mm

mmmmm

KKH-T ? vKiv -

L'^nrtrïJtrrrtrî

Biblioteka Politechniki Krakowskiej

100000299025

fT-,

ł

,

I ;

\

!

ERNESTO PASCAL.

^Profesor Tini-weisytetii -w Pawii

RACHUNEK NIESKOŃCZONOŚCIOIY

PKZEŁOŻYŁ

S. DICKSTEIN.

CZĘŚĆ II.

RACHUNEK CAŁKOWAĆ

Z 15 drzeworytami w tekście.

WARSZAWA.

Wydawnictwo Redakcyi Phac matematyczno-fizycznych. W drukarni J. Sikorskiego, Warszawa, Warecka /4,

°/Ł

HD 5 >7.3: 51?-?'

ÆosBOÆeno IÎCHsypOH), ßapmaBa 3 J ÆeKaÔpa 1896 r

KRA?

ll'MSMb

TRESC.

ROZDZIAŁ I

Całki określone i nieokreślone.

8tr.

C//5 cff.

to

y/c

co‘

tH ) O CD l'-' 500 500 500 5CC

po

Definicya całki określonej .    .......

Własności zasadnicze całek określonych. Wzór na wartość średnią.............

Całka określona, uważana jako funkcya granic. Fun-

kcya całkowa............

Całka określona w dwóch przypadkach osobliwych

Całki nieokreślone...........

Przekształcenie całki pojedynczej.......

Różniczkowanie względem parametru. Przemienność znaków granicy i całkowania; przemienność znaków różniczkowania i całkowania......... .

Przemienność dwóch znaków całkowania.....

X O b- O

Cl

CM »O Cl CO

ROZDZIAŁ II

Całkowa/ność funkcyj

th ci

500 500

Pierwsza postać warunków całkowalności . Druga postać kryteryum całkowalności

ll

Nrr

zr/i

CO

zrr.

Funkcye całkowalne i niecałkowalne. Zastosowanie znalezionych kry tery ów...........

Twierdzenia o funkcyach całkowalnych. Całkowanie przez szeregi............

47

50

ROZDZIAŁ III.

Obliczanie całek nieokreślonych i określonych,

xr. zrr.

IC

•//. //.

CD

zm z/y:

Cl o<

Całki nieokreślone zasadnicze .    ......

Sztuczne sposoby całkowania. Całkowanie przez części

Całkowanie przez szeregi .......

Całkowanie funkcyj wymiernych.....

Całkowanie funkcyj niewymiernych. Całki dwumienne

Całki eliptyczne...........

Całkowanie funkcyj przestępnych.......

Obliczanie całek określonych. Całki Euler o we

.o

Cl

h-Ł

CS

iCl »O X Cl

c:

ROZDZIAŁ IV.

Całki wielokrotne

§ 1. Określenie całki podwójnej i wielokrotnej. Warunki cał-kowalności.............

102

§ 2.

Całka wielokrotna jako funkcya granic: określenie jej w przypadkach osobliwych ..... Przekształcanie całek wielokrotnych

107

§ 3.

§ 4. Własności całek podwójnych. Twierdzenie Green a .

. . 111 .    115

ROZDZIAŁ V.

II!

ROZDZIAŁ VI.

Geometrya całkowa.

Sir

§ 1.

§ 2. § 3. § 4.

§ 5.

§ 6.

Pole krzywej płaskiej Łuk krzywej płaskiej Łuk krzywej skośnej Pole powierzchni krzywej . Powierzchnie obrotowe . Pasmo kuliste .

.    .    127

137

140

.    152

.    155

158

§ 7.

Powierzchnia elipsoidy obrotowej .

§ 8. Objętości ograniczone powierzchniami .

.    .    159

. 100

Objętość bryły obrotowej § 10. Objętość elipsoidy. Bryła utworzona obrotem cykloidy .    105

§ 9.

103

ROZDZIAŁ VII.

Równania różniczkowe.

ir. ih

i-i CM

CO    >6 CO

ir. ir. m m

[>•’ cc    ai th

'in in    ir ir. ir

Rozważania i określenia zasadnicze......

Przykład zagadnienia geometrycznego, którego rozwiązanie prowadzi do równania różniczkowego.....

Równania różniczkowe 1-go rzędn. Równania, w których można rozdzielić zmienne ........

Równania różniczkowe jednorodne.......

Równania liniowe 1- go rzędu........

Równania różniczkowe^rzędu 1-go, nierozwiązalne wzglę-

dem f .    .    ...........

dx

O czynniku całkującym..........

Równanie o pochodnych cząstkowych, któremu czynią zadość czynniki całkujące.........

Całki osobliwe równań różniczkowych zwyczajnych . Równania różniczkowe liniowe jednorodne .... Równania liniowe jednorodne o spółczynnikacli stałych .

170

174

170

177

179

188

187

191

190

199

IV

Str.

§ 12. Równania liniowe niejednorodne § 13. Twierdzenia o równaniach różniczkowych liniowych. Wzór

. . 210

Liouvill e’a

.    215

§ 14. O pewnych szczególnych klasach równań różniczkowych

liniowych...........

§ 15. Równania liniowe 2-go rzędu.....

§ 16. Układy równań liniowych jednoczesnych .

§ 17. Rówmania różniczkowe rzędu wyższego

§ 18. Całkowanie przez szeregi......

§ 19. Równania o pochodnych cząstkowych .

. 218 . 221 .    223

.    227

IC to

cc oc

ROZDZIAŁ I.

CAŁKI OKREŚLONE 1 NIEOKREŚLONE.

coo

Definicya całki określonej.

Niechaj będzie funkcya f (x) skończona w całym przedziale od a do b. Podzielmy ten przedział na n przedziałów cząstkowych, które oznaczmy przez <51? ó₂, ■ ■ • , dn. Niechaj fr będzie wartością lunkcyi w jednym z punktów przedziału ór albo granicą wyższą lub niższą wartości funkcyi f w tym przedziale. Utwórzmy sumę :

rozciągniętą na wszystkie przedziały cząstkowe. Suma ta ma wartość skończoną i będzie miała zawsze taką wartość, gdy bę- > dziemy powiększali liczbę przedziałów, zmniejszając każdy z nich.

Jeżeli przy nieograniczonem zmniejszaniu przedziałów cząstkowych i równoczes-nem dążeniu liczby n do nieskończoności, istnieje granica powyższej sumy i jest nie-

Pascal R. C.

os obu, w jaki zmniejszamy edzi łów i .bez względu na wybór wartość fr, w t e

całką określoną f u n k c y i f (x) od a do b. Liczby a i b nazywają się granicą niższą i granicą wyższą całki określonej, a przedział od a do b nazywa się drogą całkowania,

Całka określona oznacza się za pomocą symbolu:

zależną

obszerno

O -CO

CS3

P-« 03

granicę tę nazywamy

clx,

gdzie piszemy najprzód znak /, (będący zniekształtnioną literą S, początkową wyrazu s u m a), potem piszemy funkcyę f (a?), której całkę obliczyć mamy, pomnożoną przez różniczkę clx zmiennej niezależnej.

Aby istniała granica sumy, o której wyrźej mowa, koniecz-nem jest, by funkcya f(x) czyniła zadość pewnym warunkom, które rozpatrzymy w następnych paragrafach. Nadto, aby powyższa definicya całki określonej zachowała znaczenie, jest ko-niecznem, by funkcya /' (x) nie stawała się nieskończenie wielką w przedziale od a do b i by obie te granice były skończonemi.

Później rozciągniemy powyższe określenie do przypadków, w których funkcya staje się nieskończoną w pewnym punkcie « lub jedna z granic całkowania jest nieskończoną. Zachowujemy do odpowiedniego rozdziału badanie całkowalności funkcyj; obecnie w paragrafach następnych przyjmować będziemy, że funk-cye, z któremi mamy do czynienia, są zawsze całkowalnemi.

Według podanego określenia obliczmy całkę od a do b najprostszej funkcyi x — c, t. j. całkę:

—c) dx .

Dla prostoty podzielmy przedział od a do b na n części równych.

Połóżmy b — a = h, wtedy każdy z przedziałów cząstkowych ór będzie równy — . Punktami podziału będą odpowiednio :

, h

— a h--

n

x₀ = a, xx

"W każdym z tych przedziałów cząstkowych powinniśmy obrać jeden punkt i obliczyć dla niego wartość funkcyi. Za taki punkt obierzmy punkt krańcowy każdego przedziału. Suma zasadnicza, o którą nam idzie, będzie tedy zbudowana w ten sposób:

4 [(«-«) ł («-c+4) + (a_c+4)'

+ ---+(“~c+4r;')]

i równa się:

h X ,    , ,    («—1) h 1

ń L"(a_c) +n ~irl

1 W-1

— —a) (a—Ł>) +

— (Ô — u)² . n

Przechodząc do granicy dla n — co, otrzymujemy na wartość całki określonej:

(jb—a) (a—c) -|-    (6—a)²,

lub

ć² — a²

— c (b—a).

Jak widzimy, proces rachunkowy na tej drodze jest skompliko-

wany z punktu widzenia praktycznego; dla funkcyj bardziej złożonych obliczanie granicy sumy może być nawet praktycznie niewykonalnem. Dlatego w następstwie pokażemy, w jaki sposób na podstawie pewnej własności zasadniczej całek funkcyj ciągłych, można obliczać te całki przy pomocy znanych pojęć i wzorów rachunku różniczkowego. W ten sposób wiążą się w swej istocie oba rachunki : różniczkowy i całkowy.

§ 2.

Własności zasadnicze całek określonych. Wzór na wartość średnią.

Ustalimy w tym paragrafie niektóre własności ogólne, wynikające wprost z definicyi całki określonej.

7. Jeżeli odwrócimy granice całkowania, to wartość nowej całki równać się będzie wartości dawnej, wziętej ze znakiem przeciwnym.

W samej rzeczy, wykonajmy według określenia całkowanie od a do ć, a potem całkowanie w kierunku odwrotnym od b do a. Jest widocznem, że w pierwszym i drugim przypadku możemy utworzyć te same przedziały cząstkowe ór, tylko wartość ich w obu przypadkach będzie znaku przeciwnego. Stąd wszystkie wyrazy sumy w pierwszym przypadku przejdą na wyrazy znaku przeciwnego, nie zmieniając swej wartości.

2. Widocznym jest nadto wzór:

b    b

I'c f (cc) dx — c ! f (x) dx

gdzie c jest stałą.

3. Jeżeli f(x) = 1, wtedy całka od a do b sprowadza się do sumy J£ór, t. j. do długości drogi całkowania b—a.

4. Niechaj na całym przedziale od a do ß funkcya będzie całkowalną. Obierzmy w tym przedziale trzy punkty dowolne a, b, c. Można łatwo dowieść, że :

b    c    b

/-/+/•

W samej rzeczy, wyobraźmy sobie, że punkt c znajduje się pomiędzy punktami a i b. Utwórzmy zgodnie z określeniem całkę od a do b. Ponieważ wybór przedziałów ór jest dowolny, to możemy go uskutecznić w ten sposób, aby punkt c był jednym z punktów przedziału i aby pozostał nim na wszystkich stadyach przejścia do granicy; przytem sposób, w jaki same przedziały dr zdążają do zera, pozostaje zupełnie dowolnym. To uczyniwszy widzimy, że suma £ fr ór rozdziela się na dwie części: jednę, idącą od a do c, drugą — od c do b. Przeszedłszy do granicy znajdziemy potwierdzenie podanego wzoru.

Jeżeli punkt c znajduje się zewnątrz przedziału od a do b np. na prawo od punktu b: wtedy, według dopiero co dowiedzionej własności, mamy:

c    b    c

/-/+/■

lecz

'b

h-f

a więc także

/=/ + /■

5. Jeżeli /W(æ), /1²⁾(a?), ... są funkcyami cal-kowalnemi, to i suma icłi będzie całkowalną i całka sumy równać się będzie sumie całek pojedynczych funkcyj, lub, innemi słowy, znak całki jest przemienny ze znakiem sumy.

W samej rzeczy, utwórzmy sumę:

■j )

(1)

której granica stanowi całkę sumy

(2)

Suma ta równa się widocznie:

(3)

Jeżeli przyjmiemy, że każda z fumkcyj danych jest całkowalną, t. j., że istnieją granice sum ^fifiôr, dEfipór, . . ., to istnieć będzie i granica sumy tych wyrażeń, a stąd wynika pierwsza część naszego twierdzenia, t. j. że suma skończonej liczby funkcyj całkowalnych jest funkcyą całkowalną. Nadto, przechodząc do granicy w wyrażeniu (3), równem (1), widzimy, że każdy z wyrazów w (3) staje się całką odpowiedniej z pomiędzy funkcyj fi¹), fi²), .. . , co uzasadnia i drugą część naszego twierdzenia.

6. Możemy teraz wyprowadzić wzór na wartość całki

określonej.

Niechaj przedziały ór będą równe i pozostają takiemi zawsze na wszystkich stadyach przejścia do granicy. Innemi słowy, dzielimy przedział całkowania b — a na coraz większą liczbę części równych. Wtedy każdy przedział ór równa się

^? a więc podług określenia :

b

I f (;x ) dx

n—

skąd :

Sf(x) dx

Zfr

— lim

n—oo %

t. j. stosunek wartości całki określonej do przedziału całkowania można uważać za średniej arytmetycznej warto c rżyj mu je funkcya w pojedyńcz c u n k t a c li całego przedziału.

Stąd możemy wyprowadzić twierdzenie użyteczne w wielu razach. Niechaj /"i-Foznaczają odpowiednio granicę niższą i wyższą wartości funkcyi w przedziale od a doć. Wtedy jest widoczne,

cr a.

ranie

rCb

<1 w-

Zfr

że wyrażenie —--, jako średnia arytmetyczna, nie może być

92»

mniejsze od /", ani większe od F, posiada przeto wartość, zawartą między temi dwiema wartościami skrajnemi. Wartość tę możemy oznaczyć przez f -1- 6 (F—f), gdzie 6 jest liczbą zawartą między 0 i 1.

Otrzymujemy tedy wzór:

Jeżeli funkcya f(x) jest ciągłą, wtedy w przedziale przybierze wszelką wartość, zawartą pomiędzy maximum i minimum; a stąd istnieć będzie w przedziale punkt, w którym funkcya ma właśnie wartość f -j- 0 (F — f). Oznaczywszy ten punkt przez a -f- $ {b — a), gdzie $, jak zwykle, oznacza liczbę zawartą pomiędzy 0 i 1, możemy napisać inny wzór, stosuj ący się do przypadku, w któr ym funkcya jest ciągłą, mianowicie :

j f (x) dx — (b — a) f (a -f- # (b—a)) .

Wzór ten nazywa się wzorem na wartość średnią, i jak zobaczymy później, jest w związku z podobnie nazwanym „wzorem rachunku różniczkowego“ (patrz „Rachunek różniczkowy“, str. 77).

000

co

Całka określona, uważana jako funkcya granic. Funkcya całkowa.

Ustalmy w całce określonej jednę z granic, np. granicę niższą a zmieniajmy zaś granicę wyższą, którą oznaczmy przez x i zmieniajmy ją tak, aby w przedziale od a do x funkcya dana była wciąż całkowalną. Widocznem jest wtedy, że dla każdej wartości x istnieć będzie jedyna i oznaczona wartość całki określonej, którą będzie można przeto uważać za funkcyę granicy wyższej x.

Dowiedziemy przedewszystkiem, że ta funkcya jest ciągł ą. Powiększmy granicę wyższą x o ilość h, którą potem będziemy zmniejszali do zera. Utwórzmy różnicę dwóch, całek określonych, jednej od a do x -f h i drugiej od a do x; będzie:

x-\~h

f f(x) dx — jf(x) dx = J fix) dx.

Na zasadzie twierdzenia o wartości średniej, udowodnionego w poprzedzającym paragrafie, możemy napisać:

/ f(x)d=c=h[f +6 (F-/)]

gdzie f i F oznaczają odpowiednią wartość najmniejszą i największą, jaką ma funkcya pomiędzy x i x Ą- h.

Ponieważ funkcya f jest zawsze skończoną, przeto czynnik drugi po prawej stronie poprzedniego wzoru musi być ilością

skończoną i zostaje taką, gdy zmniejszamy li. Wynika stąd, że strona prawa przy zdążaniu ilości li do zera będzie także dążyła do zera, co właśnie stwierdza ciągłość funkcyi całkowej.

Przejdźmy teraz do różniczkowalności całki. Z poprzedniego wzoru otrzymujemy:

x-\~h

s — s

lim -

h=0

lim [/+e (F — /)]. n    h=o

Strona pierwsza jest tu pochodną całki, a zatem pochodna ta istnieć będzie lub nie, o ile istnieje lub nie istnieje granica wypisana po stronie prawej.

Przyjmijmy najprzód, że funkcya f(x) jest funkcyą ciągłą w punkcie x. Wtedy można zawsze znaleźć taki przedział h, aby różnica dwóch wartości funkcyi w tym przedziale, a zatem i różnica pomiędzy jej wartością największą i najmniejszą, była mniejsza od pewnej jakkolwiek danej ilości. Ponieważ f~\~b(F—f) jest właśnie pewną wartością funkcyi, zawartą pomiędzy jej wartościami najmniejszą i największą, te zaś dwie wartości przy powyższem założeniu dążą do jednej i tej samej wartości funkcyi w punkcie x, przeto do tej samej wartości dąży i wartość średnia. A więc w przypadku, gdy f(x) jest funkcyą ciągłą w punkcie x, możemy powie-

d z i e ć, że

pochodna funkcyi całkowej j f(x) dx

w punkcie x jest wartością funkcyi f(x), znajdującej się pod znakiem całkowania, w tymże p u n k c i e x, t. j.

Przy temże założeniu możemy podobnie oznaczyć pochodną całki, względem granicy niższej. Panńętając, że

i sto

sując twierdzenie o różniczkowaniu dopiero co dowiedzione dla granicy wyższej, mamy:

= - /» •

W przypadku, gdy funkcya nie jest ciągłą w punkcie x, pochodna całki będzie miała wartość inną, i może nawet nie istnieć.

"Widzimy tedy, że dla funkcyj ciągłych zagadnienie całkowania jest odwrotnością zagadnienia różniczkowania, t. j. sprowadza się do szukania funkcyi, której pochodna jest równa funk-cyi danej. Korzystamy poniżej z tego faktu zasadniczego dla odszukania głównych wzorów rachunku całkowego.

-H

Całka określona w dwóch przypadkach osobliwych.

W definicyi całki określonej, podanej w § 1, przyjęliśmy najprzód, że funkcya pozostaje zawsze skończoną na całej drodze całkowania i nadto, że granice całkowania są obie skończone. Zbadamy teraz dwa przypadki osobliwe, w których nie spełniają się te dwa warunki.

Załóżmy najprzód, że funkcya staje się nieskończoną w punkcie i dla utrwalenia myśli, przyjmijmy, że staje się właśnie nieskończoną dla granicy wyższej b. Rozważmy całkę :

b—e

f f(X)

dx ,

gdzie e oznacza ilość dowolnie małą dodatnią. Tę całkę możemy obliczyć zgodnie z określeniem dawniejszem, gdyż podług założenia funkcya w całym przedziale od a do b—e (dla każdego £ dowolnie małego) nie staje się nieskończoną. Całka ta będzie pewną funkcyą ilości £ i może mieć granicę oznaczoną dla £ = 0. Chcąc podać określenie całki f

a

uczynimy to, zachowując naturalnie własności najbardziej zasadnicze funkcyi całkowej, np. własność ciągłości w odniesieniu do granicy wyższej. Stąd mimowoli nasuwa się myśl, by za

b

całki

dla 6 = 0.

wartość całki f uważać granicę wartości

a

gdy ta granica istnieje.

Jeżeli punkt, w którym funkcya staje się nieskończoną, nie jest punktem krańcowym przedziału całkowania, t. j. gdy nie jest jedną z granic całkowania, lecz punktem pośrednim, wtedy, mając zawsze na widoku zachowanie własności ogólnych całek określonych, można postępować w ten sposób. Niechaj c będzie punktem pomiędzy granicami całkowania a i b, w którym funkcya staje się nieskończoną. Rozdzielmy całkę od a do b na dwie części w punkcie c, i rozciągając znaną własność całek zwyczajnych, t. j. kładąc:

j — 1+ J

określmy każdą z dwu całek po stronie drugiej za pomocą wyżej podanego wzoru. Tym sposobem będziemy mieli określenie:

c—e

= lim

j -j- lim J ,

J    e'=0    ,

a    c-\-e przy założeniu, że wskazane po stronie drugiej granice istnieją.

Jeżeli istnieje więcej punktów, w których funkcya staje się nieskończoną, wtedy należy zastosować wzór powyższy odpowiednią liczbę razy.

Łatwo znaleźć warunek konieczny i dostateczny istnienia granic, o których mowa w określeniu. Jeżeli ma istnieć granica

b—e

całki I

dla 6 = 0, to według teoryi ogólnej granic, jest ko-

niecznem i dostatecznem, aby dawszy sobie e, można było znaleźć taki przedział zmienności dla e, by dla dwu wartości ev e2 w tym przedziale zawartych, było co do wartości bez-względnej :

b—E₁

b—€2

t. j.

b—e 2

Podobny warunek można napisać i dla innych przypadków.

Możemy napisać typ funkcyi, dla którego spełnia się ten warunek. Wyobraźmy sobie, że funkcya f(x) w punkcie b staje się nieskończoną i jest taką, że jej wartość bezwzględna jest zawsze mniejsza lub równa bezwzględnej wartości funkcyi typu

(x—by

gdzie v jest liczbą dodatnią, mniejszą od 1, <p(æ) zaś

funkcyą, która w punkcie b ma wartość skończoną i w żadnym z punktów pomiędzy ai b nie staje się nieskończoną. W przypadku szczególnym/ (x) może być funkcyą właśnie tego typu.

Niechaj M będzie granicą wyższą wartości bezwzględnych funkcyi <p (y) w uważanym przedziale; według założenia liczba

M jest skończoną. Będzie zatem co do wartości bezwzględnej:

b—e

| f {x) dx

I ? (æ) |

■ x — b)

(x — by

dx.

Nierówność tę otrzymujemy, stosując wprost definicyę zasadniczą całki określonej i zważając, że gdy mamy do obliczenia całkę określoną, odpowiadającą funkcyi, która co do wartości bezwzględnej w każdym punkcie drogi całkowania jest mniejszą od innej funkcyi, to wyrazy sumy, odnoszące się do funkcyi pierwszej będą odpowiednio mniejszemi od wyrazów sumy, odnoszącej się do drugiej, a stąd i całka, odpowiadająca funkcyi pierwszej, będzie z pewnością mniejsza od całki, odpowiadającej funkcyi drugiej.

Udowodnimy poniżej (patrz Bozdz. III § 1), że:

(x — by

dx =

1—

- -v L fi”-¹

(a — by~l

Widać stąd, że gdy v — 1 jest mniejsze od zera, t. j. v m n i e j-

dla e = 0 dąży do zera i że całka

od 1, wtedy —— ₃

dąży do ilości skończonej, f u n k o y a

„ J żeli : o c z o-

Wnosimy stąd, że : ałkowalna staje się nies ną w pnn cię ć, a wartość jej bezwzględna pozostaje wciąż mniejsza lub równa takiej-

<P (x)

t*r o

że wartości funkcyi typu

(;x — b)

-,gdzie v <1

wtedy całka określona od a do b jest ilością skończoną.

Wyobraźmy sobie teraz, że funkcya staje się nieskończoną w punkcie ć, lecz wartość jej pozostaje wciąż większą od war-

tości funkcyi typu

ia? — b)v 1

gdzie v ;> 1, <p (x) zaś jest funk

cyą zawsze dodatnią, która nie staje się nieskończoną w żadnym punkcie przedziału od a do & ani też zerem w punkcie b. W szczególności f(x) może być funkcyą właśnie tego typu.

Niechaj m będzie granicą niższą wartości <p (x) w przedziale od a do b; będzie tedy:

b—s

b—e

j f (x) clx ^ j

<p(s)

b—e

J (x — by

a

dx >

(x—by

dx .

Ostatnia całka jest, jak wyżej powiedziano, równa:

(a—by-¹

m r_1

—v L £v~

i dla v >> 1 i e = 0 dąży do nieskończoności, a więc i nasza całka nie dąży do granicy skończonej.

Dla v — 1 będzie, jak to niżej okażemy, wartość całki równa wyrażeniu :

m [log s — log («% — &)],

a więc dla e = 0 dążyć będzie także do nieskończoności. Możemy tedy powiedzieć :

,,Jeżeli fukcya staje się nieskończoną w punkcie b, a jej wartość bezwzględna pozostaje wciąż większą od wartości funkcyi

postaci

?(æ)

gdzie v>li(p(æ)zawsze doda-

(x — by

tnie, wtedy całka określona od a do b niema wartości skończonej.“

Przechodzimy do przypadku, w którym jedna z granic całkowania jest nieskończoną.

Utrzymując własność zasadniczą funkcyi całkowej, aby była funkcyą ciągłą granicy, znajdujemy środek określenia całki

OO

I f (x) dx, zakładając, że funkcya /(æ) jest cał

oda o d o d t-

akiejkol wiek dr o punktu po str

stronie ujemnej, stosownie do całkę od a do oo,

p-5 -rH

kowalną na jakiegokolw ek niej lub po

tego, czy chcemy obliczyć lub od ado — co.

Obierzmy granicę wyższą dowolną x i obliczmy całkę od a do x, a potem oznaczmy granicę tego wyrażenia dla x = co. Jeżeli ta granica istnieje, nazwiemy ją wartością całki od a do oo.

Będzie przeto :

OO

I = lim f .

co

Można znaleźć warunek konieczny i dostateczny istnienia tej granicy. Opierając się na teoryi ogólnej granic, znajdujemy, że aby granica istniała, koniecznem i dostatecznem jest, by dawszy sobie o dowolnie małe, można było znaleźć punkt a taki że dla dwóch punktów x\ x" pomiędzy a i oo będzie zaw-

X"

sze co

do wartości bezwzględnej j

<C o.

x'

Możemy udowodnić twierdzenie, mające wiele podobieństwa z twierdzeniem wyżej udowodnionem, dla przypadku, w którym funkcya staje się nieskończoną.

„Jeżeli funkcya, mająca być całkowaną, staje się zerem dla x = oo w ten sposób, że jej wartość bezwzględna pozostaje zawsze mniejszą lub równą warości bezwględnej funkcyi

,    <P0»)

typ«

zawsze skończoną i dla x = oo różną od zera, wtedy całka określona od a do oo będzie mia-

.TH •

, gdzie v i> 1, y (x) zaś je

funkcya

ła wartość skończoną, może być funkcyą właśnie tego typu.

W szczególności f (x)

Jeżeli M oznacza granicę wyższą wartości bezwzględnych funkcyi <p (a?), to:

oo

\ f(x)dx = lim / f (x) dx

J    CC—OO **

I y (fl?) I

X—OC v

xv

clx

x=oo

Lecz jest, jak wyżej :

(Ædx- M

J xv

1—

_ [_!___L_1

v L xv~l a*-¹ J

dla v > 1 wyrażenie po stronie drugiej dąży do granicy skończonej dla x = oo, co uzasadnia nasze twierdzenie.

W podobny sposób dowieść można, że gdy funkcya f (oc) pozostaje zawsze większą lub równą co

do wartości bezwzględnej funkcyi typu ^ ^ ,

gdzie cp (a?) jest zawsze dodatnie, v zaś S 1, lub jest w szczególności funkcyą tego typu, wte-

dy całka od a do

oo n i e ma

wartości skoń-

c z o n ej.

W następnych paragrafach, ilekroć zdarzy się sposobność, pokażemy, jakim zmianom ulegają twierdzenia zasadnicze o całkach w dwóch wyżej rozpatrzonych przypadkach osobliwych patrz np. § 7 niniejszego rozdziału).

Całki nieokreślone.

AV podanej przez nas definicyi całki określonej przyjmuje się istnienie dwóch oznaczonych i ustalonych granic całkowania. AVTidzieliśmy, że w przypadku, gdy funkcya cp (x) jest ciągła, zagadnienie całkowania sprowadza się do odszukania funkcyi F{x), której pochodna jest właśnie funkcyą daną.

AViadomo z rachunku różniczkowego, że istnieje nieskończenie wiele funkcyj, mających za pochodną. f(x) i że one różnią się od siebie o ilości stałe; innemi słowy, znalazłszy jednę taką funkcyę i dołączywszy do niej jakąkolwiek stałą, znajdziemy drugą funkcyę. Napisawszy zatem ogólnie:

const. ,

F (x) = f f (x) clx -f-

otrzymujemy funkcyę ogólną zmiennej x, którą nazywamy całką nieokreśloną funkcyi danej. AV tym wzorze przez a rozumieć należy oznaczoną wartość liczebną. Przymiotnik nieokreślona przeciwstawiamy przymiotnikowi określona dla tego, że w całce nieokreślonej granice można z pewnego punktu widzenia uważać za ruchome, t. j. za zależne od zmienności stałej dowolnej.

Zmieniwszy w całce określonej J f (x) dx granicę niższą

całkę I f (x) dx równą j -f- Jgdzie całka j

b    ab    b

~jr~

LÖ

ct na b, mamy

nie zależy już od x, czyli jest stałą ze względu na- x. AVidzimy zatem, że jeżeli zmienimy granicę niższą, to nowa całka określona jest równa dawnej, powiększonej o pewną stałą, której wartość zależy oczywiście od nowo wybranej granicy.

P ascal R. C.

Całka nieokreślona jest fnnkcyą zmiennej x, niezależną od granicy niższej całkowania. Oznaczamy ją za pomocą symbolu całkowania, bez oznaczenia granic. Mając taką fnnkcyą, możemy z niej wyprowadzić jnż wartość całki określonej.

Niechaj F (x) będzie tą funkcyą i mamy wyprowadzić P

z niej wartość całki f f(x) clx, gdzie a i ß są liczbami ustało-

a

nemi. Funkcya F (x) jest postaci:

F(x) = j -f c ;

kładąc tn po kolei x = ß, x — a, mamy :

F (ß) — / “T c ; F (a) — f "f“ c :

a odejmując od siebie te dwie równości znajdujemy:

F(ß) - F (a) = f - /= J ,

t. j. wartość całki szukanej.

Widzimy tedy, że mając całkę nieokreśloną, gdy idzie o obliczenie całki określonej, dość w pierwszej z nich zamiast a: podstawić n a j-przódgranicę w y ż szą, następnie granicę niższą i otrzymane rezultaty odjąć od siebie.

Odwrotnie, gdy daną jest wartość całki określonej, to nie można z niej wogóle otrzymać całki nieokreślonej, t. j. funkcyi zmiennej x. Zwracamy przeto wyraźnie uwagę na to, że gdy mówimy: daną jest całka określona, to rozumiemy przez to, że daną jest wartość liczebna pomiędzy danemi

granicami liczbowemi; że nie byłoby oczywiście to samo, gdybyśmy znali jej wartość pomiędzy granicami nieoznaczonemi, wyrażonemi np. przez litery a i b, gdyż wtedy ta funkcya ilości a lub b byłaby, po za nazwą zmiennej, całką nieokreśloną.

Przed zamknięciem tego paragrafu okażemy, że zasadniczy związek pomiędzy całkami określonemi a nieokreślonemi pozostaje bez zmiany w dwóch, przypadkach osobliwych, o których była mowa w § 4, t. j. gdy funkcya pod znakiem całkowania staje się nieskończoną w punkcie na drodze całkowania, lub kiedjr jedna z granic jest nieskończoną.

W samej rzeczy, niechaj funkcya /' (x) staje się nieskończoną w punkcie c, zawartym pomiędzy granicami a i b całki określonej f f (x) dx. Według określenia, całka ta równa się:

lim

£=0

I f(x) clx -j- lim I f (x) clx ;

J    e'=0    ,

a    £-|-,c jeżeh F (x) jest całką nieokreśloną, wtedy pierwszy z dwóch tych wyrazów będzie Fic—e) — F(a), drugi zaś F(b) — F(c-\-c). Funkcya F (x) jest funkcyą ciągłą w punkcie c, przy założeniu, że sprawdzają się nierówności:

< o,

C—£i

gdzie o jest ilością dowolnie małą (bez tego założenia nie istnieje całka określona od a do b). Stąd:

lim F (c— e) — lim F (c + e) — F (c)

£'=0

a więc całka dana jest równa F(b) — F (a), co jest dowodem prawdziwości naszego twierdzenia.

Niechaj teraz jedna z granic całki będzie nieskończoną. Z określenia, przy zachowaniu oznaczeń, wynika:

CC

x'

f fix) dx — lim j f(x) dx — lim \F (x') — F (a)] .

J    cc'—cc -    cc'—cc

Z ciągłości funkcyi F{x) w punkcie nieskończoności mamy:

lim F (xf) = F (oo),

«'=oo

co dowodzi prawdziwości naszego twierdzenia.

co

Przekształcenie całki pojedynczej.

Niechaj będzie całka nieokreślona (którą nazwijmy p o j e-cl y ń c z ą dla odróżnienia od całek wielokrotnych, które później rozważać będziemy)

gdzie f(x) jest funkcyą ciągłą.

Wiemy, że znalezienie tej całki sprowadza się do szukania fnnkcyi, której pochodną jest f (x), albo inaczej do znalezienia funkcyi, której różniczka f{x) dx znajduje się pod znakiem całkowania. Zbadajmy, jak zmienia się całka przy przekształceniu zmiennej całkowania x. Okażemy, że całka przekształca się i że pod znakiem całkowania będzie wyrażenie różniczkowe, wynikające z przekształcenia wyrażenia różniczkowego

f (x) dx. W samej rzeczy, połóżmy x — cp (y) i niechaj y będzie nową zmienną niezależną. Obliczenie całki sprowadza się do znalezienia funkcyi, której pochodna względem x jest f (æ); po-

cloc

chodną tej funkcyi względem y będzie f (x) —— . Jeżeli w całce

cly

wyrazimy wszystko za pomocą zmiennej y, będziemy mieli do

dx    cloc

odszukania funkcyę, której pochodną jest f(x) , t. j. p(y)) — ,

ety    ay

a więc całka nasza będzie teraz:

Przy obhczaniu całek przekształcenie może być dość użytecznem. Jest bowiem widocznem, że szukanie całki nieokreślonej jest tern bardziej skomplikowane, im bardziej złożoną jest funkeya, znajdująca się pod znakiem całkowania; może zatem oczywiście zdarzyć się, że przez odpowiednie przekształcenie zmiennej niezależnej całka dana sprowadza się do innej, mniej skomplikowanej lub do całki typu już znanego.

Niechaj będzie np. dana do obliczenia całka:

clx

U

J sin x ’

w której funkeya, stojąca pod znakiem całkowania, jest przestępną. Połóżmy x = arc cos y, t. j. y = cos a?, wtedy

^    , a całka staje się:

Vl—y²

sm x

dx

cly

f dy m J 1-y² ’

mamy więc do całkowania funkcyę algebraiczną wymierną zamiast funkcyi przestępnej.

Jeżeli mamy całkę określoną pomiędzy granicami a i b, wtedy nową całkę względem zmiennej y należy wziąć oczywiście pomiędzy granicami, odpowiadająeemi dwóm powyższym granicom danym. Za pomocą związku a"=cp (y) możemy znaleść, jaka wartość zmiennej y odpowiada wartości a zmiennej x i jaka wartości b tej zmiennej: Niechaj temi wartościami będą a', b'] będą to nowe granice całkowania. W powyższym przykładzie, jeżeli

•    .    .    .    .71

granicami całki względem zmiennej x są 0 i , to całka przekształcona powinna być wziętą w granicach od y — 1 do y = 0, gdyż takie wartości zmiennej y, jak łatwo sprawdzić, odpowia-

dają powyższym wartościom 0 i —p zmiennej x.

Różniczkowanie względem parametru. Przemienność znaków granicj i całkowania; przemienność znaków różniczkowania i całkowania.

Rozważmy całkę określoną fnnkcyi, zawierającej, oprócz zmiennej całkowania x, jeszcze inną zmienną y. Dla większej ogólności przyjmijmy, że granice całkowania są także funkcyami tej zmiennej y i dlatego oznaczmy je przez a(y), b(y). N i'e c h a j funkcya dana f(x,y) będzie ciągła względem obu zmiennych w pewnym obszarze i niechaj będą też ciągłemi funkcye a (y), b (y). Wtedy widzimy przedewszystkiem, że całka określona od x — a (y) do x = b (y) jest także funkcyą ciągłą zmiennej y. Połóżmy:

i>{y)

? (y) = / f{x,y)clx.

«(y)

Zwracamy raz na zawsze uwagę na to, że w twierdzeniach, tego i następnego paragrafu dajemy tylko warunki dostateczne istnienia tych twierdzeń, nie zaś warunki konieczne. Warunki czysto konieczne, jeżeli można je znaleśó, są prawie zawsze skomplikowane i bezużyteczne z powodu trudności przy stosowaniu ich do przypadków specyalnych. To spostrzeżenie występuje wciąż w całym rachunku nieskończonościowym, jak to już w swoim czasie wzmiankowaliśmy (patrz Przedmowę do „Rachunku różniczkowego“).

Będzie tedy :

b(y)

6 (i/+k)

? (y + fc) — <p (y) = J f y + &) dx - j f 0*v y)dx

lim [2 fr dr - 2 fs <3V] = o,

(y1 + /J’)-1 ”

Â = c(æ2 + Tæ + -f)

= / f « y) dy.

BAM — 2 r^n —

^lA+^F+S)

y = (« + U+2'2) c.

U\ i Uzi • • • i y»

2nz -f- n20 lub (z — n)2 = 0,

ÉSll

Bp

? (y + fc) — <p (y) = J f y + &) dx - j f 0*v y)dx

«(y)

a (;y-\-k)

J [ffay-hty — ffay) J

dx —

I f (x, y -f Ze) dx

« (y)

« (y)

b (ÿ+k)

(1)

dx .

b (y)

«(y-R)

Rozpatrzmy całkę J    f (x, y -h k) dx. Ponieważ a jest funk-

«(y)

cyą ciągłą zmiennej y, przeto różnica « (y-j- Ze) — a (y) dąży do zera, gdy Ze do niego dąży. Jeżeli oznaczymy na chwilę całkę nieokreśloną przez F (æ, y -j- Ze), to całka określona będzie, jak wiemy,

■F O (z/), y + *]•

jF [a (y -f Ze), y -f Ze]

Na mocy ciągłości funkcyi Fi na podstawie znanego twierdzenia, mamy :

F [a {y-f- k), y + le] — F [a (y), y + k] = [« (y 4 A) — ci (y)] F' [a (;y + 0/c), y 4 &] — [a {yH-h) —a {y)] f[a(y-f 6A), y -f &];

na zasadzie zaś ciągłości funkeyj fia (y), możemy napisać:

f [a (y -f 6Je), y + k\ = f (a, y) -f e,

gdzie s jest ilością, którą można uczynić dowolnie małą, zmniejszając odpowiednio ilość k. Stąd:

a (yĄ-k)

f f (x, y 4 k) dx = [a (y 4 k) — a (y)] \f (a, y) 4 e] .

a(y)

Podobnież :

b(y+k)

f ffay-j- k) dx = \b (y -f k) — b (y)] [/(ft, y) -f e'], i (y)

gdzie a i b oznaczają wprost wartości ty cli funkcyj w punkcie y. "Wynika stąd:

? (y + ä) — ? (y) = •/ 174, y + *) — f <4 y)] cix

(1)

— |> (2/ 4- Ä) — a (y)] [/(a, y) -f c]

+ I*(y + *)-ft(y)] 74 ?/) + 4

Jeżeli założymy, że funkeya /"jest funkcyą ciągłą dwu zmiennych x, y dla wszystkich wartości zmiennej x, zawartych w granicach całkowania, wtedy dawszy sobie o dostatecznie małe, .można zawsze znaleźć taką wartość k, że dla każdej wartości

x zawartej w granicach całkowania, będzie zawsze co do wartości bezwzględnnej:

f(x, y-\-k) — f(x, y)<o.

"Wynika to wprost z twierdzenia w § 9 rozdziału I „Rachunku różniczkowego“, t. j. że i dla funkcyj wielu zmiennych ciągłość zwyczajna jest jednocześnie ciągłością jednostajną w całym obszarze. Będzie tedy wartość bezwzględna całki

fy + k) — f(x, y)] dx,

mniejszą od j odx, t. j. od o J dx = o (b—a), a więc może być uczyniona dowolnie małą, przy zmniejszaniu ilości o. "Widzimy więc, że wszystkie wyrazy drugiej strony wzoru (1) można dowolnie zmniejszyć, że więc granicą tej strony jest zero, albo in-nemi słowy, że funkcya cp jest ciągłą. A zatem: Jeżeli funkcya podcałkowa jest funkcyą ciągłą d'w u zmiennych x, y, wtedy znak granicy jest przemienny ze znakiem całki. Wzorem wyraża się to w ten sposób :

lim

y—y' Q

j f (x, y) dx — J lim f (x, y) dx

J    J y—y'

a

f f(x, y')

Załóżmy teraz, że funkcye a (y), b (y), f (x, y) nie tylko są ciąg-łemi, lecz i różniczkowalnemi względem y; że nadto pochodna f'y

jest ciągłą względem obu zmiennych. Będzie tedy:

f (x, y + k) — / (x, y) — k f'y (x, y + 0k),

gdzie 6 jest liczbą, zawartą pomiędzy 0 i 1. Stąd:

(2)

(V + k) — <p (y)

7c

I fy (x, y + ÖÄ) äx

a

1/(0,»)+.] [a

[/(»,»)+.!    .

