittleren Höhe von 331 m über dem Meere gemessene Länge der Grundlinie Solitude— Ludwigsburg reduziert.

Erstrebte Länge der Grundlinie.

Bei den ersten grösseren Vermessungen wurde direkt die Länge einer hiefür möglichst günstig gelegenen Dreiecksseite gemessen. Wollte man im Dreiecksnetz spitze Anschlusswinkel vermeiden, so blieb daher nichts übrig, als die Basis der normalen Länge einer Dreiecksseite I. Ordnung möglichst anzupassen.

So mass u. a. für Zwecke der Erdmessung:

La Condamine in Peru im Jahre 1736 Seiten von über 10 bezw. 12 km Länge, Maupertuis in Lappland im Jahre 1736 1 Seite von über 14 km Länge, Delambre und Mechain in Frankreich im Jahre 1792 2 Seiten von über 11 km Länge.

Für Zwecke der Landesvermessung ermittelte Soldner im rechtsrheinischen Bayern im Jahre 1801 die Seite München—Aufkirchen mit über 21 km Länge,

Bohnenberger in Württemberg im Jahre 1820 die Seite Solitude—Ludwigsburg mit über 13 km Länge,

und Lämmle in Rheinbayern im Jahre 1819 die Strecke Speyer—Oggersheim mit über 15 km Länge.

Die letztgenannte Messung veranlasste den Professor Schwerd am Lyzeum in Speyer zur Behauptung, eine 20 mal kleinere, direkt gemessene und durch Winkelmessung auf die Dreiecksseite übertragene Basis führe mit geringerem Aufwand von Zeit, Mühe und Kosten zu einer ebenso genauen Kenntnis der Länge der Dreiecksseite, wie die direkte Messung. Der unter Beihilfe seiner Schüler von Schwerd erbrachte Beweis für die Richtigkeit seiner Behauptung, ermöglichte in der Folge ohne Kostenvermehrung die Messung mehrerer Basen von reduzierter Länge in verschiedenen Teilen eines Vermessungsgebiets und damit eine Kontrolle der Längen der durch Winkelmessung über dessen ganze Erstreckung übertragenen Dreiecksseiten.

Basis-

apparate.

Während der letzten Jahrzehnte galten als zweckmässige Gesamtlänge einer (möglicherweise noch in Teilstrecken zerlegten) Basis 5 bis 7 km. Neuerdings vollzieht sich wieder ein Umschwung zugunsten etwas längerer Seiten.

Die ersten Basismessungen wurden mit den gewöhnlichen Werkzeugen (Messbändern — bezw. Ketten und hölzernen Messstangen), wenn auch bezüglich der Feststellung von Richtung und Lage mit grösserer Sorgfalt als gewöhnlich ausgeführt.

Gegen das Ende des 18. Jahrhunderts wurden diese Geräte durch Metallstangen, (ausnahmsweise auch durch solche Bänder, bezw. Drähte) verdrängt, deren Benützung auf Böcken, bezw. zwischen Spreizen erfolgte. Die Verschiedenheit der Länge dieser Werkzeuge bei wechselnder Temperatur nötigte zunächst zur gleichzeitigen Verwendung und Berücksichtigung von Thermometern, mit denen zuerst die Luft —, später (durch Einbau in die Mass-stäbe) auch die Metalltemperatur zu ermitteln gesucht wurde.

So bestand z. B. der in Württemberg im Jahr 1820 verwendete Basisapparat (s. Fig. 240) aus: 1. fünf eisernen, in Holzkästen eingeschlossenen Messstangen (von je zwölf Pariser Fuss Länge),

in welche je ein Thermometer eingelassen war und deren schneidenförmige Enden aus jenen Kästen hervorragten, 2. einem stählernen Keil zur Messung der jeweiligen Abstände der (nicht zur Berührung gebrachten) Stangen, 3. einer auf den Stangen aufsetz-

Fig. 240.

---

HÜB

baren Libelle mit Gradbogen zur Ermittlung der jeweiligen Stangenneigung, 4. einer aus sechs festgebauten hölzernen Böcken bestehenden Messbrücke zum Auflegen der Stangen und 5. einem Senkel.

Die nachgewiesene Verschiedenheit zwischen der am Thermometer abgelesenen, und der tatsächlichen Stangentemperatur brachte Fehlerquellen in die Messung hinein, welche zu vermeiden in der Folge verschiedene Mittel versucht wurden. Das erste, von Bor da gezeigte, war die Verwendung der zur Längenmessung dienenden Metallstange selbst gleichzeitig als Thermometer.

Dies wurde erreicht durch Verbindung zweier Stäbe aus Metallen von stark verschiedenen Ausdehnungskoeffizienten, z. B. Platin und Kupfer (Borda), Stahl und Kupfer, oder Messing, Zink etc. Der Bes s eIsche Basismessapparat z. B. (s. Fig. 241), mit dem bis 1903 15 Grundlinien gemessen wurden, benützt vier solcher bimetallischer Stangen, aus Eisen und Zink. An dem einen Ende, oder (bei Porro) in der Mitte sind beide (zusammen in einen hölzernen Kasten eingeschlossene) Stäbe fest miteinander verbunden, während die beiden andern Enden des unteren und des (direkt, oder auf kleinen Rollen) auf ihm auf liegenden oberen Metallstreifens sich entsprechend der Temperaturänderung in der Längsrichtung gegeneinander verschieben können. Jeder Metallstreifen trägt am freien Ende eine Schneide, so dass die Grösse dieser Verschiebung als

veränderlicher Abstand dieser Schneiden mittels gläsernen Keils gemessen werden kann. Durch Versuche wird dieser Abstand in Beziehung gesetzt zur (nebenher auch noch am Quecksilberthermometer abgelesenen) Temperatur bezw. direkt zur jeweiligen

Fig. 241.

ÄS

Bä»»!

miiiTiiiiiiil

11111 ii 111111111111111111111111 ri 1111

Länge des der Messung zugrunde liegenden Metallstabs (Abstand feiner Endschneiden). Für jede Lage wird derart während der Messung mittels Keils die jeweilige Stablänge und mittels desselben Keils der Abstand von der nächsten Stange ermittelt. Zur Messung der Stangenneigung dient eine mit Gradbogen verbundene Libelle.

Eliminierung des Temperatureinflusses.

Versuche, die beiden Metallstäbe zu einem Kompensationsapparat zu verbinden, indem man sie parallel zueinander, und durch ihre Enden zangenartige Querarme anordnete, deren Spitzenentfernung infolge der verschieden starken Ausdehnung beider Parallelstäbe bei wechselnder Temperatur konstant blieb, wurden von Colby und von Borden angestellt. Des ersteren Apparat hat aber bei seiner Anwendung in Irland, England und Indien ebensowenig befriedigt, als derjenige des letzteren in Nordamerika.

Zu befriedigenderen Ergebnissen führte der von der Coast und Geodetic Survey in den Vereinigten Staaten von Nordamerika angewandte Gedanke, die Temperatur des Stabs konstant zu

erhalten durch Einpacken desselben in eine mit schmelzendem Eis gefüllte Röhre. Doch begegnet dieses Verfahren in der Durchführung aus naheliegenden Gründen erheblichen Schwierigkeiten. Ein ähnlicher Gedanke der Abhaltung allzu grosser Temperaturschwankungen führte General Ibanez im Jahre 1864 zur Verwendung tragbarer Zelte, unter denen die Messung sich vollzog. In neuerer Zeit ist es jedoch gelungen, die vom Temperatureinfluss herrührenden Änderungen der Stangenlange durch Verwendung einer Legierung aus Nickel und Stahl, des „Invar“, unschädlich zu machen, deren Ausdehnungskoeffizient nahezu — 0 ist.

Eine andere Quelle für regelmässige Längenfehler bildet das Einschieben des Messkeils zwischen je zwei Stangenlagen. Um auch sie zu eliminieren, ist man von den Endmassen zur Anwendung von Strichmassen (in Verbindung mit Mikroskopen) übergegangen, welche gleichzeitig die Beschränkung auf eine einzige Stange ermöglichen. Der erste, noch bimetallische, Apparat dieser Art von General Ibanez wurde im Jahre 1856 von Brunner in Paris gebaut. Durch eine gabelförmige Aussparung am Ende des oberen (Platin)-stabs tritt eine mit dem unteren (Kupfer-) Stab starr verbundene Platte, deren durchs Mikroskop beobachtete Teilung mit einer ebensolchen des Platinendes korrespondiert.

Um den zur Messung nötigen Zeitaufwand zu reduzieren und da die Metallthermometer die auf sie gerichteten Erwartungen nicht voll befriedigt hatten, ging General Ibanez im Jahre 1864 wieder auf die einmetallische (Eisen-) Stange mit eingebetteten Quecksilberthermometern zurück. Die obere schmale Fläche des Stabs von _L förmigem Querschnitt trägt an ihren Enden auf eingelegten Platinplättchen feine Strichteilungen, welche durch vertikal gerichtete, auf Stativen aufgestellte Mikroskope beobachtet werden.

Dasselbe Bestreben der Verringerung des zur Messung nötigen Zeitaufwands hat den schwedischen Geodäten Jäderin zur Anwendung über Stative, bezw. Spreizen geführter freihängenderMetall-drälite (Doppeldrähte aus Stahl, bezw. Messing zum Zweck der Berücksichtigung des Temperaturunterschieds) geführt, an deren Enden kurze, innen geteilte Massstäbchen angebracht sind. Namentlich in den Vereinigten Staaten und in Russland sind solche Apparate — Messbänder und -Drähte — unter Benützung einer bestimmten Spannung (in Am erika 15 kg), vielfach benützt worden. Sie haben eine Tagesleistung von ca. 3500 m gemessener Länge ermöglicht. Die in den Vereinigten Staaten verwendeten Bänder haben eine Länge von 50 m bezw. 100 m. Die Messungen erfolgen bei Nacht, weil bei Tag die Be-

Stimmung der Bandtemperatur mit grösseren Fehlern verknüpft ist. Dabei ergab sich als mittlererer Fehler ^5 der Länge.

Durch die Entdeckung des „Invars“ ist die ausgiebigere Verwendung einmetallischer Draht- und Bandapparate neuerdings mehr in den Vordergrund gerückt (vergl. hierüber z. B. die Mitteilung von Prof. Dr. Hammer in der Zeitschrift für Vermessungswesen 1907,

Fig. 242.

Schnur

Ablc/e/tativ I

Draht

Lcujel

Able/eftafiv H

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SpcumfiatLDl ^ SpannftatwU Spann/iaäDl

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Baps Anfang

S. 425 ff., über Grundlinienmessung mit 24 m langen Invardrähten, der die Fig. 242 entnommen ist).

Auch hat die quantitative Leistungsfähigkeit dieser neuen Apparate nicht nur zu einer weiteren beträchtlichen Vermehrung der Grundlinien, (so dass viel weniger ausgedehnte Dreiecksketten als vordem zwischen den einzelnen Basen zu liegen brauchen), sondern auch — günstige Geländeverhältnisse vorausgesetzt — zu einer erheblichen Verlängerung derselben geführt. Damit werden künftig Basisnetze (s. unten) wohl entbehrlich, oder doch sehr eingeschränkt werden. Für die Triangulierung der englischen Transvaal- und Oranje-River-Kolonie ist man unter Benützung ca. 24 m langer Invardrähte bereits auf Grundlinien bis zu 34 km Länge gekommen.

Genauigkeit und Geschwindigkeit der Basismessungen.

Setzt man die Länge des Basisapparats als richtig voraus (betrachtet also gewissermassen sie als bestimmend für die Mass-einheit), so handelt es sich bei den Messungsungenauigkeiten vorwiegend noch um den unregelmässigen Fehler. Durch mehrfache Messungswiederholung einer in Teile zerlegten Gesamtstrecke ergab sich als unregelmässiger Fehler der einmaligen Messung einer Strecke von 1 km Länge in der Mitte des 18. Jahrhunderts (hölzernen Messstangen) rund 18 mm.

Mit den feinsten aber schwerfälligsten Ibanez-Brunnersclien Apparaten wurde er in der Mitte des 19. Jahrhunderts auf ca. 0,4 mm herabgedrückt und ist heute bei Anwendung der Band-und Drahtapparate auf etwa 1,5 bis 2,0 mm zu bewerten. Die Messungsgescliwindigkeit betrug im Jahre 1820 (Württem-bergische Basis mit Bohnenbergerschem Apparat) ca. 114 m pro Stunde. Mit dem Besselschen Apparat wurden in Preussen anfänglich stündlich 125 m, schliesslich aber bis zu 300 m gemessen. Mit dem bimetallischen Ibanez-Brunnerschen Apparat ging die stündliche Messungsgeschwindigkeit ausnahmsweise bis auf ca. 30 m, im Mittel auf 70 m herab, stieg aber bei Anwendung des zweiten einmetallischen Apparats wieder auf 144 m.

Mit den Bandapparaten wurden in den Vereinigten Staaten stündlich 500 bis 600 m gemessen, während die Anwendung des Invardrahtapparates in Südafrika eine tägliche Arbeitsleistung von 8 km einmaliger Messung ergab.

Basisnetze. Die Längenübertragung der gemessenen, eventuell durch Zwischenpunkte T geteilte Grundlinie A B auf eine benachbarte Dreiecksseite Pi P₂ erfolgt durch Winkelmessung unter

Fig. 243.

Benützung eines „ Basisnetzes“. Dabei ist zur genauen und möglichst raschen Übertragung die rhombische Form die zweckmässigste. Von besonderem Einfluss -    auf <üe Genauigkeit der

T]B

//    Längenübertragung (nicht

Punktlage) ist die scharfe Messung der der Grundlinie AB (bezw. für die Weiterübertragung C D) gegenüberliegenden spitzen Winkel, welche, geometrisch betrachtet, jeweils den Kreisbogen bestimmen, der über der Sehne A B (bezw. C D) den gemessenen Winkel fasst.

Neuerdings tritt mit der Steigerung der direkt gemessenen Basislänge die Bedeutung der Basisnetze wieder mehr und mehr zurück.

§ 49. Berechnung der Längen der Dreiecksseiten.

Nachdem unter entsprechender Ausgleichung der Messungswidersprüche aus den Elementen jedes Basisnetzes je die Länge a (s. Fig. 244) der mit ihm in Verbindung stehenden Dreiecksseite abgeleitet worden ist, handelt es sich um die Berechnung der übrigen Seiten des Dreiecksnetzes.

Auch dieser Berechnung geht, wenn mehrere Grundlinien in verschiedenen Teilen des Aufnahmegebiets, oder — was immer der Fall sein wird — über-

schüssige Winkel gemessen sind, oder wenn das zu berechnende Netz an Punkten anschliesst, welche ihrer Lage nach aus benachbarten Dreiecksnetzen, oder solchen höherer Ordnung bereits endgültig bestimmt wurden, eine Ausgleichung etwaiger Messungswidersprüche voraus. Auf sie soll hier nicht eingegangen werden.

Die Seitenberechnung erfolgt von der durch die Basismessung gewonnenen Dreiecksseite ausgehend und die beobachteten Dreieckswinkel mit ihren ausgeglichenen Werten benützend, von Dreieck Dreieck fortschreitend. Die sphärische Trigonometrie liefert hiefür zunächst die Formel:

sin a sin b sin c /rt. ~ . .

—— = - = -— (bmus-Satz). sin a sin ß sin y v    '

Hiebei sind die Seiten a, b, c in Winkelmass verstanden, welches für die erste (a) aus der gemessenen bezw. berechneten Streckenlänge erst zu ermitteln ist aus:

(1)

(2)

ä'analyt. — r

und a' =

zu

Dies ist unbequem, weil einerseits die spätere praktische Verwendung Streckenmasse erfordert und anderseits die Entnahme der Seitenfunktionswerte auf die nötige Genauigkeit von Hundertelsekunden (1 dm Entfernung zweier Punkte entspricht einem Zentriwinkel von —

206265 „ 63883360

• Q" =

tafeln sehr schwerfällig und unsicher ist.

l’dm

= 0,0032") aus den Logarithmen-

Umgekehrt ist die direkte Einführung bezw. Gewinnung Streckenmassen in die oder aus der trigonometrischen Berechnung nur mittels der Sätze der ebenen Trigonometrie möglich. Deren Anwendung auf den kugelförmigen Vermessungshorizont verbietet sich / aber schon deshalb, weil die / gemessenen Winkel der geo- / dätischen Dreiecke der Grund- / -' bedingung in der ebenen Tri- RT'' gonometrie widersprechen, dass \ ihre Summe 2R beträgt. Die \

Winkelsumme in Kugeldreiecken liegt vielmehr zwischen 2 R und 6 R und ihr vom Dreiecksinhalt F abhängiger Überschuss e über 2R, der „sphärische Ex-

F

jr • (>"•

(Zur Berechnung von e ist die Bestimmung des Flächeninhalts F einem Plan oder mittels der Formel 2 F =

zess“, beträgt

e" =

a²

Fig. 244.

4-j-

--b-

ctg ß + ctg y

von

aus

genügend genau).

Für kleine Dreiecke auf der Erdoberfläche ist e allerdings verschwindend klein, und beträgt z. B.

in einem gleichseitigen Dreieck von 2 km Seitenlänge ca. 0,01“,

„ 0,2“.

n !)    »    n    n ^0    „

Zu einem sphärischen Exzess von 5“ gehört schon ein Dreieck von rund 1000 qkm Fläche. Die grössten erreichten Werte für e (60“, 71“ und 104“) weisen die Yerbindungsdreiecke zwischen Spanien und Afrika, bezw. die Dreiecke der englischen Vermessung von Indien auf.

Wir gelien der Schwierigkeit aus dem Wege durch Benützung des von Legendre aufgestellten, hier nicht zu beweisenden Satzes: Konstruiert man aus den Seiten eines kleinen sphärischen Dreiecks ein ebenes Dreieck, so sind dessen drei Winkel je um denselben Betrag ~ kleiner, als die entsprechenden Winkel des sphärischen Dreiecks.

Dieser Satz versetzt uns in die Lage, die Gleichung (1) analog dem sin-Satz der ebenen Trigonometrie wie folgt zu schreiben:

(la)

sin

(““4)

sin

('-D

sin

und, falls alle drei Winkel a, ß, y des Dreiecks gemessen sind, in der rechnerischen Anwendung den Überschuss der Winkelsumme über 2 R zu behandeln, wie eine gleichmässig auf die drei Winkel zu verteilende Messungsungenauigkeit.

Einen zweiten Weg der direkten Einführung der

° q in Gleichung (1) finden wir durch Reihen-

Streckenlängen a, b, c für die Dreiecksseiten anstatt der Winkelmasse a

entwicklung.

Beachten wir, dass die Seiten der geodätischen Dreiecke im Verhältnis zum Erdradius sehr klein sind, so können wir uns in der sin-Reihe für diese Seiten auf zwei Glieder beschränken und setzen

(3)

a³

a

sin a =

r

Damit geht Gleichung (1) über in

6 r³

(lb)

/ a a® \    / b

\ r 6 r³ /    \ r

b³

6 r³

sin a

sin ß

oder

A>

b(f

b² \ 6 r² /

sin a

sin ß

b² \ 6 r² /

a²

Aa, log (l

C2 \

gy-1 = — Ac, wobei diese nur von den Seitenlangen ab

Setzt man

log (l

6r²

— Ab,

log (l

hängigen kleinen Werten Aa, Ab etc. nach Gleichung (3) den Unter-

schied log so kommt aus (lb)

log sin a, d. h. log analyt. Mass — log sm vorstellen,

= (log a — Aa) + log

sin ß

(4)

sin a

-f- Ab; und analog

I löge

= (loga — Aa) -f log

sin y

sin a

f Ac.

Die Zusatzglieder Aa, Ab, Ac heissen „Additamente“ und werden zweckmässig in einer Zahlentafel mit dem Einlauf „log-Seite“ untergebracht. Sie verändern sich sehr langsam, so dass für ihre Entnahme aus der Tafel die gesuchten Seiten b und c zunächst in roher Annäherung eingeführt werden können.

Die „Additamentenmethode“ wurde von dem bayerischen Geodäten Soldner aus Anlass der bayerischen Landesvermessung ausgebildet und später u. a. auch bei der württembergischen Landesvermessung angewandt. Sie hat vor der

Le gen dreschen Methode den Vorzug voraus, dass sie zur Seitenberechnung wirkliche und nicht reduzierte Dreieckswinkel benützt.

Koordinaten für die Dreieckspunkte.

Die berechneten Dreiecksseiten genügen zwar an sich zur gegenseitigen Festlegung der einzelnen Dreieckspunkte. Sie lassen aber eine bequeme Verwertung der Triangulierungsergebnisse nicht zu. Hiefür sind Koordinaten viel geeigneter, deren wir auf der Erdkugel dreierlei Systeme zu betrachten haben, nämlich:

1.    rechtwinklig-sphärische (Soldnersche) Koordinaten,

2.    sphärische Polarkoordinaten,

3.    geographische Koordinaten.

§ 50. Berechnung rechtwinklig-sphärischer (Soldnerscher) Koordinaten für die Dreieckspunkte.

Rechtwinklig-sphärische Koordinaten wurden einheitlich für die Vermessung ganzer Länder erstmals in Bayern durch Soldner eingeführt und in der Folge fast allen Landesvermessungen zugrunde gelegt. Als Abszissen-, oder x-Achse wählt man irgendeinen Grosskreisbogen und zwar, zumal wenn das Vermessungsgebiet sich hauptsächlich in nordsüdlicher Richtung erstreckt, am besten einen durch seine Mitte verlaufenden Meridian, als Ursprung irgendeinen auf ihm liegenden Punkt 0.

Dieser Punkt 0 kann wohl, muss aber nicht notwendig mit einem der Dreieckspunkte zusammenfallen.

Die Abszissenwerte werden, ganz analog S. 100 auf der Abszissenachse vom Ursprung 0 aus bis zum Fusspunkt des auf ihr errichteten Lots (hier senkrechten Grosskreisbogens), die Ordinaten-werte auf diesem Bogen vom Lotfusspunkt bis zum Festpunkt gezählt.

So stellen in Fig. 245 xA und yA die rechtwinklig-sphärischen Koordinaten des Punktes A vor. Während aber S. 100 sämtliche Ordinaten einander parallel gingen, laufen sie hier in den beiden Gegenpunkten G zur Meridianebene zusammen.

Zur Koordinatenableitung brauchen wir ausser den in § 49 berechneten Dreiecksseiten (Grosskreisbögen), die wir jetzt mit s bezeichnen wollen, noch die Festlegung der Richtungen, unter welchen sie verlaufen. Hiefür hat Soldner die „Richtungswinkel“ cp, d. h. diejenigen Winkel eingeführt, um welche man die durch den Anfangspunkt einer Strecke gedachte Parallelkreisebene zur -j-x-Achse in positivem Sinn drehen muss, bis sie mit der Strecke zusammenfällt. Der linke Schenkel des Richtungswinkels ist somit im allgemeinen kein Grosskreis-, sondern ein Parallelkreisbogen.

Ist der Richtungswinkel cp irgendeiner Strecke AB bekannt, so kann man mit Hilfe der in ihren Endpunkten gemessenen Winkel diejenigen anstossender Strecken ableiten.

Als Grundlage für die Richtungswinkelbestimmung wird auf geodätisch - astronomischem Weg in irgendeinem Dreieckspunkt A (wenn möglich im Ursprung 0), das Azimut a einer Dreiecksseite, d. h. derjenige Winkel gemessen, um welchen man den Standpunktsmeridian in positivem Sinn drehen muss, bis er in die Dreiecksseite fällt.

Fig. 245.

Der Unterschied y zwischen dem Azimut a und dem Richtungswinkel cp einer von A ausgehenden Strecke AB, oder der um 2R verminderte Unterschied der Azimute N0A und NAO: y — a — cp

heisst    „ Meridiankonvergenz “.

<o-    -

c-1

£_

G,

' A-

Er ist gleich dem sphärischen Exzess des Vierecks L₀OALÄ, also gleich Null für jeden auf der Abszissenachse liegenden Punkt und um so grösser, je grösser dessen Entfernung von der Achse wird. Dagegen ist er keineswegs gleich dem Unterschied X der geographischen Längen der beiden Punkte 0 und A.

Letzterer stellt vielmehr den sphärischen Exzess des Dreiecks L₀ N L vor. Zur Berechnung der Meridiankonvergenz für einen Punkt A muss man demnach die geographische Breite des Ursprungs 0 und dazu die (wenn auch nur genähert bekannten) sphärisch-recht-winkligen, oder die geographischen Koordinaten von A kennen.

Ist allgemein der Richtungswinkel cp eines von A ausgehenden Grosskreisbogens AB = s samt den rechtwinklig-sphärischen Koordinaten von A bekannt, so kennt man im sphärischen Dreieck AB Ga die Winkelmasse für zwei Seiten, nämlich AB — AGi = (R— und den eingeschlossenen Winkel (R — cp). Man kann also die übrigen Stücke berechnen, von denen der Winkel bei Gi die Abszissendifferenz A x = yB— yA zu AB, die Seite BGX das Supplement zu yB je im Winkelmass vorstellt.

Der cos-Satz liefert für die Ordinate des Endpunktes B eines vom Punkt A unter dem Richtungswinkel cp ausgehenden Grosskreisbogens:

sin — ₌ cos — sin — -J- sin — cos — sin cp

r    r r ¹    r    r T

oder, da y und s verhältnismässig klein sind, durch Reihenentwicklung bis zu den Gliedern einschliesslich

(1)

Durch Umformung wird hieraus unter Einsetzung von j A x₍) = s cos cp = m ) A y₀ = s sin cp = n

(2)

yB = yA + n

2r²

6 r² ’

Satz

Für die Abszissendifferenz A x erhalten wir aus dem sin-

. s sin —

sin Xl!

— xA

= sin

Yb

COS cp.

cos -—

Durch Reihenentwicklung bis zu den Gliedern einschliess-

, — und — und kleine Vernachlässigungen kommt mit Benützung der Ersetzungen (1)

m . n²

lieh für die Funktionen der kleinen Winkel

A x — m -j— xb = xA —j— m —[-

m (yA + n)²

2 r²

m (Ya + n)²

6 r2 m n²

und

2 r²

6 r²

— s . sin cp = s . cos cp

Den Hauptgliedern | ^

werden wir bei der Be-

handlung in der Ebene, d. h. für r = oo, wieder begegnen. Die beiden hinteren sind sphärische Korrektionsglieder.

Sie werden beide gleich 0, wenn m = 0, d. h. wenn cp = R ist, oder der Bogen s in die Richtung der Ordinate von A fällt.

Verläuft der Bogen s parallel zu x-Achse, so wird cp = 0, also n = 0, m = s und das zweite Korrektionsglied in den Gleichungen (2) und (3) fällt weg. Das erste erreicht den Wert

(2 a)

yA s²

2 r²

2 r²

bezw.

s. yA¹ 2 3 4 5

(3 a).

Der Richtungswinkel cp' des (über B hinaus fortgesetzten) Grosskreisbogens AB ist in A ein anderer, als in B.

Die Tatsache seiner Veränderlichkeit zeigt sich am klarsten, wenn man den Grosskreisbogen AB zum Vollkreis ergänzt und durch beliebige zum O-Meri-dian parallele Ebenen schneidet. Zwei der letzteren werden schliesslich den Grosskreis AB sogar berühren und an den Berührungsstellen, gleichgültig, wie auch A B verlaufen möge, den Richtungswinkel qp' = 0 bezw. 2 R zeigen.

Die Kenntnis des Richtungswinkels cp' im Endpunkt B eines Grosskreisbogens AB ist aber deshalb nötig, weil aus ihm durch Addition des in diesem Punkt gemessenen Brechungswinkels der Richtungswinkel der nächsten von B ausgehenden Dreiecksseite abgeleitet wird.

Der sin-Satz liefert hiefür aus dem Dreieck A B Gi:

i    yx²

¹ 2 r²

yA

sin (R -f- (p‘) _

sin (R — cp)

cos -—

ys

cos -—

yn² •

2 r²

Durch kleine Vernachlässigungen und Einsetzung der Werte (1) erhalten wir

Sekd.

(cp' — cp)" = A cp

(4)

Q".

r²

§ 51. Berechnung sphärischer Polar- aus rechtwinkligsphärischen Koordinaten.

Aus dem rechtwinkligen Dreieck A B Gi der Fig. 245 er

halten wir

cos — = sin — sin — 4- cos — cos — cos r    r r ¹    r    r    r

Reihenentwicklung bis zu den Gliedern von der Ordnung

einschliesslich liefert

s²

yA___Ja³

6 r³

24 r4 —

JAi

2 r²

woraus durch Ausmultiplikation bis zur selben Ordnung und Ersetzung von yB — yA durch A y wird

S² _|___

2r2 r 24 r⁴

+ 2F4|yi + yl+⁶(yi + yl) (4x)² + 6yly|-fzix⁴— 4yAy| — 4y|yB|. Führen wir als Näherungswert für s ein:

s₀ = VA x² —}— A y² und setzen ferner s = s₀ -f- u so wird (s. Fig. 246)

(s₀ + u)²

2 r²

(5)

(Bq + u)⁴

12 r²

f JAl) (i r 24 r⁴/ \

= So²

S₀² + 2 S₀ U -f U2 = S₀² —

yß²

2 r²

yß⁴

24 r⁴

)d

A x2 2r^

A x⁴

24 r⁴

)■

A x² -f A y²

2 r²

272 {so⁴ + 4 a x² (yi + yA yB + y I)}

s₀⁴ -j- 4 s₀³ u + 6 s₀² u² -f- 4 s₀ u³ + u⁴

12 r²

{s₀⁴ + 4 A x² (y| + yA yB + y|)}.

12 r²

Der Unterschied u zwischen s und s0 ist jedenfalls so klein, dass die Glieder zweiten und höheren Grads in u vernachlässigt werden können. Damit wird

3^jzix²(y|-fyAyB+yi)j

und da für kleines s auch der zweite Summand der linken Seite gegen den ersten verschwindet

Fig. 246.

2 s₀ u

4 s₀³ u

12 r²

- ACC-

<b°

1 \Ax2 6r²{ s₀

Setzt man

(yi + yAyB + yl)J.

(5 a)

So

= cos cp₀ (s. Fig. 246), so wird

u ---| So cos² cp (yi 4- yA yB 4- yl) j und

= S ~ S₀ — (yi 4- yA yB 4- y|) cos² cp₀.

(6) Bogen AB

Für den Richtungswinkel cp von AB erhalten wir aus dem Dreieck ABGx (Fig. 245)

Yb

cos —— sin

Ax

cos cp =

. s

sm —

—, woraus durch Entwicklung bis zu den

Gliedern mit

einschliesslich

<■-$)

7Ü

__⁸² \

6 r² /

4x(l-

A x²

6 r²

6 yB² -j- A x²

6 r²

(yi 4- yA yB 4- yl) cos² (p₀1 (t cos^ [l + 6^(yi+yAyB+yl)cos>₀] (i +    (

S₀ 1 —

s²~

6 r²

, oder

6yB²-f 4x2 6 r²

Durch Ausmultiplikation unter Vernachlässigung der Glieder i-4- und Einführung des Näherungswertes

arc cos <jp₀ =

1—

(7)

s₀

(Fig. 246)

oder tg q)₀ = - erhalten wir

cos cp

- cos 9>₀ [i + ^ (yi 4- yA yB■4- yl) cos² cp₀-—    ^ (A x²—s₀²)

cos q>₀

6 r²

cosgo₀

6 r²

cosqp-cosgv

6 r² + (yA² + yA yB + yB²) (1 — sin² <p₀) — 3 yB² — A x²+ A x² + A f²

6 I'² — (yi + yA yB -b yl) sin² cp₀ — (yB + 2 yA) A yj 6⁰rS21Dy° [(yi +yA yB 4-y§) sin cp₀+ (yB -f- 2 yA)

<P + <Po

cos

— 2 sin

cos gp₀ sin go0 6 r² s₀

lsin -y ₂yo

[(yi-hyAyB+yl) (yB—yA)4-(yB+2 yA) s₀²]

2 sin -y~₂ — ~

6 r² s₀²

und da cp — gp₀ sehr klein

(8)

6 r²

<P ~~ fpo 4~

[yl — yi 4- (yB + ² yA) s₀²]

+ yB + 2 yAJ ^ x (yB — yA)

yB³ — yA³

So²

[^ x (2 yA 4- yB) 4 [a x (2 yA 4~ yB) 4-

6 r²

s₀²

Ax A y

So²

(yi 4- yAyB 4- yl) (yi4-yAyB4-yi)

§ 52. Geographische Koordinaten.

Unter den geographischen Koordinaten eines Punktes P der Erdoberfläche (s. Fig. 247) verstehen wir die Winkel X und 90, welche 1. der Meridian dieses Punktes mit einem anderen, dem „Nullmeridian“ (durch Paris, oder 20° westlich davon durch

Fig. 247.

ßimmelspol

No

wlI

Ferro, oder durch die Sternwarte in Greenwich), und 2. der Erd-

radius nach P mit seiner Projektion auf die Äquatorebene bilden.

Oc

Der erstere, nach Ost und West je bis 180° gezählte Winkel/l heisst „geographische Länge“, der vom Äquator aus nach Nord und Süd bis 90° gezählte Winkel q> die „geographische Breite“ des Erdorts.

Erdtmaj^-

Südpol

Setzen wir an Stelle der ersten Näherung für die Erdform, der Kugel das durch Drehung einer Ellipse (a, b) um ihre kleine Achse b (s. Fig. 248) entstehende Umdreh-

— b

Fig. 248.

299/

ungsellipsoid ^Abplattung p = —

so bezeichnet die geographische Breite <p\ denjenigen Winkel, welchen die Lotrichtung im Punkt A mit der Äquatorebene bildet und welcher / als Polhöhe tatsächlich gemessen wird (s. S. 412).    /

(Zuweilen wird an Stelle der geographischen / - -auch die „geozentrische“ Breite, d. h. der r-—-t Winkel if> benützt, welchen die Äquator ebene mit W''"" der Verbindungslinie AO einschliesst, oder die „reduzierte Breite“, d. i. der Winkel \ zwischen der Verbindungslinie 0 21 und der Äquatorebene.)

Die Verlängerung des Erdradius über den Punkt A (s. Fig. 249) hinaus bestimmt auf der zur Erdkugel konzentrischen unendlich grossen Himmelskugel dessen Zenit Z. Senkrecht auf diesem Erdradius und im Erdort A berührend, verläuft dessen „Horizont“ HH', welcher für Betrachtungen im oo grossen Himmelsraum unter Vernachlässigung der eigentlich nötigen Parallelverschiebung nach dem Erdmittelpunkt als eine Grosskreisebene der Himmelskugel angesehen werden kann. Erdäquator und Himmelsäquator fallen streng zusammen, wie auch Erdachse und Himmelsachse.

Infolge der Drehung der Erde um ihre Achse scheint jeder Stern einen Kreis (Parallelkreis) um diese Achse zu beschreiben, der ent-

---Cb

weder ganz oberhalb des Horizontes des Erdorts A (Zirkumpolar-stern Si; untere bezw. obere Kulmination), oder teils unter, teils über ihm (Stern S; Tagbogen, Nachtbogen; Aufgang, Kulmination, Untergang), oder ganz unter ihm liegt (Stern S₂).

Fig. 249.

Zenit

o¹

'bQ.

4£..

V / • 'J'

Sj

Horizont

¹

= cp — m

²

Das sphärische Korrektionsglied in (4) verschwindet, d. h. cp' wird gleich cp: 1. für r = oo (Berechnung in der Ebene) und 2. für m = 0 (d. h. für cp = R, oder für den Fall, dass der Grosskreisbogen s in die Richtung der Ordinate von A fällt).

³

Mit Hilfe der Gleichungen (1) bis (4) kann man, von irgend

⁴

einem Dreieckspunkt mit bekannten Koordinaten (z. B. vom Ur

⁵

sprung) ausgehend und von Punkt zu Punkt fortschreitend, die rechtwinklig-sphärischen Koordinaten sämtlicher Dreieckspunkte und die Richtungswinkel der in ihnen anschliessenden Dreiecksseiten berechnen. Zur Ermittlung der sphärischen Korrektionsglieder benützt man hiebei am einfachsten Zahlen-, oder graphische Hilfstafeln.

4«.

,'tßS

Nadir

Im letzteren Fall wird der Stern vom genannten Erdort aus überhaupt nie sichtbar. Der Grosskreis durch die Pole und einen Stern S heisst dessen „Stunden-“, oder „Deklinationskreis“. Seine jeweilige Lage wird bestimmt durch den „Stundenwinkel“ t = Z P S zwischen ihm und dem Südmeridian des Erdorts. Der Meridianbogen s S vom Himmelsäquator zum Stern heisst dessen Deklination ö (der Bogen PS seine Poldistanz).

Jeder Fixstern wird, während er durch den Meridian eines Erdortes A geht (Stundenwinkel t = 0 bezw. 2 B) von diesem Erdort aus unter seinem grössten, bezw. kleinsten Höhenwinkel gesehen (obere bezw. untere Kulmination). Die verschiedenen Sterne kulminieren nicht gleichzeitig, haben also in irgendeinem Augenblick verschiedene Stundenwinkel. Die Unterschiede der letzteren bleiben jedoch konstant.

Da die Kulmination jedes Sterns für jeden auf einem anderen Meridian gelegenen Erdort zu anderer Zeit stattfindet, jeder Stern also im selben Augenblick in jedem solchen Erdort einen anderen Stundenwinkel besitzt, so muss für die allgemein gültige Zählung eine bestimmte Anfangslage festgesetzt werden. Als solche gilt der Stundenkreis nach demjenigen Punkt, in welchem die Sonnenbahn (Ekliptik) den Äquator am 21. März schneidet, „Frühlingspunkt, Widder, 'V'“-

Den Bogen ’Y* s, welcher, entgegengesetzt dem Stundenwinkel, von West über Süd nach Ost gezählt wird, nennt man: die „Rektaszension“ oder „gerade Aufsteigung“ AR = a des Sterns. Die Sternörter werden in den Sternverzeichnissen stets nach Rektaszension und Deklination angegeben.

Der Frühlingspunkt nimmt an der täglichen Umdrehung teil, befindet sich also (und zwar auf der nördlichen Halbkugel im Augenblick seiner oberen Kulmination) täglich einmal im Meridian jedes Erdorts.

In diesem Augenblick ist es für diesen Ort 0 Uhr Sternzeit. Im Augenblick der Kulmination eines Sterns S hat der Frühlingspunkt bereits einen gewissen Stundenwinkel © zurückgelegt, also ist die Sternzeit der oberen Sternkulmination gleich dessen Rektaszension a. Ist allgemein © der Stundenwinkel des Y

eines Sterns S

a die Rektaszension

© = t -f 05.

Die Zeit zwischen zwei aufeinanderfolgenden gleichartigen Kulminationen eines Fixsterns, innerhalb welcher dieser scheinbar einen vollen Kreis (Parallelkreis), also einen Winkel von 360° um die Erde beschreibt, heisst ein „Sterntag“. Er umfasst 23 Std. 56 Min. 4,09 Sek. mittl. Sonnenzeit und 24 Stunden Sternzeit.

In 1 Stunde Sternzeit hat also der Stundenkreis jedes Sterns

= 15°

so ist

360

einen Winkel von „ .

24

in 1 Minute Sternzeit einen solchen von 15 Bogenminuten,

„    15 Bogensekunden

„ 1 Sekunde zurückgelegt.

Der Unterschied der geographischen Längen zweier Erdorte ist also gleich dem 1 öfachen Betrag der Zeit, die ein Stern braucht, um vom Meridian des östlichen zu dem des westlichen Erdorts zu kommen (telegraphische Übermittlung des Durchgangsaugenblicks), oder gleich der löfachen

Differenz der Sternzeiten, zu welchen ein an beiden Orten gleichzeitig sichtbares Ereignis (Aufflammen eines Blitzes, elektrischer Funke) bemerkt wird, oder gleich dem löfachen — mittels eines, von einem Erdort zum andern verbrachten gutgehenden Chronometers festgestellten — Unterschied der beiden Ortszeiten.

Die geographische Breite cp eines Erdorts A ist (s. Fig. 249) das Komplement des Winkels zwischen Erdachse und Vertikaler (Richtung nach dem Zenit).

Dasselbe trifft bei dem Winkel zwischen Horizont und Erdachse, d. h. dem Höhenwinkel zu, unter dem im genannten Erdort der Himmelspol erscheint: „Polhöhe“.

Die Polhöhe ist gleich der geographischen Breite (p des Erdorts. Sie könnte, wenn im Himmelspol ein Stern stünde, abgesehen von kleinen nötigen Verbesserungen (Einfluss der Strahlenbrechung etc.) direkt als dessen Höhenwinkel oder als Komplement seiner Zenitdistanz gemessen werden.

Diese Voraussetzung wird nun von keinem Stern scharf erfüllt. Kann man aber die Zenitdistanz Z₀ irgendeines Sterns mit bekannter Deklination ö im Augenblick seiner Kulmination messen, so erhält man nach Fig. 249

(pK = 90° — Z Pn = 90° — [Z₀ ± (90 — <$)]

= Z₀ ± 6.

Bei diesem Verfahren muss der Zeitpunkt der Kulmination (Sternzeit 0 — a) genügend genau bekannt sein. Den geringsten Einfluss auf den Höhenwinkel haben kleine Zeitungenauigkeiten bei Verwendung des Polarsterns, dessen Deklination d sich nur um ca. 1° 15' von 90° unterscheidet. Ohne den absoluten Uhrstand zu kennen, kann man auch mehrere Höhenwinkel, oder Zenitdistanzen nach einem in der Nähe des Meridians befindlichen Stern beobachten und die Beobachtungswerte als Ordinaten zu den als Abszissen gezeichneten Uhrablesungen auftragen. Der Kulminationspunkt der stetigen Verbindungslinie liefert dann den zur Sternkulmination gehörigen Winkelwert und Zeitpunkt.

(Über feinere Methoden der Breitenbestimmung vergl. die verschiedenen Handbücher der praktischen Astronomie.)

Die Richtung des Meridians (Nord- bezw. Südrichtung), welche man nach dem vorhergehenden zur Bestimmung der geographischen Koordinaten eines Punktes, sodann aber auch zur Orientierung eines ihn enthaltenden Dreiecksnetzes braucht, erhält man durch vertikale Projektion der — im Augenblick seiner Kulmination bewirkten — Zielung nach einem Stern auf den Horizont.

Dieser Augenblick tritt bei einer nach Sternzeit regulierten Uhr ein für © = a. Zeigt die Uhr mittlere Zeit, so ist © = a zuvor in mittlere Zeit umzuwandeln. Ohne Verwendung einer Uhr erhält man die Meridianrichtung als Halbierende des Winkels zwischen den Zielungen nach zwei Punkten, in welchen die Bahn eines Sterns bei seiner Auf- bezw. Abwärtsbewegung eine Horizontale (den Horizontalfaden eines um die Alhidadenachse gedrehten, sonst aber unveränderlich festgestellten Theodolitfernrohrs) schneidet.

Bei Anwendung des zuletzt angedeuteten Verfahrens erfolgt je nach erreichter Anzielung die Ablesung auf dem Teilkreis. (Um eine etwaige, in der Zwischenzeit vorgekommene Teilkreisdrehung zu erkennen, wird man bei feststehendem Limbus vor der ersten und nach der zweiten Sterneinstellung und -Ablesung die Richtung nach einem fernen Zielpunkt [Mire] gewinnen.) Die Einstellung des Halbierungspunkts beider Sternablesungen ergibt schliesslich die Zielung im Meridian.

Der Winkel zwischen ihr und der Zielung nach einem zweiten Punkt des Dreiecksnetzes ist das „Azimut“ der betreffenden Dreiecksseite. —

Nach dem vorhergehenden möchte es einfacher erscheinen, die Lage von Erdorten, d. h. ihre geographischen Koordinaten X und cp samt der Meridianrichtung durch Stern- bezwr. Uhrbeobachtungen, als (nach §§ 46 bis 51) auf rein geodätischem Weg zu bestimmen. Abgesehen von den mancherlei sich hiebei noch ergebenden Schwierigkeiten ist dieser Weg aber schon deshalb nicht gangbar, weil die bei ihm erreichbare Punktgenauigkeit nicht genügt. Nimmt man bei Messung geographischer Breiten günstigstenfalls einen maximalen Ziel- und Ablesefehler von 0,2" an, so entspricht diesem

= ca. 6 m.

0 2

eine Ortsveränderung von -y r

Hiezu kommen noch Lotabweichungen infolge von Massendefekten im Erdinnern, welche den zur Breitenbestimmung dienenden Höhenwinkel Z₀ um mehrere Sekunden unrichtig erscheinen lassen können.

Die reinen Beobachtungsfehler bei der Längen Übertragung sind zumeist noch grösser, da hier jeder Zeitfehler im 15 fachen Betrag als Winkelfehler in die Rechnung eingeht. (Vergl. hierüber u. a. Allg. Verm.-Nachr. Jalirg. 1908, S. 56.)

Nimmt man umgekehrt 0,2" als mittleren Fehler eines gemessenen Winkels im Dreiecksnetz bei Triangulierungen I. Ordnung (s. S. 393) an, so wird die dadurch erzeugte Punktverschiebung

bei einer Seitenlange von beispielsweise 50 km erst -°’² 50 000 m = 4,9 cm.

Aus diesem Grund zieht man vor, nur für einen einzigen Punkt eines Dreiecksnetzes die geographische Länge und Breite direkt zu bestimmen, die Übertragung dieser Werte auf das übrige Netz aber auf geodätischem Weg zu bewirken.

Nur die astronomische Azimutbestimmung ist der geodätischen Übertragung überlegen. Letztere liefert z. B. bei einer Folge von 25 Dreiecksseiten einen mittleren Richtungsfehler der letzten von diesen von m" Y25, wenn m den mittleren Winkelfehler darstellt, also von + 1,0" für m = + 0,2", während bei direkter astronomischer Beobachtung dieser Fehler sich auf 1 dieses Betrags hätte herabdrücken lassen.

Die preussische Landesaufnahme bestimmte z. B. die geographischen Koordinaten des Punktes I. Ordnung Kauenberg (auf den diejenigen der Berliner Sternwarte geodätisch übertragen wurden). Die bayerische Katastervermessung bestimmte die geographischen Koordinaten des nördlichen Frauenturms in München (Ursprung des sphärisch-rechtwinkligen Koordinatensystems) und das Azimut der Seite München-Aufkirchen; Württemberg (gleichzeitig für Hohen-zollern) die geographischen Koordinaten der Tübinger Sternwarte (Ursprung des sphärisch-rechtwinkligen Koordinatensystems) und das Azimut Tübingen-Kornbülil; Baden die geographischen Koordinaten der Mannheimer Sternwarte (Ursprung des rechtwinkligsphärischen Koordinatensystems); (für die Vermessung der bayerischen Rheinpfalz diente derselbe Punkt und das Azimut Mannheim-Speyer, die geographischen Koordinaten jedoch mit Abweichungen von 0,7“" in cp und 3,6" in X).

§ 53. Bestimmung geographischer Koordinaten aus rechtwinkligsphärischen (geodätische Übertragung).

Sind für sämtliche Punkte eines Dreiecksnetzes nach § 50 die rechtwinklig-sphärischen und für einen von ihnen die geographischen Koordinaten bekannt, so kann man letztere für jeden dieser Punkte ableiten. Dies wird namentlich notwendig, wenn die Aufnahme neben ihrer Verwendung für Katasterzwecke zum Entwurf einer von Meridianen und Parallelkreisen begrenzten geographischen Karte benützt werden will.

Gegeben seien die rechtwinklig-sphärischen Koordinaten xP und yP eines Punktes P in bezug auf den Meridian von 0 als x-Achse und 0 als Ursprung, sowie die geographischen Koordinaten i₀ und <p₀ von 0. Gesucht die geographischen Koordinaten von P. Denken wir uns für die folgende Betrachtung die Erde zunächst

Wie auf S. 409 gezeigt wurde, hat die Ellipsoidform der Erde zur Folge, dass die Lotrichtungen verschiedener Oberflächenpunkte sich nicht in einem Punkt schneiden. Nur die auf einem Parallelkreis liegenden Punkte haben je gemeinsamen Lotschnittpunkt auf der Erdachse.

Fig. 251.

■\rp-

Wenn man daher von einem Erdpunkt A ausgehend aus der Bogenlänge s und dem zugehörigen Azimut die geographische Breite für B sphärisch berechnet, so erhält man sie für Na als Kugelmittelpunkt, d. h. für den Radius Na A statt für Nb B.

Nä

\NB

als Kugel, so erhalten wir für die geographische Breite von P (in Fig. 250 sichtbar durch den Schnitt des Parallelkreises durch P)

(pp = (po + -7- Q ~ A cp,

oder wenn die geographische Breite des Lotfusspunkts gleich cp' gesetzt wird:

(pP — cp' — Acp = R — u.

Im Dreieck N P F ist: cos u = cos (R — cp' + A cp)

Fig. 250.

ir

Jb

o:W-

j"“"*

Wr

—J'—

cos -y- sin cp'

und da — klein:

\\ *

y²

sin (cp' — Acp) ~

Ebenso ist A cp sehr klein, daher

-    sin cp' —

2 r²

- j sin cp¹.

sin cp' — cos cp'

A cp “

y²

Q“

2 r²

sin cp'

y²

(l)

und

(pp

y²

2 r²

q" tg cp'.

Die Divergenz beider Richtungen muss als sphäroidische Korrektion noch eingeführt werden, wenn das durch Rechnung erhaltene Ergebnis für cp mit demjenigen übereinstimmen soll, das die direkte Beobachtung liefert.

Ist e die Exzentrizität der Meridianellipse, wobei a² — b²

e² =

= 0,00667,

so wird

ip“ — e²

sin 2 9>a q“■

4 r²

Beachtet man endlich noch die Verschiedenheit des Krümmungshalbmessers r, für die Meridianellipse in der Nähe von 0 und des Halbmessers r₂ für die Ordinate F P, so wird unter Berücksichtigung der Erdabplattung

(la)

(pp

= 90 + — Q A1

y²

2r,²

q tg cp‘ — e²

y²

4r ²

q sin 2 cp‘.

r₂ cos cp'

^+U(~r-

l__(J-Y.

3 cos cp‘ \ r₂ /

Der Unterschied A X der geographischen Längen zwischen der x-Achse und Punkt P ergibt sich ebenfalls aus dem Dreieck NPF:

tg

_y

i '-(Pr*

tg A l = -- ~

°    COS Cp'

Unter Beschränkung auf Glieder bis zur Ordnung-^- wird daraus:

cos cp'

Der zweite Summand auf jeder Seite der Gleichung ist sein-klein gegenüber dem ersten. Man kann daher näherungsweise setzen

woraus

(2)

r₂ cos cp'

r₂ cos cp'

r₂ cos cp'

i 1 / A Ä \3

als0 t(—) ~

y³

3 r₂³ cos³ cp' ’

1 A X" ---o"

)_r₂ cos cp' ^

y    /jl\⁸__L (_z__Y

3 cos cp' \ r₂ /    3 \ r₂ cos cp')

——₇Y (l — COS² Cp') v₂ cos cp‘) \

(—-—sin² cp'

\ r₂ cos cp' / r

und

/    cos Q 3 ( r₂ cos cp‘

Y sin² cp'.

Zur Bestimmung der Meridianrichtung in P mit Hilfe des bekannten Richtungswinkels einer von P ausgehenden Dreiecksseite berechnen wir aus der rechtwinklig-sphärischen Ordinate und der geographischen Breite cp von P die Meridiankonvergenz y in P. (Berechnung aus den sphärischen Polarkoordinaten s. S. 406). Da der durch P gezogene Parallelkreis zur x-Achse senkrecht steht auf allen Ordinatenkreisen, so ist der Winkel bei P im sphärischen Dreieck NPF das Komplement zu y und wir haben (s. Fig. 250)

sin y = tg-^-tg cpP. l2

l

Durch Reihenentwicklung bis zur Ordnung — einschliesslich für

die Funktion der kleinen Winkel y und — wird:

r2

~ tg <jpP + y (£) tg cpP.

Der zweite Summand auf beiden Seiten ist so klein, dass man ihn für näherungsweise Berechnung von y vernachlässigen kann, womit man erhält:

y__

y_

~ Utg,pp und (t)³~ (Utg?,p)”'

womit durch Einsetzung

V'~j; <?" ts v* + ¥ GrÜ" ‘g v* + f (-J- tg <p)' V

, oder

(3) y" - -J- Q" tg 9Pp + “V (“- tg 9Pp)³ (l + 2 ctg² 9Pp).

Für kleine Ordinaten y und geographische Breiten ist genähert

(3 a) y"--q" tg yP.

x2

§ 54. Einschaltung eines Dreiecksnetzes zweiter in dasjenige erster Ordnung.

Die gegenseitige Entfernung der nach vorhergehendem ihrer Lage nach bestimmten Punkte I. Ordnung ist zu gross, als dass sich auf letzteren ins einzelne gehende Vermessungsarbeiten direkt auf bauen liessen. Dazu bedarf es der Festlegung weiterer Punkte bis zu gegenseitigen Entfernungen von rund 1 km herab.

Der unvermittelte Übergang von 50 km langen auf 1 km lange Seiten würde nun aber zu ungünstigen Figuren (spitzen bezw. stumpfen Schnitten) führen. Man steigt deshalb stufenweise herab, und bestimmt von den Punkten I. Ordnung als feststehender Grundlage ausgehend durch ein „Dreiecksnetz II. Ordnung“ die Lage von Festpunkten in gegenseitigen Entfernungen von 15 bis 20 km. Die Punkte I. und II. Ordnung zusammen bilden sodann die Grundlage für die Bestimmung weiterer Punkte III. Ordnung in gegenseitigen Entfernungen von 2 bis 5 km. Man kann derart beliebig viele „Ordnungen“ von Dreiecken nach Seitenlange, oder Bestimmungs-, bezw. Festlegungsart abstufend einschalten bis schliesslich der direkte Anschluss der Stückvermessung möglich wird. Zumeist geht man aber nur bis zu trigonometrischen Punkten IV. Ordnung. Die Wirkung der Kugelgestalt der Erde kommt dabei natürlich immer weniger zur Geltung, je kleiner die Dreiecke sind und kann im allgemeinen schon bei den Dreiecken III. Ordnung vernachlässigt werden.

Für das Dreiecksnetz II. Ordnung, welches sich dem Netz I. Ordnung eingliedert, fällt dadurch die direkte Streckenmessung, die geographische Ortsbestimmung und die Schwierigkeit der Beobachtung übermässig langer Zielungen weg. Dagegen erhebt sich, verschärft durch die grössere Zahl gegebener Punkte, die Schwierigkeit des Anschlusszwangs. Die Zahl überbestimmter Stücke, welche durch Ausgleichung der beobachteten Richtungen und Winkel zur Übereinstimmung gebracht werden müssen, wird grösser. Für die Seiten- und Koordinatenberechnung gelten aber im übrigen die in §§ 49 bis 53 angedeuteten Verfahren.

Weitbrecht, Vermessungskunde.

§ 55. Umwandlung der sphärischen in ebene Koordinaten.

Kartenprojektion, i)

Notwendigkeit der Schaffung ebener Bilder.

Die Stückvermessung, in welcher der praktische Zweck der Landesaufnahme schliesslich gipfelt, verlangt (s. S. 3) die Feststellung der Horizontalprojektion der aufgenommenen Flächen. Aus diesem Grund muss auch das Netz der Aufnahmelinien und das dafür grundlegende Dreiecksnetz in der horizontalen Ebene dargestellt werden.

Dies wird vorbereitet durch Übertragung des Vermessungshorizontes, der in den meisten Fällen durch die Schmiegungskugel an das Erdellipsoid in Landesmitte (für Württemberg mit dem Halbmesser r = 6 388 336 m) dargestellt wird samt den nach vorhergehendem darauf abgebildeten Dreieckspunkten I. und II. Ordnung in die Ebene, so dass darauf aufbauend die Koordinaten der weiterhin nötigen Festpunkte niederer Ordnung direkt unter Benützung der Hilfsmittel der ebenen Trigonometrie und Planimetrie bestimmt werden können. Nun ist, wie schon einleitend S. 2 bemerkt wurde, die Kugel- (und ebenso die Ellipsoid-)Fläche nicht abwickelbar, die kongruente Abbildung der auf ihr verzeichneten Figuren also unmöglich.

Winkel-

bezw.

Flächen-

verzerrimg.

Es kann sich deshalb nur darum handeln, diejenige Art der Übertragung auf die Ebene herauszusuchen, welche je nach Bedarf die geringste Verzerrung, sei es bezüglich der Winkel-, bestimmter Strecken-, oder der Flächengrössen, liefert. Gleichheit sämtlicher Strecken zwischen Urbild und ebener Abbildung ist ebensowenig erreichbar, als gleichzeitige Treue der Winkel- und der Flächengrössen.

— o,

a —{— b

In jedem Punkt der abzubildenden Kugelfläche gibt es zwei sich rechtwinklig schneidende Tangenten, welche ihren Schnittwinkel auch in der Abbildung beibehalten. Beschreibt man um einen Punkt der Kugelfläche einen oo kleinen Kreis vom Radius r, so werden dessen auch in der Abbildung _L aufeinander stehende Radien im allgemeinen verändert, so dass der Kreis als Ellipse mit den Halbachsen a und b sich abbildet. Als Mass für die bei der Abbildung eintretenden Verzerrungen gelten die Funktionen —und a • b. Ist an allen Stellen der Karte a = b, also — bildet sich also jeder Kreis wieder als Kreis ab, so ist die Projektion „winkeltreu“. Ist a.b = r², also der Bildellipseninhalt gleich dem Inhalt des Urkreises, so ist sie „flächentreu“. Die Werte von

un(j (ap —r²) geben also ein Mass für die Grösse der Winkel-, bezw. Flächenverzerrung.

x) Für eingehendere Behandlung der Kartenprojektion vergl. u. a. „Tissot, Die Netzentwürfe geogr. Karten“, bearbeitet von Hammer, 1887, „Hammer, Die geogr. wichtigsten Kartenprojektionen“, Stuttgart 1889, „Herz, Lehrbuch der Kartenprojektionen“, Leipzig 1885.

Die Abbildungen auf einer Kugelfläche werden entweder direkt, d. h. auf perspektivischem Weg auf die Bildebene übernommen, oder nach irgendeinem mathematischen Gesetz zunächst auf eine abwickelbare Fläche übertragen. Die Abwicklung der letzteren liefert dann das ebene Bild.

Bei den

I. Perspektivischen Abbildungen

(welche wegen der Treue der vom Kartenmittelpunkt ausgehenden Azimute zu den „azimutalen“ zählen) ist die Bildfläche dargestellt durch die Berührungsebene an die Kugel im Koordinatenursprung A.

Die Schnittpunkte der von einem Punkt 0 des durch A gehenden Kugeldurchmessers als Augpunkt nach den darzustellenden Kugelpunkten gezogenen Zielstrahlen mit der Bildebene stellen die gesuchten Bildpunkte dar.

Je nach der gegenseitigen Lage des Berührungs- und Aug-punktes ergeben sich verschiedene Unterarten perspektivischer Abbildungen, nämlich:

a) Die gnoinonisclie Projektion. Der Augpunkt 0 befindet sich (s. Fig. 252) im Kugelmittelpunkt.

Fig. 252.

-m

Es lassen sich nur solche Teile der Erdoberfläche auf einem Plan abbilden, die kleiner sind als die halbe Erde, denn die Abbildung des zur Bildebene parallelen Grosskreises wäre ein co grosser Kreis. Wird die Erdkugel von der Bildebene in einem der Pole P berührt, so bilden sich alle Meridiane als Gerade ab, die sich im Bildpunkt des Pols schneiden.

Aus jedem Parallelkreis (pA wird ein Kreis mit dem

Halbmesser r tg(R—gpA) = rctgqpA um diesen Pol P, der sein eigener Bildpunkt ^3 ist. Die Streckenverzerrung in radialer Itichtung wächst

also sehr rasch, nämlich im Verhältnis —

Einteilung der Abbil-dungsmög-lichkeiten.

ctg cpA

Berührt die Bildebene in einem beliebigen Punkt A mit der geographischen Breite qpA, so wird aus jedem Parallelkreis eine Ellipse, Parabel, oder Hyperbel, je nachdem seine Poldistanz ^ qpA ist.

Die gnomonische Projektion hat hauptsächlich Bedeutung für See- und Himmelskarten, weil alle Grosskreisbilder gerade Linien sind. Für geodätische Zwecke hat z. B. die Schweiz bei Ausgleichung des Dreiecksnetzes von ihr Gebrauch gemacht.

b) Die stereographische Projektion. Der Augpunkt 0 ist (s. Fig. 253) der Gegenpunkt des Koordinatennull- bezw. Bild-berührungspunkts.

Diese Abbildungsart hat die ausgezeichneten Eigenschaften,

1.¹)    dass die Abbildung jedes Kugelkreises wieder ein Kreis ist und

2.²)    dass die Bilder winkeltreu (konform) sind.

0 Beweis zu 1. BC sei ein beliebiger Kleinkreis auf der Kugel, 33©

seine Abbildung.

Nun ist (s. Fig. 253)

<£ A © 0 = a = CAO

(OAC und OA© rechtwinklige Dreiecke),

<£ CAO = CBO = a (Peripheriewinkel über demselben Bogen).

Fig. 253.

fr-

In dem Kreiskegel B C 0 bildet also der Schnitt $8© der Bildebene

einen Wechselschnitt zum Kreis BC, ist folglich selbst ein Kreis.

²) Beweis zu 2. Parallele Verschiebung der Bildebene ändert an den Winkeln der Bilder nichts. Letztere bleiben dabei einander ähnlich.

Zur Vereinfachung können wir uns daher die Bildebene A in den Mittelpunkt M hereingeschoben denken (s.-Fig. 254). Ist B der Scheitel eines beliebigen Winkels 9o auf der Kugel, so schneidet dessen verlängerte Ebene (Berührungsebene in B) die Bildebene nach der Geraden S S', auf welcher somit auch die Schnittpunkte D und E der beiden Schenkel (als ihre eigenen Bildpunkte) liegen.

Denkt man sich die denWinkelqp enthaltende Berührungsebene um B S und anderseits die nach M verschobene Bildebene um M S je in die Zeichenebene der Fig. 254 umgeklappt, so ist E'BD' = 90 die Umklappung des auf der Kugel liegenden, © 33 ® = cp' diejenige des abgebildeten Winkels, bei ist

S D' = S © und S E' = © @.

Fig. 254.

,\

1/

Da-

Da ferner 33 S = B S (Gleichheit der Winkel a bei B und $8), so ist Figur 33 S © © ^ 33 S D' E', also cp = <p‘.

Die Abbildung ist winkeltreu.

Sie gestattet die zusammenhängende Darstellung der ganzen Erde, dagegen wächst die Längenverzerrung rasch gegen den Rand und wird schliesslich (für den Augpunkt) unendlich gross. Die Figuren 255 a bis c beschränken sich daher je auf die Darstellung der dem Augpunkt abgewandten Halbkugel.

Jeder Kreis, also namentlich z. B. jede Dreiecksseite, die sich (als Stück eines Grosskreises) in der Örtlichkeit als Gerade zeigt, bildet sich als Kreisbogen ab.

Berührt die Bildebene die Kugel

a) in einem Pol („Polarprojektion“), so sind die Bilder sämtlicher Parallelkreise Kreise um den Berührungspunkt.

Fig. 255.

■j /    /

A;

\ U    /

\

\\ \

' />/

Die Bilder der zwischen Äquator und Bildebene liegenden Parallel-

, die-

kreise mit der Breite (p erhalten dabei den Radius

2 r cos (p

1 -)- sin <p

jenigen der zwischen Augpunkt und Äquator liegenden Kreise den

Radius ^

2 r cos tp

. Das Bild des Augpunkts ist der oo grosse Kreis um Die Meridiane stellen sich dar als ein Strahlenbüschel durch

— sin

den Ursprung (s. Fig. 255 und 255 a).

Berührt die Bildebene

ß) in einem Punkt A des Äquators („Äquatorialprojektion“), so werden Äquator und Meridian von A als zwei in A sich senkrecht schneidende Gerade abgebildet. Das Bild des um 90° von A abstehenden Meridians ist ein Kreis um A vom Halbihesser 2r. Für die Mittelpunkte der anderen Meridiane ist das Bild des Äquators der geometrische Ort.

Die Parallelkreise werden durch symmetrisch zum Äquator angeordnete exzentrische Kreise dargestellt (s. Fig. 255h).

Berührt die Bildebene

y) in einem beliebigen Punkt A von der Breite <p, dem Koordinatenursprung in Landesmitte („Horizontalprojektion“), so sind

die Bilder des Parallelkreises (— cp) und dasjenige des Meridians von A zwei senkrecht aufeinanderstehende Gerade. Die erstere bildet den geometrischen Ort für die Mittelpunkte der Meridian-, letztere denjenigen für die Mittelpunkte der Parallelkreisbilder.

Fig. 255 a.

Fig. 255 b.

Fig. 255 c.

Ausser den durch den Berührungs- und den Augpunkt gehenden Grosskreisen, welche sich geradlinig abbilden, sind die Bilder sämtlicher Grosskreise (z. B. aller Dreiecksseiten) im Gegensatz zur örtlichen geradlinigen Zielung Kreisbögen (s. S. 421 und Fig. 255 c).

Für die Landesvermessung Österreichs, wie namentlich des Königreichs Ungarn ist diese stereographische Horizontalprojektion angewandt. Da Ungarn rings von Gebirgen umschlossen ist, in deren Höhe sämtliche auf den Landesvermessungshorizont bezogenen Strecken des Dreiecksnetzes (wegen des grösseren Abstandes vom Erdmittelpunkt) zu vergrössern wären, so bewirkt die Projektionsverzerrung hier eine teilweise Ausgleichung des Einflusses jener Höhenunterschiede auf die Strecken.

c) Die orthographische Projektion verlegt den Augpunkt 0 in unendliche Ferne. Die Projektionsstrahlen gehen daher parallel zum Erdhalbmesser nach dem Berührungspunkt A der Bildebene. Je nach deren Lage ist auch hier wieder zu unterscheiden zwischen:

a) der Polarprojektion. Der Augpunkt 0 liegt auf der Weltachse. Die Bildebene berührt in einem Pol. Sämtliche Meridiane bilden in der Abbildung ein Strahlenbüschel durch den Ursprung, die Parallelkreise konzentrische Kreise mit den wahren Halbmessern (s. Fig. 256a);

ß) der Äquatorialprojektion. Der Augpunkt 0 ist der oo ferne Punkt der Schnittlinie des Äquators mit dem Meridian des Berührungspunktes A. Beide Ebenen werden durch senkrecht aufeinanderstehende Gerade, alle Parallelkreise cp durch Parallelen zum Äquatorbild im Abstand r sin <p dargestellt.

Alle Meridianbilder sind Ellipsen mit gemeinsamer grosser Achse 2r und der kleinen Halbachse r. sin 1, wenn die Längen 1 von dem zur Bildebene parallelen Meridian aus gezählt werden (s. Fig. 256b) und

y) der Horizontalprojektion (s. Fig. 256 und 256c) zum Koordinatenursprung A mit der geographischen Breite cp. Augpunkt ist der unendlich ferne Punkt des Erdradius nach A. Sämt-

Fig. 256.

Erdkugel.

Abbildung.

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Bildebene

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PC,- .f, -Wf

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?-

liehe Parallelkreise und Meridiane projizieren sich als Ellipsen. Die Mittelpunkte der Parallelkreisbilder liegen auf dem Bild des zur Bildebene senkrechten Meridans (2 = 0°) in der Entfernung r. cos cp sin cpx vom Kartenmittelpunkt. Der Parallelkreis cpx hat in der Abbildung die Halbachsen r cos cpx und r cos cpx sin cp.

Die Mittelpunkte der Meridianbilder fallen mit dem Kartenmittelpunkt zusammen. Ihre Halbachsen sind gleich r bezw. r. cos <p sin 2, wenn die geographischen Längen 2 von dem zur Bildebene senkrechten Meridian aus gezählt werden. Die letztere, kleine, Halbachse schliesst mit dem Bild des Nullmeridians den Winkel a ein, wo ctg a = sin cp tg 2 ist.

Mit der orthographischen Projektion wird namentlich die Oberfläche von Gestirnen (Mond etc.) dargestellt.

Fig. 256 c.

Fig. 256 a.

Fig. 256 b.

Weitere perspektivische Projektionen, für welche der Augpunkt zwischen der der Bildebene abgewandten Kugelfläche und dem Unendlichen hegt, seien hier übergangen.

II. Übertragung auf eine Ebene, oder auf eine abwickelbare Fläche nach bestimmten Bedingungen.

i. Nichtperspektivische direkte Übertragung auf die Ebene,

a) Flächentreue azimutale Projektion von Lambert.

Bekanntlich ist der Inhalt einer Kugelkappe gleich demjenigen eines Kreises, welcher die Sehne vom Schnittkreis bis zum höchsten Punkt der Kugelkappe zum Halbmesser hat.

Überträgt man daher die Parallelkreise cpi cp₂ .... der Kugel als konzentrische Kreise um den Bildpunkt ^3 des

Pols P mit den Radien q — 2 r sin -~₂ y

auf die Bildebene und zeichnet die Meridianbilder als Halbmesser dieser Kreise unter den wahren Winkeln X ein, so ist die zwischen zwei beliebigen solchen Kreisbögen und zwei Radien auf der Abbildung liegende Fläche gleich der Kugelfläche zwischen den entsprechenden Parallelkreisen und Meridianen. Diese Abbildung ist also wohl flächen-, aber weder strecken-, noch winkeltreu.

Die einander entsprechenden Parallelkreise haben z. B. auf der Kugel den Halbmesser r cos cp, auf der Abbildung den

Halbmesser 2 r sin -R ₂ sind also nicht umfangsgleich. Auch ist ihr Abstand auf der Kugel gleich r.d<p, auf der Abbildung aber gleich d ^2 r sin

klein vorausgesetzten) Unterschied der zugehörigen geographischen Breiten vorstellt. Letztere sind einander nur gleich für cp = R, d. h. für Parallelkreise nahe dem Pol.

Fig. 257.

r\~

/%

r cos

R (p- • d <jp, wenn d cp den (als sehr

Als Kartenmittelpunkt kann natürlich statt des Pols jeder beliebige Punkt A der Kugeloberfläche treten. Aus der „ Polar“-wird dann die „Horizontalprojektion“.

An Stelle der Meridiane treten dabei lediglich die Grosskreise zum Berührungspunkt A der Bildebene, an Stelle der Parallelkreise die Parallelkreise um A.

Würde man b) statt der Sehnen die Bogenlängen als Halbmesser für die Abbildung der Parallelkreise verwenden, also z. B. vom

Fig. 257 a.

Ja

V-

7m

c-

<V

NW

Q>

r7

/ff.

[■CT

WS

Nullpunkt des darzustellenden Gebiets aus die sphärischen Polarkoordinaten der Dreieckspunkte kurz als ebene behandeln, — „Postelsclie“ Abbildung —, so käme man zu streckentreuen Mittelpunktsabständen, aber stärker verzerrten Parallelkreisbögen, hätte also weder Winkel-, noch Flächentreue. Eine absichtliche Verzerrung auch der radialen Abstände im Verhältnis der ungewollten Parallelkreisverzerrung würde zur winkeltreuen stereographischen Abbildung führen.

Wie bei der Lambertschen die Flächen-, oder bei der stereographischen Projektion die Winkeltreue erreicht wurde, kann man für die Abbildung also auch die Bedingung der Treue gewisser Strecken-systeme, oder die Bedingung aufstellen, dass die Verzerrungsverhältnisse je in vermitteltem Betrag auftreten sollen. Die hieraus sich ergebenden Projektionsarten sollen hier übergangen werden.

2. Kegel- und Zylinderprojektionen.

Die im folgenden zu betrachtenden Projektions verfahren verwenden als Bildfläche eine die Erdkugel längs eines ihrer Klein-, oder Grosskreise berührende Kegel-, bezw. Zylinderfläche, auf welche zunächst die Hauptlinien der Kugel nach bestimmten Gesetzen übertragen werden, um hernach samt der Bildfläche in die Ebene ausgebreitet zu werden.

A. Die Kegelprojektionen

sind entweder „echt“, oder „unecht“ konische Abbildungen, je nachdem die Übertragung der Meridiane auf die berührende Kegelfläche lediglich durch Verlängerung ihrer Ebenen, oder sonst nach einem irgendwie aufgestellten Gesetz erfolgt. Sie kommen namentlich in Frage, wenn das darzustellende Gebiet sich als schmale Zone einem Kleinkreis folgend um die Erde legt.

Dabei spricht man von

normaler, oder direkter konischer Abbildung, wenn die Erdachse querachsiger (transversal.) „

<D

/

„ irgendein Äquatordurchmesser J wenn ein beliebiger Jf Kugeldurchmesser Alle für direkte konische Kugelabbildung zu zeigenden Beziehungen gelten natürlich ohne weiteres auch für die übrigen, wenn lediglich an Stelle des Parallelkreises als Grundkreis des Kegels der gewählte Kugelkleinkreis, und an Stelle der Meridiane die auf ihm senkrechten Grosskreise gesetzt werden.

schiefachsiger

Unecht konische Abbildungen, a) Die einfache, oder gewöhnliche Kegelprojektion.

Die Kegelfläche, welche den Träger der Abbildung darstellt, berühre längs des Mittelparallels <pA vom darzustellenden Gebiet. Die Abbildung dieses Mittelparallels ist nach erfolgter Abwicklung daher ein Kreisbogen vom Halbmesser s = r ctg cpx und von der wahren Länge 2 n r cos cpx.

Jeder andere Parallelkreis qpA + A cp wird abgebildet als konzentrischer Kreisbogen im unverzerrten Abstand ÄC = AE = r.T<jp, vom Mittelparallel, also mit der Länge

_    2 n r cos (px (r ctg (px + r A cp)

r ctg cpx

statt der Solllänge 2 n r cos (gpa + A (p).

= 2jz1' COS (px

ctg Cp ± A cpx

ctg (px

Fig. 258.

%*L'

J*A ' ■

'//US

JA

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Uze'

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44-J

r.7

/80“

Sämtliche Meridiane werden durch die Mantellinien dargestellt, in welchen die Kegelfläche von den Meridianebenen geschnitten wird.

Nur auf dem Mittelparallel und auf den Meridianen sind demnach die Strecken unverzerrt, die Streckenverzerrung erreicht für jedes Flächenelement ihr Maximum in der Richtung der Parallelkreise und wächst mit dem Abstand vom Mittelparallel. Diese Abbildungsmethode, (in welcher häufig Europa auf den Karten dargestellt wird) ist aus diesem Grund weder flächen-, noch winkeltreu.

Fig. 258 a.

Statt einem Mittelparallel kann man auch zwei Parallelkreise längentreu abbilden. Der Berührungskegel wird in diesem Fall zum Schnittkegel durch diese beiden Kugelkreise.

>°

b) Flächentreue wird erreicht, sobald man die Parallelkreise nicht bloss ihrem Abstand vom Mittelparallel, sondern auch ihrer Länge nach in wahrer Grösse aufträgt und einteilt.

Damit werden alle Meridian-

bilden mit Ausnahme eines einzigen, geraden, zu diesem letzteren symmetrische Kurven, welche in einem Punkt dem Polbild, zusammenlaufen (s. Fig. 258a). Diese „Bonnesche“ Projektion findet man häufig bei Karten von Asien, Nordamerika und auch Europa, sowie für topographische Spezialkarten in Frankreich, Bayern, der Schweiz und der Niederlande angewandt.

c) Verlegt man die Spitze des Berührungskegels in den Pol

&-

j-

(so dass der Kegel zur Berührungsebene wird), so werden die Bilder sämtlicher Parallelkreise cp konzentrische Vollkreise um dasjenige des Pols, mit den Radien r — cp}. Sie bilden sich also mit der Länge

71

2r^t

(2 —    2 r ⁷¹ cos 95 oder

fach verzerrt ab.

cos cp

In meridionaler Richtung verlaufende Strecken bleiben unverzerrt, dagegen erleiden abgebildete Winkel starke Verzerrung. In dieser Projektion werden häufig die Polargebiete gezeichnet.

Beziehungen für eine

d) konische winkeltreue Abbildung wurden zuerst von Lambert entwickelt, und durch Paschen, später durch Jordan für die Projektion des hauptsächlich in westöstlicher Richtung sich ausdehnenden Grossherzogtums Mecklenburg ausgebaut. Berührungskreis und gleichzeitig Hauptachse für die sphärischen Koordinaten ist der ellipsoidische Parallelkreis cp = 53° 45', Nullmeridian derjenige durch den Schweriner Schlossturm.

(Vergl. u. a. Jordan, „Konforme Kegelprojektion der Grossh. Mecklenburgischen Landesvermessung“. Schwerin 1891.)

Zu den Kegelprojektionen gehören endlich

e) die „Polykonischen Entwürfe“, bei welchen wegen der bei Verwendung einer einzigen Kegelfläche mit der Entfernung von

Fig. 259.

ß,

<r,

\sS

Mittelparallel stark wachsenden Verzerrungen auf das strenge Zusammenpassen der Nord- und Südränder der einzelnen Blätter eines Kartenwerks verzichtet und das darzustellende Gebiet zerlegt wird in schmale, durch Meridiane untergeteilte Parall elkreis -zonen: „Gradabteilungskarte“. Diese Projektionsart findet Anwendung bei der Landesvermessung der Vereinigten Staaten, und als Variante mit rechtwinkligem Schnitt der Bilder von Meridian und Parallelkreis bei den englischen Militärkarten.

Schliesslich sei noch erwähnt die sogen. „Preussische Polyederprojektion“, bei welcher jedes von benachbarten Meridianen und Parallelkreisen eingeschlossene Trapez je für sich auf einer Ebene abgebildet und demnach die Erdoberfläche durch ein Polyeder mit trapezförmigen Grenzflächen ersetzt wird. Angewandt ist diese Projektionsart bei der Karte des deutschen Reichs (früher preussische Generalstabskarte) in 1:100 000 (Koordinatenunterschiede der einzelnen Karteneckpunkte Al — 30', A cp — 15') und Österreich-Ungarns.

B. Die Zylinderprojektionen

stellen den speziellen Fall der Kegelprojektionen dar, in welchem die Kegelspitze in unendlicher Ferne liegt, der Berührungskreis also ein Grosskreis ist. Auch hier wird wie bisher (s. S. 426) im Hinblick auf die Lage des Berührungskreises auf der Erdkugel zwischen „normaler“, „queraclisiger“ und „schiefachsiger“ Projektion unterschieden, ohne dass aber dadurch die Abbildungsgesetze an sich beeinflusst würden.

a«) einfache (normale, gewöhnliche) Zylinderprojektion: „quadratische Plattkarte“. Die Meridianbilder — Schnittlinien der Meridianebenen mit dem längs des Äquators berührenden Zylinder — sind Mantellinien des letzteren. Auf ihnen werden im gegenseitigen Abstand • r (wahre Meridianbogenlängen) die Bilder der Parallelkreise cp als Parallelen zum Äquator aufgetragen. Der letzteren Länge ist daher um so mehr verstreckt, je weiter sie sich vom Äquator entfernen. Die zu einer geographischen Breite von cp = 0    15°    30°    45°    60°    75°    90°

gehörigen Parallelkreise sind in der Abbildung

1    1,03    1,15    1,41    1,99    3,85    oo mal    länger,

90"{

90’

75\

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Fig. 260.

2rx —

90°

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Aqu

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15°

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A- 40° 20°    0°    20° 40° 60°

140° 120° 100° 80°    60° 40

$0*

als in Wirklichkeit. Weder winkel-, noch flächentreu, und streckentreu nur für die Bilder des Äquators und der Meridiane, eignet sich diese Projektion nur für die Darstellung schmaler Zonen zu beiden Seiten des Berührungskreises. Gerade hiefür hat sie aber in quer-achsiger Anwendung unter dem Namen

ß) „Soldnersehe Projektion“ die ausgedehnteste Verbreitung bei Landesvermessungen gefunden. Die Katasterpläne der meisten deutschen Staaten sind nach ihr entworfen, und zwar wurde sie für diesen Zweck erstmals im Jahre 1809 von Soldner für die bayerische Landesvermessung (die erste, welche auf einheitlichem, das ganze Land umfassendem Dreiecksnetz beruhte) eingeführt. Als Berührungskreis dient hiebei an Stelle des Äquators die Abszissenachse der Landesvermessung (zumeist der Meridian des Koordinatenursprungs). Die Ordinatenkreise treten an Stelle der Meridiane. Die sphärischrechtwinkligen Koordinaten f und rj der Dreieckspunkte werden mit ihren linearen Werten x =

Fig. 260 a.

-y

oi

L r v — n

—r, y —

— r, Q

also einfach rektifiziert, direkt als ebene Koordinaten benützt (daher auch die Bezeichnung „kongruente Projektion“).

Die geradlinige Entfernung zweier Dreiecksbildpunkte 2f und 23 ist demnach: s₀ = x² + Ay², während die wirkliche, auf dem Grosskreisbogen gemessene Entfernung der Urpunkte A und B nach der Ableitung S. 408 beträgt:

iBra

cc

~y

/cc-

zoc-

■m

+y

s-s₀ —

S₀

6 r²

(yl -f yA yB + yl) cos² <p.

£x-

JC

Für die Strecken Verzerrung vs erhalten wir hieraus:

(y! + )rAyB + yl) cos² cp,

Vs = S — S₀ — —

So²

6 r²

und erkennen:

Jede Strecke ist in der Abbildung grösser, als in Wirklichkeit. Unverzerrt erscheinen nur die x-Achse (yA und yB = 0) und die senkrecht zu ihr verlaufenden Ordinaten (<p = R, cos cp = 0). Die übrigen Strecken werden um so stärker verzerrt, je entfernter von der x-Achse sie liegen und je weniger ihre Richtung von der des Parallelkreises zur ersteren abweicht. Zum Beispiel haben zwei, je auf einem Parallelkreis zur x-Achse liegende Punkte, deren Abszissendifferenz gleich 1000 m ist, bei einer Ordinatenlänge y = 0

ein

Ä?e s    =    1000 m

„    s    =    999,99 m

„    s    =    999,96 m

„    s    =    999,90 m

„    s    =    999,82 m.

