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Meinen umfangreichen Yerlag auf dem Gebiete der Mathematischen, der Technischen und Naturwissenschaften nach allen Richtungen hin weiter auszubauen, ist mein stetes durch das Vertrauen und Wohlwollen zahlreicher hervorragender Vertreter obiger Gebiete von Erfolg begleitetes Bemühen, wie mein Verlagskatalog zeigt, und ich hoffe, daß bei gleicher Unterstützung seitens der Gelehrten und Schulmänner des In- und Auslandes auch meine weiteren Unternehmungen Lehrenden und Lernenden in Wissenschaft und Schule jederzeit förderlich sein werden. Verlags-anerbieten gediegener Arbeiten auf einschlägigem Gebiete werden mir deshalb, wenn auch schon gleiche oder ähnliche Werke über denselben Gegenstand in meinem Verlage erschienen sind, stets sehr willkommen sein.

Unter meinen zahlreichen Unternehmungen mache ich ganz besonders auf die von den Akademien der Wissenschaften zu München und Wien und der Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen herausgegebene Encyklopädie der Mathematischen Wissenschaften aufmerksam, die in 7 Bänden die Arithmetik und Algebra, die Analysis, die Geometrie, . die Mechanik, die Physik, die Geodäsie und Geophysik und die Astronomie behandelt und in einem Schlußband historische, philosophische und didaktische Fragen besprechen, sowie ein Generalregister zu obigen Bänden bringen wird.

Weitester Verbreitung erfreuen sich die mathematischen und naturwissenschaftlichen Zeitschriften meines Verlags, als da sind: Die Mathematischen Annalen, die Bibliotheca Mathematica, das Archiv der Mathematik und Physik, die Jahresberichte der Deutschen Mathematiker-Vereinigung, die Zeitschrift für Mathematik und Physik, Organ für angewandte Mathematik, die Zeitschrift für mathematischen und naturwissenschaftlichen Unterricht, ferner Natur und Schule, Zeitschrift für den gesamten naturkundlichen Unterricht aller Schulen, die Geographische Zeitschrift u. a.

Seit 1868 veröffentliche ich in kurzen Zwischenräumen: „Mitteilungen der Verlagsbuchhandlung B. G. Teübner“. Diese „Mitteilungen“, welche unentgeltlich in 25 000 Exemplaren sowohl im In- als auch im Auslande von mir verbreitet werden, sollen das Pnblikum, welches meinem Verlage Aufmerksamkeit schenkt, von den erschienenen, unter der Presse befindlichen und von den vorbereiteten Unternehmungen des Teubnerschen Verlasrs in Kenntnis setzen und sind ebenso wie das bis auf die Jünj Biblioteka Politechniki Krakowskiej Verzeichni Mathemati Grenzgebit 1901—1903 unentgeltlic

von mir unmitteioar an ui«

3 dreimal neu gedruckte auf dem Gebiete der

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Wissenschaften nebst 8], sowie der Nachtrag n allen Buchhandlungen jr auch unter Kreuzband

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DAS ERDSPHÄROID

UND SEINE ABBILDUNG

VON

Du. EMIL HAENTZSCHEL

PROFESSOR AN DER KGL. TECHNISCHEN HOCHSCHULE UND AM KÖLLNISCHEN GYMNASIUM ZU BERLIN.

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Bestimmt man noch nach § 1, Formel I) das zu cp gehörige eo, so findet man

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DRUCK UND VERLAG VON B. G, TEUBNER 1903.

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ALLE RECHTE,

EINSCHLIESZLICH DES ÜBERSETZUNGSRECHTS, VORBEHALTEN.

Vorwort.

Der Ausgang der siebenziger Jahre des vorigen Jahrhunderts ist für die Kartenentwurfslehre in mehr als einer Hinsicht bemerkenswert gewesen. Hatte man es bisher in den wissenschaftlichen Lehrbüchern über Kartenprojektion für notwendig gehalten, eine möglichst vollständige Übersicht über alle je ersonnenen Methoden der Projektion der Erdoberfläche auf die Ebene zu geben, so beginnt jetzt die Erkenntnis aufzugehen, daß man einen Unterschied machen müsse zwischen den verschiedenen Entwürfen, und daß man von allen nur die für die Geographie wichtigen einer eingehenden Behandlung zu unterwerfen habe. Man fängt an einzusehen, daß man streng teilen müsse zwischen Landkarten einerseits und Generalstabskarten und Meßtischblättern andererseits; für jene, im Maßstabe 1:1000000 bis 1:10 000 000, genügt es die Erde als Kugel anzusehen, für diese, im Maßstabe 1 : 15 000 bis 1 : 150 000, ist die Exzentrizität des Erdsphäroids bei der Konstruktion der Karte zu berücksichtigen. Wenn Wiechel in seinem Aufsatze: Rationelle Gradnetzprojeldionen (in der Zeitschrift: Der Civil-Ingenieur, 1879, S. "420 ff.) gerade dieses Moment betont, so erwirbt sich ganz besonders Tissot durch sein Werk: Memoire sur la re-presentation des surfaces et les projections des cartes ge'ographiques, Paris 1881, das große Verdienst, eine kritische Untersuchung der verschiedenen Gradnetzentwürfe für Landkarten angestellt und als der erste sie nach ihren Verzerrungsverhältnissen gewürdigt zu haben. Den neuen TVssofechen Standpunkt macht namentlich Herr Hammer {Die geographisch wichtigsten Karten-projeldionen, Stuttgart, 1889, Metzler) zum Gegenstand von wichtigen Untersuchungen; er wird in der zweiten Auflage von Zöppritz’ Leitfaden der Kartenentwurfslehre (Leipzig, 1899,Teubner) durch den Herausgeber, Herrn Bludau, vertreten.

Aber noch ein anderes Moment ist für die Kartographie

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von der größten Bedeutung geworden. Preußen hatte sich bald nach 1866 entschlossen, die von Gauß für das einstmalige Königreich Hannover ersonnene konforme Doppelprojektion für die Kartierung des Landes im Maßstabe 1 : 25 000 anzunehmen. Im Jahre 1878 erweiterte sich das Unternehmen zur Herstellung von Generalstabskarten (1:100000) und Meßtischblättern (1:25000) für das ganze Deutsche Beich. Generalleutnant Dr. Schreiber, der einst in Hannover die Gauß sehen Arbeiten vor der Vergessenheit bewahrt hatte, trat später in Preußen an die Spitze der königlichen Landesaufnahme und sorgte rastlos für die theoretische und die praktische Ausgestaltung des groß angelegten Werkes. Noch nach seinem Dienstaustritt war er tätig durch Veröffentlichung von: Tafeln und Formeln, Berlin, 1897.

Eine kürzere wissenschaftliche Darstellung, die von der kgl. Landesaufnahme seihst ausgeht und im Zusammenhänge die Herleitung aller Formeln gibt, existiert leider nicht. Wohl aber kann man durch Jordan, Handbuch der Vermessungskunde, 4. Auf!., Stuttgart, 1893—1896, zwar in verschiedenen Kapiteln zerstreut, einen Einblick in das Unternehmen erhalten. Es erschien mir deshalb des Strebens wert, eine einfach gehaltene Einführung in das Verständnis dieses deutschen Kartenwerkes zu versuchen. Ein äußerer Anlaß dazu fehlte nicht.

Seit mehreren Jahren als Dozent an dem vom Unterrichtsministerium eingerichteten „Wissenschaftlichen Kursus zur Ausbildung von Sem inariehr ern“ tätig, fiel mir hier unter anderem die Aufgabe zu, analytische Geometrie und die Elemente der höheren Analysis mit besonderer Rücksicht auf deren Anwendung in Mechanik, mathematischer Physik und Kartographie zu lehren. Das lebhafte Interesse, welches von meinen Zuhörern gerade dem zuletzt genannten Gegenstände entgegengebracht wurde, äußerte sich auch in dem Wunsche, später, nach Rückkehr in das Amt, durch das Studium von Büchern das Gehörte zu vertiefen und zu befestigen.

Unsere mathematische Literatur ist reich an Lehrbüchern, die den verschiedensten Anforderungen gerecht werden, aber ein Buch von geringem Umfange, das unserem großen deutschen Kartenwerke gewidmet ist, fehlt. Es hat dies seinen guten Grund. Der Mathematiker macht gern ganze Arbeit; er glaubt bei einem Gegenstände, wie dem genannten, von einem Kapitel über die geodätische Linie auf dem Sphäroid nicht absehen zu dürfen; er glaubt die Kenntnis der modernen Funktionentheorie nicht entbehren zn können. Nachdem aber durch Herrn Hammer eine 1807 erschienene Abhandlung von Mollweide zu neuem Lehen erweckt worden ist, die den Beweis erbringt, daß unser Abbildungsproblem schon vor Gauß, und zwar ohne Anwendung der imaginären Größen, in Angriff genommen ist, lag die Versuchung nahe, alles zu schildern bis an jene charakteristische Grenze: die geodätische Linie.

So entstand aus mehr skizzenhaft gehaltenen Vorträgen dieses Buch. Ob der Versuch gelungen, werden andere beurteilen. Aber ich glaube, daß der Grundsatz: Alles oder Nichts! hier nicht gelten darf; ist doch vielen schon mit einem Teile gedient. Von meinen oben genannten Zuhörern darf ich es sicher sagen; ich frage, ob es nicht vielleicht auch anderswo Geltung hat.

Es sei gestattet, eine Parallele zu ziehen. Die Chemie hat in neuerer Zeit einen starken mathematischen Einschlag erhalten, wovon die Lehrbücher von Nernst, van t’Hoff, Ostwald u. a. Zeugnis ablegen. Die Abteilung für Chemie und Hüttenkunde der hiesigen kgl. Techn. Hochschule hat deshalb seit mehreren Jahren die Einrichtung getroffen, den Studierenden durch ein ein - semestriges, vierstündiges Kolleg über die Elemente der analytischen Geometrie, der Differential- und Integralrechnung Gelegenheit zu geben, sich mit dieser Seite der modernen Chemie bekannt zu machen. Im Sommersemester wird das Vorgetragene durch ein Kolleg über die Elemente der Mechanik und durch ein solches über darstellende Geometrie ergänzt; später folgt die Einführung in die physikalische Chemie. Die zwei zuerst genannten Kollegien werden von mir gehalten.

Sind die Geographen nicht in derselben Lage? Mehr und mehr wird die Erdkunde eine naturwissenschaftliche Disziplin. Immer stärker wird der Einfluß, welchen Geologie und Physik, Meteorologie und Klimatologie auf dieselbe ausüben. Ein Handbuch wie Siegmund Günthers Geophysik muß aber, was einzelne Kapitel betrifft, jedem Geographen unverständlich bleiben, der nicht auf der Universität Gelegenheit gehabt hat, sich mit höherer Analysis bekannt zu machen. Die Bedürfnisse des Studierenden der Erdkunde sind aber nicht so umfassend wie die des Mathematikers; die Kollegia, welche für diesen sich eignen, sind zu weitgehend für jenen. Sollte man deshalb nicht darauf bedacht sein, die Kategorie des „nicht mathematisch gebildeten Geographen“ durch die Einrichtung eines Kollegs über die Elemente der höheren Analysis, ähnlich dem an unserer Technischen Hochschule bestehenden, zum Verschwinden zu bringen? Kartographische Übungen müßten dann als Anwendung und Ergänzung folgen. Denn, wie kann jemand das Kartenzeichnen lehren wollen, wenn er sich die mathematischen Grundlagen desselben nicht zu eigen gemacht hat? Die Zahl derer, die einen Gradnetzentwurf zu beurteilen imstande sind, ist, so will mir scheinen, in der Abnahme begriffen. Es hat dies seinen Grund wohl darin, daß mathematische Kenntnisse sich bei vielen schnell verflüchtigen. Herr P Güßfeldt widmet dieser Erscheinung im Vorwort zu seinem Werke: Geographische Ortsbestimmung (Braunschweig 1902, Vieweg & Sohn) bewegte Worte. Wenn dieselben, man darf wohl sagen, in der Forderung gipfeln: Mehr Mathematik!, die doch in erster Linie an die Geographen ergeht, so ist vor allem sein Vorgehen freudig zu begrüßen, ihnen die Wege zur Vertiefung ihres mathematischen Könnens und Wissens zu ebnen.

Dieses Buch setzt, wie man bemerken wird, eine größere Summe von Kenntnissen aus der Mathematik voraus; ich meine jedoch, es ist nicht mehr, als man dem mathematisch vorgebildeten Geographen zumuten darf.

Endlich wollen wir noch kurz des Mathematikers gedenken. Möchte diese Monographie viele von ihnen veranlassen, ihr Interesse auch der angewandten Mathematik zuzuwenden, ganz besonders der Geodäsie, deren Hauptwerke: Jordan, Handbuch der Vermessungskunde, und Helmert, Die mathematischen und physikalischenTheorien der höheren Geodäsie, Leipzig, B. G. Teubner, 1880—1884, hiermit zum Studium bestens empfohlen seien.

Zum Schluß erfülle ich die angenehme Pflicht, meinem geschätzten Kollegen, Herrn Professor P. Crantz, für die Unterstützung bei dem Lesen der Korrektur und bei der Revision der Druckbogen aufrichtig zu danken.

Haentzscliel.

Berlin, den 30. Juni 1903.

Inhaltsverzeichnis.

Erstes Kapitel.

Über das Erdsphäroid.

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§ 10.

§ 11. § 12.

§ 13.

§ 14.

§ 15. § 16.

§ 17.

Seite

Aufgabe der Kartenentwurfslehre. Verebenung des Sphäroids .    1

Das Geoid; das ideale Erdsphäroid. Verschiedene Erdmessungen.

Bessels Werte der Erddimensionen.............

Gradeinteilung des Erdellipsoids: geographische, geozentrische

und reduzierte Breite; geographische Länge.........

Abbildung des Erdsphäroids auf einer Kugel vermittels der reduzierten Breiten. Koordinatenbestimmung durch diese. . .    7

Größter Unterschied zwischen geographischer und reduzierter

Breite..........................

Berechnung der reduzierten und der geozentrischen Breite. Größter Unterschied zwischen geographischer und geozentrischer Breite. Analytischer Zusammenhang zwischen den drei Breiten. Entfernung eines Ortes auf der Erdoberfläche vom Mittelpunkte

der Erde .........................

Tafel der reduzierten Breiten. Literarisches........

Verzerrung durch die Abbildung vermittelst der reduzierten

Breiten. Anwendung auf das Globusproblem........

Bogenelement und Krümmungsradius des Meridians unter verschiedenen Breiten....................

Länge eines Meridiangrades, Abplattung des Meridians. Berechnung der französischen Gradmessung in Peru und in Lappland ..........................

Länge des Meridianbogens als Funktion der reduzierten Breite. 32. Berechnung der Länge eines Meridiangrades unter verschiedenen

Breiten. Tafel der Gradbögen...............

Länge des Meridianbogens als Funktion der geographischen

Breite..........................

Vergleichung der Meridianbögen des Erdsphäroids mit denen, die ihnen auf der ihm eingeschriebenen Kugel entsprechen. Das

Längen- oder Vergrößerungsverhältnis............

Länge der Parallelkreisbögen unter verschiedenen Breiten. . .    44

Oberfläche einer Zone des Erdsphäroids als Funktion der reduzierten Breite. Flächentreue Abbildungen. Die Abbildung vermittelst der reduzierten Breiten gehört nicht zu ihnen ....    48

Oberfläche einer Zone des Erdsphäroids als Funktion der geographischen Breite: Gnmerts Formel. Oberfläche und Radius einer mit dem Sphäroid flächengleichen Kugel. Größe einer

Gradmasche in verschiedenen Breiten............

Sphäroidischer Inhalt einer Sektion der deutschen Generalstabskarte; Beispiele. Sphäroidischer Inhalt eines Meßtischblattes der deutschen Landesaufnahme in verschiedenen Breiten ...    59'

11

14

19

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23

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37

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43

52

Zweites Kapitel.

Die flaclientreue und die winkeltreue Abbildung des Erd-spbäroids auf einer Kugel. Die konforme Doppelprojektion der königlich, preußischen Landesaufnahme. Die Generalstabskarte und das Meßtischblatt.

Seite

§ 1. Flächentreue Abbildung des Erdsphäroids auf einer Kugel. Bestimmung der Kugelbreite als Funktion der geographischen

Breite..........................

Verzerrung auf der Kugel..................

Bestimmung des Vergrößerungsverhältnisses für zwei einander entsprechende Meridianbogenelemente. Geschlossener Ausdruck für die Kugelbreite als Funktion der geographischen Breite .    68

§ 4. Bestimmung des Vergrößerungsverhältnisses für zwei einander entsprechende Parallelkreisbogenelemente. Definition der flächentreuen Abbildung mit Hilfe der Verzerrungsellipse . .    72

§ 5. Winkeltreue Abbildung des Erdsphäroids auf der Mollweide-schen Normalkugel. Formel für die Kugelbx-eite in geschlossener Form

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§ 8.

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§ 10.

§ 11.

§ 12.

§ 13.

§ 14.

§ 15.

Lagranges Behandlung der Gleichung tg x — cos co ■ tg y . . . Entwickelung der Kugelbreite in eine Reihe. Größter Unterschied zwischen Kugelbreite und geographischer Breite. Tafel

der Kugelbreiten.....................

Die Verzerrungsellipse ist bei der winkeltreuen Abbildung ein

Kreis..........................

Krümmungsradius an einer beliebigen Stelle des Sphäroids für ein beliebiges Azimut. Der mittlere Krümmungshalbmesser. . Übergang von der Mollweid eschen zur Gaußschen Kugel. Wert

des VergrößerungsVerhältnisses..............

Die drei Gaußschen Bedingungen. Berechnung der Fundamentalgrößen der Gauß sehen Kugel............

Übergang vom Erdsphäroid zur Gaußschen Kugel und umgekehrt .........................

Tafel für den Logarithmus des Vergrößerungsverhältnisses. Fundamentalgrößen von Gauß sehen Kugeln mit anderem Parallelkreis als dem von Gauß gewählten...........

Konforme Doppelprojektion der königlich preußischen Landesaufnahme. Mercators Projektion.............

Erweiterte Mercatorsche Projektion, um von der Gaußschen Kugel zur Ebene überzugehen. Ihre Anwendung bei der Landesaufnahme des Deutschen Deiches zur Herstellung von

Generalstabskarten und Meßtischblättern..........

Berechnung des Gradnetzes eines Meßtischblattes, erläutert am Blatt „Teltow“ (Grunewald bei Berlin).........

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128

Erstes Kapitel.

Über das ErdspMroid.

§ 1. Die Vielflächner oder Polyeder gehören zn denjenigen Körpern, deren Oberfläche sich auf einer Ebene ausbreiten läßt; sie haben eine abwickelbare Oberfläche. Ihnen reihen sich an der gerade Zylinder, dessen krumme Oberfläche sich zu einem Rechteck, der gerade Kegel, dessen Oberfläche sich zu einem Kreissektor, und der gerade Kegelstumpf, dessen Oberfläche sich zu einem Kreisringsektor abwickeln läßt. Nicht aber gehört zu dieser Klasse von Körpern die Kugel, das Rotationsellipsoid oder Sphäroid und das dreiachsige Ellipsoid; die krumme Oberfläche dieser Körper läßt sich nicht in einer Ebene ausbreiten. Beabsichtigt man trotzdem in einer ebenen Zeichnung ein Abbild der Oberfläche eines dieser soeben genannten Körper, einschließlich der auf ihnen etwa vorhandenen Figuren, zu geben, so bedarf man zu dieser Verebenung eines größeren mathematischen Apparates. Es stellt sich, wenn es sich insbesondere um das Sphäroid handelt, die Mathematik in den Dienst der Erdkunde. Beide Wissenschaften vereinigen sich zu einem Zweige der angewandten Mathematik; sie bilden die Lehre von den Kartenprojektionen oder die Kartenentwurfslehre. Eine kurze Darstellung der hauptsächlichsten Resultate dieser letzteren zu gehen, insofern sie die Erde nicht als eine Kugel ansieht, sondern ihre sphäroidale Gestalt in die Rechnung einführt, ist das Ziel der folgenden Betrachtungen.

§ 2. Auf die Gestalt der Erde richten wir zuerst unser Augenmerk. Bezeichnet man als die physische Oberfläche der Erde die Begrenzungsfläche zwischen den starren und den tropfbarflüssigen Teilen der Erde einerseits und der Atmosphäre andererseits, so definiert man damit die Oberfläche eines Körpers, der

Haentzschel, Bas Erdsphäroid.

sich der mathematischen Analyse gar nicht oder nur sehr schwer unterwerfen läßt. Die Erdmessungen beziehen sich daher, man kann wohl sagen seit den ältesten Zeiten, auf eine Erdfläche, die Listing das Geoid genannt hat (1873), und von der er folgendes aussagt: „Die Oberfläche des gesamten Meeres in seinem Gleichgewichtszustände, also ohne Ebbe, Flut und Wellenschlag, denke man sich unter den Kontinenten durch ein Netz von Kanälen fortgesetzt, die unter sich und mit dem Meere in Verbindung stehen, so wird diese Fläche, das Geoid, dem hydrostatischen Gesetz der ruhenden Flüssigkeiten entsprechend, alle Lotlinien, die doch die Richtung der Schwerkraft anzeigen, rechtwinklig durchschneiden.“ Da die Abweichungen dieses Geoids von einem Umdrehungsellipsoid im Vergleich mit den Erddimensionen, soweit bis jetzt unsere Kenntnisse reichen, nur klein sind, z. B. in Deutschland nach den Bestimmungen von Helmert (1888) etwa 5—10 Meter betragen, so kann man an die Stelle des Geoids ein ideales Erdsphäroid setzen und auf dessen Bestimmung ausgehen. Freilich hat es etwa 150 Jahre gedauert, bis man sich zu so klaren Anschauungen über unseren Planeten durchgerungen hat. Kosmologische Hypothesen einerseits, Tatsachen der Gradmessung andererseits führten die Beweiskraft solcher Schlußfolgerungen erst ganz allmählich herbei.

Bekanntlich lehrt die Kant-Laplacesche Hypothese über die Entstehung unseres Sonnensystems, daß sich im Verlaufe von Äonen von Jahren von einer Zentralsonne die einzelnen Planeten abgesondert haben. Es vergehen nun Millionen Jahre, da findet sich die Erde als feurig-flüssiger Weltkörper vor, aus einer weichen Masse bestehend, die in Rotation um eine Achse begriffen ist. Nach physikalischen Gesetzen, die durch Versuche, wie die von Plateau (geb. 1801 zu Brüssel, gest. 1883 als Professor der Physik zu Gent) beschriebenen¹), erhärtet werden können, nimmt ein solcher Körper eine ellipsoidische Gestalt an mit einer an den Enden der Drehungsachse, den Polen, vorhandenen Abplattung. Jede Meridianebene, das ist irgend eine Ebene, welche die Erdachse ganz in sich aufnimmt, hat also eine Ellipse als

Begrenzungslinie. Und vielleicht gilt dies auch von der Äquatorialebene und den Parallelkreisebenen, das sind Ebenen, die senkrecht auf der Drehungsachse stehen, und zwar die zuerst genannte genau in der Mitte derselben. Unser feurig-flüssiger Körper kann nämlich möglicherweise die Gestalt eines dreiachsigen Ellipsoids haben, eine Annahme, die dadurch einige Wahrscheinlichkeit erhält, daß der Mathematiker C. G. J. Jacobi (geb. 1804 in Potsdam, 1827 Professor in Königsberg, gest. 1851 in Berlin) im Jahre 1834 mit Hilfe der höheren Mathematik zeigte, ein dreiachsiges Ellipsoid könne sehr wohl die Gleichgewichtsfigur einer rotierenden Flüssigkeitsmasse sein.

Bei dem Mangel an sicheren Angaben über die Maßverhältnisse für die ozeanischen Erdseiten ist es bis zum heutigen Tage noch nicht möglich gewesen festzustellen, ob die Erde nicht bloß am Nordpol und am Südpol, sondern auch an den Enden ihrer äquatorialen Querachsen abgeplattet ist, ob sie also ein massives dreiachsiges Ellipsoid, oder ob sie, wie man seit der Mitte des 18. Jahrhunderts annimmt, nur ein Rotationsellipsoid ist. In letzterem Falle würde es sich um einen Körper handeln, den man sich durch die Drehung einer Halbellipse um ihre kleine Achse, die hier der Erdachse entspricht, entstanden zu denken hätte. Aus dieser Unbestimmtheit führte uns Listing heraus, indem er der Forschung den Zielpunkt wies, durch Definition seines Geoids, von dem aus er den Weg zum idealen Erdsphäroid fand. Diesem allein wollen wir von nun an unsere Betrachtungen widmen.

Verschiedene Breitengradmessungen auf der Erde hatten nämlich ergeben, daß die Meridiangrade nicht an allen Teilen der Erde von gleicher Länge sind, wie es bei Voraussetzung der Kugelgestalt derselben doch der Fall sein müßte. So führten von 1735—1744 in Peru, etwa vom 3. Grad südlicher Breite bis zum Äquator Bouguer und La Condamine, in Lappland von 1736—1737 Maupertuis, Clairault und Celsius Messungen aus, die zur Berechnung einer Erdabplattung von 1 : 310 führten (s. § 10). Von 1792—1808 fand die zweite französische Gradmessung durch JDelambre und Mechain statt, auf die sich die Feststellung des Meters gründete (vergl. Siegmund Günther, Geophysik, Bd. I).

Eine Längengradmessung wurde von 18ll—1825 längs des 45. Parallelkreises von der Mündung der Gironde durch Frankreich über Turin und Mailand bis Fiume durch französische, österreichische und piemontesische Gelehrte und Offiziere ausgeführt. Aber alle diese und auch fernere Gradmessungen zeigten leider keinerlei Übereinstimmung in den Resultaten, so daß es nicht möglich war, die genaue Form einer Meridianellipse festzustellen. Die folgende Tabelle zeigt einige rechnungsmäßige Ergebnisse der verschiedenen Messungen.

Abplattung

Meridianquadrant Q in Metern

1806

1830

1830

1841

1866

1872

1880

Delambre

Schmidt

Airy

Bessel

Clarke

Listing

Clarke

10 000 000

10 000 075 10 001 012 10 000 856 10 001 888

10 000 218

10 001 869

1 : 334 1 : 297,65 1 : 299,3 1 : 299,15 1 : 294,98 1 : 289 1 : 293,47

1884 leitete Helmert (Geheimer Regierungsrat, Professor, Direktor des geodätischen Instituts in Potsdam bei Berlin) aus

299,26 + 1,3

ab; nach ihm dürfte die Abplattung keinesfalls größer als 1 : 296 sein.

122 Pendellängen-Messungen den Abplattungswert

Am bekanntesten sind die Besselschen Bestimmungen der Dimensionen des Erdsphäroids geworden. Nach ihm ist

die halbe große Achse der Meridianellipse a = 6 377 397,155 m, es ist dies der Radius des Äquators,

die halbe Meine Achse der Meridianellipse b = 6 356 07 8,96 m,

a — b

die Abplattung

299,15 ’

der Umfang der Erde im Äquator    2 x a — 40 070 368,10 m,

„    „ Meridian 4 Q = 40 003 423,05 m,

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ein Grad des Äquators

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eine geographische Meile

360 27ta 15-360

111306,58 m,

7 420,44 m,

etwa 1: 8000 zu klein und durch den von Clarke 1866 ermittelten « = 6378 200 m zu ersetzen; wir werden jedoch im folgenden stets die Besselsehen Angaben zu Gründe legen (Friedr. Wilh. Bessel, der berühmte Königsberger Astronom, geh. 1784, gest. 1846).

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§ 3. Aus den vorstehenden Zahlenangaben geht hervor, daß die Meridiangrade des Erdellipsoids nicht, wie die der Kugel, einander gleich sein können; man bedarf deshalb einer besonderen Festsetzung für die Größe eines solchen. Eine Breitengrad-Einteilung der Erde könnte man nämlich in dreifacher Hinsicht bewirken. Stellt die nebenstehende Fig. 1 die Meridianellipse vor, so könnte man erstens vom Mittelpunkte derselben Fahrstrahlen in gleichen Winkelabständen (in der Figur um je 20° gegeneinandergeneigt!) ziehen.

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Figur l.

eine Seemeile = 1' des mittleren Erdumfangs

1852

m,

60-360

der Radius der Kugel, die mit dem Erdsphäroid gleiche Oberfläche hat,

Höchst wahrscheinlich ist der Besselsche Wert für a um

= 6 370 289,511 m.

DenNeigungswinkel eines Radius gegen die Äquatorebene nennt man die geozentrische Breite des Ortes, der am Endpunkte des Fahrstrahls auf der Erdoberfläche liegt. Dadurch werden die hierdurch abgeteilten Meridianbögen in der Nähe der Pole kleiner als in der Nähe des Äquators. Zweitens könnte man den Umfang der Meridianellipse vom Äquator bis zum Pol in gleiche Teile, also nach gleichen Bogenstücken teilen. Aber weder das eine noch das andere hat man gewählt; das letztere nicht wegen der großen Schwierigkeit, womit ein genaues Messen größerer Längen auf der Erdoberfläche verbunden ist.

In Wirklichkeit geschieht die Gradeinteilung eines Meridians des Erdsphäroids nach gleichen Winkelabständen der von der Erdoberfläche ausgehenden nach dem Innern der Erde gerichteten Lotlinien. Die Neigung der zu verschiedenen Orten auf der Erde gehörenden Lote gegen die Äquatorebene oder gegen die Erdachse wird gemessen, indem man die Lage dieser Lotlinien mit Hilfe scharfsinniger Beobachtungsmethoden der Astronomie mit den Fixsternen in Beziehung bringt. Wäre die Erde eine Kugel, so würden sich die gedachten Lote sämtlich im Kugelmittelpunkte treffen.

Definieren wir zuerst als einen Meridian die zwischen den beiden Polen der Erde liegende Hälfte einer Ellipse, die man erhält, wenn man durch die Drehungsachse des Sphäroids eine beliebige Ebene legt. In der Praxis wird diese Halbellipse gefunden durch die Verbindungslinie der Orte gleichzeitiger Kulmination eines Sternes. Im besondern gilt auf Grund einer Übereinkunft derjenige Meridian als Nullmeridian, der durch den Pfeiler des Meridianinstrumentes der Sternwarte zu Greenwich bei London geht (Länge: 0° 0' 0"; nördl. Breite: 51° 28' 38,1"). Die große Achse dieser Schnittellipse, also die Verbindungslinie ihrer Durchschnittspunkte mit der Aquatorebene teilt den Meridian in zwei gleiche Teile, in einen positiven und in einen negativen Meridianquadranten. Errichten wir alsdann in einem beliebigen Punkte eines Meridianquadranten die Normale auf der Ellipse, also in der Wirklichkeit etwa das Lot auf der Meeresoberfläche, so ist die Breite cp dieses Punktes des Erdellipsoids der 90° nicht übersteigende, als positiv oder negativ zu betrachtende Winkel, unter dem die Normale im Meridianpunkte gegen die große Achse der Meridianellipse geneigt ist.

Denkt man sich jetzt in das Erdellipsoid, und zwar um seinen Mittelpunkt mit seiner Drehungsachse als Durchmesser, eine Kugel beschrieben, so heißt der 90° nicht übersteigende Winkel, unter dem der nach einem beliebigen Punkte der Oberfläche dieser Kugel gezogene Radius gegen die Ebene des Äquators geneigt ist, die reduzierte Breite (auch korrigierte Breite!) ^ aller derjenigen Punkte auf der Oberfläche des Erdsphäroids, die von der Ebene des Äquators ebensoiveit entfernt sind, wie der in Rede stehende Punkt der Kugeloberfläche von derselben Ebene (Figur 2).

Gelingt es also auf Grund mathematischer Formeln eine Beziehung zu finden zwischen der geographischen Breite <p und der reduzierten Breite tp eines und desselben Punktes der Schnittellipse des Rotationsellipsoids, so ist damit ein Zusammenhang

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Aequator'

Figur 2.

konstruiert zwischen den Punkten des Erdsphäroids einerseits und jener Kugel andererseits. Fügen wir nämlich noch den Begriff der geographischen Länge eines Punktes der Oberfläche des Sphäroids hinzu, als den auf dem Äquator von 0° bis 360° gezählten Bogen, gerechnet vom Schnittpunkt des Greenwicher Meridians mit dem Äquator als dem Nullpunkte, so gelingt leicht eine Zuordnung, und zwar Punkt für Punkt, der Oberfläche von Erdellipsoid und Kugel für Punkte gleicher Länge. Man sagt, man könne das Erdsphäroid auf der Kugel abbilden.

§ 4. Die Untersuchung, die wir anstellen wollen, vereinfacht sich dadurch bedeutend, daß wir nur Punkte gleicher geographischer Länge einander zuzuordnen haben. Statt eines Problems der analytischen Geometrie des Raumes haben wir nur ein solches der Ebene vor uns; man hat Meridianellipse und größten Kugelkreis, die in derselben Schnittebene liegen, miteinander in Beziehung zu setzen. Wir legen ein rechtwinkliges Koordinatensystem zu Grunde, das durch den Mittelpunkt der Ellipse geht und die Achsen derselben zu Koordinatenachsen hat. Die Mittelpunktsgleichung der Ellipse ist, wie bekannt,

y-

Sei P(u, v) ein beliebiger Punkt der Ellipse, so ist die Gleichung der Normale PN in diesem Punkte (Figur 3)

PN)y-v-pu{x-u).

