;r

ii

Mi

mm i®

li

li

'V SK

lii

rrj;

. -V!

jl;:

wmm

Si

Jlss

ar

•Ktn

llSPal m

"v fe is i śś-

3£i

is

jis!

Musi

-K'

i.

•V-

Biblioteka Politechniki Krakowskiej

100000298962

\

i

:

fi

/

i

i

i

Z

I

)

i

\

{

\

KOS"

"T:

ZBIÓR ZADAŃ

z mechanika

1 ^ ' ,..

"i;

TEORETYCZNEJ

NA PODSTAWIE RÓŻNYCH ŹRÓDEŁ OPRACOWAŁ

J. WOJNICZ-SIANOŻĘCKI

INŻYNIER - TECHNOLOG

-1H55 »4

Z 532 RYSUNKAMI W TEKŚCIE

WYDAWNICTWO M. ARCTA W WARSZAWIE

O-.;

7.

$&

■

:V

t

V-

A.,⁴

'

'A

t

"■ '

IS

t.

4

4 4

t

y

k

*,v

ZBIÓR ZADAŃ

Z MECHANIKI TEORETYCZNEJ

C"

■Gepriift und freigegeben ducch die Kais. Deutsche Presseabteilung Warschau; den 5/1 1917. T.-N° 4039. Dr. N° 278.

1917.— DRUKARNIA M. ARCTA — W WARSZ4WIE, NOWY-ŚWIAT 41.

'50

TREŚĆ.

Str.

Przedmówca .

VII

tO

Część I. Statyka.

Składanie sił, przecinających się w jednym punkcie . ^Równowaga sił, przecinających się w jednym punkcie . Równowaga sił równoległych ....    .    .    .    .

Równowaga płaskich układów sił.........

Równowaga układów sił w przestrzeni.......

Składanie i redukcja układów sił ...    .....

środki ciężkości linji, pól i brył.........

Równowaga i stateczność brył ważkich.......

Zasada prac przystosowanych..........

Równowaga z uwzględnieniem tarcia........

Maszyny proste...............

Linja łańcuchowa...............

Część II. Kinematyka.

Ruch prostoliniowy punktu Ruch krzywolinjowy punktu Ruch płaski brył .

Ruch przestrzenny brył . Ruch złożony brył.

Część III. Dynamika.

c; aw^i^oJWisSH

<1 C O.' OO CT 05 #«. <1 CR ® CB H

1.

2.

Ruch punktu pod działaniem sił . Praca i moc.

io co

CTł O

Tifppr

3.    Momenty bezwładności

4.    JEnergja kinetyczna brył

5.    Zasada równowartości p.racy i energji kinetycznej.

6.    Zasada d^lemberfa............

7.    Kuch środka masy.............

8.    Kuch obrotowy brył............

9.    Kuch płaski brył.............

10. Uderzenie...............

Rozwiązania i odpowiedzi.......

110

113

116

121

, 126

128

132

.    136

143

i¹':' ■

PRZEDMOWA.

Niniejszy zbiór zadań jest, jeżeli się nie mylę, pierwszą książką tego rodzaju w języku polskim, ułożoną głównie na podstawie źródeł cudzoziemskich, z których musiała dotąd korzystać młodzież nasza w uczelniach technicznych średnich i wyższych. Najwięcej materjału dostarczyły zbiory zadań F. Wittenbauera w języku niemieckim, oraz I. Meszczerskiego w rosyjskim, przyczem główny nacisk położono na zadania z zakresu statyki. Prócz treści zadań książka zawiera również odpowiedzi, oraz rozwiązania zadań trudniejszych. W terminologji i znakowaniu elementów mechaniki wzorowałem się przeważnie na podręczniku inż. H. Czopowskiego. W nadziei, iż praca niniejsza zapełni bodaj w części dotkliwą lukę w naszej literaturze pedagogiczno-technicznej, liczę na cenne wska- . zówki czytelników, dotyczące braków i ewentualnych błędów, dostrzeżonych w książce.

Autor.

Warszawa, w grudniu 1916 r.

-

r

4#^

■!

'

r /. •

V

/

a

m

.

'//.

% ‘

/

v .

/ ' : . V.

/

»•

*

/M

\

i

*

W -,-iriai^

i-. v‘

•;.v.

/ *r

i

J

4?

CZĘŚĆ I.

STATYKA

Składanie sił, przecinających się w jednym punkcie.

Statek holowniczy ciągnie trzy barki różnej wielkości, pły-jedna za drugą. Siła pociągowa statku wynosi P = 1800 kg. przypada: na poruszanie samego statku i pierwszej z kolei barki = $00 kg.; na poruszanie barki drugiej P₂ == $00 kg. i trze-P₃ = *$0Ó kg. Liny, któremi barki są przywiązane do statku iędzy sobą, wytrzymują bezpiecznie napięcie Q — 200 kg. Ile ta-lin należy przeciągnąć od statku do barki pierwszej, następnie erwszej do drugiej i od drugiej do trzeciej?

Pociąg porusza się po torze poziomym z prędkością stałą; ’ jego bez lokomotywy wynosi 180 tonn. Jaka jest siła pocią-lokomotywy, jeżeli opór taTeia całego pociągu stanowi 0,005 ciężaru?

Dwa konie, poruszając się wzdłuż dwóch równoległych do brzegów kanału, ciągną barkę za pomocą dwóch lin, tworzą-

pomiędzy sobą kąt = 60° i rozciąg- ____

eh odpowiednio siłami Pi — 75 kg.

= 90 kg. Obliczyć siłę P oporu wo-kanale, oraz kąty a i (3, jakie tworzą nki lin z kierunkiem brzegów kanału.

Trzy nici (rys. 1), złączone w punk- '

*, naciągnięto za pomocą dynamome-sprężynowych odpowiednio siłami:

16 Ig.; P₂ = 14 kg. i P₃ = 26 kg. ‘ ymocowano do punktów A, B i C.

zyć kąty a i [3, które tworzą kierunki j    [

\ i Pj> z kierunkiem siły Ps.    v

Ciężar walca (rys. 2) do ugniatania drogi wynosi Q = 2 tonny, ień zaś jego r = 20 cali. Obliczyć niezbędną siłę pociągową P

<c

pto

tri

X¹

v.

Mechanika. — 1

tak, aby walec mógł być przetoczony pr kamień o wysokości h === 4 calom, d . kający walca w punkcie A.

p-1

C5*

,>

6. Pięć. sił: Px = 10; P₂ == 15; P₃ = P₄ = 8; P₅ — 12 kg, przyłożone są do nego punktu i działają w jednej pP. czyźnie, przyczem kąty między ich runkami wynoszą:    (Pt, P₂) =

< (Pi, Ą) = 1600; ^ (Pi> p₄₎    _ ₃

4C Ą) = — 40°. Wyznaczyć a tycznie i graficznie wielkość i kien , wypadkowej R tych sił.

8. Siłę P = 280 kg. należy rozł na dwie inne P, i P₂, których rói Pj — P₂ ⁼⁼^ 100 kg., składowa zaś rzy kąt ocx = 20° z kierunkiem wypa wej P. Obliczyć wielkości sił Px i P2 kąt a = ax + a₂ pomiędzy niemi.

7. Znaleźć wielkość i kierunek wypadkowej R (rys. 3) pi uł, których wektory wyrażone są cięciwami, zbudowanemi pomh wierzchołkiem A a pięciu innemi wierzchołkami sześciokąta fo: lego (graficznie i analitycznie).

9. Siłę P należy rozłożyć na dwi< ne Pt i P₂, czyniące zadość warunl P₂ = f Px. Prócz tego kąt a₂ pomi siłami P₂ i P powinien być dwa większy od kąta at pomiędzy Px i P. < czyć wielkości tych sił i kątów.

10. Siłę P= 20 kg. należy rozłożyć na dwie inne Pt i P₂, rżące pomiędzy sobą kąt a = 40° i znajdujące się w stos 1 : n — 1 : 2,5. Obliczyć te siły oraz kąty ax i a₂, które one rzą z kierunkiem danej siły P.

11.    Cztery równe siły P (rys 4) rzą swemi wektorami cztery kraw ostrosłupa foremnego pięciokątnego. jest wypadkowa R tych sił i gdzie cina płaszczyznę podstawy ostrosłup, żeli wysokość tego ostrosłupa jest

• a promień pięciokąta w podstawie —

12.    Siłę P należy rozłożyć na 3 P,, P₂ i P₃ pod warunkiem, -aby z; wany był stosunek: Pl : P₂ : P₃ — 1 : oraz aby były równe kąty: <T (A> ^ <C (P₂, Ps)= < (Ą,Ą)^'120». . są wielkości sił składowych oraz

które one tworzą z kierunkiem siły wypadkowej P?

55.    Belka AB (rys. 44) o długości „ l = 10 m i ciężarze P = 200 kg spoczy-

wa na

5!j

yi

m

[ń\

fi

dwóch podporach C i P, i których pierwsza znajduje się od końca A w od-| ległości a = 2 m, druga zaś od końca B w odległości b = 3 m. Koniec A odciągany jest do góry za pomocą nici, przerzuconej przez blok E i obciążonej siłą Q = 300 kg; w odległości zaś c = 3 m od tegoż końca A do belki uczepiony jest ciężar S = 800 kg. Obliczyć siły odporowe i Nd.

56.    Belka jednorodna (rys. 45) o długości l — 20 stóp i ciężarze P — 320 kg, umocowana jest poziomo za pomocą przegubu na końcu A oraz podpory C w odległości a = 8 st. od tegoż końca. Belka dźwiga dwa ciężary: Q = 160 kg w odległości 6 = 6 st od końca A i S = 240 kg w odległości c — 6 st od końca B. Obliczyć siły odporowe NA Nc.

57.    Do pręta jednorodnego AB (rys. 46) o długości l = 12 st. i ciężarze Q = = 6 kg przyczepione są w równyeh od siebie odległościach 4 ciężarki Plt P₂, P3 i P₄, z których P₁ = 2 kg, a każdy następny jest o 1 kg większy od poprzedniego. W jakiej odległości x od końca A należy zawiesić pręt, aby utrzymać go poziomo w równowadze?

58.    Koniec A pręta poziomego AB (rys. 47) o długości l — 5 m i ciężarze Q — 20 kg odciągnięty jest do góry siłą St = 10 kg, koniec zaś B siłą S₂ = 20 kg za pomocą sznurków, przerzuconych przez bloki D i E. Wzdłuż pręta w równych odstępach po sobie rozmieszczone są ciężary P₁ = 5 kg; P₂ = 10 kg; P₃ = 15 kg i P₄ = 20 kg. W jakim punkcie C należy umieścić podporę, aby pręt pozostał w równowadze?

59.    Dwie sztaby jednorodne AB i BC (rys. 48) o jednakowym przekroju poprzecznym, z których AB jest o połowę krótsza i lżejsza od BC, połączone są końcami pod kątem 60° do siebie. Koniec A

utworzonej w ten sposób dźwigni łamanej zawieszono na nici AD. Obliczyć kąt a, który tworzy podczas równowagi sztaba BC z kierunkiem poziomym.

60. Długość belki wagowej AB (rys. 49) wynosi l = 30 cm. Ciężar tej belki wraz z szalkami Q = 300 gr przyłożony jest

we

Ig

<c

rfC

[i]R

li

P-

wspólnym środku ciężkości O. Gdy na jedną z szalek zostanie położony ciężarek P=0,01 gr, wówczas koniec D wskazówki, mającej długość CD = a = 30 cm, odchyla się od położenia pionowego na odległość ED = b = 0,3 cm. Obliczyć odległość x środka ciężkości O wagi od ostrza podpierającego C.

61.    W celu wyznaczenia odległości x ?od końca A do środka ciężkości O drąga niejednorodnego AB (rys. 50), koniec jego A zawieszono nieruchomo na nici, w punkcie zaś C podparto ostrzem, umieszczonym na jednej z szalek wagi w odległości AC = a = 30 cm. Ciężar drąga P — 1,5 kg, równowagę zaś utrzymuje ciężarek Q = 1 kg, położony na drugiej szalce wagi. Obliczyć odległość x.

62.    Główną część wciągu różnicowego We-stona (rys. 51) stanowią dwa nieruchome, związane z sobą krążki A o promieniach R = 25 cm;

r = 24 cm. Krążki te połączone są z krąż-kiem ruchomym B, za pomocą liny lub łańcucha. Obliczyć siłę P, niezbędną do unoszenia ciężaru Q = 500 kg, uczepionego do krążka B, nie uwzględniając przy-tem oporu tarcia, ani ciężaru krążka B.

63. Dźwignia różnicowa (rys. 52) składa się z drąga AB, ‘opartego na nieruchomym ostrzu w punkcie C oraz połączonych z tym drągiem przegubowo prętów

___J AD, DE i EFy przyczem AC — CE = b —

pręcie DE 1

"r - -- -~€~    ~

|l4E

0t

= 25 cm. W punkcie G

na

~dsi ciężar Q = 1000 kg, przyczem odle-łość linji działania siły Q od ostrza C wynosi a =- 0,1 cm = 1 mm, odległości zaś \ ej linji od końców D i E pręta DE wynoszą dpowiednio: c — 24,9 cm; d — 25,1 cm. la dźwigni AB w odległości CB = e = — 100 cm wisi ciężar P. Obliczyć jego wielkość podczas równowagi.

64.    W celu zmierzenia bardzo dużej iły Q (rys. 53) zbudowano układ dwóch Iźwigni nierównoramiennych ABC i EDF, >ołączonych pomiędzy sobą prętem CD. N punktach B i E znajdują się podpory lieruchome. Wzdłuż dźwigni DEF może )yć przesuwany ciężar P = 12,5 kg, przy-izem równowaga całego układu następuje v odległości Z ciężaru P od podpory E. *4a jaką odległość x wypadnie odsunąć cię-car P od tego położenia, gdy siła Q zwiększy się o 1000 kg, jeżeli dane są wymiany: a = 3,3 cm; b — 660 cm; c — 50 cm?

65.    Wzdłuż belki AB o długości Z = = 10 m (rys. 54) może poruszać się żó-iw, którego własny ciężar wynosi Q — = 5 tonn, a środek ciężkości znajduje się ' odległości b — 3 m od podpory A. Żó-aw unosi nadto ciężar P = 1 tonnie, dzia-ijący w jednej płaszczyźnie z belką AB. )dległość siły P od osi żórawia wynosi • = 4 m; ciężar belki S = 3 tonny. Obli-zyć siły odporowe NA i NB na końcach ej belki.

66.    Na belce poziomej AB (rys. 55) ) długości Z = 10 m ułożono pomost sze-•oKosci b = 1 m, na który nasypano warstwę piasku o ciężarze Q. Warstwa ta, poczynając od podpory A wznosi się stopniowo do wysokości a = 2 m nad podporą B. Ciężar 1 m³ piasku wynosi 1,2 tonny. Obliczyć siły odporowe NA i i\rB.

67.    Belka AB (rys. 56) o długości ^i = 16 stóp i ciężarze Pt == 200 kg. połączona jest w końcu A przegubowo ze ścianą, w końcu zaś B opiera się o drugą belkę CD, mającą długość l₂= 12 st i ważącą

amaarn

ifff

IJj

'{*

|B

kNa

a.

: fe----Z-

j¥]

P₂ == 160 kg. Ta druga belka połączona jest przeguoowo w I) ze ścianą i podparta w punkcie E w odległości b == 8 j|t od końca D. Oprócz tego belka AB dźwiga ciężar = 80 kg w odległości ai = 12 fet od końca A, belka zaś CD — ciężar Q₂ = 80 kg

w odległości a₂ — 4 st od końca D. Obli-______    '_ czyć siły odporowe NA, NB, Nc, ND i NE.

Konc

ii

—-cL./

Nb

Nc

fjti

śWDmmnfKtmmm

-Oł

>    i

td

Pl.

•/

i_-    68. Most zwodzony (rys. 57) o dłu

gości AB = CE — a = 5 m i ciężarze *S = 3 tonny, może być unoszony za pomocą dwóch belek CD o długości b = 8 m i ciężarze Q — 400 kg każda z obydwóch stron mostu.

Obliczyć przeciwwagę P, pozwalającą utrzymać most w równowadze w każdym położeniu.

69. Most konsolowy (rys. 58) składa się z 3 części: AC, CD i DE, z których skrajne spoczywają każda na dwóch podporach.

Dane są wymiary: AB — FE=

= a — 15 m; BG — DF —

— b — 25 m; CD — c = 15 m. Obciążenie na całym moście jest jednostajne i wynosi q == 6 tonn na każdy 1 m bieżący długości. Obliczyć siły odporowe NA, NB i Nq.

70. Most konsolowy (rys. 59) składa się z przęsł^^łów-nego AB i dwóch b®«znyi CA i BD■ Ciężar Al ■ h przęseł na 1 m bieżący nosi dla przęsła AB    I

tonny dla AC i BD po ę₂ — 1 = 1 ton. Część mostu od J? do D obciążona jest nadto jednostajnie pociągiem, przy-czem na 1 m bieżący wypada obciążenie <73 = 3 tonny. Mając wymiary: AC =BDz=a==<2‘0 m;

l — 15 m;

mm.

WWMĘĘM

mmi

Na

Na-

Ne

Nf

|N

mNd

Sr:*-

vNb

A,

a.

.................... ...... 37/t i fNe

1 ^ -3;0 -    \0 <-

B O,

25K

Nb

TOK

-60,

FB

AE

EF = c = 50m odporowe: Nc Nb i Nd .

^^^Znałez^grlmcznnH! analitycznie siły odporowe NA i NB. belki, której wymiary i obciążenie wskazuje rys. 60 cc, & i c.

72. Hamulec taśmowy (rys. 61) pomysłu Ohnesorge’go składa się z obciskającej koło taśmy stalowej, której końce C i D mogą być zbliżane ku sobie, a taśma rozciągnięta za pomocą sił Pt i P₂, przyłożonych na końcach dźwigni AEC i BFD.

[śj

Przy danych wielkościach a, b i c ramion tych dźwigni, obliczyć stosunek : P2 naprężeń w obydwóch końcach taśmy hamulcowej.

4. Równowaga płaskich układów sił.

73. W punkcie O (rys. 62) zawieszony jest na nici OM p długości b walec, ważący Q, z boku zaś tego walca, na nici O AB cię- ^ żar P. Jaki jest kąt cp, który tworzy nić OM z kierunkiem pionowym podczas równowagi i jakie jest naprężenie S tej nici?

riii

fi

sr

74.    Drąg AB = a (rys. 63), umocowany przegubowo w punkcie A i mający ciężar Q, oparty jest końcem B o gładką ścianę pionową. Ciężar Q drąga przyłożony jest w środku ciężkości C odległym o AC — b od końca A. Obliczyć wielkość i kierunek sił odporowych Na i Nb, mając dany kąt nachylenia a drąga do poziomu.

o:

na

75.    Ten sam, co poprzednio, drąg AB (rys. 64) opiera się końcem A o gładką podłogę poziomą pod kątem a, końcem zaś B o gładką równię, nachyloną pod kątem (3 do poziomu. Jaką siłę P należy przyłożyć w kierunku poziomym do końca A drąga, aby utrzymać go w równowadze, oraz jakie są wtedy siły odporowe NA i NB ?

wm

76.    Drąg jednorodny AB o długości 2a (rys. 65) i ciężarze Q oparty jest końcami o gładką ścianę i podłogę i utrzymywany

IBM

*66.

w równowadze za pomocą sznurka Obliczyć naprężenie P tego sznurka, jąc wiadome kąty nachylenia a. i (3.

77.    Do gładkiej półkuli o promień (rys. 66) włożono drąg AC o długości

i ciężarze P. Pod jakim kątem cp zatr: ma się ten drąg w równowadze i jakie są siły odporowe w punktach A i B ?

78.    Drąg AB (rys. 67) o długości 2a i ciężarze Q umocowany jest w końcu A przegubowo, w końcu zaś B utrzymywany w równowadze za pomocą sznurka BC, przerzuconego przez blok C. Obliczyć naprężenie P sznurka, oraz kierunek i wielkość siły odporowej Nf jeżeli AB = AC, drąg zaś tworzy z kierunkiem pionowym kąt a.

79.    Na końcu E pręta nieważkiego BE (rys. 68) wisi ciężar Q; pręt ten umocowany jest przegubowo w punkcie B i utrzymywany w równowadze za pomocą nici OADprzewleczonej przez nieruchomy i gładki pierścień A. Obliczyć naprężenie T w tej nici, oraz wielkość i kąt nachylenia cp siły odporowej A w przegubie B, jeżeli: BC=DE; AC = AD, kąty, jakie tworzy nić z prętem, wynoszą a, kąt zaś chylenia pręta do poziomu jest (3.

80.    Po dwóch gładkich prętach AO i BO (rys. 69), leżących w płaszczyźnie pionowej i prostopadłych do siebie, mogą przesuwać się dwie kule C i D o ciężarach Q i Qt. Kule te połączone są

bą nierozciągliwą nicią CD, obliczyć kąt nachylenia cp tej nici, jej naprężenie T, oraz siły odporowe iVc i jeżeli pręt A O tworzy kierunkiem poziomym kąt a.

JL

iii

na-

z so-

81. Pręt O A (rys. 70) o długości 21 i ciężarze Q włożony jest do dołu prosto-

d/ Nd

Qv

JB

MBUM

1.

'<r~

a.

•pr

odporowe w punktach 0 i P.

82.    Pręt o ciężarze Q (rys. 71), przyłożonym w punkcie S, opiera się końcem A o gładką podłogę i utrzymywany jest w równowadze za pomocą dwóch podpie^ rających go kołków poziomych B i C. Odległość AS = a; BG — b; kąt nachylenia pręta = a. Obliczyć siły odporowe NA, Nb i Nę.

83.    Maszt OD (rys. 72), umocowany pionowo w punkcie O, dźwiga na dwóch sznurach CA i DB nieważką deskę poziomą AB, na której znajduje się ciężar P. Znaleźć położenie tego ciężaru podczas równowagi oraz jego moment statyczny względem punktu O, jeżeli nici AC i BD tworzą z kierunkiem poziomym AB kąty a i p.

84.    W wadze aerodynamicznej pomysłu EiffePa (rys. 73) strumień powietrza R uderza pod kątem a do poziomu o wklęsłą płytkę K, połączoną z dźwignią AB. Ta ostatnia za pośrednictwem pręta DC połączona jest z drugą dźwignią DOE, osadzoną na nieruchomym ostrzu O. 7i początku koniec B dźwigni dolnej jest wolny, koniec zaś A umocowany przegubowo, a cały przyrząd zrównoważony za pomocą ciężarka P. Z chwilą, gdy strumień R powietrza zaczyna działać na płytkę K, ciężarek P należy zmniejszyć o Px. Taką samą czynność powtarza się, zwalniając koniec A, a umocowując koniec B dźwigni dolnej. Zmniejszenie ciężarka P wynosi wtedy P₂. Z wiadomych zmian Px i P2 tego ciężarka obliczyć ciśnienie R strumienia powietrza. Dane sa wymiary: DO = r; GE = p; BC = b; CA = a; BA = l.

85.    Dwa pręty AB i CD (rys. 74), i których drugi dźwiga na końcu D ciężar Q i posiada długość a, połączone są * sobą przegubowo w punkcie B i urno-owane również przegubowo w punktach i i C. Przy danych kątach nachylenia

Bi

HI

mm.

TH

*■51

rra

\ / Ki

odległości b pomiędzy czyć wielkości A\ i h₂, oraz kąty nachylenia i cp₂ sił odporowych w przegubach B i C.

86.    Schody AB (rys. 75), których ciężar własny wynosi q — 20 kg na 1 m bie-

LU

A i C obli-

_ żący, podtrzymują platformę BG, która ||l w środku dźwiga ciężar Q = 450 kg. Na końcu A schody opierają się o słup pionowy AE i belkę poziomą DA. Mając dane wymiary: b = 4 m; h — 3 m, obliczyć siły Fi H, działające wzdłuż AE i DA oraz wielkość N i kąt nachylenia cp siły odporowej w punkcie C.

87.    Na podłodze poziomej i gładkiej (rys. 76) stoi rusztowanie w kształcie trójkąta równobocznego ABC o boku a. Rusztowanie to wspiera belkę OD o ciężarze Q i długości 21, umocowaną przegubowo w końcu O. Rusztowanie należy ustawić tak, aby w punkcie A nie działała żadna siła odporowa. Jaka powinna być wówczas odległość O A = x oraz siła pozioma K w punkcie B, utrzymująca rusztowanie w równowadze?

y/A

-<

pa

\\

a'

P-

co

88.    Dźwignica giserska ABC (rys. 77) osadzona jest na osi pionowej AB. Odległość pomiędzy podporami AB = c = 5 m. W odległości AC = a=5mna dźwignicy wisi ciężar P = 3 tonn. Ciężar mechanizmu dźwignicy wynosi Q = 2 tonn i przyłożony jest w środku ciężkości K, który leży w odległości b — 2 m od osi AB. Znaleźć siły odporowe NA i NB łożysk 4 i -B dźwignicy.

89.    Dźwignica składa się z kolumny AB (rys. 78), umocowanej przegubowo |w końcu 4 i unoszącej na końcu B ciężar P = = 200 kg. Kolumnę utrzymuje lina pozioma BC, przyczem kierunek kolumny tworzy kąt a — 45° ze ścianą pionową, ciężar zaś jej, przyłożony w środku D, wynosi • Q = 100 kg. Obliczyć naprężenie T liny, oraz siłę odporową A podpory A.

90. Żóraw, unoszący ciężar P = 4 tn, (rys. 79) posiada krzywą kolumnę ABD,

[•acającą, się dokoła osi pionowe^^^^^ dwóch łożyskach A i B. Odległość po-ędzy teihi łożyskami wynosi c = 2 m; ległość ciężaru Pod osi żórawia: a = 5 m. jżar całego mechanizmu Q = 2 tn przy-ony jest w punkcie C, odległym od osi '-) = 2 m. Obliczyć siły odporowe NA -t

V*. 1 %

91.    Dźwignica (rys. 80) umocowana t w punkcie A za pomocą nieruchome-

przegubu, w punkcie zaś B za pomo-śruby BC, wkręconej w nieruchomy śrubek C. Trójkąt ABC jest równo-czny, przyczem długość każdego z jego ków wynosi c = 8 m. Ciężar dźwigni-wyraża się siłą Q — 12 tn, przyłożoną punkcie D w odległości b ~ 5 m od dpory A. Dźwignica unosi ciężar P —

20 tn, w odległości a = 15 m od tej-podpory. Obliczyć siłę odporową N az naprężenie T śruby BC.

92.    Belkę MN (rys. 81) o ciężarze = 4200 kg, przyłożonym w punkcie D, rzymują w położeniu poziomym trzy aury, z których jeden w punkcie A jest sprężony pionowo, drugi w punkcie B orzy z kierunkiem poziomym belki kąt 60°,

;eoi zaś w punkcie C kąt 45°. Obliczyć prężenia TA, TB i Tq tych sznurów, ijąc dane wymiary: a = 4 m; b = 2 m;

= 1 m.

93.    Lokomotywa (rys. 82) o 2 osiach, .żąca P=20tn, porusza pociąg z siłą Q =

2 tn, skierowaną poziomo. Odległość ji działania siły P od obydwóch osi * /nosi <7 =1 m; wysokość linji działania ■y Q nad torem kolejowym b = 1 m. Obliczyć siły odporowe NA i NB.

94.    Na końcu A dźwigni ręcznej AOB prasie (rys. 83) przyłożona jest siła = 20 kg na ramieniu O A = b = 1 m, zyczem drugie ramię tej dźwigni OB =

; a ~ 0,1 m jest prostopadłe do pręta O. Pręt ten za pośrednictwem dwóch wnych i połączonych przegubowo prę-

wMŁmm

wm

,,lVir a"—

m

p-

fk

l>c-

_______&

"JI

UJ

ol

oo

pn

■OB

mmmmmm

„fj

tów EG i CD działa na płytę, ściskają' przedmiot M siłą T. Obliczyć tę sil mając dane kąty a — arctan 0, 2 = 11° 2(

■p

o-7

83.

95. Stępor (rys. 84) o ciężarze P ■ = 180 kg może być unoszony do góry pomocą palców C na kole D. Palce dotykają stępora w odległości a = 0,15 i odległość zaś pomiędzy łożyskami A i stępora wynosi b = 1,5 m. Obliczyć si odporowe NA i NB tych łożysk oraz si unoszącą Q palców.

96. Do dźwigni poziomej, nierównoramiennej ABC (rys. 8; podpartej w punkcie B, przytwierdzony jest na końcu C pionom pręt CD, dźwigający platformę FE. Na platformie tej leży cięż P — 100 kg. Wiedząc, że BC = OD = 0,1 AB, obliczyć siłę równoważącą ciężar P na platformie.

■i

11

mi

■sra

'IV

mm

gBn

97. Belka jednorodna AB (rys. 86) o ciężarze P opiera s o dwie gładkie prostopadłe do siebie płaszczyzny CD i DE, z kt | rych CD nachylona jest pod kątem a do poziomu. Znaleźć kąt n chylenia © belki podczas równowagi, oraz siły odporowe NA i E

NJ

Oo

cie zaś B o również gładki słup na wysokości b = 3 m, przy-czem tworzy kąt 30°

'---—-¹ z kierunkiem piońo-

wym. Bółka utrzymuje się w równowadze za pomocą sznurka, pr:

K wiązanego do końca A. Znaleźć naprężenie T tego sznurka, oi siły odporowe NA i NB, nie uwzględniając tarcia.

99. Drąg jednorodny AB (rys. 88) o długości a = 16 st i c żarze P — 20 kg wsadzony jest w otwór szerokości b = 1 st o gł

i ścianach pionowych. Podczas rów-agi drąg opiera się o krawędź B otwo-dotykając przeciwległej ściany koń-A. Obliczyć kąt nachylenia drąga a z siły odporowe NA. i Nb-

100- Krokwie dachowe AB (rys. 89) ,cne są na gładkich ścianach pod ką-a = arctan 0,5 do poziomu. Każda dew obciążona jest jednostajnie na ca-$wej długości, przyczem obciążenie to osi Q = 900 kg. Obliczyć siły odpo-e Na i Nb-

01. Symetryczny wiązar dachowy ACB . 90) umocowany jest nieruchomo ońcu A, drugi zaś koniec B tego wią-spoczywa na ruchomej płycie pozio-Ciężar całej konstrukcji wynosi P = 0 tn, prócz tego bok AC dachu pod-7 jest sile parcia wiatru Q — 0,8 tn, tającej prostopadle do AC. Długość ej połowy wiązara wynosi a — 6 m, nachylenia do poziomu 30°. Obliczyć odporowe NA i NB -

32. Kratownica łukowa (rys. 91) opar-st nieruchomo w końcu A, w końcu B posiada ruchomą płytę oporową, Ooną pod kątem 30° do poziomu, iecie kratownicy wynosi a — 20 m; y Jej ciężar P= 10 tn. Parcie wia-/yraża się poziomą siłą Q — 2 tn, ijącą od strony AC poziomo w odle-4 b — 4 m od podstawy AB. Obli-siły odporowe NA i NB.

3. Belka jednorodna AB (rys. 92) gości a — 3 m i ciężarze P = 20 kg ¹ si§ końcem B o gładkie poziome otworu K, w punktach zaś C i D redzie tego otworu, przyczem BC —

] — b = 0,5 m, a kąt nachylenia bel-poziomu = 60°. Obliczyć siły od-e jS 'b , Nc i Nd .

1. Deska AB (rys. 93) o długości eżarze P zawieszona jest na dwóch ch sznurkach AC i CB, tworzących z kierunkiem deski. W punkcie D końca A deski stoi

>Y

90.

A\ I

IY

91.

-----CL—,

'P

i fil

IR

na

<fr/>

mm

'A

>\

\

A\C

Hi

mm

i■ -

niej człowiek o ciężarze Q. Obliczyć nachylenia deski podczas równowagi, naprężenia Tx i T₂ sznurków AC

105.    Drabina AB (rys. 94), nach pod kątem 45° do poziomu i ważąca = 20 kg, opiera się końcem B o g ścianę pionową, końcem zaś A o wy cy z podłogi próg. W punkcie C ’ ległości ¹/₃ długości l drabiny od ko: stoi człowiek o ciężarze Q = 60 kg. leźć siły odporowe NA m NB w ko drabiny.

106.    Belka jednorodna AB (rys ważąca P — 100 kg, opiera się końc o gładką podłogę, a końcem B wci jest na gładką równię pochyłą, której k chylenia do poziomu wynosi 30°, kąt z chylenia samej belki wynosi 15°. czyć siłę Q, działającą wzdłuż rówr chyłej i niezbędną do utrzymania r wagi oraz siły odporowe i NB.

Ti

'/i

1/

Ul

HI

p=. j

-MS

W-

SK

ŚW ¹

mwM

iw-

107.    Drąg AB (rys. 96), osadzony na przegubie A, opie o powierzchnię gładkiego walca OV> promieniu r, tworząc h z kierunkiem poziomym. Długość drąga wynosi 3r. Oś wal łączona jest nicią z przegubem A. Znaleźć naprężenie T te

siły odporowe AAa i Nę, w punktach A i O, jeżeli ciężą ga AB wynosi P = 16 kg.

108.    Dwie styczne do siebie kule Ct i C₂ (rys. 97) o p niach P i # ⁴ ciężarach Pt i P₂ zawieszone są na dwóch ]

h ACt i AC₂, tworzących pomiędzy sobą tory tworzy pierwszy z- tych sznurków' z Ł ako też naprężenia i ^2 obydwóch szm mienie N. pomiędzy kulami.

r dwiema gładkiemi i wzajemnie prostop i DB (rys. 98), nachylonemi pod kątami 6(

oraz

dłi

Oł

ki<

or

płf

114. Most łukowy (rys. 103) s] się z dwóch części D i E, ważących da P — 4 tn. Części te osadzone przegubach B i C i połączone z przegubem A. Odległości środków ■ od przegubu A wynoszą d — 4 m, od gubów zaś B i C po a — 1 m. Na części mostu spoczywa ciężam Q — w odległości 6 = 3 m od środka Di ległości c = i m od przegubu A. Ob' siły odporowe NA, JVB i Nc w pi bach mostu.

im

o! A

wrn

if;

_x JP

mik

iw

■0^1 $

ca

-a

■mf:

m

II

>:%w

ii

a.

mm

:c

■ -c

115. Na gładkiej pozioi ej po (rys. 104) stoją, dwie równe prost do siebie drabiny AC i CB każda gości a — 12 stóp i ciężarze P — • Drabiny te sa. poła.czdne z sobą i przegubem C, u dołu zaś sznure przyczem odległości punktów E i dolnych końców drabin wynoszą b W punkcie D w odległości c = 1 przegubu C na prawej drabinie st< wiek, ważący Q = 80 kg. Obliczyć , porowe Na , NB i Nc oraz naprę: sznura EF.

nac

116.    Wielo bok przegubowy (rys. 105) składa się z 4 r ogniw, połączonych przegubami B, C i D między sobą, prze zaś A i E z nieruchomym ogniwem AE, przyczem kąty do poziomu skrajnych ogniw AB i DE wynoszą a = 60°. kąty nachylenia (3 pozostałych dwóch ogniw, jeżeli w prz< B, C i D działają równe i skierowane pionowo siły Q.

117. Belka pozioma AB (rys. 106) o długości 2a = 2

n

T,

sfii

mmm

/JE

7. Ruch środka masy.

107. T= 4]/3; . NAx = — 6; NAy= 16 + 2]/3; Nc = 8]

Qa ■■ Q •“ : 'A- - y , ~ „•

423- Punkt M leży na przedłużeniu prostej AD. Bieg

-/?)•

W położeniach równowagi M0 i M praca ta równa się

■^ (J -f- mx2) 03 ^mv2 = 4 (I -(- ma2) 0O2,

117.    Belka pozioma AB (rys. 106) o długości 2a = 2 mocowana jest w końcu A do słupa pionowego AC i podpa ukośną DE pod kątem 45°, przyczem AE = AD — a = 1 i u dołu wzmocniony jest łatą FG pod kątem 45°, p

to poziomu, włożone są dwie styczne do siebie kule o promieniach ri == 10 cm; r₂=20 cm i ciężarach Px=10 kgiP₂=30kg. Obliczyć kąt nachylenia cp prostej, łączącej środki tych kul, siły odporowe i N2 oraz siłę N ciśnienia wzajemnego pomiędzy kulami.

it

110. Ciężar P== 240 kg (rys. 99) u-trzymywany jest na równi pochyłej pod kątem 60° do poziomu za pomocą liny, nawiniętej na nieruchomy wałek C przystawki. Ciężar przystawki Q = 120 kg; ma ona kształt trójkąta, w którym podstawa i wysokość posiadają długość 2a. W punkcie A przystawka opiera się o gładką podłogę, w punkcie zaś B przymocowana jest za pomocą śruby. Znaleźć siły odporowe NA i Nb, nie uwzględniając tarcia.

111. Pręt AB (rys. 100) o długości 21 i ciężarze P może obracać się na prze-*bie A. Pręt ten opiera się o koniec ęta CD takiej samej długości,, osadzone-^rodku E i obciążone-

/ na przegubie w na drugim końcu siłą 2P. Odległość między przegubami A i E wynosi l. liczyć kąt cp ' i siłę odporową N w poceniu równowagi.

0>l

•\

-o

112. Wiązar dachowy (rys. 101) skła-się z dwóch równych krokwi AC i BC długości a = 5 m połączonych dolnymi ńcami z belką AB. Krokwie nachylone pod kątem a, przyczem tan a = 0,5. asny ciężar każdej z nich wyraża się P = 900 kg, przyłożoną w środku >kwi. Obliczyć siły odporowe ,NA, i Nc.

p-

t=f ,i

Hm

mm

113. Wiązar dachowy (rys. 102) skła-się z dwóch równych krokwi AC i BC długości 1=4 m, ustawionych pod ką-i a, przyczem tan a = 0,5. Krokwie jązane są z sobą łatą poprzeczną DE, zyczem DC = CE = i/i Z. / Obciążenie żdej krokwi, przyłożone w jej środku, nosi P =; 800 kg. Obliczyć siłę odpo--vrą N ścian i naprężenie T wzdłuż ła-I)E.

f 128. Dwa równe nieważkie, pręty OA i OB (rys. 117) o długo-| l, połączone z sobą przegubowo w punkcie 0, opierają się o po-ijerzchnię gładkiego walca o promieniu r.

iSS

^ punktach 0, A i B przyłożone są cię-1-y P i Q. Obliczyć kąty cp, jakie two-lh pręty z kierunkiem pionowym pod-Łs równowagi.

129. Wewnątrz półkuli (rys. 118), promieniu r i ciężarze Q, utrzymuje się położeniu poziomem drąg AB, o dłu-:|ści 21 i ciężarze , opierając się o dno [Krawędź C tej półkuli. Jaki jest stosu-

|k ciężarów -

Izytem siły odporowe NA, Nc i .ND, jeżeli ciężar Q półkuli prz;y lżony jest w odległości EO — a od jej środka O?

Qi

oraz jakie wynikają

| 130. Warunki takie same jak w zadaniu poprzedniem, z tą jenie różnicą, że drąg AB (rys. 119) utrzymuje się w położeniu chyłem pod kątem cp do promienia OC półkuli, promień zaś ten chylony jest pod kątem a do poziomu. Obliczyć obydwa kąty ji cp, oraz siły odporowe NA, Nc i ND.

't.

'mm.

,Y,

n! VK

wimm

mmmm

li

IB

131.

Na dwóch jednakowych walcach (rys. 120), z których każ-\r ma ciężar P i przymocowany jest na sznurku do punktu nieru-lomego O, spoczywa trzeci walec, o ciężarze Q. Jaka jest zależ-)ść pomiędzy kątami a i p podczas równowagi?

5. Równowaga układów sił w przestrzeni.

132. Dwa równe słupy ukośne AB i AC (rys. 121) ustawione w płaszczyźnie pionowej pod kątem 30° do siebie i złączone punkcie A. Do punktu tego przytwierdzone są dwa druty, two-ące pomiędzy sobą kąt prostj’', przyczem płaszczyzna BAC dzieli n kąt na połowy. Druty naciągnięte są każdy siłą P — 100 kg.

i:

Obliczyć naprężenia Tx i T₂ wzdłuż słupów AB i AC, nie uwzględniając ich ciężaru.

fy ** 133. Dwa poziome druty telegraficz-/ ne AB i AB (rys. 122), z których pierwszy naciągnięty jest siłą P, = 12 kg., drugi zaś siłą P₂ = 16 kg., tworzą pomiędzy sobą kąt prosty i przytwierdzone są do górnego końca A słupa pionowego AB. Słup ten wzmocniony jest słupem ukośnym AC, tworzącym kąt 60° z płaszczyzną poziomu. Znaleźć kąt a pomiędzy drutem AE a płaszczyzną BAC pod warunkiem, aby słupy nie doznawały żadnych sił bocznych, oraz obliczyć siły rI\ i T₂, działające wzdłuż słupów AB i AC.

134. Balon okrągły O (rys. 123) uwiązany jest na dwóch równych linach OA i OB, tworzących pomiędzy sobą kąt prosty AOB. Pod działaniem poziomej siły parcia wiatru P płaszczyzna tego kątjp-podchyla się pod kątem 60° do poizdomu, przyczem siła P działa w płaszczyźnie pionowej, dzielącej kąt AOB na połowy Balon wraz z zawartym w nim gazem wa ży Q = 250 kg.; objętość balonu v = 215,4 m.³, ciężar zaś 1 m. powietrza wynosi 1,3 kg. Obliczyć napięcie T lin, oraz siłę P parcia wiatru.    /

135. ' Ciężar Q — 100 kg. (r$te. 124) uwiązany jest na końcu B drąga ' AB, tworzącego kąt 45° z płaszczyzną ściany pionowej. Koniec ten przymocowany jest za pomocą dwóch równych lin CB i DB, tworzących pomiędzy sobą kąt prosty i położonych w płaszczyźnie poziomej. Obliczyć naprężenia 8 i T wzdłuż drąga i lin.

Nr<

i \ - -

tH

!Z.

»<r50

o__

Mi

jr!

e*a I

gig

mm

m.

■/ił.

mu

SS]

r*i

136. Maszt pionowy AB (rys. 125) utrzymują 4 równe i symetrycznie rozłożone liny, tworzące pomiędzy sobą parami kąty = 60i°. Każda z tych lin naciągnięta jest siłą P = 100 kg. Obliczyć siłę

*

gp i

<

■f

"i\’

i

V"

V'X

\

4f

c<

1

W»

V /i

—V

. ..'w- Jfo**..

;n

..

■

h\

X.-¹

SUS*

.

...

I:

.

&

X''-■ t

j

£*

1

e

/

V ' •

i-

'

'Z

>•

■

-

i

\ •

,

.

Takie same nachylenie posiada sznurek BC względem krawędzi CE. I Obliczyć siły odporowe NA i NB ściany i podłogi, oraz naprężenia , I sznurków TA i TB.

|    — 155. Przykrywka AB CD pudła pro-

stokątnego (rys. 142) podparta jest drążkiem ukośnym DE. Ciężar przykrywki P = 12 kg.; długość a = 3 st.; szerokość 1 b = 2 st.; kąt nachylenia do poziomu a == 60°. Obliczyć naprężenie 6’ wzdłuż y drążka DE, oraz siły odporowe NA i NB w zawiasach A i B przykrywki.

156. Drzwi prostokątne (rys. 143) osadzone są na osi pionowej o dwóch zawiasach A i B i odchylone o kąt 60°.

W położeniu tern drzwi utrzymywane są za pomocą dwóch sznurków, z których FE leży na podłodze równolegle do krawędzi BX, zaś CD przerzucony jest przez blok D i naciągnięty ciężarkiem P— 20 kg.

Ciężar drzwi (2=40 kg.; wysokość a— 8 st.; szerokość h — 6 st. Obliczyć naprężenie - T sznurka FE, oraz siły odporowe NA i NB w zawiasach.

W,

NNh

=2 t=l

sir

w z xm

ta

slS

rj

mi

'•i

157. Na czopie korby, o promieniu 12,5 cm. (rys. 144), działa siła P = 2000 kg., skierowana pod

r

kątem 10° do poziomu, przyczem płaszczyzna, przechodząca przez oś wała i oś czopa korbowego, tworzy kąt 30° z kierunkiem piono-

Tf,

r/i

mm

MKtm

lii

Mym. Napęd korby przesyłany jest za pomocą k?ła pasowego C, przy-czem oba końce pasa są równoległe do siebie i tworzą kąt 30u z kierunkiem poziomym. Naprężenie tych końców wynosi w sumie: P-j-(=750 kg. Średnica koła d = 2 m.; ciężar (2 = 1500 kg.; odległość jego od łożyska A wała: l = 25 cm. Środek czopa korbowego położony jest od łożysk A i B w odległościach: m = 30 cm.; n = 45 cm. Obliczyć siły odporowe łożysk AiiAs, przyjmując: 'sin 10° = 0,174; cos 10° = 0,985.

Mechanika. — 3

j&3

\r>

6. Składanie i redukcja układów sil

■■ m

■S

Pi Q (rys. 145), z który (

158. Z trzech sił P,

dwie tworzą parę o momencie 1/ = PA, trzecia zaś dzi

prostopadle, należy odnaleźć ------- ———-- kową bez pomocy wielokąta ąi

159.    Daną siłę P należy r 4 równoległe do niej siły P,, f.. których położenie jest dane, kiem, aby: P, : P₂ = 1 : 2; P₃ : Wyznaczyć analitycznie i grafi kości tych sił.

•V

160.    Daną siłę P należy r 3 równoległe do niej siły, któ żenie jest dane, przyczem jed jest równa sumie dwóch inny cl

161.    Daną siłę P należy rozłożyć na 3 równoległe d pod warunkiem, aby siły te tworzyły stosunek : P^: t Położenie dwóch pierwszych sił jest dane (graficznie i an

Ol

162.    Wzdłuż boku AB kwadratu AB CD (rys. 146) dzi Należy ją rozłożyć na trzy inne, działające wzdłuż pozos ków tego kwadratu. Znaleźć wielkości tych sił.

fH 163. Wzdłuż boków i przekątnych kwadratu (rys. 14' 6 sił, których wielkości 8 i S' mierzą się długością odj odcinków na rysunku i posiadają wskazane zwroty. Zn; kość i położenie siły wypadkowej P.

fk}

pp

-d

mn

;£sSy%'j

||

•Cl;

P- Au.

boków sześciókąta foremnego działają c: i położenie wskazuje rys. 148. Znaleźć iwej i? tych sił.

Iwnoległych posiadają następujące

?i z\\

>5 =

mi wy, .tycznie

P₂ = — 8 kg.; P₈ = 2 kg.; P₄

5 kg.; odległości pomiędzy sąsiedr 3 m., 1 m., 4 m. i 3 m. Znah %ó i położenie siły wypadkowej

cc

166. Na końcach ramion, o długości a krzyża prostokątnego (rys. 149), działają prostopadle do tych ramion siły P, P, Q i Q.

Jaki powinien być stosunek sił P: Q, jeżeli wypadkowa P całego układu działa w odległości = 2a od osi 0 krzyża, oraz jaka jest wielkość tej wypadkowej?

fr-

dd

i®;

CT5

167. Walec, o promieniu r (rys.

150), osadzony jest na osi O i przymocowany do wierzchołków kwadratu AB Cl) za pomocą czterech jednakowych i jednakowo naciągniętych nici AH, BE, CF i BG. Boki kwadratu są dwa razy dłuższe od średnicy walca. Naprężenie nici jest proporcjonalne do ich długości, przyczem na jednostkę długości naprężenie to wynosi k. Następnie walec pokręcono dokoła osi O o kąt = 90°. Znaleźć wypadkowy moment M naprężeń nici w tern położeniu walca.

168.    W trzech wierzchołkach trójkąta równobocznego ABC (rys. 151) przyłożone są siły P, 2P i 3P, skierowane prostopadle do odpowiednich boków. Znaleźć graficznie i analitycznie wielkość i położenie wypadkowej R tego układu sił.

169.    W wierzchołkach trójkąta równobocznego ABC (rys. 152), którego każdy bok ma długość a, działają siły: w wierzchołku A

siła Px — 2P prostopadła do boku ----- I

BC i zwrócona na-zewnątrz, w wierz-. chołku B siła P₂=P równoległa do AC, oraz w wierzchołku C siła P₃ = P równoległa do AB.

Znaleźć puń-kt środkowy tego układu    i

m.

P,

Era

sił.

170. Dane są dwie siły (rys. 153) Px = 8 kg.; P₂ == 12 kg., nie lezące w jednej płaszczyźnie i skierowane prostopadle do siebie.

co

uo

Najkrótsza odległość pomiędzy niemi wynosi a — 1,3 m. Znaleźć wypadkową siłę R i moment M dynamy tego układu, oraz kąty jej nachylenia a i p względem sił składowych Px i P₂, jak również punkt C na prostej AB, przez który przechodzi oś dynamy.

-ti

ba>

i---

___    ^    171. Wzdłuż krawędzi DA i BC podstawy kwadratowej o boku a ostrosłupa (rys. 154), mającego wysokość /#, działają 2 równe i wprost przeciwne siły P. Tę parę sił należy rozłożyć na dwie inne, działające w płaszczyznach ABS i CDS ścian ostrosłupa. Obliczyć wielkość momentu tych par.

172. Wzdłuż krawędzi czworościanu foremnego (rys. 155), z których każda ma długość a, działa sześć równych sił P. Zwroty tych sił wskazuje rysunek. Obliczyć siłę wypadkową R i moment M dynamy tego układu, oraz znaleźć położenie jej osi.

iT

173. Wzdłuż krawędzi prostopadłościanu, jak wskazuje rys. 156, działają 6 sił, mianowicie: Pt — 4 kg.; P₂ = 6 kg.; P₃ = 3 kg.; P₄ = 2 kg.; P₅ = 6 kg.;

P₍. == 8 kg. Wymiary krawędzi są: a —10 m.; h — 4 m.; c = 5 m. Obliczyć wypadkową R i moment M dynamy tego układu, jej kąty nachylenia a, (3 i y względem krawędzi, przyjętych za osi X,. Y i Z, oraz odległość h od początka spółrzędnych^O.

/ 174. Drąg AB (rys. 157) poddany jest działaniu prostopadłych do niego sił: P₁ = 10 kg.; P₂ = 20 kg.; P₃ = 10 kg., rozmieszczonych w odległościach: a — 1 m.; b = 3 m. Prócz tego drąg poddany jest działaniu pary o momencie M— 40 kgmt., skręcającej go dokoła własnej osi X. Do czego sprowadza się ten układ sił?

mt

WSmm

WA

U¹

175. Trzy równe siły P (rys. 158) działają równolegle do kierunków osi spółrzędnych X, Y i Z. Jaka powinna być zależność

pomiędzy odcinkami a, b, c, wyrażającemi odległości sił od osi, aby cały układ mógł być zredukowany do jednej tylko siły wypadkowej P? Obliczyć przytem wielkość i kierunek tej siły, oraz odległość jej od początku spółrzędnych O.

159.

'i : •

C-2

Mg

JŁ

10

ko

0.

IX

H-ti

-jCU

fi

161

Pił

r/i

176.    Dźwignia jednorodna równoramienna AB (rys. 159), o długości a, osadzona jest w środku O na osi pionowej OZ. Na końcu B tej dźwigni działa siła Q, za pomocą sznurka, przerzuconego przez blok C. Blok ten znajduje się na wysokości b od płaszczyzny, w której obraca się dźwignia AB. Obliczyć wielkość siły P, przyłożonej na końcu A, aby dźwignia mogła odchylić się o kąt cp od swego położenia pierwotnego A₀B₀, oraz wskazać, przy jakiej wartości tego kąta siła P jest największą?

177.    Trzy siły P, , P₂ i P₃ (rys. 160) działają równolegle do osi spółrzędnych w odległościach a, b i c od nich. Jaka powinna być zależność między temi siłami, aby oś ich dynamy przeszła przez początek układu spółrzędnych O?

178.    W wierzchołkach sześcianu przyłożone są 6 sił Pt, P₂, Ps, P₄, P₅ i P6 tak, jak wskazuje rys. 161. Pod jakim warunkiem cały ten układ sił może być w równowadze?

179.    W wierzchołkach A, II, B i I) sfceścianu (rys. 162) przyłożone są 4 równe siły: B₁ = P₂ = P3 = P₄= P, działające w kierunkach przekątnych: AC, HF, BE i Pór. Sprowadzić ten układ sił do postaci najprostszej.

180.    W wierzchołkach sześcianu, w którym- każda krawędź mierzy a = 5 cm., przyłożono 6 równych sił, jak wskazuje rys. 163, z których każda ma wielkość P = 2 kg. Sprowadzić ten układ sił do postaci najprostszej.

czworo-

181.    Dwie siły P, i P₂ (rys. 164) działają wzdłuż krawędzi AB i CD ścianu foremnego, w którym każda kra-

wędź ma długość a. Znaleźć spółrzędne as i y punktu, w którym oś dynamy tego układu przecina się z płaszczyzną X0 Y.

!Ł

rsj

182. Wzdłuż każdej z krawędzi a sześcianu działają równe siły P w ogólnej liczbie dwunastu, jak wskazuje rys. 165. Sprowadzić $ ten układ do dynamy i obliczyć wypadkową siłę R i moment M tej dynamy, kąty nachylenia jej osi względem osi spółrzędnych a, (3 i y, oraz znaleźć spółrzędne x i y punktu, w którym oś dynamy przecina płaszczyznę XOY.

7.

Środki ciężkości linji, pól i brył.

183—190. Znaleźć analitycznie położenie środków ciężkości linji jednorodnych, korzystając z osi i wymiarów, wskazanych na rys. 166—173.

183.

184.

185.

ma

tj

Wl

7i

/A

186.

187.

188.

Ir!

■■■

//*

■x

191.    Wf jakim'stosunku x = ~ należy

dać wymiary L i R okna (rys. 174), aby jego środek ciężkości wypadł w punkcie Ot

192.    Znaleźć położenie środka ciężkości dwóch łuków (rys. 175), z których ADB stanowi \ okręgu, o promieniu B, drugi zaś AEB jest półokręgiem, opisanym na cięciwie AB jak na^ednicy. Oba łuki są jednorodne.

m.

leSI

Xi_

193. Znaleźć spółrzędne środka ciężkości wiązara żelaznego (rys. 176), utworzonego z 7 prętów o wymiarach a = 3 m.; /, = 2,5 m.; c = 2 m. przy jednakowej grubości i ciężarze właściwym wszystkich części wiązara.