Die Verzerrung des Richtungswinkels einer Strecke AB ergibt sich aus Gleichung (8) S. 408 zu

= 30 km = 60 km = 90 km = 120 km

e"

[ix(2yA-f yB) +

Ax. A y

(yi 4- Ya yB + yl)]-

vj = (<p — (Po)“ -

Diese Winkelverzerrung erreicht u. a. für die in nachstehender Tafel aufgeführten Werte von A x, A y und y die folgenden Beträge:

6 r²

So²

Ax — A y = xB — xA

= yB—yx

Mittlere Ordinate y

80 km | 40 km | 60 km

80 km

100 km

500

1,2"

2,1"

4,7"

8,2"

12,9"

1000

1,3"

2,2"

4,8"

8,4"

13"

5000

1,7"

2,8"

5,7"

9,6"

14"

Sie übersteigt also bei einer mittleren Ordinate von 80 km bereits den für Triangulierungen IV. Ordnung noch zugelassenen mittleren Beobachtungsfehler! Dies ist unstatthaft und nötigt zur Breitenbeschränkung des auf eine Achse noch projizierbaren Gebiets auf beiderseits höchstens 60 km.

Ist die westöstliche Ausdehnung eines Landes >120 km, so muss daher entweder für jeden Flächenstreifen von ungefähr 10 Längenunterschied ein anderer Meridian als Abszissenachse und Berührungskreis des Abbildungszylinders eingeführt (so hat z. B. Preussen, allerdings zum Teil aus historischen und verwaltungs-

.i.

technischen Rücksichten, deren 40; Elsass-Lothringen 2 etc.), oder, (bei geringer südnördlicher Erstreckung des Landes) unter Verzicht auf die Nordrichtung der Abszisse eine westöstlich gerichtete Hauptachse (schiefachsige Projektion) gewählt werden.

Die FlächenVerzerrung berechnet sich für ein Kartenblatt zwischen den zwei Ordinaten- und den zwei Parallelkreisen

£2

. — j* X9 = —- - r

Q    “ Q

V\

Q    J    Q

li, £2; f]1: v}₂, oder Xj =

yi =

§1

wie folgt:

Flächengrösse in der Abbildung: F₀ = (x₂ — xx) (y₂ — yx), „    auf der Kugel:

Höhe der Kugelzone:

h = r (sin

y»

— sin -7-),

also Zonenfläche: Z = 2 r n h = 2 r² n und tatsächliche Fläche des Kartenblatts

(sinT

2r² 71

(sin —

360°

e°

r (x₂ — xO (sin — sin

In Keihen entwickelt bis einschliesslich zur Ordnung ~

r (x2 xi) (“T

wird daraus

y₂³

6 r³

yi , yp\

Xi) (1

y₂³

6 r²

— (X2 —

xi) f(y₂

— yi)

ff* (y-2³ - yi³)]

(x₂ — xi) (y₂³ — yp),

- F₀--also Flächenverzerrung

F — F₀ - —    (x₂ — Xl) (y₂ — yt) (y₂² + y₂ y₂ + yx²)

"—TTrW + yi y₂ + yi²).

6 r²

Wir erkennen hieraus:

30 km

60 km

90 km um vF — 100 qm — 177 qm.

120 km

Die letztere Betrachtung führt zu

h) Lamberts isozylindrischer flächentreuer Z y 1 i n d e r-projektion, wenn man den Abstand der Parallelkreisbilder vom Äquator-, bezw. Hauptkreisbild nicht gleich dem zugehörigen Meridian- bezw. Ordinatenbogen, sondern gleich der Zonenhöhe r sin cp

bezw. r-siny£ macht, so dass die gegenseitigen Abstände dieser

Parallelkreisbilder nach dem Pol P bezw. Gegenpunkt G hin immer kleiner und schliesslich = 0 werden. Die Schnittlinien der verlängerten Meridian- und Parallelkreisebenen mit dem Berührungszylinder sind in diesem Fall die Abbildungen jener Linien.

Statt dessen kann man aber auch, um flächentreue Bilder zu erhalten:

c) nach der „Sanson-Flamsteed unecht zylindrischen

Fig. 260b.

Projektion“ die Meridianbogen ihrer wahren Grösse r. cp gleich belassen, ebenso aber auch den gegenseitigen Abstand d der Meridianbilder, analog der Bonneschen

Projektion, auf jedem Parallelkreis

o-

X*20° Ü’ 2Qe 40" GO⁶ 80“ 100" 120° 140" 160” „ U-r. jz

I s-

berechnen aus d =

— r-cos (p. Die Meridianbilder sind dann

symmetrisch zum geradlinig gezeichneten Mittelmeridian verlaufende, vom Bildpunkt ^3 des Pols ausgehende Kurven.

Die letztere Projektionsmethode wird in Atlanten angewandt zu Karten von Afrika, Südamerika etc.

Für manche Zwecke (Seeschiffahrt etc.) wichtiger, als die flächentreue ist aber die

da) konforme, oder winkeltreue zylindrische Abbildung, von Gerhard Kremer, genannt Merkator, (1512—1594) eingeführt und seit 1569 zur Darstellung von Weltkarten angewandt.

Diese „Merkatorprojektion“ behält die parallelen und geradlinigen, sich rechtwinklig schneidenden Meridian- und Parallelkreisbilder bei, verstreckt aber gewaltsam die Abstände der letzteren in demselben Verhältnis (r .AZ): (r. cos <p AZ) = 1 : cos <p, in welchem sich ohne unser Zutun ihre Länge (infolge paralleler, statt konvergenter Zeichnung der Meridiane) verstreckt. Die Parallelkreiszonen zu gleichen Breitenunterschieden werden in der Abbildung daher um so breiter, je nördlicher sie liegen. Das Bild des Pols ist die oo ferne Parallele. Die Flächenverzerrung ist gegenüber der einfachen Zylinderprojektion

eine erhebliche, und zwar um so mehr gesteigerte, je weiter entfernt die Fläche vom Grund-, oder Berührungskreis ist.

Für Flächendarstellungen nach der Merkatorprojektion ist also Beschränkung auf schmale Streifen geboten. Bequem ist aber diese Darstellungsart wegen der Winkeltreue namentlich für Seekarten.

Die kürzeste Verbindung zweier Erdorte ist zwar der Grosskreis (geodätische Linie). Er schneidet aber die Meridiane unter veränderlichem Winkel. Der Steuermann zieht den 2o.

Schiffskurs nach derjenigen Linie vor, welche die Meridiane unter konstantem Winkel schneidet. Diese Linie (die „Loxodrome“) ist auf den Merkatorkarten eine Gerade, deren Azimut der Karte entnommen werden kann.

Fig. 260 c.

80*

70'

iten 85

r-¹

V-

hifche Bre

40°

30°

eoqrap

2o*CD

ÄRuptir

10*

0*    20°    40°    60°    80°    100*    120*    140°

Geographifche Längen A

ß) Besonders wichtig ist die Winkeltreue (Konformität) für geodätische Arbeiten, weil es hiebei zumeist mehr auf genaue Winkel-, als auf genaue Strecken-, oder gar Flächenangaben ankommt. Überdies ist aber bei der Merkator-, im Gegensatz zur einfachen Zylinderprojektion die Strecken- und Flächenverzerrung von jedem Punkt des Plans aus nach allen Dichtungen gleich gross, also leicht zu berücksichtigen. Trotzdem wird man auch bei Anwendung dieser Projektion vermeiden, für die Darstellung irgendeines vom Erdäquator weit entfernten Landes den letzteren als Berührungskreis beizubehalten, und die verschieden starke Verzerrung etwa durch Einführung verschiedener Massstäbe zu berücksichtigen. Vielmehr dient zweckmässig (wie bei der Soldnersehen Methode) ein durch die Mitte des darzustellenden Gebiets ziehender Grosskreis (die Abszissenachse) als Berührungskreis, und der auf ihm senkrechte Erddurchmesser als Zylinderachse (querachsige, oder schiefachsige Projektion), womit die Querabstände, also die Verzerrungsbeträge auf ein Mindestmass herabgedrückt werden.

Die erstmalige Einführung dieser konformen Zylinderprojektion, deren sich u. a. auch die preussische Landesaufnahme bedient, in die Geodäsie erfolgte um 1820 bis 1830 in Hannover durch K. F. Gauss.

Von den sphärisch-rechtwinkligen Koordinaten der darzustellenden Punkte werden dabei die Abszissenwerte x = ^ r ohne weiteres

e

als ebene eingeführt. Die Ordinaten y = ~ r erleiden aber eine

Vergrösserung im oben angegebenen Verhältnis m

y²’

cos

¹    2 r²

in welchem die Parallelen zur x-Achse in der Abbildung dadurch verzerrt werden, dass die auf der Kugel konvergierenden Ordinaten-kreise auf dem Zylinder als Mantellinien, also in der Abwicklung parallel erscheinen.

Der Unterschied v" = (cp — gp₀)" zwischen sphärisch und eben berechneten Richtungswinkeln von durch ihre Endpunktskoordinaten bestimmten Strecken sinkt bei Anwendung dieser Gausssehen Projektion herab auf folgende Beträge (vergl. hiegegen S. 430):

Mittlere Ordinate y

30 km 40 km 60 km 80 km 100 km

500

0"

0,1"

0,1" 0,1"

0,1"

1000

0,1"

0,1"

0,2"

0,2"

0,3"

5000

0,4"

0,5"

0,8"

1"

1,3"

ist also für die Arbeiten der niederen Geodäsie bedeutungslos.

Kommenbei den Kartenwerken eines Landes verschiedenerlei Projektionsmethoden zur Anwendung, wie das häufig bei Katasterplänen einer-, und topographischen Karten anderseits zutrifft, und soll das nach der einen Methode gezeichnete Bild direkt (nötigenfalls verkleinert) auf das andere Kartenwerk übernommen werden, so sind unter Zugrundlegung der durch die angewandten Projektionsarten gegebenen Beziehungen zunächst die Koordinaten der Karteneck- und, zur Erreichung genügender Engmaschigkeit, nötigenfalls der Dreieckspunkte aus dem einen System ins andere umzurechnen. Nachdem diese Punkte unter Benützung ihrer umgeformten Werte in das zugehörige Kartenwerk eingezeichnet sind, kann dann die Einschaltung der noch weiter aufgenommenen und gezeichneten Einzelheiten zwischen sie herein auf mechanischem Weg erfolgen.

Die im vorstehenden des Zusammenhangs wegen kurz geschilderten Triangulierungsarbeiten bis herunter zu Dreiecksseiten, für welche die sphärischen Korrektionsglieder (Gl. 6 S. 408)

s — s₀ = (yi + yA yB + yi) cos² ?>,

und (Gl. 8 S. 408)

(<P ~ (Po") = v; =    [ix (2 yA+yB) -f

’A x . A y

(yi + yA yB -f yB)l

vernachlässigt werden können, samt der Umrechnung der dabei gewonnenen sphärischen Koordinaten in ebene gehören in das Gebiet der „höheren Geodäsie“. Die Einschaltung weiterer Dreieckspunkte, der engmaschigere Ausbau des Dreiecksnetzes, nach den Sätzen der ebenen Trigonometrie durch Dreiecke III., IV. etc. Ordnung, die „Kleintriangulierung“, der wir jetzt näher treten wollen, ist Sache der „niederen Geodäsie“.

Als grundlegende Aufgabe der

II. Kleintriangulierung

betrachten wir zunächst

§ 56. Die Beziehungen zwischen ebenen rechtwinkligen und Polarkoordinaten und die Berechnung von Kleinpunkts- und Bogenschnittkoordinaten.

a) Ist ein Punkt A in der Ebene durch seine rechtwinkligen Koordinaten xA und yA, und die Lage eines zweiten Punktes B durch seine Entfernung s von A und den Richtungswinkel cp *) gegeben, so erhält man die rechtwinkligen Koordinaten des Endpunktes B der Strecke s allgemein (s. Fig. 261) W aus:

Fig. 261.

+cr-n

fOC-n

Rechtwinklige, aus Polarkoordinaten.

B₄

l>-

2L

%4’¹'

o)j

XB = XA -j- S . COS9 | Formeln für die Berechnung reclitwink-

yB = yA 4" s • sin I

Sind umgekehrt die rechtwinkligen Koordinaten zweier Punkte A und B bekannt, so erhält man Länge und Richtungswinkel der Verbindungsstrecke AB aus Gleichungen (1) bezw.

-j Ax

\Ay = yB — yA = s. sinq>

liger, aus Polarkoordinaten.

(la)

XB — XA = S COS (p

durch Division

A y _ Yb —va

Xb — Xa

= tg (p

: tgn AB

(2) und durch Einsetzung xb —xA cos cp

JB—JA sin cp

COS cp

Formeln für die Berecli-

ligen

nung von Polar-, aus rechtwinkligen Koor- Koordinaten, dinaten.

x) Der „Richtungs“- oder „Neigungswinkel“ n AB = <p einer Strecke AB ist (s. S. 404) derjenige Winkel, um welchen man die durch deren Anfangspunkt A gezogene Parallele zur -j- x-Achse in positivem Sinn drehen muss, bis sie mit der Strecke zusammenfällt. Der Richtungswinkel n B A derselben Strecke in ihrem Endpunkt ist bei ebener Betrachtung (im Widerspruch zur sphärischen Behandlung S. 406) genau um 2 R davon verschieden.

Der Richtungswinkel cp ergibt sich aus Gleichung (2 a) zunächst zweideutig.

Er kann im I., oder im III. Quadranten liegen, wenn (yB — yA) und (xB — xA) gleiches Vorzeichen, im II., oder IV. Quadranten dagegen, wenn (yB — yA) und (xB — xA) ungleiches Vorzeichen haben. Denn im ersten Fall ist tg cp positiv, im zweiten negativ.

hat. Aus den dadurch bestimmten

das Vorzeichen von .

A

Merkregel für tg n A B und A B ’

,    Zähler

Endpunkt voran; s = —^—

Nenner

cos

Diese Doppeldeutigkeit wird gehoben durch die Betrachtung, dass die Strecke s absolut ist, also jedenfalls positiv erscheinen muss. Dies ist nach Gleichung 2b nur der Fall, wenn die Funktion sin cp cos cp

Vorzeichen von sin gp und von cos cp ergibt sich jetzt der Quadrant, in welchem der Richtungswinkel cp liegt, eindeutig, nämlich:

Das

Vorzeichen von yß — yA = Vorzeichen von sin cp

Vorzeichen von xb — xa = Vorzeichen von cos <p

weist tp in den Quadranten

II

III

IV

Bei der Berechnung von cp nach Gleichung 2 a wird in der

Tafel grundsätzlich zunächst die Funktion ^

ctg

nachdem tg cp = + und hernach erfolgt der Zuschlag von 1, 2 oder 3 R nach obiger Quadrantenregel.

Die Berechnung von s aus beiden Gleichungen

A y _ A x

COS (p

bietet keine sichere Gewähr für richtiges gp, d. h. gegen grobe Fehler in der Bildung von A x bezw. A y und ihren Log. Man wird sich daher nach einer besseren Rechenprobe umschauen, und überdies zur Ableitung von s nur diejenige von beiden Gleichungen verwenden, welche Abrundungsungenauigkeiten in log A x, log A y und log tg cp am ehesten unschädlich macht. Denn sowohl der berechnete Richtungswinkel gp ist (wenn auch vielleicht nur um Bruchteile von Sekunden), wie der log von A x und A y (letzterer bis zu ^ Einheit der letzten Log.-Stelle), durch Abrundung ungenau. Winkel-

Wert um so weniger, je

aufgeschlagen, je

(2 a)

sin go

ungenauigkeiten beeinflussen aber den

sin

cos

IR

näher der Winkel bei ^ liegt. Ungenauigkeiten in den Kathetenlog. (log A x und log A y) werden um so weniger verzerrt, je kleiner der

— ist, mit dem die Kathete zu multipli-

sm q> ’    r

zieren, d. li. je grösser letztere selbst ist. Zur Streckenberechnung wird man daher bei cp

Faktor

COS q)

bezw.

<R

COS

grundsätzlich den T~, d. h.

immer die in der Log. Tafel rechts stehende Funktion, und in Verbindung damit die grössere Koordinatendifferenz (Kathete) verwenden.

Beispiel¹) zu (1) und (2).

A.

E b e r h a u.

xA und yA

x = + 45312,94

y = —18784,88

B.

Weinbergpfad

Trauberg

Teufelsklinge

Xß

yu

Xß — XA

yB — yA

+    47318,96

19665,37

+ 2006,02 880,49

+    43912,12    +

—    18652,14

1400,82

+    132,74    +

44884,36

17312,86

428,58

1472,02

log (xB — XA) log cos n A B log sin n A B log (jb — yA)

CO 05

302335 961 742

CO CI

146 383 n 998 059 n

log ctg n A B log A B n AB

CM | O CO

944 724 n

AB

357 611 n 340593 373° 66' 91" 2191 m

CM H CO

123002

023 381 n 148324 193° 98' 54" 1407 m

CM Oi CO © CO

632 032 n

982 332 167 914

464118 n 185 582 118° 03' 66" 1533 m

Eine durchgreifende Rechenprobe für den Richtungswinkel cp vom Anschrieb der Koordinaten ab erhält man wie folgt:

tgy _ Yb —ya xb — xA

(tg + <p)

aus (2)

(3)4

1 + tgy _ - —tg <p

folgt

xb — xA + yB — yA

Xß — XA — yB + yA

(xB + yB) — (XA + Ja) (Xß — yB) — (xA — Ya) '

Merkregel: Der Zähler ist die Differenz der Koordinaten summen, der Nenner die Differenz der Koordinatendifferenzen, je mit Endpunkt voran.

In Anlehnung an die württembergische technische Katasteranweisung rechnen wir hier den Richtungswinkel <p statt nach Gleichung (2) mittels der daraus direkt sich ergebenden Formel:

ctg nAB =

xB —xA

yB —yA

A.

xA und yA

B.

XB + yB

xB — yß

Zähler

Nenner

log. Zähler log. Nenner

logtgß + nAß)

(l+nAB)

n. AB

Beispiel zu (3):

Eberhau.

Schiebz ettel:

(x.4 + yA) = +26528,06 (xa — yA) = +64097,82

x = +45312,94 y = —18784,88

Weinbergpfad

+    47318,96

19665,37

+ ++ +

27653,59

66984,33

1125,53

2886,51

3.051357 3.460374

9.590983

23° 66' 91"

373° 66' 91"

Trauberg

Teufelsklinge

+    43912,12

—    18652,14

+    44884,36

17312,86

25259,98

62564,26

27571,50

62197,22

1268,08 + 1533,56

3.103147n 3.185 701 n

9.917 446

243 ° 98' 54"

193° 98' 54"

b) Kleinpunktsbereclinung.

1043,44

1900,60

3.018467 3.278 891 n

9.739 576 n

168° 03' 67"

118° 03' 67"

Eine Vereinigung der beiden Aufgaben [Gleichungen (1) und (2)] liegt vor bei der Berechnung der Koordinaten für Punkte („Kleinpunkte“), welche in der geraden Verbindungsstrecke zweier ihren Koordinaten nach bekannter Punkte liegen und durch Streckenmessung bestimmt sind (s. Fig. 262), falls nicht kurzerhand Proportionalrechnung angewandt werden will (s. § 24 S. 169).

Fig. 262.

24

/ CC' *3/588,66 Vi >0    16551,3!

25

CC-+3/522,3.9 y- *16*70,76

Berechnung von cp und s.

Punkt N

i-

31588,66

16551,31

31522,39

16470,76

E sin cp E cos cp

A x = — 66,27 n — 24 — 25

A y = — 80,55 = 230 ° 33' 18"

Ix

1.90607 n 0.11225 n 0.19700 n 1.82132 n

Sbereclinet — 104,31 Sgemessen — 104,26 Differenz v

tgqp

0.08475

2.01832

+ 0,05

Punkt N

Strecke

£ 24

29,85

11,34

51,15

Berechnung von x und y.

log A x

log s

log A y

1.27824 n 1.47524 1.36299 n

0.85800 n 1.05500 0.94275 n

1.51202 n 1.70902 1.59677 n

+ 31588,66

+16551,31

-18,98

- 23,06

+ 31569,68

+16528,25

— 7,21

— 8,76

+ 31562,47

+16519,49

— 32,51

— 39,52

+ 31529,96

+ 16479,97

6 25

11,92

0.87928 n 1.07628 0.96403 n

— 7,57

— 9,21

+ 31522,39

+16470,76

[s] = | 104,26

c) Eine weitere Anwendung der Gleichungen (1) und (2) liegt vor bei der rechnerischen Bestimmung der Koordinaten eines durch Bogenschnitt aus zwei oder mehr bereits festgelegten anderen Punkten A, B. . bestimmten Punktes C.

Die zeichnerische Bestimmung des Schnittpunkts C zweier oder mehrerer Kreisbogen kann hier übergangen werden.

TL

Fig. 263.

— c—F

+3C=rv

Bogen

schnitt.

Rechnerisch kann sie

erfolgen:

man hat:

a) auf dem Umweg über die Winkel a und ß, für welche

1. Lösung.

bo

+3

CfQ

tC -öa tt> ö

\f (s — b) (s — c) _    1 A /(S

V s (s — a)    s — a V

— a) (s — b) (s — c)

Y-

— a) (s — c)

— a) (s — b) (s — c) ’

s (s — b)

wobei s =

Wurzel den Inkreishalbmesser vorstellt.

Aus den Koordinaten der Punkte A und B erhält man jetzt mittels Gleichung (2) den Richtungswinkel von A B und daraus diejenigen von AC und BC (s. Gleichung 4 des § 58): nAC — nAB — a

n B C = nBA + ß = nAB + 2R + /k Schliesslich liefert die Gleichung (1) die Koordinaten des Punktes C mit Rechenprobe, wenn die Rechnung sowohl von A, als von B aus erfolgt.

2. Lösung.

a -f- b -f- e

den halben Dreiecksumfang und die zweite

ß) auf dem Umweg über die Abschnitte p und q:

In den durch die Höhe h" auf AB gebildeten beiden rechtwinkligen Dreiecken ist:

h"² = a² — p² = b² — q²,

woraus

a² — b² = p² — q² = (p + q) (p — q) = c (p — q)

und

a² —b²

Nun haben wir:

a² — b² -f- c²

(Ö)

— a² + b² 4- c²

= Va² — p² = Y b² — q².

Proportionale Einrechnung liefert die Koordinaten des Fuss-

punktes F:

(G)

^ xF = XA -f -5- (xB — xA) = XB 4-    (xA — XB)

Iyf = Ya + ~ (}rB — Ja) = Yb +    (Ja — Yb)

Da die Höhe li" senkrecht steht auf A B, die zu ihr gehörigen Koordinatenunterschiede also proportional sind den verwechselten Koordinatenunterschieden von AB, so erhält man:

xc = xF + ^-(yB — yA) = xÄ + ^(xB — xÄ) + ^(yB — yÄ)

(V

= XB + Y (xA — XB) ± \ (Ya — Yb) h"    a    b"

yc = yF + y(xB —xA) = yA-l-^(yB—yA)±-(xB —xA)

= ys + -7 (yA—yB)(xA — xB).

Die Zweideutigkeit der Gleichungen (7) beseitigt man entweder durch Zuhilfenahme einer aufgetragenen Figur, oder durch Einführung von Vorzeichen für p, q und h" nach § 91.

y) auf halbgrapliischem Wege:

3. Lösung.

Man greift (wie in § 32 S. 259 ff.) eine der beiden gesuchten Koordinaten, z. B. x ab. Zu dem dadurch erlangten Näherungswert £c rechnet man die Ordi-naten 9 derjenigen Punkte, in denen die zum Abszissenwert £ gehörige Senkrechte zur x-Achse von den mit den gemessenen Strecken a bezw. b als Halbmessern um die Punkte B bezw. A beschriebenen Kreisbögen geschnitten wird (Ax)A = V"h²—^Ea², und t)c,a = 9a + 49a; 4 9b = Vai—A^B², und9c,B = Jb + A ^b)- Sind beide erhaltenen Ordinatenwerte einander gleich, so sind sie und der abgegriffene Abszissenwert £c richtig. Andernfalls beantwortet ihre Vergleichung mit dem Bild der Kreisbögen um A und B die Frage, ob das abgegriffene Abszissenmass £c zu gross, oder zu klein ist. Der Eintrag des Unterschieds 9c,a — 9c,b in grossem Massstab zwischen die beiden in C auf AC und B C errichteten Senkrechten liefert wie in § 32 die an gc» 9c, a, 9c, b anzubringenden Verbesserungen nach Richtung und Grösse.

Bequemer ist folgendes ebenfalls halbgraphische Verfahren:

Man greift beide Koordinaten des Punktes C ab und berechnet aus ihnen rückwärts die Strecken a und b mittels Gleichung (2), oder des pythagoräischen Lehrsatzes. Stimmen sie mit den gemessenen Sollwerten überein, so sind die abgegriffenen Koordinatenwerte £ und q richtig. Ergeben sie sich dagegen etwas abweichend (zu a und b), so trägt man

(8)

fa = a — a und fb = b — b

von C aus in grossem Massstab (etwa 1:10) auf a und b und zwar

auswärts

nach

einwärts

diesen Dreiecksseiten gefällten Lote, welche sich in Ci schneiden, stellen die Richtungen der Kreisbögen, die zur Strecke C Ci gehörigen, im verwendeten Massstab abzugreifenden Koordinatenunterschiede f¥ und fQ die an £c und pc anzubringenden Verbesserungen dar und man hat

ab, wenn f — + ist. Die in ihren Endpunkten auf

(9)

Sind die Entfernungen zwischen C und mehr als zwei Fest- B°sen-

u    schnitt aus

punkten gemessen worden, so schneiden sich die aus fa, fb . . . genau wie zuvor bestimmten Lote nicht in einem Punkt, sondern strecke«, bilden eine „fehlerzeigende Figur“. Die Auswahl des wahrscheinlichsten Punktes in ihr erfolgt in diesem Fall nach dem Verfahren des § 70.

§ 57. Verlegung von Dreieckspunkten (exzentrische Aufsteckung).

Es wird zuweilen infolge von Aufsteckungs-, Gelände-, oder Kulturhindernissen notwendig, einen dem trigonometrischen Punkt C benachbarten Nebenpunkt N statt des ersteren selbst als Ausgangspunkt für weitere geodätische Arbeiten zu benützen.

Zunächst sind dann und unter Zugrundelegung der Koordinaten von C diejenigen von N abzuleiten. Der einfachste Fall ist a) derjenige, in welchem die Aufsteckung (irgendwelcher Hindernisse wegen) um einige dm und zwar in nördlicher, südlicher, bezw. östlicher, oder westlicher Richtung entfernt bewirkt wurde. Hier ist die gemessene Exzentrizität e unter Berücksichtigung des Vorzeichens kurzerhand der Abszisse, bezw. Ordinate des Hauptpunktes zuzuschlagen.

Die Richtung selbst kann mit Hilfe einer Magnetnadel (Missweisung!), oder einer mit der Nordrichtung versehenen Karte genügend genau geprüft werden.

Fig. 264.

Ist die Exzentrizität e grösser, so wird man womöglich

\\

b) auf dem Hauptpunkt C den Winkel e zwischen ihr und der Rich-

tung nach einem entfernten anderen Signal B messen. Man hat dann allgemein gültig (s. Fig. 264): Richtungswinkel nCN = <pN = nCB-f-BCN = nCB + £i

wo tg n CB = jB~yc (s. § 56) xN = xc -j- e. cos n C N 3N = yc + e • sin n C N

Beispiel:

Gegeben die Koordinaten der trigonometrischen Punkte Waiblingen und Eisental.

Eisental musste exzentrisch aufgesteckt werden.

Gemessen die Exzentrizität e = Eisental C —Eisental N = 0,449 m; und der Winkel Waiblingen g — Eisental £— Eisental £ = 352° 00' = e.

->-ä

und

(s. § 56).

Gesucht die Koordinaten von Eisental, Nebenpunkt. Waiblingen

Stadtkirche B + 34576,68    + 19548,57

Eisental £ C -f 33700,08    + 19876,57

0,39    <5y = —0,21

A y 2.5159 n A x 2.9428

tg n C B 9.5731 n S x 9.5961

Eisental £ N + 33700,47    + 19876,36

nCB = 339⁰ 29' BCN = 352°00'

cosnCN 9.9438 4x=+    876,60 A y = — 328,00 0,449 = e 9.6523

sinnCN 9.6789 n

nCN = 331° 29'

Fig. 264 a.

/cTl

-e -

<5 y 9.3312 n

Ist c) die Winkelmessung im Signalpunkt C selbst nicht möglich (C unzugänglich, oder im dichten Wald, in Baumschulen etc. stehend) wohl aber im Nebenpunkt N, (dessen Stange

vorübergehend entfernt wird), so hat man allgemein gültig (s. Fig. 264 a): n C N = <pN = nCB-j-BCN = n C B + 2 R — y — algeb. d,

e sin y

, oder für kleines e — '• 6 =

wo sin (algeb. 6) = aus der Richtungszentrierung (s. § 45) sich ergibt.

0

Für kleines e wird daraus nCN = n C B + 2 R — y — — q sin y

+ Q sin y

und

xN = xc -f- e • cos n C N )

Yn = Jo + e . sinn CN )‘

Beispiel:

Gegeben die Koordinaten von Höhe $ und Galgen £. Galgen musste exzentrisch aufgesteckt werden.

1,074,

= 211° 48'.

Gemessen die Exzentrizität e = Galgen £— Galgen £ der Winkel Galgen $ — Galgen £ — Höhe =

Gesucht die Koordinaten von Galgen £ (Nebenpunkt).

Höhe £ B +34328,07 Galgen $ C +33518,96

—    48121,08

—    47108,94 <5x = +0,13 Sy = —1,07

A y 3.0052 n sin 0.1073n

hi

cos

A x 2.9080

Galgen £ N +33519,09

A x = +809,11 A y

— 47110,01 tgnCB 0.0972n s 3.1125 e 0.0310 9.7218 n 3.5363

-1012.14

nCB

— 1' = <5 0.1766 n S x 9.1075

308°.38' 148°*12' — algeb. d= +    1'

nCN = 276°51'

cosnCN 9.0765 e 0.0310

sin n C N 9.9969 n

Sy 0.0279n

Ist d) die direkte Messung der linearen Exzentrizität CN = e nicht möglich (C z. B. Kirchturm), der Nebenpunkt N aber zugänglich, so misst man eine Grundlinie

N A und in deren Endpunkten die Winkel a, v und y (s. Fig. 265). Man gewinnt dann n

c. sin a

Fig. 265.

%C

durch Rechnung, wodurch die

1/

sin (a + v)

Lösung auf die vorige zurückgeführt ist.

Diese Aufgabe des „Herunterbringens eines Festpunktes“ spielt namentlich beim Anschluss von Polygonzügen an unzugängliche Punkte (s. § 84 und 85) eine Rolle. Zum Schutz gegen die Folgen von Messungsfehlern wird man in wichtigeren Fällen zwei unabhängige, wo-

möglich von N ausgehende Grundlinien und zwei Winkel y nach verschiedenen Festpunkten B messen.

Fig. 266.

(h

Ist e) die direkte Zielung von N nach C unmöglich (C im dichten Wald), so verbindet man beide Punkte durch einen Polygonzug mit möglichst wenig Brechungspunkten, c dessen Seiten s und Brechungswinkel/? man misst (s. Fig. 266). Daraus gewinnt man dann durch Rechnung (s. § 87) die gerade Verbindungsstrecke NC und den Winkel zwischen ihr und der in N anschliessenden Polygonseite. Letzterer mit /?N zusammen liefert den Winkel y für die Anwendung des Falles (c).

Sind f) der trigonometrische Punkt C und der Nebenpunkt N zwar zugänglich, lässt sich aber in keinem von beiden der Theodolit aufstellen, so wählt man als Instrumentenstand einen benachbarten Punkt S, dessen Entfernungen a und b von C und N gemessen werden (s. Fig. 267).

Der Richtungswinkel nCN = (p (und möglicherweise auch die Exzentrizität e) muss in diesem Fall aus (bei wichtigen Fällen zwei) Hilfsdreiecken C S N abgeleitet werden.

Die Figur 267 liefert (bei der Vielgestaltigkeit der Fälle lohnt es sich kaum, allgemein gültige Bezeichnungen und Formeln einzuführen):

1. Strecke e und Winkel ß aus Dreieck CSN a -f- /? — 2 R — s

(a — b) sin “ ß

Fig. 267.

AN

/'S

’-N

tg-^N

(a + b) cos ^ ß

N"

\i

. a — ß sin—g

2. Den Winkel l aus Dreieck C S B

cos

.2

sin a / s \

wo s aus den Koordinaten von B und C zu berechnen ist

sind =

A = 2 R — (d -f- a).

3. Die Koordinaten von N

xN — xc -f- e cos (q) = n C N) = xc -f- e cos (n C B + A — ß) yN = yc + e sin (qp = nCN) = yc + e sin (nCB + A — ß)

Beispiel:

Gegeben die Koordinaten von £ Höllberg (B), und £ Anlage (C).

Aufgesteckt wurde statt £ Anlage (C) ein in dessen Nähe befindlicher Punkt N, auf welchem ebensowenig als auf Anlage selbst Winkel beobachtet werden konnten. Als Standpunkt diente vielmehr ein in der Nähe von C und N liegender Punkt S.

= 113° 68' 07" n. T. = £ — Stand — £

= 139° 49' 34" n. T. = £ — Stand—Höllberg.

bj

Gemessen wurde a = 39,21 b = 69,80 e = 87,05

von Anlage £ (N).

Gesucht sind die Koordinaten

$ Höllberg(B) +21214,29    +97402,57

£ Anlage (C) +20496,72    +97124,17

<5x = + 80,87 <5 y = + 32,20

£ Anlage (N) +20577,59    +97156,37

er P

4 x = + 717,57 4 y= +278,40 39,21 69,80

a + b = 109,01 a — b = — 30,59 a -{- ß = 200 — e

— 86° 31' 93"

43° 15' 97"

o 4-/?

“ —£ =-14° 14' 85" £

a — b

sm +

a + b a +/?

1.48558 n

A y 2.44467

9.79741

2.03747

sin

cos

0.03044

2.85586

cos

9.89146 tg n C B s = CB

a = 29°01' 12" ß = 57°30'82" a =139° 49' 34" 6 = 2° 63'97" ergänzt: A = 57° 86'69" n — Anlage £ — Höllberg = 23° 56' 15"

y = nCN = n^ = 24° 12'02"

. a — b Sln 2

cos

1.28299 n

9.34325 n

1.93975

9.98918

1.92893

9.35406 n

sin a

9.58881

2.88630

1.59340

9.91045

sin 8

8.61755

1.90780

cos (f

sin q>

9.96805

1.93975

6.56806

<*y

1.50781

Der Fall g), dass keiner der beiden Punkte, von denen wir die Koordinaten des einen kennen, des anderen suchen, zugänglich ist, tritt namentlich ein bei der Verwendung zweier, einander benachbarter Kirchtürme, oder Blitzableiter. Er ist behandelt in den §§75 und 78.

Koordinatenberechnung mittels Triangulierung.

i. Kleintriangulierung ohne Überbestimmung.

§ 58. Grundaufgabe: Berechnung der Koordinaten eines Neupunkts aus einem Dreieck auf Grund von Winkelmessung in den Festpunkten: „Vorwärtseinschnitt“.

Durch Triangulierungen höherer Ordnung, oder vorausgegangene Kleintriangulierungen mögen die ebenen Koordinaten einer Anzahl von auf dem Gelände versicherten Festpunkten gewonnen worden sein. Auf Grund von Winkelmessungen, welche je auf benachbarten Festpunkten ausgeführt wurden, sollen die Koordinaten weiterer, auf dem Gelände gegebener „Neupunkte" berechnet werden. Diese Aufgabe der „Punkteinschaltung“, bei welcher im Gegensatz zu dem in §§ 46 bis 50 und 54 berührten Verfahren der „Netzeinschaltung“ immer ein Punkt nach dem anderen berechnet wird, um dann sofort als Festpunkt für die Bestimmung des nächsten Neupunktes zu dienen (vergl. auch § 62), tritt sehr häufig auf. Es lohnt sich daher, auch im Hinblick auf tabellarische Anordnung der Rechnung, allgemein gültige Bezeichnungen und Formeln aufzustellen:

Stellen wir uns in die Verbindungsstrecke A B der zu benützenden Festpunkte (Grundlinie) und blicken nach dem Neupunkt C, so haben wir links den Festpunkt A, rechts den Festpunkt B. Die Seiten und . Winkel des Dreiecks werden wie üb-B lieh mit a, b, c, a, /3, y bezeichnet.

Fig. 268.

'/>P

\\

-A

<A

— c —

Man hat dann allgemein gültig:

(1)

y — 2 R — (a -J- ß)

_ yB —yA .

{2)

Xb — XA ’

nBA = nAB + 2R

AB = c

AC = b =

sin n A B cos n A B AB

(3)

BC = a

sin y AB

sin ß

sin y

sin a

(4)

nAC = nAB-j-BAC = nAB — a nBC = nBA + ABC = nBA + /3

xc = xA -f AC cos nAC = xB BC cos nBC yc = yA + A C sin n A C = yB -f- B C sin n B C.

Allgemeiner Fall.

Fig. 269.

tc

■4*

fr

Die Annahme in Fig. 268, wonach die Richtung AB bezw. B A in beiden Endpunkten beobachtet wurde, ist nicht notwendig. Sie bildet nur einen speziellen Fall. Allgemein ist die Lage des Neupunktes C bestimmt, sobald die Winkel gemessen werden zwischen den Neustrahlen A C bezw. B C und irgendwelchen Feststrahlen A Q und BR.

Man hat dann:

(4)

n A C = nAQ-f-QAC nBC = nBR-f-RBC

und rückwärts

(6)

CAB = nAB-nAC ABC = nBC — nBA.

Hiemit geht dann die Rechnung mit Formeln (2) und (4) weiter, wie zuvor.

Rechen

proben.

Die Übereinstimmung der aus Gleichungen (5) doppelt berechneten Neupunktskoordinaten bildet eine durchgreifende Probe für die richtige Auswertung der Gleichungen (3) bis (5).

Eine rechnerische Zwischenprobe hiefür ergibt sich aus: y = 2R — (a -{- ß) = nCA — nCB = nAC — nBC.

Eine Probe für die richtige Ausmittelung von Gleichung (1) liefert die Benützung von Gleichung (3) des § 56.

Ist einer der beiden Festpunkte, z. B. A, unzugänglich, der zweite nötige Dreieckswinkel dagegen im Neupunkt C gemessen: „Seitwärts abschneiden“, so ändert dies an der rechnerischen Behandlung nur das, dass statt des Winkels y der Winkel a durch Ergänzung zur Dreieckswinkelsumme berechnet wird.

Sind als erste Messungsprobe alle drei Winkel des Dreiecks gemessen, ist also Überbestimmung vorhanden, so wird die etwaige Abweichung gegen den Sollbetrag 2 R, falls sie innerhalb zulässiger Grenzen bleibt, auf die Dreieckswinkel zu gleichen Teilen verteilt. —

Bei jeder stufenweise auszuführenden Vermessungsarbeit, bei welcher ein Genauigkeitsuntersuchung.

einmal gewonnenes Ergebnis die Grundlage für die nächste Operation bildet, muss ersteres, auch wenn es nicht völlig frei von kleinen Ungenauigkeiten sein sollte, unabänderlich feststehen, ehe die nächste Arbeit darauf gegründet wird.

Wir werden daher die Koordinaten der benützten Festpunkte künftig immer als fehlerfrei voraussetzen, sofern sich nicht ein grober Fehler in ihnen

grössten kleinsten

der Kreisform um so näher kommt (Bestimmungsunsicherheit nach allen Seiten gleich), je näher AC BC und Winkel y ~ R.

Bestimmungsunsicherheit anzeigt und welche

Winkel:

nachw eisen lässt (in welchem Fall die Neubestimmung mit den ursprünglichen, nötigenfalls verbesserten Grundlagen erfolgen müsste). Alle bei einer trigonometrischen Berechnung etwa auftretenden kleinen Widersprüche sind wir dadurch genötigt, wenn auch u. U. zu Unrecht, auf Ungenauigkeiten in der Messung der Dreieckswinkel zurückzuführen. Nun werden kleine mittlere Fehler p in der Messung dieser Winkel die Lage des Neupunkts C um so weniger beeinflussen, je mehr der Winkel y beim Neupunkt sich 1 R nähert und je kürzer die Strecken A C und B C sind. Denkt man sich z. B. die Winkel a und ß an der Grundlinie um wechselnde kleine Beträge derart geändert, dass die Quadratsumme der Änderung konstant 2 fi² beträgt, so bewegt sich der Neupunkt

auf einer geschlossenen Kurve, der „Fehlerellipse“ (s. Fig. 268), deren    Halb

achse die Richtung der

Beispiel.

Gegeben: Egart £ —43215,31    -j- 51784,92

Halde £ — 42384,91 + 51415,04.

Gemessene Neupunkt 2 — Egart — Halde = 43° 31' 12" n. T.

Egart — Halde — Neupunkt 2 = 62° 05' 19" „ „ Gesucht:    Die Koordinaten von Neupunkt 2.

Bezeichnung der Punkte

Winkel

reduziert ^s.

log-Berechnung

Abszissen

Ordinaten

//

+1

+1

AC

A No. 1 nAC nAB

754 95 330 01 373 32

17

29

A: Egart C: Neupunkt2 B: Halde

43 31

94 63

62 05

12 31

69

19 05

A B E sin y

cosn A C

12 AC sinn A C

Summe

200 00

00

19 sin ß — AB:siny sin a

COtOCOlffiWOlOtO

958 588 001 543

657 204 877 919 949 840

917 788 960 131 798 685

2.535123

2.827759

Ix

03

t>s ;

S 3    £

(N CO    CO

I    CO    03

tfr. I    ~3    I—¹

+ 11 +

51:784

92

672

60

51112

32

A B aus A No.

173

32

29

cosnB C

235

37

48

BC

BC

573 87

sin n B C

CO tsS CO

929 189 758 816 722 230

n 2.688005 q

'—I CO r* Ol |Q I tp

+ 11 +

51

415 04 302 72

51

112

32

n 2.481046

yß —ya = —369,88

4y

2.568061 n

cos

0.039301

2.919287

9.648774 n 2.958588

sin

xb — xA = + 830,40 nAB = 373° 32'29" tgnAB

AB

Zur Ausrechnung auf S. 448:

anspruchen. Für alle Kleintriangulierungen ^s

> 500 m < 5000 m

Zur Auswertung der Gleichungen (2) bis (5) verwendet man zumeist Logarithmen. Diese müssen mindestens ebensoviele Mantissenstellen liefern, als die vorkommenden Strecken Ziffern befind also,

wenn Zentimeter-Rechengenauigkeit verlangt wird, ßstellige Tafeln genügend, aber auch nötig.

Die eigentliche Koordinatenberechnung kann jedoch auch mit (z. B. Defertschen) Koordinatentafeln ausgeführt werden. (Die Rechenmaschine wird alle anderen Hilfsmittel verdrängen, wenn es dereinst gelingen sollte, sie für die Berechnung mit goniometrischen Funktionen bei blosser Winkeleinstellung geeignet zu machen.)

Trigonometrische Punktbestimmung auf Grund von nur im Neupunkt ausgeführten Winkelbeobachtungen.

§ 59. „Rückwärtseinschnitt“. (Snelliussche, oder Pothenotsche

Vierecksaufgabe.)

Ist die Winkelbeobachtung auf den gegebenen Festpunkten unmöglich, oder will sie erspart werden, so ist die Lage eines Neupunkts auch bestimmt durch zwei Winkel, welche die Strahlen von ihm nach drei gegebenen Festpunkten miteinander einschliessen.

Denn jeder von diesen Winkeln bestimmt einen Kreis, welcher über der Verbindungsstrecke der zwei zugehörigen und angezielten Festpunkte als Sehne den Winkel „fasst“. Der Schnittpunkt der so bestimmten beiden geometrischen Örter (Kreise) ist der Neupunkt (s. Fig. 271).

Auch diese Aufgabe tritt in der Vermessungspraxis sehr häufig auf, weshalb es sich lohnt, zum Zweck ihrer Durchführung in Formularen allgemeine Bezeichnungen und Formeln aufzustellen. Hiezu werden die drei gegebenen Punkte durch zwei Strecken so miteinander verbunden, dass die letzteren die Grundlinien zweier nebeneinander liegender Dreiecke bilden, welche den Neupunkt als gemeinsame Spitze haben. Stellt man sich dann im mittleren der drei Festpunkte auf und blickt nach dem Neupunkt, so hat man das Dreieck I links, das Dreieck II rechts.

Die Bezeichnung der einzelnen Stücke jedes dieser Dreiecke folgt der Regel des § 58. Speziell heissen die gemessenen Dreieckswinkel yi und y₂-

Weitbrecht, Vermessungskunde.

Von den verschiedenen Lösungen dieser Aufgabe hat die ganz symmetrisch sich auf bauende „Burckhardtsche“ die ausgedehnteste Verbreitung gefunden:

Die Summe der beiden Dreieckswinkel im mittleren Festpunkt lässt sich als Unterschied zweier Richtungswinkel berechnen. Also kann man mit Benützung der gemessenen Winkel y auch die Summe der an den beiden anderen Festpunkten liegenden Dreieckswinkel durch Ergänzung zur Viereckswinkelsumme gewinnen. Um ihre Differenz zu finden, drückt man die den beiden Dreiecken gemeinsame Seite in den Stücken jedes Dreiecks aus. Die entstehenden Gleichungen liefern dann zur bekannten Summe noch das sin-Ver-hältnis beider Winkel und damit diese selbst.

Hienach hat man allgemein gültig:

a₂ -j~ ßi

u 1 + ^2 = ^ R — (yi + 72) — («2 + ßi)-

(1)

A,

Fig. 270.

A,

.9*2

B,/*?

A&?)

%c

W B,

r~W-

JZ

h:

B?

B₂

hA,

Ai (Bx A₂) B₂ — n A₂ B₂ — n Bi Aj

(2)

Nun ist

Bi Ci = A₂ C₂ ■= —• sin ßi —

a₂ b₂

sin y₂

sin ß₂,

woraus:

(3)

sin ß₂ Ax BJsin y₁ 2 rx

sin aj    A₂ B₂/sin y₂    2 r₂

= tgX,

wobei 15 und r₂ die Radien der einleitend aufgeführten geometrischen Örter (Umkreise), und X einen Hilfswinkel vorstellen.

Durch korrespondierende Addition und Subtraktion erhält man

aus (3)

sin ax sin ß₂

2 sin

a\ + ß-2

al_§2_

sin a, — sin ß₂

2 cos    -sin

_ 1 -h tg A

ßa_ 1 — tg/i

oder (4)

*(£-■*) tg—t—•

ßi — 2 E — («i “h 7i) a₂ — 2 R — (ß₂ -j- y₂), womit die Aufgabe auf den „Vorwärtseinschnitt“ (s. § 58) zurückgeführt ist.

und (6)

Formeldiskussion

Die Gleichungen (1) und (2) liefern die entsprechenden Winkel- Lösungen.6 werte eindeutig und geben zu weiteren Untersuchungen zunächst keine Veranlassung.

Dagegen lässt die Substitutionsgleichung (3) tg X —

Formeldiskussion.

Aj Bi/sin yt

Nun ergeben sich die nicht gemessenen Dreiecks

wink e 1:

(5)

(    _ «i + ß% I «i — ß%

\ 2 ' 2

al + ß-2

«1 — ^2

A₂ B₂/sin y₂

zweierlei Werte für X zu. Unter allen Umständen ist tg X positiv (weil y Dreieckswinkel). Damit kann aber X ebensogut im I., wie im III. Quadranten liegen [tg/1 = (tg 2 R-|->1)]! Nun benützt man aber diesen Hilfswinkel X im weiteren nur noch in Gleichung (4), und zwar in der Verbindung von tg ^ — Xj. Beachten wir deshalb, dass

so finden wir, dass es völlig gleichgültig ist, welchen der beiden möglichen Werte für X man verwendet. Man kann daher der Einfachheit wegen ein für allemal festsetzen: X liegt im I. Quadranten (ist ein spitzer Winkel).

In Gleichung (3) kann sein

Ax Bi

sin yi

2r>) (■

und dementsprechend tg X ^ 1

A!lV «ö

A₂ b₂

£ AilV

2 r₂),

Damit wird in Gleich-

ung

R    ( negativer spitzer)

(4)    ein ]zu 0 gewordener > Winkel, also tg — x)

(positiver spitzer )    \2 j

unter allen Umständen positiv ist («j und ß%

und, weil tg

sind Dreieckswinkel, ihre Summe also < 2 R), tg Für tg^~^~ = o wird

= 0 oder 2 R.

negativ

positiv

Als halber Unterschied zweier Dreieckswinkel ist aber dieser

unter allen Umständen als positiven, oder negativen spitzen Winkel.

2. Lösung.

Winkelwert unter allen Umständen < R, folglich liefert Gleichung (4)

«i — ßs

Aus Fig. 271 ergibt sich noch eine weitere Lösung durch Benützung der beiden Punkte 1 und 2, in denen die Lote auf den Grundlinien die Kreise M, und M₂ schneiden (und deren Koordinaten durch Yorwärtseinschnitt aus ihnen berechnet werden können). Verbindet man beide Punkte mit C, so entstehen zwei Kreisvierecke AB (1 oder 2) C, in denen jje der Winkel bei C = R ist.

Folglich ist C der Fusspunkt des Lots auf der Geraden 1—2 nach B,.

Seine Lage ist um so sicherer bestimmt, je kürzer C Bt im Verhältnis zur Strecke 1—2, oder je kürzer 1—2 im Verhältnis zur Strecke CB* ist.

Eine dritte Lösung mit Benützung des Collinschen Punktes s. unten.

Spezielle Fälle. Liegt der Neupunkt auf der Verbindungsgeraden zweier Festpunkte (yt -f- y₂ = 2R), so lassen sich die beiden Dreieckswinkel ay und ß₂ als Differenz je zweier aus den gegebenen Koordinaten berechneter Richtungswinkel und die Winkel ßy und a₂ durch Ergänzung je zur Dreieckswinkelsumme gewinnen. Damit ist die Aufgabe auf diejenige des § 58 zurückgeführt.

(Stehen nur zwei Festpunkte zur Verfügung, so kann man unter Umständen als dritten, mittleren, den oo fernen Polarstern benützen. Die gemessenen Winkel yt und y₂ stellen in diesem Fall (nach erfolgter Verbesserung um den Einfluss des Stundenwinkels des Polarsterns im Augenblick der Beobachtung) die Azimute der Neustrahlen C Ax und C B₂ vor. Durch Addition bezw. Subtraktion des Winkels zwischen Meridian und Paralleler zur Abszissenachse erhält man ihre Richtungswinkel, wodurch die Aufgabe auf diejenige des Vorwärtseinschnitts aus den Punkten B₂ und A: zurückgeführt ist.

Liegt in diesem Fall C in der Geraden Ax B₂, so ist die Aufgabe unbestimmt.

R)

3R,;

Der letztere Wert ist als halber Unterschied zweier Dreieckswinkel unmöglich. Also kann in diesem Fall nur ax = ß₂ sein.

Auch für jeden der beiden anderen Fälle besteht zunächst Doppeldeutigkeit, denn:

t «i-fo negativ °    2 positiv

liefert ₂ ^

II. oder IV. Quadranten im

III.

Die beste Lösung liefert y₁ -f- y₂ =

Für die Bestimmungsgenauigkeit günstigste, bezw. ungünstigste Punktlage.

Am anschaulichsten wird die Untersuchung auf geometrischem

Weg:

Wie einleitend bemerkt, ist der Neupunkt C der Schnittpunkt der beiden Kreise, welche über den Sehnen cx bezw. c₂ die Winkel yx bezw. y2 fassen.

Fig. 271.

M₂

gv-'

2\~

\---%Al

Die Koordinaten der Festpunkte wieder als ß?\ fehlerfrei vorausgesetzt, ist also C um so genauer \ bestimmt, je genauer diese Winkel gemessen sind.

Denn sie bestimmen die Radien und die Mittelpunkte, also die Lage der Schnittkreise.

= 2 r; xM = xA + r cos jn A B + (R — y)|\

Ym = Ya F r sin jn A B + (R — y)\/

Kleine Fehler in y beeinflussen sin y, also 2 r um so mehr, je kleiner y ist. Am genausten wird r erhalten für yx = 72 = R.

Kleine Fehler in den Radien und Mittelpunktslagen der Kreise vorausgesetzt, ist aber der Punkt C um so genauer bestimmt, je kürzer die zu seiner Bestimmung verwendeten Kreisbogenstücke von den nächstgelegenen Festpunkten aus sind und je senkrechter sie sich schneiden.

Daraus folgt:

1. C soll bei gespreizter Lage der Grundlinie möglichst nahe der mittleren, bei geschlossener Lage der ersteren möglichst nahe den beiden äusseren Festpunkten liegen.

2. Wenn, der oben gestellten Forderung entsprechend, die beiden Bögen, also auch ihre Radien, nach dem Neupunkt sich senkrecht schneiden würden, so wäre Mi Bi M₂ C ein Kreisviereck, also die Summe der Zentriwinkel für die Sehne Bx C = 2 R. Da ax und ß₂ die zugehörigen Peripheriewinkel sind, so erstreben wir also:

fli ~t~ ßz ~ R

und in Verbindung mit der Untersuchung oben:

ßi ~f~ 0^2 ~ R^ yi + y₂ ~ 2 R.

Im entgegengesetzten extremen Fall (ax -f- ß₂ '= 2 R) fallen beide Bestimmungskreise zusammen, die drei Festpunkte und der Neupunkt liegen auf einem Kreisviereck und der Neu-

3. Lösung.

punkt kann auf dem Bogenstück Ai B₂ jede beliebige Lage annehmen. Er ist unbestimmt.

Einen weiteren Einblick in die Bestimmungsgenauigkeit liefert die Lösung der Aufgabe mit Benützung des „Collinschen“ Punktes Q.

Denkt man sich um die beiden äusseren Festpunkte und den Neupunkt einen Kreis beschrieben und den Zielstrahl C Bx bis zum

Schnitt Q mit ihm verlängert (s. Fig. 272), so lassen sich wegen der Gleichheit der auf gleichen Bögen stehenden Peripheriewinkel die Koordinaten dieses Punktes Q aus der Basis B₂ Ai durch Vorwärtseinschnitt ermitteln. Der hier-

Fig. 272.

S Mb, \

oMJ

aus berechnete Richtungswinkel n Q Bx Addition

= n Bi C liefert durch

von

Subtraktion y2 zum Richtungswinkel vom mittleren, auch

n Ax C

noch die Richtungswinkel

n B₂ C

von den

äusseren Festpunkten zum Neupunkt.

Zur Bestimmung der Koordinaten von C hat man also jetzt lediglich wieder einen Vorwärtseinschnitt aus der Grundlinie Ai Bi, oder A₂B₂ auszuführen.

Diese auch rechnerisch gut verwendbare Lösung zeigt deutlich, dass die Lage des Neupunkts C auf dem Kreisbogen Ai C B2 lediglich durch Verlängerung eines Zeigers Q Bx bestimmt wird. Je kürzer dessen Stützpunktsentfernung, und je unsicherer die Lage von Q namentlich in der Richtung _l Q C ist, um so unsicherer ist die Bestimmung des Neupunktes. Für QBi = 0 (Festpunkte und Neupunkt auf einem Kreis) wird die Lösung unbestimmt. Ein spitzer Winkel bei Q (yi + y₂ ~ 2 R) ist für die Richtung Q Bi, also für die Bestimmung von C ungefährlich, nicht aber ein stumpfer (yi + 72 - 0).

Rechen

proben.

Rechen proben. Für die Ausrechnung hat man folgende Zwischen- und Endproben:

1.    müssen die Richtungswinkel n Bx C und n A₂ C sich gleich ergeben,

2.    muss in jedem der beiden Dreiecke sein: nAC — nBC = y,

3.    muss die Länge der gemeinschaftlichen Seite in beiden Dreiecken gleich erscheinen: Bj C = A₂ C,

4.    müssen die Koordinaten für C aus beiden Dreiecken miteinander übereinstimmen.

Beispiel.

Gegeben die Koordinaten von Dürrmenz -(-46725,34 — 15478,06,

Platte + 45145,41 — 15157,67, Wasserhalde + 45778,89 — 14994,20.

= 29° 58'58".

Gemessen die Winkel Dürrmenz—Stäffelen—Wasserhalde = 135° 49'40", Wasserhalde—Stäffelen-Platte Gesucht die Koordinaten des Neupunkts: „Stäffelen“.

Berechnung s. S. 456.

§ 60. Aufgabe der zwei unzugänglichen Punkte.

(Hansensche Aufgabe.)

Stehen zur Bestimmung eines Neupunktes Ci nur zwei Festpunkte Pi und P₂ zur Verfügung, welche dazu noch unzugänglich sind, so lässt sich von den drei Dreieckswinkeln nur der einzige in Ci messen. Dieser Winkel Pi Ci P₂ genügt zur Bestimmung der Lage von Ci natürlich nicht. Er bestimmt nur einen Kreis über der Sehne Pa P₂ als einzigen geometrischen Ort für Cj. Wählt man aber noch einen zweiten beliebigen Punkt C₂, den man von Ci aus, und von dem aus man sowohl Cb, als auch die beiden Festpunkte anzielen kann und misst in Cx und C₂ die Winkel yx‘ und y₂' bezw. yF' und y₂" (s. Fig. 273), so sind in dem fraglichen Viereck fünf unabhängige Stücke bekannt, letzteres ist also bestimmt.

c,

Fig. 273.

c₂

%p₂

p,%

??

-}p₂

«i.

.vrC

i" n

| 1V2/

c,

-e-

C₂

C,

p₂

c₂

Die allgemeine Lösung analog der Burckhardtschen in § 59 gestattet unter Einführung allgemeiner Bezeichnungen die Anwendung vorgedruckter Formularien und den Verzicht auf eine Figur.

Wir verwenden jedoch, da die Aufgabe selten vorkommt, und gleichzeitig als Vorbereitung für eine spätere Betrachtung (s. § 77) die. „Lösung mittels der fingierten Entfernung“:

Trägt man in den Endpunkten einer beliebigen Strecke ©1 (£₂ x- Lösung, die gemessenen Winkel y in derselben Lage an, die sie in Wirk-

(M 05    | rH

Beispiel zu Seite 455.

© © Tf< O 05 rH

¹¹

Ordinaten

lO o

rH C0

in

405

IO

rH X 05

t—I    lO

r* O 05 1> 05

465

IC

14 994

X CM L— rH

-t

lO

15 465

438

666

733

705

732

720

420

098

622 |

518

fl

»<°

05    05

X l> iO

05

X

m <1 °

Tfi KO 05 X !> IO

Abszissen

IO CO rf 05 rH O

238

X 05

\<o

rH

238

778

io CD Dl 00

L— -H

2: is

'S bß co „2

"fl

fl

Yb — Ya E sin n A B E cos n A B xB — xA

tg n A B

AB

Yb —Ya E sin n A B E cos n A B xB — xA

tg n A B

AB

lO rH X rtf    r*

Ax

Ax

- xV

9f + y

9f +    0

- xV

94 + a

47

48

© © © hH

cc

bo

fl

-4-3

163

633

00

Dl

CO CD

oo -rf

Ol

4-+

iü

3.038691

2.487815 n

2.662471

2.672970 n

05

fl

fl

n 2.687313 n

1.111215

PS

Yb — Ya XB — XA

AB

PQ

732

256

iCOiOO |1>X^ CM05H CO (M 05 C0 00 rH t^05t-;^^UOi(M05C0 M(MCO

518

881

299¹

t" © 11- t- © © © © © hH © hH

© © © co

vo 1—I | © i© © © © 1—I 1# ® 1# rH © j© IO © ©rH© TU rH lO © © !© © Hf ©Hl> ©©©

026

156

(MO 05 CO 05 05 C0 05 05CM05

CO o

2 I 818

©

© © © © © cq © 1-1 vo © ©

AB E sin y cos n A C AC sin n A C sin ß

A B : sin y sin a

cos n B C

BC

sin n B C

AB E sin y cos n A C AC sin n A C sin ß

A B : sin y sin a

cos n B C B C sin n B C

4 Mittel aus den beiden n A B Bestimmungen 2.818302 und 2.818296.

Yb — Ya xb — xA

11AB 1332 155 20

fl

Winkel

reduziert I gemess.

tt

ft

Bezeichnung der Punkte

X

io

988

399

05 (M CO C0 05 co

io JO (M

fl

CO CO

T-H 00

rH t—I

C0 (M CO CO 00 (M 05 00 l>

605 855

'S

CO CO

05 X 05

00

^ r^ o 05 05 rH rH CO CM <

X    rH

nAC n A B

I *°N V

A: Platte C: Stäffelen B: Wasserhalde

Summe 180

*s

n B A 194 n B C 314

n A C 314 n A B 332

A No. 2

00 »O IO H M N

3    N«3.

A: Wasserhalde C: Stäffelen B: Dürrmenz

HO

Summe

CM X io

rH rH

II

'Cf

rfl

(V — *») 7t 3}

(V + T») 7i si

(r — h 7i) rsi

7C uis : zg zy U uis : Tg Ty

O CO O ^ CM

r—I rH

Yi + 72 A + a2

al + ß%

7a K — Ä

72 («1 + £2)

(V — T») 7i

io p-^ oi

O X rH X

O 10 X <M

T-l <N

ö <5.

lichkeit gegenüber der Strecke Cx C₂ einnehmen, so bilden die Schenkel und ihre Schnittpunkte eine, dem auf dem Gelände faktisch vorhandenen Viereck Cb Pi C₂ P₂ ähnliche Figur (£x ^ (£₂ ^$₂, deren sämtliche Strecken den entsprechenden im Gelände proportional und nur um einen bestimmten Winkel co verdreht erscheinen.

Wenn also die Länge und der Richtungswinkel irgendeiner Strecke, z. B. Pi P₂ bezw. ^ ^3₂ in beiden Figuren ermittelt wird,

den Proportionalitätsfaktor für die Umwand-

so stellt q =

W

4h 4*₂

lung und co = n Px P₂— y ^ s^₂ den Verdrehungswinkel für die Orientierung der Seiten in der ähnlichen Hilfsfigur Gj ißi G₂ iß₂ vor.

Um die tatsächliche Länge und Richtung der im Gelände von den Fest- nach den Neupunkten gehenden Strahlen zu finden, braucht man nur die in der Hilfsfigur errechneten, bezw. angenommenen

mit q zu multiplizieren um o) zu vergrössern

homologen

Strecken-

Richtungswinkelergibt sich folgende Lösung:

werte

Hieraus

1. Rechnung an der Hilfsfigur.

a)    Wahl eines der Neupunkte (G^. oder G₂) als Ursprung und ihrer beider Verbindungsstrecke als y-Achse eines Koordinatensystems. Annahme eines beliebigen (im Interesse bequemer Rechnung namentlich bezüglich der Stellenzahl der wirklichen Entfernung möglichst angenäherten) Streckenwertes e — (V (S₂.

b)    Koordinierung der zu beiden Festpunkten Pa und P₂ homologen Punkte ißi und ^$₂ auf die unter (a) gewählte y-Achse je mittels Vorwärtseinschnitts unter Benützung der gemessenen Winkel y und Berechnung des Richtungswinkels y ißx ^ß₂ und der Strecke $ßx $ß₂.

2. Rechnung an der wirklichen Figur.

c)    Berechnung des Richtungswinkels n Pi P₂ und der Strecke Pi P₂ aus den gegebenen Landesvermessungskoordinaten von Px und P₂.

d)    Bildung des

4h 4*2

Proportionalitätsfaktors q =

oder und des

log q = log Px P₂ — log iß₂

Verdrehungswinkels co = n Px P₂ — y ^Ax $ß₂.

Bezeichnung der Punkte

Winkel

reduziert gemess.

log-Berechnung

Abszissen

Ordinaten

Richtungswinkel- und Seitenberechnung

//

//

I. Rechnung an der Hilfsfigur (mit @₂ als Ursprung, der Richtung ©₂ gx als j-Achse und eines angenommenen Masses von 1500 m als Strecke g₂ ©J.

log

A No. l

nAC n A B

358

A: Neupunkt ß2 C: Riedlingen ^ B: Neupunkt ©x

41

109

49

Summe

200

O S 00    00 O £

27

00

73

15

12

00

n B A 200 00 00 n B C 249 13 12

08 73

13 12

E sin y

cos nAC AC sin n A C sin ß

A B : sin y sin ü

cos n B C

BC

sin n B C

co ©

co oc co | CO 00 co

176

005

902

024

779

843

181

779

091

147

471

714

247 n

U-“ CO '"T ^ CM CM

2.927185

2.803961n

Ax +

0 000 00 845 64

0 000 00

845 64

B + 1 500 00 Ax-

654 36

Ay

Ay

636 74 t)jp₂ —

E<P* — EVi

636 74

0 000 00 636 74

1342

449

^1 o

ÖS ÖS

9sp₂ — 9%    ³

E sin g 5ßx iß₂ 0 Ecosj^ iß2 Ssp, — 5%    2

127 773 023 113

652 981 n

5.s

60 tg J

Vl &

© co

474 792 n 150 886

A No. 2

n A C 163 n A B 200

A: Neupunkt (Sj C: Neufra i)32 B: Neupunkt @₂

36

Ol CO <1 Ol

Summe 200

n B A 0 n B C 67

8 ns 82

03

00

97

18

97

14

89

00

00

89

AB E sin y

cos nAC A C sin nAC

43

89

sin ß

AB: sin y sin a

cos n B C BC sin n B C

OICMOI COO OICOOI OICOOI

855 332 n 960 485 843 476 n

2.815817 n

2.803961 n

176

091

845 64

636 74

000

925

117

731

940

176

731

706

687 n

327

057

530

797

057

3.043014n

2.848384

A + 1 -500 00 1 104 12

Ax

Ax +

A — 0 000 00 A y +    705 32

395 88

0 000 00 395 88

C. +    705 32

B — 0 000 00 Ay +    705 32

co to co

689

907

940

716

854

530

2.597569

395 88

705 32

2.848384

A No. 3

nAC n AB

II. endgültige Rechnung. 37 36 79

cos nAC

AC

A: Riedlingen Px C: Neupunkt Cx B: Neufra P₂

sin n A C

ÖS Ol ÖS

920 447 903 229 743 387

2.823676

2.646617

A — 48 512 Ax +    666

C — 47 846

85 32

09 32

09

cos n B C

352 04

70

sin n B C

oi co oi

863 010 060 071 835 062 n

2.923081

B — 48 683

Ax +

837

^ H CO CM ÖS

co co o    co

+ + +

<] °

618

443

co oi CO CM

ys — yA

1228

70

1 061 58

Xß — XA

171

38

yß —yA

E sin n A B E cos n A B

Xß —Xa

CO o

089 446 004 184

233

960

B + 1    847 06

Ay-

785 48

n AB

108 82

27

tg n A B

855

486

AB

093

630

2.895133n

C — 47 846 03

C 4 1 061 58

A No. 4

nAC

255 67 56

cos n A C

AC

A: Neufra P2 C: Neupunkt C2 B: Riedlingen Px

VS3 ^    8-

108

52

62 52 62

sin n A C

cos n B C

BC

9 807 090 n 2 850 598 9 884 940 n

2.657688n

2.735538 n

A — 48 683

Ax-

454

CM CO L— CO

rH

847 06 543 92

log Px P₂ = 3.093630 log^jß, = 3.150886.

C — 49 138 38

303 14

log q (Proportionaltitätsfaktor)

nB C

147

14 94

sin n B C

9 829 2 967 9 868

141 n

458

086

2.796599 n

B — 48 512 34 626 04

2.835544

Ax-c — 49 138 38

= 9.942744 (für Schiebzettel) 618 36 Verdrehungswinkel co = n Px P₂ — £ iß₂

= 108° 82' 27" —• 120° 58' 60"

684 77

t-H

303 13

co = 388⁰ 23' 67"

(für Schiebzettel).

e) Umwandlung der Streckenlängen und der Richtungswinkel von den Festpunkten zum Neupunkt aus der Hilfsfigur durch Addition von log q bezw. von co:

Pi Cx = q . ^ ©j, bezw. log Pi Ci = log q -f log GG

nPjC, =    + &)

f) Koordinatenberechnung für Ci und C₂ aus den derart gewonnenen, endgültigen Richtungswinkeln und Strecken. Beispiel.

Gegeben die Koordinaten der unzugänglichen Punkte:

Px Riedlingen —48512,34 + 618,36 Neufra — 48683,72 -f 1847,06.

In dem Neupunkt C₂ und dem Hilfspunkt Cx sind gemessen die Winkel: Neufra — Cx — C₂ = 36° 18' 97" )

C₂ — Ct — Riedlingen = 49° 13' 12" ]

Riedlingen — C₂ — Cx = 41° 08' 73" \

Cx — C₂ — Neufra = 67° 43' 89"

Gesucht die Koordinaten des Neu- und des Hilfspunkts.

Ausrechnung s. S. 458 und 459.

2. Lösung.

2. Lösung mit Hilfe der Collinschen Punkte. Beschreibt man die beiden Kreise, welche über der Grundlinie Px P₂ als Sehne die in den Neupunkten Cj und C₂ nach Pi

Fig. 274 a.

Fig. 274b.

C₂

Cz \

V:,

P₂

Ti

Kt

imd P₂ gemessenen beiden Winkel fassen (s. Fig. 274a und 274b) und stellt deren Schnittpunkte Qi und Q₂ mit der (nötigenfalls verlängerten) Verbindungslinie Ci C2 her, so zeigt sich aus der Gleichheit der über demselben Bogen stehenden Peripheriewinkel, dass die nötigen Winkel bekannt sind, um die Koordinaten dieser beiden Schnittpunkte Q durch Vorwärtseinschnitt aus der Grundlinie Pi P₂ zu berechnen.

u.

\\

Q'i

Aus diesen Koordinaten ergibt sich dann der Richtungswinkel n Qi Q₂ = n Q₂ Qi + 2 R = n C₂ Ci und durch entsprechende Addition oder Subtraktion der gemessenen Winkel y die Richtungswinkel der Neustrahlen P C.

Damit ist die Punktbestimmung auf vier Yorwärtseinschnitte (je einer für Qi, Q₂, Ci und C₂) zurückgeführt.

Genauig-

keitsunter-

suchung.

Für die Genauigkeit der Punktbestimmung zeigen die vorgeführten Lösungen direkt: Die Genauigkeit in der Bestimmung von Ci und C₂ hängt von derjenigen der benützten Strecken und Richtungswinkel von den Fest- nach den Neupunkten ab. Die Genauigkeit von q und co (Lösung 1) und damit eben dieser Strecken und Richtungswinkel ist um so grösser, je genauer ^ und ^$₂ in der Hilfsfigur bestimmt werden können. Daher erstreben wir

Yi + Y" ~ R )V -f⁻ Y*" ~ R*

Die Lösung (2), in welcher die Strecke Qi Q₂ wieder einen Zeiger vorstellt für die Bestimmung der Lage von Ci und C₂ auf den beiden vorbeschriebenen Kreisen, lässt aber weiter erkennen:

wenn die Winkel y je von der Richtung Cx C₂

a)    dass für die Yorwärtseinschnitte Ci und C₂ auch sein soll: Yi“ ~ 72" ~ R yP — y* ~ R’

aus gemessen und mit algebraischen Vorzeichen eingeführt

werden und dass,

Qi Q2

, um so ungenauer die Be-

b)    je kleiner das Verhältnis

Stimmung wird.

Spezieller Fall: Ist (y/'— y₂") -j- (7/ — y₂') = 2R (was allerdings praktisch nie eintreten wird), so ist Pt Cj P₂ C₂ ein Kreisviereck. Die Neupunkte treten wechselseitig an Stelle der Collinschen Punkte und die Aufgabe lässt sich direkt durch einen einzigen Yorwärtseinschnitt und zwar um so genauer lösen, je näher die Winkel zwischen den Bestimmungsstrahlen einem Rechten kommen.

Muss die Zielung Cx C₂ durch einen Polygonzug ersetzt werden, ^Aufgabe, dessen Anschlusswinkel nach Pi und P₂ in Ci und C₂ samt den übrigen Brechungswinkeln und Strecken man misst, so lassen sich die Winkel zwischen C₂ und der ersten, bezw. letzten Polygonseite durch Rechnung (s. § 87), und aus ihnen die Winkel yx und y₂ ableiten.

Man gewinnt dann nebenbei durch die aus dem Polygonzug berechnete Strecke Ci C₂ ein Stück mehr als nötig, also Überbestimmung und damit Messungskontrolle.

Bezeichnung der Punkte

Winkel

reduziert

log-Berechnung

gemess.

Abszissen

Ordinaten

//

//

Co Co

*<! X

Richtungswinkel- und Seitenberechnung

A No. I

nAC n AB

tÜ h-* LO 05 I—* LO

-1 o 00 üi

Ol 4h Ol 05

A: Berkheim C: Collin. Punkt Q2 B: Wiflingshausen

Ol i-H I' i-t o 00

CO t- 05

t- 00 co

05 t-H 00 10 05

Summe 200 00 00

AB E sin y

cosn A C AC sin n A C

sin ß

A B : sin y sin a

log

CO o

O CO

CO fcO

05 CO 05

co 4n 00

O 05 05

05    00

453

551

ül Ci co

3.190085 n

3.021541

A + 48 612 08 Ax — 1 549 12

C 4- 47 062 96

< <30

CD H l> r-H    I rH

907

050

00 Ül Ül Hl

904

958 | 42

ja — yA xB — xA — 2538

yß — yA 13 E sin n A B 12 EcosnAB

956 231 n

Xß — xA

05 O LO HOOO CO ^ LO

221

tu td

46 073

988

CO Ci Ci Ci

h—¹ £

003 44 954 98

AB

78 55 tg n A B

o eo 05 co

025 941 404 512

551 719 430 453

11 BA nBC

21 78 55 70 18 42

cos nBC BC sin n B C

05 CO 05

CO OO 05

Ol 4n Ol O O 4n

571

623

2.995194

C + 47 062 95

C + 17 958 42

519

3.291142

A No. II

n AC n AB

208 08'66 340 86 j 55

A: Untertürkeim C: Collin. Punkt Qx B: Wangen

132 77 51 07 16 14

89

63

48

Summe 200 00 00

nBA

nBC

io co »o o

CO rH

00 o o

^ 10

1—1 rH

AB E sin y

cos nAC AC sin 11AC

co o

4h 05 05 00

LO 05 CO o

05 05

*1

sin ß

A B: sin y sin a

cos nBC B C sin nBC

Ci (M Ci Ci CO Ci

Ci CO Ci

916

981

102

399

581

939

CI rH 10 Ci CM Ci 00 IO N

00 co co

co o 1- 10

Ci Ci

486 In 2.977873n

387

717 11

488

899

692

2.084104 n

C + 47 023 15

A + 22 907 34

Ay-

C + 22 785 97

121 37

>’b — yA Xß — XA

2198

1643

tu tö

CM L-CM o

L— r* rH 05

co 10

05 CM

<3

© Ol <M

708 42 077 55

92

74

yB —yA E sin n A B E cos n A B

Xß —XA

co ©

342

096

209

394

391 n 3.413982 n

591

C + 47 023 15 C + 22 785 97

n A B ! 304 86 56

tgn AB

AB

AB

co © co

215

126

438

833

376

603

960

3.317551

A No. III

n A C n AB

360

21

IO OO CM l>

Ol 01 Ol LO

A: Wiflingshausen C: Neupunkt C2 B: Berkheim

cos n A C AC sin nAC

Ci CO Ci

909

222

3.004806

095

584

CO Oi GO Oi Oi o

CM <M 10 H CO

H 00 o

CO o CO

t-H

766

803

n 2.862387 n

Ax

4n    4n

-1 l-n 05

073

011

12

99

Summe 200 00 00

sin ß

AB: sin y sin a

085

CO CO Ci Ci 1—I O

Ci CO Ci

661

434

915

580

004

348

(s. A I)

A + 16 003

Ay-

C + 15 275

728

44

43

01

j Qi    y Q2

XQi — Xq₂

4827

39

IO i—l

10 00

yn — yA E sin n A B Ecos n A B

xB — xA

683

727

599 992

n B A 221 n B C 252

cos nBC

834 488

10 co

KO CO 00 Ol

l~ t-H

BC

349

352

3.183840 n

B + 48 612 Ax— 1 527

o o o 00

B -f 16 907 57 A y — 1 632 55

n Q2 Qi

nC₂ C,

100 52

Ül

tg n Q₂ Qi

083 735

C + 47 085 08 C + 15 275 02

sin nBC

863

516

3.212868 n

Q₂ + 47062,96 + 17958,42 Qx + 47023,15 + 22785,97

A No. IY

nAC n AB

284

02

340

55

A: Untertürkheim C: Neupunkt Cx B: Wangen

56

53

cos nAC AC sin n A C

9 385 429 n 2.964257 n 3 578 828

9 986 794 11    3.565622 n

<J

CO o I- CM

<Jj Ci

00 Ci

^ Ci

51

63

07

63

92

84

Summe

sin ß

AB: sin y sin a

Ci CO Ci

996

929

C + 47 052 48

A + 22 907 34 A y — 3 678 09

C + 19 229 25

Richtungswinkel der Bestimmungsstrahlen:

581

899

200

889

00

498

(s. A II)

n B A nBC

to h-'■ oc ^ oc o

55

39

cos nBC B C sin n B C

CO 00 CD

937

471

646 n 3.409043 n

397

pq <3

4H LO CO

Ül 05 05 l-n 4H -1

-a lo

4n LO

B + 20 708 42 Ay- 1 479 17

C + 47 052 48 C + 19 229 25

698

622 11    3.170019 n

11 C₂ Cj = 100° 52'50" CiC₂(P₂) = 59° 73'12"

n C₂ (P₂) = 160° 25' 62"

nCi C₂ = 300° 52'50" C₂ Ci Pj = 132° 77'89"

n Cx P, = 33° 30' 39"

nC₂C₁ = 100° 52'50" Ct C₂ (Pj) = 351° 60'13"

n C₂ (Pj) = 52° 12' 63"

nCjC₂ = 300° 52' 50" C₂ Cx P₂ = 183° 85'52"

n Cx P₂ — 84° 38'02"

Die vorstehend gelöste Aufgabe ist nur ein spezieller Fall des: § 61. Zweifach gegenseitigen Rückwärtseinschnitts.

Von jedem der beiden Neupunkte Cx und C₂ wurde neben ihrer Verbindungsstrecke ein anderes Paar von Festpunkten Px und P₂ angezielt. Denkt man sich Kreise beschrieben, deren jeder über der Verbindungslinie der beiden vom selben Neupunkt aus angezielten Festpunkte als Sehne je den Winkel zwischen beiden Zielungen fasst, so erhält man

damit je einen geometrischen Ort für die Lage der Neupunkte. Schneidet die (nötigenfalls verlängerte) Verbindungslinie der letzteren die Kreise in Qi und Q₂, so lassen sich die Koordinaten dieser Punkte je durch Vorwärtseinschnitt aus den Grundlinien Px P₂ bezw. (Px) (P₂) berechnen, wenn man die in Ci und C₂ gemessenen Winkel nach dem Satz vom Peripheriewinkel über gleichen Bogen sinngemäss an die Grundlinien überträgt. Daraus kann man dann den Richtungswinkel n Qx Q₂ = n Ci C₂ und durch Addition der gemessenen Winkel y die Richtungswinkel der Neustrahlen ableiten. Hieraus ergeben sich die Koordinaten der Neupunkte Cx und C₂ je mittels eines Vorwärtseinschnitts aus den Grundlinien Px P2.

Beispiel. (Ausrechnung s. S. 462/463.)

Fig. 275.

//

U*'

fjffl

•I VA?²

~p)

(Z)

Gegeben

+ 49617,22    + 20708,42

Px Wangen

P₂ Untertürkheim + 47973,48 + 22907,34 (PJ Berkheim

(P₂) Wiflingshausen + 46073,96 + 16003,44. Gemessen die Winkel in den Neupunkten:

CjCjPj = 132° 77' 89"

C₂ Ct P₂ = 183° 85' 52"

CXC₂(P₂)= 59° 73' 12"

Cx Cs(Px) = 351° 60' 13".

Gesucht die Koordinaten der Neupunkte Cx und C₂.

+ 48612,08 + 16907,57

Nachdem eine auf Grund der gegebenen und der gemessenen Elemente entworfene Skizze Aufschluss über die ungefähre gegenseitige Lage der Fest-, Neu- und Collinschen Punkte erteilt hat, erfolgt die Einsetzung der Grundlinienendpunkte samt ihren Koordinaten und der übertragenen Winkel ins Formular zum Zweck der Berechnung der Koordinaten von Qi und Q₂ (s. A I und II S. 462). Aus letzteren erfolgt die Berechnung des Richtungswinkels n Q₂ Qi

(s. Nebenrechnung zu AIII), welcher durch Addition der gemessenen Winkel (s. Nebenrechnung zu A IV) die Richtungswinkel der Bestimmungsstrahlen Pi Ci, P₂ Cb, (Pi) C₂ und (P₂) C₂ liefert. Aus ihnen findet man (s. A III und IV) rückwärts die zur Streckenberechnung nötigen Dreieckswinkel und die Koordinaten der Neupunkte.

Die vorstehend behandelte Aufgabe hat namentlich Bedeutung ^2^™! für die Aufnahme breiter Flusstäler etc. Kann dabei die Zielung Cb C₂ nicht genommen, aber ein Polygonzug zwischen Ci und C₂ gelegt werden, dessen Anschluss- und Brechungswinkel samt den Strecken man misst, so gewinnt man die nach vorstehendem nötigen Winkel y durch entsprechende Verbindung der in den Neupunkten C nach den Festpunkten P bezw. (P) gemessenen Anschlusswinkel mit den nach § 87 durch Rechnung abgeleiteten Winkeln zwischen der Verbindungsgeraden Cb C₂ und der ersten bezw. letzten Polygonseite. Die nebenbei durch Rechnung gewonnene überschüssige Streckenlänge Cb C₂ bildet alsdann wie in § 60 eine Messungsprobe.

keitsunter-

suchung.

Die Koordinaten der Punkte Q und C ergeben sich um so Genauig-schärfer, je senkrechter sich die von ihnen nach den zu ihrer Bestimmung benützten Festpunkten P gezogenen Strahlen schneiden.

Dies ist bei Auswahl der Neupunkte C zu berücksichtigen. Je kürzer ferner die Verbindungsstrecke Qi Q₂ ist, um so stärker beeinflussen kleine Ungenauigkeiten in den Koordinaten ihrer Endpunkte den Richtungswinkel n Qi Q₂ und damit die Richtungswinkel der Bestimmungsstrahlen nach Pi und P₂. Um die Strecke Qt Q2 gross zu halten, vermeidet man möglichst diejenige Lage der beiden Neupunkte, in welcher die in jedem von ihnen nach dem zugehörigen Festpunktpaar gemessenen Winkel sich gegeneinander öffnen.

