WYDZIAŁY POLITECHNICZNE KRAKÓW

BIBLIOTEKA GŁÓWNA

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GEOMETRISCHE AUFGABEN

UND LEHRBUCH DER GEOMETRIE.

PLANIMETRIE — STEREOMETRIE EBENE UND SPHÄRISCHE TRIGONOMETRIE.

NACH KONSTRUKTIV-ANALYTISCHER METHODE BEARBEITET

VON

Dr. M. SCHUSTER,

PROFESSOR AN DER OBERREALSCHULE ZU OLDENBURG.

AUSGABE A: FÜR VOLLANSTALTEN.

ERSTER TEIL: PLANIMETRIE.

ZWEITE, NACH DEN PREUSSISCHEN LEHRPLÄNEN VON 1901 UMGEARBEITETE AUFLAGE.

MIT ZWEI LITHOGRAPHIERTEN TAFELN.

LEIPZIG UND BERLIN,

DRUCK UND VERLAG VON B. G. TEUBNER. 1903.

KRAKÓW

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ALLE RECHTE,

EINSCHLIESSLICH DES ÜBERSETZUNGSRECHTS, VORBEHALTEN.

Vorwort.

„Die Jugend regt sich, wenn sie fühlt, daß sie etwas kann; und das Gefühl des Könnens muß man ihr schaffen.“

(Herbart, Umriß pädagogischer Vorlesungen.)

Das vorliegende Buch ist im Gegensatz zu anderen Aufgabensammlungen zum durchaus selbständigen Gebrauch beim Unterricht bestimmt. Deshalb sind die Aufgaben nur innerhalb der einzelnen Abschnitte methodisch geordnet; diese selbst aber schließen sich in ihrer Gliederung und in ihrer Folge streng systematisch an einander und an die amtlichen Lehrpläne an, sodaß sich auf ihnen das ganze planimetrische Lehrgebäude lückenlos und folgerichtig aufbaut.

Der allgemeine Plan für die Auswahl und Anordnung der Aufgaben ist folgender. Der zu entwickelnde Satz wird zuerst an einfachen Einzelfällen in seinen Umrissen anschaulich erkennbar gemacht; dann wird durch geeigneten Wechsel in den Elementen und ihren Bezeichnungen das -Wesentliche seines Inhaltes vom Nebensächlichen geschieden und er selbst auf die der betreffenden Stufe angepaßte abstrakte Form gebracht. Aus dieser werden bemerkenswerte Sonderfälle und Lösungsmethoden für neue Aufgaben abgeleitet, um letztere dann in Verbindung mit bereits Bekanntem zur Quelle neuer Erkenntnis zu machen.

Somit nimmt das Buch in planmäßigem Wechsel zwischen induktivem und deduktivem Verfahren, in stetem Umsatz von Wissen in Können, von Energie in Arbeit die Methode des arithmetischen Unterrichts zum Vorbild; es sucht ferner „nicht bloß die Beobachtung für sinnliche Dinge zu schärfen, sondern vorzüglich, geometrische Phantasie zu wecken und damit das arithmetische Denken zu verbinden“ (Herhart a. a. 0. § 253).

Dieser Anordnung entsprechend zerfallen die Aufgaben in zwei Klassen: solche, deren Ergebnisse für den Weiterbau des Systems wichtig sind, und solche, die als Übungsbeispiele nur vorübergehenden Wert besitzen. Die Aufgaben der ersten Klasse sind durch einen

Stern hervorgehoben. Sie nehmen einen so knapp als möglich bemessenen Raum ein, sodaß sie auch bei beschränkter Zeit und sonstigen äußeren Hindernissen bequem erledigt und durch Übungsbeispiele ausreichend gestützt werden können. Anderseits war es das Bestreben des Verfassers, den Übungsstoff so reichhaltig und vielseitig zu gestalten, daß dem Geschmack des Lehrers und seiner persönlichen Methode voller Spielraum bleibt, und die Unterabteilungen der einzelnen Nummern sind so zahlreich, aber auch so nahe verwandt, daß für häusliche Arbeiten, die nicht bloß die Einübung von Formen bezwecken, sondern einen Wertmesser für selbständige Leistungen abgeben sollen, immer nur einer Gruppe von wenigen Schülern die nämliche Aufgabe gestellt zu werden braucht, während die schulmäßige Vorbereitung für alle gleichzeitig und von einheitlichem Gesichtspunkte aus erfolgen kann.

An die Aufgaben jedes Abschnittes schließt sich eine systematische „Zusammenfassung“ von Erklärungen (A) und Lehrsätzen (B). Die Stichworte für die Erklärungen und die Hinweise auf die in den Zusammenfassungen enthaltenen Ergebnisse sind im Texte der Aufgaben durch Sperrdruck hervorgehoben; die Lehrsätze sind in ihrer Bedeutung für das System durch dreifach abgestuften Druck als unbedingt notwendig, wünschenswert oder nebensächlich gekennzeichnet. Um die Aufgabensammlung namentlich auf höheren Klassen 1 auch als Nachschlagebuch benutzen zu können, ist ein Sachverzeichnis angefügt. Dasselbe soll zugleich als Wörterbuch für Verdeutschungen dienen, von denen einige, z. B. „Maßkreis“ für Transporteur, (vgl. „Maßstab“), „Ringkreise“ für konzentrische Kreise neu sein dürften. Indessen glaubte der Verfasser, in der Ausmerzung von Fremdwörtern nicht allzuweit gehen zu sollen; z B. sind Ausdrücke wie kongruent, symmetrisch, parallel, Projektion, Diagonale, Hypotenuse, Kathete, Potenz, ferner die üblichen Vierecksbezeichnungen in Ermangelung ungekünstelter und mathematisch unzweideutiger Übersetzungen unbeanstandet gelassen.

Figuren sind nur in beschränkter Zahl und nur solchen Aufgaben beigegeben, auf welche im Laufe des Unterrichts öfters zurückgegrfffen werden muß. Um sie gegebenenfalls ohne Umblättern betrachten zu können, sind sie nicht in den Text gedruckt, sondern auf besonderen Tafeln untergebracht. Diese Einrichtung ermöglicht auch die gleichzeitige Erörterung dualistisch verwandter Figuren bei Wiederholungen, sowie eine Benutzung der Tafel bei geschlossenem Buche. Im übrigen sollen die Schüler sich gewöhnen, mit dem Bleistift in der Hand zu arbeiten; denn das Skizzieren von Figuren sowohl, wie die saubere Ausführung von Zeichnungen sind gerade die Punkte, wo die Selbstbetätigung zuerst einsetzen muß, und die fruchtbarste Vorbereitung für die verstandesmäßige Durchdringung und Verarbeitung der sinnlichen

Anschauung. „Sinnliche Vorstellungen in gehöriger Stärke machen die sicherste Grundlage für einen Unterricht aus, dessen guter Erfolg abhängig ist von der Art, wie der Zögling die Vorstellungen des Räumlichen innerlich bildet“ (Herbart, a. a. 0. § 102).

Oldenburg, den 10. August 1899.

M. Sclmster.

Vorwort zur 2. Auflage.

Meine Absicht, die schulmäßige Behandlung der Geometrie vorzugsweise auf konstruktive Grundlage zu stellen, und die Art ihrer Ausführung haben, soweit mir bekannt geworden, allgemeine Zustimmung gefunden, die bedeutsamste durch die „Lehrpläne und Lehraufgaben für die höheren Schulen in Preußen“ vom Jahre 1901. Sie bezeichnen als „wichtigste Aufgabe des mathematischen Unterrichts die Schulung des Geistes, Avelche den Schüler befähigt, die erworbenen Anschauungen und Kenntnisse in selbständiger Arbeit richtig anzuwenden“ und „empfehlen“ insbesondere in der Planimetrie, „nur die für das System unentbehrlichen Sätze einzuprägen, alles andere aber als Übungsstoff, womöglich in der Form von Aufgaben zu behandeln“.

Es handelte sich demnach bei der Bearbeitung der 2. Auflage vor allem darum, die Eigenart des Buches zu wahren und nur in der Verteilung des Stoffes die durch die neuen Lehrpläne bedingten Änderungen vorzunehmen. Im wesentlichen sind es folgende:

1. Die „Inhaltsberechnung“ (Abschnitt VI in der 1. Auflage) ist als Abschnitt X hinter die „Flächengleichheit“ zurückgestellt worden.

2.    Die Aufgaben über Proportionalität gerader Linien am Kreise und über stetige Teilung (l. Auflage XVI, 1—8) sind an Abschnitt XII angegliedert worden.

3.    Der Abschnitt XV der 1. Auflage ist in zwei Teile: „XV. Anwendungen der Algebra auf die Geometrie“ und „XVI. Konstruktionsaufgaben mit algebraischer Analysis“ zerlegt, die rein konstruktiven Aufgaben des früheren Abschnittes XV aber sind an anderer Stelle eingereiht worden.

Um jedoch die Weiterbenutzung der 1. Auflage neben der zweiten zu ermöglichen, ist allen in ihrer Stellung veränderten Aufgaben die Nummer der 1. Auflage in Klammer beigefügt.

Den zahlreichen Freunden, die das Buch sich und mir erworben hat, sage ich für das bewiesene Interesse meinen herzlichsten Dank und verbinde damit die Bitte um Erhaltung ihres freundlichen Wohlwollens.

Oldenburg, den 16. März 1902.

M. Schuster.

Inhalt.

Seite

Abschnitt I. Die Raunigrößen.

Die Arten der Raumgrößen. (1—6).............

Wesentliche Merkmale. (7—9)...............

Einteilung der Flächen und Linien. (10—15)........

Erzeugung der Raumgrößen durch Bewegung. (16—19)    . . .

Teilung der Raumgrößen. (20—22).............

Abschnitt II. Der Winkel.

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Abschnitt III. Das Dreieck.

Seiten und Winkel. (1—5).............,

Mittellinien, Winkelhalbierende, Höhen. (6—14). . .

Die Winkelsumme des Dreiecks. (15—22).......

Rechtwinklige Dreiecke. (23—26)..........

Stumpfwinklige Dreiecke. (27—28).........

Winkel mit paarweise senkrechten Schenkeln. (29—30)

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Abschnitt IY. Das gleichschenklige Dreieck.

Symmetrische Beziehungen. (1—9)...............

Sonderfälle. (10—16)...................

Anwendungen des gleichschenkligen Dreiecks. (17—23).....

Beziehungen zwischen Seiten und Winkeln im ungleichseitigen Dreieck. (24—29).....................

16

17

18

19

Abschnitt Y. Das Yiereck.

Parallele Linien. (1—6)    .........

Das Parallelogramm. (7—12)........

Anwendungen des Parallelogramms. (13—21) Besondere Parallelogramme. (22—26)....

Das Trapez. (27—31)...........

Das allgemeine Yiereck. (32—34)    . . . .. .

21

22

23

25

25

26

Abschnitt YI. Örter und Kongruenzsätze.

Der Kreis als Ort. (1—2)...............

Beziehungen zwischen den Seiten eines Dreiecks. (3—5) .

Kongruenz von Dreiecken. (6—10)...........

Anwendungen der Kongruenz. (11—19).........

Unvollständige Kongruenz. (20—22)..........

Die Gerade als Ort. (23—28)..............

29

29

30

31

32

Abschnitt VII. Der Kreis.

Lage eines Punktes, einer Geraden, eines Kreises zu einem Kreise.

(1-6)....................

Symmetrie des Kreises. (7—14)........ .

Winkel am Kreise. (15—21)...........

Der Umfangswinkel auf dem Durchmesser. (22 — 31)

Der Ortsbogen. (32—40).............

Seite

. 35

36

37

38

40

Abschnitt VIII. Kreisvielecke.

Das Dreieck als Sehnendreieck. (1—5).............

Das Dreieck als Tangentendreieck. (6—9). ...........

Das Sehnenviereck. (10—16)..................

Das Tangentenviereck. (17—20)................

Beziehungen zwischen Umkreis, Inkreis und anderen Kreisen des Dreiecks. (21—27).....................

44

45

45

47

47

Abschnitt IX. Flächengleiclilieit.

Verwandlung eines Dreiecks. (1—8)..............

Verwandlung eines Parallelogramms. (9—16)..........

Verwandlung von Vielecken in Dreiecke, Rechtecke, Quadrate.

(17—19)..........................

Der pythagoreische Lehrsatz. (20—22).............

Anwendungen des pythagoreischen Lehrsatzes. (23 — 25).....

Teilung von Figuren. (26—34).................

51

52

53

53

54

55

Abschnitt X. Inkaltsbereclmung.

Das metrische Flächenmaß. (1—5).........

Das Rechteck. (6—13)...............

Das Parallelogramm und das Dreieck. (14—20) . . .

Das Trapez. (21—23)...............

Das w-Eck. (24—29)...............

57

57

59

60

61

Abschnitt XI. Streckenverliältnisse.

Innenteilung einer Strecke. (1—5) ..........

Geometrische Verhältnisgleichungen. (6—9)......

Winkel mit Parallelen. (10—16)...........

Außenteilung einer Strecke. (17—23).........

Strahlenbüschel und Parallelenscharen. (24—31) . . . . Irrationale Verhältnisse. (32—33)...........

62

63

63

64

66

67

Abschnitt XII. Verhältnisse am Dreieck und am Kreise.

Teilverhältnis der Mittellinien eines Dreiecks. (1—4).......

Teilung einer Dreiecksseite durch die Winkelhalbierenden. (5—10)    70

Verhältnis der Höhen eines Dreiecks. (11—15)

Mittlere Proportionalen im rechtwinkligen Dreieck. (16—20) ...    72

Verhältnis der Flächen zweier Dreiecke. (21—25)

Verhältnisse am Kreise. (26—33)........

69

71

73

Abschnitt XIII. Ähnlichkeit.

Ähnlichkeitssätze für Dreiecke. (1—5)......

Anwendung ähnlicher Dreiecke. (6—15).....

77

Seita

Geodätische Anwendungen. (16—21).....

Der Flächeninhalt ähnlicher Dreiecke. (22—28)

Ähnliche Vielecke. (29—33).........

Ähnlichkeit der Kreise. (34—36)......

79

81

82

82

Abschnitt XIV. Regelmäßige Figuren, Kreisberechnung.

Konstruktion regelmäßiger Vielecke aus dem Halbmesser des Umkreises. (1—6).......................

Konstruktion regelmäßiger Vielecke aus Seiten und Diagonalen.

(7-10) ..............................

Berechnung der Seiten regelmäßiger Vielecke. (11—15).....

Berechnung der Diagonalen, Halbmesser und Inhalte. (16—21). .

Regelmäßige Tangentenvielecke. (22—23)...........

Berechnung des Kreisumfangs. (24—33)............

Berechnung der Kreisfläche. (34—37).............

84

85

85

86

87

87

89

Abschnitt XV. Anwendungen der Algebra auf die Geometrie.

Algebraische Summen von Strecken. (1—7)...........

Darstellung des Unterschiedes zweier Dreieckswinkel. (8—15) . . Algebraische Anwendungen des pythagoreischen Lehrsatzes. (16—28)

Erweiterung des pythagoreischen Lehrsatzes. (29—37)......

Die Ankreise des Dreiecks. (38—46)..............

Der Satz des Ptolemäus. (47—51)...............

Regelmäßige Vielecke und Sternfiguren. (52—57)........

Ortsringkreise und Ortsparallelen. (58—68)...........

92

93

95

97

98

100

100

101

Abschnitt XVI. Konstruktionsaufgaben mit algebraischer Analysis.

Gleichungen ersten Grades. (1—12)

Dreieckskonstruktionen durch vierte Proportionalen. (13—20) . .    107

Dreieckskonstruktionen durch mittlere Proportionalen. (21—24) .    109

Gleichungen zweiten Grades. (25—37)

106

109

Abschnitt XVII. Potenzlinien und Potenzpunkte.

Die Potenz eines Punktes. (1—4)...............

Die Potenzlinie zweier Kreise. (5—10).............

Der Potenzpunkt dreier Kreise. (11—14)............

Sonderfalle der Potenzlinie und des Potenzpunktes. (15—20). . .

Die Potenzlinie als Ort. (21—34)...............

Andere Potenzörter. (35—42).................

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114

115

118

Abschnitt XVIII. Harmonische Punkte und Strahlen.

Harmonische Punkte. (1—8)................

Harmonische Vierstrahlen. (9—14)..........• . . .

Der Satz des Menelaus. (15—20).............

Der Satz des Ceva. (21—26)................

Das Vierseit. (27—35)...................

Der Satz des Pascal. (36—42)...............

121

122

123

124

125

127

Abschnitt XIX. Pole und Polaren.

Die Polare eines Punktes und der Pol einer Geraden. (1—7) . . Die Polaren einer Punktreihe und die eines Büschels. (8—11) . .

131

Seite.

Polare Beziehungen zwischen Sehnen- und Tangentenviereck. (12—15)    132

132

Der Satz des Brianchon. (16—20)...............

133

Polare Figuren. (21—22)...................

Beziehungen zwischen Polaren und Potenzlinien. ^23—26).    . . .    133

Abschnitt XX. Ähnlichkeitspunkte und Ähnlichkeitsachsen.

Ähnlichkeitspunkte und Ähnlichkeitsstrahlen. (1—6)......

Perspektivische Transversalen. (7—13).............

Die Ähnlichkeitspunkte zweier Kreise. (14—23)    .......

Die Ähnlichkeitspunkte des Umkreises und des Feuerbachkreises.

(24—27)..........................

Die Berührungsaufgabe des Apollonius. (28—34)........

Ähnlichkeitsachsen. (35—39).................

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139

141

142

Maßzahlen und Lagenbezeichnungen Sachverzeichnis........

146

148

Druckfehler.

S. 111 Z. 5 v. u. statt: „der beiden anderen Seiten“

lies: „der Quadrate der beiden anderen Seiten“.

I. Die Eaumgroßen.

Die Arten der Raumgrößen.

*1. (Körper, Flächen, Linien.) Was ist ein Würfel? Wovon wird er begrenzt? Wie viele Kanten und Ecken hat er? Was sind seine Kanten? Was sind seine Ecken? — Fertige aus Pappe einen Würfel an, dessen Kanten je 10 cm lang sind. Ergebnis: Zusammenfassung 1, 2.

2.    Beschreibe îl) eine Zigarrenkiste, l>) das Schulzimmer, c) Nenne andere Körper, welche die Gestalt eines vierseitigen Prismas haben.

3.    Beschreibe einen sechskantigen (ungespitzten) Bleistift. Zu welcher Art von Prismen gehört er?

4.    Beschreibe a) ein dreiseitiges, IV) ein fünfseitiges, c) ein achtseitiges Prisma. Fertige aus Pappe Modelle dieser Körper an.

5.    Welche Gestalt gaben die alten Ägypter den Grabmälern ihrer Könige? Was sind die Seitenflächen einer Pyramide? Was ist die Grundfläche einer vierseitigen Pyramide?

6.    Beschreibe a) eine sechsseitige, b) eine dreiseitige, c) eine zehnseitige Pyramide. (Pappmodelle!)

Wesentliche Merkmale.

*7. (Ausdehnungen.) Bestimme durch Messen die Länge und Breite des Fußbodens, sowie durch Schätzen die Höhe der Wände. Beschreibe hiernach das Schulzimmer. Ergebnis: Zusammenfassung 3, 4.

8. Miß die Kanten a) der Wandtafel, b) deines Griffelkastens, c) deiner Tischplatte, d) der Tür, e) des Klassenschrankes. Beschreibe hiernach diese Körper und ihre Begrenzungsflächen.

Schuster, Planimetrie A².

I. Die Raumgrößen.

9. Wie nennt man die Ausdehnungen a) eines Zimmers, b) eines Buches, c) eines Grabens, d) des Fußbodens, e) einer Wandfläche, f) einer Tischkante?

Einteilung der Linien und Flächen.

*10. (Gerade und krumme Linien.) Auf wieviel Wegen kann man von einem Punkte A nach einem anderen Punkte B gelangen? Welcher Weg ist der kürzeste?

Ergebnis: Zusammenfassung 5, 6.

11. Nenne Flächen, die a) von geraden, b) von krummen, C) von geraden und krummen Linien begrenzt werden.

*12. (Strecke, Strahl, Gerade.) a) Durch wieviel Punkte wird die Lage und die Richtung einer geraden Linie bestimmt? b) In welchem Falle bestimmen diese Punkte noch etwas anderes als Lage und Richtung? c) Wie kann eine gerade Linie begrenzt sein?

Ergebnis: Zusammenfassung 7.

*13. (10.) (Ebene und gekrümmte Flächen.) Von was für Flächen wird eine runde Blechbüchse begrenzt? Nenne und beschreibe andere Körper, welche die Gestalt eines Zylinders haben.

Ergebnis: Zusammenfassung 5.

14.    (11.) Inwiefern ist der Zylinder ein Prisma? Wie nennt man eine Pyramide, deren Grundfläche ein Kreis ist? Von was für Flächen wird ein Kegel begrenzt?

15.    (12.) Nenne Körper, die a) von lauter gekrümmten Flächen, b) von einer einzigen gekrümmten Fläche begrenzt werden.

Erzeugung der Rauingrößeu durch Bewegung.

*16. (13a, 14.) (Erzeugung einer Linie.) a) Was wird durch die Spitze des Zeichenstiftes erzeugt, wenn man sie auf dem Papiere fortbewegt? Was für eine Linie beschreibt der Mittelpunkt b) einer aufsteigenden Leuchtkugel, c) eines Billardballes, d) eines am Faden schwingenden Balles, e) eines Schneeballes, f) der Erde; ferner die Spitze g) eines Uhrzeigers, h) eines Uhrpendels?

*17. (13b, 15.) (Erzeugung einer Fläche.) Was für eine Fläche wird erzeugt a) durch den Stab eines Rollvorhangs beim

Niederlassen, b) durch das Aufklappen eines Fächers, c) durch die Aufwärtshewegung einer sich gleichmäßig verkürzenden geraden Linie?

*18. (13c, 16.) (Erzeugung eines Körpers.) Was für einen Körper erzeugt die Bewegung eines Rechtecks a) beim Aufziehen einer Schublade, b) heim Aufziehen einer Ziehharmonika, c) beim Auf klappen eines Buches, tl) beim Ölfnen einer Tür? e) Was für ein Körper entsteht durch die Drehung eines Kreises um seinen Durchmesser? (Münze als Kreisel!) Ergebnis von 16—18: Zusammenfassung 8.

19. (17.) Auf welche Art kann entstehen a) ein Würfel, b) ein sechsseitiges Prisma, c) eine sechsseitige Pyramide, d) ein Zylinder, e) ein Kegel, f) eine Kugel?

Teilung der ßaumgrößen.

*20. (18.) (Teilung einer Linie.) Ziehe eine Strecke MO von 48 mm Länge und teile sie (mittels des Maßstabes) a) in 2, b) in 3, c) in 4 gleiche Teile.

*21. (19.) (Teilung einer Fläche.) Zeichne ein Viereck AKLM und ziehe die Diagonale AL. In welche Teile wird das Viereck geteilt?

*22. (20.) (Teilung eines Körpers.) Was für ein Körper wird geteilt, und durch welche Fläche wird die Teilung bewirkt a) beim Zersägen eines Baumstammes, b) beim Spalten eines Holzscheites, c) beim Zerschneiden eines Apfels, d) heim Anspitzen eines Bleistiftes, e) heim Anschneiden eines Brotes ? Ergebnis von 20—22: Zusammenfassung 9.

Zusammenfassung.

1.    Es gibt drei Arten von Raumgrößen: Körper,. Flächen, Linien.

2.    Die Fläche ist die Grenze des Körpers, die Linie die Grenze der Fläche. Die Grenze der Linie ist der Punkt. Der Körper ist ein begrenzter Teil des Raumes.

3.    Die Raumgrößen unterscheiden sich durch die Zahl ihrer Ausdehnungen. Der Körper hat drei Ausdehnungen: von links nach rechts, von vorn nach hinten, von oben nach unten. Die Fläche hat zwei Ausdehnungen, die Linie nur eine.

4.    Die Ausdehnung der Linie heißt Länge; die Ausdehnungen der Fläche nennt man gewöhnlich Länge und Breite, die des Körpers Länge, Breite und Höhe.

5.    Wir teilen die Linien ein in gerade und krumme, die Flächen in ebene und gekrümmte.

6.    Die gerade Linie ist der kürzeste Weg zwischen zwei Punkten. Sie wird also durch zwei Punkte bestimmt.

7.    Eine gerade Linie heißt Strecke, Strahl oder Grerade, je nachdem sie beiderseits oder nur auf einer Seite oder gar nicht begrenzt ist.

8.    Eine Linie entsteht durch Bewegung eines Punktes, eine Fläche durch Bewegung einer Linie, ein Körper durch Bewegung einer Fläche.

9.    Eine Linie wird durch Punkte geteilt, eine Fläche durch Linien, ein Körper durch Flächen.

II. Der Winkel.

Entstehung eines Winkels.

*1. (Bezeichnungen.) Ziehe von einem Punkte K aus zwei Strahlen KAL und KP. Wie heißt der von ihnen eingeschlossene Winkel? Welches ist sein Scheitel? Welches sind seine Schenkel?

Ergebnis: Zusammenfassung A 1.

2. a) Zeichne ein Dreieck ABC. Nenne seine Winkel, ihre Scheitel und ihre Schenkel. t>) Desgl. für ein Viereck, c) Desgl. für die zu I, 21 gezeichnete Figur.

Fig. i. *3. (Erzeugung eines Winkels.) Welche Bewegung muß der Strahl KM ausführen, um den Winkel MKP zu erzeugen? Welchen Weg beschreibt dabei ein Punkt A des Schenkels KAI? Wodurch wird ein Winkel gemessen? Ergebnis: Zusammenfassung A 2.

Rechte und gestreckte Winkel.

*4. (Der rechte Winkel.) Was für einen Winkel schließen je zwei Kanten der Wandtafel ein? Wie groß ist der Bogen eines rechten Winkels?

Ergebnis: Zusammenfassung A 3, 4.

5. a) Nenne andere Linien, die rechte Winkel einschließen. lb) Um wieviel Uhr bilden die Uhrzeiger einen rechten Winkel?

c) Welche Windrichtungen stehen senkrecht aufeinander?

*6. (Senkrechte und Lot.) a) Errichte (mittels Lineal und Winkelscheit) auf der Geraden AB im Punkte C die Senkrechte. 1)) Fälle auf die Gerade AB von einem Punkte D das Lot.

Ergebnis: Zusammenfassung A 5.

*7. (Der gestreckte Winkel.) Zeichne einen Winkel, der doppelt so groß ist wie 1 R. Wie groß ist der Bogen eines gestreckten Winkels? Wie liegen seine Schenkel? Ergebnis: Zusammenfassung A 6.

8. a) Um wieviel Uhr bilden die Uhrzeiger einen gestreckten Winkel? 1)) Welche Windrichtungen bilden einen gestreckten Winkel?

Einteilung in Grade.

*9. (Der Maß kr eis.) Zeichne einen gestreckten Winkel AZT, teile seinen Halbkreis durch die Punkte B, C, D u. s. w. in 18 gleiche Teile¹), ziehe die Halbmesser nach den Teilpunkten und teile dann die Bogen AB, BC u. s. f. nach dem Augenmaß erst in je 2, dann jede Hälfte in 5 gleiche Teile. Wieviel Grad hat îl) ein gestreckter, 1>) ein rechter, c) ein Vollwinkel? (Jahreslauf der Erde.)

Ergebnis: Zusammenfassung A 7.

10.    Bestimme mittels des Maßkreises die Größe der Winkel a) eines (selbstgezeichneten) Dreiecks, t>) eines Vierecks.

11.    Mittels des Maßkreises soll an einen Strahl OX im Punkte 0 ein Winkel von a) 20°, lb) 50°, c) 130°, (1) 64°, e) 152°, f) 77,5°, g) 101,5° angetragen werden.

*12. (Spitze, stumpfe und erhabene Winkel.) Welche von den in 11 genannten Winkeln sind spitz, welche stumpf?' Was ist ein erhabener Winkel?

Ergebnis: Zusammenfassung A 8.

13. Welchen Winkel bilden die Uhrzeiger (vom großen aus in der Richtung ihrer Drehung gerechnet) um:

a) 3h C) lh Tb) 6h d) 2h

« SfH

4h

7h

5h

i) 9¹ 1) llh

8h k) 10h    m) 12h?

14.    Wieviel Grad legt der große Zeiger a) in 60m, b) in lm, C) in 8m, d) in 25“, e) in 31m, f) in 100m, g) in tm zurück? Beantworte dieselben Fragen für den kleinen Zeiger.

5h 20m die XII über-5h 20“?

15.    Wieviel Grad hat der kleine Zeiger von 5h Om bis 5h 20ra zurückgelegt? Um wieviel Grad hat er um 5h 20“ die XII überschritten ? Um wieviel Grad hat der große Zeiger um schritten? Welchen Winkel bilden die Uhrzeiger um

16.    Wo stehen die Uhrzeiger und welchen Winkel bilden sie um:

a)    7h    20m    f)    8h    20m    1)    10L    40m    q)    3h    10m

b)    3h    40m    g)    2h    40m    m)    5h    50ra    r)    9h 30m

C)    llh    45ra    h)    10h    35m    u)    8h    25m    s)    12h 45m

d)    lh    42m    i)    4h    8m    0)    9h    36“    t)    7h 22ra

e)    9h    51m    k)    7h    43“    p)    3h    21m    u)    4h 27ra

17. Welchen Winkel bilden die Windrichtungen: mit 0

a) X

l>)

C)

CO CO

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„ SW „ OSO

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x)    WSW

y)    XWzW

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„ so „ wxw „ xxw

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18. Welchen Kurs steuert ein Schilf, wenn der Winkel zwischen Meridian und Fahrtrichtung beträgt:

a)    90° ö

b)    135° w C) 22,5° ö

d)    157,5° w

e)    123,75° ö

f)    56,25° w m) 168,75° ö s) 146,25° ö y) 101,25° ö?

li) 45° ö

„ N „ SO „ SW

„ wxw „ NO „ SzO?

g) 90° w

li)    112,5° w    o)    22,5° w

i)    157,5° ö    p)    180°

k)    67,5° ö    q)    112,5° ö

l)    11,25° w    r)    78,75° w x)

t) 45° w li) 135° ö y) 67,5° w

Nebenwinkel und Scheitelwinkel.

mg. 2,*19. (Erster Xebenwinkelsatz.) Ein Schenkel des Winkels JKS ist über den Scheitelpunkt hinaus verlängert. Wie groß ist Z_ JK TU, wenn Z. JKS a) 60°, b) 140°, c) 52°, d) 27°, e) 131°, f) 67,5°, g) a°, ll) (180 — a)°, i) (90 + «)°,

k) (90 — a)° beträgt? 1) Wie groß ist jeder von zwei gleichen Nebenwinkeln?

Ergebnis: Zusammenfassung A 9; B 1, 2.

nun

*20. (21.) (Zweiter Nebenwinkelsatz.) Halbiere¹) die Nebenwinkel JKS und JKW (Fig. 2) durch KA und KB. Wenn der eine der beiden Nebenwinkel a) 58°, lb) 104°, c) 73°, (1) 135°, 0) «° beträgt: wie groß ist dann AJKA, AJKB, Z_ A KB?

Ergebnis: Zusammenfassung B 3.

21. (22.) (Umkehrung.) Errichte auf der Halbierungslinie eines Winkels im Scheitelpunkt die Senkrechte und beweise, daß sie den Nebenwinkel halbiert.

Ergebnis: Zusammenfassung B 4.

*22. (20.) (Erster Scheitelwinkelsatz.) Verlängere beide Schenkel eines Winkels über den Scheitelpunkt hinaus. Wie viele Nebenwinkel hat jeder Winkel? Wie groß ist jeder Nebenwinkel eines Winkels von a) 70°, 1b) 48°, c) 111°,

d) a°, e) (180 — jS)°?

Ergebnis: Zusammenfassung A 10; B 5.

23. (Zweiter Scheitelwinkelsatz.) a) Berechne den Winkel, den die Halbierungslinien zweier Scheitelwinkel bilden. 1b) Bilde die Umkehrung des gefundenen Satzes und beweise sie. Ergebnis: Zusammenfassung B 6, 7.

Zusammenfassung.

A. Erklärungen.

1.    Zwei von einem Punkte ausgehende Strahlen bilden einen Winkel. Die Linien, welche einen Winkel einschließen, heißen Schenkel; ihr Schnittpunkt heißt Scheitel des Winkels.

2.    Der Winkel entsteht durch Drehung eines Strahles um seinen Anfangspunkt. Er wird durch einen von seinem Scheitel aus geschlagenen Kreisbogen gemessen.

3.    Zum Zwecke der Winkelmessung wird der Kreis zunächst in vier gleiche Teile geteilt.

4.    Ein Winkel, dessen Bogen ein Viertelkreis ist, heißt rechter Winkel (1 R). Seine Schenkel stehen senkrecht aufeinander; jeder ist ein Lot auf dem anderen.

1) Vom Lehrer zu zeigen.

5.    Auf einer Geraden wird in einem Punkte die Senkrechte errichtet; auf eine Gerade wird von einem Punkte das Lot gefällt.

6.    Ein Winkel, dessen Bogen ein Halbkreis ist, heißt ein gestreckter Winkel. Ein gestreckter Winkel ist gleich 2 R; seine Schenkel bilden eine Gerade.

7.    Zum Zwecke genauerer Winkelmessung wird der Kreis in 360 Grade geteilt. Ein rechter Winkel hat also 90°, ein gestreckter 180°, ein Vollwinkel 360°.

8.    Der Größe nach unterscheiden wir ferner spitze (0—90°), stumpfe (90—180°) und erhabene Winkel (180—360°).

9.    Zwei Winkel, die zusammen einen gestreckten Winkel bilden, heißen Nebenwinkel.

10. Zwei Winkel, die denselben Nebenwinkel haben, heißen Scheitelwinkel.

B. Lehrsätze.

1.    Nebenwinkel betragen zusammen 2 R oder 180°.

2.    Wenn zwei Nebenwinkel einander gleich sind, so ist jeder 1 R.

3.    Die Halbierungslinien zweier Nebenwinkel stehen aufeinander senkrecht.

4.    Die im Scheitel eines Winkels auf seiner Halbierungslinie errichtete Senkrechte halbiert den Nebenwinkel.

5.    Scheitelwinkel sind einander gleich.

6.    Die Halbierungslinien zweier Scheitelwinkel bilden eine Gerade.

7.    Die Verlängerung der Halbierungslinie eines Winkels halbiert den Scheitelwinkel.

(19)

(19)

(20)

(21)

(22)

(23

23

III. Das Dreieck.

Seiten und Winkel.

1. (Bezeichnungen.) Ziehe BC = 70 mm; trage daran in B einen Winkel von 50°, trage auf den freien Schenkel 80 mm ab, und nenne den erhaltenen Punkt A. Verbinde A mit C. Wie heißt das entstandene Dreieck? Wie heißen seine Seiten, seine Winkel?

2. Konstruiere das Dreieck ABC aus:

a)    B C = 63 mm, Z. CB A = 105°, AB = 39 mm;

b)    AB = 45 mm, BC = 108 mm, Z. ABC = 33°;

C) B C = CA = 54 mm, Z. B CA — 47°;

d)    CA = 48 mm, AB = 55 mm, Z_ A = 90°;

e)    BC = 72 mm, Z. B = 61°, zl C = 42°;

f)    CA = 67 mm, Z. C = 112°, Z. A = 29°;

g)    AB = 77 mm, Z. A = 65°, Z. 7? = 25°;

h)    B C = 51 mm,    GM =    48    mm,    AB = 36 mm;

i)    AB = 75 mm,    BC =    28    mm,    GM = 54 mm;

k) BC = 56 mm, MT? = MG = 75 mm;

1) AB = BC = CA = 75 mm;

111) B C = 45 mm, Z_ B = 56°, GM =73 mm;

n)    MT? = 64 mm,    7?G =    39    mm,    Z. G = 100°;

o)    MT? = 35 mm,    GM =    49    mm,    Z. 7? = 72°.

*3. (Unbestimmte Maß zahlen.) Zeichne als Musterfigur ein Dreieck ABC. Die Maßzahlen seiner Seiten und Winkel seien:

Z. GMT? = a

Z. AB C = ß (Grad).

Z. 7? GM = y ,

7?G= a

C A = b (Millimeter),

M /? = c

Ergebnis: Zusammenfassung A 1.

4. Konstruiere das Dreieck ABC aus 7?G=a, Z. M7?G= ß, MT? = c. Beschreibe das Verfahren¹).

fl

'rH

s 5*

C7>    «

8 ^ *

PQ

CD

t/2

'S

S C⁴ Œ Cr¹ Ci R "Cö ö

-J

CD

M.

Mittellinien, Winkelhalbierende, Höhen.

*6. (Die Mittellinien.) Halbiere in der Musterfigur (mittels des Maßstabes oder eines Papierstreifens) BC durch E und ziehe die Mittellinie AE. Es sei: AE=m„, AEAC=bma°1 Z. EAB = m/, Z_ AEB — amaQ. a) Wie groß sind die Seiten und die Winkel der entstandenen Teildreiecke?

b)    Welche Gleichungen bestehen zwischen a, 5ma, cma?

c)    Wieviel Mittellinien hat ein Dreieck?

Ergebnis: Zusammenfassung A 2.

1)    Das Anträgen (Verdoppeln, Halbieren) eines räumlich gegebenen Winkels ist (unter Hinweis auf II, A 2) vom Lehrer zu zeigen und zu erklären.

2)    Doppellösungen bleiben bis zum Abschnitt VI grundsätzlich außer Betracht.

g) a ma Tl ama II) ma /-ama Z. cma i) a ß Z. ama

7.    Dreieck aus:

a)    a b

b)    a c

c)    b ma Z_ bma

d)    c ma Tl cma

e)    b y Z_ bma f ) c ß Z_ cma

8.    Dreieck aus: a) a &

1)) b c

c)    a mb Z. amb

d)    b mc Z_ bmc

e)    b cc Z. bmc f ) c a L. cmb

g)    b mb/-bmbx) p) a

h)    c mc Z. cmc

il) a ma T_ cma

o)    a b /-bma

p)    c ma Tl a ma (j) b ma Z. ama

r)    a c /-ama

s)    a & Z. ama

nia

nia

nia

k) a

D &

Beziehungen zwischen Seiten und Winkeln im ungleichseitigen Dreieck.

Unvollständige Kongruenz.

VIII. (IX.) Kreis vielecke.

Teilung von Figuren.

XII. Verhältnisse am Dreieck und am Kreise.1)

Geodätische Anwendungen.

Darstellung des Unterschiedes zweier Dreieckswinkel.

XVI. Koiistruktionsaufgaben mit algebraischer Analysis.

Andere Potenz Örter.

Polare Figuren.

2. Zur Konstruktion von Vierecken.

¹

Nimmt man ZA =■ 57 mm, so ist AB = BC — CD u. s. f. fast genau 10 mm.

nia

D &

Z- b ma

nia

m) a

i) mb Z_ amb Z_ bmb k) mc /-bmc Z_ cmc Z_ bmb ß Z_ cmc

mb

mc

mb

r) b mb Z_ amb S) c mc Z_ bmc t) a b Z_ amb il) & c Z. cmb y) a mb Z_ bmb

w)    b mc Z_ cmc

mb

x)    a b Z_

q) b

m₀

y)    & c Z_ cmc

*9. (Die Winkelhalbierenden.) Halbiere in der Musterfigur den Winkel A durch A F (vergl. Fig. 7). Die Winkelhalbierende A F sei wa mm lang, die zugehörigen Abschnitte von B C seien FB = ua, FC = va. a) Wie groß sind die Seiten und die Winkel der entstandenen Teildreiecke (die Winkel bei F vorläufig ausgenommen)? 1)) Welche Gleichungen bestehen zwischen a, va?

Ergebnis: Zusammenfassung A 3.

aus:

d)    c ua ß

e)    cwa a

f)    b iva a

) c wa ) b wa i) C Ua

10.    Dreieck a) b Va U'a 1) ) C UaW a

<*') b va y

11.    Ziehe in der Musterfigur die Winkelhalbierenden BN und CO.

Es sei: BN—Wß, CO = wY; NC=ub, NA = vb\ OA — uc, OB — vc.    Dreieck aus:

a)    a ub Wß

b)    b uc Wy

c)    a vc ß

d)    b uc cc

g)    a IVyß

h)    ubWßß

e) c wp ß

f ) a wY y

Fig. 5. *12. (Höhen und Seitenprojektionen.) Fälle im Musterdreieck ABC²) die Höhe AB — lia. Die Projektionen³)

1)    Es kann dem Schüler überlassen bleiben, welcher von den beiden Nebenwinkeln bmb Grad betragen soll.

2)    Das Musterdreieck soll vorläufig stets spitzwinklig sein.

3)    Zur Verdeutlichung eignet sich der Schatten eines Stabes auf einem von den Sonnenstrahlen senkrecht getroffenen Schirme.

der Seiten CA und AB auf BC seien DC=pb, DB ~ pc Welche Strecken haben die Maßzahlen 7<ft,    p°b, p®, pbc?

Ergebnis: Zusammenfassung A4, 5.

13.    Dreieck

a) b pba pca })) b c pba C) a c pca

d)    h¹PbaPa

e)    b c h

14.    Dreieck aus: a) b m pc h) b ha

c)    c h A. cm

d)    ma va y

e)    h w

s a a

f)    K ua

s) c K «

aus:

f) b h a

&) Va Va ß

h)    a pca

i)    a b

k) b hc

1) a pcb a

m) .\vc y

n)    c Vb Vb

o)    a pab 13

p)    c h va

q)    a hb pba

r)    b he P;

s)    c Jiapbc

t)    vabß y

u)    vavac ß

XL

P) Vc wa « a) h p w

a xa y

r)    K vb %

s)    a hc ivp

t)    b ha uc

u)    a pab wy

v)    Va vb ß

Die Winkelsumme des Dreiecks.

15. (Summe der Außenwinkel eines Vielecks.) a) Wie Fig- 3. heißen die Außenwinkel des Fünfecks AB CDU? (Fig. 3a.) Durch welche Drehungen sind sie entstanden? Wie groß ist ihre Summe? (Fig. 3b.)

Bestimme ebenso die Summe der Außenwinkel ll) eines Sechsecks, c) eines Achtecks, d) eines Vierecks, e) eines Dreiecks. Ergebnis: Zusammenfassung A 6, Bl.

17. Wie groß ist im Dreieck ABC der Winkel (7,

wenn

a)

b)

c) d) e) f) g)

A A = 43° jLB = 78°

o o tH CM

112°

29°

cm eo

90°

ß°?

(Die Aufgaben f und g sind arithmetisch und geometrisch zu lösen.)

18. Dreieck aus:

ll) b ß y

g) b a ß

i) C a y

*19. (Außenwinkelsatz.) Im Dreieck ABC sei AA = a) 84°, b) 55°, c) 112°, d) a⁰. Wie groß ist die Summe Z_ B -f- A C, und wie groß ist der Außenwinkel bei A? Ergebnis: Zusammenfassung B 3.

f)    a a ß

von

20. Dreieck aus: a) wa a ß b ) Wß ß y C) wa ß y

d)    wy a ß

e)    uad ß

f)    va a y

g) ubß y

11) vb a y

i) Uc a ß

k)    Ua ß y

l)    U₆ a ß m) vcßy

ß A cma f) a AamaAbma y Abma g) & y A ama ll) mb ß A cma i) mc

21. Dreieck aus: a) ma

1)) ma C) ma

d)    a

e)    c A ama A cma k) mc

1) & a A cmb A ama m) b y Z_ amb Z_ amb il) a A bmb A amb Z_ bmc o) c A cmc A amc Z- cmc p) a ß Z_ cmc

*22. (Einteilung der Dreiecke nach den Winkeln.) a) Wie viele rechte Winkel kann ein Dreieck enthalten? b) Wie viele stumpfe Winkel kann es enthalten? c) Wie viele spitze Winkel enthält jedes Dreieck mindestens?

Ergebnis: Zusammenfassung A 7.

Rechtwinklige Dreiecke.

Fig. 4. *23. (Bezeichnungen.) a) Wie groß ist im rechtwinkligen Dreieck ABC (Z_ C = 90°) die Summe der Winkel an der Hypotenuse AB? b) Wie groß ist der Gegenwinkel der

Kathete CA? (/_ A = a°). c) Welches sind die Höhen des rechtwinkligen Dreiecks ABC? d) Wie groß sind die Winkel zwischen den Katheten und der Höhe CD? Ergebnis: Zusammenfassung A 8, 9; B 4.

24.    Rechtwinkliges Dreieck (A. C = 90°)

a)    a b f)

b)    a c c ) b c d ) b a e) a a

25.    Dreieck aus:

a)    bhaß

b)    a hc a

c)    c hc a

d)    ahaß

aus:

q)    a L. amb

r)    b L. bm

'    a

S) a a

1) w v

k)    b Wy    p)    b    ma    u)    pc a

V) Pc a

W) KP"

x)    \ p\

y)    Ka

z)    w a

/ y

e)    b pa ß

f)    a p* a

s) K pa r h) h p b y

i) Kßy

k)    hb 0! y

l)    liaaß

111) h ß y

n) PCa ß y °) Pc a ß

p ) pba«ß q) pI ß y

m) hb a A. bmb

26. Dreieck aus:

a)    hama ß

b)    h₆ mb y

c)    ha ß A. cma

d)    hc a A. bmc

e)    b ha A. ama

f)    h p A. cm

’ C ^ C    C

n) K Ua    ß    t)    hb Ua Cl

ü) hb vb    a    u)    hc va a

p)    h wa    a    V)    lia vb ß

q)    ha    y    w)    hb v₀ y

1 ) ha ^Va    ß    ^ )    hc tllb ß

S) h₀ wY    ß    y)    ha Uc y

Stumpfwinklige Dreiecke.

27.    a) Wie lautet die Gleichung zwischen a, pb, p°a, wenn A-Bß>90°? b) Wie lauten die Gleichungen zwischen je einer Seite und den Projektionen der beiden anderen Seiten, wenn A. C > 90°? c) Zeichne ein Dreieck, in welchem b = pab—p°b. Wie lautet in diesem Dreieck die Gleichung zwischen c, j?*, pb ?

28.    In den folgenden Aufgaben soll der gegebene, bezw. der erstgenannte Dreieckswinkel stumpf sein.

t) h a ß Z. cm3 U) ha ß L. ama \) \ y Ł ama w) ha ß Z_ cmc

X) \ma y

y) Ticmb a

Dreieck aus: a) apeaß t>) cp* a C) bp\y (1) bpcaß

e)    a lla ß

f)    bhj

g)    c Par

h)    hj y

\) pac a y

k) K va 7

i)    p\ waa

m) Pca wa ß

U) p\ ua a O) h u ß

p)    \    «

q)    h w ß

r)    hb ua a S) h m ß

J a a r

Winkel mit paarweise senkrechten Schenkeln.

29.    Zeichne einen spitzen Winkel 0 (= a°) und fälle von einem zwischen seinen Schenkeln liegenden Punkte Q auf letztere die Lote QK und Q J. Die Verlängerung von JQ schneide OK in H. Wie groß sind die Winkel der Dreiecke JOH und KQH?

30.    Wie gestaltet sich die Figur zu 29, wenn Q a) zwischen den Schenkeln eines Nebenwinkels von 0, h) zwischen den Schenkeln seines Scheitelwinkels liegt, c) wenn cc > 90 und Q zwischen seinen Schenkeln, (1) zwischen den Schenkeln eines seiner Nebenwinkel, e) zwischen den Schenkeln seines Scheitelwinkels liegt, f) wenn Q auf 0 fällt?

Ergebnis von 29—30: Zusammenfassung B 7.

Kg- 5. 31. Fälle im Dreieck ABC die Höhen AD und BE; ihr Schnittpunkt sei H. a) Wie groß ist LLBHD? b) Wie groß sind die Winkel zwischen ha und hc und zwischen ht, und hc? c) Beantworte dieselben Fragen für ein stumpfwinkliges Dreieck.

Zusammenfassung.

A. Erklärungen.

1.    Ein Dreieck hat drei Seiten {a, b, c) und drei Winkel (cc, ß, y). Jede Seite (a) hat einen Gegenwinkel (a) und zwei Anwinkel (ß₇ y); jeder Winkel («) hat eine Gegenseite (a) und zwei Anseiten (b, c).

2.    Eine Mittellinie ist die Verbindungslinie einer Ecke mit der Mitte ihrer Gegenseite. Ein Dreieck hat drei Mittellinien (ma, mb, mc).