194—202. Znaleźć środki ciężkości pól następujących figur płaskich prostolinjowych, korzystając z osi i wymiarów, wskazanych na rys. 177 — 185.

194.

195.

196.

[fi

WM

mi

im

■fi

mm

mm

tj

wmmmasm

WF

ii?.

fś]

mm

198.

MA

199.

nsg

Sy5SWsss§!

fT

[4

m.

A

JM

mr.

GS

202.

Sje

ES

YS/?/

wycięto otwór kwadratowy i EFGU o boku b = 0,4 m. w położeniu, wskazanym na rys. 187, przyczem wierzchołek F położony jest w odległościach c = 0,2 m. od boków AB i BC. Znaleźć spółrzędne środka ciężkości O pozostałej części kwadratu większego.

203.    Przez wierzchołek D (rys. 186) należy odciąć od pro-: stokąta jednorodnego ABCD wzdłuż prostej DE część DCL

tak, aby po zawieszeniu pozostałej części figury na nici w punkcie E bok AD miał położenie poziome. Obliczyć odległość x — EB, mając dane AD = a; AB — b.

204.    W jednorodnej płytce kwadratowej ABCD, której każdy bok mierzy a — 2 m

ty

205. Dany jest kwadrat ABCD (rys. 188), o boku a. Znaleźć ! wewnątrz tego kwadratu punkt E, który byłby środkiem ciężkości figury, jaka wypadnie po odcięciu trójkąta AEB od kwadratu.

ty

ty

mm

•H

206. Czterech ludzi dźwiga jednorodną płytę trójkątną ABC (rys. 189). Dwaj podtrzymują wierzchołki A i C, inni dwaj boki AB i BC w punktach D i E. Znaleźć położenie tych punktów pod warunkiem, aby na każdego z ludzi wypadała | ciężaru całego trójkąta.

207—218. W następujących zadaniach znaleźć położenie środka | ciężkości figur płaskich (rys. 190 —

201):

207.

208.

209.

"7i\

(łj

zo

wm

mamB

rit

Uli

EM

7j

213.

214.

215. )

li

msm,

mm

wĘŁ

wm

II

U’

216.

217.

218.

mm,

!y m\

\m

WMWa

f/j

w/.

219.    Znaleźć spółrzędne środka ciężkości wycinka parabolicznego (rys. 202), oraz środka pola, dopełniającego ten wycinek do prostokąta o wymiarach a i b.

220.    Znaleźć spółrzędne środka ciężkości ćwiartki elipsy (rys. 203), której osi główne mierzą a i b.

221. Znaleźć spółrzęclne środka ciężkości połowy pierścienia eliptycznego, którego wymiary, wskazane na rys. 204, są: a=20 cm. a' = 16 cm.; b — 15 cm.; V — 12 cm.

wm

\t}

Di

f/j

m.

f/i

r/i

Vi

222. Znaleźć środek ciężkości układu 8 ciężarów (rys. 205): Pt = 1 kg.; P₃ = 2 kg.; P₃ = 3 kg.; P₄ = 4 kg.; P₅ = 5 kg.; P₆ = 3 kg.; P₇ = 4 kg.; P₈ = 3 kg., przyłożonych w wierzchołkach prostopadłościanu o wymiarach: a = 20 cm.; 6=5 cm.; c = 10 cm., korzystając z danego układu osi spółrzędnych.

Hej

[p]

'A'

223.    Znaleźć spółrzędne środka ciężkości prostopadłościanu (rys. 206) o wymiarach a = 8 cm.; 5 = 4 cm.; c = 6 cm., zbudowanego z prętów jednorodnych, mając dane następujące ciężary poszczególnych prętów, przyłożone w ich środkach:

Hj

■ Wi

P₄ = 250 gr.; P₈ = P₃ = P₄ = 75 gr.;

P₅ = 200 gr.; P₆=125 gr.; P₇=P₈=50 gr.;

'a'

P₉ = P,„ = Pu = P₁₂= 25 gr., oraz układ osi P, ) , Z.

224.    Dany jest czworościan ścięty ABCDEF (rys. 207); pola podstaw większej ABC i mniejszej DEF wynoszą odpowiednio Q i g, wysokość zaś h. Znaleźć odległość ~₀ środka ciężkości tej bryty od postawy ABC.

, . 225. Znaleźć odległość zQ środka masy jednorodnego ostrosłupa ściętego (rys. 208) od podstawy górnej, mając dane wymiary: a, b,

oraz wyso-

i bx krawędzi obu podstaw, kość h bryły.

226. Wzdłuż wała AB, o długości l i promieniu r (rys. 209), może być przesuwane koło jednolite, o grubości b i promieniu R, z otworem odpowiednim do wielkości wała, wykonane z tego samego, co i wał, materjału. W jakiej odległości x od końca A wała należy ustawić koło, aby środek masy całego układu znajdował się w odległości— od końca A?

¹

i

n

227.    Bryła jednorodna i jednolita (rys. 210) składa się ze stożka, o promieniu Rx i wysokości h, walca o długości l i promieniu r i półkuli o promieniu R₂. Znaleźć odległość środka masy układu od wierzchołka A stożka.

228.    W jednorodnym stożku prostym (rys. 211), o promieniu R i wysokości h, wydrążono otwór o ścianach równoległych do powierzchni bocznej stożka. Otwór ten posiada dolny promień r i wysokość x. Ma-

jąc wiadomy stosunek: n = znaleźć stosunek z = ~ pod warunkiem, aby środek masy K części stożka, pozostałej po wydrążeniu otworu, wypadł w środku podstawy górnej tego otworu.

mu

~7S ~

jSSl—ś*— -j

229. Bryła jednorodna (rys. 212), o wiadomej objętości V, składa się ze stożka prostego o promieniu r, połączonego u góry z walcem o tym samym promieniu. Stożek spoczywa na krawędzi otworu okrągłego o promieniu a. Jakie powinny być wysokości walca x i stożka y, aby środek masy całej bryły wypadł jak najwyżej i jaka jest wówczas odległość y₀ tego środka od płaszczyzny otworu AB?

230. W półkuli (rys. 213), o promieniu r, umieszczony jest stożek, mający wspólną z półkulą podstawę kołową AB. Wierzchołek S tego stożka leży na powierzchni półkuli. Jaki powinien być kąt nachylenia cp tworzącej SB stożka, aby środek O tej części półkuli, jaka zostaje po włożeniu stożka, wj^padł na powierzchni bocznej tego stożka, oraz jakie są wtedy spółrzędne środka O, przy danym układzie osi X i y?

fiBmi

mm

8. Równowaga i stateczność brył ważkich.

231. Jednorodny stożek prosty (rys. 214) umieszczony jest wewnątrz kuli. Jaki powinien być kąt <p przy wierzchołku tego stożka, aby cały układ znajdował się w równowadze obojętnej?

2ik.

HM

232.    Na półkuli jednorodnej (rys. 215), o promieniu r, znajduje się u góry walec o tym samym promieniu, wykonany z tego samego, co i półkula, materjału. Jaka powinna być wysokość x walca, aby cały układ znajdował się w równowadze obojętnej?

233.    Znaleźć wartość graniczną wysokości x stożka (rys. 216), zakończonego u dołu półkulą, o promieniu r, pod warunkiem, aby cały układ posiadał równowagę trwałą względem punktu podparcia A.

*r-l.

t|u

217.

234.    Cięgno CD} utrzymujące most łańcuchowy (rys. 217), wmurowane jest w fundament, mający kształt prostopadłościanu o przekroju poprzecznym kwadratowym. Każdy bok tego przekroju posiada wymiar: a ~ 5 m. Wzdłuż cięgna działa siła P = 100 tn. Jaka powinna być minimalna długość x fundamentu dla zapewnienia mu statecz-

ności względem krawędzi AB, jeżeli ciężar właściwy muru wynosi § = 2,5 tn./m.³?

w.

■JŁ-

LI

ni

[n

3MIH

p_.-

eSI

A(

sil!

235.    Nasyp ziemny (rys. 218), o wysokości li — 5 m., wzmocniony jest pionową ścianą murowaną AB. Parcie ziemi na każdy 1 m. bieżący ściany wynosi P — 6 tn., przyczem siła ta przyłożona jest na wysokości | h od ziemi. Ciężar właściwy muru: 8 — 2 tn./m.³. Jaka powinna być minimalna grubość x ściany dla zapewnienia jej stateczności względem krawędzi A ?

236.    Tama murowana (rys. 219) o przekroju prostokątnym (I) albo trójkątnym (II) wytrzymuje parcie hydrostatyczne wody na całej wysokości h = 5 m. Ciężar właściwy wody wynosi 8, = 1 tn./m.³, a muru §₂ = 2,2 tn./m.³ Spółczynnik stateczności k — 2. Obliczyć odpowiednio do tego spółczynnika grubość x₁ i x₂ tamy w obydwóch przypadkach.

237.    Żóraw kolejowy (rys. 220) stoi na 2 szynach A i B, pomiędzy któremi odległość wynosi 2e = 1,5 m. Żóraw unosi ciężar Q w odległości a — 2 m. od osi środkowej Y, dla zapewnienia zaś stateczności posiada przeciwwagę P₄ = 2 tn., umieszczoną w odległości b= 1 m. od osi Y. Prócz tego należy uwzględnić ciężar lewara P.ż — 1 tn., przyłożony w odległości c=0,l m.; ciężar kolumny P,=0,5 tn. w odległości d — 1 m. i wreszcie ciężar wózka P₄ = 3 tn., przyłożony w jego środku. Obliczyć największe bezpieczne obciążenie Q żórawia.

4-    238. Ładownica przy piecu hutniczym

(rys. 221) składa się z wózka, którego koła rozstawione są w odległościach 5=1 m. od osi środkowej Y. Wózek ten przesuwa się wzdłuż mostu CD, wprowadzając do pieca ładunek P= 1,5 tn. umieszczony w szufli w odległości a = 5 m. od osi Y. Jaki powinien być minimalny ciężar Q całego przyrządu, działający wzdłuż osi Y, aby był zachowany warunek stateczności?

239.    Żóraw obrotowy (rys. 222) ustawiony jest najfundamencie murowanym w kształcie prostopadłościanu. Podstawą tego fundamentu jest kwadrat o boku c — 2 m. Żóraw unosi ciężar P = 3 tn. w odległości a — 4 m. od osi środkowej Y.

Własny jego ciężar Q= 2,5 tn. przyłożony jest w odległości b = 0,8 m. od tej osi.

Obliczyć minimalną grubość x fundamentu pod warunkiem zapewnienia mu stateczności, mając wiadomy ciężar właściwy mu-ru 5 = 2 tn./m.³

240.    Dźwignica kolejowa (rys. 223) ustawiona jest na 2 szynach A i B, których odległość wynosi c — 3 m. Własny ciężar dźwignicy S = 50 tn. przyłożony jest w odległości b = 1,5 m. od szyny B.

Dźwignica unosi ciężar P = 25 tn. w odległości a = 10 m. od tej samej szyny, z przeciwnej zaś strony posiada przeciwwagę Znaleźć wielkość tej przeciwwagi oraz jej odległość x od szyny A pod warunkiem zapewnienia stateczności względem szyny B, gdy wisi ciężar P, jak również względem szyny J., gdy ciężaru Pniema.

241.    Diwie równe kule, każda o promieniu r i ciężarze Q, włożone są, jak wskazuje rys. 224 do walca pustego, o promieniu P, spoczywającego na płaszczyźnie poziomej. Jaki powinien b}rć minimalny ciężar P tego walca, aby kule go nie przewróciły?

s*.

n&eaiBfigBg

mi

sim

rnl

K\

li

IN* A

li

242. Drąg AB,, o długości l i ciężarze Qt (rys. 225), może być przesuwany w pierścieniach C i D na ścianie górnej gr-aniastosłu-, pa o przekroju foremnym ośmiokątnym, którego każdy bok = a% Gramastosłup ten posiada ciężar Q i spoczywa dolną swa ściaha AJi na płaszczyźnie poziomej. Do jakiej odległości x drąg AB mo- 4 ze być zsunięty bez obawy naruszenia równowagi całego układu?

G; 243. Belka, o przekroju foremnym sześciokątnym (rys. 226) i ciężarze Q, spoczywa na płaszczyźnie poziomej. Do krawędzi C

i D tej belki uczepione są ciężary P i nP. W jakich granicach może zmieniać się spółczynnik n, aby belka nie uległa przewróceniu?

9*. Zasada prac przystosowanych.

zana

244. Pręt AB (rys. 227) oparty jest końcem B o gładką ścianę pionową, końcem zaś A o poziomą podłogę. W punkcie C, położo- ' nym w odległościach a i b od końców A i B pręta przyłożony jest ciężar 1, dla zachowania zaś równowagi do końca A przywłą jest nić pozioma, wyprężona wiszącym na jej końcu ciężarem Q.

- Obliczyć kąt nachylenia cc, oraz siły odporowe i\’A i i\B podczas równowagi.

£27.

Na

TA

mm

■RMl

k—

P-!

ddi;

[i

fl

245.    Pręt OB (rys. 228), o długości b, osadzony jest na prze

gubie O. Koniec jego B uwiązany jest na nici, która przechodzi przez blok C na wysokości OC — b i    rozciągnięta    jest siłą    Q.

W punkcie A w odległości    OA = a pręt dźwiga    ciężar    P. Znaleźć

kąt cp podczas równowagi i określić rodzaj tej równowagi.

246.    Gładki pierścień    A (rys. 229)

może ślizgać się bez tarcia    po łuku koła    j

i poddany jest z dwóch stron działaniu

sił P i Q, przyczem nić, wyprężona siłą

Q, przechodzi przez blok B, umieszczony

w najwyższym punkcie koła. Obliczyć

kąt cc w położeniu równowagi.

247.    Dwa nierówne ciężary P i Q    [

(rys. 230) przytwierdzone są na końcach

nici, która w punkcie A w odległości a

przerzucona jest przez blok. Ciężar P wisi    ____

swobodnie, ciężar zaś Q leży na równi * pochyłej BC, tworzącej kąt a z kierunkiem pionowym. W jakiej . odległości x od wierzchołka B zatrzyiiraP się ten ciężar na równi podczas równowmgi, jeżeli nie uwzględniać tarcia?

P-

li;

a y/

tę

cr>

248.    Lina nierozciągliwa (rys. 231) umocowana jest w punktach nieruchomych A i B i przerzucona przez bloki C i D. Bloki te położone są na prostej poziomej ACDB

w odległości b od siebie, oraz w odległo- _

fol

ściach a od punktów A i B. Na linie zawieszone są pomiędzy blokami 2 równe lip ciężary P oraz ciężar Q. Znaleźć zależ- p?T|| ność pomiędzy kątami a i (3 podczas rów- ||1|| nowagi.

$3/.

249.    Pręty a, b i c (rys. 232) połączone są z sobą przegubowo, w punkcie zaś C naciskają na siebie siłą Q wzdłuż pręta poziomego c. Obliczyć siłę Q, jeżeli w przegubie B wisi ciężar P, mając wiadome kąty a i (3.

250.    Pręt O A — r (rys. 233) połączony jest przegubowo z prętem AB = 2r, podpartym w punkcie nieruchomym C, przyczem OC = OA — r. Obliczyć kąt rf podczas równowagi.

mm

251.    Dwa równe pręty AB = BC — a (rys. 234), ważące każdy Q, połączone są przegubami B i C i utrzymywane w równowadze działaniem siły P, wyprężającej poziomo nić AD. Obliczyć siłę P w zależności od danych kątów a i [3.

252.    Dwa równe drągi AC — BC = b (rys. 235) połączone są u góry przegubem C, u dołu zaś nicią sprężystą. Naprężenie P tej nici jest proporcjonalne do jej wydłużenia, podług wzoru: P = k(l -— l₀), gdzie k oznaczy czynnik stały, /₀ długość pierwotną nici AB, l długość tej samej nici po zawieszeniu w punkcie C ciężaru Q. Obliczyć ten ciężar pod warunkiem, aby kąt (3 == 90°.

Hi

p,./'

r-P

?!

'ftW'

o;

i.

m:

I«--

SP

-/>!

MA

-d

233

253. Pręt OC—b (rys. 236), osadzonjr na przegubie O, znajduje się z początku w położeniu poziomem OC₀. Pod działaniem, cie-

49

Mechanika. — 4

żaru i-, zawieszonego

_    końcu C, pręt ten odchyla sie o k

wyprężając nić AB. Nić ta przylega do walca o promieniu u prężenie jej T jest proporcjonalne do długości łuku AB = dług wzoru: T = k . AB Obliczyć kąt

na

Tl

a, a na-t, po-

# — k> .t, gdzie k jest czynnikiem stałym, położeniu równowagi.

Co

mm

\i

jar

o.

W'

A \!

mm

Kr*

m.

HI

254. Kula B o ciężarze P (rys. 237) leży na powierzchni innej kuli w odległości R od jej środka i utrzymywana jest w równowadze za pomocą nici, przerzuconej przez blok C i naprężonej siłą Q.

Blok C umieszczony jest nad najwyższym punktem A kuli większej w odległości AC—a. Obliczyć kąt a, o który odsunie sie kula B od pionu 00 podczas równowagi.

255. Drąg jednorodny, o długości 2l (rys. 238), opiera się w punkcie A o gładką ścianę pionową, w końcu zaś B przymocowany jest nicią do punktu nieruchomego C. Jaki jest stosunek kątów nachylenia a. i [3 drąga i nici podczas równowagi?

7/P\

■I

wmMm

256.    Na walcu parabolicznym (rys. 239), którego przekrój wyraża się równaniem paraboli: x² = 2py z osią pionową OY, narzucona jest nić. Na końcach tej nici wiszą ciężary P i Q. Pierwszy z nich znajduje się w odległości = a od wierzchołka paraboli. Obliczyć odległość y ciężaru Q podczas równowagi.

257.    Dwa punkty materjalne, o ciężarach P i Q (rys. 240), połączone są nicią, przechodzącą przez ognisko F paraboli i mogą przesuwać się po tej paraboli.

W jakich warunkach może nastąpić równowaga?

258. Dwa punkty A i B, o ciężarach P i Q (rys. 241), mogą przesuwać się po elipsie, wyrażonej równaniem biegunowem:

'A'

Vk

t — ^ | c cor7~^' Punktjr^te połączone są nicią, przechodzącą przez

ogniska Fx i P₂ elipsy. Oś wielka elipsj'- jest pozioma, płaszczyzna zaś pionowa. Jaka jest należność pomiędzy kątami cpt i cp₂ podczas równowagi?

259.    Dwa równe pręty sztywne OA i OB (rys. 242) połączone są przegubowo w punkcie 0 i posiadają długość cl Końce ich A i B połączone są przegubowo prętami o długości b z przegubem nieruchomym Ox, pomiędzy sobą zaś połączone są nicią AB. Obliczyć naprężenie T tej nici, jeżeli w przegubie O przyłożona jest siła P, działająca w lewo, wzdłuż prostej O Oj .

260.    Trzy drągi, o długościach: a, 2a i 2a (rys. 243) z tego samego materjału jednakowej grubości, połączone są przegubami A, C, D i B. Końcowe przeguby A i B umocowane są nieruchomo na prostej poziomej AB — 3a. Znaleźć zależność między kątami a, (3 i 7 podczas równowagi.

261.    Cztery pręty jednakowej długości a (rys. 244) połączone są z sobą przegubami. Każda para przegubów: A i C oraz Bil) połączona jest nicią elastyczną, która w stanie nie napiętym posiada długość = a; będąc zaś rozciągnięta, zyskuje napięcie proporcjonalne do wydłużenia. Napięcie to na jednostkę wydłużenia wynosi k. W dwóch przeciwległych przegubach B i JD tego mechanizmu przyłożone są 2 równe i wprost przeciwne siły P. Obliczyć kąt cc w położeniu równowagi.

Fi'

-td

p-

tri

Cl:

O.

JP

S>

im*

C-3

AK

262. Dwa równe drągi, o długości l i grubości a (rys. 245), połączone są przegubem O. Pomiędzy te drągi wciśnięte są dwa walce A i B, o promieniu r, związane z sobą liną. Jakie jest naprę-

żenie T tej liny, jeżeli drągi podtrzymują górnymi końcami płytę CD, obciążoną siłą Q?

263. Znaleźć zależność pomiędzy siłami P i Q w prasie o budowie, wyobrażonej na rys. 246, mając dane długości a czterech drążków, unoszących^płytę, oraz kąty ich nachylenia a do poziomu.

roi

iH

■

?om

m.

264. Mechanizm do automatycznego puszczania w ruch motorów elektrycznych (rys. 247) składa się z 3 połączonych z sobą

przegubami prętów: OA — AB i BD, CD — ‘SBC. Pod działaniem

mm

IMi

przyczem

siły P elektromagnesu styczka D na końcu dźwigni BD wchodzi w połączenie ze styczka E, zamykając w ten sposób prąd. Pręty OA i AB tworzą wtedy z kierunkiem siły P kąty (3. Jakie ciśnienie N powstaje w miejscu zetknięcia się styczek E i P?

Jj.

r~j

TT"

265.    Znaleźć zależność pomiędzy siłami Pi Q w mechanizmie prasy, wyobrażonym na rys. 248, mając dane długości: a, b, c i cl poszczególnych ogniw tego mechanizmu, oraz kąty a i (3 w położeniu równowagi.

W

~*mś

266.    Pięć równych prętów (rys. 249), z których każdy ma długość a i ciężar P, połączone są z sobą przegubami A, B, C, D i E, z których 4 i O mogą przesuwać wzdłuż nieruchomej prostej poziomej. Znaleźć zależność pomiędzy kątami a i (3 podczas równowagi.

267.    Wyrazić zależność pomiędzy siłami Pi Q w mechanizmie prasy B a 1 d w i n’a (rys. 250), mając dane długości a, hic ogniw mechanizmu, oraz kąty «, (3 i 7, które tworzą te ogniwa z kierunkiem pionowym podczas równowagi.

10, Równowaga z uwzględnieniem tarcia.

268.    Równi pochyłej dano taki kąt nachylenia a do poziomu, że znajdujące się na tej równi ciało ważkie może zsuwać się po niej ruchem jednostajnym. Obliczyć stąd spółczynnik tarcia |i.

269.    Wagon kolejowy zjeżdża ruchem jednostajnym w dół po torze, nachylonym pod kątem a do poziomu, przyczem sin a = 0,008.' Obliczyć całkowity opór R, jakiego doznaje wagon w tym ruchu;, jeżeli ciężar wagonu wynosi Q — 10 tn.

270.    Pociąg kolejowy wznosi się do góry po torze pochyłym, przyczem sin a = 0,008, gdzie a—kąt nachylenia toru do poziomu. Pociąg waży Q — 180 tn. bez lokomotywy. Jaka powinna być siła pociągowa P tej lokomotywy, jeżeli ogólny spółczynnik tarcia pociągu wyraża się liczbą f =■ 0,005.

271.    Znaleźć kąt a pochyłości naturalnej gruntu, jeżeli spółczynnik tarcia dla cząstek tego gruntu wynosi ;j. = 0,8.

-U 272. Łańcuch OOt (rys. 251), unoszący do góry kleszcze, połączony jest przegubem O z prętami OC—OD=a=60 cm.

Pręty te przegubami C i D łączą się z dwiema równemi dźwigniami łamanemi CAE i DBF. Dźwignie obracają się na przegubach A i B, połączonych sztabą AB.

jjis

Dolne końce E i F dźwigni za pomocą dwóch płaskich płytek utrzymują pomiędzy sobą, dzięki sile tarcia, kloc prostokątny o ciężarze Q =• 1 tn. Odległości przegubu E od sztaby AB i ppęta OC wynoszą odpowiednio: 5—50 cm.; c=l m. Ramiona dźwigni: AC=BD=e—4:0 cm. i są prostopadłe do prętów OC i OD. Wysokość trójkąta COD wynosi: /i= 10 cm. Znaleźć siłę T, rozciągającą sztabę AB, oraz minimalny niezbędny spółczynnik tarcia \x między płytkami E i F a klocem.

f C 273. Drąg jednorodny AB = 21 (rys.

252), o ciężarze P, podpart}r jest w punktach C i D, przyczem: CD — a; AC = b.

Spółczynnik tarcia pomiędzy drągiem a podporami wynosi {jl. Kąt nachylenia drąga do poziomu = a. Jaka powinna być minimalna wartość kąta a, oraz długość drąga 21, aby siły tarcia wystarczały do utrzymania równowagi?

274. Drąg poziomy AB (rys. 253) posiada piastę, nasadzoną luźno na wał pionowy. Piasta ta dotyka wała w punktach C i D

i utrzymuje się na nim dzięki tarciu. Spółczynnik tarcia = 0,1, długość piasty b — 2 cm. Nie uwzględniając ciężaru drągi §’a i piasty, obliczyć, w jakiej najmniejszej odległości x należy zawiesić na drągu ciężar P, aby piasta mogła się trzymać na wale?

h—X----*

275.    Maszyna do walcowania żelaza (rys. 254) składa się z dwóch walców o średnicy d = 50 cm., obracających się w kierunkach przeciwnych. Odległość pomiędzy walcami a = 0,5 cm. Jakiej grubości x sztaba żelazna może być wpychana i przepędzana pomiędzy walcami, je-żeli spółczynnik tarcia między sztabą a walcami wynosi |i, = 0,1?

wsa-

r.

[fj

File

276.    Pomiędzy/dwie płyty AO i BO (rys. 255), połączone przegubem O, dzono walec, o ciężarze Q i promieniu Osi walca i przegubu O skierowane są poziomo i leżą w jednej płaszczyźnie pionowej. Odległość pomiędzy końcami płyt A i B Avynosi a, kąty zaś nachylenia tych płyt do pionu — a. W jakich granicach mogą zmieniać się siły P, ściągające końce płyt, aby walec pozostawał w równowadze, jeżeli spółczynnik tarcia pomiędzy walcem a płytami jest jj.?

277.    Drabina AB (rys. 256), o ciężarze P, oparta jest końcem A o gładką ścianę pionową, końcem zaś B o podłogę, na której spółczynnik tarcia jest równy ja. Pod jakim minimalnym kątem a może być ustawiona drabina, aby człowiek o ciężarze Q mógł wejść po niej aż do końca A?

m.

156

278. Drabina AB (rys. 257) oparta jest końcami A i B o ścianę i podłogę, przyczem odpowiednie spółczyn-niki tarcia wynoszą [j.j i ;a₂. W punkcie C, dzielącym drabinę w stosunku m : n, wisi cię-

żar P. Obliczyć największy kąt a drabiny ze ścianą, oraz wielkości odpowiadających temu kątowi sił odporowych NA i NB.

279. Drabina AB (rys. 258) oparta jest o podłogę i ścianę,, przyczem spółczynnik tarcia na obydwóch końcach jest ten sani i odpowiada kątowi tarcia p = 15°. Kąt nachylenia drabiny do podłogi wynosi 60°. Nie uwzględniając ciężaru drabiny, obliczyć największą odległość BC = x, na którą może posunąć się po drabinie ciężar P (analitycznie i graficznie).

11

Ni*

•i

rA

At

W fr

ii.

Mi

280.    Ciężar Q (rys. 259) za pomocą sznurka wciągany jest po powierzchni ćwiartki walca ABC. Przy jakim kącie cp naprężenie T sznurka jest najmniejsze, jeżeli kąt tarcia podczas ruchu wynosi p?

281.    Pręt nieważki AB — l (rys. 260) opiera się w punkcie C o słup pionowy CD i dźwiga na swym końcu A ciężar P.

Bi

-m

wmwm

Drugi koniec B tego pręta przymocowany jest za pomocą nici do punktu D słupa. Mając dane odległości: AC=a; BC—b, oraz kąty a i j3, obliczyć, jaka powinna być minimalna wartość spółczynnika tarcia [x w punkcie C, oraz jakie jest naprężenie T sznurka.

282.    Dwie połówki walca obrotowego (rys. 261) każda, o promieniu r i ciężarze Q, przyłożonym w środku ciężkości, oparte są o siebie, w punktach zaś i i B o gładką podłogę. Mając wiadomy kąt nachylenia a stykających się płaszczyzn podczas równowagi* obliczyć, jaki jest spółczynnik tarcia p. pomiędzy temi płaszczyznami, jakie wynikają przytem siły odporowe NA, NB i Nc, oraz w jakiej odległości x działa siła Ac wzajemnego działania na siebie połówek walca.

283.    Prostopadłościan A i płytę prostokątną B (rys. 262) owija sznur naprężony, tworząc kąty a i [3. Jaka powinna być przytem minimalna wartość spółczynnika tarcia p. między ciałami A i B,

K-

ID

-i

\T

M.

At

uz

—A--

/■

!>"■

Ł//J,

mmmm

aby była zachowana równowaga, jeżeli nie uwzględniać ciężarów tych ciał?

284.    Drąg AB = 2Z (rys. 263), o ciężarze Q, umocowany jest przegubowo w punkcie B i utrzymywany pod kątem nachylenia cp do poziomu za pomocą sznurka, o długości DC — a. Koniec D tego sznurka uwiązany jest nieruchomo, koniec zaś O zaopatrzony jest w pierścień, który może być przesuwany wzdłuż drąga AB. Mając daną odległość DB — b, oraz kąt tarcia p pierścienia po drągu, obliczyć pomiędzy jakiemi granicami mogą się zmieniać: kąt nachylenia cp, ciśnienie normalne N w punkcie C, oraz naprężenie T sznurka.

285.    Drąg AB — l (rys. 264), o ciężarze Q, opiera się końcem A o chropawą podłogę, w punkcie zaś C o gładki słup pionowy CD wysokości a. Obliczyć, jaki powinien być minimalny spółczynnik tarcia [i pomiędzy drągiem a podłogą, przy danym kącie a. nachylenia drąga do po-dłogi.

286. Drąg AB (rys. 265), o ciężarze Q, opiera się końcem A o chropawą podłogę, na której spółczynnik tarcia = p. i jest utrzymywany pod kątem nachylenia a = 45° za pomocą sznura, uwiązanego do końca B. Przy jakim kącie cp sznura z kierunkiem poziomym drąg zacznie się posuwać końcem A po podłodze , i jaka jest wtedy normalna siła odporowa NI

287. Dwa półwalce, o promieniach r i rx i ciężarach właściwych y i materjałów, z których są wykonane, spoczywają jeden na drugim wskazuje rys. 266. Jaki powinien być minimalny czynnik tarcia p. pomiędzy powierzch-

jak

0.'

ii

spół-

niami.tych ciał, oraz kąt nachylenia a, aby była zacho wana^równo waga, jeżeli większy z półwalców dotyka gładkiej podłogi w punkcie il?

288.    Półwalec, o promieniu r i ciężarze Q (rys. 267), spoczywa na dwóch innych równych półwalcach, c promieniu rl i ciężarze Qt. Powierzchnie półwalców są gładkie, podłoga zaś, r° której leż półwalce dolne, jest chropawa i posiada spółczynnik tarcia jx. Z jakiej odległości a- półwalce dolne zaczną się rozsuwać?

289.    Diva walce obrotowe (rys. 268), o ciężarach i Q,, oparte są wzajemnie o siebie, oraz o ścianę i podłogę. Linja, łącząca środki tych walców, tworzy kąt ę z kierunkiem poziomym. Obliczyć wartość minimalną spółczynnika tarcia u. pomiędzy walcami, oraz spółczynników ^ i *jl₃ pomiędzy walcami a podłogą i ściana, tudzież odpowiednie siły odporowe:

a; Nt i iv₃.

290.    Na dwóch równiach (rys. 269),

nachylonych pod kątem 45° do poziomu, leżą trzy równe sześciany, każdy o ciężarze Q. Jaką siłą P, działającą w kierunku pionowym, można poruszyć i unieść sześcian środkowy, jeżeli spółczynnik tarcia {pomiędzy stykającemi się powierzchniami jest ;j.?    •    \

291.    Pręt AB (rys. 270) leży wewnątrz walca, o promieniu r w płaszczyźnie prostopadłej do osi walca i w odległości b od jego środka. Jakie są wartości graniczne kąta cp, jeżeli spółczynnik tarcia pomiędzy prętem a walcem jest ;j.?:

§g

[l¹

£ f-

292. Na powierzchni walca (rys. 271), o promieniu r, opieraia sie dwa równe

pręty, o długości l i ciężarze Q, połączone z sobą przegubowo' w punkcie O. Kąt tarcia pomiędzy prętami a walcem

jest równy p. Znaleźć wartości graniczne kąta cp pomiędzy prętami, oraz sił odporowych iV?

293. Dwa ciężary Q₁ i Q₂ (rys. 272) połączone są giętkim sznurem. Pierwszy z nich spoczywa na równi, nachylonej pod kątem a do poziomu, drugi zaś na powierzchni ćwiartki walca. Odpowiednie kąty tarcia wynoszą px i p₂. Pomiędzy jakiemi granicami zmienia się kąt cp?

mm

T,

Ti

AIM

u.

Ud

il

294. Na nici, umocowanej w punkcie 0 (rys. 273) i przewleczonej przez pierścień

C,

zawieszony jest ciężar Q. Pierścień może przesuwać się wzdłuż drąga chropawego AB, nachylonego pod kątem a do poziomu, przyczem kąt tarcia jest p. Obliczyć największą i najmniejszą wartość kąta cp pod warunkiem zachowania równowagi.

"////

rowych N, jeżeli pręty sobą kąt prosty?

295.    Trzy pręty (rys. 274), z których skrajne posiadają długość a, a środkowy b, połączone są przegubami B i C, końcach zaś i i P zaopatrzone są w pierścienie. Pierścienie te nadziane są na -pręty pochyłe, tworzące kąty a z pozio-

W przegubach B i C zawieszone są ciężary Q. Obliczyć wartości graniczne kątów <p, oraz naprężeń 1\ i T₂ wzdłuż prętów AB i BC, przyjmując kąt tarcia p.

296.    Dwa równe pręty (rys. 275) o ciężarach Q i długościach l połączone są przegubem O i podparte w punktach A i B. Odległość pomiędzy tymi punktami równa się {4. Jaka powinna być wartość spółczynnika tarcia jj. w punktach podparcia, oraz jakie są wielkości sił odpo-

w położeniu równowagi tworzą pomiędzy

mem.

na

297.    Drąg EF, o długości l i ciężarze P (rys. 276), oparty jest końcem E o podłogę, w punkcie zaś B o krawędź prostopadłościanu. Ciężar tego prostopadłościanu jest Q, wysokość a i szerokość b. Koniec E drąga odciągany jest zwolna w lewo. Jaki powinien być minimalny ciężar Q, aby prostopadłościan nie uległ przewróceniu dokoła krawędzi A, oraz przy jakim kącie nachylenia a ciężar Q wypada największy, jeżeli spółczynnik tarcia w punkcie B jest równy [r?

\Z

298.    Drąg jednorodny AB = l (rys.

277), o ciężarze Q, umocowany jest w punkcie A, końcem zaś B dotyka powierzchni kuli chropawej, o promieniu r.

Odległość końca A od środka 0 kuli jest a; spółczynnik tarcia na powierzchni kuli ^j.. Znaleźć wartości graniczne kąta cp, oraz sił odporowych JVA i NB.

11. Maszyny proste.

[■OL

5M

HI

299.    Klin (rys. 278) posiada boki, nachylone z obu stron pod kątem a, przy-czemj;an a = 0,05. Siła Q = 6 tn. wpycha ten klin w otwór, przezwyciężając tarcie na bokach; spółczynnik tarcia wynosi jł=-0,1. Obliczyć ciśnienie normalne N na boki klina, oraz siłę P, niezbędną do wyjęcia klina z otworu.

300.    Ciężar Q = 800 kg. (rys. 279) spuszczany jest do szybu na łańcuchu za pomocą kołowrotu z hamulcem, w którym średnica bębna łańcuchowego wynosi b = 20 cm., średnica zaś koła hamulcowego a — 50 cm. Łańcuch przerzucony jest przez blok nieruchomy K i przesuwny L i umocowany w punkcie Al. Koło hamulco-

we

naciskane jest klocem drewnianym F za pomocą dźwigni DE, któ- |§§f rej ramiona mają długość: ?n=120 cm.; n — 60 cm. Dźwignia ta połączona mm jest z drugą dźwignią ręczną AB, Wmi której ramiona: p = 10 cm.; q= 1 m. H Spółczynnik tarcia pomiędzy klocem -F a kołem wynosi u = 0,4. Obliczyć

siłę P, jaką należy przyłożyć na końcu dźwigni AB w celu zrównoważenia ciężaru Q„

301.

Blok, o promieniu U (rys. 280), posiada czopy o promieniach r, spoczywające na łożyskach, których promienie = P₀. Na i końcach sznura, przerzuconego przez blok, wiszą ciężary P i Pj, ' przyczem P > B₁. Obliczyć najmniejszą wartość siły P,, niezbędnej do utrzymania bloka w równowadze, mając daną siłę P, spółczynnik tarcia pomiędzy czopami a łożyskami, oraz ciężar Q bloka wraz z czopami.

Heli

\§mm

lii

firn

302. Do wyznaczania spółczynnika tarcia służy przyrząd (rys. 281), składający się z łożyska o dwóch połówkach A i B. W łożysku tern porusza się czop, o średnicy d = 10 cm. Połówki łożyska przyciskane są do czopa za pomocą pałąka, oraz dwóch dźwigni ĆE i DF. Krótsze ramiona tych dźwigni, o długości a = 3 cm., wywierają ciśnienie N na dolną połówkę B łożyska za pomocą ciężarów P = 8 kg., zawieszonych w odległości c = 90 cm. od przegubów C i D. Każda z dźwigni waży S = 7 kg., przyczem ciężar

k-----a----M

---$4

I

Zrm

ten przyłożony jest w odległości b — 51 cm. od przegubów C i D. Łożysko wraz z pa-łąkiem ma ciężar Q — 40 kg., przyłożony w odległości h — 12 cm. od osi czopa, przyczem ciężar samej tylko dolnej połówki B łożyska wynosi q = 6 kg. Podczas obracania czopa oś symetryi Y całego przyrządu odchyla się od kierunku pionowego o kąt a — 5°. Obliczyć stąd spółczynnik tarcia ;j. pomiędzy czopem a łożyskiem.

303. Jaki ciężar P należy zawiesić na końcu dźwigni AB (rys. 282), utrzymującej klapę bezpieczeństwa, jeżeli wiadome są ramiona dźwigni: a = 1 m.; b = 0,2 m.; promień czopa przegubowego r = 1 cm.; średnica klapy d = 6 cm.; ciśnienie pary na tę klapę p—7 kg./cm.³, spółczynnik tarcia czopowego = 0,1, oraz ciężar własny dźwigni Q = 8 kg., przyłożony w odległości c — 45 cm. od przegubu A?

304.    Długości ramion dźwigni dolnej OAC (rys. 283) i górnej EFK w wadze pomostowej tworzą proporcję: — w wadze tej spełniona jest wtedy równość momentów: Pg — Qf.

305.    Na równi (rys. 284), nachylonej

pod kątem a = 50° do poziomu, spoczywa ciężar Q, utrzymywany w równowadze za pomocą siły P, która tworzy kąt (3 = 30° z kierunkiem pionowym. Kąt tarcia na równi pochyłej wynosi p — 5°. Gdyby kąt nachylenia a równi zmniejszył się o y = 10°, wówczas do utrzymania w równowadze ciężaru Q wystarczyłaby siła o p — 10 kg. mniejsza. Obliczyć stąd wielkość pierwotną sił P i Q.    j

306.    Dwa równe walce nieruchome (rys. 285) owija lina, dźwigająca na swych I końcach ciężary P i Q, przyczem P= 10 Q.

Jaki powinien być spółczyńnik tarcia jx pomiędzy liną a walcami, aby była zacho-ć waną równowaga?

307.    Końce A i B taśmy hamulcowej (rys. 286), narzuconej na koło wirujące C, przymocowane są do dźwigni, osadzonej na przegubie O. Na dźwigni tej w punkcie I) zawieszony jest ciężar Q. Mając dane odległości: O A —a; OB = b; OD = c i spółczynnik tarcia u między taśmą a kołem, obliczyć naprężenia 1\ i T₂ obydwóch końców taśmy, oraz odległość OD — x pod warunkiem, aby siła odporowa przegubu O równała się zeru.

. Dowieść, że

% rr|

U.

r x-

cy

"ł

*k4“l2T

__

F⁵

bti

mm

cm

parni

■d

i™

oj O

%

■fc£ILl

F* w

8:

308.^Belka AB, obciążona tak, jak wskazuje rys. 287, wisi w położeniu poziomem na dwóch sznurach, przerzuconych przez nie-r ucho m e walce C i D. Drugie końce tych sznurów unoszą drąg poziomy EFt obciążony w punkcie G ciężarem P. Jaka powinna

X    1

być wielkość tego ciężaru, oraz stosunek — jego odległości od końców E i F drąga, aby belka AB mogła być opuszczana na dół ruchem jednostajnym? Spółczynnik tarcia pomiędzy sznurem a walcami wynosi

BI

-d

-d

-a

Ts

■k>H

OJ

.o

yrt

0- Z 90.

309. Obliczyć wartości graniczne siły czynnej P, działającej na bloku stałym B (rys. 288) i utrzymującej w równowadze ciężar Q. zawieszony na bloku przesuwnym A, mając dany spółczynnik tarcia ;x, oraz ogólny spółczynnik x sztywności liny i tarcia czopowego w blokach^

rnj

310.    Znaleźć zależność pomiędzy siłami P i Q, oraz spółczynnik sprawności rj wielokrążka, wyobrażonego na rys. 289, przyjmując części liny, dźwigające ciężar Q, za pionowe, oraz mając dany ogólny spółczynnik x sztywności liny i tarcia czopowego dla wszystkich bloków.

311.    Przy tych samych danych, obliczyć spółczynnik sprawności y] wielokrążka, wyobrażonego na rys. 290.

312.    Przy tych samych, co poprzednio, danych obliczyć spółczynnik sprawności y] wielokrążka, wyobrażonego na rys. 291.

aj %91,

313.    Znaleźć zależność między siłami P i Q, oraz spółczynnik sprawności yj wielokrążka, wyobrażonego na rys. 292, przy tych samych, co poprzednio, danych.

314.    Lina, obchodząca trzy równe bloki C, D i E, przymocowana jest końcami

do dźwigni AB (rys. 293), obracającej się na przegubie O. Mając dane długości ramion tej dźwigni O A — a; OB = b, oraz spółczynnik ogólny x sztywności liny i tarcia czopowego dla bloków, obliczyć zależność pomiędzy siłą czynną P i oporem pożytecznym Qf oraz stosunek ramion w przypadku równowagi dźwigni.

i^i

315.    Lina, umocowana w punkcie A (rys. 294), obchodzi trzy równe bloki i wyprężona jest na końcu siłą P. Blok środkowy obciążony jest siłą Q. Znaleźć zależność pomiędzy siłą czynną P i oporem pożytecznym Q, przy danym spółczynniku

(patrz zadanie 310), oraz jaka powinna być wartość tego spółczynnika, aby siła P była 2 razy większą od naprężenia T liny między końcem A a pierwszym blokiem.

316.    Lina, umocowana w punkcie A (rys. 295), obchodzi trzy równe bloki B,

C i D i dźwiga na końcu ciężar P. Bloki B i C połączone są prętem sztywnym, o długości BC — a. Odległość pomiędzy punktami 4 i 6' wynosi b. Do bloka B przyczepiony jest ciężar Q. Pomiędzy jakiemi granicami może się zmieniać wielkość tego ciężaru, aby cały układ pozostawał w równowadze, jeżeli spółczynnik oporu dla bloków jest x.?

317.    Lina, umocowana końcami w punkcie B (rys. 296), obchodzi trzy równe bloki, z których 2 skrajne obciążone są siłami P i Q. Uwzględniając spółczynnik oporu ar bloków i kąty nachylenia a lin, znaleźć wielkość siły czynnej P, niezbędnej do pokonania oporu pożytecznego Q oraz siłę S, wywieraną na punkt zaczepienia A bloka średniego.

Wm

rJ \L -

318. Prasa klinowo-śrubowa (rys. 297) poruszana jest siłą P = 10 kg., przyłożoną na końcu korby, o długości a = 0,4 m. Korba obraca śrubę, względem której przesuwają się w kierunkach przeciwnych kliny A i B, unoszące płytę C prasy. Dane są: kąt nachylenia gwintu śruby a = 5°; kąt nachylenia klinów {3 = 10°,

IIEMKIil

mm

JM

11

mm

yjfj

promień śruby r = 2 cm.; spółczynnik tarcia w śrubie jj. = 0,1, oraz między klinami a płytą i podstawą ^ = 0,08. Obliczyć siłę Q, wywieraną przez płytę, oraz spółczynnik sprawności tj prasy.

319. Na końcach czterech ramion R — 3 m. kołowrotu (rys. 298) pracuje czworo ludzi, z których każdy wywiera siłę P — 10 kg. Promienie wała i bloka L wynoszą odpowiednio Rl — R% = 20 cm., promienia zaś ich czopów: r₁ = r₂ = 4 cm. Spółczynnik tarcia czopowego {ij = 0,08; średnica liny d — 4 cm.; spółczynnik sztywności tej liny i = 0,06 P. Obliczyć wielkość unoszonego ciężaru Q, oraz spółczynnik sprawności tj kołowrotu.

mm

299

320. Drąg AB (rys. 299), o długości l = 3 m. i ciężarze Q = 400 kg., umocowany jest w przegubie A. Do końca B tego drąga uwiązana jest lina, o średnicy d = 3 cm., obchodząca bloki C i D i wyprężona na końcu siłą P. Promienie bloków i ich czopów wynoszą odpowiednio: R = 10 cm. i r

II,

2 cm.; odległość AG — a= 4 m.; spółczynnik tarcia czopowego (Li = 0,1 i sztywności liny £=0,06d². Obliczyć największą wartość naprężenia Ps liny, oraz odpowiednią do niej wielkość siły czynnej P.

ar.;

mmm

321.    Na każdej z dwóch korb kołowrotu (rys. 300), o promieniach R — 0,4 m., pracuje po 2 ludzi, każdy z siłą P= 8 kg. Promień wała wynosi r — 8 cm., średnica liny d — 2 cm. Strata na opory szkodliwe stanowi 4°/₀ siłyr, użytej na poruszanie kołowrotu. Jaki ciężar Q może być podnoszony za pomocą tego kołowrotu, oraz jaki jest jego spółczynnik sprawności, jeżeli spółczynnik sztywności liny wynosi

4 = 0,06d²'?

hOl

322.    Kołowrót (rys. 301) posiada 2 korby, o promieniach R — 60 cm. i wał o dwóch czopach. Promienie wała i jego czopów wynoszą odpowiednio: Rt = 15 cm.; rx — 2 cm. Na wał nawinięta jest lina, o średnicy d == 2,5 cm., która przechodzi.

następnie przez blok i obciążona jest na końcu siłą Q, = 50 kg. Promienie blo-ka i jego czopów wynoszą odpowiednio: /t₂ = 15 cm.; r₂— 2 cm. Spółczynnik tarcia czopowego [X, = 0,08; sztywności liny: $ — 0,06<i². Obliczyć siły P niezbędne do obracania korb, oraz spółczynnik sprawności 7] kołowrotu.

323.    Ciężar Q (rys. 302) podnoszony jest na linie o średnicy d, nawiniętej na wał o promieniu r. Wał ten, włożony pomiędzy dwie płaszczyzny, tworzące kąt 2a, obracany jest za pomocą korby o promieniu R. Obliczyć niezbędną do obracania tej korby siłę P, mając wiadomy kat tarcia p i spółczynnik sztywności liny £ = 0,06P.

324.    Ciężar Q (rys. 303) wisi na końcu doskonale giętkiej nici, nawiniętej na koło o promieniu R i unoszony jest za pomocą liny, ocierającej się o wał, na którym nasadzone jest koło, Promień tego wała jest rf spółczynnik tarcia liny o wał ;x. Obliczyć stąd napięcia T± i P₂ obydwóch końców liny.

325.    Jak się zmieni rezultat poprzedniego zadania, jeżeli uwzględnić spółczynnik tarcia (Xj wała w jego łożyskach?

326.    W prasie śrubowej MarstłPa (rys. 304) ciśnienie Q na płytę AR, wywierane jest za pomocą śruby, po której posuwają się w kierunkach przeciwnych na śrubki C i I). Naśrubki te połączone są przegubowo z czterema prętami o długości b, nachylonymi pod kątem [3 do kierunku pionowego. Prócz tego dany jest kąt a nachylenia gwintu w śrubie, kąt tarcia p, promień r śruby, oraz promień R koła ręcznego na końcu śruby. Obliczyć niezbędną do poruszania tego koła siłę P.

327.    Ciężar Q = 3000 kg. na kołach (rys. 305) wciągany jest na równię pochyły. ⁰ ^ugości i = 80 m. i wysokości h — ; ni. za pomocą liny o średnicy d = 2 ci;:. Lina ta przerzucona jest przez blok A i wyprężona siłą P. Mając dane:

'Cccii mika. — 5

ta;

fi

mm

BHhb

m.

SUHJLSt

3ff9.

gf.

mm,

M/i

05

H f es*

P-

ł"El

n......

m-

IT

507

IBM

309

k. Promienie kół: Ri = 0,25 m. i ich czopów r\ — 2,5 cm.; promień bloka P₂ = 0,5 m. i jego czopów r₂ = 6 cm.; spółczynnik i tarcia czopowego = 0,08, spółczynnik sztywności liny i = 0,06d², oraz spółczynnik tarcia toczenia się /=0,05 cm., obliczyć wartość siły P, niezbędnej: a) do unoszenia ciężaru Q, b) do utrzymywania tego ciężaru na równi pochyłej w spo-czynku.

• 328. Ciężar Q wtaczany jest po rolkach na równię (rys. 306), nachyloną pod — kątem a = 20° do poziomu za pomocą liny o średnicy d = 1,5 cm. Lina ta nawinię-j ta jest na wał kołowrotu, poruszanego przez 2 ludzi, z których ' każdy wywiera siłę P = 10 kg. Dane są: promienie rolek Pj = 5 cm., wała P₂ = 10 cm., korb Ps = 40 cm., czopów kołowrotu r = 2 cm., spółczynnik tarcia czopowego ;j.j == 0,1; spółczynnik tarcia toczenia się dla rolek f = 0,1 cm., spółczynnik sztywności liny ~r £ = 0,06d². Obliczyć wielkość poruszanego ciężaru Q.

329. Ciężar Q = 500 kg. wciągany jest na równię (rys. 307), nachyloną pod kątem ocx = 35° do poziomu za pomocą śruby o promieniu r == 2 cm. i kącie nachylenia gwintu a₂ = 7°. Śrubę obraca koło l ręczne o promieniu P=30 cm. Spółczynnik tarcia wynosi: na równi pochyłej [-4 = 0,14; przy kącie tarcia — 8°; w śrubie: ;j.₂ = 0,1, przy kącie tarcia p₂ = 6°.

| . Obliczyć siłę czynną P, wciągającą ciężar, oraz spółczynnik sprawności 7] całej maszyny.

330. Klin (rys. 308), którego boki posiadają nachylenie .(3 = 15°, przyciśnięty jest do otworu za pomocą śruby i koła ręcznego o promieniu P = 25 cm. siłą P = 15 kg., działającą na obwodzie tego koła. Promień śruby r — 3 cm.; kąt nachylenia gwintu a = 6°; spółczynnik i kąt tarcia: dla klina = 0,53; px = 28°; dla śruby: [r₂ = 0,1; p₂ = 6°. Obliczyć ciśnienie Q, na boki klina i spółczynnik sprawności 7].

331. Koło pasowe (rys. 309), o promieniu R — 1,5 m., przesyła moc pożyteczną: Np = 200 HP, przy n — 120 obr./min. Promienie czopów r = 10 cm.; ciężar koła wraz z wałem Q, = 2,5 tu. Spółczynnik tarcia czopowego: [jl₁ = 0,1. Spółczynnik tarcia pomiędzy pasem a kołem [J. = 0,28, co przy kącie objęcia a == tc daje

liczbę:    = 2,41. Obliczyć naprężenia T₁ i T₂ obydwóch końców

pasa.

12. Linja łańcuchowa.

332. Lina jednorodna AC=l (rys. 310) umocowana jest w punkcie A i pewną swą częścią leży na gładkiej równi, nachylonej pod kątem [3 do poziomu. Obliczyć długość BC = z kawałka liny, leżącego na równi, mając wiadomy kąt a stycznej do liny w punkcie A z kierunkiem poziomym.

Ta

|Y

MML

Vl>

i-

-310,

IE

333.    Nić ważka jednorodna (q — ciężar jedn. dług.), o długości 21 (rys. 311), zawieszona jest w punktach A i B położonych na jednym poziomie. Naprężenie T nici w tych punktach równe jest ciężarowi całej nici. Jakie kąty cp tworzą te naprężenia z kierunkiem poziomym, oraz jaka jest wtedy odległość 2# pomiędzy punktami i i 5?

r.i

na-

334.    Łańcuch jednorodny ABC (rys. 312), o długości 21, wiszący swobodnie pomiędzy końcami A i C drąga poziomego AC, zostaje przerzucony stępnie przez środek D drąga.

ir

Najniższy punkt B łańcucha leży pierwotnie w odległości h od drąga AC. Obliczyć pierwotne i końcowe wielkości naprężeń łańcucha w punktach A i C, jeżeli ciężar jedn. długości jest q.

335. Łańcuch jednorodny (rys. 313), o długości AB = l i ciężarze P, umocowany jest w końcu B, drugi zaś koniec tego łańcucha umocowany jest tak, aby naprężenie w końcu B miało kierunek poziomy i posiadało daną wielkość T₀. Obliczyć odległość x, oraz wysokość h końca A względem końca B łańcucha.

II

336.    Łańcuch jednorodny (rys. 314) przerzucony jest przez bloki A i B, leżące na jednym poziomie. Długość łańcucha pomiędzy blokami ACB === 21, ciężar jedn. dług. jest q. Naprężenie T₀ w najniższym punkcie C łańcucha jest równe ciężarowi ACB. Jaką powinna być wtedy długość h końców łańcucha, zwisających z bloków A i B, oraz odległość 2x pomiędzy blokami?

337.    Pewna część łańcucha jednorodnego (rys. 315) o całkowitej długości ABCD = l leży na poziomej chropawej płaszczyźnie MN, przyczem spółczynnik tarcia między łańcuchem a tą płaszczyzną wynosi ;x. Łańcuch przechodzi przez blok, umieszczony na wysokości h od płaszczyzny MN. Obliczyć długość AB == z zwisającego końca łańcucha podczas równowagi.