Mit dieser Aufgabe ist gleichzeitig auch diejenige erledigt, bei welcher nur drei Festpunkte gegeben sind, von denen zwei von dem einen, einer von ihnen und der dritte aber vom anderen Neupunkt aus angezielt wurden.

2. Kleintriangulierung mit Überbestimmung.

§ 62. Einleitung.

Die trigonometrische Punktbestimmung bedarf, wie jede andere geodätische Arbeit, der Kontrollen, um gegen grobe Messungs- und Rechnungsfehler geschützt zu sein. Aber auch die Wirkung der unvermeidlichen kleinen Beobachtungsfehler muss durch geeignete Massnahmen möglichst eingeschränkt werden.

Weitkrecht, Vermessungskunde.

Da überdies tatsächlich (wenn auch entgegengesetzt der aus anderen Gründen gebotenen Annahme ihrer Fehlerfreiheit) die gegebenen Koordinaten der zur Bestimmung von Neupunkten verwendeten Festpunkte mit kleinen Fehlern behaftet sind, die auf die Genauigkeit der Neupunktsbestimmungen um so sichtbarer einwirken, je näher die Neupunkte anderen Festpunkten kommen, da endlich die Projektions Verzerrung (z. B. bei Anwendung ebener Soldnerscher Koordinaten) die nach den Sätzen der ebenen Trigonometrie berechneten Richtungswinkel und Streckenlängen der Grundlinien und damit der Bestimmungsstrahlen u. U. recht merklich und in verschiedenem Masse verändert, ist es nötig, Überbestimmung einzuführen, d. h. die Lage jedes Neupunkts unter Berücksichtigung sämtlicher benachbarter Festpunkte, statt nur von einer Seite her, zu bestimmen. Hiebei sollen die von letzteren ausgehenden Bestimmungsstrahlen möglichst gleiclimässig über den Horizont verteilt sein, wenn die zufälligen Festpunktsfehler und die Yerzerrungs-eintlüsse sich gegenseitig in der Hauptsache aufheben sollen.

Bei der durch die Triangulierungen höherer Ordnung bereits erzielten Verdichtung des Dreiecksnetzes führt diese Forderung des allseitigen Anschlusszwangs zu umfangreichen Ausgleichungen der allein änderungsfähigen gemessenen Stücke. Diesen Ausgleichungsarbeiten¹) legen wir die Bedingung zugrunde, dass die gemessenen Werte 1 der Bestimmungsstücke um kleinstmögliche, von der Beobachtungsgenauigkeit abhängige Zuschläge v derart zu verbessern sind, dass die unter Benützung der verbesserten Werte berechneten Endergebnisse (Koordinaten) sich übereinstimmend ergeben, gleichgültig, welche von den (in Überzahl vorhandenen) Bestimmungsstücken man auch benützen mag.

Aus dieser Bedingung heraus, welche wir stellen müssen, wenn wir die bei der Beobachtung aufgewandte Mühe nach allen Seiten nutzbar machen wollen, verbietet sich schon allein, abgesehen von dem damit verbundenen grossen Arbeitsaufwand und der Schwierigkeit, ja Unmöglichkeit gleichwertiger Gruppierung der Bestimmungsstücke, die Anwendung des an sich naheliegenden Verfahrens: die gesuchten Koordinaten etwa aus allen möglichen Dreiecken abzuleiten und nachher zu mittein.

Je nach der Anordnung der gemessenen Bestimmungsstücke, der gegenseitigen Lage der Fest- und Neupunkte und dem eingeschlagenen Rechnungsweg unterscheiden wir bei der Triangulierung

x) Über Ausgleichungsrechnung vergl. u. a. des Verfassers „Ausgleichungs-rechnung nach der Methode der kleinsten Quadrate“. Bei Göschen in Leipzig 1906,

zwischen der „Netzeinschaltung“ und der „ Punkt einschal tu ng“ (vergl. auch § 58).

Der ersteren geht eine durchgreifende Ausgleichung aller Beobachtungen voraus, derart, dass deren verbesserte Werte identische Koordinaten für die Neupunkte liefern, gleichgültig, welchen von ihnen man auch zuerst bestimmen möge. Diese Methode behandelt demnach alle zusammengehörigen Messungs- und Punktgruppen gleichmässig wie aus einem Guss, ohne Bevorzugung irgendeiner von ihnen, sie ist daher gerechter und verlangt überdies weniger überschüssige Bestimmungsstücke; sie erfordert aber schwerfälligere Ausgleichungsrechnungen, als die Punkteinschaltung. Bei letzterer wird Punkt für Punkt je aus den benachbarten Festpunkten bestimmt. Sobald die Koordinaten eines Neupunktes berechnet sind, wirkt letzterer bei der Berechnung des nächsten, ihm eigentlich gleichgeordneten mit, spielt also ihm gegenüber die Rolle eines Festpunkts höherer Ordnung.

Die Methode der Netzeinschaltung ist technisch, diejenige der Punkteinschaltung mit ihrem schrittweisen Fortschreiten zumeist wirtschaftlich vorzuziehen. Der Nachteil der ungleichmässigen Behandlung gleichwertiger Bestimmungen bei der letzteren kann vermindert werden durch passende Auswahl der Punkte bezüglich der Reihenfolge der Einschaltung. Man beginnt zweckmässigerweise mit der Bestimmung solcher Punkte, welche nach Kürze, symmetrischer Anordnung und sicherer (zweiseitiger, oder durch Beleuchtungsverhältnisse begünstigter) Beobachtung der Bestimmungsstrahlen von Natur aus bevorzugt sind.

Innerhalb der Netzeinschaltung unterscheiden wir wieder zwischen Dreiecksketten, für deren rechnerische Behandlung nur ein von Dreieck zu Dreieck fortschreitender Weg möglich ist, und eigentlichen Dreiecksnetzen, bei welchen durch Aneinanderreihung der Dreiecke nach verschiedenen Seiten und Diagonalbeobachtungen das Fortschreiten der Rechnung in verschiedenartiger Aufeinanderfolge möglich ist.

Bei der Punkteinschaltung halten wir die bisher schon getroffene Unterscheidung aufrecht und bezeichnen eine Bestimmung als:

„Vorwärtseinschnitt“, wenn die Winkelbeobachtungen nach dem

Neupunkt nur in den Festpunkten, als:

„Rückwärtseinschnitt“, wenn sief nur in dem Neupunkt und als:

„Vereinigten Vor- und Rückwärtseinschnitt“, wenn die

Winkelbeobachtungen sowohl in Festpunkten-, als im Neupunkt

erfolgten.

§ 63. Vermarkung der trigonometrischen Festpunkte. Spätere Prüfung ihres Standorts.

Punkt-

vermarkung.

Prüfung des Standorts der Dreieeks-punkte.

Das Bedürfnis, zu jeder Zeit, auch nach erfolgtem Abschluss der Vermessung, sei es zum Zweck von Revisionen und Verfeinerungen, sei es zur späteren Einschaltung von Fortführungsvermessungen wieder auf deren Grundlage zurückzugreifen, nötigt zu einer, ihrer Wichtigkeit entsprechenden, örtlichen Vermarkung der Dreieckspunkte. Insoweit, als Teile von Gebäuden (Helmstangen, Blitzableiter, feste Flaggenmasten etc.) die Dreieckspunkte bilden, („Gebäudesignale“), ist innerhalb der durch Setzungen der Bauwerke, Windschwankungen etc. bedingten Genauigkeitsgrenzen deren dauernder Bestand gesichert, sobald durch unterstützende Verwaltungsmassnahmen dafür gesorgt ist, dass etwaige bauliche Änderungen sicher und womöglich schon vor ihrer Ausführung zur Kenntnis der Vermessungsbehörde gelangen. Die auf dem Gelände festgelegten Punkte („Geländepunkte“) müssen dagegen zum Schutz gegen Beschädigungen und Ortsveränderungen durch Feldarbeiten und Frost durch genügend grosse (in Württemberg 90 cm lang mit quadratischem Querschnitt von 25 cm Seitenlänge) und leicht zu identifizierende, daher behauene Steine oder Pfeiler, sei es zentrisch, sei es exzentrisch auf erworbener, oder mit einer Grunddienstbarkeit belegten Fläche vermarkt sein. Eine seitliche, oder in die Tiefe reichende Rückversicherung gegen Beschädigung oder Entfernung (in Württemberg durch quadratische, 10 cm dicke Unterlageplatte von 35 cm Seitenlange) ist geboten.

Früher erfolgte die Vermarkung in Württemberg im allgemeinen exzentrisch durch in der Nähe gewonnene Steine mit seitlich und vertieft eingehauenem Dreieck. Der Signalpunkt befindet sich in diesem Fall 5 cm entfernt von der das Dreieck tragenden Seitenfläche des Steins. Die im Lauf der Zeit eintretende Verwitterung der Steine (Absplittern gerade der das Dreieckszeichen tragenden Seitenfläche) hat aber zur Verwendung eines dauerhafteren Materials (Granit) und zu zentrischer, nach den Himmelsrichtungen orientierter, Vermarkung geführt. Der Ankauf eines entsprechenden Flächenstücks, bezw. die Auflegung einer Grunddienstbarkeit wurde jedoch versäumt.

Der trigonometrischen Bestimmung von Neupunkten hat (wie überhaupt jeder beliebigen Arbeit) eine Untersuchung der zu benützenden Grundlagen auf ihre Richtigkeit vorauszugehen. Im vorliegenden Fall ist zu prüfen, ob die zu benützenden Festpunkte im Augenblick ihrer Verwendung an der durch ihre Koordinaten bestimmten Stelle vermarkt sind. Wenn es sich (wie z. Z. in Württemberg) bei Ausführung von Vermessungen in der Hauptsache nur um die Fortführung einer längst fertig-

gestellten Landesvermessung bezüglich eingetretener, oder beabsichtigter Änderungen in der Bodeneinteilung und -Benützung handelt und wenn bei der Uraufnahme die Vermarkung der Signalpunkte der Stückvermessung zuweilen nachfolgte, so kommen für jeden Punkt viererlei mögliche Stellen in Frage, nämlich:

1.    diejenige auf (oder nach) der einst die Winkelmessung erfolgte,

2.    die durch die gegebenen Koordinaten bestimmte Stelle¹),

3.    der Punkt, von dem die Stückvermessung einstens ausging,

4.    der zur Zeit vermarkte Punkt.

Diese Punkte sollten identisch sein, sind es aber (abgesehen von möglichen früheren Winkel- und Rechnungsfehlern) dann nicht, wenn etwa anlässlich der Feldbearbeitung in der Zeit zwischen Winkel- und Stückvermessung bezw. Vermarkung die Signalstange versteckt wurde, oder wenn lange, bewaldete Bergrücken eine Verbindung der zu beiden Seiten sich erstreckenden Talketten verhinderten, dabei Netzklaffungen verursachend. Je nach der Art der auszuführenden Vermessungsarbeit kann nun der eine, oder andere dieser viererlei Punkte verlangt sein.

Soll der Signalpunkt zu Grenzwiederherstellungen oder -Aufnahmen benützt werden, so braucht man (3) den bei der Uraufnahme verwendeten—, zu Triangulierungsarbeiten dagegen den unter (2) genannten Punkt.

Letzteres trifft für uns augenblicklich zu, ohne Rücksicht darauf, ob er dabei gleichzeitig mit (1), oder (4) übereinstimmt. Eine bloss geometrische Kontrolle auf Grund der früheren Stückvermessung gibt also für die Übereinstimmung der vermarkten, mit der durch die Festpunktskoordinaten bezeich-neten Stelle nicht genügende Sicherheit. Übereinstimmung ist dagegen, wenigstens im Vergleich zu den Nachbarpunkten¹), vorhanden, wenn die auf der vermarkten Stelle gemessenen Winkel nach mindestens drei der letzteren innerhalb zulässiger Grenzen übereinstimmen mit den Unterschieden der entsprechenden, aus den Festpunktskoordinaten errechneten Richtungswinkel (umgekehrte Aufgabe des Rückwärtseinschnitts). Dasselbe ist der Fall, wenn diese Übereinstimmung für die in mindestens zwei benachbarten Festpunkten nach dem zu untersuchenden und je einem weiteren Festpunkt gemessenen Winkel besteht (umgekehrte Aufgabe des Vorwärtseinschnitts).

J) Es handelt sich hiebei natürlich weniger um die durch die Koordinatenwerte bestimmte Lage des zu untersuchenden Punktes zum Koordinatenursprung, als um die relative Lage zu den benachbarten Festpunkten.

Zur einwandfreien Untersuchung eines Punktes auf Grund ebenfalls unsicherer anderer Punkte genügt jedoch praktisch die Messung bloss zweier Winkel nicht, zumal wenn die beobachteten Strahlen in ihm unter spitzen Winkeln zusammenlaufen.

Sobald nun aber zur Untersuchung der Übereinstimmung zwischen Koordinaten und Standort des trigonometrischen Punktes eine grössere Zahl von Strahlen benützt wird, so wird die Vergleichung aller zwischen ihnen liegenden Winkel schwerfällig. (3 Strahlen bilden 6, 4 Strahlen 12, 5 Strahlen 20; n Strahlen n (n — 1) Winkel miteinander!) Besser ist in diesem Fall die direkte Vergleichung des aus den Koordinaten der Festpunkte errechneten Büschels von

nCA nCB n C D. . . n C N

Richtungswinkeln cp

mit dem durch satzweise Beobachtung erhaltenen

Richtungsbüschel a = 0 C A OCB OCD...OCN.

Man sucht zu diesem Zweck die beiden Büschel scheitelgleich so aufeinander zu legen, dass die einander entsprechenden Strahlen, wie die Speichen zweier Räder, sich möglichst genau decken. Dies geschieht, indem man das beobachtete Richtungsbüschel um einen Winkel a> verdreht, welcher sich (s. S. 361) berechnet aus:

wA= (nCA —OCA), % = nCN-OCN und

(1) ^Mittel

coa + .-. + ^n _ (nCA —OCA) + (nCB —OCB) + ... + (nCN —OCN)

[*]-M

Bezeichnet man die hienach „ orientierten “ Richtungen a-\- o mit ß, so dass

0A — ^Mittel

so wird

[0] —" [ß] H“ fl ^Mittel*

Eingeführt in (1) kommt hieraus

(2)

[01 = [«] + [?>] — [«] = fal

und für die Unterschiede v = cp — ß der Richtungswinkel und der orientierten Richtungen:

(3) [V]

[cp ß] (<jPA ßA) -J- ((pB 0b) + • ■ • + (^N 0n)

= toi — [0] = o.

Übersteigen einzelne wenige dieser Unterschiede v eine gewisse, äusserstenfalls noch zu duldende, von der mittleren Messungs-

und Dreiecksgenauigkeit abhängende Grenze¹) (was sich aber schon bei der Bildung der einzelnen Werte des Verdrehungswinkels co gezeigt hätte), so stimmt, falls keine Beobachtungsfehler vorliegen, die Lage der entsprechenden Zielpunkte nicht mit deren Koordinaten überein. Durch Beobachtung auf diesen Zielpunkten, oder nach ihnen von anderen Festpunkten her, wäre dies zu erhärten. Erreicht eine grosse Zahl der v erhebliche Beträge, so haben wir Veranlassung, die Übereinstimmung der Lage unseres Standpunkts C mit seinen Koordinaten anzuzweifeln und den Verdacht durch Wiederholung dieses Verfahrens auf anderen bei der Triangulierung zu benützenden Festpunkten weiter zu verfolgen. Erreicht ein einziger Wert v einen grossen Betrag, ohne dass sich aber ein entsprechender Punktfehler durch Wiederholung des Verfahrens auf anderen Festpunkten bestätigen würde, so liegt vermutlich ein Beobachtungsfehler vor, der durch Nachmessung zu beheben wäre.

Gewicht für die Bildung des Ver-drehungs winkeis Cd.

Wenn die Abweichungen v = cp — ß, wie dies tatsächlich der Fall ist, nicht ausschliesslich Beobachtungs-, sondern zum Teil auch Fehlern im Dreiecksnetz entspringen, so sind streng genommen die einzelnen Werte des Verdrehungswinkels « für die Mittelbildung im Gegensatz zu (1) mit Gewichten p zu versehen, welche von der Strahlenlänge s abhängen. Diese würden z. B. p = s², wenn v allein durch Punktfehler verursacht würde. In der Regel wird bei den Kleintriangulierungen auf diese Feinheit verzichtet und ein Ausgleich durch die Bestimmung geschaffen, dass Strahlen für Triangulierungszwecke unter eine gewisse Länge (in Württemberg 300 m) nicht heruntergehen dürfen.

x) Als höchstenfalls zulässige Abweichung v = cp — ß, welche sich aus unvermeidlichen Beobachtungs- und Punktfehlern zusammensetzt, bestimmt die technische Anweisung vom 19. Januar 1895 für Punktbestimmung IV. Ordnung in Württemberg:

v Max

= (60 -f

40 000 y'

n. T.,

wobei s die Strahlenlänge vorstellt. Der zulässige mittlere Beobachtungsfehler einer Richtung ist (s. § 42) 25" n. T., der zulässige Max. Fehler also 75" n. T.

4 800 000 , 1 600 000 000

x² + 75² = (60 -f

3600

s²

Ist der auf Rechnung von Fehlern des Dreiecksnetzes III. Ordnung zu setzende Fehleranteil an v = x, so ist also 40 000\2_ s /

oder z. B.

für s = 1000 m x² = — 5625 + 3600 -p 4800 + 1600, d. h. x = + 66", für s = 2000 m x = + 28".

Unter den obigen Voraussetzungen ist also im württembergischen Landesdreiecksnetz III. Ordnung ein maximaler Punktfehler von etwa 9 bis 10 cm angenommen. In der Zeitschrift für Vermessungswesen 1886 S. 177/197 berechnet Steiff einen mittleren Punktfehler in diesem Dreiecksnetz von + 1 dm.

Abriss.

Ausnahmsweise vorkommende besonders kurze Strahlen bleiben jedoch für die co Bildung am besten ausser Betracht.

Die geschilderte Untersuchung der Festpunkte wird am besten im „Abriss“ vorgenommen (s. nachstehendes Beispiel), dessen Anlegung also die eigentliche Triangulierungsbereclinung eröffnet und, und wie wir später sehen werden, auch bescliliesst.

Abriss.

Zielpunkte

Beobachtete

Richtungen

Endgültige

Richtungs

winkel

Unterschiede <P - a

Orientierungswinkel [<P - «1

Orientierte Richtungen ß = a + co

Ver- Strebesse- cken-rung

v = <p-ß

Höchst-

zu

länge

lässiger wert von v

— vmax.

//

//

//

//

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

+ 50551,72)

CM co CM

N CO ^ -rfi CM -H

co

to

00 I 00 o to I t—¹ t—¹

CM +

H rH

00

O t»

00 CM

Ol

00

to

Ol

00

A. Punkteinschaltung.

a) Aus Winkelbeobachtungen.

§ 64. Übereinstimmende Berechnung aus zwei nebeneinander liegenden Dreiecken durch stufenweise Ausgleichung nach bedingten

Beobachtungen.

Die Bestimmung eines Neupunkts aus zwei nebeneinander liegenden Dreiecken genügt nur für untergeordnete Zwecke. Denn sie widerspricht der wichtigen Forderung, dass die Bestimmungsstrahlen sich gleichmässig über den Horizont verteilen sollen.

a)    Sind sämtliche Dreieckswinkel gemessen und im Formular unter „gemessen“ eingetragen, so erfolgt zunächst deren Reduktion, andernfalls ihre Ergänzung auf die Summe von 2R in der Spalte „reduziert“ (Beispiel s. S. 476). Nun berechnen wir aus den eingetragenen Koordinaten der Festpunkte in der Nebenrechnung (rechts unten) die Richtungswinkel n A B und nach deren Übertrag in die Spalten „reduziert“, „verbessert“ und „ausgeglichen“, in „reduziert“

b)    den Richtungswinkel der gemeinschaftlichen Seite

(n A C = nAB — a; nBC = nBA-f-/?) in beiden Dreiecken. (288° 21' 90" und 288° 21' 58" imBeisp. S. 476.)

c) Das Mittel (288° 21' 74//) aus beiden erhaltenen Werten wird jetzt in die Spalte „verbessert“ in beiden Dreiecken eingetragen. Aus ihm und dem Richtungswinkel der vom gleichen Festpunkt ausgehenden Grundlinie erfolgt rückwärts in derselben Spalte die Bildung der beiden der gemeinschaftlichen Seite anliegenden Dreieckswinkel: a = n A B — nAC; ß = nßC — nBA.

(1)

Fig. 276 a.

Fig. 276 b.

\ /

%>jB₂

A,

•A/¹2

fl

Ä⁴’

B, A₂

'-B,

Damit die durch diese „Verbesserung“ gestörte Dreieckswinkelsumme von 2 R wieder stimmt, wird die soeben bewirkte Änderung des einen Dreieckswinkels gegenüber seinem „reduzierten“ Wert zu gleichen Teilen mit entgegengesetztem Vorzeichen auf die beiden anderen, damit ebenfalls „verbesserten“ Dreieckswinkel eingeteilt • (s. gestrichelte Linien in Fig. 276 a und 276 b).

d) Aus AB und den „verbesserten“ Werten der Dreieckswinkel erhalten jetzt in der „I. Berechnung“ die Logarithmen der gemeinschaftlichen Seite in beiden Dreiecken voraussichtlich etwas verschiedene Werte (2.654343 und 2.654381 in Beispiel S. 476). Man kann nun, um die jedenfalls nur kleine Differenz auszugleichen:

1. kurzerhand das arithmetische Mittel aus beiden Logarithmen der gemeinschaftlichen Seite¹) in die II. Berechnung als endgültigen Log. einführen und mit ihm und dem „verbesserten“ Richtungswinkel dieser Seite die Koordinatenunterschiede nach dem Neupunkt

einfach nach den Formeln

s cos cp perec]men Damit wäre A y = s sin (p

aber die Grundbedingung der Ausgleichungsrechnung nicht erfüllt,

als das arithmetische Mittel

welche verlangt, dass die Verbesserungen an den gemessenen Grössen (unter Berücksichtigung ihrer Genauigkeit) angebracht werden müssen und nicht an den berechneten Streckenlängen.

Wollen wir diese Bedingung erfüllen und den endgültigen Neupunkt auf der bereits verbesserten (in Fig. 276 gestrichelt gezeichneten) Richtung der gemeinschaftlichen Seite belassen, setzen wir ferner die Winkelmessung als gleich genau voraus, so bleibt nichts übrig, als

2. den beiden Winkeln in jedem Dreieck, welche nicht die Lage der gemeinschaftlichen Seite, aber ihre Länge bestimmen, den zunächst unbekannten Zuschlag x mit dem einer Skizze zu entnehmenden, Vorzeichen hinzuzufügen.

Die genannte Skizze braucht nur über die ungefähre gegenseitige Lage der Bestimmungsstrahlen beim Neupunkt Aufschluss zu geben, unter Beachtung der rechnerischen Festlegung, welches Dreieck den grösseren bezw. kleineren Wert für die gemeinschaftliche Seite ergab. Dementsprechend erfolgt der Eintrag des „Korrektionskoeffizienten“ k = + 1 im Formular S. 476.

In Fig. 276a muss z. B. 4 «i und 7a um x vergrössert, yx und ß₂ dagegen um x verkleinert werden. Erstere erhalten den Korrektionskoeffizienten -|- 1, letztere — 1, und es ist:

sin (ß₂ — x).

sin (yl — x)

• sin (ax + x) =

A₂ b₂

sin (y₂ + x)

Um aus dieser Gleichung die Korrektion x in Sekunden zu berechnen, logarithmieren wir. Wir benützen ferner die Änderungsbeträge + d, welche die logsin der auf die Seitenlänge einwirkenden Winkel erleiden, wenn man letztere selbst um 1"

spitze stumpfe positives negatives

diese Beträge während der Streckenberechnung der Log.-Tafel entnommen und erhalten daraus jetzt:

ändert und welche für

änderung wachsen, d. h.

Winkel

mit

der Winkel

entgegengesetzt Vorzeichen besitzen. Wir haben

log Aj Bi -f (log sin at + x" • <U — (log sin yx — x" . ö7l) = log A₂ B2 + (log sin ß₂ — x". öß2) — (log sin y₂ -j- x" ö₇₂) oder (log A2 B₂ -j- log sin ß₂ — log sin y₂) — (log Ai Bi -|- log sin ax — log sin yx)

= x// ißai ön ~f“    -f- ö,,₂), d. h.

(2) X" =

log (gr.Wert d. gemeinsch. Seite) — log (kl. Wert d. gemeinsch. Seite)

[algeb. S der verwendeten Winkel]

Dieser Ausgleichungsbetrag x wird nun mit dem Vorzeichen des betr. Korrektionskoeffizienten den „verbesserten“ Winkelwerten zugeschlagen, wodurch sich die in die Spalte „ausgeglichen“ zu übertragenden Werte ergeben.

Die mit ihnen und den aus ihnen abgeleiteten Richtungswinkeln nAC und nBC ausgeführte „II. Berechnung“ wird aus beiden Dreiecken für die Koordinaten des Neupunkts übereinstimmende Werte liefern.

Beispiel. Die Koordinaten von Egert Knauer

—    46887,17 -(-51701,59

—    43132,28 +52228,40 Kirchberg — 42384,91 +51415,04.

= 30° 93' 19" = 119° 63' 98" = 49° 43'15"

Gegeben:

Gemessen: Die Winkel: Neupunkt 1—Egert—Knauer Knauer—Neupunkt 1—Egert Egert—Knauer—Neupunkt 1 Neupunkt 1—Knauer—Kirchberg = 59° 09'41" Kirchberg—Neupunkt 1—Knauer = 114° 89' 46".

Gesucht:    Die Koordinaten vom Neupunkt 1.

Ausrechnung s. nächste Seite.

Bei der soeben vorgeführten Lösung setzten wir voraus, dass der endgültige Punkt auf der ihrer Richtung nach „verbesserten“ gemeinschaftlichen Seite zu liegen habe. Man kann aber

3. auch annehmen, dass er in das durch die 3 (gestrichelten) Bestimmungsstrahlen (s. Fig. 276) gebildete „Fehlerdreieck“ hineingehöre. Will man dies durch entsprechende Winkelausgleichung bewirken, so müssen auch die zwischen der gemeinschaftlichen Seite und der Grundlinie liegenden Dreieckswinkel noch eine, wenn auch (weil diese bereits verbessert) kleinere Ausgleichung erfahren. Die unter Zurateziehung der Skizze zu bestimmenden Korrektionskoeffizienten k können dann statt wie vorhin + 1

im Fall der Fig. 276 a

für «i zu —(- 2 ßi „    ~(- 1

7i »

im Fall der Fig. 276 b

für ct{ zu -f- 1

ßl n +2

7i ,,

gewählt werden, wobei nur immer, wegen der festzuhaltenden Dreieckswinkelsumme, [k] = 0 sein muss.

Die Ableitung unter (2) geht dann für Fig. 276a über in:

sin («! -|- 2 x) =

für a₂ zu — 1

/?2 „ — 2

72 „ + 3,

für a₂ zu -f- 1 ß² n — 2 72 » H⁻ 1

A, B,

a₂ b₂

sin (y₁ — 3 x)

sin (72 + 3 x)

sin (ß₂ — 2x) oder

(log A₂ B₂ — log sin 72 + log sin ß₂) — (log Ax Bi — log sin yx -f- log sin ax) = (2 x . öß₂ -f- 3 x . dr2 -f- 2 x . öai -j- 3 x . d7l), woraus

log ]> Streckenwert — log <+ Streckenwert

[abs. k . algeb. d]

03 co | cq

IO CO | 03

© X CM ^ | ©

Ordinaten

rH X

O X

b-

HO

784

oo co oq -+ cq ^

oq

ic

y l±

<    <    °

b»    CO    rH

rH    X    X

oo co cq o

Abszissen

b- H

00 l>-X CO

215

cq co co oo

co

-*•

co

43]215 31 C +51 784

228

lO 05 H CO ^ CO

784

43 132 28 A + 52

Ay -

910 283 132 918

2 873 536

b- CM

42 384

830

43 215

Qj

! pO

log

TS

⁵³ <3

Yb — Ya 1 2 E sin n AB || 0 E cos nAB xB — xA

tg n AB

AB

Ax +

-xV

ZU

36

Ausrechnung zu Beispiel S. 475.

II. log-Berechnung I.

no

|l5‘0—jSOO]

2.827280

1.920780

043

300] +-1,29 n 1.919238 n

,343

n ;2.646877 n

i—0,16

+ 1,57

201

993

381

187

194

n 2.919289 n

813

2.568056

+ 747 ; 37

66 ! 08 i Ln

44

Winkel

verbessert |reduz.| gern. ^ ] ausgegl. / I «

Bezeichnung der Punkte

i—i © i CD ^ CD TfO® ^03 00 03 00 iO'J'ih O 03 I® lO H lOOCO

iolaoo io io 03

CO CJ 03 CO 03 ^ GO CD 03 O ! 03 00 O ! 00 03 CD

264 879 654 359

992 519

043 201 011 996

654 360

CO b- CM O 05 L-

os a ooo cc

|rH H CO l> lO ^

05 io CO O G0 05 05 lO O DlOO 0 0 05 05 05 CO

Yb — Ya xb — xA

nAB

AB

CMO ©Ol 05 05 (M 05 05 (N 05 XO CM 05 X 05 05CM05

AB E sin y cos n A C AC sin n A C sin ß

A B : sin y sin a cos nBC

BC

sin nBC

AB E sin y cos n AC

AC

sin n A C

sin ß

A B : sin y sin a cos nBC

BC

sinn BC

h X I O 05 05 X X —<

200

238

288

288

347

C rp CO H (M rH

H CO I CM I

2.654381 — 2.654343

200

1- CO ^ b-

r-H rH

x" =

— 0,21 + 1,29 — 0,16 + 1,57

15"

38

+ 2,49

05 05 I O X I

'S

654

157

884

770

041

CO CO    CO O    00    i—I    —¹    O    03031—1    o

03 CD    O    t>    Cq    oq    CQ    O 00 O    O

®    I    N    lO 00    O    CD xjH    "#03    IC CD    03    o

oo    )    —i    03 oo    o    oo n    t- 03'    cq o>t    Tf    o

X    I X    X C¹    o    X    •"-*    rH O    05 05 H    o

b- 05    O T}1    o    b»    CM    CM X    OXO    O

X O 05 05 X X r-H Ttl

nAC

nAB

A No. 1

A: Egert C: Neupunkt 1 B: Knauer

Summe 200

n B A 238 n B C 288

288

347

n AC nAB

A No. 2

Ci ^ cc IO CM

A: Knauer B: Neupunkt 1 C: Kirchberg

Summe ! 200

CD

pS

rH

£

™ 6

g)

cq © cq oj cq

TS

ZU

Yb — Ya

E sin n AB E cos nAB xb — xA

Yb — Ya + 526 81 xb — xA -j- 754 89

nAB 38 j 78 86 tgnAB

AB

AB

Nachdem zur Erlangung der „ausgeglichenen“ Dreieckswinkelwerte die Beträge kx je mit dem Vorzeichen des zugehörigen Korrektionskoeffizienten k den verbesserten Dreieckswinkeln zugeschlagen wurden, erfolgt die Endberechnung in den Spalten „Ausgeglichen“ und „II. Berechnung“ wie zuvor mit demselben Erfolg der Übereinstimmung der aus beiden Dreiecken erhaltenen Neupunktskoordinaten.

Am Verfahren (3) ist übrigens folgendes auszusetzen:

1.    Sind alle drei Winkel gemessen, so ist nicht zu billigen, dass im Fall der Figur 276 a die Winkel an den äusseren Endpunkten der Grundlinien bloss wegen der Notwendigkeit: [Zuschläge] = 0" einen anderen Zuschlag erleiden müssen, als die Winkel im Neupunkt. Der Mangel wird noch krasser, wenn die Winkel im Neupunkt nicht gemessen sind, und der Fall der Figur 276 a mit stumpfen Winkeln y, oder der Figur 276 b vorliegt. Denn hier erhalten die nicht gemessenen Winkel teilweise einen kleineren Zuschlag, als die gemessenen.

2.    Verlaufen die beiden äusseren Bestimmungsstrahlen genau parallel, so wird die Lage des Fehlerdreiecks, also die Rückungs-richtung für den Neupunkt unbestimmt, verlaufen sie nahezu parallel, so ist nicht zu verstehen, warum der endgültige Punkt in das langgestreckte Fehlerdreieck hereingesetzt werden soll, ohne doch in ihm die Schwerpunktslage einnehmen zu können. —

Einen Mangel der Punktbestimmung aus zwei aneinanderliegenden Dreiecken überhaupt bildet neben der Einseitigkeit der Strahlenlage bei der soeben angedeuteten Richtung der beiden äusseren Bestimmungsstrahlen, (der besten in bezug auf senkrechten Schnitt), der Umstand, dass ein etwa bei Beobachtung auf dem inneren Festpunkt (Bi in Fig. 276 a) unterlaufener grober Winkelfehler (z. B. die Anzielung eines unrichtigen Zielpunkts C, einer Telegraphenstange etc.) zwar grob fehlerhafte Neupunktskoordinaten liefern würde, ohne sich aber, wenn in C nicht beobachtet wurde, bei der Rechunng selbst irgendwie bemerklich zu machen. Die Messungsprobe wäre also in diesem Fall nur eine scheinbare!

§ 65. Übereinstimmende Berechnung aus beliebig vielen Dreiecken.

(Nach Oberst Tulla).

Auswahl der wahrscheinlichsten Lage des Neupunktes in einer fehlerzeigenden Figur als Schwerpunkt der Einzelschnittpunkte.

Verwenden wir, um eine gleichmässige Verteilung der Bestimmungsstrahlen über den Horizont zu erzielen, eine grössere

Zahl von aneinander sich anreihenden Dreiecken, so bildet die Bestimmung nur eine Erweiterung der vorigen Aufgabe. Ihre Behandlung schliesst sich, wenigstens in ihrem ersten Teil, völlig an die des § 64 an. Nachdem alle möglichen Dreiecke ausgewählt und nach den in § 58 gegebenen Regeln samt ihren gegebenen und gemessenen Stücken (Koordinaten und Winkeln) ins Formular eingetragen sind, erfolgt die Reduktion, bezw. Ergänzung der Dreieckswinkelsummen je zu 2 R in der Spalte „reduziert“. In ihr werden dann auch auf Grund der aus den Festpunktskoordinaten berechneten Richtungswinkel nAB und nBA die Richtungswinkel aller in mehr als einem Dreieck auftretenden Bestimmungsstrahlen gebildet nach Formel (3) des § 58. Deren zusammengehörige Werte werden aber, infolge von Festpunkts-, Projektions-, Verzerrungs- und Beobachtungsfehlern, nicht genau miteinander übereinstimmen. Wir wählen daher je ein Mittel (in der Regel das einfache arithmetische) aus ihnen als „verbesserten“ Richtungswinkelwert des fraglichen Neustrahls aus und tragen dieses in allen ihm anliegenden Dreiecken je in die Spalte „verbessert“ ein. Aus diesen Richtungswinkelwerten und denjenigen, unveränderten, der zugehörigen Grundlinien ergeben sich rückwärts durch Subtraktion nach Gleich. (1) des § 64 die „verbesserten“ Werte aller Dreieckswinkel a und ß zwischen solchen mehrfach vorkommenden Seiten und den Grundlinien. Die Kosten dieser „Verbesserung“ haben wegen der Grundbedingung a -j- ß -j- y = 2R und zwar in jedem Dreieck zu gleichen Teilen diejenigen Winkel zu tragen, welche soeben unverändert geblieben sind, also die y und die nicht an mehrfach vorkommenden Dreiecksseiten liegenden a und ß.

Die „verbesserten“ Dreieckswinkel dienen jetzt zur „ersten“ logarithmischen Berechnung der Längen der in mehreren Dreiecken gemeinschaftlich vorkommenden Seiten nach Formel (2) des § 58. Auch die hiefür erhaltenen, bis auf cm oder mm genau in der obersten und untersten Zeile der Spalte „verbessert“ einzutragenden Längen identischer Seiten werden nun nicht genau miteinander übereinstimmen. Die zur Herstellung dieser Gleichheit erforderliche rechnerische Winkelausgleichung ist aber jetzt nicht mehr so einfach, wie im § 64. Wir ziehen daher die graphische Behandlung vor und suchen zu diesem Zweck die Lage der Bestim-mungsstrahlen, welche zunächst der Bedingung widersprechen, sich in einem Punkt zu treffen, in der Gegend ihres Zusammentreffens und zwar derart zu zeichnen, dass ihre auftretenden gegenseitigen Abschnitte in grossem Massstab (etwa 1:10) erscheinen. Dies gelingt uns, wenn wir den durch irgend eines der Bestimmungs-

dreiecke (z. B. mit der Grundlinie 1—2) gebildeten Schnittpunkt als Ursprung 0 eines Koordinatensystems betrachten und (s. Fig. 277) die zugehörigen beiden Bestimmungsstrahlen aus ihren Richtungswinkeln mittels der Winkelteilung der Figur einzeichnen.

(Da die zu zeichnenden Bestimmungsstrahlen vom N e u p u nk 15 ihre in der Spalte „verbessert“ eingetragenen Richtungswinkelwerte aber von den Festpunkten ausgehen, ist die Winkelbezifferung um 2 R verdreht. Jeder nach seinem Richtungswinkelwert nAC eingezeichnete Strahl wird daher in der Figur die geographisch richtige Lage haben.)

Kommen nun die Seiten 1—C, bezw. 2—C ausser dem Dreieck über der Grundlinie 1—2 auch noch in anderen Dreiecken vor, so kann man die Unterschiede aller daraus gegenüber den aus A 1—2 erhaltenen Werten nach Richtung und Grösse in dem gewählten Massstab in die Fehlerfigur eintragen. Die durch die erhaltenen Endpunkte (Schnittpunkte der Neustrahlen 1 und 2 mit weiteren Bestimmungsstrahlen) gezogenen Parallelen zu den durch den jeweiligen Richtungswinkel auf der Gradeinteilung bestimmten Radien zeigen die wahre Lage jener weiteren Bestimmungsstrahlen. Da auch ihre Längen von den Ausgangs- (Fest-) bis zu den entsprechenden Schnittpunkten mit den Neustrahlen 1 und 2 sowohl, als mit anderen Neustrahlen berechnet sind, so kann man an sie anschliessend und in gleicher Weise fortfahrend die Lage aller einzelnen, durch die berechneten Dreiecke bestimmten Schnittpunkte und (soweit Dreiecksseiten nur einfach Vorkommen, ihre Richtungswinkel also noch nicht berechnet sind ev. unter Benützung der Winkel y) Bestimmungsstrahlen einzeichnen.

Zur Probe für die richtige Aufzeichnung und Rechnung müssen die in mehr als einem Dreieck auftretenden Strahlen geradlinig durch alle für sie gezeichneten Punkte gehen.

Fig. 277.

0O81

90-

4p

G.ozz

3.

'4

r°Op

7)

Schliessen die Bestimmungsdreiecke nicht durchlaufend aneinander an, sondern bilden für sich geschlossene Gruppen (s. 1, 2, 3, 7 einer- und 4, 5, 6 in der Figur 278 andererseits), so werden aus den nach früherem (s. S. 447) berechneten Richtungswinkeln je eines Bestimmungsstrahls beider Gruppen (ausgehend z. B. von 3 und 4) und demjenigen der zugehörigen Basis (3—4) die der letzteren anliegenden Dreieckswinkel und daraus die Strecken 3 V und 4 V abgeleitet. Dadurch ist die Zeichnungsmöglichkeit wieder hergestellt. Für die Berechnung solcher Hilfs-

Fig. 278.

Punktwahl in der Fehlerfi gur.

strecken wird man begreitlicher-weise ein Dreieck heraussuclien, dessen Bestimmungsstrahlen sich möglichst senkrecht schneiden.

Auswahl des wahrscheinlichsten

Punktes

3 in der fehlerzeigenden Figur.

Sind nach vorhergehendem alle Bestimmungsstralilen eingezeichnet, so haben wir in der „fehlerzeigendenFigur“, welche nur ebensoviele Schnitt-

punkte Si S₂... für den Neupunkt zeigt, als Dreiecke zu 4- dessen Bestimmung verwendet wurden, einen vermittelnden als endgültigen Neupunkt P auszuwählen.

Hiefür sind verschiedene Wege möglich, nämlich:

a) Wollen wir uns lediglich auf die in der Zeichnung bisher eingetragenen Schnittpunkte S stützen (wobei natürlich der nur zur Zeichnung nötige Punkt V im Fall der Fig. 278 ausser Betracht bleibt), wie dies z. B. bei den geometrischen Bestimmungen eines Markpunktes aus verschiedenerlei, sich widersprechenden Stückvermessungen vorkommt, so bezeichnet ihr Schwerpunkt diejenige Stelle, in der wir alle Einzelbestimmungen vereinigt denken können. Da aber die letzteren nicht gleichwertig sein werden, ist zunächst die Frage zu entscheiden: Welches Gewicht pi p₂ ... ps kommt jeder von ihnen, d. h. dem zugehörigen Punkt S zu?

Sind einmal diese Gewichte bekannt, so erhalten wir die Koordinaten £p und pP des Schwerpunktes in der Fehlerfigur durch Anschrieb der Momentengleichung für die Schnitt- (Massen-) Punkte Si S₂... Sn, in denen wir uns je die Kräfte Pi p₂... pn parallel zu den Koordinatenachsen angreifend denken.

Hat der Schwerpunkt S der Massenpunkte, d. h. der gesuchte Punkt P, in welchem die Gegenresultante mit der Kraft P = [p] parallel zu der Richtung der anderen Kräfte, nämlich _L zur x-Achse angreift, die Koordinaten £p und pP, die Einzelschnittpunkte die aus der Figur abgegriffenen Koordinaten ^ .. £n, Pj .. pn, so ist das System von Massenpunkten in Ruhe, wenn die Summe der statischen Momente

d. h. wenn:

Pi Ei + P₂ E₂ + • • • + Pn En — [p] • Ep = 0, [P • £]

[Pl '

(1)

Ep =

selbe Weise

Legt man die Kraftrichtung parallel zur x-Achse, so kommt auf die-

„ _ [p • n]

,p-ir

(1)

als Ordinate des Schwerpunkts.

Eine für die Ausgleichungsrechnung wichtige Eigenschaft des Schwerpunkts fällt uns bei dieser Gelegenheit in den Schoss. Denken wir uns das Koordinatensystem für die Fehlerfigur parallel mit sich selbst verschoben, so dass der Ursprung in den Schwerpunkt P fällt, so werden die Koordinaten der Schnittpunkte Sj, S₂... und ihres Schwerpunkts P

statt $ & ’ Es • • • ¹¹¹¹¹¹ (unter Beachtung ihrer — £p \ t)x, p₂ . . . Voi’zeichen) allgemein: pP und ........

Es — Pi~ Pp, 9s —

CL P-i $-0 ^

0.

Die Gleichung (1) gilt natürlich auch für dieses neue Koordinatensystem,

d. h. es wird

Pi (El — Es) 4- Ps (Es — Es) + . • . + Pn (En — Es) _ [pv]

[p]

[p]

Px (Pi — Ps) + p₂ (9a — Ps) 4- . • . + Pn (Pn — Ps)

[pv']

[p]

[p]    ■

Die Ableitung wäre ganz dieselbe gewesen, wenn an Stelle des ersten, Landesvermessungsachse parallelen, ein anderes, beliebig verdrehtes Achsensystem eingeführt worden wäre, sobald nur die Kraftrichtungen jeweils parallel bezw. senkrecht zu ihm angenommen blieben. Daraus folgt der Satz:

Der Schwerpunkt eines Systems von Massenpunkten hat die Eigenschaft, dass die Summe der Entfernungen v jeder der Punkte von einer beliebigen, durch den Schwerpunkt gehenden Geraden (Schwerachse), je multipliziert mit dem Punktgewicht ist == 0,

(la) [pv] = 0. •

zur

Die Gewichte p hängen nun im vorliegenden Fall jedenfalls ab vom Schnittwinkel y der Bestimmungsstrahlen.

Ein gewisser mittlerer Fehler des Schnittwinkels y verschiebt nämlich (s. § 44) den Schnitt zweier Strahlen mit den Längen ab

P (a + b)

a, b um e =

also umgekehrt proportional

sin~

dem sin des halben Schnittwinkels. Man könnte also, wollte man nur die Schnittwinkel y berücksichtigen, die Gewichte setzen p = sin² g oder, der Einfachheit wegen durch Einführung von Mittelwerten und Multiplikation mit einer Konstanten k: p = k-sin²-|-. Mit entsprechender Abrundung erhalten wir daraus für einen Schnittwinkel y = 0° — 15° (unbrauchbar) p = 0 15° — 23° (sehr schlecht) p = 1 23⁰ — 38°

38° — 54°

54° — 710 71 ⁰ — 90°

Weitbrecht, Vermessungskunde.

(schlecht)    p = 2

(mittel)    p = 3

P = 4 (sehr gut) p = 5.

(gut)

Damit wäre aber die Strahlenlänge gar nicht berücksichtigt. Besser ist daher die Einführung der Gewichte p = *₂, oder einfacher

(a -f- b)² sin²

(2)

a² b² ’

welche, etwa mittels Rechenschiebers, für jeden einzelnen Schnittpunkt zu berechnen sind.

Abgesehen von der damit gesteigerten Schwerfälligkeit der Rechnung erhebt sich aber dabei sofort die Frage: Warum werden bei der endgültigen Punktauswahl diejenigen, unter Umständen sehr guten, Schnitte von Bestimmungsstrahlen, für welche zufälligerweise kein Dreieck existiert (z. B. 3, 7, oder 6, 7 etc. in Fig. 278), nicht berücksichtigt? Sie wären doch zu berücksichtigen gewesen, wenn (was möglicherweise durch die Beobachtung eines einzigen weiteren Winkels hätte erzielt werden können, der die Strahlenlage selbst nicht, oder kaum geändert hätte) die betreffenden Dreiecke berechnet worden wären! Man kann nun, um diesem Einwand zu begegnen, sämtliche Schnitte der ihrer gegenseitigen Lage nach nun doch einmal gezeichneten Strahlen benützen, gleichgültig, ob sie in Dreiecken Vorkommen, oder nicht. Dabei wird aber deren Zahl Q)

sehr gross, die Berechnung also schwerfällig sein. Überdies werden viele Schnitte nur schwach konvergierender Strahlen ausserhalb der Zeichnung fallen und müssen daher vernachlässigt werden, wenn keine Weiterungen entstehen sollen. Es wäre daher wohl zweckmässiger, auf die Benützung der Schnittpunkte der Bestimmungsstrahlen überhaupt zu verzichten und letztere selbst und direkt in die Rechnung einzuführen.

Diesen Gedanken wollen wir in § 66 weiter verfolgen.

Für den Augenblick möge nach Gleichungen (1) und (2) der wahrscheinliche Punkt P in der Fehlerfigur gezeichnet sein. Wir können daher aus seinen abzugreifenden Abständen h von den Bestimmungsstrahlen und den Längen s der letzteren die Ausgleichungs-

beträge

(3)

u" =

ä «

7? ’

um welche die Richtungswinkel der Neustrahlen wiederholt zu verbessern sind, mittels des Rechenschiebers oder eines Diagramms

des Übersichtsplans der Fehlerfigur

s

(s. Fig. 279), dessen Strecken j im Massstab

gezeichnet sind, ermitteln. Sie werden mit den aus der Fehlerfigur ersichtlichen Vorzeichen den „verbesserten“ Richtungs- (oder Dreiecks)winkeln zugeschlagen, um deren „ausgeglichene“ Werte

Fig. 279.

uro g|

55".

50"-

yA

..."

45"-

40” ²

35" 30''-25' -20"-¹⁰ 15'" 10" 5".

"xL

zu erhalten. Aus letzteren, m Verbindung mit den als fehlerfrei durchweg beibehaltenen nAB ergeben sich rückwärts die „ausgeglichenen“ Dreieckswinkel, und in der „zweiten Berechnung“ die mehrfach auftretenden Dreiecksseiten nach dem Neupunkt und seine Koordinaten in allen Dreiecken übereinstimmend.

§ 66. Rückwärtseinschnitt mit graphischer Koordinatenausgleichung. Auswahl des wahrscheinlichsten Punktes P in der fehlerzeigenden Figur unter direkter Benützung der Bestimmungslinien.

Berechnet man die Koordinaten des Neupunktes zunächst aus drei günstig gelegenen Strahlen nach § 59, so können die dabei erhaltenen Werte wenigstens als Koordinaten y und p eines in der Nähe des Neupunktes P gelegenen „vorläufigen Punktes“ ^3 dienen, denen zur Erlangung der endgültigen Koordinatenwerte x und y nur die noch zu ermittelnden Zuschläge d x und d y zuzufügen sind, so dass:

y = p + dy.

(1)

x = y -)- dx

für P).

Zur Bestimmung der letzteren wollen wir die Lagebeziehungen zwischen dem vorläufigen Punkt 33 und den verschiedenen Kreisen feeometri-ermitteln, welche, als geometrische Orter für P, über den Grundlinien als Sehnen die im Neupunkt gemessenen Winkel fassen.

Wenn wir alsdann kurze Strecken dieser Kreise in der Nähe des Neupunktes zeichnen, so schneiden sie sich entweder in einem Punkt, eben dem Neupunkt, oder, was wahrscheinlicher ist, sie bilden eine fehlerzeigende Figur, innerhalb welcher der endgültige Punkt P auszuwählen ist.

Was die zu zeichnende Form dieser Kreisbogenstücke betrifft, so wird z. B. bei einem Halbmesser von nur r = 500 m die grösste Ausweichung (Pfeilhöhe) eines 1 m langen Bogenstücks von der

Sehne betragen:

Fig. 280.

x²

250

2r    1000

mm = 0,25 mm.

Im Massstab der Fehlerfiigur(l: 10) wird also diese Pfeilhöhe höchstenfalls betragen können 0,02 mm, d. h.: Man kann das 1 m lange Kreisbogenstück durch die Tangente ersetzen.

Für deren Richtungswinkel hat man aus Fig. 280 unter Benützung der in § 58 allgemein eingeführten Dreieckswinkelbezeichnungen allgemein gültig:

nTT = nPA-J-ß = nPB — a.

Nun ist allerdings keiner der in (2) auftretenden Rieht ungs-oder Dreieckswinkel bekannt. Sie lassen sich aber genügend genau aus den Koordinaten der Festpunkte und denjenigen des vorläufigen Neupunktes ^ ableiten.

Wären die Näherungskoordinaten auch um 1 m unsicher, so würde das bei 1000 m langer Dreiecksseite eine Verschwenkung der letzteren und damit der zu zeichnenden Tangente um höchstens y ^ ö der Länge, also hei einer im Massstab 1 :10 zu zeichnenden Tangente von 1 m Länge um mm bedingen, was ohne Bedeutung ist.

Wäre nun noch der senkrechte Abstand b der Tangente T T vom vorläufigen Punkt s$ bekannt, so könnte man letztere zeichnen.

Dazu    liefert    Fig.    281a    unter    kleinen    Vernachlässigungen

(wenn z.    B.    A P =    A ^    und    B P =    B ^3    gesetzt    wird):

i    ...    6a    sin a ,    4b

b = bA + bB = —Si^ + TSB

sb i    <5b

AB' q

Sa . Sb (6a -f- <5b) Sa Sb (/) — y

‘    ~ ab'

(2)

(3)

(3)

<?

i/ß

'T W\

l'&\B —\t/\A

sin (ß — Ja) sin (y + 6Ä)

6a

sa -

AB

Ebenso liefert Fig. 281b:

i.    4b

— bÄ ~ -— Sb -

e

sin (ß — 6a)

sin (y)

Sb

sa

sa

—' SB "* T>

q AB

Sa • Sb

AB

Sa

Sa

6a    sin a

— sA -

q    Sin y

Sb

Ab

ob — 6a sa sb . y — (y)

sa sb (y) —- y

AB

/>'

Fig. 281a.

Sb

vs

\\

Fig. 281b.

sy?

NfV

V⁰

//

Da im Fall der Figur 281 a bezw. 281 b die zu zeichnende Tangente T T von ^ß aus der Grundlinie A B a^'zurücken ist, so zeigen sich

ZU.“

beide Gleichungen (3) identisch, also allgemein gültig. Über die Richtung, in welcher b vom vorläufigen Punkt ^ß aus abzutragen ist, zeigt die Ableitung:

Der Abstand b liegt J_ zur Kreistangente und ist von ^ß

aussen (konvexe Seite) innen (konkave Seite)

aus nach

positiv

negativ

zu tragen, wenn (y) — y

ist.

Auswahl des wahrscheinlichsten Punktes P in der fehlerzeigenden Figur unter direkter Benützung der Bestimmungslinien.

Auswahl von P in der Fehlerfigur.

Sind unter Benützung eines vorgezeichneten Achsenkreuzes mit Winkelteilung und unter Annahme des vorläufigen Punktes ^ß als Ursprung mit den nach (2) berechneten Richtungswinkeln und den (etwa im Massstab 1:10 aufzutragenden) nach Gleichung (3) gefundenen Abständen b von ^ß die bestimmenden Kreistangenten gezeichnet, so gilt es, in der durch sie gebildeten „fehlerzeigenden Figur“ den wahrscheinlichsten Punkt herauszufinden. Hiefür sind aber jetzt im Gegensatz zu § 65 keine Einzelpunkte mehr, sondern lediglich Bestimmungslinien bekannt. Zwar stünde nichts im Wege, die einzelnen Schnittpunkte der Bestimmungslinien aufzusuchen und wie in § 65 zu benützen, wir wollen aber aus den dort entwickelten Gründen versuchen, ohne sie auszukommen.

Die einzelnen Bestimmungslinien haben nun nicht gleiche Bedeutung für die Lage des endgültigen Punktes P. Ihre Entfernung vom vorläufigen Punkt $ß

sa . sB _ (y) — y

d. h. ihre Lage in der Fehlerfigur hängt ab von der Genauigkeit des gemessenen Winkels y.

Ein kleiner Fehler d y verursacht eine Parallelverschiebung der Bestimmungslinie um:

d b =

(4)

Sa • Sb _ d y

Je grösser bei einem bestimmten mittleren Winkelfehler /1 = k. d y die Parallelverschiebung d b = h ist, um so geringer ist die Zuverlässigkeit der betreffenden Linie für die Punktbestimmung, um so geringer ihr Gewicht.

Wir können daher das letztere zu (

AB

oder unter

Sa • Sb

Veränderung der Gewichtseinheit festsetzen zu:

/ AB \2 \ sA • sB / ‘

Das Gewicht einer Bestimmungslinie wird also um so grösser, je kleiner Sa . Sb wird, d. h. je näher der Neupunkt hei einem der Festpunkte liegt. Dies stimmt mit dem Erfund (1) des § 59 überein.

Am raschesten ergäbe sich nun der vermittelnde, endgültige Punkt P in der Fehlerfigur durch Auswahl nach Gutdünken, wobei die Verschiedenwertigkeit der Bestimmungslinien etwa dadurch berücksichtigt werden könnte, dass man ihn in das von den höchstgewichtigen Bestimmungslinien gebildete Dreieck legen würde.

Dieses Verfahren ist bei kleiner Fehlerfigur, d. h. bei guter Übereinstimmung der Messungsresultate in der Tat genügend. Bei grösserer Fehlerfigur würde man damit aber zu ebensovielen Punkten P kommen, als Personen sich bei der Auswahl etwa beteiligen! Hier muss ein schärferes Verfahren Platz greifen (ohne dass dieses übrigens, wie selbstverständlich, vermöchte, aus schlechten Beobachtungen eine gute Punktbestimmung zu schaffen).

Wie auch immer der endgültige Punkt P in der Fehlerfigur gewählt werden möge: sobald er von irgendeiner der Bestimmungslinien einen Abstand h zeigt, so wird dadurch der für diese Linie massgebende gemessene Winkel y verändert (vielleicht verbessert) (s. Gleichung 4) um:

(5)

Pdes Bestimmungskreises -

(4 a)

^analyt. —■ h '

SA • SB

Zur weiteren Behandlung führen wir jetzt den Begriff des „Trägheitsmoments“ aus der Statik ein. polarem axialem

Trägheitsmoment eines Systems von Massenpunkten verstehen wir eine Summe von Produkten, je bestehend aus dem Gewicht p jedes Massen-

einem festen Punkt (dem Pol) einer festen Geraden (der Achse)'

Unter

punktes mal dem Quadrat seiner Entfernung von

Es gilt dann der Satz:

Für den Schwerpunkt P als Pol, oder eine durch den Schwerpunkt gehende Gerade als Achse wird das Trägheitsmoment eines Systems von Massenpunkten zum Minimum.

Seien die Massenpunkte bezeichnet mit: ihre Gewichte    „    :

ihre Entfernungen vom Schwerpunkt P: lt 1₂ ... ln und ist A ein beliebiger weiterer Punkt in der Entfernung e vom Schwerpunkt P, so erhält man für die Entfernung A S jedes Massenpunktes von A eine Gleichung von der Form:

A S² = e² -f- l² — 2 e 1 cos gp, wenn gp die Richtungswinkel der Strahlen P S in bezug auf P A als x-Achse vorstellt, also

p . AS² = p . e² -f- pl² — 2p . el cos cp.

Durch Addition sämtlicher Gleichungen kommt:

Beweis

(für das p< Trägüeitsmo

olare

ment).

Fig. 282.

n,

sx s₂... s„

Pl P₂ • • • Pn

■TT-- P

\\>

•&₂

- i- .

[p.AS²] — e² [p] —[p l²]—2e[plcosgp].

Nun stellt 1 cos gp in jedem einzelnen Fall die Abszisse, d. h. den Abstand des betreffenden Massenpunkts S von der Ordinatenachse in bezug auf P als Ursprung und P A als Abszissenachse vor. Also ist [p . 1 cos gp] die Summe der je mit dem Punktgewicht multiplizierten Punktabstände und nach der in § 65 bewiesenen Schwerpunktseigenschaft gleich Null. Hieraus folgt [p.AS²] = e²[p] + [p.l²]

und, da alle drei Summanden quadratisch, also positiv sind:

[p . A S²] > [p . I²],

solange nicht e = 0, d. h. A mit P zusammenfällt. Das polare Trägheitsmoment mit dem Schwerpunkt als Pol ist also ein Minimum.

Zum Beweis, dass für die Schwerachse y auch das axiale Trägheitsmoment zum Minimum wird, setzen wir dieses = T, das Trägheitsmoment in bezug auf eine beliebige Parallele p im Abstand e' von der Schwerachse aber — T'.

Die Abstände der Massenpunkte von der Schwerachse sind dann x: . . . xn, „    „    „    „    „    „ Parallelen sind (x₁ + e/)...(xn±e/),

das Trägheitsmoment in bezug auf die Parallele 9 also

T' = [p (x + e')³] = [p (x² + 2 e' x -(- e'²)] = [p x²] + 2 e' [p x] -(- e'² [p].

Da aber wegen der oben benützten Schwerpunktseigenschaft [p x] = 0, und die übrigen Summanden rechts quadratisch, also positiv sind, so wird auch hier = [p x²] -j- e/2 [p] > [p • x²] > T,

solange nicht e' = 0, d. h. die Parallele mit der Schwerachse zusammenfällt.

Bezeichnen wir also die Entfernungen der Massenpunkte S deren Lage für unsere Zwecke durch die graphisch dargestellten Beobachtungsergebnisse besimmt sein möge, von ihrem Schwerpunkt P, oder von einer beliebigen, durch ihn gehenden Achse (d. h. die Verbesserung an den Beobachtungsergebnissen), mit v, so hat

dieser Schwerpunkt zu (la) von § 65 noch die weitere Eigenschaft, dass

(6)

[p v v] = Min.) als Grundprinzip der Methode oder für px = p₂ = . . . pn : [v v] — Min.) der kleinsten Quadrate.

Setzen wir die durch Annahme eines nicht auf den Bestim-mungskreisen liegenden Punktes P an den zugehörigen gemessenen Winkeln y verursachten Änderungen v aus Gleichung (4 a) in (6) ein, so finden wir, dass die Grundbedingung der Methode der kleinsten Quadrate für gleiche Genauigkeit der im Neupunkt gemessenen Winkel y verlangt:

Min.

(6 a)

Von den verschiedenen, auf (6) sich stützenden Verfahren der Punktauswahl in der fehlerzeigenden Figur benützen wir das von Bertot 1876 erstmals gezeigte.

Wir müssen aber, ehe wir auf die Lösung selbst eingehen, noch einige Sätze vorausschicken, nämlich:

1. „Sind r Gerade LA, LB ... LR vom Gewicht pA, pB ... pR gegeben, so ist derjenige Punkt P, für welchen die Summe der Quadrate seiner Abstände h je multipliziert mit dem * Strahlengewicht p ein Minimum ist, zugleich der Schwerpunkt des aus seinen eigenen Lotfusspunkten F gebildeten Systems von Massenpunkten, wenn jedem von ihnen das Gewicht des Strahles beigelegt wird.“

Beweis (indirekt). Hätten die Fusspunkte F einen vom Minimumspunkt P ([p. P F²] = Min.) um die Strecke e entfernten Schwerpunkt A, so müsste

sein:

Fig. 283.

nach dem soeben abgeleiteten Satz auch [p . A F²] = Min.

PF²

Nun ist für jeden Fusspunkt gültig: h² = e² —G AF² — 2e . AFcosgp,

■wobei cp den Richtungswinkel der Strecken A F in bezug auf A P als x-Achse vorstellt, somit

\ p . hs = p . e² -(- p . AF²—2p . eAF . cosy und

[p.h²] = e²[p]-|-[p. AF²] — 2e[p. AF.cosqp].

Aff

Da aber nach der Voraussetzung A 'Aff der Schwerpunkt des Punktsystems F sein soll, so muss sein:

[p . A F . cos 9p] = 0

als Summe der je mit den zugehörigen Gewichten multipliziei’ten Punktabtsände von der durch A gehenden Schwerachse y.

Es müsste also sein:

oder

[p.h²] = e²[p] + [p.AF²] [p.h²] > [p.AF²],

und yP —

was der Voraussetzung [phh] = Min. widerspricht. Der Schwerpunkt der Lotfusspunkte F fällt also mit dem Minimumspunkt P zusammen.

Würden wir hienach durch Schätzung in der Fehlerfigur zufälligerweise den richtigen Punkt P gefunden haben, für welchen [p li h] = Min., so würden wir diese Tatsache daraus erkennen, dass er der Schwerpunkt S seiner eigenen Lotfusspunkte F wäre, d. h. dass xP =

[p . XF]

j-p-j (s. § 65 Gleichung 1).

[p]

Um P aufzusuchen, benützen wir den 2. Satz: „Sind mehrere Gerade L gegeben, und ist wieder für den Punkt P die Summe der Quadrate seiner Abstände h je multipliziert mit dem Strahlengewicht p ein Min., so ist für irgendeinen anderen Punkt A der Schwerpunkt seiner Lotfusspunkte $A . . ., denen ebenfalls je das Strahlengewicht pA . . . zugeschrieben wird, ein Punkt S, welcher zugleich der Schwerpunkt der mit denselben Gewichten bedachten Massenpunkte Q ist, in denen ein Kreis über AP als Durchmesser die von A nach den Strahlen gefällten Projektionslote schneidet.“

Die in Satz 2 ausgesprochene Behauptung (auf Fig. 284 übertragen) lautet also: Die Punkte $ und Q haben denselben Schwerpunkt.

Beweis. PQA ist ein rechtwinkliges Dreieck (Winkel im Halbkreis), also ist allgemein nach Richtung und Grösse:

PF

h = Q g. Da ferner allgemein Ag AQ Qgf = AQ + PF, so ist auch PF = A $ — AQ.

Fig. 284.

Da nun [p . P F . cos cp] = 0, wenn <p die Richtungswinkel der Lote h in bezug auf irgendeine durch den Schwerpunkt P der Lotfusspunkte F gezogene Achse darstellt, so ist [p . (A g — A Q) cos gt>] = 0 oder

Fr

■■y

[p . A ^ . cos cp] — [p. A Q. cos cp], d. h. in bezug auf eine beliebige Achse durch A ist die Summe der statischen Momente der Kreisschnittpunkte Q gleich der Summe der statischen Momente der Fusspunkte wenn jedem Paar der beiden Punktgruppen gleiches Gewicht zukommt, oder:    j

pjsc-

Fa

./

Die Massenpunkte $ und Q habenunterdieser Bedingung den- ^ selben Schwerpunkt

Nun kennen wir zwar zunächst den Kreis M nicht, auf welchem P als gesuchter Gegenpunkt des beliebigen Punktes A liegt, also auch nicht die Schnittpunkte Q

der Projektionslote mit ihm. Dagegen können wir einen beliebigen, den gesuchten Kreis M schneidenden zweiten Kreis 9Jt durch A mit dem beliebigen Halbmesser t zeichnen, der dem ersten (wie alle Kreise unter einander) jedenfalls ähnlich ist. Erklären wir, was hei sich schneidenden Kreisen zulässig ist, den Schnittpunkt A als inneren Ähnlichkeitspunkt beider, so schneidet jede durch A gehende Gerade die letzteren nach einem homologen Punktpaar, folglich sind die Schnittpunkte G des Kreises mit den Projektionsloten homolog den Schnittpunkten Q der letzteren mit dem gesuchten Kreis M. Dann ist aber auch ihr Schwerpunkt © homolog dem Schwerpunkt S der Q und Die Kreismittelpunkte und M sind einander selbstverständlich homolog, während der auf dem Kreise 9JI liegende, zu A auf Kreis M homologe Punkt 31 der Schnittpunkt der Tangente in A an Kreis M mit dem Kreis 9J1 ist.

Bestimmen wir demnach in der fehlerzeigenden Figur nach Gleichung 1 des § 65 jetzt den Schwerpunkt © der G

v _ 1p • yq]

¹

Das arithmetische Mittel zweier Logarithmen a und h entspricht dem geometrischen Mittel f/a b der zugehörigen Numeri. Dieses ist aber immer kleiner,

das eigentlich gewählt werden sollte, wenn

man den Neupunkt kurzerhand in die Mitte der Differenz setzen will. Denn es ist (a -f- b) — 2 V"a b — (V'a — V b)² also positiv. Jedoch ist die Differenz für grosse Werte a und b, die sich nicht stark voneinander unterscheiden, unbedeutend.

[p]    ¹    ' ® ~    [p]

und den Schwerpunkt S der (Q und) $

xs

[P •

[p]    ’

Js =

[p • yg]

[p]    ¹

so haben wir in ihnen ein Paar homologer Punkte beider Punktsysteme gefunden. Auch ohne den Schnittpunkt H des Ähnlichkeitsstrahls AS mit dem Kreis M zu kennen, finden wir ferner seinen homologen Punkt auf dem Kreis    als Schnitt dieses Ähnlichkeits

strahls mit ihm. Da die Verbindungslinien homologer Punkte in ähnlichen Figuren homolog sind und andere homologe Linien in homologen Punkten schneiden, so ist die Gerade HS homolog der Geraden ^ © und der dadurch zu findende Kreispunkt 31 homolog A. Dann ist aber A 31 Tangente in A an den gesuchten Kreis M. Des letzteren Durchmesser A P steht somit _L 3t A und geht durch den Gegenpunkt von 31 im Kreis 3)1. Für die Strecke A P = 2 r folgt aus der Ähnlichkeit der Kreise M und die Proportion:

((AP j AP

Ist mittels des berechneten Masses A P der endgültige Punkt P in die fehlerzeigende Figur auf der Geraden A sß eingetragen, so bilden seine der graphischen Darstellung zu entnehmenden Koordinaten die gesuchten Zuschläge dx und dy, womit man mittels Gleichung (1) die gesuchten Koordinaten xP und yP gewinnt.

(7)

2 r): 2 r = AS:3l©, d. h.

21 (3

• 2 r.

Also Lösung: Nach Aufzeichnung der Fehlerfigur aus b, und n T T folgt die Zeichnung eines beliebigen Kreises Sft und Annahme eines beliebigen Punktes A auf seinem Umfang.

Zusammenfassung der Punktauswahl.

Zum Zweck bequemer Berechnung von A P wählen wir als Halbmesser dieses beliebigen Kreises r = 50 cm.

Die Kreisschnittpunkte Q ergeben sich um so schärfer, je mehr der Schnittwinkel zwischen Kreis und Lot sich einem Rechten nähert. Um dies zu erreichen, wählen wir den Punkt A auf dem gezeichneten Kreis so, dass die von ihm ausgehenden Lote nach den Bestimmungsstrahlen möglichst durch 3k gehen, also etwa im Schnittpunkt eines von den übrigen Strahlenrichtungen besonders stark abweichenden Bestimmungsstrahls mit dem Kreis.

Nun: Bestimmung der Schwerpunkte S (der $) und © (der &). Zeichnung des Linienzuges AS^>, <£)©2l,    und zur Probe

• 2 r im gewählten

2t 0

Aß _L A2t. Abtragen der Strecke AP =

Massstab, Abgreifen von dx und dy.

Genauig

keitsunter

suchung.

Will man sich über die bei der Winkelbeobachtung erreichte Genauigkeit Aufschluss verschaffen, so entnimmt man die Abstände h des gefundenen Punktes P von den Bestimmungslinien aus der fehlerzeigenden Figur, berechnet aus ihnen nach Gleichung 4 a die zugehörigen Winkelverbesserungen

AB = h-Vp 0der

—- h q" Vp

und erhält schliesslich unter Beachtung, dass zwei Winkel nötig, also nr—2 überschüssig sind:

, . den mittleren /, _

^ Winkelfehler ^ ~

(8)

\ Wnalyt. - h *

Sa • Sb

±<rV£

[vv]

±e"V^hhl

Beispiel.

Gegeben die Koordinaten von

Rotenberg (R) + 29188,02 + 16014,70 Gablenberg (G) + 28644,80 + 11368,84 Berg Cannstatt

Gemessen im Neupunkt 1 die Winkel:

(B)    + 30796,55 -f 11731,96

(C)    + 31781,93 + 12010,25.

Gesucht die Koordinaten von Neupunkt P (vergl. Fig. 285a).

Lösung. Die vorläufige Berechnung aus den Festpunkten G, B und C mit Hilfe der Winkel y₃ und (7i — y₃) nach § 59 liefert für einen dem Neupunkt P benachbarten Punkt iß die Koordinaten:

% = + 12421,6.

Ei = + 30813,8

Daraus ergeben sieb nach Gleichung (2) des § 56 die genäherten Richtungswinkel (cp) und Längen (s) der Neustrahlen:

Fig. 285 a.

(y>R) = (n —P —R) = 114° 20' 44" und

(sr) ^ 8940 m

C 2 Camiftatt

(<pd)

B&

Berg

3>R

Rotenberg

d KGableedh

(n —P — G) = 205° 54' 04" ~ (Sg) ~ 2410 m (n _ P — B) = 268° 34' 02" ~ (sr)    690 m

(n —P —C) = 336° 58' 47" -w (sc)    1050 m,

sowie die zur Bildung von n T T nach Gleichung (2) nur angenähert nötigen Werte der Richtungswinkel der Grundlinien:

(<Pb)

(9>o)

n —R —G n — R — B n — G — B n —G —C n —C —R

263° 20' 290° 35' 9° 35' 11° 34' 122° 56'

R G    4680 m

R B    4570 m

G B    2180 m

G C    3200 m

C R    4770 m.

Für die Richtungswinkel der zu zeichnenden Tangenten erhält man daraus nach Gleichung (2)

CR 336° 59'-1- (114° 21'—122° 56')

56° 54' 92° 19' 104° 53' 171° 19' 328° 24'.

Fig. 285 b.

To .    160 ,    180 ,    200    ,

\ \ \ \ \ \ \. i I l / / / / / / /

140

220

I30\

60

60    50    10    30    20    10    0    10    20

40_50

/23Q

50

tw

HO

30

■250

90-

-270

r>

70

3Q<--

290

40

50^

GrC

310

(3)- :•

Der Abstand b der den Kreisbogen ersetzenden Tangente T T vom vorläufigen Punkt iß und ihr Gewicht p berechnet sich mittels der Gleichungen

Sa Sb

^-2L und (5) p = (~AB V

(>    \ sA sb /

AB

für den Bogen RG aus (j/j) — 7i = (205° 54' 04" —114° 20' 44") — 91° 33' 12" = + 8" zu + 0,079 0,2 für den Bogen R B aus

(уа)    — 7, = (268° 34'02" —114° 20'44") —154° 13'06" = +12" „ +0,085 2,8 für den Bogen G B aus

(y₈) — y₃ = (268° 34'02" — 205° 54'04") — 62° 40'00" = — 2" „ —0,007 1,7 für den Bogen G C aus

[yi) — yi = (336° 58' 47" — 205° 54' 04") —131° 04' 30" = + 18" „ +0,050 1,6 für den Bogen CR aus

(уб)    — yb = (114° 20' 44" — 336° 58' 47") —137° 22' 10" = —13" „ —0,055 1,3.

Die fehlerzeigende Figur (s. Fig. 285 b) ist klein. Es ist daher Aussicht vorhanden, den Minimumspunkt P durch Schätzung richtig zu finden, in welchem Fall mit Durchführung der Probe nach Satz (1) die Aufgabe erledigt wäre.

Wir wählen dx = +0,02, dy = +0,04, und vervollständigen diese

Wahl durch:

Bestimmung des Schwerpunkts der Lotfusspunkte F von P zur Probe für die richtige Punktauswahl:

Bezeichnung

des

Kreisbogens

xf

yF

P • xF

p • yF

v" =

cm

cm

cm

h q" Vp l)

v² = p h h

RG

RB

+ 3,2

— 0,5

0,2

+ 1,8

-0,1

+ 8,4

64

GB

— 2,6

GC

+ 2,1

+ 4,2 + 2,8 + 4,9

2,8

1,7

1,6

+ 9,0

-4,4

+ 3,4

+ 11,8

+ 1,4

25

+ 4,8

-4,5

— 12

144

+ 7,8

+ 0,6

CR

+ 2,5

+ 5,2

1,3

+ 3,2

+ 6,8

-1,2

7,6

[P • xf]

[p • yF]

[P]

[P]

246

13,0

31,1

4 7,6 = + 4,1 cm

‘ 7,6

= +1,7 cm

Der Schwerpunkt S der Lotfusspunkte stimmt mit dem gewählten Punkt P genügend genau überein. Die Punktauswahl war also richtig und die endgültigen Koordinaten des Neupunkts sind: x == -j- 30813,80 -f 0,02 = + 30813,82; y = -j- 12421,60 -f 0,04 = + 12421,64.

Gleichzeitig mit den Koordinaten der Fusspunkte F entnahmen wir der Figur ihre Abstände h vom endgültigen Punkt P. Daraus berechneten wir nach Gleichung (8) die Verbesserungen v, welche den gemessenen Winkeln y zuzuschlagen sind, um deren endgültige Werte zu finden. Die Vergleichung der Werte (y gemessen -j- algeb.v)

J) h und ^Vp =    ) *n derselben Masseinheit eingeführt!

mit den aus den endgültigen Koordinaten des Neupunkts errech-neten Richtungswinkelunterschieden y liefert schliesslich eine durchgreifende Probe für die Rechnung und Zeichnung: yx-f Vi = 91⁰ 33' 12" -f- 8" = 91° 33' 20" statt 91° 33'21“ y₂ -f v₂ = 154° 13'06“-f 5“ = 154° 13'11"    „ 154° 13'11“

62° 40' 00“ — 12“

73 -f- v₃ —

y₄ -j- v₄ = 131 ⁰ 04'30“-f 2“ = 131° 04'32“ y₆ + v₅ == 137° 22' 10“— 3“ = 137° 22'07“

62° 39' 48“    „    62° 39'50“

„ 131° 04'32“

„ 137° 22'07“.

Als mittlerer Fehler eines gemessenen Winkels y ergibt sich nach Gleichung (9)

m" =

±Y~ = +9“.

§ 67. Rückwärtseinschnitt mit rechnerischer Ausgleichung der Beobachtungswidersprüche.

Die der graphischen gegenüber der rein rechnerischen Behandlung von Ausgleichungsaufgaben im allgemeinen eigene erhöhte Übersichtlichkeit geht beim Rückwärtseinschnitt teilweise verloren, sowohl weil die zu zeichnenden Bestimmungslinien Kreisbögen sind, die auf dem Gelände keine Bedeutung haben, als auch weil ihre Lage nur durch Zuhilfenahme eines Übersichtsplans erschlossen werden kann.

Auch ist die Berechnung der Abstände b, der Richtungswinkel nPT und der Gewichte p schwerfällig. Trotz des Vorteils, etwaige grobe Fehler durch abnorme Lage des zu zeichnenden Kreisbogens in der Fehlerfigur sofort anzuzeigen, ehe ein grösserer Zeitaufwand nutzlos gemacht wurde, wird man daher gerade beim Rückwärtseinschnitt von der graphischen Behandlung meist absehen und rein rechnerischer Lösung den Vorzug geben.

und des Richtungswinkels einerstrecke.

Beziehung Zur Bestimmung der den Näherungskoordinaten y und p für aerangen'aer ^en Neupunkt beizufügenden Zuschläge dx und dy (s. Gleichung 1 Endpunkts- des 8 66) wollen wir vorbereitend die Beziehung feststellen, welche zwischen kleinen Koordinatenänderungen dx und dy des Endpunktes B einer Strecke AB und der dadurch hervorgerufenen Änderung d (p ihres Richtungs- (Neigungs-)winkeis <p = nAB besteht.

Für den Richtungswinkel nAB einer durch ihre Endpunktskoordinaten festgelegten Strecke A B haben wir in § 56 (Gleichung 2) erhalten:

Kleine Abweichungen rühren von der Abrundung der gewählten Neupunktskoordinaten auf ganze cm her. (Vergl. auch rechnerische Behandlung S. 505 u. 506.)

tg 11 A B = ~ xB

also n A B = arc tg

yß — Ya _ A y

~ A x

— XA

4 x '

Daraus folgt durch Differentiation, wenn man AB = s und nAB = cp setzt:

d (n A B)

d 9^analyt. -

S²

dy —4^dx’

oder

(1)

d cp" =

Q" d y -^Vdy q" d y —

s²

sin qp

p" d x

cos² q)

sin² <p

Aj

q" d x.

Setzen wir

(2)

s²

Q” =

COS (p

Ay

wobei also b das Vorzeichen von cos nAB bezw. Zlx, a das entgegengesetzte Vorzeichen von sin nAB bezw. A y zukommt, so erhalten wir die Veränderung d<p", welche der Richtungswinkel nAB = cp dadurch erleidet, dass man den Endpunkt B der Strecke AB um die kleinen Beträge dx und dy parallel den Koordinatenachsen verschiebt zu

dy

= a,

(3 a)

d cp" — a d x -f- b d y.

Die Koeffizienten a und b heisst man „Richtungskoeffi-

zienten“.

Verschiebt man statt des Endpunktes B den Anfangspunkt A der Strecke um dieselben Beträge, so ändert sich (wie auch geometrisch klar) der Richtungswinkel cp um denselben Betrag d cp, aber in entgegengesetztem Sinn. Es wird:

dcp" = —a.dx—bdy, oder (3 b) d<jp" = a d x -f- b d y, wenn

Fig. 286.

Parallele zur +ac-Achfe

71

5k

— a b = — b ist.

bc

P ^

cd

a a

CD tJT

ca O: CD i=s

p g

CD

3 a

p

CD P

CP ®.

1

II

^ CD

a P

Pj i-tj

B* cp

| & CO

CD

CD

X

g p

cd a £ £ S 2.

laf®

< ^

.ist

tili

lils

schon gefunden, so könnten wir die endgültigen Richtungswinkel [nPA]¹), [nPB] . .. der Verbindungslinien vom Neupunkt nach den benützten Festpunkten und aus ihnen durch Subtraktion die endgültigen Werte

(nr Gleichungen bei nr gemessenen Winkeln)

[y,] = [APB] = [nPB] — [nP A] \ (a) \ M = [B P C] = [n P C] — [n P B] (

der gemessenen Winkel ableiten. Dann könnten wir auch die den Messungsergebnissen yx — A P B, y₂ = B P C usw. zum Zweck ihrer Ergänzung zu den wahrscheinlichsten Werten zuzufügenden Verbesserungszuschläge Vj, V2 . . . ermitteln:

( V = [Yi] ~ Yi = [A P B] — yx = [n PB] — [n P A] — yx (b) ; v₂ = [y₂] — 72 = [B P C] — y₂ = [n P C] — [n P B] — y₂

Soweit sind wir nun noch nicht. Immerhin können wir aus den Koordinaten des Näherungspunktes ^3 für P die vorläufigen Richtungswinkel (n P A), (n P B) . . . (Scheitel in $ß), und aus ihnen durch Subtraktion Näherungswerte (yx), (y₂) . . . für die beobachteten Winkel ableiten:

(0

i (yi) = Ap = (APB) = (nPB)-(nPA) ' (y₂) = BP = (BPC) = (nPC)-(nPB)

Fig. 287. ParaJZele zur +oc Achfe.

TI

t

'v

x:

YcLx-A

Wir können weiter die Veränderungen d <pA, d<pB . . ., welche die vorläufigen Richtungswinkel (n PA), (n P B)... dadurch erleiden,

b [ ] hat hier und im folgenden jeweils nicht die dem Zeichen bisher allein zugeschriebene Summenbedeutung, sondern auch noch die Aufgabe, endgültige Winkel- oder Richtungswerte als solche zu kennzeichnen! Ob die eine oder andere Bedeutung in Frage kommt, ergibt sich aus dem Sinne der Ableitung.

dass man den vorläufigen Punkt nach P verschiebt, mittels Gleichung (3b) in den (zunächst unbekannten) Verschiebungen dx und dy ausdrücken, womit entsteht:

(d)

( d <pA = [n P A] — (n P A) = aA d x -)- bA d y d <pB = [n PB] — (nPB) = aB dx -j- &B dy

oder

(d)

( [n

' fn

Ph Ph

= (n P A) + aA d x 4- bA d y = (n PB) -f aB dx -f- bB dy

Setzen wir die gewonnenen Werte für [11PA] . . . in Gleichung (b) ein, so erhalten wir für jeden gemessenen Winkel eine, im ganzen also nr „Fehlergleichungen“ für die an den gemessenen Winkeln y anzubringenden Verbesserungen v:

—    bA d y — yx

—    bBdy — y₂

(Vi = (nP B) -j- aB dx + bB dy — (nP A) — aAdx (e) w₂ = (nPC)-f-acdx-j- bcdy — (nPB) — aBdx

Um die Schreibweise zu vereinfachen, wollen wir den in (3) des § 66 benützten Unterschied

( (yi) — Yi — (n P B) — (n PA) — yx ersetzen durch h (f) M-r. = (nPC)-(nPB)-ra „    „    1,.