Według założeń jest:

f'y (x, y + 6/i’) = fy (X, y) -f- e",

gdzie e" jest ilością, zdążającą do zera, dla k dążącego do zera; nadto, ze względu, iż zbieżność zwyczajna jest zbieżnością jednostajną w całym obszarze, można znaleźć takie k, aby dla każ d ej wartością, y w obszarze, było zawsze w powyższej nierówności e" <1 a, gdzie o jest ilością dowolnie małą. A zatem dla każdej wartości y, zawartej w obszarze i dla każdego 6, zawartego pomiędzy O i 1 będzie zawsze wartość bezwzględna cał-

Ö

f fy y) clx o ilość

a

J e" ćlx mniejszą od o j* dx — o {b—a), t. j. o ilość dowolnie

ki f fy (x, y -f- 6/c) różnić się od całki

małą. Znaczy to, że granica dla k = O całki, znajdującej się po stronie prawej wzoru (2), jest j f'y (x, y) dx; mamy tedy (prze-

J

a

chodząc do granicy dla k — 0):

?' (y) = I fy (®> y) àx — f (a, y) a' (y) + f (b, y) b’ (y),

gdzie cp', a', b' oznaczają pochodne funkcyj cp, a, b.

Jeżeli w szczególnym przypadku granice a i b są stałemi, wtedy wzór poprzedni sprowadza się do następującego:

U <*’y) dx = f(x’y) dx ■

Widzimy tedy, że w przypadku, w którym funkcya spełnia podane wyżej warunki, t. j. gdy ona sama i jej pochodna względem y są funkcyami ciągłemi względem obu zmiennych, istnieje twierdzenie o przemienności znaków różniczkowania i całkowania.

Twierdzenie to nosi nazwę twierdzenia o różniczkowaniu pod znakiem całkowania.

Z powyższego wzoru możemy wprost otrzymać znane już wzory na pochodną całki określonej względem granic (patrz § 8). Dość bowiem przyjąć, że funkcya f nie zawiera zmiennej y i że z dwu funkcyj a (y), b (y) jedna jest stałą, druga zaś jest samą

zmienną y.

Dodajemy, że to twierdzenie o przemienności utrzymuje się zawsze, ile razy funkcya przedstawiona przez całkę określoną

F (æ, y) = ff (oc, y) dx,

jest taką f u n k c y ą zmiennych x, y, d 1 a której istnieje twierdzenie o przemienności dwóch różniczkowań: jednego względem x, d r u g i e g o względem y.

W samej rzeczy, mamy:

d²F

3ł/ dx

= -4t f(x: V)

dy

d^F dx dy

"Według założenia jest:

d^F

d°-F

dy 3x

dx dy

t. j.

w f(x'y)=äh; !f{x’y)da

a więc całkując względem x, znajdujemy:

/ i f v)    / f(x,y)dx,

co jest dowodem prawdziwości naszego twierdzenia.

Przechodzimy do rozważenia twierdzenia o różniczkowaniu pod znakiem całkowania w przypadkach osobliwych, w których albo jedna z granic całkowania jest nieskończoną, albo funkcya, mająca być całkowaną, jest nieskończoną w jakim punkcie.

W tych przypadkach poprzednio podane warunki już nie wystarczają i trzeba do nich dołączyć inne, wyrażone w formie prostej i będące warunkami dostateczne mi istnienia twierdzenia.

Załóżmy najprzód, że jedna z granic całkowania jest n i e-

CO

skończoną, t. j., że mamy wziąć pochodną całki f f(x, y) dx.

AA idzieliśmy, że w ogólności, aby całka określona była funkcyą c i 4 § ł 4 parametru y, zawartego w funkcyi podcałkowej, trzeba, aby funkcya podcałkowa była funkcyą ciągłą obu zmiennych. Otóż ten warunek nie jest wystarczającym, gdy jedna z granic jest nieskończoną. Dla przekonania się o tern, weźmy przykład. Alożna znaleść, że

OO

f sin yx

SIU 'IJQß

—-—— jest funkcyą ciągłą obu zmiennych.

Przykład ten wystarcza do zrozumienia, że w przypadku rozważanym zachodzą inne warunki.

dla każdej wartości skończonej y\ lecz dla y — 0 jest zerem funkcya podcałkowa dla każdego x i dla x = oo całka będzie zerem. A więc całka określona nie jest funkcyą ciągłą parametru y, jakkolwiek

H+j 02 =—>• CD ^ M* ct- Q_,

r-pOVJOOjSQ P B Pj cCD    <»•    N    (TT¹

O-    d    ,jo    O    CD

gs    v    CD    85

_    ir-i    N-

CD    PT    cd

5=    5= N-

rCD

P(

P c3

a *

i-¹ • CD

Pd

u 8

^ ® -

fH    -¹    O    N    ^

£ ”2 H p    M    h    Td    .    n

⁰    ^    o    ^    d    O    ⁰⁰

^    ©    c8

50

CD

C+-    ©    ^    ^    -

e-t- “ æ P-y xd

«(fi

—i-

^P^P^P,-⁰

P' CD ^

• rH

• rH

Pj

rCD CfQ cfQ

P N ° ©    ~ o3 ^ O

•N "il 'P

^ «—i. >-b

CD 3 ®

P 4 e_. cf B “ p

o * i ®    ^

N- O ^ CD N

O ^    *

o

° ⁵³ o

Oj

^    • rH

go csj ° So 03 i—' gs ^ CfQ i-j

J V' « ® 8° p,

S    & N g,

^ ® H

? B P

Ï^OQ

CfQ

CT“

'O

O C+- «-J. pj (SI HJ

P? N

O <<j    ® ^

AV samej rzeczy, w przypadku, gdy funkcya f (x, y) dla x = oo staje się zerem algebraicznie rzędu wyższego niż 1, to, jak wiemy, (§ 4) całka określona, rozciągnięta do oo, ma wartość skończoną; można tedy znaleść zawsze liczbę a' taką, aby po obraniu dwóch jakichkolwiek liczb x\ x" pomiędzy a' i oo, wartość całki określonej od xr do x" była mniejsza od u; w szczególności zaś biorąc x' — a’, aby było :

f f (x, y) dx < a

x"

a'

x"

f f (œ, y-j- k) dx<o ,

skąd wynika:

X"

f [f (%, v 4- Ä) - f 0*. */)] ^ < 2o ,

a więc i granica tej całki dla x" = oo będzie mniejsza od 2o. Lecz :

co

a'

oo

a'

J [f (x, y + k)—f fa ty)} dx = j -f j = j +Jim j .

a’

Skutkiem ciągłości funkcyi /' (x, y) można‘zawsze znaleść taką wartość A, aby dla każdego kl <^k i dla każdej wartości o?, było:

I f (», 2/ + &«) - f Ol y) I < I f («, y — f (#, y) I •

Ustaliwszy 7r, można znaleść taki punkt a', dla którego sprawdza

x"

się nierówność lim / < 2o, a ustaliwszy znów w ten sposób

nr!’— nn . /

wartość a', można potem zmm

a'

iejszać A, aby było

< o. a to na

mocy ciągłości całki określonej pomiędzy granicami skończ onemi.

Widzimy więc, że przy uczynionych założeniach można zawsze, zmniejszając ilość k, uczynić dowolnie małą wartość całki.

oo

co właśnie stwierdza ciągłość całki danej wzglądem zmiennej y.

Załóżmy teraz, że pochodna f'y dla x = oo staje się zerem rzędu wyższego od 1. Wtedy na podstawie powyższego dowodzenia wnosimy, że

CO

f [f'y (x, y +    — f'y (X1 y)] dx

dąży do zera przy zmniejszaniu ilości k; lecz

OO

• f (x, y — f (x, y)

OO

dx =

I f'y (x, y + dx

przeto różnica

OO

f{x, y h) — f {x, y)

OO

f'y (X, y) dx

dąży do zera dla k = 0, t. j.

o:

lim

f (X, y + k) — f (x, y)

dx

y=o

jest pochodną całki względem zmiennej y i równą całce pochodnej. W ten sposób twierdzenie o różniczkowaniu pod znakiem całkowania zostało dowiedzionem i dla przypadku, w którym jedna z granic jest nieskończoną.

Przejdźmy teraz do drugiego przypadku osobliwego, w którym funkcya podcałkowa staje się nieskończoną w punkcie. Dla

ustalenia myśli, przyjmijmy, że staje się nieskończoną dla gram-cy wyższej. Udowodnimy twierdzenie:

y) i f (x, y) w p e w u n a w a r ość z m

Jeżeli

m punkcie n n e j w o b-

sz rze) st j się nies ończon mi a icznie zędu mniejszego odl i d emi względem o u rzymuje się tw' r n i u pod znakiem

- ,.-D

PT* c-L

<D

. CD

00

e b rail a d t o li. w e-

rrj

<n-

u zmień zenie o r ł k o w y m.

W samej rzeczy, jeżeli b jest punktem, w którym funkcye f (x: y) i f'y (x, y) stają się nieskończonemi, wtedy, według założenia, dwie całki

⁰³

-CO

rH O

n i c z o-

b    b

j'f(x,y)dx, j'f'ÿ

(x, y -f- 6k) clx

są skończonemi dla każdej wartości y, zawartej w obszarze i zgodnie z twierdzeniem w § 4. Z rezultatów, podanych w tymże paragrafie, wynika, że całkę:

'b—E

można uczynić dowolnie małą, zmniejszając odpowiednio ilość s: a więc i granicę tej całki dla k — 0 można również uczynić dowolnie małą.

Lecz

b—e

dy

/ f (x, y) dx — lim I J    k=0 J

f (x, y— f (x, y)

dx,

-j- lim

k~0

b

I f'y (x, y -j- 6k) dx

(stosujemy tu drugą część twierdzenia o wartości średniej); nadto jest widocznem, że na zasadzie twierdzenia o różniczkowaniu pod znakiem całkowym:

b-e

lim

f (x, y -\-k) - f (x, y)

A-=0

= j f'y (*, y) dx

gdyż pomiędzy granicami a i b—e nie ma żadnego punktu, w którym funkcya staje sią nieskończoną. Można więc wybrać

b    b-e

e tak, aby różnica pomiędzy

dy j f (x, y) dx a j' fy (x, y) dx

a    a

była mniejsza od ilości dowolnie małej: stąd dla s=0 dochodzimy do równości pochodnej całki i całki pochodnej.

«

Zauważymy jeszcze, że twierdzenie o różniczkowaniu pod znakiem całkowania może służyć niejednokrotnie z korzyścią do obliczania pewnych całek określonych na podstawie innych, już znanych. Tak np. obliczono, że :

CO

J.r

J y²-j-x²    2 y ’

71

biorąc pochodne obu stron względem y, otrzymujemy nowy wzór:

CO

dx

71

J (y²-\-x²)²

a z tego wzoru, biorąc znów pochodne względem y, można otrzymać nowe wzory.

I w inny jeszcze sposób można stosować twierdzenie o różniczkowaniu pod znakiem całkowania do obliczania całek określonych. Niechaj będzie np. całka :

Pascal, E. C.

jxa log

x dx.

W niej x* log x jest pochodną funkcji xa względem a, możemy więc napisać:

f “ log

x dx —

/(śH

dx.

Na zasadzie twierdzenia o różniczkowaniu pod znakiem całki możemy przemienić znak pochodnej ze znakiem całki:

J “log

x dx = ~

da J

xa dx.

Tym sposobem otrzymaliśmy znaczne uproszczenie, gdyż oczywiście znacznie łatwiej obliczyć całkę funkcyi xa aniżeli funkcyi xa log x. Ponieważ xa jest funkcyą ciągłą, więc obliczenie odpowiedniej całki określonej sprowadza się do odszukania funkcyi, której pochodną jest xa. Tą funkcyą jest, jak łatwo

mamy zatem :

widzieć,

---7- x

a + 1

a + 1.

xa dx —

[;

/■y CC -f“ 1

i.

a więc:

I xa log

x dx —

da a —j— 1

(«-f-i)² ’

CO

Przemienność dwóch znaków całkowania.

W poprzedzającym paragrafie zakładaliśmy, że funkcya pod znakiem całkowania zawiera parametr y i badaliśmy róż • niczkowanie całki względem tego parametru. Teraz rozwa-żymy całkowanie względem tej zmiennej.

Kładąc, jak w § 7:

<p (y) = fi*, y)dx

rozpatrzymy całkę:

I Ç (V) dy

równą:

pytanie: czy można przemienić

Takie wyrażenie nazywa się całką podwójną. Później rozpatrzymy całki wielokrotne w osobnym oddziale; tu postarajmy się znaleść odpowiedź na porządek dwócli całkowań? Zagadnienie to jest analogiczne z zadaniem raclmnku różniczkowego o przemiennosci dwu różniczko wań.    *

Okażemy, że gdy granice a i h są stałe t. j. nie-

s ą również gra-

zależne od y, gdy stałe mi n i c e c i cl i gdy funkcya f (a¹, y) jest funkcyą ciągłą obu zmiennych æ i «/ w całym obszarze, który rozciąga się dla zmiennej x od a do b, dla zmiennej y od c do cl, wtedy można przemienić porządek całko wań.

W samej rzeczy łatwo widzieć, że pochodne dwu wyrażeń:

C/

d    b

I dy I dx f (a?, y)

I dx I dy f (x, y)

C

uważane za funkcye czterech ilości a, b, c, d, są sobie równe; wynika stąd, że te dwa wyrażenia mogą tylko różnić się o ilość stałą, która, jak łatwo dowieść, jest równą zeru. "Weźmy np. pochodną względem ilości a. W całce A ilość a jest parametrem, występującym w funkcyi znajdującej się pod znakiem

b

pierwszej całki od c do d] ta funkcya j dx f (x, y) jest

a

na zasa-

dzie uczynionych założeń i znanych twierdzeń funkcyą ciągłą ilości a i y, nadto pochodna tej funkcyi względem a t. j. — f (a, y) (patrz § 3) jest także funkcyą ciągłą obu ilości a i y. Na mocy twierdzeń poprzedzającego paragrafu możemy wziąć pochodne pod znakiem całkowania i otrzymujemy:

dA

da

d    b

/ dy ~ f dx f (x, y)

d

f dyf (a, y)

Weźmy teraz pochodną całki B względem a. Ponieważ a jest granicą niższą pierwszej całki w -B, przeto:

d    a

dB

da

i dy f (x, 2/)] = — j dy f (a, y) ;

x—a

jest to ten sam rezultat co wyżej. W ten sam sposób można stwierdzić równość pochodnych względem pozostałych ilości b, c, d. Dwa wyrażenia A, B różnią się zatem o pewną stałą (7, t. j. nie zależą od żadnej z ilości a, b, c, d. Grdy więc weźmiemy a = b stała C nie powinna zmienić swej wartości, lecz w tym przypadku A i B są zerami, ich różnica jest zerem, stąd C — 0. Wynika stąd równość wyrażeń Ai B.

Twierdzenie dopiero co udowodnione, nazywa się twierdzeniem o całkowaniu pod znakiem całki.

Pozostaje zbadać dwa przypadki osobliwe, o których mówiliśmy w § 4. Zbadajmy najprzód, czy utrzymuje się twierdzenie o całkowaniu pod znakiem, jeżeli jedna z granic lub obie są nieskończonemi.

Przyjmijmy, że sprawdza się równość:

d    b

f dy I

c    a

dx f (x, y)

b    d

= ! dx I dy f (x, y)

bez względu na to, jakkolwiek wielkiemi są skończone granice bid. Niechaj jedna z nich np. b staje się nieskończoną; załóżmy naturalnie, że istnieją granice obu stron dla b — co. Strona druga na mocy określeń § 4 staje się wtedy:

CO

fdx I dy f (x, y ) ;

a    c

pierwszą zaś śtronę oznaczamy przez:

lim

6=oo

f dy I dx f (,x, y).

a

Tego ostatniego wyrażenia nie można uczynić równem

d

fdy

lim

6=oo ..

b    doo

f dx f (;x, y) — jdy f dy f (,x, y)

o ile nie można okazać, że znak granicy odnośnie do parametru

d

b jest przemienny ze znakiem J . Otóż według twierdzeń poprzedzającego paragrafu, przemiennośó ta istnieje bez innych zastrzeżeń, gdy wiemy, że przy granicach c i cl skończonych dla takiej przemienności t. j. dla ciągłości całki uwa~ żanej zafunkcyę ilości b wystarcza, by funkcya znajdująca się pod znakiem całki t. j. j clx f (x. y) była funkcyą ciągłą ilości b i y, co w rzeczy samej się sprawdza. Otrzymujemy tedy, że gdy jedna z czterech granic jest nieskończoną, wtedy utrzymuje się twierdzenie o całkowaniu pod znakiem całki bez nowych zastrzeżeń o naturze funkcyi, prócz tych, które odnoszą się do całkowania przy granicy wyższej oo.

Rzecz się ma inaczej, gdy obie granice są nieskończone, t. j. gdy dążą do nieskończoności tak b jak i cl. Istotnie, gdy od związku:

oc

co

przechodzimy do granicy dla cl— oo, wtedy strona pierwsza staje

OO

OO

OO

się równą:

I dy I dx f (x, y), druga zaś : hm j clx jcly f (x, y),

c    u    u    c

i nie równa się:

OO

OO

OO

clx

I dx lim I cly f (x, y) —

,    d—oo J

a    c    a

o ile nie spełniają się pewne warunki. Wiemy w samej rze-

OC

czy, z

poprzedzającego paragrafu, że aby całka j funkcyi

ilości dix była funkcyą ciągłą parametru cü, nie wystarcza, by funkcya pod znakiem całkowania była funkcyą ciągłą obu zmiennych d i x. Znaleźliśmy już warunek dostateczny do tego przypadku, lecz warunek ten, zastosowany do obecnego przypadku nie przedstawiłby się pod łatwą postacią. W zamian za to podamy inny Avarunek tylko dostateczny, mianowicie: przemienność utrzymuje się, gdy funk-c y a /’ (x, y) j e s t zawsze mniejsza co do wartości bezwzględnej od:

(V > 1)

i e <p(a;)jestfunkcyą całkowalną w jaki m-w i e k przedziale aż do oo Istotnie, w tym przedziale'marny:

OO

OO

cc

I dx / dy f (x, y) = f dx j dy f (x, y) -f- / dx fdy f (x, y), • • • «/ «

a    c    a    c    u    1)

a ponieważ możemy wybrać zawsze b tak, aby wyraz drugi strony drugiej był dowolnie małym — gdyż ten wyraz jest mniejszy

OO

— I rf (x) dx (patrz

co do wartości bezwzględnej od — —^    ^v_x

§ 4, rozdział 1) stającego się zerem dla b = oo — przeto granica wyrazu pierwszego strony drugiej dla b — oo równa się stronie

pierwszej.

Przej dźmy wreszcie do przypadku, w którym funkcya staje się nieskończoną w punkcie np. dla x = b. Wtedy z równości:

b—e

I dy / dx f y)

c    a

przy przejściu do granicy dla e = 0 wynika:

d    b—e    b d

lira

*=o ./

f dy f dx f (x, y) = J dx j dy f (x, y)

à    a c

Po stronie pierwszej, jak już wiemy z paragrafu poprzedzającego, znak granicy nie jest przemienny ze znakiem całki, o ile funkcya f (x, y), prócz ciągłości nie spełnia innych jeszcze warunków. Możemy wypowiedzieć warunek dostateczny w formie następującej:

Przemienność dwu całkowa ń utrzymuje się jeszcze w przypadku, w którym funkcya staje się nieskończoną w punkcie x=b, jeżeli funkcya oprócz zwykłego warunku ciągłości, posiada wciąż wartość bezwzględną mniejszą, niż:

{V < 1)

<p (y)

(x — by

gdzie cp (y) ma wartość zawsze skończoną.

Dowodzenie jest podobne do powyższego i opiera się

na tern, że

SJ

(MJ

i że według przyjętych założeń, drugi wyraz strony drugiej dąży do zera przy zmniejszaniu do zera ilości s.

Nadmienimy jeszcze, że możnaby przeprowadzić badanie całek podwójnych już nie w przypadku granic stałych, lecz w przypadku ogólniejszym, gdy granice pierwszego całkowania (względem x) są funkcyami zmiennej y. Takie badanie ogólniejsze byłoby analogiczne do podanego wyżej badania, odnoszącego się do różniczkownania pod znakiem całkowania; lecz zajmiemy się niein dopiero w rozdziale o całkach wielokrotnych.

Podamy wreszcie przykład, w którym nie wolno przemieniać porządku całkowania. Jest nim całka:

— X²

Całkując najprzód względem x, następnie względem y, otrzymujemy + ~ ; całkując w odwrotnym porządku, znajdujemy

--—. Pochodzi to stąd, że funkcya dana jest nieciągłą w punkcie x = 0, y — 0.

ROZDZIAL II.

CAŁKOWALNOŚC FUNKCYJ.

'fr-

s-*-

Pierwsza postać warunków całkowa/ności.

Dotąd przyjmowaliśmy, że funkcye, któremi zajmowaliśmy się w różnych twierdzeniach poprzedzających paragrafów, były wszystkie całkowalnemi. Obecnie przedstawia się naturalnie zagadnienie takie: „Jakim warunkom powinna zadość czynić funkcya, aby była całkowalną pomiędzy danemi granicami, t. j. aby suma J£frór, wskazana w rozdziale poprzedzającym, miała wartość oznaczoną i skończoną

Zauważmy najprzód, że według określenia zasadniczego całki określonej, granica ta powdnna być niezależną: 1) od sposobu, w jaki przedziały öf dążą do zera: 2) od wyboru wartości fr av każdym przedziale dr.

Załóżmy, że jako wartość/i-, wybieramy zawsze m a x i-m u m, lu b granicę wyższą L, wartości funkcyi f (x) w przedziale ór wraz z jego krańcami; wtedy granica sumy L, ó,- będzie wartością całki określonej. Gdybyśmy na wartość fr wybrali minimu m lub granicę niższą lr wartości funkcyi f w przedziale <5r, granica sumy £ lr ór będzie także wartością całki. Tym sposobem różnica dwóch tych granic, t. j. granica icli różnicy czyli JjJdr (Lr—lr) powinna być zerem. Jeżeli różnicę Lr—lr nazwiemy oscylacyą funkcyi w przedziale dr i oznaczymy ją przez //?, będzie:

lim JE dr Dr = 0.

Z określenia całki wynika zatem następujący warunek konieczny istnienia granicy sumy: granica sumy iloczynów przedziałów cząstko wy cli prz e z oscylacye, funkcyi f w tych przedziałach, powinna być zerem.

Okażemy, że warunek ten jest zarazem warunkiem d o-statecznym, stwierdzając, że gdy lim JE ôr D, =0, to istnieje wtedy granica wyrażenia 2Jfrdr i posiada wartość niezależną tak od wyboru wartości fr, jak i od prawa, według którego przedziały ór dążą do zera. W samej rzeczy rozważmy dwa różne podziały całkowitego przedziału; przedziały cząstkowe pierwszego podziału oznaczmy przez A , . . . , dr, ■ . drugiego przez <5/, . .. , d/ ... i niechaj te dwa podziały będą zupełnie od siebie niezależne. Rozpatrzmy jeszcze trzeci podział, który zawiera punkty pierwszego podziału wraz z punktami drugiego podziału. Przedziały cząstkowe trzeciego podziału oznaczmy przez q\ tym sposobem każde Ó i każde à' jest sumą całkowitej liczby przedziałów cząstkowych o.

Niechaj będzie:

dr — g/ł+1 + Qh+2 -j- • • • “f" Qh+t i

a więc :

fr dr — fr QhA-\ ~f~ fr Qh +2    fr Qh-\-t )

Jeżeli przez fh+i, A+2, • • • , fh+t oznaczymy wartości funkcyi /' w przedziałach Qh+\, Q;,+2, • . . , Qh\-t, możemy nadpisać tożsamość:

fr dr - A+l    -j- . . . -f- fh+t Qh+t

-j- [(A - fh+l) QI‘+1 + . . . -j- (fr — fh+t) Qh+t\ •

Lecz różnice fr — fh+i, .. . , fr — fh+t są różnicami pomiędzy dwiema wartościami funkcyi /' w przedziale ón gdyż każdy z przedziałów £*4-1, . . . , Qh+t jest częścią przedziału dr; różnice te zatem będą z pewnością mniejsze lub co najwyżej równe wartości oscylacyi funkcyi w^, t. j. ilości Dr. Kładąc zatem:

fr ôr = fh+l Qh+1 -f- • . • -f- fh+ł Qh+t “f- CO,

jesteśmy pewni, że co do wartości bezwzględnej : t. j.

CO ^ Dy Ô, .

Stąd, zmieniając skaźnik r i tworząc sumę, mamy:

E fr àr= Z fh Qh -f ECO

gdzie E fh Qh jest sumą analogicznie utworzoną z przedziałów q. Wyrażenie Eco czyni zadość nierówności :

Eco E Dr ón

a więc na mocy założenia dąży do zera.

Jeżeli teraz powtórzymy te same rozumowania, wychodząc z przedziałów ó's zamiast z przedziałów ór, znajdziemy wzór:

Efsó's = EfhQh-irEco',

Odejmując, otrzymujemy :

gdzie Eco' dąży także do zera.

E fr ör - E fs Ö's = ECO — ECO' = Q,

gdzie Û jest widocznie ilością, zdążającą do zera.

Przebrnijmy obecnie, żepodział drugi na przedziały ó' nie jest niezależny odpierwszego podziału, lecz przedstawia stadyum następujące po pierwszym podziale; innemi słowy, że gdy przedziały dążące do zera oznaczamy w stadyum poprzedzającem przez ó,

to w stadyum następnem oznaczamy je przez d'. W takim razie wzór powyższy orzeka, że różnicę pomiędzy wartościami wyrażenia 2 fr dr w dwóch kolejnych staclyach można uczynić dowolnie małą; jestto, jak wiemy, warunek konieczny i dostateczny i do tego, aby to wyrażenie ciążyło do granicy oznaczonej i skończonej. Tym sposobem twierdzenie nasze zostało dowiedzione.

Można jeszcze okazać, że granica ta jest niezależną: 1) od prawa, według którego ustanowiliśmy podział na przedziały cząstkowe i według którego dążą one do zera; 2) od wyboru wartości fr. W samej rzeczy, z powyższego wzoru w założeniu, że przedziały à i d’ są bezwzględnie niezależne, wynika:

lim [2 fr dr - 2 fs <3V] = o,

a więc, jeżeli istnieje granica strony pierwszej, to możemy napisać :

hm 2 fr dr — lim 2 fs d's — 0.

Stąd wnosimy, że istnieje wtedy i granica wyrazu drugiego, równa granicy wyrazu pierwszego. Jeżeli teraz ustanowimy inne prawo wyboru wartości fr i, utworzymy sumę 2 dr fr(l) i przyjmiemy dalej, że istnieje granica sumy 2 dr fr, to możemy łatwo okazać, że istnieje też granica sumy poprzedniej, że jedna jest równa drugiej. Gdyż jest widocznie :

2 dr fr- Z dr ff» = 2 dr (fr ~ fr®) |

ponieważ zaś fr — ffl\ jako różnica dwóch wartości funkcyi f w przedziale <5r, jest mniejsza lub, co najwyżej, równa oscylacyi Dr, przeto:

2 dr fr - 2 dr fr⁽¹⁾ ^ ór Dr.

Na podstawie tecty założenia widzimy, że strona pierwsza dąży do zera, t. j., jeżeli istnieje granica jednego z tych wyrażeń, to istnieć musi granica drugiego i równać się p i e r w s z e j.

§ 2.

Druga posłać kryteryum całkowalności.

Kryteryum całkowalności, znalezione w paragrafie poprzedzającym, przedstawia się pod postacią, która może okazać się trudną w zastosowaniu praktycznem i dlatego postaramy się przekształcić to kryteryum na inne, dogodniejsze w użyciu.

Warunek lim drDr — 0 orzeka, że możemy sumę ôr D, uczynić mniejszą od jakkolwiek małej ilością; możemy zatem znaleźć takie stadyum małości przedziałów ó, aby dla tego s t a d y u m i dla wszystkich następnych było zawsze ô, Dr <C o. Niechaj t będzie sumą wszystkich przedziałów cząstkowych, w których oscylacya funkcyi jest większa od pewnej liczby ustalonej o'. Będzie tedy widocznie :

to' ^ ^ d, Dr a,

skąd

T <C ~~r ■

Pozostawmy stałe o' i zmniejszajmy a, wtedy zmniejszać się będzie wartość t i granica tego r dla jakiegokolwiek stałego o' będzie zerem. Znajdujemy więc warunek konieczny całkowalności taki: suma przedziałów cząstkowych, w których oscylacya funkcyi może być większa od pewnej ilości oznaczonej, powinna dążyć do zera, t. j. być w inno lim r = 0.

Łatwo dowieść, że warunek ten jest zarazem dostateczny m.

Jeżeli przez D oznaczymy największą z oscylacyj funkcyi f w różnych przedziałach, których suma jest r, i jeżeli zauważymy, że we wszystkich innych przedziałach oscylacj-a jest mniejsza lub równa o', otrzymamy nierówność:

Z dr Dr ^ tD 4 (T r) a',

w której T oznacza całkowity przedział całkowania, T—r zatem sumę przedziałów, nie należących do t. Z tego związku widzimy, że gdy t można uczynić dowolnie małem, t. j. gdy lim t—0; to ponieważ o' zaś jestdowolnem, a zatem też może być uczynionem dowolnie małem, to i pierwszą stronę można uczynić tak małą, jak się podoba, lub innemi słowy, strona pierwsza dąży do zera.

Wnosimy stąd, że oba warunki całkowalności lim Z ô r D, i lim t = 0 są doskonale równoważne.

§ 3.

Funkcye całkowalne i niecałkowalne. Zastosowanie znalezionych

kry tery ów.

Stosując twierdzenia, znalezione w dwu poprzedzających paragrafach, możemy znaleść klasy funkcyj całkowalnych. Widzimy przedewszystkiem, że każda funkcya ciągła jest całkowalną.

W samej rzeczy, dość przypomnieć sobie twierdzenia, dowiedzione w § 8 Rozdziału I-go „Rachunku różniczkowego“ o funkeyacli ciągłych. Widzieliśmy tam, że każda funkcya ciągła jest zarazem jednostajnie ciągłą, stąd zaś wyprowadziliśmy, że gdy mamy daną funkcyę ciągłą w pewnym całkowitym przedziale, to możemy przedział ten podzielić na inne przedziały cząstkowe takie, aby w każdym z nich oscylacya funkcyi była mniejsza od ilości o' dowolnie małej. Wiążąc z tą własnością kryteryum podane w poprzedzającym paràgrafie, możemy powiedzieć, że dla funkcyj ciągłych ilość r dąży do zera dia każdego dowolnie małego oj stąd zaś wynika, że funkcye ciągłe są całkowalne.

Całkowalnemi są też funkcye skończone nieciągłe, mające skończoną liczbę punktów przerwy, w których funkcya ma skok, oczywiście skończony. Takie funkcye nazywamy zwykle funk-cyami w ogóle ciągłemi. Przypomnijmy w tym względzie, że dla funkcyi nieciągłej w punkcie a skokiem w tym punkcie nazywamy różnicę pomiędzy wartością funkcyi w a a granic ą jej wartości przy zbliżaniu się do tego punktu w założeniu, że ta granica istnieje. Jeżeli zaś ta granica jest nieoznaczoną, wtedy skokiem funkcyi w a nazywamy różnicę dwóch wartości skrajnych, pomiędzy któremi oscyluje wartość funkcyi przy zbliżaniu się do punktu a. Jeżeli zaś, jak to przyjęliśmy, wartość funkcyi jest zawsze skończoną, to oczywiście i skok jej skończonym być musi.

Aby dowieść powyższego twierdzenia, oznaczmy przez cix, rt₂, . . . , an n punktów przerwy funkcyi i otoczmy każdy z nich przedziałem dowolnie małym. Jeżeli d jest największy z tych przedziałów, to suma wszystkich jest mniejsza od nd. W pozostałym przedziale całkowania funkcya jest już ciągłą, możemy zatem ten przedział podzielić na przedziały cząstkowe takie, aby w każdym z nich oscylacya funkcyi była zawsze mniejsza od pewnej ustalonej ilości o'. Przedziały, w których oscylacya fuukcyi może być większa od u, znajdują się tylko w otoczeniu punktów przerwy; suma tych otoczeń jest mniejsza od nd, można ją zatem uczynić dowolnie małą, gdyż n jest skończone, d zaś dowolne. A zatem w naszym przypadku ilość r można uczynić dowolnie małą i będzie lim r — 0, co było do okazania.

Istnieją jeszcze inne klasy funkcyj nieciągłych całkowalnych; aby je znaleść, musimy wejść w pewne rozważania, odnoszące się do rozmaitych gatunków nieciągłości funkcyj. Punkty

przerwy funkcyi mogą stanowić grupę nieskończoną punktów (p. Rozdz. I „Rachunku różniczkowego“). Grupa nieskończona punktów może być dwojakiego rodzaju. Może być taką, że wszystkie punkty grupy dają się zawrzeć w przedziałach, których sumę można uczynić mniejszą od każdej ilości danej; lub też taką, że tego uczynić nie można. W pierwszym przypadku grupę punktów nieskończonych nazywamy zwykle grupą nieciągłą punktów, w drugim zaś grupą liniową punktów. Nazwa grupy liniowej ma przypominać fakt, że dla wszystkich punktów przedziału liniowego własność ta nie ma miejsca.

Przykładem grupy nieciągłej punktów jest jakakolwiek grupa o skończonej liczbie punktów granicznych (p. § 1 I Rozdziału „Rachunku różniczkowego“). Jeżeli bowiem otoczymy te punkty graniczne dowolnie małemi przedziałami, to pozostaną na zewnątrz nich punkty grupy w liczbie skończonej i każdy z tych punktów będzie można otoczyć przedziałami, których suma może być dowolnie małą.

Powiemy jeszcze, że funkcya nieciągła nazywa się pun-ktowo-nieciągłą, jeżeli punkty przerwy stanowią grupę nieciągłą; liniowo-nieciągłą zaś wtedy, gdy te punkty tworzą grupę liniową.

Możemy teraz udowodnić twierdzenie Riemanna:

Funkcya punktowo-nieciągła jest całko

walną.

Dowód tego twierdzenia jest analogiczny do dowodu, który stosowaliśmy w przypadku skończonej liczby punktów przerwy, gdyż i dla funkcyi punktowo-nieciągłej istnieje także własność zasadnicza, jaka miała miejsce i w tamtym przypadku, mianowicie, że wszystkie punkty przerwy dają się zawrzeć w przedziałach, których sumę można uczynić dowolnie małą.

Przykładem funkcyi punktowo-nieciągłej jest funkcya f (a:), określona w sposób taki : Niechaj / (x) ma wartość 1 we

wszystkich punktach grupy 1, -i-

A

zaś wartość 0 we wszystkich innych punk t a c h prze-

Pascal R. C.

działu od 0 do 1. Funkcya taka jest całkowalną w tym przedziale. Stosując określenie całki określonej, łatwo znaleść, że wartość całki tej funkcyi jest zerem. W samej rzeczy, podzielmy przedział od 0 do 1 na przedziały cząstkowe i rozróżnijmy dwa ich rodzaje: jedne, znajdujące się w otoczeniu punktów przerwy, inne, nie zawierające punktów przerwy. Część sumy fr ór, odpowiadająca tym drugim przedziałom, jest oczywiście zerem, ponieważ funkcya f(x) jest zerem w każdym z ich punktów; część zaś sumy, odpowiadająca pierwszjun przedziałom, będzie miała wartość mniejszą lub równą iloczynowi sumy wszystkich przedziałów przez 1, t. j. przez wartość funkcyi w punktach przerwy. Lecz ponieważ suma pierwszych przedziałów może być uczyniona dowolnie małą, przeto granica sumy może być tylko zerem.

Twierdzenia o funkcyach całkowalnych. Całkowanie przez szeregi.

Pytanie, jakie mimowoli się nastręcza o fimkcyach całkowalnych, jest następujące: czy łącząc ze sobą za pomocą znaków działań analitycznych skończoną liczbę funkcyj całkowalnych, otrzymujemy funkcyę całkowalną?

Suma dwu funkcyj całkowalnych jest widocznie całkowalną, co wynika bezpośrednio z defini-cyi całki określonej, nawet bez stosowania twierdzeń ocałkowal-ności, podanych w tym rozdziale. Dlatego to w rozdziale poprzedzającym mogliśmy już korzystać z tego twierdzenia. W samej rzeczy, jeżeli funkcye cp (kc), <f> (x) są całkowalne, t. j. jeżeli dwie sumy cp,. <5r, tyr dr mają granice oznaczone i skończone, to i suma tych dwóch sum będzie miała również granicę oznaczoną i skończoną; a gdy jeszcze brać będziemy wartości obu funkcyi cp,- i zawsze dla tych samych punktów, to okaże się, że ta ostatnia granica jest ściśle całką sumy dwu funkcyj.

Nieco trudniej dowieść twierdzenia : Iloczyn dwu funkcyj całkowalnych jest także funkcyą całkowalną.

Aby to okazać, rozpatrzmy najprzód oscylacyę iloczynu (x). (cc) w przedziale ór. Przyjmijmy na chwilę, że wartości tp, s ą zawsze dodatnie dla całej drogi całkowania. Oznaczmy przez My, w? granice wyższą i niższą wartości funk-cyi cp w <5,- i podobnież przez Mą, Wą takież granice dla funkcyi przez mry granice dla iloczynu "Wtedy różnice:

My — m

"Mą ii%ą , M.yĄ    lYiyą,

będą oscylacyami funkcyj <p,    w przedziale ór. Ponieważ

ilości d/, m według założenia są dodatniemi, możemy więc napisać nierówności :

My.i <; My Mą ; m.yAj ^ niy niĄ

skąd:

iSÏy Aj    ll%y Ą    ^Æ-y "M.Ą    i 11 y 11% Ą

My (M,^ — itią) m,Ą (My — m,p),

D^\ą oznaczymy oscylacyę trzech

a jeżeli przez D{r\,i,, D^ funkcyj ?p<J>, <p, ?J>, będzie:

Dyl My D⁽,p -f- m,Ą Dy}.

Kładąc Mą zamiast Mą, wzmocnimy jeszcze nierówność, możemy więc napisać:

Dyl ^ My Dą] -f Mą iły¹ .

Nierówność ta stosuje się dó każdego przedziału <5r; jeżeli więc przez M, M' oznaczymy granice wyższe wartości funkcyj <p, dla całego przedziału całkowania i podstawimy w nierówności M, M' zamiast My, Mą, nierówność wzmocni się jeszcze, gdyż

M, M' nie mogą być oczywiście mniejszemi odpowiednio od Mr?, M,\r Będzie tedy:

^ M Di? -f- M' Di?

a stąd :

Z àr D% ^ M Z Ôr D? -f M' Z ôr D? .

Ponieważ obie funkcye cp, <{> są z założenia całkowalnemi, przeto siuny Z ôr D?, Z ôv D? dzionego w § 1, dążą do zera, a więc dążyć musi do zera i suma co znaczy, że iloczyn cp<{> jest całkowalny.

Powyższy dowód przeprowadziliśmy w założeniu, że funk-cye cp, <|> są zawsze dodatnie dla każdego punktu przedziału. Lecz jest jasnem, że twierdzenie to jest ogólnem, gdyż do funkcyj cp, można zawsze dodać dwie stałe (7, C takie, aby sumy cp —j— C, c{> -]- C miały zawsze wartości dodatnie; w tym celu dość wziąść C i C większe odpowiednio od wartości bezwzględnych granic niższych funkcyj cp, ^ w całym przedziale. Wtedy iloczyn :

Z dr D

(r)

cp\pi

na

podstawie twierdzenia, dowie-

(9 + C) (ł + c) =-    + q> + C'f + cc,

na mocy powyższego dowodzenia, jest całkowalny, a więc będzie całkowalnym i iloczyn cpcj>, równy (cp+ f?) (cp-j- C)—ócjj—C'<J>—CC, jako będący sumą funkcyj całkowalnych.

Załóżmy teraz, że liczba działań nie jest już skończoną, lecz nieskończoną, np., że mamy nieskończoną liczbę wyrazów, z których każdy przedstawia funkcyę całkowalną. Będzie to t. zw. zagadnienie o całkowaniu przez szeregi, analogiczne do zagadnienia o różniczkowaniu przez szeregi, którem zajmowaliśmy się w ,,Rachunku różniczkowym“ (Rozdz. II § 2).

Niechaj będzie szereg zbieżny, którego wyrazy są funk-cyami całkowalnemi zmiennej x w przedziale od a do b. Pytamy się, w jakich przypadkach taki szereg przedstawia f u n k-c y ę całkowalną zmiennej x i kiedy można za całkę regu przyjąć sumę całek pojedynczych jego wyrazów ?

sze-

regiem jego

wtedy szereg przedstawia funkcyę całkowalną, a całkowanie uskutecznia się, biorąc sumę całek pojedynczych wyrazó wu.

