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Biblioteka Politechniki Krakowskiej

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GESAMMELTE WERKE

VON

HEINRICH HERTZ.

BAND III

DIE PRINZIPIEN DER MECHANIK

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VERLAG VON JOHANN AMBROSIUS BARTH 1910

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PRINZIPIEN DER MEC

IN NEUEM ZUSAMMENHÄNGE DARG]

VON

HEINRICH HERTZ.

HERAUSGEGEBEN

VON

P. LENARD.

MIT EINEM VORWORTE

VON

H. VON HELMHOLTZ.

ZWEITE AUFLAGE.

LEIPZIG

VERLAG VON JOHANN AMBROSIUS BARTH 1910

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Übersetzungsrecht Vorbehalten.

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Druck von Metzger & Wittig in Leipzig.

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Inhalt.

Nummer Seite

Vorbemerkung des Herausgebers zur ersten Auflage .    .

zur zweiten Auflage .    .

VII

IX

Vorwort von H. v. Helmholtz Vorwort des Verfassers .    .

Einleitung.......

XIII

XXIX

Erstes Buch. Zur Geometrie und Kinematik der materiellen Systeme.

Vorbemerkung.................

Abschnitt 1. Zeit, Eaum, Masse.........

Abschnitt 2. Lagen und Verrückungen der Punkte

und Systeme..............

Lage; Konfiguration und absolute Lage; Endliche Verrückungen a) der Punkte, b) der Systeme; Zusammensetzung der Verrückungen.

Abschnitt 3. Unendlich kleine Verrückungen und

Bahnen der Systeme materieller Punkte .    53    69

Unendlich kleine Verrückungen; Verrückungen in Richtung der Koordinaten; Benutzung partieller Differentialquotienten ; Bahnen der Systeme

Abschnitt 4. Mögliche und unmögliche Verrückungen. Materielle Systeme........

Zusammenhang; Analytische Darstellung des Zusammenhanges; Bewegungsfreiheit; Verrückungen senkrecht zu den möglichen Verrückungen.

Abschnitt 5. Von den ausgezeichneten Bahnen der

materiellen Systeme..........

1. Geradeste Bahnen; 2. Kürzeste und geodätische Bahnen ; 3. Beziehungen zwischen geradesten und geodätischen Bahnen.

Abschnitt 6. Von der geradesten Entfernung in

holonomen Systemen..........

1. Flächen von Lagen; 2. Geradeste Entfernung.

Abschnitt 7. Kinematische Begriffe.......

1.    Vektorgrößen in bezug auf ein System;

2.    Bewegung der Systeme, Geschwindigkeit,

Moment, Beschleunigung, Energie, Benutzung partieller Differentialquotienten.

Schlußbemerkung zum ersten Buch..........

1    53

2    53

9    55

109    88

151    100

197 119

237    137

295    153

Zweites Buch. Mechanik der materiellen Systeme.

Nummer Seite

Vorbemerkung.................

Abschnitt 1. Zeit, Raum, Masse.........

Abschnitt 2. Das Grundgesetz.........

Das Gesetz; Berechtigung desselben, Einschränkung desselben, Zerlegung desselben,

Methode seiner Anwendung. Angenäherte Anwendung.

Abschnitt 3.    Bewegung der freien Systeme. .    .    .    331    170

AllgemeineEigenschaften der Bewegung: 1. Bestimmtheit der Bewegung, 2. Erhaltung der Energie, 3. Kleinste Beschleunigung, 4. Kürzeste Bahn, 5. Kürzeste Zeit, 6. Kleinstes Zeitintegral der Energie. Analytische Darstellung: Differentialgleichungen der Bewegung. Innerer Zwang der Systeme. Holonome Systeme. Dynamische Modelle.

Abschnitt 4.    Bewegung der unfreien Systeme.    .    .    499    199

I. Geleitetes unfreies System. II. Systeme durch Kräfte beeinflußt: Einführung der Kraft,

Wirkung und Gegenwirkung,Zusammensetzung der Kräfte, Bewegung unter dem Einfluß von Kräften, Innerer Zwang, Energie und Arbeit, Gleichgewicht und Statik, Maschinen und innere Kräfte, Messung der Kräfte.

Abschnitt 5.    Systeme mit verborgenen Massen    .    .    546    235

I. Cyklische Bewegung: Cyklische Systeme,

Kräfte und Kräftefunktion, Reziproke Eigentümlichkeiten, Energie und Ai-beit, Zeitintegral der Energie. II. Verborgene cyklische Bewegung: Konservative Systeme, Differentialgleichungen der Bewegung, Integralsätze für holonome Systeme, Endliche Bewegungsgleichungen für holonome Systeme; Nichtkonservative Systeme.

Abschnitt 6. Von den Unstetigkeiten der Bewegung 668    286

Stoßkraft oder Stoß; Zusammensetzung der Stöße; Bewegung unter dem Einfluß von Stößen; Innerer Zwang beim Stoße; Energie und Arbeit; Zusammenstoß zweier Systeme.

734    306

SchlußbemeiRung zum zweiten Buch .    .    .

309

Nachweis der Definitionen und Bezeichnungen

Vorbemerkung des Herausgebers.

Zur ersten Auflage.

Hiermit wird Heinrich Hertz’ letztes Werk der Öffentlichkeit übergeben. Es bringt die Früchte der Arbeit seiner drei letzten Lebensjahre. Nach etwa einjähriger Arbeit war das Werk in seinen großen Zügen niedergescbrieben; die anderen beiden Jahre waren dem Ausbane im einzelnen gewidmet. Am Ende dieser Zeit betrachtete der Verfasser die erste Hälfte des Werkes als völlig abgeschlossen, die zweite Hälfte als der Hauptsache nach vollendet. Diese zweite Hälfte noch einmal durchzuarbeiten, war sein Plan. Schon aber waren die Pläne zu Wünschen geworden, und für die Wünsche gab es nur mehr Entsagung. Die Sonne, welche uns so hell noch einmal aus diesen Blättern leuchtet, neigte sich zum Untergange. — Kurz vor seinem Tode übergab der Verfasser selbst den größeren Teil des Manuskriptes der Verlagsbuchhandlung. Zugleich berief er den Unterzeichneten zu sich und wies ihn an, die Herausgabe zu besorgen, wenn er selbst dies nicht mehr würde tun können.

Indem ich die Drucklegung vom ersten Bogen an überwachte, achtete ich mit größter Sorgfalt auf getreue Wiedergabe des Originals, und zwar vor allem des Sinnes desselben. Nicht minder war ich bestrebt, auch die Form zu wahren; aber dieselbe in allen Punkten festzuhalten, ohne Rücksicht auf Inhalt und Zusammenhang, wäre nicht im Sinne des Verfassers gewesen. Ich habe solche geringe Änderungen der Form eintreten lassen, von welchen ich nach sorgfältigem Studium des Werkes nicht zweifeln konnte, daß sie der Verfasser selbst würde angebracht haben. Von der Angabe dieser Änderungen im einzelnen glaubte ich absehen zu dürfen, eben weil keine derselben den Sinn berührt. Um dies letztere verbürgen zu können, habe ich auch sämtliche Konzepte und früheren Ausarbeitungen des Werkes gewissenhaft studiert. Solcher früherer Ausarbeitungen sind mehrere in sorgfältiger Niederschrift vorhanden, und sie sind zum Teil ausführlicher, als das letzte, für den Druck bestimmte Manuskript.

Die letzten Verbesserungen, welche der Verfasser noch nach Absendung des Manuskripts in einem zweiten Exemplare desselben vermerkt hatte, sind alle vor dem Drucke nachgetragen worden. Die Hinweise auf frühere Stellen des Werkes, welche im zweiten Teile desselben spärlicher wurden und im letzten Abschnitte nur angedeutet waren, habe ich ergänzt, den geplanten Nachweis der Definitionen und Bezeichnungen zusammengestellt.

Besondere Aufmerksamkeit widmete ich auch der äußeren Gestaltung des Druckes, wie es des Verfassers Wunsch war. Ich hoffe, man wird, dank der anerkennenswerten Mitwirkung der Verlagsbuchhandlung, die Ausstattung als des Werkes würdig befinden.

Bonn, Juni 1894.

P. L.

Zur zweiten Auflage.

In den 15 Jahren, welche nun seit dem ersten Erscheinen dieser Mechanik vergangen sind, hat die Physik nicht geringe Fortschritte zu verzeichnen. Neue Kenntnisgebiete sind aufgegangen. Die Scheidewände, die uns zu Hertz’ Lebzeiten von diesen Gebieten noch trennten, haben, allmählich immer dünner gearbeitet, zuletzt wie plötzlich an mehreren Stellen zugleich freien Weg gegeben. Wir wissen jetzt mehr von der Elektrizität als damals; „neue und mehrere Beziehungen“ der Elektrizität zu den unseren Sinnen unmittelbar zugänglichen Dingen sind doch aufgedeckt worden. Gerade worauf man damals beinahe glaubte verzichten zu müssen, darin hat sich also inzwischen der größte Fortschritt ergeben. Die Theorie hat die Richtung des Fortschrittes nicht voraussehen lassen; sie zeigt allerdings dem Kundigen die Lage der Grenzwände gegen das Unbekannte, sie zeigt aber nicht die Stellen, wo diese Wände dünner — oft unglaublich dünn — und leichter zu durchbohren sind als anderswo. Dieses hat einigen Experimentatoren ihr bloßer Instinkt gezeigt. Dieselben haben — unter ihnen ebenfalls Hertz selbst mit seiner letzten Experimentaluntersuchung voran — zum besten Teil nur ihrem inneren Triebe folgend die richtigen Stellen gefunden, wo der Durchbruch auch wirklich gelang.

Während man so heute nicht Anlaß hat, über das „Wesen der Elektrizität“ weniger befriedigt zu sein als über das „WTesen des Goldes“, fehlt uns doch auch heute noch die andere, tiefergehende Befriedigung, die zu Hertz’ Lebzeiten gerade infolge seiner eigenen Entdeckungen — »ein Äther für Licht, Wärme und Elektrizität“, wie es Lord Kelvin ausdrückte — schon sehr nahe gerückt schien, nämlich die Befriedigung, den Mechanismus näher zu erkennen, der uns umgibt und der in bloßer Bewegung, Ortsveränderung ein für allemal gegebenen Stoßes, die Erscheinungen — wir beschränken uns darauf zu sagen: der unbelebten Teile — der Natur hervorbringt. Ja- selbst die Überzeugung, daß es mög-lieh sei, die materielle Welt als Mechanismus aufzufassen, hat in den letzten Jahren bei einigen Forschern gelitten durch das — bei aller vermehrter, für die Sache wesentlicher Kenntnis von der Elektrizität — vergeblich gebliebene Suchen nach der speziellen Beschaffenheit dieses Mechanismus. Das Suchen mußte auf den Äther gerichtet sein; um die Bewegungen den Sinnen direkt nicht zugänglicher, „verborgener“ Massen handelt es sich, und zwar stehen in erster Linie diejenigen verborgenen Bewegungen, welche den elektrischen und magnetischen Erscheinungen zugrunde liegen; es handelt sich in erster Linie um den Mechanismus, welcher den Maxwell - Hertz sehen Differentialgleichungen entspricht. Die Frage nach eben diesem Mechanismus ist die Form, in welcher heute das Postulat auf die Probe gestellt erscheint: Daß der Menschengeist zum Begreifen der — unbelebten — Natur eingerichtet sei, d. i. zu ihrer Beherrschung mit Hilfe dynamischer Modelle eben im Sinne dieser Mechanik, nicht nur zu ihrem Beschreiben, sei es auch in Differentialgleichungen, im Sinne Kirchhofes.

Die Überzeugung von der Erfüllbarkeit des Postulats ist es, welche in dieser Mechanik ihren allgemeinsten Ausdruck und ihren auf die gesamten an der unbelebten Natur gemachten Erfahrungen gegründeten Berechtigungsnachweis findet, zugleich unter Angabe der Grundzüge eines möglichen mechanischen Modelles der materiellen Welt. Auf dieses Werk wird also auch jetzt noch die Aufmerksamkeit derjenigen gerichtet sein, welche an jenem Postulate in der angegebenen Auffassung festhalten. Dieselbe Überzeugung auf das soeben berührte spezielle, aber nach heutiger Kenntnis jedenfalls sehr umfassende Gebiet der elektromagnetischen Erscheinungen gerichtet, liegt den hydrodynamischen Kraftfelder-Untersuchungen der beiden Bjerknes zugrunde, welche in ihren Anfängen sogar schon vor diese Mechanik zurückdatieren. Innere — cyklische, wirbelnde — Bewegungen des Äthers, welche nach ; jener Überzeugung der Mechanismus unserer elektrischen Kraftübertragungen sowohl als der des zur Erde fallenden Steines sind, im einzelnen und so anzugeben und verfolgbar zu machen, daß dadurch Erscheinungen richtig voraussagbar

werden, ist noch Problem der Zukunft. Entdeckungen der Experimentatoren werden offenbar auch hier wieder den Ausschlag geben und nicht vorausgesehene Wege weisen müssen. Vielleicht ist durch die inzwischen schon erfolgten Entdeckungen, durch die Kenntnis von den elektrischen Elementarquanten schon etwas in dieser Kichtung gewonnen; denn diese Elementarquanten erschienen in einwandfreier Auffassung sogleich als Teile des Äthers; sie zeigten damit zum erstenmale eine Struktur des Äthers an, und sie haben auch schon zur Auffassung von Struktur in den Lichtwellen geführt. Aber der Experimentator bedarf bei seinem, gleich der Bergmannsarbeit im Dunkeln vor sich gehenden Suchen der Stärkung durch solche Theorie, welche ihm die Überzeugung stützt, daß das zu Findende für ihn begreifbar sein wird, ja daß es sogar stets eine Vereinfachung der Begreifbarkeit auch alles übrigen Bekannten bedeuten wird.

Auch im einzelnen wird diese Mechanik ihren heuristischen Wert, den ihr v. Helmholtz zuspricht und der ebenso auch den Bjeeknes sehen Untersuchungen innewohnt, in baldiger sowie auch in noch ferner Zukunft erweisen können.*)

Für jetzt und bisher hat die Hertz sehe Mechanik den anderen Teil ihrer Aufgabe, welchen der Verfasser sogar in erste Linie gestellt hat, den „logischen oder wenn man will den philosophischen“ Teil, bereits in weitgehendem Maße erfüllt. Das Bewußtsein von den „Bildern, die wir uns von den Dingen machen“, die Klarheit über das, was wir äußersten-

1) Ich glaube, daß die Mechanik auch bisher schon solchen heuristischen Wert betätigt hat; wenigstens habe ich mich von ihren Vorstellungen leiten lassen, als ich zum erstenmal nach einer Verminderung der Beschleunigung suchte, welche bereits schnell bewegte Elektrizitätsquanten in dem ihrer Geschwindigkeit parallel gerichteten elektrischen Felde erfahren, ein Problem, welches, wie bekannt, seither mit positiven Erfolgen von mehreren Seiten bearbeitet worden ist, allerdings ohne bisher im Anschluß an die Hertz sehe Mechanik weiter behandelt worden zu sein. Eine solche Behandlung würde auch die heute unter dem Namen des Relativitätsprinzips zusammengefaßten Erfahrungen zu bestimmten inneren Eigenschaften des Äthers in Beziehung bringen können.

falls im Begreifen der Dinge- leisten können, was nicht, ist seither wie etwas Selbstverständliches Gemeingut der Naturforscher geworden, und auch Philosophen von Überblick haben davon, soweit ich sehe, Kenntnis genommen. Ebenso hat die Kenntnis von der exakten Bedeutung und Tragweite der einzelnen mechanischen Prinzipien allgemein sich verbreitet, die man vorher vergeblich in der Literatur zu finden suchte.

Die gegenwärtige Neuherausgabe ist im wesentlichen ein unveränderter Abdruck der ersten Auflage. Nur wenige Stellen boten Anlaß zu Verbesserung; so habe ich von den beiden Nummern 577 und 635, wo mir des Verfassers Absicht nicht genügend klar geworden war, die eine jetzt nach Boltzmann (Prinzipe der Mechanik II, S. 200) geändert. Einige Versehen in Indices oder Vorzeichen, welche sich noch fanden, wurden beseitigt, neue Hinweise auf frühere Nummern des Werkes zur Erleichterung des Studiums hinzugefügt. Ich habe den Herren H. Lorberg in Bonn und A. E. H. Love in Oxford für diesbezügliche Mitteilungen zu danken gehabt. In H. v. Helmholtz’ Geleitwort zur ersten Auflage, in seinen letzten Tagen geschrieben, ist (wie bereits in der englischen Ausgabe des Werkes) an einer Stelle, wo ihn das Gedächtnis getrügt zu haben schien, eine biographische Anmerkung hinzugefügt. Die Korrekturen dieser Auflage sind von Herrn Stud. Gustav Hertz mit großer Gründlichkeit besorgt worden.

Heidelberg, Februar 1910.

P. L.

Vorwort von H. v. Helmlioltz.

Am 1. Januar 1894 starb Heinrich Hertz. Für alle, die den Fortschritt der Menschheit in der möglichst breiten Entwickelung ihrer geistigen Fähigkeiten und in der Herrschaft des Geistes über die natürlichen Leidenschaften wie über die widerstrebenden Naturkräfte zu sehen gewohnt sind, war die Nachricht vom Tode dieses bevorzugten Lieblings des Genius eine tief erschütternde. Durch seltenste Gaben des Geistes und Charakters begünstigt, hat er in seinem leider so kurzen Leben eine Fülle fast unverhoffter Früchte geerntet, um deren Gewinnung sich während des vorausgehenden Jahrhunderts viele von den begabtesten seiner Fachgenossen vergebens bemüht haben. — ln alter, klassischer Zeit würde man gesagt haben, er sei dem Neide der Götter zum Opfer gefallen. Hier schienen Natur und Schicksal in ganz ungewöhnlicher Weise die Entwickelung eines Menschengeistes begünstigt zu haben, der alle zur Lösung der schwierigsten Probleme der Wissenschaft erforderlichen Anlagen in sich vereinigte. Es war ein Geist, der ebenso der höchsten Schärfe und Klarheit des logischen Denkens fähig war, wie der größten Aufmerksamkeit in der Beobachtung unscheinbarer Phänomene. Der uneingeweihte Beobachter geht an solchen leicht vorüber, ohne auf sie zu achten; dem schärferen Blicke aber zeigen sie den Weg an, durch den er in neue unbekannte Tiefen der Natur einzudringen vermag.

Heinrich Hertz schien prädestiniert zu sein, der Menschheit solche neue Einsicht in viele bisher verborgene Tiefen der Natur zu erschließen, aber alle diese Hoffnungen scheiterten an der tückischen Krankheit, die, langsam und unaufhaltsam vorwärts schleichend, dieses der Menschheit so kostbare Leben vernichtete und alle darauf gesetzten Hoffnungen grausam zerstörte.

Ich selbst habe diesen Schmerz tief empfunden, denn unter allen Schülern, die ich gehabt habe, durfte ich Hertz immer als denjenigen betrachten, der sich am tiefsten in meinen eigenen Kreis von wissenschaftlichen Gedanken eingelebt hatte, und auf den ich die sichersten Hoffnungen für ihre weitere Entwickelung und Bereicherung glaubte setzen zu dürfen.

Heinrich Rudole Hertz ward am 22. Februar 1857 in Hamburg als ältester Sohn des damaligen Rechtsanwalts, späteren Senators Dr. Hertz geboren. Nachdem er bis zu seiner Konfirmation den Unterricht in einer der städtischen Bürgerschulen erhalten hatte, trat er nach einem Jahre häuslicher Vorbereitung für höher reichende Studien in die Gelehrtenschule seiner Vaterstadt, das Johanneum, ein und verließ dieselbe 1875 mit dem Zeugnis der Reife. Er gewann schon als Knabe die Anerkennung seiner Eltern und Lehrer wegen seines ungewöhnlich regen Pflichtgefühls. Die Art seiner Begabung zeigte sich schon früh dadurch, daß er aus eigenem Antriebe neben seinen Schulfächern mechanische Arbeiten an der Hobel- und Drehbank betrieb, daneben Sonntags die Gewerbeschule besuchte, um sich im geometrischen Zeichnen zu üben, und sich mit den einfachsten Hilfsmitteln brauchbare Instrumente optischer und mechanischer Art zu erbauen bestrebte.

Als er nach Beendigung seines Schulkursus sich zu der

Wahl eines Berufs entschließen mußte, wählte er den des Ingenieurs. Es scheint, daß die auch in späteren Jahren als ein charakteristischer Grundzug seines Wesens hervortretende Bescheidenheit ihn an seiner Begabung für theoretische Wissenschaft zweifeln ließ, und daß er sich bei der Beschäftigung mit seinen geliebten mechanischen Arbeiten des Erfolges sicherer fühlte, weil er deren Tragweite schon damals ausreichend verstand. Vielleicht hat ihn auch die in seiner Vaterstadt herrschende, mehr dem Praktischen zugeneigte Sinnesweise beeinflußt. Übrigens beobachtet man nicht selten diese Art zaghafter Bescheidenheit gerade bei jungen Leuten von hervorragenden Anlagen. Sie haben wohl eine deutliche Vorstellung von den Schwierigkeiten, die vor der Erreichung des ihnen vorschvvebenden hohen Zieles zu überwinden sind, und müssen ihre Kräfte erst praktisch erprobt haben, ehe sie das zu ihrem schweren Werke nötige Selbstvertrauen gewinnen. Aber auch in ihrer späteren Entwickelung pflegen reich veranlagte Naturen um so unzufriedener mit ihren eigenen Werken zu sein, je höher ihre Fähigkeiten und ihre Ideale reichen. Die Begabtesten erreichen offenbar nur deshalb das Höchste, weil sie am empfindlichsten gegen jede Unvollkommenheit sind, und am unermüdlichsten an deren Beseitigung arbeiten.

Volle zwei Jahre dauerte bei Heinrich Hertz dieses Stadium des Zweifels. Dann entschloß er sich im Herbst 1877 zur akademischen Laufbahn, da er bei reifenden Kenntnissen sich innerlich überzeugte, daß er nur in wissenschaftlicher Arbeit dauernde Befriedigung finden würde. Der Herbst 1878 führte ihn nach Berlin, wo ich ihn zuerst als Praktikanten in dem von mir geleiteten physikalischen Laboratorium der Universität kennen lernte. Schon während er die elementaren Übungsarbeiten durchführte, sah ich, daß ich es hier mit einem Schüler von ganz ungewöhnlicher Begabung zu tun hatte, und da mir am Ende des Sommersemesters die Aufgabe zufiel, das Thema zu einer physikalischen Preisarbeit für die Studierenden vorzuschlagen, wählte ich eine Frage aus der Elektrodynamik, in der sicheren, nachher auch bestätigten

Voraussetzung, daß Heetz sich dafür interessieren und sie mit Erfolg angreifen werde.¹)

Die Gesetze der Elektrodynamik wurden damals in Deutschland noch von der Mehrzahl der Physiker aus der Hypothese von W. Webee hergeleitet, welche die elektrischen und magnetischen Erscheinungen auf eine Modifikation der Newton-schen Annahme von unmittelbar und geradlinig in die Ferne wirkenden Kräften zurückzuführen suchte. Die Abnahme der betreffenden Kräfte in der Ferne sollte demselben Gesetze wie die von Newton angenommene Gravitationskraft und die von Coulomb zwischen je zwei elektrisierten Massenpunkten gemessene scheinbare Fernkraft folgen, es sollte nämlich die Intensität der Kraft dem Quadrate des Abstandes der aufeinander wirkenden elektrischen Quanta umgekehrt, dem Produkte der beiden Quanta aber direkt proportional sein, und zwar mit abstoßender Wirkung zwischen gleichnamigen, anziehender zwischen ungleichnamigen Mengen. Übrigens wurde in Webee s Hypothese die Ausbreitung dieser Kraft durch den unendlichen Raum als augenblicklich und mit unendlicher Geschwindigkeit erfolgend vorausgesetzt. Der einzige Unterschied zwischen W. Webee s Annahme und der von Coulomb bestand darin, daß Webee voraussetzte, auch die Geschwindigkeit, mit der sich die beiden elektrischen Quanta einander näherten oder voneinander entfernten, und auch die Beschleunigungen dieser Geschwindigkeiten könnten einen Einfluß auf die Größe der Kraft zwischen den beiden elektrischen Mengen haben. Neben dieser WEBEEschen Hypothese bestanden noch eine Reihe ähnlicher anderer, die alle das Gemeinsame hatten, daß sie die Größe der Coulomb sehen Kraft noch durch den Einfluß irgend einer Komponente der

Geschwindigkeit der bewegten elektrischen Quanta modifiziert ansahen. Solche Hypothesen waren von F.E. Neumann, von dessen Sohne C. Neumann, von Riemann, Grassmann, später von Clausius aufgestellt worden. Magnetisierte Molekeln galten als Achsen elektrischer Kreisströme, nach einer schon von Ampère aufgefundenen Analogie ihrer nach außen gerichteten Wirkungen.

Diese bunte Blumenlese von Annahmen war in ihren Folgerungen sehr wenig übersichtlich und erforderte zu ihrer Ableitung verwickelte Rechnungen, Zerlegungen der Einzelkräfte in ihre verschieden gerichteten Komponenten usw. So war das Gebiet der Elektrodynamik um jene Zeit zu einer unwegsamen Wüste geworden. Beobachtete Tatsachen und Folgerungen aus höchst zweifelhaften Theorien liefen ohne sichere Grenze durcheinander. In dem Streben, dieses Wirrsal übersehen zu lernen, hatte ich es übernommen, das Gebiet der Elektrodynamik, soweit ich sah, zu klären, und die unterscheidenden Folgerungen der verschiedenen Theorien aufzusuchen, um wo möglich durch passend angestellte Versuche zwischen ihnen zu entscheiden.

Es ergab sich daraus folgendes allgemeine Resultat: Alle Erscheinungen, die vollkommen geschlossene Ströme bei ihrer Zirkulation durch in sich zurücklaufende metallische Leitungskreise hervorrufen und die die gemeinsame Eigentümlichkeit haben, daß es, während sie Hießen, zu keiner erheblichen Veränderung der in einzelnen Teilen des Leiters angesammelten elektrischen Ladungen kommt, ließen sich aus allen den genannten Hypothesen gleich gut ableiten. Ihre Folgerungen stimmten sowohl mit Ampères Gesetzen der elektromagnetischen Wirkungen, wie mit den von Faraday und Lenz entdeckten und von F. E. Neumann verallgemeinerten Gesetzen der induzierten elektrischen Ströme wohl überein. In unvollständig geschlossenen leitenden Kreisen dagegen führten die verschiedenen oben genannten Hypothesen zu wesentlich verschiedenen Folgerungen. Die erwähnte gute Übereinstimmung aller der verschiedenen damaligen Theorien mit den an vollständig geschlossenen Strömungen beoabachteten

Hertz, Mechanik. 2. Aufl.

Tatsachen erklärt sich leicht daraus, daß man geschlossene Ströme beliebig lange Zeit und in beliebiger Stärke unterhalten kann, jedenfalls lange genug, daß die von ihnen ausgeübten Kräfte volle Zeit haben, ihre Wirkungen sichtbar zu entfalten, daß deshalb die tatsächlichen Wirkungen solcher Ströme und ihre Gesetze wohl bekannt und genau ermittelt waren. Daher würde jede Abweichung einer neu aufgestellten Theorie von irgend einer der bekannten Tatsachen dieses wohl durchgearbeiteten Gebietes schnell aufgefallen und zur Widerlegung der Theorie benutzt worden sein.

Dagegen sammeln sich an den offenen Enden ungeschlossener Leiter, wo sich isolierende Massen zwischen diese Enden ein-schieben, durch jede elektrische Bewegung längs der Länge des Leiters sogleich elektrische Ladungen an, herrührend von der gegen das Ende des Leiters hindrängenden Elektrizität, die ihren Weg durch den Isolator nicht fortsetzen kann. Eine außerordentlich kurze Dauer der Strömung genügt in einem solchen Falle, um die abstoßende Kraft der am Ende angehäuften Elektrizität gegen die gleichnamige nachdrängende so hoch zu steigern, daß diese in ihrer Bewegung vollständig gehemmt wird, wonach zunächst das weitere Zuströmen aufhört und nach momentaner Buhe dann ein schnelles Zurückdrängen der angesammelten Elektrizität folgt.

Es war für jeden Kenner der tatsächlichen Verhältnisse zu jener Zeit klar, daß sich das vollkommene Verständnis der Theorie der elektromagnetischen Erscheinungen nur durch die genaue Untersuchung der Vorgänge bei diesen sehr schnell vorübergehenden ungeschlossenen Strömen werde gewinnen lassen. W. Weber hatte versucht, gewisse Schwierigkeiten seiner elektrodynamischen Hypothese zu beseitigen oder zu vermindern dadurch, daß er sich auf die Möglichkeit berief, die Elektrizität könne einen gewissen Grad von Beharrungsvermögen haben, wie es den schweren Körpern zukomme. Scheinbar zeigen bei Schließung und Unterbrechung jedes Stromes sich Wirkungen, die den Anschein eines Beharrungsvermögens der Elektrizität Vortäuschen. Diese rühren aber von der sogenannten elektrodynamischen Induktion d. h. von

einer gegenseitigen Einwirkung nahe gelegener Stromleiter aufeinander her und sind in ihren Gesetzen seit Faeaday wohl-bekannt. Wahres Beharrungsvermögen müßte nur der Masse der bewegten Elektrizität proportional sein, ohne von der Lage des Leiters abzuhängen. Wenn etwas derart existierte, müßte es sich durch eine Verlangsamung der oszillierenden Bewegungen der Elektrizität zu erkennen geben, wie sie nach jähen Unterbrechungen elektrischer Ströme in gut leitenden Drähten sich zeigen. Auf diesem Wege ließ sich die Bestimmung einer oberen Grenze für den Wert dieses Beharrungsvermögens erwarten, und deshalb stellte ich die Aufgabe, über die Größe von Extraströmen Versuche auszuführen. Aus diesen sollte wenigstens eine obere Grenze für die bewegte Masse festgestellt werden. Es waren schon in der Aufgabe, als zu diesen Versuchen besonders geeignet erscheinend,Extraströme aus doppeltdrähtigen Spiralen vorgeschlagen, deren Zweige in entgegengesetzter Richtung durchflossen wären. In der Lösung dieser Aufgabe bestand die erste größere Arbeit von Heineich Heetz. Er gibt darin eine präzise Antwort auf die gestellte Frage und zeigt, daß höchstens V20    V30 des Extrastromes aus einer doppeltdrähtigen Spirale

der Wirkung einer Trägheit der Elektrizität zuzuschreihen sei. Diese Arbeit wurde mit dem Preise gekrönt.

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Aber Heetz beschränkte sich nicht auf die vorgeschlagenen Versuche. Er erkannte nämlich, daß bei geradlinig ausgespannten Drähten die Induktionswirkungen, trotz ihrer sehr viel geringeren Stärke, viel genauer zu berechnen waren, als bei Spiralen mit vielen Windungen, weil er hier die Lagerungs-Verhältnisse nicht genau abmessen konnte. Daher benützte er zu weiteren Versuchen eine Leitung aus zwei Rechtecken von geraden Drähten und fand hier, daß der von dem Beharrungsvermögen herrührende Extrastrom höchstens l/ dem Werte des Induktionsstromes betrage.

Untersuchungen über den Einfluß der Zentrifugalkraft in einer schnell rotierenden Platte auf die Bewegung eines sie durchfließenden elektrischen Stromes führten ihn zu einer noch viel tiefer liegenden oberen Grenze des Beharrungsvermögens der Elektrizität.

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Diese Versuche haben ihm offenbar die ungeheure Beweglichkeit der Elektrizität eindringlich zur Anschauung gebracht und ihm geholfen, die Wege zu finden, um seine wichtigsten Entdeckungen zu machen.

In England waren durch Faraday ganz andere Vorstellungen über das Wesen der Elektrizität verbreitet. Seine in schwerverständlicher abstrakter Sprache vorgetragenen Ideen brachen sich nur langsam Bahn, bis sie in Glaek Maxwell einen berufenen Interpreten fanden. Faradays Hauptbestreben bei der Erklärung der elektrischen Erscheinungen ging dahin, alle Voraussetzungen, bestehend in Annahmen von nicht direkt wahrnehmbaren Vorgängen oder Substanzen, auszuschließen. Vor allem wies er, wie es einst zu Anfang seiner Laufbahn schon Newton getan, die Hypothese von der Existenz der Fernkräfte zurück. Es schien ihm undenkbar, wie die älteren Theorien annahmen, daß direkte und unmittelbare Wirkungen zwischen zwei räumlich getrennten Körpern bestehen sollten, ohne daß in den zwischenliegenden Medien irgend eine Veränderung vor sich gehe. Daher suchte er zunächst nach Spuren von Veränderungen in Medien, welche zwischen elektrisierten oder zwischen magnetischen Körpern lagen. Es gelang / ihm der Nachweis von Magnetismus oder Diamagnetismus bei fast allen bisher für unmagnetisch geltenden Körpern. Ebenso' wies er nach, daß unter der Einwirkung elektrischer Kräfte gut isolierende Körper eine Veränderuug erlitten; diese be-zeichnete er als „dielektrische Polarisation der Iso-latoren“.

Es ließ sich nicht verkennen, daß die Anziehung zwischen zwei mit Elektrizität beladenen Leitern oder zwischen zwei entgegengesetzten Magnetpolen in Richtung ihrer Kraftlinien sich wesentlich verstärken mußte, wenn man dielektrisch oder magnetisch polarisierte Medien zwischen sie einschaltete. Quer gegen die Kraftlinien mußte dagegen eine Abstoßung entstehen. Nach diesen Entdeckungen konnte nicht mehr geleugnet werden, daß ein Teil der magnetischen und elektrischen Fern Wirkung durch Vermittelung der zwischenliegenden polarisierten Medien zustande käme, ein anderer konnte freilich

immerhin noch übrig bleiben, der einer direkten Fernkraft angehörte.

Fakaday und Maxwell neigten sich der einfacheren Annahme zu, daß überhaupt Fernkräfte nicht existierten, und Maxwell entwickelte die mathematische Fassung dieser Hypothese, welche allerdings eine vollständige Umkehr der bisherigen Anschauungen verlangte. Danach mußte der Sitz der Veränderungen, welche die elektrischen Erscheinungen hervorbringen, nur noch in den Isolatoren gesucht werden, Entstehen und Vergehen der Polarisationen in den Isolatoren mußte der Grund der scheinbar in den Leitern stattfindenden elektrischen Bewegungen sein. Ungeschlossene Ströme gab es nicht mehr, denn die Anhäufung elektrischer Ladungen an den Enden der Leitung und die dabei in den sie trennenden Isolatoren auftretende dielektrische Polarisation stellte eine äquivalente elektrische Bewegung in den zwischenliegenden Isolatoren dar, die die Lücke des Stromes zu ergänzen geeignet schien.

Schon Fakaday hatte mit seiner sehr sicheren und tiefgehenden inneren Anschauung geometrischer und mechanischer Fragen erkannt, daß die Verteilung der elektrischen Fernwirkungen im Eaume nach diesen Annahmen genau mit der durch die alte Theorie gefundenen stimmen mußte.

Maxwell bestätigte und erweiterte dies mit den Hilfsmitteln der mathematischen Analysis zu einer vollständigen Theorie der Elektrodynamik. Ich selbst erkannte sehr wohl das Zwingende in den von Fakaday gefundenen Tatsachen und untersuchte zunächst die Frage, ob Fernwirkungen überhaupt existierten und in Betracht gezogen werden müßten. Der Zweifel schien mir zunächst in einem so verwickelten Gebiete der wissenschaftlichen Vorsicht gemäß zu sein und konnte zu entscheidenden Versuchen hinleiten.

Das war der Stand der Frage, als Heinkich Hertz nach Beendigung seiner vorgenannten Preisarbeit in die Untersuchung eintrat.

Nach Maxwell s Auffassung war es wesentlich entscheidend für seine Theorie, ob das Entstehen und Vergehen dielektrischer Polarisation in einem Isolator dieselben elektrodynamischen

Wirkungen in der Umgebung hervorbringt, wie ein galvanischer Strom in einem Leiter. Diesen Nachweis zu erbringen, erschien mir als eine ausführbare und hinreichend wichtige Arbeit, um sie zum Gegenstand einer der großen Preisaufgaben der Berliner Akademie zu machen.

Wie sich, an diese von den Zeitgenossen vorbereiteten Keime anknüpfend, die Entdeckungen von Hertz weiter entwickelten, hat er selbst in der Einleitung seines interessanten Buches: Untersuchungen über die Ausbreitung der elektrischen Kraft so anschaulich und interessant entwickelt, daß kein anderer dazu etwas Wesentliches oder gar Besseres hinzufügen könnte. Dieser Bericht ist als eine höchst aufrichtige und eingehende Darstellung einer der wichtigsten und folgenreichsten Entdeckungen von hervorragendem Werte. Leider besitzen wrir nicht viel ähnliche Akten über die innere psychologische Geschichte der Wissenschaft, und wir sind dem Verfasser auch dafür den größten Dank schuldig, daß er uns so tief in das Innere seiner Gedankenwerkstatt und selbst in die Geschichte seiner zeitweiligen Irrtümer hat schauen lassen.

Nur über die Folgen dieser neuen Entdeckungen wäre noch einiges hinzuzufügen.

Die Ansichten, deren Dichtigkeit Hertz, später bestätigt hat, waren allerdings, wie oben bemerkt, vor ihm durch Faraday und Maxwell als möglich oder selbst als höchst wahrscheinlich schon aufgestellt, aber die tatsächlichen Beweise ihrer Eichtigkeit fehlten noch. Hertz hat nun in der Tat diese Beweise geliefert. Nur einem ungewöhnlich aufmerksamen Beobachter, der die Tragweite jeder unvermuteten und bis dahin unbeachteten Erscheinung sogleich durchschaut, konnten die höchst unscheinbaren Phänomene auffallen, die ihn auf den richtigen Weg geleitet haben. Es wäre eine hoffnungslose Aufgabe gewesen, schnell wechselnde Ströme mit einer Dauer von Zehntausendteilen oder gar nur Millionteilen einer Sekunde am Galvanometer oder mittels irgend einer anderen damals geübten experimentellen Methode sichtbar zu machen. Denn alle endlichen Kräfte brauchen eine gewisse Zeit zur Hervorbringung endlicher Geschwindigkeiten und zur Ver-

Schiebung von Körpern von irgend welchem Gewicht, auch so geringem, wie es die Magnetnadeln unserer Galvanometer . zu haben pflegen. Aber elektrische Funken können zwischen den Enden einer Leitung sichtbar werden, wenn auch nur für ein Milliontel Sekunde die elektrische Spannung an den Enden einer solchen Leitung hoch genug gesteigert wird, daß der Funke eine winzige Luftschicht durchbrechen kann. Hertz war durch seine früheren Untersuchungen schon wohl-bekannt mit der Regelmäßigkeit und enormen Geschwindigkeit dieser sehr schnellen Oszillationen der Elektrizität, und seine Versuche, auf diesem Wege die flüchtigsten elektrischen Bewegungen zu entdecken und sichtbar zu machen, gelangen ihm verhältnismäßig schnell. Er fand sehr bald die Bedingungen, unter denen er die Oszillationen ungeschlossener Leitungen in solcher Regelmäßigkeit erzielen konnte, daß er ihre Abhängigkeit von den verschiedensten Nebenumständen ermitteln und dadurch die Gesetze ihres Auftretens und sogar den Wert ihrer Wellenlänge in der Luft und ihre Fortpflanzungsgeschwindigkeit ermitteln konnte. Bei dieser ganzen Untersuchung muß man immer wieder den Scharfsinn seiner Überlegungen und sein experimentelles Geschick bewundern, die sich in der glücklichsten Weise ergänzten.

Hertz hat durch diese Arbeiten der Physik neue Anschauungen natürlicher Vorgänge von dem größten Interesse gegeben. Es kann nicht mehr zweifelhaft sein, daß die Lichtschwingungen elektrische Schwingungen in dem den Weltraum füllenden Äther sind, daß dieser selbst die Eigenschaften eines Isolators und eines magnetisierbaren Medium hat. Die elektrischen Oszillationen im Äther bilden eine Zwischenstufe zwischen den verhältnismäßig langsamen Bewegungen, welche etwa durch elastisch tönende Schwingungen magnetisierter Stimmgabeln dargestellt werden, und den ungeheuer schnellen Schwingungen des Lichts andererseits; aber es läßt sich nach-weisen, daß ihre Fortpflanzungsgeschwindigkeit, ihre Natur als Transversalschwingungen, die damit zusammenhängende Möglichkeit der Polarisationserscheinungen, der Brechung und Reflexion vollständig denselben Verhältnissen entsprechen wie

bei dem Lichte und bei den Wärmestrahlen. Nur fehlt den elektrischen Wellen die Fähigkeit das Auge zu affizieren, wie diese auch den dunklen Wärmestrahlen fehlt, deren Schwingungszahl dazu nicht groß genug ist.

Es ist gewiß eine große Errungenschaft, die vollständigen Beweise dafür geliefert zu haben, daß das Licht, eine so einflußreiche und so geheimnisvolle Naturkraft, einer zweiten ebenso geheimnisvollen, und vielleicht noch beziehungsreicheren Kraft, der Elektrizität, auf das engste verwandt ist. Für die theoretische Wissenschaft ist es vielleicht noch wichtiger, verstehen zu können, wie anscheinende Fernkräfte durch Übertragung der Wirkung von einer Schicht des zwischenliegenden Medium zur nächsten fortgeleitet werden. Freilich bleibt noch das Rätsel der Gravitation stehen, die wir noch nicht folgerichtig anders, denn als eine reine Fernkraft zu erklären wissen.

Heineich Hertz hat sich durch seine Entdeckungen einen bleibenden Ruhm in der Wissenschaft gesichert. Sein Andenken wird aber nicht nur durch seine Arbeiten fortleben, auch seine liebenswürdigen Charaktereigenschaften, seine sich immer gleichbleibende Bescheidenheit, die freudige Anerkennung fremden Verdienstes, die treue Dankbarkeit, die er seinen Lehrern bewahrte, wird allen, die ihn kannten, unvergeßlich sein. Ihm selbst war es nur um die Wahrheit zu tun, die er mit äußerstem Ernst und mit aller Anstrengung verfolgte ; nie machte sich die geringste Spur von Ruhmsucht oder persönlichem Interesse bei ihm geltend. Auch da, wo er einiges Recht gehabt hätte, Entdeckungen für sich in Anspruch zu nehmen, war er eher geneigt stillschweigend zurückzutreten. Im ganzen still und schweigsam, konnte er' doch heiter an fröhlichem Freundeskreise teilnehmen und die Unterhaltung durch manches treffende Wort beleben. Er hat wohl nie einen persönlichen Gegner gehabt, obgleich er gelegentlich über nachlässig gemachte oder renomistisch auftretende Bestrebungen, die sich für Wissenschaft ausgaben, ein scharfes Urteil fällen konnte. Sein äußerer Lebensgang verlief folgendermaßen: Im Jahre 1880 trat er als Assistent im Physikalischen Laboratorium der

Berliner Universität ein; 1883 veranlaßte ihn das preußische Kultusministerium, sich in Kiel mit Aussicht auf baldige Beförderung zu habilitieren. Zu Ostern 1885 wurde er als ordentlicher Professor der Physik an die technische Hochschule zu Karlsruhe berufen. Hier machte er seine hauptsächlichsten Entdeckungen, und hier verheiratete er sich mit Fräulein Elisabeth Doll, der Tochter eines Kollegen. Schon nach zwei Jahren erhielt er einen Ruf als Ordinarius der Physik an die Universität Bonn, dem er zu Ostern 1889 folgte.

In den nun folgenden leider so kurzen Jahren seines Lebens brachten ihm seine Zeitgenossen alle äußeren Zeichen der Ehre und Anerkennung entgegen. Im Jahre 1888 wurde ihm die Matteucci-Medaille von der italienischen Gesellschaft der Wissenschaften, 1889 von der Académie des Sciences in Paris der Preis La Caze und von der K. K. Akademie zu Wien der Baumgartner-Preis, 1890 die Rumford-Medaille von der Royal Society in London, 1891 der Bressa-Preis von der Königlichen Akademie in Turin verliehen.

Die Akademien von Berlin, München, Wien, Göttingen, Rom, Turin und Bologna, sowie viele andere gelehrte Gesellschaften wählten ihn zum korrespondierenden Mitglied, und die preußische Regierung verlieh ihm den Kronenorden.