Setzen wir ferner:

(f)

I Ü(les rechten Schenkels — °des linken Schenkels — 21

(b

des rechten Schenkels

des linken Schenkels

= 23,

so gehen die Fehlergleichungen (e) über in ihre gewöhnliche Form:

(g)

( vi ⁼ 2Ii dx -f- S81 dy 4- li 1 Normalform ■ v₂ = 2Udx4- 93ody+ LU der Fehler-

! ^ gleichungen.

Wir haben nun nach Gleichung (6) des § 66 die Aufgabe, die Lage des Neupunktes P so zu wählen, d. h. die gesuchten Koordinatenzuschläge dx und dy so zu bestimmen, dass (unter der Bedingung gleicher Winkelgenauigkeit)

[v v] = Minimum.

Quadrieren wir zu diesem Zweck die Fehlergleichungen, so erhalten wir ebensoviele Gleichungen, als Winkel y gemessen wurden, von der Form:

/in (v? = 2tfdx²+23l₁33₁dxdy-f-23r₁l₁dx + ^dy² + 2.i8₁l₁dy + l?

(h) •

Durch deren Addition kommt

(i) [v v] = [21 2t] dx² -f- 2 [2t ^8] dx . dy -|— 2 [2t 1] dx —(— [2323] dy²

+ 2 [231] dy+ [!!]•

Diese Funktion von dx und dy wird zum Minimum für:

(4)

( -p- • —1 = [2t 21] d X -f- [2t 93] d y -|- [2t 1] = 0 i Normalgleichungen

1 ““    ® x    --.v,    f zur Berechnung der

beiden Unbekannten dx und dy.

(5 -^It¹ = [®;®14x + f®!®] d y + [s:i]

Die Gleichungen (4) liefern in Verbindung mit (g) eine wichtige Eigenschaft der nach der Bedingung [vv] = Min. abgeleiteten Werte für die Unbekannten, analog der Grundgleichung [v] = 0 für direkte, gleichgenaue Beobachtungen.

Multipliziert man nämlich die Fehlergleichungen (g) der Reihe nach mit 2ti, 2I₂ . . . und addiert vertikal, so kommt:

(4 a)

[2t v] = [2t 2t] dx -f [2t23] dy -f- [211] = _0 ebenso durch Multiplikation mit 23 f [23 v] = [2t 23] dx -h- [2323] dy + [231] = 0 \

Um die Zahl der Unbekannten in Gleichungen (4) um eine zu reduzieren, wodurch sich der Wert der anderen ergäbe, könnte man irgendeine der bekannten algebraischen Methoden anwenden. In Rücksicht auf möglichst bequeme, schematische Durchführung der Rechnung und unter Berücksichtigung der symmetrischen Anordnung der Koeffizienten von x und y (in der einen Diagonalen, von links oben nach rechts unten, stehen nur Quadratsummen, in der anderen identische Produktensummen) hat jedoch der Schöpfer der Methode der kleinsten Quadrate, Gauss, im Jahre 1810 einen, vom sonst üblichen etwas abweichenden Rechnungsweg gewiesen, dem wir folgen wollen. Hienach wird grundsätzlich zuerst die links stehende Unbekannte eliminiert und zu diesem Zweck die mit

) multiplizierte erste Gleichung zur unveränderten zweiten Gleichung addiert. Dabei ergibt sich aus (4):

2 Koeffiz. der I. Reihe 1 Koeffiz. der I. Reihe

(k) ([23 23] —

[2t23]

[2t 23]

[2123]) d y -j- ([231]

[23 23. lPdy-f [231. lf = 0;

[2t 2t]

[2t 2t]

[211]) = 0, oder

woraus:

(5)

dy =

[231]

[2133]

[21 21]

[211]

[23 1. 1]‘>

[2193]

[23 23 . 1] •

0 Von Gauss eingeführte Symbole für die bei dem Koeffizienten von dy und dem Absolutglied auftretenden schwerfälligen Ausdrücke.

Um den Wert der links stehenden Unbekannten x zu berechnen, könnte man jetzt entweder den berechneten Wert der anderen (dy) in eine der Normalgleichungen einsetzen, oder statt der links stehenden jetzt die rechts stehende Unbekannte eliminieren. Damit würde aber der Schematismus in der Berechnung gestört, auf den man Wert zu legen hat, wenn es sich um häufig auftretende Rechenarbeiten handelt, deren mechanische Ausführung man untergeordneten Hilfskräften übertragen will. Der erstgenannte Weg der Einsetzung verhindert überdies die Berechnung des Gewichtes und mittleren Fehlers der zuletzt bestimmten Unbekannten, wie wir später sehen werden.

Man zieht es daher vor, die Normalgleichungen so umzustellen, dass die Diagonale der Quadratsummen dieselbe Richtung hat wie zuerst, aber die bisher links stehende Unbekannte x nun rechts erscheint, nämlich:

[58 23] d y -f[2t 58] dx + [581] = 0

[21 58] dy + [2t 2t] dx + [211] = 0.

Jetzt ergibt sich der Wert von x genau auf demselben Wege, wie vorher y.

Über die Genauigkeit der Winkelbeobachtung und der be-ke⁽]tesnbae"ggc'h. rechneten Koordinatenzuschläge dx und dy, also der Koordinaten x nuilg-und y selbst, erhält man Aufschluss durch Berechnung der nötigen Verbesserungen v, welche an den gemessenen Winkeln y anzubringen sind, damit Übereinstimmung mit den Unterschieden der endgültigen Richtungswinkel je der beiden in Frage kommenden Schenkel vom Neupunkt nach den Festpunkten erzielt wird.

Diese einzelnen Winkelverbesserungen v lassen sich durch obige Vergleichung, wie auch durch Einsetzung der Koordinatenzuschläge dx und dy in die Fehlergleichungen (g) ermitteln. Da es sich zur Ermittelung des mittleren Winkelfehlers nach Gleichung (9) des §66 übrigens nur um die Summe ihrer Quadrate handelt, so suchen wir diese einfacher als Nebenprodukt der Reduktion der Normalgleichungen zu erhalten.

Subtrahiert man zu diesem Zweck von Gleichung (i):

[vv] = [2I2l]dx² + 2[2t23]dx.dy + 2 [211] dx + [58 58] dy*

+ 2 [581] dy -f- [11]

die quadrierte und mit [2121] durchdividierte erste Normalgleichung (4)

0 = [2t 21] d x² -f- 2 [2158] dx.dy + 2 [211] dx -f

[2t 33] [2t 1] ,

[2t2t] ~ ^

[2t 23]²

[212(]

dy²

[2t l]²

[2t 2t] ’

so erhält man unter Anwendung der in Gleichung (5) eingeführten Symbole

[vv] = [33 33.1]dy² + 2[331.1]dy-f-[ll.l].

Durch abermalige Subtraktion der quadrierten und mit [33 33.1] durchdividierten Gleichung (k)

0 = [33 33 . 1] dy² —}- 2 [33 1.1] d y +

[81. l]²

kommt schliesslich

[8 8.1]

[81.1]

[11.2f.

Den Wert des Ausdrucks [11. 2]I} erhält man anlässlich der zur Bestimmung der rechtsstehenden Unbekannten durchzuführenden Reduktion der Normalgleichungen (4), wenn man deren dabei allein in Mitleidenschaft gezogene Koeffizienten noch um eine weitere, (durch zur quadratischen Diagonale symmetrische Ergänzung gewonnene) Zeile [311] [331] [11] fortsetzt, und auf die jetzt vorhandenen drei Zeilen (4') die Reduktionsmethode (k) anwendet. Die Koeffizientenglieder lauten jetzt:

(6) [vv] = [11.1]

[8 8.1]

[331-1]

(40

[3131] [3133] [311] oder, weil alle zur Diagonale der quadratischen Glieder symmetrischenKoeffi ienten identisch sind, ihr do pelter Anschrieb also entbehrlich [311]    [331]    [11] ist, abgekürzt geschrieben:

[3133] [33 33]

'X

CS3

31]    [3133] [311]

. l&m [23i] • [i i].

Die für die zweite Zeile wie oben bei (k), für jeden Koeffizienten

von Zeile I X rter

cr der dritten Zeile aber analog: (cr —

3. Koeff.

1. Koeff.

Koeff. von Zeile I) mechanisch durchzuführende Rechnung liefert

als Koeffizienten der [Wl SVJ 1] T^Rl 11 l I. Reduktionsstufe X . ij [-O

(k0

oder

abgekürzt geschrieben :

[33 33.1] [331.1]

[ll.l].

[331-1] [ii-i]

Nochmalige Reduktion nach dem Verfahren, das zu (k) führte,

liefert:

(6)

[11*1]

[331. 1]

[8 8.1]

-[931-1]

[11-2] = [vv].

;-v3

[VV]

Hat man [v v] auf die eine, oder andere Weise berechnet, so erhält man den mittleren Winkelbeobachtungsfehler nach Gleichung (9) des § 66

— 2*

Das Gewicht der jeweils errechneten Unbekannten ist schliesslich (analog dem bei der Wertsbestimmung einer durch n Beobach-

0 Yon Gauss eingeführtes Symbol für den schwerfälligen Ausdruck links der zweiten Reduktionsstufe.

(4")

oder

abgekürzt

geschrie

ben:

tungen 1 direkt gefundenen Grösse 33) gleich dem Nenner der

Py = [bb.l]

My =

Gleichung (5), also

dy

(7) I und ihr mittlerer Fehler Mdy

±V (S

— 2) [b b . 1]

(vergl. Weitbrecht, „Ausgleichungsrechnung“, § 18).

Die Umstellung der vollständig oder abgekürzt geschriebenen Koeffizienten der Normalgleichungen erfolgt mechanisch, letzterenfalls wie in (4') durch einen Pfeil angedeutet, so dass (4') übergeht in:

Berechnung der zweiten Unbekannten.

[33 33] [2133]    [331]

[2133|    |212t]    [211]

[»!] L3tl] [11]

[33 33] [2133] [331]

[212t] [211]

[11].

(4") dient schliesslich, wie vorhin (4'), zur Berechnung der bisher links stehenden Unbekannten dx.

Berechnung der Richtungskoeffizienten a und b und der Koeffizienten der Normalgleichungen. Auswahl der Mass-einheit. Rechnungsproben.

CE

'S

P-

CD

cd

)-■

P-

CD

P'

r.

PT

< PQ P-i Ph * ’ ö ö

111 S

|* SS

IIP

der Verbindungsstrecken vom vorläufigen Neupunkt nach den zu seiner endgültigen Bestimmung zu benützenden Festpunkten oder umgekehrt werden die Strecken selbst

cos gp

s = -4J~

sin cp

und die Richtungskoeffizienten

t sin ²<P~k

sin 2 cp

sin w    sin cp cos cp

s v    A x v

cos cp

sin cp cos <p

£

(cp für die Strahlenrichtung vom Neupunkt zum Festpunkt) gewonnen.

^Merkregel

o hat gleiches Vorzeichen mit sin cp b hat entgegengesetztes Vorzeichen mit cos cp.

Das häufig auftretende Bedürfnis ihrer Berechnung hat eine Reihe von Hilfsmitteln dafür erzeugt:

Für logarithmische Berechnung genügen 3-, oder 4 stellige Tafeln. Zahlentafeln für den Richtungswinkel cp als Argument sind u. a. entworfen und in den Buchhandel gebracht worden von Jordan und 0. Seiffert. Die der Jordanschen Tafel entnommenen Funktionswerte ₁₀QQ0 sin cp und -tqoöo“ cos »e^en» mittels Rechenschiebers

durch skm dividiert, 0,1 a bezw. 0,1 b. Die Seiffertsche Tafel gibt Werte für log q . sin cp cos <jp, welche, um logAx bezw. A y vermindert, log a bezw. logb liefern. (Zeitschr. f. Verm. 1893 S. 221). Aus Zahlentafeln mit den zwei Argumenten 2 (p und A x (bezw. A y) lassen sich direkt Werte für a und b entnehmen.

Graphische Tafeln für den gegenwärtigen Zweck haben herausgegeben: Seyfert (s. Zeitschr. f. Verm. 1893 S. 219 ff.), Franke (Ausgleichung, München 1884, S. 133/135) und Dr. Eggert (Berlin, hei Parey).

Rechenschieber, nach Angaben von Voigt mit entsprechender Einrichtung auf der Rückseite des Schiebers ausgestattet, werden von Dennert & Pape ausgeführt (Zeitschr. f. Verm. 1894 S. 183/188).

Gewinnung

der

Koeffizienten der Normal-

Die Koeffizienten der Normalgleichungen sind teils Quadratsummen [a a], [b h] . . . [11], teils Produktensummen [a b], gieicimngen. [a c] . . . [b c] . . . . Für die Bildung der einzelnen Quadrate und Produkte, wie für die Reduktion der Normalgleichungen, verwendet man, soweit die Rechengenauigkeit von drei Stellen ausreicht, den gewöhnlichen logarithmischen Rechenstab, für grössere Genauigkeit Quadrat- j(a + b)² — (a² + b²) = 2 ab oder (a + b)² — (a — b)² = 4 ab j bezw. Produktentafeln, oder grössere Rechenschieber, bezw. Rechenwalzen, und, falls auch deren Stellenzahl nicht ausreicht, Logarithmentafeln bezw. Rechenmaschinen.

Auswahl der Mass-

bekannten.

Sind die einzelnen Koeffizienten und Absolutglieder a, ei"dieitun-fürb, • • • 1 sehr ungleich, so nötigt das Vorhandensein besonders kleiner Werte « 1), wenn sie neben den grossen überhaupt noch zum Ausdruck kommen sollen, zum Mitschleppen vieler Stellen, zumal in den quadratischen Summen. Dadurch wird die praktische Rechnung erheblich erschwert. Eine Vereinfachung ergibt sich, wenn es gelingt, den Koeffizienten und Absolutgliedern ungefähr gleiche Stellenzahl zu verschaffen. Hiefür haben wir allgemein zwei Wege. Bei dem einen führen wir statt der Unbekannten mit den abnorm kleinen oder grossen Koeffizienten in den Fehlergleichungen ihren 10-ten, 100-ten . . . Teil oder ihr 10-faches, 100-faches ... als neue Unbekannte ein, wodurch die zugehörigen Koeffizienten auf den 10-fachen, 100-fachen . . . Betrag steigen bezw. auf den 10-ten, 100-ten Teil ermässigt werden. Bei Begehung des andern wählen wir die Masseinheiten für die Unbekannten und die Beobachtungsgrössen in Abweichung von den bisher eingeführten. (Längen nach Bedarf in m oder dm oder cm usw.,

Winkel in Minuten oder Sekunden oder in analytischem Mass, Gewichte in kg oder g usw., jedoch konsequent in einer und derselben Aufgabe immer gleich.)

Bei Triangulierungen niederer Ordnung benützen wir zweckmässigerweise beide Auskunftsmittel. Wir drücken zum mindesten bei Anwendung der Zentesimalteilung die sämtlichen Winkelgrössen in den Fehlergleichungen (z. B. das Absolutglied 1) in Einheiten von 10" (Dekasekunden) und sämtliche Strecken (z. B. die Koordinatenzuschläge dx und dy) in Dezimetern aus. An Stelle von a und b in Gleichungen (d), (e) und (f) tritt dann 0,1a und 0,1b (s. oben, Jordansche Tafel).

Rechen

proben.

Ein wichtiges Erfordernis für die stufenweise Ausführung längerer Rechnungen, von denen sich eine auf der anderen aufbaut, ist die Gewinnung von

Rechen proben.

Die blosse Wiederholung der Rechnung genügt hiefür nicht.

Eine durchgreifende Probe für die Bildung der Koeffizienten der Normalgleichungen, wie auch für deren Reduktion erhält man durch Einführung der Summe s der Zahlenwerte der Koeffizienten und Absolutglieder jeder Fehlergleichung (g)

r

< s₂

= 2Ci + »i + li

(8)

— 212 "j⁻ 23 2 ~f~ E

Multipliziert man nämlich die erste Zeile dieser Summengleichung (8) mit 2li, die zweite mit 2l₂ usw. und addiert vertikal, so erhält man als Kontrollgleichung für die erste Zeile von (4'):

(9)

[21 s] = [21 21] + [2123] + [211].

Führt man dieselbe Multiplikation mit

23i, 23₂ . . ., dann mit

li, 1₂ . . ., und schliesslich mit

Si, s₂ . . .

durch und addiert, so erhält man nacheinander

%■>

( [23 s] = [2123] + [23 23] + [231] ¹ [ls] = [211] + [231] + [11]

[SS] = [21 s] + [23 s] + [ls] ffiÄÄSKSfÄÄ

Rechnet man also ausser den zur Gewinnung der Unbekannten jedenfalls erforderlichen Produktsummen

[2121], [2123], [211], [23 8], [231], [11] noch die Produktsummen [2t s] [23 s] [1 s], so ist nach Gleichung (9) durch jede von ihnen eine Zeile der Normalgleichungskoeffizienten (4') summarisch geprüft. Sämtliche Koeffizienten einschliesslich der Kontrollproduktensummen [21 s] [23s] [ls] werden durch [ss] geprüft.

Will man daher auf die zeilenweise Kontrolle verzichten, so genügt nach (9 letzte Gleichung), als einzige summarisch durchgreifende Probe die Berechnung von [s s] (s. schematische Darstellung unten, in welcher jede Zeile rechts und links des Vertikalstrichs und die beiden durch fetten Druck hervorgehobenen Flächen je gleiche Wertsummen    beherbergen).

Koeffiz. der Normalgleichnngen    Probe

[2t 21] [2(23] [2(1]    [21 s]

[2(23] |23 23| [81]    [8 s]

>-

Probe

12(2(1 [2( 8| [2(1]    [21 s]

[2(1]    |81]    [111 [ls]

oder

abgekürzt geschrieben : *)

[8 8] [81]

[8 s]

[Hl • [iS] Y

[21 s] [23 s] [1 s]

Ls s]

[SS]

Bei der Reduktion der Normalgleichungen zum Zwecke der Gewinnung von dx und dy aus Gleichung (4) spielen diese Unbekannten nur die passive Rolle, dass in jeder neuen Reduktionsstufe eine von ihnen, nämlich die in der vorhergehenden Stufe links aufgeführte, verschwindet. Geändert werden durch die Reduktion nur die Koeffizienten [2t 21], [2t 23] usw. Man kann daher den Anschrieb der Unbekannten selbst füglich unterlassen. Dehnt man die (ganz mechanisch durchzuführende) Reduktionsarbeit auch auf die Summenglieder [2t s], [23 s] . . . der Kontrollgleichungen (9) aus, so ändert sich dadurch an den zur Berechnung der Unbekannten dienenden Koeffizienten der verschiedenen Reduktionsstufen natürlich nicht das geringste.

Man erhält aber auch für sie Kontrollgleichungen, nämlich für die I. Reduktionsstufe [vergl. (k')]:

[8 8.1] + [81.1]I —[8s. l] = 0

oder

Probe

|SB 1 . 1] + 111. 11 — [1 . 1] = 0

abge- [8 8.1]    [23 1 • 1]

[H.l]

kürzt

ge

[23 s . 1] [ls.1]

— [23 s . 1]

[Is . 1] + [ss. 1] = 0

schrieben :

[s s . 11

*) Im Fall der abgekürzten Schreibweise erfolgt die Kontrolladdition (wie durch Pfeile angedeutet) jeweils vertikal abwärts bis zur Quadratsummen-Diago-nalen und von ihr aus horizontal weiter nach rechts bis zum Vertikalstrich.

Die zeilenweise und Gesamtprobe der Koeffizienten dieser Reduktionsstufe ist also dieselbe, wie in Gleichung (9) für die Koeffizienten der Normalgleichungen selbst.

Die Fortsetzung der Reduktion liefert die Koeffizienten der zweiten Reduktionsstufe [vergl. Gleichung (6)], welche den Ivontroll-gleichungen genügen müssen:

[11.2]j — [1s • ²] = 0

— [ls.2]|+[S8.2] = 0

Die bei der ganz mechanisch durchführbaren Reduktion zuletzt erhaltenen drei Werte müssen, eine Schlussprobe, einander gleich sein und stellen nach Gleichung (6) die Quadratsumme der an den Beobachtungswerten anzubringenden Verbesserungen, also [v v] vor.

(11)

oder

abgekürzt

geschrie

ben:

Probe

|11.2]    [1 s . 2]

|ss, 2]

Als

Beispiel

nehmen wir dasjenige des § 66 nochmals vor:

Gleichzeitig mit der Berechnung der Richtungswinkel (90+, (qpu), (9+) und (gpc), deren Werte S. 492 aufgeführt sind, wurden gebildet die Richtungskoeffizienten a und £> (vergl. Spalten 3—6 der nachstehenden Tafel für Längen in dm):

im Neupunkt gemessene Winkel y a. T.

(7) =

(^rechts)— (cp links) ^rechts Olinks Brechts Blinks

a. T.

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7a

74

7s

RPG RPB GPB GP C C PR

91⁰ 33' 12" 154° 13' 06" 62 ⁰ 40' 00" 131⁰ OP 30" 137° 22' 10"

91⁰    33'    20"    — 0,37    + 0,48    + 0,77

154° 13' 18"

62°    39'    58"    —2,99    —0,37    +0,08

131⁰    04'    43"    — 0,77    — 0,37    — 1,81

137°    21'    57"    +0,48    —0,77    +0,22

2,99 +0,48 +0,08

(M (M l' t' H

Ol CM    00

cT cf ©~ t-T

52' 58"

53' 16"

— 6,64 ; — 0,55 — 0,66 + 0,17

Hieraus ergeben sich:

+ 18"    — 6,09

— 0,83

Koeffizienten der F ehlergleichungen

Koeffizienten der Normalgleichungen (mittels Rechenschiebers):

(7) — 7

31    33

in Dekasekunden

3131

31®

311    33®    ® 1    11

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

14.

15.

16.

17.

—    0,85 + 0,55

—    3,47 — 0,14

—    2,62 — 0,69

—    0,40 — 2,58 + 1,25 + 2,03

00^ cm^ cn^ cq^ co^

O    O rH r—i

+ 0,50

+ 1,98

J“¹ J-¹ J³⁵ 4° v.° "ot 7-* ~bo © -1 a os os os to

JG H J-J■ _© _© ~bi ~c '00 V

lli G3 P X 'I

— 0,68

—    4,16 + 0,52

—    0,52

—    1,62

O Ol OO SO CO CO O Tt* CO 1—I

cT cf cf <o~ tiT

+ 0,44

—    0,17 + 0,14

—    3,35

—    2,64

ffi ffl o 1^ os ZD <X> rfp 4^ rfp

GO JG JO _Oi O 'bc "go '00 io -i go o 00 o\

— 6,09 — 0,83 +1,8

5,12 21,35 |+ 5,41 — 6,46 11,59 — 5,58 5,50    25,18

Koeffizienten der Normalgleichungen und Reduktion:

1. Reduktionsstufe

>~*

+ 21,35    + 5,41 — 6,46 + 20,30

(- 1,38) (+ 1,64) (- 5,16)

! + 11,59 — 5,58 + 11,42 (— 1,95) (+ 6,15)

+ 5,50 — 6,54 (— 19,30)

-f- 25,18

soll 25,18

= -(- 0,39 dm = 4" 0,04 m

also dy =

— 3,94

10,21

Pdy = Py = 10,21

+ 10,21 —3,94 (- 1,52) + 3,55

soll

2. Reduktionsstufe

+ 6,27 + 6,26 (+ 2,42)

— 0,39 —0,39 (- 3,84)

+ 5,88 + 5,88

4- 2,03 +2,03

+ 2,04

[vv] = 2,03

m₇

= ±VT =

+ 0,82 decasecd.

= ± 8,2".

Mdy - My

'xf !

~ ± V 3^ 10.21

2,03

= + 0,26 dm = + 0,03 m.

Zur Berechnung von dx: Umstellung entsprechend dem Pfeil *.

+ 11,59 + 5,41 — 5,58 (- 2,53) (+ 2,61)

+ 21,35 — 6,46 (- 2,69)

+ 5,50

+ 11,42 (- 5,33) + 20,30 (+ 5,52) — 6,54 (- 11,26) + 25,18

soll

+ 18,85 —3,85 (- 0,79) + 2,81

+ 15,00 + 14,97 (+ 3,07)

+ 2,02 + 2,03

1,04 — 1,02

(- 11,92)

+ 13,92 + 13,96

+ 2,00

also d x

— 3,85

18,85

0,20 dm = + 0,02 m

[vv] = 2,03

Pdx — Px — 18,85

Max — Mx

2,03

3.18,85

- + 0,19 dm = + 0,02 m.

Der Zuschlag von dx und dy zu bezw. p, (s. S. 491) liefert die Koordinaten des Neupunktes 1:

x = + 30813,82 + 0,02, y = + 12421,64 + 0,03

in Übereinstimmung mit der graphischen Lösung S. 493.

§ 68. Vorwärtseinschnitt mit rechnerischer Ausgleichung der Beobachtungswidersprüche.

Die bisher vorgeführten Lösungen der trigonometrischen Punktbestimmung (abgesehen von § 67) hielten an der Bildung von Dreiecken als Grundlage fest.

Diese Bindung verbietet oder erschwert aber die Verwendung solcher beobachteter Strahlen, welche sich, auch wenn sie vorzügliche Schnitte ergeben würden, nicht in ein Dreieck einordnen lassen, und verlangt anderseits, wenn alle gemessenen Winkel ausgenützt werden sollen, die Häufung von Dreiecken an Stellen, wo sie für die Güte des Resultats vielleicht belanglos ist.

In Fig. 288 sind aus den fünf Bestimmungsstrahlen für den Neupunkt P z. B. nur zwei brauchbare Dreiecke zu gewinnen! Wir werden daher jetzt suchen, jeden beobachteten Neustrahl als Bestimmungsstück für sich, ohne Einfügung in ein Dreieck einzuführen, was zunächst am einfach- ^ sten beim reinen Vorwärts-einschnitt erscheint.

Fig. 288.

e%

PM--

!A

Die nv Bestimmungsstrahlen von jedem der benutzten Festpunkte A, B ... nach dem Neupunkt („äussere“ oder „Vorwärts “-Richtungen) seien auf Grund von nf in den Festpunkten beobachteten Winkeln a je mit nf Feststrahlen verbunden und mittels der zu letzteren gehörigen, aus den Koordinaten ihrer Endpunkte berechneten Richtungs- (Neigungs-)winkel cp orientiert, wobei allgemein wird:

n AP

"$c

(1)

ßA = nAR-j-RAP = nAR-f-af.

Die orientierten Richtungswerte ß erhalten dabei das Gewicht 1, 2 . . . nf, wenn zu ihrer Gewinnung 1, 2 . . . nf gemessene Winkel zwischen dem Neustrahle und 1, 2 ... nf Feststrahlen verwendet worden sind.

Wir haben dann dreierlei von jedem der Festpunkte A, B, . . . ausgehende, gegen den Neupunkt P gerichtete Strahlen zu unterscheiden, nämlich (vergl. Fig. 289):

1.    Die aus der Winkelmessung nach Gleichung (1) gewonnenen, zur Bestimmung des Neupunktes dienenden orientierten Richtungen ß, welche sich infolge von Ungenauigkeiten (in der Messung, den Festpunktskoordinaten usw.) nicht, wie es sein sollte, in einem Punkte schneiden werden und die wir mit n A P, n B P . . . bezeichnen wollen,

2.    Die Verbindungslinien der benutzten Festpunkte mit dem vorläufigen Neupunkt ^ß, deren aus den Koordinaten zu berechnende Richtungs- (Neigungs-)winkel mit (nAP), (n B P) . . . bezeichnet sein mögen, und

3.    Die Verbindungslinien der Festpunkte mit dem endgültigen, seiner Lage nach zunächst noch unbekannten Neupunkt P, deren zunächst unbekannte Richtungswinkel wir mit [n A P], [n B P] . . . bezeichnen wollen.

q)

\w

Wir erhalten dann folgende Gleichungen für die auftretenden kleinen Winkeländerungen (linksläufige Drehung in Fig. 289 bedeutet negativen Wert):

1) Notwendige Verdrehung der unter (1) bezeichneten Strahlen, damit sie durch den gesuchten Punkt P gehen:

vA = [nAP] — nAP = |>A] — ßA vB = [nBP] — nBP = |>B] — ß

Verbesserung«- QT, o chlag all f>A

(a)

» ß?>

I!

Fig. 289.

TL

Parallele zur

i»—i

dy

- w

-jfo

ob

V'

Wh

■\\ TL

2) Notwendige Veränderung dg> der Richtungswinkel nA^P

(n AP), nB^ = (nBP) ... für die Strahlen von den Festpunkten nach dem vorläufigen Punkt ^A, um sie durch den endgültigen Neupunkt P gehen zu lassen:

(b)

( d cpA = [n A P] — (n A P) d (jPg = [n B P] — (n B P)

••

Ersetzt man die endgültigen Richtungswinkel [n A P], ... in Gleichungen (b) durch nAP-f vA, ... aus Gleichungen (a), so erhält man

(C)

PP PP

PP Ph

• •• a¹ ^

• • • td >

( vA = d cpA -f (n A P) — n A P = d cpA + (n A P) — ßA (c) < vB = d    + (n B P) — n B P = d cpB -f (n B P) — ßB

oder

(n A P) — ßA

Die Änderungen d cp, welche die Richtungswinkel (n A P), (n B P)... dadurch erleiden, dass wir den Endpunkt nach P verschieben, können wir nun mittels Gleichung (3 a) des § 67 in den gesuchten Koordinatenzuschlägen d x und dy ausdrücken. Bezeichnen wir ferner die Richtungsunterschiede (n A P) — n A P

zwischen den Verbindungsstrecken der Festpunkte mit dem vorläufigen Neupunkt und den gemessenen, orientierten Richtungen ß analog Gleichung (f) des § 67 mit 1A, 1B . . so dass

(2)

( (n A P) — nAP = (nAP) — ßA = } (n B P) — n B P = (n B P) — ßB =

dann gehen die obigen Gleichungen (c) in die Normalform der Fehlergleichungen (s. Gleich, g des § 67) über:

(3)

( aAdx + bA dy + 1A = vA

deren wir zur Berechnung der Koordinatenzuschläge dx und dy ebensoviele (nämlich nv) erhalten, als orientierte, gemessene Richtungen ß nach dem Neupunkt vorhanden sind. Die Gewichte der Absolutglieder 1 = (nAP) — ßA, (n B P) — ßB, . . . sind, da deren Genauigkeit durch den Zuschlag der fehlerfreien Summanden (nAP). . . nicht geändert wurde, gleich denen der orientierten Richtungen ß, welche wir oben abgeleitet haben.

Nach dem Grundprinzip der Methode der kleinsten Quadrate haben wir nun [s. § 66 Gl. (6)] die Koordinatenzuschläge dx und dy so auszuwählen, dass (in Rücksicht auf die ungleiche Genauigkeit der reduzierten Beobachtungswerte ß):

[pvv] = Min.

Derselbe Weg, den wir in § 67 eingeschlagen haben, mit dem einzigen Unterschied, dass wir statt v² und [v²] jetzt p v² und [p v²] bilden müssen, führt uns über ähnlich, wie (h) und (i) gebaute Gleichungen zum Analogon der dortigen Gleichungen (4), nämlich zu den Normalgleichungen:

(4)

([p a a] d x -f- [p a b] d y -j- [p a 1] = 0 / [pab] dx -f- [pbb] dy -f [pbl] = 0,

aus welchen wir die gesuchten Koordinatenzuschläge dx und dy berechnen.

Folgen wir dem in § 67 eingeschlagenen Weg der Reduktion, so erhalten wir aus (4) analog der dortigen Gleichung (k) die Gleichung der ersten Reduktionsstufe:

([pbb]

[p ab]

[p a a]

[p ab]) dy -f ([p b 1]

[p a b]

[p a a]

[pal]) = 0,

woraus unter Fortsetzung der früher eingeführten Symbolik wird: [pbb. 1] dy —[p b 1. 1] = 0,

und analog (5) von § 67

dy =

[pbl. l]

[p b b . 1] '

(5)

Analog (7) von § 67 wird ferner Pdy

^ Py = [p b b . 1]

[pw] = [pll . 2],

(5 a)

(5 b)

und, da zur Punktbestimmung zwei Strahlen nötig, also (nv — 2) davon überschüssig sind,

[pll. 2]

(nv — 2) [p b b . 1]'

(5 c) Mdy = My =    = +V

Genau wie in § 67 gezeigt, erhalten wir schliesslich durch Umstellung die Normalgleichungen zur Bestimmung der in (4) links stehenden Unbekannten dx.

Reclien-

proben.

Zur Sicherung der Ausrechnung benützen wir die schon im §67 eingeführten Rechenproben für die Bildung der jetzt nur durch die Gewichtsfaktoren erweiterten Koeffizienten der Normal- und Reduktionsstufengleichungen:

/fi\ analog (9) von § 67

[paaH- [pab] + [pal] |pab] + [pbb] -f |pbl] [pal] + [pbl] + [PH]

[pas]+ [P b s] + [p 1 s]

= [pas] = [pbs] = [Pis]

= [p s s]

oder abgekürzt geschrieben:

[p a a] [pab] [pal] [P b b] [p b 1] .    _“ [pH]

[pas] [P b s] [pls]

[p s s]

(7) ao)

analog ' von

§ 67

[pbb. 1] + [pbl. 1] } [pbl • 1] + [pll • 1]

= [pbs. 1]

= [pls - 1]

oder

abge

kürzt

ge-

[pbb.l] [pbl.l] [p 11.1]

[pbs. 1]

[pls. 1]

[pbs . 1] + [pls . 1] — [pss.l] ([pll-2] = [pls . 2]

/ [pls. 2] = [pss.2]

analog (IX) von § 67

schrieben :

oder

abgekürzt

geschrie

ben:

[pss. 1]

[pH - 2] [pls. 2]

[pss. 2]

ebenso für den Strahl B P bezw. P B usw.

Als Gewicht p einer äusseren Richtung ß oder des zu ihr gehörigen Absolutglieds 1A, 1B, . . . haben wir in § 68 für den Fall des Vorwärtseinschnitts festgestellt:

Pi = 1, 2 . . . nf,

wenn der Neustrahl durch 1, 2 . . . nf gemessene Winkel mit 1, 2 . . . nf Feststrahlen verbunden ist.

Die Gewichte p der innen gemessenen Winkel y, bezw. der aus ihnen gewonnenen Absolutglieder 1 = (y) — y sind, wenn die Messung der y mit derselben Genauigkeit erfolgte, wie diejenige der a (bezw. ß) durchweg = 1.

Wir haben also bei vereinigtem Vor- und Rückwärtseinschneiden:

Fehlergleicliungen

Gewicht p der 1 Pf, A

Pf, B

= 'aA dx + bAdy -f 1A vB = aB dx + bB dy -f 1B

und

§ 69. Vereinigtes Vor- und Rückwärtseinschneiden mit rechnerischer Ausgleichung der Beobachtungswidersprüche.

Sind zur Bestimmung der Koordinaten xP und yP eines Neupunktes P sowohl Winkel a in den Festpunkten A, B. . . zwischen Feststrahlen und den Strahlen nach dem Neupunkt (äussere oder Vorwärtsrichtungen), als auch Winkel y im Neupunkt nach den Festpunkten beobachtet (innere oder Rückwärtsrichtungen), so kann man für die ersteren die Fehlergleichungen des § 68, für die letzteren diejenigen des § 67 gleichzeitig zur Anwendung bringen.

Man hat also dann statt nv, wie im Falle des Vor-, oder nr, wie im Falle des Rückwärtseinschnittes, jetzt (nv -|- nr) Fehlergleichungen, wenn von den Festpunkten zum Neupunkt herein nv, vom Neupunkt nach den Festpunkten hinaus nr Strahlen beobachtet wurden: Die Koeffizienten der Unbekannten in den Normalgleichungen setzen sich jetzt aus (nv -f- nr) Summanden zusammen. Wir erkennen ferner, dass die Richtungskoeffizienten a und a, bezw. b und b der Fehlergleichungen nach Richtung und Grösse einander gleich sind, wenn sie sich auf denselben Bestimmungsstrahl beziehen, d. h. wenn dieser zweiseitig, sowohl von aussen nach innen, als von innen nach aussen beobachtet wurde. Für den Strahl AP ist z. B.:

_ sin n A P

aA —    AP

cos n A P

-uup-e =

Q" =

sin n P A ..

A p Q    aA

cos n P A

AP

Q“ =

(i)

er

nv Gleichungen für t va nv Zielungen ,r vorwärts

woraus sich, wie in §§ 67 und 68 mittels der Bedingung [p vv] = Min., die zwei Normalgleichungen ergeben:

(2)

Fehlergleichungen

nr Gleichungen für nr Zielungen rückwärts

Vi — d. x    —{— d y    —j—    lx

v₂ =    2l₂ d x    -f-    23₂ d y    -f-    1₂

Gewicht p der 1

)([paa] + [2l2l])dx + ([pab] + [2l23])dy + ([pal] -f [211]) = 0, )([pab] + [2123]) dx + ([pbb] + [SS]) dy 4- ([pbl] + [531]) = 0.

Führt man für die Koeffizienten von dx und dy in obigen Normalgleichungen der Einfachheit halber die Bezeichnungen ein:

([paa] + [3121]) = [paa]; [pab] + [2133] = [p ab]; [pbb] + [23 23] = [pbb]; [pal] -f- [211] = [pal],

und [pbl] -f- [231] = [pbl],

so erhält man wie in den §§67 und 68:

[pbl. 1] [pbb.l]

Py = [P b b . l]

dy =

Pdy

[pvv] = [pll.2]

V-

[pll.2]

My = ±

und durch Umstellung der Normalgleichungen die links stehende Unbekannte dx.

Md y

[pbb. 1] (nv + nr — 2)

b) Punkteinschaltung aus Richtungsbeobachtungen.

§ 70. Vorwärtseinschnitt mit graphischer Ausgleichung der

Zielstrahlen.

(§ 66 Gl. 1)

y = b + dy.

Wir gehen, wie in den §§ 66 bis 69 wieder aus von einem in möglichster Nähe des Neupunktes P liegenden vorläufigen Punkt ^5, dessen auf irgendwelche Weise, z. B. nach §§ 58 bis 61 gewonnene Koordinaten £ und t) durch die zunächst unbekannten Zuschläge dx und dy ergänzt werden sollen zu den gesuchten Werten: x = £ + dx

Um diese Zuschläge zu finden, wollen wir wieder wie in § 66 die gegenseitige Lage der Bestimmungsstrahlen unter sich und gegenüber dem vorläufigen Punkt ^ in der Nähe des letzteren derart aufzeichnen, dass die Strahlenrichtung derjenigen im Gelände genau entspricht und die durch ihren Schnitt gebildeten linearen Grössen (die Abstände der Strahlen von sowie die auf ihnen und durch sie gebildeten Abschnitte) in grossem Massstab (etwa 1:10) erscheinen.

Die Strahlen richtung gewinnen wir durch Erweiterung des in § 63 lediglich zur Untersuchung der Festpunkte benützten „Abrisses“: Das in jedem der Festpunkte beobachtete Richtungs-

büschel «, welches wir dort scheitelgleich auf die von demselben Festpunkt ausgehenden Verbindungsstrecken nach den beobachteten anderen Festpunkten derart legten, dass möglichste Deckung je der zusammengehörigen Strahlen erfolgte,

[Richtungswinkel nAB

90 aus tg (p —

Al

(s. Gl. 2 des § 56),

Drehung des beobachteten Richtungsbüschels a um den Winkel (Gl. 1 von § 63), so dass die orientierte Richtung sich ergibt gleich ß — a + «Mittel]

enthält auch Neustrahlen, die durch Addition des Verdrehungswinkels oj zum zugehörigen beobachteten Richtungswert a ebensogut orientiert werden wie die Feststrahlen im Beispiel des § 63. Auch ihre Orientierung erfolgt daher — wie diejenige der Richtungen nach den Festpunkten — in Spalte 8 des Abrisses (jedoch mit roter Tinte). Zur Zeichnung der Strahlenlage und -Richtung in der Gegend des Neupunktes haben wir zwei Wege:

Entweder (s. Fig. 290) wir berechnen aus ihren orientierten Richtungswerten ß die Entfernungen a derjenigen Punkte vom vor-

«Mittel

m — [«]

nf

Fig. 290.

Parallele, zur

+xAchfe

,vvW/

ftr

l'i

/ ///

'S⁵ In

'Hi

läufigen Punkt Sß, m denen die Bestimmungsstrahlen die eine, oder die andere der durch ^ (£, t)) gezogenen Parallelen zu den beiden Koordinatenachsen (die Achsen der zu entwerfenden graphischen Darstellung) schneiden.

Diese Entfernungen ergeben sich allgemein nach Vorzeichen

und Wert:

für Abtragung auf der y-Achse zu: a = yF -f- (5 — xF) tg ß — 9 »    „    „    „ x-Achse zu: a = xF + (9 —yF)ctg/I—£.

Tragen wir die berechneten Entfernungen a im gewählten Fehierfigur. Massstab (1 : 10) von ^3 aus auf den genannten Achsen in der durch ihr Vorzeichen bestimmten Richtung ab, so erhalten wir je einen Punkt des zugehörigen, zu zeichnenden Neustrahls. Durch ihn ziehen wir letzteren selbst, als Parallele zum rechten Schenkel des mit der (—x)1}-Achse als linkem Schenkel und mit ^3 als Scheitel (mittels eines Transporteurs, oder unter Verwendung einer Sehnen-, oder Tangenstafel) aufgezeichneten Richtungswertes ß.

Oder wir berechnen ausser den orientierten Richtungen ß noch die entsprechenden Richtungs- (Neigungs-)winkel v von den Festpunkten nach dem vorläufigen Punkt ^J3 und aus der Differenz ö = ß — v und der Strahlenlänge s die senkrechte Querabweichung

i    ⁶“

b = ^rs

des Bestimmungsstrahls vom vorläufigen Punkt ^3. Sie wird von ihm aus im gewählten Massstabe senkrecht zu der wie oben aufgezeichneten orientierten Richtung ß und zwar, vom Festpunkt aus

für ö = + abgetragen, um durch ihren Endpunkt den Bestimmungsstrahl wie vorhin parallel zu ebendieser Richtung ß²) zu zeichnen.

Ist jetzt auf die eine oder die andere Weise die gegenseitige Lage der Bestimmungsstrahlen unter sich und zum Näherungspunkt ^J3 zeichnerisch bekannt, so handelt es sich um die Auswahl des endgültigen Punktes P in der entstandenen „fehlerzeigenden Figur“. Dabei ist zu beachten, dass bei gleichem Fehler in der Richtung die lineare Abweichung des Bestimmungsstrahles vom wahren Punkt P wächst proportional der Strahlenlänge s und demgemäss das Strahlengewicht für die Punktbestimmung umgekehrt proportional zum Quadrat der Strecke s.

Aufzeichnung der

Auswahl des endgültigen Punktes.

(1)

(2)

gesehen nach

links

rechts

x) Zur (— x)-Achse, weil die von der (-(- x)-Achse ausgehenden Richtungswerte ß des Abrisses vom Festpunkt zum Neupunkt, die hier zu zeichnenden Strahlen aber in umgekehrter Richtung verlaufen, also sämtlich einen um 2R abweichenden Richtungswinkel besitzen.

²) Ob hiebei der Richtungswert ß oder v verwendet wird, ist gleichgültig. Würde z. B. die Divergenz beider, von dem zugehörigen ca. 1 km entfernten Festpunkt ausgehenden Strahlen bei ^5 die Querabweichung 0,5 m liervorrufen, so würde sie auf die Ausdehnung der graphischen Darstellung von ca. 1 m eine Verschwenkung von nur

bewirken, welcher Betrag zu vernachlässigen ist.

500

1000 2

mm

oder im Massstab 1 :10 von

•—t o

mm

Folglich wird das Bestimmungsgewicht sein:

Ps =

Wo ferner auch immer der endgültige Punkt von P innerhalb der Fehlerfigur gewählt werden möge: seine Abstände h von den Bestimmungsstrahlen stellen deren Querverfehlung dar, aus welcher sich rückwärts die an den beobachteten orientierten Richtungen ß anzubringenden Verbesserungszuschläge v nach Richtung und Grösse berechnen lassen:

(3)

s² *

h „

— Q•

s ^

Gleiche Genauigkeit der Richtungsbeobachtung vorausgesetzt, müssen wir daher nach bisherigem verlangen:

(4)

v" =

(5) [vv] =

s₂²

-)

= Min.

oder unter Beachtung von (3)

(5a) [v v] = q² (pi hi² -f p₂ h₂² + ...) = q² [p hh] = Min., d. h. wir haben in der Fehlerfigur den endgültigen Punkt P so auszuwählen, dass

(6)

[p h h] = Min.

in Übereinstimmung mit Gleichung (6) des § 66, wo nur die Gewichte p der Bestimmungslinien andere Werte annahmen, als die Strahlengewichte des gegenwärtigen Paragraphen.

Die in § 66 angestellten Untersuchungen betr. die Auswahl des wahrscheinlichsten Punktes in der fehlerzeigenden Figur und die Art der Auswahl selbst gelten also uneingeschränkt auch hier.

Ist nach dem dort aufgestellten Verfahren der endgültige Punkt P in der Fehlerfigur gefunden, so bilden seine ihr entnommenen Koordinaten die Zuschläge dx und dy, womit man nach der einleitend angeschriebenen Gleichung (1) die gesuchten Koordinaten xP und yP gewinnt.

Zeichen-und Bechenprobe.

Zeichen- und Rechenprobe: Für die Bildung der endgültigen Richtungswinkel [n F P] der Neustrahlen hat man nun (wie in § 66 bei y) zwei einander und die Zeichnung der Fehlerfigur kontrollierende Verfahren. Zunächst berechnet man sie direkt mittels Gleichung (2) des § 56 aus den endgültigen Koordinaten von P, sodann aber auch durch Berechnung des Zuschlags v, der den orientierten Richtungen ß zuzufügen ist, und den man nach Vorzeichen und Grösse erhält aus der Ordinate h (senkrechter Abstand wie in § 66) des Punktes P in bezug auf den gezeichneten Strahl und der Strahlenlänge s.

Es ist

Sind 'derart die Richtungswinkel sämtlicher Neustrahlen mit Probe berechnet, so trägt man sie (mit roter Tinte) in Spalte (6) des Abrisses ein. Die (für die Neustrahlen rot einzutragende) Differenz v = (<p — ß) vervollständigt den Abriss zu einer übersichtlichen Zahlendarstellung der ganzen Triangulierungsarbeit.

Genauig-

keitsunter-

Erreichte Beobachtungs- und Bestimmungsgenauig-suchung. keit. Man erhält unter Beachtung, dass zwei von den nv beobachteten Strahlen zur Bestimmung nötig waren, die Zahl der überschüssigen also nv — 2 beträgt, die mittlere lineare Querverfehlung eines Strahls vom Gewicht 1:

(8)

i \ f [phh] — V nv — 2 ’

die mittlere Querverfehlung eines Strahls vom Gewicht p:

[ph~h]

(ny — 2) p ’

den mittleren linearen Fehler in der Bestimmung des Punktes P:

(9)

m„ ==

•±v

(10)

±V:

[Phh]

(nv — 2) [p] ’

den mittleren Beobachtungsfehler einer Richtung

(il)

mj =

±e“V£

[vv]

= ±Q"

nv — 2

Beispiel s. am Schluss von § 71.

§ 71. Vereinigtes Vor- und Rückwärtseinschneiden mit graphischer Ausgleichung der Zielstrahlen.

Sind ausser den Richtungen in den Festpunkten auch solche im Neupunkt beobachtet, so sind zwei Fälle möglich, nämlich:

a)    sämtliche Strahlen sind 2seitig beobachtet,

b)    ein Teil der Strahlen ist nur von den Festpunkten aus „ äussere Richtungen“, ein Teil nur vom Neupunkt aus „innere Richtungen“ und ein Teil 2 seitig beobachtet.

Wir betrachten zunächst den Fall a):

Bilden wir, wie in § 70 gezeigt, die „ orientierte Richtung “ ß (den aus der Messung reduzierten Richtungswinkel) für jeden Neustrahl vom betreffenden Festpunkt aus, so haben wir damit auch denjenigen vom Neupunkt zum Festpunkt gewonnen. Denn er unterscheidet sich vom ersteren nur um 2 R. Man kann also das im Neupunkt beobachtete (innere) Richtungsbündel nach den für die Neustrahlen von aussen herein erhaltenen orientierten Richtungswerten ß nun von innen nach aussen (ß + 2 R) genau ebenso orien-

tieren, wie es in § 63 mit den in den Festpunkten beobachteten Richtungen geschah, mit dem einzigen Unterschied, dass es sich bei den Grundlagen cp dort um feststehende Werte handelte, während die hier aus der Messung erschlossenen Werte ß verbesserungsfähig und -bedürftig sind.

Geschieht die Orientierung der inneren Richtungen statt nach den Werten ß + 2 R nach den Werten ß direkt, so erhält man dadurch je einen neuen Wert y für jede orientierte Richtung nach dem Neupunkt, der innerhalb kleiner Messungsdifferenzen mit dem zugehörigen Wert/?

übereinstimmen muss. Das arithmetische Mittel [i = ^ v beider

Werte spielt also dieselbe Rolle, wie in § 70 der Wert ß allein. Es

ist nur Y2 mal genauer. Der ganze Unterschied gegen den Fall des

§70 besteht also darin, dass die dortigen Bestimmungsgewichte

1 2 (s. Gleichung (3) von § 70) jetzt übergehen in p = —.

Ist b) nur ein Teil der Neustrahlen beiderseitig beobachtet, so lässt sich der Yerdrehungswinkel für die Orientierung des inneren Richtungsbüschels nur aus den von den Festpunkten (d. h. von aussen) herein orientierten Richtungswerten der 2seitig beobachteten Strahlen berechnen. Um 2 R vergrössert (bezw. verkleinert) treten letztere zunächst an Stelle der in § 63 zur Orientierung der Richtungen a benützten festen Richtungswinkel <jp, dienen aber nicht wie jene bloss zur Orientierung der ihnen entsprechenden, sondern wie in § 70 auch der übrigen, im selben Punkt (hier also der einseitig von innen heraus) beobachteten Richtungen. Ja es ist nicht einmal nötig, die orientierten Richtungen ß (von den Festpunkten nach dem Neupunkt) um 2 R zu verändern, um nach ihnen das innere Büschel zu orientieren. Lassen wir die Werte ß vielmehr, wie im Fall (a) unverändert, so liefert die Orientierung der letzteren wie dort lauter Werte, die innerhalb der Messungsgenauigkeit mit den von aussen herein orientierten Richtungswerten übereinstimmen müssen. Wir erhalten derart dreierlei Gruppen von ihrem Wert nach sämtlich von aussen herein orientierten Richtungen, nämlich:

1.    Die orientierten Richtungen ß für Beobachtungen nur in denFestpunkten. Ihnen kommt das Bestimmungsgewicht pa = -¥ zu.

2.    Die orientierten Richtungen y für Beobachtungen nur

im Neupunkt. Ihnen kommt das Bestimmungsgewicht pi zu.

3. Die orientierten Richtungen fi =

^ ~jj~ v für 2seitige

2

Beobachtung. Ihnen kommt das Bestimmungsgewicht pz = g2 zu.

Für das Gewicht einer der orientierten Richtungen haben wir also jetzt allgemein:

(1)

g2 1

je nachdem die Beobachtung ^"seitig erfolgte.

Der Yerdrehungswinkel &h Punkt- und Beobachtungsgenauigkeit natürlich um so sicherer, je grösser die Zahl der 2seitig beobachteten Richtungen, also der Einzelwerte wi ist. Jede Ungenauigkeit in toi würde sämtliche inneren und damit indirekt auch die 2 seitig beobachteten Richtungen (letztere um die Hälfte) in konstantem Sinn verdrehen. Die Fehlerfigur würde dadurch nicht nur grösser, sondern sie erhielte auch eine andere geographische Lage. Letzteres um so mehr, je verschiedener in der Länge und je unsymmetrischer über den Horizont verteilt die Neustrahlen sind.

Die technische Anweisung vom 19. Januar 1895 lässt aus diesem Grund für Katastermessungen in Württemberg die graphische Behandlung allgemein nur für Vorwärtseinschnitte zu. Für vereinigtes Vor- und Rückwärtseinschneiden dagegen nur dann, wenn die Zahl der 2 seitig beobachteten Richtungen mindestens halb so gross ist, als die Gesamtzahl der Rückwärtsrichtungen. Für Rückwärtseinschnitte überhaupt nicht. (Letzteres Verbot hängt wohl damit zusammen, dass der Verdrehungswinkel co für die inneren Richtungen auf dem hier angegebenen Weg überhaupt nicht bestimmbar ist, wenn kein Strahl 2seitig beobachtet wurde. Das Verfahren des § 66 wird jedoch davon nicht berührt.)

Aus den orientierten Richtungswerten denen wir von jetzt ab auch die aus 1 seitiger Beobachtung gewonnenen Werte ß und y zurechnen, bestimmen wir nach Gleichungen (1) oder (2) des § 70 die Elemente für die Aufzeichnung der Fehlerfigur. Die endgültige Lage des Neupunktes P in der Fehlerfigur aber finden wir wie in § 70 nach dem in § 66 ermittelten und angewandten Verfahren. Die Einführung des Strahlengewichts t ändert dabei an den Formeln selbst nichts, sondern nur an den Werten der Gewichte p. Zwar sind auch die Werte der orientierten Richtungen /t, also der Absolutglieder \ = fi — v und der Verbesserungen v jetzt nicht mehr gleich genau. Ihnen kommt vielmehr das veränderliche Gewicht t zu (s. oben) und wir verlangen für die Auswahl des Punktes P jetzt:

wo t =

IO I—¹

Mittel

für die inneren Richtungen ist bei gleicher

(2)

= Min.

Aber für p = —T wird auch

(2)

[tvv] = q² (pj hj² -f p₂ h₂² + ...) = q² [p h h] = Min.,

wie in § 70.

Ist der endgültige Punkt P ausgewählt und dx und dy der Fehlerfigur entnommen, so wird wieder xP = 5 -f dx

und es erfolgt die Ergänzung des Abrisses samt Probe für die

yr = b + dy

Zeichnung und Richtungswinkelberechnung nach (7) des § 70 wie dort gezeigt.

Beispiel.

Zur Bestimmung der Koordinaten des Neupunktes 6. Sonnenbühl wurden in 3 Festpunkten und im Neupunkt folgende Richtungen (in je 3 Sätzen) beobachtet:

2. in Reute

(x = + 30848,79 + 16061,28) n. T.

1. in Endberg

(x = -f 31895,47 y = + 14805,97) n. T.

0° 00' 31" 91° 09' 66"

nach Bergweg . . .

„ Sonnenbühl . .

„ Württemberg .    171°    99'20"

nach Endberg . . .    142° 51' 27"

.    156° 99'14"

.    172° 36'79"

„ Sonnenbühl . „ Bergweg . .

09' 17"

87' 20"

6. im Neupunkt Sonnenbühl

nach Reute ....    149° 56' 57"

„    Bergweg . . . 376° 80'40"

„    Württemberg . 173° 18' 27"

3. in Mittlerweg

„    Bergweg .    .    .    292° 44'72"

29' 08"

Gegeben sind ferner die Koordinaten von:

4.    Bergweg

5.    Württemberg x = + 29188,02 + 16014,70.

Welches sind die Koordinaten von Sonnenbühl, und wie berechnet sich daraus der mitt- ticuR^R lere Fehler einer in 3 Sätzen beobachteten Richtung, wenn die Koordinaten der Festpunkte als fehlerfrei angenommen werden?

Auflösung. Da sich zur Berechnung vorläufiger Koordinaten für den Neupunkt direkt aus den Beobachtungen heraus kein passendes Dreieck findet (s. Fig. 291), und um vor der Neueinschaltung die Lage der Festpunkte auf ihre Übereinstimmung mit ihren Koordinaten zu prüfen, stellen wir zunächst den

a) Abriss für die Festpunkte auf. Wir verbinden damit die Orientierung der in diesen Festpunkten beobachteten Neustrahlen, um hernach aus zwei passenden orientierten Werten vorläufige Koordinaten für den Neupunkt in der durch Fig. 269 angedeuteten Weise zu berechnen.

x = + 33678,59 + 14841,93,

Fig. 291. crgweg

Soruienbü.

JRMberg

nur.

55' 24"

'Oder meg

Reute

•h § Württemberg

x) Um eine eingehende Ausgleichung zu rechtfertigen, wurden absichtlich starke Abweichungen in die Messung hineingelegt. Auch wurden die inneren Richtungen nur an einen einzigen 2 seitig beobachteten Strahl angeschlossen, um den Einfluss mangelhafter Orientierung auf die Koordinatenzuschläge dx und dy bei graphischer gegenüber rechnerischer Ausgleichung (s. § 74) zu zeigen.

Abriss.

Zielpunkte

Ob 1-od. 2seitig beobacht.

Be-

obachtete

Richtungen

[a] + n . tu

[ß]

Endgültige

Unterschiede

<p — a

Richtungs- Orientierungswinkel

Winkel _ [<P - «1

Orientierte Richtungen ß = a + <u

Ver-

besse-

rung

v = q>-ß

Höchst-

Strecken- lässiger länge

/11-

wert von v

[ß]

[v]

—Vmax.

4 44

//

//

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

A. Gegebene Punkte (Festpunkte).

4. Bergweg . 6. Sonnenbühl ö.Württemberg

91

09

171

99

* CO CD §

No. 1. Standpunkt Endberg + 31895,47 y 1 28 37 92 37 56 173 26 86

1 28 06

1 27 66

+ 14805,97 (A westl.)

1 28 17 20 92 37 52    4

173 27 06

1783

427

82

54

20

2965

74

09

17

3 ft) —

83

58

92 79    1 27 86

—¹ 4

92 75 20    20

24    20

92,75

1. Endberg . 6. Sonnenbühl 4. Bergweg .

to

x = + 30848,79 y 142 1511271344 24 60 201 73 156 99 14358 72 84 172 36 79; 374 09 88

I I

No. 2. Standpunkt Reute

: +16061,28 (A mitten) 344 24 48 12 358 72 35 49 374 10 00

73

33

09

1634

1377

12    3081

84

89

73

3a>

87 20,    107 32    201

19 63\    \— 49

06 83'    \06\83

73

21

06

83

12 12

61 12

49

2. Reute . . ö.Württemberg 6. Sonnenbühl 4. Bergweg .

CO t— CO CM CM CM CO 05 i—l i-H CM Ol

04 97 194

39

39

82

44

57

72

199

305

364

29

08

64

68

No. 3. Standpunkt Mittlerweg + 31887,16 y = + 15974,96 (A nördl.) 71 99    71 67 021194 71 14 85*

06 28    71 66 46 199 05199 29

305 05 74

09 75    71 65j03 364|10 89    114*j 2120

18 51    \93 76 114 114

114 \126

1042

2699

98

05

62

12

748

93

64

+ 12

3 coli 66

17

* Wegen 75 der grossen 14 Differenzen 79 vergl. Fussnote S. 519.

93

76

93,76

12

2. Reute . . 4. Bergweg . ö.Württemberg

I—¹ I—¹ to

No. 4. Zielpunkt Bergweg x = + 33678,59 y = + 14841,93 (A östl)

No. 5. Zielpunkt Württemberg (Kuppel des Mausoleums) x = -j- 29188,02 y = + 16014,70 (Kreuz)

B. Neu bestimmte Punkte (Neupunkte).

No. 6. Neupunkt Sonnenbühl) x = + 31946,47 y — +15229,77

16    27 158 73 37

17    27 385 97 20 47

16 85 182 35 07    5

149 56 57 158 72 84 376 80 40 385 97 67 173 1 8 27 182 35 12

SD

53    1377

1775

2868

89

83

74

55 24 3cti=50 40

05,63 3 oi —

+ 1 l(ti = 9

50

16

39 j 05164 52 ] 53

80

(s. S. 539)

Die mit schrägen Lettern gedruckten Einträge werden in Wirklichkeit rot geschrieben.

05 64    05 64

1° 28' 37" 1783 m

„ Württemberg 173° 26' 86" 2965 m „ Endberg „ Bergweg

„ Mittlerweg „ Reute

„ Reute

[?> — «]

Erklärung zum „Abriss“.

Zuerst erfolgt der Eintrag der in den Festpunkten beobachteten Richtungen a aus dem Feldbuch, oder (bei exzentrischen Beobachtungen) aus der Zentrierungsberechnung in den Spalten 1, 2 und 3 mit schwarzer, (bezüglich der Nummern der Neupunkte mit roter) Tinte.

Die Berechnung nach § 56 Formel 2, (welche hier nicht abgedruckt ist), ergab aus den Festpunktskoordinaten für die Richtungswinkel (p und Längen s der beobachteten Feststrahlen folgende Werte:

von Endberg nach Bergweg

Sie werden in die Spalten 4 und 8 des Abrisses mit schwarzer Tinte eingesetzt. Nun werden die beobachteten Richtungen a, wie in § 63 gezeigt, durch

Addition des in Spalte 5 berechneten Yerdrehungswinkels «Mittel =

orientiert (ß — a -f- «Mittel) und (bezüglich der Feststrahlen schwarz, der Neustrahlen rot) in Spalte 6 eingetragen.

Für die richtige Bildung von «Mittel erhalten wir dabei die Rechenprobe: [v] = [cp — ß) = 0,

und für die richtige Addition von «Mittel dagegen die Rechenprobe:

\ß\ — [<*] “h n . «Mittei-

Zwei der im Abriss orientierten Richtungen ß, welche möglichst um 1 R voneinander abweichen (hier von Endberg und von Reute her) dienen jetzt zur

b) Berechnung vorläufiger Koordinaten j und p für den Neupunkt aus der Grundlinie Endberg—Reute nach dem in § 58 gezeigten Verfahren.

Bezeichnung der Punkte

Winkel

reduziert

log-Berechnung

Abszissen

Ordinaten

i+

i+

AC

427 m

A No. 1

nAC

nAB

92

144

A:1 Endberg C: 6nSonnen

51

bühl

133

B: 2 Reute

14

Summe

200

A B nach §56 Gleichung 2 berechnet

nBA

nBC

BC

344

358

io    i O    CM

cocqloo CD ! I> I CM l>

AB

a, dem „ . Abriss E sin y

a. dem--

u Abriss cosnAC

08

17

1377 m

AC

sinn A C

75 47 87 sin ß AB:sin^ sin a

00

O iO CD CO

a. dem    ~

Abriss COS nBC a. dem rj Abriss ü ^

sin n B C

tü 05 CB i ffl 05 CO CD KJ CO I O 05

213

063

077

630

996

353

277

861

901

138

780

365

731

310

160

877

064

096

879

1.707470

2.627037

496 3.040471

975

956 n 2.919931 n

Ax +

Ec +

A x 4-

Sc +

31

31

30

31

89547

50 99

946 46

848 79

097 67

946 46

Ay

9c

Ay

9c

14

805

97

423

15

68

229

16

061

831

15

65

229

65

c) Diese vorläufigen Koordinaten für den Neupunkt C „Sonnenbühl“ liefern nach § 56, Formel 2, die in Spalte 7 und 9 der Tafel zu Fig. 292 eingetragenen Fehlerfigur.

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

Bezeichnung der Festpunkte

Beobachtete Richtungen rückwärts

Orientierte

Rich

tungen

vorwärts

Unter

schiede

Orient.

Winkel

co

[ß-d\

Orientierte

Rich

tungen

rückwärts

r=a+(0

Aus

Wider

spruch

Mittel Näherung berechnete Richtungs- ö = Winkel

ß+r

Strah

len

länge

Quer

verschie

bung

Gewicht

82"

[A-V

⁰ l ' 1" l±l "

cm

(wobei s in km)

Imp

1.    Endberg .

2.    Reute. .    149

3.    Mittlerweg

4.    Bergweg

5.    Württemberg .

376

.    173

92

37

52

92

37

52    92 37 52

56

80

57

40

18'

27

358

305

| 55 | 24 (s. Winkelheft)

3W = 47 | 34 j 02 | 58

140

72

35

74

209

15

78

358

72

35 358

305

05

185

382

96

34

18 185

05 382

72

05

96

34

35 358 72 35

74 305 05 46

18 185 98 10

05 382 34 85

30    CD    tO

©    tO    GO    O O

427

1377

748

1775

2868

CO^ »ß    ©^

CO    CO    to

iß CO

to

Iß 1-4    00    CO^    r-^

r-T    r-T o*    cT

209

15

78

02

58

45

84

48 28 2 44

45 84

244

Fig. 292.

Aufzeichnung der Zielstrahlen.

150

160

170    180

ISO

200

210

220

130'

i //////    /    /

•230

/s

/8

180

200    210    220    230

24

\ \ V> \ I ¹ I /////// /    /

80    70    60    50    40    30    20 _10

⁰    10    20    30    40    50    60    70

120-

140

70

•fr

260

60

130

so

j£LL.

----J---

•240

110

40

♦-

;Y$ i

50

120-

30 - -

■h

100—

20

110

10

90- 100 —

10

ßt

90

80

?0-

80

30

70

40

70^

SO

V :

; • ! » • / \! ^ •* • / * ' !

. x .. : i ! \ ■/ i^.1

.. i .    .....j_____I___\_i^ — 4 _

..!....! J^LJ

^270

M;

t-

... ;—...j~-4—

;    ^ i i A :    :

40

■250

•—30

280

290

•260

—300 —270

■310

280

f£""³⁰

... 40

— 50

320

290

^330

60^

kl

70

340

■300

80    70    60    50    40    30    20    10    0    10    20    30    40    50    60    70    80

/ //////// M i \ \%\ \ \ \ \^\ \

30    20    10    0 390 *380 370    360    3!

50

40

50

310

40

30

20

10

350    340

330

320

Die Punkte F stellen die Fusspunkte der Lote von P, die Fusspunkte der Lote von A aus vor.

Die eingeschriebenen Fehlerbeträge sind in cm ausgedrückt.

liebsten Punktes in der Fehlerfigur.

Strahl No.

vorläufigen Werte v für die Richtungswinkel und s für die Yerbindungsstrecken vom vorläufigen Neupunkt nach den Festpunkten.¹) Die inneren Richtungen a in Spalte 2 sind direkt der Messung (bezw., bei exzentrischer Beobachtung, der Zentrierungsberechnung), die Richtungen ß in Spalte 3 der Spalte 6 des Abrisses entnommen. Erstere liefern durch Orientierung je nach dem zugehörigen Wert ß (im vorliegenden Beispiel nur nach einem einzigen) die orientierten inneren Richtungen y.

Die Spalte 6 nimmt die Mittelwerte ^ aus den orientierten inneren (y) und äusseren (ß) Richtungen auf, soweit überhaupt 2seitige Beobachtungen, also Mittelwerte, vorhanden sind, im übrigen die Werte ß oder y direkt. In Spalte 10 und 11 sind die nach Gleichungen 2 und 3 des § 70 unter Benützung des Rechenschiebers berechneten Querverschiebungen h, mittels welcher die Fehlerfigur nach dem in § 70 gezeigten Verfahren entworfen wird, und die Bestimmungsgewichte p eingetragen.

d) Wählt man als Mittelpunkt 2Jt eines beliebigen Kreises (Fig. 292) denAu®^^+®s Koordinatenursprung, als Halbmesser die Strecke r = 50 cm und gibt man dem Kreisschnittpunkt des Strahls 2 die Bedeutung von A (s. § 66), so erhält man den Schwerpunkt © der Kreisschnittpunkte Q und den Schwerpunkt S der Lotfuss-punkte ^ nach der Ableitung S. 490 wie nachstehend berechnet:

für A (— 0,40, -f- 0,30 m)

Schwerpunkt © der Kreisschnittpunkte D

xd y& p • ¹ d p •

cm

cm

cm

cm

xs

cm

Schwerpunkt S der Lotfuss-punkte g

ys p.xg P.ys

cm

cm

cm

rl Ol CO ^ 1(5

+ 45,5

—    40,0 + 34,3

—    49,0

—    49,8 — 4,5 — 5,0

4* + +

20,0 +250,3 30,0 — 44,0 36,2 + 61,7 10,4 — 14,7

+110,0 + 33,0 + 68,2

3,1

0,5

»q_ i-> oo_ cq_ th_ icT T t-T ©" cf

+ 2,9

—    40,0 + 0,5

—    32,2

—    54,8

©_    ©^    co^

»cf    ©~    eo~    of    i-T

Cd    co    co    ©    <M

l£-    I-¹

CH

JO JD

GH *-d “cd "©

+137,5 + 33.0 + 60,3

+ 18,6

2,1

+312,0 — 63,7

+208,2

8,8

3,6

+ 16,8 — 59,2

+249,4

2,1

x@

+248,3

-1-204,6

y© =

= + 28,2    = + 23,2

8,8

8,8

xs

— 42,4

8,8

ys

+248,3

8,8

= +28,2

Nun zeichnet man den Linienzug A S bis £>, § © bis 21, 21 SDl bis und A P. Auf letzterer Richtung trägt man ab:

AS 21©

AP =

35,2

78,7

= -4,8

• 100 = 44,6 cm.

Der Endpunkt dieser Strecke zeigt die Lage des Neupunktes P und liefert die gesuchten Koordinatenzuschläge:

d x = + 0,01 m d y = + 0,12 m,

woraus

X Sonnenbiilil ⁼ + 31946,46 + 0,01 = + 31946,47; ySonnenhiiiil = + 15229,65 + 0,12 = + 15229,77.

Probe für die

Zur Probe für die richtige Punktauswahl in der Fehlerfigur: Schwerpunkt der Lotfusspunkte F (für P (+ 0,01, —0,12 m).

Strahl

No.

H (M CO    lO

XF

yF

p • xF

p • yF

cm

cm

cm

cm

+ Ä4

—    5,0 + 2,3 + 10,0

—    12,0

+ 12,0 + 38 + 12,0 + 52,5 — 34,0

+ 7,7 — 5,5 + 4,1 + 3,0 -1,2

h-> U5    05

Oi    4^-    05

ho ~05 lo “©

«f

8,8

+ 104,2 104,2 yp— 8,8 = + 0,9 cm = + 11,8 cm, stimmt.

xP = +

t-H GO 00

e) Die jetzt gewonnenen endgültigen Koordinaten für den Neupunkt Sonnen-

Aufzeich-

nung der bühl benützen wir zur Berechnung der endgültigen Richtungswinkel cp = n P F für Fehlerflgur.

die Neustrahlen (die logarithmische Rechnung nach § 56 bleibt hier zur Kürzung weg). Zur Probe für ihre und die richtige Berechnung der vorläufigen Richtungswinkel v sowie für die richtige Zeichnung der Fehlerfigur entnehmen wir der letzteren die Ordinaten h des Neupunkts in bezug auf die Bestimmungsstrahlen.

muss sein gleich v" eee n P F — pc ± 2R. (Kleine Unterschiede zwischen v und u sind nach dem Umstand zu beurteilen, dass eine Verschiebung des Neupunktes P

Die mittels Rechenschiebers daraus berechnete Winkelverbesserung u"

um

jr cm (Koordinatenabrundung) bei 1000 m Strahlenlänge schon eine Änderung

des Richtungswinkels um

0,005

1000

q" = 3" n. T. verursachen kann.)

A.

xA u. yA

6. Neupunkt Sonnenbühl + 31946,47    + 15229,77

B.

1. Endberg 2. Reute

3. Mittlerweg

4. Bergweg

5. Württem-

berg

xb

xb —XA

ys — yA

31895,47

14805,97

51,00

423,80

30848,79

16061.28

1097,68

831,51

31887,16    33678,59    29188,02

15974,96    14841,93    16014,70

59,31 + 1732,12 — 2758,45 745,19 — 387,84 + 784,93

<P

nAB

//

nPF

^ + 2R

<P — /*

Aus der F ehlerfigur

292 37 56 292 37 52

^ T* io OS 00 CO ^

„ (M (M —1— u- ¹

00 00 o io iO

H rH

44

//

//

105 05 62 105 05 74 — 12

385 97 67 385 96 18 + 1 49

182 35 12 182 34 05 + 1 07

0,3 cm + 10,2 cm

u"

4"

47"

,5 cm + 41,7 cm + 13" + 1' 49" +

48,0 cm

1'07"

Abschluss des Abrisses.

f) Zum Schlüsse der Triangulierung werden jetzt die endgültigen Richtungswinkel cp für die Neustrahlen in Spalte 4 des Abrisses mit roter Tinte einge-

tragen. Deren in Spalte 7 zu bildenden Abweichungen v gegenüber den orientierten Richtungen ß dürfen die Fehlergrenze VMax

An Württemberg 60 -f-

n. T. wie in Spalte 9 eingetragen^

40000"

in keinem Fall überschreiten. Um übersehen zu können, ob die Neubestimmung dieser Bedingung genügt, wird in Spalte 11 der Wert VMax wenigstens in denjenigen Fällen eingeschrieben, in welchen die Abweichung v den Betrag von 60" n. T. übersteigt.

Als Rechenprobe haben wir: [9p] — [v] = [/?] = [«] n. u>. g) Will man sich über die bei der Punktbestimmung erreichte Genauigkeit kGetnauitg_ Aufschluss verschaffen, so berechnet man unter Beachtung, dass 2 der n Bestim- suchung. mungsstrahlen zur Bestimmung nötig, also (n — 2) überschüssig waren, die mittlere lineare Querverfehlung eines Strahls vom Gewicht 1

mh

oder

den mittleren Fehler einer einseitig beobachteten Richtung und den mittleren linearen Fehler in der Bestimmung des Punktes P

[p h h]

(n — 2) [p]'

Oder man konstruiert nach § 58 Fehlerellipsen, indem man für eine Anzahl etwa in profilartigen Reihen angeordneter Punkte der Fehlerfigur je die mittleren Fehler M, oder m„ berechnet und — nachdem diese Werte als Ordinaten zur Punktreihe aufgetragen sind — Punkte bestimmter runder M oder m„ interpoliert. Die Verbindungslinien gleichartiger solcher Punkte, die „Fehlerellipsen“ zeigen mit ihrer Längsachse die Lage der grössten Bestimmungsunsicherheit an. Das oben behandelte Beispiel liefert in Fig. 292 für den gewählten Punkt P den mittleren linearen Bestimmungsfehler M = + 5,7 cm. Wäre dagegen statt P irgend einer der mit x und Zahlen versehenen Punkte in Fig. 292 als Neupunkt gewählt worden, so hätte der mittlere lineare Fehler der Punktbestimmung die angeschriebene Zahl von cm erreicht. Die Auswahl von P auf dem Umfang der eingezeichneten Ellipse, statt in ihrem Mittelpunkt, hätte z. B. einen linearen Bestimmungsfehler von 10 cm geliefert. Lage und Form der Kurve lässt für vorliegendes Beispiel erkennen: die grosse Achse verläuft von Ost nach West. In dieser Richtung ist die schlechteste Bestimmung vorhanden. Die Unsicherheit in der Abszisse ist ca. 2^-mal kleiner, als die der Ordinate. (Vergl. hiemit deren mittleren Fehler mx = + 0,03, my = + 0,07, S. 542/543). Abzuhelfen wäre durch Beobachtung weiterer, etwa nördlich gerichteter Bestimmungsstrahlen.

§ 72. Vorwärtseinschnitt mit rechnerischer Ausgleichung der Beobachtungswidersprüche.

Der Vorwärtseinschnitt auf Grund von Richtungsbeobachtungen unterscheidet sich von dem Verfahren des § 68, in welchem Winkelbeobachtung vorausgesetzt war, nur durch die Verschiedenheit der Gewichte p für die Bestimmungsstrahlen. Während dort jeder von einem Festpunkt ausgehende Neustrahl durch 1, 2 ... nf unabhängige Winkel auf 1, 2 ... nf Feststrahlen sich gründete,

also 1, 2. ..nfmal öfter beobachtet war, als jeder Feststrahl, und daher das Gewicht p = 1, 2 ... nf erhielt, ist bei Benützung von Richtungsbeobachtungen jeder von einem Festpunkt ausgehende Neu-und Feststrahl gleich oft beobachtet, also gleichgewichtig. Sind in die beobachteten Sätze ausser dem Neustrahl wieder nf Richtungen «i ... a„f nach Festpunkten („Feststrahlen“) aufgenommen worden, deren aus Koordinaten berechnete Richtungswinkel wieder cp heissen mögen, so ist, wie in § 63, das beobachtete Richtungsbüschel a zur Orientierung um den Winkel coMittei zu verdrehen, der sich ergibt als arithmetisches Mittel aus allen möglichen Unterschieden (p — a:

[cp — a]

«Mittel = —-

nt

Damit wird die orientierte Richtung nach dem Neupunkt

ßp = «p + -^T¹

- «p -f- COMittei

(1)

und ihr mittlerer Fehler

mp = ± VK + miMlll„.

Setzt man die Richtungswinkel cp der Feststrahlen als fehlerfrei voraus, so ist der mittlere Fehler von (cp — a) gleich demjenigen von a, somit, da zur Bildung von cd -f-- nf gleichgenaue Werte cp — a verwendet wurden, mw =

(2)

m«

V nf

Damit wird

ma A/ni+i

nf

mß = ± V <+-£

und wir erhalten aus der Proportion p^ : pa = m^ : m| das Gewicht der in den Festpunkten satzweise beobachteten „äusseren“ oder „Vorwärts“-Richtungen ß nach dem Neupunkte:

nf

— p« ' nt + r

(2a)

m².

Vß = P«-2

Für pa = 1 wird also

P/? =

nf

(3)

nf + l

Mit diesen neuen Strahlengewichten p wird die Lösung genau wie in § 68 durchgeführt.

§ 73. Rückwärtseinschnitt mit rechnerischer Ausgleichung der Beobachtungswidersprüche.

Das in § 67 vorgeführte Verfahren liesse sich ohne weiteres auch auf Richtungsbeobachtungen anwenden, wenn man die dort als gemessen vorausgesetzten Winkel durch Subtraktion je zweier Richtungswerte a gewinnen wollte. Die Zahl der zu verwendenden Winkel und Fehlergleichungen wäre aber dann beim Vorhandensein von nr beobachteten und gleichmässig zu berücksichtigenden inneren Richtungen = Q ) ’ a^so sePr Sross-

Wir suchen daher

ein einfacheres Verfahren. Wie bisher berechnen wir zunächst die Koordinaten y, t) eines in möglichster Nähe des Neupunktes P gelegenen vorläufigen Punktes ^3 und betrachten dann die ihnen zuzufügenden Zuschläge d x und d y, aus denen wir die gesuchten Koordinaten mittels xP = y -f- dx, yP = t) + dy erhalten, als eigentliche Unbekannte.

Das im Neupunkt P gemessene Richtungsbüschel a kann man nun, ohne an der gegenseitigen Lage der Strahlen, also an der Eigenschaft der Richtungen als Messungsresultaten etwas zu ändern, um den zunächst unbekannten Betrag Z derart verdrehen, dass die Individuen dieses mit dem Scheitel nach dem zunächst unbekannten endgültigen Punkte P gelegten beobachteten Strahlenbüschels von den Verbindungslinien des endgültigen Neupunkts mit den Festpunkten möglichst wenig abweichen. Wären Messung der Richtungen und Lage der Festpunkte fehlerfrei und Projektionsverzerrungen nicht vorhanden, so müssten dann sogar sämtliche zusammengehörigen Strahlen einander decken; der Unterschied: endgültiger Richtungswinkel [n P A] ... — endgültig orientierter Richtungswert [aA]... wäre = 0. Träfe dies dagegen — wie es in Wirklichkeit der Fall sein wird — nicht zu, so würden die Unterschiede direkt die an

Z — o) —j— z.

Damit wird aus den im Neupunkt P endgültig orientierten, nach den Festpunkten A, B,... gemessenen Richtungen a:

(1)

den endgültig orientierten, gemessenen Richtungswerten [aA] ... anzubringende Verbesserungen vA ... darstellen. Um den unbekannten Verdrehungswinkel Z zu finden, zerlegen wir ihn, wie in ähnlichen Fällen gewohnt, in einen Näherungswert co und den unbekannten Zuschlag z, so dass:

(2)

[Oa] = «A + Z-

Einen Näherungsbetrag co für den Verdrehungswinkel Z gewinnen wir, wenn wir das gemessene Strahlenbüschel mit dem Scheitel — statt auf den endgültigen, aber zunächst unbekannten Punkt P — vorerst auf den vorläufigen Punkt ^3 so legen, dass die beobachteten Richtungen die Verbindungslinien von ^3 nach den Festpunkten möglichst decken. Dies ist der Fall, wenn die Summe der Abweichungen P der vorläufig orientierten Richtungswerte aA -f- co, «B -f- o)... von den zugehörigen vorläufigen Richtungswinkeln rA, vB, • • • = (n P A), (n P B). .. = 0 wird, d. h. wenn

(n P A) — (aA -j- (o) -J- (n P B) — (aB —|— ct>) —j— . .. = 0. Setzen wir die (durch Addition von <y zu den gemessenen Richtungswerten a) vorläufig orientierten, aber in ihrer gegenseitigen

Lage dadurch nicht veränderten Richtungen a -f co = a°, nnd die Unterschiede

j(n PA) = vA\ — ai = li j(nPB) = vB\ — cc°B = ]'B,

so wird hieraus: [P] = 0, und wir erhalten für den vorläufigen Verdrehungswinkel:

co

(n P A — aA -p (nPB) — aß -p • • • -4- (n P R) — aß _ \v — a]

(3)

nr

nr

2 der vorl. Rieht.-Winkel — 2der gern. Richtungen _    [v] — [a]

nr

nr

Wir haben für jeden Bestimmungsstrahl jetzt vier Richtungswerte zu unterscheiden, nämlich

a)    die im Punkt vorläufig orientierte, gemessene Richtung a°,

b)    den Richtungswinkel vA, vB ..., oder (n PA), (n P B). .. der Verbindungsstrecke vom vorläufigen Punkt sj3 zum Festpunkt A, B..

c)    die im Neupunkt P endgültig orientierte, gemessene Richtung

[a] — 05 -f W-fz = 05° -j- z,

d)    den Richtungswinkel [nPA], [nPB]... der Verbindungsstrecke vom endgültigen Neupunkt P zum Festpunkt A, B ...

