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BIBLIOTEKA GŁÓWNA

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AuuaiiuiuiigtJii zur Potentialtheorie.

Abhandlungen zur Potentialtheorie.

IV. Abschnitt.*)

AuuaiiuiuiigtJii zur Potentialtheorie.

i.

Ein allgemeiner Beweis der Methoden des alternierenden Verfahrens und der Existenz der Lösungen des Dirichletschen Problèmes im Raume.

Von

Dr. Arthur Korn,

Privatdozent an der k. Universität München.

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Berlin 1901.

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Ferd. Dümmlers Verlagsbuchhandlung.

Biblioteka Politechniki Krakowskiej

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Wissenschaftliche Bibliothek

Abhandlungen zur Potentialtheorie.

1.

Ein allgemeiner Beweis der Methoden des alternierenden Verfahrens und der Existenz der Lösungen des Dirichletschen Problèmes im Eaume,

Von

Dr. Arthur Korn,

Privatdozent an der k. Universität München.

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Berlin 1901.

Ferd. Dümmlers Verlagsbuchhandlung.

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Das Recht der Übersetzung in fremde Sprachen wird Vorbehalten.

KRAKÓW

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Wissenschaftliche Bibliothek

Das Dirichletsche Problem im Raume, welches die Auffindung je einer stetigen, allgemeinen Potentialfunktion*) des Innen- und Aufsenraumes einer stetig gekrümmten**) Oberfläche w verlangt, denen vorgeschriebene, auf co eindeutige und stetige Randwerte f zukommen, ist bisher auf zwei verschiedenen Wegen in Angriff genommen worden.

Die eine Methode geht davon aus, dass man stets eine eindeutige und stetige Funktion tp (x, y, z) des Innen- resp. Aufsenraumes von co finden kann, die an co die Randwerte f besitzt, und sucht dann folgende Behauptungen zu beweisen:

1. Man kann eine unendliche Folge von Polynomen

Fj (x, y, z), j = 1, 2 ...

konstruieren, so dass und

Fj(x, y, Z) = xp (x, y, z) + «j,

wo €j durch Vergröfserung von j unter jeden beliebigen Kleinheitsgrad herabgedrückt werden kann.

2. Man kann die Lösungen

Vj, V₈, ...

des Dirichletschen Problèmes finden, welche an co dieselben Randwerte besitzen, wie die Polynome

Fl5 Fo, ...

*) Ich bediene mich derselben Bezeichnungen, wie in meinem Lehrbuche der Potentialtheorie, I. Bd. (Ferd. Dümmlers Verlagsbuchhandlung, Berlin 1899), S. 215, 220.

**) d. h. es sollen die Richtungskosinusse der Normalen eindeutige und stetige Funktionen der Stelle (I >] Ç) auf der Fläche sein und endliche erste Ableitungen haben, (ib. S. VIII.)

3. Es stellt dann die Reihe:

V = V₁ + (V₂-V₁) + (V₃-V₂) + ...

die Lösung des Dirichletschen Problèmes dar, welche an m die Randwerte f besitzt.

Die Behauptung 2 lässt sich, durch die Balayage-Methode von Poincaré*) oder auch durch eine Kombination der Methode des arithmetischen Mittels von G. Neumann und der Methode des alternierenden Verfahrens von Schwarz beweisen, welche in diesem Falle nach einem von mir gegebenen Beweise anwendbar ist**), der Beweis der Behauptung 3 folgt nach einem Theorem von Harnack***); der der Behauptung 1 analoge Satz in der Ebene ist von Picardf) bewiesen worden, ein strenger Beweis dieser Behauptung im Raume ist mir aber bisher nicht bekannt, und es kann erst nach der Auffindung dieses Beweises die ganze Methode als eine wirkliche Lösung der gestellten Aufgabe bezeichnet werden.

Die zweite Methode beruht auf einer Bemerkung von F. Klein ff), nach welcher man jedes genügend kleine Stück der Oberfläche œ durch eine Transformation nach reciproken Radien, wenn man den Centralpunkt genügend nahe an der Fläche annimmt, in ein überall konvexes Flächenstück verwandeln und somit durch die Kombination der Methoden von C. Neumann und Schwarz zur allgemeinen Lösung des Dirichletschen Problèmes gelangen kann.

ist.

Auch diese zweite Methode ist noch nicht völlig sicher gestellt, da die Giltigkeit der Schwarzschen Methoden des alternierenden Verfahrens im Raume noch nicht — soweit mir bekannt ist — in derselben Allgemeinheit, wie in der Ebene, streng bewiesen In dem ersten Bande meines Lehrbuches der Potentialtheorie fff) habe ich dieselbe unter gewissen Restriktionen be-

*) American Journ. of Math., Bd. 9.

**) Lehrbuch der Potentialtheorie, Bd. I, Satz XIIa) und XIIIa) S. 326

und 330.

***) Die Grundl. d. Th. d. log. Pot. (Teubuer) 1887, S. 66. j) Traité d’analyse (Gauthier Villars) 1891, Bd. I, S. 263; Bd. II, S. 102. ff) F. Pockels, Über die part. Dffgl. Ju -f- k²u = 0 (Teubner) 1891,

S. 262.

ftt) S. 299-331.

wiesen, und die Methoden reichten in dieser Form aus, um die Lösung des Dirichletschen Problèmes mit Hilfe der Methoden von C. Neumann und Schwarz in den Fällen zu geben, in denen die Lösungen Potentialfunktionen des betreffenden Gebietes sind, d. h. in denen auch die ersten Ableitungen der Lösungen in ganzer Erstreckung des Gebietes eindeutig und stetig sind.

In der folgenden Arbeit werde ich nun eine Verallgemeinerung dieser Untersuchungen darlegen, den Beweis der Schwarzschen Methoden im Raume in derselben Allgemeinheit, wie in der Ebene, geben und ohne den Umweg des Kleinschen Kunstgriffes allgemein beweisen, dass man stets mit Hilfe der Neumannschen Methode und einer endlichen Anzahl Schwarzseher Operationen zur Lösung des Dirichletschen Problèmes gelangen kann.

Dieser Beweis lässt sich auch auf den Fall ausdehnen, dass sich die Oberfläche co aus einer beliebigen Anzahl stetig gekrümmter Flächenstücke¹) zusammensetzt, und dass die Randwerte f auf co lediglich abteilungsweise²) eindeutig und stetig sind.

I. Abschnitt.

Einige Sätze über die Werte des Potentials einer Doppelbelegung eines stetig gekrümmten Flächen-stückes œ auf der Fläche selbst.

nr.

1.

I. Die Werte des über ein stetig gekrümmtes Flächenstück cd zu erstreckenden Integrales

D w-l

cos (rr)

x -

r²

dco,

Cd

in dem ¹ eine abteilungsweise stetige Funktion der Stelle (££) auf cd, r die Entfernung und Richtung von

deo ij £) nach einem variabeln Punkte (xyz), v die positive³) Normale von dw vorstellt, auf der Fläche selbst:

2) W„ = y(W₊ + W_)⁴)

haben die Eigenschaft, dass für zwei Punkte ijl £j) und der Fläche in genügend kleiner Entfernung r₁₂

3) abs. [W<u ($₂ tj₂ £2) —    % ti)] ^ a • abs. Max. (x) • Vr^¹,

wo a eine endliche Konstante vorstellt und abs. Max. (x) den absolut gröfsten Wert, den x auf co annimmt. (Ist x auf co eindeutig und stetig⁵), so kann überdies a kleiner angenommen werden, als eine beliebig kleine, feste Konstante «.)