Er sollte sich seines steigenden Ruhmes nicht lange erfreuen. Eine qualvolle Knochenkrankheit fing an sich zu entwickeln; im November 1892 schon trat das Übel drohend auf. Eine damals ausgeführte Operation schien das Leiden für kurze Zeit zurückzudrängen. Hertz konnte seine Vorlesungen, wenn auch mit großer Anstrengung, bis zum 7. Dezember 1893 fortsetzen; am 1. Januar 1894 erlöste ihn der Tod von seinen Leiden.

Wie sehr das Nachsinnen von Hertz auf die allgemeinsten Gesichtspunkte der Wissenschaft gerichtet war, zeigt auch wieder das letzte Denkmal seiner irdischen Tätigkeit, das vorliegende Buch über die Prinzipien der Mechanik.

Er hat versucht, darin eine konsequent durchgeführte Darstellung eines vollständig in sich zusammenhängenden Systems der Mechanik zu geben und alle einzelnen besonderen Gesetze dieser Wissenschaft aus einem einzigen Grundgesetz abzuleiten, welches logisch genommen natürlich nur als eine plausible Annahme betrachtet werden kann. Er ist dabei zu den ältesten theoretischen Anschauungen zurückgekehrt, die man eben deshalb auch wohl als die einfachsten und natürlichsten ansehen darf, und stellt die Frage, ob diese nicht ausreichen würden, alle die neuerdings abgeleiteten allgemeinen Prinzipien der Mechanik konsequent und in strengen Beweisen herleiten zu können, auch wo sie bisher nur als induktive Verallgemeinerungen aufgetreten sind.

Die erste Entwickelung der wissenschaftlichen Mechanik knüpfte sich an die Untersuchungen des Gleichgewichts und der Bewegung fester Körper, die miteinander in unmittelbarer Berührung stehen, wofür die einfachen Maschinen, Hebel, Rollen, schiefe Ebenen, Flaschenzüge die erläuternden Beispiele gaben. Das Gesetz von den virtuellen Geschwindigkeiten ist die ursprünglichste, allgemeine Lösung aller dahin gehörigen Aufgaben. Später entwickelte Galilei die Kenntnis der Trägheit und der Bewegungskraft als einer beschleunigenden Kraft, die freilich von ihm noch dargestellt wird als eine Reihe von Stößen. Erst Newton kam zum Begriff der Fernkraft und ihrer näheren Bestimmung durch das Prinzip der gleichen Aktion und Reaktion. Es ist bekannt, wie sehr anfangs ihm selbst und seinen Zeitgenossen der Begriff unvermittelter Fernwirkung widerstrebte.

Von da ab entwickelte sich die Mechanik weiter unter Benutzung von Newtons Begriff und Definition der Kraft, und man lernte allmählich auch die Probleme behandeln, in denen sich konservative Fernkräfte mit dem Einfluß fester Verbindungen kombinieren, deren allgemeinste Lösung in jd’Alemberts Prinzip gegeben ist. Die allgemeinen prinzipiellen Sätze der Mechanik (Gesetz von der Bewegung des Schwerpunkts, der Flächensatz für rotierende Systeme, das Prinzip von der Erhaltung der lebendigen Kräfte, das Prinzip der kleinsten Aktion) haben sich alle entwickelt unter der Voraussetzung von Newtons Attributen der konstanten, also auch konservativen Anziehungskräfte zwischen materiellen Punkten und der Existenz fester Verbindungen zwischen denselben. Sie sind ursprünglich nur unter der Annahme solcher gefunden und bewiesen worden. Man hat dann später durch Beobachtung gefunden, daß die so hergeleiteten Sätze eine viel allgemeinere Geltung in der Natur in Anspruch nehmen durften, als aus ihrem Beweise folgte, und hat demnächst gefolgert, daß gewisse allgemeinere Charaktere der Newton sehen konservativen Anziehungskräfte allen Naturkräften zukommen, vermochte aber diese Verallgemeinerung aus einer gemeinsamen Grundlage nicht abzuleiten. Hebtz hat sich nun bestrebt, für die Mechanik eine solche Grundanschauung zu finden, welche fähig wäre, eine vollkommene folgerichtige Ableitung aller bisher als allgemeingültig anerkannten Gesetze der mechanischen Vorgänge zu geben, und er hat das mit großem Scharfsinn und unter einer sehr bewundernswürdigen Bildung eigentümlich verallgemeinerter kinematischer Begriffe durchgeführt. Als einzigen Ausgangspunkt hat er die Anschauung der ältesten mechanischen Theorien gewählt, nämlich die Vorstellung, daß alle mechanischen Prozesse so vor sich gehen, als ob alle Verbindungen zwischen den aufeinander wirkenden Teilen feste wären. Freilich muß er die Hypothese hinzunehmen, daß es eine große Anzahl unwahrnehmbarer Massen und unsichtbarer Bewegungen derselben gebe, um dadurch die Existenz der Kräfte zwischen den nicht in unmittelbarer Berührung miteinander befindlichen Körpern zu erklären. Einzelne Beispiele, die erläutern könnten, wie er sich solche hypothetischen Zwischenglieder dachte, hat er aber leider nicht mehr gegeben, und es wird offenbar noch ein großes Aufgebot wissenschaftlicher Einbildungskraft dazu gehören, um auch nur die einfachsten Fälle physikalischer Kräfte danach zu erklären. Er scheint hierbei hauptsächlich auf die Zwischenschaltung cyklischer Systeme mit unsichtbaren Bewegungen Hoffnung gesetzt zu haben.

Englische Physiker, wie Lord Kelvin in seiner Theorie der Wirbelatome, und Maxwell in seiner Annahme eines Systems von Zellen mit rotierendem Inhalt, die er seinem Versuch einer mechanischen Erklärung der elektromagnetischen Vorgänge zugrunde gelegt hat, haben sich offenbar durch

ähnliche Erklärungen besser befriedigt gefühlt, als durch die bloße allgemeinste Darstellung der Tatsachen und ihrer Gesetze, wie sie durch die Systeme der Differentialgleichungen der Physik gegeben wird. Ich muß gestehen, daß ich selbst bisher an dieser letzteren Art der Darstellung festgehalten, und mich dadurch am besten gesichert fühlte; doch möchte ich gegen den Weg, den so hervorragende Physiker, wie die drei genannten, eingeschlagen haben, keine prinzipiellen Einwendungen erheben.

Freilich werden noch große Schwierigkeiten zu überwinden sein bei dem Bestreben, aus den von Hertz entwickelten Grundlagen Erklärungen für die einzelnen Abschnitte der Physik zu geben. Im ganzen Zusammenhänge aber ist die Darstellung der Grundgesetze der Mechanik von Hertz ein Buch, welches im höchsten Grade jeden Leser interessieren muß, der an einem folgerichtigen System der Dynamik, dargelegt in höchst vollendeter und geistreicher mathematischer Fassung, Freude hat. Möglicherweise wird dieses Buch in der Zukunft noch von hohem heuristischen Wert sein als Leitfaden zur Entdeckung neuer allgemeiner Charaktere der Naturkräfte.

Vorwort des Verfassers.

Alle Physiker sind einstimmig darin, daß es die Aufgabe der Physik sei, die Erscheinungen der Natur auf die einfachen Gesetze der Mechanik zurückzuführen. Welches aber diese einfachen Gesetze sind, darüber herrscht nicht mehr die gleiche Einstimmigkeit. Die meisten verstehen unter jener Bezeichnung wohl schlechthin die Newton sehen Gesetze der Bewegung. In Wahrheit aber erhalten diese letzteren Gesetze ihren inneren Sinn und ihre physikalische Bedeutung erst durch den stillen Nebengedanken, daß die Kräfte, von welchen sie reden, einfacher Natur sind und einfache Eigenschaften haben. Was nun aber hier noch einfach und noch zulässig sei und was schon nicht mehr, das steht nicht fest; eben hier ist der Punkt, wo die Berufung auf allgemeine Einstimmigkeit aufhört. Daher sehen wir auch wirklich Meinungsverschiedenheiten entstehen, ob diese oder jene Annahme noch der gewöhnlichen Mechanik entspreche oder ob nicht mehr. Daß hier offene Fragen liegen, tritt freilich nur bei neuen Aufgaben hervor, hier aber als erstes Hindernis der Untersuchung. So ist z. B. der Versuch verfrüht, die Bewegungsgleichungen des Äthers auf die Gesetze der Mechanik zurückführen zu wollen, solange man sich nicht eindeutig darüber verständigt hat, was man mit diesem Namen bezeichnet haben will.

Die Aufgabe, deren Lösung die folgende Untersuchung anstrebt, ist diese, die hier vorhandene Lücke auszufüllen und

eine vollkommen bestimmte Zusammenstellung der Gesetze der Mechanik anzugeben, welche mit dem Stande unserer heutigen Kenntnis verträglich ist, welche nämlich in Beziehung auf den Umfang dieser Kenntnis weder zu eng ist, noch zu weit. Die Zusammenstellung soll nicht zu eng sein, das heißt, es soll keine natürliche Bewegung geben, welche ihren Forderungen nicht gehorcht. Die Zusammenstellung aber soll auch nicht zu weit sein, das heißt, sie soll auch keine Bewegung zulassen, deren Vorkommen in der Natur schon nach dem Stande unserer heutigen Erfahrung ausgeschlossen ist. Ob die Zusammenstellung, welche ich als Lösung dieser Aufgabe im folgenden gebe, die einzig mögliche ist, oder ob es andere, vielleicht bessere mögliche gibt, bleibt dahingestellt. Daß aber die gegebene Zusammenstellung in jeder Hinsicht eine mögliche ist, beweise ich dadurch, daß ich ihre Folgen entwickele und zeige, daß bei voller Entfaltung sie den Inhalt der gewöhnlichen Mechanik aufzunehmen vermag, sofern sich der letztere auf die wirklichen Kräfte und Zusammenhänge der Natur beschränkt und sich nicht als Spielplatz mathematischer Übungsarbeit betrachtet.

Durch diese Entwickelung ist freilich aus einer theoretischen Abhandlung ein Buch geworden, welches eine vollständige Übersicht aller wichtigeren allgemeinen Sätze der Dynamik enthält und welches sogar als ein , systematisches Lehrbuch dieser Wissenschaft gelten kann. Zu einer ersten Einführung ist dasselbe freilich aus verschiedenen Gründen nicht wohl geeignet; mit um so mehr Überzeugung aber bietet es sich demjenigen als Führer an, welcher den Inhalt der Mechanik aus der gewöhnlichen Darstellung schon einigermaßen kennt. Einem solchen hofft es einen Standpunkt zeigen zu können, von welchem aus die physikalische Bedeutung, die innere Verwandtschaft und die Tragweite der mechanischen Prinzipien in durchsichtiger Klarheit vor Augen liegt; von welchem aus auch der Begriff der Kraft wie die übrigen mechanischen Grundbegriffe des letzten Restes von Dunkelheit entkleidet erscheinen.

Die Aufgabe, welche sich die vorliegende Untersuchung stellt, ist in verdeckter Weise bereits behandelt und mit einer möglichen Lösung beantwortet durch von Helmholtz in seiner

Arbeit über das Prinzip der kleinsten Wirkung und in der damit zusammenhängenden Arbeit über cyklische Systeme.²) In der ersteren wird die These aufgestellt und vertreten, daß die Mechanik auch dann noch die sämtlichen Vorgänge der Natur zu umfassen vermag, wenn man nicht nur die New-TONschen Grundlagen als allgemeingültig betrachtet, sondern auch die besonderen Voraussetzungen, welche neben jenen dem Hamilton sehen Prinzip zugrunde liegen. In der zweitgenannten Arbeit wird zum erstenmale in allgemeiner Weise Sinn und Bedeutung der verborgenen Bewegungen behandelt. Von jenen Arbeiten ist meine eigene Untersuchung im ganzen und in ihren Teilen wesentlich beeinflußt und abhängig; der Abschnitt über cykliche Systeme ist ihnen fast unmittelbar entnommen. Von der Form abgesehen, bestehen die Abweichungen meiner eigenen Lösung hauptsächlich in zwei • Punkten: Einmal suche ich dasjenige von vornherein von den Elementen der Mechanik fern zu halten, was von Helmholtz durch nachträgliche Einschränkung aus der schon entwickelten Mechanik wieder entfernt. Zweitens entferne ich aus der Mechanik in gewissem Sinne weniger, indem ich mich nicht auf das Hamilton sehe Prinzip, noch auf ein anderes Integralprinzip stütze. Die Gründe hierfür und die Folgen hiervon werden aus der Arbeit selbst erhellen. '

Ähnliche Gedankenreihen, wie in den von Helmholtz sehen Arbeiten sind angesponnen in der bedeutenden Abhandlung von J. J. Thomson über die physikalischen Anwendungen der Dynamik.³) Ebenfalls entwickelt hier der Verfasser die Folgen einer Dynamik, welche neben den Newton sehen Gesetzen der Bewegung noch weitere, besondere, nicht ausdrücklich ausgesprochene Voraussetzungen zur Grundlage hat. Auch an diese Abhandlung also hätte ich mich anlehnen können; tatsächlich war meine eigene Untersuchung schon ziemlich fortgeschritten, als ich jene genauer kennen lernte. Das gleiche darf ich von den in mathematischer Hinsicht verwandten, aber weit älteren Arbeiten von Belteami⁴) und Lepschitz⁵) sagen; doch konnte ich noch reiche Anregung aus denselben schöpfen, ebenso aus der neueren Darstellung, welche Dabboux⁶) von jenen Arbeiten mit eigenen Zusätzen gegeben hat. Manche mathematische Abhandlungen, welche ich hätte berücksichtigen können und sollen, mögen mir entgangen sein. In allgemeiner Hinsicht verdanke ich sehr viel dem schönen Buche über die Entwickelung der Mechanik von Mach.⁷ 8) Es ist selbstverständlich, daß ich die bekannteren Lehrbücher der allgemeinen Mechanik zu Rate zog, nicht am wenigsten die umfassende Darstellung der Dynamik in dem Lehrbuche von Thomson und Tait.b) Wertvoll war mir auch das Heft einer Vorlesung über analytische Dynamik von Boechaedt, welches ich im Winter 1878/79 nachschrieb. Hiermit habe ich die von mir benutzten Quellen genannt; im Texte werde ich nur soviel zitieren, als die Sache selbst es verlangt. Im einzelnen habe ich ja auch nichts vorzutragen, das neu wäre und nicht aus vielen Büchern genommen werden könnte. Was, wie ich hoffe, neu ist, und worauf ich einzig Wert lege, ist die Anordnung und Zusammenstellung des Ganzen, also die • logische, oder, wenn man will, die philosophische Seite des Gegenstandes. Meine x4.rbeit hat ihr Ziel erreicht oder verfehlt, je nachdem in dieser Richtung etwas gewonnen ist oder nicht.

Einleitung.

Es ist die nächste und in gewissem Sinne wichtigste Aufgabe unserer bewußten Naturerkenntnis, daß sie uns befähige, zukünftige Erfahrungen vorauszusehen, um nach dieser Voraussicht unser gegenwärtiges Handeln einrichten zu können. Als Grundlage für die Lösung jener Aufgabe der Erkenntnis benutzen wir unter allen Umständen vorangegangene Erfahrungen, gewonnen durch zufällige Beobachtungen oder durch absichtlichen Versuch. Das Verfahren aber, dessen wir uns zur Ableitung des Zukünftigen aus dem Vergangenen und damit zur Erlangung der erstrebten Voraussicht stets bedienen, ist dieses: Wir machen uns innere Scheinbilder oder Symbole der äußeren Gegenstände, und zwar machen wir sie von solcher Art, daß die denknotwendigen Folgen der Bilder stets wieder die Bilder seien von den naturnotwendigen Folgen der abgebildeten Gegenstände. Damit diese Forderung überhaupt erfüllbar sei, müssen gewisse Übereinstimmungen vorhanden sein zwischen der Natur und unserem Geiste. Die Erfahrung lehrt uns, daß die Forderung erfüllbar ist und daß also solche Übereinstimmungen in der Tat bestehen. Ist es uns einmal geglückt, aus der angesammelten bisherigen Erfahrung Bilder van der verlangten Beschaffenheit abzuleiten, so können wir

Hertz, Mechanik. 2. Aufl.

an ihnen, wie an Modellen, in kurzer Zeit die Folgen entwickeln, welche in der äußeren Welt erst in längerer Zeit oder als Folgen unseres eigenen Eingreifens auftreten werden; wir vermögen so den Tatsachen vorauszueilen und können nach der gewonnenen Einsicht unsere gegenwärtigen Entschlüsse richten. — Die Bilder, von welchen wir reden, sind unsere Vorstellungen von den Dingen; sie haben mit den Dingen die eine wesentliche Übereinstimmung, welche in der Erfüllung der genannten Forderung liegt, aber es ist für ihren Zweck nicht nötig, daß sie irgend eine weitere Übereinstimmung mit den Dingen haben. In der Tat wissen wir auch nicht und haben auch kein Mittel zu erfahren, ob unsere Vorstellungen von den Dingen mit jenen in irgend etwas anderem übereinstimmen, als allein in eben jener einen fundamentalen Beziehung.

Eindeutig sind die Bilder, welche wir uns von den Dingen machen wollen, noch nicht bestimmt durch die Forderung, daß die Folgen der Bilder wieder die Bilder der Folgen seien. Verschiedene Bilder derselben Gegenstände sind möglich, und diese Bilder können sich nach verschiedenen Bichtungen unterscheiden. Als unzulässig sollten wir von vornherein solche Bilder bezeichnen, welche schon einen Widerspruch gegen die Gesetze unseres Denkens in sich tragen, und wir fordern also zunächst, daß alle unsere Bilder logisch zulässige oder kurz zulässige seien. Unrichtig nennen wir zulässige Bilder dann, wenn ihre wesentlichen Beziehungen den Beziehungen der äußeren Dinge widersprechen, das heißt wenn sie jener ersten Grundforderung nicht genügen. Wir verlangen demnach zweitens, daß unsere Bilder richtig seien. Aber zwei zulässige und richtige Bilder derselben äußeren Gegenstände können sich noch unterscheiden nach der Zweckmäßigkeit. Von zwei Bildern desselben Gegenstandes wird dasjenige das zweckmäßigere sein, welches mehr wesentliche Beziehungen des Gegenstandes wiederspiegelt als das andere, welches, wie wir sagen wollen, das deutlichere ist. Bei gleicher Deutlichkeit wird von zwei Bildern dasjenige zweckmäßiger sein, welches neben den wesentlichen Zügen die geringere Zahl überflüssiger oder leerer Beziehungen enthält, welches also das einfachere ist. Ganz werden sich leere Beziehungen nicht vermeiden lassen, denn sie kommen den Bildern schon deshalb zu, weil es eben nur Bilder und zwar Bilder unseres besonderen Geistes sind und also von den Eigenschaften seiner Abbildungsweise mitbestimmt sein müssen.

Wir haben bisher die Anforderungen aufgezählt, welche wir an die Bilder selbst stellen; etwas ganz anderes sind die Anforderungen, welche wir an eine wissenschaftliche Darlegung solcher Bilder stellen. Wir verlangen von der letzteren, daß sie uns klar zum Bewußtsein führe, welche Eigenschaften den Bildern zugelegt seien um der Zulässigkeit willen, welche um der Richtigkeit willen, welche um der Zweckmäßigkeit willen. Nur so gewinnen wir die Möglichkeit an unsern Bildern zu ändern, zu bessern. Was den Bildern beigelegt wurde um der Zweckmäßigkeit willen, ist enthalten in den Bezeichnungen, Definitionen, Abkürzungen, kurzum in dem, was wir nach Willkür hinzutun oder wegnehmen können. Was den Bildern zukommt um ihrer Richtigkeit willen, ist enthalten in den Erfahrungstatsachen, welche beim Aufbau der Bilder gedient haben. Was den Bildern zukommt, damit sie zulässig seien, ist gegeben durch die Eigenschaften unseres Geistes. Ob ein Bild zulässig ist oder nicht, können wir eindeutig mit ja und nein entscheiden und zwar mit Gültigkeit unserer Entscheidung für alle Zeiten. Ob ein Bild richtig ist oder nicht, kann ebenfalls eindeutig mit ja und nein entschieden werden, aber nur nach dem Stande unserer gegenwärtigen Erfahrung und unter Zulassung der Berufung an spätere reifere Erfahrung. Ob ein Bild zweckmäßig sei oder nicht, dafür gibt es überhaupt keine eindeutige Entscheidung, sondern es können Meinungsverschiedenheiten bestehen. Das eine Bild kann nach der einen, das andere nach der andern Richtung Vorteile bieten, und nur durch allmähliches Prüfen vieler Bilder werden im Laufe der Zeit schließlich die zweckmäßigsten gewonnen.

Dies sind die Gesichtspunkte, nach welchen man, wie mir scheint, den Wert physikalischer Theorien und den Wert der Darstellung physikalischer Theorien zu beurteilen hat. Jeden-

1*

falls sind es die Gesichtspunkte, von welchen aus wir jetzt die Darstellungen betrachten wollen, welche man von den Prinzipien der Mechanik gegeben hat. Dabei ist es freilich zunächst nötig, bestimmt zu erklären, was wir mit diesem Namen bezeichnen.

In strengem Sinne verstand man ursprünglich in der Mechanik unter einem Prinzip jede Aussage, welche man nicht wieder auf andere Sätze der Mechanik selbst zurückführte, sondern welche man als unmittelbares Ergebnis anderer Quellen der Erkenntnis angesehen wissen wollte. Es konnte infolge der geschichtlichen Entwickelung nicht ausbleiben, daß Sätze, welche unter besonderen Voraussetzungen einmal mit Recht als Prinzipien bezeichnet wurden, später diesen Namen, wiewohl mit Unrecht, beibehielten. Seit Lagrange ist die Bemerkung häufig wiederholt worden, daß die Prinzipien des Schwerpunktes und der Flächen im Grunde nur Lehrsätze allgemeinen Inhalts seien. Man kann aber mit gleichem Rechte bemerken, daß auch die übrigen sogenannten Prinzipien nicht unabhängig voneinander diesen Namen führen können, sondern daß jedes von ihnen auf den Rang einer Folgerung oder eines Lehrsatzes herabsteigen muß, sobald die Darstellung der Mechanik auf eines oder mehrere der übrigen gegründet wird. Der Begriff des mechanischen Prinzipes ist- demnach kein scharf festgehaltener. Wir wollen deshalb zwar jenen Sätzen in Einzelaussagen ihre herkömmliche Benennung belassen ; wenn wir aber schlechthin und allgemein von den Prinzipien der Mechanik reden, so wollen wir darunter nicht jene einzelnen konkreten Sätze verstanden wissen, sondern jede übrigens beliebige Auswahl unter ihnen und unter ähnlichen Sätzen, welche der Bedingung genügt, daß sich aus ihr ohne weitere Berufung auf die Erfahrung die gesamte Mechanik rein deduktiv entwickeln läßt. Bei dieser Bezeichnungsweise stellen die Grundbegriffe der Mechanik zusammen mit den sie verkettenden Prinzipien das einfachste Bild dar, welches die Physik von den Dingen der sinnlichen Welt und den Vorgängen in ihr herzustellen vermag. Und da wir von den Prinzipien der Mechanik durch verschiedene Auswahl der Sätze, welche wir zugrunde legen, verschiedene Darstellungen geben können, so erhalten wir verschiedene solche Bilder der Dinge, welche Bilder wir prüfen und miteinander vergleichen können in bezug auf ihre Zulässigkeit, ihre Richtigkeit und ihre Zweckmäßigkeit.

1.

Ein erstes Bild liefert uns die gewöhnliche Darstellung der Mechanik. Wir verstehen hierunter die in den Einzelheiten abweichende, in der Hauptsache übereinstimmende Darstellung fast aller Lehrbücher, welche das Ganze der Mechanik behandeln, fast aller Vorlesungen, welche sich über den gesamten Inhalt dieser Wissenschaft verbreiten. Diese Darstellung bildet den königlichen Weg und die große Heerstraße, auf welcher die Schar der Schüler in das Innere der Mechanik eingeführt wird; sie folgt genau dem Gang der historischen Entwickelung und der Reihenfolge der Entdeckungen; ihre Hauptstationen sind gekennzeichnet durch die Namen eines Archi-medes, Galilei, Newton, Lagrange. Als gegebene Vorstellungen legt diese Darstellung zugrunde die Begriffe des Raumes, der Zeit, der Kraft und der Masse. Die Kraft ist dabei eingeführt als die vor der Bewegung und unabhängig von der Bewegung bestehende Ursache der Bewegung. Zuerst treten auf nur Raum und Kraft für sich, und ihre Beziehungen werden in der Statik behandelt. Die reine Bewegungslehre oder Kinematik begnügt sich, die beiden Begriffe Raum und Zeit in Verbindung zu setzen. Die Galilei sehe Vorstellung von der Trägheit liefert einen Zusammenhang zwischen Raum, Zeit und Masse allein. In den Newton sehen Gesetzen der Bewegung treten zuerst alle vier Grundbegriffe nebeneinander in Verknüpfung auf. Diese Gesetze bilden die eigentliche Wurzel der weiteren Entwickelung, aber sie geben noch keinen allgemeinen Ausdruck für den Einfluß starrer räumlicher Verbindungen; hier erweitert das d’Alembert sehe Prinzip das

allgemeine Ergebnis der Statik auf den Fall der Bewegung und schließt als letztes den Beigen der nicht auseinander ableitbaren, unabhängigen Grundaussagen. Alles weitere dagegen ist deduktive Ableitung. In der Tat sind die aufgezählten Begriffe und Gesetze nicht nur notwendig, sondern auch hinreichend, um den gesamten Inhalt der Mechanik aus ihnen mit Denknotwendigkeit zu entwickeln und alle übrigen sogenannten Prinzipien als Lehrsätze und Folgerungen aus besonderen Voraussetzungen erscheinen zu lassen. Jene aufgezählten Begriffe und Gesetze geben uns also ein erstes System der Prinzipien der Mechanik in unserer Ausdrucksweise; damit zugleich also auch das erste allgemeine Bild von den natürlichen Bewegungen der Körperwelt.

Es erscheint nun von vornherein sehr fernliegend, daß man an der logischen Zulässigkeit dieses Bildes auch nur zweifeln könne. Es erscheint fast unmöglich, daß man daran denke, logische Unvollkommenheiten aufzufinden in einem Systeme, welches von unzähligen und von den besten Köpfen immer und immer wieder durchdacht worden ist. Aber ehe man hieraufhin die Untersuchung abbricht, wird man fragen müssen, ob auch alle und ob die besten Köpfe immer von dem Systeme befriedigt gewesen sind. In jedem Falle muß es billig gleich im Anfang wundernehmen, wie leicht es ist, Betrachtungen an die Grundgesetze anzuknüpfen, welche sich ganz in der üblichen Bedeweise der Mechanik bewegen und welche doch das klare Denken unzweifelhaft in Verlegenheit setzen. Versuchen wir dies zunächst an einem Beispiele zu zeigen. Wir schwingen einen Stein an einer Schnur im Kreise herum ; wir üben dabei bewußtermaßen eine Kraft auf den Stein aus; diese Kraft lenkt den Stein beständig von der geraden Bahn ab, und wenn wir diese Kraft, die Masse des Steines und die Länge der Schnur verändern, so finden wir, daß die Bewegung des Steines in der Tat stets in Übereinstimmung mit dem zweiten Newton sehen Gesetze erfolgt. Nun aber verlangt das dritte Gesetz eine Gegenkraft zu der Kraft, welche von unserer Hand auf den Stein ausgeübt wird. Auf die Frage nach dieser Gegenkraft lautet die jedem geläufige Antwort: es wirke der Stein auf die Hand zurück infolge der

Schwungkraft, und diese Schwungkraft sei der von uns ausgeübten Kraft in der Tat genau entgegengesetzt gleich. Ist nun diese Ausdrucksweise zulässig? Ist das, was wir jetzt Schwungkraft oder Zentrifugalkraft nennen, etwas anderes als die Trägheit des Steines? Dürfen wir, ohne die Klarheit unserer Vorstellungen zu zerstören, die Wirkung der Trägheit doppelt in Rechnung stellen, nämlich einmal als Masse, zweitens als Kraft? In unseren Bewegungsgesetzen war die Kraft die vor der Bewegung vorhandene Ursache der Bewegung. Dürfen wir, ohne unsere Begriffe zu verwirren, jetzt auf einmal von Kräften reden, welche erst durch die Bewegung entstehen, welche eine Folge der Bewegung sind? Dürfen wir uns den Anschein geben, als hätten wir über diese neue Art von Kräften in unseren Gesetzen schon etwas ausgesagt, als könnten wir ihnen mit dem Namen „Kraft“ auch die Eigenschaften der Kräfte verleihen? Alle diese Fragen sind offenbar zu verneinen; es bleibt uns nichts übrig als zu erläutern: die Bezeichnung der Schwungkraft als einer Kraft sei eine uneigentliche, ihr Name sei wie der Name der lebendigen Kraft als eine historische Überlieferung hinzunehmen, und die Beibehaltung dieses Namens sei aus Nützlichkeitsgründen mehr zu entschuldigen als zu rechtfertigen. Aber wo bleiben alsdann die Ansprüche des dritten Gesetzes, welches eine Kraft fordert, die der tote Stein auf die Hand ausübt und welches durch eine wirkliche Kraft, nicht durch einen bloßen Namen befriedigt sein will?

Ich glaube nicht, daß diese Schwierigkeiten künstlich oder mutwillig herauf beschworen sind; sie drängen sich uns von selbst auf. Sollte sich nicht ihr Ursprung bis in die Grundgesetze zurückverfolgen lassen? Die Kraft, von welcher die Definition und die ersten beiden Gesetze reden, wirkt auf einen Körper in einseitig bestimmter Richtung. Der Sinn des dritten Gesetzes ist, daß die Kräfte stets zwei Körper verbinden und ebensogut vom ersten zum zweiten, wie vom zweiten zum ersten gerichtet sind. Die Vorstellung der Kraft, welche dieses Gesetz und die Vorstellung, welche jene Gesetze voraussetzen lind in uns erwecken, scheinen mir um ein Geringes verschieden; dieser geringe Unterschied aber reicht vielleicht aus, um die logische Trübung zu erzeugen, deren Folgen in unserem Beispiele zum Ausbruch kamen. Doch haben wir nicht nötig, auf die Untersuchung weiterer Beispiele einzugehen. Wir können allgemeine Wahrnehmungen als Zeugen für die Berechtigung unserer Zweifel aufrufen. Eine erste solche Wahrnehmung scheint mir die Erfahrung zu bilden, daß es sehr schwer ist, gerade die Einleitung in die Mechanik denkenden Zuhörern vorzutragen ohne einige Verlegenheit, ohne das Gefühl, sich hier und da entschuldigen zu müssen, ohne den Wunsch, recht schnell über die Anfänge hinwegzugelangen zu Beispielen, welche für sich selbst reden. Ich meine, Newton selbst müsse diese Verlegenheit empfunden haben, wenn er die Masse etwas gewalttätig definiert als Produkt aus Volumen und Dichtigkeit. Ich meine, die Herren Thomson und Tait müssen ihm nachempfunden haben, wenn sie anmerken, dies sei eigentlich mehr eine Definition der Dichtigkeit als der Masse und sich gleichwohl mit derselben als einzigen Definition der Masse begnügen. Auch Lageange, denke ich, müsse jene Verlegenheit und den Wunsch, um jeden Preis vorwärtszukommen, verspürt haben, als er seine Mechanik kurzerhand mit der Erklärung einleitete, eine Kraft sei eine Ursache, welche einem Körper eine Bewegung erteilt „oder zu erteilen strebt“, gewiß nicht ohne die logische Härte einer solchen Uberbestimmung zu empfinden. Ein zweites Zeugnis nehme ich aus der Tatsache, daß wir schon für die elementaren Sätze der Statik, für den Satz vom Parallelogramm der Kräfte, den Satz der virtuellen Geschwindigkeiten usw. zahlreiche Beweise besitzen, welche von ausgezeichneten Mathematikern herrühren, welche den Anspruch machen, streng zu sein und welche doch wieder nach dem Urteil anderer hervorragender Mathematiker diesem Anspruch keineswegs genügen. In einer logisch vollendeten Wissenschaft, in der reinen Mathematik, ist eine Meinungsverschiedenheit in solcher Frage schlechterdings undenkbar. Als ein sehr belastendes Zeugnis aber erscheinen mir auch die über Gebühr oft gehörten Behauptungen: das Wesen der Kraft sei noch rätselhaft, es sei eine Hauptaufgabe der Physik, das Wesen der Kraft zu erforschen, und ähnliche Aussagen mehr. In gleichem Sinne bestürmt man den Elektriker immer wieder nach dem Wesen der Elektrizität. Warum fragt nun niemand in diesem Sinne nach dem Wesen des Goldes oder nach dem Wesen der Geschwindigkeit? Ist uns das Wesen des Goldes bekannter als das der Elektrizität, oder das Wesen der Geschwindigkeit bekannter als das der Kraft? Können wir das Wesen irgend eines Dinges durch unsere Vorstellungen, durch unsere Worte erschöpfend wiedergehen? Gewiß nicht. Ich meine, der Unterschied sei dieser: Mit den Zeichen „Geschwindigkeit“ und „Gold“ verbinden wir eine große Zahl von Beziehungen zu anderen Zeichen, und zwischen allen diesen Beziehungen finden sich keine uns verletzenden Widersprüche. Das genügt uns, und wir fragen nicht weiter. Auf die Zeichen „Kraft“ und „Elektrizität“ aber hat man mehr Beziehungen gehäuft, als sich völlig miteinander vertragen; dies fühlen wir dunkel, verlangen nach Aufklärung und äußern unsern unklaren Wunsch in der unklaren Frage nach dem Wesen von Kraft und Elektrizität. Aber offenbar irrt die Frage in bezug auf die Antwort, wrelche sie erwartet. Nicht durch die Erkenntnis von neuen und mehreren Beziehungen und Verknüpfungen kann sie befriedigt werden, sondern durch die Entfernung der Widersprüche unter den vorhandenen, vielleicht also durch Verminderung der vorhandenen Beziehungen. Sind diese schmerzenden Widersprüche entfernt, so ist zwar nicht die Frage nach dem Wesen beantwortet, aber der nicht mehr gequälte Geist hört auf, die für ihn unberechtigte Frage zu stellen.

Wir haben in diesen Ausführungen die Zulässigkeit des betrachteten Bildes so stark verdächtigt, daß es scheinen muß, als sei es unsere Absicht, diese Zulässigkeit zu bestreiten und schließlich zu verneinen. Soweit geht indes unsere Absicht und unsere Überzeugung nicht. Mögen die logischen Unbestimmtheiten, welche uns um die Sicherheit der Grundlagen besorgt machten, auch wirklich bestehen, sie haben sicherlich keinen einzigen der zahllosen Erfolge verhindert, welche die Mechanik in ihrer Anwendung auf die Tatsachen errungen hat. Sie können also auch nicht bestehen in Widersprüchen zwischen den wesentlichen Zügen unseres Bildes, also nicht in Widersprüchen zwischen denjenigen Beziehungen der Mechanik, welche Beziehungen der Dinge entsprechen. Sie müssen sich vielmehr beschränken auf die unwesentlichen Züge, auf alles dasjenige, was wir selbst nach Willkür dem von der Natur gegebenen wesentlichen Inhalte hinzugedichtet haben. Dann aber lassen sich jene Verlegenheiten auch vermeiden. Vielleicht treffen unsere Ein wände überhaupt nicht den Inhalt des entworfenen Bildes, sondern nur die Form der Darstellung dieses Inhalts. Wir sind gewiß nicht zu streng, wenn wrir meinen, diese Darstellung sei noch niemals zur wissenschaftlichen Vollendung durchgedrungen, es fehle ihr noch durchaus die hinreichend scharfe Unterscheidung dessen, was in dem entworfenen Bilde aus Denknotwendigkeit, was aus der Erfahrung, was aus unserer Willkür stammt. In diesem Urteile treffen wir zusammen mit hervorragenden Physikern, welche sich mit diesen Fragen beschäftigt und über dieselben geäußert haben,⁹) freilich ohne daß von einer Übereinstimmung aller gesprochen werden könnte.¹⁰) Jenes Urteil findet ferner eine Bestätigung in der wachsenden Sorgfalt, welche in den neueren Lehrbüchern der Mechanik der logischen Zergliederung der Elemente gewidmet wird.¹¹) In Übereinstimmung mit den Verfassern dieser Lehrbücher und mit jenen Physikern sind wir selbst der Überzeugung, daß die vorhandenen Lücken nur Lücken der Form sind, und durch geeignete Anordnung der Definitionen, Bezeichnungen und weiter durch vorsichtige Ausdrucksweise jede Unklarheit und Unsicherheit vermieden werden kann. In diesem Sinne geben wir, wie jedermann, die Zulässigkeit des Inhalts der Mechanik zu. Es erfordert aber die Würde und Größe des Gegenstandes durchaus, daß die logische Reinheit nicht nur mit gutem Willen zugegeben, sondern daß sie durch eine vollendete Darstellung ąuch so erwiesen werde, daß es nicht möglich sei, sie auch nur zu verdächtigen.

Leichter und der allgemeinen Zustimmung sicherer können wir das Urteil fällen über die Richtigkeit des von uns betrachteten Bildes. Niemand wird widersprechen, wenn wir versichern, daß diese Richtigkeit nach dem ganzen Umfange unserer bisherigen Erfahrung eine vollkommene sei, daß alle diejenigen Züge unseres Bildes, welche überhaupt den Anspruch machen, beobachtbare Beziehungen der Dinge wiederzugeben, solchen Beziehungen auch wirklich und richtig entsprechen. Wir beschränken allerdings unsere Zuversicht auf den Inhalt der bisherigen Erfahrung; was zukünftige Erfahrungen anlangt, so werden wir noch Gelegenheit haben, auf die Frage nach der Richtigkeit zurückzukommen. Manchem wird freilich diese Vorsicht nicht nur übertrieben, sondern geradezu sinnwidrig dünken ; in der Meinung vieler Physiker erscheint es als einfach undenkbar, daß auch die späteste Erfahrung an den feststehenden Grundsätzen der Mechanik noch etwas zu ändern finden könne. Und doch kann das, was aus Erfahrung stammt, durch Erfahrung wieder vernichtet werden; jene allzugünstige Meinung von den Grundgesetzen kann also offenbar nur deshalb entstehen, weil in ihnen die Elemente der Erfahrung einigermaßen versteckt und mit den unabänderlichen denknotwendigen Elementen verschmolzen sind. Die logische Unbestimmtheit der Darstellung, welche wir vorher schlechtweg rügten, bietet also auch einen gewissen Vorteil; sie gibt den Fundamenten den Schein der Unabänderlichkeit; es war vielleicht in den Anfängen der Wissenschaft weise, sie einzuführen und eine zeitlang bestehen zu lassen. Man stellte die Richtigkeit des Bildes auf alle Fälle sicher dadurch, daß man sich vorbehielt, im Notfälle aus einer Erfahrungstatsache eine Definition zu machen oder umgekehrt. In einer vollendeten Wissenschaft aber ist solches Tasten, ein solcher Schein der Sicherheit nicht erlaubt; in der gereiften Erkenntnis ist die logische Reinheit in erster Linie zu berücksichtigen; nur logisch reine Bilder sind zu prüfen auf ihre Richtigkeit, nur richtige Bilder zu vergleichen nach ihrer Zweckmäßigkeit. Das dringende Bedürfnis verfährt oft umgekehrt: Die Bilder werden erfunden passend für einen beabsichtigten Zweck, dann geprüft auf ihre Richtigkeit, endlich und zuletzt gesäubert von inneren Widersprüchen.

Ist diese letzte Bemerkung nur einigermaßen zutreffend, so erscheint es uns nur natürlich, daß das be rachtete System der Mechanik höchste Zweckmäßigkeit aufweist, sobald es angewandt wird auf die einfachen Erscheinungen, für welche es zuerst erdacht wurde, also vor allem auf die Wirkung der Schwerkraft und die Aufgaben der praktischen Mechanik. Wir dürfen uns aber hierbei nicht beruhigen; wir haben uns zu erinnern, daß wir hier nicht die Bedürfnisse des täglichen Lebens und nicht den Standpunkt vergangener Zeiten vertreten wollen, daß wir vielmehr den gesamten Umfang der heutigen physikalischen Erkenntnis ins Auge fassen und daß wir überdies von der Zweckmäßigkeit in einem besonderen Sinne reden, welchen wir im Eingänge genau bestimmt haben. Darnach haben wir die Pflicht, zunächst zu fragen: Ist das entworfene Bild vollkommen deutlich? Enthält es alle Züge, welche die heutige Erkenntnis an den natürlichen Bewegungen zu unterscheiden vermag? Diese Frage beantworten wir nun entschieden mit nein. Nicht alle Bewegungen, welche die Grundgesetze zulassen und welche die Mechanik als mathematische Übungsaufgaben behandelt, kommen in der Natur vor; wir können von den natürlichen Bewegungen, Kräften, festen Verbindungen mehr aussagen, als es die angenommenen Grundgesetze tun. Seit der Mitte dieses Jahrhunderts sind wir fest überzeugt, daß keine Kräfte in der Natur wirklich Vorkommen, welche eine Verletzung des Prinzips von der Erhaltung der Energie bedingen würden. Weit älter ist die Überzeugung, daß nur solche Kräfte Vorkommen, welche sich darstellen lassen als Summe von Wechselwirkungen zwischen unendlich kleinen Elementen der Materie. Auch diese Elementarkräfte sind nicht frei. Als allgemein zugegebene Eigenschaften derselben können wir anführen, daß sie unabhängig sind vom absoluten Werte der Zeit und vom absoluten Orte im Baume. Andere Eigenschaften sind umstritten. Man hat bald vermutet, bald in Frage gestellt, ob die Elementarkräfte nur bestehen können in Anziehungen und Abstoßungen nach der Verbindungslinie der wirkenden Massen; ob ihre Größe nur bedingt sei durch die Entfernung, oder ob sie nicht auch ab-hängen könne von der absoluten oder der relativen Geschwindigkeit und nur von dieser, oder ob nicht auch die Beschleunigung oder noch höhere Differentialquotienten des Wegs nach der Zeit in Betracht kommen könnten. So wenig man sich also einig ist über alle bestimmten Eigenschaften, welche den Elementarkräften beizulegen sind, so sehr stimmt man doch überein in der Meinung, daß sich mehr solche allgemeine Eigenschaften angeben und aus der schon vorhandenen Beobachtung ableiten lassen, als die Grundgesetze enthalten. Man ist überzeugt, daß die Elementarkräfte, unbestimmt gesprochen, einfacher Natur sein müssen. Was in dieser Hinsicht von den Kräften gilt, kann man in gleicher Weise von den festen Verbindungen der Körper sagen, welche mathematisch durch Bedingungsgleichungen zwischen den Koordinaten dargestellt werden und deren Einfluß durch das d’Alembert-sche Prinzip bestimmt ist. Mathematisch kann man jede beliebige endliche oder Differentialgleichung zwischen den Koordinaten hinschreiben und verlangen, daß sie befriedigt werde; aber nicht immer läßt sich eine physikalische, eine natürliche Verbindung angeben, welche die Wirkung jener Gleichung hat; oft liegt die Vermutung, bisweilen die Überzeugung vor, daß eine solche Verbindung durch die Natur der Dinge ausgeschlossen sei. In welcher Weise aber sind die zulässigen Bedingungsgleichungen einzuschränken? Wo ist die Grenzlinie zwischen ihnen und den vorstellbaren? Man hat sich häufig begnügt, nur endliche Bedingungsgleichungen in Betracht zu ziehen. Diese Einschränkung aber geht zu weit, denn nicht integrierbare Differentialgleichungen können als Bedingungsgleichungen bei natürlichen Problemen wirklich auftreten.

