\:'à

WJ

m

-•jT-

£;■

łyp

; ...

W

fl

' ■■■■-.*

Biblioteka Politechniki Krakowskiej

100000299026

■'IV

■ 4

REPERTORYUM MATEMATYKI WYŻSZEJ.

I * • à >

lii;/

;i:i

n»

/ .

■

/

f

: i

'

;

■

ł

i

»

■

.

ERNESTO PASCAL.

REPERTORYUM

MATEMATYKI WYŻSZEJ

PRZEŁOŻYŁ za. upoTważiiieiiiem. .&.•«. tera.

S. DICKSTEIN.

TOM II.

GEOMETRYA.

WARSZAWA.

Wydawnictwo Redakcyi „Wiadomości matematyczych“.

W drukarni J. Sikorskiego, Warszawa, Warecka t4.

-sD 6'3

,3,03BOJieno iJeH3ypoK) BapinaBa, 17 Maa 1901 ro^a.

wTci-.

K R A X Ó W I

/ô

//

114346

ia,

—sm/go

TRES Ć.

ROZDZIAŁ I.

Geometrya form ciągłych zasadniczych.

rH GO

§    1. Określenia i pojęcia wstępne.........

§    2. Geometrya form 1-go gatunku.........

§    3. Geometrya form gatunku 2-go. Płaszczyzna punktowa

i liniowa...............

§    4. Geometrya form zasadniczych gatunku 3-go. Przestrzeń

punktowa i płaszczyznowa..........

ROZDZIAŁ II.

Geometrya form nieciągłych.

§    1. Wiadomości ogólne............

§    2. Własności rzutowe dwójek, trójek, czwórek punktów na

prostej. Środki harmoniczne. Apolarność. Inwolucye . §    3. Układy liniowe grup punktów. Inwolucye ogólne.

§    4. Własności rzutowe trójkątów, czworokątów, sześcioką-

tów i t. d.............. .    .

§    5. Geometrya miarowa trójkąta płaskiego. Wzory trygo-

nometryi płaskiej §    6. Geometrya miarowa trójścianu i trójkąta kulistego.

Wzory trygonometryi kulistej........

-o

wv 70

to

OS

os

-71

-O

71

H.

ROZDZIAŁ III.

Teorya niezmiennicza form algebraicznych. Honeksy.

§    1.    Formy algebraiczne jakiekolwiek. Rzeczy ogólne .    .    81

§    2.    Zasada przeniesienia............

§    3.    Wyznaczniki fukcyjne, liesyany, kombinanty, wypadkowe i wyróżniki dowolnych form algebraicznych .    .    93

§    4.    Formy kwadratowe w ogólności i teorya form dwulinio-

wych. Prawo bezwładności. Teorya dzielników elementarnych Weierstrassa..........

§    5.    Układy zupełne dla form o większej liczbie szeregów

ilości zmiennych.............

§    6.    Koneksy, koincydencye...........

§    7.    Formy trójkowe, czwórkowe i t. d. automorficzne .    .    112

§    8.    Formy niebiegnnowe wyższe

91

97

107

108

117

ROZDZIAŁ IV.

Stożkowe.

§    1. Tworzenie rzutowe stożkowych, własności bezpośrednio

z niem związane.............

§    2. Własności rzutowe zasadnicze stożkowych. Twierdzenia

Pascala, Brianchona i Desargues’a.......

§    3.    Wzory główne geometryi analitycznej    stożkoAvych    .    .    125

§    4.    Główne własności miarowe stożkowych .

§    5.    Własności ogniskowe stożkowych

§    6.    Pęki stożkowych.........

§    7.    Utwory niezmiennicze układu jednej    lub    dwóch    form

trójkowych kwadratowych..........

119

122

.    .    135

138

142

144

ROZDZIAŁ V.

Kwadryki.

.    .    149

§    1. Tworzenie rzutowe kwadryk. Biegunowość

§    2. Główne wzory geometryi analitycznej kwadryk .    .    .    155

§    3. Własności ogniskowe kwadryk

169

§    4. Własności metryczne kwadryk Kwadryki równoboczne 173

175

§    5. Pęki i sieci kwadryk

ROZDZIAŁ VI.

Teorya ogólna krzywych płaskich algebraicznych.

§    1. Rzeczy ogólne. Punkty osobliwe. Wzory Pliickera. Wyróżnik ................

§ 2. Teorya biegunowości. Krzywe spółzmienne . . . . 188 §    3. Układy liniowe krzywych płaskich ....

§    4. Grupy punktów na krzywej algebraicznej .

§    5. Przekształcenia dwujednoznaczne płaszczyzny lub krzy

wych płaskich. Przekształcenia wielokrotne . . . . 213

178

196

.    .    203

ROZDZIAŁ VII.

Krzywe sześcienne płaskie.

§    1. Wiadomości ogólne o krzywych sześciennych płaskich.

Punkty przegięcia. Punkty stycznościowe .

§    2. Tworzenie rzutowe krzywych sześciennych

§    3. Formy kanoniczne równania krzywej sześciennej. Różne

klasyfikacye krzywych sześciennych §    4. Forma sześcienna trójkowa. Jej niezmienniki i spół-

zmienniki,

. . 220

.    .    225

.    .    227

.    233

ROZDZIAŁ VIII.

Krzywe płaskie rzędu czwartego.

§    1. Wiadomości ogólne. Tworzenie krzywych rzędu czwar

.    230

tego. Styczne podwójne. Stożkowe i krzywe sześcienne styczne ,

§    2. Krzywe rzędu czwartego z punktami osobliwemi .    .    .    248

§    3. Formy rzędu czwartego trójkowe

ROZDZIAŁ IX.

Teorya ogólna powierzchni i krzywych skośnych algebraicznych.

§    1. Rozważania ogólne. Powierzchnie rozwijalne i skośne.

Przekroje powierzchni. Geometrya na powierzchniach

algebraicznych.............

§    2. Przedstawienie analityczne krzywych skośnych. Powierzchnie monoidalne C a y 1 e y’a.........

§    3. Klasyfikacya krzywych skośnych........

§    4. Punkty osobliwe powierzchni i krzywych skośnych. Ich

liczby charakterystyczne. Sieczne wielokrotne krzywych skośnych. Wzory C a y 1 e y’a. Styczność powierzchni

§    5. Powierzchnie biegunowe. Powierzchnie spółzraienne.    .    286

y 6. Układy liniowe powierzchni

§    7. Przekształcenie dwuwymierne przestrzeni i powierzchni.

Odwzorowanie płaskie powierzchni .

266

261»

274

. 288

.    .    291

ROZDZIAŁ X.

Krzywe skośne różnych rzędów.

§    1. Krzywe na powierzchniach rzędu 2-go. Krzywe kuliste

(sferyczne)............

§    2. Krzywe sześcienne skośne.......

§    6. Krzywe skośne wymierne.......

298

303

.    .    310

.    .    314

319

325

ROZDZIAŁ XI.

Powierzchnie rzędu 3-go.

§    1. Wiadomości ogólne Powierzchnie o punktach podwójnych. Tworzenie geometryczne........

§    2. Pięciościan Sylvestera. Powierzchnia Hessego dla powierzchni sześciennej......... .

328

§    3. Proste powierzchni rzędu 3-go. Płaszczyzny trójstyczne.

Sześciany biegunowe Cremony........

§    4. Klasyfikacya powierzchni sześciennych rzeczywistych

ogólnych...............

§    5. Odwzorowania płaskie powierzchni sześciennej .    .    .    348

§    6. Forma sześcienna czwórkowa

347

350

ROZDZIAŁ XII.

Powierzchnie rzędu 4-go.

§    1.    Wiadomości ogólne. Powierzchnie o punktach podwójnych i o liniach podwójnych.........

§    2.    Powierzchnie rzędu 4-go o punktach podwójnych .    .    355

§    3.    Powierzchnia Kummera

§    4.    Tetraedroida Cayley’a i powierzchnia falowa ....    368

§    5.    Powierzchnie rzędu 4-go, zawierające nieskończenie

wiele stożkowych

§    6.    Powierzchnie rzędu 4-go ze stożkową podwójną albo

ostrzową...............

§    7.    Cyklidy. Cyklida Dupina..........

§    8.    Powierzchnie rzędu 4-go z prostą podwójną ....

§    9.    Powierzchnia rzymska Steinera........

§ 10. Powierzchnie prostoliniowe rzędu 4-go......

352

359

.    372

375

CO CO

393

398

ROZDZIAŁ XIII.

Powierzchnie rzędu wyższego niż czwarty. Powierzchnie prostoliniowe.

§    1. Powierzchnie rzędu 5-go nieprostoliniowe .

§ 2. Powierzchnie rozwijalne rzędu 5-go . . . . §    3. Powierzchnie prostoliniowe rzędu 5-go .

§ 4. Powierzchnie rzędu 6-go albo klasy 6-ej . . §    5. Rozwijalne rzędu 7-go........

409

413

416

419

§    6. PoAvierzchnie prostoliniowe jakiegokolwiek rzędu .    .    426

§    7. Powierzchnie wymierne, powierzchnie o .przekrojach wy

miernych eliptycznych, hyperbolicznych .

.    .    434

ROZDZIAł XIV.

Geometrya prostej w przestrzeni. Geometry a kuli.

§    1.    Wiadomości ogólne. Spółrzędne prostej w przestrzeni .    437

§    2.    Kompleks algebraiczny ogólny stopnia n. Znakowanie

symboliczne Battagliniego i Clebscha. Formy niezmiennicze kompleksu.........

§    3.    Kompleksy liniowe........

§    4.    Pęki i sieci kompleksów liniowych

§    5.    Kompleksy liniowe inwolucyjne Kleina .

§    6.    Kompleksy kwadratowe w ogólności

§    7.    Klasyfikacya kompleksów kwadratowych

§    8.    Kompleks Battagliniego lub harmoniczny .

§    9.    Kompleks Reyego lub czworościanowy .    .

§ 10. Teorya ogólna kongruencyj linij prostych .

§ 11. Kongruencye rzędu 1-go......

§ 12. Kongruencye rzędu 2-go bez linij osobliwych § 13. Kongruencye rzędu 2-go z liniami osobliwemi §14. Geometrya kul..........

444

449

451

453

454

459

467

468

471

476

477

482

486

ROZDZIAŁ XV.

Geometrya

licząca.

§    1. Rzeczy ogólne. Zasada zachowania liczby

§    2. Rachunek symboliczny warunków. Wzory na incyden-

.    .    490

cyę i koincydencyę. Twierdzenia o styczności .

§    3. Teorya charakterystyk..........

§    4. Metoda szukania liczb charakterystycznych dla danego

układu form i zestawienie niektórych ważnych rezulta-

.    493

.    499

tów Geometryi liczącej

502

ROZDZIAŁ XVI.

Teorya nieskończonostkowa krzywych i powierzchni.

§ 1. § 2. §    3.

§    4.

§    5.

§ 6.

§    7.

§ 8.

§    9.

§ io.

§ U-

§ 12.

Linie, nakreślone na powierzchni. Linie krzywiznowe. Styczne sprzężone. Linie geodezyjne. Linie asymptotyczne ................

Krzywizny powierzchni. Rozwijalność jednych powierzchni na drugie..............

Powierzchnie o krzywiznie całkowitej stałej. Powierzchnie pseudosferyczne...........

Powierzchnie o krzywiznie średniej dodatniej. Powierzchnie minimalne...........

to to

529

531

541

553

558

564

§ 13. § 14. § 15.

Powierzchnie rozwinięte.........

Układy potrójne powierzchni ortogonalnych Kongruencye prostych.........

ROZDZIAŁ XVII.

Główne sposoby tworzenia i przekształcania krzywych, wyspecya lizowane metrycznie. Geometry a krzywych specyalnych.

§    1. Krzywe i powierzchnie odwrotne i Desargues’a. Prze

kształcenie za pomocą promieni odwrotnych. Przekształcenie Desargues’a

Mir

§    2. Spodkowa krzywej płaskiej i powierzchni.....

§    3. Krzywe i powierzchnie kaustyczne.......

§    4. Krzywe i powierzchnie równoległe. Krzywe i powierzchnie muszlowe..............

Ol Ol GO GO

589

Stożkowe

Krzywe dzielmcze lub dzielcze.....

Krzywe cykloidalne lub rulety. Glisety .

594

§ io. § U.

§ 12.

§ 13. § li-

§ 15.

§ 16.

Cysoidy. Krzywa sześcienna lub zwrotnica (versiera) Maryi Agnesi. Trójdzielcza Maclaurina. Strofoida. Liść 597 Owale Cassini’eg’o. Lemniskata Ósemka ....    601

Owale Descartes’a. Ślimakowa Pascala. Kardioida. Kon-

choida Nikomedesa. Spiryki.........

Cykloida. Troclioida. Hypocykloida. Astroida. Czworo-

ostrze................

Krzywe spiralne. Krzywe Ribaucoura......

Łańcuchowa. Krzywa Delaunay’a. Traktorya. Sinusoida.

Kwadratryca. Krzywa sprężysta........

Krzywe skośne. Helisy. Loksodromie......

Cykliki kuliste, Okna Vivani’ego, Spiryki kuliste . .    .    623

606

610

614

t-h <M

co - i

ROZDZIAŁ XVIII.

Analysis s/łus czyli topologia. Teorya wie/ościanów. Spójność powierzchni Riemanna.

§    1. Spójność powierzchni. Powierzchnie jednostronne i dwustronne. Liczba zasadnicza. Rodzaj.......

§    2. Spójność przestrzeni............

§    3. Sieci wielościanowe. Twierdzenie Eulera. Wielościany

w przestrzeni o trzech i więcej wymiarach .

§    4. Spójność powierzchni Riemanna. Powierzchnie Riemanna

foremne i symetryczne .    ..........

§    5. Powierzchnie Riemanna w znaczeniu rzutowem według

Kleina................

co co

CM CO

639

. .    633

ROZDZIAŁ XIX.

Geometry a rzutowa nadprzestrzeni.

§    1. Rzeczy ogólne. Rozmaitości liniowe. Związki rzutowe

i metryczne. Odpowiedniości homograficzne ....    647

654

§    2. Rozmaitości nieliniowe. Nadpowierzchnie. Przedstawienie monoidalne..............

§    3. Nadkwadryki przestrzeni Sn- Wskazówki o nadpowierz-

.    .    657

chniach sześciennych przestrzeni $₄ .

§    4. Powierzchnie lub rozmaitości dwuwymierne przestrzeni Sn ■

664

Prostoliniowe. Powierzchnia Yeronesego w przestrzeni Sb 659 §    5. Krzywe w przestrzeniach Sn

ROZDZIAŁ XX.

Geometrya nieskończonostkowa i wewnętrzna w nadprzestrzeniach liniowych i w przestrzeniach o krzywiznie stałej.

670

§    1. Krzywe w przestrzeniach liniowych.......

§    2. Geometrya różniczkowa rozmaitości wielowymiarowych,

.    .    673

znajdujących się w przestrzeniach liniowych. Formy różniczkowe kwadratowe .

§    3. Odkształcenie i krzywizna Riemanowska przestrzeni.

Przestrzenie o krzywiznie Riemannowskiej stałej .    .    676

§    4. Inne uogólnienia pojęcia krzywizny rozmaitości lub prze

strzeni więcej niż o dwóch wymiarach, znajdującej się

683

w przestrzeni wyższej...........

§    5 Geometrya różniczkowa rozmaitości dwuwymiarowych

(powierzchni), znajdujących się w przestrzeniach o krzywiznie stałej Riemanna...........

ROZDZIAŁ XXI.

Geomełrya bezwzględna i specyalnie Geometrya nieeuklidesowa na płaszczyźnie i w przestrzeni.

§    1. Zarys historyczny geometryi nieeuklidesowej ....    689

§    2. Postulat V-y Euklidesa. Wyniki otrzymane przez Ło-

692

baczewskiego i ßolyai’a. Trzy geometrye z punktu widzenia elementarnego §    3. Zwykłe związki metryczne w postaci rzutowej .    .    .    699

702

§    4. Absolut CayleyV. Metryka rzutowa. Jnterpretacya rzutowa trzech geometryj...........

§    5. Odwzorowanie geometryi nieeuklidesowej na powierzch

706

niach lub rozmaitościach wyższych przestrzeni euklide-sowej, podane przez Beltrami’ego.......

ROZDZIAŁ XXII.

Nowa geometrya trójkąta.

Punkty i koła Lemoine’a i Brocarda. Prosta Eulera. Koło dziewięciu punktów lub koło Feuerbacha. Koła Taylora i Tuckera. Prosta Simpsona .

wÜ --

W?

h

\

ROZDZIAŁ I.

GEOMETRYA FORM CIĄGŁYCH ZASADNICZYCH.

fSS.

rH

Określenia i pojęcia wstępne.

Nazywamy formami geometryczne mi z a sądni c z e m i gatunku 1-go następujące trzy figury geometryczne:

1)    szereg punktów na prostej (prosta punktowa), t. j. ogół wszystkich punktów (elementów formy), położonych na prostej, którą nazywamy podkładem szeregu;

2)    pęk pros t y c h, t. j. ogół wszystkich prostych płaszczyzny, przechodzących przez jeden punkt (podkład lub środek pęku);

3)    pęk płaszczyzn, t. j. ogół wszystkich płaszczyzn przestrzeni, przechodzących przez jeclnę prostą (podkład lub oś pęk u).

Oznaczamy nazwą: formy geometryczne gatunku 2-go następujące cztery figury geometryczne:

1)    płaszczyznę punktową, t j. ogół wszystkich punktów płaszczyzn^';

2)    płaszczyznę liniową, t. j. ogół wszystkich prostych płaszczyzny;

3)    wiązkę prostych, t. j. ogół prostych przestrzeni, przechodzących przez jeden punkt;

Pascal. Rep. II.

4) wiązkę płaszczyzn, t. j. ogół wszystkich płaszczyzn przestrzeni, przechodzących przez jeden punkt.

Nazywamy wreszcie formami geometrycznemi gatunku 3-go figury następujące:

1)    przestrzeń punktową, t. j. ogół wszystkich punktów przestrzeni;

2)    przestrzeń płaszczyznową, t. j. ogół wszystkich płaszczyzn przestrzeni.

Dla krótkości nazywamy zwykle układem płaskim układ płaszczyzny punktowej i płaszczyzny liniowej, wiązką układ dwóch wiązek, a mianowicie wiązki prostych i wiązki płaszczyzn; przestrzenią układ dwu form gatunku 3-go.

owi a-sobi ilość o

eCD

CD

z y N i N —j- r, o d p o w i a d odległość od e 1 e m e n

et- ÖS

Jeżeli jest dana forma geometryczna g a-t u n k u 1-go, to można ustanowić o d p o w i e d n i o ś ć p o m i ę d z y j e j elementami a liczbami szeregu naturalnego w ten sposób, że każdemu elementowi odpowiadać będzie jedna liczba, i każdej liczbie jeden i tylko jeden element; i nadto tak, że jeżeli ustalimy liczb dający jej element a, to d a w s z dowolnie małą, można zawsze znaleść inną ilość r taką że dla wszystkich liczb, zawartych pocę im elementy a mniejszą od o (jeżeli mowa o prostej punktowej ) lub tworzą kąt z elementu a (jeżeli mowa o pękach), mniejszy od a. Przy tych dwóch własnościach odpowiedniość nazywa się d w u j e d nożna c z n ą i ciągłą.

J e ż e 1 i j e s t d a n a forma geometryczna ga-tun k u 2-go lub 3-go, to można podobnie ustanowić odpowiedniość dwujednoznaczną i ciągłą p o m i ę d z y j e j elementami a parami lub odpowiednio trójkami liczb naturalnych. „ Odpowiedniość ciągła“ ma fu definicyę analogiczną do tej, jaką podaliśmy dla form gatunku 1-go.

Liczby, odpowiadające w ten sposób elementom formy danej, nazywają się spółrzędnemi elementów formy.

Formy 1-go, S dnio formami o r z ę d n y c h.

Mówi się też zwykle, że formy 1, 2, 3-go gatunku są odpowiednio jednego, dwu, trzech wymiarów, lub że mają oo¹,oo²,oo3 elementów.

Wykonać ze środka stałego (środka rzutu) rzut figury, złożonej z punktów i prostych, znaczy wykreślić proste, przechodzące przez ten środek i przez punkty figury, oraz płaszczyzny, przechodzące przez środek stały i przez proste figury danej.

ero

cd ero

> gat h d w

£ 'o

n k u są odpowie-c h, trzech s p ó ł-

Wykonać z prostej stałej (osi r z u t u). r z u t figury złożonej z punktów, znaczy wykreślić płaszczyzny, przechodzące przez prostą stałą, i przez każdy z punktów danych.

Przeciąć płaszczyzną figurę, złożoną z płaszczyzn i prostych, znaczy wykreślić przecięcia tej płaszczyzny z płaszczyznami i prostemi dane mi.

Przeciąć prostą figurę, złożoną z płaszczyzn, znaczy wykreślić przecięcia prostej ze wszystkiemi płaszczyznami figury.

Formy geometryczne jednego i tego samego gatunku otrzymują się jedna z drugiej za pomocą rzutów i przecięć.

W geometryi nowoczesnej wielkie znaczenie ma badanie odpowiedniości pomiędzy figurami łub formami geometrycznemi w celu wyprowadzania własności jednej figury z własności figury, jej od po wiad aj ącej.

Odpowiedniość może być dwuj ednoznaczna lub nie. Jest dwuj ednoznaczną wtedy, gdy elementowi jednej formy odpowiada jeden i tylko jeden element drugiej, i odwrotnie.

Dwie formy, będące w odpowiedniości, mogą być nałożo-nemi jedna na drugą t. j. mieć ten sam podkład. W tym przypadku odpowiedniość może być tego rodzaju, że pewnemu elementowi odpowiada zawsze jeden i ten sam element, bez względu na to, czy element dany uważa się jako należący do jednej formy, lub jako należący do drugiej. Taka odpowiedniość nazywa się

inwolucyjną; mówimy także, że wtedy e 1 e me nty o d-powiadają sobie sposobem podwójnym.

Do najprostszych odpowiedniości należą: r z u t o w o ś ć, zwaną także kolinearnością lub homografią (j e-dnokreśln ością) (której przypadkami szczególnemi są: li o m o 1 o g i a i perspektywiczność) oraz d w o i-s t o ś ć ( dualność ), zwana też wzajemnością (kore-1 a cy ą).

Mówimy o dwóch formach geometrycznych zasadniczych, że pozostają do siebie w związku rzutowym, lub że są w odpowiedniości rzutowej albo wprost rzut o-weini, jeżeli pomiędzy ich elementami można ustanowić odpowiedniość taką, że jedna daje się otrzymać z drugiej za pomocą skończonej liczby rzutów lub przecięć. Zamiast nazwy „formy r z u t o w e“ można mówić „formy ho m o-graficzne“ lub „kolinear n e“. Określenie to nie stosuje się do form gatunku 3-go, do których należy stosować deii-nicyę następującą:

Dwie formy gatunku 2-go lub 3-go nazywają się rzut o-we mi. jeżeli elementy ich tego samego gatunku odpowiadają sobie dwujednoznacznie i w ten sposób, że elementom, należącym do siebie, odpowiadają również elementy, do siebie należące.

Dwie formy rzutowe względem trzeciej są rzutowe mi względem siebie.

Dwie formy zasadnicze są perspekty wicznemi w przypadkach następujących:

a)    Dwa szeregi prostoliniowe punktowe, gdy są przecięciami jednego pęku promieni.

b)    Dwa pęki płaszczyzn, jeżeli rzucają z dwu środków różnych ten sam pęk promieni.

c)    Dwa pęki promieni, jeżeli z dwu środków różnych rzucają ten sam szereg prostoliniowy punktów lub są przecięciami tego samego pęku płaszczyzn.

d)    .Szereg punktowy i pęk promieni (lub płaszczyzn) lub pęk promieni i pęk płaszczyzn, jeżeli pierwsza forma jest przecięciem drugiej.

e)    Dwie płaszczyzny punktowe lub liniowe, jeżeli są przecięciami tej samej wiązki.

f)    Dwie wiązki, jeżeli rzucają z dwu środków rożnych tę samą płaszczyznę punktową lub liniową.

y) Płaszczyzna punktowa lub liniowa i wiązka, jeżeli pierwsza forma jest przecięciem drugiej.

Dwa układy płaskie, nałożone na siebie, nazywają się homologicznerai, jeżeli są przecięciami dwu wiązek perspektywicznych: dwie wiązki o tym samym środku nazywają się homologicznera i, jeżeli rzucają z jednego środka dwa układy płaskie homologiczne.

Dwa układy płaskie nazywają się wzajemnemi lub d w o i s t e m i, jeżeli punktom jednego odpowiadają dwujedno-znacznie proste drugiego, i odwrotnie w ten. sposób, że należącym do siebie elementom pierwszego odpowiadają należące do siebie elementy drugiego.

Dwie przestrzenie nazywają się wzajemnemi lub dwoistemi, jeżeli punkty, proste i płaszczyzny jednej odpowiadają dwujednoznacznie płaszczyznom, prostym i punktom drugiego, w ten sposób, że elementom, do siebie należącym w jednej odpowiadają elementy, do siebie należące w drugiej.

Własnością rzutową figury nazywa się własność, która utrzymuje się, jeżeli zamiast tej figury weźmiemy inną, względem niej rzutową. Własność, zależąca istotnie od miary odległości, kątów, pól i t. p., nazywa się własnością miarową lub metryczną.

Niektóre własności miarowe mogą też być i rzutowemi.

Własność nazywa się graficzną lub opisową lub „własnością położenia“, gdy odnosi się wyłącznie do położenia elementów figury (np. jak przechodzenie linij lub powierzchni przez pewne punkty, wspólność pewnych punktów lub linij dla pewnych linij lub powierzchni), z zupełnem wyeliminowaniem pojęcia wielkości.

zawsze

Każda własność graficzna jest rzutów ą.

Własności graficzne figury są podległe prawu, które nazywamy zasadą dwoistości lub zasadą wzajemności na płaszczyźnie i w przestrzeni

Każde twierdzenie, wyrażające własność graficzną figury płaskiej, utrzymuje s i ę, j e* żeli elementy „prosta“, „punkt“ przemienimy na elementy „punkt“, „prosta“, i za elementy, do siebie należące, podstawimy również należące do siebie elementy.

Każde twierdzenie, wyrażające własność graficzną bryły utrzymuje się, jeżeli przemienimy przedewszystkiem elementy „punkt“ i „płaszczyzna“ na elementy „płaszczyzna“, „punkt“, pozostawimy bez zmi ny element „prosta“, a następnie zaelemen y, należące do siebie, podstawimy również elementy, należące do siebie.

Dwa działania: rzut ze środka (lub z osi)

i przecięcie płaszczyzną (lub prostą) są dwoma działaniami dwoistemi w przestrzeni; rzut ze środka na

aszc yźnie i przecięcie prost na płaszczyź iesą wo ma działaniami dwo stemi na płaszczyźnie.

Dwie for my geometryczne, wzajemne z trzecią, są rzutowemi względem siebie.

Dwoistość form nałożonych (mających wspólny podkład) może być także inwolucyjną i nazywa się wtedy biegunowością.

Zasada biegunowości jest więc tylko przypadkiem szczególnym dwoistości.

AYedług zasady dwoistości, krzywej płaskiej, uważanej za miejsce punktów, odpowiada krzywa, uważana jako obwiednia stycznych, t.j. punktom jednej krzywej odpowiadają styczne d r u g i e j.

W geometryi zasadniczem jest pojęcie elementu w nieskończoności.

Mówimy, że:

Wszystkie proste równoległe na płaszczyźnie spotykają się w punkcie, znajdującym się w odległości nieskończonej;

na płaszczyźnie tyle jest punktów w odległości nieskończonej, i 1 e j e s t możliwych kierunków prostej na tej płaszczyźnie;

wszystkie te punkty znajdują się na jedne j prostej, która nazywa się prostą w nieskończoności na płaszczyźnie;

wszystkie płaszczyzny równoległe przestrzeni przecinają się według jednej prostej w odległości nieskończonej;

wszystkie proste w odległości nieskończonej w przestrzeni oraz wszystkie punkty w odległości nieskończonej znajdują się na jednej płaszczyźnie, którą nazywamy płaszczyzną w nieskończoności w przestrzeni.

W rozdziale następnym mówić będziemy o formach nieciągłych. Dla ułatwienia wszakże zrozumienia poniższego wykładu, musimy tu podać definicyę czworokąta i czworoboku zupełnego.

Czworokątem płaskim zupełnym nazywamy figurę, utworzoną z czterech punktów (wierzchołków) na płaszczyźnie, z których żadne trzy nie leżą na jednej prostej, i z sześciu prostych (b o k ó w), łączących każde dwa punkty. Trzy punkty spotkania boków przeciwległych (t. j. boków, nie przecinających się w jednym z danych wierzchołków) tworzą trójkąt, który nazywa się trójkątem przekątnym.

Czworobokiem płaskim zupełnym nazywamy figurę, złożoną z czterech prostych (boków) na płaszczyźnie, z których żadne trzy nie przechodzą przez jeden punkt, t. j. z sześciu punktów (wierzchołków), w których te boki po dwa się spotykają. Trzy proste, łączące wierzchołki przeciwległe (t. j. nie leżące na jednym boku) tworzą tak nazwany trój bok przekątny.

'SS.

to

Geometrya form 1-go gatunku.

1. Szereg punktów (prosta punktowa). Prostą przebiegać może punkt jej w dwu kierunkach, z których jeden nazywamy dodatnim, drugi u j e m n y m. Każdy odcinek prostej ma znak -j- lub —, stosownie do tego, czy jest przebiegany w kierunku dodatnim czy ujemnym.

Za pomocą symbolu AB oznaczać będziemy liczbę, mierzącą odcinek, idący od A aż do B. Jest AB = — BA.

Pomiędzy odcinkami, określone mi przez trzy punkty na prostej, zachodzi związek:

ABĄ-BC+CA = 0.

Pomiędzy odcinkami, określone mi przez c z t e r 3^ punkty A, B, C, D na prostej, zachodzi związek:

AB. CB -f AC. DB + AD. BC ■= 0 .

Jeżeli przez <S₁₂, <51S , .. . oznaczymy odległości punktów 1, 2 ; 1, 3 ;..., to pomiędzy odległościami trzech punktów na prostej zachodzi następujący związek (w postaci wyznacznika):

0,1 ,1 , 1

d ³ A -

>    ‘1    »    °I3

i , d₂₁² , o

Powiadamy, że cztery punkty A, B, C, U na prostej są h a r m o n i c z n e m i, jeżeli pomiędzy odcinkami, określonemi przez nie zachodzi związek:

lub

—H

AC ABC AB AD ’

AB ' AC ^ AD ’

lub wreszcie:

AC

AD

CB

DB ‘

Jeżeli przez M oznaczymy środek odcinka AB, będzie:

MC . MD = MA ² .

Punkty Ai B nazywają się harmonicznie s p r z ę ż o-n e m i; toż samo stosuje się do punktów C i I).

Geometrycznie można to tak wyrazić: cztery punkty A. B, O, 1) nazywają się harmonicznemi, jeżeli można wykreślić czworokąt zupełny taki, że dwa jego boki przeciwległe spotkają się w punkcie A, dwa drugie przeciwległe w punkcie B, piąty bok przejdzie przez punkt C, a bok szósty przeciwległy przez punkt 1). Jeżeli można zbudować jeden aki czworokąt, to można ich zbudować nies oń-c z e n i e wiele.

Jeżeli cztery un my ze środka na

w u cztery pu n,k ty harmoniczne.

Jeżeli mamy trzy punkty A, B, C oraz daną kolej, w jakiej je rozważać należy, to punkt czwarty D jest określony jednoznacznie przez to, że ma być do nich harmonicznym, t. j. ma być harmonicznie sprzężony z punktem C względem pary punktów A, B.

Jeżeli AB CD jest formą harmoniczną, to będą również harmonicznemi formy BA CD, ABDC, BADC.

Oh

ą p r s t ą,

S- o

omczne rzuci-trzymamy zno-

AV formie harmonicznej AB CD punkty sprzężone A, B są koniecznie rozdzielone przez'punkty C, D.

"W czworoboku zupełnym każda p r z e k ą j st podzielona h ar ni o niez nie przez dwie z stałe.

Jeżeli mamy cztery punkty A, B. C, D na prostej, to sunek odległości

CD

p o-

sto-

A C_ Al) BC : BI)

nazywa się stosunkiem anharmonicznym albo dwu-stosunkiem (stosunkiem podwójnego podziału) czterech punktów i wyraża się symbolem {ABCD).

Dwustosunek nie zmienia się skutkiem przemiany wzajemnej dwu punktów jednej pary i równoczesnej przemiany dwu drugich.

Jeżeli wykonamy wszystkie 24 przemiany pomiędzy czterema punktami, to dwustosunek przyjmuje tylko sześć różnych wartości, które wyrazić można łatwo za pomocą jednej z nich.

Jeżeli X jest wartością dwustosunku (ABCD), to wartościami temi są:

(A B CD) = X , (ABD Ci= —\

(A CBD) = 1 — X , (A CDB) = ——— ,

1-A

X—1 •

(ADBC) =    , (ABD C)

A

Jeżeli dwa z pomiędzy czterech punktów zlewaj się, to dwustosunek ma jedn z trzech w a r t o ś i 0, 1, co. Jeżeli cztery punk y monicznemi, to dwustosunek p r z y j m u j e j e d n ę

z wartości —

Sześć stosunków an harmonicznych czterech punktów rzeczywistych są w ogóle nierówne, o ile

O ti»

Ct- rCD

są har-

nie zachodzi jeden z dwu przypadków poprze d n i c li, w których są tylko trzy pary różnych wartości

Jeżeli jeden z punktów przechodzi do nieskończoności, to dwustosunek ma wartość

{ABC co) =

AC

BC '

Jeżeli d wustosunek (ABCD) równa się

w t e d y:

AB

BC

Al) *

(Möbius)

Ustaliwszy na prostej punkt 0 (początek), ustalmy kierunek dodatni i jednostkę miary. Każdy punkt prostej A można wtedy wyznaczyć za pomocą miary odległości jego od początku, biorąc tę liczbę ze znakiem -J- lub —, stosownie do tego, czy OA jest dodatnie lub ujemne.

Liczba dodatnia lub ujemna, odpowiadająca w ten sposób punktowi A, nazywa się spółrzędną zwyczajną (odciętą) tego punktu.

Niechaj teraz będą dwa punkty stałe A, B; dajmy, że mamy punkt trzeci C; stosunek

A C_ _

CC ~r

nazywa się spółrzędną barycentryczną punktu C.

Spółrzęclna barycentryczna punktu w nieskończoności na prostej jest równa — 1.

Jeżeli ustalimy trzy punkty A, B, C na prostej, to za spół-r z ę d n ę punktu jakiegokolwiek ]) tej prostej można przyjąć dwustosunek {ABCD). Tę spółrzędnę można nazwać rzutów ą. Punkty A i B, mające za spółrzędnę oo i 0, nazywają się zasadniczemi; punkt C mający za spółrzędnę 1, nazywa się punktem -jednością.

Przypadkiem szczególnym tych spółrzę-dnych są spółrzędnę zwyczajne; dość przyjąć, że A znajduje się w nieskończoności, 7> w początku spółrzędnych, C zaś w odległości

1 od B.

Tak więc: odległość dwu punktó w równa się stosunkowi an harmonicznemu c z w ó r k i; u t w o-r z o n e j z dwu punktów danych, z punktu w nieskończoności i z punktu -jedność i.

Jeżeli C jest punktem środkowym pomiędzj^ A i P, wtedy spółrzędne rzutowe stają się spółrzędne mi barycentrycznemi.

Powiemy teraz słów kilka o s p ó ł r z ę d n y c h j e d n o-rodnych punktów na prostej.

Dajmy, że ustaliliśmy na prostej pewien układ spółrzędnych; niechaj x będzie spółrzędna punktu P; nadajmy jej po-

stać x — —. Ilości a?,, x.₂, których stosunek określa spółrzędnę

punktu P, nazywamy spółrzędnemi jednorodne mi.

Pomiędzy układami spółrzędnych jednorodnych zasługuje na uwagę następujący:

Niechaj A, B będą dwa punkty (podstawowe), p i q odległości punktu Pod tych dwu punktów, tak że p -j- q = AB\ wybrawszy dwie stałe a i b, połóżmy:

Xj

.r₂

bp

aq

wtedy każdemu punktowi P odpowiadać bę-dzi para wartości    których st s

i każdej parze takich war o

dyny punkt P. Ilości xy, x₂ można

<D

ci o

P-i C—J .

est

o-

• s t a

w i a d a ć b ę d z i e j uważać za spółrzędnę jednorodne punktu na prostej; wartości xx 0 odpowiada punkt A, wartości x.₂ = 0 punkt B\ punkt w nieskończoności ma spółrzędnę xx

— ó, r₂ s u. Punkt

V

U, dla którego —

Ten układ spółrzędnych jednorodnych z a-

rzypadek szczególn u-yczajnych (odciętych) i e-

Si

nazy wa się punktem -j e d n o ś c i ą.

wie a w sobie jako kła spółrzędnych z

CL i-i

jednorodnych; dość w tym celu założyć, że B oddala się do nieskończoności. Lecz wtedy nie ma potrzeby rozważania spółrzędnej x.it gdyż q jest zawsze nieskończone, a położenie punktu wyznacza się przez samo x}, t. j. przez odległość punktu od punktu A.

QC

X.j

Łatwo zresztą widzieć, że ponieważ stosunek —- można na-

pisać w postaci    (gdzie --

jest stosunkiem odległości

punktu-jedności U od punktów B i A), więc wyraża on dwusto-sunek czterech punktów BAUP. Stąd, w istocie rzeczy, rozważany układ spółrzędnych nie różni się od tego, który otrzymujemy, biorąc w postaci jednorodnej sposobem zwykłym spół-r z ę d n ę rzutową; układ ten przeto jest układem spółrzędnych jednorodnych rzutowych.

Jeżeli spółrzędnej punktu prostej nadamy wartości urojone, to możemy wprowadzić też utwory, które nazwiemy p u n k-tami urojonemi prostej.

W spółrzędnych zwyczajnych dwustosunek czterech punktów wyraża się za pomocą wzoru:

/y»    _ ryJ'    ry> _

i'/    ¹    i/y    «X/

x'— x"

a:'— z⁷" ’

gdzie x, x”, x"‘ są odcięte mi czterech punktów d a n y c h. Za pomocą tego wzoru można też obliczyć dwustosunek punktów urojonych prostej.

Rozszerzywszy tym sposobem pojęcie dwustosunku, znajdujemy jeszcze jeden przypadek, prócz wyżej podanych, w którym sześć wartości dwustosunku nie są wszystkie różne. Ten przypadek zachodzi wtedy, jeżeli w a r-t o ś ć jednego z dwustosunków jest pierwiastkiem sześciennym zespolonym z jedności u j e m-n ej. AYtedy cztery punkty nazywają się r ó w n o a n h a r moli i c z n e m i, a sześć dwustosunków redukuje się do dwu różnych.

Mówimy, że równanie algebraiczne względem x stopnia n-tego przedstawia grupę n punktów n a pros tej ;

rozumieć to należy w ten sposób, że jeżeli pomyślimy równanie jako rozwiązane, to pierwiastki jego należy uważać jako spół-rzędne n punktów (rzeczywistych lub zespolonych) na prostej.

Dwa szeregi punktów na prostej są rzutowemi (homograficznemi lub koli ne a me mi, patrz § 1), jeżeli każdemu punktowi j e d n ego odpowiada jeden i t y 1-k o jeden punkt d r u g i e g o, a d wustosunek czterech punktów na j e d n y m r ó w n a się d w u stosunków i odpowiednich czterech punktów na drugim.

Ta własność może też służyć za podstawę definicyi rzutowych szeregów punktów.

Inne określenie (v. Stand ta) jest następujące:

Dwa szeregi punktów na prostej nazywamy o d n i e s i o n e m i do siebie rzutowo lub wzajemnie, jeżeli są w takim związku, że grupom harmonicznym jednego odpowiadają grupy harmoniczne drugiego.

Punkt prostej punktowej, odpowiadający punktowi w nieskończoności na drugiej prostej punktów-ej, nazywa się punktem zbiegu lub punktem granicznym.

Jeżeli oba punkty zbiegu są w nieskończoności, proste punktowe nazywają się podobnemi.

Można określić rzutowość jeszcze następującym sposobem:

Dwie proste punktowe nazywają się rzutowemi wzajemnie, jeżeli odpowiadają sobie w ten sposób, iż od punktów jednej przechodzi się do punktów drugiej za pomocą skończonej liczby rzutów i przecięć.

Odpowiedniość jest określona, jeżeli są ustalone dowolnie trzy pary punktów odpowiednich.

Jeżeli x i y są s pół rzędne zwyczajne punktów dwu prostych punktowych, to związek dwuliniowy typu

axy -j- bx -f- cy -j- cl — 0

jest związkiem, jaki powinien zachodzić między spółrzędnemi, aby obie, proste były rzutowemi (równanie rzut o w-oś ci).

Jeżeli I' i J są punktami zbiegu dwu prostych punktowych, wzajemnie rzutowy ch, A, A zaś dwoma punktami odpo wiedniem i. wtedy iloczyn JA . I'A' jest stały, niezależnie od wyboru pary J., A'. W dwu prostych punktowych podobnych, stosunek dwu odcinków odpowiednich (stosunek podobieństwa) . jest stały.

Jeżeli ten stosunek jest + 1, wtedy obie proste punktowe nazywają się p r z y s t a j ą c e mi (rów nem i).

Jeżeli dwie proste punktowe wzajemnie rzutowe o podkładach różnych mają jeden punkt z jednoczony (t. j. punkt odpowiadający samemu sobie), to są perspektywicznemu

Jeżeli dane są trzy pary AA\BB', CC' elementów, odpowiadających sobie w dwóch prostych punktowych, to dla wykreślenia innych par punktów, t. j., jak się mówi, dla wykreślenia rzutowości, postępujemy tak: Na prostej, łączącej punkty odpowiednie, np. A i A\ bierzemy dwa środki S, Sprowadzimy proste SB i S'Br: które przecinają się w Bprowadzimy dalej proste SC i S'C, które przecinają się w Cłączymy B"

i Cz punktu 1) pierwszej prostej punktowej przy pomocy rzutu z punktu S otrzymujemy punkt D" na B"G

",

rzucamy z punktu Sf punkt I)" i w punkcie spotkania z drugą prostą znajdujemy punkt 1)\ odpowiadający punktowi D.

Jeżeli obie proste punktowe są nałożone jedna na drugą, wtedy rzucamy jednę z nich ze środka, znajdującego się na drugiej, i postępujemy, jak poprzednio.

Jeżeli wybierzemy punkty Si S' w punktach A' i A, wtedy prosta B"C" nazywa się osią rzutów oś ci albo osią (h o-mografii) j ednokreślności. Przecina ona dwie proste punktowe w punktach, odpowiadających ich punktowi wspólnemu. Własność tej osi podajemy niżej.

Jeżeli podkładem dwóch prostych homograficznych jest jedna i ta sama prosta, wtedy te proste nazywamy nałożone mi.

Dwie proste punktowe liomograficzne n a-łożone, jeżeli nie zlewają się zupełnie (to jest gdy ich elementy nie są wszystkie zjednoczone) mogą mieć co najwyżej dwa punkty rzeczywiste zjednoczone. Spółrzędne tych punktów są pierwiastkami równania:

aa² -j-- ( b -j- c) x -f- (l = 0 .

Punkty zjednoczone nazywają się inaczej punktami poci w ó j nenii lub ogniskami.

Jeżeli pierwiastki tego równania są urojone, to mówimy, że istnieją dwa punkty zjednoczone urój one.

Środek odcinka, ograniczonego dwoma punktami zjednoczonemi, zlewa się ze środkiem od-cipka, ograniczonego dwoma punktami zbiegu.

W dwu prostych homograficznych nałożonych d w u s t o s u n e k jakichkolwiek dwu punktów względem punktów z j e d n o c z o n y c h j e s t stały.

Odpowiedniość takich dwóch prostych punkto w y c h j e s t in wolucyj na (t.j, punktowi odpowiada zawsze drugi ten sam), wtedy tylko, gdy ten d wustosunek ma wartość-j-1 lub — 1.

W pierwszym przypadku obie proste punktowe są identyczne, w drugim tworzą li omog rafię inwolucyjną lub wprost inwolucyę (Desargues).

Analitycznie inwolucya. określa się równaniem typu:

axy -f- /* (x y ) -|- d — 0 .

Punkty zjednoczone inwolucyi dane są przez równani e:

cńc² -f- 2 b x -j- cl — 0.

Jeżeli spółczynniki «, b, d są rzeczywiste, inwolucya będzie hyper boliczną, gdy punkty zjednoczone są rzeczywiste;

eliptyczną, gdy są urojone; paraboliczną, gdy punkty zjednoczone zlewają się.

W przypadku inwolucyi dwa punkty graniczne z 1 e w a j ą się w jeden punkt, zwany środkiem inwolucyi, który jest punktem środkowym odcinka, określonego przez dwa punkty zjednoczone.

Jeżeli w dwóch prostych punktowych homo-graf i cęnych nałożonych istnieją dwa punkty różne, odpowiadające sobie w sposób podwójny (patrz §1), to toż samo zachodzić będzie dla dwu punktów odpowiednich jakichkolwiek, i będziemy mieli inwolueyę.

Jeżeli O jest środkiem inwolucyi, zaś J i J' są dwoma punktami odpowiadające mi sobie, będzie zawsze:

OA . OA' = const.

Inwolucya jest określoną przez dwie pary punktów sobie odpowiadających A, A'; B, B'.

Jeżeli mamy dwie pary odpowiadających sobie punktów, to dla wykreślenia inwolucyi postępujemy tak: przyjmujemy punkt dowolny 6r zewnątrz prostej i opisujemy koła GAA', GBB' które niechaj przecinają się nadto w punkcie H. Punkt 0, w którym prosta dana spotyka prostą, GH jest środkiem inwolucyi, a każde koło, pisane na GH, spotyka prostą daną w dwu o powiadających sobie punktach inwolucyi.

Jeżeli AA', BB', CC są trzema parami punktów w inwolucyi, wtedy pomiędzy odcinkami, jakie te punkty określają na prostej, zachodzi związek:

AB' . BC . CA' -(- A'B . B' C . C'A — 0 .

Jeżeli yc, y₂ sąspółrzędnemi punktów A, AB, B\ wtedy:

Pascal. Rep. II.

CD

ÎH

P PT

i-¹ • ct-

'<5 © o.

li

i-S

CD

> ® o ^

>D

CD cc O

'O

X\V\

'    H    ^ CÖ    cö

* r-1    2_J

ö    5    *

⁰³ - 2P ^

a; -f y ,    1

7.

88

o o. K ^

Hj -J P

O 'O

CD

r-

CD M. P cc CD

^ ^ ^ a

O    cc

CM

Ç0

zn

cJJ

et-

S»

/. (x) “T ^ h (x) = ⁰ •

Jeżeli kąt prosty obraca się około swego wierzchołka na-własnej płaszczyźnie, wtedy ramiona jego opis ują na j ednej proste j dwa szeregi punktów, będące w i n w o 1 u c y i.

Przecinając trzy pary boków przeciwległych czworokąta zupełnego dowolną poprzeczną, otrzymujemy trzy pary punktów, będących w inwolucyi.

Sześć p u n k t ó w, które o t r z y m u j e m y, r z u-c a j ą c z dowolnego środka n a prostą trz y p a r y przeciwległych wierzchołków czworoboku z u-pełnego, tworzą p a r a m i i n w olnc y ę.

Jeżeli w dwóch prostych h o m ograficznyc h n a ł o ż o n p o w i a a t a m i

EF\ AB BA' będą trzema parami p u n w o 1 u c y i.

Rzutowość nałożonych szeregów punktów na prostej może być kołową (cykliczną) rzędu n-tego, t. j. taką, że gdy mając punkt A, szukamy odpowiadającego mu punktu Ar, następnie uważając ten punkt Ä za należący do szeregu pierwszego, szukamy odpowiadającego mu w szeregu drugim punktu A” i tak dalej, to po n takich działaniach dochodzimy do punktu początkowego A.

c h AA', ącychso ie, ednoezone m i

CT

' są parami elementów o d-E i F sąd w oma pun k-nemi lub ni

cS -O

et- CD

wtedy

I n w o 1 u c y a jest r z u t o w o ś c i ą kolo w ą r z e-

d u 2-go.

Jeżeli pun

o-

CLi W

zj ednoczone przyj raie za punkty odst w o w e s p ó ł r z ę d n y c li r z u w y c h (n i e j e noro nych), w t«P d y równanie r z u-t o w o ś c i kołowej rzędu ?i-tego można b ę d z i napisać w postaci y — ex = 0, gdzie e jest ier-wiastkiem pierwotnym stopnia u-tego z jedności.

Rzutowość kołową nazwał tak Clebsch (Crelle t XTIII ;

zajmowali się nią pierwsi Mö bins (Werke II' : Battaglini (A.cc. Napoli 1863), który nazywał ją inwolucyą rzędu wyższego.

Do odpowiedniości ogólnych pomiędzy dwiema nałożonemi prostemi punktowemi (iw ogóle pomiędzy nałożonemi dwiema formami zasadniczemi gatunku 1-go, stosuje się następujące ważne twierdzenie, zwane zasadą odpowiedniości Chas-1 e s’a:

z y dwoma nałożonemi s z e-

■ N-

J e e 1 i p o

regarni prost lmiowemi p u n k t ó w ustanowi-m y o d p o w i e d n i o ś ó taką, że każdemu pu n k t o w i jednego odpowiada w p u n k t ów drugiego, a k a-żdernu p u n k t o w i d r u g; i e g o n punktów pierwsz e-g o, t o w t y c li s z e r e g a c li będzie m-\- n p u n k t ó w, odpowiadaj a c y c h samym sobie (Chasles, Compt. Rend 1864, 1866).

za

2. Pęk prostych. Wybierzmy w pęku pewną prostą prostą początkową; obracając tę prostą około środka, otrzNunamy sam pęk. Obrót ten dokonywać się może w dwóch zwrotach; zgódźmy się nazywać obrotem dojdatnim ten, który dokonywa się w pewnym zwrocie oznaczonym; ujemnym ten, który dokonywa się w zwrocie przeciwnym. Jeżeli a i b są dwie proste pęku, to przez kąt (a,b) rozumieć będziemy kąt najmniejszy, jaki winien opisać promień a w zwrocie dodatnim, aby zlał się z promieniem b. Liczba mierząca kąt, który prosta początkowa tworzy z każdą z prostych pęku, może być nazwaną spółrzędną zwyczajną albo anomalią tej drugiej prostej. Jest (ba) -f- (ab) = n.

D w u sto su nkiem czterech promieni pęku jest dwusto-sunek czterech punktów, w których pęk ten przecina jakakolwiek poprzeczna. D wustosunek ten przedstawiają też wyraź e n i a:

(abed)—

sin (ae) _ sin (ad) sin {be) ' sin(ćd) ’

(iabed)

CA

BA

CB ' BB ’

gdzie CA,CB,BA,BB są odległościami dwu punktów C, B promieni d od promieni a, b.

Kładąc (abed) = r, mamy:

tg (ab)

tg (ac)

tg (ad)

(Mö b i u s)

Jeżeli (abed) — —1, to cztery proste nazywają się harmonie z n e m i.

Cztery promienie pęku są harmonicznemu, jeżeli można zbudować czworobok zupełny w ten sposób, by dwa jego wierzchołki przeciwległe znajdowały się na a, dwa przeciwległe na b, piąty na e, szósty na d.

Jeżeli można wykreślić jeden taki czworobok, to można wykreślić ich nieskończenie wiele.

Ustalmy w pęku dwa promienie a i b; za spółrzedne pro-

mienia a można wziąć stosnnek

Utrzymujemy tym spo-

sin (ne)

sin(eb) '

sobem układ spółrzędnych analogicznych do układu barycen-trycznego dla szeregu punktów.

Jeżeli zaś ustalimy trzy promienie a, b, e, to można za spółrzędne promienia d wziąć stosunek anharmoniczny (abed); otrzymujemy tym sposobem układ spółrzędnych rzutowych.

Jeżeli spółrzędnym nadawać będziemy wartości ui'ojone, otrzymamy proste urojone pęku (przez definicyę).

Dwa pęki prostych są li o m o g r a f i c z n e m i, kolinear nemi albo rzutowemi, jeżeli odpowiadają sobie wzajemnie w ten sposób, iż stosunek anharmoniczny czterech promieni jednego z nich równa się zawsze stosunkowi a n h a r m o-nicznemu czterech odpowiednich (sprzężo-n y eh ) promieni drugiego.

Ta, podobnie jak dla prostych punktowych, można własność tę przyjąć za definicyę pęków rzutowych.

Inna definieya (v. S t a u d t a) jest następująca: Dwa pęki są rzutowemi, gdy odpowiadają sobie w ten sposób, iż grupom harmonicznym jednego odpowiadają grupy harmoniczne drugiego.

Jeżeli oba pęki mają ten sam środek (podkład), wtedy będą zawsze dwa promienie (rzeczywiste lub urojone), odpowiadające samym sobie (promienie zjednoczone lub podwójne).

Jeżeli ta odpowiedniość jest i n w o 1 u c y j n ą (nie będąc taką, że każdy promień odpowiada samemu sobie), wtedy mówimy, że pary promieni odpowiednich tworzą inwolucy ę. Dwie proste sprzężone (odpowiadające sobie) są wtedy harmoniczne mi z dwiema proste mi podwój nem i.

Podobnie, jak dla prostych punktowych, można tu określić rzutów ość kołową rzędu M-tego.

Ramiona kąta prostego, obracającego się w swej płaszczyźnie około wierzchołka, opisują dwa pęki promieni w inwolucy i. Promienie podwójne są u r o j o n e m i i idą ku dwóm punktom kołowym (patrz § 3).

Rzucając z dowolnego środka trzy pary wierzchołków przeciwległych czworoboku zupełnego, otrzymujemy trzy pary promieni, będących w inwolucy i.

Jednokreślność (homog rafia) dwóch pęków promieni jest określona przez trzy pary odpowiadających sobie elementów.

‘O

Jeżeli dwa p k i h o m o g r a f i c z n e o r n y c li ś r o d k a c li ma j ą r omie ń wspólny, to p e r-spekty wiczne m i.

Dla wykreślenia liomografii dwu pęków promieni, mając trzy pary aa', bb\ cc' odpowiadających sobie promieni, postępujemy w sposób odpowiadający temu, jakiego użyliśmy w przypadku dwóch szeregów punktów. P r z e z punkt wspólny dwóm d o wiadaj ącym sobie promieni m a, a' prowa z my dwie proste s,s'; niechaj b" prosta, łącząca punkty sb, s'b‘\ c" prosta, łącząca p u n k t y sc, s'c'; p u n k t b"c" jest środkiem pęku, który będzie perspektywicznym względem w dan ch. J e ż e 1 więc damy sobie

u, to znajdziemy ten punkt łączymy aj duj e my punkt spotkania tegoż promienia z 6-'; prosta, łącząca środek drugiego pęku z ty m drugim p unkte m, będzie p r o m i e n i e m d ', odpowiadaj ą c y m promieniowi d.

Jeżeli za s, s' weźmiemy odpowiednio proste a', a, to proste, łączące punkty ab', ba') ac', cabc', eh';... spotkają się w jednym punkcie, który nazywa się środkiem rzutów ości lub liomografii obu pęków.

Środek rzutowości ma tę ł a s n o ś ć, iż każda rosta, przezeń p r z e c h o z ą c a pęk w dług dwóch pros ; w i n w o u c y i; i o d w r o nie, i przechodzi przez ten rodek

Oś rzutowości dwóch prostych punktowych wzajemnie rzutowych ma własność odpowiednią, której tu wysławiać nie potrzebujemy.

Dwa pęki promieni nazywają się pod ob nenii (środki ich są w nieskończoności), gdy przecięcie jednego jest podobne do przecięcia drugiego.

Dwa pęki promieni nazywają się równemi, gdy jeden z nich rożni się od drugiego tylko położeniem.

Dwa pęki równe są r żuto wem i.

obu

■ Si

o et

i-w ht

cr o

CD kd

p r o m i ń d

punkt jego spotkania z z p u n k t e m b"c", z n

pi

Ft M.

m. et

CD

75-

FT e+-

N- O

przecina p u kto w y c h a ta a prosta

Fr

3. Pęki płaszczyzn. Geometrya pęku płaszczyzn zasadniczo nie różni się niczem od geometryi prostej punktowej i pęku prostych. Można do niej wprowadzić wszystkie pojęcia Avyżej podane, a mianowicie: spółrzędne, dwustosunek, harmonię, liomografię, inwołucyę

co

Geometrya form gaiunku 2-go. Płaszczyzna punktowa i liniowa.

Vx—y-i

Własności rzutowe trójkątów, czworokątów, sześc/okątów i t. d.

Zasada przeniesienia.

Formy trójkowe, czwórkowe i t. d. automorf/czne.

Główne własności miarowe stożkowych.

F{u) (iVx xx + vu x2 -f . . .)2 — 2 F | Uv J (ux xx -f ... ) (vt xx -f ... ) -\-F{v) (ux + .)2 = 0.

(u -1) (u—2)

(<?+l)(4-b<?P — q).

Wiadomości ogo/ne. Tworzenie krzywych rzędu czwartego. Styczne podwójne Stożkowe i krzywe sześcienne styczne.

Przedstawienie analityczne krzywych skośnych. Powierzchnie monoida/ne Cayiey a.

Powierzchnie biegunowe. Powierzchnie społzmienne.

Krzywe skośne rzędu 4 go gatunku 1-go.

§ 2. •

(0000), (1000), (0100), (1100),

§ 8.

Powierzchnie rzędu 5-go nieprosio/iniowe.

Powierzchnie wymierne, powierzchnie o przekrojach wymiernych, eliptycznych, hyperehptycznych.

Klasyfikacya kompleksów kwadratowych

Geometrya kul.

VI + .'/2

mnij+m

Jeżeli X, Y, Z oznaczają dostawy kierunkowe normalnej do powierzchni, będzie:

S 11.

Krzywe i powierzchnie odwrotne i Desargues a. Przekształcenie za pomocą promieni odwrotnych. Przekształcenie Desargues'a.

y2(x — a,y — x) (b—a-\-x),

2S = 3V = 6 (F—2); S = 2V = 2 (F—2) ; ör=^(F-2).

§ 4.

§ 4.

Do Tomu II.

Geometrya form gaiunku 2-go. Płaszczyzna punktowa i liniowa.

Pomiędzy polami trójkątów, których wierzchołki znajdują się w pięciu punktach danych A, B, C, 1), E, F płaszczyzny, zachodzi związek:

A BE . CDE+BCE . A DE -j- CAE . BDE = 0

a dla sześciu punktów płaszczyzny związek:

ABC . DEFĄ- A CD . BEF -f ADB . CEF= B CD . AEF

(Monge. M ö b i u s).

. . oznaczają odległości każdych dwóch z pomię-

Jeżeli <5I2, Ô

dzy czterech punktów Alt A.>, A₃, A₄ płaszczyzny, to pomiędzy temi wielkościami zachodzi związek:

1 ,1 , 1

= 0.

Dajmy, że na płaszczyźnie nakreśliliśmy dwie proste — osi spółrzędnych, spotykające się w punkcie 0 — początku

spółrzędnych. Na tych dwu prostych ustalmy w pewien sposób dwa układy spółrzędnych zwyczajnych, jak w § 2, biorąc w każdym z nich punkt 0 za początek. Przez każdy punkt P płaszczyzny przechodzić będzie prosta równoległa do pierwszej osi i prosta równoległa do drugiej; każdy punkt płaszczyzny rzucony będzie za pomocą rzutu równoległego do drugiej na jeden i tylko jeden punkt P' pierwszej, a za pomocą rzutu równoległego do pierwszej na jeden i tylko jeden punkt P" drugiej. Spółrzędne punktów P' ■ i P" można przyjąć za spółrzędne punktu P; nazywają się one s.p ółrzędnemi kartezyań-s k i e m i (Descarte s'a). Przypadek najprostszy otrzymujemy, zakładając, że proste dane są prostopadłe i równając jednostki miary, przy pomocy których na tych dwóch prostych mierzymy spółrzędne punktów P' i P". Oznaczamy przez x, y spółrzędne punktów pierwszej i drugiej prostej; pierwszą z nich nazywamy osią æ-ôw, drugą osią y-ów.

Innym układem spółrzędnych punktów płaszczyzny jest tak nazwany układ spółrzędnych biegunowych. Ustalmy na płaszczyźnie punkt 0 — biegun — i prostą — oś biegunów ą—stałego kierunku przyjętego za dodatni, wychodzącą z tego punktu. Punkt P‘ płaszczyzny będzie wyznaczony przez jego odległość vzawsze dodatnią) od punktu 0 i przez rozwartość kąta (dodatniego lub ujemnego), który opisuje prosta kierunku dodatniego OA, obracająca się w zwrocie dodatnim lub ujemnym (patrz § 2) aż do zejścia się z prostą OP.

Istnieje i inny układ spółrzędnjmh zwany dwubiegunowy m. Ustalamy na płaszczyźnie dwa punkty 0 i 0', jako środki dwu pęków; przez każdy punkt P płaszczyzny przechodzi promień pierwszego pęku i promień drugiego; spółrzędne tych dwu promieni w każdym z pęków można pizyjąć za spółrzędne punktu P.

Jeżeli spółrzędne x, y punktu na płaszczyźnie weźmiemy

w postaci x =    , y-

spółrzędnemi j ednorodnemi punktu płaszczyzny. Pomiędzy układami spółczesnych jednorodnych na szczególną

x₂

•U

wtedy ilości xv x₂, X₃ nazywają się

uwagę zasługuje układ, zwany trój 1 i n i o w y m (tryme-trycznym).

Niechaj będą trzy proste na płaszczyźnie, nie przechodzące przez jeden punkt; oznaczmy przez p, q, r odległości punktu P płaszczyzny od trzech prostych, przez a, I), c trzy jakiekolwiek stałe, i weźmy trzy ilości xu x₂, x₃ proporcjonalne do stosunków p n v

—, -y, —. Można okazać, że w ten sposób każdej trójce wartości qxx, qx.₂, qx.,, gdzie q jest czynnikiem proporcyonalności, odpowiada jedyny punkt płaszczyzny, i odwrotnie, tak że £Cj, x₂, x₃ mogą przed • stawiać układ spółrzędnych jednorodnych. Wierzchołki trójkąta ABC, utworzonego przez trzy proste, mają za spółrzędne odpowiednio 0, 0, £r₃; 0, £c₂, 0; x\. 0, 0. Trójkąt AB C nazywa się t r ó j-kątem podstawowym spółrzędnych.

Istnieje na płaszczyźnie punkt U taki, że odległości jego od trzech prostych są proporcyonalne. do a, b. c; jego spółrzędnemi jednorodnemi są 1, 1, 1; i dla tego. punkt ten nazywa się p u n k-tem — jednością.

x₂

x₃

Stosunek dwu ze spółrzędnych punktu P, np. stosunek — lub — można przedstawić jako dwustosunek pęku promieni,

a r x.₂ c a ' p ’ x ₃ b

stosunkom czterech promieni pęków B(A, C, U, P) i A(B, C, U,, P). Stąd układ uważanych spółrzędnych jest układem spółrzędnych jednorodnych rzutowyc h.

Jeżeli U jest środkiem koła wpisanego dstawowy, to s p ó ł r z d n e xlf x₂, x3 n lnedood egłoś ite-o ów trójkąta po sta-

gdyż-?- =

xw

V

:—, a strony drugie są równe dwu-

punktu s go punktu o w o w e g o.

Jeżeli jeden z boków trójkąta podstawowego staje się prostą w nieskończoności na płaszczyźnie, to układ spółrzędnych trój liniowych (jednorodnych) zamienia się na układ spółrzędnych Descartes’a (niejednorodnych).

roporcy

trzech

O _Q

cl, o

Wzory o g ó1n e na przekształcenie j ednego układu spółrzędnych D e s c a r t e s’a na inny taki układ są następujące: Jeżeli ,r, y są spółrzędne punktu w odniesieniu do dwu osi, przechodzącycli przez punkt O i tworzących ze sobą kąt co; X, Y—spółrzędne tegoż punktu w odniesieniu do innych osi, przechodzących przez punkt 0\ którego spółrzędnemi względem osi dawnych są a, //, wtedy:

sin ß'

x = a -j- X

+ r-

sm co

sin ß sin co

y = o + x ...

sm a

sin a‘

Sili co

sin co ’

gdzie a, ß są kąty, które nowa oś X tworzy z dawnemi, a, ß—kąty, które z dawnemi osiami tworzy nowa oś Y. (Jest a-\-ß— a'-\-ß'—co‘, przez kąt pomiędzy osiami rozumie się kąt pomiędzy kierunkami dodatniemi osi).

Wyznacznik spółczynników przy X i Y

gdzie Ü jest

,    !    -j    sin Û

w t y c h wzorach, równa się —-,

sin co

k ą t pomiędzy n o w e m i osiami.

J e ż e ] i oba układy spółrzędnycli są prostokątne i jeżeli a jest kątem, który nowa oś X tworzy z dawną osią x, wtedy z o r y na przekształcenie przybierają posta

X — a -j- X cos a Hb X sm a ,

// — b -j- X sin a X Y cos a ,

gdzie bierzemy znaki górne Jub dolne, stosownie do tego, czy osi Y i y tworzą ze sobą kąt a lub n — a.

Wzory na przekształcenie spółrzędnych prostokątnych Des car te s'a na s pół rzędne b i e-g u nowe są:

X — Qcoscp , y = q sin cp , q = / ab -j- y-bg <P =    , cos <P =

V Xr-Yy¹

Sin 09 ==    ,

gdzie g, cp są spółrzędne biegunowe punktu o spółrzędnycli kar-tezyańskich xx y, i gdzie zakłada się, iż biegun przypada w początku spółrzędnycli, a oś biegunowa zlewa się z osią, na której liczymy spółrzędne x.

Jeżeli x, y\ x\ y' są spółrzędne kartezyańskie dwu punktów, to odległość tych punktów wyraża się wzorem:

o² = (xr — x)- -f- (y' — y)² -f 2 (xr - x) (y' — y) cos co ,

gdzie co jest kąt pomiędzy osiami.

Jeżeli a, ß są kąty, które prosta na płaszczyźnie tworzy z osiami spółrzędnycli, to zachodzi następujący związek zasadniczy:

cos² a -f- cos² ß — 2 cos a cos ß cos co = sin² co .

Jeżeli a, ß\ a, ß’ są kąty, które dwie proste r, r‘ tworzą z osiami spółrzędnycli, to kąt pomiędzy proste mi wyrażają wzory:

cos co

cos a

1    , cos ß ,

cos a'    , cos ß' ,    1

cos a , cos ß

cos a , cos ß'

Warunek, aby dwie proste b y ł y wzajemnie prostopadłe, wyraża się tak:

cos a

cos (r, r') — —

sin² co

cos co

sin (r, r') = —

sin co

cos co

cos co

1    . cos ß

=0,

= 0.

cos o!

cos a' , cos ß' , a warunek, aby były równoległemi, jest: cos a , cos ß cos ß'

Jeżeli układ jest prostokątny, to warunki te przybierają postać:

cos (r r‘) — cos a cos a‘ -j- cos ß cos ß '

sin (r, r') = cos a cos ß' — cos a' cos ß .

Jeżeli x, y\ x’ y'\ x" y" są s p ó 1 r z ę d n e trzech wierzchołków trójkąta, to pole jego w wartości bezwzględnej wyraża wzór:

i .

sin co

x'

» y'

AV a runek, aby trzy punkty ospółrzędnych x, y; x' y'; x" y" znajdowały się n a j e d n e j proste j, wyraża wzór:

xr , y'    ,    1

,    y"    ,    1

x"

=o.

Równanie pomiędzy spółrzędnemi punktu płaszczyzny przedstawia miejsce punktów.

Pomiędzy spółrzędnemi x, y punktu, należącego do prostej zachodzi związek stopnia

1-go (równanie prostej) typu:

ax -{- by -f- c = 0

gdzie a, b, c są spółczynniki stałe.

przez

Równanie prostej, przechodzącej dwa punkty o spółrzędnych x\ y'\ x", y”, można napisać w jednej z dwu następujących postaci:

Spółrzędne punktu, znajdującego się na prostej, określonej przez    dwa    punkty (x', y')\

(x", 2/"), można wyrazić w ten sposób:

x — x'

x"~ x'

_ V —y‘ y"-yy ’

—o.

x"

<x' -j- ho" y‘ -)- hf'

1 -J- A ’ 1 -f A / '

Punkty:

’ U-A ’ 1—A

x' -f- ho" y' -(- ly" 1 A 1 —j— A

'x' — hc" y' — ly"'

dzielą harmonicznie odcinek, określony przez punkty (x' y', x" y").

r y prosta tworzy

Jeżeli przyjmiemy, że układ osi jest prostokątny i napiszemy równanie prostej w postaci y = Ax -f- B, to spółczynnik A nazywa się spółczynnikiem kątowym prostej i prz stawia styczną t r y-. gonometryczną kąta,

z osią x.

Jeżeli przez a, ß oznaczymy kąty, które prostopadła do prostej tworzy z osiami spółrzędnych, przez o odległość początku spółrzędnych od prostej, to równanie jej można będzie napisać w postaci, t. z w. równania normalnego

x cos a -f- y cos ß — g = 0 .

Dla sprowadzenia równania f>x -J- by -j- c — 0 do postaci normalnej dość spółczynnik jego pomnożyć przez

sm co

V a²-j-b-—2 ab cos co

gdzie pierwiastnik należy wziąć ze znakiem -j- lub —, stosownie do tego, czy iloczyn c sin co jest ujemny lub dodatni.

Jeżeli ax by ~\~ c ~ O jest równaniem prostej, t o kąt y, jakie prosta tworzy z osiami spół rzędnych, wyrażają wzór y:

cos a — -

a sin co

, cos ß =

b sin co

I «²-f- lr— 2 ab cos co

1 a--\-b‘²—2 ab cos co

co jest kąt pomiędzy osiami; odległość zaś prostej od początku spółrzędnych daje wzór:

c sm co

F a~-\- b- — 2 «ć cos co

gdzie co do znaku należy stosować to samo prawidło, co wyżej.

Odległość punktu o spół rzędnych X, Y o d prostej ax -f- by -j- c — 0 wyraża się wzorem:

(aX -f- b Y -f- o), sin co

cos co

V cï²-j-è²—2 «/>

gdzie co do znaku stosujemy uwagę powyższą; odległość ta będzie dodatnia lub ujemna, stosownie do tego, czy punkt względem prostej znajduje się po tej samej stronie, co początek spół-rzędnych, czy po stronie przeciwległej.

Spół rzędne punktu przecięcia dwu pro-s t y c h ax by -j- c — 0, n'x -j- b y -(- c' = 0 wyznaczają się z wzorów:

, y—

,ib’-a'b ’

bc' I/o

ab'—a'b

a'c—aa'

kąt zaś pomiędzy dwiema prostemi z wzorów:

sm cp —

(ab' — a'b) sin co

V a² -j- ć² — 2 ab

cos co .

V a'~ -j-b'¹— 2 a'b’ cos co

COS cp

V a* -H² — 2 «ć

aa' -f bb' — (ab' -f- a'b) cos co

• V a'² -j- b'- — 2 a'b' cos co

cos co

kiem koniecz n

m i dostatecznym c h j est ab' — a'b — 0; warunkiem koniecznym i dostatecznym prostopadłości dwu prostych jest aa'-\-bb‘—(ab'-j-a'b) cos co=0.

Równaniem prostej, przechodzącej przez punk t (x’ y) i prostopadłej do prostej ax-\-by-\-c—0, j e s t:

równole

ci d w n p r o

X—X

a— b cos co

y—y‘

b—a cos co

Warunkiem koniecznym i dostatecznym n a to, aby t r z y proste axA-by-\-c — 0, a'x-\-b‘y-\-c’ = 0, a"x-\-b"y-\-e" — 0 przechodziły przez jeden punkt, jest:

a'

o'

, c"

Pole trójkąta, ograniczonego temi trzema prostemi, j est:

a”

a , b ,    <;

a'

a" , b" {abl—a,b)(u'b"—a"b')(a'Tb^b”~j

sin co

Jeżeli położymy ~ c

na następujące:

■— = v, to równanie prostej przejdzie

vx -f- vy -j- 1 = 0 .

Jeżeli w równaniu tern będziemy uważali za stałe u i v, za zmienne x i y, będziemy mieli związek pomiędzy spółrzędnemi każdego punktu prostej; jeżeli zaś będziemy uważali za zmienne

u i v, za stale x i //, b rem u czynią zado

kiejkolwiek prostej, przechodzącej przez punkt o spół rzędnych .r, y. Dając u, v - - indywidualizujemy prostą, dlatego u, » nazywają się spółrzędnemi prostej.

Proste, których spółrzędne czynią zadość temu samemu równaniu liniowemu, przechodzą wszystkie przez jeden punkt.

Warunkiem koniecznym i dostatecznym na to, aby rz r st o spółrzędnych (u, v),

(\l\    (?<.", v>")    rz c o zi y przez jeden punkt,

jest:

Ui-

mieli z w i i 1 o ś i u, v nale

ziem

z e k, k t ó-

ce d o j a-

c-f-

P-l

CD

CD

O.

-=0.

v" ,    1

Spółrzędne prostej, przechodzącej przez punkt przecięcia się dwu prostych o spółrzędnych (u\ v'), (u", v"), są typu:

u'+ Xu" v' + hf 1+A    ’ 1-fż '

Proste o spółrzędnych:

N»

N>

rH ■

1—1

dzieła harmonicznie kąt pomiędzy prostemi

K, vf), (u", v").

Związek pomiędzy spółrzędnemiw, v pro-

ogóle mnogość

i e s k o ń-

stej przedstawia w

ozenie wielu prostych stycznych do mówimy, że przedstawia obwiedni ą.

Kąt pomiędzy dwiema prostemi (m, v), (u\ v‘) wy

ży w ej;

71

raża wzór (dla przypadku co —    :

cos a —-

u u' -f- w'

Godnemi uwagi są dwa punkty urojone w nieskończoności na płaszczyźnie, przedstawione (w spółrzędnych prostej) przez równanie n- -f- v- = 0. Nazywają się one p u n k t a m i koło-w e m i, albowiem przez nie przechodzą stkie koła płaszczyzny (pàtrz Rozdz. IV).

Zasługuje teź na uwagę następujące określenie rzutowe kąta pomiędzy dwiema prostemi, oparte na wprowadzeniu punktów kołowych płaszczyzny (L a g u e r r e, Nouv. Ann. XII, t. 64, patrz Rozdz. XXI, § 3).

Kąt dwu prostych równa się iloczynowi

\~—i    i,,

—2    ⁼⁼ ~2~ P r z e z logarytm stosunku a n-

c z orki, utworzon j prz inne proste

dwu punktów kołowyc (patrz np. Cle sc -Linde m a n n, Geometrie I).

Dwa układy płaskie (płaszczyzny punktowe i liniowe) zywają się jednokreślne m i (homograficznemi), koli-amemi lub rzutowem i, jeżeli pomiędzy ich punktami i ich prostemi (rzeczywistemi) istnieje odpowiedniość taka, iż każdemu punktowi P odpowiada punkt P‘ i każdej prostej p prosta //, przy warunku, że jeżeli P należy do p, to i P’ należy do p‘.

ilości

h a r m dwie

li e

możnego roste dane i

P-

w CD

w szy-

■T

£r

O- CD

na-

W przypadku ogólniejszym, w którym obejmujemy elementy rzeczywiste i urojone, określenie analityczne jednokreśl-ności (homografii) dwóch układów płaskich jest następujące: jeżeli x, y są spółrzędne kartezyańskie punktu płaszczyzny, xr, y‘ spółrzędne punktu odpowiadającego pierwszemu, dwa układy są jednokreślnemi, gdy zachodzą związki:

ax -f - by -j- c a"x-\-bny+r" ’

dla których wyznacznik (ab‘c") jest różny od zera. Pascal. Rep. II.

x' =

y'

arx -f- b'y-\-c a"x\-b"y-\-c" ’

Albo też: jeżeli u, v są spółrzędne prostej jednego, u', v‘ — spółrzędne prostej drugiego układu, dwa układy są jednokreśl-nemi, jeżeli zachodzą związki typu:

nf

au -j- bv -j- c

auu-\-b"v-\-c"

a'u-{-b'v-\-c'

Dwie odpowiadające sobie proste p u n k-

j c sobie pęki pro-k a ach płaskichj

t we lub dwa od owiada s y c h, zawarte dwu u dnokreślnych, są zawsze rz u to wem i.

Pj CD

e-

Jednokreślność dwu układów płaskich jest oznaczoną, gdy ustanowimy, że czterem wierzchołkom czworokąta w jednej płaszczyźnie odpowiadają cztery wierzchołki czworokąta w drugiej, albo czterem bokom czworoboku w jednej płaszczyźnie odpowiadają cztery boki czworoboku w drugiej.

Dwa układy płaskie jednokreślne nazywają się pokrewne m i, gdy prostej w nieskończoności jednego układu odpowiada prosta w nieskończoności drugiego.

Równania pokrewieństwa są typu

x' — ax -j- by -j- c , y' = a'x -f- b'y -j- c! .

trzema prostemi

Pokrewieństwo jest oznaczone, gdy ustanowimy odpowiedniość pomiędzy trzema punktami (nie leżącemi na jednej prostej) jednej płaszczyzny a trzema punktami (nie leżącemi na jednej prostej) drugiej płaszczyzny; albo pomiędzy trzema prostemi (nie należące mi do jednego pęku) w jednej w drugiej.

W pokrewieństwie dwie proste punktowe, odpowiadające sobie, są podobne, a stosunek pól odpowiadających sobie trójkątów jest stały.

Przypadkiem szczególnym pokrewieństwa jest podobieństwo. Dwa układy płaskie nazywają się podobnemi, gdy ich kąty odpowiednie są równe.

s z e-i o d-

W dwu układach podobnych stosunek podobieństwa dwu odpowiadających sobi regów punktów jest zawsze stały, a p ę powiadających sobie promieni są równe.

Jeżeli dwa układy płaskie jednokreślne są nałożone, to można szukać punktów (lub prostych), które odpowiadają samym sobie (punkty zjednoczone lub podwójne, proste zjednoczone lub podwójne).

Istnieją w ogóle trzy punkty zjednoczone i trzy proste zjednoczone, które są odpowiednio wierzchołkami i bokami tego samego trójkąta.

Trzy punkty zjednoczone otrzymujemy, szukając pierwiastków t równania:

a'

, b'-t , c'

c"—t

, b"

i następnie szukając jedynego punktu wspólnego trzem prostym o ró wnaniach: ax + by -f- c =. tx ; ax -f- Wy -|-c' — ty ; a"x -}- b"y -j- c" — t .

Zamieniając x, y na u, v, pozyskalibyśmy sposób otrzymywania prostych zjednoczonych, gdy jednokreślność jest wyrażona w spółrzędnych linij prostych.

zwanej osią h o m o 1 o g i i.

Dwa układy płaskie jednokreślne nazywają się homolo-gicznemi, jeżeli proste, łączące odpowiadające sobie punkty, spotykają się w jednym punkcie, zwanym środkiem homolog i i lub perspektywy. W tym przypadku prosta, odpowiadające sobie, spotykają się w punktach jednej prostej

Moźnaby tę drugą własność przyjąć za podstawę defimcyi, a wtedy pierwsza wynikłaby z defimcyi jako wniosek. Homologia jest h mografi

O 'O

O ct-

CD O

istnieje prosta pun

homolog i i) i pęk prostych zjednoczonych (którego środek j es ś o d k i e m h o m o 1 o g i i).

Jeżeli w dw c układach jednokreślnych

odpowiadają samym so-omologiczne rn i.

w z j e d n o zony

z"

rzy i e, t

Cu. O

-4-3 "O

P"

u n k t y p r o s t ( te układy są

Homologia zachodzi wtedy, gdy wyznacznik

a'

a"

, V—t , c'

, b" , c"-t

s t kie swo j e a wartość t jnymlubpo-m ostatnim p r z y-aj duj e się na osi

wartości t w s z ó w n e z

m a dla pewn p o d w y z

t wte p i e r w i s t k i e m t r jnymr w a n i a J) = 0; w 1 padkuśro e h o m o 1 o g i i z h o m o 1 o g i i.

Dwa układy płaskie homograficzne (niepokrewne) można zawsze umieścić w ten sposób, aby były homologicznemu

Dwa układy płaskie homologiczne określa środek, oś lio-mologii oraz jedna para odpowiadających sobie punktów.

D w a u k 1 a d y pląs ki e j ednokreśln.e i n a ł o-ż o n e wyprowadzają się jeden z drugiego za pomocą skończonej liczby h o m o 1 o g i j, a 1 b o t e ż za pomocą skończonej liczby rzutów i przecięć.

Proste graniczne (lub zbiegu) dwóch układów płaskich homologicznych (t, j. proste jednej płaszczyzny, odpowiadające punktowi w nieskończoności drugiej) są równoległe do osi ho-mologii.

i ki

O- Gß

r-i    :Ö

I-i

u.

o-

rTj

1—

Homologia dwóch układów płaskich nałożonych nazywa się harmoniczną lub inwolucyjn ą, jeżeli dwa punkty (i dwie proste) odpowiadają sobie w sposób podwójny, t. j.

punktowi P odpowiada zawsze ten sam punkt P', bez względu na to, czy uważamy punkt P za należący do jednej płaszczyzny, czy też do drugiej; toż samo dla dwóch prostych.

W homologii inwolucyjnej dwa odpowiadające sobie punkty są rozdzielone harmonicznie przez środek i przez oś homologii (stąd nazwa homologii harmonicznej); toż samo stosuje się i do dwóch odpowiadających sobie prostych.

Ważną jest uwaga: homografia (płask a), której o d p o w i e d n i o ś ć jest inwolucyjną (w znaczeniu powyżej wskazanem), jest koniecznie homolog i ą.

Jeżeli przyjmiemy, że oś homologii znajduje się w nieskończoności, to dwa układy płaskie nazywają się li o m o t e tyczne m i; jeżeli i środek jest w nieskończoności, nazywają się p r z y s t a j ą c e m i.

W odpowiedniości omote graniczne zlewają się

W homotetyi st sunę d w u o cych sobie odcink w pr stoli n stały (stosunek homotetyi).

Układy homotetyczne są przypadkiem szczególnym układów podobnych.

nies

a-

O- o

O 7?

cznej r s t e c z o n o c

o w i a d a j ą-w y c h jest

-d --i

Qh *CO

Przypadkiem ogólniejszym liomografii inwolucyjnej jest homografia kołowa rzędu n dwóch układów płaskich nałożonych. Jest ona taką, że szukając punktu A' odpowiadającego punktowi A, potem punktu odpowiadającego punktowi A', uważanego za punkt pierwszego układu płaskiego, i tak dalej postępując, dochodzimy po n działaniach do punktu początkowego A.

je ż e 1 i obierzemy s dla punktów

. N-

s a w o w y w e c ołki są związ n, tor w n s p r o w d z i

'O ce

łaszcz iemy t n e h

ce

rzędne j za tr

t r g o t r z y w i koło

08 'O

CD 'O

t-1. o-

o r o d n e ą t od

mograti ii orno rafii da cl postaci:

CO

ero o

a-s» cd

za si

cO)

r z-rzędu a w s z e

dzie ilości e s t o p n i a n-tego z

pierwiastkami pierwotnemi edności.

OD co

«-J. <•£>

Jeżeli elementy (rzeczywiste) dwóch układów płaskich, nałożonych lub nie, odpowiadają sobie w ten sposób, że punktom jednego odpowiadają proste drugiego, i odwrotnie, i jeżeli punktom na prostej p jednej płaszczyzny odpowiadają w drugim układzie proste, przechodzące przez punkt P, odpowiadający punktowi p, i odwrotnie, wtedy o dwu układach mówimy, że są w odpowiedniości dwoistej lub wzajemnej.

W przypadku ogólniejszym, w którym rozważamy elementy rzeczywiste i urojone, dwoistość określa się analitycznie za pomocą związków typu:

u’ =

ux-\- by -f-c

arx-\-b'y-\-c

a!'x-\-b"y-\-cv

gdzie x, y są spółrzędne punktów, u', vr spółrzędne prostych, a wyznacznik (ab'c”) jest różny od zera.

Dwoistość jest oznaczoną, jeżeli do czterech wierzchołków czworokąta dobierzemy odpowiadające im cztery boki czworoboku.

Dwa układy płaskie dwoiste względem trzeciego są homograficznemi względem siebie.

Wzajemność lub dwoistość dwóch układów płaskich nałożonych może być inwolucyjną, t. j. taką, że punktowi odpowiada zawsze ta sama prosta, bez względu na to, czy punkt uważamy za należący do pierwszego układu płaskiego, czy do drugiego; taka dwoistość inwolucyjna nazywa się biegu n o-w o ś c i ą. Punkt i prosta, odpowiadające sobie, nazywają się biegunem i biegunową.

'O .

Jeżeli dwoistość jest taka, iż istnieje trójkąt, którego wierzchołkom, uważa n j m za punkty jednego z dw o h układów płaskie odpowiadają w drugim układzie boki ty wierzchołkom przeciwległe (trójkąt biegunowy, samo wzajemny, samosprzężony), wtedy dwoistość ta jest biegunowością

W biegunowości istnieje nieskończenie wiele trójkątów bieg u nowych.

Biegunowość jest oznaczoną, jeżeli wybrany jest trójkąt biegunowy (t. j. trójkąt, mający własność, wskazaną w twierdzeniu poprzedzającem) oraz biegunowa jakiegokolwiek punktu, nie leżącego na żadnym z boków trójkąta.

Dwa punkty w biegunowości nazywają się wzajemne m i, jeżeli jeden znajduje się na biegunowej drugiego. W sposób analogiczny określamy proste wzajemne.

Jeżeli biegunowa punktu przechodzi przez ten punkt, wtedy nazywa się on punktem zjednoczonym, a jego biegunowa prostą zjednoczoną biegunowości.

Analitycznie, biegunowość określa się za pomocą związków, podobnych do związków dla dwoistości, w których a' = b, a" = c, b" = ć.

myc h zezy-

'O

CÔ

Równaniami dwoistości w sp jednorodnych punktów i prostyc zny są następujące:

(*. k = 1, 2, 3)

równania biegunowości są te same, przyczem w n i c h aa- =

Punkty zjednoczone dane są przez związek a ik «zv &k = 0

(odpowiadający stożkowej).

Jeżeli trójkąt podstawowy s pół rzędnych jest trójkątem biegunowym, to wyrażenie to zamienia się na następujące:

aik xi¹ = 0

Nie będziemy tu zajmowali się szczegółowo pozostałemi dwiema formami zasadniczemi gatunku drugiego, t. j. wiązką prostych i wiązką płaszczyzn; zwracamy tylko uwagę na to, że własności wiązki wyprowadzić można z własności układu płaskiego, jeżeli wyobrazimy sobie, że rzucamy go z punktu znajdu-

jącego się zewnątrz niego. Definicya wiązek homograficznyeh lub rzutowych, wzajemnych i t. d. i własności zasadnicze tych odpowiedniości są analogiczne do definicyj i własności układów płaskich.

yy.

Geometrya form zasadniczych gatunku 3-go. Przestrzeń punktowa

i płaszczyznowa

Pomiędzy czworościanami, mającemi za wierzchołki cztery z sześciu punktów danych A, B. C, Z), E, F, przestrzeni zachodzi związek:

ABEF. CDFF+BCEE .AI)EF-\- CAEF. BDEF — 0 .

Dla siedmiu punktów istnieje związek:

AB CG . J)F EG + A CI)G . BE EG -f A DBG . CEFG = BCDG . AEFG .

Dla ośmiu punktów mamy:

BCDE. AFGH+ ACEI) . BFGH+ ADEB . CFG Ił + AB EG . DFGH + ABCI) . EFGH - 0 (Monge, Möbius).

Jeżeli przez <5₁₃, <5₁₃, . . . oznaczymy odległości wzajemne pomiędzy pięcioma punktami w przestrzeni, będzie:

O rH

1 , <W2 1 . V

Związek ten podał Lagrange (Mén. de Berlin 1773) pod inną postacią*, później zajmowali się tym związkiem Carnot w pracy specyalnej (Paryż 1866-) i O a y 1 e y, który nadał mu postać wyznacznikową (Camb. mat. J. II).

Powyższemi związkami oraz związkami analogiczneini dla prostej i płaszczyzny zajmowali się także Seherin g (Gotting. Nachr. 1870). D’O v i d i o (Geom. di Batt. XI), a w najnowszych czasach De T i 1 1 y (Mém. de Belg. 1893) i Mansion (Société scient, de Bruxelles 1895).

Uważajmy w przestrzeni trzy proste — osi s p ó ł r z ę d-n y c h—wychodzące z jednego punktu O — początku s p ó ł-rzędnych. Proste te wyznaczają trzy płaszczyzny — płaszczyzny spół rzędnych — a przez każdy punkt P przestrzeni wyobrazić sobie można trzy płaszczyzny, do płaszczyzn spółrzędnych odpowiednio równoległe. Na przecięciach tych płaszczyzn z osiami spółrzędnych będziemy mieli trzy punkty, które można uważać za rzut punktu danego w przestrzeni. Każdemu punktowi w przestrzeni odpowiadają tedy jego rzuty, każdy na jednej z osi; jeżeli więc na każdej z osi ustanowimy układ spółrzędnych dla jej własnych punktów, to trzy spół-rzędne trzech rzutów punktu P będzie można przyjąć za spółrzędne punktu P. Tym sposobem otrzymujemy układ spółrzędnych, który nazywa się układem Descarte s’a. Najpospolitszym przypadkiem jest ten, w którym spółrzędne na trzech prostych punktowych są spółrzędnemi kartezyańskiemi z początkiem wspólnym 0 i są liczone w jednej jednostce miary. — Jeżeli każde dwie z trzech osi są do siebie prostopadłe, otrz3^mujemy układ spółrzędnych, który nazywa się prostokątnym.

Niechaj będzie punkt dany O — biegu n, prosta przezeń przechodząca—o ś biegunów a—i płaszczyzna przezeń przechodząca — płaszczyzna biegunowa. Każdy punkt P przestrzeni będzie wyznaczony, jeżeli danemi są: jego odległość g od punktu Ö; kąt 6, jaki prosta OP tworzy z osią biegunową; kąt (p, będący miarą kąta dwuściennego pomiędzy płasz-ezj^zną biegunową a płaszczyzną, przechodzącą przez punkt 1 i przez oś biegunową. Trzy- liczby g, 8, <p można przyjąć za spółrzędne punktu P i tym sposobem otrzymujemy układ spółrzędnych biegunowych. Można przyjąć, że g jest liczbą zawsze dodatnią, 6 zawiera się zawsze pomiędzy 0 i n, cp zaś pomiędzy 0 i 2n.

Jeżeli trzy spółrzędne punktu przestrzeni napiszemy-

w postaci:

xx

x₂

xi

xt

X, ’

wtedy xx, x₂, x₃, xi będą społrzędnemi jednorodnemi.

Pomiędzy układami spółrzędnych biegunowych zasługuje na uwagę układ czworościenny lub tetrametryczny. Cztery płaszczyzny w przestrzeni tworzą czworościan podstawowy. Niechaj p, q, r, s będą odległości punktu P od tych czterech płaszczyzn; a, b. c. d — cztery stałe; przyjmijmy-,

że xu x₂₎ xa, x± są proporcyonalne do    , ——, —j-.

Oj U C O

wierzchołki czworościanu nazywają się punktami podsta-w o w e m i, a cztery ściany — płaszczyznami podstawo w e m i. Punkt U, którego spółrzędne są równe 1, t. j. którego odległości od czterech ścian są proporcyonalne do a, b, c, cl nazywa się punktem — jednością.

Cztery

Podobnie jak w § 3 łatwo widzieć, ż e stosunek dwóch jakichkolwiek z tych spółrzędnych równa się d w u s t o s

owi zterecb płaszczyzn pęku, którego os ą jes jedna z krawędzi czworościanu, a którego czterema płaszczyznami są: dwie ściany czworościanu, przez tę krawędź przechodzące, płaszczyzna, przechodząca przez punkt U, i płaszczyzna, przechodząca przez punkt P.

Tak określone spółrzędne są tedy- spółrzędne mi rzutowe mi.

ÎS5

so

•N

05    ¹⁻¹ ‘

c©

■Ą Cd

CS3

■71

• rH

SO

CO

co-

rt-

JD p

o_, d

czworościenny staje się układem kartezyań-s k i m.

Podobnie, jak dla płaszczyzny, pierwszem zagadnieniem jest tu zagadnienie o przekształceniu spółrzęd-n y c li, t. j. znalezienie wzorów, przy pomocy których spół-rzędne w jednym układzie wyrażają się przez spółrzędne w drugim.

Jeżeli obydwa układy są kartezyańskiemi mamy związki następujące:

f a,

X cos (Xxr) 4- Y cos ( Yxr) -f- Z cos (Zxr)

cos (xx')

X cos ( Xy') + F cos ( Yy') -j- Xcos (Zy')

cos (yy')

z ---

X cos (Xz') -f F cos ( Yz') + Xcos (Zz')

cos (zz')

f c;

gdzie x, y, z\ X, Y, Z punktu w układzi drugi m; a, b, <: są s układu w u

są

CD

spółrzędnemi danego układzie

'O

pierwszym 1 w

nemi początku dru-a d z e pierwszym; x',y', z' —

rCD

giego

oznaczają proste prostopadłe do płaszczyzn yz, zx, xy; cos (xxf). . . cos (Xx')... są dostawami kątów pomiędzy prostemi x i x', . . . X 1 x'...

Dla układów prostokątnych wzory te przybierają postać prostszą:

x = a -}- X cos (Xx) Fcos ( Yx) + Z cos (Zx) , y =: b -f- X cos (Xy) + Y cos ( Yy) -j- Z cos (Zy) , z = c + X cos (Xz) -f- rcos ( Yz) -}- Z cos (Zz) .

et-

Pl,

cś

CÔ

ZA 'O ?h

• rH

•N

ts

• r-t

,^> cCD

N P-¹

CC

Ct-

£ o cS

cos² (Xx) -f- cos² (Xy) + cos² (Xz) = 1 .

i pięć inny cli, które otrzymujemy z pierwszego, zamieniając X na Y lub Z, oraz zastępując w trzech tak napisanych wzorach x, y. z przez X, Y, Z. dalej :

cos (Yx) cos (Zx) ~j- cos ( Yy) cos (Zy) -j- cos ( Y z) cos (Zz) = 0 ;

i dwa inne, które otrzymujemy, przemieniając kołowo X, Y, Z\ z tych zaś trzy inne, zmieniając X, ?/, z na X, Y, Z. Razem będzie związków trzynaście, z których tylko sześć niezależnych.

Wzory na przekształcenie spółrzędnych biegunowych na prostokątne będą następujące: Niechaj początek spółrzędnych prostokątnych będzie w biegunie układu biegunowego, oś biegunowa zaś niechaj zlewa się z osią z, a płaszczyzna biegunowa z płaszczyzną xz. Wtedy:

x — g sin 0 cos cp

g = V x¹ -f- y² -f- z² , cos 0 =

y =*= g sin 0 sin cp , z—g cos 6 ;

> tS⁽P = ~

V x² -j-■ y² -j- z²

Jeżeli xx,yl,z₁)X₂, y₂, z₂; x₃, y?i, z.A są spółrzędnemi trzech punktów w układzie Descarte s'a, w t e-d y warunki na to, aby te trzy punkty leżały n a j e d n e j prostej, wyrażają się tak:

Vi—Vz

^1—^2

Vx—y-i

W arun

zić w ten sposób, że maj znikać wyznacz i i macierzy:

Xj ,

7T

i te można też w

» 8i

a ''

c3 -W

x₂ ,    y2 , z₂

wystarcza, aby znikały dwa wyznaczniki.

Odległość punktu o spółrzędnych x, y, z od początku spółrzędnych wyraża się wzorem:

Q-

x² -|- y² -f- z² -j- 2 xy cos (xy) -f- 2 yz cos (yz) -j- 2 zx cos (zx) .

Pomiędzy dostawami kątó , które prosta r tworzy z trzema osiami, z chodzi związek:

cos (xr) ,

cos (rx) , cos (?•//)    , cos (r^)

, cos (ay/)

cos (xz)

= 0.

cos (yr) , cos (?/,r)    ,

, COS b/2)

cos(zr) , cos (:x)    , cos (zy) ,

Dla osi prostokątnych mamy wprost:

cos- (rx) -}- cos- (ry) -j- cos- (rz) — 1 .

Kąt pomiędzy dwiema prostemi w układzie prostokątnym wyrażają wzory:

cos (rr') — cos (xr) cos (xrr) -j- cos (yr) cos (yr¹) -j- cos (*r)cos (zr'),

sin² (rr') =

, cos(yr)

cos(zr)

cos(xr)

cos (xr‘) , cos (yr¹) , cos (zr')

Pole 4 trójkąta o trzech wierzchołkach, których spół rzędne mi w układzie prostokąt-n y m są xx, yx, zt; x₂, yv z₂, x₃, y₃, z₃, wyraża wzór:

4A² =

Ih ,*1,1 Ih ■> ^2 j 1

ic

//a ) ²3 > 1

J* F i«

to

-f

O- TT

Objętość F czworościanu o wierzchołkach, który cli s p ó ł r z ę d n e m i (w jakimkolwiek układzie kar tezy a ńs im) są: xJ} yt, z₁; x₂, ?/₂> z₃\ x3l yv<, z₃, x₄, y,, wyraża wz r:

1    , cos (xy) , cos (#z)

xi , yx , zx , 1

X2 : V2 1 Z2 5 1 *^3 1 !h ) ^3 ! ^ ■^4 > Vi > ²4 i ¹

V=~

cos (?/r) ,    1    , cos (yz)

cos (zx) , cos (zy)

Dla układu prostokątnego pierwszy z wyznaczników staje się równym jedności.

Spółrzędne kartezyańskie x, y, z punktów płaszczyzny czynią zadość równaniu stopnia 1-go, typ u:

ax -j- by -)- cz -f- d = 0 (równanie płaszczyzny);

każde takie równanie przedstawia płaszczyznę.

Warunkiem koniecznym i dostatecznym na to, aby cztery punkty (x,y,z), (x1} yi% zx), (x₂, y₂, z₂), (x₃, y₃,z₃) znajdowały się na jednej płaszczyźnie, j e s t:

= 0.

xi , Ul

Równanie poprzedzające określa płaszczyznę przez trzy punkty o spółrzędnych x, y, Z", x₂, y₂, z₂; x₃, y₃, z₃; w równaniu tern x, y, z są spółrzędnemi punktu bieżącego płaszczyzny.

— 4- — -j- — = 1 jest równaniem

p ' (J ¹ V    °

Równanie

płaszczyzny, która na osiach wyznacza odcinki długości p, q, r (licząc od początku spółrzędnych).

Dwie płaszczyzny ax by -\- cz Ą- d — 0    , a'x -J- b'y -J- d z -j- dl — 0

są równoległe mi wtedy i tylko wtedy, gdy

ssH

Prosta w przestrzeni jest określona przez dwa równania, które są równaniami dwu plasz-

rzecliodzących zny należą do jąjednę prostą wspólną, gdy znil n i k i rzędu 3-go macierzy:

czyzn, prz Trzy p

jo

u, t. j. m a-wyznacz-

a'

a'’

c'    ,    d‘

b" , c" ,    <r

wystarcza, aby znikały dwa wyznaczniki.

Cztery płaszczyzny przechodzą przez jeden punkt wtedy, gdy znika wyznacznik rzę-d u 4-go szesnastu spółczynników równań tych płaszczyzn.

Jeżeli a, ß, y są kątami, które prosta prostopadła do płaszczyzny tworzy z osiami, g— odległością płaszczyzny od początku spółrzędnych, to równanie płaszczyzny możemy napisać w postaci, zwanej normalną:

x cos a -f- y cos ß -\-z cos y — g — 0 .

W układzie prostokątnym równanie ogólne płaszczyzny sprowadzamy do postaci normalnej, mnożąc je przez

±y —j— —j— c²

.gdzie pierwiastnik należy wziąć ze znakiem, przeciwnym znakowi wyrazu wiadomego w równaniu.

a' ,

sin² a =

Waru czyzn w u

trr¹

Odległość punktu X, Y, Z od płaszcz obliczamy, kładąc po stronie pierwsz zmienionym znakiem) równania normalnego płaszczyzny zamiast spółrzędnych, bieżące spól-rzędne.punkt u.

Kąt a pomi w układzie pros

e—i.

(z e

<■£»

dwiema płaszczyzna m i n y m w yraża się w z o r e m:

cos a -----

CICL —(— 1)1 >

~r

<:c'

V a* -f- O'² -j- c² 1 a'--f //-'-(- c'² '

iem prostopadłości dwu p ł a szadzi e prostokątnym j e s t:

aa' -j- W -j- c' — 0 .

Jeżeli równanie płaszczyzny napiszemy w postaci.

ax -j- vy -f- wz -(-1 = 0,

to spółczynniki u, v, w można uważać za spół rzędne płaszczyzny. Rozważania nad terni spółrzędnemi, analogiczne do rozważań nad spółrzędnemi prostej pomijamy.

Dwie przestrzenie (trójwymiarowe) są li o m o g r a f i c z-li e m i (j e dna-kreślnemi), kolinearnemi lub r z u-to wemi, gdy odpowiadają sobie w ten sposób, iż każdemu punktowi i płaszczyźnie (rzeczywistym) w jednej odpowiada punkt i płaszczyzna w drugiej, przy warunku, że gdy punkt w przestrzeni pierwszej należy do płaszczyzny, to punkt w przestrzeni drugiej należy do płaszczyzny, odpowiadającej tamtej. Innemi słowy, jeżeli w przestrzeni pierwszej punkt porusza się po płaszczyźnie, to punkt, odpowiadający mu, porusza się po płaszczyźnie, odpowiadającej pierwszej.

Definicye analityczne dla przestrzeni homograficznych, (obejmujące poprzednie i rozciągające się na przypadek elementów urojonych) są następujące; jeżeli x, y, z i x', y', z' są spół-rzędne odpowiadających sobie punktów w dwu przestrzeniach, przestrzenie te nazywają się homograficznemi, gdy zachodzą związki:

x' —

ox —j- In/ —|— cz -j— il

a",xĄ-bmy-\-c",z-\-d,n

a!x -f- b'y-f- r!z -j- <l'

a "rx-\~ b' "y-\- a'" z-\-df"

z' —

a"x -i b"z -{-<■!'z -f- d" ti"x^V"y+c',7z+d''T

gazie wyznacznik (al/c"d'") jest różny od zera. Albo; jeżeli u, iv\ u‘, v', w’ są spółrzęclnemi d\Vóch płaszczyzn odpowiadających sobie w dwu przestrzeniach, to pomiędzy temi spółrzęd-nemi zachodzą związki liniowe analogiczne do powyższych.

wyrażonej tu homografii istnieją w ogóle cztery płaszczyzny zjednoczone (t. j. punkty i płaszczyzny, odpowiadające samym sobie).

Jednokreślnośó pomiędzy dwiema prze-strzeniami j e s t oznaczoną, jeżeli ustalimy odpowiedniość pomiędzy czterema wierzchołkami (lub czterema ścianami; czworościanu w jednej przestrzeni a wierzchołkami (lub-ścia-n mi; czwór ością u w drugiej, o^az pomiędzy

estrzeni, nie prze-czterech punktów e m, nie leżącym na żadnej z czterech ścian), a p ł a s z c z y g n ą w cl r u g i e j, nie przechodzącą przez żaden z czterech punktów, odpowiadających tamtym (albo punktem, nie położonym na żadnej z czterech ścian, odpowiadających sobie).

Jeżeli w obu przestrzeniach odpowiadają sobie płaszczyzny położone w nieskończoności, wtedy jednokreślnośó staje się p o krewieństwem.

Pascal. Rep. II.

CO

P-

zczyzną w je z a c

nej p rzez żaden

i-i

(alb

Pokrewieństwo dwu przestrzeni jest oznaczone, gdy damy odpowiedni ość pomiędzy czterema ścianami (lub wierzchołkami) c z w- o-rościanu w jednej a czterema ścianami (lub wierzchołkami) w drugiej.

W dwu przestrzeniach pokrewnych dwie odpowiadające sobie proste punktowe są pokrewnemi.

W dwu przestrzeniach pokrewnych odległości dwóch odpowiadających sobie punktów od dwóch płaszczyzn stałych są w stosunku stałym.

W dwu przestrzeniach pokrewnych objętości dwóch odpowiadających sobie ciał są w stosunku stałym.

owiadające sobie

cr

Cl, o

Przypadkiem szczególnym pokrewieństwa jest pod o-b i e ń s t w o. Dwie przestrzenie nazywają się podobnemi, gdy ich kąty, odpowiadające sobie, są równemi. W dwu przestrzeniach podo nych o układy płaskie s też pod bnemi.

Dwie przestrzenie jednokreślne, zawierające wiązkę elementów zjednoczonych, albo też układ płaski elementów zjednoczonych (jedno jest wynikiem drugiego), nazywają się h o m o-logicznemi; środek wiązki nazywa się środkiem homologii, a płaszczyzna — płaszczyzną homologii. Jeżeli odpowiedniość pomiędzy dwiema przestrzeniami jest inwolucyjną, wtedy homo-logia nazywa się zwykle inwolucyjną lub harmo-

mczną.

Dwie przestrzenie homologie z u środek, płaszczyzna homologii i o n i o ś ć pomiędzy dwoma punktami (które koniecznie znajdować się muszą na jednej prostej ze środkiem homologii, nie schodząc się atoli z tym punktem).

Jeżeli środek znajduje się w nieskończoności, mamy h mologię pokrewną; jeżeli zaś płaszczyzna homologii znajduje się w nieskończoności, mamy homotetyę. Ho-motetya jest przypadkiem szczeg dobieństwa. Dwie przestrz nie po gą być przeniesione w po ożenie tyczne.

O ■ CD

Cl,

r e ś 1 a wie d-

o-

CD

Inym p o-obne m o-homo t e-

Należy wspomnieć też o jednokreślności osiowej, której punktami zjednoczonemi są wszystkie punkty dwu prostych skośnych (będących zarazem obwiedniemi dwu płaszczyzn zjednoczonych). W jednokreślności osiowej dwa odpowiadające sobie punkty znaj d u j jednej prostej, spotykającej

noczonych w oma p i e r-n h armoni c z n y m. jest i wolucyj n a, n k t ó w est ha r m o-

się zawsze n obiedwie w cl w u u i wszem i w s a

T k a je cl n o k c z w ó r k a

Ph-

d- N

p u n k t ó w o s t a j ą c osuń k u

Gj

o- O-

j e ż e 1 n i c z n ą.

Jednokreślność przestrzenna inwolucyjna może być albo homologią inwolucyjną, albo jednokreślnoscią osiową inwolucyjną.

Przypadkiem ogólniejszym jednokreślności inwolucyjnej jest jednokreślność kołowa rzędu n, której definieya jest analogiczną do definicyi, podanej w § poprzedzającym.

Pomiędzy punktami i płaszczyznami jednej przestrzeni a punktami i płaszczyznami drugiej można pomyśleć odpowie-clniość dwujednoznaczną, podobną do tej. o jakiej była mowa w § 3, a która nazywa się (dwoistością albo w z a j e m-n o ś c i ą.

dwoistości

Równania m i w s p ó ł r z ę d n y ch je cl norodn y c h są:

przestrzenne j

ii i - Clj!; Ol }; .

D w o i s t o ś ć j e s t i n w o 1 u c y j n ą w cl w u p r z y-p a d k a c li, t. j. gdy ai}; — a,;i lub gdy = — o1;i (wtedy a,i = 0); w p i e r w s z y m a z i e m a m y zwykłą, w drugim iegunowos układ zerowy.

W biegunowości zwykłej m i e j s t ó w zjednoczonych j est^ po wierze nia drugiego (patrz Rozdz. \ ).

cr «

ieg u nowość zero w ą lub

e m p u n nia sto

W biegunowości zerowej każdy punkt leży na odpowiadającej mu płaszczyźnie, każda c z y z n a przechodzi p r z z swój własny n; ogół prostych z j e d oczonych jest kompleksem liniowym (patrz Bozdz XIV, § 3).

pł

O co

CTo œ

Biegunowościami zerowemi lub układami zerowemi zajmowali się: G i o r i n i (Mem. délia Soc. Ital delle scienze. XX. 1827), M ö-b i u s, Chasles, v. Staudt i inni (patrz Rozdz. X § 2).

Powiemy jeszcze słów kilka o tak nazwanych przeci w-rzutowościach S e g r e g o.

Niechaj Xi będą spółrzędne jednorodne punktów (rzeczywistych lub zespolonych) przestrzeni (dwu lub trójwymiarowej), u i—spółrzędne jednorodne elementu, związanego dwoistością z punktem w tej przestrzeni (t. j. prostej lub płaszczyzny, stosownie do tego, czy przestrzeń jest dwu czy trójwymiarową); niechaj X,. u{ będą ilości zespolone sprzężone względem x^ u,. Zamiast zwykłych równań jednokreślności i dwoistości, połóżmy następuj ące:

X ; — -X Cl/-i X/-    , U i — Ji, Cli]- X]; .

W z o r y te ustanawiają dwie odpowiednio-

z y elementami i. W pierwszej a s z-

ś c i dwujednoznaczne

x, x' lub x. u' dwóc odpowie niości

p,

czyzn punkt punkt m

o.

CD

CD r®

p r z

u n k t o m prostej lub

ą ak w j e dno kreśl ości) p aszczyzny; w drugiej

prostej lu

rostej lub płaszczyzny odpowia-p r o s e lu

C+-

u albo też

' cr

as c z y z y

zczyzny wią k i (j a k w wo i ości).

Odpowiedniości te nazywają się odpowiednio p r z e c i w-kolineacyą ( antikolineacyą) lub przeciwrzutowością i przeciwdwoistością. Zachowują one tę własność, że elementom harmonicznym odpowiadają elementy harmoniczne.

Jeżeli te odpowiedniości są inwolucyjnemu, to nazywają się przeci. winwolucyami ( antiinwolucya) i przeciw-bieg u nowościami (antipolarność). -

pł

ar w

ui kD

Rozważanie elementów zjednoczonych przeciwBieguno-'wości prowadzi do tak nazwanych „n a d s t o ż k o w y c hu (iperconiche) i do „n adpowierzchn iu rzędu 2-go (iperqua-driche) przedstawionych przez równanie typu

aik xt xk — 0

gdzie a a- = a ki.

O tych odpowiedniościach patrz cztery noty Segrego (Un nuovo campo di recerche geometriche, Atti di Torino 1890, Math. Ann. XL).

Za pierwszą geometryę analityczną uważać można „Geo m e-tryy.Descartes’a, wydaną poraź pierwszy w r. 1637; inne wydania tejże z notami ogłosili Debeaune i Schoote n. W dziele tern poraź pierwszy wprowadzonem jest systematycznie pojęcie spółrzędnych na płaszczyźnie; pojęcie zaś spółrzędnych na prostej wprowadził był już wcześniej Viète (1540—1603). Spół-rzędne barycentryczne zawdzięczamy M ö b i u s o w i („Der barycen-trische Calcul“ 1827), rzutowe v. Standowi („Beiträge etc.“ 1858) i Fiedlerowi ( „Darstellende Geometrie“ ); spółrzędne jednorodne badali AI ö b i u s, P 1 U c ker i Hess e.

Pojęcie dwustosunku (stosunku podwójnego albo inaczej stosunku podwójnego podziału) znajdujemy u Möbiusa i u Cdi a s-1 e s’a; ten ostatni nazywa ten stosunek an harmonicznym. Badania nad tym stosunkiem przeprowadzili Steiner i v. Stau d t, który określił go niezależnie od pojęć wielkościowych.

Zasadę homologii stosował P oncele t, jednokreślności (Pornografii) M o b i u s, Steine r i C h asie s, dwoistości Ge r g o nne (Ann. de math. 1827), Chasles i P 1 ü c k e r.

Inwolucyę badał poraź pierwszy — jeżeli pominiemy geometrów greckich —-Des argues ( 1593 — 1632), któremu zawdzięczamy i samą nazwę.

von

G e o m c t r y a r z u t o w a. badająca własności rzutowe figur, powstała jako nauka w pierwszej połowie wieku XIX-go. Kajwa-żniejszemi traktatami tej geometry i są: Poncelet „Traité des propriétés projectives des figures“ (Paryż 1822), S t e i n e r „Systematische Entwickelung der Abhängigkeit geometrischer Gestalten

einander¹ (Berlin 1832), v. Staudt „Geometrie der Lage“ (Norymberga 1847), Chasles „Géométrie supérieure“ (Paris 1852), „Sections coniques“ (Paryż 1865). Pomiędzy nowszemi traktatami wymieniamy; Cre m o n a „Elementi di Geometria proiettiva“ (1873, istnieje w przekładzie na różne języki), Reye „Die Geometrie der Lage“ 1877—1880, obecnie wydanie drugie), Pasch „Neuere Geometrie“ (Lipsk 1882), Weyer „Projective Geometrie“ (Wiedeń 1883— 1887),

najnowsze dzieła: S a n n i a’y (Neapol 1891, 1891)

oraz

i E n r i q u e s’a (Bolonia 1898).

Do dzieł tych należy dołączyć książki, poświęcone ge ome-t r y i w y k r e ś 1 n e j, w których traktowana jest także geometrya rzutowa, jak np. znane traktaty Fiedlera („Darstellende Geometrie“. Lipsk 1833—1888) i W i en er a („Lehrbuch der daj-stellen-den Geometrie*. Lipsk 1881).

a u d t, G C r m na, Klei

co

ey,

r g o n n e — i inni r z u-

Dodajemy, że geometrya rzutowa ma różne nazwy u różnych autorów i tak: Chasles nazywa ją geometry ą n o w ą lub w y ż s z

p o ł źen

g e o m e t o w ą.

Pokrewną z geometrya rzutową jest geometrya wykreśliła (opisująca), której zadaniem jest przedstawienie brył na płaszczyźnie przy pomocy rzutów centralnych lub równoległych ortogonalnych, oraz badanie własności takiego przedstawienia.

Z a j ą czko w-

W.

Pierwszy traktat geometryi wykreślnej zawdzięczamy M o n-g e’owi; nauka ta rozwinęła się w początkach XIX stulecia, dzięki pracom M o n g e’a, L a c r o i x’a, O 1 i v i e r a, H a c h e 11 e’a i D u p i n a. Historyę szczegółową jej rozwoju czytać można w pierwszym rozdziale cytowanej książki W iener a, oraz w dziele O b e n r a u e h a „Geschichte der darstellenden und projectiven Geometrie“ (Berno 1897). Pierwszy traktat w języku polskim, poświęcony geometryi wykreślnej, ogłosił F. Sapalski Warszawa 1822. Z tejże epoki są rozprawy z geometryi wykreślnej K. G a r b i ń-s k i e g o (patrz „ Geometrya analityczna “ skie g o. Warszawa 1884. Wstęp historyczny).

I)o pojęć, które nadały większą jedność, prostotę i ogólność twierdzeniom geometrycznym i pozwalają unikać przypadków wyjątkowych, należy pojęcie elementów w nieskończoności

oraz pojęcie e 1 e m e n t ó w urojony® h. Pierwsze z nich po-chodzi jeszcze od D es argue s’a; drugie wprowadzone zostało, dzięki zastosowaniom analizy do geometryi.

Niektórzy autorowie starali sie to ostatnie pojęcie wprowadzić przy pomocy geometryi czystej, niezależnie od pojęć analitycznych. W tym celu posługiwać się można i n w o 1 u c y a m i e 1 i p t y c z-n e m i, których punkty zjednoczone są, jak wiemy, urojonemi, a których pary punktów rzeczywistych mogą służyć do definicyi pary punktów urojonych. Rozważania tego rodzaju przeprowadził głównie v. Sta u d t, a traktaty nowoczesne geometryi rzutowej (jak np. cytowany wyżej traktat S a n n i a’y) rozwijają szczegółowo te pojęcia.

Pomiędzy traktatami geometryi analitycznej, wymieniamy najbardziej znany Sal m o n a (kilka wydań i przekładów), dalej Baltzera (Lipsk 1882), Hess ego (Lipsk 1866—1876), d'0 v i d i o (Turyn 1885, 1891), Zajączkowskiego (W ar-szawa 1884).

ROZDZIAŁ II.

GEOMETRYA FOKM NIECIĄGŁYCH.

rH

Wiadomości ogólne.

W rozdziale niniejszym rozpatrywać będziemy figury, złożone z punktów, prostych i płaszczyzn w liczbie skończonej; nazywają się one zwykle formami nieciągłemi w przeciwstawieniu do form, rozważanych w rozdziale I-ym; albowiem nie można oczywiście przejść w nich sposobem ciągłym od jednego elementu do drugiego, przechodząc tylko przez elementy tego samego gatunku, w formie zawarte.

Formami nieciągłemi są: grupa skończonej liczby punktów na prostej punktowej strzeni, grupa skończonej liczby prostych lub płaszczyzn pęku i t. p.

na

płaszczyźnie punktowej lub w prze-

Nazywamy «-kątem płaskim zupełnym układ n punktów (wierzchołków) na płaszczyźnie, z których

n (n—1)

żadne trzy nie leżą na jednej prostej, wraz z

prostemi

(boka m i), łącząeemi każda dwa punkty. Przecięcie dwu boków, nie przechodzących przez jeden i ten sam z powyższych n punktów, nazywa się punktem przekątnym. Liczba

n(n—L(n—2)(u—3)

punktów prz e k ą t n y c h w y nosi

Nazywamy «-bokiem płaskim zupełnym układ n prostych (b o k 6 w), z których żadne trzy nie spotykają się

w jednym punkcie, wraz z

punktami (wierzchoł-

n («—1)

kami), w których przecinają się każde dwa boki. Prosta,

łącząca dwa wierzchołki, nie położone na jednym boku, nazywa

się prostą przekątną. Liczba prostych prze-

i ,    ,    . «(«—1) («—2) («—3)

kątnych wynosi--

Nazywamy «-k ą t e m lub n-b okiem prostym zwyczajnym układ n punktów płaszczyzny, rozważanych w danym porządku kołowym, wrraz z u prostemi, które każdy z tych punktów łączą z punktem następnym.

Jeżeli wykonamy rzut «-kąta płaskiego żupełnego z punktu, znajdującego się zewnątrz jego płaszczyzny, otrzymamy kąt «-k rawędziowy zupełny, a rzucając «-bok płaski zupełny z punktu zewnątrz jego płaszczyzny, otrzymamy kąt n-ś cienny zupełny. *

płaszczyznami (ścianami), łączącemi każde

Nazywamy «-kątem skośnym zupełnym układ « punktów, z których żadne cztery nie leżą na jednej płaszczyźnie, wraz z ——^—— prostemi, łączącemi każde dwa punkty oraz też « ( n—1) (n— 2)

z

trzy punkty.

Wzajemnym do poprzedniej figurą jest «-ś cian zupełny, t. j. układ u płaszczyzn, z których żadne cztery nie spotykają się w jednym punkcie, wraz ze wszystkięmi prostemi i punktami ich przecięcia.

Dwa odniesione do siebie «-kąty płaskie zupełne nazywają się perspekty wicznemi, jeżeli proste, łączące odpowiadające sobie wierzchołki, spotykają się w jednym punkcie; nazywają się homologiczne mi, jeżeli nadto odpowiadające sobie ich bolo przecinają się w punktach, leżących na jednej prostej (osi h o m o 1 o g i i).

Dwa odniesione do siebie «-boki płaskie nazywają się perspekty wic z nem i, jeżeli ich odpowiadające sobie boki spotykają się w punktach, jednej i tej samej prostej; nazywają się homologiczne m i, jeżeli nadto proste, łączące odpowiednie wierzchołki, spotykają się w jednym punkcie (środku h o m o 1 o g i i).

Definicye analogiczne stosują się do dwóch kątów «-ściennych i do dwóch kątów «-krawędziowych.

Dwa 72-kąty skośne zupełne, odniesione do siebie, nazywają się perspektywiczne mi, jeżeli proste, łączące odpowiadające sobie wierzchołki, schodzą się w jednym punkcie; nazywają się homologicznemi, jeżeli nadto ściany odpowiadające sobie przecinają się według prostych, leżących na tej samej płaszczyźnie (płaszczyzna homologii).

Dwa 72-kąty nazywają się rzutowemi, jeżeli jeden z nich można otrzymać z drugiego przy pomocy skończonej liczby rzutów i przecięć.

t perspektywiczne położone a zczyznach, są koniecznie homologiczne m i. Twierdzenie analogiczne zachodzi dla «-ścianow perspektywicznych o różnych środkach.

Dwa trójkąty, dwa trój boki, dwa trój ściany lub dwie trój k r a w ę d z i e perspektywiczne są homologicznemi.

Dwa czwór kąty płaskie są zawsze r z u-

Dwa u -

r ó żnyc h

t o w e m i.

Dwa perspektywiczne czworokąty skośne zupełne są homologicznemi.

Jeżeli w dwóch n -kąta cli zupełnych AlA₂...A A / A₂... A'„, odniesion cli do siebie i na jednej plaszczyź ie 1 u b a ł < róż ych, b o k A₁ A₂ pleine o k i w 1 i c z b i e 2 ?: —

"i

Cl, n

ł n y c h nach

o w s z echodz

s t k i e i n-

p u n k t A₁ lub A

bok

ce przez spotykają się z odpowiada-i drugiego u -

a w tyl ż

jącemi im

unktach, poło nych na prostej s, wtedy e wa 72-kąty s homologicznemi. J e ż e 1 i p r z z zn cz m    środek h m o 1 o g i i, wt

ie ol ie    o cl po w i a ające sobie

.1 a

C- o

Ph

C+~    r-¹

tne P, P ' znajdować się będą n a j e d n e j j z punkte m S.

rze

ros

Twierdzenie analogiczne ma miejsce dla dwóch n-boków płaskich zupełnych, dla dwóch kątów «-ściennych zupełnych, wreszcie dla dwóch kątów «-krawędziowych zupełnych.

Definicye podane w tym paragrafie zawdzięczamy przeważnie Stein er owi (Werke. I 288—396).

§ 2.

Własności rzutowe dwójek, trójek, czvjôrek punktów na prostej. Środki harmoniczne. Apolarność. Inwolucye.

Grupę n punktów na prostej można przedstawić analitycz-nie przez pierwiastki równania formy dwójkowej rzędu «-tego. Badanie niezmienników i spółzmienników takiej formy prowadzi do szukania własności niezmienniczych, albo — inaczej mówiąc— rzutowych grupy punktów.

W Rozdziale XII tomu I-go podaliśmy dla przypadków « = 2, 3, 4, . . . rezultaty, które otrzymujemy z punktu widzenia teoryi analitycznej form; obecnie podamy rezultaty geometryczne, odpowiadające wzmiankowanym rezultatom analitycznym, zachowując użyte tamże znakowania i nazwy.

Biegunowość. Niechaj będzie forma a'j] utwórzmy jej biegunowe cP⁻¹ a'j~² a/ ,.. . i rozważajnry pierwiastki tych form, przyrównanych do zera, zakładając, że y jest punktem z góry danym. Te grupy punktów nazywają się odpowiednio grupą biegu n ową (polarną) dla y pierwszą, dr u-g ą, trzecią i t. d. Niektórzy nazywają je grupami har-monicznemi dla y, albo też środkami harmonie z-n e m i stopnia n — 1, « — 2 ,. . . (Jonquières. Journ. de Liouyille. 1851). Ostatnią grupę biegunową stanowi jeden tylko punkt, który P oncelet nazywa środkiem średnich harmonicznych (Grelle III).

Jeżeli biegun usuwa się w nieskończoność, wtedy środek średnich harmoniczny eh staje się środkiem odległości e d n i c h i m a i c z n a j e g

C3

własność ta

odległości o

<Oj

, że suma a 1 g e-n p u n k c ó w jest

zere m.

Wymienimy niektóre własności zasadnicze ś r o d k ó w harmonicznych --- albo inaczej mówiąc — układów biegunowych.

Jeżeli M

jest ś r o d k i e m h arm-o niez n. y m s o nia r dane o u k ł a d u n

CTQ

o. ero

be u n a 0, w t e y od otme Oj t ś r o harmonicznym stop i a n — r t układu względem bieguna M.

Jeżeli ii/,, M₂ , . . , J\Jr t o p n i a    k

dem bi n 0, t d sto nia s (C

bie una Osą także środkami sto

mczn

<v '

•-i- ćr

względem

i-i

cd cd

JQ CO

i e m

o ż s mego

od ero hd

03 O.

Oj CD

r o d k a m i li a r m o-nktów wz 1 ę-l i harmonie ne e m

JO

a u Mu il /₂ , . . , Mr w

a r m o n i z e m i nia s danego układu względem tegoż bie-

PT •

O CfQ

rCD

g u n a 0.

Jeżeli J/j , . . . , AJr są ś r o d k a mi ha r m onicz-nemi stopnia r względem bieguna 0,] Nx, ..., Ns środkami harmonicznemi stopnia s względem bieguna 0S, wtedy środki harmoniczne stopnia r + s u k ł a d u Mx y . . ., Mr względem bieguna 0S s ą i d e n t y c z n e m i ze środkami harmonicznemi stopnia r -j- s — n układu Nx ,. . , Ns względem b i e-g u n a 0r.

Jeżeli A, jest ś r o d k i e m h armoniczny m 1-go

e m bieg u n a monicz n

stopnia układu A₂, A₃ , . . 0. to jest zarazem ś r o

PT O-

n wzgi i e m h

1-go stopnia układu A₁, A₂, A₃ , . .. , An w z g 1 ę d m tegoż bieguna.

r p u n k t ó w cie schodzi

hd •

Jeżeli w układzie Au A zlewa się w jede n, to w tymże u się r — p środków harmonicz n y eh stopnia n — p względem jakiegokolwiek bieguna.

nieoznaczone m i.

Własności ś r o d k ó w łiarmonicz n y c li są r z u-

t o w o m i.

Środkami liarmonicznemi stopnia r w dem bieguna u k ł du ora

o . C/3

TT tS!

c e g o s-krotnym p u n go, ą: t e n ż e p u n i harmoniczne s t pnia

e m

licz n y s razy — s o z o-

c li n — s unktów układu danego w g 1 ę-e g o ż b i e u n a.

"O O

TT a

J żeliwu

os*

O TT

eden, wtedy ś r o

s i ę w

r <^s względem tegoż

a d z i e danym s punktów zlewa r m o iczne stopnia u ja o bieguna, są

tt a-¹

CT- p

TT a

Jeżeli a’\ jest formą dwójkową, która przyrównana do zera daje grupę u punktów, wtedy forma H = {a¹')² aH~² bn~² (gdzie a i b są spółczynniki symboliczne równoważne) przedstawia t. z w. li e s y a n grupy danej. Do tej formy stosuje się twierdzenie:

Istnieje forma stopnia 2u—4, której punkty zerowe (grupa Stein er a) są punktami, dla których grupy środków harmonicznych rzędu (n — l)-go zawierają punkty podwójne, dane przez punkty zerowe hesyanu H = 0. Tę formę stopnia 2 n—4, otrzymujem y, rugując z r ó w n a ń:

ax «W² ax — 0 . bx bn: ~ - b., = 0

ilość z.

Jest 3n - 6 k ó w li a r m o n i c formy dane j, li e s y a n u, m a j ą ne przedstawi

b i e g u z n y c h r z ę u u p u n k t a w z n

n o w, k t o r y h rupyśrod-rzędu [n — )-g względem z a s (2 n — -go w z g 1 ę d e m wspólny. Punkty t w s p ó 1-a k o w a n i u s y m b o i c z n e ni

o Cfo

¹ CD

wyraź enie:

T —{ab i (ba)² aH~x bn~² rw~³ .

Znikanie tożsamościowe h e s y a n u jest warunkiem koniecznym i dostatecznym na to, aby u punktó w grupy danej zlewało się w j e-den p u n k t.

Podajemy jeszcze następujące twierdzenie o hesyanie formy dwójkowej : jeżeli skażniki formy danej są wszystkie różne i rzeczywiste, wtedy skażniki hesyanu są wszystkie urojone, patrz Gerbaldi, Schonte < Rend. Palermo 1889).

Niebiegunowość (apolarność). Ciekawą jest teorya niebiegunowości. Powiadamy, że forma dwójkowa a¹', rzędu n lub grupa n punktów jest niebiegun ową (apolarną) względem do grupy n punktów y, z, t, . . . jeżeli biegunowa ay az at. . . jest zerem. Dwiema formami niebiegunowemi są wtedy u”; i (xy) (ccz) (xt) .. .

Pojęcie to znajdujemy poraź pierwszy u B a 11 a g 1 i n i’ego (Acc. Napoi. 1864—1868), który rozciągnął je także na formy trójkowe; później rozwinęli i z powodzeniem stosowali to pojęcie R o-s a u e s (Crelle LXXV, LXXVI. Math. Ann. VI) i R e y e (Grelle LXXVIII. LXXIX). Ten ostatni wprowadził używaną dziś nazwę: Battaglini nazywał dwie formy względnie niebiegunowe sprz ę-ż o n e m i h a r m o n i c z n e m i. gdyż uważał niebiegunowość jako uogólnienie harmonii zwyczajnej, do której sprowadza się istotnie niebiegunowość w przypadku u — 2.

Warunkiem niebiegunowości dwu for m

«*, K, J « s t (ab)v = 0 .

Każda, for in a d wó j k o nie

a rzędu nieparzy-względem samej dwójkowa z ę d u parzy-y niezmien-j e s zerem. Niezmiennik ten

s t e o je sie i e; k

s t e o j e s t a k ą w r z nik dwuliniowy

Battaglini nazywał h a r m o n i z a n t e m.

Najważniejszem w teoryi niebiegunowości jest następujące twierdzenie Eosanesa:

CfQ u Cfo

co ce

et- o.

o cr

iegunow r m a

CU

<■£=

Cfo

o: u

P    CD    2

ca P ct- o

y O    3    ^

es o

ce

e=

-? »' *: * ^    (D    fi

® P Ö N jo P «s

^ N ^ 2 O ^ © Ö tO- ^ 1=3 ^

Ou

rCS

b.    .rH    N

^    d    O

42    >>    'r*    -2

P    o    g

'O. N «H ^    CD    —'    ÖiO

n i k o w liniowych formy drugiej (przedstawienie kanoniczne).

r z ę d u c y e 1 i-

n for m liniowyc h, k t óryc li ą n i e b i glinową w z g 1 ę d e m

r m y d

n-tego można przedstawić jako n i o w e n-tycli p iloczyn jest

wszystkich n for m cl a n y c .

Te badania nad niebiegunowością można rozciągnąć na

"O o

Dane w liczbie n

formy jakiekolwiek i otrzymać ważne wyniki, dotyczące przedstawienia form trójkowych, czwórkowych i t. d. przez potęgi form liniowych.

Pokrewnemi z temi badaniami są dawniejsze badania S y 1-V e s t e r a, w których szło o to, aby liczba form liniowych, których potęgi 7i-te miały służyć do przedstawienia formy danej,

dla n

^    <^2_I_

była mniejsza od n, a mianowicie    dla n parzystego,—~

nieparzystego.

Okazuje się, że w przypadku n parzystego spełniać się wdnien pewien związek pomiędzy spółczynnikami formy⁷; pierwsza strona tego związku niezmienniczego nazywa się k a t a-lektykantem (patrz „Pepertoryum “, t I, str. 259—249). W przypadku n nieparzystego przedstawienie tego rodzaju jest niemożliwem.

có

Układy liniowe grup punktów. Inwolucye ogólne.

Niechaj będzie Je -J- 1 form dwójkowych stopnia n {k n\ liniowo niezależnych a”    Nazywamy formy liniowo-

niezależnemi, jeżeli nie zachodzi pomiędzy niemi tożsamościowo żaden związek liniowy jednorodny, t. j. gdy nie dają się wyznaczyć parametry stałe r,, r₂ ,. .. aby pomnożywszy je odpowiednio przez formy dane, otrzymać sumę iloczynów równą tożsamościowe) zeru. Utwórzmy przy pomocy /r-j-1 parametrów jednorodnych X₂ , .. . formę ż, a" -j- L₂ bn -j- ż₃ c” -f- . . . Forma ta stopnia ?^-tego, przyrównana do zera, da po "wyborze wartości na stałe ó, grupę u punktów. Formy tedy dane określają układ liniowy /j-krotnie nieskończony, albo—jak się zwykle mówi—ook grup u punktów. Mówimy, że ten układ jest in wolu c y ą stopnia u i gatunku k; równanie

nazywa się równaniem i n w o 1 u c y i.

W przypadku n — 2, k = 1 otrzymujemy inwolucyę zwyczajną, t. j. w przypadku tym nieskończoność dwóch punktów składa się z dwójek punktów sprzężonych inwolucyi zwyczajnej, określonej przez dwie dwójki punktów, którą przedstawiają dwie dane formy kwadratowe.

I n w o 1 u c

stopnia u i rzędu

określa /c-|-l' do i n w o 1 u-

nie należącyc

w,

r u p n p u n y i rzędu niższego.

Jeżeli r punktów grupy inwolucyi schodzi się w jednym punkcie, mówimy wtedy, że punkt ten jest r-krotnym punktem

cJD o

inwolucyi.

Inwolucy a stopnia n i gatunku Ä ma s k o ń-liczbę punktów (fc -f- 1) - k r o t n y c h; liczba

Preliminari. Bolonia

c z o n ą

ich wynosi [k-\-1 ) (u—k> (Cremona. 1866-1867).

Inwolucy a stopnia u i gatunku k zawiera:

2⁴' (n — k) (n — k — 1). .. (n — 2k -j- 1)

k\

grup, d w ó j ne.

z których każda posiada dwa punkty po-

Interesującemi są szczególnie inwolucye stopnia n i gatunku pierwszego. Mają one 2u—2 punktów podwójnych lub zjednoczonych, które określa przyrównany do zera jakobian (ab)    ¹ = 0 •

Ogół pierwszych biegunowych grupy n unktów tworzy inwolucyę stopnia n — 1 i ga-unku pierwszego.

ł-rj

Można ustanowić odpowiedniość rzutową pomiędzy inwolu-cyami, zakładając związki dwuliniowe pomiędzy ich parametrami.

Dla dwu inwolucyj gatunku pierwszego i stopnia min, nałożonych na sobie i będących w odpowiedniości rzutowej, przytrafia się m + w razy, że punkt jednej zlewa się z j e d n y m z odpowiadających mu punktów drugiej. Twierdzenie to jest przypadkiem szczególnym t. z w. zasady odpowiedniości Chas le s’a (p. Rozdz. I § 2).

lnwolucyawi gatunku 1-go i stopnia 3-go zajmowali się Batta-g 1 i n i (Rend. Acc. Nap. 1866), W eyer (Rozprawy To w. król. czesk. VII. 1874), R. Sturm (Grelle LXXXVI), D’Ovidio (Memorie. Acc. di Torino 1S79), Caporali (Rend. Acc. Nap. 1881—1883).

Formy kwadratowe. Jeżeli dla punktu danego weźmiemy punkt biegunowy względem formy kwadratowej (środek harmoniczny stopnia pierwszego), wtedy dwa jej elementy, punkt dany i punkt biegunowy będą w związku harmonicznym.

Znikanie niezmiennika A/v dwu form kwadratowych fi cp (patrz „Repertoiyum“ t. I, str. 261) wyraża, że punkty zerowe pierwszej formy leżą harmonicznie względem punktów zerowych d r u g i e j.

Punkty, przedstawione przez spółzmiennik ■& = 0 (jako-bian) są punktami zjednoczonemu inwolueyi, której dwoma punktami sprzężonemi są odpowiednio punkty form f — 0 i cp — 0. Inaczej: istnieją dwa punkty, z których jeden jest biegunem drugiego (a stąd harmonicznie sprzężonym) względem każdej z dwu danych form kwadratowych; temi punktami są punkty spół-zmiennika & = 0.

Znikanie niezmiennika E trzech form kwadratowych wyraża, że trzy pary punktów należą do tej samej inwolueyi.

Pascal. Rep. II.

Forma kwadratowa daje się za pomocą przekształcenia liniowego sprowadzić do p staci kanonicznej Xp-j-X,² t. j. do formy, zawierającej tylko kwadraty zmiennych. Abytęre-dnkcyę uskutecznić, dość wziąć za nowe punk-odstawowe spół rzędne jednorodne dwu spr ężonych harmonicznie punktów formy kwadratowej, t. j. punkt y (dowolny) i punkt x, który jest pierwiastkiem równania axay = 0 i wybrać nadto odpowiednio punkt -jedność.

o-

Jeżeli jako punkty podstawowe spółrzędny cli jednorodnych obierzemy dwa punkty, będące pierwiastkami równania $ = 0, wtedy każda z dwu form kwadratowych sprowadzi się do formy kanonicznej.

Twierdzenia te są ciekawe i z tego względu, że analogiczne do nich zachodzą w teoryi krzywych stożkowych i powierzchni rzędu 2-go (patrz Clebsch „Binäre Formen“ § 33—37); są one zresztą przypadkami szczególnemi twierdzeń powyższych, odnoszących się do niebiegunowości.

Formy sześcienne. Punktami formy sześciennej f— 0 niechaj będą a, b, c. O niebiegunowości formy sześciennej względem samej siebie mamy twierdzenie:

Jeżeli dla punktu a formy sześciennej utworzymy grupę biegunową rzędu pierwszego (t. j. składającą się z dwu punktó w), to jeden z tych punktów zejdzie się z a, drugi zaś będzie harmonicznie sprzężonym względem pary b, c. Mamy tym sposobem trzy inne punkty a', b\ c', które są pierwiastkami spół zmiennika Q = 0.

Punkt biegunowy każdego z elementów spółzmiennika Q ma swój punkt biegunowy (grupę rzędu 2-go) względem formy sześciennej, przypadający w punkcie formy danej sześciennej f.

Punkty formy f wraz z punktami spółzmiennika Q tworzą trzy pary punktów sprzężonych w inwolucyi, której punkty podwójne są punktami hesyanu A = 0.

Każdy z punktów hesyanu A = 0 ma grupę biegunową rzędu 1-go względem formy sześciennej, złożoną z dwócli elementów zlewających się; z tym elementem zlewa się także punkt biegunowy rzędu 2-go tegoż elementu h esy an u A = 0 względem formy sześciennej.

Jeżeli dla elementu dowolnego weźmiemy pary elementów biegunow3*ch rzędu 1-go względem formy sześciennej i jej ja-kobianu, wtedy te pary będą harmonicznie sprzężonemi, a przy zmianie elementu dowolnego utworzą inwolucyę, której punktami podwójnemi są pierwiastki równania A = 0.

Jeżeli dwa elementy biegunowe rzędu 1-go punktu względem formy sześciennej zlewają się, wtedy punkt ten wraz z trzema elementami formy sześciennej tworzy czwórkę równo-anharmoniczną (patrz Rozdz. I § 2); stąd każdy punkt hesyanu wraz z trzema punktami formy sześciennej tworzy czwórkę ró-wno-anharmoniczną.

Jeżeli za punkty podstawowe spółrzęd-n y c h jednorodnych przyjmiemy punkty hesyanu A = 0, wtedy forma sześcienna sprowadza się do postaci kanonicznej, zawierającej tylko sześciany dwóch zmiennych, i nadto Q sprowadza się także do postaci kanonicznej (patrz C 1 e b s c h „Binäre Formen“ § 38).

Trzy elementy formy / (tak jak i elementy formy Q) są w odpowiedniości rzutowej kołowej, której elementami podwójnemi są pierwiastki równania A = 0.

AV dwóch wzajemnie niebiegunowych trójkach elementów a, b, c\ a, ß, y dwa którekolwiek punkty grupy pierwszej np. a, b są sprzężone harmonicznie z pierwszą grupą biegunową elementu c względem trójki a, ß, y.

Dwie formy sześcienne są wzajemnie nie-biegunowemi, jeżeli niezmiennik J~(f: <p)s jest zerem (co do użytego tu i niżej znakowania patrz „Reper-toryum“ t. I, str. 265 i nast.).

Jeżeli do każdego elementu formy sześciennej dobierzemy sprzężony z nią harmonicznie względem dwóch pozostałych, będziemy mieli trzy punkty; warunkiem niebiegunowości tej trójki punktów względem innej formy sześciennej jest znikanie niezmiennika lub Ayą stopnia trzeciego co do spółczynników jednej i stopnia pierwszego co do spółczynników drugiej formy sześciennej.

Warunkiem niebieguno wości dwóch trójek punktów, które otrzymujemy powyżej wskazanym sposobem dla każdej z form sześciennych, jest Ü — 0.

Znikanie niezmiennika A^- wyraża, że para punktów, z których każdy tworzy czwórkę równoanharmoniczną z elementami pierwszej formy sześciennej, jest harmoniczna z każdą parą analogiczną względem drugiej formy sześciennej..

'O l>s

są r w n o a n ar-prz p a d k u o r-

Formy dwukwadratowe. Jeżeli niezmiennik j jest zerem, wtedy cztery punkty, przedstawione przez formę d w ó j k o w ą d w u kwadrato w ą, są harmoniczne mi; jeżeli zerem jest niezmiennik i, wtedy te cztery punkt monicznemi. W tym ostatni ma /'jest niebiegunową względem samej siebie.

Hesyan formy dwukwadratowej przedstawia cztery elementy; każdy z nich ma grupę biegunową rzędu 3-go względem formy, zlewającej się z grupą biegunową rzędu 2-go (utworzoną z elementów zlewających się). Każdy punkt formy H tworzy z trzema punktami pierwszej grupy biegunowej czwórkę równoanharmoniczną.

Forma T=0 przedstawia sześć elementów; grupa biegunowa każdego z nich (względem formy f) zlewa się z jednym z trzech punktów pierwszej grupy biegunowej i tworzy z niemi czwórkę harmoniczną.

Elementami podwójnemi trzech inwolucyj, określonych przez dwójki elementów formy dwukwadratowej lub jej hesyanu, są elementy spółzmiennika l⁷; każda z tych trzech par elementów podwójnych przedstawia także elementy podwójne inwolucyi, określonej przez dwie pary pozostałe.

Jeżeli j =r 0} wtedy forma f może być sprowadzona do postaci kanonicznej, zawierającej tylko potęgi czwarte dwu form liniowych, które są formami jednej z par formy T. W tym

przypadku elementy formy f tworzą rzutowość kołową, której elementy podwójne są dwoma elementami formy T.

Te rozważania o przedstawieniu geometrycznem form dwójkowych znajdujemy w dziełach autorów niemieckich i w dawnych, niesłusznie zapomnianych, rozprawach Battaglin i’ego (Accad. Napoi. 1864 i nast.).

«/z.

Własności rzutowe trójkątów, czworokątów, sześc/okątów i t. d.

Jeżeli w dwóch czworokątach płaskich zupełnych, do siebie odniesionych, pięć boków jednego przecina pięć odpowiednich boków drugiego w pięciu punktach, położonych na jednej prostej, wtedy i szóste boki spotykają się w punkcie tejże prostej, a proste, łączące odpowiadające sobie wierzchołki, zbiegają się w jednym punkcie; nadto trójkąty przekątne są homologicznemi.

cioma

Stąd wypływa: Jeżeli czworokąt zupełny przekształcamy w ten sposób, aby pięć jego boków przechodziło przez punkty stałe pewnej prostej, wtedy bok szósty obraca się około punktu stałego tejże prostej, stanowiącego razem z poprzedniemi pię-punktami inwolucyę sześciu punktów.

Poprzeczna boków przeciwległych czworokąta zupełnego unktach, stanowiących trzy pary punktów

dowolna przecina trzy pary

w p

w i n w o 1 u o y i.

Stąd: Jeżeli poprzeczna przecina trzy pary boków przeciwległych czworokąta zupełnego

h A i A\ B i B', C i G\ w t e d pomiędzy

ami poprzecznej zachodzi wiązek:

AB' . BC . CA' -f A'B . B’C . C'A = 0.

do

Do czworoboku stosują się twierdzenia, dwoiście wzajemne poprzedzających.

Trzy koła, których średnicami są przekątne czworoboku zupełnego, przechodzą przez te same punkty.

Trzy punkty środkowe trzech przekątnych czworoboku zupełnego leżą na jednej prostej.

W czworokącie zupełnym dwa boki, spotykające się w punkcie przekątnym, są rozdzielone harmonicznie przez dwa pozostałe.

W czworoboku zupełnym każda przekątna jest rozdzielona harmonicznie przez dwie pozostałe.

Jeżeli przez L, L‘\ M, M'\ N, N' oznaczymy punkty, które wraz z przekątną s dzielą harmonicznie boki AB, CD, AC, BD, AD,BC czworokąta zupełnego, wtedy proste LLr,MM',NNr spotykają się w jednym punkcie, który wraz z niemi dzieli harmonicznie proste LL', MAV, NNr.

Jeżeli poprzeczna przecina boki trójkąta BSQ w trzech punktach A', B', C, które są odpowiednio parami w inwolucyi z punktami A, B, C tejże poprzecznej, wtedy proste BA, SB, QC spotykają się w jednym punkcie (t j. w biegunie harmonicznjcm poprzecznej względem trójkąta).

Jeżeli z punktu S rzucimy wierzchołki trój boku rsq p r z 3^ pomocy trzech promieni a!,b', c', będących parami w inwolucyi z trzema i n n e m i promieniami a,b,c, w y c h o d z ą c e m i z punktu S, wtedy punkty ra, sb, qc znajdować się będą na j ednej prostej.

i wierzchołki jego rzu-

Jeżeli poprzeć na dowolna przecina trzy boki trójkąta i je

cimy z dowolnego punktu na boki odpowiednio im przeciwległe, wtedy iloczyn trzech stosunków anharmonicznyc h grup czterech p u 11 k-t ó w 11 a trzech bokach jest równy jedności

uj emnej.

Jeżeli trzy proste, wychodzące z jednego punktu i przechodzące przez wierzchołki trójkąta ABC, przecinają boki przeciwległe w punktach A, B', Cr, wtedy pomiędzy odcinkami bokow zachodzi związek:

AB' . BC . CA' + AC' . CB' . BA' = 0

lub

CA'

AB' BC CB' 'AC BA

1 . (Ceva. 1678)

Odwrotnie: Jeżeli dla trzech punktów A. B', C na bokach trójkąta zachodzi związek poprzedzający, wtedy proste AA', BB', C C' spotykają się w jednym punkcie.

Jeżeli poprzeczna przecina boki trójkąta ABC w trzech punktach A, B', C, wtedy pomiędzy odcinkami boków zachodzi związek:

AB' . BC . CA — AC' . CB' . BA = 0

lub

1 (Tw. Menelausa)

AB' BC CA CB' 'AC ' BA

i odwrotnie.

Jeżeli boki trójkąta ABC podzielimy harmonicznie w punktach A, B', C, A" B" C" w ten sposób, aby było:

AB" BC" CA"

B" C ' C"A ’ A"B

AB' BC CA CB' ‘ A C ' BA

wtedy koła o średnicach AA, BB', CC przechodzą przez te same dwa punkty B, P‘, tak, że

AP: BP: CP= AB' : BP’ : CP' ,

a koło przechodzące przez trzy punkty A, B, C dzieli cięciwę PP' harmonicznie i normalnie.

r o-

c h o ł k i

stej, a wierzchołki rz g i e j, wtedy trzy pary przecinają się w punktach, leżących na jednej prostej.

Jeżeli sześciokąt płaski zupełny ma w i rzędu nieparzystego na jednej

du parzystego na ru-oków przeciwległych

Jeżeli sześciobok płaski zupełny ma boki rzędu nieparzystego, spotykające się w jednym punkcie, a boki rzędu parzystego spotykają się w innym punkcie, wtedy proste, łączące trzy pary wierzchołków przeciwległych, s p o t y k a j ą s i ę w jednymitym samym punkcie.

Te dwa twierdzenia są przypadkami szczególnemi dwóch twierdzeń Pascala i Brianchona (patrz niżej), dotyczących krzywych stożkowych; te przypadki szczególne wynikają z twierdzenia ogólnego w założeniu, że stożkowa podstawowa rozpada się na dwie proste lub na dwa punkty.

zen

CTf

Geometry a miarowa trójkąta płaskiego. Wzory trygonometry/

płaskiej.

Niechaj a, b, c będą boki, A, B, C kąty odpowiednio przeciwległe trójkąta prostokreślnego.

Zachodzą związki:

sin A

sin B sin C

a² = b² -j- c² — 2 be cos A

a trzy inne otrzymują się z drugiego przez przemianę liter <?, b, c;

A, B, C.

Dalej mamy wzory; s oznacza w nich połowę trzech boków.

■— b cos C-\-b sin C cotg B

(i cos C 4-, sin C cotg A

a = b cos C + V e²—b² sin- C = b cos c -j- c cos B,

TT⁴

s sin

_    2 s sin A

a sin A -p sin B -{- sin C

sin A — V s (s—a) (s—b) (s - c) = l/ 1 — j / (8—b) (s—c)

cos

i-Boosi-

c² 4- b² — a² \²

2 bc

a sin (7

sin

b— a cos C ¹

bc

, tg A =

(a—b) tg -^-(A-\-B) = {a-\-b)tg~ (A—B) (analogia Nepera)

(s—a) tg A = (s - ó) tg -i- B = (s — c) tg C ,

to I-¹

(B+C)

p(B+C) i

a cos

s — (s — a) cotg-i- i? cotg -i- C, c sin (A — B) — a sin A — b sin B, i(-B-C) = (/,+c)cos

(wzory Gaussa)

a sin    (B— C) = (&—c) sin

a? sin (B — C) — Ib² — c²) sin (B -}- C),

(7

sin    4?-|-sin (7=4 cos A cos B cos

sin 2 4-}-sin 2 _Z?-j-sin 2 (7=4 sin A sin i? sin G ,

cos

4-j-cos J5-f-cos (7=4 sin -i- 4 sin -i- i? sin (7—1 ,

cos

2 yl—j-cos 2 jE?-f-cos 2 C — 4 cos .4 cos B cos C—1, tg 4-f-tg -B-ftg C = tg A tg B tg C , cotg A-\- cotg _B-[-cotg (7 = cotg A cotg B cotg C -j- cosec il-[-cosec B-\[-cosec C ,

sin G-j-sin Ji-j-sin C — 4 sin ~ A sin ~ B sin ~

sin 2 G-j-sin 2 R-j-sin 2 0 = 4 cos A cos B cos C , sin² Gtysin² B—sin² C = 2 sin A sin B cos C , sin² G-j-sin² R-J-sin² C = 1—2 cos A cos B cos C .

Pole trójkąta wyraża się za pomocą wzorów następujących:

Pole = -g-

1 c² sin A sin B

sin C

ab sin C

— V s (s—a) (s—b) (s—o) .

Oj

Geometrya miarowa trójścianu i trójkąta kulistego. Wzory trygonometryi kulistej.

Rozważajmy trzy płaszczyzny wiązki (nie pęku, a więc płaszczyzny, nie przechodzące przez jednę prostą); płaszczyzny te wyobraźmy sobie przesunięte aż do przecięcia się wzajemnego według prostych, wychodzących z punktu wspólnego wszystkim trzem; otrzymujemy wtedy trój ścian. Przetnijmy ten trój-ścian kulą, której środek znajduje się w środku wiązki, promień zaś równa się 1; otrzymamy tym sposobem na kuli trójkąt kulisty (sferyczny), którego boki są łukami kół wielkich; łuki te można mierzyć przez kąty w środku kuli, t. j. kąty płaskie na ścianach trójścianu. Kątami zaś trójkąta kulistego są kąty pomiędzy stycznemi do boków trójkąta w jego wierzchołkach; są to kąty, które tworzą ze sobą wzajemnie ściany trójścianu, czyli kąty dwuścienne trójścianu. Geometrya metryczna trójścianu czyli triedrometrya zlewa się tym sposobem z geometryą trójkąta kulistego, t. j. z trygonometryą kulistą.

ni, albo k a

Pomiędzy trójkątami kulistemi, wyróżniają się trójkąty prostokątne, dwuprostokątne i trójprostokątne. Te ostatnie są utworzone przez trzy łuki kół wielkich, z których każde dwa są do siebie prostopadłe; wszystkie ich boki i wszystkie ich kąty mają po 90 stopni.

AV każdym trójkącie kulistym prostokąt-z trzech, albo jeden tylko z bo

C-1 . Oj

w jest mnie szyod 90°.

nym

są alb oba

CD CD

A sit

W każdym trójkącie kulistym prostokątnie r s t y i bok temuż przeciwl g 1 y sze albo oba mniejsze od 0°.

Jeżeli w trójkącie kulistym każdy bok i każdy kąt jest mniejszy od 180°, to suma kątów jest większa od 180°; różnica pomiędzy tą sumą a 180° nazywa się przepełnieniem trójkąta kulistego.

Trójkąt kulisty jest równoważny innemu trójkątowi kulistemu dwuprostokątnemu, którego kąt trzeci jest równy przepełnieniu trójkąta danego. (Twierdzenie Girarda 1629, dowiedzione sposobem prostym przez Cavalier i’ego w r. 1632).

Za jednostkę pól kulistych przyjmuje się trójkąt dwuprostokątny, którego kąt trzeci jest wtedy jednostką kątową. Wtedy mamy: Pole trójkąta kulistego równa się jego przepełnieniu.

Końce średnicy kuli prostopadłej do płaszczyzny koła wielkiego nazywają się biegunami tego kola. Jeżeli wyobrazimy sobie, że goniec, oparty stopami na kuli, przebiega okrąg koła wielkiego w pewnym zwrocie, który przyjmijmy jako dodatni, to biegunem koła będzie mianowicie ten z dwóch wyżej określonych punktów, który pozostaje po stronie lewej gońca; tym sposobem dawszy sobie biegun, wyznaczany zwrot dodatni drogi. Strona płaszczyzny koła wielkiego, zwrócona ku biegunowi, nazywa się stroną dodatnią. Jeżeli płaszczyznę koła wielkiego obrócimy na pewien kąt, to na takiż kąt obróci się biegun tego koła.

Niechaj będzie trójkąt kulisty ABC; szukajmy biegunów jego boków BC, CA, AB (gdzie za zwrot dodatni na bokach przyjmujemy zwroty od B do C, od C do A i t. d.). Oznaczmy

te bieguny przez A', B', C i utwórzmy trójkąt kulisty A'IVC, zwany trójkątem biegunowym lub wzaj emnym względu trójkąta danego.

Trójkątem biegunowym dla trójkąta A'B'C jest nawzajem trójkąt ABC. Kąty trójkąta są odpowiednio spełnieniami boków trójkąta biegunowego.

Pole trójkąta danego i obwód trójkąta biegunowego, dodane do siebie, dają sumę równą 2 71.

Dajmy na to, że przebiegamy obwód trójkąta kulistego w pewnym zwrocie, np w zwrocie ABC i że zwrot ten jest zwrotem dodatnim odpowiednio na każdym luku kół wielkich AB, BC, CA: niechaj wielkościami tych boków trójkąta, przebieganych w pewnym, zwrocie będą odpowiednio c,a,b. Przez kąt BA C rozumiemy kąt pomiędzy dwoma kierunkami AB, AC, z których pierwszy jest tedy dodatni, drugi ujemny; podobnież rzecz się ma z kątami A C B, CBA. Te to kąty oznaczamy odpowiednio przez A, C, B. Jeżeli przez kąt pomiędzy dwiema ścianami trójścianu, odpowiadającego trójkątowi kulistemu, rozumieć będziemy kąt pomiędzy stroną dodatnią jednej i stroną ujemną drugiej ściany, to będzie można powiedzieć: kąty trójkąta kulistego są spełnieniami kątów utworzonych przez ściany trójścianu, odpowiadającego trójkątowi danemu. Jeżeli zaś przez kąt pomiędzy dwiema ścianami trójścianu rozumieć będziemy kąt pomiędzy stronami dodatniemi jego ścian, wtedy kąty, utworzone przez ściany trójścianu, równają się odpowiednio kątom, które oznaczyliśmy wyżej przez A, B, C, a które nie są kątamiutworzonemi przez zwroty dodatnie na kołach wielkich.

Dla trójkątów kulistych prostokątnych (B — 90°) mamy następujące wzory główno:

cos a = cos b cos c ; sin b = sin a sin B ; sin <: — sin a sin C,

tg b — tg a cos C = sin c tg B tg a z= tg a cos B — sin b tg C

cos a = cotg B co tg C ; cos B — cos b sin C ; cos C = cos c sin B.

Wzory zasadnicze dla trójkątów kulistych jakichkolwiek są następujące:

sm a

sin b sin B sin C '

sm c

cos a — cos b cos c* -j- sin b sin c cos A cos A = — cos B cos C-j- sin B sin C cos a ;

inne otrzymują się z tych przez przemianę liter.

Pierwszy z tych wzorów znajdujemy już w dziełach geometrów starożytnych (Menelaos, Sphaerica III) ; pozostałe nazywają się wzorami Eulera (Móm. de Berlin. 1758). Z tych wzorów można otrzymać wszystkie wzory trygonometryi kulistej, co pokazali pierwsi Lagrange (Journal de 1 Ecole polyt. 1799) i Gauss (Dodatki do „ Geometryi położenia “ Carnota w tłómaczeniu Schumacher a).

W poniższych wzorach jest 2s — a-j-è-j-c, 2 Ä=dL-j-J5-f- C. cot a sin b — cos b cos C -(- sin C tg A ,

sin A =

2 V sin s sin (s—a) sin (s—b) sin (s— c)

sin b sin c

1    7 _sin (s—b) sin (g—c)

2    \    sin b sin c

, cos

' sin s sin (s— a)

sin b sin c

— cos S cos ( S—À ) sin B sin C

/ cos (S—B)cos(S—C) .

sin -g- a - -

stąd przez dzielenie łatwo otrzymać wzory na tg²~ A; cotg²-^- a.

Wzory te służą głównie do obliczania kąta z danych trzech boków lub boku z danych trzech kątów.

Jeżeli wszystkie kąty i boki trójkąta kulistego są mniejsze od 180°, to wtedy możemy stosować następujące wzory, wzorami Gaussa lub Delambr e’a:

, cos ~a— A

sin B sin C

zwane

Wzory te ogłosili prawie równocześnie Gauss (Tlieoria motus etc.), Del ambre (Connaissance des temps 1808) i M o 11-w eide (Zacli’s Monatliche Correspond 1808. Vol XVIII).

Przez dzielenie otrzymujemy stąd bezpośrednio wzory na

(«—1h), tg \ (« - h)i zwane

tg 4" (A+B), tg ~ ( A—B), tg

analogiami Neper a (1614).

Gauss podał jeszcze wzory następujące:

(sin A — sin B) sin c = (sin a — sin b) sin C ,

(sin A -f- sin B) sin c = (sin a -j- sin b) sin C ,

sin (a —f— &) (1 — cos C)

4" iA—B)4“c

~{A- B) sin ~c sin ^ (A—B) cos    c — cos

Ai    u

cos ~ (A—B) cos 4~ c =

sin

cos

- (a—b) cos ~ C

— sin ~ (a-\-b) sin C

1

— ( a—b) cos

Ai

cos-^- (aĄ-b) sin (7.

= sin

rH cm

(7

(cos A -f- cos B) sin c sin (A -j- B) (1 -j- cos c) = (cos a -f- cos b) sin C .

Z każdego wierzchołka trójkąta kulistego poprowadźmy koło wielkie prostopadłe do boku przeciwległego; prostopadła ta podzieli kąt i bok przeciwległy na dwie części M, N; wg n, tak, że M -f- N — A, m -(- n = a (dla prostopadłej przechodzącej przez wierzchołek A). Mamy wtedy związki:

sin (b—c) sin (b-\-c)

= tg -g- (-B+ O) tg ~ (B— C)

tg:

tg

Y (m—n)

sin ( B— C)

tg -i- (w-f-n)

sin(m-f-w)

tg m _    sm(M-\-N)

tg w ’ sin (M—N)

Dalej mamy następujące wzory na S = ~    G)

~ b -f- sin ~ a sin ~ b cos C

t gM

tgN

sin S =

sin(m—n)

cos — a cos

cos

1 -f- cos a -j- cos b -j- cos c 4 cos a cos

¹ h    ¹

~2 b cos ~2 G

cos²-^-tt-j~cos²-^- &-j-COS²c — bcos-^-c

cotg -i- a cotg    b-(- cos C

Z    Z    ;

tg s = -

sin C

_    sin a sin b sin C

C0^ L    1 -f- cos a -j- cos b -j- cos c

(8 — 90«) = tg -i- s tg-i- (5—a) tg -i- (s- 6) tg -i- (s — c).

Tym wzorom odpowiadają analogiczne na obliczanie obwodu 2s trójkąta kulistego; otrzymać je można łatwo, stosując poprzednie do trójkąta biegunowego względem danego.

Jeżeli w trójkącie kulistym pozostają stałemi jeden kąt i stosunek stycznych połów boków ten kąt obejmujących, wtedy pozostaje stałem i pole trójkąta.

Jeżeli w trójkącie kulistym pozostają stałemi jeden bok i iloczyn stycznych połów kątów przyległych temu bokowi, wtedy pozostaje stałym i obwód trójkąta.

Jeżeli stosunki boków trójkąta kulistego do promienia mają niewielkie wartości, wtedy kąty trójkąta są przybliżenie o trzecią część przepełnienia większe od odpowiednich kątów trójkąta płaskiego, które boki są tejże długości co odpowiednie boki trójkąta kulistego. (Twierdzenie L e g e n d r e’a. Móm. de Paris. 1787).

Studya nad trygonometryą kulistą, niezbędne dla astronomii rozpoczęli już astronomowie greccy. Z nowszycli badaczy, którzy wzbogacili trygonometryę kulistą ważnemi zdobyczami, wymieniamy Eulera (Móm. de Berlin 1753, Acta Petrop. 1779), Legen dr ea (Trigonométrie), Lex eil a (Acta Petrop. 1782), Lag rangea (Journ. de l’Ecole polyt. Cali. VI) i Gaussa. Ważnemi są dzieła Möbiusa (Analytische Sphärik 1846) i Guder manna (Nied. Sphärik 1835). Z dzieł najnowszych autorów podajemy E. Study: „Sphärische Trigonometrie, orthogonale Substitutionen und elliptische Functionen. Eine Analyt. geom. Untersuchung“ (Lipsk 1893); z podręczników: S e r r e t a, Baltzera, dawniejsze Śniadeckiego (1817, 1820) i nowsze Niewęgłowskiego (1876) i Czaję-wieża (1891).

ROZDZIAŁ III.

TJfiORYA NIEZMIENNICZA FORM ALGEBRAICZNYCH. KONEK8Y.

T—(

Formy algebraiczne jakiekolwiek. Rzeczy ogólne

Przez formę algebraiczną gatunku r tego rozumiemy funkcyę jednorodną całkowitą r zmiennych xx x₂ . . . xr; stopień tych zmiennych nazywa się rzędem formy. Spółczynniki tej formy mogą być znów funkcyami jednorodnemi całkowitemi, wymiernemi innych zmiennych, których liczba może być też różna od r. Formy zawierają w tym przypadku pewną liczbę szeregów ilości zmiennych. W przypadku r = 3 mamy formy trójko w' e, w przypadku r = 4 czwórkowe i t. d.

Jeżeli formę trójkową z jednym szeregiem zmiennych przyrównamy do zera, otrzymamy równanie krzywej płaskiej, gdy zmienne x uważać będziemy za spółrzędne jednorodne punktów płaszczyzny; forma czwórkowa z jednym szeregiem zmiennych przyrównana do zera, daje równanie płaszczyzny, gdy zmienne x uważamy za spółrzędne punktu przestrzeni.

Formom gatunku r-tego i rzędu n-tego o jednym szeregu zmiennych nadajemy postać symboliczną

f= aH = bn =. .. .

•    X    X

i podobneż przedstawienie symboliczne możemy stosować do form o większej liczbie szeregów ilości zmiennych.

Pascal. Rep. II.

Niechaj zmienne x ulegają przekształceniom liniowym

typu

00i = A ,;x 3?| ' —j— Ai-J xĄ —j- . . . —)— Air Xr'

i niechaj wyznacznik który nazywamy modułem przekształcenia, będzie różny od zera. Jeżeli przez A// oznaczymy wyznaczniki dołączone elementów AtJ- wyznacznika A, podzielone przez A, to społczynniki symboliczne a₂ ...., ar formy ci™ przekształcają się za pomocą wzorów:

Cli Aii Cli    ~f~ • • • ~f" A-ir •

Funkcyami od wrotnemi do powyższych są:

xî=-A\ / Xi -j- AeJ x.) —}- ... —j— Ar! ocr 5 tt-/=Aii fh —j⁻ ASi eto —[-...Art ctr.

Wzory na przekształcenie ilości a otrzymujemy z wzorów na przekształcenie zmiennych x, jeżeli zamiast każdego spół-czynnika A,j podstawimy odpowiadający mu wyznacznik dołączony w A, podzielony przez A. Dwa przekształcenia, pozostające w takim związku, nazywamy w z a j e m nemi.

Teorya niezmienników form bada funkeye jednorodne całkowite wymierne spółczyuników formy pierwotnej i zmiennych, pozostające niezmiennemi przy przekształceniach liniowych ilości zmiennych, przy pominięciu czynnika, będącego potęgą modułu. Te funkeye nazywają się w ogóle utworami nie-zmienniczemi.

Łatwo przekonać się, że dla zbadania ogółu tych utworów, należy, prócz zmiennych x, uważać jeszcze inne zmienne.

xr\

Niechaj będzie r szeregów ilości zmiennych xx, x.>, yl. y₂ , . .. , yr\ z₁₁ z₂ , . . . , zr . • . ; wyznacznik, którego te wszystkie zmienne są elementami, oznaczamy zwykle za pomocą symbolu (xyz .. .).

Z wzorów na przekształcenie wynika bezjjośrednio, że gdy uważamy np. dwa szeregi zmiennych xu x₂,    , xr\ y-^y₂ , ... , yr

i poddajemy je tym samym przekształceniom liniowym, to wyznaczniki dwójkowe, zawarte w macierzy tych 2r elementów, przechodzą skutkiem przekształcenia liniowego na wyznaczniki dwójkowe macierzy elementów przekształconych xx‘, x₂‘,..., xr’\ Hi,y2 ,-,y/.

Wynika stąd, że gdy jeden utwór zawiera zmienne x, drugi zmienne y, ale tylko w kombinacyach

Uij ,

to wystarcza uważać utwór ten n i e za funkcyę zmiennych xi y fd w u szeregów ilości zmiennych) lecz za funkcyę p o j e d y ń-czego szeregu zmiennych u; jest przeto koniecznem wprowadzenie ilości u, jako zmiennych. Lecz wtedy, podobnie jak i zmienne u, wprowadzamy zmienne v, które przedstawiają wyznaczniki

Xt , Xk

y i    , y.i

Vh

-Vijk

Zi , Zj , zk

i t. d. A zatem oprócz zmiennych x mamy jeszcze do rozważania r — 2 szeregów zmiennych, z których każdy jest specyal-nej natury. Ostatni z tych szeregów składa się z r zmiennych, a więc z tylu zmiennych, ile jest zmiennych x.

Interpretacya geometryczna łatwo tu przewidzieć się daje. Jeżeli zmienne x uważamy za spółrzędne jednorodne punktu w przestrzeni o r wymiarach, to zmienne u, v ,. . . są spółrzęd-nemi kolejnych rozmaitości liniowych, zawartych w tej przestrzeni: prostej, płaszczyzny i t. d. Dla r — 8 ilości u są spół-rzędnemi prostej na płaszczyźnie; i dla tego w dziedzinie trójkowej nazywamy ilości u spółrzędnemi prostej.

Szeregi zmiennjmh nazywają się spółpodstawienio-wemi. gdy ulegają tym samym przekształceniom; przeciw-p odstawieniowemi, gdy poddane są przekształceniom liniowym wzajemnym; różnopodstawieniowemi (di-gredient), gdy nie są poddane ani równym, ani wzajemnym.

Przeciwpodstawieniowemi zmiennemi są zmienne x₁,x₂,...,xr i zmienne ostatnich r — 2 szeregów, o których mówiliśmy wyżej. Łatwo przekonać się można, że symbole operacyjne

dxt

dx₂

' • ’ ■ dxr ’

przekształcają się za pomocą wzorów wzajemnych względem wzorów, służących do przekształcenia zmiennych x.

Aby więc objąć ogół utworów niezmienniczych, należy wyobrazić sobie, że zawierają one w ogólności pewną liczbę szeregów ilości zmiennych spółpodstawieniowych, jakiemi są zmienne x} pewną liczbę szeregów ilości zmiennych, jakiemi są u, pewną liczbę szeregów zmiennych .v i t. d.

Twierdzenie Clebscha (Gótt. Abh. 1872), które można uważać za rozszerzenie wzoru C 1 e b s c h a — G o r d a n a, redukuje wszakże liczbę tych utworów i orzeka, że wystarcza rozważanie co najwyżej jednego pojedynczego szeregu zmiennych x, jednego pojedynczego szeregu zmiennych u, jednego szeregu zmiennych v i t. d.

a roz-

Przy tej sposobności zwracamy uwagę na to, że C a p e 11 i (Œorn. di Batt. XVIII. Mem.-Lincei XVII 1882. Bend.-Lincei 1891) z innego punktu widzenia uogólnił twierdzenie Clebscha — Gord-ana, bez uważania zmiennych u, r . . ważając tylko zmienne spółpodstawieniowe ze zmiennemi x.

Różnica pomiędzy dziedziną dwójkową a przypadkiem ogólnym polega na tern, że w dziedzinie dwójkowej możemy zawsze ograniczyć się do form o jednym tylko szeregu zmiennych, gdy tymczasem w przypadku ogólnym nie możemy zejść niżej r — 1 szeregów, które mogą wtedy składać się ze zmiennych spółpodstawieniowych (C a p e 11 i) lub różnopodstawie-niowych (Cl ebsch).

Po ograniczeniu utworów niezmienniczych, zgodnie z twierdzeniem Clebscha, możemy przeprowadzić dalszą redukcyę. Dowiedziono, że nietylko dla form dwójkowych, ale i dla form gatunków wyższych istnieją zawsze układy zupełne t. j.,

że istnieje zawsze liczba skończona utworów niezmienniczych, których każdy inny utwór jest f u n k-cyą całkowitą wymierną.

Twierdzenia tego dowiódł najprzód Gr orda n dla przypadków specyalnych dziedziny trójkowej; dla formy trójkowej sześciennej Math. Ann. I, dla dwu form kwadratowych trójkowych Math. Ann. XIX; potem ogólnie i dla form nietrójkowych. Hilbert, Math. Ann. XXXVI; patrz G o r d a n, Math. Ann. XLII; C a p e 11 i, Rend. Acc. Napoi. 1896; W h i t e, Amer. J. XIV, 1892.

W formach trójkowych rozróżniać będziemy następujące utwory niezmiennicze: l-o Niezmienniki — zależne tylko od spółczynników formy pierwotnej lub form pierwotnych.

2-o Spółzmienniki — zależne, prócz od spółczynników, jeszcze od zmiennych x; stopień względem zmiennych nazywa się ich rzędem, stopień względem spółczynników ich stopniem. 3 o Przeciwzmienniki lub formy przyporządkowane — zależne od spółczynników i od zmiennych przeciwpodstawieniowych u; stopień względem tych ostatnich stanowi ich klasę. 4-o Formy pośrednie — zależące od spółczynników zmiennych bc i zmiennych u.

Jeżeli przez u₁, u.₂, u.₂ oznaczymy zmienne trójkowe przeciw-podstawieniowe względem zmiennych xx^x^xz. to wyrażenie pomocą przekształcenia liniowego przekształca się —

nx za

jeżeli pominiemy czynnik A — na formę to ostatnie wyrażenie nazywa się spółzmie unikiem tożsamościowym; należy ono do układu zupełnego każdej dowolnej formy trójkowej, albo każdego układu takich form. Podobnie rzecz się ma i dla form gatunku r — tego.

Zachodzi twierdzenie:

ny ch form ni fo m, leczt zmienn

PT

Jeżeli forma niezmiennicza układu da-zawiera spółczynników tych o szereg zmiennych x oraz sze-y ch u, to jest ona koniecznie — jeżeli odwrócimy uwagę od czynnika liczbowego — potęgą spółzmiennika tożsamościowego.

Rozważania o działaniach niezmienniczych (patrz „Reper-toryum“ t. I. Rozdział XII) dają się łatwo przenieść na formy gatunku dowolnego.

Działanie:

¹ V

dXi

— 2 y i -

TH

gdzie m jest rządem formy lub społzmienmka, na którym wykonywamy działanie, zmienne zaś y są spółpodstawieniowemi ze zmiennemi x, nazywa się działaniem biegnno wem lub b i e g u n o w a n i e m Działanie to, wykonane na spółzmienniku, nie zmienia jego własności niezmienniczej.

Jeżeli ./jest funkcyą r szeregów ilości zmiennych spółpod-stawieniowych ay, x₂ , .. ., xr) yi} y₂ , ■ ■ •, yr; ^i, z₂ , . .. , zr . . . ; odpowiednio rzędów m, m\ m" .., to działanie (C a y 1 e y’owskie), wyrażone symbolicznie przez

V?

()xr

m tu' m" . ..

dy i    ⁽ 2

ày,

Oj

dzt ’ <)zx

yj

dzr

(gdzie przy rozwinięciu wyznacznika należy zamiast iloczynu r pochodnych podstawić odpowiednią pochodną r — tą") wykonane na funkcyi J, nie zmienia jej własności niezmienniczej.

Jeżeli funkcyi J nadamy postać symboliczną

• •>

/= cim a'm' a"'“"..

x y z

to:

a"¹!¹"-¹

û J = (aa! a" ... ) a«-¹ o'”'-1 Podobnie można uogólnić pojęcie działania Aronholda.

Jeżeli a,j. . . są istotnemi spółczynnikami formy, bij... spółczynnikami innej formy tegoż rzędu, to działanie-'

da

Zł,.

•j - - -

nazywa się działaniem Ar on hołd a. Jeżeli wykonamy to działanie na utworze niezmienniczym formy danej (formy ze spółczynnikami a), to przekształca się on na utwór niezmienniczy obu form (formy ze spółczynnikami a i formy ze spółczynnikami b).

O procesach niezmienniczych w teoryi form algebraicznych ogłosił C a p e 11 i liczne prace: Mem. Acc. Napoli (2), 1888; Rend. Acc. Napoli 1886, 1887, 1888, 1893; Giorn-di Batt. (1), XXI; (2), I; Math. Ann. XXIX, XXXVII.

Wprowadzenie rachunku symbolicznego ma ten skutek, że każdy utwór niezmienniczy układu form dowolnych może być przedstawiony symbolicznie jako utwór niezmienniczy układu form liniowych.

Pozostając w przypadku form trójkowych, możemy wypowiedzieć twierdzenie:

Każdy utwór niezmienniczy układu form trój k o w y c h nie a k o o ryc czyn

ux, ax, ua, aa, (abc), (abu), (auv), (mw), (aßy), (aßx), (<axy), (xyz),

gdzie a,b,c . . . są spółczynniki form liniowych w spółrzędnych punktowych, a, ß, y .. . spółczynniki form liniowych w spółrzędnych prostej, x}y,&... spółrzędnemi punktowemi, u, v, w . . . spółrzędnemi prostej.

W rachunku symbolicznym form trójkowych i wyższych zasadniczemi są pewne tożsamości analogiczne do tych, które znajdują zastosowanie w teoryi form dwójkowych. Dla dziedziny trójkowej mamy tożsamości:

7i ^ o,

i 1 o c z i s ą ty

w:

P-

ić symbolicz-m olicznych, k t ó-

er as

(abc) (def) — (bcd) (aef) -j- (cda) (bef) — (dab) (cef) = 0 (abc)dx — (bcd)ax 4- (cda)bx — (dab)cx — 0

, Oy , 0Z

{abc) {xyz) —

b x    -, b.