,cYb

''¥A IM'¹

O DN CE

Ä-

Figur 3.

AA' ist die Durch-scbnittskante der Ebene des Äquators mit der yon uns willkürlich her-X ausgegriffenenMeridian-ebene ABA'B’. Also ist N der Schnittpunkt der Normale mit dem Äquator. Die Ordinate von N ist Null, während die Abscisse von N durch Einsetzen von y = 0 in die Gleichung von PN erhalten wird.

v₁ = 0.

Führt man die Bezeichnungen ein

£² =

a² — b²

a-

wo die absolute Zahl s die numerische Exzentrizität der Ellipse heißt, während

e = ]/a² — b²

die lineare Exzentrizität ist, so sind die Koordinaten von N:

N] % = e² • u] i\ = 0.

Also schneidet die Vertikallinie des Beobachtungsortes P die Äquatorial ebene in einem Punkte N, der um s² • u von dem Erdmittelpunkte 0 entfernt ist.

Die Strecke PN = q ist gegeben durch q² = (u — uf)² + (v — vj

Q² = (1 — S²)²U² -f V²

l/b¹ 4- a⁴ v²

e ⁼-5i--

Ist PNA = cp, so ist auf Grund der gegebenen Erklärung

cp die geographische Breite und    = ^ die reduzierte

Breite des Punktes P. Da nun P und R denselben Abstand vom Äquator, also dieselbe Ordinate v haben sollen, so ist einerseits im Dreieck NPE:

v = q • sin cp

und andererseits im Dreieck ORD

v = b • sin il>.

Setzen wir den ersten Wert in die Gleichung für p² ein:

?»* + •*.

p² = u² + p² sin² cp Q² cos² cp = ^«²,

so ist

daher

p² =

a²

U² == ^4- p² cos² cp ; U = Q cos cp .

Insofern nun der Punkt P der Ellipse angehört, also für ihn die Gleichung gilt

us v* 1 ^ ⁺ b* = 1’

ist man im stände zuerst q und alsdann u und v als Funktionen von a, h und cp darzustellen. Setzen wir die erhaltenen Werte von u² und v² in die letzte Gleichung ein, so ist

&⁴

a² cos² qp —j— &² sin² qp Führt man hierin zuerst s² und darauf sx² ein, so erhält man

bezw.

Q² =

fe⁴

as (1 — £² sin² qp) ’

Q² =

&²

1    £j² COS² qp

Hieraus aber leitet man ab:

w² =

a⁴ cos² qp

«² cos² qp -f- b² sin² qp

U² —

a²

&²

l + rftg'»

a² cos² qp

— s² sin² qp?

a⁴ cos² qp

Ebenso findet man

fc²( 1 -j- e,² cos² qp)

&⁴ sin² qp

a² cos² qp —(—    sin² qp

V² =

fc²

a²

cot² qp

&⁴ sin² qp a²(l — f² sin² qp)

V² =

b² sin² qp

1 -J-    ² cos² qp

Demnach erhält man endgültig, da nach der Erklärung cos cp stets positiv ist und v und sin cp offenbar immer dasselbe Vorzeichen haben müssen, a cos cp

U =    __—

]/1 — £² sin² qp

_ a(l — £²) sin qp

■j/l — £² sin² qp

bezw. u =

bezw. v =

C • COS qp

Y1    £x² COS² qp ’

b sin qp

yi + fj² COS² qp ’

wenn man

a²

setzt.

Wir wenden uns jetzt dem zweiten Werte für v v = 1) sin ^

Führen wir denselben in die Gleichung der Ellipse für P(u, v) ein:

zu.

v²

so erhalten wir

Demnach ist einerseits

= a cos .

und andererseits

oder

§ <s

CfQ

'S

daraus folgt durch Gleichsetzen die gesuchte Beziehung zwischen der geographischen und der reduzierten Breite des beliebig gewählten Punktes B(u, v)

tg t ^ tg <P, tg 9> = T⁷! + G² tg t, tg if> = ]/l — £² tg cp.

tg <P = Y tg ^'

oder

§ 5. Wir lenken unsere Aufmerksamkeit zuerst der Frage nach dem größten Unterschiede zwischen cp und zu; gibt doch deren Beantwortung einen Einblick in das punktweise Entsprechen von Erdsphäroid und Kugel, in das von P(u, v) und B(b cos ip, bsini^). Offenbar ist, wie auch die Figur 3 lehrt, cp > wir versuchen deshalb (cp — ifi) zu ermitteln. Es ist

tg <P = tg cp

tg ^    tg cp

tg <P + tg i’ =    tg cp

daher

tg qp — tg ip a — b tgqp + tgy~ a+b

sin (qp — ip) _

sin (qp -j- tp) a -)- b ⁷

Ersetzt man die Tangenten durch den Quotient von sin und cos, so folgt

also

sin (cp-t) = 7. Wir setzen zur Abkürzung

Weil nun

ist, so folgt

oder

a — b n = —7—7 • a -\- b

cp +    = 2cp — (cp — il>),

=    + (cp — ijf)

sin (cp — iji) — n sin {2 cp — (cp — ?/>) }, = n sin {2 xp + (cp — ifi)).

Demnach

sin (<p — cp) = n {sin 2 cp cos (cp — cp) — cos 2 cp sin (cp — cp) },

oder

= n {sin 2cp cos (cp — cp) -j- cos 2cp sin (cp — cp)}.

Löst man jede dieser Gleichungen nach sin (cp — cp) auf, so erhält man

la)

tg (cp —    =

oder

n sin 2 cp 1 -f- n cos 2 cp ’

lb)

n sin 2 cp

Wir stellen zuerst den numerischen Wert von n fest. Nach

Bessel ist

6 377 397,155 m b = 6 356 078,96 m

21 318,195 m a + 5 = 12 733 476,115 m log (a - b) =    14,328 7504 - 10

- log (a+b) = - 7,104 9469

7,223 8035 - 10

0,001 674 185.

log w = a — b

n = —r-r =

a -f- &

Dabei bemerken wir, daß im folgenden alle Rechnungen mit einer 7-stelligen Vega - Bremikerschen Logarithmentafel ausgeführt worden sind.

Wir knüpfen unsere weiteren Betrachtungen an die Gleichung an:

sin (cp — cp) = n sin (cp + cp).

Obschon cp + cp uns völlig unbekannt ist, so ist es doch auf keinen Fall größer als 180°, welchen Wert es im Nordpol erreicht. Andererseits ist klar, daß der größte Wert von sin (9p nur gleich Eins als dem Maximalbetrage des Sinus sein kann. Deshalb ist im allgemeinen

sin (cp — cp) <^n log sin (cp — cp) log n log sin (cp — cp) 7,2238035 — 10

cp - f <; 0° 5' 45,326".

daher

Eine kurze Entwicklung belehrt uns, in welcher Breite des Erdsphäroids diese Maximaldifferenz cp — cp = 0° 5' 45,326" zu suchen ist. Die gefundene größte Differenz gehört zwei Winkeln cpx und ipx an, für welche

für die aber auch

d. h.

cpx - cpt = 0° 5' 45,326",

sin (cpx + cpf) = 1,

cp, +    = 90°

ist. Daraus folgen die Werte

Wir beachten, daß

cPl = 45° 2' 52,66", ^ = 44° 57' 7,34".

(<Pi — Vi)

cp, = 45° +

toi — ^i)

demnach

ist. Da nun

tg cpx = cot cp±

tg ti = Y tg (P,

nach der Grundgleichung ist, so erhält man durch Multiplikation tg t, = — cot tl>t,

und daher

% <pt —

Die Gleichungen la) und lb) gehen zu folgenden Betrachtungen den Anlaß. Nimmt man an, die geographische Breite sei

cp = 45°,

und setzt man dies in la) ein, so ist

tg (45° — cp) = n .

Da für kleine Winkel die Tangente und der Sinus ziemlich gleichwertig sind, so ist

45° — cp = 0° 5' 45,3",

cp = 44° 54' 14,7".

d. h.

cp = 45°;

Wählt man aber für die reduzierte Breite

cp = 45°,

und setzt man dies in lb) ein, so ist

Demnach

tg (cp — 45°) = n.

cp - 45° = 0° 5' 45,3", cp = 45° 5' 45,3"; cp = 45°.

Also findet der größte Unterschied zwischen geographischer und reduzierter Breite in einer Zone statt, zu der als Mittelparallel der Parallelkreis

gehört.

cp, = 45° 2' 52,66"

§ 6. Wir wollen an einigen Beispielen die Berechnung von cp wirklich ausführen,

a) Sei =- 5°; es war

¹

Yergl. A. Wüllner, Experimentalphysik, Bd. I, Mechanik. Leipzig, B. Gr. Teübner.

*g t \ tg <P,

log tg cp = (log b — log a) + log tg cp.

& = 6 356 078,96 m; log b = 7,803 1893 - 1 a = 6 377 397,16 m; log a == 6,804 6435

log b - log a = 0,998 5458 - 1

log b — log a = 0,998 5458 — 1 log tg 5° = 8,941 9518 - 10

log tg cp = 8,940 4976 — 10

10

cp = 4° 59' 0,13"; also cp - cp = 0° 0' 59,87".

b) Sei cp = 30°, so ist anzusetzen: log b — log a = 0,998 5458 — 1 log tg 30° = 9,761 4394 - 10 log tg cp = 9,759 9852

cp = 29° 55' 1,2"; also cp - cp = 0° 4' 58,8".

c) Die Sternwarte zu Berlin hat die Breite cp = 52° 30' 16,7";

demnach ist zu bilden:

log b — log a = 0,998 5458 — 1 log tg 52° 30'-.- = 0,115 0923

log tg iß = 0,113 6381

iß = 52° 24' 43"; also tp - iß == 0° 5' 33,7".

d) Wir wollen auch der im § 3 erklärten geozentrischen Breite einige Worte widmen.

Bezeichnen wir dieselbe mit ß, so ist (Figur 3)

<^POA = ß.

Da P die Koordinaten u und v hatte, so folgt aus dem Dreieck OBE

Aber nach § 4 ist

b sin cp

y 1 -f f,² COS³ qp ⁷

C COS qp

daher

]/l -f- fi³ cos³ qp ⁷

tg0 = |-tg 90 tg ß = ^ tg (p •

Führt man die „reduzierte Breite“ iß ein durch

tg ^    \ *g V’

so ist

Es wird also ß auf dieselbe Weise aus iß berechnet, wie iß aus cp folgte.

Auch hier ist es leicht die Maximaldifferenz zwischen geographischer und geozentrischer Breite zu bestimmen. Da nach der Grundgleichung

ist, so folgt

tg ß = ^2 tg (P

d. h.

log sin (cp'— ß') = 7,524 8405 — 10, cp' — ß' = 0° 11' 30,66".

Die größte Differenz zwischen geographischer und geozentrischer Breite beträgt demnach ungefähr das doppelte von der von uns früher bestimmten Maximaldifferenz zwischen geographischer und reduzierter Breite. Da nun

0° 11' 30,66"

<p'~ß' =

<p'+ß' = 90°,

so folgt

tgcp — tgß

folglich

tg <P 4- tg ß

(g²+&²)

a²

*g

a² — ü>²

a²+ ö²

a²— &²

sin (q> — ß)

sin (cp -f- ß) a²-j- b²’ a² — b2 a²-f-&²

sin (<p — /3) hat also seinen größten Wert, wenn sin (cp -f ß) = 1 ist. Bezeichnen wir mit cp' und ß' die Argumente, die dieser Gleichung entsprechen, so ist <p' -f ß' = 90°. Daher ist

a² — b2 a²+b²’

sin (cp — ß) =

• sin (cp -f ß).

sin (cp'-ß') =

Hl)’

Nun war

Hl)

demnach

Also ist

log (1) = 0,998 5458 — 1, log = 0,997 0916 - 1, (£)* = 0,993 3255.

0,006 6745

sin (cp' —ß') =

log 0,006 6745 = 7,824 4187 - 10 log 1,993 3255 = 0,299 5785

1,993 3255

= 45° 5' 45,33", = 44° 54' 14,67".

Maximaldifferenz zwischen geographischer und geozentrischer Breite. 17

Daher wieder

tp' = 45° + tp' = 45° + y , ß’ = 45° — y;

(y'-r)

<r

demnach

tg 9? ,== cot ß-

Da nun nach der Grundgleichung

tgß' = • tg cp'

ist, so ergibt sich

tg ß — ^cot ß',

*ß'-T’

und daher

e) Der Zusammenhang zwischen geographischer, geozentrischer und reduzierter Breite wird durch folgende Beziehungsgleichung vermittelt. Es war

tg ß =    ¹ tg t

tg <P = y • tg t

(y+Tr)^

1 — tg² ip

tg (9 + /3) = y(y + 4) ‘tg

= y (1,003 354 + 0,996 657) tg (2 t)

tg (<P + ß) = Y' ²,000 011 -tg (2tf) tg (cp + ß) = 1,000 0055 • tg (2^). Näherungsweise ist demnach

tg <p + tg ß

1 — tg qp • tg ß

cp + ß ~ %t

oder

<}D — iß rv iß — ß.

Diese Beziehung gestattet schnell eine Kontrolle über die Zahlenrechnung

zwischen (qp + ß) und 2 iß geschieht nach einem von Lagrange gelehrten Verfahren, das wir erst im § 6 des II. Kapitels kennen lernen werden.

f) Wünscht man zu wissen, welches die Entfernung r eines Ortes der Erde vom Erdmittelpunkt ist, so ist (Fig. 8; A OPB)

zu

üben. Die korrekte Behandlung der Gleichung

r cos ß u = a cos iß,

COS ib

a--

cos ß

Dieser Wert von r bezieht sich natürlich auf die Meereshöhe, so daß die Erhebung des betrachteten Ortes über dem Meeresspiegel zu dem berechneten Werte von r noch hinzuzufügen ist.

g) Wir knüpfen hieran sofort die Berechnung der geozentrischen Breite der Berliner Sternwarte und die Bestimmung der Entfernung der Sternwarte vom Mittelpunkte der Erde.

Es ist nach d):

Es war aber

daher

also nach c):

ß = \

tg ß = A tg 52° 24' 43".

log h - log a = 0,998 5458 - 1 log tg 52° 24' - • • = 0,113 6381

log tg ß = 0,112 1839 ß = 52° 19' 9,01".

Dies ist die geozentrische Breite der Berliner Sternwarte. Also ist die Entfernung der Sternwarte vom Erdmittelpunkte unter Berücksichtigung, daß Berlin 34 m über dem Meeresspiegel liegt,

rx = 34 m +

= (34 + 6377 397,16-

rt = (34 + 6 364 020) m, rx = 6 364 054 m.

a cos aß cos ß ’

ri

cos 52° 24' 43"

cos 52° 19' 9,01"

'j Meter,

§ 7. Nehmen wir den Faden der Untersuchung wieder auf, so haben wir zwei Meridiane von gleicher geographischer Länge, die den beiden verschiedenen Körpern angehören, einander punktweise zugeordnet; wir haben sie aufeinander abgebildet. Da die Gesamtheit der Meridiane die Oberfläche des Sphäroids und die der Kugel bilden, so ist also auch die Abbildung des ersteren auf der letzteren geleistet. Wir wollen annehmen, diese Abbildung sei wirklich vollzogen; man habe also auch die Namen der Orte des Erdsphäroids an der durch unsere Formel festgelegten entsprechenden Stelle der Kugel vom Radius b eingeschrieben. Denken wir uns jetzt um den Mittelpunkt O des Sphäroids außerdem eine Kugel von 1 m Radius beschrieben, alsdann von O aus alle möglichen Halbmesser gezogen, bis sie die Kugel mit dem Radius b schneiden, und die Stichpunkte dieser Radien mit der Kugel von 1 m Radius auf der Oberfläche der letzteren vermerkt, so haben wir, wenn wir noch die Bezeichnungen aller Orte von der großen Kugel auf die kleine übertragen und letztere jetzt an die Oberfläche des Erdsphäroids bringen, uns in den Besitz eines Erdglobus von zwei Meter Durchmesser gesetzt.

Offenbar hat infolge unseres Ubertragungsprinzips ein Ort auf der Oberfläche des Erdsphäroids von der Breite cp eine etwas kleinere Breite auf dem Globus. Er hat auf der nördlichen Halbkugel eine geringe Verschiebung nach Süden auf seinem Meridian erfahren. Die nachfolgende Tabelle stellt auf Grund der Formel

tg ^    — tg 9

einem gegebenen Werte von cp den zugehörigen Wert von ^ gegenüber; eine ausführliche Tafel findet man in Jordan, Handbuch der Vermessungskunde. Bd. III. 4. Aufl. Stuttgart 1896. Anhang S. [58].

<p

(p

<P

ip

0°

0° 0' 0'

5°

10°

© © © © o O O O vO O CO Ci

69° 56' 17,7" 74° 57' 7,1" 79° 58' 1,7" 84° 59'

90°

Wie man aus der Tafel ersieht, ist also die Abbildung der Oberfläche des Erdsphäroids auf einer Kugel ohne Verschiebung von Punkten, daher Dehnung oder Zusammenziehung von Strecken, Verzerrung von Flächenstücken nicht ausführbar. Für uns aber ist das Ziel erreicht, das wir uns gesteckt hatten, die Gradeinteilung des Erdsphäroids. Man berechne nämlich zu einem gegebenen Werte von cp, z. B. cp — 55°, den zugehörigen Wert von if>, also — 54° 54' 35,3"; trage an OA in 0 (Figur 3) den Winkel ^ an, dies ergibt die Richtung des Radius OB, und lege durch R zu OA die Parallele, welche die Meridianellipse im gesuchten Punkte P mit der Breite cp = 55° schneiden wird; damit ist aber zugleich der Parallelkreis für die Breite cp = 55° auf dem Rotationsellipsoid festgelegt.

Wir knüpfen hieran eine literarische Bemerkung. Bei der Definition des Begriffs der „reduzierten Breite“ sind wir dem Manne gefolgt, der denselben als die „korrigierte“ Breite zuerst in die sphäroidische Trigonometrie eingeführt und diese durch Beziehung auf ein sphärisches Dreieck zu vereinfachen gelehrt hat. Es ist Dionis Du Sejour in seiner Abhandlung: Nouvelles methodes analytiques pour resoudre differentes questions astro-nomiques; memoire, dans lequel on applique les „latitudes cor-rigees“ ä la solution de plusieurs problemes geodesiques dans l’hypothese de la Terre elliptique. (Histoire et Memoires de l’Academie royale des Sciences de Paris für das Jahr 1778, gedruckt 1781; Seite 73—192.)

Das Sphäroid wird von ihm auf die demselben einbeschrie-bene Kugel (Radius = b) so bezogen¹), daß P und B gleiche Or-dinaten haben. Im Gegensatz hierzu findet man oft, z. B. auch in W. Jordan, Handbuch der Vermessungskunde, Bd. III, 4. Auf!., Stuttgart 1896, S. 518, das Erd-Rotationsellipsoid auf die demselben umschriebene Kugel (Radius = d) so bezogen, daß Punkt P und der zugeordnete Punkt B' der Kugel dieselbe Abszisse haben (Figur 3). Wir wollen zeigen, daß die Punkte R und B' auf demselben Radius liegen, so daß sich also in der von uns

festgestellten Beziehung zwischen den Winkeln cp und ip nichts ändert.

Die Gleichung des um 0 mit a beschriebenen Kreises ist

x² + y² = «²-

Legen wir durch P(u, v) die Parallele PE zur y- Achse, so ist deren Gleichung

Demnach schneidet diese Parallele PE den Kreis vom Radius a in Punkten mit den Ordinaten

y = ± j/a² — u².

Wir fassen den Punkt B' im ersten Quadranten mit y' = + Ya² — u²

(§4)

ins Auge, der also mit P dieselbe Abszisse u hat. Es war

u = a • cos if),

daher ist die Ordinate von B'

Verlängern wir aber OB bis zum Schnittpunkte mit dem Kreise vom Radius a (Figur 3), so ist die Ordinate dieses Schnittpunktes offenbar a • sin ip, d. h. der letztere und unser Punkt Br sind ein und derselbe Punkt.

Es tritt also bei der neuen Festsetzung gegen früher die Veränderung ein, daß der Punkt P(u, v), dessen Koordinaten die im § 4 abgeleiteten Werte behalten, dem Punkte B'(a cos if>, a sin Y)

der Kugel zugeordnet wird.

§ 8. Von besonderem Interesse ist die zahlenmäßige Festlegung des Wertes, um den auf der Kugel vom Radius b ein Punkt mit der Breite ^ absteht von einem solchen mit der Breite cp, wenn cp und ip durch die bekannte Gleichung miteinander verbunden sind. Wird doch durch cp — ip die Verzerrung der bewirkten Abbildung des Sphäroids auf der Kugel gemessen. Nun beträgt die Verschiebung bei ip = 4° 59' rund 1'. Es hat aber ein Großkreisbogen von V auf unserer Kugel eine Länge von

= 1848,9085 m.

Eine Verschiebung um 1" hat also eine Länge von 30,8151 m. Daher ergibt sich folgende Übersicht:

cp — ip

itb 7t • 6 356 078,96 10 800

10 800

Meter

Verschiebung in Metern

5°

1'

1 848,91 5 312,53 8 141,36 10 477,15 10 640,47 10 483,31 10 005,68 8 159,85 5 327,94 1 848,91

Es beträgt also bei der Kugel von 6 356 078,96 Meter Radius die größte, bei 45° Breite auftretende, Verschiebung 10 640,47 m. Bedenkt man, daß dieselbe auf der Oberfläche unserer Kugel in die Erscheinung tritt, ein auf derselben gedachter Meridianquadrant aber die Länge

15°

25°

40°

45°

50°

55°

65°

75°

85°

2' 52,4" 4' 24,2" 5' 40,0" 5' 45,3" 5' 40,2" 5' 24,7" 4' 24,8" 2' 52,9"

1'

7t 1)

₂ = y • 6 356 078,96 Meter = 9 977 211,63 m

hat, so ersieht man, daß ein Punkt mittlerer Breite auf der von uns betrachteten nördlichen Halbkugel durch das Abbildungsverfahren rund um 1 pro Mille auf seinem Meridian nach Süden verschoben erscheint.

Es kommt also bei einem Globus von 1 m Radius, für den ein Meridianquadrant die Länge y Meter = 1,571 m hat, als höchster Betrag der Verschiebung für die Gegend von 45° Breite 10 640,47 m : 6 356 078,96 = 0,00167 m = 1,67 mm

in Betracht. Dies ist die absolute Verschiebung nach Süden. Ein klares Bild erhält man erst, wenn man die ganze Konfiguration eines Teiles der Kugeloberfläche ins Auge faßt, also auch die relativen Verschiebungswerte. Danach ist der 40. Parallel absolut um

10 477,15 m : 6 356 078,96 = 0,001 648 m = 1,65 mm und der 50. Parallel absolut um

10483,31 m : 6 356 078,96 = 0,001 649 m = 1,65 mm nach dem Äquator zu verschoben. Die relative Verschiebung gegen den 45. Parallel beträgt demnach nur 0,02 mm; sie ist also ohne Belang.

Etwas anders ist das Ergebnis, wenn man unsere Kugel im Maßstabe 1 : 25 000 verkleinern wollte. Sie hätte dann einen Radius von

6 356 078,96 m : 25 000 = 254,2 m.

Die absolute Verschiebung würde sich jetzt im Höchstbetrage zu 1,67 mm • 254,2 = 423 mm ergeben, die relative aber in der mittleren Breite zu 0,02 mm • 254,2 = 5,08 mm.

Es sind dies bei den riesigen Dimensionen des gedachten Globus nicht sehr ins Gewicht fallende Werte. Wollte man aber einzelne Gradmaschen desselben, oder Teile dieser, wirklich plastisch darstellen, so würde man diese Größen wahrscheinlich nicht unbeachtet lassen. (Vergl. Fiorini-Günther, Erd- und Himmelsgloben; ihre Geschichte und Konstruktion. Leipzig 1895, B. G. Teubner.)

§ 9. Die Franzosen haben, wie wir in § 2 berichteten, durch Gradmessungen auf einem Meridian zuerst versucht, die Abplattung des Erdsphäroids zu bestimmen. Auf welchen analytischen Grundlagen der Schluß von einer solchen Messung auf den Wert der Abplattung beruht, verdient wohl des näheren auseinandergesetzt zu werden.

Bezeichnet man den der Breite cp entsprechenden Bogen des Meridians des Erdsphäroids durch s, indem man denselben vom Äquator an zählt, so ist ein unendlich kleines Bogenelement PP' = ds, das vom Punkte P (Breite = cp) mit den Koordinaten x, y bis zum Punkte P' (Breite = cp -f- dcp) mit den Koordinaten x — dx, y -f- dy reicht, wie die Figur 4 lehrt, gegeben durch

ds = Vdx* + dy²,

da PJ = dx, P'J = dy ist, und die Ellipse offenbar als ein regelmäßiges Vieleck mit unendlich vielen, und deshalb unendlich kleinen, Seiten von der Größe ds angesehen werden kann, wie uns diese Anschauung ja aus der Lehre von der Kreismessung schon längst geläufig ist.

d\y

's

Jr

äTxy

Figur 4.

Die Punkte P und P' liegen unendlich nahe beieinander auf Grund unserer Annahme; also gibt die Richtung P'P die der Tangente in P an, da die Tangente jene Sekante ist, die durch zwei unendlich nahe Punkte der Kurve geht. Folglich steht PA ± P'P, und es ist

Daher ist

P'PJ= P'PN — JPN = ^P'PN-^PNA =    90° — cp .

P’J

tg P'PJ =

cot,p = d£-

PJ’

=1/^0+(©')

ds

ds = -± • dx Y1 -f cot² cp

— + dX • —r— .

und zwar im besonderen

sm qp ⁷

sin cp ⁷

denn die Abszissen x, die in der Richtung OA gezählt werden, nehmen ab mit wachsendem Bogen s, der vom Äquator an gerechnet wird, ds und dx müssen also offenbar entgegengesetzte Vorzeichen haben. Andererseits ist auch

ds =

Va*(¹⁺Q‘)

= + dijY 1 -f tg² cp

dy

Demnach ist

COS qp ’

da s und y, wie die Figur 4 lehrt, zugleich zu- oder abnehmen. cp selbst wird als eine positive Größe betrachtet.

Nun war nach § 4 die Abszisse eines Punktes P der Meridianellipse gegeben durch

aber auch durch

X (== u) ==

C • COS qp

j/l -f- f,² COS² qp ’

x (= u) = a ■ cos il>. Daraus folgt durch Gleichsetzen:

c • cos qp

Da

a]/l -j- tx² COS² qp

ist, so ergibt sich

— ₌ JL = t/i _L £ 2 ₌_I

cos

*i>-yi + «i² •

cos cp

Ferner war nach § 4

yi -f- f,² cos² qp

y (= v) =

b sin qp

aber auch

y (= v) = b sin ijj,

Dies war aber ds, daher ergibt sich

ds =

a ■ d'ij)

]/l + £i² cos² cp

Hier ist jedoch dtp noch durch dtp auszudrücken. Nun war

tg = y *g </>.

Durch Differentiation geht hervor

dtp

woraus zu schließen ist

sin tp =

sin cp

~[/l -f- «!* COS® Cp

Differenziert man die Gleichung

x = a cos tp

so folgt

also

dx = — a sin tpdtp, a sin cp dty

yi -f- fi2 c°s* 9²

dx

a • dtp

sin cp . yi -}- £x ² coss cp

dip

cos² cp b cos² ’

und hieraus wieder folgt:

oder

dtp = — •    »

a cos² cp

■ dcp

a²

dcp

a b² (1 -{- fj² cos* qp)

dcp

^ b (1 -J- fj² COS² qp)

Setzt man dies in die Gleichung für ds ein, so ergibt sich

ds —

(1 -j- f,² cos² qp)²"

• dcp.

Führt man die Abkürzung ein

der man auch wegen

die Form geben kann

(1 -f- el² cos² qp)²

1 — 5² sin² qp

1 — S²

q(l — Q (1 — £² sins cpy¹

so ist

Aus diesem Resultat können wir in erster Linie einen wichtigen Schluß ziehen. Bekanntlich wird in der höheren Mathematik die Anzahl der Grade eines Zentriwinkels bezogen auf die Maßzahl des diesem Zentriwinkel entsprechenden Bogens in dem Kreise, dessen Radius die Längeneinheit ist. Nur in diesem Sinne sind die von uns eingeführten Differentiale dcp und dty zu verstehen; sie sind die Differentiale von Maßzahlen des Bogens. Im Kreise mit dem Radius r' wird also dem Bogendifferential dcp des Einheitskreises ein solches von der Größe (Figur 5)

Ti dcp

ds' = r' ■ dcp

entsprechen.

Das Bogendifferential ds = M • dcp

d<p

der Meridianellipse kann also auf Grund der letzten Formel angesehen werden als das Bogendifferential eines Kreises vom Radius M. *

Figur 5.

Deshalb nennt man die Größe M den Krümmungsradius der Ellipse, weil man die Krümmung einer Kurve durch

den umgekehrten Wert    vom Radius desjenigen Kreises

mißt, der sich am engsten an dieser Stelle an die betrachtete Kurve anschmiegt (nämlich durch drei unendlich nahe Punkte der Kurve geht!). Dies tut der Kreis mit dem Radius M in der Tat, da sein Bogendifferential Md cp dem Bogendifferential ds der Meridianellipse gleich zu setzen ist.

Unter Annahme der Hessischen Dimensionen des Erdsphä-

roids für

a = 6 377 397,155 m;    *² = 0,006 674 3722

ergehen sich für den Krümmungsradius

a( 1 — «*)

(1 — £* sin* Qpy*

die folgenden Werte mit der Benennung „Meter“:

Breite cp

Breite cp

0°

10°

20°

30°

40°

45°

6 334 832 6 336 745 6 342 258 6 350 720 6 361 127 6 366 675

50°

60°

70°

80°

90°

6 372 232 6 382 698 6 391 250 6 396 843 6 398 787

§ 10. Ein Meridiangrad ist ein Grad eines elliptischen Meridians von solcher Länge, daß die durch seine beiden Endpunkte gezogenen Normalen zu der Ellipse einen Winkel von einem Grad miteinander einschließen. Sind also zwei Punkte P und Px auf dem Meridian gegeben, deren geographische Breiten cp und cpx sind, und bilden die Normalen in P und Px miteinander einen Winkel y, so ist offenbar

<Pl = V + <P>

oder

9>i “ 9> = r-

Soll also y — 1° sein, so muß auch cpx — cp = 1° sein, d. h. ein Grad ist ein Bogen eines Meridians, der zwischen zwei Punkten liegt, deren geographische Breiten um einen Grad voneinander verschieden sind.

Nach diesen Vorbereitungen können wir die Aufgabe in Angriff nehmen, die wir uns im Eingang des vorigen Paragraphen gestellt haben.

Ist G die Maßzahl der Länge eines Grades unter der Breite cp, G' diejenige unter der Breite cp'] bedenkt man, daß einem Winkel von einem Grad auf einem Kreise, dessen Radius die Längeneinheit ist, ein Bogen entspricht, dessen Maßzahl ^ ist, so besteht die Proportion:

G-.^ = ds:äcp,

indem sich elliptische Bögen von kleiner Größe zueinander wie die zugehörigen Kreisbögen verhalten.

Also ist

d s ti ^ ⁼ ddp ' 18Ö>

und entsprechend

dcp' 180

ds

Berücksichtigen wir den vorher für abgeleiteten Wert, so ist

•nb (1 -f-

180(1 4- ft² cos* qp)^

und

Ttb(l -f- ^x²)

Folglich ist

180(1 -f- sx² cos² qp')^

G (1 + e^cos²^ G'

Setzt man

(1 -}- £x² cos² qp)^

so folgt

q² =

1 -f- e,² COS² qp'

Demnach

a² — fc²

q² • cos² qp — cos² cp'

Ist aber ex² bekannt, so ist

a²

« V l + *x²’

daher die Abplattung der Meridianellipse:

= 1-

a — b

yr+fl²

Wir wollen diese Formeln an dem oben in § 2 bereits erwähnten klassischen Beispiel der von den Franzosen ausgeführten Gradmessungen in Peru und in Lappland erläutern, bei denen sich gjQ für a ergeben hatte.

Da müssen wir denn freilich, mit dem Bekenntnis beginnen, daß wir uns in der Darstellung der verwickelten Untersuchung einer Ungenauigkeit schuldig gemacht haben. Der aufmerksame Leser hat sich gewiß bereits die Frage vorgelegt, ob denn nicht das am Anfänge eines Meridianbogens von y = 1° Länge ein anderes ist als das am Ende. Dies ist natürlich der Fall. Wir wollen deshalb unter cp denjenigen Wert verstehen, der das arithmetische Mittel des soeben charakterisierten Anfangs- und des Endwertes der beiden zu G gehörigen Werte der geographischen Breite ist. Für ein genaueres Studium dieser sowohl den Geodäten als den Kartographen angehenden Verhältnisse verweisen wir auf das schon angeführte vorzügliche Jordansche Handbuch der Vermessungskunde, Stuttgart 1896, Bd. III, 4. Auf!., § 35, Meridianbogenlängen. Dort wird sogar gezeigt, daß der Satz von dem arithmetischen Mittel der Breiten bis auf einen geringen Fehler noch anwendbar ist, wenn G und G' zwar kleine Bögen, aber jedenfalls größer als ein Meridiangrad sind.

