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Gropius’sche Buch- und Kunsthandlung

für

Architektur und technische Wissenschaften. (Wilhelm Ernst & Sohn.)

Berlin W. (41), Wijhelmstrafso 90,

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Vorlesungen über Brückenbau

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Theorie und Berechnung der

eisernen Bogenbrücken

von

Heinrich P. B. Müller-Breslau,

Civil - Ingenieur in Berlin,

Lehrer der Ingenieurwissen schäften und Mitarbeiter von „Ingenieurs Taschenbuch (Hütte)“.

Theil I.

Die stabförmigen elastischen Bögen.

Hierzu ein Atlas mit 29 Tafeln.

Berlin, 1880.

Polytechnische Buchhandlung

(A Seydel).

Unter dev Presse: Theil II, Fachwerkbögen.

Vorlesungen über Brückenbau

von

Heinrich F. B. Müller-Breslau,

Civil-Ingenieur in Berlin,

Lehrer der Ingenieurwissenschaften und Mitarbeiter von „Ingenieurs Taschenbuch (Hütte)“.

Band I.

Theil I.

Die stabförmigen elastischen Bögen.

Uebersetzungsrecht bleibt Vorbehalten.

Berlin, 1880.

Polytechnische Buchhandlung

(A. Seydel).

Theorie und Berechnung der

eisernen Bogenbrücken

von

Heinrich F. B. Müller-Breslau,

Civil-Ingenieur in Berlin,

Lehrer der Ingenieurwissenschaften und Mitarbeiter von „Ingenieurs Taschenbuch (Hütte)“.

Theil I.

Die stabförmigen elastischen Bögen.

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Hierzu ein

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Berlin, 1880.

Polytechnische Buchhandlung

(A. Seydel).

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Vorwort.

Durch Veröffentlichung der „Vorlesungen über Brückenbau“ erfülle ich den Wunsch vieler Hörer meines Privatcollegs, die nachgeschriebenen Vorträge in correcter und erweiterter Form zu besitzen.

Bei der Reichhaltigkeit des zu bearbeitenden Programms gab ich der selbstständigen Behandlung der verschiedenen Classen, in welche die Brückensysteme sich bringen lassen, den Vorzug, und enthält daher jedes Heft die Theorie der äusseren und inneren Kräfte, die Regeln für das Dimensioniren, die Berechnung der Horizontalverstrebung und der Pfeiler für eine Gruppe zusammengehöriger Systeme, während vollständig durchgeführte statische Berechnungen den Schluss bilden. Eine andere Form, die ja gewisse bei dem hier gewählten Verfahren nöthige Wiederholungen vermeidet, bringt, da eine erschöpfende Darstellung des Brückenbaus eine Arbeit mehrerer Jahre ist, den Käufer des Buches auf längere Zeit in den Besitz eines unvollständigen Werkes; auch erschwert sie die für den Praktiker so wichtige Recapitulation der Theorie eines bestimmten Systemes.

Weiter entschloss ich mich, mit den Bogenbrücken zu beginnen, da unsere Literatur reich an Publicationen über Balkenbr ü cken ist, während ein Werk, welches erstere im Zusammenhänge und vollständig behandelt, bislang fehlt. Die einschlägige Literatur, bestehend aus einer grossen Zahl trefflicher— in Zeitschriften zerstreuten — Abhandlungen¹) (unter denen die Epoche machenden Arbeiten von Fränkel und Winkler besonders hervorzuheben sind) ist bei Abfassung dieses Buches selbstverständlich benutzt worden; doch sind die folgenden Blätter mehr als blosse Reproduction. Bei der ausführlichen Quellenangabe, durch welche ich die Rechte anderer Autoren gewahrt habe, sind die mir eigenthümlichen Untersuchungen leicht als solche zu erkennen, wie z. B. „die Berechnung der Momente und Transversalkräfte unter Voraussetzung concentrirter Lasten“; „die Theorie der gefährlichsten Belastung der Widerlager“, „Sätze über Influenzlinien“ etc.

So sind z. B. in den für die Bögen aufgestellten Elasticitätsgleichungen alle Glieder, welche die relative Längenänderung der Bogenaxe berücksichtigen, von sehr geringem Einfluss auf die aus diesen Relationen abzuleitenden äusseren Kräfte, und hätte der erste Abschnitt dieses Werkes durch Weglassung jener Glieder vorbehaltlich nachträglicher Correctur der Resultate an Uebersichtlichkeit nur gewonnen. Wenn ich nun die in der Folge bei schwierigeren Untersuchungen beabsichtigte Voranstellung der Näherungstheorie hier unterlassen habe, so geschah dies, weil der Studirende diese Arbeit im vorliegenden Falle leicht selbst vornehmen kann, indem er sich an folgende Direktive hält:

Noch betone ich, als bezüglich der Behandlung des Stoffes principiell wichtig, dass ich das von einzelnen Autoren zur Erzielung einer recht durchsichtigen Darstellung gewählte Verfahren, alle Vernachlässigungen, welche später bei der Anwendung eines Problems zur Vereinfachung eingeführt werden, von vornherein zu machen, als durchaus zweckmässig anerkenne — jedoch nur unter der Voraussetzung, dass jede Vernachlässigung hervorgehoben wird, und eine nachträglich vorgetragene strengere Theorie — falls diese durchführbar ist — den Studirenden befähigt, die Zulässigkeit der Annäherung an der Hand numerischer Rechnungen selbstständig zu prüfen.

Beim ersten Studium Überschläge man die Seiten 5 bis 10, desgl. 26 bis 32 und setze in allen Entwickelungen der §§2,4 und 5 die Werthe «o und eo gleich Null. Sind mit diesen Auslassungen die §§ 1 bis 5 durchgearbeitet, so gehe man zu § 8 über und schliesse hieran die Abschnitte III und IV unter gleichzeitiger Beachtung der Zahlenbeispiele im Abschnitt VIII.

Hat sich der Studirende so mit dem Stolle vertraut gemacht und den Endzweck aller Untersuchungen d. i. die Anwendung der Theorie auf die Praxis übersehen, so werden die correcteren Deduktionen des ersten Abschnittes ihm keinerlei Schwierigkeiten mehr bereiten.

Die Methoden der graphischen Statik habe ich unberücksichtigt gelassen; dieselben werden — nach meiner Ueberzeugung — zweckmässig nicht als Zugabe zu analytischen Methoden, sondern als Theile einer rein geometrischen Wissenschaft im engen Anschluss an die Geometrie der Lage und in der hohen Auffassung von Culmann und Cremona studirt.

Die Elasticitäts- und Festigkeitslehre setze ich als bekannt voraus.

Berlin, im Mai 1880.

Der Verfasser.

Inhalts-Verzeichniss.

Disposition des Vortrages

Seite

XI

Abschnitt I. Biegungselasticität einfach gekrümmter Stäbe mit specieller Anwendung auf Brückenträger.

§    1.    Die    Spannungen..................

§    2.    Die    Formänderungen.................

§    3.    Die    äusseren Kräfte.................

§    4.    Die    drei Elasticitätsgleichungen.............

§    5.    Der    Bogen mit 2 Kämpfergelenken............

§    6.    Der    Bogen ohne Gelenke...............

§    7.    Beanspruchung der Bogenträger    durch Temperaturänderungen . .    50

11

14

19

23

45

Abschnitt II. Dimensionirung der Bogenträger.

§ 8. Blechbogenträger § 9. Gitterträger . .

CD

‘O CD

Abschnitt III. Specielle Behandlung des Bogenträgers mit 3 Gelenken.

§ 10. Die grössten Momente 9Dt₀ und ............

§11. Die grössten Transversalkräfte.............

§ 12. Deformationen...................

§ 13. Vorläufige Bestimmung des Querschnittes; Abschätzung des Eigengewichtes ................... .

Abschnitt IV. Specielle Behandlung des Bogens mit 2 Gelenken.

§14. Die grössten Momente und 5Ji«

§15. Die grössten Transversalkräfte

§ 16. Deformationen.......

§17. Vorläufige Berechnung des Querschnittes; Abschätzung des Eigengewichtes ....................

Abschnitt V. Specielle Behandlung des Bogens ohne Gelenke.

§18. Die grössten Momente und 5Jtu ............

§ 19. Die grössten Transversalkräfte.............

§ 20. Deformationen .    .    ,................

§ 21. Vorläufige Berechnung des Querschnittes; Abschätzung des Eigengewichtes ....................

79

89

94

98

. 102

109

113

117

119

124

125

Abschnitt VI. Die Horizontal-Verstrebung.

§ 22. Annahmen bezüglich der Belastung und der Zulässigkeit der Inanspruchnahme ..................

§ 23. Theorie der Horizontalverstrebung............

Abschnitt VII. Berechnung der Widerlager und Pfeiler.

§ 24. Fundamentalformeln.................

§ 25. Die Berechnung des Landwiderlagers...........

§ 26. Berechnung des Pfeilers................

§ 27. Festigkeit der Bausteine................

Seite

127

130

140

148

154

159

Abschnitt VIII. Beispiele für die statische Berechnung der Blechbogenbrücken.

§ 28. Eisenbahnbrücke von 14,8m Stützweite. Bogen mit Kämpfergelenken

und Scheitelgelenk.................

§ 29. Eisenbahnbrücke von 24m Stützweite. Bögen mit Kämpfergelenken ohne Scheitelgelenk.................

161

180

Anhang

209

Quellenangabe,

soweit dieselbe nicht bereits im Text erfolgt ist.

ad § 1. Man vergl. Grashof „Theorie der Elasticität und Festigkeit“, Berlin 1873, pag. 251—259 und pag. 283—287; ferner Winkler „Die Lehre von der Elasticität und Festigkeit“, 1867, pag. 268—272.

Die auf Seite 6 für Tc abgeleitete Differentialgleichung hat Grashof entwickelt; auf die Spannungen Tr. wurde zuerst durch Winkler hingewiesen.

S.S.

Grashof a. a. 0.; Winkler a. a. 0.

Die sehr übersichtliche und allgemeine Aufstellung der 3 Elasticitäts-gleichnngen in der hier gewählten Form zeigte Weyrauch „Theorie der elastischen Bogenträger“, München 1878. (Dagegen ist die Vereinfachung der Gleichungen für den Parabelbogen durch Einführung der constanten Näherungswerthe für so und so etc., Eigenthum des Verfassers.) ad § 6 u. 7. Der Bogen ohne Gelenke wurde zuerst von Winkler allgemein behandelt, desgleichen der Einfluss der Temperaturänderungen auf Bogenträger. Vergl. Winkler a. a. 0. pag. 328 bis 369.

Die gleichzeitige Beanspruchung der Bögen durch beliebig gerichtete in der Bogenebene wirkende Kräfte und durch Temperaturänderungen zeigt in allgemeiner Weise Weyrauch a. a. 0. ad § 8. Die Kernlinien hat zuerst Winkler a. a. 0. eingeführt, ad § 9. Die Elasticitä-tsgleichung für das Viereck mit zwei steifen Diagonalen entwickelte Winkler in den „Mittheilungen des Architekten- und Ingenieur-Vereins für Böhmen“, IV. Jahrgang 1869, pag. 1. ad Abschnitt III bis IV. Die Bestimmung der Belastungsscheiden mit Hilfe der Kämpferdrucklinie zeigte für Bögen mit Kämpfergelenken Fränkel im „Civil-Ingeniour 1867“ pag. 57, ferner für Bögen mit oder ohne Gelenk Winkler a. a. 0. — Arbeiten über Influenzlinien sind: Winkler, „Vortrag über die Berechnung der Bogenbrücken, Mittheil, des Archit.- u. Ing.-Ver. f. Böhmen“ 1868, pag. 6 u. f.: Weyrauch, „Theorie der Träger“, Leipzig 1873; Fränkel, „Civil-Ingenieur“ 1876; Müll er-Breslau, „Des Ingenieurs Taschenbuch (Hütte)“ 1877²); Stelzel, „Theorie der Brückenträger“, Wien 1880, ad Abschnitt VI. Die Querconstructionen eiserner Brücken hat zuerst Winkler in den „Vorträgen über Brückenbau“, Heft IV, Wien 1879, im Zusammenhänge und vollständig behandelt.

ad Abschnitt VIII. Bei Berechnung der Stossverbindungen wurden Schwedler’s früher an der Bauakademie in Berlin gehaltene Vorträge benutzt.

Berichtigungen und Nachträge.

Seite 8 Zeile 1 v. o. streiche man die Worte: und ausserdem r constant angenommen.

„    22 in def ersten der Formeln 44 setze man: [y] statt [y<].

O    0

„    27 Zeile 10 setze man:

„    33

statt:

(?)•

ft. a.

11    +    Pab

„    11 v. o. setze man: —

Pab

”    ”    21Tb '

„    35    „    1 v. u. setze man im Nenner: 29Pocos²gr,o statt: 2yocos²7?; ferner

fehlt am Ende des Zählers eine Klammer.

„    „    12 v. u. „

statt

Pa b

21

Pab

„    36    Zeile    10    y.    o.    setze man: der Geraden statt: den Graden.

„    „    „    3    v.    u.    fehlt hinter den Worten „zu klein gewählt“ das    Zeichen: **).

„    45    „    14    y.    0.    setze man: A statt: A\.

„    53 muss Formel 70 lauten : H —

15 etEtF

₁. P - JP ¹⁰ P + fP

A² P

Ä~²

„    59 Zeile 5 und 6 v. u. ist rpn durch <p zu ersetzen.

„    65 ist in der Anmerkung 650k statt 500k zu setzen.

V C²    Vc²

80 Formel 116 muss heissen: vl — vc + — statt: vl + 77 •

4 l

„    87 Zeile 11 v. 0. setze man:    1 statt:

„    90    „

„93    „ 15 v. o. streiche man: (Fig. 77).

„    94 ist hinter Formel 140 Folgendes einzuschalten:

Fall II. E liegt rechts von S. Die Belastungsscheide E wird ohne Bedeutung und ist daher

(min Rt)v —

5 v. u. setze man: B G statt: A G.

vcos<p(ltg(p + h)

4 Ih

Xm- 1Xm ^

so dass man in die vorstehenden Rechnungen

c = ^ ^ J (Ztggp + h)xm-lXm

zu setzen hat.

„ 111 Zeile 9 v. u. ist zu setzen:

„ 113 sind die Zeilen 10 und 11 zu streichen. Dafür ist zu setzen:

Ergiebt sich | aus Formel 170 negativ, so ist in JSPb und APö2 der Werth i — 0 einzuführen und folgt dann

6,72-6,0

4,0

statt:

8,72 — 8,0

4,0

(max Ri)v

„ 134 Zeile 6 schalte man hinter „Windträger“ ein: Fig. 124.

„    „    „10 setze man: A’ und B' statt: A'B'.

Auf Tafel 8 fällt in Fig. 92 der Punkt E' nur zufällig mit dem Parabelscheitel zusammen.

Disposition des Vortrages.

Classificirung der Bogenträger.

(Hierzu die Figurentafel A des Atlas.)

Die einfachste Form eines Bogenträgers ist:

der stabförmige elastische Bogen, d. i. ein prismatischer Stab, dessen Axe eine ebene Curve ist und der bei A und B (Fig. I) unterstützt wird. Das Gewicht der Fahrbahn A' B' und die auf diese wirkenden Lasten, werden zweckmässig durch verticale Stäbe auf den Bogen übertragen.

Es empfiehlt sich dieses System bis zu Stützweiten von etwa 35m. Darüber hinaus hat man ausser constructiven Schwierigkeiten auch einen zu grossen Materialaufwand zu gewärtigen. Man entscheidet sich dann besser für den

Fachwerkbogen. (Beispiele zeigen die Figuren II bis V.) Unter einem Fachwerk wird ein Stabsystem verstanden, dessen Theile in den Knotenpunkten durch je einen Gelenkbolzen mit einander verbunden sind. Legt man durch dasselbe einen Schnitt (Fig. VI) und bringt an den Trennungsstellen die in den geschnittenen Stäben wirkenden inneren Kräfte (Spannkräfte) S als äussere Kräfte an, so müssen diese, falls die Belastungen nur in den Knotenpunkten angreifen, in die Richtungen der Stabaxen fallen, da im Gegenfalle die Stäbe um die Gelenke gedreht werden, mithin kein Gleichgewicht besteht. Es werden hiernach sämmtliche • Stäbe nur auf Normalfestigkeit beansprucht. Hervorzuheben bleibt allerdings, dass die festen Nietverbindungen, welche bei europäischen Brücken an Stelle der Gelenkbolzen in den Knotenpunkten treten, eine — wenn auch nur geringe — Anstrengung der Stäbe auf Biegungsfestigkeit zur Folge haben.

Eine dritte Categorie der Bogenträger bilden

die versteiften Bögen. Bei dem System in Figur VII ist der stabförmige elastische Bogen ASB mit einem Balken A\Bi fest verbunden, und wird sich die Belastung nach bestimmten Gesetzen auf Balken und Bogen vertheilen. Das System könnte man auch einen combinirten Balken- und Bogenträger nennen. Figur VIII zeigt einen stabförmigen elastischen Bogen, der mit einem Fachwerk combinirt ist.

XII

In die hier angeführten drei Classen lassen sich sämmtliche bisher ausgeführten Systeme schmiedeeiserner Bogenträger bringen, und zerlegen wir daher den Vortrag in drei Abteilungen, so zwar dass Theil I die stabförmigen elastischen Bögen,

II die Fachwerkbögen,

III die versteiften Bögen

behandelt. Als Beispiele sollen in diesen drei Theilen nur gerade Eisenbahnbrücken gewählt werden. Ein IV. Theil wird die Berechnung der Strassenbriicken mit Bogenträgern, ferner Beispiele für schiefe Bogenbrücken und schliesslich das Wichtigste über die — immer seltener zur Ausführung gelangenden — gusseisernen Bogenbrücken enthalten.

Hervorgehoben werde noch, dass bei Berechnung der Eisenbahnbrücken als Verkehrslast der in Fig. 19, 19a und 19b auf Tafel 2 dargestellte Normal-Zug, bestehend aus drei Maschinen und darauffolgenden Güterwagen, eingeführt wird. Die Wahl dieses Systems ist auf Seite 3G und 37 motivirt. Die permanente Last (Constructionslast) ist als eine gleichförmig vertheilte in Rechnung gestellt und = p pro Längeneinheit der Stützweite gesetzt worden. Als Verkehrslast darf man nur bei grösseren Stützweiten eine gleichmässig vertheilte substituiren; sie soll in solchem Falle mit v (pro Längeneinheit) bezeichnet werden.

Wenn eine innere oder eine äussere Kraft oder ein Moment nur von der permanenten oder nur von der veränderlichen Last abhängt, so erhält sie den Index p oder v.

T'heil -X.

Die stabförmigen elastischen Bögen.

Abschnitt I.

Biegungselasticität einfach gekrümmter Stäke mit specieller Anwendung auf Brückenträger.

§1.

Die Spannungen.

Ein elastischer stabförmiger Körper, dessen Schwerpunktsaxe eine Curve einfacher Krümmung ist, werde in der vertical gedachten Ebene dieser Curve durch irgend welche Kräfte ergriffen.

Die Stabaxe sei auf ein in der Bogenebene angenommenes System rechtwinkliger Coordinaten bezogen und möge concav gegen die nach „rechts“ positive horizontale x-Axe liegen. Die y-Axe ist nach „oben“ positiv, qp bedeutet den Neigungswinkel der im Punkte (x, y) an die Bogen-axe construirten Tangente gegen die x-Axe. (Fig. 1.)

Der „Querschnitt an der Stelle x, y“ (in der Folge kurz „Querschnitt (x, ?/)“ genannt), d. i. der durch den Punkt (x,y) normal zur Bogenaxe geführte Schnitt, wird auf die Gerade ab (Fig. 2), in der die Bogenebene den Querschnitt schneidet, als Axe und die hierzu senkrechte Schwerlinie cd als ^-Axe bezogen.

Die Spannung, durch die das Element dF des Querschnittes in Folge der Belastung des Stabes afficirt wird, zerfällt in die „Normalspannung“ N senkrecht zum Querschnitt (als Zugspannung positiv) und die „Schubspannung“ T in der Ebene des Querschnittes. Letztere besitzt die Com-ponenten T;; normal zur J/-Axe und Ti normal zur £-Axe, von denen erstere im Sinne der positiven £-Axe, letztere im Sinne der negativen 17-Axe positiv angenommen werde.

Nachdem der Bogen durch den Schnitt aß in zwei Fragmente zerlegt worden ist, seien sämmtliche am linken Fragmente angreifenden Kräfte zur Resultirenden li im Abstande s vom Punkte (x, y) vereinigt. Dieser Kraft R müssen die den Spannungen N und T im Querschnitte aß entsprechenden Kräfte NdF und TdF in ihrer Gesammtheit das Gleichgewicht halten.

1) Die Normalspannung (FaserSpannung). Bedeutet vor Einwirkung der Belastung

ds = r (— dcp) die Länge des Elementes der Bogenaxe, dSy die Länge des Faserelementes im Abstande rj von der die Bogenaxe enthaltenden Faserschicht cd,

und sind weiter

/dds und dds^ die Aenderungen, welche diese Werthe erleiden, sobald sich der Stab unter Einwirkung der Belastung deformirt,

so folgt

dsv — (r + tj) (— dcp) — ds — tjdcp , dst] + dds^ = ds + Ads — r\ (dcp + /Idcp) und nach Subtraction der ersten von der zweiten Gleichung /Ids^ = /Jds — 7] /Jdcp.

Hierbei ist von einer Aenderung der Querschnittsdimensionen, also auch von einer Aenderung des Werthes ?/ abgesehen.

Die Faserspannung N ist, wenn E den Elasticitätsmodul bedeutet, bekanntlich durch die Relation

dsv

Nachdem R in irgend einem Punkte seiner Richtung in die Com-ponenten Rn (Axialkraft) normal zu aß und Rt (Transversalkraft) parallel zu aß zerlegt und hinsichtlich der Vorzeichen festgestellt worden ist:

Rn ist „positiv“, wenn es im Querschnitt aß Druckspannungen hervorruft,

Rt ist „positiv“, sobald es nach der convexen Seite des Bogens zeigt,

das „Angriffsmoment“ 9)1 = Rs ist „positiv“, wenn es den Krümmungsradius r der Bogenaxe zu vergrössern trachtet, ergeben sich die Gleichgewichtsbedingungen:

9T( -hfNdFij = o Rn + jNdF = o Rt = f Tg d F fTri dF = o jNdFl = o,

deren letzte die Forderung ausspricht, dass die Kräfte NdF eine Drehung des Querschnittes um die Jf-Axe nicht erzeugen dürfen.

1)

2)

3)

4)

3)

definirt, wird also

oder, wenn

ft) (= relative Aenderung des Contingenzwinkels)

l-ö

z1ds — tjAdq

ds — rjdq:

Ads r\ A dcp ds r dcp

— — — eü (= relative Längenänderung der Bogenaxe) A d cp

dcp

gesetzt wird.

6)

N = E fo H-

-S l-=ä

CO

_ r 4- rj

*Ö + (f0 — fc'o)

r

_3

d. i.

IV

r3

Da zur Bestimmung der beiden Unbekannten s₀ und co aus den gegebenen äusseren Kräften die Gleichungen 1 und 2 genügen, ist es nicht nöthig, vorerst auf die Ermittelung der Schubspannungen T einzutreten. Die ebenfalls nur von den N abhängige Bedingung 5 wird eine bestimmte Forderung an die Gestalt des Querschnittes stellen.

Aus 1 und 2 ergiebt sich mit Rücksicht auf G

— *o )r

E ⁼    (M

E ⁼ \dF+(m ~

i?«

UhdF-fz‘dF+J':

**> ßdF~ («-")[fär-fgdF+—..

rl

d.F----

oder, wenn

/»-/

dF 4--- • • = 25 F

gesetzt und beachtet wii'd, dass Ji]dF als

statisches Moment des Querschnitts in Bezug auf die Schwerlinie cd gleich Null wird,

EF=(°>-‘o)r®

woraus sich

7)

ft) = £₀

Bn

EF

— h) — O — «o) 25 ,

s₀ — —

EF

4-

5)11

EFr 2)

ergeben. Hierin ist 2) ein lediglich von der Querschnittsform abhängiger Werth, der, falls r im Vergleich mit den Querschnittsdimensionen sehr

EF

r 2).

gross ist (was bei den folgenden Anwendungen der hier vorgetragenen Theorie stets zutrifft), mit sehr geringem Fehler

-yJ?dF-

r- F

gesetzt werden darf, wo J das Trägheitsmoment des Querschnittes in Bezug auf die £-Axe bedeutet.*) Man erhält dann

8)

CO = f₀

9Jlr

EJ

und die Faserspannung

931 rij

E rF    J (r + >]) '

oder, wenn — was bei relativ grossem r ohne Bedenken geschehen darf —

N= —

Rn 931

gesetzt wird,

9)

N= —

Rn _ 931 _ 9317j .

F rF

./

Speciell für die durch

gegebenen äussersten Fasern folgt:

rj = a„ resp. tj = — a„

Nn — —

Rn

10)

Hu = —

Rn

931 au H •

[Bei Anwendung dieser Formeln auf die Berechnung der Brückenträger wurde bislang stets das Glied dasselbe jedoch um so mehr berücksichtigen, als in dem bei weitem

931

rF

vernachlässigt. Wir werden

*) Für ein Rechteck von der Breite b und der Höhe h ist beispielsweise:

+ A    A

r    r ²    z.²

J tfdF — bJrj^dr/ — 2 bj rf² dif =

12 ’

JvidF=2bJrl*drl =

b A⁵

80

80

jdF = o

daher:

³⁵ “ 12 r¹ + 80 r4 + 448 rG + Diese Reihe convergirt bei kleinem —

ausserordentlich schnell.

wichtigsten Falle kreisbogenförmiger Bogenaxe die correcte Berechnung der N einfacher wird als die genäherte.]

Setzt man schliesslich noch den Werth N aus 6 in die Gleichung 5 ein, und beachtet

ßdF = o ,

so erhält man die Bedingung:

t]$dF

°⁼J

tf^dF

r2

r3

welche nur erfüllt wird, wenn die Gerade ab eine Symmetrieaxe ist. Bei relativ grossem r darf man angenähert

o — Jt]%dF

schreiben, woraus dann folgen würde, dass die Axen ab und cd die Hauptaxen des Querschnittes sein müssen, d. h. diejenigen Axen, in Bezug auf welche die Trägheitsmomente Maxima werden.

2) Die Schubspannungen.³) Die Ermittelung der T soll (ebenso wie die Berechnung der Schubspannungen in geraden Stäben) unter der Annahme durchgeführt werden, dass Ts unabhängig von § ist, dass also sämmtlichen an der zu cd parallelen Geraden c'd' (Fig. 3) gelegenen Flächenelementen dasselbe Tt entspricht.

Das früher bezüglich der Vorzeichen Festgestellte bezog sich auf den Endquerschnitt aß des „linken“ Bogenfragmentes, so dass im Endquerschnitt a’ß’ (Fig. 3) des rechten Fragmentes die T^ im positiven Sinne der 7/, und T im negativen Sinne der £ positiv einzuführen sind.

Durch einen weiteren Schnitt a'ß” im Abstande ds von a'ß' sei aus dem Stabe eine Scheibe und aus dieser wieder durch zwei Schnitte parallel

drj und

beziehungsweise (r H- tf) (— dq>) und £i haben, wo die Breite der Faserschicht cd' bedeutet.

zur Faserschicht cd im Abstande i] resp. r\ + drj von der cd ein Körperelement heraus getrennt, dessen Seitenflächen AÄ und AB (Fig. 4) die Abmessungen

AA' wird durch die Spannungen N und Tc afficirt und entsprechen diesen die Kräfte

Pi = Nb dn

P₂ = Tj?! dtj

während auf die gegenüber liegende Fläche BB' die Kräfte Pi 4- dPi und Pa 4- dPi wirken.

Die Fläche AB wird durch eine Tangentialspannung beansprucht, die, einem bekannten Satze der allgemeinen Elasticitätslehre zufolge, gleich der .Tj in AÄ ist und beträgt daher ihre Belastung P₃₌₌ T^r + ij) (-dtp)*!.

Dieser entspricht eine Kraft P3 4- dP₃ in der gegenüber liegenden ÄB\ Setzt man die Summe der normal zu AA’ gebildeten Componenten der hier aufgeführten Kräfte gleich Null, so folgt:

worin

dP₃ cos (— dcp) 4- (P2 4- dPa) sin (— dcp) — dP\ cos (— dcp) = 0 cos (— dcp) = l sin (— dcp) — — dcp.

Nach Streichen der unendlich kleinen Grösse zweiter Ordnung: dP%dcp erhält man

4- dP₃ — P^dcp — dPi — 0.

Da nun

dPt =

d(Nh)

dtp

dcp di1

dP₃ = (r 4- tj) (— dcp)

d(T₆Si)

di]

drj 4- T^idt] (— dcp)

ist, so wird

d(<T^ dt] dcp (r 4- n) — 2Pi£i drj dcp

d(N^)

dcp

dcp dt] — 0

und nach Division durch dt] dcp, ferner Einsetzen von dcp — —

ds

dt]

(r 4- n) 4- 2    ^

d(Nh)

wofür, wenn ein constanter Querschnitt vorausgesetzt, also angenommen wird, dass £1 nur mit rj, nicht aber mit cp veränderlich ist, d(Tih)

2

~    1

r 4-1]    '

— = 0 r 4- t] ds

geschrieben werden darf. Diese Gleichung hat die Form

1)

di]

dt]

i-Fi(:i)(T₍U) + FAn) = o ,

mithin entspricht ihr das Integral — fPliv) dt]

Ttfi

[c -jFt (?)

fl\ (v) drj

dt]

Nun ist

Jfi(v) dn = 2J-

= 2 ln (r 4- i])

r 4- t]

also

f Fi (rj) d tj e — 0 4- t])²,

weiter

rSi dN r + t] ds ’

^2 ('/) =

2{5i= <? + J(r + ri)r^~ dF

wobei !i dt] = dF¹ gesetzt wurde.

Die Einführung von

mithin:

_ (r + rj)²

N= —

liefert

R„ SOI SOI r t]

F rF (r + tj) J

Tt £i =

i rdm

dRn . d 301*1

ds.

ds

dF

ds

r² t] d F

oder, wenn unter der Voraussetzung, dass der Querschnittsumfang bei a (Fig. 3) eine Tangente tt parallel der cd hat, die Constante C aus der Bedingung bestimmt wird, dass für t] = a₀ sich Tt = o ergeben muss, (da im andern Falle die bei a den Umfang normal schneidende Tt eine gleich grosse in dem Mantel wirkende Spannung zur Folge haben würde, und sich diese wieder nur durch eine im Mantel wirkende, hier aber als nicht vorhanden angenommene äussere Kraft erklären liesse):

i fam ₀    )

rds^dF i

n

Tt = +

dRn . d soll

0- + n)

ds

dF +

Wird die am linken Bogenfragment angreifende Kraft R in irgend einem Punkte (,®i y\) (Fig. 5) ihrer Richtung in die Componenten Y parallel y und X parallel x zerlegt und weiter angenommen, dass der Bogen unter anderem eine nach irgend welchem Gesetze über die Hori-zontalprojection vertheilte verticale Belastung trägt, so zwar, dass auf das Bogenelement der Antheil p dx entfällt, so hat man für den Querschnitt xy

Y(x-xO-X(2f — y₁)

Ru — Y sin qp -+- X cos cp Rt — Y cos cp — X sin cp

daher:

d9Jl_rda; Xdy

ds

ds

— Y cos cp — X sin cp = Rt d s

dRn

ds

Y cos cp — X sin cp pdx

— — f sin 2 cp , r 2

wesshalb sich

11) Ttjt

Rt

(r + »/)

2 FRt

&Q

sin 2 (pjd F (r H- rj) V

ergiebt. Ist i] gegen r vernachlässigbar und ausserdem r constant angenommen, so folgt

12)

Rt r@ P . o % 1

⁼⁼d7-3s;sm²,’s\l’

wo % — Inhalt des oberhalb cd’ (Fig. 3) gelegenen Querschnittstheiles und <§> = statisches Moment dieses Theiles in Bezug auf die Axe cd.

Streicht man noch das zweite der beiden in der Klammer stehenden Glieder, was bei flachen Bögen und grossem Rt um so eher geschehen darf, als die Ts nur für diejenigen Querschnitte in Betracht kommen, denen grosse Transversalkräfte Rt entsprechen, so findet man

Rt<5

hJ ’

welche Formel bekanntlich dem geraden Stabe entspricht.

Bei Ermittelung der Tt] beachte man wieder, dass ein am Umfange des Querschnittes gelegenes Flächenelement durch eine tangential an den Umfang wirkende T beansprucht wird, da jedes anders gerichtete T eine Componente normal zum Umfange besitzt, und diese eine gleich grosse parallel zur Stabachse den Mantel afficirende Schubspannung zur Folge haben würde. Deshalb ist

13)

Tl

(Tr) 1 = Tl tgV

wo (Ty)i der Specialwerth von an der Stelle $ =

der spitze Neigungswinkel der Querschnittstangente gegen die rt-Achse.

Es werde jetzt aus dem vorhin betrachteten Streifen mit den Abmessungen £i, dr\ und (r H- t\) (—dcp) ein parallelepipedischer Körper

£i

(Fig. 7) von der Breite — — £ herausgetrennt und die Summe der normal zum Querschnitt a'ß' gerichteten Componenten der die Seitenflächen dieses Körpers belastenden Kräfte gleich Null gesetzt. Die hierbei in Betracht kommenden Kräfte sind in der nachstehenden Tabelle zusammengestellt.

14)

und xp (Fig. 6)

Bezeich

nung

der

Fläche.

Inhalt der Fläche.

Span

nung.

Belastung.

Differentiale der Belastung.

uw s r

Gll — !) dt]

drj (r + rj) (— dp) dt] (r rj) (— dp)

s r G & ~i)(r + rj) (— dp)

WIV SS

uu r s

dNx

Pt = Nx dv G St ~ I) p₂ = dv -1)

p₃ — _ (Tr;)l drj dy (r + rj)

Pi — — Ty drj dcp (r -f- rj)

Pa = —Ti dcp (r+ V) Gll- I) dP₅ = -dTk

dPi =

dp

dp dt] Gll—I)

dr)dp(r+rj) Gli~l) — ^G^i — £) di) dp

di)

Die Bedingung für Gleichgewicht lautet:

— dP\ -+- Pi — Pi + dP-3 + (P% -+- dP%) sin dcp = 0 — dP\ + JP4 — Pi -+■ dP;, + P2 dcf' = 0, oder nach Einsetzen der Werthe P und dP

§ 5.

@1 = 0

an = - Hty

5*

die ku im Querschnitte c c zu berechnen ist.

mb = 4-

120 EJ’

Theorie der Horizontalverstrebung.

dS da

Festigkeit der Bausteine.*)

Wphp -t- TF„(V+ -^) = (ü4-^)2Z-| •

folgt mit k — 0,5* pro □cm und C2 = 20,2

tgß = 4

¹

Von der Literatur des Auslandes sei — als durch eine eigenartige elegante Deduction sich auszeichnend — hervorgehoben: Gros de Perodil „Resistance des voutes et arcs metalliques“, Paris 1879.

²

Diese Arbeit, welcher das in vorliegendem Werke befolgte Princip zu Grunde liegt, befand sich bereits 1875 in den Händen der Redaction des Taschenbuchs. Ich habe die Arbeiten über die Influenzlinien der Balken mit angeführt, weil es sich hier um Methoden handelt, die auf jedes System Anwendung finden.

³

Bei Behandlung der Schubspannungen und Hauptspannungen ist die „allgemeine Elasticitätslehre“ als bekannt vorausgesetzt worden. Bemerkt sei vorweg, dass die sub 2 und 3 durchgeführten Untersuchungen nur insofern von praktischem Interesse sind, als sie lehren, dass die Spannungen T bei flachen Bögen nach den für den Balken gütigen Formeln berechnet werden dürfen und bei der Querschnittsermittelung nicht in Betracht kommen.

d. i.

— dP\ -+- Pi — Pi + dP-₃ + (P% -+- dP%) sin dcp = 0 — dP\ + JP4 — Pi -+■ dP;, + P2 dcf' = 0, oder nach Einsetzen der Werthe P und dP

dNx

— —— d cp d tj

ddp

(IM

— (r + ri) dt] dtp + (TJ 1 (r -+- y) dtj dcp

Hieraus folgt

/1    \    d Tz

(>- + v) [j-ijdvdy

= 0.

= (r,)‘ + s( -ä)=°

worin

<& = -

r + t]

d.Nx V ds

— (r + tf)

dT,

d t] _

ein von £ unabhängiger Werth ist, welcher mit Hilfe der durch die Symmetrie des Querschnittes motivirten Bedingung bestimmt wird, dass ein Wechsel des Zeichens von £ lediglich eine Aenderung des Vorzeichens von Ty bewirkt, wofür man einfacher die Forderung substituirt, dass £ = 0 auch Tt] = 0 ergeben muss.

Man findet dann

5i

und

15)

^,= ² C^f-

Stellt man hiernach die T als Ordinaten einer Curve dar, so erhält man eine gerade Linie OD (Figur 6).

Weiter folgt, dass die Resultirenden T aus sämmtlichen, demselben t] entsprechenden, zusammengehörigen T: und T' die Jf-Achse des Querschnittes in dem nämlichen Punkte S schneiden.

Da die Ti unabhängig von £ sind und (TJ) 1 der Maximalwerth der T^ ist, so werden die grössten resultirenden Spannungen T den am Umfange gelegenen Querschnittselementen entsprechen; dieselben sind durch

cos rp

16)

gegeben.

3. Die Hauptspannungen und ideellen Hauptspannungen.

nur

In den Seitenflächen eines unmittelbar am Mantel des Stabes gelegenen Körperelementes, dessen Abmessungen a\b\d (vergl. Fig. 8) beziehungsweise parallel der Stabachse, der Tangente und der Normale zum Querschnittsumfang sind, wirken nach Vorigem die Spannungen N und T, so zwar, dass Fläche (b' c) durch N und T, Fläche (ad)

durch T beansprucht wird. Schneidet man aus diesem Körper unter a ein

Parallelepiped mit den Abmessungen a, b, c (Fig. 9) und wählt dabei

„    2 T

tg 2a = —

so werden die Seitenflächen des Körpers (abc) nur durch Normalspannungen Na und Nb, die gleichzeitig Maximalspannungen (Hauptspannungen) sind, afficirt. Dabei ist

Na = ± N + \ VW² -h 4T2 Nb =    — % VN² + 4 T².

In Folge der Na wird a um

Na

(Ja!) = a-ß

verlängert, während der Nb die Contraction

Nb

(Ja”) = a — [i

entspricht, unter n den für Metalle zwischen ^ und schwankenden Quercontractionscoefficienten verstanden. Die Gesammtänderung ist

Ja = ~ (Na — ft Nb)

und analog

Jb = ~ (Nb — f*Na).

Diejenige allein im Sinne a wirkende Spannung (Na)i, welche dieselbe Aenderung Ja erzeugt, wie die beiden Spannungen Na und Nb zusammen, ist definirt durch die Bedingung

(Na)i = Na lu Nb,

sie heisst ideelle Hauptspannung im Sinne a, während man

(Nb)i = Nb- fl Na die ideelle Hauptspannung im Sinne b nennt.

Bedeutet k diejenige Spannung, welcher die grösst zulässige relative Längenänderung entspricht, so sind die Dimensionen des Quer-

Ja

Jb

Schnittes so zu wählen, dass sowol — als auch — kleiner oder

a    b

k

höchstens gleich sind; d. h. dass

k > (Na — [i Nb) k > (Nb — fi Na)

Man erhält daher nach Einsetzen der für Na und Nb oben angegebenen Werthe die Festigkeitsbedingung

{Lp** L+jy ß.

*) Vielfach wird noch immer der Fehler begangen, dass die grösste der „Hauptspannungen“ gleich der „zulässigen Spannung“ gesetzt wird, trotzdem bereits seit Jahren durch die classischen Werke über Elasticitätslehre von Grashof und Winkler der hier befolgte richtige Weg scharf vorgezeichnet worden ist.

17)

max

max •

Stellt sich heraus, dass die ideelle Hauptspannung für t] = 4- a„ oder tj = — au ein Maximum wird, so findet man, da an diesen Stellen T = 0 ist, die Festigkeitsbedingungen (ohne Rücksichtnahme auf die Vorzeichen)

Je > N0 Je > Nu,

es kommen also in diesem Falle die Schubspannungen nicht in Betracht.

Während nun bei hohen Blechbalken in der Regel N{ an einer Stelle ein Maximum wird, an der eine Spannung T existirt, und dann nicht selten N₍ von den Spannungen Na und N„ so erheblich abweicht, dass aus der Nichtberücksichtigung der T ein merklicher Fehler resultirt, hat man bei Berechnung der Bogen träger nie nöthig, auf die Bestimmung der Spannungen T einzutreten; man darf vielmehr stets, wenn Jcu resp. Jcu die für die oberste, beziehungsweise unterste Faser als zulässig erachteten Spannungen sind, die Grenzbedingungen für die Festigkeit schreiben:

Jcv = —

18)

Jcu — —

Sil ^ Sj! fei

Ma₀

Mau

§2.

Die Formänderungen.

Aendert der Bogen in Folge der Belastung seine Form, so gehen die Coordinaten x und y in (x 4- /Ix) und (y 4- Ay) über. Aus

dx — ds cos qp

folgt

d (x + dx) — d(s 4- ds) cos (<]p 4- A qp)

— ds [cos gn cos (// cp) — sin cp sin (z1 qp)]

4- dAs [cos qp cos (// qp) — sin qp sin qp)] oder, wenn man, des sehr kleinen Winkels A qp wegen, cos (Acp) — 1 und sin (A qp) = A cp setzt und die kleine GrösseJ zweiter Ordnung d(As)Acp vernachlässigt:

d(As)

dx.

ds

d (Ax) — — A cp dy 4-

Analog ergiebt sich aus

dy = ds sin qp,

d (Ay) — -+- A cp dx-\-

d (As)

so dass:

ds

dy,

= —j.A cf) dy 4-js₀ dx 4- Const., Ay = -f-jA cp dx 4-fs₀ dy 4- Const.

Ax

Hierin ist, wegen

// dy d(dq)

d <j>

dy

- = ft),

/I q' — J'co dy -h Const., so dass sich die Coordinatenänderungen:

= —w dy dy + j s₀ dx -h Const.

//;/ = + jjico dy dx 4- f f₀ dy H- Const.

aus den Werthen üf und 22,,, durch welche co und e₀ in § 1 ausgedrückt wurden, ermitteln lassen.

Wir werden diese allgemeinen Gleichungen speciell auf einen Bogen anzuwenden haben, der bei A und B (Fig. 10) derart gestützt wird, dass, wenn wir die Horizontale durch A zur x-Achse, die Verticale zur y-Achse wählen, für x = o und x = 21 auch dy — o und d x — o sich ergehen, während die Neigungswinkel cp₀ und qpi der in A und B an die Bogen-axe construirten Tangenten im Allgemeinen die Aenderungen dejp₀ und d qpi erleiden. Es ist dann

19)

d (fi

dy,

(wo dy₀ die aus der Bedingung:

d y = d y ₀ für x — 0

gefolgerte Integrationsconstante).

Weiter sind nach Weglassung der Integrationsconstanten die Integrale in den für dx und dy gewonnenen Ausdrücken zwischen den Grenzen 0 und x zu nehmen.

Da nun (durch partielle Integration)

jdy dy = [dejp y]— Jy d(dy) = dy y — jy d(dy) 0 *0 0

ist, weil dyy für die Grenze Null verschwindet, und ebenso

dx = d y x —

jx d(d y) o

wird, so folgt nach Einführung von

d (d y) — co dy ,

dx

20)

= — ydy-hjy co dy-h je₀ dx

dy — -hx

oder, da

todqi =    — EJ

m ds

dcp — e₀ dcf 4- yy

ist:

21)

worin

A Cf = A q₀ + js₀ d Cf + j yy 0 0

== l'eo (y dcp 4- dx) 4-0 0

— — je₀ (x dq> — dy) — I

0    O

FJJ

Ay

/'50?o: d s

EJ

T--h AcfX ,

«o = —

ef ;

JR„ 4-

Trägt man von der horizontalen AB aus, den Abscisen x entsprechend, die Ay und Ax als Ordinaten auf, so erhält man 2 Curven, welche „Curven der Vertical- resp. der Horizontal-Verschiebungen“ heissen mögen. Die erste beansprucht, da die Ay beträchtlich grösser als die Ax ausfallen, besonderes Interesse, und soll auch kurz „Biegungscurve“ des Bogens genannt werden.

Es ist für die Folge wichtig, die Differentialgleichungen dieser Curven in bequemer Weise zu bilden.

Zunächst folgt aus

d(Ay)

dy

+ Je + f0 dx

d² (Ay)    d (A cf)

dx

dx²

dx

dto dy _ d²y ⁺ dx²

dx dx

oder, wegen

501 r dcp

d (A cp) =    d cf — EJ

m ds

d- Ay 50? ds dx2    = EJ dx ⁺ *⁰

iü r r‘ E J ’ ds ~    deo dy

r dx]    dx dx

und, wenn schliesslich

dx\³

da:² \ds

gesetzt wird:

do>\²l

ds

ds₀ «,V

da: da:

Nach Bestimmung der Curve der Vertical Verschiebungen wird man diejenige der Horizontalverschiebungen zweckmässig finden, indem man aus

ds² — dx² -h dy²

die Beziehung

d(s    A s)² — d (x 4- Ax)² 4- d (y 4- Ay)²

oder nach Vernachlässigung der kleinen Grössen höherer Ordnung die Relation

23)

ableitet und hieraus

d(ds) ds — d (dx) dx H- d (dy) dy

ds

d (dx) = d(ds) — — d(dy)

oder

24)

d (dx)

dx

-4 + (£)

_ d(Av) d_y

dx dx

folgert.

Die in diesem Paragraphen abgeleiteten Gleichungen werden nicht allein bei Berechnung der Deformationen Verwendung finden, sondern auch dazu dienen, gewisse secundäre Kräfte (Reactionen der Stützen), welche ausser den gegebenen primären Kräften (Belastungen) in den Ausdrücken für Rn und 9JI Vorkommen, zu ermitteln, da sich deren Bestimmung in gewissen Fällen nur unter Rücksichtnahme auf die Formänderungen der Bogenaxe ermöglichen lässt. Dabei wird sich der Einfluss der mit e₀ behafteten Glieder auf die Endergebnisse so gering erweisen, dass diese Glieder füglich vernachlässigt werden können, um so eher, als die in der Folge zu behandelnden Constructionen die Vorbedingungen der exacten Theorie ohnehin nicht scharf erfüllen. Diese Erkenntniss

darf aber nicht verleiten, auch bei Berechnung der Deformationen die Glieder mit «o zu vernachlässigen, und überzeugen numerische Rechnungen schnell von den hierbei begangenen, zuweilen sehr erheblichen Fehlern. Allerdings ist die mit £0 = 0 für die Biegungscurve gewonnene Gleichung

d² dy dx²

welche mit der Gleichung der elastischen Linie eines Balkens übereinstimmt, vermöge ihrer Einfachheit wol geeignet, zu dieser Vernachlässigung zu verleiten; ebenso die sehr bequeme Beziehung

d(dx) _ d (d y) dy

dy dx

25)

26)

E J'

an ,

*)

dx

3.

Die äusseren Kräfte.

Nachdem in den vorigen Paragraphen die Spannungen und Formänderungen als Functionen der Werthe 9JI, JRn und Rt dargestellt worden sind, sollen diese Werthe unter der Voraussetzung abgeleitet werden, dass auf den Bogen nur eine vertical gerichtete Kraft wirkt. Es ist dieser Belastungsfall insofern der fundamentale, als es sich in den folgenden Untersuchungen stets um die Beanspruchung durch verticale

dx

*) Unter J' ist der constante Mittelwerth von J— verstanden.

ds

Lasten handeln wird, und der Einfluss eines Systems concentrirter Lasten durch eine Summation, der einer stetig wirkenden Belastung durch eine Integration aus dem Einfluss einer Einzellast wird ermittelt werden können.

Der Bogen sei bei A und B (Figur 11) irgendwie unterstützt. Die Widerstände der Stützen, welche der in den Entfernungen a resp. b von den Yerticalen durch die Schwerpunkte m und m\ der Endquerschnitte wirkenden Kraft P das Gleichgewicht halten und „Kämpferdrücke“ heissen, seien K und K\. Sie mögen in den Abständen e und e\ von m und m,\ angreifen.

Werden im Punkte m zwei sich aufhebende Kräfte K addirt, so bildet die eine dieser beiden mit dem Kämpferdruck ein Kräftepaar; die andere sei in die Componenten A (vertical) und HÄ (horizontal) zerlegt. Daraus geht hervor, dass der Kämpferdruck K sich ersetzen lässt durch zwei in m angreifende Kräfte A und HA, ferner durch ein Kräftepaar, dessen Moment (Stützenmoment) = 9JG gesetzt werden möge. Ebenso lässt sich Ki ersetzen durch die in m\ angreifenden Kräfte B und HB und das Moment B.

Zur Bestimmung der Unbekannten A, B, HÄ, ATc, 50L, 9JL stehen im Allgemeinen nur die drei Bedingungen zur Verfügung:

1)    die Summe der vertical wirkenden Kräfte muss Null sein;

2)    die Summe der horizontal wirkenden Kräfte muss Null sein (d. h. HÄ = Hb = //);

3)    die Summe der Momente in Bezug auf irgend welchen Drehpunkt muss Null sein.

Deshalb müssen, falls der Charakter des zu behandelnden Bogens zu weiteren statischen Beziehungen nicht führt, die fehlenden Gleichungen aus der Theorie der Deformationen abgeleitet werden. Ein System, das ein solches Vorgehen nöthig macht, heisst „statisch unbestimmt“. Die Gleichungen, welche ausdrücken, dass die Deformation der Bogenaxe an bestimmte Bedingungen gebunden ist, nennen wir „Elasticitätsgleichungen“.

Wir werden drei Gattungen von Bogenträgern zu behandeln haben.

1) Der Bogen mit drei Gelenken. Das eine Gelenk liegt an der beliebigen Stelle x = s, y — h (Fig. 12); die beiden anderen befinden sich an den Kämpfern. Die Kämpferdrücke müssen durch die Gelenk-axen gehen, weshalb 9JL = 0, 9JL = 0 wird, worauf die für die Punkte B und A*) aufgestellten Momentengleichungen zu den Werthen

Pb

Hc

Pa

B == -

*) Wir bezeichnen stets die Verticalreactionen und die Auflagerpunkte mit denselben Buchstaben.

führen. Weiter muss das Moment für das Gelenk S gleich Null werden, wesshalb bei links von S gelegener Last P

As — Hh — P(s — a) — 0 ,

daher:

2 hl — cs

27

P[bs— 2 Z(s— o)] Pa (21 — s) 2 hl — cs b    a c (2 Z — s)

2    2 hl — cs

a    ac(2 l — s)

Z 2    2 hl — cs

Liegt P rechts vom Scheitel, so folgt:

Pbs

2 Ih — cs

28

b cs

2 ZA — cs b cs

2 ZA — cs

2) Der Bogen mit zwei Kämpfergelenken. (Fig. 13.) Wie vorhin erhält man 9JG = 5DL = 0 mithin:

Hc

29

Hc

während zur Bestimmung von // eine Elasticitätsgleichung aufzustellen bleibt.

3) Der Bogen ohne Gelenke, auch Bogen mit eingespannten Enden genannt, da die Unterstützung bei A und B so zu bewerkstelligen ist, dass die in m und m\ an die Bogenaxe construirten Tangenten ihre Lage nicht ändern. Die Behandlung desselben ist an die Aufstellung von drei Elasticitätsgleichungen gebunden.

Ausser den drei angeführten Systemen Hessen sich leicht noch mehrere bilden; so könnte man den Bogen bei B mit einem Gelenk versehen (Fig. 14) und den Auflagerpunkt A mittelst eines Rollenlagers (analog wie bei den Balkenbrücken) nöthigen, sich auf der Geraden A’ A" zu bewegen. Der Kämpferdruck K ist dann, wenn von den geringen Reibungswiderständen abgesehen wird, normal zu der A’ A” gerichtet, während K\ durch den Schnittpunkt C der K mit der P gehen muss, da drei in derselben Ebene gelegene Kräfte nur dann im Gleichgewicht sind, wenn sie sich in einem Punkte schneiden.

Weiter könnte man den bei A mit einem Rollenlager versehenen Bogen bei B einspannen, und würde so zu einem statisch unbestimmten Systeme gelangen, welches die Aufstellung einer Elasticitätsgleichung erheischt.

Wir halten es jedoch nicht für nöthig, auf die Behandlung aller dieser möglichen, bislang aber nicht zur Ausführung gelangten Anordnungen einzugehen, werden vielmehr nur die drei zuerst angeführten Systeme untersuchen.

Indem wir zunächst die an den Kämpfern angreifenden Kräfte gegeben annehmen, erhalten wir für einen Querschnitt links von der Last P das „Angriffsmoment“ (Fig. 11)

m = Ax — Hy + 9JQ und für einen Querschnitt rechts von P

W = Ax — Hy — P(x — a) H- 9J?

30)

A •)

wofür auch

3DV = Bx’ — Hy’-hmB

gesetzt werden darf. Man beachte nämlich, dass diejenigen Momente positiv sind, welche den Krümmungsradius r der Bogenaxe vergrössern, dass also stets die verticalen Auflagerreactionen A und B als positiv drehend einzuführen sind.

31)

Die „Axialkraft“ für den Querschnitt (xy), d. i. die Summe der Componenten der am linken Fragment angreifenden Kräfte parallel der Tangente im Punkte (xy) an die Bogenaxe, ist mit Berücksichtigung des auf Seite 2 bezüglich des Vorzeichens dieser Kräfte Festgesetzten, jenachdem (xy) links oder rechts von P liegt:

En — A sin qp + H cos qp,

32)

beziehungsweise:

33) E'n = (A — P) sin qp + H cos qp = — B sin qp + II cos qp .

Für die Transversalkraft erhält man:

R( = A cos qp — II sin qp ,

( resp. Et = (A — P) cos qi — H sin qp = — (Z? cos qp + H sin qp) .

Bevor zur Ableitung der Elasticitätsgleichungen, die nach den früheren Ausführungen zur Bestimmung der in den Ausdrücken für , En und Et vorkommenden unbekannten Kräfte dienen sollen, übergegangen werde, möge noch eine Relation abgeleitet werden, die besonders geeignet isQ die folgenden Rechnungen zu vereinfachen.

Liegen die Kämpfermittelpunkte in der nämlichen Horizontalen und ist die Bogenaxe ein symmetrischer Kreisbogen mit dem Radius r, dann wird (Fig. 15)

4X —

34) !

r (sin qp₀ — sin qp) ; x¹ — r (sin qp₀ + sin qp) y — r (cos qp — cos qp₀)

und man findet die relative Längenänderung der Bogenaxe, falls (xy) links von P liegt:

EF

[a,

EF

j A (sin qp+-*) + #(

cos qp —

'S «C»

d. 1.:

35)

9Jh

A sin qp₀ + // cos <p₀ + —-■ j

also constant, wenn der Querschnitt F unveränderlich gedacht ist. Für den rechts von P gelegenen Querschnitt (xy) erhält man

s₀' — —

EF

EF(

36)

«c/ = —

EF

B sin (jp₀ + //cos g>₀ H--—-j

oder auch, wenn

Rn — (A—P) sin cp + H cos cp W = Ax — P{x — a) — Hy = 9JU

gesetzt wird,

37)

«o' =

^ | A sin g>₀ + Ii cos cp₀ — P sin ß + j •

Bei kleiner Pfeilhöhe h wird man auch bei parabolischen Bögen, wegen der geringen Abweichung dieser von den Kreisbögen, für e₀ so wenig von einander differirende Werthe erhalten, dass man unter Begehen eines nur sehr geringen Fehlers constant anzunehmen berechtigt ist. Für diese Annahme, durch welche die Elasticitätsgleichungen eine bedeutende Vereinfachung erfahren, spricht noch der Umstand, dass die mit «o behafteten Glieder von so geringem Einfluss auf die Endresultate sind, dass selbst durch gänzliches Weglassen derselben genügend genaue Ergebnisse gewonnen werden. Weiter möge bereits hier darauf hingewiesen werden, dass die Anwendung der Elasticitätsgleichungen auf die Berechnung der Brückenträger, deren Querschnitt durchaus nicht constant ist, stets an gewisse vorläufige Annahmen bezüglich des Gesetzes, nach welchem F sich ändert, gebunden ist, dass also ohnehin den Anforderungen der exacten Theorie nicht scharf entsprochen werden kann.

Die Annahme s₀ = Const. ist beim Parahelhogen etwa von demselben Werth wie die Annahme F = Const. beim Kreisbogen.

cos qpo = 1--

Wird in die Gleichungen 35 und 36 l² H- A²

eingeführt, so folgt

SP

38)

EF(P-hh²)

c?

Al + ~~(P - Ä²) + 99G

2 n

Bl + ¥h ^ — ä2) + 3R* 1,

EF(P + h²)

welche Werthe bei Berechnung parabolischer Bögen benutzt werden sollen.

§ 4.

Die drei Elasticitätsgleichungen.

Die auf Seite 13 für die Deformationen Acp, Ax und Ay abgeleiteten Gleichungen (21) gehen mit x — 2 /; y = c ;z/ cp = A cpi über in

Acpi

21 21

0 = —Js₀(x dcp — dy) —j 0 0

9)1 ds

EJ

39)

mds

EJ

Wds n7 .

x~^jr + 2Z Acpi ;

denn es entsprechen dem festen Funkte B die Coordinatenänderungen Ax — 0 und Ay = 0.

Nach Einführen der im vorigen Paragraphen Rn und 5R gefundenen Werthe enthalten die Relationen (39) die Unbekannten 9JG, A, H, Acp0 und A cpi, von denen stets zwei bekannt sind.

So hat man beim Bogen mit zwei Kämpfergelenken

Pb Hc 2 l ⁺ 2 T

und beim Bogen ohne Gelenke

Acpo = 0 ;    Acpi — 0 ,

so dass sich im ersten Falle z/qpi, A cp₀ und //, im zweiten A, H und 9JlA berechnen lassen. Hiernach sind die Bedingungen (39) die gesuchten Elasticitätsgleichungen.

[Beim Bogen mit 3 Gelenken ist H bekannt, doch wäre die Schlussfolgerung, dass desshalb eine der drei Gleichungen No. 39 überflüssig wird, fehlerhaft. Vielmehr werden die Formeln 39 ungültig, da A cp eine discontinuirliche Funktion ist, die sich dort, wo das Gelenk S (Fig. 12) liegt, sprungweise ändert. Die endliche Differenz zwischen den Neigungswinkeln der nach der Deformation unmittelbar links und rechts neben dem Scheitelgelenk construirten Tangenten tritt als dritte Unbekannte auf. (Vergl. § 12.)]

Will man mit Hilfe der Gleichungen (39) den Einfluss einer durch irgend welche Ausführungsfehler u. s. w. hervorgerufenen Aenderung A (2 V) der Stützweite 21 oder A c der Höhendifferenz c der Stützpunkte ermitteln, so ersetze man die beiden letzten Bedingungen durch

21 21 = J*o Oy dcp + dx) -hjy

o    o

2 l    21

= —je₀(x dcp — dy) —Jx 0 0

A (21

9)1 ds ~EJ

Ac

9)1 ds

~eT + 2

Ebenso kann man auch beim beiderseits eingespannten Bogen, indem man A cpi und A q₀ nicht gleich Null setzt, den Einfluss einer nicht beabsichtigten Aenderung der Neigungswinkel der Kämpfertangenten auf die Beanspruchung des Bogens feststellen. '

Obgleich solche Ermittelungen mathematischen Schwierigkeiten in keiner Weise begegnen, glauben wir doch auf deren Durchführung um so eher verzichten zu dürfen, als Erfahrungen, welche allein über die wahrscheinlichen Werthe von A (21), Ac, A q\ und A q₀ zu orientiren vermögen, zur Zeit nicht vorliegen. Weiter werden wir bei Auflösung der Gleichungen den Fall c = 0 annehmen.

Setzen wir noch

f y dq + dx = [Ni] ; J    u

J'x dq — dy

— [£2] ,

wo u und 0 beliebige Integrationsgrenzen sind und beachten, dass die relative Längenänderung der Bogenaxe bei Beanspruchung des Bogens durch eine concentrirte Last in den Intervallen

x — 0 bis x — a und x — a bis x = 2 / die verschiedenen constanten Werthe e₀ und £u' annimmt, so finden wir

2/

Aq>!

