WYDZIAŁY POLITECHNICZNE KRAKÓW

BIBLIOTEKA GŁÓWNA

Ш4376

Biblioteka Politechniki Krakowskiej

СТРОИТЕЛЬНА

МЕХАНИКА.

Часть II.

СТАТИКА СООРУЖЕНЫ.

СТРОИТЕЛЬНАЯ

МЕХАНИКА.

Часть II.

СТАТИКА СООРУЖЕНИЙ,

Л. Проскуряковъ, проф. Импвраторскаго Московскаго Инженернаго Училища.

ИЗДАН1Е 5-е

С-ПЕТЕРБУРГЪ.

Типографш А. Бенке,

Новый переулокт, -N? ?.

1/5 я Ц ,— /e > C

r\ O

A'-    "Н

O 5?

A - 4

г—i—--I

CT'

ТЕОР1Я ФЕРМЪ.

ВВЕДЕН1Е.

I. Поняты о вн^шнихъ еилахъ и оермахъ.

1. Когда какая-нибудь балка или вообще ферма, представляющая собою одинъ или систему взаимно связанныхъ упру-гихъ стержней, закреплена известнымъ образомъ на опорахъ и подвергается действш данныхъ силъ, или нагрузки, то въ ней вместе съ некоторымъ изменешемъ ея формы вызываются вну-треншя силы или напряжетя ея частей. Въ отличы отъ этихъ силъ действующш на ферму силы, или нагрузка, вместе съ сопротивлешями опоръ называются внтиними силами.

Чтобы разсчитать ферму, т. е. найти напряжены въ ея частяхъ и проверить прочность ихъ, нужно прежде всего мысленно освободить ферму отъ опоръ, удаливъ последшя и заменивъ ихъ действю соответственными силами, или реакцгями опоръ. Когда ферма представлена такимъ образомъ какъ свободное твердое тело съ известными взаимно уравновешенными на немъ внешними силами, то определены внутреннихъ силъ делается затемъ по общему способу (см. ч. I стр. 36). Отделяютъ воображаемымъ разрезомъ какую-нибудь часть фермы отъ остальной и прила-гаютъ въ месте разреза внутреншя силы, представляющгя дгьй-cmeie отнятой части на разсматриваемую. Тогда изъ условш равновесш этой выделенной части фермы съ приложенными къ ней данными внешними силами и неизвестными внутренними на-ходятъ величину последнихъ.

Пусть, напр., дана ферма АВ (фиг. ia) съ вертикальными внешними силами (нагрузкой Р,, Р,, Р₃,... и опорными сопротивлешями

А и Б), составленная изъ прямыхъ элементовъ, соединенныхъ между собою шарнирами. Разд'кливъ мысленно ферму какими-нибудь разр'Ь-зомъ tt на две части, отбросимъ правую (фиг. \Ь) и ея действш на левую часть зам'Ьнимъ внутренними силами О, £/и D, относительно которыхъ ниже будетъ доказано, что оне д'Ьйствуютъ по направле-ншмъ перес'Ьченныхъ трехъ элементовъ фермы, т. е. силы О и U—

n\t

С)

(о)

Гз

—IS

(Ь)

//

и*\

^cr=»—- -З

z U з

Фиг. 1.

горизонтальны, a D на-1\ н» /' клонена подъ даннымъ угломъ а къ горизонту. Такъ какъ левая часть фермы съ находящимися I на ней внешними силами и внутренними О, U и D должна оставаться въ со • стоянш равновесш, то изъ условш его £У = о относительно вертикальной оси сл^дуетъ, что вертикальная проекщя Q внешнихъ силъ левой отсеченной части фермы, или поперечная сила, должна быть равна и противоположна проекцш внутреннихъ силъ ея DSna (ибо проекщи О и £7= нулю), т. e. DSm— Q. Точно такъ же условш равновесш £М — о требуетъ, чтобы моментъ М внешнихъ силъ л^вой части фермы (изгибающш моментъ) относительно какой-нибудь точки, напр. точки (3) пересечешя направленш силъ U и D, долженъ быть равенъ и противоположенъ моменту внутреннихъ силъ O.h (ибо моменты силъ U и D для точки 3 равны нулю), т. е. ОЛ= М. Если же вместо точки (3) возьмемъ моментъ М, техъже внешнихъ силъ левой части фермы относительно точки (2) пересечешя направленш внутреннихъ силъ О и D, то для равновесш необходимо приравнять его моменту усилш U, т. e. U.h=M₂.

Такимъ образомъ внутреннш силы О, U и D вполне определяются величинами М и Q внешнихъ силъ левой части фермы относительно U.

Очевидно, эти значенш Q и М внешнихъ силъ будутъ изменяться въ зависимости отъ способа размещенш нагрузки на ферме, а съ ними будутъ изменяться и значенш определяемыхъ ими вну-треннихъ силъ О, U и D, при чемъ наиболыпы величины по-слФднихъ соответствуют наиболыиимъ значенымъ Q и М пер-выхъ. Такъ какъ величины Q и М зависятъ отъ нагрузки и ея расположены на ферме, то изучены способовъ действы и распределены нагрузки, дающихъ наиболыпы значены М и Q внешнихъ силъ, выделяется въ самостоятельный отделъ — «теорт внешнихъ силъ», предварительное ознакомлена съ которымъ значительно упрошаетъ изучены второй части—теорш внутреннихъ силъ фермъ.

Сопротивлены опоръ определяются нагрузкой и закрепле-нымъ фермъ на опорахъ :), поэтому съ видами нагрузки, опорныхъ закрепленш и фермъ необходимо прежде всего ознакомиться.

Фиг. 2,

2. Нагрузка. По способу действы на ферму нагрузка бы-ваетъ: постоянная (напр. весь моста) и подвижная или временная (весъ поезда, давлены ветра), смотря по тому, действуетъ ли она постоянно или перюдически; сосредоточенная, когда она имеетъ конечную величину и приложена въ одной точке, и сплошная или непрерывная, когда она распределена по линш или поверхности. Кроме того нагрузка можетъ непосредственно действовать на ферму и тогда называется прямою, или ея дей-ствы передается ферме черезъ особыя вспомогательныя балочки въ определенныя точки ея, или узлы (фиг. 2); такая нагрузка носитъ названы узловой, а промежуток между двумя смежными узлами называется панелью.

Нагрузка, или силы, действующи! на ферму, предполагаются лежащими въ одной плоскости, совпадающей съ плоскостью оси фермы, если она — сплошная, или заключающей въ себе оси всехъ частей фермы, если она — сквозная, т. е. представляетъ систему взаимно связанныхъ стержней.

:) Только въ случаяхъ фермъ со статически неопределимыми опорными сопротивлешями представляется необходимость для нахождешя величины послТднихъ принимать въ разсчетъ еще упругость фермы и условш ея деформацш.

Точно такъ же будетъ предполагаться, что действующая на ферму нагрузка производитъ настолько малыя изменены, или деформащи ея частей, что ими при разсчетахъ можно пренебрегать, принимая ферму какъ бы за абсолютно неизменяемую систему.

3. Опорный закреплент. Когда ферма на опоре закреплена одной своей точкой, вокругъ которой она можетъ вращаться, то такая опора называется неподвижной шарнирной опорой (опора В на фиг. 4). Очевидно, ея противодействы, или сопротивлены, представляетъ силу, проходящую черезъ эту точку или шарниръ.

Если же точка закреплены фермы на опоре при этомъ можетъ свободно (безъ трены) перемещаться по некоторой прямой, то противодействы такой опоры, называемой подвижной шарнирной (опора А фиг. 4 и 5) выразится силой, проходящей черезъ разсматриваемую точку, или шарниръ, и направленной нормально къ линш движены его. Такимъ образомъ въ послед-немъ случае относительно опорнаго сопротивлены является неиз-вестнымъ одна величина его, тогда какъ въ случае неподвижной шарнирной опоры представляется деть неизвестныхъ — величина и направлены опорнаго сопротивлены.

Подобно разсмотренному закреплент фермы на опоре точкой, она можетъ быть закреплена по всей лиши или сеченш ея. Если это сечены не можетъ изменять своего положены относительно опоры, то последняя называется неподвижной плоской опорой (опора фиг. 3). При такомъ закреплент относительно опорнаго сопротивлены имеется три неизвестныхъ — величина, направлены его и точка приложены.

Если же сечены фермы закреплено на опоре такъ, что оно можетъ относительно ея свободно скользить въ своей плоскости, то для такой плоской подвижной опоры будетъ известно только направлены опорнаго противодействы, которое должно быть нормальнымъ къ пути скольжены сечены (опора В фиг. 5), такъ что относительно опорнаго сопротивлены будетъ двгь неизвестныхъ—величина его и точка приложены.

4-. Простыя Фермы. Такъ какъ для равновесш твердаго тела въ плоскости статика даетъ три условы, или уравнены [ЕХ=го 1У= о и ЕМ= о], то для фермъ со статически определимыми реакц1ями число неизвестныхъ въ опорныхъ сопротивле-

шяхъ не должно превышать трехъ. Поэтому такш фермы въ отношении опоръ могутъ представить только одинъ изъ сл'Ьдующихъ четырехъ типовъ:

Si

ни

А,

Фиг. 3.

Фиг. 4.

1.    Ферма можетъ имгьтъ одну неподвижную плоскую опору, сопротивлеше которой очевидно должно быть равно и направлено противоположно равнодействующей R приложенной къ ферме нагрузки (фиг. 3).

2.    Ферма можетъ быть расположена на двухъ шарнирныхъ опорахъ: подвижной А и неподвижный В (фиг. 4). Опорное сопротивлеше А, проходящее черезъ шарниръ А нормально къ пути сколь-женш последняго, встречаетъ равнодействующую R нагрузки въ точке С, черезъ которую должно пройти и противодействш другой опоры В, исходящее изъ шарнира В. По известнымъ напра-влешямъ величина опорныхъ сопротивленш найдется разло-жешемъ силы R на составляю-щи съ помощью треугольника силъ.

-3. Ферма можетъ быть за-кргъплена на двухъ подвижныхъ опорахъ: одной плоской В и другой шарнирной А (фиг. 5). Действительно, направлешя опорныхъ сопротивленш, перпендикулярныхъ къ линшмъ скольжешй, даны, а равно и точка приложенш противодействш А; следовательно, точка С пересечешя последняго съ равнодействующей R нагрузки определится. Такъ какъ черезъ эту точку должны проходить все три силы, находящаяся между собою въ равновесш,

Те

00

/б

)90в

Фиг. 5.

то и сопротивлеше опоры В, какъ проходящее черезъ точку С и перпендикулярное къ линш скольжены опоры В, также будетъ известно. Величина сопротивлешй опоръ А и В получится разло-жешемъ силы R на два ихъ направлении

/L

4. Ферма можетъ покоиться на трехъ подвижныхъ шарнирныхъ опорахъ А, В и С (фиг. 6), нормали къ линымъ скольженш которыхъ не встречаются въ одной точке. Нахождеше опорныхъ противо-действш такой фермы представляетъ известную задачу разложены силы на три невстречающихся вместе направлены, решете которой показано на фиг. 6 (см. ч. I стр. 12). Во всехъ четырехъ при-R веденныхъ типахъ фермъ число неизвестныхъ въ

опорныхъ сопротивле-н1яхъ равно 3. Чаще всего встречается въ практике въ случае горизонтальной линш сколь-

Фиг. 6.

второй типъ, при чемъ женш опоры А фермы при вертикальной нагрузкп имгъютъ про-

"1

\Б

Фиг. 7.

тиводгьйсптя опоръ также вертикальныя и называются простыми балками (фиг. 7).

5. Составныя или шарнирныя Фертлы. Кроме разсмотрен-ныхъ простыхъ фермъ, части которыхъ связаны неизменяемо въ одно целое, оне могутъ быть составлены изъ двухъ или более такихъ простыхъ фермъ, соединенныхъ между собою однимъ или более промежуточныхъ шарнировъ, вокругъ которыхъ оне могутъ вращаться. Такш фермы называются составными, или шарнирными (фиг. 8 и 9).

Чтобы оне были статически определимыми, необходимо, чтобы число промежуточныхъ шарнировъ было равно числу недостаю-щихъ условш для определены неизвестныхъ въ опорныхъ со-

противлешяхъ. Наприм^ръ, въ ферме, покоющейся на 4 шар-нирныхъ опорахъ (фиг. 8), одной неподвижной (2 неизв'Ъст-ныхъ) и трехъ подвижныхъ (3 неизв'Ъстныхъ), число промежу-

6’,

'W'

р -А

\D

пт

Нщ Д 1

II

pĄ

ПГ

Щт.

Фиг. 8.

Ф УЯж

■Ш"

2; а въ арке на 2 непо-

точныхъ шарнировъ должно быть 5 — 3 движныхъ шарнирныхъ опорахъ (2X2 неизв'Ьстныхъ) требуется

для статической определимости 4 — 3 — одинъ промежуточный шарниръ (фиг. 9). Въ балке на п шарнирныхъ опорахъ, изъ кото-рыхъ одна только неподвижная, для статической определимости нужно поместить и-f i — 3 = «— ² промежуточныхъ шарнировъ.

Х\~

Ss

т.

■ /ч - ■

С4

'53

Фиг. 9.

Действительно, каждый промежуточный шарниръ позволяетъ написать новое условш равновесш, состоящее въ томъ, что равно-дгьйствгующая всгъхъ втьшнихъ силъ, приложенныхъ къ части фермы слгьва или справа пролежуточнаю шарнира, должна проходить черезъ послпдтй, или что моментъ этихъ силъ относительно данною шарнира равенъ нулю; въ противномъ случае разсматриваемая часть фермы вращалась бы вокругъ шарнира.

1Г Общш свойства инФлюентныхъ лишй.

6. Когда на ферму д'Ьйствуетъ подвижная нагрузка, то каждому положенда последней отв'Ьчаютъ вполне определенный зна-ченш внешнихъ и внутреннихъ силъ; съ изменешемъ положены нагрузки на ферме величина этихъ силъ также изменяется. При решеши вопросовъ о розысканш наибольшихъ значенш напряжены У какой-либо части фермы или величины внеш-нихъ силъ (опорнаго сопротивлении момента М или поперечной силы Q) отъ действш подвижной системы грузовъ или вообще параллельныхъ силъ, применяется съ особенной пользой такъ называемая инфлюентная лишя *). Она получится, если будемъ давать грузу или силе равной единице различный положены на ферме, соответствующая переменному разстояшю х груза по оси .х-овъ и, определивъ для каждаго изъ нихъ соответственное значеше одной и той же разсматриваемой величины У, отложимъ ихъ по направлешю силы, какъ ординаты у отъ какой-нибудь прямой АВ. Тогда линш, проходящая чрезъ концы ординатъ, и пред-ставитъ инфлюентную литю У, т. е. линш влыны груза равнаго

|Р, В \Ц

Т-1

единице на величину У разсматриваемой внешней или внутренней силы.

¥<-

Фиг. 10.

Чтобы объяснить применены этихъ лишй, предположимъ, что ^ инфлюентная линш У дана (фиг. ю), В и на ферму действуетъ не одинъ грузъ равный единице, а несколько величиною Р,, Ра, Р₃, ... единицъ.

Если ординаты инфлюентной лиши, соответствующы поло-женымъ этихъ грузовъ, обозначимъ черезъ у₁, у₂, уг, ... , то по закону независимости действш Pty,, Р₂у₂, Р₃у₃, ... . силъ Р,, Р₂, Р₃, . . . . значеше У выразится суммой

(0-

У = Р,Уг + Рф + РзУз +

¹) Инфлюентныя лиши въ первыйфазъ были применены Винклеромъ и Вей-раухомъ къ pimemio н'Ькоторыхъ вопросовъ, но только посл'Ь подробнаго изложенш и развитш инфлюентныхъ линш, сд'Ьланнаго Френкелемъ въ «Civil-ingenieur» 1876, он^ вошли во всеобщее употреблеше.

Давая подвижной системе данныхъ грузовъ на ферме рядъ положешй и определяя каждый разъ соответственную величину У, можно найти для нея наибольшее или наименьшее значеше.

для линш

Относительно измерены ординатъ у инфлюентной линш сле-дуетъ заметить, что когда она принадлежитъ силе, то изъ выражены У = £Ру следуетъ, что ординаты у — нулеваго измерение такъ какъ У и Р выражаются въ единицахъ силъ. Для лиши момента ординаты измеряются въ единицахъ длины; напряжены — въ единице длины минусъ второй степени и т. д.

Но прежде чемъ мы будемъ определять видъ инфлюентныхъ линш въ отдельныхъ случаяхъ разсматриваемой величины У, бу-детъ весьма полезно показать здесь обиды свойства инфлюентныхъ линш, знаше которыхъ сократитъ выводы ихъ въ частныхъ случаяхъ.

7. При узловомъ дгьйствш нагрузки инфлюентная лингя представляешь мноюуюлъникъ съ вершинами, лежащими подъ узлами.

Уп.

jr^-i

Пусть грузъ Р находится между п и п — i узлами фермы (фиг. 11) въ разстояныхъ отъ нихъ х и d — х, и пусть уп и ординаты искомой инфлюентной лиши У для этихъ узловъ, представляюшы значены У

'TTo

при положенш груза единицы въ узлахъ п или п — I, а у —ордината, соответствующая промежуточному положенда груза Р; ея величину найдемъ изъ следующихъ соображенш.

Если вспомогательная балочка передаетъ отъ груза Р на узлы п — i и п давленш Р„_, и Рп по закону рычага, то Р„ х = Рп_₁ (d — х) и Рп + P„_I = Р, откуда

Рп,

- рп

Хм':!/

г---

Фиг. 11.

Уп

Рп_1 = |Ри Рп

Такъ какъ

d—х р

1Г

Ру=Рп-г Уп-г + РпУп*

то подставляя сюда значены Р

п— I

и Рп, получимъ

Упг

уравнеше для у первой степени относительно х, след., между двумя смежными узлами инфлюентная линш представляетъ прямую, для построены которой достаточно иметь ординаты въ узловыхъ точкахъ. Такъ какъ эти ординаты соответствуютъ положенымъ груза надъ узлами, когда действш его на ферму не отличается

IO

отъ непосредственнаго приложенш къ ней, то оне должны принадлежать также и инфлюентной лиши для случая прямого д'М-

-—-S—

*--

*____ac.

Фиг. 12.

ствш нагрузки на ферму, а потому первая лишя, имеющая видъ многоугольника, является вписанной во вторую. Это свойство даетъ весьма простой способъ находить инфлюентную линш для узловой нагрузки, когда известна она для прямой нагрузки.

8. Разсмотримъ теперь другое свойство инфлюентныхъ линш, относящееся къ действш сплошной равномерной нагрузки, величину которой на единицу длины фермы назовемъ черезъ р (фиг. 12). Такая нагрузка можетъ быть разделена на элементарный части pdx соответственно длине фермы dx, которыя могутъ быть разсматриваемы какъ сосредоточенные грузы.

Действш такого груза выразится произведешемъ pdx. у, а для всей нагрузки—суммой

У — Lpydx — pLydx.

Но ydx есть элементъ площади инфлюентной линш на длине dx, следовательно,

у =ре,

О)

где 2 представляетъ площадь инфлюентной линш, ограниченную прямою АВ и ординатами, соответствующими началу и концу загруженной части фермы. Поэтому:

Действ1е равномерной нагрузки выражается соответственной площадью инфлюентной линш, умноженной на величину р нагрузки на единицу длины фгермы.

Когда все ординаты инфлюентной лиши имеютъ одинъ и тотъ же знакъ, то наибольшая величина У соответствуете загруженш всей фермы и равна 2 р, где 2—площадь всей инфлюентной линш. Въ случае ординате различныхъ а знаковъ (фиг. 13) тах У получается при загруженш части фермы съ положительными ординатами и равно 7е2г, a min У при загруженш части фермы съ отрицательными ординатами и выражается черезъ — £2,, где 2. и 2₂ означаютъ площади положительной и отрицательной частей инфлюентной

Vrnajc.

Pt

ki

Ъ пип-

Фиг. IB.

лиши, a k—величину подвижной нагрузки. При загруженш об'Ъихъ частей фермы нагрузкой р значеше У=(9₁—

9. Система сосредоточенныхъ грузовъ. При розысканш пре-д^льныхъ значений У отъ подвижной системы сосредоточенныхъ грузовъ съ помощью инфлюентной лиши, скорее всего можно найти соответственное невыгоднейшее положеше системы грузовъ последовательными пробами, давая системе какое-нибудь положеше на ферме и определяя затемъ для него не величину У—ЪРу, а только знакъ приращешя А У, которое получитъ У, если система изъ даннаго ей положешя будетъ сдвинута вправо на элементарную длину Дх, или знакъ производной ДУ:Дх=У'.

При определенш тах У положительный знакъ у приращешя ДУ показываетъ, что систему нужно перемещать вправо, а отрицательный — влево; когда же система займетъ положеше, соответствующее тахУ, то знакъ у ДУ при сдвиженш вправо и влево будетъ одинаково отрицательный. Для т'тУ знаки будутъ обратные разсмотреннымъ при тахУ.

Самое определена знака и величины ДУ делается графически следующимъ образомъ въ случае, когда инфлюентная линш пред-ставляетъ собою мноюуголъникъ (фиг. 14) съ прямыми сторонами А'ЪА\... . соответствующими частямъ фермы AtA₂, А₃А₄ (что всегда имеетъ место для узловой нагрузки). Пусть Otj,

АхА'₂, А'₂А'

А₂А

т Ą\

А’,

А^

А,

Бг Бз Б, Р₃РС Г₇ Г,

IV

1LL

Чя !<*»

It

\ Б, ;    К ,

Б, Гв Г Га

Г, Г, Ра Г,

а2>    «3>    '

будутъ углы наклонешя по-следовательныхъ сторонъ А,А\, А\А’„ А'„А' къ прямой AB, a R R₃ ....— суммы, или равнодействующи! грузовъ, при-

соответ-

ложенныхъ къ

4’ ....

При перемещенш систе-

ственнымъ частямъ фермы А,А₂, А₂А₃, АъА

Фиг. 14.

мы вправо на величину Дх, ординаты всехъ грузовъ i-й части фермы получатъ равныя приращешя ДхДуо^, ординаты грузовъ 2-й части А₂А₃ — приращешя Дх/goc,, для грузовъ 3-й части А₃А₄ — приращешя Дх/^а, и т. д., такъ что прираьцеше У = DРу выразится черезъ

12

А У — tgaI + R₂ tga^ -f- R₃ tgoc -j- . . . .J Ах, откуда производная У' —    łga, + i?₂ tg*₂ + i?₃ tg* +.......(З)

При положительномъ Ах (сдвижеше вправо) знакъ ДУ обусловливается знакомъ выраженш въ скобкахъ или производной. Если на некоторой прямой ахап отложимъ последовательно отрезки аха₂, а₂а₃, а₃аА, . . равные Rx, R₂, R₃. ., и изъ точки аг проведемъ многоугольникъ со сторонами аха,, а'₂а'₃, а'₃а\,.. параллельными последовательнымъ сторонамъ инфлюентной линш А. А'.. А'₂А'з, А'₃А\...

и вершинами на перпендикулярахъ д,я'₂, д₃д'₃, а₄а\,.... къ прямой то отрезокъ апа'п, определяемый последней стороной на перпендикуляре изъ крайней точки ап, представить графически величину Rx tgai ф- R₂ tgcn₂ -j-R₃ Чаъ + Rą. tgaĄ + •. •., знакъ которой будетъ положительными если отрезокъ апа’п окажется надъ прямою ахап, и отрицатель-нымъ въ обратномъ случае.

Очевидно, производная У'— Rx tgal -j- R ₂tga₂ + R₃ tga₃ -j-.... съ

2>

R₃,..

постоянными множителями tgct₁, tga₂, tga₃, . . можетъ изменить свою величину или знакъ лишь при измененш значешй Rx, R . . , т. е. при переходгь какою-нибудь груза изъ одной части фермы въ другую, когда онъ совпадаешь съ одной изъ вергиинъ инфлюентной лиши. Подобное же положете системы очевидно будетъ имгьтъ мтьсто и для тах У

АС=а, ('В-а..

Г'

,■

или для min У.

Ю.Разсмотримъ случай инфлюентной линш въ виде треугольника, весьма часто встре-чающшся въ практике, и опре-делимъ для ней невыгодней-

\Р, IР,    Г, С IV, IPs \р₆ |Г, в

у у N /    у у у у

ТС

шее положена системы гру-зовъ (фиг. 15).

Фиг. 15.

вемъ

СВ черезъ R₂. При передвиженш системы вправо производная отъ У

Применяя къ этой инфлюентной линш вышеизложенный способъ определена тахУ по приращенда ДУ, назо-сумму грузовъ въ левой части АС черезъ R, и правой

У' = К,    tg«₂-

Ьсли обозначимъ черезъ h высоту СС треугольника и черезъ ах и а₂ длину частей АС и СВ фермы, то

и tga₂

У' — h

Знакъ производной У будетъ одинаковъ со знакомъ выраженш въ скобкахъ; следовательно, пока ^ ,

единицу длины левой части АС фермы будетъ больше “² — средней нагрузки правой части, то передвижеше системы вправо будетъ давать положительное приращеше А У, и У будетъ возрастать, пока наконецъ при этомъ передвиженш не перейдетъ изъ левой части въ правую такой грузъ Рп, при которомъ нагрузка

7?    R

~ сделается меньше нагрузки правой . Тогда наибольшее значеше У и будетъ соответствовать положенда этого груза Рп въ точке С подъ вершиной треугольника, потому что при этомъ положенш системы перемещена ея вправо и влево даютъ отрицательный приращенш А У, т. е. уменьшаютъ У, вслед-

R, Ro

— , а во вто-

Д2

и потому

левой части

(4)

т. е. средняя нагрузка на

CTBie отрицательнаго знака въ первомъ случае у ромъ у величины Алт

ах

Ri

нужно поступать обратно,—пере-

Въ случае, когда —- <( а¹

двигать систему влево, пока не найдется грузъ Рп, изменяющш

знакъ неравенства. Поэтому:

При инфлюентной линги въ видгъ треугольника наибольшее зна-

Rx _ Rз

чете У соотвгьтствуетъ равенству нагрузокъ

вой части фермы, когда грузъ Рп станетъ въ точкгь С на границгь обгьихъ частей инфлюентной лиши.

Чтобы найти грузъ Рп, необходимо всю нагрузку R = Rx-\- R2 разделить на ах -f- а₂ и частное умножить на а,. Тогда Рп будетъ первый грузъ, делаюшдй сумму Рх + Р₂ + Р₃ + • - • больше

Cl 2

лгьвой и пра-

найденной нагрузки R

а1 + fl2

Очевидно, если отложить на некоторой прямой (фиг. 15)

последовательно величины всехъ грузовъ, действующихъ на ферму, и разделить эту сумму на две части пропоршональныя отрезкамъ^Си СВ, то точка делены придется на искомомъ грузе Рп.

Этимъ свойствомъ для определена невыгодн^йшаго положенш системы грузовъ можно приближенно пользоваться и въ томъ даже случай, когда треугольная инфлюентная лишя им'Ьетъ боковыя стороны криво линейны я. Когда оне состоять изъ двухъ параболъ у=Сх² и г/, = С,х?, касательныхъ къ АВ въ точкахъ А и В и им^ющихъ въ пересЬчеши С общую ординату h = Са\ = Cta\,

то для тах. У^ЕРу+ЕРу, производная У = Е Pij’ — Е Ру, =

— 2 СЕРх—2 С, ЕРх, — о, или

ЕРх и

ЕРх Е Рх

а\

-r-Н т. е. давленш — а\ ⁷    а₁

£РхГ вспомогательныхъ балочекъ АС и СВ на узелъ С про-порщональны ихъ длине а₁ и а₂, или эквивалентныя для этихъ давленш нагрузки л^выхъ и правыхъ грузовъ — равны.

Е Рг/ -j- ЕРу' = — 2 С Е Рх + У ЕРх = --£Рх₁, т. е. левымъ и правымъ гру-

Если же параболы АС' и С'В у~Сх² и у₁ — С₁х\ им'Ьютъ общую вершину и касательную ХСХ, въ точке С начале коор-динатъ, такъ что h—Ca\ — Cta\ и У= ЕР (Л — у) -f- ЕР (Л — yj, то для тах У производная У' =

а?

+ 2CISPxI = о, или замъ для давленш на узлы А и В балочекъ С А и СВ соответствуют равныя эквивалентныя нагрузки.

Если инфлюентная лишя представляетъ собою одну кривую, то

4'

5'

•Г

6'

•У.

Р, Рг

Рг

Фиг. 16.

при розысканш тах У или ттУ можно заменить ее достаточно близкимъ къ ней многоугольникомъ, или же (фиг. 16) применить предыдущее построеше, отложивъ вме~ % сто Рт, R₂, Р₃,.... на прямой агап самые грузы Р₁,Р₂, Рг, ... и углы oCj, аг, «з,... принявъ равными угламъ касательныхъ къ инфлюентной лиши въ точкахъ приложена грузовъ. Действительно, если У = Е Ру, то приращеше

Д У — Е Pdy = Е РуХх — Дх£ Ру',

где у' означаетъ производную или tg угла касательной къ инфлюентной лиши въ соответственнымъ точкахъ приложенш грузовъ.

Предложенный мною аналитический способъ определены величины У — Е Ру съ помощью таблицы моментовъ грузовъ поезда см. дальше п. 65.

Вн^шиш силы фермъ.

III. Поперечный силы и моменты въ проетыхъ

балкахъ.

11. Постоянная прямая нагрузка. Пусть на горизонтальную прямую балку АВ (фиг. 17), лежащую на шарнирныхъ опо-рахъ А и В, действуютъ вертикальные грузы Р,, Р , Р,, Р₄ и

В \В

\q

lC-~—

U:

_в

\i

«___--JL___

■-М

■|

Av

IU

Фиг. 1?

Ш;

Jjv

s----^

yj'

P₅. Такъ какъ опорныя сопротивления А и В уравновешиваются данными грузами, и одно изъ нихъ действуетъ вертикально, то и другое должно иметь также вертикальное направлеше, въ про-тивномъ случае проекщя всехъ взаимно уравновешенныхъ силъ на горизонтальную ось была бы неравна нулю.

Величина опорныхъ сопротивлешй А и В определится разло-жешемъ нагрузки Р , Р , Р₃,.. •. или ея равнодействующей на две вертикальный составляющая, проходяшдя черезъ точки А и В, что легко делается съ помощью веревочнаго многоугольника (фиг. 17 и ч. I, стр. и).

Вычислешемъ реакцш опоръ А и В определяются, если взять моментъ Мв или Мл действвующей на балку нагрузки Р,, Р₂,. .. Р₅ относительно опоры В или А и приравнять моменту реакщи опоръ А1 или В1, откуда получимъ

(5)

А = ~в и В = ~А

12. Поперечная сила. Если черезъ какую-нибудь точку С балки проведемъ вертикальный разр^зъ, разделяющей ее на две части, то равнодействующая х) внешнихъ силъ А, Р,, Р₂, прило-женныхъ къ лп>вой части АС балки, равна:

(6)

О-А— Рг — Ра,

если будемъ считать положительнымъ направлеше силы снизу вверхъ. Она называется поперечной, вертикальной или перергьзывающей силой для сечены С балки и стремится левую часть балки срезать или сдвинуть въ поперечномъ направленш относительно правой части, если представить себе последнюю неизменяемо закрепленной. Эта условная внешняя сила О вводится въ разсмотреше вследствш того, что ея величина непосредственно выражаетъ (стр. 2) внутрен-ны силы въ данномъ сечеши балки.

На многоугольнике силъ величина О выражается вертикаль-нымъ отрезкомъ между лучами т и III параллельными сторонамъ веревочнаго многоугольника, пересекаемыми проведеннымъ черезъ С вертикальнымъ разрезомъ. Такъ какъ на чертеже A~I> Р, + Р то О — А — Рг — Р₂ имеетъ положительную величину.

Легко видеть, что поперечная сила Q будетъ положительной или отрицательной, смотря по тому, будетъ ли указанный отрезокъ расположенъ выше или ниже луча s. При этомъ другой лучъ (III) будетъ проходить надъ лучемъ s или подъ нимъ, а параллельная ему сторона веревочнаго многоугольника будетъ иметь восходящее или нисходящее направлеше относительно замыкающей стороны ab. Поэтому, когда поперечная сила положительна, ординаты у веревочнаго многоугольника относительно

г) Ср. ниже, стр. 40.

замыкающей стороны ab возрастаютъ, а когда Q — отрицательна, ординаты у уоываютъ въ направлеши слева направо.

Очевидно, для вс^хъ сеченш между двумя смежными грузами Q остается постоянной, такъ что эпюра значенш поперечной силы О представить горизонтальную прямую съ уступами, соответствующими точкамъ приложенш грузовъ. Крайшя значенш ея равны противодействшмъ опоръ А и — В (фиг. 17).

Иногда величину поперечной силы Q бываетъ легче найти изъ разсмотренш внешнихъ силъ, приложенныхъ къ правой части балки. Въ такихъ случаяхъ нужно иметь въ виду, что равнодействующая, или сумма Q' этихъ силъ, равна и противоположна равнодействующей Q силъ левой части, такъ какъ оне взаимно уравновешиваются, т. е.

Q — ~ Q' — — 5ФР₃ + Р₄ + Р₅

13. Моментъ. Моментъ внешнихъ силъ, приложенныхъ къ левой части балки, относительно точки С называется моменте мъ внтинихъ силъ, изгибающимъ моментомъ или просто момен-томъ для сгьченгя С балки. Онъ считается положительнымъ, если направлеше его вращешя совпадаетъ съ направлешемъ движенш часовой стрелки, и — отрицательнымъ, если оно противоположно. Величина его, какъ известно, выражается произведешемъ полюс-наго разстоянш Н многоугольника силъ на величину отрезка у, отсекаемаго на проведенной черезъ точку С вертикальной прямой крайними сторонами (III и ab) веревочнаго многоугольника разсматриваемыхъ силъ, т. е. произведешемъ Ну ординаты у веревочнаго многоугольника, соответствующей точке С, относительно замыкающей стороны ab, — на полюсное разстояше Н.

Въ простой балке моментъ имеетъ всегда положительное значеше для всехъ сеченш ея. Действительно, равнодействующая Q внешнихъ силъ левой части балки проходитъ черезъ точку г пересечешя крайнихъ сторонъ III и ab веревочнаго многоугольника этихъ силъ. Когда Q имеетъ положительную величину, т. е. направлена снизу вверхъ, сторона III, по предъ-идущему, будетъ восходящей относительно стороны ab и точка пересечешя ихъ i будетъ лежать слева отъ сеченш С; при отри-цательномъ значенш Q пересекаемая сторона (IV) должна быть нисходящей относительно ab и встретитъ последнюю въ точке i' справа отъ С. Следовательно, въ обоихъ случаяхъ направлеше

П роскуряковъ. — Строительная механика, ч. II.    2

вращенш равнодействующей О силъ левой части балки совпа-даетъ съ направлешемъ часовой стрелки, и моментъ внешнихъ силъ остается всегда положительнымъ.

Знакъ момента можно различать еще т^мъ, что при положитель-номъ моменте въ сеченш С ось балки изгибается въ этомъ месте выпуклостью внизъ (^—'), а при отрицательномъ — вверхъ (^).

Очевидно, между двумя какими-нибудь смежными силами величина момента Hij изменяется одинаково съ у, т. е. по прямой.

Если оказывается въ какомъ-нибудь случае легче определить знакъ или величину момента М внешнихъ силъ по моменту силъ правой части балки относительно того же сеченш С, то нужно только помнить, что моменты М' и М силъ правой и левой частей балки, вследствш ея равновеДя, должны быть равны и противоположны, т. e. М— — M'.

Приложена веревочнаго многоугольника къ нахожденда момента М было дано въ первый разъ Кульманомъ.

14. Сплошная равномерная нагрузка. Когда на балку действуетъ сплошная нагрузка, то последнюю по длине балки можно разделить на элементарныя части и разсматривать ихъ, какъ сосредоточенные грузы. Построенный для нихъ веревочный многоугольникъ съ увеличешемъ числа частей нагрузки и сторонъ его, при соответствующемъ уменьшеши угла двухъ смежныхъ лучей и сторонъ многоугольника, переходитъ въ кривую, а эле-

/р М

--77^

kP JL

V ---- _

(И

п:

5р

I____в—

^llpf

Фиг. 18.

И ■> Ш |

У V У

iP \р iP

ментарныя стороны — въ касательныя къ ней, при чемъ построенный веревочный многоугольникъ оказывается описаннымъ около этой веревочной кривой (стр. 32 ч. I).

Действительно, пусть балка АВ (фиг. 18) будетъ нагружена равномерно нагрузкой, общую величину которой назовемъ че-резъ Р, и шп будетъ искомая веревочная кривая, крайшя стороны которой представляются касательными ат и пЬ въ точкахъ т и щ параллельными крайнимъ лучамъ (I и IV) многоугольника силъ.

Если нагрузку Р разд'климъ на три равныя элементарный части, отложенныя на многоугольнике силъ, то лучи его I, II, III, IV будутъ параллельны касательнымъ къ веревочной кривой въ точкахъ т, р, q и п пересеченш ея съ вертикальными прямыми, делящими нагрузку на части.

Если отрезки веревочной кривой тр, pq и qn разсматривать отдельно, какъ веревочныя кривыя для соответственныхъ частей нагрузки, а касательный къ ней въ точкахъ т, р, q и п — какъ крайшя стороны ихъ, то пересечете двухъ смежныхъ касатель-ныхъ определить точку, черезъ которую должна проходить равнодействующая нагрузки соответствующей части, равная 7₃ Р. Обозначимъ эти точки пересеченш черезъ I, 2, 3. Очевидно, полученный многоугольникъ а 123 b представляетъ собою веревочный многоугольникъ, построенный для сосредоточенныхъ эле-ментарныхъ грузовъ равныхъ ¹/₃ Р, соответственно имеющемуся многоугольнику силъ, и описанный около веревочной кривой, при чемъ точки касанш лежатъ на вертикальныхъ прямыхъ, раз-деляющихъ нагрузку на части.

Поэтому, чтобы построить веревочную кривую, нагрузку раз-деляютъ на несколько равныхъ частей и, заменивъ ихъ равными по величине сосредоточенными грузами, приложенными въ средине каждой части, строятъ для нихъ веревочный многоугольникъ; затемъ вписываютъ въ него веревочную кривую (параболу), касательную къ сторонамъ его въ точкахъ пересеченш ихъ съ вертикальными прямыми, разделяющими нагрузку на части. Впи-сываше можетъ быть сделано приближенно съ помощью лекала.

Когда веревочная линш построена, сопротивленш опоръ, величина момента и поперечной силы могутъ быть определены подобно предыдущему.

15. Постоянная узловая нагрузка. Разсмотримъ теперь узловое действт какой-нибудь нагрузки. Пусть Р,, Р₂, Р₃. . . . будутъ грузы, передающее свое давлеше балке АВ при посредстве промежуточныхъ балочекъ на узлы ея (фиг. 19).

Если крайше изъ последнихъ лежатъ на однЕхъ вертикальныхъ прямыхъ съ опорами А и В балки, то давленш этихъ опоръ

будутъ т£ же, ’ какъ и при прямомъ действш данныхъ грузовъ на балку. Действительно, давлеше опоры, напр. А, вообще определяется изъ условш равновесш Al — Мв = о или А —

означаетъ моментъ всей нагрузки балки относительно другой опоры В.

тм

где

р,

\р.-

га.

lii

«НУ-

л\

Wjl

•*■■‘О/—*.

ТГ^

Фиг. 19.

Поэтому для Мв получится то же самое значеше, будетъ ли эта нагрузка Pt, Р,,Р₃..., какъ это имеетъ место въ первомъ случае, или ихъ узловыя составляющая соответственно второму случаю действш нагрузки, такъ какъ моментъ составляюшихъ силъ всегда равенъ моменту ихъ равнодействующей.

По этой же причине моментъ М внешнихъ силъ левой части балки относительно какого-нибудь узла (напр. 3) будетъ одинаковъ въ обоихъ случаяхъ и не зависитъ отъ способа передачи нагрузки черезъ балочки. Следовательно,

Для всгьхъ сгьчешй, совпадающихъ съ узлами, значен1я момен-товъ при прямомъ и узловомъ дгьйств1яхъ нагрузки одинаковы.

Поэтому, если построимъ веревочный многоугольникъ для данной нагрузки Р,, Р₂, Р₃ ... въ предположена непосредствен-наго ея действш на балку и проведемъ затемъ въ немъ замыкающую сторону аЬ и ординаты его въ узловыхъ точкахъ, то лучъ s параллельный стороне ab определись на многоугольнике силъ величину опорныхъ сопротивленш А и В, а узловыя ординаты по умноженш на полюсное разстояше Н дадутъ величину моментовъ и для узлового действш нагрузки.

Кроме того, если соединимъ концы узловыхъ ординатъ прямыми, то полученный (заштрихованный на чертеже) многоуголь-никъ (I) представитъ собою въ то же время и веревочный многоугольникъ для узлового действш данной нагрузки, определяющей моментъ для любого с'Ьченш балки.

Действительно, если узловыя давленш отложить на томъ же многоугольнике силъ и отъ той же точки и построить затемъ веревочный многоугольникъ (II), то при томъ же полюсе О крайше лучи будутъ совпадать въ обоихъ многоугольникахъ по равенству суммы грузокъ и суммы ихъ узловыхъ составляющихъ. Точно такъ же совпадутъ и лучи s, параллельные замыкающимъ сторонамъ, такъ какъ отсекаемые ими отрезки, представляюнце давленш опоръ А и В. согласно доказанному должны быть одинаковы въ обоихъ случаяхъ. Поэтому, замыкаюгцш стороны въ обоихъ веревочныхъ многоугольникахъ параллельны и равны между собою. Ординаты вершинъ многоугольниковъ, вследствш дока-заннаго равенства моментовъ въ узловыхъ сечешяхъ при обоихъ способахъ действш нагрузки, также равны, а следовательно, равны и многоугольники (I) и (II). Такимъ образомъ, найденный выше многоугольникъ (I), вписанный въ веревочный многоугбль-никъ для непосредственнаго действш данной нагрузки, пред-ставляетъ также и веревочный многоугольникъ для узловыхъ давленш данной нагрузки. Лучи, проведенные параллельно сторонамъ его на многоугольнике силъ, определятъ отрезки, соот-ветствуюнпе узловымъ давленшмъ, который этимъ способомъ легко могутъ быть найдены.

Изъ доказаннаго следуетъ также, что моменты внешнихъ силъ балки, какъ пропорщональные ординатамъ веревочныхъ многоугольниковъ, будутъ при узловой нагрузке всегда меньше или равны ') моментамъ при прямомъ действш той же нагрузки, такъ что последнее представляется всегда более невыгоднымъ для прочности балки.

16. При равномерной нагрузке, занимающей всю длину балки и передающейся черезъ узлы, поперечная сила постоянная, какъ

г) Первое илНветъ wfecro для нагруженныхъ панелей, а второе для нена-груженныхъ.

известно, между двумя смежными узлами, можетъ быть найдена безъ помощи веревочнаго многоугольника изъ сл^дующихъ про-стыхъ соотношенш.

Пусть р — величина нагрузки на погонную единицу длины п— I, п — разсматриваемая панель, хп_г и dn — разстоянш узла п — i отъ левой опоры А и отъ узла п (фиг. 20). Сопротивлеше

каждой опоры А и В равно — pl. Действы нагрузки, занимающей п—ую панель между узлами п — i и п, выражается передающимися на нихъ давлеными равными

каждое ~ pdn. Поэтому, приложивъ въ этихъ узлахъ по грузу ~ pdn, можно бу-

детъ удалить находящуюся между ними нагрузку и тогда, отд-кливъ вертикальнымъ разр'Ьзомъ между разсматривае-мыми узлами левую часть балки, можно будетъ написать, что поперечная сила, равная сумме вн^шнихъ силъ левой части балки,

П-!    11

’_________<•'

<r—'AEfb—»

К-----

Ш7'.

Фиг. 20.

Q-~ Р¹ ~РХп-1 — 2 Pd»=PX'n

(7)

где хп означаетъ разстояше средины разсматриваемой. п-ой панели отъ средины О балки, считаемое положительнымъ влево и отрицательнымъ вправо отъ точки О.

Это выражены силы О представляетъ относительно разстоя-ны х прямую, проходящую черезъ средину (л:' = о), и потому для построены поперечной силы стоитъ только провести эту пря-

тогда

\pi-,

мую, отложивъ на опорахъ ея ординаты ~~pl и

ординаты этой прямой подъ срединами панелей дадутъ для послфднихъ значенш поперечной силы, а проведенная черезъ концы ихъ горизонтальная уступчатая лишя представитъ эпюру силы О для всей балки (фиг. 20).

17. ИнФлюентная лишя Q. Определены момента М и поперечной силы Q отъ подвижной нагрузки легче всего делается съ помощью инфлюентной лиши. Начнемъ съ изследованы ин-

флюентной лиши поперечной силы въ какомъ-нибудь сЪченш С балки при прямомъ д-Мствш нагрузки (фиг. 21).

Пусть грузъ равный единице будетъ приложенъ къ балке на разстоянш х и лг, отъ соотв'Ьтственныхъ опоръ А и В. Сопро-тивлеше этихъ опоръ, напр. А, найдется изъ условш равнов'Ьсш

АЛ

Р=1

14

At

B'

.___ъ___

_____jfŁ____

JL

<-

Фиг. 21.

Al — i. х: = о или А = —^ . При передвижеши груза оно изменяется вместе съ л:, по прямой, имеющей для х₁ = о и хг = / ординаты о и I, которыми она и определяется. Такимъ образомъ, если отложимъ на опорахъ ординаты AA' и BB' равныя единице *), то прямыя В А’ и AB' представятъ инфлюентныя лиши для опорныхъ противодей-ствш А и В, отъ которыхъ легко перейти къ инфлюентной лиши поперечной силы О.

Действительно, пока грузъ находится въ правой част

IV- Аналитический епоеобъ определены шах М-

5»

f “8f~ 4f '

zw

h. iĄd 14/г 14-13 * 2 14Л 1А 13

в'Ьтственно на hn и hm. Но инфлюентная линш Мп пре

Vi = -D,.Sinf' + ^

жителями п, равными нулю.

Въ этомъ случай прямая ЬО должна составлять съ Ab

min . R[ = ~ 8 (h2 + 2hho) tg2(45°+у ?)•••• (8o)

Действительно, пока грузъ находится въ правой части СВ балки, поперечная сила Q, какъ равнодействующая силъ левой части АС, равна давленш опоры А, а потому инфлюентная линш последняго для части СВ является инфлюентной лишей поперечной силы О на томъ же протяженш балки.

Когда грузъ перейдетъ вългьвую часть А С относительно даннаго сеченш С, то поперечная сила равная А — i можетъ быть выражена (стр. 17) равнодействующей силъ правой части съ обрат-нымъ знакомъ, т. е. отрицательной величиной опорнаго давленш В. Поэтому инфлюентная линш этого сопротивление построенная съ противоположной стороны прямой АВ, представитъ инфлюент-ную линш Q для левой части АС.

Такимъ образомъ для всей балки инфлюентная линш силы Q состоитъ изъ двухъ параллельныхъ наклонныхъ прямыхъ ВС и АС" съ вертикальнымъ уступомъ въ сеченш С, отделяющимъ положительную часть ВС лиши отъ отрицательной АС".

Изъ нея видно, что одинъ грузъ вызываетъ въ сеченш С балки наибольшую положительную или отрицательную силу, когда она станетъ непосредственно за или передъ разсматривае-

*) Отвлеченной величин-fe, сл-Ьд. въ произвольномъ масштаб^ (см. стр. 9 ч. II).

мымъ СБчешемъ, а подвижная система грузовъ,—когда наибольший изъ нихъ станетъ надъ с^чешемъ С, а остальные расположатся по возможности въ порядк^ убывающей ихъ величины справа и слева С соответственно maxQ или minQ.

Этимъ зам-ечашемъ мы ограничимъ примкнете инфлюентной лиши поперечной силы къ действт сосредоточенныхъ подвиж-ныхъ грузовъ, такъ какъ отъ нихъ наибольшая поперечная сила легче определяется непосредственно изъ веревочнаго многоугольника, какъ то будетъ показано ниже. Применена же инфлюентной линш къ нахожденда предельныхъ значенш поперечной силы <2 сделаемъ для случая действш равномерной нагрузки.

18. Пусть к означаетъ нагрузку на единицу длины балки АВ, х, х, и хп — разстоянш разсматриваемаго сеченш С отъ

опоръ А и В и отъ средины балки, и I—разстоя-ше между опорами, или Ь / пролетъ ея (фиг. 22). Наи-I в    большая

ЛГ-.-.гт-лг¹-⁷⁷⁷ - и~ h 77 -    ⁷

А'%

Cl

А"

it'

ba i

положительная

поперечная сила, или maxQ соответствуем загруже-шю правой части СВ, а minQ — загружент левой части АС, и выражаются первая произ-ведешемъ 2; к, а вторая черезъ—&₂к, где 2, и 2₂ представляютъ (фиг. 21) площади ВСС и АСС" положительной и отрицатель

к---Ап----и¹

Фиг. 22.

но—ж-

ной частей инфлюентной линш.

Но 2, —— CC ~ и 2₂ = y CC" — ~ , или, переходя къ

обозначеншмъ фигуры 22, 2, = следовательно,

х\

21

и 9₂ =

д:²

maxQ = ~ к и

minQ —у к .

Эти формулы могутъ быть выведены и безъ инфлюентныхъ линш. Действительно поперечная сила тах. О соответствуем

загруженйо части СВ и равна реакцш опоры Д= у = kxl • ₂ •

a min Q равна отрицательной реакцш опоры В отъ Ha-

с. min,Q = — kx ■

. . . .(8)

_kxt~

грузки кх, т.

д;

Ttx²

2/

При одновременномъ загруженш об'Ьихъ частей балки нагрузкой р на единицу длины

Q = (QI-QJp

_ х\-X²

или

Q—Рхп •

Действительно, равнодействующая внешнихъ силъ левой части балки длиною х равна разности опорной реакнга А=¹/₂р1 и на

грузки рх, т. e. Q—p (у I

х)=рх,

Последнее выражеше поперечной силы отъ постоянной нагрузки, покрывающей всю балку, есть уравнеше прямой, проводящей черезъ середину балки (х,==о) и имеющей на опорахъ А и В (*,= -*- I и

Поэтому, отложивъ ихъ на опорахъ и соединивъ конечныя точки ихъ прямой А" В", получимъ (фиг. 22) эпюру О, представляющую изменеше поперечной силы по длине балки отъ постоянной нагрузки.

Что же касается предельныхъ значенш поперечной силы отъ подвижной нагрузки тах <2 —-р и minQ сматриваемыя какъ ординаты въ соответственныхъ сечешяхъ С балки относительно прямой АВ, представляютъ собою две равный параболы, касающаяся вершинами прямой АВ въ точкахъ А и В и имеющая въ нихъ, соответственно х, = I и х — 1, ординаты Ш и----- Ы.

По этимъ даннымъ параболы могутъ быть построены какимъ-

~Г) ординаты — pi и

кх²

il'

го оне, раз-

нибудь изъ известныхъ способовъ. Напримеръ, для maximum ~ въ какомъ-нибудь сеченш С откладываютъ

Q=-kL ■ 2

Xi

I, •

— &/, проводятъ прямую

(фиг. 22) на опоре А ординату AA'

В А; ея ордината СС въ сеченш С относительно крайней -*■

Ы. —р Если умень-

, т. е. равна —

, отложивъ на опоре АА' —

уменьшена въ отношенш шить СС въ томъ же отношенш

2= СС и взявъ ординату СС прямой ВА" для сеченш С, то величина СС" выразитъ искомую величину тах Q для сеченш С.

Въ случае совместнаго действш на балку постоянной нагрузки р и подвижной k, наиболышя значешя поперечной силы получатся

*1

сложешемъ соотвТтственныхъ ординатъ параболы ВС А и прямой А" В", имеющей на опорахъ ординаты А А" — В В" = pl. Въ этомъ случай искомыя значенш поперечной силы О выразятся ординатами параболы (фиг. 22) относительно прямой A" B'. Точка О перес^чешя параболы въ этой прямой разд'кляетъ положительным значешя тах О при совм'Ьстномъ д'Мствш об^ихъ нагрузокъ отъ отрицательныхъ.

Min Q представляетъ ту же эпюру только въ обратномъ поло-женш, повернутую на i8o°, поэтому значенie min О можетъ быть найдено изъ эпюры тах О, взявъ на ней ординату на томъ же разстояши х отъ опоры В (фиг. 22).

19. Узловая нагрузка. Найдемъ теперь инфлюентную линш поперечной силы О при узловомъ д'кйствш нагрузки для скченш С балки между двумя какими-нибудь узлами (п—i) и (п) въ п-ой панели (фиг. 23).

Известно, что опорным сопротивление А и В при узловомъ дкйствш будутъ т'к же, что и при прямомъ действш нагрузки. Поэтому, когда грузъ равный единицТ будетъ пом^щенъ справа узла п, то приложенное къ л'Ьвой части АС давлеше опоры А и его инфлюентная линш BD представятъ поперечную силу и ея инфлюентную линш для скченш С. Точно такъ же при положение груза сд-ква отъ узла (п—i) отрицательное сопротивленш опоры В и его инфлюентная линш АЕ выражаютъ поперечную силу и ея инфлюентную линш при д-кйствш груза на л-квую

\Р-1

\P-j

т{_4 l

J! Г

А]

JT,_____

!Г

i»»

Al

'bd

с\

Фиг. 23.

часть балки отъ узла (п — i) до л^вой опоры. Наконецъ, часть инфлюентной лиши для положенш груза въ раз-сматриваемой панели между узлами (я — i) и (и) предста вляетъ—по общему свойству инфлюентныхъ линш и узловой нагрузки — прямую линш, проходящую черезъ точки D и Е, такъ что вся инфлюентная линш Q будетъ состоять изъ двухъ наклонныхъ линш BD и АЕ, соединенныхъ прямою DE. Перескченш последней съ прямою АВ даетъ точку О, отделяющую положительную часть инфлюентной линш BDO отъ отрицательной АЕО.

Очевидно, найденная инфлюентная лишя Q можетъ быть прямо получена изъ инфлюентной лиши АС"С'В для непосредственной нагрузки, исходя изъ того общаго свойства, что первая лишя представляетъ собою многоугольникъ, вписанный во вторую и им'Ьющш вершины подъ узлами.

Мы прим^нимъ ее также къ случаю равномерной нагрузки для нахожденш предельныхъ значенш поперечной силы.

!*}-

i 1:1

- Iu

N 1

—Л

ЩрШШш

||1||§

Яр .....£........-

zPL

7?

А"'

Фиг. 24.

Для тах Q въ какой-нибудь панели нужно расположить нагрузку отъ правой опоры до сечешя, соответствующая нулевой точке О (фиг. 24).

Если разстояше этой точки и смежнаго съ ней праваго узла отъ опоры В назовемъ черезъ х₂ и х,, то

(9)

или

тах Q = Q, k = k^ODB — ~ kx2 ^ il 2 l l

Следовательно, величину тах О получимъ построешемъ подоб-нымъ предыдущему, если отложимъ въ точке А (фиг. 24) ординату

АА, = и уменыпимъ ее сперва въ отношенш

взявъ ординату ЕЕ' прямой BA' подъ узломъ я, а затемъ ЕЕ' темъ же путемъ снова уменынимъ въ отношенш засекая въ точке N ординату изъ точки О прямой В А", для которой А А'¹ — ЕЕ. Тогда ON представитъ собою тах Q для сечешя я-ой панели.

При совместномъ действш постоянной и подвижной нагру-зокъ къ значешямъ тах О отъ последней нужно присоединить соответственный значенш отъ первой нагрузки, такъ что эпюра наибольшихъ значенш Q отъ обеихъ нагрузокъ будетъ иметь видъ, показанный на фигуре 24.

Численный примгьръ. Допустимъ для балки, представленной на черт. 23, что / = 18 м., d — 3 м., р —'i,₂ тон. и k — 4,₈ тон. Отложивъ AA' — — М=± 43,,

тон., А А'" — ВВ¹ — — /?/ — ю,₈ тон. и выполнивъ описанное nocTpoeHie тах Q

последовательно для всйхъ панелей отъ i до 6-й, найдемъ:

Найденныя пред'йльныя значешя поперечной силы отъ совм'йстнаго д’Ьйствш постоянной и подвижной нагрузокъ показываютъ, что Q въ пер-выхъ двухъ панеляхъ всегда положительна, въ 5 и 6 — всегда отрицательна, а въ двухъ среднихъ 3 и 4 можетъ быть, въ зависимости отъ загруженш балки, какъ положительной, такъ и отрицательной.

20. ИнФлюентная линш М. Определимъ теперь инфлюент-

ную линш момента М для какого-нибудь сеченш С балки, подвергающейся непосредственному д-Ъйствш нагрузки.