Wir denken uns zum Beweise um den Mittelpunkt 0 der Geraden (?x % £i) — (£₂ rj₂ £₂) eine Kugel mit dem Radius:

P=<X' Vr

wo a eine beliebige endliche Konstante vorstellt. Die Schnittkurve g dieser Kugelfläche mit co zerlegtf) w in einen Teil co₁, der (?i Vi £1) und (§2 V2 £2) enthält, und einen Teil co — col.

Wir können ferner um O eine Kugel mit einem endlichen

Radius

konstruieren, deren Schnittkurve a mit co die Fläche co in einen Teil co₁ 4- co₂, der (£x % £1) und (£₂ r\₂ £₂) enthält, und einen Teil co — co₁ — co₂ zerlegt und zwar so, dass auf col 4- co₂ sowohl für (§i ft £t) als auch für (£₂ rj₂ £₂), überhaupt für jeden Punkt von tft:

cos (rv) = r • F,

wo F auf c«₁ 4- co₂ endlich ist (eindeutig und stetig, falls die ersten Ableitungen von cos (yx), cos (vy), cos (vz) auf co eindeutig und

stetig sind). Wir können daher in (£x ^ £1) und (§₂ V-2 £2) das Integral W«, so schreiben:

cos (rid

x-x—-

cos (rv)

r²

r²

dw+Jx-F^-

co — col — co₂

Wo

COi

Bilden wir nun die Differenz der Werte von W«, für (£x tjl £j) und (?₂ V2 £2)1 so ist der von dem ersten Integrale herrührende Teil dieser Differenz seinem absoluten Werte nach bei genügend kleinem r₁₂:

<endl. Konst, abs. Max. (x) • r₁₂,

da die Punkte von co — w₁ — œ₂ endliche Entfernungen von col besitzen, somit die ersten Ableitungen von

cos (r^)

r2

in dem ersten

Integrale für Punkte von co₁ eindeutig und stetig sind.

Der von dem zweiten Integrale herrührende Teil der Differenz ist seinem absoluten Werte nach

< endl. Konst.

abs. Max. (x)

* Da»

< endl. Konst, abs. Max. (x) • Vr₁₂,

da in den ersten tangentialen Ableitungen von cos (Vh) — 3 cos (rv) cos (rh)

cos (rv)

r³

(h tangentiale Richtung)

in dem zweiten Integrale

cos (Vh) = r • f, cos (rv) = r • F

gesetzt werden kann, wo f und F in co₂ endlich*) sind, so dass die tangentialen Ableitungen des zweiten Integrales die Form erhalten :

I-

Toi«

dto,

wo W auf cö₂ endlich*) ist, und ihrem absoluten Werte nach

abs. Max. (x)

«< endl. Konst.

*) Eindeutig und stetig, falls die ersten Ableitungen von cos (yx), cos (t'y), cos (vz) auf w eindeutig und stetig sind.

sind, wenn q die kleinste Entfernung des variabeln Punktes von «₂ vorstellt.

Der von dem dritten Integrale herrührende Teil der Differenz ist seinem absoluten Werte nach

<    endl. Konst, abs. Max. (x) • P⁶),

<    endl. Konst, abs. Max. (x) • yr₁₂'.

(Ist x auf M eindeutig und stetig und w geschlossen, e eine beliebig kleine, feste Konstante, so kann man, wenn x₀ den Wert von x in einem Punkte (£₀ y₀ £₀) von oal vorstellt, durch genügende Verkleinerung von r₁₂ abs. (x — x₀) auf col

<; endl. Konst, s²

machen und

„ endl. Konst. i P“-e---Vr'²

setzen, es folgt dann aus unserem Beweise, dass man durch genügende Verkleinerung von r₁₂

cos (rv)

abs.

(x — x₀)

r²

dw

0 - ⁶₀)

cos (rv) , dw

r²

«ii,«

machen kann, somit auch

abs. {W«, (S₂ y₂ £2) - w«> (£i V\ Ci)l < « Vr₁₂).⁷)

C//D

Ol

II. Die Werte des Flächenintegrales

cos (rv) ,

x--—- dw

CO

auf der Fläche selbst:

W„ =

L(W₊ + W_)

haben eindeutige und stetige, erste tangentiale Ableitungen, falls x die Eigenschaft hat, dass für zwei

Punkte (|₂ V2 £2) und (§1 ViM) der Fläche w in genügend kleiner Entfernung r₁₂

4) abs. ) ⁸(|₂ ya Q - ⁸ (£1 % £1)) < a • V wo a eine endliche Konstante, X einen echten Bruch vorstellt.

Wir bilden zum Beweise die Ableitung von W„, nach irgend einer tangentialen Richtung h in einem Punkte (|₀1]₀£₀) der Fläche co :

0Wm _ r cos (vh) — 3 cos (rh) cos (rv)

0h

r⁸

dcö,

00

= J (⁸ —⁸0)

cos (vh) — 3 cos (rh) cos (rv)

da),

O)

wo wir unter x₀ den Wert von x in (|₀ q₀ £₀) verstehen. Wir teilen nun durch eine Kurve g die Fläche oo in einen Teil Wj, der (|₀ tjQ |₀) enthält und auf dem

abs. (x — x₀) < a • r1-x, cos (vh) = r • f, cos (rv) = r • F,

dcö

(f und F endlich auf Wj), und einen Teil a — cou der von (|₀%£o) durch endliche Entfernungen getrennt ist, dann folgt die Behauptung, da das Integral

ri+x

wi

stets endlich ist und durch Verkleinerung von «[ unter jeden beliebigen Kleinheitsgrad herabgedrückt werden kann:i:).

Zusatz zu II. Die ersten Ableitungen von Wm werden im besonderen auf 00 eindeutig und stetig sein, wenn für zwei Punkte (|₂ V2 £2) und (li ^ Ci) der Fläche 00 in genügend kleiner Entfernung r₁₂:

5) abs. j x (|₂ ifo |₂)

Man braucht in der That in II nur X =

x (li fji Ix)} <c endl. Konst. Vr₁₂'.

r-! ri

zu setzen.

§ 3.

III. Die Werte des Flächenintegrales

c°s (») dw

-f⁹

tJ

r²

co

auf der Fläche selbst:

w„=

i(W₊ + W_)

haben, falls die ersten Ableitungen von x auf co abteilungsweise eindeutig und stetig sind, erste tangentiale Ableitungen, denen die folgende Eigenschaft zukommt: Es ist für zwei Punkte (?i Vi Ci) und (§₂ V2 £2) der Fläche in genügend kleiner Entfernung r₁₂, wenn h eine in (?i % CO oder (?₂ % £2) tangentiale Richtung vorstellt und die Fläche co geschlossen ist:

8W(U ! ch

6) abs.

\ 8Wm

l 8h

]<b- Vr₁₂‘,

wo b eine endliche Konstante bedeutet. Ist die Fläche w nicht geschlossen, so gilt dieses Resultat, solange man sich in endlicher Entfernung von der Randkurve hält. (Sind die ersten Ableitungen von x, sowie von cos(yx), cos(^y), cos (vz) eindeutig und stetig, so kann b überdies kleiner angenommen werden, als eine beliebig kleine, feste Konstante «.)

Zum Beweise bedienen wir uns der Formel⁹):

8Ww Cdx cos (rv) ,

be-^d“

CO

—j cos (vh)

I dx cos (rx) dx cos (ry) dx cos (rz) )

l ~0g r²

di/

r²

j dw,

co

aus der die Behauptung analog dem Beweise von I folgt, da wir wieder in den Gebieten w₁ und co₂

cos (yh) = r • f, cos (rP) = r • F

setzen können, wo f und F auf col und co₂ endlich sind (eindeutig und stetig, falls die ersten Ableitungen von cos (vx), cos (vy). cos (vz) auf M eindeutig und stetig sind).