Wds

40)

a    21    r

= Aq>₀ -+- £0 [<?] + *0’ [<jp] + I p T

ü    a J JOj J

2Z

0 = £0 [Si] H- £0' [aSi] + f y

0    a J

21

a    21 f

0 = — £0 [N2] — £'o’ [N2] — I x

0    a J

0

EJ

EJ

+ 21A (jpi .

Hierin sind die Integrale [<jp], [»S’i] und [S2] gegebene, von der Gleichung der Bogenaxe abhängige Werthe. Man erhält:

1) für den Kreisbogen mit Rücksicht auf die Bezeichnungen in Fig. 15:

+ß

+n

[qpo] = [<jPo] = ß — <fo

weiter:

41)

—<p 0

[<jPo] = [9>o] = — qpo — ß

a 21

[fiPol =

0

+ß

-V 0

[qpo] = — 2 qp₀ ,

+<jPo

= r (cos q — cos q₀) ; dy = — r sin q dq ; — r (sin q₀ — sin q) ; dx = — r cos q dq ;

Jy dq + dx — fx dq — dy = + r sin q₀fdq

— r cos q₀

fdq

also:

\    [5i] = r(<p₀ -Pß) cos cp₀

[1S2] — — 2 r cpo sin <]Po

0

a

[5a] =' — r((p₀ — ß)sinq>0 0 21

[^2] = — r(qp₀-t-/3)sin()po .

a

2) Für den Parabelbogen hat man (Fig. 16)

hx (2 Z — x)

42)

daher

2r<jp₀ cos <jpo

2 h(l — x) = tg qp =-ja-

I-

= h~AÄ*« f

f tg d <J> H- £

= * A+ 4Aj"fA,g<!n+I

2 h(l — x) j

Z² 1

4Ä

= I arctang

Z² l 2 h (l — .r) i

5-

j x d(p dy =J ^

P \ j

-tgyjdcp — y

— Z (jp -t-

Z²

= Z arctang

2 Ä ln cos <p — y

2 h(l — x) P , i

z²

2A

ln

V^(S)²

Bei flachen Bögen darf man, ohne einen wesentlichen Fehler zu begehen, setzen:

arctang qn — tg cp =

2 h(l — x)

Z²

V¹ - (£)

*gö,+*(2D‘

ln

h l=*a

J VcZ,z,

2 ft² (Z — *)²

Z⁴

und findet dann

mithin

43)

j y d q> 4- dx J x dcp — dy = y (l — 2x)

²¹    / JP\

[5₁] = 2/(l-2-pJ

/i²

[5l] =

0

m'= [5G - [s,]

a    0    0

= 6 f 1 — 2

21

2 h² (l — x)

[&] =

0

m =

0

21

[*] - [&] - [&] a    0    0

— 4/i

— 2 a -r

= — 25

<*-    5r-

*)

Sind mit Hilfe dei’ Gleichungen (40) die Unbekannten //, A. MÄ, A fjr₀ und A cjri ermittelt, so ergeben sich die Deformationen 1) im Intervalle x = 0 bis x = a

ds

44)

A cp = A qp₀ -1- «o [<p] + o J 0

X    f

= — yA<jp + f₀ [Äi] +jy 0

EJ

0

a    x    r>

= ^/ (jr₀ + fo [Qp] + *o [T¹] +1

0    o J

o

“    ,    * f W ds

— — yA cp -h eo [Sx] + «o [&] +J y ^ j

0

a;

a    x    r

Ay — A- xAcp — f₀ [^2] — e'o [$2] — I £

0    a J

0

Ay — + a;z/qp —

2) im Intervalle x = a bis x = 21

A cp

EJ

EJ

m ds

EJ

45)

Ax

9JIds EJ ‘

*) Bei geringen Pfeilhöhen weichen die Werthe «S für Kreisbögen und Parabelbögen nur wenig von einander ab. Ist z. B. 21 — 40m; h — 4m, so wird für den Kreisbogen r — 52ra; y>₀ — 22° 37' 12”; arcus y-₀ — 0,395; mithin

[Si] = 2 • (52 — 4) • 0,395 = 37,92

[Sa] = — 2 (20) • 0,395    = — 15,80

0

während sich für die Parabel

■21

bSi) = 40 [1 - 2*] = 36,80

-4-4

[&] = 0

= — 16,00

ergeben. Diese Uebereinstimmung überzeugt auch von der Brauchbarkeit der für die Parabel abgeleiteten Näherungsformeln.

Es sei schliesslich noch darauf hingewiesen, dass die Anwendung der abgeleiteten Gleichungen auf Bögen mit variabelen Querschnitten namentlich dann auf mathematische Schwierigkeiten nicht stösst, wenn der Querschnitt sprungweise veränderlich, d. h. innerhalb gewisser Intervalle constant ist, weil man in diesem Falle nur nöthig hat, die Integrationen für die einzelnen Intervalle gesondert auszuführen. Da aber sehr langwierige numerische Rechnungen aus dieser correcten Behandlung erwachsen, ist es zur Erzielung praktisch verwerthbarer Endresultate durchaus nöthig, vereinfachende Annahmen zu machen, und empfehlen sich als solche

1)    für den Kreisbogen die Voraussetzung

J — Const.

— J cos qj. Es gehen im

2)    für den Parabelbogen die Einführung eines constanten Mittel-werthes </' aus den variabelen Werthen J

letzteren Falle die in den obigen Gleichungen enthaltenen Integrale

SK ds EJ

SK ds

~EJ ⁵

ß EJ

über in

EjJ^ldx; EJ1f$Ryd

x\

, j TI xdx.

EJ',

Selbst dann wenn beim Parabelbogen, unter Beibehaltung der letzt aufgeführten Integrale, J’ durch J ersetzt wird, ist ein nennenswerther Fehler nicht zu gewärtigen. Dass überhaupt durch die hinsichtlich des Aenderungsgesetzes der J gemachten Annahmen wesentliche Incorrect-heiten nicht entstehen, geht bis zur Evidenz daraus hervor, dass nur wenig von einander abweichende Resultate sich ergeben, wenn die Elasti-citätsgleichungen einmal unter Einführung des kleinsten der am Bogen vorkommenden Werthe J dann mit Einsetzen des Maximalwerthes aufgelöst werden.

§ 5.

Der Bogen mit 2 Kämpfergelenken.

(Berechnung von II.)

1) Parabelbogen.

a) Anwendung der Elasticitätsgleichungen des § 4.

Von den drei zur Verfügung stehenden Elasticitätsgleichungen dient zur Berechnung von II die von den beiden anderen Unbekannten A q0 und Afjpt unabhängige Bedingung:

21

o — eo [*Si] + £o [*$i] + ßj>JVdx.

0

Wird, einer concentrirten Last P entsprechend, (Fig. 16)

«o = —

EF (Z² + A²)

2A

(Z² — A²) j

«0 = —

2A

II

EF(l² + A²) (

W = Ax — Hy — P (x — a)

gesetzt und beachtet, dass in dem Ausdruck für 9JI das mit P behaftete Glied nur in dem Intervalle x = a bis x—21 vorkommt, da für die links von P gelegenen Querschnitte

ist, so folgt

m = Ax — Hy

J’ 2A

F Z²+A²

a    21 TT    21 \

]A l (St) + B l (SO + - (Z² - A²) (50

'    0    a    Z/l    0    ]

— a) y dx— II

und hieraus

•u    2!

= A Jx?/ dx — P ^(x 0 a

21

jy²dx

0

21    21

jxydx — P J (x — a)y dx

o    «

2AZ

F l² +h² )

a    2 Z \

ACPO+PCPi)

0    a )

Sr- ! 5s-

tO| tO

Gleichung der

PH

O p—(

<D

'S 5s-

mithin:

Ol

co

5>-

to

j(x

«S£

a-

jCO

0*4

to

j<M

1^

P(2Z — d)

u>|

~! a

und schliesslich:

8al—

's! %

_J_ 2AZ F Z² + Ä²

aJ

16

15

h² l + -

F l²A-h²

/''-'s o

Werden, unter Voraussetzung eines flachen Bogens die auf Seite 22 angegebenen Nährungswerthe der Integrale (<Si) eingeführt, so ergiebt sich 5 (8P— 4a²/+ a³) a

64

AZ³

15 J' a(2l — a) (Z² — 2A²) AP (P + A²)

15 /' (Z² — A²) (l² — 2A²) ¹    8 F Z² A² (Z² + A²)

Setzt man näherungsweise

J(ydcp~hdx)= j'd x — 21

o    ö

ferner

EF

d. i. gleich der relativen Längenänderung der Axe eines geraden Stabes von der Länge 21, welcher durch H gedrückt wird, so erhält man die Gleichung

mi

EF EJ'

Jblydx

0

und hieraus die von Fränkel abgeleitete Formel¹)

15 J'

47)

_5P a (8Z³ — 4a²Z -t- a³) 64 hP

8 Fh²

Winkler²) vernachlässigt bei Parabelbögen die relative Längenänderung der Bogenaxe vollständig, setzt also «o — 0 und findet

48)

TT 5P a (8Z³ — 4a²Z -t- a³)

Ii = ——

<il

AZ³

Um diese 3 Werthe in einem speciellen Falle zu vergleichen, sei Z = 15m, h = 5m, a— 12m, P = 12 Tons gewählt und der Bogen aus zwei durch ein Gitterwerk verbundenen parallelen Gurten bestehend gedacht. Bedeutet dann / den Querschnitt einer Gurtung, Ai den Abstand

h 2,

Wird jetzt — =

der Gurtschwerpunkte, so darf J = f— und F = 2/ gesetzt werden. A²i

= — angenommen und h\ = l,6m gewählt, so folgt = 0,64 und

nach Formel 48) H — 13,39¹

47) H =

13,39

1 H- 0,048 = 12,78¹

13,39 — 0,01 1 + 0,030

46) H =

= 12,99¹.

Ersetzt man Formel 46) durch:

5 Pa (8 Z³ — 4a²Z + a³)

II =

64

Ph

8 F PP{P + P)

so findet man im vorliegenden Falle II = 13,00'.

b) Genauere Berechnung von H.

Bei Berechnung der Angriffsmomente wurde bislang auf die durch die Deformation des Bogens bedingte Aenderung der Hebelarme der angreifenden Kräfte nicht gerücksichtig*t, ebenso wie bei Bestimmung der Pn die Aenderung des Winkels cp vernachlässigt wurde. Genauer ist zu setzen, falls der Querschnitt links von der Last P liegt,

5JI = A (x + AIx) — ’H(y -f- Ay)

Bn — A sin {cp -\- A cp) -\- II cos {cp -+- A cp) und, wenn er rechts von P sich befindet:

9JV = B (V + Ax') — H{y + Ay)

P'n — — B sin {cp H- A cp) + H cos {cp -4- A cp).

In gewissen Fällen ist zum mindesten eine „theilweise“ Berücksichtigung der Aenderungen Ax, Ay, A cp geradezu geboten. Es genügt, an die Biegungsfestigkeit der geradlinigen Stäbe zu erinnern und darauf hinzuweisen, dass bei Beanspruchung solcher Stäbe durch Transversalkräfte und eine parallel der Stabaxe wirkende Axialkraft die Angriffsmomente wesentlich dadurch geändert werden können, dass bei Eintreten der Deformation der Hebelarm der Axialkraft sich ändert. Weiter ist bekannt, dass die Discussion dieses Belastungsfalles schliesslich durch Specialisirung zu den wichtigen Lehren von der Knickfestigkeit führt.

Durch numerische Rechnungen überzeugt man sich, dass die Glieder II Ay keineswegs von verschwindendem Einfluss auf die Endresultate sind und, wenn man auch — mit Rücksicht auf die sehr langwierigen Rechnungsoperationen — sich wol kaum entschliessen dürfte, die Maximalmomente eines Bogenträgers in dieser exacten Weise zu berechnen, so ist es doch nicht uninteressant, den Einfluss dieser Glieder auf den Werth H zu verfolgen, umsomehr als das hierdurch gewonnene Resultat zur Bildung einer sehr einfachen Näherungsformel Veranlassung giebt.. Die ganz unwesentlichen Glieder AAx und BAx sollen vernachlässigt werden; weiter mögen die für Sq und e₀’ früher angenommenen constanten Ausdrücke beibehalten werden.

d²y

E₀ 1 -h COS ² Cp

dx² + EJ'

Unter dieser Voraussetzung geht die auf Seite 13 abgeleitete Differentialgleichung der Biegungscurve für den Curvenzweig zwischen x — 0 und x = a (Figur 17) über in cPAy dx²

und für den Curvenzweig zwischen x = 0 und x = b in

d²y’ W dx'²⁺EJ''

— £o £

1 + cos ² <jp'

Darin ist

Pb

= 27 * — H(y -+• dy)

Pn

=    x'-X(,/ + Jy').

Wird

1 -f- cos² q> = 1 H-

EL EL

(2)'

gesetzt, so folgt unter Vernachlässigung der

(dyY

\dxj ’ \dx)

I.

d²4y _ d²y f __ fdy\r

dx2    0 dx² _    _

■gj x—Hy — H/ly Pa x — By' — HJy’

d²/ly dx’² ~

Hat man die Verschiebung /ly bestimmt, so kann man aus der auf Seite 14 abgeleiteten Gleichung

,d²y' r _ (MX ⁰ dx'² L² \dy'J

EJ’

ds

d (z/ x) = d (/! s) --d (/1y)

EL SL

die Bedingung

22 22 Jd(/lx) = j d(/ls)^S

o    6 L

dx~d^

EL I EL

zur

Ermittelung von i/ folgern.

*) Mit Rücksichtnahme auf die /ix würde man erhalten: cP J y IhP

und hieraus

„    ,/v    1 [Pb

= eo (1 + cos V) + YJ’ hfi ¹

— Hy — HJy -+■

1 Pb

EJ’ 21

cP Jy    + cos V)1 .

-.3 = fo Ldx^__j 4

dx

1 fP6

PJ'L2/

dx

dx

1 P6 d-dr

PJ’ 27    ’

in welche Gleichung aus:

der Werth

d (dx) dx — d (J s) ds — d (d^) dy

d dx

dx

₌    /d.s\² d(Jy)dy

⁰ \dx/ dx dx

einzuführen ist.

Partielle Integration liefert:

21    21    21

0 0 0 21

= f (Jy dx'

0

ns

dx

denn es verschwindet ^z/y    für die obere wie für die untere Grenze

und es ist weiter

d*y

dx²

Daher die Bedingungsgleichung:

21

C ₇, A N ds 2h

0

l²’

l²

22

J/iy dx

²¹

.h (s)

0

oder, da £₀ ebenso wie z/?/ in den Intervallen x = 0 bis x — a und x = 0 bis x — b verschiedene Werthe annimmt,

'»K¹⁺(S)²)⁺'“’/t¹ + (&?)²)

0 0

dx'

= ²fif4ydx-h~ J'jy'dx'. 0 0

Nun ist

1 -+

4A² (/ — x)²

= x 1 -t-

OS    rp-

dx

[3l²— 3lx + ^²)j

so dass, wenn

l²

4A²

foß 1 + 3T⁴

(3Z² — 3a/ + a²)j

+ s₀'b l~h ~(3l²—Sbl+b²) J = 39

-r

gesetzt wird, die Relation zur Berechnung von H lautet

— I A y dx + j/!y dx'. 0 0

Die Differentialgleichungen I gehen mit

dx

l²

dhy ___2h

dx² ~ l²

EJ’

■Oj

8/i³ EJ’

~W*~H =    5 P

8/i³

co’

EJ'

- — D’

über in

d³ 4/l y dx³ d ³ A y dx³

-hß³/ly'=ß³ j

i Pbx

21II Pax

2 h³

— I³ — *³ + 2x1

2111

Tr-y'-v

r /⁵

2h³

— I³ — x'³ -+- 2 x'l .

Ihrer allgemeinen Form

-h ß³/Jy =/(«),

d³ A y ~dx³

worin f(x) eine ganze algebraische Funktion von der Art / (x) — a + ß x + y x³ -4- • • • •

(unter a, ß, y ... . constante Coefficienten verstanden) entspricht das Integral:

/ly — C\ cos ßx H- C‘2 sin ßx +

-cc

"Ce

"Ot

wesshalb

/ly = C\ cos ßx + sin ßx H-

Pbx

21H

y — D (2x1 — x³) + 6

/ly = C\ cos ßx' -+• Cß sin ßx -h

Pax

2 IH

-y' — D'(2x'l — x'³)-P®.

Dabei ist

+ T)

2A³

Die Integrationsconstanten 6), Cß, Ci’, CV ergeben sich aus den Bedingungen:

x = a u.

ferner

= 0 muss liefern Jy — 0 (und y = 0) = 0 = b dJy

» 4y’= 0 ( „ £/'= 0) „    = J?/'( „ y = y")

dy

_ _ d/1y (

dx \

und

a. a-

Man findet die Gleichungen

C^sinßa — CV sinj3& = 6’(1 — cos ßb) — 6(1 — cos ßa)    ab (D — I)')

P 2D\l—a\+2D’(l—b)

II.

6 2 cos ßa + C2 cos ßb — — 6 sin ßa— 6' sinßö —■■ ■

und, nachdem man hieraus Ci, Cß, Cß, Cß berechnet hat, die Bedingungsgleichung

=j'zfy dx4-Jdy'dx —J(O'i co sßx-hC2sinßx)dx-hj X'i’cosßx'-hCVsinßx)dx 000    0

Pb

4IH

a² 4- ,

Pa

4 IR

b²-

Jydx — D f(2xl — x²)dx—D’f(2x'l

00    0

—x²)dx

+ Sfl + 6'i

zur Berechnung von H. Die Ausführung der Integrationen liefert:

33 =

in.

•Ct'P

62

cß

6V

Pba

sinßa—-^(cosßa — 1)4- ^ sin ßb--(cos ßb— 1) 4-

— D'A²

K)

+ 6a 4- 6’6.

Da es hiernach nicht möglich ist, für II einen geschlossenen Ausdruck zu gewinnen, wird man — etwa mit Hilfe der Formeln 4G, 47 oder 48 — einen Näherungswerth wählen und zur Berechnung der ß, G\, Cß, C2, Cß , D, D', 23, 6, 6' verwenden, worauf sich Gleichung III leicht nach II auflösen lässt. Bei nicht genügender Uebereinstimmung des Resultates mit dem erst angenommenen Näherungswerthe ist die Rechnung in der Weise zu wiederholen, dass die Grössen ß, Ci, Cß, ... . mit Hilfe des letztgefundenen II bestimmt werden.

Werden die Glieder mit f₀ und eß vernachlässigt, so erhält man eine Formel, welche, mit Formel 48 verglichen, über den Einfluss der H/ty orientirt, da No. 48 ebenfalls aus der Vernachlässigung der e₀ und cß hervorging.

Mit £₍₎ = 0 und sß = 0 ergiebt sich

D = 0;

23=0;

D’ = 0

6=6'=-

5s-

= — Ci — — Cß ,

wonach die Gleichungen II übergehen in 62 sin ß a — Cß sin ß b =

ß*T²

(cos ßb — cos ßa)

C2 cos ß a 4- Cß cos ß b = Hieraus folgt

ß²i²

(sin ßb 4- sin ß a) —

iiß

(1 — cos 2 ßl) —

sin ß b

Hß

sin 2ßl 9 h

(1 — cos 2ßl) — sin 2ßl

Jn*

sin ß a

cß=

Jetzt geht III über in

49)

0 = j 21 —

1 Pab ⁺

4 hl

worin

9t =

■a

*5 Sr-

(1 — cos 2 ßl) —

■Oi

(sinßa 4- sin ßb — sin 2 ßl)

-3- sin 2ß Z

d. i.

*G_

9t = -

tgß*— H

a . b

sm2Sm^ .

cos ß Z

Da die Werthe ß l stets sehr klein ausfallen, *) darf man 1 — cos 2ßl ■= 2 ß² Z² — •§ ß⁴l⁴

also wegen ß² —

EJ ’

Ah

(1 — cos 2/3 Z) = 8A 1 —

Hl²~ 3 EJ

setzen, ferner

sin ßa = ßa--—

sin ßh = ßb — — sin 2ßl = 2ßl

8ß³ Z³

sin ßa + sin ßb — sin 2ßl_III ab

■CC

EJ

Man findet dann

9t = -r-

__ 1 Hl Pah Ah 3 EJ 8 EJh

2    Hl²

3    EJ

und gelangt zu der Gleichung:

P«Z> 4ZA 2H ~ 3

2    Hl²

3    PJ

2    #Z²

3    EJ

deren Lösung

50)

// =

8/i/

jfvv£.-i/v ''*'■'<4

ist. Dieser Werth möge in einem speciellen Falle geprüft werden.

*) In dem folgenden Zahlenbeispiele ist ßl — 0,008551.

Es sei l = 15m, h == 4ra, a = b — Z, P = 13*. Der Träger bestehe aus 2 parallelen Gurten von je 250 Uh“ Querschnitt, bei 1,0m Abstand der Gurtquerschnitte, so dass 0,0250. 1,0²

J' =

= 0,0125 Meter⁴

und wegen E = 20 000 000* pro (Material: Schmiedeeisen)

EJ’ = 250 000*m\

Nach No. 50 wird

11 =

3 PI 3.13.15

8.4

= 18,28 *.

EJ’

= 7° 20’ 56",6279 ; log ßl = log j/-^ = 0,9320181— 3

91 =

Ta

tg^— H

- sin²

\ßj

cos ßl

= 1,0667002

1,0666667

91

4Ä

0,0000335

EJ’ =

8,375    .

Die Gleichung 49 geht nach Multipliciren mit H über in

und nach Einfuhren der Zahlenwerthe in

0 = 8,375 + 13 -I

u

15²    4.4.

II

woraus

H = 18,38*

welcher Werth von 18,28 so wenig ab weicht, dass ein Corrigiren überflüssig ist.

Die Formel 48, welche ebenfalls unter Annahme von £₀ — 0 abgeleitet worden war, würde

II =

— P— = — 13— == 19 039* 64 h 64    4 J,UdJ

liefern, und lässt die nicht unbedeutende Differenz erkennen, dass die Rücksichtnahme auf die Glieder HJy mit demselben Rechte gefordert werden könnte, wie die Beachtung der von £₀ abhängigen Glieder. Es lassen sich jedoch vom Standpunkte des „praktischen Brückenbaus“ aus eine Reihe von Gründen aufstellen, welche leicht überzeugen, dass die Anwendung so complicirter Formeln, wie sie sich aus Berücksichtigung

von IIAy und ergeben, eine sehr müssige Arbeit ist, und dass man gut thut, sich der einfachsten Formel zu bedienen. Wir verweisen in dieser Beziehung auf das diesem Paragraphen angehängte Resume.

c) Andere Ableitung der Formel: H —

3 Pab

8 hl '

Die erste der drei Elasticitätsgleichungen (Seite 20) geht mit t'u — 0 und e₀’ — 0 über in

■21

Jcp! = Acp₀A- ^jrf 0

sD i dx

und wegen 93? — Ax — Ily — P (x — a) in

21

21

(Hcp! — Aq>₀) FJ’

xdx — II

j ydx — P J (x

0    a

— a) dx

woraus

Pab

21 — EJ’

unter FB den Inhalt der von Bogenaxe und x-Axe eingeschlossenen Fläche verstanden.

Berechnet man nun F J' (z/ — A qpo) 5 indem man H aus einer der Formeln (46), (47) oder (48) ermittelt, so ergeben sich stets so geringe Werthe, dass der Gedanke nahe gelegt wird, das Glied ganz zu streichen. Geschieht dies, so folgt

Pab

21 FB

und speciell für den Parabelbogen wegen

Fb = ^l

3

3 Pab

Vj

Diese Ableitung lehrt, dass man die Formel (50) auch als Näherungsformel für flache Kreisbögen ansehen darf, denn, dass das Glied

FJ’ (A cp! — A (jpo)

vernachlässigbar ist, beweist der Umstand, dass sich Formel (50) auf ganz anderem Wege aus einer exacteren Untersuchung ergeben hat. Speciell

4 hi

beim flachen Kreisbogen ist FB so wenig von verschieden, dass man

3

ohne Bedenken Formel 50 anwenden darf. Wir werden noch zu zeigen haben, dass auch dann , wenn ein System verschiedener Lasten vorliegt,

die aus No. 50 berechneten H mit den auf anderem Wege für den Kreisbogen gewonnenen eine durchaus befriedigende Uebereinstimmung bekunden.

Man kann schliesslich noch die Formel 50) aus der Formel 48) ableiten, indem man letztere auf die Form

(4Z² + 2 la — a²)

_ 5 Pa b

¹ ~~ 64 Uh

bringt und den Factor: 4Z² + 2 Za — a², welcher zwischen 4 Z² (für a — 0) und 5Z² (für a = Z) liegt, durch einen constanten Mittelwerth ersetzt. Dieser ist nach der Methode der kleinsten Quadrate

J'C4Z² + 2Za — a²) da Z², 0

so dass

5 14 Pab _ 35 ab 64 3 Ih “ 12 • 8 F Ih

wird, wofür

Ih

II = -

gesetzt werden darf.

In ähnlicher Weise wurde zuerst durch Frankel nachgewiesen, dass No. 50) Näherungsformel von 48) ist, während zuerst von Engesser aus der Kleinheit der Differenz z/g>i— z/<jp₀ auf die Formel geschlossen wurde.

Die von uns gewählte Ableitung bezweckt darzuthun, dass man folgerichtiger No. 4 8) als Annäherungsresultat der No. 50) aufzufassen hat, da bei Ableitung der ersteren sowol f₀ als auch H A y, bei Bildung der No. 50) hingegen nur f₀ vernachlässigt worden ist. In Erwägung dessen dürfte es um so weniger schwer fallen, sich für Anwendung der einfachen Formel 50) zu entscheiden.

2. Kreisbogen.

Setzt man in die Elasticitätsgleichung

a    11    1    /•

0 = £o (£1) + ⁶0⁶ ($1 ) -ß-j Jytylds

6

die Werthe

t'o' = —

EF

[5 sin qpo -+- H cos (j!₀],

so folgt analog wie für den Parabelbogen

^4 jxy ds 0

r*    T    CI    2 l

P (x — a)y ds — — sin qp₀ A (S\) 4- B (S\) J    Je    0    «

a

-- COS qpo (Si) -T    0

Jy² ds 4-

0

Darin ist (Fig. 15)

Pb_ P sin qp₀ 4- sin ß

21    2 sin qp₀

P sin (jPo — sin ß

sin qp₀

x = r (sin qpo — sin qp) y — r (cos qp — cos qpo)

(x — a) = r (sin ß — sin qp),

21

Jxy ds = 0

J(8i

_r3

+n

= 2r³ sin qp₀ [qpo cos qp₀ — sin qp₀]

n qpo — sin qp) (cos qp — cos qp₀) <2 qp

•21

fy²ds = 0

ro

_r3

+ n

J(cos qp — cos qp₀)² d qp

= (3 sin qpo cos qpo — qPo — 2qpo cos² qp₀)

21

J'(x — a) y ds =

~ <P 0

— r³j (sin ß ß

— sin cp) (cos qp — cos qp₀) d qp

= — r³ [sin ß cos qPo(qpo4-ß)+cosqpo(cosß-cosqp₀)-^sin²qpo—|sin²ß-sin|2sinqpo]

so dass mit Berücksichtigung der auf Seite 22 angegebenen Werthe der Integrale [S] :

51) 11=

sin² qp₀—sin²/3 4-2cos qp₀ (cosß—cos qp₀)—2 [l4-^₂] cosqp₀ [qp₀sinqp₀—ßsinß]

qp₀ — 3 sin qp₀ cos qp₀ 4-2 1 4

qp₀ cos²qp₀

wird. Bei Vernachlässigung der von f₀ abhängigen Glieder ergiebt sich _ P sin² qp₀ — sin² ß 4- 2 cos qpo (cos ß — cos qp₀) — 2 cos qp₀ [qpo sin qp₀ — ß sin ß

qpo — 3 sin qp₀ cosqpo 4- 2 g;o cos² qp

3*

3ß -

3. Bestimmung von 11 für ein System concentrirter Lasten.

a) Der Kreisbogen.

Soll für verschiedene Stellungen eines über eine Bogenbrücke sich bewegenden Eisenbahntrains der Horizontalschub bestimmt werden, und bezeichnet:

L die Belastung einer Lokomotivaxe,

Tenderaxe,

Güterwagenaxe,

Hl,

so berechne man für verschiedene Lagen der Last L den Horizontalschub trage ihn unter der Last von den Graden AB (Fig. 18) aus als Ordinate auf und verbinde die Endpunkte dieser Ordinaten durch eine Curve. Ebenso zeichne man „Curve H^ für die Last T und „Curve Hau für die Last G. Diese 3 Curven sollen „die ersten Curven H“ genannt werden.

Jetzt lasse man den Zug von B aus bis zu irgend einer Stelle G vorrücken, berechne H durch Summirung der unter den Lasten gemessenen Ordinaten der entsprechenden „ersten Curven H“ und trage den so gewonnenen Werth H vertical unter C (also unter dem „Kopf“ des Zuges) von der AB aus als Ordinate CD auf. In D erhält man einen Punkt der „zweiten Curve H für Bewegung des Zuges von B nach A“. Die der Bewegung des Zuges von A nach B entsprechende „zweite Curve i?“ ist das Spiegelbild (in der Figur punktirt).⁷ ⁸)

Die rechnerische Erledigung der beschriebenen Operationen wird besonders einfach, wenn sämmtliche Radstände des Zuges durch dieselbe Strecke X theilbar sind. Berechnet man nämlich in diesem Falle die Ordinaten der ersten Curven H in den Abständen X, 2 Z, 3 Z . . . vom Scheitel, so werden, wenn man bei Bildung der zweiten Curve // eine Last über eine berechnete Ordinate setzt, sämmtliche übrigen Lasten über berechneten Ordinaten stehen. Deshalb ist der in Figur 19 dargestellte, von drei Maschinen geführte Güterzug, welcher in seiner Wirkung den zur Zeit gebräuchlichen schwersten Betriebsmitteln gleichkommt, ganz besonders als Normalzug für die statische Berechnung der Bogenbrücken zu empfehlen. Der Abstand 1,5 m des Buffers von der ersten Lokomotivaxe ist allerdings zu klein gewählt, doch liesse sich grade für Beibehaltung dieses Werthes durch die Bemerkung plaidiren, dass man durchaus gut thut, durch eine etwas ungünstige Anordnung des Lastensystems

der schädlichen Wirkung der Stösse, dem Einflüsse der Geschwindigkeit des Zuges etc. Rechnung zu tragen.

Das beschriebene Verfahren durch ein Zahlenbeispiel zu erläutern, sei ein Bogen (Fig. 20) mit

15² + 5²

2.5

l = 15™ ; h = 5m ; r —

gewählt. Dann ist

cos qp₀ = 0,6 ; sin <jp₀ — 0,8 (]To — 36° 52’ 11,64” arcus <jp₀ = 0,6435011 ;

mithin nach Formel 52

_ 1,6 [cos ß Hb ß sin ß] — 1,5377611 — sin² ß 0,0543650

. vom

Wird P der Reihe nach im Abstande 1,5m, 3,0ra, 4,5m . . Scheitel angenommen, so berechnen sich die zugehörigen Winkel ß aus

1,5

3,0

Sin P1 = 25" = 0,06 5 Sin = 25

= 0,12

Man erhält

Index.

für P — 13*

für P = 8fc

0°

OO

OO

3n 26'-23,33" 6° 53’ 31,56" 10° 22’ 11,14" 13° 53’ 11,54” 17° 27’ 27,31” 21° 6' 0,70” 24« 50’ 4,53” 28° 41’    7,43”

32° 41’    1,10"

l-o CTi OO © OO 4». 4^

0000t-‘'0O<0DO~J0r>

^ 05 05 Ü>

H Q CO C

9,159

9,054

8,735

8,230

7,511

6,581

5,533

4,258

2,943

1,495

und kann hiernach die in Fig. 21 dargestellten ersten Curven H zeichnen. Jetzt findet man für die Zugstellung I

Ih = (7,511 + 8,230 + 8,735) H- (14,884 + 14,712 Hb 14,195) Hb (12,206 + 10,694 + 8,991) + (2,943 + 1,495) = 104,60*;

ür die Stellung II

Hu = (5,333 + 6,581 Hb 7,511) + (14,195 H- 14,712 H- 14,884) + (14,195 H- 13,373 + 12,206) + (5,333 + 4,258 + 2,943) = 115,52*;

fiir die Stellung III

Hm— (14,884 + 14,712 + 14,195) + (7,511 + 6,581 + 5,533) + (4,783 + 2,430) = 70,63*.

In dieser Weise lassen sich leicht beliebig viele Ordinaten der zweiten Curve H für Bewegung von B nach A finden, und wird es sich empfehlen, einmal die drei Maschinen vorwärts fahrend zu denken (wie bei Stellung III), dann die erste Maschine rückwärts fahrend anzunehmen (wie bei den Stellungen I und II).

b) Parabelbogen. (Fig. 22.)

Wirken die Lasten Pi, P2, P3 . . . Pn in den Abständen b\, h, fa ... bn von den Verticalen durch B auf den Bogen, so ist nach Formel (50)

11 =

212 Pb —£ Pb² .

8 Ih

Sind Ci, C2, C3 . . .. die Abstände der Lasten Pi, P2, P3 . . . . von der P„, so folgt

53)

2Pb² = 2P(b +c)²= b²2P + 2b 2 Pc + 2 Pc²,

1    ln    n 1    n 1    1

mithin, wenn

AP = %

2 Pc — (statisches Moment der auf dem Bogen liegenden Lasten in Bezug auf die P„)

A’Pc² = 3n (Trägheitsmoment der Lasten in Bezug auf die P„)

1

~ j bn (21 - bn) +2(1- bn) <S„ - 3« j •

gesetzt wird,

54)

11 =

Um für einen gegebenen Lastzug die Werthe    und 3n schnell

berechnen zu können, beachte man, dass, wenn Äi, 1% . . . Xn die Radstände bedeuten, die Gleichung 53) mit bn = ln in

3 = V %n + 2L <3n + 3«

n +1 n

übergeht, während weiter aus

ZPb = ZP(b + c) = bZP+ZPc

mit bn = 1„

1    ln    nl    1

<S = -h ©

wird, so dass man

3 = l (@ — ©) + 21 @    3 = 3 +1 (@ + ©)

n + l n n -+-1

schreiben darf.

Man wird hiernach zuerst die ?i, ?2, ? 3 . . ., dann successive die @ = X ? + @ und hierauf die

n    n- 1 n—1

n—1 n- 1 n

berechnen.

So erhält man für das von uns adoptirte Lastensystem, falls die drei Maschinen vorwärts gehen,

¹

Frankel, Berechnung eiserner Bogenbrücken, Civil-Ingenieur 1867, S. 57.

²

Winkler, Die Lehre von der Elasticität und Festigkeit, Prag 1867, S. 309. Formel 48 ist zuerst von Darcel in den Annales des ponts et chaussees, 1862, mittelst der Navier’schen Theorie abgeleitet worden.

³

ft

⁴

® = D'l³{ 1 —

⁵

\

⁶

0 = — [Ä sin Io + H cos g>₀]

⁷

Wird ein Geleis durch zwei Bögen unterstützt, so sind die Werthe II selbstverständlich zu halbiren.

⁸

Diese Abmessung beträgt mindestens 2™.

1= 13*

2 = 26*

@1 = 0

= 19,5

@2 = *i ?! 4- @1 = 1,5.13 @3 = *3 ?2 + @2 = 1,5.26 + 19,5 = 58,5 @4 = h ?3 + @3 = 3,0.39 + 58,5 = 175,5

3i = 0

29,25

33 = 32 + ^9 (@3 + @₈)=l,5(19,5+ 58,5) H- 29,25=146,25 3i = 3s + h (@3 + @4) = 3,0 (58,5 + 175,5) Hb146,25 = 848,25

Hat man 3i9 und @19 für die erste Güterwagenaxe (d. i. die 19te Last) bestimmt, so findet man für die (r + l)te Güterwagenaxe (wenn 2Pg die Belastung eines Güterwagens bedeutet), (Fig. 19a)

@ = @19 •+■ rX ?i9 -f- Pg | X -+- 2 X + • • • • -b (r — 1) X j

2 P‘l

@ — @19 ~b V X ?19 ~b

3 = 3i₉ + 2 r*<@₁₉ + r²X ²?₁₉ + P j V 4- 4T² H------b (r — 1)U²J

(r — 1) r (2r — 1)

r (r — 1)

PrA²

1-2-3

3 = 3i9 + 2 r X @19 + r² X² ?i9 -f-

Wegen 3i9 = 97260,75; @19 = 3820,50; ?i₉ = 198; X = 3ra; Pg = 9‘ ergiebt sich:

@ = 3820,5 -b 580,5 r -b 13,5 r2 3 = 97260,75 -b 22936,5 r + 1741,5 . r² + 27 r³

Setzt man hierin r — 1; so erhält man und

2;

3; ....

@20; @21; @22;

320; 32i; 322; • • • •

Die für @ sich ergebenden Werthe bilden eine arithmetische Reihe zweiter Ordnung, die Werthe 3 eine solche dritter Ordnung.

Die Resultate der Rechnung sind in der nachstehenden Tabelle (1) zusammengestellt. Tabelle (2) setzt voraus, dass die erste Maschine rückwärts fährt *).

. @„

?«

*) Die in der Tabelle enthaltenen Werthe w,-— cr werden später gebraucht.

Tabelle 1.

Güter-Zug mit drei vorwärtsfahrenden Maschinen an der Spitze. (Anordnung Figur 19a.)

Cl

Ct Vn

ft

<&«

3«

H (N «5    lO

Ol

CO C- 00 Ci o

o co⁻ o oo

r—1 rH rH r-H

Ol

O    ^pi    O0 m p O

^ ^v, ^ QO to    ^ <1 üt ^

^ O O    ^¹ ^    -<1 OC O Ct

^ w

Cn OO CD O

o An 'o< Ar*

to I—‘ 4^ -3

Ci

29,25

146.25

848.25 1 480,50

63

76

89

102

110

328.5

517.5

631.5 765,0

1 071,0

2 342,25 4 880,25 6 603,75 8 698,50 14 206,50

co to i—¹

ci'

»fl

10,74

11,21

118

126

OJ to to K) U3    (O M W U) IO    IO ‘    i—¹    >—■    l—¹    <—k *—¹

OOOO-OCi    ÜI (fi, ca b5 H    o O    OO    -3    Ci

^ tO l>    o r-H CO CO OO)

04 04    CO CO CO CO CO

Ot

‘O

Cn 4*-    4*-

i—* OO Oi tO

o oj m üi    o»

CD Ci Co O “0

tu M

139

152

165

1 236,0 1 413,0 1 791,0

1    999,5

2    227,5

17 667,00 21 640,50 31 252,50 36 938,25 43 278,75

15,74

16,48

17,21

19,30

21,33

23,31

25,26

27,17

29,06

30,91

32,74

34,55

36,34

38,11

39,86

173

181

189

198

207

216

225

234

243

252

261

270

279

288

297

2 722,5

5 035,5

5    683,5

6    358,5

7    060,5 7 789,5

58 128,75 66 685,50 76 038,75 97 260,75 121 965,75

150 315,75 182 472,75 218 598,75 258 855,75 303 405,75

352 410,75 406 032,75 464 433,75 527 775,75 596 220,75

cs

cv =

31

32

33

34

35

oo oo

41,60

43,33

45,04

46,74

48,43

306

315

324

333

342

669 930,75 749 067,75 833 793,75 924 270,75 1 020 660,75

36

87

37

90

38

93

39

96

40

99

50,12

51,79

53,45

55,11

56,76

351

360

369

378

387

1 123 125,75 1 231 827,75 1 346 928,75 1 468 590,75 1 596 975,75

41

102

42

105

43

108

44

in

45

114

58,40

60,03

61,66

63,29

64,91

396

405

414

423

432

26    770,5 28 039,5

1 732 245,75

1    874 562,75

2    024 088,75 2 180 985,75 2 345 415,75

46

117

47

120

48

123

49

126

50

129

66,52

68,13

69,74

71,34

72,93

441

450

459

468

477

2 517 540,75 2 697 522,75

2    885 523,75

3    081 705,75 3 286 230,75

51

132

52

135

53

138

54

55

*“—< TT

t—I r—(

74,53

76,12

77,71

79,29

80,87

486

495

504

513

522

40    675,5 42 214,5

3 499 260,75 3 720 957,75

3    951 483,75

4    191 000,75 4 439 670,75

56

147

57

150

58

153

82,45

84,02

85,60

531

540

549

43 780,5

45    373,5

46    993,5

4 697 655,75

4    965 117,75

5    242 218,75

Tabelle II.

Güterzug mit drei Maschinen an der Spitze. Die erste Maschine fährt rückwärts.

(Anordnung Fig. 19 6.)

C\

@»

Cl' Wn

Sn

oi co 'd uo

IO O CD O © i-4 co~ co t—'

Oi    o O

Ol oi Ol

O CD 00 -3 05

oo Ol 05 _CD O O Ol

Ol C- 05 CO OO Ol Ol

o oi    co o cd C5

co⁻ uo coT coT oo

00 CO ^ I> O r-i oi co >o

12

18

36

90

108

522

163,5

929,25

63

76

89

102

110

CO    05    ÜI    ^    U)

OO    <1    (t.    U)    CO

F    r¹    *

O    O    Ol    OT    tu

1 532,25

3    530,25

4    983,75 6 808,50

11 776,50

oo io

■di io

to

Üi ^ M CO

Ol

lO

^ ‘ 1 ^ P 5*

4d oi to oi —i

Ol 05    o    >—¹■

118

126

139

152

165

1 146,0 1 323,0 1 701,0

1    909,5

2    137,5

14 967,00 18 670,50 27 742,50 33 158,25 39 228,75

30

31,5

33

36

COtOfcOtOtO    IZ) to to to to

o^ooo^aa^    oi ^ w to h¹    o

39

Ol

-dl

4-

Oi

oo

'dl

Ol Ol

I—¹

05 05 05 CD 05 05

15,22

15,98

16,74

18,84

20,89

22,90

24,86

26,79

28,68

30,55

32,40

34,22

36,02

37,80

39,56

173

181

189

198

207

216

225

CO CO dl Ol Ol

252

261

270

279

288

297

2 632,5

53 538,75 61 825,50 70 908,75 91 590,75 115 755,75

143 565,75 175 182,75 210 768,75 250 485,75 294 495,75

342 960,75 396 042,75 453 903,75 516 705,75 584 610,75

■—

oc

■öl©

= ls

■&

IS)

—'    N CO i# O    O N OO Oi O    i—i    <M    eo

CO    M CO CO CO    CO SO CO CO if    -T«    Tt<

72

75

78

81

84

87

90

93

96

99

102

105

108

41,31

43,04

44,76

46,47

48,17

49.86 51,54 53,21

54.87 56,52

306

315

324

333

342

351

360

369

378

387

657 780,75 736 377,75 820 563,75 910 500,75 1 006 350,75

1 108 275,75 1 216 437,75 1 330 998,75 1 452 120,75 1 579 965,75

£»■

Ol rf*

111

114

58,17

59,81

61,45

63,07

64,70

396

405

414

423

432

1 714 695,75

1    856 472,75

2    005 458,75 2 161 815,75 2 325 705,75

C> Ü¹ Oi    O« Oi Oi Oi Oi    Oi^^^-4^

00-005    üi W H    O O » O)

(M    1.0    OO    rH

co    co    co    ^    ^

r—<    r—-I    r-H    r-H

147

150

153

66,32

67,93

69,54

71,14

72,74

74,34

75,94

77,53

79,11

80,70

82,28

83,86

85,43

441

450

459

oc r-

CO C—

486

495

504

513

522

531

540

549

40    585,5 42 124,5

43 690,5

45    283,5

46    903,5

2 497 290,75 2 676 732,75

2    864 193,75

3    059 835,75 3 263 820,75

3 476 310,75 3 697 467,75

3    927 453,75

4    166 430,75 4 414 560,75

4 672 005,75

4    938 927,75

5    215 488,75

1= 15m und h = 5m

Um die für Kreisbögen und Parabelbögen gewonnenen Werthe II mit einander zu vergleichen, wählen wir einen Parabelbogen mit den Abmessungen

und berechnen H für die vorhin angenommenen Stellungen (Fig. 21). Da durchweg bn = 0 ist, wird

und wegen

8Ih 200’

II =

30@„ —

200

Für Stellung I und II folgt (Tabelle 2) beziehungsweise: n = 12; <g„ = 1323,0; 3„ = 18670,50 n = 13;    = 1701,0; 3. = 27742,50,

während für Stellung III (Tabelle 1)

n = 9; @„= 765; 3» = 8698,50

sich ergiebt. Daher erhält man

Hi — 105,10* (um 0,50* grösser als beim Kreisbogen)

Hn — 116,44* ( - 0,92*

)•

Hm= 71,26* ( - 0,63*

Die sehr geringen Abweichungen zwischen den Resultaten für den Parabelbogen und den Kreisbogen dürfen insofern nicht überraschen, als früher nachgewiesen wurde, dass man die Formel 50) auch als Näherungsformel für den flachen Kreisbogen ansehen kann.

Resume.

Die vorstehenden Untersuchungen berechtigen zu folgenden Schlussfolgerungen :

1)    Bei den im Brückenbau üblichen Verhältnissen zwischen Pfeilhöhe und Stützweite eines Bogenträgers, darf man den Horizontalschub für Parabel- und Kreisbögen nach derselben Formel berechnen.

2)    Die exacten Formeln für H sind sehr complicirt; ihre Anwendung führt zu äusserst langwierigen Zahlenrechnungen und dürfte schon desshalb nicht geboten sein, als die zu behandelnden Systeme die Vorbedingungen der Theorie keineswegs scharf erfüllen. Weiter spricht ausser der durchaus befriedigenden Uebereinstimmung der genäherten und genaueren Resultate noch der Umstand, dass die Definition des Lastensystems auf mathematische Genauigkeit keinen Anspruch machen darf, da bei Eisenbahnbrücken die stets in Rechnung gestellten Lasten sich auf die ruhende, nicht aber auf die sich bewegende Maschine beziehen,

während bei Strassenbrücken die Belastung durch Menschengedränge einer sehr groben Schätzung unterliegt. Schliesslich kann noch geltend gemacht werden, dass eine correcte Bestimmung der durch Temperaturänderungen entstehenden Beanspruchungen bestimmenden Montirungstemperatur — unmöglich ist, dass also eine exacte Bestimmung der gesammten Inanspruchnahme des Bogens ohnehin nicht ausführbar ist.

schon wegen der nicht vorauszu-

Es soll desshalb in der Folge bei Bogenträgern mit zwei Kämpfergelenken von der Formel

11 =

3 Pab

y'k

8 hl

ausgegangen werden.

§ 6.

Der Bogen ohne Gelenke.

(Berechnung von Ay, II und 93G.)

Die Elasticitätsgleichungen (40) auf Seite 20 gehen mit A cp₀ = 0 und Acfi = 0 über in

2 l

a    2 Ir

0 = *‘o [<]p] + [qp] + j

o

2 l

a    2 Ir

0 — «ü [St] + fio’ [St] + / y 0    n J

0

93\ds

EJ

mas

EJ

a    2 Ir

0 = — e₀ [Äa] — fo' [Äa] — | x

o    a )

0

EJ ’

und möge bei deren Auflösung von vornherein = 0 und Bq — 0 gesetzt werden. Zu diesem Vorgehen, dessen Zulässigkeit beim Bogen mit zwei Gelenken hervorgehoben wurde, ist man bei dem vorliegenden Systeme um so mehr berechtigt, als eine absolut feste Einspannung der Bogenenden, wie die Theorie sie voraussetzt, in Wirklichkeit kaum hergestellt werden kann, während andererseits die thatsächlichen Aenderungen A cpn und A rpt nur durch Beobachtungen festzustellen sind. Desshalb werde gesetzt:

»-/

0

931 ds

0=j,,

0

931 ds

22

EJ ’ °

931 ds

EJ

V = h — yt

Verlegt man (zur Vereinfachung der Rechnung) den Coordinaten-anfangspunkt nach dem Scheitel (Fig. 23) und zählt die Xi nach links, die t/i nach unten positiv, so folgt x = l — Xy;

und

22

)y

0

mds

9Jlds

EJ hj EJ

0

931 ds Vl EJ

d. i.

y mds J y EJ

o

9)1 ds

ferner

2 2

/*

0

EJ

Iyi EJ 0

V aitds

“ -jx'lsT ■

0

dx i

a) Parabelbogen. Hier wird J stanten Mittelwerth «/’ ersetzt, wesshalb die Bedingungen

ds

= Jcos cp durch den con-

+i

J 931 dx i =

*+■ l

0 ; J xi 931 dx\ =0 ; J' yi 931 dx\ — 0

zu erfüllen sind.

Einer concentrirten Last P im Abstande | vom Scheitel entspricht 9)1 = A{1 — #i) — H(h — Vi) — P(* — *0 + 931 so dass, da das Glied P(§ — ^i) nur im Intervalle x\ — £ bis X\ — —l vorkommt, sich die Gleichungen ergeben:

Al/

— #i)

+•

+ 931 aJ xi dx i = 0

/12

4-2    -f-2    +2    -pi    4-£

'Jyi d.rx — aJi/tx, dxi — Hhjy\ dxx 4- IIJyi²dxi — pJq — ^)?/i dxt

—i    —2    — 2    —2    —2

+ 931

"H

^Ji/i d.rx = 0

-2

Hierin wird

+2

j x\ndxi = 0

-i

, wenn n eine ungerade Zahl ist,

und

+i    - i    +i

Jxin dxi = 2 Jxin dx\ i wenn n eine gerade Zahl, weiter j y\ Xi dxi = 0

—l    0    —/

als statisches Moment der zwischen der a?i-Axe und der Parabel gelegenen Fläche in Bezug auf die x/i-Axe, schliesslich

wesshalb die zweite der Elasticitätsgleichungen in

übergeht. Hieraus folgt

A ⁼⁼

K>| »“ö

Jxi (£ — xi) dxi

•*)

dx

Die beiden anderen Gleichungen gehen über in

2 (AZ +    dx 1

0

ijdx! + 2 7iJyi dx 1 — pj(£

0 0 — * z    z

2(AZ +    ?/i d^i — 2//eZ#i + 2//jy²i cZ#1 — pj~(| —.£1)2/1 cZ#i = 0.

ü    0    0    — z

l

Multiplicirt man die obere mit J y\ dx 1, die untere mit

0

— 2 Hh

— xi) dxi = 0

und

subtrahirt die obere von der unteren, so findet man:

H — P°

ßdxß(^ — Xi) 2/1 cZ ,«i —J (| — £1) Px'i12/1 cZ^i

o —z    — Z    o

² | ß/²i dx 1ßdxi —    /1 dx\ j

0    0    o

während schliesslich das Stützenmoment:

Jyi dx 1

0

Jdx 1

0

sich ergiebt.

*) Die Integrationen sind mit Absicht unausgeführt geblieben, um die Ableitung der Formeln für den Kreisbogen zu erleichtern.

Wegen y =

j£- erhält man nach Ausführung der Integrationen

55)

2 + 3 4- —

56)

57)

aw^ =

15 P (7²—|²)2 32” Ph

p(/²-i²)a+?) a-5t)

16

7³

und, wenn die Abstände a und b der Last P von den Auflagerverticalen A und B eingeführt werden,

58)

59)

11 =

60)

mA= 4,

P f/² (7 + a)

4 P

15 Pa² 7>2 * 32 Wh

P ab² (5a — 47)

16

b) Kreisbogen. Es wird J constant angenommen und ergeben sich die Gleichungen (Fig. 23 a)

4- l

J‘sKlds = 0; fx₁9Jlds =

0;

-i

-i

J y\ 5CR ds = 0.

Ihnen entsprechen — analog wie beim Parabelbogen — die Lösungen

—Wo

— <p 0

toi 83

J xi (I — #i) ds

J (sin ß — sin q>) sin cp d cp

To

x‘²i ds

Wo

^sin² cp dcp 0

To

Wo ß

Jds J (£ — Xi)yi ds — J (£ — xß) dsj?/t ds

H = P°

o -- <Po_____- <Po_______ n__

To    To fpo To

² I jy²c ds Icls —Jyi ds j y\ ds |

0 0 0 0

<Io ß

j dcp I (sin/3—sing))(]

—cos

ß    ß

cp) d cp—j (sin ß—sin <p₀) dcpj(

1—cos cp) dcp

— Wo

Wo    Wo 'Io

2 | ^(1 — cosq))²dcpJ'd cp — [J"(l — cos cp) d (jp]² j 0 0 0

und

— cos qp) d cp = qp₀ — sin <p₀

</• o

/<*

o

41)

I    <r° \

\    vids )

1 h — -°-- >

f (£ — ^i) ds

a. -=>

To

2fä

0

d. i.

To    \

r f( 1 — cos op)dop i o*'

ß

r J(sin ß

— sin cp) d <fj

— Al +

To

T 0

/'*»•

0

Nun ist:

To

J⁽¹

S

— cos (p)² dqp = f qpo — 2 sin qp₀ ^ sin qp₀ cos qpo

J(sinß — sinqp) (1 — cosqp)dqp = sin(3 (ß + qpo) + cosß —

— To

cosqDo

— ^ sin² ß — -g- sin² qp₀ — sin ß sin qp₀

j (sin ß — sin cp) d qp = sin ß (ß + qp₀) + cos ß —

cos qpo

— <fo

r-'Po

J (sinß — sin qp) sin qp dqp = % [ß + cp₀ + sinß cos/3 —

2 cos qp₀ sin ß — cos qpo sin qp₀]

To

sin² qp d qp = ^ o

[qp₀ — sin qp₀ cos qp₀] ,

desshalb erhält man:

61) A

_ P ß H- qp₀ + sin ß cos ß — 2 cos qp₀ sin ß — cos qp₀ sin qp0 qpo — sin qp₀ cos qpo

62) H

_ P 2 sin qp₀ [cos ß — cos qp₀ H- ß sinß] — qp₀ [sin²/? + sin² qp₀] qp₀ (qpo + sin qp₀ cos qp₀) — 2 sin² qp₀

sin qp₀

= »[*->■(

)]

— Ar sin qp0 Pr sin ß (ß + qp₀) + cos ß — cos qp₀

qpo

qpo

- 50 -

Durch numerische Rechnungen überzeugt man sich leicht, dass, flache Bögen vorausgesetzt, ein nur sehr geringer Fehler begangen wird, wenn die für den Kreisbogen abgeleiteten unbequemen Formeln durch die bei weitem einfacheren dem Parabelbogen entsprechenden ersetzt werden.

§ 7.

Beanspruchung der Bogenträger durch Temperaturänderungen.

Im Folgenden werde vorausgesetzt, dass die Temperatur in allen Punkten eines Bogenträgers constant ist, und dass es eine bestimmte Temperatur t₀ giebt, bei welcher die Spannungen im Bogen ausschliesslich von den auf den Bogen wirkenden Belastungen herrühren. Wird diese Temperatur um t erhöht, so besteht die relative Längenänderung A ds

ds

- aus zwei Theilen, deren erster

rJ

Ads

ds

tHi

’»1 '1

von der Normalspannung herrührt, während der zweite

A ds

ds

eine Folge der Temperaturänderung ist. Dabei bedeutet et die dem Temperaturunterschiede 1 entsprechende relative Längenänderung (auch Ausdehn ungscoefficient genannt).

Aus

Ads

ds

folgt

A ds

N= E

ds

⁷¹ — et tE

d. i. (vergl. Seite 3)

⁷l

IV — E Sq -j⁻ ( CO £n) -^—

L    V + r]

— et t E

wo t₀ und co die mit Rücksicht auf die Temperaturänderung bestimmten A ds

Werthe

ds

und

A dq>

d cp

bedeuten.

Die Einführung von N in die Gleichgewichtsbedingungen

■jN d E>j — 0 NdF= 0

liefert, analog wie auf Seite 3

G4)

£o = —

EF

'AR

G5)

0) = -

skr

EF

Rn H--+

r3)

+ Ett *) — «o —

SK

EFr2)

und wenn 2) —

F?

gesetzt wird,

t» = «o

SKRr

EJ

— £0 H⁻

SK ds FJdg *

Weiter findet man

N= —

Rn sk mn F rF J ’

so dass N nur insofern von t abliängt, als beim statisch unbestimmten Systeme die aus den Elasticitätsgleichungen zu bestimmenden Kämpferdrücke Functionen von t sind.

Die Formeln 21) zur Berechnung der Deformationen gehen über in

/lg) — A qpo +

■ j'so d gj -+-f

6    o

SKR ds

EJ

+ Ettjdqo

o

6G)

' SOIds

= —yAg -j-Js₀(ydg + da) +Jy ß J 0 0

, , rmds

— dy)—x-ßj

+ Ett

tj(ydg

H- dx)

-J'so (x dg 0

— ftt

tj(xdg

0

wesshalb, wenn

j'y dg dx =

Jxdg — dy

St ;

gesetzt wird, die Elasticitätsgleichungen folgen (vergl. No. 40):

G7)

SKR ds

SDRds

EJ

21

H- £(t[*Si]

ü

21

— £tt [$2] + 2 lA gi ,

0

*) Winkler setzt (Elasticitätslehre, Seite 3G0):

co — —

SKR . SDR

EF was, als den Gleichgewichtsbedingungen nicht entsprechend, unrichtig ist. Den-

4 *

Die Glieder mit e₀ und e₀' sollen berücksichtigt werden, da die Rechnungen sich leicht durchführen lassen.

1. Der Bogen mit zwei Gelenken.

a) Parabelbogen. Wird der Bogen unbelastet angenommen, also nur Beanspruchung durch Temperaturänderung vorausgesetzt, so ist A — 0. Der Horizontalschub, welcher Ht genannt werden möge, wird aus der zweiten Elasticitätsgleichung gefunden. Setzt man in diese

Ht l² — h²

EFl² + h²

an = - Hty

also

«o = *o' = —

21

fy

0

an ds

EJ

ET

J y an d x = 0

Ht

EJ'

21

j'y² dx =

Ht 16

EJ' 15

so folgt:

Ht l² — h2 EFl² + h²

21

21

und hieraus:

Ht —

Ett

1 l² — h² 16    1 h²l

EF Z² + h² + 15 EJ' (S{)ol

Für flache Bögen findet man, wegen

2 (l² — 2 h²)

(Si)o²* =

15 etE Ft

68)

F    h²l²

J' l² — 2 h²

• *)

15

¹⁵ P + h²

Besteht der Bogen aus zwei durch Gitterwerk verbundenen parallelen Gurtungen, deren Schwerlinien von einander den Abstand h\ haben, so ist, unter / der Gurtquerschnitt verstanden,

hi²

h]²

und J’ gleich dem Mittelwerth aus den / — cos cp.

It

selben Fehler begeht er auch in der Abhandlung: „Ueber den Einfluss der Temperatur bei Bogenbrücken“ (Civil-Ingenieur 1867). In Steiner’s Abhandlung:

Ueber Theorie der Bogenbrücken“ (Allgemeine Bauzeitung 1874) sind die von Winkler auf Grund des unrichtigen Werthes o) abgeleiteten Formeln über-

gegangen.

*) Ein gebräuchlicher Näherungswerth ist der von Winkler abgeleitete

Ht

15 etE Ft Fh³ ’

15 + 8

Bedeutet also /’ den Mittelwerth aus den verschiedenen / cos <p, so

hat man

Al¹

r—

J 2

und findet wegen F — 2/ Ht =

69)

15

P — h¹

P -b h¹

30 et E tf

+- 32

h? f P hx¹ f P — 2 h¹

= 1 setzen darf. —

Bemerkt sei noch, dass man ohne Bedenken

Für Blechbögen, d. h. Bögen, die aus einem Yerticalblech, Winkeleisen und Kopfblechen bestehen, setze man

Q = Trägheitsradius,

70)

Ht =

15

30 stE tf

P — h?

h¹

P-hh¹

Wie der Werth q vor Ermittelung der Querschnittsdimensionen abzuschätzen ist, soll später gezeigt werden, b) Der Kreisbogen. Hier wird

Qi P — 2 h¹

IIt cos q>0 ~ EF

OJl = — Hty = — Htr (cos cp — cos qpo)

f₀ = e'o =

IItr²

EJ,

0

f EJ

J(cos cp 0

— cos <po)¹ d cp

i/r²

(qp₀ — 3 cos cp₀ sin qp₀ + 2 cp₀ cos ¹ cp₀) Jl/J

2 l

(5i)o = 2r cos cp₀ cpo (vergl. Seite 21, No. 42).