Nach Bessels Angaben (Astron. Nachrichten, 14. Bd., S. 334 u. 337, 1837) sind folgende Zahlen dem zu behandelnden Beispiele zugrunde zu legen:

Gradmessung in Peru:

Meridianbogen m = 176 875,5 Toisen = 344 736,772 Meter cpx = - 3° 4' 32,068" <p₂ = + 0° 2' 31,387"

<P

=    ₌ _ 10 3r o,3405". Acp==cp₂-(p₁ = ^r 3,455"

= 11223,455".

Gradmessung in Lappland:

Meridianbogen m' = 92 777,981 Toisen = 180 827,654 Meter cp₃ = 65° 31' 30,265" cpx = 67° 8' 49,830"

₌ 66° 20'10,0475". Acp'= cp^-cp, = 1°37' 19,565"

= 5839,565".

Da 1° = 3600" sind, so ist

m' ■ 3600

5839,565

m ■ 3600 11 223,455 ⁵

2    / 6r _ /344 736,772 •    5 839,565

11 223,455 • 180 827,654

² ~\

log 344 736,772 = 5,537 4876 log 5 839,565 = 3,766 3805

log 180 827,654 = 5,257 2649 log 11223,455 = 4,0501266

9,307 3915

12,303 8681 -3 - 9.307 3915

log 2² = (2,996 4766 - 3)f = (5,992 9532 - 6)£ log = 0,997 6511 - 1. q² = 0,994 606.

0,999 6956 -1

0,207 0866 -1

log g² = 0,997 6511 — 1 log cos² cp = (9,999 8478 — 10) • 2 log cos² cp = 0,999 6956 — 1 log(^²* cos²cp') = 0,997 3467-1 logcos V= (9,603 5433 - 10) • 2 q² • cos² cp = 0,993 909

*i² =

1 — 0,994 606

0,993 909 — 0,161 097

0,005 394

0,832 812

cos² cp' = 0,161 096 69 log 0,005 394 = 1,731 9109 - 4 - log 0,832 812 = -0,920 5469 + 1

log£l²= 0,8113640-3

= 0,006 476 85

1 + £^ = 1,006 476 85

j/1,006 476 85

- = 0,996 777

a ⁷

a = 1-0,996 777 « = 0,003 223

3223

1 000 000 310,27

JBessel liat im 14 Bande von Schumachers Astronom. Nachrichten (1837) die Ergebnisse verschiedener Gradmessungen zusammengestellt, und er hat aus ihnen als wahrscheinlichsten Wert für die Abplattung

299,15

abgeleitet; desgleichen fand er als solche Werte:

log a — 6,804 6435, log b = 6,803 1893 .

Wir setzen unsere Rechnung fort, um gleichfalls a und b aus den mitgeteilten Daten zu ermitteln. Es war einerseits

a b (1 ~t~ £i *)

180(1 -f- f,² cos² cp')Y

m’ • 3600 5 839,565

a = 6 377 397,155 m, & = 6 356 078,96 m,

G' =

und andererseits

G' =

180 827,654 • 3600

5 839,565

daher ist

,    180827,654 ■ 648000 • (1 -f 0,0064 7685 • 0,1610 9669)^ Meter,

Ö ~    7t • 5 839,565 • 1,0064 7685

b = 6 356 017,65 m (log b = 6,803 1851)

0,996777 ^etei’;

a = 6 376 570 m (log a = 6,8045871);

so daß sich also aus der französischen Gradmessung die Dimensionen des Erdsphäroids als zu klein ergeben.

Martus (Geheimer Regierungsrat u. Realgymnasialdirektor, geh. 1831 in Potsdam) gibt in seiner, viele auf Berlin bezügliche Daten enthaltenden, ausgezeichneten „Astronomischen Geographie“ (C. A. Koch, Leipzig 1880, große Ausgabe) eine elementare Berechnung der durch W. Struve ausgeführten russischen Gradmessung; sie ergab größere Werte, nämlich

a = 6 378 367 m; b = 6 356 764 m.

§ 11. Wir können aus der Schlußformel des § 9 noch ein weiteres wichtiges Resultat ziehen. Es war

ds = M • dtp,

wo ds ein Differential des Bogens s der Meridianellipse bedeutet. Da am Äquator die Breite cp gleich Null Grad ist, so wird eine Integration von <p = 0 bis tp = — (= 90°) uns die Länge eines Meridianquadranten finden lassen, aber eine solche von cp = 0 bis zu einem beliebigen Werte des cp (im Bogenmaß gemessen!) die Meridianlänge vom Äquator bis zn dieser Breite an-zeigen. Diesen Aufgaben wollen wir uns jetzt zuwenden.

uns

Dazu transformieren wir zuerst unser ds von der geographischen Breite cp auf die reduzierte Breite ijj> weil der dadurch entstehende Ausdruck einfacher ist als der bis jetzt abgeleitete. Nach § 9 (Seite 26) ist

dcp =

(1 -j-    ² cos* <jp)

Ferner war

demnach

(1 -j-    ² cos* qp)ü

dip

(Seite 25)

Aber es war

}/l -f- £x* COS* Cp

cos

cos cp

daher

j/l -f- £x* COS* cp ⁷

ds = b •

COS 1p

Weiter ist

cos cp

di\).

COS² iff = (1 -f ^i²)

1 -f- S₁ * COS* qp _ 1 -j- fj *

COS* ip ’

cos* cp

COS* qp

(1 -f-    * COS* qp) ’

_¹_ I £ 2 ₌ ¹ + gl

COS* qp ¹    COS* 1p

Daher ist endlich

COS* qp COS 1p

COS qp

1 -j- ex * sin* ip

COS* 1p

= ]/l -f- £t² sin² t\) .

ds = b ]/l + £x² sin²1p • dty.

Folglich ist ein Meridianbogen gerechnet vom Äquator bis zu einem beliebigen Werte des cp bezw. ip

%p    %p

s = J*bYl + £x² sin² ^ • difj = b ■ j*]/l + «x² sin² • dip. o    o

Wir entwickeln ]/1 + £x² sin² ip nach dem binomischen Lehrsätze. Es ist

¹

Du Sejour gibt in seiner Abhandlung vier Tafeln für qp und ty für vier verschiedene Werte des Acbsenverbältnisses a: b der Erde, dessen Kenntnis zu seiner Zeit noch unsicher war.

²

+ £x² COS² (p =

j/l + £x² sin² ip = 1 + ^ £x² sin² ip —    £x⁴ sin⁴ ip . . .,

Haentzschel, Das Erdsphäroid.

wo die nicht hingeschriebenen Glieder vernachlässigt werden

können. Da jedoch

. ₉ ,    1 — cos 2 -ib

smJ ip --—-

, cos² T/; =

1 -f- cos 2 'ip

und

sin⁴ ip = \ (1 — 2 cos 2ip -f cos² 2ifi)

= 4{1 — 2 cos 2t/; -f 4(1 + cos 4^)} == -f — 4 cos 2 t/; -j- 4 cos 4z/;

ist, so folgt durch Einsetzen:

]/l + £x² sin²T/> = 1 + (1 — cos 2t/;)---(|~j cos 2t/; -j- ^ cos 4t/;j

- (x+4-lt £>‘)+(- x’+iv)cos²*~ ucos 4*-

Deshalb ist

S = ij{l + 0

«rr*

\p

^e^.dt + bf (

0

“"1“ + ie) cos ' d^

— 1) I cos 4 • dip.

0

Nach den Elementen der Integralrechnung ist aber

ip

fdip =

o

J^os 2t/; • dtl> = o

xp

Jcos 4t/; • di/j = 4 sin 4^. o

b s=(i+x’-4£i‘)^-Y(4!-iV)j8in2^-|b-Jsil14''’-

Wir führen die Abkürzungen ein

«' = (l H----₆³~ £x⁴) • &,

Demnach ist

^=4(4

c 4

V ' == —i— • & ^    256

4 sin 2 t/;;

und berechnen unter Zugrundelegung der Besselschen Angaben für die Dimensionen des Erdsphäroids die Werte dieser Koeffizienten. Nach Sessel ist

= 6 377 397,15 m = 6 356 078,96 m

log a — 6,804 6435. log 6 = 6,8031893.

a + b = 12 733 476,11 m a — b =

7,104 9469 4,328 7504

21 318,19 m log £l² = log (« + &) + log (a — b) — 2 log b. log (a + b) = log (<*-&) =

14,433 6973-3 -21og& = - 13,606 3786

0,827 3187-3; 0,654 6374-5;

log £l² = log £l⁴ =

«r

£l² = 0,006 719 218; £l⁴ = 0,000 045 148.

-^⁴ = 1,001 677 688.

Daher ist

= 1,001 677 688 • 6 356 078,96 m log u = 6,803 9173

a — 6 366 742,647 m.

^'=40--

16

■b

== 0,000 838 491 • 6 356 078,96 m log 3,726 6877 /3' = 5329,515 m.

'    £i⁴ -l

V ~ 256 '

= 0,000 000 176 35 • 6 356 078,96 m log /= 0,049 5648 /= 1,120 895 m.

Wir erhalten also

I)

s = a • ip — ß' sin 2x[; — y' sin 4 mit den soeben berechneten Werten der Koeffizienten.

Beispiele. 1) Berechnung eines Meridianquadranten Q. Ist in der Formel I) im besonderen

ip = — v 2 >

so ist s die Länge eines Meridianquadranten Q, für den wir den Wert erhalten

log a — log 71 =

6,803 9173 0,497 1499

7,3010672 - log 2 = - 0,301 0300

log Q =    7,000 0372

Q = 10 000 857 m.

m = 111 120,63 m = 111,1206 km ist.

Aus diesem Resultate fließt die Angabe der Lehrbücher der Erdkunde, daß der Bogen eines Meridiangrades (im Durchschnitt!) 10 000 857

90

90“

2) Welches ist die Länge des Meridianbogens B vom Äquator bis zur geographischen Breite von Berlin: cp = 52°30' 16,7"?

Nach § 6 ergibt sich aus cp = 52° 30' 16,7" die reduzierte Breite der Sternwarte von Berlin:

^ = 52° 24' 43".

Suchen wir jetzt die Maßzalil des Bogens im Kreise mit einem Radius gleich der Längeneinheit (Einheitskreis), der einem Zentriwinkel von der Größe = 52° 24' 43" = 188683" entspricht, so ist diese Zahl

188683 • Tt 648000

= 188683 . q = 0.914761.

Demnach ist

B = {a- 0,914761 - ß'- sin 104° 49'26"- /• sin 209° 38'52"} B = {5 824 048,65 - 5152,13 + 0,55447} Meter B = 5 818 897,074 Meter.

3) In dieser Weise kann man die Länge des Meridian-bogens s für jede beliebige geographische Breite cp berechnen.

Man hat dies in der Tat ausgeführt und wir gehen nachstehend einige Werte, die auch in einer Tabelle in Jordans Handbuch, 1. c. § 35, S. 216 enthalten sind, nach Korrektur eines sich dort bei cp = 60° findenden Druckfehlers.

Meridianbogen B vom Äquator bis zur Breite cp.

<P

<P

<P

©    ®    o    ©    ©    ©    ©

O    ^    *0    <£>    GO    O

CO    CC    CO    CO    IC    CO

3 319 786,51 m 3 541 502,52 m 3 763 288,29 m 3 874 208,05 m

3    985 146,05 m

4    207 077,71 m 4 429 084,79 m

©©©©©©© !M Tfi    O    CD    CO    O    rl

^    ^    ^    rii    »O    kJ

§ 12. Ohne Schwierigkeit kann man aus unserer Formel für s eine andere herleiten für die Länge eines begrenzten Bogens m zwischen den geographischen Breiten <px und cp₂ bezw. den zugehörigen reduzierten Breiten und ip₂, wo cpx < cp₂, also auch < f₂ sein möge. Offenbar ist

$! = «'• ^ — ß' • sin 2f± — y' • sin 4ft s₂ = a • f₂ — ß' ■ sin 2f₂ — y' • sin 4f₂

m = s₂ — s₁ == u' ■ (f₂ — ft) — ß' • (sin 2f₂ — sin 2fx)

— y' • (sin 4f₂ — sin 4^).

Es ist bekanntlich

sin 2f₂ — sin 2ft = 2 sin (f₂ —    • cos (^₂ + ^i)

sin 4ip₂ — sin 4^ = 2 sin 2(f₂ —    • cos 2(^₂ + ^₂)-

Daher

Ia)

a'(^2 — ft) — 2ß'- sin (f₂ —    • cos (f₂ + t^)

— 2/ • sin 2(^ — ^i) • cos 2(f₂ + fx).

Diese Formel gestattet eine interessante Anwendung auf den Fall, wo

= 1°

<P2 — <Pl

ist, wo es sich also um die Berechnung der Länge eines Meridianbogens von einem Grade in den verschiedenen Breiten handelt.

Wir wollen uns darauf beschränken, in sieben Fällen die Länge des betreffenden Meridianbogens wirklich herzuleiten; sie sollen dazu dienen, uns einen tieferen Einblick in den Charakter

der Abbildung, die durch den Begriff der „reduzierten Breite" vermittelt wird, tun zu lassen.

Es sei

so ist

daher der zugehörige Meridianbogen des Erdsphäroids

<Pt=0°

^i = 0°

9₂ = 1°

% = 0°59'48"

m₁ = 6 366 742,647 • 3588 • p“*

—    2 • 5329,515 • sin 59'48" cos 59' 48"

—    2 • 1,120895 ■ sin 1° 59' 36"- cos 1° 59'36" m₁ = (110 750,2296 — 185,3777 — 0,07793) m

9₂ — 9i = i°

= 0°59'48"

m, = 110 564,774 m

= 30°

% = 29°55'1,2"

= 30° 54'55,3"

m₂ = 6 366 742,647 • 3594,1 • p~i

—    2 • 5329,515 • sin 59' 54,1"- cos 60°49' 56,5"

—    2 • 1,120895 • sin 1°59'48,2" cos 121°39'53" m₂ = (110 938,52 — 90,51415 + 0,0409938) m

9₂ — 9i = 1°

^—^ = 0° 59'54,1"

m₂ — 110 848,047 m

1/-, = 44° 54'14,7"

<p₂ = 45° 5' 45,3"

ms — 6 366 742,647 • 345,3 • p~l

—    2 • 5329,515 • sin 5' 45,3"- cos 89°54' 14,7"

—    2 • 1,120895 ■ sin 11' 30,6"- cos 179°48' 29,4" ma = (10 658,321 — 0,0299 + 0,0075) m

(p₂—<p₄ = 0° 5'45,3"

—    = 0°5'45,3"

m₈ = 10 658,2986 in

qPj = 45°

% = 44° 54' 14,7"

cpa = 46°

% = 45°54'14,87"

m₄ = 6 366 742,647 • 3600,17 • p~*

—    2 • 5329,515 • sin 1°0'0,17" cos90°48'29,57"

—    2 • l,120895-sin2°0'0,34"- cosl81°36'59,14" m₄ = (111 125,88 -f 2,6241 -f 0,0782) m

9S ~ 9i = ⁴⁰

m₄ = 111 128,58 m

qPj = 52°

= 51° 54'24,8"

qp₂ = 53°

% =52°54'27,9"

m₆ = 6 366 742,647 • 3603,1 . p“*

—    2 ■ 5329,515 • sin 1°0' 3,1"- cos 104°48' 52,7"

—    2-1,120895•sin2°0'6,2"- cos209°37'45,4" m. = (111 216,317 + 47,606 -f 0,068) m

% — 9x = ¹⁰

m₅ = 111 263,991 m

qPj = 60°

= 59°55'0,7"

qp₂ = 61°

% = 60°55'6,9"

m₆ = 6 366 742,647 • 3606,2 • p~

—    2 • 5329,515 • sin 1°0' 6,2"- cos 120°50' 7,6"

—    2 • 1,120895• sin2°0'12,4" cos241°40'15,2" m₆ = (111 312 4- 95,512 -f- 0,037) m

i/>2 -    = 1°0'6,2"

m₆ = 111 407,549 m

gjj =89°

% = 88°59' 47,9"

92 = 90°

% = 90°

rrUj = 6 366 742,647 • 3612,1 • p~*

—    2 • 5329,515 • sin 1°0'12,1"- cos 178°59'47,9"

—    2 ■ 1,120895 • sin2°0'24,2"- cos357°59'35,8" ■m, = (111494,128 -f- 186,622 — 0,078) m

9S — 9i = ¹⁰

tyi — V’i — 1°0'12,1"

m₇ = 111 680,672 m

Berechnet man nach unserer Formel für m die Länge eines Meridianhogens für einen Grad in den verschiedenen Breiten, so erhält man:

1° Breite in Kilometern

1° Breite in Kilometern

50°—51° 52°—53° 55°—56° 60°—61° 65°—66° 70°—71° 75°—76° 80°—81° 85°—86° 86°—87° 87°—88° 88°—89° 89°—90°

0°—1° 1°—2° 2°—3°

3°—4°

4°—5° 10°—11° 15°-—16° 20°—21° 25°—26° 30°—31° 35°—36° 40°—41° 45°—46°

110,5638

110,5645

110,5658

110,5678

110,5705

110,6005

110,6428

110,6996

110,7691

110,8494

110,9380

111,0322

111,1292

111,2260 111,2640 111,3197 111,4075 111,4866 111,5546 111,6094 111,6492 111,6729 111,6757 111,6777 111,6791 111,6798

Die von uns mit 7-stelligen Logarithmen berechneten Werte von ml bis m₇ weisen demnach eine Unsicherheit auf, die kleiner ist als ein Meter auf 100 000 Meter.

§ 13. Wenn wir uns die Frage vorlegen, worin die von uns soeben bemerkte Unsicherheit ihren Grund hat, so finden wir sehr bald die Ursache derselben in dem Umstande, daß wir die Entwickelung der Wurzelgröße

Y1 + ~äy sin² xl>

nach dem binomischen Lehrsätze nicht weit genug getrieben haben. Es stellt also die Formel I) die ersten drei Glieder einer Reihe dar, die mit wachsenden Werten von (p hezw. ip an Schnelligkeit der Konvergenz einbüßt. Der Unsicherheit könnte man abhelfen, indem man mehr Glieder als die von uns hingeschriebenen berechnet. Statt dessen haben sich die bedeutendsten Mathematiker, wie Laplace (Mecanique celeste I), Gauß (Allgemeine Untersuchungen über die unendliche Reihe u. s. w. Berlin, Springer, 1888, S. 12—14) u. a. bemüht, für die Bogengröße s Reihen von der höchsten Konvergenz aufzustellen. Wir ergänzen daher die Untersuchung des § 12 durch die Herleitung einer neuen Formel für s, was namentlich um deswillen geschieht, weil I) erst dann anwendbar wird, wenn man aus dem gegebenen Werte von cp den zugehörigen Wert ip der reduzierten Breite in bekannter Weise berechnet hat. Die neue Formel soll s direkt als Funktion der geographischen Breite geben.

Es war

ds = Ydx² -}- dy²,

ds=dyyi+(fl)’,

ds = dy^l + tg² cp,

dy

COS qp

a( 1 — £²) sin cp

ds =

Nach § 4 ist

yi — £² sin² qp

v) =

oder

y = a( 1 — s²) sin cp (1 — e² sin² cp)~~2~; daher

dy = a( 1 — s²) cos cp (1 — s² sin² cp)~~^ • dcp

— •£«( 1 — £²) sin cp (1 — s² sin² cp)~% ■ (—2s² sin cp cos cp)dq)f

dy =

a( 1 — c²) cos cp dcp

(j/l — £² sin² qp)³

Also ist

ds — a (1 — £²)

dcp

Folglich

(Y1 — £² sin² qp)³

-s²)

dcp

(Vl — £² sin² qp)3 ;

oder

dcp

— £² sin² qp)³

Wir entwickeln zuerst die Wurzelgröße unter dem Integralzeichen. Es ist offenbar

(ft²— b*)(e⁺*¹ V — 2+

(ft² — b²)    (ft²—b²)

2«²

4ft²

(<S+2t> ß— 2 i (p^

2 ft²

(tt + b)²

(ft²— bä) 4 ft²

(«-&)*

(e+²*> _|_ ß~2i<p)

(ft² — b²)

4ft²

4ft²

4ft²

(e+2*>    e-2t>) 1)

(a + &)²

4 ft²

4ft²

Demnach ist, wenn wie in § 5

also

»«= ^-1 = 0,001 674185,

«-f- b ;    ’

2ft

ct + b

gesetzt wird,

(1 — £² sin² cp)~% = (1 + w)³{l + ne+2i(P}~% • {1 + we⁻²'^}⁻^ Es ist aber {1 + ne+2i(P)~$ = 1 — f ne+2i<f + ^n²e+iitf‘ — ~n³e+6i(p • • ■

und

{1 + ne~2i(f>}~% =1 — ~ne~2i(p + -|n²e⁻⁴“P — f| n³e~6itP

Daher ergibt sich

(1—£²sin²cp)    (1 +w)³ • |(1 +fw²) — 3n{\ +fw²)^-—^

wenn man die Glieder unterdrückt, die mit höheren Potenzen von n behaftet sind.

Demnach erhält man für s:

II)

s = a" • cp — ß" ■ sin 2cp + y” • sin 4cp, wo die soeben eingeführten Abkürzungen die Werte haben:

«"=^-(l + n)⁸(l+|M²)

= 6 366 703 • 1,000 006 3065 u" — 6 366 743 m (log 6,8039173).

;(i + «)a-»(i + ?«a)

ß" = |. 6 366 703 • 0,001 6742 • 1,000005 255 /3"= 15 988,65 m (log ß" = 4,2038117).

(1 + w)³ • n²

ff

y = j/' = 16,72988 m (log y"= 1,223 4928).

Beispiele. 1) Wir prüfen die Richtigkeit der Formel II), indem wir zuerst wieder einen Meridianquadranten berechnen. Ist

<p

s = ~ • (1 + nfj(1 + I n²) dcp o

V

h- ■ (1 + nfj 3w(l + fn²)

0

<p

~ (1 + w)³ n² cos 4<p • dcp o

+ b4

cos 2<p • dcp

oder

15    5*

16    a

cp =

so ist

Q = Ci"-

Q= 10 000 859 m.

2) Die Länge eines Meridianbogens von einem Grade ist offenbar durch die Formel gegeben:

IIa) m = a'\cp₂ — cpi) — 2ß" sin (<p₂ — gq) cos (cp₂ + cpj

+ 2 y" sin 2(cp₂ — <pt) cos 2(cp₂ + cp,).

3) Sei

so ist

cp ₂ = 31° und cp₁ — 30°,

nt

= a"• 3600 • Q~¹-2ß"-sin 1° • cos 61° -f- 2y" • sin 2° • cos 122°; = (111120,614 - 270,563 - 0,6188) Meter = 110 849,43 m.

4) Sei

so ist

cp₂ = 90° und 9₁ = 89°,

m₇ = a"■ 3600 • p_1 — 2ß"• sin 1° • cos 179° + 2y"■ sin 2° • cos 358°, = (111 120,614 + 558 + 1,167) Meter = 111679,783 m.

§ 14. Um noch tiefer in den Gegenstand einzudringen, wollen wir unseren Längen mx... m₁ diejenigen Strecken mt'... m/ gegenüberstellen, die den Meridianbögen des Erdsphäroids auf der demselben, mit b als Radius, eingeschriebenen Kugel entsprechen. Es hat auf ihr ein Kreisbogen von 1" die Länge

Tt • b 648 000

= &-p-x

= 30.8151 m.

Man erhält also die folgende Tafel:

Meter

Meter

Demnach ist das Verhältnis m': in

r r

m₁ = 110 564,774

m₃ = 110 849,43

ms = 10 658,299

= 111 129,2

m₆ = 111 263,991

m₆ = 111 407,549

m₇ = 111 679,783

w/ = 3588 • b ■ q~ 1 = 110 564,733 ms' = 3594,1 • b ■ q~ 1 = 110 752,73 ms' — 345,3 ■ b ■ q~1 = 10 640,471 w₄'= 3600,17 • b ■ Q~l = 110 939,745 m₅'= 3603,1 b - q^1 = 111 030,05 mß' — 3606,2 • b ■ q~ 1 = 111 125,575 m/= 3612,1 • b ■ c_1 = 111 307,385

0,99913

0,99833

0,99829

0,99790

0,99747

0,99666

Der Logarithmus von m/:    ergibt sich als 0,9985495 — 1, so

daß also als Schluß wert dieses Verhältnisses — anzusehen ist,

a    ⁷

dessen Logarithmus gleich 0,9985458 — 1 ist.

299,1528 zum

Den Bruch mr': mr wollen wir das „Längenverhältnis“ oder das „Vergrößerungsverhältnis“ nennen. In scharfer Definition sagen wir: Das Längenverhältnis ist der Quotient eines unendlich Meinen Bogens der Abbildung zu dem entsprechenden unendlich Meinen Bogen des Originals. Es nimmt demnach bei der durch die reduzierten Breiten vermittelten Abbildung dieses Längenverhältnis stetig (kontinuierlich!) ab von 1 bis auf ^ für Meridianbogenlängen, die in der Richtung vom Äquator Pol auf dem Erdsphäroid einerseits und auf der Kugel vom Radius b ===== 6 356 078,96 Meter andererseits gemessen werden. In der Tat, es war (§ 4)

Daher ist

x = (u) = a cos V — (v) — b sim[>.

ds² = dx² -f dy²

= (a² sin² if> -j- b² cos² ifj)dip². Für die Kugel ist da = bdip. Folglich ist

da

(a² sin² ip -(- ö² cos² ipA — wird.

ds

was für ip = 0 zu 1, für ip = ^ zu

Würde man das Erdsphäroid statt auf einer Kugel mit dem Radius b auf einer solchen mit dem Halbmesser a abbilden, wie solches bereits im § 7 erwähnt worden ist, so müßten sämtliche Längen in der 2. Spalte der vorigen Tabelle mit -Ä multipliziert werden. Ein gleiches gilt von den Zahlen der 3. Spalte, die alsdann von bis auf 1 abnehmen würden. Wir fügen hieran sofort die Erklärung für die „Längentreuedie dann eintritt, wenn bei einer Abbildung das oben erklärte Längenverhältnis stets denselben Wert behält, im besonderen den Wert 1.

§ 15. Unsere über die elliptischen Meridiane in ziemlicher Ausführlichkeit angestellten Untersuchungen erhalten ein Gegenstück in solchen über die Bögen der Parallelkreise. Wie die Figur 3 lehrt, liegt ein Punkt P(x, y) des Ellipsoids auf einem Parallelkreise, dessen Radius gleich der Abszisse x dieses Punktes ist; demnach ist der Parallelkreishalbmesser nach § 4 (S. 10)

(u =) X =

a cos cp

oder

(u =) X =

Da jedoch

y 1 — t² sin² cp

b (1 -)- £! ²) COS cp yi-Hi² cos² cp

b(l + £i²) = c =

ist, so ist auch

a² • cos cp

X — —    -•

5 |/l -f- f,² cos² qp

Aber durch die reduzierte Breite ausgedrückt, ist

x = a • cos ip.

Für die dem Sphäroid eingeschriebene Kugel, deren Radius b ist, hat der entsprechende Parallelkreis den Halbmesser x' = b ■ cos f.

Daher ist das Längenverhältnis eine konstante Grröße, d. h. die Parallelkreise werden „längentreuu abgebildet. Wir erinnern uns aber aus § 7, daß man das Erd-sphäroid auch auf der demselben mit a als Radius umschriebenen Kugel abbilden kann, in welchem Falle der Punkt P des Rotationsellipsoids und der Punkt R' der Kugel, der mit ihm die gleiche Abszisse a • cos tp hat, zugeordnete Punkte sind. Alsdann ist also x = x', und folglich sind die Parallelkreise nicht bloß längentreu, sondern sie sind sogar längengleich abgebildet. Es läßt sich nicht leugnen, daß infolgedessen die Kugel vom Radius a für die Abbildungsaufgabe im engeren Sinne gewisse Vorteile hat, die frühzeitig erkannt wurden, so von Mollweide und von Gauß, wie wir im nächsten Kapitel sehen werden; freilich für das im § 8 berührte Globusproblem und für die erste Einführung in diese Untersuchungen gibt die Kugel vom Radius b der Darstellung eine größere Anschaulichkeit und erleichtert damit das Verständnis für dieselbe.

Wir gehen jetzt dazu über, einige Parallelkreisbögen zu berechnen, und geben alsdann eine Tabelle derselben.

Ist x der Radius eines Parallelkreises, so ist 2tcx der Umfang desselben. Demnach bat auf demselben

1° des Parallelkreises die Länge von x •    ,

r „

r>

1"

x »

77

77

/10 800\_1 ” X ' ) ’ /648 000\“¹

” X' V HT~)

Beispiele. 1) Sei <p = 45°, so ist nach § 7 xp = 44° 54' 14,7".

Daher ist denn

1° Länge = a ■ cos xp

1° Länge = 6 377 397,15 • cos 44° 54' 14,7" • (^j log 6 377 397,15 = 6,8046435

= 0,241 8774 - 2 5,046 5209

log cos 44° 54' • • • = 9,850 2108 - 10 4,896 7317,

/180\-1 \ 71 )    ’

Meter:

los (bö)

)>

i"

77

77

folglich

cos xp =

100 000

•(£)

6 377 397,15

log cos xp = log (10⁵) — |log 6 377 397,15 -f log J

15,000 0000- 10 - 5,046 5209 9,9534791 - 10.

log COS xp -

■f*

Reduzierte Breite cp = 26° 2' 56,12". Es war (§ 6)

daher

tg<p = tgt- (4)

log tg cp = log tg cp - log (£) log tg cp =    9,689 1223 — 10

log (A\ ₌ _ o,998 5458 + 1 log tg cp —    0,690 5765 — 10.

Geographische Breite cp = 26° 7' 28,89".

Es ist dies etwa die Breite von Johannesburg in Südafrika. 3) Wie groß ist 1° geographischer Länge unter der Breite von Berlind

Die geographische Breite der Berliner Sternwarte ist cp = 52° 30' 16,7",

die reduzierte Breite derselben (§ 6)

cp = 52° 24' 43",

nir) ’

daher weil

1° Länge = a • cos log a + log = 5,046 5209 (nach Beispiel 1))

log cos cp = 9,785 3156 - 10 4,8318365,”

1° Länge unter der Breite von Berlin = 67 894,8 Meter

„    = 1131,58    „

i"

„    = 18,86    „ .

4) Wie groß ist 1° geographischer Länge unter der Breite des Nordhaps von Europa cp = 71° 15'?

Für cp = 71° 15' ist

tg ^    ~ • tg 71° 15'

log (A) = 0,998 5458 - 1 log tg 71° 15' = 0,469 2187 log tg cp = 0,467 7645.

Reduzierte Breite i)j — 71° 11 29,49 1° Länge == a • cos log a + log = 5,046 5209 (nach Beispiel 1)) log cos = 9,508 4027 — 10 4,554 9236

1° Länge unter der Breite des Nordkaps = 35 885,876 Meter

—    698 10

»    »    »    V    V    »    ,,

'    _ q 97

V    }}    1)    V    1)    V yis %    JJ

5) Für astronomische Ortsbestimmungen ist es häufig von Interesse, hei bekanntem Unterschied in der Ortszeit die Entfernung zweier Orte, die auf demselben Parallelkreise liegen, kennen zu lernen. Da nun 24 Stunden Zeit einer Drehung der Erde um 360° entsprechen, so ist klar, daß 1 Minute Zeit einem Bogen von ^°, 1 Sekunde Zeit einem solchen von \ Bogenminute entspricht. Man liest daher aus den Beispielen 1), 3) und 5) folgende Angaben ab:

Breite

9>

lm Zeit

l⁸ Zeit

45°

19 709,3 m 16 976,2 m 8 971,5 m

6) Tabelle von Parallelkreisbögen:

52° 30' 71° 15'

328.5    m 282,9 in.

149.5    m

<P

1° Länge in Kilometern

<P

1° Länge in Kilometern

©    ©    ©    ©    © ©

0    0    0    0    0*0

H    (N    CO    ^    ^

111,3066

109,6266

104,6348

96,4748

85,3836

78,8373

GC    CO    O    O* O*

0    0    0    0    0*0

©    o    o    o    ©    ©

71,6870

63,9863

55,7931

38,1818

19,3910

1,9491

§ 16. Die Frage nach der Größe der Oberfläche des Erd-sphäroids soll uns nun beschäftigen. Denken wir uns auf dem Erdellipsoid zwei Parallelkreise gezogen, so schließen dieselben, wie bekannt, eine Zone ein. Wir nehmen die beiden Parallelkreise unendlich nahe beieinander an und erhalten dadurch ein Oberflächenelement in Gestalt eines Zonendifferentials dZ. Ein solches ist eine unendlich kleine Größe, die man unter Vernachlässigung von unendlich kleinen Größen höherer Ordnung als den Mantel eines abgestumpften Kegels mit kreisförmiger Grundfläche ansehen kann. Der Inhalt eines solchen Mantels ist gegeben durch das Produkt aus %, aus der Seite des Mantels und aus der Summe der beiden Grundkreisradien. Für unser Zonendifferential dZ ist das Linienelement ds des Meridianbogens als die Seite des Mantels anzusehen; der Radius x des Parallelkreises ist der Halbmesser der unteren Grundfläche, derjenige der oberen, unendlich nahen, Deckfläche ist x—dx\ deshalb ist dZ = je • ds (x -f x — dx).