3.    Ein Dreieck hat drei Winkelhalbierende (wa, Wp, wY). Sie teilen ihre Gegenseiten in ungleiche Abschnitte

(uaj ^a’i i ^b\ i ^c)*

4.    Eine Höhe ist das von einer Ecke auf die Gegenseite gefällte Lot. Ein Dreieck hat drei Höhen (ha, 1ib, hc).

5.    Die durch die Höhe gebildeten Abschnitte einer Dreiecksseite sind „Projektionen“ der beiden anderen Seiten

/ c b a c b a\

(Pa, Pai Pb> Pb'> Po> Pc)’

6.    Ein Außenwinkel ist der Nebenwinkel eines Innenwinkels.

7.    Nach ihren Winkeln teilen wir die Dreiecke ein in spitzwinklige, rechtwinklige und stumpfwinklige. Ein spitzwinkliges Dreieck hat drei spitze Winkel, ein rechtwinkliges einen rechten und zwei spitze, ein stumpfwinkliges einen stumpfen und zwei spitze.

8.    Im rechtwinkligen Dreieck heißt die Gegenseite des rechten Winkels Hypotenuse, seine Anseiten heißen Katheten.

9.    Unter der Höhe eines rechtwinkligen Dreiecks versteht man die auf die Hypotenuse gefällte Höhe.

B. Lehrsätze.

1. Die Außenwinkel jedes Vielecks betragen sammen 360° oder 4 R.

2. Die Summe der Innenwinkel eines Dreiecks beträgt 180° oder 2 R.

(16 f)

3.    Ein Außenwinkel eines Dreiecks ist gleich der Summe der beiden ihm nicht anliegenden Innenwinkel — also größer als jeder von ihnen.

4.    Die Winkel

(19)

an der Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks betragen zusammen

5.    Die Summe der Innenwinkel eines Vierecks beträgt 360°

(16 g)

6.    Die Summe der Innenwinkel eines w-Ecks beträgt

(2 n

7.    Zwei Winkel, deren Schenkel paarweise aufeinander senkrecht stehen, sind entweder gleich oder betragen zusammen 180°.

oder 4 R.

4) R.

90°. (23)

(16 h)

(29, 30)

IV. Das gleichschenklige Dreieck.

Symmetrische Beziehungen.

*1. (Einteilung der Dreiecke nach den Seiten.) Wie unterscheiden sich die in III, Aufg. 2i — 1 genannten Dreiecke? Ergebnis: Zusammenfassung A 1. Yergl. auch III A, 7.

Fig. 6. *2. (Die Symmetrale des gleichschenkligen Dreiecks.)

Im gleichschenkligen Dreieck ABC (AB = AC) ist der Winkel an der Spitze A durch AF halbiert. Klappe A AFB

kel AB? Wohin fällt Punkt B? Warum ist FB = FC? Warum ist Z. AFB = Z_ AFC? Wie groß muß jeder von ihnen sein? (II B 2.)

Ergebnis: Zusammenfassung A 2—4; B 4.

*3. (Erster Grundwinkelsatz.) Wohin fällt beim Umklappen des Dreiecks AFB der Grundwinkel J5?

Ergebnis: Zusammenfassung B 1, 12.

4. Wie groß ist jeder Grundwinkel eines gleichschenkligen Dreiecks, wenn der Winkel an der Spitze a) 36°, h) 67°, c) 90°, (I) 60°, e) a° beträgt? Wie groß an der Spitze, wenn ein Grundwinkel f) ll) 72°, i) ß° beträgt?

*5. (C.) (Umkehrung.) Konstruiere A ABC aus BC — a, Z_ B — Z_ C — ß. Halbiere Z. A durch AF. Wie groß werden Z_ CAB, L. CAF, Z_ AFC, Z_ AFB? Warum muß beim Umklappen um AF der Punkt B in die Richtung AC fallen? Warum auch in die Richtung FC? Warum muß AC = AB sein?

Ergebnis: Zusammenfassung B 2.

um

AF: in welche Richtung fällt dann der Schen-

CJi c-t-

der Winkel

g) 69°,

6. (7.) Gleichschenkliges Dreieck (AB — AC = b) aus:

b K a ha

ST SS

b a.

Iß

a cc

11) K

S2

*7. (5.) (Zweiter Grundwinkelsatz.) Wie groß sind die einzelnen Winkel eines gleichschenkligen Dreiecks, wenn der Außenwinkel an der Spitze a) 94°, b) 147°, c) 28,5°, (1) 77,4°, e) x° beträgt?

Ergebnis: Zusammenfassung B 3.

8. (Symmetrische Transversalen.) a) Halbiere im gleichschenkligen Dreieck ABC Z. B durch BL] BL schneide

i) a lib

die Symmetrale A F in S. Klappe A ABC um A F: wohin fallen dann B S, Punkt X, A SBC, A SB A? — Beweise ebenso die symmetrische Gleichheit l>) der zu den Schenkeln gehörigen Mittellinien und der von ihnen gebildeten Winkel, c) der Schenkelhöhen und der von ihnen abgeschnittenen Projektionen. Ergebnis: Zusammenfassung B 6.

9. Gleichschenkliges Dreieck aus: a) wp a e) vb ß f) ub cc C) vb a    g) b mb

(1) ub ß    11) b A bmb

il) b pb

°) ï\ïjbb P) ]hpab <l) Pab ß

r)    hb a

s)    h ß

t)    Pbß

u)    pab a

k)    b hh

l)

m) apab

Sonderfälle.

10.    Kann ein gleichschenkliges Dreieck stumpfwinklig sein? Löse die Aufgaben 9 i—u auf Grund eines stumpfwinkligen Musterdreiecks.

11.    Welche Eigenschaften hat ein gleichschenkliges Dreieck, in welchem der Winkel an der Spitze a) gleich dem Grundwinkel, b) doppelt so groß, c) halb so groß ist wie dieser. (Halbiere bei c einen Grundwinkel und betrachte die entstandenen Teildreiecke; vergl. Fig. 33.)

12.    Gleichseitiges Dreieck aus: a) a, b) 1t, c) p.

aus

Rechtwinklig-gleichschenkliges Dreieck (/_ A= 90°) : (1) 6, e) a, f) ha-, g) h, li) wp, i) p\, k) pb .

um

*13. (Symmetrie des Doppeldreiecks.) Fälle im (ungleichseitigen) Dreieck ABC die Höhe AD und klappe die Figur B C um. Welche Eigenschaften hat dann die Linie BC ? Ergebnis: Zusammenfassung B 7.

*14. a) Eine gegebene Strecke soll ohne Benutzung des Maßstabs halbiert werden. l>) Ein gegebener Winkel soll ohne Benutzung des Maßkreises halbiert werden. c) Von einem gegebenen Punkte soll auf eine gegebene Gerade ohne Benutzung des Winkelscheits das Lot gefällt werden, d) Es soll nur mit Hilfe von Lineal und Zirkel auf einer Geraden in einem Punkte die Senkrechte errichtet werden (vergl. IIA, 6).

i)    60°    li)    150°    r)    127,5°

k)    30°    0)    105°    s)    71,25°

l)    15°    p)    75°    t)    86,25°

e)    135°

f)    67,5° S) 112,5°

15. Konstruiere Winkel von: a) 90° l)) 45°

C) 22,5°

d) 11,25° h) 146,25° m) 120° q) 165° u) 18,75° v) Teile einen rechten Winkel in drei gleiche Teile.

Schuster, Planimetrie A².

16. Verlängere den Schenkel BA¹) des gleichschenkligen Dreiecks ABC um sich selbst bis D, ziehe DC, und berechne den Winkel DCB. Errichte auf Grund dieser Musterfigur im Endpunkte einer Strecke die Senkrechte.

Anwendungen des gleichschenkligen Dreiecks.

17. Zeichne ein ungleichseitiges Dreieck ABC, verlängere CA um AB bis B und ziehe BI). Wie lang ist CD? Welche Eigenschaft hat das Dreieck ABD? Wie grofs sind seine Winkel? Dreieck aus (b -f- c) und: a hb g) hb y hb a 11) pb a

a) a y Ib) a a

P- «

M«

<7 l)hpcb

hb pab m) a pab

18. Verlängere die Seite BA des Dreiecks ABC um AC bis Er ziehe CE, und löse auf Grund dieser Musterfigur die Aufgaben: Dreieck aus (b c) und:

a) a ß h) a a

P- rs

g)    hcß    i) pao ß    1 ) hcpc

h)    p] «    k) hc pac    m) a pac

19. Dreieck aus:

(a -f- b) und:

(a -f- c) und:

i) h    11)    r)    y    v)    hc a

) C    o)    s)    ha    w)    b pa

) P a    P)    t)    &    hc    X)    pac ß

a) u)Âa/3 y) hap\

20. a) Trage die Seite A B des Dreiecks ABC (AO AB') auf A C bis G ab und ziehe B Gr. Wie lang ist CG ? Welches Dreieck ist gleichschenklig? Wie groß sind seine Winkel? Wie groß ist L. BGC1 h) Wie gestaltet sich die Figur, wenn AC auf die (verlängerte) Seite AB (his F) abgetragen wird?'

a) cy    e)    c    ß

h) aß    f)    C    ha

C) ßy    g)    c    hb

d) ca    h)    haß m)

’ts Xö tö o cs a cs

i-O ö

a sa

er⁴

21. Dreieck aus:

(b — c) und:

(a — b) und:

(a — c) und:

'4 a

e 4 e

O Ö C5- CJ

Ci    ci    R Ci

» Sc* Xc ^ a- a

SS.

a ssu ta.

rO rO

v) ha ß W) pbay

x)    hcP*

y)    Paß

1) Durch die Buchâtabenfolge wird zugleich die Richtung der Verlängerung bestimmt.

22. a) Verlängere am Dreieck ABC die Seite BC über C um CA bis K, über B um BA bis _L, und ziehe AK und AL. Welche Dreiecke sind gleichschenklig? Wie groß sind: die Seite LK, L X, Z. K und die Winkel bei A? b) Wie gestaltet sich die Figur, wenn CA beiderseits verlängert wird?

23. Dreieck aus (a -j- b -f- c) und:

a)    ß y    C) ha y

b)    a ß    d) ha ß

g)    he a

h)    hc ß

¹

16. (Summe der Innenwinkel.) a) Wie groß ist in Figur 3a die Summe jedes Außenwinkels und seines Innenwinkels? — aller Außen- und Innenwinkel? — der Außenwinkel allein? — der Innenwinkel allein?

Berechne die Summe der Innenwinkel 1>) eines Sechsecks,

c) eines Achtecks, d) eines Zehnecks, C) eines Zwanzigecks, f) eines Dreiecks, g) eines Vierecks, ll) eines w-Ecks. Ergebnis: Zusammenfassung B 2, 5, 6.

Beziehungen zwischen Seiten und Winkeln im ungleichseitigen Dreieck.

um

*24. (23.) (Seiten und Gegenwinkel.) a) Im A ABC sei Fig. ~¹-AC > A B\ /LA wird durch A F halbiert und A AFB AF umgeklappt. Warum ist L. A B₁F )> L C\ Z_ B >> L C? Beweise ebenso, daß l>) Z. A > L C, wenn BC > BA. Ergebnis: Zusammenfassung B 8.

25. (24.) Wie groß sind in Fig. 7 die Seiten und die Winkel des Dreiecks BtFC?

Dreieck aus:

c) va y

d) (a — c) ub cc

a) (6

h) (b — c) ua (ß — y) e) (c — a) uh vb

c) Ua Va (ß — y)

g) (b — a) ucß 11) ubvb(y — a) f) (a — h) ve (a — ß) i) a hb (ß — y)

*26. (25.) (Winkel und Gegenseiten.) Welche Beziehungen gelten im Dreieck ABC für Z. B und L. C, a) wenn AC — AB, b) wenn AC )> AB? Welche Beziehung muß zwischen AC und AB stattfinden, wenn L B < /L C? Ergebnis: Zusammenfassung B 9.

*27. (26.) (Abstand eines Punktes von einer Geraden.) Beweise, daß alle schrägen Verbindungslinien eines Punktes mit einer Geraden a) paarweise symmetrisch, b) um so größer sind, je größer ihre Projektionen sind. C) Welches ist die kürzeste Verbindungslinie eines Punktes mit einer Geraden? Ergebnis: Zusammenfassung A 5; B 10, 11.

28. (27.) Bestimme im Dreieck ABC auf B C den Punkt P so, dafi sein Abstand von CA gleich seiner Entfernung von B ist.

nicht Höhe, c) daß die Höhe nicht Mittellinie sein kann. (Fälle A D _L B C und klappe A A B D Ergebnis: Zusammenfassung B 5.

AD.)

um

Zusammenfassung.

A. Erklärungen.

1.    Nach ihren Seiten teilen wir die Dreiecke ein in gleichseitige, gleichschenklige und ungleichseitige. Ein gleichseitiges Dreieck hat drei gleiche Seiten, ein gleichschenkliges nur zwei.

2.    Die beiden gleichen Seiten eines gleichschenkligen Dreiecks heißen Schenkel, die dritte Seite heißt Grundlinie. Die Winkel an der Grundlinie heißen Grundwinkel. Die Gegenecke der Grundlinie heißt Spitze.

3.    Eine Figur heißt symmetrisch, wenn sie durch eine Gerade so geteilt wird, daß der eine Teil durch Umklappen mit dem anderen zur Deckung gebracht werden kann.

4.    Eine Gerade, die eine Figur symmetrisch teilt, heißt Symmetrale.

5.    Der Abstand eines Punktes von einer Geraden wird durch das Lot bestimmt. Yergl. B 10.

B. Lehrsätze.

1.    Die Grundwinkel eines gleichschenkligen Dreiecks sind einander gleich. (Gleiche Seiten eines Dreiecks haben gleiche Gegenwinkel.)

2.    Ein Dreieck mit zwei gleichen Winkeln ist gleichschenklig.

(Gleiche Winkel eines Dreiecks haben gleiche Gegenseiten.)

3.    Jeder Grundwinkel eines gleichschenkligen Dreiecks ist gleich der Hälfte des Außenwinkels an der Spitze.

4.    Die Halbierungslinie des Winkels an der Spitze eines gleichschenkligen Dreiecks ist zugleich Höhe und Mittellinie.

5.    Ein Dreieck ist gleichschenklig, wenn eine Winkelhalbierende zugleich Höhe oder Mittellinie, oder wenn eine Mittellinie zugleich Höhe ist.

(3)

(5

00

(2)

(29)

V. Das Viereck.

Parallele Linien.

*1. (Senkrechte auf einer Geraden.) Auf einer Geraden MN -Fig- s. sind in B und C die Senkrechten B D und CF errichtet. Können sie einander schneiden? (III, Aufg. 22 a). Können ihre Verlängerungen BE und Cd einander schneiden?

Ergebnis: Zusammenfassung Al; Bl.

*2. (Stufen winkel und Wechselwinkel.) Eine zweite durch Fig. 9. B gehende Gerade BQ, schneide F G unter dem Winkel BAC — a°. Wie grofs ist Z. ABC? Berechne alle Winkel, die von den Parallelen BE und FC mit der schneidenden Geraden BQ gebildet werden.

Ergebnis: Zusammenfassung A 2—4; B 3, 4.

*3. Beweise die Umkehrung der in 1 und 2 gefundenen Sätze. Ergebnis: Zusammenfassung B 2, 5.

einer gegebenen Geraden die Parallele: a) mit

zu

6.    Die zu den Schenkeln eines gleichschenkligen Dreiecks gehörigen Winkelhalbierenden, Mittellinien und Höhen sind paarweise gleich.

7.    Die Verbindungslinie der Spitzen zweier gleichschenkligen Dreiecke auf gemeinschaftlicher Grundlinie halbiert die Winkel an den Spitzen, halbiert die Grundlinie und steht auf ihr senkrecht.

8.    Die größere (größte) Seite eines Dreiecks hat den größeren (größten) Gegenwinkel. Vergl. 1.

9.    Der größere (größte) Winkel eines Dreiecks hat die größere (größte) Gegenseite. Vergl. 2.

10.    Die kürzeste von allen Strecken, die einen Punkt mit einer Geraden verbinden, ist das Lot. Vergl. A 5. (27)

11.    Im rechtwinkligen Dreieck ist die Hypotenuse größer als jede Kathete.

12.    Jeder Winkel eines gleichseitigen Dreiecks beträgt 60°.

Vergl. 1.

(8)

(13)

(24)

(26)

(27)

(3)

*4. (Parallelenkonstruktion.) Ziehe durch einen gegebenen Punkt

Hilfe von Stufenwinkeln, 1)) mit Hilfe von inneren Wechselwinkeln, c) mit Hilfe von äußeren Wechselwinkeln, (1) mit Hilfe des Lotes, e) mittels Lineal und Winkelscheit.

5.    Beweise folgende Sätze:

a) Sind zwei Gerade einer dritten parallel, so sind sie einander parallel.

tyc) Trägt man von der Spitze eines gleichschenkligen Dreiecks auf die Schenkel — oder auf ihre Verlängerungen — gleiche Stücke ab, so ist die Verbindungslinie der erhaltenen Punkte parallel der Grundlinie. (Löse hiernach Aufgabe 4.) d/e) Trägt man jede von zwei Dreiecksseiten von der gemeinschaftlichen Ecke aus an die andere an — oder auf die andere ab —, so sind die Verbindungslinien der beiden anderen Ecken mit den erhaltenen Punkten einander parallel. (Vergl. IV, Aufg. 17—21.)

6.    Ziehe in einem stumpfwinkligen Dreieck zur größten Seite die Parallele, welche gleich ist il) dem unteren Abschnitt / einer zweiten Seite, t)/c) der Summe (dem Unterschied) der unteren Abschnitte der beiden anderen Seiten, d) der Summe des unteren Abschnittes einer zweiten Seite und des oberen Abschnittes der dritten.

Das Parallelogramm.

* 7. Gegeben ist ein Winkel A und zwischen seinen Schenkeln ein Punkt C. Ziehe durch C zu den Schenkeln die Parallelen und bezeichne die Schnittpunkte mit B, D. Berechne die einzelnen Winkel des Parallelogramms AB CD, wenn A A = a) 46°, t>) 127°, c) 55,6°, d) 136,3°, e) «°. Ergebnis: Zusammenfassung A 7.

Fig. io. *8. (Das Parallelogramm als zentrische Figur.) Im Parallelogramm A B CD ist die Diagonale A C durch 0 halbiert. Drehe lA ABC um 0 und um einen Winkel von 180°: wohin fallen dann O A, OU, A 0AB, A 0CB, Punkt B, Seite AB, Seite BC? Wohin fällt OB? Verbinde ferner 0 mit einem Punkte B der Seite AB, und verfolge das Ergebnis der Drehung. Ergebnis: Zusammenfassung A 11; B 10.

*9. (Erkennungsmerkmale.) Beweise, daß ein Viereck ein Parallelogramm ist, a) wenn einer seiner Winkel jeden der beiden Nachbarwinkel zu 180° ergänzt, I)) wenn je zwei Gegenwinkel gleich sind (III B, 5), C) wenn je zwei Gegenseiten gleich sind (drehe ein Dreieck um die Mitte einer Seite), d) w'enn zwei Gegenseiten gleich und parallel sind (drehe einen Winkel mit begrenzten Schenkeln um die Mitte des einen Schenkels), e) wenn die Diagonalen einander halbieren (drehe ein Dreieck um eine Ecke).

Ergebnis: Zusammenfassung Bll.

10. Ziehe durch P

a) 9 a, b) 9 c, C) 9 e.

*11. (Abstand zweier Parallelen.) Fälle im Parallelogramm AB CI) von JD und von einem Punkte 31 der Seite CD auf AB die Lote DG und ML. Warum ist DG = MIj? Ergebnis: Zusammenfassung B 6.

zu

31N die Parallele mit Benutzung von

12. Parallelogramm¹) aus:

(1) a e Z_ a e

e)    b e /..ae

f)    a a Z_ af

g)    e u L.ae

h)    a c

e    f    /.ef

a    e    /- ef

f    Z_ ae

m) e Z. a e Z. e f 11) e Z. a f Z. ef

o)    a Z_    ae Z_ ef

p)    a    e

q)    a    e

tr¹

r)

s)

t)

U)

>)

w)

ha

X)

h/>

y)

ha

hf)

f ha L. ef e hb /- ef lia Z_ ae Z_ ef hb /.bf /- ef

Anwendungen des Parallelogramms.

13. Verlängere die Mittellinie AE des Dreiecks ABC um sich selbst bis E. Warum ist AB FC ein Parallelogramm? (9eJ

Dreieck aus:

f) b

I)    c hc Z_ cmb m) a hb L.bmc

II)    hb ma cc 0) ha mb Z_ cmb p) hb y Z_ bmc

ll) (a -f⁻ c) mb    ß

v)    (b + c) \

w)    (b — c) cc Z_ cma

x)    (c — a) ß Z. amb

*14. (Winkel mit parallelen Schenkeln.) Verlängere zwei Nachbarseiten eines Parallelogramms über die gemeinschaftliche Ecke und erörtere an dieser Figur die Beziehungen zweier Winkel, deren Schenkel a) gleichgerichtet, b) gegengerichtet parallel sind, c) von denen das eine Schenkelpaar gleich-, das andere gegen gerichtet parallel ist.

Ergebnis: Zusammenfassung B 7, 8.

a)    b c    ma

b)    b c /. bma g) ma C) b a Z_ b wa d) b mc o) b ma Z. cma k) a hb

q)    hc    ß    Z_    cma \

r)    \    pb    Z.    bma

S)    pa    y    /.amb

t)    (a -f- b) y    Z_    bmc

y    Z_ a mc

a    Z_ cma

ll) mb Z_ amb Z. ovb

i) b

ma

mc

1) AB = a, BC =6, / A = cc, AC = e, BD = f.

15.    Wie groß ist die Summe der von einem Punkte der Grundlinie eines gleichschenkligen Dreiecks a) zu den Schenkeln gezogenen Parallelen, I)) auf die Schenkel gefällten ■> Lote, c) der von einem Punkte innerhalb eines gleichseitigen Dreiecks auf die Seiten gefällten Lote?

16.    Gegeben ist ein Winkel S und ein Punkt P. Ziehe durch P die Gerade, die a) durch P halbiert wird, wenn P zwischen den Schenkeln liegt, fo) durch den einen Schenkel halbiert wird, wenn P außerhalb liegt, c) durch den Scheitel S gehen muß, wenn derselbe unzugänglich ist.

Fig. ii. *17. (Teilung einer Strecke.) Auf dem einen Schenkel des Winkels A sind drei gleiche Strecken AB — B C = CD abgeschnitten und durch P, (7, D sind drei Parallelen BE || CF || DG gezogen. Verschiebe A AEB längs AD: welchen Weg beschreibt dann E? Wohin fällt AE, wenn A auf B und wenn A auf C angekommen ist? Warum ist BEX = EF, CE, = FG?

0©

CD

• pH

SJ *    &

P- W CO

* S- 5- f

B o* 2.

..    ² o - P

w^S P Q £³'s3 § g’l

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8K M

s £*■!*■

•• i-1 -3

* wi-⁴ 2. w

*10. (19d.) (Das Dreieck der Seitenmitten.) Halbiere im Dreieck A J> C die Seite A B durch (\ und ziehe (\ Bx BC, C₁Al AC. a) In welchem Verhältnis werden AC und BC geteilt? t)) Warum ist A₁Bl || BA? c) Wieviel Parallelogramme enthält die Figur, wenn A₁Bl gezogen ist? (1) Wie verhalten sich die Inhalte der Dreiecke A₁ Bi Cx und ABC? Ergebnis: Zusammenfassung B 9.

20. (19.) Welche Eigenschaften hat a) die Verbindungslinie der Mitten der oberen Abschnitte zweier Dreieckshöhen, I)) die Verbindungslinie der Mitte einer Dreiecksseite mit der Mitte des oberen Abschnittes einer nichtzugehörigen Höhe, c) das durch die Seitenmitten eines Vierecks bestimmte Viereck?

d) Beweise, daß die Verbindungslinie der Diagonalenmitten eines Vierecks und die Verbindungslinien der Mitten je zweier Gegenseiten einander in einem Punkte schneiden.

Ergebnis zu c: Zusammenfassung B 17.

21. (20.) Halbiere im Parallelogramm AB CD AB durch M, CD durch V, und ziehe DM und BN. Warum ist BN || DM? Wie wird AC durch DM und BN geteilt?

Besondere Parallelogramme.

*22. (21.) (Das Rechteck.) Welche Eigenschaften hat ein Viereck mit lauter gleichen Winkeln? (Aufg. 9b.) Wie viele Symmetralen hat ein Rechteck? Warum sind seine Diagonalen einander gleich?

Ergebnis: Zusammenfassung A 8; B 12.

*23. (22.) (Der Rhombus.) Welche Eigenschaften hat ein Viereck mit lauter gleichen Seiten? (Aufg. 9 c.) Wie wird es durch jede Diagonale geteilt? (IV, B 7.) Wie viele Symmetralen hat ein Rhombus?

Ergebnis: Zusammenfassung A 9; B 13.

*24. (23.) (Das Quadrat.) Was ist ein Quadrat? Wie viele Symmetralen hat es? Welche Eigenschaften haben seine Diagonalen? Ergebnis: Zusammenfassung A 10; B 14.

25. (24.) Rechteck aus:

Rhombus aus:

Quadrat aus:

« ns

» Ci

* © '«H

» S5 R R

i)

k) (a + c)

26. (XY, 74. 77.) a) Einem gleichschenkligen Dreieck soll das Quadrat umgeschrieben werden, dessen eine Ecke in die Spitze des Dreiecks fällt. 1b) Einem Rhombus soll das Quadrat eingeschrieben werden, c) Einem Quadrat soll das gleichseitige Dreieck eingeschrieben werden, welches mit dem Quadrat eine Ecke gemein hat.

Das Trapez.

*27. (25.) (Bezeichnungen und Eigenschaften.) Im Trapez Fig. 12. AB CD⁴) ist der Schenkel AD durch Q halbiert. Verschiebe L. A längs der Grundlinie AB, bis Q auf BC fällt.

Warum ist dann QQt || AB? Warum ist QLB = Q±C? (Drehe Dreieck Q₁AlB der Seiten und Winkel des Dreiecks Q₁A₁B? Wie lang ist QQf? (Ziehe AC und beachte B 9.)

Or) Welches sind die Maßzahlen

um

Ergebnis: Zusammenfassung A 6; B 15.

28. (26.) Trapez aus:

a)    a b c

b)    b c d

c)    a c e ß

d)    a e f cc

e)    a b a ß

f)    b c ß /Lae

g)    & d c ha li) ab f ha i) ab hu a

k)    dfhaß

l)    (a — c) b d f m) (a c)b f a

II) b d c    —f— ßj

O) b d (a + ß) L cf

p)    a b c (a + ß)

q)    a b c d

r)    (a + c) b e f

S) (a c) b f /L ef

t)    a e f L ef

u)    b e f L ef

v)    c e f /Lae

w)    efL.bfL.ef

x)    e L ae Lbf L ef

y)    fL.aeL.dfL.ef

Anm.: In der Musterfigur zu r bis w verlängere AB um CD.

*29. (27.) (Das gleichschenklige Trapez.) Ziehe in einem gleichschenkligen Dreieck eine Parallele zur Grundlinie und erörtere die Eigenschaften des abgeschnittenen Trapezes. Welches ist die Symmetrale eines gleichschenkligen Trapezes? Ergebnis: Zusammenfassung B 16.

30.    (28.) Beweise, daß ein Trapez gleichschenklig ist, wenn die Winkel an einer Grundlinie einander gleich sind. (Yergl. IY, Aufg. 5.)

31.    (29.) Gleichschenkliges Trapez aus:

» a « s s

5^ »

» &

55    55 ^ ^ «

ae

f)    e a /Lae

g)    haa /Lae

h)    a c ha

i)    ace

k) (a — c) ha e

1) (a    c) b e

m)    (a    c) b ha

n)    (a -j- b)

o)    (a — b)cc L

p)    (b -f- c) ha a

Das allgemeine Viereck.

32. (80.) Verschiebe in dem ungleichseitigen Viereck AB CD L ABC längs B G, bis B auf C fällt, und bestimme aus

den Maßzahlen des Vierecks AB CD¹) die Größe von A A AI), CA₁, CI) und ihrer Zwischenwinkel.

Viereck aus:

a»

cc y

îi) a b c d (cc + ß) t>) ab c d (u -f- ö)

33. (31.) Verschiebe im Viereck AB CD IAABC längs BD, bis B auf D fällt, erörtere die Eigenschaften des Vierecks AAlC₁C und bestimme die Maßzahlen seiner Stücke, sowie der bei D zusammenstoßenden Winkel.

o-* a

Viereck aus c f A. ef und: c) a c

(1) bd

e) aA. a e f ) bA.be

S) c A. cf

li) d A. df

34. (32.) (Satz vom Diagonalenparallelogramm.) Vergleiche in dem zu 33 gezeichneten Diagonalenparallelogramm AAX Cl C die Dreiecke ADAt und DAB, CDCl und DCB. Wie groß ist die Summe der Dreiecke AD Ax und CDCX? Wie groß ist A ADC -f- A A₁DC₁? Wie groß ist das' Diagonalenparallelogramm ?

Ergebnis: Zusammenfassung 13 18.

Zusammenfassung.

A. Erklärungen.

1.    Zwei Gerade, die einander nicht schneiden, soweit man sie auch verlängert, heißen parallel.

2.    Wenn zwei Gerade von einer dritten geschnitten werden, so entstehen Stufenwinkel und Wechselwinkel.

3.    Stufenwinkel sind ein innerer und ein äußerer Winkel (an verschiedenen Scheitelpunkten und) an derselben Seite der Schneidenden.

4.    Wechselwinkel sind zwei innere oder zwei äußere Winkel (an verschiedenen Scheitelpunkten und) an verschiedenen Seiten der Schneidenden.

5.    Besondere Arten der Vierecke sind das Trapez, das Parallelogramm, das Rechteck, der Rhombus, das Quadrat.

6.    Ein Trapez ist ein Viereck mit zwei parallelen Gegenseiten. Die parallelen Seiten heißen Grundlinien, die nicht parallelen Schenkel.

1) Die Maßzahlen des Vierecks AB CD entsprechen denen des Trapezes (vgl. Anm. Seite 25), außerdem ist / C — y, I D — S.

7.    Ein Parallelogramm ist ein Viereck mit je zwei parallelen Gegenseiten.

8.    Ein Rechteck ist ein Viereck mit lauter gleichen Winkeln.

9.    Ein Rhombus ist ein Viereck mit lauter gleichen Seiten.

10.    Ein Quadrat ist ein gleichseitiges Viereck mit einem rechten Winkel.

11.    Eine Figur heißt zentrisch, wenn sie einen Punkt enthält, der alle durch ihn gelegten Geraden der Figur halbiert. Dieser Punkt heißt Mittelpunkt der Figur.

B. Lehrsätze.

1.    Senkrechte auf einer Geraden sind parallel.

2.    Eine Senkrechte auf der einen von zwei Parallelen steht auch senkrecht auf der anderen.

3.    Stufenwinkel |

4.    Wechsel Winkel |

5.    Wenn ein Paar Stufenwinkel oder ein Paar Wechselwinkel gleich sind, so sind die geschnittenen Linien parallel. (3)

6.    Parallele Gerade haben überall gleichen Abstand. (11)

7.    Winkel mit parallelen und gleichgerichteten (oder gegengerichteten) Schenkeln sind einander gleich. (14)

8.    Winkel mit parallelen, aber ungleichartig gerichteten Schenkeln betragen zusammen 180°.

9.    Die V erb in dungslinie der Mitten zweier Dreiecksseiten ist der dritten Seite parallel und halb so groß wie diese.

10.    Im Parallelogramm

a)    sind je zwei Gegenseiten einander gleich,

b)    sind je zwei Gegenwinkel einander gleich,

c)    halbieren die Diagonalen einander.

11.    Ein Viereck ist ein Parallelogramm, wenn

a)    je zwei Gegenseiten einander gleich sind,

b)    je zwei Gegenwinkel einander gleich sind

c)    ein Paar Gegenseiten gleich und parallel sind,

d)    die Diagonalen einander halbieren.

12.    Das Rechteck ist ein Parallelogramm; seine Diagonalen sind einander gleich und bilden mit entsprechenden Seiten

(22)

13.    Der Rhombus ist ein Parallelogramm; seine Diagonalen stehen aufeinander senkrecht und halbieren die Winkel. (23)

ec

(3)

an Parallelen sind paarweise gleich. (2)

gleiche Winkel.

(14)

(19)

(8)

(9)

14.    Die Diagonalen des Quadrats halbieren einander, sind einander gleich, stehen aufeinander senkrecht und halbieren die Winkel.

(24)

15.    Im Trapez ist die Verbindungslinie der Schenkelmitten den Grundlinien parallel und gleich ihrer halben Summe. (27)

IG. Im gleichschenkligen Trapez sind die Diagonalen gleich und bilden mit entsprechenden Seiten gleiche Winkel. (29)

(20 c)

17.    Die Seitenmitten jedes Vierecks sind die Ecken eines Parallelogramms, und dieses ist gleich der Hälfte des Vierecks.

(33)

18.    Das aus den Diagonalen und dem Diagonalenwinkel eines Vierecks gebildete Parallelogramm ist zweimal so groß wie das Viereck seihst.

VI. (VII.) Örter und Kongruenzsätze.

Der Kreis als Ort.

*1. Schlage um K mit dem Halbmesser r den Kreis, a) Wie weit ist jeder Punkt des Umfangs vom Mittelpunkte K entfernt? b/c) Wie groß ist die Mittelpunktsentfernung jedes anderen Punktes innerhalb (außerhalb) des Umfangs? (1) Welches ist der Ort für alle Punkte, die von P⁵) die Entfernung r haben? Ergebnis: Zusammenfassung Al, 2; B 8.

2. Bestimme den Punkt, der von I\ die Entfernung 1\ hat und

a) auf g liegt, b) auf Je liegt, c) von P₂ die Entfernung r2 hat. (Beachte die Möglichkeit und die Zahl der Lösungen.)

Beziehungen zwischen den Seiten eines Dreiecks.

*3. (Seitensatz.) a) In welchen Fällen ist die Aufgabe: „Dreieck aus a b c“ unlösbar? b) Welche Beziehungen müssen zwischen den Seiten eines Dreiecks stets stattfinden?

Ergebnis: Zusammenfassung B 1.

4. Beweise folgende Sätze: In jedem Dreieck ist a) ma < \ (p -j- c) (V, Aufg. 13), b) ma -J- mb -|- mc < a& —j— c, c) wa -j- wg -j- wy <! ma -j- mb -j- mc (IV, Aufg. 29). d) In jedem Viereck ist ü -j— c 6 —|— ©) y (p b —|- c -j— d) 6 —(- / < (a b -f- c -j- d). f) In jedem Viereck mit einspringender Ecke ist die Summe der an dieser zusammenstoßenden Seiten kleiner als die Summe der beiden anderen.

5. (XV, 7.) Die Pleuelstange und die Kurbel einer Dampfmaschine bilden in jeder Stellung die Seiten eines Dreiecks mit veränderlicher Grundlinie, a) Welches sind die Grenzwerte dieser Grundlinie, wenn die Pleuelstange 1,25 (1,96) m, die Kurbel 0,25 (0,39) m lang ist? b) Welchen Spielraum hat der Kolben, und wie lang muß der innere Raum des Dampfzylinders sein? c) Wie weit muß der Zylinder von der Achse des Schwungrades entfernt sein?

Kongruenz von Dreiecken.

*6. (5.) (Erster Kongruenzsatz.) Wie viele Lösungen hat die Aufgabe: „Dreieck aus abcu (wenn sie lösbar ist)? Sind die erhaltenen Dreiecke von einander verschieden? (IV, Aufg. 13.) Ergebnis: Zusammenfassung A3; B 2a.

*7. (6.) (Zweiter Kongruenzsatz.) Erörtere für die Aufgabe:: „Dreieck aus a b yu die Möglichkeit der Lösung, sowie die Zahl der möglichen Lösungen, und bringe die erhaltenen Dreiecke durch Umklappen oder durch Drehen zur Deckung. Ergebnis: Zusammenfassung B 2b.

*8. (7.) (Dritter Kongruenzsatz.) Erörtere die Aufgaben: a) Dreieck aus a \3 y, b) Dreieck aus a a ß.

Ergebnis: Zusammenfassung B 2c.

*9. (8.) (Vierter Kongruenzsatz.) Erörtere die Lösbarkeit und die Ein- oder Mehrdeutigkeit der Aufgabe: Dreieck aus b c y für den Fall, daß a) b ß> e, b) b <( c.

Ergebnis: Zusammenfassung B 2d.

*10. (9.) Beweise für zwei kongruente Dreiecke die Gleichheit

a)    entsprechender Mittellinien und der zugehörigen Winkel,

b)    entsprechender Winkelhalbierenden und der zugehörigen Abschnitte, c) entsprechender Höhen und Seitenprojektionen; ferner entsprechender Abschnitte und Winkel, die gebildet werden: (1) von Mittellinien miteinander, G) von Winkelhalbierenden miteinander, f) von Höhen miteinander, g) von einer Mittellinie mit einer Winkelhalbierenden, ll) von einer Winkelhalbierenden mit einer Höhe, i) von einer Höhe mit einer Mittellinie.

Ergebnis: Zusammenfassung B 3.

Anwendungen der Kongruenz.

11.    (10.) Stelle Kongruenzsätze auf a) für rechtwinklige, b) für gleichschenklige, C) für rechtwinklig-gleichschenklige, d) für gleichseitige Dreiecke.

Ergebnis von a: Zusammenfassung B 4.

12.    (11.) Beweise durch Kongruenz von Dreiecken die Eindeutigkeit folgender Aufgaben:

Dreieck aus:

e)    ma    y Z. bma    i)    c    ira

13.    (12.) Beweise mittels kongruenter Dreiecke die Gleichheit a) der Grundwinkel eines gleichschenkligen Dreiecks, b) ihrer Halbierungslinien und der durch dieselben gebildeten Abschnitte, c) der zu den Schenkeln eines gleichschenkligen Dreiecks gehörenden Höhen und der entsprechenden Schenkel-Projektionen, d) der entsprechenden Mittellinien und der von ihnen mit entsprechenden Seiten gebildeten Winkel, e) der Gegenseiten eines Parallelogramms, f) der Diagonalen eines Rechtecks, g) der Lote, die von zwei Ecken eines Dreiecks auf die zur dritten gehörige Mittellinie gefällt sind, ll) zweier Parallelogramme von gleicher Grundlinie und Höhe. (Fig. 21.)

14.    (18.) Beweise mittels kongruenter Dreiecke, a) daß im gleichschenkligen Dreieck die zur Grundlinie gehörige Höhe, Mittellinie und Winkelhalbierende identisch sind, b) daß die Diagonalen eines Parallelogramms einander halbieren, c) daß die Diagonalen eines Rhombus aufeinander senkrecht stehen und die Winkel halbieren.

a)    a ha

b)    a b

c)    b maL. bma

d)    c ß Z_ cma

ma

mc

1) mb Z. amb Z. cmb

m) mc

Z. ama

15. (14.) Beweise, daß ein Dreieck gleichschenklig ist, wenn a) zwei Winkel, b) zwei Höhen, c) zwei Mittellinien, d) die Projektionen einer Seite auf jede der beiden anderen, e) die Projektionen zweier Seiten aufeinander, f) die Abstände der Mitte einer Seite von den beiden anderen, g) die Entfernungen der Mitte einer Seite von den Mitten der beiden anderen einander gleich sind; desgl. ll) wenn eine Winkelhalbierende, i) wenn eine Mittellinie zugleich Höhe ist. — Andeutung zu c: Palle in Pig. 6 von den Mitten der Seiten AC und AB auf BC die Lote BtB₂, Cj C₂ und beweise: A BBxB₂ ^2 A CG₁C2 (benutze V B, 9 und 6); dann A CB₁B₂ ^ A BCLC₂.

Fig. io. 16. (15.) Untersuche, ob das Viereck AB CD ein Parallelogramm sein muß, wenn

e)    AB = CD, AA = A C

f)    AO = CO, BO = DO

g)    AB = CD, AO = CO

a)    AB = CD, BC — DA

b)    AB = CD, AB || CD C) AB — CD, BC || DA

d) AB I CD, A A = L. C li) AB || CD, AO = CO

17. Beweise, daß ein Trapez gleichschenklig ist, wenn a) die Winkel an einer Grundlinie, b) zwei entsprechende Diagonalabschnitte, c) die Diagonalen gleich sind; d) wenn die Verbindungslinie der Mitten der Grundlinien auf diesen senkrecht steht.

Warum

*18. (Kongruenz zweier w-Ecke.) Gegeben ist ein Pünfeck A₁BLC₁DlE₁. a) Zeichne ein zweites Fünfeck A₂/E₂ so, daß 32 B₂ = AyB₁, A B₂ = A By, B₂ C₂ = Bx Cy, A C₂ = A Cy, C₂D₂ = CyDy, A D₂ = A Dy,    = DyEy.

ist A B₂C₂D₂ ^ A By CyDy, A A₂ B₂ D₂ ^ A AyByDy, A A₂D₂E₂ ^ A AyDyEy? b) Beweise, daß zwei Fünfecke kongruent sind, wenn sie in drei aufeinanderfolgenden Seiten und den vier An winkeln übereinstimmen.

19. (16.) Stelle Kongruenzsätze auf für *a) Vierecke, b) Sechsecke, c) Achtecke, d) Zwanzigecke, *e) w-Ecke. Ergebnis: Zusammenfassung B 5.

¹

29. (28.) a) Warum ist in Fig. 7 Z_ FCBX < Z. FB{ C? (IIIB, 2.) Warum ist FB<^FC? Kann die Winkelhalbierende eines ungleichseitigen Dreiecks zugleich Mittellinie sein? — Beweise, b) daß die Winkelhalbierende eines ungleichseitigen Dreiecks

²

Übrigens können die bis dahin vorkommenden Aufgaben über Verhältnisse, ohne den Zusammenhang zu stören, überschlagen werden.

³

Der Verhältnisbegriff ist an sich so einfach und den Schülern aus der täglichen Erfahrung (Alters-, Vermögens-, Gewiclifsverkältnisse) und anderen Unterrichtsfächern (Prozentverhältnisse in Erd- und Naturkunde, sowie im Rechnen) so vertraut, daß die Geometrie keine Veranlassung hat, ihn bis zur Ähnlichkeitslehre ängstlich zu vermeiden. .

⁴

AB = a, BC = b, CD = c, DA = d-, L A = a, i B = ß, AC — e, BD = f.

⁵

Fortan bezeichnet P (Pn P₂ . . .) einen gegebenen Punkt, K den Mittelpunkt eines gegebenen Kreises, Je seinen Umfang, g eine gegebene Gerade. Alle anderen kleinen Buchstaben bedeuten nach wie vor stets Zahlen.

Unvollständige Kongruenz.

*20. (18.) Gegensatz zum zweiten Kongruenzsatz.) Zeichne zwei ungleiche Winkel At > A₂, trage auf ihren Schenkeln AyBy = A₂B₂ und Ay Cy = A₂C₂ ab, und ziehe Bt Cy sowie B₂C₂. Lege dann A A₂B₂C₂ so auf AyByCy, daß A₂B2 auf AyBy fällt, und beweise, daß Bx Cy )> B₂ C₂ (Aufg. 4 d, f). Ergebnis: Zusammenfassung B 6.

*21. (19.) (Gegensatz zum ersten Kongruenzsatz.) Zwei Dreiecke Ay Bx Cy und A₂ B₂ C₂ stimmen in zwei Seiten überein (AyBy = A₂B₂, AyCy — A₂C₂). Welche Beziehung besteht zwischen Bx Cy und B₂ C₂ : a) wenn A Ay — A A₂ (B 2 b), b) wenn A Ay > A A₂ ? (B 6). Unter welcher Bedingung ist es allein möglich, daß A Ay A A₂?

Ergebnis: Zusammenfassung B 7.

22. (20.) Beweise, daß im Parallelogramm die größere Diagonale den größeren Gegenwinkel hat.

Die Gerade als Ort.

*23. (21.) (Die Parallele als Ort.) Welches ist der Ort für alle Punkte, die von einer gegebenen Geraden den Abstand a haben? (Wie viele Linien?) (VB, 6). Bestimme hiernach die Punkte, die von gl den Abstand ax haben und a) auf g21 b) auf k liegen, c) von g₂ den Abstand a₂, d) von P die Entfernung r haben. (Grenzfälle!)

Ergebnis: Zusammenfassung B 9.

e)    ha hc pca

f)    h hc p\

o) hb hc a

h) ha hc ß

i) (h + hc) pb a

k)    (ha + hb) pba y

l)    (hb — ha)paby

m) (hc — ha) pa ß

24. (22.) Dreieck aus:

a) a ha hb l>) b ha h

C) a hapab d) c hc p\

(Die Aufgaben i bis m sind auf einfachere zurückzuführen.)

*25. (23.) (Die Mittelsenkrechte als Ort.) a) Warum ist jeder Fig. 13. Punkt der Mittelsenkrechten einer Strecke AB von den Endpunkten derselben gleichweit entfernt? (15i.) b) Beweise, daß ein Punkt, der nicht auf der Mittelsenkrechten liegt, von A und B ungleiche Entfernungen hat. {AM — AP1 + P₁M=BP₁ + PXM >BM-, vergl. B 1.)

Ergebnis: Zusammenfassung B 10.¹)

*26. (24.) (Die Winkelhalbierende als Ort.) a) Beweise (durch Fig. u. Umklappen oder durch Kongruenz), daß jeder Punkt der Halbierungslinien eines Winkels und seines Hebenwinkels von den Schenkeln gleichen Abstand hat, b) daß ein Punkt, der nicht auf einer der Halbierungslinien liegt, von den Schenkeln ungleiche Abstände hat. {AlM = A₁P₁ -j- PlM = B₁P₁ + P₁M>B₁M> DM.)

Ergebnis: Zusammenfassung B 11.

*27. (25.) (Die Mittelparallele als Ort.) Welches ist der Ort für alle Punkte, die von zwei parallelen Geraden gleichen Abstand haben?

Ergebnis: Zusammenfassung B 12.

28. (26.) Bestimme den Punkt, der

I. von P₃ die Entfernung r hat, II. von g₃ den Abstand a hat.

und

a)    von P₁ und P₂ gleiche Entfernung

b)    von gx und g₂ gleichen Abstand

1) Als Übungsbeispiele können die Aufgaben IV, 17—23 wiederholt und die Aufgaben XV, 1—7 herangezogen werden.

Schuster, Planimetrie A².

c) Bestimme den Punkt, der von Px und P₂ gleiche Entfernung-und von gx und g.₂ gleichen Abstand hat. (Beachte die Zahl und Möglichkeit der Lösungen, sowie die Grenzfälle.)’

Zusammenfassung.

A. Erklärungen.

1.    Der Ort für einen Punkt ist eine Linie, auf welcher der Punkt liegen muß, und deren sämtliche Punkte der gestellten Bedingung genügen.

2.    Der Kreis¹) ist der Ort für alle Punkte, die von einem festen Punkte gleiche Entfernung haben.

3.    Figuren heißen kongruent, wenn sie durch Aufeinander-legen zur Deckung gebracht werden können.

B. Lehrsätze.

1.    Jede Dreiecksseite ist kleiner als die Summe der beiden anderen und größer als ihr Unterschied.

2.    Dreiecke sind kongruent, sobald sie übereinstimmen

a)    in allen drei Seiten,

b)    in zwei Seiten und dem Zwischenwinkel,

c)    in einer Seite und zwei entsprechend liegenden Winkeln,

d)    in zwei Seiten und dem Gegenwinkel der größeren. (9)

3.    Kongruente Dreiecke stimmen in allen entsprechenden Strecken und Winkeln überein.

(3)

(6)

(7)

(8)

(10)

4. Rechtwinklige Dreiecke sind kongruent, sobald sie über

einstimmen

a)    in zwei entsprechenden Seiten,

(11a)

b)    in einer entsprechenden Seite und einem entsprechenden spitzen Winkel.

5. Vierecke (Vielecke) sind kongruent, sobald sie in fünf (2n—3) aufeinanderfolgenden Stücken übereinstimmen. (19) 6/7. Wenn zwei Dreiecke in zwei Seiten übereinstimmen,

die Zwischenseiten

die Zwischenwinkel

seite den größeren (20) Gegenwinkel.

aber ungleich sind, so hat der größere Zwischen- die größere Zwischenwinkel die größere Gegenseite.

1) Unter „Kreis“ wird stets die Kreislinie verstanden.

VIL (VIII.) Der Kreis.

Lage eines Punktes, einer Geraden, eines Kreises zu einem Kreise.

*1. (Kreis und Punkt.) Welches sind die verschiedenen Lagen Fig. ir>. eines Punktes zu einem Kreise? Welche Beziehungen finden in den einzelnen Fällen zwischen der Zentrale des Punktes und dem Halbmesser des Kreises statt?

Ergebnis: Zusammenfassung Al; Bl, 18.