Kurzum, sowohl was die Kräfte, als was die festen Verbindungen anlangt, enthält unser System der Prinzipien zwar alle die natürlichen Bewegungen, aber es umfängt gleichzeitig sehr viele Bewegungen, welche nicht natürliche sind. Ein System, welches diese letzteren oder doch einen Teil derselben ausschlösse, würde mehr wirkliche Beziehungen der Dinge zueinander wiederspiegeln und also in diesem Sinne zweckmäßiger sein. Doch haben wir die Pflicht, auch noch in einer zweiten Richtung nach der Zweckmäßigkeit unseres Bildes zu fragen. Ist unser Bild auch einfach? Ist es sparsam an unwesentlichen Zügen, an Zügen also, welche von uns zwar zulässiger aber doch willkürlicherweise den wesentlichen Zügen der Natur hinzugefügt werden? Unsere Bedenken hei Beantwortung dieser Frage knüpfen sich Aviederum an den Begriff der Kraft. Es kann nicht geleugnet werden, daß in sehr vielen Fällen die Kräfte, welche unsere Mechanik zur Behandlung physikalischer Fragen einführt, nur als leergehende Nebenräder mit-laufen, um überall da außer Wirksamkeit zu treten, avo* es gilt, Avirkliche Tatsachen darzustellen. In den einfachen Verhältnissen, an welche die Mechanik ursprünglich anknüpfte, ist das freilich nicht der Fall. Die SchAvere eines Steines, die Kraft des Armes scheinen ebenso wirklich, ebenso der unmittelbaren Wahrnehmung zugänglich, wie die durch sie erzeugten Bewegungen. Aber wir brauchen nur etwa zur Bewegung der Gestirne überzugehen, um schon andere Verhältnisse zu haben. Hier sind die Kräfte niemals Gegenstand der unmittelbaren Erfahrung gewesen; alle unsere früheren Erfahrungen beziehen sich nur auf den scheinbaren Ort der Gestirne. Wir erwarten auch in Zukunft nicht die Kräfte wahrzunehmen, sondern die zukünftigen Erfahrungen, welche Avir erwarten, betreffen Aviederum nur die Lage der leuchtenden Punkte am Himmel, als welche uns die Gestirne erscheinen. Nur bei der Ableitung der zukünftigen Erfahrungen aus den vergangenen treten als Hilfsgrößen vorübergehend die Gravitationskräfte ein, um wieder aus der Überlegung zu verschwinden. Ganz allgemein liegt die Sache so bei der Betrachtung der molekularen Kräfte, der chemischen, vieler elektrischen und magnetischen Wirkungen. Und wenn wir nun nach reiferer Erfahrung zurückkehren zu den einfachen Kräften, über deren Bestehen wir keinen Zweifel hatten, so werden wir belehrt, daß diese mit überzeugender Gewißheit von uns wahrgenommenen Kräfte jedenfalls nicht wirkliche waren. Der Trieb jedes Körpers gegen die Erde hin, welchen wir mit Händen zu greifen glaubten, dieser Trieb, so sagt uns die reifere Mechanik, ist als solcher nicht Avirklich, er ist das als Einzelkraft nur vorgestellte Ergebnis einer unfaßbaren Anzahl wirklicher Kräfte, welche die Atome des Körpers gegen alle Atome des Weltalls hinziehen. Auch hier sind dann also die wirklichen Kräfte niemals Gegenstand der früheren Erfahrung gewesen, noch erwarten wir sie in zukünftigen Erfahrungen anzutreffen. Nur während des Prozesses, mit welchem wir die zukünftigen Erfahrungen aus den vergangenen ableiten, treten sie leise ein und wieder aus. Doch selbst wenn die Kräfte nur von uns in die Natur hineingetragen wären, dürften wir darum ihre Einführung noch nicht als unzweckmäßig bezeichnen. Wir waren uns von vornherein klar darüber, daß sich unwesentliche Nebenbeziehungen in unsern Bildern nicht ganz würden vermeiden lassen. Nur möglichste Einschränkung dieser Beziehungen, nur weise Besonnenheit in ihrem Gebrauch durften wir verlangen. Kann man aber behaupten, daß die Physik in dieser Richtung immer mit Sparsamkeit zu Werke gehen konnte? Mußte sie nicht vielmehr die Welt bis zum Übermaß erfüllen mit den verschiedensten Arten von Kräften, mit Kräften, welche selbst niemals in die Erscheinung treten, sogar mit solchen, welche nur ganz ausnahmsweise überhaupt eine Wirkung haben? Wir sehen etwa ein Stück Eisen auf dem Tische ruhen, wir vermuten demnach, daß keine Bewegungsursachen, keine Kräfte da seien. Die Physik, welche auf unserer Mechanik aufgebaut und durch dies Fundament notwendig bestimmt ist, belehrt uns eines anderen. Jedes Atom des Eisens wird zu jedem anderen Atom des Weltalls durch die Gravitationskraft hiugezogen. Jedes Atom des Eisens ist aber auch magnetisch und dadurch mit jedem anderen magnetischen Atom des Weltalls durch neue Kräfte verbunden. Aber die Körper des Alls sind auch erfüllt mit bewegter Elektrizität, und von diesen bewegten Elektrizitäten gehen weitere verwickelte Kräfte aus, welche an jedem magnetischen Atom des Eisens ziehen. Und insofern die Teile des Eisens selbst Elektrizität enthalten, haben wir wieder andere Kräfte in Betracht zu ziehen, neben diesen dann noch verschiedene Arten von Molekularkräften. Einige dieser Kräfte sind nicht klein; wäre von allen Kräften nur ein Teil wirksam, so könnte dieser Teil das Eisen in Stücke reißen. In Wahrheit aber sind alle Kräfte so gegeneinander abgeglichen, daß die Wirkung der gewaltigen Zurüstung Null ist, daß trotz tausend vorhandenen Bewegungsursachen Bewegung nicht eintritt, daß das Eisen eben ruht. Wenn wir nun diese Vorstellungen unbefangen Denkenden vortragen, wer wird uns glauben? Wen werden wir überzeugen, daß wir noch von wirklichen Dingen reden und

nicht von Gebilden einer ausschweifenden Einbildungskraft? Wir selbst aber werden nachdenklich wrerden, ob wir wirklich die Ruhe des Eisens und seiner Teile in einfacher Weise geschildert und abgebildet haben. Ob sich die Verwickelung überhaupt vermeiden läßt, ist zunächst ja fraglich; aber das ist nicht fraglich, daß ein System der Mechanik, welches sie vermeidet oder ausschließt, einfacher und in diesem Sinne zweckmäßiger ist, als das hier betrachtete, welches solche Vorstellungen nicht nur zuläßt, sondern uns geradezu aufzwingt.

Fassen wir noch einmal in kürzester Form die Bedenken zusammen, welche uns bei Betrachtung der gewöhnlichen Darstellungsweise der Prinzipien der Mechanik aufstießen. Was die Form anlangt, schien uns, daß der logische Wert der einzelnen Aussagen nicht hinreichend klar festgelegt worden sei. Was die Sache anlangt, schien uns, daß die von der Mechanik betrachteten Bewegungen sich nicht völlig mit den zu betrachtenden natürlichen Bewegungen decken. Manche Eigenschaften der natürlichen Bewegungen werden in der Mechanik nicht berücksichtigt; viele Beziehungen, welche die Mechanik betrachtet, fehlen wahrscheinlich in der Natur. Auch wenn diese Ausstellungen als gerechtfertigt anerkannt werden, dürfen sie uns freilich nicht zu der Meinung verleiten, daß die gewöhnliche Darstellung der Mechanik ihren Wert und ihre bevorzugte Stellung deshalb einbüßen müsse oder je einbüßen werde ; aber sie rechtfertigen es doch hinreichend, daß wir uns auch nach anderen Darstellungen umsehen, welche in den getadelten Beziehungen Vorteile bieten und den darzustellenden Dingen noch enger angepaßt sind.

2.

Lage.

dpq — ttqtj dp ff

Verrückungen senkrecht zu den möglichen Verrückungen»

2. Geradeste Entfernung.

Tt=Zv^—f;

Hg

Wirkung und Gegenwirkung.

Reziproke Eigentümlichkeiten.

T— U=h , also ist das Integral, von welchem der Satz handelt, nämlich

Energie, Arbeit.

¹

Die physikalische Preisarbeit für die Studierenden wurde Ende Sommer-Semester 1878 gestellt, also schon bevor Hertz nach Berlin kam (vgl. Hertz Werke ßd. I S. XII). Die obige Bemerkung muß also wohl auf die später von der Akademie der Wissenschaften ebenfalls auf Helmholtz’ Vorschlag gestellte Preisfrage bezogen werden, welche auch von Hertz gelöst wurde, wenn auch erst spät, durch seine elektrodynamischen Entdeckungen (vgl. Hertz Werke Bd. I S. XVIII und Bd. II S. 1). — Der Herausgeber (2. Aufl.).

²

   H. von Helmholtz, Über die physikalische Bedeutung des Prinzips der kleinsten Wirkung, Journal für die reine und angewandte Mathematik, 100, p. 137—166, 213—222, 1887; Prinzipien der Statik mono-cyklischer Systeme, ebenda, 97, p. 111—140, 317—336, 1884.

³

   J. J. Thomson, One some Applications of Dynamical Principles to Physical Phenomena, Philosophical Transactions 176, II, p. 307 — 342, 1885.

⁴

   Beltrami, Sulla teoria generale dei parametri differenziali ; Me-morie della Reale Accademia di Bologna, 25. Febbrajo 1869.

⁵

   R. Lipschitz, Untersuchung eines Problems der Variationsrechnung, in welchem das Problem der Mechanik enthalten ist. Journal für die reine und angewandte Mathematik, 74, p. 116—149, 1872. Bemerkungen zu dem Prinzip des kleinsten Zwanges. Ebenda, 82, p. 316—342, 1877.

⁶

   G. Darboiix, Leçons sur la théorie générale des surfaces. Livre V, Chapitres 6, 7, 8. Paris 1889.

⁷

   E. Mach, Die Mechanik in ihrer Entwickelung historisch-kritisch dargestellt. Leipzig 1883.

⁸

   W. Thomson und P. G. Tait, Handbuch der theoretischen Physik, deutsche Ausgabe von Helmholtz und Wertheim, Braunschweig 1871.

⁹

   Siehe E. Mach, Die Mechanik in ihrer Entwickelung. Leipzig 1883, S. 228. Siehe ferner in der „Nature“ von 1893 eine neuerdings von Herrn 0. Lodge angeregte und im Schoße der Physical Society in London fortgeführte Diskussion über die Grundgesetze der Mechanik.

¹⁰

   Siehe Thomson & Tait, Theoretische Physik, § 205 ff.

¹¹

   Siehe E. Budde, Allgemeine Mechanik der Punkte und starren Systeme, Berlin 1890, S. 111—138. Die daselbst gegebene Darstellung gibt zugleich ein deutliches Bild von der Größe der Schwierigkeiten, welchen die widerspruchsfreie Anwendung der Elemente begegnet.

2.

Ein zweites Bild der mechanischen Vorgänge ist weit jüngeren Ursprungs als das erste. Seine Entwickelung aus und neben jenem ist eng verknüpft mit den Fortschritten,

Einleitung.

auf unzählige Fernkräfte zwischen den Atomen der Diese Anschauungsweise entsprach vollständig dem Systeme^ P ^ mechanischen Prinzipien, welches wir als das erste bezeichnet haben; sie wurde durch jenes bedingt, wie jenes durch sie.

Jetzt, gegen Ende des Jahrhunderts hat die Physik einer anderen Denkweise ihre Vorliebe zugewandt. Beeinflußt von dem überwältigenden Eindrücke, welchen die Auffindung des Prinzipes von der Erhaltung der Energie ihr gemacht hat, liebt sie es, die in ihr Gebiet fallenden Erscheinungen als Umsetzungen der Energie in neue Formen zu behandeln, und die Rückführung der Erscheinungen auf die Gesetze der EnergieverWandlung als ihr letztes Ziel zu betrachten. Diese Behandlungsart kann auch schon von vornherein auf die elementaren Vorgänge der Bewegung selbst angewandt werden; alsdann entsteht eine neue, von der ersten verschiedene Darstellung der Mechanik, in welcher von Anfang an der Begriff der Kraft zurücktritt zugunsten des Begriffs der Energie. Eben dieses so entstandene neue Bild der elementaren Bewegungsvorgänge ist es, welches wir als das zweite bezeichnen und welchem wir jetzt unsere Aufmerksamkeit widmen wollen. Wenn wir bei Besprechung des ersten Bildes den Vorteil hatten, daß wir das Bild selbst als deutlich vor den Augen aller Physiker stehend voraussetzen konnten, so ist das bei diesem zweiten Bilde nun freilich nicht der Fall. Dasselbe ist sogar wohl noch niemals in allen seinen Einzelheiten ausgemalt worden, es gibt meines Wissens kein Lehrbuch der Mechanik, welches sich von vornherein auf den Standpunkt der Energielehre stellte und den Begriff der Energie vor dem Begriff der Kraft einführte. Vielleicht ist auch noch niemals eine Vorlesung über Mechanik nach diesem Plane eingerichtet worden. Aber die Möglichkeit eines solchen Planes hat schon den Begründern der Energielehre eingeleuchtet; die Bemerkung, daß man auf diese Weise den Begriff der Kraft mit seinen Schwierigkeiten vermeiden könne, ist öfters gemacht; in einzelnen besonderen

Hertz, Mechanik. 2. Aufl.

Anwendungen treten in der Wissenschaft immer häufiger Schlußreihen auf, welche ganz dieser Denkweise angehören. Wir können daher recht wohl eine Skizze entwerfen, welche uns die groben Umrisse des Bildes vorführt; wir können im allgemeinen den Plan angeben, nach welchem die beabsichtigte Darstellung der Mechanik geordnet werden müßte. Wie im ersten Bilde, so gehen wir auch hier aus von vier voneinander unabhängigen Grundbegriffen, deren Beziehungen zueinander den Inhalt der Mechanik bilden sollen. Zwei derselben haben einen mathematischen Charakter: Raum und Zeit; die beiden anderen: Masse und Energie, werden eingeführt als in gegebener Menge vorhandene, unzerstörbare und unvermehrbare physikalische Wesenheiten. Freilich wird es nötig sein, neben dieser Erklärung auch deutlich anzugeben, durch welche konkreten Erfahrungen wir in letzter Instanz das Vorhandensein von Masse und Energie feststellen wollen. Hier nehmen wir an, daß dies möglich und daß es geschehen sei. Daß die Menge der Energie, welche mit bestimmten Massen verbunden ist, von dem Zustande dieser Massen abhängig ist, ist selbstverständlich. Es ist aber als eine erste allgemeine Erfahrung einzuführen, daß die vorhandene Energie sich stets in zwei Teile zerfallen läßt, von welchen der eine allein durch die gegenseitige Lage der Massen bedingt ist, der andere aber von ihrer absoluten Geschwindigkeit abhängt. . Der erste Teil wird als potentielle Energie, der zweite Teil als kinetische Energie definiert. Die Form für die Abhängigkeit der kinetischen Energie von der Geschwindigkeit der bewegten Körper ist in allen Fällen die gleiche und bekannt; die Form für die Abhängigkeit der potentiellen Energie von der Lage der Körper kann nicht allgemein angegeben werden, sie bildet vielmehr die besondere Natur und die charakteristische Eigentümlichkeit der gerade betrachteten Massen. Es ist die Aufgabe der Physik, diese Form für die uns umgebenden Naturkörper aus früheren Erfahrungen zu ermitteln. Bis hierher treten in den Betrachtungen im wesentlichen nur drei Elemente, nämlich Raum, Masse und Energie in Beziehung. Um die Beziehungen aller vier Grundbegriffe und damit den zeitlichen Ablauf der Erscheinungen festzulegen, bedienen wir uns eines der Integralprinzipien der gewöhnlichen Mechanik, welche sich zu ihren

Aussagen des Energiebegriffs bedienen. Welches derselben wir anwenden, ist ziemlich gleichgültig; wir können und wir wollen etwa das Hamilton sehe Prinzip wählen. Wir würden dann also als einziges erfahrungsmäßiges Grundgesetz der Mechanik den Satz aufstellen, daß jedes System natürlicher Massen sich so bewegt, als sei ihm die Aufgabe gestellt, gegebene Lagen in gegebener Zeit zu erreichen und zwar in solcher Weise, daß die Differenz zwischen kinetischer und potentieller Energie im Mittel über die ganze Zeit so klein ausfalle wie möglich. Ist dieses Gesetz auch in der Form nicht einfach, so gibt es doch durch eine einzige Bestimmung die natürlichen Umwandlungen der Energie zwischen ihren Formen in eindeutiger Weise wieder, es gestattet daher den Ablauf der wirklichen Erscheinungen für die Zukunft vollständig vorauszubestimmen. Mit der Aufstellung dieses neuen Gesetzes sind die unentbehrlichen Grundlagen der Mechanik abgeschlossen. Was wir noch hinzufügen können, sind nur mathematische Ableitungen und etwa Vereinfachungen oder Hilfsbezeichnungen, welche vielleicht zweckmäßig, aber jedenfalls nicht notwendig sind. Zu diesen letzteren gehört dann auch der Begriff der Kraft, welcher in den Grundlagen selbst nicht auftrat. Seine Einführung ist zweckmäßig, sobald wir nicht nur Massen in Betracht ziehen, welche mit konstanten Mengen von Energie verbunden sind, sondern auch solche Massen, welche Energie an andere Massen abgeben oder von ihnen empfangen. Aber die Einführung geschieht nicht durch neue Erfahrung, sondern durch eine Definition, welche in mehr als einer Weise gefaßt werden kann. Dementsprechend sind auch die Eigenschaften der so definierten Kräfte nicht aus der Erfahrung zu ermitteln, sondern lassen sich aus der Definition und dem Grundgesetz ableiten, und selbst die Bestätigung dieser Eigenschaften durch die Erfahrung ist überflüssig, es wäre denn, daß man noch an der Richtigkeit des ganzen Systems zweifelte. Der Kraftbegriff als solcher kann also in diesem System keine logischen Schwierigkeiten mehr bereiten; auch für die Beurteilung der Richtigkeit des Systems kann er nicht in Frage kommen, nur auf die größere oder kleinere Zweckmäßigkeit desselben kann er Einfluß haben.

2*

In der angedeuteten Weise also hätten wir etwa die Prinzipien der Mechanik zu ordnen, um sie der Anschauungsweise der Energielehre anzupassen. Es fragt sich nun aber, ob das entstandene zweite Bild vor dem erstbetrachteten etwas voraus habe, und wir wollen deshalb seine Vorzüge und Nachteile näher ins Auge fassen.

Diesmal liegt es in unserem Interesse, daß wir uns zuerst an die Zweckmäßigkeit halten, weil in bezug auf diese ein Fortschritt am unzweifelhaftesten hervortritt. Denn unser zweites Bild der natürlichen Bewegungen ist zunächst entschieden deutlicher; es gibt mehr Eigentümlichkeiten derselben wieder als das erste. Wenn wir das Hamilton sehe Prinzip aus den allgemeinen Grundlagen der Mechanik ableiten wollen, müssen wir den letzteren gewisse Voraussetzungen über die wirkenden Kräfte und über die Beschaffenheit etwaiger fester Verbindungen hinzufügen. Diese Voraussetzungen sind höchst allgemeiner Art, aber sie bedeuten darum doch ebenso viele wichtige Einschränkungen der durch das Prinzip dargestelltei. Bewegungen. Und umgekehrt lassen sich daher auch aus dem Prinzip eine ganze Reihe von Beziehungen, insbesondere von Wechselbeziehungen zwischen jeder Art von möglichen Kräften ableiten, welche in den Prinzipien des ersten Bildes fehlen, welche aber in dem zweiten Bilde, und gleichzeitig, worauf es ankommt, in der Natur sich finden. Der Nachweis, daß dem so sei, bildet den eigentlichen Inhalt und das Ziel der Arbeiten, welche von Helmholtz unter dem Titel: „Uber die physikalische Bedeutung des Prinzips der kleinsten Wirkung“ veröffentlicht hat. Wir treffen aber die Sachlage wohl genauer, wenn wir sagen, die Tatsache selbst, welche bewiesen werden soll, bilde die Entdeckung, welche in jener Arbeit mitgeteilt und dargelegt wird. Denn einer Entdeckung bedurfte in der Tat die Erkenntnis, daß aus so allgemeinen Voraussetzung Ai sich so besondere, wichtige und zutreffende Folgerungen ziehen lassen. Auf jene Abhandlung können wir uns daher auch berufen zur Erhärtung unserer Behauptung im einzelnen, und insofern jene Abhandlung zur Zeit den äußersten Fortschritt der Physik bezeichnet, können wir uns der Frage überhoben halten, ob ein noch engerer Anschluß an die Natur

erreichbar sei, etwa durch Einschränkuug der für die potentielle Energie zulässigen Formen. Lieber wollen wir betonen, daß unser jetziges Bild auch in Hinsicht der Einfachheit die Klippen vermeidet, an welchen die Zweckmäßigkeit unseres ersten Bildes sich gefährdet fand. Denn fragen wir nach dem eigentlichen Grunde, aus welchem die Physik es heutzutage liebt, ihre Betrachtungen in der Ausdrucksweise der Energielehre zu halten, so dürfen wir antworten: weil sie es auf diese Weise am besten vermeidet, von Dingen zu reden, von welchen sie sehr wenig weiß und welche auf die wesentlich beabsichtigten Aussagen auch keinen Einfluß haben. Wir bemerkten schon gelegentlich, daß die Rückführung der Erscheinungen auf die Kraft uns zwingt, unsere Überlegung beständig an die Betrachtung der einzelnen Atome und Moleküle anzuknüpfen. Nun sind wir ja allerdings gegenwärtig überzeugt davon, daß die wägbare Materie aus Atomen besteht; auch haben wir von der Größe dieser Atome und ihren Bewegungen in gewissen Fällen einigermaßen bestimmte Vorstellungen. Aber die Gestalt der Atome, ihr Zusammenhang, ihre Bewegungen in den meisten Fällen, alles dies ist uns gänzlich verborgen; ihre Zahl ist in allen Fällen unübersehbar groß. Unsere Vorstellung von den Atomen ist daher selbst ein wichtiges und interessantes Ziel weiterer Forschung, keineswegs aber ist sie besonders geeignet, als bekannte und gesicherte Grundlage mathematischer Theorien zu dienen. Einen so streng denkenden Forscher, wie es Gustav Kikchhoff war, berührte es daher fast peinlich, die Atome und ihre Schwingungen ohne zwingende Notwendigkeit in den Mittelpunkt einer theoretischen Ableitung gestellt zu sehen. Die willkürlich angenommenen Eigenschaften der Atome mögen ohne Einfluß auf das Endresultat sein; das letztere mag richtig sein. Gleichwohl sind die Einzelheiten der Ableitung selbst zum großen Teile mutmaßlich falsch; die Ableitung ist ein Scheinbeweis. Die ältere Denkweise der Physik läßt hier kaum eine Wahl, einen Ausweg zu. Dagegen bietet die Auffassung der Energielehre und damit unser zweites Bild der Mechanik den Vorteil, daß in die Voraussetzungen der Probleme nur die der Erfahrung unmittelbar zugänglichen Merkmale, Parameter, oder willkürlichen Koordinaten der betrachteten Körper eintreten; daß die Be-

trachtungen mit Hilfe dieser Merkmale in endlicher und geschlossener Form fortschreiten und daß auch das Endresultat unmittelbar wieder in greifbare Erfahrung kann übersetzt werden. Außer der Energie selbst in ihren wenigen Formen treten keine Hilfskonstruktionen in die Betrachtung ein. Unsere Aussagen können sich auf die bekannten Eigentümlichkeiten der betrachteten Körpersysteme beschränken, ohne daß wir unsere Unkenntnis der Einzelheiten durch willkürliche und einflußlose Hypothesen verdecken müßten. Nicht nur das Endresultat, sondern auch alle Schritte der Ableitung desselben können als richtig und sinnvoll vertreten werden. Dies sind die Vorzüge, welche diese Methode der heutigen Physik lieb gemacht haben, welche also auch unserem zweiten Bilde der Mechanik eigen sind, und welche wir in unserer Bezeichnungs weise als Vorzüge der Einfachheit, also der Zweckmäßigkeit aufzufassen haben.

Leider werden wir wieder unsicherer über den Wert unseres Systems, wenn wir seine Richtigkeit und seine logische Zulässigkeit prüfen. Schon die Frage nach der Richtigkeit gibt zu gerechtfertigten Zweifeln Anlaß. Keineswegs dürfen wir der Übereinstimmung mit der Natur schon deshalb sicher sein, weil sich das Hamilton sehe Prinzip ja auch aus den zugegebenen Grundlagen der Newton sehen Mechanik ableiten läßt. Wir haben zu bedenken, daß diese Ableitung nur dann stattfindet, wenn gewisse Voraussetzungen zutreffen, und daß anderseits unser System nicht nur den Anspruch macht, einige Bewegungen der Natur richtig zu beschreiben, sondern daß es behauptet, alle Bewegungen der Natur zu umfassen. Wir haben also zu untersuchen, ob auch wirklich neben den Newton sehen Gesetzen jene besonderen Voraussetzungen Allgemeingültigkeit haben, und ein einziges Beispiel der Natur, welches widerspräche, würde die Richtigkeit des Systems als solches umwerfen, wenn es auch die Gültigkeit des Hamilton-schen Prinzips als allgemeinen Lehrsatzes nicht im mindesten erschütterte. Hier entsteht nun das Bedenken, nicht sowohl ob unser Bild die gesamte Mannigfaltigkeit der Kräfte, sondern ob es auch wirklich die gesamte Mannigfaltigkeit der starren Verbindungen enthielte, welche zwischen den Körpern der Natur äuftreten können. Die Anwendung des HAMiLTONscheri

Prinzips auf ein materielles System schließt nicht aus, daß zwischen den gewählten Koordinaten desselben feste Zusammenhänge bestehen, aber sie verlangt immerhin, daß diese Zusammenhänge sich mathematisch ausdrücken lassen durch endliche Gleichungen zwischen den Koordinaten; sie gestattet nicht das Auftreten solcher Zusammenhänge, welche mathematisch nur durch Differentialgleichungen wiedergegeben werden können. Die Natur selbst aber scheint Zusammenhänge der letzteren Art nicht einfach auszuschließen. Denn dieselben treten zum Beispiel auf, sobald dreidimensionale Körper mit ihren Oberflächen ohne Gleitung aufeinander rollen. Durch diese Verbindung, welche wir in unserer Umgebung oft vorfinden, ist die Lage beider Körper zueinander nur insofern beschränkt, als sie stets einen Punkt der Oberfläche gemein haben müssen; die Bewegungsfreiheit der Körper aber ist noch um einen Grad weiter beschränkt. Es lassen sich also aus der Verbindung mehr Gleichungen zwischen den Änderungen der Koordinaten herleiten als zwischen den Koordinaten selbst, unter jenen muß daher mindestens eine sein, welche mathematisch als eine nicht integrabele Differentialgleichung zu bezeichnen ist. Auf derartige Fälle nun gestattet das Hamilton sehe Prinzip keine Anwendung mehr, oder genau gesprochen: Die mathematisch mögliche Anwendung des Prinzips führt zu physikalisch falschen Resultaten. Man beschränke die Betrachtung auf den einfachen Fall einer Kugel, welche allein ihrer Trägheit folgend auf einer festen horizontalen Ebene ohne Gleitung rollt; man kann hier ganz wohl durch bloße Betrachtung ohne Rechnung sowohl die Bewegungen übersehen, -welche die Kugel wirklich ausführen kann, als auch die Bewegungen, welche dem Hamilton sehen Prinzip entsprechen würden und welche so ausfallen müßten, daß die Kugel bei konstanter lebendiger Kraft gegebene Ziele in kürzester Zeit erreicht. Man kann sich daher auch ohne Rechnung überzeugen, daß beide Arten von Bewegungen sehr verschiedene Eigentümlichkeiten aufweisen. Wählen wir Anfangs- und Endlage der Kugel beliebig aus, so gibt es doch offenbar stets einen bestimmten Übergang aus einer zur andern, auf welchem die Zeit des Übergangs, also das Hamilton sehe Integral ein Minimum wird. In Wahrheit ist aber gar nicht

aus jeder Lage in jede andere ohne die Mitwirkung von Kräften ein natürlicher Übergang möglich, wenn auch die Wahl der Anfangsgeschwindigkeit vollkommen frei steht. Aber selbst dann, wenn wir Anfangs- und Endlage so wählen, daß eine natürliche freie Bewegung zwischen beiden möglich ist, so ist dies gleichwohl nicht diejenige, welche dem Minimum der Zeit entspricht. Bei gewissen Anfangs- und Endlagen kann der Unterschied sehr auffallend sein. In diesem Falle würde eine Kugel, welche dem Prinzip gemäß sich bewegte, entschieden den Schein eines belebten Wesens annehmen, welches zielbewußt einer bestimmten Lage zusteuert, während neben ihr die Kugel, welche dem Gesetze der Natur folgt, den Eindruck einer toten, gleichförmig dahinkreiselnden Masse hervorrufen würde. Es würde nichts helfen, wollten wir an Stelle des Hamilton sehen Prinzips das Prinzip der kleinsten Wirkungen oder ein anderes Integralprinzip in den Vordergrund rücken, da alle diese Prinzipien nur einen geringen Unterschied der Bedeutung aufweisen und sich in der hier betrachteten Hinsicht ganz gleich verhalten. Übrigens ist der Weg vorgezeichnet, auf welchem allein wir das System verteidigen und gegen den Vorwurf der Unrichtigkeit in Schutz nehmen können. Wir haben zu leugnen, daß starre Verbindungen der angeführten Art mit Strenge in der Natur wirklich Vorkommen. Wir haben auszuführen, daß jedes sogenannte Rollen ohne Gleitung in Wahrheit ein Rollen mit geringer Gleitung, also ein Vorgang der Reibung sei. Wir haben uns darauf zu berufen, daß ganz allgemein die Vorgänge in reibenden Flächen zu denjenigen gehören, welche noch nicht auf klar verstandene Ursachen zurückgeführt werden können, sondern für welche nur gerade empirisch die erzeugten Kräfte ermittelt sind; daher gehöre das ganze Problem zu denjenigen, zu deren Behandlung zurzeit die Benützung der Kräfte und damit der Umweg über die gewöhnlichen Methoden der Mechanik noch nicht vermieden werden könne. Überzeugend wirkt freilich diese Verteidigung nicht. Denn ein Rollen ohne Gleiten widerspricht weder dem Energieprinzipe noch einem anderen allgemein anerkannten Grundgesetze der Physik; der Vorgang ist in der sichtbaren Welt mit so großer Annäherung verwirklicht, daß man sogar Integrationsmaschinen auf die Voraussetzung seines

genauen Eintretens gegründet hat; wir haben daher kaum ein Recht, sein Vorkommen als unmöglich auszuschließen, am wenigsten aus der Mechanik noch unbekannter Systeme, wie es die Atome oder die Teile des Äthers sind. Aber selbst wenn wir zugeben, daß die fraglichen Verbindungen in der Natur nur angenähert verwirklicht sind, selbst dann bereitet uns das Versagen des Hamilton sehen Prinzips in diesen Fällen Schwierigkeiten. Von jedem Grundgesetze unseres mechanischen Systems werden wir verlangen müssen, daß es angewandt auf angenähert richtige Verhältnisse immer noch angenähert richtige Resultate gebe, nicht aber gänzlich falsche-Denn da schließlich alle starren Zusammenhänge, welche wir der Natur entnehmen und in die Rechnung einführen, den wirklichen Verhältnissen nur angenähert entsprechen, so geraten wir sonst in gänzliche Unsicherheit, auf welche unter ihnen wir das Gesetz überhaupt noch anwenden dürfen, auf welche nicht mehr. Doch wollen wir die vorgetragene Verteidigung auch nicht gänzlich verwerfen; wir wollen entgegenkommend zugeben, daß die aufgeworfenen Zweifel nur die Zweckmäßigkeit des Systems, nicht aber seine Richtigkeit betreffen, so daß die aus ihnen entspringenden Nachteile durch andere Vorteile aufgewogen werden können.

Die wahren Schwierigkeiten erwarten uns nun aber erst, sobald wir versuchen, die Grundlagen des Systems so zu ordnen, daß den Anforderungen der logischen Zulässigkeit mit aller Strenge genügt werde. Wir dürfen bei der Einführung der Energie nicht dem gewöhnlichen Wege folgend von den Kräften ausgehen, von diesen zur Kräftefunktion, zur potentiellen Energie, zur Energie überhaupt fortschreiten. Eine solche Anordnung würde der ersten Darstellung der Mechanik angehören. Vielmehr haben wir, ohne eigentlich mechanische Entwickelungen schon vorauszusetzen, diejenigen einfachen unmittelbaren Erfahrungen anzugeben, durch welche wir allgemein das Vorhandensein eines Vorrats von Energie und die Bestimmung seiner Menge definiert wissen wollen. Wir haben oben nur angenommen, nicht aber bewiesen, daß eine solche Bestimmung möglich sei. Mehrere ausgezeichnete Physiker versuchen heutzutage, der Energie so sehr die Eigen-

schäften der Substanz zu leihen, daß sie annehmen, jede kleinste Menge derselben sei zu jeder Zeit an einen bestimmten Ort des Raumes geknüpft und bewahre bei allem Wechsel desselben und bei aller Verwandlung der Energie in neue Formen dennoch ihre Identität. Diese Physiker müssen notwendig die Überzeugung vertreten, daß sich Definitionen der verlangten Art wirklich geben lassen, und es war daher wohl erlaubt, die Möglichkeit derselben anzunehmen. Sollen wir selbst aber eine konkrete Form dafür aufweisen, welche uns genügt und welche allgemeiner Zustimmung sicher ist, so geraten wir in Verlegenheit; zu einem befriedigenden und abschließenden Ergebnis scheint diese ganze Anschauungsweise noch nicht gelangt. Eine besondere Schwierigkeit muß auch von vornherein der Umstand bereiten, daß die angeblich substanzartige Energie in zwei so gänzlich verschiedenen Formen auftritt, wrie es die kinetische und die potentielle Form sind. Die kinetische Energie bedarf im Grunde an sich keiner neuen Grundbestimmung, da sie aus den Begriffen der Geschwindigkeit und der Masse abgeleitet werden kann; die potentielle Energie hingegen, welche eine selbständige Feststellung fordert, widerstrebt zugleich jeder Definition, welche ihr die Eigenschaften einer Substanz beilegt. Die Menge einer Substanz ist eine notwendig positive Größe; die in einem System enthaltene potentielle Energie scheuen wir uns nicht, als negativ anzunehmen. Bedeutet ein analytischer Ausdruck die Menge einer Substanz, so hat eine additive Konstante in dem Ausdruck dieselbe Wichtigkeit wie der Rest; in dem Ausdruck für die potentielle Energie eines Systems hat die additive Konstante niemals eine Bedeutung. Endlich kann der Inhalt eines physikalischen Systems an einer Substanz nur abhängen von dem Zustande des Systems selbst; der Inhalt gegebener Materie an potentieller Energie aber hängt ab von dem Vorhandensein entfernter Massen, welche vielleicht niemals Einfluß auf das System hatten. Ist das Weltall und damit die Menge jener entfernten Massen unendlich, so wird der Inhalt auch endlicher Mengen von Materie an vielen Formen potentieller Energie unendlich groß. Dies sind alles Schwierigkeiten, welche durch die gesuchte Definition der Energie beseitigt oder umgangen werden müßten. Obwohl

wir nun auch nicht behaupten wollen, daß eine solche Umgehung unmöglich sei, so können wir sie doch gegenwärtig noch nicht als geleistet ansehen, und es wird am vorsichtigsten sein, wenn wir es einstweilen noch als eine offene Frage betrachten, ob sich das System überhaupt in logisch einwurfsfreier Form entwickeln läßt.

Es ist vielleicht der Mühe wert, an dieser Stelle auch die Frage zu erörtern, ob ein anderer Einwurf gerechtfertigt sei, den man vielleicht gegen die Zulässigkeit des hier betrachteten Systems richten könnte. Soll ein Bild gewisser äußerer Dinge in unserem Sinne zulässig sein, so müssen die Züge desselben nicht allein unter sich in Einklang stehen, sondern sie dürfen auch nicht den Zügen anderer in unserer Erkenntnis schon feststehender Bilder widersprechen. Daraufhin könnte man nun behaupten: Es sei nicht denkbar, daß das Hamilton sehe Prinzip oder ein Satz von verwandten Eigenschaften in Wahrheit ein Grundgesetz der Mechanik und damit ein Grundgesetz der Natur vorstelle, denn von einem Grundgesetze sei von vornherein Einfachheit und Schlichtheit zu erwarten, das Hamilton sehe Prinzip aber stelle, wenn man es analysiere, eine äußerst verwickelte Aussage dar. Nicht allein mache es die gegenwärtige Bewegung abhängig von Folgen, welche erst in der Zukunft hervortreten können und mute dadurch der leblosen Natur Absichten zu, sondern, was schlimmer sei, es mute der Natur sinnlose Absichten zu. Denn das Integral, dessen Minimum das Hamilton sehe Prinzip fordert, habe keine einfache physikalische Bedeutung; es sei aber für die Natur ein unverständliches Ziel, einen mathematischen Ausdruck zum Minimum zu machen oder seine Variation zum Verschwinden zu bringen. Die gewöhnliche Antwort, welche die heutige Physik auf derartige Angriffe bereit hält, ist diese, daß die Voraussetzungen, von welchen die Betrachtungen ausgehen, metaphysischen Ursprungs seien, daß aber die Physik darauf verzichtet habe und es nicht mehr als Pflicht anerkenne, den Ansprüchen der Metaphysik gerecht zu werden. Sie lege kein Gewicht mehr auf die Gründe, welche von metaphysischer Seite einst zugunsten der Prinzipien vorgebracht seien, welche einen Zweck in der Natur andeuten; ebensowenig aber könne sie jetzt Einwänden meta-

physischen Charakters gegen ebendieselben Prinzipien ihr Ohr leihen. Wenn wir bei solchem Rechten zu entscheiden hätten, so würden wir nicht unbillig denken, wenn wir uns mehr auf Seiten des Angreifers, als des Verteidigers stellten. Kein Bedenken, welches überhaupt Eindruck auf unsern Geist macht, kann dadurch erledigt werden, daß es als metaphysisch bezeichnet wird; jeder denkende Geist hat als solcher Bedürfnisse, welche der Naturforscher metaphysische zu nennen gewohnt ist. Überdies läßt sich in dem vorliegenden Falle, wie wohl in allen ähnlichen, die gesunde und berechtigte Quelle unseres Bedürfnisses ganz wohl aufweisen. Freilich können wir von der Natur nicht a priori Einfachheit fordern, noch auch urteilen, was in ihrem Sinne einfach sei. Aber den Bildern, welche wir uns von ihr machen, können wir als unsern eigenen Schöpfungen Vorschriften machen. Wir urteilen nun mit Recht, daß, wenn unsere Bilder den Dingen gut angepaßt sind, daß dann die wirklichen Beziehungen der Dinge durch einfache Beziehungen zwischen den Bildern müssen wiedergegeben werden. Wenn aber die wirklichen Beziehungen zwischen den Dingen nur durch verwickelte, ja dem unvorbereiteten Geiste sogar unverständliche Beziehungen zwischen den Bildern sich wiedergeben lassen, so urteilen wir, daß diese Bilder den Dingen nur ungenügend angepaßt sind. Unsere Forderung der Einfachheit geht also nicht an die Natur, sondern an die Bilder, welche wir uns von ihr machen, und unser Widersprach gegen eine verwickelte Aussage als Grundgesetz drückt nur die Überzeugung aus, daß, wenn der Inhalt der Aussage richtig und umfassend sei, er sich durch zweckmäßigere Wahl der Grundvorstellungen auch in einfacherer Form müsse aussprechen lassen. Eine andere Äußerung derselben Überzeugung ist der in uns erwachende Wunsch, von dem äußeren Verständnisse eines derartigen Gesetzes zu seinem tieferen und eigentlichen Sinn vorzudringen, von dessen Vorhandensein wir überzeugt sind. Ist diese Auffassung richtig, so bildet in der Tat der vorgebrachte Einwurf ein berechtigtes Bedenken gegen das System, aber er trifft dann nicht sowohl seine Zulässigkeit, als vielmehr seine Zweckmäßigkeit, und er käme bei der Beurteilung der letzteren in Betracht. Es ist indessen nicht nötig, deshalb nochmals zur Besprechung jener zurückzukehren,

Überblicken wir noch einmal dasjenige, was wir über die Vorzüge des zweiten Bildes vorzubringen hatten, so können wir von der Gesamtheit desselben nicht allzu befriedigt sein. Obgleich die ganze Richtung der neueren Physik uns anlockt, den Begriff der Energie in den Vordergrund zu stellen und ihn auch in der Mechanik als Grund- und Eckstein unseres Aufbaues zu benutzen, so bleibt es doch mehr als zweifelhaft, ob wir bei diesem Vorgehen die Härten und Rauhigkeiten vermeiden können, welche uns in dem ersten Bilde der Mechanik anstößig waren. In der Tat habe ich auch diesem zweiten Wege der Darstellung nicht deshalb eine längere Besprechung gewidmet, um zur Beschreitung desselben zu ermutigen, sondern vielmehr um anzudeuten, aus welchen Gründen ich selbst ihn aufgegeben habe, nachdem ich zuerst ihn zu verfolgen versucht hatte.

3.

Eine dritte Anordnung der Prinzipien der Mechanik ist diejenige, welche in dem Hauptteil des Buches ausführlich dar gelegt werden soll, deren Hauptzüge wir aber schon hier in der Einleitung vorführen wollen, um sie in demselben Sinne einer Kritik zu unterwerfen, wie es mit den beiden ersten geschehen ist. Von jenen unterscheidet sie sich wesentlich dadurch, daß sie von nur drei unabhängigen Grundvorstellungen ausgeht; denen der Zeit, des Raumes und der Masse. Sie betrachtet daher als ihre Aufgabe, die natürlichen Beziehungen zwischen diesen dreien und allein zwischen diesen dreien darzustellen. Ein vierter Begriff, wie der Begriff der Kraft oder der Energie, an welchen sich vorhin die Schwierigkeiten knüpften, ist als selbständige Grundvorstellung beseitigt. Die Bemerkung, daß drei voneinander unabhängige Vorstellungen nötig, aber auch hinreichend seien zur Entwicklung

der Mechanik, hat schon Gr. Kiechhoff seinem Lehrhuche der Mechanik vorangestellt. Ganz ohne Ersatz kann freilich die so in den Grandvorstellungen ausfallende Mannigfaltigkeit nicht bleiben. In unserer Darstellung suchen wir die entstehende Lücke auszufüllen durch Benützung einer Hypothese, welche hier nicht zum ersten Male aufgestellt wird, welche man aber nicht in die Elemente der Mechanik selbst einzuführen gewohnt ist, und deren Wesen wir etwa in der folgenden Weise erläutern können.

Versuchen wTir, die Bewegungen der uns umgebenden Körper zu verstehen und auf einfache und durchsichtige Regeln zurückzuführen, indem wir aber nur dasjenige berücksichtigen, was wir unmittelbar vor Augen haben, so schlägt unser Versuch im allgemeinen fehl. Wir werden bald gewahr, daß die Gesamtheit dessen, was wir sehen und greifen können, noch keine gesetzmäßige Welt bildet, in welcher gleiche Zustände stets gleiche Folgen haben. Wir überzeugen uns, daß die Mannigfaltigkeit der wirklichen Welt größer sein muß als die Mannigfaltigkeit der Welt, welche sich unseren Sinnen unmittelbar offenbart. Wollen wir ein abgerundetes, in sich geschlossenes, gesetzmäßiges Weltbild erhalten, so müssen wir hinter den Dingen, welche wir sehen, noch andere, unsichtbare Dinge vermuten, hinter den Schranken unserer Sinne noch heimliche Mitspieler suchen. Diese tiefer liegenden Einflüsse erkannten wir in den ersten beiden Darstellungen an, und wir dachten sie uns als Wesen einer eigenen und besonderen Art, deshalb schufen wir zu ihrer Wiedergabe in unserem Bilde die Begriffe der Kraft und der Energie. Es steht uns aber noch ein anderer Weg offen. Wir können zugeben, daß ein verborgenes Etwas mitwirke und doch leugnen, daß dieses Etwas einer besonderen Kategorie angehöre. Es steht uns frei, anzunehmen, daß auch das Verborgene nichts anderes sei als wiederum Bewegung und Masse, und zwar solche Bewegung und Masse, welche sich von der sichtbaren nicht an sich unterscheidet, sondern nur in Beziehung auf uns und auf unsere gewöhnlichen Mittel der Wahrnehmung. Diese Auffassungsweise ist nun eben unsere Hypothese. Wir nehmen also an, daß es möglich sei, den sichtbaren Massen des

Weltalls andere denselben Gesetzen gehorchende Massen hinzuzudichten von solcher Art, daß dadurch das Ganze Gesetzmäßigkeit und Verständlichkeit gewinnt, und zwar nehmen wir an, daß dies ganz allgemein und in allen Fällen möglich sei, und daß es daher andere Ursachen der Erscheinungen auch gar nicht gebe, als die hierdurch zugelassenen. Was wir gewohnt sind als Kraft und als Energie zu bezeichnen, ist dann für uns nichts weiter als eine Wirkung von Masse und Bewegung, nur braucht es nicht immer die Wirkung grobsinnlich nachweisbarer Masse und grobsinnlich nachweisbarer Bewegung zu sein. Eine derartige Erklärung einer Kraft aus Bewregungsvorgängen pflegt man eine dynamische zu nennen, und man kann wohl sagen, daß die Physik gegenwärtig derartigen Erklärungen in hohem Grade hold ist. Die Kräfte der Wärme hat man mit Sicherheit auf die verborgenen Bewegungen greifbarer Massen zurückgeführt. Durch Maxwell s Verdienst ist die Vermutung fast zur Überzeugung geworden, daß wir in den elektrodynamischen Kräften die Wirkung der Bewegung verborgener Massen vor uns haben. Lord Kelvin rückt die Möglichkeit dynamischer Erklärungen der Kräfte mit Vorliebe in den Vordergrund seiner Betrachtungen; in seiner Theorie von der Wirbelnatur der Atome hat er ein dieser Anschauung entsprechendes Bild des Weltganzen zu geben versucht. Von Helmholtz hat in der Untersuchung über die zyklischen Systeme die wichtigste Form der verborgenen Bewegung ausführlich und zum Zwecke allgemeiner Anwendung behandelt; durch ihn ist den Ausdrücken „verborgene“ Masse, „verborgene“ Bewegung die Geltung technischer Ausdrücke im Deutschen verliehen. Hat aber jene Hypothese die Fähigkeit, die geheimnisvollen Kräfte allmählich aus der Mechanik wieder zu eliminieren, so kann sie auch verhindern, daß dieselben überhaupt in die Mechanik eintreten. Und entspricht die Verwertung der Hypothese zu ersterem Zwecke der Denkweise der heutigen Physik, so muß das gleiche von ihrer Benutzung zu letzterem Zwecke gelten. Dies ist der leitende Gedanke, von welchem wir ausgehen und durch dessen Verfolgung dasjenige Bild entsteht, welches wir als das dritte bezeichneten, und dessen allgemeine Umrisse wir nun umfahren wollen.