Если а и b—разстоянш сеченш С отъ опоръ А и В балки, / — пролетъ ея, то грузъ единица, помещенный въ правой части СВ

дастъ моментъ внешнихъ

А и В,

на разстоянш х и хх отъ силъ, равный моменту опорнаго давленш Аа. Такъ какъ а остается постояннымъ, то инфлюентная линш момента получится изъ инфлюентной линш А, откладывая на опоре вместо i длину АА' — а = АС и соединяя точку А! съ В прямою А'В. Ея ординаты на протяженш СВ выражаютъ собою величину момента въ сеченш С отъ груза единицы, помещеннаго непосредственно надъ разсматриваемой ординатой, или точнее:

эти ординаты выражаютъ въ масштабе длинъ плечи, на которыя нужно умножить грузъ единицы, чтобы получить соответствующую инфлюентной лиши величину момента.

Если грузъ находится въ левой части балки АС, то моментъ внешнихъ силъ удобнее выражается черезъ моментъ силъ, при-ложенныхъ къ правой части, который равенъ произведешю ВЬ

опорнаго давленш В на постоянную длину Ь. Онъ им^зетъ, какъ было доказано выше, тотъ же положительный знакъ. Следова

тельно, вторая часть инфлюентной линш можетъ быть построена подобно первой, если на правой опоре отложить ординату BB' = Ь — ВС и провести прямую AB'. Последняя отсекаетъ на проходящей черезъ С вертикальной прямой туже ординату СС', какъ и прямая В'А, потому что въ обоихъ случаяхъ

'sA    ; Р=1

У /■

щкш

Т""Г‘

—а~—>!<.

____б_>.

эта ордината выражаетъ одну и ту же величину момента, соответствующую по-ложешю груза въ сеченш С.

Такимъ образомъ инфлюентная лит я момента представляешь треуголъникъ АС В съ вершиной подъ даннымъ сгьчешемъ С. Онъ получится, если на опорахъ построить ординаты AA' — СА = а и В В —ВС—Ь и привести прямыя BA' и AB', пересгькающ1яся въ С.

L...

⁴N

:JRe

Фиг. 25.

нымъ

Изъ нея видно, что отъ одного подвижного груза Р наибольшее значеше момента получается при совпаденш груза съ дан-сечешемъ С и выражается черезъ Р. а отъ системы

грузовъ,—когда они займутъ всю балку и расположатся отъ сеченш С къ опорамъ въ порядке убывающей своей величины, при чемъ въ сеченш С долженъ стать грузъ, определяемый усло-вшмъ равенства нагрузокъ ~ и ^ правой и левой частей АС и СВ балки АВ (см. п. ю).

Розыскаше наиболыпихъ моментовъ отъ подвижной системы

От-;

_Q2__

Фиг, 26.

сосредоточенныхъ грузовъ составитъ предметъ осо-баго изследованш; въ на-стоящемъ же случае ин-флюентную линш момента мы применимъ къ действш равномерной нагрузки.

Такъ какъ все ординаты инфлюентной линш положительны, то наибольшее значеше момента тахМ въ какомъ-нибудь сеченш соответствуем полному загружешю балки. Если черезъ х и хг обозначить разстояше сеченш С отъ опоръ А и В, то инфлюент-

ная площадь момента выразится черезъ 2 = */₂ /• ^    > а

А- Л</-д1 к.

потому тах М=.

Тотъ же результатъ получимъ, если возьмемъ непосредственно моментъ вн'Ьшнихъ силъ л'Ьвой части балки А и нагрузки кх

(ю)

Это есть уравнеше параболы съ вертикальной осью, следов, эпюра наиболынихъ моментовъ представляетъ отр^Ьзокъ параболы съ равными ординатами для с^чешй, равно удаленныхъ отъ опоръ. На опорахъ ординаты параболы обращаются въ нули, а наиболь-

Ы⁷

шее значенш получается для ординаты посредине балки, при

* = = — ■

Если изъ средины О балки АВ отложить вертикально орди-

и провести черезъ конецъ ея S горизонтальную

прямую, касательную къ парабол'Е въ ея вершинф то для построе-нш параболы будемъ им^ть положеше вершины 5, касательной въ ней и величину крайней ординаты, следов., она можетъ быть построена способомъ, даннымъ на стр. 24.

21. При узловолаъ дЪйствш нагрузки инфлюентная линш момента получится изъ инфлюентной лиши его для прямой нагрузки

вписывашемъ въ последнюю ли-нда многоугольника, им^ющаго съ ней общш точки и вершины подъ узлами (фиг. 27).

Следов., если с^чеше Сдано между узлами, то инфлюентная

ЛИНШ М ДЛЯ УЗЛОВОГО д!>ЙСТВШ представляетъ притугхленныйтре-угольникъ, а когда сЬчеше С совпадаетъ съ однимъ изъ узловъ, то инфлюентная ли-нш для обоихъ способовъ д-Мствш нагрузки также совпадаетъ одна съ другой, а следов., и самыя значенш моментовъ, какъ то было уже доказано выше (стр. 20).

нату

AJt

OS =

⁰³ !*»

____QC________

U—ci—>а<_Ь^4

i 1г~т

•--«V---

(li ; b

1в

а

IB

>cc

»a¹

C'

___Ł_.

Фиг. 27.

Кв-

Для случая, когда сеченш С взято между двумя узлами, можно доказать общую теорему, что моментъ при узловомъ действш какой-нибудь нагрузки разнится отъ момента при прямомъ ея действш на величину, равную моменту вспомогательной балочки разсматриваемой панели отъ расположенныхъ на ней грузовъ ]).

Действительно, грузы, приложенные къ балке вне данной панели ab, имеютъ одне и те же ординаты въ обоихъ случаяхъ действш грузовъ и даютъ тотъ же моментъ для сеченш С. Остается разсмотреть только действш грузовъ въ пределахъ панели ab. Для этой части балки ординаты обеихъ инфлюент-ныхъ линш разнятся между собою на величину ординатъ треугольника а'С'Ь'. Продолжимъ его стороны а С и Ь'С до пере-сечешя въ точкахъ Ь" и а съ вертикалями bb' и аа . А -къ С а а" подобенъ Д-ку С АЛ', въ которомъ основанш AA' и высота равны между собою; точно такъже изъ подобш Д Д-ковъ CBB' и С'Ь'Ь" следуетъ равенство основанш Ь'Ь" и высоты въ Д С'Ь'Ь". Такимъ образомъ вертикальный ординаты треугольники а'С'Ь' относительно ab' представляютъ ординаты инфлюентной лиши момента въ сеченш С балки ab, что и требовалось доказать (стр. 50).

22. Графическое определена тах Q. Наиболышя значешя моментовъ и попоречныхъ силъ отъ подвижной системы грузовъ могутъ быть найдены съ помощью инфлюентной линш, но опре-деленш ихъ успешнее делается по особому способу, который будетъ объясненъ на следующемъ численномъ примере, относящемся къ узловому действш нагрузки.

Возьмемъ железнодорожный мостъ съ 2 фермами, о двухъ путяхъ. Разстоянш / между двумя смежными опорами, или про-летъ балки, пусть равенъ 36 метр, и разделенъ поперечными балками на ю равныхъ панелей, каждая по з,₄ м. Постоянная нагрузка на nor. м.= 1.74 тон., а временная дана въ виде поезда изъ двухъ паровозовъ и ряда груженыхъ вагоновъ. Да-вленш на оси и ихъ взаимныя разстоянш показаны на фиг. 28.

Изъ самого треугольнаго вида инфлюентной линш поперечной силы для узлового действш нагрузки следуетъ, что

г) Эта теорема была доказана мною аналогически въ 1887 г., въ стать£ «Изсл^доваше значенш момента вн-Ьшнихъ силъ», и приведена ниже въ глав-fe IV; зд'Ьсь же дается ея графическое доказательство.

maxQ для какой-нибудь панели, напр. 5-й, получится при за-гружеши правой части балки отъ правой опоры до 5-го узла по'Ьздомъ съ паровозами впереди его, при чемъ одинъ изъ гру-зовъ долженъ совпадать съ узломъ 5, по доказанному на стр. 13 свойству инфлюентной лиши. Хотя этотъ грузъ можетъ быть предварительно опред'Ъленъ указаннымъ тамъ же способомъ, но величину тахО обыкновенно находятъ непосредственнымъ сравне-шемъ значешй поперечной силы, соотв'Ьтствующихъ поочередно совпадешю перваго груза поезда, зат^мъ второго и иногда третьяго съ правымъ узломъ (5) данной панели. Въ большинства случаевъ maxQ получается при положеше перваго груза паровоза въ правомъ узле данной панели. Такое положеше поезда для тахО называется основнымъ — MaxQ съ расположешемъ второго груза поезда надъ правымъ узломъ встречается реже, а съ установкой 3-го груза приходится иметь дело въ исключительныхъ случаяхъ.

Когда поездъ занимаетъ на балке основное положеше относительно поперечной силы 0₅ въ 5-й панели, т. е. первый грузъ его совпадаетъ съ узломъ 5, то проводя черезъ последнюю вертикальный разрезъ ss, найдемъ, что къ левой части балки приложена одна только сила—опорное сопротивлеше Л₅; поэтому

0.5 ⁼ Л₅.

Величина опорнаго давлешя, какъ известно, найдется, если сумму моментовъ действующихъ на балку грузовъ Е Pb относи-

1

тельно правой опоры В приравнять моменту давлешя левой опоры, т. е.

Pb,

Е РЬ — Л₅1 или Д₅ =

Графически сопротивлеше опоры А определяется чрезвычайно просто построешемъ веревочнаго многоугольника, принадлежа-щимъ Винклеру.

Известно, что моментъ какихъ-нибудь вертикальныхъ силъ относительно точки выражается произведешемъ Ну полюснаго разстоянш Н на величину вертикальнаго отрезка у, заключеннаго между крайними сторонами веревочнаго многоугольника. Если при этомъ взять полюсное разстояше равнымъ I, то сила А₅ выразится непосредственно отрезкомъ у. Для построены такого многоугольника, по^здъ располагаютъ такимъ образомъ на балке, чтобы первый грузъ его Р, сталъ надъ опорой В, а остальные Р₃, Р₃ . . . . следовали бы въ направлеши къ левой опоре А; зат^Ьмъ откладываютъ на опоре по вертикальной прямой отъ точки А последовательно величину грузовъ Р, , Р₂, Р₃,..., проводятъ лучи изъ полюса О и строятъ веревочный многоугольникъ, въ которомъ первая сторона будетъ совпадать съ направле-

Ри

3.8

(о)-(о)-Ро)

Р₉

4.5

4.5

10

15415 15 15

12.5 12.5 12 5

Ps

р,

9^8

Ц Ро Рз

15 15 15 15

ЦРзЦЧ

Ps

p₆

Ps

VT

p₃

-V

Ni i

P:

Q₃

K—

<j гsl , 4.

±2 i ±3

oeKi

"5i

T4

Kk

jYf

4,

- <0

—>!

r<---

Фиг. 28.

шемъ самой балки. Ордината этого веревочнаго многоугольника, называемаго мноюуюлъникомъ опорнаго давлешя А, для какого-нибудь сеченш (напр. SS) даетъ величину опорнаго давлешя As, соответствующую загружешю I (фиг 28) правой части балки поез-домъ, котораго первый грузъ совпадаетъ съ этимъ сечешемъ.

Действительно, эта ордината у представляетъ отрезокъ между крайними сторонами 1 и X построеннаго веревочнаго многоугольника грузовъ Рх, Р₂, . . . Р₉, и потому произвелеше ея на полюсное разстояше / даетъ моментъ 1у техъ же 9 грузовъ относительно сечешя, взятаго отъ перваго груза Р₁ на разстоянш равномъ 5 В, т. е. вышеприведенный моментъ Ц⁹,/# грузовъ поезда въ обратномъ положены (i) относительно опоры В, нахо-

Проскуряковъ. — Строительная механика, ч. II.

СЛ'Ьд., ly — S⁹, РЪ, ИЛИ у — у E⁹, Р£ = Д₅.

Если будемъ разсматривать II положеше поезда, когда второй грузъ Р₂ совпадаетъ (фиг. 28) съ даннымъ узломъ 5, то къ отсеченной левой части балки AS будетъ приложено кроме опорнаго сопротивлешя А еще давлеше Р', передающееся отъ груза Р на левый узелъ, поэтому

Qs = A,s-F.

Соответствующее давлеше опоры A's выражается также ординатой многоугольника, взятой подъ первымъ грузомъ Р,, а давлеше P' на узелъ—ординатой въ томъ же сеченш прямой 54’; последняя получится, если надъ левымъ узломъ разсматриваемой панели отложить вертикально величину 44' груза Р₁ и черезъ точку ея 4' и правый узелъ провести прямую. Разность обеихъ ординатъ дастъ отрезокъ, равный искомой поперечной силе Q's.

Наконецъ при положенш третьяю груза Р, въ правомъ узле данной панели (фиг. 29), соответственная величина поперечной

PRĄ

О"

1ГЧ г ч ' %

СЬ

дящейся отъ перваго изъ

нихъ на томъ же

разстоянш 5 В

силы представится разностью между давлешемъ опоры Л"₅, или ординатой у"J многоугольника А, и нагрузкой Р леваго узла 4. Последняя определится подобно предыдущему, если грузъ Р„ привести къ положенш груза Р,, т. е. заменить его грузомъ Р, совпадающимъ по положенш съ Р₁ и производящимъ одинаковое съ грузомъ Р₂ давлеше на левый узелъ. Для этого нужно, чтобы моменты груза Р₂ и искомаго P'г, относительно праваго узла были одинаковы, т. е.

р₂е2 = р,2 («i+O

Если теперь величину груза Р, заменимъ грузомъ Р=Р,-(-Р'₂, то давлеше отъ него на левый узелъ будетъ то же, что и отъ грузовъ Р, и Р₂ и можетъ быть построено предыдущимъ спосо-бомъ, а равно и величина Q"s (фиг. 29).

Наибольшее изъ найденныхъ значенш поперечной силы и будетъ тах Q. Очевидно, Q'₅^>A₅ или Q\ > Q's получится

тогда, когда вспомогательны я лиши 54' или пт 4"' будутъ соста-влятъ съ направлетемъ балки уголь менышй, чгьмъ лишя опор-наго давлешя А въ предгьлахъ рассматриваемой панели, что представляется тгьмъ болгье возможнымъ, чгьмъ ближе рассматриваемая панель къ лгьвой опоргъ.

Такимъ образомъ для разсматриваемой балки находимъ:

тах Ог—О'₁₌₌:1о6,8 maxQ=Q' = 86,7 тах Q₃=0'₃ = 67,6 тах Q₄=Q'₄= si,о тах Os=Q'₅= 3 6,,

тах О в—А₆=25,3 тах О ■]—А9 тах О %=А&= 8,8 тах О ₉=А₉= 2,₉ тн. тах 01о=о    »

Когда наиболышя значешя поперечной силы отъ поезда определены для вс^хъ панелей фермы, къ нимъ остается только прибавить соответственные значешя поперечной силы отъ постоянной нагрузки, которыя получаются построешемъ, даннымъ на стр. 22.

23. Графическое определена max. М. Для нахождешя наи-болыпихъ моментовъ поездъ, соответственно инфлюентной лиши,

составляютъ изъ 2 паровозовъ въ средине и груженныхъ вагоновъ по бокамъ, при чемъ паровозы обращены трубами другъ къ другу. При узловой нагрузке значешя моментовъ разыскиваются обыкновенно для условыхъ точекъ, которымъ, какъ известно, соот-ветствуютъ при всякомъ положенш нагрузки предельныя значешя моментовъ; въ узловыхъ же точкахъ моменты имеютъ тгь же величины, какъ и при непосредственномъ действш нагрузки (см. стр. 20).

Чтобы найти значешя моментовъ М₁, М

М₃. . . въ узлахъ I, 2, з . . . , строятъ веревочный многоугольникъ для грузовъ средней части поезда длиною несколько более пролета балки 36 м. Для этого, принявъ масштабъ для силъ 2т,= 1 м.м. и длинъ i м. = 4 м.м., откладываютъ на вертикальной прямой последовательно величину грузовъ, обозначенныхъ на фигуре 30 цифрами I, 2, 3 ... 21 ... , выбираютъ полюсъ съ какимъ-нибудь разстоя-шемъ H=s Х3)б=:10)8 м., что въ принятомъ масштабе составитъ Н— ю,8X 4—43>2 м.м., проводятъ лучи и затемъ параллельно имъ стороны веревочнаго многоугольника. Въ масштабе силъ полюсное разстояше выражаетъ силу 43,3 Х2=86м т. Изъ предыду-шаго известно, что для полученш тах М въ какомъ-нибудь

3°

__.о

-X-

СО

СО

SL

@-+

(4-

еЪченш балки, напр. въ узле I, нужно нагрузку такъ расположить на балке, чтобы съ нимъ совпалъ наиболее тяжелый грузъ поезда. При этомъ перем'Ьще-Hie поезда по балке заменяется движешемъ балки относительно поезда и разъ построен-

12.5 (17)

Ю

•Л"

наго для него веревочнаго многоугольника; поэтому последит можетъ служить не только для разысканш мо-ментовъ во вс^хъ сеченшхъ данной

->V3B

—балки, но и для ба-

—

1Л

локъ другихъ про-летовъ.

Чтобы найти значеше момента

OJ_со

(£*4

it

(6) 12.3

—>V2E -►V3 с?

будь положенш поезда на балке, когда напримеръ 9-й грузъ " (фигура 30) совпадаетъ

М₁ при какомъ-ни-

*4-

5-

<2-4

ч.

ад

(2

///

съ узломъ i, нужно соответственно расположить балку подъ веревочнымъ мно-гоугольникомъ, засечь его въ точкахъ а и Ъ вертикальными прямыми, проведен-\ ными черезъ соответственная положенш опоръ А и В, и провести замыкающую ли-шю ab. Отно-

чХ

\\Vx

Фиг. 30.

следней вертикальная ордината многоугольника подъ узломъ i,

сительно по-

по умноженш на Н, дастъ величину момента М при избранномъ положенш поезда.

Выше было доказано (стр. 13) для треугольной инфлюентной линш, что наибольшее значете отъ системы грузовъ величина У получаете при совпаденш того груза Рп съ вершиной треугольника, который первый даетъ сумму Р₁-\-Р₁-\- Рг-\~. . . .

Графически это делается построешемъ, пока-

больше R

а + У

заннымъ на фигуре 15.

Къ опредГленнымъ такимъ способомъ величинамъ моментовъ въ узлахъ отъ действш поезда нужно прибавить еще значенш моментовъ отъ постоянной нагрузки, который, какъ известно, представляются ординатами параболы, изъ которыхъ наибольшая по средин-t балки равна -Е/?/². Если выражать Н въ масштабе

I рр    1,74 - чб²

силъ, то эта ордината у = -g-    g

= 3,₂6 м. Отложивъ

ее, построивъ остальныя ординаты для узловыхъ точекъ и сло-живъ ихъ съ ординатами отъ подвижной нагрузки, получимъ наиболышя значенш моментовъ въ узлахъ отъ совм^стнаго действш нагрузокъ. Оне оказались равными:

Мл — 86,₄ X 5jS2— 476,9 тм.

М₂ — 86,₄ X 9»бб = 834,6 »

М^ = 86,₄ X 12,84= 1009,4 »

М₄ — 86,₄ X i4»e₀= ¹²⁶¹ н »

— 86,₄ X 15юо — ¹²9б,₀ »

Уг= 5>5г М-

у₂= 9»

Уз ⁼ 1^,8₄ » у4    ^ 4,6° ®

У$⁼¹$>00 »

Если бы встретилась надобность определить тахМ для сечены С, взятаго между двумя \ > узлами п—i и w-ымъ, то балку ^

А В нужно такъ расположить подъ веревочнымъ многоугольни-комъ, чтобы (п. 9, стр. 12) наиболее тяжелый грузъ совпалъ съ узломъ п или п—i-ымъ, за-темъ проводятъ замыкающую линш 5 (фиг. 31).

Такъ какъ при узловой нагрузке значеше момента между узлами изменяется по прямой, которая проходитъ черезъ ординатъ веревочнаго многоугольника, соответствующихъ

a-i

s_

7.

сГТ

\И

Фиг. 31.

концы

этимъ

узламъ, т. е. по прямой г (фиг. 31), то величина момента въ с^ченш С выразится отр'Ьзкомъ у проходящей черезъ С вертикальной прямой, опред'Ъляемымъ перес'Ьчешями съ линшми S и s. Наибольшее значеше момента найдется непосредственнымъ срав-нешемъ найденныхъ такимъ образомъ значенш.

24. Прялюе действш подвижной системы сосредоточенныхъ грузовъ им-Ъегь место въ практике только при балкахъ небольшого пролета.

Наибольшая поперечная сила Q при этомъ получается тогда, когда двигающшся справа налево по^здъ станетъ первымъ ко-лесомъ въ данномъ с'Ьчеши, и определяется ординатой многоугольника опорнаго давленш А подъ разсматриваемымъ сече-шемъ.

Наибольший моментъ въ какомъ-нибудь сеченш находится также, какъ это было показано для момента въ узловыхъ точкахъ. Остается объяснить теперь способъ, какъ найти сечеше съ наи-болынимъ изъ тахМ на всей балке, или такъ называемый абсолютный тахМ при прямомъ действш постоянной равномерной нагрузки и системы подвижныхъ грузовъ. Для этого возьмемъ балку АВ небольшого пролета, подверженную прямому действш постоянной нагрузки и системы изъ двухъ подвижныхъ сосредоточенныхъ грузовъ Рг и Р₂.

Чтобы построить веревочный многоугольникъ для постоянной и подвижной нагрузки, возьмемъ первую на длине CD большей

пролета балки (фиг. 32). Пусть грузы Р, и Р₂ раз-деляютъ нагрузку CD на три части, равнодействующая которыхъ F,, F₂ и Р₃ приложены посредине каждой части. !/' Для грузовъ Ft, P:,.F ^ л Р₃ строимъ веревочный многоугольникъ СLMKNRD'. При равномерной нагрузке части веревочнаго многоугольника CLM, MKN и NRD должны представлять отрезки кривой (параболы), каса-тельныя къ сторонамъ CL и LM, МК и KN, NR и RD' въ со-

с.

Утам

мг

ТПП

Р₂,

Фиг. 32.

отв'Ьтственныхъ точкахъ С, М, N и D'. Вписавъ эти кривыя (по фиг. 33), получимъ искомый веревочный многоугольникъ съ криволинейными сторонами и точками перелома подъ грузами. Давая относительно его различ-ныя положешя балке АВ и про-водя каждый разъ соответствен-    /\ч

ную замыкающую сторону, найдемъ линш, объемлющую послфднихъ.

Ar; i

между этой кривой и

Фиг. 33.

тах

Наибольшее вертикальное разстоя-ше у

кривой веревочнаго многоугольника дастъ абсолютный тахМ—Нутах\ касательная, проведенная къ объемлющей въ пересеченш ея съ утах, определитъ соответствующую замыкающую сторону, а следовательно, положена балки и ея сечете, для котораго имеетъ место абсолютный наиболышй моментъ.

IV- Аналитический епоеобъ определены шах М-

25. Теорема Шведлера. Сначала мы изложимъ доказательство теоремы Шведлера въ общемъ случае, затемъ, пользуясь ею, раз-смотримъ изменеше момента въ балке при постоянной нагрузке и потомъ перейдемъ къ подвижной системе грузовъ, представляя ея движете въ виде непрерывнаго ряда отдельныхъ положенш.

Пусть А В представляетъ (фиг. 34) какой-либо плоскш брусъ, F, F,, F₂.. . — действующш на него внешнш силы, и р — сплошная нагрузка на единицу длины бруса. Чтобы определить изменеше момента внешнихъ силъ въ какой-нибудь точке О оси бруса между двумя силами, заменимъ все силы, приложенныя къ левой части АО, двумя силами: Q — по направленно нормали и N— по касательной въ точке О оси бруса, и еще парою силъ въ плоскости этой оси. Отъ такой замены величина момента въ части О В и вообще состояше ея ни-

F, F₂

кг*’

Jk''

Фиг. 34.

Jn J n+1

F

х Tt-l

,в

сколько не изменяется, если только Q равна сумме проекцш внешнихъ силъ, приложенныхъ къ левой части АО, на нормаль, а N— сумме проекщй ихъ на касательную въ точке О, и моментъ этихъ силъ относительно той же точки равенъ моменту М пары. Въ такомъ случае, считая положительными моменты, вращаюшде вправо по направленно часовой стрелки, имеемъ (фиг. 35) для смежной точки 0' величину момента M' внешнихъ силъ ł)

M' = M+Q.O'D + N. 0С-Р—^

F.

■Nc

I i

Fi F₂

\\

4М-П cis “V

n-i

{{ii ф L v ii

i ! ! ! pn Jn+i i !

п+г

Фиг. 36.

Фиг. 35.

обозначая черезъ pCsv составляющую сплошной нагрузки нормальную къ оси бруса и принимая во внимаше, что пара силъ сохраняетъ одинъ и тотъ же моментъ для всехъ точекъ плоскости.

Откуда

А М= QdsCs~ + Nds Sn \ пределу | QCs у + NSn Ц

pds: Cs 9

^],=₀=с • (»> т. е. производная отъ момента внгьшнихъ силъ части АО для какой-либо точки О оси бруса равна суммгъ проекщй этихъ силъ на нормаль въ этой точкгь, или такъ называемой поперечной силтъ Q. Въ этомъ и состоитъ теорема Шведлера.

26. Постоянная нагрузка. Предыдущш выводъ упрошаетъ изследованш значешя момента въ всехъ случаяхъ, но особенно оказывается полезнымъ при отысканш пределовъ для М въ пря-мыхъ балкахъ отъ сосредоточенныхъ грузовъ. Действительно для

*) По известному изъ статики общему свойству момента системы силъ при переходе отъ точки А къ В: М^ = Мв-\-моментъ для точки В равнодействующей перенесенной въ А, или ея составляющихъ О я N.

4i

каждаго сечены такой балки, будетъ ли она горизонтальная или наклонная, простая или неразрезная, величина —- =    между

двумя грузами (фиг. 36) остается постоянной, следовательно, М есть линейная функцы отъ х вида СхĄ-D. Величина М изменяется между смежными грузами по прямой и либо возрастаетъ, если Qi>o, либо убываетъ, если ()<о, а потому во всякомъ случае заключается между крайними своими значешями Мп и Мп+1 для точекъ приложены грузовъ Рп и Рп+1. Отсюда вытекаетъ пра-

ДА

а;

|Р

Фиг. 37.

Фиг. 38.

Фиг. 39.

вило: во всякой прямой балкгь какъ наиболъгшя, такъ инаименыи1я значенгя момента слгьдуетъ искать только между значешями ею для точекъ приложетя силъ, т. е. на опорахъ и подъ грузами, при чемъ эпюра моментовъ представляется въ виде многоугольника, котораго вершины соответствуютъ точкамъ приложены грузовъ (фиг. 36).

Напримеръ въ балке съ заделанными концами при одномъ грузе (фиг. 37) тах. М и min. М должны находиться на опорахъ и подъ грузами, а такъ какъ для опоръ    о (выгибъ

вверхъ), то имъ соответствуютъ два minimum³a, a maximum, следовательно находится подъ грузомъ.

Для простой балки (фиг. 38) моменты на опорахъ равны нулю, a maximum— подъ грузомъ. Если на такой балке находится несколько грузовъ (фиг. 39), то обозначивъ черезъ А и В давлены правой и левой опоръ, имеемъ значеше

• • • (13)

ę=Q=A-p,-p,-.

изменяющимся отъ А до —В; следовательно, М сперва возрастаетъ отъ нуля у левой опоры до некоторой наибольшей величины, а затемъ. убываетъ до нуля у правой опоры, а потому М всегда положительно.

27. Подвижная нагрузка. Теперь приступимъ къ вопросу— определить наибольшее значеше момента въ простой балке, подверженной действпо системы грузовъ Р1} Р₂, Р₃,... Рт, неизменно связанныхъ между собою и перемещающихся по пролету.

Такъ какъ только что доказано, что это значеше въ каждомъ отдплъномъ положент подвижной системы соответствуем моменту подъ однимъ изъ грузовъ, то его для вспхъ вя положетй следуетъ искать только между тах. Мг, тах. М„, тах. М₃ и тах. Мт, т. е. между наибольшими его значеншми подъ каждымъ изъ грузовъ. Но решеше вопроса делается еще проще. Относительно некоторыхъ изъ М1} М₂, .... Мт можно заранее сказать, что абсолютный тах. М не заключается между ними, и что ихъ поэтому можно исключить изъ разсмотрешя. Для этого обо-значимъ черезъ А давлеше левой опоры; оно получаетъ при положент системы въ пределахъ опоръ наибольшее значеше А₀₎ когда система сдвинута къ левой опоре и крайнш левый грузъ станетъ надъ нею, а наименьшее значеше А, получится при положент крайняго праваго груза на правой опоре, и потому при всякомъ положент системы въ пределахъ опоръ тах. А > Д > min. А или Д₀ > А^> А Изъ предыдущего известно, что наибольшее значеше М для какого-нибудь положешя системы на балке, или частный тах. М, будетъ подъ темъ изъ грузовъ, где производная

dM

Ъ = А-Р,-Р-

(ч)

перемгьняетъ знакъ. Отсюда следуетъ, что при подвижной системе абсолютный тах. М не можетъ находиться подъ теми изъ грузовъ, для которыхъ при всехъ положеншхъ системы грузовъ величина

~х~~ —— А — Pi — Р₂ —

ах

сохраняетъ одинъ и тотъ же знакъ. Эти грузы подъ которыми не бываетъ и частный тах. М данной системы, не трудно выделить. Положимъ, напр., что для некотораго груза Рп имеемъ:

• • (ч)

min. А > Рх + Р₂ + . .. + Рп но min. А<Рг + Р₂...+ Р„-1 4- Рп • (Ч) Отсюда мы прямо заключаемъ, что поперечная сила

Q = A--PI- Р>-Рг-

для части балки отъ левой опоры и до груза Рп не можетъ переманить положительнаго знака -f-, какъ бы данная система грузовъ ни была расположена въ пролете, а следовательно, всегда для этой части балки dM:dx^> о, функцш М возрастаетъ до груза Рп, т. е. всегда М, < М₂ < М₃ < . . .. < М„_, < М„, и потому наибольшее значеше М сл^дуетъ искать между Мп,

мп+1....

Съ другой стороны, если для какого-либо груза Ps

тах. А <7 Р, -(- Р₂Ps ■ . . (i6) но тах. А > Р, + Р₂ + .,. Ps_, . .    (17)

dM п

всегда отрицательна для части балки отъ Ps до правой опоры, и потому всегда

Ms > Ms+] > ms+2.... > мт,

такъ что при розысканш моменты

■L,-LS+I >

также исключаются, и остается только изследовать

Мп,М

... Ms.

Такимъ образомъ; первый грузъ Рп, подъ которымъ возможет абсолютный тах. М, будетъ тотъ, который первый дгълаетъ сумму Р,+Р,+ . . . . Рп большей min. А, а послпдшй грузъ Ps тотъ, который первый даетъ сумму Р: + Р₂.... -j- Ps болыиую тах. А.

Напр., если система состоитъ изъ 9 грузовъ но одной тонн-fc, связан-ныхъ разстояшями въ одинъ метръ, а пролетъ балки юм., то min. А — з,бн тах. А — 5,4 тн., следовательно, четвертый грузъ первый даетъ сумму Р, -\-Р₂-\~ • • • большую min. А, а шестой — сумму большую тах. А, такъ что тах. М можетъ находиться только между М₄, М₅ и MG.

М₂,.

т. е.

28 Определена шах. М. подъ грузомъ подвижной системы. Итакъ всегда можно ограничить число значешй М . . Мт, между которыми разыскивается абсолютный тах. М. Покажемъ теперь, какъ находить тах. Мп, тах. Мп+1 . . наибольшее значеше момента подъ какимъ-нибудь грузомъ Рп. Пусть R—равнодействующая грузовъ равная изъ сумме, с — разстояше ея до разсматриваемаго груза Рп, при чемъ с положительно для грузовъ влево отъ равнодействующей R и отрицательно для грузовъ вправо отъ нея, и N—моментъ грузовъ Рм Р₂, ... . Р предшествующихъ Ря, относительно точки при-

ложешя Рп; все эти величины не зависятъ отъ положены системы на балке. Для удобства изсл'Ьдованы кроме того мы бу-демъ представлять себе балку продолженную свешивающимися

Аж

Г 2 QT 2 i

A Р~~ТГ£!

\ *r Фиг. 41.

концами за опоры, и действы на нее грузовъ не прекращающимся съ переходомъ некоторыхъ изъ нихъ за опору.

Вследстае этого, будутъ ли все грузы на пролепт или некоторые изъ нихъ вне его на свешивающихся концахъ (фиг. 40), вообще имеемъ:

К уК

Фиг. 40.

08)

A —y {I — х — с)

М= Ах — N — у- (/ — х — с) х — N, . . .(19) где х означаетъ разстояше груза Рп до левой опоры, А — ея реакцш и I—величину пролета балки или разстояше между ея опорами. Дифференцируя Мп по х, находимъ

Следовательно, пока

всякое пере движете системы вправо (фиг. 41), или пока

i с \ ^

х-\--> -

¹ 2 2 ’

.-X

А__

У> łR

_П i'

Фиг. 43.

Фиг. 42.

всякое перемещены ея влево (фиг. 42) увеличиваютъ значеше Мп, и наибольшее значеше его получается при

1—с

или при

когда, следовательно, о средина разстоянш с совпадаетъ съ О—срединой пролета (фиг. 43). Тогда

'T И ”“‘X-K = t(S2-C)‘-N ■

тах. Мш= ~х² — N........

п I п

29. Значеше схода грузовъ съ пролета. Можетъ при

1 — с

. . . (20)

ИЛИ

(21)

случиться, что s грузовъ станутъ вне пролета. Въ этомъ случае можно доказать, что тах. Мп при полной системе будетъ меньше соответственная тах. Мп при неполной системе изъ оставшихся на пролете т—s грузовъ, т. е. когда все s грузовъ, перешедппе за опору, совсемъ удалены изъ системы.

Заметимъ прежде всего, что при

1—с

значеше Мп имеетъ наибольшую величину изъ всехъ возмож-ныхъ при полной системе, и при томъ величину положительную, потому что значеше Мп, когда все грузы были еще въ пролете, было положительно, а такъ какъ во все время движешя было dM .

~dx ^ °’

то величина Мп возрастала и при I— с

■Н

также положительна. Пусть теперь S означаетъ сумму всехъ s грузовъ,

Фиг. 44.

ставшихъ, напр., за левой опорой, или ихъ равнодействующую, и t—ея разстоянш до этой опоры. Чтобы определить влыше этихъ грузовъ на величину Мп, представимъ себе, что другихъ грузовъ совсемъ нетъ на балке (фиг. 44). Моментъ для какого-либо сеченш между опорами

1)х

Sx

St = -

St (1-х)

Ах — S (/ —|— х) —

величина отрицательная (выгибъ вверхъ), а такъ какъ общш моментъ есть сумма двухъ моментовъ отъ грузовъ, стоящихъ на пролете и стоящихъ вне его, то очевидно величина М везде воз-растетъ и Мп получитъ значеше больше предшествовавшаго тах. Мп, когда все стояние вне опоръ s грузовъ совсемъ уда-

лимъ изъ системы. Но можетъ возникнуть вопросъ: нужно ли все s грузовъ удалить и не можетъ ли тах. Мп получить боль-шаго значенш, когда только некоторые грузы сняты съ балки. Для разрешены его стоитъ лишь себе представить удалеше одного изъ нихъ. Отъ этого равнодействующая R оставшихся грузовъ на всей балке удалится отъ левой опоры; следовательно, средина разстоянш с сдвинется со средины пролета вправо, и потому значеше Мп еще более увеличится, когда система будетъ перемещаться влево, пока не достигнетъ Мп своего maximum''а, при совпаленш средины с со срединой пролета. Такъ какъ при этомъ остальные 5—1 грузовъ продолжаютъ находиться вне пролета, то разсуждая точно такъ же относительно каждаго изъ остальныхъ грузовъ, заключаемъ, что тах. Мп, все возрастая, при последней неполной системе изъ т—s грузовъ

системы

будетъ более всехъ тах. Мп предшествовавшихъ системъ. Итакъ,

I — с

когда при х——- s грузовъ переходятъ за опору, ихъ слгъдуетъ удалить изъ системы и искать тах. Мп при оставшихся грузахъ.

Но если бы насъ интересовали возможныя наиболышя зна-чешя М при полной системе изъ т грузовъ, то нужно въ такихъ случаяхъ, когда грузы сходятъ, взять крайнее положеше полной системы, когда крайнш грузъ только что дойдетъ до опоры, и вычислить соответствующую величину

dM

> о и Мп возрастала.

30. Скажемъ несколько словъ о техъ пршмахъ, которые со-кращаютъ вычислеше данныхъ тах. A, min. А и величинъ с.

Система ставится въ крайнее положеше на пролете, когда крайнш правый грузъ стоитъ на правой опоре; разстояше край-няго леваго при этомъ отъ левой опоры назовемъ черезъ d. Вычисляются сумма R всехъ грузовъ и моментъ М системы въ этомъ

rj. М

положены относительно правой опоры, тогда = г есть разстояше равнодействующей R отъ крайняго праваго груза; разстояше до R другихъ грузовъ, или величины с, легко получить

М = min. А. Для тах. А система сдви-

dx

Мп = ~ (I — с — х) х — N, . которая и будетъ тах. Мп при т грузахъ, потому что во все время перемещены системы

уже теперь. Кроме того

Обыкновенно абсолютный тах. М получается подъ грузомъ ближайшимъ къ равнодействующей R, т. е. съ наименьшимъ зна-чешемъ с.

31. Мах. М въ даннолиъ сЬченш. Отъ вопроса о нахожденш абсолютнаго тах. М переходимъ теперь къ другому вопросу, каково должно быть положеше системы грузовъ на балке для того, чтобы моментъ въ определенномъ сеченш на разстоянш х отъ левой опоры былъ наиболышй.

Пусть т означаетъ переменное разстояше перваго груза Р1 отъ левой опоры, R и S— сумму всехъ грузовъ системы и сумму техъ изъ нихъ, которые находятся влево отъ разсматриваемаго сеченш X, с и е—разстояше ихъ равнодействующихъ отъ того же груза Pj и /—величину пролета.

Представляя себе пока балку продолженной концами за опору, можемъ давлеше левой опоры всегда положить

А — Q — т — с)

независимо отъ того, будутъ ли все грузы въ пролете или некоторые вне его на свешенныхъ концахъ.

Моментъ въ данномъ сеченш

т) х — S (х — е — т).

М = {(1-с

Это выражеше первой степени отъ т, следовательно, значеше М изменяется при движеши системы прямолинейно. Производная отъ М по т

dM с R Jm~S Iх

величина постоянная и изменяющаяся только съ величиною S, т. е. съ переходомъ груза черезъ разсматриваемое сечеше.

Во всякомъ случае величина момента М будетъ возрастать при движеши системы вправо и влево, смотря по знаку +

станетъ наконецъ въ

гается влево на величину d\ моментъ ея относительно той же правой опоры

M' — R (г -f- d) = М -f- Rd и тах. А =

M' ₌ M₊Rd

или

/i    a i Rd

тах. А = шй. А +

(22)

R

или — у производной S —j х, пока не данномъ сеченш такой грузъ Рп, съ переходомъ котораго черезъ это с^чеше изменяется знакъ производной 5—kx, где постоянная заменена черезъ k.

величина

Поэтому наибольшее значеше момента въ какомъ-нибудь сечеши балки на разстояши х отъ лшой опоры будешь подъ темъ изъ грузовъ Рп, совпадающимъ съ этимъ сечешемъ, который определится изъ услов1я

(23)

Р, + Р₂ +.... + Рп > kx

(24)

И P-L "j- Р₂ + • • . • 4“ Рге_! kx Соответствующее этому положешю значеше тах. М определяется по формуле (19), въ которой с и N относятся къ тому грузу Рп, который совпадаетъ съ даннымъ сечешемъ.

Если при этомъ некоторые грузы оказались вне пролета на свешенныхъ концахъ, то это только покажетъ намъ (п. 29), что ихъ, какъ отрицательно влшющихъ на величину момента, нужно удалить изъ системы, отчего величина М при неполной системе всегда увеличится. Для полной же системы наибольшее значеше момента соответствуетъ крайнему ея положешю въ пролете.

при чемъ

П+1>

Если изменять непрерывно величину х, то грузъ Рп, проходя черезъ соответствующая сечешя балки, будетъ вызывать въ нихъ при этомъ наиболышя значешя момента, пока наконецъ х не до-стигнетъ до такой величины хп, при которой выражеше (23) обращается въ равенство. Начиная съ этого сечешя Хп, грузъ Рп долженъ быть замененъ следующимъ грузомъ Р, для этою спчетя Хп значеше М остается постояннымъ, будетъ ли это сечете занимать грузъ Рп, или Рп+г, или система будетъ въ какомъ-нибудь промежуточномъ положеши изъ этихъ двухъ, такъ какъ для этого значешя хп производная отъ М обращается въ нуль.

AXt. Х>Х₂,

Точки Xt, Х₂, Х₃, ... . Хп, разделяющая балку на части Х₂Х₃,.... Хп_,Хп соответственно грузамъ Р₁ Р₂,

kxl — Р,

кх₂=Рг+Р₂

kx₃ = Pi -j- Р₂ -j- Р₃

Р₃ .... Рп, вызывающимъ въ нихъ наиболышя значешя момента при переходе черезъ ихъ сечешя, могутъ быть определены изъ уравнешй

(25)

kxn— Pi -f P    Pn

уравнешемъ параболы у

Такимъ образомъ кривая наиболыиихъ значенгй момента отъ данной системы грузовъ для всгьхъ спчемй балки представляется составленной по частямъ изъ отргьзковъ кривой момента подъ каж-дымъ изъ грузовъ, выражаемой (ур. iy) общимъ для вспхъ грузовъ

х² за исключешемъ тгъхъ сгьчешй, въ

которыхъ наиболъшгя значетя момента соответствую тъ неполной системе грузовъ.

32. Зависимость ме?кду значеншми М и О при прямой и узловой нагрузкахъ. Нагрузка обыкновенво д^йствуетъ не прямо на балку, а передается въ некоторый ея точки, или узлы, съ помощью особыхъ балочекъ. Поэтому не безполезно будетъ показать здесь, какая существуетъ разница для какого-нибудь с^Ьченш балки между моментомъ М и вертикальной проекщей О вн'Ьшнихъ силъ при непосредственномъ д'Ъйствш нагрузки сравнительно съ моментомъ Му и вертикальной проекщей Qy вн'Ьш-нихъ силъ, когда та же самая нагрузка передается на балку помощью вспомогательныхъ балочекъ. Внешними силами являются въ первомъ случай данная нагрузка и вызываемый ею опорныя реакцш балки, во второмъ случай — узловыя давленш отъ нагрузки и соответствующая имъ опорныя реакцш.

нт т i ГТ*! "Г

—j—4—He~l—~:

Представимъ себе балку, свободно лежащую на двухъ опо-рахъ, и произвольную нагрузку въ виде сосредоточенныхъ грузовъ или сплошную, какъ-нибудь расположенную на пролете и передающуюся въ узлы по-средствомъ особыхъ балочекъ (фиг. 45), при чемъ крайше узлы совпадаютъ съ опорами балокъ.

Разсматривая ба-лочки, какъ свободно

Фиг. 45.

лежащш на двухъ опо-рахъ, и следовательно, находящуюся на нихъ нагрузку передающеюся на узлы по закону статики, находимъ, что равнодействующая всей нагрузки балки ^равнодействующая всехъузловыхъ ея давленш должны совпадать^по величине и по-

ложенш, а потому и давлеше на опору будетъ одинаково въ обоихъ случаяхъ, будетъ ли передача непосредственная или узловая; или называя давленш на левую опору соответственно обоимъ случаямъ черезъ А и А , имеемъ, след., А'=Ау.

Разделимъ мысленно вертикальнымъ разрезомъ ОХ данную балку вместе съ вспомогательной балочкой на две части, пересекая оси балки и балочки въ точкахъ О и X, и условимся обозначать черезъ М и Q моментъ и вертикальную проекцш внеш-нихъ силъ (поперечную силу) лгьвой отсеченной части балки и черезъ т и q — для вспомогательной балочки.

Для равновесш левой части балочки необходимо, чтобы зна-ченш момента и вертикальной проекцш ея внутреннихъ силъ въ сеченш ОХ были равны значеншмъ т и q внешнихъ силъ ея отъ находящейся на ней нагрузки. Точно также и для балки значешя М и Q внутреннихъ силъ ея въ сеченш ОХ должны быть равны значеншмъ соотвътствующихъ ей внешнихъ силъ отъ узловыхъ давленш, т. е. значеншмъ Му и Qy. Поэтому для отсеченныхъ левыхъ частей балки и балочки вмгъстгь величины Му -f- т и Оу -J- q внешнихъ силъ могутъ заменять моментъ и вертикальную проекцш ихъ внутреннихъ силъ.

Съ другой стороны, разсматривая отделенную левую часть балки вместе съ вспомогательными балочками какъ одну систему, изъ равновесш ея находимъ, что моментъ и вертикальная проекцш внутреннихъ силъ балки и балочки для сеченш ОХ должны равняться значеншмъ М и Q действующихъ на систему внешнихъ силъ—опорнаго давленш Ау и находящейся въ левой части нагрузки. Но эти последнш силы представляют^, собою внешняя силы самой балки въ случае непосредственнаго действш той же нагрузки, такъ какъ въ этомъ случае А—Ау. Поэтому, заменяя одне величины другими, можемъ то же условш равновесш выразить такимъ образомъ:

• (26)

М -f- т = М\

т. е. при узловомъ дгьйствги какой-нибудь нагрузки на балку, моментъ Му и вертикальная проекщя Q внгьшнихъ силъ для дан-наго сгьчетя ОХ балки меньше значенш М и Q внгьшнихъ силъ, соотвгътствующихъ непосредственному дгьйствт той же нагрузки,

на величингу момента т и вертикальной проекцш q втъшнихъ силъ вспомогательной балочки отъ находящейся на ней нагрузкй.

Отсюда можно вывести, наприм'Ьръ, такы сл^дствш:

a)    Для узловъ при всякой нагрузкй значены М и Му равны (стр. 2о), а такъ какъ этимъ с^чешямъ при влынш вспомогатель-ныхъ балочекъ соответствуют (стр. 41) наиболышя значенш момента, то посл'Ъднш могутъ быть определены независимо отъ балочекъ по непосредственному действт нагрузки на балку, для чего, какъ известно, нужно всегда такъ расположить систему на. пролете, чтобы съ даннымъ узломъ совпалъ тотъ грузъ Рп} который определяется неравенствомъ

-Д + -Р₂+ • • • + Рп~, < у х бС Рг Иг, -Рзгзё.

Г Kit 'П'

\ Л.;

где х представляетъ разстояше узла до левой опоры, а осталь-ныя обозначены — те же, что и выше (стр. 48).

b)    Для всехъ другихъ сечешй кроме узловъ значение М

более или равно Му, смотря по тому, имеется или не имеется на балочке нагрузка. Поэтому кривая момента Му, представляющая собою многоугольникъ съ вершинами,, соответствующими узламъ балки, оказывается вписанной въ кривую момента М, которой служитъ парабола для сплошной и многоугольникъ для сосредоточенной нагрузки, при чемъ вершины последняго сОот-ветствуютъ точкамъ приложены грузовъ, такъ что кривую Му легко получить, стоитъ только провести перпендикуляры изъ узловъ и точки ихъ пересечены съ кривой М соединить прямыми (см. стр. 20).    •

Подобныя же соотношены не трудно вывести и относительно поперечныхъ силъ. Напримеръ, въ балке отъ равномерной нагрузки, распределенной по всему пролету, при узловой передаче значены поперечной силы Qy = Q для всехъ сечешй, проведен -ныхъ черезъ середины вспомогательныхъ балочекъ, такъ какъ для нихъ q— о, что уже намъ известно изъ стр. 22.

Численный примерь. Для примера опред-Ьлимъ абсолютный тах. М въ балке, пролетомъ I— 18,5 м., отъ нагрузки въ виде нормальнаго жедезно-дорожнаго поезда.

i) Возьмемъ сперва типъ I поезда и выберемъ изъ него систему 8 грузовъ: 4 груза по 15 тоннъ въ средине и 4 по 12,5 тоннъ съ обеихъ сторонъ, всего R = 4 . : 5 + 4 . 12,5 = i 10 т. Разстояше между крайними грузами 1,б -f 4,s + 1,з + 1,з + 1,з + 4,5 + 1,6 = 16,1 м.; величина d — 18,5 —

5+_

16,1=2,4 м. Всл,Ьдств1е симметрш системы равнодействующая находится на разстоянш г — -i- . 16,1 =8,05 м. отъ каждаго изъ крайнихъ грузовъ.

но . 8,05

18,05

110 . 2,4

Поэтому

Rr

min. А — ——

~47,8б т.

тах. А — min. А +

Сумма первыхъ 3 грузовъ

i8,s

— 62, 3 т.

2 . 12,5 + 15 — 4° <С min. А,

а сумма грузовъ

2 . 12,5 + 2 . 15 = 55 >rnin. А\ сл^д. подъ первыми 3 грузами не можетъ быть абсолютный тах. М. Далее сумма 4 грузовъ = 55 < тах. А, но сумма 5 грузовъ = 70 + тах. А;

след., 6, 7 и 8-й грузы также исключаются изъ разсмотрешя. Изъ оставшихся двухъ среднихъ грузовъ 4 и 5 достаточно определить тах. М для одного изъ нихъ, напр., для Р₄, такъ какъ вследствш симметрш системы, значенш тах. М

должны быть попарно равны между собою. Въ данномъ случае с = — . i,₃ — = 0,65, * = у (/ — с) = 8,925 и N=15.1,3 + 12,5 (5,8+ 7,4)= 184,5 т. м.

Разстояше перваго груза отъ левой опоры т — х — 7,4 = .',525 <( d\ след., все

S грузовъ остаются въ пролете;

R(l-cy

ПО . 17,852 4 • 18,5

2) Возьмемъ теперь типъ II поезда и выделимъ изъ него систему 8 грузовъ по 15 т. и одного груза съ левой стороны въ 12,5 т., всего R— 8 . 15 -f-12,5    132,5 т- длиною 3,9 +- 5,4 + 3,9 -+ 4,5 г= 17,7 м. Разстояше равно

действующей системы отъ крайняго праваго груза найдется изъ уравнешя Rr — M = 8 . 15 . 6,6+ 12,5 . 17,7 = 1013,25, откуда

тах Mą +

41

--N=

— 184,5 = 289,128 т. м.

1023,2;

I3²>S min. А =

= 7,647 м., d= 18,5 — 17,7 = 0,8 м. 1013,25 _ 1013,25 _

- -+8,5    “ 54,77

I3²,S • 0.8

18,5

Сумма первыхъ 4 грузовъ 57,s    min. А,

и сумма первыхъ 5 грузовъ 72,5 + тах. А, след., разсмотрешю подлежатъ грузы Р₄ и Р₅.

тах. А = 54,77 +

= 60,50 т.

Для 4-го груза: г= 10,6 —7,647 = 2,953; *=у (18,5 — 2,953) =

7>7735

и N= 15 . 3 . 1,3 + 12,5 . 7,1 = 147,25 т. м. Разстояше крайняго груза отъ левой опоры т — 7,7735 — 7,ж = 0,6735 <+ й?; след., все грузы остаются въ пролете.

(¹5>547)²    147>²5 = 285,540 т. м.

4 ■ 18,5

Для 5-го груза с = 9,₃ — 7,б₄₇ = 1,653; *=^(18,5 — i,6₅₃) = 8,4235 и

2V = 15 (1,з -f- 2,6 -f- 3,9) -j- 12,5 . 8,4 — 222 т. м. Разстояше перваго груза отъ лЕвой опоры тп — х — 8,4 = o,o23s м. d.

¹3²>s 4 ■ 18,5

3) Если бы мы выбрали симметричную систему только изъ 8 грузовъ по 15 т., то имЕли бы для 4-го груза с — А . 5,4 — 2,75 х = — (I — с) =

разстояше перваго груза отъ лЕвой опоры х — 3,9 — 4,05 слЕд., первое колесо тендера остается внЕ пролета. Поэтому

120

_    4 ■ 18,5

Такимъ образомъ абсолютный max. М соотвЕтствуетъ системЕ изъ 8 грузовъ поЕзда I и равенъ = 289,128 т. м.

max. Мъ —

max. М₄ =

(16,847)2 — 222    286,194 Т. м.

. 15,8² — 117 = 287,821 т. м.

V. Конеольныя балки.

7,9°,

33. Постоянная нагрузка. Въ начале (стр. 7) было показано, что каждая балка на п шарнирныхъ опорахъ, изъ которыхъ одна неподвижная, можетъ быть обращена въ статически определимую, если поме-стить въ ней п — 2

Т) si

S, А

У Фиг. 46.

промежуточныхъ шарнира. Одна изъ такихъ шарнирныхъ балокъ, называемыхъ также ■уравновгыиенными, консольными или балками Гербера, представлена на фиг. 46.

Она состоитъ изъ частей FDS

и S₂ABS

балками съ консолями, и изъ подвгьсныхъ частей 5, S₂ и S₃ Е.

Последшя разсчи-

называемыхъ

F, К

___а⁻____

<-

.ErL.

~аг--->

jn

a’

-7-

I/

/vn

\c’

О/

Фиг. 47. Г

тываются какъ про-стыя балки на двухъ опорахъ,и приэтомъ определяются опор-127 ныя давленш, пере-дающшся на шарниры SIf S₂ и S₃. Такимъ образомъ изследоваше урав-новешенныхъ ба-

локъ приводится КЪ разсмотрешю балокъ со свешенными концами, покоющихся на двухъ опорахъ и подверженныхъ действш данныхъ грузовъ и

приложенных-?, къ шарнирамъ давленш. Если для этихъ силъ, который мы будемъ принимать действующими въ вертикальномъ направлеши,,: построить веревочный многоугольникъ I, II, III.... и провести зам ы к а гощу ю сторону, какъ для простой балки, че-резъ точки пересеченш а и Ь крайнихъ сторонъ его (I и VII) съ направлениями опорныхъ реакцш А и В, то лучъ s' параллельный лиши ab отсечетъ на многоугольнике силъ два вертикальныхъ отрезка, представляющихъ давленш опоръ А и В. Первое изъ нихъ уравновешивается въ точке а съ силами сторонъ I и ba, а второе въ точке b съ силами VII и ab.

Точно также для какого-нибудь сеченш С балки между опорами А и В отрезокъ у проведенной черезъ С вертикальной прямой Ссс', определяемый пересеченшми ея со сторонами замкнутаго вере-вочнаго многоугольника, даетъ моментъ внешнихъ силъ М—Ну для сеченш С.балки. Моментъ будетъ положительнымъ, если отрезокъ, ;ил и ордината у расположена подъ замыкающей стороной ab, и отрицательнымъ въ противоположномъ случае. Моменты въ свешенныхъ концахъ балки, очевидно, всегда отрицательны и выражаются также произведешемъ изъ полюснаго разстоянш Н на соответственный отрезокъ вертикальной прямой, проведенной черезъ разсматриваемое сечете.

Легко убедиться, что поперечная сила Q, или равнодействующая А — Р, — Р. —:Р₃ силъ левой части балки относительно дан-наго :сечен1я С, выражается на многоугольнике силъ также вер-тикальнымъ отрезкомъ są между лучами параллельными пере-секаемымч» сторонамъ веревочнаго многоугольника (IV и ab). Она будетъ п&ложит&лъной, если отрезокъ расположенъ надъ лучемъ s', и отрицательный — въ обратномъ случае.

« 7 3 ?

лшцйо&ля 'lacrn.&.ABSi консольной балки (фиг. 46), можно ограничиться разсиотрешемъ положенш груза хмыкдющихъ къ чей подвесныхъ частяхъ S, S₂ и S} Е, такъ какъ расположена груза вне этихъ частей, очевидно, не можетъ ока-

34..Инфлюентная лиши А. При разысканш инфлюентныхъ

на

части S₁Si и при-

эать никакого влшнш на часть S₂S₃. Сперва разсмотримъ непосредственное действш нагрузки.

■. Пусть грузъ равный единице будетъ приложенъ къ части S,S. (фиг. 48) на разстоянш х отъ опоры В, при чемъ х будетъ Считаться положительнымъ влево отъ В и отрицательнымъ вправо.

Давлеше опоры А, какъ и въ случай простой балки АВ, определяется изъ условш равновесш Al—i.x= о, или А = -выражается тою же прямой, имеющей на опорахъ А и В ординаты i и о. Ея ординаты въ точкахъ SI и S₂ (х = 14- а и х — — а,) соответственно равны и

т. е.

ах

где й ий, обозначаютъ длину

s:

частей SrA и S₂B.

Г-1

|.

!Р

~Дс- .4

а/

А"

Фиг. 48.