2. Der Halbmesser von K sei r, die Zentrale von 1\ sei c mm Fig. i:>. lang. Welches ist die längste, welches die kürzeste Verbindungslinie von Px und ft? (PXM — KC -f- KPX J> 1\ C\

J\ Po = KC — KJ\ < 1\ C.) Was ergibt sich, wenn c > r? Beispiele: r = 30; c — a) 25, b) 12, c) 8, (l) 72, e) 41, f) 64, g) 30, h) 0.

Ergebnis: Zusammenfassung B 2.

*3. (Kreis und Gerade.) Eine Gerade deren Mittelpunkts-Fig. is. abstand KCX — d ist, schneide ft in und Bv a) Warum ist d <C r? h) Welche Beziehungen treten ein, wenn gl senkrecht zu KC₁ verschoben wird? c) Welches sind die verschiedenen Lagen einer Geraden zu einem Kreise?

Ergebnis: Zusammenfassung A 4—7, 12, 13; B 3, 4.

3*

8/9. Der Ort für alle Punkte, die von

einem Punkte JP die Ent- einer Geraden g den Ab-fernung r haben, ist der stand a haben, ist jede der Kreis um JP mit dem Halb- beiden im Abstande a gezogenen Parallelen.

10/11. Der Ort für alle Punkte, die von zwei Punkten JPt und gleiche Entfernung haben, raden g{ und g₂ gleichen ist die Mittelsenkrechte der Abstand haben, ist jede der

beiden Halbierungslinien der von gx und g.₂ gebildeten Winkel.

12. Der Ort für alle Punkte, die von zwei parallelen Geraden gleichen Abstand haben, ist die ihren Abstand halbierende Zwischenparallele.

messer r.

Strecke JP₁I*₂.

(1)

J°₂

(25)

(23)

einander schneidenden Ge-

(20)

(27)

Fig. 16.    *4. (3b.) (Tangentensatz.) Warum liegen alle Punkte einer Ge

raden (<7₃), die im Endpunkte eines Halbmessers (KCS) senkrecht steht, außerhalb des Kreises — mit Ausnahme von C?j ? (IV B, 11.)

Ergebnis: Zusammenfassung B 4, 19, 20.

5. (4.) Lege an 7c die Tangente, die *a) Je in P berührt, b) g parallel ist, c) auf g senkrecht steht, d) g unter a° schneidet.

*6. (5.) (Zwei Kreise.) a) Welches sind die verschiedenen Lagen zweier (ungleichen) Kreise gegen einander? (Sonnenfinsternisse.)

b) Warum ist die Zentrale zweier einander schneidenden Kreise kleiner als die Summe und größer als der Unterschied der Halbmesser? (VI B, 1.) C) Welche Grenzfälle treten ein? d) Wo liegt der Berührungspunkt zweier Kreise? Ergebnis: Zusammenfassung A 2, 3; B 5, 21.

Symmetrie des Kreises.

*7. (8.) (Der Durchmesser als Symmetrale.) a) Welche Eigenschaft hat in Fig. 16 das Dreieck KA₁Bl ? b) Welches ist seine Symmetrale? c) Welches ist die Symmetrale für alle Sehnen, die AXBX parallel sind? d) Welche Beziehung findet zwischen den von parallelen Sehnen eingeschlossenen Bogen statt? e) Wie viele Symmetralen hat ein Kreis? f) Welches ist die gemeinschaftliche Symmetrale zweier Kreise? Ergebnis: Zusammenfassung A 9, 15; B 6, 7, 22, 25.

8. (9.) Lege durch Px und P₂ den Kreis, a) der den Halb

messer r hat, b) dessen Mittelpunkt auf g liegt, c) in welchem zur Sehne P₁P₂ ein Mittelpunktswinkel von a° gehört,

d) der auch durch P₃ geht, e) der gx in I\ berührt, f) der Jex in Px berührt.

9. (10.) Konstruiere den Kreis, der

a)    den Mittelpunkt 1\ hat

b)    den Halbmesser rx hat, durch

P₂ auf Je₂ geht

I. le₂ halbiert,

und

II. von Je₂ halbiert wird.

Fig. 16. *10. (11, 13.) (Satz von Sehne und Mittelpunkt.) a) Drehe in Fig. 16 A KAXBX um K. Welche Wege beschreiben dabei die Punkte Ax, Bx, Cx? b) In welcher Weise ändern sich Mittelpunktsabstand, Sehne und Mittelpunktswinkel, wenn gx senkrecht zu KCX verschoben wird? c) Welches ist die größte, welches die kleinste Sehne eines Sehnenbüschels mit dem Scheitel P?

Ergebnis: 'Zusammenfassung A 14; B 8—11.

*11. (14.) (Symmetrale zweier Tangenten.) Zwei in A und B Fig. n. an Je gelegte Tangenten bilden den Winkel ADB = <x°. Wie groß ist der Mittelpunktswinkel der Berührungssehne?

(III B, 5.) Wie groß sind die Winkel an der Berührungssehne? Warum ist D M = DP? (IV B, 2.)

Ergebnis: Zusammenfassung A 8; B 12, 23, 24.

12.    Ziehe in Je die Sehne, die a) in P halbiert wird,

und 1II. auf g senkrecht steht.

1)) den Mittelpunktswinkel a\ hat ( I. g parallel ist, c) die Länge s

13.    (15.) Gegeben ist ein Kreis Je und in ihm ein Durchmesser AB. Bestimme auf der Verlängerung von AB den Punkt P so, a) daß die von P an Je gezogenen Tangenten einen Winkel von a° einschließen, 1>) daß die zwischen P und Je liegenden Abschnitte dieser Tangenten gleich der Berührungssehne,

c) daß sie gleich dem Halbmesser sind.

14.    (16.) Konstruiere den Kreis, der gx und g₂ berührt und a) durch

Px auf gx geht, lb) durch Px auf der einen Halbierungslinie des Winkels gxgl geht, c) den Halbmesser r hat, >d) dessen Berührungssehne gleich s ist, e) der auch g₃ berührU“"""......

Winkel am Kreise.

Sehnentangentenwinkel.) In Fig. 17 rig. n.

vom

*15. (17.) (Satz

sei Z_ AKB = a°. Wie groß ist a) L. KAB, \)) der Sehnentangentenwinkel BAB? — C) Wie groß ist der stumpfe Sehnentangentenwinkel EAB, d) der zugehörige Mittelpunktswinkel ?

Ergebnis: Zusammenfassung A 10; B 13.

*16. (18.) (Satz vom Umfangswinkel.) In Fig. 18 sei Fig. 18. A BKC = 2«°, Z_ CK A = 2x°. Wie groß ist a) L. BKA,

1)) Z- BAD, c) Z_ CAD, d) der Umfangswinkel BAC?

— Berechne ebenso die Größe der Umfangswinkel B Ax C, BA%C u. s. w.

Ergebnis: Zusammenfassung A 11; B 14.

*17. (19.) (Umfangswinkel auf entgegengesetzten Bogen.) a) Wie viele Sehnentangentenwinkel gehören zu jeder Sehne? (Vergl. Fig. 17.) 1)) Wie viele verschiedene Umfangswinkel?

c) Wie groß ist ihre Summe?

Ergebnis: Zusammenfassung B 15.

18. (20.) Wie groß sind zwei Umfangswinkel auf entgegengesetzten Bogen, a) wenn sie einander gleich sind, b) wenn der eine das Doppelte, c) das Dreifache, d) das Vierfache, e) das w-fache des anderen ist? Desgl. wenn sie sich verhalten¹) wie f) 2 : 3, g) 3 : 5, ll) 2:7, i) 5 : 4, k) 11 : 7, 1) 3:4, in) 7:4, ll) 8 : 5, o) m : n?

19.    (21.) Welcher Umfangswinkel ist a) gleich dem Mittelpunktswinkel auf dem entgegengesetzten Bogen, 1)) das Doppelte, C) die Hälfte, d) das Vierfache, e) das w-fache des entgegengesetzten Mittelpunktswinkels ? f) Welcher Umfangswinkel verhält sich zum entgegengesetzten Mittelpunktswinkel wie

7:4, i) 3:14, k) 11:2, 1) 3 : 5, o) m : n?

i-*3 o

c£ co

4:7,

lll) : , ll) 7 :

20.    (22.) Welche Beziehung bestellt zwischen zwei einander schneidenden Sehnen, die a) gleiche Bogen einschließen, ll) in einem Abschnitte übereinstimmen, c) einander gleich sind,

d) einander halbieren, ©) einen Durchmesser in demselben Punkte unter gleichen Winkeln schneiden? f) Desgl. zwischen zwei parallelen Sehnen aus den Endpunkten eines Durchmessers ?

21. (XV, 89.) (Winkel zweier Sehnen.) Die Sehnen Bx B₂ und CxC₂ schneiden einander in M a) innerhalb, 1)) außerhalb 7c. Die Bogen Bx Cx und I?₂ C₂ fassen a° und ß°. Bestimme die Größe der Winkel BXB^CX, B₂CXC₂, BXMCX.

Ergebnis: Zusammenfassung B 17.

Der Umfangswinkel auf dem Durchmesser.

*22. (Satz des Thaies.) Ziehe in 7c einen Durchmesser AB und verbinde B auf k mit A, B, K. Es sei A AKP = x°. Wie groß ist a) AB KB, b) AKBB (IVB, 3), c) AKPA,

d) A ABB?

Ergebnis: Zusammenfassung B 16.

*23. (27.) (Der Thaieskreis.) Ziehe in k einen Durchmesser AB und verbinde a) Px innerhalb 7c, 1)) jR> außerhalb 7c mit A und B. Warum ist A ABXB > 90°, A AB₂B < 90°? (III B, 3.) Welches ist der Ort für alle Punkte, von denen aus AB unter rechtem Winkel erscheint?

Ergebnis: Zusammenfassung B 27.

(30.) Ziehe durch den einen Schnittpunkt zweier Kreise die Gerade, 5 a) die Bogen von gleichen Mittelpunktswinkeln abschneidet, /b) die in beiden Kreisen Sehnen von gleicher Länge ergibt,/c) deren Sehnensumme gleich einer gegebenen Strecke ist.

'27. (31.) Welches ist der Ort für die Mitten a) eines Sehnenbüschels, lb) der durch den einen Schnittpunkt zweier gleichen Kreise gelegten Sekanten?

Ergebnis von a: Zusammenfassung B 26.

28. (32.) Ziehe in k die Sehne, die a) den Mittelpunktsabstand a hat \ und t I. innerhalb k ^

1)) von der gegebenen Sehne AB durch II. außerhalb k [geht, halbiert wird    ) P ' III. auf k

wenn

n)    hb hc ma

o)    ha hb ma

Parallelogramm aus : r) a ha hb s) e Jia h^

*25. (29.) Ziehe von P (außerhalb k)

‘24. (28.) Rechtwinkliges Dreieck (Z. C = 90°) c) cZ. cmc ijß). hc mc (1) a mc    f) c L. b mc

Dreieck aus:

aus:

a) pW.

J lb) chc

h) lic Z. emo

i) a hb hc Q) ha hb pa Ł) cpcapcb m) hahcy

ha h L. cmb q) hb hc Z_ cmb

an k die Tangenten.

*29. (34.) (Konstruktion der gemeinschaftlichen Tangenten zweier Kreise.) Ei'richte auf BO (= 70 mm) in B und 0 die gleichgerichteten Senkrechten BE (= 35 mm), OL (= 15 mm) und schlage um E und L die Kreise mit den Halbmessern EB und LO. Ziehe £’/>, ferner LM || OB. a) Wie lang ist EM?    1)) Welches sind die Örter für 2T,

die Kreise E und L gegeben sind? C) Wie gestaltet sich die Figur, wenn die Senkrechten in B und 0 gegengerichtet sind?

31). (34.) Lege nach 29 an h\ und k₂ die gemeinschaftlichen a) äußeren, I>) inneren Tangenten. (Grenzfälle? Yergl. Aufg. 6 a.)

31. (XY, 100.) Mit dem Triebrad einer Kraftmaschine soll das Wellrad einer Arbeitsmaschine so verbunden werden, daß beide Räder a) in gleicher, 1)) in entgegengesetzter Richtung laufen. Wie muß die Verbindung hergestellt werden I. durch Treibriemen, II. durch Verzahnung?

34. (25.) Gegeben sind zwei Winkel a und ß, sowie

J, BC, CD II. AB, DE.

Der Ortsbogen.

*32. (23.) Gegeben ist ein Winkel M (= a°) und auf dem einen Schenkel ein Punkt P. Konstruiere den Kreis, der diesen Schenkel unter der Sehne 31P schneidet und den anderen (in M) berührt. Unter welchem Winkel erscheint MP von allen Punkten des Kreisbogens, der nicht zwischen den Schenkeln des Winkels M liegt? Beweise wie in 23, daß Z_ MLP^Ź a, je nachdem L innerhalb oder außerhalb 7c liegt. Ergebnis: Zusammenfassung B 28.

Dreieck aus:

33. (24, 33.)

a) a a £. ama

b)- b mb ß C) cpacy d) a ha a

6) a Z. bma L. cma f) b pab jL amb

ll) Jib ma ß O) ha u L. amb p) a mb a

Lw<g) a K 4. bma b) ua va ci /*) pa Ua a

: k) he uc y

1) maa L. ama /, r) c a Z_ ama S) b c Z. a ma

m)

lv

q) b mc Z_ cm,,

mc a y

t) Rechtwinkliges Dreieck aus c ma.

a) auf einer Geraden    \    i

l)) auf den Schenkeln eines 1 die Abschnitte I Winkels C    >    l

Bestimme den Punkt, von dem aus der erste Abschnitt unter cc°, der zweite unter ß° erscheint, (b I. ist die „Pothenotsche Aufgabe“.)

35.    (26.) Bestimme innerhalb eines gegebenen Dreiecks den Punkt, von dem aus die drei Seiten unter gleichen Winkeln erscheinen. (Grenzfall?)

36.    (XV, 80.) Konstruiere das gleichseitige Dreieck, dessen Ecken auf P, gx und g₂ liegen, wenn a) g₁ parallel g₂, b) gx und g₂ einander schneiden. (Eälle im Musterdreieck PAB PD _LAB. PE _L g,, PF Mg» und benutze die Thaieskreise über PA und PB.)

37.    (XV, 96.) Auf \ liegen P und K₂. Konstruiere den Kreis, der durch P geht, seinen Mittelpunkt auf \ hat und a) ausschließend, b) einschließend berührt. (Vergl. IV, Aufg. 21.)

I 38. (XV, 97.) Gegeben sind drei Kreise; Kx und K₂ liegen auf it₃. Konstruiere den Kreis, der \ und k₂ berührt und seinen Mittelpunkt ebenfalls auf /,'₃ hat; und zwar sollen a) \ und k₂ ausschließend, b) und k₂ einschließend, c) kL aus-

schließend und k₂ einschließend, d) \ einschließend und k2 ausschließend berührt werden. (Wegen der verschiedenen Möglichkeiten in der Lage von k± und k₂ vergl. B 5.)

39.    (XV, 98b.) Ziehe durch die Schnittpunkte von \ und k₂ mit k₃ die von einem Punkte von kt ausgehenden gleichlangen Sekanten.

40.    (XV, 99.) Einem gegebenen Viereck soll umgeschrieben werden:

a)    das Rechteck, dessen eine Seite gleich a ist (nach 26c),

b)    der Rhombus, dessen spitzer Winkel cc ist (nach 39), C) das Quadrat.

Zusammenfassung.

A. Erklärungen (siehe auch VI, A 2).

1.    Die Zentrale eines Punktes ist die Strecke, die ihn mit dem Mittelpunkt eines Kreises verbindet.

2.    Die Zentrale zweier Kreise ist die Verbindungslinie ihrer Mittelpunkte.

3.    Kreise, die denselben Mittelpunkt haben, heißen Ringkreise.

4.    Eine Gerade, die einen Kreis schneidet, heißt Sekante.

5.    Eine Gerade, die einen Kreis berührt, heißt Tangente.

6.    Eine Sehne ist dasjenige Stück einer Sekante, welches innerhalb des Kreises liegt.

7.    Ein Durchmesser ist eine Sehne, die durch den Mittelpunkt geht.

8.    Die Berührungssehne zweier Tangenten ist die Sehne, die ihre Berührungspunkte verbindet.

9.    Ein Mittelpunktswinkel ist ein Winkel, dessen Scheitel im Mittelpunkt liegt.

10.    Ein Sehnentangentenwinkei ist ein Winkel, dessen Scheitel auf dem Umfang liegt, und von dessen Schenkeln der eine eine Sehne, der andere eine Tangente ist.

11.    Ein Umfangswinkel ist ein Winkel, dessen Scheitel auf dem Umfang liegt, und dessen Schenkel Sehnen sind.

12.    Ein Kreisabschnitt ist der von einem Bogen und seiner Sehne begrenzte Teil der Kreisfläche.

13.    Ein Kreisausschnitt ist der von einem Bogen und den zugehörigen Halbmessern begrenzte Teil der Kreisfläche.

14.    Gehen mehrere Gerade durch einen Punkt, so bilden sie ein Büschel; der Punkt heißt Scheitel des Büschels.

15.    Sind mehrere Gerade einander parallel, so bilden sie eine Schar.

B. Lehrsätze.

1.    Ein Punkt liegt innerhalb (außerhalb) eines Kreises, wenn seine Zentrale kleiner (größer) ist als der Halbmesser.

2.    Die kürzeste (längste) Verbindungslinie eines Punktes mit einem Kreise ist gleich dem Unterschied (der Summe) von Halbmesser und Zentrale.

3.    Eine Gerade schneidet den Kreis in zwei Punkten (hat

mit dem Kreise keinen Punkt gemein), wenn ihr Abstand vom Mittelpunkt kleiner (größer) ist als der Halbmesser.    (3)

4.    Eine Gerade, die im Endpunkte eines Halbmessers senkrecht steht, ist Tangente.

5.    Wenn die Zentrale zweier Kreise

a)    größer ist als die Summe der Halbmesser, so schließen sie einander aus;

b)    gleich der Summe der Halbmesser ist, so berühren sie einander ausschließend;

c)    kleiner ist als die Summe, aber größer als der Unterschied der Halbmesser, so schneiden sie einander;

d)    gleich dem Unterschied der Halbmesser ist, so berührt der größere den kleineren einschließend;

e)    kleiner ist als der Unterschied der Halbmesser,’ so schließt der größere den kleineren ein. (6)

6.    Die Mittelsenkrechte einer Sehne geht durch den Mittelpunkt und fällt mit der Halbierungslinie des zugehörigen Mittelpunktswinkels zusammen.

7.    Bogen zwischen parallelen Sehnen sind gleich.

X 8. Gleiche Sehnen haben gleichen Abstand vom

Mittelpunkt, gleiche Bogen und gleiche Mittelpunktswinkel.

> 9. Gleichweit

sind gleich.    (10)

10. Die größere von zwei Sehnen hat den kleineren Abstand vom Mittelpunkt.

(1)

(2)

(3,4)

(7)

(?)

(10)

vom Mittelpunkt entfernte Sehnen

Ci / /1 A'

*7^'

11.    Von zwei Seimen ist diejenige die größere, die den kleineren

Abstand vom Mittelpunkt hat.    (10)

12.    Zieht man von einem Punkte P an einen Kreis k die beiden Tangenten, so sind die zwischen JP und A* liegenden Tangentenahschnitte einander gleich; die Zentrale ihres Schnittpunktes halbiert den Winkel der Tangenten, den zugehörigen Mittelpunktswinkel, die Berührungssehne und steht auf dieser senkrecht.

13.    Ein Sehnentangentenwinkel ist gleich der Hälfte des Mittelpunktswinkels, dessen Schenkel denselben Bogen einschließen.

14.    Alle Umfangswinkel auf demselben (oder gleichem) Bogen sind einander gleich und gleich dem Sehnen-tangentenwinkel, dessen Schenkel denselben Bogen einschließen.

15.    Zwei Umfangswinkel auf entgegengesetzten Bogen betragen zusammen 180°.

16.    Satz des Thaies: Der Umfangs Winkel auf dem Durchmesser beträgt 90°.

17.    Der Winkel, den zwei einander innerhalb (außerhalb) eines Kreises schneidende Sehnen bilden, wird gemessen durch die halbe Summe (den halben Unterschied) der von ihnen eingeschlossenen Bogen.

(H)

(15)

(16)

(17)

(22)

(21)

18/19. Der Ort für die Mittelpunkte aller Kreise, die den Halbmesser r haben und

• durch P gehen, ist der g berühren, ist jede der Kreis um P mit dem beiden im Abstande r Halbmesser VI B, 8.

r.

Vergl. zu g gezogenen Paralle-(1) len. Vergl. VI B, 9.    (4)

20/21. Der Ort für die Mittelpunkte aller Kreise, die

k in P berühren, ist die —

g in JP berühren, ist die

beiderseits verlängerte — beiderseits verlängerte —

Senkrechte auf g in P. (4) ¹ Zentrale von P.

(6)

22/23. Der Ort für die Mittelpunkte aller Kreise, die

durch Pi und P₂ gehen, gt und g₂ berühren, ist ist die Mittelsenkrechte jede der beiden Halbierungs-der Strecke PiP₂. Vergl. linien der von g\ und g>

gebildeten Winkel. Vergl. VI B, 11.

VI B, 10.

(7)

(11)

24. Der Ort für die Mittelpunkte aller Kreise, die zwei parallele Gerade berühren, ist die ihren Abstand halbierende Zwischenparallele. Vergl. VI B, 12.

au

eines Sehnenbüschels ist der Kreis, dessen Durchmesser die Zentrale des Scheitels

(7)

25/26. Der Ort für die Mitten einer Sehnenschar ist der auf ihr senkrechte Durchmesser.

ist.

(27)

27/28. Der Ort für alle Punkte, von denen ans eine Strecke AB

unter einem

(23)

(32)

rechten Winkel erscheint, ist der Kreis, dessen Durchmesser AB ist. (Thaieskreis.)

Winkel von «° erscheint, ist der Kreisbogen, in welchem auf der Sehne AB Umfangswinkel von «° stehen.

(Ortsbogen.)

¹

Wegen der Verhältnisaufgaben vergl. die-Aiim. Seite 24.

VIII. (IX.) Kreis vielecke.

Das Dreieck als Sehnendreieck.

*1. (Erster merkwürdiger Punkt des Dreiecks.) Warum muß jedes Dreieck einen Umkreis besitzen? (VII, Aufg. 8d.) Welche Dreieckslinien schneiden einander im Mittelpunkt des Umkreises? Wo liegt der Mittelpunkt des Umkreises, wenn

a = 90°? (VII B, 27.) Wo liegt er,

wenn a

^ 90°?

Ergebnis: Zusammenfassung Al; Bl, 2.

2.    a) Zeichne in einen Kreis TJ (Halbmesser r) ein spitzwinkliges Sehnendreieck ABC. Welches sind die Maßzahlen der Seiten und Winkel der Dreiecke ABU, BCU, CAU? 1)) Erörtere ebenso ein stumpfwinkliges Sehnendreieck.

3.    Dreieck aus r und:

r©

Ua

III ) ma a

il) ß L. b mb

°) pb„ 7

P) ha a

<l)

ma

S) mc 8

4. Beweise, daß die beiden Dreiecke, die aus zwei Seiten und dem Gegenwinkel der kleineren konstruiert werden können, gleiche Umkreise besitzen. (Nach Aufg. 3 a und VII, B 14.)

5. Folgende Aufgaben sollen auf einfachere zurückgeführt werden: Dreieck aus r und:

g)    (« + 6) y

h)    (b — c) cc

a) (ft -j— b) o;

B) (& — c)y

c)    a (cc -f- ß)    -A__ i) (ft -J- b -j- c) cc

d)    b(ß —y)    k) (b + C — ft) ß

e)    a (b -f- cj

f)    b (c — a)

1) (a -j- ma) cc

m) (b — mb) ß

q)    (a    +    mb)a

r)    a (ß — y)

s)    ha (ß -f y)

Das Dreieck als Tangeiiteiidreieck.

*6. (Zweiter merkwürdiger Punkt des Dreiecks.) a) Warum muß jedes Dreieck einen Inkreis besitzen? (VII, Aufg. 14e.)

B) Welche Dreieckslinien schneiden einander im Mittelpunkt des Inkreises?

Ergebnis: Zusammenfassung A 2; B 1, 3.

7. Dreieck aus q (Halbmesser des Inkreises) und:

c) K ß

*8. a) Wie viele Berührungskreise haben drei Gerade? (VIIB, 23.) Fig. 19. B) Wie viele Ankreise hat ein Dreieck? c) Welche Dreieckslinien schneiden einander in den Mittelpunkten der Ankreise? Ergebnis: Zusammenfassung A3; Bl.

9. Dreieck aus:¹)

Qa und

a) b cc ue) wyy i) ß

haß, f) ha IVa k) h,

Pacß    g) Q « P°a

b ha\Jl) Qc ß m) b

a) a ß

B) cc ß

e) ha

f) a

Qb und

-Cö "Cù '■î

g) h y i) ha

li) hb ß

k) hb wp

qc und

li) ß r) cc ß y) ha wa

0) ha CC

s) hbcc W) hcy P) Q 7 t) Pbc « x) a ß q) QC ß 111) a- hb l$y)

Das Sehnenviereck.

vom Sehnenviereck.) Wie groß ist im Sehnenviereck AB CD die Summe von A. A und L. (7? (VIIB, 15.) Wie groß ist Z. D, wenn L. B = ß? Wie groß ist der

1) q , q sind die Maßzahlen für die Halbmesser der Ankreise.

*10. (Satz

Außenwinkel bei C? Welche Umfangswinkel stehen auf dem Bogen AB? Welche gleichen Winkelpaare enthält die Figur? Welche Winkel sind ae, af, be, bf Grad?¹)

Ergebnis: Zusammenfassung Al; B 9.

11.    Berechne die Winkel eines Sehnenvierecks, in welchem

a) AB = 2 • A A, A C = 3 - Z. A-,

I) ) AB = 3 ■ AA, AC =8 ■ AA-,

c)    AB — \ • A A, A C = | • A A-,

—(1) AA = \- AB, A B = 2 ■ A C-,

e)    AA: AB: AC = 3: 5:7;

7:5; 4 : 3;

f)    AA: AC: AB = 2:

g)    AB: AC: AB = 2:

II)    A A : A B : A B = 5 : 11 : 7; i) A A : A B : A C = m : n : p.

12.    Welche Eigenschaft hat ein Sehnenviereck, in welchem a) zwei Gegenseiten parallel (YII B, 7), b) zwei Gegenseiten gleich (YII B, 8, 14), c) zwei Nachbarseiten gleich (YII B, 8),

<>

d)    je zwei Gegenseiten parallel, e) je zwei Gegenseiten gleich, f) je zwei Nachbarseiten gleich, g) alle Seiten gleich ll) zwei Nachbarwinkel gleich, i) zwei Nachbarwinkel je 90 sind?

*13. (Umkehrung.) Zeichne in k ein Dreieck A B C. a) Welches ist der Ort für alle Punkte, von denen aus BC unter (180 — «)° erscheint? b) Welcher Bedingung muß ein Yiereck genügen, wenn es einen Umkreis besitzen soll? Ergebnis: Zusammenfassung B 11.

14.

Sehnenviereck aus:

a)    aber

b)    a b

c)    c r cc ß

d)    b d r ß

e)    ab e a f ) ab u ß g) a faß

- h) b e f ß

r) a (b + c)

-'S) b {c — d) r ß t) d (a -j- b) e ß il) d (b — c) f a y) (c — d) f ß A af w) (a -f- d) e cc A af ^ x) b c (a e) A ac y) cd(f—b)Abf

'—»i) afßA

a c e

1) ab f A be -'in) ab r A ef il) a b r (a + ß)

O) b c r (cc — ß) p) a d (b -f- c)

V^g) b c (a — d) z) Sehnentrapez aus a c r

15. a) Welche Parallelogramme, b) welche Trapeze besitzen Umkreise? c) Beweise, daß die Halbierungslinien der Innen-

r cc

Wt)

ae

rcc

winkel jedes Vierecks ein Sehnenviereck einschließen, d) Desgl. die Halbierungslinien der Außenwinkel.

10. Warum ist im Sehnen Sechseck AB CD BF L. A Ą- L. C -f-+ AE=AB + /-D + AF?

Ergebnis: Zusammenfassung Al; B 13.

Das Tangelitenviereck.

*17. (Satz vom Tangentenviereck.) Was folgt beim Tan-Fig. 20. gentenviereck AB CD aus der Addition der Gleichungen für MA, MB, OC, OD? (VII B, 12.)

Ergebnis: Zusammenfassung A 2; B 10.

18. (Umkehrung.) Verbinde in Eig. 20 einen Punkt Dx auf CD (auf der Verlängerung von CD) mit A und untersuche, ob im Viereck ABCDX die Summen der Gegenseiten gleich sein können. (VI B, 1.) a) Welcher Bedingung muß ein Viereck genügen, wenn es einen Inkreis haben soll? 1b) Welche Parallelogramme und welche Trapeze haben Inkreise?

Ergebnis: Zusammenfassung B 12.

10. Tangentenviereck aus:¹)

a)    a b a

b)    a b c

c)    b c d ([) a d f e) a d e f ) Qtxß

CQ_ CQ_ «

g) a a

11) (a — d) a ß Z- df ~0) ab (c + f)r P) (f — !>) ? i A cf —k)    (a -(- 6) c e L. ae    (f)    (a — b) e a    ô

ß    r)    (c — d) ß y L.    be

in)    a (b -f- c) y L. bf    s)    a c d (a -f- ß)

li) a i) a

a—■ b) d e

20. Stelle nach 17 Sätze auf: a) für ein Tangentensechseck, 1)) für ein Tangentenachteck.

Ergebnis: Zusammenfassung B 14.

Beziehungen zwischen Umkreis, Inkreis und anderen Kreisen

des Dreiecks.

Welches ist hiernach der Ort für J

21. In Fig. 19 ist zu beweisen: a) JBJXC ist ein Sehnen- Mg. 19. viereck, b) der Mittelpunkt Ux seines Umkreises halbiert JJX,

c) Ux liegt auf dem Umkreis des Dreiecks ABC (berechne L. B UXC = 2 • jL BJxC), d) TJX liegt auf der Mittelsenkrechten von B C.

und für Jx, wenn a und a gegeben sind?

Ergebnis: Zusammenfassung B 5.

1) Maßzahlen wie beim allgemeinen Viereck (vgl. S. 25 und 27, Anm.).

Der Halbmesser des Inkreises ist q mm lang.

22. Dreieck aus:

s) & 0 + q) ß

h) a (ęa + r) a

c)    r Q y

d)    b r Qb

e) C Qc y f ) r Qa cc

<i) arę

1)) b q ß

Tangehtenviereck aus:

i)ucpa k) a q y d    1 ) a c cc ß Hl) b d cc ö.

Fig. i9. 23. Welche Bolle spielen (Fig. 19) die Winkelhalbierenden des

Dreiecks ABC im Dreieck JtJ₂J₃? (II, B 3.) Zeichne hiernach Fig. 19, ausgehend vom Dreieck Jx J% J₃, und beweise:

*a) (Dritter merkwürdiger Punkt des Dreiecks.) Die Höhen eines Dreiecks schneiden einander in einem Punkte. (Bedeutung des Höhenpunktes für das Höhenfußpunktsdreieck ?)

Jj) Der Kreis, dessen Durchmesser der obere Abschnitt einer Dreieckshöhe ist, geht durch die Fußpunkte der beiden anderen.

c) Sein Mittelpunkt liegt auf dem Umkreise des Höhenfußpunktsdreiecks.

(1) Der Kreis, dessen Durchmesser eine Dreiecksseite ist, geht durch die Höhenfüßpunkte der beiden anderen, und sein Mittelpunkt liegt auf dem Umkreise des Höhenfußpunktsdreiecks.

*e) (Der Feuerbachkreis.) Der durch die Seitenmitten eines Dreiecks geschlagene Kreis geht auch durch die Höhenfußpunkte und durch die Mitten der oberen Höhenahschnitte. (Kreis der neun Punkte.) Umkehrungen?

Ergebnis: Zusammenfassung B 4, 8.

Dreieck²) aus:

a) 1 ^8

d)

e)

f)

tu ta ^ w S

Mb

Hc

Mb

^o"oo’o‘o"

fl fl ©“ fl o° <5 fl fl fl fl fl O

LCÆ

faq ttj tïj taa ^ fcq

25. Der Höhenpunkt des Dreiecks ABC sei if; die Höhe AD schneide (verlängert) den Umkreis in H₁. Beweise, daß

DHX = DH ist: a)

A A > 90°, C)

= L. Hx BD.)

Ergebnis: Zusammenfassung B 6.

wenn

wenn

A ABC spitzwinklig ist, b) AB> 90°. (A DJB H = Z_ HXAC

wenn

26.    (Die Simsonsche Gerade.) Zeichne in Ä' ein Sehnendreieck ABC und fälle von einem Punkte P des Bogens BC die Lote PAX ±BC, PBX _L CA, PCX _L AB. Bestimme in der Figur vier Sehnenvierecke und beweise, daß A CA₁B₁ = Z_ CPBX = A BPCX = A BAX Cx. Wie groß ist A CXAXBX ?

Ergebnis: Zusammenfassung B 7.

27.    Beweise folgende Sätze:

a)    Die Sehne des Umkreises, die im Endpunkt einer Dreiecksseite auf dieser senkrecht steht, ist gleich dem oberen Abschnitt der ihr parallelen Höhe.

b)    Die in den Ecken eines Dreiecks auf den Seiten errichteten Senkrechten schneiden einander auf dem Umkreise und bilden ein Sehnensechseck mit parallelen und gleichen Gegenseiten.

c)    Die Eußpunkte der von einem Höhenfußpunkte auf die beiden anderen Seiten und auf die zu ihnen gehörigen Höhen gefällten Lote liegen auf einer Geraden. (Nach 26.)

d)    Die Höhe eines gleichseitigen Dreiecks ist gleich dem Ankreishalbmesser.

Zusammenfassung.

A. Erklärungen.

1/2.

Ein Tangentenvieleck

Ein Sehnenvieleck

ist ein Vieleck, dessen Seiten Sehnen

eines Kreises sind. Dieser Kreis heißt

Tangenten

Inkreis des Vielecks.

Umkreis des Vielecks.

3. Ein Ankreis ist ein Kreis, der eine Seite eines Vielecks und die Verlängerungen der beiden Nachbarseiten berührt.

B. Lehrsätze.

1. Jedes Dreieck hat einen Umkreis (1), einen Inkreis (6) und drei Ankreise (8).

Schuster, Planimetrie A².

■<2. Die Mittelsenkrechten der Seiten eines Dreiecks schneiden einander in einem Punkte. Er ist der Mittelpunkt des Umkreises (erster merkwürdiger Punkt des Dreiecks).

\3. Die Halbierungslinien der Innenwinkel eines Dreiecks schneiden einander in einem Punkte. Er ist der Mittelpunkt des Inkreises (zweiter merkwürdiger Punkt des Dreiecks).

4.    Die drei Höhen eines Dreiecks schneiden einander in einem Punkte. Er heißt Höhenpunkt (dritter merkwürdiger Punkt des Dreiecks).

5.    Der von einem Punkte des Umkreises eines Dreiecks

(1)

(6)

(23 a)

durch die Endpunkte einer Seite geschlagene Kreis ist ein Ort für die Mittelpunkte des Inkreises und des zu der betreffenden Seite gehörigen Ankreises.

6.    Die Gegenpunkte des Höhenpunktes eines Dreiecks in Bezug auf die Seiten liegen auf dem Umkreise.

7.    Die Fußpunkte der von einem Punkte des Umkreises eines Dreiecks auf die Seiten gefällten Lote liegen auf einer Geraden. (Simsonsche Gerade.)

8.    Der Kreis, der die drei Seiten eines Dreiecks halbiert,

(21).

25)

(26)

geht auch durch die drei Höhenfußpunkte und durch die Halbierungspunkte der drei oberen Höhenabschnitte. (Feuerbachs Kreis der neun Punkte.)

(23 e)

9/10.

Im Sehnenviereck

sind die Summen der

Im Tangentenviereck

Gegenwinkel

(10)

gleich.

Gegenseiten

(17)

11/12. Ein Viereck hat einen Umkreis,

wenn die Summen der

Inkreis,

Gegenwinkel

Gegenseiten

(13)

13/14.

gleich sind. In jedem

(18)

Sehnenvieleck

von gerader Seitenzahl ist

Tangentenvieleck

AB -f CI) -j-----

= BC + DE+- - (20)

IX. (X.) Flächengleiclilieit.

Verwandlung eines Dreiecks.

*1. (Gleichheitssatz.) Zeichne zwei Dreiecke A₁B₁C₁ und von gleicher Grundlinie (Bx C₁ = J5₂ C\) und gleicher

a₂b₂c₂

Höhe (A₁B₁ = A₂D₂ — h). a) Welches ist der Ort für AL und A₂i wenn die Grundlinien aufeinander^ gelegt b) Warum ist A Ax B C — A A₂ BC ? (Verg!^^, Aufg. 13h.) Ergebnis: Zusammenfassung A 1, 2; B 1—4.

werden? Mg. 21.

*2. (1.) (Dreiecksverwandlung durch volle Verschiebung.) Verwandle nach Fig. 21 ein Dreieck ABC unter Beibehaltung der Beite BC — a in ein anderes, von welchem gegeben ist a) 6, b) y, c) ma, d) L. ama, e) r, f) hb, g) mc, h) Z_ aą, i) K. k) Z_ bma, 1) Z. <;ą. Desgl. m) in ein gleichschenkliges Dreieck*,' n) in ein Dreieck, in welchem b = ma.

aus F (gegebenes Dreieck) und:

I)    a L. amb    Z_ bmc v) r y

g) a Z. m) b Z. r) & Z. ama w) a

II)    Cy

2liLa

p) a Z. bma u) a r

*4. (3.) (DreiecksVerwandlung durch Teilverschiebung.) Bezeichne auf der Seite AC des Dreiecks ABC einen Punkt Ax, ziehe AXB und verwandle das Dreieck ABAx unter Beibehaltung der Seite BAx in ein anderes, dessen Spitze By auf der Verlängerung von CB liegt. In welches Dreieck ist A ABC dadurch verwandelt worden?

3. _(2.) Dreieck

ß^..ajL f) a ma

h) b c

C) a ß 11) c Z_ d) «

e)

r-O

i) a mb k) b mc

cmc

S) a Z_ b mb ( x) c lia

y)    niacc

z)    mbß

5. (4.) Verwandle /AABC in ein anderes, von welchem eine Ecke liegt in einem gegebenen Punkte

a)    auf AB

b)    auf BC

d)    auf der Verlängerung von B C

e) in F innerhalb /AABC c) auf der Verlängerung von CA f) in P außerhalb /AABC.

6. (5.) Verwandle /AABC unter Beibehaltung des Winkels B in ein anderes, von welchem gegeben ist a) a (<C B (7), b) a (> B C), c) c, d) lia (< AB), e) Jia (> AD), f) hc.

7.1(6.) Dreieck aus F und:

d)    b Z_ bmb

e)    b Z_ bmc

f) cma

(Ml) bha

h)    b Z. amb

i)    a Z_ cmc

m)

cc

Ma

k)

P)

nia

4*

q)    K A ama

r)    hb Z_ bma

s)    hc Z_ ama

t)    ha r 11) hbhc

V._8, (7.) Verwandle ein Dreieck ³ a) in ein Rechteck mit gleicher Grundlinieyub) in ein Rechteck mit gegebener Grundlinie, c) in ein Parallelogramm mit gegebener Grundlinie und gegebenem Winkel, d) in ein Parallelogramm mit gegebenen Seiten, e) in ein gleichschenkliges Trapez mit gegebenen Grundlinien.

Verwandlung eines Parallelogramms.

*9. (8.) (Satz von den Ergänzungsparallelogrammen.) Ziehe im Parallelogramm AB CD die Diagonale AC, bezeichne auf ihr einen Punkt E und ziehe durch E zu AB und zu BC die Parallelen KL und JM. a) Beweise, daß die Ergänzungsparallelogramme EJBL und EMDK einander gleich sind, b) Welches Parallelogramm ist gleich ABLK, welches gleich BCMJ?

Ergebnis: Zusammenfassung B 5.

F (gegebenes Parallelogramm) und: i) fa    n)    fr ha    r)    ha Lbf

ae    k) e a    0 )    ha a    s)    ha hb

1 ) e Ab f    p )    ehb    t)    a Z_ ef

10,    (9.) Parallelogramm aus

e)    fr e

f)    e L.

g)    ef

ae h) e L. ef m) f Z_ ae q) ha^-ae u) hb Z_ ef

a)    a fr

b)    a a

C ) fr a

d) «Z.

11,    Halbiere im Rechteck AB CD den Winkel B-, die Winkelhalbierende treffe die Diagonale AC in E. Ziehe dann durch E (wie in 9) KL || AB, JM \\ BC, trage EM = JO auf JB ab und ziehe EO. a) Warum ist A EJ O ^ A CME‘ł b) Warum ist Z. AEO = 1 R?

Ergebnis: Zusammenfassung B 7.

*12. (10.) Wie gestaltet sich die Figur zu 9, wenn AB CD ein Quadrat ist? Wie groß    sind die einzelnen Teile    der    Figur,    wenn

a)    AJ    =    a,    JB =    b    —    Formel    für    (a    -f-    b)²,

b)    AB    =    a,    JB —    b    —    Formel    für    (a    —    fr)²,

c)    AB    —    a,    AJ =    fr    —    Formel    für    (a²    —    fr²)?

b) (a -j- fr -f- c -f- d)².

13. (11.) Entwirf das geometrische Bild für die Formel a) (a -j- fr -}- c)²,

zum

MC schneide PO in Q, AB in K. a) Warum ist Parallelogramm BCDE = BCMO — BOQK? b) Wie groß ist die Summe der Parallelogramme über BC und AC?

Ergebnis: Zusammenfassung B 6.

15.    Wie gestaltet sich die Figur zu 14, wenn die Parallelogramme BODE und ACFG a) nach innen, b) nach verschiedenen Seiten errichtet werden?

16.    Verwandle a) die Summe, b) den Unterschied zweier Parallelogramme in ein Parallelogramm mit gegebenem Winkel.

Verwandlung von Vielecken in Dreiecke, Rechtecke, Quadrate.

*17. (12.) (Verwandlung eines Vierecks in ein Dreieck.)

Ziehe im Viereck AB CD die Diagonale BD und verwandle lABCD unter Beibehaltung der Seite BD in ein anderes, dessen dritte Ecke C₁ auf der Verlängerung von AD liegt.

Tn welches Dreieck ist dann das Viereck AB CD verwandelt?

18. (13.) Verwandle in ein Dreieck und dann in ein Rechteck:

a) ein Fünfeck, b) ein Sechseck, c) ein Viereck mit einspringender Ecke, d) ein Sechseck mit zwei einspringenden Ecken, e) die Summe, f) den Unterschied zweier Dreiecke.

16. (14.) (Vorbereitung des pythagoreischen Lehrsatzes.) Fig.22. In Fig. 22 ist das Quadrat BCDE erst in ein Parallelogramm BCGH: dann in ein Rechteck BKLH mit gegebener Seite (BH = a) verwandelt worden. a) Beschreibe die Konstruktion. b) Wenn BK und DC bis zum Durchschnitt A verlängert werden, warum ist dann BA = BH? c) Welches sind die Örter für (7, wenn das Rechteck BKLH gegeben ist? d) Verwandle hiernach ein Rechteck in ein Quadrat.

Der pythagoreische Lehrsatz.

BK um.)

um

*20. (15.) (Satz des Euklid.) Über einer Kathete eines recht-Fig.22. winkligen Dreiecks ABC ist das Quadrat BCDE und über ihrer Projektion BK das Rechteck BKL₁H₁ (BH₁ — BA) errichtet. Warum ist Quadrat BCDE = Rechteck BKLtHj? (Klappe in Fig. 22 das Rechteck BKLH Ergebnis: Zusammenfassung B 8.

*21. (16b.) (Satz des Pythagoras, Euklidischer Beweis.) Über Fig. 28. den Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks ABC sind die Quadrate BCDE, ACFG, ABHJ errichtet. Die Verlängerung der Höhe CK schneide HJ in L. Ziehe AE und

Eig. 24. l’ig. 25/2G.

CH. a) Warum ist A A B E ^ A II B Gf, Quadrat B CI) H = 2 . A ABE (B 2), Rechteck IIB KL = 2 . A HBC, Quadrat B CBE = Rechteck HBKL? — b) Beweise ebenso, daß Quadrat AC F G = Rechteck JAKI.

Ergebnis: Zusammenfassung B 9.

22. (16.) Andere Beweise des pythagoreischen Lehrsatzes:

a)    Ziehe in Eig. 23 EM || BA und drehe das Parallelogramm BE M A um R, bis A auf H fällt.

b)    Verschiebungsbeweis nach Pig. 24. c/d) Algebraischer Beweis nach Fig. 25/26.

e) Hach Pappus (B 6).

Anwendungen des pythagoreischen Lehrsatzes.¹)

23.    (17.) Qi, Q₂i Q?j seien gegebene Quadrate von av a₂, a₃ mm Seitenlange. Konstruiere das Quadrat, welches gleich ist:

b) a

25.    (19.) Berechne die Seiten eines Dreiecks aus:

*0 Qi H⁻ Q2 to) Qi Q%

c)    Qi -\- Q‘i

d)    Qi~\~ Q-2 — <?₃

e)    2 ft

f)    3 Qx

a)

b)

C)

d)

e)

f)

h)

und 12

V 18

„    3,5    ( „

» 0,6 „

„    14,63    „

a) b)

J"¹ P «

d) e)

ha = 60    21    2    ha\ t    & , c

p°a — 25    20    5    pa ,L W6nn a~ ¹\Jrï>ac

b = 45    72    25,3    81,2 jp* JIL wenn a=Pa—Pa

) g) k) i) k)

198,7 hb 231,6 85,4 pe

CO CQ

b>) —

pah = 18,2 60    4

p\ = 2,2 29,25 31

11

a I. wenn b=p“-{-pcb II. wenn b = p“—pk

1) Siehe auch XY, 16—37.

¹

Maßzahlen wie S. 25, Anm. 1. Der Halbmesser des Umkreises ist r.

²

Es bedeuten: ABC die (der Lage nach gegebenen) Eckpunkte des gesuchten Dreiecks, H seinen Höhenpunkt, HaHbHc seine Höhenfußpunkte, J seinen Inkreismittelpunkt,    die Ankreismittelpunkte,

MaMbMc die Seitenmitten, Oa Ob Oc die Mitten der oberen Höhenabschnitte.

³

14. (Satz des Pappus.) Errichte über zwei Seiten eines Dreiecks ABC nach außen die (beliebigen) Parallelogramme BCDE und ACFG; verlängere ED und GF bis Schnittpunkt M,, ziehe CM und durch B und A zu CM die Parallelen. Sie mögen ED und G F in 0 und P schneiden;

Teilung von Figuren.

m : n.

26. (24.) Teile ein Parallelogramm durch Parallele zu einer Seite in a) 3, b) 5, c) 6, d) n gleiche Teile. (V, Aufg. 17.)¹) Desgl. in zwei Teile, die sich verhalten wie e) 3:1, f) 2:5, g) 4 : 9, h)

a) 5, b)

is e) 2 : m : n :p.

28.    (25.) Ein Parallelogramm soll durchstrahlen, die von einer Ecke ausgehen, in a) 6, b) 8, c) 10, d) 2 n gleiche Teile geteilt werden. Desgl. in e) 3, f) 5, g) 7, ll) (2 n -f- l) gleiche Teile. Desgl. im Verhältnis i) 1:3, k) 3:5, 1) 7:3, lll) 1:2, ll) 6:5, o) 2:3:4, p) m : n : p.

29.    (27.) Teile ein Trapez in a) 3, b)^4, c) 7, d) n gleiche Teile; ferner im Verhältnis e) 2:3, f) 3:5, g) 9:4, h) m : n, i) 1:2:3, k) m : n : p.

27. (26.) Teile ein Dreieck von einer Ecke aus d) n gleiche

C)

ferner im V

f) : 2, g) m : w, h) 3 :    : 7, i) 2 : 6 :

CO CO

Ci

30. (28.) Teile in der Figur zu 17 das Dreieck ABC₁ von B aus in 5 gleiche Teile und verwandle dann die zwischen BD und B Cl liegenden Teildreiecke unter Beibehaltung der Grundlinie BD so, daß ihre Spitzen auf DC liegen.

Teile hiernach ein Viereck in a) 3, b) 4, c) 7 gleiche Teile; ferner im Verhältnis d) 3:2, e) 2:5, f) 1:3:2.

31.    (29.) Teile ein Dreieck von einem Punkte einer Seite aus in

(1) gleiche

g) : 8, h) : 3 : 5, i) 7:9:4.