Htrz    o

| 2 r cos qp₀ cp₀ — (cp₀ — 3 cos cp₀ sin cp₀ -4- 2 cp₀ cos ¹ qp₀)

Ett--

Desshalb geht die zweite der Gleichungen 67 über in Ht cos (jo )

EF

woraus

71)

Ht =

2 cp₀ cos ¹ cp₀ -h

r¹F

2 E F £t t cos qpo o

[qp₀ + 2 cpo cos¹qDo — 3cos(jp₀ sin<y₀]

die dritte) erweist

sich als überflüssig; die beiden anderen gehen, da A gq = 0 und /J q>₀ = 0 werden, über in

0 = (fo + £t t) [⁽jP]o+ J

0

0 — («o + £t t) [<Si] -kJ"?/

0

901 ds

EJ

Wds

EJ

a) Für den Parabelbogen ist:

Co == ß’o —

Ht P — A2 EF P + A²

soi = — Ht y + soi„

'«ui ds

~EJ ⁼ EJ'

SOI dx

daher

0 = — Ht

J P-h2 F P 4- A²

dx

j y²dx -b SOLiJ y dx ,

d. i. nach Ausführung der Integrationen

V 72 _ 7,2    27    22

0 = -HtJ-lWTlM+ettEJ'[(p]-

F [Si]o+fi '    13 *³' H‘⁺f •

0 = —Ht

Hieraus folgt

Ht =

45

4 AZ

-- Ht -k 2 Z 901,4

Fh²

8 -=

22 ni

0 O 0

2 2 + ⁴⁵

P — h² 5 Z- -t- A-

und

72)

22

fa]

/{m . TT 2A r J' Z² — A²    T,lm₀

(SOI,)), — * 3 ⁺ [_ 7t F P H- A2 £t *    ^ j 2Z ’

wofür man bei flachen Bögen genügend genau

2A

setzen darf. Danach greift IJt annähernd in der Höhe — über den Mittel-

o

punkten der Kämpferquerschnitte an.

Weiter ist bei flachen Bögen genügend genau

— 2 <p₀ = — 2 tg cp₀ = —

21

l>] = 0

-v

8H

[Si] =

0

2Z 1 —

2A²1

Tr

daher

73)

Ht = -

45 etE F t

3Z²

Fh²

⁴ /' 3Z² — 2A²

+- 45

Z² — Ä2 Z² + Ä²

■ *)

b) Für den Kreisbogen erhält man mit

11t

—-cos cpo ; [Si] = 2r<p₀ cos q0 h h    o

die Gleichungen

—To

cos (jpo 2 qpo — 2 fe Z E J q₀ — Ut JV ds + (9)1 A)t Je

-To

<Zs

+To

+To

0 = — 77« — cos qpo [2 r cos qpo qPo] + «t t E J [2 r cos qc₀ <Po]

-To

-To

Ht Jy² (Zs + (OJIa^J y ds •

Setzt man

+To

+To

y — r (cos (jp — cos qp₀) (Zs = — rcZqp

und führt die Integrationen aus, so folgt

0 = Ht

pcoscp₀2(fo — 2 £t tE J (p₀ — 2Htr² (sin ep₀ — cos g>₀ <jPo) + 2 r 931A qpo 0 = — Ht 2 r cos ²(j3₀ cpo + 2 stt E Jr cp₀ cos cp₀

— 77t r³ [<po — 3 cos cpo sin <jp₀ + 2 (jp₀ cos ²<p] + 2 (9)1 A)tr² (sin <jp₀ — cos cp₀ 9>o) und hieraus

74)

Ht ⁼⁼

2 st t E F cpo sin cp₀

2 q>o sin cp₀ cos cp₀ +

r²F

j [<To² + 9>o sin qp₀ cos <jp₀ — 2 sin ²qp₀]

worauf

75)    (9)lA)t=Ht r

sin cpo — cos cpo <f>o «7

<Po

Fr

cosg>o j + £t tE ~

sich ergieht.

*) Setzt man hierfür angenähert Ht =

45 stEFt

, so erhält man den von

+ 45

Winkler (Elasticitätslehre, Seite 367) abgeleiteten Werth.

Erfahrungswerthe. In die für Ht und    abgeleiteten Formeln

setze man (E in Kilogrammen pro Quadratcentimeter und t in Celsius-Graden gegeben) für:

Bei einer mittleren Montirungstemperatur von 10° wird es sich empfehlen, i = ± 30° zu wählen.

O r—< -Hi

Abschnitt II.

Dimensionirung der Bogenträger.

§8.

Blechbogenträger.

1. Von den Momentenpunkten und Kernpunkten.

Im vorigen Abschnitte wurden die Spannungen k₀ und ku in den äussersten Fasern eines stabförmigen Bogens als Funktionen des An-griffsmomentes 9)1 und der Axialkraft Bn dargestellt und die Werthe 9)1 und Bn für den fundamentalen Fall der Beanspruchung des Bogens durch eine concentrirte Last ermittelt. Aus diesen Resultaten lässt sich nun mit Hilfe einer Summation auf die Wirkung eines Systems concentrirter Lasten (z. B. eines Eisenbahnzuges) schliessen und darauf diejenige Stellung des Lastensystems finden, welcher die Maximalspannungen entsprechen. Bevor aber auf diese Untersuchungen eingetreten werde, sollen die Werthe kD und ku auf eine für die weitere Behandlung bequemere Form gebracht werden. Dazu sei normal zur Bogenaxe ein Schnitt cc (Fig. 24) geführt und die Resultirende B aus den am linken Bogenfragment angreifenden Kräften in ihrem Schnittpunkte s mit der cc in die Componenten Bn und Bt zerlegt. e bedeute den Abstand der Bn vom Schwerpunkte m des Querschnittes. Dann ist Bn _ 9fl _

F Fr

ku = ~ p

und, wenn man — = W„; —

k„ = —

9)1 a„

Bn

Bn c Bn c ct₀

Fr

Bn    Bn 6

■Bn & au

Fr

a„

du

= Wu setzt,

*) Durchschnittswert!!.

Wird

so folgt:

ka = - Rn

Jcu = -j- Rn

Wo

W₀

W₀

Fr

Wo

Wu

Fr

Wu

= Wo und -

Wo'

k₀ = — R [e -+- eu'] cos ß

W₀

Wu

Wu

Fr

Wo

Wo

Wu

Wu

Fr

— Wu gesetzt, ferner:

, ; ku = + R [e — e₀'] cos ß

Wu’

Sind o und u zwei Punkte des Schnittes cc, in den Abständen e₀' resp. eü vom Schwerpunkte m und zwar oberhalb, beziehungsweise unterhalb m gelegen, und bedeuten t]₀ und r\u die Abstände der R von o und w, so ist

yu = (e    eü) cos ß ;

y₀ — (e — e₀’) cos ß und es werden, wenn die Angriflfsmomente in Bezug auf die Punkte o und u mit ?0Ro resp. 5RU bezeichnet werden, die Spannungen

76)

k₀ — —

Wo’

ku —

a»„

WJ

Die Punkte o und u sollen die Momentenpunkte des Querschnittes cc heissen. Das Moment für den oberen beziehungsweise den unteren Momentenpunkt liefert durch W₀’ resp. Wü dividirt, die Spannung in der untersten resp. obersten Faser.

Werden bei grossem r die Glieder lässigt, so wird

Wo

Fr

und

Wu

Fr

gegen 1 vernach-

Wo= Wo-,

[Vu’= Wu; e₀’

Wu

F (= ea gesetzt);

Wo

eü =    (— e„ gesetzt)

mithin:

77)

k₀ = —

Wu

Wo

; ku — ■+*

Wu ‘

Die Punkte o und u im Abstande e₀ resp. eu vom Schwerpunkte m heissen Kernpunkte des Querschnittes. Der geometrische Ort von o wird die obere, der von u die untere Kernlinie genannt.

Wo

Beim Kreisbogen unterliegt die genauere Berechnung der Spannungen keinerlei Schwierigkeiten; sie wird sogar in einem später sehr oft zu behandelnden Specialfalle einfacher als die genäherte. Wird nämlich der Bogen nur rechts vom Schnitt cc (Fig. 25) belastet, so hat man, da am linken Fragment (einen eingespannten Bogen voraussetzend) nur A, II und das Kräftepaar mit dem Momente angreift, m = Ax— Hy + SK

SK    -JJl A

En — = A sin qp₀ + H cos qp₀ 4--— (vergl. S. 18),

mithin

k„ = —

(4L sin (p₀ 4- II cos (po) —

k₀ — —

und analog

ku — 4-

(Ax- Hy) -A (x 4- eu sin <jp₀) — H (y — eu cos cp₀) j —

“ | A(x — e₀ sin qp₀) — H (y 4- ea cos <jp₀)| 4- ^

W„

Wo

Wo

Wo

Wu

Fr

Zieht man durch m (Fig. 25) eine Parallele zu dem linksseitigen Kämpferquerschnitt, bestimmt auf dieser die Punkte o und u in den Abständen om = e₀ und um — eu vom Schwerpunkte m und bezeichnet mit y„ und x₀ resp. yu und x„ die Coordinaten dieser Punkte, so folgt x₀ = x — e₀ sin cpa', y«-= y -h ea cos cpa; xu = x 4- e„ sin qp«,; y« = y — eu cos cp„, wesshalb, wenn SK₀ und SK« die Momente der aus A und H resultirenden Kraft für die Punkte o und u sind,

Wo

2K„ + WlA 1 4- —

Fr

ku — 4-

sk„ 4- ©m 1 —

Wo

Fr

oder genügend genau

k₀ —

78)

ku — 4-

Ir i ?K₀4- 9JQ 1 = - -Ir SK„ Ir SK.

Wo

Wo

2K₀4- SOL > — 4-

w„

sich ergiebt. Dabei sind SOL und 9K« die „Angriffsmomente“ für die Punkte o und u, diese mithin die „Momentenpunkte“. Bei Bögen mit Kämpfergelenken sind die Formeln 78 correct, da hier SK"⁴ = 0 ist.

Analog findet man, dass, falls der Bogen nur durch links vom Querschnitt cc gelegene Lasten beansprucht wird, die Linie o'u (Fig. 26) parallel dem rechtsseitigen Kämpferquerschnitt zu ziehen und m o' = e₀, m u = eH zu machen ist, um in o und u die Momentenpunkte zu erhalten.

Wu

Die zuletzt vorgetragene Methode wird bequemer als die erste, sobald nur das eine der beiden Bogenfragmente belastet ist und die Coor-dinaten der Momentenpunkte berechnet werden sollen. (Häufig wird man die Coordinaten auf einer genauen Zeichnung abgreifen.)

Zahlenbeispiel. Ein Kreisbogen mit 3 Gelenken (l — 10m, h = 5m (Fig. 27)), habe den in Fig. 28 dargestellten Querschnitt und sei durch eine Lokomotive belastet, welche von B aus bis zum Scheitel aufgefahren ist. Es soll die Spannung in der untersten Faser des Quer

schnittes cc im Abstande l,5m vom Scheitel berechnet werden. Es ist

= 15,075‘

24 • 2,5 + 39 • 8,5

20

Al

Al =

H h mithin H — — = 2 A h

und das Angriffsmoment für den oberen Momentenpunkt

93L = Ax₀ — Hijo = A(x„ — 2y₀) = 15,075 (xa — 2y₀).

Mit Berücksichtigung der Schwächung des Querschnittes durch die 2cm starken Niete ist

J= - (25 — 4) 80³ — 8.78³ — 2 (7 — 2) 76³ — 2 . 1,0.62³ = 174097,

1 Z \    '

Wu = fn = 4352 40

F = 2 (25 — 4) + (8 -4- 7 — 2) 4 + 1,0 ■ 78 = 172acra

= 25,3cm.

Die Coordinaten des Querschnittsschwerpunktes sind y = V 12,5² — 1,5² — 7,5 — 4,910m; x = 8,500m, wesshalb

x₀ = x — ea sin cp„ = 8,500 — 0,253 ^

Wo =

4352

172

12,5

= 8,298

7,5

yu — y -+- ea cos (p„ = 4,910 + 0,253

9JL = 15,075 (8,298 — 2 • 5,062) = — 27,53tra 2753000kcm 4352

Die Coordinaten des oberen Kernpunktes (o’ in Fig. 27) sind

= 8,470

7,5 H- 4,91 12,5

daher 5)1₀ = 15,075 (8,470 — 2.5,161) = — 27,86tm 2786000 ' 4352

Die Differenz der beiden Werthe k„ ist hier (wie überhaupt stets) sehr gering, und sollen daher in der Folge die Momentenpunkte nur dann

JCU = —

12,5

= 5,062

= — 633k pro Q⁰“.

x₀ = x — e₀ sin cpa = 8,500 — 0,253

y„ — y + e₀ cos (jp₀ = 4,910 + 0,253

1,5

12,5

5,161

-- 640k pro Q⁰™.

an Stelle der Kernpunkte treten, wenn dadurch eine bequemere Rechnung erzielt wird.

2) Berechnung des Querschnittes.

Da im Allgemeinen die grössten Momente SEIL und verschieden sind, so wird der Querschnitt — falls die zulässigen Spannungen k„ und ku an allen Stellen die zulässige Grenze erreichen sollen — nicht symmetrisch in Bezug auf die horizontale Schweraxe werden. Giebt man dem Verticalblech und den Winkeleisen durchweg dieselben Abmessungen, so muss durch Variiren der Kopfplattendimensionen die Bedingung gleicher Sicherheit in allen Querschnitten möglichst annähernd erfüllt werden. Wird nun bald der Obergurt, bald der Untergurt durch Kopfplatten von gleicher Breite und gleicher Dicke in höherem Maasse verstärkt, so wird die Verbindungslinie der Schwerpunkte der Bogenaxe eine unregelmässige Curve, und zwar wird sie unstetig, da die Querschnittsabmessungen sich sprungweise ändern. Hierauf wird aber bei der statischen Berechnung keine Rücksicht genommen; man setzt vielmehr bei Ermittelung der angreifenden Kräfte eine parabolische resp. kreisbogenförmige Axe (ideelle Axe genannt) voraus und construirt dann den Bogen so, dass der Schwerpunkt des gefährlichen (d. i. des stärkst beanspruchten) Querschnittes in der ideellen Bogenaxe liegt, oder aber man legt durchweg den Mittelpunkt des Verticalbleches in diese ideelle Axe. Die zweite Anordnung lässt sich durch die Thatsache motiviren, dass bei denjenigen Stützweiten, bei denen Blechbögen mit Vortheil angewendet werden, für die meisten Querschnitte die Differenz zwischen 9DU und 5CU„ so unerheblich ausfällt, dass — unter Annahme von k₀ = ku — Obergurt und Untergurt gleich stark construirt werden; es liegen sogar bei der zweiten Anordnung mehr Querschnittsschwerpunkte auf der ideellen Bogenaxe wie bei der ersten. Bei einer dritten Anordnung werden die Kopfplatten der oberen und der unteren Gurtung in verschiedenen Breiten b₀ u. bu und in verschiedenen Dicken 8₀ u. 8U disponirt und die Abmessungen des stärkst beanspruchten Querschnittes so gewählt, dass der Schwerpunkt dieses Querschnittes in der halben Höhe des Stehbleches liegt und weiter die Axe des Stehbleches ideelle Bogenaxe wird; hierauf wird der Untergurt durchweg aus Platten mit den Dimensionen bu u. 8U, der Obergurt aus solchen mit den Dimensionen bQ u. 8„ gebildet, und lässt sich hierbei durch geschickte Wahl aller Abmessungen unschwer erreichen, dass die Schwerpunkte der meisten Querschnitte mit grosser Annäherung auf der in die statische Berechnung eingeführten ideellen Bogenaxe liegen.

Die unter den hier hervorgehobenen drei verschiedenen Voraussetzungen berechneten Dimensionen des Trägers weichen so wenig von einander ab, dass die drei Anordnungen als gleichwerthig zu bezeichnen sind. Die dritte führt zu den einfachsten Rechnungen, möge daher in der Folge angenommen werden.

Es bezeichne (Fig. 29)

J, das Trägheitsmoment des Querschnittes des aus Stehblech und Winkeleisen gebildeten Theiles in Bezug auf die eigene Schwer-axe ss,

f₀ Summe der Querschnitte der oberen Kopfplatten,

fu

unteren -    ,

a₀ Abstand des Schwerpunktes der /„ von der ss,

du

- fu

die Höhe des Stehbleches, dann ist sehr angenähert:

I)

J — Ja + f₀ 0?o + fu O? u

&₀ + du ⁼ h‘j

— = 1„;

Jku

do

du

Wird

do ₌ Wok„

du    kn

gesetzt, so folgt durch Verbindung dieser Beziehung mit I)

do -

hi c

hi

und

Win fa C

----:—- -- t

k„ &„(l + c)

Wua₀

Da die Axe ss Schweraxe des Querschnittes sein soll, ist

fo do - fu du ,

J — Ja + fo d₀hi — Ja +

foh\c

1 + c’

und schliesslich aus der Gleichung

Ja +

foKc __ WuhjC 1 + c k₀ (1 + c)

fo =

mu

ko hi

wofür genügend genau

9Jl„ Ja (

L\

(¹ +

gesetzt werden darf. Weiter findet man jetzt aus der Bedingung!

fo • fu du • d₀ — 1 : c

Wo Ja ku hi h,

Wird zum Beispiel bei Berechnung eines Bogenträgers, dessen Untergurt stärker angestrengt wird, als der Obergurt, nach Wahl der Abmessungen des Stehblechs und der Winkeleisen die Zahl nu der unteren

79)

80)

fo koh hl

fu — cfo =

(c + 1) •

Kopfplatten (im gefährlichen Querschnitte) angenommen, so folgt hei der Stärke 8„ derselben

b„ —

fu

8n fiu

darauf aus

hi -+- 8a n₀ a„

h\ 1 8U f%u    du

hi

8₀ — — (c — 1) -+- c 8U n₀

I³ I?

und schliesslich

b₀ =

fo

8₀n„ '

Jetzt findet man dasjenige Angriffsmoment 931,;', das im Untergurt nicht nu sondern nur nj Platten verlangt, aus der Gleichung

welche zuerst unter der Annahme c — 1 probeweise aufgelöst werden muss, da c von 93U und 931,/ für den fraglichen Querschnitt abhängt.

Ebenso dient die Gleichung 79) zur Entscheidung der Frage, an welcher Stelle die Zahl n₀ der Platten des Obergurtes bis zu einer bestimmten Zahl nö herabgemindert werden darf, resp. an welcher Stelle eine Verstärkung des Obergurtes erwünscht ist.

Will man Obergurt und Untergurt gleich stark construiren, so verstehe man unter 931 das grössere der beiden Momente 93U u. 931„, ferner unter k den kleineren der Werthe ka u. k„ und setze dann

fo fu

931    2 Js

k hi

Die zulässige Spannung k richtet sich, wie die auf Wöhler’s Versuche basirte neuere Dimensionenberechnung lehrt, in erster Linie nach dem Verhältniss der kleinsten zur grössten Inanspruchnahme. Indem wir hierbei das Launhardt-Weyrauch’sche (als das einfachste der im Uebrigen ziemlich gleich wert hi gen) Verfahren adoptiren und mit Pmin die kleinste mit P, setzen wir

max

die grösste Inanspruchnahme eines Stabes bezeichnen,

81)

1 Ptnin

TpT

ma i

k' bedeutet die „Ursprungsfestigkeit“ d. i. diejenige Spannung, welche dem Stabe zugemuthet werden darf, falls er wechselweise angestrengt und entlastet wird. Das Zeichen + oder — ist zu wählen, je nachdem der Stab nur auf Zug resp. Druck oder wechselweise auf Zug und Druck angestrengt wird. Die Spannung k' wird durch Versuche oder in der Weise ermittelt, dass Formel 81) auf die gefährlichen Querschnitte bewährter Brückenconstructionen angewendet wird. Dass hierbei

die Wöhler’schen Versuche nicht unbedingt maassgebend sind, geht daraus hervor, dass bei diesen der Wechsel der Beanspruchung sehr schnell erfolgte, während die Anstrengungen Pmm und Pn structionstheile eines Brückenträgers in grösseren Zeiträumen auf einander folgen, und jedenfalls nicht nur die Zahl der Wiederholungen der Inanspruchnahme, sondern auch die Zeitintervalle zwischen den einzelnen Wiederholungen die Festigkeit beeinflussen. Ausserdem sind die Wohl ersehen Versuche nicht mit Brückenbaumaterial angestellt worden.

Auf ausreichende Sicherheit kann man rechnen, wenn man bis 800 ks pro □cm setzt und den Hauptwerth auf die consequente Anwendung der Formel 81) legt*), wobei allerdings vorausgesetzt wird, dass die statische Berechnung in rationeller Weise gehandhabt und die Con-struction so angeordnet wird, dass den Vorbedingungen der exacten Theorie möglichst vollständig Genüge geleistet ist. Wenn letzteres nicht der Fall ist, dann ist selbstverständlich die allzu subtile Dimensionirung eine sehr überflüssige Arbeit. In dieser Beziehung das richtige Maass zu halten, kann nur durch viele Uebung erlangt werden. Dem Anfänger bleibt immerhin zu empfehlen, eher etwas zu genau zu rechnen, als sich durch das „aut Caesar aut nihil“ verleiten zu lassen, Vernachlässigung an Vernachlässigung zu reihen. Das Vertrauen zu dem kürzeren Verfahren des Praktikers kann überhaupt nur dadurch erworben werden, dass man sich durch Zahlenrechimngen von den geringen Differenzen der Resultate der genäherten und genaueren Rechnung überzeugt und dann in Erwägung zieht, wie gegenstandslos solche Unterschiede durch den Umstand werden, dass der Werth der exacteren Untersuchung bei den in Rede stehenden Systemen ein zweifelhafter ist.

Die Spannung Jc₀ — — —■ ist eine Druck- resp. Zugspannung, yy o

tax

der Con-

k' = 700

je nachdem 507« positiv oder negativ ist. Bezeichnen wir, unter Weglassung der Vorzeichen, mit (2ftu)max das grösste positive, mit (2D7M)mm das grösste negative    so wird, da stets ($R„)max > (2DU)min ist, die zu

lässige Spannung in der obersten Faser

k₀ — k' i 1 =*=

82)

min

2 (ÜR„)

dass (9Df₀)max die grösste Zugspannung

die grösste Druckspannung in der untersten Faser erzeugt, mithin zulässig:

Ebenso folgt aus k„ = + und (SK₀)

Dabei ist stets (9Eft„)

Wu ’

> (3R„)

*) Der Vorzug der neueren vor der älteren Dimensionenberechnung muss hauptsächlich darin erblickt werden, dass erstere einen constanten Sicherheitsgrad für alle Constructionstheile garantirt, während die Einführung ein und desselben k zur Folge hat, dass diejenigen Constructionstheile, welche stets in demselben Sinne beansprucht werden, zu stark ausfallen, während für die wechselweise auf Zug und Druck angestrengten zu geringe Abmessungen gewonnen werden.

83)

ku — k

1 (9J1₀)

2 (9)1„)

min )

Dabei ist das Zeichen oder — zu wählen, jenachdem die Momente

(9ft«)mi„ und (9Ä„)max resp. (9)1„)

und (9JL)

gleiche oder ungleiche Vorzeichen haben. In die Formeln 79 und 80 sind die Momente (9)i₀)min und (9Jl«)max einzuführen, so dass

_ k„ CBUmin

c ku (9)U

84)

ka hi

h?

(l+i)

\ 0/

(9Jlo)min    Js

ku hi

Ai²

(0+1).

sich ergeben.

Die Anwendung der abgeleiteten Formeln setzt voraus, dass die Momentenpunkte resp. die Kernpunkte des Querschnitts gegeben, dass

Wo

Wu

bekannt sind. Deshalb muss die statische

also e„ = und e„ =    „

J:    Je

Berechnung eines neu zu projektirenden Bogens durch eine Abschätzung der Querschnittsdimensionen eingeleitet wrerden. Dabei wird man vorerst f₀ = /„ und k₀ — ku mithin c = 1 setzen, also von der Formel

SM 2 Js khi hi²

ausgehen, in der 5R das grössere der Momente und 9J1„ bedeutet. Für ein positives liegt die Resultirende It der am linken Fragmente wirkenden Kräfte oberhalb u, und erhält man mit Rücksicht auf Fig. 30

85)

9)1« = Rn (jl + 6«) - 9)1 b + Rn

Wo

wo 9J1& das Angrilfsmoment für den in der Bogenaxe angenommenen Querschnittsschwerpunkt. Ebenso ergiebt sich (Fig. 31) für ein negatives Moment 9Jt« (absolut genommen)

Wu

9)1₀ = Rn (j? + e₀) — 9)11 + Rn-jjr >

so dass wegen

Wo Wu

86)

9K₆ + Rn e    Js

k hi    hi²

IM

geschrieben werden darf, in welcher Formel man %Rb und R„ für sich zum Maximum machen wird, da der Maximalwerth von (9)0, + Rn e) wieder eine Function der unbekannten Querschnittsabmessungen ist. Beim statisch bestimmten Bogenträger mit drei Gelenken kann man

von vornherein berechnen; hierauf werden die Dimensionen

und ( 9J! h)

max

(Ä)

max

V’on Stehblech und Winkeleisen gewählt, /, bestimmt, desgleichen' und der Gesammtinhalt /, der Querschnitte der Winkeleisen und des Stehbleches. Nun wird in die Formel 86 e etwas grösser eingeführt und / berechnet.*)

Hat man jetzt für den so gefundenen Querschnitt

W. =

2 Js

als

Wr

/=/, + 2/a² ; jF = /, + 2/ ; W = ~-

und e — —p gefunden, so führt man diesen Werth von Neuem in

Gleichung 86 ein und wiederholt die Ermittelung von / und e, worauf die Verzeichnung der Kernlinien, die Berechnung der 9J?₀ und 93?« und schliesslich die correcte Bestimmung der verschiedenen Gurtquerschnitte erfolgen kann.

Bei den statisch unbestimmten Bogenträgern sind (i?„) und 51?₆ in-

von von ohne

Rücksichtnahme auf Temperaturänderungen, wähle aber bei Berechnung von / eine kleinere zulässige Spannung k. Hierauf werden bei der zweiten Berechnung von f die Werthe (i?„)

änderungen bedingten vergrössert, wobei J und F unter zu des erst gewonnenen / zu einstimmung des ersten und zweiten Resultates wird eine dritte Berechnung von / nöthig.

sofern von den Querschnittsabmessungen abhängig, als die in Folge Temperaturänderungen entstehenden Stützenwiderstände Functionen J und F sind. Man ermittele wie vorhin (i2„)

ma i

und (5J?₆)

um die durch Temperatur-Grundelegung gewinnen sind. Bei ungenügender Ueber-

IU

mi i

3) Niettheilung.

Es seien cd und cd' (Fig. 32) zwei unendlich nahe Querschnitte. Ein Flächenelement des Obergurtes wird im Schnitt cd durch

N df =

Bn

belastet. Die Belastung des Querschnittes der oberen Gurtung (bestehend aus zwei Winkeleisen und Kopfplatten) beträgt hiernach

93?

Fr

<3

unter % den Inhalt und unter © das statische Moment des Gurtquerschnittes in Bezug auf die horizontale Schweraxe des ganzen Querschnittes cd verstanden.

*) Dabei wähle man etwa k — 500 pro Ocm.

Im Schnitte c d! wird die Belastung des Gurtquerschnittes = Q -f- dQ und zwar ist, wenn F, J und r constant angenommen werden,

dQ__ % \ dRn dm l © dSJl

J ds

ds

r ds

Greift zwischen beiden Querschnitten eine concentrirte Last P an, so ist nach Seite 7 dRn

ds

Rt Psinqp*) dm

i    i— — + Rt

ds

ds

dQ = Psin cp ~ ds Rt,

Je J

welche Relation auch annähernd giltig bleibt, sobald ds durch die endliche aber kleine Abmessung e ersetzt wird. Wir schreiben dann

SC @

A Q — P sin cp --- e Rt

xS J

und nennen AQ die axiale Schubkraft auf der Strecke e. Bedeutet nun 51 die Tragfähigkeit eines Nietbolzens und e die Niettheilung (Fig. 33), so folgt, da es der Zweck der Niete ist, die axialen Kräfte AQ aufzunehmen,

87)

$ @

SR = P sin <jo _--7 e Rt

Jj J

als Formel zur Berechnung der Niettheilung.

Da die Belastung eines Blechbogenträgers, wegen der zwischen die Fahrbahnconstruction und den Tragbogen eingeschalteten Verticalen, stets aus Einzelkräften besteht **), so wird für die meisten Querschnitte das erste Glied der Formel 88) in Wegfall kommen; es ergiebt sich dann (analog wie beim Balken)

88)

m

<BRt

worin Rt den absoluten Werth der grössten Transversalkraft bedeutet.

An der Angriffsstelle der Verticalen (Fig. 34) wird bei positivem Rt die Schubkraft durch die Belastung P der Verticalen verkleinert und hei negativem Rt vergrössert. Wird im ersten Falle die Verminderung der Schubkraft vernachlässigt, so folgt:

89)

90)

jhti

sin cp

@(Ä)

<S W

Dabei ist unter (i?()max resp. (i2₍)min die grösste positive resp. grösste negative Transversalkraft (beide absolut genommen) verstanden, weiter ist vorausgesetzt, dass an der Anschlussstelle der Verticalen n

ma s

*) Man ersetze pdx durch P.

**) Von dem Eigengewicht des Tragbogens darf bei der Bei’echnung der Niet-theilungen ganz abgesehen werden.

Niete angeordnet sind und P sin q>

sich gleichmässig über diese n Niete

vertheilt (Fig. 34). Man könnte auch die Niettheilung ohne Rücksichtnahme auf die P berechnen und an der Angriffsstelle der Verticalen so

%

viele Niete einschalten, als zur Uebertragung von P sin qo — erforderlieh sind.

Die Niete, welche die Winkeleisen mit dem Stehblech verbinden, sind

2 n

zweischnittig. Ist d der Nietdurchmesser, so ist —-— der beanspruchte Querschnitt und bei der Belastung 91 des Nietes

Y”d

die Schubspannung. Aus der Festigkeitsbedingung (vergl. Formel 17)

i±i,y42’>=(l + f*)T=( 1+/0

231

nd²

folgt mit jU = — die Tragfähigkeit eines Nietes

91 =

91)

~nd² k 5

und bleibt noch nachzusehen, ob diese Belastung eine Ueberanstrengung der Lochwand zur Folge hat. Wird angenommen, es vertheile sich 91 gleichmässig über die Projektion d8 der Lochwand (unter 8 die Stärke des Stehbleches verstanden) und bedeutet p die zulässige Belastung der Flächeneinheit, so muss

91 < pdÜ

sein. Vex-suche von Gerber*) überzeugen, dass die Annahme p = 2k ausreichende Sicherheit garantirt, so dass

92)

91 = 2 kd8

n d² k^> 2 k d 8 , d. i. d^> 1,6 8, so muss die Trag

folgt. Ist nun

kraft des Nietbolzens nach Formel 92 bestimmt werden, im Gegenfalle nach Formel 91. Es empfiehlt sich, ungefähr d — 2 8 und die Niettheilung nicht weiter als e = 6d zu wählen (auch dann, wenn die Anwendung der Formeln 90 zu weiteren Theilungen führt).

Die Niete II, welche die Kopfplatten mit den Winkeleisen befestigen (Fig. 33), erhalten bei geringerer Beanspruchung dieselbe Theilung wie die horizontalen Niete I, da man die Niete I und II wechselweise anordnet, um den Querschnitt des Bogens möglichst wenig zu schwächen. (Unter @ und $ würde bei Berechnung der Theilung der Niete II das

*) Zeitschrift des Vereins deutscher Ingenieure 1865, S. 48. Vergl. auch Weyrauch, Dimensionenberechnung 1876, S. 74.

¹

Der Bogeu ohne Gelenk.

²

Da, falls Belastungen auf den Bogen nicht wirken, A gleich Null wird, bleiben nur noch die Unbekannten Ht und (ü)G)t zu bestimmen. Die eine der drei Elasticitätsgleichungen (und zwar

5*

- es

statische Moment resp. der Inhalt des Querschnittes der anzusehliessenden Kopfplatten zu verstehen sein, während für jeden einschnittigen Niet

setzen wäre.)

zu

= \ndn

4) Das Verticalblech.

Die auf Seite 8 nachgewiesenen Schubspannungen

wei den bei constantein ein Maximum, wenn (ä

«0

= JrjdF ei V

n Maximum

wird, und dies geschieht für ?/ = o; desshalb ist

93)

T = —

max -

■R«©

EQfl I

J8

Bedeutet h„ den Abstand der Gurtschwerpunkte, / = /„=/„ den Inhalt des Gurtquerschnittes (Obergurt und Untergurt gleich angenommen), so ist — ohne Rücksichtnahme auf das Stehblech — angenähert

- ; ©

2 ’

fhl

Rt

max -

7

•⁴°

wofür

geschrieben werden möge. Es liefert diese Formel etwas zu grosse Schubspannungen. Die Festigkeitsbedingung

* = (1 + fi) T = (1 -b p) Rt

dhx

ergiebt mit fi — — die Minimalstärke des Stehblechs:

94)

t _ bRt

4 Ai k

Aus dieser Formel resultiren sehr geringe Abmessungen; man gehe aber, wegen des leichten Durchrostens dünner Platten und um enge Niettheilungen zu vermeiden, nicht unter 0,8 bis 1,0cm. In der Regel wird 8 = 1,0cm gewählt.

Nachtrag. Bei Ermittelung der Tragfähigkeit eines Nietes (Formel 91) wurde die bisher allgemein übliche Annahme gemacht, dass die Elemente des Nietquerschnittes durch eine constante Schubspannung T afficirt werden. Es steht dieselbe aber insofern mit der „allgemeinen Elasticitätslehre“ in Widerspruch, als sie für die am Umfange des Querschnittes gelegenen Flächenelemente Tangentialspannungen T liefert, die nicht tangential an den Umfang gerichtet sind, mithin Componenten normal zum Umfange besitzen. Dies kann aber, wie auf Seite 7 und 8 wiederholt hervorgehoben wurde, nur der Fall sein, wenn auf den Mantel des Nietschaftes äussere Schubkräfte wirken. Richtiger ist es, von den

Formeln 13 und 16 auszugehen, da bei deren Ableitung über die Grösse des Momentes 931, welches neben der Schubkraft Rt

vorausgesetzt war,

keinerlei Annahme gemacht wurde, so dass Formel 13 auch gilt,

9J1 = o ist. Speciell für den Kreisquerschnitt folgt (Figur 3 a) wegen

nd⁴

wenn

— d cos \p ;    7] —

sin xp ; J —

64 ;

F= —

71 d²

•X

s,

StJ.

7]dF = -r

J n li d 7] =

jeo

cos²1p

V'

4 Rt

4t Rt 3 F ’

daher mit Rt = 91 die Festigkeitsbedingung für den einschnittigen Niet:

4 91 3 F

COS \p

g jp COS 7p,    Tmax

und hieraus:

~~kF ^anstatt 91 = ~ kF^ •

Sobald

> 2 k d 8 d. i. d > 4,24 8 ist, muss Formel 92 gewählt werden. Analog folgt für den zweischnittigen Niet

91 = ~ n d² k 40

so lange d <C 2,12 8 ist, während im Gegenfalle Formel 92 gilt.

Es ist das Verdienst Grashof’s, auf die bisher bei Berechnung der Niete geübte Inconsequenz aufmerksam gemacht

zu

haben ¹).

§9.

Gitterträger.

Besteht der Bogen aus zwei durch ein Stabsystem verbundenen Gurtungen, so begegnet die „correcte“ Ermittelung der Inanspruchnahme erheblichen Schwierigkeiten.

Sind nämlich die Gurtungen aus einzelnen geraden Stäben gebildet, und wird die Befestigung sämmtlicher in einem Knotenpunkte zusammentreffenden Stäbe durch ein Gelenk vermittelt, so liegt nach den in der Einleitung gegebenen Definitionen ein „Bogenfachwerk“ vor, und auf dieses sind die im § 4 zur Berechnung der Stützenwiderstände beim statisch unbestimmten Systeme abgeleiteten Elasticitätsgleichungen streng genommen nicht anwendbar, obgleich andererseits hervorgehoben werden muss, dass nennenswerthe Fehler aus dieser Anwendung „in den hier in Betracht kommenden Fällen“ nicht erwachsen. Die exacten Elasticitätsgleichungen statisch unbestimmter Bogenfachwerke sind von den Querschnittsdimensionen jedes einzelnen Stabes abhängig und führt ihre Anwendung auf specielle Fälle zu sehr langwierigen Zahlenrechnungen.²)

Wenn weiter die Gurte continuirlich gekrümmt werden und die Befestigung der Gitterstäbe durch Niete erfolgt, nähert sich das System sehr dem im vorigen Abschnitte vorausgesetzten stabförmigen Bogen und lassen sich gegen die Benutzung der früher für die äusseren Kräfte gegebenen Formeln Einwände nicht erheben; es wird aber die Bestimmung der Inanspruchnahme der Gitterstäbe unsicher.

In beiden Fällen lassen sich — ohne vereinfachende Annahmen — praktisch verwerthbare Endresultate nicht geben, und dürfte man sich zu solchen Annahmen um so eher verstehen, als — wie schon öfters hervorgehoben wurde — die Vorbedingungen einer exacten Theorie im Brückenbau nie erfüllt werden.

Annahmen, welche ohne Bedenken gemacht werden dürfen, sind — zunächst für die in Fig. 35—42 dargestellten weitmaschigen Gitterwerke —:

1)    Bei Berechnung der Stützen widerstände soll der Gitterbogen als Stabbogen behandelt werden, dessen Querschnitt das Trägheitsmoment J — vfhi² besitzt, unter / den Querschnitt der Gurtung und unter h\ den Abstand der Gurtschwerpunkte verstanden.

2)    Bei Berechnung der Anstrengung der Gurte und Gitterstäbe werden in den Knotenpunkten gelenkartige Verbindungen vorausgesetzt.

Bei dem in Fig. 43 dargestellten (übrigens unvortheilhaften) engmaschigen Gitterwerk, dessen Stäbe an den Kreuzungsstellen fest mit einander vernietet werden, ist es am richtigsten, das Gitterwerk als durchbrochenes Verticalblech aufzufassen und in Folge dessen die Gurtungen genau in derselben Weise zu berechnen, wie die der Blechbögen. In die hierzu im vorigen Paragraphen gegebenen Formeln ist Js = o und /„= o einzuführen.

In der Folge wird noch vorausgesetzt, dass die auf den Bogengitterträger wirkenden Lasten sämmtlich in den Knotenpunkten angreifen.

1) Weitmaschiges Gitterwerk.

Es sollen die statisch bestimmten Systeme I und II (Fig. 35 u. 36), ferner die statisch unbestimmten Systeme III und IV (Fig. 37 u. 42) untersucht werden. Durch die Systeme I und II lassen sich stets Schnitte

führen, welche nur 3 Stäbe schneiden, so dass sich die 3 Spannkräfte dieser 3 Stäbe aus den 3 Gleichgewichtsbedingungen ermitteln lassen, dagegen ist die Berechnung der Systeme III und IV an die Aufstellung von Elasticitätsgleichungen gebunden.

System I. Es bedeutet

Om die Spannkraft in der oberen Gurtung des ?7iten Feldes ,

Um „

Dm „

Nm ,

Wm das'Angriffsmoment für den Knotenpunkt m des Untergurts,

d v Obergurts, a den Neigungswinkel der Diagonale gegen die Gurtung.

Wird das System durch den Schnitt cc (Fig. 35) in zwei Fragmente zerlegt, so sind die Gleichgewichtsbedingungen für das linke Fragment

- Umh\ -t-    1

— Dm sin a + (PH )m — 0 ,

„    „ unteren

Diagonale

Normalen

Onh\ H- 9JIm = 0 ;

Om =

SR“

95)

hi

Um — +

Wm-1

( RJ)m

hi

sin « ’

wo (Rt)m die Summe der normal zu Om und Um gebildeten Componenten der am linken Fragment angreifenden Kräfte, d. i. die früher als „Transversalkraft“ definirte Kraft, bedeutet.

Damit die an dem unteren „unbelastet angenommenen“ Knotenpunkte (m — 1) angreifenden Kräfte im Gleichgewicht sind,

+ Z>m_i cos 7 — (Um-l + Um) cos ß sein, woraus, da ß nahezu = 90° und y sehr annähernd = 90° —- a ist, genügend genau folgt:.

Nm-l

muss

96)

Ajn_i    Dm—i sin u    i.

System II. Analog wie vorhin wird:

syp«

1

Om = —

Um ~ -+

97)

hi

Dm — —

sin a

System III. Das Gitterwerk besteht aus verticalen Stäben und sich kreuzenden zug- und druckwiderstandsfähigen Diagonalen. Es bezeichnen (Fig. 37)

Om und Um die Gurtspannkräfte,

Dm und DJ die Anstrengungen der links- resp. rechtssteigenden Diagonalen, Fm—i und Vm die Anstrengungen der Verticalen,

Smi dm, dj, n (vergl. Fig. 39) die Stablängen,

«m und aj die Winkel der Dm und DJ gegen die Gurtungen, cpm den Neigungswinkel der Gurtung gegen die Horizontale.

Ist in den folgenden Rechnungen der Index fortgelassen, so bezieht sich der betreffende Ausdruck stets auf das mte Feld.

Durch den Kreuzungspunkt J der Diagonale wird normal zu Om und Um ein Schnitt cc geführt, der durch die am linken Fragment angreifende Resultirende R in a geschnitten wird. R wird in die Componenten Rn normal zu cc und Rt in der Richtung cc zerlegt; erstere wirke in Bezug auf den Drehpunkt J am Hebelarme tj. Dann ist

o|-p| + Ä,=

o)

c)

0 -f- U -f- Rn D cos a -h D’ cos a! — 0 D sin a — D' sin ct! — Rt .

Die zur Berechnung von 0, 77, D und D' fehlende vierte Gleichung ist aus der Formänderung abzuleiten. Dazu sei allgemein ein Viereck (Fig. 38) untersucht, in dessen Seiten s₀ und s„, n und n die Axialkräfte S₀, Su, iV und N’ wirken, während in den Diagonalen d und d‘ die Kräfte D und D’ auftreten. 71, 72, 73, 74 sind die Umfangswinkel; /„, fu, /«, fn-, fd, fä, die Querschnitte der Stäbe s„, n, n\ d, d\ mithin die Längenänderungen der Stäbe:

. S₀ s₀

JS°=ÄE’

Jd =

Dd

Nn

fdE

/In = ——

fn E

. Susu

Js-⁼7,7e’

/Id’

D’d’

Jn' =

N’ n'

fdE

Nun ist vor, beziehungsweise nach der Deformation d² — s₀² -1- rt! ² — 2 s₀ n cos 71 e) (d + Adt)²= (s₀ + Asf)²-\-{n-\-An)²—2(s₀+//s₀) ([n’+An’) cos (yi~hAy{), so dass mit cos (71 H- Ayf) = cos 71 — ^74 sin 71 und unter Vernachlässigung der kleinen Grössen höherer Ordnung (Ad)², (As₀)², (An¹)², (As₀)(Ayi), (An)(Ayi), (As₀) (Ari) (A y\), sich ergiebt:

Ad d = As₀ So Ann — (saAn + n' z/s„) cos71 + s₀n' sin71 A 71 und hieraus (und analog)

fnE

d)

Ay1 =

Add — As₀s₀ — An’n¹ + cos 71 (s₀An -+- n As₀)

s₀ri sin 71

Ay2 —

Add — Asusu — Ann -+- cos 72 (s„An -+- nAs„)

sun sin 72

A 73 =

A d’d’ — Asusu — An’n¹ -+- cos 73 (suAn’ -4- ri Asu)

sun! sin y₃

Ayi —

A d’d' — As₀s₀ — Ann + cos 74 (s₀An + nAsa)

s₀ n sin 74

Da nun nach wie vor der Deformation die Summe der Umfangswinkel des Vierecks gleich 4 Rechte sein muss, folgt die Elasticitätsgleichung:

A 71 -+- A 72 + A 73 + A 74 = 0.

Die specielle Anwendung auf das Parallelogramm (Fig. 39) des Systems III liefert wegen 71 = 72 ; 7.3 — 74 = 272 — 71 ; s₀ — su — s: n — ri die Beziehung:

/)

A d d 4- A d' d' — (A sa 4- Asu)s H- (An -f- A n)n ,

worin

Dd

Os

D’ d' fd'E Vin-1 n

fm—l E

fd1 fd die Querschnitte der Diagonalen,

„ Gurte,

„ Yerticalen.

Beachtet man noch die Bedingungen für Gleichgewicht der an den unteren (unbelasteten) Knotenpunkten (m — 1) und m angreifenden Kräfte:

so erhält man (unter Fortlassung des Index m) die Elasticitätsgleichung:

fd E

Ad' — -

An —

A s₀

AE

An = —

Vmn

fmE ’

und

m+1

fot fo »

m-f-1    m-f-1

Us

Asu —

fuE

D'

— D' sin («’ 4- qp) — D sin (a — qp)

m-1    m —1 m-:

9) T- d~ +

fd

fd

fm

U sin qp — U sin qp

m—1    m—1

fm

U sin qp — U sin qp

m-fl m-f-1

n²,

— D’ sin («' 4- qp) — D sin (« — qp)

m-fl

m-fl

m-fl

in der nur Spannkräfte 0, 27, D D' Vorkommen. Besteht das System aus r Vierecken und stellt man für jedes Viereck die Gleichungen a) b) c) 7) auf, so erhält man 4r Bedingungen zur Berechnung der 4r Unbekannten 0, U, 7), Z>'. Es wird aber diese Rechnung dadurch sehr com-plicirt, dass es unmöglich ist, die Spannkräfte für jedes Feld gesondert zu bestimmen, vielmehr jede Spannkraft von den Querschnitten säm rötlicher Stäbe abhängt.

Eine bedeutende Vereinfachung wird durch die Thatsache ermöglicht, dass die Spannkräfte V stets so klein ausfallen, dass bei der übermässigen Stärke, welche die Verticalen aus constructiven Gründen erhalten, sich für die Formänderungen An und An vernachlässigbar kleine Werthe ergeben. Desshalb darf, ohne dass merkliche Fehler in den Endresultaten zu erwarten sind, Gleichung (/) ersetzt werden durch:

A d d 4- A d! d' = A sas 4- A sus.

Dann findet man

98)

~d^-h

fd

fd

7 d’* =

U)

fu

welche Gleichung in Verbindung mit (c) zu den Formeln:

sich ergiebt.

101)

Giebt man den Diagonalen gleiche Querschnitte, so folgt

d'²

d'² sin a 4- d² sin a¹

If — — Bt

d²

d’² sin «4-d² sin a!

(Bt)

Bt

(0 U)

i j. ⁺ j.!

s² sin «'

d'²

99)

fd

sin « 4-

sin a'

d²

— -ß« —r--f-

D’ =

>|o

4~

s² sin «

d'²

d²

— sin a 4- — sin a'

führt. Bei denjenigen Laststellungen, welche die grössten Spannkräfte D und D' ergeben, sind die specifischen Gurtspannungen sehr gering und

darf man daher das Glied

fd

fo U

^ s² sin a vernachlässigen, wesshalb

d’²

D = 4- Bt

fd

d'²

d²

100)

fd

sin « 4- — sin a

fd

D' — — Bt

d'²

d²

fd

sin a 4- — sin a'

fd

liefert hiernach für die Diagonale D den grössten Zug, für Ü den grössten Druck, hingegen das negative (Bt)mm für D den grössten Druck und für D' den grössten Zug. Bei parabolischer Bogenaxe (und angenähert auch bei flachen Kreisbögen) erhält man — wie später nachzuweisen bleibt — unter Voraussetzung einer gleichförmigen Verkehrslast

(ß')mftx    ( Bt') min

und findet, dass auch bei Beanspruchung durch ein System concentrirter Lasten die vorstehende Gleichung annähernd besteht. Es folgt daraus

D d'²

das Verhältniss der grössten Drücke in den Diagonalen: jy ⁼ ~^ ‘

Da nun die Diagonalen in erster Linie auf Zerknicken zu berechnen sind und bei gleichen Querschnitten sich ihre Tragfähigkeiten umgekehrt wie die Quadrate der Längen verhalten, ist die Voraussetzung fd = fd vollkommen am Platz, und lassen sich jetzt die Spannungen D und D' berechnen, ohne dass es nöthig wird, die Querschnitte fd und fd vorher abzuschätzen.

— (Z) cos a + D' cos a')

Führt man U aus Gleichung b in Gleichung a ein, so folgt Rn(jl ~1~ ^1)

und wenn Rn(r] -+- ^Ai) == 9Tcu gesetzt wird, als Angriffsmoment für den Schnittpunkt der cc (Figur 37) mit der unteren Gurtung,

0 ==: —

Ä1

— (Z) cos a + Z)' cos «').

Ji

Analog ergiebt sich

U= +

9Ji₀

(Z) cos « + Z)¹ cos a’),

worin 9üft₀ das Angrififsmoment für den Punkt o bedeutet. Führt man hierein die Werthe D und D' aus den Formeln 99) und setzt

d²

—tt- cos a--— cos a

hi

d't

1    JL

2    d'²

fä

= Ci

fl

sin a H--— sin a

fd

s² sin (a + «')

d'²

fl

sin a 4-

« I -3

'■e

sin a!

= c₂ ,

so erhält man:

0 — — —--Ci Rt — C‘2

hi

— C₂

ÜR„

U = H--r~ — Ci Rt — c₂

hi

— c₂

hi

1 [®*⁺ »■]

4- Ci Rt

102)

ÜR„

V = 4-

1 C₂

1+-T +

/•

Bei denjenigen Laststellungen, welchen die grössten Spannungen U und 0 entsprechen, sind die mit Ci und c₂ behafteten Glieder von so geringem Einfluss auf das Endresultat, dass genügend genau

hi

hi

103)

gesetzt werden darf.

Für die Anwendung der Näherungsformeln 101 und 103 spricht in erster Linie der Umstand, dass die festen Nietverbindungen in den Knotenpunkten die ganze hier vorgetragene Rechnung als Annäherung charak-terisiren.

Beispiel. Ein Bogenträger von 30m Stützweite (Fig. 40) sei nach System III mit 20 Feldern zu l,5m Breite und Verticalen von l,4m Höhe derart ausgeführt, dass die Mittelpunkte der Verticalen auf einem Kreisbogen von 5ra Pfeilhöhe liegen. Es soll für die in der Figur dargestellte Zugstellung die Anstrengung £7₅ berechnet werden. Die Stellung ist so gewählt, dass ihr der grösste Druck U5 entspricht.*) Die Querschnitte der Stäbe des 5. Feldes seien /„ = 230, fu — 240, fd = 50□cm.

Der Radius der Bogenaxe ist r — 25ra, daher werden die Ordinaten der Mittelpunkte der 4. und 5. Verticalen

Vb = J/25² — 7,5² — 20 = 3,85m yi = K25² — 9,0² — 20 = 3,32ra

worauf (vergleiche Figur 41)

d' = Kl,93² + 1,50² = 2,44,n; d = Ko,87² -4- 1,5² = 1,73™

1,5

tg cp = ^ = 0,35333 ; cp = 19° 28'

tg (« — cp) =

0,87

1,5

¹ = 0,58000 ; a = 49° 35'

1,93

1,5

= 1,28667; «'=32° 41'

gefunden werden. Die Coordinaten der Punkte 0 und u sind:

weiterfwird h\ — 1,4 cos cp — l,32m.

Für die Laststellung wird mit der Bezeichnungsweise auf Seite 38

= ^ j $M,12 + @n j

0,12 (21 — 0,12)    + 2 (l — 0,12)    — 3 „[

LS

8/ä 1

22

und nach Einsetzen der dem Index n= 11 entsprechenden Werthe der Tabelle 2 (Seite 42)

so dass

und

A — 38,67*; #=97,81*,

9)1 „ = Aa-, — IIy₀ = — 159,265* 9)1 „ = Axu — Hyu = — 19,988‘ro i?< = A cos cp — # sin qp = 3,85*

werden. Nach Formel 103 wird jetzt

159,265

U= —

1,32

= — 120,66*.

*) Die Auffindung dieser Zugstellungen ist die Hauptaufgabe der folgenden Abschnitte unseres Werkes.

Um diesen Werth mit dem aus Formel 102 sich ergebenden zu vergleichen, wird

c\ =

d’² cos a — d² cos a 1

d' ² sin a H- d² sin «' 2

1,3406 2 • 5,9492

= 0,113

s² sin (a -f- «')/d C2 d’² sin « H- d² sin ct! 2

berechnet und

(0,53² + 1,5²) • 0,9909 • 50

2 • 5,9492

= 10,539

— 120,66 — -

10,54 159,265 4- 19,988

230

1,32

— 0,113 • 3,85

10,54    10,54

230

240

= — 116,65tons gefunden.

System IV. Dasselbe besteht aus normal zur Bogenaxe gerichteten Stäben und sich kreuzenden steifen Diagonalen. Wird bei Aufstellung der Elasticitätsgleichung jedes der Vierecke, in welche das System zerfällt, als Rechteck behandelt, so bleibt die Gleichung (98) bestehen. In die für System III abgeleiteten Formeln hat man nur

a — a' und d — d

einzuführen; man findet

Bt

2 sin«

MS*

Ai

/«Ai

104)

, c c 1 + — H- -

fo fn

Ai

H-

foh

fo fu

cos a .

Die Näherungsformeln lauten

105)

Bt

2sina

= — D'

hi

106)

Eine Berechnung der Anstrengungen in den Normalen kann füglich unterbleiben, da diese Stäbe stets beträchtlich stärker construirt werden, als die Theorie es erheischt. Bei kleineren Stützweiten lasse man die

Normalen fort; bei grösseren empfiehlt sich die Beibehaltung derselben, um den Yerticalverband der nebeneinander stehenden Bögen gut durchbilden zu können.

2) Engmaschiges Gitterwerk. (Fig. 43.)

Die Gurtungen werden in derselben Weise berechnet wie die der Blechbögen; man setze in die im § 8 abgeleiteten Formeln f, = 0. Die Anstrengungen in den Gitterstäben lassen sich nur sehr angenähert bestimmen. Handelt es sich um den links steigenden Stab AB, so führe man durch die Mitte desselben parallel der anderen Stablage einen Schnitt cc, bilde die Componente Bt der Resultirenden aus den links von cc angreifenden Kräften normal zur Gurtung und vertheile dieselbe gleichmässig auf die durch cc getroffenen Stäbe. Ist dann n die Anzahl dieser Stäbe, S die Belastung von A B und « der Neigungswinkel der A B gegen die Gurtung, so folgt

107)

S=A

Bt

n sin a

und analog für einen rechts steigenden Stab

108)

S= —

Bt

n sin a

3) Berechnung der Q,uer3chnittsabmessungen.

Die Stäbe der hier behandelten Bogenfachwerke (sowol Gurtungen als Diagonalen) werden wechselweise gezogen und gedrückt. Bedeutet also, absolut genommen,

Pmin die kleinste Belastung eines Stabes, Pma* die grösste „    „    „

k' die Ursprungsfestigkeit (vergl. Seite 62), so ist der erforderliche Querschnitt

Pmax

109)

k' 1 —

min

Bei richtig angeordnetem Yertical- und Horizontalverband dürfen für die Berechnung der Knickfestigkeit die Knotenpunkte als feste Punkte angesehen werden, so dass, wenn l die Stablänge,

i das kleinste Trägheitsmoment des Querschnittes,

P den grössten Druck, z den Sicherheitscoefficienten

bedeutet, die Formel

110)

zPP zPP*) n²E ~~ 10 P

i ==

angewendet werden darf. Dabei setze man (Material: Schmiedeeisen) z = 5 und E = 2000000 Kilogr. pro CP“.

Abschnitt III.

Specielle Behandlung des Bogenträgers mit 3 Gelenken.

§ 10.

Die grössten Momente 28L und 59L.

I) Auflagerdrücke; Kämpferdrucklinie. Einer concentrirten Last P, welche rechts von dem in der Mitte angenommenen Scheitelgelenke angreift, entsprechen (Fig. 44) am linken Auflager die Reactionen:

111)

Pb

tO|

2 h ’

D’D =

erstere folgt aus der Momentengleichung A2 1= Pb für den Drehpunkt P, die zweite aus der Bedingung Al — Ilh. Wird der Werth II von der Horizontalen AB aus als Ordinate N’N aufgetragen, so ist der geometrische Ort des Punktes N die „erste Curve //“ (vergl. Seite 36). Diese Curve ist eine gerade Linie, welche für b — l die Ordinate PI

— besitzt. Liegt P links vom Scheitel im Abstande a von A,

so folgt analog

*) Vielfach wird bei Bestimmung der Knickfestigkeit von der empirischen

Formel

kF

FP

ausgegangen, in der C ein von der Befestigungsweise der Stabenden abhängiger Coefficient ist, und ergiebt sich hiernach die Belastung der Flächeneinheit grösser

als

• Da aber die Construction so sein soll, dass eine Durchbiegung nicht

entsteht, dass also das Einknicken verhindert wird, so kann eine Mehrbelastung der Flächeneinheit nicht stattfinden. (Man vergl. übrigens Winkler: „Die Gitterträger und Lager gerader Träger“, Wien 1875, Seite 123, welcher Autor derselben Ansicht ist).

BO

Pa

112)

2 h ’

die „erste Curve H“ ist hier die Gerade AD.

Die Kämpferdrücke K und K’ müssen P in dem nämlichen Punkte C schneiden, denn drei Kräfte sind nur dann im Gleichgewicht, wenn sie durch denselben Punkt gehen. Die Curve, auf der sich C bewegt, während P alle möglichen Lagen annimmt, nennen wir die Kämpferdrucklinie. So lange sich P rechts von S befindet, muss K durch S gehen, weil das Moment für S Null sein muss und folgt hieraus, dass die Gerade ASA' die Kämpferdrucklinie für alle rechts von S angreifenden Lasten ist, während die Gerade B S B' den links gelegenen Lasten entspricht.

Für eine gleichförmige Belastung (» pro Längeneinheit), welche von B aus die Strecke BC = c bedeckt (Fig. 45a), folgt, wenn C rechts von S liegt:

A21 —

Al — Hh — 0

113)

vc²

VC²

Die Belastung der Bogenhälfte erzeugt (Fig. 455) A =

die des ganzen Bogens (Fig. 45 c)

A = vl ;

Für die Laststellung Fig. 45 c? erhält man

114)

115)

116)

<5

's

vP

js-l 'S

vc²

A — Vl--—

vP

4Z ⁵

Die Lasten wurden bislang direct auf den Bogen wirkend angenommen,, während in Wirklichkeit zwischen die Fahrbahn und den Tragbogen eine Reihe von Verticalen eingeschaltet werden. Liegt P zwischen den Verti-calen F\ und F₂ (Fig. 46), so zerfällt es in die Componenten

Pi = P

und P-2 = P —«j-

Sind 7]i und die unter F\ und F% gemessenen Ordinaten der für P = 1 gezeichneten ersten Curve PT, /; die unter P gemessene, so folgt

Pt] = P1??1 + P₂r]2

Da T] in Bezug auf £ vom ersten Grade ist, so folgt, dass die Endpunkte von t]\ und    durch eine Gerade zu verbinden sind, so dass

die Rücksichtnahme auf die Uebertragung der Last P durch die die Verticalen verbindenden Zwischenträger nur geboten ist, wenn im

Scheitel und an den Enden keine Verticalen angeordnet sind. In diesem Falle besteht die erste Curve II aus den 3 Geraden AD', D'D”, D"B (Fig. 46). Bei fehlenden Endverticalen ist die erste Curve II die in Fig. 47 dargestellte. Ä und B' liegen vertical unter den Auflagern der letzten Zwischenträger.

Fehlen

Bei Berechnung der Reaction A ist auf die Zwischenträger keine Rücksicht zu nehmen, sobald an den Bogenenden Verticalen angeordnet sind; denn das Moment der beiden Componenten P\ und P%, in welche P zerfällt, ist in Bezug auf B dasselbe, wie das der Resultirenden P, und es wurde A aus der Momentengleichung für B gewonnen, aber bei A und B die Verticalen (Fig. 48) und wird der letzte Zwischenträger bei A gelagert, so bleibt zu beachten, dass von einer im letzten Felde liegenden P nur die Componente P2 auf den Bogen kommt. Macht man den Horizontalabstand 1' der Lager A’ und A gleich Null (mittelst Auskragung), so ist die Wirkung dieselbe, wie bei Anordnung der Endverticalen.