х/

Когда грузъ единица будетъ поме-щенъ на части SZD илиД5₂ , то его дей- D CTBie на балку S2 выразится давле-шемъ, передающимся отъ него въ точку 5, или 5₂; следовательно, въ этомъ случае будетъ иметь место узловое действю нагрузки. Поэтому инфлюентная линш опорнаго сопротивлешя А между точками D и 5Х или Е и S₂ должна состоять изъ пря-мыхъ DS\ и ЕЕ₂, определяемыхъ ординатами StSt и S₂S'₂ въ узлахъ SI и 5₂ и нулевыми ординатами въ точкахъ D и Е, где положеше груза даетъ сопротивлеше опоры А — о.

Такимъ образомъ инфлюентная линш опорнаго давлены А получится, если прямую ВА съ ординатами о и i на опорахъ В и А продолжить до пересечены въ точкахъ S't и S ₂ съ вертикальными прямыми, проведенными черезъ шарниры 5, и 5„ и соединить S\ и S'₂ прямыми съ опорами D и Е.

Части DB соответствуют положительный значены А, а части ВЕ— отрицательный.

Инфлюентная линш опорнаго сопротивлешя В строится подоб-нымъ же способомъ и показана на чертеже пунктиромъ.

35. Инфлюентная линш Q для сЪченш консоли. Возьмемъ какое-нибудь сечеше Свъ консоли S, А балки (фиг. 49) на разстоянш а отъ шарнира St. Поперечная сила Q отъ груза единицы, какъ равнодействующая силъ левой части 5, С. будетъ равна единице, пока грузъ находится на части StC, или передающемуся въ точку St опорному давлешю балки DSI, если грузъ займетъ на ней положеше. Следовательно, во второмъ случае искомая инфлюент-

лишя состоитъ изъ прямой DS, имеющей въ опорныхъ точ-кахъ D и 5, ординаты о и I, а въ первомъ случай — изъ горизонтальной прямой 5\С' съ ординатами равными единиц-i;. Въ обоихъ случаяхъ сила Q направлена внизъ, следовательно, им^етъ отрицательную величину. На фигуре 50 показаны эпюры наиболь-

ная

(a)

<__CL-

Sj..................I с

K"

_z_

>U- - -flt—J

14

SS=s pi A : AA "=pa

L-лг-»!

Л'

XXIIXXX.X 1

ж smśMm

__1:__

Фиг. 49.

Фиг. 50.

шихъ значешй поперечной силы О въ различныхъ сечешяхъ С отъ равномерной нагрузки р, действующей непосредственно и на узлы.

и а.

D и S'

Что касается момента М внешнихъ силъ, то онъ при положенш груза на части SI С въ разстоянш х отъ даннаго сеченш С равенъ моменту груза — i . х = х т. е. изменяется по прямой, имеющей въ точкахъ С и 5, (при лг=:о и x — d) ординаты о Когда грузъ приложенъ къ части DSn то моментъ М равенъ передающемуся въ 5, давлешю, умноженному на постоянную длину а. Такъ какъ это давлеше при движенш груза изменяется по прямой отъ о до I, то и значеше момента въ сеченш С также следуетъ закону прямой. Последняя определяется двумя точками такъ какъ грузъ единица при положенш на опоре D даетъ моментъ М = о, а при положенш въ точке моментъ М — а — Sl S/.

Следовательно, инфлюентная лишя момента въ сеченш С представляетъ треугольникъ съ основашемъ DC и вершиной 5', надъ шарниромъ & на высоте 5/— StC. Онъ имеетъ, очевидно, отрицательную величину.

36. ИнФлюентная лишя О въ сЬченш С ме;кду опор ной

части АВ. Если грузъ приложенъ справа отъ сеченш С, то поперечная сила Q = A, такъ какъ въ левой части S:C балки дей-ствуетъ одна сила А. Поэтому для части СЕ инфлюентная линш Q совпадаетъ съ лишей опорнаго сопротивленш А. Если грузъ займетъ

положение въ л-Ьвой части балки DC, то сила Q— — B-, следов, для части

DC инфлюентная лишя Q совпадаетъ съ лишей (—В). Такимъ образомъ инфлюентная лишя поперечной силы Q для сЬченш С при действш груза между опорами совпадаетъ съ ин-флюентной лишей

Q для простой бал- р Продолживъ ф обе прямыя, соста-

ки.

ВЛЯЮЩ1Я эту ЛИН1Ю,

за опоры А и В до

1)

i S, А

перес'Ьченш ихъ въ    ^

точках. У, и У, с. вертикальными пря- \    ............?

Аг

->т<-—

ca

Ki

f, !"vк;

сг

А \С Б

Ш1

“L-А

б s.

(а)

S.,

мыми, проходящими черезъ смежные шарниры 5, и S₂, и соединивъ точки S' ₁ и S'₂ съ опорами Е и D, получимъ ин-флюентную линш для частей балки за пределами ея опоръ А и В (фиг. 51 а).

37. Моментъ для с^чешя С междуопорной части М=Аа или М = ВЬ, смотря по тому, д'Мствуетъ ли грузъ справа или слева сЬченш С Следовательно, инфлюентная лишя для правой части СЕ будетъ подобна лиши А и получится умножешемъ ординатъ А на длину д, а для левой части D С— умножешемъ на Ь орди-

Фиг. 51.

60 60

X I I I

Лк А

а/;

4'

”Н

фиг. 52.

натъ линш В. Такъ какъ положеше груза между опорами А и В даеть ту же инфлюентную линш, какъ и для простой балки АВ, то построивъ эту часть АСВ инфлюентной лиши, легко дополнить и остальныя AS 'D и BS₂'E (фиг. 51 Ь).

5»

Въ случай узловою действы нагрузки инфлюентныя лиши получаются изъ найденныхъ линш для прямой нагрузки вписы-вашемъ многоугольниковъ по известному способу (фиг. 52).

Величина с'с" определяется изъ треугольниковъ аа'Ь и ЬЬ'а; изъ нихъ находимъ с с" = ad }--j- bb' -г- Моменты

38. Зависимость мегкду Ми Q въ консольной и простой балкахъ. При разысканы наиболынихъ моментовъ и поперечныхъ силъ отъ подвижной системы сосредоточенныхъ грузовъ, инфлю-ентными лишями пользуются только для выяснены невыгодней-шаго положены нагрузки; самое же определена величины моментовъ или поперечной силы, какъ и въ простыхъ балкахъ, удобнее делается графически построешемъ веревочнаго многоугольника, или вычислешемъ съ помощью таблицы моментовъ. Но для изложены перваго способа необходимо ознакомиться съ влышемъ консолей балки и изследовать отношены между ея моментомъ М или поперечной силой Q и соответственными значеными ихъ для простой балки, когда въ первой консоли уничтожены. > Искомый соотношены найдемъ по фигуре 47. Изъ нея видно, что въ случае отсутствы консолей S,A и BS₂ моментъ М0 для простой балки АВ выразится ординатой сс" веревочнаго многоугольника относительно замыкающей лиши а’Ь', где точки а' и b' представляютъ пересечены соответственныхъ крайнихъ сторонъ III и VI многоугольника съ направлеными опорныхъ противодейств1й А и В. Поэтому М = Н (сс" — сс"') = М₀ — ~H.cc".

на опорахъ А и В въ балке со свешенными частями равны: МА = — Н. ad и Мв = — II. bb' . Следовательно Н. с с" —

-Млу-Мву поэтому М= M₀ + Mt^ + Mej . . .(27)

Очевидно, найденная зависимость имгьетъ мгьсто и въ томъ случать, когда АВ представляешь часть непрерывной, или неразрывной балки, неимгьющей шарнировъ и проходящей черезъ п опоръ, потому что, заменивъ, действш прочихъ опоръ кроме А и В силами, можно разсматривать ее какъ балку съ консолями.

Отсюда видно, что когда дана (фиг. 47) лины моментовъ dcb' простой балки АВ, и известны опорные моменты МА и Мв балки консольной или вообще продолжающейся за опоры А и В, то значеше моментовъ въ последней балке легко могутъ быть найдены или изъ ур. (27), или по ординатамъ данной лиши

Фиг. 55.

а'сЪ' относительно замыкающей стороны ab. Последняя определяется относительно линш а'Ь‘ ординатами а а' и bb', соответствующими опорнымъ моментамъ МА и Мв .

Напр., для части CD балки, представленной на фиг. 53, ординаты момента ▲ получаются изъ ор- ^ динатъ моментной

линш CFD простой балки CD прибавлешемъ отрицательныхъ ор-

/ .    - с . , « . - Мс

динатъ прямой СП, для которой СС —--- и DD' ——

Нулевыя значены М соответствуютъ точкамъ пересечены нш CFD съ замыкающей стороной СП.

+ S' iK

ii®:;; i а

—3“

S.f

Фиг. 53.

мв

H'

ли-

^ fi fi, fi fi ц

5v

S.,

4>1 i"

«t

bi

fil

1 I /p-

<r \    %

Фиг. 54.

s.

<v

iZ

Pih

T ; i ш

Tania точки должны получиться между прочимъ и надъ шарнирами балки, т. е. на вертикальныхъ прямыхъ, проведенныхъ черезъ шарниры. Этимъ свойствомъ можно пользоваться для определены положены замыкающей линш СП, какъ это сделано, напр., въ части балки АВ, где замыкающая AS'B' проведена черезъ точки А и S', для которыхъ М— о.

Другой примТръ представляетъ шарнирныя балки ABCDE (фиг. 54 и 55), где по даннымъ линымъ моментовъ для отд'Ьль-ныхъ частей балки АВ, ВС, CD и 1)Т(построеннымъ при различ-

бо

ныхъ полюсахъ, но съ равными полюсными разстояшями) найдены замыкающш лиши b's₁s₂c' и esidr, а зат'Ьмъ с d' и ab'.

Поперечная сила Q въ сЬчеши С балки съ консольными частями или вообще выходящими за опоры А и В, представляется (фиг. 47) отрезкомъ s' 4 между лучами IV и s' параллельными пересЬкаемымъ сторонамъ веревочнаго многоугольника; въ случай же простой балки CD сила Q₀ выражается отрезкомъ są между лучами параллельными сторонамъ IV и а'Ь'; поэтому

Q—Qo=ss'.

Проведя a’i\\ab, изъ подобш трехугольниковъ Oss' и a'b'i найдемъ ss' : b'i = Н: /, и такъ какъ ss — Q — Q₀, a b'i =

,    , МА Мв

— аа—bb'—--jjr -f- то окончательно им'Ьемъ Q = Q₀ -f-

Мв — МА

-. Тоже выраженщ получимъ, если возьмемъ произ-

1 f    d J\d    /л

водную отъ м, такъ какъ

39. Значенш М и Q отъ подвижной системы грузовъ. Выше было уже упомянуто, что величина моментовъ и поперечной силы отъ подвижной системы грузовъ можетъ быть определена съ помощью веревочнаго многоугольника или вычислешемъ.

Для сеченш С консоли моментъ им^етъ инфлюентную линт въ виде треугольника (фиг. 49 F) съ основашемъ DC и вершиной подъ шарниромъ Sr Следовательно, невыгоднейшее положена поезда будетъ то же, что и для момента въ сеченш St простой балки DC. Поэтому построивъ веревочный много-угольникъ для поезда типа II съ паровозами по средине и вагонами по бокамъ, даютъ балке DSt ташя положены, чтобы сечеше St (фиг. 56) совпадало съ наиболее тяжелымъ грузомъ поезда, и черезъ точки d и j⁻, подъ опорой D и шарниромъ 5, проводятъ замыкающую сторону ds^a' для балки DSr Ордината у многоугольника относительно линш dst представить, ординату искомаго момента. Определивъ наибольшую ея вели-

1 j) I 1 w

is; у

s,

У Ух

Фиг. 56.

>■

чину утах, получимъ тах . М=—Ну ны А на опоре тахМА = — НуА .

Точно также для сече-

талi*

Вычислешемъ моментъ определяется по инфлюентной лиши

съ помощью таблицы моментовъ.

Для получены наибольшей величины поперечной силы Q въ сеченш С отъ поезда помещаютъ балку такъ подъ последнимъ (фиг. 57), чтобы возможно большее число наиболее тяжелыхъ грузовъ его расположилось на части SC, соответственно инфлюентной линш Q (фиг. 49 а), и далее на части АВ грузы уменьшались бы въ величине по направленш къ опоре D. Затемъ определяют положеше замыкающей лиши s, проводятъ параллельно последней лучъ OS и находятъ какъ давлеше S балки DS на точку S, такъ и искомую величину Q=—Р—Р₂—Р₃ — S.

F P    P, К

rr 111

£ £ P,

+1)

С Жл У ⁰

гг

Л i*

'4-

«у

Фиг. 57.

Для средней части балки между опорами A w. В, какъ показы-ваетъ инфлюентная лины (фиг. 51 Ь) и формула М=М₀-{-М₅~съ отрицательными моментами МА и Мв, моментъ М въ db-

ченш С им^етъ тоже наибольшее положительное значеше и определяется также, какъ и для сечены С простой балки АВ.

Наибольшее отрицательное значеше момента М получается, согласно инфлюентной лиши М, при загруженш частей балки DA и ВЕ, соответствующемъ наибольшимъ моментамъ въ сеченыхъ и S₂ простыхъ балокъ DA и ВЕ] величина же момента

М — МЛ —■ -f- Мв у определится, когда будутъ найдены однимъ

изъ указанныхъ выше способовъ соответствующее опорные моменты МА и М£, затемъ будетъ построена по нимъ замыкающая

сторона А'В' и взята ордината СС последней, представляющая

М

величину искомаго момента

Изъ сравнения найденныхъ такимъ образомъ ординатъ выяснится величина min . М= — Ну Поперечная сила    >

mate'

Q — Qo^

мв

<2° • н т н т ■

Поэтому

Ув

тах О — тах Q₀ -j- Н Уа

'    >4.    ' ⁶ ув

'г

min Q — min Q₀ — Q

ф    Невыгоднейшее положеше нагрузки выби

Фиг. 58.

рается пробными установками сообразно съ ин-флюентной лишей Q, определяя по известными уже пршмамъ тах Q₀ или min Q₀ и соответственный величины У а и У в ординатъ опорныхъ моментовъ А и В.

Наибольшее значеше опорной реакцш А имеетъ место, какъ показываетъ инфлюентная лишя (фиг. 48), при загруженш части BD, соответствующемъ тах М въ сеченш S\ простой балки BD, a min А при загруженш части BF соответственно тах М въ сеченш S„ балки ВЕ. Величина А получается изъ веревоч-наго многоугольника (какъ показано для тах А на фиг. 59)

S,

РФ и

Dy v Y >

тут

j.S tA

N' ]в

-i.

• ММ

0'<

Ушах А.

’ Г,

Рг

Р,

.'.Ti L.

т;; :..о ?. ■

:л’. »п.7Д

'4а Фиг. 69.

вт, виде отрезка между лучами параллельными замыкающимъ сторонамъ и s₂.

Отъ подвижной равномпрной нагрузки значешя внешнихъ силъ могутъ быть найдены по площадямъ инфлюентныхъ линш.

бз

VI. Проетыя трехшарнирныя арки.

40. Произвольная нагрузка. Разсмотримъ сперва общш случай действж на плоскую арку съ 3 шарнирами какихъ-нибудь силъ Р,, Р, Р₃

, лежащихъ въ плоскости арки (фиг. 6о а).

R'it

(а)

V\*

У\

1'

s

л-

к:

i:

xf

P' P, (b)

p*

\JQ

л?

л\

VJ

a;

X;

X\

фэ£/

ОЩг

/c

~Q

Л⁶

-e

4* \

xt-fr

О О"

Фиг. 60.

Пусть i?, и Р₂ будутъ равнодействующая этихъ силъ, прило-женныхъ къ левой и правой частямъ арки AS и SB, найденный посредствомъ веревочныхъ многоугольниковъ съ произвольными полюсами 0' и О" (фиг. во Ь).

На основанш закона независимости д'Ьйствш силъ, величина опорныхъ сопротивленш можетъ быть определена, если сперва разсмотримъ отдельно действш нагрузки левой части арки, когда R^z=о, потомъ правой части, когда Р,= о, и полученные результаты сложимъ. Пусть K'А и K' означаютъ реакцш опоръ

А и В въ первомъ случае, когда правая часть арки не нагружена и К"А и К"в — значены ихъ, когда нагрузки н^тъ на л'Ь-вой части. Очевидно, въ первомъ случай направлеше силы К в должно проходить черезъ шарниръ S, иначе правая часть арки SB подъ Д’Мствкмъ одной силы К'в вращалась бы вокругъ S и следовательно не находилась бы въ равновесш. Продолживъ найденное направлеше BS силы К'в до встречи съ равнодействующей Ri въ точке T1f найдемъ направлеше АТХ реакцш левой опоры К'А, потому что три силы К уравновешенныя, должны пересекаться въ одной точке. Если потомъ черезъ концы Е и D равнодействующей Р, проведемъ прямыя параллельно найденнымъ направленымъ силъ КА и Кв до пересечены ихъ въ точке L, то получимъ и величину этихъ силъ K'a~LE и K'b—DL. Подобнымъ же образомъ и во второмъ случае прямыя AST₂ и В Т₂ определяютъ направлены опорныхъ реакцш К" А и К" в, а имъ параллельный лиши FDvi HF — ихъ величину.

кв и Р,,

какъ взаимно

А’

Чтобы теперь получить опорныя реакщи КА и Кв при со-вместномъ действш нагрузки правой и левой частей арки, остается только сложить найденныя составлякяцы К'А и К"Ą для КА и К'в и К"в для Кв, что легко сделать, построивъ на сторонахъ LD и FD параллелограммъ OLDF. Тогда ОЕ и ОН представятъ искомыя противодействуя КА и Кв опоръ А и 5, образующш съ силами PJt Р₂, Рг. . • • замкнутый многоугольникъ силъ ¹).

41. Если точку О принять за полюсъ и силы PJt Р₂, Р₃ ... соединить веревочнымъ многоугольникомъ AabcdeB, первая сторона котораго совпадаетъ съ направлешемъ опорной реакщи КА, то этотъ многоугольникъ представитъ такъ называемую лишю равнодгьйствующихъ или кривую давлешй. Каждая сторона его, напр. Ьс, параллельная лучу ОК, замыкающему многоугольникъ силъ КА, Рг и Р₃, очевидно совпадаетъ съ положен1емъ равнодействующей этихъ силъ, т. е. внешнихъ силъ арки относительно какого-нибудь сечены ss, проведеннаго нормально къ ея оси въ точке С. Разложимъ эту силу на составляющая SK параллельную касательной къ оси арки въ точке С и OSнормальную къ ней. Тогда OS представитъ поперечную силу Q для даннаго сечены ss арки (см. стр. 40), a SK= N такъ называемую продольную силу. Моментъ внешнихъ силъ для точки С арки M=Nf, г) Новый способъ проводить верев. мног. черезъ 3 точки A, S и В.

где j обозначаетъ величину перпендикуляра ss отъ точки С оси до пересеченш съ направлешемъ Ьс равнодействующей внешнихъ силъ ОК. Этихъ значенш достаточно для вычислены напряженш въ сеченш ss арки сплошного сеченш.

Р,

Р?

-<И

\П

(L

А.

S.

>~

/л

Н"

к />

H'

//    ,.г н*

-1с.

Sr*

7/yAfjj

ЖСК

ч,

7/1

С/к

S\L

г-

-At

/,■

Фиг. 61.

42. Вертикальная постоянная нагрузка. Когда на арку действуетъ вертикальная нагрузка, то вместо реакщй ея опоръ обыкновенно разсматриваютъ ихъ составляющш, который получаются разложешемъ каждой изъ нихъ по вертикальному направленно и по лиши АВ, соединяющей опорные шарниры (фиг. 6i).

Если назовемъ первыя соответственно опорамъ черезъ А и В, а вторыя черезъ H' и Н", то непосредственно изъ условш равно-весш приложенныхъ къ арке внешнихъ силъ имеемъ:

H' Csa = H" Csa = H,

Al = Мв и BI —Ma ,

где Ma и Mb означаютъ моменты нагрузки арки относительно опорныхъ точекъ А и В, а Н—такъ называемый горизонтальный распоръ арки. Следовательно, составляющш H' и Н" опорныхъ реакцш по линш опоръ АВ равны и взаимно противоположны, а вертикальный одинаковы съ реакцшми опоръ простой балки АВ'.

Такимъ образомъ внгъшшя силы арки отличаются отъ втъгинихъ силъ простой балки только присутств1емъ двухъ равныхъ и про-тивоположныхъ силъ H' и Н".

Пгоскуряковъ.—Строительная механика, ч. II.

Величина Н= H' Csoс распора арки найдется, если приравнять

нулю моментъ вн'Ьшнихъ силъ левой половины арки относительно шарнира S, т. е.

Mqs — Hf — о,

где Mos представляетъ моментъ вн'Ьшнихъ силъ простой балки АВ относительно сЪчешя, проведеннаго черезъ S, и /— вертикальное разстояше шарнира 5 отъ прямой АВ; поэтому

• (2В)

Н=

Mos

43. Моментъ Мк вн'Ьшнихъ силъ арки относительно какой-нибудь точки К с'Ьчешя ss нормальнаго къ оси арки можетъ быть выраженъ подобнымъ же образомъ черезъ моментъ Мок простой балки AB' относительно той же точки К, а именно:

• • • • (29)

Мк

Мок — Ну к , . . .

где у к означаетъ вертикальное разстояше точки К отъ прямой АВ. Построивъ веревочный многоугольникъ для нагрузки арки съ полюснымъ разстояшемъ Н₀ и проведя замыкающую сторону его ab, соответствующую простой балке АВ' (фиг. 61), имеемъ: Мок = Н₀ . сп и M₀s= H₀h

где h и сп означаютъ вертикальныя ординаты веревочнаго многоугольника подъ точками S и К. Откуда

н=

_НоЪ M₀S— f

H₀h

М„ = НЛ сп —

к о

Если продолжимъ прямыя АК и BS до встречи ихъ въ точке Е, проведемъ вертикальную прямую Ее'е до пересечешя съ прямой bs въ точке е и затемъ а и е соединимъ прямою ае, то изъ подобш треугольниковъ имеемъ:

си'

У к    IV

А — ИЛИ СП = —f ук,

следовательно,

Мк — Н₀ (сп — сп} — — Н₀ . пп = Но Z-Такимъ образомъ моментъ внешнихъ силъ арки для точки К выражается произведешемъ полюснаго разстоянш Н₀ на вертикальную ординату £ веревочнаго многоугольника относительно прямой ае. Эта ордината отрицательна, когда она расположена подъ веревочнымъ многоугольникомъ, и положительна, когда находится надъ нимъ. Очевидно, для другой какой-нибудь точки К прямыя АК и ае будутъ иметь иное положеше, такъ что это построена опред'Ьляетъ моментъ только въ точке К.

Весьма интересно будетъ разсмотр^ть здесь частный случай, когда нагрузка будетъ расположена только между опорой А и вертикальной прямой Ее. Въ этомъ случай точка Ь займетъ положена V, и точка г положеше г', прямая bse совпадаетъ съ b's' e, и сторона ае перейдетъ въ положеше ае. Следовательно, ордината -пп" будетъ иметь положительный знакъ и при томъ ту же величину, какъ и для момента простой балки АЕ, въ которой одна опора совпадаетъ съ точкой А, а другая E’ находится на вертикальной прямой Ее. Поэтому моменты въ точкахъ К, лежащихъ на прямой АЕ, для арки и балки АЕ' совпадаютъ.

44. Е1оперечную силу Q для какого-нибудь с£чешя ss арки найдемъ, если разложимъ (фиг. 61) равнодействующую OD силъ A, H', Р, и Р, левой части арки относительно гг на составляющая: N = ED параллельно касательной tt къ оси арки въ точке С, и Q=OE—перпендикулярную къ ED. Но величину О будетъ удобнее выразить черезъ поперечную силу Q₀ простой балки АВ для вертикальнаго сечешя ея, проведеннаго черезъ К. Проектируя внешнш силы левой части арки на нормаль гг къ оси арки, или къ ея касательной tt, составляющей уголъ <р съ горизонтальной прямой, имеемъ

<2 = Qo Cs'f — H' Sn (<p — ос)

Sn (cp—а)

Cs ос

такъ какъ равнодействующая вертикальныхъ силъ представляетъ поперечную силу О₀ простой балки.

45. Подвижная вертикальная нагрузка. Вертикальныя составляющая опорныхъ реакцш, какъ было (п. 42) показано, име-ютъ те же значешя и определяются такъ же, какъ и для простой балки АВ'. Величина составляющей по лиши опоръ арки H’ = Н" = Н

— выводится изъ уравненш

или

(ЗО)

Q = Q₀Cs*-H

7- Mos-

Отсюда видно, что инфлюентная линш Н (фиг. 62) будетъ подобна лиши момента Mos простой балки А'В' и получится, еслина

S*

ея опоре А вместо а отложимъ ординату А'А" = — и точку S" перес'Ьченш прямой B' А" съ вертикальной лишей SS' соединимъ съ А'. Линш A S" В' будетъ искомой.

Въ случай узловой нагрузки соответственная инфлюентная линш получается изъ найденной вписывашемъ въ нее многоугольника по общему способу (фиг. 63).

При движенш груза Р по арке точка Е пересеченш его направлены и опорныхъ реакщй

1!

А<

Е-l--'''

А>'

А"

Фиг. 63.

Фиг. 62.

описываетъ кривую, называемую линии опорныхъ сопроттлетй. Для арки съ тремя шарнирами она представляетъ ломанную линш TSR, образуемую продолжешями хордъ арки AS и BS (фиг. 62).

Р1зъ вида инфлюентной лиши Н следуетъ, что тах Н получается при полномъ загруженш арки равномерной нагрузкой, а подвижною системою грузовъ—при такомъ положенш ея, какъ и для тах Mos простой балки. Величина Mos найдется или вы-числешемъ съ помощью таблицы моментовъ, или изъ веревочнаго многоугольника въ виде H₀h, а значеше Н распора арки — по-строешемъ четвертой пропорщональной къ даннымъ значеншмъ Н₀, kg и / (фиг. 61).

46. Моментъ Мк въ какой-нибудь точке К сеченш арки выражается формулой 29

Мк ■= Мок — Ну к •

При перемещенш по арке груза единицы значеше Мок, какъ известно, изменяется по инфлюентной лиши ACB' (фиг. 64), имеющей видъ треугольника съ основашемъ AB' и вершиной С подъ точкой К, при чемъ отрезки AA' и В'В" соответственно равны разстояншмъ а и b опоръ арки до сеченш КС. Значеше

при этомъ будетъ изменяться пропорщонально

ггь

71/

ТЕ

Is

у*

_______

-1----

^'с\

\В'

S"

f1\

fr

(V

S’

a* i*

± I ^ Ig

i

; I \Е

S’

(V

Фиг. 64.

41’

///

Ну к — Mos yh

(въ отношенш у к '■ /) ординатамъ инфлюентной линш момента Mos простой балки и потому представится также ординатами н'Ь-котораго треугольника AS'B' съ вершиной S' подъ шарниромъ

S арки, при чемъ ордината B’ В" не будетъ равна В' S,

но B' S-"уЧРазность

ординатъ обоихъ треугольниковъ определяем ин-флюентную линш Мк въ вид-t четыре-угольника ACB'S' съ положительною частью АСЕ¹ и отрицательною E'S'B'. Точке Е соответствуем нулевая ордината и, следова-х    тельно, нулевое значеше Мд; положеше этой

точки легко определяется, такъ какъ она находится на одной вертикальной прямой съ точкой Е, въ которой ДЙГпересекаем BS. Действительно грузъ, приложенный въ точке Е, вызываем реакцш опоръ арки, направленный по прямымъ АКЕ и BSE. Поэтому моментъ Мд внешнихъ силъ левой части арки относительно точки К, равный моменту реакцш опоры Д, приводится къ нулю; следовательно, точке E' инфлюентной лиши момента Мд соответствуем точка Е арки.

Ординаты инфлюентной лиши ACB'S' равны ординатамъ линш ACS"B"] ихъ можно перенести по своему направлешю и отложить вместо АВ" отъ горизонтальной прямой АВ: (фиг. 64 в). Тогда'Инфлюентная лишя получим видъ ACS’BЕе легко построить, имея точку Е съ нулевой ординатой и положеше прямой ЕС А! съ ординатой на опоре АА' = а.

Отсюда становится понятно, что при тождестве инфлюент-ныхъ линш момента въ точке К простой балки АЕ и арки на

■ той же длине АЕ, значешя мо!ментовъ отъ нагрузки, расположенной на протяженш АЕ, должны также совпадать (стр. 67).

Точно также изъ инфлюентной лиши Мк арки слТдуетъ, что инфлюентная линш Мк въ арке совпадаетъ съ инфлюентной

лишей момента въ балке АЕ, имеющей консоль ES \^> и подвесную часть S'B', а потому значеше Мк мо-жетъ быть найдено тТмъ же способомъ, какъидля консольной балки.

При узловомъ дТйствш нагрузки

^ линш вписывается въ най-денную инфлюентную ли-'/ / Hiro для прямой нагрузки / по известному правилу /    (фиг. 64 в).

Такимъ образомъ мо-ментъ тахМк въ арке, соответствующей загру-женпо части ея АЕ, мо-жетъ быть найденъ какъ

«L

ТЕ

Li

'fS'

Ki

Uk.

-—ZL.

.и

V/

U' Ai

e'

Jr

инфлюентная

■x

Фиг. 65.

C”

при непосредственномъ действш нагрузки, такъ и при узловомъ по тТмъ же способами Kanie изложены для простой балки АЕ или балки АЕ съ консолью ES.

Для ттМк нагрузка (фиг. 65) располагается согласно инфлюентной линш (фиг. 64 в), какъ для тах М въ сТченш S простой балки В’Е или консольной балки съ ACEB'. Припом-

нимъ, что В^В^ =B"B'=B'S.~ (ф

иг. 64 в). Если бы было

В'В" = B'S, тогда ординаты отрицательной части В'Е инфлюентной линш Мк въ арке и лиши момента для сТчешя S балки В, Е были бы также равны между собою. Но для последней моментъ въ сеченш 5 выражается произведешемъ полюснаго разстоянш Но на ординату веревочнаго многоугольника ss' — ^ относительно замыкающей линш Ье (фиг. 65). Поэтому величину отрицательнаго

7i

момента Мк въ арке получимъ, умноживъ Н₀%' на отношеше У к : /, т. е.

min Мк = — Нд% ■ Jk

а такъ какъ по чертежу 65 , то min Мк = — Н₀%.

Не трудно видеть, что этотъ выводъ могъ быть не-написанъ на

посредственно

основанш даннаго на стр, 66 построена момента М#. Действительно minMx = —Н₀пп' —

= ~Hoi.

47. Выше (п. 44) было доказано, что поперечная сила Q для сечешя арки.

(2о    — Я'5« (<р — а)

5и(ср —а)

ИЛИ

!!

mV

/cosy\

lip

TL

i Ш!

■S

]/W

/>"

ki

(Ъ)

Q—Qo Cs? — H

CsOL

At

Отсюда сл^дуетъ, что ин-флюентная лишя силы Q по-

\

—: (r

E/S”

лучится, если изъ ординатъ лиши QtCsy вычтемъ ординаты 5я(ср— а)

V/cOS^ XLL'

Фиг. 66.

Первая со-

стоитъ (фиг. 66 в), подобно инфлюентной лиши Q₀ простой балки АВ, изъ двухъ отрезковъ параллельныхъ прямыхъ А'В и В¹ А, проходящихъ черезъ одну изъ опоръ и имеющихъ на другой опоре ординату = i. Csy. Вторая лишя изменяется пропоршонально Н и, следовательно, представляетъ собою некоторый треугольникъ съ основашемъ АВ и вершиной 5' подъ шарниромъ S.

Поэтому искомая инфлюентная лишя Q въ арке для узловой нагрузки будетъ иметь видъ AmnBS¹, или — по отложенш ея ординатъ отъ горизонтальной прямой АВ — видъ Am'n]S'B, где Ат || n'S' и AA' = i. Cs<p. Положеше точки Е съ нулевой ординатой инфлюентной лиши легко определится: она находится на одной вертикальной прямой съ точкой Е пересечешя хорды BS арки съ прямою АЕ параллельной касательной it къ оси арки въ

лиши Н

Ćsa

A'

разсматриваемомъ с^ченш ss. Действительно, приложенный въ точке Е грузъ вызываетъ на опоре А реакцт, направленную по АЕ \ I tt и представляющую собою единственную внешнюю силу левой части арки относительно сеченш ss; поэтому ея проекшя на нормаль къ tt равна нулю.

Изъ всего сказаннаго следуетъ, что инфлюентная линш Q состоитъ: для части АЕ арки изъ отрезковъ двухъ параллель-ныхъ прямыхъ Ат! и n‘E'S', проходящихъ соответственно черезъ точки А и E' и имеющихъ надъ ними ординаты равныя i. Csy, а для части арки ВЕ изъ треугольника съ основашемъ BE' и

1111 111 111

\п

■*т х”

L±..

■?

ki

Г”)

т’

II

(с)

Л—Ą А

\Е'

л;

//'

пни

}1.coS<f>

тг'

Фиг. 67.

вершиною S¹ подъ шарниромъ S, при чемъ точка S¹ лежитъ на продолженш прямой п'Е!

ли-

Нетрудно заметить (фиг.66 с), что инфлюентная линш силы О въ арке подобна инфлюентной лиши поперечной силы Q₀ въ консольной балке пролетомъ AE' съ консолью E'S" и примыкающей къ ней подвесной частью BS", при чемъ ординаты первой н!и равны ординатамъ второй, умноженнымъ на постоянную величину Cs<p. Поэтому изложенное тамъ относительно нахожденш предельныхъ значенш поперечной силы применимо и къ данному случаю.

Сечеше С можетъ быть взято близъ средины арки такъ, что прямая АЕ параллельная касательной tt пересечетъ (фиг. 67) хорду BS между точками В и S, и точка S' будетъ слева точки Е!

Тогда инфлюентная линш О представится въ вид-t Am' п S'В съ одной нулевой точкой и будетъ состоять изъ двухъ только частей: одной положительной и другой отрицательной.

При узловой нагрузкгь значеше силы Q для различныхъ ct-ченш одной и той же панели остается почти постояннымъ, такъ какъ уголъ <? изменяется незначительно. Поэтому для определены величины О въ какой нибудь панели можно принять значеше ср равное величине угла хорды, соединяющей точки арки подъ узлами данной панели.

Отъ подвижной нагрузки значеше тах. Q, соответствующее тому или другому виду инфлюентной лиши, можетъ быть найдено съ помощью общаго пршма, изложеннаго въ п. 9 стр. и.

(п) I

(Ь).

(maocQk)

H'

tinaocQi;

90"'

H'

Я'

Фиг." 68.

Но можно пользоваться и следующимъ способомъ. Для тах. Q загружается часть арки съ положительной инфлюентной ли-шей, т. е. поездъ надвигается отъ правой опоры В до праваго узла п разсматриваемой панели, если точка Е оказывается справа шарнира S (фиг. 67 I и 68), или же поездомъ загружается часть арки между точкой Е и узломъ п, если Е будетъ слева шарнира S (фиг. 66 I). Затемъ съ помощью веревочнаго многоугольника определяются составляющш А и Н реакщи КА левой опоры, представляющей въ то же время единственную внешнюю силу въ левой части арки. Поэтому, разложивъ ее на составляющш N параллельную tł и Q къ ней перпендикулярную, найдемъ въ последней искомую поперечную силу арки (фиг. 67 Ь и 68 Е).

Когда разыскивается значеше min. Q, и инфлюентная линш имеетъ одну отрицательную часть, то нагрузка располагается на

соответственной левой части арки; затъмъ опредъляютъ ре-акцш Кв правой опоры и подобнымъ же разложешемъ обратной его величины находятъ значеше силы Q (фиг. 67 II и с).

Если же инфлюентная линш Q состоитъ изъ двухъ отрица-тельныхъ частей (фиг. 66), то загружаютъ сперва правую часть арки, загЬмъ левую и, поступая подобно разсмотреннымъ случаямъ, находятъ соответственный значенш силы Q и берутъ ихъ сумму.

Примгьръ. Возьмемъ параболическую симметрическую арку съ

3 шарнирами, пролетомъ и подъемомъ j f— 2,5 м. и найдемъ для | нея наибольшее значеше ; момента въ точке С оси | арки въ предположе-\jy нш действ!я равномерной постоянной нагрузки p-i,2S т. на п. м. и подвижной к. Какъ известно, для точекъ оси параболической арки при полной равномерной нагрузке ея М= о, въ чемъ не трудно убедиться, доказавъ равенство площ. Д-ковъ АСЕ и ES'Bl (фиг. 64). Следовательно, тах М——min М.

Определимъ сперва аналитическое выражеше тах М.

Длина загруженной части АЕ'=7 найдется изъ пропорщй:

тсисМ

iE'

min М

к~

L-X—

Фиг. 69.

1__ЕЕ

ЕЕ

, и такъ какъ

х), то ^ —

31—2Х

Согласно доказанному, моментъ въ сечеши С арки отъ нагрузки части АЕ имеетъ ту же величину, что и для сеченш С въ простой балке АЕ, след. (стр. 29)

k С — х) X

kx ( Р — з 1х -(- 2 х²)

2 (з/— 2Х)

Это выражеше имеетъ наибольшее значеше для х равное М— 0,019 ^²*

min М— —тах М——0,019 ^2 и получается при загруженш

тах М

°>²34 h

остальной части арки ВЕ. Соответствующая этому загруженш (II) величина распора Н выразится

Mos _ kP _ kf

f “8f~ 4f '

Если на арку будетъ действовать система сосредоточенныхъ грузовъ (фиг. 70) въ виде железнодорожнаго поезда, то min М получимъ, если величину тах М₀ для сеченш S' простой балки ВЕ

. Ус

умножимъ на отношеше

= 0,717.

4fx(l — х) 4х (I — х)

Для л; = 0,234 ^ Длина ^ =

= 0,395 U длина балки

I²

31 — 0,4681

ВЕ = 0,605 /— 12,ю м., и разстояше сеченш S' отъ ея опоры

—>1

5m{

—У.

JDHE

—i---—

___ю

т izk Kz K'z t _______

tor* 10% ioi

----->!

Фиг. 70.

E —2,i м. Наиболышй моментъ въ сеченш S' получится при загруженш балки ВЕ паровозомъ и тендеромъ, когда первое колесо паровоза совпадаетъ съ даннымъ сечешемъ S'. Тогда тахМ0 =72,6 т. м. Следовательно min М=—0,717 X 7²>6— ~52 т- м-Равнозначущая поезду равномерная нагрузка /г относительно min М найдется изъ условш

0,019 (20)² к — 52,0 ’т. м., откуда к —в,84 т. на п. м.

VII. Конеольныя трехшарнирныя арки. .

48. Постоянная нагрузка. Если обыкновенную арку съ тремя шарнирами продолжимъ въ виде консолей за опоры, то такая арка съ консольными частями, подобно разсмотреннымъ выше консольнымъ балкамъ, получаетъ назваше уравновешенной или консольной. Консоли соединяются обыкновенно съ подвгьсными частями въ виде простыхъ балокъ, опирающихся на консоли двухъ смежныхъ арокъ.

Мы разсмотримъ консольныя арки подъ д'Мствшмъ вертикаль-ныхъ силъ, при чемъ сперва изложимъ способъ опред^ленш внешнихъ силъ отъ постоянной нагрузки. Для подвижной же нагрузки выведемъ соответственный инфлюентныя лиши, позволяю-щш найти наивыгоднейшее расположена нагрузки и затемъ определить искомое значеше внешнихъ силъ однимъ изъ спосо-бовъ, какъ и для постоянной нагрузки.

Пусть CABD (фиг. 71) представляетъ уравновешенную арку, подверженную действио вертикальныхъ силъ — нагрузки и при-ложенныхъ въ точкахъ С и D давленш отъ подвесныхъ балокъ.

Чтобы найти реакщи опоръ А и В арки, разложимъ ихъ на вертикальныя составляющая А и В и составляющая H' и Н" по

[Б,

а'

ШЛА

-Т-

г* L___

si-

1.

H'

IXу

7х

33L..

i \k

Фиг. 71.

линш опоръ AB. Изъ условш равновесш действующихъ на арку внешнихъ силъ следуетъ, что Н— — Н", и что вертикальныя составляющая А и В имеютъ те же величины, какъ и для консольной балки, когда Н' = Нп = о, такъ какъ въ обоихъ слу-

МК = Н0 (kK ~ kl К) = НоЬ

где ^ представляетъ ординату веревочнаго многоугольника для точки k относительно ае, считаемую положительной, когда она находится подъ прямой ае и отрицательной въ обратномъ случае. 49. ИнФлюентная лишя Н. Такъ какъ распоръ Н = то инфлюентная линш его получится изъ инфлюентной лиши момента Mos для сеченш 5 консольной балки CD, если ординаты момента Mos изменимъ въ отношеши для чего на опо-рахъ А и В нужно отложить только вместо разстоянш а и b се-

ченш S до этихъ опоръ ординаты -^ и (фиг. 72).

А и В выражаются одними и теми же уравненшми: А — ~ Ыв

и В— у МА, где Мв и Мв означаютъ моменты действующей на арку или балку нагрузки относительно опорныхъ точекъ А и В, а I представляетъ горизонтальное разстояше между опорами А и В. Поэтому, построивъ для нагрузки арки веревочный многоуголь* никъ, замкнувъ его прямою ab и проведя параллельно ab лучъ въ многоугольнике силъ, получимъ величину составляющихъ А и В.

Распоръ арки H—HCsc«, найдемъ какъ и для простой арки, приравнявъ нулю моментъ внешнихъ силъ левой части ея относительно средняго шарнира S, т. e. Mgg — Sf— о, откуда

Я= j Ms0 = ~r Н₀,

где М₀₈ означаетъ моментъ внешнихъ силъ въ консольной балке для сеченш S при той же нагрузке.

Моментъ Мк внешнихъ силъ левой части арки относительно какой-нибудь точки К вертикальнаго сеченш КК также (стр. 66) можетъ быть выраженъ черезъ моментъ М{ и представится въ виде: Мк — Мок —Нук. Заменивъ М чешемъ изъ веревочнаго многоугольника Н₀. kk₂, величину Q

ук черезъ kji

чаяхъ

(зО

консольной балки

ок

его зна-

черезъ

и затемъ

2’

окончательно получимъ

Для узловой нагрузки инфлюентная лишя Q получается впи-сыван!емъ многоугольника въ найденную линш по известному правилу.

WM

C\

H'

c\

& S? S ' ъ

ЧБ

'}%■

■f

Sic'

'•-У

B’

В'

Jj

Фиг. 72.

50. Линш опорныхъ сопротивлешй. Когда какой-нибудь грузъ Р перемещается по арке, то для каждаго его положешя точка Е пересечешя реакцш опоръ А и В (фиг. 72) находится на направленш действш груза Р и при движеши его чертитъ такъ называемую лишю опорныхъ сопротивлешй. Она состоитъ изъ отрезковъ двухъ прямыхъ SC и SD', соединяющихъ средшй шар-ниръ S съ опорными А и В.

ш*

(h)

/,

C"

><——

___L___

..х.

C'

Г~

"⁴d‘

iu

Ol'

E'

(<■)

K’

S'.

-f

bb

VNs

(‘V

■^1

•ос

lir

В' a- D'

51. ИнФлюентная линш MR. Моментъ Мк вн'Ьшнихъ силъ консольной арки для точки К выражается уравнешемъ

(32)

~ НУк

ок

Мк = М

или

М — уг Ук дт жк - т0К - J 1VLos •

Поэтому инфлюентрая линш Мк получится, если изъ орди-натъ лин!и момента Мок консольной балки FCłK'D'L (фиг. 73 с) вычтемъ ординаты линш FCS'D"L момента MQS для сЪченш S

балки, измененныя въ отношенш

Такь какъ инфлюентная

линш Мк между опорами А и В должна совпадать (фиг. 73 d) съ инфлюентной лин1ей AK'SB момента простой арки, то по-строивъ последнюю лин1ю по известному уже способу, остается для консольной арки только продолжить крайнш стороны К А и S'B до встречи съ вертикальными прямыми СС и DD' и точки ихъ пересеченш С D' соединить прямыми съ точками F и L.

Что касается консолей арки, то для нихъ внешнш силы, очевидно, имеютъ те же значенш, какъ и для консолей уравновешенной балки.

Внутреннш силы сквозныхъ фермъ.

VIII. Обиде способы определены уешпй Фермъ.

52. Введете. Сквозныя фермы состоятъ изъ н^сколькихъ обыкновенно прямыхъ упругихъ стержней или элементовъ, соеди-ненныхъ между собою концами и образующихъ систему въ вид'Ь н^котораго многоугольника. Соединена ихъ предполагается сд'Ь-ланнымъ при помощи шарнировъ свободныхъ отъ тренш, всл^д-ств1е чего взаимод'Ьйствш между шарниромъ и связаннымъ съ нимъ элементомъ представляетъ силу, проходящую черезъ центръ разсматриваемаго шарнира.

Если къ какому-нибудь элементу DD непосредственно не приложена нагрузка, то равновЫш его подъ д'Мствшмъ двухъ да-

Чъ__

/J\s

(а)

7)'    (Ь)

Фиг. 74 а и 6.

вленш шарнировъ D и D' (фиг. 74 b) требуетъ, чтобы эти силы были равны и противоположны, т. е. направлены по прямой, проходящей черезъ центры шарнировъ D и D, сжимая или растягивая этотъ элементъ. То же можетъ быть доказано, если, разр-t-завъ мысленно элементъ ab на дв'Ь части, разсмотр'Ьть равнов-fcde каждой изъ нихъ подъ действшмъ некоторой силы S или—S, представляющей взаимодп>йств1е обгьихъ частей, или внутреннее усилге въ элементе. Направлен^ этой силы S или — S должно проходить черезъ соответственные шарниры; въ противномъ случае разсматриваемая часть элемента не могла бы находиться въ равновесш, а вращалась бы вокругъ шарнира а или Ь. Следовательно, усшйе S элемента совпадаетъ съ прямой ab, соединяющей центры шарнировъ.

Поэтому въ ферме съ прямыми элементами, подверженной действ1ю внешнихъ силъ, приложенныхъ въ центрахъ шарнировъ, или такъ называемыхъ узлахъ ея, внутреншя силы или усил1я элементовъ совпадаютъ съ направлешемъ соответственныхъ элементовъ.

Кроме того будетъ предполагаться, что оси всехъ элементовъ фермы лежатъ въ одной плоскости съ внешними силами, и что изменешя длины частей и вида фермъ (деформацш), происходящая вследствю действш нагрузки и упругости матертла, настолько малы, что ими при выраженш условШ равновесш силъ можно пренебрегать.

Когда число элементовъ въ сквозной ферме таково, что представляемый ею многоугольникъ будетъ ими вполне определенъ

(а)

(Ъ>

(а)

Фиг. 75.

Фиг. 76.

(а)

(Ь)

Фиг. 78.

Фиг. 77.

во всехъ своихъ частяхъ и углахъ и перестаетъ быть такимъ? какъ только какой-нибудь элементъ фермы будетъ удаленъ изъ нея, то такш фермы могутъ быть разсчитаны съ помощью однихъ условш равновесш статики твердаго тела и называются статически определимыми относительно внутреннихъ силъ. Въ нихъ длина каждаго элемента не зависитъ отъ длины остальныхъ, и потому она можетъ изменяться, не вызывая измененш въ длине

Проскуряковъ.— Строительная механика, ч. И.

прочихъ элементовъ, вследствш чего при разсчетахъ такихъ фермъ элементы могутъ быть принимаемы за гкла неизменяемый, или абсолютно твердый. Таковы фермы, им-Ьюшая видъ треугольника, четыреугольника съ одной дтгональю (фиг. 75), или фермы, представленный на чертежахъ 76, 77 и 78. Добавлена къ нимъ

С,'

г.

°в

Фиг. 79.

излишнихъ элементовъ между ихъ узлами (напр. второй дтгонали въ четыреугольникф) лТлаетъ фермы /К статически неопредгьлимыми. Для на-хожденш въ такихъ фермахъ внут-реннихъ силъ, или усилш элементовъ, оказывается уже недостаточ-нымъ однихъ условш равновесш твердаго тела, а нужно принять въ разсчетъ еще условш дефор-мащи фермы.

Зд^сь будутъ разсматриваться только первыя, статически опре-делимыя фермы. Въ нихъ между числомъ п узловъ и числомъ т элементовъ существуетъ простая зависимость

т~ 2 п—з»

Действительно, представляемый фермою п—угольникъ (фиг. 79) будетъ вполне определенъ, если будутъ даны одна изъ сторонъ

■V

(а)    \Р₉ s

Фиг. 80.

(Ф

его АВ и разстоянш до кон-цовъ ея А и В каждой изъ остальныхъ п — 2 вершинъ многоугольника, т. е. 2 (и —2) новыхъ элементовъ, а всего 2 п — 3. Все прочш раз-стояшя между вершинами многоугольника [въ числе V₂ (п — 2) (п — 3) ] могутъ быть выражены черезъ данные т — 3 элемента и, следовательно, обратно—вместо послед-нихъ можно дать такое же число первыхъ, не нарушая геометрической определенности фигуры фермы.

Простейшш и наиболее употребительный способъ образова-нш фермъ представляютъ фермы съ треугольной решеткой, получаемым последовательнымъ соединешемъ треугольниковъ, изъ которыхъ каждый съ предыдущимъ и последующимъ имеетъ по одной только общей стороне. ТакЫ фермы мы будемъ называть треуюлъно-ргыиетчатыми (фиг. 74, 75, 76 и 77, кроме 78).

Вн-Ъшше элементы, ограничивают^ ферму сверху и снизу? образуютъ верхшй и нижнгй пояса; остальные же элементы составляют ргыиетку фермы и называются стойками или раскосами въ зависимости отъ того, им^ютъ ли они вертикальное или наклонное положены. Фермы со стойками называются иногда раскосными.

Мы изложимъ сперва обшде способы определены усилш въ фермахъ, а зат^мъ покажемъ, какъ выбрать для какого-нибудь элемента невыгоднейшее расположены подвижной нагрузки, при которомъ усилЫ элемента достигаетъ наиболынаго значенЫ.

53. Способъ Кульмана. Пусть дана какая-нибудь ферма съ прямыми элементами и внешними силами, приложенными въ ея узлахъ (фиг. 8о).

Чтобы определить внутреннюю силу, или усилш какого-нибудь элемента 34, представимъ себе, что левая часть фермы отделена отъ остальной разрезомъ ss, проведеннымъ черезъ разсматриваемый элементъ и два другихъ. Отделенная часть фермы (фиг. 8о Ь) должна оставаться въ равновесш подъ действЫмъ приложенныхъ къ ней внешнихъ силъ—или ихъ равнодействующей К—и вну-треннихъ усилш разрезанныхъ элементовъ О, U и D, выражаю-щихъ drbUcmeie отнятой части фермы на разсматриваемую. Такъ какъ положеше этихъ силъ известно и совпадаетъ съ положе-шемъ самихъ элементовъ, то определены величины силъ О, U и D сводится къ решешю известной задачи о разложенш силы на три направлены (ч. I стр. 18). РешенЫ ея всегда возможно, если только направлены трехъ пересеченныхъ элементовъ не встречаются въ одной точке.

Для примера возьмемъ простую балочную ферму съ узловой нагрузкой (фиг. 81) и проведемъ черезъ нее разрезъ 55. Равнодействующая внешнихъ силъ левой части R--A — Рг — Р2 находится изъ многоугольника силъ, а ея положенЫ дается пере-сеченЫмъ сторонъ ab и III веревочнаго многоугольника. УсилЫ О, U и D разрезанныхъ элементовъ найдутся, если направлены одного изъ нихъ, напр. U, продолжимъ до пересеченЫ съ равнодействующей R внешнихъ силъ, соединимъ точку Е ихъ встречи съ точкой пересеченЫ 3 двухъ другихъ силъ прямою L и разло-

жимъ силу R на направленш К и К, а составляющую L на направлены D и О.

Такъ какъ силы R, О, U и D должны составлять замкнутый четыреугольникъ, то направлеше силы R определите и направле-

Ps

[7

л.

----~Гу

----j«____L.

's.

Фиг. 81.

rf-

V-

шя остальныхъ силъ въ четыре-угольник'Ь. Если ихъ обозначимъ стрелками и перенесемъ послЕдшя q на соответственные элементы левой части фермы, то увидимъ, что усшпя элементовъ О и D соответствуете сжатт ихъ, а усшпе элемента U—растяженш его.

Графический способъ Кульмана замечателенъ своею простотой и точностью и особенно удобенъ при разыскаши усилш какого-нибудь элемента решетки фермы отъ действш подвижной нагрузки.

Когда точка пе-/ ресеченш Е силъ

получается за пределами чертежа, то силу R следуете заменить двумя ея составляющими R' и R", проходящими черезъ концы D и D' пересекаемаго раскоса; каждую изъ нихъ нужно отдельно разложить на направлеше О, U и D и результаты сложить, какъ это сделано на фиг. 82. Такой

E&'

=в /

Фиг. 82.

«7

8$

случай встречается преимущественно при определенш усилш въ арочныхъ фермахъ.

54. Способъ Риттера есть самый общш способъ, такъ какъ онъ даетъ решетя и въ аналистической, и въ графической форме. Условш равновесш отделенной левой части фермы можно выразить еще въ другомъ виде, а именно, что статическш моментъ приложенныхъ къ ней внешнихъ и трехъ внутреннихъ силъ О, U и D относительно любой точки плоскости фермы равенъ нулю. Если за эту точку, или полюсъ, взять точку пересеченш 3 напра-

i-''

\о А

ч\ /Г)\ I

-----Т{

г~ и

'S

Т7

11'

Уз

Р₇

ii в

----s___

w а? а? сс о? а» от

*.____я_

--->

У*

Фиг. 83.

вленш двухъ какихъ-нибудь внутреннихъ силъ (О и D), то получится зависимость между данными внешними силами и не-известнымъ третьимъ усшпемъ (L7), изъ которой величина послед-няго можетъ быть легко определена. Направлеше неизвестнаго усилш будетъ предполагаться идущимъ отъ элемента, соответственно его растяжение; если же получится отрицательное зна-чеше для этого усилш, то направлеше его должно быть заменено обратнымъ, соответствующимъ сжатш элемента.

Напримеръ, въ разсмотренной выше простой балочной ферме (фиг. 83) величина усилш U нижняго пояса найдется изъ уравненш

(3 3)

М — Uu = о или U- — где М означаетъ моментъ внешнихъ силъ левой части фермы относительно точки 3 встречи усилш О и D, а и—плечо силы U относительно той же точки.

Такъ какъ веревочный многоугольникъ даетъ М—Ну, то

U~ Н —,

и

откуда величина С/ можетъ быть найдена и графически, какъ

четвертая пропоршональная, построешемъ, показаннымъ на чертеж^.

Для опред^ленш усилш О верхняго пояса нужно взять моментъ силъ относительно точки 2:

М -j- О . о — о или О — —

о l«i

• • (34)

где черезъ М и о обозначены соответственно моментъ внеш-нихъ силъ и плечо усилш О относительно узла 3.

Такъ какъ въ простой балке моментъ внешнихъ силъ имеетъ всегда положительное значеше, то найденныя выражены для О и U показываютъ, что въ простой балочной фермгь нижшй поясъ всегда вытянуть, а верхтй—сжать.

Усшне D раскоса получится, если возьмемъ моментъ всехъ силъ левой части фермы относительно точки Е пересечены уешпй О и U и приравняемъ его нулю, т. е.

М—Dd — о.

Такъ какъ въ данномъ случае М——Ну, то усилш

(35)

о = У

а отвечаетъ сжатт раскоса.

55. Способъ Циммермана представляетъ видоизменены графическаго способа Кульмана и отличается только темъ, что вместо равнодействующей R внешнихъ силъ разсматриваются две параллельныя ей составляющая Ри Р, проходящы черезъ концы 4 и 5 пересекаемаго раскоса (фиг. 84). Величины силъ Р и Р', какъ известно, могутъ бытъ найдены изъ условш равнодействующей

Р-Р=Ь P'd — Rr' или Pd = Rr.

Такъ какъ Rr' и Rr выражаютъ моменты М₄ и М₅ внешнихъ силъ для точекъ 4 и 5, то, следовательно,

P' — и р₌М*

d    d ■

Если примемъ при построенш веревочнаго многоугольника для внешнихъ силъ фермы полюсное разстояше Н равнымъ

длин-t d или кратнымъ ей, то силы Р и P' непосредственно представятся ординатами многоугольника или кратными имъ величинами.

6'

Шж

о.

Л'

Р qJ/

\М,

'г/

U-

Е\

->к

у-

___г_

!*----

>Р'

у

Фиг. 84.

Разложенш каждой изъ силъ Р и Р на направленш О, U и D сделаны отдельно, и результаты соединены вм-tcrt на чертеж^ самой фермы, при этомъ сила Р даетъ составляющую равную нулю на направленш U, а сила P' такую же составляющую на направленш О.

Шж/£мЩ

(родииа

Фиг. 85.

Такимъ образомъ по этому способу усшпя О, U и D найдутся изъ четыреугольника силъ KLTN, который получится, если на прямыхъ $L и ąЕ параллельныхъ R отложимъ отрезки

^ и ~ и проведемъ LTW О и SKII U.