W/A

li

li

WM//Ł

338. Części AB = a; DE = z łańcucha jednorodnego. ABCDE (rjs. 316) leżą na dwóch chropawych płaszczyznach poziomych, po-rgjlędzy któremi odległość jest b. Spółczynnik tarcia na obydwóch, jnaszczyznach jest ;x. Obliczyć długość odcinka DE — z.

68j

339. Jaką postać przybierają części§AC = 2lx i GB — 21₂ łańcucha jednorodnego (rys. 317), przewleczonego przez nieruchomy pierścień C i umocowanego na końcach A i B, jeżeli odległość między tymi końcami wynosi 2b, a wszystkie 3 punkty A, B i C leżą na jednym poziomie?,

\V

r*i

340. Łańcuch jednorodny (rys. 318), o długości l i ciężarze jednostki długości q, umocowany jest w końcu A, następnie przewleczony w punkcie B przez gładki pierścień i obciążony na drugim końcu I) ciężarem Q. Mając daną długość a zwisającego końca łańcucha, znaleźć odległość AB = 2x pierścienia B od końca A łańcucha.

C_3

ta?

9ł

issj

su

s:

IbI

319 (P

341.    Podług jakiego prawa powinien zmieniać się stosunek q ciężaru nici do długości, aby nić, zawieszona w punktach A i B (rys. 319), przybrała kształt półokręgu o promieniu r, oraz jak się oblicza naprężenie T takiej nici w poszczególnych jej punktach?

342.    Nieważki łańcuch BCD (rys. 320) za pośrednictwem szeregu nieważkich cięgien pionowych dźwiga belkę AE — 2b, której obciążenie na jednostkę długości wynosi q. Prócz tego do belki zawieszony jest ciężar Q w punkcie F, położonym w odległościach: AF=bt; FE=b₂ od końców belki. Obliczyć poziomą składową H napięcia łańcucha w poszczególnych jego punktach, maiac wiadomą odległość CF = h punktu C łańcucha od belki AE.

CZĘŚĆ II.

KINEMATYKA.

1.

Ruch prostolinjowy punktu.

343.    Statek podczas spuszczania z doku na wodę przebywa po równi pochyłej, ruchem jednostajnie przyśpieszonym, drogę s = 1 m. w ciągu pierwszych t= 10 sek. Obliczyć, po upływie jakiego czasu statek ten zsunie się zupełnie z równi, mającej długość s' = 400 m.

344.    Pocisk w chwili wylotu z działa posiada prędkość v = 500 m./sek. Przypuszczając, że ruch pocisku wzdłuż kanału działowego, o długości l—l m., był jednostajnie-przyśpieszony, obliczyć czas, w ciągu którego pocisk przelatuje przez ten kanał.

345.    Pociąg wyrusza ze stacji z przyśpieszeniem p — ^ m./sek.2 W jakiej odległości od tej stacji pociąg nabędzie prędkość v = 72 klm./godz.?

346.    Pociąg, pędzący z prędkością v = 72 klm./godz., zostaje zatrzymany działaniem hamulca, przyczem zyskuje opóźnienie ruchu p — 0,4 m./sek.² Obliczyć, na ile sekuncPprzed zatrzymaniem pociągu i w jakiej odległości od stacji należy rozpocząć hamowanie.

y .347. Kloc kafarowy, uderzywszy o pal, porusza się wraz z nim w ciągu t = 0,02 sek. do chwili zatrzymania się, przyczem pal zagłębia się w ciągu tego czasu w grunt na h — 6 cm. ruchem jedno-stajnie-opóźnionym. Obliczyć prędkość kloca kafarowego w chwili uderzenia, oraz wysokość, z jakiej kloc ten powinien być spusz-■ ezony na pal.

Krople wody wypadają z rurki pionowej co 0,1 sek. jedna po drugiej, zyskując przyśpieszenie ciężkości g — 9,81 m./sek². Obliczyć odległość między pierwszą a drugą z kolei kroplą po upływie 1 sek. od chwili wypadnięcia z rurki pierwszej kropli.

349. Punkt ruchomy posiada prędkość początkową v₀ i stałe opóźnienie py Po upływie tx sek. opóźnienie znika, poczem po

ywie następnych t₂ sek. punkt zyskuje znów opóźnienie p₂. Ja-droga 5 zostanie przebyta do chwili zatrzymania ruchu i z jaką ikością r₁ przy niezmiennem przyśpieszeniu p₂ punkt ruchomy róci do położenia początkowego? Zbudować wykres prędkości asu.

550. Punkt ważki spada swobodnie bez prędkości początkowej. { gi punkt, położony niżej od pierwszego w odległości a, rzuco-jest jednocześnie pionowo do góry z prędkością początkową v0 spotkanie punktowi pierwszemu. Po upływie jakiego czasu t jakiej odległości x od położenia początkowego, które miał kt górny, nastąpi to spotkanie?

*51. Dwa punkty poruszają się jeden za drugim po tej samej tej z prędkościami stałemi vx i v₂, przyczem początkowo znaj- / się w odległości a od siebie. Po upływie jakiego czasu$t na-i spotkanie? (Przedstawić rezultat również za pomocą wykresu). ' i

52. Kamień spada swobodnie do studni, przyczem odgłos ude-ia o dno słyszany jest po upływie t sekund od początkowej li spadku. Obliczyć głębokość x studni, wiedząc, że prędkość i wynosi c m./sek.

53. Z punktu A (rys. 321) wybiega den światła z prędkością v i dąży do :tu. C, położonego pierwotnie w odle-punktu A. Zarówno punkt A, i C po.iszają się przy tern z prędko-i c w kie.mku prostopadłym do AC, , że w ch-'ii, g^y promień r dosięga iktu C, ten^statni znajduje się w po-eniu C’. Podbiciu od punktu C' pro-m światła nzwłocznie powraca z tą la prędkością- do punktu A, i dosięga w położeniu Obliczyć czas t, upły-jący pomiędzy wyjściem J promienia punktu ruchomi₀ .j) a Zwrotem do oż punktu w poieniu A".

<5---—O

1n

era

nIA

Mi

354. Dwa Pullki^rUchome A i B -s. 322) znajdują t początkowo w odjęci $ od siebie. 2 punktu A wybie-Jpromień światła prędkością v i dąży punktu B. ^ka.unjc^y ^ j J5 poru-ją się w tym^ san.ll co j światło kiełku z prędkością Odbiwszy się od    v x

nktu b w położę, promień światła powraca z tą samą pręd-scią v do punktu Obliczyć czas i, upływający pomiędzy wyjem promienia z hptu A a powrotem do tegoż punktu rucho-go w położeniu .    '    -

h'355. Dwa punkty poruszają się jeden za drugim z prędkościami początkowemi vx i v₂ i stałemi przyśpieszeniami px i p₂. Odległość początkowa pomiędzy tymi punktami wynosi a. Po upływie jakiego czasu t punkty te spotkają się?

356.    Punkt ważki rzucony jest w próżni z prędkością początkową r₀ pionowo do góry. Po upływie t sek. z tego samego miejsca i z tą samą prędkością v₀ rzucono do góry drugi punk z O upływie jakiego czasu t₁ od chwili wyrzucenia drugiego punktu nastąpi spotkanie obydwóch punktów rzuconych?

357.    Dwa punkty rozpoczynają jednocześnie swój ruch, przebywają tę samą drogę i jednocześnie zatrzymują się. Pierwszy rozpoczyna ruch z prędkością c, poczem zyskuje stałe opóźnienie j aż do chwili zatrzymania się. Drugi punkt rozpoczyna ruch z prędkością v₀ — 0 i z początku posiada stałe przyśpieszenie p₂, z chwila jednak, gdy prędkość tego punktu dosięga wielkości c, ruch staje się jednostajnie-opóźnionym z opóźnieniem =p aż do chwili zatrzymania się. Obliczyć czas T trwania ruchu obydwóch punktów, czas t, po upływie którego zaczyna się opóźnienie p, wielkość tego opóźnienia, oraz wspólną drogę s, przebytą przez oba punkty. Zbudować wykres dla prędkości i czasu.

no

358.    Trzy punkty A, B i C poruszają się jeden za drugim tej samej prostej i rozpoczynają swój ruch od tego samego miej z prędkością początkową v₀ = 246 m./sek. Najpierw; rozpo ■; się ruch punktu A, który w ciągu pierwszych = 5 se¹ poso-n stałe opóźnienie px = 10 m./sek.² Po upływie tego czas’'ro.jpoez na się ruch punktu B ze stałą prędkością v₀, po upływ jeszc t₂ = 3 sek. rozpoczyna sio ruch punktu C z pr;spie zenit p2 = 4 m./sek.² Po jakim czasie t odległo i < ‘ i B zrównają ; i jakie będą miały wtedy wielkością

V-

359. Dwa punkty rozpoczynają swój rueli jed-m^-śnie. po samej prostej. Pierwszy ruch nie posiada prędka-¹ poezrtko. a tylko przyśpieszenie p₁ = 1 m./sek.². ctóre trwl:. ~~ 3 ; k., i czem znika i ukazuje się znów po upływie vx~ ocj p cz.

ruchu. Punkt drugi rozpoczyna śwó m./sek. i opóźnienia p₂ — 0,5 m./sek.²,    ore a h ⁰ ‘

stępnie znika i ukazuje się znów po sk    zet h -■ 0 sek.

czątku ruchu. Kiedy obydwa punkty ruchom- rskają rówr kości i jakie mianowicie? Zbudować vy;    ikości i co

ruch o/PrQ^ kości w -

pik su.

360.    Punkt porusza się po Tinji pr * o g° odległe

pewnego punktu nieruchomego na tej prostej    się ’ i

jącą funkcją czasu: s — U — 2£*. Znaleźć pdkose v i p; szenie p tego ruchu odpowiednio do czasu t, o? zbudować w sy dla drogi przebytej i prędkości w związku czasem

361.    Punkt porusza się po linji prostej w ¹¹ sposoby; pi byta w tym ruchu drogą * wyraża się funkcja: ~a sm gd

363. Ruch prostolinjowy punktu określa się równanie! u: = a log₁₀(ó-j- s), gdzie t oznacza czas, s — drogę, a i czynniki ale. Znaleźć prędkość v i przyśpieszenie p tego ruchu - fankach czasu t.

364. Prędkość punktu wyraża się następującą funkcją czasu.:

gdzie a i b wielkości stałe. Wyrazić przyśpieszeni,

,tego ruchu funkcją prędkości r.

i 365. Dwa punkty ruchome zbliżają się po tej samej prostej u iwnego punktu nieruchomego O na tej prostej ruchem przyśnie :onym. Przyśpieszenie p tego ruchu wyraża się następującą X¹U;gm ą odległości x od punktu nieruchomego: p = kx~n, gdzie ki i-v wielkościami stałemi. Pierwszy punkt rozpoczyna swój illk odległości x = co, drugi zaś z, odległości x — a oe punku! ■hwili, gdy punkt pierwszy znajduje się w odległości x ~ w

CL

nkt zaś drugi w odległości x = —, oba posiadają tę samą ,uv ; ść. Obliczyć stąd niewiadomy wykładnik n.

366. Przyśpieszenie p punktu ruchomego wyraża sj< następuj

k

funkcją drogi s: p —-; gdzie kia są wielkości-md sfałen

a -—■ s

początkowej cliwili ruchu: s = -0; v — 0. Wyrazić óoly mzyśpieszenie p tego ruchu funkcjami prędkości v.

67. Punkt ruchomy zbliża się ruchem przyśpieszoi m <>■■> np P punktu nieruchomego O na prostej z przyśpiesz! n

k²x~ * gdzie k wielkość stała, x odległość od punktu niemi<0 po O. Prędkość początkowa ruchu v₀ — 0. Obliczyć czas '* i?ia do punktu O.

początko wy w

= 0. Obliczyć czas t, po upływie k .óreg; y stanie się 2 razy większą od początkowej.

== {4 cm.; k — 0,5 sek. Zbudować wykresy dla dróg, prędkość przyśpieszenia w związku z

równanie ri

czasem t.

’■ jzasu

362.

w którym przyśpieszenie wyraża zasu: p = 121 cm./sek.² i posiada kierunek przeciwny W momencie czasu <A= 2 sek. prędkość v— 6 Cm.-'sek

ę funkcją r) ruchu.

momencie zaś t₂ = 3 sek. droga przebyta wynosi: s == 50 cm.

;68. Ruch punktu określa się równaniem: s = bvs — ,,    • j

droga, v -A- prędkość, a i b — liczby stałe. W hcie ruchu «

{69. Ruch prostolinjowy punktu wyraża się i Mia u-mv₀ I    — — \

11 — e 1Hj, gdzie v₀, m, k i e są wielkość i a nr: s

■0355.

ni pc »’łO§Ć ; aldeg

35t

cową >ca i • i pływ •taj.) i ■(.

waja v<

•zyna

do c? kości jedną się je

maniłi

370. Pręt AB (rys. 323) poruszany jest w wodzidłach prosty 1

pionowych tam i z powrotem za porno f pręta CD = a, połączonego z suwakiem \ Suwak porusza się w wodzidłach poz mych X ze stałą prędkością c. Wyra: prędkość v i przyśpieszenie p pręta Ą f funkcjami odległości y.

\J {|371. Dwa równe pręty OB = 0₁C' = (rys. 324) osadzone są na przegubach i Oj, których odległość OOx — a. Kon C pręta 0t O ślizga się wzdłuż pręta 6 4'| podczas, gdy ten ostatni wiruje dok<:! przegubu O ze stałą prędkością kątów? ': Wyrazić prędkość v punktu C funkcją <41 ległości 00 = sc, oraz znaleźć jej wart< i dla chwili, gdy C przybywa do końca i pręta.

u¹

rłi

!*

B'

372. Punkt M (rys. 325) posuwa wzdłuż prostej X z prędkością v i pr f p. Za pośrednictwem nici o długości l, przewleczo ez pierścień A, punkt M .wprawia w ruch punkt Mx .wzdłuż p

t,[ po- tlpły*.

szeniem

tej -ani* z prędi się rucl stałe oj

[a:

na

r>>

;;

ii

ÓĆB. w

A'' równoległej do X i położonej w odległości a od niej. Ol ■i prędkość v.t ^przyśpieszenie p, punktu Mx.

jii

X--

'■ ■ p

kości i j i ?

7i

Ii

pewL ego isM funkcjM

fjjr

gl

Pul

361

fsWjmU

373. l),u.ny jest wykres prędkości v pociągu z biegi czasu t (rys. 32'6“)- Wyrazić dj gę przebytą s ftinkcją czasu odstępów: 1) od t = 0 do t = min.; min.;

min. i 4) od t min., poc w którym

zm

w to

od t =f 40 do i — 1 od t === 100 do t = 1 do t =;

O rr"'

= o:

punktu

ś.

374.    Dany jest wykres drogi przebytej s w zależności od czasu t (rys. 327). Zbudować odpowiedni wykres dla prędkości v i czasu t.

375.    Dany jest wykres dla prędkości v i czasu i (rys. 328). Zbudować odpowiednie wykresy dla drogi .s i przyśpieszenia p w zależności od czasu t.

376.    Wykres prędkości v i czasu t przedstawia połowę elipsj^ (rys. 329). Jaka powinna być prędkość c ruchu jednostajnego, aby w tym samym czasie

została przebyta ta sama droga s, co i w ruchu, przedstawionym na wykresie?

377.    Wykres drogi s i czasu t przedstawia ćwiartkę elipsy (rys. 330). Zbudować odpowiednie wykresy dla prędkości v i prz}r-

II

WSm

l!

jl

pieszenia p w związku z czasem t, wyznaczyć największą i najmniejszą wartość przyśpieszenia p, oraz odpowiednie do tych war-ości momenty czasu t.

li

ii

378 W '

oli (yy.s P i

" i czasu t przedstawia się luk' V ać odpowiedni wykresy dla prz w związku'- czasem t.

379. Wykres prędkości v i czasu t przedstawia się ćwiartką kola (rys. 332). Jakie powinno być przyśpieszenie p ruchu jedno-staj nie-przyśp i e s z o n e g o, rozpoczynającego się z prędkością

V

. % =

Sj, co i w ruchu, który wyraża wykres dany?

aby po upływie czasu tA została przebyta ta sama droga

¹

eślić cechy tego ruchu, oraz wyrazić jego przyśpies keją prędkości v.

II

sfii

380. Rys. 333 wyobraża wykresy prędkości v i czasu t dwóch punktów, poruszających się po tej samej prostej. Dane są warunki:

tl 4

— F₂=| Vq . Obliczyć czas t, po upływie którego punkty się spotkają.'

t% = I V; . Tt = 4 t,; Tz = ł t',; U = v.a; «,= $»,;

2. Ruch krzywolinjowy punktu.

381, Ruch punktu określa się równaniami:

x = 10 cos 12t: -~-J; y = 10 sin ^2z _ J.

Znaleźć kształt toru, wielkość i kierunek prędkości v, oraz przyśpieszenia, p.

382.    Rikjh punktu określa się równaniami:

x "*= a . cos (a + V — & • sin (f⁵ + K0» gdzie: a, (3, a i\ są wielkościami stałemi. Znaleźć równanie toru.

383.    Ruch punktu określa się równaniami:

x = v₀t . cos a; y — v₀t . sin a —    ■,

pizyczem

góry>xw₀ i a < -^r seł wielkościami stałemi i oznaczają odpowiednio

^kośś początkową i jej z kierunkiem poziomym. Wyzna-ró witanie toru, spółrz^nę najwyższego punktu drogi, oraz rzu ędkości w chwili, gdy p*ukt, ruchomy znajduje się na osi OX

oś OX skierowana jest poziomo, oś zaś O Y pionowo do

w to samo miejsce na powierzchni ziemi. Obliczyć stąd wy-< : i h wieży.

392. Pod jakim kątem a do poziomu (rys. 335) należy rzucić

fk

v₀ z

punkt ważki w próżni, aby dosięgną! on w najkrótszym czasie płaszczyzny AB, nachylonej pod kątem [3 do poziomu i przecinającej pion OA na wysokości a?

Uli

393. Obliczyć prędkości kątowe 0₁ i 0₂ wałów maszyny parowej, oraz turbiny LavaPa, wiedząc, że pierwszy wykonywa nl =, 30, drugi zaś n₂ = 15000 Obr./min.

394 Obliczyć prędkość linjową v i przyśpieszenie dośrodkowe nktu, znajdującego się na szerokości geograficznej a = 60° s biorącego udział w ruchu obrotowym ziemi, przyjmując długość nomio ia kuli ziemskiej r = 6000 km.

\ ' Koło rozpędowe, o promieniu r = 0,5 m., wiruje ruchem l'nym dokoła swej osi. Prędkość linjowa punktów na obwo-o koła wynosi v = 2 m./sek. Ile obrotów wykonywa to ko-

v 1 min.?

Fh)>

Punkt A koła wirującego (rys. 336) posiada prędkość linjową: vl = 50 cm./sek., punkt zaś B prędkość v₂ = 10 cm./sek. Odległość pomiędzy tymi punktami wynosi a = 20 cm. w kierunku promienia. Obliczyć prędkość kątową 6 koła, oraz jego średnicę x.

bt*

397. Wał maszyny zostaje rozpędzony ruchem obrotowym jednostajnie-przyśpie-szonym, przyczem w ciągu pierwszych t — 5 sek. wykonał n — 12,5 obrotów. Jaka jest prędkość kątowa 6 wała po upływie tego czasu od początku ruchu, oraz ilu obrotom wała na 1 min. odpowiada ta ! prędkość?

Koło zostaje wprawione fw ruch wirowy jednostajnie-przj pieszony, przyczem w ciągu pierwszych 2 min. swegp ruchu wy 3600 obrotów. Obliczyć przyśpieszenie kątowe 7 tego koh

399 Koło rozpędowe zostaje wprawione w ruch wirowy jedno przyśpieszony i po upływie czasu t — 10 min. od początki i zyskało prędkość kątową, odpowiadającą n = 120 obr./mk y obróciło się koł/j, zanim zyskało te prędkość?

.

384. Mając dane te same równania ruchu, co i w zadaniu po-j ; 'z dniem, obliczyć kąt a, przy i nej Iwielkości v₀ tak, aby toi® punktu ruchomego przeszedł p zez punkt nieruchomy (a, b) i przedyskutować otrzymany rezultat

885. Wyznaczyć tor p] aktu rac -mego, którego prędkość

i    .

v i= 3 cm./sek. = coi*|t. i tworzy z osią 0X stały kąt: a =

W chwili czasu t = 0 punkt znajduje się w początku układu spoi rzędnych.

386. Punkt porusza się w płaszczyźnie ze stałem przyśpieszeniem p = 40 cm./sek.², skierowanem ku początkowi układu spół-rzędnych. Kąt a, który tworzy promień wodzący r punktu ruchomego z kierunkiem osi OX, wzrasta z biegiem czasu, zyskując f w każdej sekundzie jednakowe przyrosty: (3 = 2 radjany. W po- / j czątkowym momencie ruchu punkt znajduje się na osi OX w odle- ; głośei — 10 cm. od początku układu i posiada tam prędkość^ j •>₀ ----- 20 cm./sek., skierowaną równolegle do osi OY. Wyznaczyć tor i uchu.

887. Punkt ważki, rzucony ukośnie w próżni pod kątem a do poziomu z położenia A, trafia do położenia B na tym samym poziomie po upływie czasu tv Będąc zaś rzucony pod kątem 2a, trafia do tegoż położenia po upływie czasu ć₂. Jaka jest odległość x pomiędzy punktami i i B?

388. i Punkt ważki, rzucony pod kątem a (rys. 334) do poziomu z prędkością początkową v₀ trafia w punkcie A na prostą O A, nachyloną pod kątem (3 do poziomu.

Odległość O A może być przebyta w czasie r ruchem jednostajnym z prędkością v₀.

Obbczyć czas t, w ciągu którego punkt y przebiega drogę OBA po paraboli 0 rzutu .

711

j>

]i

Ar

WM

W"

339. Punkt ważki z położenia O (rys.

334 rzucony jest pod kątem a do pozio-

z prędkością początkową r₀. Obliczyć, w jakiej odległości ipływie jakiego czasu t punkt ten uderzy o płaszczyznę' 0% i na< loną pod kątem (3 do poziomu, oraz znaleźć wartość kąta rzu-l 1 u , przy której odległość OA jest największa.

9    91

S90. Dwa punkty ważkie rzucone są jednocześnie i z tego sa-‘‘M n:    miejsca pod kątami 04 i a₂ do poziomu i z prędkościami po

tkowemi ct i c₂. W jakim odstępie msii przebiegają one przet |

, r, w którym przecinają się ich toryV

y 1. Ze szczytu wieży rzucone są-d i- punkty ważkie z ta tą rędkością początkowa r₀ pod kąt » u i do pobomn i ;

f; : = 2n ¹/sek. Wykonawszy następnie n

400. Koło, wirujące dokoła swej osi, posiada prędkość kątową

10 obrotów koło to za-

yniało się wskutek tarcia. Obliczyć opóźnienie kątowe 7 ruchu, prfeyjmując go za jednostajnie opóźniony.

1401. Na koło, o promieniu R = 10 cm. 'rys.' 337), nawinięty jest sznurek z ciężarem A na końcu. Ruch tego ciężaru określa się równaniem: x = 1001², gdzie x droga, przebiegana w kierunku pionowym od poziomu początkowego OO,

Obliczyć prędkość kątową 0, przyśpieszenie kątowe 7 koła, oraz przyśpieszenie linjowe całkowite p punktów na obwodzie koła odpowiednio do czasu t.

; WĘ0.

czas.

*TA

402.    Koło rozpędowe, o promieniu r — 2 m., wirując ruchem jednostajnie-

opóźnionym, wykonało n = 600 obrotów od momentu czasu t₀ = 0 do /₁=20sek. W momencie czasu t₂ — 15 sek. posiadało ono prędkość kątową 6 = 307r ¹/sek. Obliczyć przyśpieszenie linjowe całkowite punktów na obwodzie tego koła w końcu czasu tx = 20 sek.

403.    Koło napędowe (rys. 338), o promieniu R= 75 cm., wprawia za pomocą pasa w ruch wirowy koło prądnicy elektrycznej, mające promień r = 30 cm. Ruch ten jest jednostajnie-przyśpie-szony o przyśpieszeniu kątowem 7 = 0,4:r Vsek.² Obliczyć, po upływie jakiego czasu t od początku ruchu koło prądnicy nabędzie prędkość kątową, odpowiadającą n — 300 obr./min.

obi

r ‘A

33$.

mm.

mm

404. Pewne ciało wiruje dokoła nieruchomej osi, przyczem kąt •tu yp ok ;śla się funkcją czasu: <p — 20° . sin 10°

OHu ■ momei

5 sek.

ć prędkość kątową 6 w początkowym momencie czasu t₀ s= 0, - czasu ty i t₂, gdy zmienia się kierunek ruchu, oraz okres

) ruchu.

śni i ■

P<

Dwa punkty (rys. 339) rozpoczynają swój ruch jednocze-.'ożenią A i z jednakową prędkością początkową Pierw-

szy przebiega średnicę AB =. 2r ruchem jednostajnie-opóźnionym^fla drugi zaś przechodzi równocześnie półokrąg ACB ruchem jedno- ‘as stajnie-przyśpieszonym. Obliczyć czas t trwania każdego z tych ruchów pomiędzy punktami A i B-, prócz tego znaleźć prędkość vx, przyśpieszenie styczne pt, oraz wielkość i kierunek przy^ śpieszenia całkowitego p dla punktu, biegnącego po okręgu w chwili, gdy punkt ten znajduje się w położeniu B.

IwM

406.    Dwa punkty (rys. 340) rozpoczynają swój ruch od punktu A po okręgu koła o promieniu r z jednakowemi, ale skierowanemi wprost przeciwnie prędkościami początkowemi v₀. Punkt pierwszy porusza się ze stałem przyśpieszeniem,, punkt zaś drugi z takiem samem opóźnieniem stycznem pt. Spotkanie obydwóch punktów następuje w położeniu B. Obliczyć wielkości przyśpieszeń stycznych pt

. i całkowitych p w punkcie B, oraz kąt 'f,. jaki tworzą tam między sobą wektory przyśpieszeń całkowitych.

407.    Rozwiązać zadanie poprzednie w przypuszczenie, że przyśpieszenie pt jest dowolne i obliczyć, po upływie jakiego czasu t nastąpi spotkanie punktów, oraz jaki kąt <p tworzą wektory ich przyśpieszeń całkowitych w punkcie spotkania.

408.    Punkt ważki A (rys. 341) rzucony jest w próżni pod kątem a do poziomu i z prędkością początkową v₀. Po upływie t₁ sek. z położenia B spada bodnie inny punkt bez prędkości początkowej. Oba punkty spotykają się w położeniu C. Znaleźć spółrzedne x i y punktu C.

swo-

409. Punkt ruchomy B przebiega półokrąg ABC (rys. 342) o promieniu r. Rzut B' tego pńnktu na średnicę AC po-się wzdłuż tej średnicy ze stałą Znaleźć prędkość linjową v,

rusza

prędkością c.

przyśpieszenie styczne pt, oraz kierunek i wielkość przyśpieszenia całkowitego p w położeniu B, odpowiadającem kątowi obrotu cp.

410. Punkt porusza ,/ się po elipsie, wyrażonej ióvvnaniem.

x²    y²

f'2 ' I)²

== 1 na skutek przyśpieszenia, mającego

kierunek równo-

o-

1 do osi Y i znak ujemny. Położenie początkowe tego punktu odpowiada spółrzędnym: x = 0; y = b\ prędkość początkowa v₀. Obliczyć przyśpieszenie linjowe p w dowolnym punkcie drogi.

411. Punkt ruchomy posiada w kierunku osi X stałe opóźnienie —p, w kierunku zaś osi Y— stałe przyśpieszenie +p. W położeniu początkowem: x — 0; y — 0 prędkość jest v₀ i posiada kierunek dodatni osi X. Znaleźć tor punktu, najmniejszą wartość jego prędkości, oraz położenie, w którem ta prędkość zostaje osiągnięta.

412. Punkt, którego położenie początkowe określa się spółrzęd-nemi: xQ = 0; y₀

0, a prędkość początkowa ^ rzutami vox i voyy

posiada rzuty przyśpieszenia, wyrażone wzorami: px=—; py ——-,

vx    Vy

gdzie a i & są wielkościami stałemi. Obliczyć prędkość v tego punktu w dowolnym czasie t, oraz znaleźć równanie toru.

413.    Prosta OX (rys. 343) obraca się dokoła punktu O ze stałą prędkością kątową 9 i przecina w punkcie A okrąg kola o promieniu r, przechodzącego przez punkt O. Obliczyć prędkość v i przyśpieszenie p punktu A na okręgu.

414.    Prosta AB (rys. 344) porusza się równolegle do siebie ze stałą prędkością c i przecina się w punkcie C z okręgiem koła o promieniu r. Z jaką prędkością v i przyśpieszeniem linjowem p punkt C porusza się po okręgu?

415.    Dwa równe koła (rys. 345), o promieniu r, obracają się dokoła wspólnego swego punktu O ze stałą prędkością kątową 6

II

IE

w kierunkach przeciwnych. Jaką prędkość v i przyśpieszenie linjowe p posiada punkt przecięcia A tych kół, oraz jaką prędkość vy i przyśpieszenie px posiada ten sam punkt w kierunku prostej O A?

Mechanika. — 6

3, Ruch płaski brył.

" aa

416. Prosta AB = a (rys. 346) znajduje się w ruchu płaskim.

f/j

W pewnej chwili ruchu prędkość końca A tej prostej wynosi vA =180 cm./sek. i tworzy kąt 30° ^kierunkiem AB\ prędkość vB końca B ^siada kierunek AB. Obliczyć vB.

417.    Pręt AB = a = 1 m. (rys. 347) posuwa się końcami wzdłuż dwóch prostopadłych do siebie prostych OX i OF. Mając dany kąt O AB = 60°, obliczyć spółrzędne x i y bieguna chwilowego C.

li

418.    Po okręgu koła, o promieniu R — 20 cm. (rys. 348), toczy się drugie" koło o połowę mniejsze od pierwszego; w koło to wpisany jest kwadrat AB CD. Środek O tego kwadratu wiruje ruchem jednostajnym dokoła środka C koła większego, zakreślając n = 1 obr./sek. Obliczyć prędkości vA, vB i vc wierzchołków A, B i C kwadratu.

ił.

419. Koło roweru, o promieniu r = 30 cm., tocząc się po ziemi, posiada względe n swej osi prędkość kątową 6 = 30 ¹/sek. Obliczyć prędkość rowreru.

mm

li

WM

420.    Szpulka, o promieniu R (rys. 349), toczy się po płasz-

. czyźnie poziomej. Ze środkowej części tej szpulki, mającej . promień r, zwija się nić z prędkością w. Obliczyć prędkość v toczenia się szpulki.

421.    Pręt AD (rys. 350) porusza się d< tym swym końcem A po powierzchni walca o pro-

1 mieniu r,

■w

opierając się jednocześnie o nieruchomą kraw<jpz B walca.

Obliczyć prędkość vB ślizgania się pręta względem tej krawędzi, mając wiadomą prędkość vA=i m./sek. końca A w chwili, gdy znajduje się w najniższym punkcie walca.

422. Kąt prosty XM Y (rys.

wm

ffi

351) porusza się w ten sposób, że wierzchołek jego M wiruje ze stałą prędkością linjową c na końcu korby OM = r} ramiona zaś tego kąta posuwają się w nieruchomych wodzidłach A i B.

Obliczyć prędkości kątowe 0A i 0_b, oraz linjowe vA i vB ramion MX i MY względem wodzideł odpowiednio do kąta obrotu <p korby.

'a'

si

im

■m.

423.    Wewnątrz walca, o promieniu|i^'(rys. 352), toczy się koło, którego środek połączony jest ze środkiem 0 walca korbą 00 = r. Prędkość kątowa korby jest 6.

Znaleźć na toczącem się kole punkt M, którego prędkość v skierowana jest na krawędź A w chwili, gdy korba OC jest prostopadłą do promienia DA.

424.    Wierzchołki A i B trójkąta pteś-kiego ABC (rys. 353) posuwają się wzdłuż ramion kąta prostego MDN. Jak powinien być wybrany trzeci wierzchołek C, aby przy wszelkiej zmianie położenia boku AB trójkąt ABC zachował równowagę obojętną?

425.    Antirównoległobok ₍przegubowy j CD AB (rys. 35^), w którym podstawa OB jest nieruchom* posiada ogniwa parami równe:. CD —- AB — a; 6B = AD = h.

iv

;r

•Hi

'.r

CD

n.

F\K

4-

'/

W pewnej %wili ruchu przegub A posiada prędkość skierowana równolegle do podstawy BC. Jakie powinny być długości bok

x i y trójkąta AED, połączo » go z ogniwem AD antirówno-ległoboku, aby punkt E posiadał również prędkość v, skierowaną prostopadle do podstawy ĆB?

426. W czworoboku przegubowym AB CD (rys. 355) ogniwo AD obraca się dokoła przegubu D z prędkością kątową 6. Znaleźć na ogniwie AB taki punkt M, który w danej chwili ma prędkość v zgodną z kierunkiem AB, oraz obliczyć tę prędkość.

~A

ki

355 «

A\

[i!

-0-

CO

nr

łki 4 i B trójkąta sztywnego ABC (rys. 356) po-z prętami AD i BE, obracającemi się dokoła nieruchomych przegubów D i E. dkość kątowa ogniwa AD jest 6. Ozna-'delkość i kierunek prędkości

7), o długości

EJ

Ml

SB

WM

kieruiu; w danym pu^ chanizm tak, aby P miała wartość naj wielkość i kierunek do kąta a odchyleni:

429. Korba AO - -bowego (rys. 358) ob

eie

■ ę za pomocą w którym: Wyznaczyć ego przegu mającego m i do tego siła oraz znaleźć odpowiednio

C ani z mu kor-■ i (okoła osi O.

•rzyczem prędkość linjowa przegubu A wynosi c. Obliczyć pręd-k ość u i przyśpieszenie p suwaka 5 w zależności od zmiennych karów obrotu <p i <{>.

430. Dany jest antirównoległobok przegubowy ABCD (rys. 359;, w którym AB == GD = a-, AD — BC == b; b > a. Wyznaczyć krzywe biegunów chwilowych tego mechanizmu nieruchomą (polo-idę) i ruchomą (serpoloidę).

7Ć

^/■.'.'., :''T'hii)łi))')T/)//4///j//////jji//ii/////// ^»C\    '^//////////////f

w/w

'a.

[i

■>.

i 358

[A

431.    W zadaniu poprzedniem, mając wiadomy kąt ADG = a=60°, oraz prędkość chwilową v przegubu A, obliczyć prędkość chwilową v. przegubu B.

*■ *

432.    Dany jest antirównoległobok przegubowy ABCD (rys. 360), w którym: AB = CD — a; AD = BC = b; b a. Wyznaczyć poloidę i serpoloidę tego mechanizmu.

tr

IMHWRr

Nv

433. W mechanizmie, wyobrażonym na rys. 361, pręt AD posuwa się w wodzidłach B, koniec zaś jego A połączony jest prze-' gubowo z korbą O A = r, przyczem OB = a, a prędkość linjowa przegubu A jest c. Obliczyć prędkość kątową 6 pręta AD względem osi wodzideł B w zależności od kąta nachylenia cp; znaleźć najmniejszą i największą wartość 6 przy odpowiednich wartościach kąta <p, oraz prędkość v posuwania się pręta AD w wodzidłach B.

434. Drąg AB (rys. 362) posuwa się końcem A wzdłuż wodzi-deł prostych ze stałą prędkością v, opierając się o walec nieruchomy, którego promień jest r. Obliczyć prędkość kątową 6 drąga AB względem przegubu A, odpowiednio do zmiennej odległości x tego przegubu od środka 0 walca.

5i

mlMi

7i

435. Kąt prosty AMG (rys. 363) porusza się w ten sposób, że punkt A biegnie wzdłuż prostej nieruchomej CX, ramię zaś MG przechodzi przez wodzidła w przegubie nieruchomym B. Mając

dane AM = GB = a, znaleźć poloidę i serpoloidę kąta ruchomego AMG, oraz równanie toru, po którym porusza się punkt M.

HHj

'w////'///,

ssgs

436.    W ^czworoboku przegubowym AB CD (rys. 364) ogniwa AB = AD — a; BC = CD = c. Znaleźć równania biegunowe po-loidy i serpoloidy dla ogniwa BC, przyjmując za oś nieruchomą prostą AD, za oś zaś ruchomą prostą BC i uwzględniając zmienne kąty obrotu i (pi.

na

437.    W mechanizmie korbowym, stosowanym w pompach H o 1-sta (rys. 365), trzon KE tłoka K za pośrednictwem korbowodu ED i trójkąta sztywnego DCB połączony jest przegubowo z korbą AB i wahaczem CF. Mając wiadomą prędkość c przegubu B korbie, wyznaczyć prędkość v ruchu postępowego tłoka.

4. Ruch przestrzenny brył.

438. Stożek prosty (rys. 366), którego wysokość OC=h—18 cm., a kąt wierzchołkowy jest prosty, toczy się po płaszczyźnie poziomej dokoła nieruchomego wierzchołka O. Środek C podstawy stożka wykonywa n = 1 obrót w ciągu 1 sek. dokoła osi 0X. Obliczyć prędkości chwilowe vA i vB końców średnicy AB.

El

439.    Sześcian (rys. 367) porusza się w ten sposób, że trzy jego wierzchołki od położeń początkowych A, B i C przechodzą w końcu ruchu do położeń Av Bx i Cv Jakim najprostszym ruchem może być osiągnięta taka zmiana położenia Sześcianu?

440.    7 Kwadrat ?(ry£. j368) porusza się tak, że jego wierzchołki A, B i C przechodzą w końcu ruchu do położeń A', B' i C'. Przez jaki najprostszy ruch kwadratu może być dokonana taka zmiana jego położenia?

>E

Y-E

om

ci

441.    Trójkąt''równoboczny (rys. 369) od położenia ABC przechodzi do położenia końcowego A'B'C'. Jakim ruchem może być dokonana taka zmiana położenia, jeżeli wszystkie punkty A, B, C A', Bf i C' tworzą sześciokąt foremny?

442.    Trzy wierzchołki sześcianu (rys. 370) od położeń pierT nych A, B i C przechodzą do położeń A', B\ C. Znaleźć najp szy ruch, którym może być dokonana taka zmiana położenia.

443. Koło, o promieniu r (rys. 371), nachylone pod kątem a c-pionu, toczy się po płaszczyźnie poziomej dokoła osi OX, obiegając ją w ciągu czasu T. Obliczyć prędkości chwilowe vA i vB punktów A i B na obwodzie koła.

bd

CJ

/■r)

---

/Mf ,

Wt ⁰¹

--a--.

- — i—o—I-

!r

o(

--}U —

\L-

5//

444.    Bryła (rys. 372) porusza się w ten sposób, że zwilżana z nią niezmiennie prosta OA pozostaje podczas ruchu w płaszczyźnie ZOY’ druga zaś prosta OB — w płaszczyźnie XOY. Obie \>ro-ste przecinają się w punkcie nieruchomym 0 i tworzą pomiędzy sobą kąt 8. Wyznaczyć nieruchomą powierzchnię osi chwilowych dla tej bryły.

445.    Ruch śrubowy, o stałym kącie nachylenia a linji śrubowej, odbywa się z przyśpieszeniem kątowem y. Jakie przyśpieszenie w kierunku osi śruby posiada pewien punkt bryły, położony w odległości r od tej osi?

446.    Dwie bryły wykonywają ruch śrubowy dokoła wspólnej osi z jednakowa prędkością kątową 6. Kąty nachylenia śrubowych w odległości r od osi wynoszą a i ax. W jakiej odległości x okażą się pewne dwa punkty tych dwóch brył po upływie czasu t, jeżeli na początku ruchu leżały w tern samem miejscu w odległości r od osi?

£Tiw

i??

447.    Bryła (rys. 373) wykonywa ruch śrubowy dokoła osi X z prędkością kątową 6 i postępową c. Na prostej AA przecinającej się z osią śruby, wybrać punkty A i At w odległościach r i rx od osi pod warunkiem, abyś prędkoćń v i vt tych 'punktów skierowane były prostopadle do siebie.

448. Bryła, obracająca się początkowo dokoła pewnej osi z prędkością kątową 0O, przyśpiesza swój ruch w ten sposób, że przyśpieszenie lin j owe p każdego punktu bryły tworzy z kierunkiem promienia obrotu stały kąt S, nrzyczem tan 8 = a. Obliczyć przy-pieszenie kątowe v brvłv 'w :^ależ®ości od czasu t.

5. Ruch złożony brył.

449. Z tarczą I (rys. 374), obracającą się na osi A, połączona est tarcza II na osi B, z tą zaś połączona jest tarcza III, obracająca się na osi C. Jaki jest w danej chwili ruch bezwzględny tar-zy fil, jeżeli wszystkie 3 tarcze obracają się w kierunkach zgodnych z tą samą prędkością kątową 6, oraz gdzie leżą punkty tarczy III, które po-

_______ruszają się w danej

chwili prostopadle I    I

It. 1

L \aV

■8-

do kierunku prędkości leżących pod niemi punktów tarczy I?

37

3n

450. Bryła wykonywa jednocześnie sześć ruchów obrotowych dokoła osi równoległych, przechodzących przez 5 wierzchołków i środek M sześciokąta foremnego. Prędkości ką-

owe 6 i 6j tych ruchów, oraz ich kierunki wskazuje rys. 375. Taką powinna być prędkość y dokoła osi M, aby ruch wypadkowy josiadał oś w wierzchołku Ó sześciokąta i jaką jest wtedy prędkość tatowa x tego rućhu?

451. Z tarczą I (rys. 376), obracającą się dokoła osi O z prędkością kątową 6, połączona jest tarcza II, o promieniu rlt osadzona la osi Oj i posiadająca prędkość kątową 6

u,

Odległość po-niędzy osiami OOl — a. Na jbwodzie tarczy II należy zna-eźć takie 2 punkty A i B, które w danej chwili poruszają się równolegle do prostej 00lf oraz obliczyć prędkości linjowe v tych punktów.

452. Prędkość kątową 6 dokoła osi O (rys. 377) należy rozłożyć na trzy prędkości: 6X, 6₂

i 6₃ dokoła osi równoległych A, B i O. Obliczyć te prędkości Sdowe, majac dane O A = m; OB = n; OC — p; 4C BOS |ąC CO A = ,8; < AOB =

453. Bryła wykonywa jednocześnie trzy ruchy obrotowe z prędkościami kątowemi: 0X;    0₂ = 20x; 0₃ = 30x dokoła trzech osi

prostopadłych wzajemnie do siebie i przecinających się w jednym punkcie. Jaki jest ruch bezwzględny tej bryły?

[ii

"a'

im

łN.

i.

li

ii

454.    Bryła wykonywa trzy ruchy obrotowe z prędkościami ką-towemi 0X, 0₂ i 0₃ dokoła osi A, B i C rozmieszczonych względem osi spółrzędnych X, Y i Z, ' jak wskazuje rys. 378. Wyznaczyć prędkość kątową 0 i postępową v ruchu wypadkowego bez j • względnego.

455.    Wyznaczyć ruch bezwzględny, wynikający z trzech ruchów obrotowych. Pierwsze dwa (rys. 379) odbywają się z prędkością kątową 0 w kierunkach przeciwnych dokoła osi A i B równoległych i położonych w odległości a od siebie, ruch trzeci odbywa się z prędkością 0X dokoła osi C, tworzącej kąt cp z osiami pierwszych dwóch ruchów.

[s]

'i'

Jn

ym

ii

/'V

45fe. Bryła obraca się jednocześnie dokoła trzech osi A, B i Cy ułożonych względem siebie, jak wskazuje rys. 380, z prędkościami kątowemj 0X, 0₂,.i 0S. Dana jest odległość a i prędkość 0₃. Obliczyć gj ^ędkości 0X i 0₂ pod warunkiem, aby ruch bezwzględny był po-/i "owym, ęraz znaleźć wielkość i kierunek prędkości v tego ruchu.

*J. Jaka zmiana nastąpi w ruchu śrubowym bryły (rys. 381), i czyzrającym się z prędkością kątową 0 i postępową v, jeżeli zosta- :

dołączony do tego ruch postępowy z prędkością vx pod di i kątem <p do osi śruby X?

>su-

iiee

158. Po chropawej płaszczyźnie poziomej CD (rys. 382) się prostopadłościan B z prędkością v i toczy przed sobą ; otowy O. Z jaką prędkością x tworząca A tego walca o powierzchnię prostopadłościanu?

fcJ

381

fsŁ

■'■■•"i iych

459. Trzy statki A, B i C płyną w kierunkach ró łożonych w odległościach a i b od siebie, jak wskazuje prędkościami vlf i vs, z których dane są pierwsze dw e' 5 prędkość v₃ statku C pod warunkiem, aby statek te ? vany ze statku A, był stale zakryty przez statek B n X.

mmm

y.

460.    Balon    sterowy (rys. 384), ulegając    prędkości w wiatru,

■ la się pod    kątem (3    do poziomu i w    tern położeniu Pr?<    • -'

Urogę AB = $    od A do    B w ciągu czasu    tv z powrotem zaś

do 4—w ciągu    czasu t₂.    Wyznaczyć stąd    prędk/ść własną c    dr

p. prędkość w wiatru, oraz kąt nachylenia a tej ostatniej pr < śt i do poziomu.

461.    Bryła ABCD (rys. 385) posiada dwie zupełnie gtadk >y >słości, oraz wgłębienie E m.ędzy niemi. Na szczycie .S rrn

j z tych wyniosłości spoczywają lekkie sanki na wysokc Sjgłęćem wgłębienia E. Bryło i BOB : .    gvs

j • •    V.

463.| Punkt M (rys. 387) porusza się ze stałą prędkością linjową c po okręgu koła o promieniu r. Płaszczyzna, na której leżj^ to koło, posuwa się jednocześnie ze stałą prędkością v. Jaki jest tor punktu M względem tej ruchomej płaszczyzny?

- .....}

464.) \Punict M (rys. 388) porusza się po okręgu koła, o proi niu r ze stałą prędkością linjową c, poczynając od położenia ]) wotnego M₀, Płaszczyzna, na której leży koło, posuwa się ze iem pr^yśpieazenittn p, bez prędkości początkowej. Obliczyć w; dem danego układu osi spółrzędnych XOY rzuty prędkości" '/u i przyśpieszenia względnego pw odpowiednio do kąta obrotu cp, znaleźć równanie toru punktu względem płaszczyzny ruchomej

165. Rurka prosta OA (rys. iie poziomej ze stałą pre<

O OT.

•cu p w ^    ^ ’

O ® p O n P i-¹ *.®

J.¹?* s.%£f.K"P “

“ o I* *!° |l *

*g 3 | g 2,«

aNlta a g

P C O v ^    •— £q .,

1    t? * I £,§ P.US 'O

2    ^ c-¹    O P _^.r-i

^ S ‘S csb^ O

%'3 & I B 2 ™ eq

^ p o 3 — • cc o

+3 ^ £ N CD £

JX .P --g os

p 4 pu P P g g-*®!sP*

~ g g* u.p s ? «

I-11^ li fil

fcajs?

>■

,P S®

p_i >*

ca en? O Pu o- £. S*s

^ *®' ert*

~ OJ

3 §*

<» O

JO

Cr¹ rP.

O    ^    ^

® .CD •    2'    °

*^o CU C_|    <    S

“35

° 3

"S N

•rH

O

Cu

—.

P O O

^    p    g    &

»    p    S.    pi    P

-

^ cr

2 N

Ł    N    E    os

P.    £5    Cu    Oi

M-- ł .    - v ...

CD 'm" N

t=J

-• -jaceęssb*..

i, o długości a, wiruje w j . ;ią kątową 0 dokoła osi -J

ko cu rurki. W środkowyhi jej punkcie M znajduje się gładka kul ka początkowo w spoczynku, a następnie w ruchu względnym poci wpływem zmiennego przyśpieszenia odśrodkowego. Znaleźć równanie biegunowe toru bezwzględnego, przyjmując punkt 0 za biegun, a prostą OA za oś, oraz obliczyć, z jaką prędkością względną i bezwzględną kulka wylatuje z rurki.

[•Ti'

Es

li

4(36. Jaką linję wykreśli na tablicy kawałek kredy M (rys. 390),. v iucony poziomo z prędkością c, jeżeli tablica spada równocześnie pionowo na dół pod działaniem siły ciężkości?

467. Nad krążkiem A (rys. 391), wirującym dokoła swego środka z prędkością kątową 6, przesuwa się płaska tablica B z prędkością v. Jakie będą krzywe biegunów chwilowych ruchu względnego krążka i tablicy?

..

SSKS

468.    Dwa krążki I i II (rys. 392) wirują w kierunkach przeciwnych dokoła swych środków Ot i 0₂, położonych w odległości

% od siebie, z prędkościami kątowemi Qj i 0₂ = — 26,. Obliczyć Wielkość i kierunek prędkości linjowej vn, oraz przyśpieszenia" pw punktu A na krążku II w odległości a od jego środka względem krążka I*

469.    Kwadrat, o boku a (rys. 393), wiruje dokoła swego wierzchołka O ze stałą prędkością kątową 0. Wzdłuż boku AB tego kwadratu posuwa się ruchem jednostajnym punkt A, przebiegając

-całą długość tego boku AB — a w ciągu jednego obrotu kwaś: dokoła osi 0. Znaleźć wielkość prędkości bezwzględnej vj? i przyśpieszenia bezwzględnego punktu ruchomego w położeniu 1 oraz kąty cp i <J>, jakie tworzą ich wektory z kierunkiem przekątnej O A kwadratu.

.oj *

fal

ii

lii

K/j

"A'

Vj

470. Sześcian, o krawędzi a (rys. 394), wykonywa ruch śrubowy z prędkością kątową 0 i postępową c, przyczem osią tego ruchu jest krawędź OC sześcianu. Jednocześnie pewien punkt posuwa się w przestrzeni ruchem bezwzględnym z prędkością v w kierunku przekątnej AB. Jaką prędkość vn i przyśpieszenie względne pm posiada ten punkt w końcowym punkcie B względem sześcianu^

Z Ę Ś C rlT-ivl I

DYN A

Ruch punktu pod działaniem

471.

nama

Ruch ciała, o ciężarze P = 100 gr., okrt się rb ni: x = 2t; y = 3 -j-1—5fa. Obliczyć w kilogramat siłę ty ającą na to ciało.

472.    Ruch ciała, o ciężarze P — 2 kg., określa się równania-ni: x — 3 cos 2tt£; y — 4 sin 2%t. Wyznaczyć rzuty siły Q, dzia-ającej na to ciało.

473.    Kula, o masie m = 1 gr. spada pod działaniem siły cięż cości, pokonywając przy tern opór powietrza. Ruch kuli odbywa się )o linji pionowej na dół i określa się równaniem: x = 490ć — — 245(1 — e~2t). Przyjmując g — 980 cm./sek.², obliczyć w dynach iiłę R oporu powietrza i wyrazić ją funkcją prędkości ruchu v.

474.    Ciało, ważące P — 2 kg., porusza się po linji prostej ze stałem przyśpieszeniem. Droga przebyta wyraża się wzorem: { = 49,05ć³. Obliczyć siłę Q, nadającą ruch ciału.

475.    Ciało, leżące na chropawej płaszczyźnie poziomej, zys prędkość początkową v₀ = 2 m./sek. i przebiegłszy drogę s = ruchem jednostajnie-opóźnionym, zatrzymuje się. Obliczyć wiek sity tarcia, przypadającej na jednostkę masy ciała.

476.    Platforma windy, ważąca wraz z ładunkiem ..P. = 400

s uszczana jest do szybu ruchem jednostajnie-przyspieszonym, ] y r-c em w ciągu pierwszych t = 10 sek. przebiega drogę s = 1(0 Znaleźć siłę 2, wyprężającą linę*, na której wisi platforma.

477.    Ciało, ważące Q = 20 gr., wykonywa ruch harmoni zny w kierunku prostej poziomej. Odległość tego ciała od pewnego

nieruchomego punktu drogi określa się równaniem: = 10 sin —

Znaleźć zależność pomiędzy siłą P, nadającą ruch, a drogą przebytą s, oraz największą wartość siły P.

. n y    480. Pomiędzy dwoma punktami sta-

a ¹ O2 > położonymi w odległości a od siebie, znajduje się punkt ruchomy. Punkt jest przyciągany przez oba punkty Ox i 02 z proporcjonalną do odległości, przyczem odpowiednie stałe spółezynniki proporcjonalności wynoszą k₁ i . Punkt ruchomy znajdi je się pierwotnie w spoczynku i leży w środku odcinka a. Jaki powinien być stosunek spółczynników : k₂, jeżeli w końcowym momencie swego ruchu punkt ruchomy zatrzymuje się w jednym z punktów przyciągających?

fi

fl

------

'

478. Siła pociągowa P lokomotyw; _ jest od* prędkości v ruchu podług wzoru: P — a bv, Azie j, i b są wielkościami stałemi. Wyrazić tę siłę w zależn%cj G(j czasu t trwania ruchu pierwotnej siły P₀ na początku ry-mu j masy m pociągu.

31

479. Punkt materjalny, o masie (rys. 395^ ieży w środku odległości = 2a pomiędzy dwoma punktami o masach ?«, i jei^ przyciągany przez oba te punkty podług prawa Newton’a. Punkt

/>

iii

m rozpoczyna ruch ku jednemu z punktów przyciągających z prędkością v₀ w kierunku prostej, łączącej te punkty. Jaką prędkość v osiągnie masa m w chwili, gdy odległość jej od najbliższej masy w, zmniejszy się o połowę?

’<

481. Punkt materjalny M (rys. 396), o ciężarze Q — 1 kg., porusza się ze stałą prędkością v = 2,8 m./sek. w płaszczyźnie poziomej, opisując rozwijalną koła o promieniu r = 2 m. Jakie jest napięcie T nici, łączącej punkt M z obwodem koła odpowiednio do zmiennego kąta obrotu <p, oraz jaka jest wartość napięcia Tt nici w położeniu Mt, odpowiadającym kątowi odchylenia cp = 90°?