II. Abschnitt.

Über allgemeine Potentialfunktionen mit ab teilungs weise stetigen Randwerten.

VT.

1.

Es sei nun co eine geschlossene Fläche, die sich aus einer endlichen Anzahl stetig gekrümmter Flächenstücke zusammensetzt, und f eine abteilungsweise stetige Funktion der Stelle auf co; die Kurven, welche notwendig sind, um co in Teile zu zerlegen, auf denen

f, cos (px), cos (vy), cos(vz)*)

eindeutig und stetig sind (Trennungskurven von co in bezug auf f), mögen stetig gekrümmt**) sein oder sich aus einer endlichen Anzahl stetig gekrümmter Kurvenstücke zusammensetzen***).

Kennen wir eine allgemeine Potentialfunktion U des Innen-resp. Aufsenraumes t von «, welche an co die Randwerte f besitzt, so werden wir, falls sie in der Umgebung der Trennungskurven und der Trennungspunkte die folgenden Eigenschaften hat:

1. Konstruieren wir in der Normalebene eines Punktes P der Trennungskurven (in endlicher, im übrigen beliebig kleiner, fester Entfernung von den Trennungspunkten) um P als Centrum einen Kreis mit dem genügend kleinen Radius q, der die beiden

*) Unter v wollen wir von nun an stets die innere Normale von w

verstehen.

**) d. h. es sollen die Richtungskosinusse der Tangente eindeutige und stetige Funktionen der Stelle auf der Kurve sein und endliche erste Ableitungen haben.

***) Wir bezeichnen in diesem Falle die Punkte, in denen jene Kurvenstücke Zusammentreffen, als Trennungspunkte der Trennungskurven und schliefsen Spitzen aus.

in der Trennungskurve zusammenstofsenden Flächenteile in den Punkten ijx £1) und (S₂ rj₂ £₂) schneide, so soll für alle Punkte des in x gelegenen Teiles dieses Kreises

* a) f (£l V\ £l) "P £\ < U < f (?₂ ^2 £2) + s2

oder

7b) f (£1 Vi £1) + ¹⁰ i > U > f (£2 % £2) + «2 sein, wo und «₂ Gröfsen vorstellen, die durch Verkleinerung von q unter jeden beliebigen Kleinheitsgrad herabgedrückt werden können.

2. Konstruieren wir um einen Trennungspunkt der Trennungskurven als Centrum eine Kugel mit dem genügend kleinen Radius q, der die Fläche co in einer Kurve g schneiden möge, so soll für alle Punkte des in x gelegenen Teiles dieser Kugel

8) Min. fç — E U Max. fz-\- E

sein, wo E eine positive Gröfse vorstellt, die durch Verkleinerung von q unter jeden beliebigen Kleinheitsgrad herabgedrückt werden kann, aussagen können, dass U die einzige allgemeine Potentialfunktion des Gebietes x ist, der die Randwerte f an co und die genannten Eigenschaften in der Umgebung der Trennungskurven und Trennungspunkte zukommen. Es wird sich empfehlen, für solche allgemeine Potentialfunktionen, denen die genannten Eigenschaften zukommen, einen besonderen Namen einzuführen, und ich glaube, es kann kaum zu Missverständnissen führen, wenn wir die Funktion U geradezu als die allgemeine Potentialfunktion des Gebietes x mit den Randwerten f bezeichnen¹⁰).

CöO

IV. Ist co eine beliebige geschlossene Fläche, die sich aus einer endlichen Anzahl stetig gekrümmter

wenn

Flächenstücke zusammensetzt, und x eine abteilungsweise stetige Funktion der Stelle auf <w, so sind die Randwerte Wi(a) des Flächenintegrales:

r2

*    d»

0)

an der inneren resp. äufseren Seite von co abteilungsweise stetig, und die Trennungskurven (resp. Trennungspunkte) von M in bezug auf Wi(a) sind dieselben, wie in bezug auf *. Es ist ferner W die allgemeine Potentialfunktion des Innen- resp. Aufsenraumes mit den Randwerten W i (a).

Sei zum Beweise &>j eines der w zusammensetzenden Flächenstücke, auf denen

x, cos (j'x), cos (vy), cos (j'z)

stetig sind, und oj seine Randkurve. Der variable Punkt (x, y, z) bleibe stets an der inneren resp. äufseren Seite von wj (oder auf ein und derselben Fläche w/, welche mit coj die Kurve o) gemein hat), wir untersuchen das Integral

r²

in der Nähe von 03. Sei q (q') die kürzeste Entfernung des Punktes (x, y, z) von oj und wir teilen wj in zwei Teile, Wjf und ojj — <»ji, in solcher Weise, dass die Entfernungen des Punktes (x, y, z) von <«j — «j 1 sämtlich gröfser sind als

P=‘dQJ*\ (a endlich, A echter Bruch).

Wir schreiben Wj in der Form: cos (rj')

■Wj=j*₀

r²

dw H- j (x — x₀)

cos (rjd , dft)

r²

wji

cos (rj')

+ (* “ *0) r2

dw,

wenn x₀ den Wert von x in irgend einem beliebig gewählten Punkte von wj! vorstellt. Der absolute Wert des zweiten Integrales kann dadurch, dass wir a genügend klein annehmen, kleiner gemacht werden, als eine beliebig kleine gegebene Gröfse, ferner können die tangentialen Ableitungen sowohl des ersten*), als auch des dritten**) Integrales bei genügend kleinem q (q') ihren absoluten Werten nach kleiner gemacht werden, als

bp-X (resp. b-p,_v),

wo b eine endliche Konstante, 2 einen echten Bruch vorstellt. Diese Bemerkung zeigt, dass VVj an der inneren resp. äufseren Seite von o>j (sowie auf co/) auch bei unendlicher Annäherung an öj stetig bleibt, und damit ist zunächst der erste Teil des Satzes IV bewiesen, dass die Werte Wi(a) an der inneren resp. äufseren Seite von to abteilungsweise stetig und die Trennungskurven (resp. Trennungspunkte) von to in bezug auf Wi(a) dieselben sind, wie in bezug auf x.

Um den Satz vollständig zu beweisen, haben wir noch zn zeigen, dass das Integral W in der Umgebung der Trennungskurven und Trennungspunkte die Eigenschaften 1 und 2 S. 11—12 besitzt.

Wir denken uns hierzu in einem Punkte P einer Trennungskurve (in endlicher, im übrigen beliebig kleiner, fester Entfernung von den Trennungspunkten) die Normalebene der Kurve und in dieser um P als Centrum einen Kreis mit dem genügend kleinen Radius q, der die beiden in der Trennungskurve zusammenstofsenden Flächenteile in den Punkten (§i % £i) und (§, rj₂ £₂) schneide; X sei ein variabler Punkt auf dem in x gelegenen Kreisbogen mit den Koordinaten (x, y, z). Bezeichnen wir mit xj und xk die Werte von x, wenn man sich dem Punkte P auf dem einen

*) Zusatz 1 und 2 zu VII b), S. 90, Lehrbuch der Potentialtheorie, Bd. I. **) Diese Ableitungen sind bei genügend kleinem q ((>') ihren absoluten Werten nach jedenfalls

<; endl. Konst. — < endl. Konst. q~ (resp. q' ³-^),

so dass man nur A —

A zu setzen braucht.