Zuerst führen wir also ein die drei unabhängigen Grundbegriffe Zeit, Raum und Masse als Gegenstände der Erfahrung, indem wir angeben, durch welche konkreten sinnlichen Erfahrungen wir uns Zeiten, Massen, räumliche Größen bestimmt denken wollen. Was die Massen anbelangt, so behalten wir uns vor, neben den sinnlich wahrnehmbaren Massen durch Hypothese verborgene Massen einzuführen. Wir stellen sodann die Beziehungen zusammen, welche zwischen jenen konkreten Erfahrungen stets obwalten, und welche wir als die wesentlichen Beziehungen zwischen den Grundbegriffen festzuhalten haben. Es ist naturgemäß, daß wir die Grundbegriffe zunächst zu je zweien verbinden. Die Beziehungen, welche Raum und Zeit allein betreffen, können wir als Kinematik voraussenden. Zwischen Masse und Zeit allein besteht keine Verknüpfung. Masse und Raum dagegen treten wieder zusammen zu einer Reihe wichtiger erfahrungsmäßiger Beziehungen. Wir finden nämlich zwischen den Massen der Natur gewisse rein räumliche Zusammenhänge, welche darin bestehen, daß von Anbeginn an für alle Zeiten, und also unabhängig von der Zeit, jenen Massen gewisse Lagen und gewisse Änderungen der Lage als mögliche, alle anderen aber als unmögliche vorgeschrieben und zugeordnet sind. Wir können über diese Zusammenhänge ferner allgemein aussagen, daß sie nur die relative Lage der Massen untereinander betreffen und weitergehend, daß sie gewissen Bedingungen der Stetigkeit genügen, welche ihren mathematischen Ausdruck darin finden, daß sich die Zusammenhänge selbst stets durch homogene lineare Gleichungen zwischen den ersten Differentialen derjenigen Größen wiedergeben lassen, durch welche wir die Lage der Massen bezeichnet haben. Die Zusammenhänge bestimmter materieller Systeme im einzelnen zu erforschen ist nicht Sache der Mechanik, sondern der experimentellen Physik; die bezeichnenden Merkmale, durch welche sich die verschiedenen materiellen Systeme der Natur unterscheiden, sind nach unserer Vorstellung eben einzig und allein die Zusammenhänge ihrer Massen. In den bisherigen Erörterungen haben wir nur je zwei der Grundbegriffe für sich verbunden, nunmehr wenden wir uns der eigentlichen Mechanik im engeren Sinne zu, in welcher alle drei zusammenzutreten haben. Es gelingt uns,

ihre erfahrungsmäßige allgemeine Verknüpfung zusammenzufassen in ein einziges Grundgesetz, welches eine sehr nahe Analogie mit dem gewöhnlichen Trägheitsgesetz zieht. In der Tat läßt es sich in der Ausdrucksweise, welche wir benutzen, wiedergeben in der Aussage: jede natürliche Bewegung eines selbständigen materiellen Systems bestehe darin, daß das System mit gleichbleibender Geschwindigkeit eine seiner geradesten Bahnen verfolge. Diese Aussage ist allerdings nur verständlich, nachdem die benutzte mathematische Redeweise gehörig erörtert ist; der Sinn des Satzes aber läßt sich auch in der gewöhnlichen Sprache der Mechanik wiedergeben. Jener Satz faßt nämlich einfach das gewöhnliche Trägheitsgesetz und das Gauss sehe Prinzip des kleinsten Zwanges in eine einzige Behauptung zusammen. Er sagt also aus, daß, wenn die Zusammenhänge des Systems einen Augenblick gelöst werden könnten, sich dann seine Massen in geradliniger und gleichförmiger Bewegung zerstreuen würden, daß aber, da solche Auflösung nicht möglich ist, sie jener angestrebten Bewegung wenigstens so nahe bleiben als möglich. Wie jenes Grundgesetz in unserem Bilde der erste Erfahrungssatz der eigentlichen Mechanik ist, so ist es auch der letzte. Aus ihm zusammen mit der zugelassenen Hypothese verborgener Massen und gesetzmäßiger Zusammenhänge leiten wir den übrigen Inhalt der Mechanik rein deduktiv ab. Um ihn gruppieren wir die übrigen allgemeinen Prinzipien nach ihrer Verwandtschaft zu ihm und untereinander, als Folgerungen oder als Teilaussagen. Wir bemühen uns zu zeigen, daß bei dieser Anordnung der Inhalt unserer Wissenschaft nicht weniger reich und mannigfaltig ausfällt, als der Inhalt einer Mechanik, welche von vier Grundvorstellungen ausgeht, jedenfalls nicht weniger reich und mannigfaltig als es die Darstellung der Natur verlangt. Übrigens erweist es sich auch hier bald als zweckmäßig, den Begriff der Kraft einzuführen. Aber die Kraft tritt nun nicht auf als etwas von uns Unabhängiges und uns Fremdes, sondern als eine mathematische Hilfskonstruktion, deren Eigenschaften wir völlig in unserer Gewalt haben, und welche also auch für uns nichts Rätselhaftes an sich haben kann. Nach dem Grundgesetze muß nämlich überall da, wo zwei Körper demselben System angehören, die Bewegung des

Hertz, Mechanik. 2. Aufl.

einen durch die Bewegung des anderen mitbestimmt sein. Der Begriff der Kraft entsteht nun dadurch, daß wir es aus an-gebbaren Gründen zweckmäßig finden, diese Bestimmung der einen Bewegung durch die andere in zwei Stadien zu zerlegen und uns zu sagen: die Bewegung des ersten Körpers bestimme zunächst eine Kraft, diese Kraft erst bestimme die Bewegung des zweiten Körpers. Auf diese Weise wird jede Kraft zwar stets Ursache einer Bewegung, mit gleichem Rechte aber zugleich auch stets Folge einer Bewegung; sie wird, genau gesprochen, das nur gedachte Mittelglied zwischen zwei Bewegungen. Es ist klar, daß bei dieser Auffassung die allgemeinen Eigenschaften der Kräfte mit Denknotweudigkeit aus dem Grundgesetze folgen müssen, und wenn wir in möglichen Erfahrungen diese Eigenschaften bestätigt sehen, so kann uns dies nicht einmal verwundern, wenn anders wir an unserm Grundgesetz nicht zweifeln. Mit dem Begriffe der Energie und mit allen anderen einzuführenden Hilfskonstruktionen liegt die Sache ganz ebenso.

Was wir bisher gesagt haben, betraf den physikalischen Inhalt des vorzuführenden Bildes und erschöpfte denselben im Rahmen dieser Einleitung; es wird zweckmäßig sein, nun auch eine kurze Erörterung der besonderen mathematischen Form zu widmen, in welcher wir denselben wiedergeben werden. Jener Inhalt ist von dieser Form ganz unabhängig und es ist vielleicht nicht ganz klug gehandelt, daß wir einen von dem Herkömmlichen abweichenden Inhalt sogleich in einer ungewohnten Form darbieten. Indessen weichen ja sowohl Form als Inhalt ein jedes für sich nur sehr wenig von wohl-bekannten Dingen ab; außerdem passen eben dieser Inhalt und diese Form so zueinander, daß ihre Vorzüge sich gegenseitig stützen. Das wesentliche Merkmal der benutzten Terminologie besteht nun darin, daß sie gleich von vornherein ganze Systeme von Punkten vorstellt und in Betracht zieht, nicht aber jedesmal von den einzelnen Punkten ausgeht. Einem jeden sind die Ausdrücke „Lage eines Systems von Punkten“ und „Bewegung eines Systems von Punkten“ geläufig. Es ist eine nicht unnatürliche Fortsetzung dieser Redeweise, wenn wir die Gesamtheit der bei der Bewegung durchlaufenen Lagen

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eines Systems als seine Bahn bezeichnen. Jeder kleinste Teil dieser Bahn ist alsdann ein Bahnelement. Von zwei Bahnelementen kann das eine ein Teil des andern sein, sie unterscheiden sich alsdann noch nach der Größe und nur nach dieser. Zwei Bahnelemente, welche von derselben Lage ausgehen, können aber auch verschiedenen Bahnen angehören; alsdann ist keines von beiden ein Teil des anderen und sie unterscheiden sich nicht nur hinsichtlich der Größe; wir sagen deshalb, daß sie auch verschiedene Richtung haben. Durch diese Aussagen sind freilich die Merkmale „Größe“ und „Richtung“ für die Bewegung eines Systems noch nicht eindeutig bestimmt; wir können aber unsere Definitionen geometrisch oder analytisch so vervollständigen, daß ihre Folgen weder mit sich selbst noch mit dem Gesagten in Widerspruch geraten, und daß zugleich die definierten Größen in der Geometrie des Systems genau den Größen entsprechen, welche wir in der Geometrie des Punktes mit den gleichen Namen bezeichnen, mit welchen bekannten Größen sie auch stets zusammenfallen, sobald das System sich auf einen Punkt reduziert. Sind aber einmal die Merkmale Größe und Richtung bestimmt, so liegt es nahe genug, die Bahn eines Systems gerade zu nennen, wenn alle ihre Elemente die gleiche Richtung haben ; und krumm, sobald ■die Richtung der Elemente sich von Lage zu Lage ändert. Als Maß der Krümmung bietet sich wie in der Geometrie des Punktes die Anderungsgeschwindigkeit der Richtung mit der Lage von selber dar. Durch diese Definitionen sind nun aber schon eine ganze Reihe von Beziehungen gegeben, und die Zahl derselben wächst, sobald die Bewegungsfreiheit des betrachteten Systems durch seine Zusammenhänge eingeschränkt ist. Insbesondere lenken alsdann gewisse Klassen von Bahnen die Aufmerksamkeit auf sich, welche sich unter den möglichen durch besondere einfache Eigenschaften auszeichnen. Hierher gehören vor allen Dingen diejenigen Bahnen, welche in jeder ihrer Lagen so wenig wie möglich gekrümmt sind, und welche wir als die geradesten Bahnen des Systems bezeichnen. Sie sind es, von welchen in dem Grundgesetz die Rede ist, und welche wir schon oben bei Anführung desselben erwähnt haben. Hierher gehören ferner diejenigen Bahnen, welche die kürzeste Verbindung zwischen irgend zweien ihrer Lagen bilden, und

welche wir als kürzeste Bahnen des Systems bezeichnen. Unter gewissen Bedingungen fallen die Begriffe der geradesten und der kürzesten Bahnen zusammen. Dies Verhältnis ist uns durch Erinnerung an die Theorie der krummen Oberflächen sogar höchst geläufig, aber allgemein und unter allen Umständen hat es gleichwohl nicht statt. Die Sammlung und Ordnung aller hier auftretenden Beziehungen gehört in die Geometrie der Punktsysteme, und die Entwickelung dieser Geometrie hat eigenen mathematischen Reiz; wir verfolgen dieselbe aber nur so weit, als es der augenblickliche Zweck der physikalischen Anwendung erfordert. Da ein System von n Punkten eine 3 n fache Mannigfaltigkeit der Bewegung darbietet, welche aber durch die Zusammenhänge des Systems auch auf jede beliebige Zahl vermindert werden kann, so entstehen viele Analogien mit der Geometrie eines mehrdimensionalen Raumes, welche zum Teil so weit gehen, daß dieselben Sätze und Bezeichnungen hier und dort Bedeutung haben können. Es ist aber in unserem Interesse zu betonen, daß diese Analogien nur formale sind, und daß trotz eines gelegentlich fremdartigen Klanges sich unsere Betrachtung ausnahmslos auf konkrete Gebilde des Raumes unserer Sinnepwelt beziehen, daß also auch alle unsere Aussagen mögliche Erfahrungen darstellen und wenn es nötig wäre, durch unmittelbare Versuche, nämlich durch Messung an Modellen bestätigt werden könnten. Den Vorwurf, daß wir beim Aufbau einer Erfahrungswissenschaft die Welt der Erfahrung verlassen, diesen Vorwurf haben wir also nicht zu fürchten. Dagegen haben wir Rede zu stehen auf die Frage, ob sich denn die Weitläufigkeit einer neuen und ungewohnten Ausdrucksweise lohne, und welchen entsprechenden Nutzen wir von der Anwendung derselben erwarten? Als Antwort nennen wir darauf als ersten Nutzen die große Einfachheit und Kürze, mit welcher sich die meisten allgemeinen und umfassenden Aussagen wiedergeben lassen. In der Tat erfordern Sätze, welche ganze Systeme behandeln, hier nicht mehr Worte und nicht mehr Begriffe, als wenn sie unter Benutzung der gewöhnlichen Ausdrucksweise in bezug auf einen einzelnen Punkt ausgesagt würden. Die Mechanik des materiellen Systems erscheint hier nicht mehr als eine Erweiterung und Verwickelung der Mechanik des einzelnen Punktes,

sondern die letztere fällt als selbständige Untersuchung fort oder tritt doch nur gelegentlich als Vereinfachung und besonderer Fall der ersteren auf. Wendet man etwa ein, diese Einfachheit sei künstlich erzeugt, so antworten wir, daß es gar keine andere Methode gebe, einfache Beziehungen zu schaffen, als die künstliche und wohlerwogene Anpassung unserer Begriffe an die darzustellenden Verhältnisse. Will man aber in jenem Vorwurf des Künstlichen den Nebensinn des Gesuchten und Unnatürlichen hervorheben, so dürfen wir dem entgegenhalten, daß man vielleicht mit mehr Recht die Betrachtung ganzer Systeme für das Natürliche und Naheliegende halten könne, als die Betrachtung einzelner Punkte. Denn in Wahrheit ist uns das materielle System unmittelbar gegeben, der einzelne Massenpunkt eine Abstraktion; alle wirkliche Erfahrung wird unmittelbar nur an Systemen gewonnen, und die an einfachen Punkten möglichen Erfahrungen sind daraus durch Verstandesschlüsse abgezogen. Als einen zweiten, allerdings nicht sehr wesentlichen Nutzen heben wir die Vorzüge der Form hervor, welche durch unsere mathematische Einkleidung dem Grundgesetz gegeben werden kann. Ohne jene Einkleidung müßten wir es zerlegen in das erste Newton sehe Gesetz und das Gauss sehe Prinzip des kleinsten Zwanges. Beide zusammen würden nun zwar genau dieselbe Tatsache darstellen, aber sie würden neben dieser Tatsache andeutungsweise noch ein wenig mehr enthalten, und dieses Mehr wäre ein Zuviel. Erstens rufen sie die unserer Mechanik fremde Vorstellung wach, daß die Zusammenhänge der materiellen Systeme doch auch gelöst werden könnten, obwohl wir dieselben als von Anbeginn an bestehende und als gänzlich unlösbare bezeichnet haben. Zweitens kann man bei Benutzung des Gauss sehen Prinzips nicht vermeiden, die Nebenvorstellung zu erwecken, daß man nicht nur eine Tatsache, sondern zugleich auch den Grund dieser Tatsache mitteilen wolle. Man kann nicht aussagen, daß die Natur eine Größe, welche man Zwang nennt, beständig so klein als möglich hält, ohne anzudeuten, daß dies geschehe, eben weil jene Größe für die Natur einen Zwang, das heißt ein Unlustgefühl bedeute. Man kann nicht aussagen, daß die Natur verfahre wie ein verständiger Rechner, der seine Beobachtung ausgleicht, ohne nahezulegen,

daß hier wie dort wohlüberlegte Absicht der Grund des Verfahrens sei. Gewiß liegt gerade ein besonderer Reiz in derartigen Seitenblicken, und dies hat Gauss selbst in gerechter Freude an seiner schönen und für unsere Mechanik grundlegenden Entdeckung hervorgehoben. Aber doch müssen wir uns gestehen, daß dieser Reiz nur ein Spiel mit dem Geheimnisvollen ist; im Ernste glauben wir selbst nicht an unser Vermögen, durch derartige Andeutungen halb schweigend das Welträtsel zu lösen, Unser eigenes Grundgesetz vermeidet solche Winke gänzlich. Indem es genau die Form des gewöhnlichen Trägheitsgesetzes annimmt, gibt es so gut wie dieses eine nackte Tatsache ohne jeden Schein einer Begründung derselben. In demselben Maße, in welchem es dadurch ärmer und ungeschmückter erscheint, in demselben Maße ist es ehrlicher und wahrer. Doch vielleicht verführt mich die Vorliebe für die kleine Abänderung, welche ich selbst an dem Gauss-schen Prinzip angebracht habe, daß ich Vorzüge in ihr er^ blicke, welche fremden Augen notwendig verborgen sind. Sicher aber wird man, denke ich, dagegen zustimmen, wenn ich als dritten Nutzen unserer Methode anführe, daß dieselbe ein helles Licht auf die von Hamilton erfundene Behandlungsweise mechanischer Probleme mit Hilfe charakteristischer Funktionen wirft. Diese Behandlungsweise hat in den sechzig Jahren ihres Bestehens Anerkennung und Ruhm genug gefunden, aber sie ist doch mehr aufgefaßt und behandelt worden wie ein neuer Seitenzweig der Mechanik, dessen Wachstum und Weiterbildung neben der gewöhnlichen Methode und unabhängig von derselben vor sich zu gehen habe. In unserer Form der mathematischen Darstellung aber trägt die Hamilton sehe Methode nicht den Charakter eines Seitenzweiges, sondern sie erscheint als die gerade, naturgemäße und sozusagen selbstverständliche Fortsetzung der elementaren Aussagen in allen den Fällen, in welchen sie überhaupt anwendbar ist. Auch das läßt unsere Darstellungsweise klar hervortreten, daß die Hamilton sehe Behandlungsweise nicht in den besonderen physikalischen Grundlagen der Mechanik ihre Wurzeln hat, wie man wohl gewöhnlich annimmt, sondern daß sie im Grunde genommen eine rein geometrische Methode ist, welche begründet und ausgebildet werden kann, ganz unabhängig von

der Mechanik, und welche mit dieser in keiner engeren Beziehung steht, als alle andere von der Mechanik benutzte geometrische Erkenntnis auch. Übrigens ist es von den Mathematikern seit lange bemerkt worden, daß die Hamilton sehe Methode rein geometrische Wahrheiten enthält und zum klaren Ausdruck derselben eine eigentümliche, ihr angepaßte Ausdrucksweise geradezu fordert. Nur ist diese Tatsache in etwas verwirrender Form zutage getreten, nämlich in den Analogien, welche man beim Verfolg der HAMiLTONschen Gedanken zwischen der gewöhnlichen Mechanik und der Geometrie eines vieldimensionalen Baumes gefunden hat. Unsere Ausdrucksweise gibt eine einfache und verständliche Erklärung dieser Analogien; sie gestattet auch die Vorteile derselben zu genießen, und sie vermeidet doch die Unnatürlichkeit, welche in der Verquickung eines Zweiges der Physik mit außersinnlichen Abstraktionen liegt.

Wir haben nunmehr unser drittes Bild der Mechanik nach Inhalt und Form so weit geschildert, als es angeht, ohne dem Buche selbst vorzugreifen; zugleich hinreichend, um es den beabsichtigten Fragen nach seiner Zulässigkeit, seiner Bichtig-keit und seiner Zweckmäßigkeit unterwerfen zu können. Was zunächst die logische Zulässigkeit des entworfenen Bildes anlangt, so denke ich, daß dieselbe selbst strengen Anforderungen genügen könne, und hoffe, daß diese Meinung der Zustimmung begegnen möge. Ich lege auf diesen Vorzug der Darstellung das größte Gewicht, ja einzig Gewicht. Ob das entworfene Bild zweckmäßiger ist als ein anderes, ob es fähig ist, alle zukünftige Erfahrung zu umfassen, ja ob es auch nur alle gegenwärtige Erfahrung umfaßt, alles dies ist mir fast nichts gegen die Frage, ob es in sich abgeschlossen, rein und widerspruchsfrei ist. Denn nicht deshalb habe ich es zu zeichnen versucht, weil die Mechanik nicht bereits für ihre Anwendungen genügend Zweckmäßigkeit zeigte, noch weil dieselbe mit der Erfahrung irgend in Widerstreit geraten wäre, sondern allein um mich von dem drückenden Gefühle zu befreien, daß ihre Elemente nicht frei seien von Dunkelheiten und Unverständlichkeiten für mich. Nicht das einzig mögliche Bild der mechanischen Vorgänge, noch auch das

beste Bild, sondern überhaupt nur ein begreifbares Bild wollte ich suchen und an einem Beispiel zeigen, daß ein solches möglich sei, und wie es etwa aussehen müsse, kommenheit ist uns freilich in jeder Richtung unerreichbar, und ich muß mir gestehen, daß trotz vieler Mühe das erlangte Bild nicht in allen Punkten von so überzeugender Klarheit ist, daß es nicht dem Zweifel ausgesetzt und der Verteidigung bedürftig wäre. Doch scheint mir von Einwänden allgemeiner Art nur ein einziger hinreichend nahe zu liegen, daß es sich lohnt, ihn vorwegzunehmen und abzuschneiden. Er betrifft die Natur der starren Verbindungen, welche wir zwischen den Massen annehmen, und welche wir auch in unserem System auf keine Weise entbehren können. Viele Physiker werden zunächst der Ansicht sein, daß mit diesen Verbindungen doch schon Kräfte in die Elemente der Mechanik eingeführt und zwar in heimlicher und deshalb unerlaubter Weise eingeführt seien. Denn — so werden sie sagen — starre Verbindungen sind nicht denkbar ohne Kräfte; starre Verbindungen können nicht auf andere Weise zustande kommen, als indem sie durch Kräfte erzwungen werden. Wir antworten darauf: Euere Behauptung ist allerdings richtig für die Denkweise der ge wohnlich enMechanik, aber sie ist nicht richtig unabhängig von dieser Denkweise; sie erscheint nicht zwingend dem Geist, welcher die Sache unbefangen und wie zum erstenmal betrachtet. Gesetzt wir finden, auf welche Weise auch immer, daß der Abstand zweier bestimmter punktförmiger Massen zu allen Zeiten und unter allen Umständen derselbe bleibt, so können wir dieser Tatsache Ausdruck verleihen, ohne andere als räumliche Vorstellungen zu benutzen, und die ausgesagte Tatsache hat als Tatsache für die Voraussicht zukünftiger Erfahrung und für alle andern Zwecke ihren Wert unabhängig von einer etwaigen Erklärung, welche wir besitzen oder nicht besitzen. Auf keinen Fall wird der Wert der Tatsache erhöht oder unser Verständnis von ihr verbessert dadurch, daß wir sie in der Form mitteilen: Zwischen jenen Massen wirke eine Kraft, welche ihren Abstand konstant hält, oder: Zwischen ihnen sei eine Kraft tätig, welche verhindert, daß sich ihr Abstand von seinem festen Wert entferne. Aber — so wird man uns wieder einwenden — wir sehen ja, daß die letztere Erklärung, obwohl scheinbar nur eine lächerliche Umschreibung,

Die Voll-

gleichwohl richtig ist. Denn alle Verbindungen der wirklichen Welt sind nur angenähert starr, und der Schein der Starrheit wird nur dadurch hervorgebracht, daß die elastischen Kräfte die kleinen Abweichungen von der Ruhelage beständig wieder vernichten. Wir antworten: Von solchen starren Verbindungen der greifbaren Körper, welche nur angenähert verwirklicht sind, wird unsere Mechanik selbstverständlich als Tatsache auch nur aussagen, daß ihnen angenähert genügt w^erde, und zu dieser Aussage, auf welche es ankommt, bedarf sie wiederum des Begriffs der Kraft nicht. Will unsere Mechanik aber in zweiter Annäherung die Abweichungen und damit die elastischen Kräfte berücksichtigen, so wird sie für diese wie für alle Kräfte eine dynamische Erklärung annehmen; bei der Suche nach den wirklich starren Verbindungen wird sie vielleicht zur Welt der Atome hinabzusteigen haben, aber diese Erörterungen sind hier nicht am Platze, sie berühren nicht mehr die Frage ob es logisch zulässig sei, feste Verbindungen unabhängig von und vor den Kräften zu behandeln. Daß diese Frage zu bejahen sei und nur dies wünschten wir zu erweisen und glauben wir erwiesen zu haben. Steht aber dies fest, so können wir aus der Natur der festen Verbindungen die Eigenschaften der Kräfte und ihr Verhalten ableiten, ohne uns damit einer petitio principii schuldig gemacht zu haben. Andere Einwände ähnlicher Art sind möglich, können aber, wie ich glaube, in ähnlicher Art erledigt werden.

Dem Wunsche, die logische Reinheit des Systems auch in allen Einzelheiten zu erweisen, habe ich dadurch Ausdruck gegeben, daß ich für die Darstellung die ältere synthetische Form benutzt habe. Diese Form bietet für jenen Zweck schon darin einen gewissen Vorteil, daß sie uns zwingt, jeder wesentlichen Aussage den beabsichtigten logischen Wert in abwechslungsarmer aber bestimmter Angabe vorauszuschicken. Dadurch werden die bequemen Vorbehalte und Vieldeutigkeiten unmöglich gemacht, zu welchen die gewöhnliche Sprache durch den Reichtum ihrer Verknüpfung verlockt. Der wichtigste Vorteil der gewählten Form ist aber dieser, daß sie stets nur auf Vorbewiesenes sich beruft, niemals auf später zu erweisendes, so daß man der ganzen Kette sicher ist, wenn man beim Vor-

Avärtsschreiten nur jedes einzelne Glied genügend prüft. In dieser Hinsicht habe ich den Pflichten dieser Art der Darstellung mit Strenge zu genügen gesucht. Im übrigen ist es selbstverständlich, daß die Form allein vor Irrtum und Übersehen keinen Schutz gewähren kann, und bitte ich etwa eingeflossene Fehler nicht um des etwas anspruchsvollen Vortrags willen strenger zu beurteilen. Ich hoffe, solche Fehler werden stets verbesserungsfähig sein und daher keinen wesentlichen Punkt betreffen. Bisweilen bin ich übrigens bewußterweise zur Vermeidung allzu großer Weitläufigkeit hinter der vollen Schärfe zurückgeblieben, welche die Darstellungsweise eigentlich fordert. Es bedarf keiner besonderen Begründung, daß ich den Betrachtungen der eigentlichen Mechanik, welche von physikalischer Erfahrung abhängt, diejenigen Beziehungen vorausgeschickt habe, welche allein Folge der gewählten Definitionen und mathematischer Notwendigkeit sind, und welche, wenn überhaupt, so doch jedenfalls in anderm Sinne als jene mit der Erfahrung Zusammenhängen. Nichts hindert übrigens den Leser, mit dem zweiten Buche zu beginnen. Die durchsichtige Analogie mit der Mechanik des einzelnen Punktes und der bekannte Stoff werden ihn den Sinn der vorgetragenen Sätze leicht erraten lassen. Hat er der benutzten Redeweise Zweckmäßigkeit zugebilligt, so ist immer noch Zeit, daß er sich aus dem ersten Buche von ihrer Zulässigkeit überzeuge.

Wenden Avir uns jetzt der zweiten wesentlichen Forderung zu, welcher unser Bild zu genügen hat, so ist es zunächst unzAveifelhaft, daß das System sehr viele natürliche BeAvegungen richtig darstellt. Allein nach den Ansprüchen des Systems genügt dies nicht; es muß als notwendige Ergänzung die Behauptung dahin erweitert werden, daß das System alle natürlichen Bewegungen ohne Ausnahme umfasse. Auch dies kann man, denke ich, behaupten, wenigstens in dem Sinne, daß sich zurzeit keine bestimmten Erscheinungen angeben lassen, welche dem System naclrweislich widersprächen. Es ist freilich klar, daß die Ausdehnung auf alle Erscheinungen einer scharfen Prüfung nicht zugänglich ist, daß daher das System über das Ergebnis sicherer Erfahrung ein wenig hinausgeht und also den Charakter einer Hypothese trägt, welche ver-

suchsweise angenommen wird und auf plötzliche Widerlegung durch ein einziges Beispiel oder allmähliche Bestätigung durch sehr viele Beispiele wartet. Vornehmlich sind es zwei Stellen, an welchen ein Hinausgehen über sichere Erfahrung stattfindet: Die eine betrifft unsere Beschränkung der möglichen Zusammenhänge, die andere betrifft die dynamische Erklärung der Kräfte. Mit welchem Rechte können wir versichern, daß alle Zusammenhänge der Natur durch lineare Differentialgleichungen erster Ordnung sich ausdrücken lassen? Diese Annahme ist für uns nicht eine nebensächliche, welche wir auch fallen lassen könnten; mit ihr fiele unsere Mechanik; denn es fragt sich, ob auf Verbindungen allgemeinster Art unser Grundgesetz anwendbar bliebe. Und doch sind Verbindungen allgemeinerer Art nicht nur vorstellbar, sie werden auch in der gewöhnlichen Mechanik ohne Bedenken zugelassen. Dort hindert uns nichts, die Bewegung eines Punktes zu untersuchen, dessen Bahn der einzigen Beschränkung unterworfen ist, daß sie mit einer gegebenen Ebene einen gegebenen Winkel bilde, oder daß ihr Krümmungshalbmesser beständig einer gegebenen anderen Länge proportional sei. Diese Bedingungen fallen schon nicht mehr unter diejenigen, welche unsere Mechanik zuläßt. Woher nehmen wir aber die Gewißheit, daß sie auch durch die Natur der Dinge ausgeschlossen seien? Wir können erwidern, daß man vergeblich versuche, diese und ähnliche Verbindungen durch ausführbare Mechanismen zu verwirklichen, und wir können uns in dieser Ansicht auf die gewaltige Autorität yon Helmholtzs berufen. Aber in jedem Beispiel können Möglichkeiten übersehen worden sein, und noch so viele Beispiele würden nicht hinreichen, die allgemeine Behauptung zu erweisen. Mit mehr Recht können wir, wie mir scheint, als Grund unserer Überzeugung anführen, daß alle Verbindungen eines Systems, welche aus dem Rahmen unserer Mechanik heraustreten, in dem einen oder in dem andern Sinne eine unstetige Aneinanderreihung seiner möglichen Bewegungen bedeuten würden, daß es aber in der Tat eine Erfahrung allgemeinster Art sei, daß die Natur im Unendlichkleinen überall und in jedem Sinne Stetigkeit aufweise, eine Erfahrung, die sich in dem alten Satze „natura non facit saltus“ zu fester Überzeugung verdichtet hat. Ich habe des-

halb auch im Texte Wert darauf gelegt, die zugelassenen Verbindungen allein durch ihre Stetigkeit zu definieren, und ihre Eigenschaft,’ sich durch Gleichungen bestimmter Form darstellen zu lassen, erst aus jener abzuleiten. Eigentliche Sicherheit wird indessen auch so nicht erlangt. Denn die Unbestimmtheit jenes alten Satzes läßt es zweifelhaft erscheinen, ob die Grenzen seiner berechtigten Tragweite hinreichend feststehen, und wieweit er überhaupt das Ergebnis wirklicher Erfahrung, wieweit das Ergebnis willkürlicher Voraussetzung ist. Am gewissenhaftesten wird es daher sein, zuzugeben, daß unsere Annahme über die zulässigen Verbindungen den Charakter einer versuchsweise angenommenen Hypothese trage. Ganz ähnlich liegen die Dinge in betreff der dynamischen Erklärung der Kräfte. Wir können allerdings zeigen, daß gewisse Klassen verborgener Bewegungen Kräfte erzeugen, welche, wie die Fernkräfte der Natur, sich mit beliebiger Annäherung als Ableitungen von Kräftefunktionen darstellen lassen. Es stellt sich auch heraus, daß die Formen dieser Kräftefunktionen sehr allgemeiner Natur sein können, und wir leiten in der Tat gar keine Einschränkungen derselben ab. Aber auf der anderen Seite bleiben wir auch den Beweis schuldig, daß sich jede beliebige Form der Kräftefunktionen erzielen läßt, und es bleibt daher die Frage offen, ob nicht etwa gerade eine der in der Natur vorkommenden Formen einer solchen Erklärungsweise sich entzieht. Es bleibt auch hier abzuwarten, ob die Zeit unsere Annahme widerlegen oder durch das Ausbleiben einer Widerlegung mehr und mehr wahrscheinlich machen wird. Ein gutes Vorzeichen können wir darin sehen, daß die Ansicht vieler ausgezeichneter Physiker sich der Hypothese immer mehr zuneigt. Ich erinnere nochmals an die Wirbeltheorie der Atome von Lord Kelvin, welche uns ein Bild des materiellen Weltganzen vorführt, wie es mit den Prinzipien unserer Mechanik in vollem Einklänge ist. Und doch verlangt unsere Mechanik keineswegs eine so große Einfachheit und Beschränkung der Voraussetzungen, wie sie sich Lord Kelvin auferlegt hat. Wir würden unsere Grundsätze noch nicht verlassen, wenn wir annähmen, daß die Wirbel um starre oder um biegsame, aber unausdehnbare Kerne kreisten, und auch das welterfüllende Medium könnten wir anstatt der bloßen Inkom-

pressibilität viel verwickelteren Bedingungen unterwerfen, deren allgemeinste Form noch zu untersuchen wäre. Es erscheint also keineswegs ausgeschlossen, daß wir mit den von unserer Mechanik zugelassenen Hypothesen zur Erklärung der Erscheinungen auch ausreichen.

Einen Vorbehalt müssen wir indessen hier einschalten. Es ist gewiß eine gerechtfertigte Vorsicht, wenn wir im Texte das Gebiet unserer Mechanik ausdrücklich beschränken auf die unbelebte Natur und die Frage vollkommen offen lassen, wie weit sich ihre Gesetze darüber hinaus erstrecken. In Wahrheit liegt die Sache ja so, daß wir weder behaupten können, daß die inneren Vorgänge der Lebewesen denselben Gesetzen folgen, wie die Bewegungen der leblosen Körper, noch auch behaupten können, daß sie anderen Gesetzen folgen. Der Anschein aber und die gewöhnliche Meinung spricht für einen grundsätzlichen Unterschied. Und dasselbe Gefühl, welches uns antreibt, aus der Mechanik der leblosen Welt jede Andeutung einer Absicht, einer Empfindung, der Lust und des Schmerzes, als fremdartig auszuscheiden, dasselbe Gefühl läßt uns Bedenken tragen, unser Bild der belebten Welt dieser reicheren und bunteren Vorstellungen zu berauben. Unser Grundgesetz, vielleicht ausreichend die Bewegung der toten Materie darzustellen, erscheint wenigstens der flüchtigen Schätzung zu einfach und zu beschränkt, um die Mannigfaltigkeit selbst des niedrigsten Lebensvorganges wiederzugeben. Daß dem so ist, scheint mir nicht ein Nachteil, sondern eher ein Vorzug unseres Gesetzes. Eben weil es uns gestattet das Ganze der Mechanik umfassend zu überblicken, zeigt es uns auch die Grenzen dieses Ganzen. Eben weil es uns nur eine Tatsache gibt, ohne derselben den Schein der Notwendigkeit beizulegen, läßt es uns erkennen, daß alles auch anders sein könnte. Vielleicht wird man solche Erörterungen an dieser Stelle für überflüssig halten. In der Tat ist man auch nicht gewöhnt, sie in der gewöhnlichen Darstellung der Mechanik bei den Elementen behandelt zu sehen. Aber dort gewährt die völlige Unbestimmtheit der eingeführten Kräfte noch einen weiten Spielraum. Man behält sich stillschweigend vor, später etwa einen Gegensatz zwischen den Kräften der belebten und

der unbelebten Natur festzustellen. In unserer Darstellung ist das betrachtete Bild von vornherein so scharf Umrissen, daß sich nachträglich kaum mehr tief eingreifende Einteilungen werden vornehmen lassen. Wollen wir daher die aufgeworfene Frage nicht überhaupt ignorieren, so müssen wir gleich im Eingang Stellung zu derselben nehmen.

Über die Zweckmäßigkeit unseres dritten Bildes können wir uns ziemlich kurz fassen. Wir können aussagen, daß dieselbe, wie der Inhalt des Buches zeigen soll, nach Deutlichkeit und Einfachheit etwa derjenigen gleichkommt, welche wir dem zweiten Bilde zusprachen, und daß wir dieselben Vorzüge, welche wir dort rühmten, auch hier hervorheben können. Allerdings ist der Umkreis der zugelassenen Möglichkeiten hier nicht ganz so eng gezogen wie dort, da diejenigen starren Verbindungen, deren Fehlen wir dort hervorhoben, hier durch die Grundannahmen nicht ausgeschlossen sind. Aber diese Erweiterung entspricht der Natur und ist daher ein Vorzug; auch hindert sie nicht, die allgemeinen Eigenschaften der natürlichen Kräfte herzuleiten, in welchen die Bedeutung des zweiten Bildes lag. Einfachheit besteht hier wie dort zunächst im Sinne der physikalischen Anwendung. Auch hier können wir unsere Betrachtung auf beliebige der Beobachtung zugängliche Merkmale der materiellen Systeme beschränken, und aus ihren vergangenen Veränderungen durch Anwendung des Grundgesetzes die zukünftigen ableiten, ohne daß wir nötig hätten, die Lagen aller Einzelmassen des Systems zu kennen, und ohne daß wir nötig hätten, diese Unkenntnis durch willkürliche, einflußlose und wahrscheinlich falsche Hypothesen zu überdecken und zu bemänteln. Im Gegensatz zum zweiten Bilde besitzt aber unser drittes Einfachheit auch in dem Sinne, daß sich seine Vorstellungen der Natur so anschmiegen, daß die wesentlichen Beziehungen der Natur durch einfache Beziehungen zwischen den Begriffen wiedergegeben werden. Das zeigt sich nicht nur im Grundgesetze selbst, sondern auch in den zahlreichen allgemeinen Folgerungen desselben, welche den sogenannten Prinzipien der Mechanik entsprechen. Es muß allerdings zugegeben werden, daß diese Einfachheit nur eintritt, so lange wir es

mit vollständig bekannten Systemen zu tun haben, und daß sie wieder verschwindet, sobald verborgene Massen sich ein-mischen. Aber in diesen Fällen liegt dann auch der Grund der Verwickelung klar auf der Hand; wir verstehen, daß der Verlust der Einfacheit nicht in der Natur, sondern in unserer mangelhaften Kenntnis derselben beruht; wir begreifen, daß die eintretenden Komplikationen nicht allein eine mögliche, sondern die notwendige Folge unserer besonderen Voraussetzungen sind. Auch das muß zugegeben werden, daß die Mitwirkung verborgener Massen, welche vom Standpunkte unserer Mechanik aus der entlegene und besondere Fall ist, daß diese Mitwirkung gerade der gewöhnliche Fall der Probleme des täglichen Lebens und der Technik ist. Daher ist es auch nützlich, hier nochmals zu betonen, daß wir von einer Zweckmäßigkeit überhaupt nur geredet haben in einem besonderen Sinne, nämlich im Sinne eines Geistes, welcher ohne Rücksicht auf die zufällige Stellung des Menschen in der Natur das Ganze unserer physikalischen Erkenntnis objektiv zu umfassen und in einfacher Weise darzustellen sucht; daß wir aber keineswegs redeten von einer Zweckmäßigkeit im Sinne der praktischen Anwendung und der Bedürfnisse des Menschen. In betreff dieser letzteren kann die für sie ausdrücklich erdachte gewöhnliche Darstellung der Mechanik wohl niemals durch eine zweckmäßigere ersetzt werden. Zu dieser Darstellung verhält sich die von uns hier vorgeführte etwa wie die systematische Grammatik einer Sprache zu einer Grammatik, welche den Lernenden möglichst bald erlauben soll, sich über die Notwendigkeiten des täglichen Lebens zu verständigen. Man weiß, wie verschieden die Anforderungen an beide sind, und wie verschieden ihre Anordnungen ausfallen müssen, wenn beide ihrem Zweck so genau wie möglich entsprechen sollen.

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Einleitung.

Blicken wir zum Schlüsse noch einmal zurück auf die drei Bilder der Mechanik, welche wir vorgeführt haben und suchen wir einen letzten und endgültigen Vergleich zwischen ihnen anzustellen. Das zweite Bild lassen wir nach dem, was wir gesagt haben, fallen. Das erste und dritte Bild wollen wir gleichstellen in bezug auf die Zulässigkeit, indem wir annehmen, daß dem ersten Bilde eine in logischer Hinsicht vollständig befriedigende Gestalt gegeben sei, wie wir angenommen haben, daß sie gegeben werden könne. Wir wollen beide Bilder auch gleichstellen in bezug auf die Zweckmäßigkeit, indem wir annehmen, daß man das erste Bild durch geeignete Zusätze ergänzt habe und indem wir annehmen, daß die nach verschiedener Richtung gehenden Vorzüge einander das Gleichgewicht halten. Dann bleibt als einziger Wertmaßstab die Richtigkeit der Bilder, welche durch die Gewalt der Dinge bestimmt ist, und welche nicht in unserer Willkür liegt. Und hier machen wir nun die wichtige Bemerkung, daß nur das eine oder das andere jener Bilder, nicht aber beide gleichzeitig richtig sein können. Denn suchen wir die wesentlichen Beziehungen beider Darstellungen auf ihren kürzesten Ausdruck zu bringen, so können wir sagen: Das erste Bild nehme als letzte konstante Elemente in der Natur die relativen Beschleunigungen der Massen gegeneinander an, aus diesen leite sie gelegentlich angenähert, aber auch nur angenähert feste Verhältnisse zwischen den Lagen ab. Das dritte Bild aber nehme als die streng veränderlichen Elemente der Natur feste Verhältnisse zwischen den Lagen an, aus diesen leite sie, wo die Erscheinungen es erfordern, angenähert, aber auch nur angenähert unveränderliche relative Beschleunigungen zwischen den Massen her. Könnten wir nun die Bewegungen der Natur nur genau genug erkennen, so wüßten wir sogleich, ob in ihnen die relative Beschleunigung oder ob die relativen Lagenverhältnisse der Massen oder ob beide nur angenähert unveränderlich sind. Wir wüßten dann auch sogleich, welche von unseren beiden Annahmen falsch ist oder ob beide falsch sind, denn richtig können nicht beide gleichzeitig sein. Die größte Einfachheit steht auf seiten des dritten Bildes. Was uns zwingt, gleichwohl zunächst zugunsten des ersten zu entscheiden, ist der Umstand, daß wir wirklich in den Fernkräften relative Beschleunigungen aufweisen können, welche bis an die Grenze unserer Beobachtung unveränderlich scheinen, während alle festen Verbindungen zwischen den Lagen der greifbaren Körper schon innerhalb der Wahrnehmung unserer Sinne sich schnell nur angenähert als konstant erweisen. Aber dies Verhältnis ändert sich zugunsten des dritten Bildes sobald die verfeinerte Erkenntnis uns etwa zeigt, daß die Annahme unveränderlicher Fernkräfte nur eine erste Annäherung an die Wahrheit liefert, welcher Fall in dem Gebiete der elektrischen und magnetischen Kräfte bereits eingetreten ist. Und die Wage schlägt vollends über zugunsten des dritten Bildes, sobald eine zweite Annäherung an die Wahrheit dadurch erzielt werden kann, daß man die vermeintliche Wirkung der Fernkräfte zurückführt auf Bewegungsvorgänge in einem raumerfüllenden Mittel, dessen kleinste Teile starren Verbindungen unterliegen, ein Fall, der gleichfalls in dem erwähnten Gebiete nahezu verwirklicht erscheint. Hier also liegt dąs Feld, auf welchem auch der Entscheidungskampf zwischen den verschiedenen von uns betrachteten Grundannahmen der Mechanik ausgefochten werden muß. Die Entscheidung selbst aber setzt voraus, daß vorher die vorhandenen Möglichkeiten nach allen Dichtungen hin gründlich erwogen seien. Sie nach einer besonderen Richtung zu entwickeln, ist der Zweck der vorliegenden Arbeit. Diese Arbeit ist also notwendig gewesen, auch wenn es noch lange dauern sollte, bis eine Entscheidung möglich ist, und auch dann, wenn diese Entscheidung schließlich zuungunsten des hier ausführlich entwickelten Bildes ausfallen sollte.