482. Punkt, którego położenie początkowe określa się spółrzęd-nemi: x — 0; y = b i posiadający prędkość początkową v₀ w kierunku osi X, przyciągany jest do tej osi w kierunku prostopadłym z siłą proporcjonalną do odległości y. Przy y — 1 przyśpieszenie, wytwarzane przez tę siłę, wynosi k². Znaleźć równanie toru, oraz prędkość punktu ruchomego w czasie t. Obliczyć również, w jakich odstępach czasu tor przecina się z osią X i w jakich momentach czasu punkt ruchomy znajduje się najdalej od tej osi.

483. Punkt M (rys. 397) porusza się po okręgu koła o promieniu a, ulegając sile przyciągającej P punktu nieruchomego A.

Sto&unek pola, zakreślonego promieniem wodzącym AM = r do cza-yraża się liczbą sĄ Obliczyć prędkość v i przyśpieszenie

3U , W

p odpowiednio do zmiennego kąta cp.

484. Punkt M porusza się j o okręgu koła (rys. 398), o promieniu a pod działaniem siły przyciągającej P punktu C, położonego na średnicy AB w odległości CO b od środka O. W położeniu po-sjzątkowem A prędkość ruchu jest v₀ . Obliczyć prędkość v w powożeniu M, odpowiadającym kątowi cp; oraz prędkość vt w położeniu B na przeciwległym końcu średnicy AB.

y.

.n

sarii

\m

yj

f/i

r/J’A

485.    Punlk materjalny M (rys. 399) porusza się po łuku paraboli ;'skutekprzyciągania z przyśpieszeniem^ ku wierzchołkowi 0paraboli. *ole, zakreślane promieniem wodzącym r w jednostce czasu wynosi

—. Znaleźć wielkość" przyśpieszenia p.

i    f    - l •.    '• V? ;■ v

486.    Punkt materjalny porusza się po łuku spiralnej logaryt-

licznej, wyrażonej równaniem: r = gai/,pod wpływem przyciągała ku biegunowi tej krzywej.. Na początku ruchu promień,wodz'ą-y ma wielkość r₀, a prędkość v₀ • Obliczyć przyśpieszenie p siły rzyciągającej i prędkość v ruchu odpowiednio do zmiennego kąta

II

Sggj

mmm

pokrywający przestrzeń na szerokości = a (rys. 400), ć tak, aby woda deszczowa, rozpoczynając swój ruch

f/i

487. Dach, ileży zbudować

\ szczytu dachu A z prędkością r₀, spływała po nim z obu stron ' aikrótszym czasie. Jaki powinien być kąt nachylenia dachu <p?

J W

yJ

48? Punkt ważki otacza się piHM| AB (rys. 401), r° -‘hylonej pod ką^H poczynają* od punktu A M odleSH AC — a od punktu początkowego C tt| giej rówri BC, nachylonej- pod kąteMB do poziomu. Jaka powinna być odległość BC = x punktu B, aby droga AB byki przebyta w najkrótszym czasie?

C-D

ifo

489.    Punkt ważki stacza się po gład-kiej równi AB = a (rys. 402), nachylonej 1H pod kątem a do poziomu bez prędkości 1 początkowej. Spadłszy z tej równi w końcu B, trafia następnie do punktu C na drugiej równi BC, nachylonej pod kątem (3. Obliczyć odległość BC — x.

490.    Nić AB — l (rys. 403) wyprężona jest stycznie do okręgu koła o promieniu r. Kulka A, przywiązana na końcu tej nici, zyskuje prędkość początkową

dd

^2/

'V.

~i

7 Jf\

v₀ prostopadle do AB. Po jakim torze porusza się ta kulka, jaka jest jej prędkość v w dowolnem położeniu A', oraz w jakim czasie T dosięgnie ona koła w punkcie O?

491. Punkt ważki stacza się bez prędkości początkowej od położenia M₀ (rj^s. 404) po dowolnej krzywej do punktu A, poczem przebiega ł.ik AM koła o promieniu r i oddzieliwszy się od tego łuku w punkcie M, trafia do środka O koła. Obliczyć wysokość x, z której powinien spadać punkt ruchomy, oraz kąt y, odpowiadający łukowi AMM

CS

' cc

492.    Punkt mat.erjalny o masie m (rys. 405) może posuwać się wzdłuż boku AC trójkąta równobocznego ABC o boku a, będąc przyciągany ku wierzchołkom A, B i C trójkąta siłami proporcjonalnemu do odległości; czynnik proporcjonalności jest Jc. Po jakim czasie T punkt ruchomy m przesunie się od A do O?

493.    Punkt, o masie m, porusza się wewnątrz półkola o promieniu a (rys. 406), będąc odpychany od punktu O siłą, która nadaje mu przyśpieszenie p — Jc²r w kierunku promienia wodzącego r. Ruch rozpoczyna się od położenia O bez prędkości początkowej. Obliczyć prędkość v i siłę odporową N w położeniu M od1 powiadającym kątowi obrotu <p.

jl

W''

sa k»

$    494. Dwa punkty A i B (rys. 407), mogące poruszać się tylko

wzdłuż prostych OX i O Y, przyciągają się wzajemnie z siłą, która

Jc

nadaje przyśpieszenie p = — w kierunku AB — r. Początkowo

odległość A₀B₀ wynosi r₀. Obliczyć czas t, po upływie którego punkty A i B przybędą do punktu O.

495.    Punkt rozpoczyna swój ruch z prędkością r₀ i doznaje zmiennego oporu ośrodka. Opór ten powoduje opóźnienie p ruchu,

wyrażające się wzorem: p =

gdzie v oznacza pręd-

(a — l)v2 b -f s

kość punktu, s drogę przebytą, a i b — wielkości stałe. Wyrazić drogę s, prędkość v i przyśpieszenie p tego ruchu funkcjami czasu t.

496.    Punkt ważki rzucony jest pionowo do góry z prędkością początkową u₀. Opór powietrza jest proporcjonalny do kwadratu prędkości, przyczem czynnik proporcjonalności dla opóźnienia jest Jc. Wyrazić prędkość v i drogę przebytą s funkcjami czasu t, oraz drogę * funkcją prędkości v. Prócz tego wyznaczyć czas i wysokość wzniesienia się do najwyższego punktu drogi.

497.    Punkt zyskuje prędkość początkową v₀ i porusza się llv ośrodku, któregę^ opór jest proporcjonalny do pierwiastka kwa-

v. towego z prędkości. Po jakim czasie t punkt zatrzyma się?

498.    Dwa punkty ważkie, górny A i dolny B, położone początkowo w odległości a od siebie na linji pionowej, poruszają się w ten sposób, że punkt A spada bez prędkości początkowej, gdy jednocześnie punkt B zostaje rzucony pionowo do góry z prędkością początkową v₀. Opór powietrza jest proporcjonalny do prędkości (opóźnienie p — Jcv). Po jakim czasie t punkty te spotkają się?

499.    Do balonu A, o ciężarze Q (rys. 408), poruszającego się poziomo z prędkością początkową v₀₎ uwiązana jest lina o długości BCD — l. Górny koniec B tej liny unosi się na wysokości h nad ziemią, u dołu zaś pewna część liny DC — x ociera się o ziemię, przyczem spółczynnik tarcia jest jx. Jaką drogę s przebędzie ten balon do chwili zatrzymania się i w jakim czasie t, jeżeli prócz tarcia liny pokonywany jest opór powietrza proporcjonalny do kwadratu prędkości?

500.    Punkt ważki rzucony jest pod kątem a do poziomu z prędkością początkową v₀, a podczas swego ruchu pokonywa opór powietrza, który to opór sprawia opóźnienie p = Jcv. Po jakim czasie T punkt wzniesie się na największą wysokość.

'ji

mWA

Ti

LU

501.    Punkt ważki rzucony jest z położenia A (rys. 409) do góry wzdłuż chropawej równi AB — a, nachylonej pod kątem a do poziomu z prędkością początkową v₀ . Opuściwszy tę równię w końcu B, punkt porusza się w próżni po paraboli BEC i trafia do punktu C w odległości BC = b; poczynając od tego punktu, zsuwa się wzdłuż równi CD tej samej długości i o tern samem nachyleniu, co i równia AB. Z jaką prędkością v₀ punkt powinien być rzucony w położeniu 4 i z jaką prędkością v₂ przybędzie do końca D równi GZ), jeżeli spółczynnik tarcia na obydwóch równiach jest ;x?

502.    Punkt ważki wznosi się z prędkością początkową v₀ po równi chropawej do góry, przyczem spółczynnik tarcia wynosi ji, opór zaś powietrza wytwarza opóźnienie ruchu: p = av², gdzie a czynnik stały. Po upływie jakiego czasu T punkt ruchomy zatrzyma się na równi i jaką drogę s przebędzie w tym czasie?J

503.    Punkt ważki o ciężarze Q (rys. 410) * położenia A zsiy^^ się bez prędkości początkowej po chropawej powierzchni wu.

o promieniu r, przyczem spółczynnik tarcia wynosi ja. Z jaką prędkością vt punkt ruchomy dobiega do najniższego punktu B walca?

.©

f/i

j, 504. Ciężar P = 0,9 kg. za pomocą nici, przerzuconej przez blok A (rys. 411), wprawia w ruch wózek o ciężarze Q = 4 kg. po zupełnie gładkiej płaszczyźnie poziomej bez tarcia. Przyjmując g = 980 cm./sek.², obliczyć, jakie przyśpieszenie p zyska wózek.

505.    Pocisk, o ciężarze Q = 6 kg., wylatuje z kanału armaty z prędkością v — 570 m./sek. Długość kanału s = 2 m. Natychmiast po wylocie z armaty pocisk zagłębia się w warstwę piasku, gdzie zostaje zatrzymany, przebywszy drogę = 0,1 m. Obliczyć siłę P gazów prochowych, wyrzucających pocisk, czas t przelotu przez kanał, oraz opór P, jaki wywiera warstwa piasku na pocisk.

506.    Punkt ważki zsuwa się po równi, nachylonej pod kątem a = 30° do poziomu bez prędkości początkowej. Opór tarcia na równi wynosi ^ ciężaru. Obliczyć prędkość v, jaką zyska punkt po przebyciu drogi s — 2 m. od początku ruchu.

507.    Pociąg, ważący Q = 196,2 tn., zostaje wprawiony w ruch jednostajnie-przyśpieszony i po upływie t = 60 sek. od początku ruchu zyskuje prędkość v — 54 klm./godz. Obliczyć siłę pociągową B lokomotywy, jeżeli opór tarcia R stanowi 0,005 ciężaru pociągu.

508.    Pociąg, mając nabytą prędkość v = 36 klm./godz., porusza się pod górę po torze, nachylonym pod kątem a do poziomu, przyczem sin a = 0,008. Opór hamulca i tarcia stanowi łącznie 0,1 ciężaru pociągu. Obliczyć, po przebyciu jakiej drogi s i po jakim czasie t od początku hamowania pociąg zostanie zatrzymany.

509.    Pociąg kolejowy, mając nabytą prędkość v₀ = 12 m./sek., zbliża się do stacji, położonej na wysokości h = 2 m. i w odległości s = 500 m. od miejsca, gdzie rozpoczyna się hamowanie pocią-

» gu. Jaka powinna być stała wielkość P oporu hamulca, aby był on w stanie zatrzymać pociąg na stacji, jeżeli ciężar pociągu wynosi Q = 1000 tn., opór zaś tarcia W = 2 tn.?

510. Po chropawej równi pochyłej AB (rys. 412), tworzącej kąt a z kierunkiem poziomym, zsuwa się punkt ważki od do i? bez prędkości początkowej. Jednocześnie równia pochyła posuwa się ze stałem przyśpieszeniem p w kierunku poziomym. Jaki jest ruch bezwzględny punktu, oraz z jaką prędkością v punkt ten dosięga poziomu CB, jeżeli spółczynnik tarcia na równi jest [x?

-er

CD

A,

s>

511.    W płaszczyźnie poziomej wiruje wązka rurka w kształcie pierścienia (rys. 413) o promieniu r dokoła punktu O ze stałą prędkością kątową 6. Wewnątrz tej rurki znajduje się mała gładka kulka M o masie m. Jaką prędkość względną vw i bezwzględną v& posiada ta kulka w położeniu Mx, jeżeli ruch jej rozpoczął się odfpołożenia M₀, oraz jakie ciśnienie normalne N wywiera kulka na ścianę rurki w położeniu MtTT

512.    W płaszczyźnie pionowej XOY (rys. 414), wirującej ₅doko-

-    ła osi OX ze stałą

ii

lii

||Pi| prędkością kątową 0, rzucony jest poziomo punkt ważki o masie m w położeniu O ||||B z prędkością począt-kową v₀. Wyznaczyć: a) tor względny punk-tu ruchomego na pła-Mt szczyźnieXO Y; b)rzut toru bezwzględnego

Miii Pun^tu na P*a"

yyy, i 11| szczyznę poziomą;

■KiSIS c) P^dkość względ-jaHEŁfL IrB* SK!a ną i bezwzględną ■fillHHI w położeniu dowol-

nem; d) siłę odporową N, wywieraną przez płaszczyznę ruchomą na punkt.

513.    W płaszczyźnie pionowej YOX (rys. 4*5), wirującej dokoła osi OX ze stałą prędkością kątową 0, zawieszony jest w punkcie O U

na nici OM = l punkt materjalny M o masie m. Nić OM odchylona jest początkowo od pionu o kąt <p — a. Obliczyć prędkość wynikającego stąd ruchu wahadłowego względem 0, naprężenie T nici, oraz ciśnienie normalne N, wywierane na płaszczyznę wirującą XOY.

2. Praca|i moc.

514.    Walec do mielenia F zboża posiada średnicę d == flm. zużywa moc Ń — 2 HP. przy n = 100 obr./min. Jaka siła P

Iziała na obwodzie tego walca?

515.    Strumień dostarcza w ciągu 1 sekundy 9 m.³ wody, spalającej z wysokości 2,5 m. Jaka jest moc teoretyczna tego stru-nienia w HP.?

516.    Silnik parowy, posiadający moc N — 26 HP., porusza >ompę, która w ciągu 1 tygodnia nieustannej pracy podnosi 19656 niljonów kilogramów na wysokość 36 m. Jaki jest spółczynnik wy-lajności silnika?

517.    Młyn wodny wymaga mocy 10 HP. Woda, poruszająca :oła młyńskie, spada na nie z wysokości 4 m. Spółczynnik wydaj-tości kół wynosi 50%. Ile m.³ wody należy zużywać w ciągu

sek., aby osiągnąć wskazaną moc?

518.    Sikawka strażacka powinna wyrzucać 10 litr. wody na wy-okość 27 m. w ciągu 1 sek. Sikawkę tę obsługuje 20 ludzi; straty a opory szkodliwe wynoszą ^ całkowitej ilości energji. Jaką pra-ę w ciągu 1 sek. wykonywa każdy z ludzi, poruszających sikawkę?

519.    Dwie pompy dostarczają w ciągu 1 minuty 5940 litr. wo-y na wysokość 25 m. Jedna z tych pomp wymaga mocy 15 HP. rzy spółczynniku wydajności 0,8; druga posiada moc dwa razy dększą. Jaki jest jej spółczynnik wydajności?

520.    Jaki opór W wody pokonywa w swym ruchu statek, jeżeli ląszyny jego rozwijają moc ogólną 6000 HP. i nadają prędkość 2,5 węzłów na godzinę (1 węzeł = 1850 m./godz.)?

521.    Pociąg, ważący Q — 800 tn., posiada prędkość v₀ = 15

l./sek. Od tej chwili maszynista zamyka dopływ pary, pociąg zaś •orusza się w dalszym ciągu po torze poziomym ze stałem opóź-ieniem, wynikającem skutkiem działania oporów szkodliwych. Prze-iegłszy w ten sposób drogę s = 2000 m., pociąg zmniejsza swą rędkość do v = 2 m./sek. Jaką pracę L wykonały siły oporów zkodliwych i w jakim czasie?

522.    Jaka jest moc maszyny, która podnosi młot, ważący 200 kg. a wysokość 75 cm. 120 razy na minutę?

523.    Obliczyć moc w HP., jaką może dostarczyć teoretycznie

wodospad Niagary, jeżeli wiadomo, że w wodospadzie tym co sekunda spada 8800 m.³ wody z wysokości 66 m.?

524.    Obliczyć moc silnika elektrowni, obsługującej 45 wagonów tramwajowych, z których każdy waży 10 tn. i porusza się jednostajnie z prędkością 12 klm./godz., przyczem opory szkodliwe stanowią 0,02 ciężaru wagonów.

525.    W celu podniesienia 5000 m.³ wody na wysokość 3 m. użyto pompy o mocy 2 HP. W jakim czasie pompa ta dostarczy wskazanej ilości wody, jeżeli spółczynnik jej wydajności jest 0,8?

526.    Barkę, napełnioną węglem w ilości 1500 tn., należy wyładować w ciągu 10 godz. nieustannej pracy za pomocą żórawia, u który podnosi kubeł, napełniony węglem na wysokość 9 m. Ciężar samego kubła wynosi 1 tn., zawarty zaś w nim ładunek węgla waży również 1 tn. Obliczyć moc teoretyczną silnika, obsługującego żóraw.

527.    Obliczyć pracę, wykonywaną przy wciąganiu ciężaru Q=20 kg. na odległość s = 6 m. po równi, nachylonej pod kątem 30° do poziomu, jeżeli spółczynnik tarcia na tej równi jest pi == 0,01.

528.    Statek porusza się z prędkością 15 węzłów na godzinę

(1 węz./godz. = 0,5144 m./sek.), przyczem maszyny jego rozwijają , moc 5144 HP. Obliczyć opór W wody, jeżeli ogólny spółczynnik rj wydajności maszyn i śruby okrętowej wynosi 0,4.

529.    Znaleźć moc pożyteczną w HP. silnika parowego, w którym średnie ciśnienie pary na tłok wynosi p = 5 kg./cm.²; dłu- 1 gość skoku: s ..=== 20 cm., przekrój walca F — 300 cm.²; prędkość

n = 120 obr./min., oraz spółczynnik wydajności rj = 0,9.

530.    Fabryka, wzniesiona w pobliżu rzeki, ma być zasilana energją wody, wypływającej z tej rzeki i poruszającej koło wodne, j Niezbędna dla fabryki moc pożyteczna wynosi — 45 HP. przy spółczynniku wydajności koła wodnego 7] = 0,6 i spadku wody pomiędzy poziomem górnym a dolnym: h = 1,8 m. Ile m.³ wody na sekundę należy w tym celu odprowadzać z rzeki do koła?

531.    Strumień, dostarczający 144 hektolitrów wody na godzinę, skierowany jest do silnika hydraulicznego o spółczynniku wydaj-noś ci 0,75. Spadek wody wynosi 3 m. Silnik pracuje codziennie tylko 1 godzinę, w ciągu zaś pozostałych 23 godzin na dobę niezbędną do pracy wodę nagromadza się ze strumienia w specjalnym ;j zbiorniku. Jaka może być w tych warunkach moc pożyteczna silnika?

532. Samochód, ważący wraz z ładunkiem 800 kg., przebywa i w ciągu 3 godzin drogę 30 kim., wznosząc się przytem na wysokość 40 m. Opór szkodliwy toru stanowi ciężaru, silnik zaś samochodowy posiada spółczynnik wydajności 0,6. Jaka jest moc tego silnika w HP.?

533.    Samochód, którego ciężar własny jest Q, może się wznosić z pewną stałą prędkością v po drodze, nachylonej pod kątem

i a. do poziomu. Poruszając się po drodze poziomej, może ciągnąć za sobą jeszcze wóz, ważący Qi z tą samą prędkością i energją. Spółczynnik oporu szkodliwego dla wozu jest Tc. Jaki jest jego I ciężar Q,?

534.    Ciężarek zegara ściennego, ważący 300 gr., obniża się o 120 cm. w ciągu 24 godzin. Jaka moc jest niezbędna do poruszania mechanizmu zegara, oraz do nakręcenia tego zegara raz na

i dobę w ciągu ^ minuty, jeżeli na pokonanie oporów szkodliwych | podczas nakręcania zużywa się ^ mocy pożytecznej?

535.    Silnik, którego moc wynosi 4 HP., a spółczynnik wydajności 0,8, wciąga ciężar 80 tonn po równi, nachylonej pod kątem 10° do poziomu. Spółczynnik oporu szkodliwego wynosi ¥V ciężaru. W ciągu ilu minut ciężar będzie podniesiony pó równi na wyso-

' kość 5 m. od poziomu pierwotnego?

536.    Silnik parowy, o mocy 10 HP., porusza pompę, która j w ciągu 12 godzin podnosi 8640 hektolitrów wody na wysokość

30 m. Jaka moc zostaje stracona na pokonanie oporów szkodnic wych w pompie, oraz jaki jest jej spółczynnik wydajności?

li

1 ^*537,) Silnik paro-416), w któ-j rym średnica tłoka j d = 30 cm., skok 60 cm.;

7i

•J średnie ciśnienie pa-j ry na tłok p — 4 / kg./cm.² i spółczynnik wydajności y]=0,7 podnosi ciężar z prędkością ?-=0,215

m./sek. za pomocą liny, nawiniętej na wał 0₂ o promieniu b = 15. cm. Wał ten obra-. ca korba a za pośrednictwem pary kół zębatych o promieniach | r = 20 cm.; AJ = 1 m. Obliczyć ilość obrotów' na minutę nx i n.2 [fi osi i 0₂, całkowitą moc N silnika w HP., oraz wielkość podno-[|| szonego ciężaru Q„

538.    Pewna liczba robotników w ciągu 10 godzin pracy naładowała na wagony 600 m.³ ziemi o ciężarze właściwym 1,5. Każdy

[I robotnik wrzucał przytem ziemię do wagonu na wysokość 2 m., wytwarzając średnią moc 2 kgmt./sek. Ilu robotników było zatrud-! nionych przy tej pracy?

539.    Silnik, o mocy 80 HP., podnosi ciężar z prędkością ; 1 m./min. Jaka jest wdelkość tego ciężaru, jeżeli spółczynnik wy-i dajności silnika — 0,8 ?

540. Z sadzawki, zawierającej 5000 m.³ wody, należy wyczerpać wszystką wodę za pomocą pompy, której spółczynnik wydajności = 0,8. Pompę tę porusza motor o mocy 2 HP., wodę zaś trzeba podnosić na wysokość 3 m. Po upływie jakiego czasu t sadzawka zostanie opróżniona?

541. Koło, o promieniu R = 0,8 (rys. 417), obracane jest za pomocą korby a — 20 cm. Na obwodzie koła działa stała siła Q = 20 kg., korbę zaś porusza również stała siła P, skierowana poziomo przez cały czas ruchu korby. Oś koła osadzona jest na czopach, których promienie v — 4 cm. Ciśnienie na czopy wynosi średnio: N = 80 kg.; spółczynnik tarcia czopowego |xŁ = 0,08. Obliczyć wartość siły P, oraz spółczynnika wydajności maszyny podczas ruchu jednostaj-

nego.

ii

542. W celu wyznaczenia mocy silnika na koło rozpędowe (rys. 418) o średnicy d = 60 cm. narzucono taśmę. Jeden koniec tej taśmy, przytwierdzony do siło-mierza sprężynowego A, wskazuje naprężenie Q=4 kg., na drugim zaś wisi ciężar P = 1 kg. Koło obraca się ze stałą prędkością n — 120 obr./min. Obliczyć z tych danych moc silnika w HP.

• 543. Siłomierz Naldera (rys. 419), używany do mierzenia mocy silników, składa' się z taśmy hamulcowej, obejmującej u dołu koło napędowe silnika, oraz z dźwigni PCD, do której przymocowane są końce B

i C taśmy. Dźwignia przyciągnięta jest śrubą do punktu nieruchomego A, przez co może być dowolnie zmieniana siła tarcia pomiędzy t-aśmą hamulcową a kołem. Poziome położenie dźwigni podczas ruchu obrotowego koła osiąga się przez zawieszanie ciężarka P = 3 kg. na końcu 'ramienia dźwigni l — 50 cm. Prędkość koła wynosi ?i = 240 obr./min. Obliczyć stąd moc silnika w HP.

544. Koło pasowe, o średnicy* d = lm. (rys. 420), przesyła moc N — 20 HP. z prędkością n 150 obr./min. Obliczyć na-

BO

filij

i

g|

prężenie Tx i P₂ końców pasa, przypuszczając, że naprężenie końca prowadzące-go Tt = 2 Tt.

SI

■l

545.    Prostopadłościan jednorodny AB CD (rys. 421) o wymiarach a — 8 m.; b— 6 m. i ciężarze P = 4000 kg. zostaje przewrócony dokoła krawędzi D. Obliczyć niezbędną na tę czynność pracę.

546.    Ciężar Q — 250 kg. należy podnieść na wysokość H — 80 cm. za pomocą śruby o gwincie płaskim. Promień śruby r — 3 cm.; ramię dźwigni, na której działa siła P, zakręcająca śrubę R — 30 cm.; skok gwintu h = 0,988 cm., spółczynnik tarcia jx = tan p = 0,06. Obliczyć niezbędną wielkość siły P, wielkość prac, wykonanych przez siły P, Q i siły tarcia w gwincie, oraz znaleźć wielkość spółczynnika sprawności śruby tj.

547*/ Koło pasowe, o promieniu R=0,5 m., wiruje z prędkością n = 40 obr./min. Największe napięcie pasa Tx na końcu prowadzącym nie powinno przekraczać 125 kg. Spółczynnik tarcia pomiędzy pasem a kołem == 0,28; kąt objęcia a = tc;

«!A7r = 2,41; promienie czopów r = 5 cm.; spółczynnik tarcia czopowego [Xj = 0,1. Ciśnienie na czopy: N — 2TV Z tych danych obliczyć: a) Jaką siłę P można pokonywać na obwodzie koła; b) jaką moc w HP. może przesyłać to koło; c) jaką moc zużywa się na pokonanie tarcia czopowego.

548. Wał żelazny posiada średnicę d — 0,2 m., długość l — 200 m. i prędkość n

= 30 obr./min. Tarcie czopowe stanowi 0,05 ciężaru wała; ciężar właściwy żelaza: q = 7,8. Obliczyć moc w HP., niezbędną do pokonania tarcia czopowego.

549. Do polerowania posadzki mozaikowej użyto kamienia o ciężarze 40 kg. Robotnik posuwa ten kamień tam i

/JE

z powrotem na odległość 1,2 m. nieustannie 10 lazy na minutę. Spółczynnik tarcia między kamieniem a posadzka wynosi 0,3. Obliczyć moc robotnika.

550. Żelazna baba kafara (rys. 422), służąca do wbijania pali, posiada ciężar Q = 300 kg. i unoszona jest 1 raz na minutę na

wysokość h = 8 m., skąd spada, uderzając o pal. Strata pracy wskutek oporów szkodliwych wynosi 10%. Ilu robotników powinno obsługiwać kafar, jeżeli przeciętna moc każdego z nich wynosi <? = 8 kgmt./sek.?

rai

551.

Silnik, posiadający moc N = 20 HP. i umieszczony w punkcie G (rys. 423), wciąga 3 wagony kolejowe, z których każdy waży: Q = 4000 kg. po dwóch równiach pochyłych AB i BG. Dane są: AB = st = 100 m.;

BC = s₂ = 300 m.; a₁ = 30°; aa = 15°. Spółczynnik pociągowy Tc — ciężaru. Obliczyć czas t, w ciągu którego wagony zostaną przyciągnięte od A do C.

iSSi

552.    Cyklista wraz z rowerem waży 100 kg. i pokonywa podczas jazdy opór tarcia, wynoszący 0,02 ciężaru. Prędkość jazdy 45 klm./godz. Promienie korb pedałowych r = 0,25 m., prędkość zaś wynosi 120 obr./min. Obliczyć siłę, jaką wywierają nogi naprzemian lewa i prawa na pedały, oraz moc cyklisty podczas jazdy.

553.    Człowiek, ważący Q = 75 kg., porusza się wewnątrz koła deptakowego (rys. 424) o promieniu R = 3 m., w tym samym punkcie A, odpowiadającym kątowi środkowemu AOB = a. Koło usuwa

się z pod nóg człowieka z prędkością v — 1 m./sek. i podnosi ciężar P — 500 kg., na linie, owijającej wał, którego promień r — = 0,15 m. Obliczyć moc N człowieka, prędkość vt, z jaką podnosi się ciężar P, oraz kąt a.

554. Po torze, nachylonym pod kątem a do poziomu (rys. 425), wciągane są naprzemian dwa wagony C i JD o ciężarach i Q₂ za pomocą liny,

przerzuconej przez koło AB o promieniu R. Suma odcinków liny: CA -f- DB — l; ciężar jednostki długości liny jest q, średnica d; spółczynnik oporu szkodliwego wagonów Jc; promienie czopów koła r; spółczynnik tarcia czopowego [Aj; spółczynnik sztywności liny: 'i = 0,06 d². Obliczyć pracę, jaką należy wykonać w ruchu jednostajnym w czasie, gdy odcinek liny x zmienia się od 0 do l.

im

555. Punkt, o masie m, porusza się po linji prostej, mając prędkość początkową v₀.

Punkt ten ulega w kierunku swego ruchu działaniu siły:

f/i

P—a— bv, gdzie a i b są wielkościami stałemi. Jaką pracę wykona ta siła do chwili, gdy nastąpi równowaga?

556. Ciężar Q za pomocą sznurka wciągany jest od A do B (rys. 426) po gładkiej powierzchni ćwiartki walca o promieniu r. Obliczyć niezbędną na to pracę całkowitą z prac elementarnych, wykonanych na nieskończenie małych przesunięciach.

557. Punkt M (rys. 427), który może poruszać się wzdłuż prostej X, przyciągany jest ku punktowi tu nieruchomemu O z siłą

P =

Ic

—2»?gdzie r = OM, k —Jjczynnik stały. Punkt M z nieskończoności (r = co) przychodzi do położenia Mx w odległości MiO = a. Jaką pracę L wykona przytem zmienna siła P?

T/a

KE

91

na

558. Punkt M (rys. 428) może się poruszać po okręgu koła o promieniu a i jest przyciągany ku punktowi nieruchomemu C okręgu z siłą P odwrotnie proporcjonalną do kwadratu odległości CM — r. Jaką pracę L wykona ta siła, jeżeli punkt ruchomy od położenia Mq przejdzie do położenia Mx ?

3. Momenty bezwładności.

559.    Obliczyć biegunowy moment bezwładności trójkąta równoramiennego (rys. 429) o podstawie b i wysokości h względem wierzchołka A trójkąta.

560.    Znaleźć biegunowy moment bezwładności wielokąta foremnego względem jego środka, mając wiadome pole F tego wielokąta, bok a i apotemę h.

561.    Znaleźć biegunowy moment bezwładności trójkąta, którego pole jest F, a boki a, b i c, względem wierzchołka, przeciwległego ■ bokowi a.

562.    Znaleźć biegunowy moment bezwładności koła o promieniu r względem punktu na obwodzie.

ST

■li

f/A

563. Dwa koła o promieniach Ii i r (rys. 430), których środki położone są w odległości 0t0₂ = a, posiadają równe biegunowe momenty bezwładności względem punktu O na prostej 0₁0₂. Znaleźć odległość OtO = te.

564/ Znaleźć biegunowy moment bezwładności łuku koła o promieniu r i kącie środkowym 2a względem środkowego punktu na łuku.

*■

565. Jaki jest biegunowy moment bezwładności It pola F elipsy względem jej środka, oraz momenty /₂ i J₃ względem końcowych punktów osi: wielkiej 2a i małej 2b?

: | 566. Obliczyć moment bezwładności cienkiej sztaby (rys. 431) o długości AB = l i masie m względem osi X, przechodzącej przez koniec A sztaby pod kątem a.

567.    Znaleźć moment bezwładności cienkiej sztaby AB = l (rys. 432) o masie m = względem osi X, prostopadłej do AB i położonej w odległościach a i b od końców sztaby.

568.    Dany jest prostopadłościan jednorodny o wymiarach u, 5, c i gęstóści 8. Obliczyć moment bezwładności tej bryły względem krawędzi c.

• - .'o

569. Obliczyć moment bezwładności J₀ graniastosłupa foremne-• go w-kątnego względem jego osi geometrycznej, oraz moment bezwładności Ix tejże bryły względem osi, przechodzącej przez środek masy równolegle do podstaw, mając daną masę m, krawędź podstawy a, oraz krawędź boczną l graniastosłupa.

EU

570.    Dany jest ostrosłup jednorodny o masie m, mający w pod

stawie prostokąt o wymiarach a i b, oraz wysokość h. Obliczyć momenty bezwładności tego ostrosłupa: I₀ — względem osi geometrycznej; Ą—względem osi, przechodzącej przez środek masy bryły równolegle do krawędzi a; /₂ — względem samej krawędzi a\ /₈ ■— względem osi, przechodzącej przez wierzchołek ostrosłupa równolegle do krawędzi a,    ⁶

571.    Dany jest jednorodny stożek obrotowy o masie w, promieniu r i wysokości h. Obliczyć momenty bezwładności tego stożka: Tt—względem jego osi geometrycznej; J₂—względem osi prostopadłej do pierwszej i przechodzącej przez wierzchołek stożka; I₀ ■— względem osi, przechodzącej przez środek masy stożka prostopadle dQ jego osi geometrycznej.

572.    Jaki jest moment bezwładności czworościanu foremnego o krawędzi a i gęstości jji względem jednej z krawędzi?

573.    Jaki moment bezwładności posiada względem swej osi geometrycznej powierzchnia boczna stożka ściętego o promieniach podstaw R i r, jeżeli na powierzchni tej rozłożona jest jednostajnie masa m?

574.    Znaleźć moment bezwładności powierzchni kuli względem

jej średnicy, jeżeli promień kuli jest r, a na powierzchni jej rozłożona jest jednostajnie masa m.    ₀.

575.    Powierzchnia półkuli, o promieniu r, obłożona jest jednostajnie masą m. Jaki kształt posiada elipsoida bezwładności tej masy względem środka kuli?

576.    Obliczyć moment bezwładności jednorodnego stożka ściętego względem jego osi geometrycznej, mając daną masę m i promienie podstaw R i r.

577.    Jakie są główne momenty bezwładności paraboloidy obrotowej względem jej wierzchołka, jeżeli wysokość jest h, a pole podstawy tc a²?

578.    Znaleźć moment bezwładności elipsoidy obrotowej względem osi obrotu 2a, mając dane osi 2a i 2b przecięcia południkowego.

579.    Pierścień, o przekroju prostokątnym (rys. 433), posiada wymiary: R, r i a, oraz gęstość p.. Jaki powinien być nowy promień zewnętrzny Rx tego pierścienia, aby jego moment bezwładności względem osi X stał się dwa razy większym?

580. Znaleźć moment bezwładności cienkiego pierścienia (rys. 434) o promieniu a i masie m względem osi X, przechodzącej przez środek tego pierścienia i tworzącej kąt a z jego płaszczyzną.

r = 0,2 m. Koło wykonane jest z że-

581. Obliczyć moment bezwładności względem osi X koła rozpędowego, którego wymiary, wskazane na rys. 435, wynoszą: R = 2 m.; a — 0,4 m.; b = 0,2 m. p = 8 cm. (promień okrągłych ramion); rt = 0,4 m.; laza, którego ciężar właściwy S = 7,5.

Mc-.-pu

⁻⁷i'

wfem

ma,

582. Obliczyć moment bezwładności względem osi X dwóch kul żelaznych, połączonych okrągłemi ramionami drewnianemi z drewnianą piastą w kształcie walca wydrążonego. Wymiary, wskazane na rys. 436, wynoszą: R — 58 cm.; a = 10 cm.; P = 10 cm.;

r, = 8 cm.; r= 5 cm.; p = l cm.; ciężar właściwy żelaza 3 = 7,6; drzewa 3t — 0,5.

583.    Wyznaczyć moment bezwładności elipsoidy trójosiowej względem osi 2a, mając wymiary połowy osi głównych a, b i c tej elipsoidy, oraz jej masę m.

584.    Znaleźć taką elipsoidę, która względem wszystkich swoich średnic posiada te same momenty bezwładności, co i pewna inna bryła o tej samej masie, względem tych samych osi.

4. Energja kinetyczna brył.

585.    Jaką energję kinetyczną posiada pocisk, ważący 600 kg. i pędzący z prędkością 400 m./sek.?

586.    Dwa pociągi kolejowe, z których jeden posiada ciężar 120 tn. i prędkość 25 m./sek., drugi zaś—ciężar 300 tn. i prędkość 15 m. sek., uderzają o siebie. Ile energji wyzwala się przy tern zderzeniu?

587.    Wał okrągły, o ciężarze Q i promieniu r, obraca się z prędkością n obr./min. Jaką energję posiada ten wał?

588.    Wał, o ciężarze Q i promieniu r, obraca się z prędkością n obr. min. Wskutek tarcia czopów w łożyskach ilość obrotów wała spada do połowy. Jaka ilość pracy zostaje przytem pochłonięta

pokonanie

589/ Kula, której promień r = 50 cm., a ciężar właściwy: 8 = 7,8 obraca się z prędkością n = 120 obr./min. Kula ta oddaje ze swej energji nazewnątrz E= 2464 kgmt. Jaka jest wtedy ilość obrotów x kuli na minutę?

na

tarcia?

590. Kula, o promieniu r, obraca się z prędkością n obr./min. Jaka będzie ilość obrotów x tej kuli na minutę, jeżeli promień jej zmniejszy się o a, ciężar zaś i energja pozostaną te same?

591. Pusta cienkościenna kula, której promień zewnętrzny jest

rt obraca się dokoła swej średnicy

rinr

r, a grubość ścian a — z prędkością n obr. min. Podczas tego ruchu wnętrze kuli zostaje zapełnione piaskiem, którego ciężar właściwy jest o połowę mniejszy od ciężaru właściwego ścian kuli. Jak zmieni się wtedy ilość obrotów kuli na minutę?

10 cm. obraca

8 cm. z tego samego materjału. Ile

592. Wał, o długości / = 4 m. i średnicy <1 się z prędkością v = 20 obr./min. Wał ten zostaje sprzężony bez uderzenia z drugim poprzednio nieruchomym wałem o długości \ — 6 m.; i średnicy d

Dbrotów na minutę posiadają oba wały sprężone?

Mechanika. — 8

593.    Jaka jest energja kinetyczna walca obrotowego o promieniu r i ciężarze Q, obracającego się dokoła swej tworzącej 1 raz na sekundę?

7

w..

594.    Prostopadłościan o wymiarach: a = 30 cm.; b = 20 cm.; c — 10 cm. wiruje dokoła krawędzi a z prędkością w = 100 obr./min. Ciężar jwłaściwy bryły jest 8 — 0,5. Obliczyć jej energję kinetyczną.

____ 595. Pocisk (rys. 437)

składa się z walca o promieniu r i długości l, zakończonego stożkiem o wysokości h. Pocisk ten posiada ruch postępowy w kierunku swej osi X z prędkością c, a prócz tego ruch obrotowy dokoła tej osi z prędkością n obr./sek. Ciężar właściwy pocisku jest .----- 8. Obliczyć jego energję ki

netyczną.

596.    Prostopadłościan, o krawędziach a, b, c i ciężarze właściwym 8, wiruje jednocześnie dokoła czterech równoległych krawędzi c z tą samą prędkością kątową 0. Jaka jest energja kinetyczna tego prostopadłościanu?

597.    Jak zmieni się ilość energji kinetycznej w zadaniu po-przedniem, jeżeli ruch względem jednej z krawędzi c zostanie zatrzymany?^

598.    Stożek prosty, o masie m, wysokości h i promieniu podstawy r, wiruje dokoła jednej ze swych tworzących z prędkością n obr./min. Obliczyć energję kinetyczną stożka.

. -I. . .

f-ioY

VI

. \    jp-

\m

FM &

599. Stożek prosty (rys. 438), o masie m, wysokości h i promieniu podstawy r, toczy się ruchem jednostajnym po płaszczyźnie poziomej dokoła wierzchołka S, przyczem wykonywa 1 obrót w ciągu T sekund. Obliczyć energję kinetyczną tego stożka.

600.    Masę m sztaby płaskiej Mi? = l (rys. 439), wirującej dokoła osi pionowej A', zredukować do jednego punktu A. W jakiej odległości x od tego punktu należy wybrać oś obrotu, aby zredukowana masa była najmniejszą i jaką jest wtedy jej wielkość?

601.    Kula, o promieniu r (rys. 440),

połączona jest z pionową osią obrotu X ramieniem o długości l. Masy ramienia i kuli wynoszą odpowiednio mt i m₂. Zredukować obie te masy do masy jednego tylko punktu    , umieszczonego

f/l

w środku kuli i znaleźć stosunek — dla

tego wypadku.

602. Prostowód Evans’a (rys. 441) składa się z dwóch suwaków B i C o masach m₁ i m₂, połączonych sztywnym prętem BG. Środek A tego pręta połączony jest przegubowo z korbą (JA, obracającą się dokoła osi O, wówczas gdy suwaki poruszają się wzdłuż wodzideł prostych UX i OY. Wiadomo jest, że OA=AB= =AC; masy odcinków AB i AC wynoszą odpowiednio i w?₄. Jaka powinna być zależność pomiędzy masami suwaków % i m₂₎ oraz części pręta łączącego m₃ i m₄, aby wszystkie 4 masy zredukowały się do jednego punktu A i aby masa zredukowana {i, była niezmienną przez cały czas ruchu?

C-S

©A

99/.

«!

[e

±_

* A

-i

EJ⁻X

/n

603. Regulator odśrodkowy (rys. 442) składa się z dwóch kul, każda o promieniu r = 8 cm. i ciężarze P— 10 kg., połączonych przegubowo z osią obrotu AB za pomocą prętów o długości l = 0,5 m.

--ZY

992

swe-

-A

W chwili,

gdy regulator posiada prędkość n =

= 100 obr./min., ruch jego zostaje    --

nagle zatrzymany. Jaką ilość ener-

gji wyzwalają wtedy kule regulatora, opadając do najniższego go położenia?

5. Zasada równowartości pracy i energji kinetycznej.

604.    Dwa drągi (rys. 443), o ciężarach Q i Qx i długościach l i /j, osadzone są na przegubie O i odchylone o kąty a i aj od kierunku pionowego. Jaka powinna być zależność pomiędzy tymi kątami, aby po powrocie do położenia pionowego oba drągi posiadały jednakowe ilości energji?

605.    Dwa punkty stałe O^ i 0₂ (rys. 444) położone są w odległości a od siebie, pomiędzy nimi zaś znajduje się punkt ruchomy

początkowo w położeniu

ten jest przyciągany ku obu punktom stałym O, i 0₉, przyczem dla jednostki odległości siła przyciągająca wynosi Jc od strony punktu Oj, oraz 2h od strony punktu 0₂. Ulegając działaniu tych sił, punkt ruchomy, wyszedłszy z położenia -Mo, zatrzymuje się w położeniu M w odległości MOl=x. Obliczyć tę odległość, oraz prace

Lt i L.₂, wykonane na odstępie M₀M przez obydwie siły przyciągające.

w odległości ~ od punktu Ov Punkt

<=>

E Mo ę, M

CL-

\k

ĆZ--

606. Pręt, o ciężarze Q i długości l (rys. 445), zawieszony jest pionowo na przegubie O. Jaką prędkość v należy nadać końcowi 4 tego pręta, aby mógł on wznieść się do położenia poziomego?

im

Oj

607. Dwa krążki chropawe (rys. 446), o średnicach dx = 2 m. d₂ = 1 m. i ciężarach Qi = 120 kg.; Q₂ = 30 kg., wprawione są w ruch wirowy. W chwili, gdy oba krążki zyskały w sumie ener-gję kinetyczną E — 67 kgmt., zostały one przytknięte do siebie, poczem prędkości krążków wynoszą n₁ i n₂ obr./min. Znaleźć liczby w, i w₂.

608. Walec, o promieniu r i ciężarze Q (rys. 447), z którego wycięta jest jedna ćwiartka, może obracać się dokoła osi X Z początku promień OA walca ma położenie pionowe, poczem walec obraca się pod działaniem siły ciężkości Q. Jaką największą prędkość v zyska wtedy punkt A?

609. Płaska figura dowolnego kształtu (rys. 448), nie poddana działaniu żad nych sił, toczy się bez ślizgania w płaszczyźnie pionowej po prostej poziomej AB.

Wiadome są energja kinetyczna E i masa w tej figury, oraz jej moment bezwładności I względem środka ciężkości C i odległość v tego środka od punktu styczności K.

Obliczyć prędkość v środka C.

610. Ciężar Q (rys. 449) przyczepiony jest do punktu nieruchomego O na nici sprężystej, która wydłuża się o jednostkę pod działaniem siły rozciągającej k. Z początku ciężar Q jest podpa a nić nienaprężona. Obliczyć, na jaką odległość xx ciężar Q

się po zwolnieniu, oraz w jakiej odległości x,: od położenia pierwotnego zatrzyma się w równowadze?

611. Pomiędzy punktami A i C (rys. 450) umocowana jest nić sprężysta, wydłużająca się o jednostkę pod działaniem naprężenia Ł

01

Z początku nić AC jest nie-naprężona, pod działaniem zaś ciężaru Q, wiszącego na obwodzie koła o promieniu Rt nić nawija się na wał o promieniu r, który pokręca się wtedy o kąt <p. Obliczyć wielkość tego kąta podczas równowagi.

>K

r-

m.

612. Trzy stałe punkty C, D i E (rys. 451), o równych masach mlf przyciągają punkt ruchomy o masie m, leżący na osi symetrji AB układu punktów stałych m Siła przyciągająca każdego z tych punktów jest proporcjonalna do mas i odległości między nimi, a dla jednostki odległości i masy wynosi Jc. Punkt ruchomy rozpoczyna swój ruch od położenia B w odległości AB = 4a. Z jaką prędkością v punkt ten przybędzie do A, jeżeli CA — a; AD = AE == 5?

Ck

Si

M°-

T.

lj

'U

613.    Trzy stałe punkty o równych masach m₁ (rys. 452), leżące w wierzchołkach A, B i C trójkąta równobocznego o boku a, przyciągają podług prawa Newtona punkt ruchomy o masie m, położony na osi symetrji AX. Punkt m rozpoczyna swój ruch z nieskończoności (x = co). Jaką będzie odległość x w chwili zatrzymania się tego punktu?

614.    Dwa jednakowej grubości drągi AC — 2a i BC = 2b (rys. 453) tworzą sztywny kąt prosty, zawieszony na przegubie C. Obliczyć kąt a w położeniu równowagi, oraz największy kąt cp, o który obróci się ramię AC, jeżeli zostanie puszczone z położenia poziomego A'C.

615.    Jaką początkową prędkość kątową 0 powinien posiadać wał zelazny wydrążony o promieniu zewnętrznym R = 20 cm., wewnętrznym r = 10 cm. i długości l = 3 m., aby 'był on w stanie unieść za pomocą nawiniętego na nim sznura ciężar Q= 10 kg. na wysokość h= 5 m., jeżeli ciężar właściwy żelaza jest d — 7,8?

/V.

PU

616.    W nieruchomej gładkiej półkuli o średnicy d zsuwa się pręt AB = l, poczynając od położenia, wskazanego na rys. 454. Jakie prędkości zyskają końce tego pręta w chwili, gdy zajmie on położenie najniższe?

\C

§§

617. Sanki, o ciężarze Q 'Ł (rys. 455), znajdujące się początkowo w spoczynku w położeniu A na równi, nachylonej pod kątem a i w odległości AB =' a, zsuwają się po tej równi, a następnie po płaszczyźnie poziomej BC.

Spółczynnik tarcia jest [x.

Obliczyć najdalszą odległość x, na którą odbiegną sanki od punktu B.

I 618. Ciało ważkie zsuwa się z początku po równi DA (rys. 456), następnie w punkcie A dzieli się na 2 części, które posuwają się dalej po płaszczyźnie poziomej AB i po równi AC, nachylonej pod kątem a do poziomu. Jaka powinna być zależność pomiędzy spółczynnikami tarcia [Xj i |i2 na płaszczyznach AB i AC, aby drogi i ?₂ > przebyte na nich aż do zatrzymania się, były równe sobie?

w¹

619.    Wał, o ciężarze Q i promieniu r, obraca się z prędkością n obr. min.

Wskutek tarcia czopów w łożyskach prędkość ta spada do połowy. Jaka praca szkodliwa została przytem wykonana?

620.    Wał o promieniu r = 5 cm., i obracający się z prędkością n = 100 ! obr./min., w pewnej chwili zostaje oddzielony od silnika. Ile obro-

tów x wykona jeszcze ten wał do chwili zatrzymania się, jeżeli spółczynnik tarcia czopowego jest (j^?

621. Ciało ważkie puszczone jest z* prędkością początkową = 445 cm./sek. po płaszczyźnie poziomi}, na której spółczynnik

tarcia wynosi jx = Jaką drogę x przebiegnie ciało po tej płaszczyźnie, zanim jego energja kinetyczna zmniejszy się do połowy?

i]

irźZ

J]

622. Sanki, o ciężarze Q . (rys. 457), mają przebiedz w kierunku poziomym drogę AB = l, następnie łuk BG koła o promieniu r i kącie środkowym a. Spółczynnik tarcia jest (jl. Jaką prędkość v powinny posiadać sanki w punkcie A, aby zatrzymały się dopiero w punkcie C, jeżeli nie uwzględnia się przytem wcale działania siły odśrodkowej?

BI

czeniu się kół / = 0,5 mm., oraz sin a = 0,05?

623. Wagon kolejowy, o ciężarze Q, posiada nabytą prędkość v = 9 m./sek. Jaką odległość x może przebyć ten wagon w górę na torze, nachylonym pod kątem a do poziomu aż do chwili zatrzymania się skutkiem tarcia, jeżeli promień kół R = 40 cm.; czopów: r = 4 cm.; spółczynnik tarcia czopowego [i j =0,06; spółczynnik tarcia przy to-

624. Kula, o promieniu r (rys. 458) i ciężarze Q, toczy się po chropawej płaszczyźnie poziomej, na której spółczynnik tarcia przy toczeniu się wynosi f. Kula ta wlecze za sobą drąg Au o tym samym ciężarze Q, przy-czem spółczynnik tarcia końca B jest [i, tarcia zaś czopowego w końcu A nie uwzględnia się. Jaką drogę x przebiegnie kula wu*az z drągiem aż do zatrzymania się, jeżeli prędkość początkowa jest u?

625. W punktach nieruchomych 0₁ i 0₂ (rys. 459) na dwóch sznurach równoległych, o długości a,

wisi deska AB. Sznury odchylone są o kąt a od pionu, na desce zaś znajduje się wtedy .obok końca A przedmiot o ciężarze Q. W chwili, gdy deska ję^fltt^łożeniu najniższem, ruch jej zostaje raptownie powst.rzymanll^Rżar zaś Q posuwa się po desce aż do jej końca B. Jaki jest^MBKzynnik tarcia [a między ciężarem Q a deską?

626. Łańcuch, o długości l (rys. 460), spoczywa częściowo na chropawej płaszczyźnie poziomej, na której spółczynnik tarcia jest (i, pozostała zaś swą częścią x wisi swobodnie. Ruch łańcucha rozpoczyna się z chwilą, gdy ciężar części wiszącej x może pokonać siłę tarcia pod częścią pozostałą l — x. Jaką prędkość v zyska cały łańcuch w chwili, gdy zsunie się zupełnie z płaszczyzny poziomej?

JE

-0-

lii

W kr

627. Tarcza okrągła, o promieniu r i ciężarze Q (rys. 461), wirująca dokoła swej osi pionowej, posiada prędkość n obr./min. i w tej samej chwili dotyka chropawej płaszczyzny pionowej, na której spółczynnik tarcia jest [x. Ile obrotów wykona tarcza, zanim się zatrzyma skutkiem tarcia?

6. Zasada d’Alembert’a.

m.

628. Płaska płytka pozioma spada pionowo z przyśpieszeniem p — 4 m./sek.² Na płytce tej spoczywa ciężar Q = 10 kg.

Jakie ciśnienie iV wywiera on na tę płytkę podczas ruchu?

TA

'.-Z.

629. Na dwóch równiach, nachylonych pod kątami a i p do poziomu (rys. 462), spoczywają dwa ciała o ciężarach Q i Q,, połączone z sobą nicią doskonale giętką. Spół-

czynnik tarcia na obydwóch jgmiach jest (a. Z jakiem ||^Hfei|eszeniem odbywa się flppał Q i Qt na równiach?

ft

w.

0V

W^30. Dwa równe ciężary Q (rys. 463) połączone są nicią, przerzuconą przez blok, mający ciężar również Q i promień r. Jeden z cięża-

--    rów, wiszący na końcu nici,

ciągnie ciężar drugi po płaszczyźnie poziomej, na której spółczynnik tarcia jest (a. Nie uwzględniając tarcia blo-ka, obliczyć przyśpieszenie p ruchu, oraz naprężenia Tx i T₂ nici z obydwóch stron bloka.

631.    Do wielokrążka, wyobrażonego na 'rys. 464, przyczepione są ciężary Q i Qt. Nie uwzględniając oporów szkodliwych, obliczyć, jakie przyśpieszenie będzie posiadał podczas ruchu ciężar Q?

632.    Z jakiem przyśpieszeniem p porusza się ciężarek Q na końcu nici w wielokrążku (rys. 465), obciążonym u dołu siłą Qlf jeżeli nie uwzględniać oporów szkodliwych?

f/M

633.    Obliczyć naprężenie T wzdłuż nieważkiego pręta wahadła (rys. 466), o długości /, do którego przytwierdzony jest na końcu ciężar Q, w chwili,

gdy wahadło odchy- i    !

lone jest od pionu kąt cp, a ciężar Q | posiada prędkość v.

634.    Ruch obro- i | towy koła o promie- j | niu R (rys. 467), z któ-

! rego zwija się giętka [ nić z ciężarem Q na końcu, hamowany jest za pomocą taśmy, dźwigającej na końcu I również ciężar Q i na- | rzuconej na koło opro-/ j

■f

te

J-k

_I__

— spół-

mieniu a =

osiowe z kołem pierwszem. Drugi koniec taśmy umocowany jest w punkcie nieruchomym A. Jakie przyśpieszenie p zyska ciężar Q

R

na kole większem, jeżeli promień czopów jest r = —, a spółczyn-

niki tarcia czopowego, oraz tarcia między taśmą a kołem mniej-szem, wynoszą odpowiednio ^ i u?

Hm

rji

-4k-

= —'m

01

635. Idealnie giętki łańcuch, o długości l (rys. 468), przerzuco-ly jest przez malutki blok C i spoczywa na dwóch jednakowych zupełnie gładkich równiach pochyłych, tworzących kąty a z po-domem. Z początku łańcuch jest w równowadze, wskutek jednak lieznacznego wstrząśnienia zaczyna się zsuwać. Jaką prędkość vx jędzie posiadał łańcuch w chwili, gdy jego koniec A zejdzie ; bloka O?