Flächenteil Wj resp. auf dem anderen Flächenteil Wk unendlich nähert, und setzen wir:

9) W”f¹¹iC-pr¹¹)dM+j

cos (rv) *k r2

d« + W',

00k

so ergiebt sich durch eine der kurz vorhergehenden Untersuchung analoge Betrachtung, dass die absolute Differenz der Werte von W' auf dem Kreisbogen (?i ft £,) X (?₂ ft £2) durch Verkleinerung von q unter jeden Kleinheitsgrad herabgedrückt werden können; andererseits ist, da ¹¹ j und xk Konstanten sind¹¹):

cos(ry)dw

*3

r²

cos (rv) .

a co

r²

= — 2 xj çpj + Di,

10)

eosQv)

Air    n    VA

r²

cos (rv) ,

= + 2 X]+ D₂,

«k

Cdk

(5.11. W

wenn (ft den Winkel vorstellt, um den man die Richtung P ft £,) in das Innere von r hinein drehen muss, um die Richtung P X zu erhalten, und D! D₂ Gröfsen vorstellen, die durch Verkleinerung von q unter jeden Kleinheitsgrad herabgedrückt werden können. Die beiden Integrale sind, somit auch W, in bezug auf cp linear, wenn man von Gröfsen von der Art D! D₂ absieht, und es folgt somit:

lia) W (?! ft £1) + ft <: W (x, y, z) < W ($₂ ft £₂) + ft,

oder

11b) W & ft ^) + ft > W (x, y, z) > W (§₂ % £2) + ft,

wo ft und ft Gröfsen vorstellen, die durch Verkleinerung von q unter jeden beliebigen Kleinheitsgrad herabgedrückt werden können.

Sei endlich P ein Trennungspunkt, in dem eine endliche Anzahl von Flächenstücken co₂ co₃ . . . Zusammentreffen ; wir konstruieren um P als Centrum eine Kugel mit dem genügend kleinen Radius q, der die Fläche w in der Kurve g schneiden möge, und bezeichnen mit xi x₂ xs . . . die Werte von x, wenn man sich dem Punkte P auf den Flächenstücken m₁ co₂ co₃ . . . unendlich nähert. Setzen wir «2

«1

cos (re)

r²

so folgt wieder leicht durch eine dem ersten Teile des Beweises analoge Betrachtung, dass die absolute Differenz der Werte von W' auf dem in z gelegenen Teile der Kugelfläche durch Verkleinerung von q unter jeden beliebigen Kleinheitsgrad herabgedrückt werden kann; andererseits ist, da xl x₂ . . . Konstanten sind, wenn wir

Wj =

cos (rv)

r²

d», j = 1, 2, 3 ...

setzen, auf jenem Teile der Kugelfläche

13)¹²)

8 Ç cos (rv) 8h J Xj r²

8 \ V;

dw=,!i“0h

«j

ipi i cos (nj ! h) + ip\ 2 cos (nj ₂ h)

= Xj-"i--

+ ¹² j

^j2

€»ji

Pj2

wo h eine beliebige Richtung vorstellt, ^ji(>j2 die kürzesten Entfernungen des variabeln Punktes von den wj begrenzenden Kurventeilen öji Cj₂, die in P zusammenstofsen,    Gröfsen, die durch

Verkleinerung von oji(>j2 kleiner gemacht werden können, als

a«(>j₁1_x resp. aę>j₂1-x, (a endliche Konstante, X echter Bruch),

xfj-n Vü2 Gröfsen, die lediglich von den Winkeln abhängen, welche P(xyz) mit den Tangenten von Ojt und Oj₂ in P bilden¹³), und nj!nj₂ die Richtungen, welche zu den Richtungen

P(xyz) und Tangente von öji in P

resp.

P(xyz) und Tangente von oj₂ in P

senkrecht sind, wobei es für uns nicht darauf ankommt, ob wir alle diese Richtungen nach der einen oder anderen Seite positiv nehmen.

Die Ausdrücke:

xpi ! cos (uj i h) 4- ipj 2 cos (rij ₂ h)

sind die Ableitungen der Funktion

dft) + const.

nach der Richtung h, wenn wir mit das zwischen den Tangenten von öj! und oj₂ in P liegende ebene Gebiet bezeichnen. Sie unterscheiden sich bei genügend kleinem q nur um Gröfsen von der Form

von den Ableitungen der Funktion

cos (rv)

j.2

dcö + const.,

<)

in der wir mit Oj das zwischen den Richtungen PPji und P Pj 2 liegende ebene Gebiet bezeichnen (Pji und Pj₂ die Schnittpunkte von oj ! resp. dj ₂ mit ç), und deren Maxima und Minima auf ç liegen müssen¹⁴). Es folgt so

15) _s + Min.We/<W,<Max. Wc' + «

und somit auch:

16) — E + Min. W< << W (x, y, z) c Max. Wç + E,

wo e und E durch Verkleinerung von q unter jeden beliebigen Kleinheitsgrad herabgedrückt werden können.

Nunmehr ist Satz IV vollständig bewiesen.

Der soeben gegebene Beweis des Satzes IV enthält zugleich den Beweis für den folgenden

Zusatz zu IV. Kann man die allgemeine Potentialfunktion des Innen- resp. Aufsenraumes von «, welche an einem Teile cox der Fläche co die Randwerte null, an dem übrigen Teile co₂ der Fläche co die Randwerte 1 besitzt, in der Form konstruieren:

10 Ui (a) —^    (a)

cos (r0

r2

dw const.

CO

CO

wo Xj(a) eine auf co abteilungsweise stetige Funktion der Stelle vorstellt, so ist auf irgend einer Fläche co', welche co in der Grenzkurve von col und w₂ unter von null (n) verschiedenen Winkeln schneidet und sonst keine Punkte mit co gemein hat: wo A einen echten Bruch vorstellt, der lediglich von der Gestalt der Flächen m und co' abhängt.

Der Zusatz bedarf eines besonderen Beweises nur, falls man sich der Grenzkurve auf co' unendlich nähert. Nähert man sich zunächst einem Punkte der Grenzkurve, der eine endliche, im übrigen beliebig kleine, feste Entfernung von den Trennungspunkten der Grenzkurve besitzt, so ergiebt sich der Beweis mit Hilfe der Formeln 10) S. 15 aus dem zweiten Teile des Beweises von IV, nähert man sich einem Trennungspunkte der Grenzkurve, so folgt der Beweis aus dem dritten Teile des Beweises von IV, wenn man bedenkt, dass in den Formeln 15) S. 17 an Stelle des Zeichens < das strenge Zeichen < tritt, solange man auf einer Fläche co' bleibt, die co überall unter von null verschiedenen Winkeln schneidet.

-, wenn r₀ die Entfernung

*) Im Falle des Aufsenraumes; auch + co”s~ des variabeln Punktes von einem Punkte 0 innerhalb a> vorstellt.

III. Abschnitt.

••

Uber das allgemeine Dirichletsche Problem und seine Lösung für eine stetig gekrümmte Fläche, welche in bezug auf einen inneren Punkt konvex ist.

§ i.

Wir wollen unter dem allgemeinen Dirichletschen Problem die Aufgabe verstehen, die allgemeine Potentialfunktion des Innen-resp. Aufsenraumes einer beliebigen geschlossenen Fläche co zu finden, welche an der Fläche co die vorgeschriebenen abteilungsweise eindeutigen und stetigen Randwerte f besitzt, und diese Aufgabe in diesem Abschnitte für irgend eine stetig gekrümmte Fläche co lösen, welche in bezug auf einen inneren Punkt konvex ist, d. h. für welche ein Punkt innerhalb co so existiert, dass keine der Tangentialebenen von co durch diesen Punkt geht.