Gx

Gy , CZ

{xyz)at — (yzt)an -f- {ztx)ay — {txy)az = 0 . {xyz) (trs) — {yzi) (xrs) -f- [six) (yrs) — (ixy) (zrs) = 0 ,

gdzie a, b, c, d, e, f są spółczynniki form liniowych w spółrzęd-nych punktowych lub w spółrzędnych prostej, x, y, z, t. r, s zaś przedstawiają spółrzędne punktowe lub spółczynniki form liniowych w spółrzędnych prostej.

Dla form gatunku wyższego otrzymujemy pięć typów tożsamości, analogicznych do poprzednich.

Tożsamości te sąjedynemi toźsamościami pierw ot nem i, które mogą zachodzić pomiędzy utworami symbol icznemi typu niezmienni-

zeniu, że każd in tożsamość m że < tecznie tylko kombinacyą powyższych.

Twierdzenia tego dowiedli dla form dwójkowych i trójkowych Gordan i S tu d y, Math. Ann. XXX, str. 120, dla przypadku ogólnego dowiódł go Pascal, Lincei Rend. 1888, Memorie V, 1888.

Interpretacyageometryczna utworów niezmienniczych form trójkowych, czwórkowych i t. d. jest wielkiego znaczenia w geo-metryi. Forma trójkowa z szeregiem zmiennych x: uważanych za spółrzędne punktowe, przyrównana do zera, przedstawia geometrycznie, jak już wyżej powiedziano, krzywą płaską, i podobnie forma czwórkowa z jednym szeregiem zmiennych, przyrównana do zera, przedstawia powierzchnię w zwykłej przestrzeni.

hi er o

O "O

CL 3

o as

pozor-î osta-

Znikanie tożsamościowe niezmienników i spółzmienników odpowiada tym własnościom i związkom pomiędzy elementami krzywej lub powierzchni, które przy przekształceniu liniowem Ogólnem, t. j. mówiąc geometrycznie, przy przekształceniu homo-graficznem, pozostają niezmienionemi (własności rzutowe). Albo w szczególności: Jeżeli przyjmiemy, że dla danej formy spe-cyalnej pewien niezmiennik jest zerem, to odpowiada to takiej własności krzywej lub powierzchni, która nie zmienia się, gdy tę. krzywą lub powierzchnią przekształcimy homograficznie. Dalej spół zmiennik z jednym szeregiem zmiennych, przyrównany do zera, przedstawia inną krzywą lub powierzchnię, która względem krzywej lub powierzchni pierwotnej posiada własności niezmiennicze i t. d.

Możemy jeszcze dodać, iż możnaby przyjąć, że formy pierwotne mają nie jeden szereg, lecz więcej szeregów ilości zmiennych, np. dwa szeregi przeciwpodstawieniowe lub różnopodsta-wieniowe. O tych formach mówimy poniżej krótko, ze stanowiska teoryi form.

e, i jeżeli założymy, że taka

nazywamy koneksem płaskim.

co

Interpretacya geometryczna tych form z dwoma szeregami zmiennych przeciwpodstawieniowych jest łatwa, jeżeli przyjmiemy, że idzie o formy t r ó j k forma z dwoma szeregami zmiennych przeciwpodstawieniowych jest zerem. Geometrycznie określa to na płaszczyźnie przyporządkowanie punktów i pewnych krzywych oznaczonej klasy albo też prostych i pewnych krzywych oznaczonego rzędu, t. j. otrzymujemy to,

O tych formach mówimy niżej.

Podamy niektóre wskazówki historyczne i bibliograficzne o rozszerzeniu. jakiego doznały niektóre ważne twierdzenia i rozważania, odnoszące się do form dwójkowych, przy stosowaniu ich do form wyższych: trójkowych, czwórkowych i t. d.

Twierdzenie H e r-

Niezmienniki i spółzmienniki form wyższych czynią zadość podobnie, jak dla form dwójkowych, pewnym równaniom różniczkowym; temi równaniami dla dziedziny trójkowej wr ogólności zajmował się F o r s v t li, Proc. Pond. math. Soc. XIX, 1888. m i t e’a o odwróceniu rozwinął D e r u y t s, Brux. Buli. (3), XXII, 1881; patrz też G o r d a n, Gott. Nadir. 1897. Inne ważne uogólnie-

nie odnosi się do przedstawienia typowe g o. Najprzód Brioschi (Annali di mat. (1), I, 1858), rozwinął postępowanie, które stosował był Her m i t e dla form dwójkowych; później w inny sposób uczynili to Gras s m a n n, Math. Ann. VII i Christoffel tamże XIX.

Badanie przedstawienia typowego i odpowiednich układów zupełnych form stowarzyszonych przeprowadzili: C 1 e b s c h — G o r-dan, Math. Ann. I, dla formy sześciennej trójkowej Gordan, Math. Ann. XVII. XX dla specyalnej formy dwukwadratowej trójkowej F o r s y t h, Amer. J. XII dla wielu innych przypadków dziedziny trójkowej oraz dla dziedziny czwórkowej Oambr. Pliil. Trans. XIV, 1889.

W związku z przedstawieniem typowem form trójkowych jest twierdzenie Hermite’a (Grelle LVII;. Hermite okazał, że trzy formy trójkowe kwadratowe można zawsze uważać za pochodne pierwsze jednej i tej samej formy sześciennej trójkowej, której spółczynnikami są niezmienniki równoczesne form danych. Patrz co do tego Gundelfin-ger, Crelle LXXX.

Pierwszą pracę o niezmiennikach trójkowych ogłosił A r o n-h o 1 d, Crelle XXIX, który badał niezmienniki form sześciennych trójkowych. Podręczników zupełnych o formach trójkowych, czwórkowych i t. d. niema; teorya tych form nie jest tak rozwinięta, jak teorya form dwójkowych. Z dzieł, które się temi formami wyższemi zajmują, cytujemy Salmon-Fiedle r, Algebra der linearen Transform. Lipsk 1877; C 1 e b s c h—L i n d e m a n n, Geometrie I. Lipsk 1875. II, 1,1891 ; S t u d y, Methoden zur Theorie der ternären Formen. Lipsk 1889. Wskazówki historyczne i bibliograficzne w cytowanej pracy Fr. M e y e r a (po niemiecku oraz przekład polski. Warszawa 1899). Wreszcie wymieniamy jeszcze prace nowsze: Deruyts, Essai d’une théorie des formes algebr. Bruksele 1891; Elliot, Algebra of Quantics. Oxford 1895; A n d o y e r, Théorie des formes Paryż 1898.

Zasada przeniesienia.

Ważną w teoryi form trójkowych jest t. zw. zasada przeniesienia (Uebertragungsprincip) C 1 e b s c li a, służąca do otrzymywania pewnych szczególnych niezmienniczych form trójkowych ze znanych niezmienników lub spółzmienników dwójkowych

Rozpatrzmy przypadek, w którym mamy daną formę zasadniczą trójkową a” =    . Niechaj yA, y.₂, y.y. zx, z₃ będą

dwa szeregi zmiennych spółpodstawieniowych, które można zatem przedstawić jako spółrzędne dwu punktów prostej; spółrzędne punktu prostej, łączącej te dwa punkty, niechaj będą:

xx — Xxyx 4" A-jZx , x₂ = X,y₂ -j- X,z₂ , x₃ — Xxy₃ -j- X₂z.A .

Spółrzędne przeciwpodstawieniowe ux, v₂, u.A, t j.

V‘> ; y-A

można interpretować jako spółrzędne prostej. Podstawiwszy te wartości w ax i kładąc symbolicznie ay = ax, a; — a₂, otrzymamy formę dwójkową a” względem X. Interpretując geometrycznie równanie a". =0 powiemy, że jego pierwiastki X odpowiadają punktom spotkania prostej (yz) z krzywą a* — 0.

Niechaj 11 będzie niezmiennikiem lub spółzmiennikiem formy dwójkowej a"; będzie on utworzony z wyrazów, których czynnikami są wyznaczniki dwójkowe typu (aß) oraz czynniki liniowe typu a;.    gdzie przez ß należy rozumieć symbole

równoważne symbolom a. Jeżeli przekształcimy Tl tak. aby wystąpiły spółczynniki formy trójkowej i spółrzędne u, otrzymamy utwór niezmienniczy względem formy trójkowej.

Jeżeli przyrównamy 77 do zera, będziemy mieli warunek, aby grupa n punktów, w których prosta przecina krzywą, miała specyame własności rzutowe; po przekształceniu powyższem 11 = 0 przedstawia ogół wszystkich prostych, które przecinają krzywą danę w grupach punktów, mających powyższe własności.

Łatwo sprawdzić, że każdy wyznacznik (aß) jest równoważny z wyznacznikiem (obu), a każdy czynnik fix z czynnikiem ax, gdzie zmienne x i u nie są już niezależne, lecz związane warunkiem ux — 0; jeżeli więc vv v₂, v₃ są spółrzędnemi innej prostej, przechodzącej przez punkt x, możemy zamiast ax podstawić wyznacznik (auv). Jest widocznem, że powyższe rachunki i rozumowanie pozostają bez zmiany, jeżeli mamy nie jednę lecz więcej form pierwotnych.

Stąd wypływa następujące proste prawidło przeniesienia form niezmienniczych z dziedziny dwójkowej do dziedziny trójko wej : zamiast każdego wyznacznika d w w e g o (aß) należy wziąć (abu), gdzie a, b . . . są sj

w y c h, które podług wzorów powyższych odpo-

ß ... ; z miast zaś każ-e o oj n le ilości v

znacznik trój

-O M 'O

o-

w y

ami form tr jko-

"O O

w i a i d eg w y z n z a i 1 o

zj à

• ESI -1

y m o 1 o m nik linio

ik

o w o 1 n e.

i, g d z i

CD

Cd

CÖ

s!

N* Cl>

w 03

05

Taki utwór, przyrównany do zera, przedstawiać będzie w spółrzędnych u krzywą (lub układ krzywych, jeżeli wchodzą weń i ilości v), której styczne przecinają krzywą (lub krzywe dane) w punktach, mających specyalne własności niezmiennicze.

Najrozmaitsze są zastosowania tej zasady; najważniejszem z nich jest następujące:

Jeżeli chcemy mieć równanie stycznościowe krzywej, danej w spółrzędnych punktowych przez równanie f — a " — 0, dość w wyrażeniu

nik

•r-, CO

o 1 i c z n e m wyróżnika formy d w ó j-d u n- tego zmienić każdy wyznacz-

s y m a" r z

n a wyznacznik (abu).

Podobną do powyższej zasadę przeniesienia można stosować w przypadku, w którym forma pierwotna zasadnicza jest formą trójkową, zawierającą szeregi zmiennych x i szeregi

, va = A₂

zmiennych u, t. j. jedną z form, która przyrównana do zera daje to, co geometrycznie nazywamy ogólnie koneksem

Niechaj będzie forma a'jiC'j—0. Rozważmy prostę punktów y i z oraz punkt prostych v i w i połóżmy warunek, że ta prosta i ten punkt należą do koneksu. Kładąc jak wyżej:

u,j — A j ,    <<■• = A 2 j va = A-

będziemy mieli A¹' A™ -= 0, gdzie ż i y są zmienne dwójkowe. Związek ten wyraża, że każdej prostej u odpowiada m punktów prostej, a każdemu punktowi x odpowiada n promieni pęku.

Niechaj TI będzie niezmiennikiem tej formy dwójkowej o dwu szeregach ilości zmiennych, nie zawierającym żadnego wyznacznika typu (AA). Zmieńmy w nim, jak wyżej, każdy wyznacznik {AB) na wyznacznik (altu), a każdy wyznacznik (AB) na wyznacznik (aßx)\ otrzymamy wyrażenie złożone z czynników symbolicznych (obu) i (a/kc), które będzie formą niezmienniczą dla danego koneksu, a które przyrównane do zera, przedstawia: w każdym punkcie x krzywą, której styczne przecinają odpowiednią krzywą koneksu danego w « punktach, mających specyalne własności rzutowe: dla każdej prostej u— krzywą, której m stycznych, wyprowadzonych z jej punktów do krzywej koneksu danego, przedstawiają pęk prostych, mających specyalne własności rzutowe.

Zasadę przeniesienia wypowiedział Clebsch (Grelle LIX); patrz Grundelfi n g* e r (Math. Ann. YI), Study (Methoden i t. d. Lipsk 1889), Clebsch — Li n d e m a n n, Geometrie.

■j/j

co

Wyznaczniki funkcyjne, hesyany, kombinanty, wypadkowe i wyróżniki dowolnych form algebraicznych.

Niechaj będzie r form stopnia dowolnego o r zmiennych (formy gatunku r), których symbolami są a", //', C . .. Pomiędzy

najprostszemi utworami niezmienniczemi tych form mamy j akobian czyli wyznacznik funkcyjny r form, który symbolicznie wyraża się przez

(al/c . . . ) an~x ć"'⁻¹ cH"~l . ..

v    'XXX

oraz hesyan każdej formy, którego wyrażeniem jest:

(aa’ a" ... )² a*~² a'“~²...,

•    / x    X    ⁷

gdzie a' a" . . . śą symbole równoważne z symbolem a.

Te utwory można łatwo wyrazić przez pochodne form danych (patrz „Repertoryum“ 1.1, str. 62, 64). O jakobianach mamy następujące twierdzenie Clebscha:

Wyznaczniki funkcyjne, utworzone z wyznaczników funkcyjnych r -j- 1 form o zmiennych, są proporcyo naine do form pierwotnych (C 1 e b s c h, Crelle LXIX, LXX, Rosanes, tamże LXXV, Paso h, tamże LXXX).

Ciekawa jest własność hesyanów, odnosząca się do ich znikania. Dla form dwójkowych, trójkowych i c z w orko wy ch jedynie zachodzi twierdzenie:

Znikanie hesyanu jest warunkiem koniecznym i dostatecznym na to, aby forma dana dała się przez przekształcenie liniowe zamienić na formę, zawierającą o jednę zmienną mniej. Hesse (Crelle XLII, LVI), Bałt z er (1-e wydanie jego traktatu o wyznacznikach), Salmon — Fiedler (Algebra-der linearen Transf. 1863) mniemali, że to twierdzenie jest ogólnem; dopiero G o r d a n •— Noether (Math. Ann. X) wykazali, że jest prawdziwem tylko dla n — 2, 3, 4.

Inna własność hesyanów jest następująca:

Hesyan hesyanu formy sześciennej o i 1 u-kolwiek zmiennych jest kombi nacyą formy d a n e j i j © j hesyanu.

Twierdzenia tego dla dziedziny trójkowej dowiódł Bauer (Münch. Akad. XIV, 1883), dla czwórkowej Rohn (Math. Ann. XXIII), dla przypadku ogólnego V o s s (Math. Ann. XXVII).

Hesyan jakiejkolwiek formy kwadrato-

1 . . . n

w e j / = Æ' a ij Xj Xj jest jej wyróżnikiem, który przez spółczyuniki istotne formy wyraża się tak:

#11

*12    > ft13 » • • •

an

»    ®22 i

^31    >    ®32 ł

prócz

się,

eszcze z przeciwzmiennika

Układ zupełny jednej formy kwadratowej jakiegokolwiek gatunku składa z formy A, j

) U₃ , ...

»1

, 6*22

gdzie u są zmienne przeciwpodstawieniowe względem zmiennych x, t. j. w przekształceniu liniowe m zachowują się jak minory macierzy, utworzonej z r —1 różnych szeregów zmiennych gatunku r.

Jeżeli f—0 interpretujemy jako równanie rozmaitości rzędu 2-go w przestrzeni?*—1 wymiarowej, wtedy przeciw-zmiennikF—O da nam równanie tejże rozmaitości, wyrażone przez element dwoiście wzajemny względem punktu w tej przestrzeni.

Wyznacznik funkcyjny jest specyalnym przypadkiem utworów, które nazywają się kombinantam i. Jeżeli dany jest układ p form /*₂ , .. . ,/‘p gatunku r-tego i jednego rzędu, i jeżeli utworzymy kombinacyę liniową vlfl v$f₂ -j-... -f- vpfp, to kombinanteinp danych form nazywamy taki utwór, całkowity wymierny względem spółczynników funkcyj fi względem zmiennych, który ilości v nie zawiera i zachowuje się niezmienniczo przy przekształceniu liniowem ilości x i liniowem przekształceniu zmiennych v. Kombinant, prócz zmiennych xt, x₂ ,. . . , xr, może zawierać jeszcze inne układy zmiennych y,, y₂ , . .. , yr) zu z₂ ,.. ., zr spółpodstawieniowe ze zmiennemi x.

Ws

ą się e j e-

ystkie kombinanty funkcyj /‘da przeds a wić jako utwory niezmiennie dnego z nich, nazwanego kombinan tern zasadniczym (horda n), a który otrzymujemy tworząc wyznacznik, zawierający w pierwszym

wierszu wszyst w drugim wszys i t. d.; w rowadzone w liczb

n k c y e f z e zmiennemi x, nnkc e zezmiennemiy szeregi zmiennych x i y .. . należy uważać wszystkie za spółpodstawieniowe.

Kombinantami zajmowali się: G o r d a n, Math. Ann. V, Voss, Münch. Ber. 1888.

Niechaj będzie r równań typu a* — 0,    0,... gdzie a*. A"’..,

oznaczają symbolicznie formy r - tego gatunku zmiennych xl, x.₂ ,, xr\ wyrugujmy r zmiennych jednorodnych a? i nadajmy wynikowi postać Ii — 0, gdzie M jest funkcyą całkowitą wymierną spółczynników form danych.

Utwór R jest niezmiennikiem form i nazywa się wypadkową (rugownikie m).

Wypadkowa jest co do spółczynników każdej formy jednego stopnia, równego ilocz y-nowi rzędu wszystkich form.

Wypadkowa pierwszych r pochodnych cząstkowych formy względem r zmiennych nazywa się wyróżnikiem.

Stopień wyróżnika co do spółczynników formy danej jest r (n — l/⁻¹, gdzie u oznacza stopień formy, r jej gatunek.

Gr o r d a n zajmował się wyróżnikiem formy trójkowej n-tego rzędu w (Münch. Ber. 17 1887), a niedawno w (Math. Ann. 50.1897, Züricher Kongr.-Yerh. 1898, str. 143) wyróżnikiem trzech form trójkowych.

O warunkach niezmienniczych, pod któremi forma trójkowa daje się rozłożyć na czynniki, patrz Brill, Gött. Nachr. 1893, Deutsche Math. Ver. 5, 1897, Math. Ann. 50, Junker, Math. Ann. 43, G o r d a n, Math. Ann. 45.

zrji

Formy kwadratowe w ogolności i teorya form dmiliniowych. Prawo bezwładności. Teorya dzielników elementarnych Weierstrassa.

Niechaj będzie forma kwadratowa o r zmiennych

1 ... r

f= tlij X, Xj — aj — bj = cx — . . . ; (% = aß) .

Jej jedynym niezmiennikiem jest wyróżnik

«13 ,. . .

«21    ,    £*22    1    «23 j * • •

«31 i «32

«11

«12

«33 J • * *

= (abc . . . )².

Jeżeli A jest różne od zera, /' nazywa się formą z w y-c z a j n ą, jeżeli A = 0 — osobliwą.

Jeżeli wu iv₂ , ..., wr są zmienne przeciwpodstawieniowe ze zmiennemi x, to możemy utworzyć przeciwzmiennik

w₁

w₂ ,..

wx , an ,

— (wab...J.

«12 ,. •

«21 > «22

Jeżeli wprowadzimy zmienne różnopodstawienio-w e u, v. . . (porówn. § 1), to można będzie utworzyć inne utwory niezmiennicze; dla r — 3 (przypadek trójkowy) istnieją

Pascal. Rep. II.

tylko obio powyższe; dla r — 4 (przypadek czwórkowy) można utworzyć jeszcze wiele innych, przy wprowadzeniu dalszych szeregów zmiennych.

Co do niezmienników równoczesnych dwu form kwadratowych o r zmiennych, patrz S e g r e, Math. Ann. XXIV.

W teoryi form kwadratowych zasługuje, ze względu na zastosowanie do mechaniki i geometryi, na szczególną uwagę wielokrotnie traktowane zagadnienie o sprowadzaniu form do ich postaci kanonicznej, t. j. do kombinacyi liniowej kwadratów. Eedukcya ta daje się uskutecznić w ogóle nieskończenie wielu sposobami; lecz jeżeli forma dana ma spół-czynniki rzeczywiste i jeżeli przekształcenia, którym poddajemy zmienne, mają być także rzeczywiste mi, wtedy owa nieskończoność form zredukowanych lub kanonicznych ulega t. zw. prawu bezwładności form k w a d rato w y c h, które brzmi:

"O O

tSJ w—I

Jeżeli forma kwadratowa o r zmiennych czynnikach rzecz    wistych    r e-

o-

się za pomocą po stawień wych rzeczywistych dwoma r ó ż n e m i sposobami na wyrażenia, zawierające tylko kwadraty zmiennych, to liczba Jc wyrazów ze znakiem dodatnim jest zawsze ta sama.

To twierdzenie podał 8yl veste r, Phil. Mag. 1852. H, str. 138, Phil. Trans. 1853, str. 407; później Bore h a r d t (Grelle LIII, str. 275) ogłosił, źe podobne prawo znane już było Jacob i’emu w r. 1847. O twierdzeniu tein patrz: H e r m i t e (Crelle LIII. str. 271 ), G u n d e 1 f i n g e r (tamże CXI), de P r e s 1 e, Bull, de la Soc. matli. XV, str. 179, F robenius (Beri. Sitzungsber, 1894). Badania, najściślej związane z prawem bezwładności form kwadratowych rzeczywistych, ogłosił L o e w y (Math. Ann. L § 9, tamże LII i Nova Acta Leop. 1898).

Jeżeli liczba k w poprzedniem twierdzeniu jest zerem lub r, to forma kwadratowa nazywa się określoną (defmita) (Gaus s), w innych razach nieokreśloną.

K a ż d a forma określona zachowuje znak

stały, bez względu na sposób zmieniania wartości zmiennych rzeczywistych.

Forma kwadratowa o r zmiennych daje się przekształcić na wyżej omówioną formę kanoniczną i wtedy, gdy stawiamy warunek, aby przekształcenie, które mamy stosować, było ortogonalne, t. j. aby forma

• . • + x²

pozostała przez nie niezmienioną. Jeżeli w tym przypadku forma zredukowana przyjmuje postać

1 ... r

f — ciij Xi xj — AxxF -f- A₂x₂²    ArxA

f — xx² -F

to spółczynniki A, wzięte ze znakami przeciw ne mi, są pierwiastkami równania t. zw. charakterystycznego

«11-M 5 aV2 (,2l

aA\ 7    a32

którego strona lewa jest wyróżnikiem formy kwadratowej f-\- Xf'.

Jeżeli spółczynniki a,j formy f są wszystkie rzeczy-wistemi, to wszystkie pierwiastki równania charakterystycznego są rzeczywiste.

Jest to przypadek szczególny zagadnienia o równoczesnej redukcyi dwu form kwadratowych

f — ciij Xi Xj , F = bij Xi xj

do postaci kanonicznej. Oczywiście, możemy tu też zawsze dołączyć warunek, aby druga forma dała się sprowadzić do takiej postaci, jak wyżej f, t. j. do sumy kwadratów nowych zmiennych. Ponieważ formami zredukowanemi są:

f — Axxx‘ -f- A₂xĄ -f- ... -j- ArxA ; F — Bxxx² -f- B₂x₂²-\-... -\-Brxr‘\

to dość położyć : aby otrzymać:

a₂

F=yS + ył + ... + yr*.

y-ł +•••+ ~^~y^ ;

At

Stosunki -=r-, wzięte ze znakami przeciw-A'

nem i, są pierwiastkami równania (charakterystycznego) :

12

0> u ~f- ŻĆj j    ,    ttj.> —J— }J)

®2l ~f~ ^21    *    ^22 “h ^22 v

którego strona druga jest wyróżnikiem formy kwadratowej /’ —j— XF.

Cauchy (Exerc. de math. IV. 1829) i J a c o b i (Crelle XII) pierwsi zajmowali się tern zagadnieniem.

Rozwiązanie zagadnienia przedstawia się tak jak wyżej tylko wtedy, gdy wszystkie pierwiastki równania charakterystycznego są różne; jeżeli niektóre z pierwiastków są równe, wtedy występują inne rozważania.

W przypadku r — 2 i r = 3 rzecz jest prosta i dawno w książkach o geometryi analitycznej załatwiona; dia r — 4 mamy badania Sylvester a (Mag. Phil. (4). I. 1851, str. 119), dla r dowolnego badania W eierst rassa (Beri. Mo-natsber. 1858, 1868), który badał to zagadnienie nie tylko dla dwu form kwadratowych ale i dla form dwuliniowych o dwu szeregach ilości zmiennych. Przy tej sposobności utworzył Weierstrass teoryę t. zw. dzielników e.lementa myc h.

Rozpatrzmy wyznacznik rzędu r-tego:

D — | (lij -f- Xl>,j | — ' a y |

i przyjmijmy w ogolności, że jego charakterystyką (ßang, Frohe ni us, Crelle LXXXVI) jest o, co znaczy, że wszystkie pod-wyznaczniki rzędu o —j— 1, ale nie wszystkie rzędu o są tożsamo-ściowo zerem. Niechaj będzie a-\-M)=p, Je — wykładnikiem n a j wy ż s z ej potęgi, w której ilość p jest zawarta jako czynnik we wszystkich pod wyznacznikach rzędu p-tego    o) wy

znacznika, D; innemi słowy, ple jest czynnikiem wszystkich pod-wyznaczników rzędu g, z których niektóre mogą zawierać p i w potędze wyższej, ale jeden przynajmniej zawiera p dokładnie w potędze niechaj dalej De będzie największym wspólnym dzielnikiem wszystkich podwyznaczników rzędu £>-tego; De zatem zawiera jako czynnik p w potędze ^-ej. Liczby le są liczbami całkowitemi dodatniemi lub zerem.

Jest Ie+i^>le , a gdy le=0 , to /e_y = 7?_₂ = ... = 0 .

Połóżmy:

@0 " ■ -L—i ,

skąd:

h - eX + e2 ~ł~    + • • • T“ e° .

to D„ zawierać będzie czynnik:

plo -pt, pe₂ . pe, ' ^ * peo *

Liczby e czynią zadość własności zasadniczej:

6a    6 a—1    —2    • • • ■'ź' ^1 •

Każdy czynnik pe,-, gdy <?,• jest różne od zera, nazywa się dzielnikiem elementarnym układu ilości ety, a gdy o — r dzieln. element, wyznacznika D [W e i e r s t r a s s), p zaś nazywa się podstawą dzielników elementarnych. Pojęcie dzielników elementarnych można rozszerzyć na yznacznik dowolny, którego elementy a nie są, jak elementy yznacznika D, funkeyami liniowemi ilości A, lecz albo liczbami

całkowitemi albo funkcyami całko witemi jednej lub wielu zmiennych. W pierwszym razie przez p należy rozumieć liczbę pierwszą, w drugim funkcyę liniową lub w ogólności funkcyę całkowitą nieprzywiedlną uważanych zmiennych.

Dzielnik elementarny stopnia pierwszego nazywa się według Fro beniusa (Crelle LXXXYI ) dzielnikiem elementarnym liniowym; Kronecker (Beri. Monatsber. 1874, str. 226, Werk e, tamże str. 405) nazywa go dzielnikiem elementarnym pojedynczym. Idąc za Fro-beniusem, używać będziemy tego drugiego terminu w innem znaczeniu; jeżeli mianowicie utworzymy stosunki:

IX

Xa-\

Da—i

(7 ?

Da-2

i położymy

Ea+l = Ea+~... = Er = 0,

to wyrażenia E są albo liczbami całkowite mi, albo funkcyami całko witemi i nazywają się pierwszym drugim . . . , r-tym dzielnikiem elementarnym układu a‘j albo też, gdy o=r—wyznacznika. Nazywają się one dzielnikami e lern e n t a r n e m i z 1 o ż o n e m i, wyrażenie zaś pei dzielnikami elementar nemi pojedyńczemi. Zważmy wszakże, że wyrażenia „dzielniki elementarne złożone“ używa Frobenius (Crelle LXXXYI, str. 162) w innem znaczeniu. Wyrażenie to w znaczeniu, przez nas użytem, znajduje się u Mutha (patrz pracę cytowaną poniżej) i jest uzasadnione przez to, że przez rozkład dzielników elementarnych złożonych na czynniki otrzymujemy wszystkie dzielniki elementarne układu.

(Iłównemi pracami o dzielnikach elementarnych, prócz wyżej cytowanych są: Stickelberge r, Diss. inaug. Berlin 1874, Crelle LXXXVI, Darboux (Journ. de Liouv. (2). XXX), K r o n e c k e r (Beri. Monatsber. 1874, 1890, 1891, Crelle CYII), Frobenius

(Crelle LXXXYI, LXXXVII, Beri. Sitzungsber. 1890, 1894, 1896), Hensel (Crelle CXIV etc.). Bliższe szczegóły w nowem dziele M u t li a „Theorie und Anwendung der Elementartheiler“. Lipsk 1899.

Podamy rezultaty, do których, na podstawie teoryi dzielników elementarnych, dochodzimy w zagadnieniu o redukcyi form kwadratowych do postaci kanonicznej, oraz w innem tej samej natury zagadnieniu o równoważności form kwadratowych i pasm takich form.

Aby dwie formy kwadratowe o r zmiennych da s a m y c doposaci:

A 1^*1² -j- A₂x₂ż    -f- A,xr² ; Bxxx² -j- B₂x₂² -|- . .. -f- BrxA

tr-

ct-

y się r rzeksz

vO -4-2

w n o alce

ześnie za pomocą tych liniowych sprowadzić

gdzie spółczynniki Ai i Bi nie są równocześnie oba zerami, jest koniecznem i dostateczne m, by wyznacznik

D — | Xbij |

utworzony sposobem zwykłym ze s p ó ł czynił i k ó w tych form nie znikał i miał tylko dzielniki elementarne liniowe (Weierstrass, Werke

II. str. 41—42).

Jeżeli D jest rożnem od zera, lecz dzielniki elementarne wyznacznika są jakiekolwiek, to można przeprowadzić reduk-cyę do postaci kanonicznej lub normalnej, której natura zależy od dzielników elementarnych. Na tern opiera się klasyfikacya form kwadratowych, którą tu bliżej zajmować się nie będziemy.

Zadanie ogólniejsze polega na wyznaczeniu, czy dwa pasma form kwadratowych A + XB, Ä -\- XB' są równo w a ż n e, t. j. czy jedno da się przekształcić na drugie za pomocą przekształceń liniowych, których spółczynniki od l nie zależą.

Dwa pasma zwyczajne form kwadratowych o r zmiennych (t,j. takie, że ich wyróżnik

nie znika tożsamościowo), są równo ważne mi wtedy i tylko wtedy, gdy dzielniki elementarne ich wyznaczników są te same (W eierstrass).

Oczywiście, w twierdzeniu tern zawiera się poprzedzające jako przypadek szczególny.

Teorya W eierst rassa ma wielką doniosłość; odpowiednio zmodyfikowana, daje się zastosować do wielu innych zagadnień, dotyczących równoważności. Pomyślmy np., że mamy formy kwadratowe o spółczynnikach całkowitych, i pragniemy zbadać, kiedy jedna z dwu form tego rodzaju daje się zamienić na drugą przy pomocy przekształcenia o spółczynnikach całkowitych i o module 1 (unimodularnego), albo też specyalnie, kiedy jedna z tych form za pomocą przekształcenia unimodularnego daje się sprowadzić do postaci kanonicznej. Badanie wyznaczników obu form i ich dzielników elementarnych w znaczeniu wyżej podanem prowadzi do rezultatów analogicznych z po-wyższemi.

Tąż samą teoryę można stosować do form d w u linio

wych.

Formą dwuliniową dwu szeregów zmiennych x.₂ ,. .. , xr\ t/i, y₂ ,. .., yr nazywamy wyrażenie typu Jl ai:j X( yj. Jeżeli spół-

czynniki ay są funkcyami liniowemi parametru ż, to wyrażenie to przedstawia pasmo form dwuliniowych. Jeżeli wyznacznik spółczynników ay jest różny od zera, otrzymujemy formę dwuliniową zwyczaj ną, jeżeli zaś jest zerem, formę dwuliniową osobliwą.

O teoryi tych form patrz W eierstrass 1. c., zwłaszcza Frobenius, Grelle LXXXVI, porówn. też Mutli I. c. § 2 i nast.

W teoryi tej mamy zagadnienie podobne do zagadnień w teoryi form kwadratowych.

1. W założeniu, że spółczynniki są liczbami całkowi-t e m i, zbadać równoważność dwu takich form, t. j. możliwość przekształcenia jednej na drugą za pomocą przekształcenia unimodularnego, i specyalnie, redukcyę jednej z nich przy pomocy takiego przekształcenia o spółczynnikach całkowhych i module

1 do postaci £ A, r, yh która nazywa się normalną lub kanoniczną,

2. w założeniu, że spółczynniki są funkcyami liniowemi parametru X zbadać równoważność dwu pasm takich form, t. j. możliwość zamiany jednego na drugie za pomocą przekształceń liniowych, których spółczynniki od X nie zależą, a w szczególności równoczesną redukcyę obu form dwuliniowych ze spół-czynnikami stałemi do postaci kanonicznej.

Mamy tu twierdzenie następujące:

Dwie formy dwuliniowe o spółczynnikacłi całkowitych liczbowych są równoważnemi wtedy i tylko wtedy, gdy odpowiednie dzielniki elementarne, złożone z układu spółczyn-ników obu form, są jednakowe.

Dana forma d w u 1 i n i o w a , której' układ spółczynników całkowito-liczbowych posiada dzielniki elementarne złożone Ev E

t a w i ń i d o p s t

• - Er,

cß

mocą p r o w a

Cu'O

ui -o

CD

c i:

1 a r-

Exxaix

~] . • • |    /-yr •

Dwie formy dwuliniowe (dwa pasma form; o spółczynnikacłi, które są funkcyami linio-wemi parametru X i o wyznać nikach różnych od zera, są równoważne j. dają się przek zap mocą przekszta g cl j wyznaczniki obu pasm

dy

Ct> ct-

i tylko wte-na na drugą d X niezależnych),

maj ą te same dziel-

n i k i elementarne.

Aby dwie formy dwu linio we dały się ro-omocą przekształceń linio-do postaci:

wnocześnie

w y c h sprowadzi

a-o

Alxiyl -f- A,«yy₂ -j- .. . -f- Arxryr B₁x₁y₁ -f- B<>x₂y., -f- . • . -j- B,x,yr ,

g d z i e spółczynniki Ai, Bi nie są oba zerami, jest koniecznem i dostatecznem, by wyznacznik

D -    | ciij -j- Xbij |

nie znikał tożsamościowo i zawierał tylko same dzielniki elementarne liniowe.

niezależnych, powstaje przeto zagadnienie: w jaki sposób dają się wyrazić spółczynniki podstawienia linio-

tylko

Przekształcenie ortogonalne (t. j. przekształcenie liniowe, przy którem wyznacznik spółczynników jest ortogonalny) przekształca formę kwadratową specyalną xx² -j- :r₂² -j- . . . -j- x2 na samą siebie. Z n- spółczynników tego przekształcenia jest n (n—1)

wego przez    n (n—1) wielkości niezależnych, aby forma kwa-

Z

dratowa x² pozostała niezmienną ?

Badaniami temi zajmowali się: E u 1 e r, Novi Comm. Petrop. XV, XX, Cauchy, Exerc. de math. IV i ogólniej C a y 1 e y, Grelle XXXII (patrz Pascal, Determinanti str. 47).

Badania te dają się uogólnić, jeżeli zamiast powyższej specyal-nej formy kwadratowej weźmiemy forme kwadratową ogólną. W tym kierunku mamy badania II e r m i t e’a dla r— 3 (Crelle LIV) i r=4 (Cambr. Uubl. mâtli. J. IX). Z obfitej literatury wymieniamy: G. C a n-t o r, HabilitationsschriftHalla 1869, Bachmann, Crelle LXXVI, Tanne ry, Bull. Soc. math. XI. 1876, P r y m, Gott. Abh. XXXVIII. 1892, Frob e n i u s, Crelle LXXXIV. Przekształcenie spółpodstawieniowe formy dwuliniowej na samą siebie badał A. Voss (Abh. der kgl. Bayr. Akad. 1870). Nowsze prace L o e w y ego (Compt. Rend. 1876, Nova Acta Leop. 1898) zajmują się przekształceniem formy dwuliniowej na samą siebie, na podstawie teoryi dzielników elementarnych, przyczem y i x są zmiennemi zespoloncmi sprzężonemi; jako przypadek szczególny wynika stąd przekształcenie rzecz y w i s t e formy kwadratowej rzeczywistej na samą siebie.

Układy zupełne dla form o większej liczbie szeregów ilości zmiennych.

Powiemy kilka słów o zagadnieniu, dotyczącern szukania utworów niezmienniczych, stanowiących układ zupełny. Poszukiwanie to może być uskutecznione całkowicie tylko w niewielu prostych przypadkach; w poprzednich paragrafach daliśmy już pewne wskazówki o rezultatach dotąd znanych. Lecz naturalnem jest rozszerzenie takiego poszukiwania przez przyjęcie, że forma zasadnicza zawiera pewną liczbę szeregów ilości zmiennych i szukanie w tym przypadku układu zupełnego. To nowe poszukiwanie jest oczy wiście jeszcze bardziej skomplikowanemu; uskuteczniono je dotąd dla niewielu tylko przypadków.

Można przyjąć, że forma dana jest trójkową i że zawiera d w a szeregi ilości zmiennych; zmienne te mogą być albo spółpodstawieniowemi albo przeciwpodstawieniowemi jak x i u (patrz § 11), lub, ogólniej jeszcze, zmienne mogą być poddane przekształceniom zupełnie niezależnym. W obszarze form dwójkowych to rozróżnienie nie istnieje, gdyż pierwszy i drugi z powyższych przypadków (na zasadzie wzoru C 1 e b-scha — Głordana) sprowadzają się do przypadku, w którym formy zasadnicze mają tylko jeden szereg ilości zmiennych.

yyi

pi

Szereg zasadniczy, zawierający jeden szereg zmiennych x i jeden szereg zmiennych przeciwpodstawieniowych ux przyrównany do zera, przedstawia geometrycznie odpowiedniosć pomiędzy punktami i obwiedniemi na płaszczyźnie, albo pomiędzy prostemi i krzywemi płaszczyzn}’, to jest przedstawia to, co nazywamy koneksem.

Rozpatrywano zwłaszcza pewue utwory specyalne, które otrzymujemy przy pomocy zasady przeniesienia; mówimy o nich niżej. Co się zaś tyczy układów zupełnych, to rozpatrywano tylko układ formy ax ua (liniowy względem ilości x i ilości u): układ zupełny składa się z 7 utworów (Clebsch — G o r d a n, Math. Ann. I). Badanie analogiczne dla przypadku c z w ó r k o w e g o rozpoczął Mertens (Wiener Berichte XCVIII. 1890); tenże autor badał przypadek formy czwórkowej d w u i i n i o w ej o dwóch szeregach zmiennych spółpodstawieniowych (tak zwane układy zerowe) (tamże, KCVII. 1888).

05

Koneksy, ko/ncydencye.

Wyżej już powiedziano, że figura, którą symbolicznie przedstawia wyrażenie aH w® — O, nazywa się koneksem rzędu w-tego i klasy ju-tej. Koneks taki oznacza się zwykle symbolem (n, m).

Każdemu punktowi x odpowiada krzywa »«-tej klasy w spółrzędnych stycznościowych, każdej prostej krzywa n-tego rzędu w spółrzędnych. punktowych. Pomiędzy koneksami godnym jest uwagi koneks, którego równaniem jest vx — 0; nazywa się on koneksem tożsamościowym. Nazywamy eiern entern k o n e k s u układ punktu i prostej, punktowi temu w koneksie odpowiadającej.

Punkt, któremu odpowiadają wszystkie proste płaszczyzny, nazywa się punktem podstawowym koneksu; prosta, której odpowiadają wszystkie punkty płaszczyzny, nazywa się prostą podstawową koneksu.

Ogół oo² elementów wspólnych dwóm koneksom nazywa się koincydencyą.

W koincydencyi każdej prostej odpowiada skończona liczba v punktów, każdemu punktowi skończona liczba ju prostych; liczby v i ju nazywają się odpowiednio rzędem i klasą koincydencyi.

Koincydencya, wspólna koneksowi danemu i koneksowi tożsamościowemu ux — 0, nazywa się koincydencyą główną koneksu.

Jeżeli mamy dane dwa koneksy (n,nt) i (n\ m), to rząd i klasa odpowiedniej koincydencyi wyrażają się wzorami:

v — nn'

ju — mm' .

Jeżeli danym jest punkt x, to tu prostych koincydencyi znajdziemy, szukając stycznych wspólnych krzywym, które w dwóch koneksach odpowiadają temu punktowi, podobnież rzecz się ma z v punktami, odpowiadającemi prostej danej.

Ogół elementów spólnych trzem koneksom stanowi d w ó j-kę krzywych. Jeżeli z równań trzech koneksów wyrugujemy ilości x, otrzymamy równanie krzywej w spółrzędnych prostej; jeżeli zaś wyrugujemy ilości u, otrzymamy równanie krzywej w spółrzędnych punktowych. Klasę pierwszej krzywej przedstawia wyrażenie:

mn'n" -j- m'ri'n -J- m"mi' ;

rząd drugiej w3U'ażenie:

nni'm" -j- n'vt"m -j- nvmm‘ ,

jeżeli (nm), (n'm'), (n"m") są trzema danemi koneksami.

Liczba elementów (punktów z odpowiadającemi im pro-prostemi) wspólnych czterem koneksom (nm >,    (n"m"),

jest:

mm'n"u'" -f-    -j-    -f- mm"n'n"r

-(- m'm"'n"n -j- mm'"ri'n' .

Nazywamy koneksem sprzężonym z koneksem danym koneks, który względem koneksu danego na następującą własność niezmienniczą: każdy jego element (y, v) jest taki, że każdemu punktowi y odpowiada w koneksie danym przynajmniej jedna prosta podwójna, a prostej v odpowiada w tymże koneksie przynajmniej jeden punkt pod w ó j n y.

Równanie koneksu sprzężonego możemy utworzyć, stosując wyłożoną w § 2 zasadę przeniesienia. Dość w tym celu utworzyć wyróżnik równania podwójnie dwójkowego <p = A)'A™ (n,mj> 1), t. j. niezmiennika, który przyrównany do zera, daje warunek, aby forma miała równocześnie pierwiastek podwójny X i pierwiastek podwójny /u (t. j. aby istniały wartości Xv ux ilości X i /u takie, że X₁ jest pierwiastkiem podwójnym równania cp (X, fiß) — 0, /r, zaś pierwiastkiem podwójnym równania (p (Xv pt) — 0); następnie według zasady przeniesienia należy każdy wyznacznik dwójkowy zamienić na trójkowy. Niezmiennik taki otrzymujemy, rugując /,, X.j, piV: pi.₂ pomiędzy równaniami

= 0.

<><P    _ ₍₎ àcp _ <Mp _ dcp

dXx ’ f)X₂ ’ du{ ’ dpi.₂

Stopień tego niezmiennika wynosi:

2 [mn -j- 2 (rn — 1) (n — 1) | .

Jeżeli jedna z liczb n, m, naprzykład liczba m, jest jednością, wtedy:

⁽P — A\— P1/h -j- L\

a szukany niezmiennik jest wypadkową form P₁ i P.₂ .

Koneksem sprzężonym z koneksem (1,1), czyli axua — 0 jest (abu) (aßx) ~ 0; koneksem sprzężonym z koneksem (2, ł) czyli aj ua = 0 jest (ahn)² (cdu)² (ßyx) (aôx) = 0; koneksem sprzężonym z koneksem (2, 2) czyli ajua2 = 0 jest ( W-J 3 JJ²)‘A — 27 ( UW— U³ — V²)² = 0. gdzie

ć/r= -

(obu) (Jbcu) (cau) (aßx) (ßyx) ('(ax)

12

W= 4- (ahn)² (cdu)² (ayx)² (ßöx) — 9 U².

O

Możnaby powiedzieć, że koneks sprzężony tak się ma do koneksu danego jak ogół stycznych linii krzywej do ogółu punktów tej krzywej.

Koneks sprzężony względem koneks n sprzężonego jest koneksem pierwotnym.

Elementy dwu wzajemnie sprzężonych koneksów odpowiadają sobie dwujednoznacznie. Liczba

(n—1) (n—2) (ni—l|(w— 2)

P =--2--'-2-

jest charakterystyczną dla koneksu ogólnego i nazywa się jego rodzajem.

W koneksie (1, 2) t. j. axiia² — 0 punkty, którym odpowiadające stożkowe rozpadają się na dwa punkty, tworzą krzywą rzędu 3-go: a j)xcx (aßy)²—0‘: proste zaś, łączące dwa punkty, na które każda stożkowa się rozpada, są stycznemi do krzywej klasy 3-ej : (abc) (aßy) aa uY =0. Też same pary punktów znajdują się także na krzywej rzędu 3-go: (abc) (aßx) (ßyx) (yax) — 0.

W k o i n c y d e n c y i głównej koneksu (1,2) każdemu punktowi x odpowiadają dwie proste, przezeń przechodzące, a każdej prostej punkt, na niej położony. Punkty, które w takiej koin-c y d e n c y i głównej odpowiadają dwóm prostym zlewającym się, leżą na krzywej rzędu 4-go, której równaniem jest (aßx)² — 0.

Teoryę koneksów utworzył C 1 e b s c li (patrz C 1 e b s c h — Lind emanu, Geometrie). Koneks (1, 1) badali C 1 e b s c h i Gordan (Math. Ann. 1), koneks (1,2) Godt (Diss. Getynga 1873); rezultaty, otrzymane przez tego ostatniego, rozszerzono na koneksy (1, n) w cytowancm dziele Clebscha — Lindemann a. Co do koneksu (1, 2) patrz P e an o (Acc. Torino 1881), a co do koneksu (2, 2) A r ni enante (Lincei 1876) i P e a n o (Acc. Torino. 1881).

Formy trójkowe, czwórkowe i t. d. automorf/czne.

Rozszerzono na formy gatunku r 2 rozważania, podane wyżej dla form dwójkowych. Forma nazywa się w ogóle automorficzną, jeżeli ma skończoną grupę przekształceń liniowych na samą siebie.

Ograniczymy się tu tylko na niektórych wskazówkach bibliograficznych.

grupę złożoną z 168

ma

-u

Poszukiwania te rozpoczął Jordan (Compt. rend. 1877, Crelle LXXXIV, Acc. Napoi. Abt. VIII. 1888), który rozwinął je następnie dla form trójkowych i znalazł 11 typów. Dwa inne typy otrzymali: Klein (Math. Ann. XIV, XVII, patrz Klein —-Fricke, Modulfunct. Lipsk 1870. I) i Valentiner (Kjöb. Skrift. (6). V. 1889). Typ Kleina przekształceń i do niej należy forma trójkowa x]?ix₂-\-‘X₂Aa:z-\-x^xx', typ V alentinera ma 360 przekształceń i był badany głębiej przez W i m a n a (Math. Ann. XL VII), Gerbaldi (Rend. Palermo 1898—1899, Math. Ann. 50); Fricke (Grött. Nachr. 1896, Deutsche Math. Vereinig. V. 1896) jest ona holoedrycznie izomorficzną (patrz Rozdz. II § 4) z grupą symetryczną sześciu elementów.

Dla form czwórkowych znamy tylko niektóre grupy skończone przekształceń liniowych; wymieniamy prace Kleina (Math. Ann. XXVIIF, XXIX) i Maschkego (tamże XXX, XXXIII, XXXVI).

Z innych prac cytujemy; Fuchs (Beri. Ber. 1896, Comptes rendus 1896), Loewy (tamże 1896, Nova Acta Leopold 1898),

M oore (Math. Ann. VI), M a s c li k e (tamże 1. c.j.

O rozszerzeniu na przypadek przekształceń nieliniowych wymiernych patrz M aurę r (Crelle CVII).

Interesującem jest zagadnienie następujące: wyznaczyć, formy dwójkowe, które przekształcają się na same siebie przy grupie skończonej przekształceń liniowych, stosowanych do

Formy trójkowe, czwóriiowe i t. d. automorficzne.

113

zmiennych xx, x.₂. Takie formy nazywają się automorficz-nemi.

Pierwiastki zespolone formy interpretujemy geometrycznie na płaszczyźnie; pomyślmy sobie kulę, dotykającą tej płaszczyzny w początku spółrzędnych 0, i przyjmijmy, że wszystkie punkty płaszczyzny rzuciliśmy na kulę z punktu średnicowo-przeciwległego punktowi 0. Tym sposobem pierwiastki formy dwójkowej będą przedstawione przez punkty na kuli.

Przekształcenia liniowe, przez które forma dwójkowa przechodzić będzLe na samą siebie, odpowiadają w tern przedstawieniu obrotom kuli około jednej z jej średnic. Grupy obrotów kuli, przy których pewien ogół jej punktów pozostaje niezmieniony, są:

1 ) Grupa cykliczna, t. j. grupa obrotów około jednej

---- (lc = 0,1...., n—1). n

średnicy, których kąt wynosi

, połączone lub nie z obrotem o 180°

2)    Grupa diedryczna (dwuścianowa) t. j. grupa obrotów około średnicy o kącie —

około średnicy do tamtej prostopadłej.

3)    Grupy obrotów, przez które jeden z pięciu wielościanów foremnych przekształca się sam na siebie.

Najogólniejsza forma (automorficzna), należąca do grupy cyklicznej, daje się zawsze za pomocą odpowiedniego przekształcenia sprowadzić do postaci:

xx a II(źf ć xxn -j- Ź₂W x₂n) ,

gdzie a i ß są liczby całkowite dodatnie, Xx(i\ Ź₂U) — parametry dowolne.

Najogólniejsza forma, należąca do grupy dwuścianowej

jest typu:

Prócz tych specyalnych i pospolitych typów form dwójkowych automorfieznych pozostają jeszcze do zbadania formy, odpowiadające pięciu wielościanom foremnym: czworościanowi, sześcianowi, ośmiościanowi, dwunastościanowi i dwudziestościa-nowi.

Istnieje nie więcej nad trzy grupy, dla których te wielo-ściany pozostają bez zmiany; mianowicie: grupa czworościanu o 12 przekształceniach, ośmiościanu o 24, dwunastościanu o 60 przekształceniach; grupy dwu pozostałych wielościanów są takie same jak poprzednich, t. j.: grupa sześcianu odpowiada grupie ośmiościanu, grupa dwudziestościanu —- grupie dwunastościanu. Tym sposobem formy dwójkowe, odpowiadające pięciu wielościanom foremnym, t. j. automorficzne dają się sprowadzić do następujących form kanonicznych:

f₄ — xx⁴ fr 2 V—3 x₁² x₂² ~j-x₂⁴ .... (Czworościan)

f₆ = x, x₂ (V — x./)

(Ośmiościan)

(Sześcian)

.    . (Dwudziestościan)

F-a = x₁ x₂.

gdzie:

nr • W | - rn V

tAyj

ryt 71 _ /y» 71

iA/i    iAy n

f₂ = xt x₂ («i¹⁰ -f- 11 xx*x₂d — x₂¹⁰) .

/₂₀ = — (^j²⁰ -f- x₂²⁰) -j- 228 (o;₁¹⁵ x₂⁵ — x₁⁵x₂n) — 494 xx¹⁰ x₂¹⁰

(Dwunastościan).

Formy f₈ i f2ä można uważać za spółzmienniki (wyznaczniki H e s s e g o) form odp. f₆ i fl2\ mianowicie powiedzieć można:

Jeżeli pominiemy dwie jiospolite katego-r e form wyżej podanych, f o r m y f₄, fß, /j₂ wraz z swemi wszystkie mi s p 6 1 z mien ni kami są j e d y n e m i formami antomorficznemi.

Jest godnem uwagi, że trzy formy /~₄, fe, f₁₂ są jedynemi formami dwójkowemi bez czynników wielokrotnych, dla których istnieje własność (f, /)⁴—0. Patrz Wedekind, Habilatationschr Karlsruhe 1876, B r i o s c h i, Ann. di mat. (2), 8, Halphen, Sav.-étrang. (2), 28, 1881, Gord an, Invariantentorie § 19. Przy formach, które mają czynniki wielokrotne, może być (ft /)⁴ = 0 tylko wtedy, gdy forma stopnia n-tego ma przynajmniej jeden czynnik (n—l)-krotny.

Inna własność trzech form f\, fe, f\₂ polega na tern, że ich układy zupełne składają się z trzech spółzmienników i posiadają niezmiennik. Trzema spółzmiennikami są: sama forma f, jej hesyan H i wyznacznik funkcyjny T form fi H.

Utwory H i T, odnoszące się do form /'₄, fe, f₁₂, oznaczać będziemy odpowiednio przez 7J₄, He, Hi2, T±, T₆, Tu. Istnieje ważna interpretacya geometryczna następująca:

Pierwiastkami utworów# są wartości, odpowiadające środkowi ścian bocznych uważanych w ielościanó w, a pierwiastkami utworów f są wartości, odpowiadające środkom ich krawędzi.

Pomiędzy odpowiedniemi potęgami utworów f, H, T zachodzi zawsze związek liniowy.

Jest :

#₄ — xx^ -f- 2 V — 3 xx² x₂² -f- x₂⁴ 12 V^3 T² - A³ -f #₄³ = 0

rĄ =x₁ia — 33 £T’j⁸ x₂x — 33 ą⁴ a?₂⁸ -f x₂12 108 f₆⁴ — Hk-f -\- Tf.² = 0

JJl2 '    /20

Tl2 = (./j ³⁰ + x₂³ ') + 522 (;X 2[' xf> — xy s X^') — 10005 {xx -° x.,¹⁰ -|- xx ¹⁰ x.,²⁰)

1728 fv/ = 0.

Niezmienniki, należące do rozważanych trzech form, oznaczmy przez C₄, C₆, C₁₂ i rozpatrzmy stosunki:

c^f? Çftt C^f.l

#4³    ’    ’

gdzie liczby ż, /*, v są tak dobrane, że każdy z tych stosunków, będący już rzędu zero względem zmiennych, jest także stopnia zero co do spółczynników formy pierwotnej.

Jeżeli te stosunki oznaczymy przez p, to funkcya, którą

X

przyleli pomocy wyrażamy przez g, nazywa się nie wymier-

11 ością czworościanu, ośmiościanu, dwudziesto ścian u (Klei n).    •

Pierwiastki równania stopnia 5-go wyrażają się przez nie-wymierności dwudziestościanowe.

Rozważanie form automorficznycli pośrednio rozpoczął H. A.

Sc li warz (Zürich. Naturf. Ges. 1871. Grelle LXXV) przy okoliczności badania całek algebraicznych równań różniczkowych hypergeome-trycznych; później formy te badał bezpośrednio i ogólnie Klein (Erl. Sitzungsber. 1874, 1875. Math. Ann. IX).

Do form automorficznycli dochodzi się i z innego stanowiska, mianowicie, wychodząc z badania całek algebraicznych równań różniczkowych liniowych; pokazał to Fuchs (Gott. Nadir. 1875, Crelle LXXI, LXXXV). Patrz też Klein, Math. Ann. XI, XII, Jordan (Crelle LXXX1V, Comptes rendus 1876).

Dochodzimy wreszcie do tych samych form automorficz-nych, szukając form dwójkowych, dla których znika czwarte nasunięcie tych form na same siebie. Patrz wyżej cytowane rozprawy W edekinda, Briosch i’ego, Halphen a, a także Gr o r d a n a, Math. Ann. XII.

Fermy niebiegunowe wyzsze.

Teoryę niebi egunowości (apolarności), wyłożoną wyżej w rozdziale II-gim dla form dwójkowych, można rozciągnąć na formy jakiekolwiek.

Niechaj będą dwie formy o r zmiennych, jedna a” rzędu u-tego o spółrzędnych x, druga n” klasy ?i-tej o spółrzędnych przeciwpodstawieniowych u Powiadamy, że te dwie formy są sprzężonemi (ßosanes, Crelle LXXY) lub wzajemnie niebiegunowe mi (Eeye, Math. Ann. IY), jeżeli niezmiennik dwuliniowy ava jest zerem.

Mając formę daną, weźmy jej biegunową pierwszą względem bieguna y. następnie biegunową względem bieguna z i tak dalej, póki nie otrzymamy biegunowej mieszań ej ax ay at. .. , liniowej względem każdego szeregu zmiennych x,z,t... Jeżeli ta biegunowa mieszana jest zerem forma dana jest niebieg u nową względem formy, która w spółrzędnych u przedstawia ogół n biegunów y, z, t,... Mamy tym sposobem niebiegunowość formy względem innej, rozłożonej na n czynników. Utworzony z n punktów y, z,t, . . . w-kąt nazywa się »-kątem bieguno-w y m względem rozmaitości geometrycznej, którą przedstawia anx = 0. Wierzchołki n-kąta biegunowego mogą się zmieniać nieograniczenie; jeżeli mamy danych n — 1 wierzchołków, to ostatni n-ty nie daje się wyznaczyć w sposób jedyny, gdyż znajduje się oczywiście na rozmaitości liniowej, której równaniem względem x jest ay a, at...ax = 0. Nie ma to wszakże miejsca dla form dwójkowych.

z a w a r-

000

od

Można wyznaczyć grupy n -f 1 punktów takie, ż e k a ż d a grupa « punktów, w nich ta, tworzy wierzchołki w - k ą t a biegunowego. Gdy n = 2. r — 3, twierdzenie to odpowiada twierdzeniu o trójkątach samosprzężonych względem stożkowej. (Patrz rozdz. IY)

Pozostając w dziedzinie trójkowej (r — 3), możemy wypowiedzieć twierdzenie:

Forma trójkowa rzędu M-tego daje się w y-

n (n -f- 1)

form liniowych,

1.2

razić przez potęgi M-te

odpowiadających tyluż prostym, łączącym każde dwa z pomiędzy n-\-1 punktów.

Twierdzenie to znajduje interesujące zastosowanie w teoryi niebiegunowości formy względem innych form rozkładalnych na czynniki liczbowe.

Do dwu form kwadratowych aJ, uJ o r zmiennych, n i e-rozkładalnych na czynniki liczbowe stosuje się następujące godne uwagi twierdzenie Hessego (Crelle, XLV).

Niebieg u nowość wzajemna dwu form aj, uJ jest warunkiem na to, aby przy pomocy przekształcenia liniowego jedna z form przybrała postać, w której zachodzą tylko kwadraty zmiennych, druga za ś—p ostać, w której zachodzą tylko iloczyny.

W literaturze niebiegunowości do dzieł cytowanych w rozdziale II dodać należy prace Fr. Meyera (Apolarität i t. d. Tybinga 1883 i „Berichtüber Invariantentheorie“ patrz wyd. polskie Warszawa 1899).

ROZDZIAŁ IV.

STOŻKOWĘ.

Tworzenie rzutowe stożkowych, własności bezpośrednio z niem

związane.

Teoryę stożkowych można traktować metodą syntetyczną rzutową i metodą analityczną.

W metodzie rzutowej stożkowe określamy w sposób na

stępujący:

Niechaj będą dwie płaszczyzny homologiczne (patrz Rozdział I) nałożone lub nie, o środku homologii S i osi s. Punktom koła, położonym na jednej płaszczyźnie, odpowiadają na drugiej punkty krzywej, która nazywa się stożkową i ma dwie na-stępujące własności zasadnicze: 1) każda prosta na płaszczyźnie tej krzywej spotyka krzywą albo w dwu punktach, albo w jednym, albo wcale j ej nie spotyka, 2) z każdego punktu płaszczyzny

można do krz

we poprowadzić albo dwie styczne, alboj dn albo nie można poprowadzić żadnej stycznej.

Z tego określenia wynika inne, które starożytni geometrowie greccy kładli za podstawę całej teoryi: stożkowa jest krzywą, powstającą z przecięcia stożka kołowego płaszczyzną; koło i stożkowa są więc tu umieszczone w położeniu perspekty-wicznem.

Styczne do koła odpowiadają stycznym do stożkowej.

Jeżeli w jednej z dwu płaszczyzn homologie z n y c h prosta graniczna (t. j. prosta, odpowiadająca prostej w nieskończoności na płaszczyźnie drugiej) przecina koło w dwu punktach, wtedy odpowiednia stożkowa będzie miała dwa punkty rzeczywiste w nieskończoności i nazywa się hyperbolą; jeżeli prosta graniczna jest styczną do koła, krzywa ma tylko jeden punkt rzeczywisty w nieskończoności i nazywa się parabolą; jeżeli wreszcie prosta graniczna nie przecina wcale koła, krzywa nie posiada punktów rzeczywistych w nies ko ńczoności i nazywa się elipsą.

Jeżeli określimy stożkowe, jako krzywe przecięcia stożka kołowego płaszczyzną, t. j. jako figury perspektywiczne koła, wtedy trzy powyższe przypadki odpowiadają trzem różnym położeniom płaszczyzny przecinającej, a mianowicie gdy ta płaszczyzna przecina wszystkie tworzące stożka (elipsa), gdy jest równoległa do jednej tworzącej (parabola), gdy jest równoległą do dwu tworzących (hyperbolą).

Inne określenie rzutowe stożkowj^ch jest następujące:

Niechaj będą na płaszczyźnie dwa pęki promieni rzutowych o różnych środkach 0, 0'. Przecięcia odpowiadających sobie promieni tworzą stożkową, przechodzącą przez oba środki, a której styczną w tych dwu punktach jest prosta, odpowiadająca prostej 00'. I wzajemnie:

Niechaj będą na płaszczyźnie dwie proste punktowe rzutowe o różnych podkładach. Proste, łączące odpowiadające sobie punkty, są stycznemi do stożkowej, która dotyka dwóch prostych danych w punktach, odpowiadających wspólnemu ich przecięciu.

Podajemy jeszcze definieye następujące: (p. Rozdz. I § 3).

Stożkowa jest miejscem punktów, zjednoczonych w dwoistości inwolucyjnej lub w biegunowości.

Stożkowa jest obwiednią stycznych zjednoczonych w dwoistości inwolucyjnej lub biegunowości.

Prosta w nieskończoności jest styczną do paraboli.

Istnieją dwie proste na płaszczyźnie, spotykające się w skoń-czoności i styczne do hyperboli w dwu jej punktach w nieskończoności. Te proste nazywają się asymptotami hyperboli.

Jeżeli środek 0' znajduje się w nieskończoności w danym kierunku, wtedy promień pęku 0', odpowiadający promieniowi pęku 0 równoległego do danego kierunku, może być w skończo-ności lub w nieskończoności; w pierwszym przypadku mamy hyperbolę, w drugim parabolę.

Jeżeli oba środki 0 i 0' są w nieskończoności w dwu różnych kierunkach, stożkowa jest hyperbolą.

Proste, łączące parami punkty, odpowiadające sobie w dwóch prostych punktowych podobnych, obwodzą parabolę.

Z tych określeń wynika bezpośrednio:

cp tr-

et- <=+■

<T> 'O

Stosunek anharmoniczny c r e o    o-

o-

CO -4-4>

stych, idących od czterech pun w e j do piątego punktu zmiennego, jest stały; stosunek ten nazyw my zwykle stosunkiem anharmonicznym c z e r e c h punktów na stożków ej.

nek anharmoniczny c ter c punk-órych c tery styczne o s przecina piąta s

ten stosunek nazywamy stosunkiem anharmonicznym czterech stycznych stożkowej.

Stosunek anharmoniczny czterech stycznych stożkowej równa się stosunkowi anharmonicznemu czterech punktów styczności. Styczne do paraboli przecinają dwie styczne stałe w punktach, należących do dwu prostych punktowych podobnych. Dwie styczne stałe do paraboli przecinają każde inne styczne na części proporcyonalne. Proste, łączące odpowiadające sobie punkty dwóch prostych punktowych, położonych na jednej płaszczyźnie, obwodzą parabolę styczną do dwóch prostych, będących podkładami prostych punktowych.

Sto

wej

c z n a zmienna, jest s a ł y;

o -P

et- N

t ó w, w

W stożkowej iloczyn odcinków, które styczna zmienna wyznacza na dwóch stycznych stałych, licząc od ich punktów styczności, jest stały.

bo

Własności rzutowe zasadnicze stożkowych. Twierdzenia Pascala, Brianchona i Desargues a.

W sześciokącie, wpisanym w stożkową, trzy pary boków przeciwległych przecinają się w trzech punktach, leżących na jednej prostej. (T wierdzemie Pascala, 1640).

W sześciokącie, opisanym na stożkowej, trzy p r o s t e, ł ą c z ą c e pary przeciwległych wierzchołków, schodzą się w jednym punkcie. (Twierdzenie Brianchona, 1806).

W dwu trójkątach homologicznych punkty, w których boki jednego trójkąta przecinają nieodpowiadające im boki drugiego, należą do stożkowej; proste zaś, idące od wierzchołków jednego do nieodpowiadających im wierzchołków drugiego, dotykają stożkowej. (Twierdzenie S t e i n e r a).

Jeżeli trójkąt rzeks tałcasięwtens o-s b, żebo ijegoo racaj sięokoło nkt w

choł i zaś p

dwie proste stałe, to trzeci wierze hołe s u j e stożkową. (Twierdzenie Maclaurina, 1721).

Jeżeli trójkąt przekształca się w ten sposób, że jego wierzchołki przebiegają dwie proste stałe, dw bo i zaś o r ca ąsi około punktów stałyc , w edy bo stożkową.

PT

& Ci

i gają o p i-

CD

«S a?

CT- p

Cl o

rp .-CD

W pięciokącie, wpisanym w stożkową, punkt spotkania dwóch boków niekolejnych, punkt spotkania drugich dwóch boków niekolejnych oraz punkt spotkania boku piątego ze styczną do krzywej w wierzchołku mu przeciwległym, leżą na jednej prostej, i wzajemnie.

W czworokącie, wpisanym w stożkową, punkt wspólny stycznym w dwóch przeciwległych wierzchołkach leży na jednej prostej z dwoma punktami spotkania par boków przeciwległych.

Czworobok zupełny, utworzony z czterech stycznych do stożkowej, i czworokąt zupełny, utworzony z czterech punktów styczności, mają ten sam trójkąt przekątny (patrz Rozdz. II).

W czworoboku, opisanym na stożkowej, proste, łączące punkty styczności boków przeciwległych, przechodzą przez punkt wspólny ich przekątnym. Przez punkt ten przechodzą także przekątne czworoboku wpisanego, którego wierzchołkami są cztery punkty styczności boków pierwszego czworokąta; cztery zaś przekątne tworzą grupę harmoniczną. Wreszcie punkty spotkania par boków przeciwległych obu czworoboków znajdują się na jednej prostej i tworzą także grupę harmoniczną.

W trójkącie, wpisanym w stożkową, styczne w wierzchołkach przecinają boki przeciwległe w punktach, leżących na jednej prostej.

W trójkącie, opisanym na stożkowej, proste, idące od wierzchołków do punktów styczności boków przeciwległych, przecinają się w jednym punkcie

Poprzeczna przecina stożkową i boki przeciwległe czworokąta wpisanego w trzech parach punktów, będących w i n w o 1 u c y i (twierdzenie Desargues’a), i wzajemnie.

Jeżeli czworokąt, pozostając wciąż wpisanym w stożkową, przekształca się w ten sposób, że trzy jego boki obracają się około trzech punktów stałych na prostej, to i czwarty bok obracać się będzie około pewnego punktu stałego na tejże prostej.

W trójkącie, opisanym na stożkowej, każdy bok jest podzie-lon}¹⁻ harmonicznie przez punkt styczności i przez prostą, która łączy punkty styczności dwu boków pozostałych. Twierdzenie wzajemne ma miejsce dla trójkąta wpisanego.

Jeżeli cięciwa styczności dwu stycznych do stożkowej przechodzi przez punkt spotkania dwu innych stycznych, wtedy pierwsze są podzielone harmonicznie przez dwie drugie, i odwrotnie.

Jeżeli dwie styczne do stożkowej spotykają się w punkcie, należącym do cięciwy styczności dwu innych stycznych, wtedy i odwrotnie, punkt spotkania tych drugich stycznych znajduje się na cięciwie styczności dwu pierwszych.

Punkt spotkania S dwu stycznych i cięciwa s styczności nazywają się odpowiednio biegunem i biegunową, t. j. S jest biegunem dla prostej s, a prosta s biegunową dla punktu S.

Biegun i biegunowa względem stożkowej zlewają się odpowiednio z biegunem i biegunową w b i e g-u nowości, w k t ó r e j stożkowa jest miejscem punktów zjednoczonych.

Biegunową s punktu S można też określić jako miejsce punktu spotkania się par boków przeciwległych czworokąta wpisanego, którego przekątne przechodzą przez S, albo jako miejsce punktu rozdzielonego harmonicznie przez S i przez stożkową.

Biegunową punktu na stożkowej jest styczna w tym

punkcie.

Jeżeli punkt porusza się po prostej, to biegunowa jego obraca się około pewnego punktu.

Dwa punkty, z których każdy znajduje się na biegunowej drugiego, nazywają się sprzężonemi (wzajemnemi) względem stożkowej; dwie proste, z których każda przechodzi przez biegun drugiej, nazywają się także sprzężonemi (wzajemnemi).

Jeżeli dwa punkty są sprzężonemi, to i biegunowe ich są sprzężonemi.

Trójkąt, którego każdy wierzchołek jest biegunem boku przeciwległego, nazywają się trójkątem samosprzężo-nym względem stożkowej.

Punkty przekątne czworokąta zupełnego, utworzonego z czterech punktów na stożkowej, tworzą trójkąt samosprzę żony; wzajemnie, proste przekątne czworoboku zupełnego,

utworzonego przez cztery styczne do stożkowej, tworzą trójkąt samosprzężony.

Jeżeli trójkąt jest wpisany w stożkową, wtedy prosta sprzężona z jego bokiem względem stożkowej przecina pozostałe dwa boki w punktach sprzężonych (v. S t a u d t).

Jeżeli pary wierzchołków przeciwległych czworoboku zupełnego składają się z punktów sprzężonych w biegunowości (patrz Rozdz I § 3), względem stożkowej rzeczywistej lub urojonej, wtedy i pozostałe dwa wierzchołki przeciwległe będą sprzężonemi w tejże biegunowości (Hesse).

Jeżeli dwa trójkąty są biegunowemi względem siebie w pewnej biegunowości, to są homologicznemi, i odwrotnie dwa trójkąty homologiczne są wzajemnie biegunowemi w pewnej biegunowości.

Dla dwóch trójkątów jedna z trzech poniższych własności pociąga za sobą dwie pozostałe: l-o trójkąty są samosprzężo-nemi w jednej i tej samej biegunowości, 2-o są wpisane w jednę i tę samą stożkową, 3-o są opisane około jednej i tej samej stożkowej.

có

Wzory główne geometry/' analitycznej stożkowych.

Definicya analityczna stożkowych jest następująca:

czyzny.

nem,

Niechaj x%, x₃ będą spółrzędne jednorodne punktu płasz-Stożkowa jest miejscem geometrycz-

przed stawionem analitycznie pr wnanie stopnia 2-go pomiędzy spółrzędne mi

z e z r ó-

x, typu:

( Clij — Ciji)

f (x} = dij Xi Xj = 0

i

stałe (równanie

gdzie a₃₂ • • * są s p ó ł c z y n n i k i stożkowej). Z tego powodu stożkowe nazywają się także miej scami (krzywemi) rzędu 2-go.

Jeżeli trójkąt podstawowy spółrzędnych jest trójkątem samosprzężonym, równanie stożkowej sprowadza się do formy kanonicznej £ at x,-² =*= 0.

Niechaj m₂, ?/₃ będą spółrzędnemi jednorodnemi prostej na płaszczyźnie; podobne do powyższego równanie stopnia 2-go pomiędzy spółrzędnemi u przedstawia obwiednią (powłóczącą), t. j. krzywą, której stycznemi są wszystkieproste o spółrzędnycli, czyniących zadość temu równaniu. Ta krzywa jest także stożkową, i dlatego o stożkowej mówi się, iż jest obwiednią klasy 2-giej.

Równanie w spółrzędnych punktu nazywa się równaniem p u n k t o w e m, w spółrzędnych prostej — równaniem stycznościowem (tangencyalnem)

Z równania stożkowej wynika, że wyznaczyć się ona daje, gdy znamy stosunki pięciu spółczynników równania do szóstego.

Stożkowa daje się wyznacz yć skończoną liczbą sposobów, gdy mamy danych r punktów, przechodzić, i s prostych, do styczną, przyczem r-j-s = 5.

CT- hi

e z które

ó r y c li ma W szczególności:

Przez pięć punktów przechodzi jedna tylko stożkowa. Przez cztery punkty przechodzą dwie stożkowe, styczne do jednej prostej.

Przez trzy punkty przechodzą cztery stożkowe, styczne do dwu prostych danych.

Przez dwa punkty przechodzą cztery stożkowe, styczne do trzech prostych danych.

Przez jeden punkt przechodzą dwie stożkowe, styczne do czterech prostych danych.

Istnieje tylko jedna stożkowa, styczna do pięciu prostych

danych.

W wyznaczniku (wyróżnik u)

«11

«13

«21

«22

«23

niechaj A₍j będą dopełnienia algebraiczne jego elementów; dopełnienie d₃₃ oznaczmy przez B. Z równania powyższego stożkowej otrzymujemy jej równanie w układzie D e s c a r t e s’a, kładąc x₃ = 1, xt = x, x., = y. Niechaj co będzie kąt pomiędzy osin mi w tym układzie, połóżmy nadto:

C — an-j- «₂₂ — 2 a₁₂ cos co .

Mamy wtedy następujące ważne twierdzenie:

Przy wszelkich przekształceniach spół-rzędnych kartezyańskich, wyrażenia

sin² co ’

sin² co ¹ sin² co

pozostają niezmienionemi (sąniezmiennikami). Stąd wynika:

Przy wszelkich przekształceniach spół-rzędnych kartezyańskich ilości A, B, C zachowują znak niezmienny.

"VV przypadku spółrzędnych prostokątnych ilość C staje się równą an -f- «₂₂; a zatem:

Przy przejściu od jednego układu prostokątnego do innego prostokątnego ilość «n-f-«₂2 nie ulega zmianie.

Stosownie do wartości spółczynników (które przyjmujemy za rzeczywiste) miejsce, przedstawione przez równanie stopnia 2-go, ma różne postaci. Utrzymując wyżej podane określenie elipsy, paraboli, hyperboli, mamy rezultaty następujące:

Przy założeniu, że A jest różne od zera, mamy dla B^> 0 elipsę, dla B <Z 0 liyperbolę, dla B— 0 parabolę.

W przypadku B > 0 elipsa jest utworzona z punktów rzeczywistych wtedy tylko, gdy Aau <0 i Aarż< 0 (te dwie nierówności, gdy B A> 0, są wynikiem jedna drugiej); w przypadku przeciwnym mamy elipsę, której punkty są urojone (elipsa urojona); w przypadku B C 0 mamy hyperbolę rzeczywistą w przypadku B — 0 pr-rabolę rzeczywistą, o ile A jest różne od zera.

Gdy A= 0 mamy zawsze parę prostych, nie zaś stożkową właściwą; będzie to para prostych urojonych, spotykających się w punkcie rzeczywistym w odległości skończonej, jeżeli B^> 0; para prostych rzeczywistych, spotykających się w punkcie rzeczywistym w odległości skończonej, jeżeli B < 0; wreszcie będą to dwie proste równoległe lub urojone lub dwie proste zlewające się w jednę, jeżeli B=. 0.

Jeżeli stożkowa jest elipsą rzeczywistą, wtedy równanie jej (w spółrzędnych niejednorodnych) przez przemieszczenie osi spółrzędnych może być sprowadzone do postaci:

a?

jeżeli jest elipsą urojoną — do postaci:

1.

x²    y³

¹

CD

CD

• rH

Ph

>S

B CD PjU, t/2 S ®

M-C-.. O

O-

CD ^

O N B

00 w .

Tj c—I.

CD

• rH

CD ^ Ul *73 ^ CD O    '-i

tSJ O"

CD

a? •

crt-

CD

CD

02

Bu £u B

>-s

Ul

-i

b³

Jeżeli stożkowa jest parabolą, wtedy równanie jej da się sprowadzić do postaci:

y- = px .

Równanie ogólne stopnia 2-go (typu zwykłego), ktorego wyrazy stopnia 2-go tworzą kwadrat zupełny, przedstawia parabolę (jeżeli A jest różne od zera).

Równanie jednoro wite stopnia 2-go p o m i

cCD P-.

e, w zy x

“•"C

mierne, całko-przedstawia

przechodzących

parę czątek.

prostych,

przez

p o-

Aby równanie stopnia 2-go przedstawiało parę prostych, jest koniecznem i dostatecznem, aby jego strona pierwsza rozpadała się na dwa czymniki całkowite stopnia 1-go w zmiennych x i y.

Równanie ogólne stopnia 2-go przedstawia koło wtedy, gdy, przy A rożnem od zera, jest a₁₂ — ax j, av 2 = an cos co, gdzie co jest kąt pomiędzy osiami spółrzędnycli. Koło będzie rzeczywistem lub urojonem, stosownie do tego, czy iau 0 lub Aau 0.

Równanie koła w układzie prostokątnym osi daje się przedstawić w postaci:

(x — a)² -j- (y — ß)² = r²

gdzie a, ß są spółrzędne środka, r — promień koła; w układzie ukośnokątnym równanie koła można przedstawić w postaci:

(x — a)² -j- (y — ß)² -f- 2 (x — «) (y — ß) cos co = r² ,

gdzie co jest kąt pomiędzy osiami.

Jeżeli równanie kołą dane jest w postaci ogólnej

«u («² + XV cos o) -f y²) + 2 an x -f 2 arA y -f a₃, = 0 ,

wtedy spółrzędnemi środka są:

— al ‘i —l⁻    CO

an sin² co

an sin- co

a promień jego ma wyrażenie:

alH² -j- cc₃₃² — 2 a₁₃ a2:, cos co — an a₃₃ sin⁹ co

an sin² co

Hyperbola, której asymptoty są do siebie prostopadłe, nazywa się hyperbolą równoboczną. Dla hyperboli takiej zachodzi związek:

aii a>* — 2 «lg cos co = 0,

Pascal. Rep. II.

Prosta w nieskończoności przecina wszystkie koła płaszczyzny w tych samych dwóch punktach urojonych, które nazywają się punktami kołowemi płaszczyzny.

Stożkowa jest kołem, jeżeli przechodzi przez dwa punkty

kołowe.

Równaniem stycznościowem dwu punktów kołowych jest: u- -j- v² = 0 .

Spółczynnikami kątowemi stycznych do koła w tych punktach są tg a — ,-J- i = 4- 1/ — 1, i dla tego styczne do wszystkich kół w punktach kołowych należy uważać za równoległe. Kąt a należy uważać za nieskończenie wielki.

Równaniem stycznej do stożkowej w punkcie o s p ó ł r z ę d n y c h x\ y' (w układzie prosto-k ą t n y m) j e s t:

(«11 x' -f a^iy' -f an) x + {a.n x' -j- «₂₂ y' -J- an) y +    ^ + «32 V‘ -r «33) == ⁰ •

Równaniem normalnej, t j. prostopadłej do stycznej w punkcie styczności, jest

y— y‘

«21 X' -j- «22 '{/ -f- «23

Kiechaj f(x,y) oznacza stronę pierwszą równania stożkowej; styczne, które z punktu danego x', y' można poprowadzić do stożkowej, są rzeczywiste i różne, rzeczywiste i zlewające się, wreszcie urojone, stosownie do tego, czy iloczyn A f{x', y') jest ujemny, równy zeru albo dodatni.

Warunek na to, aby prosta, której równaniem j est ux -j-- vy-j-1 = 0, była styczna do stożkowej, przedstawionej przez równanie zwykłe, wyraża się w ten sposób:

An u² -j- 2 A ]2 uv -rj- Aÿ₂    -i~ 2 Ai3 u -j- 2 42.3 v ^33 ⁼ 0,

gdzie Atl) A₁₂ , . . . są dopełnieniami algebraiczne mi odpowiednich elementów wyznacznika A.

Jeżeli w i w interpretujemy jako spółrzędne prostej, to równanie poprzednie jest równaniem stycznościowem stożkowej.

Równanie:

(an x' -f- a₁₂ ÿ -f- «13)x («21 ¹' 4* «22 y' «23) V

+ («31 X‘ -f «32 y‘ + «33) = 0 ,

w którem x\ y' są spółrzędnemi już nie punktu krzywej, lecz w ogóle jakiegokolwiek punktu płaszczyzny, przedstawia biegunową ( patrz § 2) punktu x' y' (bieguna) względem krzywej.

Aby dwa punkty (x' y'), (x"} y") były sprzężonemi, musi spełniać się warunek:

au x' x" -f au (xr y" + x" y') -|- a₂₂ y' y" + al3 (V + x")

+ «23 (Y '+ ÿ') + «33 — 0 •

Biegun prostej Ax + yy -j- v — 0 ma spółrzędne :

A-12 A 4~ ^22 y H~ -^-32 V

An A 4 -^23 y ~\~ A33v

A\ t A -j- A,o y + 4-13 v

A₁₃ A -j— A₂3 y -\~ -d-33 v

AVarunek na to, aby dwie proste

A!x -f- y‘y + vr = 0    , A"x -f- y!'y 4- v" — 0

były sprzężonemi, wyraża się w ten sposób:

A’

-, y

A!'    , an

k t ó V środkowych układu

Miejscem p

cięciw r prosta, którą

ównoległych do danego kierunku jest y-w a m y średnicą stożkowej.

Średnica jest biegunową punktu w nieskończoności w kierunku cięciw, dzielonych przez nią na dwie równe części.

Wszystkie średnice przechodzą przez jeden punkt, który nazywa się środkiem stożkowej. Każda prosta, przechodząca przez środek, jest średnicą. Środek jest biegunem prostej w nieskończoności na płaszczyźnie.

Styczne w punktach, w których średnica przecina krzywą, są równoległe do cięciw, dzielonych przez średnicę na dwie równe części.

Jeżeli początek spółrzędnych jest środkiem krzywej, wtedy równanie krzywej nie zawiera wyrazów stojjnia pierwszego względem spółrzędnych.

Równaniem średnicy, dzielącej na dwie równe części cię-

ci wy równoległe do prostej

m . ,

⁼ir,jest

On m -j- a₁₂ n) x -j- (an m -f a₂₂ n) y -j- (a₃₁ m -j- a.i2 n) = 0.

W szczególności, średnice, dzielące na dwie równe części cięciwy równoległe do osi, mają równania:

an xan yal3 = 0    ;    a₂₁ x -f- a₂₂ y -f- «₂₃ — 0 .

W paraboli środek jest w nieskończoności, a stąd wszystkie średnice są równoległe.

Spóirzędnemi środka stożkowej są

X₀

^23 ^21    ^22 ^13

(,13 ai\ ~f~ ^12 aVi

Öf’l 1 ^22    ^12

W elipsie i w hyperboli dwie średnice nazywają się sprzężonemi, jeżeli jedna dzieli na dwie równe części cięciwy równoległe do d r u g i e j.

Pary średnic sprzężonych (w liczbie nieskończonej) tworzą inwolucyę, której promieniami podwójnemi są asymptoty (rzeczywiste w hyperboli, urojone w elipsie).

Tt\!

Pomiędzy spółczynnikami kątowemi ’) —, — dwu średnic

Ti Tl

sprzężonych, zachodzi związek:

an mm' -j- a₁₂ (mn' -j- m’ri) -j- an nn’ = 0 . Spółczynnik kątowy średnic paraboli jest

«u

«12

Spółczynniki kątowe — dwu asymptot hyperboli daje ró-

Ti

wnanie:

«i i m<i -j- 2 a₁₂ mn -j- a₂₂ n² = 0 .

Równaniem wspólnem dla dwu prostych równoległych do asymptot, poprowadzonych przez początek, jest

«n -f 2 ö5j2 xy -f «22 y* = 0 .

Pole trójkąta, utworzonego przez styczne i przez dwie asymptoty hyperboli, jest stałe.

W elipsie i w hyperboli pomiędzy nieskończenie wielu parami prostych jest jedna para średnio wzajemnie prostopadłych; te dwie średnice nazywają się osiami, a punkty ich przecięcia z krzywą — wierzchołkami.

W paraboli jest jedna tylko średnica prostopadła do cięciw, przez nie na dwie równe części podzielnych, i nazywa się osią paraboli. Osi są zawsze rzeczywiste i są osiami symetryi krzywej.

W hyperboli osi są dwusiecznemi kątami pomiędzy asymp-totami; jedna z nich przecina krzywą w dwóch punktach rzeczy-

>) Spółczynnikiem kątowym prostej nazywa się zwykle stosunek (wzięty ze znakiem przeciwnym) spółczynników przy x i y w równaniu prostej, wyra-■żonem przez spółrzędne kartezyańskie prostokątne: przyjmujemy tę sunną nazwę i dla układu ukośnokątnege.

wistych i nazywa się osią rzeczywistą albo ogniskową; drugi nazywa się osią urojoną.

Równaniem wspólnem dla dwu osi krzywej stożkowej jest:

(>ncos *» — **i₂) O — xof + («u -- «22) (x — xo) (y — ?/o)

(«22 cos OJ — 0,2) (;y — VoY = 0 ,

gdzie oj jest kątem pomiędzy osiami spółrzędnych, x₀ i y₀ zaś są spółrzędnemi środka.

Równaniem osi paraboli jest:

**11 x~hai2 y~f“**i3~f

(®12 **23    **92 **23) "f (**13 **12    **11 **23) COS OJ_q

**11“j-**22—2 a₁₂ COS OJ

Jeżeli osi spółrzędnych są dwiema średnicami stożkowej (w szczególności zlewają się z osiami samej krzywej), wtedy jej równanie przybiera postać:

at² ój²

gdzie ax i bx są długościami półśrednic sprzężonych.

Jeżeli osi spółrzędnych są osiami krzywej, wtedy au bx nazywają się wprost półosiami.

Jeżeli oś przecina stożkową, wtedy półosi są odległościami punktów spotkania od środka.

Długości półosi wyrażają się przez

Bq.₂

ï-èr-V

gdzie gj, są pierwiastkami równania

**11 — Q ,    **12 — Q cos oj

lub równania:

Q- sin² w — q C -f- B = 0 .

Równanie hyper boi i, odniesionej do asym-ptot, ma postać xy -\-p — 0.

Równanie elipsy lub hyperboli, odniesionej do średnic}^ (jako osi x) i do stycznej w jednym tejże końców (jako osi y), jest postaci:

axx² -j- bpß -j- cxx — 0 ,

równanie zaś paraboli w tym prz}^padku jest:

.

Liczba p nazywa się parametrem, odpowiadającym wybranej średnicy; jeżeli tą średnicą jest oś, p nazywa się p a-rametrem głównym.

Równaniem biegunowe m elipsy lub hyperboli, przy przyjęciu środka za biegun, jest:

e² =

®22²

-f- (1 —• e² cos² 6) ⁵

znak -f- w przypadku elipsy, znak — w przypadku hyperboli; e jest tak zwanym mimośrodem (patrz § 5).

¹

— x'

«11 d Ą- «ja 2/'-f- «,3

Główne własności miarowe stożkowych.

Jeżeli stożkowa przecina boki BC, CA, AB trójkąta w punktach I), D'; Et E'; F, F', wtedy zachodzi związek:

BI) . BD ' CE. CE' A F. AF' CD. CD’ ' AE.AE' ' BF.BF’

Jest to twierdzenie Carnota (Gréom. de position str. 437); odwrotnie, jeżeli punkty J, Jj'; K, _E"; I] F' bokach trójkąta czynią zadość temu związkowi. wtedy leżą one na stożkowej.

W elipsie snma kwadratów dwóch półśrednic sprzężonych, w hyper boli zaś różnica kwadratów półśrednic sprzężonych jest stała.

W elipsie i hyperboli pole równoległoboku, wystawionego na dwu półśrednicach sprzężonych, jest stałe.

Prostokąt, wystawiony na dwóch odcinkach, które dwie średnice sprzężone wyznaczają na stycznej stałej, począwszy od punktu styczności, jest stale równy kwadratowi półśrednicy równoległej do stycznej stałej.

Jeżeli zbudujemy równoległobok na dwóch półśrednicach sprzężonych hyperboli, to jedna z jego przekątnych będzie asymptotą, druga zaś będzie równoległa do drugiej asymptoty.

Prostokąt, wystawiony na odcinkach, które styczna zmienna wyznacza na stycznych stałych równoległych, począwszy od punktu styczności, jest stale równy kwadratowi półśrednicy równoległej do stycznych stałych.

Prostokąt, wystawiony na dwóch odcinkach, które dwie styczne zmienne wyznaczają na stycznej stałej, równa się kwadratowi półśrednicy do niej równoległej.

Równoległobok, wystawiony na dwóch półśrednicach, jest równoważny równoległobokowi, wystawionemu na półśrednicach sprzężonych odpowiednio z pierwszemi.

Dwie styczne, poprowadzone z punktu na stożkowej (elipsie lub hyperboli), są proporcyonalne do półśrednic do nich równoległych.

Iloczyn dwóch odcinków siecznej, przechodzącej przez punkt stały, jest proporcyonalny do kwadratu półśrednicy równoległej do siecznej.

Kwadraty cięciw równoległych są proporcyonalne do iloczynów odcinków, wyznaczonych przez nie na średnicy sprzężonej z ich kierunkiem.

Iloczyny odcinków, które prosta równoległa do asymptoty w hyperboli lub średnica paraboli odcina na cięciwach równo-

ległych, są proporcyonalne do odcinków, które też cięciwy odcinają na prostej.

Iloczyn odcinków, wyznaczonych na jakiejkolwiek stycznej do hyperboli przez dwie jej asymptoty, licząc od punktu ich. przecięcia, ma wartość stałą.

Pole trójkąta, utworzonego przez styczną do hyperboli i przez asymptoty, jest stałe.

Odcinek stycznej do hyperboli, zawarty pomiędzy asymp-totami, dzieli się w punkcie styczności na dwie części równe.

Dwa odcinki, które hyperbola i dwie jej asymptoty wyznaczają na jakiejkolwiek poprzecznej, mają ten sam punkt środkowy.

W czworokącie, wpisanym w stożkową, iloczyn odległości jakiegokolwiek punktu krzywej od dwóch boków przeciwległych jest w stosunku stałym do iloczynu odległości tegoż punktu od dwóch drugich boków przeciwległych. (Twierdzenie Pap-p u s a).

W czworoboku, opisanym na stożkowej, iloczyn odległości jakiejkolwiek stycznej od dwóch wierzchołków przeciwległych jest w stosunku stałym do iloczynu odległości tejże stycznej od dwóch drugich wierzchołków przeciwległych.

Jeżeli około dwóch punktów stałych na hyperboli obracać będziemy dwa promienie, przecinające się stale na krzywej, wtedy odcinek, wyznaczony przez te promienie na asymptocie, jest długości stałej.

Każdy równoległobok, którego dwa wierzchołki przeciwległe znajdują się na hyperboli, boki zaś przeciwległe na asymp-totach, ma przekątną, przechodzącą przez środek.

W paraboli podnormalna (odległość pomiędzy spodkiem prostopadłej, spuszczonej z punktu paraboli na oś, a punktem spotkania normalnej z osią) jest stale równa połowie parametru głównego.

Pole trójkąta, utworzonego przez trzy styczne do paraboli, jest połową pola trójkąta, utworzonego z ich punktów styczności.

W każdym trójkącie, wpisanym w hyperbolę równoboczną, punkt przecięcia wysokości znajduje się na krzywej.

ty każdym trójkącie prostokątnym, wpisanym w hyperbolę równoboczną, styczna w wierzchołku kąta prostego jest prostopadła do przeciwprostokątnej.

Koło, wpisane w trójkąt sprzężony względem hyperboli równobocznej, przechodzi przez środek krzywej.

10

Własności ogniskowe stożkowych.

Istnieją w ogóle cztery punkty (rzeczywiste lub urojone) t a k i e, że wszystkie pary prostych sprzężonych, przechodzących przez każdy z tych punktów, są parami prostych wzajemnie prostopadłych. Te punkty nazywają się ogniskami.

W elipsie i hyperboli istnieją w skończoności tylko dwa takie punkty rzeczywiste, położone na jednej z osi, symetrycznie względem środka i wewnątrz krzywej, t. j. takie punkty, że styczne, poprowadzone z tych punktów do krzywej, są urojonemi. W paraboli istnieje jedno tylko ognisko w odległości skończonej, położone na osi wewnątrz krzywej.

Oś, na której leżą ogniska, nazywa się osią ogni

skową.

Niechaj a, ß będą półosiami elipsy lub hyperboli; ogniska rzeczywiste elipsy znajdują się na jej osi wielkiej w odległości

tyka² — ß- od środka; ogniska hyperboli znajdują się na jej osi rzeczywistej w odległości + V er -}- ß² od środka.

Kierownicą nazywa się biegunowa ogniska.

W elipsie i w hyperboli są dwie kierownice rzeczywiste prostopadłe do osi; w paraboli jest tylko jedna kierownica prostopadła do osi ogniskowej.

dla hyperboli.

W elipsie mi mośród jest mniejszy od 1, w paraboli równy 1, w hyperboli większy od 1. Punkty paraboli są równooddalone od ogniska i od kierownicy.

W elipsie suma promieni, łączących punkt krzywej z dwoma ogniskami rzeczywistemi, jest stała; w hyperboli zaś różnica tych promieni jest stała.

Iloczyn odległości dwu ognisk od stycznej do krzywej jest

stały.

Styczna i normalna w danym punkcie krzywej dzielą na dwie równe części kąty pomiędzy dwoma promieniami dzącemi.

wo-

W paraboli styczna i normalna w danym punkcie dzielą na dwie równe części kąty pomiędzy promieniem wodzącym a średnicą, przechodzącą przez uważany punkt krzywej.

Dwa ogniska rzeczywiste elipsy znajdują się na jej osi wielkiej; a odległość ich od środka jest drugą przeciwprostokątną trójkąta prostokątnego, którego przeciwprostokątną jest półoś wielka, a pierwszą przeciwprostokątną półoś mała.

W hyperboli odległość ogniska od środka jest przeciwprostokątną trójkąta prostokątnego, którego przeciwprostokątnemi są półosi krzywej.

Jeżeli elipsa i parabola przechodzą przez jeden i ten sam punkt i mają te same ogniska, wtedy przecinają się pod kątem

prostym.

Normalna do stożkowej dzieli odległość pomiędzy ogniskami na części proporcyonalne do promieni wodzących.

Kąt w ognisku oparty

Równanie kierownicy otrzymujemy, podstawiając w równaniu biegunowej spółrzędne ogniska.

Stosunek odległości punktu na krzywej od ogniska i od odpowiedniej kierownicy jest stały; stosunek ten nazywa się mimośrodem.

mośród wyraża się przez

V a² — ß²

dla elipsy, przez

Mi-

V a² + ß²

na cięciwie, dzieli się na dwie równe części przez prostą łączącą ognisko z biegunem cięciwy.

Prosta, łącząca ognisko z biegunem cięciwy przechodzącej przez ognisko, jest prostopadła do cięciwy.

Kąt w ognisku, oparty na kawałku stycznej zmiennej, zawartym pomiędzy dwiema stycznemi stałemi, jest stały.

Iloczyn dwn odcinków cięciwy, przechodzącej przez ognisko, zachowuje stosunek stały do całej cięciwy.

Suma dwu cięciw ogniskowych, równoległych do dwu średnic sprzężonych, jest stały.

Suma odwrotności dwóch cięciw ogniskowych do siebie prostopadłych jest stała.

Odległość punktu hyperboli od ogniska równa się odcinkowi prostej, przez ten punkt równolegle do asymptoty poprowadzonej, aż do kierownicy.

W paraboli punkt spotkania stycznej z osią ogniskową i punkt styczności są równooddalone od ogniska.

W paraboli kąt pomiędzy dwiema stycznemi równa się połowie kąta pomiędzy promieniami wodzącemi, przechodzącemu przez punkt styczności.

W paraboli koło, opisane na trójkącie, utworzonym przez trzy styczne, przechodzi przez ognisko.

W paraboli trzy wysokości trójkąta, utworzonego przez trzy styczne, spotykają się w punkcie położonym na kie

rownicy.

W paraboli dwie styczne, poprowadzone z punktu kierownicy do linii krzywej, są prostopadłe.

W paraboli parametr średnicy (patrz § 3) równa się cztery razy wziętej odległości jej końca od ogniska.

Jeżeli za biegun układu biegunowego przyjmiemy jedno z ognisk, to równanie biegunowe elipsy i hyperboli będzie miało postać:

^ a 1 -j- e cos 6 ’

gdzie a, b są półosiami, e — mimośrodem.

Równanie biegunowe paraboli — przy przyjęciu jej ogniska za biegun —jest postaci:

~2*>

1 — cos b

gdzie p jest parametrem głównym paraboli.

Jeżeli równaniem danej stożkowej (elipsy lub hyperboli)

— 1, to równaniem ogólnem stożkowej spółogni-

jest

x~

?/²

a²    b-

skowej (t. j. mającej też same ogniska rzeczywiste) z daną jest:

y2

Stożkowe uważane, jako przecięcia stożka kołowego płaszczyzną, badali starożytni geometrowie greccy Apollonius, P a p p u s i inni, którzy wykryli prawie wszystkie własności główne, dotyczące ognisk, asymptot, średnic sprzężonych i t. d.

Desargues, Pascal, Delahire, Newton, Maci a u r i n i inni matematycy wieku XVII i XVIII zajmowali się badaniami nad stożkowemi; pierwszemu i trzeciemu z nich zawdzięczamy wprowadzenie systematyczne teoryi biegunów i biegunowych, drugiemu zaś odkrycie sławnego twierdzenia (patrz § 2), mającego wielką doniosłość w geometryi rzutowej stożkowych.

Wprowadzenie metody spółrzędnycli, którą zawdzięczamy Descarte s’owi, pozwoliło badać te krzywe z nowego punktu widzenia i udowodnić analityczne własności, wyprowadzone drogą syntetyczną.

Do traktatów o stożkowych, prócz cytowanych na końcu rozdziału pierwszego, dołączamy jeszcze 1.1 „Geometryi“ C 1 e b s c h a— L i n d e m a n n a, dalej wykłady Steiner a (Vorl. über synth. Geometrie; Theorie der Kegelschnitte, ogłoszone przez G e i s e r a, Część I i przez Schrötera, Część II). Co do szczegółów historycznych patrz Aperçu histor. Chasle s’a.

Pęki stożkowych.

Dwie stożkowe przecinają się w czterech punktach (rzeczywistych lub urojonych) i mają cztery styczne wspólne.

Jeżeli f —0, / ' = 0 są równaniami dwu stożkowych w s p ó ł r z ę d n y c h punktowych (lub w spółrzędnych prostej) wtedy równanie f k f = 0, gdzie l jest jakimkolwiek parametrem stałym, przedstawia stożkową, przechodzącą przez cztery punkty przecięcia stożkowych danych (lub stożkową styczną do czterech stycznych wspólnych dwóm danym stożkowy m).

0

Mówimy, że wszystkie stożkowe, przedstawione przez równanie /’-j-ź/v = 0, tworzą pęk (jeżeli /* = 0, /''= 0 są równaniami w spółrzędnych punktowych) albo pasmo (jeżeli /' = 0, fr = 0 są równaniami w spółrzędnych stycznościowych).

Cztery punkty przecięcia dwóch stożkowych nazywają się punktami podstawowemi pęku.

Pomiędzy stożkowemi pęku są trzy, które rozpadają się na dwie proste; pomiędzy stożkowemi pasma są trzy, które redukują się do pary punktów.

Trójkąt przekątny czworokąta zupełnego, którego wierzchołkami są cztery punkty podstawowe pęku, jest trójkątem samosprzężonym względem wszystkich stożkowych pęku.

Przez każdy punkt płaszczyzny przechodzi stożkowa pęku, i do każdej prostej na płaszczyźnie jest styczną stożkowa pęku.

Każdej prostej na płaszczyźnie dotykają dwie stożkowe pęku i przez każdy punkt płaszczyzny przechodzą dwa stożkowe pasma.

Punkty spotkania stożkowych pęku z prostą tworzą na niej inwolucyę, której punktami podwójnemi są punkty stycz-

ności tych dwóch stożkowych pęku, które dotykają prostej. I wzajemnie.

Miejscem środków stożkowych pęku jest stożkowa, przechodząca przez sześć punktów środkowych, na bokach czworokąta, utworzonego z czterech punktów podstawowych i przez trzy punkty przekątne (stożkowa dziewięciu punk-t ó w). Jeżeli cztery punkty podstawowe należą do koła, to ta stożkowa jest hyperbolą równoboczną.

Jeżeli:

f = a,k Xi xk , f — hu %k (a<k = «w, bit = bh,-),

to wyróżnikiem stożkowej pęku jest:

A(A)-

Jeżeli równanie stopnia trzeciego A (A) — 0 ma pierwiastek podwójny, to dwa punkty podstawowe pęku zlewają się i otrzymujemy pęk stożkowych stycznych do siebie w jednym punkcie.

Jeżeli A (A) = 0 ma jeden pierwiastek podwójny i dla tej wartości A wszystkie minory rzędu 2-go wyznacznika A znikają, wtedy wszystkie stożkowe pęku (a więc i stożkowe dane) dotykają się w dwu punktach; prosta, łącząca te punkty, nazywa się prostą podwójną pęku.

W tym przypadku istnieje nieskończenie wiele trójkątów samosprzężonych względem wszystkich stożkowych pęku; wszystkie te trójkąty mają bok, t. j. prostą podwójną wspólną.

Jeżeli wszystkie trzy pierwiastki równania są sobie równe, przyczem nie znikają minory rzędu 2-go, wtedy wszystkie stożkowe pęku mają punkt styczności rzędu 2-go (t. j. trzy punkty nieskończenie blizkie wspólne) i nadto mają jeszcze jeden punkt wspólny. W tym przypadku nie istnieje właściwie trójkąt samo-sprzężony wspólny. .

Jeżeli wreszcie wszystkie pierwiastki równania A (X) — 0 są równe i równocześnie dla tej wartości X znikają wszystkie minory rzędu 2-go wyznacznika A, wtedy wszystkie stożkowe pęku, a więc i dwie stożkowe dane mają wspólny punkt styczności rzędu 3-go, t. j. wszystkie cztery punkty przecięcia zlewają się w jeden.

Utwory niezmiennicze układu jednej lub dwóch form trójkowych kwadratowych.

Układ złożony z jednej stożkowej niema niezmienników bezwzględnych¹); geometrycznie znaczy to, że każda stożkowa może być przekształcona na każdą inną.

ct-

Jeżeli aj jest formą rójko wą kwadratową, wtedy układ z u p e ł n (prócz spółzmien-nika tożsamościowego) składa się z form:

f = aj , F—(abu²) , A = (abc)-gdzie F = 0 jest równaniem stożkowej w spół-rzędnych prostej, A zaś jest wyróżnikiem.

Układ zupełny dwu stożkowych, t. j. dwu form aj aj², składa się (prócz z niezmiennika tożsamościowego) z 20 utworów.

Połóżmy dla skrócenia:

“i =

b.}    , c 2

<h

a-i =

ł a3 -

<-A

«i' =

-S

b '    ’

ui ■>

» aa' =

to utwory te można napisać symbolicznie w sposób następujący:

1 ) Cztery niezmienniki:

Alu=(abc)² , Ani = (aba')‘ , Al33 = (an'b‘)- , 4₂=((t'óVf.

2) Cztery spółzmienniki:

f=a₃? , f = a! x² ,

A = (aafx) cia' aj ax ax' ; <Z>₁₂ — (aaV)².

3)    Cztery przeciwzmienniki:

F—(abu)² , Fr = (a'b'»)²,

J) = (aa'u) (at/ć) (a'bc) (ub'ć) (ubc) ,

F₁₂ = (aa'u)² .

4)    Ośm form mieszanych:

B₂ = (a'1/ć) ax (ub'ć) N' — (aa‘x) ua ua>

1\ = (aa'x) aa> ua ax 1\— (aa'x) a/ ua aj .

= («'£><;) a*' (ućc)

JV"⁼⁼ (aa a) ax ax

Ct ⁼⁼ ( aabt) aa axi(a

(J₂ ⁼⁼ (aaf/n) aa' a^ ua'

Ten układ zupełny znalazł G o r d a n (patrz Math. Ann XTX). Pascal. Eep. II.

Iloczyn czterech punktów przecięcia utworów fi f dany jest przez równanie:

FF' — FXJ = 0.

CD

co

<t>    ^

CC g _ j

N

CD

o-

'O

Pp Pl •• O cj

³⁵ p

GG

et-

trt~

CD

CD

Vl

PL*

pa ^

fr—^ł=o.

Forma <Z>₁₂, przyrównana do zera, przedstawia miejsce punk-tów, przez które przechodzą dwie pary stycznych do krzywych fi f\ tworzące układ harmoniczny; i wzajemnie: F^ = 0 przedstawia obwiednią prostych, przecinających dwie stożkowe w czterech punktach harmonicznych.

Jeżeli All2 = 0, wtedy mamy oo¹ trójkątów biegunowych (samosprzężonych) względem krzywej f\ które są opisane około stożkowej f' i wpisane w stożkową f. Własność analogiczna zachodzi w przypadku ^4tl2 = 0.

Równanie N — 0, uważane w spółrzędnych u, przedsta wia punkt przecięcia biegunowych punktu x względem dwu stożkowych.

Równanie Rj = 0, uważane w spółrzędnych punkto wy cli, jest równaniem prostej, będącej miejscem punktów, których biegunowe względem stożkowej f' są sprzężonemi harmonicznie z prostą u względem stożkowej f.

Równanie I) — 0 przedstawia trzy boki trójkąta biegunowego, wspólnego stożkowym f i f równanie A = 0 przedstawia trzy wierzchołki tegoż trójkąta.

Wszystkie stożkowe, spółzmienne ze stożkowemi f i f' (np. <P₁₂ = 0) mają wspólny ten sam trójkąt biegunowy I) — 0 lub A == 0.

Jeżeli niezmienniki A

112

są równocześnie zerami, wtedy stosunek anharmoniczny czterech punktów przecięcia dwu stożkowych jest równoanharmoniczny na każdej z nich.

Warunkami na to, aby dwie stożkowe miały w punkcie styczność rzędu 2-go (trzy punkty przecięcia zjednoczone), są:

222

miały i e s t:

i e m na n k c i e s

6‘ >1

aby d w czność

est

oj e

z ą,

HAU1A

i--.

Ą12") (^-112 ''4-222“' -4j22²)    (■^-111^222" -^112 ^-122 )²-^ •

__ ^-112 __ ^122 -^112 ^-122

Układ dwu stożkowych ma dwa niezmienniki bezwzględne. Jako takie niezmienniki najprostsze przyjąć można:

4=

A 2 ^112

ylni A

i ^-2

A 2 ^122

122

4\2^222

Ważnem jest twierdzenie:

Stosunek an harmoniczny a prostych, łączących punkt krzywej f z czterema punktami przecięcia krzywych f i f\ otrzymujemy z wzoru:

U,-l )>1, A²

(1 — a-{-a²);;

(l+a)ä (2—a)² (1—2 a)² ~ (3 At A,-2 A,³ A,-!)¹ ’ z podobnego wzoru otrzymujemy stosunek anharmoniczny czterech promieni, łączących punkt krzywej/"' z czterema punktami przecięcia.

Układ trzech stożkowych zawiera 127 utworów; niezmienników ma 11.

0 układzie dwu stożkowych, oprócz cytowanych prac G o r-d a u a, wymieniamy jeszcze: Perrin (Société math, de France.

XVIII), Rosanes (Math. Ann. VI), G-erbaldi (Math. Ann. XVU). Dla układu trzeci) stożkowych mamy prace: C i a m b e r-1 i n i’ego (Giorn. di Batt. XXIV), Gundelfi n g e r a (Grelle LXXX), Mertensa (Wien. Ak. XCIII), G e r b a 1 d i’ego (Acc. Torino XXV. 1890), Fischera i M u m e 11 e r a (Monatsh. f. Math. VIII. 1897).

ROZDZIAŁ V.

KWADRY K I.

rH

Tworzenie rzutowe kwadryk. Biegunowość,

Wyobraźmy sobie dwie wiązki wzajemnie rzutowe o różnych podkładach 8, S'-, każdemu promieniowi w jednej z nich odpowiada płaszczyzna w drugiej, i wzajemnie; jeżeli promień w jednej porusza się po płaszczyźnie, to odpowiadająca mu płaszczyzna w drugiej obraca się około prostej. Punkty spotkania promieni jednej wiązki z odpowiedniemi płaszczyznami drugiej tworzą to samo miejsce; jest ono powierzchnią, którą nazywamy k w a d r y k ą.

Niechaj będą dwa układy płaskie wzajemne, nie nałożone. Płaszczyzny, przechodzące przez punkty jednego z nich i odpowiadające im proste drugiego, obwodzą powierzchnię, która jest także kwadryką.

To tworzenie rzutowe kwadryk znajdujemy u S e y d e w i t z a (Archiv Grunerta. IX. 1847) i Steiner a (patrz Werke. I, str . 325). Porówn. S a 1 m on- Fiedler (Anal. Geom. des Raumes. I, str. 333).

Inne definicye kwadryk są następujące:

Kwadryka jest miejscem punktów zjednoczonych w dwoistości przestrzennej inwolucyjnej, t. j. w biegunowości przestrzennej.

Kwadryka jest obwiednią płaszczyzn zjednoczonych w biegunowości przestrzennej.

PM

Jakiekolwiek dwa punkty k w ad ryki są środkami dwóch wiązek wzajemnych, p r z y pomocy których można utworzyć samą kwa-drykę: podobnież, dwie jakiekolwiek płaszczyzny styczne do kwadryki są podkładami dwóch układów płaskich wzajemnych, przy pomocy których możemy utworzyć kwadrykę d a n

rosta dowolna w przestrzeni, o ile nie leży całkowicie na kwadryce, spotyka ją najwyżej w dwu punktach; przez prostą w przestrzeni, nie leżącą na powierzchni, przechodzą najwyżej dwie płaszczyzny do niej styczne. Dla tego mówimy, że kwadryka jest powierzchnią rządu drugiego i klasy drugiej.

P-> C_|

<~h- CD

C—I ESJ-

CD

eżeli rzez j den punkt kwadryki prze-c li o z ą d w e pros e na n i e j, r ó ne lub zl w a-jące się, albo jeżeli nie przeć ho zi żadna aka prosta, — to tożsamo ma miejsce dla każdego innego punktu kwadryki.

Jeżeli na jednej płaszczyźnie stycznej do kwadryki są dwie proste, jedna'prosta, albo niema żadnej prostej, leżącej na powierzchni, to toż samo ma miejsce dla każdej innej płaszczyzny stycznej.

Każda płaszczyzna przecina kwadrykę według stożkowej. Płaszczyzna, dotykająca kwadryki, przecinają według dwóch prostych rzeczywistych różnych, albo zlewających się albo według prostych urojonych.

Stosownie do tego, czy przez każdy punkt stożkowej przechodzą dwie proste rzeczywiste, należące do niej, albo jedna prosta rzeczywista, albo wreszcie dwie proste urojone, kwadryka jest albo kwadryką prostoliniową (skośną lub o punktach h y p e r b o-licznych), al bo stożkiem kwadr ykovym (kwadr y k ą o punktach parabolicznych), albo wreszcie kwadryką o punktach eliptycznych.

Jeżeli kwadrykę prostoliniową przecina płaszczyzna w nieskończoności według układu dwu prostych (lub jeżeli dotyka jej płaszczyzna, w nieskończoności) mamy paraboloidę h y-p e r b o 1 i c z n ą; jeżeli ta płaszczyzna przecina ją według stożkowej, mamy hyper boloidę jednopo włokową.

Kwadryki prostoliniowe zawierają dwa układy prostych rzeczywistych; proste jednego układu przecinają proste drugiego według prostych punktowych rzutowych. Stąd wynika tworzenie kwadryk przy pomocy dwóch prostych punktowych, nie leżących na jednej płaszczyźnie.

Paraboloida hyperbolicznajest miejscem prostyc łączących pary unktów, odpowiadaj ą c y c sobie w dwu pro tych punktowych podobnych, nie leżących na jednej płaszczyźnie.

Paraboloida hyperboliczna dwoma różne-m i sposobami jest miejscem pro tej, która poruszając się, opiera się na dw ch prostych stałych, nie leżących na jednej płaszczyźnie, i pozostaje wciąż równoległa do płasz-zny stałej, którą nazywamy płaszczyzną kierowniczą.

Istnieją dwie płaszczyzny kierownicze.

Hyperboloidajednopowłokowa jest miejscem prostej, która poruszając się, opiera się na trzech prostych stał ch, nie spotykają-

cych się i nierówno

ch do j ednej p ł a s z-

czyzny.

Podobnież, kwadryki o punktach eliptycznych, dzielimy na kategorye, według tego, w jaki sposób przecina je płaszczyzna w nieskończoności w przestrzeni. Jeżeli ta płaszczyzna przecina je według stożkowej rzeczywistej, mamy h y p e r b o-1 o i d ę dwupo włokową: jeżeli według stożkowej urojonej ,

Proste stożka kwadrykowego nazywają się jego t worz ą-c e m i; przechodzą one wszystkie przez punkt jeden, nazwany wierzchołkiem. Prócz tego punktu, przez który przechodzi nieskończenie wiele prostych na powierzchni, przez każdy inny punkt przechodzi zawsze jedna tylko prosta powierzchni. Jeżeli wierzchołek znajduje się w nieskończoności, otrzymujemy walec; przecięcie walca płaszczyzną prostopadłą do tworzących nazywa się podstawą walca.

mamy elipsoidę; jeżeli wreszcie ta płaszczyzna w nieskończoności jest styczna, t. j. przecina powierzchnię według stożkowej zniekształconej na dwie proste, mamy paraboloidę eliptyczną.

Płaszczyzny styczne do kwadryki, poprowadzone przez punkt P, są płaszczyznami stycznemi do stożka kwadrykowego mającego wierzchołek w punkcie P, a którego tworzące są pro-stemi, łączącemi punkt P z punktami styczności płaszczyzn stycznych. Stożek ten nazywa się stożkiem stycznym do kwadryki; dotyka on kwadryki według krzywej płaskiej, a zatem według stożkowej. Płaszczyzna tej stożkowej nazywa się płaszczyzną biegunową punktu P, punkt P zaś nazywa się biegunem tej płaszczyzny.

Odpowiedniość pomiędzy biegunami a płaszczyznami bie-gunowemi względem kwadryki jest dwoistością inwolucyjną.

Płaszczyzna biegunowa zawiera proste biegunowe punktu P względem wszystkich stożkowych, według których przecinają kwadrykę płaszczyzny, przechodzące przez punkt P.

Każda prosta, przechodząca przez punkt P, przecina kwadrykę w dwóch punktach Q, Q', a płaszczyznę biegunową w punkcie P' w ten sposób, że grupa PP'QQ' jest harmoniczną.

Jeżeli punkt P porusza się po prostej, to jego płaszczyzna biegunowa obraca się około innej prostej; a jeżeli punkt P porusza się po płaszczyźnie, to płaszczyzna biegunowa obraca się około punktu, który jest biegunem tamtej płaszczyzny.

Dwie proste nazywają się biegunowemi w z a j e m-nemi, jeżeli płaszczyzny biegunowe wszystkich punktów na jednej z nich przechodzą przez drugą.

Jeżeli dwie proste biegunowe wzajemne przecinają się, wtedy ich punkt wspólny należy do powierzchni, a ich płaszczyzna jest płaszczyzną styczną do powierzchni.

Pary prostych biegunowych wzajemnych, leżących na płaszczyźnie stycznej, są prostemi sprzężonemi w inwolucyi; prostemi podwójnemi tej inwolucyi są proste, wzdłuż których płaszczyzna styczna przecina powierzchnię.

Jeżeli dwie proste przecinają się, to przecinają się i ich biegunowe wzajemne.

Dwa punkty nazywają się s p r z ę ż o n e m i, jeżeli jeden z nich znajduje się na płaszczyźnie biegunowej drugiego.

Punkt i prosta nazywają się sprzężonemi, jeżeli prosta leży na płaszczyźnie biegunowej punktu.

Dwie proste nazywają się sprzężonemi, jeżeli jedna z nich znajduje się na płaszcz3^źnie biegunowej punktu drugiej prostej.

Dwie płaszczyzny nazywaj ą się sprzężonemi, jeżeli jedna z nich przechodzi przez biegun drugiej.

Trójkątem sprzężonym względem kwadr y k i jest trójkąt, którego każdy wierzchołek jest sprzężony z pozostałemi dwoma wierzchołkami, a więc z bokiem przeciwległym.    t

Czworościanem sprzężonym (lub także sam osp rzężonym, samowzaj emny m) względem kwadryki jest czworościan, którego każdy wierzchołek jest sprzężony z trzema pozostałemi, a więc ze ścianą przeciwległą.

Każdy trójkąt czworościanu sprzężonego jest trójkątem sprzężonym.

Dwie krawędzie przeciwległe czworościanu sprzężonego są biegunowemi wzajemnemi względem kwadryki.

Jeżeli dwie proste są sprzężonemi, to biegunowa wzajemna jednej z nich przecina drugą prostą, i wzajemnie.

Jeżeli prosta jest sprzężona z dwiema prostemi, przecinają-cemi się, to jest sprzężona z ich płaszczyzną i z ich punktem wspólnym.

Biegun płaszczyzny w nieskończoności nazywa się środkiem kwadryki, każda prosta, przechodząca przez środek nar żywa się średnicą, a każda płaszczyzna, przechodząca przez środek, nazywa się płaszczyzną średnicową.

Środek jest w odległości skończonej, jeżeli płaszczyzna w nieskończoności nie dotyka kwradryki, a więc w hyperboloidzie jednopowłokowej, w hyperboloidzie dwnpowłokowej, w elipsoidzie i w stożku kwadrykowym; te powierzchnie nazywają się kwadrykami ze środkiem.

Paraboloida hyperboliczna i eliptyczna nie mają środka w odległości skończonej.

Płaszczyzna średnicowa przecina kwadrykę według stożkowej, której środek przypada w środku kwadryki.

Średnice dzielą się w środku wzajemnie na dwie równe części.

Jeżeli trzy cięciwy dzielą się na dwie równe części w pewnym punkcie i nie leżą na jednej płaszczyźnie, wtedy punkt ten jest środkiem powierzchni

Płaszczyzna średnicowa jest miejscem punktów środkowych wszystkich cięciw (r ó-wnoległych) z nim sprzężonych.

na-

Punkty styczności płaszczyzn stycznych, poprowadzonych ze środka do kwadryki, są w nieskończoności (rzeczjnvistemi lub urojonemi); stożek styczny, mający wierzchołek w środku, żywa się stożkiem asy m p totyczny m.

Istnieją trzy średnice, z których każde dwie są do siebie prostopadle i takie, że płaszczyzna przechodząca przez dwie z nich jest sprzężona z cięciwami równoległemi do trzeciej (i do nich prostopadłą); te średnice nazywają głównemi, a ich płaszczyzny — płaszczyznami głównemi.

Płaszczyzny główne są płaszczyznami symetryi dla k w a d r y k.

W elipsoidzie każda płaszczyzna średnicowa przecina powierzchnię według elipsy; w hyperboloidzie jednopo włokowej dwie płaszczj^zny główne przecinają powierzchnię według dwTóch hyperbol, mających oś urojoną wspólną, a trzecia płaszczyzna przecina ją według elipsy; w hyperboloidzie dwupowłokowej dwie płaszczyzny główne przecinają powierzchnię według dwóch hyperbol, mających oś rzeczywistą wspólną, a trzecia płaszczyzna przecina ją według elipsy urojonej.

W paraboloidzie nazywamy średnicą każdą prostą, przechodzącą przez punkt styczności powierzchni z płaszczyzną w nieskończoności.

Wszystkie średnice paraboloidy są do siebie równoległe.

Pomiędzy średnicami paraboloidy jest jedna taka, że płaszczyzna styczna w punkcie,w którym ona spotyka powierzchnię, jest do średnicy prostopadłą. Ta średnica nazywa się osią, a punkt, w którym przecina powierzchnię, nazywa się wierzchołkiem.

Przecięcia paraboloidy (eliptycznej lub hyperbolicznej) płaszczyznami równoległemi do osi, są parabolami.

Przecięcia paraboloidy płaszczyznami prostopadłemi do osi są hyperbolami w paraboloidzie hyperbolicznej (skośnej, lub prostoliniowej), elipsami w paraboloidzie eliptycznej.

Kula jest elipsoidą, w której każda płaszczyzna średnicowa jest prostopadła do średnicy, przechodzącej przez jej biegun.

P' C-P

Kule w przes rzeni mają wspólne koło urojone w niesko czoności. Kolo to nazywa się absolutem albo granicą przestrzeni; zawiera ono wszystkie punkty kołowe każdej płaszczyzny przestrzeni (patrz Rozdz. IV § 3).

Cliasles i P. Serret próbowali rozciągnąć na kwadryki twierdzenia Pascala i B r i a n c li o n a. Patrz co do tego: Salmon— Fiedler (Anal. Geom. des Raumes. I, art. 144), Klein (Math. Ann. XXII, str. 246 1883).

lO

Główne wzory geometry/' analitycznej kwadryk.

Kwaclryka jest miejscem punktów, które przedstawia równanie wymierne całkowite stopnia 2-go pomiędzy trzema spół-rzędnemi punktu przestrzeni. Równanie takie ogólne zawiera

dziesięć spółczynników, t. j.: trzy spółczynniki przy kwadratach trzech spółrzędnych, trzy przy iloczynach spółrzędnych, trzy przy wyrazach stopnia 1 -go, jeden wreszcie wyraz od spółrzędnych niezależny. Miejsce uważane zależy tedy od dziewięciu stosunków z pomiędzy tych spółczynników do jednego, ostatniego, i dlatego mówimy, że miejsce stopnia 2-go określa dziewięć spółczynników niejednorodnych.

Równanie k w ad ryki w spółrzędnych jednorodnych xn x2j x₃. xA punktu przestrzeni ma postać:

(dij = ajt)

1 ... 4

/' (x ) — Z Clij Xi Xj — 0

gdzie suma rozciąga się na wszystkie możliwe kombinacye liczb i,j — 1, 2, 3, 4, przy warunku d/j = ciß. Kładąc w tern równaniu x₄ = l, otrzymujemy równanie kwa dr y ki w spółrzędnych niejednorodnych.

Jeżeli czworościan podstawowy spółrzędnych jest czworościanem sarnosprzężonym, wtedy równanie kwadryki sprowadza się do formy kanonicznej

Z en = 0 .

Oznaczmy przez A wyznacznik (w y r ó ż n i k):

an , .. .

• • «2 4

«41

• . ci₄₄

przez Aij dopełnienie algebraiczne elementu % w A. Niechaj u1} n₂, u₃, u₄ oznaczają spółrzędne jednorodne płaszczyzn}r, której równaniem jest:

równaniem kwadry ki w spółrzędnych płaszczyzny będzie:

1 ... 4

(Aij—Aji)

F(V 1, «₂, y₃, n₄) = z Aij u,: uj = O .

U

Równanie to przedstawia kwadrykę nie jako miejsce punktów lecz jako obwiednią płaszczyzn stycznych. Można je uważać także jako warunek, któremu czynić winny zadość spółczynniki równania płaszczyzny, aby płaszczyzna ta była styczna do kwa-dryki, danej przez równanie w postaci pierwotnej.

Qj

Kwadryka jest określona, jeżeli mam danych 9 punktów, przez które ma przeć ho zić lub 9 płaszczyzn, do których ma być styczną.

W poprzedzającym paragrafie podaliśmy własności geometryczne rozmaitych gatunków kwadryk; zobaczmy teraz, w jaki sposób z równania ogólnego (w którem zakładamy spółczynniki rzeczywiste) można odróżnić te rozmaite gatunki.

Połóżmy:

an

«12

«13

«21

«22

«23

ch\

a:>.2

i Cl?,3

i oznaczmy przez By dopełnienie algebraiczne elementów «,y w wyznaczniku B.

Jeżel' B nie est ze mają ś r o e k; jeż li B — b o 1 o i d y.

Jeżeli 1 r wnasi stożki. J żeli r

o>

CD

CD C—i.

e m, w t e i o t r z y m

zeru, i t wnocześ

kwadryki e m y p a r a-

1 k o wtedy, m a-i e A — 0, B — 0,

my

mamy walce.

Oznaczmy przez (12), (13) . .. kąty pomiędzy osiami spół-rzędnych xx i oc.₂, xl i xa , . .. i połóżmy:

1    ,    cos    (1,    2)    ,    cos    (1, 3)

cos (1, 2)    ,    1    ,    cos    (2, 3)

cos (1,3)    ,    cos    (2,3)    ,    1

będzie to liczba dodatnia, zawarta pomiędzy 0 i 1 ; oznaczmy dalej przez Ün. Û₁₂ . . . dopełnienia algebraiczne elementów wyznacznika Q. Połóżmy nadto: £=^-+-^22+^33+2^2 COS (1, 2)+2Bu cos (1, 3)+2R₂₃cos(2, 3)

D «11 @11 + «22 @22 + «33 Ai3 + 2 «12 ^12+2«13 As+2«23 A3 •

Mamy wtedy twierdzenia następujące:

q ,    ' A B C D.....

Stosunki-^-,    nie zmieniają się przez

przekształcenie spółrzędnych kartezy ańskich

{są niezmiennikami).

Znaki wielkości A, B, C, D nie zależą od wyboru układu spółrzędnych kartezyńskich.

W przypadku układu prostokątnego będzie:

C = Bu + BVi + B₃₃ , T> — au + a₂ 2 + a₃₃ , Ü — 1,

a zatem :

Wielkości nn + a₂₂ + a₂₃, Bn + B₂₂ + B₂₃ pozostają co do wartości niezmiennemi p r z 3^ przechodzeniu od jednego układu prostokątnego do innego.

Równanie

A(p) = .Qo:: + 7Jo²+ Cq B—0

ma wszystkie pierwiastki rzeczywiste i w o-g ó 1 e różne.

Równanie to można napisać też w postaci:

A (Q) =

, aI2+0 cos (1,2) , «i3+£ cos (1,3) , a₂₃+0 COS (2, 3)

«33+0

«11+0

«21+0 COS (1, 2) ,    «22+0

«31+0 cos (+ ³) ^ «33+0 cos (2,3) ,

= 0.

znakach wielkości

Klasyfikacya kwadryk polega na A, B, C, D.

I.

B różne od zera: K w a d r y k i ze środkiem:

Elipsoida rzeczywista, (7 j> 0, BD j> 0, A 0. Elipsoida urojona,

Stożek ur oj od y,

1.

2.

3.

<7 > 0, BI) > 0, A > 0. (7> 0, BI) > 0, J =0.

4.

Stożek rzeczywisty,'

C^B1)<0 <7<0,77Z)>0

> J. = 0.

5.

6.

Hiperboloida jedno-powłokowa,

H i p e r b 1 i d a dwu-p o w o o w a.

C>0,_B/)<0l1>0

(7 < 0, BI) 0 1

c|o,äd<oL<0

<7<0, 7?7)>0 I

II.

B równe z e r u: P a r a b o 1 o i d y albo walce albo pary płaszczyzn, mianowicie:

7.    Paraboloida eliptyczna, (7 j> 0, 71 ^ 0, .4 <j 0.

8.    Paraboloida hyperboliczna, C

9.    Walec o podstawie elip

tycznej,

podstawie hyper o licznej,

Walec o podstawie parabolicznej,

0, 7)^0, A> 0.

10.

11.

Walec

O rQ

C <0, DÇ0, A = 0.

(7 = 0, 7)^0, ,4 = 0.

Dwie płaszczyzny urojone z prostą rzeczywistą w odległości skończonej, C j>0, D j^0, J =0, Au = 0.

'    (» = 1, 2, 3)

12.

13. Dwie płaszczyzny rzeczywiste, spotykające się według prostej w odległości skończonej

(7 < 0, 7)^0, ,4 =0, Au — 0.

14. Dwie płaszczyzny równoległe rzeczywiste różne,

urojone albo zlewające się, C = 0, 7)^0, .4 = 0, Au — 0.

Przy pomocy przekształcenia spółrzędnych Descarte s'a, równania różnych kwadryk dają się sprowadzić do następujących form zredukowanych (w spółrzędnych niejednorodnych):

x²

1.    Elipsa rzeczy wista,-^-

2.    E 1 i p s a u r o j o n a,— +    +

3.    Stożek urojony -j- -^r

a* ¹ 0“

c²

z²

c²

= —1.

r²

4. Stożek rzeczywisty,

x²

a²

+-£

6²

6‘²

= 0.

,    x² y²

5. Hiperboloida jednopowłok.,—p-

z²

c²

= 1.

CO

Oh

CD

i-i

o"

• rH

Oj

Oj

On

a I &

to| to

o hę*

to I to

Ci <N> to to

7.    Paraboloida eliptyczna,

y/2

8.    Paraboloida by p e r b o 1 i c z.,-^- —

9.    Walec eiiptyczn y,-^- -f

10. Walec hyper boliczn y,-^- —    ⁼ 1 ■

Walec paraboliczny, y² + 2p# = 0.

il.

— x — 0.

,8'²

—;--X —0.

C²

= 1.

i ll_n a² ' 6² ~

'k = °-

12. Dwie płaszczyzny urojone,

y 2

13. Dwie płaszczyzny rzecz y w i s.,—j--

rjß‘2

14. Dwie płaszczyzny równo 1., —j + 1 — 0.

W równaniu każdej paraboloidy wyrazy stopnia 2-go względem zmiennych xt, x.₂, x₃ lub x, y, z tworzą iloczyn dwu czynników liniowych; własność ta jest charakterystyczna dla paraboloidy.

Wy-

W równaniu walca parabolicznego razy stopnia drugiego względem xu x₂, x₃ lub x, y, z tworzą kwadrat zupełny.

Jeżeli xly x₂, x₃, #₄; y1} y₂, y₃, y₄ są spółrzędnemi dwu punktów w przestrzeni, to warunkiem na to, aby prosta, je łącząca, była styczna do kwadryki, f— 0 jest:

gdzie

f(x)f(y) — f (y)⁼⁰

i / <V

or

dr₂

2/2 H-

df

dr

’ i df \

rÿs+fer²'*)

— «11 ^1 y y 4~ • • • + «i2 (xi y2 H- x-i V\ ) ~r • • •

Jeżeli wyobrazimy sobie, że punkt o spółrzędnych y jest punktem stałym, punkt o spółrzędnych x bieżącym, to równanie poprzednie przedstawia stożek opisany na k w a d r y c e z wierzchołkiem w p u k c i e (yx, y₂, y₃, y₄).

Jeżeli F (u) =0 jest równaniem kwadryki w spółrzędnych płaszczyznowych, warunkiem na to, aby prosta przecięcia płaszczyzn    u₂, ?/₃, u₄), (vx, v₂, v₃, v₄) była

styczną do kwadryki, jest:

F(u)F{v)-F²[    )=0.

Warunek ten jest równoważny następującemu:

«11    ) 2

«21    >    ^22

«3,

%2

> V1

«2

= 0.

«₄₁    ,    «42

)    ^43    >    ^44    1

,    «3

1 W4

*>4

, ?;2

Pascal. Rep. II.

11

,0

Ul V, V4:

Jeżeli w tym wzorze zmienimy wszystkie a na odpowiednie A, wszystkie u na odpowiednie v, otrzymamy inną postać warunku na to, aby prosta (x) (y) dotykała kwadryki.

Płaszczyznę biegunową punktu (y) przedstawia ró-

a spółrzędnemi bieguna płaszczyzny

wnanie f | X j

u\ xi u2 x2 + u3 x3 + xi = 0 są:

xi = Aix ux —}- A/o ug -j- 4,-₃    -f- 4.*₄ w4

Jeżeli punkt (y) należy do kwadryki, to równanie f | ¹ j =£=0

przedstawia płaszczyznę styczną

Warunkiem na to, aby dwa punkty (x), (y) były sprzężo-

nemi, jest oczywiście/"I ^ j = 0; a warunkiem na to, aby

dwie płaszczyzny były sprzężonemi, jest F | ^ j runki dają się przedstawić w postaci:

Axx A

(*• = 1,2,3, I)

= 0. Te dwa wa-

14 i X1

«11    «44 i Ux

= 0.

41

444 , X4

«41

«44 > «4

0₄

Warunkami sprzężoności dwóch prostych (w, v), (u', v‘) są cztery następujące:

Wspólne m równaniem dwóch płaszczyzn, przesuniętych przez prostą i stycznych do kwadrykij j e s t :

¹

) Nie ma sprzeczności pomiędzy tern twierdzeniem a twierdzeniem

²

§ 3, ponieważ rozważane w tym ostatnim niezmienniki zależą nietylko od spółczynników stożkowej ale i od osi spółrzędnych, które pozostają tam zawsze osiami kartezyańskiemi. Stąd przekształcenia zgodne z rozważaniami w § 3 nie są w s z y s t k i e m i możliwemi, lecz tylko takiemi, które pozostawiają bez zmiany prostą w nieskończoności na płaszczyźnie.

F{u) (iVx xx + vu x₂ -f . . .)² — 2 F | Uv J (ux xx -f ... ) (vt xx -f ... ) -\-F{v) (ux +    .)² = 0.

Jeżeli f napiszemy zamiast F, u, zamiast x, v zamiast y, otrzymamy równanie (w spółrzędnych płaszczyznowych) dwu punktów spotkania prostej (x, y) z kwadryką. Spółrzędne tych

punktów spotkania prostej (xy) z kwadryką są postaci

mXj-f-nyj

m 4- n

, . ni gdzie —

ma

wartości równe pierwiastkom równania

Mîrr+Mv

+ f(v) = 0>

Równanie płaszczyzny średnicowej jest

postaci:

«i

àf

da?!

+ «2

àf

àf

gdzie alt a.₂, a₃ są trzy stałe dowolne. Prosta, idąca do punktu w nieskończoności o spółrzędnych (al5 a₂, a₃ 0), odpowiada kierunkowi sprzężonemu z tą płaszczyzną średnicową.

Płaszczyzny średnicowe sprzężone z kierunkami trzech osi spółrzędnych xux.₂,x₃ wyrażają się równaniami:

àf

àf

àf

dxx

dx₂

dx₃

= 0.

Spółrzędnemi środka kwadryki są:

J-Oi

Równanie stożka asymptotycznego

/»- B

X₄² = 0

otrzymuje się z równania f (æ)=0 przez zamianę a₁₄ na a₁₄ —-

cowe,

Płaszczyzny główne są to płaszczyzny średni-prostopadłe do kierunku z niemi sprzężonego; proste,

według których płaszczyzny te przecinają się, nazywają się śred n i c a m i głównemi lub osiami.

Dla otrzymania trzech płaszczyzn głównych, dość w równaniu płaszczyzny średnicowej zamiast aj, a.₂, a?< położyć wartości proporcyonalne do pierwiastków kwadratowych trzech minorów głównych wyznacznika A (g»), jeżeli za o bierzemy każdy z trzech pierwiastków (rzeczywistych) równania A (@) = 0. Wzory, naturalnie, upraszczają się znacznie w przypadku osi prostokątnych.

Kwadryką obrotową nazywamy taką. w której wszystkie płaszczyzny, przechodzące przez oś, są płaszczyznami głównemi. Kula jest kwadryką, w której każda płaszczyzna średnicowa jest główną.

Warunkiem koniecznym i dostatecznym na to, aby kwadryka była obrotową jest, by równanie A (q)—0 miało dwa pierwiastki równe.

Warunkiem koniecznym i dostatecznym na to aby kwadryka była kulą, jest by równanie A(£>)=0 miało jeden pierwiastek trój-krotny.

W spółrzędnych prostokątnych warunki dla kwa d ryki obrotowej wyrażają się dwoma z pomiędzy związków:

-®23

__-^12

RJ2—B:va _ B:u - B

B{ i B>2

a.2 ₃

«31

«22    «23

«11 ^22

W spółrzędnych prostokątnych warunkami dla kuli są:

«11 - ^22 -^33    >

«23 - «gl ■¹    «^2 - Ü *

W paraboloidzie mamy dwie tylko płaszczyzny główne w odległości skończonej, przecinające kwaarykę według dwóch parabol.

W spółrzędnych prostokątnych równania osi paraboloidy (t. j. przecięcia dwu płaszczyzn głównych) są następujące:

2 f(x)    df(%)    ³f(x)

dXy

VB, ₂

I/-B„

^ ^33

Równanie kwadryki ze środkiem w odniesieniu do środka (współrzędnych#, y, z niejednorodnych) jest typu:

A

a'u #² + a"₂₂ y² + a\, z²-\-2a\^xy -f 2a'₁₃ xz+ 2a'₂₃ yz -j- —- = 0

Równanie kwadryki ze środkiem, odniesione do trójki średnic sprzężonych, jest postaci:

a\ ₁ x² -f a"₂₂ ß -f af,3₃ z² — = 0.

Jeżeli te średnice sprzężone są osiami, to wielkości

r-Tk-y

Ba” 33

nazywają się długościami półosi kwadryki. Otrzymujemy je, kładąc zamiast —a!'n , —a"₂₂, —a"₃₃ trzy pierwiastki (rzeczywiste) równania A (@) =0.

W elipsoidzie rzeczywistej trzy osi przecinają powierzchnię w punktach rzeczywistych, a odległości tych punktów od środka są właśnie półosiami elipsoidy. Te trzy półosi są w ogóle różne; w elipsoidzie obrotowej dwie półosi są równe; w kuli wszystkie trzy półosi są równe.

W hyperboloidzie jednopowłokowej tylko dwie osi spotykają powierzchnię w punktach rzeczywistych, a odległości tych punktów od środka są właśnie długościami półosi.

W hyperboloidzie dwupowłokowej tylko jedna z osi prze-cma powierzchnię w punktach rzeczywistych, a odległość tych punktów od środka stanowi długość półosi powierzchni.

Osi, przecinające hyperboloidy w punktach rzeczywistych, nazywają się poprzeczne mi.

Płaszczyzna u₁xl-\-i(₂x₃-\-,u₃x.i-{-ii₄xA=0 przecina kwadrykę według elipsy, hyper boli al bo paraboli, stosownie do tego, czy wielkość

ffll) a\2 i aiS i U\

sf O

Dwie

jest ujemna, dodatnia lub równa zeru, płaszczyzny równoległe przecinają kwadrykę według stożkowych tego samego gatunku.

Przez każdą oś k wad ryki przechodzą dwie płaszczyzny (rzeczywiste lub urojone) takie, że one i płaszczyzny do nich równoległe przecinają kwadrykę według kół; te płaszczyzny nazywają się płaszczyznami kołowemi, dają one przecięcia lub przekroje kołowe k wad ryk i.

Dwie płaszczyzny kołowe, przechodzące przez każdą oś, są w położeniu symetrycznem względem każdej płaszczyzny głównej.

Z sześciu układów płaszczyzn kołowych dwa tylko są rzeczywistemu

W każdym układzie płaszczyzn kołowych są zawsze dwie płaszczyzny styczne; ich punkty styczności nazywają się punktami kołowemi (umbilikami). Z dwunastu punktów kołowych jest rzeczywistych najwyżej cztery. Punkty kołowe leżą trójkami na ośmu prostych urojonych kwadry ki. Punkty kołowe kwadryki ze środkiem leżą czwórkami na trzech płaszczyznach głównych.

Dwa przekroje kołowe, należące do każdego z dwu ukła-

cos (1,2), cos (1,3), ux cos(2,l).    1 cos (2,3), U2

1,

dów płaszczyzn kołowych, odpowiadających tej samej osi kwadry ki, znajdują się zawsze na jednej kuli.

W kwadrykach obrotowych dwa układy płaszczyzn kołowych rzeczywistych sprowadzają się do układa równoleżników.

Warunek analityczny na to, aby płaszczyzna była kołową dla kwadryk i, wyrażają równania:

&ii

"u

Ct₂2

Ą-2

^23

#23

^31

^33 ' #33

tu Gij są dopełnieniami algebraiczaemi elementów wyznacznika G (patrz wyżej), Hij—analogicznemi dopełnieniami algebraicz-nemi wyznacznika H, który przedstawia się w ten sposób:

#31

#12

cos (3,1), cos (3,2),    1, u₃

ux ,

u2,

«3,

gdzie cos (1,2), cos (13),.., są dostawami kątów pomiędzy osiami spółrzędnych.

W elipsie rzeczywistej trój osiowej (o trzech osiach nierównych)

(a>b^>c) ,

x- , y²    z²

a? ' b²    a*

płaszczyzny kołowe rzecz ywiste przechodzą przez oś długości średniej (t j. przez oś b) Spół rzędne czterech punktów kołowych rzeczywistych są:

a²—b²

a²—^

b²-c²

a²—c²

W hyperboloidzie jednopowłokowej dwa układy płaszczyzn kołowych rzeczywistych

są równoległe do większej z osi poprzecznych, a punkty kołowe są wszystkie urojone.

W hyperboloidzie dwup o włokowej dwa

układy płaszczyzn kołowych rzeczywistych

są równoległe do osi niepoprzecznej dłuższej

a cztery punkty kołowe są rzeczy wistemi, J e-

.    , . x

z e 11 —

z²

= 1 jest równaniem hyper-

boloidy dwupowłokowej i b^>c, to spółrzędne-mi czterech punktów kołowych rzeczywistych

a²

b²

c²

s ą:

a²-\b*

a²-(-c²

0,

b²—c²

a²—c²

Stożek ma dwa układy płaszczyzn kołowych rzeczywistych, które są zarazem układowi płaszczyzn kołowych dla hyperboloidy jedno- albo dwupowłokowej, dla których sto-ż ek dany jest stożkiem asymptotycznym.

W paraboloidzie eliptycznej są dwa układy płaszczyzn kołowych eliptycznych; są one równoległe do osi większych przekrojów prostopadłych do osi; dwa punkty kołowe są rzeczywiste i mają spółrzędne:

0,

J eżeli-|₂ -f

z²

c²

— x = O, (b^c) jest równaniem pa-k o ł werze z wiste

raboloidy. Płaszezyz paraboloidyeliptyczr p łaszczyzn c²x²— (b²— c²)z² = 0.

W paraboloidzie h y p e r b o 1 i c z n e j dwa układy płaszczyzn kołowych rzeczywistych są równoległe do dwu płaszczyzn kierowniczych

o -o

e od wu

-s

I—¹

PT

<D

PT

02

■/

p-

03

►C N

Hj Ct-

O P 02

c3

cCD

c+-

c+-

CD

02

PT

P' p

Co

O-i o

-ł-2 O 03 'O!

O O

«5* .P

Jeżeli

CD

Ul

-P

i-i

'O

• rH

CD

go

i-i

boloidy, to dwa układy płaszczyzn kołowych

Ol

<p

t-j

'O

CD

CD

r0

go

03

7 -j--- 0

b c

Tii

Własności ogniskowe kwadryk.

Miejsce punktów takich, że stożki opisane z nich na kwa-dryce ze środkiem są stożkami obrotowemi, składa się z trzech stożkowych, położonych na trzech płaszczyznach głównych kwa-dryki; każda stożkowa ma te same ogniska, co przekrój kwa-dryki, otrzymamy przez przecięcie kwadryki płaszczyzną główną. Te stożkowe nazywają się ognisko wem i, a ich punkty są ogniskami kwadryki ze środkiem.

Stożkowe ogniskowe przechodzą przez cztery punkty kołowe (umbiliki) własnej płaszczyzny.

Eli soidaa jedn eipsęog erb 1 łasze

o hyp

ową

oloida ma 3czywistą) i j e

y w e le przez

o- a

p-¹ O*

dwie k o d z ą c y (

tiiskow ą; t ach, przeć zą oś poprzeczną.

Dwa ogniska stożkowej ogniskowej są wierzchołkami innej stożkowej ogniskowej

Stożkowe ogniskowe dla stożków k wad ryli owych redukują sią do trzech par prostych; tylko dwie z tych prostych są rzeczy wistem i. Dla każdego stożka kwadrykowego istnieją dwie proste rzeczywiste (proste ogniskowe); przez każdą z nich przechodzi

cną

gr¹ CD

pe s,

N3. P

nieskończenie wiele par płaszczyzn sprzężonych wzajemnie prostopadłych Jeżeli stożek jest obrotowym, to dwie proste ogniskowe zlewają się z osią obrotu.

Stożkowa, będąca przecięciem stożka płaszczyzną prostopadłą do prostej ogniskowej, ma ognisko w tym punkcie przecięcia prostej z płaszczyzną.

Proste ogniskowe stożka asymptotjmznego do kwadry ki ze środkiem są asymptotami stożkowych ogniskowych kwadryki.

W paraboloidzie miejsce punktów takich, że stożek, na niej opisany z tych punktów, jest stożkiem obrotowym, składa się z dwóch parabol (ogniskowych), położonych na dwóch płaszczyznach głównych i mających tę samą oś co paraboloida, rozwartości zwrócone w zwrotach przeciwnych, a ogniska te same co parabolej otrzymane z przecięcia paraboloidy dwiema płaszczyznami głównemi.

Parabole ogniskowe w paraboloidzie są tak położone, że ognisko jednej jest wierzchołkiem drugiej.

Parametry dwóch parabol ogniskowych są sobie równe,, równe zarazem różnicy parametrów parabol, które powstają z przecięcia paraboloidy płaszczyznami głównemi

y² z2 1(ï ⁺ ~c²

1. Dla elipsoidy rzeczy wist ej -f-

o półosiach a^>bz> c, trzema, stożk owemi o g nisko w e m i są:

x — 0,

y-

z²

— 1, ielipsa urojona),

y = o.

z²

a²- b²

b²-c²

-i,

(hyperbola),

= 1,

0

’ a² — c² ' b²— c²

(elipsa rzeczywista)

y² z²

oc

2. Dla elipsoidy urojonej — -|_

(a j>b^>c) s t o ż k o w e m i ogniskowemi są:

X²

x = 0 y I

’ a¹—b² ^ a

V = 0,

* =0,

z-

2²

2_c2

X²

— 1 (elipsa rzeczywista),

b²—c²    a²—l/² ~ ¹

(hyperbola),

x²

a²—c²

^ b²—c²

— = 1 (elipsa urojona).

3. Dla liyperboloidy jednopo w lokowej =1 (a^>b) stożkowemi ogniskowerai są:

z²

b²

c²

x — 0,

V²

z²

a²— b²

ci²-\-c²

— — 1 (elipsa urojona),

X²

V ~ °’    a²— b²

z — 0,

x²

z²

b²+c²

, y²

b²-\-c²

(hyperbola),

= 1 (elipsa rzeczywista).

b²

a² -f- c²

Dla hyperboloidy dwu powłokowej = 1 (/>i>c) stożkowemi ognisko w emisą:

c²

rr

z²

= — 1 (elipsa urojona),

x — °’ a² ib² *

0 - * - + —

’ a² -j- 6² ' b² —

^2

2 = 0, -2

a² c-

5. Dla stożka rzecz y wistego —

a² j-c²

b² — c²

= 1 (elipsa rzeczywista),

= 1 (hyperbola).

z²

=0, (a>&)

c²

dwiema prostemi ognisko w emi rzeczy wist e-

m 1 s ą:

y = o,

X²

z²

a² — (>²

&²-j-c²

= 0.

6. Dla paraboloidy eliptycznej albo li y perto o licznej py²Ą-qz-—x = 0 (j)~=żq), gdzie p i q są jednego znaku dla paraboloidy eliptycznej, znaków przeciwnych dla hy-perbolicznej, dwiema parabolami ogniskowemi są:

P.

y = o,

4 q!'

x — 0,

1___1

P ⁽l

Osi obrotu stożków, opisanych na kwadryce przez ogniska, są stycznemi do stożkowych ogniskowych.

Styczne do stożkowych ogniskowych są prostemi, przez które przechodzi nieskończenie wiele par płaszczyzn sprzężonych względem kwadryki i wzajemnie prostopadłych.

Płaszczyzna prostopadła do stycznej stożkowej ogniskowej w punkcie styczności przecina kwadrykę według stożkowej, której ogniskiem jest ten punkt, a kierownicą prosta prostopadła do płaszczyzny stożkowej ogniskowej.

Jeżeli z jakiegokolwiek punktu poprowadzimy prostą prostopadłą do jego płaszczyzny biegunowej względem kwadryki, to przecięcie prostej i płaszczyzny z płaszczyzną główną są biegunem i biegunową względem stożkowej ogniskowej.

Przecięcia płaszczyzną główną płaszczyzny stycznej i prostej normalnej do kwadryki są biegunową i biegunem względem stożkowej ogniskowej.

Iloczyn odległości płaszczyzny stycznej do kwadryki od dwu punktów stożkowej ogniskowej, w której styczne są równoległe do płaszczyzny, jest stały.

Jeżeli

2²

= 1 {a>h>c) jest równaniem danej elipsoidy, to równanie:

a²

c²

x²

h²

a² —

c²

gdzie 1 j e s t parametrem dowolnym, przedsta-

wia kwadrykę spółogniskową z elipsoidą daną, t. j. mającą wspólne z nią stożkowe ogniskowe.

Ponieważ X możemy zmieniać nieskończenie wielu sposobami, mamy przeto oo¹ kwadryk spółogniskowych z daną.

Przez każdy punkt przestrzeni przechodzą trzy takie kwadryki, mianowicie: elipsoida? hyperboloida jednopo włok owa i hyper boloida dwupowłokowa, które są do siebie prostopadłe m i w punkcie wspólnym.

Trzy wartości parametru X, odpowiadające trzem kwadry-kom spółogniskowym, przechodzącym przez punkt dany, można uważać za spółrzędne punktu; spółrzędne takie nazywamy eliptycznemi.

•jy.

Własności metryczne kwadryk. Kwadryki równoboczne.

W elipsoidzie zawartego po mi łaszczyzną k odpłaszcz się on kwadr

Pi

et- N CfQ

CL. M.

n odcinka normaln j r wierzchni elipsoi y rze odle łość rod-c n e j

i półosi. prostopa

KO C

CU N

Ł_| . N

stały r

•Ul

O. ®

płaszczyzny stycznej.

O. Pi

w-

W elipsoidzie suma kwadratów trzech średnic sprzężonych jest stała; objętość r noległościanu, zbudowanego na trzech p ó ł -średnicach sprzężonych, jest stała; suma kwadratów rzutów trzech półśrednic sprzężonych

CC

Pi Pi

i-i

|-i

®    ⁹⁵    m

°.b ^ 2

c® ® Pi ⁰³

O- et- ÇD C+"

|-i

i-i

PC £ Ph cS c3 m

o cr

CR?

-O

•-i

<®>

•N

pp PP

OS    *    ^    °

^    S    c    ^

p    ź    *1

* °

<D    có •

CD .

ö 0 r~*    N    r-H    <£

O    O

N    ko    'O    -m

Ul

Ul

crk

i-i

pP

^ N

® ® ai ®    °

ct- ^ PP

stała; w paraboloi.dzie hyper boliczn ej stałą jest różnica tych dwóch parametrów.

W paraboloidzie eliptycznej miejscem wierzchołków czworościanów trójprostokątnych opisanych jest płaszczyzna prosto-

padła do osi, odległa od wierzchołka na

, jeżeli

/² + c²

c²

— x == 0, jest jak, zwykle równaniem paraboloidy.

Dla elipsoidy miejscem takich czworościanów jest spółsrod-kowa z elipsoidą kula o promieniu Va--\-b--\-c², gdzie a, b, c są półosiami elipsoidy. Dla każdej innej kwadryki o środku miejscem takiem jest zawsze knla (M o n g e).

Jeżeli w hyperboloidzie jednopowłokowej płaszczyzna prostopadła do prostej na hyperboloidzie przecina powierzchnię według hyperboli równobocznej, wtedy wszystkie inne podobne płaszczyzny przecinają także hyperboloidę według hyperbol równobocznych.Taka hyperboloida nazywa się równoboczną.

Jeżeli w hyperboloidzie jednopo włokowej, prostej leżącej na po wierzchni,odpowiadają dwie inne prostopadłe do niej i do siebie, także leżące na hyperboloidzie i do tego samego układu należące, wtedy to samo będzie miało miejsce dla każdej innej prostej—i sama hyperboloida będzie hyperboloidą równoboczną.

Jeżeli równaniem hyperboloidy jest, jak

zwykle:

X-

y-

s²

b²

<;²

= 1,

wtedy warunkiem na to, aby była równoboczną, jest:

D a² + b* c²

Jeżeli w stożku kwadrykowym przekrojem prostopadłym do tworzących jest hyperbola równoboczna, to toż samo będzie miało miejsce dla wszystkich przecięć prostopadłych do tworzących; stożek nazywa się wtedy równo bocznym.

W stożku równobocznym każdej tworzącej odpowiadają dwie tworzące prostopadłe do siebie i do pierwszej.

Stożek jest równobocznym wtedy, gdy D=0.

Jeżeli w hyperboloidzie dwupowłokowej przekrój prostopadły do asymptoty (tworzącej stożka asymptotycznego) jest hyperbolą równoboczną, to tożsamo ma miejsce dla wszystkich przecięć podobnych. Hyperboloid a dwupo włokowa nazywa się wtedy równoboczną.

W hyperboloidzie dwupowłokowej równobocznej, każdej asymptocie odpowiadają dwie inne prostopadłe do siebie i do

pierwszej.

Hyperboloida dwu po włokowa jest równoboczna wtedy, gdy i) — 0.

W paraboloidzie eliptycznej nie może być

D = 0.

Paraboloida hyperboliczna jest równo boczną wtedy, gdy jej dwie płaszczyzny kierownicze są prostopadłemi do siebie. Aby hyperboloida hyperboliczna była równoboczną, trzeba aby było D = 0. W paraboloidzie hyperbolicznej każde przecięcie prostopadłe do osi jest hyperbolą równoboczną.

)0

Pęki i sieci kwadryk.

Niechaj będą równania dwóch kwadryk f= O, f — O, wyrażone w spółrzędnych punktowych i płaszczyznowych; układ kwadryk, przedstawionych przez równanie    nazywa

się odpowiednio pękiem albo pasmem kwadryk.

Wszystkie powierzchnie pęku przecinają się według krzywej skośnej rzędu 4 -g o (zwanej krzywą podstawową).

Płaszczyzna przecina wszystkie powierz-

c h II i e pęku k wadryk według pęku stożkowych, prosta przecina je według pęku grup dwu punktów t. j. według par punktów, będących w i n w o 1 u c y i.

Przez jeden punkt w przestrzeni przechodzi wogólności jedna tylko powierzchnia pęku; istnieją dwie k w adryki pęku, styczne do prostej danej; istnieją trzy k w a d r y k i pęku, styczne do płaszczyzny danej.

Płaszczyzny biegunowe punktu P względem wszyst. kich kwadr y k pęku przechodzą przez prostą stałą tworzą przeto pęk płaszczyzn. Prosta]) nazywa się sprzężoną z punktem P.

Pęki płaszczyzn biegunowych, odnoszących się do dwóch punktów P, P' są wzajemnie rzutowemi.

Proste, wzajemne z prostą daną względem wszystkich k wadryk pęku, sątworzącemi hy-perboloidy, w której drugi układ tworzących stanowią proste sprzężone ze wszyatkiemi punktami prostej danej.

Bieguny płaszczyzny względem wszyst-

e d n e j

się n a a stąd:

kich k wadryk pęku znaj'duj krzywej sześciennej skośnej wszystkich k w a d r y k pęku znajdują się n a j e d-n e j krzywej sześciennej skośnej.

W pęku kwad ryk mamy w ogóle trzy parabolo idy, w których jedna przynajmniej jest rzeczywistą.

ry

W pęku kwadryk istnieją w ogólności czte-stożki.

Wszystkie kwadryki pęku mają wspólny jeden czworościan biegunowy (samosprzężony), którego wierzchołki są wierzchołkami czterech stożków, należących do pęku.

Niechaj f—0, f'— 0, /'" = 0 będą równania trzech kwadryk, nie należących do jednego pęku; wszystkie powierzchnie, przedstawione przez równanie f-f-    — 0, gdzie 1 i fi są

parametry dowolne, stanowią sieć kwadryk.

Wszystkie kwadryki, przechodzące przez s i e d m punktów przestrzeni, przechodzą jeszcze przez jeden i ten sam punkt ósmy.

Wszystkie kwadryki sieci mają o ś m punktów wspólnych (punkty podstawowe sieci).

Pomiędzy k w ad rykami, należącemi do jednej sieci, jest nieskończenie wiele k w ad ryk, stycznych do jednej płaszczyzny; punktystycz-n o ś c i znajdują się na krzywej ogólnej rzędu 3-go .

Ośm punktów podstawowych sieci kwadryk mają tę własność, że krzywa sześcienna skośna, określona przez sześć z pomiędzy tych punktów ma, jako sieczną, prostą, łączącą dwa punkty pozostałe.

ieguno we p u n k t u P w z w a dr y k sieci przeć ho

O , Cfo

Płaszczyzny dem wszystkich przez jeden pu n k t (sprzężony z punktem P).

Miejscem bieguna płaszczyzny względem wszystkich kwadryk sieci jest powierzchnia ogólna rzędu 3-go, na której znajdują się także punkty sprzężone względem sieci ze wszystkiemi punktami płaszczyzny.

Pomiędzy powierzchniami sieci znajduje się nieskończenie wiele stożków; miejscem ich wierzchołków jest krzywa rzędu 6-go. Na tej krzywej znajduje się nieskończenie wiele punktów, których płaszczyzny biegunowe względem powierzchni sieci przechodzą wszystkie przez jednę prostą.

Dawniejsi geometrowie nie mieli klasyfikacyi systematycznej kwadryk; pierwszą taką ldasyfikacyę zawdzięczamy Eulerowi (Introductio in analysin inf. 1748). Teorya tych powierzchni uczyniła znaczne postępy w pierwszej połowie wieku 19-go, dzięki pracom Mong e’a, H a c li e 11 e’a, L a c r o i x’a, Binet a, Le r o y’a, P o n-c e 1 e t a, C h a s 1 e s’a. Stożkowe ogniskowe odkrył Du pin (Corr. del’Ecole etc., II) i badał Chasles (Aperç. liist. Nota 31), Z punktu widzenia geometryi rzntowej zasadniczemi dla teoryi kwadryk były rozprawy specyalne H e s s e g o (Crelle XVIII, XX, XXVI i t. d.), Sey de witza (Archiv Grunerta VII, VIII, IX, X), S tur ma

12

Pascal. Rep. II.

(Crelle LXX, IC i t. d.), a dalej prace v. S t a u d t a, Eey ego (Patrz „Geometrie der Lage“) i innych. Obszerną listę prac o kwa-drykach znaleść można w dziele G. Lor i a („II passato e il presente delle teorie geometriche, wyd. 1-e, Turyn 1887, przekład polski, Warszawa 1889, wyd. 2-ie, Turyn 1897), do którego też odsyłamy czytelnika po wskazówki bibliograficzne. Ze stanowiska geome-tryi analitycznej pisali o kwadry kacli Salmo n-F i e d 1 e r, Hesse, B a 11 z e r, D’O y i d i o, Clebsc li- Linde mann (drugi tom „Geometryi“); z punktu widzenia syntetycznego Schröter (Lipsk 1880). Geometryę wykreślną powierzchni stopnia 2-go traktuje Fiedler w dziele: „Darstellende Geometrie“. Na końcu dzieła D’O v i d i o znajdujemy pewną liczbę dokładnych wskazówek o odkrywcach niektórych twierdzeń głównych, dotyczących kwadryk. O własnościach ogniskowych kwadryk traktuje nowe dzieło Sta u-d e g o: „Die Focaleigenschaften der Flächen, 2-er Ordnung“ (Lipsk 1896). Niewiele marny tu do z; notowania badań ze stanowiska teoryi form czwórkowych kwadratowych. Wymieniamy pracę Mertensa (Wien. Ber. XCVIII), w której znajdujemy układ zupełny form niezmienniczych kwadryki, sprowadzony do 20 utworów, oraz niektóre wskazówki o układzie zupełnym dwu kwadryk. W innej pracy (tamże 1890) M e r t en s rozważa układ trzech kwadryk, sprowar zony do 47 utworów (por. Salmo n-F i e d 1 e r, Geometrie des Raumes I, Rozdz. 9).

ROZDZIAŁ VI.

TĘORYA OGÓLNA KRZYWYCH PŁASKICH ALGEBRAICZNYCH.

Rzeczy ogólne. Punkty osobliwe Wzory Pliickera. Wyróżnik

Miejscem punktów, które przedstawia analitycznie równanie algebraiczne stopnia n-tego pomiędzy dwiema spółrzędnemi kar-tezyańskiemi, albo pomiędzy trzema spółrzędnemi jodnorodnemi punktu płaszczyzny, jest krzywa płaska jako miejsce punktów lub wprost krzywa płaska rzędu n- te g o.

Miejscem rzędu pierwszego jest prosta. Styczna do krzywej płaskiej jest granicą położenia prostej, łączącej dwa punkty nieskończenie blizkie krzywej.

Wzajemnie: Obwiednią prostych, przedstawionych przez równanie algebraiczne rzędu n-go pomiędzy spółrzędnemi prostej na płaszczyźnie, jest krzywa — obwiednia klasy n-tej.

Obwiednią klasy pierwszej jest punkt.

Punktem krzywej obwiedniej jest położenie graniczne przecięcia dwu stycznych nieskończenie blizkich. Krzywe albo obwiednie, których równania nie rozpadają się na czynniki całkowite, nazywają się pojedyńczemi lub nierozkładalnemi.

Prosta płaszczyzny przecina krzywą płaską rzędu w-tego zawsze w n punktach (rzeczywistych lub urojonych).

Przez każdy punkt płaszczyzny przechodzi zawsze n prostych ( rzeczywistych lub urojonych), stycznych do krzywej o b w i e d n i e j klasy M-tej.

Dwie krzywe rzędów nj, n.₂ mają w o g ó 1 e nxn2 p unktów wspólnych (rzeczywistych lab urójonych); dwie obwiednie klas nl, n₂ mają nl n.₂ stycznych w s p ó 1-nyc h (rzeczywistych lub urojonych).

n(n-j-3)    ,

—2 punktów

Jeżeli obierzemy dowolnie

na płaszczyźnie, to przez nie przechodzić będzie jedna i tylko jedna krzywa rzędu n - t e g o. Istnieje i odpowiednie twierdzenie wzajemne.

Punkt krzywej nazywa się r-krotnym lub punktem o wielo kro t n ości r-tej, jeżeli przezeń krzywa przechodzi r razy, t j. jeżeli ma w tym punkcie r stjmznych; jeżeli te wszystkie styczne są różnemi, punkt r-krotny nazywa się zwyczajnym. Styczna nazywa się r - k r o t n ą, jeżeli dotyka krzywej obwiedniej r razy, t. j. jeżeli ma r punktów styczności; jeżeli te punkty są różnemi, styczna r-krotna jest zwyczaj n ą.

Jeżeli krzywa rzędu M-tego ma punkt M-kro-tny, to jest ona tylko zbiorem n prostych, przez ten punkt przechodzących.

Krzywa pojedyncza rzędu M-tego może

mieć tylko, prócz punktu n—1 -krotnego, jeden punkt podwójny.

Krzywa pojedyncza rzędu M-tego może

punktów podwójnych.

mieć n a j w y ż e j

Jeżeli krzywa pojedyncza rzędu M-tego mn punkty wielokrotne zwyczajne rzędu wielokrotności r₂, .    , rv, wtedy:

(m—1) (m- 2)

i~v

P ri (rt — 1)

(ń—1 ) (n—2)

i— 1

Tym wszystkim własnościom odpowiadają własności wza-

j emne.

we w liczbie nieskończonej, z 4n(?H~3)—1 punktów danych, przez (n—1) (n—2) innych pun-w, przez pierwsze określonych.

A V s z y s k i e rzechodzące rzechodzą te

>ri

w y m (m <«) le

stałe w liczbie n (n— m) punkty leżą na krzywej rzędu n—m.

Jeżeli z pomiędzy w² punktów, dwóm krzy-u n-tego wspólnych, nm punktów na krzywej rzędu m-tego, to pozo-

Największa liczba punkt ów, jaką możemy wziąć dowolnie na krzywej rzędu m, aby przez nie przesunąć krzywą pojedynczą rzędu n^>m,

wynosi:

nm — 1 (m—1) (m—2)

(Tw. Jacobi’ego, Crelle XA^j

Wszystkie krzywe rzędu n, opisane przez nm—h punktów krzywej rzędu m i przez n(n—m)—h punktów krzywej rzędu n— m, przecinają pierwszą krzywą jeszcze w innych h punktach stałych, a drugą w innych W punktach stałych (Tw. Plii-c k e r a „Algebr. Curv.“ str. 11).

przez nm w e j rzędu m n, przecina ją j e s z c z 4 (m—1) (m—2) punktach stałych.

Każda krzywa rzędu n-tego, przechodząca — £(w — 1) (m — 2) punktów innej krzy-

w innych

Każda krzywa rzędu n-1ego, opisana przez mm'—j ( —J— /// '—n——n—2) punktów przecięcia dwu krzywych rzędów mim' (rn im' są ni e-większe od n), przechodzi też przez wszystkie inne punkty, wspólne tym krzywym (Tw. Cay-1 e y'a, Cambr. Math. Journ. III, 1843).

Jeżeli w punktach, w których prosta przecina krzywą rzędu n-tego, poprowadzimy do krzy-wej styczne, .to styczne te przetną krzywą winnych n(u—2) punktach, położonych na krzywej rzędu n—2 (Poncelet).

Wielkiej ważności dla t. z. geometryi na krzywej algebraicznej jest następujące twierdzenie Noether a:

Niechaj będą dwie krzywe 99 = 0, xp=^0\ niechaj jeden z ich punktów przecięcia P* będzie qr k rotnym dla krzywej 99, r-k rotnym dla krzywej yj, i niechaj q^ ; niechaj d a 1 e j f— 0 będzie krzywą, przechodzącą przez każdy z punktów przecięcia krzywych 99 i y> ? mającą w Pź punkt wielokrotny rzędu qt j- r,- - 1, wtedy równanie t e j krzywej można zawsze przedstawić w postaci gdzie A=0, B— 0 przedstawiają dwie inne krżywe odpowiednich rzędów.

Aby wszakże można było przedstawić f w tej postaci, nie jest koniecznem, by krzywa f— 0 miała w P, punkt wielokrotny rzędu qi~\-rt—1; jest tylko koniecznem, aby rząd wielokrotności był co najmniej równy ^ (t. j. mniejszemu z dwu rzędów); wtedy atoli pomiędzy spółczynnika mi równania f— 0 zachodzić muszą związki liniowe.

Co do tego twierdzenia patrz: N o e t h e r (Math. Ann. VI, 352), Halphen (Bull, de la Société math. V), B a c h a 1* a c h (Math. Ann. XXVI), V 0 s s (tamże XXVII), C a y 1 e y (tamże XXX), Stickelberger (tamże XXX), N 0 e t h e r (tamże XXX), Zeuthen (tamże XXXI), G! u c c i a (Compt. rend. 1888) i t. d. Patrz także „Geometryę“ Clebscha-Lindemanna.

Punkt wielokrotny rzędu Jc można uważać

punktów podwójnych, ną rzędu Jc za zjednoczę-stycznych podwójnych.

Styczna do krzywej rzędu n-tego ma z krzy-

z j ednoczenie

Jc (Jc—1)

a styczną wielokr Jc (Jc—1)

nie

wą, prócz punktu styczności, jeszcze n— 2 punkto w wspólnych; z punktu na krzywej klasy ?i-tej można, prócz stycznej w tym punkcie, poprowadzić jeszcze n—2 stycznych.

W punkcie podwójnym dwie styczne mogą być: rzeczy wi-stemi różnemi, urojonemi albo zlewającemi się. W drugim przypadku mamy punkt podwójny zwany odosobnionym, w przypadku trzecim mamy ostrze lub inaczej punkt zwrotu.

Styczna w ostrzu liczy się za trzy styczne, które z ostrza można poprowadzić do krzywej.

Ostrzu odpowiada wzajemnie tak zwana styczna prze-g i ę c i a; jest to styczna do krzywej, mająca jeszcze n— 3 punktów spotkania z krzywą, albo inaczej styczna, której punkt styczności można uważać za zjednoczenie trzech punktów nieskończenie blizkich. Taki punkt styczności nazywa się p u n-ktem przegięcia krzywej. Styczną przegięcia można uważać za styczną podwójną, której punkty styczności zlewają się; uważanie to jest właściwem wszakże tylko wtedy, gdy krzywą wyobrażamy sobie jako obwiednią stycznych.

Punkty wielokrotne i styczne wielokrotne nazywamy ogólnie punktami i stycznemi osobliwemi. Należy wszakże nadmienić, że punkt podwójny albo ostrze należy uważać za punkty ośobliwe wtedy tylko, gdy krzywą rozpatrujemy jako miejsce punktów, a nie, gdy wyobrażamy ją sobie za obwiednią stycznych, albowiem w tym ostatnim przypadku każda obwiednia posiada zawsze pewną liczbę punktów podwójnych. Podobnież styczna podwójna lub styczna przegięcia mogą być uważane za styczne osobliwe wtedy tylko, gdy krzywe rozpatrujemy jako obwiednią, a nie jako miejsce punktów.

Niechaj n będzie rzędem, v klasą, d liczbą punktów podwójnych, r—liczbą ostrzy, r—liczbą stycznych podwójnych, i— liczbą stycznych przegięcia krzywej danej. Pomiędzy temi liczbami zachodzą związki, które nazywamy wzorami Plücker a (Crelle XII) :

v = u (7i— 1) — 2cl—3r; i — 3 7i (7i—2) — 6 cl — 8r;

7i— v (v—1) — 2x — 31.

r — 3 v (v—2) — 6 r — 8«.

Z wzorów tych, z których każdy jest wynikiem trzech pozostałych, wypływają związki następuj ą c e :

3 (v —7i) = i — r,

7i(7i l)(n - 2)

(v-l)(v-2)

Krzywa — jako miejsce — ogólna, t. j. bez punktów- podwójnych i ostrzy, posiada klasę, liczbę stycznych podwójnych i liczbę przegięć, określone przez związki:

n (n—2) (n²-—9),

v =71(71—1); i — Sn(n—2); r —

i wzajemnie.

• rH

tsi

CT" hj

i-i

rt-

Ul

ct“

CŚ

P"

o.

'O

CQ

u (w—2) (n²—9) — (2cl-\~ 3r) [w (w—1)— 6] -f-2 d (cl—1)

+ -g- r(r—1) -}- 6dr.

Przy wprowadzeniu rodzaju krzywej (Eiemann Grelle LIV, C1 e b s cli tamże LXIII ) wzory P1 ii c k e r a przyj -mują inną postać. Połóżmy:

(v—1) (v—2)

(u -1) (u—2)

liczba p nazywa się rodzaj e m krzywej—miejsca i krzywej obwiednie}. Przedstawia ona różnicę pomiędzy największą liczbą punktów podwójnych i ostrzy^ jakie może mieć krzywa — miejsce, nie r o z p a -ię. a liczbą tych punktów i ostrzy, jaką posiada; albo też: różnicę pomiędzy największą liczbą stycznych podwójnych i p r z e-gięć, jaką mieć może krzywa obwiednia a liczbę stycznych podwójnych i przegięć, jaką w istocie posiada.

dając si w istocie

Wzory Pliicker a brzmią wtedy:

2p—■ 2 = v-\-r — 2n = v Ą-t, — 2r

~ n(n - 3) — 2 (d + r) = v (v—3)— 2(r-j-i).

We wzorach Plückera nie robimy rozróżnienia pomiędzy rzeczywistemi a urojonemi punktami i stycznemi osobliwemi. Istnieje wszakże związek pomiędzy samemi osobliwościami rzeczywistemu (Patrz Klein, Math. An. Y, Perrin, Bull, delà Soc. math. VI).

Rodzaj p krzywej pojedynczej może być tylko albo zerem albo liczbą dodatnią.

ostrzy.

Pojęcie rodzaju wprow. dził Riemaun (1. c.) a zastosował do geometryi C 1 e b s e li (1. c.); Cayley (London Math. Soc. 1865) rodzajowi (włoskie—genere, franc, genre, niemieckie—Geschlecht) nadaję nazwę defect.

Krzywa rodzaju zero nazywa się wymierną lub j edno-bieżną^Cayley); spółrzędne jej punktów dają się wyrazić jako funkcye wymierne jednego parametru; ma ona ^ (n — 1) (n — 2) punktów podwójnych i ostrzy, pomiędzy któremi może być najwyżej 3 (n—2)

Przytoczymy kilka pojęć zasadniczych, odnoszących się do postaci linii krzywej, t. j. do figury, utworzonej przez wszystkie jej punkty rzeczywiste. Krzywa może składać się z kilku gałęzi; przez g a ł ę ż krzywej rozumiemy ogół wszystkich punktów tejże krzywej, w którym możemy przejść sposobem ciągłym od jednego punktu do drugiego., przyczem włączamy też

przypadek przejścia przez nieskończoność. Tak np. dwie części łiyperboli stanowią z tego punktu widzenia jednę gałęź.

Gałęź krzywej może być parzystą lub nieparzystą, stosownie do tego, czy prosta przecina ją w parzystej lub nieparzystej liczbie punktów rzeczywistych. Gałęź nieparzystą można utworzyć przez odkształcenie prostej, gałęź parzystą przez odkształcenie stożkowej. Dwie gałęzie nieparzyste zawsze się przecinają, skąd wypływa, że krzywa bez punktów podwójnych może mieć tylko jednę gałęź nieparzystą; krzywa bez punktów podwójnych i rzędu nieparzystego ma zawsze gałęź nieparzystą;, jeżeli zaś jest rzędu parzystego, to nie ma wcale gałęzi nieparzystej.

Te twierdzenia zawdzięczamy v. Staudtowi („Geometrie der Lage“, Norymberga 1847); patrz także; Klein (Math. Ann. VI), Z eu tli en (tamże, VII) i t. d.

Krzywa rodzaju p nie może mieć więcej niż p-j-1 gałęzi; j e ż e 1 i (n— 1) (n—2) jest równe p lub większe od p. istnieją zawsze krzywe rzędu n-1 ego, m aj ą c e p-j-1 gałęzi (Harnack, Math. Ann VI).

Podamy teraz niektóre wzory zasadnicze geometryi analitycznej krzywych płaskich algebraicznych.

Równanie krzywej może być napisane w spółrzędnych kar-tezyańskich albo w spółrzędnych prostokątnych. W przypadku pierwszym zbierzmy wszystkie wyrazy stopnia zero, następnie wszystkie wyrazy stopnia 1-go, stopnia 2-go i t. d , t. j. napiszmy równanie w postaci:

/ = «₀ -j- Ui + w₈ + • • • + u* = 0,

gdzie ogólnie ur jest wyrażeniem całkowitem jednorodnem dwu zmiennych x, y. W przypadku drugim niechaj xu x₂, x₃ będą trzema spółrzędnemi jednorodnemu; równanie krzywej możemy przedstawić w ten sposób:

f = u₀ -f- x^~l + . . . -j- un — 0 ,

mb stosując zasady rachunku symbolicznego form trójkowych, av postaci:

f = au — bH = cn = . . . = 0.

¹    XXX

Jeżeli u₀ = O, wtedy krzywa przechodzi przez początek spółrzędnych (w przypadku pierwszy m) lub przez wierzchołek x{=0, x₂ — 0 trójkąta podstawowego spół rzędnych (w przypadku drugi m); równanie ux = 0 przedstawia s t y c z-n ą w tym punkcie.

J e ż e J i ?6₀-=0, ux =0, wtedy punkt ten jest punktem podwójnym krzywej /'; dwie styczne w tym punkcie p o d w o j n w₂ = 0. J żeli v., j e s zaś nie jest czynnikiem w mi

wtedy ten p u n k t j e s t ostrzem; gdy zaś Vu₂ j e s t czynnikiem wymiernym ilości u₃, wtedy punkt uważany nie jest właściwie ostrzem, a tylko punktem, w którym styczna dotyka samej siebie (punktem samosty c zności, Selbstberührungspunkt); punkt ten uważać należy za zjednoczenie dwóch punktów podwójnych. W tym tu przypadku styczna przecina krzywą w czterech punktach nieskończenie blizkich, a nie w trzech, jak to ma miejsce w przypadku ostrza.