Jak zwykle, nie szukamy warunków czysto - koniecznych; wystarczy tu znaleźć warunek dostateczny w postaci łatwej i do użycia w zastosowaniach dogodnej. Udowodnimy twierdzenie. „Jeżeli szereg dany jest sze-zbieżnym jednostajnie i wszystkie wyrazy są funkcyami całkowalnemi,

Niechaj będzie szereg:

fix) = ux (x) +Wa (#) +

CO

. = Z uh (x).

h—1

Oznaczmy przez R„ (x) resztę szeregu, to będzie:

h—n

f(x) = Z Uh (x) -f Rn (x) .

h—1

Na mocy założenia o jednostajnej zbieżności szeregu można ilość Rn (x) uczynić mniejszą od o dla każdego punktu x. Dowiedziemy najprzód, że funkcya f(x) jest całko

walną, jeżeli całkowalnemi są wyrazy u (x). Oznaczmy przez D⁽r \    . . . oscylacye wyrazów ux (x), u₂ (x), ... w przedziale

cząstkowym dr, który, jak zwykle, jest jednym z przedziałów, na które podzielono cały przedział całkowalności. Niechaj dalej D⁽rh> oznaczają oscylacye funkcyj fiR w tymże przedziale ór . Wtedy jest widocznem, że wartość granicy wyższej w przedziale ór funkcyi /, równej sumie funkcyj uu u₉, . . . , un, R nie może przewyższać sumy granic wyższych tych funkcyj. Np. jeżeli wszystkie te funkcye mają swoje wartości największe w jednym i tym samym punkcie x, wtedy i maximum funkcyi f odpowiada sumie tych maximôw; w ogólności wszakże, gdy ten przypadek specyalny nie zachodzi, maximum

funkcyi f będzie mniejsze od sumy maximôw. Podobnież minimum funkcyi f będzie wogóle większe od sumy minimów. Jeżeli więc oznaczymy przez MJ\ md), M^\ mW, . . 2/W, m(n\ M(K), m(ß) maxima i minima funkcyj f, ut, ... un, R, mieć będziemy:

2f/) ^ 2/(D -f 2/(²) + ... -f M(n) -f MR\ md) ^ m⁽¹) -j- m(2) —. . . —f- mW -f⁻

a odejmując:

Z^/} ^ D? + D? -f . . . + D?] -f UR).

Niechaj teraz dla każdego x będzie co do wartości bezwzględnej Rn (x) < a, to widocznem jest, że oscylacye funkcyi R nie mogą być większe od 2o, a więc:

I)rf) S D? + D? -f . . . + D{rn) + 2o,

Z dr D{P ^ Z dr D? + Z dr D?⁾ -f- .. . -f Z dr D?] + 2oZÓr.

Ponieważ Z ór — b — a, t. j. całemu przedziałowi całkowania, a sumy po stronie drugiej dążą do zera, gdyż funkcye ui (x), u₂ (pc), ... są całkowalnemi, o zaś może być dowolnie małem, przeto i suma na stronie pierwszej ostatniego wzoru może być uczyniona dowolnie małą, co znaczy, że funkcya f jest całkowalną.

Łatwo teraz okazać, że całką funkcyi / jest suma całek pojedynczych wyrazów szeregu. Istotnie, utwórzmy sumę:

b    b    b

I f (x) dx — J % (x) dx -j- ju₂ (x) dx -1- . .

6    b

-f- j iin (x) dx -j- j'Iin (x) dx

gdzie po drugiej stronie mogliśmy znak całkowania napisać przy każdym wyrazie, gdyż suma wyrazów jest skończoną. Jeżeli okażemy, że całka j RH (x) dx, w miarę wzrastania liczby u, może stać się mniejszą od każdej ilości dowolnie małej, t. j. dąży do zera, to jasnem będzie, że szereg całek, t. j.

CO 2 j Uh {x) dx

h—1    a

będzie szeregiem zbieżnym, którego wartość jest wartością całki funkcyi f (x).

Wiemy, że Rn (x) dla każdego x w przedziale całkowania

o

może być mniejszem od o, stąd całka j'Rn (x) dx jest co do war-

a

b

tości bezwzględnej mniejsza od Jo dx = (b—a) a, t. j. tak ma-

a

łą, jak się podoba, co było do okazania.

Stosując dowiedzione twierdzenie do szeregu potęgowego, któr}r, jak wiemy, (p. ,,Rachunek różniczkowy“, Rozdz. I, § 7), gdy jest zbieżny w pewnym obszarze, zawartym pomiędzy punktami skraj nem i, to jest z pewnością i jednostajnie zbieżnym w tymże obszarze, z włączeniem punktów skrajnych, otrzymamy twierdzenie :

„Szereg potęgowy zmiennej x jest funk-cyą całkowalną, a całkę jego otrzymujemy, biorąc sumę całek pojedynczych wyrazów.

Pokażemy, w jaki sposób te twierdzenia można spożytkować w celu rozwinięcia na szeregi niektórych funkcyj. Jako przykład, weźmy funkcyę arc sin x. Funkcyę tę możemy wy-

razić za pomocą całki określonej. Istotnie pochodną jej jest a więc możemy napisać:

Vl—x² '

dx

arc sin x

zakładając, że funkcyę określamy w ten sposób, iż jest równa zeru dla x = 0. Według rozwinięcia dwumianowego (p. „Rachunek różniczkowy“, Rozdz. III, § 3), mamy (jeżeli x² <( 1):

a-*²) ² = i+4-

x²

x*-\

1.3.5

2.4.6

gdzie strona druga jest szeregiem potęgowym, który możemy całkować. Całka tego każdego wyrazu jest typu:

I x2n dcc ,

a więc równa się:

x2n+1

r

Jo

a?2w+¹

~ 2n -j- 1 ’

co sprawdzić łatwo (p. Rozdz. I, § 3). Znajdujemy więc:

arc sin x

1

= x + ~2 TT +

1.3 a:⁵

2.4    5

“k" ~h ■ •• •

Zauważmy że szereg po stronie prawej jest jeszcze zbieżny i dla x² = 1, jakkolwiek szereg dwumianowy, z którego wyszliśmy, jest dla tej wartości x rozbieżnym. Funkcya pod znakiem cał-

kowania staje się wtedy nieskończoną rzędu ~-zostaje skończoną |jej wartością jest .

lecz całka po-

Piękny przykład całkowania przez szeregi stanowi:

I log (1—cos x £²) clx.

Funkcya podcałkowa jest bardzoj skomplikowana i całkowanie bezpośrednie nie byłoby łatwem; lecz jeżeli rozwiniemy tę funk-cyę na szereg i wykonamy całkowanie przez szeregi, otrzymamy łatwo wartość całki pod postacią szeregu.

Przykład szeregu, który nie będąc jednostajnie zbieżnym, nie pozwala na całkowanie przez szeregi, podał Darboux; jest to szereg:

CO

«=i

którego wartością jest wprost xe~x‘i.

Nie wchodzimy w szczegóły tego rozważania, które zresztą byłoby łatwem.

ROZDZIAŁ III.

OBLICZANIE CAŁEK NIEOKREŚLONYCH I OKREŚLONYCH.

y/2

h-i

Całki nieokreślone zasadnicze.

W dwóch, poprzedzających paragrafach rozważaliśmy własności ogólne, wynikające z określenia całki; obecnie przechodzimy do części praktycznej rachunku całkowego, t. j. do odpowiedzi na pytanie : mając daną funkcyę, jak z niej obliczyć całkę nieokreśloną?

W rachunku różniczkowym zagadnienie różniczkowania może być rozwiązane zupełnie, jeżeli w danej funkcyi zachodzą tylko symbole zwykłe działań analitycznych. W rachunku całkowym rzecz ma się inaczej; tu bowiem, o ile nie mamy do czynienia z typami elementarnemi funkcyj, nie możemy ustanowić właściwych prawideł całkowania. Powodzenie zależy tu od zastosowania tego lub owego sposobu sztucznego i nie zawsze udaje się znaleść środek prowadzący do celu. Dalej, podczas gdy różniczkowanie zwykłych typów funkcyj prowadzi zawsze do funkcyj, nie wychodzących z zakresu tychże typów, to w rachunku całkowym rzecz ma się odmiennie. Całkowanie zwykłych typów funkcyj prowadzi bowiem nieraz do funkcyj, nie dających się już przedstawić w ten sam sposob, jak poprzednie, za pomocą, skończonej liczby działań analitycznych, wykonanych na zmiennej niezależnej, jeżeli przez zwykłe działania analityczne rozumiemy działania matematyki elementarnej, t. j. sześć działań zasadniczych algebry, dalej działania logarytmo-wania i wykładnicze, działania trygonometryczne i odwrotne względem tychże.

Dla przekonania się, że całkowanie może prowadzić do funkcyj nowych, bardziej złożonych, rozważmy co następuje:

Wiemy, że pochodną funkcyi log x jest — ; stąd wnosi-

X

my, że całką nieokreśloną funkcyi — jest log x, gdyż — jest

X    co

funkcyą ciągłą (p. Rozdział I, § 3). Wyobraźmy sobie na chwilę, że funkcya logarytmowa nie należy jeszcze do zakresu funkcyj, które uważamy za funkcye zwykłe, i że nie należy także do tegoż zakresu jej odwrotność, t. j. funkcya wykładnicza; wtedy będzie jasnem, że prosty proces całkowania najprostszej funkcyi wymiernej — wprowadza już nową funkcyę logarytmową.

X

Jeżeli zaliczymy do klasy pierwszej funkcye wymierne, do drugiej niewymierne, do trzeciej przestępne (trygonometryczne i ich odwrotne, logarytmowe i wykładnicze), to różniczkowanie funkcyi jednej klasy nie prowadzi do funkcyj klasy wyższej, lecz do funkcyj tejże klasy lub niższej; całkowanie, przeciwnie, może prowadzić do funkcyj klasy wyższej.

W następnych paragrafach wskażemy niektóre zasadnicze środki sztuczne całkowania; obecnie podamy t. zw. wzory zasadnicze całkowania.

Rozpatrzmy wszystkie funkcye, które podzieliliśmy wyżej na trzy klasy; wszystkie one są funkcyami ciągłemi i ich pochodne są także funkcyami ciągłemi. Pamiętając o tern, że całka nieokreślona funkcyi ciągłej jest funkcyą, której pochodna jest równa funkcyi danej, możemy napisać wzory zasadnicze.

Z jedenastu związków :

1.

d Xm^1 clx ni-f-1

= xm

(dla jakiegokolwiek w, różnego od — 1):

2.

cl

clx

;    3. — ex = ex ;

dx

4.

d .

sm x = cos x;

cl

5. -r— cosa?=— sina;; 6. dx

; 7.-r—cotg x =

sin²#’

8.    -r— arc sm x —

VI—x² ’

9.

— arc cos x —

dx

Vl —#²

10.    -7— arc tg# =

dx ö

l-f-CC

;    11. —arc cotg# = —

1 -f a?² ’

otrzymujemy dziewięć wzorów zasadniczych:

clx =

ag” + 1

m -j- 1

(dla wi różnego od — 1) ;

2.

3.

| ex clx

4.

cos x dx — sin x ;

5. *

sin x dx = — cos x ;

6.

cos²#

dx — tg x ;

7.

dx = — cotg x ;

8. I -=L_

J n—x²

clx — arc sin x — — arc cos x ;

9.

J J/i-f-#²

dx — arc tg x = — arc cotg x .

Rozumie się, że do stron drugich tych dziewięciu wzorów można dołączyć zawsze stałą dowolną, dla otrzymania całki nieokreślonej zupełnej.

Jeżeli mamy do obliczenia całkę funkcyi, nie znajdującej się w powyższej tablicy, to musimy znaleść odpowiedni sposób sprowadzenia jej do całek znanych. Przykłady podajemy w paragrafie następnym.

'Sn

ic

Sztuczne sposoby całkowania. Całkowanie przez części. Całkowanie

przez szeregi.

nie nale-

Niechaj dana. bedzie do obliczenia całka f ~ X ■

żąca do żadnego z typów, podanych w powyższej tablicy. Mamy:

sin x = 2 sin x cos

U

d , x dx ⁰ 2

cos

æ . x

T Sln¥

0 X    X

cos- tg-g-

Funkcya, której pochodna względem x równa się ostatniemu wy-

: a zatem:

CC

rażeniu, jest log tg-^-

r dx J sin x

X

= log tg -h—(- const.

Metodą często stosowaną jest metoda podstawienia, polegająca na przekształceniu zmiennej niezależnej na inną (patrz Rozdz. I, § 6) tak, aby nowa funkcya podcałkowa była prostszą do całkowania, niż dana. Nie możemy, naturalnie, podać prawi-jest algebraiczną. Tak np. całka f

deł na to, jakiego używać należy podstawienia; powodzenie zależeć tu będzie często od większej lub mniejszej wprawy w rachunkach tego rodzaju. Celem podstawienia będzie zawsze dojście do typu funkcyi, której całka jest już znaną, chociażby nowa funkcya była gatunku wyższego niż ta, z której wyszliśmy; tak np. nowa funkcya może być przestępną, gdy dana

przez podstawienie

dx

l—x²

x — cos y przekształca się (p. Bnzdz. I, § 6) na — f    ;

która na zasadzie rozważań poprzedzających równa się

y

arc cos x -f- const.

— log tg —}- const., a więc całka dana równa się : log tg -g-

Ten rezultat można uprościć za pomocą wzorów trygonometryi; w samej rzeczy:

sm -g- y

o •    ¹

2 sin -g

V cos -g- y

sm y

cos

2 cos²-i- y

i -f-cos y

₌ j/j — g?»

1 + x

tak że ostatecznie całka nasza równa się :

log ^ x2 const. l-j-x

Obliczmy całkę:

dx ax² -j- 2ßx -)- y

Połóżmy tożsamościowo:

ax² -j- 2ßx -f- y = {a x by c,

skąd należy oznaczyć stałe b, c. Rozwijając kwadrat i porównywaj ąc spółczynniki jednakowych potęg zmiennej x, znajdujemy :

a = ci² ; ß — ab ; y = ć²-f-d;

stąd:

ß‘

Ma

przez co całka przekształca się na następującą:

dx ( cix—\~b) 2_j_c

ci^u

Przez podstawienie ax -j- b — y, z którego wynika dx =-

I    a

ta całka zamienia się na:

-f

dy

y²-f c '

Wprowadźmy nową zmienną z za pomocą podstawienia y—Mc . z, z którego wynika dy — Mc . cl z ; otrzymujemy :

gdy t? jest ujemnem, podstawienie y ~ M—c . z, z którego wynika M—c . dz, doprowadza do całki:

1 r dz

aM—c J 1

Pierwsza z ostatnich dwu całek sprowadza się do typu, znajdującego się w tablicy zasadniczej, druga do całki wyżej przez nas obliczonej. Otrzymujemy więc jako wynik w pierwszym przypadku:

aVc

1    ax -j- b

— arots —vT~;

ale

w drugim zaś :

= log tg arc cos aV — c    ^

—Ł=l log tg arc cos aV~c * *

ax -f- b

2 V-c

Powyższe przykłady niechaj wystarczą na teraz jako przykłady całkowania za pomocą metody podstawień. Wyłożymy obecnie zasady innej metody, bardzo użytecznej w praktyce, zwanej metodą całkowania przez części.

Niechaj u(x), v(x) będą dwie funkeye, mające pochodne; według prawideł na pochodną iloczynu będzie:

~ [u (x) v (x)] = u (x) -jL v (x) -f t? (x) ~ u (4

stąd:

Całkując obie strony i pamiętając, że całką pochodnej funkcyi jest sama funkeya, otrzymujemy wzór zasadniczy:

I u (x)

dv (x)

dx

dx = u (x) v (x) — J u (x)

du (x)

dx

dx .

Zatrzymajmy się na chwilę nad tym wzorom dla wyrozumienia, w jaki sposób może on służyć do naszego celu. Niechaj będzie do obliczenia całka funkcyi ciągłej f(x). Możemy zawsze wyobrazić sobie, że funkeya f(x), jako iloczyn dwóch czynników,

pewnej nieznanej funkcyi v (x). Przy takiem założeniu można przy pomocy powyższego wzoru sprowadzić obliczenie całki danej do obliczenia innej całki, zupełnie różnej od pierwszej, aktora może być znacznie prostszą lub znaną. Rozkład na czynniki można uskutecznić nieskończenie wielu sposobami, lecz naturalnie pomiędzy niemi obierzemy (o ile istnieje i może być znaleziony) sposób, czyniący zadość dwóm warunkom : 1) aby można zna-

leść bezpośrednio funkcyę v (x)‘, 2) aby funkcya v (x)

ła łatwiejsza do całkowania, niż funkcya dana. Zresztą wszystko zależy od zręczności i wprawy, nabytej w tego rodzaju rachunkach. Przykłady najlepiej rzecz wyjaśnią.

by-

du (x )

dx

Niechaj będzie do obliczenia całka j log x dx. Uważajmy

funkcyę log x za iloczyn log x . 1; pierwszy czynnik nazwijmy u (a;), drugi    • Ze związku — 1, wynika v = x, a ze

— ; stosując więc wzór całko-

JC

z których jednym jest u {x), drugim zaś

dv (x)

dx

, t. j. pochodna

związku u = log x mamy ^ = wania przez części, otrzymujemy:

i log

x dx — x log x —

dx

= x log x — x -(- const.

Niekiedy nie udaje się całkowanie po jednokrotnem stosowaniu tej metody, lecz po kilkakrotnem. Oto przykład :

Niechaj będzie:

x- sin x dx .

Funkcyę podcałkową rozłóżmy na dwa czynniki : x² — u

Pascal R. C.

Całka po drugiej stronie nie jest jeszcze znaną, lecz widocznie jest prostszą od całki danej, gdyż wykładnik zmiennej x jest w niej o jedność mniejszy. Stosując powtórnie całkowanie przez części, otrzymujemy :

x cos x dx — x sin x —

sin x dx =. x sin x -j- cos x ,

a więc ostatecznie:

j'x² sin x dx — — x² cos x -f- 2 x sin x -}- 2 cos x -J- const.

W następnych paragrafach zajmiemy się zagadnieniem całkowania niektórych specyalnych typów funkcyj i dla pewnych typów dość ogólnych'będziemy mogli podać wzory ogólne na całkowanie.

Gdy funkcya dana nie da się sprowadzić do żadnego z typów, które umiemy całkować, gdy więc okażą się daremnemi wszelkie próby i sztuczne sposoby, wtedy pozostaje tylko uciec się do całkowania przez szeregi, którego teoryę podaliśmy w § 4 rozdziału Ii-go. Staramy się wtedy rozwinąć fun-kcyę na szereg, którego każdy wyraz jest całkowalny i otrzymujemy rezultat w postaci szeregu.

Jako przykład podajemy całkę:

(*²<D,

x cos a? da; .

»

dv

du

sin. x =    ; stąd — = 2#, v = — cos £C i będzie:

x² sin x dx — —

a?² cos a? -f- 2 /

dcp

J Vl—/c²sin²<p

która nazywa się całką eliptyczną. Całki takie badaj ą się szczegółowo w matematyce wyższej; dają one początek funk-cyom wyższym, niż zwyczajne fnnkcye przestępne, za pomocą których wyrazić się nie dają. Jest oczywistem, że gdy chcemy te funkcye wyrazić za pomocą zwykłych funkcyj, to wszelkie usiłowania i sposoby sztuczne nie udają się i możemy wtedy stosować tylko całkowanie przez szeregi.

Aby przykładu tego nie uczynić zbyt skomplikowanym, ograniczymy się na obliczeniu całki określonej w granicach od

Funkcya podcałkowa daje się rozwinąć na szereg na-

Odof

stępujący:

(1—A;² sin² cp)

— 1 —J—/c² sin² cp -(-

2.4

A;⁴ sin⁴ cp

1.3.5

2.4.6

ke sin⁶ cp —j— . . .

Szereg ten jest jednostajnie zbieżny; kładąc bowiem za sin cp jego wartość największą 1, otrzymujemy szereg wartości największych: zbieżmy dla Ä:² < 1, skąd na mocy znanego twierdzenia („Rachunek różniczkowy“, Rozdz. 1, § 7) wynika, że szereg uważany jest jednostajnie zbieżny.

Całkując wyraz po wyrazie we wzorze powyższym, znaj

dujemy:

dtp

VÏ—A;² sin² cp

“ł + T

J sin⁴ cp dtp -j- 7. .

j sin² cp dtp

A;⁴

Aby dojść tedy do szukanego rezultatu, trzeba umieć obliczać

postaci j sin²” cp cńp. Możemy to uskutecznić za pomocą

całki

metody całkowania przez części. Mamy:

f sin²” cp dtp = — sin²”-1 -f- (2n—1) j sin

cp cos cp

2»—2

cp cos² cp dcp ;

kładąc cos² cp = 1 — sin² cp i łącząc wyrazy podobne, otrzymujemy :

f sin²” cp d'p

sin²”⁻¹

cp cos cp

I sin

2»-2

cp dtp .

i otrzymamy tym sposobem wartość całki

Według tego wzoru całka, odpowiadająca wykładnikowi 2n, zależy od całki, odpowiadającej wykładnikowi 2n—2; stosując dostateczną liczbę razy ten wzór, dojdziemy w końcu do całki z wykładnikiem zero

j sin²” cp dtp. Rachunek upraszcza się, jak powiedzieliśmy, jeżeli

71

Wtedy J ²sin2ncpdcp

o

rozpatrujemy całkę określoną od 0 do ~ . staje się:

71

sin²” cp dcp =-—

2n

ŁJ

o

71

sin

2n— 2

cp dtp,

a stosując wzór ten kolejno n razy, znajdziemy :

71

I ² sin²” cp d'p

o

= (2n~¹) (2n~³) • . . 1 2?i . (2w—2) ... 2

stąd wartość szukana całki danej będzie:

JZ

(ftp

Vl—k² sin² <p

k*

2.4.6

co

Całkowanie funkcyj wymiernych.

Metody, wskazane w poprzedzających rozdziałach, służyły do przekształcenia całki danej na inną, której obliczenie w wielu razach jest łatwiejszem. Obecnie przyjmiemy, że funkcya, mająca być całkowaną, jest specyalnego gatunku, mianowicie jest funkcyą wymierną. Wtedy możemy istotnie wskazać metodę ogólną do obliczania całki w każdym przypadku. Rozumiemy to tak, że zagadnienie uważa się za rozwiązane, gdy daje się sprowadzić do zagadnienia natury mniej wysokiej, np. do rozwiązania równania algebraicznego, które praktycznie może być trudnem i nawet niewykonalnem. Z punktu widzenia teoretycznego wszakże zagadnienie o całkowaniu należy wtedy uważać za rozwiązane.

Niechaj będzie funkcya wymierna, równa ilorazowi dwu

F (x)

funkcyj

f(x)

które możemy przyjąć jako względnie pierwsze.

Podzielmy licznik przez mianownik, (gdy stopień funkcyi F jest większy od stopnia funkcyi /), przez co iloraz sprowadzimy do części całkowitej i do części ułamkowej, w której stopień licznika jest mniejszy od stopnia mianownika. Co do części całkowh

F(x) _

. •+

+ • • •+f=-a

x—a,

tej, to całkowanie jej sprowadza się do całkowania wyrażeń typu axn, gdzie a jest stałą; takie całki obliczamy według znanych prawideł. Zagadnienie zatem sprowadza się do całkowania

gdzie funkcye F i f są względnie pierw-

szemi i stopień pierwszej z nich jest mniejszy od stopnia drugiej.

funkcyi typu

F{x)

f(x)

Niechaj a₁, a₂, ..., ap będą pierwiastkami funkcyi f\ przyjmijmy, że są one rzeczywistemi i że nu n₉, . . ., np są stopniami ich wielokrotności. Wiemy wtedy z algebry (jak to okażemy

F(x)

na końcu tego paragrafu), że ułamek sumę ułamków cząstkowych sposobem następującym:

f{x)

można rozłożyć na

fix)    (x—%)Wi ' (x—ax )”i_1 ' ’

V»«-¹)

-1

x—(lp

_yv_

(x—av)nv

bpp-y

(x— ap)np

gdzie ilości b są stałemi, z których niektóre mogą być zerami. Lecz z pewnością różnemi od zera są: bfMi\ b₂<,,2\ ... , Ö/V. Widzimy, że całkowanie strony drugiej tego wzoru sprowadza się zawsze

Dla n = 1 taka całka równa się

dx

(x—a)n

do całek typu j

log (x— a), dla n różnego od 1 równa się--- ₁ .    .

W ten sposób zadanie nasze jest zupełnie rozwiązane, a rezultat będzie sumą funkcyj wymiernych i 1 o-garytmowych.

Podajmy zastosowanie tej metody. Niechaj będzie do obliczenia całka:

X {1—X²)- '

1,

Pierwiastki mianownika są wszystkie rzeczywiste; są niemi 0, 1; wielokrotność wszystkich jest 1. Napiszemy tedy:

x (1—a?²)

a_

x

b    c

x—1    ' x-hl

Dla oznaczenia stałych a, A, c pomnóżmy tę równość kolejno przez x, x—1, æ-f 1 i następnie połóżmy x = 0, x — 1, x == — 1; znajdziemy tym sposobem:

Stąd

x (1—#²)

r dx    i /

J x    2 J

dx

log X

T—I Ol

i-*

to H—¹

i:

= log

(x²—1)^

-f c ■

Wyłożoną metodę można stosować z pożytkiem w przypadku, gdy wszystkie pierwiastki a sąrzeczywistemi. Jeżeli niektóre z nich są urojonemi, wtedy nie możemy przejść do obliczeń, ponieważ wszystkie dotychczasowe rozważania nasze w rachunku różniczkowym i całkowym odnoszą się w istocie rzeczy do funkcyj, w których nie zachodzą ilości urojone. Należałoby tedy rozpocząć przedewszystkiem od rozciągnięcia dotychczasowych rozważań na przypadek funkcyj urojonych i okazać, że wy-konywając na ilościach urojonych działania tak, jak się je wykonywa na ilościach rzeczywistych, dochodzi się do rezultatów ostatecznych, z których znikają ilości urojone. Rezultaty, które

otrzymanoby w ten sposób pod postacią rzeczywistą, byłyby właśnie rezultatami szukanemi.

Lecz można okazać, że i w przypadku, w którym niektóre pierwiastki funkcyi f są urojonemi, daje się wykonać rachunek całkowania, bez wprowadzenia ilości urojonych.

Załóżmy, że funkcya f posiada pierwiastek urój o n y a + iß, którego stopień wielokrotności jest n\ wtedy posiada także i pierwiastek sprzężony a—iß tegoż stopnia wielokrotności. Czynnikiem przeto funkcyi f będzie:

\(x—a)² -f- yS²]” = {x² -j- ax -(- b)n.

F (x)

/»

Z algebry wiadomo (okażemy to na końcu paragrafu), że ułamek można rozłożyć na ułamki cząstkowe jeszcze sposobem odmiennym od podanego we wzorze (1); mianowicie, można ją rozłożyć na szereg wyrazów, z których niektóre, odpowiadające pierwiastkom rzeczywistym funkcyi /“, będą takie, jak w (1), inne zaś będą typu:

cx -J- cl

(x² -j- ax -j- b)n '

gdzie pierwiastki równania x"‘ -j- ux -j- b = 0 są urojonemi. Zagadnienie nasze sprowadza się do obliczania całek typu:

dx.

f_

J (x² -f- ax -f- b)

Jeżeli, jak wyżej, a + iß, a — iß są pierwiastkami mianownika, to będzie x² -|- ax b — (x—a)² -j- ß²; całka zaś zamienia się na:

cx —|— cl

[{x — a)² -f- ß²]

dx.

(n > 0).

Tę ostatnią całkę można przedstawić tożsamościo wo w ten sposób:

wykonywając całkowanie przez części, otrzymujemy:

y² dy

(2n—2) (y² -f ß²)n

(y² + ß²)n

dy

2??—2 .

c (;x- a) -j- (ca + d)

[(x—a)² -f a²]”

dx

= °f

[(x—a)² -f- a²]

— dx -f- (ca d) j

dx

Pierwsza z całek po prawej stronie przechodzi za pomocą pod-

V dy

stawienia x — a = y na c

('iV² + ßT

a więc równa się:

2n— 2 ‘ (y²-f ß²)"'

, jeżeli w 1;

lub:

\ log (?/² -h £²),- Jeźeli « = !•

Druga z całek po prawej za pomocą tego samego podstawienia

, a więc równa się: dla n — 1. Gdy zaś n^> 1, to uskuteczniamy przekształcenia :

przechodzi na f

dy

J 0y² + ß²)n

1    , y

— arc tg ~

dy

(y² + ß²Y~¹

y² dy

(y² -f ß²y

J (yt + fl*r a,J

+rf

dy

(:y2Jrß²)n ’

(y¹ + /J’)-¹ ”

(y* -f ß²)n '    (2n-2)ß'. (if -f^²)

2n 3 j

(2n—2) ß* J (y²-f-d²)n_1 ’

n— 1

dy

Widzimy, że kolejne stosowanie tego wzoru redukcyjnego doprowadzi nas (przy n clodatniem i całko witem) do całki tego samego gatunku, w której wykładnik przy ilości y² ~f- ß* jest jednością i taka całka, jak to już widzieliśmy, wyrazi się przez a r c u s t a n g e n s.

Tym sposobem zagadnienie całkowania danej funkcyi wymiernej jest zupełnie rozwiązanem, naturalnie w założeniu, że pierwiastki równania f (x) = 0 są znane; pokazaliśmy też, że we wszystkich przypadkach można uskutecznić obliczenie, wprowadzaj ąc j,edynie ilości rzeczywiste, nawet gdy pierwiastki równania f (x) — 0 są u r o j o n e m i.

Jako rezultat tego całego badania możemy wypowiedzieć, że całka funkcyi wymiernej wyraża się zawsze i jedynie za pomoc c y j : 1) f u n k c y j w y m i e r y c h, 2) f u rytmowych, 3) funkcyi arcus tangens. Funk-cye trzeciego typu występują wtedy, jeżeli nie chcemy wprowadzać do rachunku ilości urojonych; gdy zaś wprowadzamy ilości urojone, to wystarczają funkcye dwu pierwszych gatunków.

Dla uzupełnienia tego wykładu podamy jeszcze w tym paragrafie ogólne twierdzenia algebry, odnoszące się do rozkładu funkcyj wymiernych na

stanowią podstawę wszystkich powyższych wywodów.

trzech

o o*

yj

nk-

oga-

funkcye elementarne; twierdzenia te

a). Twierdzenia ogólne o rozkładzie funkcyj wymiernych u/amkoivych.

Niechaj będzie funkcya

F (x)

, której licznik i mianownik są wielomianami o zmiennej x, odpowiednio stopnia m-go i n-go.

f(x)

Jeżeli stopień funkcyi F jest większy od stopnia funkcyi f, to po podzieleniu pierwszego wielomianu przez drugi, otrzymamy część całkowitą. Q (x) stopnia m—n i resztę R (x) stopnia mniejszego od n; możemy więc napisać:

F(x)

f(pc)

— Q x) Ą——

H (x)

/•(*) *

Taki podział na części całkowitą i ułamkową daje się uskutecznić jednym tylko sposobem, W samej rzeczy niechaj będzie:

F (a?) = a₀ xm -f- a, xm~l -j- . . . -j- am, f(x) = b₀ xn -f J, xn~' -j- . . . + b„;

twierdzę, że można jednym tylko sposobem znaleść zawsze dwa wielomiany: jeden Q (x) stopnia m—n i R (x) stopnia niższego od n, aby tożsamościowo, t. j. dla każdej wartości# zachodziła równość :

F{x) = Q (x) fix) -|- R (cc).

Połóżmy :

+    Qm-n,

Q (%) = <?₀ xm~n H- <?i

R (x) — r₀ x

+ rl xn'~² + • • • "f rn-1 ;

to być powinno:

= (b₀ xn -f- bx x

a₀ xm -j- ax x

71— 1

-|- . . . -f- Clm + • • • + bn) (q₀xm~n -\-qxx

ni— 1

m—n—1

+ • • • + Qm-n)

-h ro *

+ Tl X”~² + * * • + rn-l •

Ponieważ ta równość winna zachodzić dla każdej wartości #, przeto spółczynniki jednakowych potęg zmiennej x po obu jej stronach winny być równe; stąd otrzymujemy związki:

a₀ — b₀ q₀

ai — ?i 4“ Qo

a2 = K <?2 4" h 9l 4“ ^2 <?0 % ==: fy) <?3 4" ^1 #2 4~ ^2 <? 1 4" ^3 <?0

U»2—w - &o C[m—n —j⁻    Qm - n—1 —f” • • • —f~    n Qo

Clm—v+l bt qm—„ -)- b₂ ⁽l>n—n—\ 4" • ' ‘ 4~ bm—n+1 <?o 4~ ?’o

+ • • • + &m-n+2 9o 4" rl

Om—w-f-2 Ög Ç»j—« ~j⁻ ^3 Qm

— bn qm—» —j— o n—\ .

Widać stąd, że pierwsza kategorya równań nie zawiera wcale spółczynników r, a zawiera natomiast wszystkie spółczynniki q ; druga zaś kategorya zawiera spółczynniki r i spółczynniki q. Nadto z pierwszej kategoryi równań można oznaczyć spółczynniki q jednoznacznie, gdyż pierwsze z tych równań zawiera tylko spółczynniki, a więc określa go jednoznacznie; drugie w ten sam sposób daje wartość jedyną na qn po oznaczeniu wartości q0 i t. d., aż do ostatniego równania, z którego oznaczymy qm-n-Gdy oznaczymy wszystkie spółczynniki q, to równania drugiej kategoryi określą w sposób jednoznaczny spółczynniki r. Jest tedy dowiedzione, że istnieją zawsze wielomiany Q(x) i B(x) z własnościami wyżej podanemi, j ednoznacznie określić się dającę.

Udowodnijmy obecnie twierdzenie następujące:

f (x), lub

Niechaj (x — a)a będzie czynnikiem fukcyi co na jedno wychodzi, niechaj a będzie pierwiastkiem równania f(x) — 0 o wielo-

krotności a. Wtedy funkcyę

F{x)

f(X)

można r o z-

łożyć zawsze w ten sposób:

F (x)

f (x)    (x—a)

(x—a)

a— 1

fi {oo)

gdzie A jest stałą, Fx{x) wielomianem całkowitym, fx (x) ilorazem funkcyi f {x) przez (x—a)a. W samej rzeczy, ponieważ

f(x) = (x-a)a fx (x),

przeto jest tożsamościowo:

F(x)

F {x)

f{00)

(x - a Y

F{x) — .4 f (;x) {&—a)* fx {x)

Możemy wybrać stałą A tak, aby było F {a) — A fx (a) = O, t. j.

F (a)

możemy przyjąć A =

fi (a)

wtedy funkcya F (x) — Afx (x)

będzie miała czynnik x—a; w drugim wyrazie powyższego wzoru będzie można wykonać skrócenie przez x — ai pozostanie funkcya Fx (x) stopnia m—1, w mianowniku zaś pozostanie (x—a)*⁻¹ fx(x)c.b.d.o.

Z tego twierdzenia wypływa'następujące:

Niechaj a, b, , l będą pierwiastki rzeczywiste lub urojone funkcyi f (x): ot, ß, . .. , X s t opnie wielokrotności tych pierwiastków; wte-

dy funkcyę stępujący:

F(x)

f {oo)

można rozłożyć w sposób na-

F(x)

f{x)

{x—aY

(x—a,)

(x— bY

(x— bY~l

„__!    >    I ^«-1

“-¹    ' ' ' ’ ' x — a

+ •••4"

B$~ i

x—b

W samej rzeczy, stosując rozkład, podany w twierdzeniu poprzedzaj ącem, do ułamka:

F (x)

{,x—a)“⁻¹ fi {%) ’

znaj dziemy :

F (x)

(x—a)

a— 1

fi (x)

(x—a)

__j-

F₂{x)

a—2

UW ’

gdzie do drugiego wyrazu strony drugiej możemy znowu ten sam zastosować rozkład i postępując w ten sposób dalej, dojdziemy do powyższego wzoru. Zauważmy, że spółczynniki pierwsze tego rozkładu A, B, . . . nie mogą być zerami, gdyż są,

jak wiemy, danemi przez wzory A =    i B —

F(b)

f(b) ’ •

gdyby więc były zerami, musiałoby być w takim razie F(x)=0, t. j. a musiałoby być pierwiastkiem równania F(x) = 0, co

nie zgadza się z założeniem, że ułamek w i e d 1 n y.

F (x ) .

f(x)

jest nieprzy-

b). Metoda wykonania rozkładu w przypadku pierwiastków rzeczywistych.

Rozróżnimy dwa przypadki główne: jeden, gdy wszystkie pierwiastki są rzeczywistemi i drugi, w którym zachodzą też pierwiastki urojone. Gdy wszystkie pierwiastki są rzeczywistemi, rozpatrzmy dwa przypadki, pierwszy, gdy wszystkie są poje-dyńczemi, drugi, gdy zachodzą i pierwiastki wielokrotne. W pierwszym razie mamy f (x) — (x—a) (x—b) . . . (x—l) i wtedy, na zasadzie poprzedzającego twierdzenia, można napisać:

F (x)

f(x)

Podamy metodę oznaczenia stałych A, B, C, . . . Wiemy, że kładąc f (x) = (x—a) fx (;x), t. j. fx (x) ~ (x—b) (x - c)... (x—l) mamy:

F (a)

A (*) '

Weźmy pierwszą pochodną funkcyi /(a;), t. j.:

f (x) — (x—6) (a?—c).. . (pc—l) -J- (x—a) (x—c)... (x—l) -{-•••

Stąd :

f" (a) = (a—b) (a—c) .. . (a—l) — fx (a),

a zatem:

~sr-T i podobnie : B =

f (a)

FM

i t. d.

Zastosujemy te rezultaty do wyprowadzenia.wzoru, który może być użyteczny w wielu razach. Niechaj funkcya F(x) będzie stopnia n — 2, gdy funkcya f (x) jest stopnia n. Mnożąc obie strony wzoru, dającego rozkład funkcyi f(x) — (x—a) (x—b) . . . (x—l), otrzymujemy:

F(x)

f{x)

przez

F(x) = A (x—b) (x—c) . . . (x—l) -f- B (x—a) (%—c) ... (x—

Spółczynnik przy potędze x”-¹ po stronie drugiej jest A-\- BĄ- 6'+...,

t. j.

F (a)    , F(b) F(c)    _

r(c) ^ —

F(a)

r («)

f («)

gdzie .znak X oznacza, że suma ma być rozciągnięta na wszystkie pierwiastki równania f(x) — 0. Gdy w funkcyi F (x) spółczyn-

jest zerem, wtedy £ —,

n -1

F (a)

= 0.

nik przy x

Pokażemy teraz jak obliczają się spółczynniki A, A1} ..

B, Blf ... w przypadku ogólnym. Metoda bezpośrednia, wskazana w a) byłaby za długą i dlatego podamy wzory na wartość tych stałych, wyrażone przez pochodne funkcyj fi F. Wyjdźmy z wzorów:

t (a)

F (a)

Fi (a)

fi («)

fi («) ’

gdzie :

Ft (x) =

F{x) — Afx (x)

X- Cl

, F₂ (x) =

Ponieważ f (x) — (x—a)a f, (x), więc biorąc pochodne według wzoru Leibniza, znajdujemy:

fia)(x) = a ! ^ (x) -j- a -j- (x—a) f j (x)

a (a— 1)

2~ ’ 1 .2

/•(«+D (a?) — (a -J_ 1) ! /"(<») +

(a + 1) a a !

j- (x—a) f j (a)

dla x — a otrzymujemy:

fa> (a) = a ! /j (a) ;    (a) =

(a + 2)!

(a + 1)!

1!

A (a)ï

/•(a+2) (a) ₌

2!

Biorąc zaś kolejne pochodne we wzorach:

(x—a) Fx (x) = F (cc) — A fx (a?), (x—a) F₂ (x) = Fx (x) — Ax f\ (x),

znajdujemy:

Fx {x) -f (x—a) F\ (x) .= F\ (x) — Af\ (x), F2 (x) -f (x—a) F\ (a?) = F\ (a?) — Ax f\ (x),

2F\ (x) -}- (x—a) F'\ (cc) — F” (cc) — Af'\ (x)f 2F’₂ (x) -j- {x—a) F\ (x) == F'\ (x) — A f'\ (x).

Stąd dla x = a będzie:

Ft (a) = F\a) — Af\ (a) = F' (a) —

F₂ {cl) = F' (a) — A₁ f\ (a) =

= 4" F"(*)-

r?vr f a+1) (a),

— A f («)

/**«(«),

(a + 1) !

F” (a) — Af\ (a)

a+2

Wstawiając tu wyrażenia na .4, h1; A₂, ... , otrzymujemy żądane wzory zwrotne:

F(-a)~4r c,(«) = o,

F'(a) -

/'“+» (a) —    /<“> (a) = 0,

(a+1)!

/X“+U (a) — A A(a) = 0.

których prawo tworzenia jest widoczne. Pascal, E. C.

c). Metoda wykonywania rozkładu w przypadku, w którym zachodzą pierwiastki urojone.

Wykonunie w tym przypadku rozkładu za pomocą metod wyżej podanych dałoby we wzorach wyrażenia urojone i doprowadziłoby do rozkładu urojonego. Wskażemy przeto inny sposób rozkładu, wynikając}⁷ z twierdzenia :

Jeżeli x² -f- px -+- q jest czynnikiem mianownika f(x), t. j. gdy:

f (x) = (z² H" Vx + q)n fi («),

wtedy tożsamościowo jest:

F(x)

Px -f- Q

f(x)

(x²-\-px-\-ą)n

_Fi (?)

(Xa-j-pX^l-Ç )W~l f y (x)

gdzie Pi Q są dwie stałe, F₁(x) zaś nowa fun-kcya całkowita.

W samej rzeczy mamy:

F(x)

F (x)

f(x) (x²-\-px-\-q)n fx (aj

_ Px -f- Q

(x² -|- px q)

- -f

n J

F(x) - (Pa: -f Q) fx (x) (x² -f- px -j- q)v fx (x)

Możemy oznaczyć stałe P i Q tak, aby czynnikiem wyrażenia F (x) — (Px -f- Q) /j (x) był trójmian x² j- px -j- q; jeżeli więc aj-iß, a—iß są pierwiastkami równania x²j-pxj-q—0, to być powinno:

F(a+iß) - [P (a-\-iß) + Q] fx {a-\-iß) = 0; F (a -iß) - [P (a-iß) -j- Q] fi (a -iß) = 0.