Unter Vernachlässigung von unendlich kleinen Größen 2. und höherer Ordnung ist also

dZ = 2jtx • ds.

Es war nach § 4 (S. 10):

(u =) x =

a cos cp

]/l — £² sin² cp 1 c ■ cos cp |/l -j- £,² COS² cp ’

= a ■ cos ip.

Ferner ist nach § 9 bezw. § 11 (S. 27; 26; 33) das Bogenelement des elliptischen Meridians

a(l — f ²)dcp (1 — s² sin² cp)Y c ■ dcp

(1 -j- £,² COS² CpY

— b • j/l + £x² sin² ip • dtp .

ds =

Daraus folgt für das Flächendifferential einer Zone des Erd-sphäroids:

dZ =

2««²(1 — £²) cos cp dcp

oder

(1 — £² sin² qp)²

2 jrc² • cos cp dcp

(1 -j- £, ² COS² Cp)² ’

oder durch Einführung der reduzierten Breite ip

= 2nab • cos ip • dip • ]/1 + sin² ip.

Haentzschel, Das Erdsphäroid.

Yon diesen drei Ausdrücken wollen wir dem ersten und dem dritten unsere Aufmerksamkeit schenken und zwar zuerst dem zuletzt angegebenen, da in § 11 bereits alle Vorbereitungen zur Entwickelung des Flächeninhalts einer endlichen Zone, gerechnet vom Äquator, wo xp — 0, bis m einem beliebigen Werte des xp, getroffen sind. Es ist nämlich eine solche Zone gegeben durch

xp

= 27tab f cos xp ]/l + Sj² sin² xp dxp. o

Ein solches Integral nennt man ein elliptisches; die Ermittelung seines Wertes geschieht im folgenden durch Reihentwickelung.

Es war (§ 11, S. 34) byi + sm² -ip = (i-\- ~y

T + Te) h cos

^&cos 4xp,

Daher ist

= a' — 2ß' cos 2xp — 4y' cos 4xp.

iP

= 2naJ*(a' cos xp 0

— 2ß' cos xp • cos 2xp — 4j/cos xp • cos 4xp) dxp.

Da aber

ist, so folgt

2 cos 2xp cos xp — cos 3xp + cos xp, 2 cos Axp cos xp = cos hxp + cos 3xp

a' cos xp — 2/3' cos xp • cos 2xp — 4y' cos xp • cos 4xp = (V — ß') cos xp — (Jßr + 2y') cos 3ip — 2y' cos 5xp.

Also ist

Z = 2na(ar— ß'

cos xpdxp —

2na(ß' + 2y')Jcos 3xpdxp o

Es ist aber

Xp

4jiay'J*c,os hxpdxp. o

xp

Jcos xpdxp = o

xp

Jcos 3xp dxp —

0

xp

fiios hxp dxp — j sin hxp. o

sin xp,

i sin 3 xp

Demnach

III) Z = 2Tta{(a'— ß') smxp —    2y') sin3il> ~ sinbip].

Ist im besonderen xl> = ^ > dehnt sich also die vom Äquator an gerechnete Zone bis zum Pol hin aus, so geht Z in die Hälfte der Oberfläche E des Erdsphäroids über, so daß sich also

E-4«o{(«'- f) + j(/T + V) - fr')

— 4jra(a'— f- ß' +

-

40 )>

= 4nab (l +

E = 4?rab (1 + | • 0,006 719 2188 - ^ • 0,000 045 1479), E = Anab • 1,001 118 7411,

E = 509 950 723 Quadrat-Kilometer als Wert für die ganze Oberfläche des Erdellipsoids ergibt.

Denkt man sich eine Kugel vom Halbmesser R, welche die gleiche Oberfläche wie die Erde hat, so ist für dieselbe

4 nR² = E,

aus welcher Relation die gewöhnlich als der Erdradius angegebene Größe

R = 6 370289.45 m

stammt.

Von Interesse ist auch hier die Frage nach dem Verhältnis, in dem auf der Kugel vom Radius b eine unendlich kleine Zone, die man durch Abbildung vermittels der reduzierten Breiten von einer unendlich kleinen Zone auf dem Erdsphäroid erhalten hat, zu dieser letzteren selbst als dem Original steht. Die Kugelzone hat den Inhalt

dt, = 2nbh,

wo die Höhe h der Zone eine unendlich kleine Größe ist. Da aber, wie die Figur 6 lehrt, an die wir diese Voraussetzung knüpfen wollen,

h sin = (90° — if) ■ d 6, h = cos ^ • bdil>

ist, so folgt als Flächeninhalt des Bildes dt, = 2nb² cos if> dijj.

Y1 —11 * sin² ip

Dieses Verhältnis hat demnach hei der genannten Abbildung einen veränderlichen Wert Es variiert zwischen

für ip = 0 und

ö²

«v i + ^²

für ip = y •

1L

Figur 6.

Daher ist

di

2*6⁸ cos ip dtp

TS •

2nab cos ip d'ipy'l -f fi² sin²

Im Anschluß hieran definieren wir den Begriff der Flächentreue: Ist das Verhältnis, in welchem Abbildung und Original in Beziehung auf ihren Flächeninhalt zueinander stehen, eine unveränderliche Zahl, so heißt die Abbildung flächentreu.

Hieraus ergibt sich, daß die Abbildung vermittels der reduzierten Breiten — tg cp — -^- tg tp — nicht zu den flächentreuen gehört: man rechnet sie zu den konventionellen.

§ 17. An die Frage nach der ganzen Oberfläche des Erd-sphäroids knüpft sich die andere, nach der Größe einer „Grad-Abteilung“ oder „Grad-Netz-Masche“ des Netzes von Meridianen und Parallelkreisen, mit denen wir uns die ganze Erdoberfläche überzogen denken. Eine solche Gradabteilung ist ein trapezartiges Viereck, das durch zwei Meridiane und durch zwei Parallelkreise begrenzt ist; beide haben einen Abstand von je 1°. Die Meßtischblätter der königlich preußischen Landes-Aufnahme im Maßstabe 1 : 25 000 sind das Abbild von Trapezen auf der Erdoberfläche, die jedoch nur eine geographische Breite von 6' und eine geographische Länge von 10' haben. 60 zusammenhängende

Meßtischblätter sind demnach das Abbild einer Gradnetzmasche. Bei der Karte des Deutschen Deiches im Maßstabe 1 : 100 000, zu der seit 1878 die von der königlich preußischen Landes-Aufnahme herausgegebene Generalstabskarte erweitert worden ist, gehören je 8 Blätter oder Sektionen zu einem Gradfelde. Jedes Blatt hat demnach 15 Breitenminuten Höhe (rund 28 km; vergl. die Tabelle im § 12) und 30 Längenminuten in der Breite (rund 34 km), so daß 15 Meßtischblättern zwei Sektionen der Karte im Maßstabe 1 : 100 000 entsprechen. Genauer heißt es, jedes Blatt der Generalstabskarte umfaßt den Flächenraum von sechs ganzen und drei geteilten Meßtischblättern, das sind rund 950 qkm. Da 1 mm der Karte 100 m auf der Erdoberfläche darstellen, so kann man in roher Annäherung 1 mm = 3^" in geographischer Breite und = bj" in geographischer Länge setzen.

Die S. 54 stehende Figur 7 ist einem Übersichtsblatt der Meßtischblätter entnommen, die von der königlich preußischen Landesaufnahme veröffentlicht werden. Sie zeigt die Zusammenfassung der zuletzt genannten zu dem fett umrandeten Blatt einer Generalstabskarte (1 : 100000), und sie zeigt, wie acht von diesen eine Masche des Gradnetzes ausfüllen. (Der Preis eines Meßtischblattes ist 1 Mark, der einer Sektion der Generalstabskarte 1,50 Mark. Die Simon Schroppsche Landkarten-Handlung, Berlin W., Jägerstraße 61 hält dieselben stets vorrätig und fügt auf Wunsch die sechs Übersichtsblätter aller Meßtischblätter des Deutschen Reiches unentgeltlich bei.)

Wir gehen jetzt dazu über, einen zweiten Ausdruck für den Flächeninhalt einer Zone Z zu entwickeln, von dem aus wir

dann sehr leicht denjenigen einer Gradabteilung G herleiten werden. Es war

dZ =

2»os(l — £*) cos cp dcp

Da

(1 — £* sin* qp)*

a\ 1 - s²) = b2 ist, so können wir auch schreiben

dZ= 2xab(^)

Es ist nach § 13, S. 41: 1 — £² •

cp ■ dcp (1 — £* • sin* cpy

cos

sin² cp = i~-^a^ • (1 + ne+2i(P) • (1 -f ne~2i(f),

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24J

25°

Figur 7.

¹

Hier setzen die Entwickelungen von Gauß 1. c. ein. Yergl. auch Grunert, Sphäroidische Trigonometrie, Berlin 1833, S. 28—49 und Schell-bach, Elliptische Integrale, Berlin 1864, S. 54—59.

n = ^qr| = 0,001 674 185; log n = 0,223 8035 - 3

war.

Wir merken uns vorerst an:

1 -f- n =

2a

2b

Demnach, ist

a+b

a-\-b

rCl 8

1 — s² sin² cp =

(1 — e² sin² cp)~² = (1 -j- w)⁴ • (1 + ne+2i(P)~² • (1 + ne~2i<<>)~².

0-

= (1 — w²)-(l + w)²-(l + we+2i>)_2-(l+we_2'^)~². = (1+2 w—2w³—w⁴) •(!-}-we⁺²'<*,)~²-(l-|-we⁻²'>)~².

(1 — f²sin²qp)²

Nun ist¹)

(1 + ne+2i(P)~² = 1 — 2ne+2i(f +- 3w²e+4i^ — 4nse+eiv + 5w⁴e+8l<P ••• (1 +-we⁻²''*’)⁻² = 1 — 2ne~2i(f + 8n²e~^i(f — 4n³e~6i(? + 5 w⁴e⁻⁸^---,

folglich

(1 + ne+2i(P)~² • (1 + ne~2i(f)~² = A — 2b(^~-

= A —2 JB cos 2 cp + 20 cos 4cp — 21) cos 6 cp + 2E cos 8 cp----,

wo

A = 1    +    2    •    2n²    +    3    •    3w⁴    +    4    •    4w⁶    +    5    •    5w⁸    + • • •

B = 2n +    2    •    3w³    + 3 • 4n⁶ +- 4 • 5n¹    +-    5    •    6n⁹    +•••

0 = 3w² +    2    •    4w⁴    + 3 • 5w⁶ + 4 • 6w⁸    +    5    •    7n¹⁰    + • • •

D = 4w³ +    2    •    5«⁵    + 3 • 6n⁷ + 4 • 7w⁹    +    5    •    8wn    +• • • •

E = 5w⁴ +    2    •    6n⁶    + 3 • 7n³ 4- 4 • 8w¹⁰    +    5    •    9w¹²    + • • •

Daher ist

A cos cp—2 Bcos cp cos 2 cp

dZ = 27tcib(l-\-2n — 2n³—w⁴)I + 2(7cos<)dcos4<p — 2Dcos<)dcos6<)d \dcp.

\-{-2Ecos cp cos 8 cp----    /

Bedenken wir, daß

2 cos    cp cos    2 cp =    cos    3<p    +    cos <p

2 cos    cp cos    4<p =    cos    5<p    +-    cos 3 cp

2 cos    cp cos    6gp =    cos    7 cp    +    cos 5<p

2 cos    cp cos    8<p =    cos    9go    +    cos 7 cp

so ist

dZ=2 % a &(1 -f 2 n—2n³—n⁴) {A₁ cos cp—A₃ cos 3 <p+J.₅cos 5 cp----)dcpr

wo

A₇= D — JE] • •

At = A — Bj gesetzt ist.

Wir bilden

A₅= C — D;

Ax (1 -f- 2n — 2n³ — n⁴) =

(1—2 n+4 m²— 6 w³4- 9 w⁴—12 w⁵+16 w⁶—20 w⁷ • • •) (1+2 n— 2 n³— w⁴)

1—2w+4w²—6w³+ 9w⁴—12w⁵+16w⁶ — 20w⁷----f-2w—4w²+8n³—12w⁴+18w⁵—24w⁶+32w⁷ ••• —2n³-j- 4w⁴— 8w⁵+12w⁶—18n7 —    w⁴+ 2nh— 4 w⁶+ 6w⁷---

= 1.

J-3 (1 + 2w — 2w³ — n⁴) =

(2 w—3 n²+6 n³—8 w⁴+12 w⁵—-15 w.⁶+20 w⁷—24 w⁸ • • •) (1 ■-\-2n—2n³—w⁴)

2n—3 w²+ 6 w³— 8 w⁴+12 w⁵—15 w⁶+20 n⁷— 24 w⁸ • • • + 4 n²— 6 n³+12n⁴— 16 m⁵4-24n⁶— 30n⁷-j- 40 n⁸---— 4n⁴-\- 6w⁵—12w⁶+16w⁷—24w⁸---— 2w⁵+ 3w⁶— 6w⁷+ 8w⁸---

= 2n + n2 = n(n -f 2).

.4.5 (1 -f 2 n — 2n³ — n⁴) =

n²(3—4w+8w²—10w³+15w⁴—18w⁵+24w⁶—28w⁷---)(l-j-2w—2n³—n⁴)

3—4w+8w²—10n³-\-lhn⁴— 18w⁵+24w⁶— 28 w⁷--* -j- 6 w—8 w²+16 n³—20 #4-30 w⁵—-36 #4-48 w⁷ • • • — 6#4- 8#—16 #4-20#—30#---— 3 #4- 4 w⁵— 8#4-10#*-*

= #(2n 4- 3).

J.₇(l 4- 2n — 2n³ — n⁴) =

#(4—5w4-10#—12#4-18#—:21#4-28#—32w⁷ •••) (14-2w—2n³—n⁴)

4—5w4-10#—12#4-18#—21#4-28#—32#-4-8w—10#4-20#—24#-f-36#—42#4-56m⁷-— 8#4-10#—!-20#4-24#—36#-— 4#4- 5#—10#-fl2n⁷-

= n³(3n 4- 4).

Die Kleinheit von n gestattet die weitere Berechnung dieser Koeffizienten hier abzubrechen; auch im allgemeinsten Falle erhält man stets ein zweigliedriges Resultat. Daher ist jetzt cos <p — n(n + 2) cos 3<p -j- n²(2n -J- 3) cos 5cp

^ clcp.

dZ = 2nab

— w³(3w + 4) cos 7 <p • • •

Integriert man vom Äquator (cp = 0) bis zu einer beliebigen Breite cp und bedenkt, daß

— sin (m cp) m v t j

/

I cos (mcp)dcp = o

ist, so ergibt sich als der Inhalt der Zone: IV) Z=2nab(^

sing?—\n(n-\-2) sin3<p-f |-w²(2m-|-3) sin5cp

— y w³(3w-j-4) sin7g? • • • Diese höchst einfache und für die numerische (Rechnung beste Formel rührt von Grunert her (Sphäroidische Trigonometrie, Berlin 1833, S. 46), der dieselbe durch recht komplizierte Entwickelungen fand. Sie ist bisher, wie es scheint, der Aufmerksamkeit der Geodäten völlig entgangen. Hr. Rödel (Schlömilchs Zeitschrift 38. Jahrgang, 1893, S. 56—60) hätte sie beinahe wieder gefunden, wenn er seine Rechnungen noch einen Schritt weiter geführt hätte. Das Merkwürdige ist, daß Jordan (1. c. S. 223) seinen eigenen, auf sehr umständliche Weise gefundenen und mit viel Zeitverlust zu berechnenden Reihen für die Koeffizienten von sin (wtp) den Vorzug gibt vor den geschlossenen und schnell zu bestimmenden Werten, die Hr. Rödel abgeleitet hat.

Aus Formel IV) kann man mit leichter Mühe die Flächeninhalte der heißen, der gemäßigten und der kalten Zone ausrechnen. Wir benutzen sie, um zur Kontrolle den Wert für die Oberfläche des ganzen Erdsphäroids aufzustellen, indem wir <p = Y setzen und dann mit 2 multiplizieren, da ja die Integration nur über die halbe Oberfläche des ganzen Körpers erstreckt worden ist. Man erhält

E = 4:Jtab {1 -f jn(n -f 2) -f- \n²(2n -f- 3) + y n³(3n + 4)}.

= 4:7t • 6 377 397,155 • 6 356 078,96 • 1,001118 7436 qm = 509 950 730 qkm.

Nach Jordan (1. c. 3. Bd. S. 225) ergibt sich 509 950 714,2 qkm.

Diejenige Kugel, die mit dem Erdsphäroid gleiche Oberfläche hat, besitzt einen Radius R, der sich aus der Gleichung bestimmt: R² = a • b ■ 1,001 118 7436 R = 6 370 289 m.

Berechnen wir aus der Formel IY) den Inhalt einer Zone zwischen den Breiten cpt und <p₂ (<p₂ > qq), so ist

Z — 2jtab(sm <p₂— sin <px)— -|w(w + 2) • 2nab (sin 3<p₂— sin 3<px)

-\-~n²{2n-\-3) • 2%ab(sin 5<p₂—sinö«^) —yW³(3w-)-4) • 2:ra&(sin7<p₂—sin7<p₁).

Führt man die Abkürzungen ein

₂ ⁹¹ = ziep und    = <p (die Mittelbreite)

so ist

Dabei ist

sin ziep • cos cp — \n(n + 2) sin 3z/<p • cos 3g?

-\-\n² (2n + 3) sin bzlep- cos 5<p — y n³ (3 n + 4) sin 7 ziep • cos 7 <p,

ax = {«(w + 2) = 0,001 117 0573,

mit dem Logarithmus 0,048 0755 - 3 a₂ — n²(2n + 3) = 0,000 001 6836, mit dem Logarithmus

0,226 2426 - 6

as ⁼ j w3(3 n -f- 4) = 0,0000000027, mit dem Logarithmus

0,428 9172 - 9.

Jetzt kann man bequem aus der Formel Y) den Flächeninhalt (jr einer Gradabteilung bestimmen. Man bedenke, daß derselbe ygQ eines Zonengürtels von 1° Breite ist; man muß also <p₂ — epx = 1°, folglich ziep = 30' setzen.

Daher ist für cp als die Mittelbreite der Gradnetzmasche:

yj) q. _ nI sin cos cp — a₁ sin 1° 30'- cos 3ep

⁹⁰ 1    + a₂ sin 2° 30'- cos 5 cp — a₃ sin 3° 30'- cos 7 cp.

Als Beispiel für die Berechnung der Größe einer Gradabteilung nach Formel YI) wählen wir diejenige, in der Berlin liegt; wir haben für diese

12 347,5852 cos 52° 30' + 41,3747 cos 22° 30'

jqkm

6r =

cp, = 53°,

cp₁ = 52°, also

als Wert für die Mittelbreite einzusetzen. Man erhält

cp =

53° + 52°

= 52° 30'

-0,103 911 cos 82° 30'

= {7516,733 + 38,225 - 0,013 56} qkm = 7554,945 qkm.

Wir geben im Anschluß hieran eine Tabelle des Flächeninhalts solcher Gradabteilungen für verschiedene Breiten.

<P

1 -Gradabteilung in Q.-Kilometern

1-Gradabteilung in Q.-Kilometern

0°—1° 10°—11° 20°—21° 30°—31° 40°—41° 49°—50° 50°—51°

51°—52°

12 305,80 12 105,61 11 545,87 10 640,03 9 410,70 8 054,35 7 890,36 7 723,87

52«—53° 53°—54° 54°—55° 55°—56° 60°—61° 70°—71° 80°—81° 89°—90°

7 554,95 7 383,62 7 209,96 7 033,99 6 121,66 4 157,09 2 057,76 108,84

§ 18. Wir dehnen unsere Untersuchung endlich noch auf die beiden Fragen aus nach der Größe des Teiles der Oberfläche des Erdsphäroids, der in einer Sektion der Generalstabskarte des Deutschen Reiches (Maßstab 1 : 100000), und ferner desjenigen, der in einem Meßtischblatt der königlich preußischen Landesaufnahme (Maßstab 1 : 25 000) dargestellt wird.

1) Inhaltsformel für eine Sektion der Generalstabskarte. Es ist

cp, — (Pi — 15', also ziep — 7' 30".

Da das Blatt, wie im Eingang des § 17 angegeben ist, eine Breite von 30 Längenminuten hat, so erfüllen 720 aufeinanderfolgende Sektionen einen um die ganze Erde sich legenden Zonengürtel. Demnach leiten wir aus der Formel Y (§17) die folgende neue her:

sin 7' 30" • cos cp — ax sin 22' 30" • cos 3 cp + a₂ sin 37' 30" • cos 5 cp

VII) Gst =

nab 180

Berechnet man wieder die einzelnen Koeffizienten, so ergibt sich Gst — {1543,4662 cos cp — 5,1724 cos 3 <p + 0,012 99 cos 5 cp} qkm, und zwar sind die Logarithmen dieser Koeffizienten 3,188 4971;    0,713 6911;    0,113 7015-2.

Als Beispiele wählen wir

1) die Sektion Tondern (Nr. 22).

Es ist

9>₂ = 55°, cpt = 54° 45'; also cp = 54° 52' 30".

Man erhält

Gst =

1543,4662 • cos 54°52'30"+ 5,1724 • cos 15°22'30"

+ 0,012 99-cos 85°37'30

r, i qkm,

= {888,052 + 4,987 + 0,001} qkm, = 893,04 qkm.

2) die Sektion Posen (Nr. 301).

Hier ist

cp₂ = 52° 30'; cp₁ = 52° 15'; also cp = 52° 22' 30".

Man erhält

Gst =

1543,4662 • cos 52°22'30"+ 5,1724- cos 22°52'30"

-0,012 99- cos 81°52'30

„qkm,

= {942,2717 + 4,7565 - 1,0042} qkm, = 946,033 qkm.

3) die Sektion Oberstdorf (Nr. 670). Es ist

cp₂ = 47° 30'; cpx = 47° 15'; also cp = 47° 22' 30".

Man erhält

Gst =

1543,4662 . cos 47°22'30"+ 5,1724 • cos 37°52'30"

-0.012 99-cos 56°52'30

„qkm,

= {1045,23 + 4,08 - 0,007 } qkm, = 1049,306 qkm.

2) Inhaltsformel für den durch ein Meßtischblatt dargestellten Teil der Oberfläche des Erdellipsoids.

Es ist

cp₂ — <px == 6', also ziep — 3'.

Das Meßtischblatt hat eine Breite von 10 Längenminuten; es erfüllen also 2160 von Ost nach West aufeinanderfolgende Blätter einen um die ganze Erde sich legenden Zonengürtel. Wir erhalten deshalb aus der Formel V (§ 17) die folgende neue Formel:

nab

VIII) M

540

{sin 3'- cos cp—ax sin 9'* cos 3<p + a₂ sin 15'- cos 5 cp}.

Werden die Koeffizienten wieder für Quadratkilometer berechnet, so ergibt sich

M = {205,7956 cos cp — 0,689 656 cos 3 cp + 0,001 732 cos 5 cp} qkm, und zwar sind die Logarithmen dieser Koeffizienten

2,313 4361; 0,838 6324 - 1; 0,238 6474 - 3.

Um auch ein Beispiel für die Anwendung dieser Formel zu geben, wählen wir die Sektion Teltow (Nr. 1907 bezw. Nr. 21), (Grunewald bei Berlin).

Es ist

cp₂ = 52° 30'; cpx = 52° 24'; also cp = 52° 27'.

Man erhält

| qkm,

205,7956 • cos 52° 27' + 0,689 656 • cos 22°39'

- 0,001 732 • cos 82° 15'

M = {125,4229 + 0,6364 - 0,0002} qkm,

M = 126,0595 qkm.

Wir berechnen die sphäroidischen Ränder des genannten Trapezes. Der Meridianbogen hat 6', daher sind der östliche und der westliche Rand nach der Formel Ha) des § 13, S. 42:

m = a"- 360 • p⁻¹— 2ß"- sin 6'- cos 104°54'+ 2y"- sin 12'- cos 209°48', = u'. 360-p_1+ 2/3"- sin 6'- cos 75° 6' —2 /'• sin 12'- cos 29°48', = (11112,0614 + 14,3508 - 0,10135) Meter,

= 11126,3108 m.

Der südliche Rand reicht von der geographischen Länge A₂ = 31° bis + == 30° 50'

und liegt auf einem Parallelkreise, dessen geographische Breite

cpx = 52° 24'

ist; deshalb ist nach § 15, S. 45:

= 11 342.65 m.

Der nördliche Rand reicht von der geographischen Länge X₂ = 31° bis X₁ = 30° 50'

und liegt auf einem Parallelkreise, dessen geographische Breite

cp₂ = 52° 30'

ist; deshalb ist dieser Kreisbogen

7t

Vnord —

^süd

a • cos 52° 24'

7t

y 1 — e* sin² 52° 24'

180 6 ⁷

a- cos 52° 30'

)/l — £² • sin² 52° 30    ¹⁸⁰

= 11317 m.

Da das Meßtischblatt alles im Maßstabe 1 : 25 000 gibt, so ist

Differenz

auf dem Sphäroid

aber auf der Karte

Ost-Rand West- „ Süd- „ Nord- „

43,9 cm 43,8 cm 45,3 cm 45,2 cm

0,6 cm 0,7 cm 0,0 cm 0,07 cm

(25 000) • 44,5 cm (25 000) • 44,5 cm (25 000) : 45,3 cm (25 000) : 45,27 cm

Die Differenzen rühren zum Teil von dem Eingang des Papiers in die Presse, zum Teil von der Verzerrung her, die durch die Projektion hervorgebracht wird. Welcher Art diese Projektion ist, wird im nächsten Kapitel behandelt werden.

Wir geben in der nachstehenden Tabelle die Flächeninhalte einiger durch die Meßtischblätter dargestellten sphäroidischen Trapeze oder Netzmaschen.

Trapezfläche in Q.-Kilometern

Trapezfläche in Q.-Kilometern

145,8802

138,1288

135,4571

132,7428

131,3699

129,9866

128,5931

127,1894

125,7756

124,3518

122,9183

121,4748

120,0218

118,8524

45° 0'—6' 48° 0'—6' 49° 0'—6' 50° 0'—6' 50° 30'—36' 51° 0'—6' 51° 30'—36'

52° 0'—6' 52° 30'—36'

5300'—6'

53° 30'—36' 54° 0'—6' 54° 30'—36' 54° 54'—60'

Zweites Kapitel.

Die fläcbentrene und die winkeltreue Abbildung des Erdsphäroids auf einer Kugel. Die konforme Doppelprojektion der königlich preußischen Landesaufnahme* Die Generalstabskarte und das Meßtischblatt.

§ 1. Wenn das Verhältnis, in dem Abbildung und Original in Beziehung auf ihren Flächeninhalt zueinander stehen, eine unveränderliche Zahl ist, so nannten wir die Abbildung eine flächentreue (I, § 16). Die Abbildung des Erdsphäroids vermittels der reduzierten Breiten gehört, wie wir sahen, nicht zu den flächentreuen. Es sei daher unsere Aufgabe, den Zusammenhang zwischen den Koordinaten eines Punktes des Erdsphäroids einerseits und dem zugehörigen Bildpunkte auf der Kugel andererseits zu ermitteln, wenn es sich um eine flächentreue Abbildung handelt. Sei E der Flächeninhalt des Erdellipsoids, F der Inhalt der Oberfläche einer Kugel, so würde nach der Erklärung

dF: dE = A,

folglich auch nach Integration sein. Wir wählen nun unter allen möglichen Kugeln diejenige aus, für die ist, zumal wir ja in jedem Augenblick das auf der Kugel erhaltene Bild sich selbst ähnlich durch Zentralprojektion vom Kugelmittelpunkte aus auf einer größeren oder auf einer kleineren Kugel abbilden, also über den Faktor A nachträglich beliebig verfügen können. Die Untersuchung stützt sich auf I, § 16—17; sie wurde begonnen von Mollweide (geb. 1774 in

Wolfenbüttel, gest. 1825 als Professor in Leipzig). In seinem Aufsatz: „Einige Projektionsarten der sphäroidischen Erde. Kapitel II: Projektionen, welche die Länder ihrem Flächeninhalte auf dem Sphäroid gemäß vorstellen“ (v. Zach, Monatliche Korrespondenz, Gotha, Sept. 1807, S. 204—210) gibt er die Grundgedanken der nun folgenden Entwickelungen.

Stellen wir uns die Differentiale dF und dE unserer Flächen als Zonen vor, so geht nach I, § 16 die Gleichung

dF = dE

in die andere über

d. h.

d£ = dZ,

2rcR² cos 03 do =

23taÄ(l — ts) cos qp dcp

(1 — t² sin² qp)²

daß auf beiden Flächen die Längenunterschiede die gleichen sind, den Breiten cp des Ellipsoids die Breiten to der Kugel entsprechen, deren Radius R nach I, § 17, S. 57 gegeben ist durch

R² = ah{1 -f- ~n(n + 2) -f- \n²(2n -f- 3) -f- jn³(3n + 4)}. Integrieren wir daher die obige Differentialgleichung in den Grenzen 0 bis co einerseits und 0 bis cp andererseits, da

co = 0,

zwar so

<p =

7t

7t

einander entsprechende Wertepaare sind, so ist (I, § 17, Formel IV) sin cp — n (n -j- 2) sin 3 cp -f- \n² (2 n -f 3) sin 5 cp — yw³(3w-f-4)sin7<5p. Es bestimmen sich also die Breiten co auf der Kugel durch

2n;R²sino3 = 2 nah

sin co =

03 = —

sin cp — ax sin 3 cp -f- a₂ sin 5 qp — as sin 7 qp

+ as

Den Wert des Nenners haben wir in I, § 17 bereits angegeben; er war

1,001 118 7436,

ebenso sind uns alf a₂, as bekannt. Demnach ergibt sich für sin 03 die Formel:

I) sin 03 = A₂ sin cp — B₂ sin 3 cp + C₂ sin 5 qp — _D₂ sin 7 cp, wo die folgenden Glieder so klein sind, daß sie unterdrückt werden können. Es ist

(log A₂ = 0,999 5144- 1),

A₂ = 0,998 8825 B₂ = 0,001115 809 C₂ = 0,000 001 682 n₉ = o,ooo ooo 002

(log B₂ = 0,047 5899 -3),

(log C₂ = 0,225 7570- 6),

(log D₂ = 0,428 4316 - 9).

Als Probe für die Genauigkeit der Zahlenrechnung dient die Annahme cp = ~, der bekanntlich ca = — entsprechen muß. Dann ist sin ca = 1; also müßte

1 = A₂ +    -f- C₂ + -D₂

sein, während in Wirklichkeit sich ergibt: 0,999 999 993. Setzt man in die obige Formel für sin ca ein

sin 3<p = sin <p(3 — 4 sin² cp)

= sin qp(l + 2 cos 2cp),

ferner

sin 5 cp = sin cp (16 sin⁴ cp — 20 sin² cp + 5)

= sin cp (2 cos 4<p -+- 2 cos 2 cp + 1)? so erhält man, wenn man D₂ vernachlässigt, sin ca = sin {(A₂ — B.₂ + C₂) — 2(i?₂ — C₂) cos 2cp -\-2C₂ cos 4qp},

wo

As - B₂ -f- C₂ = 0,997 768 37 2 (-Dg - C₂) = 0,002 228 254

(0,999 0297 - 1) (0,347 9647 - 3) 2 C₂ = 0,000 003 363 46    (0,526 7862 - 6).

Nach dieser Formel hat E. Hammer in seiner Abhandlung: Zur Abbildung des Erdellipsoids, Stuttgart 1891, eine Tafel der Winkel ca aufgestellt, doch weichen die Koeffizienten seiner Formel ihrem Werte nach ein wenig von den unsrigen ab; bei ihm ist

log 2 (-D₂ - C₂) = 0,347 950 - 3 log 2Cg = 0,521 9    -6.

Dadurch werden die folgenden Werte, natürlich nur in den Bruchstellen der Sekunden, beeinflußt; immerhin hat I) den Yorzug, daß das erste Glied so sehr über die folgenden überwiegt.

Wir geben einige Werte von ca an.

Haentzschel, Das Erdsphäroid.

Wie man sieht, steigen die Werte von (cp — ca) zuerst an, erreichen in der Nähe von cp = 45° ein Maximum und fallen dann wieder auf Null herab. Wir stellen die Formel auf, welche diejenigen beiden Werte von cp und ca miteinander verbindet, für die der Unterschied (cp — <o) am größten ist.