Jeżeli w o g ó 1 e j e s t u₀ = = ... = ur_i =0, w t e-d y początek spółrzędnychjest punktem r-krot-nym k r z y w e j f— 0, ar stycznych w tym punkcie określa równanie ur= 0.

Dla punktu podwójnego trzy pochodne f u n k c y i f względem    powinny b y ć zerem,

t. j. być powinno:

«i =    «2 = a*"1 a3 = ⁰ •

przedstawia

równanie

wadi- te zupę ym i

r*rH *

rH ⁻-¹

ym, Vu₂

ości U 3

Jeżeli wyrugujemy x pomiędzy temi trzema równaniami, otrzymamy równanie li — 0, gdzie k jest utworem niezmienniczym spółczynników równania krzywej. Ten utwór nazywa się wyróżnikiem krzywej.

Znikanie wyróżnika jest warunkiem k o -

• rH

CD

• rH

?»

P ^ P 2 Pr m.

fiu

Ct~

•+0

co o

so

CD

cs

ct-

?»

er

pr

'-C

3Ü

?»

'O

Pomijając dawniejsze prace specyalne, wymieniamy, jako pierw-sze systematyczne opracowanie teoryi ogólnej krzywych, to, które jest zawarte w „Introductio in analysin infinitorum“ (1748) Eulera, oraz w „Introduction à l’analyse des lignes courbes algébriques (1750) Cramer a; E u 1 e r o w i też (Sur une contradiction apparente dans la doctrine des courbes, Akad. Berlińska 1747) zawdzięczamy zbadanie paradoksu, że dwie krzywe rzędu n-tego przecinają się w większej liczbie punktów niż ta, która jest potrzebna do określenia jednej z nich.

Po tych pracach, po pracach L a m ć go, 6 e r g o n n e’a i innych, najważniejszemi były następujące prace P 1 ii c ke ra: „System des analytischen Geometrie“ (1835), .Theorie der algebraischen Curven“ i inne, ogłoszone w Jour, de Liouville (1834, 1837), w których podał on wzory, noszące obecnie jego imię.

O punktach osobliwych ogłosili badania: P u i s e u x (Journal de Liouville 1850), C a y 1 e y (Quart. Journ. VII, XI, Grelle LXIV i t. d.), H a 1 p h e n (Mem. des Sav. étrang. XXVI, Comptes rendus LXXVIII, LXXX), Stoi z (Math. Ann. VIII) i inni.

Dziełem po istawowem o teoryi ogólnej krzywych jest: C r e-m o n a „Introduzione a une teoria geometrica delle curve piane (Bolonia, 1862, przekład niemiecki 1865); w dziełach S a 1 m o n a i Clebscha-Lindemanna, przełożonych na różne języki, przedstawione są systematycznie i przedstawione metodą analityczną główne wyniki tej teoryi. W następnych paragrafach podamy dalsze wskazówki historyczne i bibliograficzne.

Teorya biegunowości. Krzywe społzmienne.

Niechaj będzie krzywa, przedstawiona symbolicznie przez f = an — bu = . . . = 0:

•    X    X    ⁷

krzywe, przedstawione przez równania:

aTx'<;-v = °. • • • •,    ⁼ °>

działanie zwane biegunowem, które—jeżeli od-

nazywają się odpowiednio: krzywe m i biegunowe m rzędu 1-go, 2-go . . . bieguna y względem krzywej danej. Pierwsze wyrazy tych równań otrzymujemy, stosując do runkcyi f raz, dwa razy,

wrócimy uwagę od czynnika liczbowego—w przypadku naszym (w obszarze trójkowym) wyobraża symbol:

à , d    d

^ dxx    dr₂    d xz

cr

VS 7T

O OD

Jeżeli z unkfcu y po r o w d z i m y prostą, przecinając krzywą w » unk a c h, t o p r z e t n ie ona rzywe ie nowe r z dów 1-go, 2-go ... punktu w środka harmonicznych rzędu n — 1, n — 2 ,.....punktu ÿ względem grupy n pun

któw.

Własność ta może służyć jako podstawa do określenia krzywych bieguno wy ch.

Jeżeli biegun y znajduje się na biegunowej r-tej punktu zy wtedy punkt z znajduje się na biegunowej (n—r)-ej punktu y.

Jeżeli punkt y znajduje się na krzywej danej, wtedy wszystkie krzywe biegunowe przechodzą przezeń i w nim dotykają krzywej danej.

Biegunowa (n—l)-ta (prosta biegunowa) punktu, należącego do krzywej danej, jest stjmzną w tym punkcie.

Punkty w liczbie u {n—1), w których pierwsza biegunowa punktu y przecina krzywą daną, są punktami styczności stycznych, poprowadzonych z punktu y do krzywej.

Punkt r-krotny krzywej danej jest punktem wielokrotnym rzędu r—s dla biegunowej s-tej jakiegokolwiek bieguna.

Jeżeli krzywa rozpada się na prostą i na inną krzywą rzędu (n —l)-go, wtedy biegunowa pierwsza punktu prostej składa się z tej prostej i z biegunowej pierwszej względem krzywej rzędu n—1.

Biegunowa r-ta punktu Or względem biegunowej s-tej punktu Os zlewa się z biegunową s-tą punktu 0S względem biegunowej r-tej punktu Ur.

Jeżeli krzywa dana ma punkt podwójny D, wtedy biegunowa pierwsza jakiegokolwiek bieguna 0 przechodzi przez punkt D i, tu jako styczną, ma prostą sprzężoną harmonicznie z DO względem dwu stycznych w punkcie podwójnym. Jeżeli punkt podwójny jest ostrzem, wtedy styczna do biegunowej pierwszej jest sama styczną w ostrzu.

Biegunowe pierwsze wszystkich punktów na prostej tworzą pęk krzywych o tych samych (n — l)² punktach podstawowych.

Stożkowa biegunowa punktu podwójnego rozkłada się na dwie proste, które są dwiema stycznemi w punkcie podwójnym.

Stożkowa biegunowa punktu przegięcia rozkłada się na •dwie proste, z których jedna jest styczną przegięcia.

Jeżeli punkt krzywej danej ma jako stożkową biegunową układ dwu prostych, wtedy jest on punktem przegięcia dla krzywej danej

Jeżeli biegun przebiega po krzy wej rzędu m-tego, wtedy prosta biegunowa obwodzi krzywą klasy m (n—1).

Na każdej prostej istnieje 2(n—2) punktów, w których biegunowe pierwsze są dotykane przez tę prostą; stożkowe biegunowe punktów zetknięcia są stycznemi do tej prostej.

Biegun, znajdujący się na jednej prostej wraz z n punktami krzywej rzędu ?z-tego, ma tęź samą prostą biegunową tak względem krzywej, jak i względem układu n stycznych w n punktach.

Prosta biegunowa punktu w nieskończoności w określonym kierunku nazywa się średnicą krzywej rzędu n-tego.

Średnica jest miejscem środków odległości średnich (patrz Rozdz. II §2) wszystkich układów n punktów, które powstają z przecięcia krzywej układem cięciw równoległych.

Jeżeli uważamy krzywą jako obwiednią klasy r-ej, wtedy biegun prostej w nieskończoności nazywa się środkiem.

Środek jest obwiednią (punktem) prostej równoległej do układu v równoległych stycznych do krzywej i przechodzących przez środek odległości średnich v punktów, wyznaczonych przez styczne na prostej do nich prostopadłej.

Jeżeli z punktu O prowadzimy dwie proste, przecinające krzywą w punktach RX,R Sx, Sÿ,...,S„, wtedy stosunek

Rn,

ORx . OH.₂... 0Hh

~os~x. os.₂... 08»

jest stały, niezależnie od wyboru punktu 0, o ijle t y 1 k o kierunek poprzecznych pozostaje stałym ( Tw. Newtona, Enum. lin. tertii ordinis).

iloczyny analogiczne i t. d.,

Niechaj będzie wielokąt ABC. . ., którego boki przecinają krzywą rzędu n-tego w n p u n-ktach; oznaczmy przez (B)x,(B).r.. iloczyny odcinków (liczonych od punktu B aż do n punktów), znajdujących się odpowiednio nabokach BC, BA, przez (Cx), (C₉) będzie:

(A)x (B)t(C)i . . . = (A)₂ (B).₂ (C)₂ . . . (Twierdzenie Carnota, G-óom. de pos. str. 437).

C+- B

£> N ®    ®    C_|

B⁻¹ N 17

CD

żeli na punkt Rv R

2* • •

• gB

•"d csi-^ ^ P N ® N ®

a 2.«

» p ii O p o

tS) S_J. œ

H a BO® p cd V-

SO

tSJ

CD

Ti

i-i

cr

było:

OR

—--1----

0RX ^ OR,

lub

OR

OR,

= 0.

wtedy miejscem punktu li będzie prosta (Tw. C o t e s a, Harmonia mensurarum, 1722), która jest prostą biegunową punktu 0.

miej scem r u n k o w i :

Podobnież: stożkowa biegunowa punktu Oj est punktu R, który czyni zadość w a-

ORi

OR

—— 0, i t. d., i t. d.

Przez punk O poprowadźmy prostą, przecina -j ącą krzywą w u punktach, i w punktachtych poprowadźmy styczną do krzywej; poprowadźmy następnie przez punkt 0 jakąkolwiekpo-przeczną, która niechaj przecina krzywą wpun-ktach Ą, B₂ . .    . .    , i styczne w punktach

CD •

wtedy:

rv . . . rn ;

v±₌v ¹

—J ÓTi

(Tw. Maclaurina).

Wprowadzimy teraz trzy ważne krzywe spółzmienne: krzywą H e s s e g o, Steinera i Cayleya.

Krzywa Hesse g o jest miejscem punktów podwójnych biegunowych pierwszych punktów płaszczyzny; krzywa Steinera — miejscem punktów, których biegunowe pierwsze mają punkt podwójny ; punkty tych dwóch krzywych odpowiadają sobie dwujednoznacznie, Krzywą C a y 1 e y’a nazywamy obwiednią prostych, łączących punkt krzywej Steinera z odpowiednim punktem krzywe j H e s s e g o .

Jeżeli /'= a’’x = bnx -= cx — .. . = 0 jest równaniem symbo-licznem krzywej, to równaniem krzywej Hessego jest :

(cibcfal ² VI: ~² cl

= 0,

lub

— o,

32 j

gdzie fij =

d‘źf

dx,dxj

Równanie krzywej Steinera otrzymujemy, e 1 i-minując x z pomiędzy trzech równań:

■ 0 , CCX CCy Ci o - 0 .

11—2

Chj; ' Cly CiI 0, C(X ClyClÿ

W poniższej tablicy podajemy wartości liczb Pliickerow-skich (rzędu, klasy i t. d.), odnoszących się do wprowadza-

nych tu trzech krzywych. Zakłada sią, że krzywa dana jest ogólną, t. j. że nie ma punktów podwójnych i ostrzy i że rząd jej jest równy n.

Krzywa C a y 1 e y a :

ao

rH |(M

3 (n -2) (5n—11)

3 (n—1) (n—2)

(n - 2)(ón—13)(5n²—19n-)-16i

05 !<N

18 (n—2) (2n—5)

05 |(M O

Krzywa S t e i n e r a:

i

05

oo“

co,

rH |m

3 (n-2)²

3 (n—1> (n—2)

Ol

00 [<N

12 (n-2) (»—3)

co"

co !m

3 (n-2) (4n — 9)

3) (3n 8)

Krzywa Hessego:

CO

CO

(M

rH [<N

CO

. . 3 (n-2) (3n—7)

rodzaj

rząd .    .

klasa .

liczba punk. podw. O

ostrzy .

Ph

>>

Uj

przegięć . 9 (n—2) (3n—8)

Pascal r eP- H

Jeżeli krzywa dana ma punkty podwójne i ostrza,: wtedy ;w tablicy tej należy poczynić zmiany. Dla    wzory w ko?

lumnie trzeciej do krzywej C a y 1 e y’a nie stosują się; w tym przypadku krzywa Hessego i krzywa Steine r a są jedną i tą samą krzywą rzędu 3-go; krzywa Cay-1 e y’a zamiast klasy 6-ej jest tylko 3-ej, zamiast rzędu 12-go jest tylko 6-go, ostrzy ma nie 18 lecz tylko 9.

Można podać różne definicye krzywych Hessego, Steinera i C a y 1 e y'a, odpowiadające różnym ich własnościom specyficznym.

Krzywą Hessego dla krzywej danej jest:

a)    miejsce punktu styczności dwu (lub nieskończenie wielu) biegunowych pierwszych ;

b)    miejsce punktów podwójnych biegunowych pierwszych ;

c)    miejsce bieguna, którego stożkowa biegunowa rozpada się na dwa proste.

d)    miejsce bieguna, którego proste biegunowe względem biegunowych pierwszych krzywej spotykają się w jednym punkcie.

Krzywą Steinera dla krzywej danej jest:

a)    miejsce biegunów biegunowych pierwszych, mających punkty podwójne;

b)    miejsce punktów przecięcia par prostych, które przedstawiają stożkowe biegunowe;

c)    obwiednia prostych biegunowych punktów krzywej Hessego.

d)    miejsce punktów, których biegunowe pierwsze dotykają krzywej Hessego.

e)    miejsce punktu, w którym spotykają się proste biegunowe jednego i tego samego bieguna względem biegunowych pierwszych krzywej danej.

Krzywą Cayle y’a dla krzywej danej jest:

a)    obwiednia prostych, łączących punkty odpowiadające sobie w krzywej Hessego i w krzywej Steinera ;

b)    obwiednia stycznych wspólnych w punktach styczności pomiędzy biegunowemi pierwszêmi.

t!

W*punkcie podwójnym krzywej zasadniczej i jej krzywa Hessego ma także punkt podwójny z temi samemi stycznemi,

W ostrzu krzywej danej jej krzywa Hessego ma punkt potrójny; dwie z jej gałęzi dotykają stycznej ostrzowej; w, tym to punkcie można uważać jakby ośm zjednoczonych przecięć krzywej danej z jej krzywą Hessego.

Krzywa Hessego przechodzi przez punkty przegięcia krzywej zasadniczej.

Krzywa Steinera i krzywa Cayley’a obie dotykają stycznych przegięcia krzywej zasadniczej.

Krzywa Hessego w każdym swym punkcie jest styczna do biegunowej drugiej odpowiedniego punktu krzywej Steinera.

Styczna w punkcie 0 krzywej HeSSego jest sprzężona harmonicznie z prostą, łączącą ten punkt z odpowiadającym punktem O’ krzywej Steinera względem dwu prostych, dotykających biegunowej pierwszej punktu 0’ w punkcie podwójnym; styczna zaś w punkcie 0' do krzywej Steinera jest sprzężona harmoniczna z prostą 0'0 względem dwu prostych, na które rozpada się stożkowa biegunowa punku 0.

Początki teoryi biegunowych znajdujemy w pracach Cramera, 'Newtona i innych nad średnicami prostoliniowemi i krzywolinio-wemi linij krzywych. B o b i 1 1 i e r o w i (Ann. de Gergonne, XVIII, XIX, 1829) zawdzięczamy pojęcia ogólniejsze. Później zajmowali się tą teoryą : P 1 tt c k ę r (Crelle V), Grass m a n n (Crelle, XXIV), Do Jo nq nier es (Journ. de Liöuville 1857), Cayley (Phil. Trans. CXLV11I). C r e m ona teoryę biegunowych uczynił podstawę całej swej teoryi linij krzywych W dziele, cytowanem wyżej: Tntro-duzione etc.

Krzywą Hessego wprowadził Hesse (Crelle XXVIII, XLI), a nazwał ją tak Sylvester (Phil. Trans. CXLIII); krzywą Steinera wprowadził Steine r, a nazwę nadał jej C r e m ona (Intro-duzioneetc.), sam Steiner nazywał ją „Kerncurve“; krzywą ^ayley’a wprowadził Cayley dla krzywych rzędu 3-go (Phil. Trans. CXLV1I, 1857); badali ją potem Steiner (Crelle XLVII) i Clebsch (Crelle LXIV).

Istnieje kilka prac, mających na celu udowodnienie twierdzenia

o braku punktów osobliwych w krzywej Hessego, odpowiadającej krzywej danej. Cremona przyjął to twierdzenie jako postulat; dla krzywych rzędu 4 go dowiódł go Geiser (Annali de math. IX). O krzywej Hessego pisali: Del P e z z o (Rend. Napoli 1883), Brill (Math Ann. XIII), S e g r e (Rend. Lincei 1895) i inni.

C/jO

co

Układy liniowe krzywych płaskich.

Niechaj a” = O, = O . .. będą równaniami 7r —j— 1 krzywych płaskich rzędu «-tego; układ, przedstawiony przez równanie : w którem ż,, k₂ . . . są parametry dowolne w liczbie Ze —j— 1, stanowi to, co nazywamy układem liniowym gatunku h. Dla lc=l mamy pęk, dla Ic = 2 — sieć. Jeżeli równania krzywych są wyrażone w spółrzędnych prostej, mamy pasmo dla Jc = 1.

Układ liniowy gatunku Jc jest określony przez Jc-\- 1 krzywych rzędu «-tego, które nie należą do tego samego układu liniowego rzędu niższego.

Jeżeli Jc"> 1, krzywe nie będą miały w ogóle żadnego punktu wspólnego (punktu podstawowego); jeżeli przeto wszystkie krzywe w liczbie Jc-J-l, charakteryzujące układ, mają punkt wspólny, to też punkt należeć będzie także do wszystkich innych krzywych układu.

Krzywa ogólna układu liniowego niema innych punktów wielokrotnych po za punktami podstaw o wemi (Bertini, Ist. Lomb. 1882).

W przypadku lc=l jest zawsze n² punktów podstawowych pęku, t. j. punktów, przez które przechodzą wszystkie krzywe układu.

Układ liniowy gatunku k krzywych rzędu w-tego wyznacza na poprzecznej inwolucyę punktów rzędu w-tego i gatunku k (patrz Eozdz. II § 1).

Pomiędzy krzywemi układu liniowego jest (7*;-f-l)(w— k) krzywych, mających styczność rzędu k-tego z prostą daną (t. j. k-J-l punktów nieskończenie blizkich).

Pomiędzy krzywemi układu liniowego jest

2A' (n — h) (n — k — 1).. .., (n — 2k -f-1)

k\

krzywych, z których każda dotyka k razy prostej danej.

Pomiędzy krzywemi pęku jest 2 (n — 1) krzywych, dotykających prostej danej; m(2nJrm — 3) krzywych, dotykających krzywej danej rzędu 7»-tego bez punktów podwójnych i ostrzy. W przypadku, gdyby ta krzywa miała cl punktów podwójnych i r ostrzy, należałoby od liczby poprzedniej odjąć 2d-\~ 3r.

Pomiędzy krzywemi sieci jest 3(n — 2) krzywych, dla każdej z których prosta dana jest styczną przegięcia.

Niechaj będą dwa pęki promieni, których środkami są punkty podstawowe w liczbie n² pęku krzywych rzędu w-tego; uważajmy za odpowiadające sobie takie dwa promienie, które są stycznemi, poprowadzonemi z dwóch punktów podstawowych do tej samej krzywej pęku, wtedy oba pęki promieni będą rzuto w emi; stąd: stosunek anharmoniczny czterech stycznych do czterech krzywych pęku w jednym punkcie podstawowym jest taki sam, jaktakiż stosunek anharmoniczny czterech stycznych w każdym innym punkcie. Z tego powodu możemy ten stosunek nazwać stosunkiem anhar-monicznym czterech stycznych pęku.

Pomiędzy krzywemi pęku, które dotykają się wszystkie w punkcie podstawowym P, jest jedna taka, dla której punkt P

jest punktem przegięcia, i inna. taka, dla której ten punkt P jest podwójnym.

Pomiędzy krzywemi pęku, którego jeden punkt podstawo-P jest punktem podwójnym dla wszystkich krzywych (o stycznych różnych i zmiennych od krzywej do krzywej), są dwie takie, dla których punkt P jest ostrzem; jeżeli jedna ze stycznych jest, wspólna wszystkim krzywym, wtedy istnieje jedna tylko krzywa, dla której ten punkt jest ostrzem; a jeżeli obie styczne są stałemi, wtedy istnieje jedna krzywa pęku, dla której punkt À jest punktem potrójnym.

W pęku jest w ogólności 3 (n — l)² krzywych o punktach podwójnych.

Twierdzenie to ulega zmianom, gdy krzywe pęku mają punkty wielokrotne różnej natury (Patrz Cremona, Introduzione etc. i Annali di mat. VII, 1864).

Jeżeli cC~Oj b"x — 0, cx= 0 są równaniami trzech krzywych, to warunkiem na to, aby te krzywe należały do jednego pęku, jest, by ja ko b i a n tych równań, t. j.

/    7    \ w—1 7 n—1 n-

\Cl () Cj Qjx &x Vx

był tożsamośicowo zerem (Patrz Gr o r d a n-N o ether Math. Ann. X).

Jeżeli z punktu O poprowadzimy styczne do wszystkich krzywych pęku, to punkty styczności leżeć będą na krzywej rzędu 2n — 1, przechodzącej przez punkt 0 i przez n- punktów podstawowych pęku.

Punkty podwójne krzywych pęku mają tę samą prostą biegunową względem wszystkich krzywych tegoż pęku.

Miejscem punktu, w którym dotykają się dwie krzywe (a więc i nieskończenie wiele krzywych) si eci jest krzywa rzędu 3(n — 1), która nazywa się krzywą Hesseg o, albo też krzywą Jacob i'ego sieci. Przy pomocy zwykłych znakowań symbolicznych równanie tej krzywej prz.ódstawia się wtensposób:

= 0.

(a b c) bT¹ cC

Jest to kombinant układu trzech krzywych zasadniczych uważanej sieci; inaczej mówiąc, pierwsza strona tego równania, po podstawieniu, zamiast jednej z trzech krzywych, kombinacyi ich liniowej, zmienia się tylko o czynnik stały.

Krzywa Hessego sieci jest miejscem punktów podwój nych krzywych sieci, albo inaczej: miejscem punktów, których proste biegunowe względem krzywych sieci spotykają się w jednym punkcie.

Miejsce punktów, w k tó ry ch sp otykaj ą się proste biegunowe wszystkich punktów krzywej Hessego względem krzywych sieci, nazywa się krzywą Steinera sieci; ob wiednia zaś prostych, łą czących odpowiadające sobie punkty w krzywej Hessego, i w krzywej Steinera, nazywa się krzywą Cayley’a sieci.

Krzywa Steinera jest rzędu 3(n — 1 )², krzywa Cayley’a klasy 3n(n— 1).

Jeżeli rozważać będziemy sieć biegunowych pierwszych względem krzywej danej, to krzywa Hessego, Steinera i Cauley’a stają się odpowiednio krzywą Hessego, Steinera i Cayley’a dla krzywej danej zasadniczej (patrz § 2).

Do tych krzywych stosuje się następująca ta

blic a :

K r z y w a C a y 1 e y‘a sieci.

3f»-l)(5n-6)

3n (n—1)

7,- (3n—4) (3» o)

~ (»—l)(5n — 8)(5»²—9n-j-2 )

18 (n—1) (2n— -3)

y- (»—1) («²-2)

'O

K r żywa Steine r a sieci.

cc

cc^

3 (n—l)2 3« (n—1)

(3n—4) (3»

r-1 (M

015 |c<ł

12 (n—1) (n—2)

co

cc

~r

05 |(M

3 (n—1) (4n—5)

Krzywa Hessego lub Jacob i‘ego sieci.

rząd.....3 O - 1)

klasa .... 3 (a-l) (3n—4)

rodzaj . .

liczb. punk. podw. O

„ ostrzy . . O

» Stycz. podw. — n (»— 1) (n -2) (3n—5) „ punk. przeg. 9 (n—1) (3n—5)

Jeżeli krzywe sieci mają jeden punkt wspólny, wtedy jedna z nich ma punkt podwójny, a te, które w tym punkcie dotykają prostej danej, tworzą pęk. Krzywa Hessego przechodzi przez tenże punkt i ma tu punkt podwójny ze stycznemi zlewają-cemi się ze stycznemi do krzywej, która ma tu punkt podwójny.

Jeżeli wszystkie krzywe sieci mają punkt wspólny i w nim tęż samą styczną, wtedy istnieje tu pęk krzywych, mających w tympunkcie punkt podwójny i dwie krzywe, mające tu ostrze. Krzywa Hessego ma tu punkt potrójny, a dwie ze stycznych w punkcie potrójnym zlewają się ze styczną wspólną.

Jeżeli wszystkie krzywe sieci mają w punkcie stałym punkt wielokrotny rzędu w-tego, wtedy krzywa Hessego ma tu punkt wielokrotny rzędu 3 (r — 1).

Każdej krzywej sieci, mającej dwa punkty podwójne, odpowiada punkt podwójny w krzywej Steinera, stąd w sieci ogólnej jest

(n— 1) (n — 2) (3/i² — 3/i —11),

krzywych z punktami podwójnemi. Podobnież w sieci ogólnej jest

12 (n — 1) (w—2)

krzywych, mających ostrze,

(n—1) (w—2) (3?i²-|-3n—8)

Li

wre

pęków krzywych, mających dwie styczności;

szcie

3 (n - 1) (4w — 5)

pęków krzywych, mających styczność rzędu 2-go (t. j. trzy punkty nieskończenie blizkie).

ma

Wszystkie liczby powyższe ulegają zmianom, gdy sieć punkty podstawowe, pojedyncze lub wielokrotne, t. j. punkty, przez które przechodzą wszystkie krzywe sieci.

Sieć, w której wszystkie krzywe spotykają każda każdą w jednym punkcie ruchomym, nazywa się siecią homalói-dalńą.

Wszystkie krzywe sieci homaloidainej są rodzaju zero.

.gi oznaczają welokrotności kolejnych punktów podstawowych sieci liomaloidalnej, wtedy mamy związki:

gli Q2 • • p •

Jeżeli

gjghfól")

n (n-f 3)

2 ; Qi — 3 (n—1)

Niechaj będą trzy krzywe rzędów n₁, v3Î możemy utworzyć krzywe spółzmienne, odnoszące się do tego układ układu trzech krzywych i analogiczne z krzywemi Jacobkego i Stein er a dla sieci (t. j. gdy n{ =n₂==n₃ = n).

Krzywa Jaco b i?e g o u kła d u trzech k r z y w y c h j e s t krzywą rzędu nx -j-    -j-n₃ — 3, stanowiącą miejsce

punktów, których proste biegunowe względem trzech krzywych schodzą się w jednym punkcie.

Miejscem tego ostatniego punktu jest krzy wa, która w przypadku rzędów równych staj e się krzywą Steinera sieci, i dla tego nazwiemy ją krzywą Steiner a układu trzech krzywych; krzywa ta jest rzędu

n,w₂ + «V*3 + n?,ni — ² (»i +    + ns) -f- ³-

Krzywa Jacobi’ego układu trzech krzywych jest miejscem punktów, w których przecinają się biegunowe pierwsze tego samego punktu względem trzech punktów danych.

Jeżeli trzy krzywe mają wszystkie razem punkty wspólne, wtedy przez punkt ten przechodzi tak krzywa Jacobi'ego j ak i krzywa Steine r a.

Krzywa Jacob i’ego przechodziteż przez p un k t y podwójne krzywych danych.

Teoryę liniowych układów linij krzywych badano w ostat-nich czasach w wielu kierunkach, gdyż wiąże się ona z różnemi teo-ryami geometrycznemi, jak: przekształcenie dwujednoznaczne, odwzorowanie powierzchni na płaszczyźnie i t. zw. geometrya grup punktów na krzywej algebraicznej.

O dwu pękach linij krzywych, uważanych wodpowiedniości rzutowej,mamy ważne twierdzenie: Każda krzywa algebraiczna może być uważana jako miejsce punktów prz cięcia odpowiadających sobie krzywych wóch pęków rzutów y ć h.

Twierdzenie to wypowiedział i udowodnił O h a s 1 e s dla krzywych rzędu 3-go (Compt. rend. XLI, 1853); ogólnie dowiódł go De Jonquières (Mem. de l’Acad. des sciences, XVI, 1858).

t uogólnieniem two-k o w y c h.

Z prac o układach liniowych prócz „Introduzione“ Cremony wymieniamy; D e J o n q ui ère s (Math. Ann. I), Cap o rai i (Collect. Math. 1881), Jung (Annali di math. XV, XVI), G u cci a (Rend. Palermo, VII) i t. d. Należą tu także wszystkie badania o grupach punktów na krzywej, o czem mowa niżej, Osobliwości krzywej Jaco-bi’ego układu trzech krzywych badał Gerbaldi (Rend. Palermo VIII).

Twierdzenie to e rżenia rzutowego s o

t*Łv

C+- Ł-J-

co

fP,

i*

Grupy punktów na krzywej algebraicznej.

W t. zw. geometry i na krzywej algebraicznej badamy własności grup punktów na krzywej zasadniczej rzędu n-tego, powstających przy przecięciu krzywej .ukła-darni innych krzywych jakiegokolwiek rzędu, a specyalnie układami 1 i n i o w e m i, t. j. gdy ich równania zawierają liniowo parametry zmienne.

Jeżeli krzywa zasadnicza jest prostą, wtedy te grupy punktów stanowią inwolucyę rzędu wyższego, o której była mowa w § 2 Rozdz. Ii-go.

Wykład tej teoryi poprzedzimy podaniem kilku twierdzeń o punktach przecięcia dwu krzywych.

Krzywą zasadniczą f rzędu n - tego przetnijmy krzywą 99 rzędu m-tego, przechodzącą przez <5 punktów osobliwjmh pierwszej z nich (w liczbie ô liczymy ile razy przechodzi krzywa cp przez punkt osobliwy krzywej f). Punkty przecięcia dwu krzywych nie są od siebie niezależne: niektóre z nich są wyznaczone przez inne. Jeżeli k jest liczbą punktów przecięcia dwu krzywych, wyznaczonych przez wszystkie pozostałe, wtedy mamy następujące nierówności zasadnicze:

Jeżeli m <C n—2, wtedy k mn —

ni (m-f-3)

(n—1) (n—2)

(u—m—1) ( n—m—2)

jeżeli zaś m ^ n

(n — 1) (n—2)

— Ô.

Krzywą dołączoną nazywamy krzywą, przechodzącą r—1 razy przez każdy punkt r-krotny krzywej f stąd, jeżeli /' nie ma innych punktów wielokrotnych, prócz punktów podwójnych i ostrzy, wtedy krzywa dołączona podlega tylko warunkowi, aby przechodziła pojedynczo przez każdy punkt podwójny lub przez ostrze krzywej f.

Niechaj 9o będzie krzywą dołączoną rzędu m - t.e g o.

te o

(T)    • r-i

. "a

rozumi my liczbę punktów przecięć a rzywyc fi 9?(z pomiędzy mn punktów przecięcia), wyznaczonych przez punkty pozostałe —z achodzą nierówności (2) oznacza rodzaj krzywej f) :

vi^> u — 2 ,

Godnemjest uwagi, że w drugim przypadku liczba /cnie zależy wcale od rzędu m krzywej przecinającej; w pierwszym zaś przypadku, gdy vi—n — 3, mamy k^p— 1.

Jeżeli krzywa (p jest krzywą dołączoną, wtedy w równaniu jej występuje liniowo pewna liczba parametrów dowolnych w ten sposób, że zmieniając te parametry, otrzymujemy układ 1 n i o w y.

Niechaj Q będzie liczbą punktów ruchomych przecięcia krzywych f i 99, t. j. punktów przecięcia zmieniających się wraz z krzywą cp\ jeżeli k z tych punktów wyznacza się z pozostałych Q—k: to liczba tych punktów, które na krzywej f możemy obrać dowolnie, wynosi Q—k=q; liczbę q nazwiemy wielokrotnością układu Q punktów, gdyż będzie oo⁹ grup po Q punktów, które na krzywej /"wyznaczają krzywe gatunku 99. Liczba q jest liczbą parametrów dowolnych, zachodzących liniowo w równaniu krzywej 99. Twierdzenie powyższe daje wtedy :

(n—m—1) (n—m—2)

gdy m < n — 3, jest <?> Q— p 4

« m > n—3, „ ą><4—p.

Te wzory można napisać w innej postaci, która służy do przedstawienia granicy wyższej dla liczby Q, gdy znana jest wielokrotność q układu. Można powiedzieć, że

gdy vi —n — 3, jest Q < q 4- p — 1

„ m > n — 3,

» Q 4 9. "tP •

Brill i Noether (Matb. Ann. VII) znaleźli granicę niższą dla Q; jest mianowicie zawsze:

Q>

gdy ni < u - 2 ,

(n—m - -1) (u—m—2)

q 4-1

Nadto, jeżeli -położymy :

to można powiedzieć, ż,e istnieje oor układów O Q p u n k t a c li i o wielokrotności q.

J e . ż, e 1 i r 0, to. liczba tych układów jest skończona i równa się'

• • • (p—l—Q ' q)\ pl

‘ 2! 31 i q. 2?

2! 3!

. : (ty+p-Q)!

(C a s t e 1 n u o v ó, Lincei 1889).

D ] a q — 1 liczba ta równa si ę :

' .J.

ip—-Q-f-1) (p—Q-J-2)!

(B r i ] 1 - N ö t h e r Math. Ann. Y).

o 7,: ; »

Przez symbol Gq oznaczmy grupę układu liniowego o Q punktach i o wielokrotności q₇ przez symbol yqQ — cały układ takich grup.

Jeżeli    2 p — 2. w t e d y jest ściśle (]= Q —p.

Jeżeli Q~2p— 2, wtedy q—p-—1, albo p—2 (przypadek układu niespecyalnegö patrz niżej).

Jeżeli /' jest krzywą nierozkładalną, wtedy istniej e p krzywych dołączonych, liniowo niezależnych r z ę d u n—3, które z kr z y w ą /nie maj ą innych punktów wspólnych, prócz punktów wielokrotnych. Jeżeli / rozkłada się na li czynników, wtedy istnieje p -J k —1 krzywych dołączonych liniowo-niezależnych rzędu n—3. (Chris toffelp Annali di mat. X. )

Krzywe dołączone rzędu n—3 przecinają krzywą zasadniczą / w 2p—2 punktach (jeżeli wyłączymy punkty osobliwe stałe). Otóż istnieje następujące ważne twierdzenie:

Każdy układ liniowo q - krotnie nieskończony o Q punktach może być zawsze wycięty n a k r z y w e j zasadniczej f przez układ krzy-wy c.h dołączonych rzędu il — 3, o ile tylko g Q — p -}- 1. Warunek ten w y:ł ą c z a (na zasadzie twierdzenia już podanego), aby było Q> 2p—2.

W szczególności:

Jeżeli pęk (^=1) krzywych dołączonych ma p przecięć ruchomych z krzywą f} wtedy każda grupa takich p p un któ w leży na krzywej dołącz o n e j r z ę d u n—3.

Grupa Q punktów, przez które przechodzi co najmniej jedna krzywa dołączona rzędu n— 3, nazywa się grupą spe-c y a 1 n ą; układ, do którego ta grupa należy, nazywa się układem specyalnym.

Układ glJ-2 nazywa się układem kanonicznym Układ ten nie ma punktów stałych i jest jedynym.

reszcie

Jednem z twierdzeń zasadniczych w teoryi, o której obec-jiie mówimy, jest tak zwane twierdzenie (Restsatz), które pokazuje w pewien sposób, że grupy punktów na krzywej można rozważać jako coś niezależnego od krzywych przecinających..

Dwie grupy punktów Gq, Gq, nazywają się spółresz-toweici (kerezydualnemi), jeżeli istnieje inna grupa Gr taka, że dwie grupy Gq i Gr przedstawiają wszystkie przecięcia ruchome (z wyłączeniem punktów osobliwych) krzywej dołączonej do krzywej f, i jeżeli grupy Gq i Gr przedstawiają wszystkie przecięcia ruchome innej krzywej dołączonej. Dwie grupy GQ i Gr nazywająsię w z a j e m n i e - r e s z t o w e m i.

Twierdzenie o reszcie brzmi:

są spółreszto wem i

t;

J e żel i grupy GQ i

■C 1

w z. g 1 ę d e m grupy 6r/>, to będą także s p ó ł reszto w e m i względem każdej innej grupy Gr: , które razem z niemi two zy układ zupełny prze-r u eh o mych jak ej kol wiek innej krzywej z krzywą f. Innemi słowy: własność dwu grup punktów, wyrażająca ich s p ó ł r e s z t o w ość, jest niezależna od grupy punktów resztowej dla obu,

t. j. niezależna od krzywych, przecinających, wyznaczających na krzywej f g r u p y punktów. Albo jeszcze inaczej: j e ż e 1 i przez grupę Gq punktów przesuniemy krzywą dołączoną, przecinającą krzywą /'według grupy Gr', wtedy grupy Gu' i Gq' tworzyć będą układ zupełny przecięć ruchomych krzywej dołączonej z krzywą f.

Twierdzenie to, uważane algebraicznie, znajdujemy w pracy Brilla-Nöthera (Gröttig Nachr. 1883 i Math. Ann. VII), ale początek jego tkwi w pracy A b e 1 a o całkach przestępnych (patrz odnośny rozdział w T. 1 „Repertoryum“).

Niechaj będzie grupa punktów należąca do układu liniowego (fQ i niechaj r—r-j-1 b ę-dzie liczbą krzywych dołączonych liniowo-nie zależnych rzędu n—3, przechodzących przez punkty Q, wtedy wielokrotność q wyraża się wzorem:

J est to twierdzenie zwane twierdzeniem Riemanna-ßocha (Crelle LXIV); odkryto je przy badaniu teoryi funkcyj algebraicznych (patrz „Repertoryum“ t. I, str. 339). Liczba r przedstawia w niem liczbę parametrów niejednorodnych, zachodzących w równaniu ogól-n e m krzywej dołączonej rzędu n—3, p r z e c h o-

,] przez pun t układu tak c

O' O

Q ; daje ono wielokrot-kr żywy eh. Dla układu ogólnego (niespecyalnego) jest r~j-l=0.

Krzywa krzywą f w

na dwie grupy o Q i li punktach (Q Ii =:    — 2).

Grupa pierwszych Q punktów należy do ukła-owego o wielokrotnością; grupa dru-

Twierdzenie Eiemaniia-Rocha można przedstawić wpostaci następującej, której nadajemy nazwę twierdzenia o wza-jemności Brilla i Nöt h era (tak nazwał je Klein) : ołączona rzędu n — 3 --2 punktach, które d ieląsię

gich E punktów należy do układu liniowego wielokrotności r, przyczem sprawdzają się związki:

q — r — Q — p -j- 1 ; r — q = E — p -j- 1.

Z twierdzenia Rie manna-Roch a wypływa następujące, zwane twierdzeniem Clifforda (Phil. Trans. 1878).

Jeżeli układ g\ jest s p e c y a 1 n y m (t. j. jeżeli odpowiadająca mu liczba r—j—1 jest większa od zera) wtedy być musi Q 2 ę.

W układzie liniowym gqQ istnieją pewne grupy punktów Q, należące do układu, mające dwa lub więcej punktów zlewających się; te punkty nazywamy punktami wielokrotne m i układu.

Liczbę punktów (q —j- 1) - krotnych, należących do układu, wyraża wzór

(<?+l)(4-b<?P — q).

Patrz Brill, Math. Ann. iV; Clebsch-Lindemann, „Geometrie“. Pytaniami tego rodzaju zajmowali się: De Jonquiè-r e s (Crelle LXVI), C a y i e y (Phil. Trans. CLY1I) i inni.

W układzie    t. j. w układzie wszyst

kich grup punktów na krzywej f, powstałych z przecięcia jej wszystki emi krzywemi dołą-czonemi rzędu n—8, istnieje w ogóle skończona liczba grup o p—1 punktach—każdy z nich liczony jest dwa razy; liczba ta wynosi 2^—1 (2* — 1). Grupy te odpowiadają krzywym dołączonym rzędu n—3, stycznym do krzywej fw każdym punkcie spotkania z tą krzywą.

Istniej e 2*—:1 (2p —|— 1) krzywych dołączonych rzędu n — 2, stycznych do krzywej / w y punktach.

Krzywa /'może byó wszakże taka, iż grup rzeczonych może być w niej nieskończenie wiele, a mianowicie co”⁻'¹ (m=2, 8 .. .).

14

Pasc 1 .lep. II.

Badaniem takich układów, ważnem dla teoryi funkcyj ebelo-wych, zajmowali się pierwsi: Weber (Math. Ann. XIII i Kraus (tamże XVI).

Naturę krzywych f w przypadku nieskończonej liczby takich grup określają następujące twierdzenia Krausa:

T y p e m k r z y w e j f, p o s i a d a j ą c e j co¹ grup o p —1 punktach, w których krzywa dołączona rzędu n—3 jest do niej s ty c zna, jest, gdy p>3, krzywa rzędu p—j—1, mająca punkt taki, w którym dotyka samej

(p—4) (jp-f-l)

siebie (punkt samostyczności), oraz

któw podwójnych, położonych na krzywej rzędu p—4. Gr d y p=3, mamy wtedy krzywą f rzędu piątego z punktem potrójnym.

Typem krzywej f, na której istnieje układ oo¹ grup o p—1 punktach takich, o jakich mowa

wyżej, jest krzywa rzędu p—1, mająca

(p— 1)(P—6)

punktów podwójnych, położonych na krzywej dołączonej r z ę d u p — 6. Najmniejszym rodzajem dla krzywej w mowie będącej j e s t p = 6.

Typem krzywej z układem oo’”⁻¹ (m>3) grup punktów, o jakich mowa, jest krzywa rzędu (p—m)¹—(p-{-»«)

punktów podwój-

d u, ] e ż ą n a i n n e j t a k i e j krzyw j dołączonej rzędu n—3 (Tw. Weber a).

Oj

Wypływa stąd istnienie pewnych zależności kwadratowych tożsamościowych pomiędzy stronami pierwszemi równań dwu krzywych dołączonych rzędu w—3.

Ważną kategoryę krzywych stanowią krzywe, zwane hy-pereliptycznemi. Ze stanowiska teoryi grup punktów określamy te krzywe, jako posiadające układ y₂¹ .

W układzie g₂x istnieje 2p-j-2 par punktów zlewających się.

z chodząca e h o d z i ko-

i-i

pary, p drugi.

CS5

W krzywej hypereliptycznej punkty te są rozmieszczone parami w ten sposób, że każda krzywa dołączona rzędu n—3, prze jeden z p u n k t ó nieć nie i przez punk

Ważne znaczenie w zajmującej nas teoryi oraz rozmaite zastosowania posiada wzór, nazwany wzorem odpowiednio-ś c i (Corespondenzformel) Cayley’a i Brilla, będący uogólnieniem wzoru C h a s 1 e s’a, o którym była mowa w § 2 Rozdziału I. Niechaj będzie związek:

<P (xt,x₂,x₃,yu y₂, y/₃)

stopnia r względem spółrzędnych x, stopnia s względem spół-rzędnych y. Jeżeli damy sobie punkt (x), to związek ten określi krzywą na płaszczyźnie, przecinającą krzywą zasadniczą f w ns punktach; a jeżeli damy sobie punkt (y), to związek określi nam krzywą, która przetnie krzywą f w ns punktach. Wybierzmy punkty (x) i (y) na krzywej /. Zmieniając punkt (x) na krzywej /, otrzymamy na niej szereg grup o ns punktach, a zmieniając (y), otrzymamy na krzywej /"szereg grup o nr punktach. Mamy zatem odpowiedniość omiędz dwoma szeregami grup punktów n krzywe /. Wzór, o którym mówimy, daje nam liczbę punktów zjednoczonych tej odpowiedniość i.

Przyjmijmy, że jednemu punktowi (x) odpowiada ß punktów iy), danych przez przecięcie krzywej szeregu drugiego z krzywą f\ że ta krzywa spotyka nadto krzywą f w y punktach zlewających się z punktem (./:); oraz że jednemu punktowi ty) odpowiada a punktów, danych przez przecięcie z krzywą / krzywej szeregu drugiego. Ta krzywa szerego drugiego powinna przejść jeszcze y razy przez punkty ty), a liczbę punktów (X), zlewających się z dpowiadającemi im punktami ty), daje wyra e n i e :

a + ß -f

Jeżeli p — 0 (t. j. jeżeli f jest krzywą wymierną), wtedy wzór ten redukuje się do wzoru Chasles’a.

Punkty zlewające się tworzą zawsze układ zupełny przecięć krzywej f z inną krzywą.

Powyższe twierdzenie podał poraź pierwszy C a y i e y (Compt. rend. LXII, Proc. Lond. Math. Soc. I), dowód zaś podał B rill (Math. Ann. VI, VII, XXXI; patrz także J u n ker Dissert. Tybinga 1889). Inne dowody dali: Schubert (Calcul der abzähl. Geom. § 18), 1» o bek (Wien. Acad. XCIII)), L i n dema n n (Grelle, LXXXIV), Hurwitz (Math. Ann. XXVIII), Zeuthen (Math. Ann. XL), Segre (Annali di mat. XXII, § 12). Niektórzy autorowie (jak np. Hurwitz) podali twierdzenie jeszcze ogólniejsze. Porów, osobny paragraf, poświęcony temu twierdzeniu w „ (leometryi “ Clebsch a-L i n d e m a n n a.

Geometrye grup punktów na krzywej utworzył,—rzec można—

R i e m a n n, który rozważał ją—co w istocie rzeczy wychodzi na jedno—z punktu widzenia teoryi funkcyj algebraicznych (patrz „Reper-toryum“ t. I, Rozdz. XV)⁻ Później teorya ta rozwijała się w różnych kierunkach.

Kierunek, który możnaby nazwać funk c y j n y m (lub teoretyczno-funkcyjnym), bierze początek od Riemann a oraz w licznych pracach o całkach abelowych; kierunek algę b r a i c z-n o - g e o m etryczny rozpoczyna się od rozprawy podstawowej Brill a-N oethera ( Math. Ann. VII); mamy wreszcie kierunek a 1 g e-braiczno-a rytm etyczny Kroneckera, De dekin d a Weber a. W ostatnich czasach przybył jeszcze kierunek g e o m e-t r y c z n y c z y s t y, o którym można powziąć wyobrażenie z nowej pracy Segrego (Annali di mat. XXII).

Teorya grup punktów jest wielce ważną w badaniu przekształcenia dwujednoznacznego krzywych płaskich (patrz niżej), gdyż dla tego przekształcenia własności grup mają cechy niezmiennicze.

Dla krótkości nie wymieniamy tu licznych innych prac N o e -t h e r a, Brilla i t. d. K ü p p e r, B o b e k, Amodeo (patrz Lincei 1893, Annali di mat. XXI, XXIV, Acc. Nap. 1896) badali krzywe zwane /c-gonalnemi; są to krzywe, posiadające szereg liniowy i nie mające szeregu liniowego jednokrotnie nieskończonego stopnia niższego; krzywe hyper eliptyczne są ich szczególnym przypadkiem. Oczywiście, każda krzywa jest Zc-gonalną, o ile Ic ma wartość odpowiednią. Teorya, o której mówimy, jest traktowana metodą algebraiczną w nowej pracy B e r t i n i’e g o (Ann. di mat. XXII). Wskazówki, dotyczące tego przedmiotu, znaleść można w pracy historycznej Brill a-N o e t h e r a, ogłoszonej w Jahresber. d. Deutschen M., V, III, 1892—1893.

ss.

e»

Przekształcenia dwujednoznaczne płaszczyzny lub krzywych płaskich. Przekształcenia wielokrotne.

Połóżmy:

(1)

Vi —- fi (■^'1»    > •£§)

Znak = jest tu znakiem proporcjonalności: w istocie tedy związków jest dwa a nie trzy; ft—są funkcyami wymiernemi całkowi-temi stopnia n-tego względem xl, x₂, x.A bez czynnika wspólnego. Przyjmijmy, że rozwiązując równania (1), otrzymujemy związki:

(* = 1,2, 3)

(2)

Xi = (pi (xx, x₂, x₃),

w którym są także funkcyami wymiernemi całkowitemu Mówimy wtedy, że równania (1 ) określają przekształcenie d w u wymierne albo dwujednoznatzne płaskie

w tem znaczeniu, że przez nic dwie płaszczyzny (płaszczyzna x i płaszczyzna y, które mogą być także nałóżonemi) odpowiadają sobie w ten sposób: iż p u n k t o w i j e d n e j z nich odpowiada jeden i tylko jeden punkt drugiej, i odwrotnie.

Przekształcenie takie nazywa się także przekształceniem Cremony (kremoniańskiem) od nazwiska uczonego, który po raz pierwszy przedstawił teoryę tego przekształcenia w całej ogólności.

Pierwsza własność zasadnicza tego podstawienia jest nastę

pująca:

topie funkcyj ęowinien być taki sam, aksto i eń funkcyj Dalej:

Aby przekształcenie było dwuj ednoznacz-n e m, jest konieczne m, by sieć, utworzona z trzech krzywych f .= 0, /* = 0, /'₃=0, miała w²—1 punktów stałych (punktów zasadniczych przekształcenia). Sieć taka nazywa się, jak wiemy, homaloidalną.

Toż samo oczywiście stosuje się do sieci trzech krzywych (fi — 0.

Krzywe fi — 0 i (pi — 0 powinny być wszystkie rodzą ’u zero, a ich pun

powinny naj do wać się pomię zy pun tanu zasadnicze mi przekształcenia.

Niechaj pomiędży n²—1 punktami zasadniczemi przekształcenia będzie al punktów pojedynczych dla wszystkich krzywych, eto—punktów podwójnych,

nych dla wszystkich krzywych ; wtedy pomiędzyliczba-mi a zachodzą trzy związki następujące, zktó-rych każdy jest wynikiem dwóch innych:

Ul

NJ

a₁ -j- da₂ -j- 9a₃ -j-

Ph

P-i

wielok ot ne

PT

an—i punktów n—1-krot-

+ (n² — 1) a„_! = n² — 1,

IO l—¹

(w—1) (w—2) a»_i = — (n-1) (w-2),

ai +³«2+6«3 -J- * , . -f -g- n (n—-1) aH—\ = n (w-f-3)

2,

Dawszjr sobie wartość n, możemy z tjmh wzorów znaleść wartości możliwe dla liczb a; do tego celu służą tablice, ułożone przez Cremonę i Cayle y’a.

Punkt zasadniczy /c-krotny dla wszystkich krzywych przekształcenia nazywa się punktem zasadniczym rzędu Ic - tego.

Wzory powyższe utrzymują się, jeżeli krzywe f (i <p) me mają stycznych wspólnych w punktach zasadniczych.

Punktowi zasadniczemu rzędu k-go n a j e d-nej p 1 a s z zyżnie odpowiada na drugiej krzywa rzędu i rodzaju zero (krzywa zasadnicza /.: - ta)

O -i

Krzywe

unkty wielokrotne ni zych tejże płaszcz ach si przecinaj s dni

asadnicze płaszczyzny m a w punktach z a s a-z ny i tylko w tych

Ph-

u n

est z a r

dnie

i-i

r®

rzec ho zi rzez z y (lich,

Pb *

C-O-ö tsj. ga

u h wyr u h

licz ą

r z y w a zasadnicza rz unkt zasadniczy rz ę ad to wyznacznik la** I = ± •*.

JO

P- r®

Ic.

z e <Xk h cą, ile razy z i przez

O-h-k r= O-h

Cr O

pn

przez

Krzywa zasadnicza przech

rzędu k w że

unkt zas d ic

d z i 3Ic—1 razy

Je

cö

e 1 i en o z n c a,

P ?» '-<1

, liczbę pun -ednej z płasz-drugie , w t e-

kt w zasadniczych rz

cz zn, ßi liczbę analo iczn dl

róż ią się odl czba

P cP»

d y «Za,- =    a 1 i c z b y

tylko porządkiem (Tw. Cremony).

Sama trzech liczb rzędowych trzech punktów zasadniczych rzędu najwyższego jest zawsze większa od n.

Wielce ważnem jest twierdzenie następujące:

Każde możnaz st c e ń k w a r a

mizasadniczemisątrzy punkty zasadni

ci- .80

przekształcenie kremońiańskie ić skończoną liczbą przekształ-w y c h, których trzema pu

P, O

O ct-

najwyższego rzędu przekształcenia pierwotnego.

Twierdzenie to podali: Clifford (patrz C a y 1 e y, Proc. of the Lond. matli. Soc. HI), N o e t h e r (Math. Ann. III, V), R o s a -n e s (Crelle LXXIII).

zwarty punkt przecię-k o w y c li.

P-I

N- O

o wie nich sto

Równania przekształcenia kwadratowego dają się zawsze sprowadzić do postaci (Tw. C a y 1 e y’a):

Na mocy przekształcenia kwadratowego (n=2), rostyrn na jednej płaszczyźnie odpowiadają na drugiej stożkowe, przechodzące przez trzy punkty stałe; punktowi pr ze cięci a dwu pros ciao

Umieśćmy dwa punkty zasadnicze w dwóch punktach kołowych płaszczyzny, trzeci zaś w początku spółrzędnych karte-zyańskich ; otrzymamy wtedy przekształcenie zwane prze-kształceniemp rzez promie nie wodzące odwrotne lub przez inwersyę (odwrócenie) ; niektórzy nazywają inwersyą przekształcenie kwadratowe ogólne.

Przekształcenie kwadratowe sprawia, iż krzywej rzędu »î- tego, przechodzącej Jcu k₂, k3 razy przez trzy punkty zasadnicze, odpowiada krzywa rzędu 2 m— kx — lc₂ — Jca , przechodząca razy m—(/r₂-j-Ä₃), m—(k₃-{-kx), m-(kx-j-&₂) przez punkty zasadnicze własnej płaszczyzny.

Przekształcenie rzędu n-l u m-tego, zasadnie

go sprawia, że dząc j h razy u , dpowia-z ę d u ju = nm — JEV* p zechodząca

rCD £r

r    w ej

r    z p u

a krzywa

= mSk — lEiTiC/Lix razy przez punkt zasadniczy rzędu s/: (znaczenie liczb a,a podaliśmy wyżej na str. 214).

q>>

I-i

Jeżeli chcemy, aby przekształcenie było d wuj e d n o -znacznem nie dla całej płaszczyzny, lecz tylko dla pun-któw dwóch odpowiadających sobie krzywych F i F', Avtedy nie jest koniecznem, aby sieć przekształcenia była homaloidalną. Trzeba wszakże, aby k r z y-

s i ę w j e d n y ni

n ały się już

żywej, o ile ten drugi

we sieci, które prze in kcie krzywej F, nie n y m punkcie tejże

punkt nie jest punktem zasadniczym, t.j. wspólnym wszystkim kr y w ym sieci.

Rodzaj krzywe n i e z m i e n i a się w skutek przekształcenia dwuwymiernego ( Twierdzenie R i e m a n n a o zachowaniu rodzaju).

Krzywa nieprzywie ln się dwu wymiernie p r z

Krzywa rodzaju 1 dwu wymiernie rzędu 3-go

Krzywe dołączone rzędu n— 3 mają własność wielce ciekawą dla przekształcenia dwuwymiernego, mianowicie:

Jeżeli wskutek przekształcenia dwuwymiernego krzywa F rzędu M-tego przekształca się na krzywą Fr rzędu r-tego, wtedy układ punktów przecięcia z kr żywe mi dołączonemi rzędu n — 3 krzywej F przekształca się na układ punktów przecięcia krzywej F' z jej k r z y w e m i dołączonemi rzędu v - 3.

Rozważmy sieć krzywych rzędu n—3 dołączonych do danej krzywej F rodzaju p\ weźmy punkty podstawowe sieci wszystkie na krzywej F i przyjmijmy wreszcie tę sieć za podstawę przekształcenia dwuwymiernego krzywej, wtedy krzywa F przekształca się na krzywą rzędu p-f-1 z punktami wielokrotne mi równoważnemi \ V (P—3) punktom pod w ó j nym, Krzywą taką można przyjąć za typ normalny krzywej rodzaju p.

Jeżeli na krzywej F wybierzemy w sposób specyalny p—3 punktów podstawowych sieci, wtedy krzywa przekształcona stanie się krzywą rzędu możliwie n a j mn i ej s z eg o, na którą

■r-s O

ierna da j e n a p r o tą.

Pr cl.

wy a ł c a i p t y c z n przekształcona

CD CD

r-h

fi -O cö

fH

przekształcić się daje krzywa rodzaju p\ tym r z ę d e m n a j-mniejszym jest odpowiednio:    jeżeli p=3ji:

2jr-j-3, jeżeli /;=3tt-(-1; 2yr—[—4, jeżeli p=3jr-j-2 (B r i 11-Noe t he r, Math. Ann. VII).

Z temi zagadnieniami wiąże się zagadnienie o wyznaczeniu liczby modułów krzywej rodzaju danego, t. j. liczby tych łiuikcyj spółczynników równania krzywej, które zachowują się jak niezmienniki bezwzględne względem jakiegokolwiek przekształcenia dwu wymiernego. Dochodzimy tu do wyniku następującego (R i eman n):

Cl. O

Dla p=    t. j. dla krzywy h wy mi er ych,

dla

liczba mod łów jest zerem; la p—1, kr y w y c h eliptycznych, liczba    o d u ł w j e s t

1;    la p i> 1 liczba modułów jest p—3.

Ważnem zastosowaniem przekształcenia kremoniańskiego płaszczyzny jest tak nazwany rozkład osobliwości.

0> C—i. >

6”

Przy pomocy tego przekształcenia można z krzywej o punktach wielokrotnych ze z 1 e-cemi się styczne mi otrzymać k r z y ą, o osobliwości zwyczajne, t. j. dynie pu k t y wielokrotne o stycznych r n ych (N o e t h e r, Gröth. Nachr. 1871, Math. Ann. IX). Stąd: za pomocą przekształceń dwuwymiernych krzywa, mająca tylko osobliwości zwyczajne, daje się zamienić na krzywą, maj ącą tylko punkty podwójne.

Przekształcenia dwuwymierne kwadratowe badali już M a g n us (Sammlung von Anfg. Berlin, 1833) i Steiner (Grelle VIII), lecz teoryę ogólną tych przekształceń utworzył dopiero G r e m ona (Acc. Bologna, 1863, 1865; Giorn. di Battagłini I, III). Nadto ważnemi są tu prace: Cayley’a (Proc. Lond. math. Soc. III, 1870), Ko s an e sa (Grelle, LXXIII), Clebscha (Math, Ann. III), N o e tli era (tamże V). Wykład teoryi przekształceń pomiędzy płaszczyznami oraz pomiędzy kr żywe mi znajdujemy w .,Geometryi“ G 1 e b s c h a-L inde m a n n a.

Badano także przekształcenia niedwujednoznaczne (wielokrotne) pomiędzy dwiema płaszczyznami oraz takież przekształcenia pomiędzy dwiema krzywemi.

Z e u t h e n podał wzór, wyrażający związek pomiędzy rodzajami dwóch krzywych, będących w odpowiedniości niedwu-jednoznacznej (Math. Ann. III). Niechaj będą dwie krzywe rodzajów pi p', odpowiadające sobie w ten sposób, że każdemu punktowi pierwszej odpowiada m punktów drugiej, każdemu punktowi drugiej m‘ punktów pierwszej. Niechaj na pierwszej krzywej pomiędzy punktami odpowiadającemi punktom na drugiej, przypada ju razy zlanie się dwu punktów; odpowiednią liczbą dla krzywej drugiej niechaj będzie //; wzór Zeuthena jest:

/1 — u! = 2m' (p—1) — 2m (pr—1).

W przypadku m = m' = 1 mamy odpowiedniość dwujedno-znaczną, i wtedy wypada z niego p=pf (twierdz. R i em a nn a).

Pomiędzy odpowiedniościami wielokrotnemi dwu płaszczyzn zawierają się odpowiedniości i z o g o n a 1 n e, t. j. takie, przy których kąty zachowują się bez zmiany (patrz dzieło Holzmüller a, Theorie der isogon. Verwand soli. Lipsk 1883).

Najważniejszemi pracami o przekształceniach wielokrotnych są następujące: Wien er a (Math. Ann. III) De Paolisa (Mem. Lincei 1877—8), Noethera (Erlang. Ber. 1878), J u n g a (Rend. Lincei 1886, Ist. Lomb. 188), B e r t i n i’ego (Ist. Lomb. 1889).

ROZDZIAŁ VIII.

KRZYWE SZEŚCIENNE PŁASKIE.

§ I-

Wiadomości ogóine o krzywych sześciennych płaskich. Punkty przegięcia. Punkty stycznościowe.

Równanie ogólne krzywej rzędu 3-go zawiera jednorodnie dziesięć spółczynników, a więc przez dziewięć punktów, dowolnie danych na płaszczyźnie, przechodzi w ogóle jedna krzywa sześcienna.

Te dziewięć punktów pozostawać mogą wszakże w takiej zależności wzajemnej, że przez nie przechodzi nieskończenie wiele krzywych sześciennych.

Wszystkie kr z e sześcienn rze chodzące przez ośm p

chodzą też przez punkt dziewiąty, przez ta mte określony.

Krzywa sześcienna jest w ogóle krzywą klasy szóstej i rodzaju 1; maona dziewięć punktów przegięcia.

Jeżeli krzywa sześcienna ma punkt po-d w jny, wtedy jest rodzaju 0, należ do k 1 a-s    i ma trzy punkty przegięcia n

p os ej; równanie jej w tym razie z a 1 o miu stałych.

!*r s

w płaszcz

prze-

Cß- I-i ^

CD

nej

o ero p-

Jeżeli krzywa sześcienna ma ostr jest rodzaju 0

asy 3-ej, liczba j ę ć jestl; równan e takiej krzywej siedmiu sta

e, wte-prze-a 1 e ż y

Pros

przecho

P-J c+-

c h.

a, łącz ca dwa zi zaw ze przez trz

CD

prz

et- CfQ

i ę c i prz

gięcia.

Dziewięć punktów przegięcia leży trójkami na dwunastu prostych; przez każdy punkt przecięcia przechodzą cztery takie proste.

Dziewięć punktów przegięcia nie wszystkie mogą być rzeczy wistem i; najwyżej trzy z nich są rzeczywiste.

rzez punkt - anharmo-

o d z ą c e ę równ

P ero

Cztery proste, przeć ze i ę c i a, tworzą gru

c z ą.

Powyższe dwanaście prostych tworzą cztery trój kip rostych takich, że każda trójka zawiera wszystkie dziewięć punktów przegięcia.

Każdy z trójkątów, którego bokami są proste tej trójki, nazywa się trójkątem przegięcia.

Przez dziewięć punktów przegięcia krzywej sześciennej przechodzi nieskończenie wiele krzywych sześciennych z temiż samemi punktami przegięcia; pęk tych wszystkich krzywych sześciennych, nazywa się pękiem syzygetycznym.

Niechaj Z’—0 będzie równaniem danej krzywej sześciennej, 11=0 — równaniem należącej do niej krzywej Hessego (patrz Pozdz. V): wtedy równanie pęku syzyge-tycznego jest postaci:

Pomiędzy krzywemi tego pęku zawierają się także i cztery trójkąty przegięcia.

Stożkowa biegunowa punktu przegięcia rozpada się na dwie proste, z których jedna jest styczną przegięcia, druga zaś, nosząca nazwę biegunowej harmonicznej punktu przegięcia, ma własność taką, że każda prosta przesunięta przez punkt przegięcia, przecina ją w punkcie, który jest sprzężony harmonicznie z punktem przegięcia względem dwu punktów, w których ta prosta przecina krzywą sześcienną. Stąd wynika:

Biegunowa harmoniczna punktu przegięcia przecina krzywą sześcienną w trzech punktach, które są punktami styczności stycznych, poprowadzonych do krzywej sześciennej z punktu

przegięcia.

Wszystkie krzywe sześcienne pęku syzygetycznego mają też same biegunowe harmoniczne.

Styczne w dwóch punktach przegięcia spotykają się na biegunowej harmonicznej punktu przegięcia, leżącego na jednej prostej z dwoma danemi punktami przegięcia.

Biegunowe harmoniczne trzech punktów przegięcia, leżących na jednej prostej, spotykają się w jednym punkcie

Każdemu punktowi krzywej sześciennej odpowiada inny punkt, będący punktem przecięcia krzywej z prostą styczną do niej w punkcie danym. Ten punkt nazywa się punktem stycznościowym (towarzyszącym) punktu danego.

Trzy punkty stycznościowe trzech punktów, leżących na prostej, leżą także na linii prostej (towarzyszącej).

Na płaszczyźnie leży prosta (towarzysząca prostej w nieskończoności;, mająca własność, iż odległość od niej punktu na linii krzywej jest w stosunku stałym do iloczynu odległości tegoż punktu od trzech asymptot (t.j.stycznych w trzech punktach w nieskończoności).

Cztery punkty styczności czterech stycznych, które z punktu P krzywej sześciennej poprowadzić do niej można, tworzą czworokąt, mający trzy punkty przekątne, położone na krzywej; styczne do krzywej w tych trzech punktach wraz z styczną w punkcie P spotykają się w tym samym punkcie krzywej.

O -co

Stosunek a nh ar oniczny cztere h stycznych, które z p u n tu krzywej s z e c i e n n e j poprowadzić do niej można, pozostaje stałym przy przy zmianie tego punktu. Własność ta jest bardzo ważną.

Przez punkt A krzywej sześciennej poprowadźmy prostą, spotykającą krzywą w dwu innych punktach P i Q, i utwórzmy czworokąt zupełny, mając y wierzchołki w czterech punktach, których p unkt A jest punktem stycznościowym*, dwa boki przeciwległe tego czworokąta przecinają prostą daną w dwu punktach harmonicznie sprzężonych zpunktami P i Q (Twierdzenie M a c a u r i n a).

Jeżeli punkty stycznościowe trzech punktów A, B, G znajdują się na jednej linii prostej, to i punkty A', B\ C', w których proste BC, CA, AB przecinają ponownie krzywą, znajdować się będą na linii prostej.

Istnieje nieskończenie wiele wielokątów o 2w bokach i 2n wierzchołkach takich, że gdy ich wierzchołki leżą na krzywej sześciennej, to ich boki parzyste spotykają się wszystkie w jednym punkcie A, boki zaś nieparzyste spotykają się wszystkie w jednym punkcie B. Punkty A i B nazywają się stowarzyszonemi, a wielokąty noszą nazwę wielokątów Steinera (Crelle, XXXII).

Badanie tych wielokątów przeprowadza się najlepiej przy ■ pomocy teoryi fnnkcyj eliptycznych (patrz niżej).

Krzywa Hessego i krzywa Steinera dla krzywej sześciennej są identycznemi i są krzywemi rzędu 3-go.

Krzywa Cayley’a dla krzywej sześciennej jest krzywą klasy

3-ej i rzędu 6-go; jest ona obwiednią wszystkich stożkowych biegunowych punktów płaszczyzny, które to stożkowe rozpadają się na dwie proste.

Każdą krzywą sześcienną można uważać za krzywą Hessego trzech innych, a każdą krzywą klasy 3-ej można uważać za krzywą Cayley’a krzywej sześciennej.

Niechaj będą dwie proste u, n'; rozważmy pęk stożkowych biegunowych punktów prostej u względem krzywej sześciennej. Biegun prostej u' względem każdej stożkowej pęku przebiega stożkową, która nazywa się stożkową biegunów mieszaną (poloconica mista) o bu prostych (Cremona).

Stożkowa biegunowa punktu i stożkowa towarzysząca tegoż punktu dotykają się wzajemnie w dwu punktach, w których przecina obie prosta biegunowa punktu.

Jeżeli proste zlewają się, będzie:

Krzywa obwiednia prostej biegunowej wszystkich punktów prostej względej krzywej sześciennej jest stożkową, którą nazywamy stożkową biegunów czystą (poloconica pura).

Stożkowa biegunów prostej czysta dotyka krzywej Hes-sego w trzech punktach, w których taż prosta dotyka samej krzywej Hessego.

Jeżeli z punktu a płaszczyzny poprowadzimy sześć stycznych do stożkowej, to punkty stycznościowe sześciu punktów styczności znajdować się będą na jednej stożkowej, która nazywa się stożkową towarzyszącą (conica satellita) punktu a (Cremona) lub stożkowej biegunowej punktu a (na tej stożkowej znajduje się sześć punktów styczności stycznych).

Jeżeli stożkowa ma z krzywą rzędu 3-go dwa punkty styczności rzędu 2-go (t. j. dwa punkty, z których każdy może być uważany jako zjednoczenie trzech punktów nieskończenie bliz-kich), wtedy prosta, łącząca takie dwa punkty, przechodzi przez punkt przegięcia. Istnieje dziewięć układów takich stożkowych.

Przez każdy punkt styczności stycznej, poprowadzonej do krzywej sześciennej z punktu przegięcia^.przechodzi stożkowa, mająca z krzywą sześcienną w tym punkcie styczność rzędu 5-go.

Punkt krzywej sześciennej, w którym stożkowa może mieć z krzywą styczność rzędu 5-go, nazywa się punktem s z e ś c i o-punktowej styczności (sestatico, sextactique) krzywej.

Na krzywej sześciennej jest 27 punktów sześciopunktowej styczności; odpowiadają one 27 punktom przecięcia krzywej sześciennej z dziewięcioma biegunowemi harmoniczne m i.

Istnieją trzy różne układy, złożone zoo2 stożkowych, dotykających krzywej rzędu 3-go w trzech punktach.

Punkty stycznościowe trzech punktów,

pp

c+-

'O

I-S

CD

P-i

o3

cö

pr

i-ä

tsi

CD

co-

• rH

CD

P4 ® c3 d d

XJj

ci-

CD

N-

^ d

O • i-i

e+-

Pu

i-i

03

ct⁻

cc

Krzywe sześcienne badali Newton (Enumeratio linearum ter-tii ordinis 1704) i Maclaurin (De linearum geoinetr. proprieta-tibus geueralibus tractatus). W nowszych czasach teoryą tych krzywych zajmowali się; Plttcker (System, der anal. Geom. 1835), Steiner (Werke, II), Hesse (Grelle XXVIII, XXXVI, XXXVIII), Salmon (Crelle, XLII), Cayley, Chasles, Cremona, D u-rège i wielu innych. Krzywe klasy 3-ej badali: Cayley (Journ. de Liouv. IX, 1844) Phil. Trans. 1857), Hesse, (h c), Bella-vitis (Ist. Veneto 1852) i t. d.

Głównemi dziełami, w których zebrano własności krzywych sześciennych, są: Cremo n a, Introd. etc., Salmon, Higher plane curves, D u r è g e, Die ebenen Curven 3-er Ordnung, Lipsk 1871, Schroe-t e r, Theorie der ebenen Curven, 3-er Ordn., Lipsk 1688, Clebsch-Lindeman n, „Geometrie“.

C 1 e b s c h pierwszy zastosował teoryę funkcyj eliptycznych do badania krzywych sześciennych płaskich (Crelle, LXIII). Patrz „Geometrie“ C1 e b s c ha - Li n de manna i tom II dzieła „Fonctions elliptiques“ H a 1 p h e n a. O własnościach krzywych sześciennych rodzaju zero (jednozbieżnych lub wymiernych) traktuje najnowsza praca Binder a „Theorie der unicursalen Plancurven, Lipsk 1896.

to

Tworzenie rzutowe krzywych sześciennych.

Niechaj będą na płaszczyźnie trzy pary punkt ó w: A, Ax\ B, P,; C, (?,, takich, aby nie były wierzchołkami przeciwległemi czworoboku zupełnego; miejscem punktu P takiego, że trzy pary promieni PA, PAx; PD, PBX, PC, PCX są w i n wolu c y i, jest krzywa ogólna rzędu 3-go, przechodząca przez sześć punktów danych.

Pascal Rep. II.

Do tegoż miejsca należą, także punkty przecięcia prostych AB, AtBx) ABt, AXB, AC, A₁C₁,; AC,, AVC ... ; oznaczmy je odpow. przez D, Dx, E, E{,... Punkty takie jak A,AX; jak B, Pp D, D] i t. d. nazywają się sprzężone m i.

Własność charakterystyczna dwu punktów sprzężonych jest następująca:

Styczne w dwu punktach sprzężonych spotyka ją się na kr żywej av punkcie, który jest punktem sprzężonym trzeciego punktu przecięcia z krzywą prostej, łączącej dwa pierwotne punkty sprzężone

Inne sposoby tworzenia rzutowego krzywych sześciennych są następujące:

Weźmy pęk stożkowych i pęk prostych oba wzajemnie rzutowe (parametry stożkowej i prostej obu pęków są związane równaniem dwuliniowem) ; wtedy miejscem pu n k t ó w przecięcia promienia z odpowiadającą mu stożkową jest krzywa sześcienna, przechodząca przez środek pęku prostych i przez cztery punkty podstawowe pęku stożkowych (Chasles).

Jeżeli na krzywej sześciennej weźmiemy cztery punkty, jako punkty podstawowe pęku stożkowych, wtedy każda stożkowa tego pęku przetnie jeszcze krzywą w dwu punktach takich, że prosta je łącząca przechodzi przez punkt stały krzywej sześciennej (punkt przeciwległy czterem punktom danym).

Weźmy pasmo stożkowych stycznych do czterech prostych danych; z dwu punktów danych poprowadźmy dwie pary stycznych do każdej stożkowej pasma; miejscem punktów przecięcia tych stycznych będzie stożkowa ogólna.

Następujący sposób tworzenia stożkowych zawdzięczamy Grrassmannowi: Punkt P opisuje krzywą d u 3-go, jeżeli proste, łączące go z trzema p k t a m i

r z ę -u n-

stałemi, spotykają trzy proste stałe w trzech punktach, leżących na jednej linii prostej. W tym przypadku prosta ruchoma, na której znajdują się owe trzy punkty, obwodzi krzywą klasy 3-ej.

Inną konstrukcyę geometryczną podał Schroeter (Math. Ann. Y).

0 konstrukeyi krzywej sześciennej z danych jej dziewięciu punktów oraz o konstrukeyi dziewiątego punktu, przez który przechodzą wszystkie krzywe sześcienne pęku określonego przez ośm punktów, patrz głównie Chasles (Comptes rend. 1853), C a y 1 e y (Quart. Jour, of math. Y, 1862), Cre m 0 n a (Introd. etc.).

CO

Formy kanoniczne równania krzywej sześciennej. Rożne klasyfikacye krzywych sześciennych.

Weźmy jako wierzchołek (îCj=0, x₃—0) trójkąta podstawowego spółrzędnych punkt przegięcia krzywej; jako prostą x₃—0 — styczną przegięcia; jako prostą x₂=0 — biegunową harmoniczną tegoż punktu przegięcia, wtedy równaniem krzywej sześciennej w spółrzędnych jednorodnych będzie:

x₃x₂² — axx² -j- 3bxx² x₃ -J- Srxxx₃² -|- clx₃².

Jeżeli wielomian po stronie drugiej rozłożymy na jego trzy czynniki liniowe, wtedy każdy z tych czynników, przyrównany do zera, przedstawia odpowiednią styczną, którą z punktu przegięcia można poprowadzić do krzywej.

Jeżeli jako prostą xx=0 obierzemy jednę z tych stycznych, wtedy równanie krzywej da się sprowadzić do postaci:

x₃x.₂² = 4xx³ — <j₂xvx?? — g₃x₃².

lub także (przy innym odpowiednim wyborze osi aą—0) d o postaci:

Sprowadziwszy równanie krzywej sześciennej do jednej z postaci poprzedzających, widzimy, że spółrzędne punktu krzywej są proporoyonalne do f u n k c y j e 1 i p -tycznych jednego parametru; można mianowicie napisać:

xx : x₁ : x₃ — p{u) : p\u) : 1,

gdzie jj, p' są funkcyami eliptycznemi W eier-s t r a s s a.

Jeżeli po sprowadzeniu równania krzywej sześciennej do ostatniej z powyższych postaci, będzie g₃=0, wtedy otrzymamy t. z. krzywą sześcienną harmoniczną, która ma tę własność, iż cztery styczne, poprowadzone z punktu krzywej do niej samej, tworzą grupę harmoniczną. Jeżeli zaś będzie g₂= 0, wtedy mamy krzywą sześcienną równoanhar-moniczną, mającą tę własność, iż cztery styczne, poprowadzone z punktu krzywej do niej samej, tworzą grupę równo-anharmoniczną.

Jeżeli za trójkąt podstawowy spół rzędnych przyjmiemy jeden z trójkątów przegięcia, wtedy równaniem krzywej sześciennej będzie :

a(xtz -j- x₂³ -f %₃³) -f- 6 bx₁x₂x₃ — 0.

Przy przyjęciu za trójkąt podstawowy trójkąta, utworzonego z trzech stycznych przegięcia, dochodzimy do równania:

(a?, —j— x₂ —J—    ® “I⁻ 27Zcaąx₂x₃ =■ 0.

Równanie krzywej sześciennej z punktem podwójnym (krzywej sześciennej wymiernej) daje się sprowadzić do postaci:

x\³ ~b x2³ ~f" oc₂x₃ = O,

jeżeli trójkątem podstawowym spół rzędnych jest trójkąt, utworzony z prostej ;r₃=0, na której znajdują się trzy punkt y przegięcia izdwócłi stycznych w punkcie podwójnym (x₁—O, x₂=0).

Równanie krzywej sześciennej z ostrzem daje się sprowadzić do postaci:

rp 3 _ 2 rp - ... H

iA^2    ~    \J J

jeżeli za trójkąt podstawowy spółrzędnycłi przyjmiemy trójkąt, utworzony ze stycznej ostrzowej (^=0), stycznej (x₃ — 0) w jedynym punkcie przegięcia i z prostej (x₂=0), łączącej ostrze z punktem przegięcia.

Jeżeli równanie krzywej sześciennej napiszemy w postaci: #i³ -j- £c₂³ -j- a;,³ -j- Qmxxx₂x₃ = 0, wtedy równaniem krzywej H e s s e g o będzie:

H — — 6m² (V-fa^-hV) 4~ 6 (1—f-2»?i³) xtx₂x₃ = 0 ; równaniem krzywej C a y 1 e y’a w spółrzędnych prostej : s = — Qm (m₁³ -f- n₂³ -j- u₃³) — 6 (1—4m³) uvu₂u₃ = 0.

Równanie krzywej sześciennej można sprowadzić do postaci takiej, że zawiera tylko sześciany czterech form liniowych spółrzędnych. Jedna z tych form wybiera się dowolnie; przyrównana do zera, przedstawia ona prostą; jeżeli rozważymy pęk stożkowych biegunowych punktów tej prostej względem krzywej sześciennej, to trzy przekątne czworokąta, którego wierzchołkami są cztery punkty podstawowe pęku stożkowych, odpowiadają trzem pozostałym formom liniowym (patrz Salino n-F i e d 1 e r, Höh. Curv, nota 55).

Krzywa ogólna rzędu 3-go (bez punktów podwójnych), której równanie ma spółczynniki rzeczywiste, może mieć dwie różne postaci, t. j. składać się albo z jednej gałęzi rzeczywistej (rozciągaj ącej się do nieskończoności), albo z dwu gałęzi rzeczywistych osobnych (patrz Rozdz. V, § 1). Krzywa, składająca się z jednej gałęzi rzeczy wistej, ma własność, że z punktu jej można, prócz stycznej w tymże punkcie, poprowadzić do niej dwie styczne rzeczywiste (dwie inne są urojonemi). Krzywa^ składająca się z dwu gałęzi, t. j. z owalu i z gałęzi, rozciągającej się do nieskończoności, ma własność, iż z żadnego punktu owalu nie można do niej poprowadzić stycznej rzeczywistej (prócz stycznej w uważanym punkcie), a z każdego punktu gałęzi, rozciągającej się do nieskończoności, można poprowadzić cztery styczne rzeczywiste do krzywej, dwie do owalu i dwie do gałęzi, do której uważany punkt należy.

Krzywe o jednej gałęzi różnią się od siebie według tego, w jaki sposób przecina je prosta w nieskończoności płaszczyzny; mamy tu krzywe następujące:

a)    Wężownica eliptyczna ma jeden punkt rzeczywisty w nieskończoności, a styczna w tym punkcie rozciąga się w skończoności, jest przeto asymptotą

do krzywej;

b)    Węźownica paraboliczna, prócz punktu rzeczywistego w nieskończoności, posiada jeszcze punkty rzeczywiste i schodzące się z innemi dwoma punktami przecięcia; posiada tedy asymptotę w skończoności oraz prostą w nieskończoności jako styczną;

c)    Węźownica hyperboliczna ma trzy punkty rzeczywiste w nieskończoności, a przeto trzy asymptoty w skończoności.

Krzywe o dwóch gałęziach są następujące:

a)    Węźownica eliptyczna z owalem eliptycznym ma jeden punkt rzeczywisty w nieskończoności, położony na wężownicy.

b)    Węźownica eliptyczna z owalem parabolicznym ma jeden punkt rzeczywisty w nieskończoności i dwa inne schodzące się i leżące na owalu, mającym postać paraboliczną.

c)    Wężownica eliptyczna z owalem hyper-bolicznym ma jeden punkt rzeczywisty w nieskończoności na wężownicy i dwa punkty rzeczywiste w nieskończoności na owTalu postaci hyperbolicznej.

d)    Wężownica paraboliczna z owalem eliptycznym ma trzy punkty rzeczywiste w nieskończoności, z nicliprzynajmniej dwa schodzące się, wszystkie położone na wężownicy;

e)    Wężownica hyperboliczna z owalem eliptycznym: trzy punkty rzeczywiste różne w nieskończoności, wszystkie położone na wężownicy.

Inną klasylikacyę krzywych rzędu 3-go, których równania mają spółczynniki rzeczywiste, podał Newton. Dzieli on te krzywe na pięć gatunków parabol rozbieżnych. Powiedzieliśmy już wyżej, że przy pomocy odpowiedniego przekształcenia rzeczywistego spółrzędnych równanie takiej krzyw’ej rzędu 3-go daje się sprowadzić do typu:

xzx<? — axi³ -f- 3bx₁²x₃ -J- 3cxtxJ -J- dx.>²,

gdzie spółczynniki a, ć, c, cl są rzeczywistemi; w tym celu dość za prostą x₃ — 0 wziąć jednę ze stycznych przegięcia (rzeczywistych), za punkt x₁ — 0, x₃— 0 punkt przegięcia (rzeczywisty), za prostą x₂—0 biegunową harmoniczną tego punktu względem krzywej. Jeżeli przeniesiemy do nieskończoności styczną przegięcia x₃=0, wtedy równanie krzywej sześciennej współrzędnych kartezyańskich przybierze postać:

y~ — ax'A -f- 3bx‘l -}- 3cx -j- cl.

Odpowiednio do natury czynników wielomianu po drugiej stronie otrzymamy jeden z pięciu gatunków parabol rozbieżnych w klasyfikacyi Newton a:

a) trzy czynniki wielomianu są wszystkie rzeczywiste; krzywa składa się z owalu i z wężownicy.

b)    Jeden tylko czynnik jest rzeczywisty: krzywa składa się jedynie z wężownicy.

c)    Dwa z pomiędzy trzech czynników są równe mi; wielomanjest postaci (x—a)² (x—ß) oraz a<^ß; krzywa składa się z wężownicy, a owal redukuje się do dwu punktów urojonych sprzężonych, albo do jednego punktu rzeczywistego.

d)    Wielomian rozkłada się podobnie: (x—a)² (x—ß), lecz ct)>ß ; owal i wężownica łączą się w ten sposób, że tworzą jednę gałęź ciągłą i przecinającą samą siebie; krzywa ma punkt podwójny.

e)    Trzy czynniki wielomianu są wszystkie równe: krzywa ma ostrze.

Jeżeli przeniesiemy do nieskończoności biegunową harmoniczną x₂ = 0, wtedy równanie krzywej w spółrzędnych karte-zyńskicli przybierze postać :

y — ax?> -j- 3bx²y -}- Sexy² -j- dyz ;

krzywa ta posiada środek, który jest punktem przegięcia x = 0, y = 0, t. j. każda cięciwa przez ten punkt poprowadzona, dzieli się w nim na dwie równe części. Jeżeli uwzględnimy, jak wyżej, naturę czynników wielomianu po stronie drugiej, otrzymamy podział krzywj^ch sześciennych na pięć gatunków krzywych ze środkiem (Chasles).

Inną wreszcie klasyfikacyę podał P 1 ü c k e r, a zbadał ją Cayley; w niej punktem wyjścia jest położenie i natura stycznych (asymptot) w trzech punktach nieskończonościowych krzywej.

Z literatury o klasyfikacji krzywych sześciennych wymieniamy: Newton (Enumeratio etc.), Euler (Introductio etc., 1748), Chasles (Aperçu, histor.>, Pliicker (System der analyt. Greom.), Cayley (Trans, of Cambr. XI, 1865), Bellavitis (Società Italiana delle scienze, Modena 1851), M ö b i u s (Abh. der Säch. Ges. 1851), D u r è g e (Grelle, LXXV, LXXVI) i t. d.

Forma sześcienna trójkowa. Jej niezmienniki i spółzmienniki.

Niechaj będzie forma sześcienna trójkowa, wyrażona symbolicznie przez f— ax³ = bxz. .. , albo przy pomocy spółczynni-ków istotnych przez f— aM XiXhxk .

Z trzech utworów niezmienniczych A, Q, JR, formy sześciennej dwójkowej otrzymujemy, przy pomocy zasady przeniesienia (patrz Rozdz. III)-, trzy utwory niezmiennicze formy sześciennej trójkowej, a mianowicie:

6 = (abu)²axbx ;

Qx = (abu)² (cali) rx² bx F — (abu)² (cdii)²' (acu) (helu).

Równanie F= Ojest równaniem krzywej f, przedstawionem w spółrzędnych prostej (równaniem s t y c z n o ś e i o wem krzywej sześciennej).

Równanie 6=0 przy x stałem przedstawia równanie stycznościowe stożkowej biegunów punktu x; przy u stałem przedstawia równanie stożkowej biegunów (polokoniki) dla prostej u (patrz § 1).

Równanie Qt=0 przedstawia dla każdej prostej u krzywą sześcienną, będącą miejscem punktów«, w których proste biegunowe spotykają prostą u w punkcie s rz ktem x względem stożkow j

G> '"O

Z/Tj

zonym z pun-i e g u n ó w pro

stej u.

Krzywa sześcienna = 0 spotyka prostą u w trzech punktach, które razem z punkte m, w których prosta m spotyka krzywą sześcien-n ą f— 0, tworzą trzy pary tej samej inwolucyi; punktami podwój nemi tej inwolucyi są punkty, w których prosta u spotyka swoją kową biegunów.

Jeżeli położymy :

d²0

będzie:

2 dxidxj ’

⁹13 ł U1 ⁹22 > ⁹23ł W2 ⁹33 J US

? W ; 5    «    O

On , 0

O31. ⁹

12 »

32 i

/ii i fi2 ? /i

/21 î f 22 7 f 23 ?

Al > f 32 > f 33 > % W'l 5 W2 >    W3)    ^

13 1 W1

Jeżeli położymy symbolicznie:

będzie:

6 = 6^ ul = 6'l ul' ,

Qj = ul (cdu) cl 0*..

Układ zupełny formy sześciennej trójkowej składa się z 34 form.

Innemi utworami niezmienni czerni formy sześciennej trój

kowej są:

hesyan H = (a b c)² ax bx cx = d²xclcx; cayleyan s = (abc) (abu) (acu) (bcu) = (dcii)² c& u# ; przeci wzmiennik t — (abd) (abu) (aeu) (bfu) (def)²

⁼⁼⁼ 0.i U's U fi,

i dwa niezmienniki: S ~ (abc) (abd) (acd) (bcd))

_ o2 c/2 _ 3 .

— o # = a g j

ß |(^122ft133    ft"l23)”'_f_(^222a

333

rt2213)(aill%33- ft2113)

-f- («233^333    ft2233) (^111^122    ^l^

~f~ (^222^333 H~ ^223^233) (<*112^113    ^111 ^123)

I“ (^122a233⁻f⁻%23%33    ^123^233) (^112^123

+ («122%33 +a!33a222    ^123^233) ^113^123    %12^133)

T — (abc) (abd) (ace) (bcf) (def)² — af .

Niema innych niezmienników zasadniczych prócz S i T\ to znaczy, że każdy inny jest fnnkcyą całkowitą wymierną tych dwóch. Jeżeli napiszemy f w postaci kanonicznej

f = xl³ -f- cc₂³ -j- æ₃ ³ -f- 6 m x₁ x₂ xz,

będzie :

t — — 2 (1—10>n³) (u^Ą-u^Ą-u^) -j- 2 (30m² -f 24/n⁵) ^m₂m₃,

S — 24m (/;<³—1),

T = 6 (8-m⁶ -f- 20m³ — 1),

równanie zaś krzywej f w spółrzędnych stycznościowych będzie miało postać:

—    ^ F = Mj⁶ + m₂⁶-[-%⁶ — (2-j-32m³) (?«x³ n₂³-f-tt₂³tł₃² -)- M₃³Mt³)

—    24m² itp/gî/g (ît,³ -j~ tt₂³ -f- m₃³) — ( 24m 4- 48;n⁴)    m₂² m₃² = 0.

Co do wyrażeń na H i C patrz § 3.

Warunek S — 0 wyraża, że krzywa Hess eg o krzywej f rozpada się na trzy proste; krzywa Cayley’a składa się wtedy z trzech punktów podwójnych krzywej Hess ego, a trójkąt z nich utworzony jest trójkątem biegunowym względem wszystkich stożkowych biegunowych krzywej pierwotnej.

Jeżeli S= 0, krzywa rzędu 3-go, nazywa się równo an-harmoniczną; w tym przypadku cztery styczne, poprowadzone z punktu krzywej do samej krzywej, tworzą grupę równo-anharmoniczną.

Jeżeli T— 0, krzywa rzędu 3-go nazywa się harmoniczną; w tym przypadku rzeczone cztery styczne tworzą grupę harmoniczną.

Jeżeli T= 0. wtedy krzywa Hessego krzywej Hessego zlewa się z krzywą pierwotną, a krzywa Cayley’a krzywej Hessego zlewa się z ^ = 0.

Wyróżnikiem krzywej rzędu 3-go, t. j. funkcyą, która przyrównana do zera, wyraża warunek dla punktu podwójnego,

jest T²--ó³. W przypadku, gdy f dauern jest w postaci kanonicznej, wyróżnikiem jest (l-j-S/ra³)³.

Jeżeli przez i hjjk oznaczymy spółczynniki funkcyi f i hesyanu H, to wyróżnik będzie miał wyrażenie następujące:

^122 •> ai33 »

®123 ’    ^113 i aU2

a2\\

a22 2 >    Ct233 7

^223 >    a213

°2\2

i2 =

a3U i

^322 ?    %33 >

^111 )

7;    7;

"1 22 ’    '0 33 5

%23> an:\ i a?,i2 ^112

h 7>

"123’    "113 7

h.>

211 7

7^220 j    7/.j

233 ’

^22 3 7    7?₂₁₃ ,    /ł₂₁₂

^3i i 7

322 7

^'333 7

^323 7    ^312 i ^J12

Wyrażenie

6’³

niezmiennikiem bez-

jt ie s 13

względnym formy sześciennej.

Jeżeli napiszemy formę sześcienną w z w y-kłej postaci kanonicznej, będzie:

8³

384/n³ (m³—l)3 F²    (8m⁶-j-20m³—l)²

Jeżeli a jest stosunkiem an harmonicznym (stałym) czterech stycznych, poprowadzonych z punktu krzywej sześciennej do samej krzywej, to mamy związek godny uwagi:

= 24

(1 — a -f-a²)³

(l-j-a)2_(2—-a)²    '

Warunkami konieczne mi i dostatecznemi na to, aby krzywa sześcienna miała ostrze są S= O, T=0.

Warunki konieczne i dostateczne na to, aby krzywa sześcienna rozpadała się na stożkową i prostą wyraża znikanie tożsamości o-

we wyrażenia Ts — St; jeżeli nadto prosta ma być styczna do stożkowej, wtedy warunki te wyraża znikanie tożsamościowe przeciwzmien-n i k a t.

Aby krzywa sześcienna rozpadała się na trzy proste, jest koniecznem i dostateczne m, by forma (ah.u) ax² hx- była tożsamościowo zerem.

Warunki konieczne i dostateczne na to, aby krzywa / rozpadała się na trzy proste, spotykające się w jednym punkcie, jest znikanie tożsamościowe hesyanu H.

Znikanie tożsamościowe wyrażenia F daje warunki na to, aby krzywa / rozpadała się na prostą pojedynczą i prostą podwójną; wreszcie znikanie tożsamościowe wyrażenia 6 daje warunki na to, aby krzywa / była prostą potrójną.

Jeżeli krzywa sześcienna ma punkt podwójny, wtedy styczne w tym punkcie przecinają jedyną linię przegięcia w dwóch punktach, które przedstawia hesyan A formy dwójkowej sześciennej , wyrażającej trzy punkty przegięcia. Spół-zmiennik Q takiej formy dwójkowej sześciennej przedstawia wtedy trzy punkty, w których trzy proste harmoniczne trzech punktów przegięcia przecinają prostą przegięcia.

Dwie krzywe sześcienne ax² = 0, a/ = 0 mają te same punkty przegięcia, jeżeli przeciwzmiennik jednoczesny (aaic)3 jest tożsamościowo zerem. Przyjąwszy, że drugą krzywą sześcienną jest krzywa Hess ego, otrzymujemy stąd, że przeciwzmiennik (ali ?t)³ jest tożsamościowo zerem.

W badaniu formy trójkowej sześciennej ważnem jest zbadanie formy dwójkowej dwukwadratowej

a (A, xt) = v — SVV-

— TW —

îa

występującej przy tworzeniu hesyanu formy sześciennej pęku

jsyzygêtyoznegô Ż,f-j-/₂H. Równaniem dwunastu prostych przegięcia jest:

Niezmiennik i formy dwuk wadratowej G jest tożsamościowo zerem. Niezmiennik; tej

t. j. — pomijając

_ y2

2 / S³

formy równa się

czynnik — równa się wyróżnikowi formy f.

Hesyan formy G różni się tylko czynnikiem liczbowym od niezmiennika    k r z y w e j

pęku syzyge t.y c z n e g o.

Niezmiennik rzędu 6-go formy (Próżni się tylko czynnikiem liczbowym od niezmiennni-k a Tx^ krzywej pęku syzy getycznego.

Formami sześciennemi trójkowemi zajmowali się: Hesse i Aron-li o 1 d (Crelle XXXIV, LV), Cayley (Mena, upon quantics 1856, Phil. Trans. 1861, Am. Journ. IV), G o r cl a n (Math. Ann. I), Clebsch-Gordan (Math. Ann. I, VI, VHI), Gundelfinger (Math. Ann. IV, V, VIII), Harnack (Math. Ann IX), Mertens (Wien. Ber. 1888), D i n g e 1 cl e y (Math. Ann. XXXI), M a i s a n o (Rend. Palermo IV), Grerbaldi (Atti. Tor. XV, 1880). Szczegóły w Geometryi C 1 e b s c h a - L i n d e manna, którą posługiwaliśmy się w tym szkicu. Patrz także S a 1 m o n High. pl. curv. i S a 1 -mon-Fiedler Modern. Alg., Lipsk 1863,1882.

ROZDZIAŁ VIII.

KRZYWE PŁASKIE RZĘDU CZWARTEGO.

h-*

¹

—m-J—2, mająca

nych, położonych na krzywej dołączonej rzę-d u p—m-j-3, która dotyka krzywej zasadniczej jeszcze w m—3 innych punktach. Najmniejszą wartością dla p w przypadku m = 4 jest p =q.

Istnienie takich układów grup odpowiada istnieniu funkcyj •9-, które znikają wraz ze wszystkiemi swojemi pochodnemi dla argumentu zero; w szczegóły wdawać się tu nie będziemy i odsyłamy czytelnika do cytowanej pracy Webera.

Punkty styczności, w liczbie (p—l)-j~(P—1) =2p—-2 dwu krzywych dołączonych stycznych rzędu n — 3, należących do tego samego ukła-

Wiadomości ogo/ne. Tworzenie krzywych rzędu czwartego. Styczne podwójne Stożkowe i krzywe sześcienne styczne.

Z wzorów Pliickera wypływa dziesięć następujących kombinacyj dla liczb charakterystycznych krzywej płaskiej rzędu czwartego (k w a r,t y k i):

tH

cm co ^ ST ćo' iP' oćT oT o

CB R) K o U) H•Ol—'¹ o O 'S

Ą CO Cvl rH y-H -h o O O O

Niechaj będą dwa pęki rzutowe stożkowych, których punkty podstawowe są różne-mi; miejscem punktów przecięcia odpowiednich stożkowych jest krzywa ogólna rzędu

czwartego, przechodząca przez ośm punktów podstawowych obu pęków.

Niechaj równaniami pęków będą:

17+A 7=0

U' /u V' — 0 ;

gdzie U= 0, 7=0, Z7'=0, 7'= 0 są równaniami czterech stożkowych, a pomiędzy X ‘\ fx zachodzi związek dwuliniowy postaci:

u X ju —)— b X —f— o ju -j- cl = 0 .

Wyrugowawszy X i /x z tych trzech równań, otrzymamy równanie krzywej rzędu 4-go.

Bez szkody dla ogólności możemy przyjąć X — ju, 7'= 7, stąd wynika, że :

Równanie każdej krzywej rzędu czwartego można przedstawić w postaci:

U W = V²,

gdzie U — 0, 17 — 0, 7 = 0 są równaniami trzech stożkowych, z których wszystkie razem nie przechodzą przez jeden i ten sam punkt.

Aby módz równanie krzywej rzędu 4-go sprowadzić do tej postaci, dość przyjąć, że U, 7 są dwie sto żko we styczne, t. j. stożkowe, dotykające krzywej rzędu 4-go w czterech punktach.

Mamy twierdzenie następujące:

Istnieją 63 układy stożkowych stycznych; każdy układ składa się z nieskończenie wielu stożkowych takich, że przez ośm punktów styczności dwu stożkowych jednego i tego samego układu przechodzi jedna i tażsa.ma stożkowa inna. W równaniu powyższem stożkową tę przedstawia równanie 7=0.. W każdym z 63 układów stożkowych stycznych występuje sześć par stycznych podwójnych.

Jeżeli Tx= 0, T₂ — 0, Tz — 0, T₄ = 0 są równaniami czterech stycznych podwójnych dwu takich par, należących do tego

samego układu, to równanie krzywej rzędu czwartego można zawsze przedstawić w postaci

r, z ₂ t, t, = s\

gdzie T są wyrażeniami liniowemi, Ć zaś jest wyrażeniem kwadratowem.

Zrównania U W = V² wypływa, że krzywą rzędu czwartego można uważać jako obwiednią układu stożkowych:

. p u H- 2ż v -f w = o.

Krzywą rzędu czwartego można też utworzyć przy pomocy dwu pęków rzutowych, z których jeden jest pękiem prostych, drugi pękiem krzywych sześciennych (patrz Mi lin owski, Schlöm. Ztschr. XXIII, 1878).

Z równania Ti T₂ Tg jT₄ = $² wypływa, że styczne podwójne można ugrupować czwórkami w ten sposób, aby każde ośm punktów zetknięcia znajdowały się na jednej i tej samej stożkowej. Tych stożkowych jest 315.

Równanie krzywej rzędu czwartego można także przedstawić w postaci:

T,Fs = Q\

gdzie: 2^=0 jest równaniem stycznej podwójnej; F₃—0 równaniem krzywej sześciennej, dotykającej krzywej danej w sześciu punktach i nazywanej dlatego krzywą sześcienną styczną; wreszcie Û = 0 jest równaniem stożkowej.

Istnieją 64 układy trój krotnie nieskończone krzywych sześciennych stycznych. Układy te dzielą się na dwa gatunki: w pierwszym jest układów 28, w drugim 36. Układy gatunku pierwszego mają tę własność,

16

Pascal. Rep. II.

iż każdemu z nich. odpowiada jedna z 28 stycznych podwójnych w ten sposób, iż sześć punktów styczności wraz z dwoma punktami stycznej podwójnej znajduje się na jednej i tej samej stożkowej. Układy gatunku drugiego tej własności nie posiadają; stanowią one układ pojedyńczo-nieskończony krzywych sześciennych, zniekształconych na styczną do krzywej rzędu 4-go i na stożkową, przechodzącą przez dwa punkty, w których styczna spotyka krzywą rzędu 4-go i zarazem styczną do niej w trzech pozostałych punktach.

Jeżeli napiszemy równanie krzywej rzędu 4-go w postaci 1\F₃ — Q'², to krzj^wa sześcienna U₃^0 będzie krzywą układu gatunku pierwszego.

albo 2-go m j

-t-³

O ‘CO

Ul

Krzywe sześcienne styczne gatunku 1-go własn ść, że przez dwanaście punk ów tyczno ci dwu krzywych sześciennych tego samego układu przechodzi zawsze nowa krzywa sześcienna.

W każdym układzie krzywych sześciennych stycznych jest zawsze 64 krzywych sześciennych, mających z krzywą rzędu czwartego styczność rzędu trzeciego w trzech punktach. Takich krzywych sześciennych jest przeto 4⁶ = 4096.

Istnieje 728 układów krzywych sześciennych, mających z krzywą rzędu czwartego styczność rzędu drugiego w czterech punktach. Te układy rozpadają się na 364 pary w ten sposób, iż punkty styczności krzywej sześciennej jednego układu i takież punkty krzywej sześciennej drugiego układu znajdują się na jednej i tej samej stożkowej.

Krzywa ogólna rzędu czwartego daje się utworzyć jeszcze sposobem następującym, wskazanym przez Hessego (Crelle, XLIX).

Niechaj będzie sieć kwadryk

xL Z a,k Zi zk -j- x.₂ Z ßik Zi zk -f x., Z y-ik Zi zk = 0 ,

gdzie xv x₂, x₃ są parametrami jednorodnemi sieci; zx, £₂ z₃, z₄ — spółrzędnemi punktu przestrzeni; alk — aki, ßa- = ßu , y a = Ta« .

Wierzchołki stożków, zawartych w tej sieci, leżą na krzywej skośnej rzędu szóstego. Jeżeli przez wielkości x rozumieć będziemy spółrzędne punktów płaszczyzny, wtedy punktom tej krzywej skośnej rzędu szóstego (wierzchołkom stożków) odpowiadaj ą

rzędu czwartego, której równanie otrzymamy, przyrównawszy do zera wyróżnik jednej z kwa-dryk sieci.

Jeżeli położymy:

płaszczyźnie punkty krzywej ogólnej

nm = xx aik -}- xi ßik -j- x₃ yik ,

to równaniem krzywej rzędu czwartego będzie:

^11 >    *T₁₂,    ^13 >    ^14

0.

nA \ >    ^42 ?

Jeżeli równanie krzywej rzędu czwartego ma tę właśnie postać, to równaniem krzywej sześciennej stycznej, należącej do układu 2-go gatunku będzie:

Till ,

.    .    7T₁₄,    %

UU

= 0.

⁷¹ il )

Wi,

równanie zaś:

7ln ,    .

•    3ł\ u

ux

będzie równaniem krz yw ej sześciennej, przechodzącej przez punkty styczności krzywych

&UU 0 ,    - 0 .

Napiszmy równanie sieci kwadryk w postaci symbolicznej: 0 = ax a? = bx ßß =.....

(tu x są zmiennemi trójkowemi, z — zmiennemi czwórkowemi), wtedy równanie krzywej CY₄ przybiera postać:

(Ot ß y Öß &x bas Vas - 0>

a równania krzywych sześciennych 0 0UV — 0 przechodzą na następujące:

uu

= 0,

0u u — (h ß y uß CLx bx ('x — 01

ne

— (aß y u) (aß y v) ax bx cx — 0.

Można ustanowić odpowiedniość dwu jednoznaczną pomiędzy prostemi, ł ą c z ą cemi każdy dwa punkty podstawowe sieci kwadryk, a pomiędzy 28 stycznemi podwój nem i.

Geiser (Math. Ann. I) podał następujący sposób tworzenia krzywej ogólnej rzędu czwartego.

Jeżeli przez punkt P przesuniemy stożek styczny do powierzchni sześciennej, będziemy mieli stożek rzędu szóstego; lecz jeżeli punkt P znajduje się na powierzchni, wtedy mamy stożek rzędu czwartego oraz płaszczyznę styczną w tym punkcie, liczoną dwa razy. Przecią wszy ten stożek płaszczyzną, otrzymamy krzywą ogólną rzędu czwartego, której styczną podwójną jest prosta przecięcia płaszczyzny siecznej z płaszczyzną styczną w punkcie P.

Rzutami przecięć płaskich powierzchni sześciennej są krzywe sześcienne styczne do krzywej rzędu 4-go; otrzymujemy

mianowicie trójkrotnie nieskończony układ krzywych sześciennych stycznych gatunku 1-go, wzajemny względem stycznej podwójnej na płaszczyźnie stycznej w punkcie P. Rzutami 27 prostych powierzchni sześciennej są 27 stycznych podwójnych krzywej płaskiej rzędu czwartego.

Przy badaniu konfiguracyj stycznych podwójnych krzywej płaskiej rzędu 4-go dobrze jest przyjąć pewne znakowanie, ułatwiające otrzymywanie tych konfiguracyj. Jedno z takich przedstawień nasuwa nam wyżej już podana konfiguracya Hess ego; tworzy ją 28 prostych, łączących każde dwa z pomiędzy ośmiu punktów podstawowych.

Inne przedstawienie otrzymujemy przy pomocy t. z. c h a-raktery styk nieparzystych rodzaju 3 ( patrz ,,Repertoryum‘l t. I, str. 402).

Każdą styczną podwójną możemy przedstawić przy pomocy symbolu

( i:

gdzie i, j, h, iv ju hx są liczbami 0, 1, suma zaś iil -\-j)x -f- hhx jest nieparzysta.

Według przedstawienia pierwszego, grupę czterech stycznych podwójnych, przez punkty styczności których przechodzi stożkowa, przedstawiają cztery boki czworoboku (210 razy), albo cztery proste, z których żadne dwie nie mają wspólnego żadnego z ośmiu punktów (105 razy).

Według drugiego przedstawienia, grupę rzeczoną przedstawiają cztery charakterystyki nieparzyste takie, że sumy elementów, zajmujących te same miejsca, są wszystkie parzyste.

Wyszedłszy z tych zasad, można badać ile trójek, czwórek i t. d. stycznych podwójnych posiada własności specyalne, np. trójki, w których sześć punktów zetknięcia nie znajduje się na jednej stożkowej; czwórki, w których tylko sześć z pomiędzy 8 punktów styczności znajduje się na jednej stożkowej i t. d.

Z pomiędzy sześciu stycznych podwójnych należy wymienić grupy, badane przez Hessego i Steinera. Istnieje 1008 grup po sześć stycznych podwój nych takich, że przez ich punkty styczności przechodzi jedna krzywa właściwa rzędu 3-go.

W pierwszym z wyżej wspomnianych sposobów przedstawienia, grupy takie przedstawiają trzy figury różne, a mianowicie: a) boki dwu trójkątów, maj ących wierzchołki w sześciu z pomiędzy ośmiu punktów; b) proste, łączące dwa punkty, i proste, łączące inny punkt z pięcioma, c) proste, łączące jeden punkt z trzema i inny z trzema pozostałemi.

Istniej e 5040 grup o sześciu stycznych podwójnych takich, że dwanaście punktów styczności rozkłada się na sześć i sześć w ten sposób, że przez każdą grupę sześciu punktów przechodzi stożkowa.

Sześć stycznych podwójnych każdej z pomiędzy 1008 grup pierwszego gatunku dotyka jednej i tej samej stożkowej; każda zaś z 5040 grup drugiego gatunku dzieli się na trzy pary stycznych podwójnych w ten sposób, że trzy punkty spotkania stycznych jednej pary znajdują się na jednej linii prostej.

Pomiędzy grupami siedmiu stycznych podwójnych jest 288 grup, zwanych układami zupełnemi Aronholda»* są one utworzone przed siedm stycznych takich, że tylko sześć punktów styczności trzech z pomiędzy nich znajduje się na jednej stożkowej.

Takie układy zupełne przedstawia siedm prostych, łączących jeden z ośmiu punktów z innemi siedmioma, albo przez proste, będące bokami trójkąta i cztery proste, łączące jeden z pozostałych punktów z czterema innemi.

Istnieją 72 układy Aronholda, zawierające daną styczną podwójną; a 16 układów takich, zawierających dwie dane styczne podwójne.

Przy pomocy konstrukcyj liniowych można z sześciu stycznych podwójnych układu Aronholda otrzymać wszystkie inne. Odwrotnie;

Jeżeli mamy na płaszczyźnie sześć prostych dowolnych, to można zawsze nakreślić krzywą rzędu czwartego, której stycznemi podwój-nemi są proste dane, stanowiące względem krzywej układ zupełny Aronholda (A r o n h o 1 d, Beri. Monatsber. 1864, Salmon-Fiedler. Höh. Cur. § 264 i nast., Frobenius, Crelle IC).

Pomiędzy różnemi postaciami, jakie mieć może krzywa rzędu czwartego, zasługuje na uwagę krzywa Plückera, utworzona z czterech owali, z których każdy znajduje się na zewnątrz pozostałych; każdemu z owali odpowiada styczna podwójna dotykająca go w dwóch punktach. Taka krzywa rzędu czwartego ma wszystkie styczne podwójne rzeczywiste.

Krzywe rzędu czwartego badali: Plücker (Alg. Curv.) Hesse f Crelle IL, LV, LIX), Steiner (tamże 1L), Cayley (tamże LXVIII), C 1 e b s e h (tamże LXIII), Geiser (tamże LXXIII, Math. Ann. I), Z e u 11) e n (Math. Ann. VII), który zajmował się zwłaszcza klasyfikacyą krzywych rzędu 4-go. Hesse (Crelle XXXVI, XL, XLI), Sal mon (Quart. Journ. III), Cayley (Phil. Trans. 1859, 1861), Dersch (Math. Ann. VII) badali krzywą, przechodzącą przez punkty styczności stycznych podwójnych krzywej rzędu v. Wyznaczeniem stycznych podwójnych do krzywej rzędu czwartego zajmuje się też praca Aesch liman n a (Zürich 1880). Krzywe rzędu czwartego mają najściślejszy związek z teoryą funkcyj abelowych rodzaju 3; w tym kierunkn wymieniamy prace: Ri eman na, Clebscha, Webera (patrz „Geometryę“ C 1 e b s c h a-L inde-m a n n a). O konfiguracyi 28 stycznych podwójnych mamy prace: Aronholda ( wyżej cytowaną ) , Kleina (Math. Ann. X), Noethera (tamże XV, XLVI), Frobeniusa (Crelle IC), Webera (Math. Ann. XXHI), E. Pascala (Rend. Lincei 1892—93 i i t. p. Badanie tych konfiguracyj sprowadza się co badania t. zw. charakterystyk (patrz Pascal, Annali di mat. XX). Mało dotąd wiemy o konfiguracyi 24 punktów przegięcia krzywej ogólnej rzędn 4-go; rozprawa Grass manna (Beri. 1875), w której stara się dowieść, że stożkowa, przechodząca przez pięć pun-

któw przegięcia, przechodzi zawsze i przez szósty, jest błędna (patrz Klein Math. Ann. X); równaniem stopnia 24-go, od którego te punkty zależą, zajmował się G e r b a 1 d i (Rend. Palermo, VII).

to

Krzywe rzędu czwartego z punktami osob/iwemi.

Dajmy sobie równanie krzywej rzędu czwartego w postaci T₁T₂T₃T± = S². Jeżeli pomiędzy sześcioma punktami spotkania prostych T— 0 jeden, dwa, trzy punkty znajdują się na stożkowej S= 0, mamy wtedy krzywą rzędu czwartego z jednym, dwoma, trzema punktami podwójnemi.

Jeżeli napiszemy równanie krzywej rzędu czwartego w postaci TJV=W², to w przypadku, gdy stożkowe Z7=0, V = 0, W= 0 mają jeden, dwa, trzy punkty wspólne, mamy krzywą rzędu czwartego o jednym, dwóch, trzech punktach podwójnych.

Krzywa rzędu czwartego z jednym punktem podwójnym ma tylko 16 stycznych podwójnych. W sposobie tworzenia krzywych rzędu 4-go, według metody G e i s e r a (patrz § 1), krzywą taką otrzymujemy, umieszczając środek rzutu Pna jednej z prostych p powierzchni sześciennej; przecięcie tej prostej z płaszczyzną sieczną jest punktem podwójnym, rzuty zaś 16 prostych, które na powierzchni sześciennej nie przecinają prostej p, dają nam 16 stycznych podwójnych. W metodzie Hes-sego (§1) krzywą, o której mowa, otrzymujemy doprowadzając do zlania dwa z pomiędzy ośmiu punktów podstawowych sieci kwadryk.

Konfiguracyę stycznych podwójnych można badać tym samym sposobem, jakim badamy konfigurcyę ogólną , wy obraziwszy sobie, że dwa z pomiędzy ośmiu punktów podstawowych zlewają się, a więc przedstawiając 16 stycznych podwójnych przez proste, łączące parami sześć punktów podstawowych, i przez prostą, przechodzącą przez punkt siódmy. Proste,

łączące ten punkt siódmy z sześcioma innymi, odpowiadają sześciu prostym, stycznym do krzywej, poprowadzonym z punktu podwójnego.

Szesnaście stycznych podwójnych można 60 sposobami ułożyć w grupy czwórkami tak, że przez ośm punktów styczności czterech stycznych każ d ej grup y prze chodzi jedna stożkowa.

Krzywemi rzędu czwartego z punktem podwójnym zajmowali się: B r i o s c h i, Cremona (Math. Ann. IV), Brill (Crelle LXV, Math. Ann. VI) i t. d.

Z pomiędzy krzywych rzędu czwartego z dwoma punktami podwój nemi badano specyalnie krzywe, w których temi punktami są punkty kołowe urojone w nieskończoności. Krzywa taka nazywa się krzywą dwukołową rzędu czwartego (Casey, R. Irish Trans. 1871, XXIV).

W krzywej rzędu czwartego z dwoma punktami, można z każdego z tych punktów poprowadzić cztery styczne do krzywej; stosunek anharmoniczny dwóch czwórek promieni tak utworzonych jest ten sam.

Szesnaście przecięć pierwszych czterech stycznych z czterema drugiemi styczne-mileżą czwórkami na stożkowych, przechodzących przez dwa punkty podwójne.

Krzywą dwukołową można uważać za obwiednią koła ■o zmiennym promieniu oraz o środku, poruszającym się po stożkowej, pozostającego zawsze ortogonalnem do innego koła danego. Jeżeli stożkowa jest parabolą, wtedy krzywa dwukołowa rozpada się na prostą w nieskończoności i na krzywą rzędu 3-go.

Szczególnym przypadkiem krzywych rzędu czwartego z dwoma ostrzami są krzywe, zwane krzywemi Descarte s’a, w których dwoma ostrzami są dwa punkty kołowe urojone w nieskończoności.

Krzywe Descarte s’a mają własność następującą: istnieją trzy punkty stałe A, B, C położone na prostej i takie, że jeżeli g, g', g" oznaczają ich odległości od punktu na linii krzywej, to zachodzą związki:

^ + V' = o*';

Iq 4- ™q‘ = c ;

mg — ngu = c" ,

w których l, m, n, c, c', o" są ilości stałe. Te trzy punkty nazywają się ogniskami. Jeżeli te ogniska są wszystkie rzeczywistemi, mamy krzywą, zwaną owalem Descarte s’a; jeżeli tylko jedno ognisko jest rzeczywiste, mamy krzywą, różną od krzywej, badanej przez samego Descarte s’a.

Równanie krzywej Descartes’a jest postaci:

S² = k³L;

tu S—0 jest równaniem koła, L = 0 równaniem prostej, k— stałą. Prosta L = 0 jest styczną podwójną do krzywej.

Suma odległości czterech punktów, w któ-ry c h pr os ta p o p r z e c z n a przecina krzywą Descartes’a, od ogniska jest stała.

Przypadkami szczególnemi krzywej Descartes’a są ślimakowa Pascala oraz kar dioida. Pierwsza z nich, prócz dwu ostrzy w dwóch punktach kołowych, ma jeszcze jeden punkt podwójny; w drugiej ten nowy punkt podwójny zniekształca się na trzecie ostrze.

Równanie krzywej rzędu czwartego z trzema punktami po dwój ne mi można napisać w postaci:

anx.₂²x₃ ² -J- «22^3²#i²    auxi *x2² -f~ 2a₂₃x₁²x₂x₃ -j- 2a₃₁x₂²x₃x₁

-j- 2a₁₂x₃²x₁x₂ = 0 .

w założeniu, że trzy punkty podwójne są wierzchołkami trójkąta podstawowego spółrzęd-n y c h jednorodnych.

Jeżeli podzielimy to równanie przez x ² x₂²x₃², to nadamy mu postać, z której okażesię, że daje się ono otrzymać zrównania stożkowej przez zastąpienie w tern ostatnicm każdej spółrzęd-nej przez jej odwrotność. Spostrzeżenie to może być użytecz-nem w badaniu krzywej.

W krzywej rzędu 4-go o trzech punktach podwójnych sześć stycznych do krzywej w tych punktach są zarazem stycznemi do jednej i tej samej stożkowej.

Sześć stycznych, które z trzech punktów podwójnych można poprowadzić do krzywej, są także stycznemi do jednej i tej samej stożkowej.

Ośm punktów styczności czterech stycznych podwójnych tej krzywej leży na jednej stożkowej.

.Równanie krzywej rzędu 4-go z trzema ostrzami można zawsze przedstawić wpostaci:

xi ² + x2 ² + ^3    ² = 0,

a równaniami trzech stycznych ostrzowych są wówczas:

X1 - X3 ?

ry* -- /y»    •    /y»    - y» •

ŁV»)---lA/O ^    CA/Q - -V J styczne te, jak widać stąd, przechodzą wszystkie przez jeden punkt.

Krzywe rzędu czwartego z trzema punktami podwójnemi badali głównie Brill (Math. Ann. XII) i Bretsch neide r (Diss. Erlangen 1874). Krzywe rzędu czwartego z punktami falowania (t. j. z punktami, w których styczne mają styczność czteropunktową; w punktach tych krzywa jest styczną do należącej do niej krzywej H e s s e g o) badał Masssoni (Diss. Neapol 1882). Wcześniej krzywemi temi zajmowali się: Cayley, Sal mon (patrz „Greome-tryę“ Salmona-Fiedlera), Kantor (Wien. Sitzungsber. LXXIX', 1879).

Formy rzędu czwartego trójkowe.

Jeżeli formę rzędu czwartego napiszemy w postaci f - Cl A - bx* =    = . . . ,

to pierwszym nasuwającym się jej utworem niezmienniczym jest przeciwzmiennik :

o — (abn)k

Przeciwzmiennik o, przyrównany do zera, przedstawia w spół rzędnych stycznościowych krzywą, któ rej styczne przecinają krzywą f— 0 w czterech punktach, stanowiących grupę r ó-wnoanharmoniczną.

Innym przeciwzmiennikiem jest:

{ab u)² {ho u)² (ca u)'³ ;

c z n e przecinają krzy-stanowiących

przeciwzmiennik ten, przyrównany do zera, przedstawia krzywą, której sty wą f~0 w czterech punktach, grupę harmoniczną.

Najprostszy niezmiennik przedstawia symbolicznie wyrażenie A — (abc)⁴, które jest stopnia 3-go względem spółczynników. Inny niezmiennik B, będący stopnia 6-go względem spółczynni-ków, ma wyrażenie następujące:

B—aĄ bĄ c₃ ² do d₃ e₃ ^ /j /₂

, ci g , a₃~, a₂a₃, ci₃ci^, a^ci2 bi² » V>    , b₃bx , \b₂

»    ^2 >    ^*₃ ² ,    ^2t:3

dp » dg⁻ , d₃ “, d₂d₃, d₃dj , djd₂

ei², *₂², e₃²,

fi²< A², AA, AA, AA

C3C] , Cj 6‘g

•i

Każda forma rzędu czwartego trójkowa f daje się zawsze wyrazić przy pomocy czwartych potęg sześciu form liniowych; jeżeli B — 0, wtedy /‘daje się wyrazić przez potęgi czwarte pięciu form liniowych; jeżeli są zerami wszystkie minory rzędu 4-go wyznacznika i?, wtedy f daje się wyrazić przez potęgi czwarte tylko czterech form liniowych (patrz ßeye, Crelle LXXYIII, C 1 e b s c h, tamże LIX, L ü r o t h, Math. Ann. I).

otrzymujemy go eliminując metodą dialityczną spółrzędne x z pomiędzy sześciu pochodnych drugich funkcyi f.

Niezmiennik B jest w specyalnym związku z wyrażalnością formy f przez kombinacyę liniową czwartych potęg form liniowych.

Pomiędzy spółzmiennikami formy czwartego rzędu trójkowej zasługuje na uwagę spółzmiennik rzędu 4-go, badany przez Clebscha (Crelle LVII) i oznaczony przez niego literą 8. Otrzymuje się on sposobem następującym: Niechaj ax⁴ będzie formą daną; utwórzmy biegunową ajay i dla tej formy sześciennej, uważanej względem zmiennych x, utwórzmy niezmiennik rzędu 4-go. Niezmiennik 8 Clebscha jest wypadkową formy aj ay i tego właśnie niezmiennika (przy uważaniu ilości y za zmienne).

Jeżeli w szczególności forma rzędu czwartego trójkowa jest taką, że daje się sprowadzać do postaci:

aXJ + bXJ + cXJ + dXJ 4- eXJ,

, X₅ są formami liniowemi (co ma miejsce, gdy

gdzie Xt

B = 0; patrz wyżej), wtedy spółzmiennik S ma wyrażenie:

a , b , c . cl e

Grdy zaś forma rzędu 4-go czwórkowa sprowadza się do typu, zawierającego tylko potęgi czwarte zmiennych xu x₂, xz i iloczyny kwadratów tychże, wtedy spółzmiennik 8 sprowadza się do tejże samej postaci. Patrz Salmon-Fiedler Höh. Cur. Lipsk 1882, str. 355.

Forma czwartego rzędu trójkowa może być uważana jako własny spółzmiennik S tylko wtedy, gdy przedstawia stożkową podwójną lub krzywą rzędu 4-go specyalną o równaniu:

/y» 3 zyi , 1 -, /Y> 3 . | _ /y* 3 /y»    - O

1    ^2 I "'S *^l    — V)

badanem przez Kleina i maj ącem własność automorficzną (patrz Rozdz. XII), por. 0 i a n i (Rend. Palermo XIV, 1899).

G o r d a n badał układ zupełny specyalnej formy czwartego rzędu, mianowicie wspomnianej formy Kleina i znalazł 54 utwory (Math. Ann. XVII, XX); Maisano rozważał wszystkie utwory aż do utworów stopnia 5-go względem spółczynników (Giorn. di Batt. XIX). Porów. Salmon-Fiedler (Höh. Curr. § 293), Scher-r e r (Math. Ann. X), Maisano (Rend. Paler. I).

ROZDZIAŁ IX.

TEORYA OGÓLNA POWIERZCHNI 1 KRZYWYCH SKOŚNYCH

ALGEBRAICZNYCH.

tH

Rozważania ogo/ne. Powierzchnie rozwijalne i skośne. Przekroje powierzchni. Geometrya na powierzchniach algebraicznych.

Miejsce punktów, które przedstawia analitycznie równanie algebraiczne stopnia w-tego pomiędzy trzema spółrzędnemi kar-tazyańskiemi punktu przestrzeni, nazywamy powierzchnią rzędu n-tego.

Powierzchnia rzędu pierwszego jest płaszczyzną.

Każda prosta płaszczyzny przecina powierzchnię rzędu n-tego w n punktach (rzeczywistych albo urojonych), a każda płaszczyzna przecina ją według krzywej rzędu n-tego..

Równanie powierzchni rzędu ?ï-tego zawiera jednorodnie spółczynników:

i- n (n²-{- 6n + 11) -(-1 =    = N(ri) -j- 1.

Prostą styczną do powierzchni jest położenie graniczne prostej, przechodzącej przez dwa punkty powierzchni,

gdy te punkty, pozostając wciąż na powierzchni, zbliżają się do siebie nieograniczenie (styczność dwupunktowa).

Prostą ściśle styczną do powierzchni jest położenie graniczne prostej, przechodzącej przez trzy lub więcej punktów powierzchni, gdy te punkty zbliżają się do siebie nieograniczenie (styczność trójpunktowa, czteropunktowa i t. p.).

Wszystkie proste, styczne do powierzchni w jednym punkcie, l^eżą w ogóle na jednej płaszczyźnie, którą nazywamy płaszczyzną styczną do powierzchni w tym punkcie.

Płaszczyzna styczna do powierzchni w punkcie P przecina powierz chnię według krzywej, mającej w P punkt podwójny. Jeżeli ten punkt Pjest ostrzem, płaszczyzna styczna nazywa się sta

teczną

Dwie styczne w punkcie podwójnym są dwiema prostemi ściśle stycznemi do powierzchni. Stosownie do tego, czy te styczne są rzeczywistemi, zlewającemi się albo urojonemi, punkt powierzchni nazywa się hyperbolicznym, parabolicznym, eliptycznym.

Punkty paraboliczne powierzchni tworzą krzywą, którą nazywamy krzywą paraboliczną.

Liczba płaszczyzn stycznych, które przez prostą daną, położoną jakkolwiek w przestrzeni, można poprowadzić do powierzchni, nazywa się klasą powierzchni.

Powierzchnia rzędu n - tego jest w ogólności klasy n(n — l)², jeżeli nie zawiera żadnych osobliwości.

Niechaj będzie równanie powierzchni w spółrzędnych jednorodnych xu x₂. x₃, #4 i dajmy, że jego strona pierwsza jest uporządkowana według potęg ilości x±, wtedy równanie powierzchni można napisać w postaci :

U₀X4W 4 UVX4'

gdzie ua, ulf u₂, • • • są funkcye jednorodne całkowite stopnia 0, 1, 2, . . . względem spółrzędnych xv x₂, x₃.

Jeżeli punkt xx ~ x₂ = x% — 0 jest punktem powierzchni, będzie m₀=0 i wtedy ux =0 jest równaniem płaszczyzny stycznej w tym punkcie.

Jeżeli poprowadzimy płaszczyznę równoległą do płaszczyzny stycznej i nieograniczenie blizko do niej, to przetnie ona powierzchnię według pewnej krzywej; pomijając nieskończenie małe rzędów wyższych, można tę krzywą uważać przybliżenie za stożkową (krzywa wskazująca, indicatrice Dupina); punkt powierzchni jest eliptycznym, parabolicznym lub hyper-bolicznym, stosownie do tego czy ta krzywa jest elipsą, parabolą albo hyperbolą.

Jeżeli równanie powierzchni napiszemy w postaci z=f(x,y), to punkt x, y, z powierzchni będzie eliptycznym, parabolicznym albo hy-perbolicznym, stosownie do tego, czy

/ d‘ z \² < / d'²z W d²z \ \ dxdy / > \ dx² / \ dy² )

Przecięcie lub część przecięcia dwu powierzchni algebraicznych, którego punkty nie wszystkie leżą na jednej płaszczyźnie, nazywa się krzywą skośną algebraiczną.

Każda płaszczyzna przestrzeni przecina krzywą skośną algebraiczną w stałej liczbie punktów (rzeczywistych, zlewających się albo urojonych). Ta liczba stanowi rząd krzywej skośnej.

Najmniejszym rzędem krzywej skośnej niezniekształconej jest 3.

Zauważmy, że nie można tu z całą ścisłością, jak dla krzywych płaskich, uważać układu dwu krzywych skośnych rzędów cl i d! za zniekształcenie krzywej skośnej ńzędu d-\-dr, gdyż jeżeli krzywa skośna rzędu d-\-d\ położona na powierzchni algebraicznej, rozpada się na dwie krzywe rzędów cl i dr, to te dwie krzywe będą miały wogólności punkty przecięcia, co wogóle nie zachodzi, jeżeli dwie krzywe dane uważa się za leżące jakkolwiek w przestrzeni.

Pascal. Eep. II.

Położenie graniczne prostej, przechodzącej przez dwa punkty krzywej, gdy te zbliżają się do siebie nieograniczenie, nazywa się prostą styczną do krzywej; a położenie graniczne płaszczyzny, przechodzącej przez trzy punkty krzywej, gdy te zbliżają się do siebie nieograniczenie, jest płaszczyzną ściśle styczną do krzywej.

Klasą krzywej skośnej nazywamy liczbę jej stycznych, które przecina prosta dowolna przestrzeni, albo liczbę płaszczyzn, przechodzących przez prostą dowolną przestrzeni i przez styczne do krzywej danej. Niektórzy tej liczbie nadają nazwę „porządku“ (Rang), a klasą krzywej skośnej nazywają klasę jej powierzchni rozwijalnej (patrz niżej).

Po-

Powierzchnia, utworzona ruchem prostej, nazywa się powierzchnią prostoliniową lub wprost liniową, wierzchnie te dzielimy na r ozwijalne i na skośne (wichrowate).

Powierzchnia rozwijał na jest miejscem stycznych krzywej skośnej; powierzchnia ta powstaje tedy przez ruch prostej, której dwa położenia kolejne znajdują się na tej samej płaszczyźnie.

Tworzącemi powierzchni rozwijalnej są styczne krzywej skośnej, która znów nazywa się krawędzią zwrotu albo krzywą ostrzową powierzchni rozwijalnej. Rząd powierzchni rozwijalnej równa się klasie krzywej skośnej. Liczba ta nazywa się także porządkiem (Rang) układu, utworzonego przez krzywą skośną i jej powierzchnię rozwijalną.

r o z

dnią płaszczyzn skośnej, ściśle styczną.

Płaszczyzną ściśle styczną do krzywej skośnej jest płaszczyzna styczna do powierzchni w i j a 1 n e j; powierzchnia ta t e d y j e s t o b wieść i ś 1 e stycznych krzywej Dla tego też nazywamy ją także r oz wij alną

Jeżeli przetniemy płaszczyzną powierzchnię rozwijalną, to punkt, w którym płaszczyzna przecina krzywą skośną, będzie ostrzem dla krzywej przecięcia.

Punkty, w której spotykają się dwie tworzące nie nieskończenie blizkie powierzchni rozwijalnej, tworzą krzywą, którą nazywamy krzywą podwójną albo krzywą węzłową roz wij aln ej.

unkcie, w ą w ę -

Krzywa przecięcia rozwijalnej z płaszczyzną ma punkt podwójny w każdym w którym płaszczyzna przecina krz złów ą.

Jakakolwiek tworz.ąca rozwijalnej rzędu n-tego przecina n—4 tworzących nie nieskończenie blizkich.

Płaszczyzny, przechodzące przez dwie tworzące niekolejne, obwodzą nową rozwijalną, która jest dwu styczną (styczną w dwóch punktach) do krzywej skośnej i dla tego nazywa się rozwijalną dwustyczną krzywej skośnej.

Nazywamy liczbą punktów podwójnych pozornych krzywej skośnej liczbę prostych, dających się przeprowadzić z punktu przestrzeni do przecięcia z krzywą dwa razy. Liczba ta jest stała, t. j. niezależna od wyboru punktu w przestrzeni.

Nazywamy liczbą płaszczyzn podwójnych pozornych powierzchni rozwijalnej liczbę takich przecięć dwóch z pomiędzy jej płaszczyzn obwodzących, które znajdują się na jednej dowolnej płaszczyźnie przestrzeni. I ta liczba jest oczywiście stałą.

Klasą powierzchni rozwijalnej jest liczba jej płaszczyzn stycznych, przechodzących przez dowolny punkt przestrzeni, lub liczba płaszczyzn ściśle stycznych do krzywej ostrzowej powierzchni rozwijalnej, przechodzących przez punkt dowolny przestrzeni.

Przypadkiem szczególnym powierzchni rozwijalnej jest stożek; powierzchnia ta powstaje przez ruch prostej, której jeden punkt jest stałym.

Jeżeli krzywa przecięcia stożka płaszczyzną jest krzywą algebraiczną rzędu ?i-tego, wtedy stożek nazywa się algebraicznym, a liczba n jest jego rzędem. Klasą stożka jest klasa krzywa przecięcia.

Powierzchnią skośną liniową nazywamy powierzchnię, utworzoną ruchem prostej, której dwa położenia sąsiednie nie znajdują się wogóle na jednej płaszczyźnie.

Powierzchnia skośna rzędu n- tego jest z a-zazem i klasy w-tej i odwrotnie (Cayley, Camb. Math. Journ. VII, 1852). Punkty, w których spotykają się dwie tworzące niekolejne powierzchni skośnej, tworzą i w tym razie krzywą podwójną lub węzłową powierzchni.

Płaszczyzny, prz-e chodzące przez dwie tworzące niekolejne powierzchni skośnej, są dwusty cznemi do powierz cśh ni; obwodzą one powierzchnię rozwij alną powierzchni danej; klasa tej ostatniej jest równa rzędowi krzywej podwójnej (Cayley).

Rozpatrzmy niektóre związki zasadnicze, odnoszące się do powierzchni ogólnej rzędu w-tego bez osobliwości. Wraz z tą powierzchnią ogólną rozważać będziemy dwie powierzchnie rozwijalne, mianowicie obwiedzioną przez płaszczyzny d wastyczne do powierzchni i obwiedzioną przez płaszczyzny stateczne.

Wprowadźmy oznaczenia następujące: n — rząd powierzchni; a — rząd stożka opisanego na powierzchni z wierzchołkiem w punkcie dowolnym przestrzeni; ó —• liczba tworzących podwójnych tego stożka; x— liczba tworzących zwrotu stożka; n‘ — klasa powierzchni; a'—klasa jej przecięcia stożkowego (liczba a lub a' nazywa się zwykle p o r z ą d ki e m (Rang) powierzchni); V — liczba stycznych podwójnych tego przecięcia; x—liczba jego stycznych przegięcia; ¥— klasa powierzchni rozwijalnej, obwiedzionej przez płaszczyzny dwustycz-ne powierzchni; ¥— liczba płaszczyzn podwójnych pozornych tej powierzchni rozwij alnej, t. j. liczba przecięć dwu z pomiędzy jego płaszczyzn, znajdujących się na jednej płaszczyźnie danej; t'—liczba płaszczyzn trójstycznych powierzchni; gr—rząd powierzchni rozwijalnej płaszczyzn dwu stycznych; q' — rząd krzywej punktów styczności płaszczyzn dwu-stycznych; c' — klasa powierzchni rozwijalnej płaszczyzn stycz-nycli statecznych powierzchni; h' — liczba jej płaszczyzn podwójnych pozornych; rf — rząd tej powierzchni; ß' — liczba płaszczyzn wspólnych dwóm powierzchniom rozwijalnym płaszczyzn dwnstycznych i płaszczyzn statecznych i zarazem statecznych dla tej drugiej powierzchni; y‘ — liczba płaszczyzn wspólnych tymże powierzchniom rozwijalnym i zarazem też statecznych wTzględem pierwszej powierzchni; o’ — rząd krzywej parabolicznej.

Pomiędzy te mi liczbami zachodzą związki następuj ące:

a — a! = n (n—1) ;

ó —    w(m-—1 )(n—2)(«—3),

n' = n (n—l)²

x = n(n—l)(n—2);

x‘ — 3n (n—2) ,

ó' =

-tt n(n—2){n²—9);

-K- n (n—1) (n—2) (w³ — n² -]-n — 12)

A

— 54«⁷ +164«⁶

hr — -i- n (n — 2) (n¹⁰ — 6?i⁹ -f- 16«

8

— 288«⁵ + 547«⁴ — 1058«³ -f 1068«² — 1214« -f- 1464),

-i- 7i (n—2) (n¹—4«⁶+7«⁵-45n⁴-f-114«³-lll«²-ł-548/7—960),

qf = n (n — 2) (« — 3) («² -f 2« — 4),

q = « (n — 2) («³ — «² -j- « — 12),

& — Ąii (u — 1) (« — 2),

Ji¹ — ~ n(n — 2) (16«⁴ — 64u³ -f- 80u² — 108« -f- 156),

r' = 2n (n—2) (3«—4);

Ÿ — 4« (n—2) (11 - 3) («³-j-3«—16) ;

ß‘ = 2«(«—2) (11«—24), a' — 4n («—2h

Dwie powierzchnie rzędów n₁ i n₂ przecinają się według krzywej skośnej rzędu ąWj.

^ punktów, do

Wszystkie powierzchnie rzędu n-tego, przechodzące przez N(n)—1 =

wolnie danych w przestrzeni, przecinają się według krzywej skośnej rzędu w².

Każda powierzchnia rzędu n-tego, przechodząca przez N(n) — 1 punktów dowolnych krzywej skośnej rzędu n², będącej przecięciem zu-pełnem dwu powierzchni rzędu n-tego, zawiera całkowicietękrzywą.

Przez daną krzywą skośną rzędu p można zawsze przesunąć powierzchnię rzędu n, j żel tylko A (n)^> n p, gdyż jeżeli wtedy weźmiemy na krzywej np-f-1 punktów dowolnych, to każda powierzchnia rzędu w-tego, przez nie przechodząca, zawierać będzie całkowicie krzywą rzędu p.

Grranicą wyższą liczby pojedynczych warunków, odpowiadających przechodzeniu powierzchni rzędu h przez krzywą rzędu p, jest liczba n/jL-\-1.

Dla krzywej rodzaju zero liczba tych warunków wynosi ściśle npj-1.

Dla krzywej rodzaju 1 (eliptycznej) liczba tych warunków wynosi np (H ermite, Crelle LXXXII).

Liczby w/t-fl i w/ł stosuj ą się wszakże dla wartości n dość wielkich.

Dla krzywej rodzaju p p — 3) liczba warunków pojedynczych wynosi np-j-1—p (Linde-m a n n, Crelle LXXXIV, Halphen, Journ. de l’Ec. poi. LII, str. 12).

Jeżeli krzywa jest przecięciem zupełnem powierzchni rzędów n1} n₃, wtedy liczba warunków poj edyńczych, odpowiadaj ących warunkowi przejścia powierzchni przez krzywą, wynosi np-f-1—p, przyjakiemkolwiekp, byleby

było n^nx-]-n₂ —3. W dąc n=w₁-[-w₂ — <5, liczbę warunków:

k ł a -następuj ą c ą

przeciwnym razie, mamy zawsze

Hfl -j- 1 — P +

(ó — l) (<3—2) ( ô — 3)

(Halphen, 1. c. str. 18).

Krzywa skośna, będąca p r z e c i ę c i ę ciem zu-pełnem dwu powierzchni rzędów wl5n₂, jest wyznaczona przez iV(Wj) — N(nx— n₂)—1 punktów, dowolnie danych w przestrzeni.

Jeżeli linia przecięcia dwu powierzchni rzędu w-tego zawiera krzywa rzędu np, p o ł o żoną na powierzchni rzędu p, to część pozostała linii przecięcia jest krzywą rzędu m(w-jj), położoną na powierzchni rzędu n—p (P o n cel e t, 1830).

Wszystkie powierzchnie rzędu ?/-tego, przechodzące przez N(n)—2 punktów, danych dowolnie w przestrzeni, przechodzą także przez n³—JV(n)+ innych punktów, wyznaczonych przez pozostałe.

Trzy powierzchnie rzędów jit, n2} v₃ przecinają się w nxnan₃ punktach, z których niektóre są wyznaczone przez pozostałe, a mianowicie:

Jeżeli nx n₂ -j- n3} wtedy liczba punktów dowolnych, wyznaczających pozostałe, wynosi:

i n₂ n₃ (2nx —n₂ — n₃ -f 4) - 1 ;

jeżeli zaś nx <^n₂ + n₃, lecz nx n₂, nx^>n₃ wtedy punktów dowolnych będzie:

i n₂n₃ (2nx —n₂—w₃-f-4) -f N(n₂-\-n₃—nx—4).

Wzory te tracą znaczenie dla n₂—n₃ (Jacob i, Crelle XV).

Jeżeli z u³ punktów, wspólnych trzem powierzchniom rzędu n-tego, n²p punktów leży na powierzchni rzędu p, wtedy pozostałe pun kty w liczbie n² (n-p) leżą na powierzchni rzędu n—p (Poncelet).

Trzy powierzchnie rzęd ów nl, n₂, n₃, które mają wspólną krzywą rzędu w-tego i klasy (porządku) r, przecinają się prócz tego w

ni n2 n3 - n (ni + n2 + n3 — 2) -j- r

punktach.

Jeżeli krzywa jest podwójną dla pierwszej z tych powierzchni, wtedy liczba punktów wspólnych wynosi:

— n(nx -f 2??₂-}-2m₃ — 4)

(Patrz Salmon-Fiedler, Geom. des Raumes II, wyd. 3, 146).

Jeżeli punkt, wspólny trzem powierzchniom rzędów nx, n₂, jest punktem wielokrotnym rzędu X dla pierwszej, /j, dla drugiej, v dla trzeciej, to warunkiem koniecznym i dostatecznym na to, aby w tym punkcie zeszło się Xjuv z pomiędzy nxn₂u₃ przecięć jest, by stożki styczne do trzech powierzchni w punkcie wspólnym nie miały żadnej tworzącej wspólnej. Dowód ścisły tego twierdzenia (które jest uogólnieniem podobnego twierdzenia dla krzywych płaskich; porówn. pracę Y o s s a, cytowaną wyżej na str. 182) starał się podać Berzolari (Annali di mat. XXIV).

Twierdzeniami o przecinaniu się powierzchni zajmow; li się: Poncelet (Propr. project. II), J a c o b i (Crelle XV), P 1 ü cker ttamże XVI, XIX), C a y 1 e y (Papers I, 259), R e y e (Math. Ann. II) i inni Z tych badań zasługują na szczególną uwagę te, które odnoszą się do przypadku, gdy powierzchnie mają wspólne punkty lub linie wielokrotne; do nich należą wyniki pracy C a y 1 e y’a o przekształceniu dwuwymiernem przestrzeni (Proc. math. Soc. III, 1870), w której znajdujemy wzory zwane wzór a mi r ó w noważno-ś c i i postulacyi. Przedmiotem tym zajmowali się później N ö t h e r, (Annali di mat. V) i inni.

Do powierzchni i krzywych skośnych stosują się niektóre twierdzenia, które można uważać jako uogólnienie twierdzeń podstawowych teoryi grup punktów na krzywej płaskiej.

Niechaj będzie powierzchnia ogólna Fn rzędu n-tego. Dwie krzywe R, R\ tworzące razem przecięcie zupełne powierzchni Fn z inną powierzchnią, nazywają się reszto wem i rezydualnemu.) i jedna z nich jest resztą drugiej. Dwie krzywe nazywają się sp ółresztowemi, jeżeli każda z nich jest resztową względem jednej i tej samej krzywej trzeciej. Definicye analogiczne stosują się do grup punktów, wyciętych przez powierzchnię na krzywej skośnej.

Możemy wypowiedzieć następujące twierdzenia o reszcie dla powierzchni i dla krzywych skośnych:

Jeżeli na po wierze li ni dwie krzywe R, R' są reszto w emi względem jednej i tej samej krzywej R', a zatem spółresztowemi względem siebie, i jeżeli krzywa R jest resztową względem innej krzywej Rwtedy i R' będzie resztową względem krzywej R¹".

Niechaj krzywa R będzie przecięciem dwu powierzchni P, ^ i niechaj R’ będzie krzywą resztową dla krzywej R\ powierzchnie, przechodzące przez krzywą Rr niechaj przecinają krzywą R według grup punktów spółreszto-wych z inną grupą daną; jeżeli zmieniać będziemy F, <2> i R i pozostawimy niezmienioną krzywą R, wtedy układ grup punktów pozostanie niezmiennym.

Poszukiwania tego rodzaju (g eometrya na powierzchni algebraicznej), których pomysł zawdzięczamy Cleb-s chow i, prowadził głównie No et her (Math. Ann. II, VIII) w ostatnich zaś czasach zajmowali się tym przedmiotem Castel-n u o v o i Enriques. Porówn. referat tych autorów w Math Ann. t. XLVIII.

Pierwsze badania nad teoryą powierzchni datują od czasów Eulera, któremu zawdzięczamy podstawy teoryi powierzchni roz-

wijalnycli.

Nie wiele posiadamy traktatów systematycznych o teoryi powierzchni z punktu widzenia geometryi wyższej. Po za rozprawami

specyalnemi, cytowanemi w miejscach właściwych, wymieniamy tu jako najważniejsze: dzieło Cremony „Prelimin. diuna teor. geom* delle superf.“, Bolonia 1866, przekład niemiecki Ourtzego (Berlin 1870 i „Geometryę przestrzeni“ Sal mona (przekład niemiecki Fiedlera, wyd. 3-e, Lipsk 1880). W przekładzie niemieckim dzieła Cremony dodano paragrafy, których niema w dziele ory-ginainem, i dlatego w wielu razach cytaty nasze odnoszą się do tekstu niemieckiego.

to

Przedstawienie analityczne krzywych skośnych. Powierzchnie monoida/ne Cayiey a.

Ważnem zagadnieniem w teoryi krzywych algebraicznych skośnych jest ich przedstawialność analityczna.

Jeżeli spółrzędne punktu krzywej wyrażone jako funkcye jednego parametru, w takim razie zagadnienie jest rozwiązanem, lecz przedstawienie takie rzadko daje się łatwo osiągnąć.

Najnaturalniejszym wydaje się pomysł przedstawienia analitycznego krzywej skośnej przy pomocy równań dwu powierzchni przez nią przechodzących; lecz łatwo widzieć, iż istnieją krzywe, nie będące przecięciami zupełnemi dwu powierzchni; a zatem sposób powyższy nie dopisuje, gdyż nie może służyć do indywidualizowania wogóle krzywej skośnej.

Myślano dawniej o wyznaczaniu krzywej przy pomocy równań trzech powierzchni, przechodzących przez nią i nie mających po za tern punktów wspólnych. Lecz przekonano się, że wogóle i trzy powierzchnie nie wystarczają; z pewnego twierdzenia Kroneckera (Crelle XCII), w teoryi funkcyj algebraicznych, wywnioskowano, że do scharakteryzowania krzywej skośnej ogólnej potrzeba mieć równania czterech powierzchni. Y a h 1 e n (Crelle CYIII) po-

Fv rzędów ju i v rozpada się na dwie krzywe Mm , Mm' rzędów m, m' i rodzajów p, p'. Liczba punktów prze cięcia dwu krzywych wynosi:

dał przykład następujący: Dajmy, że przecięcie dwu powierzchni F

Poprowadźmy nową powierzchnię FQ tylko przez krzywą Mm; krzywa Mm’ przetnie tę powierzchnię w

ó' -— uvq — ni (p —(-v —|— q — 4) —j— 2(p—1 )

punktach, które leżą wszystkie na trzech powierzchniach, ale nie leżą na krzywej Mm •

Otóż za pomocą jednej danej krzywej Mrm nie będzie można wogóle wyznaczyć trzech powierzchni tak, aby liczba S była zerem. W samej rzeczy rozważmy krzywą Mb° rzędu piątego i rodzaju zero, którą prosta niechaj przecina w czterech punktach; gdyby liczba S była zerem, to ponieważ przez krzywą Mb° nie przechodzi żadna powierzchnia rzędu 2-go, musiałoby być p—r=Q-—3 Lecz i przy pomocy trzech powierzchni rzędu 3-go krzywa Mb° nie może być wyodosobnioną, gdyż łatwo widzieć, że każda taka powierzchnia, zawierając krzywą Mb°, zawiera zarazem i prostą czworosieczną.

Inna metoda przedstawienia krzywej skośnej polega na uważaniu ogółu wszystkich prostych, przecinających krzywą. Jeżeli wprowadzimy sześć spółrzędnych prostej w przestrzeni, to kompleks tych prostych będzie można przedstawić analitycznie przy pomocy związku pomiędzy temi sześcioma spółrzędnemi. Odwrotnie wszakże, nie każdy związek pomiędzy sześcioma spółrzędnemi prostej przedstawia krzywą (patrć „G-eometrya prostej“ Rozdz. XIV). Tym sposobem przedstawienia zajmowali się Cayley (Quart. Journ. III, V, 1860, 1862) i Voss (Math. Ann. XIII).

Wreszcie istnieje jeszcze inna metoda, którą zawdzięczamy C a y 1 e y’owi i która nazywa się metodą powierzchni monoi dalny ch.

Niechaj xx, x$, xs, xn będą spółrzędne jednorodne punktu krzywej; z punktu O (Xj=x₂=x₃=x₄=0), 'który jest wierzchołkiem czworościanu podstawowego, rzućmy na płaszczyznę x₄=0 krzywą Rpm rzędu m i rodzaju p. Niechaj równaniem rzutu będzie:

fdi. «>. U = o

gdzie zakładamy, iż spółrzędne 6 wybraliśmy w ten sposób, aby było:

Mamy tedy związki;

Wn-1 (£) ’

X} . x% : X.., : x^ —    ^ •’ £3 •

gdzie funkcye rpn i tpn—y są funkcyami wymiernemi całkowitemi spółrzędnych £, pierwsza rzędu w, druga rzędu n—1. Krzywa Rpm ukazuje się wtedy, jako przecięcie dwu powierzchni

fm(x) = 0)

Xą ipn—1 (ir)    y'n (x) — 0,

z których pierwsza jest stożkiem rzędu m-tego z wierzchołkiem w punkcie O, druga zaś jest powierzchnią rzędu w-tego, mającą w O punkt (n— 1) - krotny. Tę drugą powierzchnię nazywa Cayley monoidą (powierzchnią monoidalną).

Stożek imonoida przecinają się wzdłuż krzywej Rpm i po za tem jeszcze według m (n—1) prostych, przechodzących przez punkt O i będących przecięciem dwu stożków fm — 0 i y/w_₂=0; pomiędzy temi prostemijest ( n—l)(m—n) -j-a prostych, liczonych podwójnie i będących pro-stemi podwój nemi stożka fm oraz (n—l)(2n—m)—2a prostych, które razem z po. przednie mi leżą na stożku ip n = 0.

Dwa stożki y>n—0 i — 0 nazywają się stożkiem niższym, drugi stożkiem wyższym monoidy.

Jeżeli krzywa Rpm nie jest płaską, będzie

zawsze    zatem rząd monoidy nie jest

oznaczony, albowiem można ją zastąpić inną odmiennego rzędu.

Tą metodą, wyłożoną przez Cayley’a (Comp. rend. 1862),posługiwali się później N o e t h e r, Halphen, Weyer i inni w badaniach nad krzywemi skośnemi.

zon

co

Klasyfikacya krzywych skośnych.

Z zagadnieniem o przedstawieniu analitycznem krzywych skośnych łączy się ściśle zagadnienie, dotyczące ich klasyfikacyi, dla tych krzywych bowiem rząd nie wystarcza do scharakteryzowania gatunku krzywej, jak to ma miejsce dla krzywych płaskich i dla powierzchni. W samej rzeczy już dla rzędu 4-go istnieją dwie różne krzywe, mające własności charakterystyczne zupełnie różne, o czem przekonał się S a 1 m o n (Camb. Journ. V, 1850), a później Steiner (Flächen 3-en Grad., Crelle LIII, 1856).

Zagadnienie, o którem obecnie mówimy, daje się wysłowić w ten sposób:

Wyliczyć, określić i wyróżnić od siebie rozmaite rodziny krzywych tego samego rzędu w ten sposób, aby każda rodzina nie mogła być przypadkiem szczególnym innej rodziny ogólniej szej.

W poszukiwaniu tern rozważać będziemy tylko krzywe bez punktów osobliwych, przyjmujemy bowiem jako postulat, iż każda krzywa o punktach osobliwych jest przypadkiem szczególnym krzywej tegoż rzędu bez punktów osobliwych (patrz Halphen w pracy niżej cytowanej).

Zagadnieniem tem zajmowali się specyalnie Halphen i Nöther w dwóch rozprawach, premiowanych na konkursie im.

S t e i n e r a, ogłoszonym przez Akademię berlińską w r. 1882 (patrz Journ. de 1’Ecole polyt. LII 1881, Berliner Abh. 1883, Crelle XCIII); po tych rozprawach nastąpiły prace Valentine r a (Acta math. II), Noethera (tamże VU) i innych.

Badania nad tym przedmiotem nie doprowadziły dotąd do rozwiązania zagadnienia w całej jego ogólności, lecz tylko do rozwiązania go w przypadkach specyalnych.

Po stwierdzeniu, że sam rząd krzywej skośnej nie wystarcza do jej scharakteryzowania, powstała myśl wprowadzenia innych liczb, które możnaby nazwać charakterystycznemu, a które wraz z rzędem mogłyby służyć do scharakteryzowania krzywej. Z rozważania dwóch gatunków krzywych skośnych rzędu czwartego wypłynął najprzód pomysł wprowadzenia, prócz rzędu, jeszcze liczby h punktów podwój ny c h pozornych (t. j. liczby prostych, które z punktu dowolnego w przestrzeni można przeprowadzić do krzywej). Znajdujemy atoli, że dla rzędu 9 istnieją dwie krzywe różne, mające tę samą liczbę punktów podwójnych pozornych, mianowicie 18. Te dwie krzywe wszakże różnią się od siebie inną liczbą, którą Halphen oznacza literą n; jest nią mianowicie rząd naj-mniejszy stożków, zawierających wszystkie h cięciw, dających się z punktu dowolnego przestrzeni poprowadzić do krzywej. Dla jednej z dwu powyższych krzywych jest n=4, dla drugiej n=5. Halphen przekonał się zarazem, że dla rzędu 15 znajdujemy dwie krzywe różne, dla których jest zawsze ń=63, n—9.

C a y 1 e y (Crelle CXI, Math. Pap. V, p. 613) zauważył, że w niektórych przypadkach, w których Halphen znalazł krzywą, krzywa taka istnieć może faktycznie tylko przy pewnych konfiguracyach specyalnych h linij węzłowych. Tak np.

C a y 1 e y znalazł, iż dla istnienia krzywych rzędu 9, mających ń=16,]w~4, nie wystarcza, by 16 linij węzłowych leżało na stożku kwartykowym, ale potrzeba jeszcze, aby te linie leżały równocześnie na dwu takich stożkach. Stąd wynika, że trzy liczby rząd = d, h, n nie są w ogóle dostateczne do scharakteryzowania krzywej skośnej i że koniecznem jest nadto zbadanie warunków,

przy których krzywa, mająca dane liczby charakterystyczne, istnieje faktycznie.

Podamy twierdzenia główne, odkryte przez Halphena i przez innych.

Krzywa stopnia cl z h punktami pod wojnę mi pozorne mi tworzą j e d n ę rodzinę, jeżeli h zawiera się pomiędzy granicami:

(cZ—1) (cZ— 2)    .

2 " ¹

('(l—2) (d—3)

+ 1.

Największą wartością liczby /a jest

(d—I)(c7—2)

najmniejszą zaś liczba największa całkowita,

d—1\²

zawarta w liczbie

Nie można wszakże wziąć liczby h dowolnie pomiędzy temi dwiema granicami, gdyż dla danej wartości cl szereg wartości h przedstawia lukę; luki tej niema już, począwszy od największej liczby całkowitej, zawartej

, i wyżej.

Krzywe rzędu cl, dla których liczba 7ijest mniejsza od największej liczby całkowitej,

, leżą na powierzchni sto-

Id—1) (d—2) w--3--

(d—1) ( cZ— 2)

zawartej w

pnia drugiego; jeżeli li jest większe od tej liczby, wtedy odpowiednie krzywe leżą na powierzchni sześciennej; jeżeli h jest większe

, wtedy krzywe leżą na powierzchni

rzędu czwartego i t. d.

Każda krzywa rzędu cl, dla której liczba n

Halphena jest mniejsza od powierzchni rzędu 2-go.

3(d-l)²

— (cZ—3), leży

na

f- (d-i),

Każda krzywa rzędu cl, nie położona na po-wierzchni rzędu 2-go i dla której n <r

leży na powierzchni rzędu 3-go : jeżeli n <C -^-(cl-6)

leży na powierzchni rzędu czwartego, o ile nie leży na powierzchni rzędu 2-go i 3-go; jeżeli 5

n <i -g- i krzywa nie leży na powierzchniach

rzędu niższego, to leży na powierzchni rzę du 5 - g o.

Tablice poniższe dają dla każdego rzędu cl liczbę rodzh krzywych istniejących; wyjmujemy te tablice z cytowanej pracT Halphen a, ale ograniczamy się tylko na kilku pierwszyc przypadkach, gdyż liczby, podane przez Halphen a, nie są zupełnie pewne, i tak np dla rzędu 9 należy je poprawić według wskazówek C a y 1 e y’a (Papers Y, p. 616). Co do określenia rodzaju patrz § 4.

1.    Krzywe skośne niezniekształcone rzędu 2-go nie istnieją.

2.    d = 3. Istnieje jedna tylko rodzina krzywych sześciennych skośnych: liczba h punktów podwójnych pozornych równa się 1, rodzaj p=0.

3.    d = 4i. Istnieją dwie rodziny krzywych rzędu czwartego skośnych; różnią się one liczbą punktów podwójnych pozornych, która dla jednej rodziny jest 2, dla drugiej 3. Kodzaje odpowiednie są 1 i 0.

4.    d=h. Istnieją trzy rodziny krzywych rzędu 5-go skośnych.

W tablicach podajemy: wartości odpowiednie liczb hin, rzędy najmniejsze powierzchni, których przecięciami są krzywe, krzywe dopełniające, powstające przy przecięciu się tych powierzchni; wreszcie rodzaj najwyższy p krzywych każdej rodziuy.

to to s

Rzędy najmn. pow.

CM CO

Krzywe dop. prosta

krzywa rzędu 4-go skośna z 3 punktami podw. pozornemi dwie stożkowe

a, cm

i-i o

3 i 3

Wszystkie te krzywe wyznaczają się z 20 warunków.

Salmon w dziele „G-eom. des .Raumes“ II odróżnia cztery rodziny krzywych rzędu 5-go; czwartą wszakże ro-d nę należy uważać za przypadek szczególny trzeciej (patrz II .1 p h e n, Écol. pol. LII. str. 12, Note).

5. d = 6. Istnieje pięć rodzin krzywych rzędu szóstego skośnych. Liczba stałych w równaniu takiej krzywej wynosi 24 i dlatego do wyznaczenia krzywej potrzeba 24 warunków:

Rzędy najmn. pow.

cż = 6

œ to s

(M CO

CO CO

Krzywe dop.

krzywa sześcienna skośna

6.

prosta i stożkowa trzy proste inna krzywa rzędu 6-go tej samej rodziny

d = 7. Istnieje sie dm rodzin krzywych skośnych rzędu 7-go. Liczba ich stałych wynosi 28.

Rzędy najmn. pow.

O CO 00

co co ^

co co co

CO CO ^

s cń co i* tu

CM CO CO CO

■'T' CO CO tH

Krzywe dop.

prosta stożkowa dwie proste krzywa rzędu 6-go skośna z 6 punkt. podw. po-zornenn

co •'T

15

krzywa skośna rzędu 9-go

We wszystkich tych przypadkach wystarcza, jak widzimy, liczba h do scharakteryzowania krzywej; ale od rzędu 9-go począwszy, liczba ta nie jest już dostateczną. W związku z tym faktem pozostaje następujący, że dla rzędu d— 9 istnieją dwie rodziny krzywych, mające ten sam rodzaj najwyższym (mianowicie p —10), a które uważać należy za różne.

Po szczegóły, dotyczące zwłaszcza siecznych wielokrotnych dla różnych wymienionych tn rodzin linij krzywych odsyłamy ul o prac In o etliera (1. c. np. Grelle XCIII, str. 310).

Dodajmy jeszcze, że Chasles (Compt. rend. LIV) i Sc li war z (Crelle LIV) zajmowali się klasyfikacyą krzywych skośnych, opartą na naturze odpowiednich powierzchni rozwijalnych.

Punkty osobliwe powierzchni i krzywych skośnych. Ich liczby charakterystyczne. Sieczne wielokrotne krzywych skośnych. Wzory Cayley a. Styczność powierzchni.

Jeżeli każda prosta, przechodząca przez punkt na powierzchni, spotyka w nim powierzchnię w dwu punktach zlewających się, wtedy punkt ten nazywamy podwójnym.

Istnieje nieskończenie wiele prostych, które, przechodząc przez punkt podwójnyP, mają w nim styczność trójpunktową z powierzchnią (trzy przecięcia nieskończenie blizkie). Miejscem tych prostych jest stożek rzędu 2-go; każda płaszczyzna styczna tego stożka przecina powierzchnię według krzywej, mającej ostrze w punkcie P.

Ten stożek może rozpadać na się dwie płaszczyzny różne, albo na dwie płaszczyzny zlewające się: mamy stąd trzy gatunki punktów pod wójnych: punkt stożkowy (węzeł), punkt d wupłasz-czyznowy, punkt j e d nopłaszczy z n o wy. Punkt jednopłasz-czyzno wy nazy wamy zwykle ostrzem ( „ pincli-point “ C a y 1 e y’a albo „pince-point“ matematyków francnskicli). Punkt stożkowy zmniejsza wogóle o dwie jedności klasę powierzchni i dlatego oznacza się przez C₂ • Istnieją różne gatunki punktów dwu-płaszczyznowych i jednopłaszczyznowych; oznacza się je zwykle przez Bi, Uj stosownie do tego, czy zmniejszają o i lub o j klasę powierzchni.

Badaniem tych punktów osobliwych dla powierzchni rzędu 3-g’o zajmowali się: Schläfli (Phil. Trans. 1863), Cayley (tamże 1969 ), R odenbe r g (Matli. Ann. XIV, str. 16, patrz Rozdz. XI §1). Ko lin poświęcił osobną pracę teoryi punktów dwupłaszczy-znowych i jednopłaszczyznowych dla jakiejkolwiek powierzchni (Math Ann. XXII. str. 124).

CD vO

Jeżeli F= 0 j e s t równaniem powierzchni w s p ó ł r z dnych jednorodny h. to warunki m n a t o, a b powierzchnia m i a a p u n k t o d w j-ny, jest znikanie w r ó ż n i k a, t. j. w ni u elimi nacyi spółrzędnyc * z czterech r w n a ń:

oF

dF

dF

dF

dr.

d.x₃

dxĄ

= 0;

waru kie m

o. P

aby u n k t (x) był pu by s

si ty

rzędne x czyni

p o d w j n y m

dość tym czterem równaniom

Istnieje w ogóle sześć tworzących stożka stycznego, mających z powierzchnią styczność czteropunktową (cztery przecięcia nieskończenie blizkie).

jrt-

z a-

Jeżeli każda prosta, przechodząca przez punkt powierzchni, spotyka w tym punkcie powierzchnię w r punktach zlewających się, wtedy punkt ten nazywamy r - krotnym punktem powierzchni. I tu podobnie, jak w przypadku poprzednim, można zbudować stożek rzędu r-tego, którego każda tworząca ma w tym punkcie r-j-1 punktów wspólnych z powierzchnią (stożek ściśle styczny); stożek ten ma w ogóle r(r-f-l) tworzących, mających z powierzchnią r-j-2 punktów wspólnych.

Powierzchnia rzędu M-tego z punktem 0 n - k otnymjest ko iecznie stożkiem o wierz-cho ku w punkcie

Powierzchnia może mieć linie wielokrotne lub osobliwe, t. j. linie, których wszystkie punkty są wielokrotnemu Wzdłuż linii wielokrotnej rzędu r przechodzi r powłok powierzchni.

Punkty linii wielokrotnej rzędu r są punktami wielokrotne-mi rzędu r, dla których stożek styczny, o którym mowa wyżej, rozpada się na r płaszczyzn.

Dla r — 2, gdy obie płaszczyzny styczne zlewają się, mamy krzywą ostrzową powierzchni, której każdy punkt jest punktem jednopłaszczyznowym.

Dla powierzchni, podobnie jak dla krzywych płaskich, można określić liczbę,, zwaną rodzaj e m; liczba t-a zależy wogóle od liczby krzywych podwójnych i ostrzowych powierzchni, przy założeniu, że ta powierzchnia nie posiada innych linij osobliwych wyższego rzędu.

Liczbę tę wprowadził C 1 e b sch (Comptes rendus LXXI1, 1868) i określił ją dla powierzchni rzędu n-tego jako liczbę spół-czynników nieoznaczonych, pozostających w równaniu powierzchni rzędu n—4, przechodzącej przez linie podwójne i ostrzowe powierzchni.

Jeżeli powierzchnia nie ma linij podwójnych i ostrzowych, wtedy rodzaj wynosi:

(n—1) (n—2) (n— 2)

Liczba ta nie ulega zmianie przy przekształceniu dwu wymierne m.

Twierdzenie to wypowiedział Cl e b s c h (Compt. rend. 1868), udowodnili N o e t li e r (Math. Ann. II) i Zeuthen (tamże IV). Oprócz rodzaju wprowadza No ether (tamże VIII) dwie inne liczby, mające własności analogiczne.

Jeżeli powierzchnia ma krzywą podwójną rządu d'^-0 i rodzaju Tr i pewną liczbą skończoną t(^0) punktów potrójnych dla powierzchni i dla krzywej, wtedy liczba

— (n—4) d -|- 2 t -j- 7i — 1

(11—1 ) (n—2)(n—3)

V « —

nazywa się rodzajem liczbowym powierzchni (Cayley, Math. Ańn. III). Rodzajem geometrycznym ^ (albo inaczej rodzajem pierwszym) nazywamy liczbą spół-czynników nieoznaczonych równania powierzchni rządu n—4, o której mowa wyżej Jest zawsze pg    Jeżeli pg=pn

powierzchnia nazywa sią regularn ą.

Dla powierzchni wymiernych (dających sią odwzorować na płaszczyźnie) jest zawsze pn = pg =0.

Za rodzaj powierzchni prostoliniowej przyjmujemy rodzaj jej przeciąć płaskich, gdyż wszystkie przecięcia oczywiście są jednego rodzaju. Dla powierzchni prostoliniowej jest zawsze Pu — Oj Pn —— P •

Inną charakterystyką powierzchni wprowadza Segr e (Att. Torino 1896), a ogólne rozważania o rodzajach powierzchni podają CastelnuoYO i Enriques (Math. Ann. XLVIII).

nia ogólna rzędu nj>3 nie zaroś tej.

Po wierze

wiera żadnej

Jeżeli powierzchnia rzędu »-tego zawiera krzywą wielokrotną rzędu n — 2, to zawiera i proste; jeżeli krzywa wielokrotna jest prostą, to powierzchnia zawiera, prócz niej, jeszcze 2 (3 n—4) prostych. Patrz N o o t h e r (Math Ann. III, str. 174).

Powierzchnia rzędu n-tego nie może zawierać więcej jak n (11 n—24) prostych.

Przez prostą na powierzchni rzędu n-tego przechodzi zawsze (n-j-2) (??.— 2)² płaszczyzn stycznych do powierzchni jeszcze w innym punkcie, nie należącym do prostej.

Jeżeli w jest rzędem powierzchni prostoliniowej, to rząd j ej krzywej p o d w ó j n e j jest zawarty po mię d z y n—2 a |(n—1 )(n—2) (Tw. Cayley’a).

S a 1 m o n, Cayley, Zeuthen zajmowali się badaniem związków, zachodzących pomiędzy liczbami cliarakterystycznemi a osobliwościami powierzchni (patrz Salmon-Fiedl er, Geom. d. Raumes 11, str. 671).

Jeżeli wszelka płaszczyzna, przeprowadzona przez punkt krzywej skośnej, spotyka w nim krzywą w dwu punktach zlewających się, wtedy punkt ten nazywamy punktem podwójnym krzywej skośnej.

W punkcie podwójnym mamy w ogólności dwie proste styczne i dwie płaszczyzny ściśle styczne do krzywej skośnej. Jeżeli te dwie styczne zlewają się, wtedy punkt podwójny nazywa się ostrzem. W ostrzu i dwie płaszczyzny ściśle styczne zlewają się. '    :

Jeżeli dwie powierzchnie dotykają się wzajemnie w punkcie P (t. j. mają w tym punkcie wspólną płaszczyznę styczną), wtedy krzywa ich przecięcia ma w P punkt podwójny. Jeżeli w szczególności punkt ten jest ostrzem, mówimy wtedy, że obie powierzchnie mają w punkcie P styczność stateczną. Jeżeli^krzywa, według której przecinają się powierzchnie, ma w P punkt potrójny, powierzchnie nazywają się ściśle s t y -cznemi w tym punkcie. W tym przypadku każda płaszczyzna, przechodząca przez punkt P, przecina dwie powierzchnie według linij ściśle stycznych wzajemnie.

Jeżeli punkt wspólny dwóm powierzchnio m j e s t ą-krotnym d 1 a j e d n e j, r₂-krotnym dla drugiej powierzchni, to jest r, r₂ -krotnym dla krzywej ich przecięcia; jeżeli rx = r₂ i obie powierzchnie mają w tym punkcie stożek ściśle styczny, wtedy ten punkt jest punktem r[r-\-1 )-krotnym dla krzywej przecięcia.

Jeż e 1 i d wie powierzchnie rzędó w «„Mj ma-ją styczność rzędu k—1 wzdłuż-krzywej rzędu

oi, to przecinają się według innej krzywej rzędu 07, ?i₂—kn.

Największa liczba punktów, w których dwie powierzchnie rzędów oix, ?i₂ mogą dotykać się wzajemnie, wynosi:

(»1 n2 <»iH-Wa^⁴) +

wtedy, gdy pr ecięcie dwu powierzchni nie rozpada się; w przeciwnym razie, liczba punktów styczności może być większą; np. dwie kwa-dryki mogą mieć cztery punkty styczności.

Do krzywej skośnej i odpowiadającej jej powierzchni roz-wijalnej stosują się następujące wzory, zwane wzorami Cay-1 e y’a (Journ. de Liouv. X, 1845, Papers I, 207), wiążące ze sobą rozmaite liczby charakterystyczne krzywej i analogiczne do wzorów Plückera (Rozdz. VI, § 1), przy pomocy których mogą być w części wyprowadzone.

Niechaj n oznacza rząd krzywej skośnej; r jej klasę albo jej porządek; h—liczbę punktów podwójnych pozornych, t. j. liczbę prostych, którą z punktu dowolnego można poprowadzić tak, aby dwa razy spotykały krzywą; y — liczbę płaszczyzn, które, przechodząc przez punkt dowolny przestrzeni, dotykają krzywej w dwu punktach różnych, t. j. klasę powierzchni rozwijalnej dwustycznej; ß—liczbę ostrzy; H.—liczbę punktów podwójnych; v liczbę stycznych przegięcia krzywej statecznych, mających z krzywą trzy punkty nieskończenie blizkie.

Niechaj dalej m oznacza klasę powierzchni rozwijalnej, ściśle stycznej do krzywej; r jej rząd albo też porządek, g — liczbę prosty cli jakiejkolwiek płaszczyzny, przez każdą z których przechodzą dwie płaszczyzny styczne do powierzchni rozwijalnej, t. j. klasę kongruencyi prostych, będących przecięciami płaszczyzn ściśle stycznych do krzywej i patrz Rozdz. XIV); x—liczbę punktów, położonych na jakiejkolwiek płaszczyźnie, przez które przechodzą dwie różne tworzące powierzchni rozwijalnej lub inaczej rząd krzywej węzłowej; a —liczbę płaszczyzn statecznych (t. j. płaszczyzn stycznych do powierzchni rozwijalnej wzdłuż dwu tworzących nieskończenie blizkich lub płaszczyzn, mających żr krzywą wspólne cztery punkty nieskończenie blizkie); Cr— liczbę płaszczyzn dwustycznych (stycznych w dwu punktach) do powierzchni rozwijalnej; v—liczbę tworzących, przez każdą z których przechodzą trzjr płaszczyzny styczne kolejne (t. j. tworzących przegięciowych); co—liczbę tworzących podwójnych powierzchni rozwijalnej.

Mamy wtedy związki następujące:

m = r (r — 1) — 2 (x-j-co) — 3 (n-\-v), n = r (r — 1) — 2 (y -j- co) — 3 ( m -}- v ) r = m (m — 1) — 2 (g -f- G) — 3 a = n(n — 1) — 2(Ä+ H) — 3ß, a =3r (r — 2) — Q (x-\-co) — 8(n-j- nj, ß = 3r (r — 2) — 6 (y-f-co) — 8 (m-j- v), n -J- v — 3 m (ni — 2) — 6 (g -j- G) — 8 a, ni -j- v = 3 n (n — 2) — 6 (h -j- H) — 8/9,

odpowiadające sześciu związkom niezależnym.

Rodzajem krzywej skośnej albo jej powierzchni rozwijalnej ściśle stycznej nazywamy liczbę, określoną przez wzory następuj ące :

0 — 1) (» —2) — (h-\-H-\-ß), -i- (r — 1) (r — 2) — (y-f © + »i-ft>)

= —- (w — 1)    ²) — (# + &+«)>

— -i- (r—1) 0—2) — O+co-f n-f v).

Wprowadźmy jeszcze następujące liczby charakterystyczne: k — liczbę punktów podwójnych pozornych krzywej węzłowej; l—liczbę prostych stycznych i w innem miejscu siecznych

do krzywej danej; t—liczbę punktów potrójnych krzywej węzłowej lub punktów potrójnych powierzchni rozwijalnej lub wreszcie punktów spotkania trzech stycznych (nie nieskończenie bliz-kich) krzywej danej; l'—liczbę płaszczyzn ściśle stycznych i win-nem

miejscu stycznych do krzywej danej; li—porządek albo klasę

krzywej węzłowej ; p' — jej rodzaj ; wtedy zachodzić będą związki:

l = n (r + 4) — 6 (r ■+/?) — 4 (co +fl) — 2 v, r =    m—3n-3v-2co) (r—2)-f4h«-f-20r>-}-10/?-|-18co J ,

)J = m (r-f- 4) — 6 (r -f- a) — 4 (co -f- (?) — 2 u,

-n—Sm —3v -2co) (r—2^ —|-8?i—j—20t/—j—10«—}—18a> J , li = r w -j- 6 r — 3 n — 9 m — 3 v — 2 G,

Jc =

|V⁴—6r!-|- llr¹-j-66r — 2r (r—5) (m-j- 3n-j-3v-f-2ct>)

+ (m+3n+3t-)-2ra)¹—68m—126»—126ti—76<u—24fil ,

p —p' (r —14) =

\ (r-5) (r-6; - (ffl + G + 5).

Wzory powyższe badali: S a 1 m o n (Trans. R. I. Acad. XXIII. 1857), C a y 1 e y (Quart. Journ. XI, Papers VIII, 72), Cremona (Preliminari, przekład niem. Rozdz. IV), Zeuthen (Annali di inat.

III). Są one podane w t. II Greom. an. przestrzeni Salmona-Fiedlera (wyd. 3-e, str. 660 i nast.).

Krzywa skośna rzędu nx n₂, będąca przecięciem zupełnem dwu powierzchni rzędów nu ?/₂, mających styczność pojedynczą w <5 punktach i w y, punktach styczność stateczną, ma następujące charakterystyki:

>’ — w i m, Op -j-    — 2) — 2 0-32

1),

(«1 — 1) (W₂

4- -ô- wi w*

~2~ nin2 (wi+w8—3) |_9n,R₂ (?h+n2—3) — 6(6r5-j-8^) — 22 j -|-(64 + 8/)* + 22Ó-|-28Z,

~ nx w₂ (nrfw₃—2) [w,(w₁-fw₂ - 2) — 2 (2<5-f 3%) —10 ]

4" ^nin2-h ~2

“2" ni (nx-\-n₂—2) [ntva K+m«,—2; — 2(2<5-j-3z) — 4]

^‘2

+    + 44 -(-4₂-Z,

E = <5;

a = 2w, w₂ (3»j -f- 3»₂ — 10 — 3 (4 <5 -f- 5%) ; ß = x ;

Jeżeli dwie powierzchnie rzędów nu w₂ przecinają się według dwu krzywych (wzajemnie dopełniających się) rzędów n, n\ klas r, r'\ m a -j ą c y c h odpowiednio h, ô; W ó' punktów podwój-nych pozornych i is oznaczywszy r z o r n y c h, t. j. 1 i z

p r o w ad z i ó z punktu dowolnego przestrzeni aż do przecięcia si ę z obu k rzywemi oraz przez i liczbę i e h p r z e c i ę c i s t o t n y c h, będziemy mieli związki:

O"" N

C+-

⁰ nych, Z; Z' ostrzy, •- to 1 czbę i h przecięć r e można

-r-1

o-

prostych

o-

h /,/ -f- k — 4 (n -f- nr) (nx — 1) (w₂ — 1), r — r' ~ {n—n')(nxv₂—1) —-2(7/—//)—.2(0-0') — 3(^—•/), (nx -f Ho — 2 ) n = r -j- « -f- 3 <5 4- 3 %,

(Wj -f w₃ — 2) w' = r' -f- * -}- 2 <5' -f- 3    ,

skąd wynika:

— 1) (h₂—i) = 2 h -j- k ; n' (n,—1) (v<,—1) — 2 h' -j- Ic.