Otrzymujemy stąd :

■P (a ~f~ iß) -j- Q =

F (a + iß)

7 Ta ± W)

a obliczywszy stronę drogą, która będzie wogóle postaci M + iN, będziemy mieli:

Pa -f- Q = M- Pß — N.

skąd:

Na

Q = M--—

Dla tak określonych wartości Pi Q znajdujemy:

F (x) — (Px -}- Q) fi (%) = (x² -f- px -J- q) F₁ (x),

co było do okazania.

Kolejne zastosowanie tego twierdzenia, podobnie jak w a), prowadzi do rozkładu :

F(x) _ Px -j- Q

f(x)    (x²-\-px-\-q)

Pi cc -j- Qi

(x²-\-px-\-q)n~¹

Pn-lX “j⁻ Qn—1

F„ (x)

x² -)- px -J- q

fi(x) *

Spółczynniki P, Q, Pl5 Q,, . . . wyznaczają się ze związków:

Pk-\- Q =

F(k)

fi (*)

(Pic 4- a) fi (k) = F(lc),

Fi (F)

,    (/\* + Oi) fi(k) = Fi(k)

gdzie k jest jednym z dwu pierwiastków równania x²-\-px-\-q=-07 funkcye zaś Ft (x), F₂ (x), ... są określone za pomocą związków :

(Px -j- Q) /i (x), (Pxx + Q) /i (a?),

(x² -}- px -f- Ç) F\ (x) — F (x) (x² -{- px q) F₂ (x) — Fx (X)

Zauważymy nadto, że gdy pierwiastki urojone funkcyi / nie są wielokrotnemi lecz pojedyńczemi, wtedy rozkład ten można otrzymać łatwo z pierwszego rozkładu. W samej rzeczy, jeżeli k i k' są dwa pierwiastki urojone sprzężone funkcyi x² -f px -f- ę, wtedy rozkład za pomocą pierwszej metody daje:

R , R' x — k'x —k

gdzie:

R' =

F(k)

f\ {k) (k—k ')

F(k')

fi (*') {k'—k)

Łącząc oba ułamki w jeden, mamy:

x² -j- px -j- q

{R + R') x — (Rk' 4- R'k) _ (R 4- R') x — (Rk'R'k) (x—k) (x—kr)

Ponieważ ki k' są liczby urojone sprzężone, przeto R i Rr a także Rk' i R 'k będą ilościami urojonemi sprzężonemi, skąd wynika, że R -f- R\ oraz Rk' + R'k będą liczbami rzeczywistemu

— M 4- Ni, oraz k = a 4~ iß, k' — a — iß,

Nadto kładąc otrzymujemy :

F(k)

fl (Ä)

R' =

M 4- Ni

2 iß

M - Ni

— 2 iß

skąd:

R-\- R' = =P

— (Uh' -f R'k) =

_ (M -f- Ni) (a — iß) — (M — Ni) (a -f iß)

— 2 iß

zrn

Całkowanie funkcyj niewymiernych. Całki dwumienne.

Całki eliptyczne.

Jeżeli w przypadku funkcyj wymiernych mogliśmy zupełnie rozwiązać zadanie całkowania, to nie możemy tego uczynić w przypadku funkcyj niewymiernych. Musimy tu ograniczyć się na pewnych typach specyalnych i zobaczyć, czyi w jaki sposób można dla tych typów otrzymać metodę ogólną.

Jednym z łatwiejszych typów funkcyj niewymiernych jest ten, w którym występuj ą różne potęgi ułamkowe zmiennej X) t. j. funkcya postaci f (xa, x@, xv, . . . ), gdzie /"jest symbolem funkcyi wymiernej, a, ß, y, .. . zaś są jakiekolwiek liczby wymierne ułamkowe. Taka funkcya /"jest w istocie funkcyą niewymierną zmiennej x, lecz za pomocą prostego przekształcenia możemy ją łatwo sprowadzić do typu funkcyi wymiernej. W samej rzeczy, niechaj y będzie najmniejszą wspólną wielokrotną mianowników ułamków a, ß,y,..wtedy /ua, yß, yy, . . . będą liczbami całkowitemi. Połóżmy x = skąd:

xa = yv*} xß = yrf, ... dx — yy^~x dy.

Za pomocą tego podstawienia dochodzimy do funkcyi zmiennej y, w której wszystkie wykładniki są liczbami całkowitemi; otrzymujemy zatem funkcyę wymierną zmiennej y i sprowadzamy zagadnienie do przypadku, rozważonego w paragrafie poprzedzającym.

Rozważmy całkę typu j f (cc, VR) d%, gdzie B jest wielo

mianem stopnia 2-go względem cc, t. j. B — a 2bx + ccc², f zaś przedstawia funkcyę wymierną ilości cc i V R. Funkcya f jest oczywiście funkcyą niewymierną zmiennej X, a niewymierność ta pochodzi od pierwiastnika drugiego stopnia, t. j. od VB. Wykonamy pewne przekształcenia przygotowawcze dla okazania, że przez przekształcenie algebraiczne całka dana daje się wyrazić za pomocą pewnych całek typu oznaczonego.

Ponieważ potęga druga funkcyi VR jest już wyrażeniem wymiernem, więc VB w funkcyi f może występować tylko w stopniu pierwszym, a więc ogólna postać funkcyi f jest

<p (cc) <j> (cc) VR (cc)

Ti (») + <|>i (x)    (x)

Mnożąc licznik i mianownik przez (cc) — <Ji, (x) VR (cc), otrzymujemy :

?(x) <Pi (x) — <!>(x)4>i(x) B(x) -f- VB(x) (<p, (x)ÿ(æ) —y (cc) ^ (x))

Ti² (x) —    ² (x) & (®)

gdzie mianownik jest już wymiernym. Funkcya f tedy może być sprowadzona do typu :

O (cc) + H (cc) VR (x),

w którym G i H są dwie funkcyę wymierne zmiennej cc. Winniśmy zatem zająć się całkami typu :

I H (x) VR (x) dx

które przez pomnożenie i podzielenie przez VR sprowadzają się do :

' H (x) R (x)

VrT(x)

dx =

K (x)

V R (x)

dx

gdzie K (x) jest funkcyą wymierną.

Jeżeli rozłożymy funkcyę K (x) na część całkowitą i na ułamki elementarne według teoryi podanej w poprzedzającym paragrafie, spostrzeżemy, że gdy pozostajemy w obszarze ilości rzeczywistych, to całka powyższa sprowadza się do całek trzech typów, mianowicie do całki:

dx ,

xn dx

J VR(x)

pochodzącej od części całkowitej, zawartej w K(x)\ do całki :

dx

(x—a)n V R (x)

pochodzącej od pierwiastków rzeczywistych w mianowniku funkcyi K (x); wreszcie do całki :

cx -j- d

J (x² -j-px -1- q)n V R (x)

dx,

pochodzącej od pierwiastków urojonych mianownika tej funkcyi. Można pokazać, że każda z tych całek sprowadzić się daje do całki wymiernej. Dowód podamy dla całki typu ogól

nego I f (x, VR (x)) dx, a nie dla całek jednego z trzech typów

specyalnycli, lubo przekształcenia wyżej wskazane mogą być w praktyce bardzo użytecznemi.

Rozróżnijmy dwa przypadki: c dodatniego i c ujemnego. W pierwszym z nich kładziemy VR — y -f- Vc . x, skąd:

a -j- 2bx -f- cx² = y² -j- 2 V c xy -j- cx²,

a więc:

y²—a

2 (b—Vc.y)

KÂ = y +

Vc . (y²—a) 2 (b—Vc.y)

dx — —

Vc y ² — 2 by -}- a Vc 2 (b—Vc . y)

2y (2b—2Vc y) -f- 2 (y²—a) Vc 4 (&—V c . y)²

dy.

dy.

Vc . y²—2ćy -f- rtJ/f

Te podstawienia sprawiają, że f staje się funkcyą wymier-

, która

n ą zmiennej y. Jako

przykład weźmy całkę j

dx

VR

zamienia się wprost na

/i

dy

-L log(ć—Vc y) -f- const

Vc

skąd:

‘ dx

J VR

-jL log (/;— Vc VR -f- cx) -j- const.

W drugim przypadku, c 0, jeżeli funkcya podcałkowa jest funkcyą rzeczywistą zmiennej x dla każdej wartości rzeczywistej tej zmiennej, VR nie może być ilością urojoną, t. j. R nie może być ujemnem dla żadnej wartości x. Lecz:

¹

łącząc te wzory, znajdujemy:

= c (x—a) (x—ß),

Â = c(æ2 + Tæ + -f)

gdzie a i ß są pierwiastkami równania R — 0. Te pierwiastki

nie mogą być zatem urojonemi. Gdyby bowiem były urój onemi, to iloczyn (x—a) (x—ß) dla każdej wartości rzeczywistej x byłby iloczynem dwu liczb urojonych sprzężonych, a jako taki równałby się sumie dwu kwadratów liczb rzeczywistych i byłby stale dodatni; z powodu zaś czynnika c ujemnego, U byłoby ujemnem dla każdego x rzeczywistego, V R — liczbą urojoną, a więc funkcya dana zawierałaby ilości zespolone, wbrew założeniu. Gdy zatem a i ß są rzeczywistemi, to możemy zastosować podstawienie VR — y (x—a), które będzie podstawieniem rzeczy wistem. Wynika z niego :

R — a -j- 2l>x -|- cx¹ = y¹ (x—a)¹,

lub

c (x—a) (x—ß) = y¹ (x—a)¹, c (x—ß) = y¹ {x a),

skąd:

cß—gy

c—y¹

clx = -

2a y (c—y¹) -f 2y (cß — ay¹)

(c-y¹)¹

dy =

2cy (ß—g)

(c—y¹)¹

dy)

VE =

I cß

— ay¹

c—y¹

ey (ß—a)

c—y¹

A więc i to podstawienie prowadzi do funkcyi wymiernej zmiennej y. Zresztą można to podstawienie stosować także w przypadku, gdy c jest dodatnie, byleby tylko pierwiastki równania R = 0 były rzeczywistemi.

* dx

znajdziemy:

Stosując to podstawienie do całki j

dy

²1 —i

J c—y¹

dy

Po zbadaniu całek funkcyj, zawierających pod znakiem pierwiastka kwadratowego wielomian stopnia drugiego, nasuwa się mimowoli myśl rozpatrzenia całek funkcyj, zawierających pierwiastek kwadratowy wielomianu stopnia 3-go, 4-go i wyższych. Gdy jednak w przypadku wielomianu stopnia 2-go można, jak widzieliśmy, całkowanie wykonać zawsze przy pomocy funkcyj zwykłych, to natomiast rzecz ma się inaczej w przypadkach innych. W tych to przypadkach okazuje się potrzeba wprowadzenia wyższych funkcyj przestępnych. Takie całki nazywają się eliptyczne mi i były badane po raz pierwszy przez matematyka włoskiego Fagnano (1682—1766) i przez Eulera (1707—1783), a później szczegółowiej przez Legendre’a (1762—1833). Nazwa tych całek pochodzi stąd, że za pomocą nich rozwiązuje się zagadnienie wyprostowania (rektyfikacyi) elipsy. Nie możemy tu zająć się bliżej badaniem całek eliptycznych i podamy tylko niektóre pojęcia zasadnicze, do nich się odnoszące.

Za pomocą przekształcenia, w którego szczegóły nie wchodzimy, dochodzi się do twierdzenia, że g d y do rachunku włączymy ilości zespolone, to każda całka

I f (x, V R) dx, g d z i

zie R jest wielomianem

stopnia 4-go, f zaś symbolem funkcyi wymiernej, daje się wyrazić przez kombinacyę liniową całek tylko trzech typów:

postaci

2)

f VR

tf dy

dy

(y²—a) VR

normalnemi Legend r e’a gatunku 1 -go.

gdzie Æjest wielomianem 4-go stopnia postaci : R = (1—y²) (1—k'²y‘-') (fi² <T 1): Te trzy całki nazywają się całkami 2-go i 3-go.

Okażemy jeszcze, że powyższe trzy całki można sprowadzić do innej postaci, bardzo często używanej, a którą już raz napotkaliśmy przy teoryi rozwijania całek na szeregi (p. Rozdz.

III, § 2). Połóżmy y — sin tp, skąd dy — cos tp dtp, i trzy całki powyższe przyjmą postaci:

1)

dtp

VI—k² sin² tp

z ' sin² cp dtp J/l—P sin² tp

dtp

3) I    . ,    _,__,

J (1 + n sm² tp) kl — /c² sin² tp

(w trzeciej z pominięciem czynnika stałego i przy założeniu

—Te trzy całki oznaczamy zwykle za pomocą symbolów:

u I

F (?), Z (tp), II (tp);

pierwsza z nich właśnie była badaną w miejscu wyżej cytowa-nem. Całki te możemy obliczyć za pomocą całkowania przez

szeregi.

Przechodzimy teraz do innego typu całek, mniej złożonych, mianowicie do całek dwumienych, które rozważał pierwszy Euler. Taka całka j est postaci :

I xm (ci -|- bxnY dx ,

gdzie m, n, p są liczbami wymiernemi ułamkowemi, dodatniemi lub ujemnemi. Grdyby p było liczbą całkowitą dodatnią lub ujemną, wtedy należałoby rozwinąć potęgi dwumianu w liczniku lub mianowniku, stosownie do tego, czy p byłoby dodatnie lub ujemne i otrzymalibyśmy tym sposobem funkcyę wymierną różnych potęg ułamkowych zmiennej x. Taki typ funkcyj rozważaliśmy już na początku tego paragrafu. Przyjmijmy tedy, że p jest ułamkiem. Liczby m,n mogą być jakiekolwiek, lecz łatwo widzieć, iż bez zmniejszania ogólności, można założyć, że są całkowitemi. Grdyby bowiem nie były takiemi, to kładąc x = ytl, gdzie y jest najmniejszą wspólną wielokrotną mianowników liczb z/z, n, otrzymalibyśmy całkę :

ju I y(m-rV m—i (a -}- byv^Y dy,

która jest także całką dwumienną, lecz gdzie wykładniki ilości y są już całkowitemi. Można nadto przyjąć, że n jest zawsze dodatnie, gdyż w razie przeciwnym, napisawszy całkę naszą w postaci :

I xm+np (ax~n -f- b)p dx,

n dodatni. Zastosujmy podsta-

otrzymalibyśmy wykładnik wienie a -f~ bx* — y, z którego wynika:

(y—a\n

x~ (~H

dx —

y—a n

nb

dy;

skutkiem tego całka nasza staje śię:

--1

'i »'W

. dy.

Jeżeli zaś wyjdziemy z postaci:

I xm+np (ax~n -j- by dx ,

to kładąc ax~v -j- ó = y, znajdziemy podobnie:

(TL)

na

m 4- 1

. dy .

'YYl_|_

——— jest liczbą całkowitą, to postać (I) można od-

Otóż gdy

razu sprowadzić do wymierności, kładąc y = z>, gdzie y jest

mianownikiem ułamka p. Gdy zaś —    ^ -|- P jes^ liczbą cał-

kowitą, to postać (II) tymże sposobem sprowadza się do wymier-nośoi. Istnieją zatem dwa przypadki, w których całkę dwumienną można sprowadzić bezpośrednio do całki wymiernej, mianowi-

jest liczbą całkowitą; 2) gdy

1 \ a îw -j-1 c i e: 1) gdy -—!—

-j-p jest liczbą całkowitą.

Gdy te przypadki nie zachodzą, wtedy można stosować wzory redukcyjne, za pomocą których dana całka dwumienną sprowadza się do innych takich całek z innemi liczbami m, w, p. Te wzory redukcyjne otrzymujemy, stosując metodę całko-

ÖjO

= xm₇

dx

wania przez części. Kładąc mianowicie u = (a -j- bxn)p, skąd :

du

— == bpn (a -f- bx™)»-¹ xn~l

znajdujemy wzór:

xm ((a -f- bxn)p dx —

xmA^x (a -J- bxn)p

(A)

m -{- 1

bp 7i

m-j-1

I xm+n (a -j- bxn)p~l dx

za pomocą którego całka dwumienną z wykładnikami m,7i,p wyraża się przez całkę dwumienną z wykładnikami m -J- n, n₇ p — 1. Jeżeli więc napiszemy:

J xm (a -f- bxn)p dx — Jxm (a -j- bxn) (a -}- bxn)p~x dx = a ^xm (a -f- bxn)p~x dxb j xm+n (a -f- bx")^¹ dx

i za pomocą poprzedniego wzoru wyrugujemy ostatnią całkę, znajdziemy:

I xm (a + bxny clx

xm+¹ (a -j- bxnY

(B)

apn

' m -f-1 -f- pn

I xm (a -j- bxnY~¹ dx .

Za pomocą tego wzoru zmniejsza się o 1 wykładnik ilości a -f bxn.

Kombinując ze sobą rozmaicie te sztuczne sposoby całkowania. można znaleść rozmaite wzory redukcyjne. Nie ma potrzeby wyprowadzać ich, gdyż z jednej strony rzecz ta nie przedstawia żadnej trudności teoretycznej, z drugiej zaś dogodniej jest używać tych sposobów w każdym szczególnym przypadku, przystosowując je do natury badanej całki. W wielu znów razach dogodniej używać wzorów redukcyjnych, otrzymywanych wskazanemi sposobami, niż posługiwać się powyżej podanem kryteryum, nawet w przypadku, gdy się ono sprawdza.

Jeżeli żaden z wzorów redukcyjnych nie doprowadza do całek znanych, wtedy pozostaje tylko stosowanie całkowania przez szeregi, po rozwinięciu na szereg potęgi p-ej dwumianu a -j- bxn.

Jako przykład weźmy całkę:

xm dx

J VI—X² ’

(m całkowite)

którą możemy napisać :

xm (1—x²) 2 dx.

~ ; należy ona do przypad-

Jest to całka dwumienna, wynikająca z postaci ogólnej przy a == 1, b = — 1, n — 2, p = — ków elementarnych, wyżej wymienionych. W samej rzeczy,

gdy m jest parzyste, wtedy ~~~

1    m .

2    ⁼Tjest

liczbą całkowitą: gdy zaś m jest nieparzystem, wtedy —— —dilł jest liczbą całkowitą.

za:

»o

Całkowanie funkcyj przestępnych.

W tym paragrafie zbadamy niektóre typy specyalne funkcyj przestępnych i pokażemy, jak się one całkują.

spro-

1)    Niechaj będzie funkcya typu f (e*), gdzie / jest symbolem funkcyi wymiernej. Kładąc ex — y, skąd dx = — ,

y

wadzamy funkcyę daną do funkcyi wymiernej zmiennej y.

2)    Rozpatrzmy całki typu j sinw x cos” x dx. Połóżmy sin x = t, to otrzymamy :

2 dt ,

I tm (i—t²)

t, j. całkę dwumienną.

Możemy użyć innego sposobu, a mianowicie całkowania przez części. Kładąc u = cos*⁻¹ x, ^ = sin'" x cos x, otrzymujemy :

sinOT x cos” x dx —

sin^+i x cosw—1 x

m -j- 1

m -\-1

sinł«+² x cos”⁻² x dx.

Uskuteczniając tu przekształcenie podobne do użytego przy całkach dwumiennych, t. j. kładąc:

sin'"+² x cos"'² x tlx =

I sin'" x (1—cos² x) cos"⁻² x dx

sin"* x cos" x dx,

sin"¹ x cos"⁻² x dx —

podstawiając i rozwiązując wz

ględem j

sin'" x cos" x dx, znaj

dujemy :

sin"* x cos" dx

n—1

m-j-n t

sin^¹ x cos"⁻¹ x

m -j- n

sin"² x cos"⁻² x dx.

3) Niechaj będą do obliczenia całki:

eax cos bx dx,

/•

ax

sin bx dx .

Za pomocą całkowania przez części znajdujemy:

eax cos bx dx —

eax cos bx

acc

sin bx dx,

eax cos bx

eax sin bx dx —

eax cos bx dx ;

skąd :

cos bx dx —

a cos bx -j- b sin bx

eax + C,

Ie

aa

sin bx dx =

a sin bx — b cos bx

a² + b²

e°x -f- C.

4) Niechaj będzie wreszcie całka z funkcyą podcałkową typu f (sin x, cos x), gdzie /'jest symbolem funkcyi wymiernej. &

Kładąc tg = t₁ otrzymujemy:

sm x =

l+<²

, COS X —

1— t² dx

i+ p² nr ⁼ r+7²

i to podstawienie zmienia już funkcyę daną na funkcyę wymierną zmiennej t, dającą się całkować metodami znanemi.

Jako przykład weźmy :

dx

J a sin xĄ-b cos x ’

Wykonywając powyższe przekształcenie, znajdujemy :

dt

²J 2at -f b (1—t²)

dt

J (a² + b²) — (bt

a)²

V a²-\-b²

, t'    bdt    -i

./ ~yn~-fb² -(bt—a) J

Va²rb²

log

Va²-\-b²+(bt—a)

V a²-\-b² — (bt—a)

a podstawiając za t jego wyrażenie w zmiennej £C, dochodzimy do wzoru szukanego.

§ 6.

Obliczanie całek określonych. Całki E u I e r o w e.

W poprzedzających paragrafach badaliśmy różne typy specyalne funkcyj w celu obliczania odpowiadających im całek nieokreślonych. Lecz może się zdarzyć, że nie umiejąc

Pascal R. C.

obliczyć całki nieokreślonej, potrafimy natomiast obliczyć całkę określoną pomiędzy pewnemi granicami. Paragraf ten poświęcimy wyłożeniu sposobów sztucznych i metod obliczania całek określonych.

W paragrafach 7 i 8-ym Rozdziału I-go wskazaliśmy już, że metodą dość płodną szukania całek określonych stanowi różniczkowanie i całkowanie pod znakiem całki. Podamy kilka przykładów stosowania tej metody.

Z wzoru:

X“-³ dx =

UJ'

o

(« > 0)

przez różniczkowanie względem parametru a otrzymujemy :

*0

i log

X clx — —

Całkowanie zaś względem a pomiędzy dwiema dowolnemi granicami ai ß, daje:

' xß"³ — xa~³

log X

dx = log

Z wzoru, znalezionego w paragrafie poprzedzającym:

sin«-² x dx

sin" x dx —

gm«—¹ ^ cos x

otrzymujemy :

ta a

, n sm" x dx = —

‘Ha

sin"⁻² x dx.

*0

Przez kolejne stosowanie tego wzoru znajdujemy:

Jt

dla n parzystego :

sin" x dx =

*o

(n—1) (n—3) ...3.1 n n (n—2) ...4.2    ' 2 ’

*o

sin" x dx =

dla n nieparzystego :

(n—1) (n—3) ...4.2 n (n—2) ...5.3

TT

Zauważmy, źe pomiędzy granicami 0 i funkcya sin æ jest licz-bą dodatnią, mniejszą od 1, przeto:

7Z

sin²"⁻¹ cfa?

J

| sin²" o

x dx^>

a więc:

2.4... 2n-2

3.5... 2n—1

2.4 . ..2n

2.4 ... 2n 3.5... (2n+l) •

Stąd wynika:

2.2.4.4 ... 2n—2 . 2n—2 2n ^ n 1.3.3.5...2»—3 . 2n—1'2w—1 > ~2~

2.2.4.4 . . . 2rc— 2 . 2w — 2    2w 2n

1 . 3.3 . 5 . . . 2w—3 . 2n—1 ’ 2n—1 ’ 2w-j-l

Tl

Dwie liczby, pomiędzy któremi zawiera się liczba    , różnią się od

siebie czynnikiem

2w+l

skończoności. Możemy więc napisać:

, który dąży do 1, gdy n dąży do nie-

71

dL A A iL A _6_

1 * 3 ' 3 ‘ 5 * 5 ’ 7

TC

Jest to wyrażenie liczby pod postacią iloczynu nie-

A

skończonego; nazywa się ono wzorem (1616—1703).

Z wzoru w paragrafie niniejszym:

W a 11 i s a

/•

o

(6—1

(log x)n dx = (—1)”

1.2. . . n

an+l

przez podstawienie x = e~-z którego wynika : log x = — y ; dx = — e~y dy\ y =oo dla x = 0, y = 0 dla x=l, znajdujemy:

i

J Xe1-¹ (log x)n

dx =

CO

j e~ay (—y)n

dx.

Stąd wynika :

CO

I e~‘" V" ,lV

o

n\

a,l+¹ ’

a dla a — 1:

CO

e~y yn dy = n !

Ten wzór stosuje się do n całkowitego, gdyż w metodzie,

którą go otrzymaliśmy, liczba n oznacza liczbę różniczkowali, wykonanych na pewnej zmiennej.

Badanie wartości tej całki, określonej w przypadku, w którym n nie jest liczbą całkowitą, stanowi badanie t. z. całki Eulerowej 2-g o gatunku. Przyjmuje się dla tej całki znakowanie:

CO

I xa~x e~x dx~F{a).

Funkcya taka nazywa się fnnkcyą gamma Eulera; posiada ona wiele osobliwych własności; tak np. można ją rozwinąć na iloczyn nieskończony:

r(a) =

m—1

Nie możemy tu zająć się szczegółowem badaniem tych funkcyj.

a³ ’

I Xe1-³ (log æ)n'tdx —

(—l)w

1.2 . . .n

an+³

ROZDZIAŁ IV.

CAŁKI WIELOKROTNE.

§ 1.

Określenie całki podwójnej i wielokrotnej. Warunki całkowalności.

W § 8-ym Rozdziału I-go przy sposobności podaliśmy już określenie całki podwójnej. Obecnie podamy wykład zupełny, rozpoczynając go od określenia, które jest tylko wprost rozszerzeniem określenia całek pojedynczych.

-r/3 -CO

Niechaj będzie funkcya f(æ, y) dwu zmiennych, określona, dajmy na to, dla pewnego pola płaskiego, zamkniętego krzywą o równaniu <p (x, y) = 0. Niechaj dla każdego punktu tego pola funkcya f będzie skończona. Obszary zmienności zmiennych x i y nie są niezależnemi od siebie. Jeżeli ustalimy wartość zmiennej y, to obszar zmienności zmiennej x określi się sposobem następującym: Poprowadźmy prostą równoległą do osi odciętych o rzędnej y ustalonej ; prosta ta przetnie obwód pola zamkniętego przynajmniej w dwu punktach i obszar zmienności zmiennej x dla ustalonej warto ci zmienej y będzie rozciągał się od warto ci odciętej w punkcie, znajdującym się na lewo, do wartości odciętej w punkcie na prawo.

Granice zmienności zmiennej x będą tedy funkcyami zmiennej y i odwrotnie. Gdybyśmy chcieli znaleść te funkcye, należałoby rozwiązać względem x równanie cf (.r, y) == 0, które da nam wogóle dwie wartości y, t. j. da dwie funkcye zmiennej y, której wartościom dla każdego x odpowiadać będą granice obszaru zmienności tej zmiennej. W szczególnym przypadku granice całkowania mogą być stałemi. gdy mianowicie pole dane jest prostokątem o bokach równoległych do spółrzędnych x, y. Wtedy dla każdej wartości y granice zmienności zmiennej x będą zawsze jednakowemi. W tym przypadku można powiedzieć, że funkcya f jest określoną, gdy ją uważamy pomiędzy stałemi granicami zmienności zmiennych x, y np. od x = a do x — b i od y = a' do y =. b'.

Podzielmy pole dane na dowolną liczbę części; podział ten możemy uskutecznić według prawa dowolnego. Tak np. można postępować w ten sposób: Pomiędzy nieskończenie wielu wartościami zmiennej y w różnych punktach pola można wybrać wartość najmniejszą i największą; niechaj niemi będą a\ V. Podobnież a, b niechaj będą wartościami najmniejszą i największą zmiennej a?. Jeżeli nakreślimy proste y=^a\ y—b', x—a, x=b, otrzymamy prostokąt, wewnątrz którego zawiera się pole dane. Podzielmy tak przedział u' b' jak i przedział a b na dowolną liczbę części. Jeżeli przez punkty tych przedziałów poprowadzimy proste równoległe do osi spółrzędnych, podzielimy prostokąt na prostokąty cząstkowe. I całe pole podzieli się na tyleż części, z których niektóre będą prostokątami, inne (najbliższe obwodu) będą częściami prostokątów. Z tych prostokątów będziemy rozważali tylko te, które leżą całkiem wewnątrz danego pola.

nem ôr ô 's.

Niechaj <5,, ó.,, . .., ój, ó'₂, . . ., będą przedziały cząstkowe, na które podzielono przedział a b na osi x i przedział a' b na osi y; pole prostokąta cząstkowego wyrazi się iloczy-Weźmy punkt wewnątrz takiego prostokąta, oznaczmy przez frs wartości funkcyi f w tym punkcie i utwórzmy sumę podwójną :

Z frs Ôrô's.

Suma ta będzie miała wartość skończoną bez względu na sposób, w jaki obrano wartości funkcyi fi uskuteczniono podział pola. Niechaj teraz, podobnie jak przy określeniu całek pojedynczych, dążą do zera przedziały ôr, ó's gdy liczba ich dąży do nieskończoności. Wtedy suma powyższa może dążyć do granicy oznaczonej, która będzie niezależną od wyboru wartości frs i od sposobu, w jaki przedziały dążą do zera. Jeżeli ten przypadek zachodzi, wtedy granicę tę nazywamy całką podwójną funkcyi f w polu dauern i oznaczamy j ą za pomocą symbolu:

f OD V) dx dy .

Widzimy zatem, że, jak już powiedziano, określenie to jest wprost rozszerzeniem określenia całek pojedyńczych i można tu powtórzyć też same rozważania, jakie tam uczyniono. Rozważania te streścimy tylko,

Warunkiem koniecznym i dostatecznym istnienia granicy sumy powyższej jest, aby była zerem granica sumy 2ZDrs ôr ô's, w której Drs oznacza oscylacyę funkcyi w polu (ôv ô's). Dowód tego twierdzenia jest zupełnie podobny do dowodu, podanego w § 1 Rozdziału Ii-go. Wynika z niego, że całkowalnemi są: 1) funkcye ciągłe dwu zmiennych x, y; 2) funk-cye nieciągłe w skończonej liczbie punktów lub linij na płaszczj^żnie; 3) funkcye nieciągłe w nieskończonej liczbie punktów lub linij, lecz takie, że te punkty można zawrzeć w polach, których suma daje się uczynić“dowolnie małą.

Dla lepszego zrozumienia natury całki podwójnej i znalezienia sposobu jej obliczania, wskażemy związek, zachodzący między nią a całkami pojedyńczemi. Dla otrzymania całki podwójnej winniśmy utworzyć sumę podwójną i przejść od niej do granicy przy zmniejszaniu do zera sposobem dowolnym ilości ôr, ó's. Wyobraźmy sobie, ze wykonaliśmy najprzód sumowanie względem skaźnika r, potem względem skaźnika s. To znaczy, że sumujemy najprzód wyrazy frs ô, ô's pochodzące od prostokątów, położonych w paśmie poziomem, t j. równoległem do osi odciętych (na paśmie s-em), następnie nadajemy skaźnikowi ,9 wszystkie jego wartości i tworzymy sumę wszystkich wyrazów, odpowiadających różnym pasmom poziomym. Wybór wartości frs zależy od naszej woli; możemy więc wybrać wartości w punktach, położonych na prostych równoległych do osi x i znajdujących się w różnych pasmach poziomych. Zbadajmy, jaką wartość posiada suma, odnosząca się do jednego pasma poziomego, np. do pasma s-go. Niechaj yW będzie rzędna prostej wewnątrz takiego pasma, na której wybieramy wartości fJS . Wtedy wartości funkcyi f przez nas uważane będą wartościami funkcyi f (x, y⁽'s)) samej zmiennej x\ funkcyę tę otrzymujemy, kładąc y — y(s) w funkcyi f (x, y). Suma względem r, odnosząca się do pasma s-go, będzie:

na

gdzie x(r) oznacza odciętą punktu, znajdującego się w przedziale Ô,-. Tę sumę należy rozciągnąć pomiędzy dwiema granicami, zależnemi od skaźnika s, t. j. od wartości rzędnej y(s) s-go pasma. Zależnie od tego, jaką wartość y rozważamy, obszar zmienności zmiennej x zmienia się, jak to już powiedzieliśmy początku paragrafu. Jeżeli przechodzimy do granicy powyższej sumy pojedynczej, zmniejszając do zera tylko przedział dr. wtedy—na podstawie określenia całki pojedynczej —otrzymamy :

à’s I f (x, i/*)) dx,

gdzie całkowanie rozciąga się pomiędzy dwiema wartościami x, odpowiadającemi krańcom s-go pasma. Te dwie granice otrzymujemy z równania (x, y) = 0, rozwiązując je względem x i kładąc w niem y = y(s\

Tworząc sumę wszystkich wartości, w ten sposób otrzymanych, rozciągając ją na wszystkie pasma poziome, t. j. zmieniając skaźnik s, otrzymujemy :

Z Ô's j f (x, yW) dx,

a przechodząc do granicy dla ó's = 0:

J dy f fix, V) dx,

gdzie drugie całkowanie względem y należy wziąć pomiędzy dwiema granicami stałemi, odpowiadającemi najniższemu i najwyższemu pasmu, t. j. (ponieważ pasma stają się nieskończenie wązkiemi) rzędnym dwu stycznych poziomych obwodu pola.

Widzimy stąd, że calce podwójnej odpowiada następstwo dwu całek pojedynczych: pierwsza jest wzięta pomiędzy granicami, które są funkcyami zmiennej y, druga zaś — pomiędzy granicami stałemi.

Jeżeli pole całkowania jest prostokątem o bokach równoległych do osi spółrzędnych, wtedy i pierwsze całkowanie odbywa się pomiędzy granicami stałemi.

W ten sposób te rozważania wiążą się z rozważaniami w § 8-ym Rozdziału I-go.

Jeżeli funkcya f (x, y) jest całkowalną, wtedy jest widocznem, że jej całka podwójna pomiędzy granicami stałemi, tak względem x, jak i względem y, jest równa:

j dyjdxf(x, y)

lub też :

/ dx f dy /' (x, y)

w założeniu, że odcięte i rzędne prostokąta, wewnątrz którego uskuteczniamy całkowanie, są a, b] a', V. Stąd wynika, że powyższe dwa wyrażenia są równe. A więc jako uogólnienie

twierdzenia o całkowaniu pod znakiem całki (Rozdział I, § 8) otrzymujemy, że to całkowanie to jest możliwe m, gdy funke a dana jest funkcyą całkowalną dwu zmień y ch

a «i

Rozważania powyższe, odnoszące się do całek podwójnych, można bez istotnych zmian rozciągnąć na całki potrój ne, poczwórne i wogóle wielokrotne.

Każdą całkę wielokrotną (której określenie jest podobne do określenia całek podwójnych) można przedstawić jako kolejne następstwo całek pojedynczych. Nie mamy potrzeby zatrzymywać się nad tern.

~Jf.

IO

Całka wielokrotna jako funkcya granic; określenie jej w przypadkach

osobliwych.

Podamy o całkach podwójnych rozważania, podobne do podanych w § 3-cim Rozdziału I-go; zbadajmy ciągłość i róż-niczkowalność tych całek, uważanych za funkcye swych granic. Niechaj będzie całka podwójna :

y «

f f f (x, V) dx dy,

a' a

gdzie x, y oznaczają zarazem i granice wyższe całkowania. Wartość tej całki będzie funkcyą zmiennych y, którą oznaczmy przez cp (æ, y). Dla zbadania ciągłości tej funkcyi utwórzmy:

y-\-k    x-\-h y oc

? (x + h y + k) —

f ^ = / ./-//’

a' a    a' a

co można przekształcić na:

y    y~\-k    oc-frh y    x~\~h    X-\-h

[/ + / ]/-/[/-/ ]

a'    y    a    a'    a    x

y-f- k xĄ-h y œ~j-h

/ /+//

a’ x

Ponieważ porządek całkowań jest przemienił}" w wyrazie drugim strony drugiej, przeto powyższe wyrażenie równa się:

x+h y

yĄ-k x-\-h /* /» /•

J J + J ■

a’

Całki od y do y -j- k oraz od x do x -f h dążą, jak wiemy, do zera (p. § 3 Pozdz. I), przeto ostatnie wyrażenie, które można uważać jako sumę dwu całek pojedynczych dwu funkcyj różnych, całek rozciągających się pomiędzy wyżej podanemi granicami, dążyć będzie do zera wraz z ilościami h i k, co stwierdza ciągłość funkcyi cp (x, y).

Przejdźmy do pochodnych cząstkowych funkcyi cp. Wiedząc, że całka podwójna jest następstwem dwu całek pojedynczych i że można przemienić porządek całkowań, możemy uważać funkcyę cp za całkę, już to względem zmiennej x, już to względem zmiennej y. Jeżeli chcemy mieć pochodną cząstkową względem a?, uważamy cp jako całkę względem tej zmiennej i na podstawie znanego twierdzenia o różniczkowaniu całek, otrzymujemy, że gdy:

J f (», y) dx,

a'

jest f u n k c y ą ciągłą zmiennej x, to pochodną ą s t k o w ą funkcyi cp w punkcie x' jest:

<?cp

dx'

[ ( f G», y) dy\

x—x'

Jeżeli teraz przyjmiemy, że f (tr, y) j e s t funkcya ciągłą

y

o b u zmiennych x, y: to ponieważ całka j f (x, y) dy jest funkcya ciągłą tej zmiennej i wartość jej dla x = x' równa się granicy jej wartości dla wartości x, dążących do x' i nadto (§ 7, Pozclz. I) granica ta równa się całce granicy funkcyi, otrzymujemy wprost:

dx'

y

¹

   v/

arc tg    -f- C.

V — c    V — c

²

dt

V a² -J- b² -j- (bt — a)

³

xa~x (log xŸ dx

= / f « y) dy.

Podobnież :

dy'

/ A®, t/)d

X.

Jak zwykle, warunek dla funkcyi f, aby była funkcyą ciągłą obu zmiennych jest warunkiem dostatecznym lecz nie jest koniecznym.

Przy tych warunkach zachodzi dla funkcyi cp twierdzenie o przemienności różnicz-k o w a ń, gdyż z wzorów powyższych wypływa widocznie:

dy'dx'

= f y'),

dx' dy'

= f(x\ y')

t. j., że dwie pochodne są równe.

Ustalimy teraz pojęcie całki podwójnej w dwu przypadkach osobhwych, które rozważaliśmy i przy całkach pojedynczych, mianowicie: przypadek, w którym funkcya staje się nieskończoną w jakimkolwiek punkcie lub na linii pola całkowania, oraz przypadek, w którym jedna z granic całkowania jest nieskończoną.

Kryteryum, służące do określenia w tych przypadkach, pozostaje zawsze bez zmiany; jest niem zachowarne własności zasadniczej— ciągłości całki. Stąd, gdy funkcya staje się nieskończoną w punkcie, nazwiemy jej całką podwójną w obszarze, ten punkt obejmującym, granicę (w założeniu, że istnieje i jest jedyną) wartości całki w obszarach, ten punkt wykluczających. Możemy np. punkt ten otoczyć kółkiem i rozważać obszar pierwotny, zmniejszony o powierzchnię kółka; jeżeli następnie zmniejszać będziemy promień koła, granica wartości całki podwójnej będzie właśnie wartością całki określonej w całym obszarze. Lecz tu występują pewne rozróżnienia; zajść bowiem może, że granica, o której mówimy, istnieje, gdy zmienne x, y zbliżają się do punktu osobliwego tylko w pewnych kierunkach, a nie we wszystkich, lub też otrzymujemy jednę granicę dla pewnych kierunków przybliżania się, inną zaś dla innych. W tych przypadkach nie istnieje właściwie całka rozciągnięta na cały obszar. Może się wtedy zdarzyć, że istnieje wartość skończona całki, gdy ją obliczamy za pomocą dwu całkowań pojedyńczych, nie istnieje zaś całka zgodna z określeniem, a którą należy uważać za wartość całki podwójnej. Nie możemy zatrzymywać się tu nad szczegółami.

Gdy obszar całkowania rozciąga się do nieskończoności, wtedy przez całkę podwójną rozumiemy znowu granicę wartości całek określonych w obszarach, które rozszerzamy kolejno do nieskończoności, w założeniu oczywiście, że ta granica istnieje i że jest jedyną, bez względu na sposób, w jaki obszar rośnie do nieskończoności.

§ 3.

Przekształcanie całek wielokrotnych.

Widzieliśmy już (Rozdz. I, § 0), jakim sposobem przekształca

się całka pojedyncza. Jeżelimamy f ii dx, gdzie R jest funkcyą

zmiennej x i chcemy tę całkę przekształcić na inną ze zmienną y, związaną z x za pomocą pewnego związku, wtedy dość fun-kcyę podcałkową pomnożyć przez pochodnę dawnej zmiennej względem nowej. Zobaczmy, jak się ma rzecz wr przypadku całek wielokrotnych.