Hertz, Mechanik. 2. Aufl.

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ERSTES BUCH.

ZUR GEOMETRIE UND KINEMATIK DER MATERIELLEN SYSTEME.

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Vorbemerkung. Den Überlegungen des ersten Buches 1 bleibt die Erfahrung völlig fremd. Alle vorgetragenen Aussagen sind Urteile a priori im Sinne Kants. Sie beruhen auf den Gesetzen der inneren Anschauung und den Formen der eigenen Logik des Aussagenden und haben mit der äußeren Erfahrung desselben keinen anderen Zusammenhang, als ihn diese Anschauungen und Formen etwa haben.

Abschnitt 1. Zeit, Raum, Masse.

Erläuterung. Die Zeit des ersten Buches ist die Zeit 2 unserer inneren Anschauung. Sie ist daher eine Größe, von deren Änderung die Änderungen der übrigen betrachteten Größen abhängig gedacht werden können, während sie selbst stets unabhängig veränderlich ist.

Der Raum des ersten Buches ist der Raum unserer Vorstellung. Er ist also der Raum der Euklid sehen Geometrie mit allen Eigenschaften, welche diese Geometrie ihm zuspricht.

Es ist gleichgültig für uns, ob man diese Eigenschaften ansieht als gegeben durch die Gesetze der inneren Anschauung, oder als denknotwendige Folgen willkürlicher Definitionen.

Die Masse des ersten Buches wird eingeführt durch eine Definition.

Definition 1. Ein Massenteilchen ist ein Merkmal, durch welches wir einen bestimmten Punkt des Paumes zu einer gegebenen Zeit eindeutig zuordnen einem bestimmten Punkte des Raumes zu jeder anderen Zeit.

Jedes Massenteilchen ist unveränderlich und unzerstörbar. Die durch dasselbe Massenteilchen gekennzeichneten Punkte des Raumes zu zwei verschiedenen Zeiten fallen zusammen, wenn die Zeiten zusammenfallen. Diese Bestimmungen sind bereits in der Definition enthalten, wenn deren Wortlaut richtig gefaßt wird.

Definition 2. Die Zahl der Massenteilchen in einem beliebigen Raume, verglichen mit der Zahl der Massenteilchen,, welche sich in einem festgesetzten Raume zu festgesetzter Zeit finden, heißt die in dem ersteren Raume enthaltene Masse.

Die Zahl der Massenteilchen in dem Vergleichsraume kann und soll unendlich groß gewählt werden. Die Masse des einzelnen Massenteilchens wird alsdann nach der Definition unendlich klein. Die Masse in einem beliebigen Raume kann daher jedem rationalen und irrationalen Wert annehmen.

Definition 3. Eine endliche oder unendlich kleine Masse, vorgestellt in einem unendlich kleinen Raume, heißt ein materieller Punkt.

Ein materieller Punkt besteht also aus einer beliebigen Anzahl miteinander verbundener Massenteilchen. Diese Zahl soll stets unendlich groß sein, was dadurch erreicht werden kann, daß wir uns die Massenteilchen von höherer Ordnung unendlich klein denken, als die etwa betrachteten materiellen Punkte von verschwindender Masse. Die Massen der materiellen Punkte, insbesondere auch die Massen der unendlich kleinen materiellen Punkte können darnach in jedem beliebigen rationalen oder irrationalen Verhältnis zueinander stehen.

Definition 4. Eine Anzahl gleichzeitig betrachteter materieller Punkte heißt ein System materieller Punkte, oder kurz ein System. Die Summe der Massen der einzelnen Punkte ist nach 4 die Masse des Systems.

Ein endliches System besteht also aus einer endlichen Zahl endlicher oder aus einer unendlichen Anzahl unendlich

kleiner materieller Punkte oder aus beiden. Stets ist es erlaubt, das System materieller Punkte anzusehen als zusammengesetzt aus einer unendlichen Anzahl von Massenteilchen.

Anmerkung 1. Im folgenden werden wir das endliche System stets behandeln als bestehend aus einer endlichen Zahl endlicher materieller Punkte. Da wir aber keine obere Grenze festsetzen für die Zahl derselben und keine untere für ihre Masse, so umfassen unsere allgemeinen Aussagen als besonderen Fall auch den Fall, daß das System unendlich viele unendlich kleine materielle Punkte enthält. Auf die Besonderheiten, welche die analytische Behandlung dieses Falles nötig macht, werden wir indessen nicht eingehen.

Anmerkung 2. Der materielle Punkt kann angesehen 8 werden als ein besonderer Fall und als das einfachste Beispiel eines Systems materieller Punkte.

Abschnitt 2. Lagen und Verrückungen der Punkte und Systeme.

Lage.

Definition 1. Der Punkt des Baumes, welcher durch ein gewisses Massenteilchen zu einer gewissen Zeit gekennzeichnet ist, wird die Lage des Massenteilchens zu jener Zeit genannt. Lage eines materiellen Punktes heißt die gemeinsame Lage seiner Massenteilchen.

Definition 2.

Die gleichzeitig vorgestellte Gesamtheit 10 der Lagen aller Punkte eines Systems heißt die Lage des Systems.

Definition 3.

Jede beliebige Lage eines materiellen u Punktes im unendlichen Raume heißt eine geometrisch denk-

bare oder kurz eine denkbare Lage des Punktes. Die Gesamtheit irgendwelcher denkbaren Lagen der Punkte eines Systems heißt eine denkbare Lage des Systems.

Zu einer jeden Zeit können sieb unterscheiden zwei Massenteilchen durch ihre Lage, zwei materielle Punkte durch ihre Masse und ihre Lage, zwei Systeme materieller Punkte durch Zahl, Masse und Lage ihrer Punkte. Nach anderen Richtungen als diesen aber können sich auf Grund unserer bisherigen Definitionen Massenteilchen, materielle Punkte, Systeme materieller Punkte nicht unterscheiden.

12

Analytische Darstellung der Lage. a) des Punktes. Die Lage eines materiellen Punkes kann analytisch dargestellt werden durch die Angabe der drei rechtwinklig-geradlinigen cartesischen Koordinaten desselben in bezug auf ein ruhendes, festes Achsensystem. Diese Koordinaten sollen dauernd mit x₂ x₃ bezeichnet werden. Jeder denkbaren Lage des Punktes entspricht ein eindeutig bestimmtes Wertsystem dieser Koordinaten, und umgekehrt jedem willkürlich gewählten Wertsystem der Koordinaten eine eindeutig bestimmte denkbare Lage des Punktes.

Anstatt durch seine rechtwinkligen Koordinaten kann die Lage eines Punktes auch bestimmt werden durch irgendwelche r Größen p₁.. ,pQ.. ,pr, sobald durch Übereinkunft bestimmte Wertsysteme dieser Größen bestimmten Lagen stetig zugeordnet sind und umgekehrt. Die rechtwinkligen Koordinaten sind alsdann Funktionen dieser Größen, und umgekehrt. Die Größen pQ bezeichnen wir als allgemeine Koordinaten des Punktes. Ist r > 3, so müssen zwischen den pe aus geometrischen Gründen r — 3 Gleichungen bestehen, welche gestatten, die pe als Funktionen dreier unabhängiger Größen, z. B. der x\ v2 x3 > darzustellen. Es soll indessen eine Abhängigkeit der Koordinaten voneinander aus rein geometrischen Gründen ausgeschlossen sein, und deshalb stets vorausgesetzt werden, daß r ^ 3 sei. Ist r < 3, so werden nicht alle denkbaren Lagen des Punktes durch Wertsysteme der pe dargestellt, sondern nur ein Teil derselben. Die durch die ps nicht dargestellten Lagen sollen bei Benutzung der pQ dadurch selbst als von der Betrachtung ausgeschlossen gelten.

Analytische Darstellung, b) des Systems. Die Lage 13 eines Systems von n materiellen Punkten kann analytisch dargestellt werden durch Angabe der 3 n rechtwinkligen Koordinaten der Punkte des Systems. Diese Koordinaten sollen dauernd bezeichnet werden mit xi... xv... .r₃„, wobei x₁xtx3 die Koordinaten des ersten Punktes, 23^-2xSfl_i xS/ii die entsprechend gerichteten Koordinaten des ,aten Punktes bedeuten mögen. Diese 3 n Koordinaten xv bezeichnen wir auch kurz als die rechtwinkligen Koordinaten des Systems. Jeder denkbaren Lage des Systems entspricht ein eindeutig bestimmtes Wertsystem seiner rechtwinkligen Koordinaten, und umgekehrt jedem willkürlich gewählten Wertsystem der xv eine eindeutig bestimmte denkbare Lage des Systems.

Anstatt durch die rechtwinkligen Koordinaten können wir die Lage eines Systems auch bestimmen durch irgendwelche r Größen px.. ,pe.. ,pr, sobald durch Übereinkunft bestimmte Wertsysteme dieser Größen bestimmten Lagen stetig zugeordnet sind, und umgekehrt. Die rechtwinkligen Koordinaten sind dadurch Funktionen dieser Größen, und umgekehrt. Die Größen pe bezeichnen wir als allgemeine Koordinaten des Systems. Ist r>3rc, so müssen zwischen den pe aus geometrischen Gründen r—3 n Gleichungen bestehen. Wir wollen indessen ausschließen, daß zwischen den Koordinaten aus rein geometrischen Gründen eine Abhängigkeit bestehe, und es sei daher stets 3w. Ist r<3n, so werden nicht alle denkbaren Lagen des Systems durch Wertsysteme der pQ dargestellt, sondern nur ein Teil derselben. Die durch die ps nicht dargestellten Lagen sollen bei Benutzung der Koordinaten p₀ dadurch selbst als von der Betrachtung ausgeschlossen gelten.

Konfiguration und absolute Lage.

Definition 1. Die Gesamtheit der gegenseitigen Lagen der 1J Punkte eines Systems heißt die Konfiguration des Systems.

Die Konfiguration des Systems und die absolute Lage der Konfiguration im Räume bestimmen zusammen die Lage des Systems.

Definition 2. Konfigurationskoordinate nennen wir jede Koordinate des Systems, deren Wert nicht geändert werden kann, ohne daß dadurch die Konfiguration des Systems sich änderte.

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Ob eine bestimmte Koordinate Konfigurationskoordinate ist oder nicht, hängt also nicht ab von der Wahl der übrigen gleichzeitig benutzten Koordinaten.

Definition 3. Koordinate der absoluten Lage heißt jede Koordinate des Systems, durch deren Änderung die Konfiguration nicht geändert werden kann, solange die übrigen Koordinaten des Systems sich nicht ändern.

Ob eine bestimmte Koordinate Koordinate der absoluten Lage ist oder nicht, hängt also ab von der Wahl der übrigen gleichzeitig benutzten Koordinaten.

Folgerungen.

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1. Eine Koordinate kann nicht zugleich Konfigurationskoordinate und Koordinate der absoluten Lage sein. Dagegen kann und wird im allgemeinen eine beliebig herausgegriffene Koordinate weder Konfigurationskoordinate noch auch Koordinate der absoluten Lage sein.

2. Sobald n > 3, können 3 n voneinander unabhängige Koordinaten aller Lagen auf mannigfaltige Art so gewählt werden, daß sich unter ihnen bis zu 3n—6 Konfigurationskoordinaten finden, aber auf keine Weise so, daß sich mehr als 3 n — 6 Konfigurationskoordinaten unter ihnen finden.

Denn wählen wir unter die Koordinaten die 3 Abstände dreier beliebiger Punkte des Systems voneinander und die 3(w—3) Abstände der übrigen von jenen, so haben wir bereits 3n — 6 Konfigurationskoordinaten, und je 3 n — 6 verschiedene Funktionen jener Abstände werden ebenfalls 3 n—6 Konfigurationskoordinaten des Systems sein. Weniger Konfigurationskoordinaten können vorhanden sein; denn es sind z. B. gar keine vorhanden, wenn wir die 3n rechtwinkligen Koordinaten benutzen. Mehr Konfigurationskoordinaten aber können sich unter unabhängigen Koordinaten nicht finden;

denn wären unter beliebigen Koordinaten mehr als 3 n — 6 Konfigurationskoordinaten vorhanden, so ließen sich die letzteren als Funktionen jener 3n — 6 Abstände darstellen, wären also nicht voneinander unabhängig.

3.    Sobald n > 3, können 3 n unabhängige Koordinaten 19 aller denkbaren Lagen eines Systems auf mannigfaltige Art

so gewählt werden, daß sich unter ihnen bis zu 6, aber nicht mehr als 6 Koordinaten der absoluten Lage finden.

Denn wählen wir die Koordinaten so, daß sich unter ihnen 3n — 6 Konfigurationskoordinaten finden, und fügen hinzu 6 beliebige Koordinaten, etwa 6 der rechtwinkligen Koordinaten des Systems, so sind die letzteren eo ipso Koordinaten der absoluten Lage, da keine Änderung derselben die Konfiguration ändert, solange die übrigen festgehalten werden. Weniger als 6 Koordinaten der absoluten Lage können vorhanden sein; denn es sind z. B. keine vorhanden, wenn wir die rechtwinkligen Koordinaten des Systems benutzen. Mehr als 6 aber können nicht vorhanden sein; denn wären für eine bestimmte Wahl der Koordinaten mehr vorhanden, so wären alle denkbaren Konfigurationen bestimmt durch die übrigen weniger als 3n — 6 Koordinaten, es ließen sich also für das System überhaupt nicht 3 n — 6 voneinander unabhängige Konfigurationskoordinaten angeben, was gegen Folgerung 2 wäre.

4.    Sind 3 n unabhängige Koordinaten eines Systems 20 von n Punkten so gewählt, daß sich unter ihnen 3 n — 6 Konfigurationskoordinaten finden, so sind die übrigen 6 notwendig Koordinaten der absoluten Lage. Sind jene 3 n Koordinaten

so gewählt, daß sich unter ihnen 6 Koordinaten der absoluten Lage finden, so sind die übrigen 3n — 6 notwendig Konfigurationskoordinaten.

Denn fände sich unter den letzteren 3 n — 6 Koordinaten auch nur eine, welche geändert werden könnte ohne die Konfiguration zu ändern, so wäre die absolute Lage der Konfiguration bestimmt durch mehr als 6 unabhängige Koordinaten, was nicht möglich ist.

5.    Als Koordinate der absoluten Lage kann jede Größe 21 benutzt werden, deren Änderung eine Änderung in der Lage

des Systems zur Folge hat, und welche nicht eine Konfigurationskoordinate ist. Sechs beliebige Größen, welche diese Eigenschaften besitzen und voneinander unabhängig sind, können als Koordinaten der absoluten Lage gewählt werden und werden zu Koordinaten der absoluten Lage dadurch, daß ihnen keine anderen Größen als Koordinaten hinzugefügt werden, als solche, welche die Eigenschaft von Konfigurationskoordinaten haben.

Endliche Verrückungen.

a) der Punkte.

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23

Definition 1. Den Übergang eines materiellen Punktes aus einer Anfangslage in eine Endlage ohne Rücksicht auf die Zeit und die Art des Überganges nennen wir eine Verrückung des Punktes aus der Anfangs- in die Endlage.

Die Verrückung eines Punktes ist also vollständig bestimmt durch ihre Anfangs- und ihre Endlage. Sie ist ebenfalls vollständig gegeben durch ihre Anfangslage, ihre Richtung und ihre Größe.

Anmerkung 1. Die Größe der Verrückung eines Punktes ist gleich der Entfernung seiner Endlage von seiner Anfangslage. Sind die xv die rechtwinkligen Koordinaten der Anfangslage, die x'v die rechtwinkligen Koordinaten der Endlage, so ist die Größe s' der Verrückung die positive Wurzel der Gleichung:

8 ² =2” {xv~-Xv)² • 1

Anmerkung 2. Die Richtung einer Verrückung ist die Richtung einer Geraden, welche von der Anfangslage der Verrückung zu ihrer Endlage gezogen wird. Haben s, xv, xv die Bedeutung wie vorher, und sind die x°v, xÿ, s" die Koordinaten der Anfangs-, der Endlage und die Länge einer zweiten

Verrückung, so ist der Winkel oder Richtungsunterschied s\s" beider Verrückungen gegeben durch die Gleichung:

a)

Ss' cos s's" =    (x'v—x„) {xl—xl)

Denn die Betrachtung des Dreiecks aus den beiden Längen s und s" als Seiten, und dem Winkel s's" als eingeschlossenem Winkel liefert uns die Gleichung:

8* + S"²

— 2ss"coss',s" =    [(v'v—Xp) — (xp—xl)]²    ,

i

b)

aus welcher zusammen mit 28 Gleichung a) folgt.

Definition 2. Zwei Verrückungen eines Punktes heißen 25 identisch, wenn sie Anfangs- und Endlage gemein haben ; zwei Verrückungen eines Punktes heißen gleich, wenn sie Richtung und Größe gemein haben; zwei Verrückungen heißen gleichgerichtet oder parallel, wenn sie die Richtung gemein haben.

xk die k gerad- 26

x'k die Koordinaten eines

Zwischenbemerkung. Bezeichnen xx linigen, rechtwinkligen Koordinaten eines Punktes in einem Raum von k Dimensionen, x[ zweiten Punktes, so erweitert die an dieser Stelle eingeschaltete Fortsetzung, daß die Entfernung beider Punkte die positive Wurzel der Gleichung

sei, den ganzen folgenden Inhalt der Untersuchung und damit die ganze Mechanik auf den Raum von k Dimensionen, ohne daß eine Änderung auch nur des Wortlautes nötig wäre, von Nebendingen abgesehen. Doch soll von dieser Bemerkung kein Gebrauch gemacht werden, sondern es soll gemäß der ersten Fortsetzung stets nur von dem Raum der Euklid sehen Geometrie die Rede sein.

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28

29

30

31

b) der Systeme.

Der Übergang eines Systems materieller Punkte aus einer Anfangslage in eine Endlage ohne Rücksicht auf die Zeit und ohne Rücksicht auf die Art des Überganges heißt eine Verrückung des Systems aus der Anfangs- in die Endlage.

Definition.

Die Verrückung eines Systems ist also vollständig gegeben durch ihre Anfangs- und ihre Endlage. Sie ist ebenfalls vollständig bestimmt, wenn ihre Anfangslage und diejenigen Merkmale gegeben sind, welche wir als ihre Richtung und Größe bezeichnen.

Hilfsbezeichnung. Quadratischen Mittelwert einer Reihe von Größen nennen wir die positive Quadratwurzel des arithmetischen Mittelwertes der Quadrate der einzelnen Größen.

Definition a. Größe der Verrückung eines Systems heißt der quadratische Mittelwert aus der Größe der Verrückungen seiner sämtlichen Massenteilchen.

Die Größe der Verrückung, welche eine Lage eines Systems in eine andere überführt, heißt auch die Entfernung oder der Abstand beider Lagen voneinander. Die Größe einer Verrückung wird auch als die Länge derselben bezeichnet.

Bemerkung. Die Entfernung zweier Lägen eines Systems voneinander ist unabhängig definiert von der Form der analytischen Darstellung, insbesondere von der Wahl der Koordinaten des Systems.

Aufgabe. Die Entfernung zweier Lagen eines Systems durch die rechtwinkligen Koordinaten desselben darzustellen.

Es sei n die Zahl der materiellen Punkte des Systems. Es sei xv der Wert einer der rechtwinkligen Koordinaten des Systems vor der Verrückung, xv der Wert derselben Koordinate nach der Verrückung. Die Koordinate xv ist zugleich Koordinate eines der Punkte des Systems; es sei die Masse dieses Punktes m

mv sind ungleich, sondern es ist jedes /u, von 1 bis n

v läuft von 1 bis 3 n, aber nicht alle

Ist nun etwa ry die Zahl der Massenteilchen in der Masseneinheit, so enthält die Masse mv mvr\ Massenteilchen, und die Gesamtmasse m des Systems m?y derselben. Berechnet man mit diesen Bezeichnungen den quadratischen Mittelwert s der Verrückungen aller Massenteilchen, so folgt für denselben die positive Wurzel der Gleichung:

•in

'i

ms

a)

= "2; mv{xv-xvf ,

i

und diese Wurzel ist also die gesuchte Entfernung. Übrigens ist

3n

b>

Lehrsatz. Die Entfernung zweier Lagen eines Systems von- 32 einander ist stets kleiner als die Summe der Entfernungen beider Lagen von einer dritten.

Es seien nämlich die x'v, x", x” die rechtwinkligen Koordinaten der Lagen 1, 2, 3; es seien s₁₂, s₁₃, s₂₃ die Entfernungen derselben voneinander. Wird für den Augenblick zur Abkürzung gesetzt:

(xv'—xv) = av ,

]/™?L(x”-xv) = bv ,

\ m

so wird

3n

«t2

2    'S?    ²

^13 — X,v &v ) 1

Gesetzt nun, es wäre s₁₂ > s₁₃ + s₂₃, so wäre durch Quadrierung zu erhalten ä|₃ — ^f₃ — ^|₃ > 2 ^₁₃ jy₂₃, also durch nochmalige Quadrierung:

4 44 - (4-4}-4)² < o •

Dies ist aber nicht möglich, denn die linke Seite wird durch Einsetzen der Werte für die s in die Form gebracht:

3 n in

ist also als Summe von Quadraten notwendig positiv. Da nun also die entgegengesetzte Vermutung unmöglich war, so muß stets sein:

s12 — S13 + S23

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34

35

36

Folgerung. Aus den drei Entfernungen dreier beliebiger Lagen eines Systems voneinander als Seiten ist stets ein ebenes Dreieck zu zeichnen möglich.

Definition b. Richtungsunterschied zwischen zwei Verrückungen eines Systems aus gleicher Anfangslage heißt der eingeschlossene Winkel eines ebenen Dreiecks, in welchem die Längen der beiden Verrückungen die einschließenden und die Entfernung ihrer Endpunkte die gegenüberliegende Seite bilden.

Der Richtungsunterschied zwischen zwei Verrückungen wird auch der Winkel zwischen ihnen oder ihre Neigung gegeneinander genannt.

Bemerkung 1. Die Neigung zweier Verrückungen aus derselben Lage gegeneinander ist unter allen Umständen ein eindeutig bestimmter, reeller Winkel, kleiner als n.

Denn das Dreieck, welches jene Neigung bestimmt, kann nach 82 immer gezeichnet werden.

Bemerkung 2. Der Richtungsunterschied zwischen zwei Verrückungen ist unabhängig definiert von der Form der analytischen Darstellung, insbesondere also von der Wahl der benutzten Koordinaten.

Aufgabe. Den Richtungsunterschied zweier Verrückungen aus der gleichen Anfangslage auszudrücken durch die rechtwinkligen Koordinaten der Anfangslage und der Endlagen.

Es seien die xv die Koordinaten der gemeinsamen Anfangslage, die x'v und x'v' die Koordinaten der beiden Endlagen. s' und s" seien die Längen der beiden Verrückungen, s's" der von ihnen eingeschlossene Winkel. Unter Benutzung des ebenen Dreieckes aus den drei Entfernungen der drei Lagen erhalten wir:

3 n    3 n

2 m s's' cos s',s

" = 2” mv(%'r—Xp)² +    mv (X'v~X»)²

1 1

3 n

— 2» mv [ (x'p—Xp) — (x'p—Xp) ]i

und hieraus

a)

m *Y' cos s's" = 2* mv (x'p—xv) (xv—Xy) ,

in welcher Gleichung wir uns noch s und s” nach 31a durch die rechtwinkligen Koordinaten ausgedrückt zu denken haben.

Lehrsatz. Zwei Verrückungen eines Systems aus gleicher 3S Anfangslage haben den Richtungsunterschied Null, wenn die Verrückungen der einzelnen Punkte des Systems in beiden gleichgerichtet und beziehentlich proportional sind, — und umgekehrt.

Denn sind die Verrückungen aller Punkte gleichgerichtet und proportional, so ist für alle v

Xp Xp — 8 (Xp X v j ,

unter e einen für alle v gleichen Faktor verstanden. Es wird daher die rechte Seite der Gleichung 37a gleich mes'². Es wird aber ferner s" = es, also nach jener Gleichung cos s's" = 1, also, da s's" der Innenwinkel eines Dreiecks, s's" — 0 (35).

Umgekehrt, wenn s's" = 0, cos s's" = 1 ist, so liefert die Gleichung 37 a durch Einsetzen der Werte von s' und s" und Quadrierung:

2    3 w    3 ti

— 2V mp(x'p—Xp)² • 2V mv(xp—xpy

1    X

3 n

0 = nip (x'p—Xp) (x'p—Xp)

i

3 n 3 n

= 2^2”    [(x'r~xr) (xg~xg) ~ (xg~xu) (Xp-Xp)] ,

i i

und dies ist nur möglich, wenn für jedes g, und v

r -7»

fj, ^ u

Xy-Xy    Xy-Xy ’

womit auch die Umkehrung bewiesen ist.

Hertz, Mechanik. 2. Aufl.

Folgerung 1. Haben zwei Verrückungen aus derselben Anfangslage den Richtungsunterschied Null gegen eine dritte Verrückung aus der gleichen Lage, so haben sie den Richtungsunterschied Null gegeneinander.

39

Alle Verrückungen, welche den Winkel Null mit einer bestimmten Verrückung bilden, bilden also miteinander den Winkel Null. Das Gemeinsame aller solcher Verrückungen heißt die Richtung derselben.

40

Folgerung 2. Wenn zwei Verrückungen eines Systems gleiche Richtung haben, so haben sie gleichen Richtungsunterschied mit jeder dritten Verrückung.

Alle Verrückungen von gleicher Richtung aus gleicher Lage bilden also denselben Winkel mit allen Verrückungen, welche eine andere gleiche Richtung haben. Dieser gemeinsame Winkel heißt auch der Winkel der Richtungen gegeneinander öder der Unterschied der beiden Richtungen.

41

Definition. Zwei Verrückungen eines Systems heißen identisch, wenn die Verrückungen der Punkte des Systems in beiden identisch sind. Zwei Verrückungen eines Systems heißen gleich, wenn die Verrückungen der einzelnen Punkte in beiden gleich sind. Zwei Verrückungen eines Systems heißen gleichgerichtet oder parallel, wenn die Verrückungen der einzelnen Punkte in beiden gleichgerichtet und beziehentlich proportional sind.

42

Folgerung. Zwei Verrückungen eines Systems aus verschiedener Anfangslage sind gleichgerichtet, wenn jede von ihnen gleiche Richtung hat mit einer Verrückung, welche durch ihre Anfangslage geht und der anderen Verrückung gleich ist, — und umgekehrt.

43

Zusatz. Richtungsunterschied zweier Verrückungen eines Systems aus verschiedener Anfangslage heißt der Winkel zwischen jeder von ihnen und einer zu der anderen parallelen Verrückung aus ihrer Anfangslage.

Aufgabe. Den Winkel zwischen zwei beliebigen Verrückungen eines Systems auszudrücken durch die rechtwinkligen Koordinaten ihrer vier Endlagen.

Es seien s und s" die Größen der beiden Verrückungen und s,s" ihr Winkel. Es seien die xv und x'v die Koordinaten der Anfangs- und Endlage der ersten, die x°v und x'ÿ die Koordinaten der Anfangs- und Endlage der zweiten Verrückung. Eine Verrückung, deren Anfangskoordinaten die xv sind, und deren Endkoordinaten den Wert xv~\-xÿ—x°v haben, hat gleiche Anfangslage mit der ersten und ist der zweiten gleich. Sie bildet also mit der ersten den gesuchten Winkel, für welchen also die Gleichung folgt:

3 n

m s s" cos s,s" =    mv {xv—xv) (xÿ—xl)

i

Der gleiche Wert wird erhalten, wenn wir eine Verrückung durch die Anfangslage der zweiten und gleich der ersten legen und den Winkel zwischen dieser und der zweiten bestimmen.

Unsere Definition im Zusatz 43 war also eindeutig und daher zulässig.

Definition. Zwei Verrückungen eines Systems heißen 45 senkrecht aufeinander, wenn der Winkel zwischen ihnen ein rechter ist.

Folgerung 1. Die hinreichende und notwendige analy- 46 tische Bedingung dafür, daß zwei Verrückungen senkrecht aufeinander stehen, ist die Gleichung:

rnv (x„—xv) (xp—x°v) = 0    ,

i

in welcher Gebrauch gemacht ist von den Bezeichnungen der Aufgabe 44.

Folgerung 2. In einem System von n Punkten ist 47 aus einer gegebenen Lage eine (3ra — l)fache Mannigfaltigkeit von Verrückungen, also eine (3rc — 2)fache Mannigfaltigkeit von Richtungen denkbar, welche auf einer gegebenen Richtung senkrecht stehen.

Definition. Komponente einer Verrückung in einer ge- 48 gebenen Richtung heißt eine Verrückung, deren Richtung die

gegebene Sichtung ist, und deren Größe gleich der Vertikalprojektion der Größe der gegebenen Verrückung innerhalb des Winkels ist, welchen die gegebene Verrückung mit der gegebenen Sichtung bildet.

Ist also die Größe der gegebenen Verrückung s, und bildet sie mit der gegebenen Sichtung den Winkel co, so ist ihre Komponente in dieser Sichtung gleich .■? cos œ.

Die Größe der Komponente in gegebener Sichtung wird gewöhnlich schlechthin die Komponente in dieser Sichtung genannt.

Zusammensetzung der Verrückungen.

49

50

51

Bemerkung. Werden einem System mehrere Verrückungen erteilt, welche gegebenen Verrückungen gleich sind, und welche sich so aneinander schließen, daß die Endlage der voraus-gegangenen Verrückung die Anfangslage der folgenden ist, so ist die erreichte Endlage unabhängig von der Seihenfolge der Verrückungen.

Denn dies gilt für die Verrückungen, welche die einzelnen Punkte dabei erleiden, also für das System.

Definition 1. Eine Verrückung, welche das System in dieselbe Endlage überführt, wie eine Seihe aneinandergefügter Verrückungen, welche gegebenen Verrückungen gleich sind, heißt die Summe jener gegebenen Verrückungen.

Definition 2. Differenz zwischen einer erstgenannten und einer zweitgenannten Verrückung heißt eine Verrückung, deren Summe mit der zweitgenaunten die erstgenannte ergibt.

Folgerung (aus 49). Die Addition und Subtraktion der Verrückungen unterliegt den Segeln der algebraischen Addition und Subtraktion.

Abschnitt 3. Unendlich kleine Verrückungen und Bahnen der Systeme materieller Punkte.

Vorbemerkung. Wir behandeln von hier ab den ein- 53 zelnen materiellen Punkt nicht mehr gesondert, sondern schließen seine Betrachtung in die Betrachtung der Systeme ein. Es ist daher im folgenden stets von Verrückungen der Systeme die Rede, auch wo dies nicht besonders bemerkt wird.

Unendlich kleine Verrückungen.

Erläuterung. Eine Verrückung heißt unendlich klein, 54 wenn ihre Länge unendlich klein ist.

Lage der unendlich kleinen Verrückung heißt eine Lage, welcher die Grenzlagen der Verrückung unendlich nahe liegen.

Eine unendlich kleine Verrückung ist nach Richtung und Größe bestimmt durch die Angabe ihrer Lage und der unendlich kleinen Änderungen, welche die Koordinaten des Systems durch die Verrückung erleiden.

Aufgabe la. Die Länge ds einer unendlich kleinen 55 Verrückung auszudrücken durch die Änderungen dxv der 3t? rechtwinkligen Koordinaten des Systems.

Indem wir in Gleichung 31a x'v—xv ersetzen durch dxv, erhalten wir

3 n

m ds²

= ^mvdxl .

i

Aufgabe lb. Den Winkel s,s' der beiden unendlich 56 kleinen Verrückungen ds und ds auszudrücken durch die Änderungen dxv und dxv der 3 n rechtwinkligen Koordinaten des Systems.

Indem wir in Gleichung 44 für xv—xv setzen dxv und für x"—xnv setzen dxv, erhalten wir

m ds ds cos s,s

— v hlb p dXp dXp » 1

57

Die Lösung gilt, ob beide Verrückungen gleiche Lage haben oder ob nicht.

Aufgabe 2a. Die Länge ds einer unendlich kleinen Verrückung auszudrücken durch die Änderungen dpQ der r allgemeinen Koordinaten pQ des Systems.

Die rechtwinkligen Koordinaten xv sind Funktionen der pe und zwar der pe allein, da sie durch diese vollständig bestimmt sind, und da Verrückungen des Systems, welche nicht durch Änderungen der pe darstellbar sind, als von der Betrachtung ausgeschlossen gelten (13). Setzen wir zur Abkürzung:

a)

dxv

dpe

so bestehen demnach 3n Gleichungen von der Form:

b)

d.i f, — (%vq dpq i

in welchen die uVQ Funktionen der Lage sind, also als Funktionen der joe aufgefaßt werden können. Setzen wir die Werte b) in Gleichung 55 ein und setzen noch zur Abkürzung:

c)

qa—^I'mvaVQaV(T , i

so erhalten wir als Lösung der Aufgabe:

d)

ds²

=    aQa dPQ dP° ’

1 1

Aufgabe 2 b. Den Winkel s,s' zweier unendlich kleiner Verrückungen von der Länge ds und ds und gleicher Lage auszudrücken durch die Änderungen dpQ und dp'Q der r allgemeinen Koordinaten pe des Systems.

Wir bilden die Werte der dxv nach Gleichung 57 b und setzen diese und die Werte für dxv in Gleichung 56 ein. Wir beachten, daß für beide Verrückungen die Werte der Koordi-

naten selbst, also die der Größen ciQa gleich sind, und wir erhalten :

ds ds COS s,S

—    Æ'ço⁻ dpq dpa

i i

Eigenschaften der ß?fl. und cLqG . Einführung der bça .

1. Für alle Werte der p, a, z ist: (vergl. 57a)

59

dPz dPe

2. Für alle Werte von p und a ist: (vergl. 57c)

60

CLqu — daQ •

3. Die Zahl der Größen aQO ist gleich 3nr: die 61 Zahl der voneinander verschiedenen Größen aQa ist gleich }r(r+1).

4. Für alle p ist

62

cLqq 0

Für alle Werte von q und a ist

(%QQ (Lqq Ö^(J 's* 0

Denn es ist die rechte Seite der Gleichung 57 d nach ihrer Ableitung aus Gleichung 55 eine notwendig positive Größe, welches auch die Werte der dpQ sind. Hierfür sind die vorstehenden Ungleichheiten notwendige Bedingungen.

5. Für alle Werte der p, a, r gilt die Gleichung:

3 n

mv

i

i dttyQ

W lÄpT' * dp

duvz\    da

— =m r-^

e /    \dPr

dara

dPe dP° /

Um die Gleichung zu beweisen, setzt man rechts die Werte

der ae„ aus Gleichung 57 c ein und macht Gebrauch von den Eigenschaften der aQa nach 59.

64

65

sei a.

6. Die Determinante aus den r² Größen Der Faktor von aea in a, dividiert durch a, soll dauernd bezeichnet werden mit bsa. Es ist also als Definition

- J_ dA

A dasa

Für alle Werte von q und a ist dann

bçcr ⁼⁼ b<TQ

Die Zahl der voneinander verschiedenen Größen bQa ist gleich Lr(r+ 1).

7. Der Wert des Ausdrucks ist gleich Eins, sobald t — x ist; jener Wert ist gleich Null, sobald i und x verschieden sind.

r

Denn ist i = x, so stellt der Ausdruck aQl bQit Ą die

i

Determinante a selbst dar. Ist aber i von x verschieden, so stellt er eine Determinante dar, welche aus a entsteht, indem die Reihe aQy_ ersetzt wird durch die Reihe der ael. In dieser Determinante sind also zwei Reihen gleich, und ihr Wert ist Null.

66

8. Es gelten für alle Werte der i und x die beiden Gleichungen :

Q(j bqi bau — bLx

r

Man bilde nach 65 den Wert des Ausdrucks bQa aQl

i

bez. asabei für alle Werte des a von 1 bis r, man multi-

l

pliziere die entstandenen Gleichungen der Reihe nach mit aOH bez. baH und addiere, so folgen die Gleichungen.

9. Bestimmte Änderungen der Größen

haben be- 67

stimmte Änderungen der Größen bQa zur Folge. Bezeichnen baQG und §bQG beliebige zusammengehörige Variationen der aQG und bQG, so gelten die Gleichungen:

22

i i

Qi

— bOjiy, |

bQl bax dcioa— dblx

1 1

Man variiere die Gleichungen 66 und mache Gebrauch von den Beziehungen 65, so folgen die Gleichungen.

10. Variiert man in den aßG und bQG nur eine be- 6S stimmte Koordinate pT, von welcher sie abhängen, so folgt insbesondere für jeden Wert des r:

22

i i

dçL d(jx

dbe<J

dpt

da»,

dp*

daeo

dblK

<jy.

dpr

dPx

Verrückungen in Richtung der Koordinaten.

Definition 1. Verrückung in Richtung einer bestimmten 69 Koordinate heißt eine unendlich kleine Verrückung, bei welcher sich nur diese eine Koordinate, nicht aber die übrigen gleichzeitig benutzten ändern.

Die Richtung aller Verrückungen in Richtung derselben Koordinate aus derselben Lage ist dieselbe; sie heißt die Richtung der Koordinate in dieser Lage.

Bemerkung¹. Die Richtung einer Koordinate hängt ab von der Wahl der übrigen, gleichzeitig benutzten Koordinaten des Systems.

70

71

Definition 2. Reduzierte Komponente einer unendlich kleinen Verrückung in Richtung einer bestimmten Koordinate heißt die Komponente der Verrückung in Richtung der Koordinate (48, 69), dividiert durch die Änderungsgeschwindigkeit der Koordinate bei einer Verrückung in ihrer eigenen Richtung.

Die reduzierte Komponente in der Richtung einer Koordinate nennen wir auch kurz die Komponente nach der Koordinate.

Man spricht also von der Komponente einer beliebigen Verrückung in einer beliebigen Richtung, aber man kann nicht sprechen von der reduzierten Komponente in einer beliebigen Richtung, sondern nur von der reduzierten Komponente einer unendlich kleinen Verrückung in der Richtung einer Koordinate.

72

Aufgabe la. Die Neigung s,xv der Verrückung ds gegen die rechtwinklige Koordinate xv durch die 3 n Änderungen dxv auszudrücken.

In Gleichung 56 setzen wir die dx'v gleich Null für alle v mit Ausnahme des bestimmten v, auf welches sich die Aufgabe bezieht. Dann ist die Richtung von ds' nach 69 die von xv, und der Winkel s,s' wird der gesuchte Winkel. Da ferner alsdann nach 55 mds² = mvdx'v², so wird als Lösung der Aufgabe erhalten:

ds cos s,xv

= ]/^dxv , v m

worin für ds sein Wert in den dxv einzusetzen ist.

Aufgabe lb. Die Komponenten dxv der Verrückung ds nach den rechtwinkligen Koordinaten xv durch die Änderungen dxv der Koordinaten auszudrücken.

Setzen wir in der vorigen Aufgabe s,xv = 0, so erfolgt die Verrückung ds in Richtung der Koordinate xv, und wir erkennen, daß die Änderungsgeschwindigkeit der Koordinate bei einer Verrückung in ihrer eigenen Richtung gleich dxv:ds also gleich ]/m/mv ist. Die linke Seite der Gleichung 72 stellt

schon die Komponente von ds in Richtung von xv dar; dividieren wir also die Gleichung durch ]/?n/mv, so erhalten wir (71) als Lösung der Aufgabe:

dxv = —- dxv

Aufgabe 1 c. Die Änderungen dxv der rechtwinkligen 74 Koordinaten bei einer Verrückung auszudrücken durch die reduzierten Komponenten der Verrückung nach jenen Koordinaten.

Die Lösung der vorigen Aufgabe gibt unmittelbar:

in mv

Aufgabe 2 a. Die Neigung s,pQ der Verrückung ds 75 gegen die allgemeine Koordinate pQ durch die r Änderungen dpQ auszudrücken.

ln Gleichung 58 setzen wir die dpQ gleich Null für alle q mit Ausnahme des bestimmten q, auf welches sich die Aufgabe bezieht. Die Richtung von ds ist alsdann nach 69 die von pQ, und der Winkel s,s' wird der gesuchte Winkel. Da gleichzeitig nach 57 ds² — aQQdp² wird, so erhalten wir als Lösung der Aufgabe:

yaQo ds cos S,pQ = aQV dPa >

1

worin für ds sein Wert in den dpa einzusetzen ist.

Anmerkung 1. Setzen wir in der Lösung der vorigen 76 Aufgabe alle dpa gleich Null mit Ausnahme eines bestimmten dpa, so wird die Richtung von ds die Richtung dieser Koordinate pa, und der Winkel s,pa geht über in den Winkel pa,pe, welchen die Koordinate pa mit der Koordinate pe bildet. Da gleichzeitig alsdann ds² = aaadpa² wird, so erhalten wir für diesen Winkel:

cos pa,pQ

aQ<y

O'QQ Q'OO

Dieser Winkel ist nach 62 stets ein reeller Winkel.

Anmerkung 2. Die Koordinaten pQ heißen orthogonal, wenn jede von ihnen in jeder Lage auf allen übrigen senkrecht steht. Die hinreichende und notwendige Bedingung hierfür ist (76), daß alle aQ<y, für welche q und v verschieden sind, verschwinden. Die rechtwinkligen Koordinaten sind ein Beispiel orthogonaler Koordinaten.

77

78

Aufgabe 2 b. Die Komponenten dpe der Verrückung ds nach den Koordinaten pe auszudrücken durch die Änderungen dpQ dieser Koordinaten bei der Verrückung.

Setzen wir in Gleichung 75 s,pe gleich Null, so erfolgt die Verrückung ds dieser Gleichung in Richtung von pß\ alle dpa sind also Null, außer dpe, und die Gleichung wird also ]/'aeeds = aQQdpQ. Die Änderungsgeschwindigkeit von pQ mit einer Verrückung in ihrer eigenen Richtung ist also l/]/ö^. Bedenken wir, daß nach 48 ds cos s,pQ die Komponente von ds in der Richtung von pe ist, und beachten die Definition 71, so erkennen wir, daß die linke Seite der Gleichung 75 bereits die reduzierte Komponente nach pQ darstellt, und wir erhalten also die Beziehung:

a)

dpQ = fa^ds cos s,pQ ,

also als Lösung der Aufgabe:

b)

dpq —    ttqtj dp ff

1

79

Aufgabe 2 c. Die Änderungen dpQ der Koordinaten bei Ausführung der Verrückung ds auszudrücken durch die Komponenten dpQ der Verrückung nach den Koordinaten pQ.

Die Auflösung der Gleichungen 78b unter Benutzung der Bezeichnung, von 64 ergibt unmittelbar:

dpo^^bgadpa . 1

Aufgabe 3 a. Die Komponenten dpe einer Verrückung nach den allgemeinen Koordinaten pQ auszudrücken durch die

Komponenten dxv der Verrückung nach den rechtwinkligen Koordinaten des Systems.

Wir erhalten der Reihe nach unter Benutzung von 78, 57b, 57c, 74:

r    r 3n

dpfj — CLqa dpq = >    cXvq ava dp ff

i    i i m

3 n

cc io dx>y —*    expQ dXp *

3n

rn

Aufgabe 3 b. Die Komponenten dxv einer Verrückung 81 nach den rechtwinkligen Koordinaten xv auszudrücken durch die Komponenten dpQ der Verrückung nach den allgemeinen Koordinaten pQ des Systems.

Wir erhalten der Reihe nach unter Benutzung von 73,

57b, 79:

mv

dxv — dXp —    (Zpij dnff

itn

also, wenn wir zur Abkürzung setzen:

U-va bça — ßvq )

1

a)

folgt als Lösung der Aufgabe:

dxv - ~^g ßpQ dp g

1

b)

Aufgabe 4. Die Länge einer unendlich kleinen Verrückung 82 auszudrücken durch ihre reduzierten Komponenten nach den Koordinaten des Systems.