32.    (30.) Teile ein Dreieck von einem innerhalb desselben liegenden Punkte aus in a) 3, 1)) 4, c) 5 gleiche Teile; ferner im Verhältnis (1) 1:2, e) 2:7, f) 11:3, g) 9:5, ll) 4:7 :2.

a) b) 5,    )

e) : 1, f) :

« Ol

t- CO

; ferner im Verhältnis

33.    (31.) Im Fünfeck AB ÖDE sind zwei Punkte der Seiten AB und CD durch die gebrochene Linie F HG verbunden. Diese gebrochene Teilungslinie soll durch eine gerade ersetzt werden, die a) von F, b) von G ausgeht.

34.    (32.) Teile ein Viereck von zwei Gegenecken aus in a) 3,

b) 5, c) 6 gleiche Teile,, d) im Verhältnis 1:3, e) im Verhältnis 3 : 4, und ersetze dann die'gebrochenen Teilungslinien durch gerade, die sämtlich von einer Ecke ausgehen.

Zusammenfassung.

A. Erklärungen.

1.    Figuren sind gleich, wenn sie gleichen Flächeninhalt haben.

2.    Eine Figur verwandeln heißt, ihr eine andere Form geben, ohne den Flächeninhalt zu ändern.

B. Lehrsätze.

1.    Parallelogramme von gleicher Glrnndlinie und Höhe sind einander gleich.

2.    Ein Dreieck ist halb so groß wie ein Parallelogramm von gleicher Grundlinie und Höhe.

3.    Dreiecke von gleicher Grundlinie und Höhe sind einander gleich.

4.    Der Ort für die Spitzen aller gleichen Dreiecke auf gemeinschaftlicher Grundlinie ist die durch die Spitze des einen von ihnen zur Grundlinie gezogene Parallele.

5.    Zieht man durch einen Punkt der Diagonale eines Parallelogramms die ParaHelen zu den Seiten, so sind die von der Diagonale nicht geschnittenen Teilparallelogramme (Ergänzungsparallelogramme) einander gleich.

6.    Satz des Pappus: Errichtet man über den Seiten eines Dreiecks Parallelogramme so, daß die Ecken des einen auf den Seiten der beiden anderen liegen, so ist die Summe der beiden nach außen oder nach innen gerichteten Parallelogramme gleich dem dritten.

7.    Das Quadrat über der Höhe eines rechtwinkligen Dreiecks ist gleich dem Rechteck aus den Projektionen der Katheten:

h;² = p* ■ p'c    (11 ; vergl.auchXIIB,9.)

8.    Satz des Euklid: Das Quadrat über einer Kathete

(1)

(1)

(1)

(1)

(9)

(14)

a² = c • pac (20; vergl. auch XIIB, 8.)

eines rechtwinkligen Dreiecks ist gleich dem Rechteck aus ihrer Projektion auf die Hypotenuse und der ganzen Hypotenuse:

9. Satz des Pythagoras: Die Summe der Kathetenquadrate eines rechtwinkligen Dreiecks ist gleich dem Hypotenusenquadrat :

X. (VI). Inhaltsberecłmung.

Das metrische Flächenmaß.

*1. (Die Einheit des Flächenmaßes.) Zeichne (an die Wandtafel) ein Quadrat von 1 m Seitenlange, teile zwei Gegenseiten in je 10 dm, und verbinde die entsprechenden Teil-punkte. In wieviel Rechtecke wird das Meterquadrat dadurch zerlegt? Wie lang und wie breit ist jedes von ihnen? In wieviel De cime ter qua drate kann jedes geteilt werden? Wieviel qdm hat 1 qm? Der wievielte Teil eines qm ist ein qdm? Ergebnis: Zusammenfassung A 1, 2.

*2. (Einteilung der Flächenmaße.) Erörtere nach 1 an einer Figur im Zeichenheft die Beziehungen zwischen a) qdm und qcm, t>) qcm und qmm, c) qdm und qmm.

*3. Wie nennt man ein Quadrat, dessen Seite 10 m, 100 m, . 1000 m lang ist? Wie wird la, 1 ha, 1 qkm eingeteilt? Ergebnis: Zusammenfassung A 3.

4. Welches Flächenmaß benutzt man zur Angabe der Größe

a) eines Landes, h) eines Gutsbezirkes,

c)    eines Gartens,

d)    einer Wandfläche,

e)    einer Fensterbank,

f)    einer Postkarte,

g)    einer Briefmarke,

h)    eines Bauplatzes,

i) eines Zeitungsblattes,

k)    einer Provinz,

l)    einer Fensterscheibe, lll) eines Ackers,

n)    einer Tischplatte,

o)    eines Teppichs,

p)    einer Schiefertafel,

q)    eines UhrzifFerblattes ?

f)    eines Gewehrlaufes,

g)    eines Grabens,

h)    einer Wagenachse,

i)    eines Wasserleitungsrohres, k) eines Erdwalles (Deiches)?

5. Nach welcher Maßeinheit bestimmt man den Querschnitt

a) eines Balkens, l>) eines Bleistiftes,

c)    eines Brotes,

d)    eines Drahtes,

e)    eines Brunnens,

Das Rechteck.

*6. (Inhaltsformel.) a) Zeichne ein Rechteck AB CT), in welchem AB — 12 cm, BC = 7 cm, und teile es in qcm. Bestimme ebenso den Inhalt eines Rechtecks von der Seitenlange

D) 5 cm und 8 cm d) 14 cm und 7 cm f) 13 cm und 6 cm C) 9 cm „ 6 cm e) 11 cm „ 9 cm g) a cm „ b cm. Ergebnis: Zusammenfassung B 1.

g)    des Fußbodens,

h)    deiner Tischplatte,

i)    eines Zeitungsblattes,

k)    einer Postkarte,

l)    einer Briefmarke,

lll) einer Postpaketadresse.

a) eines Heftdeckels, k) eines Heftschildes,

C) dieses Buches,

d)    der Wandtafel,

e)    einer Fensterscheibe,

f)    der Stubentür,

10.    Wie groß ist a) eine Wiese von 125 (76)m Länge und 378 (207)m Breite, k) ein Bauplatz von 25,4(19,3)m Breite und 32,6 (25,l)m Tiefe, c) der Fußboden eines Zimmers von 5,73 (4,18) in Länge und

3,21 (7,04) m Breite?

11.    a) Wieviel hl sät man auf einen rechteckigen Acker von

157 (120,5) m Länge und 73 (89,3) m Breite, wenn man auf 1 ha 3,18 hl Aussaat rechnet? k) Wieviel Pacht zahlt man für eine Weide von 451 (328) m Länge und 763 (507) m Breite, 1ha zu 72,80(61,50)^?

c)    Was kostet ein Bauplatz von 21,3 (17,7) m Breite und 19,8 (24,8) m Tiefe, 1 qm zu 31,80 (28,60) AP

d)    Was kostet das Tapezieren eines Zimmers von 4,87 (7,13) m Länge, 5,21 (6,08) m Breite und 3,62 (4,31) m Höhe, 1 qm zu 0,38 (0,42) AP.

33,6 (124,8) m 6,67 (7,62) AP

zu

7. Wie grofs ist ein Rechteck von der Seitenlange:

a) 9 mm und 7 k) 5 c) 8 (1) 15

mm

mm

mm

mm 11 mm 6 mm

24    mm

25    mm 3 cm 9,7 cm 6,9 cm

11.4    cm

20.5    cm 25 m

0,85 m 0,089 m 0,035 m 0,27 m 3,18 m 0,807 m

w) 18,07 m „    10,09 m?

*8. Wie groß ist ein Quadrat von der Seitenlange

mm

cm

cm

cm

cm

cm

a) 9 cm d) 18 1)) 13cm e) 7,5cm h) 66,4

U)

k)    0,59m ll) 208,4m

l)    77,03m o) 513,7m

c) 7 mm f) 5,2 cm i) 7,21m m) 54,95 m p)

9. Berechne die Fläche

mm

g) 34,8

cm

cm

a m?

e)    Was kostet das Pflastern eines Platzes von Länge und 59,4 (70,6) m Breite, 1 qm

f)    Wie hoch stellt sich bei gleichem Preise das Pflastern des laufenden Meters einer Straße von 8,4 (9,7) m Breite?

12.    a) Wieviel Bäume kann man in einen Obstgarten von

22,5 (38,3) m Länge und 54,8 (75,4) m Tiefe pflanzen, wenn jeder Baum einen Platz von 60 qm beansprucht?

0,25 (0,31) m Breite und 6 (5,8) m

b)    Wieviel quadratische Platten von 0,6 (0,54) m Länge braucht man zum Belegen eines Hausflurs von 2,4 (2,7) m Breite und 9,6 (10,8) m Länge?

c)    Wieviel Dielen von Länge braucht man zum Dielen eines Saales von 12,5 (18,6) m Breite und 18 (23,2) m Tiefe?

13.    a) Wieviel Kopfsteine von 15 cm Breite und 18 cm Länge

sind zum Pflastern des Platzes in Ile erforderlich, wenn der Abstand zwischen je zwei Steinen 1 cm beträgt?

b)    Wieviel Schieferplatten von 22 cm Länge und 18 cm Breite braucht man zum Decken der beiden Seiten eines rechteckigen Daches von 12,6 (15,1) m Länge und 9,8 (8,7) m Höhe, wenn die Ränder der Platten immer 4 (3,5) cm weit überstehen sollen?

c)    Ein Ölgemälde ist 1,19 (1,57) m breit und 0,81 (1,04) m hoch; es soll einen 15 (23,4) cm breiten Rahmen erhalten. Wieviel Goldbronze ist zum Vergolden dieses Rahmens erforderlich, wenn 1 g Bronze zum Vergolden von 11,5 qcm ausreicht?

Das Parallelogramm und das Dreieck.

*14. (Inhaltsformeln.) a) Verwandle ein Parallelogramm von a m Grundlinie und ha m Höhe in ein Rechteck und berechne danach seinen Inhalt, b) Wie groß ist der Inhalt eines Dreiecks von a m Grundlinie und ha m Höhe? (IX B, 2.) Ergebnis: Zusammenfassung B 2, 3.

15. (16.) Wie groß ist der Inhalt des Dreiecks ABC, wenn:    rig. 5.

BC =

g)    697,25 m

BC =

AB =

AB =

16. (17.) Berechne für die in 15 genannten Dreiecke die Höhe BE, i'ig. 5. wenn AC —

a)

*>)

C)

5,8    „

d)    3,5 „

e)    15,75 „

f)    328,6 „

■tH —t¹

2,4

11,31 „ 181,3    „

O io

S) 910,04,

h)    620,14,

i)    0,64,

k)    0,045,

l)    0,127, in) 0,097 m.

17. (18.) Berechne für die in 15 genannten Dreiecke die Seite AB, wenn die zugehörige Höhe CF =

a)    18,

b)    26,

C) 2,9,

d)    3,

e)    9,07,

f)    250,4,

g) 370,05, ll) 204,03, i) 0,69,

k)    0,063,

l)    0,005,

Ul) 0,08 m.

Fig.4. *18. (19.) (Rechtwinkliges Dreieck.) Auf wieviel verschiedene Arten kann man den Inhalt eines rechtwinkligen Dreiecks berechnen? Welches ist die einfachere?

Ergebnis: Zusammenfassung B 4.

11). (20.) Berechne den Inhalt der in IX, Aufg. 24 genannten rechtwinkligen Dreiecke.

20. (21.) Ein rechteckiger Acker MPQS wird an der Ecke M von einer neuanzulegenden Straße AB schräg durchschnitten, und zwar ist MA — 73 (95,7) m, MB — 136 (106,5) m. Welche Entschädigung muß für das abgeschnittene Dreieck gezahlt werden, wenn 1 ha zu 2150 (1870) Jl. abgeschätzt ist?

Das Trapez.

Fig. i2. *21. (22.) (Inhaltsformel.) Trapez A B CD — A A B (7-)- A A CD. Wie groß ist der Inhalt eines Trapezes mit: den Grundlinien cm, 12

und der Höhe

Ergebnis: Zusammenfassung B 5.

22.    (23.) Berechne die Länge der Schenkelhalbierenden (QQ₁ in Fig. 12) für die in 21 genannten Trapeze. (Vergl. Y B, 15.)

23.    (24.) a) Wie groß ist eine Fensterbank, die vom 1,63 (1,47) m,

hinten 1,49 (1,29) m lang und 0,39 (0,28) m breit ist? b) Wie groß ist der Querschnitt eines Grabens, der oben 1,06 (1,85) m, unten 0,57 (0,72)m breit und 2,08 (0,96) m tief ist?

C) Was kostet der Schiefer zum Bedecken einer Dachseite, welche unten 16,08 (11,49) m, oben 5,73 (3,07) m lang und 8,07 (6,92) m hoch ist, 1 qm zu 2,35 (2,67) JtP.

(I) Berechne die Fläche des Rahmens in 13c als Summe von vier Trapezen.

cm

cm

15

11

2,8

Das w-Eck.

24. (25.) a) In dem ungleichseitigen Viereck AB CD ist die Diagonale AC gezogen, auf sie sind von B und D die Lote BE, DF gefällt. Wie groß ist das Viereck, wenn

a)

b)

<0

d)

e) f)

AC — 12 cm BE= 4 „ I)F= 5 „

CO CM X ^ CO CM © © ©

£ kr

tP IC CO 0_ X

cc' O cT

Skr

I- vp co_

x W

(M H CO

^ H 05 °°

t" CO

25.    (26.) Berechne den Inhalt des Fünfecks ABCDE, wenn:

a)    BD = 11 cm, BE = 13 cm, CF (_L BD) = 5 cm, Dff(l BE) = 7 cm, M# (_L BE) = 3 cm;

b)    BD = 4,08in, BE— 7,52 m, CF = 0,52 m, D G = 2,04 m, AH = 1,5 m.

26.    (27.) a) Zeichne ein Sechseck mit den zur Berechnung seines Inhalts nötigen Hilfslinien. Desgleichen b) ein Siebeneck,

c)    ein Achteck, (1) ein Neuneck, e) ein Zehneck. Beschreibe für jede dieser Figuren das Verfahren der Inhaltsberechnung.

27.    (Tangentenvielecke.) Verbinde den Inkreismittelpunkt eines Tangenten-w-Ecks mit den Ecken und berechne den Inhalt als Summe von n Dreiecken.

Ergebnis: Zusammenfassung B 6.

28.    Wie viele Diagonalen kann man von einer Ecke aus ziehen a) im Fünfeck, b) im Sechseck, c) im Zehneck, (1) im Fünfzehneck, e) im w-Eck?

29.    Wie viele Diagonalen haben die in 28 genannten Vielecke? Ergebnis: Ein w-Eck hat ~n{n — 3) Diagonalen.

Zusammenfassung.

A. Erklärungen.

1.    Flächen werden mit Quadraten gemessen. Die Einheit des Flächenmaßes ist das Quadratmeter.

2.    Ein Quadratmeter (richtiger wäre „Meterquadrat“) ist ein Quadrat, dessen Seite 1 m lang ist.

3.    1 qm — 100 qdm; 1 qdm =100 qcm; 1 qcm = 100 qmm; 100 qm = 1 a; 100 a = 1 ha; 100 ha = 1 qkm.²)

B. Inhaltsformeln.

1.    Der Flächeninhalt eines Rechtecks ist gleich dem Produkt ans den Maßzahlen zweier Nachbarseiten : F=ab. (6 )

(14)

2.    Parallelogramm: F = aha = bkb.

(14)

3.    Dreieck: F=\ ciha = j bh, — \ chc.

(18)

4.    Rechtwinkliges Dreieck: F=\ab.

(21)

5.    Trapez: F =    -f- c)ha.

0. Tangenten-n-Eck: F=s q, (« —|— t» —c —(----=2s). (27)

XI. Streekenverkältnisse.

Innenteilung einer Strecke.

1.    (Begriff des Teilverhältnisses.) Ein Bote geht von A auf geradliniger Straße nach dem 3 km entfernten Orte B (Zeichnung im Maßstabe 1 : 20 000). Er ist beim Kilometerstein 1,2 angelangt. In welchem Verhältnis steht der zurückgelegte Weg a) zu dem noch zurückzulegenden, b) zur ganzen Strecke ? c) Wie verhält sich die ganze Strecke zu dem noch zurückzulegenden Wege?

2.    Teile eine Strecke AB — 120 mm durch die Punkte Cu

0₂, • • • in einzelne cm

Wert der Verhältnisse

an.

gib für jeden Teilpunkt den C BA B ’ BC

3. (Beziehung zwischen Teilpunkt und Teilverhältnis.) In welcher Weise ändert sich das Teilverhältnis

CA

wenn

CB ’

C sich von A nach B (von B nach A) bewegt? Kann ein Teilverhältnis verschiedenen Teilpunkten entsprechen? Ergebnis: Zusammenfassung A, 1, 2; B, la.

*4. (Eindeutigkeit eines inneren Teilverliältnisses.) Bestimme auf AB — 120 mm diejenigen Punkte (7, die AB teilen im Verhältnis a) J-, 1)) P, c) ||, (1)

Gibt es ein Teilver-

g) », h) , i) k) a, I) Lo. -

hältnis, für welches kein Teilpunkt bestimmt werden kann? Ergebnis: Zusammenfassung B 2.

5. In welchem Verhältnis wird eine Celsius-Skala geteilt durch den Teilpunkt von a) 30°, b) 45°, c) 64°, (1) 72°? Welche Punkte haben das Teilverhältnis e) J-, f) -|, g) , h) y,

i) b k) n, 1) ¥?

Geometrische Verhältnisgleichungen.

*6. (Übertragung eines Teilverkältnisses.)

Strecke OB mittels eines von 0 aus gezogenen Strahles in 8 gleiche Teile (V, Aufg. 17). Die Teilpunkte des Strahles seien JD

Teile eine

• -, die der Strecke 5X, 5g, • • • . Welches

Ą i '

ist das Teilverhältnis von 5₂ ? Welcher Punkt des Strahles hat das gleiche Teilverhältnis? Welche Verhältnisgleichung ergibt sich daraus?

15

Vervollständige folgende Verhältnisgleichungen:

e)    FaO : FaF„ = ?

f)    t\F, : F,Ji = ?

g)    OFl : ĄĄ : F,B = ?

h)    OF, : FaFs : FaJi = ?

a) 5₄0 : 5₄5 = ?

h) 5₅0 :5₅5 = ?

c) 5,0 : 5«5₈ = ?

(1) ĄO :D₁h₃ = ?

Ergebnis: Zusammenfassung A4—7; B 3, 8.

7.    Teile eine gegebene Strecke Ai? im Verhältnis a) 5 : 2, b) 2 : 5, p. 7 : 3, d) 4 : 5, e) 1 : 2, f) m : p,%) 1 : 2:3, h) 2 : 5 : 4, i) 3 : 4 : 5 : 6, k) m : n : p, 1) m : n : p : q.

8.    Teile AB durch C und D so, daß sich verhält:

d)    AC : CB = 2:7 CB : CB = 1:2

e)    AC : (72) = 4:5 AC:55 = 6 : 7

a)    AC : CD — 3:5 CB : JDB = 10 : 7

b)    AC : CB = 2:3 AC : BB = 6:7

f) A5: 55 = 6 : 5 AC: A5 = 2 : 9

C) AC: CB = 4:3 CB : BB = 5:3

9. Teile AB durch C, 2), 2? so, daß sich verhält:

a) AC:CB :BE = 3:4:5 d) AB : 2)5 : 55 = 5 : 6 : 7

CB : BE =1:2 AC : Ci? =1:2 C5: 55 = 3:2 C5:55 = 5:3 A5: 55 = 6:5 CE:EB = 8:3 A5 : C5 = 9 : 10

55:55 = 3:2

<*)

AC: C5 = 2 : 3 C5 : BE =9 : 10 55 :EB = 5:4 AC: CB = 2:5 AC: 55== 3 : 4 AC : 55 = 4:3

e)

f)

Winkel mit Parallelen.

*10. (Produktsatz.) Im Dreieck OLB ist 5J || 55. Bilde die Fig. 2ü Gleichung für , und multipliziere sie mit dem Hauptnenner.

Dividiere die erhaltene Produktgleichung durch WC • JV5. Ergebnis: Zusammenfassung B 6; 7.

*11. (Satz von der Parallelprojektion.) Die Schenkel eines Winkels S werden durch die Parallelen Al Pl5 A₂B.₂, A₃ Bä geschnitten. Bilde 15 Verhältnisgleichungen.

Ergebnis: Zusammenfassung B 5 a.

Mg. 27. * 12, (Umkehrung.) Warum muß in Fig. 27 EN [| LD sein, sobald EO : EL = NO: NB? (vergl. 3). Aus welchen anderen Bedingungsgleichungen folgt ebenfalls, daß EN || PP? Ergebnis: Zusammenfassung B 4.

Fig.27. * 13. (Verhältnis der projizierenden Parallelen.) Verschiebe in Fig. 27 EN längs OL so, daß E auf L fällt. Was für eine Linie beschreibt N? Wo liegt ihr Endpunkt Nt? Wie lang ist LNX? Welche Verhältnisse sind gleich ON : OB? Welche Verhältnisgleichungen gelten in der Figur zu 11 für A₁B₁ : A₂B₂, A₂B₂ : A₃PS, A₃BS : A^? Ergebnis: Zusammenfassung B 3.

14. Gegeben sind ein Winkel A, zwischen seinen Schenkeln ein Punkt P, sowie zwei Strecken m und n. Ziehe durch P die Gerade, die von den Schenkeln in P und G so geschnitten wird, daß :

d)    BA : BC —

e)    CA : CB =

f)    AB : AC — m : n

a)    PP :PC =

b)    BP : BC —

C) CP : CB =

15. Löse folgende Gleichungen geometrisch: = 4 : x = 9 : x

d)    a : (a -j- b) —

e)    a : (a — b') — c :

f)    bx — ac

g)    ax — bc

h)    ax = &²

i)    §x = 35

a)    3 :

b)    7 :

C) a :

k) Verwandle ein Rechteck in ein anderes, von welchem eine Seite gegeben ist (vergl. f, g).

*16. Konstruiere die vierte Proportionale zu

a)    ab c

b)    a c b

c)    b

A)

e)

f) (a + b)

g)    (a + 6) a b

h)    (a — b) b a

i)    c (a -f- b) (a — b)

Außenteilung einer Strecke.³)

17. (Begriff des äußeren Teilverhältnisses.)

Ein Bote

soll von A nach dem 3 km östlich gelegenen Orte P gehen.

Er schlägt jedoch irrtümlich die westliche Richtung ein und wird sein Versehen erst gewahr, als er 1,2 km zurückgelegt hat. In welchem Verhältnis steht jetzt der zurückgelegte Weg a) zu dem noch zurückzulegenden, b) zu der Strecke AB,

c) der noch zurückzulegende Weg zur antworte die Fragen a—c für den Fall, daß der Bote zwar die vorgeschriebene Richtung eingeschlagen hat, aber irrtümlich 1,2 km über B hinausgegangen ist.

Strecke AB? d) Be-

* 18. (Erweiterte Beziehung zwischen Teilpunkt und Teilverhältnis.) Teile eine Strecke AB = 40 mm in einzelne cm, setze diese Teilung beiderseits um je 5 cm fort und gib für jeden äußeren Teilpunkt G den Wert des Teil-

CA

Verhältnisses an. — Welches ist der Ort für die äußeren

Teilpunkte, deren Teilverhältnis ein echter — ein unechter — Bruch ist? Kann ein Teilverhältnis verschiedenen äußeren Teilpunkten entsprechen?

Ergebnis: Zusammenfassung B lb.

Ol

*19. (Eindeutigkeit eines äußeren Teilverhältnisses.) Bestimme auf den Verlängerungen von AB = 40 mm die Punkte, welche AB außen teilen im Verhältnis a) 2:7,

b)    : 2, C) 3 : 8, (1) 8 : 3, e) 3 : 13, f) 13 : 3, g) 1 : 5,

h)    : 1. — Gibt es ein Teilverhältnis, für welches kein

äußerer Teilpunkt gefunden werden kann? — Wo liegt der Punkt, der eine Strecke außen im Verhältnis 1 : 1 teilt? Ergebnis: Zusammenfassung B 2.

20. In welchen Fällen werden außen geteilt: a) eine Dreiecksseite durch die zugehörige Höhe, b) eine Vierecksdiagonale durch die andere, c) eine Sehne durch eine andere, d) zwei Dreiecksseiten durch eine Parallele zur dritten?

21. Teile geometrisch eine gegebene Strecke außen im Verhältnis a) : 2, 1b) 7 : 3, c) 4 : 1, d) m : p (m > p), e) 2 : 5,

: 7, g) 1 : 4, ll)

: p (m < jp).

22.    Trage auf den einen Schenkel eines Winkels A die Strecke AB, = m. auf seinen Gegenstrahl AB,, — p ab und ziehe

Wie heißen die Verhältnisgleichungen für

B\Cx II

a) AB₁:AB„, b) B₁A:B₁B₂, c) B.B^.B^A, d) AB^AC» e) B₁C₁ : B₂C.₂? (Vergl. 13.)

23.    Löse Aufgabe 14 für den Fall, daß P zwischen den Schenkeln des einen Nebenwinkels liegt.

Schuster, Planimetrie A-.

StrahlenMschel und Parallelenscharen.

*24. (23.) (Übertragung eines Teilverhältnisses durch Scheitelprojektion.) Die Gerade g₁ sei Träger der Punkte JXJ₂J₃. Ein durch JxJ.₂J₃ gehendes Strahlenbüschel sxs₂s₃ mit dem Scheitel 0 schneide eine zu gt gezogene Parallele g₂ in M₁M₂M₃. Bilde die Gleichungen für Jx J₂ : Mx M₂, J₂J₃:M₂M₃ und durch Division derselben die Gleichung für : A₂J₃. Wie heißen die Gleichungen fur Jj 1₃ i J^ 'J 2, ' ? i./g . ■ / g .J^ ?

Ergebnis: Zusammenfassung A 8, B 5b.

25.    (24.) Wiederhole die Aufgabe 24 für den Fall, daß g₂ die Gegenstrahlen von s₁s₂s₃ schneidet.

26.    (25.) Übertrage das laufende Verhältnis m : n : p : ą a) durch Parallelprojektion auf die Strahlen eines Büschels, b) durch Scheitelprojektion auf eine Schar von Parallelen.

27.    Teile eine gegebene Strecke AB durch Scheitelprojektion a) in 5, b) in 7, c) in n gleiche Teile.

*28. (Harmonische Teilung.) Teile AB innen und außen im Verhältnis a) 5:3, b) 3:5, c) 7:4, (1) 4:7, 0) m : ny und zwar I. durch Parallelprojektion, II. durch Scheitelprojektion.

Ergebnis: Zusammenfassung A 9.

29. (26.) Zeichne

a) einen Dreistrahl mit vier    ihn schneidenden Parallelen,

nnd bilde je 10 einfache Verhältnisgleichungen, ferner 6 mehrgliedrige und 6 laufende.

b) „

C)

<1)

Vierstrahl „ Dreistrahl „ Fünfstrahl „

30.    (27.) Gegeben ist ein Dreistrahl S (s₁s₂s₃) und ein Punkt P. Ziehe durch P die Gerade, die st in At, s₂ in A₂, s₃ in A3 so schneidet, daß a) A₂AX : A₂A₃ = m : n\ b) At A₂ : A₁A3 — m : n\ c) A₃A₂ : A₃A₁ = m : n (vergl. VII, Aufg. 34 a).

31.    (28.) Gegeben ist k und darin eine Sehne AB. a) Ziehe eine zweite Sehne so, daß sie durch KA und KB in drei gleiche Teile geteilt wird. 1)) Bestimme auf den Verlängerungen von KA und KB die Punkte C und I) so, daß CB durch den Bogen Ai? in drei gleiche Teile geteilt wird.

Irrationale Verhältnisse.

32.    (29.) Trage vom Scheitel eines Winkels A auf den einen Schenkel erst die Seite, dann die Diagonale eines Quadrats ab und übertrage das Teilverhältnis durch Parallelprojektion auf den anderen Schenkel. Welchen Wert hat das Teilverhältnis? Gib für dieses irrationale Verhältnis einen bis auf drei Dezimalen genauen Näherungswert an. Ergebnis: Zusammenfassung A 3.

33.    (30.) Teile eine Strecke AB a) innen, t)) außen nach dem Verhältnis der Seite eines gleichseitigen Dreiecks zu seiner Höhe.

Zusammenfassung.

A. Erklärungen.

1.    Zwei oder mehrere Strecken stehen stets in einem bestimmten Verhältnis.

2.    Ein Verhältnis ist der geometrische Ausdruck für einen Bruch.

3.    Ein irrationales Verhältnis ist das Verhältnis zweier Strecken, die kein gemeinschaftliches Maß haben; es entspricht einem unendlichen nichtperiodischen Dezimalbruch, kann also durch Zahlen nur näherungsweise angegeben werden.

4.    Man unterscheidet einfache, laufende und mehrgliedrige Verhältnisgleichungen (Proportionen).

5.    Eine einfache Verhältnisgleichung hat vier Glieder (Proportionalen); ihre Form ist a : b — c : d\ a und c sind die Vorder-, b und d die Hinterglieder; a und d sind die äußeren, b und c die inneren Glieder.

6.    Eine laufende Verhältnisgleichung besteht aus mehreren gleichen Verhältnissen: a :b — c : d = e : f — • ■ •

7.    Eine mehrgliedrige Verhältnisgleichung besteht aus laufenden Verhältnissen: al:bl:c₁- • ■ — a₂:b₂:c₂ = • ■ •

8.    Liegen mehrere Punkte auf einer Geraden, so bilden sie eine Punktreihe. Die Gerade heißt Trägen- der Reihe. — Vergl. VII A, 14.

9.    Eine Strecke harmonisch teilen heißt, sie innen und außen in demselben Verhältnis teilen. (Vergl. Bl.)

5*

B. Lehrsätze.

Ą\. Eine Strecke wird durch jeden Punkt

zwischen ihren End- auf ihren Verlänge-punkten

in einem bestimmten, diesem Punkte eigentümlichen Verhältnis

rungen

innen

außen

(3)

(18)

geteilt.

2.    Zn jedem Teilverhältnis einer Strecke gehört ein und nur ein innerer, sowie ein und nur ein äußerer Teilpunkt.

3.    Werden die Schenkel eines Winkels durch parallele Gerade geschnitten, so stehen je zwei entsprechende Schenkelabschnitte in gleichem Verhältnis, und je zwei Parallelstrecken verhalten sich wie zwei zugehörige, vom Scheitel aus gemessene Schenkelabschnitte.

4.    Linien, welche entsprechende Teilpunkte zweier Strahlen verbinden, sind parallel.

5.    Teilverhältnisse können übertragen werden:

a)    durch Parallele auf jede Gerade,

b)    durch Strahlen auf jede Parallele.

6.    In jeder einfachen Verhältnisgleichung ist das Produkt der inneren Glieder gleich dem Produkt der äußeren. (10)

7.    In jeder einfachen Verhältnisgleichung darf man die inneren Glieder miteinander vertauschen, ebenso die äußeren Glieder miteinander, die beiden inneren mit den beiden äußeren. — Man darf aber nie ein äußeres mit einem inneren Gliede vertauschen.

8.    Eine einfache Verhältnisgleichung kann durch Addition oder Subtraktion der beiden Vorderglieder und der beiden Hinterglieder in eine laufende verwandelt werden:

a c a c _

b    d    b -j- d b — d

(4, 19)

(6,13)

(12)

10

Ebenso kann eine laufende Verhältnisgleichung weitergeführt werden:

b⁼l — J

Cl V; C dl C zt ' ' ‘ b±d±f±-:.

(6)

¹

Nach einer Wiederholung der Methode kann zur ferneren Streckenteilung der Maßstab benutzt werden. — Vergl. auch Anm. Seite 24.

²

Auch rückwärts zu lesen!

³

Der Übergang von der inneren zur äußeren Teilung läßt sich an der Wandtafel mittels einer in ihren Enden befestigten Gummischnur veranschaulichen.

XII. Verhältnisse am Dreieck und am Kreise.¹)

Teil Verhältnis der Mittellinien eines) Dreiecks.

*1. (Vierter merkwürdiger Punkt des Dreiecks.) Im Fig. 28. Dreieck ABC schneiden die Mittellinien BE und CF einander in S. Warum ist FE \\ B C? Welchen Wert hat das Verhältnis FE: BC? Warum ist SE:SB = SF:SC = 1:2? (XI B, 3.) Warum muß auch die dritte Mittellinie durch S gehen? (XI B, 2.)

Ergebnis: Zusammenfassung B 1.

fr

2. Dreieck aus:

li) a mb Z_ ama p) b mb A amc i)    mamc/-cmc    q)    ma Z_ amcL. bmc

c)    a Z.    amb    Z_ amc    k)    a ma Z_ amb    r)    mb a Z_ bma

d)    mc Z_    bma    Z_ h mc    1)    b mb Z_ ma mb    A S)    mb mc y

m)    c ma Z_ ma mc    t)    ma mh mc

li) ha mb L- bmc

a)    a nib mc

b)    ma mb L. cma

, e) a mb L. amc

f)    ma mc Z. ma mc -( ll) ha

g)    b ma mb

ma nib

0) a ma Z. mb mc < v) ma mb y

Gleichschenkliges Dreieck aus:

y) mb Z_ amb

w) ha mb x) ha Z. amb

*3. (Der Schwerpunkt.) Ziehe in Eig. 28 die dritte Mittel-linie AB. Warum ist A ABB = A ACB, ASB1) = ASCJD, A ABS = AACS? Beweise ebenso: A ABS = ABCS, A BCS = A ACS.

Ergebnis: Zusammenfassung B 2.

Wie gestalten sich diese Sätze, wenn g c) zwei Seiten des Dreiecks schneidet, d) durch eine Ecke, e) durch den Schwerpunkt geht?

4. Ziehe von den Ecken, von den Seitenmitten und vom Schwerpunkt eines Dreiecks Parallele bis zu einer außerhalb des Dreiecks liegenden Geraden g. Beweise: a) die Summe der von den Seitenmitten ausgehenden Parallelen ist gleich der Summe der von den Ecken ausgehenden, b) die vom Schwerpunkt ausgehende Parallele ist das arithmetische Mittel der von den Ecken ausgehenden.

Teilung einer Dreiecksseite durch die Winkelhalbierenden.

Fig.29. *5. (Satz des Apollonius.) a) Im Dreieck ABC ist der Winkel A durch AFX halbiert. Das Teilverhältnis FXB:FXC soll festgestellt werden und wird deshalb durch B G₁ || Fx A auf die (verlängerte) Seite CA übertragen. Warum ist AGX = AB? (IVB, 2.) Welches ist der Wert des Teilverhältnisses F₁B:F₁C? b) Bestimme ebenso das Verhältnis F₂B : F₂C, wenn AF₂ den Außenwinkel bei A halbiert, c) Welches ist der Ort für A, wenn F₁ und F₂ bestimmt sind? (II B, 3; VII B, 27.)

Ergebnis: Zusammenfassung B 3.

Fig.29. *(>. (Der Apolloniuskreis.) Teile eine Strecke BC durch Ft und F₂ harmonisch im Verhältnis m:n, schlage über FXF2 den Apolloniuskreis, verbinde einen Punkt A desselben mit B, C, Fv F₂ und ziehe BGX || FXA, BC₂ || F₉A. Warum ist a) AGX :AC = AG₂ : AC, b) L. GXBG₂ = 90°,

c)    AGX = AG₂ = AB? (VII B, 27.) d) Welchen Wert hat das Entfernungsverhältnis AB : AC für jeden Punkt A des Apolloniuskreises ? C) Beweise, daß für einen Punkt P außerhalb oder innerhalb des Apolloniuskreises PB :PC^m : n. (PB schneide k in Ax; dann ist AXB : AXC = PB : ?) Ergebnis: Zusammenfassung B 4.

7. (6.) Dreieck aus:¹)

a)    a r b:

b)    c y a: r ß a:

d)    b Ua Va

e)    b

f)    a

g)    uc a a:b

w)    wa und den von B und C auf AF'X (= ica) gefällten Loten,

x)    &, ha und dem Punkte, in welchem ha von Wß geschnitten wird.

a)    e f a:b

b)    e L. ef a:b C) f L. af a:b

d)    e a a:b

e)    a Z_ ef e:f

8. (7.)

cs Cr¹ ci

h)    ub vb

i)    a

k) C VC Wy

1) b mb a:c

Wa

"Cö «

c- A

:c

III) m-a Ua Va

il) c pbc a:b 0) pba Ua va

p) c lnc nc

q ) F b

r) a hb b:c S) ha Ub Vb t) ha ma b:c ha mb a:c

Y) ma

a:c

mc

a:b

Parallelo

gramm

aus:

Trapez

aus:

1) Die Strecken, welche die gegebenen Verhältnisse darstellen sollen, müssen von möglichst ungleicher Länge sein, ebenso die gegebenen u und v\ sonst überschreitet die Figur nicht nur den zur Verfügung stehenden Raum, sondern wird auch wegen der unverhältnismäßigen Ausdehnung des Apollonischen Kreises leicht ungenau.

1) Sehnenviereck aus e ß c:d und dem von B auf AC gefällten Lote, lll) Viereck, in und um welches ein Kreis beschrieben werden kann, aus e ß a:b.

!). (8.) Bestimme die Punkte, deren Entfernungen von 1\ und P2 sich wie m -. n verhalten und die a) von P₃ die Entfernung r,

b)    von g den Abstand //■, c) von 7c den Abstand (7, d) von P₂ und P₃ gleiche Entfernung, e) von gx und g₂ gleichen Abstand, f) von P₂ und P₃ das Entfernungsverhältnis p : q,

g) von zwei parallelen Geraden gx und g.₂ das Abstandsverhältnis p : q haben.

10. (9.) Bestimme a) auf den Seiten eines Vierecks die Punkte, von denen aus die Abschnitte der einen Diagonale, b) auf zwei Seiten eines Dreiecks die Punkte, von denen aus die durch die Höhe auf der dritten Seite gebildeten Abschnitte,

c)    auf dem Umfang eines Kreises die Punkte, von denen zwei Abschnitte einer Sehne, d) die Punkte, von denen aus drei aufeinanderfolgende Abschnitte einer Geraden unter gleichen Winkeln erscheinen.

Verhältnis der Höhen eines Dreiecks.

*11. (10.) (Höhensat-z.) Im Dreieck ABC sind die Höhen AI) ?ig-5. und BE gefällt. Klappe A EBC um wy: warum ist dann Bx Ey || AB? Welche Verhältnisgleichung folgt für ha : hb ? Ergebnis: Zusammenfassung B 5.

12.    (11.) Beweise den Höhensatz a) für lia : hc, b) für hb : hCl C) für ha : hb, wenn Z_ (7)> 90°, d) mittels der Formeln X B, 3.

13.    (12.) Dreieck aus:

A a) a a lïa : hb

b) c r ha:hc C) a hb ha:hc d) p\ y hb:hc

y<e) hc ß ha:h

f) r a ha:hc

g) a ma h:ha 11) b ß a:hb i) c mb b:hc k) a mc ha:hb 1 ) a ci lib:hc

Hl) C Jlç lla'llb

il) b Wp ha:hc

o) h a va hb:hc

P) r y ha'h (j) (b -|- c) ha hb:hc r) (a — b) mb ha:hb S) (b — c) ma hb:hc

14. Beweise folgende Sätze:

a) Die oberen Abschnitte zweier Dreieckshöhen verhalten sich umgekehrt wie die unteren. (Bezeichne in Fig. 5 den Höhenpunkt mit H und klappe A A HE um die Winkelhalbierende von H.

Warum ist dann EXAX || BCt) b) Eine Seitenprojektion verhält sich zur zugehörigen Höhe wie deren unterer Abschnitt zur anderen. (Drehe in Fig. 5 A BDH Warum ist dann BXHX || AC?)

um

B, bis H in die Richtung BC fällt.

* 15. (XV, 59.) Fälle im Sehnendreieck ABC (Mittelpunkt U) UZ ±AC, Al) _L BC und drehe A A UZ um A, bis A U in die Richtung AB fällt, a) Warum fällt dann AZ in die Richtung AD? b) Warum ist U₁Z₁ || BD? c) Welche Verhältnisgleichung ergibt sich für lia : c? d) Wie gestaltet sich die Formel F = jaha, wenn für ba der aus c berechnete Wert eingesetzt wird?

Ergebnis: Zusammenfassung B 6, 7.

Mittlere Proportionalen im rechtwinkligen Dreieck.

:Fig.4. *16. (15.) (Die Kathete als mittlere Proportionale.) Im rechtwinkligen Dreieck ABC ist die Höhe CD gefällt, a) Klappe A AD C um wa: warum ist dann ClD₁ || BC? Welche Verhältnisgleichung folgt für AD \ AC? b) Bilde die entsprechende Verhältnisgleichung für BD'.BC.

Ergebnis: Zusammenfassung A 1, 2; B 8.

rig.4. *17. (16.) (Die Höhe als mittlere Proportionale.) Drehe iu

D, bis DA in die Richtung D C fällt.

um

Fig. 4 A ADC Warum ist A^CX j| CB? Welche Verhältnisgleichung folgt für DA : DC?

Ergebnis: Zusammenfassung B 9.

18. (17.) Beweise folgende Sätze:

a)    Den pythagoreischen Lehrsatz durch Addition der aus 16 gefundenen Werte für a² und 6².

b)    Verlängert man die Katheten B C und A C bis zu den Durchschnitten D und E mit den auf AB in A und B errichteten Senkrechten, so ist AC'CE-\~BC-CD = AB¹.

c)    Der Halbmesser des Inkreises eines Tangententrapezes ist mittlere Proportionale zwischen den durch die Berührungspunkte gebildeten Abschnitten eines Schenkels.

d)    Das geometrische Mittel zweier ungleichen Strecken ist kleiner als das arithmetische. (Vergl. A 2.)

e)    Die Umkehrung des in 16 gefundenen Satzes. Wortlaut?

f)    Desgl. für den in 17 gefundenen Satz.

19. (18.) Konstruiere die mittlere Proportionale zwischen a) a und b

b) a und 2 a d)

c) 3 a und 5 a e) a und -a und

w; 55

f) (a -|- b) und (a — b)

20. (19.) Löse folgende Gleichungen geometrisch:

a)    x² = ab    d) x — aj/ö    g) x=-^=. k) — = ]/4

y 5    a

b)    x² — 2 b² e) x = |]/l5 h):r²=“a² 1) æ² = a² — b²

c)    æ² = 6 a² f ) x² — ~ a²

i) *

' a

V³

m) x² = 2 a²—b²

Verhältnis der Flächen zweier Dreiecke.

*21. (20.) (Dreiecke mit einer gleichen Seite.) Zeichne auf B C = a zwei Dreiecke von verschiedener Höhe A₁D₁ = ht, A₂D₂ = 7?₂, und berechne die Flächeninhalte, sowie deren Verhältnis.

Ergebnis: Zusammenfassung B 10.

*22. (21.) (Dreiecke mit einer gleichen Höhe.) Bestimme das Inhalts Verhältnis zweier Dreiecke, die in einer Höhe übereinstimmen.

Ergebnis: Zusammenfassung B 11.

*23. (22.) (Dreiecke mit^einem gleichen Winkel.) Schneide die Schenkel eines Winkels A durch zwei (nicht parallele) Gerade B₁C₁ und B₂C₂. Bestimme (nach 22) "den Wert

A 15, C,

A 15, C\ ’ A15,CS

Multiplikation beider die Verhältnisgleichung für Ergebnis: Zusammenfassung B 12.

24.    (23.) Beweise, daß der in 23 gefundene Satz auch für zwei Dreiecke gilt, wenn ein Winkel des einen durch einen Winkel des anderen zu 180° ergänzt wird.

25.    Beweise nach 22—24 den Satz des Apollonius ( B 3).

der Flächenv erliältnisse

A AB,C₁

und durch

A AB₁C₁

A !5₂C₂

Verhältnisse am Kreise.

*26. (XVI, 1.) (Sehnensatz.) a) Zwei Sehnen AB und CD Fis-2o. schneiden einander in P. Klappe A APC um die Winkelhalbierende von P: warum ist dann A₁Cl || BD? (VII B, 14.) Welche Gleichungen folgen für PA : PD und für PA • PB?

(XI B, 6.) b) In welchem Falle wird das Rechteck aus den Abschnitten der Sehne AB ein Quadrat? c) Welche Form erhält der Satz, wenn CD ein Durchmesser ist und AB darauf senki’echt steht? (Vergl. B 9.)    (1) Wiederhole die Fig-si.

Erörterung a für den Fall, daß die Verlängerungen von HP und CD einander in B schneiden.

Ergebnis: Zusammenfassung B 13.

*27. (Die Tangente als mittlere Proportionale.) a) Welcher

Grenzfall tritt ein, wenn in Eig. 31 CD um (Zeichne die Figur!) b) Welche Form erhält der Satz, PC Tangente und AC Durchmesser ist? (Vergl. B 8.)

V gedreht wird?

wenn

Ergebnis: Zusammenfassung B 15.

28. (XVI, 2.) Verwandle nach 26/27 a\if zwei Arten: a) ein Rechteck in ein anderes mit gegebener Seite, b) ein Quadrat in ein Rechteck mit gegebener Seite, c) ein Rechteck in ein Quadrat.

*29. (XVI, 3.) (Umkehrung.) a) Die Diagonalen des Vierecks EFCH schneiden einander in 0; der Umkreis des Dreiecks EFG schneide FH in H₁. Welche Gleichung ergibt sich für OF ■ OG-? Unter welcher Bedingung allein kann OE - OG = OF - OH sein? b) Beweise ebenso die Umkehrung von 26 d.

Ergebnis: Zusammenfassung B 14.

80.    a) Trägt man auf den Strahlen eines Dreistrahls vom Scheitel aus die Seiten eines Dreiecks und auf den Gegenstrahlen die zugehörigen Höhen ab, so liegen die erhaltenen sechs Punkte auf einem Kreise, b) Wie gestaltet sich die Figur, wenn man Seiten und Höhen nach derselben Richtung abträgt?

81.    (XVI, 5.) Konstruiere den Kreis, der gx berührt und a) durch

und P₂ geht, b) ft in P und unter der Sehne s schneidet, C) zwei gleichgroße Kreise \ und ft₂ berührt, tl) durch Px geht und seinen Mittelpunkt auf g₂ hat, e) durch Px geht und gç> berührt.

82. (XVI, 6.) Gegeben ist ein gleichschenkliges Dreieck.

Konstruiere die drei Kreise, von denen jeder die beiden anderen und zwei Dreiecksseiten berührt, und zwar soll die Grundlinie a) von innen, b) von außen berührt werden.

an

*88. (XVI, 7.) (Der goldene Schnitt.) Gegeben ist die Strecke AB = a. Konstruiere den Kreis, der AB in A berührt und dessen Durchmesser gleich a ist; ziehe von B aus den Durchmesser CD und trage BC auf PH ab (bis P) und an HP (bis F). Beweise: n) AF : AB = AB : B F, h) AB : B F — BF : AE. c) Berechne den goldenen Abschnitt BF der Strecke AB = a (vergl. IX, Aufg. 24). d) Welches ist der goldene Abschnitt von HP?

Ergebnis: Zusammenfassung A 3; B 16—18.

Zusammenfassung.

A. Erklärungen.

1.    Eine stetige Verhältnisgleichung ist eine solche, deren innere Glieder einander gleich sind.

2.    In a : b — b : c ist b die mittlere Proportionale zwischen a und c; m. a. W.: das geometrische Mittel zweier Größen ist die Quadratwurzel aus ihrem Produkt *).

3.    Der goldene Abschnitt einer Strecke ist die mittlere Proportionale zwischen der ganzen Strecke und dem anderen Abschnitt. (Stetige Teilung, vergl. B 18.)

B. Lehrsätze.

(3)

1. Die Mittellinien eines Dreiecks teilen einander im Verhältnis 1: 2 und schneiden einander in einem Punkte (vierter merkwürdiger Punkt des Dreiecks; vergl. VIIIB, 2—4). (1) K 2. Der Schnittpunkt der Mittellinien ist der Schwerpunkt des Dreiecks.

5)

3.    Satz des Apollonius: Die Halbierungslinien eines Innenwinkels im Dreieck und seines Außenwinkels teilen die Gegenseite harmonisch im Verhältnis der beiden Anseiten.

(6)

4.    Der Ort für alle Punkte, deren Entfernungen von zwei festen Punkten Pi, P₂ in einem bestimmten Verhältnis stehen, ist der „Apolloniuskreis“. Sein Durchmesser wird durch die Punkte bestimmt, welche die Strecke PiP₂ in dem gegebenen Verhältnis harmonisch teilen.