На фиг. 85 представлена диаграмма усилш въ ферм-t Швед-лера, найденная по способу Циммермана для случая полнаго за-

груженш фермы. Дтграмма даетъ усилш въ поясахъ и раско-сахъ. (Усшйя стоекъ получаются вычиташемъ изъ вертикальныхъ проекцш усилш раскосовъ нагрузки нижняго узла).

56. Способъ Кремоны. Если выделить изъ фермы какой-нибудь узелъ съ приложенными къ нему внешними силами и внутренними усшйями перер'Ьзанныхъ элементовъ, то равновеДе его требуетъ, чтобы все эти силы составляли замкнутый много-угольникъ съ одинаковымъ направлешемъ стр'Ьлокъ силъ. Много-угольникъ можетъ быть построенъ, если изъ усилш, приложен-ныхъ къ разсматриваемому узлу, имеется не более двухъ не-

изв^стныхъ. Напр., для узла О (фиг. 86) съ

S,i

Si

приложенными къ нему нагрузкой Р и уси-лшми S}, S элементовъ

г’

S₃ и 5₄

I, 2, 3 и

Фиг. 86.

4, изъ которыхъ неизвестны только S₃ и S₄, величина последнихъ определится, если многоугольникъ ABCD силъ St, S₂ и Р замкнемъ двумя сторонами DE и АЕ параллельными элементамъ з и 4; тогда стороны DE и АЕ по величине и направлент представятъ искомым усилш S₃ и S₄. Они сжимаютъ элементы 3 и 4.

Такимъ образомъ при данныхъ внешнихъ силахъ можно построить многоугольники силъ для всехъ узловъ какой-нибудь статически определимой фермы, начиная съ узла, въ которомъ сходятся только два элемента. Если при этомъ многоугольники силъ такъ будутъ расположены, что каждая сила будетъ встречаться на всемъ чертеже не более одного раза, то последшй представитъ такъ называемую дгаграмму Кремоны. Построеше ея будетъ показано на следующемъ примере.

Пусть данным внешнш силы Р,, Р₂, Р₃ . .. будутъ приложены въ узлахъ какой-нибудь фермы, находящейся въ равновесш(фиг. 87 а). Имъ соответствуем замкнутый многоугольникъ (фиг. 87Ь), въ которомъ эти силы расположены въ порядке узловъ I', 2', 3'... а вершины его (8' i'), (1' 2 ), (2' 3'), ... обозначены нумерами

смежныхъ съ ними силъ

Построеше дтграммы начинаемъ съузла i' и определяемъ усилш I и 8 сходящихся въ немъ элементовъ, проводя параллельно

(Ą Р,), (Р, PJ, Р. Р,).....

имъ прямыя черезъ вершины (Y 2¹) и (8' i'). Получимъ тре-угольникъ силъ, направлешя которыхъ соответствуют силе Р, и показаны стрелками внутри треугольника. Онъ даетъ по величине и направленш усилш i и 8. Если представимъ себе узелъ i' выре-

(5)

hs (6)

(1)

4°

(V

(2)

It’ ⁷

.7’

\P?

Фиг. 87 a.

заннымъ изъ фермы и перенесемъ къ отсЬченнымъэлементамъ i и 8 стрелки изъ треугольника силъ, то уви-димъ, что оба элемента i и 8 сжаты, ибо ихъ усилш направлены къузлу т'.

Зат'Ьмъ переходимъ къ узлу 8', къ которому приложены изв^стныя силы Р₈ и 8 и искомыя 9 и 7. Такъ какъ элементъ 8 сжатъ, то сила 8 направлена къ узлу 8' и образуетъ съ силой Ps непрерывную лишю силъ.

Замыкая ее прямыми, проведенными черезъ вершину (j’ 8') параллельно элементу 7 и черезъ точку i параллельно элементу 9, получимъ многоугольникъ силъ для узла 8'; онъ даетъ усилш 9 и 7, которыя въ разсматриваемыхъ элементахъ вызываютъ сжат!е.

Обращаясь теперь къ узлу 2', зам'Ъчаемъ, что силы его 9, i и Р₂ уже известны и составляютъ въ дшграмме непрерывную линно силъ. Ее остается только замкнуть прямыми параллельными искомымъ линшмъ 2 и ю, чтобы определить величину последнихъ; при этомъ прямая параллельная усилш 2 должна быть проведена черезъ вершину (2' 3’), а параллельная усилш ю черезъ точку 2.

(i)

/11

(7)

1»

Ф \Рз

1(3 V)

Ре

6/7

(5 6Л

Фиг. 87 Ь.

IV s)

Продолжая такимъ образомъ, можно найти все усилы, составляя последовательно многоугольники силъ для узловъ 7', 3', 6', ą. Для последняго узла 5 треугольника силъ уже данъ сторонами многоугольниковъ (4') и (6'), соответствующихъ узламъ 4' и 6'.

Сл^дуетъ заметить, что при построены многоугольника силъ для какого-нибудь узла нужно иметь въ виду многоугольникъ, соответствующей смежному узлу. Наприм^ръ, мы могли бы построить многоугольникъ силъ для узла 2' такимъ образомъ, что замкнули бы лишю силъ 9 — i — Р₂ прямыми, проведенными черезъ точку (2' з') параллельно элементу ю и черезъ точку 2 параллельно элементу 2, какъ показано пунктиромъ. Но тогда при построены многоугольника (у¹') для узла 7' пришлось бы силу ю повторить на чертеже, соединяя ее съ силой 7 для составлены непрерывной лиши Р₇ — 7 — ю, а также повторить силу 2 при построены многоугольника (з') для узла 3'.

Для облегчены построены дыграммы усшйй въ ферме полезно

заметить слфдующы соотношеяы между чертежемъ фермы и дыграммой:

I. У силы элементовъ I, 2, 3 . .

, на дыграмме проходятъ черезъ вершины

составляющихъ очертанш фермы и лежащихъ между внешними силами ея Р, и Р₂, Р₂ и Р₃, Р₃ и Р4

(i' 2'), (2' 3'), (3' 4') между теми же внешними силами.

2. Усилы элементовъ, составляющихъ въ ферме треугольники (i), (2), (3),. . .. на дыграмме пересекаются по три въ точкахъ (полюсахъ) I, 2, з,..., при чемъ элементамъ фермы 9, ю, 11 .. соединяющимъ смежные треугольники (i) и (2), (2) и (3,) (3) и (4)..., на дыграмме соответствуют усилы, соединяющая точки i и 2, 2 и 3, 3 и 4, ....

Изъ указанныхъ соотношены можно вывести следующее правило для быстраго построены дыграммы Кремоны:

Внешшя силы фермы въ порядке ея очерташя соеди-няемъ въ замкнутый многоугольникъ, черезъ вершины его между каждыми двумя силами проводимъ прямыя параллельно элементамъ контура фермы, лежащимъ между теми же силами; затемъ изъ найденаго полюса i для крайняго треугольника (i) проводимъ последовательно прямыя 12, 23, 34,.... параллельно и въ порядке

элементовъ решетки, соединяющихъ смежные треугольники фермы, до встрФчи съ направлешемъ усил1я на-ружнаго элемента каждаго послФдующаго треугольника фермы.

Для лучшаго усвоенш способа Кремоны и нФкоторыхъ npie-мовъ разсмотрфнш фермъ прилагаются примеры:

■h

v,

;Р

яР

:Р

:Р

:Р

гР

■F

'i3 (h js О, io (К (К

У<§ R\p, pKp, h /

г Ut

:P

⁴ TTot

O,

iP

Ог

Я 'Я

u,

0S

АчР

14

Иг

О,

'%;

о;

Фиг. 88 а и Ь.

I. Рыбообразная раскосная Ферма (фиг. 88) иагкетъ 8 равныхъ панелей и нагрузку въ верхнихъ узлахъ по 2 Р для среднихъ узловъ и по Р для край-нихъ у опоръ. Соггротивлеше каждой опоры = 8Р, такт, что въ каждомъ крайнемъ узле приложена внешняя сила = 7 Р, направленная снизу вверхъ. Вследствш симметрш обйихъ половинъ фермы и ихъ нагрузки достаточно построить дкграмму для одной половины фермы.

На фиг. 88 Ъ лишя 012345.... представляетъ многоугольникъ вн'Ьпшихъ силъ. Черезъ вершины его 1,2,3,4, 5 проведены толстыми линшми направлена усилш въ элементахъ верхняго пояса I, 2, 3, 4, 5, а черезъ точку О тонкими линшми проведены направленш усилш въ элементахъ нижняго пояса I, 2, 3, 4..., такъ какъ между этими элементами не приложенывн-кш-шя силы. Пересйчешемъ проведенныхъ направленш усилш Oi и L/, определяется полюсъ i крайняго треугольника. Изъ него проводимъ линю 12 345678, части которой соответственно параллельны элементамъ решетки фермы Уи Д>, V2, D?i, Va, D₃, Vv а вершины лежатъ попеременно на толстыхъ и

тонкихъ лишяхп. Исключение составляетп сторона 78, параллельная VŁ и про-веденнная отъ направления 0А до 0'₄, таки какъ оба треугольника фермы соединенные общей стороной V₄, им-Ьютъ наружные элементы на очертанш

верхняго пояса.

По направленно очертанш многоугольниковъ силъ для отд'Ьльныхъ узловъ находимъ, что всЬ части верхняго пояса сжаты, а нижняго вытянуты. Для опред'Ьленш же знака усилш V и D въ частяхъ решетки можно пользоваться следующими простыми правиломи: если на лиши 12 345678 усилш ртиетки расположить стргьлки въ непрерывномъ направленш 12 — 23-—34 — онп> покажутъ, въ какомъ направленш усилы ргыиетки дтъй-

45 .... , то

ствуютъ на узлы нижняго пояса. Этими способомп находими, что на фиг. 88

все стойки сжаты, а раскосы вытянуты.

2. Лукообразная раскосная Ферма (фиг. 89)

ТР

5 Os JLA

о 7 равныхъ панеляхъ, съ нагрузкой ви нижнихи узлахи по 2 jР. На дшграмме отрезоки ю=7 Р пРеД_ ставляети сопротивлеше левой опоры.

Изи точки О между сопротивлешями опори проведеми пучекн лучей параллельныхп элементами верхняго пояса, а изи то-чеки I, 2, з, 4 прямыя параллельных частями нижняго пояса.

Пересечете направленш Ux и 0{ определяети полюси i крайняго треугольника фермы; линш 1234 5 6 7 8 съ частями 12, 23, 34, ..параллельными элементами решетки Vi,

D₂, V%i • • • • даети усилш ви последнихи, при чеми точки 2, 3, 4 ... . расположены на направленшхп усилш элемента поясови каждаго следующаго треугольника фермы.

Поставленных по линш i 2 3456 стрелки показываютп направлеше, ви какомп усилш решетки V и D действующи на узлы нижняго пояса. Таки стойки Vx и V₄ и все раскосы вытянуты, a V₂ и Уг сжаты; пояса, какп всегда, верхнш сжати, нижнш вытянути.

3. АнглШская стропильная Ферма. Фермы размещены параллельно други другу черези 5,г м. Пролети фермп = 24 м., панель = 3 м. Вертикальная нагрузка на кв. м. горизонтальной проекцш крыши состоити изи:

54 кил. собств. веса (покрьте— аспидный сланеци на железн. уголкахп)> 75 кил. веса слоя снега, г 2о 5«²(a-f-:o) вертикальн. давленш ветра.

ц\Ч ЧУ

ЗР

гР

:Р

I iP    ;:Р

г у

гР

4EZ

77а

Оь

IL

зР

’г

°,

1Ł

IŁ

Фиг. 89.

>zP

?Р

А‘7Р

Такъ какъ tg угла а наклонешя верхняго пояса къ горизонту = ^ то а = 22°, Sn (ot —)— io) —0,53j сл-Ьд. нагрузка отъ вкграт 120.0,$з²= 34 кл.

— °i4>

Г;

f,

3"

■чй,

\з

'Л

- /5, об

Шг.    ТГГ.

Фиг. 90.

5'

,v

г.

•5

///

2Р

гР

В»

'6

7.Р 2Р

аР

эР

ЭР

2Р

45. \³/8

4р \п

|§

и полная нагрузка фермы 54 Ч- 75 -Ь 34 = *63 кл. =0,163 тон. на кв. м.

Отъ нея нагрузка на каждый узелъ 0,163 X 5,i X 3>° = 2,5 т.

3,

v9

.2 \3

гР

Для об-Ьихъ половинъ фермы предполагается одинаковая нагрузка, Въ опорной

₂р

\ч2

,1

точк^ д'Ьйствуетъ снизу вверхъ сила ~~

X 2,5 ТОН.

Прямыя параллельныя усшпямъ верхняго нагруженнаго пояса отсЬкаютъ на ливш вн^ш-нихъ силъ нагрузки узловъ. Прямыя параллельныя усилшмъ нижняго пояса проходятъ черезъ одну и ту же точку; он-fe совпадаютъ между собою, такъ какъ им'Ьютъ одно и то же направлеше. Изм-Ьренныя усилк частей фермы обозначены на правой половин^ ея.

4. Наслонная стропильная Ферма (фиг.

91). Дшграмма построена подобно предыдущему. Элементы ркпетки I, 3, 5, 7, 8, 9, io, 12, 13, сжаты, а 2, 4, 6, u вытянуты. Верхней поясъ сжатъ, нижшй вытянуть.

2.

Гу

if.

9'

10

12

13'

Фиг. 91.

г>

8/Д

5- Наслонная стропильная Ферма съ подкосомъ. Представленная на фиг. 92 ферма им'Ьетъ въ точке В неподвижную шарнирную опору, а въ точке А опорой служить подкосъ. Если въ точке D устроенъ шарниръ, то сопроти-влеше опоры А действуетъ по направлешю подкоса; пересЬче-Hie его съ равнодействующей R нагрузки даетъ точку С, черезъ которую проходить и сопроти-влеше опоры В. Определивъ величину противодЬйствш А я В составляющихъ съ нагрузкой замкнутый многоугольникъ силъ, и замйнивъ въ узле А две внйшшя силы (А и Р) равнодействующей А¹, проведемъ по общему правилу черезъ точку О между внешними силами А¹ я В пучекъ лучей, параллельныхъ нижнему поясу, а между нагрузками узловъ

2Р

гР

2Р

2Р

эР

2Р

12Р

'N.

5.

V8

о

/10

NN

3.

-Эг

te

9 /10

Фиг. 92.

прямыя, параллельныя частямъ верхняго пояса. Изъ полюса а крайняго треугольника проведена лишя усилш решетки. Стойки сжаты, раскосы вытянуты. Пояса—верхнш сжатъ, нижнш вытянуть.

6. Бельпйская стропильная Ферма (фиг. 93) имеетъ вертикальную нагрузку во всехъ верхнихъ узлахъ, кроме крайнихъ, по 2 Р я въ трехъ нижнихъ узлахъ по 2 P'. Кроме того на ферму съ той или съ другой стороны действуетъ нормально къ поверхности крыши давлеше ветра.

и эле-

Диграммы для вертикальной нагрузки и для действш ветра определяются отдельно и результаты слагаются. Первая диграмма построена для левой половины фермы, вследствщ симметрш ея съ правой. Верхнш поясъ менты решетки i, 3, 5, 7 сжаты, остальныя части фермы вытянуты.

Давлен! е ветра нормально къ поверхности крыши и определяется эмпирической формулой hJV=0,1225 2z/Sw²6; оно прямо пропоршонально поверхности 2 и квадрату проекцш скорости на нормаль къ поверхности. Отъ нея

— Ш.

приходится нагрузка на узелъ 2 W =

Когда действуетъ ветеръ съ левой стороны, то решетка правой половины фермы вовсе не напряжена и потому не показана на чертеже (фиг. 94).

V⁶

2 р I 4^сг»о:р

ч?

3.

2Р

Чтив

2Р

гР

гР

Ob'

а"

is'j

со

гР

2Р

2Р

2Р

ВГр’

Г>

Гг

.6

/33

/л

'CQ /ад

С*,

ci.

<-

*ч

|гР’

5.

1;

•г

Фиг. 93.

Гс

зл

•i,

'Ą,

Л. L">

v33

JA

ер

rs

сг

TV^

Фиг. 94.

\С0

1Л

СО,

=<H\V

\С1

fol

сг

го

£

г?

ш.

С#<

sC?

✓л

\ч

гг £

ч8

Li

Ш~

Действительно, если проведемъ черезъ нее какое нибудь сечете и возьмемъ моментъ силъ относительно опоры В то получимъ Dr —о, такъ какъ В есть единственная внешняя сила въ правой части фермы; здесь г означаетъ плечо силы D.

Противодействш опоры А вертикально и пересекаетъ равнодействующую ZW въ точке С, черезъ которую проходитъ и сопротивлеше опоры В. По данной величине Ъ1У найдены силы А и В. Дальнейшее построеше дш-граммы видно изъ чертежа. Верхнш поясъ везде сжатъ, нижнш вытянутъ въ

H'

2 Hr /

s'3

л\

¹⁰ 4

r,

<3

2\V

2\V

\-г

-Ъ-Ь

W:

zw

15

\14"

¹³ V12

,10

lix А

ВТ

2W/

'-А

2\\у

,U/

10

21 Г/

в:

■;Ur/ /У’В

Фиг. 95. о и Ъ.

Wc

левой половине фермы и сжатъ въ правой. Элементы решетки i, 3, 5, 7 сжаты, а 2, 4, б, 8 вытянуты.

Чертежи 95 а и Ъ показываютъ определена усилш для случая, когда ветеръ действуетъ съ правой стороны Здесь не работаетъ решетка левой половины фермы. Верхнш поясъ сжатъ, нижнш вытянутъ; части решетки 9, ii, 13, 15 сжаты, остальныя вытянуты.

Сумма усилш отъ вертикальной нагрузки и отъ ветра на дкграмме 94 или 95 даетъ предельныя значенья ихъ.

IX. Разечетъ еложныхъ оермъ.

такихъ элементовъ

5 7. Если мы въ какой-нибудь статически определимой ферме съ простыми прямыми элементами заменимъ одинъ или несколько сложными, представляющими отдельныя статически определимыя фермы, то получимъ также статически определимую ферму, которую мы будемъ называть сложной статически определимой фермой.

Если при этомъ нагрузка и узлы сохранятъ свое положеше и величину, то реакши шарнировъ на каждый такой сложный эле-ментъ будутъ иметь ту же величину и направлеше. Действительно выделивъ изъ фермы такой элементъ ab

ь-о

уЬ

cL

съ двумя силами равными реакщямъ на него шарнировъ, мы изъ равновесш его при действш двухъ названныхъ силъ за-ключаемъ, что эти силы должны быть равны и взаим-

Фиг. 96.

но противоположны, а следовательно каждая изъ нихъ должна

быть направлена по прямой ab, соединяющей центры обоихъ шарнировъ.

Зная теперь направлеше реакцш шарнировъ на элементъ, мы знаемъ также и направлеше реакцш даннаго элемента ab на шарниры а и Ь, какъ силъ равныхъ и противоположныхъ первымъ. Заменивъ ими действш на ферму выделеннаго изъ нея элемента и разсматривая равновесш левой части фермы относительно вра-щешя ея около шарнира т, связывающаго обе части разъединен

удаленнаго элемента противоположенъ моменту М внешнихъ силъ левой части, или

ной фермы, мы приходимъ къ заключенно, что моментъ реакцш ab на шарниръ а долженъ быть равенъ и

т. е. мы находимъ

изгибающему моменту относительно точки т тоже условш, какъ и для реакши или усилш простого элемента ab.

₉B

Такимъ образомъ реакцш шарнировъ на элементъ ab не за-висятъ отъ формы его и могутъ быть найдены какъ усилш, сжимающее или растягивающее простой элементъ, соединяюгцш те же узлы.

Предположимъ теперь, что мы им-Ьемъ какую-нибудь простую или сложную ферму, въ которой кроме нагрузки въ узлахъ главной фермы имеется еще нагрузка между узлами. Пусть, напр., къ элементу ab между узлами его а и b приложены силы Р,, Р₂ и Р₃, которыхъ равнодействующая пусть будетъ R. Мы не изм^-нимъ условш равнов^ая и усилш частей фермы и даннаго элемента, если приложимъ къ последнему въ каждомъ узле а и b по две равныя и взаимно противоположныя силы, параллельныя

-ą

р Р₂ Рз ГКь * “l I -о

Фиг. 97.

IR

"Къ

а.

равнодействующей R и равныя ея составляющимъ Ra и Rb, про-ходящимъ черезъ центры шарнировъ а и Ь. Такъ какъ приложенная къ элементу ab нагрузка Рг, Р₂, Р₃ и силы — Ra и — Rb взаимно уравновешиваются на этомъ элементе, то влшше ихъ на шарниры а я b и величину усилш прочихъ элементовъ равно нулю; влшютъ же на нихъ только составляющая Ra и Rb, который, какъ приложенныя въ узлахъ фермы, передаются непосредственно на шарниры а и Ь. Мы видели выше, что нагрузка, приложенная въ узлахъ главной фермы, вызываетъ те же реакцш шарнировъ а и b на сложный элементъ ab, какъ и на простой, и что оне, какъ действующи! по направленно прямой ab, могутъ быть легко определены. Выделяя затемъ изъ фермы сложный элементъ съ

уравновешенными на немъ силами Р,, Р,, Р₃, — Ra и—Р₆ и найденными реакцыми О и — О шарнировъ а и Ь, мы получимъ статически определимую ферму ab, подверженную действда внешнихъ силъ Р₁₅ Р₂, Р₃, — Ро и — Rb, при которыхъ она работаетъ какъ простая балка *), и двухъ равныхъ и взаимно противоположныхъ силъ О и — О, влыше которыхъ на у силы въ частяхъ разсма-триваемой фермы также просто можетъ быть определено.

Поэтому, если мы имеемъ сложную ферму съ нагрузкой въ промежуточныхъ узлахъ сложныхъ элементовъ, то равнодействующую нагрузки каждаго такого элемента нужно разложить на узлы главной фермы и, заме-нивъ сложные элементы простыми, оп ре делить усил1я въ такой простой ферме; найденныя усил1я О и — О надо затемъ приложить къ концамъ соответственнаго слож-наго элемента ab, который вместе съ его нагрузкой и силами — Ra и — Rb можетъ быть разсчитанъ какъ простая ферма.

При этомъ следуетъ заметить, что если сложный элементъ представляетъ ферму съ однимъ прямымъ поясомъ, напр. верх-нимъ (фиг. 98), то силы О и—О будутъ вызывать усилю только въ этомъ поясе, растягивающее или сжимающее и равное по величине — силе О, остальныя же части элементарной фермы не будутъ вовсе напряжены, такъ какъ моментъ

М ея внешнихъ силъ относительно верхнихъ узловъ и точекъ встречи обоихъ поясовъ обращается всегда въ нуль; напряжены же въ нихъ будутъ зависеть только отъ местной нагрузки раз-сматриваемаго слож-наго элемента.

Какъ примеръ возь-мемъстропильную ферму, показанную на фигуре 99 а; по замене

Фиг. 98.

1гР

7,

17з

Фиг. 99 а.

МИ

*) Въ случай д-ййствш параллельныхъ силъ ?₁, Р₂ и Р₃.

сложныхъ элемен-' ТОВЪ простыми ПОг лучается ферма, представленная на фигура 99 с съ дт-граммой ея усилш, а на фигур-t 99 Ь показана дкграмма усилш въ частяхъ выд4леннаго элемента ab отъ его местной нагрузки. Сумма т-fexъ и другихъ усилш даетъ д4йстви-тельныя усилш въ частяхъ сложной фермы.

р Ъ,

17

>Т%

45 /X ¹

О’

6Р

4.

fe/11

-15

-16(

Фиг. 99 Ь.

4Р

£ 22

+9

Ха

-3;

Т-4;

4Р

4Р

0'1

-о

4Р

'2

+и₃

Х2Р>

и,

и₃

+и₂

Фиг. 99 с.

6Р

У*

Фиг. 99 d.

О/

Фигура юо представляетъ ту же ферму при д4йствш на нее давленш в4тра и вызываемыя въ ней усилш. Такъ какъ нагрузки не имеется въ узлахъ правой половины фермы, то эту часть можно разсматривать какъ сложный элементъ и заменить его простымъ.

/V

Подобными же спосо-бомъ можно разсчитать и

■'ч

6Р'\ -ф

'4--

'S

\bl

Л/

0>

17

"Л

/э

и.

Ял

г°/

г!

А.

>Ъ

•1г

ćt

IOI

сложную ферму Финка (фиг. ioi), которая можетъ быть раз-сматриваема какъ составная изъ простой треугольной фермы АВ и двухъ сложныхъ элементовъ (фиг. ioi а), изъкоторыхъ каждый въ свою очередь распадается на простейшую треугольную ферму (b) и два сложныхъ элемента с. Определивъ усшпя во всЬхъ трехъ ви-дахъ простыхъфермъ и сложивъ ихъ, най-демъ искомыя уси-лiя сложной фермы Финка.

Тотъ же способъ разсмотренш можетъ А быть примененъ и къ арочной ферме ASB (фиг. 102), въ которой при нагруженш левой части усшпя частей последней не изменятся, если правую половину, какъ сложный элементъ, заменимъ простымъ прямымъ элементомъ или подкосомъ SB.

Влшше подкоса на часть фермы AS представляется силой, направленной по прямой jBS, и потому въ этомъ случае, т. е. при расположенш нагрузки въ одной половине J.5 эту часть можно разсматривать какъ отдель-

(а)

(Ъ)

(с)

Фиг. 101.

,В

'S

хВ

А<

\,

ЙВ

Фиг. 102.

ную ферму на двухъ шарнирныхъ опорахъ—неподвижной А и подвижной S, имеющей плоскость скольжетя нормальную къ прямой BS.

X. ИнФЛюентная линш усшпй пояеовъ.

58. Усилш пояеовъ. Усшне, напр., верхняго пояса О определяется, какъ известно, изъ условш, что моментъ Ма внеш-нихъ силъ, или изгибающш моментъ относительно противолежа-щаго узла а долженъ быть равенъ и противоположенъ моменту

то

усилш О разематриваемой части пояса (фиг. 103), т. е. уешпе пояса определяется изъ уравнешя

\ ’

если растягивающш усилш обозначены знакомъ + , а сжимающш знакомъ —. Поэтому инфлюентныя линш усилш

Фиг. 103.

, Оз

пояеовъ получатся изъ инфлюентной лиши изгибаюшаго момента М, разделяя ординаты последней на плечо h. Эта простая зависимость имеетъ место, какъ для простыхъ балочныхъ фермъ, такъ и для фермъ консольныхъ и арочныхъ. При этомъ необходимо только принять во внимаше, что ординаты инфлю- А 2 ентной линш момента М ^

выражаются, какъ известно, въ масштабы длины и представляютъ собою какъ бы длину плеча, произведете ко-тораго на единицу груза даетъ величину момента М отъ этого гру- а за. Поэтому ординаты усилш пояеовъ получаются разделешемъ на h ординатъ у линш

момента М, а следовательно частное нулеваго измерешя

К——|------i-а

ia

Фиг. 104.

'---Н

Ьа

Тг

-Ъ

вы-

ляемовъ

усилш Оъ верхняго пояса простой балочной фермы, изображенной

ражающее ординату усилш въ поясе, должно быть представ-произвольномъ масштабе (см. стр. 9 ч. II). Напримеръ, для

ЮЗ

на фиг. 104, инфлюентная линш при нагрузке по низу получится подобно лиши момента для узла а, если на левой опоре отло-

жимъ ординату равную и на правой опоре ординату и проведемъ черезъ конецъ одной ординаты и противоположную

ГТ.Ц.

Al i⁸

!В i

//////'//}/1!/)! >> 11111-т

*!

Фиг. 105.

опору две наклонныхъ прямыхъ, дающихъ въ пересЪченш вершину треугольной инфлюентной лиши усилш 0Ъ въ поясе.

/[ \

\8

Нв

ОС

Такимъ обра-зомъ усшпе въ по-ясахъ всегда про-порщонально моменту М, и наи- д болыиимъ значе-ншмъ посл^дняго а соотв^тствуютъ наибольшая значенш

разсматриваемаго

!*—А-

усилш.

—»}

На фиг. 105 и

юб

Фиг. 106.

представлены

консольная балочная ферма и арочная ферма и относящаяся къ нимъ инфлюентныя лиши усилш поясовъ.

Зд'Ьсь сл^дуетъ еще заметить, что моментъ О. h уси- i лш пояса можно заменить мо-ментомъ горизонтальной про- ^ екцш 0' — О С.ф этого усилш (фиг. 107), если за плечо его возьмемъ вертикальное разстояше ti точки а до раз-

пte

л!

сматриваемой части пояса, такъ что всегда для всякихъ фермъ М

отношеше

д,- выражаетъ горизонтальную проекшю усилш соответственной части верхняго или нижняго пояса.

Въ сложной фермгь ординаты инфлюентной линш уешпя поя-совъ (и решетки) получаются сложешемъ ординатъ усилш, соот-ветствующихъ той же части, входящей въ составъ простейшихъ фермъ. Напр., для фермъ моста черезъ р. р. Енисей, Оку, Зею и Амуръ, въ которыхъ простые элементы верхняго пояса (въ

/А

VI/

к-

_а

А"'

1ПГ€

к--4—-н

i ¹ I

ici

VI

Фиг. 108.

крайнихъ панеляхъ — нижняго пояса) заменены сложными элементами въ виде треугольныхъ шпренгельныхъ балочекъ, слу-жащихъ для передачи нагрузки промежуточных^ верхнихъ и нижнихъ узловъ на главные узлы фермы, — инфлюентную линю усилит верхняго пояса, напр. въ третьей панели, получимъ, складывая ординаты инфлюентной линш acb усилш того же пояса въ простейшей ферме, начерченной сплошными линшми, и ординаты треугольной лиши яге, выражающш усил!е той же части въ шпренгельномъ элементе. Здесь точка г оказывается лежащей на продолженш прямой Ьс, въ чемъ легко убедиться. Действительно, пока грузъ Р = i перемещается по правой части фермы отъ В до узла R, для левой части, отсекаемой разре-

зомъ ss между узлами N и R, мы можемъ написать уравнете момента М относительно точки С

OihJrM=0₃h -f- Аа — ОЪ, + Р

ах

= о,

или

О =2 — Р — з    Цг ’

которое представляетъ одну прямую Ьс, имеющую место для вс-^хъ значенш х отъ нуля до x=BR.

XI. ИнФлюентныя линш для решетки Фермъ.

59. Простыя балочныя Фермы. Переходя къ опред-кле-нт инфлюентныхъ линш раскосовъ и вообще частей решетки фермъ, мы должны разсмотр-Ьть отдельно простыя балочныя фермы, балочныя уравнов^шенныя и арочныя фермы (висячая есть обратная арочная ферма). Начнемъ съ первыхъ.

Здесь надо различать четыре случая: i) когда точка встречи направленш поясовъ, перес'Ькаемыхъ сеченюмъ ss, проведеннымъ черезъ данный раскосъ, находится на безконечности, т.-е. когда пояса параллельны между собою, 2) когда эта точка получается BHi опоръ или пролета, 3) когда она находится между ними и 4) когда она совпадаетъ съ опорой. Первые два случая находятъ себе примкнете въ практике, посл^днш случай встречается реже (стропильныя фермы), а съ третьимъ случаемъ приходится иметь д^ло еще реже (консольные мосты).

Первый случай. Для фермъ съ параллельными поясами усилю раскоса определяется по величине поперечной силы Q, а именно изъ условш Q—±DSny или

Sny

где верхнш знакъ относится къ нисходящему раскосу (левый конецъ выше праваго), а нижнш знакъ къ восходящему раскосу (левый конецъ ниже праваго).

Эта простая зависимость указываетъ намъ, что инфлюентная линш усилш раскоса можетъ быть получена изъ инфлюентной лиши поперечной силы Q увеличенюмъ ординатъ ея въ отно-

I об

шенш i: Sny, постоянномъ для даннаго раскоса. Такимъ обра-зомъ инфлюентная лишя усилш раскоса состоитъ изъ двухъ

А,

a’L

ai

з'~

Фиг. 109.

параллельныхъ прямыхъ, 1 им'Ьющихъ на опорахъ ординаты равныя не I, я® a i: Sny, — и третьей прямой, соединяющей крайшя ординаты двухъ

i

первыхъ прямыхъ, соот-jjj ЕТгствуютш двумъ на-гружаемымъ узламъ бли-l-Sru^j жайшимъ къ с£чешю ss. Наприм'Ьръ для фермы, изображенной на

Ъ’

фиг. но, при нагрузка по низу инфлюентная лишя раскосовъ D₄ или Ds должна им^ть видъ, показанный на томъ же чертежф при чемъ верхше знаки ординатъ соотв^т-

ствуютъ нисходящему раскосу D$,'}t а нижше восходящему раскосу D₄. Въ случай нагрузки поверху, инфлюентная лишя Ьб'^а усилш раскоса D₄ принимаетъ видъ Ьъ'з'а.

Точно также для разсмотр^нной выше фермы (фиг. и i) усилю въ стойкТ 3 при нагрузк^ нижнихъ узловъ выражается ординатами инфлюнтной лиши поперечной силы О для 4-0Й

панели, а при нагрузка поверху—ординатами поперечной силы въ 3-й панели.

На усилш раскосовъ фермы со стойками пере-несеше нагрузки изъ верх-нихъ узловъ въ нижше

а;...;.

a’L

1 ЬГ

s! /к

Фиг. Д10.

,Ъ

-Jb

Jb”

не оказываетъ никакого влшшя, что видно также изъ уравнешя DSnv=Q, въ которомъ сила Q не изменяетъ своей величины отъ замены верхнихъ нагруженныхъ узловъ нижними.

Здесь не безполезно будетъ также обратить внимаше на постоянное отношение, существующее между отрезками треугольной положительной или отрицательной инфлюентной линш усшпя раскоса или стойки для фермы, имеющей панели равной длины.

На фиг. iii инфлюентной линш усилш стойки Д, для которой аа'—ЬЬ'— i, проведемъ параллельно ab прямыя изъ точекъ 4 и 3' до пересечешя съ параллельными прямыми ab' и ba въ точкахъ а и Ь". Тогда Ąa'=^'b"=ab=l, и непосредственно изъ пропорцюнальности отрезковъ параллельныхъ прямыхъ мы находимъ:

аз : аа = 4'3" : 4'a" = d: I — 1 : т,

и подобнымъ же образомъ

ад : ab — 3'4" : 3'b" = d : / = 1 :m.

Поэтому, если сумма грузовъ поезда, устанавливающихся на длине положительной части а. а или отрицательной части с/.Ь инфлюентной линш усшпя стойки    будетъ = Д то для

тах. F₃ необходимо, чтобы на части 1x3 панели находились    R,

означаетъ число

т — ¹ D

а на части а$ нагрузка = ——— К, если т — панелей данной фермы.

Очевидно, то же соотношеше и расположена поезда должно иметь место и для раскоса D₄ или поперечной силы О.

Относительно фермъ съ параллельными поясами сл^дуетъ впрочемъ сказать, что на практике предпочтительнее усшпя въ поясахъ и решетке фермы определять безъ помощи инфлюент-ныхъ линш, непосредственно по величинамъ М и О.

60. Второй случай. Точка г пересеченш направлешй поя-совъ легкитъ вне пролета или опоръ Фермы. Грузъ, приложенный къ правой части пВ фермы, относительно сеченш ss даетъ въ левой части одну внешнюю силу—реакдда опоры

вращающую эту часть фермы относительно точки г по направлент обратному движенда часовой стрелки; поэтому уси-

а=рА

io8

л1е D раскоса должно вращать въ противоположного, направлены, т.-е. оно должно быть направлено внизъ отъ раскоса и остающуюся часть его растягивать; при чемъ моментъ D.r этого усилш долженъ быть равенъ моменту опорной реакцы А, т. е.

ах

1г

D . г -- А . а = Р а~ или D — Р

Это уравнеше представляетъ прямую, проходящую че-резъ опорную    _Д

В и !    ;

Фиг. 112.

TV

точку имеющую на V

!* —

Кг

М3.;п

I №1

— -у*

а¹

другой опоре А при х—1 орди-

Ъ+а

нату Ру=~. Следовательно, пока грузъ Р—i приложенъ къ правой части между В и узломъ п, усшйе D рас , коса изменяется по прямой Ьп, опре-

деляемой ординатой на опоре А равной -- •    Х\

Jb'

Когда грузъ Р будетъ приложенъ къ левой части фермы между А и т, то правая часть будетъ заключать одну внешнюю силу—реакцда опоры Р, вращающую эту часть относительно точки г по направленш обратному движешю часовой стрелки. Поэтому уравновешивающее его усшпе раскоса D должно вращать его въ противоположномъ направлены, т.-е. оно должно быть направлено внизъ и сжимать

оставшуюся часть раскоса; причемъ изъ равенства моментовъ реакщи В опоры В (l-j-a) и усилш D раскоса D . г следуетъ уравнеше для D

1г

— Рх' •

Оно представляетъ прямую, проходящую черезъ опору А (У = о) и имеющую ординату въ точке В при х ==/, равную

Часть ат этой прямой выражаетъ инфлюентную линш

усилш раскоса D отъ груза, приложеннаго къ левой части фермы между опорой А и узломъ т. Такъ какъ между узлами инфлюент-

ная линш всегда представляетъ прямую, то соединивъ концы крайнихъ ординатъ найденныхъ линш въ узлахъ тип прямою т'п', получимъ всю инфлюентную линт Ьп'т'а усилш раз-сматриваемаго раскоса D.

Отм'Ьтимъ здесь то геометрическое свойство прямыхъ п'Ь и та, что ихъ точка пересЬчешя г находится на одной верти

кали съ точкой г пересЪченш направленш поясовъ, въ чемъ легко убедиться изъ подобш треугольниковъ r'bb' и г' а' а. (При

парал-лельныхъ поя-сахъ точки г и г' находятся въ безконеч-

Фиг. 113.

in

ности, т. - е. прямыя п'Ь и та

к---

«.____Х_

_L___p £____

-Л

должны быть параллельны между собою).

Точно также следует заметить, что вертикальная проекция усилш D раскоса раз-сматриваемой фермы не зависитъ отъ высоты стоекъ и вообще фермы. Действительно, инфлюентная линш проекцш этого усилш получится, если ординаты усилш D (фиг. 112)

умножимъ на постоянный коефищентъ Sny — ~ ; при

а.

Г’

im

a’

ши

Чч

хч

чЪ

этомъ прямыя Ьп и ат! обратятся въ другш прямыя, имею-

аА-1

а а 4-1 г

— и —¹— • —

которыя

Щ1я на опорахъ ординаты — • —

i    г    г гп

действительно зависятъ только отъ горизонтальныхъ разстоянш и сохраняютъ свою величину при пропорщональномъ измененш высотъ смежныхъ стоекъ, т. е. при постоянной точке г.

Если въ разсматриваемой панели фермы заменимъ нисходящШ раскосъ восходящимь (фиг. 113), то путемъ подобныхъ же раз-сужденш убедимся, что при положенш груза Р въ правой части

фермы, тотъ же моментъ опорной реакцш А .а — Р~, вращаю-

Щ1Й по направленш обратному движешю часовой стрелки, будетъ уравновешиваться моментомъ D'. г усилш раскоса D', сооответ-ствующимъ сжатш последняго, при чемъ отрицательное усшйе раскоса D' будетъ измеряться ординатами прямой Ьп, имеющей на левой опоре ординату аа =

поло-

Фиг. 114.

£. при

]В

женш же груза Г___а,___£_эс'_Дт>

Р вЪ л*вой ча- u----Ł J— Зр

сти фермы, усилш раскоса будетъ

JL

*___X

vP=l

V»

ia

растягивающимъ и изменяется по прямой ат, имеющей на правой опоре / + а

пп

ШП

. Такимъ образомъ

ординаты усилш обратнаго раскоса D сравнительно съ ординатами прямаго раскоса

D являются измененными въ отношенш

ординату

г'

mN

Т+а

Изъ общаго уравненш равновесш внешнихъ и вну-треннихъ силъ левой части фермы (ф.ф. 112 и 113) для проек-

щй на горизонтальную ось имеемъ: DCsy — OCsa — UCsfi — 4 -А¹ для прямого раскоса и D’Csz>' = ~ обратнаго; откуда, заменяя Сг-р и CsC черезъ и что П 4 — — D — или D’ = — D

мп

а*

vib

= ОС ser. — U Cs fi для

находимъ, для любой нагрузки фермы,

• Такимъ образомъ можно просто

определять наибольшее растягивающее усилш обратнаго раскоса, имея одну инфлюентную лишю для прямого раскоса D.

Для стойки фермы, показанной на фиг. 114 и представляющей частный случай (©=^90°) положешя раскоса, легко убедиться при помощи разреза 5Д, что положеше груза Р— i въ правой части фермы вызываетъ въ стойке сжимающее усилш, выра-

5'

а потому тах. D — — min. D

жаемое ординатами прямой Ьп съ ординатой аа —

на опоре

А, а при положенш груза въ левой части фермы—ординатами прямой ат\ имеющей на опоре В ординату bb' — —-—. При фер-

махъ съ треугольной решеткой (не им'Ьющихъ стоекъ) инфлю-ентная лишя усилш D нисходящаго раскоса (фиг. 115) им^етъ видъ Ьп та въ случай нагрузки верхнихъ узловъ, и видъ Ы'и'а при нагрузке нижнихъ узловъ, при чемъ въ обоихъ случаяхъ

< а

и аа = —.

77 i    I "р U

ординаты bb —-

61. Нулевую точку инфлюентной лиши усилш раскоса (или стойки) можно найти непосредственно изъ чертежа фермы, безъ построены инфлюентной лиши. Для этого нужно при на-

-А

о су

/У

тТ 3R

v Lii

""А

Ни

Л гг

i/

/ I п

IX

-Н!)’

■В р

s i;

1Грифо

Pinula)

mu-

IX

-г

L+a|

l.łr I

М!

!Ъ

----------аГ

------

Фиг. 116.

грузке поверху продолжить направлен^ пересеченной части нижняго пояса до встречи съ направленшми опорныхъ реакцш А и В въ точкахъ а₀ и Ь₀ и левую точку а₀ соединить прямой а₀т съ левымъ нагружаемымъ узломъ т, ближайшимъ къ се~ чент ss, а правую точку Ь₀ съ правымъ такимъ же узломъ п\ тогда пересечеше обеихъ прямыхъ определитъ точку се, соответствующую нулевой ординате инфлюентной лиши даннаго раскоса. Действительно, приложенный въ ней грузъ Р разложится на две ему параллельным составляющая Рт и Рп, прохо-

дящш черезъ узлы т и\п. Величину ихъ найдемъ, проведя черезъ концы силы Р (фиг. а) прямыя N0 и МО параллельный пря-мымъ nb₀ и та₀ и черезъ ихъ точку пересечены О лучъ OS11 (см. ji стр. ю первой части); тогда отр^зокъ NS выразитъ величину Рп, а отр^зокъ SM величину Рт. Теперь лишю а₀тпЬ0 мы можемъ разсматривать какъ веревочный многоугольникъ для силъ Рт и ,.РП, угремь сторонамъ^котораго соответствуют параллельные имъ лучи ОМ, OS и 0N многоугольника силъ; при этомъ лины а₀Ь₀ является замыкающей стороной веревочнаго гоугольника, а потому^ параллельный ей “лучъ 0S' опредТляетъ реакцш опоръ фермы въ виде отр^зковъ NS' и MS'. Равнодействующая силъ А и Рт, приложенныхъ къ левой части фермы, должна проходить черезъ точку Пересе-ченш край-нихъ сторонъ -л*" тп и a₀ut веревочнаго многоугольника этихъ силъ, т. е. черезъ точку г встречи направлены обо-ихъ поясовъ. Такъ какъ при этомъ тп'1 моментъ внешнихъ силъ левой части фермы обращается въ нуль, то и моментъ усилы раскоса также долженъ быть нулемъ; следовательно, усилы раскоса отъ груза Рвъ точке а равно нулю, что и требовалось доказать.

тп

мно-

Фиг. 116.

Lii

/к

9*-

п'

n’

1»

L±a

Ч^

ХЪ

Обратно, при нагрузке нижнихъ узловъ для определены нулевой точки усилы раскоса надо продолжить направлены пересеченной части тп верхняго пояса до встречи съ направлеными реакцш опоръ А и В фермы въ точкахъ а₀ и Ь₀ и соединить ихъ соответственно съ ближайшими къ ss нижними узлами u и t прямыми, пересечены которыхъ и определитъ искомую точку а.

Для фермъ со стойками, въ которыхъ усилш раскосовъ не изменяются отъ перенесены нагрузки изъ нижнихъ узловъ въ верхше и наоборотъ, можно при нагрузке по низу фермы съ

нижнимъ прямымъ поясомъ вместо направлены верхняго пояса взять нижнш прямой поясъ и черезъ концы его а и Ь и концы тип стоекъ, смежныхъ съ разр^зомъ ss, провести прямыя ат и Ьп, опред'Ьляюпця своимъ пересечен! емъ ос нулевую точку ин-флюентной лиши усилш даннаго раскоса D.

62. ТретШ случай. Точка г встречи направлены поясовъ лежитъ между опорами фермы, въ пролегк Пусть АВ будетъ какая-нибудь ферма (фиг. 117) съ нагрузкой въ верхнихъ узлахъ, D—разсматриваемый раскосъ и г — точка встречи направлены поясовъ, разстояше которой отъ л'Нзой опоры А обозначимъ по-прежнему черезъ а.

Когда грузъ Р приложенъ къ правой части фермы относительно сечены ss, то условш равновТсш лТвой части относи

тельно точки г, находящейся теперь справа отъ реакщи опоры А и раз-сматриваемаго раскоса, требуетъ, чтобы моментъ А . а — Р

ах

опорной

реакщи былъ равенъ и противополо-женъ моменту D . г усилш раскоса D, т. е. это усилш должно быть напра-

Ад7|р

к-

а|

T1V

влено внизъ и растягивать часть раскоса, оставшуюся на лТвой половинТ фермы. Равенство обоихъ моментовъ приводитъ къ тому же уравненда

i а.

i’

au-'

•>1

ах

Фиг. 117.

к ’

выражающему прямую ba', которой ордината аа —— . Часть Ьп этой прямой представляетъ намъ инфлюентную линш усилш D раскоса для положены груза въ правой части фермы отъ В до узла п.

Если грузъ Р— i будетъ пом'Ьщенъ въ л'Ъвой части фермы между опорой А и узломъ т, то разсмотр'Ъше условш равнов^сш

г нахо-

правой части фермы приводитъ къ заключешю, что усилш раскоса направлено вверхъ, т. е. растягиваетъ раскосъ, а не сжимаетъ его, какъ то было въ предыдущемъ случай, когда точка дилась вл'Ёво отъ раскоса и опоры В. Равенство обоихъ моментовъ даетъ для D уравненш прямой amb\ а именно:

, причемъ

(/ — а) х'

к

Проскуряковъ.— Строительная механика, ч. 1Г.

, а часть ея ат представляетъ инфлюент-

Ордината ея bb'

ную линш для положешй груза отъ опоры А до узла т. Между узлами тип усшпе D изменяется по прямой т п.

Такимъ образомъ для даннаго нисходящаго раскоса получается инфлюентная линш усилш am' n' b съ однгьми положительными ординатами. Для смежнаго восходящаго раскоса получаются все ординаты съ отрицательнымъ знакомъ, соответствующая сжимающему усилш въ раскосе.

Въ разсматриваемомъ случае прямыя Ьп и ат также пересекаются въ точке г', лежащей на одной вертикали съ точкой г пересечешя поясовъ, потому что отношеше разстоянш а : I — а точки г до опоръ А и В равно отношенш разстоянш до нихъ точки г, что непосредственно следуетъ изъ подобш треугольни-ковъ ааУ и bb'r'.

Сравнивая построена инфлюентной линш усилш раскоса въ разсмотренныхъ случаяхъ съ найденнымъ выше (стр. 102) по-строен!емъ ея для усилш поясовъ фермы, можно дать следующш общш способъ построенш инфлюентной линш усилш какъ для решетки, такъ и для поясовъ фермы: обозначивъ точку пере-сеченш одного пояса съ другимъ или раскосомъ, т. е. полюсъ момента и его разстояше до разсматриваемой части решетки или пояса черезъ г, откладываемъ на опорахъ а и b фермы ординаты аа и bb', равныя разстояшямъ полюса г до опоръ а и Ь, разделеннымъ на разстояше г, въ одну и ту же сторону отъ оси ab, если точка г находится между опорами фермы, или въ противоположныя стороны, если эта точка окажется вне пролета; проводимъ прямыя ab' и ba', пересекающшся въ точке г подъ полюсомъ г и находимъ на нихъ точки т и п подъ нагружаемыми узлами тип, ближайшими къ сечешю ss фермы. Тогда линш ат'пЬ будетъ искомбй инфлюентной лишей для даннаго пояса или раскоса. Знакъ же ординатъ инфлюентной лиши дол-женъ быть выбранъ въ зависимости отъ положенш раскоса, восходящаго или нисходящаго.

63. Четвертый случай. Точка встречи направленш поясовъ совпадаетъ съ опорой А (фиг. и8). Въ этомъ случае грузъ Р, приложенный направо отъ сечешя ss, вызываетъ въраскосе усшпе!)

равное нулю, такъ какъ моментъ его D . г относительно точки г опоры А, равенъ моменту реакцш опоры А и потому также долженъ быть равенъ нулю. Действительно, изъ общаго способа построешя инфлюентной лиши въ этомъ случае следуетъ, что при а = о ордината аа — а’.г обращается въ нуль, и прямая Ьа инфлюентной лиши D совпадаетъ съ осью Ьа.

Когда грузъ Р помещенъ въ левой части фермы, то изъ условш равновесш правой части относительно точки А находимъ,

I    х' х'

усшпе D~B — — Р — — и выражается ординатами прямой ab', определяемой ординатой на опоре В равной ~. Соединивъ

прямою крайнюю точку т прямой ab съ точкой п, получимъ инфлюентную линда ат'п уси-л\я D даннаго раскоса. Это же построеше получится и изъ общаго способа, дающаго въ частномъ случае при а — о д

для прямой ат ординату bb'~

I — а

или

что

s tv

А Г/

Р.

>\

Такимъ образомъ обьцш способъ построешя инфлюентной лиши относится ко всемъ

к-

1П

1-

-X

случаямъ поясовъ и решетки фермъ.

Фиг. 118.

Разсмотревъ такимъ образомъ все четыре случая инфлюентной линш усил1я въ частяхъ решетки фермы, мы видимъ, что для определенш инфлюентной лиши усилш раскоса или стойки въ какой-нибудь ферме достаточно найти только две ординаты тт и пп, соответствуюьщя нагруженнымъ узламъ фермы, ближай-шимъ къ сеченш ss, проведенному черезъ оба пояса и разсматри-ваемую часть решетки, такъ какъ две друпя ординаты на опо-рахъ фермы всегда равны нулю. Отсюда вытекаетъ обьцш и простой способъ определять инфлюентную линт какой-нибудь части решетки: нужно сперва приложить грузъ P—i въ узлгь т и вычислить усили данной части, затгьмъ перенести грузъ въ узелъ п и также найти величину усил1я, отложить равныя этимъ усил1ямъ ординаты тт' и пп, сообразно съ ихъ знаками, и точки а, т', п и b последовательно соединить прямыми.

64. Решетка слоЖныхъ Фермъ. Подобно усилшмъ поясовъ, инфлюентныя линш усилш въ частяхъ решетки сложной фермы получаются также сложеншмъ ординатъ усилш разсматриваемой части фермы, входящей въ составъ прост'кйшихъ фермъ, изъ ко-торыхъ состоитъ данная сложная ферма. Напр., для сложной фермы фиг. 119, на которой для ясности промежуточный стойки и шпренгели показаны пунктирными линшми, усшпе верхней половины раскоса Z)₃ слагается изъ усилш D\ раскоса простой фермы, въ которой шпрен-гельный сложный элементъ /7277'5 "вер-хняго пояса зам-к-ненъ простым^ и изъ усилш D₃" шпренгель-ной фермы

Фиг. 119.

W'

Г/

\!

1.-НЧ1В

•5 1Щ¹

—->1

---j---

II' III' s".

Инфлюент-

Л'\

1+9,

5 !d %Ч

ная линщ перваго усилш им"кетъ видъ ЫП'П'а, а инфлюентная линш того же элемента IT 5" въ шпренгель-ной ферме ПИТ5" при узловой нагрузке должна иметь видъ треугольника cnd; суммам

ординатъ об'кихъ линш даетъ для усилш части II'5" сложной фермы инфлюентную линш вида ЫП'^П'а, где 5'5=высотк треугольника cnd, при чемъ точка 5 этой инфлюентной лиши оказывается на продолженш прямой ЬПГ• Действительно, пока грузъ перемещается по правой части фермы относительно сеченш ss отъ опоры В до узла 5, усилш части 1Г$"

кото-

сложной фермы выражается уравнешемъ D = А -у— Р ,

рое представляетъ одну и ту же прямую, принадлежащую инфлюентной линш на длине отъ В до узла 5, что и доказываетъ указанную нами зависимость.

65. Вычислена hPy. Такъ какъ положительная и отрицательная части инфлюентныхъ линш усилШ въ поясахъ и решетке фермы состоятъ изъ прямыхъ линш числомъ обыкновенно не свыше трехъ, чаще же изъ двухъ прямыхъ (образующихъ съ осью абсциссъ треугольникъ), то для опред^ленш усилш въ ферме съ помощью инфлюентныхъ линш нами рекомендуется аналитически способъ, какъ более точный, скорый и не требующш уто-мительнаго изм^ренш ординатъ у подъ грузами для составленш суммы %Ру, которая представляетъ величину искомаго усилш, если пользоваться составленной нами таблицей моментовъ грузовъ поезда. Въ этомъ случай ординаты у въ сумме У1Ру выражаются черезъ разстоянш грузовъ, сумма ЕРу — черезъ ЕРх или моментъ грузовъ поезда.

Когда все ординаты инфлюент-

ной линш, соотв'Ьтствующш гру-

замъ поезда, принадлежатъ одной прямой, проходящей черезъ

опору, напр. Ьп, то каждая ордината у можетъ быть заменена

У    У

черезъ х . tg$ или х—- (фиг. 120), и такъ какъ множитель —— хп    хп

одинаковъ для ординатъ вскхъ грузовъ, то сумма EPz/ заменится выражешемъ ЕРх — М, где М означаетъ статическш моментъ грузовъ поезда относительно точки    b,

легко определяемый    съ

помощью таблицы    мо-

*»

:§bf

а,

-Г

•--х ----Х*----

Фиг. 120.

^ ментовъ.

Если ординаты у грузовъ въ сумме ЕРу принадлежатъ двумъ пря-мымъ Ъп и т'п, состав-ляющимъ съ осью абсциссъ углы ctt и а₂, a между собою, следовательно, уголъ а,-)-а, (фиг. I2i), то въ этомъ случае можно съ помощью той же таблицы вычислить ЕРг/, какъ разность члена tg(xJI>Px = tgoLiM₆, распространеннаго на все грузы поезда, и члена (tgai+ffO 2Px' =0£«,+*£«*) М,, относящагося только къ грузамъ,

Ш’

Фиг. 121.

находящимся слева точки п, и Мп представляетъ ихъ моментъ относительно последней. Этотъ результатъ получается изъ выра-женш ЪРу, по замене ординатъ прямой т'п ординатами продолжена прямой Ьп\ уменьшенными на отрезки, заключенные между обеими прямыми, равные (tga^tga^x, гД'Ь х означаетъ разстояше грузовъ отъ точки п. Следовательно,

2 Ру = tgaxM₆ - (tga₂ + tgaj Мп

ОС,

ex, \i

' Рос

CC

н\

ос

ос

ос₃

О-Ф-

Фиг. 122.

Продолжая следовать тому же пршму, мы можемъ вычислить съ помощью таблицы величину £Рг/ даже и въ томъ случае, когда инфлюентная лшпя состоитъ изъ трехъ прямыхъ hm¹, т'п' и nent', составляющихъ съ осью абсциссъ углы а₁₅ а₂ и а₃. Для этого нужно сперва въ сумме £Ру ординаты всехъ грузовъ отнести къ прямой hm и ея продолже-^ нш, выразивъ EPz/ черезъ tg<xlMb, за-темъ вычесть предыдущую поправку (tg*l + tga₂)Mm, относящуюся къ грузамъ поезда влево отъ точки т, и наконецъ вычесть еще поправку (tga₃—tg а, ~)Мп относительно грузовъ поезда, расположенныхъ слева отъ точки п. Поэтому имеемъ

^ Ру — tg*, Мь - (tgax + tga₂) Мт - (tga₃ - tgaj Мп, где Мь, Мт и Мп означаютъ статичесюе моменты левыхъ грузовъ поезда относительно точекъ Ъ, т и п, и обозначены условно

Фа, - У,п ■ Хш > Чаг = (Ут ~ У») : (Хш - Хп) И tga3 = (?/п - ! (*, — *,). Если же взять правильно углы прямыхъ т'п' и n‘t', дополнительные до 360°, какъ для производной У', то получимъ

Е Ру = Ч + (#«₂ ~ #«,) AfM + (tga3 - tgaj Мп.