Do krzywej skośnej, o loidzie, spotykającej w aj rżącą pierwszego układu, w oc₂

tworzącą drugiego układu tworzących, mającej ó punktów podw j n chi ^ ostrzy, stosują się związki nas

PU PU

i s a n e j na

unktacli

rbo-

twc-

każdą

kO

r = 2 ax a₃ — 2 Ô — 3% , m = 6 a{ a₂ — 3 (Gp -j- a.,) — 6d — S% ,

[ «i (ai~!) + a2 («2—¹) J ,

y — \ f 6(«ia2—<5) — 3 (ot,-fot,—8 ^ ]² — 22apa₂

97

2~ («i “h aâ)    2! (11 <3 -j- 14^).

11

³Z ]² — 3 (opog— Ô) -f -j- x ,

[2(a₁aa—<5)

a = 4 | 3 Gpce₂ — 2 (cp-j-öp) J — 3 (4 <5 — 5 % ).

Jeżeli w szczególności krzywa skośna jest przecięciem zu-pełnem hyperboloidy z powierzchnią ogólną rzędu ju, dość w powyższych. wzorach przyjąć op — a., = fi, aby otrzymać liczby charakterystyczne dla tego przypadku.

Krzywa skośna, opisana na h y p e r b o 1 o i -d z i e, spotykająca tworzące układu 1 -go i 2-go odpowiednio w a{ i a₃ punktach, nie może mieć więcej niż opcg — op ci₂ -)- 1 punktów podwójnych i ostrzy.

W przypadku Gp — og — a znajdujemy stąd twierdzenie, odpowiadające przypadkowi, w którym krzywa jest przecięciem zupełnem hyperboloidy z powierzchnią rzędu ju.

Można twierdzenia powyższe otrzymać za pomocą odwzorowania płaskiego hyperboloidy (patrz § 7).

Niechaj n oznacza rząd, p—rodzaj powierzchni prostoliniowej algebraicznej, v rząd, n rodzaj krzywej, nakreślonej na tej powierzchni, —zakładamy, że krzywa jest pojedynczą dla powierzchni—k niechaj oznacza liczbę punktów spotkania krzywej z każdą z tworzących powierzchni, ô—liczbę jej punktów podwójnych; mamy wtedy związek godny u w agi:

(k-1) V - 71---Ô —

n—Jc(p—1).

h(/c-l)

8 t u r m (Math. Ann. XIX, p. 487) znalazł ten wzór dla przypadku, w którym powierzchnia prostoliniowa jest stożkiem, S e g r e (Lin-eei 1887, Math. Ann. XXXIV) udowodnił ten wzór dla przypadku ogólnego.

Z podanemi wyżej wzorami mają pokrewieństwo wzory, odnoszące się do prostych, spotykających krzywą skośną więcej niż w dwóch punktach (t. j. do tak zw. siecznych wielokrotnych) oraz do prostych, spotykających dwie lub więcej krzywych skośnych.

O t-c!

(u— 2) jń

Sieczne trój krotne krzywej skośnej rzędu -tego o h punktach podwójnych ozornych worzą powierzchnię prostolini wą rzędu ii (n — 1 ) \

To twierdzenie zasadnicze znajdujemy po raz pierwszy u Z eii-t h e n a (Ann. di mat. 1870), następnie u Picqueta (Bull, de la Soc. math. I, str. 268, 1872), Schuberta (Kalkül der abz. Geom., Lipsk 1879, §48), Geisera (Collect.math.,Medyolan 1889) i Berzo-1 ar i’ego (Rend. Pal. IX. 1895).

Liczba siecznych czterokrotnych krzywej skośnej rzędu w-tego o h p u n k t a c h podwójnych pozornych wynosi:

~ h(h—4w-j-H)--n (n—2 (n—3) (n—13).

Wzór ten podał pierwszy Zeuthe n (1. c.), następnie znajdujemy go u Picqueta (1. c. i Compt Rend. LXXV1I, 1873) i B er-z o 1 a r i’ego (1. c.).

Licz a prostych trój siecznych krzywej i z Ç d u u - ego o h p u nk ta c h podwójnych pozornych i spotykających drugą krzywą rzędu n\ mającą z pierwszą i punktów wspólnych nosi:

<r- cr

w y-

n' (n—A) [li

ra (n—1)

Licz a rostych, s otyk p u n k t a c k z y w ą r z ę d w-tego

dw ójnych pozornych i w dwóch punktach inną krzywą rzędu »/-tego o h' punktach podwójnych pozornych, mającą z pierwszą i punktów wspól-nych, wynosi:

cr

Ph U

cych w dwóch

punktach po

hli -|--nnf (n—1) (ri — 1) — i (n — 1) (ri - 1) -(- i (i - 1).

Liczba prostych, spotykających w dwu punktach krzywą (n, h) i w j e d n y m punkcie dwie inne krzywe r z ę d ó w n‘, n'\ mające odpowiednio i", punktów wspólnych z krzywą daną, oraz j punktów wspólnych pomiędzy sobą, wynosi:

n' n" [li -4-

Liczba prostych, opieraj ącycli się na czte-rzędów , n₂, nz, n₄ i takich, że irs punktów współ-

rech k r z w

krzywe r ęd nych, wy n osi:

vO

w nr i ns

2 fl y M M4    ^ iîp flq 'lrs ~j⁻ 2L ipq 'les >

gdzie s k a ź n i k i p, q, r, s są wszystkie różne.

We wszystkich tych wzorach zakłada się, że punkty wspólne krzywym są wszystkie różne.

Wzory te znajdujemy u Picqueta (1. c.); poprawki niektórych wyników Picqueta podał G u c c i a (Rend. Pal. I).

¹

«i fh («i +    — 4) — (Ô 4- x — ¹)

IO

Powierzchnie biegunowe. Powierzchnie społzmienne.

Pomijamy definicye i własności zasadnicze teoryi biegunowości, ponieważ są analogiczne do definicyj i własności, podanych w § 2 Rozdziału Yl-go dla krzywych płaskich, i zajmiemy się tylko tern, co jest no wem w przypadku powierzchni.

Biegunowa pierwsza jakiegokolwiek punktu O względem powierzchni przecina powierzchnię według krzywej, która jest krzywą styczności powierzchni ze stożkiem, opisanym z wierzchołka O.

Jeżeli biegun znajduje się na samej powierzchni, wtedy wszystkie jej powierzchnie biegunowe mają w tym punkcie tę samą płaszczyznę styczną i te same proste ściśle styczne.

Kwadryka biegunowa \(n - 2) — a powierzchnia biegunowa | punktu parabolicznego powierzchni jest stożkiem stycznym do odpowiedniej płaszczyzny stycznej statecznej, a tworząca, według której dotyka płaszczyzny, jest prostą, która w tym punkcie jest ściśle styczna do powierzchni danej.

Punkt paraboliczny powierzchni danej jest zarazem punktem parabolicznym dla wszjostkich jej powierzchni biegunowych.

Biegunowa (n—r)- ta punktu r-krotnego powierzchni jest stożkiem rzędu r-tego z wierzchołkiem w tym punkcie, a biegunowe następne są nieoznaczonemi. Ten stożek rzędu r-tego jest miejscem prostych, mających w uważanym punkcie r-t-1 punktów wspólnych z powierzchnią, a przecięcia stożka z (n — r—1 ) - ą powierzchnią biegunową są prostemi — liczba prostych wynosi r(r-j-l) — mającemi r-J-2 punktów nieskończenie blizkich, wspólnych z powierzchnią.

Miejscem punktów, których płaszczyzny biegunowe przechodzą przez prostą, jest krzywa skośna rzędu n—1. Krzywa ta nazywa się krzywą biegunową prostej danej.

Obwiednia płaszczyzn biegunowych punktów prostej jest powierzchnią rozwijalną klasy n—1 i rzędu 2(n—2), nazwaną biegunową (n—1 ) - ą prostej.

sze

Linia węzłowa tej powierzchni rozwijalnej jest krzywą rzędu 2 (n-~.—3)(n -4), będącą miejscem biegunów, których pierw-powierzchnie biegunowe są styczne do prostej w dwu punktach różnych. Obwiednia płaszczyzn biegunowych punktów krzywej rzędu m-tego jest powierzchnią rozwijalną klasy rn(n—1), będącą zarazem miejscem punktów, w których pierwsze powierzchnie biegunowe są styczne do krzywej.

Można wypowiedzieć wiele innych twierdzeń analogicznych o obwiednich płaszczyzn biegunowych punktów powierzchni, o miejscach biegunów płaszczyzn stycznych do powierzchni i t. d. i t. d.

Miejscem punktów podwójnych biegunowych pierwszych powierzchni danej Fn jest nowa powierzchnia, nazwana powierzchnią Hessego dla powierzchni danej, albo powierzchnią J acobi’ego układu biegunowych pierwszych.

Miejscem punktów, w których biegunowe pierwsze mają punkty podwójne, jest powierzchnia, zwana powierzchnią Steinera dla powierzchni danej.

Równania tych powierzchni znajdujemy sposobem podobnym do podanego dla krzywych w § 2 Rozdziału Yl-go.

Inne określenia tych powierzchni są następujące: Powierzchnia Hessego dla powierzchni Fn jest miejscem punktów, w których płaszczyzny biegunowe względem biegunowych pierwszych powierzchni Fn przechodzą wszystkie przez jeden punkt; albo też miejscem punktów styczności biegunowych pierwszych powierzchni F1n albo wreszcie miejscem punktów, w których kwadryka biegunowa powierzchni Fn jest stożkiem.

Powierzchnia Steinera dla powierzchni F jest miejscem punktów, będących wierzchołkami stożka rzędu 2 -go, będącego kwadryką biegunową; albo też jest obwiednią płaszczyzn biegunowych punktów powierzchni Hessego.

Powierzchnia Hessego jest rzędu 4 (w — 2) i ma w ogóle 10 (w—2):! punktów pod wójnyc h.

Powierzchnia S teinera j es t r z ę d u 4(w—l)² (n—2) i m a 10 (n—2)³ prostych, z których każda odpowiada punktowi podwójnemu powierzchni Hesse g o, a mianowicie:

czyzn,

prostą powierzchni Steinera, a płaszczyzna biegunowa punktu podwójnego powierzchni Hessego jest styczna do powierzchni S t e i -7/ nera wzdłuż odpowiadającej temu punktowi

Kwadr y k a biegunowa punktu podwójnego powierzchni Hessego składa się z pary płasz-przecliodzących przez odpowiednią^

prost ej.

Krzywa paraboliczna powierzchni danej (będąca rzędu 4n(n—2)) jest przecięciem zupełnem powierzchni z jej powierzchnią Hessego.

Jeżeli powierzchnia dana zawiera prostą pojedynczą, wtedy prosta ta jest w 2(n—2) punktach styczną do powierzchni Hessego, a więc i do krzywej parabolicznej.

C/Jo

Ci

Układy liniowe powierzchni.

Niechaj axn — O, hxn — O .... będą równaniami k-j-1 powierzchni (w znakowaniu symbolicznem); układ, przedstawiony przez równanie:

żj ®xn + X₂ bxH “j“

gdzie Xl} X.

zy wamy układem liniowym g a t un k u Je.

Ak+i są parametry dowolne, stanowi to, co na-

Jeżeli k—1, mamy pęk, dla k—2 — sieć. Jeżeli powierzchnie są przedstawione przy pomocy spółrzędnych płaszczyzn*” wy cli, układ dla k—1 nazywa się pasmem.

Jeżeli k —

Wsystkie powierzchnie pęku mają w spółką krzywą rzędu n² (krzywą podstawową pęku), a wszystkie powierzchnie sieci mają n³ p u n k-tów (podstawowych) wspólnych.

N(n) =z | j — 1 (patrz § 1), wtedy

wszystkich powierzchni

u^łaj składa się 3 ę d u n-1 ego przestrzeni.

Biegunowe pierwsze punktów płaszczyzny względem po-/ierzchni rzędu w-tego tworzą sieć, a biegunowe pierwsze punktów przestrzeni względem powierzchni tworzą układ liniowy gatunku 3-go.

Układ liniowy gatunku k jest wyznaczony przez 7H-1 powierzchni tego sa mego rzędu, nie należących do jednego układu rzędu niższego.

Pomiędzy powierzchniami układu liniowego gatunku k j e s t (k—l)(n=k) powierzchni, mających styczność rzędu k z prostą daną,

(n--k)(n—k—1)... (n—2/ć-|-1)

powierzchni, z któ-

i 2A'

rych każda dotyka k-r azy prostej danej.

Pomiędzy powierzchniami pęku jest 2(n— 1) powierzchni stycznych do prost ej danej i 3(n-l)2 stycznych do płaszczyzny danej.

Pomiędzy powierzchniami sieci j est 3 (n—2) powierzchni ściśle stycznych do prostej da-3

nej, -ęT (n—l)(n—2)(3w²—3n—11) powierzchni podwój-

nie stycznych do płaszczyzny danej, wreszcie 12(n— l)(n—2) powierzchni, mających styczność stateczną z płaszczyzną daną.

Miejscem biegunów płaszczyzny danej względem wszystkich powierzchni pęku jest krzywa skośna rzędu 3 (n—l)².

W pęku powierzchni jest 4(w— l)³ powierzchni z punktem Y dwójnym. Każda z tych powierzchni ma tę samą płaszczyznę biegunową względem wszystkich powierzchni pęku.

Pascal. Rep. II.

Miejscem, biegunów płaszczyzny względem wszystkich powierzchni sieci jest powierzchnia rzędu 3 (w—1).

Miejscem punktów styczności pomiędzy płaszczyzną a powierzchniami sieci jest krzywa rzędu 3 (n—-1).

Miejscem punktów podwójnych powierzchni sieci jest krzywa skośna rzędu 6(n—l)², która jest zarazem miejscem punktów styczności pomiędzy powierzchniami sieci, a także miejscem punktów, których! płaszczyzny biegunowe względem powierzchni sieci przechodzą wszystkie przez jednę prostą. Krzywa ta nazywa się krzywą Jacob i'ego sieci.

Miejscem punktów, których płaszczyzny biegunowe względem powierzchni układu liniowego gatunku 3-go przechodzą wszystkie przez jeden punkt, jest powierzchnia rzędu 4(w—1), która nazywa się powierzchnią H e ssego lub p o-wierzchnią J a c o b i’ego układu; jest ona zarazem miejscem punktów podwójnych wszystkich powierzchni układu, a także miejscem punktów styczności powierzchni tegoż.

Jeżeli układ liniowy jest układem biegunowych pierwszych powierzchni danej, otrzymujemy powierzchni ę Hessego lub powierzchnię Jacobie g’o dla powierzchni danej (patrz § poprzedzający).

Można określić powierzchnię analogiczną i w przypadku, gdy dane są cztery powierzchnie rzędów różnych, t. j. nie tworzące układu liniowego; mianowicie:

Miejscem punktów, w których płaszczyzny biegunowe względem czterech danych powierzchni rzędów nu w₂, n₃, ni przechodzą przez jeden i ten sam punkt, jest powierzchnia rzędu nt -f- n₂ w₃ -j-    — 4, która nazywa się powierzchnią

Hessego lub Jacob i:ego czterech powierzchni.

Można jeszcze rozważać układy liniowe gatunku k powierzchni, będących wzajemnie w związku rzutowości, i badać miejsca, utworzone przez przecięcia odpowiadających sobie powierzchni.

Twierdzenia, odnoszące się do tego przedmiotu, znajdzie czytelnik w wielokrotnie cytowanem dziele „Introduzione“ Cremony.

§ 7.

Przekształcenie dwuwymierne przestrzeni i powierzchni. Odwzorowanie płaskie powierzchni.

Jak na płaszczyźnie rozważamy przekształcenie dwujednbznacz-ne pomiędzy dwiema płaszczyznami (przekształcenie Cremony) albo wprost pomiędzy dwiema krzywemi dwu płaszczyzn, podobnież w przestrzeni możemy rozważać przekształcenia dwu-jednoznaczne pomiędzy dwiema przestrzeniami albo tylko pomiędzy dwiema powierzchniami tych przestrzeni. To ostatnie zagadnienie nazywa się zagadnieniem o odwzorowaniu jednej powierzchni na drugiej, a szczególnym jego przypadkiem jest odwzorowanie płaskie powierzchni.

Niechaj xl} x₂, xz, x₄ będą spółrzędne jednorodne punktu jednej przestrzeni, yx, y₂, y:!, y₄ — takież spółrzędne punktu drugiej; połóżmy:

1)

y i fi (ß'it ^3? ^4)

gdzie funkcye fi są wymiernemi całkowitemi jednorodnemi stopnia 7t-tego; niechaj te związki będą takie, iż otrzymujemy z nich:

(« — 1, 2, 3,4)

■ w.

Xi = <Pi(xu y,, y₃, y₄)

gdzie i funkcye ęy są funkcyami wymiernemi całko witemi jednorodnemi stopnia m-tego. Przekształcenie tego gatunku nazywamy dwuj ednoznacznem, dwuwymiernem albo kremoniańskiem; na mocy tego przekształcenia każd emu punktowi jednej przestrzeni odpowiada punkt drugi e j.

Gdy danym jest punkt (x), wtedy przy pomocy wzorów (1) znajdujemy odpowiadający mu punkt (y); gdy punkt (y) dany jest jako przecięcie trzech płaszczyzn:

Zhyi = 0,

1

- jU; y i = 0 ,

Z ny i — o

wtedy odpowiadające mu punkty będą x dane tedy przecięcia trzech powierzchni:

2hfi(x) = 0, kfXifi{x) = 0, kvifi(x) = 0. i    i    i

Aby przekształcenie było dwujednozna-cznem, potrzeba, by trzy powierzchnie miały jeden tylko wspólny punkt przecięcia zmiennego, gdy inne punkty przecięcia pozostają stałemi przy zmianie parametrów A, ju, v. Stąd :

W przekształceniu dwujednoznacznem powierzchnie układu liniowego gatunku 3-go

4

J£()i/‘i = 0 winny przechodzić przez w³—1 punktów stałych.

Dla przekształcenia dwu jednoznacznego jest konieczne m, by powierzchnie fi(x) =0 były rodzaju zero; spółrzędne ich punktów dająsię wyrazić jako funkeye wymierne dwu parametrów. Takie powierzchnie Cremona nazywa homaloidalnemi, Cayley — jednobieżnemi.

Przecięcie R zmienne (t. j. nie wspólne wszystkim powierzchniom/*) dwu jakichkolwiek powierzchni f— Oj est krzywą wymierną (rodzaju zero) rzędu m.

Układ)powierzchni, utworzony z takich powierzchni /*, nazywa się układem homaloidalnym.

Zauważmy, że dla przekształcenia dwujednoznacznego powierzchni nie jest koniecznem, by m=n, co ma miejsce w przypadku przekształcenia dwujednoznacznego płaskiego.

Punkty i linie, wspólne wszystkim powierzchniom układu homaloidalnego, nazywają się głównemi lub zasadnicze m i.

Z pomiędzy nm przecięć powyżej określonej krzywej R z tą powierzchnią f, na której ona całkowicie nie leży, nm—1 przecięć znajduje się w punktach zasadniczych lub leży na krzywych zasadniczych przekształcenia.

Każdemu punktowi krzywej zasadniczej, która jest krzywą i-krotną dla wszystkich powierzchni układu homaloidalnego, odpowiada krzywa wymierna rzędu i, której miejscem geome-trycznem jest powierzchnia, stanowiąca część powierzchni Ja-cobi’ego dla układu liniowego powierzchni (pi — 0.

Krzywa zasadnicza przestrzeni (x) «-krotna dla powierzchni /== 0, jeżeli ją przecinają krzywe R jest (4i — 1)-krotną dla po-wierzchni Jacobi'ego układu /i; jeżeli zaś krzywe R, jej nie przecinają, wtedy jest dla tegoż układu krzywą 4 « - krotną.

Punkt zasadniczy przestrzeni (x) Z-krotny dla układu f jest 4Z—2-krotnym dla powierzchni Jacobi’ego tegoż układu.

Związki liczbowe pomiędzy rzędami wielokrotności punktów i krzywych zasadniczych, analogiczne do związków w przekształceniu plaskiem (patrz Kozdz. VI § 5), podał No et her (Ann. di mat. Y, str. 175—176).

Tcorya przekształcenia dwuwymiernego przestrzeni nie jest dotąd tak doskonale zbadana, jak teorya takiegoż przekształcenia płaszczyzny. Główne mi pracami o tym przedmiocie są następujące: Cayley (Proe. Lond. math. Soc. 111, 171), Cremona (Gott. Nadir. 1871. Math. Ann. IV, Rend. Ist. Lomb. 1871, Annali di mat. V, Acc. Bologna 1871—72) No ether (Math. Ann. 111).

Przypadkiem szczególnym rozważanego przekształcenia jest przekształcenie przez promienie odwrotne lub inaczej i n w e r s y a, mająca własność niezmieniania kątów.

Jeżeli przekształcenie ma być dwujednoznacznem nie dla całej przestrzeni, lecz tylko dla dwóch powierzchni y_ (y <I>{y) =0, zawartych w dwóch przestrzeniach, wtedy nie jest koniecznem, aby powierzchnie układu liniowego

4

J£Qi/‘t{x) — 0 miały riA — 1 punktów wspólnych; jest koniecz-

l

nem jedynie, by wszystkie powierzchnie tego układu, przechodzące przez punkt powierzchni F— 0, nie przecinały się równocześnie na tejże powierzchni.

za

Istnieje tu także twierdzenie, które można uważać uogólnienie twierdzenia E i e m a nu a, t. j. że i o d z a j (g e-

nus) powierzchni przekształcających się dwu-jednoznacz nie jedna na drugą, jest jeden i ten sam.

Patrz: 0 1 e b s c li (Comp. rend. 1868, Math. Ann. II), Cayley (Math. Ann. III), N o e t h e r (Ann. di mat. V, Math. Ann. Il, VIII), Zeuthen (Math Ann. IV), Gastelnuo vo - Enriques (Math. Ann. XLVIII).

N o e t her próbował rozciągnąć na powierzchnie twierdzenia o rozszczepianiu się punktów osobliwych dla krzywych płaskich, t. j. starał się zbadać, czy przy pomocy przekształceń dwuwy-miernycli przestrzeni lub powierzchni nie można powierzchni, mającej osobliwości wyższe, przekształcić na inną, mającą osobliwości zwyczajne.

Temże zagadnieniem, prócz N o e t h e r a (Math. Ann. XXIX, Beri. Sitzungsber. 1888) zajmowali się: Del Pezzo (Rend. Palermo II, III), S e g r e (Ann. di mat. XXV), Pannelli (tamże XXV), L e v i (tamże XXVI). Podobne zagadnienie dla krzywych skośnych badali Poincare (Compt. rend. CXV1II, 1888) i P a n-n e 11 i (Ist. Lomb. 1893).

Przypadkiem szczególnym przekształcenia dwuwymier-nego powierzchni jest tak zw. odwzorowanie płaskie powierzchni. Według powyższej terminologii Cremon y, powierzchnia, dająca się odwzorować na płaszczyźnie, jest homaloidalną.

Aby powierzchnia dała się odwzorować na płaszczyźnie, musi być rodzaju liczbowego pn równego zeru.

Warunkiem dostatecznym odwzorowal-ności powierzchni na płaszczyźnie jest, aby krzywa posiadała pasmo pojedyńczo-nieskoń-c z o n e krzywych wymiernych, wyciętych na powierzchni przez pęk innych powierzchni. (N o e t h e r, Grött. Nachr. 1870, Math. Ann. III).

Niechaj będzie powierzchnia S rzędu ?i-tego; spółrzędne jednorodne jej punktów można wyrazić za pomocą wzorów:

= fi (y i y» y₃),

(i = 1,2, 3, 4)

gdzie funkcye f są wymiernemi jednorodnemi rzędu m\ załóżmy, że z tych wzorów można otrzymać i stosunki pomiędzy spółrzędnemi y, wyrażone jako funkcye wymierne ilości x.

Powiemy tedy, że powierzchnia 6' daje się odwzorować na płaszczyźnie, gdyż, jeżeli przez spółrzędne y rozumiemy spół-rzędne jednorodne punktów płaszczyzny, to wzory powyższe ustanawiają zależność dwujednoznaczną pomiędzy punktami płaszczyzny i punktami powierzchni S.

4

Krzywe układu liniowego płaskiego ż/ fi {y) — 0 niechaj

i

mają av punktów pojedynczych, a₃ punktów podwójnych, a3 punktów potrójnych i t. d. wspólnych; wtedy zachodzi związek:

n = ni² — aj — 4a₂ — 9a₃.....

Jeżeli oznacza rodzaj przekroju płaskiego powierzchni, d — rząd krzywej podwójnej tej powierzchni, r — rząd krzywej ostrzowej, to zachodzi związek:

lh —

[n — 1) (n—2)

Mamy nadto nierówności: (m-{-l)(wi-j-2)

Z tych związków wypływają następujące:

Pi < n — 2;

(n—2)(n—3)

Powierzchnie rzędu drugiego i trzeciego dają się, oczywiście, zawsze odwzorować na płaszczyźnie. Dla powierzchni rzędu drugiego dość z jakiegokolwiek punktu rzucić na płaszczyznę punkty powierzchni. Dla powierzchni rzędu 3-go dość rozważać dwie z jej prostych nie przecinających się, następnie przez punkt dowolny płaszczyzny przeprowadzić prostą, przecinającą tamte dwie; ta ostatnia prosta przetnie powierzchnię jeszcze w innym punkcie, który odpowiada dwujednoznacznie punktowi płaszczyzny.

Konstrukcyę geometryczną odwzorowania płaskiego powierzchni rzędu czwartego ze stożkową podwójną można wykonać sposobem następującym:

Rozważmy jednę z 16 prostych powierzchni danej, przecinającą stożkową podwójną. Przez punkt P płaszczyzny i przez prostą g przesuńmy płaszczyznę; płaszczyzna ta przetnie stożkową w punkcie, który połączony z punktem P daje prostą, opierającą się na stożkowej podwójnej i na prostej g, przecinającą zatem powierzchnię w innym jeszcze punkcie Q\ odpowie d-niość punktów Pi Çjest dwu jednoznaczną.

Jeżeli powierzchnia rzędu czwartego ma prostą podwójną, to można wykonać analogiczną konstrukcyę, wiedząc, że są wtedy na powierzchni stożkowe, przecinające prostą podwójną.

Dla powierzchni rzędu piątego z dwiema prostemi podwój -nemi, nie przecinającemi się, można wykonać widocznie konstrukcją geometryczną analogiczną do tej, którą wykonaliśmy dla powierzchni rzędu trzeciego.

Dla powierzchni rzędu piątego z krzywą sześcienną podwójną można oczywiście za promienie rzucające przyjąć cięciwy krzywej sześciennej, przecinające powierzchnię jeszcze w jednym punkcie. Konstrukcya analogiczna daje się wykonać, jeżeli krzywa sześcienna rozpada się na stożkową i na prostą, przecinającą stożkową w punkcie, albo na trzy proste, z których jedna przecina dwie pozostałe. Przypadki, w którym krzywa sześcienna jest płaską albo rozpada się na stożkową i na prostą, nie przecinającą stożkowej, albo wreszcie na trzy proste, nie przecinające się, nie są możliwemi.

Odwzorowanie płaskie powierzchni może być użyteczne w badaniu krzywych, nakreślonych na powierzchni. Za najdawniejsze badania, dotyczące odwzorowania płaskiego powierzchni, uważać można badania, odnoszące się do rzutu stereograficznego i w ogóle do wszelkich rzutów, wymyślonych dla kreślenia kart geograficznych.

Odwzorowanie płaskie powierzchni rzędu 2-go stosowali: Plii-cker (Crelle XXXIV, 1847), Chasles (Compt. rend. 1861), O a y -ley (Phil Mag. XXII,. 1861) w celu badania krzywych, nakreślonych na tych powierzchniach (por. Clebscli-Lindemann, II; i niżej Rozdział X, $ 1). Odwzorowanie płaskie powierzchni rzędu 3-go otrzymali: Cremona (Grelle LXIX) i Clebsch (tamże LXY); powierzchni rzędu 4-go i 5-go o stożkowej podwójnej: Clebsch (Grelle LXIX, Math Ann. I), Korn dör fer (tamże I, IV), Prahm (tamże VH). Odwzorowanie płaskie powierzchni prostoliniowych wymiernych badali: Cremona (Annali di mat. I), Ar menante (Ann. di mat. IVj 1870), Clebsch (Math. Ann. Il, V), Noether (tamże II).

W przypadku powierzchni jakiejkolwiek, a więc i niealgebraicz-nej, zagadnienie o odwzorowaniu plaskiem powierzchni całkowitej lub jej części daje się traktować przy pomocy metod geometry i różniczkowej.

Rozważano też przekształcenia wielokrotne przestrzeni (patrz Rozdz. XI, § 5); do tej kategoryi badań należy rozprawa D e P a o 1 i s a (Mem. Lineei 1885).

ROZDZIAŁ X.

KRZYWE SKOŚNE RÓŻNYCH RZ§DÓW.

§ 1.

Krzywe na powierzchniach rzędu 2-go. Krzywe kuliste (sferycznej.

Powiedzieliśmy wyżej, że badanie krzywych, położonych na powierzchni rzędu 2-go, daje się łatwo przeprowadzić przy pomocy odwzorowania płaskiego powierzchni. Jeżeli z punktu P powierzchni (który może być i punktem w nieskończoności) rzucimy punkty powierzchni na płaszczyznę, np. na płaszczyznę styczną w punkcie O spotkania z powierzchnią średnicy przez punkt P przechodzącej, otrzymujemy odwzorowanie płaskie powierzchni, które analogicznie do odwzorowania kul, nazywamy rzutem stereografi.cznym.

Rzutami wszystkich punktów, znajdujących się na dwóch tworzącjmh kwadryki, przechodzących przez punkt P, są dwa punkty f\ i P₂ w nieskończoności. Nazywamy je punktami zasadnicze mi; prosta je łącząca (w tym przypadku prosta w nieskończoności) nazywa się prostą zasadniczą. Rzuty wszystkich prostych kwadryki stanowią dwa pęki promieni, których środki znajdują się w punktach Pt i P₂.

Ustanówmy teraz na kwadryce układ spółrzędnych. Weźmy jako początek punkt O, jako osi —proste 0X, OY, wzdłuż których płaszczyzna styczna w O przecina kwadrykę (jeżeli konstrukeyę te chcemy wykonać w obszarze rzeczywistym, bierzemy hyper-boloidę). Niechaj A będzie punktem powierzchni; przez punkt ten przechodzą dwie tworzące: jedna, należąca do pierwszego układu, druga—do drugiego; te dwie tworzące niechaj przecinają tworzące stałe OX i O Y w punktach Ax (na OX) i A₂ (na OY). Odległości £= O Aj i rj — 0A₂ można przyjąć za spółrzędne punktu A kwadry ki. Spółrzędne takie nazywają się hyper-boloidalnemi; wprowadził je Plücker (Crelle XXXIY).

Godnym uwagi jest fakt, że punkt, położony na płaszczyźnie stycznej X Y i mający spółrzęd-n e | i t], jest rzutem punktu A kwadryki z punktu P.

Rów na'nie stopnia pierwszego a!- -{- brj -f- c=0 pomiędzy spółrzędnemi ^ rj przedstawia na powierzchni krzywą płaską, przechodzącą przez punkt P.

Jeżeli za osi spółrzędnych kartezyańskich przyjmiemy osi OX, O Y i jakąkolwiek oś trzecią OZ, wtedy spółrzędne kartezyańskie x, y, z punktu d kwadryki związane będą ze spółrzędnemi h y p e r b o 1 o i d a 1 -nemi tegoż punktu w ten sposób:

dz

dz

cz -|- yy ’    ^    bz -J- [XX ’

lub:

rii , ii ±

^ yy *

jeżeli równanie kwadryki jest postaci:

z (az-\-by-\-cx -|- d) -j- juxy = 0.

Jeżeli w szczególności za oś Z weźmiemy średnicę, przechodzącą przez punkt 0, wtedy równanie kwadryki przybiera postać :

albo:

Z (z-\-d) -j- yxy = 0 (hyperboloida), dz -f- juxy — 0 (paraboloida),

hi)

Wzory te stosował P 1 ii c k e r; w spółrzędnych jednorod-nycli wzory są bardziej symetrycznemi (Clebsch - Lind mann 1. c. II, str. 422).

Niechaj P, O będą dwa jakiekolwiek punkty kwadryki (nie jest koniecznem, aby były końcami jednej średnicy); niechaj wierzchołkami czworościanu podstawowego spółrzędnych będą P, O. Pt, P₂, gdzie P, i P₂ są dwoma punktami zasadniczemi na płaszczyźnie stycznej do kwadryki w punkcie O. Równanie kwadryki będzie miało postać:

x, x₂ — x₃x₄ — 0 ,

jeżeli płaszczyzny xx = 0, x₂=0, x₃ = 0, x₄=0 są odpowiednio płaszczyznami POPx, POP₂, OPxP₃, /PjP₉. Jeżeli £₂, £3 są spółrzędnemi jednorodnemi punktu (na płaszczyźnie 0PxP₂), będącego rzutem punktu kwadryki, wtedy zachodzą wz ory:

xx : x., : x₃ : x₄ = £i£₃ : £₂î₃ : £I î₂ : £₃~ .

na

a powyższe p u j ą c e :

związki

zamieniają się na nastę-

Ilości    można przyjąć za spółrzędne punktu

kwadryce (C a y 1 e y, Papers V, str. 70); odpowiadają one w istocie rzeczy spółrzędnym hyperboloidalnym P1 ü c k e r a.

Rzutem wszelkiej krzywej płaskiej w rozważanem odwzorowaniu jest stożkowa, która staje się kołem, jeżeli punkt P jest punktem kołowym (umbilikiem) kwadryki, punkt zoś O jest punktem średnicowo przeciwnym; wszystkie te stożkowe są do siebie podobne i podobnie ułożone; ich asymptoty są równoległe-mi do dwóch osi OX, OY, t. j. do przecięć płaszczyzny stycznej w O z powierzchnią.

Rzutem krzywej płaskiej rzędu n na kwadryce, nie przechodzącej przez punkt P, jest krzywa płaska rzędu 7i; jeżeli zaś krzywa przechodzi m razy przez punkt P, rzut jest rzędu w—m.

n na kwadryce spotyka zawsze k razy jakąkolwiek tworzącą jednego układu, Je' razy tworzącą układu drugiego, w ten sposób, że Je -j- li' — n] rzut tej krzywej przechodzi Jc razy przez punkt P₁, 7d razy przez punkt P₂. Liczby k, Je' charakteryzują gatunek krzywej na kwadryce; gatunek ten oznaczamy symbolem [ Je, Je'].

Wszelka krzywa rzędu

Jeżeli jedna z dwu liczb Je, k' jest zerem, wtedy krzywa rozpada się na zbiór n prostych kwadry ki.

Jeżeli nie będziemy uważali za zasadniczo różne dwu gatunków [ Je, Je!], [Je’, k j, będzie można powiedzieć:

Na kwadryce istnieje — ^ (gdy w niepa-rzyste) lub (gdy n parzyste) różnych gatun

ków kr żywych właściwych rzędu n - tego.

Przecięcie zupełne kwadryki z powierzchnią ogólną rzędu m j e s t typu \m, m].

Przez Je Je' -J- Je-\~/e' punktów, dowolnie danych na powierzchni, może przechodzić jedna i tylko j e d n a krzywa typu J Je,k'].

Dwie krzywe typów [k, le‘] i \_kx, Je/] s p o t y k aj ą s i ę w Jek\ -j- Je' Jex punktach.

Krzywa typu \ Je, Je' | o ó punktach podwójnych i % ostrzach dotyka 2Je'(Je—1) —- 2 <$ — 3% tworzących układu pierwszego, oraz 2 Je(Je'— 1) — 2 ô — 3 % tworzących układu drugiego.

Co do osobliwości i liczb charakterystycznych dla krzywych, nakreślonych na kwadryce, patrz Rozdz. IX, § 4.

Na kwadryce niema krzywych właściwych rzędu 2-go innych prócz przekrojów płaskich, należących do typu [1,1]; krzywe właściwe rzędu 3-go na tej powierzchni są typu [1,2] lub—co na jedno wychodzi — ]2, 1] i są skośnemi; krzywych rzędu 4-go są dwie rodziny: [2,2] (krzywe gatunku pierwszego) i [1,3] (krzywe gatunku drugiego).

C li a s 1 e s pierwszy rozważał odwzorowanie płaskie kwadryk, jako uogólnienie rzutu stereogratłeznego kuli (Ann. de Gergonne XVIII, XIX, Aperçu hist. 1837, str. 219). Krzywe na tych powierzch-

mach badał Plücker w dwóch rozprawach (Crelle XXIV, 3-łl—300). Cytujemy jeszcze noty Cayl ey’a (Phil. Mag. XXII, s. 181, Papers Y, 70) i Chasl.es’a (Compt rend. 1861). Porówn. Clebsch-Lindem a n n, 1. c. II, str. 414 i nast.

Przypadkiem szczególnym badań powyższych są badania nad rzutem stereograficznym kuli i nad krzywemi kulistemi, a w szczególności nad nad t. zw. stożkowemi kulist emi. Rzut stereograficzny kuli znali już geometrowie greccy; najważniejsza jego własność polega na odwzorowaniu podobne m, t. j. że kąt dwóch krzywych kulistych równa się kątowi pomiędzy ich rzutami płaskiemi. jeżeli środek rzutu znajduje się, jak wyżej, wpunkcie P kuli, a płaszczyzna rzutu jest równoległa do płaszczyzny stycznej w punkcie P; w szczególności zaś, gdy płaszczyzna rzutu jest płaszczyzną styczną w punkcie O, średni-cowo-przeciwległym punktowi P.

Zdaje się, że własność tę odkryli H o o k e i Moi vre (patrz Halley, Phil. Trans. 1696); niektórzy są zdania, że znał ją już Mercator w r. 1587 (patrz Breusing „Das Verebnen der Kugeloberfläche etc.“, Lipsk 1892); później badali ją Lambert, Euler, Lagrange, Gauss i inni (patrz Chasles, Aperçu etc., str. 219 i 235).

Rzutem każdego przecięcia płaskiego kuli jest koło.

Rzut bieguna płaszczyzny siecznej jest środkiem koła, które jest rzutem przecięcia płaskiego (tw. C h a s 1 e s’a, patrz H a-c h e 11 e „Geom. a trois dim.“ 1817).

Spółrzędne na knli i stożkowe kuliste, t. j. przecięcia kuli stożkiem rzędu 2-go, badali; Chasles (Mém. de Belg. VI), G u d e r-m a n n (Crelle VI), Möbius (Werke II) i t. d. Wykład szczegółowy ich teoryi znajdujemy u H e s s e g o (Anal. Geom. des Baumes wyd. 3, str. 51) i u Salmona-Fiedlera I, wyd. 3-e, str. 340 i nast.

Stożkowa kulista jest krzywą skośną rzędu czwartego i gatunku 1-go; jest ona przecięciem kuli ze stożkiem rzędu 2-go, którego wierzchołek znajduje się w środku kuli.

W stożkowej kulistej stosunek anharmoniczny czterech promieni, łączących punkt zmienny krzywej z czterema punktami stałemi krzywej, jest stały; przez stosunek anharmoniczny czterech promieni (nie leżących na jednej płaszczyźnie), rozumiemy tu stosunek anharmoniczny czterech płaszczyzn, rzucających te promienie ze środka kuli. Jest to własność analogiczna do własności stożkowych płaskich.

W stożkowej kulistej iloczyn wstaw łuków, poprowadzonych z punktu na kuli normalnie do dwu łuków kól wielkich, stycznych do stożkowej, jest w stosunku stałym do kwadratu wstawy łuku, poprowadzonego normalnie do łuku koła wielkiego, przechodzącego przez dwa punkty styczności.

Poprowadźmy przez środek kuli dwie płaszczyzny kołowe stożka rzędu 2-go (t. j. płaszczyzny, przecinające go według kół); odpowiadające tym płaszczyznom koła wielkie na kuli nazywają się kołami c k 1 i c z n e m. i, odpowiadającemi stożkowej kulistej.

Jeżeli koło wielkie przecina stożkową kulistą w dwóch punktach P i Q, a koła cykliczne w punktach A i B, wtedy AP^=BQ, w szczególności:, łuk koła wielkiego styczny do stożkowej kulistej, zawarty pomiędzy dwoma kołami cyklicznemi, dzieli się w punkcie styczności na dwie równe części.

cJTj

CM

Krzywe sześcienne skośne.

Dwie kwadryki, mające wspólną linię prostą, przecinają się według krzywej reszto wej, która jest krzywą sześcienną

skośną.

Zachowując znakowania, przyjęte w § 4 Rozdziału IX dla liczb charakterystycznych i osobliwości krzywych skośnych,

mamy tu:

n — 3,    r = 4,    h— 1,    y— 0,    /?=0,    H=0, v= 0,

ni—3,    <7 = 1,    æ = 0,    a = 0,    £=0,    co = 0,    p = 0,

skąd wypływają twierdzenia następujące:

Krzywa sześcienna skośna jest rodzaju zero i klasy czwartej; jej rozwijalna ścisłe styczna jest rzędu czwartego i klasy trzeci ej.

Przez jakikolwiek punkt przestrzeni przechodzi jedna tylko cięciwa i trzy płaszczyzny ściśle styczne krzywej sześciennej.

Jakakolwiek płaszczyzna przestrzeni zawiera jednę i tylko jednę prostą przecięcia dwu płaszczyzn, ściśle stycznych do krzywej sześciennej.

Rzut płaski krzywej skośnej rzędu 3-go j e s_t krzywą sześcienną płaską z punktami po d wójnemi.

Każda krzywa rzędu 3-go daje się pomyśleć jako nakreślona na kwadryce; spotyk⁻a ona zawsze w jednym punkcie tworzące jednego układu, w dwóch punktach tworzące drugiego (patrz Rozdz. X, § 1).

Na kwadryce można pomyśleć dwa różne układy krzywy sześciennych; krzywe jednego układu spotykają tworzące uk* pierwszego w jednym, drugiego w'dwôch punktach (a więc wiednio tworzące układu drugiego w dwóch punktach, pierwsz e w jednym punkcie).

Dwie krz}^we sześcienne różnych układów spotykają się w pięciu punktach, krzywe tegoż samego układu w czterech punktach.

Jeżeli dwie kwadryki przecinają się według krzywej sześciennej, a zatem i według prostej, wtedy prosta ta w każdej z dwóch kwadryk należy do tego układu, którego tworzące przecina krzywa sześcienna w dwóch punktach.

Przez pięć punktów, dowolnie danych na kwadryce, przechodzą dwie krzywe sześcienne na niej leżące (jedna jednego, druga drugiego układu). Przez sześć punktów, danych dowolni e

w przestrzeni przechodzi zawsze jedna krzywa sześcienna.

Dla wykreślenia takiej krzywej sześciennej dość wziąć stożek kwadrykowy, mający wierzchołek w jednym ze sześciu punktów i przechodzący przez pięć pozostałych, a następnie drugi taki stożek, mający wierzchołek w innym z sześciu punktów i przechodzący przez pięć pozostałych. Te dwa stożki przetną się według prostej, łączącej dwa wierzchołki, i według krzywej sześciennej szukanej.

Krzywa sześcienna skośna jest miejscem punktów wspólnych dwóm trójkom p ł a s z c z y z u, odpowiadaj ącycłi sobie w trzech pękach płaszczyzn wzajemnie rzutowych.

Roz wij alną ściśle styczną można uważać za

rzywej sześ-obwiednią płasz-

siennej

c z y z n, przechodzących przez trójki punktów o‘d powiadających sobie w trzech prostych punktowych.

Zniekształceniem krzywej sześciennej skośnej z jednym mmktem podwójnym pozornym jest układ stożkowej i prostej łożonej tak, że przecina stożkową tylko w jednym punkcie. Podamy niektóre własności krzywych sześciennych.

'Cztery płaszczyzny, przechodzące przez zmienną cięciwę ej sześciennej i przez każdy z czterech stałych punktów ykïZywej, sa w stałym stosunku anharmonicznym.

lo

Prosta, będąca przecięciem dwu płaszczyzn ściśle stycznych krzywej, przecina cztery płaszczyzny ściśle styczne krzywej czterech punktach, będących w stosunku anharmonicznym.

W szczególności cztery płaszczyzny, łączące styczną do krzywe] z czterema punktami tejże, zachowują stały stosunek anliarmoniczny przy zmienianiu się stycznej.

Cztery płaszczyzny, w których styczna zmienna przecina cztery płaszczyzny ścisłe styczne, są w stałym stosunku amliai-momcznym.

Jeżeli-1 2.....7 są danemi siedmioma punktami krzywej

sześciennej, to płaszczyzny 712 i 745, 723 i 756, 734 i 761 przecinają się według trzech prostych płaszczyzny, przechodzącej

Pascal. Rep. II przez stałą cięciwę krzywej sześciennej, jeżeli pozostawiając sta-łemi pierwsze sześć punktów, zmieniamy tylko położenie siódmego (Cremon a).

Jeżeli dane są dwie krzywe sześcienne, przechodzące przez te same pięć punktów, to cięciwy pierwszej krzywej, przechodzące przez punkty drugiej, spotykają wszystkie cięciwy drugiej krzywej, przechodzące pr^ez punkty pierwszej.

Płaszczyzny ściśle styczne w trzech punktach 1, 2, 3 krzywej sześciennej przecinają się w jednym punkcie (4) płaszczyzny 123 .

Punkty styczności trzech płaszczyzn ściśle stycznych, poprowadzonych do sześciennej z punktu (4),znajdują się na jednej płaszczyźnie z punktem (4) (Chasles).

Prosta przecięcia się płaszczyzn ściśle stycznych, znajdująca się w płaszczyźnie 123, jest biegunową harmoniczną punktu 4 względem trójkąta (123).

Cięciwa sześciennej, przechodząca przez punkt 4, jest prostą biegunową harmoniczną płaszczyzny 123 względem trój-ścianu trzech płaszczyzn ściśle stycznych.

Dodajemy dla objaśnienia ostatnich dwu twierdzeń, że biegunową harmoniczną p punktu S (bieguna harmonicznego) względem trójkąta jest prosta, przecinająca boki trójkąta ABC w trzech punktach A', B', C takich, że pary promieni SA', SA'] SB, S'B'\ SC, S'C' są w inwolucyi. Określenie to rozciąga się łatwo na przypadek trójścianu.

Cztery punkty sześciennej tworzą czworościan; inny czworościan tworzą płaszczyzny ściśle styczne w tych czterech punktach; każdy z tych czworościanów jest jednocześnie wpisany w drugi i opisany na nim (Möbius, Crelle III, 273).

Twierdzenie C h a s 1

o-

e s a pokazuje, że przy pomocy krzywej sześciennej skośnej ustanawiamy w przestrzeni odpowiedniość specyalną pomiędzy punktami i płaszczyznami w ten sp sób, że każdemu punktowi odpowiada płaszczyzna, przezeń przechodząca, a każdej płaszczyźnie odpowiada punkt, na niej położony. Taka odpowiedniość jest dwoistością biegunową, albo

i n w o 1 u c y j n ą, a właściwie należy do tak zwanych biegunowości zerowych (p atrz wyżej str. 51), lub do układów zerowych (Nullsystem). Por. Möbius, Statik I, 131 Punkt i odpowiadająca mu płaszczyzna nazywają się biegunem i płaszczyzną biegunową.

i Grelle X, 317).

Cięciwa sześciennej, przechodząca przez biegun dany P, i prosta, położona na płaszczyźnie biegunowej tego punktu, taka, że wzdłuż niej spotykają się dwie płaszczyzny ściśle styczne sześciennej, są dwiema prostemi, pozostającemi w biegunowości

zerowe].

Różne konstrukcye. Zagadnienie, których rozwiązania tu podamy, dotyczą konstmkcyi krzywej sześciennej skośnej, czyniącej zadość warunkom danym.

1. Jest danych sześć punktów 1, 2, 3, 4, 5, 6 sześciennej; zbudować krzywą.

Przez proste (12) przesuwamy dowolną płaszczyznę a i wy-znaczaczamy przecięcia:

[a,(345)] = a, [a,(456)] « b, [(23),(561)] = A, [(61),(234)]=P, [a, (P4)] — C, [a,(AÔ] = D, [(CD)ta] = E, [(CD),    = F ;

punkt [(12), (2F) — P należy do sześciennej. Albo inaczej: Wyznaczamy

[ a, (45)] = G, [1 ,AG] = ß, [2 ,BG] = y,

[£(34)] = 5, [y, (56)] = K,

trzy płaszczyzny [61JTJ, a, [23XJ przecinają się w punkcie krzywej; mamy naturalnie trzeci punkt krzywej, znajdujący się na płaszczyźnie a.

2. Mamy danych pięć punktów 1, 2, 3, 4, 5 i sieczną a krzywej sześciennej; zbudować krzywą.

Przez sieczną a przeprowadźmy płaszczyznę dowolną a, która przecina płaszczyzny [123], [124], [134], [234] według czterech prostych, wyznaczających razem z prostą a stożkową do nich styczną; płaszczyzna a przecina nadto płaszczyzny [123 I, [125], [135], [235] według czterech innych prostych, wyznaczających razem z prostą a inną stożkową. Te dwiestoż-kowe mają styczne wspólne a i [ot, [ 123; J ; pnnkt spotkania dwóch styeznj-ch wspólnych jest punktem sześciennej.

3. Dane są cztery punkty i dwie sieczne; zbudować sześ

cienną.

Zagadnienie to albo wcale nie ma rozwiązań, albo ma ich nieskończenie wiele.

4. Mając dane trzy punkty i trzy sieczne, zbudować sześcienną.

Dość rozważyć trzy pęki płaszczyzn, mające za osi trzy sieczne dane i ustanowić odpowiedniość rzutową płaszczyzn trzech pęków, uważając jako odpowiadające sobie płaszczyzny, przechodzące przez każdy z trzech punktów danych; punktami krzywej szukanej będą przecięcia trzech jakichkolwiek odpowiadających sobie płaszczyzn.

5. Dane są dwa punkty A, B i cztery sieczne a, a', b, b zbudować sześcienną.

Prowadzimy prostą c, przechodzącą przez punkt A, i spotykającą proste a, a'; prostą c', przechodzącą przez A i spotykającą proste b, br; w podobny sposób prowadzimy proste cl, cl, przechodzące przez punkt B i spotykające odpowiednio a,a' i b,b\

Niechaj przecięciem płaszczyzn [cci], \crcl'] będzie l; dwie hyperboloidy [a a[l], [bb‘l] przecinają się według krzywej żądanej.

6.    Zbudować sześcienną, przechodzącą przez punkt dany i mającą jako sieczne pięć prostych danych.

Zagadnienie to zawsze ma rozwiązanie.

7.    Zbudować sześcienną, mającą jako sieczne sześć prostych danych.

Zagadnienie to ma w ogólności sześć rozwiązań.

Co do tych konstrukcyj patrz dzieła niżej cytowane Sehr ot era, Cremony, Sturm a.

Różne gatunki krzywych sześciennych. Dla krzywych, podobnie jak dla stożkowych, tworzymy kategorye według rzeczywistości ich punktów w nieskończoności; a mianowicie:

1. Jeżeli płaszczyzna w nieskończoności przecina krzywą sześcienną w jednym tylko punkcie rzeczywistym, mamy elipsę sześcienną.

2.    Jeżeli płaszczyzna w nieskończoności zawiera trzy punkty rzeczywiste sześciennej, wtedy krzywa jest hyper bolą sześcienną.

3.    Jeżeli w szczególności dwa z tych trzech punktów zlewają się, mamy hyperbolę sześcienną paraboliczną.

4.    Jeżeli wreszcie wszystkie trzy punkty zlewają się, t. j. gdy płaszczjuma w nieskończoności jest płaszczyzną ściśle styczną, wtedy mamy parabolą sześcienną.

Przez hyperbolę sześcienną przechodzą trzy walce hyper-boliczne rzeczywiste stopnia 2-go.

Przez elipsę sześcienną przechodzi jeden walec eliptyczny rzeczywisty stopnia 2-go.

Przez hyperbolę sześcienną paraboliczną przechodzą dwa walce rzeczywiste stopnia 2-go, z których jeden jest hyperbo-licznym, drugi parabolicznym.

Przez parabolę sześcienną przechodzi jeden tylko walec rzeczywisty stopnia 2-go paraboliczny.

Jeżeli nazwiemy asymptotą styczną rzeczywistą (w skończoności) do punktu w nieskończoności linii krzywej, to będzie można powiedzieć, że elipsa sześcienna ma jednę tylko asymptotę, hyperbola sześcienna, trzy, hyperbola sześcienna paraboliczna ma jednę, parabola sześcienna nie ma żadnej.

Krzywe sześcienne badał pierwszy Möbius (Baryc. Calcul 1827, str. 120, Crelle X), po nim Chasles (Aperçu hist. Note XXXIII, Jour, de Liouville II 1854, Compt. rend. XLV); później zajmowali się tym przedmiotem: S e y d e w i t z (Grün. Archiv X), Hesse (Crelle XXVI), Sch röter (tamżeLYI), v. Staudt (Beiträge 111,1860), Cre mona (Annali di mat. I, II, V; Crelle LVIII, LX, LXIII; Nouv. Ann. 1, 2 série), Sturm (Crelle LXXIX, LXXX, LXXXVI), Müller (Math. Ann. V). Co do innych badań nad sześciennemi skoś-nemi, a zwłaszcza nad zastosowaniem do nich teoryi niezmienników form dwójkowych, patrz: Belframi (Ist Lomb. 1868), Sturm (1. c.), Voss (Math. Ann. XIII), d’Ovidio (Acc. Torino XXXII 1879, Giorn. di Battag. XVII, Collect, math. 1881), P i t a r e 1 1 i (Giorn. di Batt. XVII), G e r b a 1 d i (Mcm. Torino 1880). Z traktatów o teoryi krzywych sześciennych skośnych wymieniamy: Sa 1 -mon-Piedler (Anal. Geom. d. R. II), a zwłaszcza Schröter (Theorie d. Oberfl. 2-er. Ordr., Lipsk 1880).

05

Krzywe skośne rzędu 4 go gatunku 1-go.

Krzywa skośna rzędu czwartego gatunku 1-go jest przecięciem zupełnem dwu kwadryk, na każdej z tych dwu powierzchni przecina ona w dwóch punktach każdą tworzącą jednego układu, oraz w dwóch punktach każdą tworzącą drugiego.

Przy założeniu, że kwadryki są jakiekolwiek, mamy następujące liczby charakterystyczne dla takiej krzywej:

n = 4, r — 8, h~ 2, y — 8, ß — 0, H—0, z — 0,

m —12, g = 38, x — 16, a = 16, G=0, co = 0, p = l.

Jeżeli dwie kwadryki mają styczność zwyczajną w jednym punkcie, wtedy krzywa rzędu

4-go otrzymuje punkt podwójny, a jej charakterystykami są:

n — 4,    r = 6,    h= 2,    y = 4,    ß = 0, łJ=l,    v = 0,

™ = 6,    g = 6,    a? = 6,    a =4,    0=0,    o> = 0,    p = 0.

J e ż e J i kwadryki mają w punkcie styczność stateczną, wtedy krzywa ma ostrze, aj ej charakterystykami są:

n = 4,    r = 5,    A = 2,    y = 2,    ß = 1,    JJ = 0,    v = 0,

w* = 4,    y = 2,    a = 2,    a =1,    # = 0,    co — 0,    p = 0,

Zniekształcenia krzywej skośnej rzędu 4-go gatun-ky 1-go są następujące;

1.    Krzywa sześcienna płaska wraz z prostą, położoną w przestrzeni tak, że przecina krzywą tylko w jednym punkcie.

2.    Krzywa sześcienna skośna i jej cięciwa.

3.    Dwie stożkowe, położone w przestrzeni w ten sposób, że mają dwa punkty wspólne.

Z własności, dotyczącej liczby stożków kwadrykowych, znajdujących się w pęku kwadryk, wypływa :

et-

tsa*

P-¹ CTQ

owe

Przez każdą kr Igo przechodzą cz (Poncelet).

Krzywa rzędu 4-go gatunku 1-go niema wcale trój siecznej.

fcß P

W tym pęku są cztery płaszcz y-

Każda płaszczyzna pęku płaszczyzn, m a -za oś cięciwę albo styczną krzywej 4-go gatunku 1-go, przecina krzywą w dwóch punktach takich, że prosta je łącząca jest tworzącą kwadryk i, na której krzywa leży całkowicie, zny styczne do krzywej.

Ośm punktów, dowolnie danych w przestrzeni, określają krzywą rzędu czwartego gatunku 1-go.

Dwie krzywe gatunku 1-go, położone na jednej i tej samej kwadryce, przecinają się w ośmiu punktach. Są to te punkty, w których spotykają się trzy powierzchnie rzędu 2-go; jeżeli mamy danych siedm z pomiędzy tych punktów, to ósmy daje się wyznaczyć przy pomocy konstrukcyj liniowych; tworzą one grupę ośmiu punktów stowarzyszonych i przechodzi przez nie nieskończenie wiele krzywych rzędu 4-go (Hesse, Grelle XXYI, K eye tamże, C. Zeuthen tamże IC, Acta math, XII).

Przez sześć punktów z grupy ośmiu punktów stowarzyszonych poprowadźmy sześcienną skośną, to prosta, łącząca dwa pozostałe punkty, będzie cięciwą sześciennej. Odwrotnie: ośm punktów krzywej rzędu 4-go, mających tę własność, są ośmioma punktami stowarzyszonemu

Przez pięć punktów krzywej rzędu 4-go gatunku 1-go przeprowadźmy wszystkie możliwe kwadry ki, przecinające nadto krzywą jeszcze w trzech punktach; płaszczyzna tych trzech punktów przechodzi przez punkt stały krzywej danej.

Jeżeli na krzywej rzędu 4-go damy sobie dwie grupy po ośm punktów stowarzyszonych, t. j. razem 16 punktów i jeżeli pomiędzy temi punktami można wybrać ośm takich, aby tworzyły nową grupę punktów stowarzyszonych, wtedy i pozostałe ośm punktów tworzy grupę punktów stowarzyszonych.

Poprowadźmy trzy płaszczyzny, przecinające krzywą rzędu czwartego w punktach Ax, Bt, C\, />,; A₂, 11₂, C₂, D₂; Av B₃, C₃,I)₃; płaszczyzny A₁A₂A₃, BXB₂B₃, C\C₂C₃, D₁Ü₂D₃ przetną krzywą w czterech punktach, znajdujących się na jednej płaszczyźnie.

Cztery płaszczyzny, ściśle styczne w czterech punktach położonych na jednej płaszczyźnie, przecinają krzywą w czterech punktach, leżących na jednej płaszczyźnie (Eey e).

Na krzywej rzędu 4-go istnieją trójki punktów A Jo, A₃, mające tę własność, że trzy płaszczyzny ścisłe styczne w tych punktach przecinają się w punkcie S krzywej, przez który przechodzi także i płaszczyzna Ax A₂ A₃. Ten punkt nazywa się punktem towarzyszącym trójki.

Niechaj będzie krzywa rzędu 4-go na kwadryce; trzy punkty Bx, B₂, B?t, w których tworzące tego samego układu, przechodzące przez punkty Alt A₂, A₃ spotykają krzywą, tworzą także trójkę.

Niechaj O będzie punktem krzywej rzędu czwartego; trzy punkty, w których trzy płaszczyzny OAx A₂, ()A₂ A3: OA₃Ax przecinają także krzywą tworzą trójkę.

Trzy punkty, w których trzy płaszczyzny, przechodzące odpowiednio przez Ąx, A₂, A₃ i przez sieczną albo przez styczną krzywej, przecinają krzywę, tworzą też trójkę.

Trójkę punktów dla danej krzywej rzędu 4-go można otrzymać sposobem następującym: Przyjmijmy punkt S na krzywej jako punkt towarzyszący trójki. Z tego punktu rzućmy krzywą na płaszczyznę, rzutem będzie krzywa rzędu 3-go. Płaszczyzna, przechodząca przez punkt S i przez jednę z prostych przegięcia

sześciennej płaskiej przecina krzywą daną w trzech punktach tworzących trójkę.

Powiedziano wyżej, że w pęku płaszczyzn, którego osią jest cięciwa krzywej rzędu 4-go, istnieją cztery płaszczyzny styczne do niej; mówimy, że cztery punkty styczności tworzą czwórkę punktów.

Stosunek anharmoniczny czterech punktów tego pęku jest stały, t. j. nie zmienia się przy zmianie cięciwy, będącej osią pęku; a także:

Stosunek anharmoniczny czterech płaszczyzn, w których cztery styczne w czterech punktach czwórki przecinają cięciwę im odpowiadającą, jest stały.

Płaszczyzny, przechodzące przez cięciwę krzywej i przez każdy z czterech punktów czwórki, przecinają krzywą w czterech punktach, tworzących także czwmrkę.

Cztery ściany czworościanu, którego wierzchołkami są czteiy punkty czwórki, przecinają krzywą w czterech punktach innej czwórki, a mianowicie w tych samych czterech punktach, w których płaszczyzny ściśle styczne w czterech punktach pierwszej czwórki przecinają krzywą.

Na krzywej rzędu 4-go istnieją 24 dwójki takich punktów, że płaszczyzna ściśle styczna w jedirym punkcie dwójki przechodzi przez drugi, i odwrotnie.

Badano koniiguracyę 16 punktów styczności krzywej rzędu 4-go i płaszczyzn statecznych powierzchni rozwijalnej ścisłe stycznej, t. j. 16 punktów krzywej rzędu czwartego, w których płaszczyzna ściśle styczna ma styczność rzędu 3-go z krzywą.

Te 16 punktów są punktami spotkania krzywej z czterema ścianami czworościanu biegunowego, t. j. czworościanu, którego wierzchołkami są wierzchołki czterech stożków, przechodzących przez krzywą.

Każda płaszczyzna, przechodząca przez trzy z pomiędzy 16 takich punktów, przechodzi także przez punkt czwarty, który zresztą może zlewać się z jednym z trzech rozważanych. Takich płaszczyzn jest 116.

Te 16 punktów można przedstawić za pomocą symbolów (*, /), gdzie i,j — 0, 1, 2,l3; każde cztery punkty, dla których

suma pierwszych skaźników i osobno suma drugich przystaje do 0 według modułu 4, są na jednej płaszczyźnie.

Spółrzędne punktu krzywej rzędu czwartego skośnej gatunku 1 - go można wyrazić za pomocą f u n k c y j eliptycznych jednego parametru; jest mianowicie:

x=p(u), y = p'(u),    z=p"{u),

g d ziep jest znaną f u n k c y ą W eierstrassa (patrz „Repertoryum“ t. I Kozdz. XVI, § 4). Czterema punktami, leżą-cemi na jednej płaszczyźnie, są wtedy punkty dla których suma czterech argumentów = 0 (mod. 2co, 2co').

Z tego punktu widzenia krzywą skośną rzędu 4-go gatunku 1 -go badali: Harnack (Math. Ann. XII), Lange (Diss. Drezno 1882, Sclilöm. Ztschrf. XXVIII); patrz Halphen, Fouet, elip. II, str. 449 i nast. Krzywe skośne rzędu 4-go gatunku 1-go badali nadto; Cha s-1 e s (Compt. rend. LII, LIV), Reye (Ann. di mat. II), Gegen-b a u e r (Wien. Ber. XC1II), A m e s e d e r (tamże XXXVnj. Traktat o tych krzywych napisał Schröter (Grandz. ein. rein, geoni. Theorie der Raumcurven 4-er Ordn. 1-er Species, Lipsk 1890), gdzie można znaleźć liczne cytaty.

Do krzywych rzędu 4-go gatunku 1-go należą stożkowe kuliste, o których była mowa w § 1.

Krzywe rzędu 4-go skośne gatunku 2-go.

Krzywą skośną rzędu 4-go gatunku drugiego określamy jako krzywą rzędu 4-go, przez którą przechodzi jedna tylko kwadryka.

W ogóle, jeżeli powierzchnia rzędu 2-go i powierzchnia rzędu 3-go mają wspólną krzywą płaską rzędu 2-go (dwie proste na płaszczyźnie albo stożkową), wtedy przecięciem resztowem jest krzywa rzędu 4-go gatunku 1-go; stąd krzywa rzędu 4-go gatunku 2-go jest przecięciem resztowem powierzchni rzędu 2-go i powierzchni rzędu 3-go, mających wspólne dwie proste skośne.

Otrzymujemy także krzywą rzędu 4 go gatunku 2-go, jeżeli powierzchnia rzędu 2-go i powierzchnia rzędu 3-go mają wspólną prostą, która jest podwójną dla tej drugiej powierzchni.

Zamiast ogólnej powierzchni sześciennej można wziąć powierzchnię liniową skośną, stąd :

u 4-go gatunk u 2-go m o-ęcie powierzchni r zę

Każdą krzywą rz żna uważać jako prze d u 2-go i powierzchni sześciennej skośnej, której kierownicą podwójną jest cięciwa kr z y w ej (Cremon a).

za miejsce punktów wspólnych, cych sobie płaszczyzn trzech pę-

Każdą krzywą rzędu 4-go gatunku 2-go m o -żna uważa odpo wiada

k ó w rzutowych, z których p i e r w s z y j e s t pojedynczym, drugi podwójnym inwolucyjnym, trzeci ho m ograficznym względem drugiego (C re m o n a).

Kzut płaski krzywej rzędu 4-go gatunku 2-go jest wogóle krzywą ogólną rzędu 4-go klasy 6-ej z trzema punktami podwój-nemi, czterema stycznemi podwójnemi i sześcioma przegięciami.

Jeżeli środek rzutu leży na krzywej, mamy wtedy krzywą rzędu 3-go i klasy 4-ej.

Przez krzywą rzędu 4-go gatunku 2-go przechodzą cztery stożki rzędu 3go i klasy 4-ej.

Liczbami charakterystycznemi dla krzy-w ej rzęd u 4-go gatunku 3-go są następujące:

n = 4,    r=6,    h — 3,    y — 4,    ß — 0,    H = 0,    v~ 0,

m—6.    g — 6,    æ = 6,    a = 4,    G=0,    co = 0,    p = 0.

Krzywa rzędu 4-go gatunku 2-go przecina wszystkie tworzące jednego z układów kwadryki w trzech punktach, wszystkie tworzące drugiego w jednym tylko punkcie, stąd:

Krzywa ma jeden układ pojedynczo - nieskończony trój-

siecznych.

Istnieją cztery punkty, w których styczna do krzywej przecina nadto krzywą.

Krzywa gatunku 2-go może mieć w szczególności jednę lub dwie styczne stateczne (v = l,2) co nie ma miejsca dla krzywej gatunku 1-go. Liczbami charakterystyczne mi dla tych przypadków szczególnych są następuj ą c e :

n =4,    r = 6,    h= 3,    y — 4,    ß=0,    H—0,    u = 1,

m = 5,    g — 4,    #=*=5,    a — 2,    0=0,    co — 0,    p = 0.

n = 4,    r =6,    h = 3,    y — Ą,    ß = 0,    11=0,    v = 2,

■m — 4,    g = 3,    x = Al ,    a = 0,    6r=0,    co=0,    p =    0.

Zniekształcenia krzywej skośnej rzędu 4-go gatunku 2-go:    1) krzywa sześcienna skośna i prosta,

przecinająca ją w jednym punkcie; 2) dwie stożkowe, mające jeden punkt wspólny.

Stosunek anharmoniczny czterech płaszczyzn, przechodzących przez cztery punkty krzywej i przez jakąkolwiek jej trój-sieczną, nie zmienia się przy zmianie trój siecznej. Można ten stosunek nazwać stosunkiem anharmonicznym czterech punktów krzywej rzędu 4-go.

Na powierzchni rzędu 2-go można nakreślić dwa układy krzywych rzędu 4-go gatunku 2-go; krzywe jednego układu przecinają w jednym punkcie tworzące powierzchni, należące do pierwszego układu tworzących i w trzech punktach tworzące drugiego układu tworzących; krzywe 2-go układu — odwrotnie.

Dwie krzywe rzędu 4-go, należące do różnych układów, spotykają się w 10 punktach, dwie krzywe jednego układu w 6 punktach.

Krzywa rzędu 4-go gatunku I-go i krzywa rzędu 4-go ga-

Przez ośm dowolnych punktów w przestrzeni przechodzą cztery krzywe rzędu 4-go gatunku 2-go.

tunkn 2-go, nakreślone na tej samej powierzchni rzędu 2-go, spotykają się w 8 punktach.

Krzywa sześcienna skośna i krzywa rzędu 4-go gatunku 2-go, nakreślone na tej samej kwadryce i spotykające każda jednym tylko punkcie tę samą tworzącą powierzchni, przecinają się w 5 punktach; jeżeli zaś krzywa sześcienna spotyka tworzącą w dwóch, punktach, a krzywa rzędu 4-go w jednym tylko punkcie tę samą tworzącą, wtedy krzywe mają 7 punktów wspólnych.

Przez siedm punktów na kwadryce można przeprowadzić dwie krzywe rzędu 4-go gatunku 2-go, na tej powierzchni całkowicie leżące.

na

Z punktu P krzywej można przeprowadzić do niej trzy płaszczyzny ściśle styczne; trzy punkty styczności z krzywą leżą jednej płaszczyźnie, przechodzącej przez punkt P i będącej płaszczyzną biegunowo-harmoniczną trójsiecznej, przechodzącej przez punkt P, względem trójścianu trzech płaszczyzny eh stycznych.

Jeżeli zmieniać będziemy punkt P to płaszczyzna trzech punktów styczności obwiedzie stożek rzędu 2-go (Cremona).

Nazywamy cięciwami g ł ó w n e m i krzywej cięciwy przez które przechodzą dwie płaszczyzny ściśle styczne do krzywej, których punkty styczności są punktami przecięcia cięciw z krzywą (B e r t i n i).

Istnieją trzy cięciwy główne; przechodzą one przez jeden i ten sam punkt.

Przez punkt przestrzeni przechodzą trzy cięciwy krzywej (gdyż h—3); jeżeli przez ten punkt poprowadzimy sześć płaszczyzn, przechodzących przez styczne do krzywej w sześciu punktach przecięcia cięciw, to te sześć płaszczyzn dotykać będą jednego stożka rzędu 2-go.

Sześć płaszczyzn ściśle stycznych, poprowadzonych z jednego punktu do krzywej, dotyka jednego stożka rzędu 2-go.

Ośm prostych, poprowadzonych z jednego punktu przestrzeni do punktów styczności czterech płaszczyzn dwustycznych, przez ten punkt przechodzących, są tworzącemi takiegoż stożka-

Płaszczyzny ściśle styczne krzywej są stycznemi do kwa-dryki, której płaszczyzny styczne przecinają krzywa w czterech punktach, tworzących grupę anharmoniczną. Kwadryka ta jest wpisana w rozwijalną ściśle styczną linii krzywej (C r e m o n a)-

Płaszezyzny, przecinające krzywą rzędu 4-go w czterech punktach, tworzących grupę harmoniczną, obwodzą powierzchnię Steinera (rzędu 4-go i klasy 3-ej), wpisaną w rozwijalną ściśle styczną krzywej ^Cremo n a).

Rozważmy pęk płaszczyzn, którego osią jest prosta, przecinająca. krzywą w dwóch punktach; miejscem geometrycznem prostej, łączącej pozostałe dwa punkty spotkania każdej płaszczyzny z krzywą, jest powierzchnia rzędu 3-go skośna, której tworzącą podwójną jest oś pęku.

Krzywa, o której mówiemy, ma, jak to widać z tablicy cztery płaszczyzny ściśle styczne stateczne (a = 4).

Cztery styczne w czterech punktach s t a t e c z n y c h, t. j. w punktach styczności płaszczyzn stycznych, leżą na jednej hy-perboloidzie.

Cztery punkty styczne należą do krzywej węzłowej (rzędu 6-go) powierzchni rozwijalnej ściśle stycznej; płaszczyzny stateczne wr tych punktach są zarazem płaszczyznami ściśle stycznemi do krzywej węzłowej.

Krzywa węzłowa ma także cztery punkty stateczne i niema innych punktów wielokrotnych; jest ona przecięciem powierzchni rzędu 2-go i powierzchni rzędu 3-go, mających styczność stateczną w czterech punktach.

Krzywa rzędu 4-go gatunku 2-go spotyka odpowiednią krzywą węzłową w ośmiu punktach, z których cztery są punktami statecznemi dla krzywej rzędu 4-go, a pozostałe cztery punktami statecznemi dla krzywej węzłowej.

Istnienie krzywych rzęclu 4-go gatunku 2-go spostrzegli S a 1 -mon i C a y 1 e y (Cambr. Math. Journ. V, 1850) a potem Steiner (Flächen 3-en Grades, Crelle LIII, 1857). Pierwszą ważną pracą o tym przedmiocie jest rozprawa Cremony (Acc. Bologna 1861,

Ann. di Tortol. IV); potem następują liczne prace W e y r a (Math. Ann. IV, Wien. Ber. 1871—75—76—78), rozprawy B e r t i n i’ego (Ist. Lomb. 1872), Ar menant i’ego (Griorn. di mat. XI, XII) i wielu innych.

Study znalazł, że dawszy sobie punkt przestrzeni, możemy na krzywej rzędu 4-go gatunku 2-go określić inwolucyę rzędu 4-go gatunku 1-go (Leipz. Ber. 1886); przypadek szczególny takiej inwolucyi zauważył był już Bertini (1. c.). Inwołucya ta zastępuje w pewien sposób brak innej, która istnieje we wszystkich krzywych skośnych wymiernych rzędu większego od 4 (patrz § 6). Teorya tak zwanych „oskułant"* jest właśnie z teorya tych inwolucyj związana (patrz Jolies, Theorie der Osculanten, 1886; Stahl, Crelle CI, CIV)

Więcej szczegółów bibliograficznych i historycznych znaleść mo zna wprzedmowie do niedawnej pracy Berzol ar i’ego (Ann. di mat. XX), który dowiódł, że wspomniana wyżej inwołucya jest apolarną względem inwolucyi, którą otrzymujemy, przecinając krzywą płaszczyznami, przechodzącemi przez punkt dany.

Co do przypadków szczególnych, wyżej wymienionych, w których krzywa posiada styczne stateczne, patrz Cre mona, (Rend. Tst. Lomb. 1868); Appel, (Comp. Rend. 1876) i t. d.

Krzywe skośne rzędu 5go, 6go i t. d.

Krzywe rzędu 5-go. Powiedziano już (patrz Pozdz IX § 3), że istnieją trzy rodziny krzywych skośnych rzędu 5-go: jedna z czterema punktami podwójnemi i o najwyższym rodzaju 2; druga z pięcioma punktami podwójnemi pozornemi i o najwyższym rodzaju 1; trzecia wreszcie z 6 punktami podwójnemi pozornemi rodzaju zero. Rozumie się tu oczywiście, że krzywe nie posiadają osobliwości istotnych, t. j. punktów podwójnych istotnych, ostrzy i t. d. Oznaczać będziemy te krzywe odpowiednio przez ², Hb\ #₅°.

Przez każdą krzywą skośną rzędu O - go przechodzi nieskończenie wiele powierzchni rzędu 3-go.

Liczby charakterystyczne dla krzywej Ra2 są następujące:

?■ —12, m — 21, h = 4, g = 156, x = 48, y —32, a = 32;

pozostałe są zerami,

Z każdego punktu krzywej R₅² wychodzi jedna tylko trój -sieczna krzywej.

Krzywa Ra² jest przecięciem cząstk owe ni powierzchni rzędu drugiego i powierzchni rzędu trzeciego, mających wspólną prostą, która jest trój sieczną krzywej.

Miejscem trójsiecznej krzywej jest kwadryka, na której leży krzyTwa,

Istnieje ośm punktów, w których styczna do krzywej prze -cina samą krzywą (ż=8; patrz Kozdz. IX, § 4).

Istnieje 96 punktów spotkania trzech stycznych nie nieskończenie blizkich (punktów potrójnych krzywej węzłowej powierzchni rozwijalnej).

Istnieją 72 płaszczyzny ściśle styczne i w innem miejscu styczne do krzywej.

Krzywa Hb ² nie posiada siecznej czterokrotnej.

Krzywą ² można utworzyć przy pomocy trzech pęków rzutowych, z których jeden jest pękiem powierzchni rzędu 2-go, dwa pozostałe pękami płaszczyzn; kwadryka przechodzące przez Raz jest wyznaczona przez przecięcie płaszczyzn, odpowiadających sobie w dwóch pękach płaszczyzn.

Krzywą R² można także określić jako przecięcie cząstkowe dwóch powierzchni rzędu

3- go, mających nadto wspólną krzywą rzędu

4- go gatunku 1-go. Ta ostatnia krzywa spotyka ośm razy krzywą RJ.

Liczby charakterystyczne dla krzywej i?₅l są następujące:

r=10, m —15, /i = 5, g — 70, x — 30, y =20, a — 20.

Krzywą Rb ¹ można uważać jako przecięcie cząstkowe dwóch powierzchni sześciennych, które przecinają się nadto według krzywej rzędu 4-go gatunku 2-go.

Z każdego punktu krzywej Rbx można poprowadzić do niej dwie trójsieczne.

Istnieje 10 stycznych krzywej, przecinających ją nadto winnych punktach.

Istnieje 30 płaszczyzn ściśle stycznych, zarazem stycznych do krzywej w innych punktach.

Istnieje 40 punktów, w których spotykają się trzy styczne nie nieskończenie blizkie krzywej.

Miejscem trójsiecznych krzywej Rb ¹ jest powierzchnia prostoliniowa rzędu 5-go.

Krzywa Rsx nie posiada siecznej czterokrotnej.

Liczby charakterystyczne dla krzywej Rb° są:

r — 8, rn = 9, A=6, y = 20, x—lG, y = 12, a = 8.

Przez każdy punkt krzywej Rb° przechodzą trzy trójsieczne.

Istnieje 12 stycznych, które są siecznemi w innych punktach krzywej.

Istnieje dwanaście płaszczyzn ściśle stycznych, które są stycznemi w innych punktach.

Istnieje 8 punktów, w których spotykają się trzy styczne nie nieskończenie blizkie krzywej.

Istnieją dwa gatunki krzywych Rb°, wyróżniające się tern, że krzywa gatunku pierwszego ma jednę tylko prostą czworo-sieczną, druga zaś ma nieskończenie wiele takich siecznych, tworzących powierzchnię rzędu 2 go.

Krzywa R₅° gatunku 1-go jest miejscem punktów wspólnych odpowiadającym sobie płaszczyznom trzech pęków rzutowych, z których

Pascal Rep. II.

dwa są podwójnemi i n w o 1 u c y j n e m i, trzeci zaś jest pojedynczym.

Krzywa i£₅° gatunku 2-go jest m i e j s c e m punktów wspólnych odpowiadającym sobie płaszczyznom trzech pęków rzutowych, z których dwa są pojedyncze, trzeci zaś jest potrójnym inwolucyjnym.

Krzywa    gatunku 1-go jest przecięciem

m a-

cząstkowe m dwu powierzchni rzędu 3-go, jących nadto wspólną krzywą skośną rzędu 3-go oraz prostą, nie przecinającą tamtej; albo też jest przecięciem cząstkowem dwu po w i erz-chni rzędu 3-go prostoliniowych, mających wspólną prostą podwójną oraz dwie inne proste, z których jedna przecina prostą podwójną, druga zaś nie.

Krzywa    gatunku 2-go jest przecięciem

cząstkowem powierzchni stopnia 2-go i powierzchni prostoliniowej rzędu 4-go, których prostą potrójną jest czworosieczna kr z y w e j //₅ ".

Trójsieczne krzywej Iib° gatunku pierwszego tworzą powierzchnię prostoliniową rzędu 8-go, dla której krzywa Jvb⁰ jest krzywą potrójną, a jej czworosieczna prostą poczwórną.

Z punktu widzenia klasyfikacyi krzywych skośnych krzywa Bb° gatunku 2-go nie przedstawia osobnej rodziny, a jest tylko przypadkiem szczególnym krzywej Bs° gatunku 1-go (patrz Halphen, Ecol. poi. LII, str. 12).

Krzywe rzędu 5-go badali; pierwszy C a y 1 e y (Comptes rend. LIV, LVIII, 1862, 1864; Papers V, 15, 24); Sturm (Flächen 3. O., Lipsk 1867) badał krzywe takie, położone na powierzchni rzędu 3-go; później zajmowali się tym przedmiotem B e r t i n i (krzywe Bs°; Collect. math. 1881), Ber zola ri (Line. Mem. 1893), Weyr (krzywe Rb°, Wiener Berichte 18 84, 85, 88) i Montesano (Hbx, Acc. Napoi. 1888).

Krzywe rzędu 6-go. Istnieje, jak wiemy (Rozdz. IX, § 3), pięć rodzin krzywych skośnych rzędu 6-go, charakteryzujących się liczbą punktów podwójnych pozornych. Przez każdą z tych krzywych przechodzi zawsze powierzchnia rzędu 3-go.

Najważniejszą pomiędzy niemi jest krzywa rodzaju 4, która jest przecięciem zupełnem powierzchni stopnia

2-g o i powierzchni stopnia 3-go. Jest ona zwłaszcza ważną dla teoryi funkcyj abelowych rodzaju 4, gdyż odgrywa w tej teoryi podobną rolę, jaką krzywe rzędu 4-go płaskie mają w teoryi funkcyj abelowycli rodzaju 3.

Liczby charakterystyczne dla tej krzywej są: r=18, m — 36, h — 6, ^ = 531, cc =126, y — 96, a — 60.

Przez punkt krzywej przechodzą dwie trójsieczne (dwie proste kwadryki, na której leży krzywa).

Liczba stycznych, które są zarazem w innych miejscach siecznemi, wynosi 24.

Liczba płaszczyzn ściśle stycznych, które w innych punktach są stycznemi, wynosi 324.

Powierzchnia rozwijalna ściśle styczna krzywej ma 480 punktów potrójnych.

Krzywa posiada 120 płaszczyzn trójstycznych i nie ma oczywiście żadnej czworosiecznej.

Zaczęto badać konfiguracyę 120 płaszczyzn trójstycznych krzywej rzędu szóstego skośnej i 360 odpowiednich punktów styczności. Konfiguracyę tę należy uważać za rozszerzenie na rodzaj p=4 konfiguracyj 28 stycznych podwójnych krzywej płaskiej rodzaju p—3.

Te punkty styczności (w liczbie 360) krzywej rzędu 6-go z jej płaszczyznami trójstycznemi znajdują się dwunastkami na 32130 powierzchniach rzędu 2-go, Te powierzchnie dają się uporządkować parami; istnieje mianowicie ośm różnych gatunków takich par. Para gatunku pierwszego ma własność, że cztery z pomiędzy pozostałych kwadryk spotykają każdą z powierzchni pary w 6 —j— 6 punktach, należących do krzywej rzędu

6-go; szesnaście kwadryk spotyka jednę z powierzchni pary w 6 punktach (krzywej), drugą tylko w trzech punktach, a niema żadnej kwadryki, któraby miała własność przeciwną. Para taka, jak widzimy, jest w pewnym względzie dysymetryczną. Co do innych szczegółów patrz E. Pascal (Lincei 1893). Jeżeli mamy dwa pierwiastki równania, od którego zależy wyznaczenie 120 płaszczyzn trójstycznych krzywej rzędu 6-go skośnej, to pozostałe 118pierwiastków rozkładają się na 54 i 64 pierwiastki w ten sposób, że rozwiązującą równania stopnia 64-go jest równanie stopnia 54-go, które znów —po rozwiązaniu rów-naniastopnia 27-go, nie mającego rozwiązującej stopnia niższego— rozpada się na 27 czynników kwadratowych.

Jeżeli znamy trzy pierwiastki, wtedy zagadnienie zależy od równania stopnia 27-go, nie mającego rozwiązującej stopnia niższego. Twierdzenie to jest analogiczne do twierdzenia o 28 stycznych podwójnych krzywej płaskiej, albo do twierdzenia o 27 prostych powierzchni rzędu 3-go (patrz Pascal, Lincei, I półr. 1893, str. 120).

Krzywemi skośnemi rzędu 6-go zajmowali się: Clebsch (Crelle LXIII), Bau le (Rozprawa, Getynga 1872), Weyer (Compt. remi. LXXVI), Noetlier (Crelle XCIII), London (Math. Ann. XLV),

P e to t (Compt. rend. CII) i inni.

Z prac o krzywych rzędu 7-go wymieniamy pracę Weyra (Wien. Ber. LXIX), a dla krzywej rzędu 9-go, będącej przecięciem zupełnem dwóch powierzchni rzędu 3-go (t. j. dla krzywej podstawowej pęku takich powierzchni) podajemy liczby charakterystyczne :

r = 36, ui ==■ 81, h —18, g = 3006, x — 576, y = 504, a =144, p = 10.

Przez każdy punkt krzywej przechodzi 11 trójsiecznych.

Istnieją 144 styczne, które są zarazem siecznemi w innych punktach; istnieje 2160 płaszczyzn ściśle stycznych, które są zarazem stycznemi w innych punktach; istnieje 3360 płaszczyzn trójstycznych.

O różnych zniekształceniach krzywej, będącej przecięciem dwa powierzchni sześciennych, patrz S t u r m, Flächen 3 - er Ord., Lipsk, 1867.

C/Z

Oł

Krzywe skośne wymierne..

Krzywe rodzaju zero nazywają się, jak wiadomo, wy-miernemi albo jednobieżn emi. Wyprowadzono różne icli własności ogólne, pomiędzy któremi najelementarniejsze odnoszą się do liczb charakterystycznych. Zakłada się oczywiście, że krzywa jest pozbawiona punktów osobliwych.

Rozwijalna ściśle styczna krzywej skośnej wymiernej rzędu n-tego jest rzędu 2(n—1).

Istnieje (n—l)² prostych, opierających się na dwu prostych dowolnych i będących siecznemi podwójnemi krzywej.

Prosta ruchoma, opierająca się na prostej dowolnej i zarazem dwusieczna krzywej, opisuje powierzchnię skośną rzędu (u—l)², dla której prosta stała jest prostą wielokrotną rzędu

——, krzywa dana jest krzywą wielokrotną rzędu ?/—1,

i która ma 2 (n—l)(n—2) punktów ostrzowych, położonych na krzywej wymiernej.

Krzywa wymierna ma oczywiście pod wojny cli pozornych.

Przez każdy punkt krzywej przechodzi

(n—1) (n—2)

punktów

(n—■ 2)(n—3)

trój⁻

siecznych.

Istnieje

Powierzchnia skośna, utworzona przez trójsieczne, jest rzędu (n— 1) (n—2) (n—3)

(n—2) (n—3)² (n—4)

3.4

siecznych czworo krotny eh.

Klasa krzywej wynosi 3 (n - 2).

Przez punkt krzywej przechodzi 3 (n—3) płaszczyzn ściśle stycznych w innych punktach.

Przez każdy punkt krzywej przechodzi 2 (n—2) (w—3) płaszczyzn dwustycznych.

Przez każdy punkt krzywej przechodzi 2 (n—3) (n—4) płaszczyzn dwustycznych w innych punktach.

Każda styczna spotyka 2 (n—3) innych stycznych.

Krzywa ma 4(^—3) płaszczyzn statecznych.

Istnieje 6(n — 3)(n—4) płaszczyzn ściśle stycznych i zarazem stycznych w innych miejscach.

Istnieje 2(n—2)(n—3) prostych stycznych i zarazem siecznych w innych punktach.

Mn—3 )(n—4) (w—5)

płaszczyzn dwustycz-

Krzywa ma

nycli.

Ważną własność krzywych wymiernych jest ta, która odnosi się do tak zw. inwolucyi zasadniczej na krzywej. Spółrzędne x₁, x₂, x₄ punktu krzywej dają się wyrazić jako funkcye wymierne parametru X przy pomocy związków

xx = a/¹,    x., ss (>/',    x., = c/¹, x₄ = cl/¹,

gdzie ai,bi. . . oznaczają symbolicznie formy dwójkowe stopnia n. Utwórzmy n — 3 form stopnia napolarnych z każdą z czterech form danych, a więc z każdą formą, należącą do układu liniowego, który te cztery formy charakteryzują. Układ liniowy, określony przez n—3 formy utworzone, przedstawia i n-w o 1 u c y ę grup n punktów na krzywej, a zatem:

Na danej krzywej wymiernej istnieje i n-wolucya rzędu n i gatunku n—4, której grupy w-punktowe są apolarnemi ze wszystkie mi grupami n - punktowe mi, wyciętemi na krzywej przez jakąkolwiek płaszczyznę przestrzeni.

Taką in wolucyę Stahl nazwał zasadniczą. W przypadku 4 inwolucya sprowadza się oczywiście do grupy tylko czteropunktowej. Ula krzywej skośnej rzędu 4-go gatunku 2-go (wymiernej) grupa tych czterech punktów jest grupą czterech

punktów styczności płaszczyzn ściśle stycznych statecznych (patrz; § 4). Lecz w tym przypadku występują i inne inwolucye, znalezione przez S t u d y’ego, o czem była już mowa w § 4.

Co do inwolucyi zasadniczej na krzywej wymiernej patrz Stahl (Grelle CIV, Math. Ann. XL). O krzywych wymiernych wymieniamy prace W e y r a (Giorn. di Bart. IX, Ann. di mat. IV, Crelle LXXIV,. Ist. Lomb. 1882, Prag. Ber. 1883 i t. d.), Korndörfer (Math. Ann III), Brill (tamże XXXVI) i t. d. B e r z o 1 a r i (Annali dl mat. XXI) rozciągną! niektóre z poprzednich rozważań na krzywe wymierne w przestrzeni o jakiejkolwiek liczbie wymiarów.

Ja

ROZDIZAŁ XI.

POWIERZCHNIE KZpU 3-GO.

sr.

I—*

Wiadomości ogólne. Powierzchnie o punktach podwójnych. Tworzenie geometryczne.

Powierzchnia ogólna rzędu 3-go jest klasy 12. Rząd stożka, na niej opisanego i mającego wierzchołek w jakimkolwiek punkcie przestrzeni, jest 6; tworzących zwrotu tego stożka jest 6, a tworzących podwójnych niema. Rząd krzywej parabolicznej wynosi 12.

Równanie ogólne powierzchni takiej zawiera 19 spółczyn-ników niejednorodnych.

Na powierzchni rzędu 3-go ogólnej leży 27 prostych.

Jeżeli powierzchnia rzędu 3-go ma linię podwójną, to taka prosta może być tylko jedyną, i w tym przypadku powierzchnia jest prostoliniową. Dla takiej powierzchni dwa punkty prostej podwójnej są jednopłaszczyznowemi, pozostałe dwupłaszczy-znowemi (patrz Rozdz. IX, § 4).

Powierzchnia rzędu 3-go może mieć najwyżej cztery punkty podwójne.

Nie istnieją powierzchnie rozwijalne właściwe rzędu

3-go, lecz tylko powierzchnie rozwijalne niewłaściwe, jak stożki i walce rzędu 3-go.

Podajemy poniżej tablicę różnych gatunków powierzchni

sześciennych o punktach osobliwych oraz powierzchni sześciennych prostoliniowych, których istnieją tylko dwa gatunki.

Klasyfikację tę podał całkowicie C a y 1 e y (Pliil. Trans 1869); przypadki (5), (7), (11), (15), (20) rozważał dawniej już S c li 1 a e fl i (Pliil. Trans. 1863). Powierzchnie prostoliniowe badał Cremona (Ist.Lomb. 1861, CrelleLX); patrz pracę Wey ra„ Geometrie derräuml. Erzeugn, Lipsk 1870.

kolejny,

Natura osobliwości.

Klasa.

Równanie powierzchni. r)

12

Nie ma punktów osobliwych.

Jeden punkt stożkowy.

10

Punkt dwu płaszczyznowy

Dwa punkty stożkowe

5 ! Punkt dwupłaszczyznowy taki, że j przecięcie dwu płaszczyzn stycz-j nycli należy do powierzchni; na-: leży go uważać za zjednoczenie dwu punktów stożkowych

Punkt stożkowy i punkt dwupłaszczyznowy

7    ¹ Punkt dwupłaszczyznowy, jak w

j przypadku (5), lecz w założeniu, i że płaszczyzna, styczna do po-

ut-) -)- u’3) = 0.

Punkt stożkowy :

x, = ar., = x₃ — 0.

»<(■0 »0) -f- m(3) = 0.

Punkt (1 wupłaszczyznowy:

x, = x₂ = x₃ = 0.

W równaniu pod Jiù 2 należy przyjąć, że «en, u('à) zawierają x tylko w stopniu 1-ym

Jeżeli równanie, należące do przypadku (3), napiszemy w postaci:

x, x₂ xi -f- tt(3) — O f to równanie dla przypadku niniejszego otrzymamy, założywszy, że m<3) nie zawiera ar₃;;. Płaszczyznami stycznemi są: a-,=0, ce₂=0.

Równanie dla tego przypadku można otrzymać z równania dla przypadku (41, zakładając, że spółczynnik przy x₃ rozpada się na dwa czynniki.

Równanie zredukowane jest dla tego przypadku postaci:

ar x₂ xi -f x j .>3 -■ x., -x₃ —axl ?’=0.

') Symbole mO), . . . , r(l), v(ź) oznaczają funkcye jednorodne stopnia 1, 2 .. . zmiennych xl x.t x₃.

kolejny

Natura osobliwości.

! Kl asa.

Równanie powierzchni.

10 Punkt stożkowy jest punktem dwu-płaszczyznowym takiego gatunku, jak punkt w przypadku (5)

Punkt dwupłaszczyznowy, jak I w przypadku (7), lecz taki, że ! płaszczyzna styczna wzdłuż pro-'

! stej przecina powierzchnię według tejże prostej liczonej trzy j razy. Mówimy wtedy, że ta prosta jest ściśle styczna do powierzchni, punkt zaś należy uważać za zjednoczenie trzech punktów stożkowych

i    .

I Punkt jednopłaszczyznowy

13 Punkt dwupłaszczyznowy zwykły i dwa punkty stożkowe

Punkt dwupłaszczyznowy, jak w przypadku(T). i punkt stożkowy

15 Punkt jednopłaszczyznowy taki, !    5

że płaszczyzna styczna w tym punkcie przecina powierzchnię . j według trzech prostych, z których dwie zlewają się

11

12

Punk tern d wti pła sz czy z no wym jest aą = x., — 3-3 = 0 wraz z płaszczyznami styeznemi 3Tj=0, a:₂=0: płaszczyzna styczna w punkcie prostej przecięcia płasz czyzn jest zawsze x, — 0 i prze-cinap owierzchnie według x₁ = x., = 0 dwa razy, oraz według aą = x₃ = 0.

wierzchni wzdłuż przecięcia dwu płaszczyzn stycznych, zlewa się z jedną z tych płaszczyzn. Osobli-! wość tę należy uważać za zjedno-I czenie punktu stożkowego z punktem dwupłaszczyznowym. Płasz-j ezyzna styczna wzdłuż powyższej prostej przecina powierzchnię we-długjtej prostej, liczonej dwa razy, | i według innej prostej, różnej od tamtej.

Trzy punkty stożkowe

Dwa punkty dwnpłaszczyznowe

raz jeden.

W równaniu dla przypadku 2-go-należy założyć, że w(->, «(3) zawierają a-₂, x₃ tylko w stopniu pierwszym.

Dość przyjąć, że równanie w przypadku :-s-m zawieraj tylko w stopniu pierwszym i że spółczynnik przy x₃ rozpada się na dwa czynniki.

6 I Dość w przypadku (5) przyjąć, że ! m(3) nie zawiera wcale x₃-.

6 Równanie zredukowane jest postaci:

Tj xi x₄ —j—r₃ j-x₂ ³-j—ax₁³=0.

{xl-\-x^-\-x₃)-xi-\-xlxixi — 0.

X-,X₃Xi-\-X₁ -(xl +X₂-f-X₃) — 0.

x₁x^ei^-xÿxt'l-{-xl³xs — 0.

X12 Xi2 X3 ~ł~Xl X3 ' — 0.

te

kolejny.

Natura osobliwości.

Klasa.

Równanie powierzchni.

1(3

17

18

19

20

21

Cztery punkty stożkowe

Dwa punkty dwupłaszezyznowe i jeden punkt stożkowy

Jeden punkt, jak w przypadku (5), i dwa punkty stożkowe

Jeden punkt, jak w przypadku(ll), i jeden punkt stożkowy

Punkt jednopłaszezyznowy taki, że płaszczyzna styczna w tym punkcie przecina powierzchnię według trzech prostych zlewających się

Trzy punkty dwupłaszezyznowe

*i*2*3+*3*s*4+*3*4*i +*4*1*2= 0 *l*2*3+*l*4'+ *4 ³ = 0.

*D*2*4 I (*l'+*l)*3~ - O.

*l*2*4+*l*3²+*2³ =. 0.

* 1 ' *4+*1 *3²+*2³ = 0.

22    ! Jedna prosta podwójna, której I wszystkie punkty są dwupłasz-! ezyznowemi, prócz dwóch, które są I jednopłaszczyznowemi. Powierzchnia jest prostoliniową. Tworzy

I się ona ruchem prostej, opierają-; cej się na dwóch innych (kierownicach) w ten sposób, że szeregi punktowe na nich wyznaczone, jeden pojedynczy, drugipodwó ny inwolucyjny, są rzutowemi. Ta druga prosta jest prostą podwójną.

23    Jedna prosta podwójna, w której punktach dwu lub jednopłaszczy-znowych płaszczyzna styczna jest zawsze jedna i ta sama. Powierzchnię tę można uważać za przypadek graniczny poprzedzającej, gdy dwie kierownice zbliżają się nieograniczenie do siebie. Co do jej tworzenia patrz S a Imon-Fi e d 1 er 1. c. str. 370. Nazywają ją zwykle prostoliniow ą

i sześcienną Cayley'a,

Dość w równaniu dla przypadku 9-go przyjąć, że x₂ znajduje się w stopniu pierwszym i że spół-czynnik przy x.₂ rozpada się na dwa czynniki.

W przypadku szczególnym, w którym każdym dwom z pomiędzy trzech punktów dwupłasz-czyznowych odpowiada wspólna płaszczyzna styczna, równaniem zredukowanem powierzchni jest

*1 ³+*2*3*4 = 0.

*3*1³—*4*2² = 0 Prosta podwójna: a-j=0, x₂—0. Kierownice: as!=0, x₂—0 i x₃=0, z'₄==0.

*3³+*l(*l*3+*2*4> = °-

Płaszczyzna x, =0 jest styczną w każdym punkcie prostej po dwójnej j:,—x.₂=0 i przecina powierzchnię. według tejże proste^, liczonej trzy razy. Inna płaszczyzna styczna obwodzi hyper-boloidę x₁x₃-\-x₂:cA = 0.

Tablica liczb charakterystycznych, odnoszących się do powierzchni ogólnej rzędu 3-go, i do niektórych powierzchni, zawartych w tablicy poprzedzającej ¹ 2).

; Punkty stożkowe

ogóhial ⁽²⁾ <³⁾ | W | ⁽⁶> | ® (⁹) | (12) J (13) | (16) | (17)| 21) (22) 0 I0j2 1|³    0    0    2    4    1    0    —

Punkty dwu-płaszczyzn. Punkty je-dnopłaszcz.

rH

to

T—I

<N

a'

Y.

12    10    9

Oi

__co_

Oi

Oi

CO

Oi

co

Oi

Ci

05

05

co

oi

co

co

co

co

co

k'

216    105' 36, 21

t'

lO

io

rH

Ci

co

10 10

27

15    9    7    3

c'

24

18 16 12 10

h'

180    93

84 38    24

6    24

v'

30    24| 18 17    12    9    8

P'

Cl

rH

to

co

Ci

00

co

to

54    30    18 13    6    3    0

1 | 0 0 0 10

O liczbie i konfiguracyi prostych, położonych na powierzchni rzędu 3 go o punktach podwójnych patrz niżej § 3.

Sposoby tworzenia geometrycznego powierzchni rzędu 3-go są następujące:

Niechaj będą dwa trójściany A i ii; każda płaszczyzna pierwszego przecina każdą płaszczyznę drugiego, i mamy tym sposobem dziewięć prostych. Przez punkt P przestrzeni przesuwamy płaszczyznę, przecinającą te dziewięć prostych w dziewięciu punktach, przez które i przez punkt P przechodzi zawsze krzywa rzędu 3-go.. Jeżeli zmieniać będziemy wszelkie-wemi s osobami płaszczyznę, p r zerze z u n k t P, to miejscem g eome -r z w e j rzęd u 3-go ilna zędu3 - go, przeć odz i przez dziewięć pro tyc

•N

mimo chodź trycznem c h n i a o ó punkt

Beri. Ak. 1856, Crelle LIII).

Miejscem przecięcia odpowiadających sobie elementów w dwóch pękach rzutowych, z których jeden jest pękiem k wad ryk, drugi pękiem płaszczyzn, jest powierzchnia rzędu 3-go (Stein er).

W szczególności: miejscem stożkowyc h, w e -dług których każdą kwadrykę pęku przecina płaszczyzna biegunowa punktu P względem niej samej, jest powierzchnia rzędu 3-go (S t e i -

hi CTQ

Cu Pu

z i e o w i e r z-a rzez (St in e r,

PU

ner).

M i e j s c e m punktów wspólnych trzem odpowiadającym sobie płaszczyznom trzech sieci płaszczyzn rzutowych jest powierzchnia rzędu 3-go (Grassmann, Crelle IL, Schröter, tamże LXII).

Miejscem bieguna płaszczyzny względem wszystkich k wadryk sieci jest powierzchnia rzęd u 3-go (Steine r).

Miejscem punktów przecięcia trzeć li płaszczyzn biegunowych wszystkich punktów innej płaszczyzny względem trzech kwadry k

nie u ależących do tego samego p ę ku. jest powierzchnia rzędu 3-go (Steine r).

Niechaj będzie sześć pęków płaszczyzn a, b, c; a₁, b₁, cu i niechaj ani trzy osi trzech pierwszych, ani trzy osi trzech drugich pęków nie spotykają się; ustanówmy związek rzutowy pomiędzy a, i f/j, b i bu c i . Weźmy płaszczyznę n i na niej punkt /’, przez który przejdą trzy płaszczyzny trzech pierwszych pęków, im zaś odpowiadać będą trzy płaszczyzny w drugich trzech pękach. Miejscem punktów spotkania tycłi ostatnich trzech płaszczyzn, przy poruszaniu się punktu P po płaszczyźnie n, jest powierzchnia rzędu 3-go (August, E-ozpr. Berlin 1862; Sturm, Flächen 3-er Ord. str. 44).

Powierzchnia rzędu 3-go z punktem stożkowym może być utworzona sposobem następującym (Salmo n):

Niechaj cztery ściany czworościanu obracają się około czterech punktów, trzy zaś boki jednej ściany niechaj poruszają się po trzech płaszczyznach stałych; wtedy miejsce wierz-chołka przeciwległego tej ścianie opisuje powierzchnię rzędu 3-go, której punktem podwójnym jest punkt spotkania trzech płaszczyzn stałych. Twierdzenie to jest przypadkiem szczególnym twierdzenia Grassmanna.

Niechaj Au A₂, A₃, A₄ będą cztery punkty płaszczyzny, A\, A'₂, A g, A\ ich rzuty z punktu P na cztery płaszczyzny dane; miejscem punktu P, dla którego cztery punkty A' znajdują się na jednej płaszczyźnie, jest powierzchnia rzędu 3-go z czterema punktami podwój nem i, które są wierzchołkami czworościanu, utworzonego przez cztery powyżej rzeczone płaszczyzny (Sturm 1. c. str. 381).

Tę powierzchnię o czterech punktach stożkowych (klasy

4-ej) badał poraź pierwszy Cayley wr. 1844 (Jour, de Louv. IX) i dla tego niektórzy nazywają ją powierzchnią Cay-1 e y’a; jest ona ciekawą jeszcze z tego względu, iż jest biegunową wzajemną powierzchni Steinera (patrz Rozdz. XII, § 8). Tęż powierzchnię badali także Eckh ardt . (patrz niżej) i inni.

.■ Spodki prostopadłych, spuszczonych z punktu powierzchni Cayle y’a na cztery ściany czworościanu punktów podwójnych,znaj dują, się na jednej płaszczyźnie.

Z rej własności wypływa konstrukcya, będąca przypadkiem szczególnym wyżej wskazanej.

Beltrami znalazł niektóre proste własności powierzchni, o której mówimy (Griorn di Batt. I), a mianowicie:

Punkty środkowe 28 odcinków, wyznaczonych przez środki S kul wpisanych w czworościan, leżą na powierzchni rzędu 3-go, zawierającej całkowicie sześć krawędzi czworościanu. Jest to powierzchnia Cayle y!a, której czterema punktami podwój-nemi są wierzchołki czworościanu.

Cztery stożki, mające swe, wierzchołki w wierzchołkach czworościanu i opisane na powierzchni rzędu 3-go, są stożkami rzędu 2-go, przecinającemi się po dwa każde według sześciu stożkowych płaskich. Płaszczyzna stożkowej przecięcia dwu stożków, mających wierzchołki w końcach jednej krawędzi, przechodzi przez krawędź przeciwległą i jest sprzężona harmonicznie względem dwu ścian czworościanu, przecinających się według tej krawędzi z płaszczyzną wzdłuż tejże krawędzi styczną. Nadto wszystkie sześć rzeczonych płaszczyzn przechodzą przez jeden i ten sam punkt.

Nąjdawniejszemi pracami o powierzchni rzędu 3-go są prace Cayle y’a i Salmona (Gamb. math. Journ. IY, 1849), Syl veste r a (tamże YI, 1851), S t e i n e r a (1. e) i Grass m a n n a (1. c.). Potem najważniejszemi pracami o tym przedmiocie były prace C r e m o n y (Crelle LXVIÏI) i S t u r m a, uwieńczone przez Akademię berlińską w r. 1866. Sturm ogłosił o powierzchniach rzędu 3go książkę (Lipsk 1867), a poważna część przekładu niemieckiego dzieła Cremony „Teoria delle superficie“ (przekład C ur t z ego, Berlin 1870) jest poświęcona tymże powierzchniom. Powierzchniami szesciennemi specyalnemi lub o punktach osobliwych zajmowali się pomiędzy innymi C a y 1 e y (1. c. str. 387), Schlaf li (tamże). C 1 e b s c h (Math. Ann. 1Y, Gott. Nachr. 1872), E c kliar dt (Math. Ann. V, X), K o h n (Wien. Ber. XCYh 1887) i t. d. Powierzchniami

prostoliniowemi rzędu 3-go zajmowali się; C a y 1 e y (Phil. Mag. 1862, 1864, Phil. Trans. 1864), Cre m o n a (Ist. Lomb. 1860, Crelle LX), Ein. W eyr (1. c. str. 337) i t. p. W „Geometryi przestrzeni“ S a 1 m ona (t. II) oraz w „Geometryi położenia“ R e y e’go w wielu miejscach mowa jest o teoryi powierzchni sześciennych.

Rogaty zbiór modeli gipsowych rozmaitych form rzędu 3-go znajduje się w kolekcyi L. Brilla w Darmstadzie (obecnie Schil-1 inga w Halli).

¹

Liczby w nagłówku w nawiasach odnoszą, się do przypadków, poda

²

nych w tablicy poprzedzającej; znaczenie głosek w kolumnie 1-ej objaśniono

³

w Rozdz. IX, § 1.

§ 2. •

P/ęc/ościan Sylvester a. Powierzchnia Hess ego dla powierzchni

sześciennej.

Równanie powierzchni ogólnej rzędu 3-go bez punktów osobliwych można przedstawić w postaci;

+ chX.₂3 + thX₃* + a₄ X₄³ -f ajX.₃* = O,

gdzie X, =0, X₂=0, . .. X₅=0 są równaniami pięciu płaszczyzn, tworzących tak nazwany pięcio-ścian Sylvester a. Wiadomo, że pomiędzy pięcioma wielkościami X zachodzi zawsze związek tożsamościowy liniowy jednorodny. Otóż można oczywiście założyć zawsze, że stałe, wchodzące do równań pięciu płaszczyzn X, są obrane w ten sposób, że związek liniowy jednorodny, zachodzący pomiędzy stronami pierwszemi równań tych płaszczyzn, sprowadza się wprost

5

do postaci Æ Xt — 0. Można tedy powyższe twierdzenie wyra-

l

zić mówiąc, że równanie powierzchni rzędu 3-go daje się zawsze przedstawić w postaci równania (pięciościanowego, pentaedralnego)

2 a Xj = 0,

w które in pomiędzy wielkościami X zachodzi związek:

— 0.

To ważne twierdzenie podał pierwszy S ylvester bez d o wo du (Cambr. Math. Jourii. VI, 1851, str. 198); później dowiódł go ściśle O 1 e b s c h (Crelle LIX), a po nim t> o r d a n (Math. Ann. V) i Reye (Crelle LXXVH1).

Powierzchnia Hessego dla powierzchni

wnanie ma postać p o -ię daje przy pomocy ro

szę ś c i e nn ej,

wy z s z ą, prze w n a n i a

stawić

co O-

----- i    ——

Ä 2

•t—H ;

= 0.

</] A j

Powierzchnia Hessego i powierzchnia Steinera dla powierzchni rzędu 3-go są powierzchniami identycznemi (patrz Rozdz. IX. § 5) rzędu 4-go.

Punkty powierzchni Hessego odpowiadają sobie po dwa w ten sposób, że kwadryka biegunowa jednego z dwu punktów względem powierzchni sześciennej jest stożkiem mającym wierzchołek w drugim z tych punktów powierzchni Hessego. Ta odpo-wiedniość jest wzajemną.

Prosta, łącząca dwa odpowiadające sobie punkty powierzchni Hessego, ma tę własność, iż płaszczyzny biegunowe dwóch punktów przechodzą przez prostą stałą, która jest styczną podwójną (t. j. dotyka w dwóch punktach) powierzchni Hessego.

Powierzchnia Hessego ma 10 punktów podwójnych i 10 prostych; punkty podwójne leżą trójkami na 10 prostyc h, a proste przechodzą trójkami przez 10 punktów. Te 10 punktów i 10 prostych są: pierwsze wierzchołkami, drugie krawędziami pięcio-ścianu Sylvestera, należącego do danej powierzchni sześciennej.

Kwadryka biegunowa względem powierzchni sześciennej dla jednego z 10 punktów powierzchni Hessego rozpada się na dwie płaszczyzny, których oś leży na powierzchni Hessego i jest jedną z 10 wskazanych prostych; te dwie płaszczyzny są sprzę-

Pascal. Rep. II.    “2

żonemi harmonicznie względem dwu ścian pięciościanu, przechodzących przez tę prostą.

Twierdzenie to ustanawia odpowiedniość pomiędzy 10 punktami i 10 prostemi.

Przecięcie (rzędu 12-go) powierzchni sześciennej z należącą do niej powierzchnią Hessego jest krzywą paraboliczną dla obu powierzchni (S t u r m).

Powierzchnia rozwijalna, opisana na powierzchni sześciennej wzdłuż krzywej parabolicznej, jest także opisaną na po\' ierz-•clini Hessego.

Każda prosta powierzchni sześciennej jest styczną podwójną powierzchni Hessego.

Wyznaczenie 10 punktów podwójnych powierzchni Hes-sego zależy od rozwiązania równania stopnia 10-go, które zależy znów od rozwiązania równania stopnia 5-go (C1 e b s c h, Crelle IL, Salmon-Fiedler 1. c. § 298 — 299)

O konfiguracyi par płaszczyzn, przedstawiających kwa-dryki biegunowe 10 punktów podwójnych powierzchni Hessego, konfiguracyi prostych, w których się one przecinają i t.d., mówi twierdzenie C 1 e b s c h a, powtórzone i uzupełnione przez Stur-ma i Salmona-Fiedlera

Jeżeli przyjmiemy, że w równaniu pięciościanowem powierzchni sześciennej wszystkie spółczynniki a, są równe 1, otrzymamy równanie X X/’ — 0, gdzie pomiędzy wielkościami X zachodzi związek X X, — 0. Powierzchnia, przedstawiona przez to równanie, nazywa się powierzchnią przekątną Clebscha (Math. Ann. IVp

Na każdej z pięciu ścian pięciościanu rozważmy czworobok, wyznaczony przez cztery pozostałe ściany, i jego trzy przekątne; 15 przekątnych tych czworoboków leżą na powierzchni Clebscha i stąd jej nazwa „powierzchni przekątnejÄ. Powierzchnia ta ma tedy 15 prostych, które trójkami przechodzą 10 razy przez jeden punkt i 5 razy leżą na jednej płaszczyźnie.

Wszystkie punkty powierzchni przekątnej są hyperbolicz-nemi (patrz Pozdz. IX, § 1), prócz 10 wierzchołków pięciościanu, należących do powierzchni i będących dla niej punktami para-bolicznemi (Klei n, Math. Ann. YI). Część rzeczywista krzywej parabolicznej redukuje się do takich 10 punktów odosobnionych. Pozostałe 12 prostych na powierzchni Clebscha (poza 15 przekątnemi) tworzą dwiiszóstkę (patrz § 3).

Powierzchnia, zajmująca miejsce pośrednie pomiędzy powierzchnią ogólną rzędu 3-go a powierzchnią przekątną, jest powierzchnią C a y 1 e y’a (Phil. Mag. I, 1864):

«1 xx ⁸ -f «2 V + b (X₃³ + V₄ ³ + X₅ ³) = 0.

Ma ona trzy płaszczyzny trójstyczne, przechodzące przez jednę prostę, i trzy proste, przechodzące przez jeden punkt.

0 pięeiościanie ogłosili nadto badania: Rodenberg (Math. Ann. XIY, Rozpr. Getynga 1875). Co do innych poszukiwań patrz Ore m ona i t. cl. w § 3.

C 1 e b s c h podał (Crelle LXIII) następujące twierdzenie, będące rozwinięciem twierdzeń, odnoszących się do krzywych sześciennych płaskich :

Płaszczyzna biegunowa punktu P powierzchni sześciennej względem należącej do niej powierzchni Hessego przecina płaszczyznę styczną do powierzchni w punkcie P według prostej, która jest prostą przegięciową przecięcia tejże płaszczyzny biegunowej z powierzchnią sześcienną.

Obwiednia płaszczyzn, przecinających powierzchnię sześcienną według krzywych sześciennych harmonicznych (t. j. takich, dla których stosunek anharmoniczny, o którym mówimy w § 1 Rozdz. VII, jest równy —1), jest powierzchnią klasy 6-ej; obwiednia płaszczyzn, przecinających powierzchnię według krzywych sześciennych równoanharmonicznych (t. j. takich, dla których stosunek, o którym mowa w § 1 Rozdz, VII jest równy —e, t. j. pierwiastkowi sześciennemu z —1), jest powierzchnią klasy 4-ej. Te dwie powierzchnie są wpisane w powierzchnię rozwijalną płaszczyzn statecznych, t. j. w rozwijalną, opisaną około powierzchni sześciennej wzdłuż krzywej parabolicznej.

Pomiędzy płaszczyznami, przecinającemi powierzchnię sześcienną według krzywych sześciennych równoanhai monicz-nych jest dziesięć płaszczyzn, przechodzących przez punkt podwójny powierzchni Hessego i przez odpowiadającą im prostą.

Co do innych własności powierzchni Hessego dla krzywej sześciennej patrz Cremona (1. c.) i Sturm (1. c.) i wyżej Rozdz.VII,§3).

cd

Proste powierzchni rzędu 3-go. Płaszczyzny trojstyczne Sześciosciany biegunowe Cremony.

Wiemy już, że powierzchnia ogólna rzędu 3-go zawiera 27 prostych.

Każda płaszczyzna, przechodząca przez jednę z tych prostych, jest płaszczyzną dwmstyczną dla powierzchni; punktami jej styczności są dwa punkty, w których prosta przecina stożkową, będącą przecięciem resztowem płaszczyziry z powierzchnią.

W każdym z tych pęków płaszczyzn istnieje pięć płaszczyzn, dla których ta stożkowa rozpada się na dwie proste: te płaszczyzny są płaszczyznami trójstycznemi dla powierzchni.

Przez każdą prostą przechodzi 5 z pomiędzy 45 płaszczyzn trójstycznych, i oczywiście, każda płaszczyzna trójstyczna przechodzi przez trzy proste.

Każda prosta powierzchni dotyka krzywej parabolicznej tej powierzchni w dwóch punktach.

Punkty styczności z powierzchnią płaszczyzn dwustycz-nycli, przechodzących przez prostą stałą powierzchni, tworzą na tej prostej inwolucyę, której punktami podwójnemi są punkty styczności prostej z krzywą paraboliczną.

Z jednego z twierdzeń poprzedzających wynika:

Każda prosta spotyka 10 innych, a nie spotyka 16 pozostałych; punktów spotkania prostych na powierzchni jest 135.

Dwie niespotykające się proste a, b przecinają się każde z pięcioma temi samemi prostemi; pomiędzy pozostałemi 20 ma jest pięć spotykających tylkojprostą «, pięć spotykających tylko prostą b, wreszcie dziesięć, nie spotykających ani prostej //, ani prostej b

Jest 216 par prostych skośnych (niespotykanych się).

Trzy nieprzecinające się proste przecinają się z trzema in-nemi prostemi, także nieprzecinającemi się ze sobą; jest sześć innych prostych, nie spotykających żadnej z trzech danych.

Trzy proste skośne i trzy inne proste, które je przecinają, stanowią tak zwaną dwu trójkę (biterna. Doppeldrei, Sturm). Jest 360 dwu trójek.

Cztery nieprzecinające się proste przecinają się każda z dwiema prostemi, a nie przecinają się z trzema innemi.

Piątek prostych skośnych są dwa gatunki; piątki gatunku 1-go są takie, że istnieje szósta prosta, która nie spotyka żadnej z prostych piątki; piątki gatunku 2-go—takie, że takiej szóstej prostej nie ma. Piątek gatunku 1-go jest 432, drugiego 216.

Szóstek, t. j. układów po sześć prostych, z których żadne dwie nie spotykają się, jest 72. Wyższe układy prostych skośnych nie istnieją.

Szóstki skośne w liczbie 72 dają się łączyć w pary:

ć/j, d-2, d.A, ć/₅, cie ;

mające tę własność, że każda prosta //,• nie spotyka prostej b,, spotyka zaś każdą inną prostą ć, i odwrotnie. Taka para szóstek nazywa się d w u s z ó s t k ą (S c h 1 ä f 1 i). Dwuszóstek takich jest 36.

Dwie dwuszóstki mają 4 lub 6 prostych wspólnych.

Dwie płaszczyzny trójstyczne, nie mające wspólnych prostych, należących do powierzchni, wyznaczają trzecią płaszczyznę, będącą z niemi wjednakowym związku tak, że dziewięć prostych, znajdujących się na trzech płaszczyznach, można jeszcze jednym tylko sposobem połączyć trzema innemi płaszczyznami. .Takie dwie trój ki płaszczyzn stanowią t.zw. parę t r ó j ś c i an ó w sprzężonych (Steiner a). Istnieje 120 par trójśoianów sprzężonych.

Piętnaście prostych, które pozostają z liczby 27 prostych dwuszóstki, leżą trójkami na piętnastu płaszczyznach, które szóstkami tworzą dziesięć par trój ściano w sprzężonych.

Test widocznem, że skoro dwa trójściany sprzężone przecinają się według dziewięciu prostych powierzchni, a każdy z nich przedstawia powierzchnię zniekształconą rzędu 3-go, to można powiedzieć, że określają one pęk powierzchni sześciennych, do których należy dana.

Jeżeli A—0, B= 0, (7=0; Af — 0, Zł' = 0, C — 0 są równaniami płaszczyzn dwu trójśoianów sprzężonych, to równanie po wierzch ni jest typu:

ABC-\- kA'B'C = 0.

Każdej parze trójśoianów sprzężonych odpowiadają dwie inne pary w ten sposób, że układ trzech par zawiera wszystkie 27 prostych powierzchni. Takich układów po trzy pary t.rójścia-nów sprzężonych jest 40.

Konstrukcya geometryczna 27 prostych powierzchni jest następująca (Salmon, Sturm):

Niechaj będą cztery proste ty ty ty ty nie spotykające się i nie należące do jednej hyperboloidy, i niechaj proste nie-spotykające się a,, a₂ przecinają cztery poprzedzające. Dajmy, że prosta b₂ spotyka prostą at, nie spotyka prostej a₂ i nie znajduje się na tej samej hyperboloidzie z żadną grupą trzech prostych. wybranych pomiędzy czterema prostemi b; niechaj bj będzie inna podobna prosta, spotykająca tylko prostą a₂, a nie spotykająca prostej ax. Na prostej at wybierzmy dowolnie cztery punkty, a na każdej z pięciu prostych ty ty ty ty bFt trzy punkty. Powierzchnia sześcienna, przechodząca przez 19 tych punktów, zawiera wszystkie proste a, b; zawiera nadto prostą a.., która wraz z prostą al tworzy parę prostych, spotykających czwórkę b₂, ty ty ty i która razem z prostą a₂ tworzy parę prostych, spotykających czwórkę ty ty ty ty Biorąc podobnież proste a₄, a&, afi, które przecinają odpowiednio proste czwórek ty ty ty ; ty ty ty b₆ ; ty ty ty ty będziemy mieli razem 12

prostych, leżących na powierzchni sześciennej i tworzących dwu-szóstkę Pozostałe 15 prostych znajdziemy, tworząc 15 przecięć płaszczyzn (a* łj) i (aj bt) (i =śy).

Grupa podstawień pomiędzy 27 prostemi powierzchni rzędu 3-go jest rzędu 6! 72.

Wyznaczenie 27 prostych zależy od rozwiązania równaniar nie mającego rozwiązujących stopnia niższego; lecz skoro znamy jeden z pierwiastków tego równania, t. j. jednę z 27 prostych, to pozostałe pierwiastki rozdzielają się na 1<) —j—16, a rozwiązującą równania, od którego zależy 16 pierwiastków, jest równanie, od którego zależą pierwsze 10; to zaś ostatnie równanie, przez rozwiązanie równania ogólnego stopnia 5-go, rozkłada się na pięć czynników stopnia drugiego. Jeżeli znamy jeszcze jeden pierwiastek z pomiędzy 16, t. j. jeżeli znamy razem dwie proste nieprzecina-jące się, to wyznaczenie pozostałych zależy od równania ogólnego stopnia 5-go (Jordan).

Równanie 27 prostych badali: C 1 e b s c li (Gott. Abh. XIV, 1868—9), Jordan („Substitutions“ str. 310—368), Sylvester (Proc. London math. Soc. II, 155), Klein (J. de Liouville IV, str. 169, 188 7), B u r k h a r d t (Gott. Nachr. 1892).

Zajmiemy się teraz pewnym związkiem, znalezionym przez C r e m o n ę (Math. Ann. XIII) pomiędzy dwuszóstkami skoś-nemi a pięciościanem Sylvester a. Niechaj równanie powierzchni sześciennej dane będzie w postaci:

V+ V + Ył + Ï? + r₅:i + IV = o.

gdzie F,=0 są równaniami sześciu płaszczyzn i ^ F₄= 0. Można okazać, że równanie powierzchni da się przedstawić w postaci : i pod innemi postaciami analogicznemi, które otrzymujemy z napisanej przez przemiany skaźników; tych równań będzie oczywiście tyle, iloma sposobami można podzielić sześć elementów na dwie grupy po trzy elementy, t j. będzie ich 10.

Płaszczyzny 3'/-j-3/ = 0 w liczbie 15 są płaszczyznami trójstycznemi powierzchni; one to po sześć wzięte są płaszczyznami dwóch trójścianów sprzężonych, odnoszących się do danej powierzchni.

Sześć płaszczyzn 35 = 0 tworzy t. zw. sześciościan biegunowy (Cremona).

Dziesięć par wierzchołków przeciwległych sześciościan u biegunowego, (to jest np. punkty 35=0, Y₂=0, 35=0, oraz Y₄ = 0, 35 = 0, 35=0) są parami punktów, odpowiadających sobie na powierzchni Hessego (patrz § 2); stąd nazwa sześciościanu biegunowego, gdyż punkty, odpowiadające sobie na tej powierzchni, są takiemi, że stożek biegunowy jednego z tych punktów względem powierzchni sześciennej ma wierzchołek swój w drugim punkcie.

Wierzchołki przeciwległe sześciościanu biegunowego są też wierzchołkami dwóch trójścianów sprzężonych, utworzonych przez płaszczyzny trójstyczne powierzchni sześciennej.

Jest widocznem, że trzy płaszczyzny⁷ trójstyczne:

Yk + r* = 0, Yi + 3) — 0,    35 4- Ym = 0.

gdzie h, Zc, ifj, /, m stanowi przemianę liczb 1, 2, 3, 4, 5, 6, przecinają się wzdłuż tej samej prostej, należącej do powierzchni; stąd :

Piętnaście płaszczyzn trójstycznych Yi~\~Yj=0 przechodzi przez piętnaście prostych na powierzchni, a przeto :

Pozostałe dwanaście prostych na powierzchni tworzy dwu-szóstkę, a każdemu sześciościanowi biegunowemu odpowiada dwuszóstka, i odwrotnie.

Istnieje 36 sześciościanów biegunowych.

Godnem uwagi jest twierdzenie:

Dwa sześciościany biegunowe określają dwie powierzchnie rozwijalne klasy 3-ej, w nie wpisane; te dwie rozwijalne mają pięć płaszczyzn stycznych wspólnych, które tworzą pięciościan S y 1-. y estera.

Co do badań dalszych nad związkami pomiędzy pięciościanem ’ a sześciościanami patrz Beltrami (Ist. Lomb. 1879) i M e y e r Ap olarität etc., Tybinga 1883).

Powierzchnia sześcienna z punktem podwójnym zawiera 6 prostych, przechodzących przez punkt podwójny, i nadto 15 prostych; każdą z pierwszych sześciu prostych należy uważać za zjednoczenie dwu prostych; stąd mamy 15 płaszczyzn trójstycznych, przechodzących przez punkt podwójny, i 15 inny cli płaszczyzn, przechodzących przez 15 wyżej wskazanych prostych. Konfiguracya tych 15 płaszczyzn i 15 prostych jest podobna do konfiguracyj 15 prostych ( i 15 płaszczyzn, przez nie utworzonych), które pozostają z 27 prostych, gdy wyłączymy 12 prostych dwuszóstki. Tą konfiguracyę, będącą w związku z sze-ściokątami Pascala (Rozdz. IV), zajmował się Cremona tyłem. Lincei 1876—77).

Powierzchnia sześcienna z dwoma punktami podwójnemi zawiera 1 prostą, łączącą te punkty podwójne, 8 prostych, przechodzących przez jeden punkt podwójny, i 7 innych prostych.

Powierzchnia sześcienna z trzema punktami podwójnemi zawiera trzy proste, z których każda łączy dwa z pomiędzy trzech punktów podwójnych; 6 prostych, przechodzących przez jeden punkt podwójny, i 3 inne proste.

Powierzchnia sześcienna z czterema punktami podwójnemi zawiera 6 prostych, przechodzących przez dwa z tych punktów, i 3 inne proste, nie przechodzące przez żaden z nich.

Prosteini na powierzchni sześciennej zajmowali się: C a y 1 ery i Sal mon (Gamb. mat. J. IV) oraz Steiner (Grelle LUI); S c h 1 ä fl i (Quart. Journ II), Stur m (Flächen 3-er 0. Lipsk 1 867, Math. Ann. XXIII), A f f o 1 t er (Archiv. Grunerta LVI), którzy badali specjalnie mnogości krzywych skośnych, wreszcie S c li r ö ter (Crelle LXII) i Cremona (Ist. Lomb. 1870 — 71, Grelle LXV1II). Najnowszemu pracami o konfiguracyi prostych i płaszczyzn, o wielo-ś danach, które można z nich utworzyć i t, d. są präce 'Bertin ie/gio (Ann. di mat. XII), E. Pascala (Ann di mat. XX, XXI, Ist. Lomb. 1892—93).

Schlaf li stosuje następujące znakowanie dla 27 prostych. Oznaczmy przez

Inny sposób przedstawienia 27 prostych i będący w istocie rzeczy wynikiem poprzedzającego ją polega na tern, że te prostych jedna po jednej odpowiada prostym, łączącym po dwa z ośmiu punktów zasadniczych 1, 2, ... 8, gdy z pomiędzy nich wyłączymy jednę prostą, np. (12). Uważamy wtedy dwie proste za należące do siebie stosownie do tego, czy razem z prostą (12) mogą lub nie mogą należeć do dwu figur zasadniczych, które nazywamy czwórkami zer o wem i, a które powstają z czterech prostych takich, jak: (12), (34), (56), (78), albo z czterech prostych (12), (23), 341, (41).

proste jednej dwuszóstki; przy czerń, jak wiemy, prosta nie spotyka żadnej innej prostej a, a spotyka wszystkie proste b z wyjątkiem bt. Oznaczmy przez r,y prostą, będącą przecięciem płaszczyzn    tych prostych c,y będzie 15.

Dwie proste c, mające jeden skaźnik wspólny, nie spotykają się; dwie proste c, nie mające żadnego skaźnika spól-nego, s p o ty k aj ą się; wreszcie prosta a (albo b) spotyka prostą «, o ile skażnik pierwszy jest jednym z dwu skaźników prostej c.

Należy zaznaczyć, że konfiguracyę prostych, zachodzącą wtedy, gdy powierzchnia ma punkty podwójne, można badać, przyjmując, że w tej figurze dwa punkty zbliżają się do siebie nieograniczenie, gdyż i ta figura nabywa wtedy w pewien sposób punktów podwójnych.

Nadto dla badania konfiguracyi prostych rzeczywistych, należących do powierzchni rzeczywistej, dość przyjąć, że w tej figurze dwa, cztery i t. d. punkty są urojone sprzężone i wyprowadzić stąd potrzebne wnioski (patrz § 4).

Badanie konfiguracyi 27 prostych przy pomocy tej figury jest podobne do badania 28 stycznych podwójnych krzywej rzędu 4-go płaskiej (patrz Geiser, Math. Ann. I).

ter.

K/asyfikacya powierzchni sześciennych rzeczywistych ogólnych.

Powierzchnie sześcienne rzeczywiste bez punktów podwójnych można klasyfikować na podstawie rzeczywistości prostych, na nich położonych.

Mamy pięć gatunków takich powierzchni sześciennych:

a)    Wszystkie proste są rzeczywiste, wtedy i płaszczyzny trójstyczne są wszystkie rzeczywiste; pięciościan jest rzeczywisty.

b)    Piętnaście prostych i piętnaście płaszczyzn jest rzeczywistych; każde trzy płaszczyzny przechodzą przez jednę prostą rzeczywistą. Te to 15 prostych pozostają, z liczby 27 prostych, skoro wyłączymy 12 prostych dwuszóstki.

c)    Siedm prostych i pięć płaszczyzn jest rzeczywistych; te pięć płaszczyzn przechodzą wszystkie przez jednę prostą. Cztery inne proste są urojonemi i przechodzą każda przez punkt rzeczywisty.

d)    Trzy proste rzeczywiste i 7 płaszczyzn rzeczywistych; trzy proste leżą na jednej płaszczyźnie; przez każdą z nich, prócz tej płaszczyzny, przechodzą jeszcze dwie płaszczyzny rzeczywiste. Dwanaście prostych jest urojonych i wszystkie one przechodzą przez punkt urojony.

e) Trzy proste rzeczywiste i 13 płaszczyzn rzeczywistych; trzy proste leżą na jednej płaszczyźnie; przez każdą z nich, prócz tej płaszczyzny, przechodzą jeszcze czte-ry płaszczyzny rzeczywiste. Inne 24 proste mają wszystkie punkt rzeczywisty.

Klasyfikacyę tę podał S c h 1 ä f J i (Quart: J. II, 55, 110, Phil. Trans. LIII, 193), który zajmował się także powierzchniami o punktach osobliwych. Tymże przedmiotem zajmowali się także Ore-ni o n a i S t u r ni (1. c.), później Klein (Math. Ann. VI), patrz też S c h 1 ä fl i (Ann. di mat. V).

Pokrewnem do niniejszego badania jest badanie postaci i własności sytuacyjnych powierzchni sześciennych różnych gatunków. Zeuthen (Math. Ann. VIII, a także VII, str. 428 i nast.) badał położenie różnych powłok powierzchni sześciennych, posługując się okolicznością, że kontur powierzchni sześciennej z punktu na płaszczyznę rzuconej jest krzywą rzędu 4-go, i tworząc rodzaj rzutu stereograficznego powierzchni na płaszczyznę podwójną, t. j. na dwie płaszczyzny nałożone i zjednoczone wzdłuż konturu krzywej rzędu 4-go.

§ 5,

Odwzorowania płaskie powierzchni sześciennej.

Można obmyśleć rozmaite odwzorowania płaskie powierzchni sześciennej.

Wyobraźmy sobie odpowiedniość rzutową (dwujednoznacz-ną) pomiędzy trzema układami liniowemi gatunku 3-go płaszczyzn a układem punktów przestrzeni zwykłej, taką, że każdej płaszczyźnie jednego układu odpowiada płaszczyzna w każdym z dwu pozostałych oraz punkt przestrzeni; i odwrotnie: każdemu punktowi P przestrzeni odpowiadają trzy płaszczyzny w każdym z trzech układów. Jeżeli punkt iJ opisuje płaszczyznę, to płaszczyzny odpowiadające mu opiszą trzy sieci, a punkt ich spotkania opisuje po wierzchnię rzędu 3-go (Grr as s m an n, patrz § 1), której punkty będą tym sposobem odwzorowane na płaszczyźnie.

Wszystkie powierzchnie sześcienne, odpowiadające tym sposobem wszystkim płasz-c z y z n o m przestrzeni, przechodzą przez j ednę i tę sarną krz y w ą rzędu 6-go skośną; pu nkto m

w płaszczyź nie o d w orowania odpowiadaj nie punkty, lecz pros e.

Sześć punktów, w który eh krzywa r z ę d u 6-go spotyka płaszczyznę odwzorowania, o d p o -w i a d a ją sześciu p r o s t y m «,, a₃, .. . a₆ powierzchni sześciennej; Cremona nazywa je punktami zasadniczemi odwzorowania płaskiego powierzchni S₃ i oznacza cyframi 1, 2, . . . 6.

Sześć stożkowych,które przechodzą przez pięć punktów zasadniczych, odpowiadają sześciu innym prostym ć,, b₂ ... />₆ powierzchni sześciennej, a piętnaście prostych, łączących każde d w a z sześciu punktów zasadniczych, odpowiadają pozostałym 15 prostymn f'V,s) powierz-c h n i S₃ .

•8“

. . , ć₆, o d p o w i a

stożkowym, i proste au , n₆, sześciu punktom, tworzą d w u s z ó s t k ę Schlaf-1 i’e g o.

Proste b

Q_i 03

ce s e ś ci u

w i a,

Krzywej sześciennej płaskiej, położonej na powierzchni $:i, odpowiada ca • płaszczyźnie krzywa sześcienna, przechodząca przez sześć punktów zasadniczych.

Stożkowej, znajdującej się na płaszczyźnie, przechodzącej przez prostą a, odpowiada krzywa sześcienna, przechodząca przez sześć punktów zasadniczych, imająca jeden z tych punktów jako podwójny.

Stożkowej, znajdującej się na płaszczyźnie, przechodzącej przez prostą ó, odpowiada prosta, przechodząca przez punkt zasadniczy.

Stożkowej, znajdującej się na płaszczyźnie, przechodzącej przez prostą cr>s, odpowiada stożkowa, przechodząca przez cztery punkty zasadnicze iz wyłączeniem punktów r i s).

Krzywej skośnej rzędu 3n, będącej przecięciem powierzchni S₃ z powierzchnią rzędu n, odpowiada krzywa płaska, przechodząca u razy przez każdy punkt zasadniczy.

Prostej na płaszczyźnie odpowiada na powierzchni *V₃ stożkowa albo krzywa sześcienna skośna, stosownie do tego, czy prosta przechodzi albo nie przechodzi przez punkt zasadniczy.

Stożkowej na płaszczyźnie odpowiada na powierzchni Ss krzywa skośna rodzaju zero i rzędów 4, 5 i 6 odpowiednio do tego, czy stożkowa przechodzi przez 2, 1, 0 punktów zasadniczych.

To odwzorowanie podali 0 1 e b s c li (Crelle LXV) i Cremona (1. c.). Inne odwzorowanie płaskie powierzchni sześciennej, o którem wspomnieliśmy w § 7 Rozdz. IX, podał Cl e bs c li (Math. Ann. I). Patrz C a y 1 e y, Lond math. Soc. III.

co

Forma sześcienna czwórkowa.

Forma sześcienna czwórkowa, wyrażona symbolicznie przez f= axz — by = . . ., ma tylko pięć niezmienników zasadniczych, będących odpowiednio stopnia 8, 16, 24, 32, 40. Dwa pierwsze są:

A = (abcdy (ab'dd') (a'b'c'd') (a'bcd!) (a’b’c'd).

B = (abcdy (a' b'c'd'y (a"b"c'd''y (a!" V"ć"d'"y X {aa¹ a’¹ a'") (bb'b"b'") (cc W") (.dd'd"d"').

Jeżeli formę sześcienną napiszemy w postaci Sylvesterowskiej

a{ Aj ³ + a₂ xy~y a₃ xy -J- a₄ xy 4- ab Xb ⁸,

to niezmienniki A, B przybiorą postać:

A — Jl a<y aJ a y a y — 2 axa₂ a₃ a₄ ab £ ax a₂ a3 B — ay a₂³ aJay aJ a, ;

pozostałymi zaś niezmiennikami są:

G — a!⁴ a₂⁴ a₃⁴ a₄ ⁵ a₅⁴ 2 ci₂ a₃ a₄a% ,

D — a,⁶a₂⁶a₃⁶a₄⁶a₅⁶2 ci\ a₂ > i? = a₁⁸ a₂s a₃⁸ a±s a₃⁸.

Wyrażenia symboliczne tych trzech niezmienników w przypadku ogólnym podał C1 e b s ch (Crelle LVIII, 120).

Wyróżnik formy f wyraża się przy pomocy niezmienników w ten sposób:

(A² — 64 Bf — 16384 (Z> -{- 2 A C).

Istnieją cztery spółzmienni ki liniowe dla formy sześciennej w postaci Sylvester o ws kie j; są one:

L'

5

= ax³a₂³ a₂ a₄³ ab ³ 2aia₂a₄<tiXi,

i

L = ax²a₂²^₃²a₄²a₅² 2 a,Xi‘.

L" — axh a₂h a₃'° o₄⁵ a₅ ⁵ 2 cii² J, ; L — axs a₂⁸ a₃⁸ a₄⁸ ab⁸2a/X *

Cztery płaszczyzny, które przedstawiają te spólzmienniki przyrównane do zera, spotykają się w jednym punkcie, gdy wyróżnik ilości a jest zerem.

Spółzmiennik rzędu czwartego przedstawia powierzchnię Hessego powierzchni sześciennej i, jak wiemy, dla postaci Sylve-sterowskiej ma wyrażenie:

H — 2 (ig ci₃ a₄ ah A₂ A₃ A₄ A₅ .

Badanie form niezmienniczych formy czwórkowej sześciennej rozpoczęli prawie jednocześnie C1 e b s c h (Crelle LVIII) i S a 1 -mon (Phil. Trans. 1860). Szczegóły znaleść można u Salmona-F i e dl e r a (1. c. § 317 i nast.). C 1 e b s c li wyraził także pięć niezmienników przez spółczynniki formy Hessego, Sal mon zaś znalazł równanie powierzchni spółzmiennej, przecinającej powierzchnię sześcienną według 27 prostych.

ROZDZIAŁ XII.

POWIERZCHNIE RZĘDU CZWARTEGO.

r*H

Wiadomości ogólno. Powierzchnie o punktach podwójnych / o liniach podwójnych.

Powierzchnia ogólna rzędu 4-go jest klasy 36-ej; rząd stożka, opisanego na niej i mającego wierzchołek w dowolnym pun-cie przestrzeni, jest 12; tworzących zwrotu takiego stożka jest 26, tworzących podwójnych jest 12.

Rząd krzywej parabolicznej wynosi 12 Równanie ogólne powierzchni rzędu 4-go ogólnej zależy od 34 spółczynników niejednorodnych.

Powierzchnia rzędu 4-go może mieć n a j wy ż e j 16 punktów podwójnych.

Powierzchnia rzędu 4-go, która nie jest prostoliniową, może posiadać prostą podwójną, stożkową podwójną, stożkową ostrzową (patrz Rozdz. IX, § 4) i trzy proste podwójne, które spotykają się w jednym punkcie i nie są położone na jednej płaszczyźnie.

Powierzchnia rzędu 4-go, mająca za linię podwójną linię skośną (nie będącą zbiorem trzech prostych, nie położonych na

jednej płaszczyźnie i zbiegających się w jednym punkcie), jest zawsze powierzchnią prostoliniową.

Najwyższą osobliwością, jaką mieć może powierzchnia rzędu 4-go, jest prosta potrójna; powierzchnia jest wtedy koniecznie prostoliniową.

Jeżeli powierzchnia ma 16 punktów podwójnych, wtedy stożek, na niej opisany i mając}?⁻ wierzchołek w jednym z tych punktów, jest rzędu 6-go i rozpada się na 6 płaszczyzn.

Teorya powierzchni rzędu 4-go ogólnych nie jest dotąd tak zgłębiona, jak teorya powierzchni sześciennych. Badano najwięcej powierzchnie szczególne rzędu 4-go, mające punkty i linie podwójne, i badano także powierzchnie prosto - liniowe rzędu 4-go.

Najbardziej godnemi uwagi ze zbadanych dotąd powierzchni rzędu 4-go są następujące: powierzchnia Kumme r a, zawierająca 16 punktów podwójnych, tworzących ciekawą konfiguracyę; inne powierzchnie (zwane także powierzchniami Kummera», które mają nieskończenie wiele stożkowych; pomiędzy niemi wyróżniają się: powierzchnia rzędu 4-go o stożkowej podwójnej i powierzchnia rzymska Stein er a; wreszcie powierzchnie prostoliniowe, których klasyfikacyę zupełną podali Cremona i C a y 1 e y. O tych powierzchniach mówić będziemy osobno w następnych paragrafach.

Tu podajemy tablicę liczb charakterystycznych, odnoszących się do powierzchni ogólnej rzędu 4-go, do powierzchni ze stożkowemi podwójnemi i ostrzowemi, oraz do powierzchni z 12 punktami podwójnemi lub węzłami (patrz Salmon-Fie-d 1 e r 1. c. § 512—516).

7.

7/

b'

lc'

o'

c'

A'

r'

a'

Powierzchnie ogólne rzędu 4-go

Powierzchnie z 12 węzłami

Powierzchnie Powierzchnie ze stożkową ze stożkową ostrzową

podwójną

12

12

24

36

24

480

102400

3200

320

96

4016

128

32

320

12

24

24

12

(I

12

12

24

24

196

32

24

200

56

32

32

12

26

320

40

36

24

180

24

36

16

52

irs.

GN

Powierzchnie rzędu czwartego o punktach podwójnych.

Istnienie punktu podwójnego na powierzchni rzędu 4-go równoważy się z czterema pojedyńczemi warunkami, skąd zdawać by się mogło, że ponieważ taka powierzchnia zależy od 34 spółczynników, to może najwyżej mieć ośm punktów podwójnych dowolnie wy branych. Lecz przekonano się, że to nie jest możliwem, i że jeżeli powierzchnia rzędu 4-go nie zniekształcona ma ośm punktów podwójnych, to muszą one tworzyć konfiguracyę specyalną a tylko siedm znich jest dowolnych (C ay-ley, Lond. math. Soc. III).

Pomiędzy powierzchniami rzędu 4-go o punktach podwójnych szczególnie ważną jest, jak już powiedziano wyżej, powierzchnia o 16 punktach podwójnych; Cayley (1. c.) badał tę powierzchnię i zarazem inne, mające mniejszą liczbę punktów podwójnych; Kummer zaś rozważał powierzchnie, mające 11, 12, 13, 14, 15 punktów podwójnych (Beri. Abh. 1866) z okoliczności badania układów promieni lub końgruencyi rzędu 2-go (patrz rozdz XIV).

CfQ

cr ero

T—ł

Dla otrzymania równania powierzchni rzędu 4-go, mającej cztery punkty podwójne, przesuńmy przez te punkty sześć kwa-dryk Aj — 0, . . . X₆ = 0 ; f u n k c y a jednorodna stopnia 2-go ilości X, przyrównana do zera, przedstawiać będzie powierzchnię żądane o tunk u. Równanie to zawierać będzie 8 łych niezależnych.

Jeżeli danych punktów jest pięć, wtedy przesuwamy przez nie pięć kwadryk A,=0 i forma stopnia 2-go ilości X. przyrównana do zera, przedstawiać będzie powierzchnię rzędu 4-go z pięcioma punktami podwój nem i; zawiera ona stałych 14.

Jeżeli mamy sześć punktów danych, to p o wierzchni ę rzędu 4-go ogólną mającą te punkty, jako podwójne, przedstawia równanie:

(X,, X₂, X₃, X₄)* + XJ(Xx, W, X₃, X₄) = o,

w k t ó r e m X =0 są równania czterech kwadryk, przechodzących przez sześć punktów danych; (X1? Z₂, X₃, X₄) j e s t formą stopnia 2-go ilości X, zaś J przedstawia powierzchnię Jacob i'e go układu czterech kwadryk.

Pomiędzy powierzchniami z sześcioma punktami podwój-nemi zasługuje na uwagę powierzchnia, której równaniem jest

j(ij,4 4X) = o.

t. j. powierzchnia Jacobi’ego układu czterech kwadryk. Nazywa się ona powierzchnią Weddlego, bo ten autor pierwszy ją badał (Cambridge J. V, 1850), a jest ona mi ej scem wierzch o ł k ó w stożków rzędu 2-go, przechodzących przez sześć punktów przestrzeni.

przez trzy punkty z płaszczy-

Powierzchnia Weddlego zawiera 25 prostych, a mianowicie 15 prostych, łączących każde dwa z sześciu punktów, oraz 10 prostych, stanowiących przecięcia każdej zpłaszczyzn, p r z e ch o d z c

zną, przeć o zącą przez trzy pozostałe.

Stożek styczny, mający wierzchołek w punkcie podwójnym, p r z e c i n a powierzchnię według pięciu prostych, łączących ten punkt z pięcioma pozostałe mi punktami podwójne-mi i według krzywej sześciennej skośnej, wyznaczonej przez sześć punktów przestrzeni.

Powierzchnię Weddlego badali też: Cayley (Comptes rendus LH, 1861), H i e r li o 1 z e r (Math. Ann. II, IV), H u n y a d y (Crelle XCII), C a s p a r y (Compt. rend. 1891) i t. d.

Powierzchnia Weddlego jest powierzchnią taką, że spółrzędne jej punktów dają się w y-razić jako fu n kcye hyper eliptyczne dwu paramétré w.

C a y 1 e y badał inne powierzchnie analogiczne pod względem definicyi, ale nie będące już rzędu 4-go.

Dla otrzymania równania najogólniejszego powierzchni rzędu 4-go z siedmioma punktami podwójnemi, przesuwamy przez te punkty trzy kwadryki Xp=0, X₂=0, X₃=0, dalej powierzchnię rzędu 3-go Y = 0, dla której cztery z tych punktów są podwójnemi, wreszcie płaszczyznę X= 0 przez trzy inne punkty.

Równanie zawierające sześć stałych, jst równaniem szukanej powierzchni.

Dla otrzymania równania powierzchni rzędu 4-go, mającej ośm punktów podwójnych (nie dowolnych) można postąpić w sposób następujący: Weźmy trzy powierzchnie rzędu 2-go:

X, = 0, X₂ = 0, x₃ = o,

przecinające się w ośmiu punktach, i utwórzmy funkcyę kwadratową jednorodną ilości X, którą przyrównajmy do zera. Otrzymamy tym sposobem równanie powierzchni rzędu 4-go z 8 -ma punktami podwójnemi, leżącemi na trzech kwadrykach. Nie jest to wszakże typ ogólny powierzchni rzędu 4-go z 8-ma punktami podwójnemi; według C a y 1 e y a istnieje jeszcze typ inny.

Pierwsze badanie nad takiemi powierzchniami podjął G a y 1 e y (Quart. J. X, 34, XI, 111; Papers VII, 304, VIII, 25).

o nie może mie ó j n y c h, jeżeli

Można znaleść równania powierzchni czwartego rzędu z 9 lub 10 punktami podwójnemi, z których 7 jest dowolnych. Waż-nem jest twierdzenie następujące:

-o b-

unktów pod o w o 1 n i e.

a>*

Powierz linia rzędu 4 -wi cej niż 1 z nich obrano

Powierzchnia rzędu 4-go z dziesięcioma punktami podwójnemi jest tak zwaną symetroidą; równaniem j ej jest:

11 >

t\ 2 i /l

fu

^ >

4^    ^    tO

^    c«’    to

śr

0,

gdzie fn , /"[ 2 • • • /₄4 {fij—fij) są dziesięcioma funk-cyami liniowe mi ilości zmiennych.

Minory rzędu 3 -go tego wyznacznika symetrycznego, przyrównano do zera, wyrażają powierzchnie sześcienne, które mają wspólnych dziesięć punktów, będących punktami podwójnemi symetr oidy.

<D 00

-go,

Stożek z wierzchołkiem, znajdującym się w punkcie odwójnym, iopisanynas m tro-idzie, rozp da się na dwa stożki r z przecinające się według dziewięciu prostych, które łączą każdy punkt podwójny z pozostałe m i dziewięcioma.

Jeżeli jeden z 10 punktów podwójnych powierzchni rzędu 4 - g o ma własność, wskazaną w twierdzeniu poprzedzającem, to i wszystkie inne punkty podwójne mają tęż samą własność.

Prócz symetroidy istnieje inna powierzchnia rzędu 4-go z 10 punktami podwójnemp mająca tę własność, że stożek rzędu 6-go z wierzchołkiem w jednym z tych punktów i opisany na powierzchni, nie rozpada się na dwa stożki rzędu 3-go.

Powierzchnia Hesse g o, należąca do powierzchni sześciennej, jest symetroidą; istotnie funkcye f w powyższem równaniu są pochodnemi strony pierwszej równania powierzchni sześciennej.

«h

po

, = O, symetroi

ó j n y: J e

eszcze 11-y /s-2 =0- w t e -

m a

ipr czteg

P->

p u n

dy ma punkt 12-y; j 13-y, jeżeli wreszcie i /*₄₄ = 0, wtedy ma 14-y.

Ustanowiono klasyfikacyę powierzclmi rzędu 4-go z 11, 12, 13, 14 i 15 punktami podwójnemi na podstawie rozważania stożków, opisanych na nich i mających wierzchołki w jednym z punktów podwójnych; rozróżniamy mianowicie rozmaite gatunki powierzchni według tego, czy też stożki rzędu 6-go rozpadają się w ten lub inny sposób na stożki rzędu niższego. Badanie to prowadzili Kummer, C a y 1 e y (1. c.), Eohn (w rozprawie, uwieńczonej przez Akademię saską w r. 1886, patrz też Math. Ann. XXIX, 1887). C a y 1 e y i inni autorowie angielscy wprowadzili tu, jak to zwykli czynić, liczne i złożone nazwy na niektóre z wyżej wymienionych powierzchni, a zwłaszcza na powierzchnie o 8, 9, 10 punktach podwójnych, lecz mniemamy, że nazwy te raczej rzecz komplikują, niż upraszczają.

Niektóre z powierzchni o 11, 12, dwójnych są zarazem powierzchniami ogniskowemi kongruencyi kwadratowej (patrz Rozdz. XIV).

i—' CD

i nadto fS3 —

wtedy ma

15 punktach po-

§ 3.

Powierzchnia Kummera.

Powiedzieliśmy już, że powierzchnia Kummera jest powierzchnią rzędu 4-go, mającą punkty podwójne, odosobnione.

Jest ona klasy 4-ej; jej równanie ogólne zawiera 18 stałych niezależnych.

Stożek rzędu 6-go, styczny do,po wierzchni imający wierzchołek w punkcie podwójnym rozpada, się na 6 płaszczyzn

Każda z tych sześciu płaszczyzn dotyka powierzchni wzdłuż stożkowej, na której leżą pozostałe punkty podwójne w liczbie 3.

Takich płaszczyzn osobliwych jest 16; jest przeto 16 punktów osobliwych, mających tę ważną włssn ość, że każda płaszczyzna przechodzi przez sześć punktów, położonych na jednej stożkowej, a przez każdy punkt przechodzi sześć płaszczyzn.

Powierzchnia Kummera występuje głównie w Gr e o m e-tryi linii prostej; można j ą określić jako powierzchnię ogniskową kongruencyi 2-go rzędu i 2-ej klasy (Kummer, Beri. Abh. 1886) albo jako powierzchnię osobliwości kompleksu kwadratowego ogólnego, albo wreszcie jako powierzchnię osobliwości nieskończenie wielu kompleksów kwadratowych spół ogniskowych (Klein, Math. Ann. II, patrz niżej Rozdz. XIV).

Ważną własność tej powierzchni stanowi to, że j e s t ona wzajemną do samej siebie w sześciu biegunowo ś c i a c h.

Równanie powierzchni tej podali w różnych postaciach Kummer, C a y 1 e y i inni.

Niechaj X₁ = 0, X₂=0, X₃ = 0, X₄=0 będą równaniami czterech płaszczyzn osobliwych takich, że ich cztery punkty spotkania są razem punktami węzłowemi powierzchni, wtedy równanie jej można przedstawić w postaci:

<Ź>² = lGkXiXc,X,X

gdzie /cjest stałą, $ zaś jest formą kwadratową ilości X, a mianowicie:

(Kummer)

0 = Xj² + X₂²-j-X₃²-f X₄² -j- 2 « (X₂X₃ +X:X₄) -j- 2 b (X₃ Aj -f- X₂ X₄ ) —}- 2r (A, A₂ -j- A₃ A₄), k =    -J- b² -J- c² — 2 a b c — 1.

Formą niewymierną równania tejże powierzchni jest następująca (C a y 1 e y, Crelle, LXX II, 292; Papers VII, 126):

J a Xi [y‘y x₂ — ß' ß” x₃ —

| -f J ßx2 |a'o"x₃

xK

— iy"xx---f-

= 0,

4J y [ßr ß"xx — a.’a!'xa — -^-J

przy warunkach:

Inne postaci otrzymujemy, przemieniając kołowo układ a, /?, y z układem ar, ß„ y' lub z układem a", /T, 7".

Równanie poprzedzaj ąc e, po sprowadzeniu go do postaci wymiernej przedstawia się tak:

xx - (tCi ²-j-x₂²-j-x₃²—2x₂x;i—2x.,x₁—2xxx₂)

-f 2x₄ Iaa,a"(x^x₃-x?,²x₂)^rßßfß"(x₃²x₁-x^x₃) -j- yy'y'\xßx₂-x^xx) -f 6 xxx₂xĄ

-f (aa’a"x X, 4- ßß’ß”x./xl 4- yy'y"xxx.₂f = 0 gdzie:

6 = (ß-y)a'o"+(y-«)ß'ß'’+ (a-ß)yfy\

Wyrażenie 0 nie zmienia wartości przy powyżej wspomnianych przemianach kołowych.

Równania 16 płaszczyzn osobliwych są: x, = 0, x₂ — 0, x₃ = 0, x₄ = 0,

*r| «

4-

■*=§! &

,to

S?

ojs

*eo| «

yV'a \—ß'ß"xi

—— = 0; fn-ß"ßx,-

a

r/x‘i—ßß'x* —

— 0;

x₄

a!

— 0;

x₄

a' d'x₃ — y' y" Xi---

=- O ; a" ax₃ — y" y x, —

X-⁴ - 0:

ß'

ad x₃

'■i

0:

ß'ß" xx — da” x₂-----    = 0 ; ß"ß xx — da x₂ —

y'

= 0;

ßßd x, — ad x₂ — ~ = 0;

Inna postać równania powierzchni Kum-mera jest następująca ( R o h n, 1. c. i Math. Ann. XVIII) :

xl ⁴ -f- x₂⁴ -f- x₃⁴ -(- x₄⁴ -j- Axix₂x₃xi -(x₁²x₃²-j-x₂²xi²) — 2 A

— 2A

5612

12:U

^ ^3456 ( Xl ~X2~ "j“ x₃ -X₄ ²)

i ry* 2 ,-p 2 _ j /V» 2^» 2 \    --- (1

J «A/.> «a-'jj - V-/.

gdzie :

(J^l kß)(lc₃ A )( /%    )

j^/r,    ( /r.{ -f k₄—k₃—k₃)-hk₃k₄(k₃-j-kg—k₄—k₂ )

^3    ^'h) J )

Aijhi —

(/^j—k/t)(kj—ki) -j- (ki—ki) (kj—ku) [kf—kj) (ku - ki)

Spółczynniki tego równania zależą, jak widzimy, od 6 ilością, które można rozumieć jako pierwiastki formy szóstego rzędu dwójkowej,Tu właśnie ujawnia już się możliwość związku pomiędzy powierzchnią Kummera a formami rzędu 6-go dwójkowemi; znajdujemy mianowicie, że powierzchnia ta jest w związku spe-cyalnym z funkcyami hypereliptycznemi rodzaju 2, należącemi do formy rzędu szóstego dwójkowej.

Klein (Math. Ann. V) spostrzegł pierwszy możliwość wyrażenia spółrzędnych punktu powierzchni Kummera przez cztery specyalne funkcye hypereliptyczne o dwóch argumentach; później ukazały się prace C a y 1 e y’a (Crelle LXXXIII), Bor-chardt.a (tamże) Webera (Crelle LXXXIV), Rohna (Math. Ann. XX, XIIII), Reich ardta (Nova Acta der Leop. Carol. Ak. Halle, 1887) i t. d.

O "O

wierz

Oto niektóre wskazówki co do tego. Istnieje jak wiadomo, 16 funkcyj $ rodzaju 2 (patrz „Repertoryum“ 1.1, Rozdz. XVIII, §3), każdej z nich odpowiada charakterystyka; z charakterystyk 10 jest parzystych i 6 nieparzystych. "W ugrupowaniu charakterystyk wyróżniamy t. zw. czwórki Göpela (Crelle XXXV) i czwórki Rosen haina ( Mem. des sav. étr. XI, Paryż 1846). Czwórka G ö p e 1 a (jestczwórek takich 60) jest zbiorem czterech charakterystyk wszystkich parzystych, albo dwóch parzystych i dwóch nieparzystych, których suma jest zerem; czwórka Rosenhai na ( takich czwórek jest 80) jest zbiorem czterech charakterystyk, których suma jest też zerem, a pomiędzy któremi jest jedna nieparzysta i trzy parzyste, albo trzy nieparzyste i jedna parzysta. Mamy tedy twierdzenie: Pomiędzy kwadratami czterech funkcyj #, odpowiadających charakterystykom czwórki Goepela albo Rosenhaina za h dzi zawsze związek wymierny jedno-ro n stopnia 4-go; jeżeli te funke y e &² przyjmiemy za spółrzędne jednorodne punktu przestrzeni, wtedy związek ten przedstawia poch n i ę K u m m e r a. W przypadku czwórki Goepela płaszczyzny czworościanu zasadniczego spółrzędnych są czterema płaszczyznami osobliwemi powierzchni, lecz żaden z wierzchołków tego czworościanu nie jest węzłem powierzchni; w przypadku zaś czwórki Rosen haina cztery płaszczyzny czworościanu spółrzędnych są czterema płaszczyznami osobliwemi, a cztery wierzchołki są czterema punktami osobliwemi. W tern przedstawieniu inne funkeye odpowiadają każda innym płaszczyznom osobliwym.

Można jeszcze, wychodząc z innego punktu widzenia, otrzymać równanie powierzchni Kuminera. Dowodzi się, że jeżeli za spółrzędne jednorodne punktu przestrzeni przyjmiemy cztery funkeye liypereliptyczne, nazwane przez Kleina funkcyaini Jf, wtedy można znaleść równanie powierzchni takie, żespółczynniki są niezmiennikami wymiernemi funkcyi rzędu szóstego dwójkowej, która w sposób wyżej wskazany odpowiada po-wierzchni Kummera; równanie takie nazywamy zwykle równaniem wymiernem powierzchni. Więcej szczegółów znaleść można u E. Pascala (Ann. di matem. XXIII, XIX).

Istnieje wiele badań nad konfiguracyą 16 punktów i płaszczyzn osobliwych powierzchni Kummera; wymieniamy pracę C a p o r a 1 i’ego (Lmcei 1868); Sehr ôtera (Grelle, C) i De P a o 1 i s a (Lincei 1890).

Szesnaście punktów zasadniczych, połączonych po dwa, lub 16 płaszczyzn, przecinających się po dwie, tworzą 120 prostych, które Caporali na,żywa proste mi R.

Szesnaście punktów zasadniczych, branych po trzy, dają 240 płaszczyzn niezasadniczych (płaszczyzn 17) a szesnaście płaszczyzn zasadniczych, branych po trzy, dają 240 punktów niezasadniczych (punktów P).

Płaszczyzny 77 przechodzą po sześć przez proste Ii, punkty Pleżą na tych prostych szóstkami. Odwrotnie, proste R przechodzą po trzy przez punkt P i leżą trójkami na płaszczyznach ZZ.

Punkty P leżą po 45 na płaszczyznach zasadniczych, a płaszczyzny 77 przechodzą po 45 przez punkty zasadnicze.

Jest 80 czworościanów, których wierzchołkami są punkty zasadnicze; odpowiadają one 80 czwórkom charakterystyk II o-senhaina).

Jest 50 czworościanów, których ścianami są płaszczyzny zasadnicze, a wierzchołkami punkty P (odpowiadają one 40 czwórkom G ö p e 1 a).

Tej ostatniej własności odpowiada oczywiście własność dwoista.

240 punktów P i płaszczyzn II składają 15 nowych konfi-guracyj Kummera.

Jeżeli przetniemy płaszczyzną powierzchnię K u m m e r a, to w przekroju możemy otrzymać krzywą płaską rzędu 4-go ogólną; mianowicie :

Przez każdą krzywą płaską rzędu 4-go ogólną przechodzi co⁴ powierzchni Kummera.

Płaszczyzna sieczna przecina szesnaście płaszczyzn osobliwych według 16 prostych dwustycznych do krzywej; te 16 dwu-stycznych są [właśnie temi, które pozostają z 28, gdy wyłączymy 12 dwustycznych niewspólnych dwom układom Aron-h o 1 d a, mającym jednę prostą wspólną. Innemi słowy: te 16 dwustycznych tworzą konfiguracyę, podobną do konfiguracyi 16 dwustycznych krzywej płaskiej rzędu 4-go z punktem podwójnym, jeżeli wyłączymy sześć stycznych, wychodzących z punktu podwójnego (patrz Rozdz. VIII, str. 280).

Cztery dwustyczne, powstające przy przecięciu czworościanu G ö p e 1 a (patrz wyżej), są czterema dwustycznemi, przez których ośm punktów styczności przechodzi stożkowa.

Na tych związkach pomiędzy dwustycznemi krzywej rzędu 4-go a punktami i płaszczyznami powierzchni Kummera opierają się niektóre najnowsze prace C i a n i’ego (Ann. di mat. (3), II, Rend. Ist. Lomb. 1878).

56, a 10

Można ustanowić znakowanie dla 16 płaszczyzn i punktów osobliwych powierzchni Kummera; jednę z płaszczyzn oznaczamy symbolem 0, sześć punktów na niej leżących symbolami 1, 2, 3, 4, 5, 6; wtedy pozostałe 15 płaszczyzn można przedstawić przy pomocy symboli dwójkowych 12, 13, 14,

co co

punktów zasadniczych przy pomocy symboli trójkowych |

124

356

Przez punkt | j przechodzi sześć płaszczyzn .

12, 23, 31, 45, 56, 64 i t. d.; przez punkt (1) sześć płaszczyzn 0, (12), (13), (14), (15), (16).

Inne znakowanie dla 16 płaszczyzn osobliwych polega na omówionej wyżej odpowiedniości pomiędzy niemi a charakterystykami rozdzaju 2. Oznaczmy w tym celu każdą płaszczyznę symbolem (abod) ¹). gdzie a, ć, c, d nie mogą przyjmować wartości odmiennych od 0 i 1. Wtedy 16 płaszczyzn można przedstawić symbolicznie w ten sposób :

« a o. o-

¹

Piszemy (abcd) dla prostoty zamiast j

(0000),    (1000),    (0100),    (1100),

(0010),    (1010),    (0110),    (1110),

(0001),    (1001),    (0101),    (1101),

(0011),    (1011),    (0111),    (1111).

Płaszczyznami, spotykającemi się w jednym punkcie, są trzy płaszczyzny, które w tej tablicy znajduje się na tej samej linii poziomej z elementem i trzy płaszczyzny w linii pionowej z tymże elementem; tak że sześcioma płaszczyznami, schodzącemi się w jednym punkcie, są płaszczyzny, oznaczone symbolami:

(ci, b, <\ d—J⁻1 ), (ćt, c—j—1, (0, (u, b, c—j—1, tó —j— l)^ (a-j-1, c, d), (a, ö-f-1, c, d), (a-f-1, ö—f—1, c, d).

Podstawień grupy pozostawiających bez zmiany konfiguracyę j e s t 6! 16.

Pównanie stopnia 16-go, od którego zależy wyznaczenie 16 płaszczyzn albo punktów osobliwych Kummera, staje się równaniem abelowem po rozwiązaniu równania stopnia 6-go, t. j. po rozwiązaniu tego ostatniego równania pierwsze rozwiązuje się przy pomocy czterech równań stopnia 2-go (Jordan, Crelle LXX, także Traaté des substitutions 1870).

Linie asymptotyczne ( Hauptangentencurven ), t. j. linie, których płaszczyzna ściśle styczna zlewa się z płaszczyzną styczną do powierzchni (patrz niżej Pozdz. XX), albo których styczne są prostemi ściśle stycznemi do powierzchni, —-są na powierzchni Kummera w ogóle krzywe-m i 16-go rzędu i 16-ej klasy; mają 16 ostrzy w 16 punktach osobliwych powierzchni, 16 płaszczyzn statecznych, które są płaszczyznami osobliwemi powierzchni i 96 stycznych statecznych (patrz Pozdz. IX, §4). Ich porządek (rang) wynosi 48, liczba punktów podwójnych pozornych 72, rząd krzywej podwójnej powierzchni r o z w i j a 1 n e j 952, rodzaj wynosi 17.

Jest s z e śó specyalnych 1 i n i j asymptotycznych, których rząd i klasa redukuje się do połowy, t. j. każdą z nich należy liczyć dwa razy. Nie mają one ani ostrz3'- i płaszczyzn statecznych, mają zaś 40 stycznych statecznych. Ich porządek (rang) jest 24, liczba punktów podwójnych pozornych 12, rząd krzywej podwójnej powierzchni rozwijalnej 200, rodzaj 5.

owierzc z c h n i r z

■ c z n e powie

Cb P

tr

Przez linie Kummer a przeć o zi

4    - g o (Eeye).

Krzywa paraboliczna powierzchni Kummer a jest krzywą rzędu 32-go, rozpadającą się na 16 stożkowych, które są stożkowemi, poło-żonemi na 16 płaszczyznach osobliwych.

Liniami asymptotycznemi powierzchni Kummera zajmowali się specyalnie: Klein i Lie (Math. Ann. XXIII), Eeye (Crelle IIC),

5    e g r e (tamże, IIC).

Klasyfikacyą powierzchni Kummera z punktu widzenia rzeczywistości, punktów i płaszczyzn⁵ osobliwych zajmuje się Rohn (Math. Ann. XVIII); W e i 1 e r (Math. Ann. VI) rożna speeyalizacyi powierzchni

patruje klasyfikacyę. opartą przy przyjęciu że niektóre z 16 punktów osobliwych zlewają się. Obie klasyfikacyę wychodzą z rozważania wartości lcu /c₂, ... /^ sześciu pierwiastków formy rzędu 6-go, która, jak to wvżej powiedziano, pozostaje w związku z równaniem powierzchni Kummera .Jeżeli przyjmiemy, że te 6 wartości spe-cyalizujemy co do ich rzeczywistości i co do ich wielkości, otrzymamy wszystkie przypadki możliwe.

Niektóre z wyników R o h n a są następujące:

16 punktów osobliwych

I. Wszystkie ilości k są rzeczywistemu I a) Powierzchnia Kummera ma rzeczywistych .

I b) Powierzchnia jest rzeczywista, lecz ma wszystkie punkty i płaszczyzny osobliwe urojone. Jeżeli weźmiemy na płaszczyźnie stycznej do powierzchni krzywą rzędu 4-go prze-

cięcia, to sześć stycznych, poprowadzonych do tej krzywej z punktu podwójnego, są wszystkie rzeczywistemi.

I    c) Powierzchnia jest urojona, i ma wszystkie punkty i płaszczyzny osobliwe urojone.

II.    Dwie z pomiędzy ilości y są urojonemi sprzężonemi, pozostałe są rzeczywistemi.

II    a) Powierzchnia ma 8 punktów osobliwych rzeczywistych i tyleż płaszczyzn osobliwych rzeczywistych.

II b) Powierzchnia jest rzeczywista, lecz wszystkie punkty i płaszczyzny osobliwe są urojone. Nie jest wszakże tą samą, co w przypadku Ib), gdyż są jej sześciu stycznych, określonych, jak w przypadku Ib), są cztery rzeczywiste i dwie urojone.

III.    Dwie pary ilości !c są urojone sprzężone, a dwie inne pary są rzeczywiste

Powierzchnia ma cztery punkty osobliwe rzeczywiste i cztery płaszczyzny osobliwe rzeczywiste; każda płaszczyzna przechodzi przez dwa punkty rzeczywiste, mianowicie dwie płaszczyzny przechodzą przez te same dwa punkty, a dwie pozostałe przez inne dwa punkty.

IV.    Trzy pary ilości k są urojonemi sprzężonemi.

IV a) Powierzchnia jest rzeczywista, ma cztery punkty i cztery płaszczyzny osobliwe rzeczywiste. Różni się wszakże od powierzchni w przypadku III, gdyż żadna z płaszczyzn rzeczywistych nie przechodzi przez punkt rzeczywisty.

IV b) powierzchnia jest urojona, lecz posiada cztery punkty i cztery płaszczyzny osobliwe rzeczywiste.

Modele gipsowe powierzchni Kummera znajdują się w kolekcyi L Brilla w Darmstadzie. obecnie S c li i 11 i n g a w Halli.

Tełraedroida Cayley a i powierzchnia falowa.

Przypadkiem szczególnym powierzchni Kummera jest po ■ wierzchnia, zwana tetraedroidą albo powierzchnią

C a y 1 e y’a. której przypadkiem specyalnym jest znów powierzchnia falowa Fresnel a.

Tetraedroida jest powierzchnią Kummera, której szesnaście płaszczyzn osobliwych mają tę własność, iź dzielą się na grupy po cztery płaszczyzny w ten sposób, że płaszczyzny jednej grupy przechodzą przez ten sam punkt; tetraedroida ma tedy cztery wierzchołki i stąd jej nazwa.

Powierzchnia ta jest przekształceniem homograficznem powierzchni falowej, o której mówimy niżej; ta ostatnia jest tetraedroida, metrycznie wyspecyalizowaną.

Równaniem powierzchni tetraedroidy, odniesionej do czworościanu zasadniczego, jest:

²

«J42 «2 4 2 %4²

/y* 2 tZ/f ,

^1², 0,

ry 2 ^2 ?

«V? «I ?

a₄ż, uu²,

0,

2    /y» 2

’    .3    >

«12% (-hł;

ax:\ o,

«23 »

= 0.

u₂₃²,    0

«23 ² >    «3 4 ² ?    ⁰

Równania 16 płaszczyzn osobliwych są:

«23«a    «13*^2    «i2«"3 — 6;

«34«l⁻h«14a'3⁻{_«13«'4 “ Q «24«'! ~i~«14 «”2 *h «12«b —

«34«'2    «24«'3 T «23«'4    ^ 5

—cio±zC\    j~ — 6,

—«34^1-f-«1 4^3-f«t 3^4 — 0 !

—    ~H«13^2 «12«3 6,    «34«'2    «24«'3—I⁻«23«'4 0?

0₂₄#,— «1₄«'2—f~«12«'4 6,    ~ «3₄^d «1 l~«l S'^i 6,

Cl^X 1    «13*^2 i «12*^3 - 6;

«Si«'2    «24 «'S    «23«*4 ⁼⁼ Q

tl2₄^i    «J2«4 —    0.

-Ötj3«'l—«13 «b «12®3 ~ Q

-«3₄^1~)_«1₄«'3    «l3«-4 ⁼

miijemy z

Pascal. Rep. II

Równanie uważanej powierzchni otrzy-równania ogólnego powierzchni

24

Kummera, podanego przez C a y 1 e y’a (patrz § 3), jeżeli położymy:

a!

y __ «24    _

ß «34 y

"34

au

ß"

«.4

a"

«24

aa'a"=-

«14

ßß'ß" = -

«13

«12

«2 4

«34

skąd

o! ß" y = außy‘.

Każda z czterech ścian czworościanu zasadniczego przecina tetraedroidę według pary stożkowych; względem każdej z nich trójkąt, znajdujący się na odpowiedniej ścianie czworościanu, jest trójkątem samosprzężo-n y m (patrz Rozdz. IV, § 2).

Mamy tym sposobem cztery pary stożkowych na czterech ścianach czworościanu; 16 punktów spotkania tych czterech par stożkowych są 16 punktami osobliwemi powierzchni: punkty osobliwe leżą zatem czwórkami na czterech ścianach czworościanu zasadniczego. Ta własność wypływa z własności powierzchni Kummera, na mocy której jest ona wzajemna sama ze sobą (§ 3).

Cztery punkty osobliwe na każdej ścianie czworościanu leżą dwójkami na sześciu prostych, które przechodzą po dwie przez trzy wierzchołki trójkąta, stanowiącego ścianę czworościanu.

W przypadku tetraedroidy, równanie stopnia 6-go, od którego, jak wiemy, (§3) zależy, według Jordan a. wyznaczenie 16 punktów o s o b 1 i wyc h równania o g ó 1 n e j powierzchni Kummera, daje się rozwiązać algebraicznie.

Powierzchnia falowa jest tetraedroidą szczególną; można ją określić następującemi sposobami:

Powierzchnia falowa jest miejscem skrajnych punktów promieni, wychodzących ze środka elipsoidy, a których długości są równe dwom półśrednicom głównym przecięcia elipsoidy płasz-

czyzną prostopadłą do promienia; przeto cztery punkty powierzchni, dwa po jednej i dwa po drugiej stronie (F resnel)

Powierzchnia składasię z dwu powłok, jednej wewnątrz dru-giej, stycznych do siebie w punktach podwójnych.

Jeżeli

na

każdym promieniu istnieją

, y²

a² i⁻ b²

2²

o²

1,    jest równaniem

elipsy, to równanie powierzchni falowej będzie postaci:

h-7}-

£²-\-a²b²c² = 0,

gdzie:

£² = x--\-y²-\-z² ;

£² = a²(b²-\-c²)x²    b²(c²-\-a²)y² -f c²(a²-\-b²)z² (F r e s n el).

crx²-\-b²y²-j- c²z²,

Równanie to otrzymujemy z równania tetraedroidy, jeżeli założymy powne związki specyalne pomiędzy spółczynnikami a₁₂², aXo² . . . (patrz S a 1 m o n-Fiedler 1. c. II, str. 473—474). Równanie Fresnela można przedstawić w dwóch po

staciach :

x?