Wenden wir die allgemeinen Koordinaten pe halten wir durch successive Anwendung vou 78b und 79 auf Gleichung 57b nacheinander:

an. so er-

83

^QtJ dpq dp(T

i i r

dPQ dpQ

1

rr

⁼⁼2e2'⁷ V dpQ dP° •

l 1

Wenden wir insbesondere die rechtwinkligen Koordinaten an, so erhalten diese Gleichungen die Form:

ds²

ds²

3 n

= dxv dXp

i

3 n

xi m

]_ Ulv

84

Den Winkel zwischen zwei unendlich

Aufgabe 5 a.

kleinen Verrückungen beliebiger Lage auszudrücken durch die reduzierten Komponenten der beiden Verrückungen nach den rechtwinkligen Koordinaten.

Durch successive Anwendung von 73 und 74 auf Gleichung 56 erhalten wir nacheinander die Formen:

ds ds cos s,s

3 n

m

= — ■<YJ ui

— dXp dxv

3 n    3 n

—■    dXp dXp —•    dXp dXp

i    i

3 n ^

= y* — dxv dxv

^ tnv

Hierin haben wir für die ds und ds ihre Werte in den dxv nach 83 einzusetzen.

Aufgabe 5 b. Den Winkel zwischen zwei unendlich kleinen 85 Verrückungen aus der gleichen Lage auszudrücken durch die Komponenten der beiden Verrückungen nach den allgemeinen Koordinaten ps.

Durch successive Anwendung von 78 und 79 auf Gleichung 58 erhalten wir nacheinander die Formen:

ds ds COS SyS —    dPQ dJ^(T

l 1

r    r

= 2? dPQ dP Q ⁼ 2* dPQ dPu 1    1

r r

=    2 bçffdpç dpa

i i

Hierin sind wieder für die ds und ds ihre Werte in den dps nach 82 einzusetzen.

Aufgabe 6. Den Winkel zweier unendlich kleiner Ver- 86 rückungen auszudrücken durch die Winkel, welche beide mit den Koordinaten des Systems bilden.

Wir dividieren die letzte der Gleichungen 85 durch ds ds und beachten, daß nach 78a

dPQ

GfJ C08 S,Pq = ds

wir erhalten so als Lösung der Aufgabe:

cos

8,8 = 22    VaQQ    cos s,pQ cos s',p(T .

i i

Wenden wir rechtwinklige Koordinaten an, so erhält die 87 vorstehende Gleichung die besondere Form:

cos s,s = 2V cos s,xp COS s',Xv

Es ist zu bemerken, daß die Gleichung 86 gleiche Lage der beiden Verrückungen voraussetzt, während die Gleichung 87 von dieser Voraussetzung frei ist.

Lehrsatz. Die r Winkel, welche eine beliebige Richtung in einer bestimmten Lage mit den Richtungen der r allgemeinen Koordinaten daselbst bildet, sind verbunden durch die Gleichung:

88

S9

<ra COSSftg COS S,pa =

Denn diese Gleichung folgt, wenn wir in 86 die Richtungen von ds und ds zusammenfallen lassen.

Folgerung. Insbesondere genügen die 3 n Winkel, welche eine beliebige Verrückung des Systems mit den rechtwinkligen Koordinaten des Systems bilden, der Gleichung:

3 n

cos2 s,x„= 1

Benutzung partieller Differentialquotienten.

90

Bezeichnung. Durch die Werte der Koordinaten ps ihrer Lage und der Änderungen dpQ derselben ist die Länge ds einer unendlich kleinen Verrückung bestimmt. Ändern wir eins jener Bestimmungsstücke, während die übrigen konstant gehalten werden, so soll das entsprechende partielle Differential von ds mit dpds bezeichnet werden.

Betrachten wir dagegen, was ebenfalls zulässig ist, die Koordinaten pQ und die Komponenten dpQ nach ihnen als die unabhängigen Bestimmungsstücke von ds, so soll das entsprechende partielle Differential von ds mit dqds bezeichnet werden.

Andere partielle Differentiale von ds sind selbstverständlich möglich, aber es ist für unseren Zweck nicht nötig, sie zu bezeichnen, sondern es bleibt für sie das gewöhnliche, jedesmal durch eine Worterklärung näher zu bestimmende Zeichen dds Vorbehalten.

Bemerkung 1. Die Komponenten einer Verrückung nach den Koordinaten lassen sich als partielle Differentialquotienten

der Länge der Verrückung darstellen. Und zwar geschieht dies in der Form:

1 dpds²

Man differentiiere die Gleichung 57 d und beachte 78.

dpds

ddpe

Bemerkung 2. Die Neigung einer unendlich kleinen Ver- 92 rückung gegen die Koordinate pe kann mit Hilfe der partiellen Differentialquotienten ihrer Länge dargestellt werden. Und zwar geschieht dies in der Form:

VaQQ cos S,pq

dpds

ddpQ

Man beachte 91 und 78.

Anmerkung. Werden insbesondere in den Bemerkungen 93 1 und 2 rechtwinklige Koordinaten angewandt, so erhält man

dxv — ds

dds

ddxv ’

a)

mv

dds

COS S^OC/p —■ j ) m    oaxv

b)

wobei die Bedeutung der partiellen Differentiale aus dem vorigen hervorgeht.

Bemerkung 3. Die Änderungen, welche die Koordinaten 94 pQ bei Durchlaufung einer unendlich kleinen Verrückung erleiden, lassen sich als partielle Differentialquotienten der Länge der Verrückung darstellen. Und zwar geschieht dies in der Form :

ddps

dpq —

1    dqds²

2    ~we

d[ds ds

Man beachte die Gleichungen 82 und 79.

Hertz, Mechanik. 2. Aufl.

Bemerkung 4. Für alle Werte des Index r besteht zwischen den partiellen Differentialquotienten von ds die Gleichung:

95

a)

dpds dqds

dpT

Denn es ist:

dpds 1

dp*

2?4’tyTdPtdP¹’

und

dqds 1    'S? dbQa j- j-

n t" '

Setzen wir in der ersteren Form für die dpe und dpa ihre Werte in den dpQ und dpa nach 79 und beachten die Beziehungen 68 und die zweite Form, so folgt die Behauptung. Ebenso wenn wir in gleicher Weise von der zweiten Form ausgehen.

96

Lehrsatz. Erleidet die Lage einer unendlich kleinen Verrückung zweimal dieselbe Veränderung, während gleichzeitig das eine Mal die Komponenten nach den Koordinaten, das andere Mal die Änderungen der Koordinaten die ursprünglichen bleiben, so ist die Änderung der Länge der Verrückung in beiden Fällen entgegengesetzt gleich.

Da im zweiten Falle die ddpG = 0 sein sollen, während die Koordinaten pQ die Änderungen öps erleiden, so ist die Änderung der Länge der Verrückung:

a)

dp i •

Im ersten Falle sollen die ^^ = 0 sein, während die Koordinaten dieselben Änderungen öpe erleiden, es ist also jetzt:

b)

v , 'Śb dqds

dp z •

Aus beiden Gleichungen a) und b) und der Bemerkung 4

folgt:

C)

bpds— ô qds ,

welches die Behauptung ist.

Bahnen der Systeme.

Erläuterungen.

1. Die gleichzeitig vorgestellte Gesamtheit der Lagen, 97 welche ein System beim Übergang aus einer Lage in die andere durchläuft, heißt eine Bahn des Systems.

Eine Bahn kann auch betrachtet werden als die gleichzeitig vorgestellte Gesamtheit der Verrückungen, welche das System beim Übergang aus der einen in die andere Lage erleidet.

2.    Ein Teil der Bahn, welcher durch zwei unendlich nahe 98 Lagen begrenzt wird, heißt ein Bahnelement. Ein Bahnelement ist eine unendlich kleine Verrückung; es hat eine Länge und eine Richtung.

3.    Richtung der Bahn eines Systems in einer bestimmten 99 ihrer Lagen heißt die Richtung eines dieser Lage unendlich benachbarten Bahnelements.

Länge der Bahn eines Systems zwischen zwei ihrer Lagen heißt die Summe der Längen der Bahnelemente zwischen diesen Lagen.

Analytische Darstellung. Die Bahn eines Systems wird 100 analytisch dargestellt, indem die Koordinaten ihrer Lagen angegeben werden als Funktionen einer und derselben, übrigens beliebigen Variabein. Jeder Lage der Bahn ist dann ein Wert der Variabein zugeordnet. Als unabhängige Variabele kann eine der Koordinaten selbst dienen. Sehr häufig ist es zweckmäßig, als unabhängige Variabele die Länge der Bahn, von einer bestimmten Lage der Bahn ab gerechnet, zu benutzen.

Die Differentialquotienten nach dieser bestimmten Variabelen,

101

102

103

104

105

also nach der Bahnlänge, sollen in Lagranges Weise durch Akzente bezeichnet werden.

Definition 1. Die Bahn eines Systems heißt gerade, wenn sie in allen ihren Lagen die gleiche Richtung hat.

Folgerung. Beschreibt ein System eine gerade Bahn, so beschreiben seine einzelnen Punkte gerade Linien, deren Längen, von der Ausgangslage an gerechnet, einander beständig proportional bleiben (38).

Definition 2. Die Bahn eines Systems heißt krumm, wenn sich die Richtung der Bahn von Lage zu Lage ändert. Die Änderungsgeschwindigkeit der Richtung mit der Bahnlänge heißt die Krümmung der Bahn.

Die Krümmung der Bahn ist also der Grenzwert des Verhältnisses zwischen dem Richtungsunterschied und der Entfernung zweier benachbarter Bahnelemente.

Anmerkung. Der Wert der Krümmung ist hierdurch definiert unabhängig von der Form der analytischen Darstellung, also insbesondere unabhängig von der besonderen Wahl der Koordinaten des Systems.

Aufgabe 1. Die Krümmung c der Bahn auszudrücken durch die Änderungen der Winkel, welche die Bahn mit den rechtwinkligen Koordinaten des Systems bildet.

Es sei de der Winkel zwischen der Richtung der Bahn am Anfang und am Ende des Bahnelementes ds. Dann ist nach Definition (103):

de

C = —r~

ds

Es seien ferner die cos s,xv die Cosinus der Winkel, welche die Bahn am Anfänge von ds mit den xv bildet, und es seien cos s,xv -f d cos s,xv die Werte der gleichen Größen am Ende von ds. Dann ist nach Gleichung 87:

cos

3 n

(de) = cos s>xv (cos ⁸>xv + d cos s,xv)

i

Es ist aber ferner nach Gleichung 89 sowohl

3w

> cos² s,xv = 1    ,

1

als auch

3 n

(cos S,x„ -f d cos s,xv)² — 1    .

1

Indem wir das Doppelte der ersten Gleichung subtrahieren von der Summe der beiden letzteren, erhalten wir:

3 n

2 — 2 cos (de) =    = (dcoss,æ„)² ,

i

also durch Division mit ds² die Lösung der Aufgabe:

d cos s,xv \²

3m i

c2“?(

Aufgabe 2. Die Krümmung der Bahn darzustellen durch 106 die Änderungen der rechtwinkligen Koordinaten des Systems mit der Bahnlänge.

Unter Berücksichtigung von 72 haben wir (100):

cos s,xv —

also

(cos S,xvY = V— . Xp    ,

* m

also nach 105 als Lösung der Aufgabe:

mcr

3m

i

"2

mvxv

Aufgabe 3. Die Krümmung der Bahn darzustellen durch 107 die Änderungen der rechtwinkligen Koordinaten, dieselben betrachtet als Funktionen einer beliebigen Yariabelen r.

Nach den Regeln der Differentialrechnung ist

„ rf/A, A\ ₌ [dz sl* A,

v 1 \dx ds J [ds ) \dr dx²

ds

dxv d²s 1

dx dx²)

daß (55)

a)

Setzen wir diesen Ausdruck in c² ein und beachten,

Ids\²    IA /dxv\²

(*) ’

also

b)

r/s f/².9

mdi‘Jx²

dxv d²xv dx dx²

ist, so folgt als Lösung der Aufgabe:

c)

Idsy « ^    Id²xv\²

(*) c =2'^(5ïï-)

w

dt²)

worin für ds/dx und d²s/dx² noch ihre Werte aus den vorigen Gleichungen zu setzen sind.

108

Aufgabe 4. Die Krümmung der Bahn darzustellen durch die Änderungen der allgemeinen Koordinaten pe des Systems mit der Bahnlänge.

Wir führen in den Ausdruck 106 an Stelle der rechtwinkligen Koordinaten die pe ein, indem wir die x" ausdrücken durch die pQ und />". Zunächst ist nach 57 b also

%p    ((XpqPq “t" CCpqPq) >

1

also

r"2

x\jy

(fXpQ (%paPq Per H⁻ “ &PQ Wpa Pqper “f" &pq &p<tPqPer)

Man bilde diese Gleichungen für alle v, multipliziere eine (108) jede mit mvjm und addiere alle. Links entsteht c². Rechts kann die Summation nach v mit Hilfe der schon eingeführten Größen aQa in den ersten beiden Gliedern ausgeführt werden.

dgo •

erhalten :

Im ersten Glied ergibt die Summation unmittelbar nach 57c Als Faktor von pä im zweiten Gliede wird nacheinander

r    3«    r r    3 n

o 'S?    ' 'S? mv ' n 'S? 'S?    '    ' 'S? m.

2 Pq /? ZT C(vaCCvo = 2 j>g y* PqPt y? — C(pa 11 11 1

= ZeZ’P<!P’

i i

, x > rnv

- /v — m.

ldaVQ

\dpT

davr

dPe

(nach 63)

/    / Idcigu Sa,ra da^r

dpt dpß dpa-dpt dPo

Beim Übergang von der zweiten in die dritte Form und von der vierten in die fünfte Form ist Gebrauch gemacht von der Bemerkung, daß, wenn F{o,a) ein beliebiger Ausdruck ist, welcher die Indices q und a enthält, alsdann identisch

a)

il    ll

ist.

Der Faktor des dritten Gliedes läßt sich nicht durch die aßa ausdrücken. Um im Endresultat die Beziehung auf die rechtwinkligen Koordinaten gleichwohl verschwinden zu lassen, sei gesetzt:

3rc

xi m,

a^ = Z’m

d(Zya dCiyg

dpi dpn

b)

Es wird dann schließlich erhalten als Lösung der Auf

PqPtP*

r r    \

+ xV xV aQ(j/.ß Pq PaPXPßt 1 1    )

Hierin sind also die aQa die in 57 eingeführten Funktionen der pQ\ die aeoXll sind als neu eingeführte Funktionen derselben Größen anzusehen. Die Zahl dieser neu eingeführten Funktionen beträgt 1 r¹ (r + 1 )¹.

Abschnitt 4. Mögliche und unmögliche Verrückungen. Materielle Systeme.

Erläuterungen.

109

1.    Zwischen einer Anzahl von materiellen Punkten besteht ein Zusammenhang, wenn aus der Kenntnis eines Teils der Komponenten der Verrückungen dieser Punkte eine Aussage in bezug auf die übrigen Komponenten möglich ist.

110

gabe:

dpr dpa

3.    Die zur Betrachtung zugelassenen Verrückungen 111 heißen mögliche Verrückungen, die übrigen unmögliche. Die möglichen Verrückungen werden auch virtuelle genannt. Mögliche Verrückungen heißen sie stets, wenn sie als engerer Begriff den denkbaren gegenübergestellt werden; virtuelle Verrückungen werden sie nur dann genannt, wenn sie als weiterer Begriff einem engeren, z. B. den wirklichen Verrückungen entgegengestellt werden.

4.    Mögliche Bahnen heißen alle Bahnen, welche sich 112 aus möglichen Verrückungen zusammensetzen. Mögliche Lagen sind alle Lagen, welche durch mögliche Bahnen erreicht werden können.

5.    Es sind also alle Lagen möglicher Bahnen mögliche 113 Lagen. Aber es geht aus dem Gesagten nicht hervor, und

es soll auch nicht gesagt sein, daß jede denkbare Bahn durch mögliche Lagen auch eine mögliche Bahn sei. Vielmehr kann eine Verrückung auch zwischen unendlich benachbarten möglichen Lagen als eine unmögliche Verrückung bezeichnet sein.

6.    Zwischen zwei möglichen Lagen gibt es immer eine 114 mögliche Bahn. Denn führt von irgend einer wirklichen Lage zu beiden Lagen auch nur eine mögliche Bahn, so bilden diese beiden Bahnen zusammen schon eine mögliche Bahn zwischen den beiden Lagen; führte zu einer von beiden keine mögliche Bahn, so wäre diese Lage auch keine mögliche Lage.

Definition 1. Ein Zusammenhang eines Systems heißt 115 ein stetiger, wenn er den folgenden drei Voraussetzungen nicht widerspricht:

1.    Daß die Angabe aller möglichen endlichen Verrückungen enthalten sei in der Angabe aller möglichen unendlich kleinen Verrückungen, (Stetigkeit im Endlichen);

2.    daß jede mögliche unendlich kleine Verrückung in gerader, stetiger Bahn durchlaufen werden könne, (Stetigkeit im Unendlichkleinen);

3.    daß jede unendlich kleine Verrückung, welche aus einer bestimmten Lage möglich ist, auch möglich ist aus jeder unendlich benachbarten Lage, abgesehen von Abweichungen

von der Ordnung der Entfernung der Lagen oder von höherer Ordnung, (stetige Veränderlichkeit der möglichen Verrückungen).

110

Folgerung. Wenn in einem System nur stetige Zusammenhänge sich finden, so ist die Summe irgendwelcher möglichen unendlich kleinen Verrückungen aus derselben Lage wieder eine mögliche Verrückung aus der gleichen Lage. (Superposition unendlich kleiner Verrückungen.)

Denn nach 115, 3 müssen sich die einzelnen Verrückungen hintereinander durchlaufen lassen, und nach 115,2 ist dann die direkte Verrückung aus der Anfangs- in die Endlage selbst auch eine mögliche Verrückung.

117

Definition 2. Ein Zusammenhang eines Systems heißt ein innerer, wenn er nur die gegenseitige Lage der Punkte des Systems betrifft.

118

Folgerung. Wenn in einem System nur innere Zusammenhänge sich finden, so ist jede Verrückung des Systems, welche die Konfiguration nicht ändert, eine mögliche Verrückung, und umgekehrt.

119

120

Definition 3.    Ein Zusammenhang eines Systems heißt

ein gesetzmäßiger, wenn er unabhängig von der Zeit besteht.

Ein gesetzmäßiger Zusammenhang besteht also in der Aussage, daß von den denkbaren Verrückung'en des Systems zu jeder Zeit, oder unabhängig von der Zeit, gewisse Verrückungen möglich, andere unmöglich sind.

Anmerkung. Solange vfir von der Geometrie der Systeme handeln, kommt der Unterschied zwischen gesetzmäßigem und ungesetzmäßigem Zusammenhänge nicht in Betracht, da unsere Überlegungen die Zeit nicht enthalten. Sind die Zusammenhänge eines Systems zu zwei Zeiten verschieden, so haben wir es für unsere jetzige Betrachtung zu beiden Zeiten mit zwei verschiedenen Systemen zu tun. Es läuft praktisch auf dasselbe hinaus, wenn wir voraussetzen, daß in diesem ersten Buche die Zusammenhänge sämtlich gesetzmäßige seien.

Definition 1. Ein System materieller Punkte, welches keinen anderen als stetigen Zusammenhängen unterworfen ist, nennen wir ein materielles System.

Definition 2. Ein materielles System, welches keinen 122 anderen als inneren und gesetzmäßigen Zusammenhängen unterworfen ist, nennen wir ein freies System.

Definition 3. Ein materielles System, zwischen dessen 123 möglichen Lagen alle denkbaren stetigen Übergänge zugleich auch mögliche Übergänge sind, heißt ein holonomes System.

Der Name soll andeuten, daß ein solches System integralen (oAos) Gesetzen (vôfioç) gehorcht, während die materiellen Systeme im allgemeinen nur Differentialgesetzen unterworfen sind. (Vergleiche 132 ff.)

Analytische Darstellung.

Bemerkung. Ein System materieller Punkte genügt den 124 Bedingungen eines materiellen Systems, wenn die Differentiale seiner rechtwinkligen Koordinaten keinen anderen Bedingungen unterworfen sind als einer Anzahl homogener linearer Gleichungen, deren Koeffizienten stetige Funktionen möglicher Werte der Koordinaten sind.

Denn die erste Art der Stetigkeit, welche die Definition (115) verlangt, muß vorausgesetzt werden, wenn überhaupt von Differentialen der Koordinaten des Systems gesprochen wird; den beiden andern Arten wird durch die Einschränkung der zugelassenen Differentiale genügt.

Umkehrung. Genügt ein System materieller Punkte den 125 Bedingungen eines materiellen Systems, so sind die Differentiale seiner rechtwinkligen Koordinaten keinen anderen Einschränkungen unterworfen, als einer Anzahl homogener linearer Gleichungen unter sich, deren Koeffizienten stetige Funktionen möglicher Werte der Koordinaten sind.

Zum Beweise fassen wir eine mögliche Lage des Systems ins Auge und die möglichen Verrückungen aus ihr. Für eine beliebig herausgegriffene dieser Verrückungen mögen sich die 3n Änderungen dxv verhalten wie:

gll : e12 •

: g13rc

(125) Verstehen wir nun unter dui eine ganz beliebige unendlich kleine Größe, so ist durch den Satz von Gleichungen:

dXp —    duŁ

ein Satz möglicher Verrückungen gegeben. Entweder sind nun in demselben alle möglichen Verrückungen überhaupt enthalten, oder dies ist nicht der Fall. Trifft letzteres zu, so wählen wir eine beliebige zweite Verrückung aus, welche nicht durch jene Form dargestellt werden kann, und es mögen für diese die 3n Änderungen dxv sich verhalten wie:

e21 : g22 :

: s23 n

Verstehen wir nun unter du₂ eine zweite beliebige unendlich kleine Größe, so ist durch das System der Gleichungen:

dOCrp - g\V du-y —j“ <'211 du<£

nach Voraussetzung (116) ein allgemeinerer Satz möglicher Verrückungen gegeben. Entweder sind nun wenigstens in diesem alle möglichen Verrückungen enthalten, oder dies ist nicht der Fall. Wenn letzteres eintritt, so verfahren wir wie vorher, indem wir eine neue Größe du% einführen, und wir wiederholen das Verfahren so lange, bis es wegen Erschöpfung aller möglichen Verrückungen sich nicht wiederholen läßt. Seine Fortsetzung wird spätestens unmöglich, wenn wir 3w Größen du^ eingeführt haben; denn alsdann stellt die Form:

3 n

dxv = eiv dui

i

alle möglichen Verrückungen des Systems auch dann dar, wenn alle denkbaren Verrückungen möglich sind, wenn also gar keine Zusammenhänge zwischen den Punkten des Systems bestehen. Im allgemeinen muß also das Verfahren notwendig früher zu Ende kommen, und es lassen sich daher alle möglichen Verrückungen des Systems darstellen durch Bedingungsgleichungen der Form:

dxv — du^

a)

i

in welcher unter allen Umständen

3n

ist. Damit aber dieser Form durch willkürlich gewählte dux genügt werden könne, ist hinreichende Bedingung, daß die dxv den 3 n — l homogenen linearen Gleichungen genügen, welche durch Elimination der dux aus den Gleichungen a) sich ableiten lassen. Die Größen eXv müssen nach 115,3 stetige Funktionen der Lage sein. Weiteren Einschränkungen als diesen brauchen aber nach 124 die dxv nicht unterworfen zu werden.

Anmerkung. Die Zahl und der Inhalt der Gleichungen, 126 welche wir zwischen den dxv nach dem angegebenen Verfahren ableiten, ist unabhängig von der besonderen Wahl der benutzten Verrückungen.

Denn benutzen wir andere Verrückungen wie vorher und drücken daher die dxv durch andere Größen dvx aus, so können wir die Werte der dxv in diesen in die vorher erhaltenen Eliminationsgleichungen einsetzen. Würden dieselben nicht identisch befriedigt, so wären die dvx nicht unabhängig voneinander, was gegen die Voraussetzung ginge, unter welcher sie bestimmt wurden. Jene Gleichungen werden also identisch befriedigt, und sie können daher nicht verschieden sein von den Gleichungen oder von linearen Kombinationen der Gleichungen, welche durch Elimination der dvx aus den Formen erhalten werden, in welchen sie die dxv darstellen. Größer als die Zahl der mit Hilfe der dvx zu erhaltenden Gleichungen kann demnach die Zahl der mit Hilfe der dux erhaltenen nicht sein; sie kann aber auch nicht kleiner sein, sonst würde das umgekehrte Verfahren erlauben, zu erweisen, daß die dux nicht unabhängig voneinander wären.

Folgerung 1. Der Zusammenhang eines materiellen Sy- 127 stems kann analytisch vollständig beschrieben wTerden durch Angabe einer einzigen möglichen Lage des Systems und eines

Satzes homogener linearer Gleichungen zwischen den Differentialen seiner rechtwinkligen Koordinaten.

Denn Beziehungen zwischen diesen Differentialen können nach 125 nicht anders als durch einen solchen Satz von Gleichungen gegeben werden. Dies hindert allerdings nicht, daß zwischen den Koordinaten auch endliche Gleichungen bestehen. Aber alle diese endlichen Gleichungen ließen sich vollständig ersetzen durch eine einzige mögliche Lage und ebenso viele homogene lineare Gleichungen zwischen den Differentialen. Diese letzteren aber können den unmittelbar gegebenen Differentialgleichungen nicht widersprechen; sie gehen also entweder aus denselben hervor oder sind ihnen zur Erzielung einer vollständigen Beschreibung hinzuzufügen.

128

Bezeichnung. Die Gleichungen, welche den Zusammenhang eines materiellen Systems in den rechtwinkligen Koordinaten desselben darstellen, sollen in Zukunft dauernd in der Form geschrieben werden:

3 n

Xip dxv — 0

i

Dabei wird angenommen, daß i solcher Gleichungen vorhanden seien, und es sind also dem i in den einzelnen Gleichungen die Werte 1, 2, usw. bis i beizulegen. Die Größen xlv sind als stetige Funktionen der xv zu betrachten.

129

Folgerung 2. Der Zusammenhang eines materiellen Systems, dessen Lagen durch allgemeine Koordinaten dargestellt sind, kann analytisch vollständig beschrieben werden durch Angabe einer einzigen möglichen Lage und eines Satzes homogener linearer Gleichungen zwischen den Differentialen der Koordinaten.

Durch Benutzung der allgemeinen Koordinaten pQ, deren Zahl r kleiner als 3 n ist, ist bereits ein Zusammenhang zwischen den Punkten des Systems gesetzt. Denken wir uns deshalb den Zusammenhang zuerst nach 128 vollständig beschrieben durch die rechtwinkligen Koordinaten. In den entsprechenden Differentialgleichungen seien die Werte der dxv in den dpe nach Gleichung 57 b eingetragen. Die entstehenden

linearen homogenen Gleichungen müssen sich so ordnen lassen, daß unter ihnen 3 n — r identisch erfüllt sind infolge der 3n — r Gleichungen, welche ausdrücken, daß die 3n Größen xv Funktionen der r Größen pQ sind. Die übrig bleibenden k = i— Snr Gleichungen zwischen den dpQ ersetzen bei Benutzung der pQ vollständig die sämtlichen Gleichungen zwischen den dxv und genügen daher, nach 127, zusammen mit der Angabe einer möglichen Lage zur vollständigen Beschreibung des Zusammenhanges des Systems.

Bezeichnung. Die Gleichungen, welche den Zusammen- 130 hang eines materiellen Systems in den allgemeinen Koordinaten pQ desselben darstellen, sollen in Zukunft dauernd in der Form geschrieben werden:

Pxq dpç — 0    ,

i

Die Zahl dieser Gleichungen wird gleich k angenommen, und es sind also dem a nacheinander die Werte 1, 2, usw. bis k zu erteilen. Die Größen p„Q sind als stetige Funktionen der pQ zu betrachten.

Anmerkung. Die Gleichungen 128 bzw. 130 werden auch 131 die Differentialgleichungen oder die Bedingungsgleichungen des Systems genannt werden.

Lehrsatz. Lassen sich aus den Differentialgleichungen 132 eines materiellen Systems eine gleiche Zahl von endlichen Gleichungen zwischen den Koordinaten des Systems ableiten, so ist das System ein holonomes System (123).

Denn die Koordinaten einer jeden möglichen Lage müssen alsdann den endlichen Gleichungen genügen. Die Unterschiede der Koordinaten zweier benachbarter Lagen genügen also einer gleichen Zahl von homogenen linearen Differentialgleichungen, und da diese der ebenso großen Zahl der gegebenen Differentialgleichungen des Systems nicht widersprechen können, auch diesen letzteren. Die Verrückung zwischen irgend zwei möglichen Lagen ist also eine mögliche Verrückung, welches die Behauptung ist.

Umkehrung. Ist ein materielles System ein holonomes System, so lassen seine Differentialgleichungen eine ebenso große Zahl von endlichen oder Integralgleichungen zwischen den Koordinaten selbst zu.

133

Man betrachte von den r Koordinaten des Systems, zwischen deren Differentialen die k Gleichungen bestehen, irgendwelche r — k, etwa die ersten r — k als unabhängig veränderlich. Man gehe von einer beliebigen Anfangslage des Systems auf verschiedenen möglichen Bahnen zu einer Lage über, für welche die unabhängigen Koordinaten bestimmte Werte haben. Käme man nun mit stetig sich ändernder Bahn zu stetig sich ändernden Werten der übrigen Koordinaten, also zu verschiedenen Lagen, so wären diese Lagen mögliche Lagen, die Verrückungen zwischen ihnen also nach Voraussetzung mögliche Verrückungen. Es gäbe also von Null verschiedene Wertsysteme der Differentiale, welche den Differentialgleichungen genügen, obwohl die ersten r — k dieser Differentiale gleich Null gesetzt sind. Dies ist nicht möglich, da die Gleichungen homogen und linear sind. Also kommen wir stets zu denselben Werten nicht nur der ersten r — k, sondern auch der übrigen Koordinaten. Die letzteren sind also bestimmte Funktionen der ersteren. Die k endlichen Gleichungen, welche dies ausdrücken, sind, da sie den Differentialgleichungen nicht widersprechen können, Integralgleichungen derselben.

Bewegungsfreiheit.

134

Definition. Die Zahl der willkürlich anzunehmenden unendlich kleinen Änderungen der Koordinaten eines materiellen Systems heißt die Zahl der Bewegungsfreiheiten des Systems oder auch der Grad der Freiheit seiner Bewegung.

Bemerkungen dazu.

1. Die Zahl der Freiheiten eines Systems ist gleich der Zahl seiner Koordinaten, vermindert um die Zahl der Differentialgleichungen des Systems.

Bewegungsfreiheit.

97

2.    Die Zahl der Freiheiten eines materiellen Systems ist 136 unabhängig von der Wahl der Koordinaten.

In der Bezeichnung von 128—130 ist die Zahl der Freiheiten gleich r — k, also (129) gleich 3n — i, also stets dieselbe Zahl, welche Zahlen auch durch r und k dargestellt sind.

3.    Die Zahl der Freiheiten eines Systems ändert sich 137 nicht mit der Lage des Systems.

Da der Zusammenhang ein stetiger ist, so kann sich die Zahl der Freiheiten in benachbarten Lagen nicht um ein Endliches unterscheiden, also, da eine stetige Änderung dieser Zahl ausgeschlossen ist, auch nicht in endlich entfernten Lagen.

4.    Der Beweis des Satzes 125 enthält eine Lösung der 138 Aufgabe: Die Zahl der Bewegungsfreiheiten des vollständig bekannten materiellen Systems, allerdings nicht ohne Probieren, zu finden. Die Zahl l der nach der Methode jenes Beweises gefundenen Hilfsgrößen du^ ist die gesuchte Zahl.

Ist von vornherein bekannt, daß die möglichen Lagen des Systems sich durch r allgemeine Koordinaten pe darstellen lassen, so können in jenem Beweise auch diese Koordinaten anstatt der xv benutzt werden.

Definition. Eine Koordinate eines materiellen Systems, 139 deren Änderungen unabhängig von den Änderungen aller übrigen Koordinaten geschehen können, heißt eine freie Koordinate des Systems.

Folgerung. Eine freie Koordinate kommt in den Diffe- 140 rentialgleichungen ihres Systems nicht vor, und umgekehrt ist jede Koordinate, welche in den Differentialgleichungen nicht vorkommt, eine freie Koordinate.

Anmerkung 1. Ob eine bestimmte Koordinate eines Sy- 141 stems eine freie Koordinate ist, oder nicht, hängt ab von der Wahl der übrigen, gleichzeitig benutzten Koordinaten.

Denn kommt eine gewisse Koordinate in den Differentialgleichungen des Systems nicht vor, und wählen wir nun an Stelle einer der Koordinaten, welche in diesen Gleichungen Vorkommen, eine Funktion dieser und jener ersten als KoOrdi-

Her tz, Mechanik. 2. Aufl.

nate, so verliert jene erste die Eigenschaft, freie Koordinate zn sein, welche sie bis dahin hatte.

142

Anmerkung 2. In einem freien System ist jede Koordinate der absoluten Lage eine freie Koordinate.

Vergleiche 118 und 122.

143

Lehrsatz. Lassen sich die möglichen Lagen eines materiellen Systems durch Koordinaten darstellen, welche sämtlich freie Koordinaten sind, so ist das System ein holonomes (123).

Jede Verrückung des Systems zwischen möglichen Lagen wird durch ein Wertsystem der Differentiale der freien Koordinaten ausgedrückt; jedes solche Wertsystem ist aber möglich, da es keinen Bedingungen unterworfen ist, und daher ist jede Verrückung zwischen möglichen Lagen eine mögliche Verrückung.

144

Umkehrung. In einem holonomen System lassen sich alle möglichen Lagen durch freie Koordinaten darstellen.

Hat ein holonomes System r Koordinaten, zwischen welchen k Differentialgleichungen bestehen, so lassen sich k der Koordinaten als Funktionen der übrigen r — k darstellen (vergl. 133). Diese r — k willkürlich ausgewählten Koordinaten bestimmen also * bereits die Lage des Systems vollständig und können unter Weglassung der übrigen Koordinaten als freie Koordinaten des Systems benutzt werden. Auch irgendwelche r — k Funktionen der ursprünglichen r Koordinaten können offenbar der gleichen Absicht dienen.

145

Anmerkung 1. Die Zahl • der freien Koordinaten eines holonomen Systems ist gleich der Zahl seiner Bewegungsfreiheiten.

Anmerkung 2. Ist die Zahl der Koordinaten eines materiellen Systems gleich der Zahl seiner Bewegungsfreiheiten, so sind die Koordinaten sämtlich freie Koordinaten, und das System ist ein holonomes.

Denn bestände auch nur eine einzige Differentialgleichung zwischen den Koordinaten, so wäre schon die Zahl der Koordinaten größer als die der Bewegungsfreiheiten. Kleiner als

Be wegungsfreiheit.

99

die Zahl der Bewegungsfreiheiten kann die Zahl der Koordinaten überhaupt nicht sein.

Anmerkung 3. Die möglichen Lagen eines Systems, 147 welches kein holonomes ist, lassen sich nicht vollständig allein durch freie Koordinaten darstellen.

Denn das Gegenteil dieser Behauptung stände in Widerspruch zu 143.

¹

   Wenn zwischen den Punkten eines Systems Zusammenhänge bestehen, so ist damit ein Teil der denkbaren Verrückungen des Systems von der Betrachtung ausgeschlossen, diejenigen Verrückungen des Systems nämlich, deren Stattfinden den vorausgesetzten Aussagen widersprechen würde. Umgekehrt bildet jede Aussage, daß von den denkbaren Verrückungen des Systems ein Teil von der Betrachtung auszuschließen sei, einen Zusammenhang zwischen den Punkten des Systems. Die Zusammenhänge der Punkte eines Systems sind vollständig gegeben, wenn für jede denkbare Verrückung des Systems bekannt gegeben ist, ob dieselbe zur Betrachtung zugelassen oder von derselben ausgeschlossen sei.

Verrückungen senkrecht zu den möglichen Verrückungen»

Lehrsatz. Lassen sich in einem System die r Kompo- 148 nenten dpQ einer Verrückung ds nach den Koordinaten ps darstellen durch k Größen yK in der Form:

k

dpg — Pxo Yx , i

worin die pHe den Bedingungsgleichungen des Systems (130) entnommen sind, so steht die Verrückung senkrecht auf jeder möglichen Verrückung des Systems aus der gleichen Lage.

Es sei nämlich ds die Länge einer beliebigen möglichen Verrückung aus der gleichen Lage, und es seien die dp's die Änderungen der Koordinaten für diese Verrückung. Multiplizieren wir nun die Gleichungen der Reihe nach mit dp'e und addieren sie, so erhalten wir unter Berücksichtigung der Gleichungen 85 und 130:

r    kr

dpQ dp^ = ds ds cos S,S — '/Ä px    dpg = 0    ,

i    ii

also coss,/ = 0;    s,/ = 90°, was zu beweisen war.

Zusatz. Die r Komponenten dpe einer Verrückung ds 149 nach den Koordinaten ps sind eindeutig bestimmt durch h unter ihnen und die Angabe, daß die Verrückung senkrecht stehe auf jeder möglichen Verrückung des Systems.

Es seien nämlich wieder die dpQ die Änderungen der pQ für eine beliebige mögliche Verrückung. Mit Hilfe der k Bedingungsgleichungen können wir k derselben ausdrücken als

homogene lineare Funktionen der übrigen r — h und diese Werte einsetzen in die Gleichung:

2? dpq dpQ = 0    .

i

Die in dieser Gleichung noch vorhandenen dpQ sind nun völlig willkürlich, es muß also der Faktor einer jeden dieser Größen verschwinden. Dies gibt r — k homogene lineare Gleichungen zwischen den dpe, welche gestatten, r — k derselben als eindeutige, weil lineare Funktionen der übrigen k darzustellen.

150

151

Umkehrung. Steht eine denkbare Verrückung senkrecht auf jeder möglichen Verrückung eines Systems, so lassen sich die r Komponenten dpQ derselben nach den pe stets durch passende Bestimmung von k Größen yx darstellen in der Form:

k

dpQ ⁼ X*.* Pxo Ifx

l

Bestimmen wir nämlich die yK aus irgendwelchen k dieser Gleichungen und berechnen mit diesen Werten die sämtlichen Komponenten, so müssen wir auf die gegebenen Werte der dpe kommen. Denn die so berechnete Verrückung steht nach 148 senkrecht auf allen möglichen und hat mit der gegebenen Verrückung k Komponenten gemein, sie hat also mit derselben nach 149 alle r Komponenten nach den pQ gemein.

Abschnitt 5. Von den ausgezeichneten Bahnen der materiellen Systeme.

i. Geradeste Bahnen.

Definitionen.

1.    Ein Bahnelement eines materiellen Systems heißt gerader als ein anderes, wenn es eine geringere Krümmung hat.

2.    Geradestes Bahnelement nennen wir ein mögliches

Bahnelement, welches gerader ist als alle anderen möglichen Bahnelemente, welche mit ihm die Lage und die Richtung gemein haben.

3. Eine Bahn, deren sämtliche Elemente geradeste Eie- 153 mente sind, heißt eine geradeste Bahn.

Analytische Darstellung. Alle Bahnelemente, unter wel- 154 chen ein geradestes Bahnelement das geradeste ist, haben Lage und Richtung, also die Werte der Koordinaten und der ersten Differentialquotienten der Koordinaten nach der unabhängigen Variabein gemein. Die Krümmung ist aber, außer durch jene Werte, auch noch mitbestimmt durch die zweiten Differentialquotienten der Koordinaten. Durch die Werte dieser also unterscheiden sich jene Bahnelemente, und es müssen also für das geradeste Bahnelement die zweiten Differentialquotienten solche Funktionen der Koordinaten und ihrer ersten Differentialquotienten sein, welche die Krümmung zu einem Minimum machen.

Die Gleichungen, welche diese Bedingung ausdrücken, müssen erfüllt sein für alle Lagen einer geradesten Bahn, sie sind also zugleich die Differentialgleichungen einer solchen Bahn.

Aufgabe 1. Die Differentialgleichungen der geradesten 155 Bahnen eines materiellen Systems darzustellen in den rechtwinkligen Koordinaten des Systems.

Es möge als unabhängige Variabele die laufende Bahnlänge gewählt werden. Da nur mögliche Bahnen in Betracht zu ziehen sind, unterliegen die 3n Größen x'v nach 128 und 100 i Gleichungen von der Form:

a)

xlv Xp — 0    .

Also unterliegen die 3 n Größen x\ i Gleichungen von der Form:

Xv x'u = 0

3 n    Bw 3n ^

//    , X¹ 'S? axtv

2* Xiv xv +    2? ÖX/i

welche durch Differentiation aus jenen folgen.

Unter der Voraussetzung, daß diesen Gleichungen b) nicht widersprochen werde, sollen die Größen x" so bestimmt werden, daß die Krümmung c (106) oder, was dasselbe sagt, daß der Wert von }c², nämlich

Sn

C)

1 m

- > — xv

A j ffi

ein Minimum werde.

Nach den Regeln der Differentialrechnung verfahren wir wie folgt: Wir multiplizieren jede der Gleichungen b) mit einem nachträglich zu bestimmenden Faktor, welcher für die i te Gleichung Bt heißen möge ; wir addieren die partiellen Differentialquotienten der linken Seiten der entstandenen Gleichungen nach einer jeden der Größen x” zu dem nach der gleichen Größe genommenen partiellen Differentialquotienten der Form e), welche zu einem Minimum zu machen ist; wir setzen schießlich die entstandenen Aggregate gleich Null. Wir erhalten so 3w Gleichungen von der Form:

<1)

—x,;+'%xlvzl = o ,

m    J-r-¹

welche zusammen mit den i Gleichungen b) 3 n-\-i nicht homogene, lineare Gleichungen für die 3 n + i Größen xÿ und Bt ergehen, und aus welchen sich diese Größen und dann aus c) der Wert der kleinsten Krümmung selbst ergeben. Die Erfüllung der Gleichungen d) längs aller Lagen einer möglichen Bahn ist also notwendige Bedingung dafür, daß die Bahn eine geradeste sei, und die Gleichungen d) sind also die verlangten Differentialgleichungen.

f

Anmerkung 1. Die Gleichungen d) sind aber auch die hinreichenden Bedingungen, zunächst für das Eintreten eines Minimums. Denn die zweiten Differentialquotienten

d²c² dx"dx"

verschwinden, sobald v und y verschieden sind, und sind notwendig positiv, sobald v und y gleich sind. Der Wert der Krümmung läßt also keine anderen ausgezeichneten Werte zu, als allein ein Minimum.

Die Erfüllung der Gleichungen d) für alle Lagen einer möglichen Bahn ist demnach auch hinreichende Bedingung dafür, daß die Bahn eine geradeste sei.

Anmerkung 2. Unter Berücksichtigung von 72 können 157 die Gleichungen d) in der Form geschrieben werden:

j/^~ (cos 8yXp) = — Xlv-<■    '

Die Gleichungen d) geben also an, wie sich die Richtung der Bahn beim Fortschreiten in ihrer Länge beständig ändern muß, damit die Bahn eine geradeste bleibe; und zwar gibt eine jede einzelne Gleichung an, wie sich die Neigung der Bahn gegen eine bestimmte der rechtwinkligen Koordinaten ändert.

Aufgabe 2. Die Differentialgleichungen der geradesten 158 Bahnen eines materiellen Systems in den allgemeinen Koordinaten des Systems auszudrücken.

Wir wählen wieder als unabhängige Variabele die Bahnlänge. Die Koordinaten pe und ihre Differentialquotienten />' genügen (130) den k Gleichungen

a)

b)

^PP*qPq — ®    >

i

also die Größen den Gleichungen:

1 11

Unter allen Werten der p”, welche diesen Gleichungen genügen, sind diejenigen zu bestimmen, welche den Wert der

Krümmung c oder, was auf dasselbe hinausläuft, den Wert von i c², also die halbe rechte Seite der Gleichung 108 c zu einem Minimum machen. Verfahren wir nach den Regeln der Differentialgleichung wie in 155, und nennen wir ZT* den Faktor, mit welchem wir die xte der Gleichungen b) multiplizieren, so erhalten wir als notwendige Bedingungen für das Minimum r Gleichungen von der Form:

\ ^

J Pap i ~f“ /V Pxq ïly. — 0    ;

in welchen nämlich dem p für jede Gleichung ein bestimmter Wert von 1 bis r zu erteilen ist. Zusammen mit den Gleichungen b) bilden sie r + k nicht homogene, lineare Gleichungen für die r + k Größen />" und 77* , aus welchen sich diese Größen und dann nach 108 die kleinste Krümmung bestimmen lassen. Die Erfüllung der Gleichungen d) längs aller Lagen einer möglichen Bahn ist die notwendige Bedingung dafür, daß die Bahn eine geradeste sei.