5.    Die Höhen eines Dreiecks verhalten sich umgekehrt wie die zugehörigen Seiten:

(io

ha ’h — b:a;

6.    Das Rechteck aus zwei Seiten eines Dreiecks ist gleich dem Rechteck aus der nichtzugehörigen Höhe und dem Durchmesser des Umkreises: bc — 2rha-

7.    Der Inhalt eines Dreiecks ist gleich dem Produkt aus seinen Seiten dividiert durch den vierfachen Umkreis-

a bc

(15)

halbmesser: F —

(15)

1) Das arithmetische Mittel zweier Größen ist ihre halbe Summe.

a / 8. Jede Kathete eines rechtwinkligen Dreiecks ist mittlere Proportionale zwischen ihrer Projektion auf die Hypotenuse und der ganzen Hypotenuse.

'9. Die Höhe eines rechtwinkligen Dreiecks ist mittlere Proportionale zwischen den Projektionen der beiden Katheten.

(16)

(17)

10/12. Wenn zwei Dreiecke übereinstimmen in:

einer Höhe

einer Seite

einem Winkel, so verhalten sich ihre Flächen wie die

zugehörigen zugehörigen Höhen. (21) Seiten. (22)

Rechtecke aus seinen Anseiten.

(23)

X 13. Schneiden zwei Sehnen einander innerhalb (außerhalb) eines Kreises, so ist das Rechteck aus den Abschnitten der einen gleich dem Rechteck ans den Abschnitten der anderen.

14. Sind die Rechtecke aus den inneren (äußeren) Abschnitten zweier einander schneidenden Strecken gleich, so liegen die Endpunkte dieser Strecken auf einem Kreise.

4 15. Zieht man von einem Punkte außerhalb eines Kreises eine Sekante und die Tangente, so ist die Tangente mittlere Proportionale zwischen der ganzen Sekante und ihrem außerhalb des Kreises liegenden Abschnitt. (27) 16. Der goldene Abschnitt der Strecke a hat die Länge

(26)

(29)

a (]/5 — l).

(33)

17. Verlängert man eine Strecke um ihren goldenen Abschnitt, so ist sie selbst der goldene Abschnitt der verlängerten Strecke.

'18. (Regel.) Um eine Strecke nach dem goldenen Schnitt zu teilen, macht man sie in dem einen ihrer Endpunkte zur Tangente eines Kreises von gleichem Durchmesser, zieht die Zentrale des anderen Endpunktes und trägt deren äußeren Abschnitt auf die Tangente ab.

(33)

XIII. Ähnlichkeit.

Ähnlichkeitssätze für Dreiecke.

*1. (Begriff der Ähnlichkeit.) Welche Gleichungen bestehen Fig. 27. in Fig. 27 zwischen den Seiten und den Winkeln der Dreiecke OLB und OEN?

Ergebnis: Zusammenfassung A 1, 2; B 1.

*2. (Die vier Ähnlichkeitssätze.) Welche Beziehungen be-Fig.32. stehen zwischen entsprechenden Winkeln und zwischen entsprechenden Seiten a) kongruenter, lb) ähnlicher Figuren?

c)    Welche Ähnlichkeitssätze für Dreiecke ergeben sich hiernach aus den Kongruenzsätzen? (VI B, 2.)

Ergebnis: Zusammenfassung B 2.

*3. Beweise die Ähnlichkeitssätze unter folgenden Voraussetzungen: Fig. 32.

a) A-, B, :A,B, = At C, : A₂ C₂ = B. Ct : B.₂ G, lb) AxBt : A₂B₂ = A₁C₁ : A₂C₂- Z. Al = Z. A2 C) Z- = Z- A₂ ; ^Bt = AB₂

d)    A₁B₁:A₂B₂ = A₁C₁:A₂C₂- /.Bx = Z.B₂- AlC₁>A₁B₁

(Trage auf die Seite Ax Bx die entsprechende Seite A.₂ B₂ = A₁D ab und ziehe BE || B₁C₁. Beweise nach dem entsprechenden Kongruenzsatz: A A₉B₉C₉ A A. BE, und nach B 1:

A A₁BE 00 A₁B₁ Cx.

*4-. Stelle Ähnlichkeitssätze auf a) für rechtwinklige, 1)) für gleichschenklige, C) für rechtwinklig-gleichschenklige, d) für gleichseitige Dreiecke.

Ergebnis: Zusammenfassung B 3—5.

' 5. Beweise, daß zwei Dreiecke ähnlich sind, wenn die Seiten des einen den Seiten des anderen ,Ä) gleichgerichtet parallel,

lb) gegengerichtet parallel sind,^) wenn die Seiten des einen auf denen des anderen senkrecht stehen, d) wenn ihre Höhen, e) wenn ihre Mittellinien in gleichem Verhältnis stehen.

Anwendung ähnlicher Dreiecke.

vß. Beweise mittels ähnlicher Dreiecke folgende Sätze aus Abschnitt XII: a) B 3, lb) B 5, c) B 6, d) B 8, e) B 9, f) B 13, g) B 15, h/i) Aufg. 14 a/b.

*7. (Verhältnis entsprechender Transversalen.) a) Ziehe in zwei ähnlichen Dreiecken ein Paar entsprechende Mittel-

linien und beweise die Ähnlichkeit der entstandenen Teildreiecke. Wie verhalten sich entsprechende Mittellinien ähnlicher Dreiecke?

Beweise ebenso, daß in ähnlichen Dreiecken dem regierenden Verhältnis gehorchen: b) entsprechende Winkelhalbierende und die durch sie gebildeten Seitenabschnitte/c) entsprechende Höhen und entsprechende Seitenprojektionen,/ d) die Halbmesser der Umkreise, e) die Halbmesser der Inkreise, 1‘) die Halbmesser entsprechender Ankreise; ferner entsprechende Abschnitte gebildet g) von Mittellinien miteinander, ll) von Winkelhalbierenden, i) von Höhen, k) von einer Mittellinie mit einer Winkelhalbierenden, 1) von einer Höhe mit einer Winkelhalbierenden, lll) von einer Höhe mit einer Mittellinie. Ergebnis: Zusammenfassung B 7.

Fig. 33.

8. (9.) Im gleichschenkligen Dreieck ABC (AB = AC') ist Winkel ABC durch BB halbiert. Unter welcher Bedingung ist £\BDC(S)£\ABC? Wie viele gleichschenklige Dreiecke enthält die Figur alsdann?

— 9. (10.) Dreieck aus:

a:b:c e) a:b :ma • f )

--c) '\Vß a:b: mb

(1) r a : b bb:ha li)

^a) ma

b) mc

g)

" c

: b : mc Y b:c: ma ma : nib : m₀

) Wß ma : mb : mc ) a ha : Jib : bc I) Wß ha : Jtb : hc lll ) ba bb bc

10. (11.) Dreieck aus:

a) ioa a b:c a : c

/i) mb

e)    mb ß a : w*

f)    mb Z_ mamc ma:ma k) wY

K : Ac

b a • b b

C) c Z_ b ma b : ma g) wa Lmamb ma:mb 1) o ß ha:be (1) a a b:iva

^b) Ua ß

h) a ci bb : lic

m) ba ci a-.nij

11.    (12.) Dreieck aus:

^ a) ma a ß

b) b ß Z_ ema

C) c Z- bmb Z_ amb g) r ß Z_ a mc d) wa y Z. bma K h ) q y Z_ a mb

12.    (13.) Dreieck aus:

a)    ma ß b:c

b)    h y

c)    q ß a:ni

d)    pab «

e)    Wa ß Z_ cma

f)    ba a Z_ bmc

i) p* ß Z. cmc X k) Qa a. Z_ bmb 1) hcLama/J)ma lll) ma ß a:r

if) h

M) Qb

vc:

nic :

g) r a c : ua 11) mc a:r b : va

) wa r : b ub: vb ) ba c:r tVyiVc 1) ba L.amb b:c lll) q ci a: mb

14. (XV, 71.) Dreieck a) ha (fa — pca) b:c

*>) (Pab — Pcb) («'— 7)

c)    (pac — pbc) r w-b

d)    ha (Pba—Pca) e²) m c ua Va f) a Z_ amb b:c

aus:

Il) b

g)    a ma c:mc a : ma c : mc

i) a ha mb:wc

mb : mc

13. (XV, 70.) Dreieck

a) (a + *»a) ß 7 xl)) (wy — mb) L. amc L. cmc C) (r -f⁻ ?) a Z_ cmb

d)    (ha 4~ hb -f- hc) ß z_ ama

e)    (& — iva) ß a:c ^fl) (a —b) cc hb : hc

g)    (a -f- b -f- c) y ha : hb

ll) ( — ß) a '• b

— y) b : c

h)    b (a — y) ha : hc

aus:

i)

ö QQ.

1) ha &    1)1 W(x

in) r (pba — j/) ha : ma n) (a — b) y

O)    r ( — (3) (a — b) : hb

P)    ß — 7) (b + c) : a h) c a q:

r)    « (ß — ) Q--(s — a)

s)    (a -f- c) ß b:Q

t)    ha (b — c):a hb : hc 11) mc (a 4~ b):c ha: hb

c : me

h)    b ha ma:mc 1 ) a ci L. mbmc

in) c z_ mamb a : b

15. (14.) Einem gegebenen Kreise soll umgeschrieben werden: a) das Dreieck, dessen Seiten sich verhalten wie    lb) der

Rhombus, dessen Seite sich zu einer Diagonale verhält wie m:n. — Einem gegebenen Kreise soll eingeschrieben werden:

c) das gleichschenklige Dreieck, dessen Schenkel sich zur Grundlinie verhält wie m : w, (1) das Rechteck, dessen Seiten sich verhalten wie m : n.

¹

Falls die Behandlung dieses Abschnittes auf Grund der Ähnlichkeitslehre vorgezogen wird, ist Abschnitt XIII, 1—21 voranzustellen, was ohne Störung des Zusammenhanges geschehen kann.

²

Verlängere im Musterdreieck ABC die Seite BC um sich selbst bis und stelle für das Dreieck ABCt die Maßzahlen fest. (Ziehe zum Vergleich die Mittellinie C6r.) — Vergl. auch die Anmerkung Seite 70. (Beispiel für q: a = 36, b : c — 15 : 8, mb : m = 5 : 21.)

Geodätische Anwendungen.

-16. Zu derselben Zeit, wo der Schatten eines senkrecht stehenden

Pfahles von 1,23 (2,07) m Höhe 1,85 (1,92) m lang ist, wirft ein Turm einen Schatten von 85 (61) m Länge. Wie hoch ist er?

— 17. 12,3 (11,5) m vom Fuß eines Flaggenmastes entfernt steckt man einen Stab senkrecht in den Boden und schiebt daran ein rechtwinklig-gleichschenkliges Winkelscheit so weit in die Höhe, daß man beim Visieren über dessen Hypotenuse die Mastspitze erblickt. In diesem Augenblicke befindet sich die obere Ecke des Winkelscheites 1,57 (1,62) m über dem Boden. Wie hoch ist der Mast?

18. Um die Höhe eines Wasserturmes zu bestimmen, stellt man 150 (93) m von seinem Fuße entfernt einen Stab von 1,82 (1,65) m Höhe auf und 2,6 (1,8) m entfernt davon in der Richtung auf den Turm einen zweiten Stab, an welchem sich eine Visierlatte auf- und abschieben läßt. Wenn die Spitze dieser Latte 2,76 (3,24) m über dem Erdboden ist, so erblickt ein hinter dem ersten Stabe stehender Beobachter die Spitze dieses Stabes, das obere Ende der Visierlatte und die Krönung des Turmes in einer Geraden. Wie hoch ist der Turm?

"19. Die Entfernung zweier Punkte A und B soll bestimmt werden. Da man aber B von A aus weder erreichen noch

AXBX 4,52 (13,08) m lang ist, wie groß ist dann AB?

sehen kann, so mißt man von einem dritten Punkte C aus die Entfernungen GA = 64 (384) m, CB = 42 (232) m und bestimmt auf CA den Punkt Alx auf CB den Punkt Bt so, daß CAX = 3,2 (9,6) m, CBX — 2,1 (5,8) m ist. Wenn nun

'v 20. Um die Breite eines Flusses zu bestimmen, steckt man im Abstand von 2,5 (1,2) m von dem einen Ufer parallel zu diesem eine Standlinie BC von 195 (151) m Länge ab. Von den Punkten B und C visiert man nach einem hart am jenseitigen Ufer stehenden Pfahle; die Visierlinien begrenzen am diesseitigen Ufer eine Strecke von 187,3 (145,4) m Länge. Wie breit ist der Fluß?

l-

21. Um die Länge einer unzugänglichen Strecke AB zu ermitteln, bestimmt man durch Visieren auf ihrer Verlängerung einen Punkt C und errichtet mittels des Winkelspiegels¹) auf A C in C die Senkrechte CD = 216 (58,4) m. In einem Punkte Ct zwischen G und D errichtet man auf CD eine zweite Senkrechte; diese schneide DB in Bx, DA in A Wenn nun DCX = 46,7 (17,5) m und A₁B₁ = 31,8 (29,7) m gemessen wird, wie lang ist dann AB? (Nach Bieler.)

4° gegeneinander

um

Der Flächeninhalt ähnlicher Dreiecke.

*22. (15.) (Flächensatz.) Die entsprechenden Seiten zweier ähn- Fig. 32. liehen Dreiecke A₁B₁C₁ und A₂B₂C₂ stehen im Verhältnis 5:3 (m :p). Wie lang sind B₂C₂ und die Höhe A₂B₂, -wenn BtC₁ — 70 (a) mm, A₁Bx = 60 (lia) mm? Wie groß sind die Inhalte der Dreiecke, und welches ist ihr Verhältnis? Ergebnis: Zusammenfassung B 8.

23.    Verlängere in Fig. 28 SE um sich selbst bis (7, und ziehe CG. Wie verhält sich Dreieck ABC zum Dreieck A CS, zum Dreieck SC G und zu dem Dreieck, das aus seinen Mittellinien konstruiert werden kann?

24.    (16.) Von einem Dreieck OLD ist durch EN || LB ein ähn- Fig. 27. liches Dreieck OEN abgeschnitten. Welches ist das Verhältnis ihrer Flächeninhalte, wenn OL: OE— a) 3:2, b) 4: 5,

c) p:q? Welchen Wert muß das Verhältnis OL: OE erhalten, wenn sich verhalten soll A OLD : A OEN — d) 25:4, e) 9:49, f) 5:4, g) 3:4, li) 1:2, i) m:n?

25.    (17.) Gegeben ist ein Dreieck ABC.    Ziehe zu BC die

Parallele BE so, daß A ADE = a) k ABC, b) k ABC,

C) -k ABC, d) k ABC, e) I ABC (vergl. XII, Aufg. 20).

26.    (18.) Teile ein gegebenes Dreieck durch Parallele zu einer Seite

a)    in 3 gleiche Teile (Fig. 34) d) im Verhältnis 2 : 5 Fig. 3i.

e)    „

f)    „

m : n :p

„ (Fig. 35) d) „

c) im Verhältnis 3 : 4 Fig. 35.

A ABC

28. s(20.) Bilde nach Fig. 36 die Verhältnisgleichungen für A BBC A KLC

kation derselben den Wert des Verhältnisses

wandle hiernach ein gegebenes Dreieck a) in ein anderes, von welchem zwei Winkel (a, ß) gegeben sind, b) in ein gleichseitiges, C) in ein rechtwinklig-gleichschenkliges; desgl.

d)    ein Viereck unter Beibehaltung von a, a, ß in ein Trapez.

e)    Löse Aufgabe a durch Anträgen der gegebenen Winkel nach entgegengesetzter Richtung.

Schuster, Planimetrie A.²

(XII B, 10), für

A BBC

Fig. 36.

(B 8) und berechne durch Multipli-A ABC A KLC

• Ver-

Ähnliche Vielecke.

Fig. 37. *29. (23a.) (Ähnlichkeitssatz für w-Ecke; vergl. VI, Aufg. 18.)

Gegeben ist ein Fünfeck A₁B₁C₁B₁E₁. a) Zeichne ein zweites Fünfeck A₂/E₂ so, daß A₂B₂ =    Z_ B₂ — L. B

B₂C₂ = %B₁C₁, Z.C₂ = Z.C1: C₂D₂= lC₁Dl, ei>₂ = a.d B₂E₂ = ID₁E₁. Warum ist A B₂C₂B₂ oo A BtCtDu AA₂B₂B₂ go A J-i-Bi-Di, AA₂D₂E₂cnAA₁D₁El? ^Beweise, daß zwei Fünfecke ähnlich sind, wenn sie in dem Verhältnis von drei Seitenpaaren und den vier An winkeln üb er einstimm en.

Stelle Ähnlichkeitssätze auf für c) Sechsecke, d) Zehnecke,

e) Zwölfecke, f) w-Ecke.

Ergebnis: Zusammenfassung B 6.

30. (24.) Beweise, daß bei ähnlichen Vielecken das regierende Verhältnis auch gilt für a) entsprechende Diagonalen, 1)) entsprechende Diagonalenabschnitte, c) die Umfänge. (XI B, 8.) Ergebnis: Zusammenfassung B 7.

Fig. 37. *31. (23b/c.) (Flächenverhältnis ähnlicher Vielecke.) Beweise, daß a) entsprechende Teildreiecke ähnlicher Vielecke,

b) die ähnlichen Vielecke selbst sich verhalten wie die Quadrate über entsprechenden Seiten.

Ergebnis: Zusammenfassung B 8.

32.    (21.) Stelle Ähnlichkeitssätze auf a) für Vierecke, b) für Parallelogramme, c) für Rechtecke, d) für Rhomben, e) für Quadrate.

33.    (22.) Von einem gegebenen Parallelogramm soll durch eine Gerade ein ähnliches Parallelogramm abgeschnitten werden.

Ähnlichkeit der Kreise.

*34. (8.) (Ähnlichkeitsbeweis.) Beweise, daß das Verhältnis der Halbmesser zweier Kreise als regierendes Verhältnis gilt

a) für Sehnen von gleichem Mittelpunktswinkel, b) für die Mittelpunktsabstände derselben, c) für Tangentenpaare, die gleiche Winkel einschließen, d) für deren Berührungssehnen,

e) für die Zentralen ihrer Schnittpunkte, f) für die Umfänge,

g) Wie verhalten sich die Flächen zweier Kreise? Ergebnis: Zusammenfassung B 9—11.

35. (26.) Gegeben sind die Kreise Kv K₂. Konstruiere den Kreis, dessen Fläche gleich:

g)2iT₁+}Ä₂Si) X,—Xs

36. (27.) Teile einen gegebenen Kreis durch Kingkreise a) in 2, b) in 3, c) in 5 gleiche Teile; desgl. im Verhältnis d) 2:5, e) 3:7, f) 8:3, g) m:n, h) 1:2:3, i) ni:n:p.

Zusammenfassung.

A. Erklärungen.

1. Dreiecke (Vielecke) heißen ähnlich, wenn ihre Winkel der Reihe nach gleich sind und ihre Seiten in derselben Reihenfolge in gleichem Verhältnis stehen.

"^2. Das Verhältnis je zweier entsprechenden Seiten ähnlicher Figuren heißt regierendes Verhältnis.

B. Lehrsätze.

(i)

1.    Eine Parallele zu einer Dreiecksseite schneidet (innen oder außen) ein ähnliches Dreieck ab.

2.    Dreiecke sind ähnlich, sobald sie übereinstimmen (yergl. VI B, 2):

v . a) in dem Verhältnis der drei Seiten,

b) in dem Verhältnis zweier Seiten und dem Zwischenwinkel,

V⁻ c) in zwei Winkeln,

(2,3)

d) in dem Verhältnis zweier Seiten und dem Gegenwinkel der größeren.

3.    Rechtwinklige Dreiecke sind ähnlich, sobald sie übereinstimmen:

a)    in einem spitzen Winkel,

b)    in dem Verhältnis der Katheten,

(4)

c)    in dem Verhältnis einer Kathete zur Hypotenuse.

4.    Gleichschenklige Dreiecke sind ähnlich, sobald sie übereinstimmen:

a)    in dem Winkel an der Spitze,

b)    in dem Grundwinkel,

c)    in dem Verhältnis der Grundlinie zum Schenkel. (4)

5.    Alle gleichseitigen und alle rechtwinklig-gleichschenkligen Dreiecke sind einander ähnlich.

G*

6. Vielecke sind ähnlich, sobald sie in so vielen Seitenverhältnissen und Winkeln übereinstimmen, als Seiten und Winkel zu ihrer Kongruenz erforderlich sind, y7. In ähnlichen Figuren gehorchen dem regierenden Verhältnisse alle unter gleichen Bedingungen gezogenen Linien und deren Abschnitte.

8. Die Flächen ähnlicher Figuren verhalten sich wie die Quadrate über entsprechenden Seiten (Höhen u.s.w.). (22, 31) •    9. Kreise sind einander stets ähnlich.

10. Die Umfänge zweier Kreise verhalten sich wie die Halbmesser.

. Die Flächen zweier Kreise verhalten sich wie die Quadrate über den Halbmessern.

Jr¹¹

(23)

(7, 30)

(34)

(34)

(34)

XIV. Regelmäßige Figureil, Kreisbereclmiing.

Konstruktion regelmäßiger Vielecke aus dem Halbmesser des Umkreises.

*1. (Die Winkel eines regelmäßigen Vielecks.) Wie groß ist jeder Außenwinkel und wie groß jeder Innenwinkel eines regelmäßigen a) Vierecks, b) Fünfecks, c) Achtecks,

d) Zehnecks, e) Fünfzehnecks, f) w-Ecks?

Ergebnis: Zusammenfassung A; Bl.

2. Unter welchem Winkel muß der Tischler Leisten abschneiden, die zum Besetzen einer a) viereckigen, 1)) sechseckigen, C) achteckigen Tischplatte dienen sollen?

Fig. 38. *3. (1.) (Zentrische Beziehungen.)

Die Mittelsenkrechten zweier Nachbarseiten eines regelmäßigen Vielecks schneiden einander in K. a) Beweise durch Umklappen des Vierecks MKNB um KN, daß auch die Mittelsenkrechte von CD durch K geht. 1)) Beweise (nach IV B, 7), daß KB den Winkel B halbiert.

Ergebnis: Zusammenfassung B 2.

*4. (2.) Regelmäßiges Sechseck.) Wie groß ist jeder Mittelpunktswinkel eines regelmäßigen Sechsecks? Welche Eigenschaft hat das Mittelpunktsdreieck? Zeichne hiernach in Je ein regelmäßiges a) Sechseck, b) Dreieck, C) Zwölfeck, (1) Vierundzwanzigeck.

Ergebnis: Zusammenfassung B 3.

*5. (3.) (Regelmäßiges Viereck.) Zeichne in Je ein regelmäßiges a) Viereck, b) Achteck, c) Sechzehneck.

*t>. (4,5.) (Regelmäßiges Zehneck.) A ABC sei das Mittel-Fig. 33. punktsdreieck eines regelmäßigen Zehnecks. a) Wie groß sind seine Winkel? b) Wie wird es durch die Halbierungslinie eines Grundwinkels geteilt? (XIII, Aufg. 8.) c) Beweise durch die Verhältnisgleichung für DC: CB, daß AC in 1) stetig geteilt ist (XII A, l). d) Zeichne hiernach in k ein regelmäßiges Zehneck (XII B, 18). Desgl. ein regelmäßiges e) Fünfeck, f) Zwanzigeck, g) Fünfzehneck (24° = 60° — 36°).

Ergebnis: Zusammenfassung B 4.

Konstruktion regelmäßiger Vielecke aus Seiten und Diagonalen.

7. (<>.) Konstruiere das regelmäßige a) Sechseck, b) Viereck, c) Dreieck, Achteck, ^e) Zwölfeck, f) Sechzehneck, dessen Seite a ist.

(7.) Zeichne ein regelmäßiges a) Zwölfeck,

I.    dritten    Ecke

zu welchem gegeben ist die Diagonale zwi-' b) Sechzehneck, sehen der ersten und

9. Zur Konstruktion eines regelmäßigen Zehnecks ist gegeben: a) die Seite, b) die Diagonale zwischen der ersten und dritten,

c) zwischen der ersten und vierten, d) zwischen der ersten und fünften Ecke.

10. Ziehe in einem regelmäßigen Fünfeck zwei Diagonalen von verschiedenen Ecken aus. a) Bestimme in der erhaltenen Figur zwei gleichschenklige Trapeze (VII B, 7), einen Rhombus und fünf gleichschenklige Dreiecke, b) Beweise, daß die beiden Diagonalen einander stetig teilen, c) Konstruiere hiernach das regelmäßige Fünfeck, dessen Diagonale d ist.

d) Desgl. das regelmäßige Fünfeck, dessen Seite a ist.

Berechnung der Seiten regelmäßiger Vielecke.

*11. (Beziehungen zwischen n- und 2w-Eck.) AB = sn sei Fig. 39. die Seite eines regelmäßigen w-Ecks, KA = KB — KC = r der Halbmesser seines Umkreises. Berechne nach Pythagoras:

il) aus A K AD den Halbmesser des Inkreises, 1)) aus A CAD die Seite des regelmäßigen 2w-Ecks mit dem Umkreishalbmesser r.

Ergebnis: Zusammenfassung B 5a, d.

*12. Berechne aus dem Halbmesser des Umkreises die Seite und den Umfang des regelmäßigen a) Zwölfecks, b) Vierund-zwanzigecks, c) Vierecks, d) Achtecks, e) Sechzehnecks,

f) Zehnecks (XII B, 16), g) Zwanzigecks.

Ergebnis: Zusammenfassung B 7.

Fig. 39. 13. In Fig. 39 sei KA = r, AC = fl, AD = x. Berechne nach Pythagoras KD und DC und dann aus KD -{- DC — KA die Strecke x.

* 14. Berechne Seite und Umfang des dem Kreise vom Halbmesser r eingeschriebenen regelmäßigen a) Dreiecks, b) Fünfecks. Ergebnis: Zusammenfassung B 7.

15. Ziehe in Je einen Durchmesser HJ3, errichte KC A 45, halbiere KB durch D und trage DC = DK auf DA ab. Beweise, a) daß KE die Seite des eingeschriebenen regelmäßigen Zehnecks, b) daß CE die Seite des eingeschriebenen regelmäßigen Fünfecks ist.

Berechnung der Diagonalen, Halbmesser und Inhalte.

16.    Berechne aus dem Halbmesser r des Umkreises die Diagonalen eines regelmäßigen a) Fünfecks, b) Sechsecks, c) Achtecks,

d)    Zehnecks, e) Zwölfecks.

17.    Berechne den Halbmesser des Umkreises aus der Seite a eines regelmäßigen a) Dreiecks, b) Vierecks, c) Achtecks, d) Zehnecks, e) Zwölfecks.

18.    Beweise, daß der Halbmesser des Inkreises für das regelmäßige 2w-Eck die mittlere Proportionale zwischen dem Halbmesser des Umkreises und dem arithmetischen Mittel aus diesem und dem Inkreishalbmesser des regelmäßigen w-Ecks ist. (Fälle in Fig. 39 KE A_ AC und EF _L CD.)

19.    Berechne nach 18 den Inkreishalbmesser für das regelmäßige

a) Achteck, b) Sechzehneck, c) Sechseck, d) Zwölfeck,

e)    Vierundzwanzigeck, wenn der Umkreishalbmesser r gegeben ist.

20.    Warum ist in Fig. 39 A KAC = \AB • KC? Berechne hiernach aus dem Umkreishalbmesser r den Inhalt eines Mittelpunktsdreiecks und dann den Gesamtinhalt eines regel-

mäßigen a) Vierecks, B) Sechsecks, c) Achtecks, d) Zwölfecks, e) Sechzehnecks, f) Vierundzwanzigecks, g) Zehnecks,

h) Fünfecks.

Ergebnis: Zusammenfassung B 5b, e; 7.

21. Berechne für das regelmäßige Fünfeck mit der Seite a

a) den Umkreishalbmesser, 1)) den Inkreishalbmesser, c) die Diagonale, d) den Inhalt.

Ergebnis: Zusammenfassung B 6.

Regelmäßige Tangentenvielecke.

*22. (21.) (Berechnung einer Seite.) Die Seite des dem Kreise Fig.40. vom Halbmesser r eingeschriebenen regelmäßigen w-Ecks sei AB = sn, der Halbmesser seines Inkreises KD = Qn. Berechne CE.

Ergebnis: Zusammenfassung B 5c.

*23. (22.) Berechne die Seite und den Umfang des dem Kreise vom Halbmesser r umgeschriebenen regelmäßigen a) Dreiecks,

B) Vierecks, C) Fünfecks, d) Sechsecks, 0) Achtecks, f) Zehnecks, g) Zwölfecks, ll) Sechzehnecks, i) Vierundzwanzigecks. Ergebnis: Zusammenfassung B 7.

Berechnung des Kreisunifangs.

24. (23.) Der Bogen eines Kreisausschnittes sei l> mm lang: die zugehörige Sehne habe die Länge s. Welchem Grenzwert

bei fortgesetzter

nähert sich das (irrationale) Verhältnis

Verkleinerung des Mittelpunktswinkels? Welches ist der Grenzwert des vom Mittelpunkt auf die Sehne gefällten Lotes ?

*25. (26.) (Berechnung der Zahl 7t.) a) Warum ist der Umfang eines Kreises größer als der jedes Sehnenvielecks? B) Warum ist er kleiner als der jedes Tangentenvielecks? (Vergleiche nach X B, 6 ein regelmäßiges Tangenten-w-Eck mit dem demselben Kreise umgeschriebenen Tangenten-2w-Eck.)

*26. Welche Grenzwerte ergeben sich für den Umfang eines Kreises beim Vergleich der Umfänge des ein- und des umgeschriebenen regelmäßigen a) Sechsecks, B) Zwölfecks, c) Vierundzwanzigecks? (Siehe Tafel B 7.) — Wie läßt sich hiernach der Umfang eines Kreises bis zu jeder erforderlichen Genauigkeit berechnen ?

Ergebnis: Zusammenfassung B 8.

/27.

Berechne den Umfang eines Kreises vom Durchmesser: c) 4,85 m <1) 11,27 „

28. Der Durchmesser eines kreisrunden Teppichbeetes ist 2,94 (2,45) m. a) Wieviel Schieferplatten von 12 (14) cm Breite sind zur Einfassung erforderlich? 1)) Wieviel Blumenpflanzen braucht man, um dieses Beet in einem Abstande von 0,28 (0,21) m vom Bande mit einem Kranze lebender Blumen zu umgeben, so daß je zwei Pflanzen 11 cm voneinander entfernt bleiben?

/ 29. (28.) a) Der Minutenzeiger einer Taschenuhr ist 18 mm lang. Welchen Weg legt seine Spitze in einer Stunde, in einer Minute, in einem Tage zurück? Beantworte dieselben Fragen für den um 6 mm kürzeren Stundenzeiger, c) für die Zeiger einer Wanduhr von 7,1 und 5,7 cm Länge, (1) für die Zeiger einer Turmuhr von 1,05 und 0,87 m Länge.

30.    Eine kreisförmige Fahrbahn hat einen Durchmesser von 83,3 (105) m. a) In welcher Zeit legt ein Badfahrer diese Bahn zurück, wenn er in einer Sekunde 9 (10) m fährt? b) Wie groß ist die durchschnittliche Geschwindigkeit, eines Badfahrers, der in 15 (12) Minuten 28 (19) Bunden macht?

31.    a) Wieviel m Nähseide befinden sich auf einer Holzrolle von 25 (20,5) mm Durchmesser und 36 (30) mm Länge, wenn die Fäden nur einfach aufgewickelt sind und 9 (25) nebeneinanderliegende Fäden eine Breite von 2 (6) mm einnehmen? b) Ein stabförmiger Elektromagnet von Durchmesser ist mit einer 51,6 (39,5) mm (1,8) mm dicken Holzrolle verkleidet. Diese ist mit über-sponnenem Kupferdraht von 0,6 (0,5) mm Dicke dreifach bewickelt. Wie lang sind die einzelnen Lagen?

32.    Wie schwer ist der eiserne Beifen eines Bades vom

36. cm b) 29 „

e)    0,728 m

f)    0,319 „

g)    0,025 m

h)    d

12,3 (8,2) langen und 2,1

mm

a)

b)

c)

d)

Durchmesser 1,25 m 0,86 m 1,09 m 1,48 m,

I. wenn 1 laufendes Meter des Beifens 8,570 kg wiegt,

II. wenn

seine Dicke 10 mm „ Breite 12 cm beträgt? (l

33. (29.) Wie groß ist der Durchmesser eines Baumstammes von a) 0,75, b) 1,38, c) 2,09, d) 3,72 m Umfang?

a)

b)

<0

d)

8,2 mm 7,5 cm

ccm Schmiedeeisen wiegt 7,79 g.)

7,5 mm 8 cm

5,2 mm 6,5 cm

Berechnung der Kreisfläche.

34.    (24, 27.) (Inhaltsformeln.) Teile den Bogen AB — b des Fig. 4i~ Kreisausscłmittes KAB durch eine möglichst enge Punktreihe

in die Abschnitte A Ct — \, Cl C.₂ — b₂, C₂ C₃ = b₃ u. s. w. Welches ist der Grenzwert für den Inhalt der Dreiecke KACX, KCXC₂, KC₂G₃ u. s. w.? a) Wie groß ist der Kreisausschnitt? b) Wie groß ist die Fläche des Kreises mit dem Halbmesser r? c) Wie groß ist die Fläche eines Kreisringes mit den Halbmessern rx und r₂?

Ergebnis: Zusammenfassung B 9, 10.

35.    Berechne die Fläche der Kreise in 27.

30. (30.) Wie groß ist ein kreisförmiger Rasenplatz von a) 7,31,

1>) 5,64, C) 9,17 m Durchmesser? d—g‘) Welchen Querschnitt haben die in 33 berechneten Baumstämme?

37. Das in 28 genannte Teppichbeet soll in acht Ausschnitte geteilt werden. Vier davon haben Mittelpunktswinkel von je 20° (15°) und bilden ein Kreuz, a) Wie groß ist der Mittelpunktswinkel jedes der vier anderen? b) Wie groß sind die einzelnen Ausschnitte?    ^

Zusammenfassung.

A. Erklärung.

Ein AHeleck heißt regelmäßig, wenn es lauter gleiche Seiten und lauter gleiche Winkel hat.

JB. Lehrsätze.

/360\0

1.    Der Außenwinkel eines regelmäßigen w-Ecks ist ( -J ₇

(1)

der Innenwinkel -- • 180^ .

(3)

2.    Jedes regelmäßige Vieleck hat einen Umkreis und einen Inkreis. Diese sind Ringkreise; denn die Mittelsenkrechten der Seiten und die Halbierungslinien der Winkel schneiden einander sämtlich in einem Punkte.

(4)

3.    Die Seite eines regelmäßigen Sechsecks ist gleich dem Halbmesser seines Umkreises.

4.    Die Seite eines regelmäßigen Zehnecks ist gleich dem goldenen Abschnitt seines Umkreishalbmessers.

5. Ist die Seite eines regelmäßigen w-Ecks sn und der Halbmesser seines Umkreises r, so ist

a)    der Halbmesser seines Inkreises: p„ = |-)'/4r²— s*²; (11)

b)    sein Flächeninhalt:

' §n ' ^/i -

• sn y4r² — s„²;

c)    die Seite des zugehörigen Tangenten-w-Ecks:

2rSn

V*ra — sn² ’

d)    die Seite des zugehörigen Sehnen-2n-Ecks: s₂» =V2r(r

e)    der Flächeninhalt des zugehörigen Sehnen-2n-Ecks:

F 2 n -

tn =

Qn) = Vr(2r — ]/4r² — s/) ;

• r • sn.

(20)

(22)

(11)

(20)

6. Für das regelmäßige Fünfeck mit der Seite a ist:

a)    der Umkreishalbmesser r = ^₀aVlO(p —j— ")/5) ;

b)    der Inkreishalbmesser q — ^aV h (5 -f- 2 l/ö) ;

c)    die Diagonale d = \ a (]/5 -|- l) ;

(21)

d) der Inhalt 7. Siehe Tabelle S. 91.

F ={a² yö(5 + 2}/5).

(12, 14, 20, 23)

8.    Der Umfang eines Kreises kann durch Vergleichung der Umfänge eines Sehnen- und des zugehörigen Tangentenvielecks bis zu jedem Grade der Genauigkeit berechnet werden; er ist annähernd 3,1416mal so groß wie der Durchmesser: k = 2str. (26)

9.    Die Fläche eines Kreisausschnittes ist gleich dem halben Produkt aus Bogen und Halbmesser. (34)

10. Die Fläche eines Kreises ist das st fache des Quadrats über dem Halbmesser: K = str*.

2,5981 - d 5,1962-d q

2,8284 • d 4,0000 • d <§ ►—¹

---I

2,9389• d 3,6327 -d §

CIQ

O

3,0000 • d 3,4641 • d <£

3,0614-d 3,3137 • d w 3,0902 • d 3,2491 • cl |

CD

3,1058 -rf 3,2154. d g

bc

c

'O

7. Tafel regelmäßiger Vielecke.

tn

2rY3

ICO

coM

2 r²

f r²l/10 + 2]/5 2rVö — 2 ÿ5

irys

(1 — za)* g

2 r- ]/2

Ol

Ss

Nim

(s/i — g) -fg

V ' 9g8I*S v-nzï<è g/l-{(g/i + g) —g/l + g/g)-*

2r{2Y2 + Yd — (2 4- -|/3)} 3,1326• d 3,1597 • d ^

Ol

Ol

CO

IN    N

^    %s

ioI-^    CO

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Ol

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Ss

CO

GO O

Ol

~t

Ol

XV. Anwendungen der Algebra auf die Geometrie.

Algebraische Summen von Strecken.

1.    (8.) Gleichschenkliges Dreieck (AB — AC) aus:

d)    (b “f" üb) a

e)    (b — h) ß

f)    (b + pf) a

Rechtwinkliges Dreieck (A C — 90°)

k)    a (c — 6)

l)    (& + c) a

Gleichseitiges Dreieck aus:

([) (a -|- h) r) (a — h) s) (a -f- 2h) t) (3a -j- 2h)

2.    (9.) Dreieck aus: a) a (b —j- hc) (x

I) ) (a — hb) Pl y

c)    (c + ha)p°ay

d)    a (b + pf) «

e)    (c — pf) pab a

0 (« — pf) ß 7 g) Q (llb + Pl) cc

II)    a b (hb — pf) i) a (b -f- ma) y

k)    b (c — mb) A bmb

l)    c (b -f- mc) A bmc

m)    (& — mf) a Abmc

a) (a —|— b) ß h) (b — ha) ß c) (a pf) cc

g) (h—pf)ß

li) (a —2 b) cc i) (2b — a)ß

aus:

m)    (& -f he) a

n)    (a—pf) a

o) (a + Pf) P) (& — pf) <x

ll) (a -f- m f ß A cmc

O)    («îj — c) A ama A cma

P)    (« + «?/*) «6 0

q)    (b — wa) va y

r)    (b -f- vf) wa y 8) (c — vf Wp ß t) a (wy + vc) y 11) b (uc — Wy) a

V) (ma + ha) ß A ama

w)    u (mb — hb) A bmb

x)    (ll'y -f- hf) CC ß

y)    («’« — ha) a y

3. (10.) Parallelogramm aus: a) a (b -f- lif) a

I) ) € (b -(- ha) cc

c) b (a — hb) pab (1) a (f -f- ha) Auf

e)    b (e — lif) A be

f)    (a — b) fa Rechteck aus:

II)    (a -f- b) e o) (a — b) A ae P) a (e + b) q) (e -— a) Abe

g) (e -f- a) b A b e 11) (a — f) a A bf i) a (e -f- f) A ef

k)    b (e — f) Abf

l)    (c f) A ae A ef ni) (e — f) Abf A ef

Rhombus aus : r) ą (e + f)

S) (f -— a) A ae t) (e — h) A ae 11) (f -(- h) a y) Quadrat aus: (e — a)

4. (ll.) Dreieck aus:

(a -f- b — c) und: (a -\- c -— b) und: (b -f- c — d) und:

es —

SS

“CO xo

» "CO SS >5

Pf M.

r *

-CO Ni

5. (12.) Dreieck ans:

a) (b + K + K)ßr

I) ) (c- + ha -f- pca) cc y C) (u + hb — jp£) « ß (1) Cb h — ph ) a ß

e)    (a + pac — hc) ß y

f)    (c + pca — K)ci y

g)    (C + fa — K) a ß

II)    (a + \ — paC)b y

Pf

© ES B

fO

R SS "Co SS çs «

6.    (,78.) Einem Quadrat (Seite a) soll das Quadrat umgeschrieben werden, dessen Seiten a) die Länge b haben, 1)) von den Ecken des ersten in je zwei Abschnitte geteilt werden, deren Unterschied d ist, c) von den Ecken des ersten im Verhältnis m : n geteilt werden.

7.    (79.) Einem gleichseitigen Dreieck soll das gleichseitige Dreieck

a) umgeschrieben l>) eingeschrieben

recht stehen.

werden, I. die Länge a haben, dessen II. auf denen des ersten senk-S eiten

¹

(XV, 4.) In Fig. 19 seien Jx J₂ und Jx J₃ zwei geneigte Spiegel. Welches ist der Gang eines Lichtstrahls, der von I<\, kommend den Spiegel Jj J₃ in B trifft? Wie groß ist die Gesamt-ablenkung (Z_ B AES)1 (Sextant.) Wie müssen die Spiegel gestellt werden, damit die Gesamtablenkung 90° sei? (Winkelspiegel.)

Darstellung des Unterschiedes zweier Dreieckswinkel.

*8. (17.) In Fig. 29 sei L-G₂BC = A⁾. Welche Maßzahlen ergeben sich dann für Z_ ABC₂ und L.AC₂B? Welcher Wert für x folgt aus der Gleichsetzung dieser Werte? (IV B, 1.) Wie groß ist L GtBG₂? (VII B, 16.) Wie groß ist AGXBC^ Ergebnis: Zusammenfassung B 1, 2.¹)

9. (18.) Dreieck aus:

C) a (b + c) (ß — y) d) (a + b) ha (d — ß)

*10. (19.) Fälle im Dreieck ABC (AC>AB) AB 1 BC und klappe A ABB um AB. Wie groß sind die Seiten und

a) c (a — b) (a — ß) yM) (a — c) Jic (a — y)

Winkel des Dreiecks AB±C: a) wenn A ABC < 90°, Z. ABC> 90°?

Ergebnis: Zusammenfassung B 3.

11. (20.) Dreieck a) b c (ß — y) h) p°pb («_—/3)

C) a c (pah — ]Ą)

(1) 6 (pba —pca) (ß — 7) e) a (Pc — Pc) ß

*12. (21.) Fälle im Dreieck ABC (AC > AB) die Höhe AD und ziehe

a) die Mittellinie AF. Wenn nun DF = x, welche Maßzahlen ergeben sich dann für FB und für F C ? (Berücksichtige III, Aufg. 12).

Welcher Wert für x folgt aus der Gleichsetzung der erhaltenen Werte?

Ergebnis: Zusammenfassung B 4, 5.

13. (22.) Dreieck aus:

*14. (25.) Fälle im Sehnendreieck A B C (Mittelpunkt Z7) ADA BC, UZ±CA. Wie groß ist: A A UZ, AU AZ, A BAD, A DAU? Warum wird auch AD AU durch wa halbiert? Ergebnis: Zusammenfassung B 5, 6.

b) wenn

aus:

^f) b(pb—pca)ß

g)    \ (pab — pl) (0: — y)

h)    c(pba+p°a) ß (ß > 90°)

i)    (pb + Pl) « y (« > ⁹⁰°)

k) a (Pab + pf) a (a > 90°)

b) die Winkelhalbierende AE. Wenn nun A DAE = xQ, welche Maßzahlen ergeben sich dann für A EAB und für AEAC?

Io. (26.) Dreieck aus:

a)    ha r iva

b)    r Wp (a — 7)

c)    hc mc iVy

(1) hb r (a — y)

e)    ha ma (ß — y)

f)    a llc (a — )

g)    C pca (ß — y)

h)    mb [pab — pl) (« — y)

i)    ma wa (p°a — p£)

k) \ wß (Pt — PÏ)

Wy (P' — Pc)

1) r

■Ota

Hl) h y (pa — pb)

Algebraische Anwendungen des pythagoreischen Lehrsatzes.

16. (29.) Berechne die Diagonalen der Rechtecke in X, Aufg. 7.

17. (30.) a) Berechne die Länge der zweiten Kathete eines rechtwinkligen Dreiecks, dessen Hypotenuse c = 25 und dessen eine Kathete a — 24 mm ist. Desgl.:

b) c) tl) e) f) g) h) i)

104 c 70,8 a

c = 58    22,6

a = 40    3

Ci CO

Ol CO

18.    (31.) Eine Leiter reicht bis zur Höhe h = 9 (6,3) m, wenn ikr Fuß d = 1,65 (1,6) m von der Wand entfernt ist. a) Wie lang ist sie? 1>) Wie hoch reicht sie empor, wenn ihr Fuß e = 3 (2,5) m von der Wand entfernt wird?

19.    (32.) In einem Teiche steht 2,85 (2,64) m vom Ufer entfernt ein Schilf und ragt 0,45 (0,55) m über die Wasserfläche empor. Zieht man es jedoch bis an den Rand des Teiches herüber, so wird es gerade vom Wasser bedeckt. Wie tief ist der Teich? (Nach Heis.)

20.    (33.) Um die Länge einer unzugänglichen Strecke MQ festzustellen, bestimmt man mittels des Winkelspiegels (siehe Anm. zu S. 80) einen Punkt P, von dem sie unter einem rechten Winkel erscheint, und mißt PM — 208 (317) m, PQ — 43,5 (183,5) m. Wie lang ist MQ?

21. (34.) Auf den Schenkeln eines rechten Winkels bewegen sich zwei Punkte vom Scheitel fort (nach dem Scheitel hin) mit den Geschwindigkeiten ct = 4 (12) cm und c₂ = 3 (5) cm. Sie sind jetzt = 16 (169) und a₂ — 27 (130)

Scheitel entfernt, a) Wie groß ist ihre gegenseitige Entfernung? 1)) Wie groß wird c) Wie groß war sie vor t = d = 90,4 (73) cm betragen?

i nach t = 5 (3)Ä? tl) Wai

cm vom

sein?

wird sie

22. (35.) Auf den Schenkeln eines rechten Winkels bewegen sich zwei Punkte, der eine nach dem Scheitel hin mit der Geschwindigkeit cx = 3 (5) cm, der andere vom Scheitel fort mit der Geschwindigkeit c₂ = 5 (4) cm. Sie sind jetzt ax — 61 (72) und a₂ = 24 (17) cm vom Scheitelpunkte entfernt, a) Wie groß ist ihre gegenseitige Entfernung?

b) Wie groß wird sie nach t= 11 (9)s sein? c) Wie groß war sie vor t = 18 (24)s? d) Wann wird sie d — 120 (130) cm betragen?

23. (36.) Auf den Schenkeln eines rechten Winkels bewegen sich die Mittelpunkte zweier Kreise mit den Halbmessern r, =81 (42,5), r₂ = 6 (22,5) cm mit den Geschwindigkeiten cx = 24 (3), c₂ = 7 (4) cm nach dem Scheitel hin. Sie sind von ihm jetzt a₁ = 108 (26) und a₂ = 94 (8) cm entfernt.

a)    Wann werden die Kreise einander von außen berühren?

b)    Wann wird die einschließende Berührung eintreten? c/d) Beantworte dieselben Fragen für den Fall, daß der Mittelpunkt des zweiten Kreises jetzt a₂ = 40 (6) cm vom Scheitel entfernt ist und sich mit c₂ = 7 (2) cm Geschwindigkeit von ihm fortbewegt.

24. (37.) Berechne für das gleichschenklige Dreieck ABC

(AB = AC) ha und F

aus:

e) f) *g)

a) b) c) d)

BC = 114 CA = 185

T—i

CM 00

JOi Cï "©

-I IO

rH tH

IS.

co

o

co <o

CM ^

c?¹ a

Ergebnis von g: Zusammenfassung B 13,

25. (38.) a) Wie lang müssen die Sparren eines Giebeldaches gemacht werden, dessen Breite 24 (18,7) und dessen Höhe 11,9 (12,5) m betragen soll? b) Bis zu welcher Höhe reicht eine Doppelleiter von 3,05 (4,13) m Länge empor, wenn ihre Fußpunkte 1,1 (1,35) m von einander entfernt sind? c) Wie weit darf diese Leiter gespreizt werden, wenn sie bis zu einer Höhe von 2,95 (4,03) m emporreichen soll?

26. (39.) Berechne die Diagonale des Quadrats AB CI) aus AB— a) 408, b) 16,9, C) 25,1, (1) 11,07, e) 8,504, f) a. Berechne die Seite und den Inhalt aus AC = g) 288,5, ll) 9,9, i) 17,03, k) 53,72, 1) 10,41, m) e.