£²—n²

i    y²

r £²—b²

z²

i²—c²

x²

y² — b²C²

y²    ,    &

² -Va²' y²—a²c²

= 0.

Czworościan zasadniczy powierzchni falowej, uważanej za tetraedroidę, jest to czworościan, utworzony z trzech płaszczyzn głównych elipsoidy i z płaszczyzny w nieskończoności.

Przecięcie powierzchni falowej jedną z trzech płaszczyzn głównych elipsoidy składa się z elipsy i koła.

się na

Szesnaście punktów osobliwych powierzchni stanowią: cztery punkty w nieskończoności, cztery punkty rzeczywiste na jednej z płaszczyzn głównych, zaś 4 i 4 są urojonemi i znajdują dwóch drugich płaszczyznach głównych.

Oczywiście, z płaszczyzn osobliwych tylko 8 jest rzeczy-

wistych.

Tetraedroidę badał pierwszy C a y 1 e y (Journ. de Lionv. XI, 1846,Papers 1,302, CrelleLXV, LXXXYII). Powierzchnię falową badał pierwszy F r e s n e I (Mém. de Paris, 1827) w rozprawie o podwój-nem załamaniu, z okoliczności zagadnienia fizykalnego o przechodzeniu światła przez ciała załamujące; zaraz potem przedmiot ten podjęli: Ampère (Ann. de Chimie et phys. XXXIX, 1828), Cauchy (Exerc. de math. Y. Paryż 1830, Comptes rendus XI, XII, XVIII), P 1 ü c k e r (Crelle XIX, 1839) i inni. Listę prac o powierzchni falowej znajdujemy w cytowanem już dziele: L o r i a, Teraźniejszość i przeszłość teoryj geometrycznych, przekład polski, Warszawa 1889, Wyd.

2-gie włoskie 1896. Inne sposoby tworzenia powierzchni podali. Boki en' (Ztsclir. Schlömilcha, XXIV, XXV, XXVII, 1879—1882) i C a y 1 e y (przy pomocy dwóch powierzchni rozwijalnych, Quart. J. III: 1860, Papers IV, 420—432, Annali di math. XX, 1892).

Można wyobrazić sobie przypadek jeszcze bardziej szczególny powierzchni Kummera, t. j., gdy można ją rozważać jako tetraedroidę nie jednym tylko, lecz wieloma sposobami; takie powierzchnie spe-cyalnie badali R o h n (Leipz. Ber. 1884), S e gr e (tamże), a niedawno B e r t i n i (Ist. Lomb. 1898).

Niektóre modele gipsowe powierzchni falowych znajdują się w kolekcyi L. Brill a.

§ 5.

Powierzchnie rzędu 4-go, zawierające nieskończenie wiele stożkowych.

Kummer badał (Beri. Monatsber. 1863, Crelle LXIV) powierzchnie rzędu 4-go, zawierające nieskończenie wiele stożkowych. Podamy w tym paragrafie główne wyniki jego pracy.

Nie istnieją powierzchnie rzędu 4-go takie, że przekroje, otrzymane z przecięcia ich wszystkiemi płaszczyznami przestrzeni albo też wszystkiemi płaszczyznami wiązki, składają się z dwóch stożkowych.

Istnieją powierzchnie rzędu 4-go takie, że przekroje ich, otrzymane z przecięcia pewnemi nieskończenie wielu płaszczyznami, które nie są płaszczyznami stycznemi, składająsię z d w chstożkow c . Są niemi :

m. tr¹

• r-i

rzędu 4-go zjedna sto ż-

. Powierzc

kową podwójną dwoma punktami podwój ne-m i takie mi, że łącząca je prosta nie spotyka powierzchni; każda płaszczyzna pęku, której osią jest ta prosta, przecina powierzchnię według dwóch stożkowych, których punkty spotkania są oczywiście punktami podwójnemi dla powierzchni, a stąd znajdują się na stożkowej podwójnej. Równa nie powierzchni tego gatunku jest postaci:

ę9a — 4 p¹ <[ r,

gdzie (p jest formą stopnia drugiego, p, q, r są formami stopnia pierwszego.

2.    Powierzchnia rzędu 4-go z jedną prostą podwój ną; każda płaszczyzna, przesunięta przez tę prostą, przocina powierzchnię także według stożkowej. Równanie tej powierzchni jest postaci:

p* S -J- 2p q *Sj -f- q² S₂ = 0,

g d z i e p, q są formami stopnia pierwszego, S, 6j, *ÿ₂ stopnia drugiego.

3.    Powierzchnia rzędu 4-go z dwoma złami stycznościo wemi, t. j. punktami, w których dotykają się wzajemnie dwie powłoki powierzchni; każda płaszczyzna, przesunięta przez prostą łączącą dwa te punkty, przecina powierzchnię według dwóch stożkowych, które w tych punktach są stycznemi do siebie. Równanie powierzchni j e s t :

<p² = (.p,qY,

gdzie p jest formą kwadratową, p i q są dwiema formami liniowe mi, (p, q) j e s t formą stopnia 4-go ilości v i q.

We wszystkich tych przypadkach płaszczyzny, przecinające powierzchnię w sposób wymagany, tworzą pęk.

Są powierzchnie rzędu 4-go takie, że przekroje, otrzymane z przecięcia ich płaszczyznami stycznemi (wszystkiemi lub nie któ remi), składają się z dwóch stożkowych. Są niemi:

1.

Powierzchnia o trzech prostych podwójnych, spotykających się w jednym punkcie (powierzchnia rzymska S t e i n e r a); przekroje, powstałe z przecięcia jej jakąkolwiek płaszczyzną styczną, składają się z dwóch stożkowych.

2. Powierzchnia z jedn stożkową podwójną i jedn y m punktem odwójnym; każda płaszczyzna styczna w punkcie podwójnym przecina powierzchnię według dwóch stożkowych. Równanie tej powierzchni jest postaci:

95² = 4 p²yj,

gdzie (p i ip są formami kwadrato wemi, p jest formą liniową, mianowicie ip = 0 jest równaniem stożka rzędu 2-go, którego wierzchołek znajduje się na kwadryce cp—0

Są powierzchnie rzędu 4-go takie, że każda ich płaszczyzna dwu styczna przecina powierzchnię według dwóch stożkowych. Są niemi :

1.    Powierzchnie z jedną stożkową podwójną.

2.    Powierzchnie prostoliniowe.

W następnych paragrafach mówimy osobno o głównych gatunkach wymienionych wyżej powierzchni, mianowicie o powierzchniach: a) ze stożkową podwójną, b) z prostą podwójną,

c) o powierzchni Steinera, d) o powierzchniach prostoliniowych. Co się tyczy powierzchni o dwóch węzłach stycznościowych, to były one dotąd mało badane.

~Jn

CD

Powierzchnie rzędu 4-go ze stożkową podwójną albo ostrzową.

Liczby charakterystyczne, odnoszące się do tej powierzchni, podaliśmy w § 1 Rozdz. XII-go.

Każda płaszczyzna przestrzeni przecina taką powierzchnię według krzywej rzędu 4-go z dwoma punktami podwój nemi; każda płaszczyzna styczn a—w edług krzywej rzędu 4-go z trzema punktami podwój nemi, wreszcie każda płasz zyzna trój styczn a— według stożkowej i dw ch prostych.

Przez każdy punkt można poprowadzić dziesięć płaszczyzn, przecinających powierzchnie według par stożkowych.

Na stożkowej podwójnej są cztery punkty jednopłaszczy-znowe lub ostrzowe; płaszczyzny styczne w tych punktach przechodzą przez jeden i ten sam punkt.

Równanie ogólne tej powierzchni jest postaci: gdzie cp = 0, yj=0 są równaniami dwóch kwa-dryk, p = 0 równaniem płaszczyzny, kt ó rej przecięcie z kwadryką 99 = 0 jest stożkową podwójną powierzchni.

Krzywa paraboliczna powierzchni (rzędu 32) składa się ze stożkowej podwójnej liczonej 8 razy, z przecięcia powierzchni 99=0, y = 0, liczonego dwa razy, i z jednej jeszcze krzywej rzędu 8-go.

Powierzchnia zawiera 16 prostych (opierających się naturalnie na stożkowej podwójnej), z których każda przecina pięć innych. Konfiguracya tych 16 prostych jest ta sama, co 16 prostych, które pozostają z 27 prostych na powierzchni rzędu 3-go, gdy wyłączymy jednę prostą i wszystkie 10, które ją spotykają.

Każda płaszczyzna, poprowadzona przez jednę z 16 prostych, przecina powierzchnię według krzywej sześciennej z punktem podwój n y m.

Płaszczyzn trójstycznych do powierzchni jest 40; każda z nich zawiera dwie proste.

Płaszczyzny dwustyczne powierzchni obwodzą pięć stożków rzędu 2-go, które nazywamy pięcioma stożkami Kum mer a; stożki te tworzą tedy powierzchnię rozwijalną (rzędu 10-go), dwustyczną do powierzchni.

Czterdzieści płaszczyzn trójstycznych powierzchni tworzą tę samą konfiguracyę co 40 płaszczyzn, pozostających z 45 płaszczyzn powierzchni sześciennej, gdy wyłączymy pięć płaszczyzn, przechodzących przez prostą stałą.

Każdy ze stożków Kummera dotyka 16 prostych powierzchni; rozdzielają się te proste po dwie na ośm płaszczyzn stycznych stożka. Stąd dla każdego z pięciu stożków te 16 prostych rozdzielają się różnie na 8 par; rozdział jest taki sam dla tychże 16 prostych, uważanych za należące do powierzchni sześciennej względem każdej z pięciu płaszczyzn wyłączonych. Mianowicie, jeżeli, dla ustalenia myśli, oznaczymy przez a, b dwie proste płaszczyzny wyłączonej, to 16 prostych rozdzielają się na 8 takich par, że dwie proste każdej pary przecinają się ze sobą i przecinają albo prostą a, albo prostą b. Ustanawiamy tym sposobem odpowiedniość pomiędzy pięcioma stożkami, odnoszą-cemi się do ó'₄ i pięcioma płaszczyznami, odnoszącemi się do S₃.

Styczna w punkcie P stożkowej podwójnej powierzchni S4 i proste, łączące punkt P z wierzchołkami pięciu stożków, są tworzącemi stożka kwadrykowego.

Stożki Kummera przechodzą przez punkty ostrzowe, położone na linii podwójnej; płaszczyzny, styczne do stożków w tych punktach, przecinają powierzchnię według dwóch stożkowych stycznych.

Z 16 prostych, znajdujących się na powierzchni uważanej, można utworzyć dwa różne ugrupowania; zawierające po 4

proste, z których to czterech prostych żadne dwie nie przecinają się; ugrupowanie gatunku 1-go jest takie, że każda z pozostałych 12 prostych przecina zawsze przynajmniej jednę z czterech prostych ugrupowania; ugrupowanie drugiego gatunku jest takie, że pomiędzy 12 pozostałemi prostemi jest jedna i tylko jedna, która nie przecina żadnej z czterech prostych. Te ugrupowania nazywają się czwórkami odpowiednio 1-go i 2-go gatunku (quadrupla). Ugrupowań gatunku 1-go jest 40, drugiego 80.

Każdej czwórce odpowiada inna tego samego gatunku, mająca tę własność, że każda z jej czterech prostych przecina jednę i tylko jednę prostą pierwszej czwórki. Takie dwie czwórki nazywają się spr z ęż o nemi i tworzą dwuczwórkę (biquadru-pla, Doppelvier C1 e b s c h a).

Każdej dwuczwórce gatunku drugiego odpowiadają czte-inne w ten sposób, że proste, zawarte w pierwszej i w jednej z pozostałych, są wszystkiemi 16 prostemi powierzchni.

Z 16 prostych można utworzyć 16 piątek skośnych, t. j. ugrupowań po 5 prostych, z których żadne dwie nie spotykają się; nie można zaś utworzyć ugrupowań, złożonych z większej liczby prostych skośnych.

Grupa podstawień pomiędzy 16 prostemi jest rzędu 5! 16.

Pierwiastki równania stopnia 16-go, od którego zależy wyznaczenie szesnastu prostych powierzchni 4-go rzędu o stożkowej podwójnej, są funkcyami wymiernemi pierwiastków pewnego równania stopnia 10-go, które znów, po rozwiązaniu pewnego równania stopnia 5-go. rozpada się na pięć czynników kwadra

towych.

Dość szczegółowo badano wielościany, utworzone z 40 płaszczyzn trójstycznych (patrz niżej;.

Z powyższego wynika, że płaszczyzny stożkowych danej powierzchni są styczne do stożków Kummera, i oczywiście, na każdej płaszczyźnie są dwie stożkowe. Mamy zatem 10 układów stożkowych, należących do po wierzch n i: każdemu układowi odpowiada inny, który można nazwać z nim sprzężonym, gdyż stożkowa pierwszego znajduje się zawsze na jednej płaszczyźnie z pewną stożkową drugiego układu.

Przez każdy punkt powierzchni (nie poło-ony na krzywej podwójnej) przechodzi stoż-owa każdego z 10 układów.

Jeżeli odwrócimy uwagę od przecięć, które mogą mieć miejsce w punktach krzywej podwójnej, możem}r powiedzieć: Stożkowe, należące do tego samego układu, nie przecinają się; dwie stożkowe jakiekolwiek, należące do dwóch układów sprzężonych, spotykają się w dwóch punktach; dwie stożkowe, należące do dwóch układów różnych (nie sprzężonych), spotykają się w jednym punkcie.

Jeżeli przetniemy jakąkolwiek płaszczyzną stożek, mający wierzchołek w punkcie P krzywej podwójnej i styczny do powierzchni, wtedy, prócz śladów dwóch płaszczyzn stycznych,, będziemy mieli krzywą płaską ogólną rzędu 4-go (Zeu-then 1879, patrz Ann. di mat. XIV str. 31). Stycznemi podwój-nemi tej krzywej są ślady dwa płaszczyzn stycznych, ślady dziesięciu płaszczyzn, które można poprowadzić z punktu P do przecięcia z powierzchnią według pary stożkowych (patrz wyżej) i ślady szesnastu płaszczyzn, przechodzących przez punkt P i przez 16 prostych na powierzchni.

Rzutami stożkowej uważanej powierzchni są stożkowe czworostyczne do krzywej rzędu 4-go.

Jeżeli P jest jednym z punktów ostrzowych, położonych na krzywej podwójnej 1 patrz wyżej), to rzut konturu powierzchni będzie miał punkt podwójny na siadzie płaszczyzny stycznej w punkcie P.

Jeżeli rzucimy zaś powierzchnię z wierzchołka jednego ze stożków Kummera, to rzut jej konturu stanowić będzie ślad stożka, liczony dwa razy, oraz krzywa rzędu 4-go z dwoma punktami podwój nenii, której w czterech punktach dotyka już tu ślad rzeczony, już to rzut stożkowej podwójnej (Zeuthen 1. c.).

Zeuthen posługuje się powyższemi twierdzeniami dla klasyfikacyi powierzchni rzędu 4-go ze stożkową podwójną z punktu widzenia rzeczywistości jej prostych i stożków Kummera. Główne jego rezultaty są następujące:

Istnieją następujące typy powierzchni rzeczywistych o stożkowej podwójnej rzeczywistej.

a)    W szystkie 16 prostych i 5 stożków są rzeczywistemi. I dziesięć układów stożkowych są też rzeczy wistemi i każdy z czterema parami prostych rzeczywistych.

b)    Ośm prostych i trzy stożki są rzeczywiste, pozostałe 8 prostych są urojone bez punktów rzeczywistych; sześć układów stożkowych jest rzeczywistych i niema pary prostych sprzężonych.

c)    Cztery proste i jeden stożek—rzeczywisty. Dwa układy stożkowych rzeczywiste—każdy z dwiema parami prostych rzeczywistych i dwiema parami prostych sprzężonych. Z dwunastu par prostych urojonych cztery mają punkt rzeczywisty, pozostałe go nie mają.

d)    Żadna z prostych nie jest rzeczywistą; wszystkie zaś 5 stożków są rzeczy wistemi. Sześć układów stożkowych rzeczywistych, nie zawierających żadnej pary prostych rzeczywistych lub sprzężonych. Wszystkie 16 prostych są urojnnemi bez punktów rzeczywistych.

e)    Żadna z prostych nie jest rzeczywistą, a wszystkie 5 stożków są rzeczywistemu Dwa układy stożkowych są rzeczywiste i do każdego należą cztery pary prostych urojonych sprzężonych.

f)    Żadna prosta nie jest rzeczywista i tylko trzy stożki są rzeczywiste; z 16 prostych ośm ma jeden punkt rzeczywisty, pozostałe go nie mają. Dwa układy stożkowych są rzeczywiste i każdy ma dwie pary prostych sprzężonych,

Powierzchnię $₄, o której mówimy, badał pierwszy C1 e b s c h przy pomocy swojego odwzorowania płaskiego (patrz Rozdział IX, § 7).

W tern odwzorowaniu prostej na powierzchni S₄ odpowiada na płaszczyźnie stożkowa, przechodząca przez pięć punktów zasadniczych; pięciu prostym, przecinającym tamtą piostą, odpowiada pięć punktów zasadniczych, a pozostałym dziesięciu prostym odpowiadają proste, łączące każde dwa z pięciu punktów zasadniczych. Każdej parze sprzężonych układów stożkowych na powierzchni Si odpowiadają stożkowe, przechodzące przez cztery z pomiędzy pięciu punktów zasadniczych, oraz proste, przechodzące przez punkt piąty. Obrazami przecięć płaskich powierzchni S₄ są krzywe sześcienne w liczbie oob układu liniowego sześciennych, przechodzących przez pięć punktów zasadniczych. Obrazem stożkowej podwójnej powierzchni Sé jest krzywa sześcienna tegoż układu.

Ważną własnością, dającą nadto środek badania powierzchni, jest własność, która przy pomocy przekształcenia dwuwy-miernego przestrzeni wprowadza powierzchnię uważaną w związek z powierzchnią ogólną rzędu 3-go. Badania te podjęli Greiser (Crelle LXX) i Cremona (Rend. Ist. Lomb, 1871).

Przez przekształcenie:

albo

D : «2 : *3: *4 = V\ - ♦'    ■ V\V* '■ Vrfh “ Vł >

■t/i ■ y 2 ^ y-a : y 4 =    ; xł •*    •' X\A 4- xł

wprowadza się odpowiedniość pomiędzy powierzchnią ogólną rzędu

3-go 83, przechodzącą przez stożkową = 0,    ~f-xz² = 0

przestrzeni (a¹), nie styczną do płaszczyzny a, =0 w punkcie xx ~ a₂ = i/*₃ = 0, a powierzchnią rzędu 4-go SĄ o stożkowej podwójnej w przestrzeni \y) ( C r e m o n a).

Stożkową podwójną jest stożkowa:

2/1=0,

th y i —y* = o.

Dwudziestu siedmiu prostym powierzchni S₃ odpowiadają:

1) 16 prostych powierzchni SA,    2) 10 stożkowych powierzchni

$₄, przechodzących przez punkt y₁ = ?/₂ = y₂ — 0 i stycznych w tym punkcie do płaszczyzny y₂ = 0, 3) punkt y^—y^yz = 0.

Przy pomocy tychże zasad można otrzymać i odwzorowanie płaskie powierzchni ó’₄ z odwzorowania płaskiego powierzchni Sz.

Przypadkiem szczególnym rozważanej powierzchni jest powierzchnia , której stożkowa podwójna rozpada się na dwie przecinające się proste.

Równanie powierzchni daje się wtedy spro-wadzić do postaci:

² x.r -}- 2 m xx x₂ .r₃ xA -j- x₄ ² <p = 0

gdzie cp fest formą kwadratową. Dwie proste podwójne znajdują się na płaszczyźnie x₄ = 0 i są przecięciami tej płaszczyzny z płaszczyznami xx =0, x₂ —0. Iw tym przypadku powierzchnia ma 16 prostych, z których ośm opiera się na jednej prostej podwójnej, ośm—na

drugiej; każdą z pierw-

szych ośmiu przecinają cztery z pomiędzy ośmiu drugich. Na każdej z dwu prostych podwójnych są punkty jednopłaszczy-znowe lub ostrzowe. Stożków Kum mer a jest właściwie cztery: piąty składa się z ogółu prostych podwójnych, uważanych za obwiednią płaszczyzn

Innym godnym uwagi przypadkiem jest ten, w którym stożkowa nie jest pod wojną lecz ostrzową, t. j. każdy jej punkt jest j ednopłaszczyznowy m. Liczby charakterystyczne dla tego przypadku podaliśmy w tablicy w § 1.

Płaszczyzny styczne do powierzchni w punktach stożkowej ostrzowej przechodzą wszystkie przez jeden i ten sam punkt. Istnieje płaszczyzna styczna do powierzchni, dotykająca jej według stożkowej, przecinającej w dwóch punktach stożkową ostrzową. Jakakolwiek płaszczyzna, przechodząca przez jeden z tych punktów, przecina powierzchnię według krzywej, mającej w tym punkcie węzeł stycznościowy (close-point). Powierzchnia ma dwie czwórki prostych; cztery proste jednej czwórki przechodzą wszystkie przez jeden z węzłów stycznościowych i znajdują się na płaszczyźnie stycznej w tym punkcie do dwu stożkowych: ostrzowej i innej. Jeżeli nazwiemy płaszczyzny tych czwórek przez tt i jtr, będziemy mogli wypowiedzieć twierdzenie:

zą przez stożkową ostrzową.

Powierzchnia ma tylko trzy stożki Kumme r a, których wierzchołki znajdują się na prostej przeci cia płaszczyzn n i n ; te trzy stożki przecho

Rozważano jeszcze przypadki, w których powierzchnia, prócz stożkowej podwójnej albo ostrzowej, posiada jeszcze punkty podwójne odosobnione.

Powierzchnia rzędu 4-go o stożkowej podwójnej nie może mieć więcej niż cztery punkty podwójne odosobnione.

Powierzchnie takie badali specyalnie: Korndörfer (Math. Ann 1, II), a później Segre (tamże XIV), rozważając i liczne przypadki specyalne.

Jeżeli punkt- podwójny odosobniony przypada na stożkowej podwójnej, mamy wtedy powierzchnię, która, jak dowiódł Cre-m o n a, może być otrzymana z kwadryki przy pomocy przekształcenia dwuwymiernego, o którem mówiliśmy wyżej.

Inne przypadki analogiczne badał Segr e (1. c.).

GO œ

Przy załóż ni u, że stożkowa podwójna nie j e s t z n i e k s ta c o n ą, m a m y, z względu n a m o-i 1 i w e punk y odosobnione, 1 różnych gatunków powierzchni.

Powierzchnię rzędu 4-go o stożkowej podwójnej badał pierwszy K u m m e r w r. 1863 (Grelle LXIV). Potem, z innych punktów widzenia, M o u t a r d. Darbonx i C a y J e y zajmowali się wielokrotnie przypadkiem szczególnym bardzo ważnym tych powierzchni, a mianowicie cykl id am i (mówimy o nich w § następnym), dla których stożkową podwójną jest koło urojone w nieskończoności. Przypadek szczególny cyklid, a mianowicie powierzchnia pierścieniowa jest już znana od dawnego czasu. W r. 1867 Clebseh (Crelle LXIX), z okoliczności badań nad odwzorowaniem powierzchni, podjął poszukiwania nad powierzchnią ogólną rzędu 4-go ze stożkową podwójną; po nim przedmiot ten opracowywali; Crem o na, K o r n d ö r-fer (1. c.), Cayley (Quart. J. X, XI, 1870—1871). Pomijając prace o cyklidach, o których mowa niżej, wymieniamy tu ważną pracę Z euthena (napisaną po duńsku i przełożoną przez L o r i ę w Ann-di mat. XIV), w której autor podejmuje klasyfikacyę powierzchni stopnia 4-go, wyżej przez nas podaną W r. 1884 S egr e w obszernej rozprawie (Math. Ann. XXIV) podaje teoryę tych powierzchni z nowego punktu widzenia, a mianowicie rozważając w przestrzeni trójwymiarowej rzuty przecięcia dwóch rozmaitości kwadratowych trójwymiarowych, położonych w przestrzeni cztero wymiarowej. ■ Praca Segr eg o, bogata w wyniki, w części znane i w części nowe, zawiera też szczegółową klasyfikacyę wszystkich powierzchni o stożkowej podwójnej i ostrzowej, zniekształconej lub niezniekształconej, z punktami po-dwójnemi odosobnionemi lub bez takich punktów, o stożkowej ostrzowej badali też Cremona (Acc. Bologna 1892) i Tötössy (Math. Ann. XIX). Co się tyczy badania konflguracyi 16 prostych lub 40 płaszczyzn trójstycznych powierzchni, to wymieniamy prace B e r z o 1 a r i’ego (Ann. di Math. XIII) i Pereno (tamże XXI), a po szczegóły bibliograficzne odsyłamy do pracy S e grego lub do cytowanego dzieła Lorii „Oteoryachgeometrycznych“

Powierzchnie

§ 7.

Cyklidy. Cyklida Dupina.

Cyklidy są to powierzchnie rzędu 4-go, mające jako stożkową podwójną koło urojone w nieskończoności, Tak nazywają te powierzchnie Darboux i Casey; Cayley zaś nazywa je powierzchniami bicyklicznemi (dwukołowe m i).

Cyklida j e st obwiednią kuli, p r z e c i n a j ą c ej ortogonalnie kulę daną, i której środek opisuje k w a cl r y k ę daną (Casey, Phil. Trans. CLXI, 1871).

Równanie cyklidy można napisać wieloma sposobami.

Jeżeli X₁ — O, X₂ — 0, X:i=0, X₄ = 0 są równaniami czterech kul, to równanie cyklidy można przedstawić w postaci:

(X„ X„ Xs, Xt) = o,

gdzie ę?₂ jest formą ogólną stopnia 2-go.

Kula stała w tworzeniu cyklidy jest powierzchnią Jaco-b i’ego tych czterech kul, z których każda odpowiada położeniu kuli ruchomej ortogonalnej do kuli stałej.

Można napisać równanie cyklidy (w spół-rzędnych Descarte s’a) w ten sposób:

(æ!-f    +    + Ą = C;

tu S₂ = 0 j e s t równaniem k w a d r y k i.

Jeżeli X, = 0, . . . O są równaniami pięciu kul przecinających się ortogonalnie, to równanie cyklidy może mieć jednę z następujących postaci:

+    «i₃X,» + a₄.V = 0,

a', XJ + a',, Z₃² -f a’a X₄² + a'₄ X₅² = 0,

a,IVĄ* + a,rrXl* + as'vX₉* + ai*X₉* = 0,

gdzie spólczynniki asąstałemi. Te postacie są równoważne dlatego, że pomiędzy pięcioma wielkościami X istnieje związek liniowy tożsamościowy, odpowiadający warunkom ortogonalności każdych dwu z pomiędzy pięciu kul. Tym związkiem jest:

z;²

*3²

■rx ²

r₂²

rł

rj rj

ko;

gdzie rl7 r₂,... rh są promienie kul.

W każdem z pięciu powyższych równań kula stała w tworzeniu cyklidy jest odpowiednio jedną zkulZ₃=0, Xl,=0,..W₄=J), a cztery inne odpowiadają różnym położeniom kuli ruchomej. Powierzchnia więc powstaje pięcioma różnemi sposobami.

Ważną własnością cykli dj est ta, że są one powierzchniami analagmatycznemi, to znaczy, że przekształcają się same na siebie przez inwersyę (przekształcenie przez promienie wodzące odwrotne).

Powierzchnie analagmatyczne rzędu 4-go są cyklidami (Mo u tar d).

Kulą zasadniczą w inwersyi jest kula, do której jest ortogonalną kula ruchoma, wytwarzająca cyklidę w sposób wyżej wskazany. Środek tej kuli jest wierzchołkiem jednego z pięciu stożków Kummer a, należących do powierzchni według teoryi ogólnej (§ 6). Cyklida jest powierzchnią analagmatyczną względem pięciu różnych inwersyj i to naturalnie w odpowiedniości z pięcioma stożkami Kum mera. Twierdzenie to jest w związku

z twierdzeniem powyższem, że cyklida może być utworzona pięcioma różnemi sposobami.

Charakterystyczną własnością cyklid jest, że płaszczyzny dwustyczne (płaszczyzny s t y-czne do stożków Kummer a), zamiast przecinać powierzchnię według pary stożkowych (jak w przypadku § poprzedzającego), przecinają ją według pary kół. Możemy przeto powiedzieć:

Przez każdy punkt przestrzeni przechodzi dziesięć płaszczyzn, przecinaj ącycłi powierzchnię według pary kół. Stąd to pochodzi nazwa powierzchni dwukołowej, nadana przez C a y 1 e y’a.

Niechaj będzie cykłida, utworzona w sposób powyższy przez kulę ruchomą, przecinającą ortogonalnie kulę stałą =- 0, i której środek opisuje kwadrykę St = 0. Poprowadźmy ze środka kuliMstożek, którego płaszczyzny styczne są prostopadłe do tworzących stożka asymptotycznego kwadryki Sr, stożek ten jest jednym z pięciu stożków Kummera. Każdemu stożkowi Kummera odpowiada w ten sposób kw ad ryk a S,. Kwadryki Si(i== 1,.. ,5) są spółogni skowemi. Przecięcie kwadryki S,—0 z odpowiednią kulą X, = 0 jest krzywą, która nazywa się krzy-w ą ogniskową cyklidy; jest zatem pięć krzywych ognisko wych.

Wspominamy przy sposobności, że określenie krzywych ogniskowych dla jakiejkolwiek powierzchni podał 1) a r b o u x (Comptes rendus 1864), jako uogólnienie określenia, podanego przez Chasles’a i innych dla powierzchni rzędu 2-go.

Rozważmy powierzchnię rozwijalną, opisaną na danej powierzchni taką, że jej płaszczyzny styczne są też stycznemi do koła urojonego w nieskończoności; krzywa podwójna tej powierzchni rozwijalnej nazywa się krzywą ognisk ow ą powierzchni. Przez każdą styczną krzywej ogniskowej można poprowadzić dwie płaszczyzny styczne wspólne, powierzchni i kołu w nieskończoności. Jeżeli dalej koło w nieskończoności należy do powierzchni, wtedy prócz krzywych ogniskowych

25

Pascal. Rep. II.

X— u₃

*4²    ,    _Q

X-a^X-a,

— ⁽h

zwyczajnych można rozważać jeszcze krzywe ogniskowe osobliwe (Laguerra); są to linie podwójne powierzchni rozwijalnej, opisanej około powierzchni wzdłuż punktów koła urojonego w nieskończoności.

Ważnem jest następujące twierdzenie o krzywych ogniskowych osobliwych cyklidy (Laguerre, De la G-ournerie):

Ogniskowe osobliwe cyklidy są ognisko-wemi zwyczajnemi każdej z pięciu kwadryk, które, w sposób wyżej omówiony, służą do utworzenia cyklidy; te kwadr y ki mają (jak to już powiedziano) też same linie ogniskowe.

W pęku kul jest 12 kul, dotykających danej cyklidy; w pęku płaszczyznjest 12 płaszczyzn, do

s t y c h j e s t 12 p s y c h, cyklidy.

Cyklidy, przedstawione przez równanie

ł-S

OS'¹ O

c ehe

P *<!

klidy; wwi zce pro-ormalnych o danej

X— ax

gdzie X jest parametrem zm iennym, są wszystkie s póło g nisko we; przecinają się one wzajemnie ortogonalnie; przez punkt przestrzeni przechodzą trzy cyklidy tego układu, tworzą one zatem układ, zwany potrójnym ortogonalnym (Patrz Rozdz. XVI).

Trzy odpowiednie wartości X można przyjąć za spółrzędne punktu przestrzeni.

Dwie cyklidy układu przecinają się według ich linij krzywizny, które są przeto krzywemi algebraicznemi. Linie krzywizny cyklid tworzą układ ortogonalny izoter micz-n y (Rozdz. XVI).

Jeżeli poczynimy pewne szczególne założenia metryczne o kwadryce, służącej do utworzenia cyklidy, otrzymamy cyklidy o formach specyalnych.

•Jeżeli ta kwadryka jest kulą, wtedy cyklida jest powierzchnią obrotową, utworzoną obrotem owalów Descartes’a (patrz niżej), obracających się około ich osi ogniskowej. W tym przypadku koło urojone w nieskończoności jest ostrzowem dla powierzchni.

Jeżeli kwadryka jest obrotową, wtedy krzywa ogniskowa zwyczajna cyklidy jest styczną podwójnie do koła w nieskończoności. Darboux nazwał takie cyklidy cyk lidami Descarte s’a.

Jeżeli wreszcie kwadryka jest bez środka (paraboloida), wtedy jedna z krzywych ogniskow^ych przechodzi do nieskończoności, a cyklida rozpada się na powierzchnię rzędu 3-go, przechodzącą przez koto urojone w nieskończoności, i na płaszczyznę w nieskończoności. Mamy wtedy t. zw. c y k 1 i d ę rzędu 3-go lub paraboliczną.

Cyklida ta zawiera oczywiście na płaszczyźnie w nieskończoności prostą, przez którą przechodzi pięć płaszczyzn trój-stycznych do powierzchni: ich punkty styczności są pięcioma wierzchołkami pięciu stożków Kummera; każdy z nich redukuje się do pary prostych, położonych na powierzchni, a każda płaszczyzna, przechodząca przez jednę z 10 prostych tak utworzonych, przecina naturalnie powierzchnię według kół.

Z cyklidy ogólnej otrzymujemy cyklidę rzędu 3-go przy pomocy przekształcenia przez promienie odwrotne i biorąc środek przekształcenia na samej powierzchni.

Załóżmy teraz, że kwadryki S i kula kierownicza X mają położenie specyalne względem siebie, np. są stycznemi, wtedy otrzymujemy cyklidy o punktach podwójnych.

Podobnie jak powierzchnie rozważane w paragrafie poprzedzającym, i cyklidy mogą mieć od 1 do 4 punktów podwójnych odosobnionych.

Cyklidy o punktach podwójnych można uważać zawsze jako powierzchnie odwrotne (otrzymane przez inwersyę) względem powierzchni rzędu k2-go.

Odwrotną kwadryki ogólnej jest cyklida z jednym punktem podwójnym; odwrotną stożka kwadrykowege ogólnego—cyklida z dwoma punktami podwójnemu, odwrotną kwadryki obrotowej—cyklida z trzema punktami podwójnemi; wreszcie odwrotną stożka obrotowego jest cyklida o czterech punktach podwójnych odosobnionych (c y k 1 i d a Dupin a).

Cyklidę z jednym punktem podwójnym otrzymujemy, jeżeli we wskazanem wyżej tworzeniu cyklidy kwadryka S, jest styczną w jednym punkcie do kuli X (kuli kierowniczej), albo gdy ta redukuje się do punktu.

Taką cyklidę można jeszcze określić jako t. zw. powierzchnię spodkową kwadryki względem punktu O tejże, t. j. jako miejsce spodków prostopadłych, spuszczonych z punktu 0 do płaszczyzn stycznych kwadryki.

Jeżeli kwadryka S jest dwustyczną do kuli, mamy wtedy cyklidę o dwóch punktach podwójnych, która, jak powiedziano, jest powierzchnią odwrotną dla stożka kwadry -kowego ogólnego.

Przypadek, w którym te dwa punkty podwójnie przypadają na kole urojonem w nieskończoności, badali: De La Gr o inner ie (J. Ecol. Pol. XXIII, 1863, J. de Liouville (2), X, 1865) i C a y 1 e y (Quart. J. X, XI, 1870).

Powierzchnia, utworzona obrotem stożkowej około prostej, nie położonej na jej płaszczyźnie, jest w ogólności cyklida z dwoma tylko punktami podwójnemi, położonemi na kole urojonem w nieskończoności; są to dwa punkty cykliczne na płaszczyźnie prostopadłej do osi obrotu.

W cyklidzie Dupina (t. j. o czterech punktach podwójnych) przynajmniej dwa z punktów podwójnych są zawsze uro-jonemi, a z 16 prostych, łączących punkty podwójne, cztery najmniej są zawsze urojonemi.

Z pięciu stożków Kummera cyklidy Dupina jeden tylko nie jest zniekształcony, t. j. jego płaszczyzny styczne przecinają powierzchnię według kół; cztery pozostałe zniekształcają się na cztery płaszczyzny styczne osobliwe (styczne do powierzchni wzdłuż całej krzywej), z których najmniej dwie są zawsze uro

jonemi.

Linie krzywiznowe cyklidy Dupina są kołami.

Cyklidę Dupina można określić jako obwiednią kuli, której promień porusza się po płaszczyźnie, a która dotyka dwu kul

Jest oczywistem, że powierzchnia pierścieni o-w a (utworzona obrotem koła około prostej, znajdującej się na jego płaszczyźnie) jest cyklida specyalną D u p i na.

danych; albo jako obwiednią knli, której środek porusza się po stożkowej a która dotyka innej kuli danej; albo wreszcie jako obwiednią kuli, której środek porusza się po stożkowej a która przecina ortogonalnie inną kulę.

Określenie, podane przez Dupina, mianowicie, że ta powierzchnia jest obwiednią kuli, dotykającej trzech kul danych, nie indywidualizuje jednej tylko cyklidy, ale określa ich cztery.

Jeżeli wszystkie cztery punkty podwójne są urojone, wtedjr cyklida nazywa się pierścieniową (Bingcyklides); szczególnym jej przypadkiem jest powierzchnia poprzednia.

Jeżeli tylko dwa z punktów są rzeczywistemi (inne przypadki nie są możliwemi), wtedy dwie formy cyklidy są: jedna cyklida rożkowa ta (Horncyklide), która składa'się z dwu powłok na zewnątrz jedna drugiej położonych, zakończonych ostrzami i złączonych dwoma punktami podwójnemi; druga nazywa się c y k 1 i d ą wrzecionowatą (Spindelcykhde) i ta jest utworzona z dwu powłok, jednej wewnątrz drugiej, złączonych w dwu punktach.

w me-

Dla cyklid Dupina, podobnie jak dla cyklid ogólnych, można wyobrazić sobie, że stożkowa, na której znajdować się mają kule ruchome, których obwiednią jest cyklida, staje się parabolą: jest to założenie analogiczne do tego, które z cyklidy ogólnej prowadzi do cyklidy stopnia 3-go albo parabolicznej. Mamy wtedy cyklidy Dupina paraboliczne, które są po wierzchniami rzędu 3-go, gdyż tu odchodzi płaszczyzna skończoności.

Można zbudować następujące typy takich cyklid : cyklida paraboliczna rożkowata ( parabolische Horncyclide), której dwa punkty podwójne są rzeczywistemi; cyklida paraboliczna pierścieniowa, (parabolische Ringcyclide) której cztery punkty podwójne są wszystkie urojonemi. Te powierzchnie mają powłoki, rozciągające się do nieskończoności; należą do nich proste w nieskończoności i inne proste rzeczywiste.

Klasyfikaeyę zupełną cyklid podał po raz pierwszy L o r i a (Acc. Torino 1884), który rozróżnia 18 różnych gatunków cyklid ze względu na inne osobliwości, które może posiadać powierzchnia. Te 18 gatunków odpowiadają naturalnie 18 gatunkom powierzchni rzędu 4-go o stożkowej podwójnej ogólnej, badanych razem z innemi niedawno przedtem przez Segrego (patrz § poprzedzający). Ten ostatni autor dowiódł nadto, że z 18 gatunków cyklid tylko 1 ) gatunków należy do cyklid rzeczywistych, t. j. mających równania o spółczynnikacli rzeczywistych (Math. Ann. XXVIV, str. 439). Najdawniej zbadaną jest cyklida o 5 punktach podwójnych (Dupin, Applicat. de Gróom. 1822), której przypadkiem szczególnym jest powierzchnia pierścieniowa. W r. 1860 Mannheim (Nouv. Ann. 1860) wykazał, że każda cyklida Dupina przy pomocy inwersyi daje się przekształcić na powierzchnię pierścieniową. Niezadługo potem zaczęli badać cyklidy jako powierzchnie analagmatyczne: M o u t a r d (Ann. de matli. (2). III, 1864). Darboux (Ann. de l’Éc. norm. 1865, 1872), Maxwell, (Quart. J. IX, 1867), który próbował je klasyfikować; później zaś Casey w obszernej rozprawie (Phil. Trans. CLXI, 1871). Teoryę tych powierzchni ogłosił D a r b o u x w osobnej rozprawie (Sur une classe remarquable de courbes et surfaces algébriques, Paryż 1873. wyd. 2-gie 1896), do której odsyłamy czytelnika po szczegóły. Wreszcie Loria w r. 1884 (Acc. di Torino, Memorie, XXXVI) podjął badanie cyklid z innego punktu widzenia; korzysta mianowicie z pomysłów L i eg o, K 1 e i n a, Key e g o, posługuje się t. zw. geometryą kul, w której kulę uważa się za element przestrzeni, rozpatruje kompleksy i kongruencye kuli i przeprowadza wyżej wzmiankowaną klasyfikację na 18 gatunków (patrz Rozdz. XIV).

§ 8.

Powierzchnie rzędu 4-go z prostą podwójną.

Równanie powierzchni rzędu d-go z prostą podwójną można napisać w postaci:

(K u m m e r)

V~ 8' -\-2pq *SYj -}- q- S-2 = 0,

gdzieś, ą są funkcyami linio wemi—S,S₁, S₂ funk-cyami k w ad rato wemi spół rzędnych. Przecięcie płaszczyzn p — 0, </ = 0 j e s t prostą podwójną powierzę li n i.

Toż samo równanie można tak napisać ( C a y-ley ):

⁽P 4 (x\t X2 ) "f" 9^3 (a^u X₂) xs

Vh (®i, ®>) 4 -f ⁽P* (xi x->) xł

4- Wi (»M *s) »3 «4 i Z2 («1» ®a) V = °>

gdzie

j, iy₂, ... są f u n k c y a 111 i zmienych a;,,^

ce

...... Przecięcie płaszczyzn x₁ = 0,

x₂ =

prostą podwójną powierzchni.

Powierzchnia jest w ogólności klasy 20-ej. Zawiera 16 prostych, prócz prostej podwójnej; ma 64 płaszczyzny trójstyczne, przecinające powierzchnię według dwu stożkowych. Jeden z czterech punktów spotkania tych stożkowych znajduje się na prostej podwójnej, trzy pozostałe zaś są trzema punktami styczności płaszczyzny trój stycznej.

Szesnaście prostych znajdują się parami na jednej płaszczyźnie z prostą podwójną, a więc grupują się wośm par, a każda z tych par spotyka zawsze prostą podwójną.

Mamy tym sposobem 64 pary stożkowych i 8 par prostych; każda para stożkowych względem każdej pary prostych jest taka, że stożkowa pary pierwszej przecina jednę tylko prostą pary drugiej, a druga—drugą.

Główne przypadki szczególne tej powierzchni są następujące :

Jedna z płaszczyzn stycznych w punktach linii podwójnej może być zawsze ta sama; na to miejsce, gdy trzy funkcye <p₂, yj₂, %₂ w równaniu poprzedzającem mają czynnik wspólny. W tym przypadku jedna z 16 prostych powierzchni zlewa się z prostą podwójną.

Obiedwie płaszczyzny styczne w każdym punkcie prostej podwójnej mogą być zawsze jedne i te same; wtedy trzy powyższe funkcye różnią się od siebie tylko czynnikiem stałym.

Punkty prostej podwójnej mogą być wszystkie jednopłasz-czyznowe, wtedy prosta jest prostą ostrzową powierzchni; ma to miejsce wtedy, gdy trzy ostatnie wyrazy dadzą się sprowadzić do postaci

(x₁x₃ + x% x₄) (xa<p₁ 4- x₄ipx),

gdzie <px, yjl są funkcyami liniowemi względem xx i x₂.

Wreszcie może się zdarzyć, że płaszczyzny styczne w punktach prostej ostrzowej są zawsze jedne i te same; ma to miejsce wtedy, gdy trzy ostatnie wyrazy redukują się do jednego z dwu typów: xx²x₃x₄, xx²x₃².

W przypadku, gdy prosta jest ostrzową,

powierzchnia jest klasy 12-ej.

Powierzchnia rzędu 4-go o prostej podwój-nej może mieć aż do 8 punktów podwójnych odosobnionych.

Równanie powierzchni rzędu 4-go z prostą podwójną i czterema punktami podwójnemi można otrzymać w ten sposób: Niechaj będą trzy powierzchnie rzędu 2-go S=0, S'—0, S"= 0 z prostą wspólną; będą one miały jeszcze cztery punkty wspólne, a forma kwadratowa wyrażeń S, n', 8’", r z y równa n a do zera, będzie równaniem ta iej powierzchni.

W tym przypadku cztery płaszczyzny przechodzą przez prostą podwójną i przez każdy z punktów podwójnych, na każdej zaś z płaszczyzn leżą dwie proste powierzchni, przecinające się w punkcie podwójnym.

Równanie powierzchni rzędu 4-go z prostą o d w ó j n ą i 8 punktami podwójnemi jest po-t a c i :

Xo,

ai 1 ’

¹¹ V> i    ®13

x₂,

an

= 0;

1,

au 1

a-2i j "33

t u «j,, a.₂₂, ax2 są formami kwadratowe m i s p ó ł-

rzędnych x₃, a?₄ ; an , a₁₂— formami liniowemi; aVi jest stałą.

Istnieją cztery płaszczyzny, przechodzące przez prostą podwójną i styczne do powierzchni wzdłuż innej prostej, na której znajdują się dwa punkty podwójne.

Ośm punktów podwójnych rozkładają się po cztery na ośm płaszczyzn; przez każdy z nich przechodzą cztery takie płaszczyzny.

■Powierzchnię tę badał Pilic ker (Neue Geom. I, N° 213) w teoryi kompleksów prostych (patrz Rozdz. XIV).

Teoryę powierzchni, o których mowa w tym paragrafie, znaleść można u S a 1 ni o n a-F i e d 1 e r a (1. c. § 335 i nast), z którego spe-cyalnie czerpaliśmy, dalej u K u m m era (1. c. § 5), Olebscha (Math. Ann. I, s. 250). Model gipsowy powierzchni rzędu 4-go z prostą podwójną znajdujemy w cytowanej kolekcyi L. Brilla.

DC/3

CP

Powierzchnia rzymska Steinera

p p

03 CD

l-J

P-.

vO

°' ^02 • ^ i IS! P    o    n    «    p

a'-®    3    ®    ?    *

» P3 M. P 05 ^    *    2    p    O    ⁰⁴

P    œ    N    ⁵³    ^

s°    ®    o

I-S

*■<

^ ‘N © '

• r-i

ej» q ^    p ^

N -U

O • rH

0=

O    ^    m    oS    -r-5    ©

P-i p_f

•O    Ö    ^

•m    P

O    .[sj    ^    O    cc    £,

^    bJD    Ph

M    JP    p

CD

-i

h-i. C. 20 CD CD

• CC

p cCD M.

S»

-O £

Pr⁴

Ul

c+-

ep S" ^ es- N

pi ESI

rTt~

'O

• Jh Ń

<D O -+=

GQ

’J, o ^    P    J/2    l_j

^    p    ct-    • K

B    K    ®

O    CD    O

wierzchni .

Z czterech punktów spotkania dwóch stożkowych, według których płaszczyzna styczna przecina powierzchnię, jeden jest punktem styczności, trzy zaś pozostałe leżą każdy na jednej z trzech prostych podwójnych.

3- j

Powierzchnia Steinera jest k 1 s a stożek styczny, poprowadzony do i j z jaki e g o k o 1 w i e k punktu, jest rzędu G-go.

Powierzchnia ta należy do powierzchni, badanych przez Ku mm er a (Beri. Monatsber. 1862, 1866, 1872), mających cztery płaszczyzny styczne osobliwe, dotykające powierzchni według stożkowej; równaniem tych powierzchni jest

s- — À X, X, X, X₄ = o,

gdzie >8=0 jest kwadryką, zaś Xj=0, X₂=0, X₃—0, X₄=0 są równaniami czterech płaszczyzn stycznych osobliwych.

Jeżeli wyspecyalizujemy odpowiednio formę S względem form X, otrzymamy rozmaite powierzchnie o rozmaitych własnościach; i tak z tego równania ogólnego możemy otrzymać równanie powierzchni Ku mm era o 16 punktach węzłowych (patrz § 3); specyalizując je w inny sposób, otrzymujemy powierzchnię Steinera.

a n i e p post a c i

Steine r

można

[ X,² + xy +- xy + xy - 2 x, x₂

2 XaX₃ - 2 XXj - 2 XjX4 — 2 X₂ X₄ — 2X3 X₄ ]² - 61 X{ X, X₃ X₄ = 0, albo też inaczej (C a y 1 e y):

+ VST +    + i x, = o.

Powie

u u ową w z a j e m-tere m a punkt a-

m i podwójne m i klasy 1-ej, (patrz Rozdz. XI, § 1), t. j. tak z w. powierzchni C a. y 1 e y’a.

Jeżeli za płaszczyzny spółrzędne obierzemy trzy płaszczyzny, na których znajdują się jjo dwie proste podwójne, i jeszcze jednę płaszczyznę, wtedy r ó w n a n i e powierzchni Steinera będzie można przedstawić w postaci:

n p o wier

r-l

rr o

is es

O- cc

CO

N rJQ

X2 ² J'?>² + i£:\ '    ² -j- Xy - X.ź - — 2 £\ X.ź X:i Xi — 0 ,

g d z i e t r z y proste podwójne są krawędziami trój ścian u x₁ = 0, ,/:₂ = 0, x, = 0 (K u ni m e r).

Bardzo interesującą własnością powierzchni Steinera jest własność, odkryta przez W eierst rassa i stosowana przy odwzorowaniu płaskiem powierzchni; wyrażamy ją tak: spółrzę-d n e j e d orodne punktów o wierzchni można wyrazi za pomocą form t ó j k o w y c h kwadratowych.

Cayley i Clebsc najogólniejsza p o w której spółrzęd stawić.

dowiedli następnie, że erzchnia rodzaju ne dają się w ten sposób przed-

rr

to

ero,

Jeżeli wyjdziemy z pierwszej z powyżej podanych postaci równania powierzchni, to będzie można wzory, służące do takiego przedstawienia, wyrazić w ten sposób:

xi = (//i -f- !h -\-y?y ,

^3 = ( - V\ + !h - !h )',    ^4 = (~iJi ~!h + tf₃)²-

Wychodząc z postaci drugiej równania powierzchni, znajdziemy:

x\ = ² y-11h » x-i •= 2//, J/l, x₃ ==. 2 yx y,, xi = yl ² -f y₂² + y₃².

ii i a bez

Przy pomocy tych wzorów można badać odwzorowanie płaskie powierzchni, co uczynili 0 1 e b s c li i inni: p o w i r z daje się wtedy odwzorować jednozna z n punktów wyjątkowych (Clebsc h, Math. Ann. V).

Przez każdy p unkt powierzch n i ecliodzi oo stożkowych. Poza

o er

teinera o w ie z -

n i a m i rzędu 2-go i powierzchniami pros o -linio we mi rzędu 3 - g o, powierzchnia Steinera jest jedyną powierzchnią, mającą taką własność (D a r b o u x, Bull, des seien, math. Il, 1880).

Dwie stożkowe powierzchni Steinera przecinają się tylko w jednym punkcie, a przez dwa punkty przechodzi w ogólności jedna tylko stożkowa.

Na każdej płaszczyźnie przestrzeni jest sześć prostych ściśle stycznych do powierzchni i są cztery proste dwustyczne.

Każda krzywa algebraiczna, znajdująca się na powierzchni, jest rzędu parzystego.

Przez punkt przestrzeni przechodzi dziewięć prostych ściśle stycznych.

Wszystkie przekroje płaskie powierzchni s k r z y w e m i w y m i e r n e m i; i jest to jedyna powierzchnia nieprostoliniowa mająca tę własność (Picard, Crelle C, patrz też Guccia Rend. Pal. 1).

Inną ważną własność tej powierzchni wyraża następujące twierdzenie Kroneckera, udowodnione przez Castel-n u o v o (Rend. Lincei 1894):

Poza p o w i e r c h ni a powierzchnia Stemera j c h n i ą nieprzywiedlną, k z n a- p e w n e g o u kła d u p o w nego przecina według k r z n y c h .

cd a

O-

stoli iowemi o wierz-

Q- ct-

s t je

5 r ą każda j n i e

wy ch przywied 1-

a s z c z y-nieskońc. zo-

Pary płaszczyzn stycznych do powierzchni w punktach prostej podwójnej tworzą inwolucyę, do której należą płaszczyzny, przechodzące przez inne dwie proste podwójne.

Na każdej prostej podwójnej są dwa punkty ostrzowe.

Cztery stożkowe styczności płaszczyzn osobliwych przecinają się po dwie w punktach ostrzowych; też same cztery stożkowe znajdują się na jednej kwadryee, przecinającej proste podwójne w punktach ostrzowych.

Krzywe asymptotyczne powierzchni S t e i-n e r a są krzywemi skośne mi rzędu 4-go g a t u liii u 2-go (C 1 e b s c h, Cremona).

Cztery płaszcz3^zny osobliwe powierzchni są czterema płaszczyznami statecznemi dla wszystkich krzywych asymptotycznych.

Wszystkie krzywe rzędu 4-go asymptotyczne posiadają trzy cięciwy wspólne, schodzące się w punkcie potrójnym powierzchni, a przez każdą z cięciw można poprowadzić do każdej z krzywych dwie płaszczyzny ściśle styczne.

Krzywe asymptotyczne są przecięte na powierzchni nie-

skończenie wielu powierzcliniami stopnia drugiego, ma.jącemi ośm punktów wspólnych.

Każda z czterech stożkowych, wzdłuż których płaszczyzna osobliwa dotyka powierzchni, jest styczną do trzech krawędzi czworościanu płaszczyzn osobliwych; dwie z nich przecinają się na jednej z krawędzi (Beltrami).

Istnieją oo:i kwadryk, przecinających powierzchnię według' czterech stożkowych.

Powierzchnię, o której mówimy, badał Steiner 1838 w czasie pobytu swego w Rzymie, ale nic o niej nie napisał; dopiero K u m-mer w r. 1863 bada ją w rozprawie o powierzchniach rzędu 4-go, zawierających nieskończenie wiele stożkowych, i odkrycie jej przypisuje Steinero w i. Później zajmowali się nią: Sehr ö ter (Beri. Mo-natsber. 1863, Crelle LXIV), Cremona (CrelleLX11I,Rend.Ist. Lomb. 1867), L a m p e (ttozprawa, Berlin 1864), Oayley (Crelle LXIV, Proc. London Math. Soc 111, V, 1873), Cl e b s c li (CrelleLXVII), R e y e (Geom. der Lage Tl, 246) i inni. Sturm (Mat. Ann. III) badał tę powierzchnię, uważając jąjako przypadek szczególny powierzchni klasy 3-ej i tworząc ją przy pomocy pęku kwadryk i prostej punktowej rzutowej względem pęku. Ze względu na własność powierzchni, polegającą na tein, że jest wzajemną z powierzchnią rzędu 3-go o 4 punktach stożkowych, badano ją wielokrotnie wraz z tą drugą powierzchnią, wyprowadzając własności jednej z nich z własności drugiej. Niektóre własności tejże powierzchni i jej wzajemnej znalazł już Be Itr a m i w r. 1863 (Giorn. di Batt. I, Acc. Bologna, X, 1879). Nowszą pracą o powierzchni Steinera jest praca G e r b a 1 d i ego (osobne wydanie, Turyn 1881), w której wyprowadza on wszystkie własności powierzchni z jej najogólniejszego odwzorowania płaskiego przy pomocy form trójkowych kwadratowych.

Do odwzorowania płaskiego specyalnego daje się sprowadzić, jak już zauważyliśmy, i przypadek ogólniejszy (patrz Gerbaldi

1. c. rozdz. IV, str. 41). Dodajemy jeszcze najnowszą rozprawę W a h 1 e n a (Acta math. XIX).

Oayley rozważał przypadki, w których dwie lub trzy linie podwójne zlewają się (Proc. London math. Soc. III) i znalazł, że powierzchnia jest wtedy wzajemną z powierzchnią specyalną rzędu 3-go: x\ x3 xk + (xi + xz) ^'2² = 0,

albo też z powierzchnią

.Xj x₄ -(- x₂- x.A ~j- .r,³ = 0.

We wspomnianej kolekcyi L. Brilla znajdują się modele powierzchni Steinera.

§ 10.

Powierzchnie prostoliniowe rzędu 4-go.

Krawędzią zwrotu powierzchni rozwijalnej rzędu 4-go jest krzywa sześcienna skośna; z powoda ścisłego związku, jaki zachodzi pomiędzy krzywemi skośnemi a ich powierzchniami roz-wijalnemi ściśle stycznemi ( patrz Rozdz. IX), teorya rozwijalnej rzędu 4-go sprowadza się tedy do teoryi krzywych skośnych, o której mówiliśmy w § 2 Rozdz. X-go.

Dodajemy tu następujące spostrzeżenia:

CS

Powierzchnia rozwijalna rzędu 4-go j st w s z e r dzaj u zero, t. j. rodzaj każdego ej zecięcia płaskiego jest zerem.

Jeżeli Xj=0, X., — 0, X., = 0, X₄=0 są równaniami czterech płaszczyzn, to równanie płaszczyzny obwodzącej rozwijalna można napisać w postaci:

A, P'-f 3XP²-f 3 X₃1 -f X₄ == 0,

a równaniem o g ó 1 n e m powie rzc h n i rozwijalnej będzie:

(xL x₄ - x₂ x₃y - 4 (X.y - X, X₉) (X.y - x₂ x₄) = o.

Płaszczyzny, dotykające dwu stożkowych, położonych na różnych płaszczyznach i mających styczną wspólną, obwodzą rozwijałną rzędu 4-go.

Jeżeli dwie kwadryki mają prostą wspólną, wtedy powierzchnia rozwijalna opisana na nich jest rzędu 4-go.

Spółrzędne punktu krawędzi zwrotu wyrażają się przy pomocy wzorów :

Z, : Z, ; X.A : X. = 1 : — t : t- : - t\

Przechodzimy do powierzchni prostoliniowych skośnych rzędu 4-go.

Powierzchnia prostoliniowa s    ś n a r z du

4-go jest zarazem i klasy 4-ej; j e s t r    z a j u z r o

albo rodzaju jeden. W pierwszym przypadku ma krzywą podwoju skośną rzęd 3 - g zniekształconą lub nie w szczególn ści r st potrójną), a jej roz wij In    d w usty oz na es

klasy 3-ej ;    w p r z ) p a d u    r u g i m na k r z w

podwójną rzędu 2-go z n i e k s z t a ł c o n ą, a j e j o w i j a 1 n a dwustycznajest klasy 2-ej.

Cremona i Cayley rozklasyfikowali te powierzchnie na 10 gatunków, z których dziesięć gatunków należy do rodzaju 1, dwa zaś do rodzaju 0

a; Po wierzchnie z prostą potrójną. Na prostej potrójnej są cztery punkty, w których dwie z płaszczyzn stycznych zlewają się.

O er;

|-c o

O •'-5

CD kD

Cl" cP

Równanie powierzchni daje się sprowadzić (z wyjątkiem przypadku IY, patrz niżej) do postaci:

kxx²x₂² = xxix₃{ax₁-\-bx₂) -f- x₂lx, (cx₁-\-dx₂),

si dwie płaszcz y-

o.

rych zlewaj

O⁴ cc

g- d z i e xx = 0, *, = 0 j est prostą podwójną; punkt xt =x₂ — x₃ =0 i punkt xx= x₂ — x₄=0 są dwoma punktami, w

zny styczn xt— 0, x₂ = 0 s pł szczyznami styczne mi podwójnemi w tych punktach.

Przez każdy z czterech punktów, mających wyżej wskazaną własność, przechodzi prosta (tworząca osobliwa), w której punktach płaszczyzna styczna do powierzchni jest zawsze jedna i ta sama.

Powierzchnia jest zawsze rodzaju zero.

Odróżniamy tu cztery podprzypadki.

Rozdział XII. — § 10

I. (8-y gatunek Cremony, 9-y gatunek Ca y-ley’a). Wszystkie proste powierzchni spotykają prostą potrójną R. Trzy tworzące, przechodzące przez punkt prostej R, nie znajdują się na jedne j płaszczyźnie a określają, trzy płaszczyzny, których obwiednia jest rozwijalną klasy 3-ej i rzędu 4-go, będącą rozwijalną dwustyczną do powierzchni.

r o s tej, po-s t ą stałą

rCD

rozwij a 1 -

Po wierze nia ta jest miejscem ruszającej si tak, że spotyka i dotyka w dwóch punktach dan n e j r z ę d u 4-go Równanie powierzchni jest tai k i e, j a k wyżej napisane, przyczem k jest różne od zera.

II. (9-y gatunek Cremo n y, 3-i C a y 1 e y’a ). Jest tu prosta Ii' powierzchni, nie spotykająca prostej potrójnej R. Każda płaszczyzna, przechodząca przez R\ zawiera trzy tworzące, schodzące się w punkcie prostej R, i w każdym punkcie prostej R krzyżują się tworzące, położone na jednej płaszczyźnie z prostą R'\ z każdego punktu tej prostej wychodzi jedna tylko tworząca.

Powierzchnia ta jest miejscem prostych, łączących odpowiednie punkty odpowiednio-ś c i rzutowej (1.1) pomiędzy punktami prostej U a punktami krzywej sześciennej płaskiej z punktem podwójnym O: odpo wiednieści. usta-

N-

n wio n a .4

ci ennej odpowiada punkt spotkania prostej iO z krzywą sześcienną. Równanie powierzchni otrzymujemy z powyższego, kładąc k= 0.

w e n s os st j II

e punktowi spotka-pła z zyzną krzywej sześ-

Prosta Ii ' jest obwiednią płaszczyzn trój stycznych powierzchni, liczona trzy razy zastępuje powierzchnię rozwijalną dwustyczną.

III. (3-i gatunek Cremony, 12-y C a y 1 e y’a). Jeżeli przez każdy punkt prostej R przechodzą trzy tworzące, z których jedna zlewa się z _ß, wtedy rozwijalną dwustyczną tworzy się z prostej R i ze stożka kwadrykowego.

Powierzchnia ta jest miejscem prostych, łączących punkty odpowiednie prostej Ristoż-kowej O, będących w odpowiedniości (1, 2), takiej, że każdemu punktowi prostej R odpowiadają dwa punkty stożkowej C i każdemu punktowi tej ostatniej odpowiada jeden punkt prostej przy warunku wszakże, a b y prosta i stożkowa miały punkt wspólny, który nie jest punktem zjednoczonym w tej odpowiedniości. Równanie powierzchni otrzymujemy z równania ogólnego, kładąc ad — bc, t a k, że dwa wyrazy strony drugiej otrzymują czynnik wspólny ax ₁ + bx₂.

IV. ( 10 - y gatunek Cremony, 6 - y C a y 1 e y’ a) . Jeżeli przez każdy punkt prostej li przechodzą trzy tworzące, z których dwie zlewają się z prostą li, wtedy rozwijalna dwu-styczna tworzy się z tej prostej R, liczonej trzy razy. Na prostej R są dwa punkty takie, że wszystkie trzy tworzące, przez nie przechodzące, zlewają się z prostą R.

Powie rzch 11 ia ta tworzy się podobnie, jak w przypadku II, tylko że d w a. punkty A i O w i n-

a n i e powierzchni daje t a c i :

11 y się z 1 s i ę s p r o w

CÖ

Ró i ć do p

ć.

Î»

xx - x.>- — (axx- -f b xx x., -|- c.r₂²) (x₁ x₃ -j- x.₂ xt ).

b. Powierzchnie, których linią podwójną jest krzywa skośna rzędu 3-go nie zniekształcona. Jeżeli powierzchnia rzędu 4-go ma, jako krzywą podwójną, krzywą skośną, wtedy jest ona w ogóle prostoliniową; wyjątek jedyny stanowi przypadek, w którym linia podwójna jest zbiorem trzech prostych, przez jeden punkt przechodzących (Powierzchnia Stmnera, § 9).

Jeżeli krzywa podwójna jest krzywą sześcienną nie znie-kształconą, wtedy należy odróżnić tylko dwa przypadki.

V. (1-

gatunek Cremony, 10 - y C a y 1 e *a). Po wierze nia jest miejscem prostych, ą-czących punkty odpowiednie dwóch stożko-

20

Pascal Eep. II.

w y c li, położonych jakkolwiek w przestrzeni na różnych płaszczyznach i tak, że pomiędzy punktami jednej i d r u gie j zachodzi odpowiedni o ś ć dwu jednoznaczna (1.1)

Obwiednią płaszczyzn dwustycznych jest rozwijalna ogólna Masy 3-ej i rzędu 4-go. Istnieją cztery tworzące osobliwe; w ich punktach płaszczyzna styczna jest stała.. Krzywa sześcienna skośna ma cztery punkty ostrzowe; przez każdy z nich przechodzi jedna z tworzących osobliwych.

Powierzchnia jest rodzaju zero; równanie jej daje się sprowadzić do postaci:

anX{* + a₂₂X₂² -j- a₃₃V¹,²—r 2^23X3X3 -f- 2a3lX₃X₁-\-2ai2X₁X₂ — O,

gdzie:

Powierzchnię można też określić jako iniejsce prostych, przecinających w dwóch punktach krzywą sześcienną skośną i należących do kompleksu liniowego ogólnego (patrz Rozdz. XIV); albo jako miejsce prostych, przecinających w dwóch punktach krzywą sześcienną skośną, a w jednym punkcie stożkową, mającą dwa punkty wspólne z krzywą sześcienną; albo wreszcie jako miejsce prostych kompleksu liniowego, będących przecięciami dwóch płaszczyzn ściśle stycznych krzywej sześciennej skośnej.

VI. (7-y gatunek Cremony, 8-y C a y 1 e y’a). Jeżeli przyjmiemy, że kompleks liniowy, o którym mowa wyżej, jest zbiorem prostych, przecinających prostą stalą, otrzymamy gatunek VI-y.

st przecinaj sz ścienną sk s t e j danej jR.

CD CD

Powierzchnia ta jest utworzona przez pro-e w wóch punktach krzywą ną i opierające się na pro

Prosta, liczona trzy razy, przedstawia rozwijalną dwu-

styczną.

Powierzchnia jest rodzaju zero.

Powierzchnia może być uważana jako miejsce prostych, łączących odpowiednie punkty prostej H i krzywej sześciennej płaskiej z punktem podwójnym, jeżeli pomiędzy punktami prostej i punktami sześciennej zachodzi odpowiedniość dwujedno-znaczna (1, 1).

kó wnanie powierzchni jest takie jak w przypadku poprzedzającym, przy założeniu wszakże, że pomiędzy spółczynnikami zachodzi związek:

«"•22 H⁻ ~    u13    4 tt23 aV3 H" aUa‘S3 ⁼⁼ ^

c. Powierzchnie, których linią podwójną jest stożkowa oraz prosta ją przecinająca. Powierzchnie te są rodzaju zero. Odróżniamy tu dwa przypadki.

VII. (2 -g i gatunek Cremony, 7 - y Cayle y a). Powie r c nia ta jest miejscem prostych ł ą -unkty odpowiednie stożkowej G , będących wodpowiedniości (2, 1)

c z ą c c i p r o tej

i nie mających żadnego punktu wspólnego.

Prosta R jest prostą podwójną. Rozwijalna dwustyczna jest utworzona ze stożka kwadrykowego i z prostej R. Równanie o w i e r z eh ni d aj e s i ę zawsze sprowadzić d o p o s

(x{x., — r/;₂²j- -j-    {xtx.A — x,/) + x₄- (axxx₂ -j- bx^) = 0,

gdzie b jest różne od zera; stożkową podwójną jest stożkowa na płaszczyźnie xi = 0, a prostą podwójną jest ą = a:₂=t₍

Powierzchnię można uważać też jako miejsce prostych, łączących punkty odpowiednie stożkowej Hi prostej R, będących w odpowiedniości (2, 2) i przecinających się wzajemnie, byleby punkt ich przecięcia odpowiadał samemu sobie. Wtedy stożkowa H i prosta R są krzywemi podwójnemi.

VIII. (4 - y gatunek Cremony, 11-y Cayle y’a). Jeżeli przyjmiemy, że w poprzednio podanym sposobie tworzenia stożkowa Ci prosta R spotykają się i że punkt ich s potkania, jako punkt sto ż k owej C, zlewa się z jednym z punktów, odpowiadających mu na prostej R, wtedy mieć będziemy powierzchnię gatunku VIII.

Rozwijalną dwustyczną jest prosta R, liczona trzy razy. Stożkowa C jest stożkową podwójną powierzchni (co niema miejsca w przypadku VII).

k ł a-

Równanie powierzchni otrzymujemy z ró-w przypadku poprzedzającym,

d ą c b— 0.

Na stożkowej jest jeden punkt ostrzowy, dwa zaś inne są

na prostej.

d. Powierzchnie, których linię podwójną stanowią trzy proste. Powierzchnie są rodzaju zero. Odróżniamy tu dwa przypadki.

IX. (5-y gatunek Cremony, 2 - g i Cayley’a). Jedna z trzech prostych przecina dwie inne, które ze sobą nie przecinają się. Przypadek ten można uważać jako pochodny przypadku c, gdy stożkowa podwójna rozpada się na dwie proste różne.

Powierzchnia jest miejscem prostych, łączących punkty odpowiednie prostych skośnych R,R', będących w odpowie dni ości (2, 2), przy warunku, że każdy z dwu punktów, w których R i R‘ są prze cięte inną prostą R", odpowiada dwom punktom zjednoczonym na drugiej prostej.

Na każdej z prostych R, R' są dwa punkty ostrzowe. Roz-wijałna ściśle styczna składa się z trzech prostych R, R', R". Przez każdy punkt prostej R przechodzą dwie tworzące, których płaszczyzna przechodzi przez //'; i podobnie, przez każdy punkt prostej R! przechodzą dwie tworzące, których płaszczyzna przechodzi przez prostą li.

Jedynie płaszczyzny, przechodzące przez R", przecinają powierzchnię według właściwych stożkowych, i jedynie punkty prostej R" są wierzchołkami stożków kwadrykowych opisanych.

Powierzchnię daną można też otrzymać jako miejsce prostych, opierających się na dwóch prostych skośnych /i, IV i na stożkowej C, nie mającej punktów wspólnych z prostemi;

albo jako miejsce prostych, opierających się na dwóch prostych H,R' i na krzywej sześciennej, przecinającej w jednym punkcie każdą z prostych;

albo jako miejsce prostych, łączących punkty odpowiednie dwóch stożkowych, będących w odpowiedniości (1, 1), byleby tylko punktom, w których jedna z nich przecina prostą przecięcia płaszczyzn dwóch stożkowych, odpowiadały punkty, w których druga stożkowa przecina tęż samą prostą, będącą tym sposobem prostą podwójną;

albo wreszcie jako miejsce prostych, łączących odpowiednie punkty prostej R i stożkowej 6’, nie mających punktów wspólnych i będących w odpowiedniości (1, 2), byleby tylko punktowi r prostej R, w którym ta prosta spotyka płaszczyznę stożkowej C, odpowiadały na stożkowej dwa punkty r\ r", leżące na jednej linii prostej z punktem r. Ta prosta jest wtedy prostą podwójną R" poprzedzających konstrukcyj; prosta K spotyka płaszczyznę stożkowej w punkcie 0, przez który przechodzą wszystkie cięciwy stożkowej, łączące pary punktów, odpowiadających jednemu i temu samemu punktowi prostej R.

Równanie powierzchni daje się sprowadzić do postaci:

xL2 xł    XiX.ix<ixi -j- x² (axxx₂ -[- bx₃²) — 0:

trzema jej pros te mi podwój nemi są:

xx — 0, xx — 0; x.A = 0,    x±— 0; xt — 0, x₂ = 0.

pr ?r

p u n

wspólnym wszystkim cięciwom, łączącym pary punktów, odpowiadających te mu samemu punktowi R.

X. (6-y gatunek Cremony, 5-y gatunek Cay-1 e y’a). Załóżmy w szczególności, że prosta H" zlewa się z prostą R; wtedy otrzymujemy inny gatunek powierzchni prostoliniowych. Można go określić jak gatunek, otrzymany przy pomocy o s t at n i e j konstrukcyi w p r z y-u po rzedzającym, przy założeniu, że t r z 1 wa się z punktem 0, t. j. z punktem

Można jeszcze określić powierzchnię sposobem następującym: ustanówmy odpowiedniość (1, 1) pomiędzy punktami prostej U a płaszczyznami, przechodzącemi przez R; te płaszczyzny przecinają stożkową C w dwóch punktach, które, połączone z odpowiednim punktem‘prostej R} dają tworzące powierzchni.

Rozwijalną dwustyczną przedstawia prosta H, liczona dwa razy, i inna prosta A⁷, spotykająca prostą U w punkcie, w którym R spotyka płaszczyznę stożkowej C.

Też same proste przedstawiają i krzywą podwójną.

Równanie powierzchni daje się sprowadzić do postaci:

(x₂ — axx )²Mo -f- (£c₂ x4 — xixs) (x2 — axi ) u\ 4- ty₂ «4 — xi x?)~ — 0?

o r mami stopni 2, 1 względem wojną R' j e s t :

s-crq

d z i e m₂, m, s ą , x₂; prostą po

pa l-K

a x₄ — x.A — 0,

a prostą podwójną R, mającą b y c liczoną dwa razy, jest x₁ — 0, x₂ — 0.

Przecięcie powierzchni jest w ogólności krzywą rzędu 4-go z węzłem stycznościowym w punkcie, w którym prosta R przecina płaszczyznę sieczną.

e. Powierzchnie prostoliniowe, których liniami podwój-nemi są dwie proste. Powierzchnie te są rodzaju 1. Rozróżniamy tu dwa przypadki:

na krzywej dwoma punktami podwój-z których każda zez jeden punkt podwójny.

'-s

XT. (11-y gatunek Cremony, 1-y Cayley’a), Dwie proste nie spotykają się. Powierzchnia jest miejscem prostych, opierających się płaskiej rzędu 4-go nemi i na dwóch p ostych przechodzi pr

Powierzchnia jest też miejscem prostych, łączących odpowiadające sobie punkty prostych R, A", będącjmh w odpowied-niości (2, 2).

Z każdego punktu prostej li wychodzą dwie tworzące, położone na płaszczyźnie, przechodzącej przez prostą R\ i odwrotnie.

Rozwijalna dwustyczna składa się z prostych /»', R'.

Powierzchnia uważana daje też utworzyć się jako miejsce prostych, opierających się na dwóch prostych R, R' i na krzywej sześciennej płaskiej ogólnej, którą każda z prostych R, R' spotyka w jednym punkcie.

Równanie ogólne tej powierzchni daje się sprowadzić do postaci:

x₁² (ax?i² + 2bx.,xA -f- cxĄ ²) -f- 2x₁x₂ (a'x?l² -f- 2b'x₃oci -f-    )

—(- x₂² (anx₃²-\- 2b"x₃xi -(- c"xi ²) == 0;

p r o s t e m i podwój nemi są: xx — 0, :r₂ =0; a?₃=0, x±=0. ÎSI a każdej z prostych podwójnych są cztery punkty

ostrzowe.

VII. (12-y gatunek Cremony, 4-y Cayley’a). Przyjmijmy, że dwie proste podwójne zlewają się. Powierzchnię można tedy otrzymać z poprzedzającej, wyobrażając sobie, że krzywa płaska rzędu 4-go ma węzeł stycznościowy, powstały ze zjednoczenia w jeden dwu punktów podwójnych.

Powierzchnia jest miejscem prostych, łączących odpowiadające sobie punkty prostej i. krzywej sześciennej płaskiej, mającej punkt 0 wspólny z prostą i będącej w odpowiednio-ś c i (2, 1 ) z prostą; mianowicie od powie dniość ta ustanowią się w sposób następujący: niechaj prosta punktowa na prostej będzie rzutową względem pęku promieni z wierzchołkiem w punkcie Ö, i niechaj punktowi O prostej odpowiada styczna w punkcie O do krzywej; dwa punkty krzywej, które odpowiadają wtedy jednemu punktowi prostej, będą temi dwoma punktami, w których odpowiedni promień przecina krzywą sześcienną.

Krzywą podwójną powierzchni jest prosta, liczona dwa razy; taż sama prosta, dwa razy liczona, jest jej rozwijalna dwustyczna.

Równanie powierzchni daje się tak napisać: ux -j- [X.₂X± — XXX.^ u₂ -j- (x₂x₄ — X, X., )- = 0,

gdzie u₄, u₂ są formami stopni 4, 2 względem xx i x₂, a prostą podwójną, liczoną dwa razy, jest xx —0, x₂ = 0.

Powierzchniami prostoliniowemi rzędu 4-go zajmowali się Chasles (Compt. rend. 1861) i O a y 1 e y, który w rozprawie pierwszej o nich (Pliil. Trans, 1864) odróżnia tylko 8 gatunków; Cre m o n a (Mem. di Bologna VTT.I, 1868), przy pomocy metod geometryi czystej, uzupełnił klasyfikacyę do 12 gatunków; a w roku następnym C a y 1 e y (Phil. Trans. 1869), podjąwszy na nowo to badanie, znalazł 12 gatunków C r e m o n y. Badanie powierzchni prostoliniowych ze stanowiska rzeczywistości pewnych elementów podjął R o h n (Math. Ann. XXIV, XXYII1), który traktował i inne analogiczne problematy, np. zagadnienie, odnoszące się do powierzchni Kummera(patrz Rozdz. XII § 3). O powierzchniach prostoliniowych rzędu 4-go z trzema prostend podwójnemi pisał niedawno Segen (Crelle JXII). Główne wyniki badań C a y 1 e y’a znajdują się u S a 1 m o n a-Fiedlera (1. c.|. Kolekcya L. Brilla zawiera całą seryę model powierzchni prostoliniowych rzędu 4-go.

Oprócz wymienionych przez nas, badano jeszcze następujące powierzchnie rzędu 4-go :

Powierzchnie rzędu 4-go z punktami potrójnemi (Lampe, Berlin 1864, R o h n, Math. Ann. XXIY); powierzchnie rzędu 4-go ze skończoną liczbą prostych (S t u r ni, Math. Ann. IV, S c h u r, Math. Ann. XX); cztery powierzchnie rzędu 4-go wymierne (C r e m o n a, Collect, math. 1881; Not h er (Math. Ann. XXXIII) i t. d. Co się tyczy tych ostatnich, to N o e t h e r dowiódł, że są to jedyne powierzchnie rzędu 4-go wymierne, pozbawione krzywych wielokrotnych.

ROZDZIAŁ XIII.

POWIERZCHNIE RZĘDU WYŻSZEGO NIŻ CZWARTY. POWIERZCHNIE

PROSTOLINIOWE.

y/.

Powierzchnie rzędu 5-go nieprosio/iniowe.

Pomiędzy badanemi dotąd powierzchniami rzędu 5-go jedna z najbardziej godnych uwagi jest powierzchnia, zawierająca k r z y av ą podwójną rzędu 5-go; Oto jej własności główne.

Krzywa rzędu 5-go, podwójna dla powierzchni, posiada punkt potrójny, który jest taki rn ż e punktem dla powierzchni.

Powierzchnia posiada 10 prostych, które są cięciwami krzywej podwójnej.

Konfigliracya tych 10 prostych jest ta sama, co konfigura-cya 10 prostych, które pozostają z 16 prostych powierzchni rzędu 4-go ze stożkową podwójną, jeżeli wyłączymy jedne prostą i pięć spotykających ją prostych, albo —co wychodzi na jedno— konfiguracya ta jest ta sama, co konfiguracya 10 prostych, które pozostają z 27 prostych na powierzchni rzędu 3-go, jeżeli wyłączymy z nich dwie proste skośne i piętnaście innych, spotykających jednę lub drugą z tych dwóch prostych. Stąd:

Każda z dziesięciu prostych spotyka trzy inne⁻ te dziesięć rozmieszczają się po dwie na

15 płaszczyznach i spotykają sięwl5punk-ktach; przez każdą prostą przechodzą trzy płaszczyzny; na każdej z tych płaszczyzn jest pięć punktów spo kania pr s ych i przez każdy z tych punkt w przeć o zi pięć płasz

Cb et-

czyzn.

Istnieje 5 czwórek skośnych prostych, t. j. zbiorów po 4 proste, z których żadne dwie nie spotykają się.

Powierzchnia daje się odwzorować na płaszczyźnie.    j

Na krzywej podwójnej jest 8 punktów ostrzowych.

Jest oczywistem, iż na powierzchni istnieje 10 układów krzywych rzędu 4-go skośnych, które są przecięciami powierzchni z płaszczyznami, przechodzącemi przez każdą z 10 prostych.

Każda krzywa układu spotyka w dwóch punktach stałych krzywą podwójną; są to te same dwa punkty, w których prosta, odpowiadająca układowi krzywych, spotyka krzywą podwójną; krzywa rzędu 4-go spotyka nadto krzywą podwójną w trzech punktach, które są naturalnie punktami podwójnemi dla krzywej rzędu 4-go.

W każdym układzie są dwie krzywe, dotykające prostej, której ten układ odpowiada; płaszczyzny tych dwóch krzywych są płaszczyznami stycznemi statecznemi; punkty styczności są punktami parabolicznemu

Dwie krzywe rzędu 4-go, należące do dwóch układów różnych, mają 4 lub 3 punkty wspólne, stosownie do tego, czy proste, którym odpowiadają te dwa układy, przecinają się albo nie.

Istnieje pięć układów stożkowych na powie r z c li n i, odpowiadających pięciu czwórkom skośnym prostych ; mianowicie stożkowa jednego układu spotyka cztery proste jednej czwórki i nie spotyka sześciu prostych pozostałych.

Każda stożkowa spotyka krzywą podwójną w czterech punktach; dwie stożkowe tego samego układu nie spotykają się; dwie stożkowe różnych układów spotykają się w ogóle w jednym punkcie.

posiada w ogóle 35 płaszczyzn t r ó j s t y c z n y c h; z nich 20 płaszczyzn p r z c i n a powierzchnię według dwóch stożkowych i p r o s t e j, i 15 płaszczyzn według dwu prostych i kr y w j sześciennej. Przez każdą prostą o w ie z h ni przechodzą dwie płaszczyzny a t u n u pierwszego i trzy gatunki drugiego.

Powierzchnia

O CD

Ph tL

Główne liczby charakterystyczne dla powie r z*c h n i są następujące ( por. Rozdz. IX, ^ 1) :

a (rząd stożka opisanego, i t.d.) = 10, <5 (liczba tworzących podwójnych tego stożka) — 12, * (liczba tworzących zwrotu stożka) = 18. n' (klasa powierzchni) — 12, // (klasa rozwijalnej dwustycznej) = 25, r/ (klasa rozwijalnej płaszczyzn dwustycz-nych) = 24, o' (rząd krzywej parabolicznej) — 20.

Przez punkt powierzchni przechodzą 4 styczne podwójne i 12 prostych ściśle stycznych.

W każdej płaszczyźnie jest 15 prostych ściśle stycznych i 20 prostych dwustycznych. Pomiędzy stycznemi w punkcie powierzchni są cztery, które dotykają jej i gdzieindziej.

Konstrukcya rzutowa powierzchni jest nastę-

puj ąca :

Jeżeli połączymy odpowiadające sobie punkty w dwóch układach płaszczyzn homograficznych i znajdziemy punkty spotkania prostych łączących z płaszczyznami wiązki wzajemnej względem tych płaszczyzn to otrzymamy powierzchnię; jej punktem potrójnym jest środek wiązki (Del Re).

O powierzchniach, których własności wyżej podano, mówią C 1 e b s e h (Math. Ann. III) i Cre m o n a (tamże IV); szczegółowiej badał je S t u r m (tamże IV), i jej to poświęcił pracę premiowaną C a p o r a 1 i (Annali di mat. VII). Pewien gatunek powierzchni, będący miejscem punktów styczności płaszczyzn, poprowadzonych z punktu stałego do kwadryk spółogniskowych, badał Darboux (Bull, des sciences math. 1871); powierzchnia ta ma własność, że 6 jej prostych przechodzi przez punkt potrójny. Inne prace o tych powierzchniach ogłosił Del Re, któremu zawdzięczamy powyższą konstrukcyę rzutową. (Acc. Napoli 1886, Rend. Lincei 1890, Acc. Torino 1893).

Inną powierzchnią rzędu 5-go, badaną jak poprzednia, spe-cyalnie przy pomocy odwzorowania płaskiego, jest powierzchnia z krzy wą podwójną rzędu 3-go.

Powierzchnia ta ma 11 pros ty cli, z których żadne dwie nie przecinają się, a które są cięciwami krzywej sześciennej podwójnej; zawiera nadto 55 stożkowych, z których każda przecina w jednym punkcie dwie z powyższych prostych. Dwie stożkowe przecinają się lub nie przecinają stosownie do tego, czy pary prostj^ch, do których należą, nie mają prostej wspólnej lub mają taką prostą.

Powierzchnia ma 220 płaszczyzn trój stycznych, które po 20 przechodzą przez każdą prostą powierzchni; ma dalej 55 płaszczyzn trój stycznych, które są płaszczyznami, prze-chodzącemi przez 55 stożkowych; ma wreszcie i inne płaszczyzny trój styczne, przecinające powierzchnię według krzywych rzędu 5-go niezniekształconych.

Przez prostą powierzchni przeprowadźmy pęk płaszczyzn: każda z nich przecina powierzchnię jeszcze według krzywej rzędu 4-go płaskiej, przecinającej prostą w dwóch punktach stałych i w dwóch ruchomych; te ostatnie tw rzą inwolucyę. Są dwie płaszczyzny szczególne, dla których krzywa rzędu 4-go jest styczna do prostej. Dwa punkty stałe spotkania krzywej rzędu 4-go z prostą są punktami, w których prosta przecina krzywą sześcienną podwójną.

Na sześciennej podwójnej znajduje się 10 punktów ostrzowych powierzchni.

C 1 e b s c li ('Math. Ami. I) badał tę powierzchnię, rozpatrując jej odwzorowanie płaskie; potem zajmował się nią Sturm (tamże

IV); ogłosił o niej prace Del Re (Lincei 1892—93, Acc. Modena IV, 1893).

Powierzchnię rzędu 5-go z krzywą rzędu 4-go podwójną gatunku 1-go badali C 1 e b s c li (Gótt. Abh, XV, Math. Ann III), Noe-ther (Math. Ann. III), Stur m itamże IV); o powierzchni rzędu 5-go

z prostą podwójną pisał 0 r e m o n a w rozprawie „Trasformazione birazionale dello spazio“ (Ist. Lomb. 1871), a później Del Re (Lincei 1891 ). Powierzchnię rzędu 5-go z dwiema prostemi skośnemi badał C 1 e b s e h (Math. Ann. I) przy pomocy odwzorowania płaskiego.

y/j

to

Powierzchnie rozw/ja/ne rzędu 5-go.

Powierzchnia roz wijalna rzędu 5- go i klasy

4-ej posiada tworzącą przegięciową i krzywą podwójną rzędu 2-go.

i-.. NI

Jedno jej przecięcie płaskie jest zawsze od aj u zero i dla tego powierzchnia jest róża u z e r o.

Krawędzią zwrotu powierzchni jest krzywa skośna rzędu 4 -go gatunku 1-go z punktem ostrzowym, potrójnym dla powierzchni.

Powierzchnia jest rozwijalną opisaną na dwóch kwaclry-kach, mających styczność stateczną w punkcie.

Powierzchnia rozwijalna rzędu 5-go jest obwiednią płaszczyzn stycznych, wspólnych dwóm stożkowym, mającym punkt wspólny, i takim, że jedna z nich jest styczna w punkcie wspólnym do przecięcia płaszczyzn dwu stożkowych (C r e m o n a).

Każda tworząca powierzchni spotyka inną, którą Cre-m ona nazywa sprzężoną z pierwszą; miejscem punktów spotkania dwu tworzących sprzężonych jest naturalnie stożkowa podwójna K. Nazywamy podobnież sprzężonemi punkty, w których dwie tworzące sprzężone dotykają krzywej ostrzowej C, a płaszczyznami sprzężonemi nazywamy płaszczyzny styczne do rozwijalnej wzdłuż dwu tworzących sprzężonych.

Wszystkie proste, łączące dwa punkty sprzężone krzywej rzędu 4-go skośnej, przechodzą przez jeden punkt; jest to punkt (7, w którym tworząca przegięciową rozwijalnej przecina płasz-

Tworzącą przegięciową przecinają pary płaszczyzn spizężo-nych według par punktów, będących w inwolucyi, której punktami podwójnemi są: punkt B, t. j. punkt styczności krzywej rzędu 4-go i tworzącej przegięciowej, oraz punkt C, w którym taż prosta przecina płaszczyznę ściśle styczną do krzywej rzędu 4-go w punkcie A.

ezyznę ściśle styczną krzywej rzędu 4-go w punkcie statecznym A; wszystkie te proste są tworzącemi stożka kwadrykowego S.

Płaszczyzna, zawierająca dwie tworzące sprzężone, jest styczna do tego samego stożka kwadrykowego S. Prosta przecięcia dwóch płaszczyzn sprzężonych jest zawsze styczna do stożkowej podwójnej K, a więc znajduje się na płaszczyźnie stałej

Punkty sprzężone na krzywej rzędu 4-go są sprzężonemi harmonicznie względem wierzchołka stożka kwadrykowego S (o którym mowa wyżej ) i płaszczyzny krzywej stożkowej podwójnej K. Własność analogiczna zachodzi dlapłaszczyzn^sprzężonych.

Przez stosunek anharmoniczny czterech punktów krzywej rzędu 4-go skośnej rozumiemy stosunek anharmoniczny czterech płaszczyzn, przechodzących przez te cztery punkty i przez prostą, łączącą punkt stateczny A krzywej rzędu 4-go z punktem/), w którym tworząca rozwijalnej, przechodząca przez punkt A, przecina płaszczyznę styczną do rozwijalnej wzdłuż tworzącej

przegięciowej.

Podobnie, stosunkiem anharmonicznym czterech płaszczyzn stycznych powierzchni rozwijalnej nazywamy stosunek anharmoniczny czterech punktów, w których te płaszczyzny styczne przecinają prostą, łączącą punkt B styczności krzywej rzędu 4 go i tworzącej przegięciowej, z punktem C, w którym ta tworząca przecina płaszczyznę ściśle styczną w punkcie A Mamy tedy:

Stożkowa podwójna jest obwiednią płaszczyzny, przecinającej krzywą skośną w czterech punktach, tworzących grupę ró wnoan harmoniczną.

Stożek kwadrykowy 8 jest miejscem punktu, z którego można do rozwijalnej poprowadzić cztery płaszczyzny styczne, stanowiące grupę równoanharmoniczną.

Miejscem punktu, z którego można poprowadzić cztery płaszczyzny styczne harmoniczne do rozwijalnej, jest powierzchnia rzędu 3-go i klaty 4-ej.

Obwiednią płaszczyzny, przecinającej krzywą rzędu 4-go skośną w czterech punktach harmonicznych, jest powierzchnia rzędu 4-go i klasy 3-ęj.

Niechaj X₁ = 0, X₂ = 0, X₃ = 0, X₄=0 będą równaniami czterech płaszczyzn; równanie rozwijalnej rzędu

5-go daje się napisać w postaci:

(S c h warz)

Xt³ X₄² — 18 Xj² X₃ X₄ -f 54 X, X₂² X₃X₄ + 81 X₄ X₃4 - 27 Xa*.X₄ — 54 X₂² X₃ ⁸ = 0;

X—0 jest płaszczyzną stateczną; punkt X₄=X₂ = X₃ - O punktem potrójnym powierzchni, t. j. punktem ostrzowej krzywej zwrotu; tworzącą przegię-cową jest prosta X₃ = X₄ = 0, stożkową podwójną: X₂ = 0, X, X— 9X₃² = 0.

s:

Płaszczyzna styczna do powierzchni wyraża się w

Xy P -f 4Z,    -|- 6 X, P -f X₄ = 0 ,

gdzie t jest parametrem dowolnym; płaszczyzna, zawierająca dwie tworzące, jest:

XxP - 6 X₃ ź² — 8X₄ = 0,

X, X₄ — 3 X3² = 0.

a stożkiem, obwiedzionym przez tę płaszczyznę

Płaszczyzna

Xj 3X₂< + 3X, = 0

przechodzi przez tworzące rozwijaln ej i obwodzi stożek kwadrykowy

3 X₂² — 4X₄ X₃ — 0,

na którym znajduje się i krzywa rzędu czwartego, będąca przecięciem dwóch ostatnich stożków, mających wspólną płaszczyznę stycz-n ą X₁ = 0; wierzchołek drugiego stożka znajduj e się n a pierwszym stożku, t, j. prosta łącząca wierzchołki, jest tworzącą pierwszego stożka.

X₅ punktu krawędzi

Spółrzędne Xx, X₂, X zwrotu wyrażają się wzorami:

X₁ : X₂ : Xa : X₄ = 3 : — 21 : P : — t*.

Rozwijalnemi rzędu 5-go zajmowali się: C a y 1 e y (Gamb. J. V, 1850, Quart. J. 1863), C Ii a s 1 e s (Comp. rend. 1862, str. 317, 418, 715), Cr e m ona (tamże, str. 604), Schwarz (Grelle LXIV). Analityczne dowody twierdzeń Cremony dają d’Ovidio i Dino (Giorn. di Batt. III).

•//.

co

Powierzchnie prostoliniowe rzędu 5-go.

Powierzchnie prostoliniowe skośne rzędu 5-go mogą być rodzajów: 0, 1 i 2.

Powierzchnie rodzaju zero

zawieraj ą

c o n ą

dzaju 2 zawierają krzywą podwójną 4-go zniekształconą.

Schwarz (C r e 11 e LXVTI) rozklasyfikował te powierz-

wszystkie krzywą podwójną rzędu 6 - g o z n ie-kształconą lub niezniekształconą, przyczem prostą poczwórną uważamy jako 6 prostych podwójnych, zlewających się, a więc jako specyalne zniekształcenie krzywej podwójnej rzędu 6-go. Powierzchnie rodzaju 1 zawierają krzywą podwójną rzędu 5-go zniekształ-1 u b niezniekształconą; powierzchnie ro-

rzędu

ełmie na 10 gatunków r o d z aj u 0, cztery gatunki rodzaju 1 i jeden gatunek rodzaju 2.

Powierzchnie rodzajów 0 i 1 zawierają układ nieskończony krzywych płaskich rzędu 3-go, wyjąwszy te powierzchnie rodzaju zero, zawierające prostą kierowniczą, przez której punkty przechodzi jedna tylko inna tworząca.

Powierzchnie prostoliniowe skośne rodzaju zero powstają j e-dnym z następujących dwóch sposobów: 1) Ustanawiany odpo-wedniość d wujednoznaczną pomiędzy punktami prostej a punktami krzywej rzędu 4-go płaskiej rodzaju zero ; miejscem prostych, łączących odpowiadające sobie punkty, jest w ogóle powierzchnia prostoliniowa skoś-na rodzaju zero i rzędu 5-go:    2) Ustanawiamy od-

p o w i zero i

po

powiedniość dwujednoznaczną pomiędzy punktami dwóch krzywych sześciennych płaskich rodzaju zero, mających punkt wspólny, odpowiadający samemu sobie; miejscem prostych, łączących odpowiadające sobiepunkty, jest c h nia prostoliniowa skośna rodzaju ę d u 5-go. Zamiast tego drugiego sposobu tworzenia można wziąć następujący 2a). Ustanawiamy odpowiedni ość dwujednoznaczną pomiędzy punktami stożkowej a punktami krzywej sześciennej rodzaju zero; miejscem prostych, łączących odpowiadające sobie punkty, jest ierzchnia prostoliniowa skośna wymierzę d u 5-go. W tej konstrukcyi stożkowa może być dana jako prosta podwójna, wtedy rozpatrujemy odpowiedniość (2, 1) pomiędzy punktami tej prostej a punktami krzywej sześciennej.

s z y m s p

t pomiędzy dwoma równaniami typu:

.Równanie p o w i e r z c h ni, utworzonej p i e rw-osobem, możemy otrzymać, eliminując

A\ tA -j- X₂ t:1 -j- Xs t² -j- X₄ t -f Ą — 0; X₆ł -j- X₇ = 0,

gdzie-równania X=0 przedstawiają płaszczyzny przestrzeni; równanie powierzchni, utworzonej sposobem drugim, możemy otrzymać, eliminując t pomiędzy dwoma równaniami:

27

Pascal. Rep- II

, Xj P + Z₂ P. -f Xzt + Xy = 0: X, P

Tu zamiast drugiego równania można oczywiście podstawić kombinacyę liniową obu, a więc równanie stopnia 3-go względem t.

Pierwsza konstrukcya daje powierzchnię prostoliniową skośną wymierną z prostą poczwórną (X₆ = X₇ = 0), t. j. typ I Schwarza; konstrukcya druga daje w ogóle powierzchnie prostoliniowe, mające jako linię podwójną krzywą rzędu 6-go ; z punktem potrójnym i będące rodzaju 1, t. j. typ II:

Krzywa rzędu 6-go może się zniekształcać i wtedy otrzymujemy inne przypadki, w których'krzywa podwójna jest utworzona: III. z prostej potrójnej i krzywej sześciennej skośnej, mającej dwa punkty wspólne z prostą podwójną; wszystkie tworzące opierają się na prostej potrójnej • (prostej kierowniczej);

IV.    z prostej potrójnej kierowniczej, ze stożkowej i z prostej;

V.    z prostej potrójnej i prostej podwójnej, obu kierowniczych, i z dwóch prostych podwójnych; VI. z prostej kierowniczej, z krzywej skośnej rzędu 5-go z punktem potrójnym i z trzech punktów podwójnych pozornych; ta krzywa ma dwa punkty wspólne z prostą; VII. z prostej kierowniczej, krzywej rzędu 4-go skośnej z punktem podwójnym i z innej prostej; krzywa rzędu 4-go przecina w jedriym punkcie jmostą kierowniczą; 4411. ze stożkowej i z krzywej rzędu 4-go z punktem podwójnym; stożkowa przechodzi przez ten punkt i przez dwa inne punkty krzywej rzędu 4-go; IX. z'trzech stożkowych, mających jeden punkt wspólny i z których każde dwie przecinają się nadto jeszcze w jednym punkcie; X. z prostej kierowniczej i krzywej rzędu 5-go skośnej z punktem podwójnym.

Powierzchnie prostoliniowe rzędu 5-go rodzaju 1 powitają w sposób następujący: 4Vyobra,żmy sobie na płaszczyźnie krzywą rzędu 3-go ogólną i weźmy na niej punkt, z którego rzucajmy inne punkty krzywej; te punkty będą połączone w pary. 4Vy-obraźmy sobie, że krzywa rozszczepia się na dwie przez rozdzielenie płaszczyzn i że punkt jednej krzywej odpowdada temu z dwóch punktów drugiej, z którym nie zlewał się przed rozdwojeniem; miejscem odpowiadających sobie punktów jest 'powierzchnia prostoliniowa skośna rodzaju 1 (Schwarz). .Rozróżniamy tu następujące gatunki: XI. Powierzchnia, zókrzywą rzędu 5 - go podwójną; przez każdy jej punkt przechodzą dwie tworzące, z których każda przecina nadto krzywą podwójną w dwóch punktach. Przez każdy punkt przestrzeni prze--chodzi pięć płaszczyzn, z których każda ma .dwie.proste wspólne z powierzchnią; przez każdy punkt powierzchni przechodzą dwie krzywe sześcienne płaskie, leżące na powierzchni. XII. Po-• wierzchnia z jedną prostą kierowniczą potrójną i ze stożkową podwójną, XII[. Powierzchnia z prostą kierowniczą podwójną i z prostą podwójną. XIV. Powierzchnia z prostą kierowniczą podwójną i z krzywą rzędu 4-go skośną podwójną.

w których promień mu odpowiadający krzywą, jest powierzchnia prosto-

Powierzchnie prostoliniowe rzędu i rodzaju 2 można utwo-■ rzyć w sposób następujący: Niechaj będzie krzywa rzędu 4-go płaska z punktem podwójnym oraz pęk promieni, z tego punktu wychodzących; Wyobraźmy sobie prostą punktową (a); odniesioną rzutowo do pęku w ten sposób, aby punkt prostej zlewał się z -jednym z dwóch punktów spotkania odpowiadającego mu promienia z krzywą rzędu 4-go; m iejscem p r o s ty c h, ł ą-c z ą c y o h każdy punkt prostej z d w o m a p u n -' k t a m i. przecina

liniowa rzędu 5-go i rodzaju 2. Prosta (a) jest prostą potrójną kierowniczą dla powierzchni, na której znajdują się nadto inne proste podwójne kierownicze.

Co (lo innych szczegółów patrz cytowaną pracę Schwarza, z której zaczerpnęliśmy powyższe rezultaty.

zen

Powierzchnie rzędu 6-go a/bo k/asy 6-ej.

Powierzchnia klasy 6-ej (badana przez S. Kantora, Wien. Berichte 1879, II, str. 768) powstaje w sposób następujący:

Niechaj będą trzy punkty A,, A t przestrzeni i kwaclryka jF₂. Z punktu zmiennego P tej powierzchni rzucamy na nią punkty A; płaszczyzna trzech rzutów obwodzi powierzchnię klasy 6-ej. Powierzchnia ta daje się odwzorować na płaszczyźnie; ma ona płaszczyznę czworostyczną (płaszczyznę trzech punktów A), która jest ściśle styczną w każdym z punktów styczności. Dwie płaszczyzny styczne do powierzchni, przecięte według prostej przez płaszczyznę czworostyczną, są rozdzielone harmonicznie przez tę płaszczyznę i przez płaszczyznę, przechodzącą przez jej biegun względem kwadryki.

Na powierzchni opisać się daje podwójnie stożek klasy o-ej z wierzchołkiem w rzeczonym biegunie.

Na płaszczyźnie czworostycznej są trzy proste (boki trójkąta Ax A₂ A,), przez każdą z których przechodzi nieskończenie wiele płaszczyzn dwustycznych do powierzchni.

Powierzchnią dwoiście wzajemną względem danej jest oczywiście powierzchnia rzędu 6-go; ma ona punkt czworokrot-ny, trzy proste podwójne przez ten punkt przechodzące, oraz krzywą podwójną rzędu 3-go.

S. Kanto r badał (1. c.) i następującą powierzchnię: Niechaj będą cztery punkty Ax, Av Av A± i kwadryka F₂; z jednego punktu jej rzućmy na nią cztery punkty danej, znajdziemy wtedy cztery inne punkty A\ , A'₂, A's, A\ i dwa czworościany (A), (A') będące homologicznemu; płaszczyzna ich li o m o 1 o g i i obwodzi powierzchnię klasy 6-ej.

Inna powierzchnia rzędu 6-go (rozważana przez Weyra Wien. Ber. 1882, II, str. 515), powstaje sposobem następującym. Na krzywej sześciennej skośnej rozważajmy inwolucyę czterech punktów; pęki czworościanu czterech punktów każdej grupy tworzą powierzchnię prostoliniową rzędu 6-go, której krzywa p o t r ó j n ą j e s t dana krzywa sześcienna, ściany czworościanu są płaszczyznami ściśle stycznemi krzywej klasy 3-ej. Stożek, opisany na powierzchni z wierzchołkiem w punkcie dowolnym przestrzeni, jest klasy 6-ej, i jako płaszczyzny styczne potrójne ma trzy płaszczyzny ściśle styczne krzywej klasy 3-ej, przechodzące przez punkt dany.

Kf o e t h e r ( Math. Ann [II, str. 203 i nast.) badał powierzchnię rzędu 6-go, której krzywą podwójną jest krzywa sześcienna skośna i prosta, nie przecinająca tej krzywej; r ó w -lianie tej powierzchni da je się napisać:

ii, A'= 1.2, 3)

gdzie:

2 Aik y i Uk = o,

V\--^2^3    ^3-^2 i

Ł, M są funkcjami jednorodnemi linio wemi s p ó I r z ę d n y c h xx, x%, a?₃, a?₄, s p ó I c z y n n i k i zaś A wyrażają się przy pomocy wzorów:

Au; — CLik XA -j- 2    * X₃ Xx -j- y,k Xx .

Każda płaszczyzna pęku x₄—XxA =0 przecina powierzchnię według krzywej zmiennej rzędu 4-go wymiernej (z trzema punktami podwójnemi); prócz tego według prostej, t. j. osi pęku, liczonej dwa razy. Równanie powierzchni zawiera 18 stałych, gdyż istnienie krzywej sześciennej i prostej podwójnej pochłania 66 stałych, jak tego dowiódł N öther.

Prócz prostej podwójnej, powierzchnia ma 10 prostych; dalej znajduje się na niej 12 stożkowych i 32 krzywe sześcienne skośne. Po dwie z tych krzywych wraz z krzywą sześcienną skośną leżą na tej samej hyperboloidzie i przechodzą przez te same dwa punkty prostej podwójnej. Każda z krzywych ma pięć punktów wspólnych z sześcienną podwójną i nie spotyka żadnej z 10 prostych. Każda z 32 sześciennych odpowiada 6 stożkowym, z których każdą przecina w jednym punkcie. Jeżeli uporządkujemy 12 stożkowych w sześć par, biorąc w jednej parze te, które przechodzą przez te same punkty prostej podwójnej, i weźmiemy pięć stożkowych dowolnie w pięciu parach, to zawsze jedna z 32 sześciennych skośnych przetnie w jednym punkcie każdą z pięciu stożkowych; szósta stożkowa, przecięta przez też sześcienną, będzie tym sposobem jednoznacznie określona.

Powierzchnia ta jest rodzaju zero i dlatego daje

s i ę ; o ci w z o r o w a ć n a

płaszózyż n i e. To ód wzoro wanie i inne

własności -powierzchni- zbadał Noe t h e r (1. c).

■ Vi ' •;    ‘i . ■

Do powierzchni rzędu 6-go należą t. z w. powierz c hnie styczności powierzchni Kummera, a badanie ich wiąże się z badaniem funkcyj hypereliptycznyoh rodzaju 2. Dotykają one powierzchni Kummera wzdłuż krzywej r z ę du 12 -g o. Ich równanie t. z w. w y mi e r n e (bo spół-czynniki jego są niezmiennikami wymiernemi formy dwójkowej rzędu 6-go) podał E. Pascal (Ann. di mat-, XIX).

Inne powierzchnie rzędu 6-go badali: Pi er i (Acc. Torino 1889;), H u m b e r t (Comptes rend. 1895), Del P e z z o (Acc. Napoli 1897).

Powiemy teraz słów kilka o powierzchniach r o z-wijalirych rz.ędu 6-go.

; Krzywa zwrotu takiej powierzchni nie może być rzędu wyższego nad 6-y, ani niższego niż 4-y. P o w i e r z c h n i a j è s t za wszerodzaju zero, t j. zerem jest rodzaj jej przecięcia płaskiego.

Istnieją trzy gatunki powierzchni rozwijalnych rzędu 6-go, mianowicie :

1. Powierzchnia, której krawędzią zwrotu jest krzywa skośna .rzędu 4-go, która może być gatunku 1-go albo 2-go. W przypadku pierwszym powierzchnia ma punkt podwójnj^ istotny i dwa punkty podwójne pozorne, jest £edy przecięciem dwóch kwadryk stycznych do siebie w jednym punkcie; w przypadku drugim ma trzy punkty podwójne pozorne. Liczba mi jejc harakterystycznemisą:

m—6, a = 4,. ß=0; x=6,

t = 0, k = 6, if = 6.

Przecięcie płaskie jest krzywą rzędu 6-go i klasy 6-ej z 4 ostrzami i 6 punktami podwójnemi, 4 styćznemi przegięciowemi i 6 styćznemi podwójnemu Co do innych własności patrz Rozdz. X, §4.

2. Powierzchnia, której krawędzią zwrotu jest krzywa skośna rzędu 5-go z dwoma ostrzami i czterema punktami pozornemu Liczbami jej charakterystycznemi są:

M = 5; a = 2, /?=2, x = 6. y = 5, y = 4, ż='2,

t = 0, k— 4, R— 6.

Przecięcie płaskie jest rzędu 6-go i klasy 5-ej z 5 punktami podwójnemi, 5 ostrzami, 2 przegięciami i 4 stycznemi podwójnemi .    “    -    •    '

2. Powierzchnia, której krawędzią zwrotu jest krzywa sześcienna skośna z czterema ostrzami i sześcioma punktami po-, dwój nem i pogornemi. Jej liczby charakterystyczne są następuj

m — 4, a —- 0, ß — 4, x

4,

!) - 6, Q — 8, ż

0,

Cztery płaszczyzny ■ styczne wzdłuż czterech tworzących ostrzowych przechodzą przez jeden punkt. Przecięcie płaskie jest rzędu 6-go i klasy 4-ej z 6 ostrzami, 4 punktami podwój-nemi, 3 stycznemi podwójnemi i bez przegięć.

Równanie ogólne rozwijalnej rzędu 6 - g o > można otrzymać w ten sposób:

Aj =0, . . ATS = G

Niech i ę c i u p ł wiązane związkiem

CC e_i.

z o z y z n;

1 in i

O o-

2 a ą r wnamami są o z wiści m p o s t a i :

;r

ci i X\ -f~ 4 ii% X% ~ j⁻ 6^3    —f~ 4 ci^ X±

■f

a równanie powierzchni będzie ( C a y 1 e y ):

( Aj A₅ + 4 X₂X₄ + 3I₃h³ - 27 (XtXsXb - X{Xf . -j- 2 X₂ A₄ — A₃³ )² = 0.

7i

© ki

ce <s©

CU

I-Ï

et

ci

a>

CO

et

et

ts:

CD

<-t

te

S.B

SI

eP

CO

ct-

JT₁Z,-4ĄXł + 3'Ą> = 0;

X,X₃Xi-XlXt‘-X./X₃-ł-2XsXsXl-Xs* = O,

krzywą podwójną albo węzłową wyrażają równania:

ĄXS — X₂² __ Xx AT₄ — X₂ Xz _X₁X₃+2X₂X₄ — 3X/

2AT₂

6X

xsxs—x₃x₄ _ x₃xb-x^

2 Xb

a punkty spotkania krzywej węzłowej z krawędzią zwrotu znajdziemy z równań

cc tc- ^

09

Rozmaite gatunki rozwijalnych rzędu 6-go rozróżniamy według natury ilości a, ....,05, t. j. według natury pierwiastków równania stopnia 4-go, którego spółczynnikami są te ilości (Cayley); mianowicie: jeżeli pierwiastki tego równania są różne, mamy rozwijalną, odpowiadającą krawędzi zwrotu rzędu

6-go; jeżeli dwa pierwiastki są równe, rozwijalna odpowiada krawędzi zwrotu rzędu 5-go; jeżeli są dwie pary pierwiastków równych, mamy rozwijalną, odpowiadającą krawędzi zwrotu rzędu 4-go gatunku 1-go; jeżeli wreszcie są trzy lub cztery pierwiastki równe, wtedy powierzchnia zniekształca się na powierzchnię rzędu 5-go albo 4-go.

Powierzchniami rozwijalnemi rzędu 6-go zajmowali się: Cayley (Combr. Math. J. V. 1850; Quart. J. VII 1865, IX 1867; Annali di mat. II (1868) str. 88, 219 i t. d ); S a 1 m o n (Carnb. Math. J. 1850); Chasles (Comptes rendus LIV, 1862); S c h w a r z (Crelle LXIV). Powierzchniami prostoliniowemi rzędu 6-go zajmowali się: Bergstedt (Rozprawa, Lund. 1886), Fink (Progr. Real. Wiirtemb. 1887), Winian (Lund. 1892; patrz notę w art. Wimana Acta math. XIX. p. 63).

Rozwijalne rzędu 7-go.

Krawędź zwrotu rozwijalnej rzędu 7-go może być rzędu

5-go, 6-go albo 7-go.

Następujące twierdzenie stosuje się do wszystkich rozwi-jalnych rzędu nieparzystego:

Dla każdej powierzchni rozwijalnej rzędu nieparzystego liczba płaszczyzn stycznych przegięciowych jest nieparzysta; nieparzystą jest również liczba ostrzy krawędzi zwrotu (Schwarz).

•r-J

s_i. N

wynika stąd

TT

Wszystkie rozwijał ne, aż do rzędu 7-go włąc nie, są rodzą u ero, t. j. ich prze ię ia płas iesątego ro z

tych powierzchni suma liczb rzędowych krawędzi zwrotu i krzywej węzłowej jest stała.

Wszystkie rozwijalne, aż do 7-go rzędu w łącznie, powstają jak o obwiednie płaszczyzn, w równaniach których zachodzi wymiernie jeden parametr t. t j. płaszczyzn, których równania są postaci:

X, t* -i- x t"-' 4- . .

gdzie «jest liczbą całkowitą dodatnią, X zaś są formy liniowe spółrzędnych.

Tym rozwijał nym, które C a y 1 e y nazywa płaszczyzn o w e m i (planarnemi), poświęcona jest praca Schwarza (Crelle LXIY).

Liczby charakterystyczne dla trzech gatunków roz wijalnych rzędu 7-go są następujące:

1. Krawędź zwrotu rzędu 5-go: m~7, g —10, /i—5, a=5? ß = l, as ==10, y-= 8, 1=7 r = 2,    22, R= 13.

2.    Krawędź zwrotu rzędu 6-go: m — 6, //—7, li~ 7, a =3, ß = 3, x — 9, y = 9, ź —6, r-1, k—18, H —12.

3.    Krawędź zwrotu rzędu 7-go: m — 6, y — 5, h —■ 10,

« = 1, ß = 5<    yt==lQ, A — 5, r = 0, /r = 15, Ä = ll.

.    ¹    - V i 0 n . '4    ’ V „i : ».. . y '*) » •

i/yi

05

Powierzchnie prostoliniowe jakiegokolwiek rzędu.

W § 1 Rozdziału IX podaliśmy już niektóre własności ogólne powierzchni prostoliniowych algebraicznych, w § 4 tegoż Rozdziału inne ich własności, odnoszące się do rzędu, klasy, rodzaju, do krzywej węzłowej, do krzywych, nakreślonych na powierzchni i t. d. Nie powtarzając tych rzeczy, podamy tu jeszcze niektóre inne własności interesujące. Wymieniamy przede-wszystkiem następującą własność rzutową

Każda płaszczyzn a, zawierająca twórz ącą powierzchni prostoliniowej skośnej,j est styczna w j e d n y m i tył p o w i er zehn i, pęk za

jest rzutowy wzglądem prostej punkt ów styczności wzdłuż tworzącej (Chasles)

Wymieniamy dalej następujące własności metryczne, eżeli przetniem p w i é r z c li n i ę prosto-1 i n i wą płaszczyzna i r w n o 1 e g ł e m i d o p ł a -szczyzny stałej, to styczne do przekrojów w punktach tej samej tworzącej tworzą parafe o 1 o i d ę. .

Para oloidę two

O Ch

«2- s*r

o w jednym p u n k c i e d o płaszczyzn stycznych

m a 1 n e do pozo r z ą c e j (p a -

e ż n

Je nei

i nor m a 1 n y c hj.

Nazywamy punktem środkowym (centralnym) na tworzącej spodek prostej prostopadłej do dwu nieskończenie.

• er

w i rzchm w p n ra oloidali

CL Cd-

blizkichś tworzących; miejsce zaś punktów środkowych tworzy t; -zw. lin i ę z w ę/ż e nia :(0 h a s le s). .

Punk t ś rod kow y--t worzą ce/j jest wier;zc;h oh kiem ’paraboloidy normalnych. '    i, :    ■    ■ :

Nazywamy płaszczyzną środkową (centralną ),. należącą, do danej tworzącej, płaszczyznę, przechodzącą przez tworzącą i przez prostopadłą wspólną do tej tworzącej i do drugiej nieskończenie blizkiej; nazywamy zaś pochył oś ci ą płaszczyzny stycznej kąt pomiędzy tą płaszczyzną a płaszczyzną środkową, należącą do tworzącej, przechodzącej przez punkt styczności.    . :

Styczna ( trygonometryczna ) pochyłości płas czyzny stycznej jest proporcyonalna do o le głośni punktu styczności od punktu środ-k .O: w e g o. .    ; j ■    • •    <

Płaszczyzna środkowa jest styczną w p lin k c i. e środkowym; płaszczyzna środkowa i p ł a-^ s z c z,y zna styczna w punkcie n i e s k o ń ę z e n i ę, odległym t worząc ej są do siebie prostopadłe,;

Nazywamy parametrem tworzącej odległość jej punktu środkowego od punktu, w którym pochyłość płaszczyzny

stycznej jest .

4:

Jeżeli płaszczyzna przechodzi przez tworzącą powierzchni skośnej, wtedy iloczyn odległości punktu środkowego od dwóch punktów, w których ta płaszczyzna jest styczna i normalna, jest stały i równy kwadratowi parametru (C li a s 1 e s).

Jeż li d w i e po wierzch ie prostoliniowe

em stałym we i c p u n t a c h j e d n e j worzącej, w t e dy ta ta ma ten sam parametr i ten sam punkt i o w y t a d 1 a j n e j j a k i dla drugiej po-d w r o

Na powierzchniach prostoliniowych skośnych rozważamy' pewne punkty i pewne proste osobliwe. Dajmy, że jakaś tworząca spotyka drugą nieskończenie blizką; ten punkt spotkania nazywamy ó s t r z e m (Spitze, sommet); a tworząca, na której-'

s ko ś ne

W CD

w s z y s p r o ś r o

w i e r z c h n i: i

PT

PT

się pod

Cd-

Cl“

i e.

takie ostrze się znajduje, nazywa się osobliwą (lub krawędzią, (arête, Kante, Torsalinie); płaszczyzna (styczna) przechodząca przez taką tworzącą i drugą nieskończenie blizką, nosi nazwę płaszczyzny stycznej osobliwej. Jest wi-docznem, że ostrze należy do linii podwójnej lub węzłowej.

Jeżeli u jest rząd powierzchni skośnej, a jej porządek (t. j. rząd a stożka na niej opisanego albo klasa a' przekroju płaskiego, patrz Rozdz. IX, § 1), wtedy liczba tworzących osobliwych wynosi:

T — 2 a 2 n .

(S t u r m, Math Ann. YI, Schuber t, tamże XVII).

Ponieważ prosta przestrzeni określa się czterema warunkami, będziemy tedy mieli w ogóle powierzchnię prostoliniową, skoro poddamy prostą warunkom, aby opierała się na trzech krzywych danych, albo opierała się podwójnie na jednej krz3^wej i pojedynczo na innej, albo wreszcie potrójnie na jednej krzywej. Powstaje wtedy zagadnienie o wyznaczeniu charakterystyk powierzchni prostoliniowych, których kierownicami są krzywe w sposób wyżej wskazany.

Zagadnieniem tern zajmowali się: C a y 1 e y (Camb. J. VII 1852, Phil. Trans. CLIII 1863), Salmon (Camb. J. VIII 1862, Trans-Irisch. Acad. XXIII) i Rupp (Math Ann. XVIII).

Tworząca powierzchni prostoliniowej może być podwój-n ą, t. j. taką, że każdym z jej punktów są dwie różne płaszczyzny styczne do powierzchni; jeżeli te dwie płaszczyzny styczne zlewają się w każdym punkcie tworzącej, wtedy będzie ona tworzącą stateczna.

Tworząca, przechodząca przez punkty stateczne krzywej kierowniczej, jest tworzącą stateczną, i w ogóle tworząca stateczna nie może powstać innym sposobem.

Linia podwójna powierzchni prostoliniowej daje się podzielić na różne części, z których jedne są liniami kierowniczemi powierzchni, inne zaś nie. Oznaczmy przez D\ sumę rzędów krzy-

wych podwójnych (węzłowych), które są zarazem kierownicami: przez Hy sumę rzędów krzywych podwójnych, po wyłączenia tych, które są także kierownicami, oraz tworzących podwójnych; przez 6r.y —liczbę tworzących podwójnych, po wyłączeniu tworzących statecznych; przez T_\—sumę trzech liczb poprzedzających, t. j. liczbę punktów podwójnych(z wyjątkiem ostrzy) przekroju płaskiego powierzchni; przez Gs—liczbę stycznych statecznych: przez 7 — liczbę tworzących osobliwych; przez a — porządek powierzchni. Zachodzą wtedy związki następujące:

Przypadek 1. Trzyr kierownice pojedyncze 99, y>, % rzędów vij, m₂, vu. klas rx, r₂, r₃, rodzajów pu ps, z hx, /t₂, /t₃ punktami podvvôjnemi pozornemi i z ß₂, ostrzami. Będzie:

n (rząd powierzchni) = mxm₂m

=    ₉    m.₂ vu (w, m₂ -f- m₂ m₃ -f- vu mx ),

mlm₂m₃ (ml+m₂-ł-m$—3)-^mlin₂hzĄ-m₂m₃hl-\-m₂mih₂ , ^4ł;m₁m₂m₃-(vi₁m₂+m₂m₃+vi₃m₁) -2(7n₁+»n₂+>n₃)-J-5 |

I)

G.v —

Ry

2Ty = 2mxm₂m.A (2w₁w₂m₃—2) — (mxm₂r₃ -f- »ł₂m₃r, -j-m.iWyd

— ³ K»ł2& +    ■ f ms>"M ,

= ßx m₂ mn -f- /5, i/ijff», -+-    n?! m₂,

a = 2 m/₁ w₂ h/₃ + w, 7«₂ r₃ -j- m₂ m₃ r, -j- m₃ w, r₂ ,

T — 2 (m, ?n₂r₃ -J- w₂ wj₃ ^ -(- w₃ Wj r₂).

Przypadek 2. Krzywa 9? jest kierownicą podwójną, krzywa ip kierownicą pojedynczą:

z>.v=4

T“»

Y (*»1 “ 1) J »

j Aj² — hx -f- mxm₂ (inx—l)² — mx (mx —

cj,

?//, (»//j — 1) (w,² — 52 I ,

-f

'"Ry=m

4"

t-H

T—I

.r

4-

'§P

yi

.s

to

tH jîO

;g ;

h?"

■ I

I—i

₂| “2 K O'A — ²) (mi —3) +

~r »*« (»»2

mx ( w/j —1 )(w j —2)(Wj —3) J /'i² + -J" 7/i    — M?i — • !)

.-8

/k

1    i

2    wi (»'1 — 1)J

— m₂ hx

~2

v>₂ (nit — 1)

— rj w₂ (mx —3-) — /ijr₂ — 3/?₂    — 3$ m₂ (mx — 3)

2),

<9 s — ß» \ + ßi nh

a — rxm₂ (mx—3) 4- m₁m₂ (wx—1) -4- hxr₂ — 3ßxm T = rxm₂ (2mx — 5) --j— 2 hx r₂ — 3ßx m

Przypadek 3. Krzywa cp jest kierownicą potrójną (powierzchnia tworzy się z trójsiecznycli krzywej, patrz Kozdz. IX, § 4) :

Dy -

n = (w — 2) /: — -X /// (m —1) J , m (A — vi -j- 2) (A — va -j- 1),

t?AT =

[ — m*-j 18«/³— 7hn--\-78m—48wA-f-132A— 12A2 Ry — r-h-m (m—1)--i- A (»a⁴ — 5m3:-j- 5 w² —49 ni -j- 120)

O

-f-    (m⁶— 6 «/⁵ —}— 31 «/⁴ — 270«<³-j-868w<²— 840m),

o?/« '¹ -j-'l hu² -f-14m —¹78) h

\ *V'

(m*— 6m⁵-|- 13«/⁴-{~90m³— 518m²-f- 636»»),

-1- —

’ 36

Gs = ß (//— 2m -j- 6),

ft = — 2/t'-' 4- /t (»»²-j-5m--24)

(16 m³ —-84m² -j- 104 m)

— 3 ß (h —- 2m-j- 6) ,

T — — 4/t²-j-2/t(»»²-|-4w—22) —5m³-j-27»n²- 34» —Qß (h—2»w—J—6).

wtedy rząd powierzchni jest

Otrzymujemy także powierzchnię prostoliniową, łącząc odpowiadające sobie punkty dwóch krzywych (kierownic), będących w odpowiedniości (a,, a₂); jeżeli rzędy tych krzywych są vi

m\ a-2 + Vl2 ai •

Z punktu widzenia Oeometryi linii prostej (patrz Rozdz. XIV) powierzchnie prostoliniowe określają się jako przecięcia trzech kompleksów prostoliniowych; mogą one być albo przecięciem zupełnem, albo też częścią przecięcia. We wrzoracli poniższych zakładamy przypadek pierwszy.

Jeżeli nix, w.₂, m₃ są rzędy trzech kompleksów, wtedy rząd powierzchni prostoliniowej jest n — 2»»₁mlim₃, a jej porządek:

-V-

a — 2(vt₁ —J— —(— w₃ — 2) — 2 G Rząd krzywej podwójnej daje wzór:

1) — tttj Wy; tt/₃ 2)11^11^1)1^ - (i/t₁ -j- m₂ -j- Wg) -|- 1    ,

a rodzaj powierzchni;

p —    (nt₁ -f- m₂ -j- wt₃ — 4) — 1 — 6tv.

Wzory te ulegają zresztą zmianom, stosownie do rozmaitych właściwości uważanych kompleksów.

Jeżeli jeden z kompleksów j e s-t liniowym (m₃ = 1), wtedy krzywe asymptotyczne algebraiczne powierzchni są klasy (porządku)

12w/j«/₂ (w/j-j —2) i rzędu 2»/ij»?₂ (w,-f-w₂—1).

Liczby te ulegają zmianom, jeżeli kompleksy dane pozostają z sobą w związkach specyalnych; jeżeli np. i w₂ = l, wtedj1, liczby powyższe nie stosują się już, gdy dwa kompleksy liniowe mają wspólną kongruencyę specyalną (patrz Voss, Math. Ann. VIII, p. 82-83).

Na powierzchni jest oo¹ punktów, w których styczna do powierzchni ma styczność czteropunktową. Krzywa tych punktów styczności jest rzędu

i zawiera

2wv?vw,| 6    -f m₃) — 19 ]

8mlm₂nt₃13 (mi +w?₂ -f- wi₃)

— 10

punktów, w których jest styczna do tworzących danej powierzchni; tworzące te są stycznemi statecznemi krzywej asymptotycznej algebraicznej. Co do stycznych, mających styczność rzędu 4-go, patrz Voss (1. c. str. 99).

Powierzchnia prostoliniowa rzędu n bez tworzących wielokrotnych, będąca rodzaju zero, jest porządku 2 (n—1) i zawiera

krzywą podwójną rzędu

Jest 2(w—2)(u —3) tworzących stycznych do krzywej po-

(n—1 )(n— 2)

Na danej powierzchni prostoliniowej jest 10 (w—4) punktów, w których styczna ma styczność rzędu 4-go z powierzchnią.

Linie asymptotyczne powierzchni prostoliniowej rzędu nx-\-n₂ rodzaju zero i mające za kierownice dwie proste odpowie dnio w, - krotne i nä-krotne, są krzywemi algebraicznemi rzędu 2 (nl-\-n₂— 1) (Cremona, Ann. di mat. I).

Jeżeli dwie kierownice zbliżają się do siebie nieograniczenie aż do zlania się, wtedy linie asymptotyczne stają się rodzaju zero i rzędu 2 nx-\~n₂ — 2 (gdy nx n₂) (Cremon a, tamże).

Pierwsze i zasadnicze własności metryczne powierzchni prostoliniowych znaleźli i zbadali: Monge (Addition à la Géom. deser ), Hachette (Crelle Vlli), Chasles (Journ. de Liouv. H) i t. d. patrz De La Gournerie Géométrie déscript. C a y 1 e y, S al mon, Rupp w pracach już cytowanych zajmowali się zagadnieniami, dotyczące mi liczb charakterystycznych dla powierzchni prostoliniowych, mających kierownice oznaczone. Linie asymptotyczne powierzchni tych badali C 1 e b s c h (Grelie LXYIII), C r e-mo na (1. c.), Voss (1. c.) i inni. Powierzchniom prostoliniowym szczególnym poświęcona jest książka De La Gournerie „Recherches sur les surfaces réglées tetraédrales symétriques“ (Paryż 1867). L ü r o t h (Crelle LXV1I) i V o s s (Math. Ann. VIII) badali powierzchnie prostoliniowe, które można uważać jako przecięcia z u-pełne trzech kompleksów linij prostych. Prostoliniowe wymierne (rodzaju zero) badali: Cremona (1. c.), Ar menante (Annali di mat. IV), C l e b s c h (Math. Ann. V), Noether (Math. Ann. III str. 184); ten ostatni badał prostoliniową wymierną rzędu n, mającą prostą n—1 - krotną.

Najnowsze badania o powierzchniach prostoliniowych z punktu widzenia Ge o metr yi na powierzchni i przy rozważaniu przestrzeni wielowymiarowych ogłosił Segre (Acc. Torino 1884, 1886; Lincei 1897; Math. Ann. XXXIV).

¹

wójnej, — (n—2)(n—3)(n—4) punktów potrójnych i tyleż płaszczyzn trójstycznycli.

Jest 2(n—2) tworzących osobliwych w znaczeniu powyżej wskazanem.

Powierzchnia prostoliniowa, utworzona ze stycznych o styczności czteropunktowej, jest rzędu 8 (n—3) i tyleż jest punktów, w których krzywa tych punktów styczności jest styczną do tworzącej. Rodzaj tej prostoliniowej wynosi 4n—13.

Powierzchnie wymierne, powierzchnie o przekrojach wymiernych, eliptycznych, hyperehptycznych.

Nazywamy powierzchnie wymiernemi (j e d n o b ie ż-n e m i, homaloid alnemi) wtedy, gdy dają się sprowadzić do odpowiedniości dwujednoznacznej z płaszczyzną. Do twierdzeń, podanych o nich w § 7 Rozdziału IX, dołączamy tu następujące:

Warunki na to, aby powierzchnia rzędu n z krzywą podwójną rzędu cl i rodzaju n, mającą ź punktów potrójnych, będących zarazem równocześnie takie m iż punktami dla powierzchni, była wymierna, są następujące:

1) rodzaj liczbowy powierzchni (Rodź. IX, § 4) ma być zerem, t. j.

(n—1 ) ( n—2) (n—3)

Cu

— (u— 4) d -|- 28 -f- u—1 = 0;

2) nie mają istnieć powierzchnie rzędu 2 (n—4), przechodzące odwójnie przez kr z wą podwójną (prócz pow erzchn zawi daną).

C/a)

Każda taka powierzchnia, dla której spół-rzędne jakiegokolwiek punktu wyrażają się w funkcji wymiernej dwu parametrów, jest wymierną. Twierdzenia tego i analogicznego do twierdzenia L ü r o t h a dla krzywych dowiódł Castelnuovo (Math. Ann. XLIV, XLVIII, str. 313).

Każda powierzchnia rzędu 3-go jest wymierna, wyjąwszy stożek ogólny rzędu 3-go.

Każda powierzchnia rzędu 4-go, mająca linie wielokrotne, jest wymierną, prócz powierzchni prostoliniowych rodzaju wyższ ego

od zera. Pomiędzy powierzchniami rzędu 4-go, nie mającemi 1 i n i j podwójnych, są tylko cztery gatunki wymierne. Jeden z nich zbadał Cremo-n a (Collect, math. Medyolan 1881), pozostałe wraz z tym pierwszym Noether (Math. Ann. XXXIII).

Każda powierzchnia, zawier pojedyńcz o-n ieskończon krz nych, i taka, że przez k a d y c h ni rzechodzi jedna

daje i przekształcić w u w y miernie na wierze nie prostoliniow (od zorować na powierzę ni prostoliniowej); je eli układ r czony jest wymierny, to i sama powierz c h la jest wymierną. Własność tę badał Noether (Math. Ann. III), który udowodnił całkowicie ostatnią część twierdzenia; co do przypadku ogólnego patrz Enriques (Rend. Lincei 1898 i Math. Ann. LII).

wy

u n k t

tr <-3

Pi

Ul

cl. C+-

N- ÎH

Każda o wierzchni wojnie ie s k o ń c z o n y h, j s t w y i rnaal c a ć d linio

powierzchni). (Castelnuovo Pend.

P°

. CD 3

3 CD

cr

z a w i e krzyw daje

w y m i r îenapowier rodzaju 1 (t. j. od wzór o

ca układ wymier-e r z -a d u,

po

(—¹

po-

• CD

układ

r a j ą o a y c h e 1 i p t y c z-ę przekształ-

li n i ę p w a ć na

co o

Lincei 1894).

Co do przypadku, w którym krzywe układu liniowego są hyper eliptyczne, patrz Castelnuovo (tamże).

P wierzchni a, a skie są krz

fr

torej wsz w e m i

prostoliniową albo powierzchnią rzędu Steinera (Picard, Crelle C, patrz Rozdz. XII, § 9).

wy

r z e c i ę -est

-go

Powie rzc cia płaskie s wymierną al

ct-

o.

Ul

Ct-

r o d z d 9 (Castelnuo

pierwszym

CD

3--O ® w

R¹ p ►—' g g,

• B

CD

L~

Ul

cc

fr

Qi

P-

cd-

CSJ

'o?

tSJ-

f.

CO

n .,_r Pi ^

cs-

CD

03 rCD

ui Q-*

Po wierzchni a, której wszystkie przecięcia ii łaskie są krzywemi hypereliptycznemi, jest

wymierną (i zawiera pęk stożkowych) albo jest prostoliniową (Enriques, Lincei 1893).

Podane tu i inne wyniki zebrali Castelnuo vo-En-r i q u e s we wspólnej pracy, ogłoszonej w Math. Ann. XLVIII, str. 307 i nast

Ci sami uczeni dowiedli niedawno (Comptes rendus 5 listopada 1900, str. 439 i dalsze) następującego twierdzenia ogólnego:

Jeżeli powierzchnia algebraiczna zawi era układ liniowy krzywych C rodzaju tt 0> 0, z których każde dwie przecinają się w n punktach, gdzie    — 2, wtedy jest wymierną, albo też

przy pomocy przekształcenia dwu wymiernego daje się sprowadzić do walca (x,y) = 0 rodzaju p> 0 .

Z tego twierdzenia wynika:

1. Jeżeli powierzchnia algebraiczna zawiera szereg ciągły krzywych wymiernych C, wtedy albo jest wymierna, albo da je się sprowadzić do walca rodzaju wyższego od zera. 2. Powierzchnie, dopuszczające szereg przekształceń dwu wymiernych na siebie same, nie tworzących grupy skończonej, są albo wymier-nemi albo dają się sprowadzić do walców.

Kwestyami temi zajmował się pierwszy Picard (J. de matli. (4) V), i wyczerpał przypadek grupy przemiennej oo², który prowadzi do klasy powierzchni hypereliptycznyeh, badanych szczegółowo przez H u m berta (J. de matli. (4), IX). Patrz też cytowaną pracę Casteln u ovo - Enriques (Math. Ann. XL VIII); dzieło P a i n 1 e y é go (Leçons sur la théorie analytique des équ. diff. Paryż 1897), zajmuje się teoryą przekształceń powierzchni na same siebie.

ROZDZAL XIV.

GEOMETRY A PROSTĘJ W PRZESTRZENI. GEOMETRYA KULI.

Wiadomości ogólne. Spółrzędne prostej w przestrzeni.

Prosta w przestrzeni wyznacza się przez cztery warunki elementarne, a stąd przestrzeń prostoliniową (której elementem jest prosta), można uważać za przestrzeń czterowymiarową (nie liniową lecz kwadratową).

Niechaj xt, x₂, x?), xi będą spółrzędne jednorodne punktu przestrzeni; y₁, y₂, yz, — spółrzędne innego punktu; utwórzmy wyznaczniki rzędu 2-go macierzy

CO

5S

i połóżmy :

0 =1,2, 3, 4)

Po-

Stosunki dwu którychkolwiek z tych sześciu wielkości py nie zmieniają się, jeżeli zamiast jednego lub obu punktów (x), (y) weźmiemy inny jakikolwiek punkt prostej je łączącej; wielkości tedy można uważać za spółrzędne jednorodne prostej w przestrzeni.

między temi spółrzędnemi ma miejsce jedyny związek tożsamościowy:

P12P34 + Piz Pa PuP-st ⁼ 0,

Przez takie określenie spółrzędnycli prosta jest uważana jako miejsce punktów, i spółrzędne te nazywają też pro mieni o w e mi (Strałilencoordinaten, P 1 ii c k e r).

Jeżeli zaś uważać będziemy prostą jako obwiednią płaszczyzn , otrzymamy analogicznie spółrzędne osiowe (Axencoordinaten). Niechaj (u), (y) będą spółrzędnemi jedno-rodnemi dwu płaszczyzn, przechodzących przez prostą; uważajmy dwumiany 71 — u^j—Uj Vi. Stosunki dwu k t ó -rychkolwiek wielkości jty są niezależne od wyboru dwu płaszczyzn szczególnych (m), (îjprze-chodzących przez rostą; a zatem wielkości 7iij można uważać ja o s p ó ł r z

st j wprzestrzeni; pomiędz niemizac dzi je y n y związek tożsamościowy:

^12 ^34 P n\3 ni2    ⁷¹ li 7l23 ⁼⁼ 0 .

Warunki na to, aby dwie prosie o spółrzędnych (p) i {%)') spotykały się (znajdowały się na jednej płaszczyźnie), wyraża się w ten sposób:

PviV 3+ ~P Pi 3 P 42 "P PliP 23 ~P P ViPzi + P 13 Pi2 “P P 14 P-23 ~ 0 .

Sześć prostych przestrzeni, dla których pięć z pomiędzy sześciu spółrzędnych są zerami, są krawędziami czworościanu podstawowego

Spółrzędne p wyrażają się przez spółrzędne prostokątne Descartes’a przy pomocy wzorów :

'TT >T-

C2j CD

■<

ne o si o

ro

bi — x~x\ P2i = y—y\ Pu =

P-23 = yz'—zy', 2hi = 8x'—xz’, p₁₂ = xy'—yx' ;

będziemy tę spółrzędne oznaczali odpowiednio przez l, m, n L, M, N.

Podajmy niektóre wzory zasadnicze, odnoszące się do własności metrycznych.

Kąt pomiędzy dwiema proste mi (l, m, n, L, M, N), (/„ n\ L\ M', N') wyrażają wzory:

cos (r, r') —

IV Ą- vmr-\-nn'

V( /²-j-m.²-\-n²)    ²) ’

sin²(r, rf) =

!j V m’ n' i|²

li l m n ||

CD

CTQ

in-

-o

CS

'O

rCD

tS!

CD

fH

rt-

CD

i-i

rH

odl. (r.r )

W + mM' 4- nN‘ 4- LV + Mm! + Nn‘

o»*

Momentem dwóch prostych nazywamy, według C a y 1 e y’a, iloczyn wstawy kąta pomiędzy niemi przez najmniejszą pomiędzy niemi odległość; z wzorów poprzedzających wynika, że moment ten wyraża się w ten sposób:

mom. (r, r')~

IL‘ -f-_mM' + nN' -j- LV -f- Mm' + Nr,!

pros

• o>

Przędnych jednorodnych o g o 1-są proporcyonaine do sześciu

ny c

momentów prostej względem każdej z sześciu krawędzi czworościanu podstawowego s p 6 l -rzędnych, t. j. względem sześciu prostych przestrzeni, dla których pięć z pomiędzy sześciu spół rzędnych są zerami.

Wzory poprzedzające i jeszcze inne podał Cayley (Camb. Trans. XI, część 2-a); co do wzorów analogicznych współrzędnych^ patrz D’0 v i d i o (Giorn. di Batt. VIII, XI).

Inny układ spółrzędnych wprowadza Zeuthen (Math. Ann. I); tu spółrzędnemi jednorodnemi prostej są objętości sześciu czworościanów; dwiema krawędziami przeciwległemi każdego z nich jest odcinek (jedność), wzięty na prostej, i jedna z sześciu krawędzi czworościanu podstawowego.

Spółrzędne te czynią zadość związkowi jednorodnemu stopnia 2-go o trzech wyrazach, podobnemu do tego, jakiemu czynią zadość spółrzędne p,j (patrz też Drach, Math. Ann. II, D’O v i-d i o, Griorn. di Batt. X).

Od sześciu spółrzędnych p# możemy przy pomocy przekształcenia liniowego przejść do układu liniowego spółrzędnych — 1,2,...6), wtensposób, aby związek kwadratowy, któremu czynią zadość spółrzędne p, przekształcił się na związek kwadratowy specyalny J£a?,-² = (). Te spółrzędne x,- nazywają się spółrzędnemi Kleina (patrz Math. Ann. II i rozprawę inauguracyjną, Bonn 1898, ogłoszoną i w Math. Ann. XXIII).

Piękna interpretacya geometryczna tego przekształcenia jest następująca: Uważajmy wielkości pfj za spółrzędne jednorodne punktu w przestrzeni pięciowymiarowej, wtedy związek stopnia drugiego, któremu te spółrzędne czynią zadość, przedstawia w tej przestrzeni kwadrykę niezni eks ztałc oną (gdyż wyróżnik jej jest różny od zera); każdy punkt tej kwa-dryki odpowiada tym sposobem jednej prostej w przestrzeni, i odwrotnie; geometrya na tej kwadryce odpowiada tedy geometryi linii prostej.

Wykonajmy pizekształcenie liniowe spółrzędnych w przestrzeni pięcio wymiarowej w ten sposób, aby równanie tej kwa-dryki przybrało postać — t. j. postać formy, zawierającej tylko kwadraty spółrzędnych (co uskutecznić można nieskończenie wieloma sposobami); nowe spółrzędne są rzeczonemi wyżej spółrzędnemi Kleina. Otóż wiadomo, że jeżeli równanie kwadry ki jest dane w tej formie, wtedy przestrzenie liniowe Xi = 0 są parami sprzężone względem kwadryki, t. j. biegun jednej z nich względem kwadryki znajduje się na drugiej (własność ta jest uogólnieniem własności stożkowych, podanej w § 3

Rozdz. IV i własności kwadryk, podanej w § 2 Rozdz. V); a zatem przestrzenie podstawowe nowego układu są psrami sprzężone względem kwadryki zasadniczej.

Jeden związek pomiędzy spółrzędnemi prostych przedstawia oo³ prostych przestrzeni i dla tego nazywa się kompleksem prostych; dwa związki pomiędzy spółrzędnemi prostych przedstawiają oo² prostych, czyli t. zw. kongruencyę prostych*, wreszcie trzy związki pomiędzy spółrzędnemi prostych przedstawiają powierzchnię prostoliniową.

Cztery związki tego gatunku przedstawiają w ogóle liczbę skończoną prostych w przestrzeni

Określamy tedy kompleks jako rozmaitość (mnogość) oo³ prostych i nazywamy kompleksem algebraicznym rozmaitość co³ prostych, których spółrzędne są funkcyami trzech parametrów niezależnych. Mamy twierdzenie:

Każdy kompleks algebraiczny daje się całkowicie przedstawić przez jeden tylko związek algebraiczny pomiędzy sześcioma spółrzędnemi prostych. Twierdzenie to, przy stosowaniu powyższej kwadryki w przestrzeni pięciowymiarowej, daje się wysłowić tak:

Każda przestrzeń aigebraiczna trójwymiarowa, zawarta w kwadryce zasadniczej, jest zawsze przecięciem zupełnem tejże kwadryki z inną przestrzenią algebraiczną czterowymia-rową.

Jeżeli związek algebraiczny, przedstawiający kompleks algebraiczny, jest stopnia n, wtedy i kompleks ten jest stopnia n-tego.

Stopień kompleksu równa się rzędowi stożka, utworzonego przez wszystkie proste, należące do kompleksu a przechodzące przez jakikolwiek punkt przestrzeni (stożek kompleksu).

Na płaszczyźnie mamy oo¹ prostych kompleksu, obwodzących krzywą, zwaną krzywą kompleksu (Complexcurve); klasa tej krzywej równa się stopniowi kompleksu.

Pojęcia rzędu i klasy zlewają się dla kompleksu, i mamy tu jedyną liczbę charakterystyczną, mianowicie stopień, który

jest liczbą prostych, przechodzących przez jeden punkt i położonych na jednej płaszczyźnie.

Kongruencya nazywa się algebraiczną, jeżeli jest przecięciem cząstkowem albo zupełnem dwóch kompleksów algebraicznych. Rzędem kongruencyi algebraicznej nazywamy liczbę jej prostych, przechodzących przez jeden punkt przestrzeni; klasą zaś jej nazywany liczbę jej prostych, znajdujących się na jednej płaszczyźnie.

Dwa kompleksy stopni n i n' mają wspólną kongruencyę rzędu nn' i klasy nn'\ trzy kompleksy stopni n, n\ u" mają wspólną po wierze Imię prostoliniową rzędu 2 u n n" ; cztery kompleksy stopni w:n'.nv,ri" mają wogóle 2nn' n" n¹" prostych wspólnych.

Dwie kongrueneye rzędów n, u' i klas ni, rn‘ mają w ogóle nn' -f- mm' prostych wspólnych (Halphen, Cómp. rend. 1872).

Wszystkie proste, przecinające krzywą algebraiczną rzędu n, tworzą kompleks algebraiczny stopnia n; wszystkie proste, przecinające prostą daną, tworzą kompleks liniowy specyalny (mający jedną kierownicę).

Wszystkie proste, opierające się na dwóch krzywych rzędów n₁, n₂, tworzą kongruencyę rzędu i klasy n,n₂; wszystkie proste, przecinające dwie proste dane, tworzą kongruencyę rzędu i klasy 1, t. j. kongruencyę liniową.

Wszystkie proste, przecinające trzy krzywe algebraiczne rzędów n{. n₂, n₃, tworzą powierzchnię prostoliniową rzędii 2 n, n₂ n₃ (Cayley, patrz też § 6, Rozdz. XII).

Istnieją dwie proste, przecinające równocześnie cztery proste dane (Tw. Stein er a, Systemat Ent-wickel i t. d.. Werke I, str. 284 .

Istnieje 2nln₂n.in₄ prostych, opierających się krzywych algebraicznych rzędów nu n.₂, n.A, n₄.

Wszystkie proste styczne do powierzchni algebraicznej rzędu u i porządku a (patrz Rozdz. IV § 1 i Rozdz. XIII § 6) tworzą kompleks stopnia u (spe-c y alny).

Jeżeli pominiemy pewne badania dawniejsze, a pomiędzy niemi niektóre Cayl ey’a, to będzie można powiedzieć, że Ge o metry a prostej jest nauką, powstałą wraz z dziełem „Neue Geometrie des Raumes“ Plückera (Lipsk 1868—9), który już od roku 1865 ogłaszał prace o tym samym przedmiocie (Lond. math. Soc. 1865, Pliil. Trans. 1865). W latach 1866—-1868 Battaglini ogłosił(Acc. Nap. Rend. 1866: Atti Acc. Nap. 1866, IV 1868; Giorn. di Batt. VI, VII, X) badania własne nad kompleksami, podał ich własności ogólne, teoryę pewnego szczególnego kompleksu kwadratowego, który nosi jego nazwisko, zaproponował znakowanie symboliczne, które później Cl e b s c h udoskonalił (patrz § 2), wreszcie podał liczne zastosowania Geometryi linii prostej do mechaniki (Acc. Napoli 1869 —1870). Pomiędzy pracami, następującemi po tamtych, wymieniamy prace Clebseha (Math. Ann. II, X), Kleina (tamże II, V, VII, XXII i t.d , rozprawa z r. 1868 przedrukowana w Math. Ann. XXIII), L i e g o (Math. Ann. V, patrz „Prace mat. fiz.“, Warszawa, t. XI), Reye’go patrz § 4), Vossa (Math. Ann. IX), Segrego (Acc. Torino, 1883—1884) i t. d. Stur m ogłosił w trzech tomach traktat systematyczny o tej teoryi (Die Gebilde I u. II Grades der Liniengeometrie, Lipsk 1892—93—96). Szczegóły bibliograficzne, które podamy jeszcze w następnych paragrafach, znaleść można w wielokrotnie cytowanej pracy historycznej prof. Lori a.

Stur m w cytowaaem wyżej dziele wprowadza odmienne nieco nazwy dla kompleksów i kongruencyj; kompleks liniowy nosi u niego nazwę Strahlengewinde albo wprost G e w i n d e; kompleks liniowy specyalny nazywa Strahlengebüsch albo wprost G e-b ü s c li, kongruencya liniowa — Strahlennetz. Niektórzy au-torowie niemieccy przyjęli te nazwy.

ten

IO

Komp/eks algebraiczny ogolny stopnia n. Znakowanie symboliczne Battagliniego i Clebscha. Formy niezmiennicze kompleksu.

Kompleks algebraiczny stopnia n indywidualizuje się przez

'n + 5'

h -f- 3'

!=r cr

prostych, skąd wynika, że do wyznaczenia kompleksu liniowego otrze a 5 prostych, kwadratowe go zaś 19 p ostyc

Wszystkie proste kompleksu, opierające się na określonej prostej w przestrzeni, tworzą naturalnie kongruencyę, która jest przecięciem zupełnem kompleksu z innym kompleksem liniowym specyalnym, utworzonym przez proste, opierające się na prostej danej ; wszystkie proste tej kongruencyi są stycznemi do jednej i tej samej powierzchni, która n a z y w a się powierzchnią kompleksu (Complexfläche, Pilic ker) Stosownie do tego, czy prosta dana znajduje się w skończoności lub w nieskończoności, powierzchnia kompleksu nazywa się południkową albo równikową (P 1 ii c k e r).

Jeżeli przez prostą daną przesuniemy płaszczyznę, to wszystkie proste kompleksu, znajdujące się na tej płaszczyźnie, obwodzą krzywą ; powierzchnia kompleksu jest miejscem takich krzywych o b w i e d n i c h.

Stożek, którego wierzchołek znajduje się w punkcie prostej a tworzące są prostemi kompleksu, jest opisany na powierzchni kompleksu, stąd powierzchnię tę można uważać ako obwiednią stożków kompleksu, których wierzchołki z n a j d u j ą się w punktach prostej.

Powierzchnie kompleksu stopnia n są rzędu i klas}^ 2n(n— 1), a prosta, na której opierają się jej styczne, będące prostemi kompleksu, jest prostą wielokrotną rzędu n(n—1); prosta ta jest wielokrotną dla powierzchni uważanej już to jako miejsce, już to jako obwiednia. Dla kompleksu stopnia 2-go, powierzchnie te są zatem rzędu 4-go i klasy 4-ej i mają prostą podwójną.'

Proste przestrzeni, do której należą powierzchnie kompleksu, przechodzące przez jeden punkt albo styczne do tej samej płaszczyzny, tworzą kompleks stopnia ?<(n—1).

Istnieją pewne punkty w przestrzeni, w których proste kompleksu, przez nie przechodzące, tworzą stożek z podwójną tworzącą; są też pewne płaszczyzny w przestrzeni takie, że obwiednie prostych kompleksu, znajdujących się na tych płaszczyznach, mają styczne podwójne. Te punkty i te płaszczyzny nazywająsi osobliwemi; miejscem pierwszych jest powierzchnia, będąca obwie d n i ą drugich (Pasch, Rozpr. Giessen 1870, Crelie LXXVI) i nazwana powierzchnią osobliwości kompleksu.

Prosta podwójna dla stożka, wychodząca z jednego z jej punktów, jest też podwójną dla obwiedniej, położonej na jednej z płaszczyzn, przez nią przechodzących. Ta prosta nazywa się prostą osobliwą kompleksu.

Może się zdarzyć, że wszystkie punkty prostej są punktami osobliwemi i wszystkie płaszczyzny, przechodzące przez nią. są płaszczyznami osobliwemi; wtedy prosta jest prostą podwójną kompleksu. Lecz nie może to mieć miejsca w kompleksie ogólnym.

Powierzchnia osobliwości kompleksu stopnia n jest rzędu i klasy — l)² (Clebsch, Math. Ann Y). Proste osobliwe kompleksu są przecięciami zupeł-nemi kompleksu z innym kompleksem stopnia %n—P, ■tworzą przeto kongruencyę stop nia i klasy 2 n(u—1).

Podajemy tu następujące twierdzenia Clebsclia (Math.

Ann. V):

Wierzchołki stożków, należących do kompleksu stopnia n i przeciętych przez prostą stalą w n punktach, dla których znika pewien niezmiennik dwójkowy stopnia li, tworzą powierzchnię

stopnia Jen, zawierającą tę prostą stałą, jako wielokrotną o wielokrotności .

Proste, przecinające stożek, należący do kompleksu stopnia n. w n punktach, mających określoną własność niezmienniczą, (dla których znika pewien niezmiennik dwójkowy stopnia k),

tworzą kompleks stopnia .

Tym twierdzeniom odpowiadają oczywiście twierdzenia dwoiste, które otrzymujemy, zastępując wierzchołki stożków płaszczyznami krzywych obwiednich, prostą punktową pękiem płaszczyzn i t. d.

W przypadku n— 4 otrzymujemy:

Wierzchołki stożków, należących do kompleksu stopnia 4-go i przeciętych przez prostą stałą w czterech punktach ró-wnoanharmonicznych albo harmonicznych, tworzą powierzchnię rzędu 8-go albo 12-go, której ta prosta jest poczwórną lub po-szóstną.

Proste, przecinające stożek określony stopnia 4-go w czterech punktach równoanharmonicznych albo harmonicznych, tworzą kompleks stopnia 4-go albo 6-go.

Mając kompleks (7=0 stopnia n, możemy określić kompleksy biegunowe prostej wprzestrzeni w sposób zupełnie analogiczny do tego, jaki jest stosowany w zwykłej teoryi biegunowości; jeżeli jp'ij są spółrzędnemi prostej danej, wtedy rów-

p'ij = 0 przedstawia kompleks stopnia n—1, na-

W ten

. v dC ,

dp#

zwany kompleksem biegunowym danego, sposób otrzymujemy inne kompleksy biegunowe.

Battaglini, a po nim Clebscli, wprowadził w przedstawieniu analitycznem kompleksów rachunek symboliczny, analogiczny do rachunku, używanego w teoryi niezmienniczej krzywych i powierzchni. Oto ten rachunek w postaci, udoskonalony przez Clebscha (Math. Ann. II).

Jeżeli spółrzędnemi są pij, to równanie kompleksu algebraicznego jest postaci:

■ VijVkhVim . . . = 0;

położmy symbolicznie:

ij,kh,lm • • • d/j Chfrh, Cl im . .

wtedy strona pierwsza poprzedzającego równania wyrazi się jako potęga symboliczna wyrażenia liniowego, t. j. jako

r ⁴ ]n

I JL Kij Pij ,

gdzie symbole a,-/mają własność zmieniania znaku przy przestawianiu skażników i i j. Otóż dowodzi się, że można zawsze i to tylko jednym sposobem wyrazić stronę pierwszą równania kompleksu j ako n- tą potęgę symboliczną pierwszej strony równania kompleksu liniowego (symbolicznego) specyalnego, t. j. mającego prostą stałą, jako kierownicę.

Niechaj P— 0 będzie rówmaniem kwadratowem. któremu czynią- zadość spółrzędne p,y; jest widocznem, że równanie F— 0 każdego kompleksu stopnia 1 daje się zawsze przedstawić w postaci F-f-MF— 0, gdzie F=0 jest równaniem danem, d/zaś formą stopnia n — 2 ze spółczynnikami dowolnemi. Jeżeli w powyższera wyrażeniu symbolicznem położymy:

(«,y = i,2,4,4) ,

wtedy kompleks liniowy ÆciijPij= 0 staje się kompleksem prostych, opierających się na prostej, łączącej dwa punkty ( a₁,a₂,a3}a₄), (b{, b₉, b₃, ć₄); lecz to znakowanie symboliczne daje się stosować wtedy tylko, kiedy pomiędzy spółczynnikami istotnemi kompleksu zachodzą pewne związki liniowe, stające się tożsamościowemu, gdy spółczynniki istotne wyrazimy przy pomocy czynników typu üibj— tijbi. Otóż jedyny związek, istniejący pomiędzy temi czynnikami, jest

(t/j = ci i bj— Hjbi

(Oyb2—{a?J>4—a₄&₃) -f- (fti ^3—Lh^i) (M;2— «2^4)

Mi) (M.i—M2) = 0.

Stąd j e d y n e m i związkami stopnia n - tego pomiędzy wyznacznikami typu a*bj — ajb,- będą te, które otrzymujemy, mnożąc związek poprzedzający przez jakąkolwiek kombinacyę jednomianową stopnia u—2 tychże wyznaczników; jeżeli to uczynimy, to każdy z trzech wyrazów poprzedzającego związku stanie się spółczynnikiem istotnym kompleksu; pomiędzy te-mi spółczynnikami musi tedy zachodzić związek liniowy:

a\2i 34’ lm ’ • ■ • “j⁻ ®135 42’ lm f • • •    23’ lm ) * • • ⁼⁼ 0.

Otóż, w ogólności pomiędzy spółczynnikami wyrażenia F nie zachodzą związki tego gatunku, ale można zawsze wybrać i to jednym sposobem formę M tak, ab y spółczynniki wyrażenia F-j-MP czyniły zadość tym związkom. Dowiódł tego Clebsch (Math. Ann.

II). Postać, którą w ten sposób przybiera równanie kompleksu, nazywa się postacią normalną. Clebsch okazał, że jest nią:

1. n-A-1

1.2 .(n-j-l)n

A²F—

1.2.3. (n+l)n(n—l)

AlF-f . . . =0,

gdzie

A F=

à² F

à² F

o² F

dp 12 d p , 4

dPi 3 dpi2

àpu dp

-; A²F=A(AF), A³P=a[a(AF)1

23    L    J

i t. d.

Przestrzeń prostych przekształca się na samą siebie przez każde przekształcenie rzutowe lub dwoiste przestrzeni punktów i płaszczyzn; grupa wszystkich przekształceń liniowych pomiędzy spółrzędnemi p,j, przez które przestrzeń prostych przekształca się na samą siebie, jest grupą wszystkich i tylko tych przekształceń liniowych, dla których związek

pozostaje niezmienionym Spółczynniki kompleksu niechaj będą a>tj,hk • • • , spółczynniki przekształconego przez jedno z tych przekształceń niechaj będą «b/, m- •. • ; te drugie wyrażają się liniowo przez pierwsze. Pojęcie niezmienników kompleksu wypływa stąd bezpośrednio; niezmiennikiem (albo spół-zmiennikiem) stopnia k kompleksu nazywamy funkcyę wymierną całkowitą stopnia k względem spółczynni-ków a (albo stopnia k względem spółczynników a i innego jakiegokolwiek stopnia względem spółrzędnych p), która — jeżeli odwrócimy uwagę od ewentualnego czynnika, będącego potęgą wyznacznika podstawienia — pozostaje niezmienioną, gdy zamiast ilości a podstawimy ilości a! (albo gdy zamiast ilości a podstawimy ilości a! i zamiast spółrzędnych p spółrzędne przekształcone p')

§ 3.

Kompleksy liniowe.

Równaniem ogólnern kompleksu liniowego jest:

Przyjmijmy, że spółczynniki a czynią zadość związkowi: A == Cj >    -f- ni3 ał2 —(-    4 ^23 ⁼⁼⁼ 0 >

wtedy kompleks będzie utworzony przez wszystkie proste, opie-prostej danej, której spółrzędnemi są ilości a#: ma-kompleks iniowy s ecyalny. Kompleks n y n i e z iennik 4.

rające się na

1 rd

li iowy maje

Jeżeli damy sobie punkt w przestrzeni, to proste kompleksu, przezeń przechodzące, znajdują się na jednej płaszczyźnie i są ystkiemi prostemi płaszczyzny, przez ten punkt przechodzą-

wsz

cemi; jeżeli znowu mamy daną płaszczyznę, to wszystkie na mej położone proste kompleksu obwodzą punkt.

Przy pomocy kompleksu ustanawia się tedy biegunowość przestrzenna specyalna, a mianowicie jedna z tych, które nazwaliśmy biegu nowością mi zerowe m i lub układami zero w e m i (patrz Rozdz. I § 4, Rozdz. X § 2). Punkt i płaszczyzna, sprzężone w tej biegunowości, nazwać można także sprzężonemi względem kompleksu.

Dwie proste przestrzeni, odpowiadające sobie w biegunowości zerowej, nazywają się sprzężonemi względem kom leksu; proste kompleksu liniowego są sprz żonę mi same ze sobą.

Dwie proste sprzężone, jeżeli nie zlewają się, nie mogą się spotykać. Każda prosta, opierająca się na dwóch prostych sprzężonych, należy do kompleksu; odwrotnie, każda prosta kompleksu, spotykająca prostą, nie należącą do niego, spotyka także i prostą sprzężoną.

Średnicami kompleksu nazywamy proste sprzężone z prostemi w nieskończoności przestrzeni; płaszczyznami średnico w emi kompleksu nazywamy płaszczyzny sprzężone z punktami w nieskończoności.

ą wszystkie r wnoległe do siebie i d p i a s z zyzn średnic w y c h.

r te kompleksu w liczbie nieskoń ce się na płaszczyźnie średni

c®

S r dni ce

'O o

o ts:

11 e J,

w ej, są wszystkie równoległe.

Osią kompleksu nazywa się jego średnica (jedyna), prostopadła do płaszczyzn, przechodzących przez sprzężoną z nią prostą w nieskończoności.

Dla każdej roste) kompleksu iloczyn jej odległości naj niejszej od osi przez styczną trygonometryczną kąta, jaki tworzy z osią, jest stały. Ten iloczyn stały nazywa się parametrem kompleksu.

Kompleks liniowy przekształca się sam a s i e b i

każdy ruch śrubowy (h e 1 i s o i-

a lny) o

a s n e j osi.

Kompleks liniowy można utworzyć rozmaitemi sposobami :

1.    przy pomocy prostych zjednoczonych biegunowości zerowej;

2.    budując wszystkie proste, opierające się na różnych parach tworzących sprzężonych w jakiejkolwiek inwolucyi, ustanowionej pomiędzy tworzącemi kwadryki (Chasles, Journ. do Liou-ville (1) IV); 3. budując wszystkie proste, przecięte przez dwa wzajemnie rzutowe pęki płaszczyzn według prostych punktowych w inwolucyi; 5. budując proste, z których dwie proste punktowe o pokładach nie spotykających się, rzucają się według inwolucyi płaszczyzn; 4. budując wszystkie proste, opierające się na parach odpowiadających sobie promieni w dwóch pękach rzutowych promieni w różnych płaszczyznach i z różnemi środkami, ale mających promień wspólny, odpowiadający samemu sobie (Sylvester, Compt. rend. LII, 1861).

O konstrukcyi kompleksu liniowego z danych pięciu jego prostych patrz Sturm 1. c str. 107 i nast.

§ 4.

Pęki i sieci kompleksów liniowych.

Mając równania dwóch kompleksów liniowych, utwórzmy kombinacyę liniową pierwszych ich stron i przyrównajmy ją do otrzymamy wtedy równanie pęku kompleksów'

zera; liniowych.

Pęk kompleksów liniowych zawiera w ogólności dwa kompleksy liniowe, które są specyal-n e m i.

Stąd:

dwóch prostych danych.

Przecięcie dwóch kompleksów liniowych jest w ogóle kon-gruencyą rzędu i klasy 1 (kongrnencya liniowa — kongruencya podstawowa pęku), utworzoną we wszystkich prostych, opierających się na

Jeżeli dwa kompleksy specyalne pęku zlewają się, wtedy kongruencya, będąca ich przecięciem, jest kongruencyą spe-c y a 1 n ą, mającą jednę tylko kierownicę.

Jeżeli wszystkie kompleksy pęku są specyalnemi, wtedy kongruencya, będąca przecięciem ich jest utworzona ze wszystkich prostych, znajdujących się na jednej płaszczyźnie i ze wszystkich prostych przestrzeni, przechodzących przez jeden punkt tejże płaszczyzny.

Osi wszystkich kompleksów liniowych pęku tworzą powierzchnię prostoliniową sześcienną o kierownicach różnych, z których jedna jest kierownicą w nieskończoności. Równanie tej powierzchni prostoliniowej daje się sprowadzić do postaci :

( P 1 ü c k e r)

z (a?² -|- y²) — rxy = 0;

C a y 1 e y nazjwva ją c y 1 i n d r o i d ą.

Jeżeli mamy równania trzech kompleksów liniowych: (7—0, G'= 0, (7"=0, to równanie C-f~^ 6'' -f /t C0 przedstawia sieć kompleksów liniowych.

Przecięcie trzech kompleksów liniowych jest w ogólności powierzchnią prostoliniową rzędu 2-go; oo¹ kierownic wszystkich kompleksów liniowych^ zawartych w sieci, tworzy drugi układ tworzących tejże samej prostoliniowej rzędu 2-go.

Osi wszystkich co² kompleksów sieci tworzą kongruencyę rzędu 2-go i klasy 3-ej, składającą się z prostopadłych wspólnych oo² parom tworzących prostoliniowej rzędu 2-go podstawowej.

Kompleks liniowy badali pierwsi: Giorini (Mein. Soeietà dci quaranta XX, 1828), 71 ö b i u s (Grelle X) i Chasles (Coït. math. VI, 1830, Journ. de Liouv. IV, 1839); potem zajmowali się niemi, prócz P1 ü c k e ra, K e y e (Grelle LXIX, LXXXVI, XCV i t. d.), P a s c h (tamże LXXV), D’O vidi o (Acc. Torino 1881, Ann. di mat. VHII, Lincei (2) 111), De P a o 1 i s (Mem. Lincei 1885) i t. d.

Należy zauważyć, że teorya figur wzajemnych w statyce graficznej ma związek najściślejszy z teoryą kompleksów liniowych.

Badano układy kompleksów liniowych, pozostające w związku rzutowym, i utwory geometryczne, utworzone przez proste wspólne odpowiadającym sobie kompleksom (patrz Segre, Acc. Torino 1883 — 4, M o n t e s a n o, Acc. Napoli 1886).

O badaniu przestrzeni prostoliniowej, a w szczególności kompleksów liniowych przy pomocy Geometryi stożkowych na płaszczyźnie patrz Cr e m o n a (Giorn. di Battag, YHI), Aschieri (Rend. Ist. Lomb. 1879, Memorie, tamże 1883), Segre (Acc. Torino 1885).

Odwzorowanie kompleksu liniowego w przestrzeni punktowej (pierwszy pomysł tego odwzorowania zawdzięczamy K 1 e i n o w i) badali specyalnie Caporali (Mem. Lincei 1877—1878) u D e 1 P e z z o (Rend. Palermo I).

<irr>

Kompleksy liniowe inwolucyjne Kleina.

Æ bij Pu = 0

Jeżeli dwa kompleksy liniowe — UtjPij ⁼⁼

są takie, że niezmiennik

^12^34 “I“ %3 ^42 H~ a14^23 “l⁻ %4^12 ~t~ fl42 ^13 “H °23^14

jest zerem, 'wtedy dwa kompleksy nazywają się inwolucyj-nemi (Klein, Math. Ann. II).

i o w y specyalny jest sobą.

PT

Pi

o m p 1 e k s li y m z e s a m y Może być aż do sześciu kompleksów liniowych, z których każde dwa są ze sobą w inwolucyi; istnieje oo¹⁵ takich szóstek kompleksów liniowych; każda z tych szóstek składa się zawsze z samych kompleksów niespecyalnych.

Badanie tych szóstek wiąże się z nowerni spółrzędnemi prostej, wprowadzonemi przez Kleina (patrz § 1). Jeżeli przez X'—0 oznaczymy równania sześciu kompleksów szóstki, wtedy równanie kwadryki zasadniczej przestrzeni pięciowymiarowej (patrz § 1) będzie x? = 0. Każdy inny kompleks liniowy wyraża się równaniem Æa^Xi — O, a dwa kompleksy £ a^Xi — 0, J2biXt = 0 są inwolucyjnemi wtedy, gdy aibi — 0.

Z sześciu kompleksów inwolucyjnych przecinają się każde dwa razem według 15 kongruencyj liniowych o kierownicach różnych (patrz § 11): kierownice jednej z nich należą do czterech innych kompleksów zasadniczych i opierają się na 12 kierownicach sześciu kongruencyj. przez nie określonych.

Wychodząc z tych pojęć, otrzymujemy godne uwagi konfi-guracye i jednę konfiguracyę 16 punktów i 16 płaszczyzn, tę samą, co konfiguracjcę punktów i płaszczyzn osobliwych powierzchni Kummera (patrz Kozdział XII).

Co do innych szczegółów patrz Klein (1. c.), K o e n i g s (Gréom. réglée, Ann. de Toulouse VIII, 1893) i dzieło S tu r m a. O zastosowaniach do powierzchni Kummera patrz rozprawę Re ich ar dta, cytowaną w § 3 Rozdziału XII.

co

Kompteksy kwadratowe w ogólności.

Cb

Komple k ch, a więc swoich prostyc . owierzchnia

w a d r a t o kter y

CS!

te

al ży od 19 sta si przy pomoc

CD

co*

eksii, odnosząca si nej prostej r, j est zęduiklasyd; prost r j e s t dla niej prostą podwójną (patrz wyżej).

o Ul

Miejscem wierzchołków stożków kompleksu, względem którego dwa punkty są wzajemnemi, jest powierzchnia rzędu 2-go, przechodząca przez dwa punkty (B a 11 a g 1 i n i).

jNa każdej prostej r są cztery punkty Alf A₂, A₃, A\ takie, że stożki kompleksu, mające w tych punktach wierzchołki

roz-

padają się na dwie płaszczyzny; przez każdą prostą r przechodzą cztery płaszczyzny a,, a.₂, a:i, a₄ takie, że proste kompleksu, położone na nich, obwodzą dwa punkty.

Punkty A są punktami ostrzowemi dla powierzchni kompleksu, odnoszącej się do prostej r (podwójnej dla powierzchni); płaszczyzny zaś a są czterema płaszczyznami, przechodzącemu przez prostą r, których dwa punkty styczności z powierzchnią zlewają się w jeden.

Stosunek anłmrmoniczny czterech punktów A równa się stosunkowi anharmonicznemu czterech płaszczyzn a (K 1 e i n? Math. Ann. II, VII).

Punkty A i płaszczyzny a tworzą i obwodzą tę samą powierzchnię rzędu i klasy 4-ej (powierzchnię osobliwą kompleksu kwadratowego) (patrz § 2). Ta powierzchnia jest powierzchnią Kummer a.

Każdemu punktowi A odpowiada prosta a, przezeń przechodząca (prosta podwójna stożka z wierzchołkiem w punkcie A)', każdej płaszczyźnie a odpowiada prosta a', na niej położona (prosta podwójna dla obwiedniej, położonej na płaszczyźnie a); proste a i a' są proste mi o s o b 1 i w e m i kompleksu (patrz § 2).

Do każdej prostej osobliwej r należy punkt osobliwy S na na niej i płaszczyzna osobliwa 0, przez nią przechodząca; jest ona styczna do powierzchni osobliwej w punkcie osobliwym S i przecina tę powierzchnię w dwóch innych punktach, które są środkami dwóch pęków, położonych na płaszczyźnie osobliwej 0 Dwie inne płaszczyzny styczne, poprowadzone przez prostą s, są dwiema płaszczyznami, tworzącemi stożek o wierzchołku w punkcie *S.

Każda płaszczyzna n przecina powierzchnię osobliwą według krzywej stycznej w każdym punkcie przecięcia do krzywej kompleksu (patrz § i;, położonej na płaszczyźnie n; proste styczne wspólne są prostemi osobliwemi dla kompleksu; własności tej odpowiada własność wzajemnie dwoista.

Płaszczyzny takie, że położone na nich krzywe kompleksu przecinają dwie proste dane, albo przecinają jednę prostą i dotykają jednej płaszczyzny, albo wreszcie dotykają dwu płaszczyzn, obwodzą powierzchnię rozwijalną klasy 16 albo 8 albo wreszcie 4 ej.

Powierzchnia prostoliniowa, utworzona przez proste osobliwe, spotykające prostą daną, jest rzędu 8-go, a wszystkie proste osobliwe tworzą kongruencyę rzędu i klasy 4.

Jest 16 płaszczyzn, na których krzywe kompleksu są utworzone z dwu punktów nieskończenie blizkich—i wzajemnie: jest 16 punktów, w których stożki kompleksu składają się z dwóch zlewających się płaszczyzn.

Te 16 punktów i 16 płaszczyzn są punktami i płaszczyznami osobliwemi powierzchni Kummera, która jest powierzchnią osobliwą kompleksu Te 16 punktów znajdują się na wszystkich powierzchniach kompleksu, odnoszących się do jakichkolwiek jDrostych, a 16 płaszczyzn dotyka tychże powierzchni.

Jeżeli dana jest powierzchnia Kummera, to kompleks tworzy się w sposób następujący: Na płaszczyźnie stycznej o do powierzchni w punkcie S weźmy prostą osobliwą &• kompleksu; ta prosta przecina powierzchnię w dwóch innych punktach. Weźmy na płaszczyźnie o dwa pęki promieni, których środki znajdują się w tych punktach; ogół tych wszystkich oo² pęków, otrzymanych przy zmienianiu płaszczyzny o, jest właśnie kompleksem żądanym.

Kozważmy teraz pęk promieni ze środkiem w punkcie o, położonych na płaszczyźnie o oraz oo² takich pęków. Dowodzi się, że można ustanowić pomiędzy niemi odpowiedniość rzutową taką, że jeżeli weźmiemy w jednym z nich jakikolwiek promień, a we wszystkich innych promienie mu odpowiadające, i jeżeli brać będziemy dwa inne punkty spotkania tych promieni z powierzchnią, a następnie dwa pęki promieni, położone odpowiednio na płaszczyznach stycznych i mające środki w tych dwóch punktach, wtedy te oo² pęków promieni tworzą inny kompleks kwadratowy, mający⁷ tę samą powierzchnię osobliwą, co kompleks dany. Mamy tym sposobem oo¹ kompleksów kwadratowych, które nazywają się spółogniskowemi (Klein i Lie, u Segrego — o m o f o c a 1 i) 1 u b będącemi w inwolu-cy i (Sch u r) lub wreszcie s p ó ł o s o b 1 i w e m i (Stur m).

Ponieważ równanie powierzchni Kmnmera zależy od 18 stałych, równanie zaś powierzchni kompleksu kwadratowego od 19 stałych, przeto istotnie, jak widzimy, będzie oo ¹ kompleksów kwadratowych z tą samą powierzchnią osobliwą.

Co do sposobu ustanowienia opisanej wyżej odpowiedniości odsyłamy do 8 t u r m a 1. c. III, str. 32.

Każda prosta przestrzeni należy do czterech kompleksów spółogni skowych.

Kongruencya, utworzona przez proste osobliwe kompleksu kwadratowego, możebyćuwa-żana jako przecięcie kompleksu danego z innym kompleksem, nieskończenie ało r cym się od pierwszego w szeregu om ple só spółogniskowych z danym.

Prosta osobliwa kompleksu, która jest ściśle styczną {o styczności trójpunktowej) do powierzchni Kummera, nazywa się prostą osobliwą rzędu 2 - g o kompleksu (Segre); jeżeli zaś ma styczność czteropunktową z powierzchnią Kummera, nazywa się styczną o s o b li wT ą rzędu 3-go (Segre).

Proste osobliwe rzędu 2-go kompleksu kwadratowego tworzą powierzchnię prostoliniową rzędu 16; proste zaś osobliwe wszystkich kompleksów szeregu spółogniskowego tworzą kon-gruencyę rzędu i klasy 24.

Prostych osobliwych rzędu 3-go kompleksu kwadratowego danego jest 32; proste osobliwe kompleksów szeregu spółogniskowego tworzą powierzchnię prostoliniową rzędu 64-go, która rozpada się na 16 obwiednich kwadratowych, zawartych w każdej z płaszczyzn podwójnych powierzchni Kummera i na 16 stożków kwadratowych, wychodzących z każdego z 16 punktów podwójnych tejże powierzchni.