In der Folge sollen im Scheitel zwei dicht neben einander gelegene Verticalen (Fig. 49) ferner X¹ = 0 oder Endverticalen vorausgesetzt werden; dann ist bei Berechnung von A und II auf die Uebertragung der Lasten durch die Zwischenträger nicht zu rücksichtigen.

2) Die gefährlichste Belastung. Es seien 0 und u in Fig. 50 die Kernpunkte (oder die Momentenpunkte) eines Querschnittes. Von 4 werde durch 0 eine Gerade gezogen, welche die Kämpferdrucklinie BS in E schneidet. Einer durch E gehenden Last P entspricht am linken Fragment nur ein durch 0 gehender Kämpferdruck als angreifende Kraft, mithin 9JL = 0. Bewegt sich P nach rechts in die Lage P’, so entsteht ein links um 0 drehender Kämpferdruck /v', in Folge Bewegung von P nach links ein rechtsdrehender K". Im ersten Falle ist 9JL negativ,³) im zweiten positiv.

Tritt P auf das linke Fragment über, so wirkt auf das rechte Fragment (Fig. 51) in der Richtung BS der Kämpferdruck K"’j demselben entspricht ein positives 9JR„, sobald 0 unterhalb der BS liegt.

Es wird hiernach das grösste positive Moment 9JL, d. i. max 9JL, durch ausschliessliche Belastung der Strecke AE und das grösste negative Moment 9DL, d. i. min 9DL, durch ausschliessliche Belastung der Strecke BE gewonnen.

Liegt 0 oberhalb der B S (Fig. 52), so ist 5CR„ bei jeder Lage von P negativ, und erhält man das grösste Moment bei voller Belastung des Bogens.

Analog lässt sich folgern: Zieht man von A durch u (Fig. 53) eine Gerade, welche die BS in E\ schneidet, so erhält man

— 82 —

bei ausschliesslicher Belastung der Strecken BE\ beziehungsweise AE\ die Momente min 931« resp. max 9J1„.

Liegen die Punkte u unterhalb der BS, so entstehen nur positive 9)1 „, die bei voller Belastung des Bogens am grössten ausfallen.

Die Verticalen durch E und E\ heissen Belastungsscheiden; die Strecken BE und BE\ werden die negativen Beitragsstrecken für die Momente 9J1₀ und 9CR„, die Strecken AE und AE\ die positiven Beitragsstrecken für 9)1«, und 9J1„ genannt.

3) Graphische Ermittelung der grössten und kleinsten $31,, und

Zunächst soll angenommen werden, dass ein System concentrirter Lasten sich über den Bogenträger bewegt. Einer Last P rechts vom fraglichen Querschnitte entspricht für den Punkt o das Moment (Fig. 54)

9Jl„ = Ax₀ — Hy₀ = y₀\- A — H

(y₀

HiVo i

worin Ili denjenigen Horizontalschub bedeutet, welcher, allein in A angreifend, dasselbe Moment erzeugt, wie die thatsächlich wirkenden Kräfte. Der „ideelle Horizontalschub“ //, wird durch Subtraktion der Ordinate der ersten Curve II (bestehend aus AD und DB) von dem Werthe

A Xo

Pb x₀

Vo    2 lijo

P Xo Xo

erhalten. Macht man vertical unter o, C' C —

schneidet diese auf der Verticalen P die Strecke N' N" — z ab, und erhält man N" N = Hi. Den Lasten rechts vom Schnittpunkte E' der C B mit der AD entsprechen, wegen H>z, negative H{ also auch negative 9JL; eine durch E' gehende P wird 9J1„ = 0 erzeugen, während die Lasten links von E' positive 9)1«, hervorrufen. Desshalb muss E' vertical unter dem Schnittpunkte E der Ao mit der BS liegen. Tritt P auf das linke Fragment über, so tritt an Stelle der Geraden B C die Gerade A C.

Die Berechnung der grössten Momente ist jetzt folgende.

Man construire für P= 1 die erste Curve H (Fig. 55), indem man

1 macht, bestimme die Belastungsscheide E, hierauf vertical

unter E auf der AD den Punkt E’ und zeichne das Dreieck ACB. Um min 9)1 „ zu ermitteln, stelle man über die negative Beitragsstrecke das Lastensystem so, dass die schwersten Lasten in der Nähe des Scheitels liegen und messe unter den Lasten die ideellen Schübe H;. Bedeutet dann, unter Voraussetzung eines Eisenbahntrains,

L die Belastung einer Lokomotivaxe,

Tenderaxe,

Güterwagen axe,

und werden die unter den Lasten L, T und G gemessenen IIt beziehungsweise mit (//Qi, (Ht)T und (//,)<? bezeichnet, so folgt

D'D =

2 ly„

und zieht B C, so

— 83 —

M„ = - yo | LS(ßt)L + T2{Ht)T + G2(Ht)e ] und kann man durch Vergleichung der Wirkung mehrerer Stellungen schnell min 5CR„ finden.

Jetzt wird die positive Beitragsstrecke AE belastet und analog max bestimmt.

Zur Erzielung einer übersichtlichen Darstellung empfiehlt es sich, von der Horizontalen AB’ aus (Fig. 56), vertical unter o und S die Strecken

Der Werth y„ heisst „Multiplicator

CC" und D”D als Ordinaten aufzutragen und A'C, CD, DB' zu ziehen. Die gebrochene Linie A’CDB’, welche den Einfluss jeder einzelnen Last auf das Moment 9Jc„ zu ermitteln gestattet, nennen wir die „Influenzlinie“ für das Moment 9DI₀, die von ihr und der Ä B' eingeschlossene Fläche die Influenzfläche.

der Influenzlinie“.

Die in Fig. 56 dargestellte Influenzlinie ist insofern nicht exact, als bislang angenommen wurde, dass jede Last rechts resp. links von o auf das rechte, beziehungsweise linke Bogenfragment wirkt, während, wenn o' und u (Fig. 57) die auf der oberen resp. unteren Begrenzungslinie des Bogens liegenden Punkte des Querschnittes sind, Lasten zwischen o’ und o zwar links von o, aber noch auf dem rechten Fragment liegen. Desshalb ist richtiger die Linie BC bis zum Schnittpunkte F mit der Verticalen durch o' zu verlängern, so dass die Influenzlinie — wie in Fig. 58 — unstetig wird. Es ist aber nicht nöthig, hierauf bei Berechnung der zu rücksichtigen.

Wird die Last durch Zwischenträger auf den Bogen übertragen (Fig. 59) und liegt o zwischen zwei Verticalen F\ und F%, so muss IIt von bis F‘2 eine lineare Funktion sein, so dass nach Ziehen von F\ Fz in der in Fig. 59 schraffirten Fläche die Influenzfläche gewonnen wird. Um dies einzusehen, hat man nur nöthig, in der auf Seite 80 bezüglich der Ii durchgeführten Untersuchung an Stelle der Ordinaten y der ersten Curve H die Influenzlinienordinaten H: zu setzen.

Liegt o in einer die Fahrbahn stützenden Verticalen, so ist die Influenzlinie identisch mit derjenigen, welche ohne Rücksichtnahme auf Zwischenträger in Fig. 55 dargestellt wurde.

Ganz analog werden die Influenzlinien für die Momente 9ÜR„ gewonnen. In Fig. 60 ist direkte Belastung des Bogens angenommen. Die Gerade Au schneidet die BS in der Belastungsscheide E\; vertical unter dieser wird E\ auf der AD bestimmt; hierauf ist BF\ bis zur Verticalen durch o' zu ziehen, während A mit dem Schnittpunkt C der B R mit der Verticalen durch u zu verbinden ist.

In Fig. 61 ist der Fall dargestellt, in welchem, unter Voraussetzung von Zwischenträgern, zwischen o und u eine Verticale liegt.

Soll der Einfluss einer auf der Strecke &2 — b\ (Fig. 62) aufgebrachten gleichförmigen Belastung auf das Moment StR₀ mit Hilfe der Influenzlinie

— 84 —

ermittelt, werden, und bedeutet v die Belastung pro Längeneinheit, so behandelt man das Lastelement vdb als concentrirte Last, misst das entsprechende Hi und findet

dWo = ^(y₀Hi)vdb

jjlidb

*>2

9JL = =*= y₀ v

W„ = =*= y„vf,

wo / den Inhalt der (in der Figur schraffirten) Influenzfläche zwischen bi und Z>2 bedeutet.

Bezeichnet man mit f\ und f-> den Inhalt des positiven resp. negativen Theiles der Influenzfläche (beide Werthe absolut angenommen), so erhält man die grössten Momente

(max 9ft₀)«, = + vy„/i ;

(min 9Ji„)y = — vyuf₂.

Hierbei soll der Index v darauf hinweisen, dass die vorberechneten Momente lediglich eine Folge der auf den Bogen wirkenden Verkehrslast (auch variabele oder mobile Last genannt) ist. Ausser derselben wirkt noch die Constructionslast (permanente Last), welche mit p bezeichnet und gleichförmig über den ganzen Bogen vertheilt angenommen werden möge. Ihr entspricht

(9Ho)p = PVoifi — fa).

Werden die (5R„)„ und (9DL)P addirt, und setzt man

so folgen die grössten Momente

117)

o = Vo | qf\ — vh

min 9JI„ =

yo j pA — qh J •

Diese Formeln finden Anwendung bei Berechnung der nicht allein durch Wagen, sondern auch durch Menschengedränge belasteten Strassen-brücken.

Die werden ganz analog berechnet.

4) Analytische Berechnung der Momente SÖt, und 201« unter Annahme concentrirter Lasten. Es werde vorausgesetzt, dass die Punkte o und u, für welche die Momente berechnet werden sollen, in den die Last auf den Bogen übertragenden Verticalen liegen, so dass auf die vertheilende Wirkung der Zwischenträger keine Rücksicht zu nehmen ist.

Der Abstand | der Belastungsscheide E vom Scheitel S bestimmt sich aus (Fig. 63):

= (/-{)* ■ x₀

(Z -+- jj) tg «i = (Z — §) tg «

d + ?)-i

Man findet:

^^ y o l    h x₀

ya l + h x₀

ferner die für die Folge wichtigen Formeln:

118)

l+Z = l

2 yal

yal+ hx₀

119)

l—$ = l

hx'o — y„ l

yul H~ hxo

2A x„

yd + hx₀

= $1

= £2

l 4-|

?2_ hx₀ yal

li

2 yj

Um min ÜJL zu erhalten, sei das Lastensystem von B aus bis in die Nähe von E vorgeschoben. Jede Last wird mit P bezeichnet, ihr x\b-stand von B mit b, jede links vom Scheitel gelegene Last wird ausserdem durch den Apostroph gekennzeichnet, ihr Abstand von S wird b' genannt. Es bezieht sich also EP auf „alle“ Lasten. Aus der Bedingung:

Al — Hh — 2 P'b' = 0

2 hl

folgt:

Al EP' b'

wesshalb:

H—k

= Ax„ — Hy„

-Ax Aly. SPV

li    th

EPb

yo •

Wegen

folgt das (nach früherem negative) Moment:

y o i y o l    h X₀

2 yJ

und mit Berücksichtigung der Formeln 119:

h II A- £

Soll die Stellung die gefährlichste sein, so muss jeder Verschiebung des Lastensystems eine Verkleinerung von 3k₀ entsprechen. Verschiebt man den Zug um Ab nach links, so zwar, dass keine Last auf das linke Fragment Übertritt, keine neue auf den Träger kommt, und höchstens die vor der Verschiebung im Scheitel angreifende den Scheitel passirt, so ändert sich b in b -f- AH, b' in b’ -t- Ab und das Moment (— 9J1₀) ändert sich um

-m₀

EPb

— EP' b' j

120)

— min (9JL)

EPb — EP'b'

irh"-sp’i'

Soll dieser Ausdruck negativ sein, so muss sich EP’ £

EP > Z + $

ergeben. Analog findet man, dass in Folge einer Verschiebung nach rechts werden muss

122)

ZP

ZP

Den vorhin aufgefiihrten, die Grösse der Verschiebungen einschränkenden Bedingungen wird durch ein unendlich kleines Ab genügt, so dass da andererseits aus der Gestalt der früher gezeichneten Influenz-curve hervorgeht, dass die schwersten Lasten in der Nähe des Scheitels liegen müssen, die Regel erhält:

Man stelle das Lastensystem so auf den Bogen, dass eine der schwersten Lasten über S liegt; hierauf verschiebe man es unendlich wenig nach links, dann nach rechts, so dass die über S stehende Last einmal

ZP'

man

zur 2P' zählt, das anderemal nicht. Im ersten Falle muss

2P’ ^ J

2 P 1-+-Z

im zweiten

zp " z + |

werden, falls die Stellung das Moment min 93L

erzeugen soll.

Um das Moment max 9J1₀ zu erhalten, wird das Lastensystem von A bis in die Nähe von E (Fig. 64) vorgeschoben. ZP erstreckt sich auf „alle“ Lasten, ZP] nur auf die rechts von o gelegenen. a und a! bedeuten die Abstände der Lasten von A resp. von o. Man findet 9JR₀ = B x'o — Hy₀ — 2 P' a!

ZP a

oder wegen Bl = Hh und B =

123)

Ji x o    y o l

⁼ Yhl

Hierfür kann mit Rücksicht auf die Formeln 119 geschrieben werden

& ZPa — ZPa’ .

9JL

ZPa — ZP'a' .

Der Zug wird so aufgestellt, dass eine schwere Last über o liegt, hierauf unendlich wenig nach rechts resp. links verschoben, so dass die in o angreifende Last einmal zur 2P’ zählt, das anderemal nicht. Im

zp' Az

ZP

ersten Falle muss sich

ZP’

v > V , im zweiten ZP ^

ergeben.

Die Strecken §, l H- |, |x, £2 greife man auf einer genauen Zeich

nung ab.

Die Berechnung der Momente 50R« ist analog; an Stelle von x₀ und y₀ treten xu und yu.

Hervorzuheben bleibt noch, dass die in derselben Verticalen gelegenen Punkte 0 und u verschiedenen Querschnitten angehören, dass also, wenn in Fig. 65 o,„ und um die Schnittpunkte der mten Verticalen mit den Kernlinien sind, aus (931₀)m die Spannung ku im Querschnitte cc und aus (9)l„)m

¹

Grashof, Theorie der Elasticität und Festigkeit, Berlin 1878. S. 126.

²

Wir werden im zweiten Theile unseres Werkes diesen Untersuchungen näher zu treten haben, schicken aber bereits voraus, dass der Fehler, welchen man begeht, wenn man ein Bogenfachwerk mit parallelen Gurtungen mit Hilfe 4er in den §§ 5 bis 7 für die äusseren Kräfte abgeleiteten Formeln behandelt, ungleich kleiner ist, als der aus der Anwendung der ebenfalls nur für stabförmige Balken geltenden Clapeyron’schen Relationen auf das continuirliche Balkenfachwerk erwachsende.

³

Bezüglich der Vorzeichen der Momente vergl. man Seite 17.

die ku im Querschnitte c c zu berechnen ist.

Nunmehr dazu übergehend, die Momente für die zwischen den Verti-calen gelegenen Punkte o und u zu bestimmen, setzen wir zunächst voraus, es liege die (in— l)te Verticale links, die mtc rechts von dem o und u enthaltenden* Schnitte. Mit der aus Fig. 65 ersichtlichen Bezeichnung wird, wenn P₀, P1? Po, Pa... die Belastungen der Verticalen bedeuten, für den Punkt o:

9)1₀    (A Po)x Hy ₀ P\ (x aQ P2 (x $2) • • •    Pm—1 (x am_i).

Dieser Ausdruck ist bei flachem Bogen sehr annähernd vom ersten Grade, da das Stück om-iOm der oberen Kernlinie als Gerade auf-gefasst werden darf. Trägt man daher vertical unter om . 1 resp. om von der AB aus CD = (9)l„)m und PP=(5R₀)m auf und zieht DF, so ist die unter 0 gemessene Ordinate JG dieser Geraden ein Näherungswerth für 9)1 Q. Es folgt dann bei der Feld weite

124 a) 9JL - (gjio)» ! + (9Jl₀)m - (9Jl„)

Die Momente (9)1₀)m_i und (5k₀),„ werden bei verschiedenen Laststellungen ihre grössten positiven resp. negativen Werthe annehmen; man begeht aber durch gleichzeitiges Einfuhren dieser grössten Werthe in die Formel 124 einen die Dimensionen nur wenig beeinflussenden Fehler. Es kann derselbe um so eher zugelassen werden, als die so erhaltenen 9)1 o etwas zu gross sind, und man überhaupt nicht im Stande ist, bei Variiren des Bogenquerschnittes dem strengen Laufe der Momentencurve zu folgen.

Für die Momente 9J1„ folgt analog:

1245)

9Ji„ - (9Ji„)—1+ j(9JL)m- (9)L)m_iJ

X - Xm-1

1-m

Die Formeln 124 dürfen auch dann ohne Bedenken angewendet werden, wenn die Lage des Querschnittes zur Folge hat, dass eine Verticale zwar links von 0 resp. von u liegt, aber noch zu dem rechten Fragmente zählt. Bei Blechbogenträgern ist die Kernhöhe zu klein, als dass nennenswerthe Differenzen zu gewärtigen wären, während beim statisch unbestimmten Fachwerk, wegen der Unsicherheit in der Bestimmung der Stabspannungen, der Werth eines allzusubtilen Vorgehens zum mindesten zweifelhaft ist. Kommt hierzu noch, dass der Bogen zur Ueberfiihrung einer Eisenbahn mit Querschwellen-Oberbau dient, so tritt als neuer Grund für das einfachere Verfahren hinzu, dass die Schwellen nicht über den Verticalen liegen (Fig. 66), mithin gewissermaassen ein secundäres System von Zwischenträgern bilden, durch welches einzelne Lasten, die zwischen den Verticalen (m—1), m und (m + l) liegen, auf die drei Verticalen (m—1), m und (mH-1) übertragen werden. Diese vertheilende Wirkung der Querschwellen wird aber bei der statischen Berechnung zweckmässig ausser Acht gelassen.

Man wird nach Vorstehendem beim Fachwerksystem mit Verticalen und sich kreuzenden steifen Diagonalen (Fig. 67) die Momente für die Knotenpunkte om~i, um-i, om und um berechnen und die den Momenten-punkten o und u entsprechenden Werthe 9h ₀ und 9h„ nach den Formeln 124 oder wie in Fig. 67 angedeutet, graphisch ermitteln. Ebenso wird man beim System mit radial gestellten Stäben in der in Fig. 68 skizzirten Weise Vorgehen und aus den Momenten (9h)m i und (9h)m für die Schnittpunkte der Verticalen mit der unteren Gurtung die Momente 9h 0 und 9h,, construiren.

Höchstens könnte man beim statisch bestimmten Fachwerk eine strenge Ermittelung fordern. Es liegen hier (Fig. 69) die Knotenpunkte o des Obergurts in den Verticalen, so dass die vorigen Ermittelungen cor-rect sind. Weiter sind die Momente min (9h„)m in der früheren Weise zu berechnen, da (wie deutlich aus der Gestalt der Influenzlinie hervorgeht) nur dann auf die Wirkung der Zwischenträger zu achten ist, wenn Lasten im wten Felde liegen und dies bei der das Moment min(9h„)m erzeugenden Laststellung nicht der Fall ist. Bei derjenigen Stellung hingegen, welcher rnax(9h„)m entspricht, ist zu beachten, dass auf das Fragment rechts vom Schnitt aß nicht nur die rechts von der mtun Verticalen gelegenen Lasten P’ wirken, sondern noch der in om angreifende Druck des mten Zwischenträgers. Dieser ist, wenn die im mien Felde gelegenen Lasten mit P" bezeichnet werden, während a" ihre Abstände von om-i sind:

2P"a!'

wesshalb das Moment der am rechten Fragment angreifenden Kräfte

[ (%u)m    (<#o)m]

V p"n"

(9h„)m = B (xj)m - H(yv)m -2Ta' + —^ — oder nach Fortlassung des Index m wird

125)

max 9h„ =

£2

Fi

2 Pa — | 2P’ a! — ZP"a',Xu -

Die Stellung des Lastensystems ist hierbei darin am gefährlichsten, wenn in Folge einer Verschiebung des Zuges nach rechts oder links beziehungsweise

126)

vpi £P” ^u

2P

<£1

sich herausstellt. Dabei muss eine schwere Last über om stehen.

5) Die grössten Momente bei gleichförmiger Verkehrslast lassen sich mit Hilfe der Formeln 120 und 123 ermitteln. In Formel 120 bedeuten 2Pb und A’ P' b’ die statischen Momente beziehungsweise sämmt-licher Lasten und der Lasten links vom Scheitel für die Verticalen durch B resp. durch S. Bedeckt nun die mobile gleichförmige

Entsprechend der Belastung der positiven Beitragsstrecke AE ist in Formel 123 einzuführen

«II

Last (v pro Längeneinheit) die negative Reitragsstrecke BE (Fig. 70) so

t $

= v S -

2

wird:

2P6

/, , l ■+" I

= «(*+£) —2

und es geht Formel 120 über in

vyJ'S

min (9DL)» = —

2h

SPa = J

und erhält man dann

V Io X

(max %Sl₀)₀ = 4 g

In derselben Weise werden die 5tR„ berechnet.

6) Die Momente in Folge der Constructionslast (p pro Längeneinheit) werden (Fig. 706)

127)

(2DL)P = p Ix — p x —-(9fiu)P = p Ix —px~

pP

to

V»

2hVu

pl²

denn nach Formel 115 ist A = pl; H —

2 h

Besteht die Verkehrslast aus einem Systeme concentrirter Lasten, so werden die Momente (5Ü?P) zu den mit Hilfe von 120 und 123 berechneten addirt. Liegt dagegen eine gleichförmige mobile Belastung vor, so ist es zweckmässiger, zur Abkürzung

yJl ₌

zu setzen und

min (5DL),, = — vc ;

(W.₀)p = p(c’-c)

max (9DL)t> = + vc

zu schreiben, worauf durch Addition, mit Rücksichtnahme auf die Bezeichnung :

p + v — q = Gesammtlast pro Längeneinheit die Gesammtmomente werden:

max 9DL =    —pc ;

Man vergleiche übrigens Seite 84.

128)

min 9lTc₀ = pc' — qc .

§ 11.

Die grössten Transversalkräfte.

I) Belastungsscheiden und Influenzflächen. Es sollen bei Berechnung der Bt von vornherein Zwischenträger vorausgesetzt werden. Bedeuten

dann P₀, Pi, P2 . . . die Belastungen der Verticalen (Fig. 71), so folgt für einen zwischen der (m—1)tun und mten Verticalen geführten Schnitt cc:

1    Wl — 1 J

P« =    4 — EP cos qp — H sin cp •

(    0    1

ten

Dieser Ausdruck ist annähernd constant, da sich qp innerhalb des m Feldes nur wenig ändert. Man begeht nur einen sehr geringen Fehler, wenn man unter qp den Neigungswinkel der Verbindungslinie F\ F% der Schnittpunkte der Verticalen mit der Bogenaxe versteht und Bt innerhalb eines Feldes constant annimmt (Fig. 72).

Bt.

Zieht man von A aus zu der P1P2 eine Parallele, welche die Kämpferdrucklinie BS in einem Punkte E oberhalb S schneidet, so erhält man in der Verticalen durch E eine Belastungsscheide; denn es entspricht einer durch E gehenden P am linken Fragment ein parallel der Fi F2 wirkender Kämpferdruck K als alleinige angreifende Kraft, und es besitzt diese Kraft K keine Componente normal zu F\ F%. Rückt P aus der Lage E nach rechts, so erzeugt es ein negatives P₍, weil der zugehörige Kämpferdruck K’ eine abwärts gerichtete Componente normal zu Fi F2 hat. Rückt dagegen P nach links, so entsteht ein positives Sämmtlichen rechts von S gelegenen Lasten entspricht ein durch S gehender Kämpferdruck, so dass, falls E unterhalb S gefunden wird, sämmtliche auf dem rechten Fragment aufgebrachten Lasten ein positives Bt verursachen (Fig. 73). Liegt die Last P auf dem linken Fragment, so erhält man (vergl. No. 34)

Bt — — B cos qp — H sin qp

also einen negativen Werth. Lasten zwischen F\ und P2 werden je nach ihrer Lage ein positives oder negatives Bt erzeugen. Um die im Felde Fi F2 liegende Belastungsscheide — zunächst graphisch — zu bestimmen, werde die Influenzfläche construirt.

Liegt P rechts von F2 im Abstande b von P, so wird

Bt — A cos cp — H sin qp = sin qp j A cotg qp — II j = sin qp Hi,

worin Ht den ideellen Horizontalschub bezüglich der Transversalkraft bedeutet. Er wird erhalten durch Subtraction der Ordinate der ersten Curve H von der Ordinate der Geraden:

Pb

2 = A cotg qp = ^7 cotg qp ,

welche letztere für b = 21 die Ordinate AG = Pcotg qp hat. (Dabei sei wieder P = ltons angenommen). Die Gerade A G kann auch aus der Bedingung construirt werden, dass einer durch E gehenden P der Werth H{— 0 entsprechen muss, dass also PP durch den Schnittpunkt E’ der AD mit der Verticalen durch E geht. Rechts resp. links von E' ist P, negativ resp. positiv. Die Gerade BG gilt von P bis zum Schnitt-

sin <jp i l — h cotg <jp

punkt Fs' mit der Verticalen F?. Liegt die Last P auf dem linken Fragment, so folgt

Hi = (A — P) cotg cp — H;

es ist also von dem wie vorstehend construirten H{ der Werth P cotg cp zu subtrahiren. Daraus folgt, dass man AF\ parallel der BF% ziehen und die H als Yerticalabstände der AF\ und der ersten Curve H er

halten wird. Um schliesslich für die zwischen F\ und F% gelegenen Lasten die H, zu erhalten, wird F\ mit F2 durch eine Gerade verbunden; denn es ist H{ zwischen zwei Querträgern (ebenso wie //, bezüglich der Momente) eine lineare Funktion.¹) Die in Fig. 72 schraffirte Fläche stellt die gesuchte Influenzfläche dar; ihr Multiplicator ist sin cp. Will man mit Hilfe derselben beispielsweise max Pt finden, so stellt man das Lastensystem so über die positive Beitragsstrecke CE\ dass die schwersten Lasten in der Nähe von F% liegen. Wird hierbei speciell eine Eisenbahnbrücke vorausgesetzt, so ergiebt sich mit der auf Seite 82 eingeführten Bezeichnung

Rt = sin cp j L2(H)l + T2(H)t + G2{H\ j •

Durch Vergleichen derWirkungen verschiedener Stellungen findet man maxi?,.

Figur 73 zeigt die Influenzfläche für den Fall, dass E unterhalb S gefunden wird. Auf der AD ergiebt sich E’ rechts von Z>, so dass nur eine Belastungsscheide existirt. (In unmittelbarer Nähe des Scheitels wird die Construction unpraktisch, da cotg cp bei kleinem Winkel sehr gross ist. Desshalb empfiehlt es sich hier, Rt durch Rechnung zu ermitteln.)

Lasten.

2) Analytische Bestimmung von Rt. Voraussetzung concentrirter

Falll. Die Belastungsscheide E liegt links im Abstande £ von S. Um min Rt zu ermitteln, wird das Lastensystem von B aus bis in die Nähe von E vorgeschoben (Fig. 74). Mit der auf Seite 85 u. 86 bei Berechnung von 931 eingeführten Bezeichnungsweise erhält man

2 Pb 2P'b'

Rt = A cos (jp — H sin g: ;

2 Pb

129 a) min Rt —

2Pb — 2P'b¹\ ■

Weiter findet man leicht

130)

l — h cotg cp lA-h cotg cp

I — h cotg q>

so dass man auch schreiben kann:

sin cp i |

129 b)

min Rt — —

2 Pb —

2P]b’ j •

Dieser Ausdruck unterscheidet sich von dem für min 93? auf Seite 85 (No. 120) abgeleiteten nur durch den vor der Klammer stehenden Multi-plicator, so dass die dort für die Aufsuchung der gefährlichsten Laststellung gegebenen Regeln auch hier giltig sind. Zieht man SC parallel AE, so ist AC = l — fi cotg cp ( = d gesetzt), wesshalb man auch schreiben kann

131)

EPb — EP'b’

mi„a = -⁸i2j 2l

der Theil

Die grösste negative Transversalkraft erfährt eine Vergrösserung, sobald von A aus ein Lastensystem bis in das Feld F\F% vorrückt (Fig. 75). Indem wir hierbei EP auf „alle“ Lasten beziehen, EP' nur auf die im Felde F\ F% gelegenen Lasten und beachten, dass von den Lasten P EP' a

—^— durch den Zwischenträger auf das rechte Fragment über-

tragen wird, erhalten wir

EP' a"

cos qp — H sin cp

und wegen

EP a

EP a

2/

132)

.    _    COS QP

min Kt— — —^

H- fi)

2 Ih

EPa — EP'a! •

Zuerst wird man Last Pi über Pi stellen und nachsehen, ob

Pi

133)

1(1 t.g cp -4- h)

2 Ih

EP

ist. Im Gegenfalle wird P2 über F\ gestellt und die Ungleichung Pi + P2 ^ I (l tg qp -f- fi)

EP

2lh

untersucht. Wird auch diese Bedingung nicht erfüllt, so stellt man P3 über Fi u. s. w. Man wird aber — mit sehr seltenen Ausnahmen — finden, dass Rad P\ über F\ zu stellen ist.²) Aus diesem Grunde soll in der Folge die Aufstellung der Kriterien für die gefährlichste Laststellung unterbleiben und stets angenommen werden, es befinde sich die erste Last über dem Querträger; allenfalls wird man dann noch für die in der Nähe der Stütze gelegenen Felder nachsehen, wie gross Rt wird, wenn Last P2 über dem Querträger liegt. Man erwäge übrigens, dass die Belastung eines Trägers durch einen in zwei Theile zerlegten Lastenzug, wie er hier bei Berechnung von min P« vorausgesetzt wurde, sehr unwahrscheinlich ist.

scheide.

- 93

Um max Rt zu erhalten, wird links vom Scheitel ein Zug aufgestellt, dessen erste Last über F% steht, während der Bogen rechts von E wenn möglich unbelastet bleibt. Mit b' werden die Abstände der Lasten vom Scheitel, mit b die von B bezeichnet. Dann ist (Fig. 76 [vgl. Formel 129 a]):

sin cp

134)

max Rt — -h

2Pb

l — h cotg cp 2Pb j

Fall II. Es liegt E unterhalb S. Die grösste positive resp.

grösste negative Transversalkraft wird erhalten, je nachdem ein Zug von B oder von A aus bis F% beziehungsweise F\ avancirt. Man erhält sin <jp j

135)

max Bt — +

2P'b’

l — h cotg (jp

2Pb

136)

min Bt— —

cos <jp [l tg cp + A]

2 ZA

2Pa .

3) Berechnung von Rt unter Annahme einer gleichförmigen mobilen Verkehrslast. Einfluss der permanenten Last.

Fall I. E liegt links von S. Wird die negative Beitragsstrecke BE mit v pro Längeneinheit belastet, so folgt (vergl. Berechnung von min 9J1 auf Seite 89) 2Pb = ^ v (Z $)², 2P' b’ — (Fig. 77), mithin

v sin (jp 1Z

(min Bt)v — —

Ausserdem ist noch der Bogen links von der durch das Feld F\ F% gehenden Belastungsscheide zu belasten. Ein hinlänglich genaues und zwar etwas zu grosses Bt erhält man hierbei, sobald man Strecke AF\

belastet (Fig. 77) und in F\ die concentrirte Last hinzufügt, also ge-

£

gewissermaassen annimmt, es rücke die Last bis F% vor, es werde aber der auf F% durch den Zwischenträger F\F% übertragene Druck vernachlässigt. In Formel 132 ist (wenn Feld F\ F% das mte ist) zu setzen:

2A

2 P’a' -

V Xm—i Xm

und erhält man

b)

(min Bt)v

v cos qp [Z tg qp -b A]

Xm—1 Xm *

4 Ih

Die Addition der sub a und b gewonnenen Resultate liefert v cos cp' \ Z² (Z tg cp — A) tg (jp i Z tg <jp + A Z tg qp 4- A (= — cv gesetzt).

Der Belastung des ganzen Trägers entspricht (Fig. 78)

137) (min Rt)v = —

2A

Xm—i Xm

total (Rt)v — (vl — vxm_i —

vl²

cos cp — — sin (p

u fl

— VXm COS Cp -

vP

2A

sin<jp (= c₀v gesetzt),

worin xj den Abstand der Mitte des mten Feldes vom Scheitel bedeutet. Da sich nun die Stellungen für max Rt und für min Rt zur vollen Belastung ergänzen, muss

max ( Rt )v — total ( Rt )„ — nun ( R, )„

sein, wesshalb

max (Rt)v= (c₀ + c) v.

139)

Mit Rücksichtnahme auf die permanente Belastung folgt (vgl. S. 89) max Rt = q(c₀ 4- c) — pc = qcu H- vc min Rt = p(c₀ -+- c) — qc — pca — vc .

Der Einfluss der permanenten Last für sich allein wird

(Rt)r ¹ p c₀*

Bei parabolischer Bogenaxe wird die Ordinate des Schnittpunktes der Axe mit der mten Verticalen

/.P |    ^    (2 Z    Xm—l)

(•l *Cm—l) (jVm    *Vm—l) j    |

Nun wird total (Rt)v — —C^S    | 2Z—2 .rm_i — k — ~ tg q>

daher tg cp =

ym    y m—1

2Z — 2 xm~i — k •

mithin:

140)

min (Rt)v — — max (Rt)v und ( Rt)p — 0.

Diese Relationen sind auch sehr angenähert für flache Kreisbögen

gütig.

§ 12.

Deformationen.

I) Beanspruchung durch eine concentrirte Last. Die auf Seite 22 zur Berechnung von A <p, Ax, Ay abgeleiteten Gleichungen 44 und 45 sind beim Bogen mit 3 Gelenken nur so lange gütig, als der Punkt (xy) links vom Scheitelgelenk liegt; denn es ist A <p bei x — l unstetig. Dess-halb können auch die Gleichungen 39 nicht zur Ermittelung von A cp0 und Aqi dienen. Indem wir nun mit Acps den Neigungswinkel der Tangente an die Bogenaxe AS (Fig. 79) nach der Deformation bezeichnen und die Verrückungen des Scheitels Al und Ah nennen, erhalten wir, eine parabolische Bogenaxe voraussetzend, unter der Annahme, dass P links von S angreift:

A cpa — A cpo -4- fo [<l] + *0* [V'] A- ( 0    a J

— (A cpo -+- 3t gesetzt)

141) (Al — — hAcps + £0 [<Si] -+- £0 [$1] + \y

0    a J

0

l

Ah = H- lA<ps — £₀ [S2] — £0' [£2] — f^

0    a ./

' dx

(==—fiA(f a H- 33 ges.)

EJ’

(= lAcpa + © ges.).

Hierauf wenden wir dieselben Formeln 45 auf das Spiegelbild Fig. 80 an, setzen die relative Längenänderung der Bogenaxe = f₀", ferner das Moment Bx — Hy=W und finden, wenn AcpJ nach der Deformation den Neigungswinkel der Tangente an die Bogenaxe BS bedeutet

A cps'

— A qpi + £0” [qp] + f ü J 0

Wdx

EJ'

(= Acp\-\- 3t' gesetzt)

142) (—Al

l

— — hAcps + £0" [£1] H- J y

0

Wdx

EJ’

(— — hAcpJ + 33’ ges.)

A h = H- l AcpJ —

Jx

0

Wdx

EJ’

(= l A qps' -f- ©' gesetzt) .

Die so erhaltenen 6 Gleichungen dienen zur Berechnung von A qis, Acps, A qpi, A cp₀, Al, Ah, worauf durch Anwendung der Gleichungen 44 und 45 auf den Theil A S (Ursprung Ä) und den Theil B S (Ursprung B) die Deformationen an irgend welcher Stelle gewonnen werden.

Zu einer bedeutenden Vereinfachung der Rechnung führt die Ueber-legung, dass zwei in Bezug auf den Scheitel symmetrisch liegende Lasten P (Fig. 81) die Aenderung 2 Ah erzeugen, während sie keine Horizontalverschiebung des Scheitels hervorrufen, so dass, wenn die Bezeichnungen

£₀ und £0' für die Aenderungen —in den Intervallen x — 0 bis x — a

und x = a bis x = l beibehalten werden, die Gleichungen resultiren:

0 = — h A cps -t- 23 ;

2 Ah = l A cps H- (5

und hieraus

2JA = 6 + -f 33

h

ZAhEJ' = EJ’s0 |y [S’i] — [S₂] | + EJ’Hq j1 [>Si] — [S₂] j

— j Wilxdx H- y J 5)t ydx

0    0

Nun entspricht-: 1) der Last P links von S

(fo)i =

~Pb

EF (Z² + A²) |_2Z Z +

2A

2A

(*o')2 = —

2) der Last P rechts von S: (fo)2 = (^ü’)2 — —

Pa

Hi (Z² — A²)

PP(Z² + A²) 21

EF(l² + A²)

l ~+“

H₂ (Z² — A²)

2h

}-

Pa

wesshalb sich, da H\ — — — 1I₂ ist, für beide Lasten 2 h

£o — (*0)1 + (*0)2 —

V — (fo’)l + (fc'o’)2 = ergieht. Weiter ist wegen A — P:

___ pi -

PF(Z²+Ä²)L ^ h 2h r __

pf(z² + ä²)|_    ⁺ T

Pa Z² — A²

>-

Pa l² — h²

J xy dx 0

fw x d x = P

0    °

1    1

j 9)1^ dx = P Jxy dx — H j y² d x

000

x- dx — H

J(x — a) xdx

a

l

J (x~ a) y dx ,

so dass nach Einsetzen der Werthe S\ und S-> und nach Ausführung der Integrationen sich

143) Ah = —

Pa

Z²

PP Z² -b A² \ 2 l

2 A²

\ Pal² /    a²

)⁺i2ääA³⁻¹⁰p

a³'

7«

als Senkung des Scheitels in Folge einer concentrirten Last P ergieht,.

Indem wir weiter nur eine Last P voraussetzen, eliminiren wir aus den Gleichungen

Al =—h A cps -t- 33 ; den Werth A q>s und folgern

AlEJ’ = 4

«»[{(&)-(&]]

tI

0

h

-Ah~

r (Si) — (S2)

a    a_

— 4- AhEJ’.

EJ’

Hierin sind «o und £’o gleich den in den Formeln 38 (2DG = 0) ange-

gegebenen Werthen, ferner ist

9J1 = Ax — Hy — P(x — a)

Pb

Pa

21

■> h=Th’

so dass man nach Durchführung der leichten Rechnungen

144) dl

Pah

\ Pahl ( ) 120E«A

EFl' P + h²

erhält. Nach Ermittelung von /lh und dl kann man

— 10

d(ps =

; dy₀ — d(ps— 2t

d cpj = —j —    ; dcpi — dq>,’ — 2t’

finden und die Werthe d cp, d x, dy für beliebige Punkte der Bogenaxe bestimmen, worauf sich diejenigen Laststellungen angeben lassen, denen die grössten Deformationen entsprechen. Da sich hierbei hinlänglich einfache Formeln nicht erzielen lassen, und die ganze Untersuchung von untergeordneter Bedeutung ist, beschränken wir uns auf Angabe der grössten Werthe dh und dl.

2) Maximalverschiebungen des Scheitels. Trägt man unter der an der

Stelle a aufgebrachten Last P = 1 den aus Formel 143 berechneten Werth dh von der Horizontalen AB (Fig. 82) aus als Ordinate auf und verbindet die Endpunkte dieser Ordinaten durch eine Curve, so findet man die „Influenzcurve für dhw, welche gestattet, für jede beliebige Stellung eines Lastensystems d h durch Summirung der den einzelnen Lasten entsprechenden Ordinaten zu berechnen. Einer Last in der Nähe des Scheitels wird eine Senkung desselben d. i. ein negatives dh entsprechen, hingegen Lasten nahe den Stützen ein positives d h. Die Lage der Belastungsscheide wird aus der Gleichung

1 (JL_

F P-h h²\ 2 l ^ 2 h²

gefunden. Die Lösung dieser Gleichung sei a\. (Wenn die relative Längenänderung der Bogenaxe vernachlässigt wird, also das erste Glied in No. 145 gestrichen wird, ist a\ = 0,672 l) Werden ausschliesslich die Strecken a\ links und rechts vom Scheitel belastet, so ergiebt sich (dh) während die alleinige Belastung der Strecken (l—a{) den Werth (dh)min, d. i. die grösste Senkung dh liefert. Die Maximal-Horizontalverschiebung des Scheitels erhält man bei Belastung der einen Bogenhälfte.

Liegt eine gleichförmige Verkehrslast vor (v pro Längeneinheit), so ersetze man in der Formel 143 die Last P durch das Lastdifferentiale v d a und integrire den überdies mit 2 zu multiplicirenden Ausdruck zwischen den Grenzen 0 bis a\ resp. a\ bis /; man erhält dann

va\P{ 3    5 a\ a\ \ 2v    P ^3 s 1 «’    1 a\P\

gqej¹(p⁺p )~efP+h? (~2ttt ~1 T ⁺T~Wi

va\P ^3    5 a\ a®) 2w P (3 , ₂    1 P—a\ 1 P—a\P

~ ßOEJ'I.Z ~JP⁺P \EFP+h? j'2 ^ ~°x)~ J~1 + 4 h²

Schreibt man hierfür abgekürzt

ma x(d h)v = cv, min (dh)v — — c’v, wo c und c’ Zahlen bedeuten, so findet man unter Berücksichtigung der

145) —

ma x(dh)v —

min (dh)v =

)⁺W'(³-

a? 5 a³'

max?

permanenten Last — mit Beachtung der Bezeichnung p -f- v — q — die V erschiebungen:

147)

max {dh) — cq — c' p min {dh) = cp — c' q.

Die Verschiebung {dl)max wird analog gefunden. Bei Beanspruchung durch concentrirte Lasten construire man die Influenzcurve. Liegt nur gleichförmig vertheilte Belastung vor, so führe man in Formel 144 das Differentiale v da an Stelle von P ein und integrire von 0 bis l. Man findet

148)

{di)

vhl³ ( 120 EJ' j ¹

— 20

F{P + h³)\ '

Dieser Werth erfährt durch die permanente Last keine Aenderung.

3) Einfluss der Temperaturänderungen. Da beim Bogen mit 3 Gelenken Aenderungen der Temperatur die Reactionen der Stützen nur insofern beeinflussen, als bei Hebung resp. Senkung des Scheitelgelenkes andere Kämpferdrucklinien entstehen, so gehen, wenn hierauf keine Rücksicht genommen wird, bei unbelastet gedachtem Bogen die Gleichungen 66 über in

max

dcp — depo + £ti(<J>); dx= ett[Si] — yd(j>-, dy —e, t[Sz]-h xd cp 0 0 0

und erhält man speciell für x = l

mithin

dl = stt [<Si] — h d (jp, = 0

0

l

— t [$2] ~h Id (fs 0

dh = Ett (Äl)T-0S₂)

l 0 fl    0

und für den flachen Parabelbogen

149)

dh =

/-

e'T •

Einer Temperaturerniedrigung um t entspricht eine gleich grosse Senkung dh.

§ 13.

Vorläufige Bestimmung des Querschnittes; Abschätzung des Eigengewichtes.

I) Blechbogenträger. Auf Seite 64 wurde für die vorläufige Bestimmung des Querschnittes der Kopfplatten einer Gurtung die Formel

9JL 4- Ene

86)

f    fehl

2 Js

abgeleitet, in welcher 9UL das grösste Angriffsmoment für den in der

Bogenaxe angenommenen Querschnittsschwerpunkt m und Rn die grösste Axialkraft bedeutet. Bei voller Belastung des Bogens ist unter Voraussetzung parabolischer Axe

px²    pl²

~2—YkV

ist; desshalb wird, da die Stellungen für max 9Kb

und min 5Kb sich zur vollen Belastung ergänzen, und der Einfluss der permanenten Last Null ist, bei Annahme gleichförmiger Verkehrslast:

(vergl. Seite 89)

? = i^⁽^LNo-u8>-gesetzt, so folgt:

weil y —

worin

5K b = plx

hx(2l — x)

l²

max 5Kb = — min 5Kb = 4-

Wird y

hx(2l — x)

l²

150)

max 5Kb —

vx(21 — x) (l — x)

2(3 l—x)

Dieser Werth wird für x = 0,468 l ein Maximum, so dass in die Formel 86

9)1, = 0,075 v l²

einzuführen ist, um das grösste / zu erhalten. Auch dann, wenn con-centrirte Lasten vorliegen, ergiebt sich das grösste Moment 5Kb sehr nahe bei x — 0,5 l; man ermittele mit Hilfe der Formel 120 das Moment min 5Kb und setze in die zur Berechnung von / dienende Formel

min 5Kb öjm>T² '

Rn wird ein Maximum bei voller Belastung. Hierbei ist, da sich für jeden Querschnitt Rt = 0 ergiebt, Rn = R und tangential an die Bogenaxe. Die Horizontalcomponente von R ist H, mithin

151)

und

Ruuix. —

cos qp

^ — H j/l + tg ²qo₀

cos qpo

152)

■ßmai

In dieser Formel ist p abzuschätzen. Bezeichnet pf das Gewicht der Fahrbahn*) pro Längeneinheit der Stützweite, von Winkeleisen und Stehblech,

Ps V

der Gurtungen,

Pa r>

ba die Länge der Bogenaxe,

y das Gewicht pro Volumeneinheit des Materiales,

*) Incl. Horizontal- und Vertical-Verband sowie des Gewichtes der zwischen Fahrbahn und Bogen eingeschalteten Verticalen.

so wird,

schnitt hat:

unter der Annahme, dass der Bogen eonstanten Quer-_ 2 yfba

P₉

153)

worin

2 yfba

P = Pf+ p,+ "y

7 f«

P*

Werden die für 3D? geführt, so folgt aus dieser

Pninx

und p gefundenen Werthe in No. 86 ein-

154)    / =

² hi

khx —

Das Gewicht pf kann man auf Grund eines vorläufigen Projektes für die Fahrbahn und den Vertical- und Horizontal-Verband ziemlich genau angeban. Bei Eisenbahnbrücken kleinerer und mittlerer Stützweite führe man in die statische Berechnung etwa

Pf — 800k pro meter Geleis ein.

Die abgeleitete Formel ist auch für flache Kreisbögen brauchbar.

Beispiel. Eine zweigeleisige Eisenbahn soll mit Hilfe von Bögen mit 3 Gelenken über eine 14,8m (Fig. 83) weite Oeffnung geführt werden. Jedes Geleis wird durch 2 Bögen gestützt. Z = 7,4ra; h — 2,5ra. Die Bogenaxe ist ein Kreisbogen. Für x — 3,7m (= 0,5 l) erhält man, wegen r = 12,20m

y = Kl2,20² — 3,70² — 9,70 = 1,93™

= 1,58“

= 0,176.

l-h |

t __ lVl ~ hx ^ yl H- hx

Wir wählen das in Fig. 19a dargestellte Lastensystem, und stellen Rad 1 über den Scheitel (Fig. 83); es ist dann

Pi

13

SP 39 + 8

> 0,176

mithin nach No. 121 die Stellung die gefährlichste. Da weiter ZPb = 8 • 1,4 + 39 • 5,9 = 241,3 und SP'b’ = 0 ist, folgt nach No. 120

¹

Die Verticale durch den Punkt C ist die im Felde Fi F% gelegene Belastungs

²

Es liegt dies daran, dass man bei Bogenbrücken die Feldlängen X kleiner wählt wie bei den Balkenbrücken. Bei letzteren werden die gefährlichsten Anstrengungen in den Diagonalen und Yerticalen bekanntlich häufig dann erzeugt, wenn die zweite Last über dem fraglichen Querträger steht.

I = M³ 5

I 2,50 (

0,176 • 241,3 = 32,79

mb = 4-

und

32,79tm 0,075 Z²

_ gtons prQ meter Qe]eis,

pro meter Träger).

Die Lage der Schienenoberkante gegen die Horizontale durch die Kämpfergelenke lasse ein Stehblech von circa 40cra wünschenswerth erscheinen. Es wird dann bei 8cm Schenkellänge, lcm Eisenstärke der

(= 4¹

Js = ~ j 13 • 40³ — 10 • 38³ — 2 • 24³J = 21300cm<

Winkel und 2cm Nietdurchmesser der Querschnitt Figur 84 gewählt. Ihm entspricht

f, (ohne Abzug) = 40 4- 4 (8 4- 7) 1,0 = 100 □cm. Weiter ist die Länge der Bogenaxe angenähert

6a = 2/j 1 4~ "g-    | ⁼⁼ 1,08 (2 Z),

mithin, wenn für die folgende Rechnung das Decimeter und das Kilogramm zu Einheiten gewählt und 7 = 7,6¹) gesetzt wird:

ps — yf, = 8,2lk pro Decimeter

k = 650k pro Q⁰¹“ = 65000k pro □dm v = 400k pro Decim.; p/=40k pro Decim.

13,2m = 132dm

Z² i/,    /2/A²

= 69225

J, = 2,13;

0,075 • 400 (74)²4- e 140 + 8,21 4- 400 | 132 — 69225

65000-4,0 — 2 -7,6 -1,08 -132- e 95055 4- 59160 0

260000 — 2170 e

Nun ist für den Querschnitt Figur 84

W.

= —- = 1065cmS

h\

f, (nach Abzug der Nietlöcher) == 100 — 4-2-1 = 92LJ⁰¹“

w₈

fs

= 11,60“ = 1,16dm.

Hierfür wird in den für / gewonnenen Ausdruck e = 1,5 gesetzt und 183795 256745

cm

= 0,72 □dm erhalten, wonach 3 Kopfplatten mit den Abmessungen 28cm X 1,0cm, deren jede einen Querschnitt (28 — 4) 1,0 = 26 □ hat, genügen. Dem so gefundenen Querschnitte Figur 85 entspricht

J= 21300 4-    (46³ — 40³) 24 = 87972cm4

1 u

87972

23    = 38255

3825

= 16,2cm,

F 92 4- 2.72

welcher letztere Werth so wenig von 15,0cm abweicht, dass die Neuberechnung von / überflüssig ist. In die statische Berechnung des Bogens wird man den Kernhalbmesser e — 0,16m einführen. Weiter wird man

ba

p = p/ + pa H⁻ 2 yf — — 40 ■+■ 8,21 -4- 2 • 7,6 • 3 • 28 • 1,08

== 48,21 H- 13,79 = 62k pro decim.

= 0,62* pro meter

annehmen.

2) Gitterträger. Hier hat die vorläufige Querschnittsermittelung nur den Zweck, die Abschätzung der in die statische Berechnung einzuführenden permanenten Lastp zu ermöglichen. In No. 154 ist /, = 0 zu setzen und unter ps das Gewicht des Gitterwerks pro Längeneinheit der Stützweite zu verstehen. Bei parabolischer Bogenaxe erzeugt die permanente Belastung keine Transversalkräfte und bei flachen Kreisbögen sind die (Bt)P so klein, dass sie füglich vernachlässigt werden dürfen, so dass man in beiden Fällen im Stande ist, Anstrengungen und Querschnittsabmessungen für die Gitterstäbe von vornherein zu ermitteln und hierauf das Gewicht ps festzustellen. Nun wird man nach No. 154 den Gurtquerschnitt / abschätzen und

2/yba

P — Pf A-p, •+- 2l

berechnen.

Abschnitt IV.

Specielle Behandlung des Bogens mit 2 Gelenken.

§ 14.

Die grössten Momente 3ÖL> und 50?„.

I) Auflagerdrücke; Kämpferdrucklinie. (Fig. 86.) Die Componenten der durch eine concentrirte Last P erzeugten Kämpferreactionen sind (vergl. No. 29 und 50) für den Parabelbogen und den flachen Kreisbogen

Pb

Pa

21

„    3 Pab

11 = —^-

8 hl ’

und ist hiernach die erste Curve H eine Parabel mit den Scheitelcoordi-

naten l und

3 PI

Sh

• Der Schnittpunkt C der Kämpferdrücke K und K\ mit

der Last P ist gegeben durch

rj: A — a: H

Pba

2IH

Hiernach ist die Kämpferdrucklinie eine horizontale Gerade. Die Anwendung der auf Seite 33 abgeleiteten Formel

Pab

H 2 Fb ’

in welcher F'B den Inhalt der von Bogenaxe und Linie AB eingeschlossenen Fläche bedeutet, führt analog zu

Fb

und folgt der für minder flache Kreisbögen brauchbare Satz:

Hat Rechteck AA'B'B den doppelten Inhalt der von der Bogenaxe und der AB begrenzten Fläche, so ist die Gerade AB' die Kämpferdrucklinie.

(Interessant ist, dass Formel 52 für den Halbkreis zu demselben Er-

gebniss .führt. Mit <po = 90° geht dieser Ausdruck in H

über,

P cos²ß

71

und folgt r\ =

TT ab

21 cos² ß

-ö-0 oder wegen (Fig. 87) a—r( 1 — sinß), b=r(l+sin^),

Inhalt des Rechtecks AA'B’B ist

l — r, tj = 0,5 nr also constant. i]2r = 7ir² d. i. gleich dem doppelten Inhalte des Halbkreises.)

Wird die Belastung durch Zwischenträger auf den Bogen übertragen (Fig. 88), so besteht die erste Curve H aus einer Reihe gerader Linien (vergl. Seite 80) und die Kämpferdrucklinie aus einzelnen Curven; sie darf aber, da sie nur zur Ermittelung der Belastungsscheiden dient, ohne Bedenken durch die Gerade AB' ersetzt werden.

Einer gleichförmigen Verkehrslast Jv pro Längeneinheit), die von B aus die Strecke c bedeckt, entspricht (Fig. 89):

155)

3 vdb

vc²

8 hl

5(2Z— &) = — (3Z—c) .

Für volle Belastung d. i. c — 21 erhält man

156)

vl²

2h

3)    Influenzlinien. Die in § 10 sub 3 durchgeführten Untersuchungen sind auch für den Bogen mit 2 Kämpfergelenken ohne Scheitelgelenk brauchbar; man hat nur nöthig, die diesem Systeme ensprechende erste Curve H an Stelle der Linie ADB in den Figuren 54 bis 61 einzuführen und die Kämpferdrucklinie entsprechend zu ändern. Unter Voraussetzung direkter Belastung des Bogens und mit Vernachlässigung der auf Seite 83 hervorgehobenen Thatsache, dass es Lasten giebt, welche zwar links von o, aber auf dem rechten Bogenfragment liegen, erhält man die in Fig. 92 dargestellte Influenzfläche für 9DL. Man zeichnet die A’ B\ ferner die

co co

Parabel ADB mit dem Pfeil

ltons, zieht AoE, hierauf EE' vertical, h

ferner BE' bis zum Schnittpunkt C mit der Verticalen durch o und schliesslich AC. Der Multiplicator der Influenzfläche ist y₀.

Soll die Uebertragung der Lasten durch Zwischenträger berücksichtigt werden, so ist die erste Curve H ein in die Parabel mit dem Pfeil 3 l

ltons = z₀ und ziehe AC und CB, um in der

vertical unter o, C C’ —

— — ltonB eingeschriebenes Polygon (Fig. 93). Anstatt die aus verschiedenen Curven bestehende Kämpferdrucklinie zu zeichnen, mache man x₀ x„

2 ly₀

in der Figur schraffirten Fläche die Influenzfläche zu erhalten. Die Punkte C, welche den verschiedenen o entsprechen, liegen auf einer Curve, die wir kurz „Curve z₀“ nennen. Dieselbe lässt sich leicht construiren. Man ziehe die VerticaleSS (Fig. 94) im Abstande ltons von A, verbinde o mit A, mache AR senkrecht Ao, ziehe RG parallel AB bis zur Verticalen durch A und bringe B G mit der Verticalen durch o in C zum Schnitt. Es ist dann C ein Punkt der „Curve z„“.

Analog construirt man „Curve zu =

P“ (Fig. 95), zieht uC ver-

Xu Xu

2lyu

tical, verbindet C mit A und B und erhält die Influenzfläche für 931u. Der Multiplicator ist yu.

wenn man nicht anders sehr langwierige Rechnungen, deren

nur wenig differiren, ge-

4)    Analytische Berechnung der 50L und unter Annahme con-centrirter Lasten. Die Lasten sollen direkt auf den Bogen wirkend angenommen werden. Liegen dann die Momentenpunkte o und u in den die Zwischenträger stützenden Verticalen, so sind die für 'JTc,, und 9JL gewonnenen Resultate nur insofern fehlerhaft, als der Einfluss der Zwischenträger auf II unberücksichtigt geblieben ist. Es ist aber die Annahme direkter Belastung bei Ermittelung der Momente auf analytischem Wege nöthig,

Resultate schliesslich von den genäherten wärtigen will. Durch die Influenzlinien ist übrigens ein leicht zu handhabendes Mittel gegeben, den Werth der Näherungstheorie zu beur-theilen.

Bestimmung von min 9Ji₀. Es soll nur die rechts von o gelegene negative Beitragsstrecke belastet, dafür aber min für alle links von dem Schnittpunkte o’ (Fig. 96) der AB’ mit der oberen Kernlinie gelegenen Punkte o berechnet werden. Trägt man dann die min SEft₀ von der AB aus unter den o als Ordinaten einer Curve auf und zeichnet

deren Spiegelbild, so hat man zwischen den Punkten o' und o" die Ordinaten beider Curven zu addiren. Es stellen nämlich DD' und DD" beziehungsweise den Einfluss der Belastung der rechts resp. links von o gelegenen negativen Beitragsstrecke dar, und liefert DD’" = DD’ + DD" das der gleichzeitigen Belastung beider Strecken entsprechende 9DL. Das Lastensystem rücke von B aus bis in die Nähe von E vor. Ihm entspricht

9JL = Ax₀ — Hy₀,

wo mit der Bezeichnungsweise in den Figuren 96 und 22 (vergl. auch Seite 38)

2Pb

21 ⁵

3 2 Pb 3 EPP

wesshalb

gY,«•»(*»-»- ih

\x°-ThASPb+iHtPplK

8hl ’

Für die Entfernung der Belastungsscheide E von der Stütze B findet man leicht

157)

3«/o

so dass

3 yd

M 3Z )

Ti\x°-Tby°r

8 ZA

wird, und man

3 Z/o

— 2 Pb²

erhält. Dieser Werth wird ein Maximum, sobald

!$!*««-m«

2 Pb    £

2P 2 *

2Pb

I)

8 hl

wird, d. h. für

Da nun

d(— Wo)

db

2P

den Abstand der Resultirenden 2P von der Stütze B bedeutet, so folgt der Satz:

Das Moment „min 9)1₀W wird erhalten, sobald die rechts von o gelegene negative Beitragsstrecke durch die Resul-tirende aus den von B aus vorrückenden Lasten halbirt, wird. Wir setzen jetzt (vergl. Seite 38 und Fig. 22)

2 Pb = bn$n +

und erhalten

K) 4-@„ (5-2&0- 3nj*

II) min

Nun bedeutet = cr den Abstand der Resultirenden EP — von

der nten Last, mithin cr 4- bn den Abstand der EP von B. Dieser letztere soll aber = ^ 5 sein, wesshalb bn — ^ £— cr wird, und der Ausdruck für 30ßo übergeht in

min 30L

ist.

oder, wenn @„ = ?ß„Cr gesetzt wird, in min 9J1₀ =

158)

_ 3y°

8 hl

-Sn •

Mit Hilfe dieser Formel und der auf Seite 40 bis 43 gegebenen Tabelle, die ausser    und Sn auch cr enthält, kann man für Eisenbahn

brücken die Momente min berechnen, ohne die Zugstellungen überhaupt darzustellen. Man ermittele ^ § mit Hilfe von No. 157, suche in der Tabelle den nächst kleineren Werth cr auf und setze die zu diesem Cv gehörigen und S« in Formel 158 ein.

Die Berechnung der 9JL ist ganz analog.

Zahlenbeispiel. Die Mittelpunkte der Verticalen des Gitterträgers (Fig. 97) liegen auf einer Parabel. I = 40m, h = 8m. x — 20m entspricht hx(2l— x)

y =    *—-

6m und bei 4m Höhe der Verticalen y„ = 6,0 4- 2,0 == 8,0m.

3-40-8 —2-8-20

Soll min 9üf₀ bestimmt werden, so berechnet man — =

li

= 26,67m, findet hierauf unter Annahme der Zuganordnung Figur 19 5*) aus Tabelle 2 (Seite 42) das zugehörige ct = 24,86 und ersieht hieraus, dass das 22te Rad im Abstande 26,67 — 24,86 = l,81m

Weiter erhält man laut Tabelle für diese Zugstellung

muss.

min 9Ji₍, = —

von

B liegen

$|3„ = 225; 3„= 175182,75

j225[26,67²4-24,86²] —175182,75 J = —1161,7tm.