Niechaj będzie całka:

f f ■ ■ . f R (z,

ze zmiennemi niezależnemi x₁, x₂, ... , xn, którą chcemy przekształcić na całkę ze zmiennemi y₁₇ y₂, ,. . , yn, połączonemi ze zmiennemi x za pomocą n związków. Niechaj temi związkami będą :

(1)

Xl = Xj (yx, y₂,    , yn\ x₂ = ^2 (V\, yz, ■ ■ ■ , y-)

. . a;» = X„ (y,, y₂, . . . , yn\

W clrugiem równaniu podstawmy zamiast yx wartość tej zmiennej, otrzymaną z pierwszego równania, wtedy x₂ wyrazi się przez xv y• , yn'i w trzeciem równaniu połóżmy zamiast y1: y₂ ich wartości z dwóch pierwszych" równań, wtedy xz wyrazi się przez

Postępując w ten sposób dalej wyrazimy xn

x\j %2i y%i • • • ? y^ przez x1} x₂, . ,. , xn—\, yn. Tym sposobem otrzymamy wzory takie :

(2)

X\ fl(y l'V^i • • • »£/*)> -f%{X 1    ^3V) y»), #3—-f3 (xi 1 X2iyz->"’iyn),

. . . Xn = fn <2?2i • • • j

Vn).

W danej całce wielokrotnej wykonajmy najprzód całkowanie względem xn i za pomocą ostatniego z równań (2) wprowadźmy zmienną yH zamiast zmiennej xn, uważając wszystkie inne zmienne chwilowo za stałe. Nasza całka stanie się przez to równą:

. . . I R —— dxx dx₂ . . . dxn_! dy,, .

J *yn

Podobnież, za pomocą przedostatniego z równań (2), wprowadźmy zmienną yn—\ zamiast av-i ; otrzymamy:

dfn-1 df,

dyn~i

i postępując tak dalej, dojdziemy wreszcie do całki przekształconej :

fE

dfi

dfn-1 Zfn

dUi

' ' ' dVn

-1

dVn

d>]\ dy2 . . . dyn.

Dla wykonania tego przekształcenia należy znać funkcye /n fzi • • • i fn, nie są to właściwie funkcye, wyrażające dawne zmienne przez nowe—te są dane wprost—lecz otrzymują się z tych ostatnich wyrażeń za pomocą wskazanych wyżej eliminacyj. Stąd naturalnie powstaje pytanie, jak przekształcić całkę, nie tworząc funkcyj /*, lecz opierając się wprost na funkcyach, wyrażających zmienne x przez zmienne y.

W tym celn rozpatrzmy wyznacznik funkcyjny lub j akobian zmiennych y (patrz „Rachunek różniczkowy“, Rozdz. V, § 2), t. j. wyznacznik:

dxx dxx

dxx

dV\ ’ dVi ’ ’ " ’ dVn

dXn

dxn dxn

’ dy₂ ’ ' ‘ * ’ dyn

Można dowieść, że iloczyn:

9fn

*Ji dJ± _

S.Vl dV2 ' " dlJn

Stąd zaś w;

że dla

j n y m. i przekształconej

p o-

przez który, jak widzieliśmy, należy pomnożyć fnnkcyę podcałkową, aby otrzymać całkę przekształconą, jest właśnie wy znacznikiem funk otrzymania ca mnożyć fnnkcyę podcałkową przez jakobian dawnych zmiennych, uważanych za funkcye nowych.

Aby dowieść powyższego twierdzenia, napiszmy równanie :

dfi    dXj~ !

dcc i _i    dyj

dXj _ dfi    dfi dxx I dfj dx₂    .

%    dVj    dxi dVj dx2 dVj    " *

w którem pierwsza strona oznacza pochodną zmiennej xwzględem zmiennej yj, otrzymaną z wzorów (1), po drugiej zaś stronie pochodne funkcyi fi wzięte są według równań (2). Jeżeli j <c i, wtedy pierwszy wyraz strony drugiej jest zerem, gdyż pierwsze z równań (2) jest tern samem, co pierwsze z równań (1), a więc pochodne zmiennej xx równają się pochodnym zmień ej fv Według teoryi iloczynu wyznaczników, przy uwzględnieniu powyższego wzoru, napisanego /w postaci:

dfi dXj— i . dXj dfi

dXi-1 dyj    ' dyj ~~ dyj ’

dfi dXj dfi doc2_ dXj dyj dx₂ dyj

otrzymujemy :

Pascal E. C.

M M. o

dy*' zy*' ’’

*fn

Ml Ml _

2y» ’    ‘    ; ty»

Lecz drugi z wyznaczników strony pierwszej jest równy 1, przeto

- jest równy wyznacznikowi

istotnie iloczyn

tyi ty₈ ' ’ * ty<

funkcyjnemu. Tym sposobem uzasadniliśmy teoryę przekształcenia całki wielokrotnej. Należy jeszcze zanotować, że w przypadku n = 1, t. j. w przypadku całki pojedynczej, wzór na przekształcenie całki wielokrotnej przechodzi na znany wzór przekształcenia całki pojedynczej.

Podamy zastosowanie wzorów powyższych. Niechaj będzie całka podwójna:

J J / (x, y) dx clij ;

na

dxi |

^V\ ’ ' ‘ *¹    !

3a?!

1 . . . 0,

dx₂

3fn

dV\

■ ' ’ ty.

dXn

Hn df»

dx₁

dx₂

^1 £

co -ro

zmienne x₎ y przekształcimy na inne o, cp za pomocą wzorów, dających przekształcenie spółrzędnych Des carte s’a biegunowe, t. j. za pomocą wzorów x~o cos <d, y = q sin ©. Wyznacznik funkcyjny jest:

dx dy

Oj H co co

OJ>

Icsj fO

cos cp, sin cp

— q (cos² cp -j- sin² cp) = q,

3cp ¹ dep

— g sin cp, p cos cp

a więc całką przekształconą będzie:

f f f (q cos cp, q sin cp) q dg dcp.

MO

Własności całek podwójnych. Twierdzenie Gre e na.

Wiemy, że dla funkcyi ciągłej f (x) szukanie całki nieokreślonej sprowadza się do szukania innej funkcyi F (x), której pochodną jest f (x) i że, gdy taką funkcyę znajdziemy, to wartość całki określonej w jakimkolwiek przedziale otrzymamy, tworząc różnicę wartości funke i F (x) w dwóch krańcach przedziału w ten p o s ó b, że wartość całki określonej zależy tylko od wartości funkcyi f¹ (x) w tych dwóch krańcowych punktach, nie zależy zaś wcale od wartości funkcyi w innych punktach przedziału.

Zobaczymy teraz, że coś analogicznego zachodzi w przypadku całek podwójnych.

Niechaj będzie całka podwójna:

f j f (x, y) clx dy,

rozciągniętą na pole płaskie, ograniczone obwodem, którego

równaniem jest 9 (x, y) = 0. Dla ustalenia myśli przyjmijmy, że obwód ten tworzy krzywa, mająca postać owala taką, iż każda prosta spotyka go najwyżej w dwu punktach. Wykonawszy pierwsze całkowanie nieokreślone względem <£, otrzymamy funkcyę zmiennych x, y, w której należy podstawić, jako granice, dwie funkcye zmiennej y, otrzymane przez rozwiązanie względem x równania cp (#, y) — 0. Niechaj temi funkcya-mi będą x = <pŁ (y) i x — cp₃ («/)- Z tych dwu funkcyj niechaj pierwsza przedstawia wartość odciętej w punkcie, położonym bardziej na lewo, druga zaś wartość odciętej w punkcie, położonym bardziej na prawo. Niechaj F (a;, y) będzie całką nieokreśloną, do jakiej doprawadziło całkowanie względem x: t. j. funkcyą, czyniącą zadość równaniu ÔF (x, y)

= f ix, y\ to trzeba będzie jeszcze wykonać całkowanie względem y wyrażenia :

dx

F (¥2 (y), y) — F (?! (y), y)

i to pomiędzy dwiema granicami, które będą rzędnemi punktu najniższego i najwyższego krzywej, to jest pomiędzy dwoma punktami, w których styczne są równoległe od osi x. Niechaj temi rzędnemi będą yv y₂ ; potrzeba tedy obliczyć :

!/a

f F (¥2 (y)i y)dy — ! F (cpi (y), y) dy

lub po przestawieniu granic w drugiej całce:

J²    //.

(;y)> y) dy .

J F (cp₂ (y), y) dy -f j F (<p,

y»    y2

Sumę tych dwóch całek można interpretować w sposób następujmy :

wyobrazić sobie podstawioną wartość tej zmiennej z równania <p (x, y) — 0. Rozciągnijmy tę całkę na wszystkie pary wartości zmiennych x, y, czyniące zadość temu równaniu, t. j. na całkowity obwód danego pola Rozdzielmy tę całkę na dwie części. Wyjdźmy z punktu najniższego krzywej, t. j. z punktu o rzędnej y₁ i przebiegajmy część prawą krzywej (t. j. bok, którego punkty mają odcięte oznaczone przez funkcyę cp₂ (?/))>    punktu najwyższego, którego rzędną jest

Niechaj będzie całka j F (x, y) dy, gdzie zamiast cc należy

y₂. Tym sposobem obliczymy całkę :

y2

I F («p₂ (y), y) dy .

Vi

Przebiegnijmy następnie drogę od z/₂ do yx po lewej części krzywej (t. j. tej, której punkty mają odcięte oznaczone przez funkcyę <pj (y)). Tym sposobem obliczymy całkę:

Vi

j F («p, (y), y) dy .

Suma tych dwóch całek będzie całką, rozciągniętą na cały obwód pola. Wynika stąd także kierunek, w jakim należy przebiegać obwód krzywej. Wyszliśmy z punktu najniższego, przebiegliśmy część prawą obwodu, a potem szliśmy dalej w tymże kierunku. Obwód zatem należy przebiegać w ten sposób, że powierzchnia pola pozostaje zawsze po stronie lewej.

Możemy więc napisać:

S S f    yS} dx dy=f F yS) dy »

gdzie na stronie pierwszej znajduje się całka podwójna, odniesiona do danego pola, na drugiej zaś całka pojedyncza, odniesiona do obwodu pola. Mamy tym sposobem przekształcenie całki podwójnej na całkę pojedynczą oraz wartość całki podwójnej, zależną jedynie od wartości funkcyi F (x, y) na obwodzie pola, nie zaś od punktów wewnętrznych tegoż. Jest to uogólnienie dokładne własności, wspomnianej na początku tego paragrafu. Stanowi ono właśnie wzór Green a, któremu można nadać i inne postaci.

Podobnie jak otrzymaliśmy wzór poprzedni, całkując najprzód względem x, możemy teraz, zmieniając porządek całkowania, otrzymać:

/ Fx {xy y) dx ,

/ J f(x, V) dx dy

gdzie całki mają to samo znaczenie, co przedtem, i jest nadto:

dFi fr, y)

dy

= f (x,y)-

Znak ujemny po stronie drugiej pochodzi stąd, że wyobrażamy sobie, iż obwód przebiegamy w tym samym kierunku, co w pierwszym razie.

Dwa wzory otrzymane możemy jeszcze tak napisać: //4j dxdy= j F dy,

f I Tty dx dV = — / Fi dx >

gdzie dwie funkcye F, Fx są połączone związkiem :

dF _ ÔF₁

dx

dy

= f-

Zresztą te dwa wzory są od siebie niezależne, i dwie funkcye F i Fx mogą nie być połączone powyższym związkiem. W tym przypadku przez odejmowanie otrzymujemy:

dF dFx

dx

dy

-j dx dy = j (Fdy -J- Fx dx)

rozumiejąc przez F i F₁ dwie jakiekolwiek niezależne od siebie funkcye zmiennych x, y. Taką postać nadać można wzorowi G r e e n a.

Jeżeli w szczególności Fi Ft są takiemi

funkcyami, że dla wszystkich punktów pola

-,    *    •    , dF dF. ,    ,

danego spełnia się warunek = ——- , wtedy

pierwsza strona ostatniego wzór jest zerem, a stąd:

J (F dy -|- Fx dx) — 0,

t. j. całka wyrażenia F dy -\- F₁ dx, rozciągnięta na cały obwód, jest tożsamościowo zerem.

Z tego twierdzenia możemy otrzymać inne.

Niechaj x₀,y₀] x,y będą spółrzędnemi dwóch jakichkolwiek punktów obwodu, Nakreślmy linię od pierwszego do drugiego punktu, znajdującą się całkowicie wewnątrz pola. Nakreślmy następnie drugą podobną linię, idącą od drugiego do pierwszego punktu. Te dwie linie utworzą nowy obwód, zamykający pewne pole i spełniający warunki wyżej podane; będzie zatem całka:

j (F dy -f F₁ dx),

rozciągnięta na ten nowy obwód, zerem. Stąd wynika, że całka od punktu (xQ, y₀) do punktu (x, y), wzdłuż pierwszej linii, równa się całce od pierwszego do drugiego punktu, wzdłuż drugiej linii. A zatem : Na każdej linii wewnątrz pola, prowadzącej od punktu (#₀, Vo) do punktu (x, y), wartość całki jest jednakowa. Jeżeli więc ustalimy wartość granicy niższej, to możemy uważać całkę za funkcyę punktu, należącego do pola. Można dowieść, że ta funkcya ma za pochodne cząstkowe względem x i y, odpowiednio funkcye F i F₁, a jej różniczką zupełną jest wyrażenie Fx dx -f F cly. Tym sposobem rozwiązaliśmy zagadnienie: „dane są dwie funkcye Fi Fx takie, że:

dF _ dF\

dx

dy

ne

znaleść funkcyę, której pochodne cząstkowe są równe funkcyom danym.“ Zagadnienie to, nazwa -całkowaniem różniczki zupełnej, rozpatrzymy szczegółowiej.

ROZDZIAŁ V.

CAŁKOWANIE RÓŻNICZEK ZUPEŁNYCH.

Widzieliśmy, że gdy f (x) jest funkcyą ciągłą, wtedy obliczenie całki j f (x) dx sprowadza się do znalezienia funkcyi

tp (x), której pochodną jest f (x) lub, co na jedno wychodzi, funkcyi, której różniczką jest f (x) dx. Stąd zaś odwrotnie wynika, że gdy funkcya f (x) jest ciągłą, to znalezienie funkcyi, której różniczką jest f (x) dx, sprowadza się do znalezienia całki nieokreślonej, która odpowiada funkcyi f (x).

Postaramy się rozszerzyć to zagadnienie na przypadek większej liczby zmiennych.

Niechaj będzie funkcya <p (xt, x₂, ...) pewnej liczby zmiennych; wiemy, że jej różniczką zupełną jest:

Sep

——• d’X-y —j— —— dx₂ ~}~ • • ■

dXv

dx₂

Stawiamy zagadnienie odwrotne. Niechaj będzie wyrażenie typu :

X, dxx —J— X₂ dx₂ -j⁻ . . . -f- Xn dxtj,

(1)

w którem ilości X są funkcyami ciągłemi i skończonemi wszystkich zmiennych x1} x₂, ... , xn; znaleść funkcyę tychże zmiennych taką, aby jej różniczka zupełna równa była danemu wyrażeniu. Czy taka funkcya zawsze istnieje?

Zagadnieniem tego rodzaju było zadanie, podane na końcu poprzedniego paragrafu.

Okażemy, że nie zawsze można znaleść taką funkcyę epp aby ona istniała, muszą funkeye X czynić zadość pewnym związkom.

Załóżmy przedewszystkiem, że funkeye X są skończone i ciągłe i że takiemiż są ich pochodne względem wszystkich zmiennych. Dalej, gdy istnieje funkcya cp (xx x₂ . . . x„), której różniczka zupełna:

3ep

3ęp

dep

dx, + — dxa + .    dx

jest identyczną z wyrażeniem (1), wtedy koniecznie być musi:

(2)

dep

dep

Bx. Xv dx₂ ~    '

dep

dXn

Xn.

Wziąwszy tylko dwa pierwsze równania i zróżniczkowawszy pierwsze względem x₂, drugie względem xt, otrzymamy:

3²cp

3²<p

dx₂ dxx dx₂ ’ dxx dx₂ dxx

Ponieważ założyliśmy, że funkeye X są skończone wraz z swe-pierwszemi pochodnemi, to otrzymujemy, że pochodne/pierwsze i drugie funkcyi cp są skończone; tym sposobem spełniają się warunki, aby różniczkowania względem zmiennych xx, x₂ były przemiennemi (patrz „Rachunek różniczkowy“, rozdz. U, § 7), t. j. aby było:

(3)

na

' dX₉

podstawie związków (2) i (3)

a²cp

<5 ²ęp

dx₂ dxx dxi dx₂

AVynika stąd, że:

dXt = SX₂

Podobne równanie stosuje się oczywiście do każdych dwu innych funkcyj X. Do tego warunku przybywaj ą tedy inne tego samego typu przez kombinowanie funkcyj X po dwie. Wszystkich takich

warunków będzie -^—~ x można je wyrazić wpostaci ogólnej:

(4)

dXr dXs

dxs

dxr

s=l, 2,.n\ r= 1, 2,..

Okażemy, że te warunki są dostatecznemi, t. j. gdy one się spełniają, funkcya cp zawsze istnieje. W samej rzeczy, uważajmy chwilowo zmienne x₂, x₃, . .. , xn za stałe i obliczmy całkę :

f X₁ dxt ;

całka ta istnieje, gdyż funkcya Xx jest ciągłą. Niechaj Lx będzie całką nieokreśloną. Możemy do niej dodać stałą dowolną względem zmiennej xv Całka zatem powyższa przedstawia się tak :

Zobaczmy, czy można oznaczyć funkcyę t|>], aby funkcya cp była całką danego wyrażenia różniczkowego. Różniczką znpełną funkcyi cp j est :

t. j. że funkcya <|ą zmiennych x₂, . . czoną w ten sposób, aby jej różniczką zupełną było wyrażenie:

x„ powinna być ozna-

SL,

dXt

dx¹ +    +

dx₂

) dx, + . .. + (|ń + àx. .

Jeżeli ta różniczka ma być identyczna z wyrażeniem (1), to różnica tych dwu wyrażeń musi być zerem; skąd — jeżeli zwróci-

= Xx — wynika:

my uwagę na to, że

dL,

dX₁

[x.

dx.

j dx₂ -J- . . . -j- [\n

dL₁

dx

-)

dxn

Cj

Cd

— <M

•e- «

fi

U)

f-j

a.

(5)

(x₂

dLx

dx₂

dLx

dxn

dxn .

Ponieważ funkcya ^ nie zawiera zmiennej przeto jest ja-snem, że w tern wyrażeniu nie powinna zachodzić zmienna xx. Nadto dla wyrażenia tego powinny się spełniać znane już nam warunki konieczne całkowalności. Otóż łatwo okazać, że w wyrażeniu (o) występuje zmienna xx tylko pozornie. "W samej rzeczy, weźmy pochodną względem xx jednego ze

dLx

, to znajdzie-

dxr

spółczynników, mianowicie spółczynnika Xr —

my, że ta pochodna jest zerem, gdyż pochodną tą jest:

__d_ dLj dXr

dxx dxx dxr    dxx

d 3 L, _ dXr _ dXt

dxr dxx dXi dxr

co równa się zeru na podstawie warunków (4). Zobaczymy teraz, że wyrażenie (5) spełnia też warunki całkowalności. Istotnie: co było do okazania.

Możemy zatem do różniczki (5) zastosować na nowo metodę, stosowaną do wyrażenia (1), i znajdziemy wtedy, że <Ją równa się pewnej funkcyi L₂ (x2 • • • x«) wraz ze stałą względem zmiennej a?₂; tę stałą możemy przedstawić jako funkcyę <Ją (xz . . . xn) zmiennych xz,... ,xn. Postępując w ten sposób dalej, dojdziemy wreszcie do różniczki, zawierającej jednę tylko zmienną xn, a więc do różniczki zawsze całkowalnej. Otrzymamy w ten sposób:

9 — L\ -f- L₂ -(- . . . -j- Ln -f- C,

Xn>

gdzie stała C jest stałą bezwzględną, t. j. niezależną od żadnej ze zmiennych Xi, x₂, .

Widzimy stąd, że bez posługiwania się innemi warunkami, prócz wyrażonych równaniami (4), możemy znaleść funkcyę <p, co stwierdza, że warunki (4) są cl o s t a t e c z n 9 m i.

Podamy przykład:

Niechaj będzie wyrażenie:

dx + i²«

"Warunki całkowalności są tu spełnione, gdyż :

3y x² -f y²

x²—y2 (x²-\-y²)²    (x²-\-y²)² ’

x²— y²

ÔL

dxr

dxs

2XS 3 3xr    dxr 3xs

dXr

dxs

d 3L₁

dxs dxr 3xs

d- (x -

dxr ) ’

(x² -f- y²)²

Dla wykonania całkowania obliczmy:

f—y

J y

00

2 dx — arc te — +    (y) •

Utwórzmy wyrażenie :

(²J/

x \

a;² -f y²/

cl , x -j— arc tg — dy    y

a?

a:² -f y»

a?²

arc tg

= 2y

i całkujmy :

j 2y dy = y² .

Tym sposobem otrzymujemy szukaną całkę w postaci:

y + ya+C-

ROZDZIAŁ VI.

GEOMETRY A CAŁKOWA.

§ 1.

Pole krzywej płaskiej.

Niechaj będzie krzywa, dana przez równanie y = f (x). Weźmy na krzywej dwa punkty A, B o odciętych a i ß\ część

m'

fjr

7/lJ

A,

/*

Fig. 1.

płaszczyzny, zawartą pomiędzy krzywą, osią odciętych i dwiema rzędnemi punktów krańcowych A i B, nazywamy polem k r z y w ej.

Jest rzeczą konieczną ustalić dokładniej pojęcie pola.

W tym celu podzielmy przedział aß na przedziały cząstkowe ór i przez każdy z punktów podziału poprowadźmy odpowiednią rzędną. Niechaj jednym z tych przedziałów ór będzie p q, a odpowiadające mu rzędne niechaj przecinają krzywą w punktach mim'. Wybierzmy jakikolwiek punkt a na krzywej pomiędzy punktami m i m\ poprowadźmy przezeń prostą n ri, równoległą do osi odciętych i utwórzmy prostokąt nn'pq. Pole tego prostokąta równa się np . pq = f (x) ór, t. j. iloczynowi długości Sr przez wartość funkcyi f w punkcie a. Utwórzmy sumę wszystkich takich iloczynów i zmniejszajmy następnie do zera przedziały ön Wtedy na podstawie definicyi całki określonej wiemy, że granica tej sumy (o ile istnieje) jest właśnie całką określoną od a do ß funkcyi f (x).

Lecz f (x) wyraża rzędną krzywej danej; załóżmy, że ta funkcya jest ciągłą lub, co najwyżej, posiada skończoną liczbę punktów przerwy. Pamiętając, że dla funkcyi ciągłej lub mającej skończoną liczbę punktów przerwy istnieje zawsze całka określona, widzimy, że granica sumy £ f {x) à r istnieje i jest oznaczoną. Tę granicę nazywamy polem krzywej.

Widzimy tedy, w jaki sposób rachunek całkowy daje możność obliczania pól; dość bowiem obliczyć całkę określoną

ß    ß

= f(p).

I f (’x) dx lub j y dx gdzie y

funkcyę zmiennej x i napisać :

Jeżeli granicę górną pozostawimy nieoznaczoną ß = x i ustalimy granicę dolną, t. j. ustalimy pierwszą rzędną skrajną, a drugą będziemy uważali za zmienną, to dla każdego położenia tej drugiej zmiennej, otrzymamy pewną wartość pola; tym sposobem pole u można uważać za

<P (x) = j f (x) dx — j y dx .

Gdy f jest funkcyą ciągłą, to, jak wiemy, pochodna całki jest

równa funkcyi podcałkowej, stąd wnosimy, że pochodna pola względem zmiennej x wyraża wartość rzędnej linii krzywej.

Z powodu tej analogii pomiędzy rachunkiem krzywych płaskich a rachunkiem całek pojedynczych funkcyj ciągłych całkowanie nazywa się także kwadraturą, i mówi się często kwadratura krzywej zam. obliczanie jej pola. Przechodzimy do przykładów:

1) Niechaj będzie hyperbola równoboczna, odniesiona do swych asymptot; jej równaniem jest xy—m², gdzie m jest stałą.

Pole u = AB aß wyrazi się

tak:

0N

Xx

XB

r:

u = j y dx = m² j

a    a

f*

a ponieważ I — == log x , j x

Fig. 2.

przeto :

fl

u — m² (log ß — log a) = m² log — .

Niechaj w szczególności m² = 1 i punkt A będzie wierzchołkiem hyperboli, wtedy a będzie 1 (gdyż w wierzchołku a; i y są równe, a że iloczyn ich ma być 1, więc obie są równe 1); będzie tedy:

u — log ß

t. j. pole hyperboli równobocznej mierzy się logarytmem neperowym odciętej Oß. Z tego powodu logarytmy neperowe nazywają się także hyperbolicz-n e m i.

Pascal, E. C.

2) Niechaj będzie koło: x² -\- y² = r² ; mamy obliczyć pole £0 PQ.

x² dx

Obliczmy całkę: j y dx — j V r² —

w granicach od x — 0 do x — 0Q; drugą z granic pozostawiamy nieoznaczoną,t.j.piszemy^ Vr²—x² dx.

Fig. 3.

Obliczmy najprzód całkę nieokreśloną. Marny :

(1) I y r²

— x² dx — x V r² —

x² dx

V r² — x²

a także:

(2) j Vr*

—x² dx =

dx

,    _dx = r² /__

J j/r2- #2    J l/r2 - x2

x² dx

Vr² — x²

Dodając (1) i (2), otrzymujemy:

V r² — dx =

1    /- y 2

~2- xV r² — x² -j—

arc sm — .

Ponieważ dla a? — 0 strona druga jest zerem, więc to wyrażenie jest właśnie szukaną całką określoną od 0 do x. Zauważmy, że

X V r²

2 '

ponieważ powierzchnia trójkąta 0 PQ równa się

przeto powierzchnia wycinka kołowego 0 PS równa się

r²    . x

arc sin — .

£    r

3) Obliczyć pole krzywej, której równaniem jest yn=pxm, gdzie nim są, dwie liczby wymierne.

Takie krzywe nazywają się wogóle parabolami.

Obliczmy 0PQ. Mamy:

xn dx

j y dx =pn f

• '    «/

o    o

Py

m-\- n

a-

xy

Fig. 4.

a więc pole paraboliczne OPQ tak się ma do powierzchni prostokąta OSPQ = xy, jak liczba n do liczby m n.

Odejmując od powierzchni prostokąta pole paraboliczne, znajdujemy :

m-f ni

xy

m-j- n

xy ; a więc:

OSP =

m-f n

xy, stąd:

OPQ

OSP

t. j., że parabola dzieli prostokąt OSPQ w stosunku n : m. W przypadku n = 2, m = 1 otrzynfujemy stąd twierdzenie, znane z Geometryi analitycznej.

; -

4) Rozważmy krzywe dane przez równanie xm yn = p. Krzywe takie nazywają się hyperbolami; w szczególnym przypadku n — m = 1 mamy hyperbolę zwykłą równoboczną. Niechaj n i> m; wtedy:

j y dx — pn I X H 0    o

dx —

pn x

-T+¹

xy .

Stąd pole zawarte pomiędzy osią y i rzędną PQ, jakkolwiek roz-

y,

jp

af

Fig. 5.

ciąga się do nieskończoności—gdyż krzywa y spotyka oś rzędną w nieskończoności (oś ta jest asymptotą krzywej)—ma wszakże wartość skończoną.

Odejmując od tego pola powierzchnię prostokąta x y} znaj

dujemy:

Pole (SPoo) = I— \n—

lây-5

xy

■>

a stąd:

OQP oo SP oo    m

Jest to twierdzenie analogiczne do twierdzenia, odnoszącego się do paraboli.

o) Obliczmy pole elipsy :

a² y² -f b² x² = cl² b2.

W tym celu obliczmy:

I y clx

— I V a2 a J

— X² clx.

Odpowiednie pole, należące do koła o promieniu OA = a, t. j.

p'

Fig. 6.

x² clx, stąd:

pole OB'P'Q, równa się j Va²

OBPQ

OB'P'Q

Aby więc mieć powierzchnię ćwiartki elipsy, dość powierzchnię ćwiartki koła, t. j. ~ na² pomnożyć przez — ; otrzymamy

“j:    Cl

-j- ndb. Powierzchnia całej elipsy będzie nab.

6) Zbadamy obecnie krzywą interesującą, mającą wiele dość ważnych własności, mianowicie cykloidę.

Jej tworzenie mechaniczne jest takie: Wyobraźmy sobie koło, toczące się bez ślizgania po prostej stałej. Jeden z punktów

Fig. 7.

P tego koła przypada najprzód w punkcie styczności okręgu i prostej, potem wznosi się i opisuje krzywą OPMS; następnie koło obraca się w dalszym ciągu, opisując drugą podobną gałąź i t. d. do nieskończoności.

Wyznaczmy najprzód spółrzędne jakiegokolwiek punktu P cykloidy. Za oś odciętych wybierzmy prostą, po której toczy się koło, za oś rzędnych—prostą do poprzedniej prostopadłą, za początek O wierzchołek cykloidy. Rozpatrzmy położenie koła, odpowiadające punktowi P. Połączmy punkt P z punktem C i oznaczmy przez 6 kąt PCQ; wtedy:

x = OT = OB — TB = OB — PQ.

Lecz długość prostoliniowa OB równa się oczywiście łukowi kołowemu PB, t. j3 równa się rö; PQ = r sin 6, gdzie r jest promieniem koła. Stąd :

x = r (6 — sin 6).

Dalej :

V = PT = CB — CQ = r — r cos 0 ;

stąd :

y — r (1 — cos 8).

Rugując 6 z ostatnich dwu równań, dojdziemy do równania cykloidy. Okażemy najprzód własność zasadniczą stycznej do cykloidy.

Jeżeli poprowadzimy średnicę AB i połączymy punkt P z najwyższym punktem A i z najniższym B, to otrzymamy styczną i nor-malną do cykloidy w punkcie B. Aby to okazać, zauważmy, że

kąt PA C równa się 0, a stąd kąt, który prosta PA tworzy z osią odciętych, jest dopełnieniem kąta 6. Z drugiej stro-

Ł    Jj

ny wiadomo, że kąt, jaki styczna geometryczna w punkcie P

(Lu

tworzy z osią odciętych, równa się . W naszym przypadku

Qj*Xs

cly

możemy oznaczyć pochodną —, obliczając z równań cykloidy

Ponieważ z tych równań wypływa :

,    , clu dx

pochodne w w .

~ — r sin 0 2r sin — 0 cos

x    2

cos 0) =2r sin² —0,

cly

dd

dx

cm

przeto :

Sc

SC    Sij

œ es rîy

cg

2~⁶ *»-2

co właśnie wskazuje, że kąt, jaki styczna tworzy z osią odciętych, równa się —- 0, a więc, że styczną geometryczną jest właśnie prosta PA. Stąd zaś wynika już bezpośrednio, że normalną jest prosta PB.

Obliczmy pole cykloidy.

W tym celu uskutecznijmy zamianę osi, przenosząc je równolegle do siebie samych, do Bx, By. Nowa odcięta x będzie równa dawnej zmniejszonej o O A = nr, nowa zaś rzędna y równać się będzie średnicy 2r, zmniejszonej o dawną rzędną; tym sposobem będzie:

x = r (6 — sin 0) — nr;

y — 2r — 2r sin² 6 = 2r cos²

2 2

-0

Jtf

Fig. 8.

Stąd:

dx

4-e,

= r (1—cos 0) = 2r sin² —}

dy    .    1    1

-~ćr- — — 2r sm — 0 cos 0 dv    2    2

a więc:

dx

de

dy dy

1/2r —y

de

cos

Vy

Pole BPQ równa się j y dx. Gdybyśmy wyrazili y i clx za pomocą zmiennej 6, mielibyśmy do całkowania funkcyę przestępną; lecz biorąc za zmienną niezależną y, będziemy mieli do całkowa-(ix

nia funkcyę y — , która jest algebraiczną.

dy

Ponieważ dla x — 0 jest y = 0, przeto:

BPQ = —

?/

I V2ry—

y² dy.

Jeżeli chcemy obliczyć pole BQ'P koła tworzącego, otrz3'mamy tenże wzór. Stąd wnosimy, że:

BP’Q' = BQP,

a więc cała powierzchnia BAM równa się prostokątowi na liniach BA i AM, zmniejszonemu o powierzchnię półkola BP'A, t.j.

BAM — 2 r^n —

a więc pole cykloidy równa się 3yrr², t. j. potrójnej powierzchni koła tworzącego.

2.

Łuk krzywej płaskiej.

Wyobraźmy sobie krzywą ciągłą i jej styczną pomiędzy punktami A i B, poruszającą się sposobem ciągłym lub mającą

skończoną liczbę punktów przerwy. krzyAvej pomiędzy punktami A i li nazwiemy długość nici gięt-

Wtedy łukiem

"to

/i

cc c' i;

Fig. 9.

kiej, która przystaje dokładnie do krzywej i kończy się w punktach Ai B.

Ściślejsze określenie łukn krzywej dajemy w sposób następujący. Wyobraźmy sobie przedział pomiędzy ai/?, podzielony na przedziały cząstkowe ór i niechaj a' V będzie jednym z ta-kioh przedziałów. Przez punkty przedziału poprowadźmy rzędne, t. j. proste równoległe do osi y. Rzędne te przetną krzywą w punktach takich, jak punkty m i n. Weźmy na krzywej punkt c pośredni pomiędzy punktami m i n, poprowadźmy styczną do krzywej w tym punkcie i ograniczmy ją za pomocą dwu rzędnych. Powtarzając to działanie dla wszystkich przedziałów ór i sumując wszystkie odcinki prostoliniowe takie jak ab, biorąc wreszcie granicę tej sumy w założeniu, źe przedziały ór dążą do zera a ich liczba rośnie do nieskończoności, otrzymamy to, co nazywa się łukiem krzywej pomiędzy pnnktami Ai B.

Należy dowieść, że przy założeniach, uczynionych co do natury stycznej do krzywej, wzmiankowana w określeniu granica rzeczywiście istnieje. W tym celu szukajmy przedewszy-stkiem analitycznego wyrażenia luku.

Odcinek ab równa się swemu rzutowi a! b\ podzielonemu

przez dostawę kąta pomiędzy ab i osią odciętych, t. j. a b —

a'y cos 6 '

Lecz cos 6 =

V 1 -j- tg² 6

a więc:

ab = a'b' V 1 + tg² 6 .

Ponieważ prosta ab jest styczną do krzywej, przeto tg6 =    ,

gdzie znaczek c u dołu oznacza, źe pochodną należy wziąć dla punktu c o odciętej pośredniej pomiędzy a i b. Kładąc a' b' = ón mamy na mocy określenia dla luku s :

.ór

s = lim 2

j/¹ + [ie)

gdzie suma rozciąga się na wszystkie przedziały J pomiędzy

należy brać za każdym

a i ß, wartość zaś funkcyi

razem odpowiadającą pewnemu punktowi, którego odcięta zawiera się w przedziale <5,■ Widzimy stąd, że luk s jest ściśle

h+(ir

pomiędzy granicami a i /5, t. j.

równy całce funkcyi

dx.

Ponieważ według założenia styczna do krzywej porusza się spo • sobem ciągłym lub, co najwyżej, posiada skończoną liczbę przerw,

jf 1 -j- | ZZ będzie funkcyą ciągłą lub będzie

przeto funkcya

posiadała, co najwyżej, skończoną liczbę punktów przerwy; stąd wynika, że s jako całka funkcyi ciągłej jest wogóle ciągłą, a zatem zawszeistnieje.

Jeżeli odciętą a będziemy uważali za stałą, odciętą zaś ß za zmienną i napiszemy x zamiast /?, znajdziemy łuk s jako funk-cyę zmiennej x, a jej pochodna względem x będzie:

ds² — dx² -f- dy².

Tym sposobem zagadnienie obliczania luku krzywej zostało rozwiązane.

Zagadnienie to nazywamy często zagadnieniem wyprostowywania (rektyf.ikacyi) krzywych, podobnie jak zagadnienie obliczania pól nazywa się zagadnieniem kwadratur.

Niechaj będzie łuk krzywej i jego cięciwa prostoliniowa. Ustalmy jeden z krańców, np. A i zbliżajmy drugi kraniec do A. wtedy łuk i jego cięciwa zmniejszać się będą nie ograniczenie. Można dowieść, że granica ich stosunku jest jednością; jest to własność, z której korzystaliśmy już w „Rachunku różniczkowym“.

W samej rzeczy można dowieść, że cięciwa, liczona od punktu stałego A, uważana za funkcyę odciętej, ma tę samą pochodną w punkcie A, jaką ma funkcya s w tym punkcie. Jeżeli bowiem oznaczymy przez Ax, Ay różnice pomiędzy odpowiedniemi spółrzędnemi dwóch punktów krańcowych cięciwy, będzie:

. Ax,

a więc:

~ ]/¹ + (n) •

Jeżeli Ax dąży do zera, to i Ay dąży do zera, a stosunki

ds

dx

skąd:

Ay c_ Ax’ Ax

dążyć będą do wartości pochodnych funkcyi y i c względem x\ więc pochodna funkcyi c względem x, t. j.

ds

ds

dc

dx

p+&)'•

a stąd :

dx

dc dc

dx

Powyższy wzór na różniczkę łuku krzywej płaskiej stosuje się do przypadku spółrzędnycłi prostokątnych. Można znaleść wzór analogiczny w przypadku, gdy osie spółrzędnych tworzą ze sobą kąt <p. Istotnie, za pomocą podobnego, jak wyżej, postępowania znajdziemy, że pochodna funkcyi s względem x jest:

ds

dx

p+(S"

dy

a stąd:

ds = Vdx- -f- dy² -f- 2 dx dy cos tp.

Przejdźmy do przypadku spółrzędnych biegunowych. Niechaj q i 0 będą spółrzędnemi biegunowemi punktu M. Możemy znaleść wzór na różniczkę łuku, przekształcając wzór otrzymany w spółrzędnych prostokątnych. Spółrzędne x,y wyrażają się przez spółrzęclne y. 0 za pomocą wzorów x=y cos 6, y— y sin 0, z których wynika dx= —p sin 0 dQ + cos 6 dy] dy—y cos 0 d% -f sin 0 dy. Podnosząc do kwadratu i dodając, znajdujemy:

dx² -f- dy² = y² f?0² -j- dy'²,

skąd:

ds = Vy² d0² -f dy² .

Za pomocą różniczki ds możemy wyrazić prostym sposobem dostawy i wstawy kierunku stycznej do krzywej. W rzeczy sa-

mej, jeżeli 6 jest kątem, który styczna tworzy z osią odciętych, to tg ⁶ = % . skąd:

sin 0 —

dy _ dy

V dx² -f dy² ~~ dś ’

cos 6 =

dx

V dx² -f dy²

dx

ds

Powiedzieliśmy wyżej, że luk krzywej można uważać za funkcyę odciętej x. Odwrotnie, jeżeli luk (liczony od pewnego początku stałego) jest dany, to wtedy jest zarazem oznaczony drugi punkt końcowy łuku, a więc jego spółrzędne y. Stąd obie spółrzędne #, y można uważać za funkcye łuku s, przyjętego za zmienną niezależną. W takim razie równanie krzywej można zawsze wyrazić w postaci :

x = ¥ 0), y = 0) ;

kształt funkcyj cc, ^ wyznacza się w przypadkach szczególnych.

Z powyższych wzorów wynika też, że pochodne zmiennych a?, y względem s są właśnie dostawami i wstawami kierunkowe-mi stycznej do linii krzywej.

Z wzoru ds- — dx² + dy², przy przyjęciu zmiennej s za niezależną, otrzymujemy przez różniczkowanie :

ds ds²

dx d²x

ds ds²

dy d²y

Ten wzór służy dla przypadku, gdy x, y są funkcyami zmiennej niezależnej s.

Podamy kilka przykładów:

1 ) Znaleść wyrażenie łuku koła, o promieniu r. Równaniem koła jest x² -f- y² = r², skąd:

2x

dy

dx

a więc:

ds

dx

— Vx² 4- if = — =

y    v

V r² — x%

Całkując, znajdujemy:

s — r arc cos

— A-C r ^ L-

Jeżeli zaczynamy liczyć łuk od punktu x — r, y — 0, t. j. od krańcowego punktu po prawej stronie okręgu, wtedy dla x — r jest s — 0, stąd C = 0, a więc:

s — r arc cos —

•co jest znanem wyrażeniem łuku kołowego.

2) Obliczyć łuk spiralnej logarytmowej, danej przez równanie q — ee.

Jest dg = eedQ, a stąd :

ds = VeM dW -f Ć2H dW = V2 ee dQ , ds = y2. ee .

dfi

Całkując, znajdujemy:

s= V2 -f C=V 2. q + C.

Dla oznaczenia stałej C zauważmy, że jeżeli zaczynamy liczyć łuk s od punktu, odpowiadającego wartościom spółrzędnycli £ = 1,6=0 (t. j. gdy dla tych wartości jest s = 0), to wtedy C równa się

V 2, stąd:

3) Wyprostowanie paraboli i/² — %PX-Z równania paraboli wynika:

to hs

*»1*-

stąd:

co

rH

K>hs

5i

a po przekształceniu tej całki tak, aby zmienną niezależną była zmienna y:

yj Vy* + p*dy.

Liczyć będziemy długość łuku od wierzchołka paraboli (y = 0), aż do pewnej wartości ogólnej y. Wykonywając całkowanie przez części, mamy:

y- dy

y y* -i- v²

Z drugiej strony:

cly

y- dy

J Vya-f-p

.. + ±f _

² V J V y² -j- p²

tak, że:

dy

2pyVy°+P²+ yyyyi '

Ostatnią całkę obliczymy za pomocą wzoru ogólnego, podanego w § 4 Rozdziału Iii-go i otrzymamy:

dy

y y² p²

= log (y -f Vy² -f-i?a) — log p.