[fi

ar

mm

nmim

f/A

636. Dwa nieważkie pręty, o długości L i lx (rys. 469), połączo-e są z sobą niezmiennie pod kątem prostym i przytwierdzone do si pionowej 0X na przegubie O. Na końcach prętów znajdują się

Imle o ciężarach Q i Qt, cały zaś układ wprawiony jest w ruch jednostajnie-obrotowy z prędkością kątową 0. Przyjmując, że

, obliczyć kąt cp, oraz moment statyczny M wzglę-

ći

dem przegubu O podczas ruchu dokoła osi OX.

ij = 21) Ql =

637.    Dwa drągi jednorodne, o długościach a i b (rys. 470), ciężarach Q i i jednakowych przekrojach, tworzą sztywny kąt prosty. Kąt ten w wierzchołku O przytwierdzony jest na przegubie O do osi pionowej OX i wiruje dokoła niej z prędkością kątową 0. Obliczyć tę prędkość, mając wiadomy kąt odchylenia cp jednego z ramion kąta prostego od pionu.

638.    Drąg AB (rys. 471), którego części AO = a; OB = b przytwierdzony jest do osi pionowej X na przegubie O i wprawiony w ruch obrotowy z prędkością kątową 0. Jaki kąt cp tworzy wtedy drąg z osią X?

Ili

-0-

A\H

■ ■

Wm

JJL.

639.    W zadaniu poprzedniem znaleźć kąt <J>, jaki tworzy siła odporowa N przegubu O z osią obrotu.

K

640.    Dwie kulki, o ciężarach Q i    (rys. 472), związane są

nićmi: 40 —a i AB — b i przytwierdzone w punkcie O do osi pionowej OX. Cały układ wiruje dokoła tej osi z prędkością kątową 0. Obliczyć kąty cp i <J>, jakie tworzą odcinki nici z kierunkiem pionowym, oraz napięcia Ta i T& wzdłuż tych odcinków.

641.    Dwa równe pręty O A i OB (rys. 473), z których każdy ma długość 2a i ciężar Q, przytwierdzone są do osi pionowej OX na przegubach O. Końce A i B tych prętów unoszą na niciach tej samej długości 2a ciężar Qt, przesuwający się wzdłuż osi OX. Ca-ły układ wiruje do koła tej osi z prędkością kątową 0. Obliczyć kąt cp, który tworzą wtedy pręty O A i OB z osią obrotu.

643.    Jak się zmienią rezultaty poprzedniego zadania, jeżeli uwzględnić masę, oraz moment bezwładności I koła wraz z wałem względem osi obrotu?

644.    Przez blok, o promieniu r (rys.

w?

642. Na końcach dwóch nieważkich lin (rys. 474), z których

koło o promieniu r, druga na wał o pro-Pod działaniem tych cię-

jedna nawinięta jest na mieniu rlt zawieszone są ciężary Q i Ql. żarów koło wraz z wałem zyskuje ruch obrotowy w prawo. Nie uwzględniając mas koła i wała, obliczyć przyśpieszenie kątowe y tego ruchu, czas t, po upływie którego ciężar Q uniesie się na wysokość h, oraz naprężenia T i Tx wiszących końców lin.

Kg

ii

475), przerzucony jest giętki łańcuch o długości l + Tir, przyczem ciężar jednostki długości tego łańcucha wynosi q. Na końcach łańcucha wiszą ciężaryi .

Większy z nich Qt znajduje się początkowo w najwyższem swem położeniu (x — 0) i spada stamtąd do położenia najniższego (x — l), dokąd przybywa z prędkością vt.

Obliczyć prędkość vv przyśpieszenie p (uwzględniając masę łańcucha, lecz nie uwzględniając masy bloka), oraz napięcia T i 7\ łańcucha z obu stron bloka.

645.    Na wał, o promieniu r = 5 cm.

(rys. 476) i ciężarze Qt = 2 kg., nawinięta jest lina długości l = 10 m., przyczem ciężar 1 m. bieżącego tej liny wynosi q — 0,14 kg. Z wałem połączone jest koło o promieniu R = 40 cm. i ciężarze Q₂ = 20 kg. Na końcu liny wisi ciężar

I Q = 10 kg. Z jaką prędkością v ciężar ten dosięga swego najniższego położenia po zwinięciu się liny z koła?

646.    Giętki sznurek, przerzucony przez blok stały A (rys. 477), dźwiga na swych końcach ciężary P i Q. Z tych ciężar Q ślizga się bez tarcia wzdłuż pręta pionowego BC. Wyrazić prędkość v ciężaru Q funkcją odległości jego x od poziomu bloka A, przyjmując, że na początku x = 0, a Q znajduje się w spoczynku i nie uwzględniając masy i oporu bloka A. Odległość między blokiem a prętem BC wynosi a.

'il

JŁS

v>

W//L r/i

PR

'(l

wJiSfm

7. Ruch środka masy.

647. Z czółna, o ciężarze Qlf wyskakuje człowiek o ciężarze Q na odległość s. Na jaką odległość st cofnie się jednocześnie czółno, jeżeli nie uwzględniać oporu wody?

p 648. W walcu, ustawionym na dwóch sprężynach A i B (rys. 478), znajduje się tłok, podpierany u dołu sprężyną C. Do przestrzeni nad tłokiem wpuszczono powietrze, sprężone do ciśnienia p. Jak się zmieni przez to położenie walca?

i_U.

01

ki

I/,

t.

IM

649. Armata, o masie Mt ustawiona jest na chropawej płaszczy^-źnie poziomej, przyczem spółczynnik tarcia jest (x. Armata ta wyrzuca pocisk, o masie m, z prędkością względną v. Obliczyć odległość, na jaką armata zostaje odrzuconą wstecz w chwili wystrzału.

650.    Na gładkiej podstawie poziomej leżą jeden na drugim dwa gładkie kliny (rys. 479) o ciężarach Q i Qy i podstawach b i Obliczyć, na jaką odległość x cofnie się w lewo klin dolny, jeżeli klin górny zsunie się po nim aż do podstawy.

651.    Gimnastyk o ciężarze Q, trzymając w ręku ciężar Qlf wykonywa skok ukośny pod kątem a do poziomu z prędkością początkową c. W najwyższym punkcie skoku gimnastyk ów odrzuca od siebie wstecz ciężar z prędkością względną cy w kierunku poziomym. Jaką prędkość v posiada gimnastyk po odrzuceniu ciężaru

i o jaką długość x powiększa przez to odległość swego skoku?

CSfiWA'

652.    Z czółna, o ciężarze Qt, wyskakuje na brzeg człowiek o ciężarze Q z prędkością c. Czółno cofa się przytem wstecz, po-konywając opór wody: R — ar², gdzie a oznaczy stały czynnik proporcjonalności, v zmienną prędkość czółna. Jaką prędkość v₀ posiada czółno na początku swego ruchu i jaką prędkość v po upływie czasu i?

653.    Wewnątrz walca nieruchomego Ot (rys. 480) umieszczono walec mniejszy 0₃. Tarcie pomiędzy powierzchniami tych walców nie istnieje. Znaleźć tor, jaki zakreśla punkt .4 na obwodzie walca mniejszego, podczas jego staczania się po walcu nieruchomym.

654.    Jednorodna półkula ważka, o promieniu r, ustawiona jest w położeniu wskazanem na rys. 481 na zupełnie gładkiej płaszczyźnie poziomej MN. Znaleźć oś chwilową tej półkuli w danem jej położeniu.

655.    Drąg jednorodny ważki AB — 21 (rys. 482) ustawiony jest pod kątem a do zupełnie gładkiej płaszczyzny poziomej X i pusz-

Oo

bd

CD

IB

fj

mmmmm

czony następnie swobodnie. Znaleźć kierunek ruchu dla punktu A i równanie jego toru względem układu osi XBY.

656. Na zupełnie gładkiej płaszczyźnie poziomej (rys. 483) leży tarcza okrągła, o promieniu R i ciężarze Q, na niej zaś druga o połowę mniejsza tarcza, której ciężar wynosi £ Q. Na obwodzie tarczy dolnej działa para sił P. Jakie jest przyśpieszenie kątowe 7 całego układu i względem jakiego punktu?

co

bd cd

1/

t=ł

im

m,

657. Płaska ważka tarcza dowolnego kształtu (rys. 484) zawieszona jest na dwóch niciach pionowych AB i CD. Nić CD urywa się. Jaki ruch wykonywa w tej chwili tarcza?

8. Ruch obrotowy brył.

658.    Na nieważkiej nici, o długości l = 40 cm. (rys. 485), wisi kula wahadłowa o promieniu r = 5 cm. Jak należy zmienić długość nici. aby okres wahań kuli powiększył się dwukrotnie?

659.    Płaska sztaba jednorodna (rys. 486), o długości /, powinna być zawieszona w takiej odległości x od swego końca, aby okres jej wahań był najmniejszy. Obliczyć x.

660.    Płyta prostokątna (rys. 487), o szerokości b, wysokości h i ciężarze Q, przytwierdzona jest na przegubie A do osi pionowej AB, wirującej z prędkością kątową 6. Obliczyć siłę odporową N, wywieraną przez oś w punkcie B, w którym płyta dotyka tej osi swobodnie.

661.    Na nieważkim pręcie, kołyszącym się dokoła punktu nieruchomego U (rys. 488), umieszczone są masy ml i m₂ w odległościach /j i 4 od O. Obliczyć przj^śpieszenie kątowe 7 tego wahadła, złożonego odpowiednio do kąta odchylenia <p, oraz znaleźć długość l wahadła zredukowanego.

662. Dwa ważkie pierścienie jednakowej grubości o promieniach R i R^ (rys. 489), będąc podparte za pośrednictwem nieważkiego pręta o długości a, kołyszą się dokoła nieruchomego punktu A z jednakowym okresem wahań. Jaka powinna być wtedy zależność między promieniami R i PŁ pierścieni?

'i

-0-¹!

663. Stożek obrotowy (rys. 490), w którym promień podstawy jest R, wysokość h, a ciężar właściwy 8, wiruje z prędkością kątową 6₀ dokoła swej osi geometrycznej. Ruch ten hamowany jest za

pomocą sznurka, naciągniętego siłą P i obejmującego blok o promieniu

I ---1 r. Po upływie jakiego czasu t stożek

II.

zostanie zatrzymany?

/>

A / •'

\V,

BE

Oo

w.

664. Ciało jednorodne, o ciężarze właściwym 8, stanowi połączenie dwóch półwalców, o promieniach rt i r₂ i długości l; ustawione jest w położeniu, wskazanem na rys. 491. Z jakiem przyśpieszeniem kątowem 7 rozpoczyna się ruch tego ciała?

665. Pręt AB=l (rys. 492), o cię-B żarze Q, przytwierdzony jest na przegubie A do osi pionowej C V na wyso-ilp kości AG — a od płaszczyzny poziomej, iIII    Z jaką prędkością kątową 0 pręt AB

■V

powinien wirować dokoła osi CY, Ul aby koniec B pręta nie wywierał żadnego ciśnienia na płaszczyznę poziomą

■    XX, oraz jaka jest wtedy wielkość i kie-

■    runek siły odporowej N w przegubie A?

j 666. Drąg GA (rys. 493), o prze-/kroju kwadratowym b², długości l i ciężarze właściwym 8, rozpoczyna ruch obrotowy dokoła osi pionowej X od położenia OA₀ z prędkością kątową 0O. Podczas ruchu drąg ten pokonywa opór powietrza i zyskuje opóźnienie proporcjonalne do kwadratu prędkości. Na jednostkę powierzchni i jednostkę prędkości opóźnienie to wynosi h. Wyrazić prędkość kątową 0 w dowolnej chwili ruchu funkcją kąta obrotu cp, oraz kąt <p funkcją czasu t.

SE

667. Drzwi prostokątne (rys. 494), o szerokości b, wysokości h, niewielkiej grubości a i ciężarze właściwym 8, osadzone na osi pionowej AE od położenia AD J_ AB, zostają doprowadzone do położenia AB działaniem parcia wiatru P. Parcie to skierowane jest poziomo, prostopadle do płaszczyzny AB i wynosi q na jednostkę

powierzchni. Z jaką prędkością v punkt C drzwi dobiegnie do punktu -B?

668. Dokoła osi pionowej XX (rys. 495) wiruje cienka płyta prostokątna o wymiarach: a, b, h i ciężarze właściwym 8. Ruch rozpoczyna się z prędkością kątową 0O, która następnie zmniejsza

?>

A..

-ri¹-

>rv

93 x

się stopniowo wskutek oporu powietrza. Opór ten jest proporcjonalny do ruchomej powierzchni i do kwadratu jej prędkości. Po upływie jakiego czasu prędkość kątowa płyty zmniejszy się do potowy?

Fil

—/TC

c>

r-ęa¹ Ic-—

ifi

i.

p

Mg

II

Mli

?=>

669. Wiatraczek o dwóch cienkich skrzydłach, których wymiary wskazuje rys. 496, zostaje wprawiony w ruch obrotowy dokoła wała pionowego AB o promieniu r za pomocą ciężaru Q i nici, nawiniętej na wał. Ruch rozpoczyna się od stanu spoczynku, podczas zaś ruchu działa opór powietrza, jak w zadaniu poprzedniem. Gę-

stość materjału skrzydeł jestTpt. Znaleźć ich prędkość kątową 6 po upływie czasu t od początku|ruchu.

[ii

Ml

670.    Pręt O A = 1, o ciężarze Q (rys. 497), może obracać się na przegubie O i porusza się pod działaniem siły ciężkości, poczynając od położenia poziomego OA₀. Znaleźć przyśpieszenie y i prędkość kątową 6, oraz wielkość i kierunek siły odporowej N w przegubie O w zależności od kąta obrotu <p.

671.    Ciało ważkie (rys. 498) może obracać się dokoła

jednej ze swych osi głównych, skierowanej poziomo i przechodzącej przez punkt O. Środek masy C leży początkowo na poziomie OC₀ w spoczynku i w odległości OC == a. Obliczyć kąt <p, który tworzy z kierunkiem OC siła odporowa N, wywołana działaniem sił bezwładności podczas ruchu.

!l

0H32

Ti

iMBsB

Wh

672. Do pręta pionowego AB (rys. 499), wirującego z prędkością kątową 0, przytwierdzony jest gładki poziomy pręt CD, po którym może przesuwać się swobodnie niewielka masa yi. Obliczyć prędkość kątową 0 odpowiednio do odległości x tej masy od osi obrotu, wiedząc, że na początku ruchu: 0 = 0O; %x = a.

9.f|Ruch płaski brył.

U*

673 Walec, o promieniu a i ciężarze Q, wirujący dokoła swej osi poziomej z prędkością kątową 0O, pchnięty jest prostopadle do

, osi wzdłuż chropawej płaszczyzny poziomej, której dotyka dolną swą częścią. Spółczynnik tarcia na tej płaszczyźnie jest [i, a początkowa prędkość, z jaką zostaje pchnięty środek masy walca, wynosi r₀- Po upływie jakiego czasu t₁ walec zacznie się toczyć, oraz po upływie jakiego czasu t₂ zatrzyma się?

674. Drąg jednorodny AB — a (rys. 500), o ciężarze Q, ślizga się w płaszczyźnie pionowej końcem A po gładkiej podłodze OX, końcem zaś B po gładkiej ścianie pionowej OY. Obliczyć przyśpieszenie y i prędkość kątową 0 tego drąga względem jego środka, oraz siły odporowe NA i NB w zależności od zmiennego kąta cp.

|Y

500,

H|j

su

j 675. Przy jakim kącie nachylenia cpt drąg, wspomniany w zadaniu poprzedniem, oddzieli się od ściany?

El

676.    Belka jednorodna, o długości l i ciężarze Q (rys. 501), spoczywa na dwóch symetrycznie położonych podporach A i B. Jaka powinna być odległość 2x pomiędzy temi podporami, aby po usunięciu podpory B siła odporowa Na nie zmieniła się?

[fi

677.    Drąg jednorodny, o ciężarze Q, podparty jest na swych końcach.

Jedna z podpór zostaje raptownie usunięta. Obliczyć siłę odporową drugiej podpory.

678.    Okrągła tarcza pozioma, o promieniu r i ciężarze Q, podparta jest w trzech punktach A, B i C, położonych w równych odstępach na brzegu tarczy. Jedna z podpór, mianowicie C,

zostaje raptownie usunięta. Obliczyć ciśnienie N na pozostałe 2 podpory.

679. Płyta kwadratowa (rys. 502), o wymiarze a i ciężarze Q, zawieszona jest w punktach B i D na dwóch niciach pionowych. Nić CD zostaje nagle przerwana. Jakie jest wtedy napięcie T nici AB, jeżeli jej odległość od środka płyty jest

EU

W.

pa

680. Na dwóch ścianach pryzmatu (rys. 503), nachylonych pod kątami a i (3 do poziomu, leży łańcuch jednorodny, którego długość na każdej ścianie jest a, a ciężar jednostki długości wynosi q. Aby łańcuch ten nie zsuwał się czyli aby napięcia jego Tt i T₂ z obydwóch stron były jednakowe, pryzmat zostaje wprawiony w ruch po płaszczyźnie AB w lewo. Jakie powinno być przyśpieszenie p tego ruchu?

681. Gładki klin, o ciężarze Q i kącie 2a (rys. 504), rozsuwa dwie równe płyty, o ciężarze Qt, po gładkiej płaszczyźnie poziomej XX. Obliczyć ruch tych płyt i klina, oraz ciśnienie N pomiędzy klinem a płytami,    *

'i

-\

■PS,

oC/

J=>

682.    Walec, o promieniu r (rys. 505), połączony jest z wałem

o promieniu a, z którego zwija się nić. Nić wyprężona jest siłą P j pod stałym kątem a do poziomu. Jaki jest ruch środka masy O, oraz jaka powinna być minimalna wartość siły tarcia T pomiędzy walcem a podłogą AB, po której toczy się ten walec, jeżeli ciężar walca i wała jest Q?

683.    Po chropawej powierzchni kulistej, o promieniu b (rys. 506), toczy się kula o promieniu a i ciężarze Q, poczynając od najwyż- i szego punktu B. Obliczyć:

a)    siłę odporową N i siłę tarcia T odpowiednio do kąta cp;

b)    minimalną wielkość spółczynnika tarcia fi;

c)    kąt cpx, przy którym kula opuszcza powierzchnię AB.

684. Dwa walce, o promieniach rx i r₂ (rys. 507) i ciężarach Qt i Q₂, na których nawinięta jest nić giętka i nierozciągliwa, staczają się po dwóch ścianach pryzmatu ABC, nachylonych pod kątami a i p do poziomu. Obliczyć napięcie T nici i przyśpieszenie p, z jakim ta nić- ślizga się po ścianach pryzmatu.

mBBm

mmi

VJL

f/A

685. Drąg AB — i, o ciężarze <4 (rys. 508), ustawiony jest końcem A na chropawej podłodze AX pod kątem (3 do pionu A Y i puszczony swobodnie. Obliczyć, z jaką prędkością v koniec B tego drąga dosięgnie podłogi, jaka jest siła odporowa N podczas ruchu, oraz czy może drąg oddzielić się w tym ruchu od podłogi, jeżeli spółczynnik tarcia jest [x.

mm

wm

II

li

686. Drąg AB = 2a (rys. 509), o ciężarze Q, wciągany jest równię pod kątem a do poziomu za pomocą sznurka i ciężaru P.

na

Z początku drąg znajduje się w położeniu poziomem OC. Obliczyć prędkość v spadającego ciężaru P w zależności od zmiennego kąta nachylenia <p drąga AB.

10.

Uderzenie.

uderza środkowo o kulę nieruchomą,

687.    Kula, o masie m posiadającą masę m₂. Po uderzeniu masa ml zatrzymuje się. Jaki jest stosunek obydwóch mas m₁ : m₂?

688.    Dwie kule sprężyste poruszają się z jednakowemi prędkościami naprzeciw siebie. Po uderzeniu jedna z tych kul zatrzymuje się. Jaki jest wtedy stosunek uderzających się mas?

689.    Środki dwóch jednakowych kul poruszają się po tej samej prostej w jednym kierunku. Prędkość kuli uderzającej po uderzeniu ma tę samą wielkość, lecz wprost przeciwny kierunek. Jaki powinien być stosunek prędkości ct i c₂ kul uderzającej i uderzanej przed uderzeniem?

690. x Kula uderza o drugą nieruchomą kulę, mającą masę dwa razy większą. Energja kinetyczna obydwóch kul spada po uderzeniu do połowy. Jaka jest wartość spółczynnika k (patrz zad. 687), oraz jakie są prędkości cx i c₂ tych kul po uderzeniu?

691.    Kula, o masie m₁ (rys. 510), uderza o dużą nieruchomą płaszczyznę pod kątem a z prędkością c±. Uderzenie jest doskonale sprężyste. Obliczyć jego wielkość.

692.    Masa m₁ (rys. 511) spada pionowo z prędkością et. O masę tęjjuderza poziomo z prędkością c₂ duża płaszczyzna, nachylona

pod kątem (3. Uderzenie jest doskonale sprężyste. Obliczyć jego wielkość.

511

iss

693.    Środki trzech kul sprężystych, o masach m₁, m₂ i »i₃, leżą na jednej prostej. Masa m₁ uderza z prędkością nieruchomą masę ma, ta zaś uderza następnie nieruchomą masę ms. Po tern drugiem uderzeniu masa m₂ = jwij posiada prędkość: v₂ = — Obliczyć wielkość masy m₃.

694.    Cztery jednakowe kule stykają się z sobą; środki ich połączone są nićmi niesprężystemi dowolnej długości. Kula pierwsza zyskuje prędkość cl i porywa za sobą po kolei inne kule. Z jaką prędkością będzie się wtedy poruszała każda z 4 kul?

695.    Na dwie równe szalki wagowe, o ciężarze Q każda, rzucone są z wysokości ht i h₂ nierówne ciężary i Q₂. Z jaką prędkością v zaczną się poruszać obie szalki po jednoczesnem ich uderzeniu, jeżeli uderzenie to jest niesprężyste?

f!696. Pomiędzy dwiema ścianami równoległemi, położonemi w odległości a od siebie, porusza się tam i z powrotem kula o promieniu d, uderzając prostopadle naprzemian o te ściany. W czasie t zachodzi n takich uderzeń. Jaka jest prędkość początkowa c kuli?

r'Ą 697. Kula, o masie ml, uderza po kolei o nieruchome kule ra2 i mz, leżące na tej samej prostej, wraz z kulą ml. Jaka powinna być zależność między masami tych trzech kul, aby masa mz zyskała największą prędkość?

698. Dwie równe kule A i B (rys. 512) znajdują się w spoczynku w odległości a od siebie. Trzecia kula C, położona w odległości BC = b od kuli B, rzucona jest prostopadle do AB z prędkością cx tak, że odbiwszy się od B, trafia środkowo kulę A. Obliczyć odległość DB — x punktu JD, do którego powinna być skierowana kula G.

- -sGć,-----

(A#

■Dr'#

7/

?r.

Ni

S/3,

699. O kulę nieruchomą uderza ukośnie druga kula tej samej wielkości. W jakim kierunku powinno nastąpić uderzenie, jeżeli prędkość kuli uderzającej wynosi przed uderzeniem cx, po uderze-

—<7?

on ¹

700. O kulę (rys. 513), poruszającą się z prędkością, c, uderza środkowo druga kula o tej samej masie i prędkości. Jaki kąt a powinny tworzyć prędkości obydwóch kul, aby kula A wskutek uderzenia zmieniła kierunek swego ruchu o kąt cp = 90° ?

701. Trzy kule o masach mly m₂ i ra₃ (rys. 514), stykające się wzdłuż jednej prostej poziomej, zawieszone są ‘ na niciach na jednej wysokości l. Między masami tych kul istnieje zależność: m, =

= 2m₂ = 6m₈. Kulę rnx odchylono o kąt a.l = 20° i puszczono swobodnie. O jakie kąty a₂ i a₃ odchylą się kule m₂ i m%, jeżeli spółczyn-nik uderzenia (patrz zad. 687) wynosi Jc — 0,9 ?

702 * Drąg żelazny, o długości l = 2 m. (rys. 515), przekroju poprzecznym g = 1 cm.² i ciężarze właściwym S = 7,8, umocowany jest’ przegubowo w punkcie O i po odchyleniu do położenia poziomego puszczony swobodnie. W chwili powrotu do położenia pionowego drąg ten uderza dolnym swym końcem o ciało, ważące Q₂ = 300 gr., nadając mu ruch po chropawej płaszczyźnie poziomej, na której spółczynnik tarcia wynosi = 0,08. Jaką odległość x przebiegnie to ciało, jeżeli uderzenie jest niesprężyste?

- ~/N

4-

/T - -O-

Jl

W//,

rCCxK"

{>;

f/9.

11

Hi

im

ĆsSS

f/j

703J Drąg, o ciężarze i długości l (rys. 516), zawieszony jest nieruchomo na przegubie Ox. Po odchyleniu o kąt a drąg ten powraca do położenia pionowego II, przyczem uderza dolnym swym końcem o krawędź sześcianu, mającego wymiar a, ciężar Q₂ i osadzonego na przegubie 0₂. Spółczynnik uderzenia wynosi Jc =

Jaka powinna być minimalna wielkość kąta [odchylenia a, aby sześcian przewrócił się dokoła przegubu 0₂?

704.    Na koniec A belki, o długości 2a i masie m₂ (rys.

517), umocowanej w środku na przegubie O, spada z wysokości h masa m₁. Uderzenie jest sprężyste. Jaką prędkość vx posiada masa mv oraz jaką prędkość kątową 6 posiada belka natychmiast po uderzeniu?

705.    Drąg OA, o długości a (rys. 518), po odchyleniu o kąt a spada, uderzając o sztywny pręt B, położony w odległości b od O; odbiwszy się zaś, odchyla się ponownie o kąt (3. Wyznaczyć spółczynnik uderzenia k.

706.    Cienka płyta prosto

'II

kątna, o masie m₂ i wysokości h (rys. 519), osadzona jest na osi XX w odległości ^ h od krawędzi górnej. W punkcie A w odległości •£- h od krawędzi dolnej o płytę tę uderza masa m₁ = ^    ,

wobec czego płyta odchyla się do położenia poziomego.

Obliczyć prędkość pierwotną

masy mt, jeżeli uderzenie jest doskonale sprężyste.

Ul

707. Pręt o długości l i masie mi (rys. 520), będący w ruchu postępowym z prędkością ex prostopadłą do długości, uderza w odległości a od swego środka o sztywny punkt A. Obliczyć prędkość pręta w tern miejscu po uderzeniu, jeżeli spółczynnik uderzenia jest k.

708. Drąg AB o masie mx (rys. 521), spadając z prędkością cx w położeniu poziomem, uderza o sztywny punkt D. W jakiej odległości x od środka C powinno nastąpić to uderzenie, aby drąg zyskał największą prędkość kątową i jaką jest ta prędkość?

S!/-J

SM

709.    * Młot, o masie posiada trzonek, o długości x, umocowany przegubowo w punkcie O. Masa jednostki długości trzonka wynosi Jaka powinna być jego długość x, aby podczas uderzenia środkowego w punkcie A przegub O nie doznawał żadnej siły odporowej?

710.    Tarcza okrągła, o promieniu r i masie m (rys. 523), pmocowana jest na osi poziomej XX Uderzenie, wymierzone prostopadle do tej tarczy w najniższym jej punkcie A nie powinno wywoływać wstrząśnienia osi XX. Jaka powinna być odległość y tej osi ód środka O tarczy?

(rys. 522),

711. Trzy jednakowe pręty, każdy o długości a i masie m (rys. 524), połączone są przegubami, tworząc jedną prostą AB i wprawione w ruch postępowy z prędkością c prostopadłą do AB. Środek pręta CD zostaje raptownie zatrzymany. Po upływie jakiego czasu t końce A i D dwóch innych prętów spotkają się w punkcie E, jeżeli ruch odbywa się na gładkiej płaszczyźnie poziomej?

712. Płyta kwadratowa AB CD (rys. 525), o masie m, obraca się z prędkością kątową 0 dokoła swej przekątnej

B----^

i-

c~=>

U?

----H-

fSi-

Ó*'"'

AC = 2a. Wierzchołek B kwadratu zostaje raptownie zatrzymany.. Obliczyć wielkość uderzenia w punkcie B, oraz prędkość kątową 0', z jaką płyta obraca się po uderzeniu dokoła B.

■>

SM

Si

bd

11

713.* Sześcian, o wymiarze a i masie m (rys. 526), ślizga się po gładkiej płaszczyźnie poziomej z prędkością c i uderza o przeszkodę w punkcie A. Jaką prędkość v zyska po uderzeniu środek masy C sześcianu i jaka powinna być minimalna wartość c, aby sześcian przewrócił się dokoła A?

f/

mm

Tft

GS

T/A

*..... i

714. Masa ml (rys. 527) rzucona jest o ścianę prostopadłościanu i uderza w punkcie środkowym B z prędkością c,, poczem tkwi w tym punkcie. Prostopadłościan o podstawie a, wysokości 3a i masie m₂ = 3?^, stojący na chropawej płaszczyźnie poziomej, przewraca się wskutek uderzenia dokoła A. Jaka powinna być prędkość c, masy uderzającej m

Yfl .    _

I

Ci

¹ .

I

)

c

■

1

*

€

\

‘■A--

\

ROZWIĄZANIA I ODPOWIEDZI

ROZWIĄZANIA I ODPOWIEDZI.

1.

2.    900 kg.

6 lin, 3 i 1 linę.

3. Jedną z osi rzutów wybrać w kierunku ruchu, drugą prostopadle do

tego kierunku. Wypadnie: jP=|/20475

4.    Przyjąć za osi rzutów OK i 01; a ^

5.    Wypadkowa sił i³ i Q trafia na punkt A. P =

co

co

143,1 kg.; a = 33°; [3

28°; S — 32°20'.

■ ¹ co

co

27°.

1,15 tonny.

6. Wybrać jedną z osi rzutów w kierunku siły Px , drugą prostopadle

5,66 kg. <£ (P R) '= 57°50,2//. Dla kon-

do niej. Wypadnie: R strukcji geometrycznej przyjąć skalę wektorów sił: 2 kg. za 1 cm.

7.    Wybrać oś rzutów w kierunku wektora Pg. Wypadkowa R = 6 I\ w kierunku P₃.

8.    Z warunku: Px : P₂ : P = sin oc₂ : sin at : sin a wypadnie:

cotan

— = cotan a. —

2 ¹

a = 60°50'5,/; Px = 209,67 kg. P₂

skąd:

109,67 kg.

9. Z warunku: Px : P₂ : P = sin oc₂ : sin : sin a wynika:

4 sin a, = 3 sin a₂; a ponieważ a₂ = 2a1? zatem:    — 48°11/22,//6;

_    sin a o    _

= a. + a₂; P. = P . --i _ 1,7143 p.

sin a

a₂ = 96°22'45, 2;

P₂ = 1,2857 P.

10. Z trójkąta wektorów: P² = Pj² -f- P₂² -j- 2P₁P₂ cos a,

oraz a

oraz

z proporcji: Pt : P₂ = 1 : n wynika: Pf =

nP

= 15 kg.;

| 1 -f- w³ 2w a, = 28°51,57";

COS OL

a2

= 6 kg*;

= 11°8'3".

]/1 -j- n¹ -f- 2w cos a 11. Wypadkowa: P = |/l6/i² -}- r², przecina się z osią symetrji podstawy, przechodzącą przez wierzchołek E w odległości | r od tego wierzchołka. (Zastosować dwie równe i wprost przeciwne siły P w kierunku krawędzi SE).

P,=

]/s

l/3

; P, = PV3; < (A, P) = i5o»;

< (P„ P) = — 90»; <£ ₍p, , P) = 30».

13.    P, = 0,2673 P; P₂ = 0,5346 P; P, = 0,8019 P;

<(Pi, P) = 74«29'55"; <C(7’₂, P) = 57»41'18";'<£(P₃, P)=36»41'Ó7".

14.    Wybrać układ osi współrzędnych BK i BY równoległych do boków kwadratu; wówczas siła wypadkowa, przyłożona w punkcie P,

R = Yk . AB i działa wzdłuż odcinka AB.

15.    Z trójkąta ABC wynika: sin cp = zaś z trójkąta sił: tan 'cp =

cp

—==1; albo: sin²cp=coscp. <p) = 1,618 P.

wynosi:

. W takim razie: sin cp. tan cp =

sin³

cos

Stąd: cp '= 5l°50'. Napięcie nici: S = P( 1 -f- cos

16. Wykonać rzuty sił na kierunki pionowy i poziomy.

s =

; Q = P tan a.

cos a

17.    Wykonać rzuty sił na kierunek poziomy i pionowy.

a = 60»; 'Q _ ioj/3 Kg.

18.    Wykonać rzuty na kierunek siły odporowej Q i prostopadle do niej.

Wypadnie tan = 0,5; Q = P.

A

19. Rozwiązanie jak poprzednio.

sin a

1 -f- sin a -f- cos a

1 -f- cos a 1 -f- sin a -f- cos a

20. Ułożyć warunki równowagi dla każdego walca zosobna.

l/8’

|/8/*

P² + P₂²— Pj*

pa _|_ pz_p2'

p

22. Napięcie liny wyraża się siłą Q. Wypadnie:

21. -

a²

ó²'

23.    Tx = T₂ = 75PJ*g.'

24.    Tx = 4(^3 — 1); T₂ = 2 j/2(]/3 — 1) Junt.

25. Obie siły (1 przyłożyć w punkcie (7. Wypadnie:

Pa

2 j/4 Q² — P²

26. Wszystkie siły działają przy punkcie A. Wypadnie:

S — 15 funt.; sin (3 = 0,8.

27. Podobnie jak zad. 26.

T = 10/6; P— 10]/4 4- 2]/3 = 10(1 + ]/3) funt

28.    Siły równoważą się przy punkcie A. Nowa długość nici l = 2tzv — —t(tz—2cp)-|-2r cotan cp. Warunek równowagi: Q = 2iZ⁷coscp = 2k(l-—1₀) cos cp.

Stąd równanie dla wyznaczenia kąta cp:

| V

29.    Linja działania siły P dzieli kąt między nićnc A!D' i B'D’ na połowy. Z warunku równowagi wypadnie:

cos

cp . (cp 4“ cotan cp--~

4 kr’

Pb

2 |/b² — a³ cos² cp 30. Wszystkie siły przecinają się w środku O kuli.

Na = V3; Nb = 3 kg.

31. Jak poprzednio.

sin (3

\Nb=Q

sin a

sin (a -f- (3)

sin (a -f- [3)

32.    Siła T rozciąga łańcuch, siła Q ściska strzałę.

T — 100(1/3 — 1)1/2"; Q = 200(i/_3 -f 1)1/2 — 1/3"= 200/2 kg.

33.    Wszystkie siły działają na punkt A.

T = 0; Q = 2/3 tonn — ściskająca.

34.    10 sin 18° = 3,09 Junt.

CO

/ Skorzystać z

podobieństwa trójkąta AOB i trójkąta sił. b    t

T = P—-—;    Q=P-.

a r    a -\- r

36. W punktach C i D działają siły: P = 40 . 0,75'== 30 kg.; 1\== 301,5 kg.; T₂ = 300 kg.

35.

37. Skorzystać z podobieństwa trójkątów prostokątnych.

Q — 15 kg. niezależnie od wysokości BP. sin 2 2 -f- cos 2’

38. cpt 4- cp₂ = 2; tan cp₂ =

; Na = 0,1 cos cpt ;

Nb = 0,2 cos cp₂.

39. Przyjąć za osi rzutów promień O A i styczną w punkcie A.

P² 4- Q²

sin ł-<Pi = 2p <p₂ = ¹⁸⁰°;

•wyjaśnić znaczenie podwójnych rozwiązań dla cp i N.

40. Ułożyć warunek równowagi sił przy punkcie A.

P = 5,1 tonn; N = 1 tonna.

; N₂ = Q - P,

co

bodnę.

41.    Ułożyć warunki równowagi sił przy punktach A i B.

Q = yl/6; T, = 10; T₂ = 10|/a7 T% = Yis kg.

42.    Przyłożyć siłę Q w punkcie B i przyjąć punkty .4 i _£? a = 120°:

za swo-

N= l/ 7; tan cp =

43. ^ Ułożyć warunek momentów względem osi A.

J-/3.

T — 100 sin 450 —

2 y

Tmin = 0 przy cp = 90°.

T

max

= 50/2 przy cp = 0,

44. Siły P, A i P przecinają się w jednym punkcie. Odcinki: AD = A(7 = X = 31/2 stóp; T = 251/5; A = 25 funt.

45. Siła As skierowana jest prostopadle do AP. Wszystkie 3 siły: P, A₄ i Ab przecinają się w jednym punkcie.

500 kg.; tan a = -f-; Ab = 400 kg.

46.    Siły P, A i T przecinają się w jednym punkcie.

a = 30°; N = 1 kg.; T = |/3~ kg.

47.    Siła Ajg działa pi*ostopadle do AB i przecina się w jednym punkcie z siłami P i A₄.

ATl = 70,7; Ab

co

co

31,6 kg.; cos a = 0,315.

co .

48.    Aj = A₂ =

49.    Aj = P

■ N —PX , iN₂—^ z

50.    Aj = 10; A₂ = 4 kg.

51.    A₁ - 200; N₂ = 100 kg.; X = 1 m»

52.    W punkcie B działa na dźwignię siła:

kg.

. p — 310,86 kg.; Q = 43 kg.;

N = 266,8 kg.

x = 25 cm.;

Np = 9,

Ac = 0(

A₄= 2i

x = 7 st. tan a = -§-]/3.

62. Siła Q posiada 2 równe składowe, działające z obu stron krążka A.

Ol Ol Ol Ol Ol Ol

có ^ lo cd rŃ ci

N = 450 gr.

; Ac = 34 tom kgd Nn = 400 kg.; Ac = 940

58. Pośrodku pręta. 60. X = 0,05 cm.

61.

x = 20 cm.

co

“hi)

=. 10 kg.

63. P= l kg.

65.    Na=J>&

66.    Środek ciężkości C tej warstwy leży w odległości^ od podpory B. Ciężar warstwy Q — 12 tonn; NA = 4 tonny; Ab = 8 tonn.

67.    Ułożyć warunek równowagi oddzielnie dla każdej z belek AB i CD. Na = 120; Np = — Ac = 160; ND = 0; NE = 400 kg.

68.    P= 1383 kg.

69.    Ułożyć warunki równowagi osobno dla części AC i CD mostu.

Na = 155 tonn; NB = 440 tonn;    = 45 tonn.

70.    Jak poprzednio:.

Nc = 10 tonn; NA = 10 tonn; NE = 54,25 tonny;

Np = 160,75 tonny; Np = J\p = 40 tonn.

71.    a) A₄ — 29,5 kg.; Np = 31 kg.

b)    Na =

c)    Na —

64. X = 20 cm.

Ajg = 3,7 tonny.

iO

,5 kg.; Np —

tonn; Np = 2,8 tonn.

72. Z równań momentów: Pxa =■ Nc = P₂&;    Pj(<2 — c) —

q(6 — c)

P₂(6 — c) = T₂c

>-1 Cl

,5 kg.

wynika:

T⁷!

ó(a — c)

73. Przyjąć za biegun momentów punkt O. sin cp =

cos

P+ Q

74. Wykonać rzuty sił na kierunki pionowy i poziomy.

na = q

b'²

1 -f- —w cotan² a;

cotan a.

75. Wykonać rzuty sił na kierunek poziomy i pionowy i obrać A za biegun momentów.

b cos a cos (3

a cos

(P — a)

; Na= Q i —

b cos a cos p

a cos

(P — a)

cos a

cos

(P - a)'

76. Obrać za biegun momentów punkt K przecięcia sił odporowych

NAiNB.

P= Q

cos a

2 sin (a — P)

—Na

78. Obrać za biegun momentów punkt A.

77. cos <p =

a -J- |/a² -\- 32r² ,

8r

= Ptan?; Nb=P-~.

2 r

P= Q sin

cos

79. T =

cos

■ N = Q- cp = 2p.

sin a

80. Wybrać osi spółrzędnych w kierunkach MO i J90. tan cp = cotan a; iVc = (Q+ Qi)

T = j/ O² sin² a -f- Qi2 cos2 a*

Ną = Q— cos² a; składowa pozioma siły N₀ posiada wielkość:

cos a;

Nd — (Q 4- Qi) sin a;

81.

0- sin a cos² a, składowa zaś pionowa tej siły: O (1--- cos³ a).

f ci    a

82. Siły NA i Q oraz j\'B i tworzą dwie wzajemnie znoszące się

pa

ry sil. Stąd wynika: NA — Q: NB = Nc — Q v _    b

cos a.

83- Ciężar J? wypadnie na pionowej, przechodzącej przez punkt E prze-

cos a cos p

cięcia prostych AC i BD. Moment tego ciężaru: M = PI

sin (a -f P) '

84. Uwzględniając odległości x i y siły R od końców A i B dźwigni dolnej, otrzymamy równania:

lir =    Qxr = Pxp- Ry = Q₂b; Q₂r = P₂p,

gdzie Qx i Q₂ oznaczają napięcie w pręcie DC. Prócz tego x-\-y — l sin a. Stąd wypada:

I, x p(P\a    P2^)    , Ptal sin a

rl sin a '    ' Pxa -f- P₂b'

; analogicznie y.

85. A⁷, = Qy N₂ = Q

cos y sin a

a² cos2 b² sin²

86. Ułożyć warunki równowagi osobno dla AB i BC, uważając połączenia A, B i C za przegubowe.

2a

— a cos y

a cos y cotan a

~ + ? Z*² +    = 325 kg.; H = A-[Q+?I/j2 ₊ ;ia] ₌ 366,7 kg.;

l/Wf

iV =

= 430,2 kg.; cp = 58030⁷.

87. Siła odporowa N pomiędzy rusztowaniem a belką powinna być prostopadła do belki i skierowana wzdłuż boku CB rusztowania, aby w punkcie A nie działała żadna siła odporowa. Trójkąt OGB jest wówczas prostokątny, zatem:    x = a. Równowaga belki określa się równaniem:

Q l cos 30° = N . 2a cos 30°. Równowaga przy punkcie B równaniem:

K = iYcos 600 =

3,8;

Nay= 0; NBX= 3,8; NB-y— 5 tonn.

88.    Nax —

89.    T= 250 kg. = Nax- Nay = 300 kg.

90.    NAX=- 12 tn.; NAY=- 6 tn.; NB^⁼⁼ — 12 tn.; PBY=z= 0*

91.    Nx = 15]/Ę Ny — 77 tn.; T= 30j/3 tn.

92.    Ta = 1800 kg.; 1B = 1757 kg.; Tc = 1244 kg.

93.    Na = 9 tn.; Nb =11 tn.

94.    Z warunku momentów względem osi O znajduje się siłę Q. Siłę tę rozkłada się w kierunkach BO i CD na dwie równe siły S. Wówczas T — S cos a = 500 kg.

95.    Na — — Nb — 18 kg.; Q — P = 180 kg.

96.    Q = 10 kg.

97.    cp = 90° — 2a przy a fS 45°. NA = P cos a; NB =

98.    T — 15 kg.; = 60 — 5 |/3;    10 j/3 kg.

99.    Siły jP, i przecinają się w jednym punkcie, a = 60°;

Na = 40;    = 20 j/3 kg.

100.    iV,o: = 180; iY^y= 540 kg.;    = 180 j/5~ kg.

101.    Nax= — 0,4; Nay ⁼⁼ 5 + Al/3 tn.;

Nbx = 0; Nby=_5 4- tt/³ tn.

102.    Nax=. 2 — 1,8 |/3;

103.    iY£ = 20 kg.; iYc = 30 kg.;

P sin a.

Nay = 4,6 tn.;

Njj =30 kg.

= 3,6 ]/3 tn.

104. tan a —

(Z a)Q cotan [3

i (P 4- Q)

T,=

(P 4- Q) cos (« — P).

sin 2(3

(P 4- Q)

cos

(a 4- p)

03 Ol

T —

NAx = 30; jY^ = 80 kg.; NB = 30 kg. <3 = 25; iVj = 50; iVB = 2§ l|/F kg.

sin 2 [3

¹

Mechanika (Rozwiązania). 1

107.    T= 4]/3; . NAx = — 6; NAy= 16 + 2]/3; Nc = 8]/3 kg.

108.    Ułożyć warunek równowagi dla każdej kuli zosobna.

sin

tan cp =

cos a

sin a

• T —P-

’    — -L i

cos

^2 = ^2

sinL _j_

cos

i iY = r₂^i

a

cos--

109.    Ułożyć warunek równowagi dla każdej kuli zosobna.

tan cp = 0; Nt = 20; iV₂ = 20 j/3^ N= lOj/łTkg.

110.    = 150 + 60 |/37 iVsx= 60|/37 iVBy= 150 — 60]/3~ kg.

111. Rozpatrzeć równowagę każdego pręta zosobna. Wypadną, po dwa cos cp₂    ^ 1 ⁼⁼    ^'1    ^2 ⁼⁼ 0*

rozwiązania:    cpt = arc

112.    NAx= 900 kg.; NAy— 900 kg.; Nq — 900 kg.

113.    '^==.800 k&f T= 2400 kg/

114.    Ułożyć warunki równowagi dla każdej części mostu zosobna. Z sześciu równań wypadnie wtedy: NAx = 2 tn.; NaY = 9,8 tn.;

NbX⁼— — -A^CX⁼⁼ 2 tn.; ]tfgY⁼⁼ 5,2 tn.; _2V"cy=: 4,8 tn.

115.    Rozpatrzeć równowagę każdej drabiny zosobna. NA = 56,7 kg.; Pb = 63,3 kg.; NCx= 56 kg.; NCy= 36,7 kg.; T == 56 kg.

116.    Ułożyć warunek równowagi sił w przegubach B i C. (3 = 30°.

117.    Rozpatrzeć równowagę belki AB i słupa AC oddzielnie.

¹⁴⁰⁰ kg.; S₂ jg 1400 kg.; NCx= 1-000 kg-5    500 kg.

118.    Ułożyć warunki równowagi stopniowo dla węzłów: A, F i C.

Wypadnie:    Sx = 15 tn. ściskanie; S₂ = 0;    $₃    21 tn. rozciąganie;

8₅ = 5 tn. ściskanie;

Ss — 15 tn. rozciąganie.

Si = 15 tn. ściskanie;

119.    Obliczać stopniowo węzły: A, E i C.

8^    14 tn.; 82 — -j- 10 tn.; 8g -}- 14 tn.; 8^ = — 20 tn.;

Znak -f- rozciąganie, znak — ściskanie.

8- = Ó; 8₆ = -j- 20 tn.

120.    * = —.

121. Ułożyć warunek momentów względem biegunów C i D. Wypadną po 2 rozwiązania:

cp! = 0; N = 0;

cos

?2 =

Ql>

4P«

N>=y

4 P²---02.

4a²^

122. Rozpatrzeć równowagę każdego pręta zosobna.

a]/Q2 "U ^ ]/Qi Q2

cos

*=}Zir

124. tan cp =

Q ₂ cotan a — Qt cotan

oa.

125. Ułożyć warunek momentów względem bieguna O.

cotan cp =

Q%r 3

COS

cos a

Q₁^₁ sin a--sin a₃

126. Każdy z prętów znajduje się w równowadze pod działaniem 5 sił:

względnie: P₂, iV₄ , P. XQ ,    ; kula pod działa-

y,, p, w, w

niem 3 sił: Q. iV₃ i iV₄ .

Qr

<-(fH

O? i ca

tan a.

2a sin² a

127. Ułożyć warunek momentów względem biegunów 0 i C.

QiQa

'V

Obie części nici tworzą równe kąty z kierunkiem pionowym.

128. Wzajemne ciśnienia w przegubie O są równe i skierowane poziomo. Kąt cp wypadnie z równania:

sin³ cp

COS Cp

129- Środek ciężkości drąga ^4P powinien leżeć w punkcie podparcia C.

Ir

Qi

130.

a|/4r² — Z²

Qxr

; Na = 0; Nc = Q.; Nd=Q+ Q,.

2r

Na = Qa

cos cp = sin (cp —

Qa

a)

sin cp -j- —y- cos 2cp; cotan a =

COS Cp

; Nc= Q

cos

(2cp •— a)

Q ₁1 COS Cp

■— tan

COS Cp

•; Njj = QxQx-

131. tan (3 = tan a (1 -f-

132. Ułożyć równania równowagi dla układu osi 1, Z.

t₁₌T₂= ioo 1/4 + 21/F kg.

133- Obrać osi X i Z w płaszczyźnie BAC₁ oś Y prostopadle do tej płaszczyzny.

Tx= 20/3; T₂ = 40 kg.

a = arcsin

134. Obliczyć siłę $ parcia hydrostatycznego do góry i ułożyć warunek równowagi wszystkich sił względem układu osi XXZ.

T-- 10 ]/6; P= 10/3 kg.

1 35. Skorzystać z układu osi X \ Z.

co

141 kg.; T co 70,5 kg.

136. Ułożyć równanie rzutów sił na kierunek masztu.

482 kg.

N= 200(1 + l/2) =

137. Ułożyć równanie rzutów sił na kierunek pionowy.

20J/3

kg.

138. Obliczyć najpierw naprężenia T wzdłuż nóg, a następnie ułożyć warunek równowagi dla jednego z końców A, D lub G.

139. Rozpatrzeć oddzielnie równowagę kuli górnej D oraz jednej z kul •dolnych.

T = i |/6 kg.

140. Rozwiązanie podobne do poprzedniego.

]/r

3]/ 2

141. Jeżeli a jest kątem nachylenia sił Q do kierunku pionowego, w ta-

kim razie:

Q, cos a == P — -|tit³§; skąd: Q =

47C§r⁴

3 j/r² — a²

Minimum tego wyrażenia zachodzi przy: r =a j/3.

142. Wybrać oś 1 poziomo, X w kierunku osi wała, Z prostopadle do niej i ułożyć 6 równań równowagi. Wypadnie:    ₃

V    T

P — Q- sin a; NAX = Q cos a; NAY = Q. -j-

cos a

l—b

sin a I;

XAz — Q

Nbx — 0;

Nby

sin a.

sin a-j-cos aj;

143. Naprężenia w dolnych i górnych odcinkach nici są jednakowe.

- T-

144. Ułożyć warunek momentów względem osi PC. Wypadnie wówczas:

s'2, — j/r² — s².

Pj/P* _ g2

x = P-j-r* — ]/P²

P — j/P² — S²

Siła Q zyskuje minimum, gdy s = czyli gdy:

x — R -4- r -— j/P² — r²;

a wówczas: Qmin = P

j/P² _ r2

P — j/P² — r-

145.    h łożyć warunek momentów wszystkich sił względem osi AB i AD.

X = y⁶j-S; y = yVS’ ^C ⁼⁼ yii P

146.    Odległość środka ciężkości płyty od krawędzi górnej a³ — x³

2(o² _ #2)

wynosi

. Ułożyć warunek momentów względem tej krawędzi. Wypadnie:

albo

147. Siła, działająca na tłok:

^id*

Stąd:    /\l =

= 2k .    = k₁ . Alv

p . ud²

■; A^x —

148. Skorzystać z układu osi X, Y, Z. = 5 tn.;

p%d²

4^

Tg = V⁰]/3 tnd    5|/2 — | ]/3 tn.

Ti = T₂

149.    M= 50 kgcm.; X^ — 18 kg.; X# = 3 kg.

150.    Skorzystać z układu osi X, Y, X

151.

Z = 10 cm.; X^ — 30 kg.; X# =95 kg. osi X, Y, X.

o kg.; Nax— 1 kg-; XAY= 0; NAZ = 90 kg.; NBx— 9 kg.; Nby— 0; NBz— 10 kg.

152. Układ osi XYZ.

P= 10 kg.; Nax= 40 kg.; XAY= 0; XAZ== 10 kg.; Nbx— 40 kg.; NbY= 0; NBz = 0.

153. Układ osi XYZ.

Q — 36 kg.; Nax= 0; Nay= 4|/3; Naz = 16;

Xby= XfBz— 23 kg.

Nbx— 0;

154.    Układ osi XYZ.

Xa — 2 kg. XB = 8 kg.; Ta = 1/3 kg.; TB = |]/3 kg.

155.    Układ osi XYX

NAx— ]/3; XAY = 0; NAZ== 3; NBX = 0; NBY — 0;

XBz =6; aS = 2]/3 kg.

156.    Układ osi XYX.

•"* T = 20 kg.; XLV = 17,5; X/1y = 2,5^3; XAZ = 0; XBx= 2750; XBY— 7,5]/3; NBz= 40 kg.

157.    Układ osi XYX

Nax = 1988;. Nay— 0; NAZ=f*P 291; XBx= 533; XBY= 0; XBz— 514 kg.

158. Wypadkowa R = działa równolegle do Q w odległości —— /i.

oraz P₃ i P₄

159. Znaleźć najpierw położenie wypadkowej sil P₄ i P. z danych stosunków ich wielkości, następnie każdą z otrzymanych wypadkowych rozłożyć odpowiednio na

Pg i Py

może być znalezione poło-

siły P, i P₂,

160.    Jeżeli Pj = P₂ -f- P₈ = jP, żenie wypadkowej sił P₂ i P₃ .

161.    Określić położenie wypadkowej sił Px i P₂; jej wielkość na mocy danego stosunku jest P₁₂ = \P = P₃ . Z położenia sil P i P₁₂ odnajduje się położenie siły Ps .

162.    Wszystkie trzy równe są sile P; zwroty ich wskazuje rys. 146.

163.    Wypadkowa R = 2 5, skierowana jest pionowo do góry na prawo od kwadratu, w odległości = od jego środka;

164.    Wypadkowa R = 2P; ma kierunek boku CP i działa nazewnątrz sześciokąta w odległości = \AC od boku CD.

oraz

wówczas

165.    R'= — 4 kg.; leży w odległościach 19,25 m.>*)d siły Px i 6,25 m. od siły jP₅.

166.    P : Q = 5,8284; R = 6,8284 Q.

167.    Obliczyć długość każdej nici po przekręceniu walca; naprężenia tych nici działają wtedy stycznie do powierzchni walca. Układ daje moment il= 12,0288 At³.