Sei cpt und cot ein zusammengehöriges Wertepaar oberhalb von 45°, für das cpx — cax = d ist, ferner cp₂ und m₂ ein ebensolches Wertepaar unterhalb von 45°, für das cp₂ — ca₂ denselben Wert d hat, dann ist

folglich Nach I) ist

<P

03

cp — ta cp

00

cp-CO

©    ©    ©    ©    ©

O    O    O    lO    o

W    rX    4    »C

0° 0' 0" 29° 53' 21,6" 39° 52'26,7" 44° 52'19,53" 49° 52' 26,3"

55°    54° 52' 46,96"    7' 13,04"

0' 0"

6'38,4"    60°    59° 53'20,8"    6'39,2"

7' 33,3"    89°    88° 59' 43,93" 0' 16,07"

7'40,47"    90°    90° 0' 0"

7' 33,7"

0' 0"

cpr — cox = cp₂ — co₂ = 8,

<Pi — cp₂ = cax — co₂ = v.

sin cax = A₂ sin cpx — B₂ sin -j- C₂ sin ö(px sin co₂ = A₂ sin cp₂ — B₂ sin 3 cp₂ -f C₂ sin 5 cp₂

sin cij — sin co₂ = A₂ (sin cpx — sin cp₂) — B₂ (sin 3 cpx — sin 3 cp₂)

+ C₂ (sin 5 <pt — sin 5 cp₂)

i + 'Pz'j

2 sin — cos (CQl~j~,a*) = 2A₂ sin y — 2B₂ sin ~

sin ^ = sin y (1 + 2 cos v) sin -^ = sin y (2 cos 2v -f 2 cos v -f 1) gesetzt werden können, so ist

(~¹    •"*) = A cos (y- y yi) —B₂(l + 2 cos v) ■ cos (<px + <p₂))

+ C₂ (2 cos 2 v -f 2 cos v -f- 1) • cos (-| (cpx + cp₂)).

Lassen wir jetzt cpx und cp₂ sich dem bei 45° gelegenen Maximalwerte von (cp — ca) mehr und mehr nähern, doch so, daß stets

cos

Da

cos

cos

³(<Pi + 9»*)

j -f- 2 C₂ sin ~ cos

5(qPi +

<Pl — 9>2 = ®1 — (°2 = V

ist, so wird bei dem Einrücken in den gesuchten größten Wert von (cp — co)

9h 9h j    ^2 5

sein. Demnach ist alsdann

i)

cos o =■= u4-2 cos cp — 3jB₂ cos 390 -f bC₂ cos 5cp

die gesuchte Beziehungsgleichung. Kombiniert man dieselbe mit I), so ergibt sich eine Gleichung 5. Grades zur Bestimmung von cp. Wir gehen hierauf nicht näher ein, sondern geben gleich das Resultat an:

co = 45°;

<p - 45° 7’ 40,68";

cp-co = T 40,58".

§ 2. In ähnlicher Weise, wie es bereits im § 8 des ersten Kapitels geschehen ist, wollen wir jetzt untersuchen, um wieviel auf der Kugel vom Radius R ein Punkt mit der Breite co absteht von einem solchen mit der Breite cp, wenn cp und co durch die Gleichung I) miteinander verbunden sind, indem doch der Breitenunterschied (cp — co) als das Maß für die Verzerrung hei der von uns bewirkten Abbildung des Erdsphäroids auf die Kugel zu gelten hat. Es hat ein Großkreisbogen von 1' auf unserer Kugel vom Radius R (I, § 16)

R = 6 370 289,511 m (log R = 6,804 1592)

% JR

eine Länge von

= 1853,042 m,

10800

demnach entspricht einer Verschiebung um 1" ein Bogen von 30,884 m Länge. Wir erhalten daher die folgende Tafel.

<3P

cp —

Verschiebung in Metern

qp cp —

Verschiebung in Metern

OOO©

OOOO vH CO Tfl Tfl

2 37,2 6' 38,4” 7' 33,3” 1' 40,47”

4 854,97

12    304,20

13    999,73

14    221,17

© © © OOO O O GO

ff». '°o.

CO Oi co CO CO

1- o oq

14 012,08 12 328,91 4 873,50

Diese Verschiebungen treten auf der Oberfläche unserer Kugel in die Erscheinung, indem ein Punkt, der auf dem Erdellipsoid die geographische Breite cp hat, mit der Breite co einzutragen

5*

ist und dabei um (<p — oj) nach dem Äquator hin rückt. Nun hat ein Meridianquadrant auf der Kugel die Länge

^= 10 006 428,6 Meter.

Man ersieht daraus, daß ein Punkt mittlerer Breite auf der nördlichen Halbkugel rund um 1,42 pro Mille auf seinem Meridian nach Süden verschoben erscheint. Betrachtet man aber wiederum wie in I, § 8 statt der absoluten die relativen Verschiebungen, so erkennt man sofort deren minimale Größe.

§ 3. Von einem anderen Gesichtspunkte aus erhält man einen Einblick in die durch unsere Abbildung hervorgerufenen Verzerrungen, wenn man einige Meridianbögen des Erdsphäroids in Vergleich stellt zu den entsprechenden Bögen der Kugel. Unsere Untersuchung wird ganz ähnlich derjenigen zu führen sein, die wir in I, § 14 angestellt haben. Wir werden also einen elliptischen Meridianbogen in Vergleich zu stellen haben mit dem ihm entsprechenden Kugelbogen; wir werden das Verhältnis beider bestimmen müssen. Wegen der Krümmung der Flächen wird der Wert dieses Verhältnisses offenbar um so genauer erhalten werden, je kleiner die Bogenstücke sind, die man miteinander vergleicht. Wir werden also am besten tun, wenn wir Bogendifferentiale der Kugel einerseits und des Erdsphäroids andererseits miteinander in Beziehung setzen.

Es ist das Bogenelement eines Meridians auf der Kugel dö — R • dco:

ferner, wie bekannt, das Bogenelement eines Meridians auf dem Erdsphäroid

ds =

a(l — s²)dcp

also

(1 — s² • sin² cpV

da Ü(1 — f²-sin²gpÄ dm dcp

ds

a{ 1 — s²)

Nach § 1 ist auf Grund des Ansatzes

zu folgern:

a²( 1 — £²) cos qp dcp i2²(l — s² ■ sin² qp)² cos m

2tiB² cos co dco =

dm

2jra²(l — s²) cos qp dcp (1 — £² • sin² qp)² ’

a    cos cp

da

dN~

B • (1 — s² sin⁸ 9)* cos“

der Wert des Verhältnisses zweier Meri dianbogen elemente, die auf den beiden Mächen einander entsprechen.

Wir wollen, gestützt auf die Tabelle in § 1, den Wert von ~ für einige Werte von cp berechnen und die Resultate in einer neuen Tabelle zusammenstellen.

1) Für cp = 0 ist 03 = 0; daher ist

co C\

Setzen wir dies in

da

ds

ein, so ist

cp — 0 B

6 377 397,155 6 370 289

= 1,0011156.

2) Für cp = 30° ist 03 = 29° 53' 21,6"; daher ist

(*p)

\ds/cp = 30°

cos 30°

B( 1 —£*• sin* 30°)

\ cos 29° 53' 21,6”

Zähler:

(-)

\ds/cp =

30°

6*

log a = 6,804 643 46 log cos 30° = 0,937 530 6-1 log Z = 7/74217406-I Nenner:

log E = 6,80415915

0,999 63735-1 log cos 29° • • •=0,938 0139—1 log W= 8,7418104-2 log(~) = 0,000 363 66

= 1,000 837 7.

£² sin² 30° = \ £²

= \ • 0,006 674372

= 0,001 668 593

1 - -V = 0,998 331 407

4    '

2 T

log (l- ?= (1,999 2747- 2): 2 = 0,999 637 35 -1

3) Für cp = 89° ist co = 88° 59' 43,93"; daher ist

(—)

\ds/<p = 89°

cos 89°

B(l — £*• sin² 89°)I cos88°⁵⁹'⁴³.⁹³"

log s² = 0,824 4104 -3 log sin² 89° = 0,999 8676 - 1 1,824 2780 - 4 £² sin² 89° = 0,006 672 337 1 - £² sin² 89° = 0,993 327 663

Nenner:

log R = 6,80415915

0,998 546 29-1 log cos 88° • • • = 0,243 789 03 - 2

log (1 - £² sin² 89°)^ = (1,997 092 572 - 2) : 2 = 0,998 546 286-1 Zähler:

8,04649447-3

log a = 6,804 643 46 log cos 89° = 0,241855 3 -2 7,046498 76-2 -7,04649447+2

log (§j) ⁼ O,⁰⁰⁰ 004 29

= 1,00001.

89°

(dß\ \ds) cp =

\ds/(p =

man

90°

Wir haben absichtlich mit mehr als siebenstelligen Logarithmen gerechnet, um festzustellen, daß der Wert von ^ nicht unter 1 sinkt. Es liegt hier also eine gewisse Schwierigkeit für die Ermittelung von ~ vor, die sich noch bedeutend erhöht, wenn bestimmen will. Da nämlich cp = 90° und co = 90°

zusammengehörige Werte sind, so nimmt der Bruch

cos cp ^ cos CO

diesem Falle die Form ^ an, deren Wert zu ermitteln gerade hier recht mühevoll ist, jedoch, da nur von theoretischem Interesse, übergangen werden soll. Der Grund dafür liegt darin, daß die Formel I) des § 1 die Anfangsglieder einer Reihenentwickelung gibt, die für cp > 80° sehr schwach konvergiert, so daß es schwierig ist, sich ein scharfes Bild von der Abhängigkeit des co von cp zu machen. Ein solches kann man erhalten, wenn man den Ansatz in § 1 in geschlossener Form integriert, was hier möglich ist, und jetzt der Vollständigkeit wegen noch gezeigt werden soll.

Es war nach § 1

Man setze

so ist

Nun ist

tH

f»

tc

tz

te

jß² COS CO ÜC3 =

B>f,

COS CO öfco

fw

fr² cos qp cZqp

(1 — s² sin² qp)²

cos qp dcp

(1 — 8² sin² qp)²

+ 0.

sin cp = u, also cos cp dcp = du,

.R² sin co

= ⁶²/(T

du

— S²W²)²

+ 0.

m-

cu

-4

I +1

0>

cu '^Q-

fr

13

CCL

J, +

« + $ ^

* + i ^

1“ 12

4-

+1

fr

SO

+!

fn

"Ci

cf

CU

co

(1 - 8²M²)²

Zur Bestimmung der Konstanten a, ß, y, 8 dienen also die vier Gleichungen

mit den Lösungen

cc +    ß    + y    +    8 = 1

a —    ß    -\- 2 y    —    28 = 0

a +    ß    — y    —    d = 0

ß = 0,

a = ß = y = 8 = j’

cc —

Daher ist .ß²sinco = &²

I./

du

1— tu

+A

du

du

4    l-\- tu

(1— tu)

S⁴ * (1 + sw)²

du

J?² sinco = b²1 —    ln(l — su) + ln(l + eu)

, i___1___¹___. n

' 4f 1 — tu 4s 1-f-ewJ '    ⁷

+ 4¹“0) + c-

B² sin co = &² {

2(1 - £²«²)

Für u = 0, cp = 0, co == 0 ist auch 0=0. Demnach jß² sin co = &² • {

sin qp

2(1 — s² sin² qp)

+£*G-

— t sin qp

))•

Die Entwickelung der rechten Seite in Reihen führt auf die Gleichung I).

Stellen wir die von uns ermittelten Werte von men, so ergibt sich die nachfolgende Tafel.

da

ds

zusam-

da

ds

<P

da

ds

O © O ©

O O O lO CO ^ ^

1,000 5592

1,000 4642 1,000 2796 1,000 01

§ 4. In derselben Weise sollen nun auch die Parallelkreise auf der Kugel, als dem Bilde des Erdsphäroids, in Vergleich gestellt werden mit den Parallelkreisen auf dem Original. Wir leiten dies durch die folgende Betrachtung ein. Da der Radius der Bildkugel

R = 6 370 289 m

Meiner ist als

aber größer ist als

a = 6 377 397,155 m,

b = 6 356 078,96 m,

so muß offenbar die Kugel, die wir uns als konzentrisch mit dem Sphäroid vorstellen, dieses in zwei symmetrisch gelegenen Parallelkreisen schneiden. Diese sind also längentreu mit den entsprechenden des Rotationsellipsoides. Alle Parallelkreise, die von diesen aus mehr nach dem Äquator hin liegen, sind Meiner, die nach den Polen hin gelegenen größer als die gedachten auf dem Sphäroid.

Wir bestimmen die Lage des auf der nördlichen Halbkugel gelegenen längentreuen Parallels. Irgend ein Punkt P desselben (Figur 8) hat, insofern er ein Punkt des Rotationsellipsoids ist, die Abszisse

a • cos rp,

wo ip die reduzierte Breite dieses Punktes ist; er hat die Abszisse

R • cos ß,

wo ß die geozentrische Breite bedeutet, als Punkt der Kugel. Demnach ist

a cos xp = R • cos ß.

Ferner ist, wie bekannt (I, § 6, d),

tg t = y tg ß

Aus dieser Gleichung folgt

COS ll>

9,

]/a²tg²(J + 5ä Setzen wir dies in die vorhergehende Gleichung ein, so ergibt sich

Figur 8.

ab = R cos ß ]/a² tg² ß + b², = a² sin² ß + b² cos² ß,

oder

oder

also

-ßg- (sin² ß + cos² ß) = a² sin² ß + b² cos² ß a² sin² ß (b² - R²) = b² cos² ß (R² - a²), a² sin² ß (R² - b²) = &² cos² ß (a² - J7²),

tg/5 = |

(ff)'-¹

und daher

‘-(ff)"

tg<P = y

G)-¹

log a = 6,804 6435 log R = 6,804 1592

0,0004843 • 2

log b = 7,803 1893 -1 log R = 6,804 1592

(0,999 0301 - 1)-2

log = 0,998 0602 - 1 Q² = 0,995 5484

a i /22 328 g 9^ = y y 44 566 ’

log (|-) == 0,000 9686 = 1,002 2328

log tg /3 = 9,848 468 85 - 10; log tg cp = 9,851 377 25 - 10;

cp = 35° 22' 55,77".

22 328

44 566 ’

ß = 35° 12' 4,4".

¹

Einen allgemeinen Beweis mit Benutzung der Gauß sehen hypergeometrischen Reihe gebe ich in der Zeitschrift für Mathematik u. Physik, herausgegeben von Mehmke und Bunge.

Bestimmt man noch nach § 1, Formel I) das zu cp gehörige eo, so findet man

co = 35° 15' 41,26",

und ferner ist

= 35° 17' 29,9".

Offenbar kann man jeden beliebigen Parallelkreis längentreu machen, indem man an die Stelle unserer Kugel vom Radius R, die wir als die Normalkugel bezeichnen wollen, eine andere vom Radius R₀ setzt, die mit ihr konzentrisch ist und das Sphäroid in dem gegebenen Parallelkreis mit der geographischen Breite cp0 durchschneidet. Man hat dann nur aus cp₀ nach der Gleichung

% % = y ^ ßo = y tg 9>₀

sowohl ß₀ als il>₀ zu bestimmen, und daraus auf Grund von a cos = R₀ cos ß₀

das R₀ zu bestimmen. Weiteres über die günstigste flächentreue Abbildung eines gegebenen Flächenstücks des Erdsphäroids mit der Mittelbreite cp₀ auf einer Kugel vom Radius R₀ wolle man bei E. Hammer, 1. c. ersehen.

Treten wir jetzt in die eigentliche Untersuchung der Parallelkreise ein, so wissen wir aus Kap. I, § 15, daß der Radius x eines Parallelkreises des Sphäroids gegeben ist durch

a ■ cos cp

X 1/1 — t² sin² qp ’

also ist ein Bogenelement ds' desselben bestimmt durch

ds' = x . dk,

wo dX der entsprechende Centriwinkel ist, gemessen in Bogenmaß von dem Kreise, dessen Radius die Längeneinheit ist.

Unserem Parallelkreise mit der geographischen Breite cp

entspricht auf der Normalkugel ein solcher mit der Breite gj, dessen Radius

R cos co

ist, für den also ein Bogenelement dö' sich ergibt als d<5' = R • cos co • dl.

Demnach ist das Verhältnis zweier sich entsprechender Parallelkreis-Bogenelemente

da'

ds’

B ■ cos co ■ ]/l — s² sin² cp

a ■ cos cp

da' ds ds' da ⁷

d. h. eine Tabelle der Werte, den das Verhältnis für verschiedene Werte von cp annimmt, würde die reziproken Werte derjenigen Zahlen enthalten, die wir in der Tabelle am Schlüsse von § 3 zusammengestellt haben.

Vor allem aber schließen wir aus Gleichung III), daß itds • ds' = Ttdö • dö' ist. Dieser Gleichung kann man folgende, geometrisch anschauliche Bedeutung beilegen.

Man denke sich auf dem Erdsphäroid an einer Stelle N mit der Breite cp die Normale errichtet und verlängere dieselbe unendlich wenig in das Innere der Erde hinein bis zu einem gewissen Punkte M. Durch M lege man senkrecht zur Normale die Ebene; dieselbe wird das Erdsphäroid in einer Ellipse schneiden müssen. Dies läßt sich folgendermaßen klarlegen. Es ist die Gleichung einer Ellipse mit den Halbachsen a und b

in)

IV)

e²

£²

Läßt man dieselbe um die ^-Achse rotieren, so entsteht ein

Rotationsellipsoid, für welches man die Gleichung der Oberfläche erhält, wenn man

e² =    + y²

setzt. Demnach ist die Gleichung der Oberfläche des Erdsphäroids

*² + </²

s²

+ ^ ⁼ !• Die Gleichung irgend einer Ebene ist ax -f ßy + yz = d.

a²

Rechnet man hieraus z aus und setzt es in die Gleichung des Sphäroids ein, so erhält man die Gleichung eines Kegelschnitts, der offenbar hier, da er, wie die Anschauung lehrt, in sich geschlossen ist, nur eine Ellipse sein kann (in Ausnahmefällen ist er ein Kreis!). Diese unendlich nahe der Oberfläche des Sphäroids liegende Schnittellipse wollen wir betrachten. Die Halbachsen derselben werden sich von dem Meridianbogenelement ds und dem Parallelkreisbogenelement ds', die doch, wie im ersten Kapitel § 9 auseinandergesetzt worden ist, als unendlich Mein und geradlinig zu denken sind, nicht oder nur um unendlich wenig unterscheiden. Also ist

7t • ds ■ ds'

der Flächeninhalt der Schnittellipse.

Den Bogenelementen ds und ds' entsprechen auf der Bildkugel die ebenfalls senkrecht aufeinander stehenden Bogenelemente da und da'. Verlängern wir jedes derselben über den gemeinsamen Schnittpunkt N' hinaus um sich selbst, so entsteht ein unendlich kleines rechtwinkliges Achsenkreuz, durch dessen vier Endpunkte wir uns ebenfalls eine Ellipse gelegt denken, deren Umfang aber ganz auf der Bild- oder Normalkugel liegen soll. Da eine Ebene die Kugel nur in einem Kreise schneiden kann, so kann die Ellipse, von der wir soeben sprachen, unmöglich eine ebene Figur sein, sie ist eine sphärische Ellipse. Wir nennen diese sphärische Ellipse die Bildellipse. Der Inhalt derselben ist unter V ernachlässigung von unendlich kleinen Größen höherer Ordnung — sie ist ja nicht in einer Ebene gelegen —

7t • da • da'.

Demnach folgern wir aus Gleichung IV) den Satz:

Der Inhalt der Schnittellipse des Erdsphäroids ist gleich dem Inhalt der Bildellipse auf der Büdkugel.

Dieser Satz erscheint, insofern er die prinzipiell geforderte Flächengleichheit ausspricht, trivial und selbstverständlich. Insofern er jedoch der Originalschnittellipse ein genau umschriebenes mathematisches Gebilde, eine Ellipse als Bild zuordnet, deren Punkte sowohl im Innern, als an der Grenze durch die Gleichung I) des § 1 gegeben sind, von der größten Bedeutung. Denn wir sind jetzt imstande, an die Frage heranzutreten, in welchem Verhältnis steht ein Halbmesser do” der Bildellipse, der unter einem beliebigen Winkel oder Azimut a gegen das Meridianelement dö geneigt von N' ausgeht, zu dem ihm entsprechenden Halbmesser ds" der Schnittellipse, der unter demselben Azimut cc gegen das Meridianelement ds geneigt von N bezw. M ausgeht? Die Antwort auf diese Frage vermittelt uns ein Satz aus der analytischen Geometrie, den wir zuerst entwickeln wollen.

Sind u und v die Halbachsen einer Ellipse, so ist deren

Gleichung

= 1.

Sei 0 der Anfangspunkt der Koordinaten, P ein beliebiger Punkt der Ellipse, so ziehen wir den Halbmesser OP und bezeichnen dessen Länge mit r. Hat P die Koordinaten x und y, so ist

r² = x² + y².

Indem r um den Winkel a gegen die große Halbachse u geneigt ist, besteht doch offenbar die Gleichung

Daher ist

tg a = — ■ & x

r² = x² -j- x² ■ tg² cc r² = x² (1 + tg² a)

X²

COS² CC

Andererseits folgt aber aus der Gleichung der Ellipse

v²x² + u²y² = u²v2 v²x² -j- u²x² tg² cc = u²v2 x²(y² + u² tg² cc) = u²v²

= U²V²

X²

([v² cos² cc-\-u² sin² cc)

COS² CC

X²

w²v²

Folglich ist

cos² cc u² sin² cc -j- v² cos² cc

r² =

u²v²

u² sin² cc -j- v² cos² cc

Ersetzen wir also einmal für die Originalellipse u durch ds, v durch ds' und r durch ds”, ferner das andere Mal für die

Bildellipse u durch da, v durch da und endlich r durch da", so erhalten wir

ds" =

da" =

ds ■ ds

(ds* ■ sin² a -f- ds ² • cos² a)"²" da • dd

(da* • sin²a -f- da * ■ cos² a)^

folglich mit Rücksicht auf IY)

(dd'\2

UW “

ds² • sin² a -f- ds ² • cos² a d a* ■ sin² a da' * • cos² a

Wert von

berechnen. Alle diese Werte wollen wir, mit der

Benennung cm versehen, als von einem Punkte 0 ausgehende Strahlen in eine ebene Figur einzeichnen, und zwar jeden Wert unter demjenigen Winkel a gegen den Anfangsstrahl

ds da da ds

Bezeichnen wir das Verhältnis zweier sich entsprechender Bogenelemente als das „Vergrößerungs- oder Längenverhältnis“, so ist eine charakteristische Eigenschaft der Flächentreue: Das Längenverhältnis ist abhängig von dem Azimut a, unter dem das betrachtete Bogenelement gegen das Meridianelement ds geneigt ist. Betrachten wir also für den Augenblick cp und gj als Konstante, indem wir die Orte N und N' nicht verlassen, denken wir uns für ds, ds', da, da' die früher angegebenen Werte eingesetzt, so können wir uns für jedes Azimut a den zu ihm gehörigen da"

ds"

(Gleichung III)

/da"\

\ds')cc = o~~

geneigt, wie dies in der Schnittellipse und in der Bildellipse der Fall ist. Wir fragen, welcher von allen diesen Strahlen, die unter den variabeln Winkel a geneigt sind, ist der größte, welcher ist der kleinste?

Dazu ermitteln wir das Maximum bezw. das Minimum von (Ji") ’ inc^em w^r die re°hle Seite nach a differenzieren und das

erhaltene Resultat gleich Null setzen. Bekanntlich ist da\N ) N* \ da    da)

Also muß

(da² • sin² a+da'² • cos²a) (ds² • 2 sin a cos a — ds'²• 2 sin a cos a)

— (ds² • sin²a + ^s'² • cos²a) (^<?²-2sin a cosa—cZtf'²-2sin a cos«) = 0

sein. Oder es ist

2 sin cc cos a (ds² -da'² — da²- ds²) = 0.

Wegen der Gleichung III) ist die Klammer von Null verschieden. Daher ist entweder

d. h.

sin a = 0,

a — 0 entspricht

« = Ö°.

(Ig , dessen Werte die Tabelle am Schlüsse des

ds

§ 3 angibt; sie sind sämtlich größer als Eins. Oder es ist

d. h.

cos a = 0,

a = 90°.

Dann ist

(■ L

r«s re

90°

ds

da (d⁰\

diese Werte sind sämtlich Meiner als Eins. Demnach bedeutet a = 0° das Maximum und a = 90° das Minimum. Unser Anfangsstrahl    ist also der größte, der um 90° gegen ihn

geneigte Wert von    ist der kleinste unter allen Strahlen

deren Größe stetig von 0° bis 90° ab nimmt, um dann von

da” ds”’

gleichung für (~tt) Satz ab:

90° bis 180° wieder zuzunehmen u. s. w., wie die Definitionsoffenbar lehrt. Daraus leiten wir den

„Die Endpunkte aller von einem Punkte ausgehenden Strahlen, von denen jeder das Längenverhältnis seines Azimuts dar stellt, liegen auf einer Ellipse. Der Inhalt dieser Ellipse ist

da ds

it • -j— • -j- = n • 1; ds da    ’

d. h.: Bei einer flächentreuen Abbildung ist das Produkt der Halbachsen der charakteristischen Ellipse, die wir die Verzerrungsellipse nennen wollen, gleich der Einheit.

A. Tissot hat diesen Satz an die Spitze der Sätze über Flächenverzerrung gestellt, durch ihn die Flächentreue bei Abbildungen definierend. In seinem Werke: Memoire sur la representation des surfaces et les projections des cartes geographiques, Paris 1881, nennt er unsere Yerzerrungsellipse zuerst sachgemäß „um Sorte d’indicatrice“, dann leider zu kurz „indicatrice“. Indem Hammer in dankenswerter Weise eine deutsche Bearbeitung übernahm, die 1887 bei Metzler in Stuttgart unter dem Titel erschien: A. Tissot, Hie Netzentwürfe geographischer Karten, unterließ er die Worte „une Sorte d’“ zu übersetzen, und er gab so den Anlaß dazu, daß in deutschen Werken, ich nenne Zöpp-ritz-Bludau, unsere Verzerrungsellipse einfach „Indikatrix“ genannt wird. Es verstößt dies gegen einen fundamentalen Satz betreffend die Nomenklatur in der Mathematik, den niemand, der von der Mathematik Anwendung macht, unbeachtet lassen darf. Nach der von Leonhard Euler (geb. 1707 in Basel, gest. 1783 in Petersburg) gegebenen Definition für die Indikatrix, die in der Flächentheorie ganz allgemein Eingang gefunden hat, ist die Indikatrix eine Ellipse, die über die Krümmung an einer Stelle N einer Oberfläche, hier eines Sphäroids, Auskunft gibt. Was wir Deutschen kurz eine Indikatrix nennen, ist bei den Franzosen eine indicatrice de courbure. Was Tissot korrekt une Sorte d’indicatrice nennt, ist eine indicatrice de deformation ou d’alteration, darf also auf keinen Fall kurz Indikatrix genannt werden, weil sonst eine Verwirrung des Inhalts der ganz verschiedenen Begriffe entstehen würde. Damit ist die Einführung des neuen Namens „Verzerrungsellipse“ (Deformationsellipse) genügend gerechtfertigt; ich hoffe, daß „die (falsche) Indikatrix“ recht bald aus kartographischen Werken wieder verschwinden wird.

§ 5. Ein von der Flächentreue durchaus verschiedenes Abbildungsprinzip ist das der Winkeltreue oder der Konformität. Has Bild steht in der Beziehung der Winkeltreue zum Original, wenn beide in ihren kleinsten Teilen ähnlich sind. Wenn wir bei der Flächentreue den Ansatz machten

dF: dE = A,

wo 1 eine Konstante ist, und daraus durch Integration herleiteten:

F= l • E,

so besagt dies, wenn das Verhältnis, in dem ein unendlich kleines Teilchen der Fläche des Originals zu einem eben solchen des

Bildes steht, überall einen konstanten Wert hat, so steht auch die gesamte Fläche des Originals zu der gesamten Fläche des Bildes in demselben Verhältnis. Wir sagen, die Abbildung auf Grund der Flächentreue ist ein Integralprinzip.

Eigur 9.

Ganz anders ist es bei der Winkeltreue. Wir denken uns, um die Vorstellung zu fixieren, auf einer Kugel, vom Pole ausgehend, zwei Meridiane (Fig. 9). Unter dem Winkel, den diese beiden Meridiane an zwei verschiedenen Punkten miteinander bilden, versteht man dann den Winkel, den die Tangenten in diesen Punkten an die Meridiane gelegt, miteinander bilden. Diese Tangenten sind im allgemeinen sich kreuzende oder windschiefe Linien; ihr Winkel wird also erhalten, indem man durch eine der Tangenten in einem beliebigen Punkte die Parallele zu der anderen Tangente legt und den entstandenen Winkel mißt. Dieser Winkel ist aber fortwährenden Veränderungen unterworfen; er ist abhängig von der Wahl des Punktes, in dem man an den Meridian die Tangente zieht. Bilden z. B. die beiden Meridiane in ihrem Schnittpunkte am Pol einen rechten Winkel miteinander, so wird dieser Winkel kleiner und kleiner werden, wenn man je zwei Punkte der beiden Meridiane einander zuordnet, die gleichweit vom Pole auf den Meridianen entfernt sind, und in diesen zugeordneten Punkten jedesmal die Tangente an den Meridian legt. Offenbar sind dann die Schnittpunkte der beiden Meridiane mit dem Äquator einander entsprechende Punkte; legen wir in diesen die Tangenten an die Kugel, so sind diese Tangenten parallel. Der ursprüngliche Winkel von 90° hat also bis auf 0° abgenommen, um alsdann, wenn wir unsere Untersuchung bis zum nächsten Pole fortsetzen würden, wieder bis auf einen ■»•echten Winkel zuzunehmen. Während also in der Ebene zwei gerade Linien in ihrem ganzen Verlaufe nur einen einzigen Winkel miteinander bilden, muß man auf einer gekrümmten, Fläche, auf der zwei krumme Linien sich befinden, die Frage nach dem Winkel der beiden letzteren dahin stellen: welchen Winkel bildet ein Bogenelement der einen Kurve mit einem Bogendifferential der andern Kurve? Je nach der Wahl der Lage

Haentzschel, Das Erdsphäroid.

der Bogenelemente fällt die Antwort anders aus. Wir sagen daher, die Abbildung auf Grund der Winkeltreue oder Konformität ist ein Differentialprinzip. Damit behaupten wir nicht mehr und nicht weniger, als daß ohne Kenntnis der Elemente der Differential- und Integralrechnung ein tieferes Verständnis der konformen Abbildungsarten nicht erlangt werden kann. Wir brauchen zum Beweise dessen bloß auf das sonst so vortreffliche Werk von Zöppritz-Dludau, Leitfaden der Kartenentwurfslehre, Leipzig, Teubner, 1899, hinzu weisen, das an den betreffenden Stellen (S. 13, S. 115, S. 141) den Leser einfach im Stich läßt.

Entsprechend der hei der Flächentreue behandelten Aufgabe gehen wir jetzt über zur winkeltreuen Abbildung des Erd-sphäroids auf einer Kugel, und wählen als solche eine Normalkugel, die mit dem Original konzentrisch ist und deren Meridiane durch Erweiterung der Ellipsoid-Meridianebenen entstehen. Da es sich nur um Winkelbeziehungen handelt, so kommt es selbstverständlich auf den Radius dieser Bildkugel nicht an; wir wählen ihn gleich dem Radius a des Äquators der Erde. Dann ist der Äquator des Sphäroids zugleich derjenige der Kugel; die Meridianebenen beider sind, wie schon erwähnt, identisch; der Nullmeridian der Erde sei zugleich der Nullmeridian der Kugel, also Kugellänge gleich Ellipsoidlänge. In der Darstellung folgen wir wieder der im § 1 zitierten Abhandlung von Mollweide: „Einige Projektionsarten der sphäroidischen Erde“, die in ihrem ersten Kapitel die „Stereographische und Mercatorsche Projektion des elliptischen Erdsphäroids“ behandelt und durch E. Hammers ebenfalls schon genannte Untersuchung: „Zur Abbildung des Erdellipsoids“ eine wesentliche Ergänzung erfahren hat.