8-8-40

Bei Annahme der Zugstellung Fig. 19 a erhält man aus Tabelle 1, Seite 40, ct = 25,26, % = 225,    = 182472,75 und min9Df?₀ = — 1136,6tm.

Bestimmung von max2R₀. Fig. 98. Nach Aufsuchen der beiden Belastungsscheiden E und E\ wird das Lastensystem so aufgestellt, dass die schwersten Lasten in der Nähe des Punktes o liegen und, wenn möglich, die negativen Beitragsstrecken unbelastet bleiben. EP bezieht sich auf alle Lasten, dagegen EP' nur auf die Lasten rechts von o.

*) Es wird angenommen, dass 2 Geleise durch zwei Bögen gestützt werden.

Sind a und a! die Abstände der P und P' von A resp. o, so folgt:

9D?₀ = Bxo’ — Hyo — ZP'a!

und da, analog wie vorhin (vergl. das Zwischenresultat I):

Bxo’ — Hy₀ — —    | $’ZPa - ZPa² J

ist, worin (vergl. Fig. 98 und Formel 157)

_o 3 lyo 2hx₀

S    ■"    Q "    ~ 5

3 y₀

ZPa* —% ZPa J — ZP'a’.

Verschiebt man den Zug um da nach rechts und setzt zur Abkürzung

8 hl

*yo~~s

159)

SD?

⁰    8hl \

160)

so wächst Sö?₀ um

da

j~ [22Pa— £ZP] — ZP’ J .

Dieser Werth muss — soll die vorhin angenommene Stellung die gefährlichste sein — negativ; werden, d. h. es muss sich ZP ZP’

161)

Q 2PCl    V

¹ ZP    b

ergeben. Ebenso folgt, dass in Folge einer unendlich kleinen Verschiebung nach links

ZP

162)

ZP'

sein muss. Den Zug wird man so aufstellen, dass die schwersten Lasten in der Nähe von o und eine derselben über o steht, dann wird man ihn unendlich wenig nach rechts und nach links verschieben, damit die in o angreifende P, die wir in der Folge durch den Index m kennzeichnen, einmal zur ZP' zählt, das anderemal nicht. Im ersten Falle

muss Ungleichung 161, im anderen Ungleichung 162 erfüllt werden. Beachtet man, dass

ZPa

— Cln H- Cr

ZP

ist, so kann man die Kriterien auch schreiben:

Verschiebung nach rechts:

ft

163)

ft.

2 an — I' 2 Cr

ft»

Verschiebung nach links: ^

weiter kann man den Ausdruck für 9DU umformen in (vergl. No. II auf Seite 106)

2 an —    -f- 2 Cr

164) max 5R₀

= y j 3„ + ftan(an - $’) +    (2a„ - £')

— <5

wm •

Schliesslich werde noch hervorgehoben, dass bei negativem §' die Lastscheide E\, als ausserhalb der Stützweite gelegen, bedeutungslos ist. Zahlenbeispiel. Es sei wieder der vorhin behandelte Gitter-

träger (Fig. 99) gewählt und max 9)1 „ für x — 24m bestimmt, y = 8-24-56

hxx'

~T

40²

= 6,72m; y„ = 6,72 + 2,0 = 8,72m mithin nach No. 160

resp. 159

3-40-8,72 — 2-8-56 .

3 • 8,72 '    ‘

Wird die in Fig. 99 gezeichnete Laststellung gewählt, so ist an— 10,5m; n = 12; cx = 10,50m (laut Tabelle 2 Seite 42) ferner

= 5Px2 = 126 ;    = 50 ;    = 37.

8-8-40

3 • 8,72

= 97,86“ ;

5’ =

11,50“ .

Das Einsetzen dieser Werthe in die Ungleichungen 163 liefert:

97,86

126

50

2-10,5 — 11,50+ 2-10,5

= 3,21

126

-r£r> 3,21

37

woraus folgt, dass die angegebene Zugstellung die gefährlichste ist. Da nun 3n = Si2 = 18670,5; <§„ = @12 = 1323 ; @m = <S₅ = 163,5 wird, so erhält man nach No. 164

max 9J(„ =

nA+1 + 18670,50 + 126 • 10,5 (10,5 — 11,50) + 1323 (2 • 10,5 9 / ,8b (

— 11,50) j — 163,5 = 169,2‘“ .

5) Momente in Folge gleichförmiger mobiler Belastung und Con-structionslast. Um min 9JL zunächst ohne Rücksichtnahme auf die etwa links vom Querschnitte gelegene Belastungsscheide zu ermitteln, wird die Strecke £ belastet und Formel

— Söi₀ = l ⁹°\ %2Pb — 2Pb2 8 hl (

angewendet. Es wird in dieselbe (vergl. Fig. 96)

2Pb

= l’vdb-b = |A; 2 Pb²

=i

0

vdb-b² =

eingeführt, so dass:

_ vy₀%'Ä __

16 AZ

Dieser Werth wird — wie auf Seite 105 auseinandergesetzt — für die zwischen A und 0' (Fig. 96) gelegenen Kernpunkte 0 berechnet und als Ordinate einer Curve dargestellt. Nach Zeichnen des Spiegelbildes dieser Curve werden zwischen den Punkten 0 und 0” die Ordinaten beider Curven addirt.

165)

(min 9310)» =

(— cv gesetzt) .

Für volle Belastung ist nach No. 156

mithin erhält man

166)

A — vl ;

vP

H = ■—

VXo

total (30lo)„ — vlx₀--g

vl²

~ihy‘ = c"v

und hierauf (vergl. Seite 94)

max (5R₀)V = (c₀ H- c)v .

Das Moment in Folge der permanenten Last ist

(SKo)P = Co p

167)

und erhält man daher nach Addiren der Momente 20ft, und 30i7J die Ge-sammtmomente

168)

min 9UL = — cv -+- cap max2)c₀ — + cv 4- c₀ q

worin q — v -+- p.

6) Einfluss der Temperaturänderungen. Der nach Formel 68 zu berechnende Horizontalschub Ilt erzeugt das Moment:

(9tto)₍ = ± Htya .

Dabei entspricht einer Temperaturerhöhung ein negatives, einer Temperaturerniedrigung ein positives Moment.

169)

§ 15.

Die grössten Transversalkräfte Rt.

1)    Belastungsscheiden und Influenzlinien. Es sollen — wie beim Bogen mit 3 Gelenken (Seite 89) — die Zwischenträger berücksichtigt werden. F\ und F2 sind (Fig. 100) die Schnittpunkte der die Zwischenträger stützenden Verticalen mit der Bogenaxe; q> bedeutet den Neigungswinkel der F1F2. Macht man AG = Pcotgqp (wobei P— l¹ anzunehmen ist) und verbindet G mit B durch eine Gerade, so schneidet diese die erste Curve H in der Belastungsscheide E'. Nachdem man noch AF\ parallel BG und die Gerade Fi'Fz' gezogen hat, erhält man in der schraffirten Fläche die Influenzfläche für die Kraft Bt des Feldes FiF%. Der Multiplicator ist sinqp. Der mittlere Theil der Fläche ist positiv.

Wird bei Bestimmung von H die Wirkung der Zwischenträger vernachlässigt, d. h. die erste Curve H als Parabel und die Kämpferdrucklinie als horizontale Gerade eingeführt, so erhält man die Belastungsscheide E als Schnittpunkt der von A zu der F\ F% gezogenen Parallelen mit der Kämpferdrucklinie (Fig. 101). E wird bedeutungslos, sobald es ausserhalb der Stützweite AB liegt.

2)    Analytische Bestimmung von Rt unter Annahme concentrirter Lasten. Es soll bei Berechnung von H auf die Zwischenträger keine Rücksicht genommen werden.

Rt = -

Fall I. Der Schnittpunkt E der zu F\ F2 gezogenen Parallelen AE mit der Kämpferdrucklinie liegt links von B. Sein Abstand £ von B bestimmt sich aus (Fig. 101)

4

£ = 21--— h cotgqp.

3

Um mini?« zu ermitteln, wird das Lastensystem von B aus bis in die Nähe von E vorgeschoben und

i?« = A cos qp — H sin qp = sin qp j A cotg cp — H j

H=rPPi~w,£Pb2

170)

erhalten, woraus mit

Bt =

CM CO

Shl

sin cp |    cotg qp — 2 z) 2Pb H- 2Pb² J

3 sin qo \

"8TT sich ergiebt. Hierfür kann man (vergl. Berechnung von min SDR) schreiben:

171)

mini?« = —

3sinqp

8 hl

K(4)⁸

H- Cv

3» j

und nun mit Hilfe der Tabellen Seite 40 bis 43 schnell mini?« berechnen. Eine Vergrösserung erfährt dieser Werth durch einen Zug, welcher von A aus bis zum Querträger F\ vorrückt. Es folgt dann mit der Bezeichnungsweise in Figur 101

mini?« = — B cos qp — H sin qp = — sin qp ji?cotg qp -t- H j

~2Pa-~2Pa*

4 h    Shl

2 Pa

; h=

mini?«

— 2 Pa²

oder wenn

172)

2lA-~ cotgqp = £’ 0

gesetzt wird (vergl. II auf Seite 106) 3sinqp

173) mini?« = —

8 hl

Wenn einzelne Lasten in dem Felde F\F% liegen würden (Fig. 101a), so hätte man

min iS«

~(

2 Pa!

^ cos cp — H sin qp

2 P'a!

hätte also zu dem in Formel 173 gegebenen Ausdrucke

addiren. Als Kriterium der gefährlichsten Laststellung findet man leicht (vergl. Berechnung von maxSDR), dass in Folge

Xm

cos qp zu

8 hl

174)

Verschiebung nach rechts links

ZP <

YF >

cotg qp

r-2

2:Pa

ZP

Z Pa

sein muss, worin

X

= Cr 4- ist.

Um maxi?; zu bestimmen, wird rechts von F% ein Zug aufgestellt — in der Regel mit der ersten Last über F? — und dabei auf die negative Beitragsstrecke BF% wenn möglich keine Last gebracht. Man erhält für die Stellung Fig. 102

175)

maxi?« =

3sinqp

8 hl

Allgemeiner ergiebt sich, sobald Lasten in das Feld F\F% treten

ZP’b'

X m

und als Kriterium für die gefährlichste Stellung: es muss liefern:

176) maxi?;

3 sin qp \

8 Ih

J3„ - <§„(§ — 2 ft.) — $nbn (§ - b„)

cos cp

177)

nmcotg(p

Verschiebung nach links rechts

8 hl

^P<_

ZP> 2cr + 26„ — S'

Hervorzuheben ist, dass man ohne Bedenken die Laststellungen Fig. 101 und 102 voraussetzen, also die Formeln 173 und 175 anwenden darf; denn bei Blechbögen sind die i?₍ von untergeordneter Bedeutung, und bei den Gitterträgern ist wegen der unsicheren Bestimmung der Stabspannungen eine strenge Ermittelung der angreifenden Kräfte überflüssig.

Fall II. Es liegt E ausserhalb der Stützweite, d. h. es wird § (No. 170) negativ. Man berechne min i?; nach Formel 173 und maxi?t nach No. 175.

Beispiel. Für das 6te Feld des in Figur 103 dargestellten Bogenträgers soll maxi?₍ und min i?t berechnet werden. (Vergl. die Beispiele auf Seite 106 und 108.) Es ist 8,72 — 8,0

4,0

0,18; sin qp = 0,177; cotgqp = 5,556

§ = 80 —

• 8 • 5,556 = 20,74m (nach No. 170).

Länge der Strecke F%E ist 56 — 20,74 = 35,26m; um maxJ?₍ zu erzeugen, stellen wir auf dieselbe einen Zug vorwärtsgehender Maschinen und entnehmen aus Tabelle I (Seite 40) Ci = 33m als am nächsten an 35,26m liegend. Danach kommen 18 Lasten auf den Träger; Abstand der letzten von B ist bn = 56 — 33 = 23ra, weiter ist cr = 17,21m, ZP— 189. Da nun 8 Ib

3i:COtg<?= 3-4

8-40-8

• 5,556 = 1185

so lautet, da in Folge Verschiebung des Zuges nach links ein Rad in das Feld F1F2 tritt (No. 177),

1185

ZP 189

ZP’ 13    ' 2 • 17,21 + 2 • 23 — 20,74

Es ist also die gewählte Stellung die gefährlichste. Dem Index n— 18 entspricht laut Tabelle I (Seite 40)

3„ = 76038,75; @„ = 3253,5; $„=189,

mithin nach No. 175

3-0,177 * 8-40-8

maxi?; =

J 76038,75 — 3253,5 (20,74 - 2-23)

- 189-23 (20,74 — 23) j = 36,27*.

Um mini?; zu erzeugen, wird der Zug von A bis F\ vorgerückt. AF\ — 20m; dazu gehört (nach Tabelle I) C\ = 19,5m, so dass 11 Lasten auf die Brücke kommen. an — 20 — 19,5m = 0,5m, cr = 10,74, ZP — 1185 §' = 80 + $ • 8 • 5,556 = 139,26 (nach No. 172).

Das Kriterium No. 174 wird erfüllt, denn in Folge Verschiebung des Zuges nach rechts tritt ein Rad in Feld F1F2 und erhält man dann

1185

min i?₍

ZP _ 118

ZP’~ 13 " 139,26 — 2 • 10,74 — 2-0,5 ' Nun wird nach No. 173 3-0,177 |

8-40-8

j 118 • 0,5 (139,26 — 0,5) + 1236 (139,26 — 2 • 0,5) — 17667,00 J = — 34,74b

Die Belastung der Strecke E B erzeugt ebenfalls ein negatives i?₍. Dasselbe wird nach No. 171 berechnet. Unter Annahme der Zuganordnung Fig. 19 5 gehört nach Tabelle 2 zu = 10,37m, cr = 9,71m. Es liegen hiernach 11 Lasten auf dem Träger, die letzte hat von B den Abstand 10,37 — 9,71 = 0,66,n. Nach No. 171 wird, da für n = 11 aus Tabelle 2 $„=118; 3„ = 14967,0

folgt:

1118 (10,37² + 9,71²) — 14967,001 = — 1,90*.

mini?; = —

3-0,177 8-40-8

Es wird hiernach mini?« = — (34,74 H- 1,90) = — 36,64*, wenn man nicht anders die Belastung durch 2 getrennte Züge als unwahrscheinlich ausschliessen will. (Die Rechnung überzeugt, dass, wie bereits auf Seite 74 hervorgehoben wurde, annähernd mini?; = — maxi?; ist. Es empfiehlt sich, namentlich bei grossen Brücken, nur den einen der beiden Werthe zu berechnen. Am schnellsten findet man mini?;, da hier die Laststellungen von vornherein gegeben sind.)

3) Einfluss der gleichförmigen Verkehrslast und des Eigengewichtes

auf die Rt. Um maxi?; zu erhalten, wird die Strecke F%E (Fig. 104)

belastet und ausserdem in F% die concentrirte Last — aufgebracht. Das

Feld F1F2 sei das mte, und seien die Abscissen von F2 mit xm und xj bezeichnet; es ist dann

X m

V    / 1 o    v-o\    v“bx m

Y    (x™ ~ £) +    ₂

• x’ —

2Pb — Jvdb • b -h -q

£

X m

= ~ (x’i -13) +    .

2Pb* — %2Pb

Die Einsetzung dieser Werthe in die Formel 3 sin(jp

8 hl liefert 178) (maxRt)v = ^ j 2x'i + £» - 3^?n + 3U. (x'm - |) U.

lbnl¹    '

Ergiebt sich £ aus Formel 170 negativ, so ist in No. 178, 1 = 0 ein

zuführen.

Beim parabolischen Bogen und sehr angenähert beim flachen Kreisbogen ist (vergl. Seite 94)

(total Pt)v— 0,

(min P,\ = — (maxP₍)v.

mithin

Weiter folgt der Einfluss der permanenten Last

(Pt)p ⁼⁼ 0.

4) Aenderung der Temperatur erzeugt:

Pt = — Ht sin ij^

Das Zeichen -b gilt für Temperaturerniedrigung.

179)

§ 16.

Deformationen.

I) Einfluss einer concentrirten Last.

Bogenaxe, also

Es soll eine parabolische

hx{2 l — x)

y — p—

vorausgesetzt werden, (vergl. No. 40)

Zunächst folgt aus den Elasticitätsgleichungen

dcpx

n    2Z    1    /»

= A <fo H- £o [<jp] + £o [<}P] + ~rp T! | 501 dx 0    0    J

0

a    21

] - V [&] -

^jr, JxWl dx + 21 A cpi ,

0

2Z

|(2Z — a;) 2Eft da; .

0

— So [£2]

0

2 ZJgn₀ = «o [$2 — 2 Zqp] + £₀' [£2 — 21 cp]

man

EJ’

o    22    2    /.

21A cpo — — £0 [^2] — s₀' [$2] ßj, — Jx’ffldx ,

0

worin s₀ und £₀' die in No. 38 angegebenen Werthe (9DU = 0) sind, und wegen A =

22

22

22

22

Jx'tyJldx = A Jx'x dx— H jx'ydx—P j(x—a)x’dx

0    0    0    a

Pab(2l-hb) 4Hhl*

wird. Nach Einsetzen der auf Seite 22 berechneten Werthe S2 folgt

Pab(2M) 4 Hhl\

1 l 4 «TA r Pabh 2IEJ’ \F(P+h²)

1-/7 (Z²—A²)Jd-

11 4J'A [Pabh Tr.l0 ,„.1

₁₈1) //9l = + __j    l__₊i3-(; -h ) 1 +

180) Acfi₀

Pab(2l+a) 4//AZ²)

3 i '

Für eine Last P rechts vom Querschnitt (xy) wird

So (£2) — fx 0 J 0

X

A cp = A cpo + £0 (<jp) + J

0

’ SDR da;

/dy = xA cp —

SDR dx

EJ’

SDR da;

EJ’

Ay

= xA cpo 4- x J

0

EJ’

■/*

0

SDR da; 2Aa;(Z—®) ÜV7 + E° j»

xdx — H

f vdx

0

Ax²

-H~-

h ( ₂    a;³\

r«

*) Aus No. 180 und 181 folgt:

1 ^    8.7’ h r Pabh

~ 27(A(/² + A²)L i~~

Wenn man rechts das Glied mit J’, als von geringem Einfluss, streicht (d. h. 3 Pa h

— einführt, so folgt J<p\ — J(po~0. Auf Seite 33

+- 77(/² — A²) + Pa b l

877/2/²

eo — 0 setzt) und 77

8 Ih

wurde der Werth 77

3 Pa b

8/A

ebenfalls aus der Bedingung J<pt — J<fo = 0 gefolgert

#9)1 dx

r . Ax³ Hh \2x³ x⁴ j

j.r»dI= T--f|T-r,|

0

A y — x A f/)₀ +

12 EJ’

2A —

h A-U-X

2 hx(l — x)

z²

2A rp& ff

2^(Z² + A²)L 2 ⁺ 2A

Für # Z erhält man die VerticalVerschiebung des Scheitels in Folge einer rechts von demselben gelegenen Last Pabli

_ 4 EFip + TP)

worin A —

||

SPab

8 AZ

; *o =

(P

182) z/A =

•IW

Pb

96 EJ'

6Z² + 8 A² — 15 AZ

und wenn man

2 Ä²

P+T»

2

oder angenähert = — setzt,

3 Z²

cn ; co

A⁴

Z4 + ' ‘ J

183)

Ah = —

SPab Pb

[GZ² + 8A² — 15AZ] .

4 EFl 96EJ'

Der Abstand Ai, in welchem P von B angreifen muss, um Ali = 0 zu erzeugen, ist

184)

Ai =

15

16

-S-V”

16²

Z² H- — m² H- — — ⁺ 16    4 Z²

-VJ-

Für A <C Ai wird z/A positiv, für A > Ai wird es

negativ, also eine Senkung. Numerische Rechnungen überzeugen, dass Ai sehr wenig von u abhängt und u — 0, also Ai = 0,57 Z gesetzt werden darf. Für dieses Verfahren spricht noch der Umstand, dass in der Nähe der Belastungsscheiden der Einfluss von P ein nur sehr geringer ist.

Die Horizontal Verschiebung Ax in Folge einer rechts von (xy) gelegenen Last ist (vergl. No. 44)

worin u

9)1 eZ#

= — yAy + eü(Si)+jy

o

Aqi = A cpo -h £q (qp) + J ⁰ 0

= — o + «o j (Äi) — y (qp) ] — y j

0

Ax

Ax

' 9)1 cZ#

EP

EJ]

r 2)1 dx

EJ'

dx

EJ' '

Speciell für x — l ergiebt sich die Horizontalverschiebung des Scheitels

Al

— — A A qp₀ + £o l — A J 0

9)1 dx

EJ'

fy

0

9yidx

EJ'

Wegen 9Jc = Ax — Hy folgt

185) Al =

5AAZ²    8H

fmydx= ₁₂

0

C.'<

h²l

rpb

EF(l² 4- h²) L 2

2hl

'2 h²

A- H(l² — h²) A

EFl(l²A-h²) _ Pabh(2l A- b) Plhb 8 Hh²l 24 EP 15 ‘ EP ‘

121 EP

Die Einführung von H aus No. 50 liefert für Al einen Ausdruck, der für b = l nicht Null wird, und hat dieses Resultat darin seinen Grund, dass No. 50 nicht aus der zweiten der Elasticitätsgleichungen No. 40 erhalten worden ist. Setzt man H aus No. 46 in No. 185, so wird sich auch für jede, in Bezug auf den Scheitel symmetrische, Belastung Al — 0 ergeben. Doch verfährt man genügend genau, wenn man in No. 185 die Glieder mit F fortlässt und H aus No. 48 berechnet. Es wird dann:

186)

Al =

Pbh(2b²l — b³ — Z³)

24 PEJ

Ein negatives Resultat bedeutet eine Verschiebung des Scheitels nach A hin. Die grösste Verschiebung ergiebt sich bei Belastung der einen Bogenhälfte.

2) Maximalverschiebungen des Scheitels. Soll der grösste positive Werth Ah für eine gl ei chförmige Verkehrslast gefunden werden, so setze man in No. 183, vdb an Stelle von P, integrire den Ausdruck von 5 = 0 bis bi — 0,571 und multiplicire das Resultat mit 2. Man erhält dann, entsprechend der Belastung der beiden positiven Beitragsstrecken (Fig. 105)

xn&x(Ah)v = — 0,3948

vl²

EF

+ 0,0054

EP '

Integrirt man von b — 0 bis b — Z, so erhält man nach Multipliciren mit 2, entsprechend derselben Belastung,

total (Ah)v = —

vP

mithin

EF ’

min(z/ h)v — total (A K)v — max (Ah)v

= — 0,6052

vl²

v Z⁴

EF

und mit Rücksichtnahme auf die permanente Belastung

max Ah — max ( A h)v

E t

p l²

EF

min A h = min (A h)v —

vl³h

¹

Specifisches Gewicht des Schmiedeeisens.

²

Belastungsscheiden. Zieht man (Fig. 90) von A durch den Kernpunkt (resp. Momentenpunkt o) eine Gerade, welche die Kämpferdrucklinie in E schneidet, so entspricht einer durch E gehenden Last P das Moment 50Ro = 0, weil am linken Fragment nur ein durch o gehender Kämpferdruck angreift (vergl. Seite 81). Analog folgt, dass die Verticale durch den Schnittpunkt Ei der Bo mit der AB' eine Belastungsscheide Die Strecken AEi und B'E sind die negativen Beitragsstrecken; E\E ist positive Beitragsstrecke.

In derselben Weise findet man die Belastungsscheiden bezüglich 9J1« (Fig. 91). Für viele der Punkte o und u ergiebt sich nur eine Belastungsscheide.

Die grösste Horizontalverschiebung des Scheitels wird unter Voraussetzung der Belastung der einen Bogenhälfte

max dl —

188)

max dh — —

vlA

187)

min d h — —

(0,3948 v + p) + 0,0054

72    « /4

(0,6052 « + p) - 0,0054

EF

EJ'

120 EJ’

erhalten; sie ist unabhängig von der permanenten Last.

Einfluss der Temperaturänderungen. Einer Temperaturerhöhung um t entspricht für den Scheitel d cp — 0 und d l — 0, mithin nach No. 66

' xtyfldx

— — (£o + ««0 (£2) — (

0 J

0

l

Nach Einsetzen von: ($2) = — 2h;    931 = — Hty

Ht P — A2 EF P + fr

und nach Ausführung der Integration folgt

„ Ht P~h2 E F P + A³

189)

dh

EJ

dh — 2etth —

A JL hP

12 EJ' ■

In diese Formel ist Ht aus No. 68 zu setzen.

§ 17-

Vorläufige Berechnung des Querschnittes. Abschätzung des Eigengewichtes.

I) Blechbogenträger. Die vorläufige Berechnung des Querschnittes

der Kopfplatten soll in derselben Weise durchgeführt werden, wie dies auf Seite 98 beim Bogenträger mit 3 Gelenken geschehen ist. Für den Funkt xy der Bogenaxe wird das grösste Moment — mit Rücksichtnahme auf Temperaturänderungen —

vy

⁼ Whl+H‘y'

worin § = 2 —

2 hx

hx(2l— x)

‘6y

zu setzen ist. Man findet

vx(A:l— 3«)3 54(2/ — x)²

Das erste Glied wird in der Nähe von x—^l ein Maximum, das zweite für x — /. Wir setzen, da es sich nur um eine Abschätzung des Querschnittes handelt, x — %1 und y = h und erhalten 931, = 0,064 vP + Hth.

931, =

+ Hty.

Die Axialkraft setzen wir p v

Rn

4-Ht.

Hierin ist nach No. 70 Ht =

15 BtEFt

wofür

oe( £

ftEFt vü

IP P

(J2 p +h2

Ht =

gesetzt werden möge. Dabei bedeutet q = y -p, den Trägheitsradius des

IP

./

Querschnittes. Bei der Höhe K des Querschnittes folgt

W _ 2 J _ 2 g²

# ~ Ä’ ’

mithin p² = oder angenähert £)² =    ^, so dass

u    h

15

Ht — ctFe, worin ct — —

h'e

16

hP '

Für Moment und Axialkraft ergiebt sich

= 0,064 vl²    ct e (/, 4- 2/) h

= (p 4- ») |^ ]/ 1 4- (^) +    + ²/)

und nach Einsetzen dieser Werthe in Formel 86

190)/:

Z² i/ /2A\²

0,064« Z² 4-eQv 4qps4-«) — |/ 1 4- f-yj 4- ctfahe-h ctfse²

2J,k

hi

khi —

m

\ l)

— 2 hct e — 2 e² ct

Die permanente Belastung findet man jetzt

P = Pf + P° 4-

7/ba .

2) Gitterträger. Beim Bogen mit 3 Gelenken Hessen sich die Anstrengungen in den Gitterstäben berechnen, ohne dass es nöthig wurde, die Gurtquerschnitte vorerst abzuschätzen; in Folge dessen war es auch möglich das Gewicht ps der Gitterstäbe vorweg festzustellen. Fehlt aber das Scheitelgelenk, so wird ß, von Ht und somit auch von / abhängig, mithin wird ps eine Function von / werden. Durch numerische Rechnungen überzeugt man sich aber leicht, dass ps den Querschnitt / sehr wenig beeinflusst und ohne Bedenken ps — 0 gesetzt werden darf; es

hi

ergiebt sich dann für den Gitterträger, da hier c= - ist,

u

*) hi = Stehblechhöhe.

**) Die Bezeichnungen sind auf Seite 99 und 100 angegeben.

191)/ =

0,064 v l² -4- -- (pf + v)

£i

I² i/,    /2/A

ü r¹ + (t)

Mi —

— hcth\

a:C(

worauf man p etwas grösser als

192)

P=P/A-

7/&a

annehmen, während man

193)

Ht = ct -~F

setzen wird. Es sei noch besonders daraufhingewiesen, dass das Gewicht ps auf die Dimensionen des Bogenträgers fast ohne Einfluss bleibt, sobald die Axe eine Parabel ist oder wenig von dieser ab weicht.

Abschnitt Y.

Specielle Behandlung des Bogens ohne Gelenke.

§ 18.

Die grössten Momente S9L und 5DL.

I) Aeussere Kräfte; Kämpferdrucklinie. Einer concentrirten Last P in den Abständen a und h von A und B entspricht (vergl. S. 48) bei parabolischer Axe und bei flachem Kreisbogen:

_ Pb²(l + a) _ Pb² (31 — b)

4P

4P

194)

11 =

15Pa²b²    15 Pb²

32 Ph _ 32 Ph P ab² (5a — 41)_ Pb²

(4l² — 4lb H- b²)

16

16P

(12Z² — 16/5 + ob²).

Es mögen diese Werthe unter der Last P als Ordinaten von Curven dargestellt werden, welche beziehungsweise die „ersten Curven A, H, 9JG“ genannt werden sollen (Fig. 106);¹) dieselben gestatten, wenn P= 1 angenommen wird, die einem Lastensysteme in beliebiger Stellung entsprechenden A, H, 9JG durch Summiren zu ermitteln. (Vergl. Seite 36 und 37.)

Die Werthe B und vRb für das rechtsseitige Auflager ergeben sich, wenn in den Ausdrücken für A und 9JG die Abstände a und b mit ein

Pba?(bb — ll)

ander vertauscht werden, so dass man erhält: Pa² (31 — a)

16 P

Eine gleichförmig vertheilte mobile Belastung (v pro Längeneinheit), die von B aus die Strecke § bedeckt, erzeugt

195)

vg³(4 Z— 5)

16 P

Ebenso findet man für diese Belastung

ttg³(20/²— 15Z| + 3£²)

196)

II =

197)

32 Pli

»sa(2 i-zy

lßP

Die aus No. 195, 196, 197 berechneten Werthe werden unter dem Kopf des Zuges als Ordinaten aufgetragen (Fig. 107), deren Endpunkte die „zweiten Curven A, H, 5JG“ bilden.

Für volle Belastung, d. i. £ = 21 folgen

198)

A = vl ;

IsSI <5

also dieselben Werthe, wie für den Bogen mit Kämpfergelenken.

Die einer concentrirten Last P entsprechenden Kämpferdrücke K und K\ (Fig. 108) mögen in den Schnittpunkten i und i\ mit den Verticalen durch die Schwerpunkte rn und m\ der Kämpferquerschnitte in A und II resp. in B und H zerlegt werden. Sind dann z und Z\ die Abstände der Punkte i resp. i\ von m resp. wii, so folgt aus

und Hl = m»

2h 55— 41 Zl ~ 15 ~~b    •

199)

2h 5a —41

15

Wird z resp. Z\ negativ, so liegt i resp. q unterhalb der Geraden m mj. Die Ordinate des Schnittpunktes C der drei Kräfte P, K und K\ ergiebt sich aus

200)

Hiernach ist die Kämpferdrucklinie eine horizontale Gerade.

2) Kämpferdruckumhüllungslinie. Nach Bestimmung des Schnittpunktes der Last P mit der Kämpferdrucklinie kann man die Richtungen der Kämpferdrücke K und K\ durch Berechnung von z und Z\ bestimmen,

oder aber man ermittelt die Gestalt derjenigen Curve, welche von den Kämpferdrücken umhüllt wird (Fig. 109). Einen Punkt s dieser Curve man als den Schnittpunkt zweier unendlich nahe aufeinanderfolgenden Kämpferdrücke definiren und erhält, wenn u und w die Coordinaten bedeuten,

u — * 4- w tg a ;

(Fig. 110) kann

u ==l z -f- dz + w (tg (i -f- d tg «) dz

— d tg«

da ⁼ 137* •*(vergl-No- ¹⁹⁹⁾

IV —

tg « =

Ol I

a²

d (tg <*)

da

15 a²

, mithin

201)

2 h 10a/+ 5a² — 4/³

a (2 / a)

Eliminirt man aus diesen Gleichungen a, so folgt

21 H- a

202)

Völw

Hiernach ist die Kämpferdruckumhüllungslinie eine Hyperbel. Sie

wird, da für a — 21 sich w = ergiebt, nur bis züm = -„ gebraucht.

Die Umhüllungslinie der Drücke K\ ist das Spiegelbild der Umhüllungslinie der K.

3) Influenzlinien. Liegt rechts vom fraglichen Querschnitte eine LastP, so folgt für die oberen Kernpunkte o

203)    50H„ = Ax₀ — Hya + SOG = yn j — — H +

' yu

yo

während einer Last links von dem Querschnitte

SER* l

[BxJ

l)o -

' yo

entspricht. Werden die in Klammer stehenden Werthe unter der Last P von der AB aus als Ordinaten aufgetragen, so gelangt man zu der Influenzlinie. Der Multiplicator derselben ist ya. In den Fig. 111 bis 113 ist die Influenzlinie für den in der 3ten Yerticalen gelegenen Punkt o eines Trägers mit 10 Feldern dargestellt. Die Feldweiten sind gleich gedacht.

9

Man berechne mit Hülfe der Gleichungen 194 der Reihe nach für b — —2/,

— 2/ — 21 1010 ’

204)

10

21 die Werthe:

yo

A‘i.....A<j

Hz , .... H* (ÜJG)i, (SJG)i, (3DU3 . • • (S0G)₉

Ai, A‘2, Hi, H2,

unter Annahme von P= 1². Dieselben entsprechen den über den Ver-ticalen angenommenen Lasten P. Weiter werden

Bg — A$.....

(3»^ = (SNA, (®Ma = (9Wj)₈ • • •

ermittelt und nun auf den Verticalen cd (Fig. 112) resp. rs (Fig. 113) die Strecken

cdi — Ai; cdg —

rs 1 = n

<M

^ I!

; rs2 n

mA

aufgetragen. Neben den Theilpunkten s ist in der Figur das Vorzeichen des Momentes angegeben. Das Moment (9)L()₄ ist gleich Null. Auf den

in gleicher Weise auf-

Verticalen c'd' und r’ s' sind die B und n

sind Horizontalen gezogen, auf

getragen. (n ist eine beliebige Zahl.) Durch die Punkte dj, cfe, d$ . . .

denen

dg e<j — Hg; d₈ c₈ = Hs

gemacht ist; während ebenso

d$ eg’ — Hg ; d% es’ — H$

aufgetragen wird.

Soll nun nach Erledigung dieser Vorarbeiten die Influenzlinie für (9QL)3 construirt werden, so verbindet man 03 mit A und B. macht CD — —L

n

resp. /₉', fs

und folgt:

zieht ogD und hierauf C/H03A, c'f’ |j 03 J5, rn || 03Z) und fn’\\osD. Die cf und cf' schneiden die Florizontalen durch die Punkte d resp. d' in den Punkten /₉, f₈

dgfg = Ag ;. dsfg = As 77

Vo

yo

y«

69/9 — ^9 Bfg ; esfs = Ag — Hs • • • •

y°

weiter wird Fig. 113

-    +(^)9 l

Sgrg =

i

so dass man für die rechts vom Punkte (03) über den Verticalen 9 bis 3 angreifenden Lasten P die Influenzlinienordinaten (nach Formel 203)²) m — egfg H- Sgrg; t]s — esfs + s₈r₈; rj₁ = e₇/₇ + s₇r7 ?/6 = er,/e + «er₆; j/₅ = e₅/₅ H- s₅ r₅; rß = e₄/₄ ³) erhält. Den Lasten links von (03) entspricht (nach Formel 204)

yo

s₈ r₈ =

+ (ü»„)₈ l

yo

min (931₀X — Ax₀ — Hya -4- 93G

4) Ermittelung der Momente in Folge einer gleichförmigen Verkehrslast. Einfluss der Constructionslast. Nachdem die Kämpferdrucklinie, die Kämpferdruckumhüllungslinie (No. 202) und mit Hülfe von No. 195 bis 197 die „zweiten Curven A, H, 911,1“ gezeichnet sind (Fig. 114), ziehe man, um 931 „ zu bestimmen, durch den Punkt 0 zwei Tangenten an die Kämpferdruckumhüllungslinie, um in deren Schnittpunkten E und E\ (von denen wieder der eine ausserhalb der Stützweite AB liegen kann) die Belastungsscheiden zu erhalten. Die unter E gemessenen Ordinaten A, H und 93G entsprechen der Belastung der negativen Beitragsstrecke BE, so dass

X₀

rß = 63/3’ + S3V3' — /?3---H‘i -+-

yo

Xo

rt2 —    + S2V2’ — B2--II-2 +

(931*)₂ l

y»

yo

yo

yi = eifi + sin’.

Die Influenzlinie besteht aus geraden Linien.

Die vorstehende Methode empfiehlt sich stets, wenn die Beanspruchung durch ein System concentrirter Lasten vorliegt. Man vergleiche S. 82-Die Bestimmung der Momente 9J1„ ist analog.

gewonnen wird. Der hierzu zu addirende Einfluss einer etwa links von 0 liegenden negativen Beitragsstrecke AE\ wird wieder durch Untersuchung des Spiegelbildes gewonnen. Man vergleiche das auf Seite 105 beim Bogen mit 2 Gelenken auseinandergesetzte Verfahren. Ebenso wird man, wie bei diesem Systeme auf Seite 109 geschehen, die Momente max (931 <,)„ aus denen für volle Belastung und den Momenten min (9Jl₀)t, berechnen. Bei voller Belastung des Bogens ohne Gelenke gilt Formel 160, denn die Werthe A, H und 91G,sind (nach No. 198) dieselben, wie für den Bogen mit 2 Gelenken. Ebenso sind auch die Momente für die permanente Belastung dieselben, wie bei Vorhandensein von Kämpfergelenken. Allerdings ist hierbei parabolische Bogenaxe vorausgesetzt. Für Kreisbögen sind alle hier vorgetragenen Rechnungen nur Annäherungen. 5) Einfluss der Temperaturänderung. Der nach Formel 73 zu

berechnende Horizontalschub Ht greift sehr angenähert in der Höhe

über dem Schwerpunkte des Kämpferquerschnittes an, so dass in Folge einer Temperaturänderung

205)

9)1₀

; 931« = — Ht

(-?)

entsteht. Dabei ist Ht positiv oder negativ, je nachdem Temperaturerhöhung oder Temperaturerniedrigung stattfindet.

während einer links von F\ gelegenen Last Et = sin qp j A cotg qp

§ 19-

Die grössten Transversalkräfte.

I) Influenzlinien. Die Transversalkraft für einen zwischen zwei Yerticalen F± und F2 geführten Schnitt ist, wenn rechts von F2 eine Last P angreift, und qp den Neigungswinkel der Geraden F1F2 bedeutet,

Et = A cos qp — H sin qp = sin qp j A cotg qp — H j ,

P cotg qp |

— II —

entspricht. Handelt es sich um ein System concentrirter Lasten, so empfiehlt sich die Construction der Influenzlinie. Dieselbe ist für das 4tc Feld eines Trägers mit 10 Feldern in Fig. 115 dargestellt. Auf der Yerticalen cd (Fig. 116) sind die Werthe A\, A2, A3 ..., ferner auf den Horizontalen durch d\, d%, di .. . die Werthe H1, H%, II3 . .. aufgetragen (vergl. die Construction der Influenzlinie für 9DR„ auf Seite 122); dann ist cf und dof' parallel zu F\ F2 gezogen. Die Ordinaten der Influenzlinie sind jetzt, entsprechend den Yerticalen rechts von F%:

Vs = 69/9 = A$ cotg qp — Hg Vs = e₈fs; e₇ = e-ifi . . . ferner für die Verticalen links von F\\

Vs = 63/3' = A3 cotg qp — H3 — P cotg qp V2 = 62/2’; Vt — el/l'.

Der Multiplicator der Influenzlinie ist sin qp.

2) Ermittelung der Rt für gleichförmige Verkehrslast. Einfluss der Constructionsiast. Man zeichne die „zweiten Curven A und H“, die Kämpferdrucklinie und die Kämpferdruckumhüllungslinie und con-struire parallel der F\F% an die Umhüllungslinie eine Tangente, welche die Kämpferdrucklinie in der Belastungsscheide E schneidet. Eine zweite Belastungsscheide liegt zwischen F\ und F2, und kann man ihre Lage schnell durch Construction der den Yerticalen F± und F2 entsprechenden rnfluenzlinienordinaten bestimmen. Genügend genau verfährt man aber, wenn man, um max Et zu erhalten, den Träger zwischen E und der Mitte des Feldes F1F2 belastet (Fig. 117) und auf die Uebertragung der Last durch Zwischenträger keine Rücksicht nimmt. Man misst dann unter den Lastenden A\ und A2, ferner H\ und H2 und findet

206)

max (Et)v = (Ai — A2) cos qp — (Hi — Hf) sinqp.

Für volle Belastung gelten die Formeln 138 auf Seite 93, da A — 0

vP

und II =

wird; ebenso findet man min(i2«)„ wie auf Seite 94 ange-2 n

geben. Bei parabolischer Axe oder flachem Kreisbogen ist wieder

total Et = 0,

ebenso

(Et)P = 0,

so dass man hier aus Formel 206 die gesammte positive Transversalkraft erhält, während

mini?« = — maxi?«

sich ergiebt.

207)

3) In Folge einer Temperaturänderung entsteht Rt — + Ht sinqp

und zwar entspricht einer Erhöhung beziehungsweise einer Erniedrigung der Temperatur eine negative resp. positive Transversalkraft.

§20.

Deformationen.

Wir beschränken uns darauf, die Verschiebung A h des Scheitels festzustellen. Aus No. 44 folgt für eine auf der rechten Bogenhälfte liegende Last und für x = l:

9D< dx

A cp = e₀ [cp] -h f ⁰ oJ

i r i _i_ ; C^dx

= 'fo w + y xr

Bei Wahl des Näherungswertes aus 43 wird

Ef ’

Ah

«o [8] - fx

° 0r

SOI

~eT'

[*] = l [<P] 0 0

so dass Ah annähernd unabhängig von s₀ ist. Wird

SOfX = Ax — Hy A- mA

eingeführt und hierbei A, II und $DD aus No. 194 berechnet, so ergiebt sich nach Ausführung der Integrationen

Pb²

208)

Ah =

ZMEJ’l

[12 Z² — 28 5Z + 15 b²].

Dieser Werth wird Null für b — —, positiv für b < — und negativ

o    o

für b>~.

6

Ersetzt man P durch vdb (v = Verkehrslast pro Längeneinheit) und

21

integrirt den Werth Ah von 0 bis — , so erhält man, nach Multipliciren

3

mit 2:

max (Ah)v =

972 ET '

Für die volle Belastung ergiebt sich Ah — 0, ein Resultat, das von Einführung des Näherungswertes von (8)2 herrührt, immerhin aber beweist, dass bei Berechnung von Ah der Einfluss des Eigengewichtes vernachlässigt, also

126

209)

max d A —

912EJ’

— — min A h

gesetzt werden darf.

Hierzu ist noch der einer Temperaturänderung entsprechende Werth

zu addiren. Da — hei unbelastet vorausgesetztem Bogen — im Scheitel A cp — 0 ist, folgt (aus No. 66) für x — l

'xtyldx EJ’ ’

= — (fio ■+* ftt) [$] — / o J

O

[ÄD = — 2Ä; W = Ht90L = #~₃

z1h

H,

EF(P + A²)

(P — A²) + SOL

Ht (3 P -+- A²) 3EF(P-hh²)

und wenn, genügend genau, £₀ = der Integrationen:

— Ht

EF

gesetzt wird, nach Ausführung

210)

Ah = 2 £tth---

2II t h HthP EF ⁺ 12 EJ

Ht ist aus No. 73 zu berechnen.

§21.

Vorläufige Berechnung des Querschnittes; Abschätzung des Eigengewichtes.

I) Blechbogenträger. Das in Formel 8ß einzuführende Moment SOI;, wird am grössten für x = 0. Nun folgt aus No. 194, dass alle Lasten P

<41

in Abständen a

negative resp. positive Momente SOL erzeugen, dass

also durch Einführung von £ = - l in No.197

max SOL = 0,069 vP

erhalten wird. Für volle Belastung ist SOL =0, wesshalb min SOL = — max SOL

sich ergiebt. In Gleichung 86 ist daher mit Rücksichtnahme auf Temperaturänderungen zu setzen

211)

SOI;, = 0,069 vP + Ht ~ ■

o

Dann wird nach No. 73 angenähert:

45fi tEFtJ 45etEFtQ2 4 FA²

H, =

4 A²

kh\ — e

c, e - 2 e² c,

2) Für den Gitterträger erhält man (vergl. Seite 119) wegen e =

213) / =

und wegen p² =

hi e

(vergl. Seite 118) und F — fa -f- 2/ Ht = c₍(/, + 2/)e

worin

4;>

Ct =

- St E t

Ai

h? '

Jetzt folgt analog wie auf Seite 118 für den Bogen mit 2 Kämpfergelenken ohne Scheitelgelenk

212) /=

/2    /    /9 7,\2    97,

0,069ü/²H-e(p/+27s-l-w)    ]/1 + (jyJ + c</>-g e+<k/»e²- ^

*)

Kct

.2

Auf das Gewicht px der Gitterstäbe wird man bei der statischen Berechnung keine Rücksicht nehmen, und etwas grösser als

P = P/+-rf

einführen.

Abschnitt VI.

Die Horizontal - Verstrebung.

§ 22.

Annahmen bezüglich der Belastung und der Zulässigkeit der Inanspruchnahme.

Mit dem Namen Horizontalverstrebung hat man die Gesammt-heit derjenigen Constructionen belegt, welche zur Aufnahme der auf eine Brücke wirkenden Horizontalkräfte dienen. Es sind dies in erster Linie der Winddruck, ferner die Seitendrücke der Fahrzeuge und bei in Curven liegenden Brücken die Centrifugalkraft. Die Bestimmung dieser Kräfte ist in noch höherem Grade unsicher als die der verticalen Belastungen und sind daher die folgenden Untersuchungen nur

*) Die Bezeichnungen sind auf Seite 99 und 100 zusammengestellt.

als Annäherungen aufzufassen. Dieselben basiren auf dem in neuerer Zeit immer mehr in den Vordergrund gestellten Princip: bezüglich der nicht scharf zu ermittelnden angreifenden Kräfte die denkbar ungünstigsten Annahmen zu machen, hingegen durch Zulassung einer grösseren Inanspruchnahme einer Verschwendung des Materiales und somit einer Vergrösserung der Con-structionslast vor zu beugen. Die Befolgung dieses Princips sichert Dimensionen, welche selbst in abnormen Fällen die Nichterreichung der Elasticitätsgrenz e gewährleisten.

I) Der Winddruck.

Trifft ein Luftstrom mit der Geschwindigkeit v (Meter pro Secunde) auf eine ruhende Fläche F (□“) so übt er auf dieselbe den Druck

P= 0,12248 Pu² cos²«

aus.

Dabei ist a der Winkel, den v mit der Normalen zu F bildet. Für « = o ergiebt sich

P = wF

max

worin

w — 0,12248 «²klgr pro der Winddruck auf die Flächeneinheit.

Den stärksten Orkanen entspricht in Mitteleuropa v — 50m, mithin w = 300k pro während der Betrieb auf einer Bahnstrecke bei w= 150 als unmöglich anzusehen ist, da bereits bei w — 100 unbeladene gedeckte Güterwagen von circa 3,8m Höhe umgeworfen werden. Man darf daher behaupten, dass die Einführung von

w = 300 für die unbelastete Brücke

w = 150 „    „

und

belastete „

zu abnormen Anstrengungen der Horizontalverstrebung führt. Die letztere Annahme entspricht der Voraussetzung, dass der Eisenbahntrain auf der Brücke durch einen starken Sturm überrascht wird.

Die zulässige Inanspruchnahme soll — im Anschluss an das Eingangs erwähnte Princip — für Stäbe, welche nur auf Zug oder nur auf Druck beansprucht sind, auf k — 1000k pro U⁰"¹ und für wechselweise auf Zug und Druck (und zwar mit gleicher Intensität nach beiden Richtungen hin) angestrengte auf k = 750 festgesetzt werden und ist bei Würdigung dieser Daten nicht nur an die abnorme Windbelastung, sondern auch daran zu denken, dass die Anstrengung der Windverstrebung durch einen Winddruck von w = 150 sehr selten ist, mithin schon desshalb nach dem Wöhler’schen Gesetze, welches k von der Zahl der Wiederholungen der Inanspruchnahme abhängig macht, grössere Spannungen statthaft sind.

Die Belastung durch den Winddruck sehen wir in der Folge mit hinreichender Genauigkeit als gleichförmig über die Stützweite 2/resp. einen Theil derselben vertheilt an und bezeichnen mit

wb

216)

für Gitterbogenbrücken.

Wp die permanente Windlast wv die variable (mobile) Windlast

pro Meter der Stützweite. Indem wir dann unter Fb die dem Winde Seitens der Brücke dargebotene Fläche und unter h! die Höhe des die Brücke bedeckenden Wagenzuges verstehen, erhalten wir

wv — wh! .

214)

Fb

Wp==w 21 ’

Es ist hierbei auf die Oefifnungen unter und zwischen den Wagenkästen nicht geachtet.

Schliesslich bezeichnen wir noch mit wb denjenigen Theil von wp, der auf den Tragbogen selbst wirkt und empfehlen mit Rücksicht auf die Schwierigkeit der exacten Bestimmung von Fb die Werthe:

wb

215)

= whx (lH---y₂)

Wp =

jwh

für Blechbogenbrücken

= 0,5 whi ^1 -F -g- ^

wp — 2 Wb

Die Höhe des Wagenzuges beträgt etwa

h' — 3,8m bei Eisenbahnbrücken, h' = 3,0m bei Strassenbrücken.

In den Formeln 215 u. 216 bedeutet hx bei Blechbögen und Gitterbögen beziehungsweise die Höhe des Stehbleches oder den Abstand der Gurtschwerpunkte und h den Pfeil der Bogenaxe.

2) Seitendrücke der Fahrzeuge. Noch weit schwieriger als die Bestimmung der Winddrücke ist die Angabe der von den Fahrzeugen ausgeübten horizontalen Seitendrücke, welche in der Unregelmässigkeit der Bewegung ihren Grund haben, und namentlich bei den Lokomotiven ganz beträchtlich werden können. So sollen nach Wöhler (Erbkam 1858) die Seitendrücke der Lokomotivräder bis zu ²/3 der Axenbelastung beobachtet worden sein. Die meisten Constructeure lassen bei Berechnung der Horizontal Versteifung diese Kräfte ganz unberücksichtigt, einestheils, weil selbst eine annähernde Bestimmung derselben zur Zeit nicht möglich ist, andererseits, weil sie sich in ihrer Wirkung auf den Brückenträger theilweise auf heben. Es erscheint uns aber rationeller, dem Vorgehen Winkler’s zu folgen und an jeder Axe der Lokomotive einen Seitendruck gleich Vio der Axenbelastung anzunehmen. Befinden sich mehrere Lokomotiven auf der Brücke, so setzen wir nur an den Axen der einen Horizontalkräfte voraus.⁴)

§ 23.

¹

Die negativen 9JL sind nach oben aufgetragen.

²

Die nachstehenden Additionen sind mit Rücksichtnahme auf die Vorzeichen durchzuführen.

³

Hier ist Ma = 0.

⁴

Bei Strassenbrücken halten wir die Berücksichtigung der Seitendrücke der Fahrzeuge für überflüssig.

Theorie der Horizontalverstrebung.

Der Hauptbestandtheil der Windverstrebung ist ein „horizontaler Fachwerkträger“ — Windträger genannt — der zweckmässig unmittelbar unter die Fahrbahn, also in möglichste Nähe der Angriffspunkte der auf den Wagenzug wirkenden Winddrücke gelegt, häufig aber auch in der Weise gebildet wird, dass die Tragbögen durch ein Stabsystem mit einander verbunden werden. Die nicht auf den Windträger wirkenden Horizontalkräfte werden demselben durch „Verticalversteifungen“ übermittelt unter gleichzeitiger Erzeugung verticaler Belastungen für die Haupttragbögen. Die folgenden Untersuchungen sollen sich daher nicht allein mit Ermittelung der Inanspruchnahme der Horizontalverstrebung befassen, sondern auch die Spannungen nachweisen, die in den Trag-bögen durch die Horizontalkräfte hervorgerufen werden.

Je nach der Lage des Windträgers lassen sich die folgenden Anordnungen unterscheiden.

Anordnung I. (Fig. 118.)

Der Windträger A' A” B"B' liegt unmittelbar unter der Fahrbahn. Die Verticalen CE und C'E', welche die Belastung der Fahrbahn den Tragbögen übermitteln, sind durch ein Stabsystem verbunden, welches den Namen „Verticalversteifung“ führt.

Indem wir die Knotenpunkte des Windträgers mit 0, 1, 2, . . m resp. mit 0’, 1’, 2’ . . . in' bezeichnen, nennen wir:

Om und Um die Spannkräfte in den Gurten des Windträgers,

Dm die Spannkraft in der Diagonale des Windträgers,

DJ „

„    „ Normalen CC\

„    „    „ EE\

der Verticalversteifung,

Nm „

N '

AVm fl

Vm und VJ die Spannkräfte in den Verticalen,

D ’

Asm 5

X die Feldweite des Windträgers, dm die Länge der Diagonale Dm, dm „

„ Normalen, „ Verticalen.

3) Centrifligalkraft. Liegt eine Eisenbahnbrücke in einer Curve vom Radius r, so ist an jeder durch P belasteten Axe eine Horizontalkraft

Pc²

217)

Px

gr

anzunehmen, wobei c die Geschwindigkeit des Zuges und g die Beschleunigung der Schwerkraft bedeutet.

hm „

Es wird angenommen, dass sämmtliche auf den Windträger wirkenden Horizontalkräfte in den Knotenpunkten angreifen; sie bestehen aus den Winddrücken wv und wp — Wi, pro Längeneinheit¹) und den Seitendrücken der Fahrzeuge und werden theils in den Punkten C, theils in den C’ angreifen. Es sei jedoch der Einfachheit wegen — vorbehaltlich späterer Motivirung — vorausgesetzt, dass nur die Punkte C Angriffspunkte der Kräfte sind.

I) Die Verticalversteifung. Durch den auf den Tragbogen AB wirkenden Winddruck wird dieser in horizontalem Sinne auf Biegung beansprucht. Beseitigt man zunächst die Verticalversteifung, verbindet die beiden Bögen AB nur durch die Querstäbe E’E und nimmt an, dass der Winddruck ausschliesslich auf den Bogen AB wirkt, dass er also normal zur Bogenebene gerichtet ist und ein Bogen den anderen deckt, so greifen an dem Bogen A\ B\ die horizontalen Drücke N’ an, während AB durch den Winddruck belastet und durch die Kräfte N' entlastet wird. Letztere lassen sich aus den Bedingungen ermitteln, dass die Verrückungen zweier durch einen Querstab EE' verbundenen Punkte des Bogens in der Richtung EE' um die Verkürzung dieses Querstabes sich unterscheiden müssen. Die bedeutenden Schwierigkeiten, mit denen die Lösung dieser Aufgabe zu kämpfen hat, werden noch vergrössert, sobald die Verticalen CE und CE durch ein Fachwerk verbunden werden, da nunmehr Horizontalverschiebungen der Punkte E und E' nicht möglich sind, ohne dass die Verticalversteifung und der Windträger beansprucht wird, mithin die Dimensionen jedes einzelnen Stabes der Horizontalverstrebung von Einfluss auf sämmtliche Inanspruchnahmen werden.

Indem wir desshalb von der Fähigkeit der Tragbögen, horizontale Kräfte aufzunehmen, vollständig absehen und die Länge der Sehne EE mit sm bezeichnen, nehmen wir im Punkte E (Fig. 119) auf die Verticalversteifung wirkend den Winddruck

Wu =

an. Da weiter der Windträger nur horizontalen Kräften zu widerstehen vermag, fügen wir in der Richtung C C' zwei sich aufhebende Kräfte TF„ hinzu, von denen die eine durch den Windträger aufgenommen wird, während die andere mit der in E angreifenden Wu ein rechtsdrehendes Kräftepaar erzeugt. Dem Momente desselben wirken die „Reactionen R der Tragbögen gegen die Versteifung“ entgegen und zwar folgt aus

Hrr

Rb = Wu

218)

R = WU

Der Tragbogen AB wird hiernach durch eine Reihe abwärts wirkender Kräfte R und der Bogen A\B\ durch ebenso grosse aufwärts wirkende

3) Ueber einander liegende Andreaskreuze (Fig. 121) werden sich bei hohen Verticalen und relativ geringem Abstande der Tragbögen empfehlen. Schlaffe Diagonalen verdienen unter allen Umständen den Vorzug. Die in Figur 121 punktirten Diagonalen werden gespannt, sobald der Wind in der Richtung C' C wirkt.

Führt man durch irgend ein Feld einen Schnitt cc und setzt die Summe der auf das untere Fragment normal zu CE wirkenden Kräfte gleich Null, so findet man

221)

Wu

cos ym es werden sonach sämmtliche Diagonalen gleich stark beansprucht. Die Momentengleichungen in Bezug auf die Punkte S und S' werden, wenn, wie in Figur 121, bei 3 Feldern der Schnitt durch das Mittelfeld geführt ist,

2 hm

Rb + V'b = 0

bm

f-Bb~

Vb = 0

bm

woraus, wegen R = Wu — , sich V' =

CO

ergiebt. Aut diese Weise findet man, dass m den drei Abschnitten der Verticalen EC (Fig. 122) der Reihe nach von E nach C hin die Drücke

R, w , und in denen der E' C’ die Zugkräfte ^, 0 auftreten. ö ö    ö ö

Bei vier übereinander liegenden Feldern wird man für EC die Werthe R,

, 0 erhalten etc.

— und für FJ C" die Werthe — , 4    4

Für sämmtliche Normalen ergiebt sich

3 R R R

4 ’ 2’

Nj = — Wu.

4) Neben einander liegende Andreaskreuze (Fig. 123) sind bei niedrigen Verticalen und relativ grossem Abstande der Hauptträger vorteilhaft. Führt man durch irgend ein Feld einen Verticalschnitt und setzt die Summe der auf das linke Fragment wirkenden Verticalkräfte gleich Null, so erhält man

222)

Dm — +

sin ym

Wuhm b sin y

Danach sind sämmtliche Diagonalen gleich stark beansprucht. Für die Verticalen wird

Vm = — R und VJ — 0 .

Die Momentengleichung in Bezug auf Punkt S liefert für das zweite r eld

N 2 hm -f- R — = 0

2Wu

nhm

wo n = Anzahl der Felder. Man findet analog:

3 Wn

223)

N\ = -

Wu

u. s. w.

2) Der Windträger. Auf die Inanspruchnahme des Windträgers sind die verticalen Kräfte Vm, VJ und DJ sin 7 ohne Einfluss, da sie in den nachher aufzustellenden Gleichgewichtsbedingungen nicht Vorkommen. Um die Kräfte Om, Um, Dm und Nm zu berechnen, sei vorausgesetzt, dass der Windträger nur bei AB' gestützt ist, so zwar, dass das Lager Ä auf einer Geraden da || A B' gleiten kann. Es sind dann die Reactionen A und B’ normal zu AB’ und ist der Windträger als Balken zu behandeln. Allerdings wird diese Bedingung in Wirklichkeit nur näherungsweise erfüllt, so dass auch die folgenden Rechnungen nur Annäherungen sind. Sehr häufig findet man, dass die Endverticalen als Unterstützungen des Windverbandes ausgebildet und zu diesem Zwecke durch eine kräftige YerticalVersteifung, Endversteifung genannt, verbunden werden. Diese Anordnung dürfte die hier bezüglich der Lagerung des Windträgers gemachte Voraussetzung noch am ehesten erfüllen; sie würde ihr vollständig genügen, wenn am Fusse der Endverticalen ein Gelenk die widerstandslose Drehung in der Ebene des Tragbogens gestattete, da in diesem Falle nur eine Reaction A normal zu AB’ möglich wäre.

Durch das mte Feld des Windträgers (Fig. 124) werde ein Schnitt geführt und die Summe der Momente der am linken Fragmente angreifenden Kräfte in Bezug auf m gleich Null gesetzt. Bedeutet 9)1 das Moment der äusseren Kräfte, so folgt 9)1 m + Omb = 0 mithin

an» 1

9JL

224)

Om =

— und analog Um =

Die Momente, für deren Berechnung es gleichgiltig ist, ob die auf den Windträger wirkenden Kräfte in den Punkten C oder C¹ angreifen, werden am grössten bei voller Belastung des Trägers, empfiehlt es sich (nach § 22), drei Lasten 0,10 B anzunehmen, von denen die mittelste in m angreift. Die gleichförmige Belastung ist w„ -1- wp pro Längeneinheit, mithin wird die Auflagerreaction (Fig. 124)

3- 0,10 B ,

Ausserdem

A — (wv Wp) l -f-

xm

und

Xy/i

9)1 m = Axm — (wv + Wp) —---0,10 Ba , d. i.