Die zusammengehörigen Werte (b) und (d) unterscheiden sich voneinander um die Änderung d<jp", welche der Richtungswinkel vA = (n P A), vB = (n B P)..., erleidet, wenn man den Anfangspunkt ^ der Strecken ^3 A, ^ B ... um die Koordinatenzuschläge d x und d y nach P verschiebt. Nach Gleichung (d) von § 67 ist also [n P A] == (n PA) -f aAdx -f bAdy [nPB] = (nPB)-f aBdx-f bBdy

Bezeichnen wir endlich, wie gewohnt, die zur Erzielung völliger Übereinstimmung der Beobachtungs- mit den endgültigen Werten nötige Verbesserung des endgültig orientierten Richtungswertes [a] mit v, so erhalten wir die Fehlergleichungen:

vA = [nPA] — [osA] = (nPA) -f- aAdx -f bAdy — a\ — z = aA d.x -j- bA dy — z + li

vB = [n PB] — [o5B] = (n PB) -f- aB dx -j- bB dy — aB — z = oBdx -f bBdy — z + 1^

Ihre Zahl ist gleich derjenigen der beobachteten inneren Richtungen, also gleich nr. Setzen wir, um den Koeffizienten der dritten

Unbekannten positiv zu erhalten, d <y = — z, so dass der gesuchte Verdrehungswinkel wird:

(1)

Z — o) —{— z — (o — d o>,

so gehen die Fehlergleichungen über in ihre gewöhnliche Form ( vA = dco -j- aA dx -f- bA dy -f 11 ] VB = dco + aB dx 4- 6b dy 4- V

(4)

Es wären nun wegen der Grundbedingung der Methode der kleinsten Quadrate die drei Unbekannten dco, dx und dy so zu bestimmen, dass [p v v] = Min., oder (weil sämtliche inneren Richtungen a, folglich auch die Absolutglieder V gleichwertig sind), dass [vv] = Min. wird.

Statt nun aber die erforderlichen Normalgleichungen für drei Unbekannte aus den Fehlergleichungen (4) direkt abzuleiten, erkennen wir, dass die erste Unbekannte d u> in letzteren allen mit demselben Koeffizienten 1 behaftet, also leicht zu eliminieren ist.

Addiert man nämlich sämtliche Fehlergleichungen und beachtet die in § 67 abgeleitete Eigenschaft (4a) der nach der Minimumsbedingung abgeleiteten Werte für die Unbekannten, dass nämlich allgemein [av] = 0, also bei aA = aB = ... aR = 1, hier [v] = 0, so erhält man aus (4)

[v] = nr • do> -f [a] dx -f [b] dy + [F] = 0, woraus die „Durchschnittsgleichung“ sich ergibt

M ₌ da> -f-^-dx -f-^Uy -f -Ö3. = o.

nr    nr ¹ nr J 1 nr

Subtrahiert man diese Durchschnittsgleichung von jeder Fehlergleichung, so fällt d<y weg und man erhält ein System reduzierter Fehlergleichungen mit nur zwei Unbekannten dx und dy.

Ersetzt man noch die dabei entstehenden Differenzenkoeffizienten durch einfache Zeichen, nämlich:

(6) (oA — durch 2tÄ, (fiA — durch $8A, (li — durch £A

usw., so gehen die Fehlergleichungen (4) über in

M)dx + (bi__M)dy + (i._M)

= 2lA dx + $8a dy -f- SA

(aB-M)dx+(6B-M)dy+(l,-a₎

= . 2lB dx + 23B dy -f- SB

(5)

(7)

VA =

(«A

Das Absolutglied £ der Gleichungen (7) unterscheidet sich dabei in keiner Weise von dem Absolutglied V der Gleichungen (4), weil infolge der Orientierung des gemessenen inneren RidltungS-

Weitbrecht, Vermessungskunde.

büscheis a nach den vorläufigen Richtungswinkeln v wird [1'] = 0,

also auch der Subtrahent in (6) —

nr

Aus den Fehlergleichungen (7) erhält man jetzt durch die Bedingung [vv] = Min. wie in § 67 zwei Normalgleichungen für die Berechnung der unbekannten Koordinatenzuschläge, nämlich

([9121] dx + [9193] dy + [SIS] = 0 \ [3193] dx + [9333] dy -f- [93S] = 0.

Die Reduktion (Eliminierung der linksstehenden Unbekannten)

dy =

(8)

liefert:

[88-1]

[3333-1]

Pdy = Py = [3333-1] und da die Zahl der nötigen Richtungen = 3, die der überschüssigen also = nr — 3 ist, als mittleren Fehler einer Richtung:

(9)

(10)

+ “Sf

v nr — 3

=

der Ordinate y: My =±

\f [SS-2]~    ₌

V (nr — 3) [33 33 . 1]

[vv]

-3)V

Wollen wir schliesslich noch den Zuschlag z = — dm zum vorläufigen Verdrehungswinkel m berechnen, so liefert Gleichung (5)

(ii)

z = — dm =

und da [P] = 0,

Mdx + md +m

nr    Ilr ⁴⁷ Ilr

(12)

7 = — dm =

R]

dx +-U-dy, nr

womit im Abriss die Probe sich ergibt, dass der bei der Richtungsorientierung im endgültigen Neupunkt P auftretende Verdrehungswinkel Z sein muss

(1)

Z = m-j-z = m — dm.

Umstellung der Koeffizienten der Normalgleichungen nach der bekannten Regel liefert auf gleiche Weise die zweite Unbekannte dx, ihr Gewicht Px und ihren mittleren Fehler Mx.

Beispiel.

Auf Neupunkt 1 wurden beobachtet die Richtungen nach:

1.    Kleineislingen, Kirchturm

2.    Haag

3.    Gross-Süssen, Kirchturm 222° 17'82"

4.    Steinigtenrain

5.    Berg I

Gegeben sind die Koordinaten von:

0° 00' 43" 118° 07'53"

258° 84' 82"

325° 82' 74".

Gesucht die Koordinaten von 6. Neupunkt 1.

1.    Kleineislingen -f- 19542,58 -f- 48303,08

2.    Haag

3.    Gross-Süssen -f 17951,44 + 51939,72

4.    Steinigtenrain -f- 18336,92 -f- 49856,57

5.    Berg I

4- 19514,61 + 49337,57

+ 18962,09 + 49013,80.

Cr (M IO io IM CO

f— CM »10 »O CM CO

Beispiel zu Seite 532.

00 00 co

O CM CO

Ordinaten

856

05

574

282

05

Tj<

«*<l S

Ol T-H co 05 CO Ol

tH »C

co m co

05

5-.

282

05

Ttl

”<] £

h oo co co co cm

303

979

282

00

05

+ + -f

r-.

"<1 g

00 HO co io CO <M

Abszissen

336

058

395

00 H 05

rH    rH

r*¹ 05    ! uo

rH rH 05 HO *H i co

05

05

+ + +1 +1 +1

xV

ox

Ax

xc

542

147

395

19

19

Zu A -No. 1.

2.715 167 n 0.038 541

3.071 031 n

9.644 136 n 3.109 572

Ax

xc

ly

sin

cos

tg n AB

AB

— 519,00

+ 1177,69 373° 57' 47"

Zu A No. 2.

3.014 726 n 0.000 159

1.446 692

sin

cos

tgnAB 1.568 034 n A B 3.014 885

— 1034,49

+    27.97

301° 72' 08"

log-Berechnung

3.024613

2.759076n

2.076943 n

1.742067 n

2.168355n

2.990905

* PP

>>

fl

fl

fl fl

CM CO !tr co O H OiO »0 0005 t^cMCOnHCO »O 05 Hfl OCOCM IO 05 05® Tf H^lfl 0500

885

737

109

095

coooo iouoco|t~05co

HfiOOlH O 1-H X5 H CM

05050 00 CM 05 05 rH CO

Tjl I" H rH

o o

119 038

CO Ol lO 00 l> 00 t-H (M ^ 00 CO CO CO rH ;IC

CO Ol CO CM wo io 00 CO CO 05 05 O O 05 rH 05 05

t'» T—I

Nebenrechnung I. Richtungswinkel und Länge der Grundlinien.

CO O 05 CO 05 I 05 CO 00 05 CM 05

co c

AB E sin y cos n A C AC sin n A C

sin ß

A B : sin y sin a

cos n B C

BC

sin n B C

A B E sin y

cos n A C

A C    2

sin n A C sin ß    9

A B : sin y    3

sin a

cos n B C    9

B C    2

sin n B C    9

Nebenrechnung II. Winkel ax und ß₂ nach Gl. (1) bis (6) des § 59.

Winkel

reduziert I gemess.

ff

ff

Bezeichnung der Punkte

05

Ol

495

205

622

873

233

882

115

032

172

293

010

304

05 00    © O r-I jo 0005

00 O HHI> jo o L-

t> CM ^ I> 00 O ! Ol o

io I' rH O L'» O | l>>0

r# 00 C0 OOCr

CM co co

140

54

200

co r- cm ei i> h

N (M «3 CO !M O H (M H rH CM CO

74

118

200

HOO O O 05 H H 05

At Bl

⁵a ⁵v

U ms

sin r₂

tg^

tgi-^

«1 +/?2

z.f] _ in

tg

tg

o o pq a ^<55. <1 <1 «\

A No. 1

A: 4. Steinigtenrain C: 6. Neupunkt I B: 2. Haag

Summe

<|üü oupp PP PP PP <| <t ö ö

A No. 2

A: 2. Haag C: 6. Neupunkt I B: 1. Kleineislingen

Summe

<300

pq Ph pq

>.    OirHO    CO    CD    O    t-H

" CO CO o CO 00 io CM

„    rH    O    00

00 fH O    CO    CO    iO    (M

00 CO CO Ol Ol CO TH ° O Ol H O t-H Ol T-H

<N    <N

^ 8 oa.

v~ a

ai + /?2

«1 — ß‘Z

22 29 78 71

iO

Lösung.

a) Berechnung vorläufiger Koordinaten für den Neupunkt durch Rückwärtseinschnitt aus den Festpunkten 1, 2, 4 nach § 59.

Ausrechnung hiezu siehe Seite 531.

h) Berechnung der Richtungswinkel v — (n P A) etc. vom vorläufigen Punkt 5p nach den Festpunkten (soweit sie nicht soeben bei der Koordinatenberechnung (S. 531) ermittelt wurden) und der zugehörigen Richtungskoeffizienten a und B, wie folgt:

6. Neupunkt (5p)

S = 4-19395,23 t) = + 49282,35

3. Grosssüssen

5. Berg

4. Steinig-tenrain

2. Haag

1. Kleineislingen

’-i X W fcd

17951,44

51939,72

18962,09 — 49013,80 —

xB — £ yß — 9

433,14 — + 2657,37 —    268,55 —

1443.79

Berechnung s. S. 531

log (xB — s) log cos n 5p B log sin n 5p B log (yB — 9)

log cotg n 5p B log 5p B

co a a co O) co

159504n

6788

9438

424452

636628 n 9294 n    9

7217 n    9

429025 n

9440 n 9

6784

9579

1726

6230

9951 n

735052 n

207603

4807

7072

0806

1190

9958

■■

/ //

■■

//

n 5p B

131 68

44    235 33 25

5p B

3025

510

log 6

0020

0261

6672

loga

2670

8184 n 2

4017

co co

6428 n 1

3079

9807 n 8033 n

100

1062

465

4393

96

et

185

658

252

2032

636

(c Bildung der der Ausgleichung zu Grund zu legenden Koeffizienten a und B und der Absolutglieder 1' der Fehlergleichungen.

(Ausrechnung s. S. 533 oben).

Bequemerer Rechnung wegen führen wir hier statt der Zuschläge dx und dy in Gleichung (7) ihre 10fachen Beträge ein, (drücken sie also in dm aus). Damit werden die Koeffizienten 21 und 58 dieser Fehlergleichungen, also auch die Richtungskoeffizienten a und B auf ^ der oben berechneten Werte reduziert. (Um dadurch die Schreibweise nicht zu erschweren, sind auch diese reduzierten Werte unter der Bezeichnung a bezw. B eingeführt. Eine weitere Vereinfachung wäre zu erreichen, wenn, wie in § 67, als Winkeleinheit die Dekasekunde gewählt würde, was hier zur Abwechslung aber unterbleibt.)

Laufende No.

Bezeich-

nung der Fest-

punkte

Aus

Näherung berechnete Rich-

Beob-achtete Richtungen tungs-rückwärts winkel w

Unterschied V=v — a°

Koeffizienten

der

=v — (a+o>) d x

v—a = {v - a) - (o

11 r

Unbekannten

r—i s-

al o

dy

M [6]

CH

nr

nr

(34-8 4-18) = s

Sek. ±

+1

Klein-

eislingen    0 0 43

Haag . .    118 07 53

Grosssüssen . 222 17 2 Steinig-

tenrain.    258 84!82    168 35    18    309

Berg I . .    325 82 74    235 33    25    309

309 50 79 309 50 36 27 57 89 309 50 36

00 00

— 64—10—87 4- 203 — 439 4- 180

+ 47 — 382

48

— 210

00

131 68 44 309 50

62 +

50 36

00

+ 19 + 10 -    4

4- 25 + 47 4- 2 — 66 4- 106 — 89

+ 4-

•«# CO

o <x>

i—I

4- I

00 1>

+ 81

4- 98 + 81

93 34

45 55

221 +

2 21

25 +247 + 163 +|182 24 — 130 —449 - 180

+ 381 +    1

— 382

+ 260 —1258

5 55

Vorläuf. Verdreh.-Wink. co — 309

50 44

1    4- 117 —286 +[ 2

(soll 0)    [a]    [5] (sollO)

(soll 0) (soll 0)

+j 2 (soll 0)

nr

nr

= +23 =-57

d) Bildung der Koeffizienten für die Normalgleichungen.

2121

23 23

1' 1'

2123

211'

231'

4-

H (M CO ^ io

7569

32400

16

7921

2304

44100

6561

9604

x 5911 x 31240 x 732

208

6561 x85493

696    ><624

X8560    3056

x28

1206

x84    xi68

x 377    1141

47910    190007    565    69130 x 12584    x₈5₄5    4195

— 87416    — 1455

e) Anschrieb und Reduktion der Koeffizienten der Normalgleichungen bis zur zweiten Reduktionsstufe. Bildung von dy.

21]

23]

1']

s]

Probe

[2t

47910

[»

[21 SB]

[21 21]

87416    —

190007    +

159496) (—

1455

4195

2655)

[!'

565

[2t 1']

[21 21]

(-

44)

40961

106786

74737)

3305    [ ] = 69130

1244) soll 69130

23. 1]

IM]

s . 1]

dy

[58 1' . 1] [53 SB . 1]

30511    +

1540    +

521    +

1540

30511

dm

[®

['8 83 . 1]

(-

78) (-

B2049 + 32051 2061 + 2061

1620)

= — 0,05 dm

1'. 2]

s .2]

[1'

+ j 443* h -I- I 441*

* Die zwei Schlusswerte stellen die Quadratsumme [vv] der Beobachtungsfehler v vor und sollten einander und denjenigen auf S. 534 mitten gleich sein. Die Differenz rührt von Ahrundungsfehlern

n, sobald sie, (was hier zutrifft) den Wert m" für f. S. 534) nicht merklich beeinflusst.

daher in der Rechnung her den mittleren Beoba

und ka chtungs

nn vernachlässigt werde fehler einer Richtung (s.

¹

) Berechnung s. S. 540.

Fortsetzung.

e) Nach erfolgter Bildung von d y, Umstellung der Koeffizienten und Berechnung der nunmehr rechts stehenden Unbekannten dx.

[23 81]

[93 Sö]

[»

[1'

mr»

[93 93] L<J

4-

»]

2t]

1']

s]

Probe

190007

(-

4195    +

1455

(-

1928) (+ 565    +

92) (-

106786

40961

49100)

3305    [ ] = 69130

2360) soll 69130

21.1]

IM].

s.l]

dx

[21 1' . 1]

[21 21 . 1]

[21

[1'

7710 |j +

473

473

8139

8183

945

473 , = —dm

771"

-[«llülrgi [2121.1] L

-1-    946

(-

29)

(-

498)

= — 0,06 dm

1'. 2]

s. 2]

[P | + I 444* j| + I 447*

* Die zwei Schlusswerte sollten einander und denjenigen von S. 533 gleich sein. (Vergl. Fussnote S. 533.)

f) Berechnung der mittleren Fehler Mx und My für die Neupunktskoordinaten x und y und ihrer Gewichte P, sowie des Zuschlags z = — dw zum vorläufigen Verdrehungswinkel to und des mittleren Beobachtungsfehlers m₀ einer Richtung.

444

[v v] = [P 1'. 2] nr — 3

m² =

nr — 3

222

m«

14,8"

d„ = -Mdx_i3

nr

nr

dy

= — 23 (-0,06)-(-57) (-0,05) = 1,38-2,85

= + 1,47"

VYx = V[2t2t. 1]

V^Py =

my =

88

175

0,17 dm

0,085 dm

Somit ist xP = + 19395,23 — 0,006 ± 0,017 = + 19395,22 + 0,02 yp = + 49282,35 — 0,005 ± 0,009 = + 49282,34 ±0,01.

g) Berechnung der endgültigen Richtungswinkel cp — [nPA] etc. vom Neupunkt P nach den benützten Festpunkten und zur Probe von [11 PA] — (n P A) = cp — v == a dx + b dy.

xp und yp

6. Neupunkt 1.

+ 19395,22 + 49282,34

1. Kleineislingen

2. Haag

3. Grosssüssen

4. Steinig-tenrain

5. Berg I

19542,58 + 19514,61 + 17951,44 48303,08 + 49337,57 4- 51939,72

18336,92 + 18962,09 49856,57 -f 49013,80

xB — xP

yB —yp

+ 147,36 — — 979,26 +

119,39 —    1443,78 —

55,23 -f 2657,38 +

433,13 574,23 —    268,54

1058.30

log (xB — xP) log (yß — yp)

IC LC

168380    2 076968    3 159501n 3 024609n

990898n 1 742175    3 424454    2 759086

Ol Ol

636618n 429009 n

log ctg n P B 9 177482 n 0 334793

9 735047n 0 265523 n 0 207609

nPB 309° 50'86" 27° 58'37" 131° 68'40" 168° 35'10" 235° 33'21" nißB 309° 50'79" 27° 57'89" 131° 68'44" 168° 35'18" 235° 33'25" 7"

<p — v

+ 48"

— 4"

— 8"

— 4"

adx b dy

SO rH

© hi-

20,3"

43,9"

6,6"

10,6"

24"*

* NB. Die Strecke misst nur 132 m, also kann eine Punktversehiebung um V2 cm ein⁰ Winkel-0,005    11

anderung von ‘ {? = 24" verursachen!

h) Den Abschluss der Punkteinschaltang bildet der Abriss.

adx + bdy +

7"

3"

7"

4"

Ziel

punkte

Beobachtete

Richtungen

Endgültige

Richtungs

winkel

<P

Unterschiede <f> - a

Orientierungs

winkel

2 _ [<P -«]

Orientierte

Richtungen

ß=a + co

Ver

besse

rung

v=<p-ß

Stre

cken

länge

Höchst- Bemerkungen.

lässiger (n Wert von v ⁼ V max.

Anzahl

der

Richtungen). (Probe: \ß]

[“] 11 ft>)

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.    ]|    8.

9.

+19395,22 y

6. Neupunkt 1.

-j- 49282,34 (Stein 0,3 m versenkt. oben) 9

1.    Kleineislingen

2.    Haag . 11

3.    Grosssüssen .    222

4.    Steinig-tenrain. 258

5.    Berg 1. 325

00 o

00

431

07

53

17 82,

84

821

82

74

309

27

131

168

235

50

58

68

35

33

86

37

40

10

21

309

50

43

309

50

95

990

00

81

309

50

84

27

58

05

32

132

62

1024

309

50

58

131

68

34

3025

72

36

cn -fo

50

50

28

47

168

235

35

34

33

26

24

1204

510

93

38

576

25

und von

\v v\

742

145 94

| Z = 309 50 52* nach (c) ist o)= 309 50 44 nach (f) ist -dw=

nach Gl. (1) soll Z—co-dco= 309 50\42,5*

* Die starken Differenzen in Z und [v v] rühren her von der Abrundung der Koordinaten Xp und yp auf ganze cm den kurzen Strahlenlängen.

5 CO

93

260

45

94

38

38

52 601 S 45 &f

1,5

soll übereinstimmen mit

[V V. 2] — 442

s. (e) S. 533 und 534*.

§ 74. Vereinigtes Vor- und Rückwärtseinschneiden mit rechnerischer Ausgleichung der Beobachtungswidersprüche.

Sind zur Bestimmung der Neupunktskoordinaten xP und yP Richtungen sowohl in Festpunkten (Vorwärts-, oder äussere Richtungen), als auch im Neupunkt selbst beobachtet (innere, oder Rückwärtsrichtungen), so kommen für erstere die Fehlergleichungen des § 72, für letztere diejenigen des § 73 gleichzeitig zur Anwendung. Man hat deren also jetzt, wie in § 69 (nv -f- nr), wenn von aussen herein zum Neupunkt nv, vom Neupunkt hinaus zu Festpunkten nr Neustrahlen beobachtet wurden. Die Koeffizienten der zu den vorläufigen Koordinaten £ und p zu addierenden unbekannten Zuschläge dx und dy in den Normalgleichungen setzen sich also aus nv -f- nr Summanden zusammen. Dass die ihnen zu grund liegenden Richtungskoeffizienten a bezw. a und b bezw. b für jeden Neustrahl identisch sind, gleichgültig, in welcher Richtung derselbe

beobachtet wurde, haben wir in § 69 erkannt.

Nur die Gewichte p der Absolutglieder 1A, 1B ... und 1A, 1B bezw. SA, SB ... verlangen jetzt, da gleichzeitig innere und äussere Richtungen zur Bestimmung der Unbekannten verwendet werden, noch eine vergleichende Untersuchung.

Als Gewicht p einer äusseren Richtung oder der Absolutglieder 1A, 1B ... haben wir in § 72 für den Fall des Vorwärtseinschnittes festgestellt:

im Falle der Richtungsbeobachtung: pv = p^ =    ^ ₁,

wenn ausser dem Neustrahl noch nf Feststrahlen dem im Festpunkt beobachteten Richtungsbüschel angehören.

Die Gewichte pr der inneren Richtungen, oder der betreffenden Absolutglieder 1A, 1B ... bezw. £A, SB ... waren in § 73, d. li. für den Fall des Rückwärtseinschnittes je unter sich gleich, also nicht weiter zu berücksichtigen. Sollen sie aber jetzt mit äusseren Richtungen in Verbindung gebracht werden, so müssen wir das Verhältnis der beiderseitigen Gewichte pv und pr feststellen.

Dies war bei vorhandener Winkelmessung (s. § 69) sehr einfach, da bei gleich genauer Beobachtung jedem Winkel — gleichviel, ob sein Scheitel im Festpunkt oder im Neupunkt liegt — gleiches Gewicht zukam.

Etwas anders ist es bei der Richtungsbeobachtung. Denken wir uns das innere Richtungsbüschel mit dem Scheitel im endgültigen Neupunkt P nach den benützten fehlerfreien Festpunkten A, B... orientiert, d. h. sämtliche inneren Richtungswerte um den Wert Z des Verdrehungswinkels vergrössert, so wird jede beobach-

tete, derart orientierte Richtung um einen gewissen Fehlerbetrag v von ihrem ausgeglichenenWert, dem Richtungswinkel [n PA], [n PB]... abweichen, der sich, wie in § 72, zusammensetzt aus dem Beobachtungsfehler der Richtung selbst und aus dem Fehler des Verdrehungswinkels. Der mittlere Fehler einer orientierten inneren Richtung wird daher analog § 72 sein

(1)

mr == m^ =

und da der mittlere Beobachtungsfehler m« für innere und äussere Richtungen gleich ist [analog Gleichung (3) des § 72]:

(2)

Pr = Pl' =

nr

nr + 1

Wendet man auf die inneren Richtungen das Verfahren der vorgängigen Eliminierung des unbekannten Verdrehungszuschlags dc6, wie in § 73, Gleichungen (5) bis (7) an, um nur die beiden Unbekannten dx und dy zu behalten, so ändert sich zwar nicht der Wert

Sa

^- = 11 = (nPA)-<, £1 = ]; = (n PB) - o|

nr

der Absolutglieder, wohl aber ihr mittlerer Fehler

m<

= V" mf    = mi

Ilr

Damit wird ihr Gewicht

(2a)

Pr = PS =

\nr + 1/

Mit wachsender Anzahl nr der inneren Richtungen konvergieren —und ^ gegen 1. Da nun jedenfalls nr ^ 4, wenn

im Falle des Rückwärtseinschnittes überhaupt von Ausgleichung die Rede sein soll, so setzen amtliche Vermessungsanweisungen (z. B. die württembergische technische Anweisung vom 19. Januar 1895) der Einfachheit halber kurzweg:

Pr = Ps = 1.

Die Zahl der überschüssigen Richtungen zum Zweck der Fehlerberechnung ergibt sich aus der Betrachtung, dass im Falle der Richtungsbeobachtung zur Berechnung der drei Unbekannten dx, dy und d<u [s. Gleichung (5) von § 73] jedenfalls drei Bestimmungsstücke nötig sind, zu (nv -f- nr — 3).

Wir haben also bei vereinigtem Vor- und Rückwärtseinschneiden und vorgängiger Eliminierung der Verdrehungsunbekannten dco für das innere Richtungsbüschel:

Zahl

F elilergleichungen rückwärts

Gewicht p der Beobachtu oder des glie

Mitung

Absolut-

des

nv Gleichungen für nv Zielungen vorwärts

vA = aA dx + bÄ dy -f 1A vB = aB dx -f- bB dy -f 1

15

PfA_

nfA -(- 1 wobei a und b die in § 67, Gleichung (2) undl die auf S. 509 oben gegebene Bedeutung haben,

nfB

nfB + 1

und

rückwärts

nr Gleichungen für nr Zielungen rückwärts

vA = 2tA dx -j- 33a dy + S vB = 2tB d x -f- 33b dy -f ßB (

* (^Ft)

/ nr \2r

wobei 2t, SB und 8 *- die in § 73, Gleich rd chung (6), gegebene 'g Bedeutung haben.

Die Minimumsbedingung für [p vv] liefert daraus, wie in § 68, zur Berechnung der unbekannten Koordinatenzuschläge dx und dy, die

2 Normalgleichungen

([pvaa] + [pr 2121]) dx + ([pvab] + £pr 218]) dy + ([pval] + [pr 21 £]) = 0. ([Pvab] + [pr 218]) dx + ([pvbb] + [pr 88]) dy-f ([pvbl] -f [pr 8S]) = 0.

Führt man für die Koeffizienten [pv aa] —)— [pr 2121] etc. der Unbekannten in vorstehenden Normalgleichungen die einfacheren früheren Bezeichnungen [p a a] etc. wieder ein, so gehen diese Gleichungen über in die gewöhnliche Form:

([p aa] dx -f- [p ab] dy -f- [p al] = 0)

([p ab] dx + [pbb] dy + [p bl] = Oj

woraus wir wieder wie bisher erhalten:

[pbl-l]

dy = py = [pbb-l]

[p bb • 1]

mittl. Fehler einer Beob- _

achtung vom Gewicht 1    ¹¹¹ —

±v-

[p vv]

Hy iif “■— 3

±v-

[pH-2]

My - V P7 -

±v

[pH - 2]_

[pbb-l] (nv + nr — 3)

Als

Beispiel

möge dasjenige des § 71 (s. S. 519) wiederholt dienen. Die dort angewandten Richtungswinkel cp für die Feststrahlen wollen wir auch jetzt wieder verwenden. Wir könnten auch die orientierten äusseren Richtungen ß der Bestimmungsstrahlen dem S. 520 aufgestellten Abriss entnehmen, also die Anlegung eines solchen vorerst sparen.

Abriss.

Zielpunkte

Ob 1- od, 2seitig beobacht.

Be

obachtete

Richtungen

[a] + n . «

= [ß]

44

Endgültige

Richtungs

winkel

[<P\

-M

[fl

0 / //

Unterscliiede <P - a

Orientierungs

winkel

{cp - d\

Orien

tierte

Rich

tungen

ß — CL~\- (O

Ver

besse

rung

v = cp—ß

Stre

cken

länge

Höchst-

zu

lässiger Wert von v

— Vmax.

[pvv]

44

44

44

44

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

A. Gegebene Punkte (Festpunkte).

4.    Bergweg .    1

6. Sonnenbühl 1

5. Württemberg 1

91

171 ,99

* CO CD §1

No. 1. Standpunkt Endberg : + 31895,47 y = + 14805,97 (A westl.) 1 28 37    1

92

173

37

26

52

86 1

28    1 28 17 20

92 37 52 27    173 27 06

66

1783

427

20    2965

82

54

74

09

17    92 75    1 27

3(o

83

58

86;

92 75 20    20

92

75

1. Endberg . 6. Sonnenbühl 4. Bergweg .

rH Ol l

Ol CD Ol

rH t-H i—H

No. 2. Standpunkt Reute x = + 30848,79 y = + 16061,28 (A mitten) 33 344 24 48 12 358 72 35 74 09 374 10 00

51 27 344 24 60 201 99 14 358 73 09 36 79 374 09 88 201

CO CO

I- I>

1634 | 1377 12    3081

84

89    3660

73

CO

O «5 CO CM Cp 00 l> 05 CO"

00 o

00 I vj Or Oikrl

73 21

•O

O

«5

QO

CM C©

rH 00

(M Cs*

rH tH

_©5_

74

No. 3. Stau + 31887,16 y 04 97 194 71 99    71 |67 02

39 82 199 06 28    71

|39 57 305 05 75 44 72 364 09 75    71

46

CD

71

05

05

10

14 85* 99 29 74    1

1042

2699

743

qa * Die grossen ™ Differenzen 75 vergl. Fuss-note S. 539.

14

89

114*

2120

79

CO 05 LC CO CO

-a 05 o

05 I 00 00

iN I CO

iS I

§ I

18 51 «=71 66 17

93 76 114 115 \

114

2. Reute . .

4.    Bergweg .

5.    Württemberg

No. 4. Zielpunkt Bergweg x = + 33678,59 y = + 14841,93 (A östl.)

No. 5. Zielpunkt Württemberg (Kuppel des Mausoleums) x = + 29188,02 y = + 16014,70 (Kreuz)

B. Neu bestimmte Punkte (Neupunkte).

No. 6. Standpunkt Sonnenbühl x = + 31946,48 y = +15229,83 (A mitten)

9 16 521158 73 42 9 17 05 j385 97 25 20 9 16 98 \182 35 12 13

57

40

27

55

158

73

09

33

1377

89    1089

385

182

97

45

35

25

1775

2868

83

74

400

169

24

5319

soll 5200 (s. S. 543)

Die mit schrägen Lettern gedruckten Einträge werden in Wirklichkeit rot geschrieben.

3(0 =

50

55

05\79

05

79

co — 9

50

16

55

85

05 79

33

33

(s.S.520)

Es ist jedoch in Aussicht zu nehmen, dass die dort nur mangelhaft möglich gewesene Orientierung der inneren Richtungen zu weniger genauen Koordinatenwerten xP und yP für den Neupunkt geführt hat und dass daher die jetzt voraussichtlich etwas anders sich ergehenden Neupunktskoordinaten andere endgültige Richtungswinkel cp für die Neustrahlen, also auch andere Verbesserungen v = cp — ß liefern werden. Wir im Verlauf der Rechnung also doch zur Aufstellung eines neuen Abrisses genötigt sein, (wenn derjenige des Beispiels in § 71 auch für die Feststrahlen ganz, und für die Neustrahlen wenigstens bezüglich der Spalten 1, 2, 3, 6, 8 und 9 genügen würde) und legen ihn daher sofort an (s. S. 539).

Nachdem sodann die vorläufigen Koordinaten £ = 4" 31946,46 und 9 = 4" 15229,65 eines in der Nähe des Neupunkts gelegenen Punktes iß (vergl.

S. 521) aus den orientierten Richtungen ß von zwei Festpunkten aus gewonnen sind, können wir die Richtungswinkel v seiner Yerbindungsstrecken nach den übrigen zu seiner endgültigen Bestimmung zu benützenden Festpunkten und diese Strecken s selbst samt ihren Richtungskoeffizienten

sin v

cos v

8 «> ⁶ =

(y vom Neupunkt zum Festpunkt) logarithmisch oder mittels eines speziellen Hilfsmittels (Tabelle, Rechenschieber, Diagramm) berechnen, wie folgt:

6. Sonnenbühl iß.

£ = 4- 31946,46

9 = 4-15229,65

1. Endberg 2. Reute

5. Württemberg

3. Mittlerweg

4. Bergweg

++

31895,47

14805,97

30848,79

16061,28

31887,16    33678,59

15974,96    14841,93

29188,02

16014.70

s. Dreiecksberechnung — S. 521

59,30 +    1732,13 —

-4-    745,31 —    387,72 -f

2758,44

785,05

log (XK — £) logcosnißF 9 log sin n^>F 9 log (yF — 9)

0773 n 9969 n

9015 n

7810

log ctg v log s

6302*

3 1390*

H 00 Ol Ol QO (N

773055 n 3 238581 8993 n 9 9894 9 3393 n 872337    2    588518n

9986

900718n 0 650063n

8737    3 2491

CO O) Oi CM O CO

440663 n 9831 n

4373

894897

545766n

4576

44

//

II

II

292 37 52*

158 72 35*

105 05 46    385 98 10    182 34 85

log b

log a

2    2510

3    1706n

CM CM

5664

4459

1    8295

2    9288

h-¹ LO

5442 n 2 3294 8941 n 1 7836

+    178

— 1481

-+- 368 -f- 279

— 350

+ 68 + 849

Die orientierten Richtungen ß werden jetzt aus dem Abriss als „Richtungen vorwärts “, die im Neupunkt beobachteten Richtungen a direkt aus dem Feldbuch (oder

et

78

4- 214

+ ⁶¹

bei exzentrischer Beobachtung aus der Zentrierungsberechnung) als „Richtungen rückwärts“ in Abteilung 1, Spalte 2 und 3 des nachfolgenden Ausgleichungsformulars übertragen (s. S.542). Gleichzeitig erfolgt der Eintrag der im Abriss zur Orientierung der Vorwärtsrichtungen benutzten Zahl von Feststrahlen nf in Spalte 5

nf

und die Berechnung der zugehörigen Richtungsgewichte p = -— in Spalten 6

nf + 1

und 10. (Den Richtungen rückwärts möge durchweg das Gewicht 1 zugeschrieben werden). Hieraus ergeben sich die Gewichtsfaktoren V^P in Spalte 11. Durch die Orientierung der Vorwärtsrichtungen (Verdrehung des ganzen Büschels der in den Festpunkten beobachteten Richtungen um den Winkel a>) im Abriss ist an deren gegenseitiger Lage, also an ihrer Eigenschaft als Beobachtungswerten, materiell nichts geändert. Mit ihnen werden nun die aus den Näherungskoordinaten für den Neupunkt abgeleiteten Richtungswinkel v — (nAP), (nBP)... (s. Spalte 4 der Abteilung 1) verglichen, wobei sich in Spalte 7 die Absolutglieder 1a-.. der Fehlergleichungen für die Vorwärtsrichtungen ergeben.

Auch die Rückwärtsrichtungen a sollten, und zwar zunächst nach den

vorläufigen Richtungswinkeln v (s. Spalte 4 der Abteilung 1), vorläufig orientiert werden:

a° = a -j- o),

wodurch sich dann die Absolutglieder 1^... ergeben würden aus:

VA = VA~a°A = VA-(“A+") = (VA-«a)-"

Die letztere Gleichung zeigt aber, dass (wie schon in § 73 angewandt) zur Bildung dieser Absolutglieder 1' die Durchführung der vorläufigen Orientierung entbehrlich ist: wir finden erstere kürzer als Überschuss der Einzelwerte {v — a) für den Verdrehungswinkel über dessen Mittelwert u>. Diese Überschüsse werden für „Richtungen rückwärts“ in Spalte 7 des Formulars eingetragen. —

Zur Erzielung bequemer Rechnung sind möglichst gleiche Zahlenwerte für die Absolutglieder 1 bezw. 1' und für die Richtungskoeffizienten a und 6 bezw. a und b (Koeffizienten der Fehlergleichungen) erwünscht. Dies wird, wie schon mehrfach gezeigt, erreicht durch Wahl solcher Masseinheiten, welche der normalen Beobachtungsgenauigkeit und der mittleren Strahlenlänge angepasst sind. Im vorliegenden Beispiel wäre zweckmässigerweise, (vergl. Erklärung S. 502 und Beispiel S. 532), als Winkeleinheit (für 1, 1', p) die Dekasekunde, als neue Unbekannte statt dx und dy je das lOfache, (d. h. dx und dy in Dezimeter) zu wählen. Wir beschränken uns (in Anpassung an die bezüglichen württembergischen Vermessungsvorschriften) auf letztere Vereinfachung, wodurch die Werte a und b, bezw. a und 6 auf ihren lOten Teil zurückgehen, die wir aber der Kürze halber im folgenden unverändert mit a, b bezw. a, b bezeichnen und in den Spalten 8 und 9 S. 542 einführen werden.

^und für a, 6 (und P) von diesen Richtungskoeffizienten und

M [*>]

nr nr

In den Spalten 12—14 der Abteilung 1 bilden wir durch Multiplikation der Koeffizienten a und b und der Absolutglieder 1 je mit \^p die Koeffizienten a\Ap, b Vp, 1 Yv der Fehlergleichungen für die Vorwärts richtungen. Schreiben wir den Rückwärts richtungen durchweg das Gewicht 1 zu, so fällt für sie die Multiplikation mit YP weg. Dagegen erfordert die vorgängige Eliminierung der Verdrehungsunbekannten z oder do> für sie die Subtraktion der Durchschnittswerte

P. 6. Sonnenbühl.

Nähergs-    Endgült.

koord.: x₀ = -f-31946,46 y₀ = + 15229,65 Yerbess.: dx =    0,02 dy = + 0,18 Koord.: x = + 31946,48 ± 0,03 y == + 15229,83 ± 0,07

'S!

14.

13.

s = (a )/p

+ b Vv + iVp)

\Vv

b Vv

Ol ^ rH

bezw. s =

8 = 1'

58 =

’fg] g

(3 + 8s +12)

nr

ii -!=

+1

104

52

58

io

Ol

O CD rH CO

43

41

( If

Abt. 1. Bildung der Fehlergleichungen.

10. 11.

Gewicht

Vv

9.

8.

7.

6.

5.

4.

3.

2.

rH

Koeffizienten der Unbekannten

dy

b bezw. 6

a bezw. a

[g]

nr

nr

1f =

Vp — ßp

I'f =

{yp — ßp-) — (0

nf

nf-f- 1

Unterschied v~a\

nr

. „    Anzahl

AUS    der be-

Näherung S; berechnete nf Richtungswinkel

Beobachtete: Bichtung vorwärts

Bezeich-

(0

Bichtung rückwärts = o

nung der Festpunkte

oi]^ apuam'BT;

ff

Richtungen vorwärts.

±_

ff

//

ff

iH rH    rH

05 O    tH

rH

05 C0 CO Ol    H

CD

rH Ol Ol

O O

H rH

05

Ol C0 ^

+ + +    +1    +    + I H-

118

22

77

05 »

rH i—I

CO

o'

00^ 00    05

cT cT    cT

X l> t> T—I CO

t- K3

oä co co

H CO GO Ol Ol

148

io

QO

00

71

92

358

305

CM IO

KO CO t"

i> CM    iO

CO tH    O

1.    Endberg 92

2.    Reute 358

3.    Mittlerweg 305

H oq CO

:c8 -4-

£ ^

ffl O 05 CM

bß

11

101

102

(Vergl. Abriss)

CO 05

05

[]

ca

mp

158

385

182

2. Reute 149

4. Bergweg 376

5.    Württemberg 173

rH CM CO

Probe

Abt. 3. Auflösung der Normalgleichungen.

. a Vp | || . b Vp] || . 1 \/p] ||. b Vp J |

16371    [ 1 =

2571    + 20415

soll

20415

Probe

+ 20415

555)

6615

4160)

+ I + 4- i

5338

7275

182)

19228

1360)

+ + sl

1 Vp • 11 I s V P • !J

3126

10775

5580)

Vp-2

+ vL "

4- 5195 • s\/p]

2571

16371

460)

6615

4690)

I 4- i -t- +

. s V^p.l

16831

1925

3255)

4- + ±

• sVp.2j 4-| 5180

713

3991

24)

+ + vL

20996

[a Vv

[a Vp

[a Vp [b Vp

[P a b]

[p a a]

[i Vp

[pal]

[p a a]

7U93

-4- 17868

12640)

Ol

I p.

+ 5228

• iVp]

7275

5338

1300)

19228

13250)

I i I vL

[1-dyVr

ki:;s

5978

780)

I 4- I

•lVp.2

-l-! 5200

_bVp.l]

[b Vp + 3967

[IVp

[PM + [bV/+

[pbb.l]L v 9 _

[pbl. 1] [pbb. 1] — 7093

3967

[i Vp

yp]

[iyV4 •

3991    +    713

+ 20996

128)

(-

!|.a Vp.lj

20868

[a Vp

[1 Vp

Igrf^V?

[i Vp

dy = —

= + 1,8 dm

dy\q]

! ftl ft I pl,

rO öS ^    ■”H pO 1^

äIä ä|£j

[pal • 1]

[paa. 1]

— 4038

20868

+ 0,19

dx

Abt. 2. Bildung der Koeffizienten für die Normalgleichungen.

pbl

bzw. 232

150

05 CO CO CO T* ^ CO CO H CM ^

7275

p a b pal bzw. 2133 bzw. 212

s²

bzw. 2²

bzw. 2l² I bzw. 23²

1652

099

46211— 1925

CO "T ■’T rH O CD

GO 1^ CO O CM CO rH

625

196

900

36

05 I> CO CM H CO L— I>

rH rH

t—H Oi

io CO CO io

+ 2404 +    33

— 1691 —5371

+ | 713 ||—(5338

1849

1681

20415

H t-H t-H

00 O CM

CM CM rH

00 o

T—i

05 05 rJH ^ CO

00    00 H

3991    19228

1    13924

484

3    5929

1    361

2    289

20996

Abt. 4. Berechnung der Verbesserungen und mittleren Fehler.

5200

1730

41,7"

144

63

0,29 dm

0,66 dm

+ 4- + +i +i +i +i

[pvv] = [pll. 2] 11 --- Dy j⁻ Di* — 3

,.= fr¹¹-²!

[i ,qqd]A = ^3A

[l’ggdjA = ^r[A

V Px

= XUI

dx = 4-0,02 mdx = + 0,03

dy = 4- 0,18 mdy = ± 0,07

dw = _Mdx_iBIdy

nr

II r

+i

UI

Vvr

Uly

= 4-9.0,19 4-8.1,8

= + 16"

Absolutgliedern ^wobei allerdings —■ ^ erhalten wir dann die Koeffizienten:

21 = a — s = nr

und zur Probe unter Vernachlässigung kleiner Abrundungsfehler:

[21] = 0, [23] = 0, [2] = 0. Schliesslich erfolgt die Bildung der Summenglieder

s = a Vp + b Yv + 1 Vv für die Vorwärts -, = 21 + 23 + £ für die Rückwärtsrichtungen, wobei die weitere Rechenprobe sich ergibt:

= 0^. Für die Rückwärtsrichtungen

nr

nr

bezw.

[s].

Die Berechnung der Koeffizienten für die Normalgleichungen erfolgt in Abteilung 2 des Formulars S. 543. Nach Abteilung 3, mit dem Vordruck

[a Vp • a \^p ] für [(a Vp )²] + [2l²]

[a \^p • b V^P ] n [p • ab] + [2123] etc.

übertragen, dienen sie zur Reduktion der Gleichungen unter Beachtung der Rechenproben entsprechend den früheren Ableitungen. Abteilung 4 ist für die Berechnung der mittleren Fehler der Beobachtungswerte und der Unbekannten bestimmt.

Nach erfolgter Reduktionsarbeit, welche neben den gesuchten Koordinatenzuschlägen d x und d y durch Einführung des Summenglieds s eine Reihe von Rechenprohen lieferte, erzielen wir eine weitere Probe für die Rechnung zunächst anlässlich der Berechnung der endgültigen Richtungswinkel cp = [nPF] vom Neupunkt nach den Festpunkten. Diese müssen sich (innerhalb der, durch Abrundung der Koordinatenwerte auf ganze cm gegebenen

q“) von den früher berechneten vorläufigen

Richtungswinkeln v = (nPF) um den Betrag dgp" unterscheiden, wobei (s. Gleichungen 3a und 3b von § 67) dgp = adx +b dy = a dx + b dy.

äussersten Abweichungsgrenzen

0,005

6. Sonnenbühl P.

x = + 31946,48

y = + 15229,83

1. Endberg 2. Reute

5. Württemberg

3. Mittlerweg

4. Bergweg

xF

yF

xF — xP yF — yp

+ ,31895,47 +.30848,79 + 31887,16 + ,14805,97 + 16061,28 + 15974,96

51,01 — 1097,69 -    59,32

423,86 +    831,45    +    745,13

-H + +

33678,59 +29188,02 14841,93 + 16014,70

1732,11 — 2758,46 387,90 +    784,87

Die Ausrechnung nach § 56 bleibt zur Kürzung weg.

//

//

//

n P F — (p nißF Ist dgp"

a d x b dy

cp-V

292 37 52 158 73 09 292 37 52 158 72 35 + 74"

+    5,3"

+ 66,2"

105 05 75 105 05 46

0"

29"

385 97 45 385 98 10 — 65"

— 28,2" + 32,0"

16,1"

12,2"

182 35 25 182 34 85 + 40" 1,5"    +    1,1"

63,0"    + 38,5"

soll dgo" = adx + bdy

+    3,8"    + 71,5"    + 28,3"    — 64,5"    + 39,6"

Eine abschliessende Rechenprobe und gleichzeitig ein allgemeiner Überblick über die Anlage und Genauigkeit der Triangulierung im ganzen ergibt sich durch Aufstellung bezw. Abschluss des Abrisses auch für den Neupunkt P. Zu diesem Zweck werden die endgültigen Richtungswinkel cp der Neustrahlen nach Spalte 6 des Abrisses (s. S. 539) sowohl zu den Festpunkten, als zum Neupunkt (und zwar mit roter Tinte) übertragen (vergl. schräge Ziffern). Bei den ersteren darf keine der in Spalte 7 zu bildenden Verbesserung v die Fehlergrenze VMax übersteigen. Das auf dem Neupunkt beobachtete und bei dem ihm zugehörigen Abriss eingetragene Richtungsbüschel a wird zum Zwecke der Orientierung um den Winkel

nr

co —    ■— verdreht, wobei die orientierten Richtungswerte ß erscheinen. Auch

sie dürfen von den Werten [nPF] = cp der endgültigen Richtungswinkel um nicht mehr als höchstens VMax abweichen. Der dabei gebildete Verdrehungswinkel

Z = ca endgültig muss von dem in Spalte 5 und 6 der Abteilung 1 des Ausgleichungs-

formulars S. 542 benutzten ca vorläufig =

[v — a\

nr

um den Betrag

(Gleichung 12, § 73)

abweichen, so dass Z =

— dca = z =

dy

— d ca

W endgültig    ^vorläufig "U Z    ^vorläufig

(vergl. Abt. 4 S. 543 links, Spalte 5 und 6 unten S. 542 und Spalte 5 unten S. 539).

Multipliziert man schliesslich jede Verbesserung v = cp—ß mit dem zugehörigen Vp, so muss (innerhalb der durch die Abrundung der Koordinatenwerte auf ganze cm gegebenen Genauigkeitsgrenzen) sein:

[pvv] = [pll-2] (s. S. 539 Spalte 10 unten).

c) Einschaltung eines Punktes als

§ 75. „Folgepunkt“ zu einem vorgängig bestimmten „Leitpunkte“.

Bei Vermessungen in überbautem Gebiet, sowie auf schmalem Geländerücken zwischen zwei Tälern kommt zuweilen der Fall vor, dass ein trigonometrischer Punkt (Kirchturm, Geländepunkt an der einen Berghalde) wohl für eine Seite des Aufnahmegebiets, nicht aber für die andere verwendbar ist. Für die letztere ist daher ein zweiter trigonometrischer (Neu) Punkt in geringer Entfernung vom ersteren zu bestimmen.

Würden beide Punkte unabhängig, oder nur in derjenigen Abhängigkeit voneinander trigonometrisch bestimmt, welche normalerweise zwischen den Neu- und Festpunkten überhaupt besteht, so würden ihrer (kurzen) Verbindungsstrecke voraussichtlich ebenso grosse Unsicherheiten innewohnen, als einer normalen, viel längeren Dreiecksseite. Für die Richtung der Strecke wäre eine um so grössere Verdrehung zu befürchten, je kürzer die Strecke selbst und je grösser der mittlere Koordinatenfehler im Netz wäre. Beides ist unzulässig.

Wir haben vielmehr beide Punkte ohne Rücksicht auf die im trigonometrischen Gesamtnetz etwa vorhandenen Ungenauigkeiten so zu bestimmen, dass ihre gegenseitige Lage durch die zu errech-

Weitbrecht, Vermessungskunde.

nenden Koordinatenunterschiede mit der Wirklichkeit möglichst scharf übereinstimmend wiedergegeben ist.

Dies könnte durch gleichzeitige Einschaltung beider Punkte unter Festsetzung starr einzuhaltender Bedingungen („Netzeinschaltung“) geschehen. Einfacher ist die Lösung, wenn man die Koordinaten des einen der beiden Punkte, des „Leitpunktes“, falls auch er erst neu bestimmt werden muss, nach einem der in §§ 64 bis 74 vorgeführten Verfahren aus den umgehenden Festpunkten berechnet, und alsdann, auf ihn allein sich stützend, die Koordinaten des „Folgepunktes“ gewinnt.

Als Leitpunkt wählt man den nach seiner Lage im Netz, der Möglichkeit scharfer Einstellung im Fernrohr (Hintergrund) und der symmetrischen Verteilung der Bestimmungsstrahlen über den

Fig. 293.

Horizont günstigsten Punkt L (s. Fig. 293) des Punktpaares aus.

TL

e-fci

CP

Um über ihn den Folgepunkt ^ F zu bestimmen, muss man auf irgendwelche Weise die Verbindungsstrecke L F = e und ihren Kichtungswinkel n L F = cp beider Punkte möglichst scharf ermitteln. Letzteres geschieht am bequemsten, wenn man im Leitpunkt, oder im Folgepunkt oder in beiden, neben den Richtungen nach entfernten Festpunkten A, B ... die Verbindungsstrecke LF, in jedem der (möglichst auf dem Mittellot über L F zu wählenden) Festpunkte A, B ... aber nur den Parallaxwinkel d und zwar diesen möglichst scharf (etwa repetitionsweise) beobachtet.

Der Richtungswinkel nLF = cp ergibt sich im ersten Fall anlässlich der Aufstellung des Abrisses vom Leitpunkt L, im zweiten Fall durch Addition oder Subtraktion des Nebenwinkels von (y -f- d) zu, bezw. von dem Richtungswinkel des Feststrahls LA, L B ...

Für die Strecke e = L F erhält man ebensoviele Werte, als Parallaxwinkel in Festpunkten A, B,... beobachtet wurden aus:

(1)

sin <5

e = s ■ ——,

sin y ’

wobei die Winkel y entweder direkt gemessen, oder als Supplemente zu den in A, B,... einer- und L anderseits gemessenen, (bezw. aus den entsprechenden Richtungswinkeln mitbeobachteter Feststrahlen

( xf — xL + e5iittei • cos (p

rückwärts gebildeten) Dreieckswinkeln zu ermitteln sind. Schliesslich wird

(2)

(Jf — Yl    ®Mittel • SÜ! (p

Fig. 294.

Ist keiner der beiden Punkte L und F zugänglich (Kirchtürme, s. Fig. 294), so misst man die Parallaxwinkel d statt nur in zwei, ihrer Verbindungsstrecke LF gegenüberliegenden , in etwa vier derart ausgewählten Festpunkten, dass die von ihnen aus-

. gehenden Zielstrahlen nach dem Folgepunkt (die Neustrahlen) sich möglichst senkrecht schneiden. Aus ihnen und den Richtungswinkeln 4= n A L, n B L... berechnet man n die Richtungswinkel der Neustrahlen, wobei unter der Voraussetzung, dass die Parallaxwinkel d grundsätzlich je vom Leit-zum Folgepunkt gezählt werden, allgemein gilt:

nAF = n AL -f- L AF = n AL -)- algeb. dA nBF = nBL-j-LBF = nBL -j-    »

5V

{cj

«Ö7

(3)

dß

nRF = nLR-j-LRF = nRL +    » dR.

Ihrer Berechnung liegt also nur der Richtungswinkel des vom jeweiligen Stand- zum Leitpunkt gerichteten Feststrahls und der von ihm ausgehend gemessene Parallaxwinkel zugrunde. Sie liefern den Folgepunkt F als Vorwärtseinschnitt unter Benützung eines vorläufigen Punktes $ nach dem Verfahren des § 70 oder des § 72.

Beispiel

(für den Fall, dass der Leitpunkt zugänglich, die Zahl der beobachteten Parallaxwinkel aber gleichwohl grösser ist, als in Fig. 293 angenommen). Gegeben die Koordinaten der Festpunkte:

+ 35406,07 + 11272,56 4- 34108,72 4- 12672,74 4- 36414,27 4- 10775,70 4- 34721,67 + 11968,87 und des Leitpunkts:

Weinberghäuschen 4" 34316,08 4- 11386,30. Gemessen die Parallaxwinkel:

Freiberg Haldengreuth Himmelreich

Stühlen

Weinberghäuschen — Freiberg

„    —    Haldengreuth —

„    —    Himmelreich    —

„    —    Stühlen    —

— Weinberghäuschen Folgepunkt 2° 20' 39"

3 ⁰ 64' 51" 0 ⁰ 55' 32" 8 ⁰ 69' 20".

fi

Entnommen wurde ferner aus dem analog. §71 entworfenen Abriss des Leitpunktes: Weinberghäuschen die orientierte Richtung ß nach dem Folgepunkt mit: 369 ⁰ 91' 79".

Gesucht die Koordinaten von: Weinberghäuschen Folgepunkt.

Auflösung.

1.    Berechnung der Richtungswinkel n RL für die Verbindungsstrahlen von den je als Standpunkt gewählten Festpunkten R nach dem Leitpunkt L (nach § 56). Die Ergebnisse sind eingetragen in Spalte 2 der nachfolgenden Tafel.

2.    Berechnung der Richtungswinkel nRF der Verbindungsstrahlen von den Standpunkten R nach dem Folgepunkt mittels Gleichung (3):

n RF — n RLL RF. (Spalte 4).

3.    Berechnung von Näherungskoordinaten £ und t) für den Folgepunkt aus zweien der in Spalte (4) gebildeten Richtungswinkel durch Vorwärts-einschnitt, wenn solche Näherungskoordinaten nicht auf irgendwelchem anderen Weg erhältlich sind. (Ergebnis s. nachstehende Tafel.)

4.    Berechnung der Richtungswinkel v und Längen s der Verbindungsstrecken der benützten Festpunkte R mit dem vorläufigen Folgepunkt und Eintrag in Spalte 5 und 7 der nachfolgenden Tafel.

1.

Bezeichnung

der

Festpunkte

Weinberghäuschen Folgepunkt £ = + 34402,18 dx = —

Näherungskoordinaten Verbesserung Endgültige Koordinaten x = -j- 34402,12

= + 11342,35

0,06

0,03

= + 11342,32

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

Richtungswinkel n R L

0    / ii o

Gemess.

Parallax-

winkel

LRF

Orientierte

Richtung

fi =

n R F

Aus Nälie-rungskoord. berechnete Richtungswinkel

[A

Strah-

len-

länge

Quer

verschie

bung

Ge-

wicht

s²

//

//

cm

(s in km)

193

Freiberg Haldengreuth 310 Himmelreich 181 Stühlen Weinberghäuschen (Leitpunkt)

261

38

17

97

28

08 20 39 195 58 47 195 41 64 51 313!81 92 313 15 55 32 182I52 47 182 23 69 20 269 97 43 269

(M CO O 00

58 14 82 14 52 40 97 89

33

22

46

1006

1362

2090

703

aus dem Abriss des Leitpunktes

369 91 79 369

82 i 08

95 3t

85 88 -3 80

82108

52

40

20

80

96,7

I 14-1 +

Cv£ l-~ CO^ rH    CO

io*' tF of io"    »cT

r-T cT cT ©f o

5.    Bildung der Widersprüche o = fi — v, Eintrag der Strahlengewichte

1    d

s²

— und Berechnung der Querverschiebungen b — — s in den

Spalten 6, 8 und 9 der Tafel.

6.    Aufzeichnung der fehlerzeigenden Figur mittels der Werte fi und b analog §§ 70 und 71.

7.    Auswahl des wahrscheinlichsten Punktes in ihr und zwar, da sie jedenfalls¹) klein ist, nach Gutdünken. Eintrag der aus der Figur ent-

0 Yergl. Genauigkeitsuntersuchung.

nommenen Koordinatenzuschläge dx und dy, und Bildung der endgültigen Koordinaten x und y für den Folgepunkt im Kopf der Tafel.

Unsicherheit der Festpunkte.

Genauigkeitsuntersuchung. Kleine Unsicherheiten in den be- kG.®nau|g' nützten Festpunkten A, B haben auf die Bestimmung eines Folgepunktes suchung. um so geringeren Einfluss, je kleiner seine Entfernung e vom Leitpunkt ist.

Weicht z. B. der Standort eines der Festpunkte von der durch seine Koordinaten bestimmten Stelle um die kleine Strecke d ab, so wird dadurch der auf ihm gemessene Winkel 8 ungünstigstenfalls (d. h. wenn ö durch die Yerhindungslinie beider Orte halbiert wird) geändert um:

sin Q q (vergl. § 44, Abs. 3).

(4)

-    2 d

fd =

Dieser Winkelfehler verschiebt den Folgepunkt F auf der Verbindungsgeraden LF und ändert deren Länge e um den Betrag:

2 d sin

U •s __

ß sin y    sin y ’

welcher (wie auch geometrisch klar) um so kleiner wird, je grösser sin y. Er erreicht sein Minimum für sin y = 1, d. h. für y = R. Die zuverlässigste Punktbestimmung in der Kichtung LF, d. h. die genauesten Werte für e liefern also Festpunkte, welche auf dem in F auf LF errichteten

Lot liegen. Der Fehlerbetrag fe wächst dagegen mit sinbei bestimmter

Festpunktsentfernung s also mit der Entfernung e zwischen Leit- und F olgepunkt.

Für beispielsweise e = 100 m, s = 1000 m, d = 0,10 m und y = R 2 • 0,10 • q"

1000.20 —

2 0,10

20 = °’01 m'

Der von Unsicherheiten der Festpunkte hervorgerufene Winkelfehler f(j verursacht sodann eine lineare Veränderung der Lage von FquerzuLF um

f<5 • s q cos y ’

also eine Verdrehung des Strahls LF vom Leit- zum Folgepunkt um:

2 d sin

(4a)

fe =

wird nach (4)

nach (4 a)

fe =

2" und

(4b)

f® -

(4b)

f*

f<5 • s

~2

= -Q.

e cos y

e cos y

Dieser Betrag wird (wie auch geometrisch klar) um so kleiner, je grösser

cos y und je kleiner sin —. Er erreicht sein Minimum, nämlich 0, für sin — = 0, oder für 8 = 0.

Die zuverlässigste Punktbestimmung in der Querrichtung zu LF liefern also Festpunkte, welche in der Richtung LF liegen.

Das oben benützte Zahlenbeispiel liefert mittels (4b):

d•e • tg y

Querverfehlung infolge unsicherer Festpunkte fw =

2 d • sin-^

COS y

3

— R wird daraus:

M. m

100

oder

fw = 0,01 m.

Beobach

tungsfehler.

Beide Wirkungen einer Festpunktsunsicherheit von d = 0,1 m liegen weit innerhalb des hei Kleintriangulierungen unbedenklich in Kauf zu nehmenden Fehlers.

Yon grösserer Bedeutung für die Genauigkeit der Folgepunktsbestimmung ist dagegen die scharfe Messung der Winkel S. Kleine Beobachtungsfehler

in der

senkrecht zur

d S in den Winkeln

<Sa und de dß n <?D

(s. Fig. 294) würden den Folgepunkt F d (5"

Kichtung LF um den Betrag —— • s verschieben, wenn s die Entfernung zwischen

e"

Fest- und Folgepunkt bedeutet. Für d d = 10" und s = 1000 m würde dieser Fehler z. B. 5 cm betragen.

Die am Schluss der Ausgleichung noch übrig bleibenden Verbesserungs-Zuschläge v an den nach Gleich. (3) gebildeten Bestimmungsrichtungen nRF : wie auch die Grösse der Fehlerfigur im Fall graphischer Ausgleichung sind also hei genügend kleiner Entfernung e des Punktpaars fast ausschliesslich abhängig von den Beobachtungsfehlern dd der Parallaxwinkel d.

B. Netzeinschaltung.

§ 76. Zweck der Netzeinschaltung.

Die gleichzeitige Einschaltung mehrerer Neupunkte — eines Netzes, oder einer Kette — bildet eine wegen der grossen Zahl der gegebenen Anschlusspunkte und der daraus sich ergebenden Schwierigkeit der Fehlerausgleichung in der Kleintriangulierung seltener auftretende Aufgabe. Zu Stromaufnahmen, bei welchen mehrere Dreieckspunkte in zum Wasserlauf paralleler Anordnung gewünscht sind (s. Fig. 299), sowie zu Stadtvermessungen, welche grössere Genauigkeit verlangen, als sie für die Aufnahme des platten Landes nötig ist, empfiehlt es sich jedoch zuweilen, ein Netz von mit gleicher Genauigkeit bestimmten Punkten (Teilnetz) in sich und mit wenigen, sicheren Punkten des Landesdreiecksnetzes zusammen auszugleichen und als Ganzes dem letzteren einzufügen. Ebenso kann das Verfahren der Netzeinschaltung niederer in ein Netz höherer Ordnung etwa nach Art der Fig. 298 angezeigt sein für untergeordnetere Aufnahmen, wenn zur Lagebestimmung mehrerer, nahe zusammenliegender Punkte polygonometrische Festlegung (s. Kap. XI) umgangen werden will.

Dies um so mehr, als man hierbei mit weniger Messungsarbeit auskommt, welche — z. B. in der Rauchatmosphäre der Städte, oder im Nebel und dem Buschwerk der Flusstäler — oft schwierig auszuführen ist. Dieser Arbeitsersparnis auf dem Feld steht allerdings entweder ein erheblich gesteigerter Aufwand an Ausgleichungsarbeit gegenüber, wenn das zu berechnende Teilnetz mit sämtlichen benachbarten Festpunkten in Verbindung gesetzt werden will, oder eine Genauigkeitseinbusse „Klaffung“ in der Aufnahme des dem neuen

Netz direkt benachbarten Geländestreifens, wenn es sich lediglich auf zwei oder wenige, gut kontrollierte Festpunkte des Landesdreiecksnetzes stützen soll (s. z. B. Fig. 295—297 und 299—300). Letzteren-falls ist daher eine Ausdehnung des Teilnetzes möglichst weit über dasjenige Gebiet hinaus, welches von der in der Nähe der Städte erfahrungsgemäss sich einstellenden Grundpreissteigerung mit betroffen wird, nötig.

§ 77. Ausgleichung der Messungsergebnisse bei Netzeinschaltungen

niederer Ordnung.

Art der Bedingungs-

Zum Zweck der Ausgleichung stellen wir die Bedingungsgleichungen auf, denen die in überschüssiger Zahl gemessenen Winkel entsprechen müssen, damit übereinstimmende Endwerte für die aus ihnen zu berechnenden Grössen (Koordinaten und Dreiecksseiten) erscheinen, gleichgültig, aus welcher Zusammenstellung dieser Winkel wir die letzteren ableiten. Wir unterscheiden dreierlei Arten von Bedingungsgleichungen, nämlich:

1. Punktgleichungen: Die Summe der in ununterbrochener

Folge um einen Punkt herumliegenden Winkel soll 4R betragen. Zur gegenseitigen Festlegung von s von einem Punkt ausgehenden Strahlen braucht man

w = (s — 1)

unabhängige Winkel. Jeder auf einem Punkt weiter gemessene Winkel liefert eine ,,Punktgleichung“.

2.    Winkelsummengleichungen: Die Summe der drei Winkel jedes Dreiecks soll 2 R betragen. Jedes Dreieck, in welchem drei, jedes Viereck, in welchem vier, jedes n Eck, in welchem n Winkel gemessen sind, liefert eine Winkelsummengleichung.

3.    Seitengleichungen: Wenn in irgend welchem, durch Diagonalen in Dreiecke zerlegten Vieleck die gemessenen Winkel den Punkt- und den Winkelsummengleichungen auch genügen, so sind damit die — uns überhaupt unzugänglichen — wahren Winkelwerte natürlich keineswegs erreicht. Schreibt man daher, mangels einer gegebenen Längendimension und unter vorläufiger Behandlung einer dem Dreiecksnetz ähnlichen Figur irgend einer Dreiecksseite ein beliebiges Längenmass zu (vergl. § 60) und rechnet, von ihr aus ein Dreieck ans andere reihend, unter Benützung der nach (1) und (2) verbesserten Winkel die Längen der übrigen Seiten, so gewinnt man, den Kreislauf schliessend und zur Ausgangsseite zurückkehrend, für sie ein vom ursprünglich angenommenen etwas abweichendes Mass. Soll dies vermieden werden, so müssen wir eben diese Dreiecksseitenberechnung zu „Seitengleichungen“ als

weiteren Bedingungsgleichungen zusammenfassen, nach denen die gemessenen Winkel zu verbessern sind.

Zahl und Aufstellung der Be-dingungs-gleichungen.

Fig. 295.

a) im Fall von Winkel-beobach-tungen.

Die Frage nach der Zahl der im einzelnen Fall aufzustellenden Punkt-, Winkelsummen-und Seitengleichungen beantwortet sich durch folgende Überlegung:

v    Reiht sich im Netz

G Dreieck an Dreieck so an, dass man von einer gegebenen Dreiecksseite ausgehend die anderen nur in bestimmter Reihenfolge auf bestimmtem Weg ableiten kann, „Dreieckskette“ (s. Fig. 295), so können

in 2 Dreiecken 1 Seite und höchstens 6 Winkel =    7 Stücke

11

11

11

11

11

10

12

13    „ usw.

bekannt sein, mittels welcher die gegenseitige Lage von 4, 5, 6 ... Punkten bestimmt ist.

Notwendig zu dieser Bestimmung sind bei p Punkten allgemein (1) (2 p — 3) voneinander unabhängige Stücke (worunter sich etwa befinden können 1 Seite und 2 p — 4 Winkel), oder

bei 4 Punkten oder 2 Dreiecken 5 unabhängige Bestimmungsstücke, » 5 » ⁶

11

11

11

11

11

11

11

11

11

11

11

11

11

11

11

Also sind im Falle der

aus 2 Dreiecken bestehenden Kette A B C D (s. Fig. 295) 2 Stücke,

„ ABCDE „ ABDDEF

allgemein ebenso viele Stücke überschüssig, als Dreiecke vorhanden sind. Jedes von den letzteren liefert aber 1 Winkelsummengleichung. Für Seitengleichungen bleibt daher in diesem Falle kein Raum.

11

11

11

11

11

4    „ und

Sind dagegen diagonale Strahlen beobachtet (s. Fig. 296), oder sind die Dreiecke so gruppiert, dass man zur Berechnung der Länge irgend einer ihrer Seiten von einer bekannten Seite ausgehend verschiedenerlei Winkel und Dreiecke wählen kann, ,,Dreiecksnetzeu (s. Fig. 297 und 298), so gewährleistet die Erfüllung der Punkt- und Winkelsummengleichungen noch nicht eine geschlossene Figur.

Qr

fr.

's

Fig. 296.

Fig. 296 a.¹)

JJ

oc#

/f2>°

v;

fr 5

°^z.

Qr

ö'

Q-

><p

Denkt man sich z. B. in Fig. 297 von der Grundlinie AB ausgehend unter Benützung der diese Gleichungen befriedigenden Winkel die Dreiecksseite BC, aus ihrBD und so fort, Dreieck an Dreieck reihend, schliesslich wieder A B abgeleitet, so wird sich dafür infolge noch vorhandener Winkelfehler ein anderer Wert als derjenige ergeben, von dem man ausging.

Sind in irgend einem p Punkte umfassenden Dreiecksnetz eine Dreiecksseite und w Winkel bekannt, so ist nach Gleichung (1) die Zahl der überschüssigen Stücke, also die Gesamtzahl der aufzustellenden Bedingungsgleichungen:

ß = (w -f- 1) — (2 p — 3) = w — 2 p -j- 4.

In Fig. 29 6 der gegenseitigen Festlegung von vier Punkten aus acht gemessenen Winkeln sind z. B. demnach, wenn eine Seite bekannt ist, 8 — 8 + 4 = 4 Stücke übrig: wir müssen also ß = 4 voneinander unabhängige Bedingungsgleichungen aufstellen. Aus den drei unabhängigen Winkelsummengleichungen «i -f- 0C2 -j- «3 + a8 ⁼⁼ 2 R

«2 + «₃    = a₆ -j- a₇

+ Ö5 = 05i + «8

lassen sich alle in der Figur überhaupt möglichen Winkelsummengleichungen gewinnen. Die vierte Bedingung muss also eine Seitengleichung sein, welche den linearen Schluss der Figur gewährleistet. Wir erhalten sie, wenn wir von irgend einer Umfangsseite a

x) Die Seite AC = b in Fig. 296 a ist als Yerbindungsstrecke zweier Festpunkte stark zu zeichnen.

Fig. 297.

i-Z?

(2)

(a)

(b)

(c)

'cc,

ir

1,

<*6.

<F

(gleichgültig, ob ihre Länge bekannt ist oder nicht) ausgehend, die Umfangsseiten des Vierecks der Reihe nach eine aus der anderen mittels des sin Satzes ableiten, bis wir wieder zu a gelangen. Dann hebt sich a weg und wir erhalten als vierte Bedingungsgleichung:

(d)

1.

sin ax sin a₃ sin a₅ sin a7 sin a₂ sin a₄ sin a₆ sin a₈

In Fig. 296a (Fünfeck) sind drei Festpunkte, also ein Dreieck gegeben (welches drei unabhängige Stücke ersetzt) und acht Winkel gemessen, im ganzen also elf Stücke bekannt. Nötig sind 2p — 3 = 10 — 3 = 7 Stücke, also hat man 11 — 7 = 4 Bedingungsgleichungen aufzustellen, nämlich drei Winkelsummengleichungen (deren eine den aus Richtungswinkeln zu berechnenden Winkel CAB benützt) und die Seitengleichung:

a sin ßx sin ß₂ sin (y₂ -f~ a₃)

sin yx sin y₂ sin y₃

= b.

In Fig. 29 7 (Sieben-Eck) brauchen wir 2p — 3 = 11 unabhängige Stücke. Wir kennen aber 6X3 = 18 Winkel und eine Seite. Also sind 19 — 11 = 8 Stücke überschüssig und wir erhalten neben einer Punkt- und sechs Winkelsummengleichungen auf gleiche Weise wie vorhin (nämlich indem wir von AB ausgehend der Reihe nach BC, B D, B E etc. berechnen bis zur Rückkehr nach B A) die Seitengleichung :

sin ec, sin a₂ sin a₃ sin a₄ sin a₅ sin a6 sin yx sin y₂ sin y₃ sin y₄ sin ya sin y₆

(d)

1 usw.

Da wir eine Seitengleichung im Falle der Dreiecks kette (s. S. 552) nicht nötig hatten, dagegen eine solche (und eine weitere Winkelsummengleichung) bekamen, sobald wir in die Kette noch irgend einen zweiseitig beobachteten diagonalen Strahl einschalteten (Fig. 296) oder die erstere durch Rückkehr auf die Ausgangsbasis zum Netz ausgestalteten (Fig. 296a und 297), so erkennen wir: Ist nur eine Dreiecksseite bekannt, so ist die Zahl der Seitengleichungen gleich der Zahl der Dreiecksseiten, welche gestrichen werden müssen, um aus dem Dreiecksnetz eine Kette zu machen. Die Zahl der Winkelsummengleichungen ist im Falle bloss zweiseitig beobachteter Strahlen gleich der Zahl von Dreiecken der durch Strahlenausschaltung erzielten Kette -j- der Zahl der hiebei gestrichenen Seiten. (Ist ein Punkt im Netz durch reinen Vorwärts- oder Rückwärtseinschnitt festgelegt, so liefert seine Existenz und diejenige seiner Bestimmungsstrahlen keine weitere Gleichung, beide bleiben für die Feststellung der Zahl der Bedingungsgleichungen ausser Betracht.) Für jeden bloss einseitig beobachteten Strahl kommt aus der nach vorigem festgestellten Zahl von Winkelsummengleichungen eine in

Fortfall. Die übrigen Bedingungsgleichimgen bis zur Gesamtzahl von ß = w— 2p-f-4 (s. Gleichung 2) sind Punktgleichungen.

In Fig. 298 sind in zehn Dreiecken 30 Winkel gemessen, eine Seite, z. B. B H, muss mindestens bekannt sein, gibt zusammen 31 bekannte Stücke. Nötig sind für die gegenseitige Festlegung der zehn Punkte:

2 p — 3 = 17 unabhängige B Stücke. Also haben wir im ganzen 31 — 17 = 14 Bedingungsgleichungen, und zwar zwei Punktgleichungen (bei D und F), zehn Winkelsummengleichungen und zwei Seitengleichungen. (Zum Zwecke der Zurückführung auf die Kette seien z. B. die Seiten A K und K J gestrichen).

Man kann unbeschadet vorhandener Winkelbeobachtung die Zahl der Bedingungsgleichungen statt in der Zahl der gemessenen Winkel auch in der Zahl der beobachteten Strahlen ausdrücken. Sind in einem

Fig. 298.

IV

ix

vm

vx

Punkte w unabhängige Winkel gemessen, so ersetzen sie w -)- 1 Richtungen. Folglich ersetzen [w] in p Punkten gemessene unabhängige Winkel [w] -)- p Richtungen. Setzen wir jeden Strahl als zweiseitig

beobachtet voraus, so haben wir also mit [w] in p Punkten gemesse-

[w] + p

nen unabhängigen Winkeln: s =

Strahlen. Daraus erkennen wir: Sind s je zweiseitig beobachtete Strahlen im Dreiecksnetz vorhanden, so ist — eine einzige Dreiecksseite als bekannt vorausgesetzt — die Zahl der Bedingungsgleichungen im ganzen

je zweiseitig beobachtete

(3)

ß = [w] — 2 p —j— 4 — 2s — 3 p -j- 4. Daraus ergibt sich folgende Zusammenstellung der obigen Untersuchungen.

Zahl der Netz->3 punkte (exkl.

, reine Vor-od. Kückwärts-einschnitte)

Zahl der zur Kettenverbindung nötigen Dreiecke

Zahl der zur Kette nötigen Strahlen

Von s zweiseitig beobachteten Netz-strahlen sind für die Dreieckskette überschüssig

Zahl der

Winkelsummen-gle i chun g e n

(s — 5) —(— 2 (s — 7) -h 3

p-2

(2 p — 3) [s —

00

Sind von den s Strahlen s' nur einseitig beobachtet, so tritt an Stelle von s in obiger Tafel und in Gleich. (3)die Differenz s — s'. In diesem Fall ist also die Zahl der Winkelsummengleichungen

(4)

(s — sQ — p + 1.

b) im Fall von Richtungsbeobachtungen.

Treten Richtungs- an Stelle der Winkelbeobachtungen, so fallen die Punktgleichungen weg.

Die Zahl der zur Festlegung unserer p Dreieckspunkte je . zweiseitig beobachteten Strahlen sei wieder s,

S — p + 1,

s — 2 p 3.

= (S — s') — p + 1 = s — 2p + 3

die Gesamtzahl der Bedingungsgleichungen also ß = 2s — 3p —(— 4, die Zahl der Winkelsummengleichungen ist folglich die Zahl der Seitengleichungen Sind unter den s Strahlen s' nur einseitig beobachtete (etwaige reine Vor- oder Rückwärtseinschnitte bleiben für die Zählung der Punkte und der Richtungen auch hier ausser Betracht), so wird die Zahl der Winkelsummengleichungen die Zahl der Seitengleichungen die Gesamtzahl der Bedingungsgleichungen ß = 2s — s/ — 3p-f-F Sind mehr als zwei Festpunkte durch ihre Koordinaten gegeben, so liefert der Anschlusszwang weitere Bedingungen. So sind in Fig. 299 in sechs Dreiecken 18 Winkel gemessen und überdies durch

Fig. 299.

B\

die vier Festpunkte A, B, G und H fünf unabhängige Stücke unabänderlich bekannt. Nötig sind für die Bestimmung der gegenseitigen Lage der acht Punkte 13 unabhängige Stücke, also brauchen wir für die Ausgleichung 18 —(— 5 — 13 = 10 Bedingungsgleichungen. Hierunter sind sechs Winkelsummen- und vier weitere Gleichungen, welche die Festhaltung der als fehlerfrei vorausgesetzten Bestimmungselemente für die gegenseitige Lage der vier Festpunkte verbürgen. Von den letzteren sichern zwei das fehlerfrei gegebene Verhältnis der Streckenlängen AB und GH, AG und BH, zwei deren gegebene Divergenz.

Berechnung der Winkelverbesserungen v aus den Bedingungsgleichungen.

Sind die Bedingungsgleichungen aufgestellt, so berechnen wir die zu ihrer Befriedigung an den verbesserungsfähigen Elementen (zumeist Winkeln) anzubringenden Verbesserungszuschläge v entweder unter Verzicht auf bestmögliche und eindeutige Werte stufenweise empirisch, oder, unter Hinzufügung der Hauptbedingung

[p y v] = Minimum (Methode der kleinsten Quadrate), nach einem der Verfahren für die Ausgleichung „vermittelnder“, oder „bedingter“ Beobachtungen (s. §§ 26 bis 28 von Weitbrecht, Ausgleichungs

rechnung).

Für untergeordnetere Zwecke genügt das erstgenannte Verfahren einer stufenweisen, empirischen Ausgleichung:

Beispiel.

B -+- 47694,36 — 12304,10 A -+- 48938,76 — 12650,14.

Gemessen: sind die in nachfolgender Tafel (S. 559) eingetragenen Winkel. Gesucht: die Koordinaten der Neupunkte C, D und E.

Fig. 300.

Gegeben:

fr

fr

B V³

LA

<=/*

ST

Lösung. Gemessen: 4x3 + 4 = 16 Winkel) Gegeben:

Nötig:

1 Seite ) 10 — 3 =

17 Stücke.

2p —3

Überschüssig, also Zahl der Bedingungsgleichungen — :• 10, nämlich:

I) 5 Punktgleichungen:

5) «4-(- Yi -+- d₄ =4R

ecks-

summen-geich-ungen.

A B sin ßj sin a₂ sin a₃ sin a4 sin sin /₂ sin /₃ sin /₄

6)    Oi + A + Zi = 2R

7)    ß₂ + ßi + 72 = 2 R

8)    <*3 + ßz + /3 — 2 R

9)    «4+ /h+ y₄ = 2R

= AB.

III) 1 Seitengleichung (10)

Die Verbesserungsbeträge für die von Gleichungen (I) bis (9) betroffenen Winkel kann man unter jeweiliger Berücksichtigung der vorgängig befriedigten und daher nicht wieder zu störenden Gleichungen durch einfache Addition stufenweise feststellen (s. Tafel S. 559).

Um Gleichung (10) zu befriedigen, wenden wir das in § 64 gezeigte Verfahren wieder an. Ergäbe sich etwa der Wert des Zählers (aus den bis einschliesslich Gleichung (9) verbesserten Winkeln berechnet) grösser als der des Nenners, so würden zweckmässigerweise sämtliche sin des Zählers verkleinert, sämtliche sin des Nenners vergrössert werden. Sind sämtliche Winkel spitz, so käme diese sinus Änderung einer in gleichem Sinn bewirkten Änderung der Winkel gleich. Ist aber der eine, oder andere von ihnen stumpf, so nimmt ihr sin bei wachsendem Winkel ab und umgekehrt. Man müsste also eigentlich, wollte man die kleinstmöglichen Winkelverbesserungsbeträge v errechnen, diese ohne Rücksicht auf die Anordnung der Winkel im Zähler oder Nenner mit entgegengesetzten Vorzeichen einführen, je nachdem die Winkel spitz, oder stumpf sind. Die kleinstmöglichen Verbesserungsbeträge werden wir aber bei Benützung eines empirischen Ausgleichungsverfahrens ohnedies nicht erhalten. Wir verzichten daher auch jetzt für Bedingungsgleichung (10) freiwillig darauf und nehmen uns der Bequemlichkeit

halber vor, jeden Winkel des

unter Berücksichtigung der ein-

Zählers Nenners,

Um x zu errechnen, logarithmieren wir, wie in § 60,

gangs gemachten Annahme um den gleichen Verbesserungsbetrag x zu verkleinern vergrössern. die Gleichung (10), womit sie übergeht in:

(10a) log sin(ax—x) -f- log sin(a₂—x) -f- log sin(a₃—x)log sin(a₄— x) = log sin (yx + x) -f log sin (y₂ + x) -f log sin (y₃+x) -f log sin (y₄ + x).

Bezeichnen wir wieder denjenigen Betrag, um welchen sich

log sin eines Winkels dadurch ändert, dass wir den Winkel selbst um 1" (oder bei Kleintriangulierungen, wie im vorliegenden Beispiel um

positiv negativ

wird, wenn der geänderte gleicher

entgegengesetzter Richtung mit der Winkeländerung verläuft, so erhalten wir aus (10a)

10“) ändern, mit <5, (wobei da

Winkel a

spitz

stumpf

ist, d. h., wenn die sinus Änderung in

(10¹³) (log sin ax -j- log sin a₂ -f- log sin a₃ -f- log sin a₄)

— (log sin yx + log sin y₂ + log sin y₃ -f- log sin y₄)

= x" (dßl -j- Öa₂ + da₃ -f- da₄ -f- Öyx + Öy.₂ -j- Öy₃ -f- <Sj/₄),

oder unter Berücksichtigung der eingangs gemachten Annahme:

(11)

X"

log Zähler — log Nenner

jpg > — log <

[algeb. <5]

[algeb. d]

Die Änderungen <5 an den log sin werden samt ihren Vorzeichen anlässlich der Berechnung von log Zähler und log Nenner aus der Log-Tafel erhoben.

bo—

S <V

0>

N ~

ö'Ö ° | '

Ge-

messene

Winkel

//

Verbesserungen wegen Gleichungen

log-Diff. pro 10"

g’.s ^

r—t Ul

log-Diff. pro 10"

Verbess. wegen Gleich. (10)

Ausge

glichene

Winkel

ßi

79 51

05

79 50 94

116

04

05

ßi

119

30

00

ß*

85

15-

12

116 03 94

119 30 04

85 15 08

«1

74

64. 52 60 I 55 274 ! 91

44

77

67

It It II

(+3)

(+3)

(-8)

9.928760

4,3

64 52 35

9.910704 ^+7    69 55 99

«2

7i

<5.