In dem Falle, dass die Funktion f auf co eindeutig und stetig ist und ihre ersten Ableitungen die Eigenschaft haben, dass für zwei beliebige Punkte % £i) und (£₂ V2 £2) der Fläche in genügend kleiner Entfernung r₁₂

!9) abs. (?₂ fj₂ £2) -    (?i Vi £])} <a4 X

wo h eine beliebige tangentiale Richtung, a eine endliche Konstante, l einen echten Rruch vorstellt, habe ich die Giltigkeit der Neumannschen Methode des arithmetischen Mittels durch einige Modifikationen einer Untersuchung von Poincaré für solche Flächen « eingehend bewiesen; setzt man

20)

1 F cos (rv)

co

**“⁺y<**

co

r‘2

deo,

— 1, a

cos (rv)

-t-    - 1, i) - r2

dw, (j = 2, 3 ...)

so stellen die Funktionen:

GO

U¹⁵= SBj.

21)

1

GO

U, = 2i (- ly (SBj — 2C),

1 die allgemeinen Potentialfunktionen des Aufsen- resp. Innenraumes vor, welche an der Fläche w die Randwerte

Ua = f + C,

resp.

Ui =f,

besitzen; dabei bedeutet C die Konstante, zu der die Reihe: konvergiert.¹⁵)

Mit Hilfe der Sätze I—III können wir dieses Resultat auf den Fall ausdehnen, dass f auf w lediglich abteilungsweise eindeutig und stetig ist. Es folgt successive aus diesen Sätzen, dass bereits die Funktion

22) F =

rH rM

(203 a + 2B3i)

die Eigenschaft hat, dass für zwei beliebige Punkte ijl £r) und (§2 V-2 Q der Fläche w in genügend kleiner Entfernung r₁₂

(£1 Vi £i)}<a- Vr₁₂,

abs.

föF /v > v öF \0h^²’²^ 8h

wo h eine beliebige tangentiale Richtung, a eine endliche Konstante vorstellt. Es stellen somit die Reihen

GO

23)

4

GO

(- W (SBi - 2G)

21

die allgemeinen Potentialfunktionen des Innen- resp. Aufsen-raumes von co dar, welche an der Fläche co die Randwerte

<2>a=-

24)

~2 (203a + 2B3i) + G,

Y (203a + 2Ö3i) - 2G besitzen. Es gelten nun die Formeln:

'    2Bia-äBii    =    2f,

25) Sö₂a — 2ö₂i = — (SBla + SBii),

. SB3 a — 203 i = — (202 a + SBai).

Wir addieren dieselben und dividieren durch 2, dann folgt:

2Bla+ %>»+ SBäa —

i(28₃₄+28„) = f

oder nach 24)

26a) 12ÖX + 2S₂ + Sß₃ + |a = f + G ;

multiplizieren wir andererseits die Formeln 25) resp. mit (4- 1), (—1), (+1), addieren und dividieren durch 2, so folgt:

oder nach 24):

26b) I— (SCBi

2G) + (S®₂ - 2G) - (äB₈ - 2G) + W\i = f;

die Formeln 26 a) und 26 b) zeigen mit Rücksicht auf 23), dass die Reihen 21) auch dann die Lösungen unseres Problèmes darstellen, falls f auf co lediglich abteilungsweise eindeutig und stetig ist.

Setzt man

co

so kann man mit Hilfe der obigen Methode die allgemeine Potentialfunktion ua des Aufsenraumes und die Konstante 6 so bestimmen, dass an co

Ua-6

Ç dw

1^’

(6 4=0),

co

IC

TI

und es wird dann

O b2)

IS

die allgemeine Potentialfunktion des Aufsenraumes sein, welche an co die Randwerte C besitzt, somit:

Ui

resp.

Ua-

§Ht)

eo

die Lösungen des allgemeinen Dirichletschen Problems bei den beliebigen abteilungsweise eindeutigen und stetigen Randwerten f.

rr.

2.

Da die absoluten Werte von

Sßja und 3Bji — 2G

Glieder von konvergenten Reihen sind, können wir Ui und Ua, sowie ua als Flächenintegrale von der Form

j¹⁶

cos (rv) .

r²

da)

darstellen, wobei die Ui resp. Ua entsprechenden ¹⁶ auf oo abteilungsweise eindeutig und stetig sind.

Wir gelangen somit zu dem folgenden Satze:

ge-

V.¹⁶) Mit Hilfe der Neumannschen Methode des arithmetischen Mittels kann man die Lösungen des allgemeinen Dirichletschen Problèmes für eine stetig krümmte, gegen einen inneren Punkt konvexe Fläche « bei beliebig vorgeschriebenen, auf w abteilungsweise eindeutigen und stetigen Randwerten f in den Formen darstellen:

cos frv) -,

r²

Xi-^—- dft)

eu

resp.

cos (rP) *a r2

dft) + const.

co

co

wo Xi resp. *a abteilungsweise eindeutige und stetige Funktionen der Stelle auf to vorstellen.

¹

Unter Ausschluss von scharfen Kanten und Spitzen.

²

Lehrbuch der Potentialtheorie, Bd. I, S. 8.

³

Nach willkürlicher, aber ein für allemal bestimmter Festsetzung der positiven Seite von co.

⁴

Lehrbuch der Potentialtheorie, I. Bd, S. 73.

⁵

Die Fläche oo in diesem Falle geschlossen, f) Bei genügend kleinem r]2.

⁶

Vgl. Lehrbuch der Potentialtheorie, Bd. I, S. 39 (Formel 48).

⁷

Man vgl. zu Satz I die Abhandlung von Liapounoff, sur certaines questions, qui se rattachent au problème de Dirichlet. (Journ. de math. 1898.)

⁸

Lehrbuch der Potentialtheorie, Bd. I, S. 392.

⁹

Lehrbuch der Potentialtheorie Bd. I, S. 46 (Formel 59).

¹⁰

Eine besondere Art dieser allgemeinen Potentialfunktionen sind die stetigen, allgemeinen Potentialfunktionen-, eine andere Art derselben sind die regulären, allgemeinen Potentialfunktionen, wie ich sie in meinem1 Lehrbuche der Potentialtheorie, Bd. I, S. 283 definiert habe, wenn man diese Definition in entsprechender Weise auch auf den Fall von Trennungspunkten ausdehnt, auf den ich dort nicht näher eingegangen bin. Ich bemerke beiläufig, dass dieser letztere Begriff eine besondere Wichtigkeit hat, man, wie bei den Greenschen Formeln, von Integralen über t zu Integralen über die Grenzfläche übergeht.

¹¹

Vgl. Lehrbuch der Potentialtheorie, Bd. I, S. 88.

¹²

Lehrbuch der Potentialtheorie, Bd. I, S. 375—378.

¹³

d. h. unabhängig von q, falls man q als variabel annimmt.

¹⁴

Es folgt dies aus der Unabhängigkeit dieser Funktion von der Ent-fernnng von P, mit Rücksicht darauf, dass diese Funktion eine Lösung der Laplaceschen Gleichung ist, und falls man die in 14) willkürlichen Konstanten für die in Betracht kommenden Raumteile in geeigneterWeise wählt. Korn, Abhandl. 1.

¹⁵

Lehrbuch der Potentialtheorie, Bd. I, S. 248 ff.

¹⁶

Der Satz gilt allgemein für alle stetig gekrümmten Flächen w, welche die Poincarésche Transformation gestatten. (Vgl. Comptes rendus 1900 t. 80, p. 1238.)

IV. Abschnitt.*)

Über die Methoden des alternierenden Verfahrens von Schwarz.**)

ZOO

1.

Es sei co eine geschlossene, stetig gekrümmte, in bezug auf einen inneren Punkt konvexe Fläche, co' eine zweite solche Fläche, welche to in einer aus einer endlichen Anzahl stetig gekrümmter Teile zusammengesetzten Kurve o unter von null (n) verschiedenen Winkeln schneidet und aufser dieser keine Punkte mit to gemein hat; wir bezeichnen die inneren Teile von to und to' mit w2 resp. ft)₂', die äufseren Teile mit t>\ resp. oo^.