Fig.42. 27. (40.) Wie lang ist die Strecke MN, ihi’er Endpunkte sind:

fl

• r—I

T3

&■

tr+-

<x>

a) b) c)

xx = 13 Vx = 10 x₂ — 37 = 17

Ergebnis: Zusammenfassung A 1.

für M

für N-

5,2

14

71

71

9,6    51

2,3    50

r- CM 05 »O pö' CO H CO (M rH CO tH

28. (41.) Berechne die Seiten des Dreiecks ABC aus den Koordinaten seiner Ecken:

Erweiterung des pythagoreisclien Lehrsatzes.

-O

*29. (X, 21.) a) Warum ist in Pig. 43: A ABE A HBC,vig.4s. Rechteck B OQ E = Rechteck HB KL, und wie lautet diese Gleichung in Maßzahlen des Dreiecks ABC? Beweise ferner: b) a-Pa = b-pab, C) •Pl = c-pbc, d) a² = Z>² —(— c² — 2 bp°, e) b² = ?, f) c² =

Pig. 44.

* 30. (X, 21.) Wiederhole die Erörterung in 29 für Fig. 44. Ergebnis von 29 und 30: Zusammenfassung B 7.

*31. (X, 22.) (Umkehrung des pythagoreischen Lehrsatzes.) Zwei Seiten eines Dreiecks sind 5 und 12 cm lang, a) Wie groß muß die dritte Seite sein, wenn ihr Gegenwinkel 90° beträgt? 1)) Zwischen welchen Grenzen muß sie liegen, wenn ihr Gegenwinkel spitz, c) wenn er stumpf ist? (Yergl. auch VI B, 1.)

Ergebnis: Zusammenfassung B 8.

32. (X, 23.) Von welcher Art sind die in III, 2 h—1 genannten Dreiecke ?

den Seiten.) Berechne

aus

xi

Vx

y₂

x₃

T—i

ys

CU HO CU HO 00 CO H CO CO 1—1

O co o ho r- 05 ^ CU CU -rH 05

»O CO o HO CU O 45 -cH    rH CU CU tH

O co t- t- co o

O 00 IO O O ^ h² O rH tH CO tH

. . CU CO CU -o CU rH «M CO ^ CO H 05 CU

g)

45

127

10

T—I

h- CO Ol CU

Oh- 00 O 00 tH H HO HO CO H 05 CU

a) h) c) d) e) f) .

B C = 100 CA = 105 •

AB = 65

rH 70 04

74,2

63,7

21,4

ic GO

GO

Ergebnis: Zusammenfassung A 2; B 10.

34. (43.) Ziehe durch eine Ecke des Trapezes AB CD (AB |j CD) die Parallele zum gegenüberliegenden Schenkel, berechne aus dem erhaltenen Dreieck die Höhe des Trapezes und <tann dessen Inhalt (X B, 5), wenp:

Schuster, Planimetrie A.²

a) b) c) d)

e)

f)

AB = 77,6 BC = 22,5 CD = 50

DA

8,7

co »o_ Cj T—■

r-T CC tA cT tH tH

Ol

Ol

co

co

th i> ^ q -iT ao tA t-'

88,9

41,7

T“l

14,5

35,8

Ergebnis: Zusammenfassung B 16.

35.    (44.) (Der Transversalensatz.) Ziehe im Dreieck ABC die Mittellinie AF, fälle die Höhe HD, und berechne nach B 7: &² aus A AFC, c² aus A AFB. Was ergibt sich dann für a) (b² -j- c²), b) (a² -f- c²), c) (a² -f- 5²)? Ergebnis: Zusammenfassung B 9.

36.    (45.) Berechne die Mittellinien der in 33 genannten Dreiecke.

37. (46.) Berechne die Seiten des Dreiecks ABC aus den Maßzahlen der Mittellinien:

a) b)

C)    d)    6) f)

AE = 75 BL = 72 CM= 21

18,2 15,9 12,4

(Berechne nach B 9a die Summe 4t m ² -j- 4m₀² — 2ma² und daraus «.)

Ergebnis: Zusammenfassung B 9 b.

05 CO w

40,4

50,5

60,6

05 CH bO

Wla

mb

mc

Die Ankreise des Dreiecks.

Kg.i9. 38. (13.) hi'Fig.l9isbAF₁+AE₁ = (AB+BD₁) + (AC+CD₁) — (a -f- b -f- c) = 2s; folglich Hi^ — AE± = s.

(15.)

Dreieck aus s und:

b) A «

a) a

C) Q Qa d) Wß Qb e) Jlc Qc

Äg.i* 39. (13.) In Fig. 19 ist AF AE = (HD — BD) -j- (HO— CD) = (b -f- c — a); folglich AF = AE = (s —- «) ; ferner ist DDg = DD₃ = CD₂ = 6’D₂ = (s — a).

(15.)

Dreieck aus:

(S —

B B B PPB

Pj Pj pJ

05 B

Qs <o_ ÎS. 5= cg- £

Ss* CD C¹

a **

fi fi

ï'ig. 19. 40. (13, 15.) In Fig. 19 ist FFX~ EE₁ = s -— (s — a) — a ebenso F₂F₃ = E₂EZ = a.

« cr.ss

cs ch a AD -o

SJ /O ^

c. a

Dreieck aus:

d)    (« + &) Qa Qb

e)    (a — c) Ç ç*

f)    a (& + c) ?

M. fcr¹ CTQ

CH s SS

■o

Qr

41. (16.) Beweise für ein rechtwinkliges Dreieck (Z. C — 90°) :

il)    2 Çf =    (a -f-    J)-c)    g)    Q    -j-    Qa    “f"    Qb + Qc =    («■ -|- b -f- c)

k)    2 Qa =    (a -f-    C-b)    11)    Qa    —j—    Qb    —)—    Qc-q    —    2c

c)    2Qb=?

d)    2 qc=?

C)    Qa “h    Qb —

f)    Qa    Qb —

•C CS

i) Q "h Qb “h Qc Qa—?

k)    Q “f“ Qa “h Qc — Qb=?

l)    Qa “H Qb — 2 r

llî) Qa Q = ?

42.    (23.) a) Ziehe in Fig. 19 JL || FFX. Welches sind die Maß- Fig 19. zahlen für die Katheten und für die Winkel des Dreiecks JLJX? — Erörtere ebenso das Dreieck, welches dadurch entsteht, daß l)) die durch J₃

die Verlängerung von Jr₂_F₂ schneidet, c) die durch Jx zu DjD gezogene Parallele die Verlängerung von JD schneidet, d) die durch J₃ zu D₃D₂ gezogene Parallele J.₂D₂ schneidet.

43.    (24.) Dreieck aus:

« (Qa — q) ß ^lł)    ab (gb — g)

C)    c mc (qc — q)

d)    a ua (qu — q)

e)    h (Qb — q) ß

f )    (a -f- 6) (Qc —    q)    y

/• g) (Qb + Qc) « ß

h)    (Qb + Qc) a

i)    C Jlc (Qa -j- Qb) k) C ma (Qa + Qb)

vp) (Qb — q) K — Vb) ß

44.    (47.) Berechne nach Fig. 19 den Inhalt des Dreiecks ABC aus: Fig 19

-    a)    F — A JB C    +    AJAC    + A    JAB

t>)    f= A JXAC    +    A    JXAB— A    JXBC.

Ergebnis: Zusammenfassung B 11.

45.    (49.) Berechne (nach B 10 und ll) auf doppelte Weise den Inhalt des Dreiecks ABC und dadurch die Länge von q, ç>a,

Qb-, Qc- — Anwendung auf Aufg. 33!

Ergebnis: Zusammenfassung B 12.

zu

F₃F₂ gezogene Parallele

lll) a (Qb — Qc) a

n)    r (Qa — Qb) y

o)    b r (Qa - Qc)

p)    (a — c) (gb -f- q) ß

q)    (a -{- b) (Qa — Qb) y

r)    a (Qa + q) (ß — y)

s)    b (qu — Qc) (ct — y)

t)    ( b C) K (Qa —J— q)

u)    bb (Qb — Qc) (ß — y)

v)    b (qc + q) (cc — ß)

w)    C (ga — Qc) («--y)

40. Berechne:

a) ? * Qa • Qb • Qc c) (Qb “h q) ’ ($a “h Qc) C) (ça-q) • (ç>6 “h Qc)

D) Q • Qa “f" Qb ⁻ Qc d) (qc q) • ( Qa Qb) 1 ) --\~ ~b

9a

9b

I Qa

Der Satz des Ptoleinäus.

AC₂,

Pig. 45. 47. (62.) In dem Sehnenviereck AB CD sind die Diagonalen gezogen, und es sind die Dreiecke ABC und A CB um A gedreht, bis AC in die Richtung AB bezw. AB gefallen ist. Warum ist dann B₁C₁ || BB, C₂B₂ \\ BB? Welches ist die vierte Proportionale zu AC1: AB, B₁C₁? Desgl. zu AB, C₂B₂? Beweise hiernach ef=ac-\-bcl.

Ergebnis: Zusammenfassung B 14.

48.    (68.) Berechne nach XII B, 7 auf zwei Arten den Inhalt des Sehnenvierecks AB CB (ABC -f- ABC — ABB + CBB) und aus dieser Gleichung den Wert des Verhältnisses e : f.

Berechne ferner aus ef (B 14) und die Länge der Diagonalen eines Sehnenvierecks.

Ergebnis: Zusammenfassung B 15.

49.    (64.) Berechne den Inhalt eines Sehnenvierecks, in welchem die Nachbarseiten paarweise gleich sind, a) aus der Länge der Seiten, b) aus der Länge der Diagonalen.

50.    Welche Form nimmt der Satz des Ptolemäus an, wenn er angewandt wird a) auf ein Rechteck, 1)) auf ein gleichschenkliges Trapez?

51.    (65.) Beweise, daß von den Linien, die einen Punkt des Umkreises eines gleichseitigen Dreiecks mit den drei Ecken verbinden, die eine gleich der Summe der beiden anderen ist.

Regelmäßige Vielecke uml Sternfiguren.

52.    (83.) Die Halbierungspunkte der Seiten des regelmäßigen Sechsecks ABC BEF seien At (für A B) Bt C± B₁E₁ Ft. Wie verhält sich der Inhalt des Sechsecks zu dem des Dreiecks:

a) AA₁F₁, b) AB₁E₁, d) BlF₁FC\ e) Al F₁FB, f) AiB₁B₁E₁, g)

zu

zu dem des Trapezes: c) ABB₁F₁, zu dem des Rechtecks dem des Sechsecks A₁B₁C₁B₁EiF₁?

53.    (84.) a) Wie verhalten sich die Dreiecke, in die ein regelmäßiges Sechseck durch die von einer Ecke ausgehenden Diagonalen geteilt wird? Desgl. die entsprechenden Teildreiecke eines regelmäßigen b) Achtecks, c) Zwölfecks, d) Fünfecks,

e) Zehnecks.

54.    (81.) Zeichne das regelmäßige n-Eck, das a) gleich der Summe, 1>) gleich dem Unterschied zweier gegebenen regelmäßigen w-Ecke ist.

55.    (72.) Zeichne in den Kreis mit dem Halbmesser r ein regelmäßiges a) Sechseck, l>) Viereck, c) Achteck, d) Zehneck,

e) Fünfeck. Errichte auf den Seiten gleichseitige Dreiecke, und berechne den Umkreishalbmesser und den Inhalt der entstehenden Sternfigur.

56.    Zeichne in Je (Halbmesser r) a) zwei gleichseitige Dreiecke mit gegengerichtet parallelen Seiten, 1)) zwei Quadrate, von denen die Diagonalen des einen mit denen des anderen Winkel von 45° bilden, c) die Diagonalen eines regelmäßigen Fünfecks. Berechne den Halbmesser des Kreises, der durch die einspringenden Ecken der entstehenden Sternfigur geht, sowie deren Inhalt.

57.    (73.) a) Innerhalb Je ist P gegeben. Bestimme durch Konstruktion den Punkt des Umfangs, nach welchem eine elastische Kugel gestoßen werden muß, damit sie nach dreimaligem Anprall nach P zurücklaufe; zeichne und berechne ihre Bahn. Konstruiere und berechne ebenso die Bahn für 1)) viermaligen, c) sechsmaligen, (1) fünfmaligen Anprall. (Verschiedene Fälle!)

Orts-Ringkveise und Örtsparallelen.

58. / a) Ziehe durch P₁ innerhalb Je die Sehne von der Länge 2 s.

B) Bestimme auf der Verlängerung des durch Px gehenden Durchmessers den Punkt P₂ so, daß die von P₂ an Je gelegten Tangenten die Länge t haben.

Ergebnis: Zusammenfassung B 17, 18.

59.    (VIII, Ga.) Konstruiere den Kreis, der den Halbmesser rt hat, /,'₂ berührt und ^a) durch P innerhalb 7c₂ geht, 1b) durch P außerhalb Je₂ geht, c) eine Gerade g berührt, die von Z'2 geschnitten wird, d) eine Gerade g berührt, die von Je₂ nicht geschnitten wird. Die Berührung des gesuchten Kreises mit Je₂ soll in den Aufgaben b—d I. ausschließend, II. einschließend erfolgen.

Ergebnis: Zusammenfassung B 20.

I. ausgeschlossen wird, II. geschnitten wird, III. eingeschlossen wird.

60. (VIII, Ob.) Konstruiere den Kreis, der den Halbmesser rl hat und 7r₂ und Jc₃

berührt, wenn J'₃ von Je₂

a) gleichartig B) ungleichartig

61. (VIII, 7.) Konstruiere den Kreis, der zwei Ringkreise \ und k₂

a)    ungleichartig \

b)    gleichartig j

Ergebnis: Zusammenfassung B 19.

I. durch P geht,

berührt und

II. auch g berührt,

III. auch k₃ berührt.

62. (90.) Konstruiere den Kreis, der g und k berührt, und zwar y^a) 1c in P, 1)) g in P.

_63. (91.) Konstruiere den Kreis, der den Halbmesser r₁ hat,

a)    k₂ halbiert, \

b)    k₂ unter der Sehne und

s₂ schneidet >

Ergebnis: Zusammenfassung B 21, 22.

f—I. durch P geht,

II. g berührt,

-HI. k₃ berührt,

i IV. 7₃ unter der Sehne s₃ schneidet.

64.    (92.) Konstruiere den Kreis, der den Halbmesser hat, g1 unter der Sehne s₁ schneidet und a) durch P geht, b) g2 berührt, C) g₂ unter der Sehne s₂ schneidet, d) /r₂ berührt, C) lc₂ halbiert, f) k₂ unter der Sehne s₂ schneidet. Ergebnis: Zusammenfassung B 23.

65.    (93a.) (Rechtwinkliger Schnitt zweier Kreise.) Lege

an    in T die Tangente, bezeichne auf ihr einen Punkt K₂,

und schlage um K.₂ mit K₂ T den Kreis. Konstruiere nach dieser Musterfigur den Kreis, der \ rechtwinklig schneidet, und dessen Mittelpunkt P ist.

Ergebnis: Zusammenfassung A 3, B 24.

66.    (93b/f.) Konstruiere den Kreis, der den Halbmesser r± hat, Ä’₂ rechtwinklig schneidet und a) durch P geht, b) g berührt, C) k₃ berührt, d) g unter der Sehne s schneidet, e) k₃ unter der Sehne s schneidet.

67. (94.)x) Konstruiere den Kreis, der kt und k₂ berührt (r₁>-r₂), und zwar:

a)    k₁ in P,

b)    k₂ in P,

I. \ und k₂ einander ausschließen,

II. 7^ und k₂ einander ausschließend berühren, wenn III. \ und k₂ einander schneiden,

IV. k₂ von k± einschließend berührt wird, V. k₂ von \ eingeschlossen wird.

68. (95.) Ziehe die Gerade, die Z^ unter der Sehne s₁ schneidet und

Fälle I—V wie in 67.

a)    7i₂ berührt,

b)    Z₂ unter der Sehne s₂ schneidet.

1) Vergl. hierzu XVII, Aufg. 22.

Zusammenfassung.

A. Erklärungen.

1.    Die Koordinaten eines Punktes sind die von ihm auf die Schenkel eines rechten Winkels gefällten Lote. Die Schenkel des rechten Winkels heißen Koordinatenachsen, sein Schenkel heißt Koordinatenanfang.

2.    Bezeichnet man die Seitensumme eines Dreiecks mit 2s, so ist:

(et —(~ b -j— c) = s i(p + C~a) = (s — a)

3.    Zwei Kreise schneiden einander rechtwinklig, wenn die nach den Schnittpunkten gezogenen Halbmesser des einen Tangenten des anderen sind.

(a

(a

-b) = (s-b) -c) = (s -c)

B. Lehrsätze.

1/2. Wenn man von zwei Dreiecksseiten (b, c) die eine (c) von der gemeinschaftlichen Ecke aus auf b ab trägt, so liegt dem an b anträgt, so liegt der dadurch dargestellten Seiten- dadurch dargestellten Seitenunterschiede (b—c) einWin- summe kel von j(ß — y)⁰ gegenüber.

3.    Wenn man die eine von zwei Seitenprojektionen vom Höhenfußpunkte aus auf die andere abträgt oder (beim stumpfwinkligen Dreieck) an die andere anträgt, so liegt dem dadurch dargestellten Unterschiede (pha —p°J bezw. der Summe (pba P°a) in jedem Falle ein Winkel von (ß — y)° gegenüber.

4.    Die Projektion einer Mittellinie auf die zugehörige Seite ist gleich dem halben Unterschied oder der halben Summe der Projektionen der beiden anderen Seiten, je nachdem der Höhenfußpunkt auf der Seite selbst oder auf ihrer Verlängerung liegt:

Pa = i (j>a —PCa)> Weü11 7 <ß< ⁹⁰°> p™ = j(pha -j-Pa), wenn ß > 90° oder y > 90°.

5.    Der Winkel zwischen dem von einer Ecke aus gezogenen Umkreishalbmesser und der zugehörigen Höhe ist gleich

(8)

(b c) ein Winkel von [90 + j(ß—yJ\° gegenüber.

(8)

(10)

(12)

dem Unterschied der beiden nicht zugehörigen Winkel und wird durch die Winkelhalbierende des zugehörigen Winkels halbiert: L. rha = (ß — ; y); Z_ hawa — Z. rwa

= \{ß— ?)•

(12, 14)

(14)

6.    In dem rechtwinkligen Dreieck, dessen eine Kathete p™ und dessen Hypotenuse r ist, liegt der ersteren ein Winkel von (ß — y)° gegenüber.

7.    (Erweiterter pythagoreischer Lehrsatz.) Das Quadrat einer Dreiecksseite mit spitzem (stumpfem) Gegenwinkel ist gleich der Summe der Quadrate der beiden anderen Seiten vermindert (vermehrt) um das doppelte Rechteck aus einer dieser Seiten und der Projektion der anderen auf sie. (29, 30)

cd = Ir -f c² + 2bpl (+ 2cpby

(31)

8.    (Umkehrung.) Wenn die Summe der Quadrate zweier Dreiecksseiten größer (kleiner) ist, als das Quadrat der dritten Seite, so hat diese einen spitzen (stumpfen) Gegenwinkel.

9.    Transversalensatz: Die Summe der Quadrate zweier Dreiecksseiten ist gleich dem doppelten Quadrat der halben dritten Seite vermehrt um das doppelte Quadrat ihrer Mittellinie:

CÖ

u>

C*i>

U>

io

oi

CQ

Oi

a = | ]/2mj² -J- %mc² — w„².

10/12. Andere Dreiecksformeln: i. F — Y s (s — a) (s — b) (s — cj

F = s ■ Q = (s — a) Qa = (s — b) Qb = (s — c) qc (44) J /(s — a) {s — b) (s — c) _

y — y-—' s    ,

13.    Gleichseitiges Dreieck: F = ^ ]/3.

14.    Satz des Ptolemäus: Das Rechteck aus den Diagonalen eines Sehnenvierecks ist gleich der Summe der Rechtecke aus je zwei Gegenseiten: ef — ac -J- bd.

b)

Qa-

1 /s (S — b) (s — c) Y s — a

(37)

(33)

■ («)

(24)

15. Formeln für die Diagonalen eines Sehnenvierecks:

“1 Aac -j- bd) (ad -j- bc) £    ~\ Aac-\-bd)(ab-\-cd) ,

⁶ V ab-{-cd    ’ ' V ad-\-bc > '

16. Trapez:

_A.

a-\-c a —

“V [(« -c) + (b- d)] [(a — c)—(6 — d)] ■ [(b + d) + (a - c)] • [(b + d)-(a - c)]. (c

(58)

17. Der Ort für die Mittelpunkte aller Seimen von der Länge 2 s ist der Ringkreis mit dem Halbmesser ]/r² — s².

18. Der Ort für die Endpunkte aller Tangentenab schnitte von der Länge t ist der Ringkreis mit dem Halbmesser

]/r²~4- f.

(58)

19. Der Ort für die Mittelpunkte aller Kreise, die zwei Ringkreise \ und lc₂ gleichartig [ungleichartig] berühren, ist ein dritter Ringkreis mit dem Halbmesser

(61)

I0i — r₂) [fOi + Lj]•

20/24. Der Ort für die Mittelpunkte aller Kreise, die den Halbmesser r₁ haben und

Ä'₂ ausschließend [einschließend ] berühren, ist der Ringkreis um K₂ mit dem Halbmesser

0i + rz) [0i — r%) bezw- 0* — ri)]>

halbieren, ist der Ringkreis um K₂ mit dem Halb-

H² — rł,

unter der Sehne 2s schneiden, ist jeder der beiden Ringkreise um K₂ mit den Halbmessern

j/r/² — s² + ]/r₂²— s²,

g unter der Sehne 2s schneiden, ist jede der beiden Parallelen im Abstande

rechtwinklig schneiden, ist der Ringkreis um K₂ mit dem Halbmesser yO²-f-r₂².

messer

(59)

(63)

(63)

(64)

¹

Der Beweis kann auch nach IV, Aufg. 24 geführt werden, wenn in Fig. 7 BB. gezogen wird. (Vergl. IV B, 8.)

²

33. (42.) (Der Dreiecksinhalt

für das Dreieck ABC erst eine Seitenprojektion, dann die zugehörige Höhe und dann den Inhalt, wenn:

XVI. Koiistruktionsaufgaben mit algebraischer Analysis.

Gleichungen ersten Grades.

1. '(XV, 1.) Zeichne a) zwei Strecken, deren Summe a und deren Unterschied b ist, 1)) zwei Winkel, deren Summe a° und deren Unterschied ß° beträgt, c) zwei Nebenwinkel, die sich um a° unterscheiden.

2. (XV, 5.) Die Seiten eines Dreiecks, dessen Umfang 2 s ist, sind nach folgenden Angaben darzustellen: a) Das Dreieck ist gleichschenklig; jeder Schenkel ist um d länger als die Grundlinie, b) Die Seiten bilden eine arithmetische Beihe mit der Differenz d. c) Eine Seite ist um d länger als die zweite und um e kürzer als die dritte.

3. (XV, 6.) Die Seiten eines Vierecks, dessen Umfang 2s ist, sind nach folgenden Angaben darzustellen: a) Das Viereck ist ein Bechteck, zwei Nachbarseiten unterscheiden sich um 2d. b) Das Viereck bat einen Inkreis; zwei Nachbarseiten sind a und b.

4. (XV, 2.) Die Winkel eines Dreiecks sind nach folgenden Angaben zu konstruieren: a) Der eine ist a°, die beiden anderen unterscheiden sich um ö°. b) Sie bilden eine arithmetische Beihe mit der Differenz d. c/d) Das Dreieck ist gleichschenklig, und die Hälfte des Winkels an der Spitze ist um ö° größer (kleiner) als jeder Grundwinkel. e) Das Dreieck ist rechtwinklig, und der eine spitze Winkel ist um d° größer als der dritte Teil des anderen.

5. (XV, 3.) Die Winkel eines Vierecks sind nach folgenden Angaben zu konstruieren: a) Wenn man den einen Winkel eines Parallelogramms um d° vermehrt, so verhält er sich zu seinem (früheren) Nachbarwinkel wie 3:5. b) Wenn man den einen von zwei Gegenwinkeln eines Sehnenvierecks um a° vermehrt, den anderen um ß° vermindert, so verhalten sich die dadurch entstandenen Winkel wie 5 : 3.

6. (XV, 87.) Konstruiere den Kreis, dessen Umfang von einem gegebenen Punkte P die längste Entfernung a und die kürzeste Entfernung b hat; K soll auf einer gegebenen Geraden g liegen und P a) einschließen, b) ausschließen.

7.    (XY, 76, 75.) a) Einem gleichschenkligen Dreieck (Grundlinie a, Höhe h) soll das Quadrat eingeschrieben werden, dessen eine Seite in die Grundlinie des Dreiecks fällt. t>) Dem Quadrat mit der Seite a soll das regelmäßige Sechseck eingeschrieben werden, von welchem zwei Seiten einer Diagonale des Quadrats parallel sind. c) Von einem Quadrat sollen vier gleichschenklige Dreiecke abgeschnitten werden, so daß ein regelmäßiges Achteck übrigbleibt, d) Einem Quadrat soll das Bechteck eingeschrieben werden, dessen Seiten sich wie m : n verhalten, und von welchem je eine Ecke auf einer Quadratseite liegt.

8.    (XY, 69.) Zeichne in ein Viereck a) den Rhombus, dessen Seiten den Vierecksdiagonalen parallel sind, 1b) das Parallelogramm, dessen Seiten sich verhalten wie m : n.

9.    Einem Kreisausschnitt mit dem Mittelpunktswinkel 60° soll der Berührungskreis a) eingeschrieben, B) angeschrieben werden, c/d) Desgl. einem Yiertelkreis.

10.    (XV, 88.) Bestimme auf einer Tangente von Je den Punkt, dessen Abstand von Je a) um cl kleiner ist, als seine Entfernung vom Berührungspunkt, B) sich zu dieser verhält wie m : n.

11.    (XY, 67.) Ziehe zu einer Seite eines gegebenen Dreiecks die Parallele so, daß a) ein Tangententrapez abgeschnitten wird, B) in dem abgeschnittenen Trapez die Summe der Schenkel gleich der größeren Grundlinie ist.

12.    Ziehe im Dreieck OLD (Fig. 27) zur Seite L D die Parallele EN so, daß sie mittlere Proportionale wird zwischen a) einer zweiten Seite und deren oberem Abschnitt, B) einer zweiten Seite und dem oberen Abschnitt der dritten, c) den Abschnitten einer zweiten Seite.

Dreieckskonstruktionen durch vierte Proportionalen.

13. (XY, 51.) Bestimme (durch Gleichsetzung zweier Inhaltsformeln) die vierte Proportionale zu:

a) a ha

B) S Q

c)    s c hc

d)    Qa ha a

e)    (s — b) b hb k) a

f ) c (s — c) Qc

§i) ^ (ß    Qa

ll) Qa 1 hb

i) a

Cr- 'O

0 + c)

- c) Qc

p) Qc C (hc -f- 2 Qc')

Dreieck aus:

g)    (s — c) hc q

h)    (s — b) hb ß

i)    ha q a

k)    (?> + c)    J>a    Qa    q)    (s — b) hc Qb

l)    (a + b)    hc    q    r)    (b — c) ha qc

m)    s ha Qa    s)    b (a — c) hb

14.    (XV, 52.)

a)    a ha q

b)    s hb q

C) C Jtc Qc

cl) a (b -f- c) K

e)    b (a + C) Qb

f)    (s — c) hc QC

15.    (XY, 68.) Dreieck aus JF¹) und: e) (s — b) hb

a) a

g) (s — c) ha 11) (s — b) a

16.    (XV, 59.) Welches ist nach XII B, 6 die vierte Proportionale zu:

a)    c har

b)    a hb 2 r

17.    (XV, 60.) Dreieck¹)

a)    bc a ha g) ac

b)    ab c r C) bc ha a cl) ac r ß

e)    ab c y

f)    bc hapha m) bc ha wa

n)    s hc y

o)    hb Qb ß P) M ha Qb

a)    a q

b)    hb q

c)    s h₀

d)    hu Qa

c)    ha b c

d)    2r b a

11)    (6    +    c)    Q

O)    (s    —    c)    Q

P)    («    +    c)    Qb

q)

Qc

e) a 2r (h₀ -j- hb) f ) 2 r (b — c) a

il) ab r wy 0) ac hb (a — y)

>“ — JP*) p) hc r (ß — y) q) ab wy (a — ß)

(<— pf) (a —y)

h)    bc

i)    ab

k)    hc (pha — pcJ r

l)    ac mb (pab — pÿ r)

ma

ac

S) bc ma a

18. (XY, 58.) Berechne nachXY, Aufg. 35: a) (b²— c²), b) (a²—c²), c) (a² — b²). d) Was ergibt sich aus a für I) E = p™ ? e) Welches ist der Ort für A, wenn a und (b²— c²) unverändert bleiben?

Ergebnis: Zusammenfassung B 1.

Dreieck¹) aus:

(a² — c²) und:

19. (XY, 54.)

(b² — c²) und:

(a² — b²) und:

P) c

t)    (pl—pj) -L. cmc

f)    (pba — pca) \    n) (pab —jpg) (a — y) il) (jf —p*) Z. bm₀

g)    (p»a —pl) mc O) (pl -pl) ß

h)    b

i)    b Z_ bmb

k)    b Z_ amb

l)    b Z. bma

a)    a

b)    a

C) a a

d)    (Pa —Pa)

e)    (pba—PCa)K m) (Pb Pb) a

hb

mc

ha

ma

uc

Y) (p“-~Pę) ć-cma

1) Die Flächen F, bc, (b²+ c²), (b²— c²) u. s. w. erscheinen unter den Bestimmungsstücken als Quadrate von gegebener Seitenlange d.

20, Gleichschenkliges Trapez aus:

a) a c (e -f- b) 1)) a c (e— b) (Vergl. XV, Aufg. 50b.)

Dreieckskonstruktionen durch mittlere Proportionalen.

(Hierzu auch XIII, 24—28.)

21.    (XV, 55.) (Vorübungen.) Stelle folgende Quadratwurzeln geometrisch dar: a) ]/35, h) ]/9Ï, c) ]/33, d) "j/2,

e) y5, f) y?, g) y2y¥, h) y 2 +ys, i) 1/5 — 2 y*T.

22.    (XV, 56.)'Zeichne Strecken von der Länge

5a²

e) f-Ls-j/s

ä) -y

f) y«² 4- 3b²

">

g)    y2a² + 3ab — 5b²

h)    iy2(b² + c²) — «²

23. (XV, 57.) Berechne m« durch den Transversalensatz (XV B, 9). Welches ist der Ort für A, wenn a und (b² -f⁻ c²) unverändert bleiben?

c)    a (y5 — l)

d)    tty₂ y5

Ergebnis: Zusammenfassung B 2.

Dreieck¹) aus: (a² -f- c²) und:«'¹ i) p“' pl

k)    b

l)    ma

m) mb L- bmb ll) mb /- b ma o) b Z. mamc

1>)

q) ni/j r

24. (XV, 58.)

(b² -f- c²) und:

a) a 1)) a

c)    a Z. bma

d)    ma L. cma

e)    ma(pK—pca)

4) ma

g)    a

h)    ua

und:

Tic

mb

ha ™e

hc mc mc y c Z. cma

mb

va

mc

mc

Gleichungen zweiten tirades.

25. Ziehe im Dreieck OLD (Fig. 27) zur Seite LD die Parallele EN so, daß sie mittlere Proportionale wird zwischen einer zweiten Seite und a) deren unterem Abschnitt, 1)) dem unteren Abschnitt der dritten.

26.    (XV, G7.) Halbiere das Dreieck ABC durch eine Gerade so, daß a) auch die Umfänge beider Hälften gleich sind, b) daß der eine Teil ein gleichschenkliges Dreieck ist, dessen Spitze auf AC liegt.

27.    Ziehe zu einer Seite des Dreiecks ABC die Parallele so, daß das abgeschnittene Dreieck gleich ist a) dem abgeschnittenen Trapez, 1)) dem von der einen Trapezdiagonale abgeschnittenen unteren Teildreieck des Trapezes.

28.    (XY, 85.) Verwandle ein regelmäßiges Sechseck (Seite a)

a)    in ein gleichschenkliges Dreieck, dessen Grundlinie gleich dem halben Umfang des Sechsecks ist. Desgl. in ein regelmäßiges 1)) Dreieck, c) Viereck, (1) Zwölfeck, e) Achteck.

29.    (XY, 86.) Verwandle ein regelmäßiges Achteck (Umkreishalbmesser r) in ein Rechteck, von welchem gegeben ist a) a : b,

b)    (a -|- b), c) (a — b), d) (a² -(- b²), e) (a² — b²),

f) (e² -f- a²), g) (e² —a²).

30.    (XY, 76.) a) Einem Halbkreis (Halbmesser r), b) einem Kreisabschnitt (Sehne 2s, Pfeilhöhe h) soll das Quadrat eingeschrieben werden.

Ergebnis: Zusammenfassung A.

31.    Dem Quadrat mit der Seite a soll eingeschrieben werden a) das Quadrat mit der Seite b, b) das Parallelogramm, dessen Nachbarseiten sich wie m : n (l : 2) verhalten, und von welchem zwei Ecken auf Gegenseiten, die beiden anderen in Gegenecken des Quadrats liegen, c) das gleichschenklige Dreieck, dessen Grundlinie⁻ sich zum Schenkel verhält wie m:n (2 : 3), und dessen Spitze in einer Ecke des Quadrats liegt.

32.    (XY, 66.) Zur Konstruktion eines rechtwinkligen Dreiecks ist gegeben: a) die Hypotenuse und die Bedingung, daß die eine Kathete mittlere Proportionale zwischen der Hypotenuse und der anderen Kathete sein soll, b) die Summe der Katheten und der Unterschied zwischen der Hypotenuse und einer Kathete, C) die Summe der drei Seiten und das Verhältnis der Katheten.

33. (XY, 61.) Gleichschenkliges Dreieck aus:

i)    (b² + ha²)    a    r)    (a² +    b²    + r²)    ha

k)    (b² -j- h j)    r    s)    (a² -j-    b²    — r²)    ha

l)    (ha² + u²)    b    t)    (a² -j-    r²    —b²)    ha

a)    (b + ha) r

b)    (b — ha) r

c)    (o, -f- b) ha

d)    (ha -j- a) b m) (ha² — a²) b u) (b² -(- r² — a²) ha

Y) (a² + b² + hà¹) r w) (a² -j- b² —h²) r

n) (fr² +a2) r

0) (b²

p)    (a² + r²) b    x) (a² -f- ha² — b²) r

q)    (n² — r²) b    y) (b² -f- ha² — a²) r

e)    (ha — a) b

a²) r

f)    (a + ha) r

g)    (hu — a) r

h)    (ha-\-r) a

34.    (XVI, 4.) Ziehe durch P a) innerhalb, Tb) außerhalb Je die Sehne, deren Abschnitte sich verhalten wie mm (3:5). c/d) Zwei Ringkreise sollen durch eine von P ausgehende Gerade so geschnitten werden, daß die entstehenden Sehnen sich verhalten wie m : n (7:3).

35.    (XVI, 8.) a) Lege in Ti einen Ringkreis so, daß der vom äußeren Kreise begrenzte Abschnitt einer Tangente des inneren Kreises mittlere Proportionale zwischen den beiden Durchmessern ist. lb) Lege zwischen zwei parallele Tangenten von Ti eine dritte so, daß sie im Berührungspunkte stetig geteilt ist.

36.    Zeichne in einen gegebenen Kreisabschnitt (Sehne 2 s, Pfeilhöhe h) zwei gleichgroße einander berührende Kreise.

I. eine Ecke auf dem begrenzenden Bogen, drei auf den begrenzenden Halbmessern, II. zwei Ecken auf dem Bogen, zwei auf den Halbmessern liegen.

soll das Quadrat eingeschrieben werden, von

welchem

37.    (XV, 82.) a) Einem Viertel

kreis (Halbmesser r)

b) Einem Kreisausschnitt (Halbmesser r, Sehne s)

Zusammenfassung.

A. Erklärung.

Die Pfeilhöhe eines Bogens ist das von seiner Mitte auf die Sehne gefällte Lot.

B. Lehrsätze.

1/2. Der Ort für die Spitzen aller Dreiecke auf der Grundlinie a, für welche

die Summe

der Unterschied der beiden anderen Seiten gleich d% ist, ist die Senkrechte auf a, deren der Kreis um die Mitte Fußpunkt von der Mitte von a mit dem Halbmesser

d2

von a die Entfernung —

}]/2d² — a².

(23)

XYII. (XVI.) Potenzlinien und Potenzpunkte.

Die Potenz eines Punktes.

*1. (Die Potenz eines inneren Punktes.) Schlage um K den Kreis mit dem Halbmesser r (30 mm), ziehe einen Durchmesser AB, und bezeichne auf ihm P; es sei KP — c (18 mm), a) Wie groß sind die Abschnitte PA und PP? B) Wie groß ist das Rechteck aus den Abschnitten jeder Sehne des Büschels P? (XII B, 13.) c) Wie lang ist die kleinste Sehne dieses Büschels?

Ergebnis: Zusammenfassung A 1.

*2. (Die Potenz eines äußeren Punktes.) Bezeichne in der zu 1 gezeichneten Figur P auf der Verlängerung von AB', es sei KP — c (50 mm), a) Welches ist der Zahlwert der Potenz des Punktes P? 1)) Wie lang ist die von P an Jo gelegte Tangente ?

Ergebnis: Zusammenfassung A 2.

3.    (9.) Welches ist in Bezug auf einen Kreis mit dem Halbmesser r— 30 der geometrische Ausdruck und der Zahl wert für die Potenz eines Punktes mit der Zentrale c = a) 0,

. B) 3, C) 10, d) 24, e) 30, f) 34, g) 68?

4.    (10.) Wie ändert sich die Potenz eines Punktes, wenn er sich vom Mittelpunkte nach dem Umfange hin bewegt? Welches sind die Grenzwerte-¥ür die innere Potenz? Wie ändert sich die Potenz eigeą. Punktes, der sich außerhalb des Kreises bewegt? Welches sind die Grenzwerte für die äußere Potenz? Welches ist der Ort für alle Punkte, die in Bezug auf einen Kreis dieselbe innere (äußere) Potenz haben?

Ergebnis: Zusammenfassung B 1.

Die Potenzlinie zweier Kreise.

5.    (11.) Zwei Kreise \ und Jo.₂ schließen einander aus (c = 100, rt — 40, łg — 20). Teile die Zentrale in einzelne cm, und bestimme a) für jeden Teilpunkt die Art und die Größe seiner Potenzen in Bezug auf die gegebenen Kreise, B) den Punkt der Zentrale, der in Bezug auf beide Kreise gleiche Potenzen hat, c) die Punkte, deren äußere Potenz in Bezug auf beide Kreise t² = 40², 45², 50², 60², 70² ist..

6.    (12.) lo₁ möge Jo₂ einschließen (c = 10, r₁ = 40, r₂ = 20). Trage auf die verlängerte Zentrale einzelne cm ah, und bestimme a) die Potenzen der Teilpunkte in Bezug auf beide Kreise, Ił) den Punkt der Zentrale, der in Bezug auf beide Kreise gleiche Potenzen hat, c) die Punkte, deren äußere Potenz in Bezug auf beide Kreise t² — 55², 60², 70² ist.

*7. (13.) (Die Potenzlinie.) Der Punkt P habe in Bezug auf A\ und /.'₂ gleiche Potenz. Welche Gleichung gilt dann für PZi² —PW₂²? Welches ist der Ort für alle Punkte, die in Bezug auf zwei Kreise gleiche Potenz haben? (XYI B, 1.) Wie werden die gemeinschaftlichen Tangenten zweier Kreise von der Potenzlinie geteilt?

Ergebnis: Zusammenfassung A3; B 2.

*8. (14.) (Die gemeinschaftliche Sehne als Potenzlinie.) Welche Potenz haben die Schnittpunkte zweier Kreise in Bezug auf jeden von ihnen? Welches ist die Potenzlinie zweier einander schneidenden Kreise? (Bestätigung durch Betrachtung eines Punktes auf der gemeinschaftlichen Sehne.) Welches ist die Potenzlinie zweier einander (ausschließend oder einschließend) berührenden Kreise?

Ergebnis: Zusammenfassung B 3, 4.

9. (15.) Wo liegt die Potenzlinie zweier einander ausschließenden Kreise? Wie bewegt sie sich, während der eine Kreis sich dem anderen nähert? Verfolge die Lagenveränderungen der Potenzlinie bis zu dem Augenblicke, wo die beiden Kreise Ringkreise geworden sind.

10. (IG.) Beweise, daß die Potenzlinie a) dem Mittelpunkte des kleineren Kreises näher liegt, als dem Mittelpunkte des größeren, b) dem Umfange des größeren Kreises näher liegt, als dem Umfange des kleineren, c) daß die Potenzlinie eines Kreises und eines Punktes den Kreis in keinem Falle schneidet.

Der Potenzpunkt dreier Kreise.

11. (17.) Ziehe von einem Punkte P der Potenzlinie zweier Kreise

a)    durch jeden von ihnen eine Sekante; beweise, daß die Endpunkte der entstehenden Sehnen auf einem Kreise liegen müssen (XII B, 14), und bestimme den Mittelpunkt dieses Kreises;

b)    an jeden von ihnen die Tangenten und bestimme die Mittelpunkte der Kreise, die mit den gegebenen je zwei dieser Tangenten gemein haben.

c)    Beweise, daß P in Bezug auf die gegebenen und alle in a) und b) gefundenen Kreise gleiche Potenz hat.

Schuster, Planimetrie A.²

Fig.46. *12. (18.) (Konstruktion der Potenzlinie mittels eines Hilfskreises.) kx und k₂ werden von k₃ in AXDX und A₂D2 geschnitten; die Sehnen A₁Dl und A₂D₂ schneiden einander (verlängert) in 0. Welches sind die Potenzen von 0 in Bezug auf jeden der drei Kreise? Warum muß auch die Potenzlinie von kx und k₂ durch 0 gehen?

Ergebnis: Zusammenfassung A 4; B 8, 17.

*13. (19.) k₂ wird von a) ausgeschlossen, b) eingeschlossen. Bestimme die Potenzlinie mittels eines Hilfskreises, der I. kx und k₂ schneidet, II. kx schneidet und k₂ berührt, III. kx berührt und k₂ schneidet.

14. (21.) Bestimme den Potenzpunkt für kxk₂k₃, wenn a) ktk₂k3 einander ausschließen, b) kxk₂k₃ einander schneiden, c) kx k₂ ein-, 7r₃ ausschließt, d) k₂ und k₃ einander schneiden und von kx eingeschlossen werden, e) kx von k₂ und von k₃ geschnitten wird, f) k₃ von k₂, k₂ von 7^ eingeschlossen wird.

Gegeben²) sind

a)

b)

c)

d)

e)

f)

K, Kz 115 115 30    84    30 22

x = 65 y — 56 r = 30 J 15    10

E₂ Ks k₂ k₃ k₂ k₃ k₂ k₃

65 78 58 23 58 50 78 78 60 22    60 56    25 80

15 10    15 10    15 10    15 10

K, K3 52 50 56 54 15 10

Soliderfälle der Potenzlinie lind des Potenzpunktes.

15. (20.) (Die Potenzlinie für einen Kreis und einen Punkt.) Bestimme die Potenzlinie a) für k und P außerhalb k, b) für k und P innerhalb 7r, C) für k und P auf 7’, *d) für Px und P₂.

Ergebnis von d: Zusammenfassung B 7.

*16. (45.) (Die Potenzlinie für einen Kreis und eine Gerade.) Inwiefern kann eine Gerade als Teil einer Kreislinie angesehen werden? Tn welcher Richtung ist der Mittelpunkt dieses Kreises zu suchen? Welche Linie gilt als Zentrale für k und g? Welches ist die Potenzlinie für k und g? für P und g?

Ergebnis: Zusammenfassung B 5.

*1/. (47.) (Die Potenzlinie für zwei Gerade.) Zwei gleichgroße Kreise (c=36, r = 20) Jex und Je₂ schneiden einander in A und B. Warum halbiert ihre Potenzlinie den Winkel KXAK₂? Verschiebe Kx und K₂ auf AKX und AK2 gleiche Strecken (dx = 10, cl₂ = 25, d₃ = 45) und schlage um die erhaltenen Punkte mit (r -j- dt), (r -f- d₂), (r -f- tf₃) die Kreise. Wie bewegt sich B, wenn Jex und Je2 gleichmäßig wachsen? Welches ist die Potenzlinie für die beiden Schenkel eines Winkels? Welches ist die Potenzlinie für die Schenkel seines Nebenwinkels? Wie viele und welche Potenzlinien haben zwei einander schneidende Gerade? Desgl. zwei Parallele?

um

Ergebnis: Zusammenfassung B 6.

a) Jcx l₂

18.    (22.) Bestimme den Potenzpunkt für Jex, Je₂, P, wenn einander und P ausschließen, b) \ P ein-, Je₂ ausschließt,

c) h\ P aus-, 7r₂ einschließt, (1) fr₂ P ausschließt, beide aber von h\ eingeschlossen werden, e) P von Je₂ und Jc₂ von Jex eingeschlossen wird.

19.    (23.) Bestimme den Potenzpunkt für Je, Px, P₂, wenn Px und P₂ von Je a) ausgeschlossen, h) eingeschlossen werden, C) wenn Je Px ein-, P₂ ausschließt. *d) Welches ist der Potenzpunkt für Pl5 P₂, P₃?

Ergebnis von d: Zusammenfassung B 9.

20.    (48.) Bestimme den Potenzpunkt a) für einen Kreis und zwei Gerade, 1b) für einen Punkt und zwei Gerade, C) für die drei Mittellinien eines Dreiecks, *(1) für die drei Seiten eines Dreiecks, e) für zwei parallele und eine sie schneidende Gerade. Ergebnis von d und e: Zusammenfassung B 10.

Die Potenzlinie als Ort.

*21. (24.) (Berührung zweier Kreise.) Je₁ und Je₂ berühren einander in A ausschließend (einschließend); Je₃ schneidet Jex in (7₁P₁, Je₂ in C₂I)₂. Welches ist der Potenzpunkt für Jex, Je₂, Je₃?

Konstruiere hiernach den Kreis, der Je berührt und durch Px und P₂ a) außerhalb Je, 1)) innerhalb Je geht. Gegeben ist:

a)

h)

Pi P2 |æ=95 105 jy = 43    25

22. (25.) Jex wird von Je₂ in P₂, von Jes in P₃ a) ausschließend, b) einschließend, c) ungleichartig berührt. Die durch die

x = 60

V

7/= 41

= 21

62 69 35 47

8*

Berührungspunkte gelegten Tangenten schneiden einander in M. Warum muß M auf der Potenzlinie von k₂ und k₃ liegen? Löse hiernach die Aufgabe XY, 67.

23. (26.) (Halbierung eines Kreises durch einen anderen.) Welches ist die Potenzlinie zweier Kreise, von denen der eine den (Umfang des) anderen halbiert? Konstruiere ( unter Benutzung eines Hilfskreises, wie in 21) den Kreis, der durch Px und P₂ geht und a) k halbiert, 1)) von k halbiert wird,

c) k unter der Sehne s schneidet. Gegeben sind:

II.

I.

III.

a)

60

54

20 l*

\y

05 CO

-o ©

Pl P2 51 90 53 67

rH CO

b) {

x = 70 y = 42 r

= 32

— 106 10b \y= 44    64

> 0 CO 05 CO

o ©

05 O

Ol CO I'

C)

fx

CO IO

GO c

\x

O CO

O 00 CM Ol

to 05

-I Ol

Cn

C5 O

rH

‘O

O co

LO 05

*24. (27.) k₃ wird von kx und von k₂ halbiert. Welches ist der Potenzpunkt für die drei Kreise? Welches ist der Ort für

kx und k₂ gegeben sind ? Konstruiere hiernach

wenn

k₃,

den Kreis, der von \ und k₂ halbiert wird und a) seinen Mittelpunkt auf g hat, l>) durch P auf k\ geht, c) den Halbmesser r hat, d) auch von k₃ halbiert wird. Ergebnis: Zusammenfassung B 14.

*25. (28.) (Rechtwinkliger Schnitt zweier Kreise.) Lege von einem Punkte P der Potenzlinie zweier Kreise kx und k2 an letztere die Tangenten PTX, PP₂ und schlage um P mit PT± den Kreis. In welcher Beziehung stehen die Linien Kxrl\, K.₂P-2i PPii PP2 zu den vorhandenen Kreisen? Ergebnis: Zusammenfassung B 13.

26. (29.) Konstruiere den Kreis, der \ und k₂ rechtwinklig schneidet und a) den Halbmesser r hat, b) durch P auf k± geht, c) auch k₃ rechtwinklig schneidet, (1) durch P außerhalb Zcx, e) durch P innerhalb \ geht. Gegeben sind:

<x =-- 93

d' {,-66

IL III.