168.    R = P\/3 wzdłuż boku RA.

169.    Obrócić cały układ sił wprawo i wlewo o kąt 60°, znaleźć dla obu przypadków linje działania wypadkowej i punkt przecięcia tych linji. Punkt ten położony jest zewnątrz trójkąta w kierunku siły Px , w odległości 3,732a od wierzchołka A.

170.    Skorzystać z układu osi XYZ.

R =    ₌ u,422 kg.; M —

R    2

=    = —; AC : RC — tan a : tan {3 = 9 : 4;

i 2    3

skąd: AC — 0,9 m.; RC = 0,4 m.

tan a =

P₂

Pt~

to CC

; tan

OO.

P P

i2

. a = 8,653 kgmt.;

171. M = P

172.    Oś dynamy przechodzi przez wierzchołek A prostopadle do płaszczyzny RCD. Wypadkowa R = jPj/6 jest sumą sił przy wierzchołku A, moment zaś dynamy Al = \Pa^3 jest sumą momentów sił pozostałych.

173.    R = 5,385 kg.; M= 47,538 Kgmt.; a = 68°12'; B = 90°; 7=158012'; h = 14,054 m.

174.    Do jednej pary o momencie iłf₀ = 44,721 Kgmt.; oś tego momentu leży w płaszczyźnie równoległej do AR a prostopadłej do płaszczyzny rysunka; tworzy z kierunkiem AR kąt a, przyczem tan a = i.

175. Z warunku: Rx Mx ~b Ry Aty -f- Rz Al z = 0 wypadnie: a -f- b -f c = o-

cos

stępnie: R = P]/3;

(R, X) =

(P, Z) = ||/3; M=P/a²-fó²-hc²; h= M

na

cos

cos

(R, Y) =

a² -f-ó²-f-c²

176. Ułożyć warunek momentów względem osi OZ.

P= Q.

a sin cp

a² sin³ —

2lA> +

4

b²

Siła P zyskuje maximum, jeżeli: tan

177. Należy spełnić warunek: Rx • Ry • Rz ⁼⁼ Afx • My : Al z • Stąd wynika zależność:

3 _ 3    3

= ]/cib² : ]/bc² : ]/ca².

Px : P₂ : P3 178. Pl = P₂ = P, = P₄ = P₅ = PG.

179. Wypadkowa R= 2jP, skierowana wzdłuż P6r.

180. Wypadkowa para, której moment M = 20]/3 Kgmt., tworzy z osia mi X, F i X odpowiednio kąty a, (3 i y, przyczem:

P = - COS Y = y|/3.

a|/3    2P₂2_P₁2

6    ' P 2 ₊ P₂2-

cos a =

cos

181.

P P

JlI2__.

2’

182.

2 -Pi+^2    _

P = 2P |/ 6; M = — jPaj/6;

cos a = cos [3 = 4 cos y .= |-|/6;    * = ?/ = -|a.

183.

ó²

3/o =

185.

a -f- 2ó 6²4-c²

184. y₀ = 0,369a.

186.

188.

189.

190.

a(«4'2c)

2 (ot —(— 6 -|- c)

2b‘i-\-TiabĄ-ai

4ó + 2a + 7caK"'

2 6 (6 sin a + aa) + a²(l — a cotan a)

2(a + ó + c)

y₀ = 0,789 a.

187. y₀ —

4(6 + c) sin a + 2 aa

a² 4- 6² — c² 4- 2óc

- a8_62_|_ca

2(a+6 + c)

; 3/0 =

7r(a4-ó4-c) ’

2?’

«o = 0; y₀ = —•

71

Promień małego koła, wpisanego w okno = -^P-znacza się z równania:

191.

Stosunek # wy-

87C

*² + 4* =2 4- —.

192.

4 ]/2-\-%]/2 — 7c).

193.

194.

196.

199.

201.

203.

= — (⁶

7C

ar₀ — 1,46875 m.’; y₀ — 0,9375 m.

195. y₀ = Y6a(4 — l/³)•

197.    3/0 = 8,89.

200.    ^ = 9,87* 2/₀= 50,15.

202.    *₀=4,86; y o = ⁴,⁴⁶-

204.    *₀ — i/o = 0,975 m.

y₀ — T¥tt-

2/0 =⁵,⁹⁵-3/₀ = 19,8.

*0 = ²?2i;

?/o = 3,⁸⁸.

x = — (j/3 -— 1).

198. 2/0= 1⁴,B8.

205.

-g-; J/o = -|-(3 — i/3) = 0,634a.

206.

*0 —

Odległości od wierzchołkami? wynoszą długości boków AB i BC.

207.

3/o=ll,⁹⁹-

208. *₀ =

er²

P² — r²‘

209.

*0-3/0

a(10 — 3tc)

12 — 3 Ti

211.

3/o — 23,8.

213.

210.    *0— o

212. *o = ²,l⁴;    3/o=l,l⁸-

. 214. *₀ = ^

1 Ir

16

3tc

4 / 4P³ — r³

3 \ 3 P² — r²

y° = -

TC

sin --

215. A’₀=|r; t/₀'= — • 217. ^’₀ = 0; yo=z

30

216.    .^0 = 9,76; y₀ = 2,54.

218.    A’₀ =r

52 -f 3tc

24 + 3tz'

2tc — 3 j/3 *

219.    #₀ = |-a; t/₀ =-|6;    y₀=^b. Podzielić oba pola na paski

elementarne równoległo do osi spółrzędnych X i Y.

Aa

220. a-₀ =—; y 0 =

co

221. x₀— 0; y₀ —

3tt ab — alb₁

= 11,51 cm.

222.    tr₀ = 9,6; y₀ = 3,2;    £₀ = 6 cm.

223.    a’₀ = 4;    y₀—1,75;    r₀= 1,575 cm.

h

224.    z₀ = —

Q -4— 21/

Q + V Qq+q

225. Podzielić bryłę na warstwy elementarne równoległe do podstaw. Wymiary jednej z takich warstw w odległości z od podstawy górnej wynoszą:

X — flj -j

, b — b y = bi+—a

Stąd objętość ostrosłupa ściętego:

równolegle do a

p h

*'o

xydz ==

Z równania momentów:

*)o

•d7. z

po scałkowaniu wypada:

226.

-o ci

2aó4-(«4-«₁)(64"^i)

2 ’ aó4-«₁^₁4-(a4'ai)(^4-^₁)

r²l²

227.

ó(Zt!² — r²)    \ n

3R₁4- 6r»Z(2/i4- 0 + 8X₂ ³(A 4 ż) + 3X₂ ⁴

228.

RyVi + 3rH+2R^

Stosunek 2 określa się z równania:

z⁴ — 4n2³4-6n²2² — 4z4- 1 = 0.

229.

OT"²

3 V

Tir²

i:

3 a²

3/o =

230. Połączyć środki mas półkuli Oy i stożka 0₂; przecięcie prostej Oy U % z tworzącą SB stożka daje położenie środka O. Kąt © określa się z równania: tan³ rp — tan² cp -j- tan cp — f = 0; stąd: cp = 28°44'28". Spółrzędne środka O: r

x₀ = r- —

4- —7T

ry* 2

2cp . sin 2cp 2 — sin 2cp ’

cos

y°= t ■

3 — sin² 2cp

2 — sin 2 rp

Środek masy stożka powinien wypaść w środku kuli.

1 an -5- r~p = -g-1/ 2.

ca 1

232. Wspólny środek masy 0 powinien wypaść w środku podstawy wal-i półkuli. X — - — ]/2.

233. x ^ r |/3.

234. x > 2,3 m.

235. x ^ 1,4 m.

236. Parcie wody na poziomy pas elementarny dy na wysokości y od dna wynosi w tonnach (A — y)(7y. Moment tego parcia względem krawędzi B równa się (li -— y)ydy. Moment na całej wysokości h tamy:

r»h

= \ (A -

Jo

y)ydy— 20,83 tnmt.

Jeżeli moment ciężaru muru jest M\ wówczas M'= kM, gdzie k—■ spólcz. stateczności. Stąd wypadnie: x₁ = 2,75 m.; x₂ — 3,37 m.

238. Q > 6 tn.

240. Q = 33£ tn.;

237. Z warunku momentów względem szyny B wynika: Q Ęy 5,28 tn. 239. x 22: 1,06 m.

X— 6,75 m.

241.

Uwzględnić siły odporowe    i pomiędzy walcem a kulami

i ułożyć warunek momentów względem punktu C.

Br

2q(i - 4

242. Ułożyć warunek momentów względem krawędzi F graniastosłupa.

--a.

243.

244. Przesunięcia przystosowane dla sił P i Q otrzymamy, wyrażając zmienne odcinki p i q funkcjami kąta cp i różniczkując je. Ula znalezienia sil odporowych Na i Nb przesuwa się cały pręt najpierw w kierunku pionowym, potem w poziomym.

tan cp

Q, a + b

U; Na = P; Nb = Q.

zróżniczkować

245. Wyrazić w zależności od kąta cp odcinki p i i ułożyć równanie prac przystosowanych: Pdp-\-Qdq = 0. Stąd 2 rozwiązania:

ęp j -= 180°; sin

Równowaga w pierwszym przypadku jest trwała, w drugim — chwiejna.

246. Równanie prac: PdpĄ- Qdq = 0', odcinki p i q wyrazić funkcjami

(p₁= 180°; sin | cp₂ =

kąta cp. Dwa rozwiązania:

2P

pomocą trójkąta

247. Wyrazić odcinki p i q funkcjami odległości x za ABP i ułożyć równanie prac: Pdp -p Qdq =0. Po uproszczeniu wypada równanie;

(P² — Q² cos² cC)x²-{- 2a cos

a(P² — Q² cos² a) + a² cos² a(P² — Q²) = 0.

248.    Wyrazić odcinki p i q funkcjami a i (3. Równanie prac: 2Pdp-\- Qdq = 0. Stąd:

249.    Wyrazić p i q funkcjami a i p. Równanie prac: Pdp-\-Qdq = 0

sin a

Q¹    sin p '

daje:

Q — P cos a cos p

sin (p -— a)

250. Wyrazić odcinki px i p₂ funkcjami r i cp i ułożyć równanie prac: Pdp t -f 2Pdp ₂=0. Kąt cp oblicza się z równania:

10 cos² fp -— 2 cos cp — 5 = 0.

Równanie prac: \Qdqx-\-\Qldq₂ — Pdp — 0.

Wyrazić odcinki ę₁₅ ę₂ i p przez a i kąty a i p.

.    Q cos a cos

251.

sin (a — P)

252. Wyrazić zmienne odcinki p = l oraz q przez kąt p i długość b i podstawić po zróżniczkowaniu w równaniu prac: Pdp—Qdq — 0, założywszy w granicy p = 90°. Wypadnie wówczas: Q— 2k(b\/2 -—?₀).

253. Równanie prac przystosowanych: Pdp — Tdt — 0 wyrazić p i t

cos a

przez a, b i kąt a.

Wypadnie równanie:

ka²

a Pb'

.254. Równanie prac: Pdp R, a i kąt a i zróżniczkować.

Qdq = 0.

Odcinki p i q wyrazić przez

cos a

P2jR2 ₊ (p2 _ Q2)(P + a)2

2 P*(R+a)R

255.    Odległość p środka drąga od poziomu, przechodzącego przez C, powinna być stałą. Wyrazić ją przez a i p i zróżniczkować. Wypadnie: tan a=2 tan p.

256.    Ułożyć równanie prac i przyjąć warunek, że przesunięcia punktów

A i B po paraboli są równe sobie.

P²pa

yz=L    —P2)‘

257. Uwzględnić przesunięcia punktów A i B w kierunkach stycznych do paraboli i dowieść, że prace przystosowane równe są odpowiednio Pdr 1 i Qdr₂₁ gdzie drx i dr₂ są różniczki odpowiednich promieni wodzących paraboli dla punktów A i B. Równowaga może nastąpić tylko wtedy, gdy

P = Q.

258. Równanie prac przystosowanych: Pdyx— Qdy₂=0. Biorąc pod uwagę, że: y — r sin cp, otrzymamy warunek:

e-f-cos

e-|-cos cp₂

sin cp₂

sin cp₁

gdzie s — jest mimośrodem liczebnym elipsy.

259. Z równania prac: 2 Td{d sin a) — Pd(b

cos p — a cos a) = 0 i wa-

runku:    d(b sin P) = sin a) wynika: T =- (tan a — tan P).

2

260. Uo równania prac:

ad

Id. \

- sin txj-\-2ad(a sin a-\-a sin y)-\-2ad(a sin p) = 0

dołączyć warunki geometryczne:

cos a-f-2 cos p-f-2 cos y= 3; a wówczas wypadnie równanie:

sm a —

2 sin (3 -j- 2 sin y = 0,

4 tan a. — 3 tan [3 -— 7 tan y — 0.

Przy skróceniu nici PP o długość 2y i rozciągnięciu nici AC o długość dx, zostaje wykonana suma prac przystosowanych:

261.

P . (— 2dy)Ak(2y

a) . (— 2 dy)

k(2x

a) . 2dx = 0,

gdzie: x = a cos cp; y — a sin cp.

Stąd wypadnie: tan

262. Przecinając linę u dołu i u góry, zamieniamy ją działaniem naprężeń T. W równaniu prac przystosowanych: ży podstawić po zróżniczkowaniu wysokość płyty nad ' poziomem EF:

aJr2r

Qdh — 2 Tdx = 0

nale-

/ł = Z sin a A a cos a

oraz

odległość pomiędzy środkami walców: x

sin a

Wypadnie:

sin'² a (l cos a — Cl sin a)

2 cos a (7/,-j- 2r)

263. Z równania prac: 2lJd(a cos a) — Qd(2a sin a) = 0 wynika:

P—- Q, cotan a.

0A = AB — b\ PC—CC, <pBCE—a (bardzo mały), N. 3 a . da ■— Pd(b

264.    Oznaczając: otrzymamy równanie prac:

Prócz tego: a d a — d(2b sin (3). Po usunięciu da. i d(3 z równań wypad-N=\P tan p.

265.    Z równania prac:

wynika: da\2Qa cos a-f-Pa cos a] tego:    a cos a-j-ó sin p = c-f-<Z, stąd więc:

nie:

a po usunięciu da i ćZp:

cos

p) = 0.

P<Z(« sin a.Ab cos p)-f-Q^(2d sin °0 = O

dp . Pó sin p = 0, a ponieważ rócz da . a sin a — <ip . 6 cos = 0,

P=

2Q

tan a tan p — 1 266. Przy zwiększaniu się kątów a i p wynika równanie prac:

Stąd zaś:

— 2Pd(a sin a)+ 2Pd(a sin P)4-Pd(2a sin P) = 0.

cos a . cfa-f-2 cos p cZ p = 0. Prócz tego zachodzi równość:

sin a

2a cos a = 2a cos p~f-2a. Zatem: d$ =

sin p

. da..

267. Prowadząc płaszczyznę poziomą przez przeguby nieruchome A i A t i oznaczając przez p i q odległości od tej płaszczyzny punktów przyłożenia sił P i Q, otrzymamy równanie prac: PdpAQA(l = 0, a ponieważ:

p = a cos aAb cos P; 9 — — a cos + c cos y, a sin a. Ab sin p = const; c sin yAb sin p = const.,

zatem uwzględniając te warunki i usuwając da., dfi i dy, otrzymamy:

tan y — tan a

P= Q

tan p — tan a

269. R = 80 kg.

270. P= 2340 Ig.

268.    = tan a.

271. Pochyłością naturalną zowie się największy kąt a nachylenia powierzchni gruntu do poziomu, przy którym mogą się trzymać na tej powierzchni cząstki gruntu. tan a = jl;

a = 38040'.

272.    Z warunku równowagi sil przy punkcie O można znaleźć siły P, ściskające pręty OC i OD. Z warunku momentów względem E i A znajduje się siły T i N i wreszcie z równowagi sił, przyłożonych do kloca, odnajduje się spółczynnik tarcia u.

T = 6 tn.;

273.    Siły odporowe normalne muszą być równe:    Njj — Nq — jV;

wywołują one 2 równe siły tarcia T — y.N wzdłuż drąga. Z warunku mo-

mentów względem P, oraz

rzutów sił na kierunek osi pionowej Y wypadnie:

cos a cos

(«— P)

2(1 — a — by

COS p

gdzie p jest kątem tarcia: tan p = p,.

Z warunku rzutów sił na kierunek drąga wypadnie:

21 Yś 2a -f- 2b -f-

tan a.

274. Nc=Nd;

x Y 10 cm.

!x

X Y 0,75 cm.

275.    Suma rzutów poziomych sił stycznych T powinna być mniejsza od sumy rzutów poziomych sił normalnych N.

276.    Wykonać rzuty wszystkich sil na kierunek płyt, przyjmując dwa wprost przeciwne kierunki sil tarcia.

Jeżeli: tan a

u. wtedy: -¹ '    a

^ r

„ tan a <Y u; P Y ~

P + 2Q

2[i.(P -j- Q)

(m 4- n)[Ła

277. tan a >

278- tan

sin oc-f-p, eos a

sin a-j-p. cos a

PlJ-2

a ’ sin a—p, cos a’

rj-max —

279.    x = ^ AB.

280.    Ułożyć równania rzutów na kierunek stycznej i normalnej w punkcie B. Naprężenie T obliczy się z wzoru ogólnego:

rn — n p.,p,₂

¹ "ł" !xiIa2

T=Q.

sin (cc -f- p)

cos (45° —

Wartość kąta cc, odpowiadająca Tmrn obliczy się z równania:

p) . tan (cc -j- p) = 2.

281. Ułożyć równanie momentów względem bieguna C. Wypadnie wtedy siła normalna: N ■= T sin (3 -f-P sin a, a siła tarcia: W == T cos [3-|-Pcos a.

a ,    _ , b

—- cotan p -1---

a -f- b    a -f- b

cotan a;

Z równania: W = jjiiW oblicza się: p, =

a sm a b sin p

282. Na każdą połówkę walca działa ciężar Q, oraz dwie siły odporowe i siła tarcia wzdłuż powierzchni zetknięcia obydwóch połówek. Wypadną równania statyczne rzutów:

17

Mechanika (Rozwiązania). 2

a — Na cos a — Nę = 0; a — Nb cos a -f- Nc = 0; oraz równanie momentów względem A:

Nęx — Qr (cos a

Stąd otrzymuje się: ja = tan a; Na — Q(1 — sin a); Nb — Q( 1 -f-sin a); Nc = Q sin a cos a; X

sin a — iV^4 sin a — p.2Vc — 0; sin a — sin a -f-    = 0,

4    4

- sin a) =    '/'* cotan a — (cotan a -J--sina).

3tc    3 TT

sin a

3tc

cos a

(3 — a

283. [A ^ tan — -2

284. Naprężenie T jest wypadkową siły tarcia i siły odporowej iV3 Należy ułożyć równanie momentów względem B. Wartości graniczne kąta cp

cos p. Odpowiednie wartości N

określa nierówność:

i T⁷ wypadną z wzorów:

l cos cp cos p

COS Cp

b cos (cp + p)’

b cos (cp H- p)‘

285. Ułożyć równanie momentów względem A, oraz równania rzutów sił na kierunek poziomy i pionowy.

I sin² a cos a ^    2a—Z sin a cos² a

286. Ułożyć równanie momentów względem B, oraz rzutów sił na kierunki poziomy i pionowy.

tan cp = 2 -|--; N —

2(1 + (A)'

287. Ułożyć równanie momentów względem środka większego z tych półwalców o promieniu r. Wypadnie:

(r — ri)ri²^i

u = tan a = —- . ---r-•

‘    4 róy — ri³Ti

288. Ułożyć warunki równowagi dla każdego z półwalców oddzielnie.

371

Stąd może być znaleziony kąt cp podług wzoru: tan cp = {X I 1 —f—

2 Qt

Następnie: # == 2(r-[-r₁) sin cp — 2rt =

2p.(r -f- U)(Q + 2Q,)

4- 2 e,)²

289. Z równań momentów względem środków walców wynika: [A.W = Prócz tego z równań rzutów sił na kierunki poziomy i pionowy dla każdego z walców otrzymuje się:

= !MVl = P₂^V

N = Q:

1 -f- sin cp

1 -f-sin (p cos cp’

; N. = Q. + N-,

^₂ - q₂

cos cp

cos cp

1 -f- sin cp-j- cos

1 -f-sin cp’

Pi =

Q₂ cos <p

Qi(l“psin cp-f-cos cp)+Q₂(l + sin cp)

290. Lewy sześcian poddany jest dwom siłom tarcia: z lewej strony sile 1 =± pjy, skierowanej na dół, z prawej zaś sile T\ — ptJYj, skierowanej do góry. przyczem siły odporowe 2V" i JV₁ nie są równe. '

Wypadnie: P = Q(2-j-sin 2p).    '    '    '•    '    :-

291- Ułożyć równanie momentów względem O.

b² 1 + |J.²

r²    ;x

292. Ułożyć równanie momentów względem O i rzutów sił na kierunek pionowy. Siły odporowe Nt w przegubie O mają kierunek poziomy. Wypadnie:

cp

sin cp tan —

cotan cp — -f-

sin

==— COS p;

N= Q

COS p

sm

to

293. Uwzględnić naprężenie T sznura z obydwóch stron i ułożyć warunki równowagi dla każdego z ciężarów oddzielnie.

cos pa

COS pj

294. Ułożyć warunek równowagi pierścienia U, poddanego czterem si-

Q, N, T, Q.

Wypadnie: cp = 90° — a + 2p. Jeżeli a < 45° —f-p, wówczas w położeniu granicznem nić OC ma kierunek poziomy.

lom:

cos

,(? ± p₂) = sin O ± Pi)

Q.

295. ęp = 90° + p; Tx ==

; T = Q tan (a + p). cos (a U p) z

296.    Siły odporowe w przegubie O skierowane są poziomo. Ułożyć równanie momentów względem O i rzutów sił

Wypadnie: u. = ] — |j/2; N = 2Q.

297.    Z warunku momentów względem E oblicza się najpierw siłę odpo-

A7 PI

rową iV —    sin a cos a, następnie należy ułożyć równanie momentów

względem A dla prostopadłościanu. Wypadnie:

na

kierunek pionowy.

Największa wartość Q

298. tan cp =

Q — P sin a cos a (|x cos a — sin a).

nastąpi wtedy, gdy: tan 2a = 2 tan (p — a). a2_j_r2 - p

max a\ r²,— x~

px{a — x)

X ==

cos

1.

2(x

Qx

cos

Qx sin- cp cos cp

i_.

Nay =

Naz = 1Q(¹ + sin2 ?)•

AX = -

2|j.r

2a

299. Ułożyć równanie rzutów sił na oś klina. N = 20 tn.;

P TT 2 tn.

co

300. P = 20 kg.

Pod działaniem siły P czopy wtaczają się na łożyska o pewien kąt a od położenia środkowego, przyczem a = p = kątowi tarcia.

Z równań równowagi wynika:

R]/1 +jr²4-jxr

302. Spółczynnik jx odnajduje się z równania momentów:

!(*

Sb -f- Pc

Sb + Pc

= Qh sin a,

skąd wypada: [i = 0,0051.

___    kP

303. P— (p — l) — .

b — [J.,r

Q~

a

“ \Hr

.= 30,2 kg.

— [J.jT

304. Oznaczając odległości siły Q od przegubów A i P odpowiednio przez x i y, obliczymy składowe siły Q: przypadające na te przeguby, mianowicie:

Qa ■■ Q •“ : 'A- - y , ~ „•

* + y    x + y

Na. przeguby E i F działają wówczas siły:

oraz:

których momenty względem K dają w sumie:    = Pq-

305.

ad

bc

a a-

w czem oznaczają:

a = sin (a c = sin (a

cn- cn-

p);

P — 73,8 kg.;

T — p);

= sin (a — ); = sin (a —

Q = 100,8 kg.

CU ?—

— P).

Wypadnie:

306. Oznaczając przez T naprężenie poziomej części liny, otrzymamy zależności:    ‘

P =    ; T =    ,

Wypadnie stąd:

gdzie a —

3tc

— — kątowi objęcia.

2

log

= 0,244.

307. T,= Q—-; Tt = Q

a#*+ b

aeIx7C ó

ae^% + b

eV* + 1

308. W ruchu jednostajnym działanie sił zewnętrznych _P, Qi 2Q równoważy się siłami tarcia na walcach.

x : y — 7 : 5.

309. Jeżeli bierze górę siła wówczas naprężenie liny:

318. Jeżeli K jest siłą, wywieraną przez śrubę na każdy z klinów w kierunku poziomym, w takim razie: JPa = 2Kr tan (a + p), przyczem tan p = jj.. Do pokonania siły Q, niezbędna jest siła obydwóch klinów:

Wobec tego:

2K — Q[tan (p + pi) + tAi]i S^zie tan Pi = !xl-

— 3110 kg.

Stąd oblicza się:

Pmin -

(1 + x)e!A7C

■; jeżeli zaś przeważa siła P,

wówczas: P,

Qx&XTl

max

310. Z równań: Tj-f T₂ + Ts =    — P-\-T₁ = xT₂; P=xTl;

T„ =    +    = ,-cl\

wypadnie:

P= Q

#³

(1 + #)³ — <®³

Ze stosunku zaś pracy pożytecznej Qdq do pracy nadanej Pdp przy

dp

uwzględnieniu stosunku = 7 przesunięć przystosowanych wynika spół-

(!+&•)³ — x'A

dq

czynnik sprawności:

7] =

3(1+ar)* 4#²(2+#)

313.

(1+a?)³

314.    P — #²Q; — — #³.

316. Q

311.

"'i =

312. 7] =

(l+«)³

8x*

3(l+xf 4(1 + x -\-x^)x²'

(patrz zad. 310).

315. P=Q

x²

1+#

Px°\ Qmin —-

|/a² + ó²

317. P = x²Q;. S = Q cos a . (1+#²).

max

j/a² + ó²

Q = P- .__________.

r tan (a + p)[tan (P + p^ + nJ Spólczynnik sprawności: 7] = 0,24.

319. Równanie momentów dla wala: ±PR = Q/(J^i + łŁiri "ł"^) (wał nawija się jednym tylko końcem).

Równanie momentów dla bloka L:

Q'K₂ == Q(R₂ + 2

Wypada stąd: Q = 504 kg.; opór teoretyczny Q₀ —

cos

45° + 2fc).

4 PR

—— = 600 kg.;

zatem spólczynnik sprawności:

320. Największą wartość siła T₂ osiąga w położeniu poziomem drąga AB. Wypadnie wtedy:

7] = -jt — 0,84.

Qo

max

T, = — |/P+.a» = 250 kg.

2i Ci

P =    = x₁x₂T₂ — 325,5 kg.

w czem spółczynniki ogólne sztywności liny i tarcia czopowego wynoszą: dla bloka D:

cos-

CDP

24

• -r + R — i:¹³⁶;

dla bloka C:

#₂ —- 1 -f- 2^

DCB

24

' R ⁺ R

przyczem kąty:    CDP = 90°; DCB = 36°50'.

321.

cos

= 1,146;

Z równania momentów:

4,PR{1 — 0,o4) = Q(r -f- 6); wynika: Q = 149,1 kg.

Siła teoretyczna bez oporów szkodliwych:

4 PR

Q₀ =

= 160 kg.; stąd spółczynnifc sprawności: r] = ~~ = 0,93.

r    Co

322. Naprężenie Q' liny między wałem a blokiem obliczy się z równa

nia momentów względem osi bloka podług wzoru:

Q(l + 2(1^ cos 450 +

Z równania zaś momentów względem osi wała wypadnie:

Q’ =

24

P‘2

= 1,065 Q.

■4

Ri.

gdzie N = 2P -f- Q' w najgorszym przypadku, gdy obie siły P działają zgodnie z siłą Q'. ‘Stąd: P = 6,91 kg.; siła teoretyczna:

QRX

P '

2.R

= 6,25 kg.; zatem spółczynnik sprawności: 7] =    — 0,9.

323. Z równania, momentów względem osi wała wypada:

-r. r „ /    4 \ T,-r r sin 2p

7^    * \    ^ r I ^ E 2 sin a

w czem JV oznacza siłę przyciskającą. W najgorszym przypadku: i\ =jP+Q» — /, otrzymamy wzór: P = Q

Zakładając:

sin 2p

2 -sin a

r(l+f) + i

R—fr '

Do

324.    7^ =    . Siła tarcia na obwodzie wała p=T₁—Tv

podnoszenia ciężaru Q niezbędny jest warunek: Pr P QR\ stąd wypadnie:

T, =

e!“ —1

325. Ponieważ: Pr 2: Qit! -f- ;j^(7^ -f⁻ T₂ -j- Q)r, zatem:

. e!x7c — 1

+ Pij Q

^(1—tJu) — (1 + Pi)

326. Oznaczając przez Q' siłę poziomą, wynikającą w każdym z naśrub-ków C i D, otrzymamy równanie momentów względem osi śruby.

PR — 2 Q'r tan (a -f- p).

- -rf(2A

cos

P) + Qid(b sin (3) = 0,

wypadnie:

V

F=2Qx

tan p tan (a -j- p).

327. Z równania równowagi bloka wynika siła poruszająca: -P₁ — xQ (sin a -j- k

cos

a).

w czem spółczynnik:

+/

0,08 . 2,5 + 0,05

25

— 0,01;

spółczynnik ogólny tarcia i sztywności dla bloka: X = l+2p.j    cos

4

— == 0,05.

90° — a

+ -+ = 1,024,

Kg

sin a =

przyczem:

Jeżeli siła P tylko utrzymuje ciężar Q w równowadze, wówczas:

80

P% = - Q (sin a

Pt = 184 kg.;

wypadnie:

328. Siła, wyprężająca linę:

Q' = Q (sin a + k cos a), stąd wypada:

Następnie z równania momentów względem osi kołowrotu:

w czem:

= 0,01;

Q' = 0,351 Q,

wypadnie:

2 PRZ = QR₂ |1 + ^-l + p.+Yr, gdzie, N = 2P+Q, •

Q = 219 kg.

Q’ = 77 kg.;

329. Wzdłuż osi śruby działa siła:

Q' = Q-;

sin (a x + p j)

cos

Siła na obwodzie koła ręcznego:

Pl

P — Q'

r tan (a₂ + pa) _ Qr sin (oCj+pj) tan (a₂ + p₂)

R COS p

— 5,3 kg.

Spółczynnik sprawności dla równi pochyłej:

- ponieważ dq = dq' sin a

hi =

Qdq

'Qi =

•O

zatem:

<' sin cos pj sin aj cos

Pi

Spółczynnik sprawności śruby:

tan

Qdq' sin (a.j+pj)

sin (aj+pj)

ri2 =

a₂

tan (a₂ + p₂)

''I =    • + =

zatem spółczynnik ogólny:

sin aj cos p.j tan a₂

sin (aj+pj) tan (a₂ + p₂)

== 0,44.

Siła, kręcąca koło ręczne:

, r tan (a + p₂)

COS [j j

2 Q sin (p + pt) r tan (a-fp₂)

R cos

Stąd:

Pl

PR cos

Pl

2r sin (P + p.j) tan (ot-f-p₂)

= 380 kg..,

spółczynnik sprawności: klina:

rh =

sin p cos

Pl .

sin (P + Pi)

śruby:    T|₂ —

tan a

Spółczynnik ogólny:

tan (a + p₂) sin p cos pl tan a

331. Moment pożyteczny:

Zatem moment ogólny:

tarcia czopowego:

sin (p + Pi) tan (a + paj

Mp = PR,

ił// = -f ^⁷2+^)[A₁’'-

= 0,165.

Prócz tego:

U = 2’,* = T₂l{-{-PR+(Tl + Tti+Q)m

2%RnP

[J.7C

AT? =

r.

stąd:

T

"l2

2250i^,'

60 . 75

e'^

izRn

Po podstawieniu tycli wyrażeń w równaniu momentu, wypadnie z tego równania:

(2250jVp

= 1420 kg.

7UW

T₂ = 590 kg.

332. Naprężenie liny w punkcie />:

qc

cos

Tg = zq sin p =

gdzie q ■— oznacza ciężar jednostki długości, c — parametr łańcuchowej. Jeżeli K (patrz rys. 310) jest wierzchołkiem łańcuchowej, wówczas długość luku: AK = c tan a; BK = c tan p.

Zatem: l — 0 = AK — BK =z c (tan a — tan p), skąd, mając parametr:    c = z sin p cos p, otrzymamy:

l cos a

cos

cos

(a — p)'

333. Jeżeli długość łuku BK = l (patrz rys. 311), wówczas:

T — 2ql = q j/c²-f-Z²; skąd: c² = Sl²; c — l\/3.

Z- drugiej strony: l = c tan cp; skąd: tan cp' = —— — -g-ł/3;    ęp=30°.

1 = ^-

Prócz tego:

oraz:

1/2    _    c2_j_/2    _    4?2;

- = log

dl

x =    yd log 3.

skąd:

21 =

TT + f~A

albo:

4Z

ec

Po dodaniu stronami:

2ec

6l

c    c

334- Dla punktu C spełnia się warunek:

y² = (c -p /l)² = C² -(- i!⁹.

I² _ /i 2

Skąd parametr łańcuchowej: c =

, a naprężenie w punkcie C:

rr

T ‘ = ® = *

Lin je łańcuchowe między punktami A i D oraz D i C są podobne do linji pierwotnej ABC, zamiast więc l i h należy w ostatnim wzorze podstawić ^l i /i. Wówczas wypadnie:

T, =    ₉

l² -f- /Ł2

335. Punkt 5 jest wierzchołkiem łańcuchowej, zatem dla punktu Lł:

c²+Z² = y² = (/i-p c)⁹.

Prócz tego:

; P₀ = p; P=fy.

Stąd wypadnie:

(i/S

TJ

log

P²

+ 1 "h

336. Naprężenie w punktach A i B równa się , ciężarowi zwisających końców łańcucha. Zatem:

Prócz tego:

Stąd:

Następnie:

T = qy = qh: /t² == C² -f Z²; c = 2h

h = y. T₀ = cq = 2 ql. h = l ]/h.

stąd:

h + l = cec\

stąd:

CK5 •

l/i + i

337. Oznaczając BC ==■ s; CD — £, otrzymamy: l = z -p s -p1. Ponieważ naprężenie w punkcie B jest równe ciężarowi odcinka 2, zatem:

y = z = c + h,

qz = qy-

gdzie c — oznacza parametr łańcuchowej. Prócz tego:

Naprężenie w

2² = C² -j— S².

punkcie C jest równe sile tarcia, czyli: T₀ = cq == ]i.tq\

Odcinek z obliczy się z równania:

skąd:

C — (j i.

2²(l-fp)² — .2z[(ią-p)(h+vX)+hv*\ + (h+pt)*+v?h* = 0.

Stąd:

C1 -- c2 - Ci

339. Aby łańcuch był w równowadze, poziome naprężenia w punktach JD i E powinny być równe:    T₀ = Cxq — c₂q;    stąd:

czyli obie łańcuchowe posiadają równe parametry c. Oznaczając przez yl i y2 rzędne punktu (7, odpowiednich łańcuchowych, otrzymamy:

" X

y? = c² -f Zj²; y₂² = c² + Z₂²; yt -1- ll = cec ; y₂ -f    .

Parametr c obliczy się wtedy z równania:

<3

338. Ponieważ napięcia łańcucha w punkcie C z obydwóch stron powinny być równe, zatem: chowe posiadają wspólną oś X. Parametr prawej jest c, lewej zaś c -j- b. Naprężenia w punktach B i D równoważą się siłami tarcia, zatem: cq = ilqz;

T = qy — qy₁; y = yx

czyli obie łańcu-

(c -f- b)q = \i,qa.

340. Ciężar Q można zastąpić odcinkiem łańcucha o długości:

• która sięga (patrz rys. 318) |aż do osi- X łańcuchowej (patrz zad. 337). W takim razie rzędna punktu B: y •== a -f- m — a -j-

Oznaczając przez 2s długość łańcucha pomiędzy punktami A i B: otrzy-

mamy:

l — 2s -j- a;

?/2 — c2 s2. Po usunięciu y, s i ć wypadnie wzór:

y s — cec

. log

V(

341.

Oznaczając przez Ty i Ty rzuty naprężenia T w dowolnym punkcie Af na kierunki poziomy i pionowy, mamy:

tan cp =

Ty

\ qds

Jc

'•

albo po zróżniczkowaniu:

Tx Tx

qds = Ty . ćZ (tan cp) = Ty

rfcp

cos² cd’

!-*-X

r cos² cp

zie:

a ponieważ odcinek łuku:    ds = rdrę₁ stąd: q =

Jeżeli qQ oznacza wartość q dla najniższego punktu Q nici, w takim ra-

7 =

Tx

albo też:

⁼ -

Z drugiej strony: Ty = /“ę₀ = T cos cp. Stąd naprężenie w dowolnym punkcie A/:

7o

cos² cp

^7o

* cos cp

Vs

= qb+Q B

2b ‘

Dla dowolnego punktu M łańcucha spełnia się warunek:

dy

VB — qx

dx

Hy — VB . x — \q^-Dla punktu C należy,;podstawić: y = h- x = ó,; wówczas wypadnie::

skąd po scałkowaniu wypada:

po wstawieniu zaś wyrażenia na VB

H .h = VB . bt — \qb^\

wypadnie wzór:

-G

05M

Ol OJ

min. 20 sek.

• sek.; 500 m.

kim.

345v/ i,8

347.    6 m/sek.; około 2y9 rń. 348-0

:rK—M)²; ®i =

344.    0,004 sek.

349. s — ^0(^1 “M₂) — Pi^¹ \ 2 "H a

ł~ v₀'    2 V

352. x = -{c-\-gt— |/c²-f-2c<^).

351. t

²P2

2 }\s.

353. t =

2.9

j/l>² — c²

354. Czas tx , po upływie którego promień dosięga B\ wypadnie z wzoru:

« + cti

czas t₂ od chwili odbicia do powrotu do A! z wzoru:    =

2sv

czas całkowity:

355. Czas t obliczy się z równania:

— p₂) + 2t(yx — v₂) = 2 . Punkt pierwszy po upły-

podnosi się na naj-

356.

wie czasu

vo

Wj

większą wysokość

vł

i stamtąd opada na odległość: x =    wów

czas gdy drugi punkt wzniesie się na wysokość: y~v₀tl—Wobec

tego:

"o

-4t = *+V>

Stąd wypadnie:. tx =

j <S to I O

I M

Ib

—«+y«

to

357. T =\

P1P2 .    _

Pz — P 1

c²

2/4

Wykresy przedstawiają się w postaci łamanych OAB i 0CB (rys. 528).

oT

358. Drogi przebyte można liczyć od pewnego punktu początkowego O i przyjąć: OA — OB = OB — OC. Otrzymuje się równanie: -t²(pl — p₂) + 2p₂t(Tl-^-z₂) = pi(v i+ts)²+2»o(t₁—Ta). t — 10 sek.; AB —    —^P\^ = 730 m.

Punkt wykresu (rys. 529) odpo-

- wiada wspólnej prędkości v — 5 m/sek.,

co nastąpi po upływie czasu: t— 10 sek. od początku ruchu obydwóch punktów.

360.    Ruch jednostajnie opóźniony. 4 — 4<;

361.    Obliczyć szereg wartości szczególnych dla drogi s, prędkości v i przyśpieszenia p w odstępach czasu:

-- i t. a.

Stąd:

359.

----£ - - -

ki*

— 4.

kiT-i ¹

r?

ty-i-.-

Tl

ty _ _

t = 0;

Wypadną sinusoidy.

362. S = 14 + 30t — 2£³.    •

r; tu;

363. v — —{loge 10

loge 10 \²

. 10®.

do

³⁶⁴-

-to

o- a

365. n = |.

366. Z równań: p =

di’

oraz:

di

wynika zależność:

vdv

; stąd po scałkowaniu:

W³ \

a I 1 — e. ²* I-

7 V²

h«a.

367. t = -^ «T.

368. Prędkość początkowa: r>₀ =

Z równania różniczkowego:

dt — _ wynika: dt — 3bvdv, a po scałkowaniu i uwzględnieniu warun-

V)-

ków początkowych: t = 0; v — v₀

wynika:    t == -|ó(u²

]/ fl²6.

Zakładając v — 2v₀ , otrzymamy ostatecznie:

369. Zakładając i = co, otrzymamy wartość graniczną drogi: A* —

mv₀

k ’

co oznacza, że punkt ruchomy zbliża się asymptotycznie do pewnego punktu nieruchomego, leżącego w tej właśnie odległości.

Po dwukrptnem zróżniczkowaniu równania ruchu i wstawieniu czasu t.

wy rażonego przez prędkość v otrzymamy:

kvo _

- (>, :

.28

370. Oznaczając przez x odległość suwaka D od pręta AB, otrzymamy równość: X² -\- y² = a², z której po zróżniczkowaniu i podstawieniu:

dx

dy

•vN

A wypada: * = dt 371. Z trójkąta OC^C wynika zależność: co po zróżniczkowaniu i podstawieniu: na prędkość:

dx

i;

d²y

«V²

V³ '

b² — a² -f- x² — 2ax cos 'p..

dcp

—J- = 6 daje wzór

0# ]/4a²#² — (a² -|- .t² — ó²)2 x² -f- b² — a2 W końcu ruchu: X = b, a wtedy:

ab% |/4b² — a2 2 ó² — a²

372. Oznaczając nieskończenie małe drogi punktów M i odpowiednio przez ds i ds1? otrzymamy zależności:

dsx —

ds

cos

cos

Różniczkując i uwzględniając warunek:

<p

1 = MA+AMx=s-f-

sin 'p

oraz:    0 = u

a cos

otrzymamy:

vl =

V²

sin² cp

cp dtp

‘ dF’

cos

'r

: Pl =

tan³

COS 'S>

373.    1) Przyśpieszenie na odstępie O A:

Pl= tan a = kim/min.²; droga: s 2) Na odstępie AB ruch jednostajny z prędkością:

?•

—    l^² ~ 0^0125ć² kim.

V = 1 kim/min.; droga: S = vt —    . 40 = t -— 20 kim.

3) Na odstępie BC ruch jednostajnie-opóźniony:

lii — 0,05£² — 520 kim.;

4) Na odstępie od t = 110 do t = 120 min. droga: s = 85 kim... .

374.

375.

ycBEi

Ui

(t

■)~

lii

->l

fe-

”^3

U-

376. Droga mierzy się wielkością pola, zawartego między linją wykresu a osią (i£); zatem:

ctl; stąd: c = v₀

S =    — -l-TT^o ~~ =

377. Równanie ruchu, wyrażone danym wykresem:

(2 —<²).

71

4 Z'

s² =    .

/ 2

Przez różniczkowanie tego równania otrzymuje się: _ *1

siii

t₁— £

h    ]/2 ttl—£²

Odpowiednie wykresy należy zbudować.

Dla czasu £ = 0 wypada: pmin ⁼⁼ — co

„    „    t —- £j

Pmax —

t ²" tl

378. Równanie paraboli, przedstawionej na wykresie (rys. 532), jest:

^2

di ’

8l

Stąd po zróżniczkowaniu wypada: 4tj,

P ⁼⁼

.1 — 2

^2

Po scałkowaniu zaś funkcji pierwszej:

2t?i    /

= —¹ . U —

JE

2 i.

379. Wyrażając drogę s przez pole, zawarte między linją wykresu a osią (£), otrzymamy równanie:

. £².

s = v₁t₁1 1 —

= -f łP*l²7

V1

vQ = —- wynika: p = —

380. Rozwiązanie podobne do poprzedniego.

Przy równy wuj ąc drogi, otrzymamy:

=    vit — 1( n + ^1)^1+

^ — tV^3 • V t ^

Rezultat można również łatwo otrzymać, budując wykres drogi (s) i czasu (£). Koło o promieniu r =. 10; prędkość v == ma kierunek stycznej do koła i zwrot przeciwny do ruchu wskazówek zegara; przyspieszenie: p = 1,6tt² skierowane wzdłuż promienia ku środkowi koła.

sin (P — a) = cos² (p — a).

skąd przy:

skąd wynika czas spotkania:

381.

382. Elipsa:^ ,

2 xy

ab

383. Parabola:

. fan a

2v₀² cos² a

. x².

W punkcie najwyższym:

. sin 2a; ym =

rzuty prędkości punktu na osi 0X i 0 Y: vx = v₀ . cos a;

384. Podstawiając w równaniu paraboli: x = a-, y = b\

&fYl

. sin² a;

cos² a

= sec² a = 1 -j- tan² a,

•otrzymamy:

— (2/ł ~t~ V 4di(h — ó) —

v₀²

a², gdzie /t = —

tan a

Rozwiązanie jest możliwe pod warunkiem: 4/i(/t -— b) 22: a², przyczem kąt a posiada 2 wartości, większą i mniejszą. W przypadku krytycznym, gdy: 4h(h — b) = a², otrzymuje się jedno tylko rozwiązanie:

tan a .....

385 Koło, którego równanie:

#²

12

= —-y — y'¹-,

TC

386. Rzuty przyśpieszenia: dvx

Px= ~~dt

promień:

dVy

TZ

cm.

- - — 40 cos (2ć);

Po scałkowaniu i uwzględnieniu warunków początkowych otrzymamy rzuty prędkości:

= — 40 sin (2t).

dx

Vx=z —-

dt

20 sin 21;

dy

vv = —= 20 cos 21. y dt

Po ponownem całkowaniu:

x = 10 cos 21\

y — 10 sin 2£;

skąd równanie toru:    x² -f- y² = 100.

Jest to koło o promieniu r = 10 cm.

387. Jeżeli prędkości początkowe w obydwóch przypadkach wynoszą odpowiednio v₀ i V₀, wówczas otrzymamy dla punktu B:

x = v₀ cos a . tt — V₀ cos 2a . £₂;

Po

y=v₀ sin a . tx — lgtt² == F₀ sin 2a . £₂ — ^₂² == 0.

wyrugowaniu vQ i V₀ wypadnie:

388. t ==

cos

2]/t² — 2t²

389. OA =

cos a

2v₀² . sin (a — P) cos a

g cos² p

2v₀ . sin (a — (3) g . cos p

= T + ⁴⁵°-

390. T =

391.

/t =

2clc₂ . sin (at — a₂)

<7 . (cŁ cos 7.j -f- c₂ cos a₂) 2v₀² cos -a. cos

a₂ cos (aj+ag)

£ sin2 (ai + a₂)

392. Oznaczając prędkość początkową przez v₀ , otrzymamy równania

ruchu:

X — cos a . ć; Równanie prostej .dLB:

?/ = r₀ sin a . i — \ g t².

y = a — tan (3.

Po wyrugowaniu X i y wypadnie:

t’₀i (sin a-f-cos a tan (3) -—    — a

0.

dt

Różniczkując i zakładając:    -— == 0, otrzymamy warunek dla tmin'

da

tan am . tan {3 = 1; skąd wypada: am = 90° — [3.

0₂ = 1570,8 ¹/8ek.

pn — ir^nnnnr kni/sek.²

393.    6₁ — 3,14 i/se,k.;

394. v = -hAj- TC km/sek.;

120 = 1 ,

co 38,2 obr/min.

7C

¹/sek.;    .2? = 50 cm.

Otu ¹/sek. = 300 obr/min.

398.    y — 0,5 obr/sek² = tc ¹/sek².

399.    600 razy.

395. n =

396.    0 =

397.    0 =

C\ rH

400. 7 = 0,1 TT ¹/sek².

401. Z równania ruchu jednostajnie-przyśpieszonego:

100*² = ^pt . t²

obliczy się przyśpieszenie linjowe styczne:

pt = 200 cm/sek.²

Stąd zaś przyśpieszenie kątowe:

Pt

7 =    = 20 ¹/sek.²,

oraz prędkość kątowa:

0 = 71 = 20ć ¹/sek. Przyśpieszenie normalne na obwodzie kola:

Przyśpieszenie całkowite:

pn = ii! 0² = 4000^².

200 j/l-f- 400£⁴ cm/sek.².

402. Przyśpieszenie (opóźnienie) kątowe 7 obliczy się z równań:

Skąd:

2tc . 600 = 0O . 20 — £7 . 400;

7 = 6 TC ¹/sek²; Prędkość kątowa w końcu t

0 = 307: = 0O — 157. 0O = 120 TT ¹/sek.

20 sek.:

0 =r 0Q - 7tx — 1207C -— 120“ = 0.

Istnieje więc tylko przyśpieszenie linjowe styczne:

pt = r 7 --= 127C m/selc.²

403. t — 10 sek.

404.

Równanie ruchu:

cp = 20° . sin 10° .

5

— jlt sin

90

Stąd prędkość kątowa: 6 =

d cp

tc²

dt 810

cos

TC t

Jeżeli: t — 0; wówczas

TC²

810

sek.

Zmiana kierunku prędkości następuje każdorazowo wtedy, gdy cos

Tlt

90

czyli gdy:

Tlt

TC

37C

90    2 ’    2 ’

TC

i wogóle (n + 1) —.

Najbliższe 2 momenty czasu, czyniące zadość temu warunkowi, są to: tx = 45 sek.; <₂ = 135 sek. Okres ruchu odpowiada warunkowi:

TC T

90

— 2tc; skąd T — 180 sek.

/•

405. < = -

v0

4(tc — 2)

2    5 Vt ~ V '    (tc+2)²"5    ?1

V _ e₀²

tc + 2

3tc — 2

TC -4- 2

(* + 2)³

. |/16(tc — 2)²-(- (3tc — 2)*;

tan cp —

(3tc — 2)2

4(tc - 2) •

406. Przyśpieszenie całkowite punktu drugiego ma w położeniu B kierunek stycznej do koła, jego przyśpieszenie dośrodkowe równa się zeru.

»oa

Pt —

TCł'

tan cp == 4tc.

; 4tc cotan cp = l.-f- TC²

cos q. _    _

sin «)’ ^ _ 409. Przyśpieszenie styczne: *r>/ =

dt

408. .r =

a ponieważ: r

dt

sin

rł

Voa

Ttrpt

\ Tcr/>/

)'

/ 2t’₀ sin a

txy — v₀ sin ot

dv

c cos cp

sin'² cp

- r; zatem:

Tt = —

c²

d cp

dt

cos

Przyśpieszenie normalne:

Stąd przyśpieszenie całkowite:

]/pt ² + Pn* =

c-2

u²

cos

r sin³ cp

sin³ cp

Pn

(?h Pn) =

?• sin³

to znaczy, że p skierowane jest prostopadle do średnicy AC. 410. Różniczkując dwukrotnie równanie elipsy, i zakładając:

rp

— = sin cp, V

d.r

Pa: =*

dy

ó²#

_    V₀³/P

d¥ = 0; dt = *«’ dostBnienl5':

Mechanika (Roz wiązaniah 8

411. Rzuty prędkości: vx — v₀—pl\ vy = pł. Po scałkowaniut x = v₀t — \pt²', y — ^pt². Stąd równanie toru:

tLj' (ParaboIa)-

Prędkość: v² — %²-f 2 p(y — ar); zakładając — = 0, otrzymamy:

Vmin = -|-t>₀j/2, co nastąpi w położeniu, określonem spółrzędnemi:

3 v₀²    _

**•— t ym ~~ 8P

dvx

Vx ~ ~dt

{x+y)* =

= wynika przez całkowanie:

y² = y₀² -}- 2 (a+ó)£. =    przez całkowanie wynika:

412. Z wzoru:

r*² = v₀*a-ł-2ai; analogicznie:    y^,² — voy ² -f- 26^, oraz:

'    .    da

Z równości: vx — — dt

3ax-\-vox$ = (vox²-\- 2at)³^ analogicznie: 3by + voyz = (voy²-\- 2bt)3/*. Stąd równanie toru:

b(3ax-\-vox*Y/s — a(3by-\rv0yrf/s — bvox² — avoy².

418. Jeżeli dtp jest nieskończenie małym kątem obrotu prostej OX, wówczas punkt J. przebiega na okręgu koła drogę: ds == 2rrfęp, gdyż kątowi obrotu dtp względem bieguna O odpowiada kąt 2cfcp względem środka C

— 2r0 = const. Punkt posiada więc tyl-

vx

koła. W takim razie: v ===

ds

ko przyśpieszenie dośrodkowe: pn =

414. Prędkość v =

= 4r0².

——stąd przyśpieszenie styczne: sin <p

dv

p< = h⁼

.    dtp

gdyż v = r ^

c²    cos tp

r    sin³ tp

zatem:

dtp

Przyśpieszenie dośrodkowe: i wreszcie przyśpieszenie całkowite.

v²    c²

r sin <p

Pn

r sin² tp

— ]/ Pt¹ + Pn² = ~

sin³ ?p

to znaczy, że ma kierunek prostej AB.

d

415. Ponieważ kąt t|> = 2<p, zatem: v — r ~

-e-

— 2r —^ — 2r0 = const, dt

= 4r0².

Przyśpieszenie dośrodkowe: p =

Następnie OA = # = 2r cos cp. Stąd więc: ^    = 2f0 sin tp = 0 j/4r² — x

v' = —dt

2.

dvx

w punkcie przecięcia prostopadłych do Promienie chwilowe: rA = 2a; rB = a^3. Z proporcji zaś:

416. Biegun chwilowy 0 leży vA i vB.

wynika: vB =

vA : vB — rA '• rB

417.    a = i 1/3; y = 0,5 m.

418.    Biegun chwilowy w punkcie A. = 0; vB = 20tti/2;

419.    v — 32,4 klm./godz.

420.    Biegun chwilowy w punkcie G.

vA

• rB

rA

= 90j/3 cm./sek.²

vq =■ 407C cm./sek.

v ~ w R — r' vB — 2 ]/2 m./sek.

421. Biegun chwilowy w punkcie O.

s = AAf = 2r cos wynika:

422. Z równości:

oś

= —— = r sin —

dt

cp ety

• <P

c sm •

vB = c cos

<P

ety

Ponieważ kątowi obrotu ety korby odpowiadają równe kąty obrotu —

2

dzideł A i B,

wo-

zatem:

2r

423- Punkt M leży na przedłużeniu prostej AD. Biegun chwilowy wypada w punkcie styczności E. Prędkość punktu M obliczy się z wzoru:

2 Rrb

\/ R² -f- (2r —~ R)*

na pionowej OK i ma prędkość chwi-

424.    Trójkąt ABC zachowa równowagę obojętną wtedy, gdy jego środek ciężkości K posuwa się po prostej poziomej. Krzywemi biegunów są koła Cardana, z których mniejsze przechodzi przez A, J5, D i biegun chwilowy O. Środek ciężkości K wypada Iową v, skierowaną poziomo. Punkt ten wypadnie jednocześnie na poziomej DlsT, pi’zechodzącej przez wierzchołek D kąta prostego MD AT a więc na okręgu mniejszego z kół Cardana.