Es sei weiter f eine abteilungsweise eindeutige und stetige Funktion der Stelle auf der Fläche

(Ol + ft)x ,

wir wollen zeigen, dass wir die allgemeine Potentialfunktion des Innenraumes von co{ konstruieren können, welche an diesen Flächen die Randwerte f besitzt:

Es sei Uj die durch die Neumannsche Methode erhaltene allgemeine Potentialfunktion des Innengebietes von to mit den Randwerten:

27^) Uj = f an &>!,

27xb) U! = 0 an w₂,

*) Verallgemeinerung der Untersuchung, S. 299 ff. in Bd. I, Lehrbuch der Potentialtheorie.

**) Ges. Abh., Bd. II, S. 133 ff.

dann ist, wenn r den absolut gröfsten Wert von f vorstellt: 27j c) abs. Uj < r an m₂

und nach V und Zusatz zu IV:

27j d) abs. ux r • X auf <o₂',

wo 1 einen lediglich von der Gestalt der Flächen a und a' abhängenden echten Bruch vorstellt.

Wir konstruieren weiter mit Hilfe der Neumannschen Methode die allgemeine Potentialfunktion u/ des Innenraumes von w' mit den Randwerten

28^) u/ = f an 28xb) u/ = ux an co₂,

dann ist:

28iC) abs. u/ < I⁷* X an m₂', 28td) abs. u

an to₂.

Wir konstruieren weiter mit Hilfe der Neumannschen Methode

die allgemeine Potentialfunktion u₂ des Innenraumes von co mit den Randwerten

u₂ = f an <*>!, u₂ = u/ an w₂,

so dass:

27₂a) u₂ —u₁=0 an Wj, 27₂b) u₂ Uj = u/ an w₂,

dann ist:

27₂c) abs. (u₂ — Uj) < r 27₂d) abs. (u₂ — u{) <; T-X an &>₂'.

an m₂,

Wir konstruieren weiter mit Hilfe der Neumannschen Methode die allgemeine Potentialfunktion u₂' des Innenraumes von w' mit den Randwerten

u₂' = f an u₂ — u₂ an £ö₂ ,

so dass:

28₂a) u₂⁷ — Uj' = 0 28₂b) u₂' — Uj' = u₂ — ut an co₂,

dann ist:

28₂c) abs. (u₂' — u/) < J*. X an w₂\ 28₂ d) abs. (u₂' — Uj ') < r • X² an m₂.

In dieser Weise gehen wir weiter und bilden die beiden unendlichen Reihen:

29)    u = uj 4- (u₂ - uO 4- (u₃ - u₂) 4----,

30)    u' = u/ 4- (u₂' — Uj ') + (u₃' - u₂') 4----,

dann ergiebt sich in bekannter Weise aus den Formeln 27) und 28), dass die gesuchte allgemeine Potentialfunktion im Innenraume von oo durch die Reihe 29), im Innenraume von to' durch die Reihe 30) dargestellt wird.

Wir bezeichnen dieses alternierende Verfahren, durch welches wir zu der Lösung der Aufgabe gelangen, als eine Schwarzsche Operation und können den Satz aussprechen :

Via) Sind oo und oo' zwei geschlossene, stetig gekrümmte, gegen je einen inneren Punkt konvexe Flächen, die sich in einer (aus einer endlichen Anzahl stetig gekrümmter Teile zusammengesetzten) Kurve a unter von null {n) verschiedenen Winkeln schneiden, und bezeichnet man mit ay er/ die äufseren, mit a₂ a₂ die inneren Teile von oo oo\ so kann man mit Hilfe der Neumannschen Methode und einer Schwarzschen Operation die allgemeine Potentialfünktion des Innenraumes von oo₁ w/ konstruieren, welche an diesen Flächen die beliebig vorgeschriebenen, abteilungsweise eindeutigen und stetigen Randwerte f besitzt.

§ 2.

Unter Beibehaltung der Bezeichnungen und Voraussetzungen des vorigen Paragraphen wollen wir zeigen, dass man ähnlich auch das analoge Problem für den Innenraum von co₂ oo₂ bei beliebig vorgeschriebenen, an oo₂ co₂ abteilungsweise eindeutigen und stetigen Randwerten f lösen kann. .

Man bilde mit Hilfe der Neumannschen Methode die allgemeine Potentialfunktion des Innenraumes von co mit den Randwerten

31La) ux = f an m₂, ux = 0 an oox,

dann ist, wenn F den absolut gröfsten Wert von f vorstellt:

31j b) abs. Uj <; F an oo₂

und nach V und Zusatz zu IV:

Bl! c) abs. ux < T • A an co₂'.

Man bilde weiter mit Hilfe der Neumannschen Methode die allgemeine Potentialfunktion u/ des Innenraumes von co' mit den Randwerten

dann ist:

32!a) Uj'^f-Uj an w₂\ u/ = 0

32jb) abs. Ui'<27^ an co₂f 32!c) abs. u/ <2T- A an w₂.

an ca/,

Man bilde weiter mit Hilfe der Neumannschen Methode die

allgemeine Potentialfunktion u₂ des Innenraumes von ca mit den Randwerten

u₂ = f — Ui' an u₂ = 0

an «i,

so dass:

dann ist:

31₂a) u₂ — U!= — u/ an ca₂, u₂ — Ui = 0

31₂b) abs. (u₂ — Ui) < 2-T. 2 an ca₂, 31₂c) abs. (u₂ — ux) < 2T* A² an ca₂'.

Man bilde weiter mit Hilfe der Neumannschen Methode die

allgemeine Potentialfunktion des Innenraumes von ca' u₂' mit den Randwerten

' = f — u₂ an ca₂', ' = 0

an ca/,

so dass:

32₂a) u₂' — u/ = — (u₂ — Uj) an ca/, u₂' — u/ = 0

an co/,

dann ist:

32₂b) abs. (u/— u/)-< 2T-A² an co₂',

32₂c) abs. (u₂'— u/) < 2r* A³ an cd₂.

In dieser Weise gehen wir weiter und bilden die Reihe:

33) U = Ui -I- (u₂ —u/ + (u₃ — u₂) + ••• + u/ + (u/ — u/) 4- (u₃' — u₂') + • •

dann stellt diese Reihe die allgemeine Potentialfunktion des Innengebietes von w₂ cö₂' dar, welche an diesen Flächen die Randwerte f besitzt, wie in bekannter Weise aus den Formeln 31) und 32) folgt.

Wir erhalten den Satz:

VIb) Wir können — im übrigen bei den Voraussetzungen und Bezeichnungen des Satzes Via) — mit Hilfe der Neumannschen Methode und einer Schwarz-schen Operation die allgemeine Potentialfunktion des Innenraumes von w₂ co₂' konstruieren, welche an diesen Flächen die beliebig vorgeschrieben en, abteil ungsweise eindeutigen und stetigen Randwerte f besitzt.

OOO

co

Genau analoge Methoden, wie sie durch die Untersuchungen von § 1 und 2 zur Konstruktion der allgemeinen Potentialfunktionen eines Innengebietes abgeleitet wurden, lassen sich auch zur Konstruktion der allgemeinen Potentialfunktionen eines Aufsengebietes benützen; es gelten die folgenden Sätze:

VIc) Wir können — im übrigen bei den Voraussetzungen und Bezeichnungen des Satzes Via) — mit Hilfe der Neumannschen Methode und einer Schwarz-schen Operation die allgemeine Potentialfunktion des Aufsenraumes von ft)₂ w₂' konstruieren, welche an dies en Flächen die beliebig vorgeschriebenen, abteilungsweise eindeutigen und stetigen Randwerte f besitzt.