Въ частныхъ случаяхъ, сообразно съ расположешемъ поезда, конечно, приходится несколько видоизменять пршмъ пользования таблицей при вычисленш усилш въ фермахъ.

Невыгоднейшее расположена поезда определяется по общему

способу (стр. 12), по перемене знака у производной ~jggg —

1T9

Rj tga.i-\-R₂ ^а₂ + • • ■ • графически, или лучше аналитически, заменяя tgaJf tgа₂,.... пропорщональными имъ числами, которыя обыкновеннно бываютъ целыми. Для уяснены пользованы таблицей при разысканш невыгодн'Ьйшаго положены поезда и вычислены усилш въ фермахъ приведенъ ниже прим'Ъръ.

15

1Г>

13

⁸1 \в

!___1=md =44.1м/_____

Примуъръ. Пусть дана сложная ферма пролетомъ / = md — = 14.7 = 98 м., состоящая изъ 14 равныхъ панелей по 7 м. Такъ какъ нижнш поясъ состоитъ изъ простыхъ прямыхъ элементовъ, то уси- i—£—23)4

Л1я въ немъ будутъ ,ц----------f--j—

Ргг?) РппС)

о ого

ono

_Q_Q_

Фиг. 123.

те же, какъ и въ простой ферме со средними панелями а по 14 м., очерченной сплошными ли-ными. Действительно, усилы въ 4-й или 5-й панеляхъ U₄ = U₅ определяются изъ условы равновеДя левой части фермы относительно узла 3':

М — иг 7г₃ = о, откуда U₃ = М₃ : 7г₃ = М₃ : 13.

Опорныя ординаты прямыхъ инфлюентной лиши М₃ равны 3d и ud, а для усилы U₃ оне равны ^d\h-i и i id:при чемъ тангенсы ихъ угловъ наклонены

tgai =

3d _з_ з    _ja

h. iĄd 14/г 14-13    * ²    14Л    ¹А 13

При невыгоднейшемъ расположенш поезда, показанномъ на чертеже, усшйе t/₃ найдемъ, разсматривая сперва действш правой половины поезда по прямой £3", затемъ левой части поезда по лин1и дз" съ поправкой для трехъ колесъ леваго паровоза, перешедшихъ за узелъ 3, и потомъ взявъ сумму обеихъ частей:

U,= U₄ = [(9274,25 + 237,5 • 3)    +

(1854,75 + 127,5 • ²)    ~ ¹¹⁶ ' +] + = ¹4¹,54тн.

Инфлюентная лины усилы 0₄—0s верхнлю пояса части 3'$' состоитъ изъ треугольника а$Ь, соответствующаго простой

R. tga. — R₂ tg<x₂ — R₃ łga₃ —

5 . 262,5-23 . 40-9 . 62,5 = - 170,

a въ случае положенш этого колеса непосредственно вправо отъ узла 4 та же производная будетъ

S ■ 277,5-23 .25-9 . 62,5 — -J-250.

Следовательно, совпадете разсматриваемаго колеса съ узломъ 4 даетъ тах. 0₄ { — тах. Оь).

Съ помощью таблицы моментовъ грузовъ поезда вычисляемъ усшие пояса, разделяя поездъ на две части съ паровозомъ въ каждой:

04=0s=fc«.2    Ą*3+^2^a*2-(#a.+fc«a)2^*'=

(7583,25+ 217,5 . 3,6) +    (2861,75 + 147,5 . i,₄) +

—— д_ рШ) 117 ] у = 178,659 тн.

I.S*S²3

⁶3

.4

63

А.

ферме, и треугольника 3 45, соответствующая поясу у у треугольной шпренгельной фермы 3' 4" 5', причемъ точки 5, 4 и b находятся на одной прямой (стран. 116).

1'

2’

Oj

15

15

13

12    |3    4    ;5

О О О ООО (ЬооЯ | 8поо

13 il !5

А.;

Jb

3’

ОС;

Фиг. 124.

Пом-Ьщая грузъ Р—1 въ узлахъ з, 4 и 5, найдемъ для усилш 0₄ ординаты въ этихъ узлахъ 3-9    3'5\

К ’

5 • ю 3'    .

Уз

14

У4

14

Откуда опред'Ьляемъ

«Г «Г

s • 9 3    .

У5="ч    *Г’

3' 5' .

3' 5

йГи,№ = 9- Г’

причемъ знаки tgc/.₂ и tgai им^ютъ обратные знаку tgar

Разсматривая положеше поезда, показанное на фигуре 124, и предполагая, что 4-ое колесо л'Ьваго паровоза находится непосредственно влево отъ узла 4, для производной отъ усилш пояса находимъ пропорщональное ей значеше:

/А 5

;    = ²з •

°,4“(503,o+8s . о,₉)-(

12 I

66. ГраФическШ способъ для решетки Фермъ. Усилш отъ грузовъ поезда въ частяхъ решетки простыхъ балочныхъ фермъ, соответственно разсмотреннымъ i и 2 случаямъ положешя точки г, могутъ быть определены графически безъ помощи инфлюент-ныхъ линш, который въ этихъ случаяхъ, какъ известно, состоятъ изъ двухъ частей въ виде треугольниковъ противоположныхъ знаковъ. При такой форме инфлюентной лиши невыгоднейшее положеше поезда для правой части ея определяется условюмъ, чтобы отношеше суммы грузовъ, стоящихъ влево отъ праваго узла къ сумме грузовъ, находящихся вправо отъ того же узла, было равно отношенш леваго отрезка инфлюентной лиши (отъ нулевой точки а до праваго узла) къ правому отрезку (отъ этого узла до правой опоры фермы). Такъ какъ первый отрезокъ со-ставляетъ лишь часть панели, а второй заключаетъ несколько такихъ панелей, то невыгоднейшее положеше поезда обыкновенно соответствуетъ или основному положент поезда, когда правое колесо паровоза совпадаетъ съ правымъ узломъ, или когда съ этимъ узломъ совпадаетъ второе колесо и въ редкихъ случаяхъ— третье колесо (сравни стр. 34). Поэтому наибольшее усилю въ какой-нибудь части фермы отъ поезда можно найти, подобно тому, какъ поступаютъ при определеши наибольшей поперечной силы Q отъ поезда, т. е. определить усилю при основномъ положены поезда, затемъ при второмъ и т. д. и, сра-внивъ найденныя усилш, взять изъ нихъ наибольшее. Пусть АВ какая-нибудь ферма, A'B' — много-угольникъ давленш опоры А, а 4 и 6 — нагружаемые д узлы (нагрузка поверху), ближайшю къ сеченпо ss, проведенному черезъ разсматриваемый раскосъз 6. При основномъ положены поезда въ левой части фермы, отсеченной разрезомъ ss, находится одна внешняя сила — реакщя опоры А, которой величина изображается ординатой 6 6'. Разложивъ ее по изве*

4j0s

'5

5 i ;и₆б

О г,

6'

Ug 6

Фиг. 125.

стному способу на три направлены Os, D₆w U₆, найдемъ величину усилы D₆. (Для раскоса Z)₅ надо разложить ту же силу на три направлена Os, Ds и UĄ).

Когда съ правымъ узломъ совпадетъ не первое, а второе колесо паровоза, то въ левой части фермы будетъ две вн^шнш силы — реакщи опоры А и нагрузка Р на левой узелъ 4 отъ

перваго колеса паровоза, передаваемая по закону рычага. Въ этомъ случай надо сперва определить усшне рас-р' коса Б₆раз-ложешемъ первой силы А на три направлены Os, D₆ и U₆

по предыдущему способу, а зат^мъ разложить силу Р', приложенную въ узле 4 на те же три направлены, и последнее усшне вычесть изъ перваго.

При совпаденш съ правымъ узломъ третъяю колеса паровоза определяется давлеше Р' на левый узелъ 4, передаваемое отъ двухъ первыхъ колесъ паровоза и за темъ усшне въ раскосе по предыдущему способу.

AL

4 Ог,

'5

Т>

Дфе i у \j и4 5~1Т; в

j ⁶!

JD

tri

Р;

*~й~в

Фиг. 126.

Решетка уравновешенныхъ фермъ.

07. Ме;кдуопорная часть. Определимъ сперва инфлюент-ную лишю усилы какого-нибудь раскоса, принадлежащаго части фермы между опорами А и В для нагрузки поверху. Проведя черезъ разсматриваемый раскосъ D сечеше ss, мы изъ условы равновесы левой отсеченной фермы St Ат, когда грузъ Р= г приложенъ вправо отъ сечены ss, заключаемъ, что моментъ Dr усилы раскоса D равняется моменту Аа опорной реакщи А относительно той же точки г. Следовательно, усшне раскоса D изменяется пропорщо-нально реакщи опоры А, т. е. по некоторой прямой nbs ₂ отъ узла п до шарнира 5,, а далее по замыкающей прямой s ₂е, со-

отв'Ьтствующей передаче действы груза на ферму фф черезъ узлы S₂ и Е. Но часть n'b искомой прямой выражаетъ усшне раскоса при д-Мствш груза Р= i между опорой В и узломъ п, когда сугцествоваше консолей не влыетъ на реакцш опоръ А и Б и усилы въ ферм-Ь. Поэтому прямую п' b мы можемъ D

711

•F

!тъ’

Г|

s₂

аЩ/п

7Н

Si

Фиг. 127.

построить ПО j предыдущему способу, какъ j инфлюентную ф-линш усилы pacKOcaDnpo-

стой балочной фермы А В (безъ консолей) и, продолживъ ее до пересечены s₂ съ вертикалью, проведенной черезъ шарниръ S₂, соединить прямой s ₂е конецъ крайней ординаты s₂s' ₂ прямой n'bs'2 съ точкой е, соответствующей опоре Е на оси абсциссъ.

Точно такъ же при положеши груза Р= i влево отъ сечены ss, между узломъ т и шарниромъ ф, условш равновесы правой части фермы относительно точки г показываешь намъ, что усшпе раскоса D изменяется пропорцюнально моменту В. (п + /) или опорной реакцш В, т. е. по некоторой прямой m'as\. Такъ какъ часть ея ат можетъ быть нами построена какъ инфлюентная лины усилы того же раскоса D простой балочной фермы А В, то продолживъ затемъ эту прямую до встрТчи съ направлешемъ реакцш шарнира ф въ точке s\ и проводя замыкающую прямую s\d, мы получимъ и вторую часть искомой инфлюентной линш.

Такимъ образомъ, инфлюентная лины усилы раскоса и вообще какой нибудь части решетки уравновешенной фермы получится, если мы по одному изъ предыдущихъ способовъ построимъ инфлюентную линш am'n'b усилы той же части въ простой балочной ферме А В (безъ консолей), крайны стороны ат и nb продолжимъ до пересечены съ направлеными реакцш шарнировъ ф и 5, въ точкахъ i', и s₂ и соединимъ последны съ точками d и е прямыми ds\ и es ₇.

Такое соотношеше между инфлюентными лиными обеихъ фермъ уравновешенной и простой, очевидно, остается справед-

124

ливымъ независимо отъ положены точки г встречи поясовъ относительно опоръ А и В фермы. Поэтому для вс^хъ трехъ остальныхъ случаевъ положены точки г также могутъ быть построены инфлюентныя линш усилш въ решетке уравнов^Ьшен-

ТП>II

S,

ЛРууП

Ц-г-туттгГГГТ'^Г^/''''^    '    ¹

S,

Ёт

8, а

а„

1-а

-Д* ! . "Jb

a’L'

Фиг 128.

ныхъ фермъ. Наприм'Ьръ, для третьяго случая инфлюентная линш усилш раскоса D им^етъ видъ, представленный на фигура 128.

68. Консоль. Здесь можетъ быть два случая: i) когда точка г встречи направлены поясовъ находится между с£чешемъ ss, про-веденнымъ черезъ данный раскосъ, и ближайшимъ шарниромъ S, фермы, и 2) когда эта точка оказывается вне ихъ.

Въ первомъ случай всяшй грузъ, приложенный къ правой части фермы относительно сечены 5.У, начиная съ узла п, не вы-зываетъ въ левой части фермы никакой внешней силы, а потому изъ условы равновесы этой части фермы слНЬдуетъ, что при

этомъ усилш D въ раскосе будетъ равно нулю. Когда же грузъ Р— I будетъ при-ложенъ къ левой части фермы 5, m на разстоянш х отъ точки г, которое будемъ считать положительнымъ вправо отъ нея и отрица-тельнымъ влево отъ г, то изъ условы равновесы ле* вой части фермы относительно точки г слфдуетъ, что D . г +

—, т. е. усилш D изменяется по некоторой прямой m's',, проходящей черезъ точку г (при х = о), и имеетъ положительное значенш при положены груза Р= г

г Ф У in Дд

I \S ;

I* -rx->lp i ; ; ’ LJlfeJnl

/V тп п

1а_

Фиг. 129.

Рх = о, или D = — Р — =.

⁷    г

между S₁ и узломъ т и отрицательное для части фермы отъ г до узла т; при чемъ ея ордината ad на опоре А (при x — d)

равна Между узлами т и и, а равно между опорой D и шар-

ниромъ 5,, напряжете изменяется по прямымъ т'п и ds\. Такими образомъ получается инфлюентная линш усилш раскоса D консоли въ виде ds\m'n, состоящая изъ двухъ частей противо-положныхъ знаковъ.

Для восходящаго раскоса mt получается подобная же инфлюентная линш съ обратными знаками, которая определяется

ординатой ad —--- продолженш прямой rm'.

Во второмъ случае, когда точка г лежитъ вне консоли ASt (фиг. 130), всякш грузъ, приложенный къ правой части, начиная отъ узла w, не вызываетъ никакого усилш въ раскосе D, а всякш грузъ ^

Р—1, помещенный между шарниромъ у 5, и узломъ т, вызываетъ въ данномъ | раскосе растягивающее усшпе D =    |

ту

о I в

-а

фуг

а|

= Р ~ — ~, выражаемое ординатами части S\m прямой г а', определяемой ея ординатой ad— ~. Отъ опоры D до

шарнира 5, усилш D должно изменяться но прямой dS\. Такимъ образомъ во второмъ случае инфлюентная линш D состоитъ изъ одной части съ положительнымъ знакомъ для восходящаго и отрипательнымъ знакомъ для нисходящаго раскоса.

Изъ всего изложеннаго можно видеть, что какъ для уравно-вешенныхъ балочныхъ фермъ, такъ и для простыхъ фермъ инфлюентная линш усилш раскоса будетъ вполне определена, если мы найдемъ значенш усилш D для двухъ положешй груза Р= I. въ нагружаемыхъ узлахъ т и и, ближайшихъ къ сеченш ss.

m u Фиг. 130.

Г|

Решетка арочныхъ фермъ.

69. При действш вертикальной нагрузки на арку съ 3-мя шарнирами, внешнш силы ея, какъ известно, отличаются отъ внешнихъ силъ такой же простой балки только присутствшмъ

распора Н арки. Поэтому инфлюентную линю усилш какой-нибудь части арки можно получить непосредственно изъ ин-

флюентной лиши простой балочной фермы *), вводя въ нее

Mos

поправку на влшше распора Н. Такъ какъ Н—

, то влшше распора оказывается пропоршональнымъ ординатамъ лиши момента Mos простой балки, которая поэтому должна представлять собою также треугольникъ съ вершиной подъ среднимъ шарниромъ S арки. Сложеше ея ординатъ съ ординатами инфлюентной лиши усилш арки, разсматриваемой какъ простая балочная ферма, и дастъ инфлюентную линда усилш разсматриваемой части арки. Эта последняя линш, очевидно, должна состоять изъ прямо-линейныхъ частей, и при томъ въ числе не свыше 4.

Для примера возьмемъ симметричную арку съ верхнимъ пря-мымъ поясомъ, представленную на фиг. 131, и опред'Ьлимъ инфлюентную линда для нисходящаго раскоса D.

Усилш D находимъ по общему способу, разс£кая арку с'Ьче-шемъ tt на две части и приравнивая моментъ усилш раскоса моменту

М вс'Ьхъ вн'Ьшнихъ силъ отсеченной части арки относительно точки г пересеченш направленш поясовъ, т. е. изъ уравненш.

Dr— М = М₀ — Ну,

nii u_г.

(а)

АЩА-Х t-L—-i—J4L.

'AH- да, _>д!—фЬ а _ _

или

---X

Я ¹ TTL П Г! О_'S

W'    ГТ |

444

пп

(Ъ)

ar"

;1а

г ; ,Уп'

S'

(е)

Ъ

где М₀ означаетъ моментъ верти-кальныхъ внешнихъ -силъ арки, равный моменту силъ простой балки

а-

Фиг. 131.

относительно той же точки г, а у — ординату последней относительно

АВ.

линш опорныхъ шарнировъ Отсюда видно, что для получешя

инфлюентной лиши усилш D въ арке нужно вычесть изъ орди-

т Ну =M₀.Ą

г    ⁰⁵ rf

натъ раскоса D балочной фермы ординаты лиши

*) Въ предположена, разумеется, отсутствш въ ней средняго шарнира S.

ah l

t. e. ординаты треугольника высотоюумноженныя на от-ношеше —

— следовательно, нужно вычесть ординаты треугольника, котораго высота    Сообразно

въ правой или л^вой половине арки или вне последней, сле-дуетъ разсмотреть отдельно каждый изъ трехъ случаевъ.

70. Точка г въ левой половине арки. Въ этомъ случае (фиг. I з i, 132 и 133) инфлюентная линш усилш раскоса!) простой балки имеетъ видъ ат' п'Ь (стр. 113), при чемъ ордината ея

rf ’

съ положен1емъ точки г

тт подъ левымъ узломъ т арки равна ¹ ^ ° . ~. Смотря по тому,

будетъ ли эта ордината больше, равна или меньше ординаты ух    ■ п ₇

лиши as о вл1ян1я распора арки, получается

тт

4 rf' XloJ 2fr

одинъ изъ трехъ видовъ I, II или III инфлюентной лиши усилш D арки (фиг. тз1, 132 и 133).

Первому типу I соответствуем положеше точки г въ левомъ угле ASA', образуемомъ направленшми хоръ арки (фиг. 131),

Л'■

Ъ’

А"

У; jf

-I-i-----f-------—^

La__^j«_ j___la-----*;

(а)

(а)

Lii

ja_ri

.....r't'a"*Tft......т-я— j®

Чп:п. O: t -S_ ,Ъ

Зтфлг"

Ib)

jta;

(ty

l-a

ką

Sir

:a    e (C\

s    b (ч

.j-m

ar

•b'

Sc>

Фиг. 132.

aT

чГ

III— положеше ихъ

Фиг. 133.

третьему типу точки г въ верхнемъ угле (фиг. 133) и второму типу II— положеше ея на хорде BSA

(фиг. 132).

Действительно, точка г предположена въ арки, и можетъ находиться или въ угле ASA', или въ угле A’SB'.

а’г

левой половине

128

(l — a) x    vx

или -—г— > -LT

Ir 2 fr

и показываетъ намъ, что

уголъ гВА<^ угла SBA, или что точка г лежитъ внутри посл^д-няго; следовательно, она должна находиться въ угле ASA'. Во второмъ случае, очевидно, точка г лежитъ на стороне BSA', а въ третьемъ случае она лежитъ вне угла A'SB', следовательно, въ угле A'SB'.

Кроме того, во всехъ трехъ случаяхъ изъ условш, что точка г предположена въ левой половине арки {а < ~ /), следуетъ, что

уголъ г А В > угла SAB или    >

При первомъ типе условш тт' > тт" быть представлено въ виде у^~а < ггу

можетъ

, т. е. ордината ss' лиши D простой балки меньше ординаты ss" для всехъ трехъ случаевъ, или что ордината s"s' усил1я D арки отрицательна въ типахъ I, II и III.

71. Точка г въ правой половине арки. Въ этомъ случае (фиг. 134, 135 и 136) инфлюентная линш усилш D простой балочной фермы имеетъ видъ am' n'b (фиг. 134^, 135 и 136I), при чемъ

откуда

'B'

Я'

\г

ордината ss' — —■. —-. Въ зависимо-

(a)    сти отъ того, будетъ ли эта орди-j ната меньше, равна или более ординаты ss ", представляющей влшнш

(b)    о 1ц распора арки и равной получаемъ

одинъ изъ трехъ видовъ 171, IV и V инфлюентной лиши D. Этимъ типамъ соответствуют положенш точки г въ верхнемъ угле A' SB' (фиг. 134), на хорде AB' (фиг. 135) и въ правомъ угле B'SB (фиг. 136), въ чемъ можно легко убедиться. Действительно, въ первомъ

случае условш ss' <, ss" или-^<-^~, представленное въ виде

, показываетъ намъ, что уголъ г ДБ > угла SAB, т. е., что

точка г заключается вне последняго угла, следовательно, внутри угла A' SB'. Во второмъ случае точка г лежитъ на стороне А В’

А,

г.И

_ZGa.

wMff

; l-~Ći

.Л

т\

,>п

Фиг. 134.

Ib

I (С)

Аг

и въ третьемъ случай — внутри угла В'АВ, следовательно въ угле хордъ B'SB.

в'

т!

г/

;У

(а)

<---

__эс__

-*i

ib

Ч S-’

il-a

--'Гм¹

a    TTLi____|-----i

n —’-гтут//я^?к •'H Oz, a    «чррг

\~r

(b)

ib

40U-

ins¹ jo ГГ

......*

МЛ

(а)

J-£l7

3b

i la

(Ъ)

ib

CCJ

'Wo r

(0

Фиг. 136.

ai,-'

Фвг. 135.

а.,-’

72. Точка г вне пролета арки. Въ данною» случае (фиг. 137, 138 и 139) инфлюентная линш cimrib раскоса D простой ба-

B'

a.

b+l

а.

ił

i    j IsP

:n    Ltesa

ijs

Фиг. 137.

(а)

(а)

_Х_

ЬуГ ;г

Тр7

ГР

-i................. ';r $

Ъ; ,-Ут'

fc) •:

Cb)|¥

II

js'"'

ib

'(С

ib jr.

b±i

Фиг. 138.

лочной фермы AB состоитъ изъ двухъ частей (фиг. 137#, 138& и 13 yb) противоположнаго знака—левой отрицательной и правой

Проскуряковъ,—Строительная механика, ч. II.

¹3°

положительной части, при чемъ ордината ss' посредине про-1+Ь

. Смотря по тому, будетъ ли эта ордината меньше, равна или больше ординаты S5"~ ^fr-> мы находимъ три типа ин-

лета равна

флюентныхъ лишй III, IV и V для усилш раскоса D. Имъ соответствуют положенш точки г въ верхнемъ угле ASB' (фиг. 137), на хорде ASB' (фиг. 138) и въ правомъ угле B'SB (фиг. 139). Действительно, въ первомъ случае усло-I -f- Ъ

A'

A\

SLlr

błl

ТП, i Tl

TtSf

f^j⁸ j°

t>’

'B'

(a)

"1

-------Дг

«f

Jr

eie ss’<ss", или

ly

4 rf

, можетъ

быть представлено въ виде

,,-г

1-\-Ь

и показываетъ намъ, что уголъ

гД5>угла SAB, или что точка г лежитъ въ верхнемъ угле A'SBво второмъ случае эта точка находится на хорде ASB' и въ третьемъ случае она должна быть въ правомъ угле В'АВ.

Такимъ образомъ приходимъ къ заключенш, что для усилш раскоса D и вообще решетки арочной фермы могутъ быть 5 типовъ инфлюентныхъ лишй, определяемыхъ положешемъ точки г относительно хордъ арки. Для удержашя ихъ въ памяти следуетъ заметить следующая отношенш. Типъ III со-стоитъ изъ трехъ частей, средней положительной и крайнихъ отрицательныхъ и соответствуешь положенш точки г въ верхнемъ угле хордъ A'SB’; типы I и V изъ двухъ частей получаются при положеншхъ точки г въ левомъ угле хордъ съ левой положительной частью или въ правомъ угле съ правой положительной частью; типы II и IV съ нулевой частью левой или правой соответствуют положеншмъ точки г на продол-женшхъ хордъ влево или вправо отъ шарнира S арки, соответственно съ левой или правой положительной частью и другой отрицательной.

Нулевая точка о инфлюентной лиши соответствуем зна-чешю момента М= о въ точке г арки и определяется точно

ае-

а.

Ъ+1

а*/'

Шк rn Is d.-y_ib Ir

(с)

Фиг. 139.

также пересЬчешемъ прямой Ar (соединяющей шарниръ А съ точкой г) съ продолжешемъ хорды 55 (стр. 126); если эта точка пересеченш о окажется не на продолженш, а на самой хорде 55, то действительной нулевой точки о инфлюентной лиши не имеется, но ея применеше для построенш инфлюентной лиши М или D остается безъ измененш (см. стр. 135)- Изъ разсмотренш чертежей инфлюентныхъ линш D непосредственно выводимъ следующш общш способъ ихъ построенш: определивъ точки г пересеченш поясовъ и точку о пересеченш прямыхъ Аг съ 55, находимъ на оси абсциссъ ab точку о, откладываемъ на

- ¹)и,соединивъ точки о и а'

левой опоре ординату аа' = — или

получаемъ главную прямую aos, которой точки s', г и п подъ шар-ниромъ 5, полюсомъ г и узломъ п арки определяютъ остальныя части инфлюентной линш sb, тп и ат!, где точка т подъ узломъ т находится на прямой аг'.

73. Второй примерь. Разсмотримъ еще арочную ферму вида, показаннаго на фиг. 140^, которая въ обратномъ виде (фиг. 140а) находитъ себе применеше въ висячихъ мостахъ, при чемъ усилш въ нихъ должны быть равны усилшмъ прямой арочной фермы и иметь противоположные знаки.

Когда какой-нибудь грузъ Р будетъ приложенъ въ правой половине фермы, то въ левой отсеченной части фермы будетъ иметься только одна внешняя сила—реакшя опоры А, совпадающая по направленда съ хордой AS или нижнимъ поясомъ фермы. Очевидно, при этомъ усилш въ частяхъ решетки и верх-няго пояса левой половины фермы будутъ равны нулю, а усшпе нижняго пояса равно реакцш опоры А.

Если грузъ Р будетъ помещенъ въ разсматриваемой левой половине арки, то действш на нее въ точке 5 правой половины 55 арки представится реакшей правой опоры 5, направленной по хорде 55. Разложивъ эту силу въ точке 5 на две составляющая вертикальную 5' и другую 5 по направлешю хорды AS, легко заметить, что составляющая 5' по величине равна реакцш опоры 5 полуфермы AS, разсматриваемой отдельно, какъ простая балка на двухъ опорахъ А и 5, потому что ея мо-

>) Вообще гориз. разстоянт точки г до л'Ьвой опоры, разделенному на г.

ментъ В. V₂ I относительно опоры А равенъ моменту груза Р. Поэтому л'Ъвую половину арки AS мы можемъ разсчитывать какъ простую балочную ферму, подверженную д-Ъйствшмъ груза Р и двухъ равныхъ силъ S, взаимно противоположныхъ и на-

правленныхъ по прямой AS.

Nv

jS

tn

t T:v

j

ч -'B

\£id

'p

i: if

Cc)

sy

AB

!S SS=2Sna j

]b

(f) I

s¹

Этотъ выводъ впрочемъ непосредственно вытекаетъ изъ раз-смотр^нш арки какъ простой треугольной фермы ASB съ двумя сложными элементами AS и SB, въ которой неподвижные шарниры А и В арки заменены подвижными съ дополнительной эле-ментомъ (затяжкой) АВ. Въ такой (Ь) ферм-fe сложный элементъ AS рабо-таетъ и какъ простая балка, пере-В дающая местную нагрузку Рна узлы А и S треугольной фермы ASB, и какъ простой прямой элементъ треугольной фермы ASB отъ узловой нагрузки, усилш котораго S совпа-даетъ съ направлешемъ AS самого (d)i элемента. Такъ какъ двНЬ равныя и противоположный силы S сжимаютъ нижнш поясъ фермы AS и не вызываюсь никакихъ напряженш въ -jb частяхъ другого пояса и ея р'Ьшетк'Ь, то усилш послфднихъ для арки должны быть т-fc же, какъ и для простой балочной ферм'Ъ AS, по-коющейся на двухъ опорахъ А и S.

Фиг. 140.

Такимъ образомъ инфлюентныя лиши усилш въ р-Ъшетк^ и верх-немъ пояс£ части AS разсматриваемой арочной фермы могутъ быть построены какъ для простой балочной фермы AS (фиг. 140Г и е), а для нижняго пояса къ инфлюентной лиши anis (фиг. 140/) пояса простой балки AS нужно присоединить инфлю-ентную линт усилш прямого элемента AS треугольной фермы

ASB, ординаты которой должны быть пропорцюнальны нагрузке узла S и, следовательно, представляются ординатами некотораго треугольника asb съ вершиной s' подъ узломъ S. Действительно, положешямъ груза Р— I въ двухъ остальныхъ узлахъ Avi В треугольной фермы соответствуют усилш въ ферме равныя нулю, между узлами же ординаты инфлюентнойлиши должны изменяться прямолинейно. Положенда груза Р= i въ узле S соответствуетъ усилш равное составляющей силы Р, разложенной на направленш

V -Р+р

SA и SB, т. е.

R : Sn а

²/

Sn а —

Ач

74. ОбшДй случай. Примененный нами способъ разсмотрешя арки, какъ треугольной балочной фермы ASB съ двумя сложными элементами AS и SB

<■

■ -а

АВ,

><\ś

томъ

(а)

Чч-

.-М"

J-

и дополнительнымъ элемен-заменяющимъ неподвижность опорныхъ шарнировъ арки, даетъ намъ возможность изследовать такимъ же образомъ общш случай арочной фермы.

(1)

t"

а ^т^77ТЙЩШк jn

V2l+b'

.....

ml-

л    .......е.....s

аГ ; Ч¹ \ { ц

S0

аа'^1

, ,    Линш D=-S-^    ; (2)

S jŁs------

аГ

(с)

А,

Фиг. 141.

Пусть ASB (фиг. 141) представляетъ какую ни-будь арочную ферму съ 3-мя шарнирами, для которой требуется определить инфлюентную лишю усилш раскоса D. Ея ординаты получатся сложешемъ орди-натъ двухъ инфлюентныхъ линш раскоса D балочной фермы AS, покоющейся на двухъ опорахъ А и S и подверженной действшмъ: i) подвижного груза Р= I, и 2) двухъ равныхъ прямо-противоположныхъ силъ S, приложенныхъ въ точкахъ А и S по прямой AS и равныхъ усилш прямого элемента AS треугольной балочной фермы ASB. Вели-

*34

чину этого усилш 5найдемъпо общему способу, разсЬкая ферму разр'Ьзомъ U и приравнявъ нулю моментъ относительно точки г силъ S и D, приложенныхъ къ части Ат фермы, Dr-\-Ss=о или

Ps

будетъ въ свою очередь про-

2 Sna’

порщональна величине давленш Ps, передаваемаго на узелъ S отъ груза Р— i и представляемаго ординатами треугольника съ вершиной подъ узломъ S и высотою равной I. Следовательно, и усшйе раскоса D отъ действш двухъ силъ S, пролорцюнальныхъ Ps должно выражаться также ординатами треугольника съ вершиною

D=—S-- . Отсюда видно, что усшйе раскоса D изменяется пропорщонально величине силы S, которая, какъ составляющая нагрузки Ps узла S и равная

s л/ ,    /²

TrV l+Tr'

подъ узломъ S и высотой

2 Sna

Легко заметить, что отрицательный знакъ усилш даннаго раскоса D отъ действш двухъ силъ S не изменяется, если точка г, оставаясь справа отъ шарнира А, займетъ положеше ниже хорды BS, т. е. когда она будетъ находиться въ нижнемъ угле хордъ арки AS и 55; и наоборотъ, знакъ этого усилш будетъ положительнымъ, если г станетъ выше хорды BS справа или слева шарнира А.

Следовательно, знакъ усилш D даннаго (восходящаго) раскоса отъ влшнш силъ S будетъ отрицательнымъ для положенш точки г въ правомъ и нижнемъ углахъ хордъ арки, и положительнымъ при положеншхъ ея въ левомъ и верхнемъ углахъ, когда точка г въ первомъ случае оказывается подъ хордой AS и во второмъ случае надъ последней. Само собою разумеется, что разсма-триваемое усшйе будетъ иметь нулевыя значенш, если точка г окажется на прямой AS (тогда s—о); въ этомъ случае инфлю-ентная линш усилш D въ арке совпадаетъ съ лишей усилш D простой балочной фермы AS.

Такимъ образомъ, соединяя ординаты инфлюентныхъ линш усилш D раскоса балочной фермы AS, соответствующихъ дей-ствшмъ на нее груза Р= I въ одномъ случае и двухъ силъ S въ другомъ случае, мы всегда можемъ найти инфлюентную лишю усилш D для арки; въ общемъ случае она будетъ состоять изъ отрезковъ 4 прямыхъ, такъ какъ сумма ординатъ двухъ прямыхъ у₁=А₁х-\~В₁ и у₂—А₂х-\-В₂ представляетъ также ординату пря-

£35

исполнено или съ помощью

мой yI=(^A₁-j-A₂')x-\~Bl-'--B₂. Построена инфлюентной лиши D въ общемъ случай можетъ быть нулевой точки о, х) какъ указано было для арочной фермы съ верх-нимъ прямымъ поясомъ (стр. 131), или по ординатамъ вершинъ tri, ri и s' инфлюентной лиши D, соотвФтствующимъ положе-ншмъ груза Р~ I въ узлахъ т, п и S, если точка г получается внф предФловъ чертежа.

Въ случай уравновгьгиенныхъ арокъ инфлюентныя лиши учшйя въ рФшеткФ фермъ получаются продолжешемъ крайнихъ прямыхъ частей инфлюентной лиши простой арки до концовъ консолей и соединешемъ ихъ крайнихъ точекъ съ крайними опорами под-вФсныхъ частей консольной фермы.

!) Въ случа-fc, когда нулевая точка О будетъ мнимая, т. е., окажется между точками В и 5 (фиг. 143, 3), ея значете для построенш инфлюентной линш сохраняется безъ измйнешя (стр. 131).

Въ самомъ д-Ьлй, пусть (фиг. 141 а) am'n's — инфлюентная линш раскоса D простой балки AS отъ груза Р= i и as'b — линш ея раскоса D отъ влшнш усилш S, гд-fe ss'=s/2rSna. Сумму об'Ь-ихъ линш amns'b получимъ, проведя прямую a's' до ея пересЬченш съ прямыми ab, nn' и rr' въ точкахъ о, п и г и прямую аг, определяющую точку т въ пересЬчети съ прямой тттг, такъ такъ sis₂=ss', mm' — тот^ и nn' —поп±.

Нужно теперь доказать, что точка о лежитъ на одной вертикальной прямой Оо съ точкой О пересЬчешя Аг съ BS.

Для этого проведемъ параллельно АВ прямую геа\, пересекающую медшну AS" въ точке t, такъ что rt—te—^l^re—

=sl2sna. Тогда изъ пропорцюнальности отрезковъ между прямыми Ааг, At и Аг находимъ OS"'.Oa^—rtira^ — — s/2Sna:a—s/2rSnz:alr=ss':aal=os:oa, или OS": Оа₂ — os:оа. След, прямая Оо || 55 и Аа\ или точки О и о лежатъ на одной вертикальной прямой.

аИ-

“510

QV*"

-z-'-'-

/ч

''Г

Bi#»

, ; Ь......Д

:S' О

i.о ; г;;. рц

т\

in.

у "а.

Фиг. 141а.

A,

XII. Частные случаи Фермъ.

1. Параболическш фермы.

75. Усшпе въ раскосе D какой-нибудь фермы АВ (ф. 142а, Ь, с) можно найти и изъ другого условш равнов^сш левой отсеченной части фермы,—что сумма проекцш вс^хъ ея силъ на горизонтальную ось должна быть равна нулю. Внешнш силы разсматри-

ваемой части фермы, какъ вертикальный, въ это уравнеше не войдутъ, и потому, обозначая знакомъ -f- растягивающее усшпе D раскоса, будемъ иметь: U . Сф + D . Cjcp — О . Csol — о.

Но при показанномъ на чертеже нисходящемъ раскосе горизонтальныя проекцш усилш гюясовъ равны:

О.Сгос = ^"и U. =

NSP

hn

m (j m

(а)

та

(b)

b,n 'O

Ьц

,B

(C)

откуда

Ги<

Фиг. 142.

Mn

hm

m

При восходящемъ же (обратномъ) раскосе

D . Csv

■ • - OS)

Мт

О . Csa = и U.Cs$ =

К

d    Мт М.

D . Cjcc' = D'

, и потому

— — D . Cs ср — — D —

или

D' = -D

s'

Отсюда заключаемъ, что при любой нагрузкгь горизонтальныя проекцш усил1й прямою и обратнаю раскосовъ какой-нибудь фермы (со стойками) равны и противоположны по знаку и выражаются

М

разностью отношенгй для нижняго и верхняго узловъ фермы, къ

которымъ примыкаетъ разсматриваемый раскосъ, или что самыя усилш пропорцюнальны длине раскосовъ s и s' и противоположны знаку.

76. Въ параболической ферме одинъ или оба пояса пред-ставляютъ собой многоугольники, вписанные въ параболическш

сегментъ, и потому высота h стоекъ, какъ ординатъ параболы, выражается уравнешемъ

_ АН

р *х Q •*) >

где Н означаетъ наибольшую ординату параболическаго сегмента

- . Следовательно, въ параболическихъ фермахъ со стойками высоты последнихъ изменяются пропорщонально произве-денш разстоянш ихъ х и /—х до опоръ А я В фермы.

Одно изъ свойствъ параболической фермы со стойками

для х=

заключается въ

Ьх

томъ, что при сплошной равномерной нагрузке (прямой или узловой) всей фермы Г* % юризонталъныя проекцш всехъ усилгй поясовъ равны между собою, а усилгя раскосовъ (прямыхъ или обратныхъ) равны нулю.

Действительно для какого-нибудь узла фермы на разстоянш

рх (1 — х)

-- и

----1-Х

тгН

Фиг. 143.

х отъ опоры А величина изгибающаго момента М = соответствующая высота стойки

h^fxQ-x),

поэтому отношеше

М __ рР АГ-&Я

выражаетъ, что горизонтальная проекцш усилш верхняго и нижняго поясовъ фермы есть величина постоянная.

Такъ какъ горизонтальная проекцш усилш какого-либо раскоса выражается разностью значешй ~ для двухъ узловъ фермы,

(4°)

совпадающихъ съ концами разсматриваемаго раскоса, то проекцш его, а следовательно и величина усилш каждаго раскоса равна нулю.

Известно, что при равномерной нагрузке для тах. D нужно нагрузить одну часть фермы, а для min.D остальную часть ея, поэтому max.D — —min.D, такъ какъ при нагрузке обеихъ частей фермы усшпе раскоса равно

тах D + min D — о.

Между прочимъ мы можемъ здесь определить и величину этого тах. D. Выше было найдено, что D . Csy =

Мт

К

следовательно, ординаты инфлюентной лиши D . Csy выражаются разностью ординатъ моментовъ Мп и Мт, разделенныхъ соот-

в'Ьтственно на hn и hm. Но инфлюентная линш Мп представляетъ собой, какъ известно, треугольникъ съ вершиной подъ узломъ п , где х и / — х — разстоянш узла п до

х (1 — х)

и высотой =

опоръ А и В (см. стр. 29 фиг. 144); поэтому инфлюентная линш Мп : hn представляетъ также треугольникъ апЬ съ

x(l-x):fx(l-x)

— тт: точно также и линш ^

4 Н    m m

представляется также треугольни-

комъ amb съ высотой mm —.

4 н.

Следовательно, инфлюентная линш D . Gcp, какъ разность А-овъ апЬ и ь ° amb, представится въ виде двухъ заштрихованныхъ треугольниковъ Ьпо и amo, причемъ max . DCsy = к. ш — k. S.bon = к. kboc, если пс || mb и bc = mn — d. Такъ какъ треугольникъ onb имеетъ общую

/. пп =

AKh-

а'

высотой пп —

Г.а

hi

tf

ТТЛ ГГ

Фиг. 144.

исЦтЪ

вершину b съ треугольникомъ апЬ, имеющимъ площадь — IIP    .    ².

= — •—^ — g^:, и отношеше площадей равно отношешю осно-

ванш по : na = cb : ca — d : l-\-d, то искомая площадь

/2

д = ■

и потому

«« D.Cs* = ~-Wj

Если въ параболической ферме длина d всехъ панелей одинакова, то горизонтальная проекщя усил1я max. D раскосовъ величина постоянная и равна горизонтальной проекши наиболыиаго усилш поясовъ — k. A amb ~ k. —    , умноженной на

(4 О-

отношеше ——у / а

m -р I

, где m обозначаетъ число панелей дан-

ной фермы.

Перечисленныя свойства параболической фермы делаютъ осо

бенно простымъ разсчетъ усилш ея отъ действш сплошной нагрузки какъ постоянной, такъ и подвижной, напр. въ мо-стахъ подъ шоссейную дорогу. Действительно, для поясовъ наи

болышя усилш находимъ, умножая постоянную для всехъ пане-

лей величину (р + &) —у.

на отношеше 77-= , или ^ — Cso. d Csp d

длины

разсматриваемой части пояса къ длине ея горизонтальной проекцш.

Въ раскосахъ усилш отъ постоянной нагрузки равны нулю,

kP d

а отъ подвижной тах. D равно постоянной величине умноженной на отношеше = - длины s раскоса къ длине ея горизонтальной проекщи.

Мп л равны !),

77. Усилш въ поясахъ. Такъ какъ горизонтальная проекцш О . Csa усилш части т п (ф. 144) верхняго пояса или проекцш U. С.ф части nt нижняго пояса равны между собою и

представляетъ треугольникъ съ вер-, то инфлюентныя

,    • Мп

и инфлюентная линш

АН

шиною подъ узломъ п и высотой пп —

лиши усилш О или U также представляютъ треугольники съ высотой.

4 HCs а 4 Н d

или

78. Усилш въ раскосахъ. Изъ предыдущаго (стр. 108) мы знаемъ, что инфлюентная линш усилш раскоса какой-нибудь фермы состоитъ изъ отркзковъ трехъ прямыхъ и вполне определяется двумя ординатами, соответствующими узламъ, съ которыми совпадаютъ концы даннаго раскоса. При нисходящемъ раскосе и выпуклой форме поясовъ ординаты правой части инфлю-ентной линш опЬ положительны, а левой ато отрицательны.

Для раскосовъ параболической фермы остается только

г.

Г- Ы h.

И-

Л..

•ц

s тъ

1'В

найти величину наибольшихъ j£ Xnj ^ ординатъ пп' итт', предпо- \ [а ~Т —чйй:

\ Гг

аЧиий

лагая сперва, что грузъ Р— I приложенъ въ правомъ узле п и затемъ въ левомъ узле т\ найденныя въ обоихъ случаяхъ усилш раскоса D определятъ величины ординатъ

'6 ¥

]ъ

Ч!

ИПТЬ

Фиг. 145.

пп и тт .

]) Равенство горизонтальныхъ проекцш усилш верхняго и нижняго поясовъ смежныхъ съ данной стойкой какой-нибудь фермы непосредственно вытекаетъ изъ условш равнов^ая силъ л-Ьвой части фермы, отсеченной сЬчешемъ ss (фиг. 144), что проекщи ихъ на горизонтальную ось U. Cs fi — О . Csa. — о, такъ какъ проекщи вн-Ьшнихъ силъ и усилш стойки F, какъ вертикальны хъ, равны нулю.

Для вычислешя усилщ D раскоса им^емъ общую формулу

D . Csy

Мт

“X

При положены груза Р = i въ узле п реакцш опоры

¹~хп

A-i

и значенш

^ "'"И

и МЯ = А . хп =

0~xJxm

г\дф хп и хт означаютъ горизонтальныя разстоянш узловъ пит отъ опоры А. Такъ какъ hn

АН

хп Q~*n) и К = ⁴^х,п • ХЛ

то

D . Csy = D — =

s

__¹~хп

АН А Н ' l-xm — AH’ I

или, по сокращены на d

D-yn=

(43)

ąH ’ I

При положены груза Р = i въ л'Ьвом'ь узле раскосъ будегь сжатъ; при этомъ А= i .

хт

Мш = А ■ Хт

V—Xm) хт

и Мп — BQ — хп)

хт (¹~хп)

и для даннаго раскоса

D . Csą = D . у

хт

АН хп    4 Я    ₄Я

*п

откуда

D = ym =

• • • (44)

А Н ’ хп

Отношеше найденныхъ величинъ ординатъ пп' и тт равно — горизонтальныхъ разстоянш нижняго и верхняго

хт

концовъ раскоса соответственно до левой и правой опоръ А и В фермы. Но изъ подобныхъ треугольниковъ тт'о и пп о имеемъ также

отношение

Хп

пп'

оп'

тт'

от

; сл^д.

хп

оп'

I — хт d — оп¹ ’

откуда

оп'

хп

хп

d    l + xn~xm

ИЛИ ОП =

xnd

• .(45)

от = d — ori

(46)

Площадь bno положительной части инфлюентной лиши равна

площади A onb = ~ob . уп = — (ori + / ----- хп) уп =

1(1 —хт)

l+d

• Уп =

/²

8Я ' 7 + d    W”

(47)

Площадь аот отрицательной части инфлюентной лиши на основанш предыдущаго должна быть равна площади положительной части, такъ какъ при сплошной равномерной нагрузке всей фермы тах. D — — min. D, или шя k = — &mk.

Для памяти полезно обратить внимаше на то, что отношеше разстояшй от и оп нулевой точки до леваго и праваго узловъ т и п фермы равно отношение разстоянш левой и правой орди-натъ ут и уп до правой и левой опоръ фермы.

79. Усилш въ стойкахъ. Усшпе V въ стойке тт' най-

демъ изъ условш равновесш силъ левой части фермы, разсечен-ной разрезомъ ss по данной стойке, приравнивая нулю сумму проекцш ихъ на вертикальную ось

— OSm—USn$ — o, где Q представляетъ поперечную силу. Но О . Csa = U . Сф =    :

• - л* V\v

- К V=-Q-r

, следовательно.

. _    uV4M

^■"4—i. i

\ 4 i "Я •    !“ / о

мт

• (4⁸)

-вы

---^

----

L^.ln

{-

n'

-b

К

При нагрузке нижнихъ узловъ инфлюентная лишя усилш V стойки (представляющей частный случай раскоса), состоитъ также изъ отрезковъ двухъ прямыхъ Ьп и ат, определяемыхъ отрезками на опорахъ ~ и а , съ наибольшими ординатами подъ правымъ п и левымъ т нагружаемыми узлами, ближайшими къ сечешю ss, и соединен-ныхъ между собой прямой ш. Она вполне определяется двумя ея ординатами, соответствующими этимъ узламъ и выражающими

Фиг. 146.

vm

усилш V стойки при положеши груза Р — I въ этихъ узлахъ. Для опред^лешя ихъ предположимъ сперва, что грузъ Р= I приложенъ въ правомъ узле п. При этомъ

¹~хп

= (JZXn)Xm Мт

¹    ’ Кг 4 h I — Хт

и потому

Г=уп=-

хп

I хп

Qg* + #Р)    • • • • (49)

При положеши груза Р=1 въ узле т:

Мщ__ 1 ’ К-ф

хт(¹ — хгп)

и потому

Г=Уш

• • (5о)

Что касается значешй tga и tg$, то здесь нужно разсмотреть два случая фермъ: i) показанную на фигуре ферму съ двумя симметричными параболическими поясами и 2) съ однимъ прямымъ

верхнимъ или нижнимъ поясомъ.

Случай i (фиг. 146). Въ первомъ случае имеемъ:

Кг — hr

tga —

АН

tg* + tg$ = Поэтому

Уп —

ĄH

2dP

2dp СО - xj хт - (/ - хг) хг1 4 Н

2dp [(/ - XJ    XJ Хт]

[(/ - Хп) Xn-Q- *r>r] = ^(/ - 2Xm) . .    .(51)

2d

¹ — xn

Ут

0—²xm)    0 — *n )

1    ’ 7—

^ 2xm l xm

xm

(1 — xj xm

xm

■ • (52)

(53)

Случай 2. При нижнемъ прямомъ поясе

Кг-К _ 4Н г d dP

и tg$ — о. Поэтому

I — Хп

tg* —

АН

[(l-xJxm—(l-xT)xr] = -p{l + d — 2xJ

Уп

l~\~d 2xm

(t~xn)

l ' l —

xr

xm

■ • • (54)

ym =

xm

l+d— 2xm    l — xr

.....(55)

и поэтому для уп и ут получаются те же значенш.

l — xm

съ наибольшими ординатами подъ узлами m и г ближайшими къ с£ченда ss. Величину ихъ мы можемъ найти по

При нагрузить вврхнихъ узловъ инфлюентная лишя усилш въ стойке mm' состоитъ изъ г£хъ же двухъ прямыхъ (фиг. 146) bnm₁ и аг, опред-кляемыхъ ординатами на опорахъ —

I—

43

При верхнемъ прямомъ поясе

К—К

tga = o, tg$

Q + d — 2Хт),

I + и

и —¹—

■Хщ

найденнымъ ординатамъ для нагрузки нижнихъ узловъ. Действительно,

]~хт

хг

и гг' — уг — тт .

Поэтому для фермъ съ двумя симметричными поясами имеемъ

т'т₁ = ут~пп' .

1 -хп

Ут=-

хт

(56)

Уг =

хг

хт

хт

Во второмъ типе фермъ, когда одинъ изъ поясовъ прямой, имеемъ

Уш =

(58)

I хг

yr- I .    (Ł 9

Въ виду сложности вычисленш, опрелълеше плошадей ин-флюентной лиши опускается въ изложенш. Для вычисленш действш постоянной нагрузки необходимо знать разность площадей обеихъ частей инфлюент-ной лиши, которую можно найти по общей формуле (фиг. 147) » площади многоугольника.

хг

Ух

Уг

ш (Д1~Вав)    У 2 (Д2~ГДз)

Фиг. 147.

Для фермъ съ двумя симметричными поясами и нагрузкой по низу

¹ — хт

Ух—Ут—~~1

> 9г = У» = ~

]~хп

хт

С4

а:=х , a =d, аъ—1 — хт — с1, и потому ш =

Следовательно, все стойки будутъ вытянуты усилшмъ

dp

V — аир — -2-

р    Г    ₂

(60)

При нагрузке верхнихъ узловъ:

АГ <1 — Хт)

1хт

> Уг = ~

хт

, al=xr, a₂—d, йу — I — х и потому

следовательно, все стойки будутъ сжаты усилшмъ.

,    Д......

2

Если половина постоянной равномерной нагрузки будетъ действовать въ верхнихъ узлахъ, а другая половина въ нижнихъ, то усилш во всехъ стойкахъ фермы съ симметричными поясами будутъ равны нулю. Для фермъ съ однимъ прямымъ нижнимъ поясомъ въ стойке отъ равномерной нагрузки фермы, при которой въ раскосахъ усилш D — o, определится изъ условш равновесш нижняго узла и равно нагрузке этого узла -f- pd если нагрузка распределена въ нижнихъ узлахъ, и равно нулю когда она въ верхнихъ узлахъ.

Подобнымъ же образомъ для фермъ съ прямымъ верхнимъ поясомъ .отъ постоянной равномерной нагрузки усилш въ стойкахъ равно — pd, когда нагрузка въ верхнихъ узлахъ и равно нулю, когда она действуешь на нижше узлы.

80. Если ферма имеетъ четное число панелей и симметричную решетку съ нисходящими раскосами въ одной ея половине и восходящими въ другой, то достаточно разсчитать усилш только одной половины фермы, причемъ усилш въ средней стойке не можетъ быть найдено по общимъ формуламъ усилш въ стойкахъ, а определяется изъ условш равновесш верхняго средняго узла фермы, въ которомъ не встречаются раскосы.

Напр. для фермы съ нижнимъ прямымъ поясомъ и нагрузкой по низу, для которой (фиг. 149).

имеемъ Vm = О^т -f- 0₂ Sna =

т. е. стойка Vm будетъ вытянута, и инфлюентная линш усилш ея подобно лиши момента Мт представляетъ собой треуголь-никъ съ вершиной подъ узломъ т. Наибольшая ордината ея тт

(6г)

|V

Фиг. 148.

0₁Csa=0₂Csa=

tg*,

определится какъ усшне Vm, соответствующее действш груза P=i въ узле т. Но при этомъ.

мт

и такъ какъ

К—Кг

_4#Г / I

⁼ Т'Ч

-d

r-

Рн’

то окончательно находимъ

тт

Уп>1 —d

(62)

= //.„ = 2 ~r , И СО = —

Jm    l ’    ₂

При нагрузке верхнихъ узловъ, изъ условш равновесш верх-няго узла т'

rm=0,Sna + 0,Sn*-Pm = 2-£ . tg«-Pm

заключаемъ,что инфлюент-ная лин1я усилш Vm будетъ отличаться отъ предыдущей на разность ординатъ лиши нагрузки узла Рт, передаваемой вспомогательными балочками отъ

о    / а

груза Р — i на узелъ т ,

какъ опору. Последняя

линш представляетъ собой

треугольникъ съ ординатой

равной i въ узле т и ординатами равными нулю въ остальныхъ узлахъ. Вычитая ее изъ ординаты    получимъ для усилш

стойки Vm инфлюентную линт агт"пЬ, въ которой т'т" = , причемъ площадь со этой лиши равна предыдущей со = d за вычетомъ площади треугольника -²^ ‘ ¹ = d, следовательно со' — d — d — о.

Для той же фермы изъ двухъ симметричныхъ половинъ, но

Проскуряковъ.—Строительная механика, ч. H.

[|> •

l—2d

к;

<*■

А. ГА

Фиг. 149.

IO

съ восходящими раскосами въ левой половине и нисходящими въ правой, усшпе въ средней стойке Vm равно нагрузке нижняго узла, что непосредственно вытекаетъ изъ условш равнов^сш этого узла. Поэтому при нагрузив по низу инфлюентная линш им'Ьетъ во вс'Ьхъ узлахъ ординаты равныя нулю кроме узла т, где Vm — 1, а при нагрузке по верху усшпе стойки Vm равно нулю для вс'Ьхъ узловъ фермы.

Выше были разсмотр'Ьны фермы съ нисходящими раскосами. Относительно усилш въ стойкахъ фермъ съ восходящими раскосами вообще нужно заметить, что ихъ можно найти согласно предыдущему, разсматривая обратную ферму (т. е. ту же ферму, но повернутую около оси АВ и i8o°, въ которой раскосы бу-дутъ уже нисходящими), и предположивъ обратное д^йствш нагрузки на ту же ферму, т. е. снизу вверхъ. Поэтому въ най-денныхъ усилшхъ стоекъ для обратной фермы съ нисходящими раскосами нужно только изменить знакъ, чтобы получить усилш въ стойкахъ данной фермы съ восходящими раскосами. Можно также найти те же усилш по выведеннымъ формуламъ для фермъ съ нисходящими раскосами, разсматривая отъ правой опоры В равно отстоящую стойку съ данной отъ левой опоры А, такъ какъ для наблюдателя, пом^щеннаго по другую сторону плоскости чертежа фермы съ нисходящими раскосами, левая опора будетъ В, и раскосы будутъ восходящими.

81. Для мостовъ параболическш фермы обыкновенно устраиваются только съ вытянутыми раскосами, неспособными подвергаться сжимающимъ усилшмъ, для сопротивленш которымъ ставятся на длине всей фермы обратные раскосы. Для разсчета посл^днихъ н'Ьтъ надобности строить инфлюентныя лиши, такъ

т. е. ихъ можно по-

какъ усшпе тах. D — — min. D лучить изъ найденныхъ сжимающихъ усилш min . D для прямыхъ раскосовъ, умноживъ ихъ на отношеше -- длинъ обратнаго и прямого раскосовъ.

Разсчетъ усилш въ стойкахъ фермъ съ двумя системами вытянутыхъ раскосовъ становится уже затруднительнее, ч^мъ для фермъ съ одной системой раскосовъ, такъ какъ стойки могутъ работать на сжаДе, какъ при системе нисходящихъ, такъ и при систем^ восходящихъ раскосовъ; поэтому ока-

зывается необходимымъ разсмотреть оба типа фермъ и взять для стоекъ большее изъ двухъ найденныхъ сжимающихъ усилш.

Для получение наибольшихъ усил!й въ поясахъ фермъ съ двумя системами вытянутыхъ раскосовъ также представляется двойственность решение; если работаетъ нисходящш раскосъ, то тогда

М

усилш верхняго представляется отношеншмъ jlQsa для праваго узла данной панели, а при системе восходящихъ раскосовъ — для л'Ьваго узла. Поэтому нужно бываетъ определить сперва тах. М для узловъ фермы и изъ значешй для двухъ узловъ принять за усилш пояса большее.