225)

93im

F]

= wvA-Wp-+- 0,15 -j

xmxj — 0,10 Pa .

Bedeutet weiter £)„, die Resultirende aus den auf das linke Fragment wirkenden äusseren Kräften²) und wird £>m positiv angenommen, sobald es dem Winde entgegenwirkt, so folgt — Dm sin ß = o und hieraus

226)

dm

PPi    >f)m ^

Für die Bestimmung der „Horizontalkraft“ ist es wieder gleichgiltig, an welchem der beiden Gurte die Belastungen angreifen. Man findet positiv oder negativ, je nachdem der Träger rechts oder links von dem Schnitte belastet wird. Wir berechnen max §)m unter Voraussetzung der Laststellung in Fig. 125. Der permanente Winddruck wp wirkt auf die ganze Länge des Trägers, dagegen wv nur auf die Strecke xm'-, von den 3 Lasten 0,10 P liegt die erste bei m. Von der Beant

wortung der Frage, ob durch eine Verschiebung der mobilen Last nach A hin Dm vergrössert wird, glauben wir um so eher absehen zu dürfen, als die hier vorgetragene Rechnung ohnehin nur Näherungsresultate liefert und unter sehr ungünstigen Voraussetzungen durchgeführt wird. Der gewählten Stellung entspricht

wv xj ²

41

A = 3 • 0,10 — (xj — a) -4- Wpl d

Im

"£)m — A - WpXm~i - Wp

denn die Hälfte der Belastung wp Xm des mten Feldes wirkt im Knotenpunkte m— 1, gehört also zum linken Fragment. Man findet nach Re-duction

227)

,    „ WuxJ²

max yQm — WpXm H---——

d⁻ 0,15

P(xJ — a)

worin x" den Abstand der Mitte des miKn Feldes von der Mitte des Trägers bedeutet.

Analog findet man für die Laststellung Fig. 126

wvxm. i²

P (xm—i — g)

min = — WpXm

und zwar entspricht dieser Stellung ein Druck Dm. Es wird aber unter der Voraussetzung, dass die fragliche Diagonale auf der linken Hälfte des Windträgers liegt, ein grösserer Druck erzeugt, sobald der Wind von der anderen Seite kommt und der Wagenzug die Strecke xm’ bedeckt (Fig. 127). Man findet dann min |)m = — max £>m aus Gleichung 227 und wird hiernach die Diagonale gleich stark auf Zug und auf Druck beansprucht. Es ist desshalb vortheilhaft, zwei sich kreuzende Zugbänder anzuordnen, die je nach der Windrichtung wechselweise angestrengt und entlastet werden.

228)

41

0,15

Die Anstrengung in der Normalen ergiebt sich, jenachdem die Belastungen des Windträgers nur in den Punkten m (Fig. 128) oder nur in den m! (Fig. 129) angreifen, aus den Bedingungen

An = — Dm sin ß — - •£>„,

resp.

-ZVm —    Dm+.i sin ß —    $£)m+1 •

229)

In beiden Fällen findet man, dass die Normalen nur auf Druck beansprucht werden, sobald die Diagonalen ausschliesslich gezogen sind. Da nun 5)m max > max ist und sich nicht genau ermitteln lässt, wie sich die Windbelastungen auf die Punkte m und m vertheilen, setzen wir min Nm — — max .£> indem wir annehmen, dass sämmtliche Lasten in den Punkten m an-

greifen.

In dem sehr häufigen Falle, dass bei Ueberführung einer zweigeleisigen Bahn jedes Geleis durch zwei Bögen unterstützt wird, liegen zwei Windträger nebeneinander und werden diese zweckmässig durch Normalen verbunden (Fig. 130). Greifen dann in den Knotenpunkten a auf der Windseite die Kräfte W an und sind N\ \ N%" . . . Nn die Drücke in den die beiden Systeme verbindenden Normalen, so wirken auf den Träger I ausser den belastenden Kräften W noch die entlastenden N" und auf II die Kräfte N". Da nun die Verschiebungen der Knotenpunkte b und b' (im Sinne der Windrichtung) um die Zusammendrückung der Normalen bb' differiren müssen, erhält man bei n Normalen n Bedingungen zur Berechnung der n Kräfte N". Die Zusammendrückung der Normalen kann füglich vernachlässigt werden, weil diese Stäbe in Anbetracht der erforderlichen Knickfestigkeit stärker construirt werden müssen, als es die Druckfestigkeit erheischt, so dass die Bedingungen zur Berechnung der N lauten:

„es müssen die Verschiebungen der Punkte b gleich denen der Punkte b' sein.“

Werden zunächst die beiden Fachwerkträger durch zwei stabförmige Träger ersetzt und die Normalen unendlich nahe gedacht, so müssen die elastischen Linien der beiden Träger übereinstimmen. Sind J\ und «/2 die Trägheitsmomente der Querschnitte, 5kl und 9Jl₂ die Angriffsmomente für irgend einen Schnitt, y die Ordinate der elastischen Linie, so folgt

93l₂

dx²

mithin und bei gleichen Querschnitten

9DRi = 93l₂ •

Nun ist 9)li -4- 9JL = 9H das den Kräften W entsprechende Moment; denn die in den Ausdrücken für 5Ri und 93r2 vorkommenden von den iV" abhängigen Glieder unterscheiden sich nur durch die Vorzeichen, weil die Kräfte

Da man weiter die Transversalkräfte durch die Gleichungen

N" auf den Träger I entlastend, auf den Träger II belastend wirken. Mithin erhält man

dm

dx

1 dm

2 dx

dm2__i dm

dx 2 dx

erhält, wird ersichtlich, dass sich bei Combination zweier gleich starken Fachwerkträger annähernd halb so grosse Anstrengungen ergeben werden, wie sie vorhin für das eine System gewonnen wurden.³) Es ist diese Berechnung etwa mit demselben Rechte zuzulassen, mit dem man mehrfache Fach werke bei der Berechnung in einfache zerlegt.

3) Die Endversteifung bildet häufig das Widerlager des Windträgers; sie hat — unter Voraussetzung der in Fig. 131 dargestellten Belastung — die Horizontalkraft

0,10 P(2Z — a)

230)

>£) =: (wv 4- wp) Z —3

aufzunehmen und besteht zweckmässig aus zwei sich kreuzenden Flacheisendiagonalen (Fig. 132), welche durch

231)

DJ

d„

gespannt werden. Die Endverticalen sind durch die Kraft

232)

V„ = — $ tg y₀ = — §

0³1 o

beansprucht; hierzu tritt noch der Einfluss der verticalen Belastung und des Gewichtes der Fahrbahn.

Werden zwei sich kreuzende steife Diagonalen (Fig. 133) angeordnet, so ist das System statisch unbestimmt. Als Stützpunkt des Windträgers ist A" (Fig. 131) aufzufassen, da die Gurtspannung Ui gleich Null ist. Bedeutet nun N„ die Spannkraft im Querstabe ÄÄ' und sind P₀ und Po' die von dem Gewichte der Fahrbahn und den durch die Fahrbahn gestützten Lasten herrührenden Drücke auf die Endverticalen, so erhält man die Gleichungen

iVo 4- P₀’ cos yo — 0 No -t- P₀"cos y₀ H- & = 0 ,

Fo + Po + Do” sin yo = 0 ;

Vo -+- Po' ■+• Do sin yo ⁼⁼⁼ 0 ; zu ^welchen die Bedingung

(Po' + Po")

fn

- = ^^h_(Fo + Fo-₎

tritt, wo fd = Querschnitt der Diagonale,

/- =

„ Verticale, des Stabes ÄA"

F₀, TV, Do’,

bedeutet. Die 5 Gleichungen genügen zur Berechnung von Z>₀” und N₀.

Die Anordnung von n über einander liegenden Vertical-kreuzen (Fig. 134) empfiehlt sich bei kleinem b und grossem b₀. Führt man den Horizontalschnitt cc und setzt die Summe der an dem Fragment oberhalb des Scheitels angreifenden horizontalen Kräfte gleich Null, so findet man

233)

D' =

cos }'o

0-1

Diese Formel gilt für sämmtliche Diagonalen. Die Spannkräfte in den Normalen sind

Ist cc speciell durch das zweite Feld geführt, so lautet die Momentengleichung für den Punkt S’

£2-

- + V₂ b — 0 ,

woraus V₂ = —£)

• Auf diese Weise findet man

234)

Fi = - .6 -

• • • • u. s. w.

235)

und ganz analog aus den Momentengleichungen für die Punkte S: Fi' = 0 ; Fa' = — Fi; V₃’= — V₂; u. s. w.

Eine gute End Versteifung zeigt für den Fall eines relativ grossen b die Figur 135. Da der Stab AA\ (wie in allen früheren Fällen) theoretisch überflüssig ist und die ßeaction des Stützpunktes A\ durch den Punkt m gehen muss, da sich im Gegenfalle das Dreieck Ai C"M um den Punkt M dreht, folgen die Spannkräfte in den Stäben A\C' und C" M gleich Null, und man erhält für den Stab MC

N=-b

ferner durch Zerlegung von .£> in D' und D"

$>d

236)

D' = — D” = +

Anordnung II (Fig. 136).

Es wird wie bei Anordnung I unmittelbar unter die Fahrbahn ein horizontaler Windträger gelegt. Die Yerticalversteifungen fehlen; dafür sind aber die beiden Tragbögen nicht nur durch Normalstäbe N\ sondern auch durch Diagonalen D' verbunden.

Die Berechnung des Windträgers erfolgt nach den vorhin abgeleiteten Formeln (No. 224 bis 229); man ersetze^ durchs — wb, weil der auf die Tragbögen wirkende Winddruck wb durch diese selbst aufgenommen wird.

Die Diagonalen D' werden zunächst so berechnet, als gehörten sie einem durch wb gleichmässig über die ganze Länge belasteten horizontalen Fachwerkbalken an; dann wird das Resultat mit sec z multiplicirt, wo r den Neigungswinkel der Diagonale D' gegen die Horizontale bedeutet. Ist sm die Länge der Sehne des Tragbogens zwischen den Verticalen m— 1 und to, dm die Länge der Diagonale D’ und b der Abstand der beiden Tragbögen, so folgt

sec z

-\!sj + 5²

-und da nach Formel 227 für einen gleichmässig über die ganze Stützweite mit wb pro Längeneinheit belasteten Träger

vi WbXm,

ist, die gesuchte Spannkraft

237) DJ — wbxm

„ 1 lsj + P Zu 4- P 1Ü+P b

IL'b Xm

•y

Sm

Für die Normalen hat man

238)

-Vui Wb Xm, •

Die Rechnung ist wieder insofern unexact, als die Tragbögen durch

die Kiäfte wb auf Biegung beansprucht werden, während bei Berechnung der D' und N’

an

den Angriffsstellen der verticalen Gelenke mit verti-

calen Axen angenommen wurden.

Die eventuell an den Enden angeordneten Versteifungen sind nach den Formeln 231 bis 235 zu berechnen; in diese setze man

239)

& = (wv 4- Wp — wb) l 4- 3

0,10P(2Z — a)

Anordnung III (Fig. 137).

Hier fehlt der sub I und II unter der Fahrbahn liegende Windträger. Die Tragbögen sind wie vorhin durch ein Fachwerk verbunden, welchem die bei den früheren Anordnungen durch den oberen Windträger aufgenommenen Horizontalkräfte durch Verticalversteifungen übermittelt werden. Diese letzteren werden nach den für die Endversteifung aufgestellten Formeln 231 bis 235 berechnet, man setze

4- (wp — wb -f- wv) X ,

240)    .£> = 3 • 0,10 P

2 • 0,10 Pa

indem man über der Versteifung die Mittelaxe der Lokomotive annimmt (Fig. 138).

Für die Diagonalen D' und die Normalen N' findet man wvxj²

241) DJ = jWpXm H- ^

4- 0,15

fl

Sm²

242)

-\-r 1    i    ». WvXm "

Nrn - I WpXm    I' ^ j

4- 0,15

P(xJ - a)

Die Tragbögen werden als Gurte des Windverbandes durch Axialkräfte beansprucht, welche man durch Multipliciren der aus 224 und 225

sm

für einen horizontalen Fachwerkträger gewonnenen Werthe mit -r— er-

hält. Thatsächlich werden aber die Tragbögen in horizontalem Sinne auf Biegung beansprucht, doch begegnet die Ermittelung der Biegungsspannungen sowie des Einflusses der Continuität der Tragbögen auf die Ff und N’ grossen Schwierigkeiten. Da weiter die Tragbögen bei der Anordnung III eine wesentliche Mehrbelastung noch dadurch erfahren,

auf dieselben übertragen, so ist diese Anordnung unter allen Umständen zu verwerfen.

dass die Versteifungen verticale Kräfte E = $

Abschnitt VII.

Berechnung der Widerlager und Pfeiler.

§ 24.

Fundamentalformeln.

Wirkt auf einen Pfeiler von der Breite fr und der Tiefe 1 (Figur 139) irgend eine Kraft ß, deren Componenten in horizontaler und verticaler Richtung beziehungsweise und 3) sind, so wird das Element eines Pfeilerquerschnittes durch eine Normalspannung N und eine Tangentialspannung (Schubspannung) T afficirt. Der Abstand z dieses Elementes vom Mittelpunkt m des Querschnittes wird im Sinne von .£) positiv gezählt; die Spannungen N und T werden positiv angenommen, sobald sie den Kräften SS und .£) entgegenwirken. SS ist abwärts gerichtet positiv.

Wird mit ym das Gewicht pro Volumeneinheit Mauerwerk bezeichnet*), so lauten die Bedingungen für Gleichgewicht zwischen den inneren und äusseren Kräften:

+ 16

+ 16

fldF = jNdF = w

-16

-16

+ 16

jNzdF = SW wo

und

das Angriffsmoment

bedeutet.

*) Später wird mit ye das Gewicht der Erde bezeichnet werden.

bai

Ein negatives Resultat bedeutet eine Zugspannung.

Wird N = f(z) als Curve dargestellt, so erhält man — der Hypothese gemäss — eine Gerade, deren Endordinaten k und k\ sind. Je nachdem ki positiv, Null oder negativ ist, ergeben sich die Darstellungen in Fig. 140. Die in dieser Figur schraffirten Flächen nennt man zuweilen Drucktrapeze.

Es werde jetzt das Gewicht ymy b des Pfeilers Fig. 141 oberhalb der betrachteten Fuge mit der auf den Pfeiler wirkenden Kraft R zu der Resultirenden D (Fugendruck) zusammengesetzt. Der Schnittpunkt s der Kraft D mit der Fuge heisst der Stützpunkt der Fuge; sein geometrischer Ort wird die Stützlinie des Pfeilers genannt. Der Abstand des Stützpunktes vom Fugenmittelpunkt sei e (Druckexcentricität). Dann findet man, nachdem man D im Punkte s in 91 und .£) zerlegt hat,

931 = 91 e

mithin

Ge

Ge

I) Die Normalspannung N. Bezüglich des Gesetzes, nach welchem sich N mit z ändert, wird zur Zeit allgemein dieselbe Hypothese gemacht, welche seit Na vier der Theorie der Biegungsfestigkeit gerader Stäbe zu Grunde gelegt worden ist. Es ist dies die — für Mauerwerkkörper allerdings nicht einwandfreie, weil durch Versuche bislang nicht bestätigte — Annahme, dass N eine lineare Function von z ist, also unter der Form

N — a-h ßz

erscheint. Die von N abhängigen Gleichgewichtsbedingungen gehen dann über in

+46

+ 46

« JdF-h ß fzdF = 9t

+46

ajzdF-hß Jz²dF = 9JI

~ i fr + 46

JzdF =

-46

+46

-46

und folgt aus denselben, da

Die Normalspannung wird

243)

-fl

-46

0 und

129J1*

b³

+ 46

Jz^dF = TVb³ ist,

-46

und erhält man speciell für z = ^b

6 an'

resp.

244)

245)

gesetzt. Da nun

ist, folgt

Soll ki nicht negativ werden, so muss e <. — sein. Die Punkte L und li (Fig. 142) im Abstande -jj-

vom Mittelpunkte

der Fuge heissen die Kernpunkte der Fuge, ihren geometrischen Ort nennt man die Kernlinie und die Fläche zwischen den Kernlinien den Kern des Pfeilerprofils, oder kurz den Kern des Pfeilers, indem man hierbei die Tiefe = Null denkt. Ist e = ^-b, so folgt:

246)

&i = 0.

Diejenige Pfeilerbreite b, bei welcher = 0 wird, bestimmt sich aus der Gleichung

Ymby-t-SS

und zwar wird

247)

— 233 4- (y - y) ymy 4- 4S3²

ymy

Soll eine bestimmte Pressung k sich ergeben, so muss b aus der Gleichung

,    91 l 63DRi

k - T j1 + bDTi

berechnet werden. Man findet nach Einfuhren der Werthe 9JI und 31

248)

— 33 H- V6 $ (y — t])(k — ym y) 4- 33²

k—ymy

Vielfach wird, wenn der Stützpunkt ausserhalb des Kerns im Abstande | (Fig. 143) von der stärkst gepressten Kante liegt, die Annahme gemacht, es vertheile sich der Normaldruck nur auf den Theil 3 § der Fuge und desshalb

249)

2 31

3|

3k

gjr

31

231

und nach Einsetzen der Werthe für 3)1 und 31

1fök$(y — t]) 4- 4332 ' ymy{^k—^yym)

250)

— 33

ymy

Es darf dieses Verfahren mit demselben Rechte zugelassen werden, mit dem man bei Berechnung der Spannung N von der Navier’schen Hypothese ausgeht.

Wu

2 cos ym

belastet. Man hat aber nicht nöthig, bei Berechnung der Quei-schnitts-dimensionen der Hauptträger hierauf Rücksicht zu nehmen, da die Kräfte R zu geringfügig sind und ihre Vernachlässigung insofern etwas zu grosse Querschnitte liefert, als, bei im Sinne C C’ wirkendem Winddrucke, Bogen A\B\ der stärker belastete der beiden Tragbögen ist.

Häufiger angewandte Verticalversteifungen sind folgende:

1) Das einfache Andreaskreuz (Fig. 119). Man erhält Vm — — R; VJ — 0; NJ — — Wu und aus der Gleichung DJ cos ym H- NJ — 0

Dm — +

219)

Wu

. cos ym

Wird im Punkte C die Kraft D' in die verticale und die horizontale

Componente zerlegt, so wird, da letztere = Wu ist, ersichtlich, dass der Windträger die auf den Tragbogen wirkenden Horizontalkräfte in den Punkten C aufnimmt.⁴ ⁵)

Wirkt der Wind in der Richtung C’C, so folgt:

220) Dm’ = —

Wu

; Vn=+R; NJ = — Wu ; VJ = 0 .

cos ym

Empfehlenswerth ist die Anordnung von zwei sich kreuzenden Flacheisendiagonalen, von denen die CE' oder die C'E gespannt wird, je-nachdem der Wind in der Richtung C C' oder C' C wirkt.

Die Anstrengungen V kommen bei der Querschnittsermittelung der Verticalen nicht in Betracht.

2) Andreaskreuz mit 2 steifen Diagonalen (Fig. 120). den Bedingungen für Gleichgewicht an den Punkten E und E' folgt DJ cos ym + NJ — 0 DJ’ cos ym + NJ -f- Wn — 0 ;

DJ sin ym + VJ — R = 0 DJ’ sin ym -4- Vm + R = 0

Aus

Hierzu tritt die auf Seite 73 für das Viereck abgeleitete Elasticitäts-gleichung. Dieselbe lautet, wenn Ab die Längenänderung der Normalen CC’ des Windträgers ist und

fa den Querschnitt der Diagonalen CE' und C'E,

„ Verticalen CE und C'E',

„ Normalen E'E'

bedeutet,

fn n

(.DJ + Dm")

„sdJ²

NJb

fä

+- AbE^j b + (Vm-+- VJ)

hm²

und wird zweckmässig durch Einführung von Ab = 0 vereinfacht. Abgesehen von Erhöhung der Unsicherheit in Bestimmung der Inanspruchnahme sind steife Diagonalen schon desshalb wenig zu empfehlen, weil sie mehr Material erfordern als schlaffe Diagonalen.

2) Die Schubspannungen. In den Seitenflächen eines an der Stelle yz herausgetrennten Elementarparallelepipeds (Fig. 144) mit den Abmessungen dz, dy und 1 wirken die Spannungen

dN

N-1

dy

T-f

dy

T'-h

dz

dz .

Das Gewicht des Elementes ist ymdzdy. Bei Aufstellung der Momentengleichung für eine durch den Schwerpunkt normal zur Ebene

(zy) gelegte Axe dürfen die Differentialien der Spannungen, als an unendlich kleinen Hebelarmen wirkend, vernachlässigt werden, so dass sich die Bedingung

d. i.

ergiebt. Weiter muss sein

T\dy\)dz = T(dz 1) dy *) T = T

dT

dT'

dy

dy = 0

dz dz(dy\) +

dN

woraus

dT’

dy

dy(dz 1) = ymdzdy

ft.

'dN

dz dz

Nun ist

dy

b³

+ ym

_ 12z <£) dy “ 7m “ ~¥~

t=-wz!!+c’

6§m²

b³ \ 2 /

dN

und die Integrationsconstante C =

; denn es muss T = 0 wer

fe

den für z = — • Man erhält also:

251)

2b

er m

toi

Werden die Werthe T, den Abscissen z entsprechend, als Ordinaten aufgetragen, so liegen deren Endpunkte auf einer Parabel, deren Pfeil

ist.

252)

T =

max

2b

*) Neben die Spannungen sind in Klammer die Flächen gesetzt, in welchen die Spannungen wirken.

3) Hauptspannungen, Gleitflächen. Von dem Elementarkörper, in dessen Seitenflächen die Spannungen N und T wirken, wird durch einen unter « gegen die z-Axe geführten Schnitt ein dreiseitiges Prisma Fig. 145 mit den Seitenflächen fz, fy und / losgetrennt und « so gewählt, dass in der Fläche / eine Hauptspannung S wirkt, d. h. dass Fläche/ nur durch eine Normalspannung afficirt wird. Dann wird die Summe der parallel zu / resp. der normal zu / wirkenden Kräfte gleich Null gesetzt. Man erhält

Nfz sin a -f- Tfy sin « = Tfz cos a S — Nfz cos a -f- Tfy cos a + Tfz sin a und wegen fz=f cos a ; fy — f sin a

II

Aus I folgt

— sin 2 « = T (cos² a — sin² a)

u

S = Ncos² « + 2 T sin a cos a / 2T

S = $N+ cos 2« ( 1+ ~

d. i.

tg2«^-

253)

tg 2« = —

und zwar entsprechen, da tg 2« = tg (180° + 2«) ist, dieser Gleichung zwei um 90° differirende Winkel «, so dass die beiden durch Hauptspannungen afficirten Flächen auf einander senkrecht stehen. Die Gleichung II geht nun über in

S =    sec 2« =    £ KiV²H-4T².

In der Folge mögen die Hauptspannungen mit A und B bezeichnet werden, so zwar dass

254)

%N + 4-Kw² + 4T² = A $N— ^ VN² +4T² = B gesetzt wird. A ist stets eine Druckspannung, B stets eine Zugspannung.

Hätte man den Winkel a beliebig gewählt und die Spannung S in der Schnittfläche / als Function von a dargestellt, so hätte sich die grösste Spannung aus der Bedingung

¹

Vergl. § 22.

²

(genannt Transvorsalkraft)

³

Es ist hier wieder ein für stabförmige Balken gütiger Satz ohne Weiteres auf Fachwerkträger angewendet worden, wie dies zur Erzielung einfacherer Rechnungen in der Statik der Bauconstructionen vielfach geschehen. Man vergleiche die Anmerkung auf Seite 70. Einem späteren Theile unseres Werkes bleibt es Vorbehalten, die Zulässigkeit derartiger Untersuchungen zu prüfen.

⁴

Ausgenommen ist die Belastung \vn, si des Endfeldes des Tragbogens, da dieselbe durch die Stütze A aufgenommen wird; doch sei hierauf nicht weiter ge-rücksichtigt.

⁵

Genügend genau ist Dj — — Dm" =

dS da

dA

dB

ergeben. Da nun ~~ = 0 und = 0 ist, folgt der Satz:

Die Hauptspannungen A und B sind die Maximalspannungen.

Um nun die Spannungen für ein beliebiges Fläch enelement zu bestimmen, gehen wir von dem Parallelepipedon aus, dessen Seitenflächen durch A und B afficirt werden und trennen wieder durch einen unter ß geführten Schnitt ein dreiseitiges Prisma Fig. 146 heraus, dessen Seitenflächen /«, fh und / sind. Die Spannungen in / seien Nß und Tß. Es folgt dann

Nßf — Afa cos ß 4- Bfb sin ß Tßf = Afa sin ß — Bfh cosß woraus, wegen fa—f cos ß und fy — f sin ß

Nß = A cos² ß 4- B sin² ß Tß = UA-B) sin2ß

Traax =    —

sich ergiebt. Die grösste Schubspannung (Hauptschubspannung genannt) entspricht ß — 45° und wird 255)

Die zugehörige Nor mal Spannung ist

N = %(A + B).

256)

Die Normalspannung Nß wird Null, sobald

257)

cotg ß = \

—B

ist. Dieser Werth ist reell, da B stets negativ ist. Die durch Gleichung 257 der Lage nach bestimmte Fläche heisst Gleitfläche. Die Spannung in derselben ist, wegen

2 cotg ß _ 2 V—B A

' ~ A—B ’

1 4- cotg² ß

T, = V—BA = T. ß

sin 2 ß —

man

Auf einfachere Weise gelangt man zu der Lage der Gleitfläche, wenn den Winkel ß' derselben gegen die Richtung 2 bestimmt und an dem dreiseitigen Prisma Fig. 147 die Gleichgewichtsbedingungen aufstellt. Nfz cos ß’ = Tfz sin ß' 4- Tfy cos ß'

Tßf = Nfz sinß' + Tfz cos ß’ - Tfy sin ß\

Die erste Gleichung liefert

258)

und die zweite

Tß — N sin ß' cos ß' -+- Tcos² ß' — T sin² ß’

_ Ntgß'-h T— Ttgtß'

1 + tg² ß'

Setzt man hierein N— 2Ttgß', so folgt

259)

Tß= T.

4) Zahlenbeispiel. (Fig. 148.) Ein Pfeiler aus Backsteinen in Cementmörtel ist 8m hoch, lm tief und wird durch = 80000k, SS = 60800 k beansprucht. Die zulässige Druckspannung betrage 70000k pro □*" = 7,0k pro Q⁰“¹, die Zugfestigkeit des Steines und des Mörtels

10

sei gleich gross. Die Breite b soll zunächst so bestimmt werden, dass die Spannungen N sämmtlich Pressungen sind; es ist dann nach No. 247 wegen ym = 1600k pro Cubikmeter für y — 8m

— 2 • 60800 + Kcr- SO OOO -4 ■ 1600 • 8 + 60800² • 4

1600 • 8

Die Normalspannung in der Sohle ist in Kilogr. pro □

91    125ÖI*

1006 ⁺ 1006³

5(1 = 60800 + 1600 • 6 • 8 = 137600k

<‘iii

— 6m.

worin

ÜJl = 80000-4—60800-3 = 137600kra*)

Die Schubspannung in der Sohle und in jeder Fuge unterhalb der Kraft .£) ist

3£

4z² )

200b

b²

und ebenso gross ist nach 259 die Schubspannung in den nur auf Abscheerung beanspruchten Gleitflächen.

Aus N und T kann man mit Hilfe der Formeln 254 die Hauptspannungen A und B berechnen, und sind die Resultate dieser Ermittelungen in folgender Tabelle zusammengestellt. Die graphischen Darstellungen zeigt Figur 149.

+ 0,500 o + 0,3755 + 0,2505 + 0,1255

—    0,1255

—    0,2505

—    0,3755

—    0,5005

r>- GM ^ O +1^ CO CM I>-

+ + co cd <+ +

1,15

0,57

0,00

p ©    p* + © ©

o'co'oi'oo'o'oo'b''c»'o

OCOOOOOODOQOO

ClOOOOCOGOrHO ^ 5^ C5 GO_ ^    O

Tf    M <+ Ol cd r-T O

— 0,00

—    2,06 — 1,28 — 0,00

Es entstehen hiernach Zugspannungen, welche die in der Regel als zulässig erachteten bedeutend überschreiten. So wird vielfach für Mauerwerk die zulässige Zugspannung nur lk pro □cm angegeben, während zuverlässige Angaben für die zu gestattenden Schubspannungen fehlen.¹)

Wird 6 = 5m gewählt, so findet man

91 = 60800 + 1600 • 5 • 8 = 124800 m = 80000-4 — 60800-2,5= 168000 und erhält die folgenden Werthe (Fig. 150).

+ 0,500 & + 0,3755 + 0,2505 + 0,1255

6,63

5,62

0,00

1,05

4,61

1,80

6,63

5,83

5,23

3,60

2,25

4,68

—    0,1255

—    0,2505

—    0,3755

—    0,5005

2,60

1,59

0,58

—    0,43

—    1,44

2,40

2,25

1,80

1,05

0,00

4,03

3,17

2,11

0,86

0,00

— 0,00

Es sind also die Zugspannungen in diesem schwächeren Pfeiler kleiner als in dem 6m starken. Die Schubspannungen haben eine Yergrösserung erfahren. Der Abstand des Stützpunktes von der stärkst gepressten Kante ist

ta et'

= 2,5 —

168000

124800

= 1,21“

= 68760k pro = 6,88k pro □

und würde aus der Annahme, dass sich 91 nur über den Theil 3£ der Fuge vertheilt, nach No. 249 eine Pressung 291    2-124800

3|    3 • 1,21

cm

sich ergeben.

5) Praktisches Verfahren. Die vorstehenden Untersuchungen sollten darlegen, wie die Schubspannungen T und die Hauptspannungen A und B berechnet werden können, sobald das Gesetz bestimmt ist, nach welchem sich N mit z ändert. Vorläufig erscheint es aber gewagt, auf ein so unsicheres Fundament, wie dies die Navier’sche Hypothese in ihrer Anwendung anf den vorliegenden Fall ist, eine consequente Ermittelung aller Spannungen zu bauen, und ziehen wir es vor — unter Berufung auf die durch die Praxis erwiesene Zulässigkeit dieses bislang allgemein gebräuchlichen Verfahrens — die Abmessungen eines Pfeilers so zu bemessen, dass die grösste Pressung k innerhalb der gestatteten Grenzen bleibt. Es wird hierbei in der Regel von der Formel 245 oder 249 ausgegangen, je nachdem der Stützpunkt im Kern liegt oder nicht. Weiter wird der Pfeiler so stark gemacht, dass selbst dann ein Gleiten auf der unmittelbar unter $ gelegenen Fuge nicht eintritt, sobald der

10*

Mörtel beseitigt gedacht wird, also nur die Reibungswiderstände der Kraft £> entgegenwirken. Die Bedingung hierfür lautet:

$ S f j 3$ + Ym'bv j •

260)

Darin ist / der Reibungscoefficient. Derselbe darf = 0,7 gesetzt werden.

Ein nach diesen Grundsätzen berechneter Pfeiler ist, den bis jetzt vorliegenden Erfahrungen gemäss, ausreichend und zweckmässig.

Der späteren Anwendung der hier vorgetragenen Theorie wegen, bringen wir noch die Gleichung No. 245 auf die Form

261)

69JU

b²

worin

262)

= 9i(    +.)

das Angriffsmoment für den Kernpunkt R ist.

Liegt der Stützpunkt s ausserhalb des Kerns und will man die Annahme machen (vergl. No. 249 und Fig. 143), es vertheile sich 91 nur auf das Stück 3| der Fuge, so verstehe man unter SOG’ das Moment für den Kernpunkt R¹ der Fuge 3|, setze in Formel No. 261 b = 3§ und

263)

29ÜG'

3£² ²

§ 25.

Die Berechnung des Landwiderlagers.

Auf das Landwiderlager einer Bogenbrücke wirken ausser dem eigenen Gewichte des Widerlagers:

1)    der K ä m p f e r d r u c k K mit den Componenten A und H (Fig. 151),

2)    der Erddruck E mit den Componenten Ev und Etl.

Die Kräfte A und H setzen sich zusammen aus Ap und IIP, herrührend von der permanenten Belastung des Bogens, und aus Av und Hr, entsprechend der mobilen Belastung. Es sei H so gross, dass, trotz dem Erddruck, der Stützpunkt der an der Stelle y angenommenen Fuge CC\ zwischen C und dem Mittelpunkte der Fuge liegt, so dass die grösste Pressung bei C auftritt. Dieselbe ist bei der Tiefe 1²) des Widerlagers:

69JG t>2 ’

Der

wo 9JG das Angriffsmoment in Bezug auf den Kernpunkt R ist. bei hohen Widerlagern, bei belasteter Hinterfüllungserde und unbelastetem Bogen vorkommende Fall, dass die grösste Pressung bei C\ entsteht, soll später behandelt werden.

Bedeutet G das Gewicht der oberhalb CC\ befindlichen Mauer einschliesslich des Gewichtes der auf den Absätzen im Rücken der Mauer lagernden Erde, so wird mit Bezugnahme auf die in Fig. 151 angegebenen Bezeichnungen:

m³

= (//, + II)z - Eh -f- + Gd + E,^—(Ap + AJc.

o    6

Den von der mobilen Belastung des Bogens unabhängigen Theil dieses Ausdruckes bezeichnen wir mit 504p, den davon abhängigen mit Mt., schreiben also:

Hpz — Eh4t -+• Gd — Apc-h E„

6 6

V ■>

Hvz — Avc = M

6^,+ ÜR„]

b²

Je — -—■—■—

und untersuchen, wann dieser Werth ein Maximum wird.

Ermittelung von max SOI®. Es soll ein analoges Verfahren gewählt werden, wie bei Bestimmung der grössten Momente Mo und 50in Bezug auf die Kernpunkte der Bogenquerschnitte.

1) Der Bogen hat Kämpfergelenke und ein Scheitelgelenk Fig. 152. Es ist z — y — A2, weil die Kämpferdrücke durch die Gelenke gehen. Zieht man die Kämpferdrucklinie BS und von B durch A eine Gerade bis zum Schnittpunkte E mit der BS, so entspricht einer durch E gehenden Last P das Moment M„ = 0, während eine Last P' rechts von E ein positives und eine Last P" links von £ ein negatives 5ÖL erzeugt. Das grösste positive Mt. und mithin die grösste Pressung Je entsteht bei ausschliesslicher Belastung der Strecke BE.

Um die Influenzlinie für das Moment zu erhalten, beachte man, dass

Mo = Hz — Ac = z UI —

Ac

= zHi

Ac

ist, und der ideelle Horizontalschub Hi durch Subtraction des Werthes —

von der Ordinate der ersten Curve H gefunden wird. Letztere besteht

l

aus den Geraden AD und BD, so zwar, dass D\D — — ist, während

2 h

Ac Pb

= —z durch eine Gerade dargestellt wird, die durch den Schnittpunkt E' der Belastungsscheide mit der ersten Curve II gehen muss³). Es ist also die in Fig. 152 schraffirte Fläche die Influenzfläche für M„; der Multiplicator ist z; die Fläche rechts von E’ ist positiv. Wie nun mit Hilfe dieser Fläche der Einfluss eines Systemes concentrirter Lasten auf das Moment M„ ermittelt wird, kann als bekannt vorausgesetzt werden.

Soll 9DR„ durch Rechnung bestimmt werden, so ermittele man (Fig. 153)

zl — hc z l -+- h c

rücke von B aus einen Zug bis in die Nähe von E vor, so zwar, dass eine schwere Last über dem Scheitel steht und eine Verschiebung des Zuges nach links resp. rechts beziehungsweise⁴)

EP'

EP

264)

ZP' I , 2p>TT⁴ imd

liefert und berechne schliesslich max 9DL =

265)

266)

EPb — EP’b'l .

Zu beachten bleibt, dass die Pfeilertiefe gleich 1 gesetzt wurde. (Wird z. B. eine zweigeleisige Eisenbahnbrücke durch ein 8ra tiefes Widerlager gestützt und sind P die Ax enbelastungen, so ist das aus No. 266 berechnete max 9DL durch 4 zu dividiren.)

Liegt eine gleichmässig vertheilte Verkehrslast vor, so wird

vzl%

267)

max 9DL =

2) Der Bogen hat Kämpfergelenke, aber kein Scheitelgelenk (Fig. 154). Es ist wie vorhin z = y — M. Die Kämpferdruck-

4 h

linie ist eine horizontale Gerade⁵) im Abstande — vom Kämpfer; die

O

3

erste Curve H ist eine Parabel mit dem Pfeil -r-

tonn

, oder wenn

Uebertragung der Last durch Querträger vorliegt, ein in diese Parabel einbeschriebenes Polygon. Man zieht nun die Gerade RAE bis zur Kämpferdrucklinie, hierauf EE' vertical bis zur ersten Curve II und schliesslich BE'F, um in der schraffirten Fläche die Influenzfläche zu erhalten. Der Multiplicator ist 2.

Durch Rechnung findet man (vergl. Seite 105 und 106)

3 Iz — 2 hc

268)

269)

8 hl

“Sn ,

welcher Ausdruck mit Hülfe der Tabellen auf Seite 40 bis 43 in der auf Seite 106 erörterten und dort durch ein Zahlenbeispiel erläuterten Weise behandelt wird.

Ist derBogen durch eine gleichmässigeverk ehrslast beansprucht, so folgt

rriax =

270)

vz%³

16hl

Das Moment 20L muss schliesslich noch um Htz vergrössert werden, wo Ht der Horizontalschub des Bogens bei Erhöhung der Temperatur ist. (Vergl. Formel 68.)

3) Beim Bogen ohne Gelenk (Fig. 155) empfiehlt es sich, eine gleichmässige mobile Belastung vorauszusetzen, da hier der Werth einer jeden subtileren Rechnung sehr zweifelhaft ist. Man zeichne die Kämpferdrucklinie, die Kämpferdruckumhüllungslinie, die zweiten Curven A, H und 9JG (vergl. Seite 119, 120 und 123) und ziehe von R aus eine Tangente an die Umhüllungslinie, um in deren Schnittpunkte E mit der Kämpferdrucklinie die Belastungsscheide zu erhalten. Dann nehme man den Theil BE belastet an, messe unter E die Werthe A, H und 9JL, gr?.

berechne z’ = -=■ (Fig. 155), hierauf z" — z -t- z' und max = Hz" — Ac .

Sollen concentrirte Lasten auf dem Bogen angenommen werden, so wird die Influenzcurve für 9DL ganz analog so construirt, wie auf Seite 122 und in Fig. 111 die Influenzcurve für 5DL gewonnen wurde.

Einer Erhöhung der Temperatur des Bogens entspricht

Ht ist aus Formel 73 zu berechnen.

Bestimmung von    Es bedeute p die permanente Belastung der

ganzen Brücke pro Längeneinheit der Stützweite und t die Tiefe des Widerlagers; weiter sei die Bogenaxe parabolisch gedacht. Dann ist —

mit p — ^--

kor«

a,

; Ap — p'l; 93G = 0 ;

weiter z = y — h% und

= ZA(y - ha) + Gd - p'tc - Eh±. +    ■

Darein setzen wir — genügend genau⁶) —

Ev = 0 ; Eh

G = y,J)y ;    dz==\’

271)

= iM²tg² (^45° —    ^

wobei q den natürlichen Böschungswinkel und ye das Gewicht der Volumeneinheit der Erde bedeutet. Es ist dann

C/ (M

Durchschnittlich ist q = 37° und erhält man dann Eh = | yeh²

Lage des Stützpunktes. Aus dem Momente 9JG = mv + 9R,

9t = A.p ■+■ Av -t- Gr auf die Fuge kann man die Entfernung eR des Stützpunktes von dem Kernpunkte R mit Hilfe der Relation

9t eR = 9JU

ermitteln. Ergiebt sich hieraus eR >>    ,

o

272)

9Jt = —

JJKP o

und dem Normaldrucke

so liegt s ausserhalb des Kerns.

Wird in diesem Falle im Anschluss an die Ausführungen des § 24 die Annahme gemacht, es vertheile sich 9t nur über den Theil der Fuge von der Länge 3£' (Fig. 156), so rückt der Kernpunkt nach R' in den Abstand 2£' von C und es wäre max 9J1«’ und hierauf

69JtÄ’

9£'²

zu berechnen. Man darf hierbei die für max 9JG gefundene gefährlichste Laststellung auch der Berechnung von 9JlÄ' zu Grunde legen und hat nur

c = b — 2 £' statt —

ö

v,    b

d — 2£ — — statt — 2

und

zu setzen.

Vorläufige Berechnung des Widerlagers. Die hier vorgetragene Berechnung der grössten Pressung k setzt voraus, dass die Dimensionen des Widerlagers bereits bekannt sind, so dass dieselbe durch eine approximative Bestimmung der Abmessungen eingeleitet werden muss. Bei Durchführung dieser vorläufigen Ermittelungen gehe man von derjenigen Belastung des Bogens aus, welche Hma,* erzeugt.

Bedeutet:

SB!»

das Moment der Horizontalkräfte in Bezug auf irgend einen Punkt der fraglichen Fuge, und setzt man Fig. 157

9JG

~ b .6    ^ b²w . b

= 9JL -+- G —— A — = 9JU + ym -g--A-—

ein, so findet man

273)

— A -fr-    — ymy) -fr- A² ,

k—ymy

woraus für jedes y das zugehörige b folgt. Nach Berechnung von b, das in der Regel für y = h\ ein Maximum wird, kann man diejenige Fuge ermitteln, welcher die grösste Pressung k entspricht. Dazu hat man

3 + 7mly 6

in die Formel

6 9«

b²

WK = H(y-h₂)-7e?£-A

zu einem Maximum zu machen, erhält also die Bedingung

und hieraus

274)

rf-₀

y _ ₂|/6ff+7m b ^ gesetzt).

H-ye

Ist dieser Werth grösser als Ai, so berechne man aus No. 273 b für y — y\ und hierauf yx von Neuem aus No. 274.⁷)

Jetzt hat man, der auf Seite 150 hervorgehobenen Bedingung gemäss, dass ein Gleiten auf der Lagerfuge unmittelbar unter dem Bogenkämpfer selbst dann nicht eintreten darf, wenn der Mörtel beseitigt gedacht wird, b aus der Gleichung

H—

= / | 7mbh + -4 |

zu bestimmen und erhält

275)

/7mA₂

kann man die auf Seite 150 für

max

Zur Berechnung von [H—f Ä] max 9Ji„ aufgestellten Formeln benutzen und hat nur nöthig, in diese z — 1 und c = / einzuführen.

Schliesslich ist die Breite b noch unter der Voraussetzung zu berechnen, dass das Widerlager nur dem Erddrucke zu widerstehen hat (Fig. 158). Die Hinterfüllungserde soll hierbei mit v' pro Q"⁸ der Terrainfläche belastet angenommen werden, und entspricht dann dieser Belastung, in der Höhe angreifend, ein Erddruck

-Ei

= »‘A₁tg>(450--|)

und speciell für Q = 37°

E\ — h\ .

154

Das Angriffsmoment für den Kernpunkt L ist

an⁹ = Bh. j

und die Pressung an der Stelle C\

63R⁹

k =

Setzt man wieder das Moment der Horizontalkräfte

Etj + Ej

hx = 9J1

so erhält man die Formel

*-V

276)

6 an»

y mh\

Die Formeln 273 und 276 entsprechen der Formel 248, d. h. sie sind unter der Annahme abgeleitet, dass der Stützpunkt im Kern liegt, dass also die Spannung k aus Formel 245 berechnet wird. Liegt s ausserhalb des Kerns, so wird man besser eine der No. 250 entsprechende Formel bilden. In dieser ist £ (y — rj) = 9JL gleich dem Moment der Horizontalkraft für irgend einen Punkt der Fuge zu setzen, ferner 33 = A und ergiebt, sich dann

273⁹)

“+y

ymy(ßk—4yym) yJy

y™y

welcher Werth mit dem aus 273 gefundenen zu vergleichen ist. Ebenso wird man der Formel 276 die Formel:

276⁹)

62ÖW;

ymhi(3k — 4y„,Äi) gegenüber stell en.

Die Berechnung der Fundamentbreite ist der Ermittelung von B ganz analog. Unter k hat man hier die für den Baugrund zulässige Pressung zu verstehen⁹).

Zahlenbeispiele zu den hier vorgetragenen Rechnungen finden sich im folgenden Abschnitte.

§26,

Berechnung des Pfeilers.

des grösseren Bogens,

Es mögen die Pressungen in einem Pfeiler unter der Voraussetzung berechnet werden, dass die beiden durch denselben unterstützten Bögen von verschiedener Stützweite sind, und bedeuten (Fig. 159) l die halbe Stützweite j li die Pfeilhöhe

V und h! die entsprechenden Werthe für den kleineren Bogen. Der erstere

_ p'1'2

möge vertical resp. horizontal auf den Pfeiler die Drücke A und II ausüben, der andere die Drücke B’ und H'. G sei das Gewicht des Pfeilers oberhalb Fuge G\G und wirke im Abstande d vom Kernpunkte R dieser Fuge.

Bei parabolischer Bogenaxe (und auch annähernd bei den im Brückenbau vorkommenden flachen Kreisbögen) sind die von der permanenten Last herrührenden Horizontalschübe stets:

_. p’l²

2A ’    *

~ 2 ti ’

während Ap — p'l und B' — p’l' sind, unter p' die durch die Pfeilertiefe t dividirte permanente Belastung der Längeneinheit der Stützweite der Brücke verstanden. Desshalb wird das Moment für den Kernpunkt R bei „unbelastet gedachten Bögen“

(SD!,,)/? = \hZ — z' P’l’c'—p'lc A- Gd,

und zwar gilt dieser Ausdruck für Bögen mit Kämpfergelenken und Scheitelgelenk, für solche mit Kämpfergelenken ohne Scheitelgelenk und für Bögen ohne Gelenke; denn auch bei letzteren gehen die Kämpferdrücke durch die Mittelpunkte der Kämpferquerschnitte, sobald nur eine gleichförmig über die Stützweite vertheilte Belastung vorliegt, und als solche wird die Constructionslast stets in Rechnung gestellt.

Der von der Verkehrslast zu dem Momente 9JL gelieferte Beitrag sei (931„)b, mithin

ür* = wP)K + (an,)*

und die Pressung bei C

f>²

277)

Bestimmung von max (2JL)n.

1) Bögen mit Kämpfergelenken und Scheitelgelenk (Fig. 159).

Um zunächst die gefährlichste Belastung zu ermitteln, ziehen wir die Kämpferdrucklinie BS, hierauf von R aus durch A eine Gerade, welche die BS in E schneidet und finden (wie beim Landwiderlager auf Seite 149), dass jeder Last rechts von E ein positives, jeder Last links von E ein negatives Moment entspricht. Eine zweite Belastungsscheide liefert der Schnitt E’ einer von R durch B’ gezogenen Geraden mit der Kämpferdrucklinie A S'. Lasten rechts von FI erzeugen Kämpferdrücke, welche die Fuge CC\ zwischen C und R schneiden, mithin die Pressung k bei G vergrössern, während die durch Lasten links von E' hervorgerufenen Kämpferdrücke ein negatives Moment 5CRb, mithin bei C eine Zugspannung erzeugen. Es entspricht demnach der in Fig. 159 dargestellten Laststellung das Moment maxSCfiÄ und die grösste Druckspannung k.

Die Influenzlinie für das Moment kann jetzt in derselben Weise construirt werden, wie auf Seite 149 bei Berechnung des Landwiderlagers.

und B, D' mit A’ und B' und bestimme auf AD den Punkt F vertical unter E, dann auf D’B' den Punkt F’ vertical unter E\ um schliesslich BJ und A’J’

zu ziehen. Die in der Figur schraffirte Fläche ist die gesuchte Influenzfläche. Die Theile J'B'N' und JAN entsprechen den

auf dem Widerlager selbst liegenden Lasten P, denn es ist für eine solche Last

= Px ,

also eine lineare Funktion und es entspricht einer durch R gehenden Last P das Moment = 0. Zu beachten bleibt, dass zur Influenzfläche

über dem kleineren Bogen der Multiplicator jz, zu der über dem grösseren Bogen der Multiplicator z’ gehört.

Soll 9J1« analytisch bestimmt werden, so berechne man für den Bogen rechts (Fig. 160)

zl—hc *)

zl-\-hc

Man mache D\D =

2Ä

ltons DiD' — — i , "i    2Ä'

, verbinde D mit A

278)

279)

max 9JL == --

EPb — EP'b'\ ,

h (ZH-S

wobei die Laststellung so gewählt werden muss, dass eine schwere Last über dem Scheitel liegt und eine unendlich kleine Verschiebung nach links oder nach rechts beziehungsweise liefert:

EF _

EP <Z+| '

Weiter werden noch Lasten zwischen E’ und der Verticalen durch

280)

R aufgebracht und mit der aus Fig. 160 ersichtlichen Bezeichnungsweise erhalten:

Dann ist

9DRß = PV — JH'z' + 2P"’b"’.

ir =

2P"b"

B’ = EP”--

2P"b"

mithin

281)

c'K + zT

2l’ti

EP”b” + EP'"bw.

EP” ^ EP'".

Die Stellung wird die gefährlichste, wenn eine schwere Last über A steht und eine Verschiebung nach links oder rechts beziehungsweise liefert cJi H- z’V

2 Vli

Nach Addition der Resultate No. 279 und 281 und Division durch die Tiefe des Pfeilers erhält man (max 30L)ä «nd hierauf

b²

*) Vergl. Berechnung des Landwiderlagers.

Es erscheint jedoch zweckmässig, wegen der Unwahrscheinlichkeit der Laststellung in Fig. 160 die Lasten P” und P’” nicht zu rücksichtigen.

wenigstens bei Eisenbahnbrücken — auf

2) Bögen mit Kämpfergelenken ohne Scheitelgelenk. Die Belastungsscheiden und Influenzflächen werden wie vorhin bestimmt, und sind die betreffenden Constructionen ohne Weiteres aus Fig. 161 ersichtlich.

Um 907* für die gefährlichste Belastung zu berechnen, ermittele man für den Bogen rechter Hand

3z

282)

283)

max 907 *

3z

8 hl

K[(i)2+C'²]_s<j >

welcher letzterer Ausdruck in der auf Seite 106 erläuterten Weise behandelt wird.

Den Lasten P’ und P” zwischen E' und R entspricht

worin

907* = P V — Hz' 4- EP”b”, EP’b’

B' = EP'

ist, so dass

284)    907* = EP’c’

H = ~ j 2 lEP'b’ — EP’b’² |

3Z*' + 2Ac’

4 Ih

EP’b’ 4

3 z’

8 hl

EP’b’² 4- EP"b”

wird. Bedingung ist, dass eine schwere Last über A steht und eine Verschiebung nach links resp. nach rechts liefern muss:

3lz’ 4- 2hc’

3 z’

285)

4 lh

EP’ ^ ~ EP’b’ 4- EP’’ .

Es empfiehlt sich aber, auf die Lasten P’ und P” der Unwahrscheinlichkeit der Laststellung wegen nicht zu achten. Will man dies thun, so zeichnet man zweckmässig die Influenzlinie.

3) Bögen ohne Gelenke. Es sei eine gleichförmig vertheilte Verkehrslast angenommen. Für den rechts gelegenen Bogen werden die zweiten Curven A, H und 907^ für Bewegung der Last von B nach A gezeichnet (vergl. Seite 123) und für den anderen Bogen die zweiten Curven B”, II” und 907*", für Bewegung von A' nach B’. Die von R aus an die Kämpferdruckumhüllungslinien gezogenen Tangenten schneiden dieKämpfer-drucklinien in den Belastungsscheiden E und E’ und erzeugt die in Fig. 162 gezeichnete Laststellung das Moment max 907*. Unter E misst man die Drücke A und H des Bogens rechter Hand, ferner 907^ und findet dann

507,

Die unter E’ gemessenen B’\ H” und Mb entsprechen einer von A bis E’ vorrückenden Last. Subtrahirt man dieselben von denjenigen,

welche volle Belastung erzeugt, so erhält man für die Belastung der Strecke E' B

B’ = vl’ — B"

— H”

H’ =

vt²

2A'

Mb¹ = 0 — Hf/.

Da hiernach das Moment für den Kämpferquerschnitt negativ ist, greift H’ unterhalb des Kämpfermittelpunktes und zwar im Abstande

, Mb’

von diesem an und wird hiernach

max 9R* = H(z + rj) — Ac — H¹ (z' — if) + B c’ , welcher Werth durch die Tiefe des Pfeilers dividirt, das in Formel 277 einzuführende Moment (max 9Jh)Ä liefert.

Vorläufige Berechnung des Pfeilers.

suchungen setzten wieder voraus, dass die Pfeilerstärke b auf Grundlage einer Näherungsrechnung angenommen ist. Diese auszuführen, setze man

, G — ym'bhi , nehme den kleineren

Bogen unbelastet und den grösseren derart belastet an, dass er mit H\ auf den Pfeiler wirkt und setze

3R* = Hz — H’z’ — A

Die vorstehenden Unter-

(Fig.163) c = |

2B ,

3 ’ d~

max

b „,2 b    t

~s+B T + r"Ull

6®!

k — —-z

b²

Man erhält dann

286) b =

— (A — 2 B’) -h V6(Hz — H'z')(k — yJh)_± (A — 2 ff)² _

Ist b' die Breite der Fundamentsohle, hf die Fundirungstiefe, so folgt für den Kernpunkt R' (Fig. 163)

an«’ = an»

- A jy -    + B- i-T^i + (r_Slh + y.b'h,) j

worin

= H(zA-hf) — H {z + hf)

das Moment der horizontalen Kräfte bedeutet. Aus der Bedingung

6W

b'2

k’ =

folgt

287) b =

i(7mbA₁ + A+j5')+]/|6^-3A(A+5')j(^-^Ä/)+i(7mbÄ₁ + A+»B')²

k' — ymhf

In diese Formel ist für k' die zulässige Pressung der Flächeneinheit des Baugrundes zu setzen.

Die Formeln 286 und 287 setzen voraus, dass der Stützpunkt im Kern liegt. In der Regel führt Abschätzung der Pfeilerdimensionen schneller zum Ziele als die vorläufige Berechnung.

Ein Zahlenbeispiel für die Berechnung eines Pfeilers findet sich

in § 29.

§ 27.

¹

Namentlich bleibt — wenn die vorstehenden Rechnungen praktisch ver-werthet werden sollen — anzugeben, wie gross T werden darf, wenn die durch T afficirte Fläche gleichzeitig durch eine bestimmte Zug- oder eine Druckspannung beansprucht wird.

²

Tiefe des Widerlagers bedeutet die Abmessung normal zur Brückenaxe.

³

Vergl. die Construction der Influenzfläche für 504, auf Seite 82.

⁴

Vergl. Berechnung von min 5DL auf Seite 85.

⁵

Auch wenn die Uebertragung der Last durch Zwischenträger berücksichtigt werden soll, liefert die Beibehaltung dieser Geraden als Kämpferdrucklinie genügend scharfe Resultate.

⁶

Bezüglich Berechnung von E verweisen wir auf den später erscheinenden Band: Theorie des Erddruckes, der Futtermauern und Brückenwiderlager. Bei Berechnung von G ist die Differenz der Gewichte ye und ym vernachlässigt und angenommen, dass das Gewicht des Theiles FJST (Fig. 151) vom Auflagerdruck A in Abzug gebracht wird.

⁷

Eine weitere Correetur ist in der Regel überflüssig.

⁸

eK=f) G- + A

⁹

Auf die statische Berechnung anderer Fundirungen soll in einem besonderen Bande dieses Werkes speciell eingegangen werden.

Festigkeit der Bausteine.¹)

Die zulässige Druckspannung beträgt in Kilogrammen pro Ucm für :

Gewöhnliche Ziegelsteine in Kalkmörtel .    .    .    .

Hartgebrannte Ziegelsteine in Cementmörtel .    .    .

Beste Rathenower Ziegelsteine in Cementmörtel . Klinker, Hegemühler...........

10

14

25

23

49

16

26

Hallescher „

Seeberger „

Rackwitzer „

Heilbronner „

Sandstein von Udelfangen bei Trier.....

w Durlach, Baden, dunkelroth .

„ Lindenberg, Rheinpfalz, roth .    .

„ Anweiler, Rheinpfalz.....

„ Trebgast, Oberfranken .    .    .    .

„ Kronach, Oberfranken.....

30

36

20

27

55

42

T)

r>

r>

Brohler Tuffstein

Trachyt vom Drachenfels.........

Basaltlava von Niedermendig.......

Grauwacke von Ludwigstadt, Oberfranken .

Granit, Schwedischer..........

Schottischer..........

Schlesischer und Oesterreichischer .    .    .

Syenit . Serpentin

28

23

30—60

72

100— 150 50 — 75 40 — 80 60—75 50 — 60

Reiner Cement*)

. k =    75

45

44

44

44

43

41

37

37

30

12

1 Theil Cement und 1 Theil Sand

11

Portland - Cement*) ) 1    „

bestehend aus

„    2 Theile „

10

T)

r>

Luftmörtel, gut erhärtet Guter Baugrund .    .    .

1,8 —4,0 4,0 — 5,0

Die Zugfestigkeit kann man bei lOfacher Sicherheit setzen für:

Granit.........

Sandstein........

Ziegelmauerwerk in Kalkmörtel

in Cementmörtel

0,5

0,7

r>

Klinker

1,0 — 1,5 2,0—2,5

Granit

Die Schubfestigkeit ist bei lOfacher Sicherheit für:

X zum Lager T —

II

Ziegelmauerwerk, hart gebrannt

1 Theil Cement und 1 Theil Sand

Portland - Cement*) bestehend aus:

„ 2 Theile „

n ° r> r>

« 4    „    „

Reiner Cement*)

*) Nach 60-tägiger Erhärtung.

Abschnitt VIII.

Beispiele für die statische Berechnung der Blechhogenbrücken.*) §28.

Eisenbahnbrücke. Träger mit Kämpfergelenken und Scheitelgelenk. (Tafel 16 bis 20.)

I) Anordnung. Eine zweigeleisige Eisenbahn (Querschwellenoberbau) soll mit Hilfe von Bögen mit 3 Gelenken über eine Strasse geführt werden, so zwar, dass jedes Geleis durch 2 Bögen unterstützt.wird. Die Stützweite beträgt 21— 14,8m (Fig. 164), die Pfeilhöhe h — 2,5m. Die Bogenaxe ist ein Kreisbogen mit dem Radius

= 12,20m.

7,4² + 2,52 2-2,5

Die Schwellenträger sind gewalzte Doppel-T-Eisen und bilden gleichzeitig die Gurte des unmittelbar unter der Fahrbahn liegenden Windträgers. Desshalb sind die beiden ein Geleis stützenden Bögen im Abstande l,6ra von einander angeordnet.

Die Fahrbahn wird durch Verticalen unterstützt, die in Entfernungen l,85m von einander liegen, so dass jeder Schwellenträger durch 2 Querschwellen belastet wird.

2) Vorläufige Querschnittsermittelung; Abschätzung des Eigengewichtes; Bestimmung der Kernlinien. Diese Rechnungen sind auf Seite 100 bis 102 durchgeführt und ergeben für den stärkst beanspruchten Querschnitt

1 Stehblech von 40cm Höhe, l,0cm Stärke, 4 Winkel von 8cm Schenkellänge, l,0cra Stärke,

2x3 Kopfplatten von 28cra Breite, l,0cra Stärke.

Mit Rücksicht auf die Schwächung durch 2cm starke Niete ergab sich: Querschnitt von Stehblech und Winkeleisen .    .    .    . /, = 92 LP“,

.    . J. = 21300cra\

. . / = 72 a⁰“,

Trägheitsmoment „    „

e = 0,16m, r„ — 12,36m, ru = 12,04ra.

Querschnitt der 3 Kopfplatten Kernhalbmesser.....

Radius der oberen Kernlinie „    „ unteren „

*) In den folgenden Beispielen ist, wie dies gewöhnlich geschieht, die zulässige Belastung eines Nietquerschnittes = ^nd²k gesetzt worden. Dies entspricht mit Berücksichtigung des „Nachtrages“ auf Seite 68 der Annahme, dass die Festigkeit des Nieteisens = f- mal der des gewöhnlichen Walzeisens ist.