Tym sposobem będzie:

y + V y² + ff²

yV y² p² , p ,

s =—2Ît- + t1os

4) Obliczyć długość łuku elipsy ~ -j—~-

Spółrzędne punktu elipsy można wyrazić w funkcyi jednego parametru w ten sposób:

P-

— 1.

x — a sin cp, y = b cos cp,

skąd

dy

dx

sa

cc

.as

-6

-6

Su

-O ^

sa

s = I Va² cos² cp -f- b² sin² cp dcp

•/ lA

a²—b²

sin² cp dcp.

Za granice całkowania można wziąć cp := 0 do cp jakiegokolwiek (odpowiednio do granic: x = 0 i x jakiekolwiek). Można okazać, że żadnemi środkami sztucznemi ta całka nie dałaby się wyrazić pod postacią skończoną za pomocą funkcyj zwykłych, znanjmh, jak funkcye wymierne i niewymierne algebraiczne, lo-garytmowe, trygonometryczne i wykładnicze.

Takie całki napotkaliśmy już w § 4 Rozdziału Iii-go i nazwaliśmy je całkami eliptycznemi, właśnie dlatego, że służą, jak widzimy, do wyprostowywania elipsy. Można te całki obliczyć za pomocą całkowania przez szeregi. Patrz § 2 Rozdziału Iii-go.

5) Obliczyć długość łuku cykloidy.

Przyjmiemy te same spółrzędne, co w paragrafie poprze-

V2 r—y

a więc gdy

cloc

dzającym. Znaleźliśmy tam, że —— = —

dy

y weźmiemy za zmienną niezależną, będzie :

10

Pascal R. C.

?...

*0

cly , skąd :

6' = 2 y 2 r    y y .

A więc długość łuku BP (patrz fig. 8) równa się podwójnej długości prostej BPj której długością jest właśnie yiry . Dlay=2r jest s = 4r, jako długość połowy cykloidy.

§ 3.

Łuk krzywej skośnej.

"Wyobraźmy sobie odcinek krzywej skośnej AB o stycznej ciągłej. Niechaj odciętemi punktów skrajnych będą a i ß. Po-

a!"

CL

l"

A'

yi

Fig. 10.

dzielmy odcinek prostoliniowy aß na pewną liczbę odcinków cząstkowych takich, jak a" b" = ór. Przez punkty podziału poprowadźmy płaszczyzny prostopadłe do osi odciętych, mianowicie aa'\ bb" i t. d.; te płaszczyzny przetną krzywą w punktach ab"\ . . ., pośrednich pomiędzy punktami A i B. Poprowadźmy styczną do krzywej w punkcie c pośrednim pomiędzy a'" i b'" i ograniczmy tę styczną dwiema płaszczyznami równoległemi; otrzymamy tym sposobem odcinek prostoliniowy ab. Postępując w ten sposób dla wszystkich pasm, otrzymamy zbiór odcinków takich, jak ab i te wszystkie odcinki będą oczywiście dążyły do zera, gdy odcinki a" b" — dr do zera dążą. Otóż granicę sumy wszystkich odcinków ab d]a przedziałów dn równych zeru przy nieskończonem wzrastaniu liczby tych odcinków, nazywamy łukiem krzywej pomiędzy punktami A i B. Okażemy, że ta granica istnieje i że jest nią mianowicie całka pewnej funkcyi ciągłej lub w ogólności ciągłej.

W tym celu znajdźmy wyrażenie odcinka ab. Niechaj 6, 77, £ oznaczają kąty, które styczna tworzy z osiami spółrzędnych; bę-

dr

dzie oczywiście ab =

cos £

Lecz ponieważ z równania

cos² rj cos² £ cos² £ cos² £

j

cos² £ -h cos²r/ + cos² £ = 1 wynika — ^ - — J/

przeto :

cos² rj cos² £

ab = dr

cos² £ cos² £ ’

wyrazić można za pomocą pochodnych

Stosunki

cos rj cos £ cos £ ’ cos £

zmiennych y i z względem zmiennej x. Istotnie rzutem danej krzywej skośnej na płaszczyznę xy jest krzywa płaska A' B', rzutem zaś stycznej ab jest styczna a! V do krzywej A' B'. Jeżeli dr i £r są rzutami odcinka ab na osie x i y, to będą one także

dr    Er

rzutami odcinka a' V na też osie. Mamy: cos £ = ^ , cos rj =    ,

i jeżeli £', rj' są kątami, które odcinek a' b' tworzy z osiami æ, y,

, cos V = ^

będzie też: cos £' =

dr

a!V

a więc:

COS TJ ' Er

COS £'    Ór

COS

COS

COS Ï]

COS £

którj’ odcinek a' b' tworzy z osią a? i ta styczna wyraża się także przez (gdyż a! b' jest styczną do krzywej płaskiej), a więc :

Gdy układ osi x, y jest prostokątny, to

> jest styczną kąta

_y_ _ dy_

cos i dx

cos

gdzie pochodna oblicza się oczywiście dla punktu styczności odcinka ab. Podobnież będzie :

dz

cos £ cos £ dx

Wynika stąd:

ab — dr

Jeżeli więc s oznacza łuk AB, będzie na mocy określenia:

co właśnie orzeka, źe łuk s wyraża się za pomocą następującej całki określonej:

. dx.

Ponieważ założyliśmy, że odcinek krzywej AB ma styczną ciągłą

lub w ogólności ciągłą, przeto i , jako zależne właśnie

od kierunku stycznej, są funkeyami ciągłemi lub w ogólności ciągłemi, a stąd wynika, że powyższa całka zawsze istnie-j e. Pochodna łuku s względem zmiennej x (zakładając, że granica górna ß jest zmienną i pisząc x zamiast ß), będzie wogóle równa funkcyi podcałkowej, t. j. będzie:

cis

clx

]A + [wj + ("tir)

a stąd na różniczkę łuku s otrzymujemy wzór:

cis = Vdx² -f- dy²-1- dz².

Możnaby dowieść, że podobnie jak w przypadku krzywych płaskich, granica stosunku łuku do jego cięciwy jest równa jedności.

Zrobimy jeszcze jedno spostrzeżenie. Znaleźliśmy, że:

cos £

gdzie £ jest kątem pomiędzy styczną a osią x. Stąd znaj duj e-

_ dy

clx

i podobnie: cos r\ ~

dz

ds ’ cosf= *’ a W1^c

za pomocą różniczki ds możemy wyrazić dostawy kierunkowe stycznej, co stanowi zupełną analogię do przypadku krzywych płaskich.

Podajmy przykład:

Wyobraźmy sobie trójkąt prostokątny ABC i waleCjprosty kołowy; nawińmy trójkąt na walec w ten sposób, aby jego podstawa zlała się z okręgiem podstawy walca, wtedy przeciwpro-stokątnia AC wyznaczy na powierzchni walca krzywą, zwaną helisą (patrz „Rachunek różniczkowy“, str. 245). Weźmy za osie xi y dwie proste prostopadłe do siebie i przechodzące

przez środek O koła, za oś z — oś walca. Spółrzędnemi punktu

-a

Fig. 11.

P helisy będą:

œ = OM, y — MQ, z — QP.

Gdy rozwiniemy walec, to trójkąt AQP stanie się trójkątem prostokątnym OQP o kącie stałym tp, a więc:

PQ — łuk AQ . tg cp = rO tg cp, M Q = r sin 6, OM — r cos 0

gdzie r jest promieniem koła podstawy. Mamy zatem:

x = r cos 6,

y — r sin 0, z = r . 6 . tg cp.

Stąd :

dy

dx

dy

dz

dx

cos 6 dz sin 0 ’ dx dx

d6

tgcp

sin 6 ’

de

de

* ~J iA+® + (■£)

d^

Będzie tedy:

a zatem:

V sin² 0 + cos² 6 -J- tg² cp —    ¹ w y 1 + tg² <p •

Sili 0    i o i

- / lA+(S'+(§)’

d.r

• de

de

| r K 1 -j- tg² cp d0 = — r0 ^ 1 -f tg² cp -}- const.

Gdy zaczynamy liczyć s od punktu A, to dla 0 = 0 jest s = 0, a więc const = 0 i będzie :

— r6 V 1 -f- tg² cp,

na znak, jest:

a ponieważ V 1 -j- tg² cp = —

, r0 = A Q, więc bez względu

AQ

cos cp ⁷

co zresztą wynikłoby wprost z rozważania trójkąta prostokątnego APQ, w którym przeciwprostokątnia AP jest właśnie długością łuku s.

§ 4.

Pole powierzchni krzywej.

Wyobraźmy sobie powierzchnię, której równaniem jest z — cp (x, y), ograniczoną linią zamkniętą o jednym obwodzie l, którego rzutem na płaszczyznę xy jest linia zamknięta o jednej gałęzi. Podamy określenie tego, co nazywa się polem powierzchni ograniczonej linią zamkniętą. Załóżmy, że część uważanej powierzchni jest taką, że prosta równoległa do osi z przecinają tylko w jednym punkcie. Nakreślmy na płaszczyźnie xy prostokąt o bokach równoległych do osi x i y, opisany na linii krzywej zamkniętej, która jest rzutem linii ograniczającej powierzchnię. Podzielmy jeden z boków tego prostokąta na przedziały cząstkowe dr, drugi na przedziały ó's i poprowadźmy przez punkty podziału proste równoległe do osi x, y. Prostokąt

J}

Fig-. 12.

ABCD podzieli się

na

prostokąty ab cd, z których jedne pozostaną wewnątrz krzywej, inne oędą w części wewnątrz, w części

zaś zewnątrz, inne wreszcie będą całkiem zewnątrz. Rozważmy tylko te, które są zawarte całkiem wewnątrz krzywej i biorąc je za podstawy, wznieśmy na nich prostopadłościany; te prostopadłościany podzielą powierzchnię daną na części. Weźmy w każdej z tych części pewien punkt wewnętrzny, poprowadźmy przezeń płaszczyznę styczną do powierzchni i na tej płaszczyźnie weźmy pod uwagę czworobok, wyznaczony na niej przez odpowiedni prostopadłościan. Granica sumy tych wszystkich czworoboków, gdy przedziały cząstkowe ôn ó's maleją nieograniczenie, liczba zaś ich rośnie do nieskończoności, nazywa się polem powierzchni.

Każdy z tych czworoboków równa się swemu rzutowi, t. j. prostokątowi ân ó's, podzielonemu przez dostawę kąta, który płaszczyzna styczna tworzy z płaszczyzną ery, albo, co na jedno wychodzi, przez dostawę kąta, który prostopadła do płaszczyzny stycznej tworzy z osią z.

Oznaczmy przez £, rj, £ kąty kierunkowe prostopadłej do płaszczyzny stycznej, wtedy pole jednego takiego czworoboku

będzie q — * wynika:

a ponieważ ze związku cos²£ + cos²y -f- cos²£=l

Mi

cos £

cos £

cos² £ cos² £

1A+

cos² f] cos² £ ¹

przeto :

cos² £ cos² £

COS² 7]

cos² £ *

To wyrażenie przekształcimy. Przez punkt styczności płaszczyzny stycznej poprowadźmy piaszczyznę równoległą do płaszczyzny xz\ przetnie ona powierzchnię według pewnej krzywej c, a płaszczyznę styczną według stycznej t do tej krzywej. Równanie tej krzywej c znajdziemy wprost z równania powierzchni, uważając w tern ostatniem ilość y za stałą (t. j.

równą odległości linii płaskiej c od płaszczyzny xz). Niechaj a', ß' / będą kąty kierunkowe stycznej t do krzywej c ; ponieważ prosta ta znajduje się w płaszczyźnie prostopadłej do osi y, przeto cos ß' = 0, kąty zaś a' i y' są dopełniającemi się wzajemnie. Prosta prostopadła do płaszczyzny stycznej będzie prostopadłą do prostej t, t. j. będzie zachodził związek:

cos £ cos a' -|- cos rj cos ß' -j- cos £ cos y = 0, który zamienia się na:

cos £ cos a' -J- cos £ cos y — 0.

Stąd :

cos £

cos £

cos y

cos a

lecz:

cos y' cos a!

sin a '

cos a

= tg a' i także tg a' =

dx ’

a więc:

cos £

dz

cos £

c>X

Podobnież znaleźlibyśmy:

cos rj cos £

dz

dy

tym sposobem będzie :

q ~ ôr ô's

a więc pole powierzchni S określi się za pomocą wzoru:

^lA+^F+S)

Na mocy określenia całki podwójnej będzie:

dx dy .

Co się tyczy granic całkowania, to dość powtórzyć takież same rozważania, jakie uczyniliśmy w swoim czasie o granicach całek podwójnych.

Ponieważ przyjmujemy, że powierzchnia jest ciągła i że płaszczyzna styczna porusza się sposobem ciągłym po całej uwa

żanej części powierzchni, przeto funkcya ~|^/l -j-    "ł"

będzie funkcyą ciągłą zmiennych zmiennych x, y, a stąd wynika, że całka podwójna zawsze istnieje. Okazaliśmy więc nietyl-ko istnienie granicy sumy, t. j. pola powierzchni zgodnie z da-nem określeniem, lecz znaleźliśmy zarazem wzór, za pomocą którego można to pole obliczać.

Ol

Powierzchnie obrotowe.

W przypadku powierzchni obrotowych łatwo wzór powyższy sprowadzić do całki pojedynczej, gdyż jedno z dwu całko-wań daje się wtedy wykonać.

Wyobraźmy sobie na płaszczyźnie zx krzywą, której równaniem jest z = y {x')\ krzywa ta, obracając się około osi tworzy powierzchnię obrotową. Podczas obrotu punkt P pozostawać będzie w odległości stałej od osi z (tą odległością będzie zawsze x') i w jednakowej wysokości nad płaszczyzną xy,

\P

Fig. 13.

w ten sposób, że spółrzędna z punktu P w każdem położeniu będzie ta sama, co spółrzędna z punktu P płaszczyzny xz. Wielkość zaś x' będzie w każdem położeniu punktu P równą Vx²Ą-y², gdzie x, y są spółrzędnemi punktu P w przestrzeni. Aby więc mieć równanie powierzchni, dość w równaniu krzywej położyć x' — Vx²-j-y² i będzie:

z = <p (Vœ²-j-y²) •

Pochodne cząstkowe zmiennej z względem zmiennych xs y są:

—~ = cp' (V x² -f- y²) . X_ ,

dx T ^J J Ka;²-f?/2 dV skąd: a więc powierzchnia S ma wartość:

S — j I V 1 -f- tp'¹ 2 (V x² -j- y² ) dx dy .

"Wyobraźmy sobie, że gałęzią krzywej płaskiej, obracającej się około osi z, jest AP i że odcięta punktu P równa się r; wtedy konturem powierzchni będzie koło, opisane przez punkt P, którego rzutem na płaszczyznę xy jest koło o promieniu r. Ponieważ całkowanie ma się rozciągać tak, aby x, y przebiegły całą ćwierć koła, zawartego pomiędzy osiami x, y, powinniśmy więc całkować względem y od y — 0 do y — V r² — x^ a względem x od x = 0 do x = r. W całce względem y przyjmijmy za zmienną niezależną x' zamiast y, kładąc x² -j- y² — x'², wtedy funkcyą do całkowania będzie Vl + <p' ² (,x') i aby przekształcić całkę dość pomnożyć tę funkcyę przez pocbodnę dawnej zmien-

x'

x>

, ,    .    . . .    dy

Vx'² — X²

nej y, względem nowej x, t. j. przez ==

Cf/OO

Otrzymujemy tedy całkę :

dx

jk'|/l + <p’»(0 dx'J

X*

dx

Vx'² — X²

arc sin

x

x' Jo

Jl

przeto całka podwójna sprowadza się do pojedynczej:

g- j x' Cl -f ?'² (V) dxr .

Jeżeli chcemy mieć wielkość całej powderzchni obrotowej około Ar dość poprzedni rezultat pomnożyć przez 4 i będzie :

I x' V1 -j- cp'² (x') dx'

S — 2 7i

A więc w przypadku powierzchni obrotowych całkę podwójną można sprowadzić do pojedynczej.

Można pokazać, że Vl -f- cp'² (x') jest o*dwrotnością dostawy kąta, który styczna do krzywej tworzącej tworzy z osią x. Istotnie styczną tego kąta jest ^Z

dx'

cp' (#'), zaś cos 6 =

Kl+tg² 6

skąd cos 6 =

Vl -j- cp'² (x')

§ 6.

Pasmo kulisie.

Znajdźmy powierzchnię pasma kulistego, zawartego pomiędzy płaszczyzną styczną do kuli w punkcie Ą a płaszczyzną do niej równoległą.

Krzywą tworzącą na płaszczyźnie xz jest tu ćwierć okręgu o promieniu A, gdzie R jest promieniem kuli. Niechaj B będzie punktem, w którym płaszczyzna równoległa do płaszczyzny stycznej przecina ten okrąg, A! zaś punktem, w którym taż płaszczyzna przecina oś 0.

Połóżmy BA’ = r i zastosujmy wzory poprzednie. Będzie:

z — cp (x') =z Y R² — x

a stąd:

i 0»') = —

y r² — x'²

; VI + cp'* (x') =

y r² — x²

Rx'

yR² — x!²

dx' =

[ — R yR² — x'²Y = — R yR² - r² 4- R².

Pole pasma wyniesie :

2jxR (R — VU² — x²).

Jeżeli chcemy mieć całą półkulę, kładziemy x = R i znajdujemy 2jiR²-, jest to wynik znany z geometryi elementarnej.

Zffj

•<1

Powierzchnia elipsoidy obrotowej.

Na płaszczyźnie xz weźmy elipsę AB, obracającą się około

g 2

osi wielkiej a; niechaj jej równaniem będzie —- -)- — = 1.

Cl    o

Z tego równania mamy:

VI + <p'² (x') =

IZb⁴z²-}-a⁴x²

ć²) z² ,

hi Va^a%

a²—6²

lub po wprowadzeniu mimośrodu e² =

Vl -j- <p'³ (xr) =    J/«² — e² z² .

Stąd:

f JL — e2z2 cix' t

Jaz

Uskutecznijmy zamianę zmiennych, biorąc za zmienną niezależną z zamiast x'] powinniśmy tedy funkcyę podcałkową pomno-

Bez względu na znak, znajdziemy:

dx

żyć przez —=

CbZ

h*z

a²x' '

Lecz wiemy, że:

arc sin t ,

S= 2jz

f — Va²—e²z² dz . J a

f Vl — t² dt

skąd:

f Va 2

—e² z² dz =

ka²—e² z² -J- -Jr- — arc sin — 2    '    2 e

a całkując pomiędzy granicami O i z:

e 1

arc sm — z I

a J

jt — \z Va²—e²z² -j—— a L    ¹    2 e

Dla z = a otrzymujemy powierzchnię połowy elipsoidy, t. j. :

arc sm e .

7ib 2 + —0 e

Dla e = 0 djest a = b = E, a stąd 2nE², t. j. wyrażenie powierzchni półkuli.

§8.

Objętości ograniczone powierzchniami.

Do objętości, zamkniętych powierzchniami, można zastosować rozważania, podobne do tych, jakie stosowaliśmy do pól krzywych płaskich.

Wyobraźmy sobie część powierzchni z zamkniętym konturem, którego rzutem na płaszczyznę xy jest krzywa zamknięta;

niechaj powierzchnia będzie taką, że prosta równoległa do osi z przecina ją w jednym tylko punkcie. Podobnie, jak w poprzednich paragrafach, wyobraźmy sobie pole krzywej zamkniętej, podzielone na prostokąty cząstkowe ôr ó's i na tych prostokątach zbudujmy prostopadłościany. Te prostopadłościany podzielą powierzchnię na cząstki; w każdej z tych cząstek weźmy punkt i poprowadźmy przezeń płaszczyznę równoległą do płaszczyzny xy. Ta płaszczyzna zamknie prostopadłościan, tworząc jego podstawę górną. Granica sumy tych prostopadłościanów nazywa się objętością, zawartą pomiędzy powierzchnią daną a płaszczyzną xy.

Jeżeli z = f (x, y) jest równaniem powierzchni, to objętość prostopadłościanu cząstkowego będzie ôr ô's f (x, y), gdzie wartość f (x, y) oblicza się dla punktu, znajdującego się wewnątrz prostokąta ôr ó's. Szukana objętość wyraża się przez:

V — lim Z àr ô's f (æ, y)

lub:

( J f (æ, y) dx dy .

Wyobraźmy sobie powierzchnię zamkniętą i zobaczmy, w jaki sposób obliczyć można objętość w niej zawartą. W tym celu zastosujemy dwa razy metodę poprzednią sposobem następującym: Na powierzchni danej opiszmy walec prosty o tworzących równoległych do osi z. Walec ten dotknie powierzchni według pewnej krzywej, która podzieli powierzchnię na dwie części: wyższą i niższą. Obliczamy po kolei objętość, zawartą pomiędzy każdą z tych części a płaszczyzną xy ; odjąwszy jedną objętość od drugiej, znajdziemy objętość szukaną. Ponieważ obie części powierzchni mają kontur wspólny, którym jest krzywa styczności walca i powierzchni, przeto całkowania względem zmiennych a?, y uskuteczniają się w obu razach pomiędzy temi samemi granicami, gdyż w obu razach odnoszą się do tego samego pola płaskiego. Tylko że w pierwszym razie funkcya

11

Pascal E. C.

f (x, y) ma inne wartości niż w drugim, w założeniu, że powierzchnia jest zamknięta. Te wartości znajdujemy, rozwiązując równanie powierzchni względem ^ ; mamy wtedy funkcyę z — f (x, y), która powinna być funkcyą o dwu wartościach fi V)i (x> y)t ponieważ założyliśmy, że prosta przecina powierzchnię w dwu punktach. Obie wartości występować winny w całkowaniu i szukana objętość będzie:

V = ff \ft (x, y) — A (aj, y)\ dx dy

a ponieważ:

Ą O, y)

j dz = /j (a?, y) — f.₂ (x, y),

przeto możemy także napisać:

F = I I I dx dy dz ,

gdzie całkowanie względem z wykonać należy pomiędzy wartościami /j, f₂ jakie ma a które otrzymujemy, rozwiązując równanie powierzchni względem Całkowanie względem y wykonywa się pomiędzy dwiema granicami, które otrzymujemy, rozwiązując względem y równanie krzywej płaskiej, będącej przecięciem płaszczyzny xy z walcem opisanym na powierzchni. Te granice są funkcyami zmiennej x. Całkowanie względem x uskutecznia się pomiędzy granicami stałemi, które są odciętemi punktów styczności stycznych do poprzedniej krzywej płaskiej, równoległych do osi y.

Aby módz stosować tę metodę w rozmaitych przypadkach specyalnych, trzeba tylko umieć znaleść krzywą płaską, będącą rzutem konturu powierzchni.

Widzieliśmy w poprzedzającym paragrafie, że gdy |, 'Ç są kątami kierunkowemi prostopadłej do płaszczyzny stycznej w punkcie x, y. z, to :

cos £

dz

cos y

dz

COS £

dx

cos £

dy '

Jeżeli równaniem powierzchni jest F (x, y, z) = 0, to:

dF

cos £

dx

cos

cos £

dF

cos

'T-r

Oj

dz

CD Oj

skad:

cos £ : cos y : cos £ =

2F dF dF dx ' dy ' dz

Jeżeli płaszczyzna styczna jest równoległa do osi 0, wtedy

dF

dz

cos £ = 0, a stąd dla punktu styczności być powinno

To równanie przedstawia nową powierzchnię, która przecina daną według krzywej styczności walca opisanego; rugując więc 0

. dF

z równań F (x, y, z) = 0 i — = 0, otrzymamy związek pomiędzy zmiennemi x, y, który można uważać za równanie walca opisanego, albo — gdy uważamy go tylko w płaszczyźnie xy — za równanie podstawy walca; będzie to równanie szukane krzywej.

§9,

Objętość bryły obrotowej.

Obliczanie objętości sprowadza się, jak widzieliśmy, do obliczania całki podwójnej. Wszakże gdy idzie o objętość, zamkniętą w powierzchni obrotowej, to można, jak to zaraz okażemy, wykonać jedno całkowanie, nie znając nawet równania

powierzchni; możemy tedy sprowadzić rachunek do obliczenia całki pojedynczej, która zależy już od znajomości krzywej tworzącej powierzchni. Jest to fakt podobny do rozważanego przy obliczaniu pola powierzchni.

Zachowajmy oznaczenia, stosowane w paragrafach poprzedzających. Niechaj z=y (Vx²-\-y²) będzie równaniem powierzchni obrotowej ; objętość dana będzie przez całkę:

Ij cp (V x² -f- y²) dx dy.

Połóżmy x² + y² — x'² i przekształćmy całkę, wprowadzając zmienną x' zamiast y. Będzie:

Vx'² — x²

dx dx';

jeżeli całkowanie jak w przypadku powierzchni ma się rozciągnąć na ćwierć koła o promieniu r, musimy przyjąć granice całkowania x = 0 do x =■ x' dla x, oraz x = 0 i x' — r dla xr.

Wykonawszy całkowanie względem x, otrzymujemy ~~

staje przeto :

pozo-

jt

*o

Ten wzór przedstawia objętość bryły, utworzonej obrotem krzywej APBO (fig. 13) na ćwierć okręgu koła około osi z) mnożąc przez 4, otrzymujemy całkowitą objętość bryły obrotowej :

F = 2ji J xr (p (x’) dx! .

*o

Jeżeli chcemy mieć objętość, utworzoną obrotem figury APQ,

odejmujemy objętość walca, utworzonego obrotem figury QPBO, t. j. Tir². PB lub Tir² cp (r). Całkując przez części, mamy:

2ti

j x' cp ix') clx'

= Tia?'² cp (#') —

% I*a?'²

cp' (a?') clx' ,

a stąd:

2ti

| a?' cp (a?') dx'

= Tir² cp (r) —

'o

7i j'x'² cp' (a?') da?'

a więc różnica dwu objętości jest, bez względu na znak, równa:

Vi =

Ti j x'² cp' (#') da?'.

Zmieniając tu zmienne, t. j. wprowadzając jako zmienną niezależną z — (p (a?'), a więc mnożąc funkcyę podcałkową przez

clx'

w - r&) ’ znaJ'duJ'emy:

*1

-fi

Vi =

a?'² dz

gdzie z₂ i zx są rzędne punktów skrajnych A, P krzywej tworzącej, t. j. są długościami O A, BP.

§ io.

Objętość elipsojdy. Bryła utworzona obrotem cyklojdy,

Niechaj będzie elipsojda:

a²

Winniśmy obliczyć całkę potrójną :

dx dy dz .

Całkowanie względem z należy uskutecznić pomiędzy granicami

•i/;

____li i c

a? b² 7 '

stanie całka podwójna:

x²

?/²

~ , tak, że pozo-

j dx j dy ~j!1

x²

a²

ć²

Zbadajmy, jakie będą granice całkowania względem y. Zauważmy, że rzutem powierzchni na płaszczyznę xy jest w tym przypadku przecięcie powierzchni z tą płaszczyzną, t. j. krzywa

-~2 -f-    = 1; stąd wynika, że granicami całkowania względem

y będą

+b ]/i

00^

a² '

Stosując wzór:

arc sin £

znajdziemy:

/*!/('

a:²

a?² '

«²

ć²

a²

ć²

+ T (x

a?² \

—— j arc sm

a²

a²

a całkując w powyższych granicach:

tak, że pozostaje całka:

7T.bc

/ (i-a

dx ,

4

z której otrzymujemy wreszcie na szukaną objętość: — nahe.

ó

Jeżeli a — b = c = r, znajdujemy znane wyrażenie 4

— 7trĄ na objętość kuli.

Niechąj będzie cyklojda OJ, obracająca się około stycznej OF w wierzchołku. Nie cli OEB będzie kołem tworzącem cykl oj dy. Dla znalezienia objętości, ograniczonej powierzchnią,

Jy

Fig. 14.

dz.t

utworzoną obrotem cyklojdy, należy obliczyć całkę n j x

4/

zawartą w granicach od z — 0 do z — z.

Weźmy x' za zmienną niezależną; ponieważ jest równe,

dz

jak wiadomo ~^j-

2 r — x'

x'

przeto otrzymujemy :

x'

n J x' V2rxf o

— x'² dxr

x'

nr

f ]/2rx'

— x'² dx' —

x'

n j (r—xr) V 2

o

rx' — x'² dx'.

Gdybyśmy chcieli obliczyć pole płaskie OED, zawarte w kole,

X'

musielibyśmy obliczyć całkę f V2rx' — x'² dxr, a więc może-

my napisać, że szukana objętość:

x'

— nr . odcin. OED —

n j' (r—xf) V 2rx'

b

— xn dx’.

Ostatnią całkę łatwo obliczyć, kładąc 2rx’ — x'² — t; albowiem

; będzie zatem:

wtedy

dt

dx’

dxr

= 2r — 2x', a więc =

2 (r—xr)

tak, że otrzymujemy ostatecznie:

nr . odcin. OED —

4r- (2 rxr —- x ' ²)‘² . o

Jeżeli chcemy obliczyć objętość, zamkniętą przez powierzchnię, utworzoną obrotem połowy cykl oj dy O CA, należy uczynić

x' —

7Z

OB = 2r, wtedy odcinek OED staje się półkolem = —~— i otrzymujemy ostatecznie ~ n? r* .

ROZDZIAŁ VII.

równania różniczkowe.

~Jf.

tH

Rozważania i określenia zasadnicze.

Dotąd zajmowaliśmy się pytaniem, jak, mając pochodną funkcyi, znaleść samą funkcyę? Obecnie stawiamy zagadnienie ogólniejsze. Wyobraźmy sobie funkcyę y zmiennej x i utwórzmy jej pochodne rzędu pierwszego, drugiego i t. d., aż do pochodnej rzędu n-go₁ które oznaczmy przez y\ y", . . . , y(w) ; niechaj ta funkcya i jej pochodne będą nieznane, lecz za to znamy związek pomiędzy x, y, y', . . . , y{n>. Pytamy, czy mając ten związek, możemy znaleść funkcyę y?

Związek taki nazywa się równaniem różniczkowe m, a zagadnienie przez nas postawione nazywa się całkowaniem równania różniczkowego.

Ustalimy najprzód zasadnicze określenia rozmaitych gatunków równań różniczkowych, jakie można pomyśleć. Prze-dewszystkiem można wyobrazić sobie, że funkcya szukana jest funkcyą jednej zmiennej albo wielu zmiennych niezależnych, a stąd związek dany może być związkiem pomiędzy funkcyą, zmienną i pochodnemi funkcyi względem tej jednej zmiennej albo też może być związkiem pomiędzy funkcyą, zmiennemi i pocho-dnemi cząstko w emi funkcyi względem różnych zmiennych. Mamy więc dwie kategorye równań różniczkowych : kategoryę pierwszą stanowią równania różniczkowe zwyczajne, kategoryę drugą — ównania różniczkowe o pochodnych cząs kowych. W jednym i drugim przypadku rzędem równania nazywamy rząd pochodnej najwyższego rzędu w równaniu zachodzącej.

Można wyobrazić sobie, że zamiast jednego związku pomiędzy zmienną, funkcyą i jej pochodnemi, takich związków jest więcej ; te związki nazywają sięjednoczesnemi i otrzymujemy wtedy układ równań różniczkowych.

Zanim przejdziemy do zagadnienia całkowania równań różniczkowych, zajmijmy się badaniem wstępnem, t. j. zagadnieniem, odnoszącem się do sposobu, w jaki można zbudować równanie różniczkowe, mając daną samą funkcyę. Po rozstrzygnięciu tego pytania łatwiej nam będzie próbować rozwiązania zagadnienia odwrotnego.

Niechaj y będzie daną funkcyą zmiennej x\ utwórzmy jej pierwszą pochodną y'. Jeżeli funkcyą dana zawiera pewien parametr c, to i pochodna będzie go wogóle zawierała; wyrugowawszy ten parametr pomiędzy funkcyą i jej pochodną, otrzymamy oczywiście związek pomiędzy y i y': który będzie r ó w-naniem różniczko wem. Całką tego równania będzie funkcyą dana y; lecz ponieważ c może mieć wartość dowolną, więc przy każdej wartości na o (która jest owym wyrugowanym parametrem) funkcyą y czyni zadość równaniu różniczkowemu. Otrzymujemy więc w istocie nie jednę funkcyę, lecz nieskończenie wiele funkcyj, lub, właściwiej mówiąc, otrzymujemy funkcyę, zawierającą parametr dowolny. Równanie różniczkowe, tak utworzone, jest równaniem różniczkowem rzędu 1-go.

Jest rzeczą jasną, że za pomocą podobnych rozważań można dojść do równania różniczkowego rzędu n-go. Dość przyjąć w tym celu, że funkcyą dana zawiera n stałych c,, c₂, .. . , c„;

że tworzymy n pierwszych pochodnych funkcyj ; że pomiędzy niemi i funkcyą daną rugujemy n stałych. Otrzymujemy wtedy równanie, zawierające w ogólności x, y, y. . . , i będące równaniem różniczkowem rzędu iz-go. Z takiej konstrukcyi równania różniczkowego widać, że funkcyą dana, która będzie jego całką, ma tę własność, że g d y u t w o r z y m y j e j pochodne aż do rzędu n-g o włącznie i wartości y, y',    , y{n\ w ten sposób otrzymane, podsta

wimy w równaniu różniczkowem, otrzymamy związek tożsamościowy, bez względu na wartości zmiennej oraz wartości stałych 6^,c₂,...,c„.

Rzeczone rozwiązanie równania różniczkowego z n stałemi dowolnemi nazywamy całką ogólną. Nasuwa się tedy odrazu pytanie, czy każde dane równanie posiada zawsze całkę ogólną. Można dowieść, że w rzeczy samej każde równanie różniczkowe posiada całkę ogólną; lecz nie możemy tu zająć się tym dowodem.

Jeżeli wszystkim lub niektórym stałym nadamy wartości szczególne, otrzymamy wtedy rozwiązania równania różniczkowego, nazwane całkami szczególnemi. Takie całki nie zawierają n stałych dowolnych, lecz albo mniej niż n, albo żadnej. Każdą z tych całek można otrzymać zawsze z całki ogólnej; wszakże odwrotnie z całki szczególnej można otrzymać ogólną tylko w pewnych przypadkach specyalnycli.

Zbadajmy dokładnie, jakie są cechy charakterystyczne ^ałki ogólnej. Każde rozwiązanie równania różniczkowego powinno być zawsze taką funkcyą y zmiennej x, że otrzymawszy z niej y’j y",. . . , y(n> i podstawiwszy.wraz z y w danem równaniu różniczkowem, otrzymamy wyrażenie'tożsamościowo się spełniające dla każdej wartości x. Jest to własność wspólna wszystkim gatunkom całek; lecz pytamy, co prócz tego spełnić się jeszcze musi, abyśmy całkę mogli nazwać ogólną?

Powiedzieliśmy już, że całka ogólna |powinna zawierać v stałych dowolnych; pozostaje nam określić bliżej charakter istotny tych stałych. Otóż powiadamy, że powinny być one zawarte w funkcyi w pewien sposób specyalny, mianowicie taki:

aby po utworzeniu n kolejnych pochodnych funkcyi y, można było wyrugować te stałe pomiędzy n ~\~ 1 otrzymanemi równaniami. Wtedy i tylko wtedy możemy twierdzić, że stałe są niezależnemi od siebie i że ich jest właśnie n. Gdy zdarzy się, że rugując pewną liczbę stałych, rugujemy już przez to samo inne, to wtedy pozornie tylko jest n stałych dowolnych, a w rzeczy samej jest ich mniej: całka nie jest już ogólną lecz szczególną.

Podaną własność można wyrazić jeszcze tak: z n pi erw-szych równań, t. j. zrównania, wyrażającego funkcyę daną, oraz z równań, wyrażających n—1 pierwszych pochodnych, można otrzymać wartości w stałych dowolnych c1} c₂, . . . , c„. Istotnie, jest jasnem, że gdy to da się uskutecznić, wtedy podstawiając znalezione wartości stałych w równaniu, wyrażającem pochodną n-tą funkcyi y, otrzymamy związek z pewnością nietożsam ościowy, który będzie danem równaniem róż-niczkowem. Ten związek nie będzie tożsamościowym dlatego, że wyraz, zawierający yM nie może znieść się z żadnym innym wyrazem, bo cą, c₂,..., cn są wyrażone tylko przez x, y, y',..., y(w-1), a nie przez yW.

Jeżeli wartości stałych dowolnych są wyrażone w funkcyi ilości £C, y, y', . .., y{n~l\ wtedy, gdy zmiennej x nadamy jakąkolwiek wartość, zawartą w pewnym obszarze, a ilościom y, y', . . ., y(M—ń wartości dowolnie ustalone, powinniśmy stąd módz otrzymać wartości oznaczone na stałe <;1} c₂,    c».

Można przeto powiedzieć, że stałe cu c₃, ... , cn powinny zachodzić w całkach ogólnych w ten sposób, aby p r z yn a j m n i e j dla wartości zmiennej x, zawartych w pewnym obszarze, można było nadać im takie wartości, by ilości ys y\ ... , y(n^) przybrały w a rt ości z góry i dowolnie dane.

Prócz tych dwu gatunków całek, to jest prócz całek ogól-nyeh i szczególnych, istnieje jeszcze inny gatunek t. z w. całek osobliwych, o których później będzie mowa.

To, co wyżej powiedziano, odnosi się do równań zwyczaj-nych. O całkach równań różniczkowych o pochodnych cząstkowych mówić będziemy w innym paragrafie.

Przechodzimy teraz do zagadnienia: m a j ą c r ó w n a n i e różniczkowe, znaleść jego całkę. Nie możemy tu, jak zwykle, podać prawideł ogólnych, lecz musimy ograniczyć się na ustaleniu pewnych typów równań różniczkowych i do badania ich osobno, podobnie, jak to uczyniliśmy wyżej w zagadnieniu o całkowaniu funkcyj (kwadratury).

Zagadnienie o całkowaniu równań różniczkowych będziemy uważali zawsze za rozwiązane, o ile potrafimy je sprowadzić do prostego całkowania, to jest do kwadratury. Może się zdarzyć, że taka kwadratura nie jest praktycznie wykonalną, lecz wtedy trudność zadania tkwi już w innej dziedzinie badań. Wogó le uważamy zagadnienie w rachunku nieskończonościo-wym za rozwiązane, ilekroć potrafimy je przekształcić w ten sposób, aby rozwiązanie jego zależało od rozwiązania zagadnienia algebraicznego, np. od rozwiązania równania algebraicznego.

Zanim przejdziemy do badania różnych typów równań różniczkowych, pokażemy, jak one występują w rozwiązaniu pewnego zagadnienia geometrycznego.

§ 2.

Przykład zagadnienia geometrycznego, którego rozwiązanie prowadzi do równania różniczkowego,

Przy stosowaniu analizy do wielu zagadnień geometryi, w których idzie np. o znalezienie równania krzywej płaskiej, majacej pewne własności specyalne, może się zdarzyć, że dochodzimy bezpośrednio nie do prostego związku analitycznego między spółrzędnemi x: y lecz do związku pomiędzy x, y i poclio-dnemi funkcyi y względem x, t. j. do równania różniczkowego. Jest jasnem, że rozwiązanie zadania sprowadza się wtedy do całkowania tego równania różniczkowego.

Wybierzmy przykład następujący. Mamy oznaczyć krzywą, której promień wodzący OP równa się odcinkowi OR na osi x, zawartemu między początkiem spółrzędnycłi a spodkiem stycznej PR.

_ _    pQ

Zauważmy; że OP = Vx² + y² ; z drugiej strony -—j =

QH

dy

dx

skąd

dy

x -(- OH dx

Ponieważ ma być OP — OH. przeto otrzymujemy związek:

dy dx

Fig. 15.

który jest równaniem różniczkowem rzędu 1-go.

W § 4 zobaczmy, jak się to równanie całkuje; jako rozwiązanie znajdziemy pęk parabol. Otrzymujemy tym sposobem twierdzenie, że parabola jest właśnie krzywą, posiadającą wyżej rzeczoną własność.

Równania różniczkowe 1-go rzędu. Równania, w których można rozdzielić zmienne.

Podamy niektóre metody, za pomocą których można całkować pewne typy specyalne równań różniczkowych. Zaczynamy od równań rzędu 1-go.

Niechaj będzie równanie:

(1)

VA.

f hy- ii)=°’

dy

nie chaj    występuje w tern równaniu algebraicznie sposo

bem wymiernym i całkowitym. Równanie to można wtedy rozwiązać względem i otrzymać pierwszą stronę jego pod postacią n czynników liniowych względem

dy

. Rozpatrzmy najprzód jeden z tych czynników i sprowadźmy go do równania typu :

dx

(2)

M -f N

dy

dx

= 0.

gdzie M i N są funkcyami zmiennych x, y.

Jeden z pierwszych przypadków, w których można bezpośrednio z całkować równanie (2), jest ten, gdy funkcye M i N są odpowiednio funkcyami, pierwsza tylko zmiennej x, druga tylko zmiennej y. Wtedy mamy:

Mdx -j- Ndy = 0,

całkując :

j Mdx + j Ndy

Mówimy w tym przypadku, że zmienne są rozdzielone. Niećhaj będzie naprzykład równanie :

(■a—x) (y—b) dy ~ 0.

xy dx

Dzieląc obie strony przez y (a—x), otrzymujemy:

dx —

a całkując:

— x — a log (x—a) — y -j- b log y — C.

Jest tu dogodnem stałą dowolną C przedstawić pod postacią logarytmu, t. j. napisać log C zamiast C; przechodząc następnie od logarytmów do liczb, otrzymujemy:

= Cexby.

yb (x—a)

Łatwo sprawdzić, że różniczkując to równanie względem x, a następnie rugując C pomiędzy otrzymanem równaniem i poprze-dniem, dochodzimy do danego równania różniczkowego.