Wir denken uns Erdsphäroid und Bildkugel mit einem Netze von Meridianen und Parallelkreisen so dicht überzogen daß die Oberflächen beider mit unendlich vielen, also unendlich kleinen, Rechtecken bedeckt sind. Jedes von den Bogen zweier Meridiane und zweier Parallelkreise begrenzte unendlich kleine .Viereck der Kugel soll demjenigen auf dem Sphäroid, dem es entspricht, ähnlich sein. Dazu ist nur nötig, daß die homologen Seiten beider Rechtecke proportional sind. Sind cp und cp -f dcp die Breiten, A und A -j- dk die Längen der vier Winkelpunkte eines solchen unendlich kleinen Rechtecks auf dem Erdellipsoid,

— sind ferner ip₁ und -(- di\)x die Breiten, k und k -f dk die Längen der vier Winkelpunkte des dem vorhin bestimmten Elementarrechteck des Sphäroids entsprechenden Rechtecks der Kugel, so sind die Rechteckseiten auf

dem Erdsphäroid a(l — £²) • dq>

(1 — £² sin² qp)^ a • cos cp • dl (1 — £² sin² qp)Y

Wegen der Ähnlichkeit beider Rechtecke verhält sich demnach ds : ds' = dö : dö',

der Kugel

ds =

ds' =

(Meridianbögen),

dö = adil>₁,

(Parallelkreisbögen), dö' = a cos tyxdk.

oder

(1 - £²)

dep

d. h.

cos cp ■ (1 — £²sin²qp) dl

dtp,

dl ’

1 —£²

dep

Wir schreiben

d'ip,

COS ip, 1 — f²sin²qp cos qp

1 — £²(sin²qp COS²qp)

1 — £² sin² qp COS qp

1 — £² sin² qp

COS qp

£² COS Cp

cos qp

(1 -f- £ sin qp) (1 — £ sin qp)

£² cos qp

Es ist aber

cos qp

1    £² COS qp

2    1 — £ sin qp

COS qp COS qp cos²qp

cos qp

1 — sin² qp

cos qp

(1 -(- sin qp) (1 — sin qp)

COS qp

Daher ist

2    1 -j- sin qp

+ Y-

COS qp

1 — sin qp

1 — £²

COS qp

1 — £² sin²qp COS qp

2    1 sin qp

+4"

COS qp

1 — sin qp

1    £² COS qp

2    1 4~ e sin 9

1    £² cos qp

2    1 — £ sin qp

Demnach lautet die Differentialgleichung:

cos ip₁ ■ dtp₁ cos ip₁ ■ d^ cos cp ■ dcp cos cp ■ dcp 1 -j- sin ipx '    1 — sin i/i, 1 -f- sin cp '    1 — sin cp

£² cos cp ■ dcp f² cos cp ■ dcp 1 -j- s sin cp 1 — £ sin qp

Die Integration derselben ergibt sofort, indem man natürliche Logarithmen (ln) erhält und cp = 0 und ip± = 0 einander zuordnet: ln (1 -f sin ipt) — ln (1 — sin t/q) = ln (1 -j- sin cp) — ln (1 — sin cp)

— £ ln (1 -f- s sin cp) + s ln (1 — s sin cp)

oder

) + £ln(i

— £ sin cp

— sin cp 1 -f- sin cp

Bekanntlich ist

Folglich ist

sin ipx = cos (90° — ipx).

1 — sin t/q = 1 — cos (90° — t/q) = 2 • sin² ^45° —    >

1 -f sin t/q = 1 -f cos (90° — t/q) = 2 • cos² ^45° — y^ .

Daher ist

1 -|- £ sin cp

— £ sin cp

2 ln tg ^45° — ~) = 21ntg(45°-|) + 6 lud

1 -)- £ sin qp\ 2 — £ sin cp)

ln tg (45» - f ) - ln tg (45» - f) • (l

Y) tg(450-|)-tg(45»-f).(l±l^f.

Zur bequemeren Berechnung von t/q als Funktion von cp wendet man Reihenentwickelungen an, die wir durch die folgende Untersuchung vorbereiten.

§ 6. Die Gleichung

tg d == m • tg y

tritt uns bei sphärischen Problemen recht häufig entgegen. In der Trigonometrie des rechtwinkligen sphärischen Dreiecks sind die Formeln

cos a = tg & • cot c, sin a — cot ß • tg b wohlbekannt; sie können geschrieben werden

tg & = cos a • tg c, tg h = sin a • tg ß.

Mollweides Abbildungsfunktion.

85

Die Umformung der Fundamentalgleichung aus der Trigonometrie des schiefwinkligen sphärischen Dreiecks

cos a = cos b cos c + sin b sin c cos a

auf die für die Rechnung bequemere Form

cos a =

cos b cos (c — cp) cos cp

geschieht mit Hilfe der Substitution

tg cp = cos a • tg b.

Ein gleiches gilt von der Fundamentalgleichung

cos u = — cos ß cos y + sin ß sin y cos a, die durch die Substitution

in die neue Form

tg cp = cos a • tg ß

cos a =

cos ß cos (y -f- cp)

übergeht.

cos cp

Im § 6, e des I. Kapitels fanden wir den Zusammenhang zwischen geographischer, geozentrischer und reduzierter Breite vermittelt durch die Beziehungsgleichung

tg (<p + ß) = 1,000 0055 • tg (2 tß).

Indem wir am Schlüsse des vorigen Paragraphen auf eine Gleichung von dem nämlichen Typus geführt wurden, darf es uns nicht wundernehmen, daß ein so bedeutender Mathematiker wie Lagrange (geh. 1736 in Turin, gest. 1813 in Paris; von 1766 —1786 in Berlin) einer Gleichung von so allgemeiner Bedeutung seine Aufmerksamkeit gewidmet hat. Wir finden seine Untersuchung auf S. 216—217 der Abhandlungen (Memoires) der Berliner Akademie für 1776; dieselben sind erst 1779 gedruckt, obgleich Lagrange seine Abhandlung bereits 1774 gelesen hatte; ihr Titel ist: Solution de quelques problemes d’Astronomie spherique par le moyen des series (S. 214—235).

Lagrange setzt an

Bekanntlich ist

tg x = cos o • tg y.

tg u ==

eiu_ -in

wenn u im Bogenmaß gemessen ist.

Setzen wir dies ein, so folgt

eix-e~ix

eiy-e~iy eiy + e~iy ' eiiy - 1

Wir berechnen hieraus e2ix und erhalten

eix -f- eTix e2ix - 1 e2ix+l

= cos cj •

= COS CO ■

e2ix =

e2iy+l + cos^co (e2iy — l)

e2iy+l-

cos ÜO

(e2iy — l)

e2ix =

(1 + cos co) e2iy -f- (1 — cos ca)

(1 — cos oo) e2iy (1 -j- cos co)

Wir machen die Substitution

l — cos CO

dann entsteht

e2ix =

e2iy + Q

de2iy -j-1

ß2ix __ ßiiy .

1 +d-e~2iy

Wir gehen zu den natürlichen Logarithmen über und be

kommen:

2ix = 2iy -f- ln(l + 6 ■ e~2iy) — ln(l + 6 • e+2,y).

Bekanntlich ist

ln (1 -f v) = v —

v*    v⁵

₊__T+_

eine konvergente Reihe, so lange v < 1 ist. Wofern also

ß • e~2iy < 1 und 0 ■ e+2iy < 1, also 0² < 1

ist, können wir unsere Bestimmungsgleichung für x schreiben:

Q% ■ e~iiy 6³-e~Giy 04. e~8iy 2    '    3

02.e+4iv    ₀3.e+6i«    ₀₄ . e+

2 ix

• e~2iy

— ±--

•)

(ß-e+2iy

(e⁴«y_ e-**y)

0³

-T'2<

(er'^y — e~6iy) [ 0«    ₂.

daher endgültig

.    6i    Q³    0⁴ .

VI) x = y —- Q • sin 2y -j- — • sin \y —— • sin 6y -f -j- • sin Sy----, wenn die Größen x und y im Bogenmaß gemessen sind.

Wir machen, bevor wir zur Gleichung V) zurückkehren, vorerst eine Anwendung von dieser Formel auf die Gleichung (Kapitel I, § 6, e)

tg (<p + ß) = 1,000 0055 • tg (2 cp) ■

Es ist hier

% = cp + ß, y = 2cp,

cos G3 = 1,000 0055 .

Da in den soeben gegebenen Entwickelungen nirgends ausgesprochen ist, daß cos co < 1 sein muß, so gilt cos co nur als Symbol für die gegebene Konstante. Es ist also

1 — 1,000 0055 1 + cos 03 — 1 -f 1,000 0055 ⁷

1 — COS 03

55

20 000 055 ⁷

Demnach ist

e = - 0,000 002 75.

cp -f- ß = 2 cp + 0,000 002 75 sin 47^+0,000 000 000 003 78 sin 8^ ••

der genaue Ausdruck für den Zusammenhang der drei früher definierten Breiten, wenn die Hessischen Dimensionen des Erd-sphäroids zu Grunde gelegt werden. Vor der wirklichen Benutzung der Formel hat man die Bogengrößen cp, ß und cp erst noch in Winkelgrößen umzurechnen, d. h. es sind die Koeffizienten von sin 4: cp und sin 8^ mit    zu multiplizieren.

§ 7. Wir kehren jetzt wieder zur Gleichung V) zurück und haben, wenn wir Gleichung VI) anwenden wollen, zu setzen:

y- 45°-f:

COS £0

-G

Demnach ist

1 -j- £ sin qp\ 2 — s sin cp)

e⁴(£ — 2) (f—4)

48

sin³qp

(1 — £ sin cp)² -f (1 -j- s sin cp) ss(e — 2)

£S

— sin cp -|

sin²qp

£*(£ — 2) (£ — 4)    fS .

--—^-sm³ qp 1    — sin cp

£ ³ (£— 2)

sin²qp

1 — cos co

(1 — s sin cp) ² — (1 -|- s sin cp)

£²

e³(£ — 2)

— sin cp -j

— £² • sin cp — -- sin³ cp 3

£⁴

£²

sin²qp-|-1 -f- -g sin cp —(

£³(f — 2)

sin²qp • • •

2 -f ^^ sin² cp 4

= — y sin cp + y sin³ yj • (l

ö = -ysin cp - y sin³ <p,

wenn man alle Potenzen Ton s, die liöher sind als die vierte, vernachlässigt.

Also geht aus der Gleichung V) die folgende Beziehung zwischen den Winkeln hervor

£ ³ (f — 2)

sin² cp^j ,

45° — y = 45° — -f y sin cp • (l + y sin² cp^j sin (90° — cp)

£⁴ sin² cp

^1y sin² • sin (180°— 2 cp),

ft = <P — y(! + y sin² 9) sin 2 cp

£⁴

Y sin²    sin 2cp,

wenn man wieder Potenzen von s vernachlässigt, die höher sind als die vierte.

Ersetzt man sin² cp durch

so ist

I - t cos 2cp,

ti = <p—y sin ²⁽p ■ (i+4sin2 >

Va)

fi = 9 ~ y sin 29> • (* + ^    ^ cos 2<?) ,

fi = <P ~ (y + ^«⁴) sin ^ «⁴ sin 4<p.

Da der Formel VI) die Annahme zu Grunde liegt, daß die Winkelgrößen im Bogenmaß gemessen sind, so haben wir die Gleichung Ya) noch in Winkelmaß umzurechnen. Wählen wir Sekunden als solches, so entspricht der Bogeneinheit eine Winkel-

.. q    / 648 000 \

große von I—-—)

Sekunden. Demnach ist

,    /e¹ . 5 A /648 000\" . ₀    , 5 , /648 000 V' .    .

(T + Si**)■(-- H    +    • sm4g>.

Yb)

if>₁ = cp — 690,258" • sin 2cp -|- 0,957 14" • sin 4<p,

indem wir den Besselschen Wert für e²

£² = 0,006 674 3722 (log £² = 0,824 4104 - 3) als gegeben ansehen. Dabei ergibt sich log 690,258 = 2,839 0116 log 0,957 14 = 0,980 9749 - 1.

Aus der Gleichung Yb) erkennt man sofort, daß

Yl = 0°

^ = 44° 48' 29,742" = 90°

9 = 0°,

cp = 45°, cp = 90°,

ist, daß im allgemeinen ^ hinter cp zurückbleibt, und daß die Differenz zwischen cp und in der Nähe von cp = 45° am größten ist. Bestimmen wir also zuerst denjenigen Winkel cp’, bei dem die Maximaldifferenz cp' — ipx wirklich eintritt. Wir setzen an cp —    = p₁ sin 2cp — p₂ sin 4cp.

Unterhalb von 45° gibt es Werte cp und cp₁ und oberhalb 45° gibt es Werte cp* und ipx* so beschaffen, daß

— ti = cp* —

ist. Dann ist also

p₁ sin 2 9 — p₂ sin 4 cp = px sin 2 cp* — p₂ sin 4 cp*,

oder

Pi (sin 2 cp — sin 2 cp*) — p₂ (sin 4 cp — sin 4 cp*)

px sin (cp —cp*) • cos (<jd +<p*) = p₂ sin (2cp — 2cp*)-cos (2cp + 2cp*) px -cos (<p + cp*) — 2p₂ • cos (cp —cp*) • cos (2^+2qD*).

Da aus

folgt

cp —    = V* — t*

cp — cp* =    — tjj*,

so lassen wir jetzt <p und cp*, also aucli cp₁ und ipp* einander sich mehr und mehr nähern; es wird die Maximaldifferenz zwischen cp und cp₁ dann eintreten, wenn

V - <P* = 0,

d. h. wenn

ti — </<i* = o,

ist, wo cp' und cp; die gesuchten Maximalwerte bedeuten. Es ist dann

pt cos 2 cp' = 2p₂ cos 4 cp',

welche Gleichung man auch sofort hätte erhalten können, wenn

man

cp — cpt = 2h s*n ^ cp — p^ sin 4cp

nach cp differenziert und die rechte Seite gleich Null setzt. Weiter ist

cos 2 cp' —

2p₂ (2 cos² 2cp'— 1) = pt cos 2cp', cos² 2cp    cos 2cp'= y-

±Pi_

8 Pi

1    690,258

8 ' 0,95 714

t/_v_ ₊ i_

V 64_p₂² ^ 2

- y90,146 04² + 0,5

= 90,146 04 — 90,148 82 = - 0,002 78.

180°— 2<p' = 89° 50' 26,583"

2cp'= 90° 9' 33,417" cp = 45° 4' 46,7085".

Daher

cp; = cp' — 690,258"- sin 2?/+ 0,957 14"- sin 4cp'.

cp' — cp; = 690,258"-sin 89° 50' 26,583"

+ 0,957 14".sin0° 19' 6,834"

<p' — cp; — 690,261" cp' — ip' = 11' 30,261",

und demnach

cp; = 44° 53' 16,448".

Im I. Kapitel, § 6, d hatten wir ermittelt, daß der größte

Maximalunterschied zwischen geographischer und Kugelhreite. 91

ITnterschied zwischen der geographischen und der geozentrischen Breite

<p'-ß'*= 0°ir 30,66"

beträgt, während hier

cp' — -ipi ~ 0° 11' 30,26"

ist, so daß sich also die beiden Differenzen nur um

0,4 Sekunden

unterscheiden.

Wir wollen uns schnell die Frage beantworten, welches der größte Unterschied zwischen ip₁ und ß ist.

Es war

*g ß = ^ ‘ *g 9h tg = (l-£¹ 2) tg cp,

daher mit Rücksicht auf § 6, Formel VI), S. 87,

-TMr-T(l+T)i

ß = cp — y (l + y) sin 2qp 4- y sin 4cp.

Es war nach V a)

Ya)

= <P ~ y (i +^£2)sin 2<P + ^ sin 4<P-

Daraus leiten wir ab

/5 -    = - ~ f³ sin 2<p + ^ £³ sin 4<p,

ß - Qi = - h *³ (sin 29? - y sin 4 9p) .

Die größte Differenz wird demnach, wie wir bei cp — bemerkt haben, gefunden, wenn wir die rechte Seite nach cp dif

ferenzieren und den erhaltenen Ausdruck gleich Null setzen. Es ergibt sich

COS 2 cp = COS 2 cp' = COS 2 cp' =

I \f*\ M. | M.

CO

ta| 1-*

2 cp = 120° <p'= 60°.

Daher ist

iftf — ß' = ^ £⁴ ^sin 120° —sin 240°^ • ^'⁶⁴⁸J⁾⁰P^ Sekunden

= ^£⁴.-J]/3-2°⁶ 264,806"

= 0,497 Sekunden.

Auf dieses interessante Resultat hat Mollweide schon aufmerksam gemacht; wir sprechen es durch den Satz aus:

„Die winkeltreue (konforme) Abbildung eines wenig abgeplatteten Rotationsellipsoids auf die konzentrische Normalkugel mit identischen geographischen Längen stimmt nahezu überein — der Fehler beträgt noch nicht % Sekunde — mit der Zentralprojektion des Sphäroids auf jene Kugelfläche vom Mittelpunkte aus.“

E. Hammer (Zur Abbildung des Erdellipsoidsj hat sich der Mühe unterzogen unter Zugrundelegung der Formel Yb) eine Tabelle der xh₁ anzufertigen, wenn die cp von 10' zu 10' steigen. Wir gehen einen Auszug aus derselben und verweisen im übrigen auf die Originalabhandlung (Stuttgart 1891, K. Wittwer, 40 S.; auch Zeitschrift für Yermessungswesen, Jahrgang 1891, S. 609 u. 641 ff.).

<p

qp

qp

0°

1°

5°

10°

20°

30°

0° 0' 0,00" 0° 59' 35,97" 4° 58' 0,46" 9° 56' 4,53" 19° 52' 37,25" 29° 50' 3,05"

39° 48' 40,55" 44° 48' 29,74" 49° 48' 39,90" 51° 48' 49,80" 53° 49' 2,96" 55° 49' 19,34"

58°

60°

70°

80°

89°

90°

57° 49' 38,85 59° 50' 1,39" 69° 52' 35,37" 79° 56' 3,30" 88° 59' 35,84" 90° 0' 0,00"

§ 8. Wenn wir uns der Tatsache erinnern, daß die im ersten Kapitel ausführlich behandelte Abbildung des Sphäroids auf einer Kugel vermittels der reduzierten Breiten ip auf eine

Maximaldifferenz zwischen <p und ip führte, die nur halb so groß war, wie die soeben erhaltene zwischen cp und bei der winkeltreuen Abbildung, so liegt die Frage nahe, ob denn das Abbildungsprinzip, das wir, wie es scheint, mit Nachteil eingetauscht haben, ein so wertvolles ist. Wir dürfen diese Frage mit Fug und Recht bejahen; ist es doch dem Genie eines Gauß (geh. 30. April 1777 zu Braunschweig, gest. 23. Febr. 1855 zu Göttingen) gelungen, die von Mollweide begonnene Untersuchung in einer Weise fortzusetzen, daß das Resultat den höchsten Anforderungen gerecht wird; einen wertvollen Baustein hat dann E. Hammer in seiner schon zitierten Abhandlung dem ganzen Werke eingefügt.

Pi

VS

\R

K,

P/

JT.JPol

Vf

Pi,

•inufr *.

-fz

\N-

jfe\\

Figur 10.

Es ist nämlich unsere winkeltreue Abbildung mit den Normalkugelbreiten ^ und Längenunterschieden, die mit den auf dem Rotationsellipsoid vorhandenen übereinstimmen, für ein gegebenes Flächenstück des Sphä-roids mit der Mittelbreite cp₀ keineswegs die günstigste. Bedenken wir, daß in der Formel Y) der Kugelradius a gar nicht vorkommt, so könnte man zuerst daran denken, eine Verbesserung dadurch herbeizuführen, daß man auf einer Kugel abbildet, welche etwa den Mittelparallel cp₀ längentreu abhildet. Ist OP = r der Radius der gedachten Kugel (Figur 10), so würde der Radius des betreffenden Parallelkreises auf der Kugel r • cos 4>₀, und auf dem Sphäroid (I, § 15)

a ■ cos cp0 Y1 — £² sin² qp₀

sein; es würde sich demnach r durch die Gleichung bestimmen:

r • cos tp₀ =

a cos <p₀

1/1 — £² sin² <p₀

Hammer gibt zur Entscheidung dieser Frage folgende kleine Skizze. Die Mittelbreite cp₀ sei

<p₀ = 52° 42' 2,5"; die Grenzparallelkreise mögen die Breiten

cp = 47° 40' bezw. cp = 57° 40' haben. Ihnen entsprechen die Winkel

= 47° 28' 32,5" bezw. ^ = 57° 29' 35,4".

Es ergibt sich für den Radius r der Normalkugel nach der obigen Formel

log r = 6,803 7279 .

Berechnet man die Längen der Parallelkreisbögen auf Ellipsoid und Kugel für einen Bogen von 10°, so erhält man Sphäroid 750 957 m 596 740 m

Normalkugel r 750 740 m 596 902 m

Längenverliältnis [9,999 8746] - 1 - ^ [0,0001181]-I + 34. Kleine Bögen sind demnach auf dieser Normalkugel in der geographischen Breite 47° 40' um rund ^ zu kurz, in 57° 40' Breite um rund 3^ zu lang abgebildet. Der ganze Meridianbogen zwischen den angegebenen Parallelkreisen ergibt sich durch Rechnung auf 1112 659 m Länge auf der Kugel, hingegen auf 1112 664 m Länge auf dem Ellipsoid, also nur um 5 m länger. Man könnte sich also für viele Zwecke, im be-sondern für eine vielblättrige zusammenhängende Karte von Deutschland im Maßstabe 1 : 25 000, mit dieser Normalkugel r begnügen. Aber wie immer ist das Bessere der Feind des Guten. Gauß kam nämlich auf den Gedanken, die Mollweide sehe Normalkugel auf einer anderen Kugel winkeltreu abzubilden.

Bevor wir in diese Erweiterung unserer bisherigen Untersuchung eintreten, beweisen wir eine fundamentale Eigenschaft der winkeltreuen Abbildung. Nach § 5 besteht die Grundgleichung

Die Verzerrungsellipse bei der winkeltreuen Abbildung.

95

ds : ds' = da : da', oder ds : d<3 = ds : da ; sie verbindet die Bögen entsprechender Meridiane mit den Bögen der darauf senkrechten sich entsprechenden Parallelkreise. Wir werfen die Frage auf, wie verhalten sich Elementarbögen in irgend welcher Richtung zueinander, wenn der eine der Normalkugel, der andere dem Ellipsoid angehört?

Es sei ds" das Bogenelement auf dem Sphäroid, das unter dem Winkel oder Azimut cc gegen den Meridian, dessen Element ds ist, vom gemeinsamen Schnittpunkte P von ds und ds' ausgeht. Ihm entspreche auf der Kugel das Bogenelement da", das wegen der vorausgesetzten Ähnlichkeit unendlich kleiner Teile von Bild und Original unter demselben Azimut a von dem gemeinsamen Punkte Q der Elementarbögen da und da' ausgeht. Senken wir dann im Punkte P in eine Tiefe, die unendlich klein ist, die Eulersche Schnittellipse in das Rotationsellipsoid (§ 4, Schluß), so ist ds" ein halber Durchmesser dieser Ellipse.

Nach § 4 ist

ds" =

ds ■ ds'

da" =

(dss • sin² « -f- ds'² • cos²«)"²" da ■ da'

Setzen wir

(.da² • sin² « -j- da'* ■ cos² a)"²"

TO

da'

so ist

da"

ds"

da”

ds”

= d7=*⁾’

₂    (ds² • sin² cc -|- ds'² ■ cos² ccY

(da² ■ sin²« -|- da'² ■ cos² a)"²"

= jP² • y = P , d. h.

Das Längenverhältnis ist in jeder Richtung dasselbe, wenn man die Orte P und Q festhält; es ändert sich erst, wenn die Orte

sich ändern, wodurch <p und ip₁ andere Werte erhalten, denn es war nach § 5:

TS

(1 — f²sin²qp)T dip,

(1 - O

Strahlen    , von einem Punkte 0 aus-

dcp

Zeichnet man alle gehend, wie es im § 4 ausführlich erklärt war, so sind dieselben alle = p, d. h.: Bei der winkeltreuen Abbildung ist die Verzerrungsellipse ein Kreis.

§ 9. Die im § 4 über die Indikatrix geführte Kontroverse war, wie sieb jetzt zeigen wird, eine durchaus notwendige. Wir können uns nämlich in die durch Gauß herbeigeführte Fortsetzung unserer Untersuchung nicht eher vertiefen, als bis wir die Krümmung des Erdsphäroids studiert haben. Wir errichten dazu in einem beliebigen Punkte P(<p) desselben die Normale PL und machen diese Normale zur Achse eines Ebenenbüschels. Jede Ebene durch PL wird das Rotationsellipsoid in einer Ellipse schneiden, wie im § 4 bewiesen worden ist. Konstruiert man von jeder dieser Ellipsen im Punkte P den Krümmungsradius M, dessen Bedeutung im 1. Kapitel § 9 erklärt worden ist und der gegeben war durch

a( 1 —£²)

(1 — s² sin² qpp

so wird dieser Wert nur für den Krümmungsradius derjenigen Ellipse richtig sein, welche die Meridianellipse ist, nicht aber für die andern Ellipsen, da dieselben ja andere Werte für die Halbachsen als a und b, also auch ein anderes £ haben. Sobald wir aber bei a und s nicht an die bisher immer gebrauchten Besselschen Werte, sondern an beliebige, der jedesmaligen Schnittellipse eigentümliche, denken, gilt M als allgemeine Formel für den Krümmungsradius. Ist der Punkt P durch seine geographische Breite cp fest gegeben und zeichnen wir das M der Meridianellipse (I, § 9) als Strecke hin, desgleichen den Krümmungsradius aller übrigen Schnittellipsen unter demjenigen Winkel gegen den ersten Strahl geneigt, den die Schnittebene durch PL mit der Meridianebene bildet, so ist der Inbegriff der Endpunkte aller Strahlen ein Kegelschnitt, die Indikatrix (indicatrice de courbure). Die Mathematik zeigt, daß von allen Schnittellipsen die Meridianellipse Em den kleinsten, die dazu senkrechte Schnittellipse E den größten Krümmungsradius hat; diesen letzteren müssen wir ermitteln. Legen wir zu diesem Zweck in P an die Erde die Tangente, welche senkrecht zum Meridian steht, so ist dieselbe nicht bloß Tangente an jene zur Meridianellipse senkrechte Schnittellipse Ep, sondern auch Tangente an den durch P gehenden Parallelkreis, da ja dieser im Punkte P ebenfalls senkrecht zum Meridian steht. Es berühren sich also in P Parallelkreis und Schnittellipse E wir in allen Punkten des Parallelkreises die Normalen PL auf dem Erdsphäroid und verlängern wir dieselben in das Innere der Erde hinein, so werden sich dieselben sämtlich in einem Punkte S der Erdachse schneiden müssen. Hat nämlich P die Koordinaten u und v, so ist die Gleichung der Normale (I, § 4, S. 8)

Errichten

y~v= Wn (*-“)•

Der Punkt P', der auf dem Parallelkreise dem Punkte P diametral gegenüberliegt, hat die Koordinaten

P\-u,v),

deshalb hat die Normale in P' die Gleichung

[x + u).

y-v = -

a²v 1)*10

Die erstere schneidet die Y-Achse in einem Punkte S mit der Ordinate

a²-v

y-v~~w~

da x = 0 ist; die zweite, wie man sich sofort überzeugt, in demselben Punkte S. Was von P und P' gilt, behält seine Richtigkeit für alle Punkte des Parallelkreises, so daß dieser als die Grundfläche eines geraden Kreiskegels erscheint, der S zur Spitze hat. Die Seite PS desselben ist nun der gesuchte Krümmungshalbmesser der Schnittellipse Ep.

Eigur 11.

Denn nach der Erklärung erhält man ihn, wenn zwei unendlich nahe Normalen der Schnittellipse sich schneiden; dieselben sind aber identisch mit zwei unendlich nahen Kegelseiten PS, da ja die in P stattfindende Berührung von Ep mit dem Parallelkreise sich

Haentzschel, Das Erdsphäroid.

als ein Zusammenflüßen in zwei unendlich nahen Punkten darstellt. Die Strecke PS — N wird durch die Gleichung bestimmt

(*% 11)

cos <P =

N--—

cos cp

(I, § 4, S. 10).

(1 — s² • sin² qp)4

Man versteht unter dem „mittleren Krümmungshalbmesser“ das geometrische Mittel zwischen M und N, also die Größe

demnach hier

ayr=7'

(1 — f² • sin² cp)

Diese wird in der Fortführung unserer Untersuchung eine wichtige Rolle spielen.

§ 10. Wir gehen nämlich jetzt von der Mollweideschen Normalkugel Kn mit dem Radius a zu einer anderen Kugel K über, auf der wir die erstere winkeltreu abbilden wollen (Fig. 10), und von der sich zeigen wird, daß sie das soeben definierte A zum Halbmesser hat. Für die neue, die Gauß sehe Kugel soll die Bedingung gelten:

geographische Kugellänge = a • Ellipsoidlänge, wo a eine Konstante bedeutet.

(Meridianbögen),

da₁ = r • db

Die abzubildende Sphäroidzone sei von zwei Parallelkreisen begrenzt, für welche JB₀ die Mittelbreite ist, welchem Werte auf der Normalkugel Kn die Breite t\>₀ und auf der definitiven Gauß sehen Kugel K vom Radius r die Breite b₀ entspreche, so daß für einen beliebigen Punkt der Zone die Breite cp, die Normalkugelbreite nnd die Kugelbreite¹) b der endgültigen Kugel K zusammengehörige Werte sind. Da jetzt Kugel auf Kugel abzubilden ist, so sieht das im § 5 aufgestellte Schema folgendermaßen aus: d<3 = a ■ dxp₁

da' = a cos • dl (Parallelkreisbögen), döt' = a • r cos b • dk.

1) Eine Verwechselung mit der Halbachse b ^es Erdsphäroids ist wohl nicht zu befürchten.

Wegen der Ähnlichkeit der Rechtecke verhält sich

db

d(3 : dö' = ä<5y : d<5^, d,\p₁

a ■ cos b

COS

also ist nach § 5:

1 -f- sin tyi

cc ■ cos rip₁ ■ d'ip₁ cc • cos 'if)₁ ■ dip₁ cos b db cos b db 1 — sin    1 —j- sin & ' 1 — sin b ’

oder integriert, mit lnk als der Integrationskonstanten: a ln (1 + sin i/^) —■ a ln (1 — sin i/^) = ln (1 + sin &) — ln (1 — sin &) — ln k,

d. h.

cc ln tg (45⁰ — y^ = ln tg ^45⁰ —

tg (45° - -|) = l tg“ (45° -    ■

Führen wir hierin wieder cp ein, indem wir die Definition von ipl durch die Gleichung V) berücksichtigen, so erhält man

Demnach

VII)

— ln£.

VIII) tg(«*-4) -*<**(«•-■£).    •

Es ist dies die von Gauß aufgestellte Formel; sie wird mit der von ihm angegebenen identisch, wenn man bedenkt, daß

tg (45°- y) = cot (45° + y) =

ist, so daß sich ergibt

tg ^45 ⁰ + ^

Villa) tg(45» + l) = 4tg“(45» + |).(i

— £ sin qp'j 2

1 -|- £ sin qp

Soll die Abbildung die günstigste sein, so müssen wir die Werte von a, k und r passend zu bestimmen suchen.

Aus dem Schema des § 5 lesen wir für das Längen- oder VergrößerungsVerhältnis je zweier einander entsprechender Bogenelemente den Wert ah:

Meridianbogenelement- V erhältnis:

(1 — £² sin² qpp-dty₁    a ■ dtyy

~ ⁼ M ■ dw’

da

ds

(1 — £*) dqp Parallelkreisbogenelement -V erhältnis:

(1 — s² sin² qp)^• cos ip₁

da'

ds'

COS qp

a ■ cos i/jj N • COS qp

Aus dem soeben aufgestellten Schema, das die Beziehung zwischen der Normalkugel Kn und der definitiven Bildkugel K liefert, lesen wir ab:

r ■ db

a ■ dtyx

Meridianbogenelement-Verhältnis:    =

Parallelkreisbogenelement-Verhältnis:    = a r cosj.

°    da a • cos %

Die Multiplikation zusammengehöriger Verhältnisse liefert

Meridianbogenelement der Bildkugel Al    dax    r ■ db

Meridianbogenelement des Sphäroids    ds    M • dqp ’

dax

Parallelkreisbogenelement der Bildkugel K

_ cc ■ r • cos b

Parallelkreisbogenelement des Sphäroids ds' N■ cos qp

Auf Grrund der für die winkeltreue Abbildung gegebenen Definition haben die vier zuerst niedergeschriebenen Verhältnisse sämtlich denselben Wert, also ist auch

dax _dax

ds ds'

= m.

Demnach ist

rdb

folglich

m Mdcp

cc ■ r ■ cos b

N ■ cos cp

Setzt man

db Mu cos b dcp    Ncos cp

M~V1

so ist

db

cc ■ cos b

Nun war

dcp

V² • cos qp

daher

a( 1 — c*)

(1 — £² sin² qp)^

(1 — £² sin²qp)^ ’

F² =

(1 — £² • sin² qp)

(1 - £²)

(1 — £²) -f- £² COS² qp

(1 ~ Ö

• COS² cp

£²

— £²

da

= 1 -f • COS² Cp

£²

E² = 1 —

Ö²

a²

fe²

-    ₌    “__1    = C 2

1 — £*    52    1

schon früher im 1. Kapitel gesetzt worden war. Zugleich erkennt man, daß

v■ y i —e²

a² 1

~T'V’

und für

®'|

JV-4

ist, daß folglich für m auch geschrieben werden kann:

ar Vcos b cos cp

Dieses YergrößerungsVerhältnis hat, wie wir am Schlüsse des § 8 sahen, wenn P ein Punkt des Erdsphäroids, Q der entsprechende Punkt auf der Bildkugel K (Radius r") ist, für jedes Azimut denselben Wert; es ändert sich erst, wenn die Orte P und Q andere werden, also auch cp und b andere Werte annehmen.