Изъ всего сказаннаго о параболическихъ фермахъ видно, что легкость разсчета принадлежитъ только фермамъ съ подвижной равиомпрной нагрузкой. Двойная система вытянутыхъ раскосовъ вообще въ фермахъ представляетъ по отношение къ стойкамъ еще то усложненш разсчета, что недостаточно ограничиться раз-смотреншмъ вышеуказанныхъ двухъ случаевъ работы восходящихъ или нисходящихъ раскосовъ, а нужно принять во внимаше еще третш случай, когда слева данной стойки работаетъ на растяженш нисходящш раскосъ, а съ правой стороны ея работаетъ восходящей раскосъ, подобно изслфдованному выше примеру средней стойки параболической фермы съ двумя симметричными половинами. Въ этомъ случай усилш стойки V определяется (фиг. 150) изъ равновесш верхняго узла ж':

0'Sm' - О"Sm" - V- Рт = о,

гДе o'Cs*'=0"Csol"

⁼ -]₁т > и Рт означаетъ нагрузку верхняго узла.

т

При нагрузке НИЖНИХЪ узловъ Рт — о, И ПОТОхМу усилш стойки

v₌j^QgcL'—tga").

Очевидно, оно всегда растягиваетъ стойку и изменяется про-порцюнально ординатамъ момента Мт для узла т, а следовательно, выражается ординатами треугольника атЬ съ вершиной подъ

(tg* ~ #«")•

узломъ т и высотой ут —

Для параболической фермы имеемъ

Ут =

h -hM

m m

Лш+, -К,

±_ 4H 4 H' dl

2xm 0 ~ О - (xm + d)(l — Xm — d) — (xm — d)Q — xm+d)

или

id

.(63)

Ут — ~1

величине постоянной для всехъ стоекъ и въ томъ числе и для

средней стойки, какъ мы видели выше (стр. 145).

При нагрузке верхнихъ

А,

w

T' Д-___Й:

aL

тТ"

Tri⁷

Фиг. 150.

id

узловъ нужно изъ орди-натъ предъидущей линш вычесть ординаты лиши Рт въ виде треугольника съ основашемъ 2d, вершиной подъузломъ т и высотой=1, и тогда получится линш, агт" пЬ, которой отрицательная ордината I — id

(64)

Въ заключеше о параболическихъ фермахъ сл'Ьдуетъ сказать, что все выведенный свойства относятся только къ фермамъ со стойками и не принадлежать фермамъ безъ стоекъ, съ треугольной решеткой, хотя бы пояса представляли собой многоугольники, вписанные въ параболичесюе сегменты. Въ нихъ, напр., усилш раско-совъ отъ равномерной нагрузки всей фермы не равны нулю, горизонтальная проекшя усилш поясовъ — величина непостоянная и т. д.

2. Полураскосная ферма.

82. Если въ какой-нибудь ферме со стойками и четнымъ числомъ 2г панелей средину каждой стойки соединимъ съ концами следующей стойки двумя полураскосами, то получимъ особу полураскосную ферму, статически определимую относительно усилш въ ея частяхъ. Для ознакомлена съ ея разсчетомъ возьмемъ симметричную ферму съ верхнимъ прямымъ и нижнимъ полу-параболическимъ поясомъ, показанную на фиг. 151, и определимъ виды инфлюентныхъ линш для ея частей.

149

Усилш въ поясахъ найдемъ изъ условш равновесш левой

части фермы, отделенной воображаемымъ разрезомъ tt, пересе-кающимъ оба пояса въ «-ой панели и верхнюю и нижнюю части «-i-ой стойки. Взявъ моментъ

;t «...

1V1 / п' Qtv-m

Ж

силъ разсматриваемой части относительно нижняго или верхняго 72-1-аго узла фермы, находимъ

К-,

Следовательно, ийфлюентныя лиши Оп или UHCs$ представляютъ треугольникъ съ вершиною

Оя= UnCosР

о.

(п — i) (т — «Ц-i) d

подъ узломъ « — i и высотою равной

Если бы оба пояса были криволинейнаго очертанш, то такимъ же образомъ можно найти, что горизонтальный проекцш усилш поя-совъ «-ой панели равны и противоположны и выражаются такъ-же черезъ Mn_t: h лураскосовъ былъ поставленъ раскосъ — нисходящш для усилш нижняго пояса или восходящш для верхняго пояса.

Усшйе нижняго полураскоса и-ой панели находимъ изъ условш равновесш выделеннаго нижняго «-го узла:

п—¹ ’

mh

какъ если бы въ «-ой панели вместо по-

DnCosy = Un+l Cos$n+i — VnCos$n

М

11

К.

т. е. горизонтальная проекта нижняго полураскоса равна проек-щи усилш нисходящаго раскоса «, п-1 раскосной фермы. След, инфлюентная линш Dn представляетъ два треугольника съ вершинами подъ узлами пип—i и ординатами вершинъ

(т — n)s[ п

(п

п — I К-г

Тотъ же выводъ можно получить изъ условш равновесш левой части фермы, отсеченной вертикальнымъ разрезомъ черезъ «-ую панель, если взять моментъ всехъ силъ относительно верхняго узла

Мп — UnCs$hn - Dnr = о, откуда

Уп =

И уп-1 =

w —i п

^7*

Каждый изъ 2 членовъ второй части представляетъ треуголь-

Ц, = "

Tl

i 50

никъ, разность ихъ линш въ вид-4 двухъ треугольниковъ съ вершинами подъ узлами п и п — i.

Для верхняго полураскоса изъ верхняго узла п им4емъ:

D»Cosy' или £>п у = OnCos<xn - 0nfI Cos an+1 =

M M

—-----” 4- —

h ' h

~А

= - DnCoscp

(тоже изъ равнов4сш средняго узла), откуда

А ,

т. е. усилш полураскосовъ w-ой панели пропорциональны ихъ дли-намъ s и s', а горизонтальный проекщи ихъ равны проекщямъ усшпй нисходящаго и восходящаго раскосовъ такой же раскосной фермы. Поэтому инфлюентная лишя полураскосовъ им4етъ известный видъ двухъ треугольниковъ съ вершинами подъ узлами п и п-\.

Для усилш Vn нижней части стойки п-ой панели изъ равно-в4сш нижняго узла п находимъ:

К = - DnSin<? 4- UnU Sinfin+i - UnSinfin + Рп , гд4 Рп означаетъ нагрузку нижняго узла п.

Предположимъ сперва нагрузку по верху, или Рп = о.

*gk-

Тогда

О,

cl

а;

D.Sin’? + -f‘iK₊,-i

П    П— I

Послфд.ше два члена второй части будутъ т4 же, какъ и для

раскосной фермысъ нисходящими раскосами и выражаются ординатами двухъ треугольниковъ съ вершинами подъ узлами п и п-1, а разность этихъ членовъ—ординатами линш въ вид4 двухъ треугольниковъ съ вершинами подъ п и п-I.

Такъ какъ и первый членъ представляется ординатами подобной же лиши изъ двухъ треугольниковъ съ вершинами подъ т4ми же узлами п и п-1, но противоположныхъ знаковъ —

4-1

п+1

11—1

- i»

ш.

Рп

«ifk. in. ..... [„fin Т"-;    | Ь

I

, Ыс** I

гг-li    ' п.

4 V

_    Tl.

п+1

гг v

Фиг. 152.

i 51

въ правой части и + въ левой, то складывая ординаты об'Ьихъ инфлюентныхъ линш, получимъ линю Vn такого же вида asnb изъ двухъ треугольниковъ съ вершинами подъ узлами п и п-1.

Въ случай нагрузки по низу къ ординатамъ инфлюентной линш Vn нужно прибавить ординаты линш Рп въ виде треугольника съ наибольшей ординатой=1 подъ узломъ п и нулевыми ординатами подъ смежными узлами п—i ия+i; следовательно, ординаты подъ этими узлами не изменяются, а подъ узломъ п увеличатся на единицу, и потому при нагрузке по низу инфлю-ентная линш Vn получитъ видъ asnptb и будетъ вообще состоять изъ 4'Хъ прямыхъ, определяемыхъ ординатами ,, уп и г/„₊₁.

Для усилш V'п верхней части п-ой стойки подобнымъ же образомъ находимъ изъ условш равновесш узла п\

4-t

К = - D'nSiny' + OnSin*n - Оп+1 Sin*n а въ случае нагрузки по низу

.    Mnt

Vi = -D,.Sinf' + ^

п— I

Последше два члена второй части выражаютъ лишю въ виде двухъ треугольниковъ съ вершинами подъ узлами п и I, подобно инфлюентной лиши — D'nSin ср'. Поэтому сумма ординатъ обеихъ линш, или инфлюентная линш Vn при нагрузке нижнихъ узловъ имеетъ также видъ aunb двухъ треугольниковъ съ вершинами подъ узлами п и п— I.

При нагрузке по верху изъ ординатъ найденной линш нужно вычесть ординаты линш Рп, для чего достаточно только вычесть i изъ ординаты подъ узломъ п и конецъ ея соединить съ ординатами подъ узлами п — I и я-f-i, при чемъ для Vn получится инфлюентная линш aunxvb.

Для средней стойки усшне Vr определится изъ равновесш нижняго средняго узла г:

М    М

^ fa В — - -

hf i ¹8 Гг i к

Последше два члена вместе выражаютъ отрицательную ординату равнобедренной трапецш съ вершинами подъ узлами г—I и r+i. J\nmn — Dr Sin срг и — Dr+i Sin <pr+I, вследствш симметрш раскосовъ г и г 4-Iго, также симметричны относительно средины пролета, такъ

DrSinor—DHi Sinyr

r+i

4-1

Г 52

что ордината второй линш подъ узломъ г— г равна ординате первой линш подъ узломъ r-f- г, а подъ узломъ г ординаты одинаковы.

Сумма обеихъ посл'Ьднйхъ линш дастъ также симметричную линш, состоящую изъ прямой отъ левой опоры до узла г — I, подъ которымъ ордината равна сумме ординатъ первой линш — Dr Sin <pr подъ узлами г—i и rĄ-i, а ордината въ среднемъ узле г равна

удвоенной ординате линш Dr Sin cpr педъ т^мъ же узломъ г. Въ случай нагрузки понизу нужно изменить одну узловую ординату уг, прибавляя къ ней -f- i. Такимъ образомъ и при нагрузке понизу инфлюентная линш Vr будетъ также состоять изъ двухъ симметричныхъ половинъ и будетъ вполне определяться ординатами подъ узлами г—i и г.

83. Свойства полураскосной фермы можно представить себе проще, если разделить ее, какъ показано на фиг. 151, на две раскос-ныя фермы вдвое меньшей высоты и разсматривать ее, какъ комби-нащю двухъ такихъ фермъ: верхней—съ восходящими, а нижней— съ нисходящими раскосами. Легко убедиться, что отъ одной и той же нагрузки 7₂ Р и 7, Р усшйе въ каждой панели нижняго пояса верхней раскосной фермы равно и противоположно усилш верхняго пояса нижней фермы, а потому при наложенш обеихъ фермъ и соединенш ихъвъодно целое, усшпе отъ общей нагрузки У, Р+7₂ Р~Р въ среднемъ поясе полураскосной фермы, по-казанномъ пунктиромъ, будетъ равно нулю, и потому элементы этого пояса могутъ быть удалены изъ фермы, безъ измененш усилш въ остальныхъ частяхъ составной или полураскосной фермы. Поэтому инфлюентныя лиши усилш въ поясахъ и раскосахъ такой полураскосной фермы будутъ одинаковы съ инфлюентными линшми для техъ же частей въ отдельныхъ составляющихъ рас-косныхъ фермахъ, а сами усилш полураскосной фермы равны уси-лшмъ составляющихъ раскосныхъ фермъ отъ вдвое меньшей нагрузки, считая ее распределяющейся поровну между верхней и. нижней фермами.

Т-1

Г-1

lVi: V

“2й£2:;

Фиг. ]53.

3. Ферма Паули.

84. Если очерташе фермы со стойками, или высоты последней выбрать такимъ образомъ, чтобы наиболышя

усилш въ поясе О —

h Cs а

ГП

ИЛИ

A Cs В

т ¹

были величинами по-

стоянными для всей фермы, то получится такъ называемая ферма Паули.

Для фермы съ симметричными поясами

s-y    d

Lsa =

поэтому усил1е верхняго пояса

4d’+(K-K-,y = c

m

Задаваясь наибольшей высотой фермы и подставляя ее вместо 7гт, мы можемъ вычислить высоту h„,_i предшествующей стойки, если предварительно были определены наиболышя значенш момен-товъ для всехъ узловъ фермы, т. е. для x=d, 2d, 3d ...

Построешемъ можно также найти высоты стоекъ, задавшись высотой первой стойки (фиг. 154)' Если назовемъ черезъ h\ h,, h' г ... . перпендикуляры изъ нижнихъ узловъ на направлеше противолежащихъ частей верхняго пояса въ панеляхъ I, 2, з-ей . . . . , то длины этихъ перпендикуляровъ h'i—hi Csa, h'₂ — h^ С set ₂, .... въ ферме Паули должны быть пропоршо-нальны значеншмъ момента М, т. е.

м₁_м₂_м₃_

а; “ к К ~ ‘ ’

(*5)

гг

-V—Т

2'

3'

5'

Фиг. 154.

. . .(66)

Параллельно имъ проведенные перпендикуляры изъ срединъ соответствующихъ стоекъ будутъ равны

Зная М, и h легко найти ~h\, а след, и величину С. Для

¹ h’

²’ 2

h\ . . .

*54

второй стойки нужно найти h'₂ = затемъ рад1усомъ = — h' 2 изъ средины ея описать дугу круга и провести касательную къ ней изъ конца первой стойки, определяющую направлеше верхняго пояса 2-ой панели, а след. и высоту третьей стойки. Продолжая такимъ образомъ, мы получимъ наконецъ и высоту h наибольшей стойки у середины пролета или высоту Н фермы. Если Н получится несоответственной длины, то ее можно изменить, опреде-ливъ сперва h'm, изменить затемъ пропорцюнально длины осталь-ныхъ перпендикуляров!,, и затемъ повторить построена снова.

Въ найденной такимъ образомъ ферме наиболышя усилш въ верхнемъ поясе будутъ равны между собой, но въ нижнемъ поясе это условш не будетъ точно удовлетворяться, а лишь приблизительно. Действительно, горизонтальныя проекцш усилш верхняго пояса панелей I, 2, 3-й и т. д. равны проекщямъ уси-л1й нижняго пояса въ панеляхъ 2, 3, 4, и т. д., но углы накло-ненш соответственны хъ панелей верхняго и нижняго поясовъ различны, следовательно и усилш поясовъ неодинаковы, а именно усилш верхняго пояса больше усилш нижняго, кроме первой панели, где они равны между собою.

Въ ферме Паули, подобно параболической, раскосы рабо-таютъ только на растяжеше и потому они делаются двойной системы—прямые и обратные. Такимъ образомъ определена очер-танш фермы Паули основано на предположенш, что при пол-номъ нагруженш фермы для наибольшихъ усилш поясовъ рабо-таютъ нисходяшде раскосы.

Когда очерташе фермы Паули найдено, то усилш въ решетке фермы определяются по общимъ способамъ.

4. Ферма Шведлера.

85. Неудобства параболическихъ фермъи Паули представляютъ двойная система вытянутыхь раскосовъ и затруднительность соеди-ненш поясовъ на опоре вследствю слишкомъ остраго ихъ пере-сеченш. Для устраненш этихъ неудобствъ I. В. Шведлеръ въ 1867 году предложилъ ферму съ одной системой нисходящихъ раскосовъ гиперболическаго очертанш, определяемаго условшмъ, что наименьшее усилш раскоса min. D отъ равномерной постоянной нагрузки р и подвижной k равно нулю.

¹55.

Изъ предыдущаго (фиг. 155) известно, что для min. D нисхо-дящаго раскоса необходимо загрузить подвижной нагрузкой г левую часть фермы отъ опоры А до нулевой точки, заключающейся въ пред^лахъ панели разсматриваемаго раскоса. При этомъ для фермы Шведлера моментъ вн'Ьшнихъ силъ левой отсеченной части фермы относительно точки пересеченш поясовъ долженъ быть равенъ нулю, а такъ какъ равнодействующая этихъ силъ, или min. Q вообще не равна нулю, то плечо ея должно быть ну-лемъ, т. е. точка г пересеченш по-ясовъдолжна лежать на напра-вленш равнодействующей внеш-нихъ силъ — ре-акщи опоры А и нагрузки отсеченной части фермы. Величина этой равнодействующей, или min. Q, какъ известно (стр. 24).

когда

реакщя опоры А делается равной нагрузке левой части фермы, и равнодействующая обращается въ пару силъ. Такъ какъ последняя можетъ быть разсматриваема, какъ безконечно-малая на безконечно большомъ разстоянш (ч. I стр. 8), то и точка пе-ресеченш поясовъ фермы Шведлера удаляется въ безконечность, т. е. оба пояса будутъ параллельны другъ другу, и смежныхъ стоекъ равны. Для следующихъ панелей нагрузка левой отсеченной части фермы .будетъ уже больше реакции опоры А (min. ()< о) и равнодействующая ихъ, а также и точка пересеченья поясовъ находятся уже по правую сторону отъ данной панели, приближаясь изъ безконечности; следовательно, высота каждой последующей стойки будетъ уже меньше высоты предыдущей. Такимъ образомъ для каждой половины фермы Шведлера должна получиться нижеследующая форма съ наибольшей высотой въ томъ сеченш, которому соответствуетъ min. Q=о.

При такомъ очерташи фермы средняя часть ея съ вдавлен-

<L''

R-Qrmu

I

Г* --------Ąil

w__

ШМНТмМ

-*j

ДСу-

jf    _ ji

Фиг. 155.

постепенно уменьшается и обращается въ нуль при х < у h

сила

высоты

верхнимъ поясомъ представляется некрасивой и неконструктивной и потому заменяется частью фермы съ параллельными поясами, въ которой уже необходима двойная система вытяну-тыхъ раскосовъ.

нымъ

86. Очерташе фермы Шведлера можно найти и графически, определяя для каждой панели точку г пересеченш направлены поясовъ, лежащую на равнодействующей внешнихъ силъ левой части фермы. Имея точку г и высоту одной изъ стоекъ, напр. зз', можно найти следующую 22'. Пусть АрВ и AqB бу-дутъ два веревочныхъ многоугольника, построенныхъ при одина-ковомъ полюсномъ разстоянш Н=1 для равномерныхъ нагрузокъ постоянной р и полной q—p-\~k, покрывающихъ каждая всю длину фермы и действующихъ на ея узлы. Для min. D раскоса 3-ей панели левая часть фермы предполагается нагруженной полной нагрузкой q, а правая постоянной нагрузкой р. Отъ влшнш первой нагрузки равнодействующая внешнихъ силъ левой

2 -³’

Ар

.г'

Фиг. 156.

части фермы равна и противоположна вызываемой ею реакши Bq=AA' правой опоры, такъ какъ она пропорщональна моменту этой нагрузки относительно опоры А, выражаемому произведешемъ отрезка AA' между крайними сторонами веревочнаго многоугольника A i 2 3' разсматриваемой нагрузки на полюсное разстояше/. Точно также влшше нагрузки р правой части фермы выражается внешней силой для левой части фермы — реакщей Ар опоры А, равной отрезку BB' между крайними сторонами веревочнаго многоугольника Вр^2. Такимъ образомъ отъ совместнаго влшнш обеихъ нагрузокъ внешнш силы отсеченной левой части фермы приводятся къ двумъ вертикальнымъ силамъ, равнымъ отрезкамъ AA' и В'В, изъ которыхъ первая Bq приложена на опоре В и направлена внизъ, а вторая Ар проходитъ черезъ опору А и направлена вверхъ. Для фермы Шведлера усшне min. D

раскоса должно быть равно нулю; следовательно, моментъ внешнихъ силъ Bq и А левой части фермы относительно точки г пересечены поясовъ долженъ быть равенъ нулю, т. е.—АА'У^ гВ-\-ВВ' X гА=о. Очевидно, точка г должна получиться на пересеченш прямой В'А', съ направлешемъ пояса АВ} такъ какъ изъ подобы треугольниковъ гАА‘ и rBB' находимъ

А А : В В' = г А : гВ, или BB' X г А — A A' X г В ■

87. Высоту hv какой-нибудь стойки фермы Шведлера можно найти также и вычислешемъ, зная высоту h предыдущей стойки (фиг. 155)- Пусть х и х'=1—х будутъ разстоянш данной стойки до опоръ А и В фермы, а хг и хг' — разстоянш следующей стойки, такъ что xt—x~\-d-

Если — со площадь левой отрицательной части, а со' площадь правой положительной части инфлюентной линш разсматривае-маго раскоса D, то для фермы Шведлера должно быть

min. D -- со'р — со (р ф /г) = о, или со'р = со (р ф k) — uq. Остается определить только наибольпня ординаты у и у₁ инфлюентной лиши подъ стойками h и /ф найти нулевую точку, вычислить основаны треугольниковъ и подставить въ предыдущее уравнеше, чтобы получить зависимость между h и ht.

Предположимъ, что грузъ Р— г приложенъ у правой стойки.

х '

Тогда реакщя опоры At=-j- , и моменты для праваго узла

XXi

Г'

Mt = Ахг    и для леваго узла М — Ах =

Горизонтальная проекцш у силы раскоса (стр. 135)

DCosf = 9.= X - f = -f A ~ т) •

При положенш груза въ левомъ узле

В=Т> м.=

Г Mt м

yCosv = -h₁-h

Разстоянш а и аг нулевой точки инфлюентной лиши до леваго и праваго узловъ фермы определяются изъ пропорщональ-ности ихъ значеншмъ ординатъ — у и уг:

хх<

XX¹

X ( х'

, а потому

)•

15b

ot

*(т-£Мт+£)»

Поэтому основанш а и b л^ваго и праваго треугольниковъ

и £ = *; + а, =

а=х~\~а —

xl

Х\1

и площади ихъ

Чт+6

(т+ )

и »' = *•- .

2 2

Подставляя эти значенш въ уравнеше со'p=(aq, получимъ зависимость:

U) I—

-«г

тПр-

Решая его относительно ^L, находимъ искомую формулу

Xl'p^zV(i х'рУ xq У V xq J

Ąpxtx'

• • • (67)

qx²

h 2X' Г

Въ случай подвижной нагрузки въ виде сосредоточенныхъ грузовъ поезда значеше k эквивалентной нагрузки представляетъ переменную величину, зависящую отъ неизвестной длины а загружаемой части фермы. Въ этомъ случае определена зысоты ht смежной стойки делается последовательнымъ приближешемъ, или съ помощью таблицы эквивалентныхъ нагрузокъ k, или по сосре-доточеннымъ грузамъ поезда, какъ для поперечной силы О (стр. 33)-

Когда высота стоекъ и вообще очерташе фермы найдены, то усшпя въ частяхъ ея определяются уже по общимъ способамъ.

Примгьръ. Пусть дана ферма пролетомъ 1= 32 м., о 8 панеляхъ, ир=}, a k = 4 тн./м. Называя черезъ ht высоту первой стойки, по предыдущей формул^ находимъ:

^2—b53iA,, h₃—1,706h{, A₄=i,656 hn Ji₅—1,423 Aif h₆= 1,046 hlt hy — 0,566 ht и h₈=o.

Задаваясь наибольшей высотой фермы h₃ — 4 м., находимъ = 2,345^ й₂ = 3,589, *з — 4,00 и сл’Ьд. А₄ “ 4,00 метр.

5. Ферма Финка.

88. Данная на фиг. 157 ферма Финка (см. стр. ioi) представляетъ собою сложную статически определимую ферму, составленную изъ основной треугольной фермы о—8' —16, въ которой простые элементы о—8 и 8 — 16 заменены сложными

0 — 4—8 и 8 — 12'—16. Последню въ свою очередь могутъ быть разсматриваемы какъ простая треугольный фермы, въ кото-рыхъ простые элемента о — 4, 4 — 8, 8 — 12 и 12—16 заменены сложными въ виде фермъ о — 2'—4, 4 — 6'—8 и т. д. Эти фермы также разсматриваются какъ простые треугольный, въ которыхъ сложные элементы о—i' — 2, 2 — 3' — 4 заменяютъ простые прямые элементы о — 2, 2 — 4, 4—6 и т. д.

О I 2    3

ш

9    10    11    12 1л 14

ттгч

*11' I 13

15

1 Г»

Ю>

*4'

I Я’

12'

г,

№>Кр.

ls

J3

0

U=⁸⁸' =

г]=44‘=

Лл\х

(а)

r 1 ! 1

Ш.

Lg'

'8

1/

e)!

±^2

Фиг. 157.

4ДД ■ -4к= /й ij8 \j=kt:4.%h='Ays vjs=k; t-.4.^k=X ij

JlG

На основанш вышеизложенныхъ соображешй нетрудно по-строитъ инфлюентную лишю, напр. усилш 0₅ какой-нибудь части 4—5 фермы Финка. Для простой фермы о — 8'—16 съ однимъ промежуточнымъ узломъ 8, усилю въ верхнемъ поясе о—16, равное М&: h, имеетъ инфлюентную лишю (фиг. а) въ виде треугольника о — 8'-— 16, въ которомъ высота y&—l/Ą l:h =

Если въ

4 h

этой ферме простой элемента о — 8 заменимъ сложнымъ въ виде простой фермы о—ą—8 съ однимъ промежуточнымъ узломъ 4, то, подобно предыдущему, инфлюентная лишя усилш верхняго пояса о —8, равнаго M₄:h, будетъ иметь видъ треуголь-

¹ — Сложивъ орди-

ника о—4" — 8 съ высотой '/₄-V₂ I 'h =

наты обеихъ линш, получимъ трапещю о — 4—8'—16 (фиг.а).

Если во второй простой ферме о—4'—8 простой прямой элемента 4 — 8 заменимъ сложнымъ въ виде треугольной про-

i6o

стой фермы 4 — 6'—8 съ однимъ промежуточнымъ узломъ 6, то усилш въ верхнемъ поясе этой последней фермы, равное М₆:Ч₂ h, будетъ иметь инфлюентную линш въ виде треугольника 4—6 ’—8 (фиг. Ь) съ высотою —6 6' — ¹l^l:¹l₂h = l/Sh=Il₂ys. Прибавляя ея ординаты къ сумме ординатъ двухъ предыдущихъ линш въ виде трапецш, получимъ (фиг. а) инфлюентную линш о—4'—6'—8'—16. 'Гакъ какъ въ последней (третьей) простой ферме 4 — 6'—8 вместо прямого элемента 4—6 мы въ действительности имеемъ сложный въ виде фермы 4—5'—6, для которой инфлюентная линш усилш пояса 4—6 имеетъ также видъ треугольника 4—5'—6 (фиг. а) съ высотою 'Д /: 4. (7₄&) = =l/8h=lj₂y8} то, прибавляя ея ординаты къ найденной выше сумме ординатъ трехъ лишй, т. е. къ ординатамъ линш о — 4' — — 6'—8'—— 16 (фиг. а), получимъ окончательно инфлюентную линш о — 4'—5'—8'—16 для усилш Os пояса фермы Финка.

Каждая стойка принадлежитъ только одной какой-нибудь простой ферме, поэтому усшпе ея определяется изъ разсмотренш только этой простой фермы, и потому инфлюентная линш стойки имеетъ видъ треугольника съ основашемъ, равнымъ пролету этой фермы, и высотою по средине, равной г.

Наклонная часть о—i' входитъ въ составъ трехъ простыхъ фермъ о — ą¹—8', о — 2'—4 и о—i'—2, поэтому инфлюентная линш ея усилш составляется изъ инфлюентныхъ линш, соответ-ствующихъ этимъ фермамъ, въ виде треугольниковъ о—4'—8, о—2'—4 и о—i'—2 (фиг. b, d и е) съ высотами: MĄ:hCsa = =zl/J,:^h Csa = l/8 hCsoс, АД: hnCsrJ.—M₂: у₂ h. Csa— 7₄ 1:ą Q/₂ h) Csa = 1/8 h. Csa. и Mx: h, Csa = 7s /: 4. V₄ ^ Csa —1/8 h Csa, а сумма ординатъ этихъ треугольниковъ выражается ординатами линш въ виде треугольника о — i'—8 (фиг. b), где черезъ а обо-значенъ уголъ части о — 2' съ горизонтомъ.

XIV- Статически неопределимый Фермы.

1. Приближенный расчетъ.

89. Въ большинстве прежде построенныхъ мостовъ применялись сложныя, статически неопределимыя фермы съ однимъ или несколькими пересеченшми между собой частей решетки

фермы (фиг. 158, 159, 160 и 161). Ташя сложный фермы раз-сматривались какъ составленный изъ отд'кльныхъ простыхъ, ста-

4    5'    6

О' 1    2    5'

7'

1    2    3    4    5    6

6'_8*    «Г_1_

У-Л*

5'

8'

Фиг. 158.

тически опред^лимыхъ фермъ, безъ взаимнаго перес'Ьченш эле-ментовъ ихъ решетки (фф. 158, йг Ь,

О' Г 2' S' 4' 5' 6'    7' 8'    10' Я'

а и Ь, 160, я, Ь,

0'

2'

4'

\\W\7////И

.. лкККьМШИ/ ,,,

А 1    2    3    4    5 О 7    8    9    10 U Д

6'    8'    10'    12' о' 1'    3'    5'

7'

9'

li' 12'

7W

10

И 12

Фиг. 159.

с и d), при чемъ каждая такая простая ферма предполагалась работающей отъ действш только той нагрузки, которая приложена

0'    1'    2'    3'

4'

5' fi' 7'    8'    9'

О'

2    3    4    5    6    7

7'    9'    О*

4'

8'    9'

(а)

(Ь)

5'

2₍

(с)

(d)

Фиг. 160.

въ ея узлахъ. Каждой простой ферме обыкновенно принадлежитъ отдельная система решетки, усшня въ которой определяются при разсчете только этой фермы.

Элементы же поясовъ (а иногда и ^ стойки) принадлежать вс^мъ про-стымъ фермамъ, а потому и усшйя въ нихъ принимаются равными сумме

Проскуря ковъ. — Строительная механика, ч. 1Г.

1'

4'

5'

6'

3'

Фиг. 161.

II

1Ó2

усилш этихъ элементовъ, найденныхъ при разсчетахъ отд^ль-ныхъ фермъ.

90. Решетка Фермъ. Сообразно съ указанными предположенный, нетрудно построить инфлюентную линйо для усилш какого-нибудь элемента решетки, напр., раскоса JJ’ сложной фермы (фиг. 162), разделяющейся на две простейшш, изъ которыхъ одна начерчена толстыми, а другая тонкими линшми. Разсматри-ваемый раскосъ принадлежитъ только первой ферме, и усилш

его определяется, какъ известно, по поперечной силе О, именно DSm— — О. При положе-ншхъ груза Р— i въ верхнихъ узлахъ i', 3'» 5' - • • первой фермы,

усилш D раскоса23' этой фермы пред-

о'

2'

5'

4'

5'

в'

7'

8'

А°

!i

At

Ш'

II

i⁷

(а)

!i

(CJ

]s'

-1

проекшя

ставляется ординатами инфлюентной

линш поперечной

Q (Фиг- а)

силы

подъ узлами этой фермы; при положеншхъ же груза Р= i въ верхнихъ узлахъ о', 2', 4' . . . второй фермы, первая въ своихъ узлахъ вовсе не нагружена, и потому усшйе раскоса ея D—о, т. е. верхнимъ узламъ второй фермы соответствуют нулевыя ординаты инфлюентной линш усилш DSna, т. е. точки на горизонтальной оси АВ. Такъ какъ между узлами фермы вообще инфлюентныя линш изменяются по прямой, то, соединивъ последовательно прямыми найденныя подъ всеми узлами сложной фермы точки инфлюентной лиши усилш раскоса DSna, получимъ искомую линш усилш D. Sm, а след, и D въ виде ряда треугольниковъ A i' 2 3' 4

5' 6 7' В.

Въ случае равномерной нагрузки фермы, сумма площадей отрицательныхъ правыхъ треугольниковъ можетъ быть заменена равновеликими площадями трапещй, средшя лиши которыхъ

Фиг. 162.

представляются половинами высотъ треугольниковъ, а такъ какъ точки, д’Ьлящш пополамъ высоты, все лежатъ на одной прямой, имеющей на опоре А ординату = V²» то отрицательная площадь инфлюентной линш усилш D Sna выразится половиной площади тр-ка В 22', а положительная площадь точно также можетъ быть выражена половиной площади треугольника А 22 . Такимъ обра-зомъ для равномерной нагрузки площади положительной и отрицательной части инфлюентной линш усилш раскоса D Sm равны половинамъ площадей инфлюентной линш поперечной силы О для сеченш 2 балки АВ при прямой нагрузке, только съ обратными знаками (см. стр. 23 ч. И). Соответственно эпюре тах. Q и min. О (стр. 24, фиг. 22), построенной съ уменьшенной въ два раза ординатой lU Ы, проекцш усилш раскоса min. D получится построеншмъ, показаннымъ на фиг. с.

Если бы вместо нисходящаго раскоса мы разсмотрели восхо-дящгй раскосъ той же простой фермы, усилш котораго определяется изъ условш DSnat = Q, то получили бы ту же инфлюент-ную линш, только съ обратными знаками. Отсюда выводимъ, что отъ равномерной подвижной нагрузки наибольшее усилш для нисходящаго раскоса 21' или наименьшее усилш для восхо-дящаго раскоса 23' равно тах Q отъ равномерной нагрузки l/2k для сеченш 22' балки АВ, проведеннаго черезъ нижшй ко~ нецъ раскоса, если нагрузка расположена по верху. Подобнымъ же образомъ легко убедиться, что и для раскосовъ второй фермы — нисходящаго 2'з и восходящаго 34' — инфлюентная линш усилш раскосовъ будетъ иметь видъ, представленный на фиг. 162 а пунктиромъ, и что проекцш наиболыпаго усилш нисходящаго раскоса 2'з и min. D Sm усилш восходящаго раскоса 34' равны тах. Q отъ нагрузки ¹/з k для сеченш 33', проведеннаго черезъ нижшй конецъ раскоса 2'з или 34'.

При нагрузке по низу вычерченная сплошной линшй инфлюентная линш соответствуетъ раскосамъ второй простой фермы, сходящимся въ верхнемъ узле 2', а вычерченная пунктиромъ линш— раскосамъ первой фермы, сходящимся въ верхнемъ узле 3' фермы. Поэтому при нагрузке по низу, тах. DSm раскоса 2'з и min. DSna раскоса i'2 равны поперечной силе Q отъ прямой нагрузки 7з k балки АВ для сеченш 2'2, проведеннаго черезъ верхнгй конецъ 2' раскосовъ 2'з и 2'i, а для раскосовъ 23' и з'4, которымъ соотвътствуетъ инфлюентная лишя, обозначенная⁻ пунк-тиромъ, тах. D Sna раскоса зД и min. D Sn<x раскоса 23' равны поперечной силе Q отъ нагрузки г/и k балки АВ для сеченш 33', проведеннаго черезъ верхнш конецъ 3' раскосовъ 23' и ą.

91. Для двойной сложной фермы (фиг. 163) со стойками, составленной изъ двухъ простыхъ фермъ, инфлюентная лишя

O' i 2'    5'    4'    5'    6'    7'    8'    9' w' 11'    12'

Di

Js4al i

!'

! 2'

II

10

усилш Ds Sm — Q какого-нибудь раскоса з' 5 простой фермы, вычерченной толстыми линшми, будетъ, на основанш предыдущего, иметь видъ (фиг. 163 а) А i, 2, з, 4, 5 .... В, какъ i g для нагрузки верхнихъ уз-ловъ, такъ и для нагрузки по низу.

Фиг. 163.

Въ случай равномерной нагрузки, усилш раскоса тах. DsSna и min. DsSna выражаются черезъ тах. Q и min. О поперечной силы балки А В отъ прямой нагрузки х/2 k для сеченш 4Д, проведеннаго черезъ средину раскоса, если ферма имеетъ равный панели.

g 9    10

Инфлюентная лишя для усилш стойки з'з (F₃ =— О), при нагрузке по низу имеетъ ту же инфлюентную лишю, какъ DsSm раскоса з'5, только съ обратными знаками, что непосредственно следуетъ изъ условш равновесш вырезаннаго верхняго узла З', а именно (Ds Sm-\- F₃ = o).    о

|1 |2

(a¹)

,+\

i¹

2"

"i!

При нагрузке по верху инфлюентная линш усилш V, стойки д°3 33' имеетъ одинаковый видъ съ лишей DbSm раскоса i'3 съ обратными знаками, что вытекаетъ изъ условш равновесш нижняго Ai узла з (D₃ Sm-\-V^~о).    j

92. Для двойной сложной | фермы со стойками типа фиг.

_i]

Фиг. 164.

164, въ которой стойки принад- [ лежатъ къ обеимъ простымъ

фермамъ, усилю стойки слагается изъ суммы ея усилй въ каждой простой ферме, а потому инфлюентная лишя стойки 22' определяется какъ сумма ординатъ об^ихъ инфлюентныхъ линш разсматриваемой стойки (см. фиг. а): при нагрузке по верху — изъ лиши A i 2' В съ правой отрицательной и левой положительной частями (фиг. а) и линш А 23' В съ правой положительной и левой отрицательной частями. Такъ какъ ординаты обеихъ лишй во всехъ узлахъ, кроме 2, равны и противоположны, а въ узле 2 сумма ихъ=—I, то инфлюентная лишя стойки 22'при нагрузке по верху имеетъ видъ треугольника Т 23' со знакомъ (—).

Если бы разсматривалась нагрузка по низу, то получились бы те же две лиши, но съ обратными знаками предыдущимъ, и потому инфлюентная лишя усилш стойки 22' имела бы видъ того же треугольника Т2з', но со знакомъ 4-.

93. Въ случае фермъ съ криволинейными поясами (фиг. 165), инфлюентная лишя усилш въ частяхъ решетки, напр. D₄ раскоса 2'4, строится какъ и для фермъ съ прямыми поясами, вписывая въ инфлюентную линш раскоса той простой фермы, которой

онъ принадлежит^ рядъ тре-угольниковъ, им'Ьюшихъ вершины на этой инфлюентной линш подъ узлами разсматри-ваемой фермы, а концы осно-ванш — въ смежныхъ узлахъ сложной фермы, принадлежа-щихъ другимъ простымъ фер мамъ. Такимъ образомъ для раскоса 2'4 получается лишя Л — i—2—3—4—5—6—7—В.

94. Пояса. Такъ какъ пояса сложныхъ фермъ являются общими для вс'Ьхъ простыхъ фермъ, составляющихъ сложную, то усилю какой-нибудь части пояса равно сумме усилш, найденныхъ для этой части во вскхъ простыхъ фермахъ. Пусть напр. дана двойная сложная ферма съ прямыми поясами и нагрузкой па низу (фиг. 166), составленная изъ двухъ простыхъ фермъ (первой— толсто вычерченной и второй—тонко). Усилю Ог части 2^ верхняго пояса при положешяхъ груза Р~ I въ узлахъ первой

A°f

4.'

'J

1 ,г р i i

5 !в 7

(a) i

со

Фиг. 165.

I 66

простой фермы, т. е. четныхъ о, 2, \ ... . выражается ординатами, соответствующими инфлюентной лиши верхняго пояса

первой фермы въ виде треугольника о — 2— 8,

положеншхъ груза Р= i въ нечетныхъ

А'

0<

1,

1'

z'

з'

5Х

б'

l'

s'

а при

3.

!⁵

14

I⁵

(а) з'

|?г\Ли1<1я Оз (|т:1НИза jj

J3

_5_

)⁸

о.

I?

(Ь)

.Ли Hin О 5 ( ПО НЕРХЯ j

i8'

Фиг. 166.

узлахъ i, з 5,.... т. е. въ узлахъ второй простой фермы, усилш той же части пояса выражается ординатами инфлюентной лиши въ

3 — 8, соответствующей второй простой ферме.

виде тр-ка о

Такъ какъ между каждыми двумя смежными узлами фермы инфлюентная линш изменяется по прямой, то стоитъ только

соединить прямыми концы каждой изъ двухъ смежныхъ ординатъ, чтобы получить искомую инфлюентную линш усилш 0₃ части 2'з' верхняго пояса данной сложной фермы (верхняя линш Ог).

При нагрузке по верху, для лиши усилш 0₃ верхняго пояса нужно взять подъ верхними узлами первой простой фермы, т. е. нечетными узлами i', з', з'. . .    ^^

ординаты инфлюентной лиши V. 4 въ виде треугольника о' — 2    \ ⁴

—8, соответствующей первой °4 д ферме, а подъ верхними узлами о, 2', 4', . . . второй фермы—ординаты линш въ виде треугольника о'—з'—8', ₀! относящейся ко второй ферме, и соединивъ концы смеж-

⁶    !⁷ I⁸

_ST10'

ij

Ni

41

K\K

Дишя|Оз

47'

19'

Lio

ныхъ ординатъ прямыми, по-лучимъ инфлюентную лишю 0 0₃ для нагрузки по верху (нижняя линш 0Ъ).

Для фермъ со стойками расположена нагрузки по верху или по низу не изменяетъ инфлюентной линш усилш поясовъ (фиг. 167).

3    4    5    6    7

Фиг. 167 и 168.

10

I67

Въ случай фермы съ криволинейнымъ поясомъ (фиг. 168), разсматриваемая часть пояса 2' 3' не совпадаетъ по положенш ни съ поясомъ 2' 4' первой (толстой) простой фермы, ни съ поясомъ 1'з' второй фермы. Поэтому инфлюентная линш определяется для горизонтальной проекцш усилш пояса 2'4', равной М₄: /&₄, первой фермы и проекцш усилш пояса г'з', равной М₃: /г₃, второй фермы, имеющихъ видъ треугольника о—4—10 въ первой ферме и тр-ка о — з — ю во второй ферме. Взявъ ординаты подъ узлами первой фермы на принадлежащей ей лиши о—4—ю и подъ узлами второй фермы ординаты на инфлюетной лиши о — 3 — ю и соеди-нивъ концы ординатъ прямыми, получимъ, подобно предыдущей ферме съ прямыми поясами, инфлюентную линш вида о— i —2 — —3 — 4 . . . . —10 для горизонтальной проекцш усилш 0₃ разсма-триваемой части верхняго пояса. Определивъ съ помощью этой лиши величину O^Csa и разделивъ ее на Qot₃, получимъ самое усшпе Ог, где черезъ <х₃ обозначенъ уголъ наклонешя части 2'з' пояса къ горизонту.

2. Точный разсчетъ статически неопределимыхъ фермъ.

95. Первый способъ. Известно, что все усилш въ ферме статически определимы, т. е. могутъ быть найдены изъ условш равновесш статики твердаго тела, если число т элементовъ фермы равно 2п — 5, где п — число узловъ фермы (см. стр. 82). Разсмотримъ теперь какую-нибудь ферму, въ которой число элементовъ т—2п — 2 превышаетъ необходимое на одинъ элементъ, т. е. ферму съ однимъ статически неизвестнымъ усилшмъ X. Какого элемента усилш принять такимъ неизвестнымъ—предоставляется усмотрешю каждаго. Напр. въ ферме (фиг. 169) можно за неизвестное принять усшпе излишняго элемента 23', а въ ферме (фиг. 170) — элемента оо'. Удаливъ лишнш элементъ изъ фермы и заменивъ его действш двумя силами X, равными и противоположными, представляющими усшйе этого элемента, мы получимъ статически определимую ферму съ одной неизвестной внешней силой X, величина которой найдется изъ условш, что изменеше разстоянш между узлами, напр. 2 и 3' (фиг. 169). равно удлинент или укорочешю выделеннаго элемента подъ влшшемъ его усилш X.

16S

Обыкновенно перемещены точекъ фермы вследствы деформации разсматриваются по отношенпо къ неподвижной горизонтальной плоскости АВ, проходящей черезъ опоры А я В. Но после того какъ ферма освобождена отъ опоръ А я В заменой ихъ действш двумя известными силами, мы можемъ разсматривать перемещены такой свободной фермы и относительно другой какой-нибудь плоскости, напр. плоскости 23', проходящей черезъ узлы 2 и 3', при чемъ одну изъ этихъ точекъ, напр. узелъ 3', мы можемъ разсматривать какъ неподвижную или неизменяемо закрепленную. Такая замена неподвижной точки В я

Iм-

'•К

-e'

0’    1' Z 5    4' а 6’    7'

я*

X'

IM

tot

\°-

чл

|А i ■ 2    5    чв|

о¹    i' z ъ^'4' 5'    в' г-

Ł"

Фиг. 170.

'5

/р-1

Фиг. 169.

неподвижной плоскости АВ точкою 3' и плоскостью 23', не изменяющими своего положены при деформацш, очевидно не нарушаетъ ни условш равновесы фермы, ни относительныхъ перемещенш узловъ фермы при деформацш, только последняя теперь разсматривается по отношенш къ плоскости з'2 вместо прежней плоскости АВ. Очевидно результатъ получается тотъ же, если плоскости фермы во время деформацш последней мы сообщили бы поступательное перемещены, равное и обратное пере-мещент узла 3', и вращеше, равное и обратное вращенш прямой 2ф, соединяющей узлы 2 и f. Такимъ образомъ на осно-ванш техъ или другихъ соображенш мы можемъ данную ферму, находящуюся въ равновесш подъ действымъ нагрузки, силъ X и -—X и опорныхъ реакщй А и В, разсматривать какъ закрепленную въ точке з'. Чтобы определить подъ влышемъ этихъ силъ перемещеше точки 2 по отношенш къ точке 3', какъ известно (ч. I, стр. 243), нужно по направлешю искомаго перемещены точки 2 приложить въ последней силу Р— i, вызы-

16ę

в’ающую реакцш точки з', равную—I, найти вызываемый при этомъ напряженш п въ частяхъ фермы и подставить зат^мъ ихъ ■въ известную формулу

гч AJti

где N—представляетъ усилш частей фермы подъ влшнюмъ данной нагрузки, опорныхъ реакцш А и В и силъ X и—X.

Усилю N каждаго элемента можно представить какъ сумму усилш N₀ отъ д'Ьйствш той же данной нагрузки и т'Ьхъ же реакцш А и В, когда Х—о, и усилш отъ действш силы X. Последняя действуем. въ противоположномъ направленш съ силою Р—1, поэтому усилю въ элементахъ отъ действш силы X выразитея черезъ — пХ. След. усилю N=N₀ — пХ и

р N₀ns

^ _у (No пХ)п

? —    Ew ⁵

Приравнявъ о₂ удлинент элемента 23' подъ влшнюмъ усилш Xs'

X, т. e. -g-, получимъ уравненю

2^-Х2^ = Х—или 2^-5

Ьоу    iia)    Ьи>

Ew

Х2

n²s

Ew

x(l

rrs . 5'. i2 Ew "г"

Знакъ 2 распространяется на все элементы, кроме излишняго 23'. Такъ какъ во второй части уравнешя усилю п соответствуем случаю, когда ферма нагружена силою Р= t, т. е. когда усшпе въ элементе 23' равно—I, то знакъ 2 можно распространить на все элементы фермы, включая и 23', какъ во второй, такъ и въ первой части, где для элемента 23' усилю Na по условш равно нулю. Поэтому, распространяя знакъ 2 на все элементы фермы, можемъ переписать

2^j = X2

и²

Ew

„ - 5, или X—— Ew    v

у. NqW5 Ew

n²s

. . . . (67)

Ew

Если для удобства вычисленш, при постоянномъ Е, назовемъ и²

величину —s для каждаго элемента черезъ и, то значеню усилш

X выразится черезъ Х=2:~-:2и.

96. Второй способъ. Тотъ же результатъ можетъ быть по-лученъ непосредственно, если применить начало возможныхъ пере-

мтьщетй къ равнов^сда фермы, когда въ элементе 23' усшйе Х-i, а все вн^шнш силы — равны нулю, при чемъ за возможный перемещены принимаются деформацш фермы при данной нагрузке, когда въ элементе 23' вызывается усшйе X.

Такъ какъ для разсматриваемаго равнов^сш внешни силы

равны нулю, то Ew . А^ = о; но для каждаго элемента As—^

(N₀ 4- nX)s

■g-—— = 0, откуда

Ns

и N=NQ-jrnX, поэтому Ей Ъп

(67’)

у___ у XqUS * у łl^S

* Ею • Ь» J

Этимъ же способомъ легко определить и вAi яте измгьнешя температуры. Какъ известно, въ статически определимыхъ фер-махъ изменены длины одного элемента не изменяетъ длины другихъ, а потому изменеше температуры одного элемента не вызываетъ ни деформацш, ни усилш въ остальныхъ элементахъ фермы, чего нельзя уже сказать про фермы статически неопре-делимыя.

Пусть температура элемента 23' повысилась на f (фиг. 169). При этомъ длина этого элемента увеличится и o₂=s'ał, где а—коеффищентъ линейнаго расширены. Въ этомъ элементе вызывается усшйе X, а въ остальныхъ N=nX и изменены ихъ длины

s, а въ элементе 23' еще удлинены    При-

пХ

А N As — — s — —

ЕюJ Ею

нявъ эти доформащи за возможныя перемещены для случая равновесы фермы, когда въ элементе 23' усшйе п=Х— i, а въ остальныхъ = п, выразимъ условы равновесы Tin.As—o, или

E«^j-J-1.    = 0, въ которомъ знакъ Е распространяется

на все элементы, кроме 23', а второй членъ -относится къ этому последнему, котораго усилш п— I. Откуда

= — о . i — —sat.

Или, распространяя знакъ Е на все элементы, включая и данный 23' съ усшйемъ п= I, имеемъ:

— s'at

. . . (68)

ХЕ|Д = — s'at, откуда X =

*) Разница въ знакахъ соотв-Ьтствуетъ опред'Ьлент усилш п въ посл'Ьднемъ случа-fc отъ силы Х=1, а въ первомъ отъ противоположной силы Р— I.

При пониженш температуры происходитъ отрицательное прира-гцеше длины 23' элемента и величина усшйя X получается съ обратнымъ предыдущему знакомъ.

Относительно усилш п, вызываемыхъ въ элементахъ статически неопред'климыхъ фермъ д-Мствшмъ силы Х= I, сл^дуетъ вообще заметить, что они равны нулю для вс^хъ элементовъ фермы (фиг. 169), кроме частей Y3', Из*, ~¥з 23 и зя', а въ ферме (фиг. 170) они им^зютъ значеше для вс^хъ элементовъ фермы, въ чемъ легко непосредственно убедиться, определяя въ ней усилш отъ силы X— i (см. ниже фиг. 173).

97. Ферма со многими лишними элементами. Разсмот-римъ теперь ферму (фиг. 171) съ нисколькими лишними элементами, обозначенными пунктиромъ. Мы можемъ ихъ удалить

о'

I'

X,

0'

> / 1 ь*

ха)

X)

%\

Фиг. 171.

изъ фермы, зам'Ънивъ ихъ действш на ферму двойными и противоположными силами Х„ Х₂, Хъ. . . , равными усилшмъ этихъ элементовъ. Освободивъ ферму отъ опоръ заменой ихъ д^йствш известными ихъ реакцшми А и В, мы получимъ на плоскости свободную статически определимую ферму, находящуюся въ равновесш и подверженную действт известныхъ силъ—нагрузки и опорныхъ реакцш—и неизвестныхъ двойныхъ силъ X» Х₃. . . .

Назовемъ черезъ N усшйе элементовъ при этой нагрузке и черезъ N₀—усшйе, когда неизвестный силы Xt, Х₂, Х₃ ... . отсутствуютъ. Кроме того назовемъ черезъ п{ усшйе элементовъ той же статически определимой фермы, когда она подвержена действию только двухъ равныхъ и противоположныхъ силъ X,=i, а остальныя силы—нагрузка, реакцш опоръ и силы Х₂, Х₃ .... отсутсткуютъ. Точно также обозначимъ черезъ п — усшйе элементовъ, когда ферма подвержена действт только силъ X₂ = i; — черезъ п₃, когда действуютъ на ферму только силы Х₃ — i, и т. д. Такъ какъ на ферму действуютъ силы

^73

X,, X₂, X₃ . ... , неравный единице, то вызываемый каждой изъ нихъ усилш могутъ быть выражены черезъ w,X,, п₂Х₂, пъ Х₃ . .. а при одновременномъ д'Мствш вс'Ьхъ силъ —нагрузки съ реак-щями опоръ и силъ Хм Х₂, X, . . . . , усилю N элементовъ можетъ быть написано въ виде

iV — N₀+ пгХх ~ п₂Х₂ + и₃Х₃ + . . ..

Чтобы определить изменены разстояшя между двумя какими-нибудь точками, наприм^ръ точки i относительно точки 2' при действш вс^хъ силъ на ферму, мы можемъ перемещены одной изъ этихъ точекъ, напр. 2' принять равнымъ нулю или закрепить находящуюся въ равновесш свободную ферму въ точке 2', не нарушая равновесш фермы и относительныхъ перемещены ея точекъ. При такомъ состояния фермы, искомое перемещены точки i относительно неподвижной точки 2' определится, если приложить въ точке i въ направлены удлинены элемента 12' силу Р= I, противоположную направленш Х₂=1 и вызывающую реакшю точки 2', равную и обратную силе Р~ I, и усилю—п2 въ элементахъ фермы; затемъ применить известную формулу

" Еи>

подъ влынымъ его усилш X

s и приравнять это перемещены удлинешю элемента 12'

Е

т. е. —

Ем

Ей) 2

s₂ или

V (АГ0 Н~ Ч~ W2-^2 4- ПяХг-\~. . •) «о . Еш

*₂ = о,

Х₂

Еш₂

где знакъ суммы распространяется только на элементы статически определимой фермы (исключая лишны элементы). Применяя те же разсужденш относительно каждаго изъ лишнихъ элементовъ, получимъ столько уравнены, сколько имеется неизвест-ныхъ усилш X,, Х₂, Х₃ ....:

ЧК + п,х, + и,Х, + п,х, +...) g    = о

ЦК₀ + п,Х, + »,Х, + п,Х, + ...)-£ +

ЧК+»Л + «Л + п,х,+--)£+щ

X^Sc,

Еш ₂

. . (б₉)

S3= о

Решая эти уравненш первой степени относительно Хг, Х₂, А₃ . найдемъ значенш неизвестныхъ усилш элементовъ.

98. Левыя части этихъ уравненш могутъ быть разсматри-ваемы какъ частный производныя по Хл, Х₂, Х₃ . . . . отъ уравненш работы Т внутреннихъ силъ всехъ элементовъ фермы:

.V-

7,2

+ 7,(Х1

T=l!^s

s' + щ *> + ••■)

(Ц> ~Ь п1%1 4~ »2^2    »3-^S 4~ • • - )²

Еоу

, включая и лишше элементы

сь усилшми Xi, Х₂, Х₃ .... , работу которыхъ выражаетъ второй членъ суммы.

Такимъ образомъ недостающш уравненш для опред'клешя не-изв^стныхъ усилш Хг, Х₂, Х₃. . . . статически неопределимой фермы могутъ быть также написаны изъ условш, чтобы работа внутреннихъ силъ фермы для всгьхъ элементовъ ел при деформацш отъ данной нагрузки была наименьшей, т. е.

дТ

dX I

= о,

дТ

= о, -гг = О И т. д.

2

Примпръ i. Разсмотримъ показанную на фиг. 169 и 172 ферму пролетомъ 30 м., имеющую дв-fe оси симметрш, высоты ho=4,

/4,-9, /г₂= 12 и /г-₃= 13 м. и нагрузку по 20,25 т. въ верхнихъ узлахъ 3', 4' и 5', и опред-Ьлимъ ₄f\s \п усилш X лишняго элемента 23'. Отъ этой нагрузки при Х—о находимъ сл'Ьдующш значешя усилш No въ элементахъ 23, 2'р, г'з, 22' и 33':

0₃= — 24,12, £/3—18,13,03=17,864, V₂=— 13,79    ₀.

и V₃=—13,72 т- Разсмотр-Ьвъ эту ферму подъ р влшшемъ двухъ силъ Р=1 (фиг. 172 а), нахо- о" димъ изъ подобш ДД-ковъ значенш усилш ит-Ьхъ же 5 элементовъ:

га

Ь'    4■

S'

Afo

Г1

се га

г.

Р=1

Фиг. 172.

= о,374, бтз--х . Щ- — 0,374, V,— \. II, =0,967,

23'

23

23

22'

— i . —- = 0,891 и изъ равнов-Ьсш узла 2': D₃ — Оъ

2'3 _

23

з'з'

— I»

всЬхъ остальныхъ элементовъ усилш и равно нулю, поэтому для

а для

не определялись значешя No, такъ какъ въ формулу X входятъ они

нихъ

съ мно

жителями п, равными нулю.

Эле- | Длина менты.

SM.

<о см.²

N₀ кл.

Nn ns

п- s

(JL)

(JL)

со со

ГО    "сО ~СО

4 П с<1 р|

5,02 5,02 13,46

12,oo 13,00

I3>4*

IOO

I IO

60

200

О о оо со

°,374 °,374 — 1,000 0,967 I

0,891 — 1,000

—    24000 18130 1 17864

—13790

—    13720    — 1986,1

—    50 6 i

309,4

—    4006,6

—    800,1

0,00702

0,00638

0,22434

0,0561I 0,12906 0,16828

— 6934,0

0,59116

6934.0 _ 0,59116“

Y —    : Ш

S п ³ s : <о

усшпемъ D'Z=X=—11730 кл.