425.    Biegun chwilowy wypada w punkcie 0. Zgodnie z warunkami zadania powinno być OA= OE=a—z. Z tr-ta COB otrzymuje się równanie:

(« — z)² = b²-\-z<2"i skąd: z == OB = OD =

a² -\-b²

a²— b²

O A = OE —

Wobec tego:

,T

a}/ 2

a² -f-b²

|/a⁴-f-6⁴ — 2 ab(a²— b²)

426. Punkt M leży chwilowego O.

a\/ 2

na

prostopadłej do AB, wyprowadzonej z bieguna

OM . AD

OA

427. Prędkość v ma kierunek prostopadły do promienia chwilowego CO.

oc

OA '

428. Ogniwo CD posiada biegun chwilowy w punkcie 0. Najmniejsza wartość siły D wypadnie wtedy, gdy kierunek jej będzie zgodny z kierunkiem drążka ML i będzie prostopadły do promienia chwilowego OM. Oznaczając przez JV siłę odporową przegubu (7, otrzymamy równości momentów statycznych.    -

P . OM = N . OC, Q . — Sin a = R . AC = R . a. Skąd wypadnie: P =f

l sin a

OC

' OM

. q.

429. Droga ć suwaka _B, przebyta od położenia martwego B się z wzoru:

obliczy

8 — (l + r) — (l

cos

cos

<P)»

skąd przez różniczkowanie otrzymuje się:

d$

V — —r-

dt

dv

c*

r cos

dt l

cp-j-Z cos² c|> cos (9-}-^)

r cos³ p

przyczem należy korzystać z zależności:

dy    c

dt    r ’

r sin cp = l sin p;

-0-

dt,

c cos cp

431.

430. Biegun chwilowy w punkcie O. Z warunku DO A- OC — BOp 4- OA — b — const. wynika, że poloidą i serpoloidą są dwie równe elipsy z ogniskami w punktach D i C, oraz A i B. b² — a²

= V a2 + ł>2 _ ab'

432. Biegun chwilowy w punkcie O. Z warunku OD— OC — OB — — OA = b = ęonst. wynika, że poloidą i serpoloidą są dwie równe hyper-bole, których ogniska leżą w punktach C i D, oraz A i B.

433. Z trójkąta O AB: —

sin tj)

sin (cp -f- tj>)

Różniczkując i podstawiając:

d®

r -A- —

dt

c;

dty

dt

0. otrzymamy:

0 ==

a cos

c cos (cp-J- p) p — r cos (cp -f- p)’

albo po uwżględnieniu równości pierwszej:

c (a cos cp — r) a2_p r2 — 2ar cos cp

0 =

V

Przy cos cp =--wypada 0 = 0;

„    <p — °;

„    t = 180w; »

max

a -f- r

Następnie mając:

AB = x — j/a² -f- r²

dx

dl

- 2ar cos cp, znajdujemy: oc sin cp

j/« ² _|_ r2

f*

434. Różniczkując równość: sin cp = —- i podstawiając: dy    dx

—T" — d; -77 = u, otrzymamy: o = —

(JLZ

2 ar cos cp

x\/x² — r²

435. Biegun chwilowy O wypada w punkcie przecięcia AO i OjB. Dla spółrzędnych x i y tego punktu względem układu osi nieruchomych KG Y mamy zależności:

dt

y x- cotan cp = a — CB\

y cos cp +

sin cp

a = AM\

po wyrugowaniu zmiennego kąta cp, otrzymuje się równanie nieruchomej po-loidy:

x² = a{2y — a).

Jest to parabola z ogniskiem w punkcie B.

Dla spółrzędnych £ i 7] bieguna chwilowego O względem układu osi ruchomych AMG otrzymamy zależności analogiczne:

7} -f- £ cotan cp = a = AM\

7] COS Cp -|-

sin cp

a = GB,

a po wyrugowaniu kąta cp otrzymuje się równanie ruchomej serpoloidy:

£² — a(2sfj — a).

Jest to również parabola z ogniskiem w punkcie A.

Zakładając wreszcie BM = r; CBM = GAM = ']> i obierając punkt M za biegun, otrzymamy:

a sin fj) -Ą-r cos cj; =. a = CB\

skąd wynika równanie biegunowe toru, po którym porusza się punkt M. tan —

-—-    (Strof oida).

a 4- r v    ’

436. Oznaczając: promienie chwilowe: AO = p; BO = p,; <^C BCD — 25; jDO = z, z trójkąta AOG otrzymamy proporcję:

z -f- c

cos

2 , c .—; z trójkąta zaś ABC: — sm o

cos

<P

sin §

Zatem:

c

-; skąd: .z =

T <p “ a)-

Prócz tego: z² = p²-f- a² —- 2ap cos cp. Po wyrugowaniu z wypadnie:

4 a³

(p— a)²

cr² —

Jest to równanie biegunowe poloidy.

Następnie z równości: p = px — oraz z poprzednio wyprowadzonych

równości: z-\-C = (pt —

V

a)-;

a

0 + c)² = pi^-Ą-c²

2cp₁

cos cpj

dla trójkąta OBC po wyrugowaniu z -f- C otrzymuje się równanie biegunowe ruchomej serpoloidy:

2 ac

Pi =

C² —

(C _ a cos cpj.

tl

437. Punkt O jest biegunem chwilowym ogniwa BC i zarazem połączonego z tern ogniwem przegubu D. Prowadząc A G || BD do przecięcia się w punkcie 6r z przedłużeniem DO i przyjmując długość korby AB za wielkość prędkości c przegubu B, widzimy, że odcinek GD jest wtedy miarą prędkości vi przegubu i), ponieważ:

C : V, = AB : GD = BO : DO.

Prowadząc wreszcie HE _]_ KE oraz GH |j DE, otrzymamy odcinek HE, dający miarę prędkości v tłoka, gdyż proste GD i HE przecinają się w biegunie chwilowym 0X (niewidzialnym na rysunku) ogniwa ED, a w takim razie:.

Vt :v = GD : HE = D0l : E0X .

438.    = 0.; t?# — 3 67C |/2 cm./sek.

439.    Przez obrót o kąt 120° dokoła przekątnej EF. i

440.    Za pomocą półobrotu dokoła osi, przechodzącej przez środek kwadratu i równoległej do boku AB.

441.    Przez półobrotu dokoła osi, przechodzącej przez środek trójkąta i równoległej do boku BC.

442.    Ruch śrubowy, którego oś przechodzi przez środkowy punkt sześcianu i jest równoległa do BA'. Przesunięcie postępowe tego ruchu ma długość równą krawędzi sześcianu; kąt obrotu = 90°.

443.    Osią chwilową jest OC. Prędkość Vm środka M koła obliczy się

z wzoru:

2 tu . MK

vM =

Prędkość kątowa względem osi chwilowej:

2%rcos² a T sin a

VM

vm

MD

r cos a

2tc

T tan a

Zatem:

vA — 2vm =

4tcr cos² a

vb — 9 . BD —

2itr

T tan a

y' 1    cos ² a.

T sin a ’

444. Bryła obraca się dokoła punktu O. Jej oś chwilowa jest prostą przecięcia płaszczyzn A0X i BOZ. Oznaczając cosinus’y kątów, jakie tworzą proste O A i OB z osiami spółrzędnych odpowiednio przez: 0, b oraz: a₂, be,, 0, otrzymamy x*ównania płaszczyzn AOX i BOZ:

ajj = brx.

Prócz tego mamy zależności: b^ -f c² — 1; cos 6 — bt . b₂

Po wyi'ugowaniu ze wszystkich tych i-ówności liczb: a₂, b otx*zymuje się równanie powiei'Zchni osi chwilowych:

V = «.,Vi

i wreszcie

b₂ i cx

xiy² -f- t/%² -j- z²x² = y⁴ tan² §. Jest to stożek z wiei’zchołkiem w punkcie 0.

dv

445. Prędkość w kierunku osi: v = r9 tan a. Stąd:    = ry tan a.

446. x = r 0 ć (tan a — tan aj).

448. tan S = ^ = rX(l

Pn w²

at?£ =    , a po scałkowaniu:

0²

Różniczkując to wyrażenie, otozymamy:

447.

(Pi

= const.; v— r%—skąd f = —— = «6²;

(i£

0o

1 — at b₀ '

«0O ²

(l-aQ₀0²'

449. Tarcza III obraca się chwilowo dokoła osi, przechodzącej przez śi*odek ciężkości S trójkąta ABC z prędkością’ kątową = 3 0. Poszukiwane punkty leżą na okręgu koła o średnicy AS.

450. x = -)- 0i; • y= 3(0₁ — 0).

451. Odległości poszukiwanych punktów:

O A = OB —

7 i² -f- «²

0, — 0

ich prędkości:

0! -f- 0

v —    -j- 0j)² — «²0².

sku-

452. Punkt O należy uważać za środek trzech mas 0 pionych w punktach A, B i C. Momenty statyczne tych mas względem O A dają równość:

Stąd wynikają równania:

03 V sin P = 0₂ n sin 7-

03 V

0O n

0, m

sin y

sin a ’

sin p

z których otrzymuje się po rozwiązaniu: 0 sin a

oraz:

0 — 0i + 0₂ 4- 0$ ł

01 =

km

; 0₂ —

0 sin p

0 sin y

hp ¹

gdzie:

sin a

sin

l*CD

sin y

453. Ruch obrotowy z prędkością kątową: 0 = 0₁^/14. Oś tego ruchu tworzy z osiami ruchów składowych kąty a, , a₂ i a₃ , przyczem:

cos a₃ = —

cos

a! =

|/l4

cos a₃ =

]/l4

454. 0² = 0t² + 0.₂² 4- 0₃²; 0» = «0₂0₃ 4- &0A 4- c0t0₂.

|/l4 ’

455. Ruch obrotowy z prędkością kątową 0t . Oś tego ruchu jest rów-

noległa do osi C i odsunięta od niej wlewo na odległość =

456.    0₂ = 0₃ ; 0j — — 0S 2; v = aOH w kierunku prostopadłym do płaszczyzny rysunku i ze zwrotem poza tę płaszczyznę.

457.    Oś śruby pozostanie równoległą do X i będzie umieszczona przed płaszczyzną rysunku w odległości = A- sin <p od tej płaszczyzny. Nowy

ruch śrubowy będzie odbywał się dokoła tej osi z tą samą prędkością kątową 0, oraz z prędkością postępową = v -4- v, cos cp.

458. Nadając obydwom bryłom i płaszczyźnie CD ruch z prędkością

— V, widzimy, że: x — t\

459. Nadać wszystkim trzem statkom ruch dodatkowy z prędkością — wówczas okaże się, że: v.ó = —    -)- I— -|- 1 I *V

(7-    ' Cl    I

460. Prędkość bezwzględną podczas ruchu od d do B, oraz prędkość r₂ od 5 ćo 4 oblicza się z wzorów: yj = c . cos p -f- cos a;

Dołączając do tego zależności: to sin a. = c sin {3; otrzymamy:

v,, = c . cos (3 — w cos a.

= ®i =F »₂«s ,

*(<1 “H V)

2(3;

cos

w —----—:

(3    2t₁ f₂ cos (3

tan a — tan [3

461.    Nadając bryle AJBCD i sankom ruch wstecz z prędkością —v: otrzymamy tylko ruch względny sanek, które przybędą do dna wgłębienia E z prędkością: o,- = V¹ -f- 2u/i₂ = 2'th^ to znaczy, że sanki, zyskawszy taką piv¹kość w punkcie E, będą w stanie dobiedz, aż do szczytu S' wyniosłości większej.

462.    Wybierając oś X w kierunku poziomym, oś 1 w pionowym i początek układu spółrzędnych w punkcie A, otrzymamy dla punktu ruchomego w położeniu zmiennem 77: prędkość względną v1v = \! 2yy^ oraz rzuty prędkości bezwzględnej:

2fj t₂ cos

dx

skąd wypada równanie różniczkowe:

•'y

— c 4- vw . cos a;- vy =    — v1v sin a;

d.v —

dy

\y

|/ 2y . sin a

po scałkowaniu zaś rówrianie toru bezwzględnego:

-)- cotan a. . dy;

2<9y

(x sin a. — y cos

Jest to parabola z osią pionową. Styczna do niej w punkcie A ma kierunek poziomy.

Prędkość bezwzględna, po podstawieniu y — h wypadnie v2 — c2 _j_ 2gli —j— 2c |/2yk . cos a. t Tworzy ona z kierunkiem poziomym kąt a, , przyczem:

z wzoru.

cotan a, — — = cotan a -j-

463. Torem jest cykloida, wynikająca z toczenia się koła o pewnem promieniu p po prostej w kierunku prędkości u. Punkt styczności koła z tą

określa

|/2yk . sin a

prostą jest biegunem chwilowym, przyczem z warunku: v — p się promień koła, tworzącego eykloidę:    p =

464. Rzuty pi’zyśpieszenia względnego:

c²

dv

COS

wx

c²

dvivy

po scałkowaniu otrzymuje się rzuty prędkości względnej:

vwx = pt 4- c sin cp ==

dx

dy

Całkując zaś ponownie i podstawiając:

dcp

=--cp, otrzymamy:

rl ęp2 2e2 Y

i wreszcie po wyrugowania zmiennej cp wypada równanie toru względnego:

dt’

x =■ ^pt² — r cos cp =

r cos

cp; y = r sin cp

arc sin —

j/r² — y².

pr²

x = •— .

2c²

465. Równanie toru bezwzględnego:

gdzie r — promień wodzący.

? = 2r ~f- ]/4r² —: a²,

Prędkość względna przy wylocie z rurki:

vn, =

a0 /—

T |/3-

ad

vb =

Prędkość bezwzględna:

466.    Prostą poziomą.

467.    Krzywą biegunów chwilowych dla krążka jest spółśrodkowe z nim

V

koło o promieniu r = linja biegunów dla tablicy jest prosta równoległa

17    ,    '■

odległość od środka krążka.

do pi-ędkości v w

468. Dla punktu A prędkości: bezwzględna vb , względna vn i unosząca vu związane są l-ównością: vb = vw -(- vu ,

a ponieważ: vb = ąd₂ ; vu — adj ;    0₉ = 20,

zatem: v^== vb — vu — ft0, i skierowana jest pi*ostopadle do 0,0₂ na dół.

Pi-zyśpieszenia: bezwzględne pb , względne pw, unoszące pu i dodatkowe (przyśpieszenie Corioliss’a) pc związane są równością:

Pb —■ pw + Pu + Pc •

Z tych:    pb    =    a0₂²    w    kieninku AOz

Pu    =    «8,⁸    »

Pc    —    2x7w0,    „

Zatem:

P,v — pb — Pu — Pc , albo liczebnie: pw = a0₂a -f- a0₁³4-2«0₁² = 7a0,² i ma kieninek ,A0₃ . 469. W równaniu prędkości: ?7fc = vw -f- mamy:

«0

2 TC

w kieninku ,41?.

= (C0 j/2

pi-ostopadłym do 0.4,

Przez dodanie geometi*yczne tych wielkości wypada,

a0 /—₅----

vb — —— y8]r² -|- 4tc -f- 1;

2 TC

tan <p = 4 71 -f- 1.

W równaniu dla przyśpieszeń: pb ~ pn pu pc mamy: pw = 0 (ruch jednostajny)

= a6² ]/ 2 w kierunku A 0 Pc — 2t’w6

Po podstawieniu wypadnie:

a6‘2 -

— p27C² -f- 27C -f- 1; cotan tp = 2^r —|— 1.

7C

470. Należy zastosować układ osi spółrzędnych XYZ. Prędkość względna obliczy się z wzoru wektorowego: vw — vb —- vu .

Rzuty jej na kierunki osi spółrzędnych będą:

- -i    v

Pb =

Pu

AC.

vwx = — a6; vwy = a6 -j-

|/ 2

rvz —

/2

c.

Przyśpieszenie względne obliczy się z równości: \ vb =    -}- pM -f- p

pc = 26vw = 26 j/y Pb = 0-

w której:

W*

Bzuty przyśpieszenia pw wypadną z wzorów:

471. Qx =

iPnu; - “    6y    Pwy - - (l6^;    - 0*

d*y ni -rPr

dzx

m -----

<R²

d<²

981

kg.

472.    =

rn

d².zr

cLt²

GO

. 8tc²x kg.;

981

. 8tc²t/ kg.

473. Siła, nadająca ruch, określa się wzorem:

d²x

m —-—~~

di²

= 980e~~²*, gdzie P =, 980 dyn.

dar

Prędkość v === —— dt

= 490(1    «“²0-

Bugując z tych równań zmienną otrzymamy: jR = 2v.

475.    50 dyn. ~ 0,051 gr.

474- Q = 0,2 kg.

476.    Siła, nadająca ruch:

Stąd wypadnie: T = 318 kg.

477.    P = —

5tc²

. gr.; Pmax -—

d²s

dt²

507C²

po

478. Bównanie ruchu pociągu:

m --di

scałkowaniu:

dv

— P — a — />r;

dt —

skąd:

— 4“ l°g (« — bv) -j~ C 0

widi?

zak^dając dla t = 0; v — v₀ ,

— K.

— Au

m , a t = ~r log — 6    a

479. Oznaczając przez x równanie dynamiczne ruchu:

otrzymamy:

P = PQe~ m .

ienną odległość od środka m, otrzymamy

skąd:

bt

mp —

mmi

(a —- xy

(a -f- #)²’

Ponieważ zaś:

dv

dx

oraz:    u

dt'

zatem:

udu = pda? =

#)²

da?.

Skąd po scałkowaniu i uwzględnieniu warunków początkowych wypadnie:

4/w^³

a{a² — .u²) ’

u³ = u₀² -f-

po podstawieniu zaś wartości x = -

2

4m,

O² = v + 3a

480.    = 3.

481. T =

^rcp

; T, == 127,2 dyn.

482. Równanie toru:

prędkość:

\ uo/

y — b cos

u² = u₀² -f* ó²A:² sin² (kt).

Droga przecina oś X nieskończoną ilość razy w odstępach czasu:

3rc 5tc

2k¹ 2jfc’    2 k

—7- i t. d.

Najdalsza odległość od osi X zachodzi w czasie:

= °; Xi T-*

2tz 3ir

— i t. d.

k

'i —

przez m, otrzymamy równania różniczkowe dla pręd-

483. Oznaczając kości i przyśpieszenia:

u² = c²

Po podstawieniu zaś: r = 2a cos cp wypadnie:

8 a²c2 u⁵

Z równania dla prędkości (patrz zad. poprzednie):

r⁺(⁻S

p = + C²?i²

, d²w

“ ⁺ Ud ■

484.

2ac

U³ = C²

przy uwzględnieniu zależności:

r³ = a² — ó² + 2tb

cos Cp

i wyznaczeniu c z warunków początkowych wypadnie:

2 a(a -4- f>)

^ — b² $2 ’    *    ® o, — ó

485. Z równań prędkości i przyśpieszenia, jak w zad. 483 po podsta-gdzie a oznacza połowę parametni paraboli, wy-

wieniu: » r = 2a

padnie:

V = v₀

cos cp sin² cp’

P 4«⁵ '

sin⁴ cp

ci -f- b

cos⁵ cp

486. Z równań prędkości i przyśpieszenia, jak w zad. 483, otrzymamy:

ro² V

**<^0

^•3

487. Długość drogi, jaką woda przebywa z każdej strony dachu, określa się wzorem:

- — v₀1 -f-Ig sin cp . t².

2 cos cp

Różniczkując ten wzór i przyrównywując: zmienną £, poczem wypadnie równanie:

dt

ticp

— = Ó, należy wyrugować

4«o²

(1 — tan² cp)² =

z którego może być znaleziony kąt cp.

Z trójkąta ABC wrynika proporcja:

488.

sin

ag

tan cp,

<P

Równanie ruchu wzdłuż AB:

AB —cos cp — x cos (a -f- cp) = ^ gt* sin cp.

Przyrównywując -— = 0 i rugując t i x, otrzymamy: cpOT = 90 —    ,

dcp

to i a

co oznacza, że: x = a.

4a sin a cos a sin ((3 — a) cos² [3

490. Torem ruchu jest x*ozwijalna koła. Ponieważ działa tylko siła do-

489. x

środkowa napięcia nici, zatem:

dv

dt

== 0.

Nieskończenie mały odcinek ds drogi przebytej wyraża się

wzorem:

Skąd po scałkowaniu wypadnie:

ds — pdcp = (l — rcp)dcp.

12

-r- = Ti v

l²

2rv₀

491. Prędkość w położeniu M, gdzie ciśnienie między punktem ruchomym a jego torem jest równe zeru, wynosi:    = |/2g(x — r Ą-r cos cp).

Z prędkością tą rozpoczyna się rzut ukośny od punktu M ku środkowi O koła. Z równań tego rzutu wypadnie:

2r

x = r(r 4- \ ]/3);

cos cp — —

— 492 Oznaczając: Am — x\ Bin = r; Cm = a — Xj <^C BmC — cpr otrzymamy rzut siły wypadkowej na kierunek AC:

P =— fc# -f- & (a — r) -f- kr cos

Zatem:

tsh*

a ponieważ: a — X

Równanie różniczkowe ruchu:

a -f- r cos cp.

P = -|&(a — 2x)..

vdv

— pdx =. -— dx = m

co cq

(a — 2x)dx,

a po scałkowaniu:

ax — x².

Przyjmując na początku ruchu: x -—= 0; v — 0, oraz podstawiając dx

dt

= ——, otrzymamy nowe równanie różniczkowe:

dx

a po scałkowaniu:

|/ ax — x²

j/sS

dx

i/fi

. arc sin

2x

j/ar — x²

Po uwzględnieniu zaś warunków początkowych: t — 0; x = 0 wypadnie:

. a — — arc sin---

arc cos

a — 2x

. Zakładając w ostatniej chwili ruchu: X = a, dostaniemy:

/ rn

⁷¹ \ u

493. Promień wodzący r = 2a sin łuk elementarny, przebiegany

po okręgu: ds = ady. Równanie różniczkowe ruchu:

rdv = pi di — k²r cos . ad(f = -(t-k² sin rpdrp;

= kr.

Siła odporowa:

3 mk²r²

494.

Punkt M, którego spółrzędne są OA i OB porusza się jednocześnie z punktami A i B w kierunku punktu 0. Rzuty przyśpieszenia punktu M na kierunki OX i OY

są:

Vx =

cos

Vy = —

k

V² 9in *■

Przyśpieszenie całkowite w kierunku MO:

Tc

P = 7J-

v = v₀

ds

Po podstawieniu zaś v —    — wypadnie nowe lównanie różniczkowe:

UAf

ds = V₀ba — ldt.

Po scałkowaniu i uwzględnieniu warunków początkowych: t = 0; 5 = 0, otrzymamy:

av₀t

~ir + 1

Po 'zróżniczkowaniu zaś tego równania względem czasu t:

1 — a

V — v₀

Skąd:

o, ponieważ:

dr

dV

zatem:

]/2k . dt =. —

j/r* . dr

r

Podstawiając - = X, otrzymamy:

ro

⁰    \/r . dr

|/ 2 k . t — —

*Jr₀

— 2 r₀ab ^ -

x²dx

j/l — x²

ro

Skąd ostatecznie;

495. Równanie różniczkowe ruchu:

(a — l)v²

dv

. de; skąd: - =

V

Po scałkowaniu i uwzględnieniu warunków początkowych: v = v₀; 5 = 0, otrzymuje się:

vdv — pds = —

(a — l)<i!5 b -f- s

Równanie różniczkowe ruchu dla punktu M:

k

vdv = pds = — . (— dr).

23l‘ + i

--2

tego:

a — 1    ,

b~ ”» •

av„t

li ⁺ 1

496. Opóźnienie ruchu określa się wzorem: p = kv². Oznaczając prócz

■\ / g

1/    - = a, otrzymamy wzory:

t’o COS

a

* -as in ii

a cos

at

gt’

arctan

s — — • log —

9    \ a

Czas wznoszenia się: T = ——

Wysokość wznoszenia się:

) =    1 log Ł±**

I    g -h kv

-/?)•

.1 log g±*ł!. 2Jc ⁸

oznacza

stały czynnik proporcjonalności dla

opóźnienia: p = Tc\v.

498, < = 4- loS

\ K

V0

v₀ — &a '

499. Odcinek liny BC=s — l— x przybiera kształt linji łańcuchowej z wierzchołkiem w punkcie C. Na zasadzie własności tej krzywej otrzymuje się szereg równań:

y² = c² -j- s²; c — puc; y = h c,

w których c oznacza parametr, y—rzędną punktu końcowego B.

Stąd odnajduje się: X — l -}-    — \/2\ifil -f- ji²/t² -f~ h². Opór po

wietrza daje opóźnienie px = Tcv²; opóźnienie zaś wskutek tarcia:

4" ^

⁼ * -Q + Tq

, gdzie q — oznacza ciężar jednostki długości liny:

Opóźnienie całkowite balonu:

V = — (^² 4- p₂)-

Z wiadomego opóźnienia, podobnie jak w zad. 49'6 otrzymuje się drogę przebytą do chwili zatrzymania:

V log (l 4- —

2k

oraz czas, w ciągu którego zostaje przebyta ta droga:

1

—arctan

\Zjcpt

vo

Tc

V<i

wynosi:

500. Przyśpieszenie ogólne skierowane na dół, wzdłuż pionowej osi Y

dvy

Py = — g — Tcv sin <p' = — (g Jcvy ) —

dt

Stąd: dt = _

czątkowych:

dvy

9 4- kvy ¹

po scałkowaniu i uwzględnieniu warunków po-

1    g -j- Tcv₀ sin a

T 1<>g g -f- hoy ‘

W najwyższym punkcie drogi: vy = 0; zatem czas wznoszenia się: 1    Tc

~Y loS C¹ 4~ — sin a).

501. Punkt ruchomy opuszcza równię AB z prędkością:

rj² = vQ² — 2ag (sin a -f- cos a).

- sin 2a; stąd: V.² =

9

sin 2a

Wobec tego prędkość początkowa w położeniu A:

-|- 2ag (sin a -f- p, cos a).

Ł’₀² =

bg

sin 2a

Prędkość v₂ na końcu równi CD:

vt² = vt² — 2ag (sin a -

p. cos a) —

h9

sin 2a

502. Całkowite opóźnienie ruchu na równi jest:

— 2ag (sin a — p. cos a).

dv

p = — #(sin a -f- !J- cos a) — av2 = — (& -f- av²) = —

dt

skąd:

dt = -—

dc

Po scałkowaniu:

Je -f- w²

, gdzie k — g(sin a -j- p. cos a).

\/ ak

aretan

("•P ■)

— arc tan

Zakładając zaś r = 0 w końcu ruchu, otrzymamy:

(•Pt)}

aretan

(-PP

Następnie z równania różniczkowego ruchu:

= — (Je -f- av²)d* wypada: ds = —

vdv

k -f- rt W²’

X: -f- a«₀²

a po scałkowaniu: .s

W końcu ruchu: t? = 0, zatem całkowita droga przebyta:

log

Je ar²

log ^    ®o²)-

503. W położeniu iii, odpowiadającym kątowi cp, siła odporowa JV wyraża się wzorem:

O? Cr.

r0²,

gdzie 6 oznacza prędkość kątową. Przyśpieszenie styczne wyrazi „,ię wzorem:

dh

gdzie m — -— masa punktu ruchomego. Przyśpieszenie kątowe:

dh

T= *

= p.0² —

-i

(sin cp

p. cos cp).

Prócz tego:

0d0 = Y^cp — [p.0²

— (sin cp — p, r

cos

Skąd po scalkowaniu:

“!J/ł

Q- = 64

4~

[3|j. sin z -f- cos cp\ (1 — 2a-)].

iNa, początku ruchu:

zatem:    C = -—

W takim razie:

; ⁽> = Q;

_ ⁶ !x /7___

K i + -lu.²)

6² =

2.d

[3|j, sin (p 4* cos' cp (1 — 2|X²)

r(l 4“ 4ij²)

Zakładając cp = O dla punktu B, otrzymamy:

2 ar

3[ie

p(2tp —TT)

]•

1 4-

(1 •— 2|x² -— 3 u e

— ;j.7t

)•

504.    p = 180 cm./sek.²

505.    Z równań: 6 = ^ pt~; u = pi; P = rnp —

Q/>.

Qp i

Wypadnie:

= 49680 kg.;

Qv²

2nst

it = mp, = —

9

9

t — — — 0,007 sek.;

2ys

li =

506.    v — 3,96 m./sek.

507.    Z równania v = pi- obliczy się przyśpieszenie p =

= 993500 kg.

( f

, a wtedy:

P = mp 4- P =

Qv

4- 0,005 Q = 5981 kg.

508. Z równań: v = pt\ s — V pi²;

Q

P =    = o.i 4* Q sin *; m —

wypadnie: s = 50 m.: i = około 10 sek.

509. Z równali:

/)(2: /'gA + IF =

•S

Q,P

mp = — •

'wypadnie: _P = około 8679 kg.

510. Przyśpieszenie względne w kierunku równi pochyłej jest: pw = 9 (sin a

Prędkość względna:

a cos a),

r„. = g (sin a — |J. cos a)i.

Obierając, układ osi spółrzędnych, jak wskazuje rys. 412, otrzymamy rzuty prędkości bezwzględnej:

(Lr

= pi 4- r)Ł, cos a,

l'by

dy

dt

= vw sin a.

Mechanika (Rozwiązania). 4

: ^ [p    g cos a (sin a — fj, cos a)]i²

y = ^ g sin a (sin a — pi cos a)t².

Stąd równanie toru bezwzględnego:

X = y cotan a -f-

<7 sin a(sin a — [x cos a)

Jest to prosta, przechodząca przez punkt A. Przyśpieszenie bezwzględne (z trójkąta wektorów):

cos a.

Prędkość zaś bezwzględna na poziomie _E>GT:

v.= pb

2&

g sin a(sin a — [i cos a)

gdzie h wysokość równi.

511. Przyśpieszenie bezwzględne pb jest sumą geometryczną:

Pb = Pw i- Pu -h Pc ,

w której: pb —

: jeżeli nie uwzględnia się ciśnienia, pochodzącego od

ciężaru kulki; pu — p6² — przyśpieszenie unoszące wzdłuż promienia wodzącego p.

pc = 2vm . 0—piszyśpieszenie dodatkowe (Corioliss’a), skierowane wzdłuż promienia MC.

Składowa styczna przyśpieszenia względnego:    ;

w

rut =    — p0² sin «p-

Składowa normalna tegoż przyśpieszenia:

vm²

Pwn —

r

— 2vn,d — p0² cos cp.

Prócz tego:

vw . dvm — p1uł . dr, p = 2r cos cp; ds = — r . Stąd dla położenia pierwotnego M₀ otrzymuje się:

vw = r6 j/2

cp = 0; vm — r6 j/2.

cos

2cp;

dla położenia zaś Alp W tern położeniu prędkość unosząca:

vu = 2rQ;

vw + vu = r®(² + ł/2).

Zatem prędkość bezwzględna: vb Z wzoru zaś na pmn otrzymuje się siła odporowa:

N = 2mr 6-²(3 cos² cp — 1 -j- j/2

cos

2cp).

W położeniu przy cos cp = 1 wypadnie:

= 2mrG²(2 -j- j/2).

512. Przyśpieszenie bezwzględne jest sumą:

Pb — Pm + Pu 4“ Pc

Przyśpieszenie pb składa się z przyśpieszenia ciężkości g i przyśpiesza-

nia -, wywołanego siłą odporową.

Ot

ir

Oi = log y 4-

i wreszcie równanie toru względnego:

= 63/ + A o² -fd²⁰²-

h?

Zakładając: cp = 6i, otrzymamy rzut toru bezwzględnego na płaszczyznę poziomą, wyrażony równaniem biegunowem, przyczem promień wodzący r=y:

vQeP = 6y + ]/v² + 3/²6².

Dalej prędkość względna:

Prędkość bezwzględna:

v²n = v²wx-\-v*wy — v₀² -f- g²t² -f 3/²8².

v²b = v²w v²u — v₀² 4- g²t² 4* 23/2 6². I wreszcie siła odporowa:

dy

Przyśpieszenie unoszące: pu = y6² dośrodkowe.

Przyśpieszenie Corioliss’a: pc = 2v' n 6 prostopadłe do płaszczyzny ruchomej, przyczem v'w = ^ czyznę poziomą. Wobec tego:

dy

oznacza'rzut prędkości względnej vw na płasz-

pc = 26

dy

dt ’

Stąd wynikają równania ruchu względnego w płaszczyźnie XOY:

dVjyy

dvwx

d²x

= 91

d2y

dt    dt²

= 3/62.

Po scałkowaniu i uwzględnieniu warunków początkowych wypadnie: 'bwx —    vwy dvWy —- yb²dy,    —

dx

dy

= i/V+y2Q9-

Dalej otrzymamy:

x =    di =

dy

l/V -hd²⁶²

N = mpc — 2m6    = 2m6 j/u₀² 4- d²⁰²-

513. Przyśpieszenie bezwzględne jest sumą:

Pb — Pw 4- Pu 4- Pc •

Przyśpieszenie składa się z 3 przyśpieszeń, wynikających z siły ciężkości, oraz z sił T i N.

Przyśpieszenie unoszące: pu == yb² w kierunku Y.

Przyśpieszenie Coriolissa: pc = 2v'n)b prostopadłe do płaszczyzny XOY, przyczem t’4 = vw cos cp oznacza rzut prędkości wahadła na kieimnek Y.

Stąd więc: pc =

= 2vnQ cos cp.

Składowa styczna przyśpieszenia względnego:

dvw

Pn,i = ~sr

d² cp

dt²

= l sin cp cos cp . 6²— g sin cp.

Po pomnożeniu przez dip i scałkowaniu wypada:

/ 7    \2    /    \2

6² sin² cp -f-

dcp \²

ca

dt

cos

Stałą C wyznacza się z warunków początkowych:

Zatem poszukiwana prędkość wahadła: v²n) = Z²0² sin²cp-)-2ql cos oi⁻az ciśnienie na płaszczyznę:

?+CP,

e?

iV = 2mbvw cos

cp.

Składowa normalna przyśpieszenia względnego:

' T

— I 0² sih²

cp — g cos cp.

Stąd można obliczyć naprężenie nici:

T = m (2 l 6² sin² cp —f— 3^r cos

514. Równanie pracy: Pb = iV . 75.

Tl dn

cp -j- Cl).

Prędkość na

obwodzie walca: u =

60 ’

stąd:

75iY . 60

Tzdn

= 28,64 kg.

515.    300 H.P.

516- Równanie pracy:

26 . 75 =

'0 •

19656000 . 36 . 60’

7 . 24 .

; stąd: .7] = 0,6.

517- Z równania pracy:

10 . 75 ='Q . 1000 . 4 . 518. Z równania pracy:

I E =

.5940 . 25

10 . 27

20

50

100 ’

; wynika: Q = 0,375 m³/sek.

= 20,25 kgmt./sek.

519.

60

= .0,8 .15 . 75 Tj . 30 . 75;

stąd: yj = 0,7.

520. O⁷ . —

12,5 . 1850 60 . 60

6000 . 75;

stąd W = 70,05 tn.

521. Równanie energji: mvu ²

Ol

wir²

2 - — P • *; droga: s = r₀£ — ip ,

opór szkodliwy: P = wij?; masa pociągu: m

l = 235 sek.

Stąd wypadnie: X == 9011200 kgmt.; 522.    4 H.P.

524.

523.    7744000 H.P.

45 . 10 . ‘1000 . 0,02 . 12 . 1000

60 . 60

= 75N] stąd N = 400 H.P.'

525.    34 godz. 43 min. 20 sek.

2 . 1500 . 1000 . 9

526. N =

10 . 60 . 60 . 75 527- X = Q(sin 30° -j- *4

cos

10 H.P.

30°) . s == 6(10 -)- 0,1^3) kgmt.

528. IU = 20 tn.

530.    1000 . Q . 1,8 .

14400 .

531.

co o

pF . 2 s . n

rj 60 . 7 5 ”

B = 45'. 75; stąd: Q = 3,125 m.* . 24 . 0,75

529. N =

= 14,4 H.P.

— 2,88 II.P.

60 . 60 . 75 800 . (40 + ₇,V • 30000)

. 00 . 60 .75

533. Niezbędna moc E samochodu w pierwszym i drugim przypadku wyraża się odpowiednio wzorami:

E — (sin    cos a.)Qv — l(Q. + Q,)u.

sin a

532.    0,6 N =

stąd N = 1,05 II.P,

Stąd obliczy się:

Q, = Q

F cos a — 1 I.

534. Moc, niezbędna do poruszania mechanizmu zegara:

'0,8 ■ 1,2 ' , , , , .

kgmt./sek.

24 .• 60 . 60

srromnr.

Moc, niezbędna do nakręcania zegara:

4- . 0,3 . 1,2 '

30

=. 0,016 kgmt./sek.

535.    31,7 min.

536.    Moc stracona = 2 II.P.; spólcz. wyd. 7] = 0,8.

537.    Z .równania prędkości:

2izb)i₂

¹ ~ 60 ‘

otrzymuje się: 11₀ = 13,687 obr./min.

poczem:

nl — — n₂ — 68,435

TC

Moc silnika: N =

'TT I

■V

Unoszony ciężar:

60 . 75 N . 75 .

= 51,57 II.P.

= 12592 kg.

538. x =

539. Q =

(600 . 1500) . 2 10 . 60 . 60 80 . 75 . 0,8 . 60

to

= 25 robotników.

= 288 tn.

540.    5000 . 1000 . 3■ = 2 . 75 . 0,8 . f;

f~ /    \    skąd czas: t = 34 godz. 43 min.

541. s /Aby prędkość i energja kinetyczna były niezmienne, suma prac, 'Nu»«u*ych przez siły Q i P za każdym obrotem koła, powinna być równą zeru: stąd otrzymuje się:

TC / Ii    r \

2 ( QV + i'-‘A Tj

= 127,7 kg.; Tj = 0,98.

542. - Siła obwodowa, pokonywana za pomocą tarcia między taśmą a kołem, jest: T — Q — jP.

TidnT 60 . 75

= około 0,15 H.P.

Moc silnika: A —

543. Moment statyczny siły tarcia na obwodzie koła równoważy się momentem ciężaru P, zatem moc silnika:

P . I . 2tlii 60 . 75

Siła obwodowa na kole: P = Ty — P₂; Ty = 2P₂;

Moc tego koła:

545. Praca niezbędna do podniesienia środka ciężkości bryły na największą wysokość względem krawędzi D jest:

= 0,167C = około 0,5 H.P.

544.

Pizdn

60 . 75 ’

; stąd: T± = 382 kg.; P₂ = 191 kg.

L = P . (£j/aa H- b² — £a) = 4000 kgmt. 546. P = -jj Q tan (a -f- p) = 2,

•CD

kg.; tan a =

2 7er

Praca siły _P:

„ tarcia:

Ly = -f- 429 kgmt.

P₂ = — 200 „

X₃ =

229

Spółczynnnik sprawności: 7] = -547. Największa siła obwodowa:

200

429

= 0,47.

P — Ty - — Ty~

> !X7C

L ₌ 73,1 kg.

Prędkość obwodowa: v ==

2tzRti

60

= 2,09 m./sek.

Największa moc koła:

Pn

75

= 2,04 H.P.

Moc, zużyta na tarcia czopowe: _ZV/ —

\LyNrv

75P

= 0,07 H.P.

548. N — W . v = 0,05 Q .

Tidri

60 . 75’

' %dHq

; gdzie y

Wypadnie: N = 10,2 H.P.

0,3 . 40 . 10 . 2 . 1,2

549. E =

= 4,8 kgmt./sek.

550. x . e . 0,9 =

; skąd: X = 6 robotników.

551.

h =

Na drodze

Na drodze czas:

3 SyQ

75 . N

(sin a.y Ą- k cos dy) = 403,4 sek.

t₂ =

S2

3s₂ Q

(sin a₂ -\- k cos a₂) = 633,1    „

75 . N

Razem: t = ty -f- t₂ = 17 min. 16 sek.

552.    8 kg.; i. H.P.

553.    iV — J H.P.; Vy — 0,05 m. sek.; sin a = \\ a

V2

554. W położeniu, przedstawionem na rys. 425, napięcia końców liny wyrażają się wzorami:

₁    (sin a k cos

₂    (sin a — k cos

Jeżeli P jest silą obwodową koła, w takim razie z warunku momentów

T —

-*•2 -

<o<o

-f- qx sin a.

statycznych wypadnie:

P 4- Pi — Ti 11 -f-

-f 14    ^ g(lzie N — P 4- T1 + rĄ-

Zakładając: P—A—Px i uwzględniając wzory na Tx i X₂, dostaniemy:

— . (Q, — Q₂)(sin a -4 M

'    /u

cos a) -f-

sin a) -f-

Qj (sin a -)- A: cos a) -J-

/    r 2£

+ ^ sin a 11 + lL₁ — 4- -^-

B = 2q sin a

1 4- -77

ii:

Pracę L obliczymy z wzoru:

5*

$

555. Równowaga nastąpi, gdy P = 0, albo: v =    . Praca X odpo

wiada zmianie energji kinetycznej:

mv² niv₀²

556. Praca całkowita:

6²

P . ds .

cos

tp; prócz tego:

Q sin c{j = P cos cp;

oraz:

— . 2cp;

p= Q

stąd znajdujemy: a ponieważ ds = rdty — 2rdyi zatem:

cos

2cp

cos Cp

?l7l

) K

2 Qr cos 2cp . dtD — Qr.

557. X = A

558. Praca wyraża się wzorem: X = ^ P . ds . cos cp. Siła przycią-k

gająca P —    gdzie k— czynnik stały: r = 2a cos c|g luk elementar

ny: ds =. cid{2Ąi) = 2ad^>; prócz tego: cp = 90 — <j>. Po podstawieniu tych wartości we wzorze na pracę wypadnie:

Ł{

2ci Jo

sin cli cos³ cjj

d cp =

k

--— (l/2 — 2 a yy

!)•

559. W układzie osi spółrzędnych. wskazanych

Ib — IX 4“ ly —

na

rys. 429, będzie:

bh

b>-

h² 4-

4 '    '12

560. h =

• U³ +

a³

12/*

Ot

12

(3/4 4. 3C2

«²).

562. h =

563. x —

li² — r²

]/ R²r²or

-|(7/⁴ — r⁴)(7/² — r²) — r’²u

564. Jeżeli /^ oznacza biegunowy moment bezwładności względem punktu środkowego M na luku, 7(| t.akiż moment względem środka ciężkości S luku, oraz /₁ moment względem środka O. kola, wówczas, mając na względzie, że: r sin a.

,r =

/, =

X = 2ra — długości luku, otrzymamy: ‘Stąd wypadnie: 1 b — 2r²h j 1 —-

sin a

565.    /

(5X + /4);    («² 4- 56*),

566. Mom. bezwład, elementu c/c o masie u7c w odległości s od końca M. sztaby jest: p.c/c . (z sin a)². Moment całej sztaby:

z²dż =± |m/² sin³ a, gdzie: ji7 —

567. Z momentów elementarnych odcinków dz o masie \iAz w odległo-

x²[ idz.

I — u sin²

rn.

ści Vr od osi A wynika moment bezwładu, całej sztaby:

Z trójkątów MAK i BAK otrzymujemy zależności:

x² — a² 4- ~² — 2ac cos [3; /c² = cc² -)- ./² -— 2cc/ cos [3. Rugując cos [3 i wyrażając x przez T. 6trzyńiamy_ po scal kowaniu w granicach dla 2 od 0 do /:

T= ₍    (3cc² 4-3/4

/².

568.    7 = ^dcc/>c(cc² -j- /X).

569.    Podzielić bryłę na cienkie warstwy równolegle do podstaw.

rn

cc³( 1 4* 3 cotan² —); II =' ^I₀ 4~ y-^rnl².

570. Podzielić ostrosłup na cienkie warstwy równolegle do podstawy.

'    Ytl    ,    .

Wypadnie /„ — —■ (a² 4- h²).

Znaleźć najpierw mom. bezwladn. względem osi. przechodzącej przez środek podstawy ostrosłupa równolegle do boku cc, następnie względem osi równoległej do niej i przechodzącej przez środek masy ostrosłupa.

Otrzymuje się wtedy Ix    (46²-f-3/i²).

24

4=^( 3b²+h²y, 2, =

20

(ÓS -f 12/i²).

Podzielić stożek na cienkie warstwy równolegle do podstawy. Jeżeli x jest promieniem warstwy, z jej odległością od wierzchołka, dz — grubością, wówczas mom. bezwład, względem osi geom. stożka jest:

[I7zxidz; - a ponieważ: z —

zatem: l^ — ^\nzhi'⁴: wstawiając zaś rn = ip,7cr²/i, otrzymamy: Tl=^mr².

Mom. bezwładn. tych samych warstw względem osi, przechodzącej przez środek masy stożka prostopadle do jego osi geometrycznej, jest:

d T₀ '= \)XKXAdz,

względem zaś osi równoległej, przechodzącej- przez wierzchołek stożka: dl., = dI₀-Ą-dm . z²; przyczem: dm = [XTi.v² dz.

Po scal kowaniu wypadnie:

571.

dl

[Ol —

h .

; dz z= — dx\

4 — sl^/p'²

ri

-r-h/*²

4

= I™

bryły:

Z równości zaś: I, — I₀ -\-m(^Ji)² wynika: I₀ = m *\r² -j- — J. 572. Najpierw należy znaleźć mom. bezwł. względem osi geometrycznej

]/2

\y.a⁵.

Tej samej wielkości moment wypadnie względem wszelkich innych osi, przechodzących przez środek masy czworościanu i równoległych do krawę-

a

Odległość każdej z takich osi od krawędzi a wynosi e =

2j/2

dzi d.

Masa czworościanu:

\m²

240

Zatem poszukiwany moment bezwładności: 7|/2

[Jia⁵.

. 480

573. Podzielić boczną powierzchnię stożka na cienkie pierścienie o wy-

pl AŁr.

K — r

sokości dx. Mom. bezwł. każdego takiego pierścienia jest:

gdzie n — gęstość, 1—długość tworzącej stożka, nej: m

Masa na powierzchni bocz-

== TCpi(_ft-f-r). Poszukiwany moment bezwładności:

toi §

(i2²'+r²).

574.    Albo bezpośrednio, albo też z momentu bezwdadn. kuli pełnej -yb;j.7IT⁵ można otrzymać moment poszukiwany, różniczkując względem r i podstaw iając: m = [x4jrr,² dr. Wypadnie: I — nir².

mom. bezwładu. powierzchni półkuli wynosi | mr² i stanowi połowę momentu całej powierzchni (patrz zadanie poprzednie). Elipsoidą bezwładności jest więc kula.

575.    Względem każdej osi, przechodzącej przez środek kuli

576. Podzielić stożek na cienkie wai*stwy równoległe do podstaw. Mom. bezwład, każdej takiej warstwy: dl =

[J.7C ll

[17ih

xidx\

masa

2 (R — r)

jej: dm — ~~—- x²dx, gdzie jj. oznacza gęstość, h—wysokość stoż-

ka, x—promień warstwy.

Moment całkowity: I = T³Tm —

\ma²

578. Jeżeli X i y są spółrzędnymi punktu na południku względem osi równoległych do a i b i przecinających się w środku elipsy i jeżeli przez punkt ten przechodzi jedna z warstw elementarnych, na które elipsoida podzielona jest płaszczyznami prostopadłemi do osi 2a, wówczas masa tej warstwy: dm •=. |JU7iy² dx\ mom. bezwładn. dl = zy⁴dx. Prócz tego z rów-

R'> — r⁵

577. I

R* — r³ '

względem osi obrotowej I — 7₃ = ^m(a² -f- 3/i²).

a Cr-

|{JL7:«Ó²; l = \mb².

nania elipsy: y² — - — (a²-— a;²). Stąd wypadnie:

579. Pierwotny mom. bezwładn. pierścienia: I = ^ jj. 7r a (R* — r⁴); moment powiększony: I₁ — \ jr 7C a{Rx ⁴ — r⁴) = 2 l — p,7za(Ri — r⁴).

Stąd: Tslj =• ]/27iJ⁴ — r⁴.

580. Jeżeli /₁₅ Z₂, /₃ oznaczają główne momenty bezwładności pier-ścienia względem osi, przechodzących przez jego środek, w takim razie: 1₁= ma² (względem osi prostopadłej do płaszczyzny pierścienia); I₂ = 1%= = \ma² (względem osi, leżących w płaszczyźnie pierścienia). Moment poszukiwany obliczy się z wzoru:

I = Ix sin²

a + I₂ cos² a =

ma²

(M

581. Moment bezwładn. pierścienia: I

Tida

(1 -f- sin² a). % da

[fi* - (fi - i)*];

piasty:    7₂ =

ramion:

7c§

2^

(^⁴— ^⁴);

2 .{3p²(i2 _ b — rt) + Ą(R — 6)3 — V]}.    ,

(Jeżeli jednostką siły jest

2g ’ P

Moment ogólny: 7 = lx + 7₃-f-7₃ = 2832,2. 1 Kg., a jednostką długości 1 m.).

582. Moment bezwładności obydwóch kul:

7C§

la3(^² — ła2) = -

Moment bezwładności piasty:

. 9077333 cm.⁵

. tc§

— r⁴) _

7C§₁

„ 17355 cm.⁵

Moment bezwładności ramion:

—    4(/ć — a)³ — 4rt ³] = -—-.73407 cm.⁵

9

Podstawiając:

dostaniemy:

TtS

d = 0,0076 kg./cm.³

= 0,0005 kg./cm.3 g =z 981 cm./sek².

= 0,000024;

— 0,0000016,

wtedy ogólny moment bezwładności:

1 = 1^ -j- /₂ -f- /jj = 218 (jeżeli siły wyrażone są w kg.,.

a wymiary linjowe w cm.).

583. Podzielić elipsoidę na cienkie warstwy prostopadle do osi 2a. Jeżeli jedna z warstw ma odległość X od środka, ma ona postać elipsy, której osi główne wyrażają się

-/a²

a

wzorami:

x²;

p = -C- l/a² — x².

a

Mom. bezwładn. tej warstwy względem osi 2a:

dl = ~ («p³ -f- pns) . dx.

Skąd moment całkowity elipsoidy:

J    jMC

2    ' a* ‘

(.b²    c²) ^ (a² — x²)²dx — y^[LT:abc(b² -f- c²),

■j- (/>² + c²).

{JL7C abc:

584. Przyrównywając moment bezwład, bryły względem osi głównej X do takiegoż mom. bezwł. elipsoidy, otrzymamy (patrz zad. poprzednie):

a ponieważ masa: m

zatem:

<mx

Ą = 'Irn(y² + z²) = — (ó² + c²).

Analogiczne równania otrzymuje się względem osi Y i Z. Ze wszystkich tych równań mogą być wyznaczone osi główne elipsoidy a, b i. c i wreszcie jej równanie:

X²

i?²

hmx²

hm z²    m

z^my

Dla każdej dowolnej średnicy elipsoidy, tworzącej kąty a, {3 i Y z jej osiami głównemi, nowy moment bezwładności I obliczy się z wzoru:

/ = cos² a -f- I, cos² p -j- .Tg cos² f-

Wszystkie momenty bezwładności elipsoidy są tym sposobem równe odpowiednim momentom danej bryły.

585.    4,893 miljonów kgmt.

586.    7263 tnmt.

587. E ==

71²

3600g

588. Energja początkowa wała:

E == 4/02 —

T • II •

Tarcie pochłania tej ilości, czyli:

Et = ^ E =

- . r²) .

7t?i

30/ *

71²

4800g

Qr²ri².

15

z r'°

Podstawiając: r — 0,5 m.;

'<5 ' os,

‘ \ 30/ ’

o = 7800 lcg./m.³, otrzymamy:

Ex =

13tt³

Energja pierwotna:

E₀ = 2464 -f -

Stąd: x = 60 obr./min.

590. Energja kinetyczna kuli:

180g

x².

13tt³

--— A’² =

180(7

15

z rb

••O : O?

Tin

30/ '

E = i 7 6³ =

2 Q.

r? •

zn

5

Jeżeli ciężar Q i energja E kuli pozostaną bez zmiany, wówczas spełnia

się warunek:

rn

= (r — a)X]

stąd zaś: x =

rn

591.

Ponieważ energja kuli nie zmienia się, zatem:

gdzie oznaczają: 8710

8 770

lS.g

2.

[v⁵ — (7* — «)⁵] =

Oś

moment bezwładności ścian kuli.

8zd

(r — a)b =

Sza

¹⁵<7

moment bezwładności piasku, dla którego 8    == ^d.

» I/'" .

^ 21

15(7

r⁴ (r — 5 a)

Stąd otrzymuje się:

592. Energja wała pierwszego przed sprzężeniem:

nl =

E = 4I6² —

7l§

/po sprzężeniu zaś z drugim wałem:

64(7

- . dH ,

Tin

30

7l8

(d⁴/ -f- (7^/j) .

64(7

Po przyrównaniu tych wyrażeń otrzymuje

30/ *

dH

593. E =

3z²

d*l -j- d₁iIl

- Qr².

g

Z²n³

(6² 4“ c")abcd = 0,2794 kgmt.

594.    E =

595.    Energja pocisku składa się z 2 części:' E = \mc²4-4-w czem:

5400/7

masa:    m

moment bezwdadności: / =

prędkość kątowa: 6 = 2im.

Po podstawieniu tych wyrażeń otrzymuje się:

7t?'²

c²

CI Sr-

596. Energja kinetyczna: E = i Ib*;

Po podstawieniu wypadnie:

w czerń:

m(a² 4" &²); m —

abc d

; b₀ = 46..

2

A' ,

abc (a² 4" b'²)d².

597. Nowe wyrażenie energji:

Ą = IW;

gdzie:

tt²+A²

•    6, = 36.

36    ’    ¹

Zmiana energji:

O?

(i

stąd: Ey =

babć

“A

abc (a² 4- A²)0²;

2a

(a² 4- 4²)6².

598. Jeżeli 1₁ jest mora, bezwład, stożka względem jego osi geometrycznej. 1₁ — moment względem osi prostopadłej do pierwszej i przechodzącej przez wierzchołek stożka, wówczas, oznaczając kąt wierzchołkowy przez 2a. otrzymamy moment bezwład, względem tworzącej podług wzoru:

cos² a 4" A> sin² a. V '

Powołując się na zad. 567 i mając na względzie, że:

cos² a

:    sin² a

ty* 2

/i² -f- r ² ’

otrzymamy:    1 = ■■^ntr

a zatem energja kinetyczna stożka:

E = 4-/0² =

r² 4- 6/i2 r ² -f- A ² ’

A² -j- r² ’

₂ r² -f- 6A²

V r² + A² '

599. Środek podstawy 0 w ciągu 1 obrotu zakreśla drogę 2 TT A cos a,

2tcA cos a

12000

?łir

posiada więc prędkość linjową v = względem tworzącej

Zatem prędkość kątowa

2tc cotan 7.