Wir fassen deshalb auf dem Erdsphäroid einen Punkt P0 ins Auge, der die sphäroidische Normalbreite P₀, die sphäroi-dische Normallänge L₀ hat. Die der Breite P₀ entsprechende Kugelbreite sei b₀. Bedeuten alsdann P und L die sphäroi-dischen oder geographischen Koordinaten, also Breite und Länge eines beliebigen Punktes P der Erdoberfläche, — b und l die entsprechenden sphärischen Koordinaten, Kugelbreite und Kugellänge des Bildpunktes Q auf der Bildkugel K, so ist cp = B₀ + (JB — P₀) = P₀ + p, b = \ + (b - &₀) = \ + q-

Es stellen demnach p und q Breitendifferenzen vor, gerechnet

von den Orten P₀ bezw. Q₀. Da unsere Festsetzung zugleich besagt, daß

cp — B

ist, so liegt zu gleicher Zeit ein Wechsel in der Bezeichnung vor. Derselbe geschieht in der Absicht, nach und nach alle diejenigen Zeichen einzuführen, die in der Trigonometrischen Abteilung der königl. preußischen Landesaufnahme im Gebrauch sind. Dieselben sind der Öffentlichkeit übergeben durch den ehemaligen Chef dieser Abteilung, Generalleutnant Dr. Schreiber, in der Schrift: „Die honforme Doppelprojektion der Trigonometrischen Abteilung der hgl. preußischen LandesaufnahmeFormeln und Tafeln, 99 S. Berlin 1897, E. S. Mittler u. Sohn. *) Das Triangulierungsgebiet der Abteilung erstreckt sich von 47°26' bis 55° 54' nördlicher Breite und von 23°30' bis 40° 33' östlicher Länge von Ferro. Da der Parallelkreis 52°42' (rund) als Normalparallelkreis, und der Meridian 31° als Hauptmeridian, also L₀ = 31° östl. von Ferro,

622 km (bei

um

gewählt ist, so entfernt sich das Gebiet südlich um 5° 16' und nördlich um 3° 12' vom Normalparallelkreis; es entfernt sich westlich um 540 km (bei Metz) und östlich Lyck) vom Hauptmeridian. Es umfaßt 8% Breiten- und 17 Längengrade. Dem mittleren Parallelkreis würde also eigentlich eine Breite von 51°40' zukommen. Um jedoch den Anschluß an die grundlegenden Arbeiten von Gauß: „Untersuchungen über Gegenstände der höheren Geodäsie“. 1. Abhandlung 1843, enthalten in Band IV von Carl Friedrich Gauß’ Werke, Göttingen 1873, nicht zu verlieren, und in Erwägung, daß bei der im Jahre 1877 stattgehabten definitiven Einführung der neuen Berechnungsart bereits so viele Messungsergebnisse unter Benutzung der Gaußschen Tafel endgültig berechnet waren, daß es nicht mehr zweckmäßig erschien, zu einer andern Normalbreite überzugehen, hat man angenommen:

B₀ = 52° 42'2,5325", b₀ = 52° 40'.

§ 11. Nachdem wir so die Vorstellung über das abzubildende Gebiet fixiert haben, gilt es a, r und k gemäß den Gaußschen Festsetzungen zu bestimmen. Wir schreiben für m:

1) Auch v. Schmidt, Oberstleutnant ä la suite des Generalstabes, Die Projektionsmethode der Trigonometrischen Abteilung der königl. preußischen Landesaufnahme, Zeitschrift für Vermessungswesen, 1894, S. 385 ff., wurde zu Rate gezogen.

arV cos (b₀ -j- q)

ccos(5₀ +p)

und stellen an die Bildkugel K vom Radius r die Forderung, es soll an der Stelle B₀, L₀ bezw. b₀, 1 = 0,

m = 1

sein, d. h. es ist

1)

mp=o= 1 =

arF₀ cos b0 ccos B₀ ⁷

wenn

r₀ = (i + £l² cos²^₀) ist. Es bedeutet dies die längentreue Abbildung der Umgebung der Stelle JBQ, L₀. Im allgemeinen ist nun

m = fißo + p) =

Da p, wie wir soeben gesehen haben, höchstens 5° 16' ist, also immerhin als eine kleine Größe gelten kann, so entwickeln wir m nach dem Taylor sehen Satze und erhalten

p³ Id³m\

3! \dcp³)p = lj

Um nun eine noch innigere Beziehung zwischen Sphäroid und Bildkugel herzustellen, setzt Gauß fest, es soll nicht bloß

also log m

1)

in

-W-l

p = o

sein, sondern es soll ferner sein:

2)

/d log m\ _ ^

\    / p = o

d. h.

Id m\

\dcpj

('

3)

so daß also das Vergrößerungsverhältnis für jeden Punkt der Sphäroid- oder der Kugelfläche nur um eine Größe dritter Ordnung von 1 abweicht, wenn man den Abstand p eines Punktes vom Normalparallelkreis JB₀ als Größe erster Ordnung ansieht.

Es war

ar cos b

demnach ist

c cos qp

V:

und daher

d log m

log m = log fl- log cos b — log cos <p -f- log V, , idb ,    1 dV

¹

cos 2g)' — 2 cos 49p' = 0.

²

cos 2cp' = cos 4cp',

³

d. h. das frühere px ist hier 1, und das frühere p₂ hier Also ist

dep

-t8&3= + t89’ +WS?'

104 Zweites Kapitel. Die flächentreue u. die winkeltreue Abbildung u. s. w. Da, wie oben gezeigt,

db

cc cos b

ferner

dcp

V² ■ cos qp ’

dV

f, * sin qp cos qp

ist, so ergibt sich d log m

dcp

cc cos b

dcp

V² ■ cos qp

+ tg <p —

f,² sin qp COS qp

— cc sin b -(- V² sin qp — f,² cos* qp • sin qp

V² ■ COS qp

— cc sin b -(- sin qp {V² — t,² cos² qp) V² ■ cos qp

sin cp — cc sin b

V² ■ cos qp

Dies soll für p = 0, q = 0 verschwinden, also besteht die Gleichung sin B₀ = a sin b₀.

2)

Wir bilden weiter

d² log m

F²cos²qp— aF²cosqpeos& ~ — (sinqp — asin?/) ^F“^

cosqp —

F²sin qp^

dcp²

V⁴ cos² qp

(sin qp — a sin b) ^2 cos cp —

F sin qp^

⁼ F⁴cos²y i ⁷² cos²<p-a²cos²&}

Setzen wir hier p = 0, q = 0 ein und beachten, daß der zweite Teil alsdann wegen der Gleichung 2) verschwindet, und daß das Ganze nach Gauß verschwinden soll, so ist V₀² cos²_B₀ = cc² cos²&₀,

(1 + bx² cos²I?₀) cos²!^ == a² cos²&₀,

• cos⁴l?₀ = a² — (a² sin²&₀ -f- cos²i?₀),

F³C0S²qp

oder wegen 2)

Demnach

£x² • cos⁴ B₀ = a² — (sin²I?₀ + cos²5₀).

3)

a² = 1 -\- ex² ■ cosiB₀, oder aber auch, wenn man einfach die erste dieser Gleichungen radiziert:

cos B₀

cos b₀

■r₀,

3')

cos B

cos b₀

o_ -| /l — t²sin²J?₀

„ V i

- s²

Nun war

1)

urV₀ cos b0 c • cos B₀

Setzt man für a den Wert ein, so bestimmt sich r durch die Gleichung

rV₀

a² (1 — f²)

Wegen

ist

b — a}/1 — s²

4)

d. h. nach § 9

^ _ aj/l — e*

T (1 — £²sin *B₀)’

4')

r = A,

es ist der Radius der Bildkugel gleich dem, mittleren Krümmungshalbmesser des Erdsphäroids an der Stelle P₀, welche die geographischen Koordinaten B₀, L₀ hat.

Man kann demnach für die Rechnung den folgenden Gang einschlagen. Man nehme auf dem Sphäroid eine Mittelbreite (cp =) B₀ beliebig an, berechne aus der Gleichung Yb) das dazugehörige (ghx =)^o ^er Normalkugel Kn, darauf a nach 3), jetzt die Breite b₀ der Bildkugel K nach 2), alsdann den Radius A derselben nach 4) und endlich k nach der aus VII) zu bildenden Gleichung:

j • cot“ ^45° — y) ’

h = tg ^45°

Um diese Rechnungen bequemer anstellen zu können, hat Gauß empfohlen, Hilfswinkel einzuführen. Er setzt

sin x — £ log sin i = log e

= 8,912 205 2118-10 l = 4° 41' 9,981".

Es folgt daraus weiter

1 — £2 sin² x

~ COS²JJ

= tg²r.

Daher

3)

Gauß setzt

CC² = 1 + COS⁴I?₀,

a² = 1 + tg²* cos⁴R₀.

2*

Demnach ist

tg£ = tgr cos²i?₀.

a²=l+tg²£

cos² £

3")

Also

a = --r

cos £

2)

sin b₀ = cos £ • sin I?₀. Ferner ist der Radius der Gauß sehen Kugel

4)

a cos %

Gauß setzt

(1 — sin² x sin² B₀)

3*

sin 6 = sin % sin B

alsdann ist

4")

«cos* cos² 6

Damit ist der Weg, der einzuschlagen ist, genügend charakterisiert, und doch sind wir noch nicht am Ziel. Gauß zog es nämlich vor, statt von einem gegebenen Werte des B₀ von einem solchen von b₀ auszugehen. Er wählte auf der Bildkugel die Normalbreite

b₀ = 52° 40'.

Es ist demnach jetzt noch zu zeigen, wie man umgekehrt von einem gegebenen b₀ zu dem zugehörigen B₀ gelangt; es gilt vor allem £ als Funktion von b₀, statt wie in Gleichung 2* von _B0 zu ermitteln.

Es war

2*)

Nun ist nach 2)

tg S = tg l ■ cos² Bo

= tg X • (1 - sin2 B₀).

2)

sin B₀ = a sin b₀

und nach 3")

sin % (1 — 2 sin² b₀) = sin % (1 — 2 cos² £) + 2 sin £ cos £ cos % sin ^ • cos 2b₀ = — sin % • cos 2£ + sin 2£ • cos % sin x • cos 2b₀ = sin (2£ — x) •

Demnach ergibt sich £ aus der Gleichung

4*)

sin (2£ — ß) = s ■ cos 2ft₀.

Jetzt kann man wieder der Reihe nach JB₀, A, h berechnen. Treten wir also wirklich in die Berechnung der Fundamentalgrößen der Ga «/Ischen Kugel ein, so ist auf Grund der Formel 4* anzusetzen:

log £ = 8,912 2052 - 10 log cos 74° 40' = 9,422 3176 - 10

aber

daher ist

cos £’

sin- b₀

tg S =* tg z (i

cos £

sin £ cos £ cos x — sin x cos² £ — sin % sin² b₀

sin i sin² b₀ = sin x cos²£ — sin £ cos £ cos % .

Multipliziert man beide Seiten mit 2 und zieht man sie von sin x ab, so ist

cos² £

sin £ cos £

/ __ sin² 6₀\ \ cos² £/

log sin (x ~ H) = 8,334 5228 - 10 *-2£=l°14' 16,375",

daher

Ferner

Nach 2) ist

X = 4° 41' 9,981" (genau 4° 41' 9,9862"), £ = 1° 43' 26, 803" (1° 43' 26,804 02").

log (~) = log cos £

= 9,999 8033 - 10 1 = 0,999 547 26 (0,999 547 287)

log a = 0,000 196 6762

a = 1,00045293 (1,000452 918 118).

sin JB₀ =

sin b₀

cos £

log sin B₀ = 9,900 6298 — 10,

B₀ = 52° 42' 2,56" (52° 42' 2,532 51").

Nach 3* ist

daher

daher

sin 9 = sin % sin B₀,

log sin 9 = 8,812 8350,

0 = 3° 43' 34,247".

Wir gehen jetzt zur Berechnung von A über. Nach 4") ist log a = 6,804 643 464 log cos i = 9,998 545 797 — 10

log (a cos %) = 16,803 189 261 — 10 - log cos² 9 = - 9,998 161 896 + 10

log A = 6,805 027 365 (6,805 027 4003)

-4 = 6 383 038,24 m (6 383 037,564 m)

ist der Radius der 6ra«(ßschen Kugel groß.

Wir gehen jetzt zur Berechnung von k über. Nach der Formel Vb) ist ifto gegeben durch

% = Bq- 690,258" sin 2B₀ + 0,957 14" sin 4jB₀,

% = 52° 42' 2,5325" - 690,258". sin 74° 35' 54,935"

- 0,957 14"- sin 30° 48' 10,13", ik₀ = 52° 42' 2,5325" - 665,4702" - 0,4901",

% = 52° 42' 2,5325" - 11' 5,9603",

% = 52° 30' 56,5722".

Demnach ist

k = cot“ ^45° — y) • tg ^45° — y) >

k = cot“ 18° 44' 31,7139" • tg 18° 40', log k = a log cot 18° 44' • • • + log tg 18° 40', log k = 0,998 3286 - 1 (0,998 329 1195 - 1),

log (-1) = 0,001 6714 (0,001 670 8804),

k = 0,996 16, y = 1,003 8547.

Die eingeklammerten Zahlen gehen die genauen, teils von Gauß selbst berechneten, Werte an; man hat sie unter Anwendung von 10- bis 15-stelligen Logarithmen erhalten. Man erkennt, daß bei Anwendung von nur 7-stelligen Logarithmen sich eine für das praktische Bedürfnis völlig ausreichende Übereinstimmung mit den genauen Werten ergibt, sind doch die Winkel erst in der zweiten Dezimalstelle der Sekunden mit einer gewissen Unsicherheit behaftet.

§ 12. Nachdem so die Fundamentalgrößen der Gauß sehen Bildkugel festgelegt sind, gilt es noch zu zeigen, wie der Übergang von dem Erdsphäroid zur Bildkugel bezw. der Übergang von dieser zum Rotationsellipsoid im allgemeinen vollzogen wird. Kennt man die geographische Breite¹)

cp = B = Bq + p

und die geographische Länge eines beliebigen Ortes auf dem Erdsphäroid, zählt man die Längen positiv nach Osten vom Meridian von Ferro an, ist demnach

4 = 31°

die sphäroidische Länge des Hauptmeridians, dem auf der Kugel auch ein Hauptmeridian l = 0 entspricht, so ist allgemein die Kugellänge l gezählt von diesem letzteren

l - a(L-L₀),

und es ist die Kugelbreite gegeben durch

tg ^45°

VII)

wo da es eine Funktion des gegebenen Wertes cp, sich vorher durch die Gleichung Yb) (§ 7) in der einfachsten Weise ausrechnen läßt.

Etwas schwieriger zu lösen ist die umgekehrte Aufgabe, wenn die sphärischen Koordinaten b und l, also Kugelbreite und

Kugellänge, auf der Gaußschen Kugel gegeben sind. Wir ermitteln zuerst

L = L₀ + —,

und jetzt B mit Hilfe des Zwiscbenwertes W Offenbar ist durch der Winkel gegeben. Aus ihm ist nach Formel Y) die geographische Breite <p = B folgendermaßen zu bestimmen.

Es ist

V)

Man setze

so ist

sin g = s sin B,

1 -f- s sin B    1 -|- sin g

1 — s sin B    1 — sin g

Daher

= cot² ^45° —    • (vergl. § 5.)

oder

tg (45« - f) • cot' (45» - f) = tg (45» - f),

Yc)

tg (45» - |) = tg (45» - f) • tg* (45» - i) •

Aus dieser Gleichung wird B sehr einfach mit Hilfe eines Iterationsverfahrens gewonnen. Wäre nämlich £ = 0, so wäre auch g = 0, folglich alsdann B = ipt. Man berechne daher g aus sin fi' = s sin

setze es in Yc) ein, so entsteht ein Näherungswert B', der gegeben ist durch

tg (45° - ^-) = tg (45° -    • tgE (45° -    •

Nach Feststellung von B' setze man

sin fi" = s sin B'

tg (45« - A) ~ tg (45» - f) ■ tg* (45» - £),

und fahre so fort. Zur Erläuterung diene das folgende Beispiel. Wieder sei

Übergang von der {7aw/5schen Kugel zum Sphäroid.

111

so ist

b = 52° 40',

tg(45⁰ -|)={|tgl8°40'}a;

log tg (45° - y) = 77 {log tg 18° 40' - log Je),

= 9,530 5853-10,

45° - y = 18° 44' 31, 68", t, = 52° 30' 56,64";

es ist dies demnacli der im vorigen Paragraphen als be-zeichnete Winkel. Weiter ist

Daher

sin fi = £ sin 52° 30' 56,64" fi' = 3° 43' 1,141".

tg (45° - ^ = tg 18° 44' 31,68" • tg 43° 8' 29,43", log tg (45° - y) = log tg 18° 44' 31,68" + £ • log tg 43° 8' 29,43".

Sei

— 0 = s log tg 43° 8' 29,43" = £(9,971805 99 - 10) = - £ • 0,028 194 * = £ • 0,028 194 log 0 = log £ -f log 0,028 194 = 0,362 361 99 -3

0 = 0,002 3034

log tg (45°-^) = log tg 18° 44' 31,68" - 0,002 3034 = 9,528 2819 - 10 45° — ^= 18° 38' 59,51"

Weiter ist

73' = 52° 42' 0,98" (1. Näherungswert für B).

sin fi" = £ sin 52° 42' 1", fi" = 3° 43' 34,17".

Demnach ist anznsetzen:

tg (45° -    = tg 18° 44' 31,68" • tg 43° 8' 12,915",

log tg (45° - ^) = log tg 18° 44' 31,68" + £ • log tg 43° 8' 12,915"

Sei

flog tg 43° 8' 12,915"

= £(9,9717363 - 10)

= -£•0,028 2637 ^ = £-0,028 2637; log z = log £ -f- log 0,028 2637 = 0,363 434 14 - 3, z = 0,002 3090.

log tg (45°-^) = log tg 18° 44' 31,68" - 0,002 3090 = 9,528 2763 - 10 45° — ^ = 18° 38' 58,71"

B" = 52° 42' 2,58"    (2. Näherungswert für B).

Der richtige Wert ist

B = 52° 42' 2,532 515 6381",

welchen genaueren Wert eine 7-stellige Logarithmentafel natürlich nicht leisten kann.

Gauß hat seinen „Untersuchungen über Gegenstände der höheren Geodäsie“ eine Tafel der B beigegeben, die unter Annahme eines gegebenen b den Wert von B auf fünf Dezimalen für die Sekunden angibt; sie erstreckt sich von b = 46° 40' bis b = 58° 40'. Schreiber, Die konforme Doppelprojektion, Formeln und Tafeln, gibt (B — b) für b = 44° 20 bis b = 61° und zwar ebenfalls die Sekunden mit einer Genauigkeit von fünf Dezimalen. Wir geben aus der Tafel I dieser Publikation den nachstehenden Auszug. Einen solchen aus der Gauß sehen Tafel findet man auch in J. Bienger, Abbildung krummer Oberflächen aufeinander und Anwendung derselben auf höhere Geodäsie. Braunschweig 1858, Friedr. Vieweg und Sohn, desgleichen in Jordans Werk, Bd. III, 4. Aufl. 1896, Anhang S. [60]—[61].

Gauß sehe Tafel für die Kugelbreiten.

113

Wir geben durch den folgenden Auszug einen Einblick in die Gauß sehe Tafel.

44° 20' 44° 30'

45°

45° 30'

46°

46° 30'

47°

47° 30'

48°

48° 30'

49°

49° 30'

50°

T 3,96 572” 5,56 352” 10,25 250” 14,78 466” 19,15 982”

23.37    787” 27,43 875” 31,34 249” 35,08 915” 38,67 888” 42,11 187”

45.38    839” 48,50 876”

50° 30'

51°

51° 30'

52°

52° 30' 52° 40'

53°

53° 30'

54°

54° 30'

55°

55° 30'

56°

1' 51,47 338” 54,28 270” 56,93 723” 59,43 754” 2'    1,78 428”

2,53 252” 3,97 814” 6,01 989” 7,91 036” 9,65 042” 11,24 102” 12,68 318” 13,97 795”

56° 30'

57°

57° 30'

58°

58° 30'

59°

59° 30'

60°

60° 20' 61° 2T 60° 22' 60° 30'

61°

2' 15,12 648” 16,12 995” 16,98 961”

17.70    677” 18,28 280”

18.71    913” 19,01 726” 19,17 872” 19,21 124” 19,21 129” 19,21 120” 19,20 514” 19,09 817”

Diese Tabelle zeigt uns, daß die größte Differenz zwischen geographischer (sphäroidischer) und Gaußscher Kugel-Breite für

B(=(p) = 60° 23'19,21129" und h = 60° 21' stattfindet. Wir stellen die Maximaldifferenzen des Vergleichs

o

wegen zusammen:

Abbildung durch reduzierte Breiten (Du Sejour)

: 5'45,326"; „ : 11'30,66 ";

„ geozentrische winkeltreue Abbildung auf der Mollweideschen

Kugel

„ der Gaußschen Kugel

: 11'30,261";

: 2'19,21129".

Die von Gauß für die Triangulierung des ehemaligen Königreiches Hannover in den Jahren 1821—1825 ersonnene konforme Projektion des Erdsphäroids auf die Kugel erweist sich demnach als eine geniale Ausgestaltung des Mollweide sehen Gedankens.

Wir geben zum Schluß noch einen Einblick in den Aufbau der Gaußschen Tafel, wie ihn Gauß in den Art. 6 und 8 seiner „Untersuchungen“ lehrt, da das mehr elementare im Eingang

Haentzgchel, Das Erdsphäroid.

gelehrte Iterations verfahren höheren Ansprüchen an Genauigkeit in betreff der Sekunden nicht zu entsprechen vermag.

Aus der Formel VIII) des § 10 geht unzweifelhaft hervor, daß b eine Funktion von cp, d. h. der sphäroidischen Breite B ist. Demnach ist auch umgekehrt:

B-m

B-f{b„ + (b-\)}.

Nach dem Taylorscken Satze ist

m-m+(x-\)f\\)+

Setzt man also

so ist

x = b, f(b₀) = B₀,

welche Reihe in betreff ihrer Konvergenz kleine Werte von (b — b₀) voraussetzt. Da b₀ = 52° 40' ist, das Triangulierungsgebiet des Deutschen Reiches sich nach Norden bis 55° 54' erstreckt, nach Süden hin bis 47° 26', so schwankt die fragliche Differenz zwischen

+ 3° 12' und -5° 16'.

Die Erfahrung zeigt, daß es genügt, die ersten vier Glieder dieser Reihe festzustellen; wir beschränken uns auf die Berechnung von nur dreien, wodurch die Methode völlig klar gemacht wird.

Das erste Glied ist uns bekannt, es ist B₀ = 52° 42' 2,53252".

Das zweite Glied ist

b = b₀

m)=(m

= (—\    •

\db)b = bo

Nun hatten wir im § 10 bei der Berechnung des Vergrößerungsoder Längenverhältnisses m bereits gefunden (S. 100):

db db

a cos b

öTcp ⁼ dB ⁼ F* cos B ’

wo

Demnach ist

F² = 1 + £l² cos² B.

F₀ ² cos B₀

a cos b₀

(P log m

Es hatte aber die Gauß sehe Forderung ^

V₀ cos B₀ = a cos b₀.

dep²

) = 0 ergeben (§ 11)

' *0

Folglich ist

m) - Q

6 = 6₀

= (i + h² cos2 soT •

Da diese Größe offenbar größer als Eins ist, so setzen wir V₀ = (1 + £X² cos²2?₀)

- fr²

Alsdann ist

— 1 ff" d-1-

ro>) = f -

a cos b

VHmB~) + aF²cos_Bsin?,}-

dV

oder

B — b — B₀ — b₀ + Ax (b — b₀) + A₂ (b — &₀)² -j- • • •.

Wir leisten jetzt noch die Bestimmung von A₂. Es ist

F² cos B a cos b ’

daher

f'YM — d (v*coaJB ' W — db \

-sw»{“cosK2FcosB«

Nun ist

2F

dV

demnach

= — 2 cos B • sin B •

dB

db >

rw-

a cötPE+ ^£i2 cos2B) cosb sin_B^ + F² cosjB sinb j

F cos B sin&|

{a sin b — sin B — 3 £₁² sin B cos² B} •

F²

o: cos²ö

{-(l + 3£l²cos²J5)

sin B cos B

cc

F² cos B

a² cos² b

Daraus leiten wir ah:

Die Differenzen B—b, B₀ — b₀ und b — b₀ sind hier natürlich in analytischem Maß gemessen. Da der Maßzahl 2?r ein Winkel

180°

von 360° entspricht, so wird der Einheit ein Winkel von

180

entsprechen. Die Multiplikation jedes Gliedes mit — wird

demnach bewirken, daß Winkelgrade sich rechts und links gegenüberstehen. Wünscht man, daß links und im ersten Gliede rechts Sekunden stehen, die übrigen Glieder rechts aber Minuten angeben, so wird man unsere Reihe schreiben müssen:

(B-h)~ 3600"= (B₀- b₀)    • 3600"+ (F₀-l) • 60 {(6 - b₀) ~ • 60'}

sin (2 b₀)

A = ~f"(b „)

1    F₀ ² cos B₀

2    a² cos² b₀

{u sin b₀ — sin B₀ — 3£x² sin B₀ cos² B₀} •

Infolge der Gauß sehen Forderungen war sin B₀ — a sin b

daher ist

F₀² cos²B₀ = a² cos²&₀,

Ä₉ = -

Y £t² • sin B₀ ■ cos B₀

a² sin b₀ cos b₀

F>

sin (2 &₀)

wo F₀ nach § 11 sich bestimmt aus

T.-Vi-

Demnach ist endlich

IX) if—6=^₀—&₀ + (n—1)(&—6₀)—

sin (2 b₀)

Vo

(b-b₀y+-

~{(6-W+-60f

Nun ist bekanntlich infolge der von Gauß getroffenen Wahl:

(B₀ - b₀)    • 3600"= 122,53252".

Ersetzt man die linke Seite einfach durch B — b, das jetzt Sekunden angibt, und desgleichen jede geschweifte Klammer

rechts durch b — b₀, das jetzt in Minuten gegeben ist, so ergibt sich, wenn man für die Koeffizienten ihre Zahlenwerte einsetzt, nach Schreiber (S. 15)

IX a) B - b = 122,53252" + 73,97535 (^=^)

- ⁸⁴>⁷⁹⁵⁸ (w) + ⁴’⁶⁴¹⁹ 0) + •' •

(7? — b in Sekunden, b — b₀ in Minuten gerechnet.)

bei (b — b₀)³ ab-

wenn man

Differenziert man die rechte Seite dieser Gleichung nach b und setzt man den erhaltenen Ausdruck gleich Null, so erhält man, wie dies bereits früher auseinandergesetzt worden ist, denjenigen Winkel b, für welchen der Maximalwert der Differenz (B — b) eintritt. Es ergibt sich, bricht, eine quadradische Gleichung mit der Lösung

b-\ = 461',

d. h. es ist

b = 60° 21'.

Nach diesen Vorbereitungen ist es ein leichtes, umgehehrt b — b₀ als Funktion von B — B₀ darzustellen, und damit die Formel VIII) durch eine Reihenentwickelung zu ersetzen. Sei auf Grund dieser Formel

also

so ist

b = F(B),

K = f(b₀),

b = F(B₀ + (B -Bj),

Es ist

db

FiB)-JB-

F'(.B₀) = ±,

wie vorher auseinandergesetzt wurde. Es ist

u cos b

F*cos B’

daher

F" (B) =

d*b

woraus sich ergibt

dB*

d ( u. cos b \ ⁼ dB VF*cosb) ’

V* (1 + 2F₀) sin 2 B₀ _

Setzt man dies ein, wandelt man das analytische in Winkelmaß

180

um

durch Multiplikation mit —, und rechnet man links nach

Sekunden, rechts aber nach Graden, wozu Glied für Glied mit 3600 zu multiplizieren ist, so erhält man nach Gauß (Werke Bd. 4, S. 269):

pä) + 3041,38652 (^p)

- 946,26056 (-

Dr. Schreiber gibt auf S. 16 eine andere Formel, zu deren Herleitung die Lagrangesehen Entwickelungen in § 6 offenbar benutzt worden sind.

100

X) b-b₀ = 359 556,69447

100

§ 13. Es gilt nun zum Schluß dem Vergrößerungs- oder Längen Verhältnis m noch einige Worte zu widmen. Bereits im §11 hatten wir, ausgehend von

m = f(B₀ + p),

m in eine Potenzreihe entwickelt: es war

= f(B₀) + (B-B₀)(f|)

(.B — B₀)³ /d³m\ 3!    [dB³)

B=B₀

B = B₀

(B - Boy /d- m\ 2!    VdBV

B=B₀

(B — J5₀)⁴ /d*m\ 4!    [dB*)

B=B₀

Die Gaußschen Forderungen an die Bildkugel K hatten das zweite und dritte Glied dieser Reihe zum Verschwinden gebracht, so daß also

m ==

a A cos b

sich darstellt als

c cos B

(B — B₀)³ /d³m\ 3! VdS¹/

B=B₀

(B — B₀)* /d*m\

4!    [dB⁴)

B=B₀

m ist demnach für Orte des Erdsphäroids, die eine erhebliche Entfernung vom Normalparallelkreis haben, von Eins verschieden. Gauß hat durch Berechnung einer Tafel für die Werte von log m auch hierin einen Einblick gegeben; wir lassen einen Auszug aus dieser Tafel folgen.

log m

log m

47°

+ 0,000 000 89

52°

— 0,000 000 00

48°

50

52° 30'

00

49°

24

53°

00

50°

09

53° 30'

00

51°

02

54°

01

51° 30'

01

55°

06

52°

00

56°

19

sieht, log m nicht über

man

Für die Zone 51° 30' bis 54°, die eine Breite von rund 275 km bat (Kap. I, § 12), geht, wie 0,000 000 01, also m wenig über Eins, hinaus; man kann hier geradezu von Längentreue sprechen. Will man diesen Vorteil auch anderen Zonen zukommen lassen, so muß man die Moll-weidesehe Normalkugel Kn auf einer (ratschen Bildkugel K abbilden, deren Hauptpunkt statt der Kugelbreite b₀ = 52° 40' einen geeigneteren Wert hat. Bis jetzt existiert neben der Gauß sehen Tafel nur eine einzige für den Normalparallelkreis bQ = 46° 36', die von Marek und Horsky für die Österreichisch-Ungarische Monarchie berechnet worden ist. Auch ihr liegen die Bessel-schen Erddimensionen zu Grunde; sie ist niedergelegt in Marek, Technische Anleitung zur Ausführung der trigonometrischen Operationen des Katasters, Budapest 1875; eine Besprechung derselben von Jordan findet sich in der „Zeitschrift für Vermessungswesen“ 1877, S. 40—46.

Es kann nicht zweifelhaft sein, daß das, was das Genie eines Gauß einst für Hannover ersonnen, in der Zukunft seinen Siegeszug über die ganze zivilisierte Welt antreten wird. Schon sind die Geographen in eine Diskussion über die Herstellung einer Weltkarte im Maßstabe 1:1000 000 eingetreten (vergl. Siegmund Günther, Geophysik I, mit seinen reichen Literaturangaben); diese Frage wird nicht mehr von der Bildfläche verschwinden. Einen Schritt weiter, und Landesvermessung mit dazu gehöriger Triangulierung werden auch in anderen Ländern dazu führen, jene großartige Aufgabe in Angriff zu nehmen, wodurch das Deutsche Reich allen voranleuchtet, die Herstellung von Meßtischblättern und Generalstabskarten. Wie in Deutschland dieses Unternehmen organisiert ist, und welche wichtige Stelle dabei der trigonometrischen Abteilung des Generalstabes zukommt, wolle man in der kleinen Schrift von Kahle, Landesaufnahme und Generalstabskarten, Berlin 1893, nachlesen. Würde Deutschland für das gedachte weltumspannende Unternehmen als Muster zu gelten haben, so ist es in diesem seihst doch nur eine Stelle unter den vielen. Hr. K. Hammer gibt in seiner schon oft zitierten Schrift: Zur Abbildung des Erdellipsoids, Stuttgart 1891, K. Wittwer, 40 S., durch eine Tafel (S. 28—29) einen Einblick

in die Werte von JB₀, b₀,    log A, die man erhält, wenn

man, wie unbedingt nötig, einen anderen Parallelkreis als Gauß wählt, und damit auf eine in ihren Dimensionen von der Gaußschen verschiedene Bildkugel K projiziert; dabei nimmt Hr. Hammer den Exponenten a als das gegebene an und ordnet nach steigendem Werte desselben; nachstehend ein Auszug aus dessen Tafel.