«3

86 30 96 67 300 16 94 38 11 94

CO lO ^ 10

+I++I

(+3)    -7

(+3) (+7)

(+3)    +3

9.803295

9.750999

8,3

9.886590

5,7

10,0

72

40 ; 09 88

9.770134

<*2

321 i 78 30

(+4) (-3)

9,4

«4

54 I 28 95

73

42 : 57 96

303 ; 13 09

o| ©I ©I

(—2)    +7    9.876862

(—2) (—7)

5,9

9.792448

8,6

00 13 —22 +12 +9 —12 0

0    9.359916

28,5

9.359876

+ |j o

28,611 u

2000 00 00

— 13

Yerbess. wegen Gleich. (10)

40

57,1

— 0,7 Dekasekunden.

Mit den ausgeglichenen Winkelwerten ergeben sich die Dreiecksseiten, und aus ihnen die Eckpunktskoordinaten nach dem Verfahren des § 58 ohne Widerspruch, in welcher Reihenfolge wir auch die Rechnung durchführen mögen, zu (die Ausrechnung bleibt hier der Kürzung wegen weg):

xc =    4- 48489,88    yc    =    —    11123,87

xD =    -f 46246,69    yD    =    —    11790,14

xE =    + 47641,35    yE    =    —    13699,41.

Solche empirische Verfahren sind, wenn es sich nicht um die Erlangung bestmöglicher Werte für die Neupunktskoordinaten handelt, namentlich in den Fällen der Figuren 298 und 299 zweckmässig.

Im Fall der Fig. 298 wird man dabei, nachdem die Winkel den Punkt- und Winkelsummengleichungen entsprechend ausgeglichen sind, mangels einer bekannten Dreiecksseite zunächst sämtliche Dreiecksseiten unter Einführung einer beliebig angenommenen Streckenlänge § für eine der Seiten in verschiedenartiger Aneinanderreihung der Dreiecke, also mehrfach berechnen und mittein. Mit den derart erhaltenen Strecken einer der der tatsächlichen Figur ähnlichen Figur 21, 93, (£,... ^ berechnen wir unter Annahme eines beliebigen Koordinatensystems y und eines beliebigen Ursprungs die Koordinaten y und 9 der Eckpunkte 21, 23, (£, . . . 5L Ermittelt man dann Länge und Richtungswinkel der Verbindungsstrecken B H der beiden gegebenen Festpunkte sowohl aus den berechneten Koordinaten y, x) im willkürlichen, als aus den gegebenen x und y im richtigen Koordinatensystem, so bekommt man, wie in § 60 aus n B H — y 93 = w, bezw. log B H— log 93 = logq, Verdrehungswinkel o) und log des Reduktionsfaktors q, deren Addition zu den in bezug aufs willkürliche System abgeleiteten Richtungswinkeln und Streckenlogarithmen der Dreiecksseiten die tatsächlichen Werte 11A B,... und AB,... liefert. Die endgültige Koordinatenberechnung erfolgt in den Fällen der Figuren 298 und 299 schliesslich am bequemsten durch Verbindung der so berechneten Dreiecksseiten und Richtungswinkel zu Polygonzügen nach Kapitel XII.

C. Anwendung der Kleintriangulierung auf die Wiederbestimmung von verloren gegangenen Dreieckspunkten, sowie auf die Bestimmung von Geländepunkten zu gegebenen Koordinaten. Schlussbetrachtungen.

§ 78. Die Wiederbestimmung von auf dem Gelände verloren gegangenen Dreieckspunkten

kann entweder auf geometrischem Wege unter Rückwärtsbenützung der auf die Triangulierung gegründeten früheren Stückvermessung, oder trigonometrisch erfolgen. Ist die bevorstehende Zerstörung eines Dreieckspunktes zum voraus bekannt (Umbau des den Punkt tragenden Gebäudes, Felssprengungen, Grabarbeiten etc. in der Nähe des Bodensignals), so kann man auch vor deren Eintritt der späteren Wiederherstellung Vorarbeiten (s. unten).

Die nachträgliche, geometrische Wiederbestimmung kommt allein in Frage, wenn der trigonometrische Punkt neuerdings zur Wiederbestimmung verloren gegangener Markpunkte bezw. als Ausgangspunkt von Fortführungsvermessungen benützt werden soll und wenn die Möglichkeit besteht, dass der durch seine Koordinaten im Landeskoordinatensystem bestimmte Punkt von demjenigen abweicht, welcher zur ursprünglichen Stückvermessung diente. In diesem Fall konstruiert man aus festen, von der ursprünglichen Stückvermessung erfassten Punkten (Markpunkten etc.) rückwärts wieder die ursprüngliche Lage der Aufnahmelinien auf dem Gelände, welche sich auf den jetzt verloren gegangenen trigonometrischen Punkt stützten und

aus ihr mittels der früher erhobenen Aufnahme- und Probemasse die frühere Lage des trigonometrischen Punktes. Sie ergibt sich daraus im Fall noch unverletzt vorhandener, früher aufgenommener Grenzmarken mit der der früheren Vermessung und Punktvermarkung innewohnenden Genauigkeit und Zuverlässigkeit. Genügt diese nicht, oder befinden sich keine sicheren Aufnahmeobjekte aus früherer Zeit in der Nähe des trigonometrischen Punktes (grosse Waldungen, Weiden etc.), so muss auf die trigonometrische Punktbestimmung zurückgegriffen werden, die ohnedies allein in Frage kommt, wenn Neuaufnahmen mit trigonometrischem Anschluss auf den Punkt sich gründen sollen.

Zu diesem Zwecke bestimmt man auf dem Gelände einen vorläufigen Punkt iß möglichst nahe dem gesuchten auf irgend welche Weise, nötigenfalls als Schnitt zweier von Festpunkten ausgehenden Zielungen, deren mit anderen Feststrahlen eingeschlossene Winkel als Unterschiede der zugehörigen, aus Koordinaten berechneten Richtungswinkel abgeleitet wurden. Alsdann folgen die Messungen und Berechnungen, welche zu den endgültigen Koordinaten 5 und 9 dieses vorläufigen Punktes mit Hilfe eines der Verfahren der §§ 64 bis 75 führen. Aus ihnen und den gegebenen Koordinaten x und y des Sollpunktes berechnet man die Länge und den Richtungswinkel der Verbindungsstrecke von vorläufig auf dem Gelände gewählten, nach dem letzteren Punkt P mittels der Formel:

x — £ n^P'

Ermittelt man weiter noch den Richtungswinkel n iß F des Verbindungsstrahls von i|3 nach einem beliebigen, von ihm aus anzielbaren Festpunkt F, so erhält man den in iß auf dem Feld abzusetzenden Winkel F iß P = n iß P — n iß F, auf dessen freiem Schenkel man von iß aus die Strecke iß P abmisst, um die Lage des gesuchten ißunktes P zu erhalten.

sin n iß P

t g n iß P = J-iß P =

Voraufnahme zum Zweck der späteren Wiederbestimmung eines Dreieckspunktes, dessen bevorstehender Verlust

bekannt ist.

Ist die Wiedervermarkung auf der alten Stelle in Aussicht genommen, so genügt eine exzentrische Versicherung durch unter die Ackerkrume gesetzte Marksteine, oder Pflöcke etwa nach Fig. 301.

Ist eine Veränderung der künftigen Lage des Dreieckspunktes als notwendig zu erwarten (z. B. Erneuerung eines den Punkt tragenden Bauwerks), so misst man von den Endpunkten

Weitbrecht, Vermessungskunde.

Fig. 301.

Fig. 302.

CC

<Qe

' P7

?A,

fcöH-

Ip*

/■ \tzb

/>.

4-

irr

einer in der NäheLgelegten Grundlinie AB = a aus, die Winkel a und ß, welche sie mit den Verbindungslinien nach dem noch vorhandenen Festpunkt P einschliesst. Ergeben sich nach erfolgtem Umbau für diese Winkel veränderte Werte ct' und ß', so ist die ursprüngliche Punktlage nach Px verschoben. Um dessen Koordinaten zu berechnen, misst man neben der Strecke a noch denjenigen Winkel y in einem Endpunkt der Grundlinie A B, z. B. in B, welchen diese mit dem Strahl nach einem durch seine Koordinaten gegebenen Festpunkt F einschliesst. Man kann dann aus den Koordinaten des ursprünglichen Signals P entweder direkt, oder auf dem Umweg über den Standpunkt B („Herunterbringen“ von P s. § 84) diejenigen des veränderten Signalpunkts Pi ableiten; letzterenfalls wie folgt:

(1)

PB =

a sin a

sin (a -f- ß)

(2) nPB = n P F -j- F P B, wobei ^ F P B als Dreieckswinkel (oder sein Implement) sich ergibt aus dem Dreieck P B F,

p R

sobald d = B F P = arc sin-

s

der Richtungswinkel n P F berechnet ist.

sin (ß -f- y) und

Aus

(3)

(xB = xP -f P B cos n P B

( yB = yP -f- P B sin n P B erhält man zum Schluss

a sin at

xPi = xB-f- BPi. cosnBPj = xB-f

= xB-f

sin (ßi + ßy)

a sin ay

cos (nBF -f- FBPD

(4)

sin (ay + ßy)

cos (nBF + /h -f- y)

Ivy = yB + BP! sin nBPi = yB -f

= yB4-

a sin ay

sin(aj + ßy)

a sin ay

sin (ay + ßy)

sin (nBF -f FBPj) sin (nBF + -f- y).

Zur Sicherung gegen Beobaclitungsfehler wird man zweckmässigerweise mittels einer zweiten Grundlinie aa und einem Winkel y' nach einem zweiten Festpunkt Fi den Festpunkt P nach einem zweiten Basisendpunkt (etwa Ai) herunter-, und diesen hernach nach Pa wieder hinauf,,bringen“.

§79. Fehlergrenzen für trigonometrische Punktbestimmung III. und

IV. Ordnung.

Da das Endresultat der Triangulierung in Koordinatenwerten besteht, läge es am nächsten, etwa für diese die äusserstenfalls zu duldenden Fehler festzustellen. Allein die Genauigkeit der trigono-metrischenPunktbestimmung, derKoordinaten, hängt nicht ausschliesslich vom Willen des Technikers ab. Die Zahl, Lage und Genauigkeit der zur Verfügung stehenden Festpunkte ist hiefür ebenfalls von Bedeutung. Aus diesem Grund begnügt man sich mit der Feststellung von Fehlergrenzen für die zur Punktbestimmung dienenden gemessenen Winkel und Richtungen.

Bei der Punktbestimmung III. Ordnung gilt in Preussen wie in Elsass-Lothringen als zulässige Höchstabweichung F^ einer orientierten Richtung ß oder y gegen den endgültigen Richtungswinkel <jp der Betrag von 15" a. T. (Tatsächlich wurde z. B. von der preussischen Landesaufnahme mit Theodoliten von 14 cm Teilkreisdurchmesser bei Beobachtung in drei vollen Sätzen ein mittlerer Richtungsfehler pro Einstellung von + 4,2" erzielt).

Die bayerische Anweisung vom 25. Juni 1885 bestimmt a. T., wobei die Rückwärtsbeobachtung einer Richtung

hiefür

15"

Vp

die Gewichtseinheit bildet und die orientierte äussere Richtung das Gewicht p = —tti erhält. Die höchstenfalls zulässige Abweichung einer zweiseitig beobachteten, aussen an zwei Feststrahlen angebundenen Richtung wird hieraus F^ =

15"

= ± 11,6" a. T.

V i+l

Die badische Anweisung gestattet einen Fehler von 65" n. T., die hessische einen solchen von 100" n. T. im Dreiecksschluss.

Bei der Punktbestimmung IV. Ordnung sieht die preus-sische, wie die elsass-lothringische Anweisung für den zulässigen

Richtungsfehler einen Höchstbetrag F® = 25" a. T. für Seiten > 1 km

25"

vor. Die bayerische Fehlergrenze liegt bei Fgp = —p= a. T., die

40000"    V p

n. T. Daneben darf aber

württembergische bei F^ = 60 -f in Württemberg der Fehler im Dreiecksschluss 60" a. T. oder 185" n. T. (in Elsass-Lothringen 50" a. T.) und der mittlere Fehler des Mittels einer beobachteten Richtung 8" a. T. = 25" n. T. nicht überschreiten.

Die badische Anweisung gestattet einen Fehler im Dreiecksschluss von 100" n. T., die hessische Anweisung einen solchen von 133" n. T.

Kapitel XII.

Polygonometrische Punktbestimmung. („Polygonisierung“, „Stationierung“).

§ 80. Begriffsbestimmung und Zweck.

a) Begriffsbestimmung.

Während die gegenseitige Lage der aufgenommenen Punkte bei Benützung des Verfahrens der Triangulierung ausschliesslich mittels Winkelmessung, bei der Stückvermessung aber (abgesehen von einzelnen durch Strecken ersetzbaren Winkeln) ausschliesslich mittels Streckenmessung bestimmt wird, verwendet die Polygonisierung hiezu Winkel- und Streckenmessung als gleichwertige und in gleicher Zahl angewandte Bestimmungsgrössen. Sie reiht zu diesem Zweck eine (zunächst beliebige) Zahl von Strecken, deren Längen und gegenseitige Brechungswinkel gemessen werden, zu einem „polygonalen Zug“ oder „Polygonzug“ aneinander, der von einem seinen Koordinaten nach bereits festgelegten Punkt (Festpunkt) ausgeht und womöglich in einem solchen endigt. Erfolgt wohl der An-, nicht aber der Abschluss in einem Festpunkt, so heisst man den Polygonzug einen „fliegenden“, oder „Schnittzug“, besteht der Zug aus einer einzigen „Polygonseite“, so heisst ihr (durch sie und den im Anschlusspunkt gemessenen „Anschlusswinkel“ nach einem fernen Festpunkt bestimmter) Endpunkt: „Schnittpunkt“.

Ein Polygonzug, der in sich selbst zurückkehrt (Anschluss-und Abschlusspunkt zusammenfallend) heisst „geschlossener Zug“.

b) Zweck.

In offenem, nicht allzu bergigem Gelände könnte man die Triangulierung so weit nach unten, das (bei Anwendung der Parallelmethode) (in sich selbst geometrisch bestimmte) Netz der Stückvermessung nach oben treiben, dass Verbindungslinien der Dreieckspunkte und andere in sie einbindende Gerade direkt als Aufnahmelinien für die Stückvermessung benutzbar wären. Eine so erhebliche Ausdehnung des geometrischen Netzes ist aber nur in dazu geeignetem Gelände und überdies nur unter grossem Arbeitsaufwand möglich. Eine sehr engmaschige Triangulierung würde eine zwar technisch gute, aber wegen des wachsenden Anschlusszwangs teuere, und wirtschaftlich (abgesehen vielleicht von hochwertigem Gelände in Stadtgebieten) unrationelle Punktbestimmung liefern. In Waldgebieten, ausgedehnten Baumgütern, ist eine engmaschige Triangulierung überhaupt undurchführbar.

In allen diesen Fällen stellt die polygonometrische Bestimmung die Verbindung zwischen Stückvermessung und Triangulierung her, indem sie die Stützpunkte für das geometrische Aufnahmenetz liefert (diesem den richtigen Platz im Dreiecksnetz anweist) und gleichzeitig für dessen Messungskontrolle sorgt. Vom Grossen zum Kleinen stuft sich demnach die Grundlage für die Horizontalaufnahme ausgedehnter Gebiete im allgemeinen wie folgt ab:

I. Trigonometrische Punktbestimmung I., II., III.... Ordnung.

II. Polygonometrisches Netz, eingeteilt in Haupt- und Nebenzüge und Schnittpunkte.

III. Geometrisches Netz, sich stützend auf Kleinpunkte I., II. Ordnung.

§ 81. Polygonometrische Koordinatenberechnung. Abschlussgleichungen und Sätze vom geschlossenen Vieleck.

Wir haben in § 56 für die Koordinaten des Endpunkts Ax]) einer Strecke sH), welche von einem Festpunkt A₀ unter dem Richtungswinkel (p!*) ausgeht, allgemein gefunden:

(1)

a)|S chnittpunkt.

Xx = X₀ + Sx COS (jPx

TI

Fig. 203.

Schnitt

punkt.

yi = yo + Sx sin (jPx

,"*?N

fi

In der Regel ist der Richtungswinkel (p der Polygonseiten nicht gemessen, wohl aber der Anschlusswinkel ßo = BA₀Ax vom Anschluss- nach einem fernen Festpunkt B. Den Richtungswinkel n A₀ B berechnen wir aus den Koordinaten der Festpunkte A0 und B nach Gleichung (1) von § 56 und erhalten dann: n A₀ Ai

\Ao

jr\

(²) <pi

n A₀ B -j- B A₀ Ai = n Ao B -)- ß₀.

Nach der Fussnote bei § 56 ist der Richtungswinkel einer Strecke in ihrem Endpunkt um 2 R von dem im Anfangspunkt gemessenen verschieden, so dass wir auch schreiben können:

(2a) <jPx = n B Ao —(— B Ao Ai 2 R = (po —f⁻ ßo dz 2 R.

*) Für die Streckenlängen s und die Richtungswinkel gilt in der Folge immer der Index des durch sie bestimmten Punktes, für die Brechungswinkel ß (je von der vorhergehenden zur nachfolgenden Seite in positivem Sinn gezählt) der Index ihres Scheitels.

Schnittzug.

Fig. 304.

TL

si

S2"A:,

CO

■Ä-3

Äff

b) Schnittzug.

Sind die Koordinaten des Punktes Ax nach Gleichungen (1) und (2) berechnet, so treten diese an Stelle von x₀ und y₀ in Gleichung (1). Sie dienen jetzt zur Bestimmung der Koordinaten des nächsten Polygonpunktes A₂:

x₂ = Xi -j- s₂ cos cp2 y* = yi F s₂ sin cp₂, wobei der Richtungswinkel (p2 sich genau wie oben ergibt:

%■

(p₂ n Aj A₂ — n Ai Ao n A„ Ai

Ti

TI 1

FF

+ A₀ Ai A2 F 2 R F A₀ Ai A2 — <jPi F ßi F 2 R. Gehen wir in gleicher Weise zum Punkt A₃, von diesem zu A₄ usw. über (s. Fig. 304), so erhalten wir unter Festhaltung der Definition von ß („in positivem Sinn vom vorhergehenden zum nachfolgenden Punkt“) allgemein:

(px = n A₀ A]

(p2 = 11A1A₂

(3)

(ps : nA₂A₃

= nA₀B F B A₀ Ai = n B A₀ + B A₀ Ai -F 2 R — n Ai Ao -j- Ao Ai A2 = n A₀ Ai F A₀ Ai A₂ + 2R = n A₂ Ai -j- Ai A₂ A₃

(p 1 F ßi F 2R

= n Ai A₂ —(— Ai A₂ A₃ F 2 R = cp₂ -I— ß₂ F 2 R

■^n—2 F" -^n—2 ^n—1 An

An_i -j— An_₂ An_i An F 2 R = ^n—1 F~ßn—1F 2 R

Vn = n An_i An = n An_i — n An_2

_9Vfi = n An An_|_i = n An An_i —(— An_i An An_)_i

An F F~i An An+X F 2 R = (pn F ßn F 2 R

= nA

n—1

und

(4)

Xi = X₀ F Sl C0S <jPl X₂ = Xi —}— s₂ cos cp2 X₃ = X₂ F- s3 COS 0p₃

(5)

yi = y₀ F si sin <pt y₂ = yi F s₂ sin ^2 y₃ = y₂ F s₃ sin ®₃

Die Gleichungen (3) bis (5) ergeben mit Hilfe der gemessenen Brechungswinkel ß des berechneten Richtungswinkels cp₍₎ und der Koordinaten für den Anschlusspunkt A₀ nacheinander die Koordinaten sämtlicher Polygonpunkte Al5 A₂, . . . An.

Sie liefern aber noch eine Additionsprobe. Streichen wir nämlich links und rechts vom Gleichheitszeichen die identischen Glieder und addieren vertikal, so liefert

Gleichung    (3)    —-:-yn+1    =    <?₀    +    [ß]o ± (n +    1) 2R (3a)

(4 a)

»    (4)    — ••• xn    =    x₀    +    [s-cos

(5 a),

»    (5)    —yn    =    yo    +    [s-siny)?

Fig. 305.

Rechen-

prohe.

wonach wir die Richtigkeit der in der Rechnung ausgeführten Einzeladditionen prüfen können.

c) Polygonzug mit gegebenen, zugänglichen An- und Abschlusspunkten.

Der M e s s u n g sprobe wegen ist der An-und Abschluss der Polygonzüge an Festpunkten nach Fig. 305*) immer anzustreben.

In diesem Fall sind die nach Gleichungen (4 a) und (5 a) berechneten Werte für die Koordinaten des Endpunktes An zum voraus bekannt. Der nach (3 a) berechnete Richtungswinkel (pn+1 ergibt sich auch aus den Koordinaten von An und C nach § 56.

Die drei Gleichungen (3a) bis (5a) stellen also die Bedingungen dar, welchen unter Voraussetzung fehlerfreier Koordinaten für die Anschlusspunkte die gemessenen Grössen —

Strecken und Winkel — genügen müssen.

Sie liefern entweder:

1.    ein Mittel zur ausgleichenden Verbesserung dieser gemessenen Elemente, oder:

2.    ein Hilfsmittel zur Berechnung Äw

dreier etwa fehlender Stücke im Vieleck, oder endlich:

"JV

A\

A'i/ ^

Ai-2.

'' An-I

Beiderseits an Festpunkten an-gesclilosse-ner Zug.

0 In Fig. 305 ist der Punkt An als zugänglich und der Winkel gpn + i von der Richtung An n ausgehend zu zeichnen!

3. eine summarische Sicherung gegen grobe Messungsfehler und die Möglichkeit, einen etwaigen solchen nach Grösse und Lage aufzusuchen.

Dieses Ergebnis stimmt überein mit folgender Überlegung: Da 2 n — 3 unabhängige Stücke bekannt sein müssen, damit ein n-Eck seiner Form und Grösse nach überhaupt bestimmt ist (s. §§ 15 und 77), im vorliegenden Fall aber alle Brechungswinkel und Vielecksseiten — je n — gemessen sind, so sind drei Stücke übrig. (Die Winkelmessung in A₀ und An nach den Dreieckspunkten B und C (Fig. 305) lässt sich mit Hilfe der aus den Koordinaten dieser Punkte zu ermittelnden Richtungswinkel n A₀ An, n A₀ B und n An C auf die

gegenseitige Zielung A₀ A auf die beiden Winkel bei A₀ und An des durch die Verbindungslinie A₀ An zu scliliessenden Polygons reduzieren).

Fig. 306.

d. h.

Geschlossenes Vieleck.

^2

ArA,

■n-i

Ai-2

Fig. 307.

Aa

rAi

77- /

-T3?

^Al-2

Al-3

d) Geschlossenes Polygon.

Schliesst der Polygonzug in demselben Festpunkt A₀ wieder ab, von welchem er ausgeht (A0 und An identisch), und ist die zur ■3 Orientierung dienende Anschlussrichtung A₀ B mit dem Richtungswinkel <p₀ n B A₀ gleichzeitig !> Abschlussrichtung mit dem Richtungswinkel <pn+1 = nA₀B, so dass (p» = cpn+1 + 2 R, so gehen die Be-dinguiigsgleichungen (3 a) bis (5 a) über in:

(3 b) [ß]S = k . 2 R

0 = [s cos <p]i ‘

0 = [s sin <jp]”.

Fällt die zur Orientierung dienende, ausserhalb des Vielecks liegende Anschlussrichtung A₀ B weg (d. h. werden die Polygonpunkte nur unter sich, nicht aber mit der Landesvermessungsachse in Beziehung gebracht) (s. Fig. 307), so nehmen die Bedingungsgleichungen (3a) bis (5a) die Form an:

(4b)

(5 b)

( c)    OT= 2kR

( b)    0 = [s cos 9?]i

( b)    0 = [s sin cp]",

d. h.: Die Summe der Brechungswinkel eines geschlossenen Vielecks ist gleich einer geraden Anzahl von rechten Winkeln (die bestimmte Form [ß] = (2n — 4) R muss hier verlassen werden, weil als Vieleckswinkel ß je nach dem Umgehen der Figur bald die äusseren, bald die inneren Winkel gelten und weil die Beschränkung auf nur ausspringende Ecken wegfallen muss), die Summe der Projektionen aller Seiten eines geschlossenen Vielecks auf eine beliebige Achse ist gleich 0.

Letzterer Satz findet ausgiebige Verwendung namentlich bei der Berechnung fehlender Stücke in Polygonen.

§ 82. Vermarkung der Polygonpunkte. Messung. Zugsanlage.

a) Vermarkung der Polygonpunkte.

In noch höherem Masse als für die Stückvermessung ist für die Polygonisierung, auf welche bei jeder grösseren Fortführungsvermessung zurückgegriffen werden muss, eine zweckmässige, dauerhafte, der Messung vorausgehende örtliche Vermarkung wichtig. Diese muss, wenigstens über die Geltungsdauer des Punktes, dessen leichte Auffindbarkeit und Identifizierung sowie die Unveränderlichkeit seines Standorts gewährleisten.

So erfordert z. B. die Instandhaltung der Eisenbahngeleise nach Lage und Höhe, sowie die Durchführung und der Nachtrag von im Laufe der Zeit eintretenden baulichen und von Grenzänderungen innerhalb des Eisenbahngeländes dringend die Schaffung sicherer und dauernder Festpunkte und ihre Einmessung gegenüber der Balmachse. Solche Festpunkte werden mittels 0,6 bis 1,5 m langer eiserner, im Bahnkörper befestigter, oben horizontal abgeglichener und abgefaster Schienenstücke oder mittels eiserner Ständer mit kugelkappenförmigem Ende vermarkt. Im Gebiet der württembergischen Staatsbahnen wird diese Marke auf Schienenhöhe und wie folgt in Beton versetzt, oder durch Steinbrocken verspannt, deren Zwischenräume mit Zementmörtel ausgegossen werden:

auf einspurigen Bahnen von normaler Spurweite 2,10 m von der Gleisachse entfernt und zwar in Geraden links der Bahn, in Kurven auf der Seite des niederen Strangs (konkave Seite),

auf zweispurigen Bahnen von normaler Spurweite in der Bahnachse selbst (s. Fig. 308).

Ji

Die Marken werden angebracht:

in Krümmungen ohne Ühergangskurve am Bogenanfang und -ende,

mit

300—500 m

„ an deren Anfangs- und Endpunkt, ferner bei Gefällwechseln und ausserdem in ungefähr gleichen Abständen so, dass zwischen je zwei aufeinanderfolgenden Punkten bequem gezielt werden kann und ihre grösste Entfernung beträgt: in geraden Strecken „ Bögen mit r > 1000 m 200—300 „

150—250 „

_Schie_n_ß_nhöhe

Fig. 308.

2.10-

>*

• ~ -axesfäiä

_S_chj e n e n h ö_he_

>    500 „

”    ”    ” ¹ < 1000 „

„    „    „ r < 500 „ 100—200 „

Ist die Bogenlänge kürzer als diese Masse, so wird die ungefähre Bogenmitte versichert. Sämtliche Versicherungsmarken werden auf die Bahnnumerierung eingemessen.

Der genaue Punkt wird bei Verwendung von Schienenstücken durch ein Kreuz im Schienenkopf bezeichnet.

Die Vermarkung der Polygonpunkte in städtischen Strassen — soweit eine solche, angesichts der ständigen Durchwühlung für Kanalisations-, Gas- und Wasserleitungs-, Pflasterungs-, Strassen-bahn- etc. Arbeiten überhaupt durchgeführt und nicht durch Einmessung nach benachbarten festen Gebäudepunkten ersetzt werden will — erfolgt zumeist durch genügend verspannte und in Betonklötze eingebettete, senkrecht gestellte schmiedeiserne Röhren von ca. 40 bis 80 cm Länge und 3 bis 4 cm äusserem Durchmesser. Für deren Entwässerung ist Sorge zu tragen. Die leichte Auffind-

Fig. 309.

m.

mm

i §&§!§

barkeit wird durch umschliessende gusseiserne Kästen gewährleistet, deren abnehmbarer Deckel mit der Strassen-, bezw. Gehwegfläche eben ist und eine entsprechende Bezeichnung (z. B. Polyg. P.) trägt. Wohlfeiler, und im Hinblick auf die Dauer des Punktes ebenso gut, ist die Versicherung mittels vertikal ein- 1 getriebener, nach Fig. 309 mit Steinbrocken I und Betonguss verspannter Eisenröhren.

Verwaltungsmassnahmen sorgen für den not- ml'-M wendigen Schutz gegen Beschädigungen durch §

städtische Arbeiter, Linieneinbindung an benachbarte Gebäude (eventl. mittels eingelassener Bolzen) etc. für leichte

und sichere Wiederherstellungsmöglichkeit im Falle des Verlustes.

Ist die Geltungsdauer eines Polygonpunktes nur kurz, wie bei Vermessungen zu Bauzwecken, so genügt auch die in Fig. 83 dargestellte Vermarkung mittels Lattendreiecken.

Auf landwirtschaftlich benütztem Gelände ist keine der soeben vorgeführten Vermarkungsarten möglich. Hier lassen sich daher nicht alle drei in der Einleitung dafür aufgestellten Forderungen gleichzeitig erfüllen. Vielmehr kann es sich nur darum handeln, entweder den Polygon- mit einem Grenzpunkt zu verbinden, was dem ersteren neben der Möglichkeit leichten Auffindens den strafrechtlichen Schutz gegen böswillige Beschädigungen sichert, den das Markzeichen als solches geniesst. Die Identifizierung erfolgt in diesem Fall durch ein bestimmtes Zeichen im Markpunkt (Ölfarbefleck, eingehauenes Kreuz, zylindrische Vertiefung etc.). Gegen unbeabsichtigte Beschädigungen und Ortsveränderungen durch den normalen Feldbau ist aber ein solcher Punkt ebensowenig geschützt, als gegen die Notwendigkeit seiner Entfernung auf Antrag des Grundeigentümers, wenn der Punkt seine Eigenschaft als Grenzzeichen verliert. Sicherer, wenn auch für das Aufsuchen unbequemer, ist daher die Versenkung unter die dem Feldbau normalerweise unterliegende Ackerkrume (ca. 30 cm unter der Oberfläche). Als Form der Versicherung kann in diesem Falle der Markstein beibehalten, es können aber auch eiserne oder dunkelbraun gebrannte ca. 30 cm lange Tonröhren von etwa 6 cm Durchmesser und 2 cm lichter Weite oder, im Falle sumpfigen Geländes, eichene Pflöcke von 1 bis l¹/* m Länge und 8 bis 10 cm Stärke verwendet werden. Auf die Tonröhren legt man zur Sicherung gegen mechanische Beschädigungen beim Aufgraben zweckmässigerweise ein Steinplättchen. Allgemein ist zu beachten: Kostspieligere, aber bessere Vermarkung der Polygonpunkte macht sich durch Zeitersparnis bei der späteren Wiederbenützung um so rascher und sicherer bezahlt, je öfter auf die Punkte zurückgegriffen werden muss.

Winkel

messung.

b) Messung.

Die a) Winkelmessung erfolgt, da wegen der häufigen Aufstellungsänderung (Maximalleistung bis zu 100 und 120 Winkel pro Tag!) nur kleine Nonientheodolite verwendet werden und schon bei der Messung genau bekannt ist, welche Winkel zur späteren Koordinatenberechnung nötig sind, am besten nach einem Repetitionsverfahren. Zumeist genügt je einmalige Messung in jeder Fernrohrlage. Die Messung des Horizontabschlusses ist als Messungskontrolle und zur Genauigkeitssteigerung zweckmässig.

Von ganz besonderer Wichtigkeit ist angesichts der kurzen Zielungen (bis zu 50 m und weiter herab), bei welchen eine kleine Exzentrizität des Ziel-, oder Standpunktes grosse, sich sehr ungünstig fortpflanzende Winkelfehler bedingt (s. § 83) möglichst scharfe Zentrierung des Instruments über dem Winkelscheitel und genaue Signalisierung bezw. Aufsteckung der Zielpunkte.

Bei normalen Vielecksseiten (150 bis 250 m) und Beschränkung auf die für gewöhnliche Arbeiten nötige Genauigkeit erfolgt die Zentrierung mittels eines am Theodolit angehängten Lots. Für besonders wichtige Arbeiten, im Falle kurzer Seiten (z. B. Arbeiten unter Tag), oder bei windigem Wetter können Verfeinerungen wünschenswert sein. Als solche dienen Zentrierfernröhrchen, welche, mit dem Instrument verbunden, eine (durch Einbauen eines Glasprismas nötigenfalls gebrochene) Zielung in der vertikalen Stehachsenrichtung nach dem Bodenpunkt durch eine zylindrische Bohrung dieser Achse ermöglichen, oder das Meisner’sche starre Lot, bei welchem ein ausziehbares, röhrenartiges, einem Fortsatz der Fussgestellbüchse angeschraubtes Gestänge als Teil des Stativs angeordnet ist. Das untere, spitze Ende dieses Gestänges kann bei letzterer Einrichtung mittels eines zangenförmigen Hebels mit einem Fuss auf dem Winkelscheitel festgehalten werden. Bei horizontiertem Instrument befinden sich dann Winkelscheitel und Stehachse des Instruments in einer Vertikalen (vergl. Zeitschr. t. Verm. 1890, S. 33 ff.)

Die bei der Stückvermessung gewöhnliche Art der Aufsteckung, vor oder hinter dem Punkt, gewährt keine Sicherheit für identische Benützung das einemal als Scheitel-, das anderemal als Zielpunkt und ist bei feineren Polygonisierungen daher unzulässig. Eine genaue zentrische Signalisierung wird erreicht, wenn man die Zielstäbe durch Messgeliilfen aufhalten lässt, sicherer aber durch Verwendung von leichten Stativehen, durch deren Platte der auf dem Winkelscheitel aufgestellte Stab gesteckt und in seiner Stellung erhalten wird. Um Signalisierung und Zentrierung gleichzeitig zu verfeinern (Ziel- und Standpunkte zu identifizieren), kann man statt eines einzigen Stativs gleichzeitig deren mehrere verwenden, deren nach Fig. 203 gebaute Metallplatten P sowohl das Fussgestell des Instruments, als auch das ihm genau gleich gebaute von Signalscheiben (s. Fig. 2) aufnehmen können und die genaue identische Lage der Stehachsen beider gewährleisten (Freiberger Aufstellung). Bei Verwendung dieser Einrichtung hat man neben dem durch die Polygonpunkte auf der Erde bestimmten, noch einen zweiten Polygonzug, dessen Brechungspunkte auf den Stativen liegen. Die mit dem Senkel hergestellte Übereinstimmung beider wird zwar hier ebensowenig, als beim gewöhnlichen Abloten vorhanden sein. Da aber die auf den Stativen liegenden Scheitel- und Zielpunkte je identische Punkte sind, so verursachen etwaige Abweichungen der Stativ- von den Bodenpunkten keinerlei Zugsverschwenkungen, — etwaige kleine Zentrierungsfehler pflanzen sich nur als gleich grosse Parallelverschiebungen fort.

an-

Strecken

messung»

ß) Streckenmessung. Die Zahl der überschüssigen Bestimmungsstücke bei der Polygonisierung beträgt im Gegensatz zur Stückvermessung und zur trigonometrischen Punkteinschaltung normalerweise höchstens drei (2n Stücke werden im n Eck gemessen und 2 n — 3 sind notwendig). Sie reicht gerade noch aus, um bei normal und abgeschlossenem Zug einen einzigen groben Fehler, welcher sich in die Messung etwa eingeschlichen hat, nach Art, Grösse und Ort feststellen zu lassen. Sollten deren mehrere vorgekommen sein, so weisen die Abschlusswidersprüche wohl auf das Vorhandensein solcher Fehler hin, ihre Ausmerzung ist aber nur auf Grund wiederholter durchgreifender Messung möglich.

Aus diesem Grund ist bei Polygonisierung besondere Vorsicht gegen grobe Fehler geboten. Es sind sichernde Vorkehrungen zu treffen, dass für Winkel- und Streckenmessung identisch ePunkte verwendet (deutliche, gegenüber anderen Punkten sich scharf abhebende Bezeichnung, oder gleichzeitige Messung von Winkeln und Strecken), und dass grobe Streckenfehler sofort entdeckt werden. Zu letzterem Zweck werden die Polygonseiten doppelt gemessen. Handelt es sich nur eben um die Vermeidung, bezw. Ausmerzung etwaiger grob er Fehler, so wird zweckmässigerweise die zweite Streckenmessung nach einem anderen Verfahren ausgeführt (z.B. durch optische Entfernungsbestimmung) als die erste. Bei wichtigeren Arbeiten ist man jedoch bestrebt, neben der groben gleichzeitig auch die zufälligen, unregelmässigen St recken fehl er möglichst wegzuschaffen, so dass nur noch die etwaigen regelmässigen Fehler (Folge ungenauer Massstäbe etc.) den vermittelten Streckenmassen anhaften. In diesem Fall sind für beide Messungen identische Geräte, Verfahren und womöglich auch Messgehilfen anzuwenden. Nur die Messungsrichtung und (namentlich im Fall der Entlohnung nach dem Quantum geleisteter Arbeit) die Person des leitenden Technikers, werden bei der zweiten Messung gegenüber der ersten wechseln.

Bei der

c) Zugsanlage

ist nach dem bisherigen, abgesehen von der Rücksichtnahme auf das Bedürfnis bequemer Eingliederung der Stückvermessung, anzustreben, dass:

1.    die Seiten jedes Zugs möglichst gleichen Geländeverhältnissen angehören (regelmässiger Längenfehler in gleicher Stärke wirkend),

2.    die Polygonpunkte so ausgewählt werden, dass das Anzielen am Fussende der Stäbe möglich ist, und dass die Winkel und Vielecksseiten sich scharf messen lassen (Moore und Schutthalden umgehen),

3.    die Polygonseiten möglichst gleich lang sind (Vermeidung der Benutzung des Okularauszugs bei der Winkelbeobachtung; bequeme Ausgleichung der zurückbleibenden Messungswidersprüche s. § 83),

4.    die Anzahl der Brechungspunkte zwischen An- und Abschluss nicht allzu gross ist. (Die verschwenkende Wirkung etwaiger Winkelfehler wächst mit dem Verhältnis: Zugslänge zu Seitenlänge, d. h. mit der Zahl der Polygonseiten.) Anzustrebende Mittelwerte: 4 — 5 Brechungspunkte im Zug, also bei 1000 m langen Dreiecksseiten normale Länge der Polygonseite ca. 200 m.

Seiten unter 50 m Länge sind zu vermeiden. Besonders schädlich sind kurze Polygonseiten an den Enden eines Zugs. Allzu kurze Seiten sind nötigenfalls mittels Degradierung eines Punktes zum Schnittpunkt und diagonaler Zugfortsetzung,

Fig. 310.

₀ &%\ \|l « *

(Durchhau im Wald s. Fig. 310), oder mittels Anzielen ferner Festpunkte auszuschalten (s. Fig. 311).

<3

G>

ö>\ V* Q>\ b Q>

(Im letzteren Fall werden die Polygonwinkel ßr und ßr+i an den Enden der kurzen Strecke nur zur Bestimmung vorläufiger, ungefährer Koordinaten von Ar und Ar+i mitverwendet. Aus ihnen gewinnt man die Richtungswinkel

der Zielungen ArF₄ bezw. Ar_|_i F2 nach Festpunkten Ft und F₂ um so sicherer, je ferner die letzteren liegen. Rückwärts ergeben sich durch Subtraktion der Winkel ar und ctr-|-i die Richtungswinkel der Polygonseiten Ar Ar-i bezw. j[ Ar + i Ar _|_ 2 ohne den verschwen-kenden Einfluss der kurzen Seite Mit ihnen und mit den

Fig. Bll.

fr,

Sr+1*

auf sie ausgeglichenen Richtungswinkeln der übrigen Polygonseiten kann man den Zug in

A,.. 2

zweiter Näherung, bezw. — falls diese genügende Übereinstimmung mit den benützten vorläufigen Koordinaten von Ar und Ar i ergibt — endgültig durchrechnen. Eine Vereinfachung und sofortige endgültige Rechnung ist zu erzielen, wenn die beiden Festpunkte F₄ und F₂ samt den Polygonpunkten Ar und Ar + i in einer Geraden liegen. Die Koordinaten der Festpunkte liefern in diesem Fall vorgängig und ohne weiteres die endgültigen Richtungswinkel nAr Fj und nAr + iF₂, aus denen unter Benützung der gemessenen Winkel a die Richtungswinkel n Ar Ar _ i und n Ar + i Ar + 2 gewonnen werden.)

Wir streben weiter an:

5. Dass der Zug möglichst gestreckte Form hat.

Würde z. B. in Fig. 312 die von A₀ ausgehende Zugsberechnung nach Gleichungen (4) und (5) des § 81 für den Abschlusspunkt die Lage 2t₄ statt A4 ergeben und würde die Differenzeinteilung, wie naheliegend, derart erfolgen, dass auf den durch die £ unausgeglichenen Punkte 3t₄, 2t₂. .. gezogenen Parallelen zu 21₄A₄,bezw.

F

die Strecken —t- ,

4

bis zu den endgültigen Punkten A abgetragen würden, so würden dadurch die Seiten s₄ und s₃ verkleinert, die Seiten s₂ und s4 vergrössert, ganz im Widerspruch A zu der durch gleichartige Doppel-messung erzielten Eigenschaft der Streckenfehler, als regelmässiger Fehler. Die Ausgleichungsverbesserungen würden zweifellos an der unrichtigen Stelle und in unrichtiger Grösse angebracht. Wäre der Zug gestreckt angelegt worden, so hätten sich durch dasselbe Ausgleichungsverfahren sämtliche Strecken entsprechend ihrer Fehlereigenschaft in gleichem Sinn und gleichem Verhältnis geändert. Wäre umgekehrt die Zugsform wie in Fig. 306 und 313 eine geschlossene und wären (etwa infolge erheblich unrichtiger Massstäbe) sämtliche Vielecksseiten z. B. zu 3 statt s, also in gleichem Verhältnis erheblich zu gross oder zu klein erhalten worden, wären sonst aber keine Messungsungenauigkeiten vorhanden, so würden die Bedingungsgleichungen (3 a) bis (5 a) des § 81 keinerlei Widerspruch anzeigen, trotzdem die Koordinaten der Neupunkte 21 diese in ganz erheblicher Entfernung von der richtigen Lage A ergeben würden. (Erst die Verbindung irgend eines der Punkte 2(

2F 3F 4 F

T’ T’ ~4~

Fig. 312.

— 3V —

Prr*

-A-o

OL,

£.7:-*

OLif

'Z

mit einem in der Richtung A₀ 3t liegenden zweiten Festpunkt würde den Schaden ans Licht bringen). Bei gestreckter Lage des Polygonzugs zwischen zwei Festpunkten würden im Gegensatz zu Fig. 313 die '    regelmässigen Streckenfehler nicht

Cli

■A-i+

nur deutlich in die Erscheinung treten, sondern ihre Ausgleichung nach dem Verfahren der Fig. 312 ergäbe auch die richtige Lage der Polygonpunkte.

Unter welchem Winkel endlich der angeschlossene Polygonzug von der Anschlussseite (Dreiecksseite) abzweigt, ist gleichgültig. Wichtig ist, wegen etwa vorhandener Fehler in den Anschlusspunkten nur, dass die Anschlussseite genügend lang (etwa gleich der Zugslänge) ist.

§ 83. Ausgleichung der bei der Koordinatenberechnung eines beiderseits an Festpunkten angeschlossenen Polygonzugs auftretenden Messungswidersprüche.

Die Widersprüche, welche sich bei der Koordinatenberechnung gegenüber den Bedingungsgleichungen (3 a) bis (5 a) des § 81 einstellen, rühren zum grössten Teil von Winkel- und Streckenfehlern her. Wenn sie jedoch auch teilweise von Fehlern in den Anschlusspunkten (Signalpunkten) beeinflusst würden, so geht trotzdem die Ausgleichung ganz zu Lasten der Yielecksmessung. Die durch Triangulierung geschaffene Grundlage für die Polygonisierung gilt (so lange sich keine groben Fehler in ihr nachweisen lassen) ihr gegenüber ebenso als fehlerfrei, wie die Ergebnisse der Triangulierung höherer, gegenüber derjenigen einer solchen niederer Ordnung. Die Behebung etwaiger tatsächlich vorhandener grober Fehler in den Koordinaten der Dreieckspunkte müsste durch trigonometrische Messungen und Berechnungen erfolgen. Eine Abänderung der Koordinaten von Dreieckspunkten auf Grund polygonometrischer Feststellungen ist ausgeschlossen.

Zum Zwecke der Ausgleichung der Widersprüche gegen die Bedingungsgleichungen müssen nun die 2n gemessenen Elemente (Strecken und Winkel) mit Yerbesserungszuschlägen v versehen werden, zu deren algebraischer Ausmittelung 2 n Gleichungen nötig wären. Wir besitzen deren jedoch nur drei. Die Aufgabe wird trotzdem zu einer bestimmten, sobald wir den Bedingungsgleichungen (3 a) bis (5 a) des § 81 noch die Minimumsbedingung hinzufügen: [pvv] = Min.

Wir haben dann die Anwendung der Methode der kleinsten Quadrate mit bedingten Beobachtungen.

Statt der hieraus folgenden strengen aber schwerfälligen, zieht man eine stufenweise, empirische Ausgleichung vor, und beginnt mit der Wegschaffung des Widerspruchs gegen die Bedingungsgleichung (3a) des § 81:

Winkel-

aus-

gleicliung.

(pn + 1 — (^0 + [ß]o ± (n -b 1) 2 R).

Ergeben die gemessenen Winkel ß statt des Wertes 0 für die linke Seite der Gleichung einen nach § 90 einteilbaren Betrag co, so sind zu den Brechungswinkeln ß Verbesserungsbeträge v zu addieren, deren Summe [v] nach Richtung und Grösse gleich (o ist.

Die tatsächlichen Winkelfehler setzen sich aus Ablese-, sowie Ziel-und Zentrierungsfehlern zusammen. Die ersteren können, wenn die Beobachtung unter gleichen Witterungs- und Geländeverhältnissen erfolgte, als im wesentlichen einander gleich angenommen werden, die letzteren hängen von den Schenkellängen s und dem Brechungswinkel ß ab und folgen (s. § 44) der Bedingung:

Grösster Einfluss des mittleren linearen Zentrierungsfehlers d

d(st + s₂) sin 4» g"

Si s₂

Grösster Einfluss des mittleren linearen Ziel- oder Signalisierfehlers d

— - q" -f- — ()",

S2 S

also grösster Gesamteinfluss gleichzeitigen Zentrierungsund Ziel- (bezw. Signalisierungs)fehlers d

= fü = d . q

„ (S1 + S2) (1 + Sin |) ,

Si s₂ '

Für die Winkelverbesserungen v wären also in Rücksicht auf letzteren Fehlerteil streng genommen Gewichte

(la)

p (Si + s₂)² (l + sin f)²

einzuführen. Sorgt man jedoch nach der in § 82 unter (3) für die erstrebenswerte Zugsanlage aufgestellten Forderung für möglichst gleich lange Seiten s (oder im Falle unvermeidlicher Streckenunterschiede für besonders genaue Zentrierung und Anzielung bei kurzen Seiten), so kann man diese Schwerfälligkeit umgehen und gleich grosse Verbesserungszuschläge

(2)

(O

n + 1

für sämtliche Brechungswinkel ß eines Zugs einführen.

man

Mit den derart verbesserten Brechungswinkeln (ß v) rechnet mSrtriwtoSei-jetzt die Richtungswinkel sämtlicher Polygonseiten nach Glei- Ju™ach£ chungen (3) des § 81. Zum Schluss muss (als Rechenprobe) der durch

Weitbrecht, Vermessungskunde.

sukzessive Addition erhaltene Richtungswinkel <jpn +t der Abschlussseite sich gleich seinem aus Festpunktskoordinaten abgeleiteten Sollwert ergeben.

Berechnet man mit den erhaltenen Richtungswinkeln cp die zu jeder Polygonseite s gehörigen Koordinatenunterschiede A x = s cos cp und A y = s . sin cp und addiert ihre Summe zu den entsprechenden Koordinaten des Anschlusspunkts, so werden sich Widersprüche, „ Abschlussdifferenzen“ fx und fy auch gegen Gleichungen (4 a) und (5 a) des § 81 ergeben, diese werden übergehen in:

(3)

( fx = Xn — (x₀ + [s cos 0>]?) = xn — £n )

( fy = y„ — (y₀ -f- [s sin #>]?) = y„ —1)„)

Diese Abschlussdifferenzen können ebensowohl von etwaigen, trotz Ausgleichung nach Gleichung (2) noch vorhandenen Brechungswinkelfehlern, als von Streckenfehlern herrühren. Da wir bei jeder Ausgleichung anstreben müssen, Verbesserungszuschläge v nach Möglichkeit in denjenigen Beträgen und an denjenigen Messungsgrössen anzubringen, in und bei welchen Beobachtungsfehler tatsächlich begangen wurden, so müssen wir die Widersprüche auf ihre Herkunft untersuchen.

Wir fragen uns zu diesem Zweck zunächst umgekehrt:

Ursache reiner Längsverfehlung.

a) Welche Wirkung auf die Gleichungen (4a) und (5a) des §81 haben regelmässige Streckenfehler? (Die unregelmässigen nehmen wir als durch gleichartige doppelte Messung in der Hauptsache ausgemerzt an.)

Ist das Verhältnis der bei der Messung erhaltenen Streckenlänge § zur Solllänge s

(4)

so dass letztere sich ergibt durch Multiplikation der gemessenen Länge § mit dem Reduktionsfaktor q, oder durch Addition eines Zuschlags (q — 1). §

(4a)

s = q.§; s = § -f- (q — 1) §,

so folgt, wenn wir die Brechungswinkel als fehlerfrei, die entsprechenden Vielecksstrecken also als parallel voraussetzen, aus Fig. 314 die Proportionalität folgender Strecken:

f (si = Ao Ai): (§i I (§2 = Ai A₂): (§₂

(5)

A₀ 2li) — q : 1) also A₀ A₂ : A₀ % = q : 1 5t₂) = q : l j und A₀ A₂ 2I₂ = Gerade,

ebenso

(5)

ferner

\ Ga

A₀ A₂: A₀ % A2 A₃): (§₃ =

= q : 1 \ also A₀ A₃ : A₀ 2t₃ = q : 1 3I₃) = q : 1 f und A₀ A₃ 2t₃ = Gerade,

(5){

(s₄

A₀ A₃: A₀ % A₃ A₄): (§₄ =

= q : 1 \ also A₀ A₄ : A₀ 2l₄ = q : 1 % 9I₄) = q : 11 und A₀ A₄ SI₄ = Gerade •    : u. s. f.

Welche Form also

fehler verschiebt jeden Polygon-, also auch den Abschlusspunkt in der Richtung des vom Anschlusspunkt A₀ aus-gehenden Fahrstrahls. Die Grösse der Verschiebung 2tn An = fj des A b-schlusspunktes heisst man die „Längsverfehlung“ des Zugs.

Umgekehrt darf man nun allerdings nicht unter allen Umständen aus der Tatsache vorhandener Längsverfehlung auf einen regelmässigen Längenfehler schliessen und die Vielecksseiten dementsprechend verbessern. Ein bei der Messung des Brechungswinkels ß₂ unterlaufener Fehler würde z. B. bei der in Fig. 315 dargestellten Zugsform den ferneren Zugsteil in die punktierte Lage und den Absdhluss-punkt A₄ nach 2l₄ ver-schwenken, also gleichfalls Längsverfehlung erzeugen. Einederletz-teren entsprechende gleichmässige Änderung der Vielecksseiten würde also tatsächlich eine Verschlechte- y rung der Messung bedeuten. Diese Verschlechterung der

Fig. 314.

St

A,

\\

A OC

'ßo

A-0

aJ

\/

■A

/7'-ö'

—-/Str' A^

a₃

a y=[S/y]-

Rückschluss auf zu erstrebende Zugsform etc.

Fig. 315.

SA

4z

'ns

AS

\\

\<A

\\

Ai, (Ar,

Messung infolge Verschleierung der schuldigen Fehlerursache entspränge aber lediglich der stark aushauchenden Zugsform und veranlasst uns, der in § 82 aufgestellten Forderung gestreckter Züge erhöhten Nachdruck zu geben.

Allerdings braucht auch bei gestreckter Zugsform vorhandene Längsverfehlung nicht notwendig von regelmässigen Längenfehlern herzurühren. Eine solche wird in diesem Fall auch von groben, oder unregelmässigen Längenfehlern erzeugt. Die gleichmässige Änderung sämtlicher Vielecksseiten würde also auch hier eine Verschlechterung der richtigen und eine nur teilweise Verbesserung der unrichtigen Seiten ergeben. Um diese Unsicherheit zu vermeiden, müssen wir daher auch die weitere in § 82 aufgestellte Forderung der vorgängigen Ausmerzung grober und unregelmässiger Längenfehler durch Zugslage in gleichartigem Gelände und doppelte gleichartige Messung der Polygonseiten wiederholt betonen. Werden diese Rücksichten beachtet, so weist vorhandene Längsverfehlung beim Abschluss eines Zugs immer auf regelmässige Streckenfehler in den Polygonseiten hin, welche daher durch Verbesserungszuschläge gleichmässig zu ändern sind.

refnerLängs*Feststellung der Tatsache und Grösse etwa vorhandener

Verfehlung.

Längs Verfehlung.

Längsverfehlung ist in einem Polygonzug vorhanden, wenn die aus den gegebenen Koordinaten berechnete Länge der Verbindungsstrecke A₀ An = S des An- und Abschlusspunktes abweicht von dem Mass A₀ 2tn = ©, das sich für sie ergibt aus der Summe der den gemessenen Polygonseiten § entspringenden Einzelkoordinatenunterschiede A y = § . cos (p und A X) = § . sin cp.

Man hat dann

(6)

Längs-

verfehl

ung

fi = S — (5 = (-

sin n A₀ An

cos n A₀ A

[/Ip]

sin n A₀ 2ln

[dEl

cos n A₀ 21

r>

Ausschliesslich Längsverfehlung ist vorhanden, wenn gleichzeitig die Punkte A₀, An und 2tn in einer Geraden liegen, d. h. wenn die Richtungswinkel A₀An und A₀ 2In einander gleich sind oder wenn:

n A₀ An = arc tg = n A₀ 2tn = arctg

Die Länge des Zugs (etwa 1 km) nötigt bei dieser Art der Feststellung zur Berechnung von S, ©, n A₀ An und n A₀ 2tn nach

(7)

9]

[A E] '

Gleichungen (6) und (7) mit 6stelligen Log.-Tafeln, sobald cm-Abweichungen noch erkannt werden wollen.

Die nötige Rechengenauigkeit Lässt sich aber ohne Einschränkung der Genauigkeitsansprüche verringern, wenn man den Richtungswinkel n A₀ An statt mit n A₀ 2I„ mit n 2In An vergleicht und den linearen Schlussfehler F = 21n An direkt aus den Abweichungen fx und fy.[s. Gleichungen (3)] berechnet. Denn die Strecken A₀ An und 2tn An haben im Fall vorhandener reiner Längsverfehlung entweder gleiche, oder um 2R verschiedene Richtungswinkel; gleiche, wenn sämtliche Polygonseiten zu vergrössern, um 2 R verschiedene, wenn sämtliche Polygonseiten zu verkleinern sind.

Um F (:    21n An = höchstenfalls 1 m) auf cm genau zu be

rechnen, genügen 3stellige Tafeln, Rechenschieber etc. Auch der Richtungswinkel n 2In An und damit der mit ihm zu vergleichende Richtungswinkel n A₀ An braucht dann nur auf q' ~ 34' genau, kann also ebenfalls 3 stellig berechnet werden, wenn bei F = 1 m etwaige Querausweichungen von 1 cm noch konstatiert werden wollen. Wir haben dann allgemein gültig:

XAn — X2ln

und falls sich aus n 2fn An = n A₀ An -f- (0 bezw. 2R) das Vorhandensein reiner Längsverfehlung zeigt:

tg n 3In An =

fx

(8) F = fi = 2ln An =

fy

cos n 2ln An'

sin n 2ln An

Die Feststellung lässt sich aber mit der nötigen Genauigkeit von 2 bis 3 Stellen noch bequemer auf graphischem Weg bewirken. Bezeichnen wir die Koordinaten des fehlerhaften Abschlusspunktes 2In (£n = x₀ -j- [8 . cos <jd], pn = y₀ -f- [8 . sin q>]) in bezug auf ein neues, zum bisherigen paralleles Koordinatensystem mit dem Ursprung An mit f und 17, so wird allgemein:

[vergl. Gleichung (3)].

(3 a)

I = ?n — xn = — f x )

v = Vn— yn = — fy)

(9)

Trägt man daher die nach Gleichungen (3) berechneten Abschlussdifferenzen fx und fy als Koordinatenwerte mit entgegengesetzten Vorzeichen vom Zugsendpunkt aus in einen Übersichtsplan in grossem Massstab (etwa 1:10) ein, so zeigt der daraus erhaltene Punkt die tatsächliche Lagebeziehung des aus ( ?n = x₀ + [S . cos (p] = x₀ + [A 5]

(bn = y₀ + [S • sin <p] = y₀ + lA b]

sich ergebenden Punktes 2In zum Abschlusspunkt An bezw. zurVer-

so sind sämtliche

bindungsstrecke A₀ An. Fällt 2f„ über An

hinaus herein

verkleinern vergrössern

also dem im übrigen in kleinem Massstab entworfenen Übersichtsplan Tatsache und Grösse etwaiger Längsverfehlung mit weitaus genügender (sogar mm-) Genauigkeit entnehmen.

Vielecksseiten im selben Verhältnis zu

Es lässt sich

Ausgleichung von Längs -Verfehlung.

Ermittelung der an den gemessenen Werten § der Polygonseiten anzubringenden Verbesserungen und Einteilung der festgestellten reinen Längsverfehlung.

Die Gleichungen (5) liefern die Beziehung:

(5 a)

(10)

A₀ An : A₀ 2In = s : § = q : 1,

A₀ An “ A₀ 3tn

[A 9] [A El

x und

■Aq An g A₀2t„ '*•

Damit lässt sich der ausgeglichene Wert s jeder Polygonseite ebenso, wie der ausgeglichene Wert der zu ihr gehörigen Koordinatendifferenzen

= q§ =

.cos <p) = q . A p . sin cp) = q . A t)

»SV »so

= s . cos (p = q .

= s . sin cp = q . berechnen. Die Berechnung nach (10) und (11) müsste aber 5 stellig ausgeführt werden, wenn cm-Genauigkeit verlangt wird.

(11)

. cos cp — . sin (p =

Diese Rechengenauigkeit lässt sich ohne Verschlechterung der Ergebnisse vermeiden durch Umformung der Gleichungen (4 a), (5 a) und (11) in (12) (A₀2tn

a)

©):(A₀An-A₀2rn = S-@ = f₁) = §:(s-§) = l:(q-l),

n _ i _ Verbesserung pro _ h

4    — Längeneinheit — g

und

Ax-[A E]

A y — [9] _ fy

[A 9]

[A 9]

fx

(13) b)

[Ae]

[Ae]

s = § + (q — 1) §

Ax = s . cos cp — A £ -j- (q — 1) A £

A y = s . sin cp — A 9 -j- (q — 1) A t), d. h. Satz: Die durch regelmässige Längenfehler erzeugte Längsverfehlung fx eines Zugs wird weggebracht durch An-bringungproportionalerZuschläge(q—1)§ an den gemessenen Vielecksseiten § und wiederholte Durchrechnung, oder durch proportionale Zuschläge an sämtlichen Einzelkoordinatenunterschieden Ap und A9, d. h. durch Differenzeinteilung proportional den Koordinatenunterschieden. Diese Zuschläge erhalten

gleiches

entgegengesetztes Zeichen, wie die Einzelkoordinatenunterschiede, je nachdem q — 1 4- ist.

c)

d)

durch den ganzen Zug hindurch

Vor-

Ausführung der Rechnung.

Die Ausrechnung der Koordinatenunterschiede kann, je nach der verlangten Rechengenauigkeit mit Diagrammen; Rechenschiebern, (50 cm Ausgabe); Koordinatentafeln (Ulft'ers, Defert, Clouth u. a.); den Seiffertschen Tafeln, j enthaltend für den Einlauf cp die Funktionen

sin (y -f- <p)V 2 bezw. cos + <p) V 2

Praktische

Ausrech

nung.

, woraus

zly = |sin(| ■ + ₉»)Va-4 d x = sin (5. 4- ₍p ) y 2 -f- -L

COS

cos

(§ + ¥>) V 2 und

(I + <p) V»

mittels Maschine sich ergibt j; östelligen Log.-Tafeln; oder mittels der Rechenmaschine erfolgen. Zur Sicherung gegen Rechen- und Tafelfehler empfiehlt sich in wichtigen Fällen doppelte Durchführung unter Anwendung verschiedenartiger Hilfsmittel.

Beispiel s. S. 584/85.

Der festgestellte Betrag des regelmässigen Messungsfehlers q — 1 pro Längeneinheit dient nicht bloss zur Wegschaffung vorhandener Längsverfehlung durch Anbringung von Verbesserungen an den Koordinatenunterschieden (wie im nachstehenden Beispiel gezeigt werden wird), sondern er liefert mit derselben Rechenschiebereinstellung die an den Polygonseiten selbst anzubringenden Verbesserungen d § — (q — 1) § [womit s = § -f- (q — 1) 3] und die nötige Stangenkorrektion (q — 1) 1 pro Stangenlänge 1 zum Zweck ihrer Berücksichtigung bei der Stückvermessung.

Feststellung

mittlerer

Stangen

korrektion.

Wegen der den einzelnen Anschlusspunkten anhaftenden Punkt-und Projektionsfehler, der nicht vollständig ausgemerzten unregelmässigen Längenfehler und dem Einfluss etwaiger Winkelfehler wird man sich bei der Feststellung des Längeneinheitsfehlers q — 1 nicht mit dem Ergebnis eines einzigen Zugs begnügen. Alan wird vielmehr einen Mittelwert für q — 1 um so sicherer erhalten, je mehr die verschiedenartigen übrigen Fehlerquellen ausgeschaltet, d. h. je mehr Züge zur Bestimmung verwendet sind. Zu diesem Zweck kann man sich die geradlinigen Entfernungen der Abschlusspunkte sämtlicher berechneter Züge, und zwar einerseits (als ©) aus der Messung, anderseits (als S) aus den Sollkoordinaten ermittelt, in zwei Gruppen aneinandergereiht denken. Die Differenz beider Streckensummen [S] — [©] = [algeb. fj liefert die auf letztere nötige Gesamtstreckung und man erhält die nötige mittlere Streckung (den regelmässigen Längenfehler) auf 1 m aus:

[algeb. fl]

(14)

[©] oder [S] *

q 1 Mittel

Beispiel: Gegeben bezw. gemessen sind die in Fig. 316 eingetragenen Koordinaten der Anschlusspunkte, Strecken und Brechungswinkel. — Gesucht die Koordinaten der Polygonpunkte.

9.

8.

7.

;9

5.

4.

3.

2.

•I

Iy oordinaten

A y verbessert

A x verbessert

Koordinaten unter schiede

Al = s sin fp Verbesserung

A x = s cos <p Verbesserung

No.

log (s cos <p) log (s sin cp)

log cos cp log s log sin gp

Richtungswinkel cp Brechungswinkel ß Verbesserung v

620

Ge-

messene Seite s

Punkt

No.

Schütte

^    I 00    05    I 05    r#    | CO    t^    I t-    Tjl    I    |>    TH

o    I O    H    | 05    O    | 05    05    | 00    1—I    |    00    O

612

34

84

696

125

822

180

002

74

077

116

194

34

34

35

35

35

1,29 + 0,22

Ay

§|®J2 |8 SS |8 S |§ S £ g

QLf

163

639

94

734

95

829

201

031

157

188

00

20

45

ao

GO

05

05

CO kb

84

^    GO H    Ol    j CM    IO ! CP    00 I OS

GO    r-H    rH    I 00    LH    IQ

125

180

116

581

it^cocoi^osco^o o

rH    (M    rH CM ^H CM

163

414

-b

444

531

983

893

554

201

425

403

157

656

739

^ g? I sg s Is s § te |s g

05 T—I    T—( 05

05    05 rH 05    05

712

pg

y Saurain — 34612 104 gibt XKapeüenbg. | 19188 j 13 [| y Kapellenberg— 35193 |63

“GZ 35194 |ÖT 0 38

CO v-H CO Ol >c a ^ a:

842

689

294

co    o

ob cm cc> i> r—i oc>

CO O ^ |iO OCO O CO CO GO H !Oi CO    CO a ^

rH Ol rH rH IC

OS OS CO

Ph

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co o ^ co tH ooi>

CO CO O OS CO lO o ou>

soll

105 05 05 |05 05 05 j05 05 05 05 05 05 05 05 05    ||    ||    |[

t~nH»o!cOtHic|aor^iO OOllOit^OOiO CO <X> ntl ! io —I I ®q »O Hf H Tj 'o -i Ht

80 )

50

70

0505    H 00    [ 05 00    1—05    ® t>    CO CO    »O 00

CO    00 i-H    [05 05    05 C0    C005    CO t—    oo

322

247

369

184 04 171

340

157 ! 36 189

330

203 I 75 246

377

214 | 93 181

359

= zul.Widerspr. hiezu Xsaurain|+I 18475 | 93

co

00

05 CD

Saurain

Kapellenberg 195 | 87 159

319

[956]    319

Knollenberg

Zulässig FMax (Geländeklasse III) —

anstatt soll j-]-| 19188 | 60 + 0 | 47

und F = V o,47² + o,38² = 0,60.

*) Die Verbesserungszuschläge werden mittels Rechenschiebers ermittelt: Verbesserung an Af = (q — i)A£, entgegengesetzte^Vorzeichen wie die Koordinatenunterschiede, wenn (q — 1)    =

Oy—

somit fx

*) Berechnet s. S. 585.

A x) = (q — 1) A ij. Sie erhalten das

positiv

negativ

ist.

Punkt No.

log

: Schütte . . : Saurain . .

A: Kapellenberg B: Knollenberg .

++I +++

I—¹¹ ‘ OO 00

02 02

vH r—I

037

475

CD CO 04 Ci

438 67

n A B 188 60 999 24

810 64

33    418 72

34    612 04

1    193 32

322°    42'62"

35 194 01 37 820 54

2 626 53

319°    05'80"

3 b — yA

E sin n AB E cos li A B

Xß — XA

tg 11 A B

yß —yA

E sin n A B E cos n A B

XB — XA

tg ii A B

07

676

64

214

43

41

90

51

462

938

883

055

Tragen wir die auf S. 584 erhaltenen Abschlussdifferenzen fx und fy vom Zugsendpunkt aus je mit entgegengesetztem Vorzeichen in den Ubersichtsplan unter Benützung der Richtung der Koordinatenachsen ein, so kommen wir auf den Punkt 21V Dadurch zeigt sich das Vorhandensein reiner Längsverfehlung und zwar ist 2t'n An = F = fi = W + fy² = + 0,60 m und q — 1 = -J

4-0,47

fx

fy

-f 0,60

— 0,38

Ay =[A9]

entsprungene Strecken sind im Verhältnis

920

4- 712,2    — 581,6

Ax=[AE]

0,00065, d. h. sämtliche der Messung

0,60

920

zu vergrössern, die Länge der

verwendeten Messgeräte ist pro m um 0,65 mm zu verkleinern.

Fig. 316.

+    999,2»

y=-3782.0 5+

CM    «

S A

OC=-19200 r “

i öS A

si -i

y=-35000

co

-<jLenhql/k.j])3C=+t9m,6o ** r , y * “35)94,01

* y = -34600

‘4 00+ 19200

CCf + 19000 +

81*

--i 0C= +19000

----tJ

oc =*18800 J-

h 0C= +18800

16*

4©

DC = + 18600 +

+ 2C = * 18600

CO

ÜL)Satiram>

'    *18475,93

lj - -'34012,04

OC=+18400L

JC=+18037,28 ,    $ = -33418,72

*;**.,£ Schütte

U=-35200

J +18400

•y =-35000

TJ =-34800

n =-34600

Nachdem die Wirkung und daraus die Art der Ausgleichung regelmässiger Längenfehler ermittelt ist, gehen wir über zur

Ursache reiner Quer-verfehlung.

b) Wirkung etwaiger Fehler in den Brechungswinkeln.

Durch die Ausgleichung der Brechungswinkel ß nach Gleichung (2) sind dieselben keineswegs fehlerfrei geworden. Wir dürfen vielmehr, wenn w einteilbar und eingeteilt ist, nur erwarten, dass keinerlei grobe Winkelfehler vorhanden sind. Die bei der Ausgleichung nach (2) zurückgebliebenen (teilweise vielleicht sogar vergrösserten) unvermeidlichen Winkelfehler sind teils positiv, teils negativ, heben sich also in ihrer Wirkung teilweise auf. Jeder von ihnen, gleichgültig, ob grösser oder kleiner, ver-schwenkt den ganzen darauf folgenden Zugsteil, d. h. jeden folgenden Brechungspunkt in konzentrischen Kreisen um den Ort des Fehlers.

Ist z. B. in der Messung von ß₂ (s. Fig. 317) ein kleiner Fehler unterlaufen, die übrige Winkel- und Streckenmessung aber fehlerfrei, .so ist:

A A2 A3 A4 A A₂ A4 A5

A₂ 2I₃2r A₂ 2L 21

also ₂

A A2 An_i An A₂ 3ln-i n A₂ An — A₂ 2In.

Fig. 317.

-e.

A,

A<j

A3

Cls

At,

a₅

Ist der Zug gestreckt, so kann für das kleine Kreisbogenstück A₃ 2l₃, A4 9l₄ ... An2ln die Senkrechte zur Zugsrichtung eingeführt werden, in welcher der Bruchpunkt A₃, A₄ . .. An infolge des Fehlers in ß₂ quer verschoben wird.

Winkelfehler erzeugen im Fall gestreckten Zugs also Querverschiebungen der folgenden Punkte, einschliesslich des Abschlusspunktes.

Rückschluss auf zu erstrebende Zugsfomi.

Ist dagegen der Zug stark gebrochen, so kann ein Winkelfehler geradezu eine Längsverschiebung (s. Fig. 315), ein zufälliger,

oder grober Streckenfehler fs eine Querverschiebung (s. Fig. 318) verursachen. Aus etwa festgestellter Querverfehlung fw auf vorhandene Winkelfehler zu schliessen und demgemäss Verbesserungen an den Brechungswinkeln anzubringen, sind wir also nur im Falle gestreckten Zugs berechtigt, eine weitere Unterstützung unseres in § 82 aufgestellten Verlangens nach gestreckter Zugsform.

Fig. 318.

Feststellung der Tatsache und Grösse etwa vorhandener „Querverfehlung.“

Querverfehlung ist in einem Polygonzug vorhanden, wenn der aus den gegebenen Koordinaten der Zugsendpunkte berechnete Richtungswinkel nA₀An ihrer Verbindungsstrecke abweicht von dem Richtungswinkel

nA₀31n = arctg

Feststellung reiner Quer-verfehlung.

■Ao

(15)

[A 9] = [3 sin cp]

[A x] = [3 cos 9p] ’

Das lineare Mass der Querverfehlung ist dann:

fw = A A 11 Ao An — n A₀ Sin _ g _ d qp

-A4.

Ausschliesslich Querverfehlung ist vorhanden, wenn gleichzeitig (s. Fig. 319) die Länge der Verbindungsstrecke:

(16) (S„ =

Ay

I4j]

[A9]

cosnA₀An sinnA₀A

cosnA₀2tn sinnA₀2ln/’

Wie vorn bei Gleichungen (6) und (7) würde die Untersuchung nach Gleichungen (15) und (16) sechsstellige Berechnung verlangen.

Einfacher ist es daher wie dort, unter Beschränkung auf drei Stellen den Richtungswinkel der Verbindungsstrecke 2ln An (des linearen Schlussfehlers F) mit demjenigen der Zugsrichtung A₀ An zu vergleichen. Ist

(17) n A₀ An — J n 3Tn An

yAn — y?rn

— X2I an

= arctg

\ = R ) BR

(d. h. steht 2In An _L A₀ An), so ist reine Querverfehlung vorhanden im linearen Betrag:

(18) F

2ln An = fw =

fx

fy

cos n 2ln An sin n 2ln An

= Ve + t?

Am einfachsten ist jedoch im Falle des Vorhandenseins eines Übersichtsplans wie bei der Längsverfehlung auch hier die graphische Behandlung. Trägt man die nach Gleichung (3) gebildeten Abschlussdifferenzen fx und fy als Koordinaten mit entgegengesetzten Vorzeichen vom Zugsendpunkt An als Ursprung in grossem Massstab (etwa 1 :10) in einen Übersichtsplan ein, so zeigt der dabei erhaltene Punkt 2ln die tatsächliche Lage des aus Gleichungen (9) sich ergebenden verschobenen Punktes 3T„ zum Soll-Endpunkt An. Steht An 2In _L A₀ An, so ist reine Querverfehlung vorhanden, deren linearer Betrag sich genügend (auf mm) genau abgreifen lässt.

Ausgleichung der Querverfehlung.

Ausgleichung der Querverfehlung.

Wir haben erkannt, dass beim gestreckten Zug die Querverfehlung ausschliesslich Winkelfehlern entspringt. Folglich darf deren Ausgleichung auch lediglich die Brechungswinkel ß ändern. Statt aber auf -deren Verbesserung direkt abzuheben, wodurch eine nochmalige Durchrechnung des Zugs (Bildung der Koordinatenunterschiede für die Polygonseiten) nötig würde, wollen wir lieber diejenigen Änderungen an den einzelnen Koordinatenunterschieden s . cos cp und s . sin cp zu bestimmen suchen, welche den vorzunehmenden Knickungen entsprechen.

Fig. 319.

71

\\

A,

8-

Aff

6t,

*4-2

Aj

Atl+t

Durch Verschwenkung

<l6SzugsZen Pun^^e 2li 21₂ • • • 2ln parallel zur Richtung fw (also senkrecht zur Zugs

Das näclistliegende wäre, jeden der fehlerhaften Polygon-

richtung) um (zu den je vom Anfangspunkt A₀ aus gemessenen Längen der Zugsteile) proportionale Teilbeträge von fw zu verschieben. Die dazu nötigen Koordinatenzuschläge ständen wegen der Ähnlichkeit der Fehlerdreiecke in gleichem Verhältnis, wären also leicht zu berechnen. Die Vergleichung am geradlinigen Zug zeigt aber sofort, dass diese, der Beseitigung der Längs Verfehlung entsprechende Einteilung proportional den Koordinatenunterschieden nur eine Änderung des Anschlusswinkels ß₀ und des Abschlusswinkels ßn je um gleiche,

entgegengesetzt gerichtete Beträge d qp, nicht aber eine solche der eigentlichen Polygonwinkel verursachen würde. Dies wäre nur gerechtfertigt, wenn ß₀ und ßn nicht, oder besonders ungenau gemessen wären, nicht aber im vorliegenden Fall.

Durch gleichgerichtete Knickung sämtlicher

Ausnahme des letzten

Wollen wir statt dessen sämtliche Brechungswinkel /?<>, ß\ ... /?n_! um einen zunächst noch unbekannten Betrag iß (im Fall der Fig. 319 nach links) knicken, was aber den Abschluss-winkel ßn wegen Gleichung (3) des § 81 um n ß in der entgegengesetzten Richtung ändern, also nur anwendbar sein würde, (ßn)-wenn dieser

Abschlusswinkel ßn nicht gemessen wäre (s. § 84)

„ Si „

„ S₂ „

und bezeichnen wir die (etwa einem Übersichtsplan entnommenen) Verbindungsstrecken jedes Polygonpunkts mit dem Endpunkt An mit S, also mit S₀ die Strecken A₀ An Ax An A₂ An etc.,

so wirkt eine Änderung des

Winkels ß₀ um fß auf die Lage des Abschlusspunkts im linearen Betrag ^ • S₀

— • S,

e

^-•Sn-l,

ßl 55    55

55

55

55

55

55

55

ßn—1 ??    55

55

55

55

55

55

also ist

(19)

üv =    ^S₀ -j- Sx    -f- Sn-i^ und die gesuchte Winkeländerung

q" . fw

[S]"-¹ '

Ist der Zug gestreckt und sind die Polygonseiten ungefähr gleich lang, so kann man — eine weitere Begründung für unsere Forderung gestreckter Züge und ungefähr gleich langer Vielecksseiten (s. § 82) — bequemer

setzen n. s

statt

S₀

Sx

(n — 1) • s

[n — (n — 1)] s = s, so dass wir für die Abknickung jedes Brechungswinkels erhalten:

q“ . fw    _ q“ fw

s + 2s4-... + ns— (n +x) s ‘

(19 a)

Sn—1

fo =

Statt jeden Brechungswinkel um iß zu ändern und den Zug mit den derai't um fß, 2 fß ... (n — 1) f.?, n fß veränderten Richtungswinkeln wiederholt durchzurechnen, kann man auch dessen einzelne aus der ersten Rechnung zu erschlies-sende Koordinaten der Brechungspunkte um den aus der Knickung hervorgehenden Betrag verbessern, d. h.

2Ti

senkrecht zur Z verschieben

ugsrichtung *...    _

die Strecke ⁰ " l —

s “ et¹)

fw

2l₂

ö w₂ = 3 •

ais

ÖWg = 6 •

+<N CO

(20) allgemein

Sl*T = ("t¹)

fw ?

Ct¹)

fw

(20 a) den Endpunkt 2l„

s — fw.

Die in einem beliebigen Punkt Pr in konstanter Richtung zu bewirkende Querverschiebung 8 wr können wir also mittels Rechenschiebers gewinnen aus der Proportion:

d wr: fw

= et¹)“»: et¹)

zu

er)

et¹)

Die zugehörigen Koordinatenverbesserungen sind wegen der Ähnlichkeit der Fehlerdreiecke

(21)

- = fw-

(r+l)r

(n + l).n

8 Xr = fx •

8 wr

(21a)

fw

= fx

(r + 1) r

(n + 1) n

I dyr =

fy

dwr

fw

= fy

(r + 1) r

(n + 1) n*

Beispiel.

In einem Zug A₀ ... A₇ zeigt sich aus den Abschlussdifferenzen fx = —)— 35 cm und fy = — 49 cm eine reine Querverfehlung fw = 60 cm. Wie gross sind die auf die einzelnen Bruchpunkte entfallenden Koordinatenverbesserungen und Querverschiebungen ?

Lösung:

Die Gleichungen (20) und (21) liefern für:

Punkt

Ct¹)

<5 w

also

8 x cm 8 y cm

cm

US

■2 8

TS

28

Ol 1—l <M in O r—( CM CO tH CO

T-p Tjp oep Tip Op

o <jT cd"

Cp tp «p Kp <* Cp

o h «T i> sf oo' © io

t-h i—< Ol CO

o r-T icT

03 tO    1-*

50 Oi Oi    _©

'oo ~o3 bi bi

Da man die unausgeglichenen Koordinaten der Punkte 21 aus den unver-besserten Koordinatenunterschieden nicht zu bilden pflegt, so ist es zweckmässiger, die auf jede Polygonseite entfallenden, ihren Koordinatenunterschieden s cos cp und s sin q> zuzuschlagenden Verbesserungen dx und dy zu

Wegen der Ähnlichkeit der Fehlerdreiecke betragen die auf irgend eine Polygonseite sr entfallenden Querverschiebungen 8 wr bezw. Zuschläge zu den Koordinatenunterschieden A xr und A yr im Fall reiner Querverfehlung allgemein:

ermitteln, als Differenz je zweier aufeinander folgender Koordinatenverbesserungen <5x und <5y.

dwr = dwr — 8 Wr_i =

fw

mr

(22)

dxr

8 xr — 8 xr_i = —

fx

dyr = 8jr— ÖJt-i =    ₊₁ r.

I ä )

Daraus berechnen sich die auf die einzelnen Polygonseiten einzuteilenden Verschiebungsbeträge des vorigen Beispiels übereinstimmend mit den Differenzen der dort gebildeten Werte:

Punkt

d wr

d xr cm

No.

d yr cm

cm

_ k» „to _Iqo .to to loo _ too

^    [im “ft* Jn [in

i—i i—¹

⁰¹ “00 'cc "cs V 'os 4-*

io oo_    oo_

o h uf » icf ccT W CG

lO CO^    00^ iC <M^

O T-T CO 10    I>* 00

h-⁴    I—⁴

fcO O

[] =

60

35

49

Das vorstehend gefundene Material wird uns in § 84 zu statten kommen. Zunächst kehren wir aber wieder zurück zur Voraussetzung des gegenwärtigen §:

Durch verschieden gerichtete Knickung sämtlicher Brechungswinkel.

Sind sämtliche Brechungs-, einschliesslich des An- und Abschlusswinkels gemessen, können wir also keinem von ihnen einen grösseren Verbesserungszuschlag erteilen, als dein andern, so sind wir genötigt, diese Zuschläge mit wechselnden Vorzeichen, also teils in der Sollrichtung der nötigen Abknickung, teils entgegengesetzt, einzuführen, diese Vorzeichen aber derart zu wählen, dass die Wegschaffung der Querverfehlung mit möglichst geringer Winkeländerung iß erfolgt. Dies wird erreicht, wenn die in der Sollrichtung wirkende Knickung am Anfang, die entgegengesetzt wirkende am Ende des Zugs angeordnet wird. Bei ungerader Zahl der Brechungspunkte (An- und Abschlusspunkt mitgerechnet), muss dann wegen Gleichung (3) des § 81 ein Brechungswinkel ohne Änderung bleiben, wenn man an der Gleichheit der

übrigen Änderungen festhalten will. Dies ist aus dem soeben angegebenen Grund der in der Mitte des Zugs gelegene.

Für die Weiterbehandlung setzen wir wieder gestreckten Zug und gleichlange Seiten voraus. Kleine Abweichungen von diesen Forderungen sind unschädlich. Sie haben, wenn man mit der Grösse der Querverschiebung darauf keine Rücksicht nimmt, lediglich eine etwas stärkere Abknickung der Winkel mit kurzen Schenkeln zur Folge. Dies entspricht aber gerade den tatsächlichen Winkelfehlern, sobald anzunehmen ist, dass ein erheblicher Teil derselben aus Zentrierungs- und Signalisierungenauigkeiten hervorgeht. Starke Abweichungen von den genannten Forderungen kommen bei Hauptzügen kaum vor. Für Nebenzüge greift dagegen zweckmässigerweise ohnedies eine andere, abgekürzte Ausgleichung Platz.