Jeżeli zastosujemy spółrzędne Kleina (§ 1), to równanie kompleksu kwadratowego da się napisać w po-6

s t a c i Jl ki xr — 0, gdzie spółrzędne x są połączone związkiem Jjj oćr =0. Proste osobliwe rzędu 1-go są przecięciem

kompleksu danego z kompleksem, mającym za równanie

6

lei*— 0; proste osobliwe rzędu 2-go są przecięciem kon-

6

gruencyi poprzedzającej z kompleksem h? x? =0. wreszcie

6

dla prostych osobliwych rzędu 3-go mamy JZkf x² = 0. Rów

naniem szeregu kompleksów spółogniskowycli

e x‘ż

= 0, gdzie X jest parametrem zmiennym. Mo-

j e s t• 2

i

żnaby mniemać, że pomiędzy temi oo kompleksami niema kom-

pleksu o równaniu    /t,-r*² = 0; ale zauważmy, że równanie to

i

6

można napisać w postaci    0, gdyż JZ xr= 0, arów-

i

nanie szeregu kompleksów w postaci :

-ł

ki -j X

= 0 lub

(hiĄ-p)

i ( u - X i (/fj-j- X)

:r.f = 0,

lub wreszcie

mując, że X dąży do oo i z uwagi, że lim

2=00

x²—0. Mnożąc przez przez kt-j-A , przyj-

/r* -j~ /

Zr,- -f X

1 (dla 2=1,2,...6),

6

otrzymujemy (k, -J--/u ) x? = 0.

Kompleksami kwadrafcowemi zajmował się pierwszy B a 11 a-g 1 i u i (Acc. Napoli 1865, Giorn. di ßatt VI), który badał szczególny kompleks kwadratowy, noszący jego nazwisko, (patrz § 7); należy wszakże nadmienić, że z początku mniemał on, że ten kompleks jest najogólniejszy, czemu potem zaprzeczył Klein (Rozpr. Bonn. 1868). W dziele P 1 ii c k e r a podana jest po raz pierwszy teorya kompleksów kwadratowych, które były potem szczegółowiej badane przez C 1 e b s c li a, Kleina, Liege; wykładowi obszernemu teoryi tych kompleksów jest poświęcony tom III cytowanego już dzieła S t u r m a. Z innych prac o kompleksach kwadratowych wymieniamy: Caporal i’ego (Lincei Mem. 1878) który podał ich odwzorowanie w przestrzeni punktowej, S cdi u r a (Rozpr. Berlin 1879),

Re y e ego (Grelle, LXXXVI, XCIII, XCV,XCVII, XCVIII), Segre’ go (Acc. Torino 1883 — 4) który rozwija teoryę Kleina, t. j. bada geometryę na kwadryce w przestrzeni pięcio wymiarowej, Monte -sano (Acc. Napoli 1886) i t. d. 0 klasyfikacyi kompleksów kwadratowych i o najbardziej godnych uwagi takich kompleksach mówimy w paragrafach następnych. O teoryi biegunowości (patrz § 2) względem kompleksu kwadratowego, o biegunowości (będącej szczególnym przypadkiem poprzedniej) średnic, środków i t. d. pisał specyalnie Plticker (patrz § 567—585 tomu III dzieła Sturm a). He ye (Crelle XCVIII) podał klasyfikacyę kompleksów ogólnych stopnia 2-go, opartą na liczbie elementów urojonych w nich zawartych. Odróżnia on kompleksy hyperboliczne, paraboliczne, eliptyczne i urojone.

Klasyfikacya kompleksów kwadratowych

Oznaczmy przez P = 0 (patrz § 2) związek kwadratowy tożsamościowy pomiędzy spółrzędnemi prostej lub równanie kwadryki zasadniczej w przestrzeni p i ę ci o wy m i a r o w ej, przez C= 0 równanie innej takiej kwadryki w tejże przestrzeni, że przecięcie jej z pierwszą daje rozmaitość, odpowiadającą kompleksowi kwadratowemu prostych. Utworzymy klasyfikacyę kompleksów, r o z w a ż a j ą c wyróżnik kwadryki P-j-ż (7 = 0, będący stopnia szóstego względem ż; wyróżnik ten jest właściwie wyznacznikiem A rzędu 6-go. Jeżeli pierwiastki tego wyznacznika są wszystkie różne, t. j. gdy pęk kwadry k zawiera sześć stożków różnych, wtedy mamy przypadek kompleksu ogólnego z 19 s t a ł e m i (patrz § 6); powierzchnią osobliwą jest wtedy powierzchnia ogólna Kumme r a. Może się zdarzyć, że powierzchnia ta staje się tetraedroidą (patrz § 4 JRozdz. XII), wtedy mamy t. z w. kompleks Battagliniego lub kompleks

harmoniczny, którego przypadkiem szczególnym jest kompleks Pain vin a; w tym ostatnim powierzchnią osobliwą jest powierzchnia Fresnela (patrz Pozdz. XII § 4). Należy dalej rozważyć przypadki, w których niektóre z pierwiastków wyróżnika A są równe, lecz żaden z nich nie zamienia na zero wszystkich minorów rządu 5-go wyznacznika rzędu 6-go. Wtedy niektóre ze stożków kwadry-kowycli, o których mowa wyżej, zlewają się. Daj my, dla ustalenia myśli, że zlewają się dwa z nich, trzy i t.d.; wtedy kompleksy oznaczać będziemy symbolami [21111], [31111] i t. d.; kompleks zaś ogólny oznaczać będziemy analogicznie przez [111111]. W tych przypadkach kompleks ma proste podwójne (patrz § 3), które są zarazem prostemi podwój-nemi dla powierzchni osobliwej. Prócz przypadku ogólnego, rozróżniamy 10 p r z y p a cl k ó w i otrzymujemy następującą tablicę:

te Symbol

! o f5 tr i

Liczba prostych kompleksu

Powierzchnia osobliwa

[21111] 18 [3111]    17

[411]    16

[51]

15

Rzędu i klasy 4-ej z jed-\ ną prostą, podwójną. Jest j ona powierzchnie], komple-I ksu kwadratowego ogólną, | ' odnoszącą się do jednej ja-/ kiejkolwiek prostej, — do i prostej kompleksu , — do i osobliwej rzędu 1 - g o,

! wreszcie do'osobliwej rzędu ! '    2-go.

6 | [2211] 7 ! [32!]

17

16

2 proste, przecinające sio

Rzędu i klasy 4-ej z 2 prostemi spotykającemu się Powierzchnia kompleksu kwadratowego ogólna, odnosząca się do stycznej powierzchni Ku minera. Proste są: obie podwójne— jedna ostrzowa — dwie ' ostrzowe.

10

11

[222]

[42]

[fi]

16

15

14

3 proste, położone | na jednej płaszczyź- J ^ nie, albo też (uwa- I żając dwoiście) przechodzące przez ! jeden punkt x)

Powierzchnia Cayley’a 3 - go rzędu, 4 - ej klasy i płaszczyzna, przechodząca przez trzy proste (lub dwoiście).

Powierzchnia Steinera 4-o rzędu i 3-ej klasy (patrz Rozdzi XI i XII) i punkt na trzech prostych.

Powierzchniakompleksowa kompl ksu ogólnego^dno-sząca się do prostej osobliwej rzędu 3-go.

•NI

Liczbaj Symbol sta-łych |

Liczba prostych podwójnych kompleksu

Powierzchnia osobliwa

x) W kompleksie [42] dwie z trzech prostych zlewają się, w kompleksie [6] wszystkie zlewają się. Wynika stąd sprzeczność pozorna pomiędzy rezul tatami u różnych autorów: W e i 1 e r a (cyt. niżej), Segrego i S t u r m a. Na okoliczność tę zwracamy uwagę, celem ustrzeżenia się od pomyłek.

W przypadkach 9, 10, 11 powierzchniami osobliwemi są właściwie, prócz płaszczyzny, powierzchnie, oznaozonemi numerami 16. 18, 19 wr klasy fi kacy i C a y 1 e y'a (Mem. on Cubic surfaces, Phil. Trans. 1869, Część 1 str. 117) i dwoiście.

Należy teraz rozpatrzyć przypadki, w których wyznacznik A rzędu 6-go ma pierwiastki wielokrotne, zamieniające na zero wszystkie minory rzędu 5-go wyznacznika A, które oznaczać bodziemy przez A', albo też wszystkie minory rzędu 4-go, które oznaczać będziemy przez A”. Przyjmiemy następujące znakowanie dla kompleksów w tych przypadkach. Niechaj dany pierwiastek wyznacznika A będzie wielokrotności v, niechaj jego wielokrotność dla wszystkich minorów będzie v i niechaj ten pierwiastek n i e zamienia na zero w s zystkich minorów A". Odpowiadający temu pierwiastkowi kompleks oznaczać będziemy

symbolem [{v—v', /), r, s.....], gdzie r-j-r-j-s-f-. .—6 i gdzie r,s....

oznaczają wielokrotności innych pierwiastków wyznacznika A (w założeniu, że te inne pierwiastki nie zamieniają na zero wyznaczników Ab. Innemi słowy, jeżeli założymy, że pierwiastek

wielokrotności v wyznacznika A jest pierwiastkiem wielokrotności v wyznaczników A, to w symbolu, poprzednio (str. 460) dla kompleksów^ podanym, można będzie zamiast liczby v wdziać symbol (v—vr, v). Podobnie, jeżeli pewien pierwiastek jest wielokrotności v dla wyznacznika X wielokrotności v dla wszystkich wyznaczników A', wreszcie wielokrotności v" dla wszystkich wyznaczników A", wtedy w tymże symbolu zamiast liczby v można będzie wziąć symbol (v — v\ v'—vv, v"). Dowodzi się, że jest zawsze v —    v'^>v" (Weierstrass). Tak np.

symbol [i32)l] oznacza, że z sześciu pierwiastków wyznacznika A jeden jest wielokrotności 5 i jest podwmjnym dla wszystkich wyznaczników A'; symbol [(111)21] oznacza, że z sześciu pierwiastków wyznacznika A jeden jest pojedynczym, jeden jest podwójnym i nie sprowadza do zera wszystkich wyznaczników A'; inny znów jest potrójnym dla A, podwójnym dla wszystkich wyznaczników A", pojedynczym dla wszj'stkich wyznaczników A" i t. d. To znakowanie przeniesione zostało z teoryi dzielników elementarnych Weierstrass a, o której mówimy w Eozd. III § 4.

Zagadnienie zasadnicze tej teoryi, a mianowicie zagadnienie o równoczesnem przekształceniu dwóch danych form jednego stopnia o m zmiennych na postaci kanoniczne zawiera w sobie dla n — 2, m — 6 zagadnienie o klasyfikacjo kompleksów kwadratowych (Klein, Math. Ann. II, str. 203) (patrz też Eozdz. III § 4 oraz najnowsze dzieło Mutha „Theorie und Anwendung der Elementartheiler“, Lipsk 1899).

Podamy teraz tablicę wszystkich przypadków, które wymieniliśmy wyżej. W tych wszystkich przypadkach powierzchnia osobliwa jest zawsze prostoliniową: w przjrpadkach, gdy wszystkie wyznaczniki A" znikają dla pewnego pierwiastka wyznacznika A, powierzchnia osobliwa zniekształca się na kwadry kę podwójną.

JÉ

Liczba! Symbol sta- I łych I

Liczba prostych podwójnych kompieksu

Powierzchnia osobliwa

12

r ennui]

17 j 2 proste skośne.

13

[(11)211]

14    [(11)31]

16    3 proste, z których je

dna spotyka dwie pozo-! stałe wzajemnie skośne.

15 Tożsamo

prostoliniowa rzędu 4-go z dwiema kierownicami po-dwójnemi i bez tworzących podwójnych (typ XI Cremony. patrz Rozdz. XII § 10).

Takaż powierzchnia z tworzącą podwójną (typ Y Cremony ogólny)

Takaż powierzchnia z tworzącą ostrzowa (typ Y Cremony z tworzącą ostrzową).

l5

[(11)22]

15    4 proste, z których 2

¹ skośne i 2 proste spo-kająsię: jedna z dwóch pierwszych tworzy ; z dwiema drugiemi trójkąt a jedna trój-i ścian.

Prostoliniowa sześcienna z dwiema kierownicami, jedną podwójną i jedną pojedynczą, punkt na kierownicy podwójnej i płaszczyzna, przechodząca przez kierownicę pojedynczą i przecinająca kierownicę podwójną w punkcie jakimkolwiek (nie ostrzowym). Prostoliniowa sześcienna ma dwa punkty i dwie płaszczyzny ostrzowe odpowiednio na jednej i na drugiej z dwu kierownic.

16

[(11)4] i 14

Tożsamo.

17

(21)111]    16    2 proste skośne

18

[('21)21]    15

3 proste, z których 2 skośne przecina trzecia

19

[021)3]

R3D11]

CO

rH rH

Tożsamo.

Takaż powierzchnia ale punkt i płaszczyzna sąostrzo-wemi.

Prostoliniowa rzędu 4 - go z dwiema zlewającemi się kierownicami ( typ XII Cremony). Do tej kierownicy należą 4 punkty i 4 płaszczyzny ostrzowe.

Prostoliniowa“ 4-go rzędu (typ YI Cremony) z tworzącą podwójną.

Takaż z tworzącą ostrzową.

Prostoliniowa rzędu 4-go z prostą potrójną, która jest kierownicą pojedynczą z tworzącą podwójną (typ X C r e-m o n y).

.V«

Symbol

Liczba stałych

Liczba prostych j pddwojnych kompleksu

Powierzchnia osobliwa

21

[(31)2] |    14

Jak w przyp. 15-ym.

22

[(4i)i] ; u

Jak w przyp. 18-ym.

23

[51)]

13

Jak w przyp. 15-ym.

24

[(22)11] | 14

Pęk prostych

i rostolmiowa sześcienna C a y 1 ey’a z pu aktem i płaszczyzną, jak w przypadku 15.

Jak w przyp. 20, ale prosta ; potrójna jest tworzącą ostrzo-i wą inietylko podwójną) (typ |X C remony) z płaszczy-| znami statecznemi zlewają-

; jącemi się.

■

Prostoliniowa sześcienna Cayley’a, punkt i płaszczyzna jak w przyp. 16-ym.

Stożek kwadrykowy i stożkowa.

25

[(32)1] ! 13

Tożsamo

26

[(22)2]

27

(42)]

13 Pęk prostych i nadto | prosta, przechodząca j przez środek pęku albo J (dwoiście) znajdująca się na płaszczyźnie pęku

12 Tożsamo.

| Stożek kwadrykowy i stożkowa, przechodząca przez i wierzchołek stożka: płaszczyzna stożkowej jest styczna do stożka.

Jak w przypadku 24-ym, tylko, że stożek rozpada się na dwie płaszczyzny, albo (dwoiście) stożkowa rozpada się na dwa punkty.

28

[(33)]

11

D wie płaszczyzny i stożkowa styczna do wspólnego ich przecięcia, albo—dwoiście — stożek i dwa punkty na jednej z jego tworzących (przypadek szczególny przypadku 26-go)

Pęk prostych i dwie j Płaszczyzna potrójna, punkt proste, jedna na płasz- | potrójny: inna płaszczyzna ezyźnie pęku, druga i punkt do niej należący.

przechodząca przez środek.

4 proste, tworzące czworobok skośny.

Dwie kwadryki, przecinające się według czworoboku skośnego

Jyo

Symbol

Liczba

sta

łych

Liczby prostych podwójnych kompleksu

Powierzchnia osobliwa

30

14 j 5 prostych, tworzących czworobok, i 1 przekąt-

na.

31

[(-21)(11)1]

14

Jak w przyp. 29.

32

[(21)121)]

13

Tożsamo.

33

[22) (11)]    12

Jak w przyp. 28-yni.

34    [(31)(11)]    13

35    [(ll)H)(ll)]j 13

Jak w przyp. 30-ym.

6 krawędzi czworościanu.

Jedna z kwadryk staje się parą płaszczyzn stycznych do drugiej (kompleks H i r-s t a, Collect, math. Medyolan 1881, str. 51, Lond. Math. Soc. Proc. X) Tworzy się on przy pomocy dwóch płaszczyzn wzajemnie rzutowych (patrz Stur m III, str. 429—430).

Dwie kwadryki, mające prostą wspólną, liczoną dwa razy, i dwie inne proste, przecinające poprzednią.

Dwie kwadryki, mające wspólną parę prostych, liczonych dwa razy.

Dwie płaszczyzny i dwa punkty; jedna płaszczyzna i jeden punkt do niej należący, liczone dwa razy.

Jak w j trzy pad ku 30-ym.

36

[(111)111]    14

37

[(111)21]

13

Jeden układ tworzących kwadryki.

Jeden układ tworzących kwadryki i jej kierownica.

4 płaszczyzny i 4 punkty, stanowiące ściany i wierzchołki czworościanu. Jest to k o m-pleks czwórościano-wy (tetraedralny) (patrz §9).

Kwadryka, liczona dwa

razy.

Tożsamo.

38

39

[(111)3] !    12

[(211)11]    13

Tożsamo.

Tożsamo.

Dwa pęki promieni.

40

[(211)2]

12

[(311)1]

Dwa pęki promieni i jedna prosta podwójna w każdym z nich.

Dwa pęki promieni.

2 płaszczyzny podwójne, a na ichprze cieciu dwa punkty podwójne.

Tożsamo.

Pascal Eep. II.

30

Symbol

Liczba

sta

łych

Liczby prostych podwójnych kompleksu

Powierzchnia osobliwa

42

43

rc4ii)j

r(22i)ii

Tożsamo.

Tożsamo.

11

44

45

[(32.)]

[222]

10

Dwa pęki promieni, zlewające się.

Tożsamo.

Sieć lub dwoiście wiązka promieni.

Płaszczyzna i punkt do niej należący, liczone 4 razy.

Tożsamo.

46

[(111X11)1]    12

47

rai 1)21] ii

48

[(211)11]

11

49

[(111X111)]

Jeden układ tworzących kwadryki i dwie różne jej kierownice.

Tożsamo, ale dwie kierownice zlewające się.

Dwa pęki promieni i dwa promienie, jeden należący do jednego pęku, drugi do drugiego.

Dwa układy tworzą-rzących kwadryki.

Stożek kwadrykowy podwójny lub dwoiście stożkowa podwójna.

Kwadryka podwójna.

Tożsamo.

Para płaszczyzn i para punktów, liczone dwa razy.

Kwadryka podwójna.

Razem tedy mamy 49 gatunków; jeżeli zaś uwzględnimy, że 6 gatunkom odpowiadają dwoiście wzajemne (gatunek 9, 10, 11, 26, 27, 45), będziemy mieli gatunków 55.

Pierwszą pracę o klasyfikacji kompleksów ogłosił Weiler (Math. Ann. VII), ale praca ta nie jest wolna od wielu niedokładności, które wykryli Segre i inni. Segre traktował ten przedmiot w pracy Acc. Torino XXXVI; w Math. Ann. XXIII zaś zajmuje się przypadkiem, w którym powierzchnia osobliwa jest kwadryką podwójną zniekształconą. W tomie III dzieła Stu rma przedmiot ten jest traktowany przy pomocy metod geometryi czystej

§ 8.

Kompleks Battagliniego lub harmoniczny.

, albo

Kompleks ifattaglini ego (patrz §7) jest ogółem prostych, spotykających dwie kwadryki /), f₂ w czterech punktach harmoniczn ogółem prostych, z których można do k wadryk danych (innych, niż poprzednio) poprowadzić cztery płaszczyzny styczne harmoniczne (A s c h i e r i, Giorn. di Bait. VIII).

Kompleks Battagliniego daje się tym sposobem utworzyć (rzutowo) oo sposobami. Kongruencya prostych osobliwych kompleksu Battagliniego jest przecięciem tego kompleksu z kompleksem czworościanowym (tetraedralnym) (patrz §9) prostych , których biegunowe względem dwóch kwadryk f\, f2 przecinają się.

Jeżeli, mając pęk X/\ -j-pif₂ — 0 , łączyć będziemy parami w inwolucyę kwadryki tego pęku tak, aby /’₁ = 0, f₂ = 0 były jej elementami podwójnemi, wtedy proste kompleksu będą stycznemi wspólnemi do dwóch kwadryk każdej pary (S e g r e i L o r i a, Math. Ann. XXIII).

Płaszczyzny biegunowe kompleksu są płaszczyznami stycznemi wspólnemi każdej pary, a proste osobliwe są prostemi, łączą-cemi punkty styczności.

Wyżej (§ 7 ) powiedziano już, że powierzchnia osobliwa kompleksu Battagliniego jest tetraedr o i d ą; dodajmy, że:

Każdej tetraedroidzie, jako powierzchni osobliwej, oddowiadają dwa k om pleksy Battagliniego. «

Kowna nie kompleksu Battaglini ’ego w spół-rzędnych/; wyraża się przy pomocy samych kwadratów tych spółrzę dny ch,

Przypadkiem szczególnym kompleksu Battagliniego jest kompleks Painvina (Bull, de Darboux 1871, Nouv. Ann. de matli. 1872, De moulin Bull, de la, Soc. Math. XX), t. j. ogół prostych, z któr cli do dane elipsoidy poprowadzić można p r y płaszcz zn stycznych ortogonalnych.

c3

Otrzymujenry ten kompleks, zniekształcając jednę z dwóch kwadryk (jako obwiednią), które służyły do utworzenia kompleksu w sposób wyżej wskazany na absolut przestrzeni (eukli-desowej). Absolut ten albo granica przestrzeni jestto, jak wiadomo, koło urojone w nieskończoności (wspólne wszystkim kulom przestrzeni), t. j. miejsce punktów kołowych wszystkich płaszczyzn przestrzeni.

Powierzchnią osobliwą dla kompleksu Painvina jest powierzchnia falowa Fresnel a.

Klasyfikacyę kompleksów Battagliniego podali Segre i Lo-ria (Math. Ann. XXIIII) oraz Monteiano Acc. Napoli 1886); patrz tom III dzieła Sturm a str. 488 i nast.

COD

«c

Kompleks Reyego lub cznorościanowy.

Kompleks czworościanów Re to kompleks, któremu odpo iad [ (11) (11) (11) | (patrz § 8); równanie jego w nych Kleina wyraża się w ten sposób

er

O co

<rt-

'O

rCD

02-

a (x^-j-xj) -f b (a^²-)-^²) + « (%s²-J-irfi²) = 0.

CD ^ o N* ^    M •

o &

W

CD

C-t-

•N

So

CS3 -

^ Çu ₀ PT

tsr c tu' ^ SD ^ «2    I-¹- N-

CO

<X>

o.

CD

co erę

CD ^ O

^ i³

•ÎS3

^ -œ Ö N    o    Ö

O rj-J CÖ

CŚ    O

^    O    -K

¹³    («'    O

cö câ

CD

pi

Cztery ciany i cztery wie zc li ołki czworościanu s anowią powie rzc nię osobliwą kompleksu; kongruencyą zaś prostych osobliwych jest kon-grueneya wszystkich prostych, znajdujących się na jednej z czterech płaszczyzn oraz wszystkich prostych, przechodzących przez jeden z czterech wierzchołków.

CT- Ul-

Krawędzie czworościanu są proste mi podwój nemi kompleksu.

Jeżeli ten czworościan obierzemy jako czworościan podsta- • wo wy spółrzędnych, to równanie kompleksu w spół-rzędnych będzie postaci:

“P12P34 + hPnPi2 + vpuPis = 0.

Kompleks Keyego składa się ze w s z y s t -prostych, przecinających cztery płaszczyzny czworościanu podstawowego w czte-

rech punktach, mających oznaczony stosunek anharmoniczny; albo skł da się ze wszystk ich prostych, rzuconych z cz erech wierzchołków czworościanu na cztery płaszczyzny o oznaczonym stosunku harmonicznym (równym poprze-dniemui, Zmie i a j ą c ten s osnnek anharmo-

m czworościan,

niez

otrz

Cr

-4-3    vO

wy c

îpozos a w łając s

ujemy ool kompleks w czwór ościano-spółogniskowych.

Reye podał następujący sposób tworzenia kompleksów ezworościanowych :

Kompleks ten jest mnogością prostych, łączących odpowiadające sobie punkty dwóch nałożonych na siebie przestrzeni, będących w odpowiedniości homograficznej; albo mnogością prostych, będących przecięciami płaszczyzn, odpowiadających sobie w dwóch takich przestrzeniach; albo mnogością prostych, spotykających odpowiadające im proste w tychże przestrzeniach.

Inne sposoby twmrzenia są następujące:

Kompleks Reyego jest mnogością prostych, opierających się na parach promieni, odpowiadających sobie w dwóch pękach prostych wzajemnie homogi’aficznych i jakkolwiek położonych w przestrzeni; albo mnogością prostych, łączących punkty płaszczyzny z punktami promieni, odpowiadających im w wiązce, odniesionej homograficznie do płaszczyzny; albo mnogością cięciw i stycznych wszystkich krzywych sześciennych skośnych, przechodzących przez cztery wierzchołki czworościanu i przecinających dwa razy prostą przestrzeni, należącą oczywiście do kompleksu. Jeżeli zmieniamy tę prostą w kompleksie, zmieniają się krzywe sześcienne, ale kompleks pozostaje bez zmiany.

Kompleks K eye g o indywidualizuje czworościan i jedna z jego prostych.

a *r-

Kompleksem czworośeianowym wyspecyalizowanym z punktu widzenia metrycznego, jest kompleks prostych równoodległych od dwóch punktów stałych (patrz S t u r m 1. c. str. 364); za inny kompleks specyalny można uważać kompleks o charakterystyce [(22) (11)] (patrz §8); w nim to krzywe kompleksu (t. j. krzywa obwiedziona przez proste kompleksu w płaszczyznach przestrzeni) s ą wszystkie parabolam a stożki kompleksu są wszystkie równo bocz emi.

Kompleks czworościanowy badał pierwszy R e y e (Geom. der Lage); potem zajmowali się nim: L i e, Gott. Nachr. 1870), B a t tagt i n i (Giorn. di Battal. XII), A s e h i e r i (Rend. Ist. Lomb. 1879), Loria ( Ace. Torino 1884, Giorn. di Batt. XXTII) i t. d. Weiler (Zeitsclir. f. Math. XXII) podał jego przedstawienie w przestrzeni trójwymiarowej; druga część pierwszego tomu dzieła Stur m a jest temu kompleksowi poświęcona. Co do innych prac o tym przedmiocie patrz cytowaną już wielokrotnie książkę Loria „Przeszłość i stan obecny teoryj geometrycznych“.

§ io.

Teorya ogólna kongruencyj Uni) prostych.

R z ę d e m n kongruencyi algebraicznej jest liczba prostych tej kongruencyi, przechodzących przez punkt dowolny» przestrzeni; klasą m jest liczba jej prostych, położonych na płaszczyźnie dowolnej; porządkiem r (Rang u Sturma Art u Scliumachera) jest liczba par jej prostych, które z prostą dowolną przestrzeni należą do jednego pęku.

Kongruencyę rzędu ni klasy m oznaczamy zwykle symbolem (n, m) albo też symbolem (n,rn, r), jeżeli chcemy wskzać i porządek.

Jeżeli p jest rodzajem powierzchni prostoliniowej, według której kompleks liniowy ogólny przecina kongruencyę (n, łw, r), wtedy zachodzi związek:

p = (n—!)(<// — 1) — r.

Liczba p nazywa się zwykle rodzaj e m kongruencyi.

Jeżeli klasa i rząd są równe 1, wtedy porządek równa się zeru. Każda kongruencya o równych rzędzie i klasie, należąca do kompleksu liniowego, jest porządku ińwnego zeru.

Kongruencya, będąca przecięciem dwóch kompleksów stopni nx, n₂, jest porządku vlh₃(n₁—1 )(?/.,— 1).

Płaszczyzny, przesunięte przez dwa z pomiędzy n promieni kongruencyj, przechodzących przez punkt P, obwodzą, gdy punkt P porusza się po prostej, powierzchnię rozwijalną T klasy 5 n (n — 1) -j- r ; jeżeli zaś i-* przebiega płaszczyznę, to te płaszczyzny obwodzą powierzchnię 8 klasy p>n(in ■ l)-f-r, dla której płaszczyzna, po której porusza się punkt P, jest płaszczyzną styczną rn (ni—1) razy wielokrotną.

Punkty spotkania rn prostych kongruencyi, położonych na płaszczyźnie, gdy ta obraca się około innej prostej, tworzą krzywą C rzędu (m—l)-j-r, a gdy płaszczyzna obraca się około punktu, opisują powierzchnię o>, rzędu £ n(n--1) -}-r, dla

Miejscem prosty cli kongruencyi, przeciętych przez prostą daną, jest powierzchnia prostoliniowa Ii rzędu    dla której

której środek wiązki płaszczyzn jest punktem wielokrotności Ąn(n—1).

ta prosta jest kierownicą «-krotną.

Za pośrednictwem kongruencyj algebraicznych ustalono odpowiedniości inwolucyjne rzędu wyższego pomiędzy płaszczyznami a punktami przestrzeni; odpowiedniości te nazywamy układami zerowemi rzędu wyższego przez analogię z biegunowością lub układami zerowemi zwyczajnemi M ö b i u s a (patrz § 3). Jeżeli dany jest punkt przestrzeni, to przechodzi przezeń« promieni kongruencyi a zatem a = ±n(n—1) płaszczyzn; jeżeli dana jest płaszczyzna, to jest na niej m promieni kongruencyi, a zatem ß —    —1) punktów; bieguno

go

wość zerowa zwykła jest przypadkiem jej szczególnym (dla a — ß = 1). Takiej odpowiedniości można nadać i inną charakterystykę y, wyrażającą, ile punktów znajduje się na dowolnej prostej przestrzeni, w ten sposób, aby jedna z płaszczyzn im odpowiadających przechodziła przez prostą; w przypadku, g d y t a k i u k ad zerowy jest utworzon za pośrednictwem ongruencyi, jego trzeci charakterystyka y odpowiada porządkowi kon

gruencyi.

Najdawniejszy przykład takiej odpowiedniości podał Cremona (Compt rend. LIV, 1862); później zajmowali się nią: Ameseder Cr elle XCVII), Voss (Math. Ann. XXIII), Sturm (tamże XX VIII). Inne szczegóły i przykłady w dziele Stur m a t. I, § 56.

b 1 i z k i e; dwa

Każdy promień kongruencyi spotyka d inne promienie nieskończenie punkty spotkania nazywają się ogniskami, a dwie płaszczyzny, przechodzące przez tę prostą i przez każdą z dwóch innych, nazywają się płaszczyznami ogniskowemi.

owierzchmę

Ph 'O

obwodzą

Ognis a opisują tę sam (powierzc n i ę ogniskową),

płaszczyzny ogniskowe; jej rząd % = 2 w (w— 1)—2r, jej klasa rnx —2n(m—1) — 2r. Stąd: różnica pomiędzy

rzędem a klasą powierzchni ogniskowej kon-gruencyialgebraiczr różnicy pomiędzy r z

równa się podwójnej a klasą k o n g r u e n-

-c y i (Twier. Kleina patrz Lie, Grött. Nachr. 1870).

Każdy promień kongruencyi jest styczny do po wierze ni ogniskowej w punktach ogniskowych, a p aszczyznystyczne w tych punktach są płaszczyznami ogniskowemi.

Nazywamy punktami i płaszczyznami osobliwe m i ko n gruencyi te punkty i płaszczyzny, do których należy oo prostych kongruencyi; stożki, utworzone przez te proste i krzywe, przez nie obwiedzione, nazywają się stożkami i kr żywe mi osobliwemi kongruencyi. Jeżeli stożki te są klasy h, wtedy punkt osobliwy nazywa się punktem stopnia h; jeżeli krzywe te są klasy h, wtedy płaszczyzna osobliwa nazywa się płaszczyzną stopnia li. Dwa punkty albo dwie płaszczyzny osobliwe nazywają się sprzę-ż o n e m i ( zjednoczonemi, verbundene u matematyków niemieckich) , gdy prosta, łącząca dwa punkty albo wspólna dwóm płaszczyznom, należy do kongruencyi.

Niekiedy zdaje się, że kongrueneya jest pozbawiona właściwej powierzchni ogniskowej, a posiada tylko jedną linię ogniskową. Tak.np.'gdy mamy kongruencyę prostych, opierających się na dwóch krzywych danych, wtedy punkty tych krzywych występują jako ogniska promieni kongruencyi, i stąd zdawałoby się, że nie ma innych punktów ogniskowych, prócz punktów, należących do dwu krzywych. Niektórzy autorowie nazywają takie kongrueneye, pozba-w i o n e m i powierzchni ogniskowej, ale Sturm (w cytowanem dziele) zauważył, że ścisłe tak nie jest, gdy rząd kongruencyi jest większy od 1; albowiem łatwo widzieć, że skoro rozważymy płaszczyznę styczną wspólną dwom krzywym oraz prostą, łączącą dwa punkty styczności, to każdy punkt tej prostej można poczytać za ognisko, a zatem w tym przypadku powierzchnia ogniskowa jest powierzchnią prostoliniową, utworzoną przez rzeczone proste łączące, t. j. powierz-

Punkty dwóch krzywych są widocznie także punktami osobliwemi kongruencyi, zgodnie z podaną wyżej definicyą; widzimy stąd, że te kongruencye posiadają nieskończenie wiele-punktów osobliwych, tworzących jednę lub kilka linij, które nazwiemy osobliwemi: w ogólności wszakże liczba punktów osobliwych jest skończona. Kongruencye rzędu wyższego-niż 1 mogą tedy być dwojakie: t. j. albo nie posiadać linij osobliwych, albo posiadać takie linie.

chnię rozwijalną płaszczyzn stycznych, wspólnych dwora krzywym.

Jeżeli rozważamy promień jakiejkolwiek kongruencyi (nawet niealgebraicznej ), wszystkie promienie nieskończenie z nim blizkie i najmniejsze pomiędzy niemi odległości, wtedy spodki tych najmniejszych odległości na promieniu są w ogólności zawarte zawsze pomiędzy dwoma punktami, nazwanemi punktami granicznemi. Pomiędzy wszystkiemi promieniami nieskończenie blizkiemi są, jak powiedziano wyżej, dwa promienie, spotykające dany, t. j. promienie, dla których powyższa odległość najmniejsza jest zerem; zasługuje na uwagę twierdzenie, że ogniska, które oczywiście znajdują się oba wewnątrz odcinka, ograniczonego punktami, granicznemi, są w równej odległości od tych dwóch punktów; stąd punkt środkowy odcinka punktów granicznych zlewa się z punktem środkowym odcinka ognisk; nazywamy ten punkt punktem ś r o d k o wy m p r o-

m lenia.

Rozważając dwa promienie nieskończenie blizkie z danym i takie, że spodki ich najkrótszych odległości od danego zlewają się z punktami granicznemi, mamy twierdzenie: kierunki odległości najkrótszych, wychodzących zpun-któ w granicznyc h, są do siebie prostopadłe; płaszczyzny, przechodzące przez promień i przez te kierunki, nazywamy płaszczyznami głównemi.

Płaszczyzny dwusieczne kątów pomiędzy płaszczyznami głównemi zlewają się z płaszczyznami dwusiecznemi kątów pomiędzy płaszczyznami o g n i s k o w e m i. Pomiędzy kątem y

z n o nisko wych, niez ych i odleg ością

W u płaszcz u n k t ó w

die

o® t»-

fcO O

gr

któw ogniskowych zachodzi związek sin y — -j- .

Pojęcia powyższe należą do teoryi nieskończonostkowej kon-gruencyi, której początek zawdzięczamy Hamilton o w i i K u inni er o w i; mówimy o niej w Rozdziale XVI, gdzie podajemy według Kum m e r a, też określenie t. zw. gęstości układu w punkcie promienia t. j. pojęcia pokrewnego z pojęciem kr z y w i z n y powierzchni w punkcie. Pomiędzy kongrueneyami, badanemi za pomocą metod geometryi nieskończonostkowej, zasługują na uwagę kongrueneya normalnych do powierzchni (patrz Rozdz XVI): na teraz w § następnym ograniczamy się do rozważania kongruencyj algebraicznych niższych rzędów.

Ten to ważny gatunek kongruencyi normalnych nasunął się najprzód geometrom. W r. 1828 Hamilton rozpoczął badanie kongruencyj, inaczej u k ł a d ó w promieni (Irish. Trans. XV, 1828; XVI, 1880, XVII, 1837), a w r. 1860 K u m m er ogłosił rozprawę (Grelle LVII), stanowiącą krok ważny w teoryi. Kongruencyę algebraiczną rzędów 1 - go i 2-go rozpoczął badać systematycznie Kummer w r. 1866 (Beri. Abh. 1866), Pilic ker zaś obszerną część swojego dzieła „Neue Geometrie“ poświęcił teoryi kongruencyj, a specyalnie kon-grueneyom, które otrzymujemy z przecięcia dwóch kompleksów liniowych. Prace o kongruencyaeh ogłosili nadto: Möbius (Leipz. Ber. XIV, 1862), M a 11 h i e s s e n (Ztsclir. f. Math. XIX, Acta niatb. IV), Wein g arte n (Crelle XCVIII), B i a n c h i (Ann. di mat. XV), Voss (Math. Ann. IX), Sturm (Gott. Nach. 1888; Math. Ann. XXXVI), S c h u m a cher (tamże XXXVII, XXXVIII) Monte-sano (Acc. Torino 1892, Rend. Lincei 1892, Rend. Palermo 1893) i t. d. Teoryę zupełną kongruencyi znajdujemy w tomie II dzieła S t u r m a. Pojęcie porządku kongruencyi wprowadził S c h u -m aelie r.

§ U-

Kongruencye rzędu 1-go.

u 1 - go s w d z i w e

OH

Wszystkie kongruencye r z rządku zero; nie mogą mieć p wierzchni ognis ko w ej; j ako miejsca, mają natomiast powierzchnię ogniskową, jako obwiednią.

Pomiędzy końgrimncyami rzędu 1-go wyróżnia się wiązka prostyc , będąca klasy zero i mająca tylko jeden p u n

Każda inna

oso

L i w y.

ongruencya rzędu 1-go ma przynajmniej j e d n ę linię osobliwą. Jeżeli yh jest rząd linii osobliwej kongruencyi liniowej takiej, że promienie w liczbie nieskończonej, wychodzące z jednego jej punktu, tworzą stożek rzędu U, wtedy zachodzi związek: Z yit h (h—1) — m (hi—1 ), w którym m jest klasą kongruencyi, a suma rozciąga się na wszystkie linie osobliwe. Prócz tego mamy jeszcze dwa następuj ą c e związki:

drugi z nich wypływa z dwóch poprzedzających.

Kongruencya rzędu 1-go może mieć najwyżej dwie linie osobliwe (kierownice kongruencyi). Jeżeli ma jednę tylko kierownicę i na każdym z promieni ogniska są w ogólności różne, wtedy będzie to kongruencya cięciw pewnej krzy wej. Jedyną kongruencyą rzędu 1-go, utworzoną z cięciw krzywej, jest kongruencya cięciw krzywej sześciennej skośnej; jest ona klasy 3-ej.

Jeżeli kongruencya ma dwie kierownice, wtedy jedna z nich musi być linią prostą; rząd drugiej jest wtedy klasą w kongruencyi, a sama ona spotyka w m(iu—1) punktach prostą.

Jeżeli dwa ogniska na

każdym promieniu kongruencyi zle-

wają się, wtedy ma ona jednę tylko krzywą ogniskową i kierowniczą, która nie może być linią prostą.

Kongruencya ta tworzy się j ednym tylko sposobem, mianowicie przez ustanowienie odpowiedniości | 1, m \ pomiędzy punktami prostej a płaszczyznami pęku, którego osią jest ta prosta, i uważanie za proste kongruencyi wszystkich tych prostych (tworzących pęk), które przechodzą przez punkt prostej i znajdują się na odpowiadającej mu płaszczyźnie.

Dla- każdego promienia punkt ogniskowy (jedyny) jest punktem, w którym promień spotyka prostą kierowniczą, a płaszczyzna ogniskowa jest płaszczyzną, przechodzącą przez promień i przez tę prostą.

Kummer w rozprawie z r. 1866, klasyfikując kongruencye rzędu 1-go, nie włączył do swej klasyfikacyi kongruencyj, mających jednę tylko linię ogniskową.

§ 12.

Kongruencye rzędu 2-go bez linij osobl twych.

Kongruencyerzędu tylko skończ on albo linij osobl W przypadku być wyższa nad 7.

W kongruencyi rzędu 2 - g o bez linij osobliwych płaszczyzny osobliwe nie mogą być stopnia wyższego nad 6 (patrz § 10).

Każdy punkt osobliwy stopnia 1-go jest środkiem pęku promieni, znajdujących się na płaszczyźnie osobliwej też rzędu 1-go.

li

OJ Ph

p ero

On g

-O

ierwszym klasa nie może

Porządek kongruencyi (2, w) bez linij osobliwych wynosi

m—2; charakterystykami układu zerowego, określonego przez kongruencyę (2,m), są: 1, |m(«/—1), m—2.

Powierzchnia ogniskowa kongruencyi (2,m) bez krzywych osobliwych jest rzędu 4-go, klasy 2 m i porządku 12 (przez p o-rządek rozumiemy tu liczbę a, określoną w Bozdz. IX, § 1); punkt osobliwy kongruencyi jest punktem podwójnym powierzchni ogniskowej.

Promienie, których punkty ogniskowe zlewają się, i te, których płaszczyzny ogniskowe zlewają się, tworzą dwie powierzchnie prostoliniowe stopnia 2(m + 2).

Jeżeli au i e s t liczbą punktów osobliwych stopnia h, wtedy mamy związki następujące:

Z au = 18 — nt; Z a/, h = 4(w-|-2) ; Z au h² = 2 w (m-j-2) ;

Z auh³ = (m-f-2)² (m—1).

Każda kongruencya (2, m) bez linij osobliwych ma promieni podwójnych 4 (m—2)(m — 3); do każdego punktu osobliwego stopnia//należy    )(/«—2) promieni podwójnych, które są tworzą-

cemi podwójnemi stożka, wychodzącego z tego punktu: żaden promień podwójny nie leży na powierzchni ogniskowej.

za-

Każda płaszczyzna osobliwa zawiera sześć punktów osobliwych, położonych na jednej stożkowej i każdy stożek kwa-drykowy (wychodzący z punktu osobliwego stopnia 2-go) wiera 9 punktów osobliwych, położonych na krzywej skośnej rzędu 4-go gatunku 1-go, mającej punkt osobliwy w wierzchołku stożka. Każdjr promień podwójny zawiera dwa punkty osobliwe, których stopnie dodane czynią m-j-2.

Istnieją dwa gatunki kongruencyi (2, m) bez linij osobliwych, a mianowicie: I. kongruencye o punktach osobliwych stopni 1, 2, 3, m-—1 (gatunek p ier-wszy); II. kongruencye, mające punkty osobliwe stopni 1, 2, ^m-j-1 (gatunek drugi). Liczby ßu »odnoszące się do tych gatunków kongruencyj (2, m) bez linij osobliwych, podane są w następujących tablicach:

a*

“i

rJ.<2

2.2

16

Kongru encye gatunku 1-go .

(2 3)

(2, 4)

(2, 7)

Kongrueneye gatunku 2-go.

(2, 4) 1(2,6)*)

LC Ci Ci

Ci

co c

“i

“i

«3

*5 I

*6

*) Dwie kongruencye (2,6) odróżniają, się znakowaniem (2, 6)i, (2,6)n Sturm (I. e.); autorowie przed Sturme ni nazywali gatunek 1-y- 2-gim i odwrotnie.

Powierzchnią ogniskową kongruencyi (2,2) jest powierzchnia K u m m e r a; kongruencya ta jest przecięciem kompleksu kwadratowego z kompleksem liniowym. Szesnaście punktów osobliwych powierzchni tworzy 40 par punktów sprzężonych, i 90 par punktów niesprzeżonych; każdy punkt jest sprzężony z innemi pięcioma.

Kongruencye tę badali specyalnie; Ku miner (Beri. Abh. 1866), Reye (Grelle LXXXVI), Schur (Math. Ann. XV), C a p o r a 1 i (Lin-aei Mem. U₃), Stahl tGrelle XCII), Hirst (London mat. Soc. IV), S tu rm (Crelle LI). Wykład zupełny o tej i o innych kongruencyach znajdujemy w drugim tomie dzieła Sturm a str. 117 i nast.

Kongruencya (2,3) ma 5 punktów osobliwych stopnia 2-go; 10 punktów stopnia 1-go, a zatem 10 płaszczyzn osobliwych; każda z tych płaszczyzn przechodzi przez dwa punkty S₂ i przez jeden punkt $j. Każdy punkt S₂ jest sprzężony z każdym innym punktem S₂ oraz z czterema punktami każdy punkt S\' jest sprzężony z trzema punktami *8j i z dwoma punktami S». Przez każdą kongruencyę (2,3) przechodzi 10 kompleksów czworościanowych; czworościan zasadniczy dla każdego z nich ma wierzchołki w trzech punktach S₂ i wje-dnym punkcie S\ niesprzężonym z żadnym z tycli trzecli punktów S₂.

Powierzchnia ogniskowa jest powierzchnią rządu 4-go i klasy 6-ej, mającą 15 płaszczyzn osobliwych jako płaszczyzny styczne podwójne wzdłuż stożkowych.

Kongruencyę tę, prócz K u m m era, Key e g o, H i r s t a (patrz wyżej),badali jeszcze; Stahl (Crelle XJI), Voss (Math Ami.XXIII), Schumacher (Untersuchungen über Strahlensysteme 3 Ord. und 2 klasse Dis. Monachium 1885).

Kongruencya (2,4) jest porządku 2; ma koniecznie jeden promień podwójny, łączący dwa punkty osobliwe 3-go stopnia; ma dwa punkty osobliwe S₃ stopnia 3-go, z sobą sprzężone; 6 punktów osobliwych S₂ stopnia 2-go i 6 punktów Sx stopnia 1-go, a stąd 6 płaszczyzn osobliwych. Na każdej płaszczyźnie osobliwej mamy 1 punkt .V₃, 2 punkty S₂ i 2 punkty Sl. Każdy punkt N, nie jest sprzężony z jednym tylko z pozostałych punktów S₂; punkt S₃ i punkt S₂ są zawsze sprzężone; każdy punkt S{ nie jest sprzężony z trzema innemi punktami Sx a jest sprzężony z jednym tylko punktem X,.

Powierzchnia ogniskowa jest rzędu 4-go. klasy 8-ej z 6 płaszczyznami stycznemi wzdłuż stożkowych; płaszczyzny dwu-styczne obwodzą rozwijalną klasy 4-ej, a płaszczyzny styczne — rozwijalną klasy 12-ej, która dotyka jej wzdłuż krzywej rzędu 12-go.

Przez kongruencyę (2,4) przechodzą trzy kompleksy czwo-rościanowe. Wierzchołkami czworościanu są dwa punkty S₃ i dwa punkty S₂ niesprzężone wzajemnie.

Kongruencyę tę, prócz K u ni m era i innych, wspomnianych wyżej autorów, badał specyaluie Stahl (Crelle XCVII).

każ-

Kongruencya (2,5) ma trzy płaszczyzny osobliwe i jest po-porządku 3. Mamy tu 1 punkt Si} 3 punkty S₃, 6 punktów S2 i 3 punkty S ] dalej trzy promienie podwójne łączące S₄ z dym z punktów S₃ .

zawiera -

Istnieje jeden tylko stożek osobliwy rzędu 4-go,

jący wszystkie punkty osobliwe, prócz jednego punktu St; płaszczyzna osobliwa, odpowiadająca temu punktowi >Sj, zawiera dwa inne punkty S\ .

Kongruencya (2,5) należy do jednego tylko kompleksu czworościanowego, którego czworościan ma swe wierzchołki w punktach , S₃.

Powierzchnia ogniskowa jest rzędu 4-go, klasy 10 ej z 13 punktami stożkowemi i 3 płaszczyznami stycznemi osobliwemi. Płaszczyzny dwustyczne obwodzą rozwijalną klasy 12-ej, a płaszczyzny stateczne rozwijalną klasy 18-ej. Ta powierzchnia ogniskowa nie jest jedyną powierzchnią rzędu 4-go z 13 punktami stożkowemi.

Kongruencya (2,6)i ma 1 punkt S₅, 6 punktów S₃, 4 punkty $2, 1 punkt St, 1 płaszczyznę osobliwą, 6 promieni podwójnych; wszystkie punkty S₂ i jedyny punkt Sb znajdują się na płaszczyźnie osobliwej.

1. c. II, str. 271), że są cztery gatunki

Rząd kongruencyi równa się 4; kongruencya należy do kompleksu czworościanowego. Powierzchnia ogniskowa jest rzędu 4-go, klasy 12-ej, ma 12 punktów podwójnych; nie jest jedyną powierzchnią tego gatunku, R o li n dowiódł (Math. Ann. XXIX, patrz S t powierzchni rzędu 4-go z 12 punktami podwójnemi. Rozwijalne dwustyczne i rozwijalne płaszczyzn statecznych są obie klasy 24-ej.

Kongruencya (2,6)n ma 4 punkty $₄, 8 punktów S\₂, 6 promieni podwójnych, które są prostemi, łączącemi 4 punkty $₂ ; rząd jej wynosi 4.

Odmiennie od innej kongruencyi klasy 6-ej, należy ona do kompleksu czworościanowego, a wierzchołkami czworościanu są 4 punkty S₄.

Sześć promieni kongruencyi, znajdujące się na jednej płaszczyźnie, tworzą zawsze sześciobok Brianchona.

Powierzchnia ogniskowa ma 12 punktów podwójnych i nie jest ta sama co, dla kongruencyi (2,6)x , lecz jest powierzchnią,

Pascal. Rep. II.

należącą do jednego z czterech, odkrytych przez Rohna gatunków, o których mowa wyżej.

Należy tu nadmienić, że kongruencye (2,5), (2,4), (2,3), (2,2) można uważać wszystkie, jako przypadki szczególne kon-gruencyi (2,6)u (Kummer 1. c. 102, Stu rm 1. c. TI, str. 294).

Kongruencya (2,7) ma 1 punkt i 10 punktów S₃; 10punktów podwójnych, które łączą jedyny punkt *S₆ z 10 punktami S₃; kongruencya jest porządku 5.

Powierzchnia ogniskowa jest klasy 14-ej i ma 11 punktów stożkowych; rozwijalne dwustyczne i rozwijalne płaszczyzn statecznych są odpowiednie klasy 40 i 30; powierzchnia ta nie jest jedyną powierzchnią o 11 'punktach stożkowych; są i inne jeszcze, jak to znalazł R o h n.

Kongruencye rzędu 2-go tylko z punktami osobliwemi badał najprzód Kummer w cytowanej rozprawie (1866), potem nastąpiły inne prace wyżej wymienione i nadto zajmowali się temi kongruen-cyami: Caporali (Acc. Napoli 1879), Berti ni (Acc. Lincei 1879—80). L o r i a (Acc. Torino 1884—86), Masoni (Acc. Napoli 1883). W pracy C a p o r a 1 i’ego znajdujemy piękny sposób tworzenia (jedyny) dla kongruencyj (7,2), (6, 2), (5, 2j.

§ 12

Kongruencye rzędu 2-go z Uniami osobliwemi.

Kongruencye te należą do trzech następujących kategoryj:

I. Kongruencya tworzy się z cięciw krzywej skośnej, która może być tylko krzywą rzędu 4-go gatunku 1-go (p. Rozdz. X). Kongruencya ta jest klasy 6-ej i porządku 2. Jej powierzchnia ogniskowa jest rzędu 8-go i tworzy się z czterech stożków kwa-drykowych, przechodzących przez krzywą rzędu 4-go; cztery

wierzchołki stożków są punktami osobliwemi stopnia 2-go dla kongruencyi; linią osobliwą jest oczywiście krzywa rzędu 4-go skośna.

II Kongruencya tworzy się z prostych, spotykających dwie krzywe, które są liniami osobliwemi; te krzywe być mogą:

a)    Dwiema stożkowemi z dwoma punktami wspólnemi. Kongruencya jest klasy 4-ej i porządku 2-go; punkty dwóch stożkowych są punktami osobliwemi stopnia 2-go, ale punkty wspólne obu stożkowym są osobliwemi stopnia 3-go; płaszczyzny obu stożkowych są osobliwemi stopnia 2-go, a dwie płaszczyzny styczne do obu stożkowych w ich punktach spotkania są osobliwemi stopnia 1-go. Jeżeli weźmiemy pęk kwadryk, przechodzących przez dwie stożkowe i w takim pęku dwa stożki nieznie-kształcone, to i wierzchołki tych dwóch stożków będą także punktami osobliwemi stopnia 2-go kongruencyi; powierzchnia osobliwa (rzędu 4-go) składa się z dwu takich stożków.

b)    Jedna z linij osobliwych jest prostą, druga krzywą rzędu n-tego, przecinającą prostą w n—2 punktach. Kongruencya jest klasy n, porządku 0. Każdy punkt prostej osobliwej jest punktem osobliwym stopnia w-tego, każdy zaś punkt na krzywej jest osobliwym stopnia 1-go; każda płaszczyzna przechodząca przez prostą, jest płaszczyzną osobliwą stopnia 2-go. Powierzchnię ogniskową tworzy ogół wszystkich płaszczyzn stycznych, poprowadzonych z prostej do krzywej, jest ona przeto rzędu m — 2(w— 2), jeżeli w jest klasą krzywej skośnej. Promieniami podwójnemi kongruencyi są dwusieczne krzywej, poprowadzone z punktów prostej; tworzą one powierzchnię prostoliniową rzędu 2(u—1) — fm.

III. Kongruencya tworzy się z promieni, przecinających raz jeden tylko pewną linię osobliwą; mogą tu zachodzić następujące przypadki:

a) Linia osobliwa jest prostą; porządek kongruencyi równa się zeru; kongruencya być może: (1) kongruencyą (2,2) wszystkich prostych, stycznych do kwadry ki i przecinających daną prostą; (2) jedną z kongruencyj (2, 2y—2) prostych stycznych w punkcie do powierzchni rzędu /u, mającej prostą (ju—2)-krotną i opierających się na tej prostej w innym punkcie; (3). jedną z kongruencyj (2,m) prostych, powstających przez ustanowienie odpowiedniości (2,»/) pomiędzy punktami prostej a płaszczyznami pęku przez nią przechodzącego, i zbudowanie pęków prostych ze środkiem w punkcie prostej, a których płaszczyzny odpowiadają punktowi uważanemu, Tego gatunku (3) nie znajduj emy u Kum m e r a.

ny.

b) Linia osobliwa jest rzędu n>]\ z każdego jej punktu wychodzi pęk promieni kongruencyi i nadto inny promień osob-Klasa kongruencyi równa się rzędowi krzywej osobliwej, która musi być wymierną. Płaszczyzny pęków promieni, wychodzących z punktów krzywej osobliwej, muszą być stycznemi do stożka kwadrykowego, którego wierzchołek jest także punk-tem-osobliwym kongruencyi. Porządek kongruencyi wynosi n—1. Kongruencya tworzy się ze stycznych stożka kwadrykowego. Ten gatunek obejmuje następujące podgatunki: (1). krzywa wymierna rzędu n leży na stożku kwadrykowym i przechodzi n-—2 razy przez jego wierzchołek; (2). krzywa wymierna rzędu n nie leży na stożku ale jest wzajemnie z nim rzutowa, t. j. jej punkty odpowiadają jednoznacznie płaszczyznom stycznym stożka, i każdy punkt znajduje się na odpowiadającej mu płaszczyźnie styczn ej.

c) Linia osobliwa jest rzędu n> 1, z każdego jej punktu wychodzi stożek kwadrykowy prostych kongruencyi i nie wychodzi żaden inny promień. Porządek kongruencyi wynosi n— 2 Rozróżniamy następujące przypadki: (1). Stożek kwadrykowy rozpada się na dwie płaszczyzny, kongruencya jest klasy 2n i tworzy się z promieni, stycznych do stożka kwadrykowego i przecinających krzywą płaską rzędu n, przechodzącą n 1 razy przez wierzchołek stożka. Gatunki następne, nie badane przez Kummera, odkrył Sturm. W przypadku (2) stożek kwadrykowy wychodzi z punktu linii osobliwej niezniekształ-conej; ta linia jest stożkowa; kongruencya składa się zpro-stych, przecinających tę stożkową i stycznych do powierzchni rzędu 4-go, której ta stożkową jest krzywą podwójną, i mającej jeszcze 4 punkty stożkowe. Kongruencya jest klasy 4-ej. (3) Stożek nie jest zniekształconym, a linia osobliwa jest krzywą

sześcienna płaską z punktem podwójnym. Kongruencya jest klasy 6-ej i powstaje w ten sposób: bierzemy w przestrzeni 4 punkty; sześć łączących, je prostych, spotykają się na krzywej sześciennej; wszystkie stożki kwadrykowe, mające wierzchołki na tej krzywej i przechodzące przez cztery punkty obrane oraz przez punkt podwójny sześciennej, tworzą kongruencyę (2,6); (4) Stożek nie jest zniekształcony, a linią osobliwą jest krzywa sześcienna skośna; kongruencya jest klasy 6-ej i powstaje w ten sposób: na krzywej sześciennej skośnej bierzemy 4 punkty, przez jeden z nich P prowadzimy cięciwę, przecinającą krzywą w piątym punkcie Q\ wszystkie stożki kwadrykowe, mające wierzchołki na krzywej sześciennej, przechodzącej przez 4 punkty, i styczne w punkcie P do cięciwy PQ, tworzą kongruencyę- Sześć prostych, łączących 4 punkty, są przecięciami podwójnemi kon-grnencyi, a 4 punkty są punktami osobliwemi stopnia 4-go.

Kongruencyami rzędu 2-go z liniami osobliwemi zajmował się pierwszy K u m m er w wielokrotnie cytowanej rozprawie z r. 1866. Rozpoczął on ich klasyfikacyę ale pominął niektóre gatunki. Klasy-tikacyę zupełną podał Stur m (Math. Ann. XXXVIII i rozprawa cytowana). O tych kongruencyach traktuje ostatni rozdział 2-go tomu dzieła Stur m a. Zajmował się niemi także M ontesano (Acc. Torino 1892, Rend. Lincei (4) I, Rend. Palermo VII, Ist. Lomb. 1893), który badał odwzorowanie ich na płaszczyźnie.

O kongruencyach rzędu wyższego nad 2-gi mało dotąd mamy Kongruencyę (3, 3) badał R o c c e 1 1 a w ro-zprawie: „Sugli

prac.

enti geometrie: dello spazio di rette etc.“ (1882), w której rozpatruje kongruencyę szczególną, utworzoną przez trzy pęki rzutowe komplek

sów liniowych. Kongruencyę rzędu 3-go i wyższego badali jeszcze H i r s t (Proc. London Soc. XIV, XVI, XVII; Rend. Palermo I) i F ano

Acc. Torino 1894— 96).

Geometrya kul.

Niechaj będzie pięć kul, danych (w spółrzędnych Descar-tes’a) przez równanie:

(' = h 2,... 5);

s* = {po-ai)² -j- (y—ßif + {y- y J² — R? = O

równanie każdej innej kuli w przestrzeni wyrazi się w ten sposób :

s = sLxt -j- s₂x₂ -f- .v₃£P₃ -j- ó'₄.r₄ sixb — 0 ,

gdzie xx, . .. xh są wielkości, zależne od specyalnej rozpatrywanej kuli. Te wielkości x można uważać za spółrzędne j ednorodne kuli w przestrzeni, a pięć kul' danych za kule podstawowe układu spółrzędnych.

Jeżeli uważać będziemy kulę jako element przestrzeni, to oczywiście ogół wszystkich kul stanowić będzie przestrzeń liniową cztero wymiarową, gdy ogół wszystkich prostych przestrzeni tworzy, jak już wiemy, przestrzeń kwadratową cztero wymiarową. Ten układ spółrzędnych stosował w badaniach swych L o r i a. Inny układ spółrzędnych niejednorodnych, stosowany przez ß e y e g o, jest następujący: Nazwijmy potęgą punktu względem ku 1 i iloczyn odległości punktu od dwóch punktów kuli, leżących z danym na jednej prostej (iloczyn ten nie zmienia się przy zmianie prostej poprzecznej, przez punkt dany przechodzącej); trzy spółrzędne a, ß, y środka kuli i potęga p początku spółrzędnych Descartes'a względem kuli (wyrażeniem tej potęgi jest p=a²-j-/2²4~T²—ti-) można uważać za spółrzędne kuli w przestrzeni.

Spółrzędne xż mają własność (analogiczną do własności spółrzędnych jednorodnych punktów albo płaszczyzn) taką, że ich przekształ-cenie liniowe odpowiada geometrycznie zmianie układu pięciu kul podstawowych na układ pięciu innych, mających jako spółrzędne względem kul pierwotnych spółczynniki podstawień liniowych odwrotnych względem podstawień danych.

e kul przekuł podsta-

Nadto: jeżeli przekształcimy przestrzeń kul za pomocą przekształcenia przez promienie odwrotne, to spółrzędn kształconych względem pięciu w owych przekształconych będą te same, co spółrzędne kul pierwotnych względem podstawowych pierwotnych.

Połóżmy: 2 R,j — 2 Hß — wyrażenie 2 nazywa się niezmiennikiem dwu kul podstawo wych {i) (j) znikanie tego niezmiennika jest warunkiem koniecznym i dostatecznym na to, aby kule były ortogonalne.

Jeżeli wszystkie wyrażenia Rtj są zerami, t. j. jeżeli każde

=0 (Dar-

dwie kule są ortogonalne, mamy tedy związek

R/l

b o u x. Sur une classe remarquable de courbes et de surfaces, Paryż 1873, str. 135).

Jeżeli R jest promień jakiejkolwiek kuli o spółrzędnych Xi (i— 1,2,3, 4, 5), mamy wzór:

RjjXiXj

R'²

{ZiXj)

skąd wynikają odrazu warunki, którym zadość czynić winny spółrzędne x, aby kula miała promień zero, t. j. sprowadzała się do punktu, zwanego punktem — kulą, albo też miała promień nieskończony, t. j. stawała się płaszczyzną, zwaną płaszczyzną — kulą.

Punk t—k ulę uważać można jako ortogonalny do kuli, na której się znajduje; dwa pun-k t y—k ule są ortogonalne, jeżeli zlewają się.

Jeżeli Rœy jest biegunową bieguna ?/dla formy    RtJxtXj,

v

to niezmiennik jednoczesny dwu kul o s p ó ł -rzędnych (x) i (y) równa się:

R%y

i 'OS {    i j y i

Warunkiem na to, aby dwie kule (a?), (y) były styczne, j e s t :

llyy Rxx - (RryY =    0.

Podobnie jak w geometryi linii prostej, mamy w geometryi kuli także kompleksy kul, kongruencye kul it. d.

Wszystkie kule kompleksu liniowego są ortogonalne do jednej i tej samej kuli.

Wszystkie punkty—kule przestrzeni tworzą oczywiście kompleks kwadratowy, którego równaniem jest J£ijli,jXiXj — 0 ; jeżeli przyjmiemy, że pomiędzy wielkościami x zachodzi nowe równanie kwadratowe, będziemy mieli inny kompleks kwadratowy kul; kongruencya rzędu4, wspólna tym dwóm kompleksom, będzie utworzona tylko z punktów—kul. Godne uwagi jest twierdzenie:

Miejscem tych dwóch co² punktów — kul jest cyklida (patrz Rozdz. XII, § 7).

W ogólności :

Miejscem p u n k t ó w—k ul kompleksu rzędu n jest powierzchnia rzędu 2w, dla której linią n-krotną jest koło urojone w nieskończoność i; m i ej s c e m p u n k t ów—k ul kongruencyi rzędu n jest krzywa rzędu 2n.

Z tego to punktu widzenia L o r i a badał cyklidy i roz-klasyfikował je, o czem była mowa w Rozdz. XII.

Pierwsze pomysły z dziedziny Geometryi knl zawdzięczamy L i e m u (Comptes rendus Rend. 1871, Math. Ann. V); potem zajmowali się nią R e y e (Synthetische Geometrie der Kugeln, Lipsk 1879; Grelle IC), Lor i a (Mem. Torino 1884, Acc. Torino 1885). Praca tego ostatniego autora zawiera wykład systematyczny, z którego zaczerpnęliśmy powyższe wiadomości. Związkami metrycznemi, odnoszącemi się do kul w przestrzeni, zajmowali się: Frobenius (Orelle LXXIX) i Darboux (1. c. Annales de l’École norm sup. 1872), patrz też S a 1 m o n-F i e d 1 e r 1. c. II i t. d. O wyznaczeniu p u n-ktu—kuli, przechodzącej przez trzy punkty dane i o związku tego zagadnienia z zagadnieniem o konstrukcyi kół, stycznych do trzech kół danych, patrz Casey (Trans. Irish. Acad. 1866) i C a y-1 e y (Ann. di mat. 1).

ROZDZIAŁ XV.

LICZĄCA.

GEOMETRIA

GOO

Rzeczy ogo/ne. Zasada zachowania liczby.

Geometry a licząca (Abzählende Geometrie, geometria numerativa) zajmuje się zagadnieniami, w k t ó-rych szukamy liczby określonych form geometrycznych, czyniących zadość warunkom danym. Tak np. ile wfpęku stożkowych jest stożkowych stycznych do prostej; ile jest krzywych rzędu 4-go z punktem potrójnym przechodzących przez 10 punktów danych? i t. d.

Ustanowiwszy definicyę formy geometrycznej, przyjmiemy, że istnieje ooG indywiduów, czyniących tej definicyi zadość, t. j. przyjmiemy, że w przedstawieniu analitycznem tej formy pozostaje c stałych nieoznaczonych; liczba c nazywa się zwykle liczbą stałych formy.

1.    Dla punktu na płaszczyźnie jest 6' = 2, dla punktu w przestrzeni c = 3.

2.    Dla płaszczyzny w przestrzeni jest c—3.

3.    Dla prostej na płaszczyźnie jest c = 2, w przestrzeni c=4.

dla

4.    Dla trójkąta w przestrzeni c = 9, trójkąta na płaszczyźnie c = 6.

6.

Dla wielośći a n u o k ścianach : c — k + 6 (Hoppe, Grün. Archiv LY, Schubert, tamże LXIII).

7.    Dla krzywej (położonej na płaszczyźnie danej) rzędu n, klasy r, z d punktami podwój nemi, Ô styczne mi podwój nem i, i przegięciami jest:

2 i.

5. Dla

wielokąta płaskiego o n bokac w przestrzeni Jest c = 2w-f-3.

13"

c = 3 —|—n (n-l-3)—d - 2r — 3-j—v(v-\-3) — ó

8.    Dla powierzchni ogólnej rzędu n jest:

9. Dla kompleksu prostych ogólnego rzędu w j os t: c, = £2 () (u-j-2)² (n-j-3) — 1.

(L ü r o t h, Crelle LXYII, Y o s s, Math. Ann. IX).

Jeżeli y wyraża warunek, któremu poddajemy formę geo-metrjmzną, daną przez definicyę, ^inny warunek, wtedy warunek, wynikający z połączenia obu, wyrażamy przez y z i nazywamy iloczynem obu warunków y i 2. Tak np. jeżeli g wyraża warunek, aby prosta przecinała prostą daną, gp warunek, aby prosta przechodziła przez punkt określony, to ggp wyrażać będzie warunek, aby prosta przechodziła przez punkt dany opierała się na prostej danej; g² warunek, aby prosta opierała się na dwóch prostych danych i t. p.

Warunek dany nazywamy warunkiem wymiaru a dla danej formy geometrycznej, jeżeli prowadzi do a równań pomiędzy c stałemi formy, t. j. jeżeli istnieje ooc~a form, czyniących zadość temu warunkowi. Ogół wszystkich ooc_a form, czyniących zadość warunkowi wymiaru a, nazywa się układem gatunku c—a : i tak: krzywa jest układem gatunku 1, kompleks promieni układem gatunku3-go, powierzchnia prostoliniowa układem promieni gatunku 1-go i t. d.

Wymiar warunku, będącego iloczynem i n-nych warunków, równa się sumie wymiarów czynników.

Niechaj c będzie liczbą stałych formy geometrycznej, którą poddajmy warunkom o wielokrotności r, wtedy w ogólności istnieć będzie liczba skończona A indywiduów form, czyniących zadość tym warunkom. Przez przemianę położenia wzaj emnego elementów formy lub przez odpowiednie wys pecyaliz wa nie liczb a 1 b o się nie zmienia, albo też s aje się nies ończo-n ą. Zasada ta nazywa się zasadą zachowania liczby (Schubert). Pojmowana algebraicznie, wyraża ona, że równanie, jeżeli w jakikolwiek sposób zmieniamy wartości jego spółczynni-ków albo ma zawsze tęż samą liczbę pierwiastków, albo staje się tożsamością, przez co liczba jego pierwiastków staje się nieskończoną. Zasada ta jest bardzo użyteczna, albowiem przez wy-specyalizowanie elementów formy można znakomicie uprościć rachunek liczby indywiduów, czyniących zadość warunkom danym. Pokaże to przykład następujący:

Chcemy wyznaczyć liczbę prostych, opierających się na czterech prostych danych.

Wyspecyalizujmy położenie tych czterech prostych, n przyjmijmy, że dwie z nich przechodzą przez punkt P, dwie drugie przez punkt / ’; wtedy widać, że istnieją dwie proste, opierające się na czterech danych, są niemi: prosta, łącząca punkty Pi P i prosta przecięcia dwóch płaszczyzn, na których położone są dwie pary prostych. Na mocy powyższej zasady możemy twierdzić, że istnieją zawsze dwie proste, opierające się na czterech prostych danych. Jestjasnem, że specyalizując w inny sposób położenie prostych (przyjmując np., że trzy z nich znajdują się na jednej płaszczyźnie, albo że trzy z nich przechodzą przez jeden punkt i t. d.), możemy otrzymać liczbę nieskończoną szukanych prostych.

Tej zasady, którę można uważać za postulat, zastosowania są bardzo rozmaite.

Zasadę tę, wypowiedzianą wyraźnie przez Schuberta (patrz niżej), można przedstawić czterema różnemi sposobami, które uważać można za wnioski z zasady (jratrz cytowane niżej dzieło Schuberta str. 12 i 334).

Rachunek symboliczny warunków. Wzory na mcydencyę i koincydencyę. Twierdzenia o styczności.

Do rozważań, o których mówimy, wprowadza się rachunek symboliczny.

Jeżeli formę o liczbie stałych równej c poddajemy warunkowi v wymiaru c*, otrzymujemy skończoną liczbę indywiduów, czyniących zadość temu warunkowi; liczbę tych indywiduów oznaczać będziemy także literą v, wyrażającą warunek. Można wtedy ustanowić pewne związki lub tożsamości zasadnicze pomiędzy symbolami, wyrażającemu różne warunki, jakim poddajemy formę, aby ta była określona skończoną liczbą sposobów. Niechaj rrp. p będzie symbolem warunku, by punkt znajdował się na płaszczyźnie; P symbolem warunku, by punkt znajdował się stale w miejscu specyalnem, wtedy możemy widocznie napisać symbolicznie p³ = P, gdyż oba wyrazy mają wartość liczebną równą 1.

Można w ten sposób ustanowić związki tylko pomiędzy warunkami jednego Wymiaru c, ale przy pomocy następującej umowy można nadać znaczenie i związkom pomiędzy warunkami wymiaru jakiegokolwiek a <C c.

wymiaru a

i niechaj y będzie jakimkolwiek warunkiem wymiaru c — a. Pomnożywszy v, v‘, v". . . przez //, otrzymamy warunek wymiaru c. Otóż rozumieć będziemy, że pomiędzy warunkami v zachodzi związek, jeżeli pomnożywsz}^ każdy wyraz tego związku przez jakikolwiek warunek y, otrzymamy związek (pomiędzy warunkami wymiaru c), istniejący faktycznie w znaczeniu wyżej wska-zanem, Tak np„ jeżeli pg wyraża warunek, aby punkt znajdował się na prostej, to będzie oczywiście p~~pg. Istotnie mnożąc obie strony np. przez p, mamy p'A — ppg—związek faktycznie istniejący, gdyż obie strony jego mają wartość liczeb

to

Niechaj będą rozmaite warunki v, vv"

ną 1.

P³ = PPg = lJ ;

p- — Pg ;

V-, Pg> P s% symbolami, wyrażającemi warunki na to, aby punkt znajdował się na płaszczyźnie, na prostej, wreszcie aby był ustalony;

Ł" - eg\

u ości do równań symbolicznych, stosują się wszystkie pra-mety zne o dodawaniu, odejmowa-

o jakie

widia ar

n i u i mnożeniu.

Związki zasadnicze są następujące:

umów

cS o

e³ = e eg = E\

e, pgi E są symbole, wyrażające warunki na to, aby płaszczyzna przechodziła przez punkt, przez prostą, wreszcie aby była ustalona;

y- = fjp + ffe ;

99p = 9s — 99*;

& = g<? = 9j?\

99s = o = 4-y⁴;

g, ge, gp, i/s, G są symbole, wyrażające warunki na to, aby prosta przecinała prostą, aby znajdowała się na płaszczyźnie, aby przechodziła przez punkt, aby należała do pęku, aby wreszcie była ustalona.

Nazywamy wpadającemi na siebie punkt i prostą, płaszczyznę i prostą, punkt i płaszczyznę, jeżeli należą do siebie, t. j. jeżeli punkt znajduje się na prostej, prosta na płaszczyźnie, punkt na płaszczyźnie; nazywamy wpadającemi na siebie—dwie proste spotykające się. Nazywamy wzorami na incydencyę (naprzynależność) wszystkie równania pomiędzy warunkami, wyrażającemi te cztery incydencye.

Oto są te wzory:

V9» = p³ Ą- g* ;

V9 — Pg ~\~9 = PiJ\-9e\

pg* — P²9p = G+pdg=G-\- p*ge

prosta g i punkt p należą do siebie ;

e9=9p~]reg~9p + e'źi ege = gĄ-e*\ e*gt = egt=G4-e³g=GĄ-e*gM, płaszczyzna e i prosta g należą do siebie;

p³

p³e —p²e² -\-pe³ = 0,

p² e -f-pe² — e³ = 0; punkt p i płaszczyzna e należą do siebie ;

Gr~gJ<+gJtPGh-g^hv^łtey\-{gv-\-ge)l>,-gH==-0; G he -    -j- gp H == 0 ; ćr/fy — tfA+ge H = 0 ;

symbol /t podobnie jak i g jest symbolem prostej, proste g i h przecinają się.

Liczne są zastosowania tych wzorów, ale nie możemy zatrzymywać się nad niemi, a odsyłając po nie czytelnika do dzieła Schuberta, podamy tylko kilka przykładów.

Rozważmy układ pojedynczo- nieskończony wszystkich prostych stycznych do krzywej skośnej wraz z ich punktami styczności; wziąwszy układ pojedynczo—nieskończony krzywych skośnych, będziemy mieli układ podwójnie nieskończony (gatunku 2-go) prostych i punktów do niej należących. Dla tego układu symbol p² przedstawia warunek na to, aby jeden z punktów znajdował się jednocześnie na dwóch płaszczyznach danych, t. j. na prostej danej: stąd symbol ten przedstawia także liczbę krzywych układu, przeciętych przez prostą daną. Podobnież symbol^ przedstawia liczbę stycznych układu, leżących na płaszczyźnie danej, a więc także liczbę krzywych układu stycznych do płaszczyzny danej; pg przedstawiać będzie liczbę punktów układu które znajdując się na płaszczyźnie danej, odpowiadają prostym, przecinającym prostą daną. Z wzoru tedy pg = pi² -j- ge wynika twierdzenie :

r-3    <&>

Niechaj będzie układ pojedyńczo-nie-skończony krzywych skośnych; jeżeli do liczby krzywych, przecinających prostą daną, dodamy liczbę krz wych stycznyc do płaszczyzny danej, z ajdziemy liczb krzywych układu, przecinających płaszczyznę w ten sposób, że styczne w punktach spotkania spotykają prostą obraną; albo inaczej, znaj '

dziemy stopień krzy któ w styczności wsz krzywych układu, które to styczne przecinają prostą obraną (Zeuthen, Compt. rend. 1872).

ej jako miejsca pun-s t k i c h

stycznych do

Niechaj n będzie rzędem krzywej płaskiej, v—warunkiem na to, aby krzywa przecinała prostą daną przestrzeni, p—wa • runkiem na to, aby jej płaszczyzna przechodziła przez punkt dany, P—warunkiem na to, aby ta płaszczyzna przechodziła przez punkt dany. Jeżeli rozważać będziemy układ potrójnie nieskończony tych krzywych, będziemy mieli układ podwójnie nieskończony punktów, płaszczyzny zaś krzywych tworzyć będą układ podwójnie nieskończony. Wzór na przynależność, to jest p³—p² e-\~p e²—e³==0 zamienia się na następujący P=pv—np², gdyż p³ ~ P, e = p, p²—v i nadto e³ — p³ — 0₁ a w układzie podwójnie nieskończonym krzywych nie można w ogóie zadośćuczynić warunkowi (potrójnemu), aby krzywa znajdowała się na płaszczyźnie dowolnie danej, t. j. aby płaszczyzna krzywej przechodziła przez trzy punkty dane. Otóż związek poprzedni przedstawia warunek P przy pomocy warunków r, p; stąd, jeżeli mamy tablicę, dającą nam wartości p, v, p², otrzymamy wartość na P. Tak np. niechaj będzie układ podwójnie nieskończony stożkowych w przestrzeni, a mianowicie układ wszystkich stożkowych, stycznych do trzech płaszczyzn danych i przecinających trzy proste dane: jeżeli przez g oznaczymy warunek na to, aby stożkowa przestrzeni była styczna do płaszczjrzny. to warunek, któremu czynią zadość wszystkie takie stożkowe, wyrazi się przez v³g³. Pomnożywszy obie strony poprzedzającego związku przez v³g³ (i z uwagi, że w uważanym przypadku n= 2) będziemy mieli :

p²v³g³ = 24,

Pv³ g³ = p v⁴ g:i — 2p²v³g³. Z tablic, podanych niżej w § 4, marny: p v⁴ g³ — 72 ,

przeto :

Pv³g³ = 24,

t. j. w naszym układzie stożkowych jest 24 stożkowych, przechodzących przez punkt dany.

Nazywamy zle wającemi się dwa elementy (dwa pun-kt}r, dwie proste, dwie płaszczyzny) nieskończenie blizkie. Odpowiadające im wzór}’ nazywają się wzorami koincyden-c y i; takim jest wzór, zwany zasadą odpowiedniości C h a s 1 e s’a (patrz Rozdz. I, § 2).

Niechaj będzie układ pojedyńczo - nieskończony par punktów taki, że w nim jest p par, mających wspólny punkt pierwszy, i q par, mających wspólny punkt drugi; niechaj g będzie prosta, łącząca punkty jednej pary. Stąd, jeżeli przez g oznaczymy liczbę takich prostych łączących, które przecina prosta dowolna przestrzeni; jeżeli e oznacza liczbę koincydencyj, t.j. liczbę, wyrażającą ile razy dwa punkty pary zlewają się, będzie £ =    — g. Jeżeli prosta, łącząca dwa punkty jednej parj".

ma

wzoru

położenie stałe, wtedy g — 0 i będzie e = p-\-q, co odpowiada wzorowi odpowiedniości Chasles'a. Z tego otrzymujemy wiele innych, np. dwa następujące:

ep = pq—ge.

eg= ya-H³ 4- g* ;

które interpretujemy w sposob następujący:

Jeżeli dany j skończony

PT" CD

rb 1/2

-w

układ potr

j nie nie-

c li

mający maj ą c y c li p 1 e k s u p r łączące równa si

w, t o s u m a liczby par, t a ł y, liczby par, y, i stopnia kom-worzonego przez proste, powiędnie je liczbie wyrażając« a j ą c e sobie punkty

ar pu n erwszy element

rugi element sta

sty

rł- o

cr

il

rO

n e j par y, razy dwa

o d p o w i a

ograniczenie w kierunku, przechodzącym przez punkt stały dowolny.

Dla układu podwójnie nieskończonego par o m i ę d z y liczbą par pun-wiednio na usta

lają się me-

C->- Ö

"O r-£

nica

cyc się o

lonych z góry płas czyzna , a liczbą par punktów, dla których prosta, łącząca dwa punkty, znajduje się na ustalonej z góry płaszczyźnie, r ó w n a s i ę r z ę d o w i krzywej skośnej, będącej miejscem koincydencyj.

w, znaj

Q, o

32

Pascal. Rep. II

Zasadę odpowiedniości Chaslesa rozciągnęli na płaszczyznę i na przestrzeń Sa lm on (Geom. of three dim. 1865, str. 511), Zeuthen (Compt. rendus 1874) i Schubert (Math, Ann. X i dzieło Abzählende Geometrie, Lipsk 1879, str. 45).

Z tychże zasad wypływają następujące ważne twierdzenia:

Niechaj będzie układ p o j e d y ń cz o-nieskoń-ozony krzywych płaskich i inna krzywa rzędu n i klasy m. Jeżeli r, g są t. zw. dwie charakterystyki układu krzywych płaskich, t. j. liczby wyrażające, ile k r z y w y c li układu przechodzi przez j e d e n punk oraz ile krzywych dotyka je n e j prostej, w t d y będzie n g -j- m v krzywych u ładu, stycznych cl o krzywej da n e j. Podobnie: w u k ł a-d z i e pojedynczo - nieskończonym krzywy h skośn c h jest n g-\-mv krzywych, s    e.znyeh o

powie zchni rzędu n i klasy m, je    li g ozna

cza liczbę krzywych stycznych do płaszczyzny, v zaś liczbę krzywyc doty c z n o ś d w 6 c

CC et-

N* ct

tr P'

CD

PT

arakterys

p-

rP O

Oj rSi

c z o n y c h krz w c li k a c h

j ą c y c h prost ej. układów poje-a s k i c li

CU

ą krzy-

U > Q\ \

w ą r z ę d u v₁ Pi -j- vx g₂ -f- v, v.₂, styczne zaś w ty c h pu n-k t a c li obwodzą krzywą klasy v₁ g₃ -j- g₁ v₂ -j- p, g₂. Uogólnienie pierwszego twierdzenia jest następujące:

Us tanówmy na płaszczyźnie odpowiedniość

pomiędzy punktami a prostemi taką, że każdej prostej odpowiada g p u n k t ó w n a nie j, każ-demupunkto w i—v prostych, przezeń przechodzących, wtedy zdarzy się ng--j- mv razy, ż e j e d n a z tych prostych jest styczna w j e d n y m z o d powiadających jej punktów do krzywej płaskiej rzędu n i klasy m.

Z tego twierdzenia wypływa zasada odpowiedniości B r illa-Cayley’a (patrz Rozdz. VI, § 4), będąca rozciągnięciem zasady odpowiedniości Chaslesa, odnoszącej się do prostej (patrz §18 dzieła Schuberta), na odpowiedniości krzywych jakiegokolwiek rodzaju.

Płodność i sposób stosowania tych twierdzeń pokażemy na przykładzie:

Szukajmy, ile jest stożkowych na płaszczyźnie, stycznych do pięciu danych stożkowych. Oznaczmy przez S warunek na to, aby stożkowa pewnego układu była styczna do innej stożkowej ustalonej; przez u — warunek na to, aby jej płaszczyzna przechodziła przez punkt dany: wtedy warunek na to, aby stożkowa układu płaskiego była styczna do pięciu stożkowych, wyrazi się przez ju'd S'°. Na zasadzie poprzedzającego twierdzenia, biorąc m=n~2, mamy: S—ng-\-mv — 2g-\-2v, a więc warunek szukany wyrazi się w ten sposób:

ju²S° = iu-(2gJr2v)⁵ = 2⁵ju?,{gOJr5g⁴v -j- 10^:V²-f-10^²r³-j-5^v⁴-)-^⁵).

Z tablic w § 4, biorąc wartości na /p£⁵, u*g⁴v i t. d., znaj-

dziemy ;

^Sb = 2⁵. 102 = 3264.

§ 3.

Teorya charakterystyk.

Dajmy w płaszczyźnie układ pojedynczo - nieskończony stożkowych; niechaj z będzie warunkiem 1-go wymiaru (pojedynczy m), v i g niechaj przedstawiają warunki na to, aby stożkowa układu przechodziła przez punkt i aby dotykała prostej.

Teorya charakterystyk bierze początek z następującego spostrzeżenia C h a s 1 e s’a, które tenże uważał za twierdzenie ogólne, gdy tymczasem Halphen wykazał później, że twierdzenie to nie stosuje się do wszystkich przypadków.

wyra a

ez v i g wzorem z = av-\-ßg, g d z e zależne jedynie o d

ts

cc

u 2.

W a r u n e z w w i e 1 u przypadkach si li i o w a i ß ą 1 i z

Liczby v i g nazywają się charakterys układu stożkowych.

To twierdzenie, bardzo ważne w geometryi liczącej stożkowych, znalazł empirycznie Chasles (Comptes rend. 1864), wypowiedział je bez dowodzenia i wskazał rozmaite jego zastosowania. Dowody twierdzenia podali C 1 e b s c h (Math. Ann. VI), Il a 1 p h e n (Buli. Soc. mat. I), S c h u b ert i II u r w i t z (Gott. Nachr. 1876, patrz także Abzählende Geom. § 38), B rill (Math. Ann. X) i t. d.

Twierdzenie C haśle s’a, jak powiedziano, nie jest prawdziwe dla każdej wartości z. Pokazał to Halphen (Compt. rend. LXXXITI, str. 537 i 886; Proc. Lond. math. Soc. IX, X; Math. Ann. XV, Journal de l’Écol. polyt. XLV).

H a 1 p h e n doszedł do następującego rezultatu:

O)

CD P

Aby twierdzenie Chaslesa miało miejsce, t. j. ab y y mogło b j ć wyrażone w z o rem z=av-\-ßg, gdzie a iß od z ni zależą, j s koniecz nem, by liczba stożko y cb, czy i cycli zadość warunkowi z i maj c y c li styczność rzędu 3-go z krzywą daną, wy o s i ł a a -f- ß.

Z twierdzenia C h asie s’a wynika wniosek, wypływający też z twierdzenia, podanego przez nas w § 2 o liczbie krzywych, stycznych do krzywych danych.

Aby otrzymać liczbę stożko w y c h u k ł a d u, stycznych do krzywej rzędu n i klasy m, dość we wzorze C h a s 1 e s‘a położyć a= m, ß — n.

Można postawić zagadnienie ogólniejsze od zagadnienia C h a s 1 e s’a, mianowicie:

Dany jest układ form geometrycznych jakichkolwiek U-krotnie nieskończony; czy istnieje skończona liczba warunków /c-krotnych takich, że każdy inny warunek /r-krotiry z wyraża się przez warunki poprzednie za pomocą wzoru liniowego ze spółczynnikami, zależnemi tylko od warunku z? Te warunki/r-krotne w liczbie skończonej nazwać można charakterystyk a m i układu.

Czyniono wiele prób rozwiązania tego zagadnienia; sam Chasles był zdania, że dwie charakterystyki v i o wystarczyć mogą nietylko dla stożkowych lecz i dla każdej krzywej płaskiej. Halphen rozciągnął te rozważania na stożkowe w przestrzelił

i na kwadry ki (Bull. Soc. math. III); Cremona spostrzegł, że dla układu potrójnie nieskończonego stożkowych można ustanowić trzy charakterystyki, któremi są: liczba stożkowych, przechodzących przez dwa punkty ; liczba stożkowych , przechodzących przez jeden punkt i stycznych do prostej; liczba stożkowych stycznych do dwóch prostych (Compt. rend. LXIX, str. 776); Schubert poświecił cały rozdział swego dzieła temu zagadnieniu, które stara się rozwiązać dla pewnych prostych układów form.

Pierwsze bardzo liczne prace o teoryi charakterystyk ogłosił Chasles (Compt. rend. 1864. głównie 27 czerwca 1864); niektóre z nich dały powód do polemiki z De J o n q u i c r e s’em. Listę odnośnych publikacyj znaleść można w cyt. dziele L o r i a.: Stan teoryj geometr., Warszawa 1889. Dalej ogłosili w tym przedmiocie prace: C a y 1 e y (głównie w Phil. Trans. 1868), Sal mon (patrz jego dzieło o krzywych płaskich), Cremona (Compt. rend. 1864 i także Introd. ad una teoria geom. delle cuvre piane etc.), Zeuthen (patrz np. Bull, des sciences math VII). Krótki wykład znajdujemy w „Geo-metryi“ C 1 e'bscha-Linde m a n n a; dużo wskazówek bibliograficznych aż do roku 1872) u Pain vin a (Bull, des sciences math.

1II); dalej w dziele cytowanem L o r i i, gdzie znajduje się długa lista innych not Chasles’a (Compt. rend. 1871—77) o licznych zastosowaniach zasady odpowiedniości w Geometryi liczącej. O liistoryi tej zasady, tak ściśle związanej z teoryami Geometryi liczącej, patrz notę S e g r e g o (Bibl. maili. 1892).

Geometrya licząca, jako osobna nauka, powstała, rzec można, wraz z teoryą charakterystyk Chasles’a. Halphen, wychodząc z tej teoryi, obmyślił rachunek symboliczny warunków, którego zasady systematycznie przedstawił S c h u b e r t w pracy „Beiträge zur abzählenden Geometrie“ (Math. Ann. X) i w rozprawach późniejszych (tamże XI, XII i t. d.). Wiele rezultatów i wyznaczeń, odnoszących się do Geometryi liczącej, otrzymali byli już dawniej rozmaici auto-rowie na drodze geometrycznej; np. Steiner (Grelle XXXII, XXXVII, XLV, LV), Bise h o ff (tamże LVI), I) e .1 o n q u i è r e s (Journ. de Liouv. VI 1871, X 1865), którego niektóre rezultaty były wszakże błędne; lecz celem autorów, którzy potem zajmowali się Geometrya liczącą, było głównie sprowadzenie tych wyznaczeń do

praw stałych i do ustanowienia dla nich rachunku, tak aby ta część geometryi przedstawiała całość systematyczną. Ważneni dziełem, w którem zebrano i zbadano wszystkie metody i wyniki Geometryi liczącej, jest dzieło Sc h u berta (Kalkül der abzählenden Geometrie, Lipsk 1879), z którego korzystaliśmy wielokrotnie przy redak-cyi tego rozdziału. Najnowsze badania o zajmującym nas przedmiocie ogłosili: Schubert (Math. Ann. XXVI, XXXVIII, XL.V; Acta math. VIII; Hamburger Mitth. I, III, III i t. d.) i Pi er i (Rend. Palermo V, Ist. Lomb. 1893—95).

C//D

Metoda szukania liczb charakterystycznych d/a danego uk/adu form i zestawienie niektórych ważnych rezultatów Geometry/' Uczącej.

Z rozważań powyższych wynika, że przy pomocy rachunku symbolicznego warunków można obliczenie jednego warunku sprowadzić do obliczenia innych; teoryi charakterystyk np. celem jest właśnie poznanie, czy istnieją pewne warunki elementarne, za pomocą których wszystkie inne wyrazić się dają. Powstaje tedy zagadnienie o znalezieniu liczb, przedstawiających takie warunki elementarne, t. j. charakterystyk, przez które dają się wyrazić wszystkie lub niektóre z warunków pozostałych. Poszukiwanie to odbywa się według metody, wprowadzonej przez C h a s 1 e s'a, stosowanej szerzej i rozwiniętej przez Z e u t h e n a, Sc h u berta i innych.

Rozważa się zniekształcenia niezmiennicze specyalne formy danej, szuka się związków pomiędzy warunkami na to, aby forma zniekształcała się w dany sposób, a innemi warunkami elemen-tarnemi (przechodzenie przez punkt, styczność do płaszcz3'zny i do prostej), stąd otrz3unuje się liczby charakterystyczne dla form zniekształconych, i przy pomocy znalezionych związków

otrzymuje się wreszcie liczby charakterystyczne dla form ogólnych.

Przykład wystarczy do wyjaśnienia tych uwag o stosowaniu metody. Niechaj formą daną będzie stożkowa; rozważmy dwa jej zniekształcenia niezmiennicze mianowicie: rj, t. j. stożkową? której punkty tworzą prostą podwójną i której styczne tworzą dwa różne pęki promieni, mające środek w dwu punktach prostej; <5, t j.stożkową, której punkty tworzą dwie proste różne i której styczne tworzą dwa zlewające się pęki promieni,których środek znajduje się w punkcie spotkania dwu prostych. Jeżeli przez 77 i ó oznaczymy i warunki na to, aby stożkowa zniekształcała się dwoma powyższemi sposobami, przez ju, v, q—warunki na to, aby płaszczyzna stożkowej przechodziła przez punkt, aby stożkowa przecinała prostą i aby była styczną do płaszczyzny danej, znajdziemy związki:

2 v — o — 211 = i] ;

z których wypływa:

2 1 . 1

/.£

r=-s-V + ^ó r

Chcemy teraz znaleść liczbę tyVty, t. j. liczbę stożkowych płaszczyzny, przechodzących przez punkt dany (t. j. przecinających prostą przestrzeni) i stycznych do czterech prostych (t. j. stycznych do czterech płaszczyzn przestrzeni); z wzorów poprzedzających wynika:

rT

-O

f©

cc i©

î/u:!o⁴ -j-

<W + — ty g⁴ •

Otóż, wyraz zawierający czynnik ₍a⁴ jest zerem, gdyż płaszczyzny nie można przeprowadzić przez cztery punkty dowolne przestrzeni; a zatem, jeżeli przyjmiemy jako znane dwa pierwsze wyrazy strony drugiej, otrzymamy wartość strony pierwszej. Otóż na płaszczyźnie (ty ) liczba stożkowych rj, dotykających czterech prostych, jest oczywiście równa 3, liczba

stożkowych ô, stycznych do czterech prostych danych, jest zerem, tak że ostatecznie fiAvg⁴ — 2.

Aby dać wyobrażenie o rezultatach, które otrzymujemy przy pomocy metod pow^yższymh, przytoczymy tu niektóre z wyników głównych i ważnych także samych w sobie, niezależnie od metod, któremi je osiągnięto. Są one podane w rozdziale 4-ym dzieła Schuberta.

1. Są dwie proste, opierające się na czterech prostych

danych.

2.    Są trzy wielokąty o n bokach, skośne, których wierzchołki (w liczbie n) znajdują się na płaszczyznach danych? a boki przechodzą przez punkty dane.

3.    Mając w przestrzeni pięć par prostych, możemy 20 roz-maitemi sposobami zbudować pięć promieni, położonych na jednej płaszczyźnie i zbiegających się w jednym punkcie, i tak mianowicie, że każdy z nich opiera się na dwóch prostych, należących do jednej z par danych.

4.    Niechaj fi przedstawia warunek, aby płaszczyzna stożkowej przechodziła przez punkt dany; v—warunek, aby stożkowa przecinała prostą daną; g—warunek, aby była styczną do płaszczyzny danej. Stosując znakowania paragrafów poprzedzających, otrzymujemy następującą tablicę liczb s t o ż k o-wych przestrzeni, czyniących zadość ośmiu warunkom. Dla jasności dodajemy, że symbol ₍«³r⁵ oznacza, iż płaszczyzna stożkowej ma przechodzić przez trzy punkty dane, t.j. że jest daną, a stożkowa ma przecinać pięć prostych danych w przestrzeni; lu‘:,vig — oznacza, że stożkowa ma znajdować się na danej płaszczyźnie, przecinać cztery proste dane, t. j. przechodzić przez cztery punkty dane swojej płaszczyzny i być styczną do płaszczyzny danej, a zatem być styczną do prostej na swojej płaszczyźnie.

p v⁶ =    8

p v⁵ o =14 ft*v*P* = 24

ij.³ v³ p³ = 24 jj.² v" p⁴ = 16 p’ v p⁵ =    8

p.² P⁶ = 4

"o

Ol co to

V8

116

pV =76

py = 72

■o-

128

104

64

32

16

o. iNa danej płaszczyźnie jest stożkowych 3264, stycznych do pięciu stożkowych danych.

Liczbę tych stożkowych wyznaczył był błędnie Steiner jako równą 6\: liczbę dokładną znaleźli pierwsi Chasles i Th. B eren t.

6. Jeżeli jj, oznacza warunek, aby kwadryka przechodziła przez punkt dany, g — warunek, aby była styczną do płaszczyzny, ß—warunek, ab}" była styczną do prostej, wtedy mamy następującą tablicę liczb kwadryk przestrzeni, czyniących zadość dziewięciu warunkom :

JXa = p⁹ =    1

[xsp = |xps = 3

JX⁷pS = pp⁷ = 9    A-|JL⁵p-    =    vVV    ⁼    36

|X.⁶p³ = p,³pfi = 17

pp⁴ = ;x⁴p⁵ = 21 vp = vp⁸ = 2 v|j.⁷p = vjxp⁷ = 6 v p p ² = v ; x - p n = 18

Vpp³=Vpp⁵ = 34 vpp⁴ = 42

i    '/-y = v²p⁷ = 4

| v²pp = v²|xp⁶ = 12

v⁴[x³p² = v⁴fx-p³ =112 v⁵p = v⁵p⁴ = 32 v⁵jx³p = v⁵pp³ = 80

v-'fx⁴p³ = y-’pp⁴ = 68

v³p = V³p⁶ =    8

v³pp = v:!pp⁵ = 24 v³jx⁴p- = v³pp⁴ = 72 vspp³ = 104

v⁴jx⁵ = v⁴p⁵ =    16

v⁴jx⁴p = v⁴;xp⁴ = 48

vôx-'p- = 128

= 56

V⁶p = v⁶p3 vGpp = v⁶pp² =104 v⁷p = v⁷p²

= 80

= 104

= 92

92

Tablice te służą także do znajdowania liczb stożkowych, i kwadryk, czyniących zadość innym warunkom; a dzieje się to w ten sposób, że przy pomocy równań symbolicznych pomiędzy

warunkami wyrażamy nowe warunki pomiędzy /z. v, g, a następnie posługujemy się temi tablicami, podstawiając za każdy wyraz stopnia 8-go jego wartość liczbową (patrz przykład w § 2).

7.    Istnieje 666841088 kwadryk, stycznych, do dziewięciu kwadryk danych.

8.    Niechaj v oznacza warunek, aby krzywa sześcienna płaska przechodziła przez punkt, g—warunek, aby była styczną do prostej: mamy wtedy tablice następujące:

a) jeżeli sześcienna jest ogólną, t. j. klasy 6-ej, jest:

v¹ = l, rsp = 4,    v⁷g²=l6, obo'¹ = 64, vbg⁴ = 256, v*gb = 976,

*y=3424, r²p³ = 9766,    21004, g°= 33616.

b) jeżeli sześcienna ma jeden punkt podwójny, t. j. jest klasy 4-ej, wtedy:

r⁵ = 12,

v ‘o — 36,    v*g²~ 100, v:,g'' — 240, v⁴g⁴ — 480,

v¹gb = 712, v⁴g⁶— 756, ro⁷--=600,    £⁸ = 400.

c) jeżeli sześcienna ma ostrze, t. j. jest klasy 3-ej, wtedy:

v¹ = 24, v⁶g — 60, v'g⁴ — 114, v⁴g³ = 168, v 'g⁴ = 168, v-gb — 114, vgG = 60, q‘ — 24.

Liczby, odnoszące się do krzywych sześciennych płaskich, obliczyli : Maillar d (Recłi. des caractéristiques des systèmes élém. de courbes planes du 3 ordre 1871, wyniki te powtórzone w Bull. Darboux, III, 1872, st. 161), Z eutlien (Cornpt.rend 1872) i Schube rt (Gott. Nadir. 1874, 1875, Math. Ann. XIII).

L e liczby wraz z wieloma innemi dla kwadryk specyalnych (z punktami podwójnemi, potrójnemi, ostrzami i t. p.) wyrachował Zeuthen (Comptes rendus 1S72, Akademia w Kopenhadze 1873). Patrz książkę Schuberta, w której te rezultaty są powtórzone.

10. Niechaj P oznacza warunek, aby krzywa sześcienna skośna przechodziła przez punkt dany, T—warunek, aby była styczna do prostej, v —warunek, aby przecinała prostą, q—warunek, aby była styczna do płaszczyzny, B—warunek, aby przecinała prostą daną w dwóch punktach; wtedy:

v¹² -= 801060,

£12 = 56960,

PV²=5, P⁵rp=10, P³o²=20, PV⁴= 30, PV³p=60, Php:!=240, P⁴ Tv = 4, P T³v = 12, P⁴ Tq = 8, P2’³e = 12,

P² £⁶ = 608, P³ r² = 120, PVp = 120,

P³P³ = !, P²P⁴ = 1, PP⁵ = 1, P« = 6,

P*B-vA ₌ 4 papv = 6, PPV = 9, PV = 20,

P’B'²vq = 8, P‘B'vq = 12, PBH’o — 18, B ⁵rp = 40.

Wiele innych wyznaczeń analogicznych można otrzymać, wprowadzając inne warunki. Zbiór wielu takich wyznaczeń znajdujemy w § 25 dzieła Schuberta. Niektóre z liczb dla krzywych sześciennych skośnych otrzymał G r e m o n a (Grelle LX)), inne Sturm (Crelle LXXIX, LXXX) na drodze geometrycznej, oraz Schubert,

O liczbach, odnoszących się do kongruencyj liniowych promieni, do pęków promieni albo płaszczyzn rzutowych i t. p., patrz dzieło S e li u bert a.

ROZDZIAŁ XVI.

TEORYA nieskończónostkowa krzywych i powierzchni.

Styczne i normalne do krzywych i do powierzchni.

Prosta styczna do krzywej (płaskiej albo skośnej) w punkcie P (punkcie styczności) jest położeniem granicznem prostej zmiennej, przechodzącej przez punkt P i przez inny punkt Pnależący do tejże gałęzi krzywej, gdy punkt P' dąży do zlania się z punktem /'.

Prostą n o r m a 1 n ą do k r z y w e j p łaskiej w punkcie jest prosta, przez ten punkt przechodząca i prostopadła do stycznej w tymże punkcie.

Jeżeli y—f{ x) j est równanie m krzywej, wtedy równania

dy

Y-V = ite,x-X)’

dy

dx

i y—y) = - (X-x)

CD

są równaniami: pi r w s z e stycznej, d r u i e no r-m a 1 n e j; x, y s ą s p ó rzędnemi punktu s yczno-ś c i; Aj Y—s pół rzędnemi bieżącemi. Jeżeli równanie krzywej jest p o s t a c i * cp (x, y ) = O, wtedy

równania stycznej i normalnej przybierają postać:

— 0; (X-x)

d(p

Örp

àu

•K!

CD

CD

CD

PT

I-i

* II •

?»

CD

ci“

ci-

CD

?»

O.

"O

'O

P N ?» CD pi N

g» P_,

P ^

to

•<

?»

<D

<$3

a-y)

dtp

dt

⁽h

'X~X) dt

= 0;    (Y-y)

dx

dt

dtp

+ (Z_X) dt

= 0.

Jeżeli 6, 6' są kąty, jakie styczna i normalna tworzą z osią

dn

odciętych, wtedy ( kładąc ~ y’ ) mamy:

cos 6 = H-

sin 6 = 4-

V’

n+y

> -i

- n+ir-

sin 6' ~ -f-

cos 6' — H-

v'

¹

Dla krzywej rzędu 4-go płaskiej klasy 12-ej, znajdują

²

cej się w płaszczyźnie danej, przy zwykłem znaczeniu symboli

³

v i g, jest :

⁴

vu = 1, v²g — 6, vl-g² — 36,. v³g³ = 216, r²g³ = 1296, v¹g² = 7776, rsg³ = 46656, r⁴g⁷ = 279600, v«gs = 1668096,

n+tr ’

VI + .'/²

Znak w tycli wzorach zależy od umowy, jaki czynimy co do kierunku dodatniego .stycznej i normalnej.

Nazywamy długości ą T stycznej i długością N normalnej długości odcinków stycznej i normalnej, zawartych pomiędzy punktem styczności a osią odciętych; nazywamy podstj^czną i podnormalną 8n długości odcinków na tejże osi, zawartych pomiędzy spodkiem prostopadłej, spuszczonej z punktu krzywej na oś odciętych, a punktem, w którym normalna spotyka tę oś. Mamy wzory:

yVi-]-y

y'

, N=y V 1 -f y'² , St =    , Sn == yy'.

y'

Nazywamy podstyezną biegunową i podnormał-ną biegunową części stycznej i normalnej, zawaHe pomiędzy punktem krzywej a prostopadłą do promienia wodzącego, wyprowadzoną z bieguna.

A s y in p t o t ą krzywej płaskiej jest prosta, przedstawiająca położenie graniczne stycznej do krzywej, gdy punkt styczności oddala się nieograniczenie na gałęzi nieskończonej krzywej danej. Równaniem asymptoty jest:

Y— AX —B = 0, gdzie: A = lim

dy

dx

ÈLX\ ■

dx I ’

granice te bierze się w tern znaczeniu, że spółrzędne punktu x, y krzywej dążą di wartości spółrzędnyck punktu, znajdującego się w nieskończoności na krzywej.

Rów n a n i a mi stycznej do krzywej skośnej, danej przez równania y — cp (x), z =    (x), są:

dy

dz

d.r

- (a — %),

lub s y m etryczniej :

dy

Y-y

Z-z

dy

dz

Jeżeli równania krzywej są postaci f(x,y,z) = 0, F(x₁y,z) — 0, wtedy styczna wyraża się równaniami:

df

df

dx

(X~x)-\--jf-(Y-y)-\

df

dz

(Z-z) = 0 ,

dF

dF

dF

dx

(X-x) +    ( Y-y) -f -w— (Z— z) — 0,

Nazywamy płaszczyzną normalną do krzywej skośnej w punkcie płaszczyznę prostopadłą do stycznej w tym punkcie i przechodzącą przez punkt styczności. Równanie płaszczyzny normalnej ma jednę z dwóch postaci:

(X — x) dx -J- ( Y — y) dy -f- (Z — z) dz — 0

CT

co

^ V.

CT

Ul

'O

cr

dx

Y-y,

of df df

dx

ày

dz

0.

dF

dx ’

aj

** i

ct- rP

c-e

vO

'r-l

CS

N*

CÖ

02 S-j.

X *

cos a — ——

ds

GOS ß =

di)

ds ’

cos y —

dz

cis

d s = y dx- -j- dx* -j- dz-.

Jeżeli przez punkt P powierzchni poprowadzimy wszystkie możliwe krzywe skośne na niej położone, to proste styczne do wszystkich tych krzywych w punkcie P znajdować się będą na jednej płaszczyźnie, którą nazywamy płaszczyzną styczną do powierzchni. Równaniem płaszczyzny stycznej do powierzchni f(x, y, z) = 0 jest:

(X — X)

df

dx

~Y(Y-y)

of

àf

ày

-f ⁽z-^⁾ir=a

Prosta, przechodząca przez punkt P i prostopadła do płaszczyzny stycznej do powierzchni w tym punkcie, nazywa się prostą normalną do powierzchni. Równaniami normalnej są:

Z - x

Y-y

Z—z

àf

àf.

àf ’

dx

ày

dz

a dostawy jej kierunku wyrażają się wzorami:

cos (n, £) =

àf

dx

àf

cos (w, y) =

cos (n, z) =

dy

riłfifr

mnij+m

Jeżeli równanie powierzchni dane jest w postaci z = (p (x, y), to (kładąc p my równania normalnej :

dz

Oz

5F’« = V’ma-

X— x Y— y Z —- z

a d o s t a w y j e j kierunkowe w y r a ż a j ą s i ę w z o r a m i:

cos (w, X) = +

cos (n, y) — -f-

<1

” n-f^+ę²

§ 2.

Wklęsłość i wypukłość krzywych płaskich. Przegięcie.

Niechaj P będzie punkt krzywej płaskiej o równaniu y = f{x), x₀—odcięta tego punktu; jeżeli istnieje liczba k taka, że wszystkie punkty, których odcięte wyrażają się przez x₀ + h (gdzie h<Yk), tworzą luk, znajdujący się całkowicie po jednej stronie stycznej po krzywej w punkcie P, mówimy wtedy, że krzywa w punkcie / jest wypukła albo jest wklęsła; jeżeli zaś nie można znaleść takiej liczby k, wtedy mówimy, że krzywa w tym punkcie nie jest ani wj^pukła ani wklęsła, lecz że posiada w punkcie P przegięcie.

Mówimy, że krzywa w punkcie P jest wyp u kła albo wklęsła względem osi x, jeżeli wszystkie punkty o odciętej x₀ — h są położone w jednym z dwóch kątów rozwartych albo ostrych, które styczna do krzywej tworzy z osią x.

Aby krzywa w punkcie była wypukła albo wklęsła, jest koniecznem i dostateczne m, b y— w założeniu, że w punkcie x₀ znikają pochodne y', y" . . . yW funkcyi i/ względem x, i że pierwszą nieznikającą w punkcie x₀ pochodną jest y(m+') — liczba m była liczbą nieparzj^stą. W tym przypadku krzywa będzie wyp uk ł a albo wklę-sła względem osia?, zależnie od tego, czy iloczyn f(x₀) f‘(m+V(xQ ) jest dodatni albo ujemny.

Aby punkt P o odciętej a?₀ był punktem przegięcia krzywej, jest koniecznem, aby dla x = x₀ pochodna druga f"(x) znikała; to znaczy; punkty przegięcia są pomiędzy punktami, których odcięte zamieniają na zero pochodną drugą funkcyi y względem a?.

Zfjl

co

Pola płaskie, łuki, objętości / pola powierzchniowe.

Niechaj będzie krzywa o równaniu y — f{x) (odniesiona do układu prostokątnego); rozważajmy gałąź krzywej od x — a do x—ß taką, źe prosta równoległa do osi y przecina ją tylko raz jeden. Poprowadźmy rzędne w punktach skrajnych

3?.

Pascal. Hep. II.

o odciętych a, ß: pole płaskie, zawarte pomiędzy gałęzią krzywej,¹ osią x a dwiema rzędnemi skrajnemi, określamy w sposób następujący:    Podzielmy- przedział od a do ß na jakąkol

wiek liczbę części óu ó₂, ■ • ■ ó„) z punktów podziału poprowadźmy rzędne aż do krzywej; pomiędzy dwiema kolejnemi rzędnemi zawierać się będzie łuk krzywej, na którym obierzmy punkt jakikolwiek P; niechaj xr będzie odcięta punktu obranego nałuczku, odpo wiadającym przedziałowi dr. Iloczyn ó,f(xr) jest polem prostokąta o podstawie dr i o wysokości równej rzędnej punktu

n

P. Grranicasum y Æ ôr fix,), gdyT szerokość prze-

działów cząstkowych dr zmniejsza się nieograni-ozenie, a stąd liczba ich n rośnie do nieskończoności, st    wi—na zasadzie efi i y i—p o 1 e

te p mię dz kr pole o wyra am

płaskie,

Analityczni

CD gû P

C"i

er «

I f(x) dx.

Pole, ograniczone krzywemi płaskiemi, można zawsze złożyć z pól gatunku powyższego, t.j. z pól, ograniczonych częściami krzywej i osią x.

cznych. e j płaskiej j es t :

Wyrażenie anali

o>

Wykonawszy poprzednią konstrukcyę, poprowadźmy styczną do krzywej w punkcie o odciętej xr i we wszystkich analogicznych i rozważmy odcinek stycznej, ograniczony dwiema rzędnemi, przechodzącemi przez końce przedziału ór. Określamy-wtedy długość ł u k u krzywej lub wprost długość krzywej, jako granicę sumy wszystkich takich o d c i n

zy

tyczne uku k

Jeżeli s oznacza łuk k r z y w © j , wtedy z a c h d z i związek różniczko w y :

<Ls² ~ dx‘² -j- dy² :

Określmy teraz długość luku krzywej skośnej. Niechaj y — cp (x), z—yj(x) będą równania tej krzywej; rozpatrzmy gałąź krzywej od punktu o odciętej x — a do punktu o odciętej x = ß i przyjmijmy, że każda płaszczyzna o odciętej, zawartej pomiędzy a a ß i prostopadła do osia¹, spotyka krzywą tylko w jednym punk ci e. Podzielmy, jak wyżej, część osi odciętej od a do ß na przedziały dj, d₂, . . . óp, i w punktach podziału poprowadźmy płaszczyzny prostopadłe do osi x; płaszczyzny te podzielą łuk krzywej na tyleż łuków cząstkowych.W każdym z nich np. wtym, którego rzutem jest obierzmy punkt, poprowadźmy w nim styczną do krzywej i uważajmy odcinek tej stycznej, ograniczony płaszczyznami, przechodzącemu przez koniec odcinka dr. G n i c a sumy wszystkich tych o d c i n k ó w, g d y p r z e-działy d,- zmniejszają się nieograniczenie co do wielkości, jest granicą łuku krzywej skośnej. Wyrażeniem analityczne m łuku krzywej j e s t:

r a-

.P

dx

CD

^ N-CD

CD

CD

CC

Ci-

ZA

cc

ci-

SJ

P-

cc

PT

• r-ł

CD

c+-

i-i

c+-

CD

dx

ds

sin 6 ==

dy

ds •

■=<

a '    /

gdzie ds² = dx²dy-dz². Jeżeli (t, x), (t, y), (t, #) są kąty kierunkowe sty cznej, będzie:

dx

cos (t, x) =    , cos (t, y) —

dy

~ds

cos (t, z)

dz

ds

Rozważmy kawałek skończony powierzchni, ograniczony linią zamkniętą (konturem), której rzutem na płaszczyznę xy jest linia płaska zamknięta op ; prosta, przechodząca przez punkt płaszczyzny pola płaskiego, ograniczonego krzywą <p, niechaj spotyka tylko w jednym punkcie powierzchnię. Utwórz-

my na płaszczyźnie xy prostokąt o bokach równoległych do osi x, y i stycznych do krzywej <p, która niechaj zawiera się wewnątrz takiego prostokąta; niechaj a, ß będą odcięte wierzchołków prostokąta, a', ß' ich rzędne. Podzielmy przedział na osi odciętych od a do ß na przedziały cząstkowe <5^ ó₂, . . ■ <5„; przedział osi rzędnych od a' do ß‘ na przedziały cząstkowe ô‘, ó‘o> • • • , à'u i przez punkty podziału poprowadźmy proste, odpowiednio równoległe do osi x i y. Prostokąt, opisany na krzywej cp, podzieli się na prostokąty cząstkowe; pole jednego z nich będzie ôrôs. Z tych prostokątów weźmy tylko te, które znajdują się wewnątrz pola cp albo są przecięte przez krzywą <p. a odrzućmy te, które znajdują się całkiem zewnątrz pola cp. Przez punkt xrys, znajdujący się w prostokącie ôrô's (nie wyłączając obwodu tegoż), poprowadzimy prostą równoległą do osi z aż do spotkania z powierzchnią w punkcie, którego wysokość nad płaszczyzną xy będzie zrs = f(xryg ), jeżeli z=f(x,y) jest równaniem powierzchni. Granica sumy objętości wszystkich prostopadłościanów, mających za podstawy ôrô's a z a w y s o k o ś ć zfS , gdy przedziały ór. <5k zmniejsza wito, conazyw my ot

d z y powierzchnią a pł zczyzn xy. U ta wyraża się analitycznie w te spos

pa i-..

się nieograniczenie, stano-tością za w a

OJ*

CC

er et-

CT «-i.

m- ta>

V= 11 f(x,y)dxdy,

g d ie całka podwójna rozciąga się na całe pole, ograniczone krzywą (p (Patrz Tom I, str. 169).

Jakakolwiek objętość ograniczona powierzchnią daje się zawsze podzielić na objętości takie, jak powyższa, t. j. ograniczone kawałkami powierzchni i płaszczyzną xy.

Jeżeli utworzymy prostopadłościan nieograniczony o podstawie ôr <5's, to ściany jego wytną na powierzchni czworobok krzywoliniowy, wewnątrz którego jest punkt o wysokości zrs. Popro wadźmypłaszczyznę styczną w tym punkcie i ograniczmy ją ścianamitegoż prostopadłościanu; gra ni ca sumy pól wszyst-

kich równoległoboków, które w ten sposób tworzą się na różnych płaszczyznach stycznych, gdy <5* i <5S zmniejszają się nieogranicze-nie, stanowi pole powierzchniowe. Wyrażeniem analitycznem tego pola jest:

¹ + ('Tiï) ⁺ {w)dxdy’

gdzie całka pod wójna, jak wyżej, rozciąga się na całe pole płaskie, ograniczone krzywą

Do niedawnego czasu pola powierzchniowe określano w najpoważniejszych traktatach (np. Serreta) inaczej, mianowicie jako granicę sumy pól ścian wpisanych w powierzchnię wielościanów o ścianach trójkątnych. Schwarz pokazał, że określenie takie może w pewnych razach okazać się zwodniczem albo niedokładnem (Werke II, str. 309); patrz też drugie wydanie dzieła „Cours d’analyse“ H e r m i t e’a, Paryż 1883, str. 35—36, gdzie po raz pierwszy pojawiła się nota Schwarza.

Jeżeli oś z j e s t osią obrotu danej powierz

naj ącemi o promieniach

chni, której równaniem jest 2 — F(Vx²-\-y^), wtedy objętość, zawarta pomiędzy dwiema płaszczyznami prostopadłe mi do osi obrotu, wyci-wierzchni dwa równoleżniki

, r₂, wynosi:

Cl

ES

co-

<-s

CD

CD hS ES- ES)

c3 ^

£ £

⁰³ « ÎS) V.

£ -

c+-

CD

rCD

CL,

'C

co

r-2

2 71

I r V 1    F'²(r) dr •

Pole pasa kulistego, t. j. mniejszego z dwóch kawałków kuli, ograniczonego kołem o promieniu r nakreślonym na kuli, jest:

2ti R{R — VR² — r²)

gdzie R jest promień kuli.

Jeżeli elipsę o połosiach «, b (a^>b) obrócimy około osi większej, powstanie elipsoida obrotowa. Pole elipsoida 1-n e,

aszczyznamj pro-z których jedna k, a druga przechodzi i r, wynosi :

w i ma

ani z

bjo c3 o

CD r-Q

5h rO

o io r o

i przez ś środka w odległ

tsi

ts

co- O

71

r Va²—e²rż -f-

1 a²

--arc sm — r

"2

gdzie e² = jest:

Stąd pole połowy

CD

P-

Ti b'² 4-

7i ab

- arc sm e .

Objętość, elipsoidy o trzech osiach nie-

z i e a, b. c są długo-

4

równych wynosi    jcabc, g d z i

ści trzech półosi.

Objętość, zamknięta w hyperboloidzieje-dnopowłokowej dwiema płaszczyznami rowie g ł e m i do elipsy szyjowej i odległemi od sie-

8

b i e n a c, wynosi -g- Ttabc, gdzie ft, b są półosi

O

elipsy szyjowej.

Objętość, zamknięta w paraboloidzie e 1 ip-y znej ł szczyznąpros opadłą do osi, jest ości walca tejże podstawie

t_.. S»

Ph O

o o w b ( i wyso ości.

Pole powierzchniowe pierścienia, utworzonego obrotem koła o promieniu li jo koło prostej odległej na długość « od środka ko ha, wynosi 4tt²« R; o bj ę t oś ć zasp i er ścienią 2 7t²a IP. o?.

AA

Pola i objętości biegunowe. Niechaj g (promień wodząc}⁷), 6 (amplituda) będą spółrzędne biegunowe punktu krzywej danej na płaszczyźnie, Pn P₂ punkty krzywej, 0 biegun układu spółrzędnych. Niechaj część krzywej, zawarta między punktami P, i P₂, będzie taka, że jakakolwiek prosta, przechodząca przez punkt 0 i zawarta w kącie P₁0J\, spotyka krzywą w jednym tylko punkcie. Podzielmy kąt Px ()P.₂ na n części co, ,<n₂,...a>„; wtedy krzywa pomiędzy P₁ i P₂ zostanie podzielona na n części przez ramiona kątów cząstkowych; w każdej z tych części (np. w tej, która odpowiada kątowi co,- ) obierzmy punkt dowolny o promieniu wodzącym i opiszmy Ink kołowy ze środka O promieniem gr: zawarty pomiędzy ramionami kąta co,-. Grani c a sumy pól wszystkich wycinków kołowych takich, j akt en, którego pole wynosi f g^cor (cor oznacza tu równocześnie, jak zwykle i długość łuku o promieniu 1, obejmującego kąt środkowy cor) będzie polem, z a w a r-tem omiędzy krzywą a dwoma p < wod ącemi w punktach skraj nyc rażenie analityczne tego pola jes ;

smiemami P-2 ■ W.V-

PU SI

rH

i?

0,

~ I gPie,

gdzie 0,, 0₂ są amplitudy punktów P,, P₂ (równanie krzywy ej wyraża g w funkcyi amplitudy 0).

Ta defmicya pola zgadza się. z definicyą pola poprzednią w tein znaczeniu, że gdy pole podzielimy na pola biegunowre sposobem powyższym, a następnie podzielimy ją na pola sposobem, wskazanym w paragrafie poprzedzającym, to wyniki, otrzymane ze stosowania dwóch wzorów,będą równe.

W podobny sposób postępujemy i dla objętości. Rozwrażmy kawałek powierzchni i punkt na niej o spółrzędnych biegunowych g, 0, (p. Niechaj będzie stożek o podstawie niepłas-kiej, mający wierzchołek w biegunie Ö i za podstawę oznaczony kawałek powierzchni; dajmy taki, że każda prosta, przechodząca przez'punkt O i położona wewnątrz stożka, spotyka go zawsze w j e d n y m tylko punkcie Podzielmy kąt bryłowy w wierzchołku O stożka na kąty cząstkowe; każdy z nich wytniô na powierzchni cząstkę, na której obierzmy punkt Pną i niechaj QrjS będzie promieniem wodzącym tego punktu ; utwórzmy stożek, którego kątem bryłowym w wierzchołku jest kąt bryłowy cząstkowy, wewnątrz którego znajduje się punkt Pr,s, a którego podstawą jest część powierzchni kuli, opisanej z punktu O jako ze środka. Granica sumy objętości wszystkich tych stożków, gdy maleją nieograniczenie kąty cząstkowe, na które podzielono kąt bryłowy całkowity, pod jakim widzialna jest powierzchnia z bieguna O, jes t—n a zasadzie defini cy i— objętością zawartą pomiędzy powierzchnią a punktem 0. Objętość tę można nazwać objętością biegunową; jej wyrażeniem an ali tycznem jest:

sin 6 db clcp ,

-■i//

rrt>

punktom

gdzie całka podwójna rozciąga si na wszystkie wartości 6,    <p, odpowiadają

uważanego kawałka powierzchni.

Oczywiście ta nowa definicya objętości nie jest w niezgodzie z dawniejszą w tern znaczeniu, że gdybyśmy chcieli obliczyć objętość biegunową przy pomocy wzorów poprzednich (t. j. przez podział objętości biegunowej na sumy i różnice objętości poprzednio rozważonych, i przez stosowanie wzorów do nich odnoszących się), wtedy obydwa wyniki musiałyby być jednakowe.

Podamy wreszcie, wzory, dające łuki krzywej płaskiej, luki krzywej skośnej i pola powierzchniowe w spółrzędnych biegunowych. Oto są one po kolei:

² sin 6

dg

db

sin’ 6

+ (~łP“) •

Hrzywizna linij płaskich i skośnych. Skręcenie Równania wewnętrzne.

rt-

PT

Niechaj będą styczne w dwóch punktach sąsiednich P i P' krzywej płaskiej albo skośnej; kąt między niemi, dążący do zera, gdy punkty zbliżają się nieograniczenie, nazywa się kątem styczności. Kąt ten mierzymy łukiem kołowym o promieniu 1, podtrzymującym w środku kąt, równy kątowi styczności; wielkość tego kąta oznaczamy przez 0. Jeżeli s jest łukiem, zawartym pomiędzy dwoma pu lik amis sied niemi, w edy krzywizn krzywej r z y w j płaskiej a bo skośnej w unkcie P

, gdy punkt P'

nazywamy granicę stosunku —

dąży do _P; sam zaś stosunek — nazywamy krzywizną średnią łuku s.

Uważając 0 jako funkcyę wielkości s, możemy powiedzieć, że krzywizna krzywej jest pochodną wielkości 6 względem s.

Odwrotność krzywizny nazywamy promieniem krzy

wizn y.

Jeżeli y — f(x) jest równaniem krzywej płaskiej, wtedy krzywizna jej wyraża się wzorem

jeżeli krzywa płaska wyraża się równaniami; x=qp(i), y = wtedy:

tlx d²y dt dt²

dy d?x dt dt²

•• u

[(fr+nn

W spółrzędnych b i e g u n o w y c li j e s fc ; g- -i • 2p'² — oo"

CO <M

(Q+Q'²)

Związek analityczny, istniejący pomiędzy krzywizną a lukiem krzywej, nazywa się równaniem wewnętrznem krzywej; wystarcza ono do określenia postaci linii krzywej, ale nie wystarcza do oznaczenia jej położenia na płaszczyźnie.

W y r a ż e n i e k r z y w i z n y dla krzywej skośnej jest:

C —    -j-j V(dt/d*z—dz(Pt/)' J-1 dzd-x-dxcPz)*-Ar(dxd²y-dyd,*x)³ lub, g d y za zmienną niezależną weźmiemy s :

Jeżeli z punktu przestrzeni poprowadzimy równoległe do wszystkich prostych stycznych do danej'krzywej skośnej i ograniczymy te równoległe kulą, której środkiem jest punkt przestrzeni, wtedy na powierzchni kuli utworzy się krzywa kulista, którą nazywamy obrazem kulistym krzywej skośnej danej. Jeżeli z punktu krzywej danej poprowadzimy równoległą do stycznej w odpowiednim punkcie obrazu kulistego, otrzymamy normalną główną do krzywej skośnej. Równa ni ami tej normalnej są:

TT

1 — v

X—x

Jeżeli t — s (t. j. łukowi krzywej), wtedy : d~x

dhj

cis*

ds²

Ii

dx

dy

7/ / V² , [ d*x \-

/ 1 ds* ) + \ ds² /

ds

ds

Z—z

dx

.)

d . —:- • - Cl .

ds

dy

dz

ds

a jej dostawami kierunkowe mi:

d.S

dx

cos £ = R

Cl . —r-

ds

l/s

, cos £ = R

cis

, COS 7] = R--

gdzieś je t promieniem r z y w i z n y.

Rozumieć będziemy przez kierunek dodatni no r-m a 1 n e j do krzywej płaskiej w punkcie P lub normalnej głównej do krzywej skośnej w punkcie P ten z dwóch kierunków normalnej, w którym, wychodząc z punktu P, spotykamy punkty, które z punktami krzywej nieskończenie biizkiemi punktu P znajdują się po jednej i tej samej stronie stycznej w punkcie P,-albo po jednej i tej samej stronie płaszczyzny, prostopadłej do normalnej głównej, poprowadzonej przez punkt P. Rozumieć będziemy przez kierunek dodatni s t yc z n ej do krzywej płaskiej w punkcieP ten z dwócli kierunków stycznej, który zlewa się z kierunkiem dodatnim osi y, gdy przesuniemy krzywą w jej własnej płaszczyźnie tak, aby kierunek dodatni osi x zeszedł się z kierunkiem dodatnim normalnej.

Punkt na kierunku dodatnim normalnej do krzywej płaskiej albo normalnej głównej do krzywej skośnej w punkcie P, odległy od tego punktu na długość równą promieniowi krzywizny //, nazywa się środkiem krzywizny, odpowiadającym punktowi P.

W przypadku krzywej skośnej, jeżeli poprowadzimy przez środek krzywizny prostą prostopadłą do stycznej i do normalnej głównej, otrzymamy prostą biegu n o w ą: prosta równoległa do prostej biegunowej i przechodząca przez punkt krzywej, nazywa się dwu normalną (binormalną).

Środek krzywizny dla krzywej płaskiej jest położeniem granicznem. przecięcia normalnej w punkcie P z normalną w p u n k c i e nies skończenie bliz kim punktu P.

Prosta biegunowa dla krzywej skośnej jest położeniem granicznem prostej przecięcia płaszczyzny normalnej w punkcie f z płaszczyzną normalną w punkcie nieskończenie blizkim punktu P :

ds

Spół rzędne mi środka krzywizny dla krzywej płaskiej są:

xx = x -j- R

dy

ds ’

lh = y — R

dx

ds ’

te wzory mają ważność przy uwzględnieniu umów powyższych co do kierunków dodatnich stycznej i normalnej i przy uważaniu wielkości R za zasadniczo dodatnią.

Spółrzędnemi środka krzywizny krzywej skośnej są:

dx

xx = x + E-

ds

d dy

-, y, =y±R-

ds

ds

zt = z± ti²

gdzie znak określamy zgodnie z umową, przyjętą co do kierunku dodatniego stycznej.

Równaniami proste j bieg u nowe j s ą :

X — xi

____ y-y,

cos X    cos JU

Z — z

COS V

gd z i e kąty kierunkowe X. y, v tej prostej mają wartości, określone przez wzory:

d(/d'żz — dzd²y d P

cos X — R

, cos tu — R

dzd²x — dx ‘.²z

ds³

cos v = R

dxd²y — dyt.irx

ds⁸

/V y

Płaszczyzna stycznej i normalnej głównej do krzywej skoś-ej nazywa się płaszczyzną ściśle styczną; jej ównaniem j e s t :

dx,

dz

i =0.

d'-z

d²x,

Płaszczyzna ściśle styczna jest położeniem granicznem płaszczyzny, przechodzącej przez punkt krzywej iprzez dwa inne jej punkty, gdy te dwa punkty w jakikolwiek sposób zbliżają się nieo graniczę nie do pierwszego.

Skręcenie lub inaczej krzywizna druga ma związek z odchyleniem prostej biegunowej w przejściu od jednego do drugiego punktu krzywej, podobnie jak krzywizna pierwsza lub inaczej krzywizna przegięcia wiąże się z odchyleniem stycznej.

Jeżeli t oznacza kąt pomiędzy dwiema prostemi bieguno-wemi w dwóch punktach nieskończenie blizkich krzywej (lub lepiej łuk kołowy o promieniu 1, podtrzymujący w środku kąt

T

ten), wtedy granica stosunku nazywa się skręceniem krzywej skośnej w punkcie uważanym; jej wyrażeniem analitycz nem jest:

d cos fx j‘²_^ |

d cosr \²

ds

ds

gdzie ż, ju, v są kąty kierunkowe prostej biegunowej, T zaś nazywa się promieniem skręcenia.

W teoryi krzywych skośnych lub krzywych o podwójnej krzy wiznie ważnemi są wzory Freneta albo S e r r e t a, wyrażające różniczki dziewięciu dostaw: trzech dostaw kierunkowych stycznej: cos a, cos ß, cos y, trzech dostaw kierunkowych normalnej głównej: cos f, cos r\, cos £; trzech dostaw kierunkowych prostej biegunowej : cos 1, cos ju, cos v. Wzory te są następujące:

d cos a

ds

d cos X

ds

1

⁼ "ft cos £ ,

¹ \

= •—— cos

d cos ß

ds

d cos ju

ds

— -jj- cos rj

dcosy

ds

Y cos V >

d cos v

dv

d cos £

ds

§

CC

h-

cos A,

cl COSł]

ds

¹ *    ¹

~iï COSß--ÿ-COS/4,

d cos £

rH

ds

COS y —

COS V .

Co do umów względem znaków w tycli wzorach patrz rozprawę Knesera (Grelle CXIII, str. 89)

Związki analityczne pomiędzy krzywizną a lukiem s .krzywej oraz pomiędzy skręceniem a lukiem nazywają się równaniami wewnętrzne m i krzywej ; równania te indywidualizują postać krzywej, ale nie określają jej położenia w przestrzeni.

owolnie 11= łi(s), T— T(s) rznę krzywej, to ist-

Jeżeli damy sobie jako równania we w n c

n i e j e zawsze krzywa, im odpowiadająca, a a -danie

kr żywej s

r o w a za cati’ego

o wyznaczeniu te się do równania typu r wnama (Darbou x).

Krzywa, dla której stosunek obu krzywizn jest s t a 1 y, j e s t helisą na walcu (t. j. krzywą przecinającą tworzące walca pod kątem stałym); jeżeli w szczególności obie krzywizny są stałe, wtedy wale c jest kołowym (Puiseux, Crelle YIT; Bertrand tamże VIII).

Ri

postaci:

Równanie wewnętrzne stożkowej jest

3.

dR

J 7/    h A.

r - l+AR*—BIl³

CfQ

pr" pi

ta

co

• rH

<p

t-i

vo

SI £ p ⁰

cc

cc

-(-3

CD ©

'O

C/2

*p

CD

i-i. »-i

cS Ö

Co

rH CO

i—I co

rH

tH

'i

d z i e _??, a są odpowied oli i hyper boli równo

Jedno z równań wewnętrznych krzywej kuliste j (położonej na powierzchni kuli) jest:

00

io parametrami pa ra

cz nej.

— -f -J T T ^ äs \

dB

ds

= 0.

Krzywe, dla których jedno z równań wewnętrznych krzywej kulistej jest związkiem liniowym pomiędzy dwiema krzywiznami, nazywają się krzyw emi Bertranda (Grelle XV); mają one tę ciekawą własność, że ich normalne główne są zarazem normalnemi głównemi innej krzywej, sprzężonej z daną (patrz, Bonnet J. Éc. pol. XXXII, 1848; Serret, Crelle XVI; Compt. rend. 1877; C e s a r o, Biv. di mat. II, Matliesis II i t. d.)-

Teoryą krzywych płaskich zajmowali się pierwsi ex pro fes so głównie Clairaut (Traité des courbes à double courbure, 1731), T i n s e a u (Mém. des Sav. étr. IX, 1781 ), M onge (tamże X, 1785, Journ. Éc. pol. Il, 1799), Laueret (Mém de Paris 1 1806, II 1811) J a c o b i (Grelle XIX, XVI), Sain t'- Venant (Journ. Éc. pol. 1845).

Sławne wzory F reneta i S e r r e t a odkryli prawie równocześnie ci dwaj uczeni (Crelle XVII 1852 i XVI 1851; rozprawa F r e n eta zresztą już w 1847 była odznaczona nagrodą przez fakultet nauk w Tuluzie).

Geometryą w e w n ę t rzną k r z y w y e h, t. j. badaniem krzywych na podstawie ich równań wewnętrznych zajmowali się speeyalnie: H o p p e w wielu rozprawach (Crelle LX, LXIII, Archiv, der Math. 1880—85—89 i t. d,), Lie (Christiania Versl. 1882, patrz też Vorlesungen über contuirl. Gruppen, Lipsk 1893), C e s à r o, który temu przedmiotowi poświęcił osobną książkę (Geometria in-trinseca, Napoli 1896).

Głównemi traktatami o geometryi nieskończonostkowej krzywych skośnych są książki: Sc helia (Lipsk 1859, wyd. 2-gie 1898), P. S e r r e t a (Paryż, 1860), J o a c h i m s t h a 1 a (wyd. 3-e, Lipsk 1890), i prócz tego traktaty, o geometryi różniczkowej, o których mówimy w paragrafach następnych.

Styczność krz y w y c h i powierzchni.

Niechaj y=f(x), y=<p(x) będą równania dwóch krzywych płaskich, mówimy, że krzywe te mają w punkcie o odciętej x = x₀ styczność rzędu i, gdy dla x = x₀ jest:

f(x₀) = cp (x₀),    f'(x) = <p\xo),

Ci

. fiûM = <P(/)(œo)-

Jeżeli «jest liczbą parzystą, krzywe w punk-

s i ; jeżeli i jest m punkcie nie

cie zetknięcia p zeci liczb nieparzys ą, w

I-i

ct-

.S»

Ci- -fl)

przecinają się. e ż e 1 i

O.

wie krz we

h! V-

99 mają w pewnym i, wtedy trzecia

p u n

krzywa ip, mająca z krzy wą /'styczność rzędu k<Zi, ma i z drugą k*r żywą cp styczność tegoż rzędu k.

Krzywą, mającą w pewnym punkcie z inną krzywą stałą styczność rzędu«, można uważać jako położenie graniczne krzywej, przechodzącej przez i-\-l punktów krzywej stałej, wtedy gdy te punkty zbliżają się do siebie

nieo graniczenie.

Krzywa, której równanie zawiera i stałych nieoznaczonych, nazywa się ściśle styczną do krzywej stałej, jeżeli ma z nią w uważanym punkcie największy możliwie rząd styczności, przy uwzględnieniu wszystkich stałych rozporządzalnych; w ogóle tym największym rzędem jest i — 1; w szczególnych przypadkach rząd może być wyższy.

Kołem ściśle stycznem do krzywej w punkcie jest koło, które z krzywą w tym punkcie jest koło, które z krzywą w tym punkcie ma styczność rzędu przynajmniej drugiego.

Koło ciśl cie przeć odz

czne do krzywej w ez ten punkt i ma ś

swój w środku krzywizny (koło krzywizny).

Jeżeli koło ściśle styczne ma z krzywą w punkcie styczność rzędu nieparzystego (a więc wyższego o d 2), wtedy promień krzywizny w tym punkcie jest maximum albo mi

CC'

M. (T>

CT-

fH

nimum.

Niechaj będzie dana powierzchnia i jej prosta normalna w punkcie P, niechaj będzie i krzywa skośna, przechodząca przez punkt powierzchni; rzućmy tę krzywą na powierzchnię za pomocą prostych rzucających, równoległych do normalnej. Mówimy , że k r z y w a i powierzchnia mają w tym punkcie styczność rzędu i, gdy krzywa i rzut jej, tak utworzony, mają w punkcie P styczność rzędu i.

Powierzchnia, której równanie zawiera i parametrów dowolnych, nazywa się ściśle styczną do krzywej w punkcie, jeżeli w tym punkcie ma z krzywą styczność rzędu możliwie największego, zgodnego z liczbą parametrów stałych.

Najwyższy rząd styczności wynosi co najmniej 'i — 1.

Płaszczyzną ścisłe styczną do krzywej skośnej jest płaszczyzna, przechodząca przez punkt krzywej i mająca z nią w tym punkcie styczność co najmniej rzędu 2-go (patrz §4).

Kulą ściśle s t y c z n ą jest kula, mająca z krzywą skośną w punkcie styczność co najmniej rzędu 3-go.

05

Obwiednie krzywych / powierzchni. Powierzchnie rozwija/ne.

Jeżeli równanie / = 0 (krzywej albo powierzchni) zawiera parametr nieoznaczony a, to zmieniając go w sposób ciągły, otrzymamy szereg krzywych albo powierzchni. Wziąwszy war-

Paacal. Rep. II.

tość pewną, a, a następnie drugą a-\-\a, będziemy mieli dwie krzywe albo powierzchnie, których przecięcie, w miarę gdy \a dążyć będzie do zera, może zbliżać się w ogólności do pewnego położenia granicznego. Ogół tych wszystkich położeń granicznych może tworzyć krzywą albo powierzchnię, którą nazywamy obwiednią danego szeregu krzywych albo powierzchni. Krzywa albo powierzchnia szeregu nazywa się obwiedzioną. W przypadku powierzchni, położenie graniczne krzywej przecięcia dwóch powierzchni nieskończenie blizkich nazywa się charakterystyką (M o n g e).

Dla znalezienia równania obwiedniej należy w rugować parametr a pomiędzy równaniem d nem a równaniem, jakie otrzymuj em y, przyrównywaj ąc do zora pochodną danego równania względem parametru, t. j. pomiędzy rów-df

naniami f — 0. —7— = 0.

' da

b wied i a t tyczna do wszys kie h u odpowiedniej c arab

wie

r y s t y ki.

zionyc

Cl, CD

CC

b-

Charakterystyka, położona na obwiedzionej, spotyka obwiedzioną sąsiednią w pewnych punktach, które mogą dążyć do położeń granicznych, gdy dwie obwiedzione zbliżają się nieogra-niczenie; ogół wszystkich położeń granicznych tworzy w ogólności krzywą, należącą do obwiedniej i nazwaną krawędzią zwrotu obwiedniej; równania tej krzywej otrzymuj emy, eliminuj ąc « pomiędzy trzema rów

naniami:

f= o,

óf

ar = °’

d²/'

da²

= 0.

Obwiednia układu pojedyńczo-nieskończonego płaszczyzn jest powierzchnią, zwaną powierzchnią r o z w i j a 1 n ą Kiechaj r, s, t oznaczają pochodne drugie wielkości z względem x i y, otrzymane z równania powierzchni; równaniem różniczko wem powierzchni r o z w i j a 1 n e j jest:

rt — s² = 0.

Powierzchnie roz wij aine otrzymały swą nazwę dlatego, że dają się rozwinąć na płaszczyźnie, bez rozciągania i zrywania.

Powierzchnia r o z w i j a 1 n a jest miejscem stycznych krzywej skośnej, k t r a j e s t j ej kra-wędzią zwrotu, asamestyczn są jej charakter y s t y k a m i.

Płaszczyzny styczne r o z w i j a 1 n e j są płaszczyznami ściśle s t y c z n e m i j e j krawędzi zwrotu.

Obwiednia płaszczyzn normalnych do krzywej skośnej jest powierzchnią, która nazywa się roz wij alną biegunową krzywej skośnej.

Charakterystykami powierzchni rozwijalnej biegunowej są proste biegunowe krzywej danej.

Spół rzędne punktu krawędzi zwrotu r o z-w i j a 1 n ej biegunowej są :

d,R

x{) — x -f- R cos £ — T

CIS

cos A :

dR

y₀ = y -j- li cos rj — T-cos ju;

as

z₍₎ = z -j- R cos £ — T

dli

ds

cos v.

Krawędź zwrotu rozwijalnej biegunowej krzywej skośnej jest miejscem środków kul ściśle stycznych w punktach krzywej. Obwiednia płaszczyzn, stycznych do krzywrej skośnej i prostopadłych do normalnej głównej, jest t. zw. roz wij alną pro-s t u j ą c ą dla krzywej skośnej.

Jeżeli rozwiniemy na płaszczyźnie roz-wij alną prostującą danej krzywej skośnej, to ta krzywa (należąca do powierzchni) przekształca się na prostą.

•Jr.

'    Rozwinięte i rozwijające.

Niechaj będzie krzywa płaska albo skośna; wyobraźmy sobie nawiniętą na nią nić giętką i nierozciągalną, a następnie

rozwińmy ją tak, aby pozostała zawsze napiętą i zatem styczną do krzywej; wtedy punkt jakikolwiek nici opisze krzywą, którą nazywamy rozwij aj ą c ą danej; daną względem tej ostatniej nazywamy rozwiniętą.

Styczna do rozwiniętej jest zawsze prostopadła do s. tycznej do krzywej rozwijając e jT

a d o

c z n a do rozwij j ą c e j jest r ó w n o 1 e

nor

t-.. CTC2

alnej głównej rżywej rozwinięte .

Jeżeli mamy daną krzywą skośną albo płaską, to sp ó ł -rzędne punktu rozwiniętej wyrażają się wten sposób:

gdzie:

x‘ — x —R cos £ H tg (r -j- k) cos X ; y' — V + R cos ^ Ä tg (t -)- k) cos ju ; z' = z -j- R cos r] -f- K tg (r -j- k) cos v ,

ds

i gdzie k jest stałą dowolną. Istnieje tedy nieskończenie wiele rozwiniętycłi danej krzywej płaskiej albo skośnej. Jeżeli krzywa jest płaską, wtedy x jest stałe. Kąt, jaki styczna do rozwiniętej tworzy z normalną główną rozwijającej, równa się T-j-k.

Jeżeli krzywa jest płaską, to kładąc = otrzymamy, pomiędzy nieskończenie wielu rozwiniętemi, rozwiniętą płaską. Wszystkie rozwinięte krzywej leżą na powierzchni rozwijalnej biegunowej dla krzywej rozwijającej i są wszystkie krzywemi geo-dezyjnemi (patrz niżej) tej powierzchni.

Jeżeli rozwijająca jest skośną, to i wszystkie rozwinięte są skośnemi; jeżeli jest płaską, to jedna rozwinięta jest płaską, pozostałe skośnemi. W tym prz}^padku jedyna rozwinięta płaska jest miejscem środków krzywizny krzywej rozwijającej , a pozostałe są helisami walca, którego podstawą jest to miejsce.

Styczne do dwóch różnych rozwiniętych, wychodzące z tego samego punktu rozwijającej, tworzą kąt stały.

O powierzchniach rozwiniętych dla powierzchni danej patrz

niżej § 13.

Z wyżej podanej konstrukcja linii rozwijającej wynika bezpośrednio, że krzywa dana posiada nieskończenie wiele rozwijających.

Rozwiniętą krzywej płaskiej rozważał po raz pierwszy Huy-g e n s (Horołogium oscillatorium 1663), który do konstrnkcyijwahadła izochronicznego zastosował izochronizm cykloidy (p. Rozdz. XVII). opierając pręt wahadła na dwóch półrozwiniętych tej krzywej; stąd pochodzi myśl badania rozwiniętych w ogólności. Przedmiotem tem zajął się później Newton w swojej „Metodzie fluksyj“.

coo

00

Społrzędne krzywoliniowe. Element liniowy powierzchni. Formy różniczkowe zasadnicze powierzchni. Odwzorowanie podobne. Odwzorowanie kuliste.

Niechaj będzie powierzchnia, określona przez równania:

x — (p (u, v),    y = yj (u,v), z = % (u, v),

gdzie u: v, są dwa parametry dowolne; linie, dla których n=const, -y = const, przedstawiają dwa układy linij, położonych na powierzchni i przecinających się w punktach, dla których u i v nazywaj ą się społrzędne mi krzywoliniowemi. Odległość nieskończonostkowa pomiędzy dwoma punktami powierzchni, których społrzędne są u \v, u-\- du i v-\-dv, nazywa się elementem liniowym powierzchni; j ego kwadrat ma wyrażenie:

gdzie:

ds² = Ed'i² -j- 2 Fdu dv -j- Odv²

(S’+Êf+fS’

dx dx dii do

dy_ dy da do

dz dz da ov '

Jeżeli przez (u,x), (u, y). . . oznaczymy kąty, jakie tworzą z osiami x, y,... styczne do 1 i nij u— const, v = const, będzie:

COS(V, #) =

1 dx

de

, cos («, y) =

cos (v,y) =s=

K# du '

_ J ày_

VE dv ’

cos (u,z) =

COS(», .2') =

1 (te h 6? (ht

dz

a kąt Q pomiędzy liniami w = const, v = const dają wyrażenia ;

cos Q —

VEG ’

sin Q =

VEG—F-

VEG

Warunkiem koniecznym i dostatecznym na to, aby dwie linie u = const, v = const były orto-gonalnemi, jest F= 0.

Element pola powierzchni d a n y j e s t przez wyrażenie:

Veg — F² dudo .

Jeżeli X, Y, Z oznaczają dostawy kierunkowe normalnej do powierzchni, będzie:

dz dx da J da !

dy dz dii ⁵ du

VEG - F-

dy dz dv ’ do

VEG — F -

dz dx

do ’ do

dx dy du ’ da

V EG — F-

¹ ddi dt/

I ~dT'~dV

Forma różniczkowa f— Edu'² -f 2Fdndz-\- Gdv² nazywa się pierwszą formą różniczkową zasadniczą powierzchni, forma zaś

<p = — Z dx clX = Ikht² -f 2D‘du dv + DW

nazywa się drugą formą różniczkową zasadniczą powierzchni; tu wielkości D mają wartości:

<J²x du²~ ’

gdzie symbol 2’ oznacza, że suma rozciąga się ]ia trzy wielkości, z których dwie otrzymujemy z wypisanej, przemieniając x. X odpowiednio na y, Y: z, Z.

Pomiędzy spólczynnikami E, E, G, D, Z)', D" zachodzą trzy związki, które w przypadku, gdy krzywe spółrzędne są orto-gonalnemi, t. j. gdy F= 0, są postaci:

1) - Z X

D' = Z X

d-x

dtiöv

D" = Z X

d'²x

dv²

⁽⁾ iB" \ _ r) iJŁ\ _    01E

óu\V77) àvlyÿ'l I EG àv

D dVG

dii

= 0,

1)

dv\y e

à ! D' du \ Yl<:

ir dl G I EG du

D" d\/E

do

= 0,

i)n — nn" d/i wg I EG

du \\ F à u

\ d I 1 dVE \

) àv \ [/ (j ov ,/'

Co do związków tych w przypadku ogólnym, wyrażonych przy pomocy symboli C h r i s t o f f e 1 a, patrz B i a n e h i (Geometria differ. s. 90—91 lub przekład niemiecki s, 91—92). Ostatni wzór odpowiada wzorowi Gaussa (Disquis. circa superf. i t d.); dwa pierwsze—wzo-znalezionym przez M a i n a r d i’ego (Ist. Lomb. IX, str. 395,

roni,

1856, a później odkrytym poraź drugi przez Cod a z z i’ego (Annali di mat. II, 1868); nazywają się one też w z o r a m i C o d a z z i’ego.

Gdy dane są dwie formy k w a d ra to we różni czk owe f i rp ( patrz wyżej ), z których pierwsza jest określona (t.j. ma znak stały, c o ma miejsce w t e d y, g d y EG—F ²>0), to — aby istniała powierzchnia, posiadająca

te dwie formy jako pierwszą i drugą formę różniczkową, jest ko nieć z nem i dostateczne m, by spełniały się powyższe trzy związki (napisane, oczywiście, dla przypadku ogólnego). Powierzchnia jest wtedy jedyną i po taci oznaczonej, ale nie jest oznaczoną co do oło-żenia swego w przestrzeni. Dla znalezienia równania powierzchni dość zcałkować równanie różniczkowe typu równania Riccati ego.

Ul

CM

Jeżeli w szczególności w pierwszej formie różniczkowej zasadniczej j est E— G, F = 0, wtedy układ krzywych spółrzęd-nych nazywa się ortogonalnym izoter ulicznym, a u i v nazywają się parametrami i z o m e t r y c z n e m i.

Niechaj linie u, v stanowią układ izotermiczny o parametrach izometrycznych, t. j. niechaj pierwsza forma różniczkowa daje się sprowadzić do postaci:

cis² — E (du² -j- dv²).

wtedy jest jasnem, że, skoro położymy u= &(it'), v— W(E) gdzie <I>, W są dwiema funkcyami dowolnemi, wtedy krzywe spół-rzędne u=const, r = const zasadniczo się nie zmienią, t. j. w' = const, v‘ — const będą te same, co poprzedzające; ale forma różniczkowa, wyrażona w nowych spółrzędnych u', v\ nie będzie już izometryczna; będzie mianowicie:

dv'² ,

ds² — E

a spółczynniki przy du¹² i dr/² nie będą już równemi.

Tu przedstawia się konieczność wprowadzenia pewnych odróżnień w pojęciu, wyżej podanem. Układ (u, v) nazwiemy wprost izotermicznym, jeżeli staje się zadość warunkom:

F= 0,

gdzie fu.nkcye U, V są funkcyami: pierwsza samego ?/, druga

Można nieskończenie wielu sposobami wykonać taką zamianę zmiennych u, v na zmienne u', v\ aby nowy układ był izotermiczny.

samego v; nazywa się zaś izoter micznym o parametrach izometrycznych, jeżeli mamy nadto E= G.

Każdy układ wprost izotermiczny daje się zawsze sprowadzić do formy izometrycz-nej .

Jeżeli mamy na powierzchni układ izotermiczny (u, v), to każdym inny układ izotermiczny (u', v') otrzymuje się z danego, kładąc zmienną zespoloną nr-\-ivr, jako funkcyę zmiennej zespolonej u -f- i v, t. j. biorąc

u'-j- iv' = <P (u -

gdzie jest symbolem funkcyi dowolnej.

Warunkiem koniecznym i dostatecznym na to, aby linie cp — const wraz z ich trojektoryami ortogonalnemi tworzyły układ izotermiczny jest, by stosunek dwóch parametrów różniczkowych 1-go i 2 go funkcyi (p był funkcyą samego tylko ą>. Temi parametrami różniczkowemi (których określenie podaliśmy w Rozdz. IX Tomu I str. 216) są tu:

d<p \'²

dv

d(p d(f>

du dv

eq~~f-

+«sr

Veg—f³

| G —--

) d du

U» V EG-

dr

Edv_FpP

F-

+4

ov

du

dv YEG—F^

Jeżeli jedna z powierzchni jest taka, że jej element liniowy daje się sprowadzić do formy ( U-\- V) (du² -f dc²), gdzie U, V są dwie fnnkcye: pierwsza tylko samego u, druga tylko samego c, wtedy mówimy, że powierzchnia jest typu Liou-v i 11 e’a.. Do powierzchni tego typu należą kwadry ki i powierzchnie obrotowe.

Najnowsze prace o powierzchniach L i o u v i 11 e’a ogłosili :

K o e n i g s (Compt. rend. 1889), S t ii c k e 1 (Math. Ann. XXXV) i Ricci (Rend. Lincei 1893).

Niechaj będzie układ izotermiczny spółrzędnych (u,v), sprowadzony do postaci izometrycznej, tak że ds² — 2.(du²-}-clv-)-Uważajmy u, v za spółrzędne kartezyańskie prostokątne punktu na płaszczyźnie; każdemu tedy punktowi powierzchni odpowiadać będzie punkt płaszczyzny i otrzymamy tym sposobem odwzorowanie płaskie kawałka powierzchni.

Od wzorowanie to jest p o d o b n e m, ft. j. kąty odpowiednie są równe.

Niechaj wogólności u, v będą spółrzędnemi izometrycznemi na powierzchni lub na części tejże: aby mieć najogólniejsze odwzorowanie podobne tej powierzchni na płaszczyźnie, na której spółrzędnemi kartezyańskiemi niechaj będą x: y, dość przyjąć, że zmienna zespolona u~\~iv jest funkcyą dowolną zmiennej zespolonej x-\-iy albo zmiennej x —iy. W przypadku pierwszym kąty odpowiednie są równe i jednego zwrotu, w drugim równe i zwrotów przeciwnych.

Jeżeli mamy drugą powierzchnię lub część powierzchni ze spółrzędnemi izometrycznemi n\ v\ to, aby mieć najogólniejsze odwzorowanie jednej powierzchni na drugiej, dość przyjąć, że zmienna zespolona u-\-iv jest funkcyą dowolną jednej z dwóch zmiennych u'A-iv albo u’ — iv‘ (Porów, „ßepertoryum“ t. I str. 340—341).

'ących sobie r.ównol eg ł e;

go

Odwzorowanie części powierzchni na kuli otrzymujemy, ustanawiając odpowiedniość pomiędzy punktami kuli w ten sposób, aby normalne w o d p o w i a punktach dwu powierzchni b w tym celu ze środka kuli pro wadzimy promienie równoległe do dodatnich kierunkó w li fi i j normalnych w rozmaitych punktach powierzchni; końce tych promieni będą odpowiadały punktom powierzchni. Odwzorowanie to nazywamy zwykle o d w z o r o-w a n i e m k u 1 i s t e m Gaussa.

Odwzorowanie to nie jest w ogólności podobne m; jest ono podobnem t y 1 k o dla powierz-c ni o krzy wiznie średniej r 6 n wierzchni najmniejszych) i dla u i

j zeru (po-

Spólczynniki e, f, g formy różniczkowej o s p ó ł żadnych u, v, przedstawiającej k w a -drat e ementu liniowego kuli odwzorowującej, wyrażają się wzorami:

e = — (KE-f HD), f = - {KFĄ- HD'), g = — (KG -f- HD").

gdzie:

DU' — D"²

2FD'— ED"— GD F G — F-

Forma różniczkowa

e cl u² -f- 2 fclu dc -j- g dr²

nazywa się zwykle trzecią formą różniczkową, należącą do po wierzchni.

O własnościach odwzorowania kulistego odnośnie do linij krzywiznowych, asymptotycznych i t. d., mówimy w paragrafie następnym.

Pierwsze prace z teoryi różniczkowej powierzchni, mianowicie pierwsze badania nad krzywizną zawdzięczamy Eulerowi i M e u s n i e r o w i (Mein, de Berlin 1760, Sav. str. 1785), Dwiema pracami podstawowemi geometryi różniczkowej były: sławne dzieło M o nge’a (Applic de l’anal, à la géom., Paryż 1807 -1809, wydanie L i o u v i 11 e’a z r. 1850) i rozprawa Gaussa (Disqu. generales circa superficicies curvas, Werke IV). Inne rozprawy wymienimy jeszcze niżej; tu zaś wymieniamy tylko najnowsze traktaty: D a r b o u x, Théorie générale des surfaces, Paryż 1887—96 i B i a n c h i Geom. diff. Piza 1894, przekład niemiecki. Lipsk 1899,

W najnowszych pracach stosowanemi bywają w rachunkach symbole Christoffela (Crelle LXX), a mianowicie:

aj Symbole gatunku pierwszego:

IO

tH

j!2(

rH Ol

to

rH jCM

ôF    1 dE

du    2 do ’

o.

to! i—¹

to

to

1 dG 2 J 2 dv

22

b) Symbole gatunku 2 - g o : G^ + F^—2F—

du

dr

du

2 (EG — F²)

. {“i

eu

du

d>

2 [KG —F²)

dE

dG

dG

dE

du

du

Or

ur ⁼

2 (EG —F²)

dG

dF

2 (EG F²)

dG

dv

du )22i ’ >2i

2 (EG — F²)

EàG d^-IF-

du

dv

2 (EG—F³)

OF

dv

Pochodne spółczyuników T). D\ lf drugiej formy różnicz-.kowej wyrażają się przez spółczynniki D i symbole Christoffela za pomocą wzorów Weingart en a (patrz Bi an chi 1. c. wyd. niem. str. 126).

Z przedstawienia w tym paragrafie wynika, że badania o elemencie liniowym powierzchni i spółrzędnych krzywoliniowych są pokrewne z badaniami nad formami róźniezkowemi kwadratowemi, parametrami różniczkowemu i t. d. Bibliografię tego przedmiotu podaliśmy w Rozdz. IX § 4 tomu I-go tej książki.Przypominamy tylko, że zasadnicze pomysły tej teoryi znajdujemy w rozprawach B e 11 r a m i'ego (Griorn. di Battag. II, Ann. di mat. I 1867, Mein. Bologna 1869, Math. Ann. I).

Linie. nakreślone na powierzchni. Linie krzywiznowe. Styczne sprzężone. Linie geodezyjne. Linie asymptotyczne.

Linia, nakreślona na powierzchni, nazywa się linią krzywi z n o w ą, gdy normalne do powierzchni, przez punkty tej linii poprowadzone, są stycznemi pewnej krzywej skośnej, t. j. tworzą powierzchnię rozwijalną.

Linie krzywiznowe tworzą podwójnyukład ortogonalny, t, j. przez każdy punkt powierzchni przechodzą zawsze dwie linie krzywiznowe wzajemnie prostopadłe.

P r z e s u w ą j ą c s i ę wzdłuż linii krzywizno w ej, mamy:

clx : cl y :dz — <IX : cl Y : cl Z.

Równaniem różniczkowem 1 i n i j krzywiznowych jest:

(FD"— GD') clv² -f (ED" — GD) du dv -f (EU — FD) du² = 0,

gdzie ł), /'', Z)" maj ą wartości

wskazane w § 8. Równanie to można też napisać w postaci:

= 0.

Eclu -j- Fdv,    F du Ą- G dv

D du -4- D'dv, D'du -f D"dv

Jeżeli z~f(x,y) jest równaniem powierzchni, p, q pochodnemu pierwszemi, r, s, t pochodnemi drugiemi funkcyi z względem x, y, to równanie różniczkowe 1 i ni j krzywiznowych przybiera postać:

[(1 + p*) s — pqr

cn

J clx² -j- £(1 -f p²) t — (1 -j- q²) rj dx cly

-f \l> <2 < “ (1 + <f) « j dy²

kuli i r żywi i n i a i w i j a 1 n e j ą prostopadłe.

Jeżeli dwie powierzchnie przecinają się wzdłuż linii krzywiznowej dla obu, to przecinają się pod kątem stałym; odwrotnie: jeżeli dwie powierzchnie przecinają się pod kątem stałym, a ich przecięcie jest linią krzywiznową dla jednej z nich, to będzie linią krzywiznową i dla drugiej.

W odwzorowaniu kulistem Gaussa układ linij na powierzchni, pozostający ortogonalnym, jest układem linij krzywiznowych.

Nazywamy powierzchniami listewko w e m i ( modanate i moulures według Monge’a) powierzchnie, dla których linie krzywiznowe jednego układu znajdują się w płaszczyznach normalnych do powierzchni.

Powierzchnia lis te wko w a tworzy s ię ruchem krzywej płaskiej, której płaszczyzna toczy się bez ślizgania po powierzchni r o z w i j a 1 n e j.

Jeżeli w punkcie powierzchni poprowadzimy dwie linie krzywiznowe, styczne do nich w tym punkcie i normalną do powierzchni, wtedy płaszczyzna, poprowadzona przez normalną i przez jednęfze stycznych, przecina powierzchnię wzdłuż krzywej, którą nazywamy przecięciem nor mai nem g i ó-wnem w tym punkcie. Widzimy stąd, że dla każdego punktu powierzchni są dwa przecięcia normalne główne, przecinające sie pod kątem prostym.

Promienie krzywizny r₁, tych dwóch przecięć normalnych głównych nazywają się promieniami g ł ó w n e m i krzywizny powierzchni, a środki krzywizny tychże przecięć są dwoma środkami krzywizny powierzchni w tym punkcie. Jeżeli te środki znajdują się po stronach przeciwległych względem punktu powierzchni, wtedy promieiniom krzywizny nadajemy oczywiście znaki prze -

‘04WI1Ö.

«T n CS3 3

płaszczyźnie każda linia jest ową. z y i o r ą

owe m i

tr aj

tr o

wierzchni o torye do nic

tr ?

i-i

CS!

a>

•N3

CD

CD

CA

f-i

rCD

Ph

<D

co

*89

c+-

CD

P"

a*

*89

CS

PT P

• rH •

..

• pH

ir

D"

o cîq

Z' CL

rCD

-

P CD

Hj

co

CSJ

a *

OT

O H{

P- CS]

CD £

>-i

tSJ

CD

O-

linij v = co ust, u = coiist.

Pro m i e n i e główne k rzywizny r, i r₂ są pierwiastkami równania:

(DD"—D'²) r²-f (EU"—DG—2 FD' ) r + (EG—F-) = 0.

Promień R krzywizny jakiegokolwiek przecięcia normalnego powierzchni wyraża się przez , r.j za pomocą wzoru:

cos² 6

sin³ 0

?-₂

(wzór Eulera),

gdzie 6 oznacza kąt, jaki płaszczyzna przecięcia czyni z płaszczyzną przecięcia normalnego głównego, którego promieniem krzywizny jest r.₂.

Przy pomocy tego wzoru promienie krzywizny przecięć normalnych wyrażają się przez promienie główne.

Następujące twierdzenie Meus nier a pozwala wyrazić promień krzywizny jakiejkolwiek linii, nakreślonej na powierzchni, przez promienie główne:

Promień krzywizny jakiejkolwiek linii, nakre-ślon ej na powierzchni, rów na się promieniowi przecięcia normalnego stycznego do krzywej, pomnożonemu przez dostawę kąta, jaki płaszczyzna przecięcia normalnego tworzy z płaszczyzną ściśle styczną do krzywej.

Jeżeli promienie rl5 r₂ są jednego znaku, wtedy odpowiadający im punkt powierzchni nazywa się eliptycznym; jeżeli rl—r₂, punkt nazywa się kołowym (umbilikiem): jeżeli rlt r₂ są znaków przeciwnych, nazywa się hyperbolicznym;

wreszcie punkt nazywa się parabolicznym, gdy jeden z promieni jest nieskończenie wielki.

W przypadku punktu eliptycznego, powierzchnia w otoczeniu tego punktu leży całkowicie po jednej stronie płaszczyzny stycznej; w przypadku punktu hyperbolicznego leży częścią po jednej, częścią po drugiej stronie płaszczyzny stycznej.

Jeżeli DD"—D'²^>0, wtedy punkt jest eliptycznym, jeżeli DI)"² - D‘²<^0 — kyperbolicznym.

Ten podział punktów na eliptyczne, paraboliczne i liyper-boliczne odpowiada podziałowi, podanemu w Rozdz. IX, § 1 dla powierzchni algebraicznych. Równanie wskazującej Dupina (patrz tamże) można napisać wpostaci równania krzywej

es

r\

położonej na płaszczyźnie stycznej do powierzchni i dla której osi spółrzędnych £, r\ zlewają się odpowiednio z kierunkami stycznych do dwóch linij krzywiznowych, przez uważany punkt przechodzących.

Kwadrat półśrednicy g tej elipsy, tworzącej kąt 6 z osią r/r wyraża się przy pomocy równania :

cos² 6

sin² 6

r2

Q-

Porównawszy ten wzór z wzorem Eulera, otrzymujemy g² = R; a zatem, kwadrat półśrednicy wskazującej Dupina równa się promieniowi krzywizny przecięcia normalnego, przecho d z ą cego przez tę śr e dni cę.

To twierdzenie Dupina (Développ. de góom., Paryż, 1813) można uważać zâ interpretacyę geometryczną wzoru Eulera; stąd nazwa wskazującej Dupina.

Dwie średnice sprzężone wskazującej Dupina nazywają się stycznemi sprzężonemi na powierzchni. Układ podwójny linij na powierzchni nazywa się sprzęż onym, jeżeli w każdym punkcie powierzchni styczne do dwóch linij, przezeń przechodzących są sprzęźonemi. Jeżeli 0, 0' są kąty, jakie styczne sprzężone tworzą z linią krzywiznową v; będzie:

tg 0 . tg 0' —

Dla ii kład u sprzężonego jest zawsze D‘ =0; i o d w r o t n i e: j e ż e 1 i D' = 0, uk ł a d 1 i n i jn, v jest sprzężony.

W odwzorowaniu kulistem Gaussa kąt pomiędzy dwoma kierunkami sprzęźonemi albo zachowuje niezmiennie swą wielkość, albo przechodzi na kąt dopełniający zależnie od tego, czy punkt powierzchni jest hyper boli czny albo eliptyczny.

Następujące twierdzenie daje nowe określenie stycznych sprzężonych.

Dwie styczne do powierzchni w punkcie P są sprzęźonemi, jeżeli po'wierzch i a rozwija 1 n a, opisana na danej powierzc ni wzdłuż krzywej nakreślonej na niej i stycznej do jednej z dwóch danych prostych, ma jako tworzącą drugą z tych prostych.

Układ linij krzywiznowych jest jedynym układem, równocześnie ortogonalnym i sprzężony m.

Liniami asymptotyczne mi powierzchni nazywają się linie, nakreślone na powierzchni i takie, że ich płaszczyzna ściśle styczna w każdym punkcie zlewa się z płaszczyzną styczną do powierzchni.

Linie asymptotyczne tworzą układ podwójny; przez każdy punkt powierzchni przechodzą dwie takie linie, wogóle nie prostopadłe. W każdym punkcie styczna do linii asymptotycznej zlewa się z własną sprzężoną.

Styczne do dwóch linij asymptotycznych

35

Pascal, Eep. II.

w każdym punkcie zlewają się z asymptotami wskazuj ące j Dupina.

Linia asymptotyczna czyni zadość związ

ków i :

1) du² -j- 21)’du dv -j- I)"dv² = 0.

Oznaczając, jak zwykle, przez ę, r, s, t pochodne pierwsze i drugie funkcyi z względem x i y, otrzymane z równania powierzchni, możemy równanie różniczkowe linij asymptotycznych napisać w postaci:

r dx² 4-2 sdx dy -4- t dy- — 0.

tyczne s yperboli znych

w i s t e m i o wierz-

rzecz

Linie a s ym tylko w p u n k t a c c h n i, są zaś urój onemi w p u n t a c h eliptycznych.

Dla powierzchni rozwij alnych dwa układy linij asymptotycznych zlewają się z two-r z ą c e m i powierzchni,

Kwadrat skręcenia linij asymptotycznych w punkcie równa się całkowitej krzywiznie powierzchni w uważanym punkcie, wziętej ze znakiem przeciwnym (Tw. Ennepera).

ic

stąd: w każdym punkcie powierzchni dwie linie asymptotyczne, przezeń przechodzące, mają skręcenia równe co do wartości bezwzględnej.

Przy przekształceniach rzutowych zachowują się układy sprzężone i linie asymptotyczne; przy przekształceniach przez promienie odwrotne zachowują się linie krzywiznowe (Darboux).

W odwzorowaniu kulis tern Gaussa kierunki linij asymptotycznych odchylają się na 90°.

Dajmy, że na kuli odwzorowującej są u', v' obrazami linij

asymptotycznych powierzchni; oznaczmy przez

symbole Christoffela, odnoszące się do elementu liniowego na kuli, wtedy :

Ol

31

to

Jeżeli odniesiemy powierzchnię do układu jej linij asymptotycznych, wtedy kwadrat elementu liniowego przybiera postać Q²(edu² — 2 f dudvg dv²), gdzie Q- — — r.j, zaś ej, e i / są spółczyunikami trzeciej formy różniczkowej zasadniczej.

Dla powierzchni prostoliniowej linie asympto-tyczne jednego układu są tworzącemi po wierzch ni.

Stosunek anliarmon iczny czterech punktów, w których tworząca spotyka cztery asymptotyczne ustalone danej drugiego układu, jest s t a ły. (Twierdzenie P. Serr eta)

Jeżeli linię L, nakreśloną na powierzchni i przechodzącą przez punkt P, rzucimy ortogonalnie na płaszczyznę styczną w punkcie P, to krzywizna tego rzutu w punkcie P nazywa się krzywizną geodezyjną lub stycznościową w punkcie P linii nakreślonej na powierzchni, a środek krzywizny rzutu nazywa się środkiem krzywizny geodezyjnej linii L w punkcie P.

zwykłej krzywiznie linii na którą przekształca się krzywa P, skoro na płaszczyznę powierzchnię r o z -

Krzywizna geodezyjna linii L, nakreślonej na powierzchni, równa się płaskiej rozwiniemy

wijalną, opisaną na danej powierzchni wzdłuż linii L.

Jeżeli u, v są krzywe spółrzędne na powierzchni, <p(u,v)=Q równanie linii na niej nakreślonej, to krzywizna geodezyjna

wzorem :

Qcp

—- linii cp w punkcie wyraża się

y*m

du dc \ du I

Wzór ten nazywa się wzorem Bonn eta.

Promień krzywizny g e o d e z y j n e j ’r ó w n o 1 e ż n i k a powierzchni obrotowej równa się części stycznej do południka, zawartej pomiędzy punktem styczności a osią obrotu.

Linia, nakreślona na powierzchni i stanowiąca najkrótszą odległość pomiędzy dwoma jej punktami dostatecznie blizkiemi, nazywa się linią geodezyjną powierzchni.

Dla linii geodezyjnej normalna główna zlewa się w każdym punkcie z normalną do powierzchni. Tę własność można przyjąć za określenie linij geodezyjnych.

Linia geodezyjna jest w ogóle oznaczoną, skoro są dane dwa jej punkty, albo skoro dany jest punkt, przez który ma przechodzić, i kierunek stycznej do niej w tym punkcie.

Krzywiznę geodezyjną linii w punkcie można też określić w sposób następujący:

na

Q'p V KG—F²

du

y°m

dcp

dc

o-ń

du

du ÖV

«êr

dcp

F du

-E

dcp

dc

Niechaj będą dwa punkty P i P' nieskończenie blizkie krzywej i w tych punktach linie geodezyjne styczne; granica stosunku kąta,przez nie utworzonego, do łuku PP' linii krzywej, gdy punkt P' zbliża się nieograniczenie do punktu P, jest krzywizną geodezyjną linii w punkcie P. W ten sposób określenie krzywizny geodezyjnej jest naturalnem rozszerzeniem określenia krzywizny linij płaskich.

Beltramiemu (Griorn. di Batt. II) zawdzięczamy twierdzenie, służące do wyznaczania środka krzywizny geodezyjnej linii w punkcie.

Wyobraźmy sobie r,a powierzchni układ oo¹ linij geodezyjnych g i linię l, mającą styczne sprzężone z liniami g\ styczne do linij g w punktach linii l tworzą powierzchnię rozwijalną z krawędzią zwrotu s. Każdemu punktowi linii l odpowiadać będzie tedy punkt krawędzi s, jeżeli za punkt krzywej l, odpowiadający punktowi P uważać będziemy punkt M, w którym tworząca rozwi-jalnej, przechodząca przez punkt P, jest styczna do krawędzi zwrotu. Punkt M jest środkiem krzywizny geodezyjnej w punkcie P linii, przechodzącej przez punkt P i p ro sto p aałej do linii geodezyjnej, przez ten punkt przechodzącej ,

Kównanie różniczkowe linij geodezyjnych (rów-nanie Gaussa) jest:

^M = i (if

1    àÆ

2    dv

du

bj| bj

du

dE

du -j—-— dv dc

du —

1_ dO

2 du

— dv,

gdzie ô jest kąt, który linia geodezyjna tworzy z liniami u — const i dla którego :

sin 6 =

V EG—F² dv

Ve

ds

Jeżeli linie a, v są ortogonalne, mamy:

1 dV Zr VE ĆH'

1 dVE

dr

du —

dv .

W przypadku, w którym układ linij u, v jest ortogonalny i zotermiczny, równanie różniczkowe linij geodezyjnych jest postaci:

d\E

VEdb =

dv

dn —•

óVE

du

dc .

Dla powierzchni Liouville’a, dla których element liniowy daje się sprowadzić do formy

-{a(V)-\-ß(y)](du'²-Ą~dv‘²), równanie Iinij geodezyj nycli przybiera postać:

/,

. l a (u) - a

gdzie a i ć są stałe całko wania. Widzimy tedy, że w tym przypadku równanie linij geodezyjnych daje się całkować bezpośrednio.

.Dla powierzchni r o z w i j a 1 n y c h równanie różniczkowe linij geodezyjnych całkuje się przy pomocy dwóch kwadratur.

W każdym punkcie linii geodezyjnej, nakreślonej na povyierzchni obrotowej, iloczyn promienia równoleżnika przez wstawę kąta nachylenia do południków jest stały (Tw. Clairauta).

Linia krzywiznowa, będąca zarazem linią geodezyjną, jest płaską; i każda geodezyjna płask a j e s t linią krzywiznową.

Łuki linij g e o d e z y j n y c h, odcięte przez tra-j e k t o r y e do nich prostopadłe, są równej długości. Dlatego to trajektorye ortogonalne układu oo¹ linij geodezyj nycli nazywają się liniami geodezyjnie równole-gł e m i.

Odległością geodezyjną dwóch punktów jest długość linii geodezyjnej, przez te punkty przechodzącej.

Linia na powierzchni, której punkty mają równą odległość geodezyjną od punktu stałego powierzchni, nazywa się kołem geodezyj nem.

Linia, której punkty mają takie odległości od dwóch punktów stałych, że suma albo różnica tych odległości jest stałą, nazywa się elipsą albo hyperbolą geodezyjną.

Trójkątem geodezyjny m nazy wamy trój kąt, utworzony z trzech łuków krzywych geodezyjnych.

Jeżeli wraz z Gaussem nazwiemy krzywizną całkowitą pola powierzchniowego, wartość całki podwójnej rozciągniętej na to pole, gdzie Kjest krzywizną powierzchni w punkcie (patrz § 10), do zaś elementem pola powierzchniowego, to można będzie wypowiedzieć następujące twierdzenie (Gaussa):

Krzywizna całkowita trójkąta geodezyjnego równa się nadmiarowi sumy trzech jego kątów ponad dwa kąty proste. Stąd (gdy K jest stałe): na powierzchni o krzywiznio stałej pole trójkąta geodezyjnego jest proporcyonalne do nadmiaru sumy trzech jego kątów ponad dwa kąty proste. (Porów, twierdzenie analogiczne Alberta Girarda o trójkątach kulistych R-ozdz. II, § 6).

Twierdzenie to uogólnił Schering (Gott. Nach. 1867). 0 teo-ryi trójkątów geodezyjnych patrz: Cli ristoffel (llerl. Abh. 1868), W eing a r t e n (Beri. B. 1882), v. M a n g o 1 d t (Grelle XCIV).

Nazywamy skręceniem g e o d e z y j n e m w punkcie linii, nakreślonej na powierzchni, skręcenie linii geodezyjnej, stycznej do linii danej w uważanym punkcie.