050

Równania różniczkowe jednorodne.

Niechaj w równaniu :

(1)

Mdx -j- Ndy = O,

Mi N będą funkcyami jednorodnemi j ednego stopnia, albo inaczej mówiąc, niechaj będą takiemi funkcyami, że gdy w nich zamiast x, y położymy lx, by, to funkcye M i N

12

Pascal E. C.

przejdą na XmM, ),mN- W tym przypadku istnieje ogolna metoda całkowania.

S* «

mocą równania z =

"Wprowadźmy nową zmienną zależną z, określoną za po-. Podzielmy obie strony równania (1) przez x™j wtedy spółczynniki przy dx i dy zależeć będą tylko od stosunku ~ , tak że można będzie napisać :

. y

Z równania — = z wynika dy = x dz -j- z dx, co podstawia-

OC

jąc, znajdziemy:

cp (z) dx -f- <|> (z) (x dz -J- z dx) == 0,

lub:

dx

~x~^~

-G-

cp (z) + .S'cji (z)

dz = 0,

gdzie zmienne są już rozdzielone; można więc całkować jak w przypadku poprzedzającym.

Równanie różniczkowe, podane w § 2, jest właśnie równaniem jednorodnem i może być całkowane tą metodą. Równanie to napisane w postaci:

y dx — (x -j- V x² -j- y² ) dy — 0,

jestjjednorodnem stopnia 1-go. Dzieląc przez y i kładąc — = z mamy:

Z dy -f y dz — (z -f y 1 -y z²) dy = 0 .

Stąd:

¹

te dwa całkowania należy rozciągnąć tak, aby objąć wszystkie

²

punkty ćwiartki koła o promieniu r. Całkowanie względem x rozciągniemy od x = 0 do x — x\ całkowanie względem x' od x = 0 do x' = r. Lecz :

y = (« + U+2'²) c.

Przywracając zmienną £C, znajdujemy kolejno:

y² = C (x -J- V x² -J- y²); (y²—Ca?)² = C² (x²-\-y²) ; ij² (y²—2 Cx — Ca) = 0,

a wyłączając rozwiązanie y = 0, otrzymujemy jako rozwiązanie parabolę :

y²—2 Cx — C² = 0,

której ognisko przypada w początku spółrzędnycłi.

§5.

Równania liniowe 1-go rzędu.

Równanie postaci:

dy

—- -f Py = Q ,

gdzie Pi Q są funkcyami samej zmiennej a?, nazywa się rów-

dy

a więc:

dz

dy

|/1 -f-z*

a całkując:

log y = log (z -j- Vl-\-z²) -j- log C,

naniem linio wem; zawiera ono liniowo zmienną y i jej pochodną-^ .

dy

do

Połóźmy y — uv, skąd — u    —f- v

nanie zamieni się na następujące:

du

dx

, a dane rów-

dv

du

“ifa +v -dź+Fuv==Q<

dv

U dx

+(§+*)•

= Q-

Jednę z funkcyj u, v możemy .wybrać dowolnie; wybierzmy więc u tak, aby było:

du

dx

—j— Pu = O,

lub :

du

— Pdx .

Całkując, otrzymujemy:

log u =

P dx ; u —

e-Sri‘.

dv

Pozostaje: u — Q, skąd:

Qe

f Pdx

dx -f- C,

a więc ostatecznie :

\ f<2e

Jpdcc

dx -f- C j •

Niechaj będzie np. równanie:

dy

Jest tu:

Pdx = x

Qe

J" Pdx

dx —

x³ ex dx .

Do ostatniej całki stosujemy metodę całkowania przez części:

x³ ex dx = x³ ex — 3 | x² ex dx = x³ ex —

3x² exĄ-6 \

x ex dx

ex dx

= x³ e — 3x² ex -j- 6x ex — 6 j

— x² ex — 3x² ex -[- 6xex — 6ex .

Jest tedy:

y b e~x [x³ ex — 3x² ex + 6x ex — 6ex -f- C].

Istnieją typy równań różniczkowych, dające się bezpośrednio sprowadzić do przypadku równań liniowych.

Weźmy np. równanie:

dy

-±r + Py = Q.r

gdzie P i Q są funkcyami samej zmiennej x. Połóżmy

—n

p-— = z, skąd y~n dy = dz\ znajdziemy równanie:

dz

które jest już liniowem.

Powiedzieliśmy wyżej, że gdy znamy całkę szczególną, to wogóle nie możemy z niej otrzymać ' całki ogólnej. Podamy tn typ równań, dla których to jest możliwem.

Niechaj będzie równanie:

chy

+ Py= Qy2

Niechaj w,będzie całką szczególn ą, t. j. niechaj będzietożsamo-ściowo :

(1)

du

dx

-f- Pu — Qu² -f- R .

Połóżmy y — u v, wtedy na mocy równania (1) będzie :

dv

Jest to równanie typn poprzedzającego; możemy je całkować i otrzymamy z niego v ze stałą dowolną.

Naprzykład równanie:

dy

— -f Py = Qlf -j- (1 -f- Px — QX²)

ma całkę szczególną y = x. Stosując wskazaną metodę, będziemy mieli do zcałkowania równanie :

dv

S+(P~ 2Q*) v = Qv\

Równania różniczkowe rzędu 1-go, nierozwiąza/ne względem .

dy

Jeżeli rozwiązanie równania różniczkowego względem cłu

-j— nie da się praktycznie wykonać, wtedy szukamy innych me-

(IX tod, prowadzących do celu i nie wymagających tego rozwią

zywania.

Jak zwykle, podajemy tu nie metody ogólne, lecz tylko metody specyalne dla rozmaitych przypadków:

1) Załóżmy, że równanie różniczkowe nie zawiera ani x,

dy

ani y, a tylko pochodną .

Wtedy redukcya równania dała-

by

dy

dx

= a — const., gdzie a jest nieznane. Lecz wiedząc, że

jest to stała, możemy zcałkować poprzedni związek i otrzymu-

y — C

jemy z niego y — ax + c, skąd a =

. Jeżeli w równa-

dy

niu danem zamiast napiszemy tę wartość cc, znajdziemy całkę ogólną.

2) Wyobraźmy sobie, że równanie różniczkowe nie zawiera zmiennej y\ niechaj niem będzie:

= 0.

'(•■i)

Jeżeli możemy rozwiązać to równanie względem xf to kładąc =. p, znajdziemy x == cp (p), wą zmienną, będziemy mieli:

dy

dx

dy

P = dx

dx

dp

— $ (p)i a biorąc p za no-

dy dp dp ' dx dp ‘ cp' (p)

dy

stąd:

chy

dp

a po zcałkowaniu:

y = f v ?' (p) dp -j- a

Dla znalezienia całki ogólnej dość wyrugować p pomiędzy tem równaniem a równaniem x = cp (p).

Gdy mamy np. równanie:

(ir+

dy

dx

— a: = 0 ;

to będzie:

x — p -J- p²,

y = Jp (2p -j- 1) dp

P³ ~h -g- P² 4—g- G •

V z ostatnich dwu równań, znajdziemy całkę ogólną. Z pierwszego z nich jest p² = a; — p, a więc:

2 11

-TT px —

¹    1    ¹

~2“P + ~2X

-X + —C.

-3 -P &-P) + ~2 (x-iï + -Q

- -g- (aj—p) + -g- G = — pæ -f -i-p

Ç>y x — C

1+4®

Rozwiązując względem p, mamy p = wiając tę wartość w równaniu pierwszem, znajdujemy:

a podsta-

a; ==

6?/ -f- a? — £*

1 -j- 4a:

3) Wyobraźmy sobie, że równanie dane nie zawiera zmień- \ nej x, tylko zmienną y i że daje się rozwiązać względem y.

dy

Wtedy kładąc — p, otrzymujemy równanie y = f (p). Różniczkując je względem x, mamy:

dy

dp

a więc:

dp

w-ar-

Z tego ostatatniego równania wynika :

• r (p)

dp -f- C.

Pozostaje tylko wyrugować p pomiędzy ostatniem równaniem a równaniem y — f(p), aby otrzymać całkę ogólną.

Niechaj będzie np. równanie:

dy

Wprowadzając —j— = p i rozwiązując względem y. znajdziemy

dx

ap

1+ P

2 i następnie:

*=f

adp

c2a p dp

p (i + v²)    (i 4- p*)

] + C.

- TT?+aJ

dp

P (1 -f P*)

+ O.

Lecz :

dp

J P (1 + P²)

p    1 -j-p

-J dp = log p--i- log (1 +p²)

a więc :

+ « log p — -ł- « log (1 -f- p²) +    •

Pozostaje tylko wyrugować p pomiędzy tem równaniem a związkiem y —

ap

1 + ps ’

4) Rozpatrzmy równanie różniczkowe typu:

dy

Kładąc = p i różniczkując względem x, znajdziemy:

dp

dp

p = rö>) +    (p) -£ + <? (p) -Ł>

lub:

dp

ag f (P)    ₌

f(P)—P

(p)

f (P) — P

Jest to równanie liniowe takie, jakie rozpatrywaliśmy w paragrafie poprzedzającym; całką jego jest:

-S

a: = e

/'(#) ap

f(P)—P

?' (p)

f (P) — P

rJlM. dp

eJ f(p) -p *

dp -j- cj .

Trzeba jeszcze wyrugować p z tego związku i z danego równania różniczkowego.

Należy jeszcze oddzielnie rozpatrzeć przypadek, w którym f (p) ⁼ Pi bo wtedy funkcya pod znakiem całkowym staje się nieskończoną. W tym przypadku równanie dane ma postać:

y = xp + <p (p) ;

różniczkując względem x i redukując, mamy:

dp

[x + f (P)]    ~ °*

Tu przedstawiają się dwa przypadki; albo kładziemy ćlu

x -f- cp' (p) — 0, albo -j— = 0. W drugim przypadku p jest

CLOC

ilością stałą, t. j. p = C, a rugując p pomiędzy tern równaniem i równaniem danem, otrzymujemy:

ij = asC-f cp (G),

W pierwszym przypadku jest x = — cp' (p) i trzeba wyrugować p pomiędzy tern równaniem a danem. Wtedy otrzymana całka nie będzie zawierała stałej dowolnej i można przekonać się, że nie można tej całki otrzymać z całki ogólnej przez nadanie stałej wartości szczególnej. W samej rzeczy, ze związku x = — cp'(p), otrzymujemy p = <j> (as), a całka, o której mowa, będzie:

2/ = æ (as) -f <p [<|> (as)].

Z całki ogólnej można ją otrzymać, kładąc za stałą C nie wartość szczególną, lecz pewną funkcyę zmiemiej x. Taka całka nie należy przeto do rzędu całek szczególnych, jest to nowy gatunek całek, tak zwanych osobliwych, o których mówimy w § 9-ym.

ZTfJ

7.

O czynniku całkującym.

Niechaj będzie równanie różniczkowe 1-go rzędu i 1-go stopnia, dane w postaci :

M dx -f- N dy — 0.

(1)

Jeżeli J/jest funkcyą samej zmiennej x, A⁷" zaś funkcyą samej zmiennej y, wtedy oczywiście strona pierwsza tego równania jest różniczką zupełną. Prócz tego, strona pierwsza będzie różniczką zupełną, jeżeli spełnia się warunek:

ÔM

dN

dy

dx

Ponieważ strona druga równania danego jest zerem, możemy więc zawsze zmienić postać równania, mnożąc stronę pierwszą przez czynnik j akikolwiek.

Pytamy teraz: czy można wogóle znaleść funkcyę zmiennych y taką, że po pomnożeniu przez nią, pierwsza strona równania staje się różniczką zupełną?

Jest jasnem, że gdy w jakikolwiek sposób dojdziemy do takiego czynnika, to wtedy całkowanie równania różniczkowego da się, uskutecznić. Czynnik taki nazywa się czynnikiem całkuj ą c y m. Okażemy: 1) że czynnik taki istnieje zawsze; 2) że czynników całkujących jest nieskończenie wiele; 3) że mając jeden z nich, możemy znaleść wszystkie inne.

Co do 1), to wiemy już, że zawsze istnieje całka ogólna równania różniczkowego. Wyobraźmy sobie taką całkę, rozwiązaną względem stałej C, to będzienry mieli wyrażenie typu:

(2)

cp (x, y) = C,

Jeżeli to jest całka ogólna danego równania (1), to różniczkując równanie (2) i rugując C pomiędzy (2) i pochodną jego, powinniśmy dojść do równania (1). Możemy też powiedzieć, że po

wyrugowaniu C, wartość stąd otrzymana powinna zga-

di/

dzać się z wartością ~~ , otrzymaną z równania różniczkowego. Lecz jeżeli przy różniczkowaniu całki ogólnej stała C znika sama przez się, co właśnie zachodzi wtedy, gdy ta całka jest

postaci (2), wtedy nie ma oczywiście potrzeby rugowania stałej C i równanie, które otrzymujemy różniczkując równanie (2), powinno dawać wprost wartość pochodnej ~L .

Z równania (2) mamy:

dtp

dij

dx

dx

dtp

a z równania różniczkowego danego:

dy

dx

powinno zatem być tożsamościowo:

cep

cX

dy

lub :

dtp    dtp

dx

dy

Jeżeli oznaczymy przez y wartość wspólną obu stosunków, będzie :

dtp

to =

dtp

dy

stąd na podstawie równania (1):

■ft

fe:

Aj

Aj

OJ OJ « -6

Aj

TO

CK>

Su

skąd widać, źe pierwsza strona równania (1), po pomnożeniu przez y, staje się różniczką zupełną funkcyi cp (x, y). Znalazłszy funkcyę cp, dość napisać cp — C, aby mieć całkę ogólną.

istnieje pewna fun-

Stąd okazuje się. że zawsze kcya y, mająca własność czynnika całkującego.

Łatwo okazać, że przyjąwszy istnienie jednego takiego czynnika, można ich znaleść nieskończenie wiele. Istotnie, niechaj czynnik y sprawia, iż y (Mdx -f- Kdy) jest różniczką zupełną pewnej funkcyi cp; rozważmy wTyraźenie y f (cp), gdzie f jest symbolem funkcyi dowolnej. Mnożąc pierwszą stronę równania (1) przez y f {cp), mamy:

f (?) [y Mdx + yNdy\ — f (?) dcp,

pełną wyrażenia j f (cp) dcp ;

a więc otrzymujemy różniczkę zu

widzimy więc, że i y f (9) jest także czynnikiem całkującym.

Możemy wreszcie dowieść, źe wszystkie czynniki całkujące zawierają się w formie y f (?). Niechaj y i y będą dwa czynniki całkujące równania (1); wtedy wyrażenia:

y Mdx -|- y Ndy, y ' Mdx -)- y' Ndy

będą różniczkami zupełnemi dwu funkcyj cp, cp', t. j. równać się będą: dcp, dcp '. Otrzymujemy więc:

dcp _ y

dcp'

— dcp .

y

Funkcyę cp, cp' zależą od x i ?/; rugując pomiędzy niemi zmienną x, możemy uważać cp' za funkcyę ilości ? i y, W takim razie różniczką zupełną funkcyi cp' będzie:

dcp' =

9cp'

2cp

d'i + -$r dV >

dy

a porównywając to wyrażenie z poprzedzającem, znajdujemy ~ O, co oznacza, że funkcya cp ' nie będzie zawierała zmień-

Scp'

dy

nej y, gdy wyrugujemy x przy pomocy związku cp (rr, y) = cp.

Innemi słowy cp' będzie funkcyą samego tylko cp, a zatem i — ,

y

jako pochodna funkcyi cp' względem cp będzie też funkcyą samego cp, co można wyrazić w ten sposób :

y'

- = /-w

stąd wynika:

= j“ /■ (TX

co było do okazania.

Wypływa z powyższego, że gdy są znane dwa czynniki całkujące, to iloraz ich, przyrównany do stałej dowolnej (w założeniu, że nie jest już sam przez się stałym), będzie całką ogólną. Istotnie, stosunek ten przyrównany do stałej, daje f(cp) = C i gdy cp = const. jest całką ogólną, to i /'(cp) = C będzie też całką ogólną.

cOn

GO

Równanie o pochodnych cząstkowych, któremu czynią zadość czynniki całkujące.

Łatwo znaleść równanie o pochodnych cząstkowych, któremu czynią zadość czynniki całkujące. W samej rzeczy, gdy ju Mclx -j- ju Ndy ma być różniczką zupełną, wtedy być powinno (p. Rozdział V):

e O M) _ 9 {fiN)

dy

dx

lub po rozwinięciu:

(1)

ÔN

dM

dy

dx

diy

)•

Jest to równanie różniczkowe z nieznaną funkcyą p, w którem występują pochodne cząstkowe tej funkcyi względem x i y. Całkowanie tego równania jest zagadnieniem wogóle bardziej złożonem jiiż całkowanie danego równania różniczkowego. Lecz w wielu przypadkach zadanie się upraszcza, jak to zaraz zobaczymy.

Przypadek I. Załóżmy, że--y- |-

funkcyą (te) tylko zmiennej rr, wtedy łatwo znaleść czynnik całkujący p będący tylko funkcyą tej zmiennej.

W samej rzeczy, gdy położymy :

J“ ip (x) dx

dN

dM

dx

dy

) .fest

lub:

log p — I <p (x) dx

wtedy będzie:

dp

dx

dp

i równanie różniczkowe o pochodnych cząstkowych (1) będzie spełnionem.

Podobnie istniej e cy funkcyą tylko zmiennej y, jeżeli wyrażenie

czynnik całkujący, b ę d ą-

dN

ÔM

dx

dy

j jest funkcyą tylko tej zmień-

nej.

"Weźmy jako przykład równanie różniczkowe:

(x -j- y) clx -j- dy — 0.

to :

M — x -f- y ; iV — 1 ;

dM

dy

= l;

dN

dx

= 0;

a st^d ~li{sx tylko zmiennej x. Czynnikiem całkującym odpowiednim będzie

Jdx = ex. W samej rzeczy, mnożąc dane równanie róż-

dN

2M

2y

j = 1 można uważać za funkcyę

P =

niczkowe przez ex, mamy:

ex (x -f- y) dx -|- ex dy — d \ex y ex x — ex],

a więc całką ogólną danego równania będzie:

ex (y -f- x — 1) = C.

dM

dN

Przypadek 2). Załóżmy, że różnica

daje się przedstawić pod postacią 2Vćp(x)—M§(y); wtedy można okazać, że istnieje czynnik całkujący, będący iloczynem pewnej fun-kcyi samej zmiennej x przez funkcyę samej zmiennej y.

Istotnie, weźmy dwie funkcye :

dy

dx

J'p <x>dx j

/ w (y) dy

e    i

wtedy iloczyn XY będzie czynnikiem całkującym; kładąc bowiem w równaniu (1) y = JY, będziemy mieli:

djU

dX

dY

i£“Tw-XT'f⁽&    =

a więc równanie (1) będzie spełnionem tożsamościowo. Niechaj będzie np. równanie różniczkowe:

13

Pascal, E. C.

|    --1_ Ą dx 2 dy =

0.

Mamy :

dM

dy

x- -f- 2 x — 1 — y-

y‘ź

— M +2 = 1. N —

2N

dx

możemy więc przyjąć: fz (x) = 1, ty (y) —

. Bedzie

y

f dx

eJ

fdl

J y

e J

X =

jest y = yex, całką zaś ogólną równanie:

= ex.

— y, a więc czynnikiem całkującym

ex (x- -f- y- — !)=(?.

Przypadek 3) Niechaj funkcye M i N będą j e-dnorodnemi tego samego stopnia: wtedy czynnikiem całkując ym jest:

,a =

Mx -j- Ny

W samej rzeczy, biorąc pochodne, mamy:

d/U

M-ty- x

dM

dN

dx

+ yn

dx

{Mx

Nyf

N-ty- x

dM

dy

dy

-ty-y

dN

dy .

{Mx -f Ny)'²

podstawiając te wartości w równaniu (1) i redukując, otrzymujemy :

dM

dN

dM

dź + yN d~x ~xM~ — yM

dN

3y

dy

«g

cul y

^ I fe

Pamiętając o tem, że funkcye jednorodne M i N tego samego stopnia n, na mocy twierdzenia Eulera, czynią zadość związkom:

dM

* -w + y

dM

dy

— nM\

dN

dN

dy

= nN,

widzimy, że równanie powyższe spełnia się tożsamościowe. Niechaj będzie np. równanie:

X^V dx -J- dy = 0 .

Ozynnikiem całkującym będzie tu —

; mnożąc równanie

przez ten czynnik, mamy:

a + y

x (x    2y)

x -f 2 y

gdzie strona pierwsza jest różniczką zupełną wyrażenia

2~ loS x (x + ²V) ■

Jeżeli umiemy znaleść innym jakim sposobem czynnik całkujący y równania różniczkowego jednorodnego, to wiedząc, że czynnikiem całkującym tego równania jest napewno

możemy, przyrównywając iloraz ilości y przez

Mx -j- Ny

do stałej, o ile nie jest już sam przez się

Mx -j- Ny

stałym, otrzymać całkę ogólną. Tą całką będzie zatem :

y (Mx -f- Ny) — C.

Gdy więc pierwsza strona równania różniczkowego jest już różniczką zupełną, możemy przyjąć, że ju = 1, a wtedy całką ogólną będzie:

Mx -f- Ny = C,

i e p i e r sama

CS* h—I

o związku nie jest stałą.

strona te z się ilości Tak np. wiemy, że pierwsza strona równania różniczko-

N tSJ

CD

wego:

dx -j-

x + y

x {x 4- 2 y)

jest różniczką zupełną, wszakże Mx 4- Ny jest już stałą 1. Przeciwnie dla równań:

y dx -j- x cly = 0, (x -f- y) dx -f- x dy — 0,

wyrażenie Mx 4- Ny ma odpowiednio wartości: 2xy, x (x 4- 2y). Stąd całką pierwszego równania będzie 2xy — C, drugiego: x (x -f- 2 y) = C.

cOn

ci

Całki osobliwe równań różniczkowych zwyczajnych.

"Wspominaliśmyjuż w paragrafach poprzedzających o istnieniu innego gatunku całek równań różniczkowych, prócz całek ogólnych i szczególnych. O tym gatunku powiemy nieco szczegółowiej .

Niechaj będzie równanie różniczkowo f Lc, y, j — 0 i jego całka ogólna <p (x, y, C) = 0, gdzie 6 jest stałą dowolną. Niechaj ty (x, y) = 0 będzie inną całką tegoż równania. Może

się zdarzyć, że cp dla szczególnej wartości C staje się pewną fun-kcyą ; wtedy <]> jest całką szczególną. Lecz może się też zdarzyć, jak to teraz zobaczymy, że tp nie daje się otrzymać z fnnkcyi cp przy żadnej szczególnej wartości stałej C; wtedy cp będzie całką innej natury, a mianowicie będzie całką osobliwą.

Jest jasnem, że gdy istnieje taka całka cp, to ona powinna dać się otrzymać z fnnkcyi cp, gdy położymy za C już nie wartość stałą oznaczoną, lecz pewną funkcyę zmiennych x, y. Istotnie w tym celu wystarczy wziąć za C funkcyę, wynikającą ze związku:

? (®, y, c) = <|> '(», y) •

Okażemy, że można za stałą C w całce ogólnej wziąć taką funkcyę zmiennych x. y, aby otrzymane stąd wyrażenie czyniło zadość danemu równaniu różniczkowemu. Istotnie, jeżeli cp

jest całką to, gdy z niej oznaczymy , a następnie wyrugujemy C z równania na ~ i ze związku cp = 0, powinniśmy

cla

otrzymać tę samą wartość jaką otrzymuje się z danego rów-

cly

nania różniczkowego. Otóż pochodna ~ z równania cp = 0 otrzymuje się za pomocą związku:

(1)

ii i ii ₌ o

2x ' 6y dx

Jeżeli zaś C ma być funkcyą zmiennych æ, y, wtedy ilość pochodzącą ze związku cp = 0, otrzymuje się z równania:

cly

dx

(2)

Sep

3x

cep dy

d y dx

4_ fi dJŁ⁽hL\ — o

' dC\3x ' dy dxj

Związki (1) i (2) będą identycznemi, jeżeli:

ćC (ly dy clx

co CO 8 C7

Ponieważ ze związku

dC

d C    cl y

dx

= 0 wynikałoby, że ilość

dy clx

C jast stałą, i powrócilibyśmy tym sposobem do całki ogólnej, należy więc przyjąć, że:

dC

= 0.

Jeżeli oznaczymy ilość C tak, aby czyniła zadość temu związkowi, wtedy może się zdarzyć, że natrafimy na całkę danego równania; będzie to właśnie całka osobliwa.

Niechaj będzie np. równanie :

clx —

V

Va² — y² ’

którego całką ogólną jest:

(x—C)² + y² = a².

Jest to równanie gromady kół o środku na osi x i o promieniu równym a. Aby otrzymać rozwiązanie osobliwe, należy położyć:

skąd wynika C — x\ kładąc tę wartość w całce ogólnej znajdujemy :

y²    a².

To równanie przedstawia dwie proste y

a — 0, y 4- a = 0; te dwie proste są stycznemi do wszystkich okręgów, przedstawionych przez całkę ogólną, albo, mówiąc dokładniej, te proste są powłóczącemi tych okręgów.

Łatwo dowieść, że ta własność jest ogólną dla wszystkich całek osobliwych, które otrzymujemy, kładąc

dcp

0.

dC

Wyobraźmy sobie całkę ogólną, przedstawioną geometrycznie na płaszczyźnie. Przedstawia ona gromadę krzywych, które otrzymujemy zmieniając stałą C. Wtedy całka osobliwa przedstawia właśnie powłóczącą wszystkich tych krzywych, jeżeli taka powłócząca istniej e.

Wiemy w samej rzeczy, że dla otrzymania powłóczącej należy różniczkować równanie gromady krzywych względem parametru C, następnie wyrugować parametr pomiędzy równaniem danem i jego pochodnem; jest to oczywiście ten sam proces, za pomocą którego dochodzimy do rozwiązania o s o b 1 i-w e g o.

§ 10.

Równania różniczkowe liniowe jednorodne.

W poprzedzających paragrafach zajmowaliśmy się badaniem równań różniczkowych rzędu 1-go; obecnie przechodzimy do równań rzędu wyższego.

Rozważymy tu klasę specyalną równań różniczkowych rzędu wyższego, t. z. równań różniczkowych liniowych. Tern mianem oznaczamy równania różniczkowe typu:

d“y

dn~ly

dy

dxa

dxn~

dx

- -f- Xny — XK+1 ,

gdzie wszystkie ilości X są funkcyami tej samej zmiennej x i gdzie zmienna y i jej kolejne pochodne występują tylko liniowo.

Takie równanie nazywa się jednorode m, gdy nie zawiera wyrazu niezależnego cc, t. j. gdy    = 0.

W tym rozdziale badać będziemy tylko równania jednorodne, a później okażemy, że całkowanie każdego równania niejednorodnego można sprowadzić zawsze do całkowania równania jednorodnego.

Udowodnimy najprzód kilka własności równań jednorodnych liniowych, t. j. równań postaci:

(1)

d”y

dn~hy

dxn

dxv~l

Xn y — 0 .

'O

Przedewszystkiem za pomocą odpowiedniego przekształcenia można sprowadzić to r w do innego równania rzędu n — 1, lecz j u nieliniowego.

Połóżmy y — ev , gdzie z przedstawia nową funkcyę zależną zamiast y. Wtedy:

dy

dx

f 'z dx

—    Z)

(Py    J' z dx

dx²

Widzimy więc, że wogóle pochodna ilości y rzędu Jc-go wyraża się za pomocą pochodnych ilości z aż do pochodnej rzędu (k—l)-go. Wstawiając te wartości w równaniu (1), możemy znieść czynnik

( z dx

GJ

wszystkich wyrazach i pozostanie równanie

we

wspólny

ze zmienną z, zawierające pochodne tej ilości aż do pochodne) rzędu n — 1 włącznie, co było do okazania.

Dalej jest rzeczą jasną, że gdy yx jest jednem z rozwiązań szczególnych równania Cl), to i cx yx, gdzie cx jest stałą dowolną, będzie także rozwiązaniem tego równania.

Podobnie, gdy yx, y₂ są dwa rozwiązania szczególne, to wyrażenie y = cx yx -j- c₂ y₂, gdzie cx i c₂ są stałe dowolne, będzie także całką. Wstawiając bowiem to wyrażenie do równania (1), otrzymujemy dwie kategorye wyrazów; w jednej z nich czynnikiem wspólnym jest cx i występują pochodne tylko fun kcyi y i : w drugiej zaś czynnikiem wspólnym jest o₂ i występują

tylko pochodne funkcyi y₂. Każda kategorya wyrazów daje sumę równą zeru. gdyż y₁ i y₂ na mocy założenia czynią zadość równaniu (1).

W ogólności, gdy znamy n rozwiązań szczególnych:

U\ i Uzi • • • i y»

r.ó wnania (1), to:

(2)

y = ⁽i V\ + c2 + • • • +y»

będzie też całką tego równania.

Ponieważ wyrażenie (2) zawiera n stałych c1; r₂, . . ., powstaje przeto naturalnie pytanie, czy wyrażenie (2) może być całką ogólną?

Wierny, że aby to wyrażenie mogło być całką ogólną, jest koniecznem, by stałe zachodziły w niem w ten sposób, że gdy utworzymy n—1 równań pochodnych wyrażenia (2), to będziemy mogli wyznaczyć z tych równań ilości c, jako funkcye ilości: x, y\ y", . . ., y^-x\

Równaniami, z których mamy otrzymać ilości c, są :

y = Cj yA -f c₂ y₂ -f . . . -f cn yn , y' = y\ -f c₂ y\ 4-. . . -f cn ij

y{n~1} =    + c₂ y^ + . • • -f Cn yn{n-V]

jest zatem koniecznem, aby wyznacznik:

• , yn

! y 11 y 2 j y n

(«—n

Vx(n~l\ y*

• •, yn(n-1]

był różny od zera.

Należy bliżej określić, w jaki sposób wyznacznik D ma być różnym ocl zera. Wszystkie wyrazy tego wyznacznika są fun-kcyami oznaczonemi zmiennej x. Otóż jest jasnem, że wogóle istnieją zawsze wartości x, dla których 1) = 0; należy więc wyobrazić sobie, że x porusza się wewnątrz obszaru, w których niema takich punktów x. Innemi słowy funkcya //, określona wzorem (2), j es t całką ogólną równania (1) tylko w obszarze, w którym nie ma żadnego punktu, gdzie wyznacznik D staje się zerem.

Mogłoby wszakże zdarzyć się, że dla każdej wartości x wyznacznik D jest zawsze zerem; wtedy wyrażenie (2) w żadnym przypadku nie mogłoby być całką ogólną. Innemi słowy, całki szczególne yu y₂, . . ., yn nie są wtedy wszystkie dobrane tak, aby mogły dać całkę ogólną, czyli, jak się mówi, nie stanowią wtedy układu zasadniczego. W rachunku różniczkowym (Rozdz. Y, '§ 3) badaliśmy już wyznacznik postaci V) nazwaliśmy go wrońskianem i dowiedliśmy, że gdy ten wyznacznik jest zerem dła każdej wartości x, wtedy pomiędzy funkcyami y istnieje związek liniowy. Możemy więc powiedzieć: aby całki szczególne yt, y₂,...,yu tworzyły układ zasadniczy, koniecznem jest, by pomiędzy niemi nie istniał żaden związek liniowy jednorodny.

c„ za-

Z kolei powstaje znowu pytanie: Czy istnieje układ zasadni czy? Pytanie to zlewa się z innem: czy można całkę ogólną równania różniczkowego liniowego i jednorodnego przedstawić w postaci (2), t. j, tak, aby stałe c,, o*₂, . . chodziły w niej tylko liniowo.

Jeżeli odpowiedź na to pytanie będzie twierdzącą, to oczywiście i odpowiedź na pierwsze pytanie także będzie twierdzącą. Otóż można dowieść, że w rzeczy samej całka ogólna równania (1) daje się zawsze przedstawić wpo-s t a ci (2).

Aby to okazać, udowodnimy najprzód twierdzenie następuj ące: Jeżeli znamy jednę całkę szczególną 1/ — !/i równania (1), wtedy całkowa n i e r ó w n a-

nia te nego

sprowadzić można do całkowania i n-wnania tego samego typu, lecz rże

O 'O

du o jedność mniejszego.

Połóżmy w samej rzeczy y = yt z, gdzie z jest nową zmienną zależną. Wtedy:

dy

(Iz

dx dx

dx ¹

d-y

dx²

da;²

0+2

dyl dz , • d-z dx dx ‘ dy²

Podstawiając te wartości w równaniu (1) i uwzględniając to, że część zawierająca czynnik z znosi się, ponieważ yl jest rozwiązaniem równania (1) na mocy założenia, otrzymujemy równanie liniowe, zawierające tylko pochodne zmiennej z od pochodnej rzędu 1-go do n-go włącznie i nie zawierające wyraźnie samej zmiennej z. Mamy tedy:

V/ d Z    [    y,

A o "T A 1

, du~'z dx,l~l

+ . . . + Zh-i

dz

dx

= 0,

gdzie X'₀, X\, . . . , X' -j— — u, to otrzymamy :

II — 1

są funkcyami zmiennej x. Połóżmy

+ • •. + X'

dn~lu

dxtl~l

+ X\

dn~-u

dxn~-

t. j. równanie różniczkowe liniowe jednorodne rzędu n — 1. Znalazłszy w, otrzymamy : a stąd:

y = Vi z = Vi

u clx -j- c₁1 .

Przyjmijmy teraz, że całka ogólna równania różniczkowego liniowego rzędu ( n—1 ) g o ma p o-stać:

u — c₂ u₂ -f- Co u₃ +    cH u„

i do wiedźm dla równani

ż taż r znicz

<D -O

łasność spraw owego liniowe

CfQ P->

za się o rzę

du »-go.

Istotnie, z poprzedzającego przekształcenia wynika, że gdy yt jest całką szczególną równania danego, wtedy:

Ci Vi + 4 V\ I u2 dx + lh I Ms dx -f- . . . -f- cn y₁ I v„ dx.

Lecz:

V\

I u-2 äx, y₁ f uz dx, . . . , y₁ j

uH dx,

są całkami szczególnemi równania danego, które możemy oznaczyć przez y₂, yz, . . . , yn, a stąd wynika, że gdy twierdzenie jest prawdziwem dla rzędu n—:1, to jest także prawdziwem dla rzędu n-go.

Pozostaje więc tylko pokazać, że twierdzenie jest prawdziwem dla n = 1, t. j. że całce równania liniowego jednorodnego rzędu 1-go można zawsze nadać postać y — c yly gdzie y jest całką szczególną. Otóż dla równania:

dy

dx

+ X₁ y = 0,

mamy :

dy

— — X₁ dx

a całkując :

log y = — j Xt dx 4- log d,

- f X, dx

ce

jak właśnie być powinno.

§ U-

Równania liniowe jednorodne o spółczynnikach stałych.

Przechodzimy do przypadku, w którym równanie różniczkowe liniowe (1) paragrafu poprzedzającego ma wszystkie spół-czynniki X stałe, t. j. gdy równanie jest postaci:

(1)

cVy

dxn

+ ai

dn~ly

cly

dxn~x '

dx

4- an y == 0.

Spróbujmy, czy funkcya typu y — e™, gdzie a jest stałą, może sprawdzić to równanie. Kolejne pochodne funkcyi y są :

dy

dx

= ae

ax d‘Ży -

dx² ~

co podstawiając w równaniu (1), znajdziemy:

eax (a₀ an -f- a\ °-n~l + • • . 4" a'«) — 0,

a ponieważ eax nie może być zerem, więc zerem być musi czynnik drugi. Aby więc y — eax mogło być całką szczególną równania (1), jest koniecznem, by a było jednym z pierwiastków równania algebraicznego:

Cif, OLn —j— flj OLv 3 -f⁻ . •    -j⁻ Cln - Oj

(2)

które tworzy się z równania (1), gdy zamiast kolejnych pochodnych funkcyj y napiszemy odpowiednie kolejne potęgi ilości a. Niechaj , a₂, . . . . a„ będą n różnemi pierwiastkami równania (2) — zakładamy na początek różność pierwiastków (1) — wtedy    . . . ; e°»0: będą n całkami szczególnemi równa

nia (1). Jeżeli okaże się. że wrońskian, utwmrzony z tych całek szczególnych i z ich pochodnych aż do pochodnych rzędn (n—l)-gc* włącznie, jest różnym od zera, wtedy według poprzednio wyłożonej teoryi będziemy mogli twierdzić, że całką ogólną naszego równania (1) jest:

y = cx ea& -h c₂ ea^ -f-... -j- c„ e«*•*.

Wrońskian, o którym mowa, jest istotnie różnym od zera, gdyż:

eo.nor

ax ea'x

a₂ (iaiX , . .

a„ eu>ix

ii—i

. , a„

1,

ßunx

«1

a₂

axn~\ a₂"~\ . . . ,

Tu czynnik pierwszy po stronie drugiej jest funkcyą wykład-niczą, zawsze różną od zera. Czynnik drugi jest wyznacznikiem, równym, jak wiadomo z algebry, iloczynowi różnic pierwiastków równania danego, branych we wszelkich kombinacyach po dwa; jest więc także różnym od zera, gdyż żaden z czynników jego nie może być zerem, albowiem wyłączyliśmy przypadek równości dwu pierwiastków.

Tak np równaniu:

My

nhj = 0 ,

odpowiada równanie algebraiczne:

d~ — n* = 0.

skąd a = -4- w, a więc całką ogólną, będzie:

y = Cj ewa' -]- c₂ e—

Przyjmijmy teraz, źe równanie charakterystyczne (2) ma dwa pierwiastki równe; wtedy nie będziemy mieli n całek szczególnych różnych i nie będziemy mogli znaleść drogą wskazaną całki ogólnej danego równania. Dla znalezienia postaci, jaką przybiera wtedy całka ogólna, użyjemy metody przejścia do granicy. Niechaj al} a.₂ będą dwa pierwiastki równe. Przyjmijmy na chwilę, że są różnemi; że się różnią mianowicie o ilość h. Wtedy, za pomocą metody poprzedzającej, możemy znaleść całkę ogólną; przekształcając ją odpowiednio i przechodząc do granicy, znajdziemy całkę ogólną. Połóżmy tedy a₂ = a, -j- h, to całką ogólną będzie:

Ci ea'x -}- c₂ ea*x —. . . —j—    ea»x

— (ci + v2 e'lx) b°"'x ~h cs ea*x -f- • . • -f- c»

h? x²

£(⁶‘i + c2) + c2 hx-\-ą

■f-... J    -j- c₃ ea°-x -f-

... -j- cv ea»x.

Połóżmy Ci -j- c₂ = C\, c.₂ h = C₂, to będzie :

hxej

2!

a w granicy dla h — 0:

(CA —(— C₂ x) ea'x -f- c₃ e**x -j- . . . -f- cn ea»x.

Jest to całka ogólna w przypadku, gdy dwa pierwiastki równania charakterystycznego są równemi.

Podobnie w przypadku k pierwiastków równych dość pomnożyć funkcyę wykładniczą, odpowiadającą temu pierwiastkowi, przez funkcyę całkowitą zmiennej x stopnia k — 1 o spół-czynnikach dowolnych.

Zresztą łatwo sprawdzić, że gdy ax jest pierwiastkiem podwójnym równania (2), wtedy y = xea'x jest całką szczególną. Istotnie jest wtedy:

dy

dx

— eaiX xa.i ea'x ;

d-y

dx²

= 2aj e*'x -J- xax² e*'x ;    .

Postawiając te wartości w danem równaniu różniczkowem i znosząc wspólny czynnik wykładniczy, znajdujemy:

(a₀ nxn -f- ax axn 1 -f- . . . -j- an-i x -f- an)

-j- (»«i «iM_1    (n—1) «i «i*"² -f- . . . + an-1) = 0.

Ten związek sprawdza się w samej rzeczy, gdy a, jest pierwiastkiem podwójnym, gdyż dla x — ax znika pierwsza strona równania (2) i jej pierwsza pochodna, skutkiem tego każdy z dwóch wyrazów w nawiasie w związku poprzednim jest równy zeru.

Podobnież dowieść można ogólnie, że gdy oą jest k-krotnym pierwiastkiem równania (2), wtedy xk~l eaiX jest całką szczególną.

Niechaj będzie np. równanie różniczkowe:

dny dx"

odpowiadającem mu równaniem algebraicznem jest równanie au — 0, mające n pierwiastków równych zeru. Całką ogólną równania różniczkowego będzie:

V = ci + <;2 x

C₃ X² —J— - - . —f— (‘n XH~l.

Przyjmijmy nakoniec, że pomiędzy pierwiastkami równania (2) niektóre są urojonemi; możnaby wtedy zastosować tę sarnę metodę i otrzymać całkę ogólną pod postacią urojoną. Lecz ponieważ we wszystkich stosowanych przez nas dotąd zasadach mieliśmy do czynienia tylko z funkcyami rzeczywistemi zmiennych rzeczywistych, postarajmy się więc wyłączyć wszystkie rozważania ilości urojonych i nadać całce ogólnej postać rzeczywistą. Niechaj:

«i = ß 4~ iy » «2 — ß — iy ,

będą dwa pierwiastki urojone sprzężone. Wtedy:

Cj e«'x 4- o, e“*® = efi* (c, el?x 4- c₂ er***)

i sin yx)]

= e^x [Cj (cos yx -{- i sin yx) -f- c₂ (cos yx

— e$x [(cl -h o₂) cos yx -J- (Cj — c₂) i sin yx].