Die Querverfehlung fw beim Zugsabschluss nötigt uns, die Brechungswinkel ß (wie in den Fig. 320 u. 321 eingetragen) im vorderen Zugsteil um den zunächst unbekannten Winkelwert fß zu verkleinern bezw. zu vergrössern und im hinteren Zugsteil umgekehrt zu vergrössern bezw. zu verkleinern.

Fig. 820.

Pf

NS

-4/ \    ^ -42^

VC,

ocz

ff,\ ^ %!?/)

vc₃

Fig. 821.

’5

6.

j¥

-4?

Die Wirkung dieser Knickungen folgt vom Zugsanfang bis zu demjenigen Brecliungspunkt, in welchem letztere das Vorzeichen ändern (bezw., bei ungerader Punktzahl, in welchem eine Knickung unterbleibt), dem in Gleichungen (21) und (22) aufgestellten Gesetz, verschiebt also die Punkte 5Ii, 3t₂, um öw gleich bezw. 0, 1 s . fß, 3 s . fy, 6 s . fß je in der Sollrichtung (d. h. in Fig. 320 nach links, in Fig. 321 nach rechts). Vom Punkt St₄ ab treten aber der fortwirkenden

214

Verschwenkung der vorderen, die in entgegengesetztem Sinn gerichteten Winkelabknickungen der hinteren Seiten und zwar demselben Gesetz, Gleichungen (21) und (22) folgend, entgegen, so dass z. B. in Fig. 320 der Punkt

umdw: (4 -)— 3 —|— 2 — 1) s . iß, (5 —j— 4 —)— 3 — 2 — 1). s . iß = 8 s . iß

= 9 s. iß — fw nach links,

in Fig. 321 der Punkt

um dw.’ (4 —j— 3 —(— 2) s. iß, (5 —j— 4 —|— 3—l)s.f/?, (6 —|— 5 —|— 4 — 2—1) s. f/?

= 11 s . iß

nach rechts verschoben wird. Bildet man statt der Gesamtverschiebungen dw der Punkte 31 wieder die auf eine Polygonseite entfallenden Teilverschwenkungen dw, als Differenz je zweier aufeinander folgender dw, so entfällt:

3l₄

3I₅

= 9 s . iß

— 12 s . iß — Iw

auf die Vielecksseite

Si

s₃

s₄

S₅

S₆

in Fig. dw — 320

Ul

rH

co

10

dx =

rH

to

dy —

CM

co; ff cd, ff

CO

co

co

co

co

2-fx

2.Ö

‘"9

fw

fx

'•9

i.

fy

in Fig. dw = l.s.f, = l.^₂.s.f,=2.g3.s.f, = 8. |3.s.f,= 8.5₂.a.f,₌₂.gl.s.f, ₌ l.g

321

dx =

fx

¹'S

2-fx

12

3-S

12

3-S

12

2-fx

12

fx

12

dy =

i.Ü

12

2.Ö

12

3-S

12

³-il!

2- —

12

1.S

' 12

und man erkennt daraus das allgemein gültige, für die praktische Anwendung sehr bequeme Gesetz: Die auf die einzelnen Polygonseiten entfallenden, zur Wegschaffung der Querverfehlung fw dienenden Querverschiebungen dw, dx, dy

wachsen, mit 1 . (s . fy), bezw. 1 •    und 1 • (“j^p) beginnend,

in aritmethischer Reihe von beiden Enden des Zugs herein symmetrisch bis zu dessen Mitte. Dort erreichen sie den Höchstbetrag:

^ ) und    ( ^) (für n = ungerade),

• (s . iß), bezw. welcher einfach, oder

Weitbrecht, Vermessungskunde.

Y (s . fy), bezw.

IHSrX

(für n = gerade),

welcher doppelt auftritt. Der gemeinsame Nenner [k] für die Bildung der Verschiebungen ist die Summe der auftretenden Glieder der auf- und absteigenden natürlichen Zahlenreihe.

fliT, n a    Nummern der

rui li —    Polygonpunkte

Ko eff. k der Ver- _ i Schiebungen k s . f^ v__

Beispiele:

0 — 1 — 2 — 3 — 4 j [k] = 6

2    2    1    \ fw= 1 + 2 + 2 + 1 = 6.s.fy

1-2 — 3 — 4-5    6 — 7) [k] = 16

( f w = 16 . s . fß

- 3 - 4 - 5 - 6 - 7    8 ( [k] = 20

3    4    4    3    2    1 f fw 's* 20.8. iß.

Nummern der    n i o

Polygonpunkte    ± 6

Koeflf. k der Ver-    19

Schiebungen k s . f ^ x ^

Das Verfahren der Ausgleichung der Querverfehlung unterscheidet sich also wesentlich von demjenigen der Längsverfehlung.

Letzteres erfordert Verbesserungszuschläge, welche proportional zu den Koordinatenunterschieden wachsen und sich auch im Vorzeichen nach ihnen richten (mit

gleiches

entgegengesetztes

für n = 8

den Koordinatenunterschieden je positives negatives ^

1).

Vorzeichen für

Die Ausgleichung der Querverfehlung dagegen erfordert Verbesserungszuschläge, welche der Grösse nach nur von der Ordnungszahl der Vielecksseite abhängen und im Vorzeichen, unabhängig von denjenigen der Koordinaten-unterschiede, mit der zugehörigen Abschlussdifferenz fx bezw. fy übereinstimmen.

Ausrechnung zum Beispiel S. 596.

Punkt No.

log

in in so o e ep

s s

B‘ S-

GO GO

rH rH

037

475

438

26

33

418

72

yß — ya

676

93

67

n AB

34

612

193

04

32

E sin n A B E cos n A B Xß — XA

2 64

214

322°

42'

62"

A: Kapellenberg -f-B: Knollenberg .    -j-

I—¹ h-i CO CO

188

999

l> r—i

35

37

192

819

86

39

tg n A B 0 43 3 41

Yb —Ya

462

938

810

64

626

53

E sin n A B E cos n AB Xß — XA

883

n AB

319°

05'

80"

tg n A B 0 51

055

9.

8.

Koordinaten

A y verbessert

A x verbessert

+ j 18 475 93 — : 34 j 612,04

^ao    L^iC    10    o    lO    io    i—t    CD

05    05    CD CD    X    U0    CD    1-1    tH    X

83

34 695

125

34 821

179

34 001

74

9i0 | 98

116

35 192

rH Tp rH lO 00 C0 00 t'- CD CO    oo

CO CD i—H t—■ CD t* CO t>

163

639

94

734

95

829

201

031

157

188

00

00

00

4444444444

C0    ffl ^    t-    i—l    CD    (M    l>    0500

O    00    tH    rH    CM    00    T—i    Ih

Ci t*< CO CD IO O CD 00

7.

Ausrechnung zum Beispiel S. 596.

6.

Koordinatenunterschiede

A y = s sin cp Verbesserung

A x = s cos q> Verbesserung

125

180

116

581

[A y]

ysaurain —1134612

yKapellenberg — 35193 — 35192

5.

log (s cos cp) log (s sin cp)

Zug No. II.

rt    t> I>    ^    CD    ^    Ci    i    ^

t>    i    H    C]    CI    rji    H    Cl

t-

O co    co

(Dl Ci    rH iH*

fy =|| + 0 j 77 | und F = V*x² + fy² = 1, Zulässig Fjfax (Geländeklasse III) —’• 1,29 -4- 0,22 =

64

163

414

444 n

S5 4 & 4

531

983 n

893

554 n

rH CT tH 05 tH IC Dl Ci Ci    Ci Dl

Dl rH rH Dl rH V Dl

fl

201

157

712

18475

19188

19188

425

403 n

656

739

[4x] =

O l>*    Oi CO

CO 00    T-H o

Dl rH Ol Ol

hiezu Xgaurain 4

gibt XKapellbg.4

anstatt soll -(-

somit fx =

fl

4.

log cos cp log s log sin cp

iOOCO O CD CO Ci CO L— CD 05 ^ rH Dl rH Tf* rH 1-0

l> CO ^ O Ci l> Ci CO lO Dj Ol h-

soll

ist

3.

Richtungswinkel cp Brechungswinkel ß Verbesserung v

ff

<»

_c»oiqaq>CMc»gswo>qagiqiq>«q> H H II H

322

247

® S I

C0 1-1    ¹

340

189

330

246

377

181

359

159

319

319

2.

Ge-

messene Seite s

184 04

157 36

203 75

195 ! 87

[956]

•1

Punkt

No.

Schütte

Saurain

Kapellenberg

Knollenberg

9 Siehe S.

Als Beispiel

benützen wir dasjenige von Fig. 316 mit dem Unterschied, dass wir, um an Stelle der dortigen Längs- jetzt Querverfehlung zu haben, die Sollkoordinaten von Kapellenberg auf + 19188,77 — 35192,86 „ Knollenberg „    -)- 19999,41 — 37819,39 abändern.

Berechnung hiezu s. S. 594/95.

fw

{ß =

Die Aufzeichnung in grossem Massstab (etwa 1:10) mit entgegengesetzten Vorzeichen der in Spalte 6 und 7 S. 595 gebildeten Abschlussdifferenzen fx und fy gegen die Sollkoordinaten des Abschlusspunktes mit letzterem als Ursprung und in bezug auf das gegebene Koordinatensystem zeigt, den Punkt 21" der Fig. 316 liefernd, das Vorhandensein reiner Querverfehlung, nämlich ff = 0, fw = 1,00, woraus, gleichlange Seiten vorausgesetzt, die nötige Winkelverbesserung sich berechnen würde zu:

• Q' = 3,49'.

Statt mit den um fy verbesserten Brechungswinkeln den Zug frisch durchzurechnen, ermitteln wir, wie oben gezeigt, die auf die einzelnen Koordinatenunterschiede entfallenden Verbesserungsbeträge dx und dy.

Die Koeffizienten k für die Differenzeinteilung ergeben sich dabei aus der schematischen Darstellung:

Saurain — 1 — 2

3—4 — 1    2    3    2    1

Kapellenberg

oraus die den utiver-besserten Koordinaten-unterschieden zuzufügenden Zuschläge !)

(s. Sp. 6 und 7 S. 595):

[k] = 9

W(

de

dx =

dy =

fx = + 7 + 14 + 22 + 14 + 7cm, [dx] = fx = + 64cm

fy = + 9 +17 + 26 +17 + 8cm, [dy] = fy = + 77cm.

Die durch vorstehende Ausgleichung indirekt an den [nach Gleichung (3 a) des § 81 in Spalte 3 S. 595 bereits verbesserten] Brechungswinkeln und (falls der Zug nicht gestreckt ist) an den Streckenlängen s erfolgten Änderungen kann man rückwärts durch Berechnung der Richtungswinkel und Streckenlängen aus den endgültigen Koordinatenunterschieden ableiten, wobei sich für vorstehendes Beispiel ergibt:

Schütte —Saurain Saurain—1 1—2

2    — 3

3    — 4

4    — Kapellenberg Kapellenb.—Knollenbg.

g> endgültig

322 42 62> 369 85 35 341 08 22 331 07 00 377 42 67 359 36 43 319 05 80*

Itig

cp

nach (3 a)

ß ver-bessert

ess

ch

(3 a)

endgültig i me

247 42 73 [ 171 22 87 j 189 98 78 j 246 35 67 j 181 93 76 ! 159 69 37

369 81 37 340 99 56 330 97 28 377 36 40 359 33 07

247 38 75

171 18 19 189 97 72 249 39 12 181 96 67 159 72 73

184,06

157,30

203,62

215,01

195,88

184,04

157,36

203,75

214,93

195,87

Die berechneten Werte zeigen ungleiche Winkeländerungen als Folge namentlich der Verschiedenheit der Seitenlängen und Änderungen der letzteren als Folge nicht genügend gestreckter Zugsform.

l) Wenn ausnahmsweise (natürlich übereinstimmend mit der Messungs-genauigkeit) die Koordinaten in mm angegeben oder bis auf 1 cm gewährleistet werden sollen (Hauptzüge bei Stadtvermessungen), so erfolgt die Berechnung von zlx, ffy, dx, dy ebenfalls nach mm.

c) In den meisten praktischen Fällen werden gleichzeitig Strecken- und Winkelfehler auftreten, welche also Verschiebungen des Zugsendpunktes nach Länge und Quere erzeugen.

Feststellung gleichzeitig vorhandener Längs- und Querverfehlung.

Für die Feststellung der Tatsache gleichzeitig vorhandener Längs- und Querverfehlung hat man dieselben Wege wie bisher, nämlich entweder:

a) Vergleichung von Länge und Richtungswinkel der Verbindungsstrecken A₀ An und A₀ 3I„ vom Zugsanfang nach beiden Zugsendpunkten An und 2ln

(d cp = n A₀ An — n A₀ 2lu, woraus fw = — • S; fi = A₀ An — Ao 2ln).

ß) Rechnerische Projektion des Endpunktes 2In (?n = x₀ -f [§.cosy], i)„ = y₀ + [8.sin9]) auf die Strecke An A₀ als x Achse und mit An als Ursprung durch Koordinatenumformung (s. Kap. 13). Letztere ergibt:

fj = £ cos tp — rj sin xp = — fx cos ty -f- fy sin ip Q

fx LL] + fy[iq]

fx . A x -f- fy . A y

(23)

V[Atf + [A t,P

fw = £ sin ip -f~ rj cos tp = — fx sin xp — fy cos tp x) — — fx A y + fy A X ^ — fx [A tj] + fy [A g]

ViWTlM* ’

und als Probe: ff + ff, = f| -f ff. = F² = (9Tn An).

y) Aufzeichnung von fx und fy im Koordinatensystem je mit entgegengesetzten Vorzeichen vom Endpunkt An aus in grossem Massstab und Projicierung des dabei erhaltenen Punktes 21u auf die Zugsrichtung An A₀ (graphische Koordinatenumformung, s. Fig. 322). Die Werte von f! und fw, d. h. die Koordinaten von 2In in bezug auf An A₀ als x Achse und den Endpunkt An als Ursprung ergeben sich alsdann mit mm-Genauigkeit durch Abgreifen.

TI

Fig. 322.

71

\P>

r;

■fy

A4"

_L —

Aj

-An

-fr

Ausgleichung gleichzeitig auftretender Längs und Querverfehlung.

Die Wegschaffung gleichzeitig auftretender Längs- und Querverfehlung erfolgt in zwei Stufen, nämlich durch:

1.    Einschwenken des Zugs, so dass dessen Endpunkt 2In in die Gerade A₀ An fällt nach Verfahren b und

2.    Verstreckung des Zugs, so dass dessen Endpunkt 3fn auf An fällt nach Verfahren a.

Man erhält dabei für jeden Koordinatenunterschied zwei Zuschläge, die sich möglicherweise gegenseitig ganz oder teilweise aufheben. Als

Beispiel

benützen wir wieder dasjenige der Fig. 316 mit dem Unterschied, dass wir, um Längs- und Querverfehlung gleichzeitig zu haben, die Koordinaten von Kapellenberg auf -|- 19189,24 — 35193,24 „ Knollenberg „    -f- 19999,88 — 37819,77 abändern.

Punkt No.

log

: Schütte . . : Saurain .    .

18

18

037

475

438

26

88

93

34

67

193

72    yB — yA    3

A/L    E sin n A B

E cosnAB

32    xb — xa    2

07

64

676

214

A: Kapellenberg B: Knollenberg .

05 05

’-H t-H

n AB 189 j 24 999 88

322°

42'

62"

tg n A B 0

43

462

35

37

193

819

938

41

24    yB — yA    3

77    E sin n A B

E cos n A B

&T    XB - XA    2

883

90

810 j 64 — nAB

Weitere Berechnung s. S. 599.

Die Aufzeichnung der in Spalte 6 und 7 S. 599 gebildeten Widersprüche fx und fy der berechneten, gegen die Sollkoordinaten des Abschlusspunktes als Koordinaten mit letzterem Punkt als Ursprung und mit verkehrten Vorzeichen liefert in Fig. 316 den Punkt 2t][ und zeigt das gleichzeitige Vorhandensein von Längs- und Querverfehlung im Betrag von fi = —}— 0,60, fw = -(-1,00, so dass F = \O),60² + 1,00² = \AU1P -+- 0,39² = 1,17 m¹).

Aus ersterer ergibt sich ein regelmässiger Fehler pro Längeneinheit q — 1 = -|- 0,00065, welcher Zuschläge zu sämtlichen Koordinatenunterschieden (und Vielecksseiten) in diesem Verhältnis und im vorliegenden Fall mit dem Vorzeichen des Unterschieds selbst fordert (s. S. 585). Die Summe dieser Zuschläge muss der xK0mponenten (+ 0,47), bezw. der yKomponenten (— 0,38) der Längsverfehlung gleich sein, welche aus der Figur abgegriffen werden kann.

Die Zuschläge wegen der Querverfehlung folgen der Aufstellung S. 596. Ihre Summe muss der xKomponenten (+ 0,64), bezw. der yKomponenten (+ 0,77) der Querverfehlung gleich sein.

Hat man keinen Übersichtsplan zur Verfügung, kann man also diese Komponenten nicht abgreifen, so berechnet man zuerst [mittels Rechenschiebers nach Gleichung (23)] die zur Längs Verfehlung gehörigen Verbesserungen und ihre Summe:

319°

626

05'

80"

tg n A B 0

51

055

b Das Beispiel wurde derart gewählt, dass die auftretende Längs Verfehlung derjenigen S. 584, die Querverfehlung derjenigen S. 595 gleich ist.

9.

8.

Koordinaten

A y verbessert

^ : OS CO O j OZ O

34 612

83

34 696

125 75 821 78

C-* IO 02 t-

179

001

co

IO

CO

74 70 35 076 45

116 79 35 | 193 S 24

A x verbessert

CO    CM    lO I l>    <M    K3 N    CO    CO    —H 'ct

OS    03    00 CD    i£3    100    t—    00    Tt<<M

475

163

639

94

734

95

830

201

031

157

189

00

GO

GO

00

+ ++ I+ + + H⁻ + + + +

00 00

02    CO ^

lC O CO CM

6.

Koordinatenunterschiede

A y = s sin <p Verbesserung

A x = s cos cp Verbesserung

®+ l w+ I

rH

180

?+ I 2+1

581

— 34612

y Saurain

—    35193

—    35193

YKapellbg.

fy =    || + 0 j 39 | F = 1,17

Zulässig (FMax) (Geländeklasse III) = 1,51 m.

5.

log (s COS (p) [log (s sin cp)

Zug No. III.

CD + + OS + + OS + +    © + +    !n+ +

i—l    Ol    —H

414

444

531

983

893

554

425

403

656

739

r-l (N    02    t-    lO    O l>    OSCO

CMOS    OSO    03    «    COOO    T-I o

CM I-H    1—I (M H CM CM >—i    CM CM

[A x] =    712

hiezu Xsaur. —— ""I⁻ 184/5

gibt XRapellbg. + 19188 anstatt soll 4- 19189

somit fx —\ +1

4.

log cos cp logs log sin cp

CO 1—i CO Ol 05 T}H CM 02 io +t 00 02 | OS 02 100 CD <M

h# co ko t»oso

OS (M CO t- i—I 03

CO o ^ QOHTf 02 CT. CO

195

230

173

o CO CO X) 03 Tf ^ H IC

99

30

94

“97'

33

54

o o: t~

02 CM t-

soll

ist

03 CM OS OS (MOS 020103 03 01 03 03 CM 02    ||    ||    ||    ||

3.

Richtungswinkel (p rechungs-•vinkel ß sserung v

OIOIO l> ^ io CDt^iO OOt^iO OCMiC L^OOiO OOO CO COCOTji    OHTfi XlOI> 00

i:

9qj0A

IM.

322 42 247 39

«1

18

369

171

99

98

340

189

97

39

330

246

36

97

377

181

33

73

359

159

05

08

319

319

2.

Ge-

messene Seite s

184 | 04

157 | 36

203 I 75

214 ! 93

195 I 87

[956]

Punkt

No.

Schütte

Saurain

Kapellenberg

Knollenberg

f

[algeb. 4 y] ~ = [algeb. 4y] (q — 1),

x*

bezw. [algeb.    = [algeb. A i)] (q — 1).

Der Rest |fx — [algeb. A y] (q — l)j stellt die xKomponente, der Rest jfy — [algeb. A q] (q — l)j die yKOmponente der Querverfeh-fehlung vor.

Wegschaff-img der Ab-schlussdiffe-renzen proportional zn den Seitenlangen.

d) Vereinfachte Ausgleichung der Polygonisierungs-

widersprüche.

Die nach Längs- und Querverfehlung getrennte Ausgleichung ist für untergeordnete Arbeiten zu schwerfällig und im Falle geringer Abschlussdifferenzen ohne merkbaren Einfluss auf das Endergebnis. Eine Zusammenfassung ist hiebei, wenn auch vielleicht unter Drangabe einiger Genauigkeit, erwünscht. Überwiegt der Betrag der Längs- stark denjenigen der Querverfehlung, so kann die volle Abschlussdifferenz ohne allzu grossen Schaden nach dem für die erstere auf gestellten Verfahren: „proportional den Koordinatenunterschieden“ weggebracht werden.

Fig. 323.

ojO

rsj 0^

Erreicht jedoch die Querverfehlung erheblichere Beträge, so ist dies nicht angängig. Dies zeigt sich am klarsten an einem ungefähr parallel zu einer der Koordinatenachsen verlaufenden, gestreckten Zug, bei welchem kleine Abweichungen der Brechungswinkel voneinander die senkrecht zur Zugsrichtung liegenden Koordinatenunterschiede und damit die auf die betreffenden Vielecksseiten entfallenden Ausgleichungsbeträge unverhältnismässig stark verschieden gestalten würden.

'S

SJ

CoO

Wäre vollends auch nur eine einzige Ausbauchung des Zugs vorhanden (wie siebei scharfen Tal- und Klingenbildungen 'fm oft nicht zu vermeiden ist), so würde (s. Fig. 323) bei Einteilung proportional den Koordinatendifferenzen die Querverfehlung zum weitaus grössten Teil auf die beiden ausbeugenden, nicht weniger

genau als die übrigen gemessenen Seiten geworfen, von denen die

fw

eine dadurch ungefähr die Verbesserung -j—g—, die andere nahezu

die Verbesserung--erhielte.

In beiden Fällen würde dagegen die Einteilung der vollen Abschlussdifferenz „proportional den Vielecksseiten“, (trotz-

dem sie weder die Längs-, noch die Querverfehlung an den sie verschuldenden Elementen verbessert, sondern dem zu Fig. 319 zuerst gefassten, und sofort als irrtümlich erkannten Gedanken entspricht), zu brauchbarerem Ergebnis führen.

Einzelne amtliche Vermessungsanweisungen (z. B. die würt-tembergische) schreiben deshalb die Ausgleichung der Abschlussdifferenzen proportional den Vielecksseiten kurzerhand vor. Das vorstehend behandelte Beispiel hätte damit folgende Einteilungsbeträge und Koordinaten ergeben:

Saurain

dx

4    — Kapellbg.

— j— fx = + 21    + 18    + 24    + 25    + 23

= z+ + dx = + 163,95    + 94,65    + 95,50    + 201,74 +157,47

= + 18475,93 + 18639,88 + 18734,53 + 18830,03 + 19031,77 + 19189,24

cm

dy =

[8]

fy = +⁸

4y = 4t) + dy = — 83,95    —125,78    —180,03    —74,73    — 116,71

y. = — 34612,04 — 34695,99 — 34821,77 — 35001,80 — 35076,53 — 35193,24.

Die Unterschiede der hierbei gegenüber den nach Verfahren (c) erhaltenen Koordinaten betragen in x 0

00 05

0 cm 0 *

§ 84. Zugsanschluss an einen unzugänglichen Punkt.

Ist einer der Zugsendpunkte unzugänglich (Kirchturm, Blitzableiter etc.), so ist zur Bestimmung der in ihm endigenden Vieleck sseite An_! An eine Dreiecks-, oder Vielecksmessung nach Fig. 324 nötig. Daraus ergibt sich die fehlende Seite mittels des sin Satzes oder nach § 87. Für die Weiterbehandlung stehen dreierlei Wege zu Gebot.

Wird: a) auf die Abschlussrichtung An An + 1 verzichtet, so fällt lediglich die Bedingungsgleichung 3 des § 81 (Winkelsummengleichung) weg. Trotzdem ergibt bei gestreckter Zugsanlage die Ausscheidung von Quer- und Längsverfehlung sowohl eine Winkel-, als eine Seitenkontrolle. Für die Einteilung der Querverfehlung gilt das durch die Gleichungen (19) bis (22) des § 83 gegebene Verfahren.

Wünschenswert ist es aber immerhin, durch Gewinnung einer Abschlussrichtung auch die Winkelsummengleichung als Probe zu benützen. Zu diesem Zwecke könnte man

Verzicht auf Abschlusswinkel. Abknickung sämtlicher Brechungswinkel im selben Sinn.

b) aus dem im Hilfspunkt A„ nach einem entfernten Fest- Ged™n™ng punkt An + 1 gemessenen Winkel An_! A^ A (s. § 45) den Abschlusswinkel A

durch Zentrierung

n +1

An An + 1 ableiten.

Die hiezu nötige Exzentrizität e = A^ An lässt sich jedoch

n—1

schluss-

winkels

durch

Zentrierung.

auf indirektem Weg (Hilfsdreieck, oder -Vieleck) kaum mit der in

wenigstens

und Abschluss in An der Fall wäre. Sie erzeugen höchstens eine nach rückwärts sich allmählich

Hilfspunktes kleine Fehler auf, so bewirken diese bei genügend langer Anschlussrichtung An A keine Verschwenkung des in A'n abschliessenden Zugs, wie es bei ungenauem, durch Zentrierung gewonnenen Abschlusswinkel An_x An A

verringernde kleine Verschiebung der benachbarten Polygonpunkte.

Messungs-

probe.

ri +

Ti+r

„Herunterbringen ( holen) des Abschluss-punktes-“

■Art/

cy7

Sk

£■>

1p*

u,

§ 45 hiefür verlangten Genauigkeit ermitteln. Wir verzichten daher besser auf die Zentrierung überhaupt und benützen

c) das Verfahren des „Her-unterbringens“ (Herunterholens) des unzugänglichen Abschlusspunktes An nach A'n.

Hiebei suchen wir aus den Koordinaten des unzugänglichen Festpunktes An mittels eines gemessenen Hilfsdreiecks, oder -Polygons diejenigen eines Bodenpunktes A^ (oder A“) [s. § 78, Gleichungen (1) bis (4) und § 87] abzuleiten. Sie treten dann als Festpunktskoordinaten an Stelle derer von An und der Zug endigt in A„ (bezw. Aä) statt in An.

Weisen auch, infolge kleiner Ungenauigkeiten in der Bestimmung der Strecke An An und ihres Richtungswinkels die berechneten Koordinaten des

Her Probe wegen ist es wünschenswert, die Koordinaten des heruntergebrachten Abschlusspunktes unabhängig doppelt zu bestimmen. Dies geht am einfachsten, wenn man die zum Herunterbringen des unzugänglichen Punktes dienende Strecke zweiHilfs-netzen gleichzeitig angehören lässt und von ihrem auf dem Gelände liegenden Endpunkt aus die Richtungen nach zwei entfernten Festpunkten beobachtet. Daher würde sich z. B. in Fig. 324 der Polygonpunkt An_t hiefür besser eignen, als An, sobald man von ihm aus zwei ferne Festpunkte anzielen könnte.

Lässt sich von dem den beiden Hilfsnetzen angehörigen Vieleckspunkt An_! keine Zielung nach fernen Festpunkten gewinnen, wohl aber von den Hilfspunkten A‘n und A„ aus, so bringt man den

Beispiel.

23)\ |

-i

und n Aü A'

O/y'irigtTo JC -- + 35330,32

= - 75736,96 Alsdann benützt man einen Mittel-

Fig. 324 a.

^ Salon AS)

■    * 0-0506,77

71    \    1050370

Fa/eTLfauL (

JC= +3.9552.32 \ 70003 .79 /

<v/§

k\

K2A-\ t}$

unzugänglichen Punkt zunächst nach ihnen, je unter Benützung der einfach bestimmten Strecke A‘n An, bezw. AnAn vorläufig herunter, berechnet aus den gewonnenen Koordinaten die Richtungswinkel n A^ A und daraus nach Gleichung (3) des §81 mit Hilfe der gemessenen Winkel in den Hilfsnetzen die Richtungswinkel n An_x An_a oder nAn-iAn je unabhängig doppelt.

wert des letzteren und die aus bei

den Hilfsnetzen gemittelte Strecke An-i An zum Herunterbringen des unzugänglichen Punktes nach An_!. In letzterem Punkt endigt der Zug mit dem gemittelten Richtungswinkel n An _! An _ ₂ + 2 R n An — 2 An — 1*

Der unzugängliche Punkt § Kornwestheim soll mittels der in Fig. 324 a eingetragenen Strecken und Winkel nach £ 21 heruntergebracht und es soll der Polygonzug Hasensaul — 25 — ... in £ 21 abgeschlossen werden.

-<v>.

'y§>

a) Strecke Kornwestheim — £21 Berechnung. 110,70 sin 98° 04' 88"

sin (43° 84' 82" + 98° 04' 88")

TI

£

CO

2.04415

J*

110,70

e sin 141° 89'70" 0.10175

sin 98° 04'88" 9.99980

139,86 = Kornwesth. —21 2.14570

fl

KorruveftJiewv{K)

3C=+ 38577. 76 70787,93

(Eine zweite,- Probe - Berechnung dieser Strecke wird ermöglicht durch das Vieleck Kornwestheim — 21 — 22 — 23 — 24 — 25 — Hasensaul — Kornwestheim nach dem in § 87 Fall 3) zu zeigenden Verfahren. Um diesem Paragraphen nicht vorzugreifen, in Rücksicht ferner auf die durch die grosse Zugslänge erzeugte Unsicherheit und das

geringe Gewicht dieser Bestimmung wird das sich aus dieser Berechnung ergebende Streckenmass — '• 140,04 hier nicht verwendet. Aus erstgenanntem Grund unterbleibt hier auch eine Vergleichung der aus der Zugsmessung sich ergebenden Strecke Kornwestheim — Hasensaul (<3 = 1006,56) mit ihrem aus den Festpunktskoordinaten bestimmbaren Wert S und die vorgängige Weg-

S \

Schaffung etwaiger Längsverfehlung mittels des Proportionalitätsfaktors q = -g-. j

b) Richtungswinkel (n — Kornwestheim — 21).

sin (<£ 21 — Salon — Kornwestheim)

_ (Kornwestheim — 21) sin K. — 21 — S.

K. — 21 — S. = 132° 44' 66"

(Kornwestheim — Salon)x) Kornwestheim — £ 21 2.14570²) sin 9.94096

E Kornwesth. — Salon 6.70588 *)

£2 W

21 — S. —

S. — K. —

n — Kornw. — Salon

3° 95' 09"

sin 21 — S. — K. 8.79254

63° 60' 25" durch Ergänzung zu 2R. 11° 74' 74"

n — Kornw. — 21

= 75° 34' 99". c) Koordinaten von £ 21.

+ 52,81 = 4x

1.72273

Kornwestlieim -f- 38571,76

+ 10181,93 lx = + 52,81 A y = + 129,51

£ 21 = + 38624,57

+ 10311,44

cos (n — Kornw. — 21) 139,86 = Kornw. — 21 sin (n — Kornw. — 21)

9.57703

2.14570²)

9.96660

2.11230

log

Punkt No.

A: Kornwestheim B: Salon . . .

++! +

38

76

10

40

77

10

93 yB — yA

10

E sin n A B E cos n A B

1 935 01 + nAB

11°

361 17

xb — xA

CM O CO

55

00

28

771

744

668

74'

74"¹

tg n A B

27

AB

29

to w|

A: Salon . . B:£21    . ,

++

40

38

882

77

57

20

nAB

++

10

10

207°

543

311

231

79'

10

44

66

yB — yA 2

E sin nAB E cos nAB XB — XA 3

36

27

io

X

467

A: Hasensaul .    -)-

B: Öffingen .    .    -j-

39

35

552

860

32

32

++

10

15

3 692 00 + nAB

138°

328

57'

09

72

96

56

15

018

658

726

932

fl

A: Hasensaul .    -(-

B: Kornwestheim -j-

39

38

n Hasensaul — Öffing. Öff. — Häsens. — 25 n Hasensaul — 25

552

571

980

32

76

56

nAB

f-f

10

10

408

181

226

79

93

86

yB — yA 2

E sin nAB E cos nAB XB — XA 2

35

99

576

147

Ö fl fl

214°    47' 42" tg n A B 9 36 429

138° 57' 64" n Hasensaul — Kornw. = 214° 47' 42"

16° 74' 81" 231" 22' 23"

92° 64'37" Kornw. — Häsens.— 25 231° 22' 01" n Hasensaul — 25

Mittel :

*) Berechnung s. Formular S. 604 unten. „ S. 603.

²)

11

V"

231° 22' 12"**.

9.

8.

Koordinaten

A y verbessert

Th    Th    ©    03    00    05    03 I tJ    CO

Th    T-l    CO j IC    t-    ffl    t- i    ®

CD Di IO I>

311

11

300

17

282

14

267

39

307

rH

t-H

n»-

+ 1 + I +1 1 + + +

1,26.

'TO

A x verbessert

t'-    00    lO    rH    CD    l>    CO    05    CM

kO    CO    05    CM    t-H    tS»    05    tH    rH

© <M C3 CO

624

145

769

186

956

lO —' 00 ^

t-H    r—I

220

362

190

552

00

co

00

co

00 t    C30

co !    co

oi

co

co

co

+ 1+ +

7.

6.

Koordinatenunterschiede

A y = s sin cp Verbesserung

A x = s cos q> Verbesserung

Zug No. I.

lO t-H

3 +

145 38

CM CM

05 I CO I

iC rH

io

101

Ol

186

05

CD

§)

l> i 00    ^ CM

05 ; (M ^ i>

05

WO

140

05

10311

HI40S

10408

}21⁼—+

yn.=+

+ ii

Zulässig FMax (Geländeklasse II) (1,04 -j- 0,22)

u>

.4

c2

<v

bß

.2

pO

•"tn

'S

QO t-H 05 O rH

185

220

190

CD

927

t> C0 io CO

CM

CO

(HO

38624

39552

39552

ii

CO

CD

5.

log (s cos q>) log (s sin gp)

249

739

000

369

899

639

280

569

921

699

II.

CD ^    CD l> ^+05

rHO CM CM CM tH CO io

l> o

CM O

Oll—l    CM 1—l    (M H Ol T-H

CM CM

hiezu X21

<X>

CO

gibt xHa

anstatt soll -+-

somit fx

8.845

8.000 n

0.845 n

/.

m

rg

— CO

ö p£>

4.

log cos q> logs log sin (p

CO CD    CO    Oi    H    00    ® O®    ICIO^

l> l>    CD    O    D    io Ol    H CD O

00 CO    CO    00    H    H    QOOlO    CO 05 CD

rf »• (M lOCDO io CO CO

3.

Richtungswinkel <p Brechungswinkel ß Verbesserung v

<>

rocooo oiNt- ©    © S© Th Th

Ol t—I 00 ^ Ol 03 Ol Ol 03 Ol j Ol CO 03

010300 030300 03 03 00 010301

tM 00 Th lOiOlO UO -rh »C Th 03 lO H COlO ® H 03 100303 IO Th 03    03 03 CO 03

CO N

oi co co

Ol cq Ol

soll (Mittel)

Widerspruch

zul.Widerspr.

(2,8 Fe⁷ n. T.)

V U)S n 3\

<1

.2

P5

CO

+ 0,07

- 0,01

207 79 387 33

2.

Ge-

messene Seite s

395 12 145 I 80 198 90

394 02 187 I 03 200 84

~~ 394 86 186 j 38 216 41

11 27 223 69 219 94

03

03

215 61

cm co Th i-i co oq

03 CO t—I Ol 03

00

co

109° 03'

214° 47'

294° 56'

**31

co |

[958]

•I

Punkt

No.

Salon

21

22

23

24

25

Hasensaul

0 hieraus tg n vln A

n 2L A

n A₀ A

"+ A₀ An 2tn

den hiefür aufgestellten Regeln eingeteilt.

*) Siehe S. 604 unten.

Der Zugsabschluss im heruntergebrachten Punkt ist besonders dann zweckmässig, wenn die zum Herunterbringen verwendete, für die Zugsberechnung selbst ausgeschaltete Vielecksseite kurz ist, also eine nennenswerte Ungenauigkeit in der Bestimmung der Koordinaten des Hilfspunkts weniger leicht eintritt, als eine Zugs-Verschwenkung im Fall der Mitbenützung als letzte Polygonseite.

§ 85. Zugsanschluss an zwei unzugänglichen Endpunkten:

„Zugseinhängung“.

Die Längen der beiden äusseren Vielecksseiten A₀ Ai und An_! An sind, wenn die Lage der .Zwischenpunkte überhaupt bestimmt sein soll, unter allen Umständen durch Hilfsdreiecke, oder -Vielecke zu bestimmen. Ist dies geschehen, so sind dreierlei Lösungen der Aufgabe möglich. Die beste liefert Fig. 325.

1.    das Herunterbringen der beiden unzugänglichen Punkte Ao und An nach k‘₀ und A^ entsprechend dem Verfahren (c) des vorigen Paragraphen.

Im Polygonzug AqAi A₂ A3 . . . An_x Hi A'n, auf dessen beiden, nun nach ihren Koordinaten gegebenen Endpunkten Aq und A^ die Abschlusswinkel nach entfernten Festpunkten gemessen sind, hat man dann den gewöhnlichen Fall des § 83.

Kann man aber

2.    nur an einem der beiden Zugsenden einen Hilfspunkt finden, von dem aus ein ferner Festpunkt sichtbar ist, so kommt die Lösung (a) des § 84 zur Anwendung.

Ist es endlich

3.    bei keinem der beiden Zugsendpunkte möglich, einen Hilfspunkt zu finden, von dem aus gleichzeitig der unzugängliche und ein ferner Festpunkt gesichtet werden kann (eigentlicher

Fall der „ Zugseinhängung“), so berechnet man den Zug A₀ Ax... An_x An als Schnittzug (s. § 81) zunächst auf irgendeine seiner Polygon-

-r

ro-2

<A^

Ar

?■-

seiten (z. B. A₀ Ax) als £ Achse lind einen ihrer Endpunkte (z. B. A₀) als Ursprung (Hilfsberechnung).

Aus den derart gewonnenen, bezw. angenommenen Koordinaten £ und t) der beiden Abschlusspunkte A₀ und An in bezug auf das gewählte System einer-, und aus ihren gegebenen Koordinaten x₀ y₀, xnyn anderseits erhält man nach § 56 je zwei Werte für die Strecke A₀ An und ihren Richtungswinkel, nämlich:

( tg x A₀ A„ =

im Landes-vermessungs-system.

yn • Jo

Xn — X₀

yn — y₀

sin n A₀ An

Xn — X₀

cos n A₀ A

im angenommenen , Hilfssystem, f

9n — 9o

En — £0

_Sb_i

cos £ 2l₀ 2tn '

Die Werte A₀ An und 2t₀ 2tn für die Länge der Verbindungs-Strecke beider Abschlusspunkte sollten einander gleich sein. Trifft dies nicht genau zu, so erhält man aus ihnen analog der Bestimmung der Längsverfehlung in § 83 den Koeffizienten

sin 3; A₀ An

En —

An An

2I₀ Sin

, (log q = log A₀ An — log 2I₀ 2ln),

mit welchem, wie dort, sämtliche gemessenen Vielecksseiten §> zu multiplizieren sind:

s = q . § = § -f- (q — 1) g; log s = log § -f- log q.

Führt man diese reduzierten Streckenwerte s und die um

n A₀ An — y 2t₀ 2tu vergrösserten Rich-

den konstanten Wert A (p tungswinkel der Hilfsberechnung in die nun folgende endgültige

Zugsberechnung ein, so schliesst diese ohne Differenzen (fxundfy) ab, die endgültigen Koordinaten der Polygonpunkte liefernd.

Auch im Fall 3 fehlt nach dem vorhergehend Ausgeführten die Messungsprobe nicht vollständig. Ein grober Streckenfehler beim gestreckten, ein grober Winkelfehler beim stark ausbeugenden Zug würden die Länge der Verbindungsstrecke 2l₀ 2tn stark verändern und einen Widerspruch zwischen ihren aus den Koordinaten £, 9 einerseits und den gegebenen Koordinaten x, y anderseits errechneten Werten erzeugen, der zur Nachmessung zwingen würde.

Bei gestreckter Zugsform würden dagegen etwaige Fehler in den Brechungswinkeln (s. Fig. 326a), bei stark ausbauchendem Zug Fehler in — zufälligerweise senkrecht zur Zugs-

Fig. 326 a.

Ao

-*/    -4*

•?

richtung verlaufenden — Vielecksseiten (s. Fig. 326b) die Verbindungsstrecke 2t₀ Wn der beiden Abschlusspunkte kaum verändern, also beim Vergleich mit A₀An nicht als grobe Fehler zum Ausdruck

Fig. 326 b.

.........

......9^

V-

^-0

-d-2

kommen. Die „Einhängung“ eines solchen fehlerhaft gemessenen Zugs würde demzufolge, ohne dass auffallende Abschlussdifferenzen darauf hinweisen würden, eine unter Umständen beträchtliche (nur etwa durch Anschluss an einen zweiten quer verlaufenden Zug feststellbare) Querverschiebung sämtlicher Polygonpunkte aus ihrer Solllage zulassen. Sie ist daher für Zwecke von einiger Bedeutung ungenügend.

§ 86. Zugsnetze.

Dehnt sich das von der Stückvermessung zu erfassende Gebiet nach Länge und Breite weit aus, so genügt als Grundlage für die Aufnahme ein einziger Polygonzug nicht. An seine Stelle tritt eine Anzahl von Zügen, ein „Zugsnetz“.

Man kann deren Zusammenschluss auf zweierlei Arten bewirken, nämlich: 1. Durch Abstufung nach Haupt- und Nebenzügen.

2. Durch zusammenhängende Berechnung, „Verknotung“.

Am einfachsten ist die

1. Die Abstufung nach Haupt- und Nebenzügen.

Die „Hauptzüge“ verbinden gegebene Festpunkte ohne allzu weit gehende Rücksichtnahme auf die speziellen Bedürfnisse der Stückvermessung möglichst gestreckt, gleichseitig und leicht messbar. Ungefähr paralleler Verlauf mehrerer Züge in geringer Entfernung voneinander, sowie Überschneidungen (Kreuzung) ohne gemeinsamen Brechpunkt ist bei ihnen wegen der verzerrenden Wirkung etwa zurückgebliebener Reste von Längs- oder Querverfehlung auf die Verbindungsstrecken benachbarter Punkte verschiedener Züge zu vermeiden. Die Seiten- und Winkelmessung für die Hauptzüge erfolgt mit gesteigerter Sorgfalt, die Koordinatenberechnung nach den in § 83 c vorgeführten Verfahren.

Die durch Hauptzüge bestimmten Punkte treten sofort nach ihrer Festlegung in die Reihe der Festpunkte ein und bilden Abschlusspunkte für die „Nebenzüge“.

Bei Anlage der letzteren überwiegt die Rücksicht auf die Bedürfnisse der Stückvermessung. Bei ihrer Abzweigung von Hauptzügen dient als Anschlussrichtung die längste dem Zweigpunkt anliegende Hauptzugsseite, deren Richtungswinkel im Fall eingeteilter grösserer Querverfehlung aus den zugehörigen, endgültigen Koordinatenunterschieden neu ermittelt wird. Für untergeordnete Zwecke, oder kurze Nebenzüge, sowie im Fall geringer Querverfehlung des Hauptzugs kann dagegen direkt derjenige Richtungswinkel der Anschlussrichtung übertragen werden, welcher nach erfolgter Ausgleichung nach Gleichung (3 a) des § 81 bei der Berechnung des Hauptzugs selbst verwendet wurde.

Besser ist, zumal wenn die Abzweigung in der Mitte des Hauptzugs erfolgt, die Beobachtung der Abschlussrichtung nach einem fernen Festpunkt.

Schnittpunkte werden der Probe wegen womöglich von zwei Polygonpunkten her eingeschnitten. Die Mittelung der hiebei sich ergebenden widersprechenden Koordinatenwerte erfolgt wie die hernach zu zeigende Koordinatenausgleichung von Knotenpunkten.

Schnittzüge sind nur für ganz untergeordnete Zwecke (Kulturgrenzaufnahmen etc.) zulässig.

2. Zugsverknotung.

Müssten (z. B. in Waldgebieten etc.) einzelne Hauptpolygonzüge sehr lang werden, so dass die zu befürchtende, durch Längsund Quer Schwankungen erzeugte Unsicherheit in der durch die berechneten Koordinaten bestimmten Lage der Polygonpunkte das erträgliche Mass übersteigen könnte, oder sind einzelne, von den Hauptzügen abzweigende Nebenzüge nach Anlage und Messung den ersteren gleichwertig, so würde die Durchrechnung dieser weder genügend genaue, noch den genannten Verhältnissen gerecht werdende Ergebnisse zeitigen. Unter solchen Umständen ist es zweckmässig, einen Polygonpunkt, der mehreren Zügen gleichzeitig angehört, aus ihnen gemeinsam als „Knotenpunkt“ abzuleiten.

Dies könnte etwa in der Weise erfolgen, dass man jeden auf den Knotenpunkt zulaufenden Zug als Schnittzug von dem entgegengesetzten Ende, dem Festpunkt aus, durchrechnen würde. Man würde damit für ersteren ebensoviele Koordinatenpaare erhalten, als Schnittzüge verwendet wurden. Aus ihnen wären schliesslich durch Mittelung die endgültigen Koordinaten des Knotenpunktes erhältlich.

Dieses Verfahren liesse aber die im Knotenpunkt selbst gemessenen Winkel unberücksichtigt.

Weitbrecht, Vermessungskunde.

Dasselbe träfe wenigstens teilweise zu, wenn man im Fall einer geraden Anzahl z solcher Schnittzüge je zwei von ihnen zusammenfassen und über den Knotenpunkt weg je von einem zum anderen Festpunkt als Hauptzug durchrechnen wollte, dabei für diesen Punkt

Koordinatenpaare erhaltend.

Um alle gemessenen Winkel zu benützen, verfährt man wie folgt: a) Aus dem Anschluss- und den Brechungswinkeln jedes Zugs rechnet man, je vom zugehörigen Festpunkt ausgehend, nach Gleichung (3) des § 81 den Richtungswinkel der längsten im Knotenpunkt endigenden Polygonseite, oder einer von ihm ausgehenden Zielung nach einem beliebigen fernen Punkt. Man erhält dann dafür aus z Zügen z verschiedene Werte cp.

Als endgültiger Wert gilt deren arithmetisches Mittel:

p, g>i +    + pz yz _ [py]

Pi -t- P2 + •••• + Pz

wobei die Gewichte p der Einzelbestimmungen entsprechend der Fehlerfortpflanzung in den Winkelsummen (cp₀ -f- [ß]) bei gleicher Messungsgenauigkeit und n1? n₂, ... in den Zügen Z1} Z₂, . . . verwendeten Brechungswinkeln ß werden:

oder, unter Veränderung der Gewichtseinheit, durch

(1)

(2)

^Mittel —

[Pl ’

Pi = n₂. n₃ .... nz

p₂ = nx . n₃ .... nz

Multiplikation mit nx . n₂... . nz Pz ⁼ Pi • P2 . . . . nz_x

Pz =

Zur bequemeren Ausrechnung zerlegen wir zwecks Auswertung von (1) jeden Einzelwert cp^ cp₂,... in die Summe eines Näherungswerts N und eines Zuschlags dcp, so dass:

n+d

(pn = N -f d cpn ^

<P 1 =

(3)

und erhalten damit statt (1)

(4) ^Mittel —

Pi (K ~l- d yt) -\- . ■.. -f- Pz (N -f- d yz)

[P • d y]

Pl + P2 + • • • • "P Pz

fP] '

Der Wert <jpMittei tritt schliesslich in jedem der z Züge an die Stelle des in § 83 aus den entsprechenden Festpunktskoordinaten gebildeten Richtungswinkels der Abschlussseite. Wie dort wird die Differenz: Soll — Ist = gpMittel — (<jP₀    [ß] :h k • 2 R) auf die in

jedem Zug verwendeten Brechungswinkel ß gleichmässig verteilt, worauf die Richtungswinkel der Polygonseiten cpr — cpr_x + ßr_x ± 2 R

je mit Rechenprobe beim Abschluss jedes Zugs sich ergeben.

Rechnet man damit nun in allen z Zügen b) die Koordinatenunterscliiede

A £ = 8 . cos <p; 4 g = $ . sin <p,

so erhält man z verschiedene Wertpaare für die Koordinaten des Knotenpunkts:

x = x₀ + [g cos cp] und y = y₀ —)— [g sin cp].

Als endgültigen Wert wird man auch hier analog Gleichungen (1) und (4) das arithmetische Mittel:

[p d x] .

j-pj j } Mittel

annehmen, wobei Nx und Ny wieder Näherungswerte für xMittei bezw. yMitteii und dx bezw. dy die nach Gleichung (6) zur Erzielung der aus den Einzelzügen erhaltenen Koordinatenwerte nötigen Zuschläge vorstellen:

(ö) xMittel —

[p X1

[py]

[P dy]

[p]    — Ny +    [p]

= Nx -f dxj; yi = Ny + dyx

(6)

( xz — Nx | dxz, vz — Ny | dyz.

Einige Schwierigkeit bereitet nur die Bestimmung der den einzelnen Koordinatenwerten xx, x₂.. .xz; yx, y₂... yz zukommenden Gewichte px, p₂... pz.

Wären die den betreffenden Polygonzügen anhaftenden Fehler F bekannt, so wären nach den Grundsätzen für die Ausgleichung direkter Beobachtungen die Zugsgewichte p den Fehlerquadraten F2 umgekehrt proportional:

p₂ =

Pi — i

Dabei könnte k eine beliebige Zahl sein, weil proportionale Änderung der Gewichte nur die Gewichtseinheit, nicht aber den Wert der damit errechneten Unbekannten ändert. Nun sind die tatsächlichen Zugsfehler F nicht bekannt, wohl aber auf Grund amtlicher Bestimmungen die in jedem Zug äusserstenfalls zulässigen Fehler F (s. § 90), bei deren Festsetzung die Anwendung derselben Hilfsmittel und Methoden vorausgesetzt wurde, die der Messung tatsächlich zugrunde lagen. Diese FMax sind daher voraussichtlich proportional den zur Zeit noch unbekannten Abschlussfehlern F und können zur Gewichtsbestimmung an deren Stelle treten.

Wir sind also berechtigt zu setzen:

F₂

Max

Pi =

Pz =

wobei zum Zweck der Erzielung bequemer Ge-jUiMax)² f wichtswerte p die Konstante k nach Bedarf, jedoch /für eine und dieselbe Verknotung unveränder-(FzMax)² / lieh, etwa gleich 1,10 etc., gesetzt werden kann.

Sind schliesslich nach Gleichungen (5) für die Koordinaten des Knotenpunkts Mittelwerte gewonnen, so werden diese in jedem der z Züge zur Bildung der Widersprüche fx, fy, F, fb fw und zu deren Ausgleichung genau ebenso verwendet, wie die Koordinaten des zum Zugsabschluss dienenden Festpunktes in § 83.

Beispiel:

in Fig. 327.

Gegeben die Koordinaten der Anschlusspunkte Gemessen die Vielecksseiten und Brechungswinkel Gesucht die Koordinaten der Polygonpunkte

Fig. 327.

.1

Salzwey er- * 35800, w

y = *    7830.83

Schützenöühl

.X - - 35020.03

y -* 8798.82

-v'

\ %\

•4    *

1 Schütz enbiihl /    X*-* 35020.03

t    8798.82

7"

/Mo/lyrubc qc*+3S3M.99 77.53.**. 7

y-

Ä3.7J"©

t ÄD . yy > • Ji; &

5 Zixffknha-tfsn

36691. OO y-‘ 9175.86

irif y

i fe> /

ZTTc

BubenfiaUib JC~ 3r782,37 130637

Punkt No.

•>

log

A: Zuffenhausen B: Bubenhalde .

34

35

691

782

00

37

9 175 7 306

1 | 091 37 n AB

1 869

yß — ya 3

E sin n A B E cosn AB

xB — Xi 3

300° 16' 32"

tg n A B 0

A: Schützenbühl B: Salzweg . .

lO iO CO CO

020

800

CO 05

o

Ol CO GO QO

00 O 05 CO t-H 05

GO F»

780 46

267 99

}'B — Ja    2

E sin n A B E cos n A B

xB — xA    2

F*    CO CO Ol

CM    O CM ^

172

797

375

811 n

A: Schützenbühl B: Mostgrube .

+ T~

35 020 35 349

CO 05 O 05

329 96

n AB

341° 02' 57" 8 198 82 7 753 43

~~ 445 39 306° 31' 56"

tg n A B 9

Yb — Ya 2 E sin n A B E cos n A B xB — xA 2

tg n A B 0

05 Ol 00

OO |

rH CO lO j r-H

235

576

874 n

846

028 in

9.

8.

Koordinaten

A y verbessert

306 37

I-

CD    CO    CD    05    I O    05

rH    io    t>    Ol    I IO    l>*

129

435

103

539

128

667

I-

1-

i-

Ax verbessert

1>    CO    ^    CM    CM    CM    O

CO    CO    O    CM    00    CO    CM

782

17

765

50

714

25

689

IO

CO

io

CO

io

CO

IO

CO

7.

6.

Koordinatenunterschiede

A y = s sin cp Verbesserung

CD t> CO 05 ^ CO 00 l>

129

4-

103

12*

361

4-7806

+ 7667

+ 7667

£SS, g-a

A x = s cos <p Verbesserung

^ + +|§ + + £ + + a

782

689

689

5.

log (s cos cp) log (s sin cp)

Zug No. I.

fl

942

120

1    23

2    11

fl

139

607

910 n

895

O H    o    o

O    T*    T-H

CM

CM

4.

log COS cp logs log sin cp

434 n

fl

fl

508

612

Ol i-h 05 H H 05

cq n o cd ^ h

iO 00 CM CD ^ io

05 rH rji H S

CO CO IO OJHO CD O 05 H 05

05 Ol 05

d j Ol 05 05 Ol 05

= soll (Mittel⁴)

= ist

= Widerspruch hiezu Xßubenh. u. yßub.    35

gibt xg und y₉ -f- 35 anstatt Mittel⁴) 4- 35

— zul.Widerspr.

3.

Richtungswinkel (p Brechungswinkel ß fVerbesserung v

o I / I "

Ol l> l> CD Ol L— lO CO t> io CO H H O^rH o KC H —*

CD Ol I 05 H I H iO I H Ol T CO t—i T lOOlT rH

iOi<H ®

hoho co MC I oi

T—I r—\ I

300

337

97

3.

Ge-

messene Seite s

130 ! 34 198

115

115 | 81 165

101

131 | 05

101

[377]    101

•T

Punkt

No.

Zuffenhausen

Bubenhalde

-0,11X361 +4- 0,04)4-^93)___ 0 1 0 m

y 932 4- 3612 = 373    ' '    > " '

Zulässig Fjiax (Geländeklasse I) = 0,39    0,1 \/2 = 0,53 m.

Aus Zug No. II F, = V0,04>+0,02> = 0,04 m, f, ='= + 0>03 m, fw ==fc».^Sä^<=JÜ) ₌ _0>03u..

Zulässig Fjiax (Geländeklasse II) = 0,43 -|- 0,1 Y2 = 0,57 m. Aus Zug No. III ; F=V0,16»+0,15> = 0.22m, ft =    = -0,19m, fw == + 0,11 m.

Zulässig Fnax (Geländeklasse III) = 0,62 -f- 0,1 Y3 = 0,79 m. ¹) Anteil der Längsverfehlung. ²) Anteil der Querverfehlung. ³) Differenzanteil proportional der Seitenlänge (Zug II). ⁴) s. S. 615.

-0, 041| = — 0,07 m, fw

somit fx und fy = ||-|- 0 | 11

X 301

Aus Zug No. I    F = V0,11»'+ 0,04² = 0,12m, f, =

9.

8.

Koordinaten

A y verbessert

CO © -r(H 00 © t-T

iO OS OS Ih

CO I SO    IH    SO    rH    Ol    OS

rH    Ol    tH    IO    tH    tH

930

177

753

85

667

753

46

707

16

069

22

667

tn

tn

tn

■> I

4 14-14

Ax verbessert

os | os    os

I io OS    tH Ol

OS    O    OS    rH    o    O    O

OS    IH    CD    O    IH    »o    Ol

800

39

760

71

689

349

142

iO

CO

lO

CO

CO

35 492

82

35 574

114

689

35

+! I +

53 CO rH © CM © © © Cr ©

7.

6.

Koordinaten unterschiede

A y = s sin cp Verbesserung

85

263

930

667

667

ga» gaa >2^ % + + S + + ^ + +

OS' co ^ OS'

I- -H zo Ih

85

753

667

667

+ 0 15

IIj. 4) S. g

+ -s£

++

05

L- tH tH

)rM. 4

y9 4

A x = s cos <p Verbesserung

$ S»

OS I CO I

tH

71

CO

Ol

iO OS rfi O ^

Ol ^ 0101 o

111

800

689

689

5.

log (s cos q>) log (s sin cp)

Zug No. II.

639

818

596

420

OS ^ iC CO lO Ol 00 OS

hiezu xsaizw. 4 35

gibt x₉ 4- 35 anstatt Mittel⁴) -|- 35 somit fx = Zug No. III.

»®ä

l— a koo co o: co oi

.2

142

465

479 n

00 I +

403

595 n

114

904

693 n

339

319

689

6S«(

•3

«5 !co«

Ol

KO    ©    ! rH    CM    IO    IO

rH    ©    j ©    CM    ©    CO

03 t-i

03

hiezu xm.4-

gibt x₉ -f

4.

log cos q> los s log sin (p

X rH tH SO tH tH X OS

686 n

920

510 n

CO i© GO O X CO Ol OS X O X

OS Ol OS OS Ol OS

= soll (Mittel) ⁴)

—    ist

—    Widerspruch

—    zul.Widerspr.

cd m o 'io oo ^ ,o ^ o

CO 03 30 © © © :© rfl -<+ 00 © 00 ! i—l

t^r-oo ©03© ©©oo

© t—i rj< © © CO ©©Ol

Os Ol OS

01 M

:5

i' r.

soll (Mittel)⁴)

Widerspruch

zul.Widerspr.

anstatt Mittel⁴) 4

somit fx

£•

•-

<3

■c

•3

OS' rH OS

OS Ol Os

3.

Richtungs-winkel go Breeliungs-vinkel ß sserung v

tH tH rH COl^Ol XXrH iQOS^lsO i-O    l O    lO rH rH tH | C0

Ol Ol    I    IC Ol    I OS    I ItH Ih    I    Ol

O Ol    I    Ol Tfl    |    OO    I IHH    !

so tH so

lO O H

rH Ol I X CO I

t^t~©ioooo©©i—i© looiii © <0 r—I j CO ^4 rH | rH Ol rH rH rH <0 O

CO rH    | H tH    I    © rH    I    ooo

©CM    1 <M CM    I    ^ CO    I    HH

1—I CO

W1

Verbe

341

96

257

2.

Ge-

messene Seite s

181 | 43 152

230

111 97 231

281

[293]    281

306

215

342

150 j 07 186

348

83 I 75 180

348

116 | 80 112

281

[350]    281

l.

Punkt

No.

Schützenbühl

Salzweg

Schützenbühl

Mostgrube

13

10

Knotenpunkt No. 9.

Ausgleichung des Richtungswinkels cp der gemeinsamen Seite.⁴)

Gewicht

_lli . P2 » **3

Aus Zug

No.

+ dgp 281« 16'

Anzahl der Brechungswinkel nr

P • d <J5

¹¹ r

24"

II

79"

III

1"

co co -h

12

12

+ 288 4- 948 4 1251

[P d <P \

[1=33    [J = 2487 p

ausgeglichen qpe = 281° 17* 15".

= 1- 75"

Knotenpunkt No. 9. Ausgleichung der Koordinaten.⁴)

Aus Zug

Nx

Ny

No.

4- d y cm + 35689,00    + 7668,00

+ d x cm

Fjiax p —

Fm²

p dx

cm

pdy

cm

II

III

+ 9

4-24

4-36

CO L» 05

10

cT cT cT

T-^

CO CO r-T

[P d x]

[Pi = 8,3

[pdy]

4- 164,0    — 177,5

— 0,21 m

-5]- = ⁺⁰’20m

ausgeglichen x₉ = 4 35689,20 y₉ = 4 7667,79.

[p]

Ti

Fig. 328 a.

Eine Verknotung der Polygonzüge ist nicht zweckmässig, wenn hei ihr etwaige regelmässige Längenmessfehler einseitig wirken können. (Kleine Winkelfehler sind zufälliger Natur, bald bald —, und daher hier weniger gefährlich). So würde z. B. in Fig. 328a beim Vorhandensein regelmässiger Längenfehler der Zug Z₂ unter allen Umständen auf eine Verschiebung des Knotenpunkts im Sinn oder entgegengesetzt seiner Pfeilrichtung hinwirken, welche (nach dem Parallelogramm der Kräfte) durch den Widerstand der Züge Zi und Z₃ gegen die ihnen dadurch angesonnene Querverdrängung nur zum Teil auf- £-.......-.ab

Z₂

gehoben würde. Die Fortsetzung von Z₂ über den Knotenpunkt hinaus (Z₄) würde den Mangel beseitigen.

Ebenso würden die beiden Züge Zt und Z₂ (s. Fig. 328b) im Fall des Vorhandenseins regelmässiger Längenmessfehler im Sinne einer Längsverfelilung zusammen stärker wirken, als der allein nach der entgegengesetzten Seite drängende Zug Z₃. Der Knotenpunkt würde in oder entgegengesetzt ihrer Pfeilrichtung verschoben, wenn nicht etwa durch Fortsetzung des Zugs Zi über ihn hinaus (Z₄) ein Gegengewicht geschaffen würde.

Fig. 328 b.

-*0- , .

' 'Z/'f

Die bei einer Verknotung zusammenwirkenden Züge sollen daher entweder gleichmässig über den Horizont verteilt, oder symmetrisch zu einer beliebigen, durch den Knotenpunkt gehenden Achse angeordnet sein.

Es kommt zuweilen vor, dass einzelne Züge eines Hauptnetzes nicht bloss einen Punkt, sondern eine Seite, oder einen Zugsteil gemeinsam haben, oder dass zeitweilig nicht zu vermeidende, parallel verlaufende Züge durch Querzüge die nötige Versteifung gegen Längs- und Querschwankungen erhalten müssen.

Die Ausgleichung erfolgt dann analog der soeben vorgeführten, unter Beachtung, dass den mehrfach auftretenden identischen Zugsteilen in allen beteiligten Zügen gleiche Winkel- und gleiche Koordinatenverbesserungen zukommen müssen.

[h]

Um dies zu erreichen, berechnen wir zuerst die Richtungswinkel der in mehreren Zügen gemeinschaftlich auftretenden Polygonseiten aus den dafür tauglichen Zügen mittels g>r + i = q>₀ + Mo ± (r + 1) 2 R. Aus den voneinander abweichenden Werten wählen wir sodann, wie im vorigen Beispiel gezeigt, je ein Mittel, von dem aus rückwärts wir die an den Brechungswinkeln der einzelnen Zugsteile anzubringenden Verbesserungsbeträge feststellen. Damit ist für übereinstimmende Richtung der mehrfach auftretenden Zugsteile gesorgt. Um deren unter sich und mit dem Dreiecksnetz übereinstimmende Ausdehnung zu finden, bestimmen wir jetzt die in den einzelnen beteiligten Zügen auftretenden Längsverfehlungen fi, woraus wir die auf die

[S]

Längeneinheit entfallende regelmässige Längenverbesserung (q — pMittei = und die Beträge (q — 1). A £, bezw. (q — 1). A t) erhalten, welche den Koordinatenunterschieden A £ und A 9 der mehrfach auftretenden Polygonseiten zuzu-sclilagen sind. Nun handelt sich’s noch um übereinstimmende Lage (d. h. Koordinaten) der in Frage stehenden Zugsteile, welche wir durch Verknotuug der mehreren Zügen gleichzeitig angehörigen Punkte erhalteu. Bei Berechnung der Einzelkoordinaten in jedem Zug bleiben diejenigen dieser Knotenpunkte und die Koordinatenunterschiede der mehrfach auftretenden Polygonseiten unverändert. Die noch vorhandenen Abschlussdifferenzen fallen den übrigen Zugsseiten zur'Last.

§ 87. Berechnung fehlender Stücke in Vielecken.

Wir haben die Bedingungsgleichungen (3 a) bis (5 a) des § 81 bisher als summarische Probe gegen grobe Fehler und zur Ausgleichung der unvermeidlichen Fehler in den gemessenen Strecken und Winkeln benützt. Wir können daraus aber auch etwa nicht gemessene, oder nicht direkt messbare Polygonseiten und Brechungswinkel berechnen.

und 1 fehlende Seite, oder

Aus der Tatsache, dass zur Bestimmung eines nEcks 2n — 3 unabhängige Stücke bekannt sein müssen, von den n Winkeln aber nur (n — 1) unabhängig sind, wie auch aus der Form der Bedingungsgleichungen, von denen nur (4a) und (5 a) sich gleichzeitig mit Strecken und Winkeln beschäftigen, geht hervor, dass wir aus einem geschlossenen Vieleck, oder einem beiderseits an Festpunkten normal angeschlossenen Zug berechnen können: entweder 1) 3 fehlende Winkel, oder 2) 2

3) 1 fehlenden Winkel und 2 fehlende Seiten, keinesfalls aber 3 fehlende Seiten.

Fall 1: Rechnerische Bestimmung 3er Brechungswinkel, a) Die gesuchten Winkel folgen aufeinander (/?<,, ßü-n ßn in

Fig. 329).

Wählen wir für einen der beiden äusseren der nicht als Standpunkt benützten Brechungspunkte (z. B. A₀ in Fig. 329) beliebige Koordinaten (z. B. 0, womit A₀ zum Ursprung des Koordinatensystems wird) und für die von ihm ausgehende beobachtete Seite A₀ Ax einen beliebigen Richtungswinkel Aß\ ^

(z. B. 0, also A₀ Aj als Abszissenachse), so sind wir imstande, nach Art eines Schnittzugs die Koordinaten der Punkte Ai, A₂,... An_a in bezug auf das gewählte System zu berechnen. Aus letzteren gewinnen wir die Strecke A₀ A winkel auf die gewohnte Weise:

Fig. 329.

An.*

' Sn'¹

x-

a;

C\

A₂

tJC

A,

n—1

samt ihrem Richtungs-

\ tg x A₀ A

yn-i — y₀

yn-i

n—1

xn—1 xo

xn—1

A₀ A

11 — 1

sin cos

_ _Xn-l_

sin x A₀ An_i cos x A₀ An_i *

yn-i

Jetzt sind im Dreieck A₀ An_x An alle drei Seiten bekannt, aus welchen wir die Dreieckswinkel

(etwa nach der Formel tg

±V-

(s — b) (s — c)

-±~Y-

s — a y

s . (s — a)

— a) (s — b) (s — c)

—, wobei s s — a ’

Umfang ^

2 )

berechnen können. Der der Strecke A₀ An_x gegenüber liegende Dreiecks- ist der gesuchte Vieleckswinkel ßn direkt, oder sein Implement. Die beiden anderen sind zum Unterschied der Richtungs-

bezw. x An_x A₀ — x An_! An_₂ in posi-

n—li

winkel x A₀ Ai — x₀ A₀ A tivem, oder negativem Sinn hinzuzufügen, je nachdem der Vieleckspunkt An ausserhalb, oder innerhalb (2ln) der Figur liegt.

Bei der Messung der Strecken sn und s₀ wäre daher, um Zweideutigkeiten zu vermeiden, zum mindesten noch zu erheben, ob der Winkel ßn § 2 R.

sind die hieraus berechneten Winkelgrössen prak-

n—1

Wegen der Ungenauigkeiten in den gemessenen Strecken s0 und sn, namentlich aber in der indirekt gewonnenen Verbindungsstrecke A₀ A

tisch nur für ganz untergeordnete Zwecke, und auch dafür um so weniger brauchbar, je näher der Winkel ßn dem Wert 2R kommt. Für dn-~2R ist die Aufgabe unbestimmt.

b) Die gesuchten Winkel (z. B. ß₀ /?₃ und /?₆ in Fig. 330) liegen

getrennt.

Verbindet man die Scheitel der drei nicht gemessenen Winkel miteinander, so werden dadurch Dreiecke oder Vielecke vom ursprünglichen Polygon abgeschnitten, in welchen je eine Seite (eben die gezogene Verbindungsstrecke) und die bei- ^ den ihr anliegenden Teilvieleckswinkel fehlen und welche je nach Fall 2 S. 619 zu berechnen sind. Sind dann auch noch die drei Winkel des Kerndreiecks aus den drei berechneten Verbindungsstrecken abgeleitet, so ergeben sich die gesuchten Vieleckswinkel je durch passende Zusammensetzung ihrer drei Teile.

Fig. 330.

T:

A₂

Ao

Ar

Der letztere Aufgabenfall ist praktisch bedeutungslos.

Fall 2: Rechnerische Bestimmung zweier Brechungswinkel und einer Seite eines Polygons, a) Die fehlenden Winkel liegen der gesuchten Seite an.

(Siehe /?₀, ßn und s in Fig. 331a.)

Fig. 331a.

“05

— <$•=£ —

Diese Aufgabe tritt in der Vermessungspraxis nicht selten (z. B. beim Durchhieb gerader Schlag-, Abteilungs- oder Eigentums-grenzen als Verbindungslinie gegebener Endpunkte in Wäldern, bei der Absteckung von Tunneln, bei der rechnerischen Ausschaltung ausbauchender Teile von Polygonzügen, bei der Verbindung zweier Tangentenpunkte zum Zweck der Berechnung von Absteckungselementen für berührende Kreisbögen etc.) auf.

Man wählt einen

Endpunkt (etwa A₀) der fehlenden Strecke als Ursprung und die von ihm ausgehende gemessene Polygonseite als x Achse eines Koordinatensystems. Auf letztere projiziert man nach Art der Schnittzugsberechnung, über diejenigen Breclipunkte fortschreitend, in welchen die Polygonwinkel gemessen sind, den anderen Endpunkt An der fehlenden Strecke und erhält daraus:

n—1

'i

fl Cfq

£] X •< fl O ■< -*! x x

—    y₀ _ J'n

—    X₀

—    X An An_! — X A₀ An

Xn

= (p₀ — <Pn • + 2 R

= gpi — <5P₀. + 2 R

0)

yn

Aq An —

Xn

sin X A₀ An

COS X A₀ An '

Zur Ausrechnung der fehlenden Stücke nach Gleichungen (1) braucht man nicht notwendigerweise eine Nebenrechnung. Vielmehr lässt sie sich im gewohnten Formular selbst, wie folgt, ausführen:

Nach Eintrag der gemessenen Strecken und Brechungswinkel und des angenommenen Richtungswinkels x A₀ Aj (= 0) werden die Richtungswinkel (zur Additionsprobe der letzte <pn = <jp₀ -j-4- (n — 1) 2 R zuerst) und die Koordinatenunterschiede bis einschliesslich der vorletzten Seite, wie gewohnt, abgeleitet. Die zur letzten, gesuchten Vielecksseite gehörigen Abszissen- und Ordinatenunterschiede ergänzen nach dem Satz vom geschlossenen Vieleck (s. S. 569) je die übrigen zu 0, werden daher je durch ergänzende Addition zu 0 gewonnen. Sie dienen zur Berechnung der Streckenlänge An A₀ und ihres Richtungswinkels, aus welch letzterem die gesuchten Vieleckswinkel durch ergänzende Addition gefunden werden.

Beispiel.

Zur Berechnung der Strecke A₀ An und zur Absteckung ihrer nicht direkt zielbaren Richtung (Durchhieb im Wald etc.) wurden die in Fig. 331b eingetragenen Strecken und Winkel gemessen:

Die gesuchten Grössen sind in nachstehender Tafel S. 621 oben mittels der durch schräge Lettern hervorgehobenen Zahlen berechnet.

Fig. 3311).

4>

<x:

!ß->

°\0

•k

~rf-'    -

•9s"

A7t

iJa

ff

V/'/-/_

©w

•~

A⁶-'

ß<>

Für wichtige Arbeiten wird man die beiden gegebenen Endpunkte der gesuchten Strecke noch durch einen zweiten Zug verbinden, aus dem sie und die Winkel ß₀ und ßn sich wiederholt und unabhängig ergeben.

Die Annahme b) getrennter Lage der fehlenden Stücke ist praktisch bedeutungslos und daher hier zu übergehen.

Fall 3: Rechnerische Bestimmung eines Brechungswinkels und zweier Vielecksseiten.

a) Die fehlenden Seiten schliessen den fehlenden Winkel ein. (Siehe s₀, sn und ßn in Fig. 332.)

Diese Aufgabe tritt beim „Herunterbringen unzugänglicher Festpunkte“ (s. §§ 84 und 85), sowie bei der Berechnung der Elemente zur Absteckung von Kreisbögen, deren Tangentenschnitt unzugänglich ist, häufig auf.

Ausrechnung zu Beispiel S. 620.

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

Punkt

Ge-

No.

messene Seite s

Bichtun Winkel q> Brechungswinkel ß Verbesserung v

gs-

<>

//

log COS <p log s

log sin q> log 0 sin 9P)

log (s cos gp)

Koordinatenunterschiede

A x = s cos q>

A y = s sin <p

A₀

>

I.

I ,    0 00 00

Ai ; 172 S 86 220 56 89 I

(angenommen)

172 86

147 93

20 56 234 81

Ol

136 I 12

01

00 t-h

co :o

»O 00

122 | 07

104 00 260 51

136 [ 16

164 51 216 20

141 [ 74

180 71

296 84

A₀ 412 | 51

277 56 322 43

®> CM OS ,05 CM OC ,00 CM 05 ® (S ® ® CM OS OS <M

97 692 17 006

50

80

13

175

945

88

392

328

79

08

99

92

13

872

72

405

344

97 977

15

47

149

461

53

61

CM t—l I t-H CM O CM I CM i-l CM

14 698 67 181

140 27

46'97

805

97

543

245

94 337 01J 720

881494 08,575

06 277 85 749

13 126 62 610

15 348

58 788

C3

87 77

104 04

7 67 121 83

115 55 72 03

135 29 42 28

142 39

387 15

Ax

00 00

log tg

43 440

400,90 400

90 387

15 387115

Wir wählen eine der fehlenden Seiten (in Fig. 332 z. B. A₀ An) als x Achse und denjenigen ihrer Endpunkte (hier A₀), in welchem der Yieleckswinkel gemessen ist, als Ursprung eines Koordinatensystems. Nach Gleichung (3) des § 81 finden wir dann, über die Brechungs-punkte, in denen die Winkel gemessen sind, der Reihe nach fortschreitend, die Richtungswinkel sämtlicher Vielecksseiten mit Additionsprobe und aus ihnen den fehlenden Vieleckswinkel:

ßn = An_! An A„ = X A„ A₀ — X An An_i = (p₀— <jpn + 2R. (2)

seiten:

Unter Benützung der Richtungswinkel cp berechnen wir jetzt die Koordinatenunterschiede zu sämtlichen gemessenen Vielecks-A x = s . cos 9?, A y = s . sin cp.

Von den beiden nicht gemessenen Seiten sn und s₀ hat nun die eine, mit der x Achse zusammenfallende, (hier s₀) den Ordinaten-unterschied 0, folglich muss der zur anderen gehörige Ordinaten-unterschied yn die sämtlichen übrigen zu 0 ergänzen (Satz vom geschlossenen Vieleck, s. § 81). Er kann daher rückwärts berechnet

werden. Da der zugehörige Richtungswinkel qpn bekannt, und von ihm log cos und log sin bereits aufgeschlagen ist, so ergibt sich weiter rückwärts aus log A yn der log der Yielecksseite sn, sowie die letztere selbst. Wieder vorwärts schreitend finden wir jetzt A xn = sn cos <jpn. Nun fehlt nur noch die zur Seite s₀ gehörige Abszissendifferenz, welche gleich der Seite selbst ist und wieder die Summe sämtlicher Abszissendifferenzen einschliesslich xn zu 0 ergänzt.

Beispiel.

Zur Bestimmung der beiden Strecken s₀ und s„ und des von ihnen eingeschlossenen Winkels wurden die in Fig. 332 eingetragenen Strecken und Winkel gemessen. Die Berechnung erfolgt in nachstehender Tafel mittels der durch schräge bezw. aufrechte breite Ziffern hervorgehobenen Zahlen.

Fig. 332.

S-

s°/

„____//■

/'

'V

sv

L,

’-T

*'x

w,

n,/

776\22

/X

ft

—Ar-

■^\w/

///

//f

Genauig-

keitsunter-

Der gesuchte Winkel /?n ergibt sich um so schärfer, je weniger suchnng. Brechungswinkel zu seiner Bildung verwendet werden mussten. Handelt es sich daher um dessen möglichst genaue Bestimmung, z. B. für Kreisbogenabsteckung im Fall der Unzugänglichkeit des Schnitts An der beiden Kreistangenten Li und L₂, so kann man hiefür ein von dem zur Streckenbestimmung dienenden getrenntes Vieleck A₀ Wj... A„_x mit möglichst wenig Bruchpunkten W, und den Bre-

1.

2.

Punkt

Ge-

No.

raessene Seite s

Ausrechnung zu Beispiel S. 622.

3.

4.

5.

6.

7.

Hichtungs-Winkel q Brechungswinkel ß

log cos cp logs log sin cp

log(s cos cp) log (s sin q>)

Koordinatennnterscliiede

= s cos q

A y = sin q

- 4-

An

A₀

200 00 00 159 79 12

(angenommen)

Ax

,    159 79 12

165 104 138 46 71

98 25 83 A₂ 109 ! 98 236 04 18

X> U3 00 j CD tO CO

90

21

77

43

04

99

692 n 2 12 451 n ₁₁₇    1 98 876

759

703

r-H Te

47 834 04115

3 01

133 20 97 45

109 94

134 30 01 9 A₃ 1321 14    59 73 68 2

71

12

93

A₄ 199 | 74

I© CM GO

© 00 © rH

!co \o

;© D*

!>•

© ©

CO Ol

99

30

97

61 78 87 8 A₆ 176 | 22 138 57 64 2

75

24

91

ocoo

(Mom o^i® ®o>o O'T—IO ®oo Incoo

83 123 n 05 469

67 80 113 42

2 29 856    198 87

n 1 27 143 n

1    99 798    99

2    16 262

54

145 42

18 68

An —1 150 | 96

00 36 51 95 48 08

99

17

75

999

886

853

2 17 885    150

9 93 739

96

0 87

295 j 84 59 A„ 449 | 38 104 15 \ 41

81

65

99

429

261

908

¹¹ i 46 690 n n 2 65 169 n

29 30

448 42

200 00 ; 00

A₀ 222 | 08

(s. oben)

222 08 0 0 0 0

452 38 467 10 467

10

chungswinkel % verwenden, dessen Seiten nicht gemessen zu werden brauchen. Man erhält dann:

An-i An Aß — x An A₀ x An An_x

= x A₀ An — x An_! An = — fl>] ± n . 2 R) (3) Die gesuchten Strecken erhalten wir, wie auch geometrisch klar, um so schärfer, je näher ihr Schnittwinkel ßn einem Rechten kommt. Für ßn ~ 2R wird die Aufgabe unbestimmt. Denn es ist:

[s sin 9]” sin ßn

Für ßn ~ £R wird sin ßn sehr klein und ändert sich mit änderndem Winkel rasch. Jeder in ßn und im Zähler liegende Fehler wird daher stark vergrössert. Für ßn = R wird sin ß = 0, also sn =

ßn

sin cpn

[s . sin <p]"

-1

-1

sin (<pn ± 2R)

Liegen b) die fehlenden Stücke getrennt (fehlen z. B. in Fig. 333 die Strecken s₀, s₄ und der Winkel /?x), was allerdings

praktisch kaum vorkommt, so wird der fehlende Winkel wie bisher ergänzt. Alsdann rechnen wir (aus dem Vieleck A₀ Ax A₂ A₃) die Verbindungsstrecke (A₀ A₃) der beiden Anfangspunkte der gesuchten Seiten samt den von ihr und der jeweils anliegenden gemessenenViel-

--ecksseite eingeschlossenenWinkeln

/ nach Fall 2. Mittels des sinus Satzes /    erhalten wir jetzt im Dreieck A₀ S A₃

die Strecken A₀ S und A₃ S.

Auf die gleiche Weise erhalten wir die Verbindungsstrecke (AnA₄) der Endpunkte der gesuchten Seiten samt den ihr anliegenden Winkeln des von ihr abgeschnittenen Vielecks und daraus im Dreieck An S A₄ die Strecken An S und A₄ S.

Zum Schluss ergeben sich die beiden fehlenden Vielecksseiten als Unterschied je zweier derart ermittelter Dreiecksseiten A₀ S und An S, bezw. A₃ S und A₄ S. Vorstehende Lösung zeigt übereinstimmend mit der Form a, dass die Genauigkeit der berechneten Strecken von ihrem Schnittwinkel bei S abhängt. Ist dieser = 0 (s₀ parallel s₄), so kann man den Zugsteil A₄ An_x An nach Belieben parallel mit sich selbst verschieben; s₀ und s₄ sind unbestimmt.

Fig. 333.

A*⁵*

A-/ \

\A"

Ao

\A

/.

A2

§ 88. Aufsuchen grober Messungsfehler.

Eine dritte Verwendungsmöglichkeit der Bedingungsgleichungen (3 a) bis (5 a) des § 81 bildet das Aufsuchen etwaiger, bei der Messung der Vielecksseiten und Brechungswinkel vorgekommener grober Fehler. Wenn es aber in § 87 möglich war, drei ihrer Lage nach bekannte fehlende Stücke in einem geschlossenen Polygon (oder einem normal an- und abgeschlossenen Polygonzug) zu berechnen, so gelingt es jetzt nur, die Grösse und Lage eines einzigen groben Messungsfehlers zu ermitteln.