Bo

log A

0,002 8152 7886 7373 6067 5178 3464

1001

0,001 9997 9090 7245 6063 3027 0667

0,000 8618 6855 5327 4003

1898

0482

0000

6,806 0976 0104 6,805 9851 9385 8220 7419 5945 3862 3023 2264 0918 6,804 9732 7208 5081 3208 1514 6,803 9957 8508 5861 3468 1893

1,000 000

1,000 010

30

50

1,000 100

200

250

300

400

500

750

1,001 000 1 250 1 500

1,003 353 98

90° 0' 0,00" 80° 2' 43,92" 78° 40' 21,76" 76° 29' 32,27" 72° 5'49,70" 69° 33' 24,30" 65° 27' 26,98" 60° 23' 54,51" 58° 30' 46,19" 56° 51' 40,37" 54° 1' 27,66" 51° 35' 59,04" 46° 34' 21,79" 42° 22' 37,88" 38° 38' 9,14" 35° 9' 23,03" 31° 49' 2,64" 28° 31' 31,54" 21° 42' 34,89" 13° 28' 42,09" 0° 0' 0,00"

90° 0' 0,00" 80° 2'40,41" 78° 40' 16,67 ' 76° 29' 23,64" 72° 5' 30,56" 69° 32' 56,67" 65° 26' 41,77" 60° 22' 41,92" 58° 29' 22,01" 56° 50' 5,63" 53°.59' 27,59" 51° 33' 49,04" 46° 31' 38,53" 42° 19' 29,96" 38° 34' 43,39" 35° 5'45,52" 31° 45' 19,15" 28° 27'47,83" 21° 39' 10,15" 13° 26' 14,23" 0° 0' 0,00"

Konforme Doppelprojektion der kgl. prenß. Landesaufnahme. 121

§ 14. Nachdem die Abbildung des Erdsphäroids auf der Gauß sehen Kugel, der mathematisch schwierigste Teil der Untersuchung, ausführlich dargelegt ist, wollen wir zuerst Zweck und Ziel des Folgenden erörtern.

Seitdem durch Schreiber und Wittstein die Gauß sehe konforme Doppelprojektion 1866 der Öffentlichkeit übergeben worden ist, gilt es als die erste Aufgabe, möglichst viele trigonometrische Punkte durch ihre geographischen Koordinaten, geographische Länge und Breite, festzulegen. Diese Größen, unsere L und R, werden im Deutschen Reiche von der trigonometrischen Abteilung der Landesaufnahme veröffentlicht; ihre Umrechnung auf die l und b der Gauß sehen Kugel ist uns jetzt geläufig. Nachdem Preußen vorangegangen ist, teilt man die abzubildende Fläche des Deutschen Reiches in die im 1. Kapitel § 17 erwähnten sphäroidischen Trapeze von entweder 6' geographischer Breite und 10' geographischer Länge, das Meßtischblatt, oder 15' geographischer Breite und 30' geographischer Länge, die Generalstabsharte. Ein solches trapezartiges Viereck wird zuerst • honform auf die Gaußsche Kugel und von dieser honform durch die sogenannte Mercatorsche Projektion auf die Ebene übertragen. Es handelt sich also um eine konforme Doppelprojektion, die man auch eine Polyeder Projektion genannt hat, da, wenn man das Erdsphäroid im Maßstabe 1 : 25 000 hersteilen und auf diesem die vorher genannten sphäroidischen Maschen von 6' geographischer Breite und 10' geographischer Länge durch ihr Bild, nämlich das ebene Meßtischblatt, ersetzen würde, alsdann ein Polyeder entsteht. Daraus geht sofort hervor, daß man aus Meßtischblättern oder Generalstabskarten, die auf dem Sphäroid aneinander grenzen, wenn man sie mit ihren Rändern aneinander heftet, keine zusammenhängende ebene Karte hersteilen kann. Zwischen zwei Blättern, die man in der Ebene ausbreitet, besteht eine Klaffe oder Lücke, die, zwar gering, doch eben vorhanden ist; freilich macht sich dies für wenige Blätter, die zonen- oder bandenweise zusammengelegt werden, nicht sehr bemerkbar.

Wir müssen also zunächst zeigen, wie man das Bild des Sphäroids von der Gauß sehen Kugel konform oder winkeltreu auf die Ebene überträgt. Da dies mit Hilfe der Mercatorschen

Diese von dem berühmten deutschen Geographen Gerhard Mercator — er hieß eigentlich Gerhard Cremer, war 1512 in Rupelmonde in Holland von deutschen Eltern geboren und starb 1594 in Duisburg a. Rh., woselbst ihm ein Denkmal gesetzt ist — aus dem Jahre 1569 herrührende Projektion gehört zu den zylindrischen, indem man sich um die abzubildende Kugel einen Zylinder längs des Äquators gelegt denkt. Der Äquator wird also längentreu abgebildet. Die Fig. 12 stelle die Gaußsche Bildkugel dar mit dem Nordpol N, dem Südpol N' und dem Äquator AOÄ. Alle Meridiane schneiden AÄ rechtwinklig; die Bögen NDN' und NEN' mögen zwei Meridiane darstellen. Machen wir den Äquator zur Abscissenachse, den

Projektion erfolgt, so müssen wir uns zuerst mit dieser beschäftigen. *)

JV

durch den Punkt 0 gehenden Meridian zur Ordi-

fti

\ -°\ro

Figur 12.

natenachse, so hat der Punkt F die sphärischen rechtw inkligen Koordinaten £ und nämlich 0D = £ und I) F = tj, in Metern gemessen. Die Ordinate b ist demnach der senkrechte Abstand des Punktes F vom Äquator, die Abscisse £ der Abstand des Fußpunktes dieses Perpendikels von dem im Äquator willkürlich gewählten Anfangspunkt 0. G sei ein zweiter Punkt der Kugelfläche mit den rechtwinkligen sphärischen Koordinaten £r und t/. Wir denken uns die Punkte F und G durch einen Großkreisbogen FG²) verbunden, ziehen durch F den Parallelkreis FH und nehmen an, das sphärische Dreieck FGH sei unendlich klein. Dann ist ______ BE = di, GH = dp- FG = dS.

1)    Nach der zeichnenden Seite geschieht das in Müller und Presler, Leitfaden der Projektionslehre. Leipzig, Teubner 1903. (Ausgabe A, S. 277.)

2)    In Figur 12 lese man FG — dS, statt ds.

Ist A der Radius der Gaußschen Kugel, so ist

^DNE-~di,

im Bogen- oder analytischen Maß gemessen. Ist r' der Radius des Parallelkreises, von dem FH ein Bogenelement ist, so ist r' gegeben durch

i).

r' — A cos

wo das den t) Metern entsprechende Bogenmaß ist. Ferner ist

= di • cos

g'

dx x 0 EDO

Figur 13.

Es sei das unendlich kleine sphärische Dreieck FGH in Fig. 13 durch das ihm ähnliche rechtwinklige, ebene Differentialdreieck F'G'H' abgebildet, und es habe der Bildpunkt F' die Koordinaten x, y, in Metern gemessen, der Bildpunkt G' die Koordinaten x A dx, y A dy- endlich

sei

F'G' = ds.

Das Abbildungsprinzip der Winkeltreue oder Konformität verlangt Ähnlichkeit in den kleinsten Teilen, deshalb verhält sich F'G' _ F'H' _ H'G'

FG ~ FH ~~ HG »

oder

ds

dx

dy

dS

(1) *

di ■ cos

Da der Äquator längentreu abgebildet werden sollte, so ist

l = x.

Bezeichnet man das Vergrößerungs- oder Längenverhältnis mit m, so ist

ds

cos

Ferner ist

(1)

dy 1 dl)

Ä ⁼ Ä ' “

cos

(Ä

oder

dy

cos

Nun ist nach § 5:

(I)

cos

(!)

cos

(i)

cos

(!)

2 1 + 8in(!)

1 — sin

(1)

also erhält man durch Integration, die auf natürliche Logarithmen führt,    *

-= f-

A J °os

*(!)

(!)

+ c,

-i]»(l+ »»(!))

1+sin(!)

— sin

Es ist aber

(1)

+ C.

¹ ± sin (1) - {ein² (^j) + cos² (£) } ± 2 sin (£) cos (£)

- (C0S(Ä)± ■*>(£)}’

Setzt man dies ein, so erhält man

+ 0.

Da für == 0 auch y — 0 ist, so ist

y ==    • ln

tgf + tg(Ä)

oder endlich

XI)

Will man y bequem und genau berechnen, so entwickele man es in eine nach Potenzen von 44 fortschreitende Reihe. Es ist

=1 + ts& + ts²-o + tg³Ä: + ---

Demnach

l + %#7

l-*h.

2A - (l + tg^j) (¹ + tg^J + tg?^J + tg³^ + -j = l + 2tgJjH-2tgsJj + 2tga ~2 + • ■ • •

¹

Wegen der Methoden zu ihrer Bestimmung vergl. P. Güßfeldt, Grundzüge der astron.-geogr. Ortsbestimmung. Braunschweig 1902. Vieweg u. Sohn.

Folglich ist

¹⁾¹‘»(t + Ä)“¹“

¹+**Ä

x-tgÄ/

-ln(lH-2tgA + 2tg!i + 2tgsA + ...),

-2‘gÄ+|‘g⁸Ä+|-ts⁵Ä+itg,Ä+--

Denn da bekanntlich

i /i i    , i³ I⁴ , i⁵

In(l + l)- + i-T + T-T + T--

ist, so geht daraus für

| = 2m + 2m² + 2m³ 4- 2m⁴ + • • •

hervor

= 2m

wie es soeben behauptet war.

XII)

Wir sind am Ziel. Man erkennt aus dem Werte von y, daß alle Parallelen zur £-Achse, für welche doch t) = constans ist, auch im Bilde Parallelen zur x-Achse sind. Da unserer Annahme nach die j-Achse der Äquator ist, so werden demnach alle Parallelkreise sich auch im Bilde als dem Äquator parallele Geraden darstellen. Desgleichen werden wegen £ = x alle Meridiane, für die doch £ = constans ist, auch im Bilde als parallele Geraden wiedergegeben werden.

Zum Schluß wollen wir noch einer kritischen Bemerkung Raum geben.

(IHG)■

Wenden wir dies an, so ist

y~A i“tg(f+ ä)

Endlich ist das Vergrößerungsverhältnis m gegeben durch m —

XI)

XIa)

cos

(1)

= U -f-

Nun ist weiter, wie bekannt¹),

M² tt⁴    U⁶

¹    2T*'47    ßT — ‘

cos u

Deshalb ist

— = (i

cos u \

w⁴

•r

Demnach ist

61 -6!M

sin u cos u

-(-f;+f>-K¹+?;+7r+Si*+-)

t + Ä“⁵ + ^“⁷+---

Führt man die Funktion secans ein, bekanntlich der umgekehrte Wert vom cosinus, so ist dy

-4- = sec

Offenbar steben rechts und links unendlich Meine Größen, die man summieren muß;, um y zu erhalten, d. h. man hat eine Summation von unendlich vielen, aber unendlich kleinen Größen, also eine Integration auszuführen. Dabei ist eine Grundbedingung die, daß die Summanden ihrem Werte nach eine stetige Folge bilden, d. h. daß sie sich nur um unendlich wenig voneinander unterscheiden. Irgend ein mit dem Geiste der höheren Mathematik wenig vertrauter Autor hat geglaubt, unsere letzte Gleichung dadurch elementarisieren zu können, daß er dieselbe schreibt:

= sec 1' + sec 2' -f- sec 3' -j- sec 4' -f • • •

und nun behauptet, die höhere Analysis wäre imstande zu zeigen, daß die rechte Seite

-lntg(f +₂’₄)

sei. Es ist dies auf jeden Fall falsch, da

sec 1' + sec 2' -j- sec 3' -f sec 4' -f- • • • eine Summe darstellt, deren Summanden ihrem Werte nach eine diskontinuierliche oder unstetige Folge bilden, womit die höhere Analysis, im besonderen die Lehre vom Integral, nicht bloß nichts zu tun hat, nein, was sie ganz besonders von der Betrachtung ausschließt. Es ist zu bedauern, daß die genannte falsche Behauptung Eingang in die Lehrbücher gefunden hat; ich nenne die elementare kleine Kartenkunde der Göschen-Bibliothek (Kr. 30) und auch Zöppritz-Bludau, der an solchen Stellen, wie ich schon oben behauptet hab.e, den bündigen Beweis dafür erbringt, daß ein tieferes Verständnis der winkeltreuen oder konformen Abbildungsarten ohne Kenntnis der Elemente der Differential- und Integralrechnung in dem geringen Umfange, wie sie hier verlangt werden, einfach unmöglich ist. Und doch will ich nicht verschweigen, daß der einfachste der konformen Entwürfe, Mercators Projektion, in elementarer Weise dem Verständnis zugänglich gemacht werden kann. Es ist das Verdienst von Herrn Holzmüller, der sich seit 1888 um diese Aufgabe bemüht hat, sie endlich einwandfrei, freilich auf einem längeren Wege, wie man es bei solchen Elementarisierungen immer beobachten kann, gelöst zu haben; man findet sie im 1. und 2. Bande seines großen vierbändigen Werkes über Stereometrie (Leipzig, Göschen, 1900—1902). Herr Holzmüller wäre vielleicht schneller zum Ziele gelangt, wenn er eine Bemerkung bei JBreusing, Das Verebnen der Kugeloberfläche, Leipzig, 1892, beachtet hätte, wonach der von ihm eingeschlagene Weg schon von dem berühmten Astronomen Halley beschritten worden ist. Es ist mir zwar nicht möglich gewesen, diese Notiz nachzuprüfen, und es liegt mir fern, hiermit etwa die Priorität oder gar das Verdienst von Herrn Holzmüller um diese Aufgabe an tasten zu wollen. Im Gegenteil; ich benutze diese Gelegenheit, um zu betonen, daß literarische Notizen und bloße Hinweise auf Schriften und Bücher, die nicht mehr allgemein zugänglich, wertlos sind. Wenn aber gar in wissenschaftlichen Lehrbüchern, statt den Sachverhalt darzustellen, auf solche verwiesen wird, so erscheint dies recht bedenklich; bei den winkeltreuen Entwürfen zeigt sich z. B. bei Zoppritz - Bludau diese Schwäche, wo im Anfang Grunert, Loxodromische Trigonometrie später Littrow, Chorographie, zitiert sind, welche Bücher heute nicht mehr als genügend verbreitet gelten können; vielleicht gibt diese Kritik, die kein Tadel sein soll, den Anlaß, daß in dem zuletzt genannten Lehrbuche in einer neuen Auflage nun auch die winkeltreuen Entwürfe eine wissenschaftliche Darstellung finden.

§ 15. Wir kehren jetzt zu unserer ursprünglichen Aufgabe zurück und zeigen, wie Mercators Projektion in einem enveitertcn Rahmen bei der Herstellung der Generalstabskarten und der Meßtischblätter Anwendung findet. Offenbar kann man statt des Äquators der Gaußschen Kugel jeden beliebigen anderen Großkreis, also auch einen Meridian zur j-Achse machen; wir haben dazu nur das Koordinatensystem um 90° zu drehen, wie unsere Figuren 14 und 15 dies darstellen; ein Punkt wird so durch seine Soldnerschen Koordinaten definiert, ln dem analytischen Aufhau der Formeln ändert sich dadurch gar nichts. Freilich wird sich jetzt nur der Hauptmeridian der Karte — er befindet sich 31° östl. von Ferro — als eine gerade Linie darstellen; die übrigen Meridiane werden einen Winkel mit demselben bilden, den man die Meridiankonvergenz nennt. Desgleichen werden sich als gerade Linien alle diejenigen kleinen Kugelkreise darstellen, die für das Bild des Hauptmeridians auf der Gaußsehen Kugel, also 1 = 0, die Parallelkreise sind. Dies sind natürlich infolge unserer Festsetzung nicht Parallelkreise im geographischen Sinne; im Gegenteil es sind auf den Karten von

2f

nldZ b4s

\a!

dx

\<ty/

ds

Wr

Ob

A"

Figur 15.

Figur 14.

Meßtischblatt oder

Norden nach Süden verlaufende gerade Linien. Ziehen wir also durch die Mitte eines Kartenblattes Generalstabskarte — eine solche von Norden nach Süden gehende Gerade (x-Achse), so ist die Meridiankonvergenz c im Punkte p der Winkel, den der durch diesen Punkt gehende Meridian mit der durch denselben gezogenen Parallelen zur rr-Achse bildet; dieser Winkel wird gezählt von der positiven ^-Richtung im Sinne der kürzesten Drehungsrichtung in die positive ^/-Richtung.

Es seien gegeben B und L als die sphäroidische (geographische) Breite und Länge eines Punktes P der Sphäroidfläche, alsdann sind uns nach dem früheren bekannt b und l als die Kugelbreite und Kugellänge des dem Punkte P entsprechenden Punktes ^3 der Kugelfläche. Wir bestimmen zunächst £, t) als die jetzt im Winkelmaß gegebenen sphärischen rechtwinkligen Koordinaten dieses Punktes ^ß¹). Es sei c die Meridiankonvergenz²) im Punkte P oder oder p, welches der dem Punkte $ß entsprechende Punkt der Bildebene sei, der die rechtwinkligen Koordinaten x, y hat; sei b' die Kugelbreite des Fußpunktes der Ordinate t), so lehrt

1)    In Figur 14 lese man FG = dS, statt ds.

a2

2)    Eine Verwechselung mit dem früheren c= — ist wohl ausgeschlossen.

Haeatzschel, Das Erdsphäroid.

die Figur 16 die Richtigkeit der folgenden Gleichungen auf Grund der bekannten Formeln aus der Trigonometrie des rechtwinkligen sphärischen Dreiecks:

SO

90 - h'

Figur 16.

Setzt man

tgb cos l ’

l = V - 52° 40', sin t) == cos b ■ sin l, tg c = sin b • tg l.

Nachdem so £ und im Winkelmaß gefunden sind, gilt es noch die ebenen Koordinaten x und y in Metern anzugehen. Nach dem vorigen Paragraphen sind die Abscissen x und £ an Länge gleich, sie werden beide nach Norden positiv gezählt, aber x ist in Metern, £ jetzt im Winkelmaß oder in Sekunden ausgedrückt. Nun ist doch der Zusammenhang zwischen den verschiedenen Maßen der folgende. Ist ß ein Bogen eines Kreises vom Radius A Meter, co der zugehörige Zentriwinkel in Sekunden gezählt, so verhält sich ß : 2nA — co” : 360 • 60 ■ 60"

2 Ttco"

360•6060"

tg b' =

ß = A-

Meter.

360-60-60"

2 it

so ist

Q = 206 264,806 247" log q = 5,314 425 1332,

Meter.

Zu co" gehört demnach als das analytische Bogen-Maß; ß gibt den zu co" gehörigen Bogen in Metern an. Ist umgekehrt ein Bogen ß in Metern gegeben, so ist sein analytisches Maß

und es ist ß • ■— die Anzahl von Sekunden desjenigen Zentriwinkels, der zum Bogen ß auf dem Kreise vom Radius A Metern gehört. Nehmen wir, dem Radius der Gaußschen Kugel entsprechend,

A = 6 383 037,564 ni log M = 6,805 027 4003,

so ist

- = 30,945 839 3828

log y = 1,490 602 2671

-7- = 0,032 314 5218

log = 0,509 397 7329 - 2.

Es stellen also x Meter mit j Sekunden in der Beziehung

xni)

— £ (Meter).

Ferner ist y nach § 14, XI a), S. 126 gegeben durch

y = A {(x)+«y(j) +Ä(1) +6Öiö(!) + "'} (Meter)-

Hier ist t) noch in Metern gemessen, so daß sich also Meter und Meter gegenüb erstehen. Soll jetzt aber tj in Sekunden gegeben sein, so muß man das analytische Maß ~ noch mit q multiplizieren, um Sekunden zu erhalten. Wir schreiben daher

statt

und setzen nachträglich

wieder tj statt ,

so daß jetzt b die Bedeutung von Sekunden hat. Dann ist

XIV)

Setzt man

so ist XlVa) und

XIVb)

V — b ~b Stab³ 4" $5bJ + 5l₇b⁷ + • ■ •;

wo

9L = —

6 p*

91 =

24p⁴

9t₇ =

; log 9t₃ = 0,592 998 4833 - 12 ; log 9I₅ = 0,362 088 2256 - 23

50S7.; log St, - 0,196 3485

1) und iq in Sekunden, y in Metern gemessen. Generalleutnant Dr. Schreiber gibt 1. c. auf S. 86—87 je eine Tafel für die Verwandlung von Metern in Kugelsekunden und von Kugelsekunden in Meter.

Ferner war das Vergrößerungsverhältnis

-34

t) und A in Metern.

Setzen wir auch diese Größe in das neue t) um, so ist

b in Sekunden.

Kehrt man die Gleichung

um, so erhält man in erster Näherung

oder

jl ₌ (y \ _ JL(lV

Q \AJ 6 \AJ ’

allgemein ist XV)

» “ * ~ (e?) *

b⁼⁼ V ~ ^3v³ + %v⁵ ~ %v⁷ + • • • • Setzt man den Näherungswert von

in m ein, so ist

XVI) —i + iG),+ ^(i)‘+--.

Daher ist der natürliche Logarithmus von m:

ln m

= ln 6 + ¥f (z) + h (z) ■ ■j

-{Ä(i),+ Ä(i)¹-}-T{n(Ö,-},+ -

_im²_ i m⁴

2 QV 12 \a]

J. und y in Metern.

Bekanntlicli hängen künstlicher und natürlicher Logarithmus durch die Gleichung zusammen

log z = y ln z,

Modul y = 0,434 294 4819; log y = 0,637 7843 - 1. Demnach ist

oder

XVII)

wo

ist.

log m =    G)’-nG)⁴,

12^1⁴ y

logm =    • y'-

log ^ = 0,726 6995- 15, iog WJi = 0,338 4935 - 29

622 km (Lyck), westlich

Da das Gebiet der Landesaufnahme des Deutschen Reiches sich vom Hauptmeridian östlich um um 540 km (Metz) entfernt, so steigt bei einem y = 600 km der Wert von log m bis auf 0,002 an, demnach in selbst bis auf 1,0046, oder es kommen 4,6 mm Verzerrung auf 1 m, so daß also an den Grenzen im Osten und Westen des Reiches die Verzerrungsverhältnisse auf den Karten erheblich sind. Doch die Großartigkeit des Ganzen und der innere Zusammenhang zwischen seinen Teilen läßt leicht über diese nur für große Ordinaten y vorhandene Schwäche hinwegsehen.

§ 16. Wollen wir uns nach allen diesen theoretischen Auseinandersetzungen ein Bild von der Konstruktion einer Generalstabskarte oder eines Meßtischblattes machen, so bedenken wir, daß zuerst das Gradnetz festzulegen, innerhalb desselben die trigonometrischen Punkte, die ursprünglich durch ihre geographischen Koordinaten gegeben, vermöge der aus diesen berechneten ebenen Koordinaten einzuzeichnen sind, und daß die weiteren Details auf Grund der Daten der Topographen der kgl. Landesaufnahme unter steter Berücksichtigung der angenommenen Regeln über das Geländezeichnen eingetragen werden. Wir zeigen die Konstruktion eines Gradnetzes an einem besonders einfachen Beispiele, nämlich für das am Schlüsse des ersten Kapitels besprochene Meßtischblatt „Teltow“ (Nr. 1907 bezw. Nr. 215 Grunewald bei Berlin). Da die vier Ecken des Blattes durch ihre geographischen Koordinaten gegeben sind, so ist mit der Berechnung der zugehörigen ebenen Koordinaten gezeigt, wie dieselbe sich bei einem einzelnen trigonometrischen Punkte gestaltet.

Das Blatt heiße AB CD, und zwar hat

die Süd-West-Ecke A die Koordinaten 52° 24' nördl. Breite,

„ Süd-Ost-Ecke B „

30° 50' östl. Länge, 52° 24' nördl. Breite, 31° östl. Länge,

„ Nord-Ost-Ecke C „

52° 30' nördl. Breite, 31° östl. Länge,

„ Nord-West-Ecke D „

52° 30' nördl. Breite, 30° 50' östl. Länge.

1) Wir berechnen zuerst die Koordinaten b und l der Ecke A auf der Gauß sehen Kugel. Nach § 12, Seite 118, Formel X) ist zur Bestimmung von b anzusetzen:

B-B₀=- 18'2,53252"

Grad.

1082,53252

3600

Also ist

=    359556,69447 •

1082,58252

360 000

+ 3041,38652 •

1082,53252

360 000²

36ÖW-) Sekunden b-b₀ = (- 1081,19949 + 0,027501 + 0,000025 73) Sekunden,

daher 6 = 52°21'58,82804".

+ 946,26056 •

1082, .

b-b₀ = - 1081,17196",

Wir wollen aber zweitens auch zeigen, wie die Berechnung von b mit Hilfe der Schreiberschen Tafel geführt wird. Die Tafelwerte durch fetten Druck vor den übrigen auszeichnend, haben wir

B = 52° 24' für b = 52° 21' ist:

B = 52° 23' 1,09634"

iß—B) xl)ln— (B—B) x (ZM ")²=r — s

2ZM7

logZM" =7,10902 log(B-B) = 1,77014

B-B =

58,90366"

-7561

logr = 8,87916; log s = 5,98818;

r=7571,12

9,73

b = 52° 21' 58,82805"

r—5=7561,39

0,1

7561

Auf diesem Wegen gelangt man also schneller und ebenso sicher zum Ziel, wie auf dem vorigen. Weiter ist

l = a(L — L₀), l = cc( 30° 50'-31°), l = ~a-10' l = — 10'0,271 75".

Ecke A:

b = 52° 21' 58,828 05"; Z = - 10' 0,271 75".

Hieraus ergeben sich die sphärischen rechtwinkligen Koordinaten durch den Ansatz:

tg 51° 21'58,828 05" cos 10' 0,271 75"    ⁷

tgb' =

6'=52° 21'59,24".

E-52° 21'59,24"-52° 40' E = -18'0,76",

also

Daher

E = - 1080,76".

'O

E5

# = — 33 444,98 Meter.

Weiter ist

Es ist

sin b = — cos 52° 21' 58,828 05" • sin 10' 0,271 75"; t) = - 6' 6,532", t) = - 366,532".

V = 9

« = - 366,5322".

y-jv-

Ferner ist

y = - 11 342,57 Meter.

tg c = — sin 52° . . . • tg 10' 0,27175" c = — 7'55,374".

Ecke A: x = — 33 444,98 m,

y= —11342,57 m. Meridiankonvergenz c = —7'55,374".

2) Wir berechnen jetzt sehr schnell die ebenen Koordinaten der Ecke E. Es ist offenbar

b = 52° 21'58,82805". 1 = 0.

Daher ist

b' = b.

£ = 52° 21' 58,82805" - 52° 40',

E--18' 1,17195",

£ = - 1081,17195".

# = - 33 457,77 Meter.

b = o.

7] = 0.

y = o.

x = — 33457,77 m,

y = o.

Ecke B:

Meridiankonvergenz c = 0.

3) Unter Benutzung der Schreiberschen Tafel gestaltet sich die Berechnung der sphärischen Koordinaten der Ecke C folgendermaßen :

2?=52°30' für ö=52°27' ist:

B=52°29' 1,55650"

B-B=

58,44350"

7403

(B-B)xDA"-(B-B)x(DA")²= r- s log D • 1"    = 7,10318

log (B-B) = 1,76674

log r = 8,86992; log s = 5,97310;

2-D-16

r=7411,74

s=

9,4

5=52°27'58,36947"

r-s=7402,34

0,3

7403

b = 52° 27' 58,36947", 1 = 0.

Daher ist

b' = b.

I = 52° 27'58,36947" — 52° 40', £ = - 12' 1,63053", l = - 721,63053" x = - 22 331,462 Meter, t) = 0.

y = o.

Ecke C: x = - 22 331,462 m.

Meridiankonvergenz c = 0.

2/ = 0.

4) Für die Ecke D ist

5 = 52° 27'58,36947"

Z = - 10' 0,27175"

tg 52° 27' 58,36947" cos 10' Ö^27175~ ?

tg 5' =

= 52° 27' 58,78".

1 = 52° 27' 58,78" -52° 40',

l = - 12' 1,22",

£ = - 721,22"

Weiter ist

# = — 22 318,761 Meter.

sin t) = - cos 52° 27'58,36947". sin 10'0,27175" t) = - 6'5,703"

- 365,7032"

«/ = — 11 317 Meter.

Ferner ist

tg c = - sin 52°27'58,36947". tg 10'0,27175" c = - 7' 56,012".

Ecke D: x = — 22 318,761 m,

2/ = — 11 317 m; Meridiankonvergenz c=—7'56,012". Nach den Regeln der analytischen Geometrie der Ebene ist die Entfernung zweier Punkte d bestimmt durch d² = (xx - ;r₂)² + (yx - y₂)l

Demnach, ist der Südrand AB unseres Meßtischblattes gegeben durch

AB*= 12,79² + 11 342,57²

= 11 342,57’ (l + (n^)³)

AB = 11 342,57 • (1 + 0,00113²)^ Meter,

= 11 342,57 • 1,000000 638 Meter.

Südrand AB = 11 342,577 m auf der Karte, und andererseits = 11 342,650 m auf dem Sphäroid (I, § 18, S. 62). Es ist der Nordrand CB gegeben durch CB² = 12,701² -f 11317²

/12,701\2\1 y- (n 7/ )

+ 2 (ll 317/ )

CD = 11317

= 11317

= 11 317 • 1,000 000 629 778 m;

Nordrand CB = 11 317,007 m auf der Karte, und andererseits

m auf dem Sphäroid (I, § 18).

Die von uns durch Messungen auf der Karte auf S. 62 festgestellten Differenzen rühren also nicht von der Projektion, sondern von dem Eingang des Papiers in der Druckerpresse her. Die hier sich zeigenden geringen Differenzen zwischen Wirklichkeit und Kartenbild wiederholen sich bei allen Meßtischblättern und haben zu der für die Topographen der kgl. Landesaufnahme geltenden Instruktion geführt: Ber Nord- und der Südrand der Karte sind als gerade Linien auszuziehen.

Der Ostrand BC ergibt sich als

11 126,31 m auf der Karte

= 11317

gegen

11126,3108 auf dem Sphäroid; er zeigt als Stück des Hauptmeridians die Projektion von ihrer besten Seite.

Der Westrand AB ist gegeben durch

AB² = 11 126,219² + 25,57²

AB = 11126,219 •

(1 + (

25,57

11 126,219

)7-

= 11126,219 (l + 1 • 0,0023²) m,

Westrand AD = 11 126,2484 m auf der Karte und andererseits = 11 126,3108 m auf dem Sphäroid (I, § 18).

Die von uns durch Messungen auf der Karte beobachteten Differenzen rühren demnach nur von einer Dehnung des Papiers in der Nord-Süd-Richtung her.

Eigentlich müßte der Westrand der Karte als das Bild eines Meridians eine gekrümmte Linie sein, da nur Kugelkleinkreise, deren Ebenen parallel dem Hauptmeridian gehen, sich in der Projektion als gerade Linien darstellen. Die Differenz der beiden von uns berechneten Meridiankonvergenzen

- T 55,374"- (- T 56,012") = 0,638"

gibt den Richtungsunterschied an, den eine in A an das wahre (gekrümmte) Bild des Meridians gelegte Tangente bildet mit der in D gezogenen Tangente. Er ist so klein, daß auch hier sofort der Grund einleuchtet, warum man in allen Karten den Ost- und den Westrand als gerade Linien auszieht.

Man wird hieran anschließend die Lage aller trigonometrischen Punkte, die innerhalb des Blattes liegen, berechnen und sie in das Blatt eintragen; man wird endlich den sphäroidischen Inhalt des Meßtischblattes (I, § 18, S. 61)

M= 126,0595 qkm

in Vergleich stellen mit dem Flächeninhalt des ebenen Kartenblattes

M' = |(11 342,577 + 11 317,007) • 11126,219 qm Jf'= 126,05775 qkm,

um in einfacher Weise einen Einblick in die durch die Projektion hervorgerufenen Verzerrungen zu erhalten.

Wenn wir hiermit unsere Betrachtungen schließen, so glauben wir den Zugang zum Verständnis dieses großartig angelegten Kartenwerkes und dieses von echt deutschem Geiste getragenen Unternehmens erleichtert zu haben.

Besselsche Werte der Erddimensionen nebst den zugehörigen Logarithmen.

« = 6 377 397,155m b = 6 356 078,963 m

= c = 6 398 786,849 m

log « = 6,804 643 4637 log b = 6,803 189 2839

log c = 6,806 097 6435

«² — a²

a² — &²

= e² = 0,006 674 3722

log s² = 0,824 410 4237 -3

- = £t² = 0,006 719 2188

log £l² = 0,827 318 7833 - 3

1 — £² =

l+«i

— F = 1 + £l² = 1,006 719 2188    log (1 + ^²) = 0,002 908 3596

299,152 8128

a = 0,003 342 7732 = 0,001 6741848

= 0,993 325 6278

log a = 0,524 106 9093 - 3 log n = 0,223 803 3949 - 3

log (1 - £²) = 0,997 091 6404 - 1

yT-£² =

]/1 + £i

yi+^T² = 1,003 353 9848 iog yT+V = 0,001 454 1798

¹    =0,996 657 2269

y i — c*

1 Meter = 0,513 074 074 Toisen 1 Toise = 1,949 036 310 Meter log)/l-£² = 0,998 545 8202 - 1

log (M, T) = 0,710 18007 - 1 log (T, M) = 0,289 819 93.

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Man vergl. z. B. Haentzschel, Elementare Herleitung der Newton-

²

schen Reihen, Berlin, Weidmann (Heyfelder), 1901.