Skręcenie geodezyjne linii zlewa się ze y k ł e m t y c h wszystkich i tylko r y c h normalna główna jest n a -c ylona pod kątem stałym do po wierze n w szczególności zaś ma to miej sce dla lini geodezyjny li i asymptotycznych.

są skręcenia geodezyjne krzywych spółrzęd-

r cenieni c linij, 1

tr

'O

• rH

Jeżeli

* U

h-¹ C

Z,

nycli u, v, wtedy :

i _ (w'—Fir

Z* ~ O VEG—F-

Te

Fl) - E W

EVEG—W

«p

«CD

'd

cc

T,

rCD

CD

PS

CD

CD

Cu

<D

CC

pCD

CD

PI

CD

Cs

rCD

CD

CD

pi

VI

co

«•CD

CC

vO

cr

1

T, ~ T

d co

ds

gdzie co jest kąt linii l a normaln lukiem linii l. Linie krz

o m i ę d z do p o w

normalną e r z c h n i, s z

05 crq

02-

J es

et- c»

y w i z n o w e są krzywizna g e o d e z y j n a w k a zerem.

linie, tor r m p u n c i e

C-.. ^

Określiliśmy już wyżej (Rozdz. XIII, § 6) linię zwężenia powierzchni prostoliniowej; obecnie dodajemy, że w każdym punkcie linii zwężenia powierzchni prostoliniowej krzywizna geode-z y j n a t r a j e k t o r y j ortogonalnych do tworzących jest zerem.

Podamy kilka twierdzeń o liniach geodezyjnych elipsoidy.

Każda linia geodezyjna, wychodząca z punktu kołowego, przechodzi przez punkt kołowy średnicowo przeciwległy.

Dwa punkty kołowe przeciwległe można połączyć nieskończenie wielomałukami geodezyjnemi równej długości (jak na kuli).

Jeżeli punkt M na elipsoidzie połączymy liniami geodezyj-nemi z dwoma punktami kołowemi nie przeciwległemi, wtedy kierunki linij krzywiznowych, przechodzących przez punkt M, będą dwusiecznemi kątów pomiędzy liniami geodezyjnemi.

Dla każdej linii geodezyjnej na elipsoidzie iloczyn odległości środka od płaszczyzny stycznej w punkcie linii geodezyjnej przez długość średnicy równoległej od stycznej do geodezyjnej w tymże punkcie jest stały.

Linie krzywiznowe pierwszy rozważał Monge (patrz § 8); I) u p i n o wi zaś (Dével. de géom. J 813) zawdzięczamy rozważania nad liniami asymptotycznemi i kierunkami sprzężonemi oraz wprowadzenie wskazujących. O liniach krzywiznowych pisali następnie: Brios chi (Ann. di Tortolini IV, 1863), Ribaucour (Compt. rend. 1872), Darbe ux (tamże 1877, 1881) i inni. O liniach krzywiznowych, jwze-chodzącyeh przez punkt kołowy: C a y 1 e y (Phil. Mag’. 1863, Quart. Journ. XI, 1870), Frost (tamże X), Hoppe (Arch. d. Math. LXX, 1883). Wiele prac ogłoszono o powierzchniach, mających linie krzywiznowe płaskie albo kuliste: S e r r e t (Crelłe XVIII), B o n n e t (Ec. pol. XXXIII, 1853), D i ni (Ann. di mat. \, Mein Soc. dei Quaranta TM, 1869). E n n e p e r (Grelle XCIY) i wielu innych.

Linie geodezyjne badał Gaus s; Lege n d r e nazywał je linia m i mini m alnemi; nazwę dzisiaj używaną wprowadził Iyio u ville. Prócz Gauss a, pisał o nich Steiner (Beri. Ber. 1839), Ja c o b i (Grelle XIX—o geodezyjnych elipsoidy), Minding (Grelle XX), Lion ville (w wydaniu z r. 1850 dzieła M o n g ea), Appel, de 1’Anal. a la Gćom.), Br i o sc hi (Ann. di Tortol. IV), Beltrami (Ist. Lomb. 1868) i t. d. W ostatnich czasach: W ein-garten (Beri. Ber. 1882), Brill (Münch. Abh. 1883), Ricci (Ist. Veneto 1893—94). O historyi geodezyjnych patrz Stückel (Leipz. Ber. 1893). O geodezyjnych na elipsoidzie patrz tom 2-gi traktatu Hal phe na o funkcjach eliptycznych.

§ io.

Krzywizny powierzchni. Rozwijalność jednych powierzchni na drugie.

Wyrażenia

r, r.

1—1 ! V

tH

noszą nazwę: pierwsze krzywizny całkowitej Gaussa, drugie krzywizny średniej w uważanym punkcie. Wiel-kości te wyrażają się przy pomocy wzorów:

DD" — TY'²

EG -F²

2FIY— ED"— GD

EG —F²

Inną krzywiznę, mającą za wyrażenie -7 ₂ -j- -77), wpro-

“ \rl r2 I

wadził C asorati (Acta matk. XIV, patrz Catalan, tamże XV).

Krzywiznę K można wyrazić za pomocą wzoru, w którym występują tylko spółcz.yn-n i k i pierwsze j formy różniczkowej:

4- h

2 (EG—F²

IM

dE

dG 1

EVEG—F² ào

VEG—F* à u

dF

____

d»l Ve G—F2 ôu

dE

dE

VEG—F² àv

EVEG—F² àu

Jeżeli równanie powierzchni dane jest w postaci z=f(x,y) i jeżeli położymy: d*

dx

= P,

dz

d²z

d y ~<h

= r,

d²z

d'²z

dx2 rt - - s²

- ■■■ o _

dxdy ’ dy2 H~

— t, wtedy:

2pqs — (l-j-p²) t — (l-{-q²)r

Krzywizna K jest dodatnia av h y p e r b o 1 i c z n y c h, jest zerem w p u n rabolicznych.

CO •M

7r

ch p

nktach ach p a -

Krzywizna K powierzchni prostoliniowej jest zawsze ujemna albo r ó \y n a zeru. Jeżelinie jest zerem wzdłuż tworzącej, to jest największą pod względem wartości liczebnej w punkcie środkowym (patrz Rozdz. XIII, § 6) i zmniejsza się w miarę oddalenia się od tego punktu na tworzącej.

i z n i e J równej jest powierzc ni

Powierzchnia okrzy we wszystkich punktac roz wij a 1 ną, i odwrotnie.

Krzywiznę A wyrazić

1 1

wizny geodezyjne

nych za Liouv. XVI) :

można przez k r z y-d w u 1 i n i j spółrzęd-(Journ. de

Qu Qc

pomocą wzoru L i o u v i 11 e ' a

(Pü

d VG

[ EG- F²

du

Qu

jL l E i

àv gp j

gdzieÛjest k ą t, j a

i tworzą linie spółrzędne. Krzywiznę całkowitą powierzchni można określić jako odwrotność

granicy stosunku pola powier zch-nieskończenie małego do pola kuli-

n i o w e g o

s t e g o, o d p o w i a d a j ą c e g o pierwszemu w odwzorowaniu kulistem powierzchni.

Jeżeli pomiędzy punktami dwu powierzchni można ustanowić odpowiedniość taką, że odpowiadające sobie ich elementy liniowe stają się równemi, wtedy powierzchnie nazywają się wzajemnie na siebie rozwijalnemi.

Jeżeli dwie powierzchnie dająsięrozwinąć jedna na drugą, to wtedy za pomocą zgięcia można rozciągnąć jednę (albo część jednej) na drugiej bez zerwania i bez zdwojenia.

r.- p

Sr cd

CD O

Krzywizna c a 1 k o. w i t a powierzchni w j a -kimkolwiek punkcie nie z m i e ia się przy dowolne m zginaniu powi rzchn alb co na jedno wychodzi, dwie po wierze nie, dając się rozwinąć jedna na r u g i e j, m a j ą równe k r z y w i z n y w odpowiadających sobie punktach. I dla tego krzywiznę K nazywamy niezmiennikiem gięcia.

zmienia

P <-CD

P <d

Jeżeli ze g niemy powierzchnię, w t e d j 11 i e rzy wizna geodezyjna jakiejkolwiek li i 1, nakreślonej na powierzchni; a stąd w szczególności, linie geodezyjne powierz cli ni zmieniają się na li i e geodezyjne powierzchni przekształcon j.

Równość krzywizny całkowitej dwu powierzchni dla każdej pary odpowiadających sobie punktów nie jest wszakże dostateczną na to, aby te dwie powierzchnie dały się rozwinąć j edna na drugiej; wystarcza zaś jedynie tylko w tym przypadku, gdy obie powierzchnie mają w każdym punkcie krzywiznę stałą i t. p.

Dwie powierzchnie o tej samej stał ej krzywizn ie całkowitej dają się nieskończenie wielu sposobami rozwinąć jedna na drugiej: stąd : powierzchnia rozwijalna (o krzy wiznie równej zeru) daje się zawsze rozwinąć na płaszcz y ź n i e, a powierzchnia o krzywiznie stałej dodatniej daje się zawsze rozwinąć 11 a kuli.

Każda powierzchnia o krzywiznie stałej może za pomocąoo³gięć przechodzić na samą siebie.

Każda powierzchnia, zezwalająca na 00 gięć ciągłych na sama siebie, daje się rozwinąć na powierzchni obrotowej.

H e 1 i s o i d a m i nazywamy powierzchnie, utworzone ruchem linii płaskiej albo skośnej, obracającej się około osi, która znów równocześnie posuwa się wzdłuż samej siebie, tak, że stosunek dwu prędkości (obrotu i przesunięcia) jest stały.

Każda helisoida daje się zawsze rozwinąć na powierzchni obi¹ oto w ej; elipsy rozwijają się wtedy wzdłuż równoleżników ( T w. B o u r a).

Jeżeli na powierzchni giętkiej ustalimy jedli ę krzywą, wtedy powierzchnia nie daje się odkształcać, o ile ta krzywa nie jest asymptotyczna.

Można dwoma różnemi sposobami odkształcić powierzchnię tak, aby jedna jej krzywa C przybrała postać dowolną 1 \ byleby krzywizna pierwsza k rzywej J była w każdym punkcie w i ęk-sza od krzywizny geodezyjnej krzywej C w odpowiednim punkcie.

Można nieskończenie wieloma

sposobami

odkształcić powierzchnię tak, aby jedna jej jakakolwiek linia stała się linią krzywizno wą,.p o-wierzchni odkształć o n e j.

Niepodobna odkształcić powierzchni 6' w ten sposób, aby krzywe asymptotyczne stałysię krzy-asymptotycznemi powierzchni odkształ-c o n ej, o ile powierzchnia uSnie jest powierzchnią prosto! i n i o w ą, a krzywe asymptotycznej ej t w o-rzącemi prostoliniowemu

Jeżeli dwie powierzchnie prostoliniowe, nie dające się otrzymać przez odkształcenie jednej i tej samej powierzchni stopnia 2 - g o, dają się rozwinąć jedna na drugiej, wtedy tworzące je-d n e j po przekształceniu rozwijają się wzdłuż tworzących drugiej (Tw. Bonne taj.

po-

Nazywamy stożkiem kierowniczym powierz-chni prostoliniowej stożek, utworzony przez proste prowadzone z danego punktu i równoległe odpowiednio do tworzących powierzchni danej.

Każda powierzchnia prostoliniowa daje się z a av s z e przekształcić w ten sposób, że jej stożek kierowniczy przybiera postać dowolną.

Każda powierzchnia, prostoliniowa daje się zawsze zgiąć w ten sposób, że linia dowolna, nakreślona na niej, zamienia się na linię asymptotyczną.

Przekształcając powierzchnię prostoliniową, możemy zawsze sprawić, że jedna z jej 1 i n i j geo-z y j n y c h przekształca się na prostą.

Można oo¹ sposobami odkształcić prostoliniową tak, aby jakakolwiek z jej k r z y w y c h stała się krzywą płaską.

Jedynemi powierzchniami prostoliniowe mi rozwij alnemi na powierzchniach obrotowych są przekształcenia helisoidy prostoliniowej o po lu naj mniej szem (p. niżej) i hyperboloidy obrotowej.

Krzywizną powierzchni zajmowali się już Euler i Meus nier, lecz dopiero Gauss rozwiązał zagadnienie to w § VI11 swoich „Dis-quisitiones generales etc.“ Gaussowi też zawdzięczamy odkrycie, że krzywizna K nie zmienia się przy zginaniu powierzchni. Pomiędzy pierwszemi pracami o rozwijaniu powierzchni ważnemi są roz-r prawy Mindinga (Prelle XIX), Boura (Ée. pol. LTX, 1861), Bonnet a (tamże LXI, LXII), C o d a z z i'ego (Mćm. prés. Paryż XXVII) i t. p. Dalej wymieniamy rozprawy: W eingarten:; (Crelle LIX), R i b a u c o u r a (Comp. Rend, LXX), Dini’ego (Giorn. di Batt. II) i t. d. Jedną z pierwszych prac o zginaniu powierzchni prostoliniowych jest rozprawa Mindinga (Crelle XVIII), i zasadnicza praca B e 11 r am i’ego (Ann. di mat. VII, 1865). Nowe prace Weingartena o teoryi rozwijalności powierzchni, opartej na nowej metodzie, znajdują się w Compt. rend, CX1Ï, str. 607, 706 i w Acta mat. XX, a wykład nowej metody w dziele D a r b o u x’a o powierzchniach (t. IV, str. 308).

S 11.

Powierzchnie o krzywiznie całkowitej stałej. Powierzchnie pseudosferyczne.

Powierzchnia o krzywiznie stałej ujemnej K

żywa się p o w i e r z oh n i ą pseudosferyczną o promieniu R. Nazywamy h ory cyklem krzywą na powierzchni pseudosferycznej, mającą krzywiznę geodezyjną stałą

równą ^ .

Element liniowy każdej powierzchni o krzywi z n i e stałej normalnej K = z i ć analitycznie przez wzór:

ds² = du² -f cos² ~

R

^ d aj e si ę

dv² ,

it'³

lia

w y r a-

a element liniowy każdej powierzchni o krzywiznie stałej ujemnej K = — ^ n e g o z trzech wzorów następujących:

U²

zą

pomocą jed

ds²

U

— du² -f- cosh² —- dv² (typ hy^p er bo liczny),

2 u

ds² = du² -j- cR dv² (typ paraboliczny),

14

ds² = da² -}- R² sinh² — dv² (typ eliptyczny).

v

Dla pierwszej z tych trzech form liniami spółrzędnemi są geodezyjne t>=const, ortogonalne do geodezyjnej stałej L, oraz trajektorye do nich prostopadłe v=const. Za pomocą podobnego układu spółrzędnych sprowadzamy także i element liniowy powierzchni o krzy wiznie stałej dodatniej do formy wyżej podanej.

Dla form}' drugiej linie v— const są liniami geodezyjnemi, ortogonalnemi do linii L, mającej krzywiznę geodezyjną stałą

~lj- (horycykle), a linie u — const. są trajektoryami do tamtych

prostopadłemu

Dla formy trzeciej linie v = const. są geodezyjnemi, wychodzącemu z jednego punktu, linie u — const. są trajektoryami do nich prostopadłemu

lzme sta

Element liniowy każd ej powierzchni o krzy-i równej 1, odniesione do li ni j c h, przedstawia się w p s t a c i :

ds³ = sinłr co du² -f- cosh³ to du-gdzie co czyni zadość związkowi:

0-

l-J-

C4_j *

M    -r-i    O

o Ö    «

CD

• rH

d² to du²

d,- co

dv²

— — sinli co cosh co .

-p p

P N © O N

P P-5 ^ ⁰ M

CD

0 CS3.

^    P CL

^    - CD

£ ^

0

cc - O

CD

crh

SO

P ° &

-r-l -rH

¹ 'mm

a>

ro

hö

sin³ co t/v² ,

ds² — cos² co du²

gdzie co czyni zadość związkowi:

d²co

ô²co

du²

do²

— sm co cos co .

Nadanej powierzchni o krzywiznie stałej istnieje zawsze układ spół rzędnych taki, że linie geodezyjne wyrażają się za pomocą równań liniowych pomiędzy spółrzędnemi, i odwrotnie: powierzchni a jest powierzchnią o krzy-wiznie stałej, skoro jej linie geodezyjne dają rzedstawić za pomocą równań linio-wj c h (Tw. Bel tr a m i’ego). Twierdzenie to rozciąga się na przestrzenie wyższe.

Rozpatrzymy teraz powierzchnie pseudosfe¹-r y c z n e obrotowe. Odniósłszy ich element do południków i równoleżników, mieć będziemy:    <j

u    11 12

= du² —j—-rj— cr e n J

ds²

dv².

Stosownie do tego, czy spółczynniki c i c' są jednego znaku, jeden z nich jest zerem, albo wreszcie są znaku przeciwnego, mamy trzy typy powierzchni pseudosferycznych obrotowych. Są niemi mianowicie :

1. Typ h y p e r b o 1 i c z n y. Stałe c i c' są jednego znaku; element liniowy, odniesiony do południków i równoleżników, wyraża się wzorem :

du² -j- a² cosh² ^ dr² .

ds² —

Powierzchnia powstaje przez obrót krzywej

x — X cosh ~ ,

,-jy

2 -    7/

1--—; sinh² dv

R²

około osi y.

2. Typ paraboliczny. Jedna ze stałych c, c' jest zerem; element liniowy, odniesiony do południków i równoleżników, wyraża się wzorami :

ds² — du² -j- eR dv².

Powierzchnia powstaje przez obrót krzywej (traktor yi):

e*,

fy'-*

-j zu

—— e¹¹ du

około osi y. Traktorya ma własność, że część jej stycznej, zawarta pomiędzy punktem styczności a osią v (która jest asymp-totą krzywej), jest stała (i równa R, patrz Rozdz. XVII). Powierzchnia tego typu nazywa się pseudosferą.

3. Typ eliptyczny. Stała c i c' są znaków przeciwnych. Element liniowy, odniesiony do południków i do równoleżników, wyraża się wzorem:

a

ds² = du -j- P sinh² — dv².

Powierzchnia powstaje przez obrót krzywej

x = X sinh 4-ht

II

ip

cosh²

S?

ŚŁ,

około osi y.

Krzywe asymptotyczne powierzchni pseu-dosferycznej mają w każdym punkcie skręcenie stałe (Enneper).

W każdym czworoboku krzywoliniowym, zawartym pomiędzy czterema liniami asym-ptotycznemi powierzchni pseudosferycznej, kąty przeciwległe są równe (Din i).

Pomiędzy powierzchniami pseudosferycznemi godnemi uwagi są powierzchnie D i n i⁷ego (Compt. rend. 1865), i powierzchnie Ennepera (Grött. Nachr. 1868), których szczególnym przypadkiem jest powierzchnia, badana przez B i a n c h i’ego (Rozpr. Piza 1879, Math. Ann. XVI). Pomiędzy powierzchniami o krzy wiznie stałej dodatniej zasługują na uwagę powierzchnie Ennepera, których przypadkiem szczególnym jest powierzchnia K u e n a (Münch. Ber. 1884)

Wszystkie te powierzchnie o krzy wiznie stałej, ujemnej albo dodatniej, mają tę własność, że posiadają układ linij krzywiznowych płaskich.

Spółrzędne punktu powierzchni Ennepera

wyrażają się przez fu parametr w; dla innyc czają fun cye kołowe.

icy e eliptyczne dwu powierzchni wystar-

Powierzchnię pseudosferyczną Dim ego tworzy traktorya, porusza lisoidalnym około własn wierzchnia ta jest tedy helisoidą. Jeden układ jej linij krzywiznowych składa się z p.o ł u d-n i k ó w (traktoryj ), drugi nych na kulach, m aj ąc te przecinają ortogonalnie helisoidę. Ta włas ność stosuje się i do powierzchni Ennepera.

Rozważmy na danej powierzchni pseudosferycznej o promieniu Li układ linij geodezyjnych równoległych; na każdej stycznej do tych linij odetnijmy odcinek długości LR. poczynając od punktu styczności; miejsce geometryczne punktów skrajnych tych odcinków jest nową powierzchnią pseudosferyczną tego Powierzchnia dana i nowa t w o -

ca się ruc emhe-

CD

; po-

krzywych nakreślo-h środek na osi; kule

samego promienia, rzą dwie powłoki rozwiniętej jednej i tej samej powierzchni, której normalnemi są styczne, o których wyżej mowa (Bianch i). Przy pomocy tego twierdzenia można z jednej powierzchni pseudosferycznej otrzymać nieskończenie wiele innych; a przekształcenie, o którem to twierdzenie mówi, nazywa się przekształceniem dopełniaj ącem (B i a n c h i) i stanowi przypadek szczególny przekształcenia ogólniejszego, nazwanego pi zekszta ł-ceniem B äoklunda (Lunds. Univ. Arsskrift. XIX, 1883;

Math. Ann. IX, XIX).

Jeżeli przekształcenie poprzednie zastosujemy do pseudo-sfery (powierzchni utworzonej obrotem traktoryi), otrzymamy powierzchnię Bianch i’ego , któia, jak powiedziano wyżej, jest przypadkiem szczególnym powierzchni Ennepera, posiadających układ linij krzywiznowych płaskich, jak helisoidą D i n i e’g o.

Spół rzędne punktu tej powierzchni wyra-w f u n k c y i dwu parametrów u, v ocy wzorów:

r®

x = 2 Ii

sm u

1 -j- y²sin²w

(cos v -j- v sin v);

sin n

1 -f- v² sin u

(sin v -j- v cos v) ;

fi (log tg — V 4

2 cos u

1 -j- v² sin u I

Powierzchnia posiada krzywą podwójną.

Modele gipsowe tej powierzchni, helisoidy Dini’ego oraz powierzchni o krzywiznie dodatniej Ennepera i Kuena, znajdują sie w kolekcyi L. Brilla.

Można utworzyć trygonometryę pseudosferycz-n ą na podobieństwo trygonometryi sferycznej, wprowadzając w tym celu luki linij geodezyjnych zamiast łuków kół wielkich. W ogólności powiedzieć można:

Wzory trygonometryczne, odnoszące się do trójkąta geodezyjnego pseudosferycznego, wyprowadzają się z wzorów zwykłej trygonometryi kulistej, zmieniając R (promień kuli) n a R ■ Zauważył to poraź pierwszy M i n d i n g (Grelle XIX, XX). Nadto:

idesowej > w i e r z c litego B e 1 -

Twierdzenia geometry i nieeu znajdują s oj ą interpretacyę na n i a c h p s e u osferycznych. Patrz co t r am i (Saggio etc., Giorn. di Batt. VI, 1868).

Z prac o powierzchniach o krzywiznie stałej, prócz wyżej podanych, wymieniamy: Beltrami (Ann. di mat. VII), Di ni (Giorn. di Batt. III), Bi auch i (Math. Ann. XVI, Giorn. di Batt. XX, Rend. Lincei 1892, 1899), Hazzidakis (Crelłe LXXXV1II), Weingarten (Crełle XCIV, XCV), Darboux (Compt. rend. 1883, Éc. norm. 1890), Guichard (Éc. norm. 1890) i t. d. Najnowszą pracą z teoryi powierzchni, traktowanej przy pomocy metody Weingartena, jest rozprawa Bianchi’ego (Anc. di mat. (3) II). O przekształceniach powierzchni o krzywiznie stałej dodatniej, prócz cytowanej pracy Hazzidakisa, patrz noty Bianchi’ego (Rend. Lincei 1899).

§ 12.

Powierzchnie o krzywiznie średniej dodatniej. Powierzchnie minimalne.

Dwie powierzchnie, równoległe do powierzchni 8 o krzywiznie stałej dodatniej i odległe od niej na + /J maj ą krzywiznę średnią stałą H = + ~ (Bonnet). Odwrotnie: Każda powierzchnia o krzywiznie średniej stałej + ma równoległą w odległości /i o krzywiznie bezwzględnej stałej ~ .

Jeżeli będziemy uważali za odpowiadające sobie punkty trzech powierzchni, położone na tej samej normalnej, wtedy o d-wzorowanie dwu powierzchni o krzywiznie stałej jednej na drugiej jest podobnem; a od wzorowanie jednej z tych powierzchni na powierzchni 8 jest takie, że dwom kierunkom na niej ortogonalnym do siebie odpowiadają zawsze na powierzchni S dwa kierunki sprzężone (patrz C h i n i, Griorn. di Batt. XXVII, 1889).

w odniesieniu do

Element liniowy każdej powierzclmi o krzy-w i z n i e średniej stałej dl 1 i n i j krzywiznowych v, v, wyraża się wzorem:

ds² = R²e±^(du²-\- dv²) gdzie 6 czyni zadość równaniu

d²6    , d²6

dii,²

dv²

= — sinh 6 cosh 6 .

Stąd:

Linie krzywiznowe każdej powierzchni okrzywiznie średniej stałej tworzą układ izotermiczny.

Każda powierzchnia o krzywiznie średni j stałej może od ształcać się, zachowując tę samą krzywizn średnią w ten sposób że nowe linie krzywiznowe stają się traj ryami pod kątem stałym linij krzywiznowych dawnych.

Powierzchnie obrotowe o krzywiznie średniej stałej otrzymujemy, według twierdzenia B o n n e t a, z przekształconej obrotowej, powstałej z kuli o promieniu i£, jeżeli na normalnych z jednej i drugiej strony odcinamy długości równe B. Otrzymujemy w ten sposób dwa typy powierzchni obrotowych o krzywiznie średniej stałej; są niemi : unduloida i nodoida. Do określenia krzywej południkowej tych powierzchni służy następujące piękne twierdzenie D e 1 a u n a y’a:

Krzywe południkowe undoloidy i nodoidy są to krzywe, opisane na płaszczyźnie pr ez ognisko elipsy albo hyperbol i, toczącej się ez ślizgania po prostej (osi obrotu powierzchni). Jeżeli zaś około te prostej obraca się krz w a, o p i-as czyznie rzez ognisko a r a b o 1 i? toczące się po pros ej bez ślizgania, w te dy powstająca powierzchnia obrotowa jest powierzchnią także o st łej średniej rzywi-znie, ale równej zeru. est to katenoi a (należąca do powierzchni o polu powierzchniowem najmniejszem).

CD 'N

cCD

Ö"¹ «

s an a na

e—i. ►O

Ph

e_i es

o,-

o-

Nazywamy powierzchniami o polu naj mni ej-s z e m, powierzchniami rninimalnemi, najmniejsze-m i, lub wreszcie elasoidami — powierzchnie, które pomiędzy wszystkiemipowierzchniami,zakońezonemi jednym obwodem i nieskończenie mało różniąceroi się od siebie, zamykają pole najmniejsze.

Jeżeli z ~ fix, y) jest równaniem powierz-

- rJp ^    3    O

P    ^    ®

*    ^    t

O    U    P

-i

CD "*

‘‘•O

° Oh N Ph

0 & B a ° «Ï.

t*r

CS]

r-ł

<x> —¹

JO c-t-

Cu

• rH

GO

KI

CD

lub

_ ₊ A _

2 dy ki -f p²-H/²

àx VI Fp²-\-ą

(1 -j- ą²) r — 2p q s -)- (1 -f- p³) t = 0.

= 0,

tri

r o i e-u n c i e

inacz : krzy-ie: każda po-

w powierzchniach minimalnych n e główne krzywizny s w każdym r wne i znaków przeciw y ch, wizna średnia jest zerem. Ud^

wierzchnia okrzywiznie śred iej zero jest powierzchnią o polu na j mniej szem.

Odwzorowanie kuliste powierzchni minimalnej jest odwzorowaniem podobnem (Bonne t).

Jedyną powierzchnią rzeczywistą rozwijalną o polu naj-mniejszem jest płaszczyzna.

Na powierzchni minimalnej linie asymptotyczne tworzą układ podwójny ortogonalny, linie krzywiznowe — układ podwójny ortogonalny izometryczny.

CD

Spółrzędne unktu o wierzchni o olu najmniej szem w rażają ię wzorami W ier-strassa:

x = j (1—z²)F(z)dz,

z — I 2t F(r) dr,

gdzie akcent ', położony nad znakiem całki, oznacza, że należy wziąć tyl k‘o część rzeczy-otrzymanego wyrażenia; F(r) j e s t j a k ą-

w i s

kol wiek funkcyą zmiennej zespolonej r; każdej wartości Podpowiada określona powierzchnia minimalna; i na odwrót.

Jeżeli przez rlt Fx (tj) oznaczymy zmienne sprzężone względem t , F( z), wtedy element liniowy powierzchni minimalnej wyrazi się wzorem:

ds² = ( 1 -j- ii y )² F (z) Fx (zx ) dzdr

a promień główny dodatni krzywizny przez:

Wzory Weierstrassa można napisać jeszcze w postaci:

{ (1—'*²) <Pn(r) + 2 t<p'{t) — 2(p (r)Y ;

T—j

to

to

• r-H

to

8~

d z i e akcent ' ma to samo znaczenie co wyżej, unkcya zaś cp(z) jest funkcyą dowolną.

Wszystkie powierzchnie minimalne algebraiczne otrzymujemy z tych wzorów, biorąc na 9?(t) funkcye algebraiczne zmiennej r.

Jeżeli dwie powierzchnie minimalne roz-w i j a j ą się jedna na d r u g i e j, wtedy f u n k c y a F, należąca do jednej powierzchni, musi by ć równa funkcyi F, należącej do drugiej, pomnożonej przez f u n k c y ę wykładniczą eia, gdzie a jest dowolną stałą rzeczywistą. W ten sposób otrzymujemy najogólniejsze odkształcenia powierzchni minimalnych, przy których zostają one powierzchniami minimal nem i.

Dwie powierzchnie minimalne, w ten sposób otrzymane, nazywaj ą się stowarzyszone mi.

Jeżeli weźmiemy a —    , wtedy dwie powierzchnie mi

nimalne nazywają się sprzężonemi w rozwijalności (Bonnet)

Powierzchnie o polu najmniejszem, rozwijalne na powierzchniach obrotowych, a więc i nieskończenie wieloma sposobami na sobie samych, otrzymujemy z wzorów Weier stras ; kładąc F (z) = Czk, gdzie k jest stałą rzeczywistą, C stałą jakąkolwiek.

W przypadku k — — 2 mamy powierzchnie h e 1 i-soidalne. Jedyną powierzchnią prostoliniową o polu naj mniej szem jest helisoida, której

V

równaniem jest z — m arc tg ( Tw. C a t a 1 a n a).

CG

_ g

Powierzchnia o równaniu V x²-\-y² = m cosh —

(katenoida lub aliseida) jest powierzchnią o polu najmniej szem; jest ona powierzchnią obrotową, na której rozwija się helisoida prostoliniowa twierdzenia poprzedzającego; jest to jedyna powierzchnia obrotowa o polu naj mniej szem.

Jeżeli we wzorach W eierstrassa położymy F(x) = 1--, otrzymamy powierzchnię minimalną algebra

iczną, zwaną powierzchnią minimalną Henneber-g a; jest ona jednostronna (patrz Rozdz. XVIII) klasy 5-ej i rzędu 15.

Jeżeli w ogólności zamiast Fßx) weźmiemy funkcyę taką, że, oznaczywszy przez F₃(x) funkcyę, otrzymaną z funkeyi Fl (t) przez zamianę spółczynników na sprzężone, będziemy mieli

—|, wtedy otrzymane powierz-

F(t)=-

chnie będą jednostronnemu

Kładąc F(r) — 3, otrzymujemy powierzchnię, dla której spółrzędnemi punktu są:

y — ß³ — 3ß—3a²ß] z = 3 (a²—ß²).

(t = a + iß)

Powierzchnia ta nazywa się powierzchnią Enne-pera i jest rzędu 9-go; jej linie krzywiznowe są sześciennemi płaskiemi rodzaju zero; linie asymptotyczne a —ß — const, a-J-ß = const są sześciennemi skośnemi. Powierzchnia Ennepera daje się rozwinąć na powierzchni obrotowej; jest ona obwiednią płaszczyzn prosto-

x = 3 a -f Baß² — a⁸ ;

Vl — 14t⁴ -ł-r⁸

padłycłi w punktach środkowych do prostych, łączących punkty dwóch parabol, mających jedno ognisko (Darboux).

Wszystkie powierzchnie stowarzyszone z powierzchniami Ennepera mają postać tej powierzchni.

Jeżeli położymy F{x)

otrzymamy

powierzchnię minimalną Schwarza, zakończoną czworobokiem skośnym, utworzonym przez dwie pary przeciwległych krawędzi czworościanu foremnego, Powierzchnia ta rozwiązuje dla przypadku szczególnego t. z w. zagadnienie P 1 a t e a u’a, mianowicie: mając obwód zamknięty, zbudować powierzchnię minimalną, zakończoną tym obwodem i pozbawioną w swem wnętrzu punktów osobliwych.

Plateau rozwiązał doświadczalnie to zagadnienie, zanurzywszy pręt metalowy, zgięty w odpowiedni kontur, w ciecz specyalną lekko lepką,, błonka bardzo subtelna cieczy, przylegająca do konturu, układa się według praw mechaniki dokładnie jako powierzchnia o polu najmniejszem.

Wymieniamy jeszcze powierzchnię przesunię cia Scherka, którą otrzymujemy, szukając rozwiązań postaci z = <p(x)    równania różniczkowego powierzchni naj

mniejszych. E ó w n a n i e ni j e j j e s t :

— { log cos (fix) — log cos (ay) }

( Crelle XII, 1885).

Jeżeli jeden układ linif kr z

D o w i e r z c h n i minimalnej płaskich, to i linie kr z y układu będą płaskie.

Ul

Ul

CD

• rH • r-J

^ ,cd CS

pi CS

• rH

rSZ\ ''S O

O 'ü ^ 2 <D

OS

CS-

OD

Ul

CD

N-

Ul

CS 42

O <D

CD CD

i-i

i-i

Ö P rP -P o o

CS ts

b-> •

<5

Jeżeli płaszczyzna przecina ortogo 1 -nie w każdym punkcie przecięcia po w i z-chnię minimalną, wtedy jest płaszczyzną symetryi dla po wie rzek ni.

Jeżeli pominiemy przypadek bardzo szczególny, rozważany przez Eulera (Methodus inveniendi etc. 17-14). to można będzie powiedzieć, że pierwszy Lagrange (Mise, Taur. II) zajmował się teoryą powierzchni najmniejszych,jako zastosowaniem rachunku waryacyjnego. Równanie różniczkowe tych powierzchni badali: Meus ni er, Monge, Legendre, Ampère. Później przedmiotem tym zajmowali się: Poisson (Crelle VIII), Sclierk (1 c.), Steiner (Beri. Ber. 1840), który znalazł twierdzenie o powierzchniach równoległych do powierzchni minimalnych, Bonnet (Compt rend. 1853), Enneper (Zeitschr. f. Math. IX, 1864), Weier strass (Beri. Ber. 1866), Riemann (Gott. Abh. XIII, 1867), Beltrami (Mem. Bologna 1868), S c h w a r z (Beri Ber. 1872, Crelle LXXX, Werke I), L i e (Math. Ann. XIV) i t. d. Wskazówki historyczne i wykład zupełny tego przedmiotu mamy w dziele Darboux’a (Théorie des surf. I>; zarys historyczny w cytowanej rozprawie Be 1 trami’ego.

Modele gipsowe tych powierzchni znajdują się w kolekcyi L.

Brilla.

O powierzchniach o średniej krzywiznie stałej pisali: D e 1 a u-n a y (Crelle VI), Sturm (tamże), J e 1 1 e t (tamże XVIII), D i n i (Annali di mat. VII) i t. d.

§ 13.

rozwinięte.

Aby

i^r¹ csa- i-ö

o wierze nia dał o w i e r z h n i minimalnej, dostateczne m, by forma r rz dstawia jej el ment li i o

z i e K

była zerem (Ei cc

Cli O

N3. CD

się o z w i n c st o nieć n m niczkowa.

'“i

CD

"O

ra

Oj • f-n

en u rzez

owi

Ph cśj

y-K,

Cl CD

i—*.

po pomno-y w i z n ą c a ł -

Powierzchnie

Miejsce dwóch środków głównych krzywizny w punktach powierzchni(patrz § 9) nazywa się powierzchnią r o z w i-n i ę t a danej, a dana względem niej nazywa się r o z wij aj.ącą.

Rozwiniętą środk ową nazywamy powierzchnię,obwiedzioną przez płaszczyzny prostopadłe do normalnych powierzchni w punktach środkowych odcinka, ograniczonego dwoma środkami krzywizny (R i b a u c o u r).

Każdą z dwu powłok rozwiniętej można też uważać za miejsce krawędzi zwrotu powierzchni rozwijalnej, utworzonej z normalnych do powierzchni wzdłuż punktów linii krzywiznowej każdego z dwu układów.

Te krawędzie zwrotu są liniami geodezyj-nemi powierzchni rozwiniętej.

linie, odpo-

m powierz

Na powierzchni rozwinii wiadające liniom krzywizn

chni danej, tworzą układ sprzężony (patrz § 9).

Linie asymptotyczne na dwóch powłokach powierzchni, której promienie główne krzywizny połączone są pewnym związkiem, odpowiadają sobie wzajemnie; i odwrotnie.

Dla tych powierzchni (które niektórzy nazywaj powierzchniami W) ilo zyn krzywizn cał owitych w odpowiednie punktach

ał ~rz)

gdzie r, , r₂ są dwa promienie krzywizny powierzchni danej w każdym punkcie (Halphen).

W szczególności: W powierzchniach o krzywizn i e stałej K—i tylko w tych powierzchniac h— linie asymptot    czne na    dwóch powłokach

rozwiniętej nie    ylkoo    owiadają sobie wzajemnie, lecz o    owiada    takżeliniomasy m-

ptotycznym p    ierzch

Na dwóch powłokach rozwiniętej, należącej do powierzchni, której promienie krzywizny są połączone związkiem r{— r₂=const — i tylko na tych po wie rzchniac h—1 inie krzywiznowe odpowiadają sobie wzajemnie.

Każda powłoka rozwiniętej,należącej do powierzchni, której promienie połączone są związkiem, daje się rozwinąć na powierz-

dwóch powłok rozwiniętej równa się

O O-

£3 i-i. P-i

pH    • rH

clini obrotowej; i odwrotnie: poza powierzchniami prostolinio-wemi, będącemi miejscem normalnych głównych dla krzywych o stałem skręceniu (powierzchniami, dającemi się rozwinąć na katenoidzie), każdą inną powierzchnię dającą się rozwinąć na powierzchni obrotowej można uważać za powłokę rozwiniętej, należącej do powierzchni, której promienie krzywizny połączone są związkiem (Tw. Weingartena).

Każda powłoka rozwiniętej, należącej do powierzchni pseudosferycznej, daje się rozwinąć na katenoidzie.

Appell (Americ. Journ. X) i Groursat (tamże) badali powierzchnie, których rozwinięta środkowa redukuje się do punktu i dla których promienie krzywizny połączone są zwdązkiem r₁-j-r₂ =gdzie fx jest stałą, <5 zaś jest odległością początku od płaszczyzny stycznej.

Rozwinięta środkowa powierzchni Grour-sata jest też powierzchnią Gloursata.

Powierzchniami, dla których zachodzi związek pomiędzy promieniami krzywizny, zajmował się W ein gar ten (Crelle LXII,CłlI), od którego to powierzchnie te otrzymały używaną przez niektórych nazwę powierzchni i! ; dalej II a 1 p h e n (Bull. Soc. math. IV), L i e (tamże IV), Beltrami (Ann. di mat. VII), D i n i (tamże VII) i t.d. Lipach itz (Acta X, Compt. rend. 1887) i L i 1 i e n t h a 1 (Acta XI) badali przypadek, w którym różnica dwóch promieni krzywizny jest stało.

Powierzchnie ka na ł o w e są szczególnym przypadkiem powierzchni W, mianowicie tym, w którym jeden z promieni krzywizny jest stały. Innemi przypadkami szczególnemi są oczywiście powierzchnie o polu najmniejszem i powierzchnie o krzywiznie stałej (bezwzględnej lub średniej).

§ 14

Układy potrójne powierzchni ortogonalnych.

Dajmy, że mamy trzy układy po oo¹ powierzchni i takie, że przez każdy punkt pewnego obszaru przestrzeni przechodzi jedna tylko powierzchnia z każdego z trzech układów. Jeżeli ustanowimy odpowiedniość jednoznaczną pomiędzy każdą powierzchnią każdego z trzech układów a wartościami parametrów P-27 £3. 1° te trzy parametry będzie można uważać za s p ó ł-rzędne krzywoliniowe punktu przestrzeni Trzy układy powierzchni tworzą t. zw. układ potrójny powie rz-c h n i. Jeżeli x, y, z są spółrzędne kartezyańskie punktów przestrzeni i jeżeli

Qi = fi(x,y,z), Qv = h{x,y,z\ q₃ =f₃(x,y,x)

są równaniami trzech powierzchni, rozwiązanemi względem parametrów, wtedy », y: z będzie można wyrazić przez parametry q, a jeden związek pomiędzy parametrami q odpowiada równaniu powierzchni w spółrzędnych krzywoliniowych q.

Kwadrat odległości pomiędzy dwoma punktami nieskończenie blizkiemi przestrzeni, wyrażony w spółrzędnych krz}rwolinio-wych, będzie:

dx dx

dQi %

ds² = Hx ²(Iq [ ²+ H.j,2dQ₂²+Hz²dQ.i-+2hv/jQldQ₂+<‘2^₁₃(lQl dg₃+2h₂₃ dQ₂dg.iy gdzie:

Ct-

s a-

a się na p o w tające z a z .

J e ż e li A₁₂=7i₂3=/ij3=0, wtedy każda z po wierzch ni. jednego układu jest ortogonalna do każ-

rH

<■

P -rl

CD

tN

EN

CD

y;

p <1

dej powierzchni dwóch drugich układów, i odwrotnie; w tym przypadku układ nazywa się układem potrójnym ortogonalnym. Dla takich układów ma miejsce następujące twierdzenie zasadnicze Dupina:

W każdym układzie potrójnym ortogonalnym linia przecięcia dwóch powierzchni różnego układu jest linią krzywiznową dla obu Nadto:

Warunkiem koniecznym i dostatecznym na to, aby do dwóch układów powierzchni ortogonalnych można było dobrać układ trzeci ortogonalny cl o obydwóch, jest, by dwa pierwsze prze-cinały się wzdłuż linij krzywiznowych (Dar-boux, Ann. Ec. norm. 1866).

K a ż d układ oo¹ kul alb pł leży do ieskończonej licz y trójnych ortogonalnych.

Każdy układ powierzchni równoległych należy do układu potrójnego ortogonalnego: powierzchnie dwóch drugich układów są powierzchniami rozwijalnemi—miejscami normalnych wzdłuż linij krzywiznowych pierwszych powierzchni.

er¹ °

ił

w po

Dla układu potrójnego ortogonalnego wielkości#, jako funkcye wielkości o, czynią zadość sześciu równaniom różniczkowym, zwanym równaniami Lam e'g o :

dmt _ 1 dHk _dHi_    1 dHj_ óHi

à Oj do/c Jlk    dgk    Hj dgk àoj ’

\    1 dHi_ dil±

! ⁺ Hf Ogj ()Oj

= 0.

d i 1 dHk\ , 1 /J_ dBi dpt- \Hk dpi I dgk \Hh dgk

Te warunki, którym mają czynić wielkości i/, są konieczne i dostateczne na to, aby układ był potrójnym ortogonalnym: jeżeli spełniają się, wtedy istnieje jeden i tylko jeden odpowiadający im układ potrójny ortogonalny.

Przez przekształcenie przestrzeni za pomocą promieni wodzących odwrotnych układ potrójny ortogonalny przechodzi na układ potrójny ortogonalny.

Jednym z najprostszych i najwięcej zbadanych układów potrójnych ortogonalnych jest t. z w. układ kwadryk s p ó ł-ogniskowych. Układ ten tworzą trzy powierzchnie (a²>b²>c²)\

x²

y'2

Z²

a2~bgi ^+@1

i y²

b²-\-q.₂

^²+P,

Z²

L*a~H>9

1,    (-C²<ß!< + C»),

(    ^²<Y2< — ⁶‘²)-

X²

y²

z²

b⁹

C- - Q?>

= 1,

i-n²<Q3< - b²),

a~~TQ:>,

z których pierwsza jest elipsoidą, druga hy-perboloidą jednopo włokową, trzecia hyper-b o 1 o i d ą dwupowłokową (patrz Rozdz. Y, § 3).

Spółrzędne, odpowiadające temu układowi potrójnemu ortogonalnemu, nazywają się zwjRle spół rzędne in i e 1 i p -tycznemi (Lamé). Element liniowy w spół-rzędnych eliptycznych ot rzy m u j e si ę z e z w i ąz k u;

ds²=

1 r__(gi~ga) (gi - ga)__

4    f-gi)(eaH~)

dgiH--

(i?2 Q‘i) (Qi gl)_

(    )(^²H“P2 )(    £>2 )

de.Ą .

t/g₂²

Teoryę spółrzędnych eliptycznych przestrzeni wprowadził najprzód Lamé (Menu prés. V, 1883, Grelle II) w przypadku specyal-nym spółrzędnych eliptycznych, a następnie w przypadku ogólnym spółrzędnych ortogonalnych (Crelle Y, XVI; Leçons, sur les coordonnées curvilignes, Paryż 1859). O tymże przedmiocie pisali następnie: A o u s t (Crelle LVIII, Ann. di mat. (1) YI, (2) II, III, Y), B r i o s c h i (tamże (2), I) 0 o d a z z i (tamże (1) VIII, (2) I, II, IV,

V), Darboux (Ann. Éc. norm. 1866, 1878), Roberts (Crelle

LXII) i t. d. W nowszych czasach ogłosili prace: B i a n c h i (Griorn. di Batt. XXI, XXII, Ann. di mat. (2), XIII, XIV, XVIII, XIX, Rend. Lincei 1885, 1886, 1890; Mem. Lincei 1887 i t. d.). W tych pracach układami potrój nenii Weingartena nazywają się układy ortogonalne (odkryte przez W ein gart en a), zawierające układ powierzchni pseudosferycznych (albo też o krzywiznie dodatniej stałej), wszystkich o jednym promieniu. Ważną klasę ty cli układów zbadał Ribaucour (1870, Comp. rend. LXX). Twierdzenie zasadnicze Weingartena o tych układach podał w nocie swej B i a n c h i (Rend. Lincei 25 lutego 1883, 15 marca 1885). W dziele Darboux’a (Leçons sur les systèmes orthog. etc., Paryż 1898) znajdujemy wykład zupełny teoryi układów potrójnych i spółrzędnych krzywoliniowych płaszczyzny.

§ 15.

Kongruencye prostych.

Mówiliśmy już w ßozdz. XIV o k o n g r u e n c y a c li 1 i-n i j prostych w przestrzeni, zwanych także układami promieni, a będących układami oo² prostych. Teorya tych utworów była wszakże badananietylko ze stanowiska Geometry i linii prostej, ale—jako związana ściśle z teoryą powierzchni—także ze stanowiska Geometryi nieskoń -czonostkowej; przytem rozważano kongruencye jakiekolwiek algebraiczne albo niealgebraiczne.

Wyobraźmy sobie kongruencyę, przeciętą pewną powierzchnią i za punkt początkowy na promieniu kongruencyi weźmy jeden z punktów, w którym promień spotyka powierzchnię. Niechaj x,y,z będą spółrzędne tego punktu; X, Y,Z dostawy kierunku promienia. Wybierzmy układ spółrzędnych krzywoliniowych w, » na powierzchni, połóżmy:

i wprowadźmy dwie formy różniczkowe zasadnicze: Ædn² -f 2 i^dudy -y Gdv² = <V = 2{dX)\

z których pierwsza przedstawia kwadrat elementu liniowego w odwzorowaniu kulistem powierzchni, t. j. element liniowy krzywej, którą otrzymujemy na kuli o promieniu 1, prowadząc przez środek kuli promień równoległy do promienia kongruencyi i uważając punkt, w którym promień ten spotyka powierzchnię kuli, jako punkt, odpowiadający promieniowi kongruencyi. Jeżeli przez dp oznaczymy odległość najkrótszą (nieskończenie małą) pomiędzy promieniem (u, v) kongruencyi a promieniem nieskończenie blizkim (u-\-du, v-\-dv), będzie:

dp =

Edu -j- Fdv, F du-j- Gdv \/EG—Fx.dsx 1 du -f- fdv, f'du-\-gdv

a odcięta r spodka tej odległości najkrótszej na promieniu v, v wyrazi się wzorem:

e dii² -4- ( f e f') du dv -j- g dv2 Edu² -f 2 Fdudv + Gdv²

Na każdym promieniu kongruencyi rozważamy: dwa punkty graniczne, dwa ogniska, punkt środkowy, a dla każdego promienia: dwie płaszczyzny główne, dwie płaszczyzny ogniskowe i t. d.; określenia tych utworów podaliśmy w Rozdz. XIV.

Odcięte r,, r₂ dwóch punktów granicznych dają pierwiastki równania:

= 0.

37

-T

i dX \²

\ dw /

= E, 2

du dv

* *(£)•

= G,

_ dX dx

2 -3— —<— =<?,    -

0w (/y    du, ou

dX dx

dX dx dv du

dX dx

(EG-F°) r² +\gE-( f+f ) F - e (?] r+eg -

Pascal. Eep. II.

a odcięte qv q₂ dwóch ognisk pierwiastki r ó w-n a n i a :

= 0.

(EG—F²)    + \gE-(f+f')F+eG\g + e<,~ft

<V

ls-

'O

02

es

P-

CTQ

es

■"Ö

CÖ

O    ⁵⁻¹    83*    O

3    o    .

a, H

-    O    P*

tśj

es

ci-

• pH

tsi -

9'

et-

«—4 . O-

©    *-i

oi    ©

^ - T3

&jo ”9 O

® I. *

I m

CÔ

et

CD

f-l

tS3

r — r, cos² co —{- r² sm² co (wzór Hamiltona).

Jeżeli 2d oznacza odległość dwóch punktów granicznych, 2d odległość dwóch ognisk, y kąt między płaszczyznami ogniskowemi, wtedy:

d² - <5² =

if-f')² .

4(EG—F²) ’

cos y

Vd²—â²

T~; smy =

nazy wa się gęstością kongruencyi w p u n-

W punkcie P promienia kongruencyi poprowadźmy płaszczyznę 7i prostopadłą do promienia i nakreślmy na niej w około punktu P krzywą nieskończonostkową c, zamykającą pole A. 2SI a kuli odwzorowującej, promienie, odpowiadające promieniom, wychodzącym z punktów krzywej r, wyznaczą krzywą kulistą, zamkniętą nieskończonostkową c' o polu A. Granica sto-A'

sunku —7-

Gęstość kongruenc i w punkcie P, żonym na promieniu l. r wnasięodwrot ości iloczynu odległości punktu Pod dwóch ognisk na promieniu l.

Pęk promieni, wychodzących z obwodu krzywej c, stanowi to, co nazywamy pękiem nieskończenie wązkim, promieni (unendlich dünnes Strahlenbündel); promień I jest jego osią. Jeżeli przetniemy ren pęk płaszczyzną, przechodzącą przez punkt Pi prostopadłą do promienia zasadniczego Z, otrzymamy jako przekrój krzywą c; jeżeli zaś przetniemy go płaszczyzną równoległą do poprzedniej i przechodzącą przez punkt P₁ promienia /, otrzymamy inny przekrój <\ . Pol a, ogra-niczone takiemi dwiema krzywemi, są odwrot-nalne do gęstości w odpowied-P, /₁. Jeżeli r jest odciętą punktu P na

nie proporo nicłi punkta promieniu /, to gęstość w punkcie P wyraża wzór:

EG — P²

(EG—F²)r²-\-[g E— (    F-\-tG]r-\-eg— ff'

Gęstość jest zawsze rzeczywista; nadto, gdy ogniska są rzeczywiste, jest ona dodatnią wpunktach zewnątrz odcinka ogniski ujemna w punktach wewnątrz tego odcinka; ma wartość ujemną największą w punkcie środkowym promienia; jeżeli ogniska są urojone, gęstość jest zawsze dodatnia i ma wartość największą w punkcie środkowym promienia.

W badaniu kongruencyi promieni rozważamy pięć powierzchni, a mianowicie: powierzchnie, utworzone z dwóch punktów granicznych, dwóch ognisk i przez punkty środkowe; nazywamy je powierzchniami granicznemi, powierzchniami ogniskowemi, powierzchnią środkową.

Prom ienie kongruencyi są stycznemi wspólne mi do dwóch powierzchni ogniskowych.

Nazywamy powierzchniami prostolinio-wemi kongruencyi, powierzchnie prostoliniowe, których tworzącemi są promienie kongruencyi: prostoliniowe mi g ł ó w n e m i zaś te prostoliniowe kongruencyi, których linie zwężenia zlewają się z miejscem punktów granicznych promieni, do nich należących.

Istnieją dwa szeregi prostoliniowych głównych.

Pomiędzy prostoliniowe mi kongruencyi jest nieskończenie wiele rozwijalnych, a mianowicie są dwa szeregi takich powierzchni.

Nazywamy kongruencyami normalnemi kon-gruencye, których promienie są normalnemi do jednej i tej samej powierzchni.

Warunkiem koniecznym i dostatecznym na to, aby kengruencya była normalną, jest, aby ogniska zlewały się z punktami grani cz-nemi, lub aby płaszczyzny ogniskowe były do siebie prostopadłe.

W kongruencyi normalnej dwie powierzchnie ogniskowe zlewają się z dwiema powłokami rozwiniętej dla powierzchni normalnej do kongruencyi; gęstość zaś w punktach tej powierzchni normalnej jest identyczna z krzywizną całkowitą tej powierzchni.

Jeżeli k o n g r u e n c y a normalna świetlnych podlega pewnej liczbie odbi i załamań, to pozostaje zawsze koogruencyą normalną (Twierdzenie Malusa - Dupina; patrz też § 3 o kaustykach w Rozdz. XVII.

To sławne twierdzenie jest pokrewne z innem twierdzeniem, znalezionem później przez B e 11 r a m i’ego (Ricerche di analisi etc., Giorn. di Battag! II,III), które orzeka, że gdy wyobrazimy sobie promienie l kongruencyi normalnej, wychodzące z punktu powierzchni S, zbudujemy powierzchnię normalną do tej kongruencyi, przecinającą jej promienie l w punktach P, a następnie odkształcimy powierzchnię £ w ten sposób, aby unosiła z sobą promienie kongruencyi w sposób niezmienny znią związane, wtedy nowa otrzymana kongruencya będzie także normalną, miejscem zaś nowych położeń punktów /'będzie powierzchnią do tej kongruencyi ortogonalna.

Jeżeli w kongruencyi promieni tak odległość ognisk, jak i odległość punktów granicznych, jest stała, wtedy dwie powierzchnie ogniskowe są powierzchniami pseudosferycznemi o promieniu równym odległości punktów granicznych (B i an c h i, Ann. di mat. XV). Kongrucye takie B ianchi nazwał pseudosferycznemi.

Kongruencya, dla której jest:

nazywa się kongruencya izotropową ßibaucoura.

Powierzchnia, obwiedziona przez płaszczyzny prostopadłe do promieni kongruencyi izotropowej w punktach środkowych jest powierzchnią o polu najmniejszem (Eibaucour).

Monge i jego uczniowie zajmowali się wraz z teoryą powierzchni i kongruencyami, utworzonemi z normalnych do powierzchni; M a-1 u s odkrył podane wyżej twierdzenie o tych kongruencyach dla przypadku, w którym mamy początkowo układ promieni, wychodzących z jednego punktu (J. Éc. pol. XIV, cali. 1808); twierdzenie to uzupełnił później Dupin (Appl. de géom. etc. pour faire suite aux Déve-lopp. de géom. Paryż 1822). Kongruencye ogólne badali: 6ergonnei Quetelet, a zwłaszcza Hamilton; później badanie to podjął na nowo i szczęśliwie rozwinął Kummer (Crelle LYII, 1880, Berliner Monatsber. 1859—60). Po tych pracach nastąpiło wiele innych; najnowszemi są prace : Weingartena (Crelle XÜVIII), Bian-c li i’ego (cytowane wyżej), Guic harda (Ann. Éc. norm. (3) Yl, Comptes rendus 1890—92).

ROZDZAŁ XVII.

GŁÓWNE SPOSOBY TWORZENIA I PRZEKSZTAŁCANIA KRZYWYCH, WYSPECYAL1ZOWANE METRYCZNIE. GEOMETRYA KRZ TWYCH SPECY ALNYCH,

¹

/ (l-j-z²)F(z)dz

ł—*L

Krzywe i powierzchnie odwrotne i Desargues a. Przekształcenie za pomocą promieni odwrotnych. Przekształcenie Desargues'a.

W § 5 Rozdziału VI była już mowa o tern, że przekształcenie za pomocą promieni odwrotnych lub inwersyę otrzymać można jako przypadek szczególny przekształcenia dwu wymiernego kwadratowego, jeżeli trzy punkty podstawowe przekształcenia umieścimy w ten sposób: dwa w punktach kołowych płaszczyzny, trzeci zaś w początku spół-rzędnych kartezyańskich.

Geometrycznie przekształcenie to możemy określić w sposób następujący :

Niechaj będzie na płaszczyźnie koło o promieniu E, mające środek w początku O spółrzędnych; każdemu punktowi płaszczyzny, którego promieniem wodzącym jest r, argumentem <y,

//²

odpowiadać ma punkt o promieniu wodzącym —— i o tymże

argumencie <p. Promień E nazywa się modułem inwer-s y i, punkt O jest biegunem lub środkiem.

Dla wykonania przekształcenia przez promienie odwrotne w przestrzeni przyjmujemy kulę podstawową o promieniu R.

Stosując te przekształcenia do krzywej albo do powierzchnią o trzy mujemy krzywe albo powierzchnie, będące odwrotnemi względem danych.

Punktowi O odpowiada prosta w nieskończoności albo płaszczyzna w nieskończoności.

Jedynemi punktami, odpowiadającemi samym sobie, są punkty okręgu albo powierzchni kuli.

Każda prosta, przechodząca przez biegun O, odpowiada samej sobie.

Prostej w ogólności odpowiada okrąg koła, przechodzący przez punkt C\ w przypadku przekształcenia płaskiego osią pier-wiastną obu kół, t. j. koła o promieniu O i koła, przechodzącego przez punkt O, jest prosta dana.

Kołu odpowiada inne koło, mające z kołem podstawowem (w przypadku przekształcenia płaskiego) tę samą oś pierwiastną, co koło dane.

Łatwo rozumieć, w jaki sposób twierdzenia te rozciągają się na przypadek przekształcenia w przestrzeni.

Najważniejszą własnością rozważanego przekształcenia jest ta, że jest ono przekształceniem podobnem, t.j. nie zmieniaj ącem kątów.

Grodnem uwagi jest twierdzenie :

Normalna do krzywej w punkcie P i normalna do krzywej odwrotnej w punkcie Q spotykają się w punkcie prostopadłe j, wystawionej do prostej PQ w punkcie środkowym.

Krzywa albo powierzchnia, mająca tę własność, iż przekształca się na samą siebie przy pomocy pewnego szczególnego przekształcenia przez promienie odwrotne, nazywa się zwykle a nalagmatyczną,

Krzywe skośne analagmatyczne rzędu 4-go lub c y k 1 i k i (jak je nazywa Darboux: Sur une classe remarquable etc., Paryż, wyd. 2-gie, 1896) są przecięciami kuli i kwadryki

Powierzchnie analagma tyczne rzędu 4-go są cykli darni (patrz Rozdz. XII, §7). Moutard dowiódł, że każda powierzchnia analagmatyczna jest obwiednią szeregu kół ortogonalnych do koła stałego* mającego środek swój w środku inwersyi apro-mień równy modułowi tejże (patrz Rozdz. XII, § 7).

Nazywamy przekształceniem Desargues’a przekształcenie kwadratowe, wyspecyalizowane metrycznie według następującej konstrukcyi geometrycznej.

Niechaj będzie dany trójkąt podstawowy ABC; punkt odpowiadający punktowi B otrzymujemy, łącząc punkt P z trzema wierzchołkami trójkąta, kreśląc proste symetryczne do prostych AP, BP, CP względem dwusiecznych kątów trójkąta; punkt spotkania tych trzech nowych linij będzie właśnie punktem szukanym. Krzywa, otrzymana z danej za pomocą takiego przekształcenia, nazywa się argezyaną (arguesienne) danej.

Koło, opisane na trójkącie ABC, jest argezyaną prostej w nieskończoności płaszczyzny; argezyana średnicy tego koła jest hyper b o 1 ą równoboczną.

O tem przekształceniu pisali: Cayley (J. de Liouv. 1849), Mathieu (Nouv. Ann. 1865, str. 393, 48 i, 529), S a 11 e 1 (Mein, de Belg. 1872) i inni. Ten ostatni autor nadał powyższą nazwę przekształceniu temu, badanemu zresztą dawniej już przez Steiner a i Magnusa.

§ 2.

Spodkowa krzywej płaskiej i powierzchni.

Nazywamy spodkową (także spodkową dodatnią lub prostą) punktu P względem krzywej płaskiej miejsce geometryczne spodków prostopadłych, poprowadzonych z punktu danego do stycznej linii krzywej. Krzywa dana nazywa

względem utworzonej krzywą spodkową ujemną lub odwrotną.

Definicye analogiczne można utworzyć dla spodkowych powierzchni danej.

Normalna w punkcie do spodkowej przechodzi przez punkt środkowy prostej, łączącej punkt stały z uważanym punktem krzywej-

Spodkowa punktu P względem krzywej C jest krzywą, powstającą przez przekształć e-

nie za pomocą w e j biegunów do jakiegokolwiek koła, opisanego ze środka P.

Jeżeli oznaczymy przez s', q' łuk i promień krzywizny krzywej spodkowej, przez s, q też wielkości dla krzywej danej, przez r odległość punktu P od punktu Q krzywej, przez 0 kąt, jaki prosta PQ tworzy ze styczną w punkcie Q, wtedy rów-nanie wewnętrzne spodkowej znajdziemy, eliminując s z równań:

r o mieni odwrotnych zkrzy-dla krzywej C, w odniesieniu

q’ =

2 r — p sin 0

Steiner (Crelle XXI) podał następujące twierdzenie o spodkowych:

Jeżeli wykreślimy spodkową krzywej zamkniętej i bez przegięć względem jakiegokolwiek punktu P, a następnie wyobrazimy sobie, że ta k r z

w stałem połą

-P o

o zysię po pewnej p p su j e t. zw. linię c j

O -ri

O -O

eniu z punktem tak, że pu t

PT

Oj c_j .

c-t-

oi alnąlubrul ę (patrz §6), wtedy łuk tej krzywej równać się będzie odpowiadającemu mu łukowi spodkowej, a pole, zamknięte pomiędzy ruletą a prostą, będzie równe podwójnemu polu, ograniczonemu linią spodkową.

CD

Nadto: Jeżeli spodkowa względem punktu P toczy się po rulecie, opisanej przez punkt P

w sposób wyżej wskazany, wtedy miejscem punktu F będzie prosta (Twierdzenie H a b i c h a).

Odwrotność promienia wodzącego krzywej płaskiej równa się różnicy odwrotności promieni krzywizny spodkowej i rulety tej krzywej; spodkowa jest tu wyznaczona przez stosunek początkowy promieni wodzących, ruleta zaś jest ruletą, utworzoną ruchem tego punktu, stale związanego z krzywą, która toczy się po prostej.

O związku pomiędzy spodkową i kaustyką patrz § 3.

■ZA

co

Krzywe i powierzchnie kaustyczne.

K a u s t y k ą krzywej płaskiej nazywamy obwiednią promieni odbitych od tej krzywej albo załamanych w niej ł), gdy promienie padające na krzywą wychodzą z jednego punktu w skończoności albo w nieskończoności (punktu pro-Odróżniamy według powyższego k a u -czyli katakaustyki lub

m i e n i o w a n i a), styki przez odbicie ka u styki katoptryczne i kaustyki przez załamanie czyli diakaustyki lub kaustyki dioptryczne.

Można uogólnić pojęcie kaustyki w ten sposób, że zamiast rozważania promieni padających, wychodzących tylko z jednego punktu, wyobrażamy sobie ogólnie, że są normalnemi do krzywej

Jak wiadomo z fizyki elementarnej—jeżeli dany jest promień padający w punkcie P krzywej, to promieniem odbitym od krzywej jest promień tworzący ten sam kąt z normalną do krzywej w punkcie P, co promień padający; nazywa się załamanym, gdy stosunek wstaw kątów, jakie ten promień padający i odbity tworzą z tąż normalną do krzywej jest stały; stosunek ten nazywa się s p ó ł c z y n n i k i e m (skaź ni kie m) załamania.

danej, t. j. że tworzą to, co nazywamy układem norm alnym. Można też oczywiście rozważania te rozciągnąć na przestrzeń i wyobrazić sobie układ podwójnie nieskończony promieni padających (wychodzących z punktu albo normalnych do powierzchni), t. j. tak zwaną kongruencyę normalną promieni padających (patrz Rozdz. XVI); dalej mając jakąkolwiek powierzchnię, rozważać miejsce punktów spotkania promieni od nich odbitych lub w niej załamanych i nieskończenie blizkich.

Twierdzenie M a 1 u sa-Dupina, dotyczące normalnych kongrueneyj promieni (p, Rozdz. XVI), zawiera w sobie jako przypadek szczególny twierdzenie następujące: mając na pła sz-czyżnie układ normalny promieni), t j. normalny do pewnej krzywej), otrzymujemy za w-o pewnej liczbie odbić i załamań, znowu m n o malny, t j. istnieje za ws e k r z w a, e promienie odbite i za arna

CTa    CD

sy t

^ CD 'O

ci-

rej

normalnemi.

W ten sposob kaustj^ki płaskie są rozwiniętemi pewnych krzywych, które Quetelet nazwał kaustykami wtórne m i lub antykaustykami.

Grer gönne podał następujące twierdzenia ogólne:

I. Kaustyka przez odbicie dla układu normalnego promieni jest rozwiniętą krzywej, którą otrzymujemy jako obwiednią kół, mających środek na krzywej odbijającej i stycznych do krzyw ej, do której promienie p a d a j ą ce normalnemi.

II.

Kaustyka przez załamanie dla układu normalnego promieni jest rozwiniętą krzywej, którą otrzymujemy jako obwiednią kół, mających środki na krzywej załamującej,

“ (« Jest

a których promienie są w stosunku

spółczynnikiem załamania) do odległości tychże środków od krzywej, do której wszystkie promienie padające są normalnemi.

Jeżeli promienie wychodzą z punktu P w odległości skończ o n ej, a za krzywą do nich normalną obierzemy okrąg o promieniu zero ze środkiem w punkcie P, będziemy mieli twierdzenie Queteleta; jeżeli P znajduje się w odległości skończonej, a za krzywą normalną obierzemy okrąg ze środkiem w punkcie Pio promieniu jakimkolwiek, albo też prostą prostopadłą do kierunku promieni padających, będziemy mieli twierdzenie, które znalazł G-ergonne, a przed nim S a r r u s.

Uogólnienie tych twierdzeń w przypadku powierzchni kaustycznych, dla którego antykaustyki mogą być uważane jako obwiednie kul, podał G-ergonne w pracy, ogłoszonej w tomie XV „Annales de mathématiques“ '.p. 13,307).

Kąt, utworzony przez styczną do kaustyki wtórnej i przez promień wodzący, poprowadzony z punktu promieniowania, równa się kątowi, jaki styczna do krzywej odbijającej albo załamującej tworzy z promieniem wodzącym, poprowadzonym także z punktu promieniowania.

Kąt, zawarty pomiędzy promieniami wodzącemi kaustyki wtórnej a promieniami krzywej odbijającej albo załamującej, równa się kątowi załamania.

Spodkowa punktu stałego względem krzywej danej jest kaustyką wtórną przez odbicie krzywej podobnej do danej, w założeniu, że punkt promieniowania znajduje się w punkcie stałym (Dandelin, Mém. Ac. de Belgique IV; Genocchi, Ann. di Tortoiini VI, str. 117, E. Weyr, Zeitohr fiir Math. 1869, str. 376).

Tschirnhause n (1682) pierwszy rozważał kaustykę płaską, utworzoną przez promienie równoległe, odbite od koła, ale Cassini, M a r i o 11 e, De la H i r e, referenci Akademii nauk w Paryżu, uznali badanie jego za błędne; później kaustykami zajmowali się:

B e r n o u 1 1 i’o w i e, Hôpital i inni.

Malus w r 1810 badał pierwszy teoryę ogólną powierzchni kaustycznych i znalazł piękne twierdzenia, które uogólnił dopiero w r. 1822 D n p i n (Ann. de Georgonne XIV, str. 129). Twierdzenia o antykaustykach, gdy promienie padające wychodzą z jednego punktu, przewidziane przez Gergonn e’a w r. 1815 (Ann. de Gerg. IX,

str. 283, XI str. 229, XIV str. 1) znalazł Quetelet najprzód w przypadku szczególnym, gdy krzyws dana jest kołem (tamże XV, str. 205), a następnie w przypadku krzywej jakiejkolwiek (Móm. Ac. Bruxelles III, str. 89). Sarrus badał przypadek promieni padających równoległych, Gergonne podał formę ogólniejszą konstrnkcyi, znalezionej przez Que te le ta, a następnie znalazł twierdzenie ogólniejsze, wyżej podane (dla przypadku jakiegokolwiek układu normalnego promieni padających ). W pracy Gergonn e’a (Annales XV, str. 345 i nast) podana jest historya tych badań i także wiadomość o rezultacie, otrzymanym przez Sarrus a. Inne prace o tym przedmiocie ogłosili: Ti m e r -man (Corresp. math. I, str. 336 o powierzchniachantykaustycznych), C a y 1 e y (Phil. Trans. CXLVIIII, str. 273) i t. d. Bibliografię o kau-stykach znajdujemy w „l’Intermédiaire dos mathématiciens“ 1895, str. 321.

§ 4.

Krzywe i powierzchnie równoległe. Krzywe i powierzchnie musz/owe.

Krzywą równoległą do krzywej płaskiej danej nazywamy obwiednią prostych prostopadłych do normalnej do krzywej i odległych od niej w obu kierunkach na odległość stałą równą ±k. Tak więc krzywe równoległe są także krzywemi równoodległe mi

Dwie krzywe płaskie równoległe mają ten sam środek krzywizny.

Krzywa równoległa do danej rozpada się na dwie części, z których jedna odpowiada odległości —}— /r, druga odległości —Ic] w ogóle zatem mamy dwie gałęzie tej samej krzywej.

O teoryi krzywych równoległych patrz Salmon -Fiedler Ebene Curven. etc. § 118 i nast., Cesàr o, Geom. intrinseca str. 29 i t.d.

W sposób analogiczny można określić i powierzchnie równoległe.

Nazywamy konchoidami lub krzywemi muszło -wemi krzywe, które powstają w sposób następujący: Niechaj będzie 0 punktem na płaszczyźnie, /'—punktem krzywej danej na promieniu wodzącym OP: weźmy z jednej’ i drugiej strony punktu P dwa odcinki długości Ark. Miejscem końców tych odcinków jest krzywa muszlowa.

W sposób analogiczny określamy powierzchnie konchoidalne.

Łatwo wykreślić normalną do konchoidy, dość bowiem przez punkt 0 poprowadzić prostopadłą do promienia wodzącego i znaleść punkt spotkania S tej prostopadłej z normalną do krzywej ; normalne do konchoidy w punktach, odpowiadających punktowi / , przechodzą przez punkt «$. Innemi słowy : konchoida ma w każdym punkcie tę samą pod normalną biegunową, co krzywa dana.

O konstrukcyi środka krzywizny konchoidy pat^z hinterm, des math. 1894 str. 165; 1895, str. 112, 224.

Krzywą muszlową można też określić wsposóbnastępujący:

Niechaj będą trzy krzywe <p, rp ; poprowadźmy styczną do krzywej /’, która spotyka krzywe xp w dwóch punktach A, B\ na tej stycznej odetnijmy, poczynając od punktu styczności, z jednej i drugiej strony dwa odcinki równe AB; miejscem końców tych odcinków będzie krzywa muszlowa.

§ 5.

Krzywe dzielnicze lub dzielcze.

Nazywamy dziel niczemi lub dziel czerni krzywe, będące miejscem przecięcia A dwóch prostych, obracających się z prędkościami jednostajnemi około dwóch punktów stałych P, P‘.

Jeżeli stosunek dwu obrotów jest n:n' (gdzie n'<

o ci d ó c h d o -

P-u ui.

ct-

Patrz o tycli krzywych pracę Sc ho u tego (Journal desmath.

spéc. 1885).

§ 6.

Krzywe cykioidalne lub rulety. Glisety.

Nazywamy krzywemi cykioidalne mi lub z francuska ruletami krzywe, utworzone ruchem punktu płaszczyzny krzywej, która toczy się bez ślizgania po innej krzywej stałej, zwanej podstawą rulety.

Nazywamy glisetami krzywe, utworzone ruchem punktu płaszczyzny krzywej, która nie zmieniając swej postaci, porusza się, pozostając wciąż styczną do krzywych danych albo przechodząc przez punkty dane.

Jeżeli x = yf(y) jest równaniem glisety, t. j. miejscem punktu P płaszczyzny krzywej, która jest stale styczna

dy

dx ⁼ ~ f'y) będzie

pełniający dla kąta AA'P jest do kąta PA A' w stosu n k u n : n' .

K r z y

1 ni o z a — 1

odzi n — 1 razy z punktP' i ri

cd

Pl,

N P-,

rzez p un

azy przez punkty kołowe płaszczyzny.

raz

W przypadku n'— 1 albo n'~n— 1 mamy krzywe jedno b i e ż n e; w przypadku n' — 1 i n— 3 k dzielcze M a c ł a u r i n a, w przypadku n' = makową Pascala (patrz §11), którą można nazwać krzywą sześciodzielczą.

Nazwa krzywych dzielniczych pochodzi stąd, że pozostają one w związku z zagadnieniem o dzieleniu kąta; i tak, jest n'= 1, to mogą one służyć do podziału kąta na v części równych.

£ cd

rwe trój -n = 3 ś 1 i -

do prostej stałej w punkcie stałym, wtedy

Normalna do rulety przechodzi przez punkt M styczności pomiędzy krzywą stalą a krzywą ruchomą.

równaniem różniczkowem rulety tego punktu, gdy taż krzywa toczy się po prostej (Brocard, Nouv. Corresp. TI. 1876, str. 377, 383)

Środek krzywizny rulety znajdujemy następującym sposobem. Połączmy punkt P rulety ze środkiem krzywizny krzywej ruchomej aż do spotkania w punkcie ii z prostopadłą, spuszczoną z punktu M na iliP Połączywszy R ze środkiem krzywizny krzywej stałej, otrzymamy środek krzywizny na przecięciu tej prostej z prostą PM.

Inną własność rulety w związku ze spodkową podaliśmy

w § 3.

Pierwsza z badanych rulet była cykloidą właściwą (patrz § 12) utworzoną ruchem punktu koła, gdy podstawą jest prosta. Monografię dość kompletną rulet i gliset wydał Besant (Notes on miettes and glissetes, Cambridge 1870); patrz też rozmaite artykuły w Nouv. Ann. 1871 i wskazówki zawarte w nowej książce lilografowanej Brocarda (Notes de bibliogr. des courbes géometr. Bar le Duc 1893).

Powierzchnie obrotowe walcowe stożkowe, konoidy.

Równanie (w postaci skończonej) powierz-hni brotowej (osią obrotu jest oś z) przed-tawia się tak:

2 — (p (x² -j- y²),

gdzie 99 jest symbolem fnnkcyi dowolnej. du

n

Jeżeli p =

dz

dy

, to równanie o pocho-

dnych cząstkowych powierzchni obrotowej będzie postaci:

py — qx — 0.

Równanie powierzchni walcowej ma po

stać:

99 (x—az, y—bz) = 0,

a równanie różniczkowe tejże powierzchni:

ap -j- bi/ = 1.

Równanie powierzchni stożkowej przedstawia się tak:

<P

Z—*o

V -i/o

2₀

— 0;

xQ,y, z₀ są spółrzędne wierzchołka; równanie różniczkowe tej powierzchni jest:

p (x—x₀) -|- q (y—y₀) = z —z₀.

Nazywamy k o n o i d ą powierzchnię, utworzoną ruchem prostej, opierającej się na prostej stałej i równoległej do płaszczyzny stałej. Jeżeli prostą daną jest oś z, a płaszczyzną daną płaszczyzna xy, wtedy równanie różniczkowe konoidy jest:

px + qy = 0,

a równanie w postaci skończonej:

z — cp

(fi-

Ogólnie, równanie różniczkowe konoidy jest; a równanie w postaci skończonej:

/ y — bz \

z = <p —--

\ x — az I

38

Pascal. Rep. II

Stożkowe.

Do rozważań geometrycznych i analitycznych o stożkowych, w Rozdziale IY podanych, dołączamy tu. niektóre wyniki metryczne, zależne specyalnie od ich geometryi nieskończonost-kowej.

Równanie wewnętrzne tych krzywych podaliśmy już w Rozdziale XVI.

Spodkowa ogniska stożkowej jest okręgi e m k o ł a.    t.

tr ce

od

Promień krzywizny w punkcie elipsy o pół-osiach a i 6jest ro orc onalnydo ześcianu normalnej (końc ąc j si na osi wię szej).

Rozwinięta elipsy o równaniu (a > b) ma równanie postaci:

a-

-f

t»S t

(ax)³ -)- (by)³ — (a²—b²)³.

E- nab .

■s

Pole całej elipsy wynosi nab, pole jej rozwiniętej

Długość łuku elipsy przedstawia całka eliptyczna gatunku 2-go.

a 11/1—e² sin² 99 . d<p ; j

e² =

a² — b2]

gdzie rp jest t. zw. anomalią, t. j. kątem, danym przez wzory x = x sin <p, y = bcos(p. Jeżeli nakreślimy koło o promieniu a, spółśrodkowe z elipsą, to wtedy 99 będzie kątem, jaki tworzy

Cl

z osią y promień wodzący punktu koła o spółrzędnych x i — y, jeżeli x i y są spółrzędnemi punktu elipsy.

Obwód całej elipsy można wyrazić przez

szereg:

i—I co

tO: i—¹

Jeżeli dany j stłukeli sy, tom

I    e ś ć i n n y j e j ł u k a k i, aby r żnicatyc dwóch łuków była wyproś'towywalną (t. j. dała się wyrazić za pomocą odcinka prostej (Fagnan o Prod. mat. 1750, t. II)

Weźmy mianowicie dwa punkty Pi Qna kwadrancie elipsy takie, aby ich anomalie 99, ip byty połączone związkiem

tg 99 . tgv> =

poprowadźmy styczne do elipsy w punktach / i Q, ze środka zaś elipsy prostopadłe do tych stycznych, i niechaj P₁ i Q: będą spodkami prostopadłych; wtedy różnica pomiędzy ł u kami PB i ^ J jest równa długości PPl lub takiej że długości QQt .

Punkt gdy dany jest punkt P, można otrzymać za pomocą następującej konstrukcyi Eulera (Nova Comm. Petr. 1761). Poprowadźmy w punkcie P styczną aż do spotkania osi małej (przechodzącej przez B) w punkcie li: weźmy na stycznej długość UPM=a\ punkt kwadrantu, mający tę samą odciętą co punkt M, jest szukanym punktem Q. (Patrz co do tego noty

II    i III w końcu dzieła Ennepera, Ellipt. Funct. Halla, 1890),

Łuk hyperboli o równaniu —— raża się wzorem:

CD

et-

'CS r—

na z n a-

; oznaczmy przez Ai B końce kwadrantu; po-

Cl

n = ¹ wy-

sin9? V1—k² sin² 99

k kos 99

^jdyVl—sin² 99 -f 0    o

dy

J Vl—k² sin² 99 J

gdzie 99 jest anomalią, określoną jak wyżej;

; we wzorze tym mamy c a ł -

k* =

a²

b²

a²-f b²

ki eliptyczne gatunku 1-go i 2-go.

a²-\-b²

F a g n a n o znalazł dla hyperboli twierdzenie analogiczne do powyższego o wyprostowy walności sumy dwóch luków, z których jeden jest dowolny.

Twierdzenie Land en a (Phil. Trans. 1775) wyraża luk hyperboli za pomocą dwóch łuków elips.

Granica różnicy pomiędzy długością asymptoty, liczoną od środka aż do pun ktu P', a długością łuku hyperboli, liczoną od wierzchołka A aż dopunktu P, mającego tę samą odciętą co punkt P' (osi położone są. jak wyżej), jest wielkością określoną, gdy Poddała się do nieskończoności.

Pomiędzy innemi badaniami, odnoszącemi się do łuków elips i hyperbol, wymieniamy: L e g e n d r e’a, (Traité I, ser. 46), Küpper (Crelle LY, LXIII).

Niechaj będzie łryperbola równoboczna o równaniu (w od' niesieniu do asymptot) xy — m². Pole, zawarte pomiędzy lukiem krzywej a asymptotą ?/^0, równa

CD

się m² log — , gdzie ß i a są odl głości końców luku od drugiej asymptoty x = 0.

Dla m = 1, a — 1 otrzymujemy: pole, zawarte p o -

międzylukiem krz chołk a, a asymptot ą, r w neperowemu odległości g i e j asymptoty.

-O

’, liczonym od wierz-a się logarytmowi o ń c a luku od dru-

Inne własności hyperboli równobocznej znaleźć można w książce Milinowskiego (Eleni. synt. Geom. der gleichseitigen Hyperbel, Lipsk 1883).

O O Ph P-i

Pr

XI    2    d

03    S    Ą

5h    CD    >-s

&    Ö    N

P'r-sTi

£ * -

Pr

PT

PC

cr

rH ^

®    ^    2

-    O

a    -p    ^

o    «    £

f-i    ■ ^    (X)

. B-

i-i

i-i

'O

i-i

CD

i-S

N -rl

9=

CÖ

>-i

er Co

CD

<-u cCD

ce

hÖ O O- N

tsj

• rH

rCD

et-

CD

‘CQ

SB

CD

cS P Ph ö

03

t£>

boli stożkowej jest pa ra-zwaną także parabolą

N e i 1 a; jeżeli y² = Zyx jest równaniem paraboli, to równaniem rozwiniętej będzie :

y² =

27p

(x—p)².

Łuk paraboli, liczony od wierzchołka, wyraża się wzorem:

y yy²-j-p³

V log

y-f Ÿy2JrP²

§ 9.

Cysoidy. Krzywa sześcienna tub zwrotnica (versiera) Maryi Agnesi. Trójdzielcza Maclaurina. Strofoida. Liść.

Najważniejszą pomiędzy cysoidami jest krzywa, zwana cysoidą Dioklesa, który za pomocą niej chciał rozwiązać zagadnienie o podwojeniu sześcianu, to jest t. zw. zagadnienie dęlij skie (patrz Cantor, Glesch, d. Math. I, str. 302—306). Starożytni stosowali też tę krzywą do rozważania zagadnienia o znalezieniu dwóch średnich pro-porcyonalnych (patrz Newton, Arithm. univ. Lugd, Batav. 1732, str. 231). Krzywa ta powstaje w sposób następujący: Mamy kąt prosty stały, którego jedno ramie OP jest długości stałej — 2a; drugi kąt prosty ruchomy ma jedno ramię, przechodzące przez P, koniec zaś drugiego ramienia, mającego długość stałą 2a; przesuwa się po drugiem ramieniu pierwszego kąta prostego. Miejscem punktu środkowego na ramieniu o długości 2 a j e s t cysoida (Newton).

Równanie tej krzywej jest:

x³ = yt (2a— x).

Punkt x = 0 j est ostrzem; prosta x—2 a jest asymp-totą. Krzywa jest za wsze wypukła względem osi x. Krzywa przechodzi przez dwa punkty kołowe (umbiliki) płaszczyzny (jest krzywą cykliczną).

Krzywą można też utworzyć sposobem następującym: Nakreślmy koło o średnicy 2a i niechaj AB będzie jego średnicą; niechaj BT będzie styczną do koła w punkcie B; z punktu A prowadźmy wszelkie proste AMK, przecinające okrągM, styczną zaś BT w punkcie N. Jeżeli weźmiemy AP—MN, to miejscem punktu P będzie cysoida.

asymp-

Pole zawarte pomiędzy krzywą t o t ą (którą jest prosta B T), równa się potrojonemu polu koła; które służy do utworzenia krzywej.

Cysoida jest spodkową paraboli względem j ej wierzchołka.

Można kreślić c y s o i d y pochyłe w ten sam sposób, w jaki kreślimy cysoidę Dioklesa przy pomocy koła; w tym celu zamiast średnicy koła bierzemy jego cięciwę. Jeżeli zaś zamiast koła weźmiemy elipsę, otrzymamy cysoidę, zwaną c y s o i d ą Zahrâdnika (Grün. Arch, LYI, 8; Nouv. Corrosp. math. 1874—1875, str. 86).

Ta cysoida jest zawsze krzywą sześcienną wymierną.

Niechaj będzie okrąg koła i dwie jego średnice do siebie prostopadłe. Z końca 0 jednej średnicy prowadzimy prostą, przecinającą okrąg w punkcie A, drugą zaś średnicę w punkcie B\ z punktów A i B prowadzimy równoległe do dwóch średnic, spotykające się w punkcie P. Miejscem punktu P jest krzywa sześcienna lub zwrotni ca (versiera) Maryi Agnes i. Jest to sześcienna z punktem p o d w ó j n y m w nieskończoności; równaniem jej j e s t :

y²x -)- r² (x—2r) = 0,

gdzie r est promień koła, służącego do kon-strukcyi.

Aby mieć styczną do krzywej w punkcie P, robimy następującą konstrukcyę. Przez punkt A prowadzimy styczną do koła aż do przecięcia z średnicą drugą w punkcie Mi po stronie przeciwległej bierzemy AM‘=AM ; na prostej O A B bierzemy ze stronjT przeciwległej od A względem 0 długość OR—AB; z punktu H prowadzimy prostą równoległą do średnicy pierwszej aż do spotkania się w punkcie S z prostą, przechodzącą przez A i równoległą do średnicy drugiej. Z punktu S prowadzimy równoległą do RM ' aż do spotkania w punkcie K ze średnicą pierwszą. Prosta, poprowadzona przez K równoległe do średnicy drugiej, spotyka styczną AM do koła w punkcie P, który—połączony z punktem P — daje styczną do krzywej.

K et-

czna do koła w punkcie 0 jest asymp-zy w ej.

Pole, zawarte pomiędzy krzywą a jej asymp. tot ą, jest równe poczwórnemu polu koła, które służy do konstrukcyi.

Zwrotnica i to koło, obracając się około asymptoty, wytwarzają dwie bryły, z których pierwsza ma objętość dwa razy większą niż druga.

Krzywą tę badała Agnes i w swoich „Inst, analitiche“, Me-dyolan 1748. Co do tego i innych krzywych analogicznych, które niesłusznie mieszano z zwrotnicą, patrz artykuł L o r i i (w Bibl. math. 1897, str. 7). Inny sposób konstrukcyi stycznych znaleść można u L o n g c hamp s a, Gréom. de la règle, str. 111.

N azywamy trójdzielczą M a c 1 a urina krzywą, której równaniem jest:

Kreślimy ją w sposób następujący: Niechaj będzie koło o promieniu r i środku 6, ze średnicą O CO' i prostą do niej prostopadłą w punkcie środkowym linii OC\ z końca 0 średnicy prowadzimy prostą, przecinającą w punkcie A koło, w punkcie B prostą prostopadłą do średnicy; bierzemy po stronach przeciwległych OP— AB; miejscem punktu P jest trój-dzielcza.

Krzywa ta jest krzywą sześcienną z punktem podwójnym w punkcie 0.

Styczna w punkcie A do koła spotyka w punkcie M prostą prostopadłą do średnicy; jeżeli w kierunkach przeciwległych weźmiemy AT—AM, będzie TP styczną do krzywej.

Krzywa ta jest krzywą d z i e 1 c z ą (patrz § 5). Co do innych jej własności odsyłamy do pracy Brocarda, cytowanej w końcu § 6. O rektyfikacyi tej krzywej za pomocą funkcyj eliptycznych patrz Longchamps, Compt. rend. 1887.

Jeżeli w konstrukcyi poprzedzającej, zamiast prostej po stopadłej do średnicy, przechodzącej przez środek prostej OC, weźmiemy prostą prostopadłą do średnicy i przechodzącą przez punkt C (środek), wtedy krzywa, którą otrzymujemy przy pomocy takiej konstrukcyi, jest strofoidą prostokąt-n ą (zwaną także 1 o g o c y k i i k ą); równaniem jej jest

r (x‘²— y²) == x (x'ż-\-y²).

Jest to krzywa z punktem pudwójnym w punkcie O. Styczną do niej otrzymujemy przy pomocy podobnej konstrukcyi, jak dla trójdzielczej.

Strofoidą jest spodkową paraboli względem spodka kierownicy; wierzchołek paraboli jest w punkcie C\ kierownica jest styczną w punkcie O do koła.

Jeżeli rzucimy punkt C ortogonalnie na promień wodzący OP, to rzut będzie punktem środkowym odcinka PB.

rą można też uważać jako spodki e r o -

Jeżeli w konstrukcyi powyższej, zamiast prostopadłej przechodzącej przez punkt C, weźmiemy prostą pochyłą do średnicy, otrzymamy strofoidę pochyłą albo ogniskową Queteleta,

kową para oli względem punktu jej wnic y.

Bibliografię, historyę i inne własności tej krzywej znaleść można: w nocie Tortolin i’ego (Nouv. Ann. 1861, str. 82), w nocie

L o r i i (Buli. di Bibliogr. delle scienze matem. 1878, str. 1), w pracy Brocarda (cyt. w § 6); patrz także art. Sclioutego (Crelle, IC) i wiadomość w Interm. des matli. 1895 str. 425, 1896 str. 278.

Liść Descartesa jest krzywą sześcienną wymierną, bardzo podobną do trójdzielczej i do strofoidy; równaniem tej krzywej jest:

x² Ą- y² = Srxy;

albo, gdy ją okrócimy około osi o 45°:

r (x²—y²) = x {x²-\-3y²) .

Kreślimy ją geometrycznie, podobnie jak wyżej strofoidę prostokątną: Jeżeli na promieniu wodzącym OPB weźmiemy punkt Q, sprzężony harmonicznie z punktem O względem* Pi?, to miejscem punktu (J będzie liść Descarte s’a.

Styczną do krzywej w Q otrzymujemy, prowadząc styczną do strofoidy w punkcie P (patrz wyżej( i łącząc następnie Q z punktem, w którym ta styczna spotyka średnicę drugą.

Krzywe tę badali Roberval, który nakreślił jej postać fałszywie (stąd jej nazwa) i Des cartes. Szczegóły w cytowanej pracy Brocarda.

§10.

Ósemka

Owale Cassini 'ego. Lemniskata.

Nazywamy owalem Cassin i’ego, kasynoidą 1 u b elipsą Cassini e’go krzywą, dla której iloczyn odległości jej punktu od dwóch punktów stałych (o g n i s k) jest stały.

Jeżeli 2a jest odległością punktów stałych, b² iloczynem odległości, to równanie krzywej w spółrzędnych kartezyańskich ortogonalnych jest:

(,x² -j- y²)² — 2tt² (x² — y²) — 6⁴ — a* ,

jeżeli za osi s ó ł r z ę d n

przyj mi

my oś wpun-

nisko w ipro tą rost padłądonie i e śród owym od i ka ogniskowego.

W s p ó ł r z ę n y c i e g u n o w y c h p i 92 r <5 nanie krzywej est:

p⁴ — 2 a² p² cos 2 cp — b⁴ — a⁴ .

Punkt ści są pun jest klasy 8-ej.

Promień krzywiznyjest:

2&V

— ó⁴-j-«⁴ '

j o n e w n i e s k o ń c o n o-3 nem i krzywej,

0> o

kołowe u r a m i p o d w

3 p⁴

Jeżeli b <P a, kasynoida rozpada się na dwa owale, znajdujące się zewnątrz siebie: jeżeli b = a, mamy lemniskatę (patrz niżej); jeżeli aV2>h^>a, krzywa ma formę elipsy spłaszczonej w dwóch końcach osi mniejszej; jeżeli d>aV2, krzywa składa się z jednego owalu.

Styczną w punkcie P otrzymujemy, prowadząc z ognisk F, F' prostopadłe do promieni ogniskowych FP, FrP, a następnie przez punkt P prostą, przecinającą te prostopadłe tak, że punktem środkowym zawartego pomiędzy niemi odcinka jest P.

Jeżeli w kasynoidę wpiszemy równoległobok, mający środek w środku krzywej, to suma algebraiczna kątów, pod któ-remi są widzialne boki przeciwległe z punktu krzywej jest stała. (D arboux, Sur une classe remarquable etc., Pary^ż 1896, s. 82).

W tej to książce (str. 61 i nast.) znajdujemy badanie klasy ogólnej krzywych algebraicznych, obejmujących w sobie jako przypadek szczególny krzywe C a s s i n i’ego.

Lemniskata. W przypadku b~a mamy lemnikatę Jana B e r n o u 11 i’ego (Acta Erud. 1694). Lemnikatę możemy też określić jako krzywą, powstającą zapomocą następującego wykreślenia. Weźmy koło i dwie jego styczne, prostopadłe do siebie i spotykające się w punkcieO: na każdej prostej, poprowadzonej przez punkt 0, weźmy odcinki + ÖP, równe odpowiednio długościom cięciw, wyznaczonych w kole przez te proste;

miejscem punktów P będzie lemniskata, Krzy-jest miejscem spodków linij prostopadłych, spuszczonych ze środka O hyperboli równobocznej na jej styczne (spodkowa punktu 0 względem hyyperboli równobocznej ) Z tego powodu lemniskata nazywa się zwykle lemniskatą h y p erboliczną.

wa

Lemniskata jest także przypadkiem szczególnym krzywej W a 11 a (patrz cyt. książkę Ero carda).

Lemniskata ma formę ósemki; ma punkt podwójny w punkcie O; kąty dwóch stycznych w punkcie 0 z osią ogniskową są

ji,

4 ⁷¹

Średnica, przechodząca przez punkt O, jest oczywiście osią symetryi tej krzywej i przechodzi przez dwa ogniska (oś ogniskowa); kąt, który styczna do krzywej w punkcie P tworzy z promieniem wodzącym, przechodzącym przez punkt O, równa się podwójnemu kątowi prostej PO z osią ogniskową, powiększonemu o kąt prosty; stąd:

Nachylenie normalnej do osi ogniskowej równa się potrojonemu nachyleniu promienia wodzącego do tejże osi.

Rzut promienia krzywizny na promień wodzący jest trzecią częścią tego promienia.

Rów na, nie krzywej współrzędnych prostokątnych (za osi spółrzędnych przyjmujemy oś ogniskową i prostą prostopadłą do niej w punkcie 0) jest:

(a;² -j- y²)² —2 a² (cc² — y²) = 0.

q² = 2 a² cos 2 cp . Promień krzywizny P —

Równanie krzywej w spółrzędnych biegunowych (biegun O, oś biegunowa zlewa się z osią ogniskową) jest :

2 a² ‘dQ

Pole, zamknięte przez lemniskatę, równa

2 «².

Rozwinięta le mniskaty wyraża się równaniem:

2V2

a.

cc³ -j-y

Objętość bryły, utworzonej obrotem 1 e -mniskaty około jej osi ogniskowej, wynosi:

jiV2a³!

F + Filog(¹+r²⁾l-

Łuk lemniskaty wyraża się wzorem:

s - aVsj-o

dr

VI—r⁴ ’

aV2

gdzie q jest promieniem wodzącym.

Widzimy stąd, że lemniskata jest krzywą, mającą tę własność, że łuk jej wyraża się przez całkę eliptyczną gatunku 1-go; moduł L e g e n d r e’a, odpowiadający tej całce eliptycznej,

V2

jest k — ~ (patrz Repertoryum tom I, str. 365).

Jeżeli uczynimy r =

uV 2

Vl-u² '

będzie:

dr

V 1—r²

2du

V i—u⁴

znaczy to, że mając łuk, któremu odpowiada promień wodzący arV2, możemy za pomocą poprzedniego wzoru algebraicznego (związku pomiędzy r i u) znaleść promień wodzący auV2, odpowiadający połowie łuku. Mamy tedy sposób algebraicznego rozwiązania zagadnienia o podziale na dwie równe części łuku lemniskaty.

Kwadrant lemniskaty można podzielić algebraicznie na 3 i na 5 części równych; a zatem na każdą liczbę części równych, dającą się wyrazić w postaci 2"', 3.2"', 5.2'" (Tw. F a g n a n o, Produz. mat Pesaro,1750, II, str. 368). Do tego twierdzenia można dołączyć następujące twierdzenie A b e 1 a (Crelle III). Za pomocą kół i prostych można zawsze kwadrant lemniskaty podzielić na n części równych, jeżeli w jest postaci 2'" albo liczbą pierwszą postaci 2W-J-1. Abel dowiódł, że można w tym celu stosować metodę analogiczną do stosowanej przez Gaussa przy podziale koła (t. j. rozwiązywanie równań dwumiennych, patrz ßepertoryum t. I, str. 120); zdaje się, że wiedział o tein i sam Gauss. Patrz (Werke I, str. 412, 413; Disq arith.)

Prócz Fagnano i Eulera (Mém. de St. Pétersb. V, str. 1751—52) o podziale lemniskaty (teorya ta ma związek z mnożeniem zespolonem funkcyj eliptyczi y eh) pisali Li bri (CrelleX), Li ou ville (Compt. rend. 1843) Clausen (Astr. Nadir. 1842), W i c h ert (Progi*. Conitz, 1846), Eisenstein (Crelle XXX, XXXIX ), H o ff-m ann (Crelle XLVIII), Kiepert (tamże LXXY). Funkcya odwrotna względem całki lemniskatowej nazywa się zwykle f u n k c y ą lemnis kątową. Co do innych szczegółów patrz Enneper (Ellipt. Funct. str. 382. 531, 546).

Określiwszy lemniskatę przy pomocy hyperboli równobocznej (patrz wyżej) i ustanowiwszy tym sposobem odpowiedniość pomiędzy punktami tej krzywej, Chasles (Compt. rend, 1845) znalazł, że dwom lukom hyperboli, których różnica jest wyprostowywał na, odpowiadają luki wy prostowy walne lemniskaty. .

Krzywemi, których łuki, podobnie jak luki lemniskaty, wyrażają się całkami gatunku 1-go, zajmowali się Legendre (Traité des fonct. ellipt. II, 590), Roberts (J. de Liouv. IX i, S e r r e t (tamże X). Szczegóły u E n n e p e r a (1, c. str. 560); patrz też „Funkcye elipt. “ C a y 1 ey’a (Rozdz. III, XV).

Obwód całej lemniskaty można wyrazić szeregiem:

iV2a (l + 4"TT +

1.3

2.4

1.3.5    1

2.4.6    ' 13

Ósemka. Krzywa tejże postaci co lemniskata Berno u 1 li’ego i dla tego nieraz z nią mieszana (patrz Inteim. des math. 1897, str. 98 i 190-—191) i nazywana niekiedy lemni-skatą G e r o n o, przez innych ósemką, ma równanie (w postaci najprostszej):

y⁴ — y² — x².

to miejscem punktu spotkania będzie

Konstrukcya jej jest następująca: Punkt P koła rzucamy ortogonalnie na średnicę i na styczną w jej końcu; niechaj rzutem na średnicę będzie P‘ ; jeżeli połączymy środek koła z rzutem na styczną i wyznaczymy punkt sporkania tej prostej z prostą PP \ ó s e m k a.

§ U-

Owale Descartes a. Ślimakowa Pascala. Kardioida. Konchoida Nikomedesa. Spiryki.

O owalach Descartes’a mówiliśmy już w Rozdz. VIII § 2 tego tomu. Są to krzywe rzędu czwartego z dwoma ostrza-w dwóch punktach kołowych płaszczyzny; są to zatem krzywe cykliczne. Do własności zaś podanych dołączamy co następuje:

R w n a nyc

sto

- ts

i e krzywej w s p ó ł r z można napisać w pos

C-k c-CÙ

nych pro

(æ² -J- y² — o?) ² -j- b (x — d) — 0 ;

w spółrzędnych biegunowych (biegun w ognisku patrz Rozdz. VIII, § 2), równanie jest postaci:

(a-j- b cos 99) q ~f- e² '= 0;

wreszcie w spółrzędnych dwubiegunowych (jeżeli q: q' są promienie wodzące, poprowadzone z dwóch ognisk krzywej ) mamy równanie

l Q + VI q' =z C ,

gdzie /, m, c są stałe.

Krzywa ma trzy ogniska rzeczywiste, położone w linii prostej; przez ogniska krzywej rozumiemy w ogólności punkty przecięcia prostych stycznych do krzywej i poprowadzonych przez dwa punkty kołowe płaszczyzny, które w naszym przypadku należą do krzywej i są jej ostrzami.

Chasles odkrył trzecie ognisko krzywej; Descartes znał tylko dwa.

Krzywa powstaje jako miejsce trzeciego wierzchołka trójkąta, którego dwa pozostałe wierzchołki (końce podstawy) poruszają się na dwóch okręgach, gdy równocześnie podstawa obraca się około punktu, znajdującego się na prostej środków, a dwa drugie boki obracają się około środków okręgów. Te środki są dwoma ogniskami krzywej.

Własność optyczna ognisk owalów Descartes'a jest następująca: Promienie wychodzące z jednego ogniska, załamane przez krzywą, zbiegają się w drugiem ognisku, jeżeli spółczynnik załamania równa się stosunkowi promieni dwóch okręgów, służących do utworzenia krzywej.

Owale Descartes’a są rozwiniętemi kaustyki przez odbicie, należącej do kola patrz Salmon-Fiedlęr, (Ebene Curven, 2-gie wyd. str. 127).

W ,,Geometryi“ Descartes’a z r. 1037 znajdujemy po raz pierwszy badania własności ty cli krzywych. Z nowszych prac o nicli wymieniamy: Genocchi (Nouy. Ann. 1855, Mathesis 1884), Zeuthen (Nouv. Ann. 1864, str. 304), Sylvester (Phil, Mag. XXXI, 1866), D’Oc agne (Compt. rend. 1883, str. 1429) i t d. Bibliografię ich dość obszerną znaleść można u L i g i n a (Buli. D a r b o u x 1882) i w Interm. des matli. 1896, str. 238—239. O rek-tyfikacyi tycli krzywych przy pomocy łuków elips patrz Genocchi (Ann. di Tortoł. VI, str. 11; Compt. rend. 1875).

nowę

w punktach kołowych, ma dwój ny w początku. Nazwę tej krzywej nadał Kober-

Ślimakowa Pascala. Jeżeli w równaniu biegunowem owalu Descartes’a położymy e—0, otrzymamy równanie biegu-ślimakowej Pascala, która, prócz ostrzy

jeszcze punkt poval (Acad, des sciences 1708, str. 78). Równaniem tej krzywej w spółrzędnych bieg u nowych jest:

q = a -j- b cos <p,

a w spółrzędnych prostokątnych:

(x² -f- y- — bx)² = a² (x² -f- y²) .

Krzywą t ę można określić jako spodkową albo jako ko n-c h o i d ę (patrz § 2 i 4).

est konchoidą koła i jest

SC

K r z y wr a P a scal także spodkową ko

Niechaj będzie koło o promieniu a; na jednej z jego średnic weźmy punkt P odległy od środka na długość b. Spodkowa punktu P‘względem koła jest ślimakową o po-wyższem równaniu. Nakreślmy następnie koło, którego średnicą jest odcinek, zawarty pomiędzy punktem /' a środkiem koła; odciąwszy na promieniach wodzących od punktu P do koła długości stałe równe a z obu strou końca tego promienia wodzącego, otrzymamy ślimakową.

Inne konstrukcye krzywej są następujące:

Krzywa jest odwrotną (patrz § 1) stożkowej; środkiem in-wersyi jest jedno z ognisk elipsy

Niechaj będzie trójkąt wpisany w koło, niechaj jeden wierzchołek A będzie ustalony, kąt A zaś stały; ślimakowa będzie miejscem środków kół, wpisanych wewnętrznie i zewnętrznie.

Jest także miejscem wierzchołka kąta stałego, którego dwa boki są styczne do dwóch danych okręgów.

Jest także ruletą (patrz § 6), utworzoną ruchem punktu, związanego z płaszczyzną koła, toczącego się po innem kole tegoż promienia.

Przypadkiem szczególnym ślimakowej Pascala jest kardioida, którą otrzymujemy kładąc a — b.

Krzywa ta jest miejscem punktu okręgu koła. toczącego się po innym okręgu równego promienia; albo jest spodkową okręgu względem jednego z jego punktów; albo konchoidą koła względem jednego jego punktu, jeżeli odcinamy odcinki równe średnicy; albo wreszcie odwrotną paraboli, gdy środek inwersyi znajduje się w ognisku.

Normalna w punkcie kardioidy przechodzi przez punkt styczności dwóch okręgów, które służą do jej utworzenia.

Pole kardioidy równa się sześciokrotne-

3

mu polu koła, którego jest ko nchoidą; jest

p o 1 a koła, którego jest spodkową (promień tego drugiego koła jest dwa razy większy od promienia pierwszego; koło zaś pierwsze równa się kołom, które służą do utworzenia krzywej jako rulety).

Długość kardioidy równa się 16 razy wziętej długości okręgu koła, którego jest kon-choidą, a 8 razy wziętemu obwodowi koła, którego jest spodkową.

Promień krzywizny w danympunkciejest

3

-jr-odcinka średnio proporcyonalnego pomię-

dzy promieniem wodzącym tego punktu a promieniem koła, którego krzywa jest spodkową, Konchoida Nikomedesa jest konchoidą (patrz § 4) prostej. W spółrzędnych biegunowych równaniem jej jest:

COS (O

w spółrzędnych kartezyańskich zaś:

y²(x — a,y —    x) (b—a-\-x),

gdzie a jest odległością punktu od prostej, b długością stałego odcinka, odcinanego na promieniu wodzącym. Prosta podstawowa konchoidy Nikomedesa jest oczywiście jej asymptotą.

Nikomedes wprowadził konclioidę do rozwiązania t. zw. z a-dania delijskiego, Newton stosował ją do rozwiązywania równań stopnia 3-go i 4-go. Patrz Cantor, Geschichte der Mathematik, I

Spiryki są przecięciem pierścienia (powierzchni, utworzonej obrotem koła około prostej na jego płaszczyźnie, patrz Rozdział XII, § 7) z płaszczyznami równoległemi do osi obrotu pierścienia.

Krzywe te mają punkty podwójne w dwóch punktach kołowych płaszczyzny i są w ogóle rzędu 4-go.

, Szczególnym przypadkiem tych krzywych są owale Des-carte s'a, lemniskata i t d. Niektórzy autorowie nazywają w ogóle spirykami krzywe, przechodzące przez punkty kołowe płaszczyzny, t. j. krzywe cykliczne ; patrz Darboux (Sur une classe remarquable etc., Paryż 1896)

Co do historyi tych krzywych patrz T a n nery (Bull, seien, math. 1884) i Schiaparelli (Le sfere omocentriehe di Eudosso, Calippo etc ).

§ 12.

Cykloida. Trochoida. Hypocykloida Epicykloida. Astroida. Czworoostrze.

Cykloidą właściwą jest krzywa, utworzona ruchem punktu okręgu koła o promieniu r, toczącego się po prostej ( podstawie). Równaniem kartezyańskiem cykloidy jest:

r—y

x — r arc cos

V 2 r y -— y'² .

Jeżeli 9 oznacza kąt pomiędzy prostą, łączącą punkt P krzywej ze środkiem koła tworzącego, a prostą prostopadłą do podstawy (osi x), wtedy spółrzędne x, y punktu P wyrażają się w funkcyi kąta 6 w ten sposób:

y — r (1 — cos 6).

x — r (6 — sin 6) ;

Równanie różniczkowe cykloidyjest postaci:

7/2r - y .

dx

I y

równaniem wewnętrznem krzywej jest:

O¹ -fs² = 16r².

Normalną w punkcie P otrzymujemy, łącząc punkt P z punktem styczności koła i prostej.

Jeżeli przedłużymy normalną o długość równą PA poza A, wtedy koniec tego odcinka będzie środkiem krzywizny.

Rozwinięta cykloidyjest cykloidą równą danej.

Pole, zawarte pomiędzy podstawą a jedną z gałęzicykloidy, równa się potrójnemu polu koła tworzącego.

Łuk jednej gałęzi cykloidy równa się ośm razy wziętej długości łuku koła tworzącego.

Za pomocą cykloidy rozwiązuje się zadanie o brachy-stocbronie (patrz „Repertoryum“ t. I, str. 241).

Cykloida jest krzywą, przechodzącą przez dwa punkty i obejmującą pole najmniejsze i zawarte pomiędzy nią, jej rozwiniętą i normalnemu w punktach skrajnych (patrz „Repertoryum“ t. I, str. 244).

Cykloida jest tautochroną, t. j. czas, jakiego potrzebuje punkt ciężki dla przebieżenia łuków cykloidy wywróconej dla dojścia do punktu najniższego, jest stały, bez względu na punkt, od którego rozpoczyna się spadanie (Huygens 1673).

O tautoclironacli i ich liistoryi patrz monografie Ohrtmanna Berlin 1872 i A m o de o 1883. Cykloida jest krzywą sławną w liistoryi matematyki: badali ją Mer senne i Galileusz; Robe r v a 1 w r. 1634 znalazł jej kwadraturę, Descartes konstruk-cyę stycznej do niej; po tem zajmowali się nią B. Pascal, Huygens, B e r n o u 11 i’o w i e i inni. Co do innych szczegółów patrz Chasles (Aperçu histor. str. 529), Günther (Bibl. math. 1887, .str. 8) i cytowaną książkę Brocarda.

Nazywamy cykloidami wydłużonemi i cy-kloidami skróconemi lub w ogólności trochoidami krzywe, opisane przez punkt stale przytwierdzony do płaszczyzny koła, toczącego się po prostej, a którego odległość od środka koła jest odpowiednio mniejsza albo większa od promienia. Jeżeli a jest tą odległością, r zaś promieniem koła, wtedy równanie krzywej jest:

r arc cos

r — Va²—(r—y)² .

Jeżeli koło o promieniu a toczy się po innem kole o promieniu R, wtedy krzywa, opisana przez jeden z jego punktów, nazywa sięepicykloidą, gdy koła znajdują się w e wnątrz jedno drugiego; hypocykloidą, gdy jedno jest z e wn ątrz drugiego Spółrzędne punktu dane są dla epi-cykloidy przez wzory:

r-\-R

x — (r-j- R) cos 6-j-r cos —-

6;

r+B

dla hypocykloidy zaś należy zmienić R-\-r na U — r.

Rozwinięte i rozwijające epicykloid i łiypocykloid są krzy wemi tego samego gatunku.

Jeżeli r = R, mamy kardioidę (patrz § 10).

R

Jeżeli r = — i koło ruchome znajduje się wewmątrz stałego, otrzymujemy hypocykloidę o czterech ostrzach czyli astro idę, której równaniem jest:

x³-\-y³ — R³ ;

równanie wewnętrzne tej krzy wej jest postaci:

q² -j- 4s² — 9 R² (Ces àro, Nouy. Ann. 1885,

str. 258).

Obwód astroidy jest równy sześć razy wziętemu promienio-

3

wi koła stałego; pole jej równa się — pola koła.

O

Astroida jest obwiednią prostej o długości stałej, opierającej się na dwóch prostych prostopadłych.

Ii

-Q- , otrzymujemy hypocykloidę trój-

O

Jeżeli r

ostrzową lub trójkątną Steiner a.

Hypocykloida trójostrzowa jest obwiednią t. zw. p r ostej Simpsona albo Wallac e’a, należącej do trójkąta trzech ostrzy; jest to prosta, na której znajdują się spodki prostopadłych, spuszczonych na boki trójkąta z punktu koła opisanego (patrz Rozdz. XXII).

Nazywamy w ogólności epitrochoidami krzywe, utworzone ruchem punktu płaszczyzny koła, toczącego się zewnętrznie po innem kole stałem. Stosownie dó tego, czy ten punkt jest punktem zewnętrznym czy wewnętrznym koła ruchomego, mamy dwa gatunki krzywych, które nazywamy e p i -cykloida mi skróconemi iepicykloidami w y -dłużonemi. Podobne definicye określają bypotrocho-idy, t. j. hypocykloidy skrócone i wydłużone.

Epicykloidy i hypocykloidy badali: De La Hire (Mém. de Paris 1694, 1706): Newton (Principia;, który zajmował się ich rektyfikacyą; Euler (NovaComm.Petrop. 1766, 1781; Acta Petrop, 1784); Raabe (Crelle I), E c k a r d t (Zeitschr. f. Math. XV, 1870), Kiepert (tamże XVII, 1872). Hypocykloidami trójostrzowemi zajmowali się: Steiner (Crelle LIII, LV), Cremona (Crelle LXIV), C 1 e b s c h (tamże), Battaglini (Giorn. di Batt. IV, 1866), Pain vin (Nouv. Ann. 1870), Cahen (tamże 1875), La-guerre (Bull. Soc. math. VII, str. 108), Intrigila (Giorn. di Batt. 1885) i t. p. Pole tych krzywych obliczał B alit r and (Jonrn. de Longchamps 1893, str. 75). Patrz też S a 1 m o n-F i e d 1 e r Teo-rya krzywych, płaskich Rozdz. VII).

Jeżeli w drugiej konstrukcyi astroidy (uważanej za obwiednią) przyjmiemy, że dwie proste nie są prostopadłemi lecz pochylonemi do siebie pod kątem a, wtedy otrzymamy krzywą, zwaną czworoostrzem. J est to zatem obwiednia prostej długości stałej a, której końce opierają się na dwóch prostych, pochylonych do siebie pod kątem a. Jest to krzywa rzędu 6-go i klasy 4-ej; jej pole wynosi:

( 1 —J— 2 sin² a) .

n a2 8 sin² a

Badanie tej krzywej zaproponował Merlieux w r. 1842 (Nouv. Ann. 1842, str. 59, pyt. 12); Joachimstlial (tamże 1847) znalazł jej równanie, Steiner (tamże) wiele jej własności. Potem badali ją: Bellavitis (Metodo delle equipollenze), który nadał jej nazwę, i Mannheim (Nouv. Ann. 1878); o jej rektyłikacyi patrz „Mathesis“ 1894, str. 129, a co do innych wskazówek Interm. des math. V, str. 160.

§13.

Krzywe spiralne. Krzywe Ribaucoura.

Nazywamy zwykle spiralnemi krzywe, rozwijające się w nieskończoną liczbę zwojów naokoło punktu, znajdującego się zewnątrz albo wewnątrz krzywej, Nazwa ta dotyczy raczej sposobu, w jakim postać tych krzywych przedstawia się oczom naszym, aniżeli pewnej własności, wspólnej wszystkim tym krzywym.

Krzywa spiralna jest koniecznie krzywą przestępną.

Eównaniem w spółrzędnych biegunowych spiralnej Archimedesa (znanej także spiralną K o -nona) jest Q — a<p.

Krzywa ta jest tedy trajektoryą punktu, posuwającego się ruchem jednostajnym po prostej, gdy sama prosta obraca się ruchem jednostajnym na około jednego ze swych punktów. Krzywa składa się z dwóch części symetrycznych i odpowiadających dwóm częściom, na które punkt stały dzieli prostą ruchomą.

W spiralnej Archimedesa pod normal na biegunowa jest stała i równa parametrowi a.

Pole biegunowe, zawarte kiem spiralnej Archimedesa a nemi promieniami wodzącemi, wyraża wzór:

o m i ę d z y ł u -w oma skraj-

a²

gdzie ą>.₂ są argumenty dwóch końców luku.

Spiralna Archimedesa jest spodkową rozwijającej koła względem środka samego koła.

Spiralna logarytmowajest krzywą o równaniu biegunowem Q — ea(p.

Jej rozwinięta, jej kaustyka przez odbicie i kaustyka przez załamanie są także spiralnemi logarytmowemi i to równemi danej (Jakób Bernoulli, Acta Erud. 1691).

Krzywa spotyka promień pod kątem stałym (stąd nazwa spiralnej równokątowejj.

Początek promieni wodzących jest punktem asymptotycznym krzywej.

Łuki, liczone od punktu g = l, cp = 0 i w zwrocie ujem-

Vl-\-a²

gdy punkt

nym obrotu, dążą do wielkości skończonej

ich końcowy dąży do bieguna.

Środek krzywizny jest końcem podnormalnej biegunowej.

Ruleta i gliseta (patrz § 6) bieguna spiralnej logarytmo -wej względem tej samej prostej, służącej za podstawę, są dwiema krzywemi ortogonalnemi.

Spiralna logarytmowa i jej własna biegunowa wzajemna względem każdej hyperboli równobocznej, mającej swój środek w biegunie spiralnej, jest do niej styczna (Kl ein-Lie, Bull, des sciences math. 1872, str. 331).

Odwrotną spiralnej logarytmo wej, gdy środek inwersyi znajduje się w biegunie, jest spiralna logarytmowa równa danej.

Spiralną logarytmową badał pierwszy Descartes, po nim Jakób Bernoulli. Niektóre wskazówki bibliograficzne o tej krzywej można znaleść w cytowanej książce Brocarda; krótką

jej monografię napisał Whitwiiort (Nouv. Ann. 1869). Patrz także Rozdz. VII, cyt. traktatu Sal mona.

Spiralna hyper boliczna jest odwrotnością spiralnej Arcłiimedesa; równaniem jej biegunowem

.    .    a

jest e = - .

Biegun krzywej jest jej punktem asymptotycznym; krzywa ma prostą asymptotyczną i składa się z dwóch gałęzi symetrycznych względem prostopadłej do prostej asymptotycznej a przechodzącej przez biegun.

Podstyczna biegunowa jest stała.

Spiralna hyperboliczna jest rzutem helisy na płaszczyznę prostopadłą do osi z punktu tej osi.

Spiralna paraboliczna lub spiralna Fermata ma równanie g² = (p.

Niechaj Obędzie biegunem, OM osią biegunową, którą krzywa spotyka w punktach 0, M, Mf, M"... . Ze środka O promieniem OM opiszmy okrąg koła. Pole, zamknięte pierwszym łukiem spiralnej i osią OM, jest połową pola koła; pole to jest połową pola, zawartego pomiędzy pierwszą gałęzią spiralnej, drugą gałęzią MM' a prostą MM' ; to drugie pole równa się polu, zawartemu pomiędzy gałęzią drugą, gałęzią trzecią a prostą Al ' M " ; to znów równa się polu, zawartemu pomiędzy gałęzią trzecią, gałęzią czwartą a prostą M" Al"' i t. d. i t. d.

Krzywe takie, że rzut środka ich krzywizny na promień wodzący dzieli ten promień wodzący w stosunku stałym, nazywają się s p i r a 1 n e nr i — sinusoidalne mi (De la Gr o u p i 1 -lier e); ich równaniem biegunowem jest:

qm — am sin (ncp),

a równaniem wewnętrznem:

n--j-1

n— 1

dg

2«

Kąt, jaki styczna do krzywej tworzy z promieniem wodzącym, jest cp.

Dla wartości szczególnych, liczby n (skaźnika) mamy krzywe jużznaneiniezłożone; i tak: dla n—1 mamy koło, dla u=1 prostą.

Pokrewnemi z temi krzywemi są krzywe Eibau-coura, których równaniem wewnętrznemjest:

dq

n-)-l

2 îî±l

n —1

W krzywych tych promień krzywizny jest proporcyonalny do odcinka normalnej, zawartego pomiędzy punktem krzywej a prostą stałą.

Jeżeli spiralna—sinusoidalna o skaźniku n toczy się po prostej, to biegun jej (początek promieni wodzących) opisuje

fl

n-\-l

krzywą Ribaueoura o skaźniku —

O spiralnych—sinusoidalnych pisali: De La Goupillière (Nouv. Ann. 1876, str. 97). Brocard (tamże 1866 i t d. Krzywą Ribaueoura napotkał ten autor w poszukiwaniach swoich nad powierzchniami najmniejszemi (Mém. de 1’Acad. de Belg. XLIY, Nouv. Ann. 1888) i t. d. Wykład tej o tych dwóch gatunkach krzywych znajduje się u Cesàro w Geom. intr. 1896, str. 45; inne wskazówki w § 6 cytowanej ksiące Brocarda.

§ M.

Łańcuchowa. Krzywa Deiauna/a. Traktorya. Sinusoida, Hwadratryca.

Krzywa sprężysta.

Łańcuchową jest krzywa równowagi nici ciężkiej, przytwierdzonej w dwóch punktach; jej r ó w n a n i e m j e s t:

równaniem zaś wewnętrzne m:

a q = a² -f- s².

Oś odciętych x, odległa na a od najwyższego punktu krzywej, nazywa się osią łańcuchowej; względem tej osi krzywa jest wypukłą.

Łańcuchowa jest ruletą ogniska paraboli, boczącej się po

prostej.

Styczną do łańcuchowej w punkcie P otrzymujemy, opisując ze spodka rzędnej punkt P okrąg koła o promieniu a i prowadząc z punktu P styczną do tego koła.

Promień krzywizny równa się odcinkowi normalnej aż do spotkania z osią odciętych x\ środek krzywizny tedy znajdujemy, przenosząc w kierunku przeciwnym taką długość normalnej.

Łańcuchowa posiada najniższy środek ciężkości pomiędzy wszystkiemi krzywemi równoobrotowemi (patrz „Kepertoryum“ t. I, str. 243).

Obrót łańcuchowej około osi wytwarza katenoidę (powierzchnię łańcuchową), która j est powierzchnią minimalną (patrz Pozdz. XYI i tom I, str. 245, gdzie podano i inną własność katenoidy).

Długość łuku A /J łańcuchowej znajdujemy,prowadząc z punktu spotkania stycznej w P ze styczną w A prostopadłą do stycznej w P aż do spotkania z osią w punkcie P, a następnie rzucając ten punkt na oś; jeżeli rzutem jest Q, wtedy długość QR równa się długości łuku AP.

Pole, zawarte pomiędzy łukiem .4P łańcuchowej a osią odciętych, równa się iloczynowi łuku AP przez parametr a.

Krzywą równowagi nici ciężkiej przyjmował Galilei błędnie za parabolę; potem badali ją Leibniz i Jakób Bernoulli. Wiadomości historyczne znajdują się u L a i s a n t a (Ass. Franç. Congrès de Toulouse 1887. str. 64).

Łańcuchowa zwykła jest, jak powiedziano, ruletą ogniska paraboli; można też badać rulety ognisk elipsy i hyperboli. Krzywe, w ten sposób powstające, nazywają się łańcucko-wemi eliptycznemi i hyperbolicznemi, albo też krzywe m i Delauna y’a, bo on pierwszy badał i znalazł, że są, krzywemi południkowemi powierzchni obrotowej o krzy-wiznie średniej stałej (unduloidy i nodoidy, patrz Rozdz. XYI). Równanie różniczkowe krzywych jest postaci:

0,

a równaniem ich wewnętrznem jest:

sin² —

e — cos

e — cos

Każda krzywa Delaunay’a jest równoległa do krzywej równej.

O tych krzywych patrz rp. Cesàro, Geom. intr. str. 69.

Traktorya jest krzywą taką, że długość stycznych, zawarta pomiędzy punktem styczności a prostą stałą, jest stała ( — a). Prosta stała nazywa się asymptotą traktoryi. Równanie różniczkowe krzywej jest postaci:

dy

dx

Va²-y² ’

a równaniem jej w wyrazach skończonych jest:

a-\-Va²— y²

— Va² — y² -j- a log

Krzywa ta jest trajektoryą ortogonalną kół o promieniu a, których środki znajdują się na osi; jest ona rozwijającą łańcuchowej. Jest obwiednią osi paraboli, która toczy się po prostej. Jest krzywą południkową pseudosfery i helisoidy pseudosferycz-ne D i n i e’go (patrz Rozdz. XVI).

Promień krzywizny w punkcie P tej krzywej wyznaczamy, prowadząc z jej wierzchołka (x — 0, y = a) równoległą do stycznej w punkcie P aż do spotkania z asymptotą w punkcie P: odcinek OH (gdzie O jest rzutem ortogonalnym wierzchołka na asymptotę) jest promieniem krzywizny.

Nazywamy traktor yą wydłużoną i skróco-n ą rzuty traktoryi zwykłej na płaszczyznę, przechodzącą przez asymptotę, otrzymane przy pomocy prostych rzucających prostopadłych do płaszczyzny traktoryi i odpowiednio prostopadłych do płaszczyzny rzutu (patrz B i a n c h i, Geom. diff. str. 24)3.

Traktorye badał Bomie (Acad. des. sciences des Paris 1712, str. 2S1), patrz także C e s à r o (Mathesis 1882, str. 217).

Równanie sinusoidy jest postaci y — sina?.

Krzywa ta ma nieskończenie wiele przegięć na osi a?, znajdujących się w równej odległości; w tych punktach styczna jest pochylona pod kątem 45°.

Pole, zamknięte pomiędz soidy, pomiędzy dwoma kole ciami a osi

łukiem s i n u -

neini przegię-x, równa się po wójn mu polu stawionego na jednos c linio-ą tą jest wysokość pona osią a?

c-h CD

kwadratu, wej; jednos punktu krzywej, w którym styczna jest równoległa do tej osi.

Długość łuku sinusoid kolej nemi przegięciami r

P- CD

dwoma ugości

półelipsy o półosiach V2 i 1 i wyraża się w z o -

o.

a się

rem:

to| i-¹

cc

tH co

l—i

co

Ol

•t-h ! i-O

OD

lO

uh

OD

Kwadrat ryca (quadratrix) Dinostrata jest krzywą, której równaniem jest:

2 cp 7i sin cp

lub

ny

V = » tg ? .

Asymptotami jej są proste równoległe do prostej y~ O, odległe od niej na -P 2, + 4, . . , .

Krzywą tę można określić i następującym sposobem: Niechaj będzie koło, a w nim dwie średnice prostopadłe OA i OB. Z punktów O i 4 wychodzą jednocześnie dwa punkty ruchome i poruszają się ruchem jednostajnym: jeden na OB, drugi na łuku koła AB tak, aby równocześnie znalazły się w punkcie B\ jeżeli A i AT są dwoma punktami, w których równocześnie znajdują się punkty ruchome, to miejsce spotkania prostej OM z prostą równoległą do OA, poprowadzoną przez punkt L, jest kwadra-

t r y c ą.

Odległość wierzchołka krzywej od środka koła wynosi

2

-; stąd, nakreśliwszy kwadratrycę, moglibyśmy znaleść liczbę n,

71

i dla tego krzywa ta może służyć do kwadratury koła.

Krzywą tę badał N ewton (Opuscula I, str. 104). Wiadomości historyczne o niej podał P. Tannery (Bull. des. sciences math. 1888, str. 278).

Krzywa sprężysta (spręż}^stości) jest to krzywa, której równaniem różniczkowem jest:

cly

x²dx

Va⁴—.x⁴

Jest to krzywa równowagi blaszki sprężystej, przytwierdzonej w jednym końcu i poddanej ciśnieniu odpowiednich sił w drugim. Badał ją po raz pierwszy Jakób Bernoulli (Acad, de Paris, 1703, 1705).

Promień krzywizny tej krzywej jest odwrotnie proporcyonalny do odciętej.

Krzywa sprężysta pomiędzy wszystkiemi krzywemi równo-obwodowemi, przechodzącemi przez dwa punkty stałe, daje bryłę obrotową o największej objętości (patrz „Repertoryum“ tom I, str. 245).

O krzywej ze stanowiska teoryi funkcyj eliptycznych patrz E n n e p e r Ellipt. Funct. i Halphen Funct. ellip. t. 13.

§15.

Krzywe skośne. Helisy. Loksodromie.

Nazywamy helisą ("krzywą śrubową) walcową krzywą, nakreśloną na walcu, która spotyka pod kątem stałym wszystkie tworzące walca. Jest ona linią geodezyjną walca.

Po rozwinięciu walca na płaszczyznę helisa staje się prostą. W każdym punkcie helisy jej normalna główna zlewa się z normalną do powierzchni.

Dla każdej helisy stosunek dwóch krzywizn jest stały; i odwrotnie: krzywa, dla której stosunek dwu krzywizn jest stały,

jest helisą.

Dwie krzywizny są stałe jedynie dla helis, nakreślonych na walcu kołowym prostym (Puiseux, patrz także Pozdz. XVI,, § 4).

Rozróżniamy helisy lewozwrotne i prawozwrot-n e, odpowiednio do ich zwrotu względem tworzących walca. Dajmy mianowicie, że ustawiliśmy walec tak, aby jego tworzące były w kierunku promienia widzenia i że punkt ruchomy przebiega helisę w ten sposób, iż zbliża się do spostrzegacza; jeżeli wtedy ruch punktu ma zwrot taki, jak ruch skazowki zegarowej, mówimy, że helisa jest 1 e w o z w r o t n ą; w przeciwnym razie jest prawozwrotną. I tak helisa na zwykłej śrubie stolarskiej jest helisą prawozwrotną

Spółrzędne punktu helisy walcowej kołowej (t. j. opisanej na walcu kołowym prostej) w y r a ż ają się wzorami:

x — r cos 6, y — r sin 0, z = rQtgcp,

CŁ

gdzie r jest promieniem po stawy walca, cp kątem stałym., pod którym helisa spotyka tworzące.

Łuk helisy wyraża się wzorem:

s — r 0 hl-j-tg² 99 •

Helisą walcowo-stożkową nazywamy helisę, nakreśloną na stożka obrotowym i spotykającą pod kątem stałym jego tworzące.

Rzut takiej helisy na płaszczyznę prostopadłą do osi stożka jest spiralną logarytmową; stąd helisa ta daje się nakreślić na walcu, którego podstawą jest spiralna logarytmowa i dla tego walca jest ona także helisą, t.j. spotyka tworzące jego pod kątem stałym. Jeżeli rozwiniemy stożek na płaszczyznę, wtedy helisa walcowo-stożkowa przekształca się na spiralną logarytmową. Jej normalna główna jest prostopadła do osi stożka.

Helisy wyżej rozpatrzone należą do ogólniejszej klasy krzywych, zwanych loksodromiami; t.j. do krzywych, na-krzywych, nakreślonych na powierzchniach obrotowych, i spotykających pod kątem stałym południki tych powierzchni.

Zbadano specyalnie przypadek, w którym powierzchnia obrotowa jest kulą. Patrz np. Joachimsthal (Anw der Diff. und Integr. Lipsk 1890).

0 historyi tych krzywych pisał Günther (Studien zur Gesell, der math. Geogr , Halla 1874) i Brocard w artykule bibliograficznym (Bull. Darboux 1879, str. 239)

§ 16.

Cykliki kuliste. Okna Vivandïego. Spiryki kuliste.

Cyklikami kulistemi nazywamy przecięcia kuli z powierzchnią stopnia 2-go. Przypadkiem ich szczególnym są stożkowe kuliste (patrz Rozdz. X, § 1)

Cykliki płaskie można uważać za krzywe odwrotne względem cyklik kulistych; dość w tym celu uskutecznić inwer-cyę, przez którą kula przekształca się na płaszczyznę.

Krzywe te badał Darboux (Sur une classe remarquable etc., gdzie jest i wiele wskazówek bibliograficznych).

Niechaj będzie dana półkula; nakreślmy średnicę płaszczyzny równikowej, i na dwóch promieniach tej średnicy nakreślmy dwa koła, których średnicami są te promienie; następnie wystawmy walce, których te koła są podstawami: przecięcie jednego z tych walców z kulą jest krzywa, którą nazywamy krzywą Viviani’ego lub oknem Viviani’ego.

Początek tej krzywej dało zadanie, postawione przez V i v i a-n i’ego w r. 1692 i rozwiązane przez samego Vivian i’ego, przez Leibniza (Acta Erud. 1602) i Jana B e r n o u 11 i’ego (tamże); szło o nakreślenie na sklepieniu półkulistom czterech okien równych w ten sposób, aby część pozostała dała się zkwadrować.

Jeżeli wystawimy dwa walce wyżej wskazane, to pozostałe pole na kuli równa się polu kwadratowemu, wystawionemu na średnicy kuli.

Spiryki kuliste są przecięciami kuli z pierścieniem (D a r b o u x 1. c.)

O innych krzywych specyalnych można znaleść wiadomości w nowej pracy Brocarda (Notes de bibliographie des courbes góom. Bar-le-Duc 1897. litogr. z dopełń. 1899); początek tej pracy, dało postawione przez De La G-oupillièr e’a w t. I pisma „Interm. des math.“ (1894, str. 37) pytanie, w którem żądano monografiii wszystkich krzywych specyalnych, mających osobne nazwy. Podobne pytanie zawierał temat konkursowy za lata 1894 i 1897 Akademii nauk w Madrycie. Nagrody konkursowe otrzymali Glino L o r i a i F. Gomes Teixeira. Praca (nie ogłoszona dotąd) pierwszego z nich obejmuje krzywe płaskie algebraiczne i przestępne, ich teoryę i historyę; próbę porównawczej geometryi płaszczyzny.

ROZDZAŁ XVIII.

ANALYSIS SITUS CZYLI TOPOLOGIA. TEORYA WIELO ŚCIANO W. SPÓJNOŚĆ POWIERZCHNI R1EMANNA.

J-*

Spójność powierzchni. Powierzchnie jednostronne i dwustronne. Liczba zasadnicza. Rodzaj.

Powierzchnia może być otwarta albo zamknięta; jest otwartą wtedy, gdy posiada brzegi, t. j linie, w której punktach się kończy; jest zamkniętą, gdy brzegów nie posiada.

Pole nieskończonostkowe naokoło jednego punktu powierzchni może być uważane z dwóch stron przeciwnych, odpowiadających dwóm kierunkom normalnej do powierzchni w tym punkcie; odnośnie do tych dwóch stron każdy punkt może być uważany podwójnie, t j. jako należący do jednej albo do drugiej strony; takie dwa punkty, na które się rozdwaja jeden punkt, nazywać będziemy wzajemnie sprzężonemi.

Powierzchnia może być dwustronną albo też jednostronną. Dwustronną jest wtedy, gdy wychodząc z punktu powierzchni i postępując na niej po drogach ciągłych, bez przekroczenia brzegów, nie można dojść do punktu sprężonego z punktem wyjścia; nazywa się jednostronną w razie przeciwnym.

Przykładami powierzchni dwustronnej są: kula, część płaszczyzny i t. d.; przykłady powierzchni jednostronnych podał

40

Pascal Rep. H,

Möbius (Zur Theorie der Polyeder i t. d., Werke TT; Ueber die Bestimmung des Inhalts eines Polyeders, 1865, AVerke II).

Niechaj będzie karta prostokątna dostatecznie długa ABCD; dłuższemi jej bokami niechaj będą ACiBD. Złączmy brzeg CD z brzegiem AB, po obróceniu go około prostej, łączącej punkty środkowe boków AB, CD, tak aby punkt D przypadł w A, a punkt C w B. Powierzchnia, powstała tym sposobem, będzie powierzchnią jednostronną otwartą z jednym tylko brzegiem. Jeżeli przed złączeniem boku CD z boju'em AB. obrócimy bok CD nieparzystą liczbą razy około punktów środkowych boków AB, CD, a potem doprowadzimy je jak poprzednio do zlania, wtedy otrzymamy także p o wierzchnię jednostronną otwartą z jednym tylko brzegiem.

Można utworzyć powierzchnię jednostronną zamkniętą w sposób następujący (Möbius):

Dajmy pięć punktów A, B, C, D, E, z których żadne cztery nie leżą na jednej płaszczyźnie; wtedy trójkąty ABC, BCD, CDE, DE A, EAB utworzą powierzchnię jednostronną otwartą, której konturem jest pięciokąt 4 CEBD. Jeżeli weźmiemy punkt B, który z trzema któremikolwiek z pięciu punktów A, B, C, D, E nie leży na jednej płaszczyźnie, wtedy poprzednie pięć trójkątów oraz trójkąty PAC, PCE, BEB, PBD, PDA będą ścianami wielo-ścianu splecionego, który stanowi powierzchnię zamkniętą jednostronną.

Inną powierzchnię zamkniętą jednostronną można otrzymać następującym sposobem:    AVyobrażmy sobie kulę z dwoma

otworami; z jednego z nich niechaj wychodzi rura na zewnątrz kuli, wchodząca następnie w kulę, tworząca splot i kończąca się w drugim otworze lecz od wewnątrz kuli. Otrzymujemy tym sposobem powierzchnię jednostronną zamkniętą (Dyck, Math. Ann. XXXII).

Przecinając powierzchnię wzdłuż punktów jakiejkolwiek linii,na niej nakreślonej, robimy tak zwane cięcie. Cięcie może być otwarte albo zamknięte. Pomiędzy cięciami odróżniamy takie, których końce są dwoma punktami tego samego brzegu ; s ą to c i ę ci a g a t u n k u 1 -go — oraz cięcia, których końce

są dwoma punktami różnych brzegów; są to cięcia gatunku 2 - g o.

Ci

ciezamkni te albo o warte 1-un emoże ozcinać o wierze mwi ej niż na wak wał i.

Jeżeli po w erze nia jest dwustronna, wtedy cięcie otwarte gatunku pierwszego powiększa 1 liczbę brzegów; jeżeli powierzchnia jes jednostronna wt albo nie zmienia wcale licz powiększają o 1.

o ero

PT r£t>

e+-

e+-

i 2-

■ ta ie cięcie brz gów albo

Pr"

Cięcie gatunku 1-go nazywamy cięciem klasy 1-ej albo klasy drugiej, stosownie do tego, czy w przypadku powierzchni jednostronnej powiększa liczbę brzegów albo nie powiększa jej.

Cięcie gatunku Igo i klasy 2-giej nie rozcina powierzchni jednostronnej.

Cięcie gatunku 2-go zmniejsza o 1 liczbę brzegów powierzchni jednostronnej, ale nie może jej rozcinać.

Cięcie, wykonane wzdłuż linii otwartej, której jeden koniec jest na brzegu, drugi zaś, jak również i cala linia, jest wewnątrz powierzchni (wnętrzem powierzchni rozumiemy ogół wszystkich jej punktów, nie należących do konturu), nie powiększa liczby brzegów i nie rozcina powierzchni.

Jeżeli wreszcie końce linii otwartej i całkowicie położonej wewnątrz powierzchni nie znajdują się na żadnym brzegu, wtedy liczba brzegów powiększa się o 1. ale powierzchnia nie rozpada się.

Jeżeli powierzchnia jest dwustronna, wtedy cięcie zamknięte powiększa o 2 liczbę brzegów; jeżeli jest jednostronna, wtedy cięcie zamknięte powiększa o 2 albo o 1 liczbę brzegów. Stosownie do tego, czy staje się jedno czy drugie, nazywać będziemy powierzchnię jednostronną powierzchnią klasy 1-ej albo klasy 2-giej.

Cięcie zamknięte klasy 2-giej nie rozcina powierzchni jednostronnej.

628

ßozdzial XVII. — 8 1.

Jeżeli na powierzchni można wykonać cięcie otwarte gatunku 1-go, nie rozcinając jej na kawałki, wtedy można też wykonać takież cięcie zamknięte, i odwrotnie.

Powierzchnia nazywa się j e d n o s p ó j n ą (j edno* łączną) jeżeli jest skończoną, otwartą, ograniczoną j ednym tylko brzegiem i taką, że jakiekolwiek cięcie zamknięte (albo— co na jedno wychodzi—jakiekolwiek cięcie otwarte, łączące dwa punkty brzegu) rozcina ją na kawałki.

Powierzchnia jednospójna jest zawsze dwustronną.

Kawałek płaszczyzny, ograniczony okręgiem koła, jest najprostszym przykładem powierzchni jednospójnej.

Jeżeli wyobrazimy sobie, że powierzchnia jest utworzona z tkanki giętkiej i sprężystej, to każdą powierzchnię jednospójna będziemy mogli uważać za dającą się przekształcić na powierzchnię, wyżej wskazaną, za pomocą odkształceń ciągłych, t. j. za pomocą rozciągań i ściśnień, lecz bez rozrywania

Na powierzchni dwustronnej można zawsze us ku tecznić takie cięcia za kni otwarte gatunku 1-go i 2- go, powierzchnię jednospójną.

Za pomocą cięć otwartych gatunku 1-go i klasy 2-giej, albo też za pomoc cięć zamkniętych klasy 2-giej można zaw ze powierzchnię jednostronną sprowadzić do dwustronnej.

CC P

OC .05

alb

o- c

Niechaj będzie dana powierzchnia; za pomocą cięć odpowiednich podzielmy ją na skończoną liczbę a części jedno-spójnych, Przyjmijmy, że w tym celu wykonaliśmy: pewną liczbę cięć zamkniętych i takich cięć otwartych, których jeden tylko koniec należy do jednego brzegu; dalej r, cięć otwartych gatunku 1-go, r₂ częć otwartych gatunku 2-go, r₃ cięć otwartych, znajdujących się całkowicie i swemi końcami wewnątrz powierzchni. Znajdziemy wtedy, że liczba r₁-j- T₂-j-r₃ — a jest stałą, niezależnie od sposobu wykonania cięć.

Liczba ta, powiększona o 2, nazywa się liczbą zasadniczą powierzchni.

Dla grupy s powierzchni istnieje twierdzenie analogiczne

zasadniczą grupy, y wyraża się z powierz -

i liczba analogiczna, nazwana liczbą Liczba zasadnicza K n

zez liczby zasadnicze K ka ni za pomocą wzoru:

cs* P

Cu PP

K= Z Ki - 2s-b 2 .

i—]

Liczba zasadnicza powierzchni nie może być ujemna i nie może być zerem, gdy powierzchnia jest otwarta.

• rH

CÔ

Ul

o-

Ul

ci“

CU

‘-i

2® ga

CD

-P

• rH

■KJ

CD

•-i

pa

et-

o ’1—1 P ^ ^ T3 N -Z © f-i P

A

ö ° °** ^ -p

ui

'O

• rH

stronną.

z c h ia ro pa asi na dwie naniejed e g cię ia z a m -e o albo ięcia otwartego gatunku 1-go, j suma liczb zasadniczych obu części r wna się liczbie asa dni z j samej p wierz-c ni, powiększone odp

Niechaj będzie dana powierzchnia dwustronna zamknięta albo otwarta z co(^>0) brzegami. Nazywamy rodzajem tej powierzchni największą liczbę cięć zamkniętych albo otwartych gatunku 1-go, jakie wykonać można na powierzchni bez rozcięcia jej. Jeżeli p jest rodzajem powierzchni dwustronnej otwartej albo zamkniętej, wtedy liczba zasadnicza K wyraża się w ten sposób:

PP

owi

cl- P

. rCD

Ul'

O -P

Cfp Pp

ESJ

7i CD

[SI

eCD

M. O

Cu CD

e n i o o 2 a 1 ool.

Nazywamy rodzajem powierzchni jednostronnej liczbę, którą daje suma dwóch liczb: jedną jest liczba cięć zamkniętych klasy 2-giej, albo cięć otwartych gatunku 1-go i klasy 2-giej, jakie potrzebne są, aby powierzchnię zamienić na dwustronną-, drugą jest rodzaj tej ostatniej powierzchni.

Jeżeli rcjest rodzajem powierzchni jedno-

er* co

et

•-S

c+-

■z

KJ

CD

SJ

cr

es

ts

cr

CSJ

es

cc

08

pj

rCD

• iH

CD CD -4^> -4-3

CL,

ts

co ( >0)

K — n —f- co .

Nazywamy rzędem spójności albo wprost spójnością powierzchni liczbę K -f- 2, jeżeli powierzchnia jest zamknięta, liczbę zaś K, jeżeli jest otwarta.

Twierdzenie zasadnicze, dotyczące rodzaju powierzchni, jest następuj ące: Dwie powierzchnie, obie dwustronne obie jednostronne, b dą i osiadające jedna ow ają się odkształcać jedn nadrug .

Rodzaj powierzchni nie zmienia się, gdy zrobimy w niej otwór.

Otwór powiększa o 1 spójność powierzchni otwartej, zm chni zamknię € większa o 1 licz

Rozważania nad spójnością powierzchni rozpoczął R i e m a n n (Theorie der Abel’schen Fun et. § 2, Grelle L1V i „Fragment aus der Analysissitus, Werke s.448);prowadziłje w dalszym ciągu Neumann (Abel’sche Integrale, wyd. 1° 1865, 2° 1884). Z czasem badania te razem z innemi (np badaniami L i s t i n g a, Vorst, zur Topologie, Getynga 1847) utworzyły osobną część swego rodzaju Geometryi nowoczesnej, którą nazywamy zwykle Analysis situs, a jeszcze lepiej Topologią (jakkolwiek, zdaje się, że niektórzy nadają wyrazowi temu znaczenie, nieco bardziej ścieśnione, niż nazwa Analysis situs), która bada własności utworów geometrycznych, niezależnie od *ch postaci i od ich wielkości. Innemi słowy; ta część geometryi bada *ormy, które przybiera utwór geometryczny; przyczem nie uważamy za różne dwóch form utworu, gdy od jednej można przejść do drugiej za pomocą odkształcenia ciągłego, t. j. gdy te dwie formy odpowiadają sobie punktami dwujednoznacznie; nie ma wszakże potrzeby zakładania, że prawo odpowiedniości jest analityczne, wystarcza bowiem, że jest ciągłe.

Pierwsze uogólnienia na przestrzeni trójwymiarowe (rozpoczęte już przez Riemanna w cytowanym „Fragmencie“) poczynił Listing

alb

w,

P-

ct- Ö

GO <£0

jednego

liczbę

sza o 1 spójność po i iwk żdym przypa

ni c z ą.

(Censusräumlicher Complexe, Gott. Abh. X, 1861, Gott. Nachr. 1867), a jeszcze dalsze po raz pierwszy Betti (Ann. di mat. IV, 1870). Dalej ogłosili w tym przedmiocie prace: Picard (Journ. de Liouv. (4), I), W. Dyck (Math. Ann. XXXII, XXXVII), De Paolis (Teoria dei gruppi geom. etc. Soc. Ital. delle scienz. (3), VII), T o n-nelli Lincei 1890) i Poincaré (Journ, de l’Écol. pol. (2) I, 1890). ' Po tej pracy Poi n car égo nastąpiła inna (Rend. Palermo XIII, 1899), w której znajduje się odpowiedz na pracę Heegarda (Kopenhaga 1898), i w której Poincare prostuje niektóre błędy, popełnione w pracy pierwszej. Trzecią rozprawę w tym przedmiocie ogłosił Poincaré w r. 1900 (Second complément à l’Analysis Situs, Proceed. London Math. Society XXXII, 1900 str. 277—308).

Pokrewne z powyższemi badania dotyczą sposobów rozwiązywania, tworzenia węzłów z linij krzywych i t. p.; przedmiotem tym zajmował się S i m o n y (Math. Ann. XIX, XXIV) ; Hoppe (Arch. der Math. LXIV 1879, LXV 1880), Durège (Wien. Ber. 1880) i Schlegel (Zeitschr. f. Math. XXV HI, 1883) rozciągnęli te badania na przestrzenie wielowymiarowe.

IO

Spójność przestrzeni.

Listing rozciągnął rozważania, dotyczące spójności powierzchni, na przestrzenie trójwymiarowe, Bett i na przestrzenie wielowymiarowe. We wspomnianym już wyżej „Fragmencie“ Riemanna znajdujemy niektóre wyniki, odnoszące' się do tego przedmiotu.

Niechaj będzie u zmiennych zx, z₂,... zn, mogących przybierać wszystkie wartości rzeczywiste od — oo do -j- oo; obszar n-krotnie nieskończony układów wartości tych zmiennych nazywać będziemy przestrzenią 11 wymiarową i oznaczać przez Sn,‘ układ wartości z stanowi będzie to, co nazy-

warny społrzędnemi punktu tej przestrzeni. Układ m równań pomiędzy ilościami z określa przestrzeń o n—m wymiarach. zawartą w przestrzeni Sn. Przestrzeń S„ w przestrzeni Sn, nazywa się liniowo-spójną albo mającą spójność g a t u n k n 1- go, jeżeli dwa jej punkty można połączyć zawsze linią, zawartą w niej całkowicie, t. j. gdy punkt ruchomy można przenieść do innego punktu sposobem ciągłym, pozostając wciąż w przestrzeni Sn_m . Jeżeli F (z₁, r₂, . . . z„) — 0 jest związkiem pomiędzy ilościami z, funk-cya zaś U jest ciągłą i jednoznaczną dla każdego układu wartości rzeczywistych £, wtedy przestrzeń 8n~\, przedstawiona przez równanie F— 0 podzieli w ogóle przestrzeń Sn na dwa obszary: dla jednego z nich będzie F^>0, dla drugiego F<^0. Jeżeli te dwa obszary są liniowo-spójne, przestrzeń nazywa się zamkniętą.

zawarta

—m •)

Przestrzeń Sn—m nazywamy przestrzenią, mającą spójność powierzchniową czyli gatunku 2-go, jeżeli jakakolwiek linia zamknięta, w niej zawarta, daje się odkształcić sposobem ciągłym na każdą inną analogiczną i należącą wciąż do przestrzeni 8n—m ; w ogólności mówić będziemy, że przestrzeń 'n-m ma spójność gatunku r go, jeżeli każda przestrzeń zamknięta r—1 wymiarowa, w niej zawarta, daje się odkształcić sposobem ciągłym na inną analogiczną, należącą we wszystkich stadyach odkształcenia do przestrzeni \-m-Jeżeli przestrzeń 8n rzędu r-go, to można w niej zawsze przestrzenie zamknięte o r kie, że dwie z nich nie

nie ma spójności utworzyć 1 wymiarach i ta-dają się odkształcić sposobem ciągłym jedna na drugą, ani żadna z nic sprowadzić do unktu, le każda inna podo na przestrzeń amkni ad sze odkształcić na je nę z nich, a Jzić do punktu.

Liczba pr takie przes jests ałainie ale na rzym te przes rżenie; rzędem spójności gatunku r-tego.

— VI

cr Er

C+-

CSU PP

có

cr

e się z a w-o sprowa-

trzem zamkni ych s p o s o b u, w j a k    w o-

îczba p,-}-1 nazywa się

• Qj

ci-

Dla przestrzeni, mającej spójność gatunku r, liczba pr j est zerem; rząd spójności gatunku r j e s t 1.

Kawał płaszczyzny, zawartej pomiędzy dwoma kołami, z których jedno jest wewnątrz drugiego, ma rząd 1 dla spójności liniowej, rząd 2 dla spójności powierzchniowej.

Dla przestrzeni, zawartej pomiędzy dwiema kulami, z których jedna znajduje się wewnątrz drugiej, rząd spójności liniowej jest 1, spójności powierzchniowej 1, spójności przestrzeniowej 2.

Przestrzeń, zawarta w pierścieniu, ma spójność liniową po-jedyńczą, t. j. rzędu 1-go, spójność powierzchniową podwójną t. j. rzędu 2 go, spójność przestrzeniową pojedyńczą.

Przestrzeń, zawartapomiędzy dwoma pierścieniami, z których jeden znajduje się wewnątrz drugiego, ma spójność liniową pojedyńczą, powierzchniową—podwójną, przestrzeniową—podwójną.

Inne szczegóły i bibliografię podajemy w paragrafie następnym. Co do pojęcia przestrzeni jednostronnych i dwustronnych patrz cytowane rozprawy Poincaré g o.

ter.

3.

Sieci wielościanowe. Twierdzenie Eulera. Wielościany w przestrzeni o trzech i więcej wymiarach.

Na powierzchni rodzaju p rozwińmy sieć wielościanową w ten sposób, aby kontur każdej ściany zamykał kawałek pojedynczo-spój ny powierzchni.

Jeżeli ta sieć ma F ścian, 8 krawędzi, V wierzchołków, wtedy mamy związe k:

V-\-F = 8 — 2p -f 2 .

Jeżeli przyjmiemy, że powierzchnia dana jest rodzaju zero, wtedy otrzymujemy twierdzenie, podane przez Eulera:

Dla wielo ścianu zwyczajnego wypukłego, mającego V wierzchołków, F ścian, # krawędzi zachodzi związek zasadniczy:

V + F = S + 2.

Wielościany tego gatunku nazywamy zwykle wielo -ścianami Eulera (patrz Hessel, Grelle YlII ).

Twierdzenie to było, być może, znane już geometrom starożytnym; znajdujemy je we fragmencie Descartesa, wydanym dopiero w r. 1860 (patrz bal tz er, Monatsber. Beri. Akad. 1861), ale ogłosił je i udowodnił dopiero Euler (Nova Comm. Petrop. IV,

. 1752). Inne dowody podali; Legendre (Géométrie), L’Huilier (Ann. de Georg. 1812, III), Cauchy (Journ. de l’Écol. pol. 1813), Steiner (Crelle I), G r u n e r t (Grelle II) i v. S t a u d t (Geom. der Lage). Rozważania nad twierdzeniem Euler a i nad przypadkami, w których ona nie ma miejsca, podali ; P o i n s o t (Journ de l’Écol. pol. cah. N, 1801), L’H u i 1 i e r (1. c.), L e g e n d r e (1. c.), G ergo n n e (Ann. de Gerg. XV), Steiner (tamże XIX) i t. d. Patrz B alt z er, Stereometrie. O uogólnieniu tego twierdzenia dla przestrzeni o większej liczbie wymiarów pisali : 8 t r i n g h a m (Americ. Journ. of Math. III), Bier mann (Wien. Beri. XC, 1884), Ho ppe (Grunert’s Archiv LXVII), Schlegel (Nova Acta der Leop. Deutsch. Akad. XLIV), Eberhard (Math. Ann. XXXVI) (patrz koniec tego paragrafu).

Niechaj będzie elany wielościan i niechaj F, S, V mają te same znaczenia, co wyżej; mamy wtedy nierówności:

6 + £<3_F<2ół;    6+ N<3F<2S;

4+ P<2id<4F —8; 4 + F<2F<4^—8.

Liczba kątów płaskich wielokątów (ścian) wielościan u równa się podwójnej liczbie krawędzi.

Ze ścian wielo ścianu nie mogą mieć wszystkie więcej niż po pięć wierzchołków; z kątów

bryłowych, wielościanu nie mogą mieć wszystkie więcej niż po pięć ścian.

Nie istnieje wielościan o siedmiu krawę

dziach.

Jeżeli przez F₃ oznaczymy liczbę ścian trójkątnych wielościanu, przez F± liczbę jego ścian czworokątnych i t. d.. przez FJ* liczbę jego kątów bryłowych trójściennych, przez F₄ liczbę kątów bryłowych czworościennycli i t d , wtedy zachodzą związki:

2 (F, + F, +    4+ F₃ +2F₄-f-3F₅ + ...

2 ( F₃ + F₄ + ...)= 4 + F₃ + 2F₄-j-3F₅-+... ^3 + F, = S -j- {F₅ -j- F₅) -f- 2 (F₆ -f- F₆) -j- ...

Jeżeli damy wielościan, to w ogóle istnieje inny względem danego dwoisty, t. j. mający tę samą liczbę krawędzi, i tak, że każdej ścianie »/-krawędziowej jednego odpowiadakątbryłowy m-ścienny drugiego. Własności wielościanów poddane są tedy widocznie prawu dwoistości.

Nazywamy wielościanami forem nem i lub w i e-lościanami Platona wielościany, mające ściany foremne i kąty brytowe foremne, wszystkie jednego gatunku.

W przestrzeni zwykłej istnieje tylko pięć gatunków wielościanów foremnych. Są niemi:

1.

I = 1,632994

Czworościan: 4 ściany trójkątne, 4 wierzchołki kątów bryłowych trójściennych, 6 krawędzi. Jeżeli promień kuli, w którą czworościan jest wpisany, przyjmiemy za 1, to długość krawędzi wyniesie Punkty środkowe ścian tworzą inny czworościan, a punkty środkowe krawędzi tworzą ośmiościan.

Sześcian: 6 ścian czworokątnych, 8 wierzchołków kątów bryłowych trójściennych, 12 krawędzi długości l = 1,154700 ... . Punkty środkowe ścian tworzą ośmiościan.

Ośmiościan: 8 ścian trójkątnych, 6 wierzchołków kątów bryłowych czworościennych, 12 krawędzi długości 1= 1,414214 .. . Punkty środkowe ścian tworzą sześcian.

3.

4.

Dwunastościan: 12 ścian pięciokątnych, 20 wierzchołków kątów bryłowych trójściennych, 30 krawędzi długości Z = 0,713644.. . . Punkty środkowe ścian tworzą dwudziestościan, punkty środkowe krawędzi tworzą 5 ośmiościanów.

5.

Dwudziestościan: 20 ścian trójkątnych, 12 wierzchołków kątów bryłowych pięciościennych, 30 krawędzi długości l— 1,051462 . . . Punkty środkowe ścian tworzą dwunastościan, punkty środkowe krawędzi 5 ośmiościanów.

Nazywamy wielości a nam i półforemnemi lub wielością n am i Archimedesa wielościany, których wszystkie kąty bryłowe są równe albo podobne, ściany zaś są zawsze wielokątami foremnemi.lecz w ogóle róźnemi; oraz wielościany z niemi wzajemne .

Jeżeli kąty bryłowe są wszystkie m-s cienił e, wtedy mamy:

F— 2 ~-2 ’

a więc przypadkami możliwe mi są następujące:

2S = 3V = 6 (F—2); S = 2V = 2 (F—2) ; ör=^(F-2).

Tylko w dwóch przypadkach m=3, 4 możliwe są wielościany o 2n wierzchołkach (w jakiekolwiek), przyczem każdy kąt bryłowy tworzą albo dwie ściany trójkątne i jedna ściana M-kątna, albo trzy ściany trójkątne i jedna u-kątna. Prócz tych przypadków wielościanów nieoznaczonych istnieje tylko

13 wielościanów Archimedesa, a mianowicie: 7 dla >u~3, 4 dla m—4, 2 dla m = 5.

Obliczenie to podali Pap pus (Collect, matli. V) i Kepler (Harm, mundi II, str. 28). Szczegóły w Stereometryi Baltzera.

W przestrzeni cztero wymiarowej jest sześć wielościanów foremnych, mianowicie:

1.    a) ograniczony 5 czworościanami, z których każde 4

mają wierzchołek wspólny; ma 5 wierzchołków, 10 krawędzi i 10 ścian. Ten wielościan jest wzajemny z samym sobą.

2.    ²) ograniczony 8 sześcianami, z których każde 4 mają

wspólny wierzchołek; ma 16 wierzchołków, 32 krawędzie, 24 ściany.

3 ³) ograniczony 16 czworościanami, mający 8 wierzchołków, 24 krawędzie, 32 ściany; ten wielościan jest wzajemny z poprzednim w sposób analogiczny do tego, w jaki ośmiościan jest wzajemny z sześcianem.

4.    ⁴) wielościan o 24 ośmiościanach, 24 wierzchołkach, 96

krawędziach, 96 ścianach trójkątnych; jest wzajemny ze samym sobą.

5.    ⁵) wielościan o 600 czworościanach, 120 wierzchołkach,

720 krawędziach, 1200 ścianach trójkątnych.

6.    ⁶) wielościan o 120 dwunastośoianach, 600 wierzchoł

kach, 1200 krawędziach, 720 ścianach pięciokątnych; jest wzajemny z poprzedzającym.

9 Pentraetroid według- S t r i n g h a m a, F ü n f z e 11 według S c h 1 e g e 1 a.

³) Oktaedroid ( S t r i n g h a m), Achtzell (Schlegel).

³) Heksadekaedroid(Stringha m), Sechszehnzell (Schlegel).

Ik s t e t r a e (S c h 1 e ko i h d r

⁴)

⁵)

î—!

D.

i d (Str i ngham), Sechshun-

p-

CD

CD

CD

ce

09

a> ^ cc

es

Er

CD

ac

CD

CD

co

CO

<-!

0*3

tr

ci

p-

CD

<rt-

W przestrzeni, mającej więcej niż cztery wymiary, istnieją tylko trzy wielościany foremne, bodące uogólnieniem trzech pierwszych w przestrzeni cztero wymiarowej; te zaś ostanie odpowiadają czworościanowi, sześcianowi i ośmiościanowi przestrzeni trójwymiarowej.

W przestrzeni w - w y m i a r o w ej liczba wierzchołków tych wielościanów równa się odpowiednio: n-j-1, 2”, 2 n; wielością n, mający wierzchołków M-j-1, jest wzajemny z samym sobą, drugi zaś jest wzajemny z trzecim.

Jeżeli promień kuli u -wymiarowej, w którą wpisane są te wielościany, przyjmiemy za 1, wtedy długości ich krawędzi będą odpowiednio:

/ 2 (n -j- 1)

Wzór Eulera, uogólniony dla wielościanu w przestrzeni n-wymiarowej, jest postaci:

1 - N₀ 4- N, - N₂ -4-.....-f (-l)”“¹ = o,

to N₀, Nx, N₂, . . . oznaczają odpowiednio liczbę wierzchołków, krawędzi, ścian, przestrzeni trójwymiarowych...., należących do danego wielościanu (Stringliam).

O wielościanach foremnych w przestrzeni o 4 i więcej wymiarach patrz S t r i n g h a m (1. c.) Scheffle r (Die polydim. Grössen, Brunświk 1889 >, Schlegel (1. c. oraz Bull. Soc. math. X, str. 172, Rend. Palermo 1891). O wielościanach w ogóle pisali nadto: Möbius (Werke II), Kir km an (Soc. Manchester 1854    1862),

Jordan (Crelle LXVI, LXVIH, LXX), Eberhard (tamże CVI).

W kolekcyi L. Brilla znajdują się modele rzutów wielościanów foremnych cztero wymiarowych na przestrzeń trójwymiarową.

Spójność powierzchni Riemanna. Powierzchnie Riemanna foremne i symetryczne.

Mówiliśmy już w Rozdz XV, § 2 tomu I-go, z okoliczuości funkcyj algebraicznych, o t. zw. powierzchniach Riemanna, specyalnie zaś o powierzchniach dwupowlokowych (lub dwuliściowych), i wspomnieliśmy już o tern, że za pomocą cięć można te powierzchnie przekształcać na jednospójne.

Podobnie dia powierzchni jakiegokolwiek rodzaju występuje przedewszystkiem zagadnienie o sprowadzaniu powierzchni do pewnego typu określonego, a następnie zagadnienie o wykonywaniu takich cięć, które powierzchnię zamieniają na jedno-spójną.

Nie będziemy tu wchodzili w szczegóły rozwiązania tych zagadnień; powiemy tylko, że zajmowali się niemi Lüroth (Math. Ann.

IV), C 1 e b s c h (tamże VI), którego rezultaty zastosował Kasten (Rozprawa, Getynga 1876) do przypadku powierzchni trójliściowej, Graf (Rozprawa, Bern 1878) dla przypadku powierzchni sześcio-liściowej o 20 punktach rozgałęzienia. Pokrewnemi są prace Lüroth a (Erlang. Ber. 1888, Abh. d. Bayr. Akad. 1885 i 1887).

Każdy punkt rozgałęzienia, w którym powłok (liści) powierzchni jednoczy się w jednym cyklu, jest równoważny z mx—1 pojedyńczemi punktami rozgałęzienia, t. j. punktami, w którym spajają się tylko dwa liście (patrz Repert. t. I, str. 834).

Jeżeli powierzchnia n-liniowa jest rodzaju^, zaś t oznacza całkowitą liczbę pojedynczych punktów rozgałęzienia, równoważnych ze wszystkiemi punktami rozgałęzienia powierzchni,będzie:

t = 2*n -j- 2p — 2.

Rodzaj powierzchni Riemanna wyraża się wzorem;

gdzie suma Jl rozciąga się na wszystkie licz-b y m,, oznaczające, ile liści powierzchni spaja się cyklicznie w każdym punkcie rozgałęzienia, lada

j liczby^? naj mniej s z największa liczba ca

wartością i o w i t a, za

CD -4-->

licz

P+3

warta w

Ho rwitz (Math. Ann. XXXIX) rozwiązał następujące zagadnienie; Danycli jest Zwartości zmiennej w których powierzchnia Riemanna n-lisciowa i rodzaju p posiada punkty rozgałęzienia; ile może być takich powierzchni? Znajdujemy że gdy n-—2, liczba powierzeń ni Riemanna jest 1

n    -1/,

* «=3

„    n=4:

= 0, a liczba powłok jest a powierzchni Eiemanna

Jeżeli rodzaj n(^>2), wtedy licz wynosi:

(2łt~²>!    —4

(n— 1)!    '

Tem zagadnieniem w przypadku n—3 zajmował się i K a-sten w wyżej wspomnianej rozprawie.

Powierzchnię Eiemanna rodzaju p można w ogólności oo£ sposobami odwzorować podobnie na samej sobie; £> = 0 gdy p — 0; q = 1 gdy p — 1; £ = 0 gdy pZ> 1, (Schwarz, Crelle LXXXVII; Hettner, G-ótt. Nachr. 1880, str. 386; N o e t h e r. Math. Ann. XX, XXI, Klein, Ueber Riemann’s Theorie der alg. Fun. , Lipsk 1882, str. 66—67).

Wszystkie powierzchnie rodzaju zero dają się przekształcać za pomocą odwzorowania podobnego jedna na drugą; nie mają one żadnego niezmiennika bezwzględnego

określających o i z -i pozostające niezmiennem caniu powierzchni.

lub m duł u, t j. ni zależ e od stałye c h n i ę Eiemann przyprzekszta

istnieje żadne w

CD CD

W p r z y p a d u p — 1 i s t n e j e jeden moduł; dlapj>ljestic 3 p — 3; wog lności liczba modułów wynosi 3p — 3 + ß, gdzie ß ma znaczenie, wyżej wskazane (Riemann, AbeFsche Func. § 12).

cTD

Każda powierzchnia Riemanna o n liściach i t punktach rozgał zienia daje się za pomocą przekształcenia, ci głego przekształcić na każdą inną o tej samej liczbie liści i punktów rozgałęzienia (Patrz Lüroth, Math. Ann. IV; Clebsch tom VI; Klein, 1. c. str. 66).

Posługując się własnością powierzchni najmniejszych, mianowicie tern, że ich odwzorowanie kuliste jest podobnem (patrz Rozdz.XVI), otrzymamy, że powierzchnia Riemanna, rozciągnięta na kuli (zamiast na płaszczyźnie) wie 1 o-liściowej, daje się odwzorować sposobem podobnym na powierzchni najmniejszej (Weier-strass).

sca

Mamy tym sposobem powierzchnię o zwykłym wyglądzie, mogącą służyć, podobnie jak powierzchnia Riemanna, do badania funkcyj analitycznych. Przy pomocy zasad Analizy położenia (Analysis situs) można zawsze, jak wiemy, otrzymać powierzchnię o wyglądzie zwykłym (t. j. bez rozgałęzień*, będącą odkształceniem jakiejkolwiek powierzchni Riemanna rodzaju p (np. kulę p powłokową, patrz „Repertoryumf t, 1 Rozdz. XV, § 2); stąd ważność powyższego twierdzenia polega na fakcie, że powierzchnia najmniejsza i powierzchnia Riemanna dają się odwzorować na sobie przez podobieństwo, co nie ma miej-dla kuli p‘Powł°kowej w stosunku do powierzchni Rie-

manna.

Powierzchnia Riemanna rodzaju p > 1 nie może mieć oo przekształceń dwujednoznacznych na samą siebie; a może mieć tylko skończoną liczbę takich przekształceń.

41

Pascal. Rep. II.

Niechaj f (w, z) — 0 będzie równaniem, odpowiadającem powierzchni Kiemanna w płaszczyźnie z; połóżmy:

wi = (wi z), xi = Ą (?L z) »

gdzie Jćx, R₂ są funkcyami wymiernemi takiemi, że w i z wyrażone być mogą jako funkcye wymierne ilości iux i zx.

Dajmy, że to przekształcenie, które oznaczmy przez S, jest takie, że przez nie powierzchnia Eiemanna przekształca się na samą siebie.

Liczba przekształceń d w n w y miernych lub dwujednoznacznych powierzchni Eiemanna na samą siebie nie może być większa niż 84(p — 1) d 1 a ó> 1 (Hurwitz, Math. Ann. XLI, str. 424).

Przekształcenie dwu wy mierne powierzchni Eiemanna na samą siebie jest zawsze pe-ryodyczne; to znaczy, że j eżeli wyjdziemy z punktu P i zastosujemy m- razy to przekształć -nie, to musimy powrocie do punktu P. Na -większa wartość liczby m jest 10 (p—1).

Każda powierzchnia Eiemanna, posiada-przekształ eni e na samą siebie określona przez r

j ą c a

d z i e m, może typu (p (wm, z) = 0, a samo przekształcenie za pomocą wzorów zredukowanych:

2 i

Wx = (i m W, Zx—Z.

Twierdzenie to ma także miejsce dla p = 0 i dla p=l. Twierdzenia powyższe podał Hurwitz (Math. Ann. XXXII).

Oprócz przekształceń S można wyobrazić sobie inne, określone wzorami:

ivx = Rx ( w, z ),

zi =

gdzie w, z oznaczają wartości sprzężone z wartościami w, z. Takie przekształcenie oznaczać będziemy przez i możemy przyjąć, że do powierzchni Kiemanna należą także przekształcenia

Wszystkie przekształcenia /Ślub należące do powierzchni Riemanna, tworzą oczywiście grupę.

Powierzchnia Riemanna, do której należy przekształcenie o peryodzie 2 (t. j. takie, że J£²=l), nazywa się symetryczną.

Jeżeli związek f(w₁z) = 0 ma spółczynniki rzeczywiste, jest jasnem, że powierzchni Riemanna odpowiada podstawienie £ typu

wx = «’,    = z,

że więc powierzchnia Riemanna jest symetryczną. Ale i odwrotnie: jeżeli powierzchnia jest symetryczną, wtedy pomiędzy nieskończenie wieloma postaciami odpowiadającego mu równania jest zawsze jedna, której spółczynniki są rzeczywiste.

Na powierzchniach symetrycznych istnieją linie, pozostające niezmiennemi przy przekształceniu linij (symetrya); liczba tych linij nie może być większa od liczby p-f-1.

Powierzchnie Riemanna symetryczne badali: Klein (Rie-mann’s Theorie etc. Lipsk 1891) i Weich hold (Zeitschr. f. Math. XXVIII); temu przedmiotowi poświęcona jest znaczna część drugiego tomu litografowanych wykładów Kleina; Ueber Riemanńsche Flächen, Getynga 1892.

Powierzchnia Riemanna o W-po włokach, jednakowo rozgałęzionych wten sposób, że istnieje Aprzekształceń, przez które jedna powłoka może przekształcać się na którąkolwiek inną, nazywa się powierzchnią Riemanna regularnie rozgałęzioną lub wprost regularną (foremną).

Powierzchnia Riemanna, odpowiadająca równaniu dwumiennemu, jest regularną.

W powierzchni takiej punkty rozgałęzienia są rozmieszczone w sposób następujący: jeżeli z—z₀ jest wartością zmiennej 2, dla której mamy rozgałęzienie, wtedy N powłok rozdzieli

N ,

się w punkcie 2 = z₀ na -- cyklów, każdy o rt powłokach. Ro-

¥i

dzaj powierzchni wyraża się wzorem :

— N + 1 -f -g- Z

Ti— 1

rź

gdzie Ti jest liczba powłok, złączonych cyklicznie w każdym punkcie rozgałęzienia, suma zaś £ rozciąga się na wszystkie t. zw. miejsca rozgałęzienia, t. j. na wszystkie punkty rozgałęzienia, zawarte w jednej tylko powłoce.

Niechaj będzie równanie f(w,z)= 0; uważajmy je jako algebraiczne względem jednej tylko zmiennej to, zmienną zaś z uważajmy jako parametr i utwórzmy rozwiązującą Galoisa tego równania. Będzie to równanie pewnego stopnia N (odpowiadającego liczbie podstawień grupy, należącej do danego równania algebraicznego, patrz Repert t. I, str. 115); powierzchnia Riemanna X - 1 i ś c i o w a, odpowiadająca rozwiązującej G a 1 o i s’a o 2 jednym parametrze, jest regularnie rozgałęzioną.

Powierzchnie Riemanna regularnie rozgałęzione badał po raz pierwszy K lein (Math. Ann. XIV), a mianowicie specyalnie przypadek p=S, X=168, odpowiadający rozwiązującej Galois’a równania modułowego przekształcenia 7 rzędu funkcyj eliptycznych. Potem przedmiotem tym zajmował się Dy ck (Rozpr., Monachium 1879, Math. Ann.XVII. XX), który rozwiązał przypadki p —1,2,3; w innej zaś rozprawie (w tomie XVII Math. Ann. str. 510) rozważał także przypadek p = 3, N = 96. Co do wartości N, odpowiadających wartościom p=- 0,1,2, patrz A ppell-Goursat (Fonct. alg. 1895, str. 241 i nast., gdzie można zna-lesć i inne wskazówki).

Dla p — 0 mamy powierzchnie Riemanna o 12, 24, 60 liniach; odpowiednie grupy są grupami wielościanowemi (patrz Repert. t. I, str.316 i nast). Równania algebraiczne, odpowiadające tym przypadkom, są następujące:

N= 12,

(w⁴ — 2V—3 ?r²-|-l)³

(„,4 ₊ 2/AZ3 y,;2_j_l)3    ’

N — 24,

N--= 60,

(ws -j- 14 n;⁴ -f- l)³

108 w⁴ (w⁴ -f- l)⁴

(— ?c²° -f- 228to¹⁵ — 494?.G° — 228wh — l)3 1728w'° (w¹⁰ -J- 11 ivh— 1 )⁵

Wielomiany, zawarte w pierwszym z tych wzorów, są to wielomiany czworościanu (patrz Repert. I, str. 318); licznik i mianownik wzoru drugiego odpowiadają wielomianom sześcianu i ośmiościanu; mianownik trzeciego jest piątą potęgą wielomianu dwudziestościanu, licznik zaś jest jego formą Hessego (patrz Klein, Ikosaeder i t. d., Lipsk 1884).

Ważnem jest następujące twierdzenie Dycka (Math. Ann. XX, str. 30), uogólnione przez Hurwitza (tamże XLL str. 421).

Jeżeli dana kształceń, tom chnię Riemanna A-liściową regularnie rozgałęzioną, której grupajestholoedrycznie izomorficzna z grupą d a n ą.

Przy pomocy tego twierdzenia, mając daną powierzchnię Riemanna z grupą przekształceń na samą siebie, można zbudować zawsze powierzchnię Riemanna regularnie rozgałęzioną o tej samej grupie. Nadto: Mając grupę przekształceń, można zawsze rozmaitemi sposobami zbudować powierzchnię Riemanna, mającą grupę holoedrycznie izomorficzną z grupą daną (Hurwitz).

N- CD

a s k o ń z na awszezna e

fcJO

O -w

powierz-

cGO

io

Powierzchnie Riemanna w znaczeniu rzutowem według Kleina.

Ze względu na pokrewieństwo przedmiotu powiemy tu kilka słów o powierzchniach Riemanna w znaczeniu rzutowem, rozważanych przez Kleina.

Niechaj będzie krzywa klasy iu. Z punktu rzeczywistego P płaszczyzny można do tej krzywej poprowadzić m stycznych, z których niektóre mogą być nrojonemi; każdemu punktowi urojonemu odpowiadać będzie punkt styczności urojony, t. j. punkt urojony krzywej.

Wyobraźmy sobie punkt P, liczony tyle razy w tyluż leżących na sobie liściach, ile jest stycznych urojonych, poprowadzonych z punktu P do krzywej lub ile jest punktów (styczności stycznych, poprowadzonych z punktu P) urojonych krzywej. Ogół punktów P, tak rozmieszczonych, będzie utworem geometrycznym rzeczywistym, którego punkty jeden po jednym odpowiadać będą punktom urojonym krzywej. Co się tyczy punktów rzeczywistych krzywej, to otrzymamy je, skoro punkt P przypadnie na rzeczywistej gałęzi krzywej- albowiem wtedy dwie styczne sprzężone jednoczą się i dają styczną rzeczywistą z punktem styczności rzeczywistym. Z tego powodu części płaszczyzn, utworzone z punktówP, muszą się kończyć na obwodzie rzeczywistym krzywej i tu spajać się ze sobą po dwie.

na

Niechaj będzie np. elipsa. Jedynemi punktami płaszczyzny, z których można poprowadzić styczne urojone, są punkty wewnątrz krzywej. Wychodzą z nich po dwie styczne urojone sprzężone; trzeba będzie tedy wyobrazić sobie część płaszczyzny, zawartą wewnątrz elipsy zdwojoną, t.j.jako dwa liście równe, spojone wzdłuż samej elipsy. Otrzymujemy tym sposobem powierzchnię, która, jak widzimy, daje się bezpośrednio przekształcić kulę (powierzchnię rodzaju zero).

zasa-

Nie tak łatwo zbudować powierzchnię, gdy krzywa dnicza jest klasy wyższej. Zagadnienie to sprowadza się do szukania sposobu spajania różnych liści; przy czerń pewne części płaszczyzny uważać będzie trzeba za podwójne, inne za poczwórne i t. p.