159

160

Anmerkung 1. Die Erfüllung der Gleichungen d) ist aber auch die hinreichende Bedingung für das Eintreten eines Minimums und also einer geradesten Bahn. Denn der Ausdruck 108 ist nur eine Transformation des Ausdrucks 106 für die Krümmung; wie dieser (156) läßt daher auch jener nur einen einzigen ausgezeichneten Wert, und zwar ein Minimum zu.

Anmerkung 2. Nach 75 haben wir:

VCIqç COS S,Pq — /V CLq(xPa

also ist:

Pa Pt •

^    _ r    r r

7cos s,pQ) = y? aQ(Tpa + 2^

CIS    s    i

Es lassen sich daher die Gleichungen 158d auch schreiben in der Form:

Or

<*)

rH |<M

cd

a

Die Gleichungen 158 d geben also wiederum an, wie sich die Richtung der Bahn beim Fortschreiten in ihrer Länge ändern muß, damit die Bahn eine geradeste bleibe; und zwar gibt jetzt jede einzelne Gleichung an, wie sich die Neigung gegen eine bestimmte der Koordinaten pe ändert.

Lehrsatz. Aus einer gegebenen Lage in einer gegebenen 161 Richtung ist stets eine und nur eine geradeste Bahn möglich.

Denn ist eine Lage und eine Richtung in ihr gegeben, so geben die Gleichungen 155 d oder 158d stets bestimmte, und zwar eindeutig bestimmte Werte für die Änderung der Richtung; es ist also durch die gegebenen Größen eindeutig bestimmt die Anfangslage und die Richtung im nächsten Bahnelement, also auch die im Folgenden, und so fort ins Unendliche.

Folgerung. Es ist im allgemeinen nicht möglich, von 162 einer beliebigen Lage eines gegebenen Systems zu einer beliebigen anderen Lage eine geradeste Bahn zu ziehen.

Denn die Mannigfaltigkeit der möglichen Verrückungen aus einer Lage ist gleich der Zahl der Bewegungsfreiheiten des Systems, die Mannigfaltigkeit der möglichen Richtungen in einer Lage und daher die Mannigfaltigkeit der geradesten Bahnen aus ihr also um die Einheit kleiner. Die Mannigfaltigkeit der Lagen, welche auf geradesten Bahnen von einer gegebenen Lage aus zu erreichen sind, ist also wieder gleich der Zahl der Freiheiten. Aber die Mannigfaltigkeit der möglichen Lagen kann der Zahl der benutzten Koordinaten gleich sein, und ist daher im allgemeinen größer als jene.

Bemerkung 1. Um alle geradesten Bahnen eines mate- iG3 riellen Systems, dessen Lagen durch die pQ bezeichnet sind, durch Gleichungen zwischen eben diesen pQ darstellen zu können, ist nicht die Kenntnis irgendwelcher 3n Funktionen erforderlich, welche die Lagen der einzelnen Punkte des Systems

als Funktionen der pQ vollständig bestimmen. Es genügt vielmehr, daß neben den Bedingungsgleichungen des Systems in den pe die lr(r +1) Funktionen aßa der pQ bekannt gegeben seien.

Denn die Differentialgleichungen der geradesten Bahnen 158 d können explizite hingeschrieben werden, sobald nur neben den pKQ die aQO als Funktionen der pe gegeben sind.

Bemerkung 2. Um die geradesten Bahnen eines materiellen Systems, dessen Lagen man durch die pe bezeichnet hat, durch Gleichungen zwischen eben diesen pQ angeben zu können, genügt neben der Kenntnis der Bedingungsgleichungen zwischen den pQ die Kenntnis der Länge einer jeden möglichen unendlich kleinen Verrückung als Funktion eben jener Koordinaten pQ und deren Änderungen.

Denn ist ds der Ausdruck jener Länge in der verlangten Form, so ist (57d)

d²ds²

² ddpQddpa

165

Bemerkung 3. Um den Wert der Krümmung selbst zu kennen in jeder Lage einer geradesten Bahn, genügt indessen die Kenntnis der \r{r-f-1) Funktionen aQa nicht. Es muß hinzukommen die Kenntnis der ± r² (r -j-1)² Funktionen

aQoXfi (108).

Die Kenntnis der Lagen aller einzelnen Punkte als Funktionen der pe ist auch zur Ermittelung der Krümmung selbst nicht erforderlich.

2. Kürzeste und geodätische Bahnen.

Definition 1. Kürzeste Bahn eines materiellen Systems zwischen zweien seiner Lagen heißt eine mögliche Bahn zwischen diesen Lagen, deren Länge kleiner ist als die Länge irgend einer anderen, ihr unendlich benachbarten Bahn zwischen denselben Lagen.

Bemerkungen dazu.

1. Es ist durch die Definition nicht ausgeschlossen, und 167 es kann in der Tat eintreten, daß es mehrere kürzeste Bahnen zwischen zwei Lagen gibt. Die kürzeste unter diesen heißt die absolut kürzeste Bahn. Sie ist zugleich die kürzeste Bahn, welche überhaupt zwischen den beiden Lagen möglich ist.

2. Zwischen irgend zwei möglichen Lagen eines mate- 168 rielleu Systems ist stets mindestens eine kürzeste Bahn möglich.

Denn mögliche Bahnen sind zwischen möglichen Lagen stets vorhanden (114), unter ihnen also eine absolut kürzeste, welche also auch kürzer ist als ihre Nachbarn, deren sie nach der vorausgesetzten Stetigkeit (121, 115) besitzen muß, welche also eine kürzeste Bahn ist.

3. Eine kürzeste Bahn zwischen zwei Lagen ist zugleich 169 eine kürzeste Bahn zwischen irgend zwei der ihr angehörigen Lagen. Jeder Teil einer kürzesten Bahn ist wieder eine kürzeste Bahn.

4. Die Länge einer kürzesten Bahn unterscheidet sich 170 nur um unendlich kleine Größen höherer Ordnung von der Länge aller benachbarten Bahnen zwischen den gleichen Endlagen. Als unendlich kleine Größen der ersten Ordnung gelten dabei die Längen der Verrückungen, welche nötig sind, um die benachbarten Bahnen in die kürzeste überzuführen.

Definition 2. Geodätische Bahn eines materiellen Systems 171 heißt jede Bahn, deren Länge zwischen irgend zweien ihrer Lagen sich nur um unendlich kleine Größen höherer Ordnung unterscheidet von der Länge irgendwelcher unendlich benachbarter Bahnen zwischen den gleichen Lagen.

Bemerkungen dazu.

1. Jede kürzeste Bahn zwischen irgend zwei Lagen ist 172 eine geodätische Bahn.

Es enthält also auch die Definition 171 nicht etwa einen inneren Widerspruch, sondern es gibt Bahnen, welche dieser Definition genügen.

173

2.    Zwischen irgend zwei möglichen Lagen eines materiellen Systems ist stets mindestens eine geodätische Bahn möglich (168 und 172).

174

3.    Eine geodätische Bahn ist nicht notwendig zugleich kürzeste Bahn zwischen irgend zweien ihrer Lagen.

Es kann aus den Definitionen nicht gefolgert werden, daß jede geodätische Bahn auch kürzeste Bahn ist, und einfache Beispiele zeigen, daß es in der Tat geodätische Bahnen gibt, welche nicht zugleich kürzeste Bahnen zwischen ihren Endlagen sind. Solche Beispiele können bereits der Geometrie des einzelnen materiellen Punktes, also der gewöhnlichen Geometrie entnommen, und also aus dieser als bekannt vorausgesetzt werden.

175

176

4.    Gibt es zwischen zwei Lagen nur eine einzige geodätische Bahn, so ist dieselbe eine kürzeste, und zwar die absolut kürzeste Bahn zwischen beiden Lagen.

Denn das Gegenteil würde nach 168 und 172 der Voraussetzung widersprechen.

5.    Eine geodätische Bahn ist stets kürzeste Bahn zwischen irgend zwei hinreichend benachbarten, übrigens noch endlich voneinander entfernten ihrer Lagen.

Es möge zwischen zwei beliebigen Lagen der betrachteten geodätischen Bahn noch eine Anzahl weiterer geodätischer Bahnen geben. Mit einer dieser Bahnen muß die absolut kürzeste Bahn zwischen beiden Lagen zusammenfallen (172). Nähern wir nun die Lagen einander längs der betrachteten geodätischen Bahu, so nähert sich die Länge dieser Bahn und zugleich die Länge der absolut kürzesten Bahn der Null, während die übrigen geodätischen Bahnen endlich bleiben. Mindestens von einem gewissen endlichen Abstand der Lagen an muß also die geodätische Bahn, längs welcher die beiden Lagen sich nähern, mit der absolut kürzesten unter ihnen zusammenfallen.

Analytische Darstellung. Damit eine Bahn eine geodä- 177 tische Bahn sei, ist die notwendige und hinreichende analytische Bedingung, daß das Integral des Bahnelements (99), nämlich

J ds ,

genommen zwischen irgend zwei Lagen der Bahn, nicht variiere, wenn auch den Koordinaten der Lagen der Bahn beliebige stetige Variationen erteilt werden, vorausgesetzt nur, daß 1) diese Variationen verschwinden an den jedesmaligen Grenzlagen des Integrals, und daß 2) auch noch nach Ausführung der Variation die Koordinaten und ihre Differentiale den Bedingungsgleichungen des Systems genügen. Als notwendige und hinreichende Bedingung hierfür ergibt sich ein Satz von Differentialgleichungen, denen die Koordinaten der Bahn, gedacht als Funktionen einer beliebigen Variabelen, genügen müssen, und welche also die Differentialgleichungen der geodätischen Bahnen sind.

Daß jene Differentialgleichungen für alle Punkte einer 178 möglichen Bahn erfüllt seien, ist nach 172 zugleich die notwendige Bedingung dafür, daß die Bahn eine kürzeste sei, und jene Gleichungen sind daher zugleich die Differentialgleichungen der kürzesten Bahnen. Das Verschwinden der Variation des Integrals ist aber noch nicht hinreichende Bedingung dafür, daß die Bahn zwischen seinen Endlagen eine kürzeste sei. Vielmehr ist hierzu weiter erforderlich, daß für jede zulässige Variation der Koordinaten eine zweite Variation des Integrals einen wesentlich positiven Wert habe. Für hinreichend benachbarte Lagen einer Bahn, welche den Differentialgleichungen genügt, ist diese Bedingung nach 176 stets von selber erfüllt.

Aufgabe 1. Die Differentialgleichungen der geodätischen 179 Bahnen eines materiellen Systems in den rechtwinkligen Koordinaten desselben darzustellen.

Die 3 n rechtwinkligen Koordinaten xv, welche wir zunächst als Funktionen einer beliebigen Variabelen ansehen, sollen vor und nach der Variation den i Gleichungen

3 n

(179)

»)

"y* xLV dxv = 0 1

genügen (128). Die 3 n Variationen §xv sind also gebunden an die i Gleichungen, welche aus jenen durch Variation folgen, nämlich:

b)

3 n    3« Bii »

2’ ^^ + 2'2" ex’

d'Xp dxv = 0    .

Da die Länge ds des Bahnelements nicht von den xv, sondern nur von den dxv abhängt, so ist seine Variation

B)l »i 7

GUS

odXv = yv Qdx dvKp

Dies vorausgesetzt, soll

e)

djds=f Sds = 0

gemacht werden. Nach den Regeln der Variationsrechnung multiplizieren wir jede der Gleichungen b) mit einer nachträglich zu bestimmenden Funktion der xv, welche für die i te Gleichung mit |t bezeichnet werden möge, und addieren die Summe der linken Seiten der entstandenen Gleichungen, welche Summe gleich Null ist, zu dem variierten Element des Integrals. Durch partielle Integration schaffen wir die Differentiale der Variationen fort; endlich setzen wir den Faktor einer jeden der willkürlichen Funktionen dxv gleich Null. Wir erhalten so 3n Differentialgleichungen der Form:

<l)

/dds \

d[ëdTrl +2

%iv

i 3 n /

22

i i \

dxc

dXy

dz»

v) il <1x^ = 0    .

welche zusammen mit den i Gleichungen a) 3» + f Gleichungen für die 3 n -f- i Funktionen xv und f, bilden. Diese Differential-

gleichungen sind notwendige Bedingungen für das Verschwinden der Variation des Integrals; jede geodätische Bahn genügt also denselben, und sie stellen also die gesuchte Lösung dar.

Anmerkung 1. Die Differentialgleichungen 179 d sind aber 180 auch hinreichende Bedingungen dafür,¹ daß die Bahn, welche ihnen genügt, eine geodätische Bahn sei. Denn sind jene Gleichungen erfüllt, so wird die Variation des Integrals fds gleich den Gliedern, welche bei der partiellen Integration vor das Integralzeichen treten; es wird also in der üblichen Bezeichnungsweise, wenn mit 0 die untere, mit 1 die obere Grenze angedeutet wird:

Sf ds =

f tdds

ddxv

i⁻ btj Sx»

i    ' Jo

Lassen wir also für irgend zwei Lagen der Bahn die Variationen §xv verschwinden, so verschwindet die Variation des Integrals zwischen jenen Lagen als Grenzwerten, und es ist daher die für geodätische Bahnen verlangte hinreichende analytische Bedingung nach 177 erfüllt.

Anmerkung 2. Benutzen wir die laufende Länge der 181 Bahn als unabhängige Variabele, so nehmen unter Berücksichtigung von 55 und 100 die Gleichungen 179 d nach Division durch ds die Formen an:

3 71 i

w, dxw

dxlv

i zr ar

1    1 \uxv

dx^

a)

welche zusammen mit den i durch Differentiation von 179a erhaltenen Gleichungen:

Bit    3 n 3 n    -

b)

x’    n , 'S? 'S? axlv , ,

Xlv %v -J-    /y- -    Xv Xji — 0

1    li 0xv

d>n-\-i nicht homogene, lineare Gleichungen für die 3?z + z' Größen x” und f' darstellen, und also erlauben, diese Größen

als eindeutige Funktionen der Größen xv, x'v und |e anzugeben.

182

Anmerkung 3. Unter Benutzung von 72 kann den Gleichungen 181a die Form gegeben werden:

]/— 4- (cos S,XV) = — ^

* m ds

i    i    3 n z

2^+22'

i    i    i    \

dx^ — dxi dxv dx

- U'4 •

A*/

Die Gleichungen 181a geben also an, wie sich die Richtung der Bahn bei gegebenem Anfang derselben beständig ändern muß, damit die Bahn eine geodätische bleibe; und zwar gibt jede einzelne Gleichung an, wie sich die Neigung gegen eine bestimmte der rechtwinkligen Koordinaten ändert.

183

Aufgabe 2. Die Differentialgleichungen der geodätischen Bahnen eines materiellen Systems in den allgemeinen Koordinaten pe desselben darzustellen.

Die r Koordinaten ps des Systems sind gebunden an die k Gleichungen (130):

a)

und also die r Variationen dpe an die Gleichungen:

b)

P*Q dSPQ +

i i 1°

~ Spa dpq — 0    .

Die Länge ds einer unendlich kleinen Verrückung hängt jetzt nicht allein von den Differentialen dpe, sondern auch von den Werten der pe selbst ab, es ist also:

dds

ods — >q --7— ddPe

dôpç +    ^ ô'Pq •

Dies vorausgesetzt, soll

gemacht werden. Indem wir nach den Regeln der Variation verfahren, genau wie in 179, und indem wir mit nH den Faktor der jc ten Gleichung b) bezeichnen, erhalten wir r Differentialgleichungen von der Form:

4w)

k

“h Pxq diix

i

Te r

yxy, eh?

r v W,

dds

dPe

d)

dP»Q

dpa

Ttx dpa = 0    ,

welche zusammen mit den Gleichungen a) r -f- k Differentialgleichungen für die r -f- k Funktionen pQ und itM der unabhängigen Variabelen bilden. Diese Gleichungen sind notwendige Bedingungen für das Verschwinden der Variation, sind also erfüllt in allen Lagen einer geodätischen Bahn; sie enthalten demnach die Lösung der gestellten Aufgabe.

Anmerkung 1. Die Differentialgleichungen 188 tl sind aber 184 auch hinreichende Bedingungen dafür, daß die Bahn, welche ihnen genügt, eine geodätische Bahn sei. Denn sind jene Gleichungen erfüllt, so wird die Variation der Bahnlänge (vergl. 180):

öfds - _{ddPe⁺2*n*) jo •

Lassen wir also für irgend zwei Lagen der Bahn die Variationen §pQ verschwinden, so verschwindet die Variation des Integrals zwischen jenen Lagen als Grenzlagen, und es ist daher die für geodätische Bahnen verlangte analytische Bedingung erfüllt (177).

Anmerkung 2. Wählen wir die Bahnlänge als unab- 185 hängige Variabele, indem wir die Gleichungen 183d durch ds dividieren und für ds seinen Wert in den pQ und dpc nach 57 d einsetzen, so erhalten wir die Gleichungen der geodätischen Bahnen in der Form der r Gleichungen:

Hertz, Mechanik. 2. Aufl.

a)

Tc    Je T / «-i    «■v

. ''O    '    {dpxo dp

+ 2tp*q ~ \dPe

P°Pt

dpa

welche zusammen mit den k aus 188 a abgeleiteten Gleichungen

~\s/r

*b

IS

V tor

Ą/j ■*

*b

~\s/r

Q

PqP'(J = ⁰

r + k nicht homogene, lineare Gleichungen für die r + k Größen jo" und bilden, also gestatten, diese Größen als eindeutige Funktionen der pp, p'e und anzugehen.

186

Anmerkung 8. Indem wir bei der Einführung der Bahnlänge als unabhängiger Variabele die Gleichung 92 berücksichtigen, erhalten wir die Gleichungen 185a in der Form:

4(V«wcoss^) =

to -

b

-M’

Qj

■Ff

ÄH

HM*

Qj|

X b

Jene Gleichungen geben also wiederum an, wie sich die Richtung der Bahn mit Durchlaufung ihrer Länge ändern muß, damit die Bahn beständig eine geodätische bleibe; und zwar gibt jede einzelne Gleichung an, wie sich die Neigung gegen eine bestimmte der Koordinaten pe ändert.

Bemerkung 1. Eine geodätische Bahn ist durch Lage und Richtung eines ihrer Elemente noch nicht bestimmt, sondern aus einer gegebenen Lage in gegebener Richtung ist im allgemeinen eine unendliche Anzahl geodätischer Bahnen möglich.

Sind uns für eine Lage der Bahn die pe, p'e und die k Größen %H gegeben, so sind sie nach 185 auch für das nächste Element eindeutig bestimmt, und die Fortsetzung der Bahn

ist also nur in eindeutig bestimmter Weise möglich. Die Angabe der Richtung der Bahn in jener gegebenen Lage aber liefert nur die Größen pQ und p'e, und genügt also nicht zur Festlegung der Bahn, sondern läßt, wenn nicht besondere Verhältnisse vorliegen, noch eine k fache Unendlichkeit geodätischer Bahnen zu.

Bemerkung 2. Wenn die Differentialgleichungen des be- 188 trachteten Systems kein Integral zulassen, also im allgemeinen Falle, können von den 2r Größen pQ und pQ, welche eine Lage und die Richtung in dieser bestimmen, 2r — k willkürlich angenommen werden, nämlich die r Größen pe und r — k der Größen p'e. Jene 2r — k willkürlichen Werte, zusammen mit den k willkürlichen Werten der %x in jener Lage können als die 2r willkürlichen Konstanten angesehen werden, welche zusammen mit den Differentialgleichungen 185a eine geodätische Bahn bestimmen, und welche in den Integralen jener Gleichungen auch vorhanden sein müssen, da es nach 173 möglich sein soll, jede mögliche Lage des Systems mit jeder andern durch eine geodätische Bahn zu verbinden. Lassen nämlich die Differentialgleichungen des Systems keine endliche Beziehung zwischen den pQ ableiten, so ist jedes denkbare Wertsystem dieser Größen auch ein mögliches Wertsystem; eine willkürliche Anfangs- und Endlage sind also zusammen durch 2 r willkürliche Koordinatenwerte bestimmt.

Bemerkung 3. Für jedes Integral, welches die Differential- 189 gleichungen des materiellen Systems zulassen, vermindert sich die Zahl der Konstanten, welche eine geodätische Bahn eindeutig bestimmen, um zwei.

Lassen sich nämlich aus den Bedingungsgleichungen des Systems l endliche Gleichungen zwischen den pQ herleiten, so können von den r Koordinaten pQ nur noch r — l willkürlich angenommen werden, von den 2r Größen pQ und /?', welche eine Lage und eine Richtung in ihr bestimmen, also nur noch 2 r — l — k. Ferner lassen sich in diesem Falle die Differential-gleichuogen durch Multiplikation mit geeigneten Faktoren und Addition in solche Form bringen, daß l derselben unmittelbar integrabele Gleichungen darstellen, nämlich diejenigen Gleichungen, welche durch Differentiation der l endlichen Be-

Ziehungen gewonnen werden. Für jede dieser Gleichungen, von welchen eine den Index ü haben möge, wird dann:

dpxo dpxe Q dpe Spa

Es verschwinden dann also die entsprechenden Größen aus den Gleichungen 185 a, und alle und %'K sind bereits eindeutig bestimmt durch die A — / Werte der übrigen nK. Im ganzen also behalten wir noch übrig 2r— 21 willkürliche Bestimmungsstücke; zwei sind für jede endliche Gleichung verloren gegangen.

Übrigens genügen diese 2r — 2l willkürlichen Konstanten immer noch, wie es sein muß, um jede mögliche Lage des Systems mit jeder andern durch eine geodätische Bahn zu verbinden. Denn bestehen zwischen den ps l endliche Gleichungen, so genügt es, die Bahn so zu führen, daß zwei ihrer Lagen mit den gegebenen Lagen je r — l Koordinaten gemein haben; die Übereinstimmung in Hinsicht der übrigen wird alsdann von selbst statthaben.

3- Beziehungen zwischen geradesten und geodätischen

Bahnen.

190

Lehrsatz. In einem holonomen System ist jede geodätische Bahn eine geradeste Bahn und auch umgekehrt jede geradeste eine geodätische Bahn.

Benutzen wir für den Beweis rechtwinklige Koordinaten. Ist das System ein holonomes, so läßt sich den i Bedingungsgleichungen desselben durch Multiplikation mit geeigneten Faktoren und Addition in geeigneter Ordnung eine solche Form geben, in welcher jede derselben ohne weiteres integrierbar ist, in welcher nämlich die linke Seite einer jeden mit dem exakten Differentiale eines der i Integrale der Gleichungen zusammenfällt. Für jedes Wertsystem der i, p, v ist alsdann:

a)

dxv

dzfl

und die Differentialgleichungen der geodätischen Bahnen werden alsdann nach 181a:

t>)

Dieselben unterscheiden sich offenbar nur in der Bezeichnung von den Gleichungen der geradesten Bahnen (155 d):

C)

da weder die noch die £, in den übrigen zu befriedigenden Gleichungen Vorkommen. Jede mögliche Bahn, welche nach geeigneter Bestimmung der ft den ersten dieser Gleichungen genügt, genügt den zweiten, indem man setzt £t =    , und nicht

minder ist jede Lösung der zweiten zugleich eine Lösung der ersten. Die Befriedigung der Gleichungen b) und c) ist aber schon hinreichende Bedingung dafür, daß die Bahn eine geodätische, bez. eine geradeste sei.

Folgerung 1. In einem holonomen System ist aus einer 191 möglichen Lage in einer möglichen Richtung nur eine einzige geodätische Bahn möglich (161).

Folgerung 2. In einem holonomen System ist zwischen 192 irgend zwei möglichen Lagen immer mindestens eine geradeste Bahn möglich (178).

Lehrsatz. Ist in einem materiellen System jede geodä- 193 tische Bahn zugleich eine geradeste Bahn, so ist das System ein holonomes.

Denn von jeder möglichen Lage aus ist in gegebener Richtung nach 161 nur eine einzige geradeste, also nach Voraussetzung nur eine einzige geodätische Bahn möglich. Gleichwohl ist nach 178 jede mögliche Lage durch eine dieser Bahnen zu erreichen. Es ist also die Zahl der Bewegungsfreiheiten des Systems gleich der Zahl seiner unabhängigen Koordinaten, also nach 146 das System ein holonomes.

Folgerung. In einem System, welches kein holonomes ist, ist im allgemeinen eine geodätische Bahn nicht zugleich eine geradeste Bahn.

194

195

Dies geht übrigens schon daraus hervor, daß in jeder Richtung nur eine geradeste, aber viele geodätische Bahnen möglich sind (161 und 187).

Bemerkung. In einem Systeme, welches kein holonomes ist, ist eine geradeste Bahn im allgemeinen nicht zugleich eine geodätische Bahn.

Die Behauptung ist bewiesen, sobald Beispiele von Systemen vorgezeigt werden, in welchen sich die geradesten Bahnen nicht unter den geodätischen finden. Nehmen wir deshalb der Einfachheit halber an, es bestehe nur eine einzige nicht integrierbare Bedingungsgleichung zwischen den r Koordinaten pQ des Systems, und es sei dieselbe:

a)

Machen wir nun die Annahme, es sei jede geradeste Bahn zugleich eine geodätische. Dann ließe sich für jedes mögliche Wertsystem der pe und p'Q mindestens ein Wertsystem der p" so bestimmen, daß zugleich den Gleichungen 158d und 185 a genügt ist. Es müßten daher auch für alle möglichen pe und p'Q die durch paarweise Subtraktion jener Gleichungen zu erhaltenden Gleichungen

zu befriedigen sein. Dies sind aber r Gleichungen für die eine Größe (/Zj—und sie sind nur verträglich miteinander, wenn für alle Wertpaare der o und r

Q/

rH t-H

Ah

ÄH

ist. Drücken wir in r — 1 voneinander unabhängigen dieser

Gleichungen eine der Größen p's mit Hilfe von Gleichung a) durch die übrigen aus, so sind die Verhältnisse zwischen den letzteren nun völlig willkürliche Größen. Der Koeffizient jeder einzelnen dieser Größen muß also für sich verschwinden. Wir erhalten so als notwendige Folge unserer Annahme im ganzen (r — l)¹ Gleichungen zwischen den r Funktionen plQ und ihren r¹ partiellen ersten Differentialquotienten. In besonderen Fällen können diese Gleichungen sämtlich befriedigt sein, denn sie sind befriedigt, wenn die Gleichung a) integrabel ist. Aber im allgemeinen haben wir kein Recht, die Funktionen p1Q auch nur einer einzigen Bedingung unterworfen vorauszusetzen, und im allgemeinen war also unsere Annahme unzulässig. Damit ist die Behauptung erwiesen.

Ergebnis (190 bis 195). In holonomen Systemen decken 196 sich die Begriffe der geradesten und der geodätischen Bahnen dem Inhalt nach vollständig; in nichtholonomen Systemen schließt keiner dieser Begriffe den andern ein, sondern beide haben im allgemeinen vollständig verschiedenen Inhalt.

Abschnitt 6. Von der geradesten Entfernung in holonomen Systemen.

V orbemerkungen.

1. In diesem Abschnitt soll nur von holonomen Systemen 197 die Rede sein und unter einem System schlechthin also ein holonomes verstanden werden. Es kann daher, und es soll vorausgesetzt werden, daß die benutzten Koordinaten pe des Systems sämtlich freie Koordinaten sind. Die Zahl dieser Koordinaten ist gleich der Zahl der Bewegungsfreiheiten des Systems, also unabhängig von unserer Willkür; wir bezeichnen sie dauernd mit r.

rentialgleicliungen dieser Bahnen können geschrieben werden in der Form der r Gleichungen:

d(/aQo coss,pQ)

dds

dPe ’

welche man aus 186 oder aus 160 erhält, indem man bedenkt, daß für die gewählten Koordinaten die sämtlichen Größen p.AQ gleich Null sind.

199

3. Zufolge derselben Bemerkung erhält man für die Variation der Länge einer Bahn, welche den vorstehenden Differentialgleichungen genügt, also der Länge einer geodätischen Bahn, aus 184:

oder unter Berücksichtigung von 92:

cos

⁸>PçsPq\ ’

in welchen Gleichungen also die dpe die Variationen der Koordinaten der Endlage, und die cos s,pQ die Richtungscosinus der Endelemente der betrachteten geodätischen Bahn bezeichnen.

I. Flächen von Lagen.

Definition. Unter einer Fläche von Lagen verstehen wir im allgemeinen ein stetig zusammenhängende Gesamtheit von Lagen. Im besonderen aber soll hier unter einer Fläche eine Gesamtheit möglicher Lagen eines holonomen Systems verstanden sein, welche dadurch charakterisiert ist, daß die Koordinaten der ihr angehörigen Lagen einer einzigen endlichen Gleichung unter sich genügen.

Die Gesamtheit der Lagen, welche gleichzeitig zweien

oder mehr Flächen angehören, bezeichnen wir auch als den Durchschnitt jener zwei oder mehr Flächen.

Anmerkung 1. Durch jede Lage einer Fläche kann eine 201 unendliche Mannigfaltigkeit von Bahnen gezogen werden, deren sämtliche Lagen der Fläche angehören. Wir sagen von diesen Bahnen, daß sie der Fläche angehören, oder in der Fläche liegen; wir brauchen die gleiche Ausdrucksweise für die Elemente der Bahnen und für unendlich kleine Verrückungen überhaupt.

Anmerkung 2. Eine Bahn, welche nicht einer Fläche 202 angehört, hat mit dieser im allgemeinen eine endliche Anzahl von Lagen gemeinsam.

Denn die Bahn wird analytisch dargestellt durch r — 1 Gleichungen zwischen den Koordinaten ihrer Lagen, die Fläche durch eine einzige Gleichung. Nach Voraussetzung sind erstere Gleichungen unabhängig von der letzteren. Alle zusammen bilden sie daher r Gleichungen für die r Koordinaten der gemeinsamen Lagen, welche Gleichungen im allgemeinen keine oder eine endliche Zahl reeller Lösungen zulassen.

Anmerkung 3. Aus jeder Lage einer Fläche ist eine 203 (r—1)fache Mannigfaltigkeit unendlich kleiner Verrückungen in der Fläche möglich.

Denn von den r unabhängigen Änderungen der Koordinaten, welche die Verrückung charakterisieren, können r—1 willkürlich angenommen werden, die rte ist dann dadurch bestimmt, daß die Verrückung der gegebenen Fläche angehören soll.

Lehrsatz 1. Es ist stets eine, und im allgemeinen nur 204 eine Dichtung anzugeben möglich, welche auf r— 1 verschiedenen unendlich kleinen Verrückungen eines Systems (197) aus derselben Lage senkrecht steht.

Es sei dTpe die Änderung der Koordinate pe für die rte jener r— 1 Verrückungen; es sei dpe die Änderung der Koordinate pQ für eine weitere Verrückung. Soll die letztere auf jenen senkrecht sein, so ist notwendig und hinreichend, daß r— 1 Gleichungen der Form (58)

^Qcr dtPq dp a — 0

i l

erfüllt seien. Dies sind aber r — 1 nicht homogene, lineare Gleichungen für die r—1 Verhältnisse der drunter sich; sie können also stets, und zwar im allgemeinen nur durch ein Wertsystem dieser Verhältnisse befriedigt werden. In Ausnahmefällen kann Unbestimmtheit eintreten; solche muß z. B. dann eintreten, wenn irgend drei der r — 1 Verrückungen so gewählt sind, daß jede Verrückung, welche auf zwei von ihnen senkrecht ist, auch auf der dritten senkrecht steht.

205

Lehrsatz 2. Steht eine Richtung senkrecht auf r — 1 verschiedenen Verrückungen, welche einer Fläche in einer bestimmten Lage angehören, so steht sie senkrecht auf jeder Verrückung, welche der Fläche in dieser Lage angehört.

Die Verrückungen, welche einer Fläche in einer bestimmten Lage angehören, sind dadurch charakterisiert, daß die entsprechenden dpe einer einzigen homogenen linearen Gleichung unter sich genügen, der Gleichung nämlich, welche durch Differentiation der Gleichung der Fläche erhalten wird. Genügen nun die r—1 Wertsysteme der dxpQ jener Gleichung, so genügen auch die Größen

dpQ — hz dTpą i

derselben, worin die lx willkürliche Faktoren bezeichnen. Die dpe gehören also einer beliebigen Verrückung in der Fläche an, und zwar kann jede Verrückung der Fläche in dieser Form dargestellt werden, da die rechte Seite der Gleichung eine (r — 1) fache willkürliche Mannigfaltigkeit enthält.

Nach Voraussetzung ist nun (204):

/G CLq<j dTpq dp^ — 0    ;

l l

durch Multiplikation dieser Gleichungen mit den lx und Addition folgt:

Uq(j dpç 8p<r = ⁰    ,

welches die Behauptung ist (58).

Definition. Eine Verrückung aus einer Lage einer Fläche 206 heißt senkrecht auf der Fläche, wenn sie senkrecht steht auf jeder Verrückung, welche in der gleichen Lage der Fläche angehört.

Folgerung 1. In jeder Lage einer Fläche gibt es stets 207 eine, und im allgemeinen nur eine Richtung, welche senkrecht auf der Fläche steht.

Folgerung 2. In jeder Lage einer Fläche ist stets eine, 208 und im allgemeinen nur eine geradeste Bahn auf der Fläche senkrecht zu errichten möglich.

Definition 1. Schar von Flächen nennen wir eine Ge- 200 samtheit von Flächen, deren Gleichungen (200) sich nur unterscheiden durch den Wert einer in ihnen vorkommenden Konstanten.

Bezeichnung. Jede Schar von Flächen kann analytisch 210 dargestellt werden durch eine Gleichung der Form:

R = constans ,

welche nämlich erhalten wird durch Auflösung der Gleichung einer der Flächen nach der variierenden Konstanten, und in welcher die rechte Seite die möglichen Werte eben dieser Konstanten, die linke Seite aber eine Funktion der Koordinaten pQ bezeichnet. Jeder Fläche jener Schar entspricht ein bestimmter Wert der rechts stehenden Konstanten, also ein bestimmter Wert der Funktion R. Solche Flächen, für welche die Werte der Funktion R nur unendlich kleine Unterschiede dR zeigen, nennen wir Nachbarflächen.

Definition 2. Senkrechte Trajektorie einer Schar von 211 Flächen nennen wir eine Bahn, welche die Schar senkrecht durchschneidet, d. h. welche auf jeder Fläche der Schar in den gemeinsamen Lagen (202) senkrecht steht.

R = constans

a)

212

Schar

Lehrsatz. Damit eine Bahn senkrechte Trajektorie der

sei, ist hinreichende und notwendige Bedingung, daß sie in jeder ihrer Lagen r Gleichungen der Form

b)

]/aQQ cos s,pQ = f dK

dPe

genüge, in welchen die s,pe die Neigungen der Bahn gegen die Koordinaten pQ bezeichnen, und in welchen f eine für alle r Gleichungen identische, übrigens mit der Lage sich ändernde Funktion der ps ist.

Wir konstruieren von der betrachteten Lage der Bahn aus eine unendlich kleine Verrückung, deren Länge Sa sei, bei deren Durchlaufung sich die pe um Spe und R um SR ändern möge, welche endlich mit der betrachteten Bahn den Winkel s,(t bilden möge. Multiplizieren wir die Gleichungen b) der Reihe nach mit den §pe und addieren, so folgt (78 a und 85):

r) 7?

Sa cos s,a = ^>'e SpQ = fSR . dPe

Gehört nun die Verrückung Sa einer Fläche der Schar a) an, nämlich derjenigen Fläche, welche die betrachtete Lage mit der Bahn gemeinsam hat, so ist SR ■= 0, also s,o-=90°. Die Richtung der Bahn steht daher senkrecht auf der durchschnittenen Fläche (206), und die Gleichungen b) bilden die hinreichenden Bedingungen dafür, daß dies in jeder Lage eintrete. Sie bilden aber auch die notwendigen Bedingungen hierfür, da, von Ausnahmefällen abgesehen, in jeder Lage nur eine einzige Richtung der gestellten Forderung genügt.

213

c)

Zusatz 1. Der senkrechte Abstand zweier Nachbarflächen der betrachteten Schar in irgend einer Lage ist gleich

fdR .

Denn lassen wir die Verrückung öa des vorigen Beweises nach Richtung und Länge jetzt zusammenfallen mit dem Teil der senkrechten Trajektorie, welcher zwischen beiden Flächen liegt, so fällt da zusammen mit dem betrachteten Abstand, der Winkel s,a aber wird Null, und so folgt aus Gleichung 212 c die Behauptung.

Zusatz 2. Die in den Gleichungen der senkrechten Tra- 214 jektorien auftretende Funktion f wird erhalten als Wurzel der Gleichung:

-Vi 'V'i ₇ dR dR

Denn diese Gleichung folgt, wenn wir die Werte der r Richtungscosinus nach 212 b einsetzen in die Gleichung 88, welcher sie genügen müssen. Welche Wurzel zu wählen sei, hängt davon ab, ob wir die Richtung der Trajektorie nach wachsenden Werten von R oder nach abnehmenden als positiv rechnen.

¹

Geradeste und geodätische Bahnen fallen in die- 198 sem Abschnitt zusammen (196), und die gemeinsamen Diffe-

2. Geradeste Entfernung.

Definition. Geradeste Entfernung zweier Lagen eines ho- 215 lonomen Systems’heißt die Länge einer sie verbindenden geradesten Bahn.

Anmerkung. Zwei Lagen können mehr als eine geradeste 216 Entfernung haben. Unter diesen linden sich die Längen der kürzesten Bahnen zwischen beiden Lagen, also auch die Länge der absolut kürzesten Bahn. Wenn von der geradesten Entfernung zweier Lagen als einer eindeutig bestimmten gesprochen wird, so soll von dieser letzteren die Rede sein.

Analytische Darstellung. Die geradeste Entfernung zweier 217 Lagen kann als Funktion der Koordinaten dieser Lagen dargestellt werden. Diejenige Lage, welche als Ausgangslage betrachtet wird, werde dauernd mit 0, ihre Koordinaten mit pSa bezeichnet; diejenige Lage, welche als Endlage betrachtet

wird, werde dauernd mit 1, ihre Koordinaten mit pSl bezeichnet, so daß die Richtung der geradesten Bahn stets positiv gerechnet ist von 0 gegen 1. Die geradeste Entfernung ist alsdann eine für alle Wertsysteme der peo und pei definierte Funktion dieser 2r Größen. Den analytischen Ausdruck der geradesten Entfernung, ausgedrückt in eben diesen Variabelen, bezeichnen wir durch S, und nennen diesen analytischen Ausdruck auch kurz die geradeste Entfernung des Systems.

218

219

220

Anmerkung 1. Die Funktion S ist im allgemeinen eine mehrdeutige Funktion ihrer Unabhängigen. Von den Zweigen dieser Funktion verschwindet einer und nur einer zugleich mit verschwindendem Unterschiede zwischen den pßi und pß0. Von diesem Zweig ist (216) die Rede in solchen Aussagen, in welchen von S als von einer eindeutig bestimmten Funktion gesprochen wird.

Anmerkung 2. Die Funktion S ist symmetrisch in Hinsicht der pßi und pSo in dem Sinne, daß S seinen Wert nicht ändert, wenn die pßi und peo für alle Werte des q gleichzeitig miteinander vertauscht werden.

Denn mit dieser Vertauschung vertauschen wir nur die Anfangs- und die Endlage.

Bemerkung. Wenn die geradeste Entfernung eines Systems in irgend welchen freien Koordinaten desselben gegeben ist, so sind damit die sämtlichen geradesten Bahnen des Systems in eben diesen Koordinaten gegeben, ohne daß eine weitere Kenntnis darüber nötig wäre, in welcher Weise die Lage der einzelnen materiellen Punkte des Systems von jenen Koordinaten abhängt.

Denn die geradeste Entfernung irgend zweier unendlich benachbarter Lagen des Systems ist zugleich die Länge der unendlich kleinen Verrückung zwischen ihnen; läßt sich aber diese letztere durch die gewählten Koordinaten darstellen, so trifft die Behauptung zu nach 163.

Aufgabe. Aus der geradesten Entfernung eines Systems den Ausdruck für die Länge seiner unendlich kleinen Verrückungen abzuleiten.

In S setzen wir für die pQo jetzt pe, für die pQl jetzt pQ + dpQ, und lassen alsdann die dpe sehr klein werden. Wir wissen bereits (57d), daß sich alsdann die Entfernung der beiden Lagen als Quadratwurzel einer homogenen quadratischen Funktion der dpQ darstellt. S selbst läßt sich also - nicht in eine Reihe nach aufsteigenden Potenzen der dpQ entwickeln, wohl aber S², und in dieser Entwickelung müssen die quadratischen Glieder die ersten sein, welche nicht verschwinden. Drücken wir also durch einen übergesetzten Strich aus, daß in der betreffenden Funktion die pß0 = PSl— Pe gesetzt werden sollen, so erhalten wir für die Entfernung der beiden Lagen, also für die Größe der Verrückung:

V.

1-0

rH |<M

~l/r

dpo dp,j

aQO'

und es wird also die Funktion

d²S²

■

Mit gleichem Rechte wird auch erhalten:

i e²s²

Diese Werte der aea kann man benutzen, um indirekt von der Funktion S zu den geradesten Bahnen zu gelangen. Die folgenden Lehrsätze bieten einen direkteren Weg zu dem gleichen Ziele dar.

Lehrsatz. Eine Fläche, deren sämtliche Lagen gleiche 222 geradeste Entfernung haben von einer festen Lage, wird senkrecht durchschnitten von allen geradesten Bahnen, welche durch jene feste Lage gehen.

Es seien die peo die Koordinaten der festen Lage, die pQi die Koordinaten einer Lage der Fläche. Wir gehen von der letzteren zu einer anderen Lage der Fläche über, für

welche die pQl sich geändert haben um dpQi. Dabei hat sich die geradeste Entfernung von der festen Lage 0 nach der Voraussetzung um Nichts geändert; nach- 199 aber hat sie

r

den

wenn

sich geändert um    cos s>Pei ^Pei ’

i

Winkel bezeichnet, welchen die geradeste Bahn in 1 mit der Richtung von pQ bildet. Es ist also:

Irl*

QQ i

COS

S,po₁ d'pnx — 0

und diese Gleichung sagt aus, daß die geradeste Bahn auf der Verrückung der dpSi senkrecht steht (85 und 78a). Da dies gilt für jede beliebige Verrückung, welche in 1 der Fläche angehört, so folgt (206) die Behauptung.

223

224

Folgerung 1. Die geradesten Bahnen, welche durch eine feste Lage hindurch gehen, sind die senkrechten Trajektorien einer Schar von Flächen, welche der Bedingung genügen, daß die sämtlichen Lagen einer jeden gleiche geradeste Entfernung von jener festen Lage haben.

Folgerung 2. Die sämtlichen geradesten Bahnen, welche durch die feste Lage 0 hindurch gehen, genügen den r Gleichungen :

a)

]/aQQico$s,pQi dS

in welchen die p₀₁ als die Koordinaten der variabelen Lage der Bahn und die cos s,pQi als die Richtungscosinus der Bahn in dieser Lage zu betrachten sind.

Denn die Gleichungen a) sind die Gleichungen der senkrechten Trajektorien einer Schar von Flächen, welche durch die Gleichung

b)

S= constans

dargestellt wird. Wäre nämlich S eine beliebige Funktion

der variabelen Koordinaten p6i, so wären nach 212 die Gleichungen der senkrechten Trajektorien:

COS S,pqi = /

dP(H ’

c)

und der senkrechte Abstand zweier Nachbarflächen wäre gleich fdS. Nach der besonderen Natur unserer Funktion S (217, 222) ist aber dieser Abstand gleich dS selbst, also folgt

«)

/■=! ,

und die allgemeinen Gleichungen c) nehmen die besondere Form a) an.

Anmerkung 1. Die Gleichungen 224a, welche Differen- 225 tialgleichungen erster Ordnung sind, können auch angesehen werden als die Gleichungen geradester Bahnen in endlicher Form, sobald wir nämlich in denselben die pQo als die Variabelen, die 2r Größen pQi und s,pQi aber als Konstanten betrachten.

Denn bestimmen wir aus jenen Gleichungen eine Reihe von Lagen 0 in solcher Weise, daß bei festgehaltenen Werten der pSi auch die Werte der s,pßl unverändert bleiben, so erhalten wir solche Lagen 0, von welchen aus die nach der Lage 1 gezogenen geradesten Bahnen in dieser Lage 1 eine feste Richtung haben. Da nun aber nur eine einzige geradeste Bahn von dieser Eigenschaft möglich ist, so müssen alle so bestimmten Lagen 0 dieser einen Bahn angehören, ihre Gesamtheit bildet diese Bahn, und diese letztere wird also selbst dargestellt durch die Gleichungen 224a.