A sin a

Dalej na

zasadzie zadania poprzedniego otrzymuje się: 3 TT²

m =ii e² =

10 T²

?■² 4- A² ’

600. Mom. bezwładn. sztaby:

l \²

Masa zredukowana do punktu 4:

u. =

Aby znaleźć jej minimum, zakładamy:

d\jl

-— = 0; stąd wypadnie:

601.

x — -f/;

Mom. bezwład, układu względem osi X:

I = ^mxl² -j- \mjr² -f- m₂(l -f- r)².

— m₁ -f- m

\^min —    ^ •

Masa zredukowana:

{i =

(l + r)²

v\

CO lO

rn₂

Stąd znajduje się stosunek:

602.    Z warunku, że sumą energji kinet. wszystkich mas jest ta sama, «o i masy zredukowanej, otrzymuje się wzór:

u² . dm,

gdzie v oznacza prędkość masy zredukowanej, u i dm -—- prędkość i masę jednej z mas częściowych.

Redukując każdą z mas m do kąta obrotu cp, dostaniemy:

p.₄ = 47n₁ sin² cp;

N — mi (ł + 2 sin² cp);

Masa zredukowana ogólna:

p. = P-1+^2-ł-!¹3+l¹4 = K^3 +Wl) + sin2? (4mi + 2ms) + COa2? (4m2+2m4)-

= 0 wypadnie zależność:

2m₁ + m₃ — 2

p. = 2(w₁ + m₂) + f(m₃4-m₄).

603.    Po odchyleniu o kąt a składowa Q ciężaru kul P równoważy się siłą odśrodkową F. Zatem: Q = P tan a = mQ²R.

-6 =    P = l sin a, otrzymamy:

p, =

v²

?n₃ i do punktu A, odpowiednio p.₂ = 4ma cos² <p;

P-4 = mi( + 2 cos2 ?)•

Z warunku: p, = const;

wtedy zaś:

Podstawiając:    m

ć/p.

ć/cp

30

900(7 tz ²1 n ²

— 0,18. (W przybliżeniu: tz² = g),

oraz: sin a = 0,98; R = 0,49 m.

Energja kinetyczna regulatora:

E = łj-/0², gdzie: 1=2. (Ąmr² -\-mR²).

cos a

Po podstawieniu liczb znalezionych wypadnie: E = 6,48 kgmt.

604.    Energja kinetyczna każdego z drągów w najniższem jego położeniu jest równa pracy, wykonanej przez siły ciężkości:

cos a) =    — cos a₄).

a

sin aj

605.    Praca wykonana przez obydwie siły przyciągające:

TtQK i —

Stąd otrzymuje się zależność:

sm

X — Xj -f- X₂ —

r

JXcć/.ir4-2&(a —

x)dx] =

Mi

(2a — Sx)dx. a

W położeniach równowagi M₀ i M praca ta równa się zera. Stąd otrzymuje się:

Lx = — §ka²) L₂ == +|fca².

606. Zużyta energja kinetyczna pręta zamienia się na pracę siły ciężkości:

łie* ■=

Stąd wypadnie: u = ]/3gl.

607. Z równania energji kinet. krążków:

d\²

¹ XWj

i Qt

_2

xn₂

30

30

ni

d₂

oraz z proporcji:

608. Energja kinetyczna walca:

V2,

= — otrzymuje się:    = 40; n₂ = 80 obr.ymin.

dx

gdzie X —

= |/6²;

r

Odległość środka masy K walca od osi, obrotu: KO =p - . - \ 2.

9; X

Do chwili, gdy środek ten znajdzie się w położeniu najniższem, zostanie wykonana praca:

a ponieważ: L = E, zatem: r²

max

16

609. u =

610.

X1

LO

X2

I -f- mr²

Oznaczając przez X wydłużenie nici, otrzymamy siłę wyprężającą: K = k\: oraz wykonaną przez nią pracę:

611.

L == —

s:

K . d\ = ^kl²,

gdzie i — rep.

Podczas, gdy ciężar Q obniża się wtedy o x = ir!ep, zostaje wykonana praca: IJ —

Ponieważ zaś energja kinetyczna na początku i w końcu ruchu jest rów-zeru, zatem suma prac:

Stąd wypadnie:

na

cp =

L+L' — — \kl²-\-Qx — 0. 2 QR,

kr²

612. Praca wszystkich trzech sił przyciągających:

r»o

V kmm x (a+,r)(— dx) + 2 V

P4a    J4 a

kmmlx(—dx) = ^mv².

v² = 56 krnia².

613. Ponieważ energja punktu m na początku i w końcu ruchu jest równa zeru, zatem praca ogólna sił przyciągających również daje w sumie

Stąd wypadnie:

zero.

o- a

Wyrażenie pracy elementarnej jest: 2 mm .

dL =

ry* 2

cos

<P . {—dx) -f

mm

Po scałkowaniu wypadnie:

—2xdx

J/«²

(A -j~x)²

—d,v (h x) ²

. (—dx).

CO

mm

a²

r -f- a-²

4

A -j- x

— 0; gdzie A =

a /—

— l/3.

2 r

Stąd wyznacza się:    X =

4—l/l5

a.

614. W położeniu równowagi:

Jeżeli kąt prosty od położenia A! C'£>' przechodzi do najbliższego położenia równowagi, wówczas energja kinetyczna i wykonana praca równają się.

zeru:

L == 2a<] . a sin cp — 2bq . A(1 — cos cp) = 0, gdzie q oznacza ciężar jednostki długości.

cp

tan

Stąd otrzymuje się:

2    A²’

615. Początkowa energja kinetyczna wala:

; czyli: cp = 2a.

Tl

R²%² + 4- /e²,

gdzie mom, bezwładu, wała wydrążonego:

%lo

Praca ciężaru: L — —- Qh.

Z równania: E — L otrzymuje się:

4 Qdh

2 QR² -\-tz!5(K² -—r²) ’ skąd po wstawieniu liczb danych: 8 — 4,19 i/sek.

3gd:(d> — /) jA/² — W

i<Tf— 2(2    ‘

617. Praca siły ciężkości i tarcia w końcu ruchu daje w sumie zero: sin a

616. r² =

0² =

— (*.(Q

cos a

stąd:

sm a

cos a .

• z.

618. Na. mocy zasady równowartości pracy i energji kinetycznej dla obydwóch części ciała o ciężarach i Q₂ otrzymamy równania:

—    v² = — Qi!Vs

9

— Qt*% sin a — Q₂1x2s2 cos a?

gdzie v — oznacza prędkość, nabytą w końcowym punkcie A równi DA. Stąd otrzymamy żądaną zależność:

m    cos a •— sm a.

619. Praca równa się straconej energji kinetycznej wała:

l = in'-P j

0 \²

; gdzie: 0 = |5; I =

1 ^ r2. TT    ' i

7C²

stąd otrzymuje się:

620. Początkowa energja kinetyczna wała: E = 1 102 = i .

a ta energja zamienia się na pracę sił tarcia: Z porównania:

4800(7

Qr²n².

Tin

30

wynika:    —

L — —    ! Q . 2 Tirx.

= 0,28. t

Trrn ²

621.    x = —— = 10,098 m.

⁴0P    .

622.    Praca siły cięlkości:

7200^[i

— Qr{\ — cos a).

tarcia:

- v.Ql —

Pa

Jo

cos

cp . rfcp.

¹    Q 2

2    g

, Z porównania energji i pracy wypadnie:

Energja kinetyczna początkowa:

v² = 2<7[r(l —

cos a)-f-[i(7-}-r sin a)].

623. Ogólny spółczynnik oporów szkodliwych dla

Pi • r+f

wagonu:

= 0,00725.

Energja początkowa

fcoj

. v² zostaje zużyta na pracę sił — kQx cos a.

Zakładając w przybliżeniu cos a = 1, z równania energji otrzymamy:

wagonu:

;żkości: — Qx sin a i pracę tarcia:

v²

o T~--;—TT = 172,7 m.

²9 (Sln « + fy

624. Początkowa energja drąga i kuli:

fii 1 Q 2

■E‘ t yl •

I - :

E, = ff0²,

Ll\ = ~ P -g-«;

-(^₁ + ^₂) = X₁+i₃

Z równania:

Ol to

12

y²

3/

przyczem:

/(Q + -5-Q)

wypadnie:

P + ~J9

Mechanika (Rozwiązania). 5

625. Energja kinetyczna ciężaru Q w najniższem jego położeniu:

v².

Qci (1

cos a) = —

2

Energja ta zamienia się na pracę tarcia = [iQl. Z porównania wyrażeń

otrzymuje się:

iJ- =

a /

—j— (1 — cos a).

626. Dla krytycznego położenia równowagi łańcucha mamy: x^

pi

Praca elementarna sil ciężkości: qxdx

„    „ tarcia: — ^q(l ■— x)dx

ciężar jednostki długości łańcucha. Równanie energji i pracy:

1 -f p.‘

gdzie q

r*i    r*L

\ qxdx —- % \iqil

ąJXl    J Xt

— x)dx.

9l

Stąd otrzymuje się: v² =

627. Ciśnienie, wywierane pi'zez tarczę na jednostkę powierzchni:

ł + p-

%r² ’

Na pierścieniu, o promieniu p i szerokości dp, wynika siła tarcia:

27tpip . p . p..

Praca, wykonalna przez tę siłę aż do chwili zatrzymania się tarczy:

— (27tp<ip . p . (j.) . 2npx.

Praca ogólna pod całą tarczą:

r

47u²p.px \ p²dp = — |-7t²[xpxr³.

Jo

Energja początkowa tarczy:

t-H 1.^

%rn

to o

Z równania: E — — E wynika: x —

628. Podług zasady d’Alembert’a ciężar Q równoważy się siłą odporową N płytki, oraz siłą bezwładności: -mp ==

4800p# '

równania':

— p. Zatem z

9

= Q otrzymuje się: ^=7(1 —    = 5,923 kg.

629. Jeżeli ciężar Q porusza się do góry, a Ql na dół, wówczas, wpro- 1 wadzając siły tarcia: W = p,Q cos a; W₁ — p.4^ cos [3, oi*az siły bez- i

władności:    ^

N Ą-

na obydwóch równiach: Q sin a Stąd otrzymuje się:

mp —    ■ -/>: m₁p = --p, otrzymamy równość naprężeń nici

Q,

V¹'-

•7

+ u. Q cos a -f — p — 9

Qx sin [3 — p.Q, cos [3

Q~\rQ

[7₁(sin [3 — p. cos (3) — Q (sin a-j-p. cos

a)].

630. Podług zasady d’Alembert’a dla obydwóch końców nici wzymamy równania równowagi:

Q.

[x Q, -f- -— p — Tx\ — p-\-l\ —

9    9

Prócz tego równanie momentów statycznych dla bloka:

1C' : I-*

Y = — przyśpieszenie kątowe bloka.

7*

I • T = (T₂ — Ty)r, gdzie: r2— mom. bezwład, bloka;

9

Z równań tych otrzymuje się:

P = z9(l —1*0;    =    (² + ³K>; T₂ =    (3 + 2{x).

631. Ciężar zyska przyśpieszenie =

VI

Przyrównywając do siebie naprężenia nici z obu stron blokj| stałego, otrzymamy:

\Q

Stąd otrzymuje się: p — g .

Przedyskutować ten wzór!

632. Przyrównywając naprężenia nici z obydwóch stron większego z bloków .stałych i mając na względzie, że przyśpieszenie ciężaru stanowi p, otrzymamy równanie:

— • P = ł    • \

g    \    9    4

Stąd wypadnie: p — g . ~pr~-p-yy-.

^6 +

Przedyskutować ten wzór!

633. "W kierunku pręta naprężenie T równoważy się odpowiednią składową ciężaru, oraz odśrodkową siłą bezwładności. ‘Zatem:

igr

634. Siła tarcia pod taśmą hamulcową: Siła tarcia

W = Q (g'X7c — 1).

czopowego: Siła bezwładności:

mp =

-P-

9

Z równania momentów statycznych względem osi kół wypadnie: P = .9(1,23

0,2.6^).

635. W chwili, gdy koniec A znajduje się w odległości AC = otrzymamy równość naprężeń z obydwóch stron bloka C:

.r,

qx    ,

qx sin a + — p == y( / — x) sin a

q(l — x)

P,

gdzie y—oznacza ciężar jednostki długości łańcucha.

=    — bx.

l — 2x

gdzie: a = g sin a; b =

Na zasadzie zaś równania różniczkowego: vdv = p (— d.r), otrzymuje się: v² — a (l ■— 2x) —

W końcu ruchu x — 0, zatem: v₁² = ^gl sin a.

636. Dołączając do ciężarów Q i Q₁ jeszcze siły bezwładności:

-— 6² Z sin

cos

cp i —- 0²L

‘    9 . ...

z równania momentów statycznych względem przegubu O otrzymamy zależność:

0²

sin

cos cp

oraz moment ciężarów Q i Qi:

637. Jeżeli jest masą elementu drąga a w odległości x od punktu O, wówczas odśrodkowa siła bezwładności tego elementu jest: gdx . x sin cp . 02 i daje względem O moment statyczny:    . ,r² sin cp . cos cp . 0². Moment

sił bezwładności dla całego drąga a jest:

M — Ql {2 sin cp —

cos

<P)-

ł).

p.0² sin cp cos

x²dx =--— 0²a² sin cp cos ,cp.

3    <7    ‘    ‘

Tak samo obliczy się moment dla drąga b. Z równania momentów statycznych dla ciężarów i sił bezwładności względem punktu O obliczy się:

Qa sin cp — b cos cp

®²— i#

638. Element dx drąga, położony na O A w odległości x od punktu O, posiada masę: )pdx₎ siłę bezwładności: [idx . X sin cp . 0², oraz moment statyczny tej siły względem O: y.dx . a;² sin cp cos cp . 0². Dla całego odcinka. O A moment ten wynosi: •

cos

cp sin cp((2tt²— Q₁b²)

x ² dx.

Ml = jjl0 ² sin cp cos

W podobny sposób odnajduje się moment M₂ dla odcinka OB. Dołączając do tego momenty statyczne ciężarów, otrzymamy podług zasady d’Alem-bert’a równanie:

ft² — b²

— W sm cp . --—

3 g(a² — b²) 20²(a³ -f- bs)

= 0.

Skąd obliczy się:

639. Uwzględniając siłę odporową iV, otrzymamy równania statyczne rzutów sił:

cos

cp =

N sin

*+£

\ldx . X sin cp . 0²

cj; = ixg(a + b).

N cos

ę*a

\ iydx

Jo

. x sin cp . 0²

(a² — b²)(a — b)

Mając wiadomy cos cp z zadania poprzedniego, otrzymamy: tan (j) = tan

^    a³ -f- ó³

640. W punkcie JB działają 3 siły, mianowicie: ciężar siła- bez-

władności: —- (b sin cj;-f-a sin- cp)6², oraz napięcie Tb.

W punkcie A działają 4 siły: ciężar Q, siła bezwładności: —

9

. a sin cp . 0 ²,

oraz napięcia Ta' i Tb. Układając dla punktów B i A równania statyczne rzutów sił, otrzymamy dla obliczenia kątów cp i cj; zależności:

0²

oraz napięcia:

- (a sin cp-j-ó sin cj;) = tan cj;,

0²

- . b sin ó —

9

Q + Q

(tan cj; — tan cp),

T —

-L a -

Qi

cos cp

641. Napięcie wzdłuż nici T =

cos

Obierając na jednym z prę-

2 cos cp

tów element o masie \pdx w odległości x od punktu O, obliczymy jego siłę bezwładności: ]xdx . X sin cp . 0².

Przyrównywając do zera sumę momentów statycznych sił zewnętrznych, oraz sił bezwładności na pręcie OA względem punktu O, otrzymamy:

?2a

Jo

— Qa sin cp — T . 4a cos cp sin cp-f-

\i.dx . X sin cp . 6²x cos cp = 0.

Wiedząc nadto, że masa pręta OA:

Dostaniemy:

cp =

cos

4«0²

642. Przyśpieszenia linj.owe p i px ciężarów Q i Qx otrzymuje się z równań:

Qi.

— 9ri(Qiri— Qr)'

Wreszcie naprężenia lin:

Ti =

QQxr(r + rx)

QQ₁rx(r + r i) Qr² + Q,lr₁² ‘

Q,r² + Qxrx²

643. Moment statyczny sił bezwładności względem osi obrotu: M~1y.

Qi — Q 4~ q{2x-^ Z)

— ft —f— ÓaT.’

Q 4- Qi 4- ¥    ’ f

Na zasadzie równania różniczkowego: vav

Biorąc pod uwagę równanie momentów statycznych: Tr -j- ql = T₁rv dostaniemy wzory:

Q r _ Qr

'i = 9 W + Q^+ir " = Qiri(r 4- rx) + gl\

Qr2_|_ Qlri² -f- gl'

9r i

Qiri — Qr

Qr(y 4- ri) 4- gl

Qr%+ Qxr*+gl‘

644. Warunek równowagi dla lewego ciężaru Q:

T — Q 4~ q(J x) +

Q! + q(l — «)

• p;

dla ciężaru prawego Qp

T\ 4-    ~ P = Qi +

.<? •

Stąd otrzymuje się. przyśpieszenie ruchu:

— j~>cLv wynika wzór na prędkość: r² = 2aar -|- óar², przy założeniu zaś ar =* Z av końcu ruchu:

2gl(Q,x — Q) Q 4-    4~ ql

Wreszcie napięcia końców łańcucha:

T = Tx =

2(Qi 4- ęx)[Q + gil a)] Q 4- Q\ H~ ql

645. Jeżeli ciężar Q obniży się na odległość ar, wówczas, oznaczając momenty bezwładności wała, kola i niezwiniętej części liny odpowiednio przez /j , /₂ i Zg , otrzymamy równanie momentów statycznych względem osi obrotu:

<3 4- qx

pr 4- 7 (Ji 4- /₂ 4- 4) = °>

gdzie p oznacza przyśpieszenie linjowe,

kątowe,

—- r²;

(Z — ar)?

^*2

Z równania tego wypadnie:

2prr²(Q4-^)

2 Qr²4- Q₂i2a+ Q₁r³ + 2^r-2 *

Na zasadzie zaś równania różniczkowego: vdv = pćZar po scalkowaniu i podstawieniu ar = Z otrzymuje się:

y² =

722

= 1,8 m./sek.

Q4-¥4-t Qi+Q₂ yf

Podstawiając: x = 0;    = 0; dostaniemy C — 2Pa.

Ostatecznie więc:

— P(j/a²-f-aj³ — a)

646- Oznaczając przez m i mx masy ciężarów P i Q: przez v i vx, oraz p i pt ich prędkości i przyśpieszenia, a przez T i Tx napięcia sznurka z obu stron bloka, otrzymamy na mocy zasady d’Alembert’a:

f + m.p t = <).

T = P + mp; T.

cos

a ponieważ T = T.

zatem więc:

(P -f- mp) cos <p == Q

(1)

miPi

0 ile ciężar Q obniży się o dx, ciężar zaś P podniesie się o ds, mamy

- wówczas:

ds = dx cos

ds

COS Cp

Po drągiem zróżniczkowaniu:

]/a² -f- x²

dv

p = -di = p*

a:

|/«² -)- #²

Podstawiając w równaniu (1), otrzymamy:

mx²

|7(a² -f- .?;²)³

Pi

ma²x

(a² -f- x²)²

albo:

|/a² -j- x²

mx²

a² -f x²

' -O

j/a² -f- x²

d'x;

wreszcie:

V Ui +

mx²

2Qx — 2P]/a² + ;:c² + G⁷.

Q. + P

x² ’

a² -f- x²

647- Wspólny środek masy czółna i człowieka jest Nieruchomy. Zatem z równania momentów statycznych względem tego środka: Q\si

Q,s

Qs = 0.

Wypadnie:

648. Nie zmieni się wcale.

s‘= W

649. Na odległość x —

mv

M -p-m I 2[yg

X.

650. Jeżeli klin dolny odsunie się na odległość x, wówczas przesunięcie klina górnego w tym samym kierunku wynosi bl — b —

Z równania momentów: Q⁾lx — Q(b x — b —- x) = 0,

wypadnie: x =

651.

ruchu:

pierwotna

chwili odrzucenia ciężaru Qj od Q spełnia się równanie ilości (Q +    = Qv + Ql[v₁ — Cj), gdzie vy = c cos a prędkość

a w kierunku poziomym.

Stąd oblicza się:    v = c cos a -(- Hr

y

652- Z równania ilości ruchu otrzymuje się:

Qc

Opóźnienie ruchu czółna jest Z równania ruchu:

zaś w₁

Jeżeli w oznacza połowę odległości skoku wraz z ciężarem Q₁ przed, po odrzuceniu tego ciężaru, oraz h—wysokość skoku, natenczas:

2 vl²h

c² sin² a

2 v²h

stąd różnica x = wl

CC₁

a.

agv²

Qi '

dv

agv²

dt

Qi ’

albo:

dv

<3.

V²

Q’Q>\C

wynika: v —    „ „--.

Q^-\-Qgact

653. Ponieważ tarcia niema, zatem walec mniejszy wykonywa ruch postępowy. Torem tego ruchu dla środka 0₂ jest koło o promieniu cłiwilo-wem 0t0₂\ Dla punktu A promień chwilowy AC =    i równoległy

do 0₁0₂ ■ Punkt C jest jego biegunem chwilowym.

654- Ponieważ tarcia niema, środek C półkuli porusza się po prostej pionowej, punkt zaś A po poziomej. Oś chwilowa przechodzi przez biegun 0 w odległości OA = r( 1 — |- cos cp).

655. Środek C drąga spada pionowo. Biegun chwilowy wypada w punkcie 0. Prędkość v punktu A ma kierunek prostopadły do promienia chwilowego AO. Oznaczając zmienny kąt nachylenia drąga przez cp, otrzymamy spółrzędne punktu A:

Stąd równanie toru:

X = l cos a-j-l cos cp; y — 2l sin cp.

,V²

(x — l cos a)² +    — l².

Jest to elipsa.

656. Ruch odbywa się dokoła wspólnego środka ciężkości tarcz z przy-

śpieszeniem:

2 PR

, gdzie I wspólny moment bezwładności, przyczem:

93 QR²

IftOg '

Stąd po podstawieniu wypadnie:

320Pg

93 QR

657. Biegun chwilowy tarczy leży w punkcie .0 przecięcia prostej poziomej _5TO, przechodzącej przez środek K_ tarczy, z kierunkiem nici Aid.

658. Okres T wahadła fizycznego wyraża się wzorem:

T=^Vh

gdzie moment bezwładności kuli wahadłowej: 1 — m (J-r²-\-l²).

l = m R¹ 4-ni (R — a)¹;

a)¹;

/j= w₁i?₁ ² 4-^₁(i^₁ —

(tąd otrzymuje się dwa warunki:

albo: jK = Ą; albo też: 2RRt ■— 2a(R-\-Rl)-\-a¹ = 0. 663. Opóźnienie kątowe wirującego stożka:

Pr

mom. bezwład. I = T³^-mR¹;

nR¹hd

masa m =

TC dR*h% 10 g Pr

Jeżeli Y = const, w takim razie z równania prędkości: 6 = 6₀ — zakładając w końcu ruchu: 6 = 0, otrzymamy:

dF . — = 0. 2

Nowy okres wahań Tx '= 2T = 2iz

Qx

4tc

gdzie nowy moment bezwładności: Ix = m(Ąr¹x¹).

Vw

Po wstawieniu wypadnie równanie:

0.

X²— 4a?

Skąd dwa rozwiązania:- xx = 160,938 cm.; x% — 0,062 cm.

T = 2tc

gdzie I moment bezwładności sztaby, z odległość środka jej masy C od punktu zawieszenia O wahadła. Podstawiając:

: I — j\ml¹ + m I x —-

659. Okres wahadła:

V.

l \¹

i odnajdując minimum wyrażenia:

l¹

6(2x — l)

otrzymamy wartość odpowiadającą Tmin:    = -|-|1 +

na paski elementarne o grubości dp w odległości p

od osi obrotu, otrzymamy masę jednego z tych pasków:

Siła bezwładności dF = dm . p6¹.

Na mocy zasady d’Alembert’a otrzymuje się równanie momentów statycznych względem A:

(ł C~C). Dzieląc płytę

- v*

dm — —— d[j.

gb

Stąd wypadnie:

N =■ Qb

0¹

4~ 'Wij'

m₁l₁ ² +m₂Z₂²

62. Z równości okresów wahań wynika równanie:

661.

7 = g sin cp

2 2 . m₂Z2¹’

y?

w którem:

mr

664. Moment statyczny ciężarów Qt i Q₂ względem osi chwilowej O:

r₂³).

M = dKr^ —

/ = |tc

Moment bezwładności względem tejże osi:

M_8g

rx ³— r₂3 r₂⁴’

665. Masa nieskończenie małego elementu pręta dx w odległości ./• od dm — dx.

Przyśpieszenie kątowe:

osi obrotu jest:

Siła bezwładności tej masy w ruchu obrotowym: dF = dm . x sin a.6². Rzuty siły odporowej N na kierunki poziomy X i pionowy Y wynoszą: .

9¹

Nz =

dF: XY = Q.

V o

Równanie momentów statycznych względem A:

sin a

dF . x cos a

0.

_    .    3 q

Starł otrzymuje się:    6² = -y—;

N — Qj/1 -f-tan² 7.: tan ó —

Nx = i Q tan a;

iV

.v

A }■ .

■| tan a;

gdzie tan a. —

1/z²

— a²

dM — khdx(x^)² . x. Cały zaś drąg pokonywa moment:

. 666. Nieskończenie mały element drąga o długości dx w odległości od osi obrotu posiada powierzchnię oporową ódr i pokonywa moment oporu powietrza:

M = hbW

$

Jo

x*dx = -5-^6² ó/⁴.

1T

Moment, bezwładności drąga względem osi obrotu:

Opóźnienie kątowe ruchu:

.1/

w czem: Cl =

4óZ>

Na zasadzie równania różniczkowego:: 0tZ0 = YćZcp otrzymamy:

<Z0

ad <p;

a po scałkowaniu:

6 = 6₀e

— acp

zatem:

Ponieważ: 0 =

0O dt = e ^ ćZcp;.

Po scałkowaniu:

— l;

cp = — log (l + a0ot).

i wreszcie:

667. Moment parcia wiatru względem osi drzwi:

cos

<p . q . — cos <p.

2

6o

Moment bezwładności drzwi względem tejże osi:

—. b?'ha.

Przyśpieszenie kątowe:    y =

M 3qg cos² cp

2 8b a

Na zasadzie równania różniczkowego: 9e?9 = y (— <icp),

³ 99

(k — 2<p — sin 2cp).

po scałkowaniu otrzymamy: 9'² —

Zakładając zaś rp — 0, dostaniemy prędkość końcową w punkcie B:

Dnqgb 4 da

4dóa

V² =

668. Na pasek elementarny, szerokości dx w odległości x od osi obrotu działa opór powietrza: dR == k . hdx . (.?9)², gdzie k stały czynnik proporcjonalności.

Moment oporu R na całej płycie względem osi obrotu:

2 \ k .

Jo

. (/B0)² . x — ^\jW²hbl.

Moment bezwładności względem tejże osi:

T^

O?

b³ha.

Przyśpieszenie kątowe:

= ę9², gdzie q =

3gkb ■

8da

A ponieważ: y =

Sc

= qdt,

zatem po scałkowaniu:

. i wreszcie po podstawieniu: 9 == 4. 9₀ wypadnie:

8 da

3gkbQ₀

Qr

669. Przyśpieszenie kątowe skrzydeł: y =

gdzie M — mom. stat. oporu powietrza. Aby go znaleźć, należy podzielić skrzydła na paski elementarne, podobnie jak w zadaniu poprzedniem. Wypadnie wtedy:

M = 2khQ²

a ł>₂

x²dx — -|M9'²(ó₂⁴ — ój⁴).

Moment bezwładności skrzydeł względem osi wała: I — ^hcg{b₂² — ót³). Po podstawieniu wypadnie:

dd

Qr

gdzie: A = —B —

-< = A-

M(ó₂* — V)

21

Z równania różniczkowego:

dt —

A — BW'

po scałkowaniu dostaniemy: t =

2]/AB

log

]/A -f- 0]/jS \/A — 9|/5’

skąd obliczy się: 0 ==

V'

2 Qr

⁴— 6 ⁴j 2 )

gdzie

3 ]/ Qrk(b₂A— óx⁴)

jxcj/2/i . (b₂³ -— Z^³)

670. Dla przyśpieszenia kątowego otrzymamy wzór:

COS

21

1.

z równania zaś różniczkowego: 6dQ = ydy,

Q

po scałkowaniu: 0² =    - sin cp.

la nieskończenie małego elementu o masie dm w odległości x od osi O siła bezwładności jest: dm . xQ² w kierunku (X4, oraz dm . Xy prostopadle

do O A.

Biorąc rzuty sił ma kierunki osi poziomej X i pionowej Y, otrzymamy:

Nx — (t S4n cp —{— 0² cos

<P)

xdm\

Ny — Q -j- (6² sin cp — Y cos

xdm.

Podstawiając:

xdm = -, mamy:

²9

Xx = -y Q sin <p cos ?!

wreszcie z warunków:

-Yy = | Q . (10 — 9 cos² cp),

ó == 90 -f- cp -|- a; cotan a —

Ny

10 — 9 cos² cp

Nx

obliczy się: tan = -—

TTF

cotan cp.

9 sin cp cos cp

671. Przyśpieszenie kątowe ciała jest: Qa sin a.

Qa

= A sin a; gdzie A =

Z równania różniczkowego: 0tZ0 = y . (— cia) otrzymuje się:

0² = 2zl cos cc.

Dla dowolnego punktu A ciała o masie dm w odległości r od osi przy kącie <^T CO A — cjj, otrzymamy: r cos cjj = r sin cji — y.

ajduje się rzuty siły odporowej, wywołanej siłami bezwładności w kierunku OC i prostopadle do niego, mianowicie:

Stąd

zn

Nx — 0²

xdm y

ydm;

Yy = Y

^ xdm — 0² ^ ydm\

xdm = ma;

a ponieważ:

zatem: Nx = 0²ma; Yry = yrna:

y

— ^ tan a

tan cp =

Yy

672. Moment bezwładności całego układu dokoła osi obrotu jest:

I -(- mx²,

gdzie I oznacza mom. bezwładn. prętów AB i CD.

Energja układu jest niezmienna; stąd wynika równanie:

¹

■ ~ - A" ■ b. -

■^ (J -f- mx²) 0³    ^mv² = 4 (I -(- ma²) 0O²,

gdzie v — oznacza prędkość masy m wzdłuż pręta CD.

Po zróżniczkowaniu będzie:

mft²xdx -j- (T -f- mx²) 0d0 -(- mvdv = 0.

Równanie różniczkowe ruchu wzdłuż CD:

vdv = pdx] gdzie p = x() -, wobec tego równanie poprzednie przybiera postać:

2mbxdx -f- (I -)- mx²)db = 0,

co po scałkowaniu daje: 0 -= 0O

I -f- ma²

I -f- mx2,'

673. Przyśpieszenie ruchu środka masy: ps = — |xg.

Jego prędkość: vs = v₀ — \xgt.

Walec zatrzyma się po upływie czasu:

vo

\L9

Przyśpieszenie kątowe walca dokoła jego osi:

1/

[j. Qa

2\xgt

Prędkość kątowa walca:

⁰ = ⁰o +    = 0O —

Prędkość punktu styczności walca i płaszczyzny:

vs -f- ad = v₀ -f- a0o — có\xgt.

Walec zaczyna się toczyć w chwili, gdy punkt styczności zatrzyma się,.

v₀ -f a0o

co nastąpi .po upływie czasu:

674. Ruch środka masy drąga określają trzy równania: d²x

³14/

rn

dt²

(1)

d²y

171 -

dt*

= Na — Q.

a .    A a

sin cp — J\A cos cp

(2)

dt²

• • (3)

ma²

Przyczem spółrzędne środka drąga: x = - cos cp; y = sin cp.

2 2

3a

Na tej zasadzie równanie (3) przybiera postać: f = — —i-- cos cp.

2 (i

Na mocy zaś równości: 0d!0 = ydy wynika:

0³ =

— (sin ?o — sin ?)

Cl dzie cpQ oznacza początkowy kąt nachylenia drąga.

676. Siła odporowa: Ar^ =

Po usunięciu podpory B środek masy pręta zyskuje przyśpieszenie:

Q-NA

2 ’

Pręt zacznie się obracać dokoła punktu A z przyśpieszeniem kątowem:

Z równań (1) i (2) wypadnie wtedy:

Na = Q(i —

Nb — i Q

sin cp sin cp₀ -{- sin² cp)

cp — 2 sin <p₀).

675. Jeżeli siła odporowa NB zniknie, czyli gdy: sin cpx = | sin (p.°

cos

sin

gdzie m

Qx

gdzie I = rn

12

mom. bezwładności pręta względem A.

Ponieważ p —    zatem: 2x =

|/3 '

677.    Rozwiązanie podobne do poprzedniego.

Siła odporowa wynosi ^ Q.

678.    Środek masy tarczy po usunięciu podpory C zyskuje przyśpieszenie linjowe:

Q - ZN

, gdzie m

oraz

przyśpieszenie kątowe względem AB:

O¹ j¹"-!

T

gdzie e — —I — 7₀ -f- me² = \mr²

*-i.

= mom. bezwładu.

zatem:

p — er.

Ponieważ:

679. Środek S płyty po przerwaniu nici CD zyskuje przyśpieszenie:

óy; gdzie m =

Biegunem chwilowym jest punkt O (patrz zad. 657). Moment bezwładności względem tego bieguna:

Qb

Przyśpieszenie kątowe:

Podstawiając w równaniu pierwszem, dostaniemy: 2 — Q    g^₂ ■

680- Lewa część łańcucha zyskuje przyśpieszenie bezwładności (na pra-

' = T'

a²

ąa

wo):

—-P-

9    '

•    9a

Napięcie tej części łańcucha: 2X ~ qa sin a — —- p cos a.

Napięcie prawej części łańcucha: T₂ — qa sin (3 + p cos [3.

³ a_p

Ponieważ:    Tx — T,

stąd otrzymuje się: p = g tan

681. Wybierając układ osi otrzymamy równania dynamiczne ruchu klina i płyt:

i spółrzędnych i oznaczając: OA = y: OB-—X,

Q — 2N sin a

d²y

dt²

; Pi =

N cos a

d²x

Ponieważ: y = X cotan a,

Z równań ruchu otrzymuje się:

N =

zatem:

QQt

d²y

(7f²

rnx

d²x

dt²

cotan a.

cos a

(Q₍ cotan a + 2Qi tan a)

Q cotan a

77    - --

r    Q cotan a+2Qj tan a

= const;

^ Q cotan a -f- 2 tan a

const.

Ruch klina i płyt jest więc jednostajnie przyśpieszony. Drogi przebyte:

y == łp<²;

klina:

płyt:    a? = ^pd²-

682- Przyśpieszenie środka masy:

T — P cos a

; gdzie rn

2-

skierowane jest na lewo.

Przyśpieszenie kątowe względem osi walca:    7 =

Pa — Tr

mk²

gdzie k — jest promieniem bezwładności.

Najniższy punkt walca jest biegunem chwilowym, zatem: p = ry, a wobec tego:

ar -f- k² cos a. r² -b k²

Ruch jest więc jednostajnie przyśpieszony.

Pr (a — r cos a)

Q(r² -b k²)

= const.

683. Przyśpieszenie styczne i normalne środka masy kuli:

Pt = (« + &)

dy\² _ Q

<7²(p Q sin <p — T

dt²

cos

cp — N

, gdzie m =

Przyśpieszenie kątowe toczącej się kuli względem jej środka:

; gdzie I — ma².

całkowity kąt obrotu kuli od położenia początkowego B, przyczem istnieje zależność: * a (o — cp) = ócp.

oznacza

dt

d.²o

dt²

Ta

Z równań tych otrzymuje się:

d²a

dt²

5T    d²cp    5Q sin cp

2ma ’    dć²    7m(a + d) ’ \ dt J

10Q(1 —

cos

?)

7«i(a + 6)

i wreszcie: ]V = \ Q (17 cos cp — 10); T — \ Q sin cp;

cos cpt = jeżeli przyjąć N = 0.

2 sin cp

10

17 cos cp

684. Jeżeli masy walców i przyśpieszenia ich środków wynoszą i m2 oraz i p₂, wówczas równania ruchu tych środków są:

sin a - ^5    ^2^2 ~ ^2 S^n P - T.

Przyśpieszenia kątowe tych walców obliczą się z równań:

Pi + p = r± ; J>₂ — P = ^2 7₂ 5 oraz: • ^-m^² .    = Trx~ \m^r² . y₂ = Tr₂.

Stąd wynika:

sin a

oraz:

QtQ₃ (sin a + sin (3)

+ Q₂)

685. Oznaczając przez X i y spółrzędne środka C drąga, oraz przez cp kąt jego z pionem A Y, otrzymamy równania ruchu środka C:

d²y

d²x ,T m mT = ^

dt²

= N — Q-,

i- r/d²

d² cp

dć²

sin cp — |li\7

Z

cos

?•

Ponieważ nadto:    ^

d²x

dt²

cos

cp —

— sin cp; y = — cos cp,

- d²cp ' "dć²?

zatem:

d²y

di²

Przyśpieszenie kątowe względem środka C:

3g sin cp

d² cp

dt²

21

Z zależności zaś: 0d0 = ydcp po scałkowaniu wypadnie: dcp \²    3g

, ; = --p- (cos p — cos

dt I l v r

Podstawiając:    cp = 90°, dostaniemy:

6² =

?)•

cos

[3; v² — l²d² = 3gl cos [3.

Następnie:

JY = Q-\- m

d²y

dt²

= Q-~

cos

cp) + t sin <p);

6 cos cp cos

[3+9 cos² cp).

t⁽¹

Drąg nie może oddzielić się od podłogi, ponieważ przy N = 0 wypadnie na cos cp liczba urojona.

686. Oznaczając JBC — s, mamy:

s . sin a = 2tt sin cp;

dć

sin a

2a cos

-g

dcp

d£

GO

dcp

a ponieważ    —j-

= 6;

fi ₌ y dt2 Y’

zatem:

sin a = 2a (y cos cp — 0² sin cp).

Dla napięcia T sznurka na mocy zasady d’Alembert’a mamy:

T -f- mp = _P, gdzie m — masa sznurka;

imbec czego:

d²s

2 a w,

dt²

(0² sin cp — y cos cp) . . . . (1)

sin a

Jeżeli x i y oznaczają spółrzędne środka drąga, _/V_4 i jYg siły odpor re na jego końcach, m₁ jego masę, w takim razie:

d²x m. ——

¹ dt²

= T cos 7 — jYg sin a

d²y

r, j — Nji — Q ,-f- iYg cos a -j- T sin a

7?jfc²

d²cp

dt*

— jYg . a cos (a—cp) -b Ta sin (a — cp) — NA a cos

o-

(2>

(3)

czem

• • w

a

-=■ = promieniowi bezwładności drąga względem jego środka.

]/3

Z zależności geometrycznych wynika:

X — a (2 —{— 2 sin cp cotan 7 — cos cp); y = a sin cp;

jastępnie:

= ad (2 cotan 7 cos cp -(- sin cp);

- = «0² (—2 cotan a sin cp-j-cos cp)-}—€«y(2 cotan a cos cp-fsin

= ad cos

. . . (5)

²y

^ = — «0² sin cp -j- ay cos cp

(6>

Rugując z równań (1) do (6) niewiadome:

Ń..A, Nb , T,

d²x d²y

dt² ’    dt² ’

dostaniemy:

2j {P cos² cp -f~ Q [

-0²[Q cos a sin (a'—2cp) — P sin 2cp] = ~

*2 (X)

cos 7 cos

cp cos (a — cp) -f- y sin² 7]} -J-

cos

cp sin a(2P — Q sin a).

Równanie to można napisać w postaci:

d(Kd²) = ⁹

sm 7 cos

cp (2P

Q, sin 7.)<icp,

izie K jest spółczynnikiem przy 2y. Po scalkowaniu i podstawieniu ści początkowych: cp = 0;    0 = 0 wypadnie:

war-

Kd² = TL

₀ sin 7 sin cp (2P — Q sin a).

Prędkość spadania, ciężaru P:

2a cos cp sin 7

Izie: P = P cos² cp -)- Q[cos a. cos cp j Mechanika (Rozwiązania). 6

ds

. 0; v² = 2ag

sin cp cos² cp K sin 7 cos (7 — cp) —j—    sin² 7].

(2 P

Q sin 7),

687. Dla dwóch uderzających o siebie mas ml i z prędkościami po czątkowemi ct i c₂ otrzymamy wzory na obliczenie prędkości tych uderzeniu:

mas

V2 =

■_ Ol C1 + m2 O + km2 (C2 — Cl)

m₁ + m₂

Ol cx + cs) + %j (c, — c₂)

mx + m₂

Wzory te wyprowadzone są na mocy prawa zachowania energji kinetycznej, oraz ilości ruchu obydwóch mas razem. Czynnik k odpowiada odzyskanej wskutek sprężystości części energji podług równania:

(2;

E₀ — E = Es — k²Es = Es (1 — k²).

W równaniu tern oznaczają:

energję pierwotną obydwóch mas m₁ i m2 „ końcową    „    „    „

„    straconą wskutek uderzenia

„    odzyskaną dzięki sprężystości.

Dla ciał doskonale sprężystych otrzymuje się k = 1.

Podstawiając we wzorze (1): v± — 0; c₃ .== 0, otrzymamy żądaną za! Ę ¹

Es -k²Es —

■ih

I-

leżnośó:

- — A:.

m₂

688. Jeżeli uderzają o siebie dwie masy m₁ i m₂ doskonale sprężyste. | wówczas, oznaczając ich prędkości początkowe pi*zez cx i c₂, otrzymamy na mocy prawa zachowania energji i ilości ruchu wzory na prędkości po ude- W

rżeniu:

Oi ct + m₂ c₂) -f (cs — 4)

*4 =

Zakładając w danym przypadku: = 3.

warunek:

m₂

«*1 H- W2

Ol cx 4- w₂ <?₂) 4- (ęŁ — c₂)

4- m₂

vx = 0;

689. Na mocy wzorów, podanych w zad. 687, zakładając: vx = — CjJ f

cx    14-A:

Tl i

dostaniemy warunek:

C2

3—k'

690- Na zasadzie wzorów zad. 687, zakładając: c₁(l — 2 A:)

ci(i 4" AO

m₂

= 2?^;

dostaniemy:    ^ =

Energja początkowa: E₀ = 4 wl ci“t

Energja końcowa: 4 wij vL² 4" t m2 U2² ~ 1 E₀ = 4 wl ci²-

li

ci

Stąd wypadnie: k — vx — 0; v₂ = -

2 m₁ cx sm a.

691.

692.    Nadać obydwom masom prędkość c₂ na prawo i skorzystać z za-j dania poprzedniego. Wypadnie ilość ruchu: 2ml (c₂ sin (3 — cx cos (3).

693.    Po pierwszem uderzeniu masa m₂ zyskuje (patrz zad. 688) prędkość!

V2 = ² 4

Po drugiem zaś uderzeniu ta sama masa zyskuje prędkość:

vz = v\\l —

2 m%

Stąd wypadnie:

m₂ -j- m%l m% == 4 m% = h wij.

694. Ponieważ ilość ruchu jest niezmienna, a uderzenia niesprężyste.,

dwie pierwsze kule zyskają prędkości ——następnie trzy kule —

2    3

ci ■

i wreszcie wszystkie cztery będą się poruszały z ‘prędkością ——.

4

695. Prędkości ciężarów Q% i Q₂ w chwili uderzenia:

ci =    c₂=]/2ghr

Ilość ruchu przed uderzeniem:

Q1 C1 ^2 C2

po uderzeniu zaś:

(2 Q -j- Qi 4~ Q₂)v

Po przyrównaniu tych ilości wypadnie:

-f- Qi -f- Q₂

v = ]/2 g

696. Po pierwszem odbiciu prędkość kuli wynosi: vx = — ck: gdzie k — spółczynnik uderzenia (zad. 687).

ck

Czas, upływający pomiędzy pierwszem a drugiem uderzeniem: t± =

Pomiędzy drugiem a trzeciem uderzeniem:

Cały czas trwania n uderzeń:

a — d,

Stąd wypadnie: c =

697. m₂ — y m, rn

K =

t — 4 + t₂ -f“ . . . 4- tn_ ₁.

kn~x kn ' 1 . (1 — k)'

c/c²

i t. d.

3'

698. Biorąc pod uwagę kąty <^T BGD = a; J5C4L = cp, otrzymamy prędkość uderzenia kuli C o B: l'x = c cos a, oraz prędkość, z jaką kula (7 zostaje odbita w kierunku 720: v\ = ^ cy cos a (1 — k).

W kierunku prostopadłym do BC prędkość wynosi Ct sin a.

2 tan a

Stąd otrzymuje się: tan cp = Prócz tego: b sin cp =

= BI) = b sin a =

¹ — k ' a cos (cp — a). Zatem:

\]/6³ —- a² (1 — k²) -f- ó].

699. Oznaczając przez a kąt pomiędzy kierunkiem prędkości Cj a wspólną normalną obydwóch kul, otrzymamy składowe prędkości po uderzeniu w kierunku stycznej sin a, w kierunku zaś normalnej ^ c*₁ cos a. . (1 —k).

Wobec tego:

n²

cj² = c-,² sin² a ■{- cx'² cos² a . (1 —- k)²\

cos a

Skąd otrzymamy:

n² — 1

(3 — k)( 1 -f- k)’

700. Otrzymamy zależność ogólną: cotan cp = cotan a -|-

(1 -f- k) sin a (1 -— cos a) * Po podstawieniu zaś cp = 90° wypadnie równanie:

COS² OL

cos a =

701.

Prędkość kuli mŁ przed uderzeniem:

cos

Prędkość kuli po zderzeniu się z kulą ⁼    + ^) cl

mx + rn2 v\ = (1 + k) cx

po uderzeniu zaś o masę m₃:

Prędkość masy ms po zderzeniu się z masą m₂:

mx

• ' Ss

mi +

m₃i— km8 • m2 4~ ¹⁷¹3

V = l¹ + k)

Podstawiając jak wyżej:

m₃ + m%

= (i + kY ci

TOj

rnx -f- m₂ rn₂ m₃

v'₂ = 2 sin /gl-

o trzymamy:

sin

a₃

sin —^ . (1 + k)

m₂ — kmz

“I- W2

m₂ -f- m₃

rnx

a₃

771

sin . —- # (14- fc)²

2    mx 4" w₂ m2 + w3

Wartości liczebne: a₂ — 13°16'; a₃ — 36°32'.

702. Ciężar drąga    Moment bezwładności względem O:

sm

³    <7

Prędkość dolnego końca drąga w najniźszem położeniu: v₁ ■= l 6.

= J 0² wypadnie: 14 =&|/³^-

Na mocy równania ruchu: Qx —

2

Masa drąga zredukowana na dolnym końcu: mx =

H i CO

Q,

Prędkość ciężaru Q₂ po uderzeniu: v₂ —

• O¹

m₂

Qi + 3

Z równania pracy i energji kinetycznej: wypadnie:    x =

Qi

4    \    4- ³ 0,2

=

= 15,07 m.

703. Prędkość cx , z jaką koniec drąga uderza o sześcian, można

leźć na zasadzie równania energji: E — E₀ = L = pracy;

' :'*v

zna-¹

albo:

| Ti Pv=

Ql • — • (i — cos «).

W tem oznacza: Ix = ^ mi l² mom. bezwładn. drąga względem O. 0 — jego prędkość kątową w chwili uderzenia.

Stąd \vynika: cx = Z0 = ]/3<^ (1 —

cos

a).

Masa drąga zredukowana do jego . dolnego końca: m\ =    =

|    a².

9

- 2 9l.

T £ '

Mom. bezwładn. sześcianu względem 0₂:

Masa, zredukowana do punktu A: m'₂ —

Ua-t

Prędkość punktu A po uderzeniu:

m\

= C1 C¹ + k)

— ci (i k)

Qt

4- r/i'₂

Energja kinetyczna sześcianu po uderzeniu:

E₂ = \m'₂v₂² —

+ k)²

(Qi + 2 Q₂)²

Qi + ² Q₂

l . (1 — cos a).

l = Q₂~ (t/2

Praca, niezbędna do przewrócenia sześcianu: a ponieważ powinno być: E₂ ^ L, stąd wynika:

I (t/a

704. Redukując masę m₂ belki do punktu M, otrzymamy,

m\ =

i);

cos a < 1

a²

cdł-.

m₂.

Prędkość masy mx po uderzeniu:

= ci ~

2cl

1— m2

3m: -f- m₂

przyczem

ci

= )/2gh.

1 _|_ ¹

Punkt A pierwotnie nieruchomy po uderzeniu zyskuje prędkość:

v₂ =

2c₁

7/P,

m.

skąd wynika: 0 = ——

ci

6m₁

3m₁+ ?/<₂

705-    2 wyrażenia energji kinetycznej drąga otrzymamy prędkość w punk-

3^ sin a . b²

cie uderzenia B:

ci² =

Prędkość tegoż punktu po uderzeniu wypadnie z równości:

cx—v i =

c i (1 ~t~ k)

m' x

m,

albo, zakładając rn₂ = co (punkt. B jest nieruchomy):

3g sin (j . ó²

vx = — lccx.

Następnie jak wyżej:

vx ²

Stąd wypadnie: k =

sin |j sin a

706. Moment bezwładn. płyty względem osi XX: I = m₂ h². Masa jej, zredukowana do punktu A:

Prędkość punktu A po uderzeniu: v₂ — cI(l-f-A:)

- Po podstawieniu k = 1, wypadnie: • v₂ = cx.

| Aby płyta mogła odchylić się do położenia poziomego, należy spełnić

\m\ v₂2 = m₂g .

równanie energji i pracy:

VT

m'ż — t⁷2- m₂.

Skąd wypadnie: <4 =

707. Masa pręta zredukowana do punktu A: m '

l²

12a²

Prędkość środka (7 po uderzeniu:

1 -f-

gdyż masa:    = co (punkt A nieruchomy).

Prędkość kątową 0 pręta względem środka C po uderzeniu otrzymamy

z zależności: a 6 =

m! x

rn

Prędkość zaś w punkcie AL z wzoru: V, =    -f- CtQ — — c^k.

Prędkość ta jest więc wcale nieżależna od odległości U.

708. Prędkość kątowa drąga względem środka (7 po uderzeniu:

Ci(l + k)

m₁[j²

gdzie m! x oznacza masę drąga, zredukowaną do punktu uderzenia: m' ₁ = p — oznacza promień bezwładności drąga względem środka C.

Aby 0 zyskało maximum, wyrażenie: nimum, co nastąpi pod warunkiem: x = p.

W takim razie wypadnie: 0

709. Jeżeli wspólny środek masy młota i trzonka leży w punkcie (7, masy zaś samego młota w C₁₅ oraz jeżeli oznaczymy: (7(7 = 2; CCx=y i promień bezwładności młota względem C przez p, w takim razie:

zy = p²;    7 = (m + jta) p² = mom. bezwładn.

max

x²

/    o²\

A’ I 1 -j- -l— I powinno zyskać mi-

2P

a zatem:

ULA

■ Lx + A

vC ^

(m + jxa) p²= Ix + my² + [ix ~ +

1Z

m -f [aa.

2 = a -j- a

8.6

gdzie /j

się równanie: [ix²(x -f- 3CL) = 6 fl.

oznacza mom

. bezwładn. młota m względem Cl- Stąd otrzymuje

710- Powinno być: y Ą-r —

my¹

gdzie Ix oznacza mom. bezwład, tar-

czy względem osi X. Z wyrażenia: Tx — ^mr²-\~my² znajdujemy: y = 711. Moment ilości ruchu prętów skrajnych względem C i D jest: mc — przed uderzeniem;

10,

po uderzeniu zaś:

3c

6 — prędkość kątowa. Z przyrównania tych wyrażeń wynika: 0 = ——

JiCL

gdzie 1 — mom. bezwład, względem C lub D,

Ponieważ kąt obrotu prętów skrajnych wynosi cp = J-7U, zatem czas, upły-

47za

wający do chwili uderzenia: t

712- Wielkość uderzenia określa się równaniem: /(0' — 0) = —- Na, gdzie I — mom. bezwład, względem AC,

N — siła uderzenia w punkcie B.

i wreszcie: v = 0.0'. mab

Jeżeli środek E płyty zyskuje po uderzeniu prędkość v, wówczas: mv = jV,

Stąd otrzymuje się: 6' — i 0; N =

713. Przyrównywając momenty ilości ruchu sześcianu przed i po ude-

rżeniu wżględem M, otrzymamy:    mc .

gdzie I = ma² mom. bezwładn. względem A,

0 — prędkość kątowa po uderzeniu.

Stąd żądana prędkpść środka C sześcianu: v =

Energja kinetyczna po uderzeniu:

Przyrównywając ją do pracy, niezbędnej na przewrócenie sześcianu:

m9 Ą- (j/2 —

otrzymamy warunek: . c² ^ fga (\/2 -— 1).

714- Przyrównywając momenty ilości ruchu względem A przed i po uderzeniu, otrzymamy:

i/0².

1),

gdzie I

9 — jego prędkość kątowa ^o uderzeniu. '

mom

a0

|/2

= łc l/2.

. bezwładn. prostopadłościanu względem A,

W takim razie:

36cx

53 a

Aby prostopadłościan przewrócił się, jego energja kinetyczna powinna być większą od pracy, niezbędnej na przewrócenie:

^(1 + m₁ . AB²) 0² > (mŁ -f- m₂) g (AC — fffl),

przyczem C jest wspólnym środkiem obydwóch mas.

Ponieważ ALC = V

AB = -|~ł/l3,

zatem:

■iM

i#

lb

*#tr

v*

c,.

b'\

:)

(

*

\

V

1

POLITECHNIKA KRAKOWSKA BIBLIOTEKA GŁÓWNA

L^Tnw.

Kdn. Zam. 480/55 20.000

M

Pl

■

wm

Biblioteka Politechniki Krakowskiej

Hf

100000298962

¹

   7 '