Und sogar diese reduzierte Möglichkeit müssen wir noch weiter einschränken, weil die Gesamtwirkung zweier, oder mehrerer grober Fehler möglicherweise gleich kommt der, und daher irrtümlich aufgefasst werden kann als die Wirkung eines einzigen groben Fehlers von anderem Betrag und an anderer Stelle.

Die rechnerische Fehleraufsuchung dient daher hauptsächlich nur dem Zweck vorausgehender Feststellung der auf dem

Gelände nachzumessenden Strecken und Winkel, oder ausnahmsweise der vorübergehenden Befriedigung eines augenblicklichen Bedürfnisses, wenn die Nachmessung zeitlich verschoben werden muss und das Risiko einer etwaigen späteren Annullierung der auf die rechnerische, sich bei der Nachmessung als irrig erweisende Annahme sich gründenden weiteren Arbeiten in Kauf genommen werden will.

Fall 1: Streckenfehler.

Ein bei der Messung irgend einer Polygonseite (z. B. von s₂ in Fig. 334) unterlaufener grober Fehler fs (Zählfehler, Schreibfehler etc.) hat eine Verschiebung des Punktes A₂ nach 2l₂ und sämtlicher

Fig. 334.

n.

rt

A„

V

folgender Vieleckspunkte A₃, A₄. .. parallel zur fehlerheften Strecke s2 um den Fehlerbetrag fs zur Folge. Wären ausserdem keine weiteren Fehler (weder in den Strecken und Winkeln), noch in den gegebenen Koordinaten der Abschlusspunkte vorhanden, so würde daher der Zug statt im Sollpunkt An in einem um den Fehlerbetrag

fs =

fx

fy

(la)

sin n 2ln An

davon entfernten Punkt 2In (jn = x₀ -f- [s. cos cp]; t)n = x₀ —f- [s. sin q>]) abschliessen. Der Richtungswinkel

cos n 2ln Än

9n

fy

n 2I„ An = arc tg

Xji

der Verbindungsstrecke 2ln An würde, da diese parallel der fehlerhaften Vielecksseite verläuft, mit demjenigen der letzteren über-einstimmen, oder um 2R von ihm abweichen müssen. Um den Sitz des Fehlers zu finden, hätte man also unter den verschiedenen Richtungswinkeln <jp der Polygonseiten s lediglich denjenigen herauszusuchen, welcher mit n 2fn An übereinstimmt, oder um 2R davon abweicht.

— En

= arc tg

fx

(lb)

Um die nach (la) festgestellte Fehlergrösse fs wäre alsdann

die zugehörige Seite im ersten Fall zu verlängern, im zweiten zu verkürzen.

Nun wirken aber auf den Richtungswinkel n 2ln An und die Strecke 2ln An = fs ausser dem aufzusuchenden groben, auch noch die einteilbaren kleinen Messungsfehler ein, deren Ausgleichung im normalen Zug Aufgabe des § 83 war. Aus diesem Grund wird weder die Entfernung 2tn An genau die (aus andern Überlegungen — Stangenverzählung, Stellenverwechslung etc. — mit zu erschliessende) Fehlergrösse fs, noch ihr Richtungswinkel n An genau den Richtungswinkel cp der fehlerhaften Seite wiedergeben. Die übrigen, unvermeidlichen Fehler werden vielmehr den Richtungswinkel, d. h. die Lage der fehlerhaften Seite um so unsicherer anzeigen, je kleiner der grobe Fehler fs im Verhältnis zu den einteilbaren Widersprüchen und je gestreckter der Zug ist (je weniger verschieden dessen einzelne Richtungswinkel cp sind).

Dies, im Zusammenhang mit der Möglichkeit, dass mehrere in der Messung des Zugs unterlaufene grobe Fehler derart Zusammenwirken können, dass der Sitz des Fehlers noch weiter verschleiert wird, zwingt uns zu der einleitend geforderten Vorsicht gegenüber dem Ergebnis der nach vorstehendem ausgeführten Untersuchung.

Fall 2: Winkelfehler.

Von dem Vorhandensein und der Grösse eines Winkelfehlers iß erhält man durch Bedingungsgleichung (3 a) des § 81 schon beim Beginn der Rechnung Kenntnis. Es erübrigt nur, den Brechungspunkt festzustellen, in welchem der Fehler begangen wurde. Handelt es sich bei letzterem um einen runden Betrag (Schreib- oder Ablesefehler), was zumeist aus dem Widerspruch gegen Gleichung (3 a) leicht zu erschliessen ist, so kann man unbeschadet der späteren endgültigen Verbesserung auch des mit dem groben Fehler behafteten Brechungswinkels zunächst den einteilbaren Fehlerteil durch Umlegung auf sämtliche Winkel wegschaffen.

Die damit nach Gleichung (3) des § 81 abgeleiteten Richtungswinkel sind dann endgültige von cp^_ ab bis einschliesslich <jpr, wenn der Fehler im Brechungswinkel ßT unterlief, von cpx+1 ab dagegen je um den groben Fehlerbetrag fß unrichtig. Auch die unter Benützung der soeben gewonnenen Richtungswinkel cp berechneten Koordinaten der Punkte Ai bis Ar sind daher von dem groben Winkelfehler nicht beeinflusst. Der ganze fernere Zugsteil von Ar bis zum Endpunkt An dagegen ist (vergl. die Untersuchung der Querverfehlung in § 83) um den Winkel f/? verschwenkt und liefert einen Abschlusspunkt 31n, der mit dem Soll-

abschlusspunkt An auf einem Kreisbogen um Ar und von An um die

F = fw =

Strecke

-ß-s,

Q

(2)

entfernt liegt.

Berechnet man daher wieder aus fx und fy nach (la) den linearen Abschlussfehler und aus ihm mittels

Sr = F- 4

(2 a)

die Strecke vom Abschluss- bis zu demjenigen Bruchpunkt Ar, in welchem der Fehler unterlief, so lässt sich der letztere — etwa durch Abtragen von Sr auf einem Übersichtsplan — finden.

Sind iß und daher fw nur klein, so können die nebenher laufenden einteilbaren Messungsungenauig-keiten die Abschlussdifferenz F und damit die Strecke S derart ungünstig beeinflussen, dass der Ort des Fehlers durch letztere nur unsicher erkennbar ist. Für einen groben Fehler fß = 1° bewirkt z. B. die von unvermeidlichen Fehlern stammende normale Abschlussdifferenz von 5 dm schon eine Veränderung der Strecke S um dS = -jr-«dF — ca. 28,6 m.

Fig. 835.

A₀ A, Ar

rb~J

•Tly-t

(2 b)

Bei Vielecksseiten von 50 bis 60 m würde unter diesen Umständen also die durch unvermeidliche Ungenauigkeiten verdunkelte Strecke S den mutmasslichen Fehlerort mitten zwischen zwei Bruchpunkte hereintragen. In diesem Fall, oder wenn kein Übersichtsplan vorhanden ist, rechnet man den Zug doppelt, das eine Mal von A₀, das andere Mal von An ausgehend, durch. Die dabei sich ergebenden Doppelwerte für die Koordinaten der Polygonpunkte werden wegen der oben erklärten Verschwenkung um so grössere Abweichungen voneinander zeigen, je weiter der betreffende Punkt von demjenigen entfernt ist, in welchem der Winkelfehler auftrat. Nur die beiden Koordinatenwerte für letzteren selbst werden innerhalb der durch einteilbare Fehler erzeugten Widerspruchsgrenzen miteinander üb er ein stimmen. Es erübrigt dann nur, aus ihnen analog der Knotenpunktsbestimmung Mittelwerte zu wählen, sodann die gegen letztere auftretenden Widersprüche je auf den vorderen, verwertbaren Teil' jedes der beiden Züge auszugleichen und deren hinteren Teil (je von Ar an) zu streichen.

Statt beide Koordinaten (x und y) von vornherein auszurechnen, kann man sich zum Zweck des Fehleraufsuchens auch auf diejenige von ihnen in beiden Zügen beschränken, bei welchen die durch den Winkelfehler erzeugte Querverfehlung am stärksten zum Ausdruck kommt (bei Zügen parallel zur x Achse also auf die Ordinaten, bei Zügen parallel zur y Achse auf die Abszissen).

§ 89. Wiederbestimmung von auf dem Gelände verloren gegangenen

Polygonpunkten.

1.    Je. engmaschiger das Polygonnetz, je geringer also die Zahl und Entfernung der auf eine Polygonseite aufgenommenen festen Punkte (Marksteine etc.), je steiler und je weniger offen das Gelände und je grösser die Zahl der verloren gegangenen, einander benachbarten Polygonpunkte ist, um so weniger Wahrscheinlichkeit ist vorhanden, deren einstigen Standort auf Grund der aufs Polygonnetz aufgebauten Stückvermessung mit genügender Genauigkeit wiederherstellen zu können. Versagt dieses Hilfsmittel, so kann man

2.    bei enger Folge der fehlenden Polygonpunkte und nicht allzu schwierigen Geländeverhältnissen versuchen, irgend eine Parallele zu einer der Koordinatenachsen aus den noch vorhandenen Polygonpunkten und ihren Koordinaten auf dem Gelände abzustecken und auf deren Grund mit Messstangen und Kreuzscheibe die Wiederbestimmung der fehlenden nach ihren Koordinatenwerten vorzunehmen. Nur in seltenen Fällen und unter günstigen äusseren Umständen wird sich allerdings die Absteckung einer Parallelen zur Koordinatenachse und die Wiederbestimmung der Polygonpunkte ohne allzu lange Ordinaten ermöglichen lassen. Meist wird es zweckmässiger sein,

3.    die Koordinaten der fehlenden Punkte durch Umformung (s. Kap. 13) auf eine bequem absteckbare, in der ungefähren Zugsrichtung verlaufende Gerade (etwa die Verbindungslinie zweier noch vorhandener Polygonpunkte) zu beziehen und durch diese aufs Gelände zu übertragen.

Erlauben Geländeform, Kulturzustand oder grosse Entfernung der fehlenden Punkte die Anwendung dieses Verfahrens nicht, so schlagen wir folgenden Weg der Wiederbestimmung ein:

4.    Fehlt nur ein einziger Polygonpunkt und steht ein Theodolit zur Verfügung, so setzen wir von den beiden nächstgelegenen Festpunkten als Scheitel ausgehend, die aus der Urmessung bekannten Winkelwerte und Streckenlängen ab (s. § 44). Messen wir dann noch den Brechungswinkel in der Nachbarschaft des zu bestimmenden Punktes und berechnen aus ihm nach § 44 S.. 374 den

§ 90. Fehlerquellen. Fehlerfortpflanzung. Fehlergrenzen.

Die Absclilussdifferenzen bei Polygonisierungen werden durcli dreierlei Fehler hervorgerufen, nämlich durch etwaige Unsicherheiten in den Koordinaten, bezw. dem Standort der Anschlusspunkte und durch Ungenauigkeiten in der Strecken-, bezw. Winkelmessung.

Fehlerfort-

pflanzung.

Rückungsbetrag e, so erhalten wir im ganzen drei Örter für den Polygonpunkt, die wir auf dem Gelände mittein.

Fehlen mehrere Polygonpunkte A in ununterbrochener Folge, so bestimmen wir 5. auf irgend welche, z. B. geometrische, Weise deren ungefähre Standorte 21. Mittels eines über sie geführten, an noch vorhandenen Polygonpunkten A an- und abgeschlossenen Zuges berechnen wir dann nach §§81 bis 83 die Koordinaten dieser vorläufigen Punkte 21 und gewinnen schliesslich durch Vergleichung mit den Sollwerten die Absteckungselemente für den Übergang von den vorläufigen zu den endgültigen Punkten:

Winkel AF 2lr Ar = n 2tr Ar — n 2Ir AF

yAr — y«r = arc tg —

Xa Ar

(1)

}af — y?ir

arc tg -

xaf

— X9tr

— X5lr XAr — xsar

yAr — yar ____

sin n 2tr Ar ~ cos n 3tr Ar '

( Strecke

Ist, etwa wegen Mangels an Mark- und anderen benachbarten festen Punkten, die vorgängige ungefähre Absteckung auf geometrischem Wege unmöglich, so kann

6. man die ursprünglichen Polygonseiten und Brechungswinkel und zwar von einem noch vorhandenen Polygonpunkt ausgehend und an einem ebensolchen abschliessend, direkt aufs Gelände übertragen. Die Verteilung der Abschlussdifferenz geschieht dann auf dem Gelände rückwärts, wie in § 83 für die Koordinatenrechnung gezeigt.

2lr Ar =

Die ersteren wirken nur als Verschiebungen, d. h. um so weniger schädlich, je mehr wir durch Wahl langer Anschlussseiten Verschwenkungen der angeschlossenen Polygonzüge hintanhalten. Die regelmässigen Streckenfehler werden bei gestreckten, normal an- und abgeschlossenen Zügen durch Ausgleichung nach § 83 entfernt, die unregelmässigen können durch doppelte, gleichartige Messung und Anwendung feiner Messgeräte und -Methoden, wo nötig (Städtepolygonisierung, Aufnahme wertvollen Geländes!), bis auf Y~s mm und weiter herabgedrückt werden, wobei s die Streckenlänge in m angibt.

Am ungünstigsten, nämlich als Verschwenkung des ganzen auf die fehlerhafte Stelle folgenden Zugsteils, pflanzen sich Winkelfehler fort.

Die mittleren Fehler in den Richtungswinkeln der Vielecksseiten, welche sich durch schrittweise Addition (cpv —    4- Jdr_₁ + 2 R)

der in der Hauptsache mit unregelmässigen Fehlern behafteten Brechungswinkel ß ergeben, werden daher im Schnittzug mit der Wurzel aus der Anzahl der benützten Brechungswinkel, d. h. parabolisch wachsen:

Myr = +    + ••• + m%-i = + ny? Vr, ihr Ge

(1)

wicht umgekehrt proportional zu dieser Zahl

P?r = 4-

Ist der Zug beiderseitig an Festpunkten je mit beobachteter Abschlussrichtung angeschlossen, so tritt eine Verbesserung der gemessenen Brechungswinkel ß je um den konstanten und gleich

gerichteten Betrag v =    | [s. Gl. (2) S. 577) ein, wenn

(O — <jPn + l — ) <Po + [ß]o zt (n + 1) 2 R |.

Aus der Winkelverbesserung v lässt sich der mittlere Winkelfehler ma nach dem Fehlerfortpflanzungsgesetz wie folgt berechnen:

also

mß — +

-Öä

O fcOl

+1

'S»¹»

wenn n -J- 1 die Zahl der Brechungs-

Vn + 1

winkel einschliesslich An- und Abschlusswinkel bedeutet. Für Städtemessungen wird angestrebt, m/? zwischen 5" bis 10" a. T. zu halten, für gewöhnliche Feldmessungen sind mittlere Fehler von 30", also Maximalwinkelfehler von 1,5' a. T. noch erträglich.

-He

zu jedem der gemessenen Winkel-

Mit dem Zuschlag v = —

werte sind nun aber keineswegs deren wahre Werte gewonnen. Denn die Messungsungenauigkeiten, welche die Abschlussdifferenz <u erzeugten, sind in Wirklichkeit zufälliger Natur, bald positiv, bald negativ. Die angebrachte „Verbesserung“ v wird daher in einzelnen Fällen faktisch geradezu einer Verschlechterung gleichkommen, jedenfalls aber an der Eigenschaft der zurückgebliebenen Ungenauigkeiten als zufälligen Fehlern nichts ändern. Nur die Art ihrer Fortpflanzung ist geändert. Jeder Richtungswinkel <jpr einer Polygon Seite sr wird sich nämlich durch diese Differenzeinteilung jetzt gerade so ergeben, wie wenn er von beiden Anschlusspunkten herein nach Art der Verknotung, je unter Zubilligung des reziproken Werts der Zahl verwendeter Brechungswinkel als Gewicht gemittelt worden wäre, so z. B.:

Wir erhalten daraus

r² = (n+1)² — 2 (n + l)r + r², oder n 1 = r, d. h. die mittlere Seite jedes.Zugs hat das kleinste Richtungswinkelgewicht und den ungenauesten Richtungswinkel.

Der mittlere Fehler m in der Bestimmung eines beliebigen endgültigen Richtungswinkels <jpr ergibt sich aus den zu seiner Bildung verwendeten Verbesserungszuschlägen nach der Formel:

[pvv]

— V w°bei der Gewichtseinheitsfehler —

Hiebei zeigt die obere dargestellte Ableitung:

n+l-r

der

Gewicht p Einzelbestimmung

Gewicht P des Endwertes

cpi als Mittel aus

<pn-l ii

(p n    ii

^o + ^o

j (pn+l — ßn — ß

-----\~ß

| (jPn+l — ßn ßn—1

^ <Po H⁻ ßo H-----K ßn—2

|    +1    +    ßn—1

\ <Po + ßo H-----b ßn—1

n—1

-----ft

1 + -¹ 11

r—1

----ßr

1_A

n + 1 — r)

2~

)l

r+ L

*Pn + 1    ßn

Die Gewichte P, somit auch die mittleren Fehler der Richtungswinkel (p sind für je zwei zu den Abschlusspunkten symmetrisch liegende Polygonseiten einander gleich, erstere nehmen nach innen ab, letztere zu.

Um zu erfahren, welcher Richtungswinkel (px das kleinste Gewicht, also den grössten Fehler hat, setzen wir

Pr = - +

r    r l

welcher Fall eintritt für

= Min.,

dPr

A4

dr

dr

= 0.

Der eine von den beiden, durch schrittweise Addition beobachteter Brechungswinkel erzielten Werte erhielt r Verbesserungsbeträge v, also die Gesamtverbesserung r • —und das Gewicht r . der andere dagegen (n + 1—r) Verbesserungsbeträge v, also die Gesamtverbesserung (n+1 — r) “ry und das Gewicht

somit ist der mittlere Fehler der Gewichtseinheit

jLl = +

i / o) v

r ‘ \r ' n 1)

—--/(n + 1 — r) l²

n -j- 1 — r V '    ' n-j-1 /

^n^T^r + n+1—r = ±

O)

V"n +1

und der mittlere Fehler des Mittelwerts gpr

L ₌ +

m^r — +

O)

V?r

Vn + l

nqprVr(n + 1 — r).

Fig. 836.

Der Fehler in den Richtungswinkeln (pT der Seiten eines beiderseits normal abgeschlossenen Polygonzugs wächst also gegen dieZugs-mitte hin proportional den Ordi-

n+i

n n a t e n y = Yr (n + 1 — r) eines —► über der Zahl n -f- 1 der Brechungspunkte als linearem Durchmesser gezeichneten Halbkreises. Er ist gleich den Ordinaten einer Ilalb-

ellipse vom Achs Verhältnis n j- und erreicht für r = n d. h. in der Zugsmitte seinen Maximalbetrag

ü)

m<jP\iax —

u>    n-|-l

n+T V 2

Dieser, trotz Verbesserung nach Gleichung (2) des § 83 noch zurückbleibende Winkelfehler erzeugt namentlich Querausweichungen des Zugs und kommt weiterhin zur Wirkung, wenn Nebenzüge von Hauptzügen abzweigen und der Anschlusswinkel nicht nach einem fernen Festpunkt gemessen wurde.

Zur Beurteilung der linearen Wirkung von Brechungswinkelfehlern wollen wir (s. Fig. 337) einmal annehmen, der Anschlusswinkel ß0 sei allein um den Betrag iß zu gross gemessen worden, welcher durch die Differenzeinteilung entsprechend der Winkelsummengleichung an ihm selbst nur zum (n -J- l)ten Teil, im übrigen aber an den (zuvor fehlerfreien) anderen Brechungswinkeln ausgemerzt wurde. Der Fehler verschwenkt deshalb trotz Ausgleichung die erste und die ihr zunächst folgenden Polygonseiten entsprechend dem strichpunktiert gezeichneten Zug nach rechts (in umgekehrter Richtung, wenn der Fehler negativ ist). Die Differenzeinteilung ihrerseits dagegen verschwenkt den hinteren Zugsteil, dessen sämtliche verwendeten

Brechungswinkel zu Unrecht einen Abzug (ihre Implemente also einen Zuschlag) erhalten, in entgegengesetztem Sinn: Sie ändert z. B. den fehlerfreien Abschlusswinkel ßn in [ßn]. Der Fehler iß im Anschlusswinkel ß₀ hat also eine Doppelschwingung des Zugs in der Quere zur Folge. (In Fig. 337 ist der unausgeglichene,

Fig. 337.

Pn

cc

Ao

dp

•ff

■o-

von A₀ ausgehende Zug punktiert, der durch gleichmässige Einteilung des Winkelfehlers iß auf die Brechungswinkel ausgeglichene Zug strichpunktiert, und der von einem solchen Winkelfehler freie Zug ganz ausgezogen.)

Nehmen wir an, irgend einer der übrigen Brechungswinkel sei zu gross, die anderen aber fehlerfrei gemessen worden, so erzeugt wieder die gleichmässige Verbesserung wegen der Winkelsummengleichung zwar eine kleine Reduktion des tatsächlichen Tehlers um seinen (n -f- l)ten Teil. Sie macht aber jeden anderen, vorher fehlerfreien, Brechungswinkel um eben so viel zu klein (sein Implement zu gross), erzeugt also eine einfache Schwingung nach links.

Da nun voraussichtlich kein einziger Winkel völlig fehlerfrei ist, so sind Qu er Schwankungen des Zugs um so eher zu befürchten und von um so erheblicherer linearer Wirkung, je länger er ist.

Neben den durch Winkelfehler erzeugten Quer Schwankungen treten auch Längs Schwankungen in Polygonzügen auf, als Folge von unregelmässigen oder solchen groben Längenfehlern, welche an, oder innerhalb der Grenze für einteilbare Fehler liegen. Sie sind, da ihnen die verschwenkende Wirkung mangelt, von geringerem Betrag, als die Querschwankungen und selbstverständlich um so eher zu vernachlässigen, in je engeren Grenzen sie selbst gehalten werden.

Fehlergrenzen.

Fehler

grenzen.

Für die bei Polygonisierungen höchstenfalls zulässigen Fehler sind, sofern es sich um Arbeiten handelt, welche öffentliche Glaubwürdigkeit beanspruchen, seitens der staatlichen Vermessungsbehörden Grenzwerte festgesetzt worden. Als:

a) Höchstens zulässiger Widerspruch o)Max gegen die Winkelsummengleichung gilt z. B. in Preussen und Württemberg <uMax = 1,5 Yn' a. T., wenn n die Anzahl der Brechungswinkel (einschliesslich An- und Abschluss

winkels) bedeutet,

» Elsass-Lothringen u. Bayern cuMax = 1,0 Vn + l' SÄiungme

.    ----. oder weniger sicher,

= 1,25 V n + 1 und das Anzielen am Küssende des Stabs möglich ist, oder nicht

eo-

3hr

= 1,5 Vn + 1' WMax = 75 yn"

„ Österreich „ Baden „ Hessen

b) Höchstens zulässiger linearer Abschlussfehler (Widerspruch gegen Bedingungsgleichungen (4 a) und (5 a) des § 81). In einzelnen Staaten ist nur eine Höchstgrenze für den zulässigen linearen Abschlussfehler F = yf| -j- f² im Ganzen, in anderen dagegen sind solche je für Längs- und Querverfehlung getrennt gegeben. Zu den ersteren gehört:

Preussen, wo: FMax = 0,01 \^4 [s] + 0,0050 [s]² (Gel.-Kl. I),

= 0,01 +6 [s] + 0,0075 [s]² ( „    „II)

= 0,01 + 8 [s] + 0,0010 [s]² ( „ „ III), Württemberg, wo: Fm«x = '1 + 0,1 y n— 1 festgesetzt ist. Hie-bei bedeutet [s] die Zugslänge, d den für eine der Zugslänge gleiche Strecke zulässigen Fehler und n die Anzahl der Brechun gs-winkel (An- und Abschluss mitgerechnet),

_ M_x!

— 1000

Zu den letzteren dagegen:

ß) die grösste zulässige Qu er Verfehlung dagegen wie in Elsass-Lothringen,

und Baden, wo: fxMax

tojiax — 32 n (Ojfax — 67 11

, fyMax —

[4y]

1000 •

und Österreich, wo a) als grösste zulässige Längsverfehlung (0,006 [s] -j- 0,02 V[s]) + 20 °/o, je nachdem günstige oder günstige Verhältnisse vorliegen,

un-

und ß) als grösste zulässige Quer Verfehlung

n A₀ An — n A₀ 2In = ~q' = (

- ^    1Q°-) festgesetzt ist.

Ausser diesen Fehlergrenzen sind in einzelnen Staaten noch Bestimmungen vorhanden über Maximalzuglänge, höchstens zulässige Zahl von Brechungspunkten innerhalb eines Zugs, grösste bezw. kleinste zulässige Polygonseite, Art und Weise der Fehlerverteilung, höchstenfalls zulässige Länge von Schnittstrahlen usw.

In Württemberg sollen z. B. Züge von über 1000 m Länge ver-

knotet werden, Polygonseiten sollen nicht

sein

< 50 m > 500 m

Schnittstrahlen sind nur bis zur Maximallänge von 100 m zulässig, die Anwendung von Schnittzügen ist verboten.

Kapitel XIII.

Koordinatenumformung (Transformation). § 91. Formelableitung.

Zweck der Umformung.

Formel

ableitung.

Bei der Wiederbestimmung verloren gegangener Polygon- und Grenzpunkte auf Grund direkt abzusetzender Koordinaten, bei Grenzausgleichungen und Flächenteilungen, wie auch bei Fortführungsvermessungen, wenn die ursprünglich benützte Aufnahmelinie nicht mehr absteckbar ist, oder unzweckmässige Lage hat, tritt zuweilen die Notwendigkeit ein, die rechtwinkligen Koordinaten aufgenommener Punkte auf eine veränderte Abszissenachse umzurechnen, zu „transformieren“. Zur Ableitung der hiefür dienenden Formeln und zur Durchführung der Rechnung wollen wir grundsätzlich dasjenige rechtwinklige Koordinatensystem, in welchem die Koordinaten von Punkten A, B... gesucht sind, als „Hauptsystem“, dasjenige, in welchem sie gegeben sind, als „Nebensystem“ bezeichnen. Ferner wollen wir zunächst die Koordinaten a und b des Ursprungs 0' vom Nebensystem, sowie den Richtungswinkel cp seines positiven x-Achsenzweigs in bezug aufs Hauptsystem als bekannt voraussetzen. Den gegebenen Koordinaten x, y, wie den gesuchten X, Y der aufs neue System zu beziehenden Punkte A, B, legen wir, wie

gewohnt, die Vorzeichen + bei, je nachdem sie positiven x Achse, oder von ihr nach rechts

»    n    r>    n »    » links

in der Richtung der entgegengesetzt der verlaufen. Dann liefert

Fig. 338.

flauptac?Lje y

Äi-

t, >

smyr^

xb:^"\ —

'0

*?■

vV

' •€< '\yt

y\

paruUeLuer/chubene + jrSl I ^ NebenajchJe ii

*>

-V

___d____

f,    Neffenadife ' ri

-X

ein nach den Sätzen des § 81 über die Punkte OaO'xA geleiteter und berechneter Schnittzug für die Koordinaten X und Y eines Punktes A ganz allgemein, wie dieser Punkt auch liegen möge, (weil bei negativem x oder y der Richtungswinkel der betreffenden Koordinatenstrecken sich um 2 R ändert, sein sin und cos also ebenfalls entgegengesetztes Vorzeichen annimmt) den Ausdruck:

0)

XA = a cos 0 + b cos R -f- x cos cp -j- y cos (R -f- cp)

= a -f- x cos cp — y sin q>

Ya = a sin 0 -j— b sin R -f- x sin cp -f- y sin (R -j- cp)

= b -f- x sin cp -f- y cos cp, welcher sich auch direkt aus der Fig. 338 ablesen lässt.

§ 92. Praktische Anwendung. Ausgleichung von Widersprüchen. Rechenproben. Beispiel.

In der Praxis zumeist vor-

In praktischen Fällen sind die oben als bekannt vorausgesetzten ligefbenform!’ Umformungselemente a, b, cp zumeist nicht gegeben. Vielmehr Umformung!?- schafft man den Zusammenhang zwischen beiden Koordinatensystemen eiemente. meist lediglich dadurch, dass zwei oder mehr Punkte Fx, F₂,.. . Fn gleichzeitig auf beide aufgenommen werden.

Man erhält dann die Koordinaten a und b des Ursprungs vom Nebensystem in bezug aufs Hauptsystem, gleich denen eines der doppelt aufgenommenen Punkte z. B. Fi dadurch, dass man das Nebensystem parallell mit sich selbst derart verschoben denkt, dass sein neuer Ursprung mit dem gewählten (doppelt aufgenommenen) Punkt zusammenfällt. Rechnerisch geschieht das bekanntlich durch algebraische Verminderung sämtlicher Nebensystemskoordinaten um diejenigen des neuen Ursprungs:

(1)

^reduziert — ^gemessen Vieuer Ursprung yreduziert    Jgemessen Pneuer Ursprung.

Beispiel.

Reduzierte Koordinaten mit q 7 als neuem Ursprung:

Gegebene Koordinaten:

— 111,58    + 22,42

— 52,14    — 88,05.

Den Verdrehungswinkel cp (Richtungswinkel der Abszissenachse des Neben- in bezug aufs Hauptsystem) erhalten wir aus den in beiden Koordinatensystemen berechneten Richtungswinkeln der Verbindungsstrecke zweier beliebiger, doppelt aufgenommener Punkte, z. B. Fi und F₂. Denken wir uns durch einen derselben, z. B. Fi, Parallelen X und x zu jeder der beiden Aufnahmelinien gezogen, so wird allgemein gültig:

(2) (p

V T? v _ V 1? TT    u _ Hauptrich-    Nebenricli-

u i X - r i r ₂ Ä 1 ¹ 2    tungswinkel tungswinkel.

Ausgleichung von Widersprüchen.

Sprüchen.

Gleichzeitig mit dem Richtungswinkel der Verbindungsstrecke A^₀sf^™g Fi F₂ der beiden doppelt aufgenommenen Punkte ergab sich nach §56 auch für die Streckenlänge Fi F₂ selbst je ein Wert aus jeder der beiden Aufnahmen. Diese beiden zusammengehörigen Werte werden im allgemeinen nicht genau miteinander übereinstimmen.

Ob der Widerspruch aber in Ungenauigkeiten der einen, oder der anderen, oder beider Messungen, ob er in ungleicher Länge der verwendeten Massstäbe, oder in Punktveränderungen begründet ist, welche in der zwischen beiden Messungen liegenden Zeit vor sich gingen, ist uns zunächst nicht bekannt. Einen Einblick hierein können wir uns aber verschaffen, wenn mehr als zwei Punkte d o p p e 11 a uf g e n o m m e n sind. An Stelle der einzigen Verbindungs-strecke solcher Punkte treten dann deren mehrere, welche wir ebenso behandeln können, wie vorhin Fi F₂. Wir werden dabei nicht nur ebenso viele Werte für den gesuchten Verdrehungswinkel cp und Wertpaare für die zugehörigen Verbindungsstrecken s, sondern auch die Möglichkeit bekommen, aus einer (etwa immer dann, wenn ein bestimmter der doppelt aufgenommenen Punkte zur Berechnung verwendet wird) sich zeigenden grösseren Differenz zwischen den Werten cp bezw. den Wertpaaren s auf einen Aufnahmefehler, oder eine eingetretene Ortsveränderung (eben dieses Punktes) zu schliessen.

Auch werden wir erkennen können, ob die Widersprüche in den Wertpaaren für identische Strecken s, welche sich je aus beiden Aufnahmesystemen ergeben, unregelmässiger Natur, bald positiv, bald negativ, d. h. Folgen von zufälligen Messungs- und Punktungenauigkeiten sind, oder ob sie sich aus der einen Aufnahme

immer grösser ergeben, als aus der anderen. In letzterem Fall würde es sich um eine Messstangen-, oder sonstige regelmässige, an allen Strecken der Nebenaufnahme in gleichem Verhältnis q anzubringende Korrektion handeln.

Diese Untersuchung auf alle (£) möglichen Verbindungsstrecken der n doppelt aufgenommenen Punkte auszudehnen, wäre zu zeitraubend. Ihr wäre die Ausmittelung von a, b, cp und q nach der Methode der kleinsten Quadrate auch hinsichtlich der Bequemlichkeit vorzuziehen. Dies ist aber auch gar nicht nötig. Ob einzelne der doppelt aufgenommenen Punkte grobe Unterschiede zeigen, ersehen wir schon aus wenigen, aus beiden Aufnahmen berechneten Strecken-und Kiclitungswinkelpaaren. Diese Punkte kommen dann für die Bestimmung von a, b, cp und q nicht weiter in Betracht, gleichgültig, ob die Unterschiede von Aufnahme-, oder von Punktfehlern herrühren. Auch unter den alsdann noch übrig bleibenden Verbindungsstrecken können wir noch Auslese halten. Die bei beiden Aufnahmen der Punktpaare unter allen Umständen wirkenden unvermeidlichen und zufälligen Fehler werden den gesuchten Verdrehungswinkel cp um so stärker beeinflussen, je kürzer deren Verbindungsstrecke s ist: der Fehlereinfluss auf cp wird umgekehrt proportional zur Streckenlänge wachsen. Bei Bildung des Mittelwerts für cp müssen wir daher den Einzelbestimmungen je das Gewicht s² beilegen und erhalten damit:

[S² cp]

(3)

^Mittel -

Dadurch kommen aber die aus kurzen Strecken s berechneten Verdrehungswinkelwerte cp fast ausser Wirkung und können überhaupt vernachlässigt werden.

Ähnlich ist es mit dem Proportionalitätsfaktor q zur Wegschaffung etwaiger regelmässiger Längenfehler in der Nebenaufnahme. Möge letztere die Streckenwerte 3, die Hauptaufnahme dagegen die Werte s ergeben, so ist:

(4)

q =

Auch diese aus jedem der n ermittelten Streckenpaare abgeleiteten Einzelwerte für den regelmässigen Fehler q pro Längeneinheit erscheinen durch die unregelmässigen Punktfehler um so mehr verschleiert, je grösser letztere im Verhältnis zum Gesamtfehler, d. h. je kürzer die Strecken s sind. Wir werden daher auch hier nicht kurzerhand setzen dürfen: qMmei = sondern werden zum Streckenvergleich wie in § 83, alle je einer und derselben Aufnahme entspringenden Individuen s bezw. §> von berech-

und log q = log s — log §> (wie in § 83).

neten, möglichst langen Streckenpaaren in zwei Gruppen zu zwei Gesamtstrecken [s] bezw. [3] aneinanderreihen. Wir erhalten dann unter Ausschaltung eines grossen Teils der zufälligen, sich gegenseitig vielfach aufhebenden Fehler:

(5)

[s]

Q Mittel — j-gj

und

(5 a)

d — 1 Mittel —

[S] - [3]

[fi]

[s] oder [3]

[s] oder [3]

Braucht man für die nachherige Weiterverwendung nicht den Wert von q selbst, sondern dessen log, so ergibt sich dieser, falls zur Berechnung von q — i mittels Gleichung (5a) der Rechenschieber benützt wurde, als B der Additionslogarithmen zu (q — i) als A.

Mit Berücksichtigung des regelmässigen Längenfehlers der Nebenaufnahme gehen die Gleichungen (1) des § 91 jetzt über in:

^ X = a-j-qxcos<jp — q y sin cp \ Y = b -f- q x sin (p -j- q y cos (p.

Schliesslich handelt es sich noch um die Gewinnung von Mittelwerten für die Anfangskoordinaten a und b. Jeder nicht mit groben Fehlern behaftete doppelt aufgenommene Punkt Fi, F₂... hat das gleiche Recht, als Ursprung des parallel zu sich selbst zu verschiebenden Systems von Nebenkoordinaten zu dienen und die Zusatzglieder a und b in Gleichungen (6) zu liefern. Die Koordinatenumformung wird aber keineswegs genau identische Werte X und Y für die berechneten Koordinaten im Hauptsystem ergeben, gleichgültig, in welchen der erstgenannten Punkte man den Ursprung des Nebensystems verschiebt. Könnten wir sogar die N eb e n-aufnahme als völlig fehlerfrei voraussetzen, so würden trotzdem etwaige kleine Ungenauigkeitbeträge in der Messung der Hauptkoordinaten a und b des zufällig gewählten Nebenursprungs sämtliche daraus berechneten Hauptkoordinaten X und Y um eben jene Beträge verändern. Wir würden dies an den Unterschieden dx und dy zwischen den berechneten und den gemessenen Hauptkoordinaten der übrigen doppelt aufgenommenen Punkte bemerken, welche für den gewählten Ursprung den Wert 0 annehmen würden.

Ganz ebenso, nämlich als konstante Änderung sämtlicher Hauptkoordinaten, wirken natürlich auch kleine Ungenauigkeiten in der Messung der Nebenkoordinaten des gewählten Ursprungs. Bequemeren Verständnisses wegen wollen wir deshalb die aus letztgenannten Fehlern entspringenden Abweichungen auf Rechnung kleiner Aufnahmefehler im Haupt System setzen (indem wir lediglich substituieren, der Standpunkt der in bezug auf letzteres

(6)

aufgenommenen Punkte habe ursprünglich genau der durch die Nebenkoordinaten bestimmten Stelle entsprochen).

so, dass

Mittel

Genau dasselbe, nur je mit veränderten Abweichungen dx und dy würde eintreten, wenn wir statt des bisher angenommenen der Reihe nach jeden der doppelt aufgenommenen Punkte als Ursprung des Nebensystems wählen würden. Wir gewinnen daraus folgendenWeg der Ausgleichung der Additionalkonstanten a und b: Man wählt zunächst irgend einen der doppelt aufgenommenen Punkte als vorläufigen Anfangspunkt vom Nebensystem und führt mit seinen gemessenen Hauptkoordinaten a und b die Transformation nach Gleichungen (6) durch. Alsdann bildet man die Abweichungen dx und dy zwischen den durch Messung einer- und durch Rechnung anderseits gewonnenen Koordinatenwerten X und Y der doppelt aufgenommenen Punkte im Hauptsystem und verschiebt schliesslich das letztere parallel mit sich selbst um dxMittei bezw. dy die Summen der Abweichungen:

(?)

werden.

( [dx] = [X ([dy] = [Y

gemessen

gemessen

•^■transformiert] — 0 ^ transfonniert] —■ 0

Rechenproben.

Rechen

proben.

Würden wir, wie bisher angenommen, die Nebenkoordinaten x und y von einem und demselben Anfangspunkt ausgehend in die Rechnung einführen, und demgemäss die transformierten Koordinatenwerte nach Gleichungen (6) durch Addition der jeweils berechneten Summanden zu dem konstanten Werte a bezw. b ermitteln, so würden etwaige Fehler in jenen Summanden, oder in der Addition unentdeckt bleiben. Es hindert uns aber gar nichts, die Berechnung staffelweise in der Art durchzuführen, dass die Hauptkoordinaten X und Y irgend eines Punktes von dem Augenblick ihrer rechnerischen Gewinnung an für die Transformation des nächsten sofort die Rolle von a und b spielen. Fährt man so von einem Punkt zum anderen fort, indem man den Ursprung des Nebensystems je nur für den folgenden von ihnen in den soeben transformierten Punkt verschiebt und schliesst endlich an dem Ausgangspunkt wieder ab, so müssen als Rechenprobe dessen Hauptkoordinaten a und b, von denen man ausging, unverändert wieder erscheinen und man hat überdies kleinere Zahlenwerte für die logarithmische Berechnung. Die Reihenfolge der Punkte ist dabei ganz beliebig.

Zur Additionsprobe und vorgängigen Wegscliaffung kleiner Abrundungsdifferenzen wird man bei Beschreitung des soeben gewiesenen Wegs vor Bildung der Einzelkoordinaten die Summe sämtlicher berechneter Koordinatenunterschiede hilden, welche bei identischem An- und Abschlusspunkt gleich 0 sein muss. Eine erhebliche Vereinfachung der Rechnung ergibt sich hiebei, wie hernach bei Bildung der Einzelkoordinaten, durch Benützung dekadischer Ergänzungen für negative Summanden.

Auch für die Bildung der durch Verschiebung des Ursprungs reduzierten Nebenkoordinaten xred. und yrea. erhalten wir auf diese Weise eine summarische Probe. Umfasst die Transformation z. B. die Punkte Fi, A, B, F₂, C, F₃, D, wobei Fi, F₂ und F₃ die doppelt aufgenommenen Punkte sein mögen, so wird der Reihe nach:

reduziert auf F, als Ursprung    XA

reduziert auf A als Ursprung

= XB —XA,

schliesslich

XD reduziert auf F₃ als Ursprung    XD    XF₃i

XF, reduziert auf D als Ursprung    XFt    V)

und

(8)

[^reduziert] ~~ 0

( ebenSO [yreduziert] — b.

Beispiel.

Gegeben sind die Koordinaten der Punkte:

£7    + 22606,29    +    6401,88

£    10    + 22514,73    +    6236,80

£    11    + 22514,64    +    6401,77

£    12    4- 22494,72    +    6424,22

£    13    + 22457,95    -j-    6242,13

£    14    + 22618,98    +    6244,18

£    15    + 22630,10    +    6376,66.

Gemessen in bezug auf eine beliebige andere Achse sind die Koordi

naten von:

Rohrerweg 0

£ 10

6 ii

£ 14 4- 104,22    — 87,74

£ 15 + 115,32    4- 44,69.

Gesucht die Koordinaten der Punkte 3 und Rohrerweg in bezug auf das zuerst eingeführte System und der mittlere lineare Fehler beider Aufnahmen. Berechnung hiezu s. S. 642/643.

Punkt

No.

Berechnung von <p und s.

A. Hauptsystem

Bestimmung von cp

B. Nebensystem

log

<Pn

-9>N

= <p

P d<P

(wobei Punkt dg? =

<p-v)

No.

log

12 +22494,72 14 +22618,98

+ 6424,22 A Y + 6244,18 E Sm

2 25537 n 0 08460 n

COS

— 19,90 + 92,42 + 104,22 — 87,74 ESm

A y 2 25565 n 0 08434n

AX AY +    124,26

9h.

304° 36' 44"

180,04

A x 2 09433

COS

A X 2 09384

218,76

tg9PH 0 16104 n 0 02 2 33997

4,8 245

Ax Ay +124,12 —180,16

cpN 304° 33' 53" tggPN 0 16181 n 218,77    ,    3    2 33999

rH © r-l rH

+ 22514,64 + 22514,73

+ 6401,77 A Y + 6236,80 E

- ii.

2 21740n 0 00000 n

AX AY +    0,09

9h

270° 01' 53"

164,97

COS

A x 8 95424

+ 70.00 A y - 95,00 E

164,97

tg qt)H 3 26316 n 0 2 21740

01

53

2,7

_A x Ay

19 CpN

0    —165,00

270° 00' 00" 165,00

Ax

tgfPiST

3    2 21748

co xo

rH H

+ 22457,95 + 6242,13 + 22630,10 + 6376,66

AX AY +    172,15 + 134,53

38° 00' 23" 218,48

A Y 2 12882

1? Sin /y,

^ cos9 0 10351 A X 2 23591

CO IO

T—I T-H

— 56,73 + 115,32

9h

tg qPH 9 89291 2 33942

g_L

4,8 187

Ax Ay +172,05 +134,24 37° 57' 44" 218,22

— 89,55 Ay 2 + 44,69 E * £

Ax 2

tggPN 9 § 2

12788

10324

23566

89222

33890

•<1

CO

+ 22606,29 + 6401,88 + 22457,95 + 6242,13

AX AY —    148,34 — 159,75

227° 07' 14" 218,00

A Y 2 20344 n jg sin _ 0 13502 n

A X 2 17126 n

cos

co

+ 91,68 — 56,73

+ 70,00

Ay 2

— 89,55 E

sin

cos

20290 n 13536 n

9h

tg <pH 0 03218 2 33846

iS

J_s

4,8 264

Ax Ay —148,41 —159,55 227° 04' 19" 217,90

Ax 2

17146 n

9s

tggpN o

§ 2

03144

33826

io ©

I t-H

+ 22630,10 + 6376,66 + 22514,73 + 6236,80

A Y 2 14570 n 0 11271 n

E sin

CO

©

T—I T—I

+ 115,32

+ 44,69 Ay 2 — 95,00 E

• in

14517 n 11285 n

AXAY— 115,37 — 139,86 230° 28'51" 181,30

<PH

[s] = 1001,51

A X 2 06210 n

tg (jPH 0 08360 2 25841

3,3    135

20,4 696 154

542

— 115,32 —139,69 230° 27' 32" 181,14

[3] = 1001,03

cos Ax 2

06191n

tg y>N 0 S 2

08326

25802

(q —1)

1001,51-1001,03 _ + 0,48 Näherung v = 0° 02' 00"

LP d cp]

......

1001

= 0,00048 logq = B = 0.00021.

Lp]

27"

, [p d g>]

m

0° 02'27"

*) Die aufrechten Ziffern in den Spalten vx und Vy bedeuten die Unterschiede dx und dy vor, die schrägen diejenigen nach der Parallelverschiebung. Um den Betrag der letzten selbst sind sämtliche berechneten Koordinatenwerte x und y noch zu verbessern.

Abschnitt IV.

Linienabsteckung.

Kapitel XIV.

A. Absteckung von Geraden.

Die Aufgabe der Absteckung gerader Linien tritt bei jeder Vermessung als Mittel zum Zweck auf (Aufnahmelinien etc.). Sie

Formeln:

Koordinatenberechnung.

= a -(- x . q . cos cp — y . q. sin (p; = b-)-x.q.singp-|-y.q. cos op;

log

cos q> = 0.00000 sin cp = 6.85289

log

q . cos (p — 0.00021 q . sin (p — 6.85310

Punkt gemessen

^reduziert yreduziert

log

No.

y l + l-ll +'l

x.q.cosg?

Xred. x. q . sin <p

y.q.cosip yred. y. q. sin <p

x . et. cos (f — y. q. sin y

X berechnet X gegeben

VX*}

Vx

Vx²

verb.

x . 4. sin <p y.q. eos <p

Y    bereeh.

Y    gegeben

Vy*)

Vy

verb.

12

19 90 + 92 42

+ 22494 72

+ 6424 22

11

+    0 00 +. 70 00 19 90

1 29906    1 35085n +

22 42 1 29885    1 35064n

19 91

0 02

+ 0 01 —    22 43

+ 22514 65 8 15195    8 20374 n +22514 64

+ 91 68 + 70 00 91 68

1 96248 0 00 1 96227 8 81537

+    91    72

+ 22606 37 + 22606 29

(+)

— 6 36

+ 6401 + 6401

+    0

+ 6401 + 6401

80    — 7 49

77    — 3

Kohrer-

weg

0 00 ± 0 00

CO

70

06 (+)

0

86—2    4

88 +2

07 (-)

04 (-)

+ 91 68 + 0

91 68

0 00

1 96248 1 96227 8 81537

+ 6331 75 +    0 07 (—)

15

+ 115 32 + 44 69 23 64

44 69

+ 22606 42

0 03

+ 22630 04

++

Ci Go

+ 6331 82

+ 0 02 (—)

+    44    71

+ 6376 55    + 7 49

+ 6376 66 + 11

1 04553n 2 12220 n —    11 10

14

+ 104 22 — 87 74

132 43 1 04532 h 2 12199 n

0 09

+)

(+)

0 01

-t- 22619 03 7 89842 n 8 97509 h +22618 98

— 132 49 + 6244 05    +9

+ 6244 18 + 13

81

13

56 73 — 89 55

1 81

20691 n 0 25789 n _    161 03

20670n 0 25768 n 05980 n 7 11078 n 4- 22457 95

0 11

0 00

1 81

+ 22458 00

9 + 6242 13 + 6242 13

16

10

±    0 00 —95 00

OT

Ci

1 75402 5 45 1 75381 8 60691

73661 n +    56 76

73640n

0 00

+ 22514 76 7 58950n +22514 73

+    0 04

5 45

1 + 6236 72 + 6236 80

16

++

12

19 90 + 92 42

19 90 187 42

1 29906n 2 27303 1 29885n 2 27282 15195n 9 12592

19 91

0 13

0 01

OO !

+ 22494 72 + 22494 72

+ 187 51 + 2    4 + 6424 22

0 [    + 6424 22

16

283 63 283 63 232 11 232 11

(- 2)

+ 31 231

(+ 3)

Parallelverschiebung der Achsen zur Mittelung von a und b: dxMittei =

d yMittei = —7— ⁼ "l⁻ 4 cm.

= — 2 cm

nix =

1+ 1+

my = V

mittlerer T . -\ [ Punktfehler -M- — I V

®l!| ®|l| H£|

= + 4,5 cm

= + cm = 7,7 cm.

bildet jedoch zuweilen auch das Endziel der geodätischen —, und die Grundlage, oder den Abschluss von Rechtsgeschäften, Ver-waltungsmassnahmen und Bauarbeiten.

§ 93. Absteckungen von Geraden mit vorgeschriebener Richtung und Lage (Parallelen und Senkrechte zu Koordinatenachsen etc.)

werden notwendig z. B. da, wo durch Verträge bestimmte Meridiane, Parallelkreise, oder Parallelen und Senkrechte zu einer Richtlinie (die man dann zweckmässigerweise als Koordinatenachse wählen wird) als Grenzlinien festgesetzt wurden. In grossem Massstab ist diese Aufgabe zu lösen bei der Abgrenzung kolonialer Erwerbungen, und bei der erstmaligen Begrenzung noch wenig erschlossener Gebiete (nordamerikanische Unionsstaaten, Australien, Südafrika etc.), sodann in solchen Ländern aber auch bei der Abgrenzung von ins Privateigentum übergehenden Flächen. In Ländern mit alter Kultur tritt sie zuweilen auf bei der örtlichen Absteckung der Randlinien künstlich begrenzter Kartenblätter (Katasterpläne, oder -Karten in Württemberg, Bayern, Österreich etc., s. S. 111).

Die Lösung der Aufgabe erfolgt je nach der Ausdehnung der Linien und den vorhandenen Grundlagen und Bedingungen auf astronomischgeodätischem, oder auf reingeodätischemWeg, letzterenfalls entweder unterBenützungeinerTriangulierungoderaufgeometrischerGrundlage.

In Rücksicht auf die Hilfsmittel zur Absteckung ist zu unterscheiden zwischen:

1.    Der Wiederherstellung einer früher als Grenz-, oder Aufnahmelinie benützten, auf dem Gelände seither verloren gegangenen Linie und

2.    Der Neuabsteckung der Linie auf Grund gegebener Bedingungen für Richtung und Lage zu den Koordinatenachsen.

um

Der erstgenannte Fall tritt namentlich bei Grenzbestimmungen und Fortführungsvermessungen auf. Hier handelt es sich die Herstellung nicht sowohl der durch Koordinaten, Abstandsund Richtungsbedingungen bestimmten genauen geographischen, sondern vielmehr der früher festgesetzten und rechtskräftig gewordenen Lage, auch wenn diese infolge früherer Konstruktionsfehler mit der ersteren nicht genau übereinstimmen sollte. Die Wiederherstellung erfolgt daher hier auf geometrischem Wege, rückwärts aus den bei der Stückvermessung seiner Zeit erhobenen Masszahlen für feste, noch unverändert vorhandene Aufnahmepunkte und ist hier nicht weiter zu betrachten. Stehen solche Masse oder andere Merkmale für die ursprüngliche Linienlage nicht zur Verfügung, oder handelt es sich überhaupt um

Neuabsteckung, so sind dafür wieder zwei Wege gangbar:

Beim ersten wird die Richtung der abzusteckenden Linien auf dem Gelände mittels astronomisch-geodätischer Beobachtungen, oder mittels der Magnetnadel (s. Bussoleninstrumente), ihre Lage entweder ebenso, oder durch direkte (Band-, oder Stangen-) Messung gefunden. Dieser Weg wurde und wird z. B. bei den Landabtretungen in den Vereinigten Staaten von Nordamerika beschritten (s. u. a. Zeitschr. f. Verm. 1905, S. 705 ff.), soll aber hier nicht weiter verfolgt werden.

Fig. 339.

S-

oc=+

OC-+- • -

Ist eine trigonometrische, oder polygonometrische Punktbestimmung vorgängig über das Gelände gelegt worden, so ergibt sich aus den Koordinaten der Festpunkte die örtliche Lage abzusteckender Parallelen und Senkrechter zu den

Achsen bequemer und genauer wie folgt (siehe Fig. 339):

Befindet sich ein

Festpunkt A in der Nähe .....

einer Netzlinie, so findet man den Fusspunkt Ai des auf ihr errichteten Lots nach A durch Absteckung der Richtung

JC-+

s’

.....

yg — yx

) von einem Fest-

FA Ai = 4R — n AF (wobei tg n A F = strahl A F aus und Abmessung der Strecke A Aj = x — xA.

Der Winkel, mittels dessen die Richtung A₃ S von aus abgesteckt wird, ist F Ai S — f R — n Ai F (wobei tgn Ax F = ~

Befindet sich ein durchseine Koordinaten gegebener FestpunktB in der Nähe einer Ecke S' (Sektionspunkt) des Quadratnetzes, deren Koordinaten wie diejenigen des Festpunktes bekannt sind, so erhält man die Lage von S' auf dem Gelände durch Anschlägen des Winkels F B S' = n B S'— n B F (wobei tg n B S' — ys und Abmessen der Strecke

xf — xA

— yyA

XA./

-—y- und tgnBF — y-F—

XS' — XB    °    XF — Xß/

ys> — yB

xs< — xB cos n B S'*

Die Richtungen der von S' ausgehenden Netzlinien findet man auf dem Gelände durch Anschlägen der Winkel:

FS'S = |R — nS'F.

Ist kein seinen Koordinaten nach gegebener Punkt in der Nähe der abzusteckenden Randlinien auf dem Gelände vorhanden, so bestimmt man einen solchen nach irgend einem der in Kapitel 11

BS' =

sin nBS'

und 12 gezeigten Verfahren und benützt ihn dann weiter, wie soeben den Punkt A oder B.

§ 94. Absteckung im Fall unmöglicher direkter Zielung (Tunnelachsen, Waldabteilungsgrenzen etc.).

Ist die Entfernung zweier durch eine Gerade zu verbindender Punkte zu gross, als dass letztere direkt abgesteckt werden könnte (einige Kilometer übersteigend), oder verhindern Geländeerhebungen, Wälder, Baumgüter, Ortschaften den Durchblick, so verbindet man sie durch ein Dreiecksnetz (in welchem eine oder mehrere Grundlinien gemessen werden, wenn eine genügend zuverlässige Haupttriangulierung nicht vorliegt), oder durch einen Polygonzug, deren Elemente man mit einer für den Zweck genügenden Genauigkeit misst. Alsdann werden die Koordinaten der Eckpunkte des Polygonzugs, oder Dreiecksnetzes in bezug auf ein beliebig gewähltes, oder auf das System der Haupttriangulierung, wie in Kapitel 11 und 12 gezeigt, berechnet. (Können die festzuhaltenden Endpunkte nicht direkt in das grundlegende Netz eingeschaltet werden, so geschieht dies nachträglich durch untergeordnete Triangulierung, oder Polygonisierung.) Von dieser trigonometrischen, oder polygonometrischen Grundlage ausgehend wird schliesslich die Absteckung der Geraden und zwar bei Überschreitung kahler Gebirgszüge am besten durch Bestimmung von „Richtpunkten“ vorgenommen, welche vom Anfangs- bezw. Endpunkt der anzugebenden Geraden aus sichtbar sind und auf weithin sichtbaren Stellen der Geraden selbst, oder ihrer Rückverlängerung liegen. Die Bestimmung der Lage dieser Richtpunkte auf dem Gelände erfolgt durch Anschlägen des Winkels (Differenz der beiden zugehörigen berechneten Richtungswinkel) zwischen der abzusteckenden Geraden und einer von ihrem Anfangs- bezw. Endpunkt ausgehenden Dreiecksseite.

Sie dienen als Instrumentenstände im Falle der Fortsetzung der Geraden über den Berg hinweg. Auf sie wird das Theodolitfernrohr bei Angabe von Zwischenpunkten und bei Kontrollierung langwieriger Bauarbeiten (z. B. von Tunnelbauten) eingestellt. Für letzteren Zweck sind sie daher zu vermarken.

Je nachdem mit der Absteckung nur von einer, oder von beiden Seiten her vorgegangen wird, muss die, nötigenfalls durch wiederholte Verlängerung des von den Endpunkten aus gewonnenen ersten Linienstücks fortgesetzte Gerade innerhalb der von der Messungsgenauigkeit abhängigen Fehlergrenzen auf den jenseitigen Endpunkt, oder auf den von dorther kommenden Linienzweig treffen.

Will man gleichzeitig von mehr als zwei Seiten her arbeiten, so kann man Zwischenpunkte der gesuchten Geraden von den auf trigonometrischem, oder polygonometrischem Weg geschaffenen Festpunkten aus abstecken. Die hiezu nötigen Längen und Richtungswinkel ergeben sich durch rechnerische Transformation benachbarter Festpunkte auf die abzusteckende Gerade, durch Einrechnung ihrer Schnittpunkte mit passenden Polygon- oder Dreiecksseiten, oder, bei beliebiger Lage der abzusteckenden Zwischenpunkte, durch Bestimmung der Koordinaten der letzteren nach Art der Kleinpunktsberechnung (s. § 56) und darauffolgende Richtungswinkel- und Streckenangabe analog B S' in Fig. 339.

Handelt es sich um Arbeiten unter Tag, so kann die Absteckung der Stollenrichtung entweder vom Mundloch, oder von Schächten aus erfolgen.

Fig. 340.

f Richtpunkt

foTunnelende

Statt der Stäbe werden in diesem Fall mit fortschreitender Bohrarbeit Lichtsignale eingewiesen, nämlich gewöhnliche Gruben-, Magnesium-, oder elektrische Lampen, deren Lichtwirkung nötigenfalls durch Hohlspiegel verstärktwird. Ist Beleuchtung des Fadenkreuzes vom Theodolitfernrohr nötig, so wird sie entweder vom Objektiv aus, oder durch die Kippachse bewirkt. Im ersteren Fall wird auf das

Objektiv eine kurze Röhre aufgesetzt, welche an ihrem vorderen Ende eine unter ^ neigte, zur Ermöglichung der Zielung elliptisch durchbrochene, von unten beleuchtete Spiegelfläche trägt. Im zweiten Fall ist die Kipp-achse durchbrochen. Der durch sie eingeführte Lichtstrahl wird durch einen Spiegel, oder ein Prisma in der Röhre gegen das Fadenkreuz geworfen.

Die Punktbezeichnung erfolgt durch eiserne Klammen, welche in die Kappenhölzer geschlagen werden und eine Rinne in der Achsrichtung eingefeilt erhalten, oder durch eingeschlagene Nägel. Da diese Bezeichnung aber leicht Beschädigungen durch Gebirgsdruck oder Mutwillen von Personen ausgesetzt ist, ist es zweckmässig, noch Achspflöcke unter die Sohle des Stollens einzutreiben, welche durch Holzrahmen mit Deckel geschützt werden. Im Felsen treibt

ge-

tRtchtpunJpk^

Jh\

unkt |

Richtpunkt

-P

RLchtpvnJct &

man Holzdübel in die Decke ein und bezeichnet die Achse durch

eine darin befestigte Schraube mit Öse zum Auf hängen der Senkel.

Begriffsbestimmung und Zweck.

Konstruk

tion.

Bei langen Tunneln und länger dauernden Bauarbeiten müssen von Zeit zu Zeit sämtliche Zwischenabsteckungen geprüft werden.

Bei der Absteckung von Schächten aus legt man den Schacht rechteckig, mit der je nach der Tiefe 5 — 8 m grossen Langseite in der Achsrichtung, an und schlägt an beiden Enden des Schachtmundlochs starke Pflöcke, auf welchen die Achsrichtung mit möglichster Genauigkeit angegeben wird. Über sie legt man ein genaues Richtscheit und hängt daran zwei (oder drei) Senkel, die man unten in Wassergefässe tauchen lässt, um sie rascher zur Ruhe zu bringen. (Um das Drehen der Senkelschnüre zu verhindern, spannt man sie vor der Verwendung an und zieht sie durch ein glattes Holz mit ausgebranntem Loch. Bei feuchten Schächten hängt man die Schnüre einige Tage vorher schon auf, damit die unvermeidliche Verkürzung vor Beginn der Arbeit eintritt.) Besser als Hanfschnüre eignen sich 0,5 mm starke Messingdrähte. Unten im Stollen wird über die Schnüre, bezw. Drähte weggezielt und die dadurch bestimmte Tunnelrichtung am First oder auf der Sohle des Stollens bezeichnet. Besser ist es, Pflöcke einzutreiben, auf denen Massstäbchen befestigt werden. Die Projektionen des Drahts auf diese Massstäbchen werden dann durch ein in der Stollenrichtung aufgestelltes Theodolit beobachtet und gemittelt. Schliesslich erfolgt die scharfe Markierung der mittleren Richtung auf den Pflöcken.

Die Verlängerung der so erhaltenen Richtlinie ergibt die Stollenachse mit einer Genauigkeit bis zu etwa 1 dm pro km.

§ 95. Einschneiden von Schnurgerüsten.

Schnurgerüste haben den Zweck, die Erstellung eines auszuführenden Bauwerks (Fundament, Sockel, Hausgrund) genau in der durch das Projekt, etwaige Eigentumsverhältnisse und einzuhaltende Vorschriften bestimmten Lage zu sichern und daraufhin während des Baues jederzeit bequem nachprüfen zu lassen.

Zu diesem Zweck bestehen sie aus einer Anzahl von Pfosten, die in einem gegenseitigen Abstand von ca. 4,60 m (Dielenlänge) ungespitzt und lotrecht derart in den Boden eingegraben werden, dass die dem Bau abgewandten Flächen, 1—2 m von ihm entfernt, Parallelen zur künftigen Hausgrenze bilden. An den dem Bau abgewandten Seiten dieser Pfosten werden Dielen oder Hölzer genau horizontal mittels Klammen, Schrauben oder Drahtstiften solid und so hoch befestigt, dass deren Oberkanten ca. 30 cm über der ersten Hausgrundschicht liegen.

Wird dadurch die Entfernung von der derzeitigen Bodenoberfläche zu gross für die bequeme Erreichung der Biele, so konstruiert man an den Pfosten in entsprechender Höhe mit einigen Brettern und Latten einen Laufsteg.

Dabei müssen je zwei gegenüberliegende Dielen unter sich gleiche, gegen die senkrecht anstossenden aber veränderte Höhe haben, um das „Reiten“ der später einzuhängenden Schnüre zu vermeiden. Die einzelnen Pfosten werden meist mit der Diele oben bündig schief nach abwärts abgeschnitten.

Das „Einschneiden des Schnurgerüstes“ bildet einen^“sscifmr-11 Teil der behördlichen Baukontrolle, insofern es das Mittel an die gerüstes Hand gibt, die genaue Einhaltung der Bauflucht und der vorgeschriebenen oder vereinbarten Abstände von den Nachbargrenzen zu kontrollieren.

Fig. 341a.

S₈

sG-a>

S₄

SU

- ■*>

s*

|.a-i c, a

s₇

■■

-'-ly

Ehe unbedingte Stabilität nach Lage und Höhe, das wichtigste Erfordernis für ein Schnurgerüst, erreicht ist, darf daher mit dem „Einschneiden“ nicht begonnen werden. Unter letzterem versteht man die Bezeichnung der Verlängerungen der Aussen -wandflächen und der Zwischenwände auf den Verbindungsdielen durch Sägeeinschnitte S (s. Fig. 341 a) derart, dass die nach innen gerichtete Seite einer in zwei korrespondierende Einschnitte eingehängten Schnur in die genannte Flucht fällt. Meistens genügt zu diesem Zweck ein einziges Gerüst rings um die Baugrube. Bei sehr grossen Bauwesen würden indessen infolge der zu langen Schnüre leicht Unsicherheiten infolge von Wind und anderen Einflüssen entstehen. Man zieht es daher hier vor, auch im Innern der Baugrube noch Schnurgerüste aufzubauen und auf ihnen die in Betracht kommenden Fluchten gleichfalls anzugeben.

Als Grundlage für die innere Einteilung sind zuerst die Umfangs flächen des Baues einzuschneiden. Man beginnt mit der „Baulinie“. Da sie selbst in den wenigsten Fällen direkt zugänglich ist, steckt man, falls sie gerade sein soll, zunächst eine für

die Durchsicht bequem liegende Parallele zu ihr ab, die entweder von versicherten Strassenachspunkten aus, oder, wo diese fehlen, von bereits an der fraglichen Strasse erstellten Gebäuden durch Herauslegen eines beliebigen konstanten Masses a (s. Fig. 341a) von der in die Baulinie gerückten Gebäudefläche (in Württemberg der Hausgrund) hergestellt wird.

Sind bei der früheren Absteckung jener Gebäude Fehler unterlaufen, oder haben sich die Gebäude nachträglich und einseitig gesenkt (was bei schlechtem Untergrund Lageänderungen von mehreren dm zur Folge haben kann), so werden die aus ihnen rückwärts konstruierten Punkte der verlangten Parallelen nicht genau in einer Geraden liegen. Sie sind daher auszugleichen. Die Ausgleichung erfolgt entweder auf dem Gelände direkt mit freiem Auge, oder in wichtigen Fällen im Zimmer nach den Grundsätzen der Methode der kleinsten Quadrate, nachdem die für die Baulinie massgebenden Punkte möglichst genau auf eine zu ersterer ungefähr parallele Abszisse aufgenommen worden sind. (Yergl. § 18 von Weitbrecht, Ausgleichungsrechnung, bei Göschen).

um

Die Schnitte A und B der endgültig angenommenen Linie mit den Verlängerungen der seitlichen Dielrichtungen (s. Fig. 341a) werden nun (nötigenfalls mittels des Theodoliten) genau in die Parallele eingewiesen. Von ihnen aus wird der Parallelabstand a = A Si = BS2 (oder bei um den 4 a schiefer Richtung ) in der Dielrichtung abgesetzt. Die erhaltenen Endpunkte S₄ und S₂ bezeichnet man auf den Dielen sofort mittels Sägeschnitts und zwar in der Form y", wobei die vertikale Linie die Hausflucht bezeichnet und die schiefe von aussen herein gegen den Bau verläuft. Auf der horizontalen Diele werden sodann von den genannten Einschnitten aus die Haustiefen S₄ S₃ = S₂ S₄ abgemessen und auch die Endpunkte S₃ und S₄ eingeschnitten. In einem beliebigen Punkt C der abgesteckten Parallelen schlägt man jetzt (nötigenfalls mit dem Theodoliten) den zumeist rechten, in Ausnahmefällen aber irgendwie ermittelten oder gegebenen Winkel a zwischen Baulinie und Seitenflucht an und weist die gewonnene Richtung auf den Dielen in C4 und C₂ vorläufig ein. Von ihr aus misst man die Entfernung e' nach den für die Seitenwand bestimmenden Gegenständen (Nachbargebäude, Eigentumsgrenze etc.) und vergleicht sie mit der Sollentfernung e. Die vorläufigen Zeichen C₄ und C₂ (s. Fig. 341 a) werden alsdann um die Differenz d = e — e' (oder bei schiefer Richtung j verschoben und die derart gewonnene endgültige Richtung in S₅ und S₆ eingeschnitten.

Die Schnitte S₇ und S₈ ergeben sich durch Abmessung der projektierten Frontlänge auf den Dielen von S₅ bezw. S₆ aus, wenn nicht auch deren Richtung durch Baulinien oder Verträge bestimmt ist und nach vorigem abgesteckt werden muss.

Verläuft die Baulinie im Bogen, so muss in der Regel die Hausfront als Tangente oder als Sehne zu ersteigern abgesteckt werden und zwar so, dass kein Punkt des Hauses über sie vortritt. Je nachdem die Krümmung konvex oder konkav ist, liegen dann die beiden Eckpunkte, oder der Mittelpunkt der Hausfront auf der Baulinie. Zum Zweck ihrer Angabe auf dem Gelände berechnet man die Koordinaten dieser Punkte in Beziehung auf diejenige absteckbare Aufnahmelinie, auf welche die Bogenlinie und die in Frage kommenden Grenz- etc. Punkte bezogen sind (vergl. z. B. § 32). Sind sie mittels dieser Masse abgesteckt, so ergeben die Rückwärtsverlängerungen ihrer Verbindungslinien den Ort der anzubringenden Sägeschnitte.

Fig. 341b.

AL1

iT 6,:

S₈

Sio

Neubau.

L3

«'S—*-f

S₇

S₆ \ ......* D

HV

'F

4'.

X.

c*-\

l-2

An Strassenkreuzungen kommen häufig Grundrisse von unregelmässiger Form vor. Liegt die Aufgabe des Schnurgerüsteinschneidens wie in Fig. 341b, so sind zuerst die zwei Baulinien bezw. Parallelen Li L₂ und L₂ L₃ herzustellen durch Abmessung der Abstände ASi = sli und BS₂ = a₂ wie in voriger Aufgabe. Alsdann wird

a,

sin a

Lol) =    und L₂ E =

sm a

vom Schnittpunkt L₂ der Pai'allelen aus abgesetzt und von den erhaltenen Punkten aus (nötigenfalls mittels des Theodoliten) die Gerade E S₄ S₂ sowie D S₃ Si angegeben und eingeschnitten. Durch Einhängen der Schnüre in S₄ und S₃ bezw. S₂ und S₄ erhält man den Baulinienschnitt F, der von den inneren Seiten der Schnüre auf den Boden mittels Senkels herunterprojiziert wird. Auf dem

Boden werden die meist durch Baubestimmungen gegebenen Abschrägungen FG und FH, soweit solche noch beibehalten werden, abgemessen und alsdann die gewonnenen Punkte G und H mittels zweier den Schnüren S₄ S₃ und S₂ S₄ angehängter Senkel heraufprojiziert. Die jetzt bequem mit blossem Auge zu nehmende Verlängerung' der Linie GH wird in S₅ und S₆ eingeschnitten.

Das Einschneiden von S₇ bis S]0 geschieht in der in voriger Figur gezeigten Weise, nur ist die etwaige Verschiebung der vorläufigen Punkte auf der Diele für S₈ und Si₀ nicht gleich d, sondern gleich —4—.

sin a

Der Einschnitt für Zwischenmauern erfolgt schliesslich durch Abmessung der dafür projektierten Masse auf den Dielen des Schnurgerüstes von den nach bisherigem gewonnenen Umfassungslinien aus.

Um Verwechslungen vorzubeugen, wird jedem Schnitt seine Bedeutung beigeschrieben: S (Sockel), H-G (Hausgrund) etc., auch liegt es im Interesse des für seine Angaben verantwortlichen Technikers, die Anbringung der Sägeschnitte selbst zu beaufsichtigen.

B. Absteckung von Kurven.

(Eingehendere Behandlung s. u. a. Knoll-Weitbrecht, Ahstecken der Kurven.)

Einleitung.

Die Pachtung langgestreckter Bauwerke (von Eisenbahnen, Strassen, Kanälen) setzt sich zumeist zusammen aus Geraden und Kurven, welche sich berührend aneinander schliessen. Bei Verkehrs-wegen, auf denen die Fahrzeuge nur mit beschränkter Geschwindigkeit sich bewegen, ist die Art der Krümmung unter Beachtung der durch die Beweglichkeit der Badgestelle gegebenen unteren Grenzen für die Krümmungsradien eine beliebige und in horizontalem Gelände oft nur durch die Rücksicht auf Planschönheit beeinflusste. In bergigem Gelände dagegen sind die Krümmungen durch die Geländeform bedingt. Beim Eisenbahnbau erfordern die Massregeln zur Unschädlichmachung der Wirkung der bei schnell bewegten Fahrzeugen mit starren Radgestellen auftretenden Zentrifugalkraft und Spurkranzklemmung eine von Strecke zu Strecke gleichmässige, in ihren Radien nicht unter ein gewisses Mass heruntersinkende Krümmung. Hier setzt sich die Trace daher aus (horizontalen oder geneigten) Strecken zusammen, die sich horizontal als Gerade oder Kreisbögen projizieren, d. h. aus Schraubenlinien, welche sich um vertikale Zylinder vom jeweils zulässigen Minimalradius bis zum Radius r = co winden.

Die Projektierung der Linie (die Tracierung) ist Aufgabe des Bauingenieurs. Sie erfolgt bei untergeordneten Bauwesen unter

Umständen auf dem Gelände, zumeist aber auf Plänen, welche sowohl die Geländeeinteilung und -kultur, als auch, am besten mittels eingezeichneter Horizontalkurven, die Geländeform angeben. Hiebei sind neben volkswirtschaftlichen und betriebstechnischen Rücksichten (Krümmungs- und Längenverhältnisse, Minimalradius, Maximalsteigung etc.), namentlich Rücksichten auf die Baukosten (Brücken, Tunnels, Vermeidung des Anschneidens von Rutschhalden, Grunderwerb etc.) entscheidend. Durch Abwägung der den einzelnen möglichen Varianten für die Linienführung anhaftenden Vorzüge und Nachteile gelangt man schliesslich zur vorteilhaftesten Trace, deren Übertragung vom Plan auf das Gelände nun Sache des Vermessungstechnikers ist.

Zu diesem Zweck werden zunächst Punkte der geraden Projektstrecken Li, L₂, L₃ . . . je in überschüssiger Zahl durch Abmessung von aus dem Plan abgegriffenen Entfernungsmassen nach benachbarten, im Plan und Feld vorhandenen Festpunkten oder auf sonstige Weise an Ort und Stelle bestimmt. Unter Ausgleichung etwaiger kleiner Widersprüche der abgesteckten Punkte gegen die gerade Sollrichtung erfolgt sodann so weit möglich die Bestimmung und örtliche Versicherung der Schnittpunkte S dieser Geraden der „Tangentenschnitte“ oder „Winkelpunkte“.

Nach Erledigung dieser vorbereitenden Arbeiten wird die eigentliche Kurvenabsteckung eingeleitet mit der:

§ 96. Berechnung der Elemente zur Absteckung der Bogenhauptpunkte.

Sie stützt sich zumeist auf den irgendwie zu messenden Schnittwinkel 2 a der beiden auf dem Gelände abgesteckten geraden Strecken, (Tangenten), an welche der Bogen sich berührend anschliessen soll. Der dem letzteren zugehörige Zentriwinkel 2<y ergänzt den Tangentenschnittwinkel 2a zu 2 R.

Ist der Tangentenschnittpunkt S unzugänglich, oder sind bei spitzem Tangentenwinkel und grossem Radius die Verlängerungen bis zu ihm sehr lang, so können zum Zweck der Winkelbestimmung Hilfspunkte Hx und H₂ auf den Tangenten benützt werden, deren Verbindungsstrecke direkt, oder mittels eines eingeschalteten Polygonzugs (s. Fig. 343) bestimmt und durch Ermittlung der Winkel (p und zwischen ihr und den Tangenten zu letzteren in Beziehung gesetzt wird. Daraus lassen sich dann die Strecken Hj S, H₂ S und der Winkel 2 a berechnen.

Wir gehen nun über zur Gewinnung der Masse für die Absteckung der Kreispunkte selbst. Der zugehörige Halbmesser r möge, wie das in der Regel der Fall ist, aus der Projektbearbeitung bekannt sein.

Der Bogenmittelpunkt 0 ist weder gesucht, noch wird es in vielen Fällen möglich, oder auch nur zweckmässig sein, ihn auf dem

Feld zu bezeichnen, da die Bogenabsteckung von ihm aus wegen der zumeist sehr grossen Badien doch nicht angängig ist. (Nur an Wendeplatten bei Strassen kann es sich empfehlen, die Bogenabsteckung vom Mittelpunkt aus zu bewirken.)

Absteckungs-

grundlinien.

Am zweckmässigsten geht man von passenden Geraden aus, die in möglichster Nähe des abzu-

Fig. 342.

x-

\y

t*\ \ \

*2^7'Se

steckenden Bogens verlaufen und die auf dem Feld leicht herzustellen sind (Tangenten, Sehnen zum Kreis etc.). In bezug auf sie berechnet man sodann rechtwinklige, oder Polarkoordinaten für die

auf dem Feld gewünschten Bogenpunkte.

Bogen-

hauptpunkte.

Bei der Absteckung der letzteren an Ort und Stelle beginnt man mit den Bogenhauptpunkten. Als solche gelten: die beiden Berührungspunkte A und E, die Bogenmitte M und eventuell noch die Bogenviertel Vi und V₂, unter Umständen aber auch irgendwelche, in grosser gegenseitiger Entfernung voneinander liegende Bogenpunkte.

Zur Absteckung der Berührungspunkte A und E braucht man die Strecken SA = S E (bezw. wenn S unzugänglich oder SA unverhältnismässig lang ist, Pb A = S A—S Hx und analog H₂ E = S E — S H₂).

Aus A 0 S A kommt

(1)

SE = SA = r . tgo)

und zur Berechnung von Hj A und H₂ E aus A Hx H₂ S

SH> =

Hx H2 sin 2 a

Zur Bestimmung der Bogenmitte M hat man unter gleichzeitiger Rechenprobe für S E und S M a = SM = SO-r

S Ii₂ =

sin <p.

(2)

, o)

r = t • tg ₂

COS (I)

Will die Absteckung der Winkelhalbierenden SM 0 umgangen werden, so erhält man die rechtwinkligen Koordinaten xM und yM der Bogenmitte in bezug auf jede der Tangenten als Achse und den Berührungspunkt als Ursprung:

¹ ^ Abszisse xM = läbnee ^ j Ordinate yM = K F M =

AF = r. sin co

rcoso> = 2 rsiii² ~ = xM tg

Die, letzte Gleichung bietet wieder eine Rechenprobe für xM und yM. Di<p Bogenmitte Al lässt sich bei grosser Entfernung von den Ta ngenten weder durch die Winkelhalbierende SM, noch von der Tangente aus durch die Koordinaten xM und yM mit genügender omna’dgkeii aufs Feld übertragen. In diesem Fall ist es zweck-

massiger, die Schnittpunkte Si und S₂ der in Al an den Kreis zogenen Tangente mit den Haupttangenten und damit die erstere selbst zu bestimmen. Die Absteckung von Si und S₂ geht bequem anlässlich derjenigen von A und E, sobald man aus dem A OASi kennt:

ge-

= ES₂ = S₂ AI = S,M = r-tgf.

Die Gleichung (4) gibt für die Länge der Tangente Sj M dieselbe Formel wie Gleichung (1) für die Länge der Tangente S A. Nur tritt an Stelle des halben

Zentriwinkels zu t = co für Si M der halbe Zentriwinkel zu t1; nämlich

(4) G = ASi

Diese Übereinstimmung trifft für jeden weiteren Teilpunkt, das Bogen-vier'iel, Bogenachtel etc., zu. Für diese bleiben die Formeln (2) bis (4) ganz

identiich, nur tritt an

Stelle des Zentriwinkels co jeweils der Wert —, — etc

2    4

Demnach wird der Scheitelabstand ai = SXAT ^SaVr-—~Tx • tg (2) die Abszisse xv = r • sin |*-die Ordinate yY = r — r cos

(3)

Hat man zur Gewinnung der Berührungspunkte A und E die Hilfspunkte Hx und H₂ benützen und ihre Verbindungsstrecke abstecken und durchmessen müssen, so wird man sie zweckmässigerweise auch zur Absteckung des Bogenmittels M und der in diesem Fall als Hauptpunkte geltenden, auf den Strahlen Hx 0 und H₂ 0 liegenden Bogenpunkte verwenden. Für die Absteckung des ersteren erhält man z. B. den Schnittpunkt H₃ der Zentralen 0 S mit der Hilfsstrecke aus den in den Dreiecken S Hx H₃ und S H₂ H₃ berechneten Strecken:

(5 a) HxH₃

S Hx sin a

tj rj S H₂ S1U a ) wobei beide Nenner als sin

Untt 1 io fl« = ——-— > von Nebenwinkeln einander

Sin (tfJ — a) )    gleich sind,

sin(gp — a)

oder unter Beachtung, dass H₃ der Schnittpunkt der Winkelhalbierenden Transversale mit der Gegenseite ist:

Hi H₃: H₃H₂ =-SHi:SH₂, also

(1b) Hx H₃ =

Hx H₂

H₂

SHx und H₃H₂ = -g^-- gH

SH₂.

Die Strecke H₃M ist bekannt, sobald man aus denselben Dreiecke mit Probe zugleich für Slii und SH₂ berechnet hat:

S H, sin cp S H₂ sin -i/>

sin (cp — a)

(5c)

SHa =

sin (ip — a)

<£ Hi H₃ M = *p — a M H₃ H₂ = cp — 05.

Endlich erhält man den Winkel, unter dem H₃ M von ih II2 abgeht, aus

Absteckung der Hauptpunkte eines Kreises vom Radius r = 500 m mit dem Tangentenschnittwinkel 2a — 104° 18' 24".

2.5893h

Beispiel: Gesucht die Masse zur

t=SA = SE = 388,49

= 52° 09' 12" = 37° 50' 48" r = 500 m

r .tgco

cos (o

9.89041

2.69897

9.89744

OF

AF

r — y>i

xm

r. cos (o r . sin cü

SO

cos (o

Scheitelabstand a — S.M Halbe Sehne AF = xm Pfeilhöbe p = FM = y>r

394,83

306,77

633.19

133.19 306,77 105,17

r. cos o) r . sin o)

2.59641

2.48682

cos o)

2.80153

0)

2-

18° 55 24 '

c5T

3 <N

9.535C8

h EE Sj M — S, A = SS, = 217,07.

171,42

rtg

IO

Statt diese Berechnung für jeden speziellen Fall auszuführen, kann man auch unter Beachtung, dass alle Kreise ähnliche Figuren, und daher homologe Strecken daran proportional sind, die nötigen Grössen ein für allemal für einen bestimmten Halbmesser (z. B. r = 100) und verschiedene Zentriwinkel berechnen und sich dann darauf beschränken, diese Masse je mit dem betretfenden in hm ausgedrückten Halbmesser zu multiplizieren. Auf diesen Gedanken gründen sich die verschiedenen, von Gysin, Jordan, Knoll-Weitbrecht Kröhnke, Sarrazin, Winckel u. a. herausgegebenen Kreistafeln.

Benützung eines zur Voraufnahme verwendeten Polygons zur Absteckung von Bogenpunkten.

Im bisherigen war vorausgesetzt, der Schnittpunkt S der beiden Tangenten selbst, oder die Verbindungsstrecke zweier ihrer Punkte Hi und H₂ sei zugänglich und bequem absteckbar. Auch stehe dey genauen Bestimmung von Bogenanfang und -ende durch Ahmeden der berechneten Tangentenlänge S A = S E bezw. Hi A und P₂ e kein Hindernis im Wege.-

S-96