11

Die in den Mittellinien der Verticalen liegenden Punkte der oberen resp. unteren Kernlinie haben die Ordinaten (Fig. 164)

für x = l,85m ; 2 • l,85m ; 3-l,85m; 4 • l,85m v, ya ⁼⁼ l,34m ;    2,09m ;    2,52m ;    2,66ra

„ yu = 0,98m ;    l,77ra;    2,20m ;    2,34ra.

Die permanente Belastung eines Tragbogens ergab sich p = 0,62tons pro Meter.

Berechnung der Tragbogen.

3) Die Momente minSSJto und min 59t«, herrührend von der Belastung durch den Eisenbahntrain.

Das grösste negative Moment in Bezug auf einen Punkt der oberen Kernlinie ergab sich mit Rücksicht auf die Bezeichnung in Figur 63 Tafel 5, auf Seite 85

2 Pb — £ P’b'

und ist hierbei die Zugstellung so zu wählen, dass eine schwere Last über dem Scheitel steht, und in Folge einer unendlich kleinen Verschiebung nach links resp. nach rechts

ZP’

ZP > Z -4- |

wird. Die Last über dem Scheitel zählt nach Verschiebung nach links zur 2P\ Das Analoge gilt für die Momente min9)l₍₍.    £ ist zu be

rechnen aus

y m l    h xu

resp. aus £ = Z

^ y o Z    b.To

yal -+- hxa Man findet im vorliegenden Falle:

Kern

punkt

x₀ — xu y₀ re.sp._yu

Z-4- £

IO    ©    O    O    ©    O

X    t-    o    cc    t>-    o

r-7    Co'    iS'    i—t    CO    o

Ci CO ©

H (N (fi

kbffl ] Ol o oo so

0,2668

0,2010

0,1280

0,1811

0,1468

0,0739

Wird nun ein nach big. 19a lafel 2 angeordneter Zug — von B auffahrend — mit der ersten Axe über S gestellt (Stellung I, Fig. 164), so ergiebt eine Verschiebung nach links

13

0,277

SP'

2P 39-4-8

und folgt hieraus, dass dieser Stellung die Minimalmomente für sämmt-liche Kernpunkte entsprechen, da durchweg

<C 0,277 ist.

Aller-

1 + £

dings kann manchmal noch eine andere Laststellung etwas gefährlicher werden, da sich bei Verschiebung des Zuges um eine endliche Strecke die Lastensummen ändern. Stellt man z. B. die zweite Axe über den Scheitel, so folgt nach Verschiebung nach links resp. rechts 2P'

2 P

so dass dieser Stellung ebenfalls (min 90lo)i entspricht. In einem solchen Falle müssen die Momente für beide Stellungen verglichen werden; man wird aber aus den sehr wenig von einander abweichenden Resultaten stets erkennen, dass der Fehler, den man eventuell durch das Untersuchen nur des einen Falles begeht, sehr geringfügig ist.

Es entspricht der Stellung I beziehungsweise II:

2Pb = 8 • 1,4 + 39 • 5,9 = 241,3tl“ ; 2P'V = 0 und 2Pb = 8 (1,4 +2,9)4-39• 7,4 = 323tm; 2P’b’ = 13• 1,5 = 19,5tm, mithin erhält man, da jeder Bogen nur die Hälfte der Belastung eines Geleises zu tragen hat:

2 • 13

39 + 2-8

= 0,47 > 0,2668 und

2P’

13

2P 39+2-8

= 0,233 < 0,2668,

min (901o)i = —

1,34

2,5

0,2668 • 323,0 —

19,5]-- =

— 17,87tm *)

min (5010)2 = —

2,09

2,5

0,2010 • 241,3

₂ = — 20,27tm

min (501₀)₃ = —

2,52

2,5

0,1280 • 241,3

= — 15,57tm

u

min (501„)i = —

0,98

2,5

0,1811-241,3

8,57tra

min (901,,)2 = —

1,77

2,5

0,1468 -241,3

= — 12,54tm

2,20

min (501„)₃ = —

4) Die Maximaimomente. Mit den Bezeichnungen in Figur 64 ist nach Formel 123 (Seite 86)

2,5

0,0739 • 241,3

7,85tra.

max 901 = <_ 2Pa — 2P' a! ,

worin für den oberen beziehungsweise unteren Kernpunkt h _ hx — yal

2 hl

ist. Der Zug ist — von A aus vorrückend — mit einer schweren Last

- resp. zr

£2 hx —yul

£1

2 hl

*) Für Stellung I folgt (min 9Jlo)t

1,341

2,5

| 0,2668 • 241,3 J — = — 17,25tm.

über dem fraglichen Kernpunkte so aufzustellen, dass in Folge einer unendlich kleinen Verschiebung nach rechts oder nach links beziehungsweise

ZP

£2

und

2P’

ZP

£1

wird. Man findet für

Kernpunkt 01:

£2

= 0,6070; Kernpunkt u\\ r- = 0,6790

£1

U2’. „ = 0,3960 M3: „ = 0,1850 .

Die Zugstellungen sind in Figur 164 angegeben. Kennzeichnet man die Richtung der Verschiebungen durch Vorgesetzte Pfeile, so erhält man für

02:    = 0,3320;

o₃: „ = 0,1210 ;

ZP'    9 . 13

Stellung III, (01) *•-> -p —

3 • 13

> 0,607; «»

ZP' 13

ZP

IV, (iü) -    „

3- 13 3 - 13

> 0,679;«»    „

CO CM

CO CO

< 0,607

• 13

< 0,679

V, (o₂)»«    „ = -j > 0,332;«»    „

= 0    < 0,332

VI, (M2) *-    „

CO

> 0,396; «»„ = —< 0,396 3

0,121)

0,185)

und es werden die Momente, nach Division der Axenbelastungen durch 2:

VII,

ö" •

0,121

0,185

(max m₀)i = j 0,6070 • [39 • 1,85] — 13 • 1,5 J (max 9Jt₀)₂ = | 0,3320 • [39 • 2,20] Jj (max gjl„)₃ = j 0,1210 * [39 • 4,05] J™

(max = j 0,6790 • [39 • 3,35] — 13 (1,5 + 3,0)

(max m„)₂ = | 0,3960 • [39 • 3,70] — 13 • 1,5 J ^

(max 3R„)3 = | 0,1850 • [39 • 4,05] j ^

5) Momente in Folge des Eigengewichtes. Der permanenten Belastung entspricht nach No. 127 (Seite 89)

(3Jio)p = p Ix — px y (5R„)P = plx — px y —

= + 15,15tra

= + 14,24tm

= + 9,56tm

pP

Vo

y«•

bS >-*

= + 15,1 ltm

= -h 18,82tm

= + 14,61tm.

(SR²), = + 0,77tm (Ü)M² = + 0,7 ltm (9)1,,3)2, = + 0,98tm.

Mit p — 0,62 ergiebt sich (Sftoi)² = — 1,67tm (SWoa)p = — l,46tm (SDd„3), = — 1,20²“

6) Gesammtmomente. Addirt man die Momente, welche der Eisen

bahntrain erzeugt, zu den dem Eigengewichte entsprechenden, so ergeben sich die in der folgenden Tabelle zusammengestellten Werthe:

Kernpunkt:

Ol

02

Ul

w₃

-4- max 901

= 13,48

12,78

8,36

15,88

19,53 j 15,59

— min 901

= 19,54

21,73

16,77

7,80

11,83

6,87

_ Kleinstes Moment²)

Grösstes Moment

7) Berechnung der Gurtquerschnitte. Die zulässige Spannung wird

nach Seite 63 für den Obergurt resp. den Untergurt

0,69

0,59

0,50

0,49

0,61

0,44

k„

= 0,8 (l

tone

pro

□cm

mithin für den Querschnitt 1

(ka 1) = 0,8 (1 — ² • 0,49) = 0,604 ;    (k„i) = 0,8 (1 — £ • 0,69) = 0,524.

Man findet

für Querschnitt:

k₀ —

0,604

0,556

0,624

ku =

0,524 | 0,564    0,600

Da die beiden dem stärkst beanspruchten Querschnitte No. 2 entsprechenden grössten Momente 901o = 21,73 und 9Dllt = 19,53 nur wenig von einander abweichen und ebenso die zulässigen Anstrengungen ka und ku nahezu übereinstimmen, so sollen Obergurt und Untergurt gleich stark construirt werden. Es ist desshalb in die auf Seite 61 etc. abgeleiteten Formeln

@11

zu setzen und ergeben sich die Querschnitte der Kopfplatten: für den Obergurt f₀ =

®lu 2 Js

ko ki

„    „ Untergurt f„ =

901o    2 Js

kuhi hl

Für den Querschnitt 2 erhält man

2•21300 (40)2 2•21300 (40)²

wählt also /(»=/«= 70 Q⁰¹“. Analog ergeben sich aus den Momenten 9J1„: 19,54

⁷¹    0,524 • 0,40

16,77

0,600 • 0,40

(/-) 2 =

19,53

0,556 • 0,40 21,73

0,564 • 0,40

= 61,2Q

cm

= 69,7 □

cm

2•21300

67 □

cm

(40)2 2•21300 (40)2

Für einen Querschnitt in der Mitte zwischen 2 und 3 ist nach Seite 87: max 9JL = |(12,78 4- 8,36) == 10,57 min mo = i (21,73 4- 16,77) = 19,25

/3 =

_ 43 □ cm .

10,57

19,25

0,55 ; ku = 0,8(1 — \ • 0,55) = 0,580

19,25

2•21300

56,3 □

cm

(40)2

d. i. annähernd / = (/2 4-/3)^. Da nun die Momente für die Querschnitte zwischen den Yerticalen nach den auf Seite 87 entwickelten Regeln ohnehin nicht ganz correct, gefunden werden, sei angenommen, dass die Querschnitte / sich zwischen zwei Verticalen ebenso wie die Momente linear ändern. Die den verschiedenen Abscissen x entsprechenden / sollen als Ordinaten einer Curve (Querschnittscurve) dargestellt werden, die nach vorigem aus geraden Linien besteht und zu deren Verzeichnung noch die Werthe / für x = 0 und x = l anzugeben sind.

Wird (Fig. 165) jede Last rechts und links vom Scheitel beziehungsweise mit Pb und Pa bezeichnet, so ist der Horizontalschub

0,580 • 40

2Pbb 2Paa 2h ⁺ 2h ’

derselbe wird ein Maximum, sobald eine Verschiebung des Zuges nach

2Pb 2 P'a ZPb 2Pa

links liefert:

und eine solche nach rechts

Bei der Stellung Fig. 165 a erhält man 2Pb

im ersten Falle

13 4- 16

2Pa

im zweiten Falle

77fr] ax -

1-1 jCN

4-13

2Ph 26 4- 16 3 • 13

(8(1,4 4- 2,9) + 13(1,4 4- 2,9) 4- 39 • 7,4} _ ( ~    2 • 2,5    ~    ■

2Pa

37,89*

Der permanenten Belastung entspricht

pi² _ 0,62 • 7,4² _

” 2h~~    2-2,5 —

//max = 37,89 + 6,79 = 44,68*.

Der Minimalquerschnitt im Scheitel ergiebt sich aus

1    i/min ^

2    //max y

daher in Summa

II

worin k — 0,8 ^1

= o,s(

1 H-

6,79*,

1 6,79

2 44,68

) = 0,86

44,68

0,86

Nun ist für Stehblech und 4 Winkel

92 □

so dass man für x — l setzen darf: / = 0.

Ebenso findet man für den Kämpferquerschnitt / = 0. Trotzdem soll aber die erste Kopfplatte bis zum Scheitelgelenk und zum Kämpfer-gelenk durchgeführt und der Berechnung der Längen der anderen Platten die Querschnittscurve Fig. 166 zu Grunde gelegt werden.

Den Maximalquerschnitt /= 70Q

so dass

— 52 □ cm wird.

cm

cm

erzielen wir durch 3 Platten

von lcm Stärke mit

70

—    2 • 2 = 27,3 cm Breite, und entspricht dann jeder

o

Platte ein nutzbarer Querschnitt von 23,3□cm. Man findet leicht, dass die Ordinaten der Querschnittscurve

den Werth / — 23,3 bei x = 0,64m und x" = l,00m „    / = 46,6 „ x = l,29m „ x" = 2,08m

annehmen, aus welchen Angaben die theoretischen Längen der Platten sich ergeben; dieselben werden mit Rücksicht auf die Regelmässigkeit der Niettheilung entsprechend geändert.

8) Niettheilung. Die Minimaltransversalkraft wird analog wie das Minimalmoment berechnet (Seite 91). Es ist

sin q>

l — h cotg qp l + h cotg qp

und „

min Bt = —

2 Pb — 2P’b'

Man findet für das erste Feld (Fig. 167)

1 OK

cotg qp =    = 1,6 ; qp = 32° 10’ ; sinqp = 0,53

1,16

1 = 7,4

7,4 — 2,5 • 1,6

7,4 + 2,5 • 1,6

= 2,21™ ;

= 0,230,

so dass min Rt entsteht, sobald die erste Axe über dem Scheitel liegt.

2P

(Dieser Stellung entspricht — 0,277 > 0,230) ³). Es wird

0,23 • 323 — 19,öjy = — 5,81³.

Der Laststellung Fig. 167 entspricht max Rt%, dieses wird nach Formel 134

min Rt =

0,53

2,5

max Rt — +

8jr

2Pb

+ %? {39-4,05 —

2,5

0,23 • 39 -11,45J y = 5,87 h

Der Einfluss der permanenten Last auf die Kräfte Rt ist vernachlässigbar; bei parabolischer Bogenaxe würde er Null werden. Nun ist für das erste Feld die Niettheilung

worin Rt = 5870 ks,

Jß ⁴)

<SRt

J = ~ j(27,3 — 4)46³—10,3 -40³ — 2(7

2)38³ — 2 • 24³J = 86030cm³

(vergl. Fig. 168) und <S das statische Moment einer Gurtung in Bezug auf die horizontale Schweraxe ist. Da der Hälfte eines Rechtecks mit den Abmessungen b und h (Fig. 169)

<5 =

entspricht, folgt

© == ||(27,3 — 4)46² — (10,3+1,0)⁵)40⁸—2(7—2)38²—2 • 24²| =

86030 9d

1954cm3

mithin

= 0,0075 9ft .

1954 • 5870

Setzt man =    wo p die Belastung der Flächeneinheit des

Lochmantels bedeutet (vergl. Seite 67), so erhält man

0,0075 d 8

und mit 8 = 1cm und e = 6 d

p = 800k pro U⁰™.

Dies ist zulässig, f)

Dieselbe Theilung erhalten die Niete, welche die Kopfplatten mit den Winkeleisen befestigen. Für die anderen Felder des Tragbogens wird die theoretische Theilung weiter als e = Od.

9) Berechnung der Gelenke. I. Das Kämpfergelenk. Der grösste Kämpferdruck entsteht im vorliegenden Falle bei derselben Laststellung, welche Hm&⁶ — 45⁴ erzeugt (Stellung in Fig. 165 a); für diese ist mit Rücksicht auf die permanente Last

+ 0,62-7,4 = 27⁴.

_ 8(1,4-+-2,9) + 39 • 7,4 -t- 13(11,9 -+- 13,4)

2 • 14,8

wesshalb K = V 45² -4- 27² = 52⁴ sich ergiebt.

Dieser Druck ist normal zur Lagerfläche gerichtet gedacht. Der Bogen wird am unteren Ende (Fig. 194) durch Platten verstärkt und nach Einlegen der gussstählernen Schale s auf den gusseisernen Zapfen gelagert, welcher letzterer unten mit einem Anzuge versehen ist, um eine Correctur der Höhenlage zu ermöglichen. Zur Regulirung der seitlichen Lage dienen die Keile k. Der Radius des Zapfens berechnet sich bei der (belasteten) Länge V = 27,3cm und der Belastung D aus

21)

kV [cos cpo sin cp₀ + (jPo]

71

worin zweckmässig cp₀ — 45° resp. = — und k = 0,5

1,6 D

Ions

pro □cm ge-

setzt wird; es wird dann

= 1,6

52

27,3

= 3,1

cm

wofür r = 3,5cm gewählt werden möge.

Der Lagerstuhl (Fig. 170) bezweckt die gleichmässige Vertheilung der Belastung D über eine grössere Fläche des Werksteines. Wir wählen b ungefähr gleich der 1,5 fachen Breite der Gurtung des Trägers d. i. 40cm und a = 50cm, so dass die Pressung für den Werkstein sich 52000

40-50

= 26k pro Q⁰“

ergiebt, während für Granit — allerdings bei ruhiger Belastung — k bis 45 k gestattet wird.

Um die Stärke 8' der Seitenrippen zu bestimmen, werden diese als Consol von der Ausladung e (Fig. 170) und der Höhe h behandelt. Der Querschnitt (Fig. 170a) soll so disponirt werden, dass die neutrale Axe in -j der Höhe liegt, und ist dann (vergl. Anhang) das Widerstandsmoment

W= 0,22 z 8'h².

Die Belastung D — erzeugt das Moment

De e

De²

&’0,22zö’Ä² = ^-2a

sein, wo k' die zulässige Druckspannung für Gusseisen. Setzt man D — 52¹, e = 14,5 erhält man

mithin muss

cm

(Fig. 194), a = 50

cm

, h. — 15cm, k' — 0,5* pro LP"¹, so

z8’ = 4,4c,n,

Stärke mehr als ausreichende Sicherheit

wesshalb 2 Rippen von 5 bieten. Damit nun die neutrale Axe des Querschnittes (Fig. 170 a) in ^

cm

der Höhe liegt, muss

'b — AS’z

b — 8' z 1

sein, welche Gleichung die Bedingung 8' < — liefert. Im vorliegenden Falle ist 8'z = 10 und b = 40, mithin 8 —    — 5cm.

II. Das Scheitelgelenk (Fig. 186—189). Der Zapfen wird aus Stahl hergestellt, desgleichen der Balancier (Zapfenlager). In Formel 21 darf dann k = 1,00¹ pro □cm eingeführt werden, so dass 0,8 D

_ a n    ax _

0,8 v —

0,8 • 45

27,3

= 1,3

cm

3,0«« gewählt worden. Für den gefähr-

bereits genügt. Es ist dafür liehen Querschnitt des gleichförmig belastet gedachten Balanciers wird bei der Zapfenlänge V (Fig. 171)

y* =

Da

und W =

zu

,    ,. t) . kV b? Da

so dass die Bedingung ——

*-tV

3 Da

kV

führt. Für Stahl ist k = 1,0* pro LH™ zu setzen, während a — 40cm, V = 27,3

cm

ist, so dass sich h — 7cm ergiebt.

Der Bolzen ist gegen Verschieben normal zur Brückenaxe durch Anläufe gesichert. Die Schwellenträger, welche gleichzeitig die Gurte des Windträgers bilden, sind über dem Scheitelgelenk unterbrochen und durch eine horizontale Platte verbunden; letztere dient gleichzeitig als Anschlussblech für die mittelsten Winddiagonalen und setzt der Hebung und Senkung des Scheitels einen nur sehr geringen Widerstand, welcher übrigens durch eine leichte Wellung der Platte herabgemindert werden kann, entgegen.

Berechnung der Q,uerconstruction.

10) Der Windträger. Wird die Höhe des Wagenzuges 3,8ra angenommen und der Winddruck pro gleich 0,15* gesetzt, so ist die mobile Belastung pro Meter

wn = 0,15 • 3,8 = 0,57 h

Die permanente Last berechnet sich bei der Pfeilhöhe h — 2,5m des Tragbogens angenähert auf

wp = 0,15 \ = 0,188b

Jt

Q>m -

t~ 10p Xm I 0,15 - (Xm    1,5).

Die Transversalkraft für das mte Feld des Windträgers ist mit der Bezeichnungsweise Fig. 172 (nach Formel 227 Seite 135) wvxj²

Mit P~ 13⁷ erhält man für:

£« = 2,794 = 4,211 = 5,77⁷ = 7,45 b

Feld 4 xm’ =    4 •    1,85 xm” =    0,5 • 1,85

„    3    =5-1,85    =1,5-1,85

„    2    =    6 •    1,85    =    2,5 • 1,85

„1    =    7 •    1,85    =    3,5 • 1,85

Die beiden neben einander liegenden Windträger sind durch Winkeleisen W (Fig. 184) mit einander verbunden, und sind daher (vergl. Seite 137) die Kräfte £>m zu halbiren. Desshalb findet man für die Diagonale

Dm =

1 'Qm

2 sinqp Di = 5,70¹

1 ft ²’⁴⁵    1

= ^    - -- und zwar:

1,6

D₃ = 3,22 ‘ Di = 2,13b

Z>2 = 4,42

Die zulässige Inanspruchnahme (Seite 128) ist k = RO¹ pro □cm, so dass bei 1,0cm Stärke und mit Rücksicht auf die Schwächung durch 2,0cm starke Niete die Breite der ersten Diagonale

5,70

1,0 • 1,0

+ 2,0 = 7,7

cm

wird.

cm

Ebenso wird Diagonale No. 2 gewählt. Im 3ten und 4ten Felde sind 5,2 starke Diagonalen anzuordnen.

Ein 2,0cm starker Niet hat 3,14 LP™ Querschnitt, und genügen, um eine Diagonale mit dem Querschnitt / anzuschliessen,

= 0,4 / Niete.

_A f

n 4 3,14

Die ersten beiden Diagonalen werden durch n = 0,4 • 5,70 = 3 Niete, die anderen beiden durch n — 0,4 • 3,22 = 2 Niete befestigt.

Die Normale N\ (Fig. 172) des Windträgers ist durch Si = ^ • 7,45 = 3,73⁴ = 3730k belastet. Das erforderliche Trägheitsmoment ist (bei der Länge 160cm)

3730 • 160²

23,87cm\⁷)

4000000

Ein Winkel mit der Schenkellänge 7cm und der Stärke 1 Jmi„ = 23,73,⁸) genügt also für sämmtliche Normalen.

besitzt Die End-

cm

normale Na hat die grösste Auflagerreaction des horizontalen Windträgers aufzunehmen; diese wird (Fig. 173)

3 • 0,10 P (2/— 1,5)

A,c = (wp -i- wv)l-+-

9)18*,

Erforderlich ist hiernach

mithin = 4,59* pro Windträger.

4590- 1602 J ~ 40ÖÖ000

= 29,38cm’.

Einem Winkel mit der Eisenstärke 8 und der Schenkellänge 6 8 entspricht (Anhang, Tabelle 2)

so dass für 8 = 1,25

J= 14,48 öS

und Schenkellänge 6 • 1,25 = 7,5cm J = 28,28cra4

Wird die Endnormale durch 2 Niete von 2,0 die Anschlussplatte befestigt, so ist die Inanspruchnahme des Nietes 4590

wird.

cm

Stärke an

< 700k pro Uh“, so dass die Verbindung genügend stark ist.

2-3,14

Ueberhaupt werden sämmtliche Normalen des Windträgers durch je zwei Niete an die Anschlussplatten befestigt.

Die Normalen, welche die beiden Windträger verbinden, erhalten das Caliber 7,0 X 7,0 X l,0cm und werden ebenfalls durch zwei Niete befestigt. Sämmtliche Anschlussbleche sind l,2cm stark.

Das Maximal-Angriffsmoment in Bezug auf die Mitte des Windträgers wird bei der in Figur 174 dargestellten Belastung

72

= (wm + Wp) — -+- 0,15PI — 0,10P 1,5 = 33,23*

und kommt hiervon auf jedes der beiden Systeme ^ • 33,23*m, wesshalb bei dem Abstande l,6ra der Tragbögen die grösste Belastung der Gurtung

¹⁶’⁶* = ,0,4*

1,6

beträgt. Wird die Platte, welche die Schwellenträger über dem Scheitel miteinander verbindet, durch 6 Niete von 2cm Stärke befestigt, so ist die Spannung im Niet

10400

<C 700k pro □Rra.

6 • 3,14

II) Der Schwellenträger. Die grösste Inanspruchnahme erfolgt, so

bald die Axe einer Eilzug-Maschine über der einen Querschwelle liegt.

Der Raddruck beträgt in maximo 9*, so dass (Fig. 175)

^    3 PI 3-9-1,85

max yjc = —    . —

4 4

= 312200k pro Centimeter.*)

*) Es wird zweckmässig darauf nicht gerücksichtigt, dass der Schwellenträger continuirlich ist.

16

3,l22‘m

Ist TT das Widerstandsmoment des Querschnittes, F der

Inhalt

so ist die Spannung

312200    10400

woraus

W= 4-1312200 + 10400 i k (    F )

Auf diese Form empfiehlt es sich stets, die Gleichung zu bringen,

W.

da der Kernradius — innerhalb gewisser Grenzen annähernd constant ist.

So liegt er für die hier in Betracht kommenden Profile zwischen 7 und 9. W

Wird — = 8cin und k = 750 gesetzt (wobei sowol auf die ungünstige

Anstrengung durch Stösse als auch darauf gerücksichtigt wurde, dass bezüglich der Belastung sehr ungünstige Annahmen gemacht worden sind) so ergiebt sich

W — 527

und genügt das Profil No. 36 der Tabelle 1 des Anhanges mit W = 553

und — = rot 8,lcm.

12) Verticalen zur Unterstützung der Fahrbahn. Die grösste Belastung erfährt die Verticale, sobald das Mittelrad einer Maschine über derselben liegt. Man erhält für eine Eilzugmaschine (Fig. 176)

V= 9 + 2-3

10,5»,

1,85 — 1,4

1,85 für eine Güterzugmaschine (Fig. 177)

V = 6,5 + 2 • 6,5

= 9,0*.

1,85—1,5 1,85

Die Belastung durch die Fahrbahn beträgt (400k pro Meter Träger)

0,400- 1,85 = 0,74*,

so dass die Gesammtbelastung:

10,5 + 0,7 = 11,2*.

Die erste Verticale ist circa l,3m lang und wird daher das erforderliche Minimalträgheitsmoment

= 47,32 .

11200- 130²

4000000

Die Verticale besteht aus 2 Winkeleisen mit dem Caliber 7cm X7cmX l,0cra und hat Kreuzquerschnitt; diesem entspricht zwar (Tabelle 2 des Anhanges)

Jmin = 2 • 92,09 = 184,18,

doch sind geringere Abmessungen durch die Nothwendigkeit einer soliden Befestigung der Theile miteinander ausgeschlossen.

13) Die Endversteifung. Unter der Voraussetzung, dass eine Güterzugmaschine⁹) die in Fig. 178 dargestellte Stellung hat, ist der Druck auf die Endverticale

To =    13 -f

13 • (1,85 — 1,5) )

1,85

(4=7,73⁹.

Hierzu ist zu addiren: a) Belastung durch das Eigengewicht der Fahrbahn (800k pro Meter Geleis) mit

F₀" = £ • 0,8 • £ • 1,85 = 0,37⁹;

b) derjenige Druck, welchen die Endverticale als Constructionsglied der Endversteifung aufzunehmen hat, und der nach Seite 137

4,59 • 2,5

Vow =

1,6

7,17⁹

wird, worin 4,59 den durch die Versteifung aufzunehmenden Druck des Windträgers,

2.5    = h die Höhe der Endverticalen,

1.6    den Abstand der Tragbögen bedeutet.

Man erhält im Ganzen

V₀ = 7,73 H- 0,37 + 7,17 = 15,27⁹ und findet das erforderliche Minimalträgheitsmoment

15270 -250²

'7min -

4000000

= 238,6.

Die Verticale ist derartig aus 2 Winkeleisen gebildet, dass der Querschnitt kreuzförmig ist. Bei dem Winkeleisencaliber 7,2craX 7,2cmX l,2cm ist dann (wegen m = 6, Tabelle 2 des Anhanges)

= 2 • 55,92 ö⁴ = 2 • 55,92 • 1,2⁴ = 232,11.

Die Diagonale der Endversteifung ist (bei einer Länge von Vl,6² + 2,52lu) belastet durch

min

4,59 • Vl,6² + 2,5²

1,6

= 8,32⁹,

und die zum Anschluss

so dass der erforderliche Querschnitt 8,32 □ nöthige Nietzahl n — 0,4 • 8,32 = 4 beträgt. Bei einer Stärke von l,2cm

8 32

wird die Breite der Diagonale —¹+ 2,0 = 8,9cm.

cm

1,2

14) Die Versteifungen, welche dazu bestimmt sind, den auf die Tragbögen wirkenden Winddruck dem oberen Windträger zu übermitteln, be-

175 —

stehen aus 2 sich kreuzenden Flacheisen (Fig. 191), die bei der Neigung <f und unter Voraussetzung eines starken Orkanes durch die Kraft

Wu

COS Cf

angestrengt werden, wo

Wu = 0,3 • 1,85 • 0,46*) = 0,255‘

den Winddruck auf ein Feld des Tragbogens bedeutet. Eine Diagonale mit den Abmessungen 5cra X l,0c,n, welche durch einen 2cra starken Niet befestigt wird, ist mehr als ausreichend.

15) Stabilität der Brücke gegen Kanten durch Winddruck. Bedeutet (Fig. 179) ti den Abstand der Schienenoberkante von der Horizontalen durch die Kämpfergelenke, ti' die Höhe des Wagenzuges,

Wp den Winddruck auf die Brücke,

„ den Wagenzug,

Wv „

hp die Angriffshöhe von Wp,

v die gleichförmig vertheilt gedachte Verkehrslast pro Längeneinheit ,

b’ den erforderlichen Minimal-Abstand der Tragbögen von einander,

so ist, wenn die Ueberführungen der beiden Geleise von einander unabhängig construirt werden, die Bedingung für die Stabilität

¹

Yergl. „Beigabe zum deutschen Baukalender . „Heinzerling, die angreifenden und widerstehenden Kräfte etc.“ „Wittmann, Statik der Hochbauconstr.“ „Mittheilungen von Bauschinger in der Zeitschr. des bayr. Arch.- u. Ing.-Ver. 1874“.

²

Bei Bildung des Verhältnisses e sind die Momente „absolut“ zu verstehen.

³

Vergl. die sub 3 durchgeführte Berechnung der Minimalmomente.

⁴

Vergl. Formel 90 auf Seite 66. In diese ist bei der Stellung, welche min Rt erzeugt, P — 0 einzuführen, so dass an den Anschlussstellen der Verticalen eine engere Theilung nicht nöthig ist.

⁵

Das Stehblech ist hier in Abzug zu bringen.

f) Ist nur eine oder Kopfplatte vorhanden, so sind die Niete schwächer beansprucht, da ^ kleiner wird.

⁶

Vergl. Anhang.

⁷

Nach Formel 110 Seite 79. Es ist 2 == 5, E = 2000000k pro acra.

⁸

Nach Tabelle 2 des Anhanges ist für m — 7 und S — 1

J = 23,73.

⁹

Es wird nur die Einwirkung einer Güterzugmaschine untersucht, da die Endverticale zugleich einen Bestandtheil der Endversteifung bildet und als solcher besonders stark durch die Stellung Fig. 15 unter gleichzeitiger Annahme eines grossen Winddruckes beansprucht wird.

I)

Wphp -t- TF„(V+ -^) = (ü4-^)2Z-| •

Setzt man Wp = \h • 2Zw, hp — b’ =

, Wv = wh"2l, so folgt

7ä²

ti’(ti -4- %ti’) + “3Q 1 ‘

v p

Soll nun der 3,8m hohe Wagenzug «fache Sicherheit gegen Kanten bieten, so folgt (bei l,5m Spurweite)

1,5

T ⁼ ”³’⁸Tn

v — n 9,63 w und

V = q.,²"’ , j »"(»' + m + ~I •

9,63 nw -h p {    30 5

Der von w abhängige Theil wird mit w ein Maximum, und möge, um dem denkbar ungünstigsten Falle Rechnung zu tragen (da die Gleichung I labiles Gleichgewicht liefert), w = 0,2* pro □*" und n .nur 1,2 gesetzt werden. Es folgt dann mit ti' — 3,8

meter.

s’ = F^I³’⁸⁽⁴’+,’⁹⁾⁺iir!

*) Höhe des Bogenträgers 40cm + 6 • 1 = 46cra.

b’ =

Im vorliegenden Falle ist h — 2,5m und ti = 3,25m, somit 21 = 2,9m, während b = l,6m gewählt ist. Da nun nach

0,4

0,6 4- 2,3

Gleichung I das Angriffsmoment des Winddruckes = (v 4- p) 2 lb' ist, sucht, des kleiner gewählten Abstandes b wegen, der Wind die

Brücke mit dem Momente

(v 4- p) 21    ⁼ nw 4- p) l (b' — b)

= (9,63 • 1,2 • 0,2 4- 0,6) • 7,4 (2,9 —1,6) = 27,90tm zu kanten. Um dies zu hindern, werden die beiden eingeleisigenBrücken an denEnden durch Vertical-kreuze verbunden, und ist ein Kanten (nach Fig. 180) nunmehr erst dann möglich, wenn dieses Verticalkreuz überanstrengt wird. Mit Rücksicht auf die der Figur 181 eingeschriebenen Bezeichnungen findet man, wenn 9D1 = 27,90 zu gleichen Theilen auf die beiden Versteifungen vertheilt wird,

— Nh — De = pl

rsyi o

woraus mit h = 2,5“; c = 2,88m; b = l,6m; p — 0,6*

N — 5,58* (Druck)

D = 3,6h

Der Querstab N besteht aus zwei Winkeleisen mit den Abmessungen 7cm X 7cm X lcm. Dem Querschnitte eines jeden Winkels entspricht J= 57,91, während erforderlich ist für beide:

5580 • 2402 J ~~ 40000ÖÖ

= 80.

Zur Befestigung des Stabes genügen 2 Niete von 2cm Stärke. Der Lochmanteldruck wird nämlich bei l,2cm Stärke des Anschlussbleches 5500

5500

2dd    2-2-1,2

= 1146k pro □cm,

Für die Diagonale genügt ein Querschnitt von 3,6 d⁰¹“, wesshalb bei l,0cm Stärke und 2cm Nietdurchmesser die Breite = wird. Die Befestigung erfolgt durch 0,40 • 3,6 = 2 Niete.

3,6

1,0

4- 2,0 = 5,6cm

Berechnung des Widerlagers.

Das Widerlager (Fig. 182) besitzt einschliesslich lm Fundirungstiefe eine Höhe von rot. 7,2m und eine Tiefe von 8,n. Damit auf der Fuge EE\ selbst bei fehlendem Mörtel Gleiten unmöglich ist, muss

fymh

sein. Darin ist rot. h% — 3,7m, ye = RO¹ das Gewicht der Erde und ym — l,6t das Gewicht des Mauerwerks pro Cubikmeter, / = 0,7 der

Reibungscoefficient. Das Gewicht G des Theiles E^LOS muss von A abgezogen werden und beträgt rot. 0,6 • 3,5 -1,6 = 3,36*, so dass (vergl. Seite 153):

max (II—fA) =

ZPb —

—f(pl — 3,36)

wird. Hierin ist

J-/A. I

l-hfh’ l + §    2    2 V

während die Zugstellung so zu wählen ist, dass eine Verschiebung des Lastensystems nach links oder nach rechts ZF

ZP^ Z+£

zur Folge hat. Die Axenbelastungen P und ebenso die permanente Belastung p = 1,24 der Brücke pro Meter Geleis sind hierbei durch die halbe Tiefe des Widerlagers, d. i. durch 4 zu dividiren.

0,7 • 2,5 2 • 7,4

Es ist

l+§

r-H (N

resp.

= 0,382, und entspricht der in Fig. 182

angegebenen Stellung I bei Verschiebung nach links oder rechts ZF

2-13

ZF

ZP 3-13 + 2-8

> 0,382 resp. ^

13

ferner

3 - 13 + 2-8

= ^8(1,4 + 2,9) + 39 • 7,4)    = 80,75tm

ZFb' = (13 • 1,5) ~ = 4,88tm.

pl² _ 1,24    7,4²

' 2 • 2,5 “

ZPb

r-H I

Da nun weiter

2A

Ins

3,40

< 0,382,

und pl = —— • 7,4 = 2,29 ist, so folgt

max(77—fA) = ~ [0,382-80,75—4,88]+3,40—0,7(2,29—3,36) = 14,53*

14,53 — ^ • 1,6 • 3,7² _

0,7 • 1,6 • 3,7    —

Es soll nun berechnet werden, wie gross die Beanspruchung des Mauerwerks bei C ist, wenn die Breite b — 2,85m bis zur Fuge CC\ beibehalten wird. Das grösste Moment, welches die Kräfte A und II in Bezug auf den Kernpunkt R ausüben, ist, mit Berücksichtigung der permanenten Belastung des Bogens (vergl. Seite 153):

_zl — hc_ 1 hc

T+1 “ 2zl ~ T ~~ 2z,l

z — 3,0m und c = 0,95m, mithin = 0,45.

2,5

2,85m.

201* = 4-

Darin ist

ferner

1rrr

12

Die gefährlichste Zugstellung ist die Stellung II*) in Fig. 182, denn eine Verschiebung nach links resp. rechts liefert 2 P'

39

2P 39 + 24

> 0,45 resp.

2P’

26

2P 39 + 24

rr < 0,45.

Da nun

2Pb = (24 • 2,9 + 39 • 8,9) — = 104,18 39- 1,5-— = 14,63tm

2P’b’ =

pl²

2^ = 3,40 und pl — 2,29 ist, so folgt

0,45 • 104,18 — 14,63| + 3,40 • 3 — 2,29 • 0,95 = 4G,73tra.

Das Gewicht des Widerlagers einschliesslich G’ ist G = 1,6-2,85-6,2 = 28,27*;

3,0

2,5

der Erddruck wird

7eh\ = 4--1,6-6,22= 7,69‘,

mithin das Gesammtmoment für den Punkt R (mit Berücksichtigung von G' = 3,36*, welches von G abzuziehen ist und desshalb als aufwärts wirkende Kraft in Rechnung gestellt wird)

9J1* = 46,73 + 28,27 - ^

Der Normaldruck wird

3,36 (o,95-^)-7,G9 +

= 46,45.

iS

worin

= G — (x + A 104,18

, 2Pb A — plA- 2Z

91 = 28,27 — 3,36 + 9,33 = 34,34tm.

2,29 +

14,8

= 9,33 S so dass

Der Abstand des Stützpunktes s vom Punkte R ist:

9JU_ 46,45 9i~    34,34

und von der stärkst gedrückten Kante C

= 2-0,95— 1,35 = 0,55'".

Es liegt nämlich s ausserhalb des Kerns, und wird daher die Beanspruchung:

= 1,35 m

k = - y—.

291    2-34,34

3|'    3-0,55

= 41,6* pro Q⁰“,

während für gewöhnliches Backsteinmauerwerk k = 70 statthaft ist.

*) Für die Stellung I wird ebenfalls bei einer Verschiebung nach links beziehungsweise nach rechts HP’

26

HP'

13

>0,45 und 2p 39_,_₁₆

39 + 16

doch ist 0,45 • 104,18 — 14,63 grösser als 0,45 • 80,75 — 4,88.

HP

< 0,45,

Nach der Formel hätte man erhalten

= 34,3 ‘ pro CI®“

6 • 46,45 2,85¹ 2

Die Lage derjenigen Fuge, für welche k ein Maximum wird, ist nach Formel 274 durch

gegeben. Setzt man hierein

so folgt

2Pb 2P'b'

T~+pl

104,18    14,63

2 • 2,5    2,5

1-3,4 = 18,4%

w = 2 t/6-18,4 + 1,6-2,85² V ³    3-1,6

d. i. grösser als 7,2m.

Für das Fundament wird die Breite

b' = b + 0,51 = 2,85 + 0,51 = 3,36“ gewählt. Es entspricht dann dem Kernpunkte E’ der Fundamentsohle c' = 0,87, z = 4m, mithin

/Vf

= 0,46,

hc’

Z + £    2    2 z’l

woraus folgt, dass das grösste Moment Tin’, ebenso wie durch die Laststellung II erzeugt wird. Die Beanspruchung des Baugrundes findet man am bequemsten wie folgt:

Es ist A = 9,33% H = 18,4S E = ~ yjx\ =

ICO

• 1,6 • 7,2² = 10,37³,

an und in der Höhe — • 7,2 = 2,4m wie vorhin

E = 10,37⁴.

Das Angriffsmoment für den Mittelpunkt der Sohle ist

0,6 V 2

501’ = 10,37 • 2,4 + 1,8 • 3,6 — 3,36

wesshalb — da der Stützpunkt ausserhalb des Kerns liegt — die Beanspruchung des Baugrundes

2 3T

3a&'-<0    3 -(1,68 —1,0)

beträgt, während k' — 45 zulässig ist.

Schliesslich bleibt noch nachzusehen, wie gross k' vor Aufstellung der Bögen ist. Die Hinterfüllungserde wird man für diese Untersuchung etwa mit v" — 1000k pro der Oberfläche belastet annehmen. Es

greift dann in der Höhe ~ • 7,2 = 3,6¹¹¹ der Erddruck⁴)

* = ’-i

k’ —

2 • 39,6

= 38⁴ pro

v"h

1,0 • 7,2

= 1,8⁴

= 27,59⁴“>,

also kleiner als das vorhingefundene. Da auch der Normaldruck sich um A kleiner herausstellt als bei belasteten Bögen und unbelasteter Hinterfüllungserde, so wird F < 38⁴ werden, so dass das Widerlager in jeder Hinsicht als genügend stark zu erachten ist.

§ 29.

Eisenbahnbrücke von 24m Stützweite. Bögen mit Kämpfergelenken ohne Scheitelgelenk. (Tafel 21—27.)

I) Anordnung. Eine zweigeleisige Bahn mit Langschwellen-Oberbau soll über einen Fluss geführt werden. Die Stützweite beträgt 24m, die Pfeilhöhe der Bogenaxe 3,2¹¹¹ (Fig. 227). Jedes Geleis wird durch zwei Bögen unterstützt, die im Abstande 1,8m von einander aufgestellt werden. Es liegen dann die Langschwellen beinahe über den Tragbögen, und werden die Querträger, welche gleichzeitig die Normalen des unmittelbar unter den Schwellen liegenden Windverbandes bilden, nur wenig auf Biegung beansprucht. Ausserdem bieten die Knotenbleche des Windverbandes den Schwellen eine grosse Auflagerfläche und machen die sonst anzuempfehlenden besonderen Unterlegeplatten überflüssig. Die Querträger sind zur Aufnahme eines nur für den Bahnwärter bestimmten Fussweges verlängert und in 2m Entfernung von einander angeordnet; dieser Abstand ist so bemessen, dass eine Unterstützung der Schwellen durch besondere Längsträger, welche von Querträger zu Querträger gehen würden, entbehrt werden kann. Es ist dies aus folgender Rechnung ersichtlich:

Das Angriffsmoment 9Jt, welches auf Schwelle und Eisenbahnschiene wirkt, vertheilt sich mit auf die Schwelle und mit 9JL auf die Schiene. J\ und J₂ seien die Trägheitsmomente der Querschnitte von Schwelle und Schiene, E\ und E₂ die Elasticitätsmodel. Aus der Bedingung der Ueber-einstimmung der elastischen Linien beider Träger folgt

SWi

$ki _ EiJi

Euh ~~ E₂ J₂ ’ m₂~ E₂J₂ '

30⁵

Der Schwelle (Fig. 201) entspricht: J\ = —— = 67 500om⁵,

12

30³

Wi = V = 4500cmS, b

hohen Eisenbahnschiene: J₂ = 919cm4, ⁵)

W₂ = 14 0c rn 3 ;

ferner ist Ei = 110 000k pro Q⁰™, E₂ — 2 000 000k pro □cra, mithin

_ 110000 • 67500 5IR₂    2000000-919

Das Maximalmoment, welches der Raddruck P bei der Stützweite T. erzeugt, ist nach der Theorie der continuirlichen Träger⁶)

SW = 0,214 PX ,

so dass, wenn P = 9000k als Raddruck für eine Eilzugmaschine angenommen wird, sich

und der 13

cm

SWi

= 4.

...

TI = 0,214 • 9000 • 200 = 385200k

ergiebt. Nun wird

SWi = i . 385200 = 308160kcm, SfR₂ = i- - 385200 = 77040

kcm

wesshalb die Anstrengungen 308 160 4500 77040

= 68,5k pro □cm für die Schwelle,

k₂ —

140

= 553k pro Q⁰™ für die Schiene

werden. Beide Werthe sind als zulässig zu erachten.

2) Vorläufige Berechnung des Bogenquerschnitts. Die Bogenaxe ist ein Kreisbogen mit dem Radius (Fig. 227)

12² -+- 3,2²

2 • 3,2

182

Die Ordinate wird für x —    — 6m

y = ^24,l⁷ 8 — 6⁸ — 20,9 = 2,44m.

#7

Um nach den Ausführungen des § 17 für den Querschnitt bei x — 6m das grösste Moment zu berechnen, wird (vergl. S. 105)

| _ Sly — 2hx _ 3 • 12'2,44 — 2 • 3,2 • 6

3 • 2,44

= 6,75 m

bestimmt, dann aus Tabelle II (Seite 42)

Cr = 6,62m;    = 102; 3« = 6808,50

gefunden und hierauf Formel

— 3»

angewendet. Man findet 3 • 2,44

8 • 12 • 3,2

| 102 [6,62⁸ + 6,75⁸] — 6808,5 J = 55,02tm.

Einer gleichförmigen Verkehrslast (v pro Längeneinheit) entspricht nach § 17

= 0,064 wZ⁸,

daher folgt die äquivalente mobile Belastung 55,02

ü — 0,064 • l-pro Meter Träger.

= 6,0

tonß

pro Meter Geleis,

d. i. v — 3,0

tonif

Das Stehblech wird —-fal = 60cm hoch und 1,0 Die Gurtwinkel erhalten das Caliber 12cm X 12cm X 1,2

cm

stark gewählt, und entspricht

desshalb dem Querschnitt von Stehblech und Winkeln (Fig. 205 a) ohne Rücksichtnahme auf die Schwächung durch 2,5cm starke Niete*)

/, = TV j 25 • 60⁹ — 2 • 10,8 • 57,6⁹ — 2,4 • 36⁹ j = 96684cra% /, = 60-1,0+ (12 4- 10,8) 1,2 - 4 = 169,4 O™.

Für die weitere Rechnung werden das Kilogramm und das Deci-meter als Einheiten gewählt.

Länge der Bogenaxe:

ba — 21 < 1

's

= 24    1 +

2-    3,2⁸ )

3- 12⁸

J =21- 1,05;

Gewicht von Stehblech und Winkeleisen pro Längeneinheit der Stützweite:

p, = 7,6/, ^ = 7,6 • 1,694 • 1,05 = 13,52k pro Decim.;

Gewicht der Fahrbahn: P/ — 40k pro Decim.;

Verkehrslast: v = 300k pro Decim.;

erforderlicher Querschnitt der Kopfplatten einer Gurtung:

2A'

0,064 vP 4- e

..    , „    2 k

ctfshe-+-ctfse*---

— 2 hcte — 2e²ct

Darin ist h\ — 6dm = Stehblechhöhe

15

hi

16

et = 0,000012 (Seite 56); E = 2 000 000k pro Q⁰*“

= 200 000 000 k pro □ h = 32dm;

t = 30° Cels. der Temperaturunterschied; ct= 396; Ctfth = 21466; ctf. = 671; 2hct— 25344; J, = 9,6684dm‘; k = 65000k pro adra;

209 482 ;    ¹

et E= 2400;

2 J.k

Ai

279;

dm

0,064 • 300 • 120² 4- (40 4- 13,52 4- 300) • 279 e 4- 21466 e + 671 e² - 209482 650000 • 6 — 2 • 7,6 • 1,05 • 279« — 25344e — 2 • 396e2 66998 4- 120 098 e 4- 671 e2 390000 — 29797 e — 792e² '

Wird e = 2,5dm abgeschätzt, so folgt / = 1,19 Udm

und genügen hiernach 3 Platten von 1,2cm Stärke und 33,1 Dem so erhaltenen Querschnitte (Fig. 206) entspricht:

33,1

cm

Breite.

J = 96684 4

(67,2³ — 60³) = 337940

1 jJ

337940

33,6

10060; F= 169,44-2-119 = 407,4

e = —= 2,47dm,

welcher Werth von e — 2,5 so wenig ab weicht, dass ein Corrigiren überflüssig ist.

In die statische Berechnung wird e = 0,25m eingeführt.

3) Abschätzung des Eigengewichtes. Es ist

p = P/ + p. 4- 2y/^ = 404- 13,524-2-7,6-1,19-1,05 = 0,73* pro Meter.

In die statische Berechnung wird

p — 0,75l pro Meter

eingeführt.

4) Horizontalschub in Folge von Temperaturänderungen. Nach Formel 70 ist

worin zu setzen:

Ht =

15stEF t

15

¹⁵ YTh?

fr P

p² P -f- A²

J _ 337 940 F ~~    407

830°“*; etE = 0,24;    410 LP“.

Man erhält

Ht = 4436 k = rot. 4,44 ton\

Berechnung der Hauptträger.

5)    Coordinaten der Kernpunkte. Der Radius der oberen Kernlinie ist Ru — 24,1 -4- 0,25 = 24,35 m; der unteren entspricht Ru = 24,1 — 0,25 = 23,85m. Die Ordinaten der Schnittpunkte der Verticalen mit den Kernlinien (Fig. 209) sind gegeben durch

y„ = J/24,35² — x² — 20,90 yu = V23,85² — x² — 20,90 .

.....,

Man findet für die Kernpunkte oi, 02, . . . o& und U\,    . . . Uß:

(2/«)i = 0,76“; (y«)₄ = 2,62“ 0/«)2 = 1,56“;    (2/0)5 = 2,87“

(y«) 3 = 2,19“; (2/„)₆ = 2,95“.

Qfo)i = 1,30“; (ya) 4 = 3,12“

(?/o) 2 = 2,10“;    (2/0)5 = 3,37“

(2/0)3 = 2,69“;    (y„)₆ — 3,45™

6)    Momente minStto und min 59t» entsprechend der mobilen Belastung. Um das Moment min 9J1„ zu berechnen, bestimmt man

3?/o ’

sucht aus Tabelle I resp. II auf Seite 40 und 42 den nächst kleineren Werth cr und führt diesen, sowie die zugehörigen 5p„ und 3« in die Formel

2 u*

3 2/o

8 hl

K*²⁺(t)

— So

ein. Analog ist

8AZ

Kc'³⁺(4)

Sn | ,

i = i-

2Aa

32/«

Die Rechnung ist für alle die Punkte 0 und u durchzuführen, denen ein positives £ entspricht. Es ist dies Letztere der Fall bei den Punkten

2,85

— 10,37-2,4 = 39,2tra,

TI

e’ =

T’

12³

*) Es wird hier auf die Schwächung durch Niete keine Rücksicht genommen, weil die durch Belastung und durch Temperaturänderung erzeugten An-

oi bis o8 und U\ bis u$. gestellt; *)

Die Resultate sind wie folgt zusammen-

Tabelle der minSÖL.

Kern-

punkt

(ftc

cr

3»

min 507o

oooooooo

6,62*

6,62*

6,62*

6,08*

5,21

4,47

1,50

0,75

6808,50

6808,50

6808.50 4983,75 2342,25

1480.50 146,25

29,25

—    26,01 — 10,73

vernach-

lässigbar.

Tabelle der minüJJL.

Kern-

! punkt

iS

er

3«

min 5D7„

6,39

4983,75

4983,75

4983,75

2342,25

1480,50

29,25

29,25

89

vernach-lässigbar.

Die gefährlichsten Laststellungen lassen sich — obgleich dies nicht weiter erforderlich ist — leicht angeben. So entsteht z. B. min (9)io)25 wenn das 9te Rad des nach Fig. 196 angeordneten Zuges im Abstande Ü — Cr — 1,32m von der Stütze B liegt, also bei der in Fig. 207 dargestellten Stellung.

Zu min (9J1„)5 ist min (9JL)7 zu addiren. Es wird hier ein nach Fig. 19a angeordneter Zug von B aus vorrücken, bis Rad 6 im Abstande 5,67 — 5,21 = 0,46m von B liegt und ein ebensolcher Zug von A aus bis Rad 3 im Abstande 3,14 — 1,50 = l,64m von A entfernt ist. Diese Stellung ist in Fig. 208 dargestellt; sie könnte allerdings als unwahrscheinlich ausgeschlossen werden. Sieht man aber die Belastung der beiden negativen Beitragsstrecken als möglich an, so folgt min (9J1₀)₅ = —45,85 — 10,73 = —56,58 min (9J1₀)₆ = —26,01 • 2 = —52,02 min (9Eft„)6 = — 9,10 • 2 = —18,20.

und ebenso

6,53

6,16

5,49

4,57

OO OO GO * * *

89

89

5,21

4,47

63

55

«6

Ul

3,32

1,59

1,50

1,50

26

26

*) Die in den nachstehenden Tabellen mit einem Tabelle II entnommen, die anderen der Tabelle I, Seite 42 resp. 40.

versehenen er sind der

Da m die vorstehenden Rechnungen die Axenbelastungen eingeführt wurden, während jedes Geleis durch 2 Bögen gestützt wird, so sind die Momente zu halbiren.

7) Momente maxSSJL, und maxStt« für die mobile Belastung. Nach No. 164 auf Seite 107 (vergl. auch Fig. 98) ist

max 9JL

= ~ ja. + ft» an (a„— n -+■    (2a» - |’)J - <5

Oi oo

r = 2 (i-

2 hx’

3 y₀

Der Zug ist — von A aus auffahrend — mit einer schweren Last über o so aufzustellen, dass

ft

ft

2«„-£' + 2cr

ft,

Kern

punkt

-ßm i 2 an — £' H- 2 cr

ist. m bedeutet den Index der Last über o, n den Index der letzten Last, an den Abstand dieser Last von A. Wenn möglich, sollen nur zwischen den Belastungsscheiden E' und E (Fig. 208) in den Abständen von A resp. § von B Lasten liegen. Ist §' negativ, so ist Belastungsscheide E' ohne Bedeutung.

Die hiernach gefundenen Laststellungen zeigt Fig. 209 ¹⁰). Die Resultate der Rechnung sind in der folgenden Tabelle zusammengestellt.

Momente max 3Ji₀.¹¹)

Co

Mjl

S5

iS

-es

-e

? P

>5

fj

cnrr

rl

-esi-es

3 I 3

2,0

2,5

oi 78,77 -48,11 o₂ 48,76 -16,63

0,0

l,5f

O) ffl ®    ül 05 05

05 05 05 ^ o, co ®

________—fr_________

bi U) 05

O) ® o

co CO co CM CM CM

co co co

T—(

CO co CO

A A A A A A

•J—

*0 CO    GO X OO

1,43 > 1,90 > 2,85 > 2,54t 3,53 > 3,32 > 2,89 >

O u,|so ^    ^

fh h    CM CM CM

8) Momente in Folge der permanenten Belastung. Die Eigenlast beträgt 0,75¹ pro meter. Ihr entsprechen die Reactionen Ap = 0,75 • 12 = 9,0*

16,875*

_pP _0,75- 12² _

Up ~ 2ä ~ 2-3,2 ~

und die Momente

©o

©m

max 9Jt<>

Ol    58,5    146,25

o₂    58,5    146,25

o₃    246,0    1480,50

o₄    328,5    2342,25

o₅    328,5    2342,25

o₆    328,5    2342,25

co cT

lO H

31,68

47,70

48,79

38,67

24,15

13,13

Bei Berechnung der Momente hat man nur y₀ durch yu zu ersetzen. Die Resultate giebt, folgende Tabelle. Die Zugstellungen zeigt Fig. 209.

Momente max

Kern

punkt

co

C/>£

fp

i ⁸

£?

s

C*D

c?

134,79 —99,51 65,64 —30,70

46,76 —11,07

39,08 — 2,06 35,68 -4- 3,19 34,71 4- 6,64

UO IO © ©

oi h o h o 4 ©r

"bi

co    i—i    i—i    i—i

r--    CM    CM    CM

H CO rf    CO    O    iO    »O

Ci

CO

co v-

t—

N co co co cd cd cr>

Ci Ci CO    CO Ci Ci

CO co (M    (M CO CO

cc © co    co © ©

CM <M i—(    i—¹ !M CM

t' CO ^ » O o (M CO rH 05^ CO^ CT

i-4 i-4 <m cm ccf <m

MV

@»

©m

58,5 | 46,25 5    ' 64,55

u\    58,5    146,25

175,5    848,25

u₃    246,0    1480,50

ui    328,5    2342,25    19,5

w₅    328,5    | 2342,25 ©₃ = 58,5

u₆    328,5    12342,25    58,5

Die vorstehend berechneten Momente sind noch durch 2 zu dividiren.

@3 =

58,5 ©2 = 19,5

70,40

68,22

57,15

52,74

(®lP)o = Ax- Hya -V~ {mp\ = Ax-Hyu-P-~ •

9) Momente in Folge von Temperaturänderungen. Einer Erhöhung oder Erniedrigung der Temperatur um 30° Celsius über die auf etwa 10° abgeschätzte Montirungstemperatur erzeugt den Horizontalschub

onfl

Ol

02

03

04

05

06

—5,44

—5,44

—4,89

—4,65

—4,37

—4,22

+3,68

+3,68

+3,54

+3,79

+4,07

+4,22

Kern

punkt

Man findet

Kern

punkt

mP)o

(SR,),

Ht = ± 4,44‘

und die Momente

(mo)t= =FHtyo ;    2R„=

Man findet

Kern

punkt

Kern

punkt

=p(3)7«)«

Ol

5,77

9,32

03

04

05

06

11,94

13,85

14,96

15,32

CO CO c7 + cd CO

10) Gesammt-Momente. Addirt man zu den sub 6 und 7 berechneten Momenten — nachdem man sie durch 2 dividirt hat — die vom Eigengewichte und der Temperaturänderung herrührenden, so erhält man die in der nachstehenden Tabelle zusammengestellten Resultate.

Kern

punkt

— min 9D1 j +max

Kern

punkt

— min

+max9ft«

01

02

04

06

45,60

56,72

56,34

50,51

47,62

45,55

16,17

27,73

31,45

28,54

22.67

17.67

U<2

U₃

Ui

Uö

U₆

30,18

42,89

48,46

49,53

45,39

43,69

6,89

19,26

24,18

24,05

19,42

17,98

II) Berechnung der Gurtquerschnitte. Es sollen Obergurt und Untergurt gleich stark construirt werden, da für den grösseren Theil des

Trägers die Momente 9JL und 9üR„ nicht erheblich differiren. Der erforderliche Querschnitt der Kopfplatten einer Gurtung ist STOo 2 Jt== mo 2-96683 f    khi    h\ ~ * ■ 60

60²

da durchweg 9Jl₀ > 9J1„. Dabei ist

1    (max 50Ro)

2    (— min 30Ro) Man findet für den Querschnitt No. 1:

1    16,17

2    45,60

k = 0,8 1 —

tons

pro LT"¹.

k\ —

00

== 0,658⁴ pro

0,658 • 60

53,7 = 62 □

cm

und analog für

cm

w    6    :    Är₆ =    0,645    ;    /₆    =    64Qcm.

Den Maximalquerschnitt 109 Q⁰¹" erreichen wir durch 3 Kopfplatten

von 1,2

cm

Stärke und

109

= 30,3cm Breite, so dass der in Fig. 205 c?

3 • 1,2

dargestellte Querschnitt resultirt.

Die eine Kopfplatte wird bis zum Kämpfer beibehalten; die Längen der anderen ergeben sich aus der Querschnittscurve Fig. 210 (vergl. das auf Seite 167 Gesagte). Zu beachten ist, dass eine hinzutretende Platte nicht schon an ihrem Ende voll in Rechnung gestellt werden darf, sondern erst dann, nachdem sie durch so viele Niete befestigt ist, dass die Summe der Nietquerschnitte gleich £ mal dem Querschnitte der Platte ist. Dieser beträgt rot. 36 d™¹. Werden also 2,5cm starke Niete mit 4,91cm Querschnitt angewendet, so wird die zur „Endbefestigung einer Lamelle“ erforderliche Nietzahl

5-36 4-4,91

wofür 10 gesetzt werden möge. Ein Blick auf die Querschnittscurve lehrt z. B., dass bei x% — 2,53m zwei Platten nöthig sind, und bei % < l,16m eine Platte bereits nicht mehr genügt. Wenn nun in Fig. 211 bei x\ der erste der 10 zur Endbefestigung erforderlichen Niete steht, so wird vom

= 9,

Querschnitte aß ab die zweite Kopfplatte voll gerechnet werden dürfen, so dass also bereits für x <L #2, / = 73 CP™ vorhanden ist. Es empfiehlt sich, die Niete zur Endbefestigung möglichst eng zu setzen, damit der Anschluss der neu hinzutretenden Platte möglichst bald erzielt wird. Die Werthe x\ x% .. . werden selbstverständlich der regelmässigen Niettheilung angepasst.