Зависания отъ X усилш N въ остальныхъ пяти элементахъ определяются по формуле N—No—пХ, соответствующей значешямъ п, найденнымъ отъ Р = i:

— 11730 кл., т. е. раскосъ 23 сжатъ

196x3, А = 18130 + 0,374 • 11730=22517,

0₂ = —240004-0,374 . 11730 =

Ai = 17864— i . 11730 = 6134,    Г₂=—13790 4 0,967 . 11730 = —2447 и

V₃ = —1372040,891 • 11730= —3269 кл.

Усшпя въ остальныхъ элементахъ фермы не зависитъ отъ X, такъ что данная ферма имеетъ только одну статически неопределимую панель.

Прим-гъръ 2. Для фермы съ параллельными поясами пролетомъ 35 м., показанной на фиг. 173, высотою им. и нагруженный въ нижнемъ узле 2 грузомъ юооо кил., требуется определить усилю X въ левой стойке оо'.

Удаливъ стойку и заменивъ ея действю силами X, соответствующими растягивающему / V усилш, определимъ сперва усилю въ частяхъ \/\ I фермы, когда Х= I, и нетъ другой нагрузки фермы. Изъ последовательнаго разсмотренш равновеая узловъ о, о', i, i'и т. д. находимъ, что все усшпя поясовъ равны i . ctga со зна-комъ 4 въ нечетныхъ панеляхъ и знакомъ — въ четныхъ; усилш раскосовъ также равны ± i: Sna, при чемъ верхний знакъ къ раскосамъ четныхъ панелей, а нижшй—къ нечетнымъ, и наконецъ усилю стойки 77' = i Отъ нагрузки Р =10000 кил. въ узле 2 при Х = о находимъ изъ равновесш узловъ о', i, 2', 3...., что раскосы, представленные пунктиромъ, вовсе

, где

0' ч- 4' - 21 ч- Ъ' - 4' ч- 5' - 6' + Г

XI

А|

(+

2    3    4

' 40000

Фиг. 173.

5 б <>⁷

относится

не работаютъ, а усилш остальныхъ раскосовъ равны ± реакцш опоръ А = ⁵/7 Р и В = '²/-j Р.

Snu

или zt

Sn о.

Найденныя усшпя N₀ и п, а также и размеры всЬхъ частей показаны въ следующей таблиц'Ь.

со

11

N₀ns

И³5

со

Ol

Об i

0₇

Ol

0₂

0₃

0₄

0₅

0₆

D,

о₅

о₆

о₇

А А D' з 0'4 А О'е

Vo

5>°° 5,00 5,00 5,°°

$5°°

51°° 5»°° 5,°° 5,°° 5j°° 5,°° 5>°° 5>00 5,00 12,о8 12,о8 12,о8 12,о8 12,о8 12,о8 12,о8 I 2,о8 12,о8 1 2,о8 12,о8 12,о8 I 2,о8 12,о8 I 1,00 11,00

1X2

156

168

156

112

I 12

102

102

140

152

140

102

102

63

44

28

28

28

44

63

94

70

50

50

50

70

94

100

IOO

— 6 494

4694

3896

3⁸9б

—    1299

—    1299

3247

3247

5195

5195

2597

2597

7850

— 3138

— 3138

— 7850

3138

3¹38

3138

— 2857

0,4545

—    0,4545 0,4545

—    0,4545

0.4545

—    0,4545 0,4545 0,4545

—    0,4545 0,4545

—    0,4545

0,4545

—    0,4545

0,4545

—    1,0984 1,0984

—    1,0984 1,0984

—    I.0984 I,0984

—    1,0984

—    1,0984 1,0984

—    1,0984 1,0984

■— 1,0984 1,0984

—    1,0984

—    94,60

52,7°

—    56.75

26,36

—    26,36 72,34

—    72,34 84,33

—    77>б? 42,15

—    57,86

2367,28

— 1487,03

— 946,30

1108,77

— 832,74

— 832,74

0,00922 0,00922 0,00662 0,00615 0,00662 0,00922 0,00922 0,01013 0,01013 0,00738 0,00680 0,00738 0,01013 0,01013

0,23134

0,33124

0,52051

0,52051

0,52051

°,33¹²4

0,23134

0,'55°5

0,20820

0,29149

0,29149

0,29149

0,20820

1,0

1,0

—    442,94

—    34,27

0,155°5

0,1 юоо Ojiiooo

— 1355,9«

4,62601

17 6

Следовательно усил!е первой стойки Vo равно:

293,10 кл.,

Шо ns:o> 1355,9х

а у сил ia въ остальныхъ частяхъ найдутся по формуле No -j- пХ, такъ какъ усилья п определены отъ силъ X ~ 1, а не противоположныхъ имъ силъ Р — I, какъ въ предыдущемъ примере. Отсюда можно видеть, что изображенная пунктиромъ система раскосовъ передаетъ на левую стойку VQ отъ

-- = 0,041; а по приближен-'

293,1    7

юооо

груза юооо кил. только -- —

ному способу, разбивая на две прост-Ушля фермы, нашли бы V₀ — о, т. е. погрешность не превышала бы 4,1°,'о.

3. Арочныя сквозныя фермы.

90. Арки съ 2 шарнирами. Разсчетъ усилш въ арочныхъ фермахъ отъ д'Мствш вертикальной нагрузки делается съ помощью инфлюентныхъ лиши для частей арки на слФдующихъ основашяхъ.

Известно, что реакцш опоръ арки съ двумя шарнирами имФютъ вертикальныя составляющая, равныя реакцшмъ простой балки того же пролета и отъ той же нагрузки, и горизонтальныя составляющш, равныя распору Н арки. Поэтому разсчетъ усилш въ частяхъ арки делается какъ для простой балочной фермы, подверженной: i) дФйствш вертикальной нагрузки, т. е. при Н— о и 2) действда въ опорныхъ точкахъ двухъ горизонтальныхъ силъ, взаимно противоположныхъ и равныхъ распору Н арки. Въ пер-вомъ случае усилш въ частяхъ арки отъ груза Р= I обозначаемъ черезъ а во второмъ случай отъ распора Н= i черезъ п₂.

Такъ какъ при разсчете усилш по способу Риттера въ пер-вомъ случай при дФйствш одного груза Р= i въ отсеченной воображаемымъ разрФзомъ части фермы единственной внешней силой является реакцш одной изъ опоръ А или В фермы, то представляется весьма удобнымъ сперва составить одну основную таблицу усилш частей фермы въ предположенш, что реакцш A— i или В= I, и затПугь, при положеши груза Р— i въ раз-личныхъ узлахъ фермы, найденныя значенш отъ A=i (5 = i) только умножать на соответственную величину реакцш опоры А или В, чтобы получить усилш п\ въ частяхъ арки отъ груза: Р— I при Н— о.

UL

Точно также таблица усилш пг въ частяхъ арки, разсмат-риваемой какъ простая балка, при д'Ъйствш двухъ горизонталь-ныхъ силъ Н— i, позволяетъ легко найти усилЫ отъ распора Н, умножая значенЫ п₂ на величину Н соответствующая распора арки. Сумма обоихъ усилш вида nt-\-n₂H очевидно пред-ставляетъ усшие п въ самой арке.

Формулу для определена величины распора Н въ арке съ 2 шарнирами можно вывести на основанЫ следующихъ сообра-женш. Сохраняя обозначены черезъ w, для усилш отъ груза Р= i въ частяхъ арки, разсматриваемой какъ балочная ферма, то есть при Н— о, а черезъ п₂ — для усилш въ той же ферме отъ действш горизонтальной силы H—i, приложенной къ подвижной опоре А въ направленш отъ А къ В, и называя черезъ s, со и Е длину части, площадь ея сеченЫ и модуль нормальной упругости, мы можемъ определить величину А, / горизонтальная перемещены точки А подвижной опоры балочной фермы отъ груза Р— i по известной формуле (стр. 243, ч. I фор. 236), прилагая въ точке А въ направлены ея перемещены А, / силу I, противоположную Н= i и вызывающую след, напряжете—п₂:

\ I _ У Н1П2

¹    £(О

а уменьшена А₂1 разстоянЫ между опорами балочной фермы отъ горизонтальной силы Н найдется по той же общей формуле

Д₂/ = D s = НЕ-p-s.

h оз    h со

HZ    , откуда, по сокращены на Е,

.... (70)

Такъ какъ разстояше между опорами А и В арки не изменяется, то оба перемещены должны быть равны другъ другу; следовательно

Ту же формулу мы можемъ получить, разсматривая равновесЫ арки, какъ простой балочной фермы, при действЫ горизонтальной силы H— i, и применяя къ нему начало возможныхъ перемещены, считая за таковыя деформацЫ отъ груза Р— i самой арки, которому въ частяхъ арки соответствуют напряжете п и деформацЫ

Еш S

», + Нп₂

Еш

Гакъ какъ при действ!и Р= i на арку перемещены точекъ приложены вн^шнихъ силъ — реакцш опоръ арки — равны нулю, то для разсматриваемаго равнов^сш балочной фермы при дей-ствш Н= i необходимо, чтобы

Ъп₂ • -•- 5 = 0, поэтому

у\ 11 \1l%S    гг у,    S

i-i — О Zj — »

h w    bw

откуда для распора Н находимъ ту же формулу

tj__    nx1l₀S ^ у, IlyS

П — tmi - * i—I *

Изъ этой формулы между прочимъ можно видеть, что величину распора Н можно найти, не зная самыхъ площадей со сечены частей арки, а имея только отношены ихъ или числа имъ пропорцюнальныя, который при проектированы арки можно предварительно выбрать изъ существующихъ сооружены.

Разсчетъ арки рекомендуется вести въ слфдующемъ порядке. Приложивъ грузъ Р= i въ первомъ узле, опред'Ьляютъ усилы п₁ во всЬхъ частяхъ арки, какъ простой балки, и располагаютъ ихъ въ первомъ вертикальномъ столбца таблицы. Потомъ пом'Ь-щаютъ грузъ Р = i въ узле № 2 арки, находятъ значены усилш «i и располагаютъ ихъ во второмъ вертикальномъ столбца таблицы, и т. д. до посл-Ьдняго узла арки. Зас£мъ прилагаютъ силу H~ i и определяюсь значены усилш п₂. Имея значены и, и п₂ и задавшись числами пропорцюнальными площадямъ со, вычисляюсь распоръ Н отъ груза Р= I, помещеннаго последовательно въ узлахъ i, 2, з, . . . . , и значены п₂Н для каж-даго положены груза; последны располагаютъ вертикальными столбцами во второй таблице. Складывая значены w, каждаго столбца первой таблицы со значеными п₂Н того же столбца второй таблицы составляемъ третью таблицу усилш n — n₁-\-n₂H въ арке, расположенныхъ въ ней также вертикальными столбцами, соответственно положенш груза Р— i въ узлахъ i, 2, 3 и т. д. Въ этой последней таблице № 3 каждый горизонтальный рядъ будетъ представлять усилы п какой-нибудь части арки при положеныхъ груза Р— i въ узлахъ i, 2, 3 и т. д., т. е. значены ординатъ инфлюентной линш усилы этой части, посред-

ствомъ которыхъ искомая инфлюентная лишя въ виде многоугольника можетъ быть построена. Вычисливъ величину танген-

совъ угловъ наклонешя «, а,, а},.....сторонъ этой линш,

определяютъ невыгоднейшш положешя поезда по знаку производной R]tgal -|-R₂tgoL₂ -[- i?₃^a₃ 4- ....

ЮО. Распоръ отъ измгьнетл температуры на ляется по формуле

t° опреде-

н=.-±-

Eat

v п-s

(71)

Ее можно получить, подобно формуле распора отъ вертикальной нагрузки, разсматривая арку какъ простую балочную ферму, подверженную действт горизонтальной силы Н на опоре и приравнивая перемещен^ А/ этой опорной точки (выражаемое, согласно предыдущему, черезъ арки a tl отъ температуры, т. е.

£ —-²    ) измененпо длины

«5 5

£ш

= atl, откуда

Eatl

U)

Въ этой формуле уже нельзя значешя со площадей с^ченш эле-ментовъ арки заменять пропорциональными имъ числами, а нужно иметь величину самыхъ площадей. Поэтому при проектировали фермы влшше температуры оценивается приближенно, определяя по формуле (250) стр. 257 ч. I. напряжете п отъ температуры и уменьшая на его величину допускаемое напряжете R для фермы. Этимъ путемъ при проектировали устраняется влшше температуры и является возможность заменить площади сечены частей арки пропорцюнальными имъ числами, определить отъ вертикальной нагрузки распоръ Н, усилш частей и, по допускаемому налряженш R — п, необходимый для нихъ сеченш.

Двухшарнирныя арочныя Фермы съ затя?ккой разсчиты-ваются какъ простыя балочныя фермы съ однимъ лишнимъ эле-ментомъ — затяжкой. Изм^нете температуры въ такихъ фермахъ, какъ было уже выше указано (стр. 256), напряженш не вызываешь.

i8o

101. Арки безъ шарнировъ. Арочная ферма съ двумя заделанными пятами разсчитываются, подобно такимъ же аркамъ сплошного скченш, какъ ферма съ одной закрепленной опорой, если удалить другую опору и заменить ея действш парой силъ съ моментомъ Мг и двумя силами — вертикальной V и горизонтальной Н, приложенными къ какой-нибудь неподвижной точке фермы на опоре, напр. точке А (фиг. 174). Для такой фермы, закрепленной однимъ концомъ BB' и подверженной действпо

б:

6;

Фиг. 174.

нагрузки, паре силъ М, и силамъ Уи Н, мы можемъ определить усилш въ частяхъ арки отъ каждой изъ этихъ 4 СИЛЪ, действую-ШИХЪ отдельно. Назовемъ: т) черезъ N₀ усилш, вызываемый одной нагрузкой (когда M₁=H=V=o'); 2) черезъ я, усилш, вызываемый одной силой Н-i (когда нетъ нагрузки и М, — V= о) и след, черезъ ntH усилш отъ силы Н\ 3) черезъ п₂ усилш, вызываемый силой F=i, когда нетъ ни нагрузки и Мг = Н— о, и след, черезъ n₂V— усилш отъ силы F; и 4) черезъ п} усил!я въ ферме отъ пары силъ M, = i, когда нетъ нагрузки, ни силъ F и Н, и след, черезъ пъМх — усилш отъ пары М,. Очевидно, при одновремен-номъ действш всехъ силъ, усилш N частей арки выразится суммой отдельныхъ действш

N = N₀ nl Н + п₂ F + пг М

въ которой неизвестны только три величины Н} F, М,. Оне найдутся изъ трехъ уравнешй, выражающихъ услов1я неподвижности конца AA' арки: i) перемещенш точки А арки при де-формаши по горизонтальному направлешю равно нулю, 2) пере-мещен!е ея по вертикальному направлешю также равно нулю и

3) уголъ вращенш сеченш AA' арки при деформащи равенъ нулю. Все эти перемещенш могутъ быть выражены по общей формуле 8 — 2 — 5 (форм. 236 стр. 243 и форм. 225 стр. 236,

ч. I)/

Перемещена о, точки А по горизонтальному направленш определится, если къ точке А по этому направленш приложить силу I, т. e. Н= I, и найденный отъ этой силы усилш п₁ подставить въ общую формулу, т. е.

. . (72)

о. = S ^ s = о

Перемещена о₂ точки А по вертикальному направленш получится по обшей формуле, подставляя вместо п значеше п2 усилш, вызываемыхъ силой i по направленш вертикальнаго пе-ремещенш, т. е. силой V=i. Следовательно

(73)

о    s

²    £<u

Наконецъ уголъ вращенш сеченш AA' получится по той же формуле, заменяя п усшпемъ пь, происходящимъ отъ действш пары силъ i, приложенной къ AA' по направленш искомаго вращенш, т. е. отъ Mi — 1. Следовательно

(74)

Ь to

У    s

Подставивъ въ найденныя три условш вместо N его значеше N₀ nl Н-j- п₃ V-\-пг М,, получимъ уравнешя, определяющая значеше неизвестныхъ Н, Г и М₍:

П2

«?

HZ-fcs+FS

S+M£

HL ”!Wl s -f    +

s+

E u>

-ггv n1

Еш

W 1«Я

Ь U>

n\

с Л- V ^(|Wl с _ г,

‘ + ^ = 0

• • • (75)

Те же уравнешя получимъ, если выберемъ такш значенш пе-

ременныхъ силъ Н, V и Му въ закрепленш арки, чтобы работа

N²

деформацш всехъ частей арки Т = S s была наименьшей. Для этого необходимо v Ns dN

= ² W ТЕ? — О,

£<х) дН

Такъ какъ N= N₀ ф nxHĄ- n₂VпъМх

дТ

дН

Ns dN Еш oV

. 7= О и

дТ _ у дМх~

Ns dN Еш О М

= о.

dN

ĆN

и dH=in^dv = n2 и

()АТ

дТ

ТО дИ ~

£ ^о,

дТ v, Nn.₂s

W -    " и

дТ

~дМх ~~

/-ЧО

решивъ эти три уравненш, найдемъ значен1я трехъ неизве-стныхъ Д V и М,, а след, усилш N— N₀-\-n₁ Н-\- п₂ V пг М1 всехъ частей арки.

XV. Давлеше земли.

102. Равновесие земляной массы. Въ строительномъ деле встречается надобность поддерживать съ боковъ земляныя массы стенами. Такш стены известны подъ именемъ подпорныхъ стпнъ. Подпорная стена должна быть такъ устроена, чтобы долговременное и безопасное существоваше ея было обезпечено. Для удовлетворены этому требованпо форма и размеры подпорной стенки должны быть такъ выбраны, чтобы она при действш внешнихъ силъ обладала необходимой прочностью и устойчивостью. Внешними силами являются собственный весь Р стены и давлеше на нее К₀ земляной массы. Первая сила легко определяется по размерамъ стены; определена же величины и положены второй силы представляетъ более сложную задачу и возможно при допущенш некоторыхъ условш.

Разсмотримъ сперва вообще состояше равновесш однородной земляной массы; мы будемъ предполагать ее ограниченной сверху призматической поверхностью съ горизонтальными ребрами и съ боковъ двумя плоскостями, перпендикулярными къ ребрамъ и находящимися на единице разстояшя одна отъ другой (фиг. 175).

< -zf+i’

Представимъ себе внутри земляной массы плоскость и на ней какую-нибудь элементарную площадку du, и пусть п и t озна-чаютъ нормальную и касательную внутреншя силы, отнесенныя къ единице площади. Тогда для равновесш разделяемыхъ площадкой элементовъ массы необходимо и достаточно, чтобы £<ц/-[-у, где /—коефищентъ внутренняго трешя земли, а у — сила сцепленш, или сила противодействш разъединенш частицъ земли вдоль плоскости соприкосновешя. Умножая это неравенство на величину площадки w и суммируя элементарныя силы на всей плоскости, получимъ для последней условш равновесш

Г <7 Nf-\- yoj или

тренш на среднее нормальное усилш

т. е. для всякой плоскости, проведенной въ земляной массе, находящейся въ равновесш, среднее касательное усшпе --- должно быть меньше суммы произведены изъ коефищента / внутренняго

и силы сцеплены у. Если

Фиг. 175.

для какого-нибудь элемента плоскости t—nf-r- у, то прилегающы къ нему частицы земли въ состоянш скользить, одна по другой; если же это равенство будетъ иметь место для всЕхъ элементовъ плоскости или вообще какой-нибудь цилиндрической поверхности ab, то последняя называется поверх- а ностъю скольжешя, а ея пересечете L ab съ перпендикулярной къ ней плоскостью называется линий сколъ-жешя (фиг. 175)- Очевидно, для нея неравенство обращается въ равенство

При дальнейшихъ выводахъ мы будемъ принимать сцепленю земли у—о, т. е. будемъ разсматривать самый неблагоприятный случай — случай рыхлой свеженасыпанной земли. Очевидно, условш равновесы для такой земляной массы будутъ темъ более достаточны для равновесы массы, обладающей некоторымъ сце~ плешемъ. Въ этомъ случае условы равновесы для элемента массы и для всей части, отсекаемой плоскостью, принимаютъ видъ

V/

V/

где f=tg<? означаетъ коефищентъ трены земли. Оба неравенства показываютъ, что для равновесы земляной массы необходимо и достаточно, чтобы давлеше п на произвольно взятый элементъ dia или плоскость внутри земляной массы составляло съ нормалью къ элементу или плоскости уголъ а, менышй угла трены о земли по земле. Равенство угла а, составляемая равнодействующей давлены остальной земли на отделенную часть ея по плоскости ab, и угла трены о служитъ достаточнымъ услов1емъ, чтобы плоскость ab была плоскостью скольжешя.

Предположимъ, что масса земли, не имеющая сцеплены и находящаяся въ равновесш, ограничена какой-нибудь цилиндрической поверхностью АСВ, на которой н^тъ никакихъ силъ (фиг. 176).

Ъо

ъ’

ао

R Н\

Фиг. 176.

о'

Перес'Ьчемъ эту массу какой-нибудь плоскостью ab, параллельной производящимъ цилиндрической поверхности. Отделенная часть аСЬ земляной массы находится въ J=' равновесш подъ д^й-ствшмъ собственнаго в^са О и равнодействующей R давленш на нее остальной части земли по плоскости ab. Следовательно, эти две силы равны и взаимно противоположны; кроме того уголъ ос, составляемый силою R съ нормалью къ плоскости, или равный ему уголъ плоскости съ горизонтомъ, долженъ быть меньше угла трены <р. Это условш будетъ справедливо для всякой плоскости а'Ь', параллельной ab, и остается справедливымъ и въ томъ случае, когда секущая плоскость ab обратится въ касательную а₀Ь Такимъ образомъ для равновесы разсматриваемой земляной массы необходимо, чтобы направлеше ограничивающей массу поверхности или ея откосовъ составляло съ горизонтомъ уголъ, менышй угла трешя. Если ограничивающая массу поверхность есть плоскость, то уголъ ос наклонены ея къ горизонту долженъ быть меньше или равенъ углу 9 трешя; въ последнемъ случае (ос=<р) плоскость называется естественнымъ откосомъ. Опытъ подтверждаем такое заключена.

103. Неопределенность задачи. Пусть масса земли, находящаяся въ равновесш, ограничена плоскостью АВ стены (фиг. 177) и откосомъ ACDEF, части котораго съ горизонтомъ составляютъ углы, меньпйе угла естественнаго откоса о. Длину стены и земляной призмы, перпендикулярную къ плоскости чертежа, мы везде будемъ принимать равной единице. Возьмемъ какую-нибудь точку b на АВ и проведемъ черезъ нее плоскость ЬХ, подъ про-извольнымъ угломъ г къ вертикали, отделяющую отъ земляной массы призму bACDEX. Последняя находится въ равновесш подъ

действ1емъ i) собственнаго веса Q, 2) реакцш стенки R₀, равной и противоположной производимому на нее давленш земляной массой, 3) равнодействующей R давленш нижней части массы на отделенную верхнюю часть по плоскости ЬХ. Пусть а₀ и ос углы, образуемые направлениями этихъ силъ съ нормалями къ

ад,

о* Jb

<■

Фиг. 17 i.

плоскостямъ Ab и ЬХ. Эти три силы должны пересекаться въ одной точке и составлять замкнутый треугольникъ силъ. Если бы углы а₀ и а были известны, то мы могли бы найти величину силы R₀ изъ треугольника силъ

Ro = Q

Sn(R, Q)

Sn (R, R₀)

Въ этомъ уравненш сила Q есть функщя угла г; точно такъ же и углы между направлешями силъ R и Q, или R и R₀ могутъ быть выражены черезъ углы а₀, ос, i и уголъ г наклонешя плоскости стены АВ къ вертикали. Поэтому предыдущее уравнеше равновесш силъ можно представить въ виде

Ro — F (г, ос₀, а).

Но реакщя R₀ и уголъ ея ос₀ съ нормалью къ стене не зависятъ отъ положенш секущей плоскости ЬХ и величины г ея угла съ

вертикалью, тогда какъ

есть известная функцш угла i; пусть

«=КО-

Поэтому для всякаго значенш переменнаго угла i

dRo

Заменяя

Э:-§*

dr . dF do.

— O, ИЛИ —j~.    ~r~ • ~ — O.

di    di do di

(i) получимъ    (l) - o.

Такъ какъ уравнеше R₀=F (/,    »и) должно давать одну и

ту же величину R₀ для всякаго положены плоскости ЬХ и ея угла /, то мы можемъ разсмотр^ть то ея положеше и уголъ i0 для которыхъ а им^етъ наибольшую величину. Пусть ос, бу-детъ это значеше = шпх.ос; следовательно,

Предыдущш уравнены для значенш а, и /, примутъ видъ

R₀ ⁼ F Oi,    а⁰) и

dF

di i

-гг- = О.

Исключивъ изъ этихъ двухъ уравненш величину г,, выразимъ величину i?₀ въ фунщи угловъ ос, и а„. Но результатъ исключены будетъ тотъ же, если мы въ этихъ уравненыхъ заменимте г\ черезъ i, т. е.

R₀ = F(i, се,, ао) и£ = о.

Такъ какъ предыдущее уравнеше R₀=F (г, ос, ос₀) выражало условш равновесы силъ i?G, ^ и О, то первое изъ двухъ по-следнихъ уравненш также выражаетъ условш равновесы силъ R₀, О и некоторой силы i?,, составляющей постоянный уголъ ос, съ нормалью къ плоскости &Х; второе уравнеше показываетъ, что R₀ есть наибольшая величина F (г, а,, ос₀),    функцш

одного перемгъннаго i.

Такимъ образомъ, если бы намъ были известны уголъ ао, составляемый давлешемъ R₀ съ нормалью къ стене ЬА и наибольшая величина aj угла ос, образуемаго действительной реак-щей R съ нормалью къ плоскости ЬХ, при измененш положены последней, то величину силы R₀ мы могли бы определить какъ наибольшее значенш силы R₀, находящейся въ равновесш съ силами О и Rl переменной призмы ЪАХ, предполагая, что сила

i87

Ri составляетъ постоянный уголъ ос, съ нормалью къ переменной плоскости ЬХ.

104. Предельное равновесш. При обыкновенныхъ условыхъ устойчиваго равновесы угла ос₀ и а, являются неизвестными, и давлеше земляной массы на стену, въ зависимости отъ способа возведены стены и насыпи и ихъ взаимной осадки, можетъ иметь различныя значенш и вообще оказывается неопределеннымъ. Поэтому въ дальнейшихъ выводахъ мы ограничимся определешемъ давлены земли для случая предплънаю или неустойчивою равно-вгьая, когда равновесш стены и поддерживаемой ею земли нарушается и отделившаяся часть земли, или призма обрушены, на-чинаетъ скользить внизъ по стене ЬА и по плоскости ЬХ, называемой плоскостью оорушетя. Очевидно, вполне достаточно придать стене Tanie размеры, чтобы она могла сопротивляться этому предельному давлешю въ моментъ нарушены равновесш. При этомъ уголъ ос имеетъ уже определенное значеше и равенъ ©, и уголъ а₀=ф'} где черезъ © обозначенъ уголъ трены земли по земле, а черезъ ©'— уголъ трены земли по кладке. Если ©'>©, то къ стене пристанетъ тонкш слой земли, и скольжеше призмы будетъ происходить по этому слою, такъ что уголъ ос0 надо тогда положить — ©. Вообще, называя черезъ % менышй изъ угловъ ©' и ср, будемъ иметь ао=©о. Въ практике обыкновенно ср₀—ср, и въ редкихъ случаяхъ гладкихъ стенъ <р₀ — <р'.

Такимъ образомъ для решены вопроса о наиболыпемъ давлены земли на стену .мы пришли къ следующимъ условымъ задачи: i) что сила R₀ составляетъ съ нормалью къ стене уголъ ©₀, равный меньшему изъ двухъ угловъ © и ©' трены земли по земле и земли по кладке, и 2) что для определены величины R₀ надо найти между всеми плоскостями ЬХ, разсматриваемыми какъ плоскости скольжены, такую, которой соответствуетъ наибольшее значеше силы R₀; оно и представитъ намъ искомую ве личину R₀ давлены земли на стенку ЬА.

105. Способъ Понсле. Применимъ къ определент величины тах. R₀ графическш способъ, предложенный Понсле. Пусть АВ — плоскость стены, ACDEF—профиль земли, и ЬХ₁ — плоскость обрушены, встречающая этотъ профиль по откосу CD (фиг. 178). Проведемъ ЬХ подъ произвольнымъ угломъ г къ вертикали. Отделяемая ею призма ЬАСХ находится въ равновесш

подъ д'Мствкмъ собственнаго в^са О и силъ R₀ и R, соста-вляющихъ съ плоскостями ЬА и ЬХ углы 90⁰—и 90"—

О*

\ч

“—9"

'"Л

рУ''

\s

\b'

'>чЛ N /

\ '\r~~V"

\\

4.

sltai

CG

Фиг. 173.

2Г

V/

У-"

Призму ЬАСХ обращаемъ въ* равновеликую ей призму ЬА'Х, проведя AA' Ц СЬ. Зат^мъ проводимъ черезъ точку Ъ прямую ЬО

i8g

подъ угломъ © -j~ ©о къ плоскости стены ЬА до перес^чешя въ точке О съ продолжешемъ откоса A'CXD, затемъ прямыя ЬК, Хх и А 'Т, параллельныя естественному откосу и составляю-щш съ вертикалью уголъ 90"—©; и наконецъ прямую ^'//параллельно ЬХ.

Треугольникъ тпр силъ О, R и R₀ подобенъ треугольнику ЬхХ. Действительно, въ треугольнике силъ уголъ птр между направленный силы R и силы Q, или вертикально bZ', равенъ разности угловъ XsZ' и Z'bs, т. е. 90° — © — i; точно такъ же уголъ тпр между силами Rn и О, или вертикалью bZ' равенъ разности угловъ At Z и Ab Z, т. е. 90й—% — г; следовательно третш уголъ ■$: npm—f^-\-oo-\- /-f-s. Съ другой стороны, въ треугольнике х ЬХ уголъ хХЬ — ХЬК — разности -9с Z ЬК — ZbX = 90 — © — i~ -А птр, и уголъ хЬХ = © -f- ©₀ -f- s -1- * = = < w/ш.

Ьх

~, или Ro— О .

Изъ подобш треугольниковъ хЬХ и прт следуетъ Ro _

Хх

Q “ Хх

Если о — весъ единицы объема земли, то весъ призмы

0 = 0 АЛЬХ = о .. &ЬХу-~Ъ . % . Хл- . 5wX*6 или Q = ~ о . by . Хх . Sn А Tb.

Поэтому сила

J о .Ьх .by . SnATb.

Такъ какъ уголъ A'Tb = 90°—©₀ — -е постоянный, то наибольшая величина <2 соответствуетъ наибольшему значенда произведен^ fac . by или

QOb — Ох) (Ob — Oy) = Ob² — Ob (Ox -f- Oij) -f- Ox . Oy.

Но произведете Ох . Oy есть величина постоянная при изменены угла i, потому что изъ подобш треугольниковъ имеемъ

от

откуда Оу . Ох — Ob . ОТ.

Оу __ OA' _

Ob ~ ОХ —

Следовательно, maximum произведенш Ьх. by соответствуетъ minimum’у суммы Ох -}- Оу, что при постоянномъ произведены

Ох. Оу получится при Ох = Оу, когда точки х и у совпадаютъ въ некоторой точке лу. Ея положеше найдемъ, описавъ на ЬТ, какъ на дтметре, полуокружность и отложивъ длину Ол⁻, равную длин-i касательной 0L, проведенной изъ точки О къ окруж-

ности

. Тогда шах . R — — Ь . Ьх\ . SnА¹ ТВ. ° ₂

параллельно

направлешю естественнаго откоса А'Т, то опредТлимъ положена точки X,, а следовательно и положеше плоскости обру-

Если проведемъ изъ точки хх прямую х X

шенш ЬХх.

Итакъ для опред-кленш давленш R₀ земли на часть стены Ab нужно: превратить многоугольную фигуру ЬАСХ сеченш призмы въ равновеликш треугольникъ bA’X, при чемъ точка A’ должна быть взята непременно на продолжены пересекаемой стороны CD профиля призмы; провести основную прямую ЬО подъ угломъ AbO=rfJr<?o и прямую A’ Т параллельно естественному откосу, описать на ЬТ полуокружность, провести къ ней касательную ОХ < и отложить Oxx — OL\ затемъ провести изъ точки х, прямую • xt Хг параллельную А'Т. Тогда искомое давление R₀ выразится

~obx; . SnA'Tb, а неизвестная площадь обрушешя определится прямою ЬХх. Если на прямой ххХ, отложимъ x^—Xib, то площадь треугольника Ьсх:, умноженная на 8, выразитъ въ масштабе чертежа, давлеше земли R₀. Будемъ называть его «тре-угольникомъ давленш земли». Величина SnA'Tb=Sn(90° — <р — е) = Cs (% + е), при чемъ уголъ е считается положительными если стена ЬА наклонена впередъ, и отрицательными если она наклонена въ сторону земли.

Следуетъ заметить, что отрезки ОТ, Охг и Ob пропор-цюнальны отрезкамъ О А', 0Хг и 0К\ поэтому между последними существуетъ также отношеше 0A' . ОК=ОХ\\ следовательно, точку Хх можемъ определить, проведя изъ О касательную ОТ' къ полуокружности АТ К и отложивъ ОХ^ — ОТ'.

Если бы точка Х₁ получилась въ пересечены съ другимъ откосомъ напр. DE, то нужно повторить построена, принимая, что точки О и А¹ находятся на прямой DE, при чемъ точка A' определяется по условш, что треугольникъ А'ЬХ равновеликъ съ площадью многоугольника bACDX

¹9I

10G. Изъ доказаннаго можно вывести еще другой признакъ для определена плоскости обрушешя ЬХ,. Действительно, изъ урав-ненш Ох*—ОТ.Ob и параллельности А'Т и х₁Х₁ сл^дуетъ

ОТ __ OA' Ob — Ох, ~ ОХ, ’

Ох,

т. e. A'л⁻, ЬХ, и площадь Д-ка ЬХ₁х₁ равна площади А-ка ЬХ,А'— площади призмы обрушешя ЬАСХЕсли же проведемъ изъ то-чекъ A' и X, параллельно ЬО прямыя A'S и Xyv до пересЕчешя съ направлешемъ естественнаго откоса земли Ьк въ точкахъ 5 и v, то площадь А-ка bXyv, равнаго bXtxn оказывается равной площади призмы обрушешя ЬАСХ,. Такимъ образомъ положеше плоскости обрушешя ЬХ, можно найти изъ условш, что отделяемая ею площадь ЬАСХ, — равна площади А-ка bX,v, определяе-маго прямой X,v, параллельной основной лиши ЬТ. Такъ какъ отрезки bS, Iw и Ьк—пропорцюнальны ОА', ОХ, и Ок и 0Х,² = = ОА'. Ок то и bv²=bS.bk. Поэтому положеше плоскости об-рушенш ЬХ, можетъ быть найдено и другимъ построешемъ: провести изъ точки A' прямую A'S параллельно основной лиши ЬТ, описать на отргьзкгь kS полуокружность, провести изъ точки Ъ касательную Ьи, отложить bv — bu и изъ точки v провести прямую vXy || ЬТ, которая въ переспченш съ прямой А'к опредгьлитъ точку Ху, а слпд. и положеше искомой прямой ЬХ,.

/ч\ \

При этомъ следуетъ заметить, что весъ призмы обрушешя ЬАСХг всегда ра-венъвесупризмы bX,v и что А-къ bX,v, равныйА-ку ЬХ,х,, также по-добенъ треугольнику силъ три.

я?

Фиг. 179.

ч^

Если отложить на прямой Ьк отъ ° точки v отрезокъ vt—vX„ то Д-къ vX,t, равный Д-ку

bxi С, по умноженш на плотность земли 6, выразитъ давлеше

Если поверхность земли ограничена не прямыми, а кривой лишей (фиг. 179), то въ этомъ случай можно или заменить кривую достаточно близкимъ къ ней многоугольникомъ вписан-нымъ или описаннымъ, или применить следующее построена, основанное на доказанномъ свойстве призмы обрушены, что площадь ея (фиг. 178) ЬЛСХг равна площади Д-ка bX,v.

Изъ точки b проведемъ рядъ сЪкущихъ bxt, Ьх₂, Ьх₃ и изъ точекъ х1у х₂, лг₃ параллельно основной лиши ЬО — прямыя xtvn x₂v₂, *3^3. Отъ точекъ х,, х₂, хг отложить вертикально ординаты, равныя площадямъ ЬАхп ЬАх„ ЬАх₃, и вычертить кривую ss; за-т'Ьмъ изъ т'Ьхъ же точекъ отложить ординаты, равныя площадямъ треугольниковъ bxtvl} bx₂v₂, bx₃v₃, и вычертить кривую tt. Пересечете об'Ьихъ кривыхъ определить точку х призмы обрушены, которая определяется условшмъ:

площ. ЬАх = площ. Д bxv.

107. Частные случаи. Пусть АВ—плоскость стены, поддерживающая земляную массу (фиг. 180), и АС—ограничивающий

X,

/■

Х/7/!

Z/

‘K/L

У I s<w

-4—/—

А / /³

о;х- ту щ

/    / \ I

т/ V/

/*•/

1/

L "----

Фиг. 180.

ее прямой откосъ. Въ этомъ случае точка A' совпадаетъ съ А. Поэтому для определены давлены земли на стену Ab нужно

провести прямую ЬО подъ угломъ <p-j-cp₀ (или 29) к'ь прямой ЬА, а черезъ точку Д —прямую АТ, параллельную естественному откосу; зат^мъ на ЬТ описать полуокружность, провести къ ней касательную OL и отложить ея длину OL—Ox:. Тогда давле-Hie на ЬА:

R — ~Ь . Ъх\ . Sn А Tb.

⁰    2

, между отрезками Ох[, О'Ь' и О Т' суще-

Проведемъ черезъ точку xt и А прямую Axt. Для определенш давленш земли на другую часть стены b'А достаточно провести черезъ точку b' прямую b'О' I! ЬО; ея пересечете съ прямою Ах, въ точке х\ опред'Ьлитъ отр^зокъ b'x'квадратъ котораго по умноженш на lhoSnA 77;выразитъ давлеше землина b'А. Действительно, отрезокъ Ох₁ определенъ какъ средняя пропорцюнальная между отрезками Ob и ОТ; но вследствш пропорщональности Р'х\ __ ОТ _ О'Т'

Охг Ob ОТ ствуетъ такая же зависимость

0'х':= О'Ь . О'Т',

и потому давлете земли на Ab' будетъ

.SnATb. Откуда

'2

К = - 8 . Ух ⁰ 2

R₀: R₀ = Ъ'х'1: Ьх\ = У А¹: ЬАЛ = АХI: АХ'\.

т,

3_L

Такимъ образомъ давлеше земли изменяется пропорщонально квадрату Ьхг или ЬА и следовательно пропорщонально площади треугольника ЬАхг или Д-ка ЬАХ,, а приращеше давленш на длине bb' пропорщонально площади тра-пещи bb'x,x'Изъ этого следуетъ, что точка приложена давленш находится на одной трети ЬА отъ точки Ь.

108. Въ

ДА_

Фиг. 181.

част-номъ случае (фиг. 181), когда поверхность земли ограничена откосомъ АС, параллельнымъ

естественному откосу bS, точка к пересечения АС съ bS удаляется въ безконечность, также какъ и точка Х₁ плоскости обрушенш, но отрезокъ A,v (фиг. 18о), параллельный AS, сохраняетъ постоянную величину mv между прямыми АС и bv и можетъ быть определенъ для любой точки т, также какъ и треугольникъ mvt давленш земли. При этомъ плоскость обрушенш совпадаетъ съ bS.

109. Для случая прямого откоса АС (фиг. 180) здесь уместно будетъ решить обратную'задачу: Дана точка X,; найти точку b плоскости обрушемя ЬХ,, проходящей черезъ Хг Для этого можно взять на Ab произвольную точку Ь', провести основную линда b'0', пересекающую въ точкахъ 0' и Т продолжеше прямой АС и прямую А Т, параллельную естественному откосу bS, найти точку х\, чтобы 0'xi была средней пропорщональной между О'Т' и О'Ь', и провести прямую Ах\, какъ геометрическое место всехъ точекъ л*,. Тогда прямая Х,хи проведенная черезъ данную точку Xlt параллельно АТ', определитъ искомую точку хх въ пересечения съ прямой Ахх', а прямая ОХД, проведенная черезъ точку х, параллельно О'Ь', въ пересеченш съ прямой АВ даетъ искомую точку b и плоскость обрушенш ЬХГ

Эту же задачу можно решить и другимъ способомъ, разсмат-ривая подобш треугольниковъ АЬ₃хг и ЬЬД, и затемъ bb₂x, и Ь₂Хге, где Ь₂ и е представляютъ точки пересеченш прямой АВ съ прямой Х,х,, параллельной естественному откосу, и прямой Х{е, параллельной основной лиши ЬО. Изъ подобш первыхъ треуголь-Ъ₂* i b₂xt

у    \Ъф

никовъ имеемъ -fr

АК

, а изъ подобш двухъ другихъ тре-

угольниковъ

b₂Xf _ Ь₂в

b₂xt

Ъф

откуда

ж = ^’ИЛШ W = K'.b,A.

След., описавъ на Ьге полуокружность и возставивъ изъ А пер-пендикуляръ до пересеченш съ окружностью въ точке /, полу-чимъ b₂f²=b₂e.b₂A, и отложивъ затемъ b₂b = bj, найдемъ искомую точку Ь. Последнее решевш задачи представляется более удобнымъ.

НО. Разсмотримъ теперь случай, когда земляная масса ограничена сверху горизонтальной плоскостью АС (фиг. 182), и стена имеетъ вертикальную грань ЬА и уголь тремя <р₀=о.

Въ этомъ случай прямая ЬО должна составлять съ Ab уголъ <р, равный углу О АТ; следовательно, АТ перпендикулярна къ Ob. Но для прямоугольнаго треугольника ЬОА катетъ О А есть средняя nponopnio- \ нальная между гипотенузой Ob и отр^з* комъ ОТ. Поэтому, описавъ изъ точки О дугу Ахг до пересечены съ Ob, найдемъ отрезокъ bxz; прямая х, Х1} параллельная откосу АТ и, следовательно, перпендикулярная къ Ob, определить точку X\ и положеше плоскости обрушены ЬХПри этомъ давлеше земли

жЩ

w

A Xi

Фиг. 182.

8.

i?G =    * о . SnATb]— bx\ •

Изъ равенства прямоугольныхъ треугольвиковъ О Ab и Ох₁Хх находимъ, что ОХ, = ОЬ; отрезокъ Ьх₁ = АХ₁; уголъ ЬХгхх —

К) -в

, и да-

= углу АЬХ₁ = у угла АтХг = ~ Угла TAb = 45⁰

влеше земли = — о . ^X². ,

⁰ 2 ⁷

или

*. = t“V(4S°->).

где черезъ h обозначена высота стены

Такимъ образомъ въ случае вполне гладкой вертикальной стены, давлеше земли будетъ иметь горизонтальное направлен^

и точку приложены на разстоянш высоты отъ точки А; уголъ

АЬХ₁ призмы обрушенш, составляетъ половину угла, образуемаго направлешемъ естественнаго откоса съ вертикалью ЬА, такъ что прямая bXt делитъ этотъ уголъ пополамъ. Последнее свойство имеетъ место даже въ томъ случае, когда вполне гладкая стена будетъ наклонена къ вертикальной плоскости подъ какимъ-ни-будь угломъ.

111. Пусть Ab (фиг. 183)—наклонная плоскость стены, поддерживающая земляную массу и АС—ограничивающей ее откосъ; на немъ распределена вертикальная равномгьрная нагрузка, которую мы можемъ представить въ виде воображаемаго слоя земли толщиною h₀Csa, где а—уголъ наклонены откоса АС къ горизонту.

Для опред'кленш давленш на стену ЬЛ, проведемъ какую-нибудь плоскость ЬХ и в^съ отделенной земляной призмы ЬАХ съ нагрузкой по длине АХ назовемъ черезъ Q. Проведемъ прямую ЬО подъ угломъ <p-j-<po къ ЬА и прямую Хх параллельную

°о

\\

\\

\\

чЧх

'<k

Фиг. 183.

естественному откосу. Полученный треугольникъ ЬхХ подобенъ треугольнику силъ (см. стр. 189), и потому реакцш стены

R°=Q-t

Такъ какъ площадь треугольника ЬАХ выражается черезъ

а площадь четыреугольника

АХ . ba . SnOab = — АХ . h . Ga,

2    2

AXX'А" равна АХ . h₀Csa, то весь Q — ~ о . AX(h -f- 2J1J . Csа,

и сила

*0 =

Ga •

Ьх . АХ

Хх

, которое не зависитъ отъ равномерной нагрузки

на

Намъ нужно найти наибольшую величину силы R₀, когда изменяется положеше точки X, т. e. maximum выраженш Ьх . АХ

Хх

i97

откосе АС. Такимъ образомъ влыше этой нагрузки не изме-няетъ положены призмы обрушены, определенной для случая, когда hQ= о, и увеличиваетъ только величину R₀ въ отношенш

Наприм^ръ, для гладкой вертикальной стены съ горизонтальнымъ откосомъ

ИЛИ

Яо =

■⁸ • *■ (45°

2 ⁸ ■ (Л* + 2hK) Ч* (45 - 2 ?) •

Прирагцеше величины давлены по длине стены dh

dR₀ = btg² (45

j ?)    +К)dh-

Отношеше или давлеше n на единицу площади стены на глубине h составляетъ

n = b(h + ho) tg² (45°

~ <р ). При — о (для жидкаго грунта,

т. е. оно равно весу столба земли высотою h-\-h₀, умноженному на коефищентъ tg² ^45°

и величина tg² (^45° т. е. давлеше такого грунта на ст4ну соста-

величина этого коефищента = i; въ случае песчанаго грунта, пропитаннаго водою, со = 30е’,

= Ч² 30°

вляетъ

^ вертикальнаго давлены его на горизонтальную плоскость, проведенную на той же глубине h отъ поверхности земли.

Выведенная формула для п показываетъ, что давлеше земли на единицу площади стены, или напряжете его, изменяется пропорщонально ординатамъ прямой ас, имеющей при h—о ординату Aa=h₀ и наклоненной подъ угломъ 45° къ прямой Аа (фиг. 184). Элементарная площадь этой прямой между двумя

смежными ординатами — пропорщональна давлент стены dh. Поэтому давлеше на стену Ab будетъ пропорщонально площади трапецш Aabc, а разстояше ея центра тяжести отъ сто-

на элементъ

роны Aa опред^литъ разстояше точки приложены равнодействующей давлены земли R₀ отъ точки А.

Подобнымъ же построешемъ определяется пoлoжeнie равнодействующей давлены земли на стену и въ томъ случае, если ея плоскость Ab со-

а\

!h

\Ш

V-T-*

\'45°

Aa=h

—.\Ъс=Тг₀+Тг

|ь

ставляетъ съ вертикалью какой-нибудь уголъ, и величина угла трены <р₀ не равна нулю (фиг. 183). Действительно мы видели (стр. 193), что давлеше земли Ra безъ нагрузки на откосе АС изменяется пропорцюнально Ab²

или пропорцюнально квадрату h вертикальнаго разстояны точки b до откоса АС; присутствю нагрузки на откосе

увеличиваетъ величину R₀ въ отношены    , следовательно,

она будетъ изменяться пропорцюнально

(h 2h₀)

Фиг. 184.

h² .

или h² -j- 2hh

т. е. въ томъ же отношены, какъ и при вертикальной гладкой стене, а потому точка приложены давлены земли R₀ можетъ быть определена также, какъ центръ тяжести трапецш.

112. Случай произвольной нагрузки. Когда дана какая ни-будь нагрузка на откосе АС, изображаемая въ виде массы земли PP'SS' (фиг. 185), то наибольшую величину давлены земли или реакщи R₀ стены на призму ЬАХ мы можемъ найти, построивъ для данной части стены Ab кривую значены силы R₀, соответ-ствующихъ ряду положены плос-

//

Дг.//

1/

-V/

«Ъ

fą

■s'c

А/

vY

Фиг. 185.

\Ш

>M,

кости ЬА. Для этого мы будемъ откладывать отъ точки а по вертикальной прямой весь ау переменной призмы ЬАРР'Х'X и строить треугольникъ силъ О, R₀ и Rt, проводя уМ и аМ, параллельно направлешямъ силъ R₀ и R1} составляющимъ съ плоскостями ЬА и ЬА углы 90⁰ — <р₀ и 90° — о. При этомъ рядъ найденныхъ поло-жешй точки М определить собою некоторую кривую sMt; если проведемъ къ ней вертикальную касательную, то найдемъ точку касанш М₁₅ для которой отрезокъ Mxijx, параллельный Му, будетъ иметь наибольшую величину и, следовательно, представить искомое давлеше зегили R₀ на часть стены. Положеше плоскости обрушены ЬА,, будетъ также известно, такъ какъ ея направлеше составляетъ уголь 90о — <р съ направлешемъ аМ₁ силы R,.

С"

Такимъ образомъ мы можемь всегда определить для каждой части АЬ стены величину давлены земли R₀. Если мы будемъ откладывать эту величину изъ точки Ь какъ ординату Ьт (фиг. 186), то получимъ некоторую кривую; разность т'у

двухъ смежныхъ ординатъ ея Ьт и Ь'т

\0

представить при-ращешей?7?₀давлены,соответ-

ствующаго элементу стены

₇,,    dR w!а

bb ; отношеше ^ или ~ въ

\£l VI

-Ч-.гТгЧ п

пределе, при уменыпенш bb' до нуля, выразить давлеше въ точке Ь на единицу площади стены, или его напряжете; Щ следовательно, оно выра- ^ жается тангенсомъ угла касательной къ кривой т₀тт въ Ц точке т, или катетомъ Ш прямоугольнаго треугольника, въ которомъ сторона mk принята равной единице силы.

Откладывая въ точке Ь ординату Ьп равную kk', построимъ кривую распределен^ давлешя земли на стену. Элементы площади этой кривой представляютъ элементарныя давлешя на стену, и положеше ихъ равнодействующей, очевидно, определится какъ

ąt

—ł-

i___

Фиг. 186.

Л-

В'

®\

центръ тяжести этой площади, построешемъ веревочнаго многоугольника.

113. Точка прилоткенш давленш земли. После того, какъ вычерчена (фиг. 187) кривая давлены земли Ат^г.т, ординаты которой bjn^ bjn₂,... въ точкахъ Ьх, Ьг,... представляютъ да-

влеше земли на части стены ЛЬг, ЛЬ₂можно и другимъ способомъ найти точку при-лoжeнiя давленш земли R₂ на какую-нибудь часть стены

1,

кь

2'

Действительно, величина давлены земли на часть стены b₂bl равна разности давленш земли на части АЬ₂ и АЬ1} т. е. разности ординатъ у₂ — г/,. Точно также и для двухъ смежныхъ точекъ, находящихся отъ точки b на раз-стсяныхъ х и х-\-dx, давленш земли на эле-—■—у ментъ стены dx выразится разностью орди-натъ dy. Взявъ стати-ческш моментт, этихъ элементарныхъ силъ dy относительно оси bY, т. e. Yxdy, и приравнявъ его моменту равнодействующей {yy₂ — y?)cl2i получимъ уравнеше (т/₂— yl')a₂ — Yxdy. Но вторая часть уравнены представляетъ площадь с₁т₁т₂сх; превративъ ее въ равновеликш прямоугольникъ cxc₂sk, изъ уравнены находимъ:

(У2 ~ Уд й2 = СгС2 ■ а2 = ^2 ■ Clk = (У2 ~ Уi) С,к >

к, К®|т

/ M1/к¹

w-

T ct,

im,

h-

c,

Cs

Фиг. 187.

откуда a₂ — c₁k = b2.

Такимъ образомъ определяется точка 2 приложены давлены земли R₂. Проведя изъ этой точки векторъ 2—R₂, равный давле-ню земли у₂ — уг, подъ угломъ сро трены земли по стене, решимъ задачу о положены силы R

114. Действы сосредоточеннаго груза Р. Пусть нагрузка на поверхности земли состоитъ изъ сосредоточеннаго груза Р

2’

(фиг. 188) и требуется определить при этомъ давлете земли на прямую стену АЬ. Заменимъ грузъ Р равнымъ ему весомъ земляной призмы Ь'АА, взявъ на продолжены Ак точку A' такъ, чтобы Р —о. ЛЬ АЛ. Тогда вместо какой-нибудь земляной призмы ЬАх и груза Р мо-разсматри-

жемъ вать равновеликую имъ призму Поэтому для определены призмы об-

эс

ЬЛх.

х'

.V

v’

чф;

Al

сс

Фиг. 188.

рушены проводимъ черезъ точку ^/'прямую A'S' II основной лиши AS до пересечены въ точке S'

S'

съ естественнымъ откосомъ Ьк, опи-сываемъ на Ьк полуокружность, пересекающую въ точке s перпендикуляръ изъ точки S' къ прямой Ьк, откладываемъ на последней bv — bs изъ точки v проводимъ v'x li AS и откладываемъ v't'=-v'x. Тогда Ьх представитъ плоскость обрушены, a v'x't’ — треуголь-никъ давлены земли.

Если бы груза Р не было, то показаннымъ на фиг. 188 построе-шемъ плоскость обрушены определилась бы Ьх, а давление земли — площадью А-ка vxt. Если бы грузъ Р былъ приложенъ справа относительно точки х, т. е. вне призмы обрушены ЬАх, то онъ вовсе не изменилъ бы величины давлены земли на стену ЬА.

Чтобы определить ту часть стены, на которую распространяется влыше груза Р, заменимъ его, вместо призмы Ь'А'А (фиг. 189), равной ей призмой рАа, где точка а взята на продолженш прямой ЬА. Если бы груза Р не было, то проходящая черезъ точку р плоскость обрушены pb, определилась бы построешемъ, показаннымъ на фиг. 180, а именно: черезъ точку р провести прямыя ре и pb₂, параллельно основной линш и естественному откосу Ьк, на Ь₂е описать полуокружность, пересекающую перпендикуляръ Af въ точке /, отложить Ь₂Ь₁ — bj и черезъ точку Ь₁ провести bxkIf параллельно естественному откосу Ьк. Тогда Ь,р — плоскость

обрушены призмы Ь,Ар, и \pvt — треугольникъ давлены земли на часть стеньг ЬА₀ на которую грузъ Р не влыетъ. Если теперь принять во внимаше действю груза Р, зам-Ененнаго в^сомъ земляной призмы Ара, то вместо Ak нужно принять за очерташе земли линда ар. Для определены соответствующей проходящей черезъ р плоскости обрушены pb₀, въ предыдущемъ построеши нужно, вместо начальной точки А, взять точку а и для отрез-

<х

tł~~

А'

ГК⁴

Ч-

ч-Ч Ч)'1г

к₁

к.

£____-JXy.

\\

•\

Фиг. 189.

ковъ Ь₂а и Ь₂е найти средшй пропорциональный съ помощью полуокружности b₂fa и перпендикуляра] ef. Отложивъ b₂b₀ — b₂f, най-демъ искомую плоскость обрушены Ь₀р, а продолживъ pv и pt до пересечены съ естественнымъ откосомъ b₀k₀ въ точкахъ v' и t', получимъ треугольникъ давлены земли pvt'. Такимъ образомъ b b, будетъ той частью стены, на которую распространяется дей-CTBie груза Р. При отсутствш груза Р, плоскость обрушены Ь₀х0 и величина давлены земли на часть стены Ь₀А определяются из-вестнымъ построешемъ, показаннымъ на фиг. 189: AS \ \ pv, b₀v₀— b₀s,voxo || pv',x₀t₀ || pt, причемъ b₀xo будетъ плоскость обрушены призмы и площадь tnx₀vo — мера давлены земли. Разность площадей ДД-ковъ pv't', и x₀v₀t₀ умноженная на S, дастъ величину приращены давлены земли отъ д'Ьйствы груза Р на часть стены bj)j. Отложивъ pn = xov₀ и проведя по 11 bQk₀, получимъ эту разность въ виде площади onv'6.

115. Давлены земли на стену многоугольнаго очертанш.

Разсмотримъ теперь стену многоугольнаго или даже криволи-нейнаго очертаны, такъ какъ кривая можетъ быть заменена достаточно близкимъ къ ней многоугольникомъ.

Rs

_:.„к /R.

2    D

■

Давлеше земли на всю стену R опре- р-д'Ьляется какъ равнодействующая дав-ленщ земли Rl} R₂, R₃,... на отдельный ея прямыя части, составляющихъ съ последними ПОСТОЯННЫЙ уголъ 90 — 90 (фиг. 190).

Фиг. 190.