VId) Wir können — im übrigen bei den Voraussetzungen und Bezeichnungen des Satzes Via) — mit Hilfe der Neumannschen Methode und einer Schwarz-schen Operation die allgemeine Potentialfunktion des Aufsenraumes von co₁ konstruieren, welche an diesen Flächen die beliebig vorgeschriebenen, abteilungsweise eindeutigen und stetigen Randwerte f besitzt.

Der Beweis von VIc) ist völlig dem von Via), der Beweis von VId) völlig dem von VIb) analog.

V. Abschnitt.

Über die Ergänzung genügend kleiner, stetig gekrümmter Fläclienstücke zu geschlossenen, stetig gekrümmten, in bezug auf einen inneren Punkt konvexen Flächen.

§ i.

Wir wollen hier den folgenden Satz beweisen:

VII. Bezeichnet (£₀ Vo £o) einen beliebigen Punkt eines stetig gekrümmten Flächenstückes, und denkt man sich durch die Schnittkurve ç desselben mit einer Kugel (P) um (2*o Vo C₀) als Centrum jenes Flächenstück in zwei Teile zerlegt, so kann man, falls man nur P genügend klein wählt, den (|₀ Vo £o) enthaltenden Teil zu einer geschlossenen, stetig gekrümmten, in bezug auf einen inneren Punkt konvexen Fläche ergänzen.

zu

Für den analogen Satz in der Ebene, die Möglichkeit der Ergänzung eines genügend kleinen, stetig gekrümmten Kurvenstückes, folgt der Beweis ohne weiteres daraus, dass man in einem Punkte (£₀ Vo) desselben die Normale v₀ errichtet und auf derselben in genügend kleiner Entfernung von (S₀ rj₀) einen Punkt angeben kann, gegen den das Kurvenstück konvex ist; dass man in den beiden Randpunkten die Tangenten zieht und mit Hilfe dieser Tangenten und eines Kreisbogens (eventuell zweier Kreisbogen und einer weiteren geraden Strecke) das Kurvenstück einer geschlossenen, stetig gekrümmten, gegen den genannten Punkt konvexen Kurve ergänzt.

Im Raume ist der entsprechende geometrische Beweis nicht so einfach; man kann zwar wieder für jedes genügend kleine, stetig gekrümmte Flächenstück einen Punkt angeben, in bezug auf den es konvex ist, man kann dasselbe auch durch die von den Tangentialebenen der Fläche in der Randkurve eingehüllte Fläche fortsetzen (die tangentiale Fortsetzung jenes Flächenstückes), der Beweis aber, dass man das Flächenstück auch zu einer geschlossenen, stetig gekrümmten, gegen den genannten Punkt konvexen Fläche ergänzen kann, scheint mir geometrisch nicht ganz leicht zu sein; ich will den Satz nun im folgenden unter Zuhilfenahme der Analysis beweisen.

§ 2.

Wir denken uns im Punkte (S₀ fj₀ £₀) die Normale und auf derselben in der Entfernung r den Punkt 0. Wir konstruieren um 0 als Centrum eine Kugelfläehe mit einem Radius

P< r

und einen Kreiskegel, dessen Spitze 0, dessen Axe die Gerade 0(?o%^o) ist) und dessen Erzeugende mit der Richtung 0—M^o^o^o)

7T

einen Winkel 0 < bilden.

Wir können stets r klein genug wählen, so dass die Schnittkurve g dieses Kreiskegels mit dem gegebenen Flächenstück¹) ein Flächenstück co abgrenzt, welches in bezug auf den Punkt 0 konvex ist.

Bezeichnen wir mit 2 die Schnittkurve des Kreiskegels mit der Kugel (P) und mit r₀ die Entfernung des Punktes 0 von einem Punkte ($ i\ £) des Flächenstückes co, welche die Kugel (P) in einem Punkte {3HZ) schneide; es wird dann die Funktion

r₀

34) F = ;

als Funktion von (3H Z) betrachtet auf der im Innern des Kreiskegels gelegenen Kugelzone >0, mit ihren ersten Ableitungen eindeutig und stetig sein und endliche zweite Ableitungen besitzen.

Wir werden den Satz VII bewiesen haben, wenn wir zeigen können, dass sich eine Funktion der Stelle auf der aufserhalb des Kreiskegels gelegenen Kugelzone konstruieren lässt, welche > 0, mit ihren ersten Ableitungen eindeutig und stetig ist, endliche zweite Ableitungen besitzt und mit ihren ersten Ableitungen an der Kurve 2 dieselben Werte, wie F mit seinen ersten Ableitungen, annimmt.

Denken wir uns noch die Punkte 3HZ der Kugelfläche von dem Schnittpunkte der Geraden 0 (£₀ % £₀) mit der Kugelfläche auf eine zu dieser Geraden normale Ebene projiziert, so sehen wir, dass wir lediglich den Beweis des folgenden Satzes zu führen haben:

Gegeben ist in der Ebene eine Funktion f der Stelle (xy) des Aufsengebietes eines Kreises (R), welche mit ihren ersten Ableitungen eindeutig und stetig ist, endliche zweite Ableitungen besitzt und durch eine Transformation nach reciproken Radien in eine ebensolche Funktion des Innengebietes von (R) verwandelt wird; es lässt sich eine Funktion cp des Innengebietes von (R) konstruieren, die >0, mit ihren ersten Ableitungen eindeutig und stetig ist, endliche zweite Ableitungen besitzt und an dem Kreise (R) die Bedingungen:

<P = f,

35) < dcp 0f

dv dv

erfüllt, wenn wir unter v die Richtung der (nach innen positiv gerechneten) Normalen von (R) verstehen.

Sei zum Beweise f' die Funktion des Innengebietes, in welche f durch eine Transformation nach reciproken Radien übergeht, wir setzen:

36)    =    + 2(R — rj ip+ 3l(R — rj²,

indem wir unter rx die Entfernung des variabeln Punktes vom Centrum des Kreises (R), unter a eine Konstante und unter xfj die Lösung des Dirichletschen Problèmes für das Innengebiet des

/ 0f\

Kreises (R) bei den Randwerten ( + g j verstehen,

die bei unseren

Voraussetzungen eindeutig und stetig sind und endliche erste Ableitungen besitzen. Ich behaupte, dass die Funktion </>, wenn man die Konstante a genügend grofs und positiv annimmt, die von uns gewünschten Eigenschaften hat.

Es ist nämlich:

37)

(R)

Bf cos (r^)

dv

do" + const,

wenn de ein Element des Kreises und r die Entfernung und Richtung de—(x, y) vorstellt, und es ist somit ip in dem Innengebiete von (R) eindeutig und stetig. Es folgt so zunächst, dass (p in dem Innengebiete von (R) eindeutig und stetig ist und dass für rx = R

SP = f

f' = f.

wird, da an dem Kreise

Es sind ferner innerhalb*) (R) sämtliche erste Ableitungen von (f eindeutig und stetig, alle zweiten Ableitungen endlich, und da bei genügend kleinem R — rx

dtp

abs. ~~

endl. Konst.

0ri

(R-r)x

-T—,    (2 echter Bruch)**)

0f' 0f

und für rx = R

so folgt für lim rt = B

dcf dcp    öf

0r,    dv    ev

Es bleibt lediglich zu beweisen, dass die ersten Ableitungen von

(R R) ip

eindeutig und stetig, die zweiten Ableitungen endlich bleiben, wenn man sich dem Kreise (R₂) unendlich nähert, und dass bei genügend grofsem, positiven a die Funktion (p stets > 0 ist.