Ki

k₂ k₂

x = 55

y = 45

rx = 30

CO GO

CO

CO

r₂ = 12

a) r = 25 ,. [x =55 {, = 75 [x = 89 129

C) \y = 57    38

r₃ — 20    20

•>e

= 69 = 37

27. (46.) Konstruiere den Kreis, der k schneidet, wenn a) k₂ von kt ausgeschlossen b ) k₂ von kx geschnitten C) k₂ von kx eingeschlossen Gegeben: a) 1)) C) für Kx K₂    jK, K₂ und für g

« = 76 133 109 82 die Bestim-70    54 36

r2 = 13

15

k₂ und g rechtwinklig

wird

und

I. g weder kx noch k₂ schneidet, TL.g nur kx schneidet,

III. g kx und k₂ schneidet.

I. II. III. P₁ und P₂ P₂ P2 L4 (005 LO j 43    5

y = 32 r₁ = 30.

28. (30.) Konstruiere den Kreis, der kx (« = 50, */ = 45, rx = 36) rechtwinklig schneidet und a) k₂ in P berührt, b) g in P berührt, c) durch P₁ und P₂ geht. Gegeben sind:

mungs-

punkte

a)

I.

II.

III.

IV.

y.

k₂ p

x =138 118

K₂ P 130 146

CO I-

IO 05 <1

74

y = 30    30

r₂ = 20

b) für g der Richtungspunkt c) Px (« = 93, y = 56)

und P₂:

InS Ci

20

20

I\ (x = 86, y — 0) und der Berührungspunkt P:

iY. y.

i. ii.

«=110    72

y = 70    42

29. (31.) Konstruiere den Kreis, der durch P geht, k rechtwinklig schneidet und a) g berührt, b) g unter der Sehne s schneidet.

CO 00 H

I. II. «=118    69

y = 35    43

öö. (32.) a) Konstruiere den Kreis mit dem Halbmesser r, an den sich von Pt und P₂ die Tangenten und t₂ legen lassen, b) Bestimme den Punkt, dessen Entfernungen von P₁ und P2 einander gleich und gleich der von ihm an k gelegten Tangente sind, c) Bestimme den Punkt, von dem aus an kx die Tangente ft und an k₂ und k₃ gleichlange Tangenten gelegt werden können.

31.    (33.) Konstruiere den Kreis, dessen Potenzlinie mit \ die Gerade gl ist und der a) durch P geht, b) den Halbmesser r hat, c) g₂ berührt, d) k₂ berührt.

32.    (34.) Konstruiere den Kreis, der von \ und k₂ halbiert wird und durch P geht.

33.    (35.) Konstruiere den Kreis, der kx halbiert und a) g in P, b) k₂ in P berührt. (Benutze einen beliebigen Berührungskreis als Hilfskreis, wie in 21.)

Fig.47. 34. (36.) Zeichne ein Kreisbüschel mit der gemeinschaftlichen Sehne NS und ein zweites, welches das erste rechtwinklig schneidet. Erörtere die Beziehungen der entstandenen Figur, namentlich mit Rücksicht auf den Kreis, dessen Durchmesser NS ist, sowie auf die Kreise, deren Zentralen auf NS fallen. (Erdkarten.)

Ergebnis: Zusammenfassung A 5; B 11, 12.

¹

Siehe Anm. S. 108.

²

Für Aufgaben, die eine vorsichtige Ausnutzung der Zeichenfläche (halbseitig 160 x 105 mm, ganzseitig 160 X 210 mm) erforderlich machen,, sind Koordinaten und andere Bestimmungsstücke in bestimmten Zahlen (mm) gegeben. Als Koordinatenanfang gilt hierbei die untere linke Ecke der Zeichenfläche. Für Gerade sind entweder zwei Bestimmungspunkte (28 b) oder ein Punkt auf einer Achse und die Richtung (36 b) angegeben.

Andere Potenz Örter.

*35. (37.) (Halbierung zweier Kreise durch einen dritten.) Ziehe in k (Halbmesser r) zwei Sehnen Dx Mx, D.₂ M₂, und schlage um ihre Mitten Kx, K₂ mit Kx Dx — rx und I\₂1)₂ = r2 die Kreise. Bestimme nach Pythagoras die Größe der Quadrate über den Zentralen KK₂ und KKx, sowie ihren Unterschied. Welches ist der Ort für die Mittelpunkte aller Kreise, die zwei gegebene Kreise halbieren? (XVI B, 1.)

Ergebnis: Zusammenfassung B 15.

36. (38.) Konstruiere den Kreis, der kx und k₂ halbiert und a) den Halbmesser r hat, h) dessen Mittelpunkt von g den Abstand d, C) von ks den Abstand d hat, d) der durch P auf k e) durch P außerhalb kL, f) durch P innerhalb kx geht. Berücksichtige die möglichen Lagen von kx und k₂, z. B.:

Kx K2 x = 60 122 y =43 rt = 25

K₂

r₂ = 20

Dazu:

a) r = 42; h) a? = 100

CO

g _L OX

d = 10

s-J* vs »

M- rf- GO ffl GO o O

il

_CO

'ö ^ CO

^    Mj

Oy O '    '

37.    (39.) Konstruiere den Kreis, der kxk₂k₃ halbiert (Kx, Ii₂, A'3 nach 14).

38.    (40.) Konstruiere den Kreis, der k halbiert und durch Px und P₂ a) außerhalb Æ, 1)) innerhalb k, c) auf verschiedenen Seiten von k geht. Gegeben sind:

c)

a)

65

56

30

io obd ►ł- o

-, O H

50    60

46    82

c.

r-H

* 39. (41.) (Halbierung eines Kreises und rechtwinkliger Schnitt eines zweiten.) Ziehe in ft (Halbmesser r) eine Sehne DlM₁ und lege an ft eine Tangente P₂ K₂. Schlage den Kreis ft

dessen Durchmesser D₁M₁ = 2r₁₅ und den Kreis ft₂, dessen Halbmesser K₂ T₂ — r₂ ist. Bestimme den Unterschied der Quadrate über KK₂ und KKX (yergl. 35). Ergebnis: Zusammenfassung B 16.

40. (42.) Konstruiere den Kreis, der \ halbiert, ft₂ rechtwinklig schneidet und a) den Halbmesser r hat, Tb) dessen Mittelpunkt von g den Abstand d, C) von ft₃ den Abstand d hat,

d) dessen Umfang durch P auf ft₂, e) durch P auf ftl5

f) durch P außerhalb ft\, g) durch P innerhalb ftx geht, ll) ft₃ rechtwinklig schneidet, i) ft₃ halbiert.

Gegeben sind Kx und K₂ I—III, wie in 36, ferner:

IV. Y.

a) r =

1)) x =

CD

(M N H TT

x — 51 y= 31 r₂ = iO .

(Für d bleibt eine geeignete Wahl überlassen.)

co

d= 5

y =

ra =

d =

wie in 36 d. e. f.

P o

pS P

m *

©    Ę

er* cd

den Kreis, der g berührt, 7c halbiert und durch ft, lb) innerhalb ft geht. Gegeben sind:

x = 40 y = 63 r

= 20

=

\y =

Pi

CO

ZD lQ

42. (44.) Bestimme den Ort für die Mittelpunkte aller Kreise, die den einen von zwei Ringkreisen berühren und den anderen a) rechtwinklig schneiden, 1b) halbieren, c) von ihm halbiert werden.

Zusammenfassung.

A. Erklärungen.

außerhalb eines Kreises

1/2. Die Potenz eines Punktes innerhalb eines Kreises

ist

Tangente,

a)    das Quadrat über der durch ihn gezogenen halben kleinsten Sehne,

b)    der Unterschied zwischen dem Quadrat seiner Zentrale

p² — (c² — r²).

und dem Quadrat des Halbmessers: p² — (r² — c²)

3.    Die Potenzlinie zweier Kreise ist die Linie, deren sämtliche Punkte für beide Kreise gleiche Potenzen haben.

4.    Der Potenzpunkt dreier Kreise ist der Punkt, welcher für die drei Kreise gleiche Potenzen hat. (Yergl. B 8.)

5.    Ein Kreisbüschel ist die Gesamtheit der Kreise, die eine gemeinschaftliche Potenzlinie haben.

B. Lehrsätze.

1.    Der Ort für alle Punkte, die für einen Kreis dieselbe

(4)

innere (äußere) Potenz p² haben, ist der Ringkreis mit dem Halbmesser ]/r²    p².

2.    Der Ort für alle Punkte, die für zwei Kreise gleiche Potenzen haben, ist eine Gerade. Sie steht senkrecht auf der Zentrale; ihr Durchschnittspunkt 0 mit der Zentrale KlK., = c ergibt sich aus

OK, — ()K₂ =

3/7. Die Potenzlinie für:

zwei einander schneidende Kreise ist die gemeinschaftliche Sehne

zwei einander berührende Kreise ist die gemeinschaftliche Tangente im Berührungspunkte

einen Kreis und eine Gerade ist die Gerade selbst

zwei Gerade ist jede ihrer Winkelhalbierenden, (17) zwei Punkte ist die Mittelsenkrechte ihrer Verbindungslinie.

8.    Die Potenzlinien dreier Kreise schneiden einander in einem Punkte.

9.    Der Potenzpunkt dreier Punkte ist der Umkreismittelpunkt des durch sie bestimmten Dreiecks.

10.    Drei Gerade haben vier Potenzpunkte: die Mittelpunkte des Inkreises und der Ankreise des von ihnen gebildeten Dreiecks.

11.    Wenn zwei Kreise einander weder schneiden noch berühren, so werden weder sie noch andere Kreise desselben Büschels von der Potenzlinie geschnitten oder berührt.

12.    Schneiden die Kreise zweier Büschel einander rechtwinklig, so ist die Zentrale des einen Büschels Potenzlinie des anderen.

(8)

(8)

(16)

(15 d)

(12)

(19 d)

(20 d)

(34)

(34)

XVIII. (X\II.) Harmonisclie Punkte und Strahlen.

Harmonische Pnnkte.

*1. (Harmonische Teilung.) Teile eine Strecke AB hanno-isch¹) im Verhältnis a) 5:2, b) 5:3, c) 3:1, d) 2:7,

1 : 4, f)

n, g) n:

13/16. Der Ort für die Mittelpunkte aller Kreise, die

zwei gegebene Kreise rechtwinklig schneiden, ist deren Potenzlinie;

von zwei gegebenen Kreisen halbiert werden, ist deren Potenzlinie; zwei gegebene Kreise halbieren, ist die Senkrechte auf der Zentrale, die der Potenzlinie in Bezug auf die Mitte der Zentrale zentrisch zugeordnet ist;

OKx — OK₂ =

den einen von zwei gegebenen Kreisen rechtwinklig schneiden, den anderen halbieren, ist je eine Senkrechte auf der Zentrale;

OKx—OK₂

17. (Regel.) Soll man für zwei einander weder schneidende noch berührende Kreise die Potenzlinie bestimmen, so sucht man zunächst den Potenzpunkt für die gegebenen und einen Hilfskreis, der die gegebenen beide schneidet,, oder den einen berührt, den anderen schneidet. (12, 13)

_ G² — ;'i².

ü!±V.

(25)

(24)

>0

(XI, Aufg. 28).

*2. (Zugeordnete Punkte.) Gib auf AB einen Punkt C an, und bestimme den zugeordneten Teilpunkt. C möge liegen: a) zwischen A und der Mitte von AB, b) zwischen B und der Mitte von AB, c) auf der Verlängerung von A B, d) auf der Verlängerung von B A.

Ergebnis: Zusammenfassung A3; Bl.

*3. Wo liegen die harmonischen Teilpunkte, deren Teilverbältnis ein echter — ein unechter — Bruch ist? Wie bewegt sich der äußere Teilpunkt, wenn der innere vom Anfangspunkt

nach der Mitte und wenn er von der Mitte nach dem Endpunkt fortrückt? Welcher Punkt ist der Mitte einer Strecke harmonisch zugeordnet?

Ergebnis: Zusammenfassung B 2.

4. AB sei 48 mm lang. Berechne die Lage der harmonischen

t» C) f, d) 5,

Teilpunkte für das Teilverhältnis a) g) Ir

e) b f)

O. Teile AB = a harmonisch so, daß ein innerer Abschnitt a) gleich einem äußeren, 1b) gleich der Hälfte des ihm entsprechenden äußeren, c) gleich der Hälfte des ihm nicht entsprechenden äußeren wird, d) daß die Summe eines inneren und des ihm nicht entsprechenden äußeren sich zum zweiten inneren verhält wie m : n (5:1), e) daß der innere Teilpunkt AB stetig teilt, f) Trage auf g die Strecken a, b so ab, daß a durch b harmonisch geteilt wird.

*6. AB = 2a sei in 31 halbiert und in C und I) im Verhältnis p : q harmonisch geteilt. Berechne 31C, 31B, sowie das Rechteck aus diesen Strecken.

Ergebnis: Zusammenfassung B 3.

7. Verwandle ein gegebenes Quadrat (Seite a) in ein Rechteck mit der Seite c, wenn a) c<C|-ß, t>) cj>-|a.

*8. (Harmonische Punktpaare.) AB sei durch C und B im Verhältnis m : n harmonisch geteilt. Berechne das Verhältnis, in welchem CB durch A und durch B geteilt wird. / Ergebnis: Zusammenfassung Al; B 4.

Harmonische Vierstrahlen.

*9. (Zugeordnete Strahlen.) Ziehe durch drei Punkte ABC einer Punktreihe (XI A, 8) von einem Punkte S aus Strahlen, und bestimme den vierten Strahl, der SB harmonisch zugeordnet ist. Warum ist er eindeutig bestimmt? Ergebnis: Zusammenfassung A 2, 3; Bl.

*10. (Die Mittellinie als harmonischer Strahl.) Zwei Seiten eines Dreiecks und die Mittellinie der dritten bilden einen Dreistrahl. Welche Linie ist der Mittellinie harmonisch zugeordnet? (Vergl. B 2.) Bestimme hiernach den Strahl, der a) dem inneren, h) einem äußeren von drei gegebenen Strahlen harmonisch zugeordnet ist. Wie wird jede Parallele zu einem harmonischen Strahl durch den zugeordneten geteilt? (XI B, 5 h.)

Ergebnis: Zusammenfassung B 6, 9a.

*11. (Die Winkelhalbierenden als harmonische Strahlen.) Welche Linie ist der Halbierungslinie eines Winkels harmonisch zugeordnet V (XII B, 3.) In welchem Falle stehen a) zwei zugeordnete Strahlen, 1)) je zwei zugeordnete Strahlen aufeinander senkrecht? (II B, 3.)

Ergebnis: Zusammenfassung B 5, 8a, 9b.

*12. (Teilung einer Geraden durch einen harmonischen Fig.48. Vierstrahl.) S (sx s₂ s₃ s₄) sei ein harmonischer Vierstrahl, g eine beliebige Gerade. Wenn nun P₂P₄ || gezogen wird: warum ist dann M₃P₂ = MsP₄V (Vergl. B 6.) Welche Abschnitte von g verhalten sich wie JT₃P₂ : M₁S₁ welche wie Ms P₄ : Ml 8 ? Welche Verhältnisgleichung findet auf g statt?

Ergebnis: Zusammenfassung B 7.

13.    Beweise den in 12 gefundenen Satz mittelst der Parallelen: a) durch M₂ zu s₄, I)) durch Mt zu s₃, c) durch Jlf₄ zu s.₂.

14.    Beweise, daß harmonisch geteilt wird: a) die Halbierungs-Fig-19. linie eines Innenwinkels im Dreieck durch die Mittelpunkte

des In- und des zugehörigen Ankreises, 1)) die Halbierungslinie eines Außenwinkels durch ?, c) die Strecke einer Dreiecksseite zwischen den Berührungspunkten des In- und des zugehörigen Ankreises durch die Fußpunkte der Höhe und der Winkelhalbierenden, d) die Strecke einer Dreiecksseite zwischen den Berührungspunkten der nicht zugehörigen Ankreise durch ?, e) eine Sehne, wenn man die Endpunkte des auf ihr senkrecht stehenden Durchmessers mit einem Punkte des Umfangs verbindet, f) ein Durchmesser, wenn man die Endpunkte einer auf ihm senkrecht stehenden Sehne mit einem Punkte des Umfangs verbindet, g‘) ein Durchmesser, wenn man senkrecht zu ihm eine Sehne und durch den einen Endpunkt derselben die Tangente zieht, h) jeder Durchmesser des einen von zwei einander rechtwinklig schneidenden Kreisen durch den Umfang des anderen, i) eine Tangente durch zwei andere Tangenten, deren Berührungssehne und ihren eigenen Berührungspunkt, k) Beweise, daß die im Scheitel eines harmonischen Vierstrahls errichteten Senkrechten wieder einen harmonischen Vierstrahl bilden.

Der Satz des Menelaus.

15. Gegeben ist eine Strecke AB und außerhalb derselben P. Ziehe durch P die Gerade, deren Abstände von A und B sich verhalten wie a) 5 : 3, I)) 7 : 2, C) 3 : 4, d) m : n.

IG. Gegeben ist /\ABC. Ziehe die Gerade, die BC im Verhältnis 2 : 3, CA im Verhältnis 3 : 5 teilt, und zwar a) beide innen, l>) beide außen, C) BC innen, CA außen, d) BC außen, CA innen. In welchem laufenden Verhältnis stehen die Abstände der Ecken von den einzelnen Transversalen? Wie und in welchem Verhältnis teilen sie die Seite AB?²)

Fig.49. *17. (Satz des Menelaus.) Die Verhältnisse, in denen die Dreiecksseiten CA und AB von der (beliebig gezogenen)

ACX n ’ C,B

Transversale g geteilt werden, seien b~a ~

Teilverhältnisse

Welchen Wert hat das Teilverhältnis der dritten Seite? Wie groß ist das Produkt der drei aufeinanderfolgenden A Cx BA.₁ CB₁ ?

Cx B ' Ä^C B~Ä '

Ergebnis: Zusammenfassung A4; B 10.

Fig. 50.    18. Beweise den Satz des Menelaus für eine Transversale, welche

teilt: a) AB und CA außen (Fig. 50); 1b) AB außen, CA innen; c) AB innen, CA außen.

B) c) (1) e) f) g) h)

19. Eine Transversale LxOx teilt zwei Seiten des Dreiecks ODL so, daß a)

oj b bi o

0>j -4 ooj OS

IO -4 OS | GO

OS ! GO

04

—4

t— I -tH

Welches ist das Teilverhältnis von LO? — Inwiefern ist XIII B, 1 ein Sonderfall des Satzes des Menelaus?

20. Wie lang ist in Pigur 49 der Abschnitt Aj B, wenn

a) h) c) d) e) f) g)

CB

95    68

BXA = 44 AC\ = 55 CXB = 57 BC = 100

78

65

51

124

CD b-

ccT cT t-T -*4 oT

CO 04 CO tH ~tW

123

92

148

87

105

tH

X IO © lO CO rH -rH Ci

Ö4 GC CD -*4 ~4 JOS OS -q fcD ~C5 7t». 4© Ar» CO

» & « o* a

(Berechnung der Entfernung eines unzugänglichen Punktes.)

Der Satz des Ceva.

Fig.5i. *21. Im Dreieck ABC sind durch einen Punkt 0 drei Ecktransversalen AAX, BBX, CCX gezogen. Wende den

Satz des Menelaus auf A ABAX (Transversale C₁C) und A AAXC (Transversale BBX) an, und multipliziere die erhaltenen Gleichungen.

Ergebnis: Zusammenfassung A 5; B 11.

22.    Beweise den Satz des Ceva unter Benutzung der Dreiecke

a)    BCB₁ und BBXA, Tb) CACX, CCXB; c) für den Fall,

SB,, e)

von

daß 0 auf der Verlängerung von    d) von

AXA, f) von CXC liegt.

23.    Bestimme auf der gegebenen Ecktransversalen AAX des Dreiecks ABC den Punkt 0 so, daß die beiden anderen Ecktransversalen auf den zugehörigen Seiten a) gleiche obere,

b)    gleiche untere Abschnitte liefern, c) daß der eine obere Abschnitt das Doppelte, d) das n-fache des anderen oberen Abschnitts ist, e) daß der obere Abschnitt der einen Seite gleich dem unteren der anderen wird.

*24. Beweise die Umkehrung a) des Satzes des Menelaus, b) des Satzes des Ceva. (Vergl. XI B, 2.)

Ergebnis: Zusammenfassung B 12.

25.    Beweise nach Menelaus, daß auf einer Geraden liegen: a) die Fußpunkte der Halbierungslinien der Außenwinkel eines Dreiecks, b) die Fußpunkte der Halbierungslinien zweier Innenwinkel und des nichtzugehörigen Außenwinkels, C) die Fußpunkte der von einem Punkte des Umkreises auf die Seiten gefällten Lote. (Vergl. VIII, Aufg. 26.)

26.    Beweise nach Ceva, daß folgende Dreieckslinien einander in einem Punkte schneiden: a) die Mittellinien, b) die Winkelhalbierenden, c) die Halbierungslinien zweier Außenwinkel mit der des dritten Innenwinkels, (1) die Höhen (berechne nach XV B, 7 die sechs Projektionen), e) die drei Mittelsenkrechten (benutze das Dreieck der Seitenmitten), f) die Ecktransversalen nach den Berührungspunkten des Inkreises,

g) je eines Ankreises, *ll) der drei Ankreise mit den (nicht verlängerten) Seiten, i) die Höhe eines rechtwinkligen Dreiecks mit den Verbindungslinien der Endpunkte der Hypotenuse und der Ecken der gegenüberliegenden Kathetenquadrate. Ergebnis von h: Zusammenfassung B 13.

Das Vierseit.

*27. (Satz

vom Vierseit.) Verlängere die Gegenseiten eines Fig. 52. Vierecks AB CD bis zu den Schnittpunkten JE und _F, und ziehe in dem entstandenen Vierseit die Diagonalen AC,

BD, EF; ihre Schnittpunkte seien G, H, J. Welchen Wert haben die Produkte

AB EH FD BE'HF'DA (nach Menelaus) und was folgt aus der Gleichsetzung beider?

Ergebnis: Zusammenfassung A 6; B 8b, 9d.

28.    Beweise den Satz vom Vierseit mittels folgender Dreiecke:

a)    A ABC (Seitentransversale Eil, Ecktransversalen AD,

BD, CD)

b)    AABD (1) ACE f) BCD h) BDF k) CEF C) A ACD e) ACF g) BDE i) BEF 1) DEF

29.    Welches sind in Eig. 52 die Nebenecken und welches die Diagonalen des Vierseits, das entsteht aus dem Viereck a) BEFD, b) CJFD, c) BEJC, d) ACBD, e) ABDC, f) BEDE, g) BFED, h) BEJC, i) BJEC?

30.    Beweise, daß jede Seite eines Dreiecks durch ihre Höhe und die Verbindungslinie der beiden anderen Höhenfußpunkte harmonisch geteilt wird: a) für ein spitzwinkliges, b) für ein stumpfwinkliges, C) für ein rechtwinkliges, d) für ein gleichschenkliges Dreieck.

31.    Gegeben sind drei Punkte einer Geraden, z. B. (Fig. 52):

C) BDH    EFH    ACJ    ABE

Bestimme nur mit Hilfe des Lineals denjenigen Punkt, der a) dem ersten, b) dem zweiten, c) dem dritten harmonisch zugeordnet ist.¹)

32.    Gegeben sind drei Strahlen eines Büschels, z. B. (Fig. 52):

und

AB EJ FD BÈ ' JE DA3 (nach Ceva)

I.

II.

V.

ECB

ECB

ADE

t-¹

■—

rH

<!

5s- sa sc

po as o

a^ »

a a 5s- i—!

^    SŁa

cs>

.<1

O CI

a as a

Ziehe den Strahl, der a) dem ersten, b) dem zweiten, C) dem dritten harmonisch zugeordnet ist.

1) Zu weiterer Übung kann hier XII, Aufg. 7/8 wiederholt werden.

33.    Ziehe il) von einer Ecke eines Vierecks die Transversale, die durch die Ecke, ihre Gegendiagonale und die beiden Gegenseiten, b) von einem Punkte einer Seite aus die Transversale, die durch die vier Seiten harmonisch geteilt wird.

34.    a) Ziehe nur mit Hilfe des Lineals zu einer in J halbierten Strecke FF durch B die Parallele, b) Bestimme einen Punkt (17) auf der Verlängerung einer Strecke (EF\ ohne an diese das Lineal anzulegen, c) Ziehe von einem gegebenen Punkte aus die Gerade in der Richtung auf den unzugänglichen Schnittpunkt zweier gegebenen Geraden.

35.    Zur Konstruktion eines Vierseits sind gegeben: a) eine Hauptecke und die drei Nebenecken, b) zwei benachbarte Hauptecken und die beiden mit ihnen nicht auf derselben Seiteliegenden Nebenecken, c) eine Hauptecke, zwei Nebenecken und die durch eine zweite Hauptecke und die dritte Nebenecke gehende Gerade.

Der Satz des Pascal.

A (x = 90,

von

*36. Zeichne in 1 (x = 90, y — 125, r = 20)

y — 145) aus ein Sehnensechseck (HR = a = 30, b — 20,. c = 21, d — 18, e = 11), und verlängere jede Seite, bis sie alle anderen geschnitten hat. a schneide c, d, e in Cr, 77, J-r b schneide 7, e, f in X, M, iV; c schneide e, f in 0, P; d schneide f in Q. Welches Dreieck wird von a, c, c gebildet? Welche Transversalen hat es? Bilde unter genauer Beibehaltung der eingeschlagenen Richtung für jede dieser drei Transversalen die Gleichung des Menelaus, multipliziere die erhaltenen Gleichungen und kürze den erhaltenen Bruch durch die Potenzen von Gr, J, 0. Was folgt aus der verbleibenden Gleichung für die Lage der Punkte HPM? Ergebnis: Zusammenfassung B 14.

37.    Beweise den Pascalschen Satz a) mittels des Dreiecks aus. bdf und seiner Transversalen, b) für ein einfach überschlagenes, c) für ein mehrfach überschlagenes Sechseck (vergl. A 7).

38.    Was wird in der Eigur zu 36 aus der verlängerten Sehne ft wenn A und F unendlich nahe aneinander rücken? Beweise, daß ein Sehnenfünfeck fünf Pascalsche Gerade besitzt. (Ä⁻: a: = 80, y = 114, r=ll; A : x — 80, y = 125„ a — 20, b= 12, c = 8, d = 6.)

39.    Lege an li in P nur mit Hilfe des Lineals die Tangente.

*40. (Beziehungen zwischen Sehnen- und Tangentenviereck.) Zeichne in k (x = 136, y = 75, r = 24) von A aus (x = 160, y = 75) ein Sehnenviereck AB CD (a = 45, & = 24, c = 31), und lege in seinen Ecken an k die Tangenten atbxcxdx; sie bilden das Tangentenviereck A₁BlClDl

w.) Vervollständige beide Vierecke

u. s.

(ai ^ \ ⁼⁼⁼ -4t¹) zu Yierseiten (a X c — E, b X cl = F, ax X cx — JEl, bx X dx = Fx), und wende den Pascalschen Satz aut die Sehnensechsecke aus abxbcdxd und axabcxcd an.

Ergebnis: Zusammenfassung B 16.

*41. a) Betrachte in der Figur zu 40 das Sehnenviereck als ein überschlagenes mit der Eckenfolge ACBD (AC = e, BD = f] e X f = 0), und wende den Pascalschen Satz auf die Sehnensechsecke aus ecxbfdxd und a₁ebb₁fd an. fo) Beweise ebenso, daß BxDxEO auf einer Geraden liegen. Was folgt daraus für die Diagonalenschnittpunkte des Sehnen- und des Tangentenvierecks?

Ergebnis: Zusammenfassung B 16, 17.

42. Wende den Satz des Pascal auf ein Sehnen- und sein TaA-gentendreieck an.

Zusammenfassung.

A. Erklärungen.

1.    Die Endpunkte und die Teilpunkte einer harmonisch geteilten Strecke bilden eine Gruppe von vier harmonischen Punkten — vergl. B 4.

2.    Ein durch vier harmonische Punkte gehender Vierstrahl heißt ein harmonischer Vierstrahl.

3.    Von vier harmonischen Punkten (Strahlen) sind immer je zwei getrennt liegende einander zugeordnet — vergl. B4.

4.    Jede Gerade, die mit den (nötigenfalls verlängerten) Seiten eines Dreiecks zum Durchschnitt gebracht wird, heißt Transversale.

5.    Eine Ecktransversale ist eine Transversale, die durch eine Ecke eines Dreiecks geht, z. B. sind Höhen, Winkelhalbierende und Mittellinien Ecktransversalen.

6.    Ein Vierseit entsteht, wenn alle Seiten eines (einfachen oder überschlagenen) Vierecks bis zum Durchschnitt

verlängert und alle Ecken verbunden werden; es hat 4 Hauptecken, 3 Nebenecken und 3 Diagonalen.

7. Ein Vieleck heißt einfach oder mehrfach überschlagen, wenn ein oder mehrere Paare von Gegenseiten einander schneiden.

B. Lehrsätze.

1.    Durch drei Punkte (Strahlen) ist der jedem einzelnen von ihnen harmonisch zuo-eordnete vierte

(2, 9)

2.    Der Mitte einer Strecke ist ihr unendlich ferner Punkt harmonisch zugeordnet.

3.    Die Hälfte einer harmonisch geteilten Strecke ist mittlere Proportionale zwischen den Entfernungen der Mitte von den harmonischen Teilpunkten.

4.    Wenn AC durch B, 1) harmonisch geteilt ist , so

C harmonisch geteilt    • (8)

5.    Halbiert der eine von vier harmonischen Strahlen den Winkel der beiden ihm nicht zugeordneten, so halbiert der zugeordnete den Nebenwinkel. Vergl. auch II B, 3.

(). Ist eine Gerade einem von vier harmonischen Strahlen parallel, so wird ihre von den beiden nicht zugeordneten Strahlen begrenzte Strecke durch den zugeordneten Strahl halbiert.

7.    Ein harmonischer Vierstrahl teilt jede ihn (oder seine Gegenstrahlen) schneidende Gerade harmonisch.

8.    Harmonische Gruppen bilden (siehe auch XIX, Aufg. 21):

a)    die Endpunkte einer Dreiecksseite und die Fußpunkte der Halbierungslinien des Gegenwinkels und seines Außenwinkels,

b)    die Endpunkte einer Vierseitsdiagonale und die Punkte, in denen sie von den beiden anderen geschnitten wird.

9.    Einen harmonischen Vierstrahl bilden (siehe auch XIX, Aufg. 21):

a)    zwei Seiten eines Dreiecks, die Mittellinie und die Parallele zur dritten,

b)    zwei Gerade und ihre Winkelhalbierenden,

eindeutig bestimmt.

ist auch Bl) durch A

Schuster, Planimetrie A.²

(3)

(6)

(H)

(10)

(12)

(H)

(27)

(10)

(H)

(14 k)

c)    die im Scheitel eines harmonischen Yierstrahls errichteten Senkrechten,

d)    je zwei Seiten eines Yierseits und die von ihrem Schnittpunkte ausgehenden Ecktransversalen seines Diagonalendreiecks.

10/11. Satz des Menelaus:

Jede Dreieckstransversale schneidet

(27)

(17, 21)

Satz des Ceva: Je drei durch einen Punkt gehende Ecktransversalen eines Dreiecks schneiden die Seiten so, daß das Produkt der Teilverhältnisse der Seiten gleich 1 ist.

(24)

12.    Umkehrung: Findet man auf den drei Seiten eines Dreiecks oder ihren Verlängerungen drei Punkte von der Eigenschaft, daß das Produkt ihrer Teilverhältnisse gleich 1 ist, so liegen entweder die drei Punkte auf einer Geraden oder ihre Ecktransversalen gehen durch einen Punkt, je nachdem die äußeren oder die inneren Teilverhältnisse in ungerader Zahl vorhanden sind.

13.    Die Ecktransversalen eines Dreiecks nach den inneren Berührungspunkten der Ankreise schneiden einander in einem Punkte (fünfter merkwürdiger Punkt des

Dreiecks).

(26)

14.    Satz des Pascal: Die Schnittpunkte je zweier Gegenseiten eines (einfachen oder überschlagenen) Sehnensechsecks liegen auf einer Geraden. (Vergl. XIX B, 12.) (36)

15.    Der Pascalsche Satz gilt auch für Sehnenfünfecke, -Vierecke und -Dreiecke, wenn man die fehlenden Seiten durch die Tangenten in den als Doppelpunkte auftretenden Ecken ersetzt.

(38—42)

(40—41)

16.    Je zwei Nebenecken eines Sehnenvierecks liegen mit zwei Haupt- oder mit zwei Nebenecken des zugehörigen Tangentenvierecks auf einer Geraden.

17.    Der Diagonalenschnittpunkt eines Sehnen Vierecks fällt mit dem Diagonalenschnittpunkt des zugehörigen Tangentenvierecks zusammen.

XIX. (XVIII.) Pole mul Polaren.

Die Polare eines Punktes und der Pol einer Geraden.

*1. (Die Polare als Ort.) Von einem Punkte P auf der Ver-Fig-os längerung eines Durchmessers AB ist eine Sehne CD gezogen; das Viereck AB CD ist zum Vierseit ergänzt. Welche Punkte bilden harmonische Gruppen? Warum ist EG-_L AB?

(VIII B, 4.) Wie bewegt sich TT, wenn CD um P gedreht wird? (XVIII B, 1.) Grenzfall?

Ergebnis: Zusammenfassung A 1, 2; B 1—4.

2.    a) Konstruiere die Polare von P ohne Benutzung des Durchmessers mittels zweier beliebigen Sehnen des Büschels P.

b)    Ziehe nur mit Hilfe des Lineals von P an Je die Tangente.

Mg. 54.

3.    Wiederhole die Aufgabe 1 für einen Pol P innerhalb Je.

*4. (Sonderfälle.) Welches sind a) die Polaren der Ecken eines Tangentenvierecks, Tb) die Pole der Seiten eines Sehnenvierecks, C) die Pole seiner Diagonalen? Welches ist d) der Pol einer Tangente, e) eines Durchmessers, f) die Polare eines Punktes auf dem Umfang, g) des Mittelpunktes? Ergebnis: Zusammenfassung B 5—6.

*5. (Grenzfälle.) Wie bewegt sich die Polare eines Punktes a) außerhalb, b) innerhalb des Kreises, wenn sein Abstand vom Umfang unverändert bleibt, der Halbmesser aber ab-oder zunimmt? Welches ist

| in Bezug auf

( I. einen Punkt, \II. eine Gerade?

c)    die Polare eines Punktes

d)    der Pol einer Geraden Ergebnis: Zusammenfassung B 7—8.

6.    Konstruiere den Kreis, zu welchem P und p Pol und Polare sind und der a) durch P± auf j?, b) durch P₁ zwischen P und C) durch P₁ jenseit p, d) durch P₁ jenseit P geht,

e)    den Halbmesser r hat.

7.    Bestimme für Je den Pol, dessen Polare die Zentrale des Pols a) halbiert, b) im Verhältnis 4:5 (m:w), c) nach dem goldenen Schnitt teilt.

Die Polaren einer Punktreihe nnd die Pole eines Büschels.

*8. (Die Polaren einer Punktreihe.) Gegeben sind Je, eine Sehne s und ihr Pol S. Verbinde die Punktreihe PxP$ 1\ ...,

deren Träger s ist, mit X, und nenne die dadurch entstehenden Sehnen A₁Blx A₂B₂, A₃B₃ ... Welche Punkte bilden harmonische Gruppen? Durch welchen Punkt müssen die Polaren von PXP₂P₃ ... gehen?

Ergebnis: Zusammenfassung B 9, 18—19.

9. Beweise, daß auch die Polaren einer außerhalb ife liegenden Punktreihe einander im Pol ihres Trägers schneiden.

*10. (Die Pole eines Büschels.) a) Welches ist der Ort für die Pole eines Büschels (nach 8 und 9)? b) Wie findet man die Polare eines Punktes, wenn man die Pole zweier seiner Strahlen kennt? c) Wie findet man den Pol einer Geraden, wenn man die Polaren zweier ihrer Punkte kennt? Ergebnis: Zusammenfassung B 10, 16—17.

11. Bestimme nur mit Hilfe des Lineals den Pol einer gegebenen Geraden, die a) /»' schneidet, b) nicht schneidet.

Polare Beziehungen zwischen Seimen- und Tangentenviereck.

XVIII, Aufg. 40 a) die Pole

von a

12.    Bestimme in der Figur zu und c und daraus die Polare von a X c = E, ebenso die Polare von b) P\ C) Ex, d) Fx. Inwiefern ergibt sich hierdurch eine Bestätigung von XVIII B, 17 ?

13.    Bestimme in der Figur zu XVIII, Aufg. 40 die Polaren der Punkte :

P<9 5TP

o ci ci o

£    35

14. Bestimme in der Figur zu XVIII, Aufg. 40 die Pole der Geraden:

a)    4Ą    d)    BCX    g)    CAX    k)    DAX    n)    EAX    q)    EDX

b)    ACX    e)    BT)X    h)    CDX    1)    DBX    o)    EBX    r)    FAX

c)    AFX    f)    BEX    i)    CFX    m)    I)EX    p)    ECX    s)    FBX

t) FC\ u) FT)X y) EF

*15. (Das Polardreieck.) Welches sind in der Figur zu XVIII, Aufg. 40/41 die Polaren von E, F, 0? Welches sind die Pole von    OF, FE? Welche Eigenschaften hat A EFO?

Ergebnis: Zusammenfassung B 11.

Der Satz des Briancliou.

* 16. Lege anh in ABCJDEF (Zeichnung nach XVIII, Aufg. 36) die Tangenten; sie bilden das Tangentensechseck AXBXCXBXEXFX.

Ziehe ferner die Pascalsche Gerade des zugehörigen Sehnensechsecks A/F, und bestimme die Polaren der drei Pascal-schen Punkte.

Ergebnis: Zusammenfassung B 12.

17.    Beweise den Satz des Brianchon für ein Tangentensechseck, wenn das zugehörige Sehnensechseck a) einfach, b) mehrfach überschlagen ist.

18.    Was wird aus dem Tangentensechseck A₁/F₁, wenn Z_ F±= 180° ? Wohin fällt Fx? Wieviel Brianchonsche Punkte besitzt ein Tangentenfünfeck ?

19.    Wende den Satz des Brianchon auf ein Tangentenviereck an, und beweise hiernach XVIII B, 17.

20.    Erörtere ein Tangentendreieck nach Brianchon.

¹

Die Einführung des Vorzeichens bleibt dem Lehrer überlassen; notwendig ist sie vorläufig noch nicht.

²

Vergl. Anm. Seite 121.

Polare Figuren.

*21. Beweise, a) daß die Polaren von vier harmonischen Punkten einen harmonischen Vierstrahl bilden (XVIII B, 9 c), b) daß die Pole eines harmonischen Vierstrahls eine harmonische Gruppe bilden.

22. (21.) Zeichne ein Dreieck ABC und einen Kreis, der a) das Dreieck ausschließt, b) einschließt, c) eine Ecke einschließt,

Ziehe ferner eine Transversale, die abc in D, PJ, F teilt, und zwar I. a außen, b und c innen; II. a, b und c außen. Welche Linien der Polarfigur entsprechen den Teilpunkten _D, E, F? Welches ist die Polarfigur der Polarfigur? Wie folgt hiernach der Satz des Ceva aus dem dès Menelaus?

d) zwei Ecken einschließt. Zeichne zu ABC die Polaren \c1: und bestimme die Pole A₁B₁C₁ der Seiten abc des Dreiecks ABC.

Zur Zeichnung:

II.

<X> X

96

50

30

Ergebnis: Zusammenfassung A 3, 4.

Beziehungen zwischen Polaren und Potenzlinien.

*23. (22.) (Der Pol einer Potenzlinie.) \ wird von in P₂, von /c₃ in P₃ berührt; die Tangenten in den Berührungspunkten schneiden einander in M. Welches ist die Potenzlinie

von fr₂ und fr₃? Welches ist in Bezug auf \ die Polare von Jf? Bestimme durch diese Polare den Pol der Potenzlinie. Ergebnis: Zusammenfassung B 14.

24.    (23.) \ und fr₂ schneiden einander rechtwinklig, a) Welches ist die Polare von Kt in Bezug auf fr₂, 1b) von Ä"₂ in Bezug auf frx? c) Welches ist der Pol der Potenzlinie in Bezug auf frl5 (1) in Bezug auf fr₂?

25.    (21.) frx wird von fr₂ und von fr₃ rechtwinklig geschnitten. Welches ist in Bezug auf \ die Polare des Potenzpunktes V Ergebnis: Zusammenfassung B 15.

26.    (25.) frt wird von fr₂ und von fr₃ rechtwinklig geschnitten, a) Bestimme für einen Punkt A auf \ die Polaren in Bezug auf fr₂ und fr₃, und beweise, daß ihr Schnittpunkt auf \ und zwar auf dem von A aus gezogenen Durchmesser liegt (XVIII, Aufg. 14 h). Bestimme hiernach 1)) auf <7, c) auf fr den Punkt P so, daß die ihm an \, fr₂, fr₃ zugeordneten Polaren einander in einem Punkte schneiden.

Zusammenfassung.

A. Erklärungen.

1.    Zwei Punkte, die einen Kreisdurclimesser harmonisch teilen, heißen Pole des Kreises.

2.    Die in einem Pol auf dem Durchmesser errichtete Senkrechte heißt Polare des anderen Pols.

3.    Polare Vielecke sind zwei Vielecke, von denen jede Seite des einen Polare einer Ecke des anderen, jede Ecke des einen Pol einer Seite des anderen ist.

4.    In pólaren Vielecken ist jeder Transversalen des einen (als Polaren) ein Punkt (innerhalb oder außerhalb) des anderen als Pol zu ge ordnet.

B. Lehrsätze.

1/2. Die Polare teilt jede durch j Der Ort für den vierten den Pol gezogene Sehne harmonischen Punkt eines harmonisch.

(1) Sehnenbüschels ist die Polare seines Scheitels. (1) 3/4. Die Polare des Schnitt- Der Pol einer Sehne ist der punktes zweier Tangenten Schnittpunkt der in ihren ist ihre Berührungssehne. Endpunkten an den Kreis

(1) gelegten Tangenten.

5/6. Die Polare

a) eines Punktes auf

dem Umfang ist seine Tangente, b) des Mittelpunktes

Der Pol

a) einer Tangente ist ihr Berührungspunkt.

liegt im Unendlichen.

b) eines Durchmessers

(4)

7/8. Die Polare eines Punktes

a) in Bezug auf einen Punkt ist die in letzterem auf der Y erbindungslinie errichtete Senkrechte:

Der Pol einer Geraden

ist der Punkt selbst;

b) in Bezug auf eine Gerade ist die Gerade selbst;

ist ein beliebiger Punkt der letzteren.

9/10. Die Polaren einer Punkt- Die Pole eines Büschels lie reihe gehen sämtlich durch gen sämtlich auf der Polaren den Pol ihres Trägers. (8) seines Scheitels.

11.    Die Nebenecken eines Sehnenvierecks sind die Ecken eines Dreiecks, in welchem jede Seite Polare ihrer Gegenecke, jede Ecke Pol ihrer Gegenseite ist.

12.    Satz des Brianchon: Die Verbindungslinien je zweier Gegenecken eines Tangentensechsecks schneiden einander in einem Punkte. (Vergl. XVIII B, 14.)

13.    Der Satz des Brianchon ist auch auf Tangentenfünfecke, -Vierecke und -Dreiecke anwendbar.

(18—20)

14.    Werden zwei Kreise von einem dritten berührt, so geht die Berührungssehne durch denjenigen Pol des berührenden Kreises, dessen Polare die Potenzlinie der berührten ist.

15.    Werden zwei Kreise von einem dritten rechtwinklig geschnitten, so ist die Zentrale der geschnittenen Kreise Polare des Potenzpunktes in Bezug auf den schneidenden Kreis.

16/17. (Regel.)

den Pol einer Geraden, diePolare einesPunktes, sucht man den Schnitt- sucht man die Verbinpunkt der Polaren für dungslinie der Pole für zwei ihrer Punkte. (10) zweiseinerStrahlen. (10)

Um zu bestimmen

(10)

(15)

(16)

(23)

(25)

Um festzustellen, ob drei (oder mehr) ob drei (oder mehr) Gerade durch einen Punkte auf einer Gera-

18/19 (Regel.)

Punkt gehen, unter- den liegen, untersucht sucht man, ob ihre man, ob ihre Polaren Pole auf einer Geraden durch einen liegen.

Punkt

(8) I gehen.

(8)

XX. (XIX.) Ähnliclikeitspimkte und Ähnliclikeits-

acksen.

Ähnlichkeitspunkte und Ähnlichkeitsstrahlen.

Fig.55. *1. (Ähnliche Lage mit äußerem Ähnlichkeitspunkt.)

Verbinde die Ecken eines Dreiecks B₁C₁D₁ mit einem Punkte A. Teile AJB± durch B₂ so, daß AJB₁:ABi = 7:3 und übertrage das Teil Verhältnis durch Parallelprojektion auf AC₁ und ABX. Warum ist: a) C₂JD₂ || C₁BX (XI B, 4), b) A B₂ C₂B₂ oo A Bx C\ JDx? c) Welches ist das regierende Verhältnis?

Fig. 56. *2. (Ähnliche Lage mit innerem Ähnlichkeitspunkt.)

Erörtere nach Aufg. 1 die Entstehung und die Beziehungen der Eig. 56.

Ergebnis von 1/2: Zusammenfassung A 1—3; B 1.

3. Zeichne zu einem gegebenen Dreieck ein perspektivisch ähnliches nach dem Verhältnis 5:2; der Ähnlichkeitspunkt sei

des gegebenen Dreiecks.

a) ein

äußerer

b) ein

innerer

und

soll

liegen

I. außerhalb II. auf einer Seite „

III.    auf einer Ecke „

IV.    innerhalb „

4. Zeichne zu einem gegebenen a) Viereck, b) Fünfeck, c) Sechseck ein perspektivisch ähnliches nach dem Verhältnis 3:1. Der Ähnlichkeitspunkt sei

H. „    „

III. „ innerer IV

X V • V    »

I. ein äußerer und liege außerhalb, „ innerhalb, „ außerhalb, „ innerhalb.

Fig. 55. *5. (4,5.) (Umkehrung.) a) Zeichne zwei Dreiecke Bx CxBx und B₂C₂B₂ mit gleichgerichtet parallelen Seiten; ziehe BxB₂,

Cx C.), verlängere diese Linien bis zum Schnittpunkt A und verbinde A mit Dx. Wenn nun B₂ C₂ :BXCX = m : n, welchen Wert haben dann die Verhältnisse AB₂\ABX, A C₂ : A Cx,

B₂B₂ :    C₂D₂ : CXJDX ? Weiche Verhältnisgleichung müßte

stattfinden, wenn B₂B₂ von ABX nicht in D₂, sondern in X geschnitten würde? Welche Bedeutung hat A? Tb) Be-Kg-56. weise ebenso, daß zwei Dreiecke mit gegengerichtet parallelen Seiten einen inneren Ähnlichkeitspunkt haben, c/d) Beweise, daß zwei ähnliche Vierecke einen äußeren (inneren) Ähnlich -keitspunkt haben, sobald ein entsprechendes Seitenpaar gleichgerichtet (gegengerichtet) parallel ist.

Ergebnis: Zusammenfassung B 2, 3.

6. Wo liegt der Ähnlichkeitspunkt zweier kongruenten Di’eiecke a) bei gleichgerichtet, b) bei gegengerichtet parallelen Seiten?

Perspektivische Transversalen.

*7. (Entsprechende Winkelhalbierende.) Zwei perspekti-Kg. 55. visch ähnliche Dreiecke Bx Cx T)x, B₂C₂B₂ haben den äußeren Ähnlichkeitspunkt A; das regierende Verhältnis sei m : n. Halbiere den Winkel CXBXBX durch BXEX und ziehe AEX\ dieser Ähnlichkeitsstrahl schneide C₂D₂ in E₂. Warum ist

a)    AEX : AE₂ = m : n, 1b) BxEx || B₂E₂, c) BXEX : B₂E2 *», d) "z. E₂B₂C₂ = Z. E₂B₂D₂?

Ergebnis: Zusammenfassung B 1.

8.    Erörtere in zwei perspektivisch ähnlichen Dreiecken mit

( I. Mittellinien,

| II. Höhen und Projektionen.

a)    äufserem

b)    innerem

Ähnlichkeitspunkt die Beziehungen entsprechender (Vergl. XIII, Aufg. 7.)

9.    Erörtere nach Aufgabe 7 die Beziehungen a) entsprechender Ecktransversalen zweier Dreiecke mit innerem Ähnlichkeitspunkt, b) entsprechender Seitentransversalen zweier Dreiecke mit äußerem, c) mit innerem Ähnlichkeitspunkt.