Давлены земли на верхнюю часть стены АЬг определяется известнымъ построенымъ, показаннымъ на фиг. 191: b{ Т₁ — основная лины, bIkI — естеств. откосъ, AS, 11 bt Tv бф, J_ btktJ bivl — btst, v₁x₁ К biTt, v₁tl — ViXi. Весъ призмы

представляетъ давлены земли R1} а весъ призмы b^гхг, равновеликой bjAx^ — весъ О, призмы обрушены, причемъ тре-угольникъ силъ R,, Q и реакщи R\ по плоскости Ь,х₁ (фиг. а), подобный А-ку vlx₁b₁ (см. стр. 191), мы будемъ принимать и равнымъ ему, выбравъ масштабъ для силъ такъ, чтобы R'T=i — i—b^^

Продолживъ на многоугольнике силъ направлены силы R₂ до пересечены съ вертикальной лишей 02 въ точке о', обозначимъ черезъ ql отделенную отъ веса QT часть его. Силу Rt разложимъ на составляющы 5, = г — о' и qlt а силу, представляемую отрез-комъ 2'—о’, назовемъ черезъ Д_₂, такъ что R₂_₂= R₃-\-S₁. Если мы найдемъ силу R,-₂, то искомая сила R, определится, какъ

(й + Q

—    5.. Но сила Rt_₃ находится въ равновеНи съ силами

—    q,) и реакщей R’₂по плоскости обрушены Ь₂х₂, такъ какъ оне составляютъ на фиг. а замкнутый треугольникъ 22/0'. Поэтому сила Rt_₂ можетъ быть определена, какъ давлены земли на стену ЬгЬ₁ отъ призмы обрушенш Ь₂ЬгЛх₂, втксъ которой О =

—    Q! -\~ 0₂ уменьшенъ на величину qt. Если черезъ точку Ху про-ведемъ прямую xlcl II основной лиши Ь₂Т₂, то весь ql представится в'Есомъ призмы x^v^c^ Действительно, треугольникъ blx^vl подобенъ и равенъ треугольнику силъ i — i'—о, поэтому x,vt=:

—    i' — о, уголъ 7^ = углу о, а также уголъ о-— i'—о' между на-правленшми давленш земли i?r и i?„ (наклоненныхъ къ частямъ

А X

у*

IV

К,

Д-Р"

2'

\ i ч\ I / VI А

S,

т,\

(j

Ч4чч|/ /

Ччч

Да)

<2,

ч,

Фиг. 191.

Д-i.—i

ст^ны Д и Ь₂ЬТ подъ однимъ и темъ же угломъ) — равенъ углу между сторонами xtv, и хгСг, параллельными основнымъ линшмъ bt Тг и Ь₂ Т₂, составляющимъ между собой уголъ, равный углу перелома лиши Ь₂Ь₇А. Следовательно:

оо' _ VyCy _ ПЛОЩ. VyXyCy

площ. v₁x₁b₁ Ь . пл. VyXyby

О , ПЛ. VyXyCy _ § . ПЛ. VyXyCy

Ql

Vyby

откуда qx — 8. пл. VyX^c^

Если теперь изъ точки Ь₁ проведемъ Ь}Л'\\Ь₂Л, то весъ Q призмы обрушешя b₂btAx₂, можемъ заменить весомъ призмы Ь₂А'х₂,

Qi

01

а вычтя изъ этой площади Ь₂Лх₂ площадь А-ка Ь^А'а₂, равнове-ликаго А-ку v₁xtcl, получимъ призму Ь₂а₂х₂, весь которой относительно призмы Ь₂ЬхАх₂ уменьшена на величину qr Соответствующая этой призме Ь₂а₂х₂ положеше плоскости обрушены Ь₂х2 и величина давлены земли R:2 определяются известнымъ построе-шемъ: параллельно основной лиши Ь,Т₂ изъ точки а₂ прово-димъ прямую a₂S₂, на b₂k₂ описыва-

А- агс

ос,

емъ полуокружность, изъ точки S₂ возстановля-емъ перпендику-ляръ S₂s₂, от-кладываемъ b₂v, прово-димъ v₂x₂ II a₂S2 и делаемъ v₂t₂ = v,x₂. Весъ призмы v₂x₂t₂ пред-ставитъ давлеше

=-b₂s

2’

Т.\

!/

'К

Фиг. 192.

С*

Ri_2• Отложивъ его величину о'2' на многоугольнике силъ, найдемъ

искомое давлеше R, = вектору 2V.

116. Самое вычиташе площади А-ка v₁xlcl изъ призмы обрушены можно исполнить чисто графическимъ способомъ (фиг. 192):

х.

К/'

провести изъ то-чекъ vl и с, :vxv = Akl и схс II vxxx; затемъ cm II Ab г, ve II mxx и va₂ II

bxe.

Тогда А-къ ЬхАа₂ будетъ рав-новеликъ А-ку v,xlcl. Действительно, пл. А ухххсг — пл.А v,XfC = пл. А х₁ст = пл. Aev — пл. 1\Аа₂, такъ какъ пл. A vci₂e = пл. A va₂br Если о.черташе стены ЬгЬ₁А₁ образуютъ не выходящш, а входя-щ1й уголъ при bt (фиг. 193), то давлеше земли R₂ на часть Ь₂Ь. будетъ составлять съ горизонтомъ не менъшт, а болынш уголъ,

Т₂

Фиг. 193.

ч-Ьмъ давлеше R, на верхнюю часть ЛЬ,, такъ что, продолживъ на хмногоугольник'Ь силъ направлен^ силы R₂ ,г получимъ отрезокъ q, выше точки о; поэтому сила i?,_₂ будетъ уравновешиваться съ реакщей R', и весомъ призмы обрушенш Q -f- q, а не Q — q, т. е. для определенш силы R,_₂ площадь призмы обрушенш нужно, вместо уменыненш, увеличить на площадь Д-ка vlxlc₁, а затемъ поступить согласно предыдущему.

АОзОга

эс₄

ОС

к.

It

X'

с*

С5

о\

т,

г. к

R,

Т₅ч

R,

RA

>-Л2

\ \ р*

V,

(a)

>-о

Фиг. 194.

и ЬгЬлУ

Когда для разсматриваемой выше (фиг. 191) стены съ выходящими углами найдены давленш земли R, и R₂ на части ея Ab, то для определен»! давленш R₃ на следующую часть Ь₂Ьг нужно на многоугольнике силъ (фиг. 194) продолжить направлена силы Ri до направленш силы О и, обозначивъ весь этотъ отрезокъ $q₂ черезъ    найти его величину, какъ давлеше

земли на часть Ь₂Ьг отъ призмы обрушенш весомъ Q — q,—q₂,

для чего изъ веса выше найденной призмы, уже уменьшенной на qx, нужно вычесть еще в-Ьсъ q,, равный весу следующей призмы v₂x₂c₂, въ которой стороны x₂v₂ и х₂с₂ соответственно параллельны основнымъ линшмъ Ь₂1\ и £₃Г₃ для частей ЬХЬ₂ и Ь₂Ьг\ уменьшивъ площадь призмы обрушенш Ь₂Ь^₂хг еще на площадь А-ка v₂x₂c₂, найдемъ точку я₃, и т. д. Давлеше _R,_₃ выразится весомъ призмы г/₃х₃т₃, а вычитая изъ ^₁₋₃ составляющую S₂, полу-чимъ искомое давлеше R₃ на часть ЬЪЬ₂. Давленш i?₄, i?s,. .. на последующая части стены определяются подобно предыдущимъ.

—₉а

117. Распределена давленш и его кривая. Пусть ЬЬгА будетъ ломаная линш стены, поддерживающей землю съ прямымъ откосомъ Лк (фиг. 195). На первой части Abi стены давлеше земли, какъ известно, распре-деляетсяпо прямой Ьсх, и пусть 8. пл. A bblc₁—Rl. Для второй части стены проведемъ btA'

R,

b₂a₂k,

l_

=c<-

II ЬА, превративъ призму ЬЬгЛк въ равновеликую призму ЬА'к, и уменьшивъ ея весь на величину ql, получимъ призму для которой затемъ найдемъ давлеше    Прове-

R,

=o~

,c.

Фиг. 195.

демъ горизонтальный прямыя а₂а и Ь₂с₂ и построимъ отъ точки а треугольникъ abc чтобы 8. пл. A ab₂c₂—R^_₂. Тогда 8. пл. ab^c\ выразитъ составляющую силы Rг (см. фиг.

191), а разность Rt_₂—Sx или R₂ выразится площадью трапещи c' ₁с₂Ь₂Ь₁, умноженной на 8. Ординаты прямой с\с₂ представляютъ напряженш давленш R₂ на части стены bzb; равнодействующая R₂ проходитъ черезъ точку 2, определяемую горизонтальной прямой о₂ — 2, проведенной черезъ центръ о₂ трапещи (фиг. 195).

На фиг. 196 построена кривая давленш земли, состоящая изъ отдельныхъ частей, соответственно частямъ стены. Для верхней части b А кривая давленш определена согласно предыдущему (фиг. 187), причемъ ордината blc =Rx. Для второй части Ь₂Ь, съ давле-

'С

Фиг. 196.

г—! —

2o8

шемъ земли R₂ ордината Ь₂с₂—дивлетю Rl_₂ призмы земли Ь₂х₂а,— — R₂-\-S₁₃ ордината btc\ =5t —составляющей силы R, на направлены R₂ (фиг. 194, а). Для следующей части ЬьЬ₂ съ давленымъ земли R₃ ординаты Ьгс₃ = давление R,_₃ призмы земли Ььхъа

S₂ — составляющей изъ R₁ и R₂ на направлена

=R₃+S₂, и 6/₃

к*’

R-.

К,

Р.

IV

3'

JL

К.

4;

с£ь

сь

/к

Ар* Ь

ч°

r₄

i?₃. Наконецъ для последней части сгЬны bb₃ ординаты bc—R R₄-\-Sz—давлешю призмы земли bxa, a b₃c'₃—S₃.

Для вычерчиваны кривыхъ находятъ для каждой изъ нихъ по одной промежуточной точк^з, определяя для нихъ давлены земли по изложенному выше способу.

118. Пользуясь предыдущими способами, можно найти давлены земли на наружную поверхность свода. При разсчегЬ его обыкновенно предполагается, что давлены земли на части свода д'Ьйствуетъ вертикально, но неправильность такого предположены представляется очевидной, если разсматривать т'Ь части свода, направлены которыхъ составляетъ съ горизонтомъ уголъ болышй угла трены земли по ст'Ззн'Ъ (фиг. 197).

Вследствш симметрш,

Фиг. 197.

давленш по плоскости АЬ₀ левой части земли на правую должно иметь горизонтальное направлен^; его величина найдется по известному способу для случая гладкой стены Ь₀А, полагая 9=0, т. е. по формуле (76)

ЧЖ(4$ - 7 ?);

его точка приложенш находится на разстоянш * уп отъ точки Ъ₀.

Поэтому мы можемъ левую часть земли по плоскости АЬ₀ заменить гладкой стенкой, представляющей какъ бы продолжеше очерташя свода и зате.мъ найти последовательно давлеше земли на все части данной поверхности полусвода, какъ для стены многоугольнаго профиля, проводя «основныя» лиши для части АЬ0 подъ угломъ ср, а для остальныхъ частей —подъ углами 9-j-cp⁰.

119. Отпоръ земли. Въ некоторыхъ случаяхъ подпорная стена, поддерживающая земляную массу или арку моста съ одной стороны, напримеръ съ левой, бываетъ покрыта съ противоположной стороны также массой земли, но меньшей высоты. Если размеры стенки будутъ недостаточны для ея устойчивости, то она мо-жетъ выйти изъ равновесш и сдвинуться вправо, въ сторону земляной массы меньшей высоты (фиг. 198). Отъ этой массы, при движенш стены Ab отделяется некоторая призма земли АЬХ, сдвигающаяся вправо по плоскости ЬХ и представляющая наименьшее сопротивлете этому сдвигу. Такъ какъ призма перемещается вверхъ по плоскости ЬХ, то ея движете встречаетъ со-противленш тренш въ плоскостяхъ ЬА и ЬХ, направленные

14

Пусть Ь₀В—наружная поверхность половины свода и АС— горизонтальный откосъ земли, покрывающей сводъ. Делимъ поверхность свода на части и заменяемъ ихъ плоскими

элементами

ЪоЬг,ЪААЬг ••••» обоз-

начая разстояшя вершинъ Ьо,Ь„ Ь₂ .. . отъ плоскости АС

Ъо

?»    !Уз 44

черезъ у₀, уг,

£з

Проскуряковъ.— Строительная механика, ч. II.

обратно разсмотрЕннымъ выше, слЕдовательно, реакцш R' массы, расположенной ниже плоскости ЬХ, и реакцш R'₀ стЕны на призму ЬАХ будутъ составлять съ нормалями къ этимъ плоско-стямъ углы <р и 9о, отложенные въ противоположномъ направ-ленш. Е[оэтому вмЕсто угловъ 90°—о и 90°—ос силы R' и R'0 будутъ составлять съ плоскостями ЬХ и ЪА углы 90°+? и 90°-г?₀. Точно также въ треугольник^ тпр, построенномъ изъ

эо+уТ

Q

\A

R'

\    \90°₊^-8

\TILJ--

8+ i-y-%

rT

\ч

\ !z

ДДС1 \

X\ \ ✓ОЛ \

— v V \

\ \\ \

\N\\

чЧ

\\

W\

R’

\\

//

\$

/r

\щкп

XT

b/VJH-

4' L/%^ /cT-Z._

■'A'

Фиг. 198.

силъ j?'o, i?' и вЕса Q призмы, углы будутъ имЕть значешя, отличающаяся отъ прежнихъ только измЕнешемъ въ нихъ знака при <р и 9₀. Если мы отложимъ при точкЕ Ь уголъ ?+?о=АЬО въ сторону, противоположную предыдущему, а равно и направлена ЬК естественнаго откоса, и проведемъ параллельно ему прямыя А₀Т и Хх до пересЕченш съ ЬО въ точкахъ Т и дг, то получимъ треугольникъ„ ЬХх, подобный треугольнику силъ тпр; изъ нихъ находимъ

Ъх

Хх '

Если проведемъ изъ точки А₀ прямую А₀у, параллельную ЬХ до встрЕчи ЬО въ точкЕ у, то

Q — о . площ,ЬА₀Х—--о.Ьу . Хх . SnAoT0, след.

.bx.by.SnAJO.

Сила R'₀ будетъ наименьшей, когда произведете Ъх . by бу-детъ иметь наименьшее значеше.

Такъ какъ Ъх . by — {Ob Ох) . (Ob -у Оу) =    -f-

ОЬ(Ох-\- Оу)4-Ох . Оуи

Ох

ОХ

ОТ

О, о

или

Ох. Оу—ОЬ . ОТ,

ОА₀

то min . bx.by соответствуем min. суммы Ох + Оу и будетъ при

Ох = О у — Ох, — OS.

Поэтому

min . R'n = ~ о . хi SnA₀TO,

и положена плоскости ЬХ определится точкой пересеченш X, прямой х,Х,, проведенной изъ точки х,, параллельно хХ\\ А₀Т Найденная сила min. R'₀ представляетъ пассивное давлеше, или такъ называемый опгпоръ земли, тогда какъ разсмотренная нами выше сила R₀ называется акпшвнымъ давлешемъ земли на станку, потому что она действуем на последнюю, стремясь сдвинуть ее.

Легко убедиться теми же способами, каше были применены для давлешя земли R₀, что отпоръ земли R'₀ также возрастаетъ пропорщонально квадрату высоты h стены и увеличивается въ

2 Д

отношенш i + въ случае нагрузки на откосе земли въ виде

слоя высотою ho, что точка приложена отпора земли находится

на -Ь, когда ho = o, и определяется центромъ тяжести трапецш 3

когда таковая нагрузка существуетъ.

со сторонами Ь₀ и Ь₀4- h

Мы остановимся на случае гладкой вертикальной стены и горизонтальнаго откоса земли (фиг. 199). Для него <?₀ = о уголъ АЬО = у, уголъ О АТ— с?, уголъ АТО — 90°, Ob. ОТ=

ОА²

Ох; и уголъ О Ах, =    АОТ — 45⁰ —

Изъ подобш равнобедренныхъ Д ОАх, и А ОЬХ, следуетъ ОХ, —Ob, а X ОЬХ, — X OX,b — 45⁰— следов. /_ АЬХ, = ? +

о I    „ I

+ 45    2 ?⁼ 45    Т®*

Поэтому bxt =ЬО+ Ox₁ — OXx + АО =AX

min ■ R'₀=X8 . bxtSnATO = ~b . AXI,

(79)

или

min . R'₀= \ Wtg²(45° + ““?) • •

или

Если же имеется нагрузка въ виде слоя земли высотою Л0 то min . R'₀=~ Wig² (45 + ~ э) . (i + ²|°)

min . R[ = ~ 8 (h² + 2hho) tg²(45°+у ?)•••• (8o)

----Ж*

AL''tóś-iiY (У

90-YV

90°(УТ

|ло

Фиг. 199.

452|f>.

\Xi__

9(Pf

Приращеше давлешя R'₀ на длшгЬ dli, отнесенное къ единиц^ площади, или напряжеше его

(81)

dlh ~ ⁸ V¹ + До) (45 + “?)

Оно равно весу столба земли высотою hJrh₀, умноженному

на коефищентъ (45° + “ ?);

его

величина при ср = 30°

равна 3 и, следовательно, въ девять разъ больше коефищента соответствующая активному давленш земли.

XVI. Глубина заложенш оеновашй.

120. Основанш мостовыхъ опоръ и другихъ сооруженш должны быть опушены въ грунтъ на такую глубину, чтобы не могло происходить выдавливанш грунта изъ подъ подошвы сооруженш. Пусть ас (фиг. 20о) означаетъ подошву основанш сооруженш, заложенную на глубине ht отъ поверхности земли CD, и пусть a a' = hQ — высота воображаемаго слоя земли, заменяющего давлешена подошву сооруженш пс.Возь- “ мемъ какую-нибудь точку Ь въ плоскости аа' на глубине h подъ подошвою сооруженш и про-ведемъ черезъ нее плоскость ЬХ призмы обрушенш ЬаХ и плоскость bXt призмы отпора ЬтХ₁. Для устойчивости сооруженш необходимо, чтобы давлешеД, на вертикальную плоскость ab призмы обрушенш ЬХХ'а' было меньше сопро-тивленш R'о призмы отпора ЬгпХ₁, или еще лучше, чтобы приращены перваго давленш на элементъ плоскости bb'-~dh — или на-

п — было меньше приращенш сопротивленш = п на той же площадке bb'.

Если мы будемъ пренебрегать существовашемъ силы тренш по плоскости Ьт между призмами обрушенш и отпора, какъ это обыкновенно делалось при определены глубины заложенш основанш, и будемъ применять выведенныя выше формулы 78 и 81 для случая гладкой вертикальной стенки, то условы устойчивости сооруженш п < п представится въ виде

пряженш его

dR'о,

dRo

dh

С" г

|Ь₀

Хх D

[К,

-i...

£_±

ь.

Ib*

Фиг. 200.

. dR' о

или его напряженш

з • О + К) Ч¹ (45° - ■ф ?) < 8 (А + К) tf (45° + ф ?);

откуда, принимая во вниманы зависимость

tg (45°-    ?) = ctg (45°+    ?)»

находимъ

1\ 4- h

ho -j- h

ht+h

йофЛ представляетъ правильную дробь, наименьшая величина которой соответствуем значенш h = о; поэтому условш устойчивости приводится къ известной формуле

Отношеше

у ?)> или h, > h₀tg* (45⁰—

по которой определяется необходимая глубина заложены основаны кессоновъ, опускныхъ колодцевъ и т. и.; действительная же глубина заложены ихъ выбирается большей отъ 2,5 до

3 ~у разопри угле трены у

> łY (4

. -(82)

30⁰, #⁴зо° = -^

У

бина /г. заложены основаны должна быть больше — высоты h₀

9

соответствующей давлешю на его подошву.

121. Интересно выразить теперь то же условш устойчивости

следовательно, глу-

п У п , принимая въ разсчетъ силу тремя въ плоскости Ъа, разде-деляющей обе призмы.

Въ этомъ случае давлеше R₀ призмы обрушены на призму отпора будетъ составлять съ нормалью къ плоскости ba уголъ <ро=ср, отложенный внизъ, а реакщю R'₀ призмы отпора на призму обрушены составляетъ такой же уголъ съ нормалью къ ba, но отложенный вверхъ; следовательно, направлены силъ Ra и R'₀ и п и п

параллельны между собою. Чтобы выразить условю устойчивости, нужно сперва определить R₀ и R'₀ въ функцш угла (р и высоты 1г. Вычислимъ величину первой силы для случая

вертикальной стены

ъч

Ys

Фиг. 201.

— о . Ьх\. Sn А ТО,

съ угломъ трены <ро = ср и безъ нагрузки на откосе А С (фиг. 201). Мызна-емъ, что давлеше R₀ выражается по-строеншмъ Понсле (фиг. 18о):

если Ох;—Ob. ОТ.

2I5

Въ данномъ случай SnATO—Sn (90°—?) —Cs?; bA=bT=h

h² (1 — Cs2 y)_

Cs²2y

r— • Поэтому Охl —    — (-J¹ ■■

Cs2y    J    Cs2y \Cs2cp

__h²2Stry

Cor 2<P ’

или

hV 2 Sny

Cs 2 у

; сл'Ьдоват. fo:, — Ob — Олг —

Cs2y

влете R₀ = oh².

—    _ Jj^- (5я 45" — Sn?). Такимъ образомъ да-

Cs2y

(SnĄ$° — Sny)²

Cs²2cp

• Cs? = oh²A, и его напряжете

на глубине h, т. e. ~

dR

— 2oh . A, где черезъ А обозначенъ

коефишентъ

(5w45 — Sny)² . Csy Cs²2y

Въ случай нагрузки слоемъ земли высотою h₀

(А²+2Мо)0^

IX)

i\

и напряжете п — 2 ([h -f- hj ЬА'

Для определена величины силы построеше Понсле даетъ (фиг. 202)

Д'о

v.

О/

У/

I As-⁷

>ч

Фиг. 202.

R'o = ~r^ ■ Ьх\ SnATO.

при чемъ 0x1= Ob. ОТ. Въ настоящемъ случай отрезки ЬО, ОТ и Ох: им'Ъютъ те же значенш, который мы только что определили для давленш R₀; поэтому

Ьх, — ЬО    Ох ,

А|/ 2 Sny_7г]/ 2 (5и4^о + 5иср)

Cs2Cp ¹    Cs 2 у

Следовательно, сопротивлеше призмы отпора

#0=3. ь²

(5«45⁰-f-S«cp)²

Cs² 2у

. Cs? = bh² . В,

и напряжете n=2bhB, где черезъ В обозначе ъ

множитель

(5«45° 4- 5«q?)² . Cs 9

Cs² 2 у

При нагрузке слоемъ hL земли

(i +    ) Ыг²В = (А²+ 2М) 3£ и я' = 23 О + /г,) В.

Применяя теперь выведенныя формулы къ условт устойчивости основаны сооружены п > п (фиг. 200), находимъ

2о (h + JiJ В >2о (h + hj А, откуда    ~ •

Но

/5^4^° — 5«'-р\² _ Пц\ (45 — Т)\2 \5га45⁰-(-5иср/ ~ \^2 (45 + г)/ *

следовательно, глубина h₁ заложены основаны должна удовлетворять условт:

(83)

tg²l (45° — У) (45° +<р)

При <р~зо°, необходимо 7г₀)> — 7г₀.

XVII. Подпорный ет^ны.

122. Условш устойчивости. Разсчетъ подпорныхъ стенъ заключается въ опред^лент поперечныхъ размеровъ ихъ, обез-печивающихъ безопасное и продолжительное существоваше стенъ, безъ излишней затраты каменныхъ матерыловъ на ихъ

кладку.

Излагаемый разсчетъ относится къ сгЪнамъ изъ кладки на растворгь, находящимся въ обыкновенныхъ условыхъ; стенамъ

изъ сухой кладки аНдуетъ придавать размеры на болыше размеровъ стенъ изъ кладки на растворе; особенности раз-счета стенъ набережныхъ и водоудержательныхъ плотинъ, устраиваемыхъ въ исключительно неблагопрытныхъ условшхъ, будутъ указаны после разсчета стенъ въ обыкновенныхъ условыхъ.

Сила сцеплены раствора съ камнями (естественными или искусственными), а также сопротивлены разрыву его и самихъ камней, по сравнений съ сопротивлеными ихъ сжатш—незначительны; поэтому при разсчете подпорныхъ стенъ пренебрегаютъ существовашемъ этихъ силъ и принимаютъ, что каменная кладка оказываетъ сопротивлеше только сжимяющимъ силамъ, и что

скольжению однихъ слоевъ кладки по другимъ противодействуешь только проявляющееся между слоями треше.

Пусть ABCD (фиг. 203)—подпорная стена съ прямою задней гранью АВ, состоящая изъ рядовъ кладки, параллельныхъ СВ.

Р—в^съ стены,

R₀—давлеше земли на заднюю грань стены,

<?₀—его уголъ съ нормалью къ грани АВ, и R—^равнодействующая силъ Р и R₀.

,в

U-A&

Ra.

с/Д

Рт

\ /S

RK—tN

Фиг. 203.

Для обезпеченш продолжительнаго и безопаснаго существованш подпорной стены требуется, чтобы она была устойчива въ надлежащей степени, т. е. ея поперечные размеры должны быть таковы, чтобы отъ действш силъ Р и R₀ не могли произойти ни перемещеше стены, ни ослаблеше матертла. Стена можетъ переместиться или скользя по плоскости ВС, когда сила тренш равна или меньше составляющей R по плоскости ВС, или вращаясь параллельно плоскости чертежа, когда давлеше на грунтъ у реберъ С или В превзойдетъ безопасный пределъ и вызоветъ осадку грунта и наклонеше стены. Поэтому устойчивость стены прежде всего зависитъ отъ прочности и малой сжимаемости грунта подъ подошвой стены. Ослаблеше матертла стены можетъ последовать, если напряжеше его отъ действш силъ Р и R₀ въ какой-либо точке превзойдетъ допускаемое для этого матертла прочное сопротивлеше.

Такимъ образомъ поперечные размеры подпорной стены должны быть таковы, чтобы удовлетворялись следующая условш устойчивости:

1)    вызываемое нормальной составляющей N наибольшее напряжеше сжатт грунта не должно превосходить допускаемаго

для него предела 3 — 6(кроме скалистыхъ грунтовъ).

2)    равнодействующая силъ Р и R₀ сила R должна составлять съ нормалью къ подошве ВС уголъ 8, не превосходящш угла тренш кладки стены по земле <р₀. Въ этомъ случае требуется, чтобы T=Ntgb^m 5, где m—коефищентъ безопасности, принимаемый— 1,5 — 2;

З) ни въ одной точке стены напряжеше матертла не должно превосходить допускаемаго для этого матертла прочнаго сопро-тивлены

и 4) для всякаго произвольно-взятаго сечены С'В', разсматри-ваемаго какъ подошва части стены ЛВС В', должно удовлетворяться предыдущее условш относительно скольжены.

Устойчивость стены значительно зависитъ отъ силы давлены земли R₀ и ея положены, который определяются въ зависимости отъ угла плоскости обрушены и веса земляной призмы; поэтому представляется необходимымъ возможно точнее определить уголъ естественнаго откоса земли 9 и ея весь о. Поддерживаемая стеной земляная масса обыкновенно состоитъ изъ песчанаго, глини-стаго или илистаго грунта и разсматривается въ сухомъ состоя-ши. При этомъ для разсчета принимаютъ весъ о въ тоннахъ I куб. метра: мелкаго песка 1,6, гравы 1,8 и глины и ила 1,4—1,6, а уголъ 9 естественнаго откоса для нихъ соответственно 30°, 35⁰ и 40—45⁰.

Для мокрыхъ глины и ила весъ о возрастаетъ до 1,9 и а

уголъ <р трен1я уменьшается до 20° и менее. Для речныхъ опоръ мостовъ и набережныхъ, за которыя вода можетъ протекать и заполнять промежутки между частицами песчанаго или гравели-стаго грунта, нужно при разсчетахъ весъ его увеличивать и уменьшать уголъ трешя какъ для земли по земле, такъ и для подошвы—стены по грунту.

Давлеше на грунтъ подъ подошвой стены определяется, какъ и для кладки стены, по закону неравномернаго сжатш. При этомъ следуетъ иметь въ виду, что при грунтахъ слабыхъ, сильно сжи-маемыхъ и при возможности измененш положешя точки / пере-сеченш равнодействующей R съ подошвой ВС въ зависимости отъ действуюшихъ на стену силъ, первоначально плоская поверхность грунта подъ подошвой стены, вследствш сжимаемости его, можетъ обратиться въ кривую поверхность, нарушающую правильность распределены давлешя на грунтъ и ослабляющую устойчивость стены. Въ такихъ случаяхъ размеры подошвы стены должны быть настолько увеличены, чтобы точка / пересечены равнодействующей R съ подошвой стены мало уклонялась отъ средины последней.

Условы устойчивости стены служатъ основашемъ для определения поперечныхъ размеровъ стены, т. е. толщины стены по подошве и въ любомъ сеченш В'С'.

Разсмотримъ часть стены, поперечный профиль которой ABCD (фиг. 204) и длина которой равна единице. Пусть а — толщина стены по подошве;

У—

Ь— разстояше отъ / точки встречи подошвы съ равнодействующей R до точки С;

Ra

о/4|Шв

L~' аа_^

с— разстояны ОТЪ J ТОЧКИ встречи подошвы съ равнодействующей до средины подошвы О;

N и S— составляющая силы R.

Фиг. 204.

Отъ величины b зависитъ степень устойчивости стены и равномерность распределены давлены: чемъ больше Ь, темъ ближе / къ средине, а следовательно и равномернее распределена давлены.

При неравномерномъ сжатш для прямоугольнаго сечены (стр. 70) наибольшее напряжете соответствуем ближайшему къ точке / ребру С, а наименьшее — ребру В, при чемъ

N , . 6с х    N,    6Ь N

тах. п — — (i +-—) — — (4— -—) а ⁴ a J    а    а у

N ,    6с %    N , 6Ъ    ч

min. п — — (i —— ) — — ( —— — 2) .

а ⁴    a J    а ⁴ a    '

Мы знаемъ, что при b > значены max. w и шп. п бу-

дутъ положительны, т. е. въ сеченш будутъ вызываться одне сжимающы напряжены, при чемъ тах. п съ увеличешемъ b

тах. п

уменьшается, а min. п увеличивается; при Ь = -~- ,

тт. п

= о (см. фиг. 82, стр. 70). Когда b меньше ~

то тах. п положительно, а min. п отрицательно, т. е. на части площади ближайшей къ В происходятъ растяшвающ1я напряжетя.

Такъ какъ мы принимаема:, что какъ грунтъ такъ и каменная кладка оказываютъ сопротивлеше только сжимающимъ усилымъ,

въ точке С; min. п — о въ

гь

то въ случай Ъ меньшемъ ~ нужно считать, что противод^й-ств1е силе N оказываетъ только часть площади ВС отъ С до К, длиною=зЬ (стр. 74). Мах. п —

точке К и въ точкахъ отъ К до В напряжены также равны нулю.

Принято считать устойчивость подпорной стгьны вполне обез-печенной, когда равнодействующая R встр1зчаетъ подошву

т. е. когда

основаны не ближе — ширины ея отъ ребра С,

Ь "> — а=с.

4

При соблюдены этого требованы устраняется и чрезмерное напряжете матертла у внешняго ребра, такъ какъ не менее 3

площади подошвы оказываютъ сопротивлеше сжатло.

Требоваше относительно точки приложены равнодействующей соответственныхъ силъ Р и R₀ имеетъ место для всякаго произвольно взятаго шва кладки, такъ какъ каждый шовъ по отношенш къ вышележащей части стены находится въ техъ же условыхъ, что и подошва ВС по отношенш ко всей

стене ABCD.

123. Определены размеровъ стены. Чтобы определить поперечные размеры подпорной стены, нужно только условы устойчивости стены выразить аналитически.

р / ’Д

Ж!:

Написавъ относительно точки / аналитическое выражеше суммы моментовъ силъ Р и R₀ и приравнявъ ее моменту равнодействующей R, т. е. нулю, полу-чимъ уравнеше, определяющее величину b въ зависимости отъ а; если же мы

! /S

Ш-Щ

Фиг. 205.

положимъ въ немъ Ь~-~а, то уравнеше будетъ служить для определены величины а, когда она намъ неизвестна.

Опред'Ьливъ такимъ образомъ величину а, нужно зат'Ьмъ будетъ проверить, удовлетворяются ли условия устойчивости 3 и 4-Величина угла rf трешя кладки по кладке принимается въ 273° при св'Ькемъ растворе и ср—37⁰ при отверд'Ьвшемъ растворе. Для подошвы стены уголъ трешя кладки по земле принимается обыкновенно въ 30°.

Если одно изъ этихъ условш или оба не удовлетворяются, то толщину а опред'кляютъ изъ аналитическихъ выражений этихъ условш.

Прочное сопротивлеше R₂ каменной кладки на сжатш зави-ситъ отъ свойствъ и вида камней, рода и качества раствора. Въ нижеследующей таблице указаны средшя численныя величины прочнаго сопротивлешя и веса кубическаго метра каменной кладки разнаго рода.

Родъ каменной кладки.

Прочное сопротивлеше кл

5? •

В4съ м³ въ

кл.

Правильная кладка изъ тесоваго гранита на цементномъ раствор^..........

Правильная кладка изъ тесоваго песчаника или известняка на цементномъ раствор-fe .

Кладка изъ бутоваго камня на цементномъ раствор^ ...............

Кладка изъ бутоваго камня на известковомъ раствор-^...............

Кладка изъ хорошаго кирпича на цементномъ раствор^................

Кладка изъ кирпича на известковомъ ра-створ4................

Бетонная кладка на цементномъ раствор^ . .

25—35

15—20

9—12

5—7

5-6

5-7

2600

2400

2300

2300

1700

1700

2000

124. Выборъ профиля подпорныхъ стенъ. На очерташе профиля подпорныхъ стенъ, кроме условш устойчивости, влшютъ атмосферные деятели и родъ каменнаго матертла, определяющш наименьшую толщину стены и требующшся видъ свободнаго пространства у ст^ны, обусловливающая уклонъ передней грани. Наивыгоднейшимъ очерташемъ поперечнаго профиля стены бу-детъ то, при которомъ стена, удовлетворяя условымъ устойчивости и практическимъ указанымъ, требуетъ наименьшаго количества матершла, т. е. когда поперечное сЬчеые им^Ьетъ наименьшую площадь.

Пусть ABCD (фиг. 206а) подпорная стена прямоугольнаго сечены и сила R, равнодействующая изъ силъ Р и R₀, nepedb-

каетъ подошву ВС въ точке J; CJ — ВС.

Весь правой части стены ABKJ относительно / будетъ уве-личивать, а весь лтой части CDKJ — уменьшать устойчивость стены, такъ какъ первый приближаетъ къ средине подошвы точку /, а второй — удаляетъ отъ нея. Поэтому для увеличены устойчивости стены или, при сохранены данной степени устойчивости, для сбережены матертла следуетъ уменьшить весь левой части и увеличить весь правой. Достигнуть этого можно следующими способами:

A DK A L DD FAp' ПК А

ГГ-1"!    ГГ—ГТнА' ГГ

i (а)    ! (ь) I /<c) (j i j(d)

li

-Ы

C’j

I/

I/

Фиг. 206.

1)    отнять отъ прямоугольнаго поперечнаго профиля слева треугольник!. CDK (фиг. 207b и 206Ь);

2)    еще лучше отнять треугольникь CDK отъ левой части и прибавить треугольникь ABL къ правой (фиг. 206Ь и 206Г);

3)    повернуть весь профиль ABCD стены около оси /, не изменяя самого профиля, на уголъ [3 (206с и 207г);

4)    повернуть весь профиль стены около оси / на уголъ (3, отрезавъ справа треугольникь ABF (фиг. 207с и 207Г);

5)    отнять отъ прямоугольнаго сечены слева трапецт CDKM причемъ точка М должна быть взята такъ, чтобы равнодействующая R' изъ веса Р и давлены R'₀, соответствующихъ части

стены AKMN пересекала шовъ MN въ разстоянш —- MN отъ точки М (фиг. 2о6d и 207сГ)]

6) отнять отъ прямоугольнаго сечешя слева, вместо трапещи CDKM, площадь CDK, причемъ кривая СК—касательна къ КМ и МС въ точкахъ К и С (фиг. 206 d и 207d').

Если точка пересечешя равнодействующей съ подошвой ле-житъ вне средней трети, то правый нижнш уголъ можно срезать:

I)_А 1)_А    ])— А Т?_А

(а)

(Ъ)

ai)

(С)

(с)

(d)

м,

с ВС ВС

(d)

(d)

m

(d)

(e)

(f)

Фиг. 207.

или 7) по прямой GN (фиг. 206d и 207Й?"), или 8) по кривой AG (фиг. 2o6d и 20r]d'"'). Величина среза определяется такимъ образомъ, чтобы напряжете матерНла въ точке G, ранее засыпки стены землею, не превосходило допу-скаемаго прочнаго сопротивленш.

Поперечный профиль на фиг. 207d'" называется англшскимъ профилемъ.

Въ некоторыхъ случаяхъ поперечному профилю стенъ прилагать формы, изображенныя на фиг. 2oje и 207/, скашивая одну грань, или обе.

частей въ профиляхъ на фиг. 207Ь, Ь', с и с отъ ~ — 1 лрофиляхъ 207^ и d" уклонъ нижнихъ граней---- .

При всякой форме поперечнаго сеченш, толщина стены по верху должна быть не меньше 0,25 сж. Уклоны срезанныхъ

i

—, въ 5 ’

Для нагляднаго представлешя относительной выгодности раз-личныхъформъ поперечнаго профиля (ф.207)въ таблице приведены относительные размеры ихъ площадей. При составленш таблицы принято, что i) земляная масса ограничена сверху горизонтальной плоскостью, 2) высота подпорной стены h, 3) уголъ естественная откоса земли 9=35°, 4) о весъ кубической единицы земли = о,8оо веса кубической единицы каменной кладки и 5) уголъ тренш земли по кладке ?₀=о°.

Форма поперечнаго профиля сгЬны.

Уклонъ боков, граней.

Передн. i Задней.

Давлеше! Толщина сгЬны по подошв-fc.

земли.

Плоздадь

поперечнаго

сЬчешя.

Относитель-

ная величина

площади.

Форма а

Ъ . .

1 i°i9') ,/(P=ii°i9')

i : 10

i : 10

eo еп

i : 10

??

i : 10

i : 10

0,135 Ь h2 || О,.35 ⁵ Л²

0,135 5 /ł2

0,117 о h2 0,117 5 Л2 0,135    №

0,117 0 /i²

0,156 o hl 0,177 о Л2 0,156 о h²

0,380 h 0,365 h 0,367 h 0,279 " 0,287 h 0,342 li 0,270 A 0,461 h 0,530 h 0,441 h

0,380 h²

0,315 №

0,267 h2 0,279 ^2 0,237 h2 0,237 **

0,2 20 /i²

0,41 ih~    i ,082

0,430 lr    |l    1,132

0,341 h-    0,897

1,000

0,829

0,703

0,734

0,624

0,624

0,579

Таблица показывает., что изъ числа трапецоидальныхъ формъ поперечнаго профиля наиболее выгодною является форма с, соответствующая стене съ наклонными швами и съ боковыми гранями, наклоненными въ сторону къ земляной массе. Наиболее невыгодная форма е, соответствующая стене съ горизонтальными швами, съ передней вертикальной гранью и задней, наклоненной въ сторону отъ земляной массы. По степени выгодности формы можно разместить въ следуюгцемъ порядке: с', Ь\ Ь, /и е. Сравнены формъ поперечнаго профиля показываетъ, что съ увеличешемъ наклона боковыхъ граней въ сторону земляной массы количество кладки уменьшается, а съ увеличешемъ наклона задней грани въ сторону отъ земляной массы количество кладки возрастаете Если сравнить формы поперечнаго профиля d, d', d" и d'" съ формой с, то оказывается, что формы d и d'—менее выгодны, а форма d" и d'" более выгодны, чемъ форма с.

Точка пересечены какого-нибудь шва съ равнодействующей соответственныхъ веса и давлены земли называется центромъ давлешя. Мы знаемъ (стр. 74 ч. I), что кривая, соединяющая центры давленш, называется кривою давлешя; она даетъ ясное представлены о степени устойчивости всей стены и каждой ея части.

Согласно предыдущему, мы можемъ выразить условы устойчивости въ несколько иномъ виде, а именно: i) кривая давлешя

должна пересекать швы не ближе толщины стены отъ пе

редней грани; 2) направлены равнодействующей (но не кривой давлешя) должно составлять съ нормалью къ шву уголъ, менышй угла трены кладки <р; и 3) напряжены матерыла въ швахъ, где кривая подходитъ ближе всего къ передней грани стены, не должно превосходить допускаехмаго прочнаго сопротивлешя.

Для построены кривой стену ABCD

давленш,

(фиг. 208) разбиваютъ на несколько отрезковъ плос-EF, GH . .

А________

—•**

Ef-Xj

КОСТЯхМИ

параллельными подошве ВС, и принимаютъ ихъ за швы кладки. Определивъ веса частей отъ верхней грани AD до сечешй EF, р₃ I GH, ВС . . , давлешя земли    /

на AF, АН и АВ и точки ихъ приложены, склады-ваютъ соответствующее веса и давлены и находятъ направлены и положены равно-действующихъ Rt, R₃ . . точки пересечены равнодействую-

р₂ g

NC

M" X

Рз

—АС.

Ф'В к

Ł.

й°4

Фиг. 208.

22Ó

щихъ съ соответственными швами лежатъ на искомой кривой давлении

Примпръ i. Для представленной на фиг. 196 подпорной стенки построить лин1ю равнод'Ьйствующихъ и найти наибольшее напряжете давлешя подошвы стены на грунтъ.

Давлешя земли на части той же стены определены на фиг. 193 и для веса земли S — i,6-^§- они оказались равными:

^ = 0,74, R₂=i,74, R₃ = h9Z, R* = 2,4 т.

и ихъ равнодействующая 6,88 т.

Веса частей стены, при весе I м³. кладки = 2,0 т., по масштабу определяются:

Pi = 1,15 • 2 = 3,30 т., Р₂ = 2,485 . 2 = 4,97 т.

Р₃ = 2,65 . 2 = 5,30 T. И Р₄ = 2,85    .    2    =    5,70    Т.

Соединивъ на фиг. 196 силы Ри Р₁₍ Р₂, R% и т. д. въ многоугольника и принявъ начальную его точку О за полюсъ, строимъ веревочный много-угольникъ i, г', 2, 3', 3, 4', 4, к, представляюгщй искомую линю равнодействую-щихъ. Направление последней стороны определяетъ положена равнодействующей R и ея точку к пересечены съ подошвой стены, находящуюся вправо отъ средины подошвы на разстоянш 4 см. Разложивъ равнодействующую R на составляющ’ш-нормальную N къ подошве = 21650 кл. и параллельную ей Я=6₄оо кл., находимъ для угла трены кладки по земле 30° силу трены N tg зо°=о,57 . 2x650 и коефищентъ устойчивости на скольжеше

0,57 . 21650

т=^—--= 1,93.

6400

21650

174.100

N (    \

Наибольшее давлеше на грунтъ: nb — — ( i Т \

Ьс

кл.

и.:.

СМ*.

125. СтФны набереЖныхъ и водоудерДсательныхъ пло-тинъ и устои люстовъ. Къ числу подпорныхъ стФнъ относятся между прочимъ стФны набережныхъ, устои мостовъ и стФны водоудержательныхъ плотинъ. Первыя служатъ для поддержаны земляныхъ массъ ручного или морского берега, вторыя же—для поддержаны воды. ТФ и друпя стФны, вслФдствк присутствы воды, находятся въ менФе благопрытныхъ условыхъ, чФмъ подпорныя стФны, служагцы для поддержаны земляныхъ насыпей. Трещины въ каменной кладкФ у задней грани стФнъ дФлаются опасными: i) вода, входя въ нихъ, производитъ на кладку давлеше снизу вверхъ и уменьшаетъ устойчивость стФны

и 2) замерзая, вода производитъ дальнейшее распространена трещинъ.

Чтобы предупредить образована трещинъ, необходимо спроектировать ст^ну такъ, чтобы все швы каменной кладки подвергались только сжатию. Изъ теорш неравномернаго сжаты намъ известно, что для удовлетворены этому условш равнодействующая внешнихъ силъ должна встречать шовъ въ разстоянш не

меньшемъ -у- соответствующей толщины стены отъ наружнаго

ребра. Поэтому условш устойчивости для устоевъ мостовъ и подпорныхъ стенъ водоудержательныхъ плотинъ и набережныхъ могутъ быть выражены следующимъ образомъ:

т) равнодействующая внешнихъ силъ должна встречать подошву стены въ средней трети толщины стены, или что кривая давлены должна заключаться въ средней трети стены;

2) уголъ между равнодействующей и нормалью къ подошве не долженъ превосходить угла трены каменной кладки;

3)

ни въ одной точке стены напряжены каменнаго матерыла не должно превосходить допускаемаго прочнаго сопротивлены сжатш.

Предыдущая условы имеютъ место для всякаго шва съ соответственной частью стены.

162. Стены набережныхъ подвержены действда трехъ силъ: собственнаго веса, давлены земли на заднюю грань и давлены воды на переднюю грань; при чемъ последнее действуетъ нормально къ поверхности стены и приложено на разстоянш -у высоты отъ горизонта воды. Устои мостовъ подвергаются еще да-влешю фермъ моста и иногда давленш воды на подошву, равному весу вытесненной воды.

Стенамъ набережныхъ придаютъ обыкновенно трапецеидальную форму поперечнаго сечены. Определены размеровъ ихъ делается на основанш условш устойчивости, выражая ихъ аналитически съ тою лишь разницей, что растояны Ь точки ]

пересечены равнодействующей надо положить равнымъ -у а

а.

вместо —

Толщина стены набережной по верху а₀ принимается такою, чтобы она могла оказать сопротивлеше разрушительному дТй-ствт атмосферныхъ деятелей. Обыкновенно берутъ а₀ не меньше

0,25 саж. Уклоны передней грани набережныхъ отъ о до ~

и редко -у-, задней—уклонъ со стороны берега отъ о до

Стены водоудержательныхъ плотинъ подвержены действш всегда вполне опред'Ъленныхъ силъ: собственнаго вТса и давле-нш воды. Этимъ стенамъ придаютъ обыкновенно формы: треугольную, трапецоидальную и криволинейную (фиг. 209 а, b и с).

(а)

(Ъ)

(с)

--г.__

Фиг. 209.

На уровне наивысшаго горизонта воды стена должна иметь толщину, достаточную для сопротивленш ударамъ волнъ и атмо-сфернымъ влшншмъ. При треугольной форме стены сопряжете верхней уширенной части съ нижней делается съ помощью по-

логихъ кривыхъ поверхностей (фиг. юусГ). Иногда для уменыпешя давленш на подошву, стТну уширяютъ внизу и уширенную часть соединяютъ съ верхней также пологими кривыми поверхностями (фиг. 209 с).

D М

D0U-,-'

Р/-4- G

iK

Л.

Фиг. 210.

Стены водоудержательныхъ плотинъ должны быть устойчивы, какъ при действш бокового давленш воды, такъ и при спуске поддерживаемой плотиною воды, при действш одного собственнаго веса плотины. Толщина сгЬнъ водоудержательныхъ плотинъ определяется такимъ образомъ изъ аналитическихъ выраженш условш устойчивости въ двухъ предположешяхъ: при действш воды и вТса плотины, и при действш одного в^са плотины; для толщины а выбирается

большее изъ двухъ значешй. Для нагляднаго представлены распределены усилш въ стене и выяснены правильности приданнаго стене профиля, вычерчиваютъ на немъ две кривыхъ давлены — при совм^Ьстномъ действш воды и веса стены, и при отд'кльномъ действш посл'Ьдняго (фиг. 21 о).

Стены водоудержательныхъ плотинъ ставятся иногда непосредственно на грунтъ. Чтобы удовлетворить въ этомъ случа-fe первому и второму условымъ устойчивости, приходится увеличить толщину стены и подошвы. Пренебрегая в-Ъсомъ уширенш и приравнивая наиболышя напряжены по подошве при давленш воды и безъ него допускаемому давлешю на грунтъ, можемъ найти величину уширеннаго основаны стены.

По даннымъ практики, толщина верхней части водоудержа-тельной плотины на уровне наивысшаго горизонта воды должна

быть не мен'Ье 0,50 сж. и не менее высоты h стены до этого

горизонта. Верхняя часть плотины возвышается надъ уровнемъ

наивысшаго горизонта воды на высоту около -^h.

Примерь 2. Дана опора моста (фиг. 211) высотою ю,8 м. и шириною по верху 1,0 м. и по низу 5,0 м., поддерживающая песчаную насыпь съ горизонтальной поверхностью, на которой параллельно берегу расположенъ железнодорожный путь съ тяжелыми паровозами. Горизонтъ высокой воды возвышается на 9,0 м., а низкой—на 2,о м.. надъ подошвой стены. Разсмотреть случай быстраго понижены воды съ наивысшаго уровня до низкаго, когда поддерживаемый опорой моста грунтъ остается еще влажнымъ, построить кривую давлены и определить наибольшее давлеше на подошву устоя подъ влышемъ давлены земли и воды.

Принимаемъ веса земли, воды и кладки равными о — i,6, 6'—1,0

и = 2,0 ~ и наименьшее углы трены влажной земли по земле

и по кладке <р—сро— 25°, такъ что    Давлеше воды

на наружную грань W= ¹/₂ Ь'.2г--¹/₂.2г—2 т. и на подошву (весъ вытесненной ею воды) D=o'.2.5= 10 т. Давлеше мостовой фермы опору на 20,0 т.

Нагрузка на каждую изъ 5 осей паровоза = 17 т. при раз-стоянш между ними 1,5 м. Предполагая, что рельсы укреплены

на лежняхъ, им'Ьемъ отъ каждаго лежня на i nor. метръ сгЬны нагрузку 8,5 1,51=5,7 т. при равнодгЬрномъ распределен^, и уве-

гХ\

со

т*

©*

ы.

*а

&у>

ка

1СЛ4 3 8

‘I »44 = J.J

Nf

о*

г-*

<£>

йГ_И

Фиг. 211.

'4*

И—⁵

\/s.

//А

v<

\"

ч3\

'ч\ V /\

'V >ч\

\><

V.

\\ \s!

Л '\\U

Г'

1 «• e

\ч\|

\К

-4

//

т/У

54,0

\Т\/Г

рА /V*

0мО,о

в»

о?

5 4' ⁰⁵

Е*/

- о—*-

■*п

личимъ ее въ i'l₂ раза въ виду неравномерности передачи, т. е., принимаемъ на i м. устоя два сосредоточенныхъ груза по 8,5 т. каждый.

Для верхней части устоя строимъ призму обрушешя, проходящую черезъ точку перелома Ьх. Черезъ точку А проведемъ ASX !1 основной лиши ЬХТХ, т. е. подъ угломъ ср —|— <f»₀= 5о⁰ къ на-правлешю верхней части устоя, илинш естественнаго откоса bxkt подъ угломъ 9 = 25° къ горизонту. Находимъ bxvx²—bxkx.b₁Sx, проводимъ vxxx II ASi и отложимъ vxtx=vxxx. Тогда давлеше земли на верхнюю часть Rx—b. пл. xxvxtx— 11,15 т. Черезъ нижнюю точку b устоя проводимъ основную лишю ЬТ для второй части устоя подъ угломъ 50° и параллельную ей черезъ точку хх прямую х₁с1 и зам'Ьняемъ пл. Д xxcxvx равновеликой пл. Д ЬхАах. Подлежащий вычету в-§съ q—b.nn.^bxAax—Ą,Ą.Gr.

ОпредТлимъ теперь призму обрушены, проходящую черезъ точку *₂, непосредственно передъ грузомъ Рх. Для этого проводимъ черезъ эту точку прямыя х₂ех и x₂b' параллельно основной лиши ЬТ и естественному откосу Ьхкх1 а также аха₂ II Ьхх₂, при-чемъ точки ех, а₂ и V лежатъ на продолжены вертикальной прямой^,. На Ь'е₁ описываемъ полуокружность, изъ точки а₂ проводимъ a₂fx J_ къ b'ex, откладываемъ b'b₂=bfx и определяемъ положены искомой призмы обрушенш х₂Ь₂а безъ груза Рх. Соответствующее ей давлеше    4,9 т. на стену ЬХЬ₂А выразится 8*

пл. Д x₂v₂t₂, если x₂v₂ II bTnb₂v₂k₂ II естественному откосу, а давлеше R₂ на часть b₂bx—черезъ Rl2 — Sx—6,6 т. (фиг. 191).

Дал^е определяемъ призму обрушенш, проходящую черезъ точку х₃ (посредине между грузами Рх и Р₂) и заключающую въ себе грузъ Рх. Для этого проводимъ изъ точки ах прямуюаха₃ II Ьхх₃, выбираемъ на пpoдoлжeнiи ЬХЬ₂ такую точку рх, чтобы 8. Дрх агхъ = Р, = 8,5 т., и проводимъ изъ точки х₃ прямыя хге₂ и хгЬ" параллельно ЬТ и Ьхкх, на Ь" е₂ описываемъ полуокружность, проводимъ pif₂J_b"e₂ и делаемъ Ь'/=Ь"Ьг. Тогда Ьгхг—искомая плоскость обрушенш, а соответствующее ей давлеше Р,_₃ на стену ЬЪЬХА выразится площадью Д x₃v₃t₃ = 29,oФ если&₃г/₃ II Ьхкх, x₃v₃ II ЬТ и v₃t₃=vъхъ‘ Разность    £=14,16 т. дастъ величину Р₃.

Наконецъ определяемъ плоскость обрушенш, проходящую черезъ точку х₄, заключающую и грузъ Р₂. Проводимъ ахал II Ьхх± и выбираемъ точку р₂ такъ, чтобы 8. пл. /)₂a₄x₄=PI-|-P₂= 17 т. проводимъ х₄е₃ II bТ и xjb"' || Ьхкх, описываемъ полуокружность

делаемъ pj₃ _]_ Ь'"е₃ и b"'f₃ — b'"b (такъ выбрана высота

ejy

опоры). Тогда bxĄ будетъ искомая плоскость обрушешя, а пло-

щадь треугольника x₄v₄t₄, умноженная на представитъ соответствующе давлеше земли /?,_₄=43,4 т., а равность Rt_₄— S₃=R₄= = 14,34 т.—давлеше на часть устоя ЪЪУ

Такимъ образомъ давлеше земли на части устоя Ab„ btb₂, Ь₂ЬЪ и ЬЬЪ определяются: i?r = 11,15, R₂=6,6o, ^3=14,16 и ^=14,34 т. Точки приложены этихъ давленш можно принять для верхней части на */₃ btA отъ а для остальныхъ посредине каждой части, или же точнее какъ показано на фиг. 196. Веса частей стены определяются: ^=54,0 (вместе съ давлешемъ фермы 20,0 т.), (/,= 17,46, Qi=2o,o hQ₄=ij,q т. Строимъ многоуголь-

НИКЪ СИЛЪ Q—Rl Q₂—R2—Qi—Ri—Qą—R₄—D и W, действую-

щихъ на стену и, принявъ начальную его точку О за полюсъ, строимъ веревочный многоугольникъ равнодействующихъ, последняя сторона котораго определяетъ положеше равнодействующей R всехъ силъ и точку k ея пересечены съ подошвой bd, отстоящую на разстоянш 1,80 м. отъ ребра d, т. е. въ средней трети подошвы стены.

N=

Разложивъ равнодействующую R на составляющы = 122400 кл.—перпендикулярную и //=37600 кл.—параллельную, подошве стены, находимъ наибольшее напряжете давлены на грунтъ

тах п. =

122400

500 . юо

(I -+

6.70

500

)—4,5 I кл/см.

и min. п =

122400

6.70

500 . юо

500

) — 0,39 кл/см².

Принимая же уголъ трены подошвы стены по мокрому rpyHTy=25J, для котораго /^^=0,446, получимъ коефишентъ устойчивости на скольжеше

М5-

122400.0,446_

37600

=>-

Глава

ТУ

Содержат e II части.

Teopm Ферма».

Стр.

I. Понятш о вн'кшнихъ силахъ и фермахъ И. Обпйя свойства инфлюентныхъ линш .

Внешни силы Ферма».

III.    Простыя балки.............

IV.    Аналитически способъ опред'Ьлешя тах М.

V.    Консольныя балки.......

VI. Простыя трехшарнирныя арки

VII. Консольныя трехшарнирныя арки.

15

39

53

•    ⁶3

75

Внутреншя силы сквозных!» Фермъ.

VIII. Обшде способы опред-Ьленш усилш ....

IX. Разсчетъ сложныхъ фермъ........

X. Инфлюентныя лиши усилш поясовъ .... XI. Инфлюентныя линш усилш р-Ьшетки фермъ XII. Решетка арочныхъ фермъ........

XIII.    Частные случаи фермъ..........

XIV.    Статически неопред'Ьлимыя фермы ....

XV.    Давлеше земли...........•    .

„ ' XVI. Глубина заложенш основанш.......

„ XVII. Подпорныя сгЬны............

УУ

ТУ

у>

УУ

УУ

У>

УУ

УУ

8о

97

102

Ю5

125

*35

i6o

182

212

\

\

-

'

У

*•**,•! •

*•96

/V

Biblioteka Politechniki Krakowskiej

100000294599

::