Kładąc:

c₂) — C₂,

ci -j- (‘2 — ó-j, i (fj

gdzie C,₁, Co są dwie nowe stałe dowolne, znajdujemy:

eP® [Cj cos yx -f- C₂ sin yx].

W całce ogólnej znajdzie się taki wyraz zamiast dwu wyrazów, odpowiadających pierwiastkom urojonym. Możnaby w samej rzeczy okazać, że eRx cos yx, eßx sin yx są całkami szczególne-mi równania danego.

Niechaj będzie np. równanie:

clhj

dl)

dx³

clx

— Gy — O ;

odpowiedniem równaniem algebraicznem jest:

Pascal R. C.

a³ — a — 6 = 0,

którego pierwiastkami są:

1 iV 2 , a = — 1 — iV 2

a więc całką ogólną będzie:

(c₂ cos x V 2 -f- c₃ sin x V2) e~x.

Całką ogólną równania:

dxl

-b y = o,

jest :

y = C cos a? Cj sin £c.

Do tego rezultatu dojść można, zważywszy, że cos x, sin x są takiemi dwiema funkcyami zmiennej x, że icli pochodne drugie równają się samym funkcyom ze zmienionym znakiem, a stąd przedstawiają one dwa rozwiązania szczególne danego równania.

§ 12.

Równania liniowe niejednorodne.

Niechaj będzie równanie niejednorodne:

(i)

X₀

dny

dx

dn~ly dxu ~l

gdzie XQ, X1} .. ., Xn, X są funkcyami tylko zmiennej x.

Zcałkujmy równanie jednorodne:

(2)

v d”y _l v

dxn + Xl

dn~¹ y

dxn~l

które otrzymujemy z równania (1), znosząc wyraz po stronie drugiej. Niechaj :

(3)

V = ci y, -j- c₂ y₂ +••• + Ch Vu ■

będzie całką ogólną równania (2) Zobaczmy, czy można tą postacią (3) zadość uczynić równaniu (1), przyjmując, że ilości c nie są stałemi lecz funkcyami zmiennej x. Utwórzmy pochodne kolejne funkcyi (3).

Napiszmy najprzód pochodną pierwszą:

dy

dx

¹ dx

+ • • • + ⁶‘»

dyn

dx

de

+ ?/l dï + '-' + ÿ”

dCn

dx ’

to będzie :

dy

dx Cl

dy

dx

diju

dx

Jest to wyrażenie takie samo, jak to, do któregobyśmy doszli, uważając ilości c za stałe.

Weźmy pochodną pochodnej pierwszej i uczyńmy znów równą zeru część, zawierającą pochodne ilości c ; prowadźmy to działanie w ten sam sposób aż do pochodnej rzędu n—1-go włącznie. Otrzymamy tedy układ równań:

y = ci V\ + ' 2 y- + • • • + c» y»,

dy

dx ⁶¹

dyx

dx

•~h c2

dy₂

dx

-f- . . . -f- c»

dyn

dx

dn~xy

«(a;"⁻¹

= ci

dn~¹yx

dxn~

ï h 6>2

dn-ly₂

dx“ ~¹

-J- . . . -f- c»

dn~ly„ dxn~l 1

przyczem pochodne ilości d czynią zadość warunkom:

dc₁

dc„

Vi ix + • ■ • +y" nx — °’

(4)

dlJx dcx    _j_

dx dx ' ‘    ¹

dy n dc„ dx dx

= 0,

dn-²y !

dxn~²

dct

dx

dn~Hjr, dcn dxn~'²

dx

= 0,

t. j. n funkcyj d,, r₂, . . ., cn czyni zadość n—1 warunkom, wyrażonym przez tyleż równań różniczkowych. Poddajmy te funkcye jeszcze jednemu warunkowi, a mianowicie warunkowi, który odpowiada faktowi, że (3) ma być całką równania (1). Zobaczmy, jak się ten warunek wyraża.

Mamy widocznie :

dny

dxn

dnljn

dx“

dnXyx

dxn~l

dcx

dn~hyH dcn dx“-¹

dx

a podstawiając wartości kolejnych pochodnych funkcyi y po pierwszej stronie równania (1), będziemy mieli po uporządkowaniu wyrazów:

( T

¹ \ ⁰ dxn

cln~hyx

dxn~l

Xn ?/1 j

~r c>‘ (X₀

+ iro(

dny„

dx

r 4- Xi

dn~lyn

dxn~l

d” ~lyl dc, dxn~x dx

dn-hy„ dcM

dxn~l

dx I '

Aby równaniu (1) stało się zadość, musi to całe wyrażenie być równe X.

Otóż czynniki ilości c1% c₂, ... , cn są zerami, gdyż yx, y₂, , . . , yn są całkami szczególnemi równania (2); pozostaje zatem jako warunek, któremu jeszcze mają czynić] zadość ilości c, równanie :

(5)

dn~¹y₁ dcx dxH~¹ dx

dn~ly„    dcH X^

dxn~l    dx    X₀

Jeżeli można będzie znaleść ilości c, czyniące zadość wszystkim n związkom różniczkowym (4) i (5), wtedy zagadnienie będzie rozwiązanem. Otóż te równania (4) i (5) są wszystkie liniowe-

rnożna więc będzie z nich

mi względem

dc,

dą

dCn

dx ⁵ dx ’ ’ dx otrzymać wartości tych pochodnych, jeżeli wyznacznik spół-czynników nie jest zerem. Wyznacznik ten, którym jest, jak widać wprost:

Un y'n

nie jest zerem, gdyż jest on wyznacznikiem zasadniczym rozwiązań szczególnych yx, ?/₂, . . . , yn, który, jak to wiemy z paragrafu poprzedzającego, jest różnym od zera, gdyż inaczej wyrażenie (3) nie byłoby całką ogólną równania (2). Po wyznaczeniu

• c(ß@

pochodnych , . . . ,    w funkcyi zmiennej er, pozostanie

wykonać tylko proste kwadratury dla wyznaczenia samych ilości c. Wyznaczenie każdej z tych ilości wprowadza jednę stałą dowolną tak, że razem będziemy mieli n stałych dowolnych. Niechaj będzie do zcałkowania równanie :

dhy

dx²

— nhy - ex .

Znajdźmy najprzód całkę ogólną równania:

dhy

d,r

---n²y = 0 ;

jest nią (patrz str. 207):

y = 6-j evx -f~ 6*2 e~nx.

Trzeba teraz wyznaczyć ilości ct, c₂ z warunków:

dc₁

dCy

dx

= 0;

y\

P- + 1'Ap=e*.

dx ² dx

t. j. z warunków:

dc

—nx

__q .

d.r

na

nx

dc.

dx

ne~nx

dc₂

dx

= e* ,

z których wynika:

dcx

dx

~ _L_ g(l— n)x. 2

2n    ’ dx ~

Stąd :

ct =

2n ,

2u (1—n)

tak że całką ogólną danego równania różniczkowego będzie:

2 n (1—n)

Cxe

■nj-

ex -f C₂e~nx,

■ i~7?e’ + c'e

vx

-f- C₂ e~nx .

§13.

Twierdzenia o równaniach różniczkowych liniowych. Wzór L i o u y i / / e’a.

Widzieliśmy w paragrafie poprzedzającym, w jaki sposób otrzymać można całkę równania różniczkowego liniowego zupełnego (ze stroną drugą różną od zera) z całki równania jednorodnego. które powstaje z poprzedniej przez zniesienie strony drugiej. Obecnie udowodnimy kilka twierdzeń następujących.

Niechaj będzie równanie:

(1)

X₀

dny

ćln~ly

dxn

dxn~l

+ ... + W?/=X;

utwórzmy odpowiednie równanie jednorodne:

l2)

X₀

djy

dxn

A*~ly

dxu~l

- Xn y — 0 .

s u-

Znając całkę szczególną Y równania (1) i całkę ogólną równania (2), można od raz u znaleść całkę ogólną równania (1), biorąc mę całek Y i Yv

Istotnie, podstawiając I⁷ zamiast y po pierwszej stronie równania (1), sprowadzamy ją do X; podstawiając Fj zamiast y po pierwszej stronie tegoż równania (1) sprowadzamy ją do zera, a więc podstawiając Y -f- Yl zamiast y po stronie pierwszej tego równania, sprowadzamy ją do X. Skąd wynika, że Y -fi Fj jest całką tego równania; a ponieważ ta całka zawiera n stałych dowolnych (gdyż Y₁ jest całką ogólną równania (2)). a więc Y -fi Y₁ jest całką ogólną równania (1).

Widzimy przeto, że gdy według teoryi, wyłożonej w paragrafie poprzedzającym, znalezienie całki ogólnej równania (1) z całki ogólnej równania (2) wymagało wykonania n kwadratur, to w metodzie niniejszej te kwadratury są zbytecznemi, gdy znamy jedne całkę szczególną równania (1).

Weźmy np. równanie:

dhy

dx²

-J- n²y — 2 cos mx -j- 3 sin mx.

Ponieważ znamy całkę ogólną równania zredukowanego -fi n²y = 0, mianowicie Fj = cx cos nx -fi c₂ sin nx, prze-

dhy

dx²

to dla rozwiązania zadania potrzeba znać tylko jeszcze jedne całkę szczególną danego równania. Spróbujmy, czy taką całką nie będzie wyrażenie postaci: Y — a cos mx -fi ß sin mx, gdzie a i ß są dwie stałe nieznane. Biorąc pochodne i podstawiając w równaniu danem, znajdziemy, że będzie ono spełnionem, gdy:

— m² ’

n² — m²

a więc:

y — ą cos nx -fi- c₂ sin nx -fi

2 cos mx -fi 3 sin mx

riż — mn

jest szukaną całką ogólną.

Udowodnimy teraz twierdzenie następujące :

1) Gdy

równania s p r o-

amy jcdnę całkę szczególną równania (1), to całkowanie tego

wadzić można do całkowania równania liniowego jednorodnego tego samego rzędu.

2) Gdy znamy j e d n ę całkę szczególną równania (2), to całkowanie równania (1) sprowadzić można do całkowania równania liniowego niejednorodnego rzędu niższego.

Niechaj Y będzie całką szczególną równania (1), wtedy kładąc y = Y -f z dochodzimy z łatwością do równania jednorodnego względem 2 i tego samego rzędu; tym sposobem twierdzenie 1) jest dowiedzionem.

dC

— prowadzi do re-

dx

Niechaj Yl będzie całką szczególną równania (2), wtedy przekształcenie y — CY₁ i założenie

clukcyi, o jakiej mowa w twierdzeniu pod 2)

Wyprowadzimy jeszcze godne uwagi wyrażenie, podane przez Li ou ville’a na wrońskian n całek szczególnych równania różniczkowego liniowego jednorodnego.

Ze związków:

d"yi

dn~¹yl

dxn

dvn ~¹

+ X₂

dn-²yx

dxn~²

dny„

dxH

H⁻ Xx

dn~\yn

dxn ~l

+ *2

dn~²y

dx"

rugując X₂, X₃, . . . , X,„ otrzymujemy:

dny₁

dx¹¹

+ Xi

dn~ly,

d%n~l 1

àn~Hjx

dny

dn~lyn

dxn

dxn

d”-*yn dxn~² ’

Vu

lub, co na jedno wychodzi:

yn{n~l>, yJil~²⁾,...,yn

ya zasadzie twierdzenia, dowiedzionego w „Rachunku różniczkowym“ iRozdz. Y, § 3), wyznacznik pierwszy jest pochodną drugiego, który oznaczymy przez D, a więc :

dD

stąd:

dD

log I) ~ —-

• , Vi

Vv

+ *1

= 0.

I dx -f log C , / W

a zatem:

D— Ce

/ f:

dx

To wyrażenie wrońskianu D za pomocą funkcyi wykładniczej nazywa się wzorem L i o u v i 11 e’a.

§ 14.

0 pewnych szczególnych klasach równań różniczkowych liniowych.

Widzieliśmy, że w przypadku, gdy spółczynniki równań liniowych są stałemi, można znaleść całkę ogólną i że szukanie jej sprowadza się do rozwiązania równania algebraicznego. Grdy spółczynniki są funkcyami zmiennej £c, to w ogólności nie mo-żerny podać metody ogólnej rozwiązania, którego powodzenie zależy od użycia różnych mniej lub więcej odpowiednich sposobów sztucznych. Zbadamy tu niektóre typy prostsze takich równań.

Niechaj będzie równanie:

dny

dxn

ax cln~h/ ax-\-b dxn~x

+ ••• +

I | cin ’ ‘ ‘ ' (ax-\-b)H ^

Cli

dH~ly

(ax + by dxn

gdzie    a i, a, b są stałemi, X zaś pewną fnnkcyą zmien

nej x.

Połóżmy ax -f b = ë i weźmy t za zmienną niezależną zamiast x. Będzie :

dy dy dt dy a

dx    dt ' dx    dt ax-\-b

a²    ax +

a J

dy

d²y dt d tdy\ a    Tcl²y a

dx²    dx dt \dx)    ax-{-b L dt² ax-\-b    dt (ax-f- b)²

a²

d²y

dy

(ax-\~b)

dt²

dt

Podstawiając te wartości w równaniu danem i mnożąc przez (ax -f- b)n, otrzymamy równanie o spółczynnikach stałych. Niechaj będzie np. równanie:

x^₂-(2n-l)x

dy

dx

-j- n²y =■ 0 .

Dzieląc przez x², otrzymamy równanie powyższego typu. Kładziemy x — cl i znajdujemy:

dy

4- nhy — 0,

t. j.

(Py

dP

— 2w -f nhy = 0.

Odpowiadające temu równaniu różniczkowemu równanie algebraiczne charakterystyczne jest:

¹

połóżmy:

²

U-ł-w) <r _|_ (72i

2nz -f- n²0 lub (z — n)² = 0,

o pierwiastku podwójnym 0 = 11. Całkami szczególnemi będą więc ent i tent. a całką ogólną po wprowadzeniu x :

y — Cx xn -f- o₂ xn log x.

Rozważmy inny typ równania różniczkowego liniowego o spół-czynnikach niestałych:

a₀ x

dny

U _

dxn

-J- ax x'¹

dn hj

dxn~l

dy

. . -f- (In-1 X    h Un V —' 0 .

Połóżmy y — xa: gdzie a jest stałą wyznaczyć się mającą. Biorąc pochodne, znajdujemy:

• ^Ll ? dx²

' dx

dJ = a*-*

= a (a—1) xa~²; . . . .

a —n

cPy

dxn

a podstawiając te wyrażenia w równaniu danem, będziemy mieli czynnik wspólny xa, oraz:

a₀ a (a—1) . . . (a—n-\~l) -f a₁ a (a—1) . . . (a—n-f 2)

an—1 a -j- an .

Aby rozwiązać równanie różniczkowe, trzeba znaleść wartość a, sprowadzającą do zera poprzednie wyrażenie; rozwiązując przeto względem a wyrażenie to, przyrównywane do zera, znajdziemy 11 wartości a i odpowiednich n całek szczególnych, z których złożymy całkę ogólną sposobem znanym.

§ 15.

Równania liniowe 2-go rzędu.

Zbadamy teraz specyalnie równania liniowe 2-go rzędu:

(i)

d²y

dx²

4- P-

dy

dx

-r Qv = x.

Jeżeli znamy jednę całkę szczególną, równania:

(2)

d²y

dy

dx²

dx

-f- Qy — 0,

to można zniżyć rząd równania (2) i otrzymamy równanie 1-go rzędu, które daje się zawsze całkować: możemy zatem powiedzieć, że w tym przypadku będzie można znaleść całkę ogólną równania (2), skąd, jak wiadomo, za pomocą kwadratur znajdziemy całkę równania (1).

Dla zcałko wania równania 2-g o r z ę d u (1 \ wystarcza przeto znajomość całki szczególnej równania (2)

Pokażemy, jak ten rachunek można uprościć. Niechaj yl będzie całką szczególną równania (2), tak że:

(3>

d-th

dx-

4-P

dyi

dx

Od równania (1), pomnożonego przez y₁, odejmijmy równanie (3), pomnożone przez y, to będzie:

lh

clhj

dy

dxź

dx

»-Si-*-

Połóżmy yx otrzymamy :

dy

dx

dy,    ,    ,

y =z' ska*d v\

ddy

dz

dx²

T + Pz- Xy₁ .

dz

Całką ogólną tego równania liniowego I go rzędu jest:

f Pdx & dx

+ ć\.

Z poprzedniego wynika :

dZL

V\

dx

Z T 1 V

~ä~ , skąd — =

Vi²

a więc :

dx

f —

' Vx²

V\ •

Jest to wartość zmiennej y, stanowiąca rozwiązanie równania (1).

Okażemy teraz interesującą własność całek szczególnych równania liniowego jednorodnego rzędu 2-go, odkrytą przez S t u r m a.

Jeżeli y1; y₂ są dwie całki szczególne różne, równania (2), to wyznacznik:

& 4M

powinien być różnym od zera dla, wszelkiej wartości x, zawartej

w rozważanym obszarze, t. j. funkcya y,

żdej wartości æ, zawartej w tym obszarze, powinna być jednego znakn. Niechaj będzie np. dodatnią. Jeżeli y₁ jest zerem dla

x ~ a i dla x — b, to dla tych wartości x musi być ;//₂ —

dOi'

dy₂

dx

... #1 y% dx

dla ka-

ujemnem, t. j. y₂ i muszą być znaku przeciwnego. Lecz po-

CvOCi

między temi dwoma punktami a i b: dla których znika funkcya y1} istnieje z pewnością, na mocy twierdzenia E o 11 e g o, taki

punkt pośredni, dla którego znika pochodna C-~- ; jeżeli więc x

przechodzi od wartości a do wartości b, pochodna

znak: zmienia tedy znak i funkcya //₃, gdyż iloczyn musi być znaku stałego, tak w a jak i w b. Wynika stąd, że funkcya y.{ musi stawać się zerem w punkcie, zawartym pomiędzy a i b. A zatem pomiędzy dwoma kolej nemi punktami zerowemi funke i yA istnie e z a w e punkt zerowy funkcyi i podobni pomi zy dwoma punktami zerowemi funkcyi y₂ istnieje punkt zerowy funke i • t. j. miejsca zerowe dwu całek s z c z e ó l c h yl, ;?/₂ równania różniczkowego rzędu 2-go są wzajemnie przemiennemu Zakładamy naturalnie zawsze ciągłość funkcyj. gdyż inaczej nie moglibyśmy do nich stosować twierdzenia Loli eg o i wyprowadzać pozostałych dedukcyj.

dx

zmienia

ero

• i—a    CL'

O, N

§ 16.

Układy równań liniowych jednoczesnych.

Wyobraźmy sobie n równań, zawierających n funkcyj y, zy. . . zmiennej x i pochodne tych funkcyj. Stawiamy zagadnienie wyznaczenia tych funkcyj.

Dla prostoty przyjmijmy, że mamy dwa równania, zawierające y, z i ich pochodne, aż do drugiego rzędu włącznie:

(!)• '

f[x, y, z.

dy dz d²y d²z' dx ’ dx ’ dx² ’ dx²,

O,

dy dz d‘-y d² z dx J dx ’ dx² 1 dx-

= 0.

Połóżmy:

(2)

dy

dx

to równania :

(3) f(x,y,z,u,v,

du d>- ' dx ’ dx.

— 0;

/    du dv\

f KV’z'u'v'dx' s)

razem z równaniami (2) stanowią cztery równania, zawierające cztery funkcye y, z, u, w i icli pochodne.

W ogólności, mając układ »i równań różniczkowych, zawierających n funkcyj i ich pochodne rzędu wyższego, możemy zawsze układ ten sprowadzić do -u kładu m równań (m 2> n) pomiędzy m funkcjami i ich pochodnemi r z ę-d u 1-g o.

Innemi słowy, powiększając liczbę równań i funkcyj, możemy zawsze obniżyć rząd równań danych. Tak np. gdy mamy jedno równanie z jedną funkcyą y i jej pochodnemi aż do pocho-

dy

dz

dnej rzędu r-go, to kładąc ~ = z, ^ =

. . , otrzymamy

r—1 równań, które razem z danem stanowią r równań pomiędzy r funkcyami y. z, u, ... i w tych r równaniach występują tylko pochodne pierwsze tych funkcyj. ‘Lecz oczywiście rozwiązanie tego układu nie przedstawia mniej trudności niż rozwiązanie równania pierwotnego.

Pokażemy teraz, jak wykonywa się postępowanie odwrotne, t. j. w jaki sposób z układu n równań 1-go rzędu pomiędzy n funkcyami, otrzymuje się inny układ o mniejszej liczbie rów-

nań różniczkowych rzędu wyższego z mniejszą liczbą funkcyj, a w szczególności jedno tylko równanie różniczkowe z jedną funkcyą. Dla prostoty przyjmijmy, że mamy trzy równania z trzema zmiennemi y, z, u. Pomyślmy sobie, że te równanie rozwiązaliśmy względem trzech pierwszych pochodnych funkcyj y. z, u₎ lub jeszcze ogólniej, pomyślmy, że te trzy równania zostały za pomocą procesów eliminacyjnych sprowadzone do postaci:

fi V, z, u

dy

dx

) = 0;

= 0;

0.

, /    du\

f> k ,j'z’    s)-=

Przy pomocy ostatniego równania wyrazimy y przez x, z, u,

du

dx

dy

a różniczkuj ąc, znaj dziemy znów pochodną ~ , wyrażoną przez

du dz dht

x, z, u, ^    , ^2" • Podstawiając te wartości do dwu pierw

szych równań, otrzymamy dwa równania typn:

I    du dhi dz

?j PÓ zi ui cfx 7 tix2 7 yx

\    ~ I    du dz\

= o; *• k *■M’ Tx • s

= 0:

dz

Rozwiązującje względem 2, — , następnie różniczkując tak otrzy-

dz

manę z względem x i porównywaj ąc z otrzymanem —j—

Ct/OC

dziemy równanie trzeciego rzędu z jedną funkcyą u:

•>

znaj-

-e-

du d‘²u

X) U’ dx ’ dx²

dhi

dx³

Podobne postępowanie można stosować w ogólności; zresztą postępowanie to, najściślejsze pod względem teoretycznym, przed-

15

Pascal E. C.

dc

'X

■h dx

4~ • • • Vn

dC'yi

dx

= 0,

C₂--

Jest ono przystępnem, gdy równania dane są liniowemi, a więc gdy łatwo rozwiązać się dają względem zmiennych, które w nich zachodzą.

stawia częstokroć trudności praktyczne i może być nieprzystępne.

Możemy pokazać na przykładzie, w jaki sposób ta metoda stosuje się w przypadku równań liniowych.

Niechaj będą dwa równania:

dy

dz

dx

Z drugiego otrzymujemy // =

dz

dx

-f- z, skąd :

dy

d²z

dz

dx

dx~

dx ’

a po podstawieniu tej wartości w równaniu pierwszem:

dz

d²z

dx -

To równanie jest liniowem jednorodnem o spółczynnikach stałych; odpowiadające mu równanie charakterystyczne jest:

t² -f U + 4 = 0, lub [t -f 2)² = 0;

mamy zatem dwie całki szczególne: e~2x i xe~2x, tak że całką ogólną jest:

a stąd:

z = (cj -j- c*₂ x) e~2x,

§ 17.

Równania różniczkowo rzędu wyższego.

Obe-

Z pomiędzy równań różniczkowych rzędu wyższego nad pierwszy rozpatrzyliśmy dotąd tylko równania liniowe cnie zbadamy inne typy równań.

1. Niechaj będzie równanie, zawierające tylko pochodną rzędu n-go funkcyi y, t. j. równanie typu:

= 0.

(ÈL. x\

\ dxn ’    )

Rozwiązując to równanie względem pochodnej związek:

dny

dxn

, otrzymamy

dny dxil

gdzie Z jest pewną funkcyą zmiennej x. Związek ten jest równaniem liniowem; do zcałkowania go możnaby zastosować metodę, podaną w paragrafach poprzedzających, pamiętając, że całka równania odpowiedniego bez strony drugiej, t. j. całka rów-

— 0 jest:

. dvy nam a -rr— dxn

y == C\ Xn~] -(- C₂ Xn~²    -j- Cn-i X -\~ Cn.

Lecz w przypadku obecnym rzecz się upraszcza, albowiem = X możemy otrzymać wprost przez całko-

z równania

dy

dxn

wame :

dn~ly

dxn~l

j X dx-\- Cj,

a całkując po raz drugi:

Powtarzając to działanie, dojdziemy nakoniec do szukanego wyrażenia na y.

2) Rozpatrzymy równanie postaci:

= o.

dn-²y

dxn~'²

fdx fxdx+ąx+ą.

tl'L~xy dny dx“~x ’ dxn

w którem występują tylko dwie pochodne kolejne.

dny dp

= /h mamy =

Kładąc

dn-ly

dxłl~¹

dx

i równanie dane

sprowadza się do równania :

f (*• jir) =⁰■

które rozwiązując względem

dp

dx

otrzymamy:

dp dx

skąd:

f^+c.

J V (P)

Jeżeli z tego związku określimy p w funkcyi zmiennej x:

P = ty O),

znajdziemy:

dn~xy dx’¹—¹

t. j. równanie typu, poprzednio rozważanego.

Jako przykład podajemy równanie:

dhy dx²

którego całką jest:

y = «i +

qX—Co _|_ ß— (X—Co)

8) Weźmy równanie, w którern zacliodzą tylko dwie po-cłiodne rzędów różniących się o dwie jedności, t. j. równanie postaci :

dny

dxn

Jd"-²y)

' \dxn~²i ’

dn~²y

Połóżmy zamieni się przeto na następujące:

dxn~²

= p, skąd

dny d²p

dxn    dx² ’

równanie dane

d²p

Połóżmy tu: % = q, g = £ = g- ,, to będzie:

1 =

dp

skąd:

q dq = f (p) dp .

Całkowanie daje:

\ Q² = f f(P) dp + C

dx —

t. j.

4- C.

Stąd wynika:

cip

V2ff(p)dp + 2C '

a po zcałkowaniu :

aï =

dp

V2 ff(p) dp + 2C

W + Ci-

Z tego związku otrzymamy p jako funkcyę zmiennej x, a po

podstawieniu w równaniu

= p, pozostanie jeszcze raz

dn-'²y dxn~²

zcałkować równanie typu, rozważanego na początku tego paragrafu.

4) Rozpatrzmy przypadek, w którym równanie dane jest jednorodnem stopnia m-go względem zmiennej y i jej pochodnych.

"W tym przypadku można obniżyć rząd równania o jedność, a to następującym sposobem. Połóżmy y = ez\ pochodne fun-kcyi y wyrażą się wtedy za pośrednictwem pochodnych takich samych rzędów zmiennej z i będą miały zawsze jako czynnik funkcyę wykładniczą ez. Ta funkcya wystąpi w stopniu w-tym we wszystkich wyrazach; po zniesieniu jej, otrzymamy równanie, zawierające pochodne zmiennej £, a nie zawierające wyraź-

dz

nie samej tej zmiennej. Kładąc następnie — == w, obniżymy

CtOb

rząd równania o jedność.

Tęż sarnę metodę można przedstawić w innej postaci, łączącej w sobie dwa kolejno stosowane wyżej podstawienia. Kładąc y’ — uy, otrzymujemy:

y" = Wy -f- uy' = u'y -f u²y = y (u' -f u²)

AVszystkie pochodne funkcyi y będą zawierały tedy czynnik y; a ponieważ równanie jest jednorodnem, więc we wszystkich wyrazach będzie czynnik ym. Zniósłszy ten czynnik, otrzymamy równanie względem u rzędu (n— l)-go, jeżeli równanie dane było rzędu n-go.

•jyt

Całkowanie przez szeregi.

Całkowanie przez szeregi stanowi środek, do którego uciekamy się w razie, gdy metody całkowania poprzednio wyłożone nie mogą znaleść zastosowania.

Niechaj będzie równanie różniczkowe:

f(x, y, y\ .. ., yW) = 0

Jego całka ogólna powinna być, jak wiemy, funkcyą zmiennej x z n stałemi 6+ c₂, . . . , cn taką, aby dla każdej wartości x — a?₀, zawartej w pewnym obszarze zmienności zmiennej x, nadawszy funkcyom y, y', ..., y(n~V wartości dowolne y₀, yf₀,..y^n~^ mo-żnaby znaleść dla stałych c wartości takie, aby dla x = x₀ fun-kcye y, ?/, .. . , yć'-¹) przybierały istotnie powyższe wartości z góry dobrane.

Niechaj będzie tedy punkt x = x₀ ; wyobraźmy sobie, że w otoczeniu tego punktu funkcya y rozwija się na szereg według wzoru Taylora. Będzie :

y = 2/0 + (*—-®o) ÿo 4- ~-₂T°- y"o

4* • • • 4~

(x—x₀)n

y₀(t,} 4-

(4+1)!

y₀,n+n 4- • • •

Z danego równania różniczkowego otrzymujemy:

y{n) = <p (x, y, y\ . • •, y{n~l)),

a biorąc kolejne pochodne:

(2)

Z tych związków możemy mieć wartości pochodnych y(n),    .. . dla cc = sr₀, jeżeli ustalimy dowolnie wartości

funkcyj y, y\ ... ,    w tym punkcie; oznaczmy tak otrzyma

ne wartości pochodnych przez y₍yH>, y₀⁽”+ń, • • .

Podstawiając te wartości w powyższem rozwinięciu (1) znajdziemy funkcyę y. wyrażoną przez szereg, w którym występują jako stałe dowolne: z/₀, y₀', .. . , y₀in~¹⁾. Otóż, gdy szereg ten jest zbieżny w pewnym obszarze, otaczającym punkt cc₀, można uważać go za całkę ogólną w otoczeniu tego punktu; w przypadku, gdy można wykonać sumowanie szeregu, możemy nawet otrzymać całkę w postaci skończonej.

Może się atoli zdarzyć, że równania (2) dla x — x₀ oraz dla y — y₀, y’ = y'₀, . .., y^"~^ — y₀(n~^ nie doprowadzają do rozwiązań (np. gdy niektóre z pochodnych y(r) stają się nieskoń-czonemi). Należałoby wńedy zmienić wartości dowolnie obrane, równanie zaś (lj, nawet gdy spełniają się warunki zbieżności, nie może być uważane za całkę ogólną, lecz za całkę szczególną, gdyż, aby całka była ogólną, trzeba aby wartości y, y\ . . . , y(n~y> można było dobrać najzupełniej dowolnie. Oznaczać to będzie, że. całka ogólna nie daje się rozwinąć na szereg Taylora w otoczeniu punktu x₀.

Następujący przykład dobrze nam wyjaśni metodę niniejszą: przykładem tym jest równanie:

dx

dy

cPy ₍ m dx‘* ' x

-f ny = 0 ,

nazwane równaniem B e s s e 1 a; jest to równanie liniowe jednorodne rzędu drugiego. Możemy je napisać tak:

xy" H- myf -ł- nxy — 0,

a biorąc pochodne, znajdujemy:

xij" -j- (m-j-1) y" -j- nxy' -j- my — 0, xy(*> -j- (m-f-2) y"' -)- nxy" -f- 2my' — 0,

Prawo dalszego tworzenia tych związków jest widoczne.

Widać tu, że dla x₀ — 0 nie można wziąć dowolnych wartości na y₀ i y₀', gdy bowiem weźmiemy x₀ = 0, y₀ = 0 otrzymamy y₀' = 0. A więc całka ogólna naszego równania nie może być rozwiniętą na szereg Taylora w otoczeniu punktu x — 0. Za pomocą tej metody możemy otrzymać tylko całkę szczególną w otoczeniu tego punktu. Połóżmy x — x₀ = 0, y = yQ, y’ = y 'ó — 0, wtedy z poprzedzających równań otrzymujemy:

yy" -

—nyQ

iw-f- 1

y"' = 0, y w

3nVo

Podstawiając te wartości, znajdujemy całkę:

-1

1. nxy

2! (w + 1)    ' 4! (wi + 1) (m-|-3)

Wyrazem ogólnym tego szeregu jest:

1.3.5... (2r + 1) nrJrl x2r+2 (2r + 2)! (m +1) (m-f3) . . . (m+2r -f 1 )

i łatwo widzieć, że stosunek wyrazu rozwinięcia do poprzedzającego dąży do zera: szereg jest przeto zbieżnym dla każdej skończonej wartości zmiennej x. Przedstawia on całkę szczególną równania B e s s e 1 a.

Dla m = 1, n = 1 będzie:

x⁶

2² . 4² . 6²

y = y₀ (i —

X²    X⁴

~W ~T~ 2².4²

Ilość zawarta, w nawiasie jest funkcyą znaną w analizie pod nazwą fnnkcyi Bessela.

Dla m = 2, w = 1 mamy funkcyę:

V = Vo (1 —

a;²    , x⁴ \

-3]--h 5I⁻ * • 7

,    . smæ

gdzie strpna druga równa się yQ ---

CC

przypominając sobie szereg na rozwinięcie funkcyi sin x.

jak to łatwo spostrzedz,

§19.

Równania o pochodnych cząstkowych.

Dotąd uważaliśmy tylko funkcye jednej zmiennej, dające początek równaniom różniczkowym zwyczajnym. Wyobraźmy sobie teraz funkcyę pewnej liczby zmiennych niezależnych, t. j. związek pomiędzy taką funkcyą, zmiennemi niezależnemi oraz pochodnemi cząstkowemi funkcyi względem tych zmiennych. Stawiamy sobie zadanie znalezienia przy pomocy równania o pochodnych cząstkowych najogólniejszej postaci funkcyi, która mu odpowiada; funkcyę tę nazwiemy całką równania danego.

Rozpocznijmy od przypadku dość prostego. Niechaj będzie

równanie:

dz

f \x, y, z, —) = 0,

w którem z j est funkcyą zmiennych x i y, przytem w równaniu tern występuje tylko pochodna cząstkowa zmiennej z względem jednej zmiennej x. Uważając chwilowo zmienną y za stałą, możemy zcałkować to równanie, które wtedy staje się równaniem różniczkowem zwyczajnem; niechaj całką równania będzie :

s = <P 0», V, c),

gdzie c jest stałą dowolną. Ta całka czyni zadość równaniu danemu, w tern rozumieniu, że otrzymawszy z niego pochodną zmiennej 2 względem x i rugując z obu stałą c, dochodzimy do równania danego. Lecz jest widocznem, że gdy zamiast uważać ilość c za stałą, uważać ją będziemy za funkcyę dowolną zmiennej y, pod warunkiem, by pochodna zmiennej 2 względem X miała to samo wyrażenie, co poprzednio, to i w tym przypadku zmienna 2 będzie czyniła zadość równaniu danemu. Widzimy więc, że w rozwiązywaniu równań o pochodnych cząstkowych występuje fakt, że w wyrażeniu całki zamiast stałej dowolnej może zachodzić funkcya dowolna.

Nie możemy zająć się tu badaniem teoryi ogólnej równań o pochodnych cząstkowych i ograniczymy się jedynie na przypadku równań rzędu 1-go i liniowych względem pochodnych.

Rozpatrzmy przypadek dwu zmiennych niezależnych .7?, y. Postać ogólna równania liniowege o pochodnych cząstkowych jest:

(1) gdzie p i q są pochodnemi zmiennej 2 względem zmiennych x i y, ilości zaś P, Q, R są funkcyami zmiennych äc, y, z.

Całkowanie tego równania daje się, jak to okażemy, sprowadzić do całkowania układu równań różniczkowych zwyczajnych.

Niechaj u — const., gdzie u jest funkcyą zmiennych x, y, z będzie rozwiązaniem danego równania, (o ile rozwiązanie takie istnieje). Stąd otrzymamy.

du

du

dx

di,

dli

du ¹

dz

a wstawiając te wartości w równaniu dauern, powinniśmy otrzymać tożsamościowo:

du

P ~Z-

du

du

dx

= 0.

Jeżeli założymy, że istnieje inne rozwiązanie v — const., różne od poprzedzającego, powinno być analogicznie:

dv

dy

-f- R —— = 0. dz

Ponieważ jest także:

du

—— dx -4 dx

du

dz

dy 4-

dli

dz

dz — 0.

dv

dv

dv

dy

dz

dz — 0

przeto ilości dx, dy, dz otrzymane z równań u — const. v — const, powinny być takiemi, że:

(2)

dx _ dy

dz

t. j. powinny być proporcyonalne do ilości P, Q, R. Otóż te dwa ostatnie równania tworzą układ dwu równań różniczkowych zwyczajnych, w którym dwie z trzech zmiennych x, y, z można uważać za funkcye trzeciej. Układ taki, jak wiemy, ma zawsze rozwiązanie; można zatem zawsze znaleść dwa związki pomiędzy zmiennemi x, y. z takie, że otrzymawszy z nich dwie z tych zmiennych, wyrażone przez trzecią, będziemy mieli dwie funkcye, czyniące zadość układowi (2). Temi dwiema całkami będą właśnie u = const, v = const, z nicli każda jest całką równania o pochodnych cząstkowych.

W ten sposób możemy znaleść dwie różne całki równania danego; obie są rozwiązane względem dwu stałych dowolnych. Jednak łatwo spostrzedz, że można otrzymać rozwiązanie daleko ogólniejsze. Można mianowicie okazać, że wyrażenie:

u — cp (v)

w którem <p jest symbolem funkcyi dowolnej czyni również zadość równaniu danemu.

W samej rzeczy, z tego nowego związku pomiędzy zmien-nerni y, z wynika:

dli

Bx

, 2u _ , I dv Bv \

+    wbï + a >')'

<o

oj

ICO

skąd:

'S'IL

dv

du

dx

dy

By

cp' (v)

dv

du ’

dz

dz

i (D

dv

du ’

Bz Bz

co podstawiając w równaniu danem, otrzymujemy:

~9-

» I 8 co leo

| ^ co leo

CD|

I e

S I 8 co leo

O*

I

co leo

O,

t. j. oczywiście tożsamość, bez względu na to, jaką jest funkcyą cp (v). Doszliśmy zatem do interesującego rezultatu, że znając dwie całki u, v, możemy utworzyć całkę ogólniejszą, wprowadzając symbol funkcyi dowolnej. Taka całka nazywa się całką ogólną równania o pochodnych czystko-w y c h.

Podamy kilka zastosowań tej teoryi.

1) Szukajmy równania powierzchni, której płaszczyzna styczna w każdym punkcie jest równoległa do prostej danej.

Niechaj prosta ta przechodzi przez początek spółrzędnych i wyraża się równaniami:

aZ=X, hZ= Y,

lub: gdzie a i b są stałe. Płaszczyzna styczna do powierzchni z — f (x, y) w punkcie x, y, z wyraża się równaniem:

(X~x) p + (Y-y) q - (Z-z) = 0,

a warunkiem, aby ta płaszczyzna była równoległa do prostej danej jest:

ap -f- bq — 1 = 0.

Dla oznaczenia powierzchni winniśmy zcałkować to równanie liniowe o pochodnych cząstkowych. Stosując metodę powyższą, mamy do rozwiązania układ równań różniczkowych.

dx

dy

dz

i winniśmy znaleść dwie całki tego układu: u — const, v = const, rozwiązane względem stałych. Równania te możemy napisać tak:

dx

dy

dz

skąd:

x = az -f- const, y = bz -J- const.

Znaj duj emy przeto :

u — x — az, v = y — bz,

tak. że całkę ogólną otrzymamy w postaci:

9 (x—az, y— 2) = 0,

gdzie 9 jest funkcyą dowolną. Jest to równanie szukanej powierzchni, która będzie walcem o tworzących równoległych do prostej stałej. W samej rzeczy, jeżeli y, z jest punktem powierzchni i jeżeli x — az = a, y — bz — ß, to jest jasnem, że każdy punkt prostej, przedstawionej przez te dwarównania, jest zarazem punktem powierzchni.

2) Znaleść równanie powierzchni takiej, że płaszczyzna styczna w każdym punkcie przechodzi przez punkt stały.

Jeżeli x₀, y₀, z₀ jest punktem stałym, to warunek dla płasz-czyzwy stycznej w punkcie .r, y, z wyraża się w ten sposób:

(x—x₀) p -f (y—y₀) y = z — zo

t. j. równaniem o pochodnych cząstkowych. By to równanie zcałkować, bierzemy układ równań różniczkowych:

dx

dy

dz

X—

który po zcałkowaniu daje:

y—y*

Z — Zo ’

log {x—Xo) = log (z—z₀) -f log Cj, log 0/—?/o> = log (z—z₀) -f- log C₂,

skąd:

^ = c„

Zo

X—Xo

z —z₀

y—yo

a więc równaniem szukanej powierzchni będzie: <p (?-^\

T \Z — Zo

gdzie 9 jest funkcyą dowolną.

y- y o

z —• Zo,

= o,

Powierzchnią szukaną jest stożek z wierzchołkiem w punkcie xo, yo, Zo. W samej rzeczy, jeżeli x, y, z są spółrzęd-

X + Xxo

nemi punktu powierzchni cp = O, wtedy widocznie

będą także spółrzędnemi punktu powderzch-

y Ą- y Xo z 4* X zo

ITT’ i + x

ni, jak to wprost sprawdzić łatwo.

••

v'i

S

\

4

S.

A,

.

\

■l

».

’V- '

'y¹

JE

tTm n

•iï

lé

‘M

lé

ft

îjfr»

H

■

iill

P

in

ÉSll

liii

lilii

mm

SN*-- J

mm

Æf

4M5

:|iS®§ lÉsite

Bp

ï?.'    ^    .

Biblioteka Politechniki Ki akowskiej

100000299025

1111

Ktt

IÜ