Zum Beweise der ersteren Behauptung bemerken wir, dass, wenn h eine beliebige Richtung vorstellt:

cos(rx)

)dip

0h

Jcos (vh) ^

0²f

0²f

cos (ry)

dv 0x

(R)

0v 0y

do⁻

0²f cos^rv) dv 0h

dtf,

(R)

und wenn h' eine zweite beliebige Richtung vorstellt:

d²ip

0h 0h'

(R)

wobei 0 auf (R) endlich ist, somit in genügend kleiner Entfernung von (R):

f) abs.

d²ip == endl. Konst. 0h~0h'

R-r

*) d. h. in endlicher, im übrigen beliebig kleiner Entfernung von (R). **) Lehrbuch der Potentialtheorie, Bd. II, S. 330.

***) ib. Bd. II, S. 38, Formel 60). t) ib. Bd. II, S. 319.

und:

abs.(R — rx)

d²(p

0h 0h'

< endl. Konst.,

womit die Endlichkeit der zweiten Ableitungen von (R — rx)xp auch bei unendlicher Annäherung an (R) und somit auch die Eindeutigkeit und Stetigkeit der ersten Ableitungen von (R — lj) ip in dem Innenraum von (R) bewiesen ist, da die ersten Ableitungen von (R —rx) ip an (R) eindeutige und stetige Randwerte besitzen.

Zum Beweise endlich, dass bei genügend grofsem positiven a die Funktion (p im Innengebiete von (R) überall > 0 ist, bedenken wir, dass <p — a (R — rj² am Rande >0 ist und endliche erste

Ableitungen besitzt, so dass auch eine genügend kleine Länge b existiert, so dass für

R — b rx c R

diese Funktion, umsomehr (p stets >0 ist, in dem Innengebiet des Kreises (R — b) können wir aber (p durch genügend grofse Annahme von a stets > 0 machen.

Damit ist der Satz vollständig bewiesen.

VI. Abschnitt.

Über die allgemeine Lösung* des Dirichletschen

Problèmes.

■fr.

1.

Ebenso wie wir nach den Untersuchungen des IV. Abschnittes durch Kombination von zwei geschlossenen, stetig gekrümmten, gegen je einen inneren Punkt konvexen Flächen zur Lösung des allgemeinen Dirichletschen Problèmes für ein Raumgebiet gelangten, das von zwei stetig gekrümmten, gegen je einen Punkt konvexen Flächenstücken begrenzt wird, können wir successive auch mit Hilfe der Neumannschen Methode und einer endlichen Anzahl Schwarzseher Operationen die Lösung für ein beliebiges Raumgebiet erhalten, das von einer endlichen Anzahl stetig gekrümmter, gegen je einen Punkt konvexer Flächenstücke begrenzt wird, sobald man nur jedes derselben zu einer geschlossenen, stetig gekrümmten, gegen einen inneren Punkt konvexen Fläche ergänzen kann, und falls nur die Flächenstücke unter von null (n) verschiedenen Winkeln Zusammentreffen. Den Fall des Zusammentreffens unter dem Winkel n brauchen wir überdies nicht aus-zuschliefsen, da wir denselben stets auf die früheren Fälle zurückführen können; es bleibt also nur der Fall von Spitzen und scharfen Kanten ausgenommen, den wir ja überhaupt stets ausgeschlossen haben.

§ 2.

Man kann nun jedes beliebige, stetig gekrümmte FJächenstück, somit auch jede beliebige geschlossene Fläche, die sich aus einer endlichen Anzahl stetig gekrümmter Flächenstücke zusammensetzt, in eine endliche Anzahl von Flächenstücken teilen, die Teile je einer geschlossenen, stetig gekrümmten, gegen einen inneren Punkt konvexen Fläche sind (Satz VII).

Diese Überlegung führt uns in Verbindung mit dem Resultate des vorigen Paragraphen zu den folgenden Sätzen:

VIII.    Man kann mit Hilfe der Neumannschen Methode und einer endlichen Anzahl Schwarzseher Operationen stets die allgemeine Potentialfunktion des Innen- resp. Aufsenraumes einer beliebigen geschlossenen Fläche «, die sich aus einer endlichen Anzahl stetig gekrümmter Flächenstücke zusammensetzt, konstruieren, welche an dieser Fläche die beliebig vorgeschriebenen, abteilungsweise eindeutigen Randwerte f besitzt.

Zusatz 1 zu VIII. Diese allgemeinen Potentialfunktionen werden im besonderen stetige, allgemeine Potentialfunktionen des Innen- resp. Aufsenraumes von m sein, falls f auf co eindeutig und stetig ist.

Zur Entscheidung (falls co eine geschlossene, stetig gekrümmte Fläche ist), ob die konstruierten allgemeinen Potentialfunktionen wirkliche Potentialfunktionen sind, d. h. ob auch ihre ersten Ableitungen in ganzer Erstreckung ihres Gebietes eindeutig und stetig sind, dient das Kriterium:

IX.    Ist die Fläche co eine geschlossene, stetig gekrümmte Fläche, so ist dafür, dass die Lösungen des Diri ch lets chen Problèmes Potentialfunktionen vorstellen, neben der Eindeutigkeit und Stetigkeit der ersten Ableitungen der Randwerte f notwendig und hinreichend, dass das Flächenintegral:

Korn, Abhandl. i.

Jf-?

cos (rv) .

d co

co

eine Potentialfunktion des Innen- resp. Aufsenrauraes von co ist.

Diese Bedingung ist im besonderen erfüllt:

1. Wenn die zweiten Ableitungen von f endlich sind oder wenn nur die ersten Ableitungen von f die Eigenschaft haben, dass für zwei beliebige Punkte (?! V\ £1) und (?2 V2 £2) von M in genügend kleiner Entfernung r₁₂

jöh ^² ^ ~ 01i (^1 Vi £i)j

abs.

<a • 4

wo h eine beliebige tangentiale Richtung, a eine endliche Konstante und X einen echten Bruch vorstellt.

2. Wenn eine Potentialfunktion des von cd und einer ganz innerhalb von « verlaufenden (ganz aufserhalb von cd verlaufenden und co umschliefsenden), der Fläche cd beliebig nahen Fläche cdj (cda) begrenzten Gebietes existiert, welche an co die Randwerte f besitzt [und auch dann noch, wenn F in diesem Gebiete alle Eigenschaften einer Potentialfunktion besitzt, mit der Ausnahme, dass^/F in demselben nicht null, sondern lediglich endlich ist].

Der Beweis dieses Satzes folgt genau, wie der Beweis des analogen Satzes in der Ebene*).

§ 3.

Wir wollen zum Schluss auch noch den Satz aussprechen, welcher die Giltigkeit der Schwarzschen Methoden im Raume in derselben Allgemeinheit, wie in der Ebene, aussagt, und der gleichfalls durch die vorstehenden Untersuchungen streng bewiesen ist.

X. Die Sätze Via)—VId) gelten für zwei beliebige geschlossene Flächen co und co', die sich aus je einer'endlichen Anzahl stetig gekrümmter Flächenstücke zusammensetzen.

*) Lehrbuch der Potentialtheorie, Bd. II. S. 235—246.

Druck von G. Bernstein in Berlin.

//

.#•

i*

KRAKOW

ET

♦

’>* Voranzeige. He

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*-

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wskie)

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factoren und Assistent am tecnH

¹

Liegt (£₀ % Co) auf der Randkurve, so hat man für das folgende zu dem gegebenen Flächenstüek noch einen im übrigen beliebig kleinen Teil seiner tangentialen Fortsetzung hinzuzunehmen.