10.    Erörtere für zwei perspektivisch ähnliche Dreiecke die Lage I. der Höhenpunkte, II. der Schwerpunkte.

11.    Erörtere für zwei perspektivisch ähnliche a) Vierecke,

b)    Fünfecke die Beziehungen und die Lage entsprechender Diagonalen, ihrer Schnittpunkte, ihrer Abschnitte und der an ihnen liegenden Winkel.

12. Konstruiere mittels perspektivisch ähnlicher Dreiecke (a) bezw. Vierecke (b—d) die Gerade, die den unzugänglichen Schnittpunkt von gx und g₂ a) mit P, b) mit dem ebenfalls unzugänglichen Schnittpunkt von g₃ und gx verbindet, wenn die Schnittpunkte von g₂ und g₃ und von gx und gL zugänglich sind, c) wenn nur einer davon, (l) wenn keiner davon zugänglich ist.

18. Zeichne in einen gegebenen Kreisausschnitt a) das Quadrat, b) das gleichseitige Dreieck, dessen eine Seite einer gegebenen Geraden parallel ist. c) Zeichne in ein gegebenes Dreieck das Rechteck, dessen eine Seite in der Grundlinie liegt und sich zur zweiten verhält wie p : q (2 : 3).¹)

Die Ähnliclikeitspunkte zweier Kreise.

*14. (Ähnliche Lage zentrischer Figuren.) a) Zeichne zwei perspektivisch ähnliche Parallelogramme mit äußerem Ähnlichkeitspunkt, und beweise, daß sie auch einen inneren Ähnlichkeitspunkt haben, b) Welche Figuren haben bei ähnlicher Lage stets zwei Ähnlichkeitspunkte? c) Wie wird die Zentrale zweier ähnlich liegenden zentrischen Figuren durch die beiden Ähnlichkeitspunkte geteilt?

Ergebnis: Zusammenfassung B 4.

*15. Unter welcher Bedingung befinden sich zwei Quadrate in ähnlicher Lage? Um wieviel Grad muß man das eine drehen, bis wieder ähnliche Lage eintritt? Wie oft wiederholt sich die ähnliche Lage zweier regelmäßigen Fünf-, Sechs-, w-Ecke, während das eine um 360° gedreht wird? Welche Figuren befinden sich stets in ähnlicher Lage?

Ergebnis: Zusammenfassung B 4, 5.

punkt A mittels zweier ! gleichgerichtet parallelen

Fig.57u 58.* 16. (Perspektivische Beziehungen zweier Kreise.) Bestimme für kx und 7r₂ (e =65, rl = 36, r₂ = 16 mm): a) den äußeren Ähnlichkeits- b) den inneren Ähnlichkeitspunkt J mittels zwreier gegengerichtet parallelen Halbmesser Kx l\, 1\₂ P₂, ziehe einen zweiten Ähnlichkeitsstrahl und fälle auf die entstehenden Sehnen Mx Qx und M₂ Q2 die Lote K₁Sl, K₂S₂. Welches ist der Zahlwert folgender Verhältnisse: AI\ : AP₂ (JPX : JP₂), AKl : AK₂ (JKX:JK₂), KXSX : 7f₂*S'₂? Beweise ferner die Giltigkeit des regierenden Verhältnisses rx : r₂ für M₁ Qx : ilf₂ Ç₂, P₁ Qx : P₂ Q₂, MXPX : M₂P₂. Ergebnis: Zusammenfassung B 5, 6.

*17. Beweise, a) daß die in entsprechenden Punkten an zwei Kreise gelegten Tangenten parallel sind, b) daß die Schnittpunkte je zweier entsprechenden Sehnen auf einem Ähnlichkeitsstrahl liegen, c) desgl. die Schnittpunkte je zweier entsprechenden Tangenten, d) desgl. die Schnittpunkte je einer entsprechenden Sekante und Tangente.

18.    Lege an kx und k₂ unter Benutzung der Ähnlichkeitspunkte die gemeinschaftlichen Tangenten.

19.    Zeichne in k das einem gegebenen ähnlich liegende a) Dreieck, 1)) Rechteck, C) gleichschenklige Trapez. Desgl. um k

d) das einem gegebenen ähnlich liegende Dreieck, e) den einem gegebenen ähnlich liegenden Rhombus.

20.    Von welchen Punkten der Zentrale erscheinen zwei Kreise unter gleichen Winkeln? Welches ist der Ort für alle Punkte, von denen aus zwei Kreise unter gleichen Winkeln erscheinen ? (XII B, 4.) Bestimme a) auf g, b) auf ks den Punkt, von dem aus k\ und k₂ unter gleichen AVinkeln erscheinen. C) Bestimme den Punkt, von dem aus kx, k₂, ks unter gleichen Winkeln erscheinen.

Ergebnis: Zusammenfassung B 15.

21.    (Sonderfälle.) Bestimme die Ähnlichkeitspunkte für kx und k₂, wenn Ä'₂ von kx a) ausschließend berührt, b) geschnitten,

c) einschließend berührt, d) eingeschlossen wird. Welche Bedeutung hat der Berührungspunkt zweier Kreise? (2 Fälle.) Ergebnis: Zusammenfassung B 7.

22.    Konstruiere den Kreis, der l\ und gx berührt, und zwar:

a)    kx in P (ein Rundfenster in römischem Bogen), 1)) gx in P (ein Rundfenster in römischem oder in gotischem Bogen), C) auch g₂ berührt (zwei Rundfenster in römischem oder in gotischem Bogen), d) seinen Mittelpunkt auf g₂ hat (zwei Rundfenster in gotischem Bogen), e) Zeichne in einen gegebenen Kreis drei, f) vier, g) sieben gleichgroße einander berührende Kreise. (Verzierung eines Rundfensters.)

23.    Bestimme die Ähnlichkeitspunkte für a) zwei gleichgroße Kreise,

b)    zwei Ringkreise, c) k und P, d) Px und P₂, e) k und g. f) P und g, g) gt und g₂. (Arergl. XVII, Aufg. 16/17.) Ergebnis: Zusammenfassung B 8—11.

Die Ähnlichkeitspunkte des Umkreises und des Feuerbachkreises.

24. Zeichne a) ein spitzwinkliges, b) ein stumpfwinkliges Dreieck ABC, halbiere BC durch Ma, CA durch Mh, AB durch

M,., und verbinde die Teilpunkte. Warum sind die Dreiecke ABC und MaMbMc perspektivisch ähnlich? Welches ist ihr Ähnlichkeitspunkt? Welchen Wert hat das regierende Verhältnis? Bestimmungsstücke zur Zeichnung:

b) A B C 126 10 160 123    85    85

a) ABC

63    32 132

iß =

175    45    45

*25. Beweise in den Figuren zu Aufg. 24: a) daß die Mittellinien eines Dreiecks einander in einem Punkte schneiden und im Verhältnis 1:2 teilen, b) daß die Höhen eines Dreiecks einander -in einem Punkte schneiden, c) daß der Schwerpunkt 8 und der Höhenpunkt H die Ähnlichkeitspunkte für den Umkreis (C7) und den Feuerbachkreis (F¹) sind (Eulers Satz),,

d) daß der Feuerbachkreis die oberen Höhenabschnitte • halbiert, 6) daß er durch die Höhenfußpunkte geht, f) Bestimme die Teilverhältnisse der Geraden, auf der S, FT, U. F liegen.

Ergebnis: Zusammenfassung B 16a.¹)

26. In Fig. 19 schneide ABX die Verlängerung von DJ in CT.. Welches ist das regierende Verhältnis für die Dreiecke AJGr und APjĄ? Warum muß G auf dem Inkreis liegen?' Warum ist JMa² 3) || ADt, JMb || BF₂? Warum ist, wenn V der fünfte merkwürdige Punkt des Dreiecks ABC ist (XVIII B, 13), A JMaMb oo A VAB? Welches ist das-regierende Verhältnis, welches der innere Ähnliehkeitspunkt für diese Dreiecke? Warum ist JTJ || VII?

Ergebnis: Zusammenfassung B 16b, c.

27. Dreieck aus:³)

a)    A H U

b)    B II 8

c)    G F II

(1) A F S

e) B F U

v) Konstruiere das Dreieck, dessen Schwerpunkt P, dessen, Umkreis Je und dessen eine Seite parallel g ist.

f)    C S U

g)    Ma S U

h)    F H Mb

i)    H M₀ S k) H Ua S

a ==

Die Berührungsaufgabe des Apollonius.

*28. (Das Rechteck inverser Abschnitte.) Die Halbmesser Fig.59. von kx und k₂ seien r₁ und r₂, die vom äußeren Ähnlichkeits-punkt A an k₂ gelegte Tangente sei AT — t. Welchen Zahlwert hat a) das Rechteck AE₂ • AF₂ (XYII A, 2 a), b) das Verhältnis AI\ : AF2: c) das Rechteck AFX ■ AE₂? (Durch Multiplikation der beiden ersten Gleichungen.) d) Berechne ebenso das Rechteck AD₁ ■ AC₂.

Ergebnis: Zusammenfassung B 12.

29. a) Beweise, daß in Fig. 59 die Punkte CiELF₂D₂ auf einem Kreise liegen. 1)) Wiederhole die Erörterungen in Aufg. 28 unter Benutzung des inneren Ähnlichkeitspunktes.

*30. (Lage der Berührungspunkte.) a) In welchem Falle werden die Kreise kx und k₂ (Fig. 59) von dem durch C₂D₁F₁E₂ gehenden Kreise berührt? I)) Welches ist die Potenz des äußeren Ähnlichkeitspunktes zweier Kreise in Bezug auf jeden dritten, der die beiden ersten gleichartig berührt? c) Desgl. für den inneren Ähnlichkeitspunkt bei ungleichartiger Berührung?

Ergebnis: Zusammenfassung B 13.

31. Konstruiere den Kreis, der

a)    kx und k₂ ausschließend

b)    \ aus-, k₂ einschließend

c)    kt ein-, k₂ ausschließend

d)    kx und k₂ einschließend

e)    k ausschließend und g

f)    k einschließend und g

Gegeben:

berührt

und

I. durch P geht,

II. die Berührungssehne 2 s hat.

I a—(l    I e—f

II

’x = 130 y = 130 r = 22

Q, <05 O ^ ©I b-

Ci & SS

O O so >0 VO SO

os

Oi ^ 00 O 00 o

115    20

x = 65 7/=130 r = 26

0 165 0 165

33.

(Apollonius-Aufgabe.)    Konstruiere den Kreis, der drei

gegebene Kreise berührt, und zwar: a) kxk₂k₃ ausschließend,

I)) kxk₂k₃ einschließend,

C) k±k₂ aus-, k₃ einschließend, g) kxk₃ aus-, k₂ einschließend, d) kxk₂ ein-, k₃ ausschließend, ll) kxk₃ ein-, k₂ ausschließend. Gegeben:

e)    k₂k₃ aus-, kx einschließend,

f)    k₂k₃ ein-, kx ausschließend,

Ki

K,

x = 117 y = 150 r — 33

100

80

13

rH CO

>o o t-

34-. Konstruiere den Kreis, der ^ und a) ^A'₂ ausschließend, 1)) 7o₁7<;₂ einschließend, c) 7^ aus-, &₂ einschließend, d) k₁ ein-k₂ ausschließend, e) kx ausschließend und g₂, f) kx einschließend und g₂ berührt.

Gegeben:

Ki

K₉

9i

für 77₂

85 _L OX

10

Älmlichkeitsachsen.

*35. (Satz des Monge.) Schlage um jede Ecke eines Dreiecks KXK₂K₃ (xx = 73, g₁ = 155; x₂ = 105, y₂ = 100; x₃ = 60, y₃ — 95) einen Kreis (rx — 32, r₂ = 18, r₃ — 9), und bestimme für k₂ und k₃ die Ähnlichkeitspunkte Ax, Jl ; entsprechend A₂, J₂ für kx und k₃ ; X₃, J₃ für kx und k₂. a) Warum müssen A₁A₂A₃ auf einer Geraden liegen? (XVIII B, 12.) K) Desgl. A₁J₂J₃? c) Wie viele Ähnlichkeitsachsen haben drei Kreise? d) Welche Ecktransversalen des Dreiecks K₁K₂ K₃ gehen durch einen Punkt? (Ähnlichkeitsmittelpunkte.)

Ergebnis: Zusammenfassung A 4; B 14.

36. Bestimme die Ähnlichkeitsachsen für:

Os

fM (M /-s®¹

'&*> a

a)    \ k₂ g

b)    \ k₂ P

C) * 9i 9»

(1 ) kg P

e)    k pt P₂

f)    9 Pi Ą

37. Bestimme die Ähnlichkeitsachsen für kxk₂k₃, wenn kx die beiden anderen a) ausschließend, 1)) einschließend, c) ungleichartig berührt. -—- Wie läßt sich hiernach der zweite Berührungspunkt bestimmen, wenn der erste gefunden ist?

38. Beweise folgende Sätze:

a) Die äußere Ähnlichkeitsachse von kxk₂k₃ ist Potenzlinie der beiden Kreise, von denen der eine kx k₂ k₃ ein-schließend, der andere kxk₂k₃ ausschließend berührt. (Nach Aufg. 30b.)

1)) Die Ähnlichkeitsachse, die kx und k₂ von k₃ trennt, ist Potenzlinie der beiden Kreise, die kx und k₂ gleichartig, k₃ aber im entgegengesetzten Sinne berühren. (Nach 30 c.)

C) Die Pole der Berührungssehnen der drei berührten Kreise liegen auf der in aj bezw. b) genannten Ähnlichkeitsachse.

' (XIX B, 4.)

(1) Die Pole der in a) und b) genannten Ähnlichkeitsachse in Bezug auf die berührten Kreise liegen auf deren Berührungssehnen. (XIX B, 10.)

e) Der innere Ähnlichkeitspunkt der beiden berührenden Kreise ist Potenzpunkt der drei berührten. (Nach 30 c.)

31). Konstruiere nach Aufg. 38 die Berührungskreise für

a)    kx k₂ k₃ (vergl. die Bestimmungsstücke in Aufg. 33),

b)    kx k₂ g (desgl. Aufg. 34),    (1) k₁ k₂ P (Aufg. 31, a—dl).

e) k 1\ Ą (XVII, Aufg. 21).

C) k <jx g₂ (Aufg. 34),

Zusammenfassung.

A. Erklärungen.

1.    Zwei Figuren sind perspektivisch ähnlich (befinden sich in ähnlicher Lage), wenn ihre Punkte paarweise auf den Strahlen eines Büschels liegen und die Abschnitte dieser Strahlen paarweise in gleichem Verhältnis stehen.

2.    Die Strahlen eines Büschels, die entsprechende Punkte ähnlich liegender Figuren verbinden, heißen Ahnlichkeits-strahlen; ihr Scheitel heißt Ahnlichkeitspunkt.

3.    Der Ahnlichkeitspunkt ist ein äußerer oderein innerer, je nachdem er die Verbindungslinien entsprechender Punkte außen oder innen teilt.

4.    Liegen mehrere Ahnlichkeitspunkte auf einer Geraden, so heißt diese Ahnlichkeitsachse.

5.    Die Berührungsaufgabe des Apollonius ist die Aufgabe, zu drei Kreisen die (acht) Berührungskreise zu finden.

B. Lehrsätze.

(1-2, 1-11)

1.    In perspektivisch ähnlichen Figuren sind je zwei entsprechende Strecken parallel und verhalten sich wie die vom Ähnlichkeitspunkt aus gemessenen Abschnitte eines Ähnlichkeitsstrahles; je zwei entsprechende Winkel sind gleich, und je zwei entsprechende Punkte liegen auf einem Ähnlichkeitsstrahl.

(5)

2.    Ist ein entsprechendes Seitenpaar zweier ähnlichen Figuren parallel, so sind sie perspektivisch ähnlich.

(5)

3.    Zwei Dreiecke mit gleichgerichtet (gegengerichtet) parallelen Seiten haben stets einen äußeren (inneren) Ähnlichkeitspunkt.

4.    Zwei ähnlich liegende zentrische Figuren haben einen äußeren und einen inneren Ähnlichkeitspunkt. (14—15)

5.    Zwei Kreise haben stets zwei Ähnlichkeitspunkte. (15—16)

(16)

6.    Die Zentrale zweier Kreise wird durch die beiden Ähnlichkeitspunkte harmonisch im Verhältnis der Halbmesser geteilt.

(21)

7.    Der äußere (innere) Ähnlichkeitspunkt zweier einander einschließend (ausschließend) berührenden Kreise fällt mit dem Berührungspunkt zusammen.

(23 a, d)

9. Für einen Kreis (eine Gerade) und einen Punkt ist dieser zugleich innerer und äußerer Ähnlichkeitspunkt. (23 c, f) 10. Die Ähnlichkeitspunkte eines Kreises und einer Geraden sind die Endpunkte des die Gerade rechtwinklig schnei denden Durchmessers.

8.    Für zwei gleichgroße Kreise (zwei Punkte) liegt der äußere Ähnlichkeitspunkt im Unendlichen, der innere halbiert die Zentrale.

(23 e)

(23g)

12. Die ßechtecke aus je zwei nicht entsprechenden Abschnitten eines Ähnlichkeitsstrahles zweier Kreise sind

11. Die Ähnlichkeitspunkte zweier Geraden liegen beide im Unendlichen.

(28, 29)

einander gleich.

13. Werden zwei Kreise von einem dritten gleichartig (ungleichartig) berührt, so liegen die Berührungspunkte auf einem äußeren (inneren) Ähnlichkeitsstrahl der berührten Kreise. (30)

h, hi h U’i > »2 > ⁴ s) in Tn

XX. Ähnlichkeitspunkte und Ähnlichkeitsachsen.

iC

14.    Satz des Monge: Drei Kreise haben vier Ähnlichkeitsachsen; auf jeder liegen drei Ähnlichkeitspunkte, und zwar die äußeren in ungerader Zahl.

15.    Der Ort für alle Punkte, von denen aus zwei Kreise unter gleichen Winkeln erscheinen, ist der Kreis, dessen Durchmesser die Strecke zwischen den Ähnlichkeitspunkten der gegebenen ist.

16.    Bezeichnet man die fünf merkwürdigen Punkte des Dreiecks mit U, J, H, S, V und den Mittelpunkt des Feuerbachkreises mit F, so gilt:

a)    HF SU liegen auf einer Geraden (Eulersche Gerade), und es verhält sich HF : FS : SU — 3:1:2

b)    JSV liegen auf einer Geraden, und es verhält sich JS:SV=1:2

c)    HJUV bilden ein Trapez, und S ist sein Diagonalenschnittpunkt.

(35)

(20)

(25)

(26)

(26)

Schuster, Planimetrie A.2    !

10

Maßzalilen und Lagenltezeichnungen.

1. Zur Konstruktion von Dreiecken,¹)

Maßzahlen.

Bedeutung.

Big.

Beispiel.

abc

2s

Längen der Seiten Summe der Seiten

a ß y

K h K

ma mb mc

ama bma cma bmb cmb amb cmc amc bmc

mamb

mb m

mamc

Gradzahl der Winkel Längen der Höhen Längen der Mittellinien ■ Gradzahl der von Mittellinien und Seiten eingeschlossenen , Winkel

Gradzahl der von den . Mittellinien eingeschlossenen Winkel

CT C*

co

<N

CO

CO

BC — a mm, CA = b mm a-f&-fe = 2s; AF₁ = AE1 = BD.₂ = BFÿ = CDS — CES — s ; A E — (s — a) u. s. w.

/_BAC= «°, /L C=y° AD =hamm, BE = hb BE = mb mm, CF = mc mm

Z. EBC = amb°

A- BEC — bmb°

Z. BE A = (180 — bmb)°

Z- BSC = mbmc°

Z. CSE — (180 — tnbmc)°

mm

Pba

Pl

Pc

P« P*

vc

Wa Wp wY

Längen der (durch die Höhen abgeschnittenen) Seitenprojektionen

Länge des Umkreishalbmessers

Länge des Inkreishalbmessers

Längen der Ankreishalbmesser

Längen der durch die Winkelhalbierenden auf den Seiten gebildeten Abschnitte

Längen der Winkelhalbierenden

CO    05    Ci

tH    tH    tH

BD = pl mm

J- a

DC = pba mm CE = pab KA = KB = KC = r mm

mm

JD = JE — J F = q mm

J₁D₁=J₁El=J₁F₁ =

= Pa

B F — u mm FC = va mm (CG — ub mm)

wa mm

AF =

mm

Im rechtwinkligen Dreieck (Fig. 4) ist Z. G = 90°, Z. A — o:⁰, Z. B = (90 — a)⁰, CD = h mm.

Im gleichschenkligen Dreieck (Fig. 6) ist BC=a, AB = AC = 6, also A B = Z. C = ß°.

1) Wegen der Lagenbezeichnungen vergl. die Anmerkungen zu S. 48 und 140.

¹

Weitere Beispiele bieten die Aufgaben XIII, 9—15; XVI, 36—37.

²

. Eine umfassende Zusammenstellung der Sätze über den Feuerbach-; kreis gibt Lange im J.-B. der Fr-W. ORS. (Berlin, 0. 94).

³

   Wegen der Bezeichnungen vergl. S. 48, Anm. Ferner bedeutet: k den Schwerpunkt, U den Umkreismittelpunkt, F den Mittelpunkt des Feuerbachkreises, TU den Schnittpunkt von AJ mit BC.

⁴

32. k (Halbmesser r) wird von

ï'₂, T₃ ausschließend berührt. Wie groß ist der Halbmesser des Ringkreises um K, der durch JT₃ geht ? Um wieviel müssen die Halbmesser r₁ und r₂ vermindert werden, damit die mit ihnen geschlagenen Ringkreise von dem durch K3 gehenden Ringkreise berührt werden?

2. Zur Konstruktion von Vierecken.

Maßzahlen.

Bedeutung.

Big.

Beispiel.

a b c d cc ß y d

O O (N (N »O

ae af be bf ce cf de df

cf (180 — ef)

Längen der Seiten Gradzahl der Winkel Längen der Diagonalen

Gradzahl der von Sei-■ ten und Diagonalen gebildeten Winkel

Gradzahl der Diagonalenwinkel

Länge des Umkreishalb-messers im Sehnenviereck

Länge des Inkreishalbmessers im Tangentenviereck

AB = a mm, BG — b mm /_A = a\ Z_B=ß° AC = emm, BI) — f mm Z. BAC = ae°

/_ D AC = de0 Z. ABD = af°

Z. CBD = bf°

Z. AGB = ef°

KA = KB = KC = = KI) — r mm

KM = KN = KO = = KP= qmm

Im Trapez (Fig. 12) ist AB || CD, folglich Z. C = (180 — ß)°, Z. B = (180 — «)°.

3. Zur Konstruktion von Kreisen und Kreisvielecken.

Lagen-

bezeichnungen.

Bedeutung.

Maßzahlen.

Bedeutung.

Mittelpunkte ] gegebener Umfange J Kreise

ri r2

gegebene Gerade gegebene Punkte

Sl S2

Halbmesser gegebener Kreise gegebene Strecken (Sehnen).

'een n

Sachverzeichnis.

A.

A als Lagenbezeichnung VIII, Aufg.

24.

a als Maßzahl III, A 1; V, Aufg.

12, 27, 32. a = Ar X, A 3.

cc (Alpha) als Maßzahl III, A 1; V, Aufg. 12, 27, 32.

Abstand paralleler Geraden V, B 6.

—    eines Punktes von einer Geraden IV, A 5; B 10.

Ähnlichkeit XIII, A 1.

—    perspektivische XX, A 1 ; B 1—2. Ähnlichkeitsachsen XX, A 4; B 14. —mittelpunkt XX, Aufg. 35.

—jmnkt XX, A 2, 3; B 3—11.

—sätze für das Dreieck XIII, B 1—5.

—    — für Vielecke XIII, B 6.

—strahlen XX, A 2; B 1, 12, 13.

—    —, nicht entsprechende Abschnitte XX, B 12.

Ähnlich liegende Figuren XX, A 1; B 1—2.

Analysis = Zergliederung.

Ankreise VIII, A 3.

—    des Dreiecks VIII, B 1 ; XV, B 11—12.

Apollonius, Berührungsaufgabe XX, A 5; Aufg. 33, 39.

—, Kreis des XII, B 4; XX, B 15. —, Satz des XII, B 3. Ausdehnungen I, A 3—4; Aufg. 9. Außenwinkel III, A 6.

—    des Dreiecks III, B 3.

—    an der Spitze eines gleichschenkl. Dreiecks IV, B 3.

—    des n-Ecks III, B 1.

—    des regelmäßigen «-Ecks XIV, B 1.

B.

JB als Lagenbezeichnung VIII, Aufg. 24.

& als Maßzahl III, A 1 ; V, Aufg. 12, 27, 32.

ß (Beta) als Maßzahl III, A 1; V, Aufg. 27, 32.

Basis = Grundlinie (Grundfläche). Berührung eines Kreises durch Gerade VII, A 5; B 4, 20, 23, 24.

—    zweier Kreise VII, B 5 b d ; XVII, B 4; XX, B 7.

—    zweier Kreise durch einen dritten

XIX,    B 14; XX, B 13.

—    dreier Kreise durch einen vierten

XX,    Aufg. 33, 38.

Berührungssehne VII, A 8; B 12; XIX, B 3, 14.

Bogen II, A 2; VII, B 7—8.

—    als Ort VII, B 28.

Brianchon, Satz des XIX, B 12, 13. Büschel VII, A 14; B 26; XIX,

B 10.

—    von Kreisen XVII, A 5; B 12, 13.

C. (siehe auch K)

C als Lagenbezeichnung VIII, Aufg. 24.

c als Maßzahl III, A 1; V, Aufg. 27, 32.

y (Gamma) als Maßzahl III, A 1;

V, Aufg. 32. cm = Centimeter. Centimeterquadrat s. qcm.

Ceva, Satz des XVIII, B 11. Chordale = Potenzlinie.

D.

d als Maßzahl V, Aufg. 27, 32. d (Delta) als Maßzahl V, Aufg. 32. dm = Decimeter.

Decimeterquadrat s. qdm. Determination = Grenzbestimmung. Diagonalen I, Aufg. 21.

—    des «-Ecks X, Aufg. 29.

—    des Parallelogramms V, B 10 c, 11 d.

—    des Quadrats V, B 14.

Diagonalen des Rechtecks Y, B 12.

Dreieck, Umkreis YIII, B 2, 5, 6.

—, ungleichseitiges IY, A 1 ; B 8, 9. —, Unterschied zweier Seiten IY, Aufg. 20, 25; YI, B 1; XY, B 1. —, Unterschied zweier Winkel IV, Aufg. 25 ; XY, B 1—3, 5—6.

•—, unvollständige Kongruenz YI, B 6, 7.

— Verwandlung IX, Aufg. 1—8; XIII, Aufg. 28.

—    des Rhombus Y, B 13.

—    des Sehnenvierecks XY, B 14, 15.

—    des gleichschenkligen Trapezes Y, B 16.

Diagonalenparallelogramm V, B 18. Differenz = Unterschied.

Dreieck, ähnlich liegende XX, B 3.

—    Ähnlichkeitssätze XIII, B 1—5.

_ AnbrpidP VTTT R 1 • XV B11_19

—    Außenwinkel’III,’ß 3; IY, B 3! | —, Winkelhalbierende III, A 3;

VIII, B 3; XII, B 3.

—    Einteilung nach den Seiten IV, A1.

—    Einteilung nach den Winkeln Durchmesser VII, A 7; B. 25; XIX,

III, A 7.

—    Ergänzung zum Parallelogramm Y, Aufg. 13.

—    Elächenverhältnisse XII, B 10 bis 12; XIII, B 8.

—    Gleichheit IX, B 3, 4.

B 6b.

E.

e als Maßzahl Y, Aufg. 12, 27, 32. Ecken, Haupt- und Nebenecken XYIH, A 6.

—    gleichschenkliges IY, A 1, 2; | Ecktransversalen XYHI, A 5; B 11, B 1—7; XIII, B 4.

—    gleichseitiges IV, A 1; B 12;    Ergänzungsparallelogramme IX, B 5.

XIII, B 5; XIV, B 7; XY, B 13.    Errichten einer Senkrechten IY,

—    Höhen III, A 4 ; YIII, B 4 ; XII, B 5. Aufg. 14 d, 16.

—    der Höhenfußpunkte YIII, Aufg. Euklid, Satz des IX, B 8.

Eulers Satz XX, Aufg. 25 c; B 16 a.

12.

23.

—    Inhalt X, B 3,4 ; XV, B 10,11,13.

E.

—    Inkreis YIII, B 3; XV, B 11, 12.

—    Kongruenzsätze YI, B 2—4.

27.

—    Lagenbezeichnungen YHI, Aufg. ; F als Lagenbezeichnung XX, Aufg. 24; XX, Aufg. 27.

f als Maßzahl Y, Aufg. 12, 27, 32. Feuerbachkreis YIII, B 8; XX, B 16. Fläche I, A 2—5, 8—9.

— Inhaltsformeln X, B 1—6; XII, B 7 ; XIY, B 7 ; XY, B 10, 11, 13,16. — Messung X, A 1—3.

! — Teilung IX, Aufg. 26—34. i — Verhältnisse XII, B 10—12; XIII, B 8, 11.

— Verwandlung IX, A 2 ; Aufg.l—19. — Projektionen der Seiten III, A 5; Fünfeck, regelmäßiges XIV, B 6, 7.

Fünfzehneck, regelmäßiges XIY, Aufg. 6 g.

—    Maßzahlen III, A 1—5; YHI,

Aufg. 2, 7, 9.

—    merkwürdige Punkte YIH, B 2—4: XII, Bl; XVIH, B 13; XX,

B 16.

—    Mittellinien III, A 2; Y, Aufg.

13; XII, B 1; XYHI, B 9 a.

—    Mittelsenkrechte YHI, B 2.

—    Polardreieck eines Sehnenvierecks XIX, B 11.

IY, Aufg. 27; IX, B 7, 8; XII, B 8, 9; XV, B 3, 4.

G.

g als Lagenbezeichnung YI, Aufg. 1. Gegenpunkt IY, Aufg. 2; VIII, B 6. Gegenseite III, A 1 ; IY, B 2, 9 ; V, B 10a, 11a, c.

Gegenwinkel III, Al; IV, B 1, 8; V, B 10b, 11b.

Gerade I, A 6, 7 ; YI, Aufg. 1.

—    Abstand eines Punktes von derselben IV, A 5; B 10.

—    Eulersche XX, B 16a.

—    rechtwinkliges III, A 7, 8; B 4; VI, B 4; X, B 4; IX, B 7, 8;

XII,    B 8, 9; XIII, B 3.

—    Schwerlinien = Mittellinien.

—    Schwerpunkt XII, B 2.

—    Seitenhalbierende=Mittellinien. —, Summe von Seiten IV, Aufg. 17,

18, 22; YI, B 1; XY, B 2.

—    Teilung IX, Aufg. 27, 30—32;

XIII,    Aufg. 26, 27.

—, Transversalen XVIII, A 4, 5; B 10—13.

Gerade, parallele s. Parallele.

—    schneidende V, A 2.

—    Simsonsche VIII, B 7.

Gleichheit von Dreiecken IX, B 3, 4.

—    von Parallelogrammen IX, B 1, 5, 6.

Goldener Schnitt XII, A 3 ; B 16—18 ;

XIY, B 4.

Grad II, A 7.

Grenzbestimmung YI, Aufg. 2, 3 ff. Grundlinie eines gleichschenkligen Dreiecks IY, A 2; B 7. Grundlinien eines Trapezes Y, A 6. Grundwinkel IY, A 2; B 1, 3.

H.

Pf, Ha, Hb, Hc als Lagenbezeichnung VIII, Aufg. 24. h als Maßzahl III, A 4; V, Aufg. 12, 25, 28, 31.

ha = Hektar X, A 3.

Halbieren eines Kreises durch einen anderen XV, B 21 ; XVII, B 14—16.

—    einer Strecke IV, Aufg. 14; V, Aufg. 17.

—    eines Winkels IV, Aufg. 14. Halbierungslinien zweier Nebenwinkel II, B 3.

—    zweier Scheitelwinkel II, B 6. Halbmesser VI, Aufg. 1. Harmonische Teilung XI, A 9 ; XVIII,

B 1—4, 8, 9; XX, B H.

Höhen eines Dreiecks III, A 4; VIII, B 4; IX, B 2, 3; XII, B 5, 6.

—    eines rechtwinkligen Dreiecks III, A 9; IX, B 7; XII, B 9

—    eines Parallelogramms V, Aufg. 12 ; IX, B 1, 2.

—    eines Rhombus V, Aufg. 23, 25.

—    eines Trapezes V, Aufg. 28, 31. Höhenfußpunktsdreieck VIII, Aufg.

23.

Höhenpunkt eines Dreiecks VIII, B 4, 6.

Homolog = entsprechend. Hypotenuse III, A 8; B 4; IV, B 11.

—    Quadrat derselben IX, B 9.

I.

J, Jj, J₂, Js als Lagenbezeichnung VIII, Äufg. 24.

Inhaltsformeln X, B 1—6; XII, B 7 ; XIV, B 5—7, 9—10; XV, B 10, 11, 13, 16.

Inkreis VIII, A 2.

Inkreis eines Dreiecks YIII, B 3; XY, B 11, 12.

— eines Vierecks VIII, B 12. Inverse Abschnitte = nicht „entsprechende Abschnitte (s. Ähnlichkeitsstrahlen).

Irrationale Verhältnisse XI, A 3.

K.

K, ic als Lagenbezeichnung YI, Aufg. 1.

Kante I, Aufg. 1.

Kathete III, A 8. Quadrate derselben IX, B 8, 9.

Komplementwinkel = Winkel, die zusammen 90° betragen. Kongruenz VI, A 3.

Kongruenzsätze für Dreiecke VI, B 2—4.

—    für Vielecke VI, B 5.

Konjugiert = zugeordnet. Konstruktion = mathematisch begründete Zeichnung.

Konzentrische Kreise = Ringkreise. Koordinaten XV, A 1.

Körper I, A 1—4, 8, 9.

Kreis VI, A 2.

—abschnitt VII, A 12.

—    Ähnlichkeit XIII, B 9.

—    Ähnlichkeitsachsen, -punkt, -mittelpunkt s. Ähnlichkeit.

—    des Apollonius XII, B 4; XX,B15. —ausschnitt Vil, A 13; XIV, B 9.

—    Berührung durch Gerade und Kreise s. Berührung.

—    im und am Dreieck VIII, B 1—3,

5— 8.

—    Feuerbachscher VIII, B 8; XX, B 16.

—    Fläche XIII, B 11; XIV, B 10.

—    Halbierung durch einen anderen XV, B 21; XVII, B 14—16.

—    Lage eines Punktes, einer Geraden , eines Kreises zu einem Kreise VII, B 1—5.

—    als Maß des Winkels II, A 3, 4,

6— 8; VII, A 9; B 13—17.

—    als Ort VI, A 2; B 8; VII, B 18, 26, 27, 28; VIII, B 5; XII, B 4; XV, B 17—22, 24 ; XVI, B 2 ; XVII, B 1 ; XX, B 15.

—    rechtwinkliger Schnitt zweier Kreise XV, A 3, B 24; XVH, B 12, 13, 16; XIX, B 15.

—    des Thaies VH, B 27.

—    Umfang XIH, B 10; XIV, B 8.

L.

P.

P als Lagenbezeichnung VI, Aufg. 1. Lagenbezeichnungen VI, Aufg. 1; p als Maßzahl III, A 5.

VIII, Aufg. 24; XX, Aufg. 27. n (Pi) als Maßzahl XIV, B 8, 10. Linealaufgaben XVIII, Aufg. 31—35,    Pappus, Satz des IX, B 6.

39; XIX, Aufg. 2 b, 11.

Linie I, A 1—9; IV, B 10.

Lot II, A 4, 5; IV, B 10; Aufg. 14.

Lage, ähnliche XX, A 1.

Parallele V, A 1; B 1—9; Aufg. 5, 21; XI, B 4.

— Konstruktion V, Aufg. 4, 5 b, c,

10.

M.

Ma, Mb, Mo als Lagenbezeichnung VIII, Aufg. 24. m als Maßzahl III, A 2. m = Meter.

Maßkreis II, Aufg. 9—11. Menelaus, Satz des XVIII, B 10.

—    als Ort VI, B 9, 12; VII, B 19, 24; IX, B 4; XV, B 23.

—    zu harmonischen Strahlen XVIII,

B 6.

Parallelogramm V, A 7 ; B 10, 11. — der Diagonalen eines Vierecks V, B 18.

— Gleichheit IX, B 1, 5, 6.

Meter, laufendes X, Aufg. 11 f; — Inhalt X, B 2.

XIV, Aufg. 32.

Meterquadrat s. qm.

Millimeterquadrat s. qmm.

Mittel, geometrisches und arithmetisches XII, A 2.

— der Seitenmitten eines Vierecks

V, B 17.

ParallelprojektionXI, B 5a ; Aufg. 26. Pascal, Satz des XVIII, B 14. Peripherie — Umfang.

Mittellinien des Dreiecks III, A 2;    Perpendikel — Lot.

V, Aufg. 13 ; XII, B 1 ; XVIII, B 9 a.    Pfeilhöhe XVI, A.

Pol und Polare XIX, A 1, 2 ; B 1—11. Polardreieck eines Sehnen Vierecks XIX, B 11.

Polare Vielecke XIX, A 3, 4. Polygon — Vieleck.

Potenz XVII, A 1, 2.

Potenzlinie XVII, A 3; B 2—8; als Ort XVII, B 2, 13, 14. Potenzpunkt XVII, A 4; B 8—10. Projektion III, A 5; XI, Aufg. 26. Proportion — Verhältnisgleichung. Proportionale = Glied einer Verhältnisgleichung.

Mittelpunkt V, A 11. Mittelpunktswinkel VII, A 9 ; B13,14. Mittelsenkrechte des Dreiecks VIII,

B 2.

— als Ort VI, B 10; VII, B 22. mm = Millimeter.

Modulus = regierendes Verhältnis. Monge, Satz des XX, B 14.

N.

w-Eck, Diagonalen X, Aufg. 29.

—    Inhalt X, B 6; Aufg. 25—26.

—    regelmäßiges XIV, A ; B 1,2,5,7. | — mittlere XII, A 2, 3; B 8, 9, 15;

—    Summe der Außenwinkel III, B 1.

—    Summe der Innenwinkel III, B 6.

Nebenecken des Vierseits XVIII, A 6 ;

XIX, B 11.

Nebenwinkel II, A 9; B 1—3.

0.

Oa, Ob, Oc als Lagenbezeichnung VIII, Aufg. 24.

Ort VI, A 1.

Ortsbogen VII, B 28.

Örter VI, A 2 ; B 8—12 ; VII, B18—28 ; VIII, B 5; IX, B 4; XII, B 4; XV, B 17—24; XVI, B 1, 2; XVII, B 1, 2,13—16 ; XIX, B 2 ; XX, B 15.

XVI, Aufg. 21—29; XVIII, B 3.

—    vierte XI, Aufg. 15, 16; XII, B 6; XVI, B 1 ; Aufg. 13—20.

Ptolemäus, Satz des XV, B 14. Punkt I, A 2, 8, 9.

—    Abstand von einer Geraden IV, A 5; B 10.

-— Bestimmung eines unzugänglichen Punktes V, Aufg. 16 c; XVIII, Aufg. 20; XX, Aufg. 12.

—    harmonische XVIII, Al; B 1, 8.

—    Kreis der neun Punkte VIII, B 8 ; XX, B 16.

—    merkwürdige des Dreiecks s. Dreieck

Punktreihe XI, A 8: XIX, B 9.

X, A 1—3.

von

Pythagoras, Satz des IX, B 9.

—    — — Anwendungen IX, Aufg. 23—25; XIV, Aufg. 11 — 21; XY, B 9—13, 16—18, 20—2^, Aufg. 16—28.

—    — — Erweiterung XV, B 7.

—    — — Umkehrung XV, B 8.

Q-qdm, qcm, qmm, qkm qm = Quadratmeter Quadrant = Viertelkreis.

Quadrat V, A 10; B 14; XVII, A 1, 2. Quadrate über Dreiecksseiten IX, B 7—9; XVI, B 1, 2.

Querschnitt X, Aufg. 5 ; XIV, Aufg.

36.

B.

r als Maßzahl VI, Aufg. 1; VIII, Aufg. 2, 10.

q (Rho) als Maßzahl VIII, Aufg. 7, 9, 19.

Radius = Halbmesser.

Raumgrößen I, A 1—3.

Rechteck V, A 8; B 12; IX, B 7, 8;

X, B 1 ; XII, B 6, 12—14; XX,B12. Rechtwinkliges Dreieck, s. Dreieck. Rechtwinkliger Schnitt zweier Kreise s. Kreis.

Regelmäßige Figuren XIV, A 1 ; B 1—7.

Rhombus V, A 9; B 13.

Ringkreise VII, A 3; als Ort XV, B 17—22, 24; XVII, B 1.

s.

S als Lagenbezeichnung XX, Aufg.

27.

s als Maßzahl XV, A 2.

Schar VII, A 15; B 25.

Scheitel II, A 1; VII, A 14. Scheitelprojektion XI, B 5b; Aufg. 26.

Scheitelwinkel II, A 10; B 5—7. Schenkel II, A 1; IV, A 2; V, A 6. Schwerpunkt des Dreiecks XII, B 2. Sechseck, regelmäßiges XIV, B 3. —, Sehnensechseck VIII, Aufg. 16, 27 b; XVIII, B 14.

—, Tangentensechseck VIH, Aufg. 20; XIX, B 12.

Sehne VII, A 6—8; B 6—11; XIX, B 1—4, 14.

Sehnenbüschel VII, B 26; XIX, B 2.

Sehnenschar VII, B 25.

—tangentenwinkel VII, A 10; B 13,

14.

—vieleck VIII, Al; B 13; XVIII, B 14, 15.

—viereck s. Viereck. Seitenhalbierende = Mittellinie. Sekante VII, A 4.

Senkrechte II, A 4, 5; IV, Aufg. 14, 16; V, B 1, 2.

—    als Ort VI, B 10; VII, B 20, 22, 25; XVI, B 1; XVII, B 2, 13—16.

Spitze des gleichschenkligen Dreiecks IV, A 2.

—, Ort für die Spitzen gleicher Dreiecke IX, B 4.

Strahl I, A 7 ; XVIII, A 2, 3. Strahlenbüschel VII, A 14; XI, Aufg. 24; XIX, B 2, 10.

Strecke I, A 7.

—    Halbieren einer III, Aufg. 6; IV, Aufg. 14.

—    Teilung einer I, A 9; V, Aufg. 17, 18, 21 (s. auch harmonische Teilung).

Stufenwinkel V, A 2, 3; B 3, 5. Supplementwinkel == Winkel, die zusammen 180° betragen. Symmetrie IV, A 3, 4.

—    des gleichschenkligen Dreiecks

IV,    B 1, 2, 4, 6, 7.

—    des Kreises VII, B 6—9, 12.

—    des Rechtecks V, B 12.

—    des Rhombus V, B 13.

—    des Quadrats V, B 14.

•— des gleichschenkligen Trapezes

V,    B 16.

T.

Tactionsproblem = Berührungsaufgabe.

Tangente VII, A 5; Aufg. 5, 25; XVIII, Aufg. 39; XIX, B 5, 6; Aufg. 2 b.

—    als mittlere Proportionale XII, B 15.

—    gemeinschaftliche VII, Aufg. 29 ; XX, Aufg. 18.

Tangentenvieleck VIH, A 2; B 14;

X, B 6; XIX, B 12—13.

—viereck s. Viereck.

Teilung einer Strecke s. Strecke.

Figuren IX, Aufg. 26—34.

—    harmonische XI, A 9; B 1, 2; XVIII, B 1—4, 8, 9; XX, B 6.

—    stetige XII, A3; B 18.

Teilverhältnis einer Strecke XI, B 1, 2.

—    der Mittellinien eines Dreiecks XII, B 1.

Thaies, Kreis des VII, B 27.

—, Satz des VII, B 16.

Träger XI, A 8.

Transporteur = Maßkreis. Transversale XVIII, A4, 5; BlO—13. Transversalensatz XV, B 9.

Trapez V, A 6; B 15, 16; X, B 5; XV, B 16.

—    gleichschenkliges V, B 16.

—    der merkwürdigen Dreieckspunkte XX, B 16 c.

U.

U als Lagenbezeichnung XX, Aufg.

27.

u als Maßzahl III, A 3.

Uhrzeiger,Winkel derselben II, Aufg. 8, 13—16.

Umfang XIII, B 10; XIV, B 8. Umfangswinkel VII, A 11; B 14-16. Umkreis VIII, A 1.

—    eines Dreiecks VIII, B 2.

—    eines Vierecks VIII, B 11.

—    eines regelmäfsigen Vielecks XIV, B 2.

V.

V als Lagenbezeichnung XX, Aufg.

26.

v als Maßzahl III, A 3.

Verhältnis XI, A 1—3; B 1—3, 5.

—    regierendes XIII, A 2 : B 7 ; XX, B 1, 6.

—gleichung XI, A 4—7 ; B 6—8.

—    —, stetige XII, A 1. Verhältnisteilung einer Figur IX,

Aufg. 26—32; XIII, Aufg. 26, 27, 36.

—    einer Strecke V, Aufg. 17 ; XI, B 1—5.

Verwandlung IX, A 2.

—    eines Dreiecks IX, Aufg. 1 r8; XIII, Aufg. 28.

—    eines Parallelogramms IX, Aufg. 9, 10, 16; XI, Aufg. 15.

—    eines Rechtecks in ein Quadrat IX, Aufg. 19; XII, Aufg. 28.

—    eines Vielecks IX, Aufg. 17, 18. Vieleck, Ähnlichkeit XIII, A 1 ; B 6.

—    Inhalt X, Aufg. 24—27.

—    Kongruenz VI, B 5.

Schuster, Planimetrie A.²

Vieleck, regelmäßiges XIV, A 1; B 1—7.

—    Sehnenvieleck VIII, Al; B 13; XVIII, B 14, 15.

—    Tangentenvieleck VIII, A 2 ; B14 ; XIX, B 12, 13.

—    Teilung IX, Aufg. 33.

—    überschlagenes XVIII, A 7.

—    Verwandlung IX, Aufg. 17, 18. Viereck, Arten V, A 5.

—    Inhalt X, B 1, 2, 5; XV, B 16.

—    Kongruenz VI, B 5.

—    Maßzahlen V, Aufg. 12, 27, 32.

—    Sehnenviereck VIII, B 9, 11; XV, B 14, 15; XVIII, B 15—17; XIX, B 11.

—    Tangentenviereck VIII, B 10, 12; XVIII, B 16, 17; XIX, B 13.

—    Teilung IX, Aufg. 26, 28, 29, 34.

—    Verwandlung IX, Aufg. 17, 18. Vierseit XVIII, A 6; B 8h, 9d,

16-17; XIX, B 11.

Vollwinkel II, A 7.

W.

W als Lagenbezeichnung XX, Aufg. 27.

w als Maßzahl III, A 3. Wechselwinkel V, A 2, 4; B 4, 5. Windrose II, Aufg. 17, 18.

Winkel, Arten II, A 4, 6, 8.

—    Entstehung II, A 1, 2.

—    am Kreise VII, A 9—11; B 12 bis 17.

—    Messung II, A 2—4, 6—8.

—    an Parallelen V, A 2; B 3, 4.

—    mit parallelen Schenkeln V, B 7, 8.

—    mit senkrechten Schenkeln III, B 7.

Winkelhalbierende des Dreiecks III, A 3; VIII, B 3; XII, B 3.

—    von Nebenwinkeln II, B 3, 4.

—    als Ort VI, B 11; VII, B 23.

—    von Scheitelwinkeln II, B 6, 7.

—    als harmonische Strahlen XVIII, 115, 9 b.

Winkelscheit, Gebrauch desselben II, Aufg. 6; V, Aufg. 4. Winkelsumme des Dreiecks III, B 2.

—    des w-Ecks III, B 6.

—    des Vierecks III, B 5.

Wurzeln, geometrische Darstellung

XVI, Aufg. 21, 22.

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Z.

Zehneck, regelmäßiges XIV, B 4. Zentrale eines Punktes VII, A 1;

als Ort VIT, B 21.

— zweier Kreise VII, A 2; B 5; XX, B 6.

Zentralprojektion = Scheitelprojektion.

Zentrische Figuren V, A 11 ; ähnlich liegende XX, B 4.

Zentrische Vierecke V, B 10,12—14.

Zentriwinkel == Mittelpunktswinkel. Zentrum = Mittelpunkt.

Zuordnung, zentrische V, A 11 ; XX, B 4.

—    harmonische XI, A 9 ; Bl; XVIII, B 1—9; XIX, B 1, 2.

—    polare XIX, A 1—4; B 1—11, 14—19.

—    symmetrische IV, A 3, 4; B 1, 2, 4, 6, 7; V, B 12—14, 16; VII, B 5—9, 12.

Zweideutige Aufgaben VI, Aufg. 2 If.

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