12) Die Transversalkräfte. Die Ordinaten der Schnittpunkte 1, 2, 3, 4, 5, 6 der Verticalen mit der Bogenaxe sind (Fig. 212) yi = l,03m y₂ = 1,83m

ys — 2,44m yi — 2,87 m

y₅ = 3,12¹¹¹

y₍5 = 3,20¹¹¹ (= h).

Die Functionen sinus und cotang. der Neigungswinkel qpi gj₂ qP3 . . . der Sehnen 01, 12, 23 . . . sowie die Werthe

£ = 2Z--g-cotgqp ;    £'= 2Z +-^-cotg qp

sind in folgender Tabelle zusammengestellt.

sin (p

Die Blech wand ist durch Winkel w (Fig. 196) mit dem Caliber versteift. Als weitere Versteifungen dürfen die Lachen

7 X 7 X 1,0 für die Stösse angesehen werden.

cm

Feld No. cotg cp

1,942

2,500

3,279

4,651

8,000

25,000

CC H (M

+ 15,71 + 13,33 +10,01 + 4,16 —10,13 —82,77

32,29

34,67

37,99

43,84

58,13

130,77

Es bedeutet (vergl. Seite 109 und 110, ferner Fig. 101) £ den Abstand der Lastscheide E von der Verticalen durch B, und es ist dabei E der Schnittpunkt einer von A unter <p gegen die AB gezogenen Geraden mit der Kämpferdrucklinie. Sobald £ negativ ist, wird die Lastscheide E bedeutungslos.

Berechnung von mini?,. Den Einfluss der Belastung der negativen Beitragsstrecke BE (ein positives £ vorausgesetzt) ist (No. 171)

+ Cr² —

min Rt =

3 sin qp

8 hl

und durch folgende Tabelle gegeben:¹²)

Feld No. Ü

er

min Rt

pro Geleis pro Träger

i <N co

CO t"

CO co_

l> CO O (N

O OO

o o

C5 Oi

üi ^ o o O -cj to to * ¹²

102¹²

102¹²

CO

CO Cn

146,25

vernachlässigbar

=    —0,18 — 9,40    =    —    9,58 *.

Berechnung von maxi?*. Der Träger wird rechts vom fraglichen Felde so belastet, dass — wenn möglich — keine Last über der negativen Beitragsstrecke EB (Fig. 102) liegt. Es ist nach Formel 175:

= js. + S. (2b, -1) + i, (S. - |) j

Die Belastung des Bogens links vom fraglichen Felde erzeugt ebenfalls ein negatives Rt und zwar wird dieses mit der Bezeichnungsweise in Fig. 101 (vergl. Seite 110, Formel 173)

3 sin qp

2 an) — 3nj •

Den in Fig. 212 dargestellten Zugstellungen I, II ... V entsprechen die Werthe (Tabelle I, Seite 40)

min Rt —

8 hl

Feld Stellung an

Vn

@»

Sn

min Rt

pro Geleis jproTräger

Hhh>>

I—I I—I

CO Ol C> 1.0 CO (N CO ^ O CO

^    <1    Üt    M

OO    05    cn    OO    o

Cn    O    Oi    Ü<    Ci

29,25    — 3,89 -+- 1,95

146.25    — 9,70 + 4,85

846.25    —14,04    +    7,02

1486,50    —17,14    +    8,57

2342,25    —18,80 + 9,40

max Rt

und zwar erhält man für die Stellungen I' bis VI' (Fig. 213)

Feld j Stellung

bn

3«

max Rt

pro Geleis proTräger

H (M CO ^ O co

hCh

H H H

00 C— © ©

CO CO CO co co t-

OO Ol CO «5 O CO co co co co » >

Or Cn OO OO

OJ w w CO to M)

^    ⁰⁰    o⁰⁰    V.

Qji    Cjt    o»    Cn

146,25

146,25

2342,25

2342.25 6603,75

4880.25

OO (N W + co cri

14,00

17,08

18,64

O co o ^

C- OO^ CM fl « ao zo zo o- 06 oz

während k lässig sind.

Wird c = ßd = 15om gewählt, so erhält man

k = 0,20* pro Db“; p = 1,03* pro Q⁰¹“,

= 0,4* und etwa p = 1,1* zu

14) Stossverbindungen. Die Lage der Stösse ist aus der Skizze Fig. 214 ersichtlich. Im Scheitel sind sämmtliche Lamellen gestossen, weil es sich empfehlen wird, die beiden Bogenhälften getrennt zu mon-tiren und nach Aufstellung im Scheitel zu verbinden. Ausserdem wird jeder Winkel und jede Kopfplatte noch zweimal gestossen, während das Stehblech aus 6 Theilen besteht.

Stösse in den Kopfplatten. Werden zwei Flacheisen - Stäbe vom Querschnitte / (Fig. 215) gestossen, und wird der Stoss durch eine

4. /«

Lasche „einseitig“ gedeckt, so sind auf jeder Seite der Stossfuge n =

Niete nöthig, wo fn den Nietquerschnitt bedeutet. Liegt zwischen dem Stoss und der Lasche ein zweiter Stab (Fig. 216), so betrachte man — nach Sch wedle r — den Theil ii dieses Stahes als Lasche für den Stoss s und decke dann die beiden Stösse ii durch die Lasche cc. Auf jeder Seite der Fuge s sind 2n Niete nöthig. Empfehlenswerth ist es, den einen oder beide der ideellen Stösse auszuführen, da dann die lange Lasche zur Deckung mehrerer Stösse ausgenutzt wird. Wenn zwischen der Stossfuge und der Lasche zwei Platten durchlaufen, so ist die Nietzahl 3 n u. s. w.

Im vorliegenden Falle ist, bei 2,5cm Nietdurchmesser, /„ = 4,91 üb”¹; weiter ist / = 36 □cm, mithin

9,

5    36

n 4    4,91

wofür 10 gewählt wird, so dass 5 Niete in jede der beiden Reihen zu setzen sind. Bei der vierten Verticalen (Fig. 214 u. 217) liegen im Untergurt sowie im Obergurt 3 Kopfplattenstösse. Die Niettheilung ist an der Stossstelle 3 d. Im Scheitel (Fig. 204) ist die obere K opiplatte zwei mal gestossen worden, um die Verbindung der beiden Bogenhälften nach der Aufstellung zu erleichtern.

Stoss im Winkeleisen. Die Winkeleisen ein und derselben Gurtung sind stets an der nämlichen Stelle gestossen. Die Stösse sind durch Flacheisenlaschen (Fig. 218) von 1,4cm Stärke gedeckt. Der Querschnitt eines Winkels ist

/,„ = (12 + 10,8) 1,2 = 27,36 acra;

den beiden Laschen entspricht

/, = (10,8 + 9,4) 1,4 = 28,28 5    27 36

Nietzahl: n = — • ,    = 7. Es werden 4 Niete in den verticalen und

4    4,91

13

ist, unter das Trägheitsmoment der 4 Winkeleisen verstanden, der Stossstelle ist das dem Stehblech entsprechende Trägheitsmoment j^8h[ durch den Werth «/„, welcher der Nietverbindung beziehungsweise den Laschen entspricht, zu ersetzen, so dass

An

3 Niete in den horizontalen Schenkel gesetzt. Die Winkeleisenstösse zeigen die Figuren 217, 219 und 204; man vergl. auch Fig. 214.

Stoss im Verticalblech. Bei Berechnung der Querschnitte der Kopfplatten wurde von der Formel

ausgegangen, worin

9JL _ 2 J.

Kh K

J, = Jw H—i

8 hl

12

Ja Jw i Jn Ja

12

wird, wesshalb sich

8 hl

,₌ ®k_Ab_

J h, h Sit 12

+ Jn

ergiebt. Hieraus folgt

r ⁸K

Ja-h ~-

₌ srauii _fX

2 ku

Da nun die Niete zweischnittig sind (weil zu beiden Seiten des Stehbleches Laschen angeordnet werden), folgt mit der Bezeichnung in Fig. 220 für eine verticale Nietreihe T, 2 nd²

Jn~~r

Jn

12

H-----    2.

Ist n die Anzahl der Niete in der Verticalreihe, und wird n — 1 = m gesetzt, so ist

C2 =* e\

und man erhält

n\

«i

/»' =

71 (fö P* (    )

^ ■— I n\ + (?«i — 2)² H- (?ii — 4)² 4- • • • |

oder, nach Summirung dieser Progression,

n d? e\ n(n 1)

4    6 n — 1

2J1 > Jn

Aus der Bedingung

findet man die Nietzahl.

Bedeutet weiter 8' die Stärke und h! die Höhe der Lasche, so muss

Jn sein.

pro □cm und, bei dem Querschnitt 2 • 3,14, eine Belastung von 350-2'3,14 = 2148k. Dieselbe wirkt normal zum Querschnitt. An Stelle der Transversalkraft für die inFig.207 dargestellte Stellung führen wir — um recht ungünstig zu rechnen — die grösste Transversalkraft ein, trotzdem diese bei einer anderen Laststellung entsteht und vertheilen max Bt = 8,51* gleichmässig auf die 14 Niete, welche auf der einen Seite des Stosses angeordnet sind. Es entfällt dann auf jeden Niet die parallel dem Querschnitt wirkende Belastung

8510

14

608 k.

Die Gesammtbelastung des untersten Nietes wird ^608²-b 2148²= 2232, so dass die Lochmantelpressung pro Flächeneinheit nur

= 1116 k

2232    2232

dÖ 2-1

beträgt. Man darf hier mindestens p = 1200k (nämlich etwa das Doppelte der Spannung ku) gestatten.

15) Berechnung des Kämpfergelenkes. Aus den Componenten A und II des Kämpferdruckes K findet man den Druck D normal zum Auf lager (Fig. 222)

oder, wegen

D = A sin cp₀ -f- II cos <po = cos cp₀ j A tg <jp₀ -h II |

(?!-»)

— 2Pb*

2Pb

Z>

8Ä

worin £ = 2 Z H- — tg qpo ist.

o

Das Maximum von D weicht sehr wenig von dem grössten Kämpferdrucke ab und soll als grösste Belastung des Zapfens angesehen werden. Der für D gefundene Ausdruck hat dieselbe Form wie (— 3ftu) auf Seite 105 (Formell) und lässt sich, analog wie dort, in

max D

Durch Temperaturänderung entsteht

Rt = + 4,44 sin qp,

so dass nach Addiren dieses Werthes zu den vorhin berechneten Resultaten sich ergiebt:

Feld 1

13) Die Niettheilung ist e ==

(vergl. Seite 168), worin 91 die

Tragfähigkeit eines Nietes bedeutet. Den Querschnitten Fig. 205 entspricht der Reihe nach:

<&Rt

Keine

Kopfplatte

\ J» = tV j(2 • 12+1) 60³ — 2 (10,8) 57,6³ — 2,4 • 36³j = 96 684

|@. = i j(2- 12) 60² — 2 (10,8) 57,6² — 2,4 • 36 ²| = 1453

l Ji = 96 684 + TV (62,4³ — 60³) • 30,3 = 164 785 j = 1453 + (62,4² — 60²) • 30,3 = 2565

Eine

Kopfplatte Zwei

Kopfplatten | @a = 1453 + } (64,8² — 60²) • 30,3 =

J₂ = 96 684 + TV (64,8³ — 60³) • 30,3 = 238 331

3 722

J₃ = 96684 + TV (67,2³ — 60³) • 30,3 = 317532 Kopfplatten | <S₃ = 1453 + } (67,2² — 60²) • 30,3 =    4922

Drei

und erhält man

Ji

= 64,2;

J'i

@2 = 64’⁰ ’ ^ = 64’²-

Ji

^ wird hiernach bei 2 Kopfplatten erhalten

und folgt, da im ersten Felde Rt am grössten ist, dass sich zwischen xi = 1,16 und x = 2,0,u (vergl. die Querschnittscurve in Fig. 210) die engste Niettheilung ergiebt. Dieselbe wird wegen Rt = 10,89

64,0 91 10,89

Da die Niete doppelschnittig sind, ist

(TT fl 2

2 —— k resp. 91 = pdd ¹³)

0

und folgt, wegen d = 2,5cm und 8 = 1,0

e = 74,2 k resp. e = 14,7    .

Der kleinste Werth

= 5,87 91 .

91 =

cm

Für den bei der dritten Verticalen angeordneten Stoss ist: 9Ro = 56,72tm = 5672 ¹⁴ c“

f₀ = 109 Q⁰“ (weil 3 Kopfplatten vorhanden sind) ku — 0,604k pro □

5672 • 60

CD)

mithin wird

Jn =

109 • 60²

2-0,604

96684 +

1,0 • 60³

12

= 8767c“⁴.

Der Stoss (Fig. 219 u. 221) erhält auf jeder Seite der Fuge 3 Nietreihen; für die beiden äusseren ist e = 30cm und n = 5; für die innere ist e= 22,5cm und n = 4; weiter ist d = 2cm, also — 3,14 so dass

2J'

₀ ro „ 30² 5-61    ,    „ 22,5² 4-5'

* t“j +¹L3, “6

wird. Die Höhe der Lasche ist ti = 36cm, mithin

•(¹⁴£)“

8767 und 8’ = l,2cm.

Die Niete werden gleichzeitig durch das Moment, durch die Axialkraft und die Transversalkraft angestrengt. Um die Beanspruchung festzustellen, berechnen wir für die in Figur 207 dargestellte, das Moment min (S07o)2 = 56,72tm erzeugende Laststellung den Horizontalschub (vergl. Formel 54 und Tabelle II Seite 42):

H= j bn&l-bn) $„ + 2 (I—6„)@„ —3„ |

| 1,32(24 — 1,32) 102 + 2 (12 — 1,32) 675

— 6808,50 j y = 5207¹⁴,

675 + 102-1,32 1

ö— 16,07¹⁴

und hierauf für den unteren Kernpunkt (x — 4,0m, yu — 1,56“)¹⁴)

9J1,; = 16,87 • 4 — 52,07 • 1,56 = — 23,7¹⁴“.

Der Temperaturerhöhung entspricht 9Jfu” = — 6,93 ,

der permanenten Belastung 9)L"' = + 3,68 , so dass 9Ji„ = — 23,7 — 6,93 + 3,68 = — 26,95¹⁴“ sich ergiebt. Die Spannung (Zugspannung) in der obersten Faser ist jetzt gegeben durch

8-12 -3,2

ferner

bn

24

ka:ku = 9)1«: 9Jt₀ = 26,95 : 56,72 ,

26,95 56,72

Die Normalspannungen sind für den fraglichen Querschnitt in Fig. 221 dargestellt. Für den äussersten Niet erhält man eine Spannung von 350k

woraus

ku = 604 •

287 k pro □«¹⁴.

umformen (vergl. Formel 158). Es wird nun r — h 24,1 — 3,2    20,9

12

COS Cpo =

24,1

= 12 +

L ’ tgCp0 r — h 20,9 ’ = 14,45,

'1 co

• 12

2 = Z + jtgvo

cr = 12,95 (Tabelle II Seite 42),    = 162, S„ = 39228,75,

3 • 20,9

maxD =

3 • 20,9

8 • 3,2 • 12

j 165 [ 14,45² + 12,95²] — 39228,75 Jy =

97*,

während der permanenten Last

Dp = pl sin (po -+-

pP

12

3Acos% = 0,75-12 — + 0,75 und einer Aenderung der Temperatur

12²    20,9

2-3,2 24,1

Dt = Ht cos q>o = 4,44

20,9

entspricht, so dass

24,1

= 4*

sich ergiebt.

D = 97 + 19 + 4 = 120*

Der Radius des 35

cm

langen Zapfens (Fig. 199) folgt nun (Seite 169)

1,6 2) 1,6-120

35

5,5cm.

Die Lagerplatte erhält die Abmessungen 62 Stärke von 6

cm

— so dass der Werkstein mit

120000

62-68

= 28k pro Q⁰"¹

cm

x 68

cm

— bei einer

belastet ist, während für Granit bis 45k zulässig sind.

Der Querschnitt « (dessen Höhe h\ ist), wird durch das Moment De\_120 • 27,5²

2a

2-68

_ 667 *cm

beansprucht; seine Abmessungen sind aus Fig. 202 a ersichtlich. Lage der Neutral-Axe folgt aus der Momentengleichung bezüglich cc:

Die

48 • 16 •

y + (62 — 48) - 6 ~ = j 48 - 16 + (62 — 48) • 6 J x

x = 7,5cm.

Das Trägheitsmoment in Bezug auf die Neutral-Axe ist

mithin

yj 62 • 7,5³ — 14 • 1,5³ + 48 ■ 8,5³ j = 18529 , = 2470

7,5

und die Spannung in der stärkst gezogenen Faser

pro CF¹“.

Je'

667

2470

= 0,26

tons

Dieser Werth ist zulässig.

Die Rippen, deren Stärke ö’ = 4,8 werden durch das Moment

cm

und deren Zahl z = 3 ist,

De\ _ 120 • 20,22 ~ 2-68

beansprucht. Aus der Festigkeitsbedingung (vergl. S. 170)

Tte¹

kQ,22z8'h\ =

2a

_ 360 *cm

¹

ithin, da E in der Höhe — 7,2 = 2,4“ angreift, das Angriftsmoment für den Mittelpunkt der Sohle:

5CRÄ' = 18,4 • 4 — 9,33    + 3,36 (

²

ferner der Normaldruck

91' = 28,27 — 3,36 + 9,33 + 3,36 • 1,6 • 1,0³) = 39,6³, mithin die Druckexcentricität

³

G" — 3,36 • 1,6 - 1,0 = Gewicht des Fundaments.

⁴

Yergl. Seite 153.

⁵

Vergl. Anhang.

⁶

Winkler, Theorie der Brücken (1873), Heft I, Seite 144.

⁷

rrjoy    ~l

⁸

griffsmomente addirt und in die Formel k„ — k' 1--— min 3J1° | e^n8e^^irt

⁹

werden sollen; während die grössten Momente in Folge der Temperaturänderung seltener auftreten als die der Belastung entsprechenden, und somit nach dem Wöhler’schen Gesetze eine grössere Inanspruchnahme zulässig wäre.

¹⁰

Zur Erleichterung der Uebersicht ist in Fig. 209 die Nummer der Last Pm unterstrichen.

¹¹

Die nachstehenden Werthe er, iß, <3 und 3 sind aus Tabelle I Seite 40 entnommen. Bei Untersuchung der Kriterien für die gefährlichste Laststellung bezüglich max (S07o)3 sind die mit f bezeichneten Werthe zu nehmen, sobald der Zug nach links verschoben wird, da dann die gerade über A stehende Last 8l die Brücke verlässt.

⁺) Bei positivem £' wurde die Belastung durch eine Lokomotive und einen Tender selbst dann gewählt, wenn dabei einzelne Lasten auf der linken negativen Beitragsstrecke liegen.

¹²

Die nachstehenden mit ¹² bezeichneten Werthe sind aus Tabelle II, Seite 42, die anderen aus Tabelle I, Seite 40.

¹³

p bedeutet die zulässige Belastung der Flächeneinheit der Wandung des Nietloches.

¹⁴

Hierbei wird darauf keine Rücksicht genommen, dass dieser Kernpunkt vertical unter o und nicht mit o in demselben Querschnitte liegt.

13¹⁴

folgt mit k — 0,5* pro □cm und C2 = 20,2

cm

M = 15cm,

während, mit Rücksicht auf die Abmessungen der Keile, h% = 25cm gewählt wurde. Die Stärke der Lagerplatte ist (vergl. S. 170)

-it-n

— 4 8'z

— 8’z

62 — 4-3-4,8 62 — 4-4,8

cm

gewählt.

Der Balancier wird bei der hier angeordneten besonders kräftigen

Verstärkung des Bogenfusses durch aufgeschraubte Platten nicht auf Biegung beansprucht. Wir wählen die Abmessung c (Fig. 199) gleich dem Zapfenradius, also gleich 5,5cm.

Die Lage des Zapfens kann, wie aus Figur 199 hervorgeht, durch einen darunter gelegten und zwei seitliche Keile regulirt werden.

Berechnung der Querconstruction.

man

16) Der Windträger (Fig. 197). (Für das Folgende vergleiche die auf Seite 170 etc. durchgeführten Rechnungen.)

Die mobile Belastung beträgt iov = 0,15 • 3,8 = 0,57 * pro Meter

„ permanente „

h    3 2

wp = 0,15 • — = 0,15 -    =0,24* „ .

Die Transversalkraft ist für das mte Feld

-P Xm + 0,15 — (Xm - 1,5)

W„ Xm

und erhält man mit P = 13* für:

Feld 6

Xm —

CD CO O

. 2"i

■2

= 10-2 = 11 • 2

««.” = 0,5 • 2ra = 1,5 • 2 = 2,5-2 = 3,5-2 = 4,5-2 = 5,5 • 2

£m = 3,66 = 5,08 = 6,60 = 8,21 = 9,92 = 11,72

Da zwei durch Querstäbe mit einander verbundene Windträger angeordnet sind, ergiebt sich die Spannkraft für die (2,69m lange) Diagonale

■6.

sin (jp

1,8

Bei der zulässigen Spannung k = 1,0* pro □l'm und der Stärke 1,0 starker Niete die Breite des Flacheisens

cm

wird bei Anwendung 2

cm

Dm

2,0 =

• 2,69

cm

= (0,75 H- 2)

1,0-1,0

Der Nietquerschnitt ist 3,14 □cm, die Tragfähigkeit eines Nietes und die für die Befestigung einer Diagonale er-

3,6

4 -1,0 - 3,14 = 2,5 forderliche Nietzahl

tons

= 0,3 £m.

Man findet:

Feld

Breite der Diagonale

Nietzahl

4,8

cm

wofür 5,0cm

5,9

cm

7,0 em

8,2cm

9,4

10,8

cm

Die Beanspruchungen in den Normalen Fig. 197, welche gleichzeitig Schwellenträger sind, werden

Nb = 2,541 N& = 1,83*.

iVm = \ ft™ Nt = 5,86* N₃ = 4,10* N₂ = 4,96* Ni = 3,30¹

Das Maximalangriffsmoment in Bezug auf die Mitte des Windträgers wird

72

(wv -+- wp) — + 0,15 PI — 0,10 P• 1,5 12²

= (0,57 -+- 0,24) — + 13 (0,15 • 12 — 0,10 • 1,5) = 79,77tm.

h

max 5CR —

Auf jeden der beiden Windträger entfällt \ • 79,77 == 39,88tm, wesshalb — bei 1,8m Höhe des Windträgers — die Gurtspannkraft

= 25,16*

39,88

1,8

wird. Der erforderliche Querschnitt ist mit k = 0,75

22,16

0,75

= 30 □cm

und das erforderliche Trägheitsmoment bei 200cra Feldweite

= 222.

22160-200²

4000000

Zwei fest miteinander verbundenen Winkeln mit dem Caliber 8,4-8,4-1,2 entspricht nach Tabelle 2 des Anhanges (m = 7)

/= 2(57,91)Ö⁴ = 2(57,91) 1,2⁴ = 240;

dieselben genügen also. Den Anschluss der Gurtung an die horizontalen

starke

1,2

cm

starken Knotenbleche des Windverbandes bewirken 2,5

cm

Niete mit 4,91 CP"¹ Querschnitt. Die erforderliche Zahl derselben ist

if

22,16 _ 22,16 •4,91

Die Endnormale No wird durch die Kraft 3 • 0,1P(21— 1,5)) 1

Y Aw = | (icP -f- wv) l +

= (0,57 + 0,24) 12 -4

3 -0,1 • 13 • 22,5

24

r-1

= 7,29 ^

auf Druck beansprucht.

17) Der Querträger. Die Träger zur Unterstützung der Langschwellen bilden die Normalen des Windträgers und sind zu Consolträgern verlängert. Die Belastung des Consols beträgt (bei 2m Abstand der Consolen und 1,45m Ausladung derselben):

Bohlenbelag (6cm stark) 54 • 1,45 • 2,0 = 157k mobile Belastung 100k am Ende wirkend.*)

Bei der in Fig. 223 skizzirten Stellung einer Eilzugmaschine ist — ohne Rücksichtnahme auf die Continuität der Langschwelle — der Druck der Schwelle auf den Querträger

3,0 • 0,6

2,0

= 10,8 L

Die Belastung durch Bohlenbelag beträgt für den mittleren Theil des Trägers

54 • 1,8 • 2,0 = 194k,

so dass sich die in Fig. 224 dargestellte Angriffsweise ergiebt. Das Moment über der Stütze ist

9)1 = 0,1 • 145 H- 0,13 • 4* = 24tcm und das bei C — unter Voraussetzung entlasteten Consols —

0,194- 180

9)1 = 10,8 • 15 4-

= 166tc,n.

Das Letztere ist also das gefährlichere.

Der Träger besteht aus zwei Winkeleisen. Dicke des Schenkels = d, Länge desselben = 10 d; mithin nach Tabelle 2 des Anhanges

360 d⁴

J = 2- 180d⁴ = 360d⁴ ; W =

2,87 d

= 125Ö³ ; jF = 2 • 19 d².

Die grösste Spannung ist, da der Träger nicht nur durch 9)1 = 166

auf Biegung, sondern ausserdem noch durch N\ = 5,86¹ auf Druck beansprucht wird,

_    5,86    166 _ 0,154 l 1,328

k ~ 2-193²⁺ 12553_ d2 Für 8 = 1,3cm ergiebt sich k — 0,70¹ pro □cm. Der Endquerträger wird bei demselben Querschnitte etwas weniger beansprucht, weil das Biegungsmoment kleiner ist; er erfährt allerdings einen grösseren Druck, (Aq > N{); jedoch ist die durch den Druck erzeugte Spannung beträchtlich kleiner als die durch das Moment hervorgerufene.

*) Diese mobile Belastung führe man bei Consolen ein, die nur für Bahnwärter bestimmt sind.

18) Die Verticale wird am stärksten belastet, sobald eine Eilzug-maschine die Stellung in Fig. 223 hat. Es wird

= 10,8*

2,0

V = 9 + 2 • 3 0,6

und nach Zuzählung des Gewichtes 0,400 • 2,0 = 0,8* eines halben Feldes der Fahrbahn

V = 11,6b

= 124.

Die Verticale V (Fig. 196) ist circa 210cm lang, mithin ist 11600-210²

4000000

Es sind zwei Winkeleisen mit dem Kaliber 7

cm

X 7cra X 1,0

cm

gewählt. Der Querschnitt ist kreuzförmig, daher nach Tabelle 2 des Anhanges

J = 2-92,09 = 184,18.

Die Verticale wird durch einschnittige Niete von 2cm Durchmesser befestigt. Tragkraft pro Niet

n d? 4    4

— . Je = 3,14 • ~ • 700 = 1758 , 4    5    5

11600

Nietzahl

1758

= 6.

19) Die Endversteifuny. Wenn eine Güterzugmaschine die Stellung Fig. 225 hat (vergl. Seite 174), so ist der Druck auf die Endverticale

13(2,0—l,5)j| = 8125t

Vq — 13-f

2,0

Hierzu kommt: a) Belastung durch die Eigenlast der Fahrbahn (800k pro meter Geleis) mit

V₀" = * • 0,8 • * • 2,0 = 0,40»,

b) derjenige Druck, welchen die Endverticale als Glied der Endversteifung aufzunehmen hat und der nach Seite 137

F₀,w = 7,29 ~ = 12,96

1,8

wird, unter 7,29 den durch die Versteifung aufzunehmenden Druck des Windträgers,

3,2 — h die Höhe der Verticalen,

1,8 = b den Abstand der Tragbögen verstanden. Im Ganzen erhält man

F₀ = Vo' + Vo" + Fo'" = 21,5»

21500 • 3202 4000000

Die Verticale hat Kreuzquerschnitt und besteht aus 4 Winkeleisen mit dem Kaliber 7cm x 7cra X lcm (Fig. 226); es entspricht ihr J = 2 • XV [1,0 (15,2³ — 1,2³) + 6 (3,2³ — 1,2³)] = 616.

und

= 534.

Die zur Befestigung der Diagonale erforderliche Nietzahl beträgt (wegen 4,91ücm Nietquerschnitt)

= 4.

Zur Befestigung der Verticalen sind 2,0em starke zweischnittige Niete angewendet. Die Tragkraft des Nietes ist 2kd8 — 2-700-2,0-1,2 = 3360k, 21500

mithin die Nietzahl =

3360

= 6 erforderlich.

Die Diagonale der Endversteifung ist circa 3,6m lang und wird durch

3,6

1,8

belastet.

Der erforderliche Querschnitt ist 14,6 ü⁰"¹, mithin bei l,2cm Stärke und

2,5cm Nietdurchmesser die Breite des Flacheisens =

14,6

1,2

+ 2,5 = 14,7cm. v

_5_

4 ‘ 49,1

20)    Die Versteifungen Fig. 201a, welche den auf den Bogen wirkenden Winddruck auf den Windträger übertragen, bestehen zwischen den Verticalen C (Fig. 196) aus 2 sich kreuzenden Diagonalen mit den Abmessungen 5cm X 1,0cm und sind durch je einen Niet von 2,0cm Stärke befestigt. Dieselben sind mehr als ausreichend (vergl. Seite 174). Die Versteifung im Scheitel zeigt Fig. 204.

21)    Stabilität der Brücke gegen Kanten durch Winddruck. Für den erforderlichen Abstand der Tragbögen wurde auf Seite 175 die Formel

abgeleitet und nachgewiesen dass, falls der gewählte Abstand b kleiner als b' ist, der Wind die Brücke mit dem Momente 9)1 = (9,63 nw + p)l(b'— b)

zu kanten strebt. Für die Diagonalen des Verticalkreuzes, durch welches an jedem Ende die beiden eingeleisigen Ueberführungen verbunden sind, ergab sich dann (Fig. 181)

2c

und für den Querstab

N= 4-

1 9)1

Es ist in vorstehenden Formeln

w = 0,2¹ der Winddruck pro

h’ = 4,1m der Abstand der Schienenoberkante von der Horizontalen durch die Kämpfergelenke,

n = 1,2,

c = 2,50m (Bedeutung aus Fig. 181 ersichtlich), mithin wird, wegen p — 0,75

s-öÄsl³>⁸⁽⁴’1 + 1’9) +

7 • 3,2²

30

= 3,30ra,

während b — 1,8m gewählt wurde. Es ist daher

= (9,63 • 1,2 • 0,2 + 0,75) 12(3,3 — 1,8) = 55 *m

2-2,5

J55 — 0,75- 12-1,8 j = 7,8*

= 8,6*.

iv=i-.⁵⁵-

2    3,2

Es sind zwei sich kreuzende Flacheisendiagonalen mit je 7,8cm Querschnitt angewendet und durch 2,4cm starke Niete (mit 4,52 CF™ Querschnitt) befestigt. Nietzahl:

7,8

>0

-= 3;

4,52    ’

Stärke des Flacheisens 1,2cm, Breite desselben

7,8

1,2

-4- 2,4 = 8,9cm.

Für den Querstab N (Fig. 197) ist bei 2,2m Länge erforderlich 8600 • 220²

= 104 ;

4000000

er besteht aus 2 Winkeln mit dem Caliber 7cm X 7cm X 1 dann demselben nach Tabelle 2 des Anhanges J= 2 • 57,91 = 116.

cm

und entspricht

starke

Knotenbleche, und ist daher die Tragkraft eines Nietes = 2 kdb — 2 • 750 • 2,4 • 1,2 = 4320k, mithin die Nietzahl

8600

Der Anschluss erfolgt durch zweischnittige Niete an 1,2

cm

4320

= 2.

Berechnung von Landwiderlager und Mittelpfeiler.

22) Das Land Widerlager ist ebenso wie der Mittelpfeiler auf Beton gegründet. Unter dem Betonbett befindet sich guter Baugrund, welcher mit 45* pro □m belastet werden darf, während die für den Beton zulässige Inanspruchnahme auf 60* pro □*" normirt, sei. Das Material von Widerlager und Pfeiler ist Haustein mit einem Gewichte von 2200ks pro Cubikmeter.

Die Abmessungen des Landwiderlagers sind aus

Fig. 227 ersichtlich; die in die statische Berechnung eingeführte Tiefe (Abmessung normal zur Bahnaxe) beträgt 8m. (Wegen der Unsicherheit in der Bestimmung des Erddruckes führen wir die Breite des Widerlagers kleiner ein, als sie in Wirklichkeit ist).

a) Sicherheit gegen Gleiten auf der Fuge FF\ verlangt eine Stärke (vergl. § 25)

b = H-fA+fG’-iY'K fymh 2

worin G' — 2,2-0,42-3,6 = 3,33* das Gewicht des Theiles F\JDS, A2 = 4,2m; / = 0,7; ye — 1,6* (Gewicht pro Cubikmeter Erde); ym = 2,2*.

Der mobilen Belastung des Bogens (vergl. Seite 153) entspricht

max (II — fÄ)v =

fiKd)’-¹-²]-¹!

12 —

2 • 3,2 • 0,7

Darin ist —

hierzu nach Tabelle II, Seite 42

cr = 10,50“; % = 126²; 3. = 18670,50; n = 12, so dass die 12te Last des Eisenbahntrains im Abstande 10,51 — 10,50 — 0,01m von der Stütze B entfernt ist. (Stellung I in Fig. 227).

Es wird nun

= 10,51m und gehört

max (7/—f Ä)K —

S^fä^i¹²⁶^10,512^10,502]- 1867°,5°J    22,31¹

während der permanenten Last

1,50

Ap = pl = —

Hp =

• 12 = 4,5²

1    1,50 • 12²

= 8,44¹

4    2-3,2

und einer Temperaturerhöhung Ht = £-4,44***) entspricht, so dass sich ergiebt:

H—fA = 22,31 + 8,44 + $ ■ 4,44 — 0,7 • 4,5 = 29,82¹. Jetzt erhält man

= 4,43 m,

29,82 + 0,7 • 3,33 — | • 1,6 • 4,22 0,7 • 2,2 • 4,2

wofür 4,5m gewählt werden möge.

b) Die Beanspruchung des Betons zu ermitteln, bilden wir für den Kernpunkt JR der Fuge CC\ das der mobilen Belastung des Bogens entsprechende Moment

3z

8 hl

Es wird —

Jd

2 hc

3z

= 12

2 • 3,2 • 1,5

hierzu (Tabelle II, Seite 42)

3-4,1

— ll,22m, und gehört

cr = 10,50;    = 126; 3» = 18670,5; n = 12

so dass die 12te Last im Abstande 11,22— 10,50 = 0,72m von Stütze B liegen muss. (Stellung II, Fig. 227).

Man findet

3-4,1 8 - 3,2-12

126[11,22² + 10,50²] — 18670,50 -

- = 110,94¹.

Das Gewicht des Widerlagers ist G = 2,2 • 4,5 • 7,8 = 77,22³) und der Erddruck E = -J- • 1,6 • 7,8² = 12,17⁴, mithin erhält man

= 110,94 4- 77,22 •    4- 3,33 (l,5

0,42'

4- ^8,44 4- ~ • 4,44^ 4,1 — 4,5 • 1,5 — 12,17 ⁷|⁸ = 178⁴“.

Der Normaldruck auf Fuge CG\ ist N — A 4- G — G'.

Die Resultirende aus den auf dem Bogen befindlichen concentrirten Lasten liegt im Abstande vom Auflager R, so dass

126-11,22 1

• — 4- 4,5 = 19,23⁴ N ?= 63,40 4- 77,22 — 3,33 = 93⁴

und

wird. Der Abstand des Stützpunktes s von _ß ist

i78

6lt N 93

= 1,91“

Wegen 1,91 > 1,50 liegt s ausserhalb des Kerns im Abstande 2-1,5—1,91 = 1,09m von der stärkst gepressten Kante. Die grösste Beanspruchung wird

k =

2iV

2-93

3 • 1,09    3 • 1,09

— 57⁴ pro □ra

während k — 60⁴ zulässig ist.

c) Die Beanspruchung des Baugrundes wird ganz analog aus dem Momente 9)1⁴' für den Kernpunkt R' der Sohle C’C\ berechnet. Die Breite des Betonbettes wird = 9m in Rechnung gestellt, so dass die Axenbelastungen so wie p = 1,5 durch 4,5 zu dividiren sind, hingegen Ht = 4,44 durch 2,25.

Es ist c' = 1,25m, z' — 6,1m, mithin 2 hc’

3z'

₁₂    2-3,2-1,25

3-6,1 3, = 18670,50;

11,56;⁴= 10,50; n= 12; $„=126;

(SR⁴)- =

3z’

8 hl

4- Cr — Snj

3 • 6,1

8 • 3,2 • 12 Das Gewicht des Betonbettes ist Der Erddruck wird

jl26[ll,53² 4- 10,50²] — 18670,5oj^ = 159,63⁴“

= 2,0 • 6,0 • 2,0³) = 24 .

= | - 1,6 -9,8² = 19,21 .

Der permanenten Last entspricht

Einer Temperaturerhöhung entspricht

• 1,5-12 = 4,0⁴.

= pl =

1,5 - 122 “ 2Ä _ 4,5 ‘ 2 -3,2

4,5

= 7,5⁴

2,25

•4,44 = 1,97⁴.

206

Desshalb wird

9Ji« = 159,63 + (77,22 + 24,0) 1,0+3,33^1,25

°7p)+ (7,50 + 1,97)6,1

— 4,0 • 1,25 — 19,21 • ~ = 254,33tra.

6

Der verticale Auflagerdruck ist

A^1

A 21 2

mithin der Normaldruck auf die Sohle des Widerlagers:

N= 17,49 + 77,22 + 24,0 — 3,33 = 115,38*. Der Stützpunkt s’ hat von R' den Abstand

254,33 115,38

+ fl =    24

126-11,56    1

4,5

+ 4,0 = 17,49*

ejt’ —

= 2,20+

liegt also ausserhalb des Kerns im Abstande 4 — 2,20= 1,8m von der Kante C, so dass die grösste Pressung des Baugrundes

= 43* pro

2 • 115,38

3 • 1,8 während k = 45 zulässig ist.

d) Vor Aufstellung der Bögen und unter der Voraussetzung, dass die Hinterfüllungserde mit v'¹ — 1* pro belastet wird, wirkt auf die Rückwand

= 19,21¹ in der Höhe ^ • 9,8 _v h_ 1,0^8 = 2 45t .n der Höhe ^ . 9?8

und es wird das Moment für den Mittelpunkt der Sohle

°f) =

9». =

19,21++ 2,45+- 3,33 (^

68tm,

während der Normaldruck

N = G + G" — G’ = 77,22 + 24,00 — 3,33 = 98* ist, so dass sich die Druckexcentricität

9Jt₀    n

« = iv “ °’1m

ergiebt. Hiernach liegt der Stützpunkt im Kern; ferner ist der Normaldruck kleiner als in dem vorhin behandelten Falle belasteten Bogens, wess-halb sich k' kleiner als vorhin herausstellt.

23) Der Mittelpfeiler (Fig. 227). Da der Pfeiler zwei symmetrische Bögen unterstützt, so heben sich die der permanenten Belastung entsprechenden Horizontalschübe Hp ferner die durch Temperaturerhöhung erzeugten Ht gegenseitig auf. Die Verticalreactionen Ap besitzen eine mit der Mittellinie des Pfeilers zusammenfallende Resultante 2 Ap, ebenso die aufwärts wirkend in Rechnung zu stellenden G' = 3,33* eine Resultante 2 G'. In der Folge ist der rechts vom Pfeiler gelegene Bogen belastet, der andere unbelastet gedacht.

a)    Sicherheit gegen Gleiten auf der Fuge FF\ verlangt

b = H-fA + yG' fymh

also

und

= 3,12 m.

Wird die Breite des Pfeilers = 8¹¹¹ gesetzt, so folgt wie vorhin max (H — fA)v — 22,31¹ ; Ap — 4,5 H — fA = 22,31 — 2 • 0,7 • 4,5 = 16,011 16,01 4- 2,0 • 0,7 • 3,33 0.7 • 2,2 • 4,2

Diese Abmessung könnte kleiner gewählt werden, - da der Pfeiler (vergl. die Grundrissskizze Fig. 228) oben 9,5¹¹¹ breit ist, doch empfiehlt es sich, im vorliegenden Falle b etwas grösser, nämlich 3,3m anzunehmen.

b)    Beanspruchung des Betons. Bei Berechnung der grössten Pressung in der Fuge CC\ sollen die Axenbelastungen durch ^ • 9,5 = 4,75 dividirt werden, ebenso die permanente Belastungp —1,50* pro meter Geleis. Das Moment für den Kernpunkt R — soweit es von der Verkehrslast des rechts gelegenen Bogens abhängt — ist

W«)v =

8 hl

I»- [(!) +c’] - *| ■

Der Pfeiler ist am Fusse 4,2m stark, mithin ist c — 0,95m, 2 — 4,1 m

2 hc

= 11,51m, ct = 10,50m,

= 126, /„ = 18670,50,

J126 [11,51² 4- 10,50²] — 18670,50j^ = 100,24. Weiter ist das Gewicht des Pfeilers

(3R*). ==

3-4,1

8 • 3,2 • 12

3z

3,6 J

3,3 4- 4,2

G = 2,2 13,3 • 4,2 4-2 Ap — 2 p l =

- 2-3,33 = 53,531 ^-1,50-12 = 7,58*

9Jh = 100,24 4- (53,53 4- 7,58) • 0,7 = 143,02tra.

Der Normaldruck auf die Fuge CC\ wird 126-11,51    1 *)

'    24    ‘ 4,75

so dass der Stützpunkt s im Abstande 9JG __ 143,02 N ~ 77,22

vom Punkte R und (ausserhalb des Kerns) im Abstande

2,8 — 1,85 = 0,95 m *) Dieses Glied bedeutet den Auflagerdruck A entsprechend der Verkehrslast.

ferner

mithin

+ 53,53 4- 7,58 = 77,22*,

= 1,85¹¹¹

von der Kante liegt. Die grösste Pressung wird

= 54¹ pro □ “*,

2    • 77,22

3    • 0,95

während k — 60 zulässig ist.

c) Beanspruchung des Baugrundes. Die Tiefe des Betonbettes darf mindestens mit 11m in Rechnung gestellt werden (Fig. 228), und sind dann die Axenbelastungen und die Belastung p dui-ch |T 1 zu dividiren.

£    %hc'

Es ist c’ = 0,75'“; 2' = 6,1*“; ~ = l —    = 11,74"*; ct = 10,5>“;

Z    OZ

= 126; /„ = 18670,5, mithin 3-6,1 (

und

1126 [11,74² H- 10,50²] — 18670,50j -- = 136,3tm,

2AP = 2pl = 2 • ^ • 1,5 • 12 = 6,54*.

Das Gewicht des Betonbettes ist

G" = 5,4 • 2 • 2,0 = 21,6tm, mithin

8 • 3,2 • 12

= 136,3 + 121,6 + 53,53 + 6,541 0,9 = 209,8tm, während der Normaldruck

N — 53,53 + 21,6 + 6,54 4-

126-11,74 2

24

vt = 92,88‘

11

beträgt, so dass

= 2,26“

ÜKÄ = 209,8 N ~ 92,88

wird. Daraus ergiebt sich der Abstand des ausserhalb des Kerns liegenden Stützpunktes s von der Kante = 1,34“ und die grösste Beanspruchung

k' =

— 46¹ pro □“*.

3 • 1,34

Es wurde zwar nur k' — 45 als zulässig angegeben, doch ist die vorstehende Rechnung sehr ungünstig durchgeführt worden, so dass die gewählten Abmessungen genügen.

Anhang.

(Zu den Zahlenbeispielen in Abschnitt VIII.)

I) I-Eisen-Tabelle. Es bezeichnet (Fig. 229) h die Trägerhöhe, 8 die Stegstärke, die mittlere Flanschstärke, b die Flanschbreite in Millimetern, J das Trägheitsmoment für die horizontale Schweraxe,

W

— das Widerstandsmoment, F den Querschnittsinhalt, e = — den fl    Jo

Kernhalbmesser, G das Gewicht in Kilogrammen.

Tabelle 1.

Profile der Luxemburger Bergwerks- und Saarbrücker Eisenhütten-Actien-Gesellschaft Burbacher Hütte bei Saarbrücken.

öi

No.

100

50

98,5

49,5

t- 00

97

53

95

59

125

75

OO OS O

^

o oT

11,50    35,629

12,66    38,238

16,35    47,029

22,60    60,505

18,78    76,169

123.5

121.5

150

148

119,5

lO iQ iO tP oc c— t ^ i—<

74,5

82

80

79

90

Ol

o « ei o ^

rH r—I    t-H rH

16.5    22,90    89,133

21,75    28,27    108,302

18.5    24,24    117,654

20    25,99    121,515

27.5    35,66    129,798

00 (50 to    C5 CO IO CC ^

00 O O    « « oc to «o

CO CO -rf -rf CO

146

176

144

174

172

cs «5 h C5 o

84

11

23

91,5

90

91

96

9,5    24

15

11

13

29,94    135,185

31,13    168,216

30,75    39,94    175,574

26.25    34,10    183,354

31.25    40,70    210,172

oi .P¹ F F

Oi

o o u

200

198

co CO

100

99

to ' I—1 O CO OO

235

170

196

O (M 1-1

i—( i—i i—(

93

103

104

»O

—I <j4 CS «£>

rH rH    r—1 r—H

29.5    38,42    238,985

32    41,58    256,793

30    38,94    258,632

38.5    50,02    261,651

37,75    48,93    297,557

00 CO (M CO CO 00 CO r—(    ^ H ^

cd' co cd' irT cd'

14

No. h

co <?<f

t-H t-H

co co

Ol 05

12

13

33,75

37,25

1-1 co 10 1-1

Ol

14

17,5

Ol Ol

14,75

43

44,54    310,636

47,92    327,601

52,62    348,369

61,86    364,112

55,85    381,109

f'-    tS    (M    05    <»

Ci    QO    CO    00    0C

C£p    ZC    CO~    lO*    CO~

26 262

rH

)_i co

Oi Ol

96

14

38

98

115

Oi

97,75

108

14

13,5

15

17,25

49,11    393,268

54,65    416,149

43,25    56,18    429,040

58,37    436,421

51,5    67,08    448,648

42

45

Od ec O O

r-H T-r r-H (51 rH

114

14,75

Ol

105

119

lO o © ■**<

17

16,75

20

14,75

O

O    tsS to ^05

O^ *- l Oi Oi Ol

60,45    453,501

68,40    505,582

68,14    511,111

8f,50    519,441

63,85    529,200

00 CJ <1    J35    <1    <1    <1    ^00

"to OOCnCOCn    05    ^    05    05    o

<50-0000    O    OO    ^    m

36    248,5 j 11

139

125

114

146

125

15,75

52,5

19

61

0^0 0 oT oo in

i—4 r-H r-H

63,5

61,25

57,75

68,15    553,368

79,10    583,502

82,35    599,880

79,72    647,188

74,92    663,837

W 00 00 N (O r—l CO 1—I OO^

oo” t'”' N 00" 00

TT CO

126

150

o o»

r—I t-H t-H

130

136

139

15— r-H 05 05 CO r-H (7^ t-H r-H 04

Oi

62,5

70,25

68,75

75,5

82,5

81,00    712,327

91,26    732,455

89,40    786,323

98,00    919,456

107,23    943,075

Ci    ©    oo    C5

i>-    00^

00    OO    CC    oT    co'

46

317,5

17

47

315

20

48

400

16

49

50

oo <x>

05 05

CO co

17

18

2) L-Eisen-Tabelle. Wird irgend ein ebener Querschnitt (Fig. 230) auf das rechtwinkelige Coordinatensystem xy bezogen, und bedeutet dF das Flächenelement, so nennt man

fy*dF=Jx; Jx²dF — Jy; jxydF=Z

die Querschnittsmomente zweiter Ordnung in Bezug auf die fraglichen Axen. Jx und Jy heissen auch Trägheitsmomente, Z Centrifugal-moment. Dreht man das Coordinatensystem um den Winkel a in die Lage Xi^i, so werden die neuen Coordinaten

y\ = y cos a — x sin a ; xi — y sin a -+- x cos a

und man erhält

j., = jy\dF = JVl = dF =

Jx cos² a + Jy sin² a — Z sin 2 a ,

Jx sin² a 4- Jy cos²a — Z sin 2 a ,

= jx!y\dF — ^ cos 2a(Jy — Jx)

\ 2Z

\ Jy Jx

Der Werth JXi wird ein Maximum für

tg2 a —

2Z

Jy JX

und zwar entsprechen dieser Gleichung zwei um 90° differirende Lösungen, so dass die beiden „Hauptaxen“ des Querschnittes auf einander senkrecht stehen. Man findet

Jnax

= \ («7x -+- J,j) ± ^ (Jx — Jy) sec 2 a

= i (/* + Jy) ± l- V(JX — Jy)² + 4 Z² .

Der für Z\ gefundene Ausdruck lehrt, dass für die Hauptaxen das Centrifugalmoment Null ist, und ergiebt sich hieraus leicht, dass jede Symmetrieaxe sowie jede Axe normal zu einer Symmetrieaxe eine Haupt-axe ist.

Hinzugefügt werde, dass man aus den Werthen Jx, Jy und Z in Bezug auf eine Schweraxe die Werthe JJ, Jy' und Z' für parallele Axen (Fig. 230) mittelst der Formeln findet

j: = Jx + Fn²; Jy = Jy-t F¥; Z' = Z-{-F^.

Beachtet man schliesslich noch, dass einem Rechteck mit den Abmessungen b und h (Fig. 231) in Bezug auf die Axen x' und y' die Werthe entsprechen

Z>²Ä²

hb³

3 5 y ~ 3

so ist man im Besitze des Materiales, welches die Berechnung der Querschnittsmomente für ein Winkeleisen ermöglicht.

[Aus den Hauptträgheitsmomenten JXl und Jyi (Fig. 232) kann man übrigens die Werthe J für beliebige (durch o gehende) Axen construiren-

JJ =

bh³

Z' — -—

Man mache o A — — und oB — — , unter qx

Jx

Q*t

F ’ Q,J

14*

Trägheitsradien bezüglich der Axen «i und y\ verstanden, und zeichne eine Ellipse mit den Halbaxen oA und oB. Auf der Axe cc wird die

Strecke o C — — = 1/ Q

abgeschnitten, so dass sich J = Fq² = F oC²

ergiebt. ] *)

a) Formeln für das ungleichschenklige Winkeleisen Fig. 233 (rtii > m). Für den Querschnitt Fig. 233, dessen Abmessungen als Vielfache der Eisenstärke 8 angegeben sind, findet man leicht

«i =

TO² + TOi — 1

77 ==--

2 Oi -+- m — 1)

2 («n H- m — 1)

ferner in Bezug auf die Axen x', y'

JJ =

ö⁴; /; =

und in Bezug auf die Axen xy

Ö⁴ ; Z’ =

m\ -t- m² — 1

ö⁴

Jx

ö⁴“

^ = y O³ + Wii — 1) — O + *»i — 1) K

Z    1    ^    ² _j_    2

34 =yK + m²-

1) — (m + ?«i — 1) «Wi.

Die Hauptträgheitsmomente lassen sich jetzt nach den Formeln Jmax = i (/« + /,) + 1 V(JX ~ Jy)² + 4Z2 4i„ = i Ox + /y) - 4-    4Z²

berechnen.

b) Tabellen für gleichschenklige Winkeleisen (Fig. 234). Mit wi — m erhält man

2 (2 m — 1)

wofür man genügend genau setzen darf:

i O + T5)-

Weiter folgt:

Jy = Jx~ | O³

Z=

«^inax ”•—' Ja;

Jvaln - «Zc H™ ^

— 1) — (2 m — 1) zz² | d⁴

1) — (2 m — 1) n² | d4 Z )

[ (Z ist negativ).

Die Hauptaxe liegt unter 45° gegen die «-Axe. Die Werthe n, Jx, Z, /max und /min sind für verschiedene m in der folgenden Tabelle zusammengestellt.

*) Vergl. Winkler s Elasticitätslehre, pag. 53. findet sich in Culmann’s Graphischer Statik.

Eine andere Construction

Jx

Tabelle 2.

Jn

1.0

[nin

14,48 ö4 23,73 „ 36,25 „ 52,53 „ 73,08 „ 98,41 „ 129,00 „

55,92 d4 92,09 „ 141,25 „ 205,41 „ 286,58 „ 386,75 „ 507,92 „

20,72 ö4 34,18 „ 52,50 „ 76,44 „ 106,75 „ 144,17 „ 189,46 „

35,20 54 57,91 „

88,75 „

128,97 „

179,83 „

242,58 „

318,46 „

In die Formel für die Knickfestigkeit eines Winkeleisens ist Jmin einzuführen. Man findet bei der freien Länge l und bei 5 facher Sicherheit (unter Voraussetzung loser Enden) die Tragfähigkeit

10

11

12

71^ E Jmin 3 E Jmin

5P ~ Vr

Jmin *)

W

Werden 2 Winkeleisen miteinander nach Art der Fig. 235 verbunden, so ist das kleinste Trägheitsmoment des Querschnitts =2 Jx, wo Jx der vorstehenden Tabelle zu entnehmen ist. Man erhält

= 4000000 -

P = 8000000

Jx

Ist der Querschnitt kreuzförmig (Fig. 236), so ist das kleinste Träg-wo wieder Jmax aus der vorstehenden Tabelle zu

heitsmoment =2 J,

entnehmen ist. Es wird

«/max

PF '

c) Biegungsfestigkeit der Winkeleisen. Das gleichschenklige Winkeleisen (Fig. 237) sei bei horizontaler Lage des einen Schenkels durch verticale Kräfte auf Biegung beansprucht. Ist dann ax der Winkel zwischen der Kraftlinie und der Hauptaxe, so bildet die neutrale Axe mit der Hauptaxe einen Winkel ß, welcher sich aus der Formel

cotg «x

P = 8000000

tgß =

Jmajc.

Jmin

berechnet. Bedeutet a den Abstand der stärkst gespannten Faser von der neutralen Axe, so wird das zulässige Angriffsmoment (nach den bekannten Sätzen der Elasticitäts- und Festigkeitslehre)

_ k /„iax cos ß a sin «i

k bedeutet die zulässige Spannung. Beim gleichschenkligen Winkel

Jinax

Jmin

ist «i = 45°, mithin

*) Die Werthe sind in Kilogrammen und Centimetern anszudrücken.

d. i.

1) V2j sin/i

L Vf

_m — 1

•v' i i

« = j 0» — 1) (1 + tgß) — 2 (» — 1) tg/t j öcosß,

= \ j (»» — !)(!-+- tg/i) — 2 (n — 1) tg/i j 8

Weiter findet man -?

cos

■Os

-4- (n —

mithin

asin ai cos/i

<50.

und schliesslich — wegen « = \(m -f- 1,5) —

2&«7mai

■Os

t    2ro 4- 1 ,    )

Für sämmtliche in der Tabelle enthaltenen Profile ist — abgerundet

¹

Die Axenlasten sowie später die permanente Last p = 2 • 0,75 — 1,50¹ pro Meter Geleis sind durch die halbe Widerlagertiefe, d. i. durch 4 zu dividiren-

²

Ht — 4,44¹ entspricht einem Träger, ist also nur durch 2 zu dividiren.

³

Der Cubikmeter Beton wiegt 2,0⁴.

⁴

Es ist die Gewichtsdifferenz von Mauerwerk und der auf den Absätzen der Rückwand lagernden Erde vernachlässigt.

tgß = 4

daher

3m8

Für ein X-Eisen mit den Abmessungen in Fig. 238 erhält man:

kJx

Wenn z. B. ein Winkeleisen an beiden Enden frei aufliegt und in der Mitte durch P belastet wird, so ist bei der Stützweite l das Moment

PI

Ist nun l — 100cra, 8 — 1cm, m == 10, so folgt mit /max = 286,58 ö4 und k = 750k pro LP™

P.100_o 750-286,58 54 “3-10Ö

P= 573k.

Für das X-Eisen hingegen erhält man (n — 2,87), Jx — 179,838¹, P• 100 _ 750- 179,83 ö4 2,87 8

P = 1880k.

P = 2-1880 = 3760k.

Werden zwei Winkeleisen nach Art der Fig. 235 miteinander verbunden, so wird

3) Eisenbahnschienen. (Breite der Basis 9,15cm, des Kopfes 5,5cm). Tabelle 3.¹)

Höhe der Schiene

in Centimeter

Querschnitt

Quadratcentim.

Gewicht pro Meter

Kilogr.

Trägheitsmoment bezogen auf:

horizontale

Sehweraxe

verticale

Sehweraxe

13,08

11,80

10,46

42,75

39,00

34,20

32,66

29,80

26,10

919,00

691,59

470,26

149,37

140,36

121,66

140.4

117.5

4) JL-Träger aus Gusseisen (Fig. 239). Da für Gusseisen der Tragmodul (d. i. die Spannung an der Elasticitätsgrenze) für Druck doppelt so gross ist wie für Zug, so wählt man die Abmessungen des Profils zweckmässig so, dass die neutrale Axe die Höhe des Profils im Verhältniss 1 : 2 theilt. Der Flansch muss die gezogenen Fasern enthalten. Mit der Bezeichnung in Fig. 239 lautet die Bedingung für die zweckmässige Lage der neutralen Axe

I)

(b — Öi) ö — -H öi h

woraus

M²

Ö(Ä — 3Ö)

Das Trägheitsmoment in Bezug auf die neutrale Axe wird

b -öi r/A\³

öjA² [A² — 3 A ö -f- 3ö²] , öiA3 9 (2 A — 3 Ö)

Man erhält

Versteht man unter k die zulässige Druckspannung, so ist das Widerstandsmoment W —

Oe. S-

ÖiA²

:«0

Hiernach ergeben sich folgende Werthe Tabelle 4.

•<1    Ol ^ CO

0,2222 ÖA2 0,2250 „ 0,2286 „ 0,2315 „ 0,2338 „

10

11

12

0,2356 ÖA2 0,2370 „ 0,2382 „ 0,2392 „ 0,2401 „

Es finden die vorstehenden Formeln namentlich bei Berechnung der Lagerstühle Fig. 170 und 170 a auf Tafel 16 Anwendung. Ist ö' die Stärke der Seitenrippen und z deren Zahl, so ist der Querschnitt Fig. 170 a dem in Fig. 240 gleichwerthig, und rechnet man auf alle Fälle sicher, wenn man

W = 0,22 z Ö'A²

setzt. Aus dem Angriflfsmoment kann man mittels der Formel

m = 0,22z 8’Pk

bei angenommenem z und 8 den Werth h finden. Die Abmessung b ist in der Regel gegeben. Man bestimmt dann (aus Gleichung I)

fi

— Az8' \

— z8’

Bedingung ist:

Für b — 4^5' wird 8 —

Az8’ < b.

i co

5) Beanspruchung eines cylindrischen Zapfens (Fig. 241). Die Berechnung der bei Bögen mit Gelenken vorkommenden Zapfen basirt auf der Annahme, dass an irgend einer Stelle die verticale Zusammendrückung des Zapfens den constanten Werth t] annimmt. Es ist dann die radiale Zusammendrückung = t] cos cp und die Spannung

N — Ct] cos qp,

wo C eine Constante. cp = 0 liefert die grösste Spannung, nämlich k = Cr}, so dass

N — k cos cp

wird. Bedeutet V die Länge des Zapfens, r den Radius, so ist rdcpl’ das Element des Mantels, k cos cp rd cp l' die Belastung dieses Elementes, kr V cos² cp dcp die verticale Componente dieser Kraft.

Wird der Zapfen durch D belastet, so muss sein:

<jPo

D = 2 j'kr V cos² cp dcp = k r V j cp₀ + sin cp₀ cos cp₀ j •

Dabei bedeutet cp₀ den Winkel bis zu welchem der Zapfen genau in das Lager passt. In die Formel

| cp₀ 4- sin qp₀ cos cp₀ j

y* ;=

kV

setze man — um den Herstellungsfehlern Rechnung zu tragen — für cp₀ eher einen etwas zu kleinen Werth. Nach den bis jetzt, vorliegenden Erfahrungen geht man sicher, wenn man cpo = 45° annimmt und für gusseiserne oder stählerne Zapfen in gusseisernem Lager k — 0,5* pro HÜF™ zulässt.

• Es wird dann

1,6 D

Für Stahlzapfen in Stahllager darf lc = 1,0* gestattet werden und folgt dann

0,8 D

d.i

\

■ , 0

*

*

m

es

Pi!

mmwrji

m

8

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Biblioteka Politechniki Krakowskiej

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Vergl. Des Ingenieurs Taschenbuch (Hütte). 1877 pag. 249.