O tym przedmiocie pisał Klein (Math. Ann. VII, X); Harnack Math. Ann. IX) zbudował powierzchnie Riemanna, odpowiadające krzywym klasy 3-ej; Haskell (Rozpr. Baltimore 1890) zajmował się specyalną krzywą klasy 4-ej, której równaniem w spółrzędnych prostej jest Uj²u² -)- u^u₃ -j-    •= 0 .

ROZDZIAŁ XIX.

geometria rzutowa nadprzestrzeni.

t-H

Rzeczy ogo/ne. Rozmaitości liniowe. Związki rzutowe i metryczne. Odpowiedniości homograficzne.

Jeżeli dane są zmienne xx, . . . xn, to każdy układ wartości szczególnych, (rzeczywistych albo zespolonych) tych zmiennych jest elementem (punktem) w przestrzeni o n wymiarach, którą oznaczać będziemy przez S».

Zamiast n zmiennych można wziąć ich w-j-1 i rozważać stosunki n zmiennych do ostatniej; punkt przestrzeni Sn będzie wyznaczony przez wartości tych stosunków, a odpowiadające sobie wartości n-(-1 zmiennych można nazwać spółrzędnemi jednorodnemi punktu. Spółrzędne te mogą przybierać wszelkie wartości, tylko nie mogą być wszystkie zerami.

Równanie liniowe jednorodne pomiędzy spółrzędnemi jeónorodnemi określa rozmaitość liniową, zawartą w przestrzeni S„. i nazwaną nadpłaszczyzną. Przestrzeń Sfl zawiera con nadpłaszczyzn i także oon punktów.

Nadpłaszczyzna i punkt mogą być uważane jako elementy wzajemne (dwoiste) przestrzenią, którą możemy uważać jako złożoną z punktów, albo też dwoiście, jako złożoną z nadpłaszczyzn.

Za społrzędne jednorodne nadpłaszczyzny można przyjąć n-j- i spółczynników jej równania.

Ogół punktów, których społrzędne czynią zadość dwom równaniom liniowym, tworzy rozmaitość o n—2 wymiarach, którą nazywamy dwupłaszczyzną; ogół punktów, których społrzędne czynią zadość k równaniom liniowym, nazywamy k - płaszczyzną. Mamy więc w ogóle wielopłasz-

•c z y z n y .

Łatwo widzieć, że w-płaszczyzna jest punktem, (n—1) - płaszczyzna jest prostą, (n—2) - płaszczyzna jest płaszczyzną zwykłą, (n -3) - płaszczyzn a jest przestrzenią zwykłą.

Jeżeli jako elementy przestrzeni Sn przyjmiemy nadpłasz-■czyzny, zamiast punktów, to, przy pomocy znanego rozważania, zamiast wielopłaszczyzn będziemy mieli odpowiednio wielo-punkty.

Wielopłaszczyzny i wielopunkty tworzą dwa szeregi zasadnicze, odpowiadające sobie dwoiście w przestrzeni Sn, a mianowicie: (n—l)-płaszczyzna (złożona z punktów), (n—1) - punkt (złożony z nadpłaszczyzn) są formami gatunku 1-go (jednego wymiaru); (n—2) - płaszczyzna i (n—2) - punkt są formami gatunku 2-goit, d. ; k - płaszczyzna jest wyznaczona w ogóle przez n-lt-j-1 punktów; jest ona przestrzenią liniową wymiaru n—k, t. j S„ t ą w Sn.

■k >

z a w a r-

Dwie przestrzenie liniowe Sn warte w &, nie maj ą w ogóle punktów wspólnych, jeżeli k~\-k'S>n\ mają zaś co najmniej wspólną przestrzeń Sr. jeżeli k -\- k! — n — r ; mo-gą wszakże nawet, gdy k -J- k' h> w, m i e ć p u n k t y wspólne.

-ki

Sn-k’ •

Jeżeli Sr i Sr' nie maj

nych i należą do przestrzeni    wt

strzeń liniowa najmniejszego wymiaru, należąca do SM i zawierająca wsobie obie przestrzenie dane, jest wymiaru r -j- r' + 1 .

eżeli5r i Sr< mają przestrzeń wspólną Sm, przestrzeń ńaj mniejszego wymiaru,

Oh

CD O.

W S p Ó 1"

prze-

Ph

zawierająca w sobie obie, jest wymiaru t—r+r'—m, czyli jest wtedy: t -j- m — r -(- r'.

Inne twierdzenia, dotyczące przestrzeni liniowych, zawartych podali: Bertini (Rend. Ist. Lomb. 1866), S e g r e (Rend. Palermo II, 1888), Castelnuovo (Rend. Lincei 1889).

Uogólniwszy zwykłe wzory i rozważania geometryi analitycznej , można utworzyć Geometry ę analityczną przestrzeni wielowymiarowych, wprowadzając pojęcia równoległości, prostopadłości, odległości, kątów i t. p.

Rozważania takie wprowadzili Jordan (Bull, de la Sc. matli. III, 103) i d'Ovidio (Mem. Lincei 1877, Math. Ann. XII); ten ostatni wyprowadził wzory sposobem bardziej ogólnym, przyjmując za absolut przestrzeni (pj.trz Rozdz. XXI) n a d k w a d r y k o.

Dwie nadpłaszczyzny, których równania są:

Cl\    —}- . . . CLnXn ~j⁻ U 0 ; b-^X-y    —j—    "j⁻ ß =⁼ 0,

nazywają się równoległemi, gdy :

T-H r-ł «

Cln

bfi

Niechaj będą dwie rozmaitości Sn—h- i Sn—k' wymiarów n — k i n—kr, dane odpowiednio przez równania:

Sn—k

Ak — ak i x₁    -j- a im xn -j- on- — 0;

B\ — kllx₁ +    b\„xH -j- ß₁ — 0 ;

Sn—k'

Bk' bk' 1    ~v • • • bk'nXn -j~ ßk — 0.

Pomiędzy nadpłaszczyznami, zawartemi w Sn-ki niechaj będzie g niezależnych od siebie (t. j. takich, że nie zachodzi żaden związek liniowy tożsamościowy o spółczynnikach stałych pomiędzy stronami pierwszemi ich równań), i równoległych do ty luz nadpłaszczyzn. zawartych w Sn~k' ; mówimy wtedy, że dwie roz-rozmaitości liniowe SH—k i Sn-r posiadają równoległość rzędu g.

Jeżeli kk' i g = k, powiadamy, że pierwsza rozmaitość jest równoległa do drugiej.

Dwie rozmaitości mają równoległość rzędu g₇ gdy równania:

^dhi “h • • •    ^!ca'k\ — Mi    -f-

⁽hn "j~ • • • *f" hfcUkn = [A\b\n • • • ~j“ fik'bk'n

sprowadzają się do k-\- k' — q równań różnych, t. j. gdy charakterystyka macierzy tych równań jest k -j- k' — g .

Odległość dwóch punktów (te), (ÿ) przedstawia wy

rażenie:

. . -h {Xn—yn)².

Odległością punktu od rozmaitości linio-w e j jest odległość jego od n a j b 1 i ż s z e g o punktu rozmaitości- ten ostatni punkt nazywa się rzutem ortogonalnym danego.

Odległością dwóch rozmaitości linio wy c h jest odległość dwóch punktów najbliższych siebie: jednego wjed-nej, drugiego w drugiej rozmaitości .

i S'n-k' równoległych do rozmaitości

n—k

Rozmaitość nazywa się prostopadłą do rozmaitości Sn—k: jeżeli, po poprowadzeniu przez pewien punkt przestrzeni dwóch rozmaitości S' danych, każdy punkt rozmaitości S'n-k' rzuca się na rozmaitość SrH-k w punkcie, należącym do wspólnego przecięcia obu rozmaitości S'.

Jeżeli rozmaitość Sn maitość SH—k jest prostopadła do Su-k'-

-k'

jest prostopadła do Su~k, to i roz-

xx—a.

ax

Niechaj będą dwie proste, dane przez równania:

xx—bx

Xn    I)g

xn b „

a-2

0>n

ß‘2

ßn

wyrażenie:

cos² 6 =

JZdlrßr

Zar Vßr

pozostaje niezmiennem co do wartości (jest niezmiennikiem) dla każde o przekształcenia liniow go ortogonalne o spółrzędnych, iego przekształcenia liniowego, onanego na zmiennych#, że wyznacznik przekształcenia jest wyznacznikiem ortogonalnym (patrz „Repertoryum“, t. I, str. 58).

Kąt 9 nazywa się kątem dwóch prostych.

Jeżeli dane są dwie jakiekolwiek rozmaitości, to za pomocą poprzedzającego wzoru można obliczyć kąt pomiędzy jakąkolwiek prostą w jednej z nich a jakąkolwiek prostą w drugiej; najmniejszy z tych kątów, w ten sposób utworzonych, nazywa się kątem dwóch rozmaitości.

Dwie rozmaitości są prostopadłe, gdy ich kąt jest kątem prostym; w tym przypadku każda prosta jednej sto padł a do ka drugie j.

t. . dla

Pt¹ ©

JQ CfQ

O rr'5

zmaitości jest zawsze pro-ej prostej w rozmaitości

Przeciąć przestrzeń Sr przestrzenią «$> znaczy zbudować przestrzeń 8m — Sr+,r-n ■ wspólną obydwóm; wykonać rzut (rzucić) przestrzeń Sr z przestrzeni Sr znaczy zbudować przestrzeń Sr+r'-i, obejmującą obiedwie.

Je eli w dwóch przestrzeniach S„,    > dane

s ą g r u y -j-2 punktów, to można zawsz za pomocą r z u ów i przecięć przejść od jednej grupy do drugiej,

Dwie przestrzenie n-wymiarowe Sn i S'n, nazywają się t o w e m i, homograficznemi lub kolinearnem i

N.

rzu-

jeżeli pomiędzy zawartemi w jednej z nich przestrzeniami linio-wemi a przestrzeniami jednoimiennemi, zawartemi w drugiej, zachodzi odpowiedniość dwujednoznaczna ciągła taka, iż dwóm przestrzeniom, należącym do jednej, odpowiadają dwie przestrzenie, należące do drugiej, i nadto prostej punktowej w jednej z nich odpowiada punktowa rzutowa w drugiej.

CD

Dwie przestrzenie S,t i S'» , homo graficzne i nałożone, nie mogą mieć więcej niż n-\- 2 punktów zjednoczo y c h eżeli nie zlewają się, o ile w -f-1 j a k i c h o 1 w i k z tych punktów nie znajdują się na tej samej nadpłaszczyznie.

W sposób podobny określa się dwoistość lub wza-j emność między dwiema przestrzeniami.

GO

-i •

Homografię między dwiema przestrzeniami przedstawiamy, jak zwykle, analitycznie, ustanawiając związki liniowe pomiędzy spółrzędnemi odpowiadających sobie punktów w dwóch przestrzeniach; homografia jest ogólna, gdy wyznacznik spół-czynników tych związków liniowych jest różny od zera; lecz można wyobrazić sobie, że wj'znacznik ten jest zerem i posiada charakterystykę n — h-j-1 (patrz „Depertoryum“ t. I, str. 48); wtedy otrzymujemy homografię osobliwe gatun-k u h. W tym przypadku w j e d n e j z d w ó c h przestrzeni i t ieje przestrzeń liniowa S'h~ i w y -miar u h — rzestrzeń osobliwa), której każdemu punktowi odpowiadają wszystkie punkty innej przestrzeni: i wzaj emnie: w przestrz eni drugiej istnieje przestrzeń 8n-h wymiaru n — li (przestrzeń osobliwa), której punktom odpowiada j w pierwszej przestrzeni punkty przestrzeni S'/,, obejmującej przestrzeń osobliwą S'/,

Teoryę liomografij dla nadprzestrzeni rozpoczął Veronese w pracy niżej wymienionej; potem prowadzili ją: S e g r e (Mem. Lincei 1884 —1886, Mem. Torino 1885), Bertini (Rend. Ist. Lomb. 1886—7, Acc. di Torino 1887), Predella (Ann. di mat. XVII, Acc. Torino 1890—92) i t. d.

Cayley (Cambr. mat. J, IV 1845, Crelle 1846, Papers, I str. 55, 317) i Cauchy (Comptes rend. 1847) pierwsi stosowali wyra-

żenią geometryi »/-wymiarowej; pierwszą zaś definicyę rozmaitości n-wymiarowych podał Grassmann w swojej „Ausdelinungslelire (1844).

Pierwszy głęboki rozbiór zasad Geometryi w przestrzeni jakiejkolwiek zawdzięczamy Riemannowi (Ueber der Hypothesen, die der Geometrie zu Grunde liegen 1854, ogłosz. w r. 1867 ; przekład polski Dicksteina i Gosiewskiego, Paryż 1877); Riemannowi zawdzięczamy też pojęcie krzywizny przestrzeni (patrz Rozdz. XX).

Prace i badania, odnoszące się do geometryi n-wymiarowej , możemy podzielić na trzy kategorye. Do uategoryi pierwszej można zaliczyć wszystkie prace, dotyczące zasad podstawowych geometryi w znaczeniu bezwzględnem, t j. niezależnie od pewnych hypotez zasadniczych o naturze przestrzeni, np od hypotezy liniowości. Pomiędzy temi poszukiwaniami, z któremi łączą się następnie prace o podstawach geometryi nieeuklidesowej Łobaczews kiego i Bolyai’a (patrz Rozdz. XXI), głównemi są prace: Ri emanu a (patrz wyżej), Cayley’a (Phil. Trans. 1859, Papers II) Beltra-mi’ego (patrz § 6), Helmholtza (Ueber die Thatsachen, die der Geometrie zu Grunde liegen, Gott. Nachr. 1868), Kleina (Math. Ann. IV, VI), De Tilly’ego (Essai sur les principes fondam. de la Géom. 1879), G. Cant ora (Grelle LXXXIV, lub Acta math. II), Li ego (Leipz. Ber. 1886, 1890. i t d. Wykład systematyczny tego przedmiotu zawierają prace: Pasc ha (Neuere Geometrie, Lipsk 1882), Veronese’go (Fondamenti di Geometria etc., Padwa 1891, przekład niemiecki 1894), Kil linga (Einführung in die Grundlagen der Geometrie, Paderborn 1893). W końcu dzieła Ver on es ego znajdują się liczne wskazówki historyczno-krytyczne. Druga kategorya badań dotyczy rozciągnięcia na przestrzenie wyższe pojęć i wzorów zwykłej geometryi nieskończonostkowej (patrz Rozdz. XX). Trzecia wreszcie dotyczy rozciągnięcia na rozmaitości wyższe pojęć i zagadnień geometryi rzutowej i metrycznej płaszczyzny i przestrzeni. Cytowane już prace Jordan a i d’Ovidia należą do tej kategoryi, do której zalicza się też podstawowa praca Ver on es ego w Math. Ann. t. XIX. Od tej właśnie rozprawy rozpoczyna się praca nad geometryą rzutową nadprzestrzeni, t. j. teorya homografij ogólnych, teorya rozmaitości rzędów wyższych zawartych w Sn, a specyalnie teorya naclkwadryk, krzywych, powierzchni prostoliniowych i t. d., zawartych w Sn ■ Jest rzeczą naturalną, że starano się także rozciągnąć na przestrzenie wielowymiarowe teoryę odpowiedniośei dwuwymiernych płaszczyzn i przestrzeni zwykłych (patrz Rozdz. VI, § 5, Rozdz. IX, § 6). Należą tu prace: Noetliera (Math. Ann. II), Kantora (Rend. Ist. Lomb. 1894), Brilla (Quart. Journ. XXVII, 1895) i (dla przestrzeni cztero-wymiarowej) Del Rezzo (Acc. Napoli 1896 —- 97).

Geometryą wykreślną w przestrzeni czterowymiarowej zajmował się Veronese (Atti Ist. Ven. 1882). Wziąwszy za element przestrzeni czterowymiarowej prostą zamiast punktu, można utworzyć Geometryę prostej; badania o tym przedmiocie ogłosili: Segre ( Rend. Palermo II) i Caste lnuovo (Att. Ist. Ven. 1891).

Należy wreszcie wspomnieć, że kinematyką w przestrzeniach wyższych zajmowali się: Jo r d a n (w pracy wspomnianej)) Clifford (Proc. Lond. math. Soc. 1878), B e 11 r a m i (Buli. coc. math. 1876). Długą listę prac o tym przedmiocie można znaleść w dziele L. o r i i (Teorye geometryczne i t. d. ).

§ 13.

Rozmaitości nieliniowe. Nadpowierzchnie. Przedstawienie monoidalne.

Ogol' tych punktów przestrzeni Sn, których spółrzędne czynią zadość równaniu wymiernemu całkowitemu jednorodnemu rzędu v względem spółrzędnych, nazywa się n a d powierzchnią algebraiczną rzędu v.

m ę.

u v jest wyznaczona

Liczba i' jest liczbą unktó w, w których prosta przecina po wierze Nadpowierzchnia r z ę

przez punktów dowolnych.

Przez punkt P nadpowierzchni można poprowadzić do niej proste, mające w tym punkcie d w a, przecięcia zjednoczone

(styczność dwupunktowa); miejscem wszystkich tych prostych jest nadpłaszczyzna, którą nazywamy nad płaszczyzną styczną do nadpo wierzchni w punkcie P.

Sn

—2

Nazywamy klasą nadpo wierzch ni liczbę jej nad-płaszczyzn stycznych, przechodzących przez rozmaitość ogólną przestrzeni ; klasa nadpowierzchni rzędu v równa się w ogóle v\v— 1)Ä—¹, jeżeli nadpowierzchnia nie ma osobliwości, t. j. kiedy przedstawia się przez równanie ogólne.

hiazywamy punktami osobliwemi rzędu r nadpowierzchni także punkty, żekażda prosta,przez nie przechodząca, spotyka w nich powierzchnię w r punktach zjednoczonych.

K a.ż dy punkt osobliwy rzędu r zniża klasę powierzchni o r{r—jedności.

Nadpowierzchnia rzędu v z p unk tern r-kr ot-nym składa się z oo prostych, przez ten punkt przechodzących (stożek).

Nazywamy rozmaitością algebraiczną wymiaru k i rzędu v przestrzeń k-wymiarową, zawartą w Sn i taką, że każda przestrzeń Sn-k w Sn zawarta przecina uważaną w ogóle w v punktach rożnych.

Rozmaitości dwuwymiarowe nazywają się zwykle powierzchniami, jednowymiarowe krzywe m i.

zawarta w przestrzeni liniowej S,c+1.

Każda krzywa rzędu ^ jest zawsze za w a rta liniowej, której wymiar

Rozmaitość algebraiczna nazywa się normalną dla swej własnej przestrzeni, jeżeli nie może być uważana jako rzut rozmaitości tegoż rzędu, zawartej w przestrzeni wyższej . Każda rozmaitość algebraiczna wymiaru k i rzędu v jest zawsze zawarta w przestrzeni liniowej S/c+r—) ,ale może być za warta i w przestrzeni liniowej niższej. W szczególności: Każda rozmaitość rzędu 2-go k - wy miar owa jest zawsze

wy

w przestrzeni

nosi najwyżej v.

Z tego twierdzenia wyprowadzamy, że krzywa rzędu ^-go jest zawsze na j wyż e j płaską, krzywa rzędu 3-go jest n a j -wyż e j krzywą sześcienną skośną i t. d.

Jeżeli dana jest rozmaitość wymiaru k, o ogół wszystkich prostych stycznych do niej w punkcie (patrz niżej) tworzy rozmaitość liniową t e g o ż wymiaru h Co do przestrzeni liniowych stycznych do rozmaitości patrz Del Pezzo (Acc Napoi 1886).

D wie rozmaitości algebraiczne, jedna rzędu v i wymiaru k, druga rzędu v' i wymiaru W przecinają się według rozmaitości rzędu vv i wymiaru k -\-kr — n. o ile k -j- kr n , i te dwie rozmaitości nie mają rozmaitości wspólnej rzędu równego /c-f/c' — n-j-1 lub wyższego; jeżeli zaś k -f- k' <( n , wtedy te dwie rozmaitości nie mają w ogólności żadnego punktu wspólnego; jeżeli k-j-k‘ = n, to mają w’ punktów wspólnych (Halphen, Bull. Soc. math. II, N o e t h e r, Math. Ann. XI)

Podobnie jak dla krzywych skośnych przestrzeni zwykłej, nasuwa się tu naturalnie zagadnienie o przedstawieniu anali-tycznem w przestrzeni Sn takich rozmaitości, które n i e z a w -s z e są przecięciami z u pełne mi nadpowierzchni. W tym to właśnie celu Halphen (1. c.) uogólnił przedstawienie monoidalne Ca y ley’a dla krzywych skośnych (patrz Pozdz IX, § 2).

rt-

O tH

Monoidajest nadpo wierzchnią rzędu v z punktem (v—1) - krotnym; każda prosta, przechodząca przez punkt wielokrotny, spotyka ją w jednym tylko punkcie (stąd nazwa mo-noidy). Każda rozmaitość wymiaru k może być przedstawiona an alit cznie przez związek jednorodny pomiędzy -f- 2 półrzędnemi (jedna r o d n emi ) x₀, x₁, . . . *+i, r eds awiają ynadpo-wierzchnię stoż ow i przez « — k — monoid.

Inna metoda przedstawienia analitycznego rozmaitości opiera się na następującem twierdzeniu Kroneckera, o któ-rèm mówiliśmy już w teoryi krzywych skośnych w przestrzeni zwykłej (Rozdz. IN, § 2):

Każda rozmaitość wymiaru k w przestrzeni Sn snoże być uważana za przecięcie zupełne najwyżej n-j-1 na dp o wierzchni.

co

Nadkwadryki przestrzeni Su. Wskazówki o nadpowierzćhniach sześciennych przestrzeni .

Nadkwadryka przestrzeni SH jest nadpowierzchnią rzędu 2-go, analitycznie przedstawia się tedy za pomocą, równania stopnia 2-go pomiędzy spółczynnikami.

Przez

n (n -f-. 3)

punktów przestrzeni Sn przechodzi w ogóle jedna tylko nadkwadryka.

Nadkwadryka jest nadpowi erzchni ą klasy 2-ej. Jeżeli równanie nadkwadryki napiszemy w postaci

J£ij a,] %i xj — 0, to wyróżnikiem jej będzie:

A. — | ü ij ] •

Jeżeli ten wyróżnik nie jest zerem, mamy nadkwadrykę ogólną; w razie przeciwnym mamy stożki kwadrykowe lub nadkwadryki specyalne. Są one różnych gatun ków odpowiednio do charakterystyki wyznacznika A ; jeżeli tą charakterystyką jest liczba n — —j—1? mamy wtedy stożek kwadrykowy gatunku h.

Stożek kwadrykowy gatunku h zawiera oo punktów podwojnyc h, twórzących przestrzeń liniową Si,—i ; jeżeli 7z = 1, mamytylkojedenpunktpodwójny.

42

Pascal. Rep. II.

N a d k w a cl ryki nie mają niezmienników bezwzględnych; mają tylko jeden niezmiennik (wyróżnik), są więc wszystkie równoważne z punktu widzenia geometryi rzutowej.

W nadkwadryee ogólnej zawarte są przestrzenie liniowe

—g—albo—^—-, stosownie do tego, czy n jest pa-

wymiaru rzyste albo nieparzyste.

Jeżeli naclkwadryka jest gatunku h. wtedy zamiast liczb

n-f- h — 1

n Ar h —

, stosownie do te-

powyższych mamy

go, czy n-\-h jest parzyste albo nieparzyste.

Jeżeli n jest nieparzyste, istnieją dwa układy różne przestrzeni S,i_i, zawartych w nadkwadryee; pomiędzy przypadkiem

— nieparzystego zachodzi ta zasadnicza

2

7i—l    ,    n

—2— parzystego a —

różnica, że w pierwszym z nich przecinają się dwie rozmaitości *S«_i tylko wtedy, gdy należą do jednego układu, w drugim zaś z

wtedy, gdy należą do układów różnych (S e g r e). Ogólniej:

Tl—1

Jeżeli przestrzeń (nieliniowa) wymiaru —~—,zawarta wnadkwa-

dryce, spotyka w li punktach przestrzenie liniowe Sn-1 układu

2

pierwszego, w kf punktach przestrzenie liniowe układu drugiego; jeżeli innej przestrzeni analogicznej odpowiadają podobnie punkty i k\ : wtedy liczba punktów, w której się te dwie prze-

1% r 1

strzenie przecinają, wynosi: lclcl’-f- li Je', gdy —^— jest niepa-

^_2

rzyste; Zc/^/d-{-&/, gdy—^—jest parzyste.

Twierdzenie to podał Segre; jest ono uogólnieniem twierdzenia C h a s le sa o krzywych algebraicznych, nakreślonych na kwadryce w przestrzeni zwykłej (patrz Eozdz. X, § i).

Nadkwadryki badał najprzód Veronese (rozprawa, w Math. Ann. XIX. § d); potem poświęcił im obszerną pracę Segre (Mein. Torino 1884), który badał także pęki nadkwadryk i nadpowierzchnię

rzędu czwartego, p o ćl s t a w ę pęku, oraz podał ich klasyfikacyę, opartą na teoryi dzielników elementarnych W eierstrassa (patrz Kozdz. XI\r, § 7 i III). Badanie i klasyfikacya tej nadpowierzchni rzędu 4-go są pokrewne z badaniem powierzchni rzędu 4-go o stożkowej podwójnej, która to powierzchnia jest rzutem nadpowierzchni rzędu 4-go w przestrzeni S₃ . Patrz Itozdz. XII, § 6. Pęki nadkwadryk badał też B e r t i n i (Rend. Lincei 1886), pęki nadkwadryk wyspecyalizo-wanych (stożki) Segre (Acc. Torino 1884); dalej przedmiotem tym zajmował się Del P e z z o (Acc. Napoli 1885, 1895), a o równaniu różniczkowem nadkwadryk ])isał B e r z o 1 a r i (Rend. Lincei 1896). O tworzeniu rzutowem nadkwadryk, jako o uogólnieniu tworzenia kwa-dryk (Rozdz. V, § 1), pisali Veronese i Segre (1. c.).

Nadpowierzchnie sześcienne w przestrzeni czterowymiarowej badali w przypadkach ważniejszych (mianowicie: nadpowierzchnie zawierające płaszczyzny; nadpowierzchnie .z 6, 7, 8, 9, 10 punktami podwójnemi) Segre (Mem. di Torino XXXIX, Atti di Torino 1887) i Castelnuovo (Atti. Ist. Yeneto 1881). Niektóremi rozmaitościami trójwymiarowemi, złożonemi z szeregów płaszczyzn, zajmował się S e g r e (Atti Torino XXI, 1886).

§ 4.

Powierzchnie lub rozmaitości dwuwymiarowe przestrzeni S,. Prostoliniowe. Powierzchnia Veronesego w przestrzeni Sb.

zawartemi

Pomiędzy rozmaitościami k - wymiarowemi w przestrzeni Su, badano specj^alniej powierzchnie {k=2), a pomiędzy temi ostatniemi znów powierzchnie, dające się rozwinąć na płaszczyźnie, oraz powierzchnie prostoliniowe.

Badali je: Veronese (1. c.), Segre (Atti Torino 1884,

1886; Rend. Lincei 1887, Math. Ann. XXX, XXXIV), D e 1 P e z z o (Acc. Napoli 1885—86—87; Rend. Palermo I, 1887).

Wiele rozważań o powierzchniach przestrzeni zwykłej można łatwo rozciągnąć na powierzchnie w przestrzeniach wyższych, tak np. odwzorowanie płaskie, rozważania dotyczące

cl z a j u powierzchni i t. p. Co do tych ostatnich rozważań patrz prace, cytowane w rozdz. IX, § 4; w pracy tamże wspomnianej S e g r e g o uogólnione zostały rozważania, dotyczące c harak-teru niezmienniczego, analogicznego z rodzajem.

Powierzchnia, dająca się odwzorować punktami na płaszczyźnie, jest homaloidalną (lub powierzchnią rodzaju zero, wymierną, jednobieżną).

Jeżeli powierzchnię prostoliniową, należącą do przestrzeni Sn, przetniemy przestrzeniami linio wemi Sn-1, otrzymamy naturalnie krzywą jednego i tego samego rodzaju (o rodzaju krzywych patrz § 5); rodzaj ten przyjmujemy jako rodzaj powierzchni prostoliniowej. (Rozdz. IX, § 4.)

Wszystkie powierzchnie rzędu n—1 , należące do przestrzeni S» (a nie do przestrzeni liniowej niższej), są albo prostolinio wemi, albo stożkami, z wyjątkiem (gdy n=5) t. zw. powierzchni rzędu 4-go Yeronesego, o której niżej mówimy (Del P e z z o).

Powierzchnie rzędu n, zawarte w prze-strzeni ^ dla m>9, są wszystkie prostoliniowe m i .

Powierzchnie rzędu v, zawarte w przestrzeni Sn są dla r poniżej pewnych granic wszystkie prostoliniowemi. Granice te obliczył Del Pezzo (Acc. Napoli 5 lutego 1887), lubo sposobem niebar-dzo prostym.

Powierzchnia prostoliniowa rzędu n —1 , należąca do powierzchni Slt, jest zawsze wymierna.

Nazywamy kierownicą powierzchni prostoliniowej krzywą, którą spotykają wszystkie tworzące.

Każda prostoliniowa rzędu n—1 w przestrzeni Sn ma j e -dn ę tylko kierownicę rzędu najniższego, wyjąwszy przypadek,

^2,_1

w którym n jest nieparzyste, a rząd najniższy jest ——; w tym

bowiem razie kierownic rzędu najniższego („najmniejszych“) jest oo¹.

Warunkiem koniecznym i dostatecznym na to, aby dwie prostoliniowe rzędu n— 1 prz e-strzeni jS'#, były rzutowo tożsamościowemi jest, by miały kierownice najmniejsze tego samego rzędu.

Na tern opiera się klasyfikacya prostoliniowych rzędu n—1 przestrzeni Su według rzędu kierownicy najniższego rzędu; rząd

albo do ~~2

ten może zmieniać się od 1 do

(S e g r e).

Na prostoliniowej rzędu n — 1 przestrzeni Sn dwie kierownice rzędów n—k, n—k' przecinają się w n—h—k'—3 punktach.

Prostoliniowe wymierne (p =0) rzędu n — 1 jakiejkolwiek przestrzeni można otrzymać wszystki ja liniowyc rz s t r z e n i Sn .

rzuty po wierzch u n — 1, należącyc

p z e-

Prostoliniowe eliptyczne (p=l) r z ę cl u n-f-l jakiejkolwiek przestrzeni, a nie będące stożkami, są zawsze rzutami powierzchni prostoliniowych rzędu n-j-1 przestrzeni Sn ■

Wszystkie prostoliniowe, (nie będące stożkami) rodzaju 2 i rzędu n-j-3, są rzutami prostoliniowych tegoż rzędu, należących do p r z ostrzeni S„ . Ogólniej : Wszystkie prostoliniowe rzędu v i rodź aj u p, należące dojednej przestrzeni niższej niż Sv—-2p+i, są rzutami prostoliniowych tego samego rzędu, należących do tejże przestrzeni.

Każda prostoliniowa rzędu v i rodzaju/; ma krzywe kiero-v —I— 72

wnicze rzędu    ; stąd, podobnie jak dla prostolinio-

ych wymiernjmh, wynika kryteryum klasyfikacyi prostolinio-ych według ich kierownic najniższego rzędu.

Wzór Sturma-Segrego, dotyczący rzędu i rodzaju krzywej, nakreślonej na prostoliniowej, podaliśmy w Rozdz. IX, § 4.

Prostoliniowa rodzaju p > 0 i rzędu v^>±p¹ 2), o ile nie jest stożkiem, zawarta jest najwyżej w przestrzeni Sv—P\ jeżeli jest zawarta w przestrzeni Sv-P i przytem p j>l, wtedy ma kierownicę podwójną; jeżeli jest zawarta w przestrzeni Sn .p_i i przytem pj>2, wtedy ma stożkową podwójną albo też kierownicę prostoliniową albo potrójną, gdy zaś 3 — krzywą.pojedjoiczą płaską rzędu 4-go (S e g r e).

Powierzchnia Yeronesego, którą oznaczać będziemy przez V₂⁴, jest powierzchnią rzędu 4-go, zawartą wprze-strzeni pięciowymiarowej; daje się ona punktami odwzorować na płaszczyźnie (jest homaloidalną) i jest p o w i erz c h n i ą normalną (patrz § 1) dla przestrzeni Sh .

Można ją utworzyć, ustanawiając odpowiedniość homogra-tłczną pomiędzy nadpłaszczyznami przestrzeni Ss a stożkowemi płaszczyzny; wszystkim stożkowym, przechodzącym przez jeden punkt, odpowiadać będzie co* nadpłaszczyzn przestrzeni Ss . spotykających się w jednym punkcie; miejscem tych punktów jest powierzchnia Veronese g o.

Powierzchnia zawiera układ podwójnie nieskończony stożkowych K) przez dwa jej punkty przechodzi jedna tylko stożkowa, a przez jeden punkt przechodzi stożkowych oo¹.

Dwie stożkowe K spotykają się w jednym punkcie i są położone w przestrzeni Sv stycznej w tym punkcie do powierzchni.

Płaszczyzny styczne tworzą nadpowierzchnię klas3)r 3-ej.

Płaszczyzny stożkowych K nazywają się płaszczyznami sieczne mi gatunku 1-go.

Dwie płaszczyzny sieczne gatunku 1-go nie przecinają się według prostej, lecz zawsze spotykają się w jednym tylko punkcie; stanowią one nadpowierzchnię rzędu 3-go.

Płaszczyzna przestrzeni S$ nie ma w o g ó 1 e żadnego punktu wspólnego z przestrzenią (nie jest sieczną), ale może mieć jeden, dwa, trzy punkty wspólne; jeżeli ma trzy punkty

wspólne.

nie jest gatunku 1-go, wtedy nazywa się płasz-

c z y z n ą styczną gatunku 2-go.

Pomiędzy nieskończenie wielu nadpłaszczyznami $₄, prze-chodzącemi przez płaszczyznę styczną do powierzchni w punkcie, jest jedna tylko, przecinająca powierzchnię według dwóch zlewających się stożkowych; taka nadpłaszczyzna nazywa się nadpłaszczyzną styczną podwójną.

Nadpłaszczyzny styczne, podwójne, których jest oo², obwodzą powierzchnię wzajemną (klasy 4-ej) z daną. Dwie takie nadpłaszczyzny przecinają się według płaszczyzny stycznej; dwa punkty powierzchni określają płaszczyznę sieczną gatunku 1-go. Dwie płaszczyzny styczne spotykają się zawsze w jednym tylko punkcie.

Pomiędzy powierzchniami, nie zawartemi w przestrzeni $4l powierzchnia Yeronesego jest jedyną powierzchnią, której każde dwie płaszczyzny styczne spotykają się (Del P e z z o).

Jeżeli rzucimy powierzchnię V₄‘² z prostej S, na przestrzeń naszą, otrzymamy wtedy powierzchnię Steinera (patrz Rozdz. XII, § 9). Jeżeli prosta spotyka powierzchnię V₂4 w punkcie, wtedy rzut jest powierzchnią prostoliniową rzędu 3-go; jeżeli prosta S₄ spotyka powierzchnię V₂⁴ w dwóch punktach, otrzymujemy kwadrykę; jeżeli wreszcie prosta jest styczna do P₂⁴, otrzymujemy stożek kwadrykowy.

Powierzohnia Y eronesego należy do kategoryi ogólnej powierzchni normalnych homaloidalnycli rzędu n² w prze-

n {n-\-3)

strzeni o

wymiarach; powierzchnie takie mają tę

własność zasadniczą, że przy pomocy rzutu ich na przestrzeń naszą można otrzymać wszystkie powierzchnie przestrzeni $3, dające się odwzorować punktami na płaszczyźnie przy pomocy krzywych rzędu n albo mniejszego od n.

Powierzchnię tę zauważył najprzód Veronese w pracy swej w Math. Ann. XIX: później badał ją w rozprawie osobnej (Mem. Lincei XIX, 1884).

Z badaniami temi pokrewne są badania stożkowych na płaszczyźnie, o których była mowa w Rozdz. IV, § 5-

‘ZA

Krzywe w przestrzeniach S„ .

Przechodzimy do rozmaitości jednowymiarowych, t. j. do krzywych. Przedewszystkiem łatwe jest uogólnienie (nad którem nie zatrzymujemy się) pojęć : płaszczyzny ściśle stycznej (mającej z krzywą trzy przecięcia nieskończenie blizkie) w pun kcie krzywej, przestrzeni^ ś c i ś 1 e s t y c z n ej (mającej cztery przecięcia nieskończenie blizkie) i t.d. Nadto prosta styczna nazywać się będzie stateczną albo p r z e g i ę c i o-w ą, gdy ma z krzywą trzy przecięcia nieskończenie blizkie; płaszczyzna ściśle styczna nazywać się będzie stateczną, gdy, zamiast trzech, ma cztery nieskończenie blizkie przecięcia z krzywą i t. d.

Pierwsze nasuwające się tu zagadnienie dotymzy związków, istniejących pomiędzy liczbami charakterystycznemu t. j. dotyczące uogólnienia znanymh wzorów P lü c ker a dla krzywych płaskich i wzorów Cayley’a dla krzywych skośnych ju’zestrzeni zwykłej. Zagadnienie to rozwiązał pierwszy Veronese w cytowanej rozprawie.

Po zważmy⁷ rzut krzywej Cm przestrzeni Sn z punktu przestrzeni Sn na przestrzeń liniową S„ -1 ; otrzymamy krzywą w przestrzeni Sn-i . Pzut tej krzywej na przestrzeń liniową S„-2 da nową krzywą w przestrzeni Slt_₂ i t. d. Pozważmy dalej nadpowierzchnię roz wij alną, utworzoną ze stycznych do krzywej Gm. oraz przecięcie tej nadpowierzchni z przestrzenią liniową /Slt-1 potem rzucajmy to przecięcie kolejno, jak przedtem, na przestrzenie liniowe niższe. Pozważmy⁷ nadto rozwijalną, odnoszącą się do wskazanego wy⁷żej przecięcia; przetnijmy ją przestrzenią liniową Sn~2 i postępujmy⁷, jak wyżej, tworząc kolejne rzuty na przestrzenie niższe.

Postępując tym sposobem, otrzyunamyr n—1 krzywymh płaskich, których liczby' charaktery'sty⁷czne odpowiadać będą tyluż

liczbom charakterystycznym krzywej danej; stosując do każdej z tych krzywych wzory P ] ii c k e r a, o trzymamy razem 3(>i-l ) związków pomiędzy liczbami charakterystycznemi krzywej danej.

Oznaczmy przez: m rząd krzywej Cm ; h — porządek pierwszy krzywej Cm, t. j. liczbę stycznych S₁ krzywej Cm, przecinających przestrzeń Sn-2 dowolną; w — porządek drugi krzywej Cm, t. j. liczbę płaszczyzn S₂ ściśle stycznych do Cm, przecinających dowolną przestrzeń _ 3 ; tum — porządek trzeci krzywej Cm, t. j. liczbę przestrzeni ściśle stycznych Sz do krzywej Cm, przecinających dowolną przestrzeń Sn-4,.... ; w^~²⁾ porządek (n—2)—i krzywej Gm, t. j. liczbę przestrzeni Sn—\ ściśle stycznych do krzywej C"\ spotykających prostą dowolną'; przez iSn~~Z) klasę krzywej ; ivx — liczbę stycznych przegięciowych (z trzema punktami nieskończenie blizkiemi wspólnemi z krzywą); — liczbę płaszczyzn ściśle stycznych (z czterema punktami nieskończenie blizkiemi wspólnemi z krzywą); — liczbę przestrzeni S₃ statecznych;

........; w/n~³⁾ — liczbę przestrzeni Sn—2 statecznych; w^M~²⁽

liczbę przestrzeni Sn—1 statecznych; R — liczbę ostrzy krzj'wej Cm : Dv — liczbę punktów podwójnych krzywej Cw ; D — liczbę przestrzeni Sn-2. przechodzących przez n— 2 punktów dowol nych i przecinających dwa razy krzywą skośną (punkty podwójne pozorne); IJn'> — liczbę par stycznych niekolejnych krzywej, Cm przecinających przestrzeń SH-i w dwóch punktach prostej, którą przecina dowolna przestrzeń $M_₄; 1){2)— liczbę par płaszczyzn ściśle stycznych niekolejnych krzywej Cm, przecinających przestrzeń S„—2 w dwóch punktach prostej, którą spotyka

dowolna przestrzeń S»—5 ;

; D{n~²⁾ — liczbę par przestrzeni Sn-i ściśle stycznych niekolejnych do krzywej Cm, spotykających się w punkcie danej płaszczyzny dowolnej (albo rząd nadpowierzchni podwójnej o n—2 wymiarach dla rozwijalnej, utworzonej z przestrzeni Sn-2 ściśle stycznych do Cm) ; d—liczbę przestrzeni Sn-1, przechodzących przez n — 2 punktów dowolnych i zawierających dwie styczne niekolejne krzywej Cm ; ₍]V) —liczbę par płaszczyzn ściśle stycznych niekolejnych krzywej Cm, przecinających przestrzeń S„—1 według dwóch prostych,

które razem z n—3 punktami dowolnemi stałemi przestrzeni Sn—i znajdują, się w tej samej przestrzeni Su—2; .............;

2) — liczbę par przestrzeni ściśle stycznych Sn—i niekolejnych krzywej Cm, przecinających się według prostej płaszczyzny stałej; — liczbę stycznych podwójnych krzywej Cm\ dW— liczbę

płaszczyzn stycznych podwójnych krzywej Cm; ............;

d^n~²⁾ — liczbę przestrzeni Sn-1 ściśle stycznych podwójnych krzywej Cm.

Ustanowiwszy te oznaczenia, mamy związki następujące: k=m(m—1 )—2( D-\-D₁ )—3 li ; m=k(k—1)—2(d -f d₁ )—3(w -f-wx);

w -j- iv 1 — Ii — 2 (Je — m).

w — k (k—1) - 2( //b) -j- d₁ ) — 3 (m-j-łtj ) ;

= w (w—1) — 2 ( d⁽¹)    — 3 (w⁽²)-f-Wjt²))

m -j- wx — ( w(l) -j- wx (1}) = 3 (Je — w).

— w (w — 1) — 2 ( Z>²⁾ -h (⁵ > ) — 3 (& -j-    ;

w = ■w(l)(w⁽'²⁾ — 1) — 2(J⁽²> -j- dx^ ) — 3 (tv{2) -j- ivyf'²⁾) ; k -f- wJS — (wl2) -f- iVyW ) = 3 (w — w(J) ) .

iv(n~~³⁾ = w(n~(w(u~^—1)—2(/;<”-²> -f- ł"—³ł) — 3 ( ?f;(»-⁴) = |C(«-8) (Wl(«-3)_1) — 2    — 3

^.(»—5)    ²⁾ = 3 ( W(n~i> -³) ) .

Jeżeli określimy rodzaj p krzywej Cm, jako rodzaj jakiegokolwiek jej rzutu płaskiego, będzie:

(m—1) (ni—2)

— (D-f-Zb) — R

(k—1) (k—2)

•—-    |~t/j ) — (lV—j— W-y )

(k—1) (k—2)

-    — («*+*»i)

{w—1) (w—2)

— ( d{V -f df) ) — (w‘R -j- w/’) ),

Krzywa, będąca przecięciem zupełnem n — 1 n ajd powierzchni przestrzeni SH rzędów v,, v₂..-.vn-i jest rzęd u m = vx v2 pierwszym jest:

k — v₁ .... a wyrażenie na D jest:

2 D — vv .. . vH-\ O, ... vlt-i — -Tvt-j-n - 2],

Przy pomocy tych wzorów Yeronesego można otrzymać wartości innych liczb charakterystycznych.

W szczególności :

Przecięcie zupełne rzędu 8-go trzech nad-kwadryk przestrzeni cztero -wy miar owej ma porządek pierwszy równy 8, porządek drugi równy 48, klasę równą 32, rodzaj 5, i ma 120 przestrzeni $₃ statecznych.

Najwyższa przestrzeń, do której należeć może krzywa rzędu v i rodzaju p (gdy r i> 2 p — 2) jest 8V

wierzcliniach prostoliniowych (§ 4), podał Clifford (Phil. Trans. 1888).

Zajmowali się niemi także Veronese (Math. Ann. XIX, str. 213) i S e g r e (Math. Ann. XXX, str. 207).

v,i-i -,

jej porządkiem

vn-i [ -1" v₍ —■ n -f- 1 ] ,

-p •

To ważne twierdzenie, przypominające inne o po-

Z twierdzenia w § 2 wynika, że najniższym rzędem krzywych, należących do przestrzeni Sn, jest n.

Krzywa rzędu w, należąca do przestrzeni Sn, jest wymierna (rodzaju zer o). Oczywiście krzywa taka jest krzywą normalną dlaprzestrzeni$„.

Dla takiej krzywej porządek 1-szy i(n—2)—i, 2-gi i (n—3)—i i t. d. są równe odpowiednio 2 (n—1),

3 (n—2)

; klasa krzywej wynosi n; krzywa nie posiada elementów podwójnych i statecznych.

Przez n-f 3 punkty przestrzeni Sn, z których żadne w-j-1 nie znajdują się na jednej nadpłaszczyznie, przechodzi jedna i tylko jedna krzywa rzędu n przestrzeni S„ •

Dwie krzywe rzędu n przestrzeni S„ są zawsze rzutowo identyczne.

Prosta, płaszczyzna, przestrzeń Sz i t. d. mogą mieć z krzywą normalną rzędu n przestrzeni Sn najwyżej dwa, trzy, cztery' i t. d. punkty wspólne.

Krzywą taką można uważać jako miejsce przecięć odpowiadających sobie nadpłaszczyzn w n—1 pękach nadplaszczy'zn rzutowych.

na

Przez punkt F przestrzeni Sn można poprowadzić n nadpłaszczyzn ściśle stycznych do krzywej; jeżeli n jest nieparzyste, to n punktów stymzności tyrch nadpłaszczy⁷zn znajduje się płaszczyźnie, przechodzącej przez punkt F, (Patrz analogiczne twierdzenie C ha s 1 e s’a dla krzy'wej sześciennej skośnej, Rozdz. X, § 2).

Krzywe rzędu nĄ-1 przestrzeni Sn są elip-tycznemi (rodzaju p=l); nie mają elementów podwójnych i statecznych, prócz (n-j-1)². przestrzeni statecznych S„—i ; ich klasa wy⁷ nosi n (w—j-1), aie h porządkami są odpowiednio liczby: k=2(n—l)-j-2; w = 3 (n—2) —}— 6,, w(?<—⁴) == n²—1.

I ta krzywa jest normalną d la p r z e s trz eni S,,', nie może być bowiem rzutem rzędu n-j-1 przestrzeni Sn+1 > gdyż rzut taki byłby wymierny'.

Wszystkie krzywe wymierne rzędu    zawarte w prze

Su-1, są zawsze rzutami krzywej normal-

strzeniach S₂, S3 nej rzędu n przestrzeni S„ .

Wszystkie krzywe eliptyczne rzędu    j-1, zawarte

Sn—), są zawsze rzutami krzywej

w przestrzeniach S₂, S₃, normalnej rzędu n-\-1 przestrzeni Su.

W ogólności:

Wszystkie krzywe rzędu n-\-p i r o d z a j u p, należące do przestrzeni wraz ze swemi rzutami w przestrzeniach niższych, tworzą całość wszystkich krzywych wskazanego rzędu i rodzaju, należących do przestrzeni Sr, gdzie r-ś^n; a j e ż e 1 i n-\-p i>2/; — 2, wtedy wszystkie te krzywe stanowią całość wszystkich krzywych powyższego rzędu i rodzaju; albowiem wtedy (według twierdzenia Clifford a), prócz krzywych tego rodzaju i rzędu, istniejących w przestrzeniach Sr n), nie ma innych krzywych.

Do prac o krzywych algebraicznych przestrzeni Słt, wymienionych w § poprzedzającym, dodajemy prace Se g r eg o (Griorn. di Batt. XXVI, Rend. Palermo fi).

ROZDZIAŁ XX.

GKOMETRYA NIESKOŃCZONOSTKOWA I WEWNĘTRZNA W NADPRZESTRZENIACH LINIOWYCH I W PRZESTRZENIACH O KRZYWiZNIE STAŁEJ.

vy:

Krzywe w przestrzeniach liniowych.

Niechaj spółrzędne x punktu krzywej będą wyrażone w funkcyi parametru t.

Przez k-\-l punktów krzywej można poprowadzić przestrzeń liniową o Ic wymiarach; dajmy, że te punkty zbliżają się nieograniczenie do jednego punktu P; położenie graniczne przestrzeni liniowej nazywać będziemy przestrzenią liniową /c-wy miar ową ściśle styczną do krzywej w punkcie P. Liczba k może zmieniać się od 1 do n—1.

Odległość punktu krzywej, blizkiego punktu P, od przestrzeni liniowej k wymiarowej ściśle stycznej w punkcie P, jest nieskończonostką rzędu k-J- 1.

Równaniami przestrzeni liniowej k— w y -miarowej, ściśle stycznej do krzjrwej, s ą równa n i a, które o t r z y m u j e m y, przyrówn y w a j ą e do zera mino r y macierzy.

,    -A_9 .Tg

x'

x'

X,

x₂a>, .

xx

(*>

w której xx, &‘₂,.. . , xn są spółrzędnemi punktu I\ x\ , x'\ , . .    , x'\ ,    , pochodne mi tychżespół-

rzędnych względem zmiennej niezależnej t.

Oznaczmy przez 0/- kąt pomiędzy dwiema przestrzeniami liniowemi A-wymiarowemi w dwóch blizkich punktach krzywej, przez s luk, zawarty pomiędzy temi punktami; granica stosunku

—— , gdy s dąży do zera, nazywa się k r z y w i z n ą A -tą

krzywej w punkcie i —j ak zwykle—odwrotność tej krzywizny nazywa się promieniem krzywizny. Promieni krzywizny jest n—1.

Jeżeli przez Mk (0<^A-sC n) oznaczymy sumę kwadratów minorów rzędu 7r, zawartych w macierzy

x'

dc)

xx

położymy M₀ = l: przez lik zaś oznaczymy A-ty promień krzywizny, będzie ogólnie:

Mlc+1 Mk-l

Ä»»

Mt Mu

gdzie oczywiście ML — x'^ -f- aó₂² —(— . . . —x\^. Mamy także wzór:

-i •

) (lc-f-2)

M₂

Jeżeli Mn jest zerem dla wszystkich punktów krzywej, wtedy krzywa położona jest w przestrzeni liniowej niższej; jeżeli jest zerem dla wszystkich punktów krzywej a nie jest zerem M u, wtedy krzywa jest położona w przestrzeni liniowej A -wymiarowe j.

Punkty krzywej, dla których jest M„— O, są t. zw. punktami statecznemi krzywej.

Niechaj będzie punkt P krzywej ; rozważmy następujący układ n prostych, z których każde dwie są do siebie prostopadłe: najprzód styczną do krzywej, następnie prostą prostopadłą do stycznej i położoną w przestrzeni ściśle stycznej dwuwymiarowej, potem prostopadłą do tej ostatniej przestrzeni i położoną w przestrzeni ściśle stycznej trójwymiarowej i t. d. Jeżeli oznaczymy wtedy przez

u ! i, . . . aln ;

a₂₁, • . . o.2n,

Oni

• • Onn

odpowiednie kąty kierunkowe tych n prostych względem n osi pierwotnych, to zachodzić będą następujące wzory, które można uważać za uogólnienie wzorów Preneta i Serreta (Rozdz. XII, § 4), odnoszących się do krzywych skośnych; wzory te wyrażają różniczki n~ dostaw kątów o przez funkcye liniowe samych dostaw:

COS (Xfc—i ? i

d cos _ cos aicĄ-\j

ds

tik— i

gdzie, rozumie się, że, w przypadku k—1 znieść należy wyraz drugi po stronie drugiej, gdy zaś Jc=n, to należy znieść wyraz pierwszy. Patrz Brunei (Math. Ann. XIX) i Lands berg (Crelle CXIY).

O uogólnieniu twierdzenia B o n n e t a, dotyczącego odległości dwóch stycznych nieskończenie blizkich krzywej i odległości punktu krzywej od płaszczyzny ściśle stycznej w punkcie nieskończenie blizkim, patrz Jordan (Compt. rend. LXXIX, 1874, str. 796).

O teoryi nieskończonostkowej krzywych w jakiejkolwiek przestrzeni pisał też Hoppe (Archiv, (1), LXIV, (2), VI, XI, XII 1880 — 1892).

Geometry a różniczkowa rozmaitości wielowymiarowych, znajdujących się w przestrzeniach liniowych. Formy różniczkowe kwadratowe.

Jak w teoryi powierzchni wprowadzamy znaną formę różniczkową kwadratową o dwóch zmiennych, przedstawiającą kwadrat należącego do powierzchni elementu liniowego, podobnież dla rozmaitości, mających więcej niż dwa wymiary, wprowadzamy formę różniczkową kwadratową n zmiennych:

(1)

ils* = 2 ciij dxt dxj ,

i

przedstawiającą kwadrat odległości nieskończenie małej pomiędzy dwoma nieskończenie blizkiemi punktami rozmaitości, czyli, jak się mówi, kwadrat elementu liniowego, należącego do rozmaitości. Przyjmujemy, że forma (1) jest określoną dodatnią i że jej wyznacznik jest różny od zera.

Hypóteza, która jest podstawą przyjęcia formy różniczkowej kwadratowej a nie innej, np. formy rzędu 4-go lub 6-go, jest istotnie hypotezą szczególną, ale jest ona wynikiem innej hypotezy, którą czynimy tu wyraźnie, że nasza rozmaitość znajduje się zawsze w przestrzeni liniowej o większej liczbie wymiarów.

Jeżeli przyjmiemy, że element liniowy daje się wyrazić formą kwadratową, jaką jest forma (1), to można zawsze znaleść liczbę h:

0<ń<

n (n— 1)

taką, że dobrawszy odpowiednie funkcye «/n y.₂,... yti+h zmiennych xx,. .. xu, sprowadzić można formę (1) do postaci:

Æ dy? , i— 1

43

(N

Fascal. Rep. II

(Ricci).

odpowiadającej przestrzeni liniowej o n-\-h wymiarach (patrz Schlaf'li, Ann. di mat. V, str. 190; R ic c i, tamże XII, str. 137).

Najmniejsza z liczb h nazywa się klasą rozmaitości

G-eometrya wewnętrzna rozmaitości sprowadza się tym sposobem do badania form różniczkowych kwadratowych i ich przekształceń.

W teoryi form różniczkowych kwadratowych dogodnie jest wprowadzić t. z. symbole Christoffela. Istnieją cztery kategorye tych symboli, a mianowicie: trójskaźnikowe gatunku 1-go i 2-go i czteroskażnikowe gatunku 1-go i 2-go (patrz Chris toffel, Crelle LXX i wyżej Rozdział XVI § 8). Symbolami trój skaź nikowemi gatunku Igo są:

f hh 1 _ 1 ( àctki

L i J 2 \ dxh

et CL ja

àxkh

dxk

OXi

trójskaźnikowe m i g a t u n k u 2-go:

Z Aa

( li li \

m.

gdzie wielkości A są dopełnieniami algebraiczne m i elementów, mających też same s k a ź n i-k i w wyznaczniku spółczynnikó w a. Symbolami czteroskaźnikowemi gatunku 2-go s ą :

{ lih, ij) =

dfkj\    d!hj\

\ h i    17//

ÖXj

dxi

i vr fki * / lî * _

^rl i i i \ u j

^    <S>.

wreszcie symbolami czteroskaźnikowemi gatunku 1-go s ą :

(/,: h, i j) = Z aa {li l, i j )

Pomiędzy temi symbolami istnieje bardzo wiele związków, które czytelnik znaleść może w „Geometryi różniczkowej“ B i a n c h i’e g o.

Daną formą różniczkową kwadratową (1), skoro zmienne x uczynimy funkcyami innych zmiennych x', możemy przekształcić

V

na inną formę różniczkową 2 a']) âxî dxj. Te dwie formy różniczkowe nazywają się wówczas r ó wnoważne m i .

Zasadniczem zagadnieniem w teoryi form różniczkowych jest szukanie warunków na to, aby dwie formy różniczkowe były równoważne.

równaniami różniczkowe mi cząstk o-we mi jednoczesnemi typu:

Najprzód szuka się warunków, którym winny czynić zadość funkcye x zmiennych x'\ warunki te wyrażają się n²(n-j-1)

d² Xi

dx'r dx's

_L >

I •‘Ł*

j hli\ óxh dxk

hk I '/ 1 ÔX s ÔX- y

( rs V dx,

i j i nzj ’

gdzie

i rs\’

oznacza symbol Christof fel a, o b 1 i-

c z o n y dla formy przekształconej.

Warunkami całkowalności tego układu równań o pochodnych cząstkowych będą równania warunkowe, którym powinny czynić zadość spółczynniki a, a' i ich pochodne Kombinując w odpowiedni sposób te równania warunkowe, możemy nadać im formę niezmienniczą, i w ten sposób będzie można otrzymać niezmienniki i parametry różniczkowe, t. j. wyrażenia, pozostające niezmienionemi przy przekształceniu zmiennych (patrz „Re-pertoryum“ t. I, str. 209). Nie będziemy tu zatrzymywali się nad szczegółami konstrukcyi tjmh parametrów różniczkowych i odsyłamy czytelnika do prac niżej wymienionych.

Liczba warunków przekształcalnośc-i dwóch form różniczkowych kwadratowych o n zmień-

.    . oi² (u²—1)

12

nych wynosi

Aby forma różniczkowa k w adratowa

zmiennych dała się przekształcić na inną, dla której kwadrat elementu liniowego jest po-

n

s t a c i    clxJ, koniecznemi są warunki (lik, ij) — 0,.

i

gdzie (/i/i, ij) jest symbolem Christoffela.

Zagadnienie o przekształceniu form różniczkowych obejmuje w sobie, jako przypadek szczególny, zagadnienie, dotyczące warunków, jakim czynić winna zadość przestrzeń, aby była liniową, t. j. aby kwadrat jej elementu liniowego dał się sprowa-

n

dzić do postaci dx'f.

i=i

Równania Lam e‘go, odnoszące się do układów potrójnych ortogonalnych (Rozdz. XYI, § 14), odpowiadaj ą właśnie warunkom liniowości przestrzeni trójwymiarowej.

Pokrewnem z zagadnieniem o przekształceniu jest szukanie warunków, przy których forma różniczkowa jest klasy 0, klasy 1 i t. d. Patrz Ricci (Ann. di mat. XII; Rend. Lincei, marzec, 1888).

Zagadnienie o przekształceniu form różniczkowych kwadratowych poczęli badać Christoffel (Crelle LXX) i Lipschitz (tamże LXX, LXXI, LXXII, LXXIV, LXXVIII, LXXX1, patrz też Buli. Darboux, IV, 1873). Lipschitz rozważał także przypadek formy różniczkowej stopnia wyższego. Suworo w (w pracy rosyjskiej, streszczonej w Bull. Darboux IV) rozważał tylko przypadek form różniczkowych kwadratowych trójkowych i otrzymał trzy wyrażenia niezmiennicze; przypadek ogólny form kwadratowych roztrząsa Voss (Math. Ann. XVI).

§ 3.

Odkształcenie i krzywizna Riemanowska przestrzeni. Przestrzenie o krzywiznie Riemannowskiej stałej.

Jeżeli przypomnimy sobie własność zasadniczą krzywizny Gaussowskiej K powierzchni, mianowicie, że nie zmienia się ona

przez przekształcenie formy różniczkowej zasadniczej, to powstanie odrazu myśl o przejściu od badań nad przekształceniem form różniczkowych do badań nad uogólnieniem pojęcia krzywizny. W tym paragrafie mówić będziemy o krzy wiznie przestrzeni według pomysłu Eiemanna.

Podamy przedewszystkiem następujące ważne twierdzenie Beeza (Zeitschr. f. Math. und. Ph. XX, XXI; patrz także P i c c i, Ann. di mat. XII, str. 163 i Ces aro, Georn. intrinseca).

Przestrzeń o n^>2 wymiarach, znajdująca się w przestrzeni o n -j-1 wymiarach, nie może w ogóle odkształcać się, pozostając zawsze w przestrzeni n-\-1 wymiarowej, t. j. nie można w ogóle z g i n a ć j e j „w przestrzeni otaczającej, przy zachowaniu niezmienności elementu liniowego, jak to można czynić z największą swobodą dla przestrzeni jednowymiarowych ■(linij) i ze swobodą ścieśnioną dla przestrzeni dwuwymiarowych (powierzchni). Zginanie jest możliwem tylko dla przestrzeni spec y a 1-nyeh. Jedyne odmiany, jakim może ulegać przestrzeń ogólna o liczbie wymiarów n^> 2, bez wyjścia z przestrzeni (n —}— 1) - wymiarowej» w której jest zawartą, są ruchy sztywne, t. j. przesunięcia i obroty i t. d.

Możemy teraz dać pojęcie krzywizny przestrzeni w punkcie, według Eiemanna.

Niechaj będzie punkt P przestrzeni; w otoczeniu tego punktu nieskończenie małem poprowadźmy przez ten punkt wszystkie możliwe linie geodezyjne we wszystkich kierunkach, t.j. linie, stanowiące najkrótsze drogi pomiędzy punktem P a punktami nieskończenie blizkiemi tej przestrzeni; linie, dla których całka wyrażająca długość łuku, jest najmniejsza. Takich linij można poprowadzić oo”⁻¹, jeżeli przestrzeń jest ^-wymiarową. Można pomiędzy niemi wybrać n linij (i nie więcej nad n) takich, ż e j e ż e 1 i cis ds₂, . . . dsn są różniczkami ich łuków, liczonych od punktu P, wielkości cis, äs,... ds„ będą linio-wo niezależne; różniczka łuku każdej innej linii geodezyjnej wyrazi się wtedy liniowo przez ds₁, cls₂, . . • dsn -

Rozważmy dwie takie linie np. linie, odpowiadające różniczkom cls\, ds₂, wraz z nieskończenie wieloma irmemi liniami, których różniczka luku wyraża się wzorem dsn = X} äsj -f- ż₂ ds₂ . Punkty wszystkich tych nieskończenie wielu linij w otoczeniu nieskończenie małem punktu P utworzą rozmaitość d w u w y-miarową (powierzchnię), zawartą w przestrzeni uważanej; takich rozmaitości powierzchniowych nieskończonostko-

n(n— 1)

w y c h około punktu P można utworzyć

Dla każdej z tych powierzchni obliczamy sposobem Gaussa krzywiznę w punkcie P (utworzymy ją sposobem znanym przy pomocy spółczynników formy różniczkowej kwadratowej o dwu zmiennych, wyrażającej kwadrat elementu liniowego powierzchni) . Krzywiznę tę nazywamy za Eiemannem krzywizną przestrzeni w punkcie P w tak określonej oryentacyi powierzchniowej, dzimy tedy, że w każdym punkcie przestrzeni liczba krzywizn . n(n—1)

Wi-

wynosi

, t. j. tyle, ile wynosi liczba różnych oryenta-

cyj powierzchniowych. W przypadku, gdy te wszystkie krzywizny, odnoszące się do danego punktu są równe i pozostają równemi w przejściu od punktu do punktu, mówimy o przestrzeniach ze stałą krzywizną R i e m a n n o ws k ą Krzywizna stała może być dodatnia, ujemna albo równa zeru; jeżeli jest zerem, przestrzeń jest liniową.

Jeżeli krzywizna jest stałą dodatnią, przestrzeń nazywamy kulistą (sferyczną), przestrzenią Rie manna lub wreszcie eliptyczną; jeżeli krzywizna jest stałą ujemną, przestrzeń nazywamy pseudosfery czną, przestrzenią Łobaczewskiego, hyperboliczną lub nieeuklidesową w znaczeniu ściślejszem; jeżeli wreszcie krzywizna jest zerem, mamy, jak już powiedziano, przestrzeń liniową, którą nazywamy inaczej euklidesową lub paraboliczną (patrz Rozdz. XXI).

Przestrzeń pseudos feryczna lub hyper-boliczna rozciąga się do nieskończoności, przestrzeń zaś eliptyczna nie jest nieskończona (Rieman n).

Przestrzenie o krzywiznie stałej Riemanna mają ważną własność, że dają się rozwijać na samych sobie w ten sposób, iż z jednego ich punktu można się przenieść do każdego innego i to bez odkształcenia, które zresztą nie byłoby możliwe według twierdzenia B e e z a; t. j. dla tych przestrzeni utrzymuje się w całej zupełności zasada przemieszczania w nich figur bez odkształcenia. jak to ma miejsce dla powierzchni kulistych przestrzeni zwykłej (Lipschitz w pracy, cyt. w § poprzedzającym; patrz B i a n c h i, Rend. Lincei 1898).

Element liniowy każdej przestrzeni o krzywiznie stałej Rie mano w skie j K daje się zawsze przez odpowiedni wybór spółrzędnych (nazywanych niekiedy stereograficznemi) przedstawić w postaci (Rie mann):

ds² =

dxx ² -j- dx₂ ² -|~ . . . -j- dxn²

w której spółczynniki formy różniczkowej zasadniczej są pro-porcyonalne do wielkości stałych, a czynnik proporcyonalności jest funkcyą wszystkich zmiennych x.

Jeżeli obierzemy inny układ spółrzędnych, to element liniowy przestrzeni o krzy

wiznie stałej ujemnej — stawić w postaci:

rH

można będzie przed-

ds- =    (dx² Ą-dxx² -j- . . . dxu²),

gdzie wielkości x połączone są związkiem: x² -J- xx ² -j-    .    .

R²

.    .    -j- xn² — a² ;

«jest ilością stałą. Element liniowy przestrzeni o krzywiznie stałej dodatniej -f- -

daje się przedstawić przy pomocy wzoru:

cis² —

R²

X²

(dx² -p dx₂² —J— - . . —}— clxn² — (lx²),

gdzie wielkości x połączone są związkiem: ' x² = a² -j-

³ 4- •

. . -j- xn².

Ważną jest następująca własność przestrzeni o stałej krzy-wiznie Riemannowskiej.

Przy odpowiednim wyborze układu s p ó ł -rzędnych (tego mianowicie, przy którym element liniowy ma postać ostatnio podaną), linie geodezyjne wyrażają się za pomocą równań liniowych (twierdzenie Beltram i ego, Anali di mat. II); odwrotnie: jeżeli równania 1 i n i j geodezyjnych przestrzeni są liniowemidlaspecyalnego układu spółrzęd-nych, wtedy przestrzeń ma stałą krzywiznę Riemannowską (Schläfli, Annali di mat. V; Beltram i, tamże; patrz Rozdz. XVI, § 11).

W przestrzeni o krzywiznie stałej ujemnej dwa punkty indywidualizują linię geodezyjną, i to bez wyjątku ; dwie geodezyjne, przechodzące przez jeden punkt, nie mają innych punktów wspólnych; przeciwnie, w przestrzeniach o krzywiznie stałej dodatniej może się zdarzyć, że dwie geodezyjne, przechodzące przez jeden punkt, spotykają się jeszcze i w innym punkcie (przypominamy dla przjRładu zwykłą powierzchnię kulistą); ale nie zachodzi to dla wszystkich przestrzeni o krzywiznie stałej dodatniej. (Spostrzeżenie Kleina, patrz Rozdz. XXI, § 2).

stałej dodatniej

w p o-

R²

s t a c i (Bianchi, Rend. Lincei VII, 1898, str 155) :

Element liniowy przestrzeni o krzywiznie ^ można przedstawić

ds²—li²{dxl ² 4- sin²#, dx² -f sin^sin⁸^^³ H⁻ -f- sin²#,.. .sin²#„_i dx„³),

a element liniowy przestrzeni o krzy wiznie stałej uj emnej

w każdej z trzech nastę-

R²

pujących postaci (Bianchi, patrz XVI, § 11):

ds² = clxx²-\- cosłi²

£Cj

i...n

y buc dXi dxk (typ h y p e r b o 1 i c z n y),

i, k

2...n

cis² = dxt²-f- e1{    but dxt dxk (typ paraboliczny),

ds² = dxj² -}- sinh²

2 2...u

bik dXi dxk ( typ eliptyczny).

Jedynym z najprostszych układów spółrzędnych dla przestrzeni o krzy wiznie stałej jest układ W eierst rassa (który znaleść już można w dawnej rozprawie B e 11 r a m i'ego z roku 1868) ; w układzie tym element liniowy ma dla

przestrzeni o krzy wiznie stałej u je m n e j — j-

postać:

r-H

== R² ( X dy,² — dy²), przyczem y- — y? — 1 ;

i    i

dla przestrzeni zaś o krzywiznie stałej dodatniej postać:

ds²

= R² (dy²-\-J£ dy,²), przyczem y² + yd — 0 ,

i    i

Ten układ spółrzędnych otrzymujemy' z układu, w którym równania linij geodezyjnych są liniowemi, kładąc —

tl/

ds²

= y,

Xi

— y,. Co do form, przy pomocy których przechodzimy od

tego układu do układu Bierna n n a, patrz Bianchi (Ann. mat. (3), II, str. 102).

Potrzeba spełnienia sześciu warunków na to, aby przestrzeń trójwymiarowa miała krzywiznę stałą Riemanowską K; jeżeli element liniowy tej przestrzeni przyjmiemy w postaci :

ds² = Hydr^ -f H/lx₂² -f H,dx,\

wtedy warankami terni będą :

d*-Hi

àxj dxk

o/l ÔH dx, \IL à Xi

_ dH^_ m

Hi: dxj dxk

, d_l_1_ àH

: / ‘ dc,\Hk ()xf:

J_ dfy dH,;

Hj dxk dxj

\ , 1 à H dH,. _    irr .

j "r Hf dxj dxj ~    Ł ' y ’

(patrz Suworo vv J. c.).

Dla K=0 otrzymujemy wzory Lamégo (patrz Rozdz. XVI, § 14), dające warunki na to, aby przestrzeń była liniowa.

Pojęcie krzywizny, wyżej przedstawione, zawdzięczamy Rie-m an nowi (Ueber die Hypothesen, welche der Geometrie zu Grunde liegen); Beltrami (Ann. di math. II) rozwinął je av rozprawie o przestrzeniach o krzywiznie stałej; poczem nastąpiły wymienione już prace S c h 1 ä f 1 i’ego i B e 11 r a m i ’eg’o (Ann. di mat. V), Lipschitza, V o s s a i innych, wymienione w§ 2, av których rozwinięto w odmienny sposób pojęcie krzywizny całkowitej Gaussowskiej dla rozmaitości, znajdującej się wprzestrzeni wyższej, i otrzymano ważne przyczynki do teoryi krzywizny Riemannowskiej; av pracach tych znajdujemy też wzór na krzywiznę Riemannowską, wyrażoną przez spółczynniki formy różniczkowej kwadratowej zasadniczej

Przestrzeń o krzywiznie stałej Riemanno wskiej ma, jak już wyżej powiedziano, nieskończenie wiele ruchów av samej sobie, a mianowicie daje się rozwinąć na siebie samą

n(>i+1)

co 'Ł sposobami, jeżeli n jest 1 i c z b ą j e j w y-miarów.

Powstaje zagadnienie o badaniu natury takich przestrzeni, które nie zezwalają na tyle przekształceń na same siebie, a mają

n(n-j-1)

. Tak np. w przestrzeni zwykłej, prócz kuli, mającej co³ przekształceń na samą siebie, powierzchnie obrotowe mają ich tylko co¹.

tylko przekształceń oor, gdzie r <!

Zagadnieniem tem zajmowali się: L i e (Theorie der Transfor-mationsgr. I str. 310, III str. 575), K i 11 i n g ( Jrelle CIX, str. 12l), a w przypadku n=3 opracował to zagadnienie w zupełności Bianchi (Mem. délia Società Ital. delle scienze (3), XI, str. 267, 1897).

¹

) Ograniczenie to służy jedynie do prostszego wyrażenia wyników.

²

Patrz prace Segrego w Math. Ann. 1 c.

§ 4.

Inne uogólnienie pojęcia krzywizny rozmaitości lub przestrzeni więcej niż o dwóch wymianach, znajdującej się w przestrzeni wyższeji

Uogólnienie, które naclał Eiemann pojęciu krzywizny, stosując je do przestrzeni wyższych, okazało się bardzo ważnem i zostało specyalnie wyzyskane w przypadku, w którym krzywizna Eiemanno wska jest stała. W innych przypadkach to uogólnienie krzywizny Gaussowskiej mą tę niedogodność, że krzywizna posiada nie jednę tylko wartość dla każdego punktu przestrzeni lub rozmaitości, a ma tych war-

n(n — 1)

tości

t. j. tyle, ile jest oryentacyj powierzchniowych

w uważanym punkcie. Wynika stąd potrzeba odmiennego jeszcze uogólnienia pojęcia krzywizny.

Rozważmy rozmaitość (n—1) - wymiarową Mn _i, znajdującą się w j a k i e j k o 1 w i e k przestrzeni Mn n-wymiarowej. Jak w przypadku powierzchni, znajdujących się w przestrzeni liniowej, uważamy proste styczne do powierzchni, podobnie w tym przypadku rozważmy linie geodezyjne rozmaitości Ma, styczne do rozmaitości Mn-\ w punkcie P. Dla powierz -chni zwykłych kierunki 1 i n i j krzywiznowych można uważać jako dwusieczne kierunków linij asymptotycznych, t. j. jako osi stożkowej, której asymptotami są te ostatnie kierunki (patrz Rozdz. XYI, § 9); podobnież w ogólności, jako miejsce stycznych do linij asymptotycznych uważajmy linie geodezyjne

w punkcie P; utworzą one rozmaitość kwadratową, której n — 1 osi uważamy za kierunki linij krzywiznowych .

rozmaitości Mn ściśle styczne (t. j. z stycznością trójpunktową) do rozmaitości M,

n— 1

Każde dwie z tych osi są wzajemnie prostopadłe: ich długości, podobnie jak to ma miejsce dla przypadku z w yk ł e g o wskazującej Dupina w powierzchniach, są promieniami krzywizny przecięć normalnych rozmaitości Mu-1, w z i ę t e m i w kierunku linij krzywiznowych (promienie główne); odpowiadają one dokładnie maximom i minimom promieni krzywizny nieskończenie wielu przecięć normalnych.

Odwrotność iloczynu tych głównych promieni krzywizny nazywa się krzywizną całkowitą rezmaito ś c i w uważanym punkcie.

Pojęcia powyższe wypływają z rozważań L i p s c li i t z a i Y o s s a (cyt. w § 2), opartych na teoryi form różniczkowych kwadratowych.

Krone cker (Beri. Ber. 1869, str. 170, 695) i Beez (Zeitschr. f. Math. XXI, XXIY, Math. Ann. VII) wychodzą z innego stanowiska, bardzo zresztą naturalnego.

maitość M

n—1

Ograniczmy się dla prostoty do przypadku, w którym roz-znajduje się w przestrzeni liniowej Sn i roz-wrażmy w tej ostatniej rozmaitość kulistą (n—1)-wymiarową o promieniu 1, t. j. rozmaitość, określoną przez równanie

f = xi² +    +.....=    —1=0;

równaniem zaś rozmaitości danej niechaj będzie:

, x„ ) = 0 .

F(x|, a?s,

Ustanówmy odpowiedniość między punktami rozmaitości F i f, w sposób analogiczny do stosowanego przy odwzorowaniu kulistem powierzchni (Rozdz. XVI, § 8), t. j. niechaj odpowia-

dają sobie wzajemnie punkty, których proste normalne są równoległe. Rozważmy objętość£elementu nieskończo-nostkowego rozmaitości w punkcie P i odpowiadającego mu elementu rozmaitości kulistej; granica stosunku drugiego do pierwszego jest krzywizną Gaussowską rozmaitości w punkcie P; jest ona równa odwrotności iloczynu promieni głównych, o których mowa w rozważaniu poprzedniem. Krzywizna ta K wyraża się wzozem:

0, F

K= —

SH+l

F₀, P

ii >

Fi

F,

P/il,    F»2

■ , Fnu

gdzie Fi, Fij są pochodnemi pierwszemi i drugiemi funkcyi P, S zaś równa się I//P₁²-j-P₂²+.. .-J-P,/.

Co do tego wyrażenia patrz K i c c i (Ann. di mat. XII, str. 165, a dla ii ~ 4 S u w o r o w (Bull, des sciences matb. IV, str. 186).

Nazwijmy rozmaitości JP_X, należące do przestrzeni Mn, płaskiemi, gdy w każdym punkcie wszystkie n—1 promieni krzywizny są równe cxe; kulistemi, gdy wszystkie są równe tej samej wielkości skończonej, zachowującej stale swą wartość przy przejściu od punktu do punktu, wtedy :

W przestrzeni XI u jakiejkolwiek nie istnieją w ogólności rozmaitości płaskie i kuliste; jeżeli spółczy uniki elementu liniowego przestrzeni Mn czynią zadość pewnym warunkom, wtedy przestrzeń XIit zawiera oow płaszczyzn lub kul (danego promienia); w przypadku, gdy Mn zawiera oon płaszczyzn, wtedy nie mogą w niej istnieć rozmaitości, których promienie główne krzywizny, będąc stałe mi dla każdego poje dyń czego punktu, zmieniają się od punktu cl o punktu rozmaitości. Innemi słowy, zachodzi to samo co dla przestrzeni zwykłej, w której, prócz kul, nie ma innych powierzchni, mających własność, iż każdy ich punkt jest kołowym (umbilikiem).

W przestrzeni o krzy wiznie stałej R i e -m a n n a (patrz §3) istnieją rozmaitości, mające w każdym punkcie wszystkie promienie krzywizny równe, ale zmieniające się od punktu do punktu.

Sto-

Jeżeli krzywizna całkowita jest zerem wkażdym punkcie rozmaitości, wtedy rozmaitość ta ma własność, że z k a ż d e g o j e j punktu wychodzi linia geodezyjna przestrzeni Ma, mająca z nią styczność c z t e r o p u n k t o w ą. sując tu nazwy, wzięte z teoryi powierzchni, możemy powiedzieć, że każdy punkt jest punktem parabolicznym (patrz Rozdz. XVI, § 9).

Jeżeli krzywizna całkowita jest zerem, i n—2 z pomiędzy promieni głównych krzywizny są oo w każdym punkcie rozmaitości (n—1) - wymiarowej, wtedy przez analogię z przestrzenią zwykłą, mówimy, że rozmaitość jest roz wij a 1 n ą, gdyż tworzy się ona z linij geodezyjnych przestrzeni Mu w sposób podobny do tego, w jaki powierzchnia rozwijalna tworzy się z prostych w przestrzeni zwykłej,

Pokrewnem z poprzedzającemi jest następujące twierdzenie A. Brilla (Math. Ann. XXVI, str. 302).

Rozmaitość pseudosferyczna (o krzywi-znie Rie manna ujemnej) t r ó j w y ni i a r o w a r z e-czywista nie istnieje w przestrzeni liniowej czterowymiarowej, lecz tylko w przestrzeni liniowej p i ę c i o w y m iarowej.

Ogólniej (Bi an chi, Differentialgeometrie, Lipsk 1899, str. 619): W przestrzeni (n-j-1 ) - wymiarowej (n y> 2) o krzy wizni e Rie m annowskiej II stałe j nie istnieje żadna rozmaitość o krzy wiznie Riemannowskiej K₍₎ stałej, jeżeli K(t- K jest u j e -m n e; j e ż e 1 i ta różnica jest dodatni a, wtedy

odpowiednie powierzchnie są tylko nadku-1 a m i.

Wspomnimy jeszcze o tern, że uogólniono dla rozmaitości wyższych i inne pojęcia oraz twierdzenia teoryi powierzchni.

Uogólnienie wzorów C o d a z z i’e g o doprowadza do układu

1

— n(n—1)(5n—1) wzorów dla rozmaitości w-wymiarowej, znajdującej się w przestrzeni liniowej; twierdzenie Eulera uogólnił J o r-dan (Comptes rendus. LXXIX, 1874, str. 912), twierdzenie Dupina: Lie (Gott. Nadir. 1878), Klein (Math. Ann. V), C esàro (Geom. intrinseca). Wykład Geometry i różniczkowej przestrzeni wyższych zawiera dzieło K i 11 i n g a, Die Nicht-Euclid. Kaumf., Lipsk 1885.

§ 5.

Ceometrya różniczkowa rozmaitości dwuwymiarowych (powierzchni), znajdujących się w przestrzeniach o krzywizme stałej Riemanna.

W niektórych badaniach nowszych, a zwłaszcza w badaniach B i a n c h i'ego, uogólniono zwykłą geometryę różniczkową powierzchni dla przypadku, w którym te powierzchnie znajdują się w przestrzeniach trójwymiarowych o krzywiznie stałej .

Niechaj elementem przestrzeni trójwymiarowej o krzywiznie stałej będzie    albo— — : odpowiedniemi formami będą

ć/s² li'² ( + dx- -f dxx ² -j- ć/.r₂² -|- dx?j), gdzie wielkości x czynią zadość związkowi x² —f- a?,² —ł- x</ tr₃² = 1 ; znaki górne stosują się do przestrzeni hyperbolicznej.

Do każdej powierzchni w takiej przestrzeni należą dw ie zwykłe formy różniczkowe kwadratowe; pomiędzy spółczynni-kami E, F, G, IJ, D', D" tych form zachodzą trzy związki, z kto rych dwa pierwsze są wzorami C o d a z z i’e g o (patrz

Rozdz. XVI, § 8), trzeci zaś związek Gaussa zamienia się na następujący :

DD"—D'²

EG — F²

— k — K.

gdzie K jest krzywizną przestrzeni. A:- krzywizną bezwzględną powierzchni (odnoszącą się do pierwszej formy różniczkowej zasadniczej). Strona pierwsza tego związku nazywa się krzywizną względną powierzchni; równa się ona odwrotności iloczynu dwóch promieni głównych krzywizny zredukowanych rt, r₂ .

B i a n c h i badał w przestrzeniach o krzy wiznie stałej p o w i e r z-c li n i e o krzywiznie bezwzględnej zerowej ( Acc. Torino 1895, Annali di mat. (2) XXIV, (8) II), do których należy powierzchnia Clifforda (patrz Klei n, Math. Ann.XXXVII, K i 11 i n g, tamże XXXIX); badał powierzchnie najmniejsze (Rend. Lincei 1880, Annali di mat. (3), II; temi powierzchniami zajmowali się także L i p s c h i t z, Crelle LXXXVIII, i Cayley (Compt. rend. CXI, 1890); powierzchnie typu L i o u v i 11 e’a, dla których

——1--= 2 albo rl~\~r.,= 0 i t. d. (patrz prace cytowane). Tenże

? l    ^2

autor zajmował się też układami Weingarten a (patrz Rozdz. XVI, § 14) w przestrzeniach o krzywiznie stałej (Mem. Lincei (4), IV, 1887). Wyznaczeniem objętości w przestrzeniach o krzywiznie stałej zajmowali się: Simon (Math. Ann. XLII), D ’ O v i d i o (Acc. Torino 1893), Loria (Griorn. di Battag. XXVI). O innych pracach w tym przedmiocie, nie odnoszących się specyalnie do geometryi nieskończonostkowej, mówimy w Rozdziale następnym.

Wspomnimy wreszcie, że podział foremny przestrzeni nieeuklidesowej lub pseudosferycznej na wielość i a n y przystające prowadzi do zagadnienia o grupach nieciągłych podstawień liniowych jednej zmiennej (Poincaré p. Repert. I. Rozdz. XIV, § 2). O tych badaniach patrz B i a n c h i, (Math. Ann. XXXVIII, XL, XLII i Rend. Lincei 1893).

ROZDZIAŁ XXI.

GEOMETRTA BEZWZGLĘDNA I SPECYALN1E GEOMETRYA NIEEUKLIDESOWA NA PŁASZCZYŹNIE 1 W PRZESTRZENI.

CCC

Zarys historyczny geometryi nieeuklidesowej.

Cała metryka geometryi euklidesowej opiera się na hy-potezie, której logicznie nie można dać pierwszeństwa przed żadną inną podobną; jedyny powód jej pierwszeństwa pochodzi z prawdopodobnego przystosowania się do niej naszych zmysłów. Taką hypotezą jest w istocie rzeczy ta, która wiąże się ze sławnym postulatem o liniach równoległych Elementów Euklidesa.

W różnych czasach czyniono liczne usiłowania, by udowodnić ten postulat albo też zastąpić go innemi; po szczegóły w tym przedmiocie odsyłamy do dzieła Engela i Stäckela (Die Theorie der Parallelinien von Euklid bis auf Gauss“ (Lipsk 1895). Pomiędzy temi usiłowaniami znanemi są najwięcej rozważania L e g e n d r e’a, zawarte w dwóch pierwszych wydaniach jego „Elementów geometryi“ (1794), (patrz też Móm. de Paris 1833 i „Planimetryę“ B a 11 z e r a); godnemi są też uwagi dawniejsze rozważania Girolama Saccherrego (Euclides ab omni noevo vindicatus etc., Medyolan 1733), na które B e 11 r a-m i zwrócił uwagę matematyków (Lincei Rend. 1889), oraz Lamberta (1766), (patrz wspomn. wyżej dzieło Engela-Stäckela).

44

Pascal. Rep. II

Zdaje się, że Gauss posiadał już sposób rozwiązania tego problematu (patrz Engel-Stäckel 1. c., Math. Ann. XLIX, str. 159, Bull. des. sciences math. 1897, str. 206, wreszcie Gauss, Werke t. VIII, 1900); lecz dopiero Łobaczewski i Jan B o 1 y a i, syn Wolfganga Bolya i’a, pierwsi w osobnych rozprawach podali nowe i oryginalne poglądy na prawdziwą istotę teoryi ogólnej równoległych, przyjmując za zasadę podstawową, że postulat o liniach równoległych nie jest prawdą, dającą się wyprowadzić logicznie z innych, lecz że jest od innych niezależnym. Prace Łobaczewskiego o tym przedmiocie są na-stępujące: „Wykład zasad geometryi i t. d.“ (przedstaw. Uniwersytetowi kazańskiemu w r. 1826), „Nowe podstawy geometryi“ (Zapiski Uni w. kazańskiego 1835—1858). Prace te Engel przełożył na język niemiecki i wydał w tomie, ogłoszonym u Teubnera w Lipsku w r. 1899; dalej idą: „ Géométrie imaginaire“ (Crelle XVII), „Geometrische Untersuchungen“ (Berlin 1840), „Pangeometrya“ , (Kazań 1855). Praca Bolya i’a ma tytuł „Appendix scientiam spatii absolute veram exhibens etc.“ i wydane zostało jako dodatek do książki Wolfganga Bolya i'a „Tentamen etc.“ (1832).

W ten sposób utworzona została teorya, którą nazwano G e o m e t r y ą b e z w z g 1 ę d n ą, Geometryą urojoną, Pangeometryą, Geometryą abstrakcyjną, Me-tageometryą, albo mniej właściwie Geometryą nieeuklidesową. Powstała tedy Geometryą ogólna, w której nie zakładamy koniecznie protestu Euklidesa i która zawiera w sobie geometryę euklidesową, jako przypadek szczególny.

Nadmienić wypada, że nazwą Geometryi nieeuklidesowej oznaczamy tę część Geometryi bezwzględnej, z której wyłącza się przypadek szczególny geometryi euklidesowej; tym sposobem Geometryą bezwzględna dzieli się na dwie : na euklidesową i nieeuklidesową,

Dodajmy jeszcze, że Łobaczewski, przyjąwszy postulat o prostej nieskończonej, doszedł do jednej tylko z dwóch geometryj nieeuklidesowych, mianowicie do t. z w. geometryi hyperbolicznej (patrz § 2).

We wzorach Geometryi bezwzględnej występuje stała nieoznaczona, której wartość charakteryzuje przestrzeń rozważanych utworów geometrycznych w ten sam sposób, w jaki wartość krzy wiznjr charakteryzuje przestrzeń Biemannowską o krzy-wiznie stałej ; wartość tej stałej nieoznaczonej może dać tylko doświadczenie. Tym sposobem postulat Euklidesa lub każdy inny podobny można uważać jedynie zą dany doświadczalnie i sprawdzający się w granicach naszych spostrzeżeń.

Do wyjaśnienia i utrwalenia nowej nauki przyczyniły się w dwóch różnych kierunkach pomysły ßiemanna o przestrzeniach z krzywizną stałą (patrz Rozdz. XX) i pomysły Cay-1 e y!a (Phil, Trans. 1859) o sposobach określania rzutowego metrycznych własności figur. Pożytek, jaki geometrya nieeuklidesowa może mieć z teoryi powierzchni i przestrzeni o krzywi-znie stałej według Eiemanna, wykrył pierwszy B e 11 r a m i (Saggio d’interpretazione délia Geometria non euclidea, Giorn. di Batt. VI, 1868; Annali di mat. I); związek zaś pomiędzy badaniami Cayley’a a pojęciami geometryi bezwzględnej znalazł Klein (Math. Ann. IV, YI). Te pokrewieństwa wykazały ściśle niemożność wywodu logicznego postulatu Euklidesa, co Ł o-baczewski i Bolyai przyjmowali byli bez dowodu.

Inne prace speeyalne o Geometryi bezwzględnej ogłosili: C a y-1 e y (Math. Ann. V), Story (Amer. Journ. IV, V), S i m on (Crelle CIV), którzy uogólnili wzory trygonometryczne; Batt a glin i (Giorn. di Batt XII, XVI), d’Ovidio (Mem. Lincei 1875—76, Atti Torino 1891—93) i wielu innych. Pomiędzy głównemi książkami wykłado-wemi o geometryi nieeuklidesowej wymieniamy dzieła: Frisch-haufa (Lipsk 1875), Killinga (Lipsk 1885), M a n s i o n a (Paryż 1893, Mathesis 1895),tegoż „Pierwsze zasady Mategeometryi“ przekład polski S. D i c k s t e i n ą, „Wiad. mat. I, 1897 i w osobnej odbitce), wykłady litografowane Kleina (1889—90). Dalej do oryginalnych prac o geometryi nieeuklidesowej należą: De Tilly’ego „Recherches sur les éléments de géométrie“, Bruksela 1860) „Essai sur les principes fondam. etc.“ (Mém. de Bordeaux (2), III, 1877), „Essai de geom. anal, générale (Mém. de Belgique 1S92), Fl y e S. Marie’go

„Études analytiques etc.“ (Paryż 1871). Przedmioty ogólniejsze traktuje „Fondamenti di Geometria“ Veronesego i prace cytowane wyżej i w Rozdz. XIX, § 1; dodatek do dzieła Veronesego zawiera bardzo szczegółowe wiadomości liistoryczno-krytyczne, patrz też artykuł Mansiona w Revue des questions scientifiques“ 1895) w którym uwzględnione są poszukiwania De Tilly’ego. O ważnych badaniach Li ego w t. III dzieła „Theorie der Transforma-tiansgruppen“ patrz F. Klein Zur ersten Verteilung des Lobat-schewsky-Preises (Math. Ann. L, 1898, str. 583—600), Barbarin, Études de gèom. anal, non euclidienne, Bruksela 1900).

to

Postulat V-y Euklidesa. Wyniki, otrzymane przez Łobaczewskiego i Bolyai a. Trzy geometrye z punktu widzenie elementarnego.

Postulat V-y Euklidesa brzmi:

Jeżeli kąty wewnętrzne, utworzone po jednej stronie przez prostą z dwiema innemi prze-cinającemiją prostemi są takie, że suma ich jest mniejsza od dwóch kątów prostych, wtedy te dwie proste przedłużone spotykają się po tejże stronie.

Wymieniamy jeszcze inne postulaty euklidesowo, kładąc przy nich numery kolejne, przyjęte w wydaniach Euklidesa, np. w ważnem wydaniu Heiberga (1883 — 1888). Co do uwag krytycznych o postulatach, patrz T a n n e r y (Bull, des sciences math. (2) Y, VIII i artykuł Mansiona (Soc. scient, des Bruxelles XIV, 1889—90). O postulatach Geometryi patrz najnowszą pracę Hilbert a: „Ueber die Grundlagen der Geometrie“ (Lipsk 1899).

I. Dwa punkty dane można zawsze połączyć prostą.

II. Linię prostą można przedłużyć.

III. Mając dany środek jakikolwiek i dany promień, możemy zawsze nakreślić koło.

IV. Wszystkie kąty proste są równe.

VI. Dwie proste nie zamykają sobą przestrzeni skończonej.

Trzy pierwsze postulaty nazywają się postulatami konstrukcyi.

Usiłowania udowodnienia postulatu V-go doprowadziły do zastąpienia go innemi. Wallis w 1693 r. w dwóch notach do „ Elementów Geometryi“ (patrz Enge 1-S t ä c k e 1 1. c.) zastąpił go następującym: Istnieją trójkąty podobne. Postulat ten jest zresztą za obszerny i można go zastąpić innym (spostrzeżenie S a c c h e r i’ego): Istnieją dwa trójkąty o kątach odpowiednio równych i nierówno w a ż n e.

Inny postulat zamiast Euklidesowego wprowadził Le

gendre:

a)    Z punktu zewnątrz prostej można poprowadzić do niej jednę tylko równoległą, co odpowiada przyjęciu, że istnieje jeden tylko punkt w nieskończoności na prostej.

Twierdzeniami równoważnemi postulatowi Euklides a są następujące :

b)    Suma trzech kątów trójkąta równa się dwom kątom prostym.

c)    W czworoboku, w którym dwa kąty są proste a dwa boki przeciwległe, przyległe kątom prostym, są równe—i dwa pozostałe kąty są proste (postulat, przyjęty przez Saccheri’ege.

d)    W czworoboku trój prostokątnym kąt czwarty jest prostym (postulat, przyjęty przez Lamberta i mało różniący się od poprzedniego).

Hypotezy. w których przyjmujemy, że te kąty są rozwarte albo ostre, nazywamy dla krótkości hypotezą kąta rozwartego i hypotezą kąta ostrego Saccher i’ego lub Lamberta.

Niezależnie od przyjęcia postulatu, mamy twierdzenia na

stępujące;

Jeżeli przyjmiemy istnienie trójkąta, dla którego suma kątów równa się dwom kątom prostym, to toż samo zachodzić będzie w każdym innym trójkącie (Legendre).

Jeżeli przyjmiemy, że prosta ma punkty w nieskończoności, to suma kątów trójkąta nie może być wyższa od dwóch kątów prostych (L e g e n d r e).

Przy tern założeniu nie można przyjąć hypotezy kąta rozwartego S a c c h e r i’ego lub Lamberta.

Jeżeli postulat Saccheri’ego lub Lamberta jest prawdziwy w jednym przypadku, to jest prawdziwy zawsze.

Jeżeli hypoteza kąta prostego albo rozwartego Saccheri’ego lub Lamberta jest prawdziwa w jednym przypadku, to jest prawdziwa zawsze.

Stosownie do tego, czy suma trzech kątów trójkąta jest mniejsza od dwóch kątów prostych, równa dwóm kątom prostym, albo większa od dwóch kątów prostych, prawdziwą jest odpowiednio hypoteza kąta ostrego Saccheri’ego, hypoteza kąta prostego, wreszcie hypoteza kąta rozwartego (Saccheri).

Przy przyjęciu hypotezy o sumie dwóch kątów trójkąta, mniejszej od dwóch kątów pro-stych, dwie proste albo przecinają się, albo są asymptotami jedna dla drugiej (zbliżają się nieograniczenie, nie spotykając się) albo też mają prostopadłą wspólną, od której począwszy, rozchodzą się (Tw. S a c c h e r i’ego) .

Przy tejże hypotezie pole trójkąta jest proproporcyonalne do niedomiaru kątowego, jeżeli przez niedomiar rozumiemy różnicę pomiędzy dwoma kątami prostemi a sumą trzech kątów trójkąta (tw. Lamberta).

Jeżeli przyjmiemy, że przez punkt, położony wewnątrz kąta trójkąta, można poprowadzić prostą przecinającą oba ramiona kąta, to wyniknie stąd, że suma trzech kątów trójkąta nie jest mniejsza od dwóch kątów prostych (Legendre, patrz B a 11 z e r, Leipz. Ber. 1870, Crelle LXXIII, str. 872).

Z twierdzeń poprzedzających wypływa jasno podział Geo-metryi ogólnej na trzy główne gatunki, mianowicie :

I. Geometrya Łobaczewskiego lub hyper-boliczna. Prosta jest w niej nieograniczona lub otwarta. Pystulat Y-y nie stosuje się; stosuje się natomiast postulat Yl-y. Suma kątów trójkąta jest mniejsza od dwóch kątów prostych.

Geometrya ta odpowiada hypotezie kąta ostrego S a c -cheri’ego lub Lamberta.

Z każdego punktu można poprowadzić do prostej danej dwie proste równoległe. W geometryi tej wyobrażamy sobie, że prosta ma dwa punkty w nieskończoności.

Jeżeli oznaczymy, jak zwykle, przez a, ć, c, A, B, C boki i kąty trójkąta, wtedy zachodzić będą związki następujące:

c

sm — sin B, (Twierdzenie o wstawię)

. c ... a b    „    .    b a

m -=y    cos A -f- sin —    cos — cos    C =    sm cos —    ,

JLt    JA/    JAj    Jtb    JlA/

. h . r

sin sin 6 = si

b    c

cos—rr = cos —TT cos — 4- sm

łi    IV    Jaj

li

—- sm

-z- cos A, (Tw. o d o-

stawie)

cos A cos B cos C — sin B sin C cos ~ ,

R

sin C sin A = sin B cos

— cos C sin A cos , Jti

w których R oznacza liczbę stałą c z y s t o-u rojoną; możnaby więc sposobem zwykłym zastąpić w tych wzorach funkcye kołowe funkcyami hyperbolicznemi.

Trzeci z powyższych związków podał w r. 1825 Taurinus,

który równocześnie z Łobaczewskim pracował nad zasadami geometryi (patrz (Engel-Stäckel 1. c.).

Lambert zaś w r 1766 zauważył, że geometrya na tej bypotezie kąta ostrego oparta, daje się interpretować na kuli o promieniu urojonym; poprzednie wzory trygonometryczne stwierdzają słuszność tego spostrzeżenia.

W Geometryi Łobaczewskiego krzywe, których punkty mają odległości równe od prostej danej (krzywe równych odległości), posiadają następujące własności.

1.    Normalne ich są wszystkie prostopadłe do prostej, i odwrotnie.

2.    Każda prosta, spotyka jąca krzywą w dwóch punktach, tworzy w tych punktach kąty równe z krzywą.

3.    Dwie styczne, poprowadzone do krzywej z jednego punktu, mają równe długości.

Krzywa, mająca własności 2 i 3 i nadto własność, że jej normalne są wszystkie równolegle, nazywa się horycy-k 1 e m lub krzywą graniczną Łobaczewskiego. Jest ona przypadkiem granicznym krzywych równych odległości i zarazem przypadkiem granicznym koła.

Hory cykl można uważać za koło, którego środek znajduje się w nieskończoności.

W przestrzeni hyperbolicznej o trzech wymiarach mamy podobnie hor y sferę lub powierzchnię graniczną Łobaczewskiego; powierzchnie te odpowiadają powierzchniom, które B o 1 y a i oznaczał literą F.

II.

Geometrya euklidesowa lub paraboliczna. Prosta jest nieograniczona lub otwarta Stosują się pewniki V i VI. Suma kątów trójkąta równa się dwóm kątom

prostym.

Geometrya ta odpowiada hypotezie kąta prostego S a c -cheri’ego lub Lamberta.

Z punktu można poprowadzić j e d n ę tylko równoległą do prostej danej. Prosta maj eden tylko punkt w nieskończoności .

Stosują się tu powyższe wzory trygonometryczne, gdy przyj-mierny w nich ~-

= 0 lub R =

zatem gdy zamiast

oo,

R sin ~ weźmiemy a, zamiast cos ~ jedność . ti    h

III. Geometry a Eiemanna lub eliptyczna. Prosta jest zamknięta i skończona. Nie stosuje się ani pewnik Y, ani też tern bardziej pewnik VI. Suma kątów trójkąta jest większa od dwóch prostych .

Geometrya ta odpowiada hypotezie kąta rozwartego Sac-c beri’ego lub Lamberta.

Z punktu danego nie można poprowadzić ż ad n e j równoległej do prostej danej; prosta nie ma żadnego punktu w nieskończoności.

Wzory trygonometryczne są te same, co poprzednio, ale należy w nich H uważać za liczbę rzeczywistą dodatnią.

Klein pierwszy zauważył, że geometryę tę należy podzielić na dwie, a to sposobem następującym:

Przy pomocy wzorów trygonometrycznych znajdujemy, że jeżeli dwie proste spotykają się w pewnym punkcie, to spotykają się i w drugim odległym na Rn od pierwszego, oraz że gdy na prostej wyjdziemy z pewnego punktu, to po drodze równej najwyżej 2Rn, powrócimy do punktu wyjścia. Przy tej zasadzie możliwe są dwie hypotezy, a mianowicie :

a) Przebiegając po prostej, wracamy po raz pierwszy do punktu wyjścia, przebywszy drogę równą Rn; wtedy punkt drugi, w którym spotykają się dwie proste, jest ten sam co pierwszy stąd wypływa twierdzenie : dwie proste spotykają się w jednym tylko punkcie; przez dwa punkty przechodzi jedna tylko prosta. Długość prostej równa się wtedy Rn. Geometrya, na tej hypotezie oparta, nazywa się geometryą Eiemanna pojedyńczą lub geometry ą eliptyczną pojedyńczą.

W Geometryi tej największa odległość dwóch punktów jest ^Rn\ jeżeli damy punkt, to wszystkie punkty odległe od niego na ^Rn, tworzą prostą.

Płaszczyzna w tej geometryi nie dzieli się na dwie części przez prostą na niej .

b) Przebiegając po prostej, powracamy po raz pierwszy do punktn wyjścia, odbywszy drogę 2ifrr; wtedy dwie proste spotykają się zawsze w dwóch punktach i istnieją pary punktów, przez które przechodzi nieskończenie wiele prostych. Długość każdej prostej równa się 2Rn] Geometrya, oparta na tej hypo-tezie, nazywa się Geometryą Eiemanna lub eliptyczną podwójną (Klein).

Największa odległość pomiędzy dwoma punktami jest Rny dla danego punktu istnieje tylko jeden punkt, odległy od niego na Rh . Istnieje zawsze prostopadła wspólna do dwóch prostych danych. Płaszczyzna przez każdą prostą na niej albo przez każdą linię zamkniętą rozpada się na dwie części. Każde koło ma dwa środki.

Ta specyalna Geometryą Riemannowska jest podobna do Geometryi sferycznej i daje się interpretować na kuli.

Jeżeli interpretujemy Geometryę eliptyczną na powierzchni o krzywiznie stałej dodatniej, wtedy podział tej Geometryi na dwie inne ma związek z hypotezą podwójną, jaką uczynić można o dwustronności i jednostronności powierzchni (patrz Rozdz. XVIII, § 1).

To odróżnienie dwóch geometryj Riemannowskich, nie spostrzeżone przez niektórych matematyków, np. przez ß eltram i’ego, znalazł Klein (Math. Ann. IV, str. 604 nota i Vr, str. 125), patrz także Newcomb (Crelle LXXXIII i K i 11 i n g (1. c.); ten ostatni nazywa przestrzeń eliptyczną pojedynczą: formą biegunową przestrzeni Eiemanna. Porów. t. I wspomnionych już wykładów litografowanych Kleina, str. 243, 293.

Zauważmy, że postulat IV stosuje się do wszystkich trzech geometryj; odpowiada on w pewien sposób postulatowi o n i e -• zmienności figur, bez którego nie można zbudować żadnego układu geometrycznego (patrz De Ti 11 y, Essai sur les principes fondam., Bordeaux, 1879, str. 18); podobnież stosują się do wszystkich trzech geometryj postulaty I, II, III.

De Tilly w pracach, cytowanych w paragrafie poprzednim, a zwłaszcza w pracy z r. 1893, utworzył trzy geometrye, wychodząc jedynie z pojęcia odległości, uważanego za pierwotne, i wyłączając kąty. Już dawniej Fourier miał tęż samą myśl zbudowania całej geometryi euklidesowej na tern pojęciu (porów, ustęp, powtórzony w „Mathesis“ IX, str. 139—141, 1889). De Tilly dla scharakteryzowania trzech geometryj korzysta ze związku, zachodzącego pomiędzy odległościami czterech punktów na płaszczyźnie i ze związku pomiędzy odległościami pięciu punktów w przestrzeni, wskazanych już przez Lagrang e'a, badanych przez C a y 1 e y’a, uogólnionych wreszcie przez Scheringa na przestrzenie nieeuklidesowe (patrz Rozdz. I, § 3 i 4), i na tych związkach opiera zasady trzech geometryj. Z tychże zasad otrzymał on też dowód niemożliwości wywodu logiez nego postulatu Euklidesa, czego pierwsi twórcy geometryi bezwzględnej nie uczynili, a co wynikło dopiero z prac Beltrami’ego. Nadto De Tilly podał dowód, że nie istnieje żaden inny system geometryi, prócz systemu euklide-sowego i dwóch nieeuklidesowych. Co do krytyki prac De Tilly ’ e g o patrz „Fondamenti“ V eronesego str. 592.

co

Zwykłe związki metryczne w postaci rzutowej.

Związki metryczne zwykłe można przedstawić w postaci rzutowej, uważając na płaszczyźnie dwa punkty kołowe urojone w nieskończoności, w przestrzeni zaś koło urojone w nieskończoności (Rozdz. IV, § 3; V, § 2) :

Niechaj x₁, x₂, x₃, x\ , x\, x\ będą spółrzędne jednorodne dwóch punktów P, P';    £₂. £35 l’i, 4 a > 4'a spółrzędne dwóch

punktów kołowych płaszczyzny (Rozdz. I, § 3) ; odległość między dwoma punktami wyraża się wzorem:

r = Ii

V(xx‘i) {XX¹ i')

~i^¥YWWV~'

gdzie iüjest stałą zależną od jedności miary.

Jeżeli wprowadzimy jednostkę miary, przyjmując, że odległość dwóch punktów a, ar równa się 1, wtedy wyrażenie rzutowe odległości r będzie postaci:

Z(xx'S) (xx'j') (ojj') (a'£$')

Z (aa* i) {aa! g \ (x£$r) {x‘ ££')

na

Niechaj ux — 0, u'x~0 będą równania dwóch prostych płaszczyźnie w spółrzędnych jednorodnych ; kąt pomiędzy prostemi wyrazi się we wzorach rzutowych w ten sposób:

1    liçu'z -f- ll'gUp

2    Zug Kg . u'çli'g’

cos CO -----

i «s«? —

sin « = —---===-=- .

^ Vugnp. ît'gu'ç'

Ważnem jest w tym względzie twierdzenie L a g u e r r e'a (Nouv. Ann. XII, str. 64, 1858, podane już przez nas Roz. I, § 3): Kąt co dany jest przez wzór

(o = \ log

. u'?

a?. v!s ’

t. j. co równa się —, pomnożonemu przez logarytm

stosunku harmonicznego czwórki, utworzonej przez dwie proste dane i przez dwie proste, idące do punktów kołowych.

Aby znaleść wzory analogiczne dla przestrzeni, należ}' wprowadzić rozważanie koła urojonego w nieskończoności.

Dajmy, że mamy wyznaczyć odległość punktów danych w spółrzędnych jednorodnych: xx, x₂, x₂, x₄; x\ , x\ , x'₃, x\.

Utwórzmy stożek kwadrykowy, który rzuca z punktu yl5 y₂, y₃, y₄ przestrzeni koło urojone w nieskończoności i niechaj F(X,y) będzie równaniem takiego stożka, w którym X oznaczają spółrzędne bieżące; niechaj dalej T(X) =0 będzie równaniem płaszczyzny, przechodzącej przez koło urojone w nieskończoności. Odległość pomiędzy dwoma punktami przestrzeni wyrazi się wzorem:

r — II

VFix, x') T(x) T(x') ’

gdzie R jak zwykle oznacza stałą zależną tylko od jednostki miary, a którą możemy wyznaczyć, jak wyżej.

Niechaj będą dwie proste, wychodzące z punktu y; niechaj na jednej z nich znajduje się punkt (x), na drugiej punkt {%')', oznaczmy przez Fx> biegunową formy U z biegunem (xr) i względem zmiennych (x), przez (xy)=0—równanie płaszczyzny stycznej, poprowadzonej przez punkt (x') do stożka z wierzchołkiem w punkcie (y) ; kąt pomiędzy dwiema proste mi wyrazi się wtedy wzorami:

cos co =

sin co = i

VF(x,y) F(x\y) ’

V&X’ (X,y)

VF(x, y) F(x\ y)

a pomiędzy Fi & zachodzi obędzie związek:

(x y) = F²^ {xy) — F(xy) F(x'y).

Kąt pomiędzy dwiema płaszczyznami jest

iloczynem przez logarytm stosunku pod w ój -A

neg o czwórki, utworzonej z dwóch płaszczyzn danych i z dwóch innych, przechodzących przez oś, i stycznych do koła urój one go w nieskończoności.

Jeżeli koło urojone w nieskończoności uważać będziemy za

kwadrykę obwiednią zniekształconą, wtedy trzy osi główne jakiejkolwiek kwadryki będą trzema krawędziami czworościanu samosprzężonego (patrz Rozdz. V, § 1 i 4), odnoszącego się do danej kwadryki i do kwadryki zniekształconej, którą przedstawia koło urojone w nieskończoności.

Kwadryki spółogniskowe (Rozdz. Y, § 3) są kwadrykami, wpisanemi w tęż samą powierzchnię rozwijalną, zawierającą koło urojone w nieskończoności.

§ 4.

Absolut Cayleya. Metryka rzutowa. Interpretacya rzutowa trzech geometryj.

C a y 1 e y w szóstej swej rozprawie o teoryi form algebraicznych dwójkowej i trójkowej (Phil. Trans. 1859) podał pomysł głęboki, o którym mówić tu będziemy; pomysł ten Klein (Math. Ann. IV, VI) zastosował do rzutowej interpre-tacyi geometryi nieeuklidesowej.

Formy gatunku i-go. Ustalmy na prostej parę punktów, którą nazwijmy absolutem prostej. Jeżeli xlt x₂ są spółrzędnemi jednorodnemi bieżącemi punktu prostej, wtedy parę punktów przedstawi forma dwójkowa kwadratowa zmiennych^, £ca, którą oznaczmy przez J£acB. Bo absolutu odnieśmy stosunki metryczne pomiędzy punktami prostej.

Niechaj x, x! będą punkty dane, £, £' punkty absolutu; utwórzmy stosunek podwójny

I) =

(a?f) (^T)

(x £')    i) ’

i nazwijmy odległością dwóch punktów x, x' wyrażenie :

r = Ii log D,

gdzie R jest stałą dowolną. Jeżeli 2Xx’ oznacza biegunową formy 21 Xx o biegunie x', wtedy:

2xx'    V 2²Xx' - 21 xx 2x'x'

r — R log

2 xx' — V 21²

2 XX 2 x'x'

Odległość r czyni zadość związkowi zasadniczemu (któremu czynią zadość i odległości na prostej, pojmowane w zwykłem znaczeniu tego wyrazu) :

02 + ^22 + rn — 0,

gdzie r,j oznacza odległość punktów i, j. Meżemy odróżnić trzy przypadki :

I.    Dwa punkty £ i £' są różne (t. j. wyróżnik formy 2 jest różny od zera) i urojone sprzężone. W przypadku tym mamy geometryę eliptyczną na prostej.

II.    Dwa punkty £, zlewają się. Mamy geometryę paraboliczną.

III. Dwa punkty £, £' są rzeczywiste. Mamy geometryę hyperboliczną.

W geometryi łiyperbolicznej dwa punkty £, £' mają odległość nieskończoną od każdego innego punktu; prosta ma dwa punkty w nieskończoności

Odległość w przypadku geometryi parabolicznej wypada zawsze równa zeru, gdy R dąży do oo. Kładziemy wtedy

JR

=    -(- v£x, i'₂ = ^2 ~ł~ £ £2 ’ zamiast R piszemy — i określamy

odległość jako granicę, mianowicie :

r = lim

[Ąiogi»]

W geometryi parabolicznej jedyny punkt £ jest punktem w nieskończoności, t. j. ma odległość 00 od każdego innego punktu; odległość r pomiędzy dwoma punkt aun i

wyraża się jako różnica dwóch dwustosunków

_ (xO)(E£)    (xO) (m

*    (x'f) (EO) (XÇ) (EO)

gdzie Ojest początkiem na prostej, E za, $ pu ktem — jednością.

W Geometryi eliptycznej długość prostej jest skończona i rówo i ZRn.

Formy gatunku 2-go. Wyobraźmy sobie na płaszczyźnie stożkową o równaniu Æxx—0, nazwijmy ją absolutem płaszczyzny; równaniem jej w spółrzędnych prostej niechaj będzie Suu'=0.

Każda prosta płaszczyzny przecina stożkową w dwóch punktach, które są rzeczywistemi, urojonemi sprzęźonemi albo zlewającemi się; te punkty będą puuktami zasadnicze-mi dla Geometryi na prostej płaszczyzny.

Z każdego punktu płaszczyzny można poprowadzić dwie styczne do stożkowej absolutnej; te dwie proste będą prostemi zasadniczemi dla geometryi pęku prostych, wychodzących z tego punktu.

Odległość dwóch punktów (x), (x') określamy za pomocą wyrażenia :

r = R log

xx' ~j~ V^~xx' ^ XX JEx'x'

1Exx'    yH ¹ xx'    XX £x'x'

kąt dwóch prostych (w), (ur) za pomocą wyrażenia:

co = R' log

Sun’ “j- VS²uh' tSuu Su'u

Suu' — VS\w - Suu Su'ur

Stożkowa absolutna jest miejscem punktów płaszczyzny, mających odległość nieskończoną od punktu danego.

Miejscem punktów płaszczyzny, mających odległość stałą od punktu danego (x) jest stożkowa, dotykająca stożkowej absolutnej w dwóch punktach, w których tejże stożkowej dotyka

biegunowa punktu (x). I wzajemnie: Proste, które z prostą daną (w) tworzą kąt stały, obwodzą stożkową, dotykającą stożkowej absolutnej w dwóch punktach jej przecięcia z prostą u.

Proste, spotykające się na stożkowej absolutnej, tworzą kąt zero i dla tego można uważać je za równoległe. Stąd: z każdego punktu można do prostej danej poprowadzić dwie równoległe (rzeczywiste, urojone, zlewające się).

Dajmy, że stożkowa 2 jest urojoną i połóżmy M=iBu Ii' = Œ' ; długość każdej prostej rzeczywistej na płaszczyźnie będzie skończona i równa 2R₁ji, suma zaś kątów w pęku prostych będzie 2 R\ n.

Jeżeli przyjmiemy jeszcze B\— , otrzymamy Geometryę Eiemanna lub eliptyczną (patrz § 2).

otrzymamy Geometryę

Jeżeli przyjmiemy, że stożkowa 2 jest rzeczywistą i położymy R=iR₁, R' — ili\ i R!

Łobaczewskiego lub hyperboliczną.

Jeżeli wreszcie stożkowa zniekształca się i jako obwiednia redukuje się do pary punktów, otrzymujemy Geometryę paraboliczną w znaczeniu szerszeni, która sprowadza się do Geometryi euklidesowej, gdy te dwa punkty są punktami kołowemi (urojonemi sprzężone m i).

Niema już teraz żadnej trudności w uogólnieniu tych rozważań na formy gatunku 3-go, a w szczególności na przestrzeń zwykłą. W przestrzeni tej absolutem będzie kwa-dryka. Stosownie do tego, czy kwadryka ta jest urojoną, rzeczywistą ale nie o tworzących rzeczywistych, albo zniekształconą (jako obwiednia) na stożkową płaską lub koło urojone, otrzymujemy trzy geometrye: eliptyczną, hyperboliczną i paraboliczną § 2-go.

45

Pascal Rep. II,

pi

Odwzorowanie geometry i nieeuklidesowej na powierzchniach lub rozmaitościach wyższych przestrzeni euklidesowej, podane przez Be/tramiego.

Geometrya Łobaczewskiego jest tożsama z geometryą w przestrzeni o krzywizn ie stałej ujemnej Eiemanna (patrz Rozdz. XX); dość tylko zamiast linij prostych podstawić linie geodezyjne. Stąd w szczególności, geometrya płaska Łobaczewskiego lub hyperbo-J liczna zlewa się z geometryą na powierzchni o krzywiznie stałej ujemnej (patrz Rozdz. XVI, § 11) i dla tego geometryę tę mo • zna nazwać także pseudosferyczną.

Powiedziano już w § 2, że Lambert w r. 1766 spostrzegł, że geometryę, wypływającą z t. zw. hypotezy kąta ostrego, można interpretować na kuli o promieniu urojonym.

M i n d i n g (Crelle XIX, XX, 1839—1840) spostrzegł był, że wzory trygonometryczne, odnoszące się do trójkątów pseudo -sferycznych, można otrzymać z wzorów dla trójkątów kulistych) zmieniając U na R V~1 (Rozdz. XVI, § 11). Przedmiotem tym zajmował też się C o d a z z i (Ann. di Tort. 1857), lecz dopiero Beltrami (Giorn. di Bat. IV, 1868) znalazł pierwszy prawdziwe i piękne wyjaśnienie tycli faktów. W późniejszej rozprawie (Ann. di matt. II) Beltrami rozciągnął na przestrzenie trójwymiarowe rozważania, poczynione poprzednio dla płaszczyzny.

Stała A, zachodząca we wzorach Geome-tryi Łobaczewskiego (patrz §2), jest pierwiastkiem kwadratowym z odwrotności krzywizny przestrzeni, w której interpretujemy tę geome t r y ę.

Co do geometryi płaskiej ßiemanna lub eliptycz-n e j, to powiedzieliśmy już w § 2, że dzieli się ona na dwie. Tylko jedna z nich daje się interpretować na kuli; druga odpowiada wprawdzie geometryi powierzchni o krzywiznie stałej, ale takiej, której spójność jest różna od spójności powierzchni kuli. Patrz uwagi Kleina w wykładach litogr. (I, 1892, str. 243—293) i to, co powiedziano wyżej na str. 697.

ROZDZAŁ XXII.

NOWA GEOMETRYA TRÓJKĄTA

Punkty i koła Lemoine a i Brocarda. Prosta Eulera. Koło dziewięciu punktów lub koło Feuerbacha. Kola Taylora i Tućkera.

Prosta Simpsona.

Podamy w tym ostatnim Rozdziale najważniejsze rezultaty t. zw. Greometryi trójkąta.

Niechaj będzie trójkąt ABC, oraz prosta, która tak jest nachylona do boków AB, AC\ jak prosta BC odpowiednio do boków AC, AB, nazywają się p r z e c i w r ó w n o 1 e g ł ą (antiparal-lela) do boków BC.

Punkty środkowe wszystkich przeciwrównoległych do jednego boku trójkąta znajdują się na prostej, przechodzącej przez wierzchołek przeciwległy temu bokowi; prosta ta nazywa się symedianą trójkąta.

Trzy symediany przechodzą przez jeden punkt, zwany punktem Lemoin e'a.

Odległości punktu Lemoine’a od trzech boków trójkąta są proporcyonalne do tych boków, a suma kwadratów tych odległości jest najmniejsza (minimum).

Jeżeli z punktu Lemoine’a poprowadzimy równoległe do trzech boków trójkąta, to sześć punktów, w których te proste spotykają boki, tworzą sześciokąt Lemoin e‘a i leżą na okręgu koła, zwanego pier wszem kołem Lemoine’a lub kołem potrójnego stosunku.

Środek pierwszego koła Lemoine’a jest środkiem prostej, łączącej punkt Lemoine’a ze środkiem koła opisanego na trójkącie.

Jeżeli D, D' ; E, E'\ F, Fr są wierzchołki sześciokąta Lemoine’a, położone odpowiednio na trzech bokach trójkąta, to odcinki I)Dr, EE', FF' są w stosunku sześcianów boków, na których się znajdują.

Jeżeli przez punkt Lemoine’a poprowadzimy przeciwrów-noległe do boków trójkąta, to sześć punktów, w jakich te proste przetną boki, do których nie są przeciwrównoległemi, znajdują się na okręgu koła, które nazywa się drugiem kołem Lemoine'a lub kołem dostawy.

Odcinki, które to koło odcina na bokach trójkąta, są pro-porcyonalne do dostaw kątów trójkąta.

Niechaj będzie dany trójkąt ABC, punkt 0 na płaszczyźnie taki, że kąty O AB, OBC, OCA są równe, oraz punkt 0' taki, że kąty 0'CB, O'BA, O'A C są równe. Pierwszy z tych punktów nazywa się punktem dodatnim Brocarda, drugi pun-ktem ujemnym Brocarda. Rozróżnienie to, oczywiście, ma ważność bezwzględną tylko wtedy, gdy ustalimy położenie wzajemne wderzchołków trójkąta zasadniczego ; przyjmijmy tedy, że droga AB, BC, CA jest drogą o zwrocie przeciwnym ruchowi skazówek zegarowych.

Kąt OAB równa się kątowi 0'BA i podobnież rzecz się ma z kątami pozostałemi; wspólna wartość tych kątów nazywa się kątem Brocarda. Kąt ten nie może być większy o jednę trzecią od kąta protego. Wielkość jego daje wzór:

cotg co — cotg A -j- cotg B -b cotg C.

Koło spółśrodkowe z kołem pierwszem Lemoine’a i przechodzące przez pierwszy punkt Lemoine’a, a więc przez środek koła opisanego na trójkącie, nazywa się kołem Brocarda.

Ze środka koła, opisanego na trójkącie, poprowadźmy prostopadłe do boków i niechaj Ä, B’, C będą punkty, w których te prostopadłe przecinają okrąg Brocarda, wtedy proste BA' CB', AC' zbiegają w punkcie dodatnim Brocarda, proste AB', BC\ CA' w punkcie ujemnym Brocarda.

Koło Brocarda przechodzi przez dwa punkty Brocarda.

Jeżeli Lv L₂ są promienie dwóch kół Lemoine’a, B promień koła Brocarda, R promień koła opisanego na trójkącie, wtedy zachodzą związki:

R2 = 3Ll²-j-J5²,

W = W + BK

Koło Brocarda nazywamy jeszcze kołem pięciu punktów lub kołem siedmiu punktów.

Jeżeli z danego punktu poprowadzimy równoległe do boków trójkąta, to sześć punktów, w których te proste przecinają boki, leżą na jednej stożkowej, zwanej stożkową sześciu punktów; stożkowa ta staje się kołem (pierwszem kołem Lemoine’a), gdy punkt, z którego prowadzimy równoległe, jest pierwszym punktem Lemoine’a.

Punkt Lemoine’a i środek ciężkości trójkąta otrzymuje się jeden z drugiego przy pomocy konstrukcyi, należącej do przekształcenia Desargues’a (patrz Rozdz. XVII); innemi słowy: jeden z tych punktów powstaje przez przekształcenie Desargues’a z drugiego. W podobnej zależności od siebie są dwa punkty Brocarda.

W trójkącie punkt Hprzecięcia wysokości (zwany ort o-centre m), punkt S przecięcia trzech środkowych (środek ciężkości—b a r y c e n t r), punkt M przecięcia trzech prostopadłych, wyprowadzonych z punktów środkowych boków, (środek koła opisanego) leżą na jednej prostej, zwanej prostą Eulera (Novi Comm. Petrop. XI, 1765, str. 114). Prosta MN podzielona jest w punkcie S wewnętrznie w stosunku

HS

SM

= 2.

Koło dziewięciu punktów, zwane także przez niektórych błędnie (patrz pracę M a c k a y a niżej cytowaną) kołem Eulera, jest to koło, przechodzące przez środki trzech boków trójkąta. Przechodzi ono także i przez śród-ki trzech wysokości i przez środki trzech odcinków, zawartych pomiędzy wierzchołkami a punktem spotkania wysokości trójkąta.

Środek JY" koła dziewięciu punktów znajduje się na prostej Eulera i leży na niej tak, że odcinek MN dzieli się wewnętrznie w punkcie S (środku ciężkości) i zewnętrznie w punkcie i?(punkcie spotkania wysokości) w stosunku 2:1.

Promień koła dziewięciu punktów jest połową promienia koła opisanego.

Koło dziewięciu punktów jest styczne w czterech punktach do czterech kół: wpisanego i zewnętrznie wpisanych w trójkąt (twierdz. Feuerbacha, Eigenschaften einiger merkwürdigen Punkte des geradlingen Dreiecks, ISiorymberga 1822; dlatego niektórzy koło dziewięciu punktów nazywaj ą także k o-łem Feuerbacha).

Koło dziewięciu punktów jest też styczne do każdego z dwunastu kół, wpisanych wewnętrznie i zewnętrznie do trójkątów, utworzonych z ortocentru i dwóch z pomiędzy trzech wierzchołków trójkąta (tw. Hamiltona, Nouv. Ann. 1862, str. 183).

Na okręgu dziewięciu punktów istnieją inne jeszcze godne uwagi punkty trójkąta, mianowicie dwa punkty Schroe-t er a (Nouv. Ann. 1865, str. 178), punkt Yigar i’ego (Math. 1888), punkt Lemoine’a (J. de math. élém. de Longchamps 1889, str. 93: 1890, str. 118), dwa punkty Boubalsa (tamże 1891, str. 215).

Koło dziewięciu punktów jest przypadkiem szczególnym stożkowej dziewięciu punktów, przechodzącej przez sześć środków boków czworoboku zupełnego i przez trzy punkty przekątne.

Jeżeli jeden z wierzchołków czworokąta zupełnego staje się ortocentrem trzech pozostałych, wtedy stożkowa staje się kołem; a jeżeli cztery wierzchołki znajdują się na okręgu, wtedy stożkowa jest hyperbolą równoboczną.

Stożkowa dziewięciu punktów jest miejscem środków stożkowych pęku, którego punktami podstawowemi są cztery wierzchołki czworokąta.

Bibliografia koła dziewięciu punktów: Brianchon i Ponce 1 e t (Ann. de Gergonne Xł, 1820, str. 215), Steiner (tamże XIX, str. 86 i Geom. Constr. Berlin 1833, str. 55), C a s ey (Quart. J. 1860, IV), K ii c li e r (Grunert’s Archiv XL VII), S c h r o e-ter (Crelle LXVIII, Math. Ann. VII), Lappe (Grelle LXXI), B a u r (Schlöm. Zejtich. XII), S c li u b e r t (tamże XVI). Historyę koła siedmiu punktów podał M a c k a y (Proc, of tlie R. Soc. of Edinburgh XI, 1892—93).

na

Koło Taylora jest to koło, przechodzące przez sześć punktów, które są rzutami ortogonalnemi spodków wysokości boki trójkąta zasadniczego (Proc. Lond, Soc. XX, 1889). Jeżeli rozważymy trójkąt homotetyczny z trójkątem zasadniczym, przy przyjęciu punktu Lemoine'a za środek homotetyi, wtedy boki tych dwóch trójkątów przetną się w sześciu punktach, znajdujących się na tern samem kole. Koła takie nazywamy kołami Tuckera.

Koło opisane, dwa koła Lemoine’a, koło Taylora są kołami specyalnemi Tuckera; miejscem środków wszystkich kół Tuckera jest prosta, będąca średnicą koła Brocarda.

Obwiednia kół Tuckera jest elipsą zwaną elipsą Brocard a ; ogniskami jej są dwa punkty Brocarda; jest ona wpisana w trójkąt i dotyka boków trójkąta w spadkach symedian (Brocard, Ann. de Toulouse 1887, J. de math. spec. 1889; Catalan, Mém. de Belg. XLIX, 1891).

Inną interesującą własnością elementarną trójkąta jest na

stępująca:

Jeżeli z punktu okręgu koła, opisanego na trójkącie, poprowadzimy prostopadłe do trzech jego beków, to spodki tych prostopadłych znajdować się będą na jednej prostej, zwanej prostą spadkową Simpson a lub W a 11 a c e’a t r ój-kąta.

Obwiednią prostej Simpsona iest hypocykloida tróiostrzo-(patrz Kozdz. XVII, § 12).

wa

Twierdzenie o spodkowej podał Servois (Ann, de Georg IV, 1813—14; str. 251), przypisując je Simpsonowi; Gergonne

(tamże) dał dowód analityczny twierdzenia i wypowiedział uogólnienie tegoż dla czworościanu, uznane wszakże przez D u r r a n d e’a (tamże VII) za błędne. Inne uogólnienie podał Steiner (tamże XIX). Porówn. Brocard (Bull. Soc. mat.) i M a c k a y (Soc. mat. Edinburgh IX, 1890, Assoc. Franç. 1893). Wskazówki bibliograficzne znaleść można w Interm. des math. III, 169; IV. 7.

Badania nad t. zw. geometryą trójkąta nie są zbyt dawne. Pomijając niektóre prace dawniejsze lub cytowane poprzednio, wymieniamy jako, pierwsze najważniejsze, badania: Le m o i n e’a (Nouv. Ann. 1873, Assoc. Franç. 1873—74), Brocarda ( Nouv. Corresp. math, de Catalan III, 1877, 1879, 1880), Neuberga (tamże 1879, 1880, Assoc. Franç. 1888, Mém de Belg. 1890), Schou-tego (Acad. d’Amsterdam, 1886), Cesàro (Nouv. Ann. 1887, Mathesis 1890) i t. d. Patrz także Lemoine (Bull. Soc. math. XII, 72, XIV, 167), F. C a s p a r y, Zur neueren Dreiecksgeometrie (Archiv, der Math. u. Phys. (3) I, 1901, str. 143—158). W dziele Case y’a (A sequel to E u c lid. 188, przekład francuski p. t. Géom. élém. récente, Paryż 1890 zebrana jest większa część rezultatów Geo-metryi trójkąta); inną pracą tego rodzaju jest P o u 1 a i n a (Nouv. geom. du triangle, Paryż 1892). W literaturze polskiej mamy pracę

S. Kępińskiego p. t. „Własności szczególnych trójek punktów trójkąta“ (Prace mat.-flz. II, 1890, str. 169—219). Wymieniamy datej: Eouché et Comberouse, Traité de géométrie 6 éd., Paryż 1891, str. 429—485. Note III, Sur la géométrie récente du triangle; A. E m m e r i c h, Die Brocard’schen Gebilde etc., Berlin 1891). Krótszy zbiór rezultatów geometryi trójkąta znajdujemy w Periodico di mat. VI. Historyę tego przedmiotu obejmuje Vigarié Esquisse historique sur la géom. du triangle (Assoc. Fr. 1889).

Uogólnienia podanych wyżej twierdzeń, odnoszące się do czworokątów, sześciokątów i t. d. poczynili: Neu b erg (Mathesis 1885), T u c k e r (Edue. Times 1885), Casey (Irish. Acad. 1886, Mathesis 1890), N e u b e r g i T a r r y (Assoc. Franç. 1886) i t.d.; uogólnienie do czworościan poczynili Picquet (Assoc. Franç. 1874) i N eu b e r g (Mem. de l’Acad. de Belgique 1884).

SPROSTOWANIA.

Do Tomu I.

Str. 74 i 81. Całkę Eulera, oznaczoną na tycli stronicach literą C, należy oznaczyć literą^!, dla utrzymania jednostajności znakowania, przyjętego na str. 426 i innych.

Str. 78 wierz 5-y od dołu, zamiast Lsurent, powinno być Laurent. Str. 154 wiersz 3-ci, dodać: Całka ta znana jest od dłuższego czasu;

łatwą metodę jej obliczenia podał L o bat t o (Crelle IX).

Str. 155 wiersz 3-ci od góry, zamiast wyrażenia po stronie drugiej wzoru, powinno być :

1-j-a cos x a -|- cos x

Wzór ten może służyć do znalezienia całki, określonej w granicach od 0 do n.

Str. 158 wiersz 1 i 5. Funkcya log (log x) jest czysto -u rojoną pomiędzy 0 i 1 i dlatego całki, występujące w tych wzorach należy rozumieć, jako podzielone przez — log (— 1). Taż sama uwaga stosuje się do wzoru Mascheroni’ego na str. 426.

Str. 160 wiersz 1-y od góry dodać: liczby a i b są liczbami całko-witemi róźnemi.

da

Va²—1

arc cos

, przy warunku a> 1.

Str. 373 wiersz 1-y od dołu powinno być:

C = ^<42-2 - i *• i

i nadto należy zauważyć, że stosując w tym wzorze działanie D, uwzględniamy okoliczność, iż wielkości c zależą też wyraźnie od et, że więc należy dołączyć wyraz : dc ił)

in—2

dei

DCi ,

t.j.

de</>

in—2

dei

N-tM

Do Tomu II.

Str. 146 w wierszu 15 od góry, zamiast: „które są opisane około stożkowej fr i wpisane w stożkową f “ powinno być: „które są opisane około stożkowej fr oraz oo¹ trójkątów biegunowych względem stożkowej f' i wpisanych w stożkową f“ .

O tych trójkątach pisali : Smith (Proc. Lond. math. Soc. II), R o s a n e s (Math. Ann. VI), Darboux (Bull.

. des sciences math. I, 348).

Str. 553. Do bibliografii linij geodezyjnych dołączamy: So chocki „Prace mat. fiz.“ III, 1892, str. 82—109.

SKOROWIDZ ALFABETYCZNY

rzeczy.

Descartes’a, 387. „ Dupina, 389. Cykliki, 583.

„ kuliste, 623. Cykloida, 611.

Aliseida, 562. ¹)

Analysis situs, 625.

Analogie Nepera, 78. Analagmatyczne powierzchnie, 384. 584.

Antykolineacya, 52.

Ąntykaustyki, 587.

Anomalia elipsy i hyperboli, 594, 595. Apolarność, 62, 117, 307.

Argezyana krzywej danej, 5S4. Astroida, 612.

Asymptota krzywej płaskiej, 510 ; p. Linie asymptotyczne.

Biegun harmoniczny prostej względem trójkąta, 70, 306.

Biegunowe harmoniczna płaszczyzny względem trójścianu, 306.

Biegunowa harmoniczna punktu względem trójkąta, 306.

Biegunowa harmoniczna punktu przegięcia krzywej sześciennej, 221.

Biegunowość, 50.

dla kompleksu, 446. krzywych płaskich, 188. kwadryk 152,153. powierzchni, 286 stożkowych, 124.

„ zerowa, 307..

Bieguny inwersyi, 582. Brachystochrona, 611.

Charakterystyka (Monge’a) powierzchni. 530.

Charakterystyki układów w geome-tryi liczącej, 499.

Cięcia powierzchni, 627.

Cięciwy główne krzywej skośnej rzędu czwartego, 317.

Cyklida pierścieniowa, 389.

„ rożkowata „

„ wrzecionowata „ Cyklidy, 383.

,, skrócona, 612.

,. wydłużona, 612.

Cylindroida, 452.

Cysoidy, 597.

Czworobok płaski zupełny, 7. Czworokąt płaski zupełny, 7. Czworoostrze, 613.

Czworościan foremny, 635. Czworościany Göpela lub Roseu-haina, 275.

Czworościany sprzężone lub biegunowe względem kwadryki, 153. Czwórki Göpela, 363.

Czwórki Rosenhaina, 363.

Diakaustyki, 586.

Elipsa, 120, 128, 594.

„ Brocarda, 712.

„ geodezyjna, 500. ,, sześeienua, 308. Epicykloida, 612. Epitrochoidy, 613.

trójkowe, 233.

Honu.grafia, 4. Homologia 4, 5, 36.

Długość luku elipsy, 594.

„ normalnej, 509. stycznej, 509.

Dwoistość. 6.

Dwudziestościan foremny, 637. Dwunastościan foremny, 636. Dwunormalna, 523. Dwupłaszczyzna 648. Dwustosunek, lu.

Dwuszóstka SchläHi’ego, 341. Działanie Aronholda, 86. 87.

„ symboliczne Cayley’a, 86. Dzielniki elementarne, 101, 102.

Elasoidy, 565.

Element liniowy powierzchni, 534 „    „    przestrzeni o krzy-

wiznie stałej, 679.

„    „    rozmaitości n- wy

miarowej, 673.

Figury nałożone, 3.

Forma harmoniczna, 9.

Forma różniczkowa zasadnicza powierzchni pierwsza, 535. druga, 535. trzecia, 539.

Formy algebraiczne, 81.

automorficzne, 112, 113. dwukwadratowe, 68. dwuliniowe, 100,195. geometryczne zasadnicze gatunku l-go, 8.

geometryczne zasadnicze gatunku 2-go, 23. geometryczne zasadnicze gatunku 3-go, 40. kwadratowe, 65. niebiegunowe wyższe, 117. pośrednie, 85

rzędu czwartego trójkowe, 252.

sześcienne, 66.

Gałęzie krzywej, 185—186.

Gatunki krzywych sześciennych skośnych, 308.

Geometrya analityczna, 23 i dalsze, 40 i dalsze, 125 i dalsze, 155 i dalsze.

„    bezwzględna, 690.

„ eliptyczna gatunku l-go,

697.

„    eliptyczna gatunku 2-go,

698.

„    form gatunku l-go, 80.

»    ,,    ,,    2-go, 23.

„    ,,    3-gO, rtO.

„    byperboliczna, 695.

„    licząca, 4^0—507.

„    na krzywej, 203, 212.

,,    na powierzchni,264—265.

„    nieeuklidesowa, 690.

„    nieskończonostkowa krzy

wych i powierzchni, 508.

,,    nieskończonostkowa roz

maitości wielowymiarowych, 673.

„    para boliczna, 696.

„    różniczkowa, 508. 673.

„    rzutowa, 5 i dalsze, 53,

122, 149.

,,    wewnętrzna, 527.

„    wykreślna, 53.

Gęstość kongruencyi, 578.

Glisety, 591.

Grupa diedryczna, 113.

„ cykliczna, 113.

Grupy harmoniczne, 14.

„ punktów na krzywej algebraicznej, 203.

„ spółresztowe punktów, 207.

„ wzajemnie resztowe punktów, 207.

Harmonizant, 62. Hekatonikosaedroid, 637. Heksadekaedroid, 637. Heksakosiedroid, 637.

Helisa walcowa, 623.

„ walcowo-stożkowa, 623. Helisoida, 556.

Helisy, 622.

Hesyan formy kwadratowej, 95.

„ grupy, 61.    ...

„ wielomianu dwudziestoscia- ' nowego, 645.

„ inwolucyjna, 36. Homotetya, 37.

trójostrzowa Steinera,

Inwersya, 582—583. Inwolucya, 16

rzędu 4-go wej podwójnej, 376. prostych powierzchni sześciennej, 340. przegięć krzywej ściennej płaskiej, 224. punktów styczności i płaszczyzn statecz - _ , nych krzywej skośnej rzędu 4-go gatunku 1-go, 313. Kongruencya izotropowa Ribau -coura, 581.

„    linij prostych, 471,476.

„    normalna. 587.

„    rzędu 1-go. 476.

Horycykl, 558.

Horysfera, 696.

Hyperbola, 120, 129, 595.

„    geodezyjna, 550.

„    równoboczna, 129.

„    sześcienna, 309.

Hyperboloidy 159, 160, 167,168,171-Hypocykloida, 612.

613

Hypotezy Saccheriego i Lamberta, 693.

Hypotrochoidy, 613.

Ikosatetraedroid, 637.

Interpretacya geometryczna form algebraicznych, 88.

„    Geometryi nieeukli

desowej, 563.

eliptyczna, 16, 17. hyperboliczna paraboliczna, „    „

rzędu n i stopnia k, 64.

Kardioida, 608.

Kasynoida, 601.

Katenoida, 565

Kaustyki przez odbicie i załamanie, 586-587.

„ wtórne, 587.

Kąt dwu płaszczyzn, 48.

„    „ prostych, 30, 33, 45.

.,    „ rozmaitości liniowych, 651.

„ «-krawędziowy zupełny, 57.

„ «-ścienny zupełny, 57.

„ styczności, 521.

Kąty Brocarda, 709.

Klasa kongruencyi linij prostych, 471.

,, krzywej algebraicznej, 179.

„ krzywej skośnej, 258. Klasyfikacya kompleksów kwadratowych, 459.

„    KlasyfikacyaNewtona

krzywych sześciennych. 231.

„    powierzchni Kummera

367—368.

„    powierzchni prostoli

niowych rzędu 4-go według Cremony i Cay-ley’a, 399—408.

Klasyfikacya powierzchni rzędu 3go, 329.

„ krzywych skośnych, 269-274. Koincydencye 111.

Kolineacya albo kolinearność, 4. Koło Brocarda 709.

„ dostawy, 701.

„ Feuerbacha, 711.

„ dziewięciu punktów, 710 „ pięciu i siedmiu-punktów, 710. „ Lemoine’a pierwsze, 709.

„    ,i drugie, „

„ ściśle styczne, 528 „ Taylora. 712.

,, Tuckera, „

Kombinanty, 95.

Kompleks algebraiczny ogólny stopnia n. 444.

„    Battaglini’ego, 467.

.,    czworościanowy, p. kom-

pleks Reyego.

,,    Painvina, 460.

,,    Reyego, 468.

Kompleksy biegunowe, 446.

„    kul, 488.

„    kwadratowe, 454.

„    liniowe, 449

„    liniowTe inwolucyjne Klei

na, 453.

,,    spółogniskowe, 458.

Konchoida Nikomedesa, 609. Koneksy, 107,108,109.

„ sprzężone, 110. Konfiguracya płaszczyzn i punktów osobliwych powierzchni Kummer a, 364.

Konfiguracya prostych powierzchni o stożko-sze-

Kongruencye rzędu 2-go bez linij osobliwych, 477.

,, rzędu 2-go z liniami osobliwemu. 482.

Konoidy, 593.

Konstrukcye krzywej sześciennej skośnej. 307

Krawędzie zwrotu powierzchni, 571. Krzywa Bertranda, 527.

Krzywe asymptotyczne powierzchni pseudosferycznej, 561.

„    cykloidalne, 591.

„    Delaunay’a, 619.

„    dzieleze albo dzielnicze, 590.

„ biegunowe różnych rzędów, 189.

„    dołączone, 294.

„ dwukołowe rzędu 4-go, 249 „    graniczne Łobaczewskiego

696.

„    Hessego, Steinera    i Cay-

ley’a dla krzywej    danej,

192—196

Jacobi’ego układu krzywych 202.

„ jednobieżne, p. krzywe ro-rodzaju zero.

,,    Agonalne, 213.

„    muszlowe, 590.

„    na powierzchniach    rzędu

2-go, 298. nierozkładalne, 179. normalne, 668, 669. obwiednie klasy, n-tej, 179. ogniskowe cyklid, 385. osobliwe kongruencyi, 474. ostrzowe powierzchni. 276. płaskie rzędu 4-go, 239. płaskie rzędu n-tego, 179. Ribaucoura, 617. rodzaju zero, 325. równoległe, 589. rozwijające 532. rozwinięte, 532. rzędu 4-go z punktami oso-bliwemi, 248.

„ rzędu 4-go z trzema ostrzami, 251.

„ rzędu 4-go skośne gatunku 2-go, 314.

„    rzędu 5-go, 319.

,,    rzędu 6-go, 323.

,, skośne przestępne,617—621

Krzywe skośne rzędu 4-go gatunku 1-go, 310."

„    spiralne, 614.

„    spółzraienne, 192.

„    sprężyste, 621.

,,    ściśle styczne, 528.

„    sześcienne harmoniczne

i równoanharmoniczne, 228. sześcienne płaskie, 220. sześcienne skośne, 303. trójdzielcze Maclaurina,591 Watta, 603.

wzajemnie odwrotne, 582 w przestrzeniachliniowych, 670.

,    w przestrzeniach Sn. 664.

„    wymierne, p. Krzywe ro

dzaju zero.

Krzywizna całkowita pola powierzchniowego, 550. całkowita powierzchni,

555.

całkowita trójkąta geodezyjnego, 551. Casorati’ego, 553.

Gaussa 554. geodezyjna, 547 linii krzywej, 521 druga krzywej skośnej,, p, Skręcenie, powierzchni, 553. Riemannowska prze -s trze ni, 677.

rozmaitości według Kro-neckera, 685. rozmaitości według Lip-schitza i Yossa, 684.

„    średnia luku krzywej, 621

Kule ściśle styczna, 529. Kwadratryca, 620.

Kwadryka obrotowa 164 Kwadryki, czyniące zadość dziewięciu warunkom, 505.

„    równoboczne, 174.

„    spółogniskowe, 173.

Lemniskata, 602.

„ Gerona. 606.

Liczby charakterystyczne krzywych rzędu 4-go, 310,315.

,. charakterystyczne krzywych sześciennych skośnych. 304.. „ charakterystyczne krzywej i?₅- 320, Ą°32l.

Liczby charakterystyczne powierzchni ogólnej rzędu 4-go, 354. Linie asymptotyczne powierzchni, 545—547.

„ asymptotyczne powierzchni Kummera, 366—36 7.

,, geodezyjne elipsoidy, 552.

„    „ powierzchni, 548 -

550.

,,    „ przestrzeni o krzy-

wiznie stałej, 680.

„ krzywiznowe powierzchni, 541 Liść Descartes’a 601.

Logocyklika, 600.

Loksodromie, 623.

Łańcuchowa, 617.

Łuk hyperboli, 595.

„ krzywej płaskiej, 514.

,    ,    skośnej. 515.

,,    ..    w spółrzędnych biegu

nowych, 520.

„ lemniskaty, 604. „ paraboli, 597.

„ sinusoidy, 620.

Metageometrya, 690.

Metoda szukania charakterystyk w geometryi liczącej, 502. Metryka rzutowa, 702.

Mimośród stożkowych, 135, 139 Moduł inwersyi, 582.

Moment dwu prostych. Monoidy. 268.

krzywej, 218. powierzchni Rieman-na, 641.

Nadkwadryki, 657. Nadpłaszczyzny, 648. Nadpowierzchnie, 53.

Nadprzestrzenie, 647.

algebraiczne, 654. sześcienne, 657.

11

rzutowe, 651.

Nadstożkowe, 53. n-bok płaski zupełny, 7. n-kąt płaski zupełny, 56.

„ skośny zupełny, 57 Niebiegunowość, p. Apolarność Niezmiennik jednoczesny kul, 488. Nodoida, 565.

Normalna główna do krzywej skoś-n-ścian zupełny, 57—58.

Objętość elipsoidy, 518.

„ hyperboloidy, 518.

„    paraboloidy eliptycznej,

518.

Objętości biegunowe, 520-

„    ograniczone powierzchnią

krzywą, 516.

Obraz kulisty krzywej, 522. Obwiednie, 530.

Obwód elipsy, 595.

„ lemniskaty, 605.

Odległość geodezyjna, 550. Odpowiedniość dwujednoznaczna. 3. „    homotetyczna form

gatunku 2-go, 37 „    inwolucyjna, 16, 17,

36, M.

Odwzorowanie kuliste kongruencyi, 571, powierzchni 538. Odwzorowanie płaskie powierzchni sześciennej, 3î8.

Odwzorowanie podobne powierz -clini. 538.

„    płaskie powierzchni,

291.

Ogniska kongruencyi. 472.

„    kwadryk, 169.

,,    owali Cassini’ego, 601.

„ stożkowych, 138.

Ogniskowa osobliwe cyklidy, 386.

„ osobliwe powierzchni, 385 Ogniska stożkowych, 1.

Okna Yivani’ego, 624.

Oktateodroid. 637 Oś rzutowości, 15.

Osi kwadryk, 165.

„ poprzeczne hyperboloidy, 166.

„ stożkowych, 133.

Ostrze krzywej, 183.

CassinPego, p. Kasynoida , „ Descartes’a, 606.

Ósemka [krzywa), 605.

Pangeometrya, 690.

Parabola, 120,128, 596.

„    Neila, 597.

„ .    sześcienna, 309.

Parabole ogniskowe paraboloidy, 170 „    rozbieżne, 231

Paraboloida eliptyczna, 159,160.

„    hyperboli czna, 151,    159,

160.

„    linij normalnych, 426.

Paradoks Eulera, 188.

Owale

Paaeal. Rep. II

46

Kongruencye rzędu 2-go bez linij osobliwych, 477.

„ rzędu 2-go z liniami osobliwemi. 482.

Konoidy, 593.

Konstrukcye krzywej sześciennej skośnej. 307

Krawędzie zwrotu powierzchni, 571. Krzywa Bertranda, 527.

Krzywe asymptotyczne powierzchni pseudosferycznej, 561. cykloidalne, 591. Delaunay’a, 619. dzielcze albo dzielnicze, 590. „ biegunowe różnych rzędów, 189.

dołączone, 2^4. dwukołowe rzędu 4-go, 249 graniczne Łobaczewskiego 696.

Hessego, Steinera i Cay-ley’a dla krzywej danej, 192—196

Jacobi’ego układu krzywych 202.

jednobieżne, p. krzywe ro-rodzaju zero.

A gonalne, 213. muszlowe, 590. na powierzchniach rzędu 2-go, 298. nierozkładalne, 179. normalne, 668, 669. obwiednie klasy, n-tej, 179. ogniskowe cyklid, 385. osobliwe kongruencyi, 474. ostrzowe powierzchni. 276. płaskie rzędu 4-go, 239. płaskie rzędu w-tego, 179. Ribaucoura, 617. rodzaju zero, 325. równoległe, 589. rozwijające 532. rozwinięte, 532. rzędu 4-go z punktami osobliwemi, 248.

rzędu 4-go z trzema ostrzami, 251.

rzędu 4-go skośne gatunku 2-go, 314. rzędu 5-go, 319. rzędu 6-go, 323. skośne przestępne,617—621

Krzywe skośne rzędu 4-go gatunku 1-go, 310."

„    spiralne, 614.

„    spółzraienne, 192.

„    sprężyste, 621.

,,    ściśle styczne, 528.

„    sześcienne harmoniczne

i równoankarmoniezne, 228. sześcienne płaskie, 220. sześcienne skośne, 303. trójdzielcze Maclaurina,591 Watta, 603.

wzajemnie odwrotne, 582 w przestrzeniach liniowych, 67o.

,    w przestrzeniach Sn. 664.

„    wymierne, p. Krzywe ro

dzaju zero.

Krzywizna całkowita pola powierzchniowego, 550.

„    całkowita powierzchni,

555.

„    całkowita trójkąta geo

dezyjnego, 551.

,,    Casorati’ego, 553.

„    Gaussa 554.

„    geodezyjna, 547

„    linii krzywej, 521

„    druga krzywej skośnej,,

p, Skręcenie, powierzchni, 553. Riemannowska prze -strzeni, 677.

„    rozmaitości według Kro-

neckera, 685.

„    rozmaitości według Lip-

schitza i Yossa, 684.

„    średnia luku krzywej, 621

Kule ściśle styczna, 529. Kwadratryca, 620.

Kwadryka obrotowa 164 Kwadryki, czyniące zadość dziewięciu warunkom, 505. równoboczne, 174. spółogniskowe, 173.

Lemniskata, 602.

„ Gerona. 606.

Liczby charakterystyczne krzywych rzędu 4-go, 310,315-,. charakterystyczne krzywych sześciennych skośnych, 304.

„ charakterystyczne krzywej R* 320, Ą° 321.

krzywej, 218. powierzchni Rieman-na, 641.

algebraiczne, 654. sześcienne, 657.

rzutowe, 651.

Liczby charakterystyczne powierzchni ogólnej rzędu 4-go, 354. Linie asymptotyczne powierzchni, 545—547.

„ asymptotyczne powierzchni Kummera, 366—367.

,, geodezyjne elipsoidy, 552.

„    ,, powierzchni, 548 -

550.

,,    „ przestrzeni o krzy-

wiznie stałej, 680.

„ krzywiznowe powierzchni, 54' Liść Descartes’a 601.

Logoeyklika, 600.

Loksodromie, 623.

Łańcuchowa, 617.

Łuk hyperboli, 595.

krzywej płaskiej, 514.

, skośnej. 515.

w spółrzędnych biegu

nowych, 520. lemniskaty, 604. paraboli, 597. sinusoidy, 620.

Metageometrya, 690.

Metoda szukania charakterystyk wgeometryi liczącej, 502. Metryka rzutowa, 702.

Mimośród stożkowych, 135, 139 Moduł inwersyi, 582.

Moment dwu prostych. Monoidy. 268.

Nadkwadryki, 657. Nadpłaszczyzny, 648. Nadpowierzehnie, 53.

r    ~~ ~v

Nadprzestrzenie, 647.

Nadstożkowe, 53. n-bok płaski zupełny, 7. n-kąt płaski zupełny, 56.

„ skośny zupełny, 57 Niebiegunowość, p. Apolarność Niezmiennik jednoczesny kul, 488. Nodoida, 565.

Normalna główna do krzywej skośnej, 522.

n-ścian zupełny, 57—58.

Objętość elipsoidy, 518.

„    hyperboloidy, 518.

„    paraboloidy eliptycznej,

518.

Objętości biegunowe, 520-

„    ograniczone powierzchnią

krzywą, 516.

Obraz kulisty krzywej, 522. Obwiednie, 530.

Obwód elipsy, 595.

,, lemniskaty, 605.

Odległość geodezyjna, 550. Odpowiedniość dwujednoznaczna. 3. „    homotetyczna form

gatunku 2-go, 37 „    inwolucyjna, 16, 17,

36, M.

Odwzorowanie kuliste kongruencyi, 571, powierzchni 538. Odwzorowanie płaskie powierzchni sześciennej, 3i8.

Odwzorowanie podobne powierz -cli ni. 538.

„    płaskie powierzchni,

291.

Ogniska kongruencyi, 472.

„    kwadryk, 169.

,,    owali Cassini’ego, 601.

„ stożkowych, 138.

Ogniskowe osobliwe eyklidy, 386.

„ osobliwe powierzchni, 385 Ogniska stożkowych, 1.

Okna Vivani’ego, 624.

Oktateodroid. 637 Oś rzutowości, 15.

Osi kwadryk, 165.

„ poprzeczne hyperboloidy, 166. i „ stożkowych, 133.

Ostrze krzywej, 183.

Owale Cassini’ego, p. Kasynoida „ Descartes’a, 606.

Ósemka [krzywa), 605.

Pangeometrya, 690.

Parabola, 120,128, 596.

„    Neila, 597.

„ .    sześcienna, 309.

Parabole    ogniskowa paraboloidy, 170

„    rozbieżne, 231.

Paraboloida eliptyczna, 159,160.

„    hyperboli czna, 151,    159,

160.

„    linij normalnych, 426.

Paradoks Eulera, 188.

46

Paseal. Rep. II

„    ściśle styczna krzywej

skośnej, 524.

Płaszczyzny kołowe kwadry ki, 167.

„    ogniskowe kongruencvi,

474.

„    podwójne pozorne, 259.

„    średnicowe kwadryki,

163.

„

Podstyczna, 509.

biegunowa, 509.

„ sinusoidy, 620 „ trójkąta geodezyjnego, 551.

„    „ “ kulistego,

„    „ prostokreślnego, 31,

45.

minimalne, 565.

Parametr główny paraboli, 135.

Parametr różniczkowy, 587.

„ tworzącej powierzchni prostoliniowej, 427.

Parametry izometryczne powierzchni, 536.

Pasma kwadryk, p. Pęki kwadryk.

„ stożkowych 142.

Pentaedroid, 637.

Perspektywiczność, 4.

Pęk płaszczyzn, 1. prostych, 1.

„ nieskończenie wązki promieni. 578.

Pęki kompleksów liniowych, 451 „ kwadryk, 175.

„ kompleksów liniowych, 451.

„ nadkwadryk, 659 „ perspektywiczne prostych, 22 „ promieni lub prostych, 119—22.

„ stożkowych, 142 „ syzygetyczne krzywych sześciennych 238.

Pięciościan Sylvestera, 336.

Płaszczyzna liniowa, I.

„ punktowa, 1.

Płaszezyzna-kula, 487.

„    styczne, 511.

„    trójstyczne do krzywej

skośnej, 260.

„    zjednoczone, 49.

Pochyłość płaszczyzny stycznej powierzchni prostoliniowej, 427.

Podkład pęku, 1.

, szeregu, 1.

Podobieństwo. 34.

Podnormalna, 509.

„    biegunowa, 509.

Podział foremny przestrzeni, 688. Pola biegunowe, 519.

Pole elipsy, 594.

„ hyperboli, 596 „ krzywej płaskiej, 514.

Pole pasa kulistego, 558.

„ płaskie, 514.

„ powierzchniowe, 514.

* powierzchniowe elipsoidy, 516. „    „    pierścienia, 518

,    „ w spółrzędnych

biegunowych, 519.

M    r>

Porządek kongrueneyi linij prostych 471.

Postulat V-y Euklidesa, 692.

Powierzchnia rzymska Steinera, 383—398.

„    Veronesego, 662.

Powierzchnie algebraiczne — teorya ogólna, 255.

„    aualagmatyczne rzędu

4 go, 384.

„    Appela, 572.

„    Bianchi’ego, 561.

„    biegunowe, 286.

Dini’ego, 561.

„    Ennepera, 561.

„ faloweFresnela,370,371 „    Goursata, 572.

graniczne Łobaczew-czewskiego, p. Hory-sfera.

„    homaloidalne, p. po

wierzchnie wymierne. „    Hessego dla powierz

chni sześciennej, 337.

„    Hessego dla układów

biegunowych, 287.

„    Jacobi’ego dla ukła

dów biegunowych, 287 „    jednobieżne, patrz po

wierzchnie wymierne.

„    jednospójne i wielo-

spójne, 628.

„    jednostronne, 626.

kanałowe, 572. kaustyczne, 588.

„    Kummera, 359.

„    listewkowe, 542.

„    łańcuchowe, p. Kate-

noida.

Henneberga

560.

Powierzchnie minimalne îednostronne 568.

„ Schwarza, 569 „ Cayley’a, 267. obrotowe, 592. o krzywiznie średniej dodatniej, 564. osobliwości kompleksu 445.

,,    przekątneClebscha,338

„    prostoliniowe rzędu

4 go, 398.

,    prostoliniowe rzędu

4-go, 416.

,.    przesunięcia Scherka

r    569.

„    pseudosferyczne, 458.

Riemanna regularne, 643.

„    Riemanna symetrycz

ne, 648.

„    Riemanna w znaczeniu

rzutowem 645 równoległe, 589. rozwijalne, 258, 531. rozwijalue rzędu 5-go, 413.

rozwijalne rzędu 7-go, 425.

rozwijalne jakiegokolwiek rzędu, 426.

,.    rozwinięte, 571.

rzędu 4-go z nieskończenie wielu stożko-wemi, 372.

rzędu 4-go zo stożkową podwójną albo ostrzową, 3 i 5.

„    rzędu 4-go z prostą

podwójną, 390.

„    rzędu 5-go nieprosto-

liniowe, 409. rzędu 6-go albo klasy

6-ej, 419.

_    spólzmienne, 236

stożkowe, 593.

„    typu Liouville’a, 437.

„    Veronesego, 662.

„    walcowe, 592.

„    Weddlego, 356.

„    wymierne, 434.

Prawo bezwładności form kwadratowych, 98.

Promienie główne krzywizny powierzchni, 543.

Promień krzywizny geodezyjnej. 548.

„    „    linii krzywej, 521

Prosta biegunowa krzywej, 523.

„ Eulera, 710.

Prosta punktowa, 1, 8.

„    spodkowa Simpsona lub

'W'allace’a, 712.

„ zjednoczona biegunowości, 39 ,, urojona pęku, 20.

Proste osobliwe kompleksu, 445.

„ powierzchni rzędu 3-go, 390. Przecięcia figury, 3.

„ normalne główne powierzchni, 542.

Przeciwbiegunowość, 52. Przeciwdwoistość, 52 Przeeiwinwolucya, 62. Przeciwrównoległa, 708. Przeciwrzutowość, 52. Przeeiwzmienniki formy, 85 Przeciwzmiennośó formy, 85. Przedstawienie analityczne krzywych skośnych, 266.

„    symboliczne komplek

sów, 447.

„    monoidalne krzywych

skośnych do rozmaitości, 268, 656.

„    symboliczne konek-

sów, 108

Przegięcie krzywych płaskich, 513. Przekroje kołowe kwadryki 166. Przekształcenie Cremony, 214.

„ powierzchni Riemanna 642.

„    przez promienie od

wrotne, 293.

„    spółrzędnych Descar-

tes’a, 26.

Przestrzenie o krzywiznie stałej Riemanna, 678.

Przestrzeń płaszczyznowa, 2.

„ punktowa, 2.

Punkt jedność, 11.

„ -kula, 487 „    Lemoine’a, 708.

„    eliptyczny powierzchni alge

braicznej, 256.

„ hyperboliczny powierzchni algebraicznej, 256.

„ paraboliczny powierzchni algebraicznej, 256.

Punkt Vigan ego, 711.

„ zjednoczony biegunowości, 39 Punkty harmoniczne, 8.

„ Brocarda, 709.

„ Boubalsa, 711

dwupłaszczyznowe, 274 graniczne kongruencyi, 474.

„ jednopłaszczyznowe, 274.

kołowe płaszczyzny. 33,130.

.,    „ powierzchni, 543.

„ osobliwe krzywej algebraicznej, 183.

„ osobliwe krzywych skośnych, 275.

_ osobliwe powierzchni, 274 „ podwójne pozorne, 259.

.. ' przecięcia trzech kwadryk, 311 „ przegięcia krzywej algebraicznej. 183.

przegięcia krzywej sześciennej płaskiej, 221. przekątne, 56.

rozgałęzienia na powierzchni Riemanna, 639

„ sprzężone względem kwadryki,-stożkowej 124, 131. 153,162 ,. stożkowe, 274.

„ stycznościowe,

Sehroetera, 711. urojone, 13.

„ wielokrotne krzywej, 182.

„ zbiegu, 14

„ zjednoczone inwolueyi, 16.

Rachunek symboliczny warunków w geometryi liczącej, 593.

Rodzaj koneksu, 111.

„ krzywej algebraicznej, 185, 186.

„    krzywej skośnej, 280.

„ powierzchni Riemanna, 639. Równania krzywyoh rzędu 4 go, 241.

„    kwadryk w formie zreduko

wanej, 160.

„    stycznej do krzywej skoś-

„    nej, 510.

Równanie biegunowe elipsy i hyperboli, 135.

„    dwoistościp.izestrzennej, 51

„    inwolueyi, 18.

„    kanoniczne krzywej sześ

ciennej, 227.

„    koła w układzie prostokąt-

„    nym i ukośnokątnym, 129.

Równanie krzywej rzędu 4-go z trzema punktami podwójnemi, 250.

„ krzywej rzędu 4-go z trzema ostrzami, 251.

„    kwadryki ze środkiem, 165.

normalnej do powierzchni, 511.

.,    normalnej do krzywej płas

kiej, 508

„    normalne płaszczyzny, 47.

.,    „ prostej, 29.

„    pęku syzygetycznego krzy

wej sześciennej, 221. płaszczyzny, 46. płaszczyzny średnicowej, kwadryki, 163. płaszczyzny normalnej ®o. krzywej skosnej, 510.

„    płaszczyzny stycznej do po

wierzchni, 5 U. pokrewieństwa, 34 powierzchni Fresnela. 371, powierzchni Kummera, 261-262-

,,    powierzchni prostoliniowej

rzędu 5-go, 417

„    powierzchni rozwijalnej

rzędu 6-go, 423.

„    powierzchni rzędu 4-go

„    z 7 punktami podwójnemi,

357.

.,    przekształcenia dwukwa-

dratowego, 216.

.,    16 płaszczyzn osobliwych

powierzchni Cayley’a i Kum-mera, 369, 361. rzutowosci,14. stożka asymptotycznego do kwadryki, 163,

„    stożka opissanego na kwa-

dryce, 161

,,    stycznej do krzywej płas

kiej, 508.

.    stycznościowe stożkowej,

131

„    wewnętrzne    hyperboli rów

nobocznej, 526.

„    wewnętrzne    krzywej, 526.

„    wewnętrzne    krzywej kuli

stej, 527.

„    wewnętrzne    paraboli, 526.

„    „ stożkowej 526

Równoległość płaszczyzn, 47.

Gięć kompleksów liniowych, 452. .Sieci homolaidalne,

., kwadryk, 175.

Sieczne wielokrotne krzywej skoś • nej, 274.

Sinusoida, 620.

Skręcenie geodezyjne linij na powierzchni, 551 -

,    „ krzywej skośnej, 535.

Ślimakowa Pascala, 607.

Spiralna Archimedesa, 615. hyperboliczna, 616. logarytmowa, 615. paraboliczna, 616. sinusidalna, 616.

Spółzmienniki, 85.

Równoległość nadpłaszezyzn, 649. Rozgałęzieniepowierzchni 643. Rozwijalnosć, 555. 567, 679. Rozwinięta elipsy, 594.

„ lemniskaty, 503. Rozwinięte i rozwijające, 531. Rulety, p. krzywe cykloidalne. Rząd Kongruencyilinij prostych, 471 „ krzywej algebraicznej' 179. Rzutowosć kołowa, 19, 21.

Rzut stereograficzny,

Rzuty figury, 3.

Spiryki, 610.

„ kuliste, 624.

Spodkowa krzywej płaskiej, 584. Spójność powierzchni, 628.

„ przestrzeni, 631. Spółczynniki kątowe, 29.

Spółrzędne barycentyczne, 11, 12.

,.    biegunowe, 24

„    Descartes’a, 26, 41.

„    dwubiegunowe, 25.

„    elementów formy, 2.

„    eliptyczne Lamégo, 575.

„    hyperboloidalne, 299

„    jednorodne, 12, 24, 25,    435.

„    „ kuli, 486.

„    krzywoliniowe na powierz

chni, 533.

„    promieniowe, 438.

„    prostej w przestrzeni,    437.

„    punktów kołowych kwa

dryki, 167.

„    tetrametryczne, 42.

„    trójliniowe lub tryme-

tryczne, 25.

„    rzutowe. 13, 42.

„    Zeuthena, 440,

„    formy sześciennej trój

kowej, 233.

„    formy rzędu 4-go trój

kowej, 253.

Średnice kompleksu, 450,

„ sprzężone elipsy i hyper-bolii, 132.

Środek ciężkości trójkąta, 710 „    homologii,36,58.

„    inwersyi, 582

„ krzywizny geodezyjnej linii na powierzchni, 549.

„    krzywizny linii krzywej,    523.

„    kwadryki, 153, 163.

„    pęku, p. podkład pęku, 1.

„    średnich harmonicznych, 59.

Środki harmoniczne, 22 „    kolineacyi, 59

„    odległości średnich, 160

„    średnich harmonicznych,    59

„    stożkowych, 132

Stosunek anharmoniczny, p. Dwu-stosunek.

Stożek kierowniczy powierzchni prostoliniowej, 557.

Stożki algebraiczne, 259.

„ asymptotyczne, 154,163

Kummera powierzchni rzędu 4, 377.

Stożkowa biegunów, 324.

„    dziewięciu punktów, 712.

„    towarzysząca krzywej

sześciennej, 224.

„    119 i dalsze, 594.

Stożkowe kuliste, 302.

ogniskowe kwadryk, 170, 171.

Strofoida, 600.

Styczne osobliwe krzywej algebraicznej, 183.

,, sprzężone, 545.

Styczność różuyeh rzędów krzywych i powierzchni, 528.

„ stateczna, 278 ,    trójpunktowa, czteropunk-

towa i t. d., 256, 432.

Symbole Christofiela, 540.

czteroskaźnikowe Christof-fela, 674.

„    trójskaźnikowe Christofiela

674.

Symediana, 788.

Symetroida, 358.

Tr

Szereg⁻ punktów, p. Prosta punktowa

Szeregi przeciwpodstawieniowe, 83.

„ różnopodstawieniowe, 84.

„ rzutowe punktów, 14. spółpodstawieniowe, 83, Sześeiokąt Lemoine’a, 758.

Sześciościan biegunowy Cremony. 344.

Tautochrona, 611.

Tetraetroida Cayley’a. 368—369. Topologia, 625.

Tożsamości pomiędzy utworami sym-bolieznemi form, 88.

Traktorye, 619.

Triedrometrya, 74 Trochoidy., 612.

Trójkąt biegunowy, 39.

geodezyjny, 550. podstawowy spółrzędnyeh,25 przegięcia krzywej sześcien- i nej, 221.

Trój bok przekątny, 7 Trójki punktów na krzywych skośnych rzędu 4-go gatunku 1-go,

3i2.

Trójściany, 74

ójściany sprzężone Steinera, 342 Trygonometrya kulista, 74—80 „    pseudosferyczna, 563.

„    płaska, 72—74

Twierdzenia Rohna o powierzchniach Kummera, 467—368. Twierdzenie Abela o podziale le-mniskaty, 604

„    Beeza o rozmaitościach

677.

„    Beltrami’ego o liniach

geedezyjnych, 559, 680.

„    Beltrami’ego o kongru-

encyach normalnych,

„ Bertiniego o krzywej ogólnej układu liniowego, 196.

„    Bonneta, 556

„    Boura o helisoidzie,556

„    Brian chona, 122.

,,    Brilla o rozmaitości

pseudosferyeznej, 686.

„    Castelnuova i Enrique-

sa o powierzchniach algebraicznych, 436.

„    Carnota dla krzywej

płaskiej, 191.

Twierdzenie Carnota o stożkowych, 135-136.

„    Cayley’a    o    krzywych

algebraicznych, 181. Cevy, 71.

,    Chasles’a    o    lemniska-

tach, 193.

,,    Chasles’a    o    tworzeniu

krzywych algebraicznych, 203.

„    Clairauta,    550.

.,    Clebscha    o    komplek

sach, 445.

„    ClifForda    o    grupach

punktowych na krzywej, 209.

.,    Cotesao krzywych pła

skich, 191.

„    Cremony o przekształ

ceniu dwujednoznacz-nem, 215.

„    Delaunay’a o krzywych

południkowych undu-loidy i nodoidy.

„    Desargues’a, 122.

„    Eulera (z teoryi po

wierzchni), 543.

„    Eulera o wielością -

nach, 633

Fagnana o lukach elipsy i hyperboli, 595.

,,    Fagnana o podziale

lemniskaty, 604 Gergonne’a o kausty-kach, 587

„    Halphena o krzywiz

nach algebraicznych, 262 —263, 271.

„    Jacobi’ego o krzywych

algebraicznych, 181.

„    Krausa o krzywych do

łączonych, 210.

,,    Landena o lukach hy

perboli, 596.

,,    Legendre’a o kątach

trójkąta płaskiego,

„    Legendre’a o trójkątach

kulistych, 80.

,,    Maclaurina o stożko

wych, 122.

„    Maclaurina o krzywych

płaskich płaskich, Ï92.

„    Maclaurina o krzywej

sześciennej, 223.

Tworzenie geometryczne powierz-rzędu 3-go, 383.

„    rzutowe krzywych alge

braicznych, 203.

„    krzywych rzędu i-go, 239.

we-

układu form

Twierdzenie Malusa-Dupina o kon-gruencyi normalnej,580 „ Menelausa o trójkącie, 71.

Mensniera. 548. Newtona o krzywej płaskiej, 191 Nöthera, 182 o reszcie w teoryikrzy-wych algebraicznych, 207.

o zachowaniu rodzaju dla dwóch powierzchni, 294 Pascala, 122. Riemanna-Rocha. 208. >>teinera o spodkowych 585.

Steinera o stożkowych,

122.

Pascala i Brianchona, 72.

,,    Pliickera o krzywych

algebraicznych. 191.

„    Ponceleta o krzywych

algebraicznych, 181.

,,    Webera o krzywych

dołączonych, 210—211.

„    Weingartena o powło

kach powierzchni rozwiniętej, 572.

Tworząca osobliwapowierzchn ipro-stoliniowej, 428.

Tworzące powierzchni rozwijalnej, 258.

’?    ”)    >7

dług Oeisera, 244. rzutowe krzywych sześciennych, 225.

„    , rzutowe kwadryk, 149.

,, rzutowe stożkowych, 119.

Typy rozmaitości o krzywiznie stałej 681.

Układ ezworościenny czyli tetra-metryczny spółrzędnych, 42.

,, izotermiezny krzywych na powierzchni, 536.

„ kanoniczny grup punktów na krzywej algebraicznej, 207 „ płaski, 2.

Układ spółrzędnych jednorodnych, 13.

„    spółrzędnych    Weierstrassa,

681.

Układy dwu stożkowych, 147.

„ homaloidalne krzywych, 202 , homototyczne 37.

„ kolinearne, 33.

„    liniowe grup punktów, 63.

„    „ krzywych, płaskich,

196.

„    „ powierzchni, 289—90

„    płaskie jednokreślne, 33.

„    powierzchni    ortogonalnych,

573.

„    podobne, 35.

„    wzajemne, 5

„ zerowe, 52, 306, 450,472.

„ zupełne utworów niezmienniczych, 89, 107.

Umbiliki, patrz punkty kołowe.

Unduloida, 565

Utwory niezmiennicze, 82,

trójkowych, 144

Versiera, patrz Zwrotnica.

Walec eliptyczny, 159, 160.

„ hyperboliczny, 159,160.

„ paraboliczny, „    „

Warunek liniowości przestrzeni, 676 ., wymiaru formy geometrycznej, 491.

Wężowniee eliptyczne    230—231.

„    hyperboliczne „    ,.

„    paraboliczne „    „

Wiązka płaszczyzn, 2.

„ prostych, 1.

Wielokąty Steinera, 223. Wielopunkty, 648.

Wielościany Archimedesa, 636 „    Eulera, 634.

„    Platona, 635

„    utworzone z płaszczyzn

trójstycznych do powierzchni rzędu 4-go, 377.

Wierzchołki stożkowych, 133 Wklęsłość i wypukłość krzywych płaskich, 512.

Własności graficzne, 5.

„    miarowe lub metryczne, 5

„ . metryczne kwadryki, 173.

Zwrotnica, 598.

Własności metryczne stożkowych,135    j

„    ogniskowe kwadryk, 169.

„    „    stożkowych, 138.

„    rzutowe kwadryk, 152.

stożkowych, 122.

., trójkątów, ezwo-kątów i t. d., 69.

Wskazująca Dupina, 544.

Wypadkowa, 96.

Wyróżnik, 96.

Wyróżnik formy kwadratowej, 99

100.

„ krzywej, 187.

„    kwadryki, 156

„    stożkowej, 126

W yznacznik Hessego, 114.

Wyznaczniki funkcyjne, 94.

Wzór Hamiltona ^dla kongruencyi),

,, odpowiedniości Cayley’a i Brilla, 211.

„ Stringhama, 638.

„    Zeuthen a z teoryi krzywych

algebraicznych, 219.

Wzory Codazzi’ego, 535

„ Freneta i Serreta i uogólnienie ich dla krzywych w przestrzeniach liniowych, 525, 672

„ na incydencyę i koincyder -cyę, 493.

,. Pliickera, 184, 185.

„    trygonometryi kulistej, 76—79

„    płaskiej, 82 — 74.

„ Weierstrassa dla powierzch-„ ni minimalnych, 566—567.

Zagadnienie Plateau’a, 569.

Zasada biegunowości, 6.

,, dwoistości, 6.

„ odpowiedniości Chasles'a, 19. „ przeniesienia, 91.

„ zachowania liczby w geome-tryi liczącej, 490.

Zginanie rozmaitości, 677.

Znikanie wyróżnika krzywej 188.

Znakowanie symboliczne dla kompleksów, 447 „    ,. koneksów, 108.

Związki metryczne w postaci rzuto-towej, 699.

„ pomiędzy liczbami ekarak-terycznemi powierzchni algę -braicznych, 261.

$-96

*£1'

I

.1

u

[

POLITECHNIKA KRAKOWSKA BIBLIOTEKA GŁÓWNA

Vji

3Ł'l

HI

i 5 ^

L. inw.

yf ^

■

A-,

Kdn. 524. 13. IX. 54

,r

■i.

li

! !,

h

i!

mm

Ł

Biblioteka Politechniki Krakowskiej

100000299026

¹

Liczby oznaczają stronice.