Anmerkung 2. Im Beweise des Lehrsatzes 222 hätten 226 wir mit gleichem Rechte die Lage 1 als die feste, die Lage 0 als die variabele Lage einführen können. Anstatt zu den Gleichungen 224a wären wir alsdann gelangt zu den Gleichungen :

^aQQ₀ C0S S’PQo

dS

dPe o

sO

Der Unterschied im Vorzeichen der rechten Seite erklärt sich daraus, daß nunmehr das Fortschreiten von der festen Lage aus nach 217 als Fortschreiten in negativer Richtung zu bezeichnen ist. Wie die Gleichungen 224a stellen auch die Gleichungen 226a geradeste Bahnen dar. Es sind Differentialgleichungen erster Ordnung aller geradesten Bahnen, welche durch die feste Lage der pQi hindurchgehen, und zugleich die endlichen Gleichungen der einen bestimmten Bahn, welche durch die Lage der pQo hindurchgeht und in dieser mit den Koordinaten die Winkel s,peo bildet.

227

Folgerung 3. Die geradeste Entfernung S eines Systems genügt als Funktion der peo der partiellen Differentialgleichung erster Ordnung:

a)

2*2°b

1 1

dS dS

dPeo dP°o

und ebenso als Funktion der pei der partiellen Differentialgleichung erster Ordnung:

b)

dS dS

boo--== 1

^ V s 1 dPei dP*

Denn beide Gleichungen folgen aus 214 -und 224d; sic werden auch unmittelbar erhalten, indem man die Richtungscosinus einer geradesten Bahn, ausgedrückt durch S nach 224a oder 226a, einsetzt in die Gleichung 88, welcher die Winkel einer jeden beliebigen Richtung mit den Koordinaten genügen.

22S

Lehrsatz. Errichtet man in allen Lagen einer beliebigen Fläche geradeste Bahnen senkrecht zur Fläche, und trägt auf allen die gleiche Länge ab, so wird die so erhaltene neue Fläche von jenen geradesten Bahnen ebenfalls senkrecht durchschnitten.

Die Lagen der ursprünglichen Fläche seien mit 0, die der neu konstruierten mit 1 bezeichnet. Es seien die

s,Peo

bez. s,pQi die Winkel, welche eine bestimmte der geradesten Bahnen an der ersten bez. an der zweiten Fläche mit den

Koordinaten bildet. Geben wir von dieser geradesten Balm zu irgend einer benachbarten über, so ändert sich die Länge der Bahn nach 199 um

y aQ9i

cos

S,pQl dpQi —    V<3

QQ 0

cos

S’Pq₀ dpęo >

wenn die dpQi und dpQo die Änderungen der pe in den Lagen 1 und 0 bezeichnen. Nach der Konstruktion ist aber diese Änderung gleich Null, und ebenso ist nach der Konstruktion

QQ o

cos

da ja die Bahn auf der ursprünglichen Fläche senkrecht steht. Daher ist nun auch

QQ i

cos

SpQi dpQi ~ ®    ’

und da die dpQi jede beliebige Verrückung in der Fläche der Lagen 1 bezeichnen können, so ist damit die Behauptung erwiesen.

Folgerung 1. Die senkrechten Trajektorien einer be- 229 liebigen Schar von Flächen, von welchen jede in allen ihren Lagen denselben senkrechten geradesten Abstand von ihren Nachbarflächen hat, sind geradeste Bahnen.

Folgerung 2. Ist R eine Funktion der r Koordinaten 230 pQ von solcher Beschaffenheit, daß die Gleichung

a)

R = constans

eine Schar von Flächen darstellt, deren jede von ihren Nachbarn in allen Lagen den gleichen senkrechten geradesten Abstand dR hat, so sind die Gleichungen:

V<% cos s,pQ =

dR

dPe

ü)

die Gleichungen der senkrechten Trajektorien, also die Gleichungen geradester Bahnen. Und zwar sind diese Gleichungen Differentialgleichungen erster Ordnung für jene Bahnen.

Denn wäre R eine ganz beliebige Funktion der pQ, so stellten die Gleichungen 212b die senkrechten Trajektorien der Schar a) vor, und es wäre nach 213 der senkrechte Abstand zweier Nachbarflächeu gleich fdB. Nach unserer besonderen Voraussetzung ist aber dieser Abstand konstant und gleich dR, also ist f = 1, und es gehen daher die Gleichungen 212 b in die obigen Gleichungen b) über.

231

Folgerung 3. Stellt die Gleichung

R = constans

eine Schar von Flächen dar von solcher Beschaffenheit, daß jede unter ihnen von ihren Nachbarn in allen Lagen den gleichen senkrechten geradesten Abstand dR hat, so genügt die Funktion R der partiellen Differentialgleichung:

2*2°b

i i

dR dR

?" äV dp.

Denn diese Gleichung folgt aus 214 und 230; sie wird auch unmittelbar erhalten, wenn wir die Richtungscosinus einer geradesten Bahn nach 230 b einsetzen in die Gleichung 88, welcher die Winkel einer jeden Richtung mit den Koordinaten genügen.

232

Lehrsatz 1. (Umkehrung von 231.) Genügt die Funktion R der partiellen Differentialgleichung:

so stellt die Gleichung

Ri = constans

eine Schar von Flächen dar von solcher Beschaffenheit, daß

jede unter ihnen von ihren Naclibarn in allen Lagen gleichen senkrechten geradesten Abstand hat, und zwar einen Abstand, welcher durch die Änderung von R gemessen wird.

Denn wäre R eine ganz beliebige Funktion, so wären die senkrechten Trajektorien der Schar gegeben durch Gleichungen der Form 212 b, und der senkrechte Abstand zweier Nachbarflächen in jeder Lage ware ',fdR. Aus der besonderen Voraussetzung, -welcher wir die Funktion R unterwarfen, folgt aber nach 214: f= 1, und also die Behauptung.

Lehrsatz 2. Ist die Funktion R der pe eine beliebige 233 Lösung der partiellen Differentialgleichung:

OC7

BR BR

dp? dPo

a)

so sind die Gleichungen

iaQQ cos g,,pQ =

dR

dPo

b)

Gleichungen geradester Bahnen. Und zwar sind es Differentialgleichungen erster Ordnung der durch sie dargestellten geradesten Bahnen.

Der Satz folgt unmittelbar aus 230 und 232.

Anmerkung. Obwohl jede Bahn, welche durch die Gleich- 234 ungen 233b dargestellt wird, eine geradeste ist, so läßt sich doch nicht umgekehrt allgemein jede geradeste Bahn in dieser Form darstellen. Die Mannigfaltigkeit der geradesten Bahnen, welche in der gegebenen Form enthalten sind, hängt vielmehr ab von der Mannigfaltigkeit, welche die Funktion R als Lösung der Differentialgleichung besitzt, d. h. von der Zahl ihrer willkürlichen Konstanten.

Ist aber im besondern R eine vollständige Lösung, enthält also R r willkürliche Konstanten u₀, ax, .... ccr-i, von welchen die erste die notwendig vorhandene additive Konstante bezeichne, so lassen sich alle geradesten Bahnen des Systems in der Form 233 b darstellen. Denn die rechten Seiten dieser r Gleichungen (von welchen nur 7-—1 unabhängig voneinander

sind) enthalten dann'?-—1 Konstanten, welche hinreichen, um der dargestellten Bahn in einer willkürlichen Lage eine durch r— 1 unabhängige Richtungscosinus bestimmte willkürliche Richtung zu erteilen. Können wir aber eine Lage der dargestellten Bahn und ihre Richtung in dieser Lage willkürlich wählen, so können wir alle geradesten Bahnen darstellen.

235

Lehrsatz 3. (Jacobis Satz.) Es bezeichne R eine vollständige Lösung der Differentialgleichung

a)

2*2°b

0(7

dK dR dpe dpa

Es geben alsdann die r — 1

ur-1-

und es seien ihre willkürlichen Konstanten, von der additiven abgesehen, ct1} a₂,

Gleichungen

b)

*JL-ß

dat 1 1 ’ in welchen die ßt r— 1 neue willkürliche Konstanten sind, die Gleichungen der geradesten Bahnen des Systems in endlicher Form.

Zum Beweise zeigen wir, daß die Bahnen, welche durch die Gleichungen b) dargestellt werden, senkrechte Trajektorien der Schar

c)

JR = constans

sind; alsdann folgt die Behauptung nach 232 und 229.

Um nun erstens die Richtung der dargestellten Bahn zu finden, differentiieren wir die Gleichungen b) in Richtung derselben, d. h. wfir bilden jene Gleichungen für zwei um ds entfernte Lagen der Bahn, in welchen sich die pQ um die dpc, unterscheiden, subtrahieren, und dividieren durch ds. Wir erhalten so r—1 Gleichungen der Form:

ö²Ä dpa ^ dpadux ds

oder, wenn wir in dieselben nach 79 und 78 die Richtungs- (235) cosinus des betrachteten Bahnelementes einführen:

Ö²Ä

Qa dpadc(x

d)

welche Gleichungen nunmehr r — 1 nicht homogene, lineare Gleichungen für die r — 1 Verhältnisse der Richtungscosinus untereinander bleiben.

Zweitens bemerken wir, daß die Gleichung a) für alle Werte der Konstanten ccx gilt; wir können sie also nach diesen Größen differentiieren, und indem wir dies tun, erhalten wir /• — 1 Gleichungen, welche sich schreiben lassen in der Form:

'S

Qj

d²R

dpGdaT

e)

und welche Beziehungen darstellen, welchen die partiellen Differentialquotienten von R zufolge unserer besonderen Voraussetzungen über diese Funktion genügen müssen.

Stellen wir nun die Gleichungen b) für die gerade betrachteten Werte der ux und ßt überhaupt eine bestimmte Bahn vor, so müssen aus den Gleichungen d) eindeutig bestimmte Werte für die Verhältnisse der Richtungscosinus zu einem unter ihnen folgen. Ganz dieselben eindeutig bestimmten Werte müssen dann aber auch aus den Gleichungen e) für die Verhältnisse der Größen dR/dps zu einer unter ihnen sich ergeben. Ist also f ein noch zu bestimmender Faktor, so muß sein:

■j/^cos s,pq = fd^ .

Demnach ist nach 212 die betrachtete Bahn die senkrechte Trajektorie der Schar c), was wir beweisen wollten. Der Faktor f wird gleich der Einheit gefunden.

Die Voraussetzung, daß die r— 1 Gleichungen b) für bestimmte Werte der ax und ßx eine bestimmte Bahn be-

zeichnen, würde nur dann nicht zutreffen, wenn diese Gleichungen nicht unabhängig voneinander wären. Dann aber wären auch die willkürlichen Konstanten nicht voneinander unabhängig und die Lösung wäre keine vollständige Lösung, was wir doch voraussetzten.

236

Aufgabe. Aus einer beliebigen vollständigen Lösung R der Differentialgleichung 235a die geradeste Entfernung S des Systems zu ermitteln.

Unter 8 ist also wieder zu verstehen die geradeste Entfernung zweier Lagen 0 und 1 mit den Koordinaten pßo und pßi. In den r—1 Gleichungen 235b setzen wir für die pe das eine Mal die pß0, das andere Mal die pßi/ Aus den entstehenden 2r —2 Gleichungen eliminieren wir die ßx und stellen die ax als Funktionen der pß0 und pßi dar. Diese Funktionen werden symmetrisch in bezug auf pß0 und pßi, sie geben diejenigen Werte, welche die ax haben müssen, damit die durch sie be-zeichneten Bahnen durch bestimmte Lagen 0 und 1 hindurchgehen.

Wir haben nun erstens für irgend eine Lage 1 nach 224a und 233b:

dS

dR

dPei

dPj i

und zweitens für irgend eine Lage 0 nach 226a und 233 b:

dS

dR

[dPe/o

dPeo

Setzen wir in den rechten Seiten dieser Gleichungen für die ax ihre Werte in den pßo und pßi ein, und die pß selbst in der ersten gleich pßl, in der zweiten gleich pß0, so erhalten wir die ersten Differentialquotienten von 8 nach den sämtlichen unabhängigen Variabelen ausgedrückt als Funktionen dieser Variabelen. S kann also dann durch einfache Integrationen gefunden werden.

Abschnitt 7. Kinematische Begriffe.

I. Vektorgrößen in bezug auf ein System.

Definition. Vektorgröße in bezug auf ein System heißt 237 jede Größe, welche zu dem System in Beziehung steht, und welche dieselbe Art der mathematischen Mannigfaltigkeit hat, wie eine denkbare Verrückung des Systems.

Bemerkungen dazu.

1.    Eine Verrückung eines Systems ist selbst eine Vektor- 23S große in bezug auf das System. Jedes Produkt einer Verrückung des Systems mit irgend welchen nicht gerichteten Größen ist eine Vektorgröße in bezug auf das System.

2.    Jede Vektorgröße in bezug auf ein System kann 239 geometrisch dargestellt werden durch eine denkbare Verrückung des Systems. Die Richtung der sie darstellenden Verrückung nennen wir auch die Richtung der Vektorgröße. Der Maßstab der Darstellung kann und soll stets so gewählt werden, daß die darstellende Verrückung unendlich klein wird. Jeder Vektor in bezug auf ein System, welcher sich mit der Lage des Systems ändert, kann alsdann dargestellt werden als eine unendlich kleine Verrückung des Systems aus der Lage,

zu welcher sein augenblicklicher Wert gehört.

3.    Eine Vektorgröße in bezug auf einen einzelnen mate- 240 riellen Punkt ist ein Vektor im gewöhnlichen Sinne des Wortes. Jeder Vektor in bezug auf einen Punkt kann dargestellt werden durch eine geometrische Verrückung des Punktes, insbesondere durch eine unendlich kleine Verrückung aus seiner gegenwärtigen Lage.

4.    Unter Komponenten und reduzierten Komponenten 241 eines Vektors sind diejenigen Vektoren gleicher Art verstanden, welche dargestellt sind durch die Komponenten und reduzierten

Komponenten derjenigen unendlich kleinen Verrückung, welche den ursprünglichen Vektor darstellt (48, 71).

Die reduzierte Komponente eines bestimmten Vektors in Richtung einer Koordinate pe nennen wir wiederum kurz die Komponente des Vektors nach pQ, oder noch kürzer den Vektor nach der Koordinate pQ.

Wo es ohne Mißverständnis geschehen kann, wird mit Komponente oder reduzierte Komponente kurz die Größe dieser Komponenten bezeichnet.

242

Aufgabe la. Aus den Komponenten //„ eines Vektors nach den 3 n rechtwinkligen Koordinaten die Komponenten kQ nach den allgemeinen Koordinaten pQ abzuleiten.

Sind die dxv die Komponenten nach den xv derjenigen Verrückung, welche die Vektorgröße darstellt, und sind die dpQ die Komponenten derselben Verrückung nach den pe, so sind nach 80 die dpe durch die dxv gegeben. Den dpe und dxv aber sind die kQ und hv beziehlich proportional, also ist

243

Aufgabe lb. Aus den Komponenten ke eines Vektors nach den pQ die Komponenten hv des Vektors nach den rechtwinkligen Koordinaten abzuleiten.

Die Gleichungen 242 geben nur r Gleichungen für die 3n Größen hv, aus welchen sich diese letzteren also nicht bestimmen lassen. In der Tat ist auch die Aufgabe im allgemeinen unbestimmt. Denn nicht alle denkbaren Lagen und Verrückungen eines Systems lassen sich durch die pQ aus-drücken, sondern nur ein Teil derselben, unter diesen die möglichen Verrückungen.

Nur in dem Palle also, daß der gegebene Vektor einer Verrückung parallel ist, wTeiche sich durch die pQ und ihre Änderungen darstellen läßt, ist die Aufgabe lösbar; in diesem Falle aber ist nach 81

Aufgabe 2 a. Aus den Komponenten hv eines Vektors 244 nach den rechtwinkligen Koordinaten seine Größe h zu bestimmen.

Unter Benutzung von 83 erhält man:

Aufgabe 2b. Aus den Komponenten kQ eines Vektors 245 nach den allgemeinen Koordinaten pe seine Größe k zu bestimmen.

Die Aufgabe ist wiederum im allgemeinen unbestimmt

wie 243.

Nur in dem Falle, daß außer den Komponenten hQ noch die Tatsache bekannt gegeben ist, daß der fragliche Vektor einer durch die pe ausdrückbaren Verrückung parallel ist, ist k durch die kQ bestimmt, und in diesem Falle ist nach 82

t —    bQa kQ ka .

i i

Aufgabe 3a, Aus den Komponenten hv eines Vektors 246 nach den xv die Komponente des Vektors in Richtung einer beliebigen Verrückung ds zu finden.

Ist ds die Länge, und sind die dx'v die reduzierten Komponenten der Verrückung, durch welche wir den Vektor darstellen, so ist die Komponente dieser Verrückung in Richtung von ds nach 48 und 84:

ds COS S,S = " dxv dxv

Multiplizieren wir diese Gleichung mit dem Verhältnis zwischen der Größe des Vektors und der Länge der Verrückung, durch welche wir ihn darstellen, so erhalten wir links die gesuchte Komponente; rechts treten an Stelle der dx'v die hv, und wir erhalten also als Lösung der Aufgabe die gesuchte Größe gleich:

dxv

2-h*■ ds

oder nach 72 gleich:

247

248

249

h„ cos s,x„ .

Aufgabe 3 b. Aus den Komponenten kQ eines Vektors nach den pQ die Komponente des Vektors in der Richtung einer beliebigen durch die pQ ausdruckbaren Verrückung ds zu bestimmen.

Wenden wir dieselbe Überlegung an, wie in der vorigen Aufgabe, so folgt nach 48 und 85 die gesuchte Größe gleich:

oder nach 78 und 79 gleich:

VCOS S,p(j

1 1

Anmerkung. Obwohl also durch die Größen ke im allgemeinen nicht alle beliebigen Komponenten eines Vektors bestimmt sind, so sind doch durch jene Größen die Komponenten des Vektors in allen solchen Richtungen bestimmt, welche sich durch die ps darstellen lassen, also in jeder möglichen Richtung.

Lehrsatz 1. Damit der Vektor, dessen Komponenten nach den pQ die Größen kQ sind, senkrecht stehe auf einer Verrückung, für welche die pQ die Änderungen dpe erleiden, ist notwendige und hinreichende Bedingung die Erfüllung der Gleichung:

Dies folgt aus 85, wenn wir die kQ den dp'e proportional annehmen.

Lehrsatz 2. Damit der Vektor, dessen Komponenten 250 nach den pQ die kQ sind, senkrecht stehe auf jeder möglichen Verrückung des Systems, ist notwendige und hinreichende Bedingung, daß sich die r Größen hs darstellen lassen in der Form: in welcher die pXQ den Bedingungsgleichungen des Systems entnommen (130) und die y* k frei zu bestimmende Größen sind.

Dies folgt aus 148 und 150, wenn wir die kQ durch die dpe dargestellt annehmen.

Bemerkung 1. Vektoren in bezug auf ein und dasselbe 251 System können zusammengesetzt und zerlegt werden wie die denkbaren Verrückungen des Systems.

Die Zusammensetzung von Vektoren in bezug auf dasselbe System erfolgt also nach den Regeln der algebraischen Addition (52).

Bemerkung 2. Vektoren in bezug auf verschiedene Sy- 252 sterne sind zu betrachten als Größen verschiedener Art; sie können nicht zusammengesetzt, noch addiert werden.

Bemerkung 3. Eine Vektorgröße in bezug auf ein ge- 253 wisses System kann betrachtet werden als eine Vektorgröße in bezug auf jedes größere System, von welchem das ursprüngliche einen Teil bildet.

Aufgabe 1. Dieselbe Vektorgröße werde einmal betrachtet 254 als Vektorgröße in bezug auf ein Teilsystem, das andere Mal als Vektorgröße in bezug auf das vollständige System. Aus den Komponenten hv nach den rechtwinkligen Koordinaten xv im ersten Falle sollen die Komponenten h'v nach den entspre-‘ chenden Koordinaten xv im zweiten Falle berechnet werden.

Es sei die Masse des Teilsystems m, die des vollständigen Systems m. Die Koordinaten xv des Teilsystems sind zugleich Koordinaten des vollständigen Systems, nur um der verschiedenen Auffassung willen sind sie als solche mit xv bezeichnet. Erteilen wir daher dem Teilsystem eine beliebige

Verrückung, welche eo ipso zugleich eine Verrückung des vollständigen Systems ist, so ist dxv = dxv für die gemeinsamen Koordinaten, während für die übrigen dxv = 0 ist. Nun ist nach 78: mdx'v = mvdx'v und mdxv — mvdx m'dxv — mdxv. Für einen Vektor, welcher durch jene Verrückung dargestellt wird, ist die Komponente nach xv mit dxv, die nach x'v mit dx'v porportional. Als Lösung der Aufgabe erhalten wir also:

also ist

mKv = mliv

für diejenigen v, welche beiden Systemen gemeinsam sind, während für die übrigen

ist.

h'„ = 0

255

Aufgabe 2. Dieselbe Vektorgröße werde einmal betrachtet als Vektorgröße in bezug auf ein Teilsystem, das andere Mal als Vektorgröße in bezug auf das vollständige System. Aus den Komponenten nach den allgemeinen Koordinaten pQ im ersten Falle die Komponenten kQ nach den entsprechenden Koordinaten pe im zweiten zu bestimmen.

Es sei wieder die Masse des Teilsystems m, die des vollständigen Systems m. Wir setzen voraus, daß die Koordinaten pe des Teilsystems zugleich Koordinaten des vollständigen Systems sind und nur um der verschiedenen Auffassung willen im letzteren Falle mit p'Q bezeichnet werden. Von den nicht gemeinsamen p'Q setzen wir voraus, daß sie nicht Koordinaten des Teilsystems seien. Unter diesen Voraussetzungen ergibt eine der vorigen (254) analoge Betrachtung als Lösung der Aufgabe:

(>

m kn — m k

für die gemeinsamen Koordinaten, während für die übrigen

ist.

k'=0

Ohne die gemachten Voraussetzungen aber ist die Aufgabe unbestimmt.

2. Bewegung der Systeme.

Erläuterungen.

1.    Der Übergang eines Systems materieller Punkte aus 256 einer Anfangslage in eine Endlage, betrachtet unter Berücksichtigung der Zeit und der Art des Überganges, heißt eine Bewegung des Systems aus der Anfangs- in die Endlage (vgl. 27).

Bei einer jeden bestimmten Bewegung durchläuft also das System eine bestimmte Bahn, und zwar hat es in bestimmten Zeiten bestimmte Längen derselben durchlaufen.

2.    Jede Bewegung eines Systems durch eine denkbare 257 Bahn heißt eine denkbare Bewegung eines Systems (11).

3.    Jede Bewegung eines Systems durch eine mögliche 258 Balm heißt eine mögliche Bewegung des Systems (112).

4.    Die Kinematik oder reine Bewegungslehre handelt von 259 den denkbaren und den möglichen Bewegungen der Systeme.

Solange es sich um die Betrachtung gesetzmäßiger Systeme (119, 120) handelt, fallen die Betrachtungen der Kinematik mit denen der Geometrie fast zusammen. Erst wenn es sich um ungesetzmäßige Systeme handelt und also die Zeit in die Bedingungsgleichungen der Systeme eintritt, gewinnt die Kinematik vor der Geometrie größere Mannigfaltigkeit. Wir haben indessen nicht nötig, auf eigentlich kinematische Betrachtungen einzugehen, sondern dürfen uns hier mit der Erörterung einer Anzahl von Grundbegriffen begnügen.

Analytische Darstellung. Die Bewegung eines Systems 260 wird analytisch dargestellt, indem bei Darstellung der beschriebenen Bahn die Zeit t als unabhängige Yariabele benutzt wird, oder, was dasselbe ist, indem die Koordinaten der Lage des Systems als Funktionen der Zeit angegeben werden.

Die Differentialquotienten aller Größen nach der Zeit bezeichnen wir nach Newtons Weise durch übergesetzte Punkte.

261

262

263

264

265

Geschwindigkeit.

Definition 1. Die augenblickliche Bewegungsart eines Systems heißt die Geschwindigkeit des Systems.

Die Geschwindigkeit ist bestimmt durch die Änderung, welche die Lage des Systems in einer unendlich kleinen Zeit erleidet und durch diese Zeit selbst. Sie wird gemessen durch das von dem absoluten Werte beider unabhängige Verhältnis dieser Größen.

Lage und Geschwindigkeit eines Systems zusammen nennen wir den Zustand des Systems.

Folgerung. Die Geschwindigkeit eines Systems kann betrachtet werden als Vektorgröße in bezug auf das System. Die Richtung der Geschwindigkeit ist alsdann die Richtung des augenblicklichen Bahnelements, die Größe der Geschwindigkeit ist gleich dem Differentialquotienten der zurückgelegten Bahnstrecke nach der Zeit.

Die Größe der Geschwindigkeit heißt auch die Geschwindigkeit des Systems in seiner Bahn, oder, wo Mißverständnisse ausgeschlossen sind, die Geschwindigkeit schlechthin.

Definition 2. Eine Bewegung eines Systems, bei welcher die Geschwindigkeit ihre Größe nicht äjadert, heißt eine gleichförmige Bewegung.

Anmerkung. Gerade Bewegung eines Systems ist eine Bewegung in gerader Bahn. Bei einer solchen Bewegung ändert die Geschwindigkeit ihre Richtung nicht.

Aufgabe 1. Die Größe der Geschwindigkeit, ihre Komponenten und ihre reduzierten Komponenten in Richtung der rechtwinkligen Koordinaten auszudrücken durch die Änderungsgeschwindigkeiten dieser Koordinaten.

Die Größe v der Geschwindigkeit ist gegeben durch die positive Wurzel der Gleichung (55):

₉ ds²

m v = m -tto-

dta"

mv xl

Danach (241) sind die Komponenten der Geschwindigkeit in Richtung der xv gleich und die reduzierten Komponenten in der gleichen Richtung, oder die Komponenten nach den xv gleich:

mv

Anmerkung. Die Größe der Geschwindigkeit eines Systems 266 ist der quadratische Mittelwert aus der Größe der Geschwindigkeiten aller seiner Massenteilchen.

Aufgabe 2. Die Größe der Geschwindigkeit, ihre Kom- 267 ponenten und ihre reduzierten Komponenten in Richtung der allgemeinen Koordinaten pQ auszudrücken durch die Anderungs-geschwindigkeiten pe dieser Koordinaten.

Durch Transformation von 265 'und 57 erhalten wir die Größe der Geschwindigkeit als positive Wurzel der Gleichung:

V² = 2^* UQGpQpa • 11

Danach sind (241) die Komponenten in der Richtung der

Ve g]eic]l

und die reduzierten Komponenten in derselben Richtung, oder die Komponenten nach den pe gleich:

"/V &q<jpa

l

Moment.

268

269

270

271

Definition. Das Produkt aus der Masse eines Systems in seine Geschwindigkeit heißt die Bewegungsgröße oder das Moment des Systems.

Das Moment des Systems ist also eine Vektorgröße in bezug auf das System. Die Komponenten des Moments nach irgendwelchen Koordinaten werden gewöhnlich schlechthin die Momente des Systems nach diesen Koordinaten genannt. (241).

Bezeichnung. Die Momente eines Systems nach den allgemeinen Koordinaten pe sollen dauernd mit qQ bezeichnet •werden.

Aufgabe 1. Die Momente qQ eines Systems nach den pQ auszudrücken durch die Änderungsgeschwindigkeiten dieser Koordinaten.

Aus 268 und 267 erhalten wir:

qQ = aQapff .

i

Aufgabe 2. Die Änderungsgeschwindigkeiten der allgemeinen Koordinaten pe auszudrücken durch die Momente des Systems nach diesen Koordinaten.

Durch Auflösung der vorigen Gleichungen erhalten wir:

272

Anmerkung. Die Geschwindigkeit und die Bewegungsgröße eines Systems sind solche Vektoren in bezug auf das System, welche stets möglichen Verrückungen des Systems parallel sind (vergl. 243, 245).

Beschleunigung.

Definition. Die augenblickliche Veränderungsweise der Geschwindigkeit eines Systems heißt die Beschleunigung des Systems.

Die Beschleunigung ist bestimmt durch die Änderung, welche die Geschwindigkeit in unendlich kurzer Zeit erleidet und diese Zeit selbst; sie wird gemessen durch das von dem absoluten Werte beider unabhängige Verhältnis dieser Größen.

Folgerung. Die Beschleunigung eines Systems kann be- 274 trachtet werden als Vektorgröße in bezug auf das System. Bilden wir von der gegenwärtigen Lage des Systems aus zwei Verrückungen, von welchen die eine die gegenwärtige Geschwindigkeit darstellt, die andere die Geschwindigkeit im nächsten Augenblick, so gibt die Differenz derselben eine neue Verrückung, deren Richtung die Richtung der Beschleunigung ist, während die Größe der Beschleunigung gleich ist dem Verhältnis der Länge jener neuen Verrückung zum Differentiale der Zeit.

Aufgabe 1. Die Größe / der Beschleunigung und ihre 275 Komponenten nach den rechtwinkligen Koordinaten auszudrücken durch die Differentialquotienten dieser Koordinaten nach der Zeit.

Die Komponenten der Geschwindigkeit nach den xv> jetzt und nach der Zeit dt, sind (265):

»t/p

und

mv.    mv

— Xu -j--Xv dt ,

m    m die Komponenten der Differenz beider also - xv dt ; das

Verhältnis dieser zur Zeit dt gibt die Komponenten der Beschleunigung nach den xv gleich:

woraus die Größe der Beschleunigung folgt als positive Wurzel der Gleichung (244):

Zn

mf² = ^ mv •

i

278

Anmerkung 1. Die Komponenten der Beschleunigung sind also im allgemeinen lineare Funktionen der zweiten Differentialquotienten der Koordinaten, quadratische Funktionen der ersten Differentialquotienten derselben, beliebig verwickelte Funktionen der Koordinaten selbst.

279

276

277

Anmerkung. Die Größe der Beschleunigung eines materiellen Systems ist der quadratische Mittelwert aus der Größe der Beschleunigungen seiner Massenteilchen.

Aufgabe 2. Die Komponenten fß der Beschleunigung eines Systems nach den allgemeinen Koordinaten pß darzustellen durch die Differentialquotienten dieser Koordinaten nach der Zeit.

Nach 242 haben wir

und hierin ist einzusetzen, wie in 108:

Xv-^V(Tp(T ~f"

1 11

P<rP r .

Indem wir dieselbe Umformung benutzen wie in 108, erhalten wir als Lösung der Aufgabe:

1 daaT \ ,    .

dpt

² dPe

Pa Pt

Anmerkung 2. Die Beschleunigung eines Systems ist nicht notwendig einer möglichen Verrückung des Systems parallel, noch auch einer Verrückung, welche sich durch die benutzten Koordinaten ps ausdrücken läßt.

Die Komponenten fe reichen daher im allgemeinen nicht aus, um die Größe der Beschleunigung, noch auch um ihre Komponenten nach sämtlichen rechtwinkligen Koordinaten zu bestimmen (248, 245). Dagegen reichen die fß aus, um die Komponente der Beschleunigung in der Richtung einer jeden möglichen Bewegung des Systems zu bestimmen (248).

Aufgabe 3. Die Komponente der Beschleunigung in der 280 .Richtung der Bahn zu finden.

Die Richtungscosinus der Bahn sind nach 72 gleich

J//— also unter Berücksichtigung von 265 gleich j/^ — •

Hieraus folgt nach 246 unter Benutzung von 275 für die gesuchte tangentiale Komponente ft\

Sn    • ••    7    70

p 'sn mv XyXv av a*s

dt    dt²

Tt=Zv^—f;

unter s die laufende Länge der Bahn verstanden.

Bemerkung. Zerlegen wir die Beschleunigung eines Systems 281 in zwei Komponenten, von denen die eine die Richtung der Bahn hat, die andere auf der Bahn senkrecht steht, so ist die Größe der letzteren gleich dem Produkt aus der Krümmung der Bahn in das Quadrat der Geschwindigkeit des Systems in der Bahn.

Indem wir in Gleichung 107 c die Zeit t als unabhängige Variabele nehmen, erhalten wir:

mv g

mv %l —ms² ,

also unter Benutzung von 275 und 280:

- f-ft -.

Nennen wir nun die zweite, radiale oder centrifugale Komponente der Beschleunigung fr, so ist, da fr und ft senkrecht zueinander sein sollen: f²=ff-\-ft, also:

fr — GV² ,

282

283

284

285

2S6

Energie.

Das halbe Produkt aus der Masse eines

Definition.

Systems in das Quadrat der Größe seiner Geschwindigkeit heißt die Energie des Systems.

Aufgabe 1. Die Energie JE eines Systems darzustellen durch die Anderungsgeschwindigkeiten seiner rechtwinkligen Koordinaten.

Es ist nach 265:

E= y mv²

Sn

-12-

i

mv%l .

Folgerung 1. Die Energie eines Systems ist die Summe der Energieen seiner Massenteilchen.

Folgerung 2. Bilden mehrere Systeme zusammen ein größeres System, so ist die Energie des letzteren die Summe der Energieen der ersteren.

Aufgabe 2. Die Energie eines Systems darzustellen durch die Anderungsgeschwindigkeiten der allgemeinen Koordinaten des Systems und durch die Momente nach diesen Koordinaten.

Unter Benutzung von 267, 270 und 271 folgt nacheinander:

a)

b)

C)

Anmerkung (zu 261 bis 286). Die Geschwindigkeit, das Moment, die Beschleunigung, die Energie eines Systems sind definiert unabhängig von der analytischen Darstellung, insbesondere also auch unabhängig von der Wahl der Koordinaten des Systems.

Benutzung partieller Differentialquotienten.

Bezeichnung. (Vergl. 90.) Mit dpE soll bezeichnet wer- 288 den das partielle Differential der Energie E dann und nur dann, wenn wir die Koordinaten pe und deren Anderungs-geschwindigkeiten pQ als die unabhängig voneinander veränderlichen Bestimmungsstücke der Energie betrachten (286a).

Mit dqE dagegen soll bezeichnet werden das partielle Differential der Energie E dann und nur dann, wenn wir die Koordinaten pe und die Momente qQ nach diesen Koordinaten als die unabhängig voneinander veränderlichen Bestimmungsstücke der Energie betrachten (286 c).

Eine jede der beiden Annahmen schließt die andere aus.

Mit dE werde, wie gewöhnlich, bezeichnet irgend eine Art des partiellen Differentials von E> also die erste Art oder die zweite, wo ein Mißverständnis ausgeschlossen ist, oder auch irgend eine dritte Art.

Bemerkung 1. Die Momente qe eines Systems nach den 289 Koordinaten pe lassen sich darstellen als partielle Differentialquotienten der Energie des Systems nach den Anderungs-geschwindigkeiten der Koordinaten.

Denn es ist nach Gleichung 286 a und 270: (vergl. 91)

c1q =

dpE

dPQ

Bemerkung 2. Die Anderungsgeschwindigkeiten pQ der 290 Koordinaten pQ eines Systems lassen sich darstellen als partielle Differentialquotienten der Energie des Systems nach den Momenten.

Denn es ist nach Gleichung 286c und 271: (vergl. 94)

dqE

■

Bemerkung 3. Die Komponenten fe der Beschleunigung 291 eines Systems nach den Koordinaten pe lassen sich darstellen durch partielle Differentialquotienten der Energie.

Denn nach Gleichung 286a ist erstens:

dpE

8pe

— ^ /V* CtpcrPa > 1

also:

dt\dpe)

“ m 2° aV«P<r +    a_

i    i i

TT-VaPr ,

und nach derselben Gleichung zweitens:

dpE

r r ^

pvpx .

1    daor .

2^2-

Durch Subtraktion der zweiten Gleichung yon der ersten und Vergleichung mit 277 folgt:

a)

^-d (dp^\

dt \dps I

dpE

dPe ’

wofür auch geschrieben werden kann unter Berücksichtigung von 289:

dpE dPe

292

1)>

Bemerkung 4. Andern wir eine Koordinate px eines Systems zweimal um denselben unendlich kleinen Betrag, indem wir das eine Mal den Änderungsgeschwindigkeiten der Koordinaten, das andere Mal den Momenten nach den Koordinaten ihre ursprünglichen Werte lassen, so erleidet die Energie des Systems in beiden E^ällen entgegengesetzt gleiche Änderung.

Denn multipliziert man die Gleichung 95a mit mds und dividiert durch dt², so liefert sie:

dpE

daE

Spz

dpr '

Lehrsatz. Erleidet die Lage eines Systems zweimal die- 293 selbe unendlich kleine Änderung, während das eine Mal die Änderungsgeschwindigkeiten der Koordinaten, das andere Mal die Momente nach den Koordinaten ihre ursprünglichen Werte behalten, so erleidet die Energie des Systems in beiden Fällen entgegengesetzt gleiche Änderung.

Denn die Änderung der Energie ist im ersten Falle:

und im zweiten Falle:

dpx ,

also ist nach Bemerkung 4:

ôpE=-ôqE ,

welches die Behauptung ist.

Folgerung. Die Komponenten der Beschleunigung eines 294 Systems nach seinen Koordinaten pQ lassen sich auch darstellen in der Form: (nach 291b und 292)

mfo = (jo -i

dqB

dPe

S c h lu ß b e m er kun g zum ersten Buch.

Wie bereits in der Vorbemerkung (1) ausgesprochen 295 ■wurde, ist den Überlegungen dieses Buches die Erfahrung völlig fern geblieben. Wenn wir also den gewonnenen Beziehungen in der Folge wieder begegnen, so werden wir

wissen, daß sie nicht der Erfahrung entstammen, sondern den gegebenen Gesetzen unserer Anschauung und unseres Denkens, zusammen mit einer Reihe willkürlicher Festsetzungen.

Es ist wahr, daß Bildung der Begriffe und Entwickelung ihrer Beziehungen nur geschahen im Hinblick auf mögliche Erfahrungen; es ist also nicht minder wahr, daß einzig die Erfahrung zu entscheiden hat über Wert oder Unwert unserer Überlegungen. Die Richtigkeit oder Unrichtigkeit dieser Überlegungen aber kann durch keine mögliche zukünftige Erfahrung weder bestätigt noch widerlegt werden.

ZWEITES BUCH.

MECHANIK DER MATERIELLEN SYSTEME.

K. 4

1

Vorbemerkung. In diesem zweiten Buch werden wir unter 296 Zeiten, Bäumen, Massen Zeichen für Gegenstände der äußeren Erfahrung verstehen, deren Eigenschaften übrigens den Eigenschaften nicht widersprechen, welche wir vorher den gleichbenannten Größen als Formen unserer inneren Anschauung oder durch Definition beigelegt hatten. Unsere Aussagen über die Beziehungen zwischen Zeiten, Räumen und Massen sollen daher nicht mehr allein den Ansprüchen unseres Geistes genügen, sondern sie sollen zugleich auch möglichen, insbesondere zukünftigen Erfahrungen entsprechen. Diese Aussagen stützen sich daher auch nicht mehr allein auf die Gesetze unserer Anschauung und unseres Denkens, sondern außerdem auf vorangegangene Erfahrung. Den Anteil der letzteren aber, soweit er nicht schon in den Grundbegriffen enthalten ist, werden wir zusammenfassen in eine einzige allgemeine Aussage, welche wir als Grundgesetz voranstellen. Eine spätere, nochmalige Berufung auf die Erfahrung findet dann nicht mehr statt. Die Frage nach der Richtigkeit unserer Aussagen fällt also zusammen mit der Frage nach der Richtigkeit oder Allgemeingültigkeit jener einzigen Aussage.

Abschnitt 1. Zeit, Raum, Masse.

Zeit, Raum und Masse schlechthin sind unserer Erfahrung 297 in keinem Sinne zugänglich, sondern nur bestimmte Zeiten, bestimmte räumliche Größen, bestimmte Massen. Jede be-

stimmte Zeit, räumliche Größe oder Masse aber kann das Ergebnis einer bestimmten Erfahrung bilden. Wir machen nämlich jene Begriffe zu Zeichen für Gegenstände der äußeren Erfahrung, indem wir festsetzen, durch welche sinnlichen Wahrnehmungen wir bestimmte Zeiten, räumliche Größen und Massen festlegen wollen. Die Beziehungen, welche wir aus-sagen als bestehend zwischen Zeiten, Räumen und Massen sind alsdann in Zukunft Beziehungen zwischen eben diesen sinnlichen Wahrnehmungen.

298

Festsetzung 1. Die Dauer der Zeit bestimmen wir mit Hilfe des Chronometers nach der Zahl der Schläge seines Pendels. Die Einheit der Dauer setzen wir durch willkürliche Übereinkunft fest. Als Merkmal eines bestimmten Augenblicks dient uns sein zeitlicher Abstand von einem durch weitere willkürliche Übereinkunft festgesetzten Augenblick.

Diese Festsetzung enthält erfahrungsgemäß nichts, was uns hinderte, die Zeit als stets unabhängige, niemals abhängige, auch stetig von einem Wert zum andern übergehende Yariabele zu benutzen. Die Festsetzung ist auch bestimmt und eindeutig, abgesehen von solchen Unsicherheiten, welche es uns überhaupt nicht gelingt aus unserer Erfahrung fern zu halten, weder aus der früheren, noch aus der zukünftigen.

299

Festsetzung 2. Die Verhältnisse des Raumes bestimmen wir nach den Regeln der praktischen Geometrie mit Hilfe des Maßstabes. Die Einheit der Länge setzen wir fest durch willkürliche Übereinkunft. Als Merkmal eines bestimmten Ortes im Raume dient uns seine relative Lage gegen ein in Hinsicht des entfernteren Fixsternhimmels ruhendes, im übrigen durch willkürliche Übereinkunft festgesetztes Koordinatensystem.

Bei Anwendung aller Aussagen der Euklid sehen Geometrie auf die so bestimmten räumlichen Verhältnisse stoßen wir erfahrungsmäßig auf keine Widersprüche. Unsere Festsetzung ist auch bestimmt und eindeutig, abgesehen von Unsicherheiten, welche es uns nicht gelingt aus unserer wirklichen Erfahrung fernzuhalten, weder aus der früheren, noch aus der zukünftigen.

Festsetzung 3. Die mit den greifbaren Körpern bewegten Massen bestimmen wir mit Hilfe der Wage. Als Einheit der

Masse dient uns die Masse eines durch willkürliche Übereinkunft festgesetzten Körpers.

Die nach dieser Festsetzung bestimmte Masse der greifbaren Körper besitzt die Eigenschaften, welche wir der begrifflich definierten Masse beilegten. Sie kann nämlich in beliebig viele gleiche Massenteilchen geteilt gedacht werden, deren jedes unzerstörbar und unveränderlich ist und als Merkmal dienen kann, um einen Punkt des Raumes zu einer Zeit einem Punkt des Raumes zu jeder anderen Zeit eindeutig und bestimmt zuzuordnen (3). Die Festsetzung ist auch in Hinsicht der greifbaren Körper bestimmt und eindeutig, abgesehen von den Unsicherheiten, welche es überhaupt nicht gelingt aus unserer wirklichen Erfahrung fernzuhalten, weder aus der früheren, noch aus der zukünftigen.

Zusatz zu Festsetzung 3. Übrigens lassen wir die Ver- 301 mutung zu, daß es neben den greifbaren Körpern auch andere Körper gebe, welche wir nicht ergreifen, nicht bewegen, nicht auf die Wage legen können, und auf welche daher die Festsetzung 3 keine Anwendung finden kann. Die Massen solcher Körper können nur durch Hypothese bestimmt werden.

Was diese hypothetisch anzunehmenden Massen anlangt, so steht es in unserer Macht, ihnen keine Eigenschaften durch die Hypothese beizulegen, welche den Eigenschaften der begrifflich definierten Masse widersprächen.

Anmerkung 1. Die vorstehenden drei Festsetzungen sind 302 nicht neue Definitionen für die schon vorher fest definierten Größen Zeit, Raum und Masse. Vielmehr stellen sie die Abbildungsgesetze dar, durch welche wir äußere Erfahrung, d. h. konkrete sinnliche Empfindungen und Wahrnehmungen übertragen in die Zeichensprache unseres inneren Bildes (vergleiche die Einleitung), und durch welche wir rückwärts die denknotwendigen Folgen dieses Bildes wieder übersetzen in die Gestalt möglicher sinnlicher Empfindungen und Wahrnehmungen. Erst durch diese drei Festsetzungen werden also die Zeichen Zeit, Raum und Masse zu Teilen unserer Scheinbilder der äußeren Gegenstände. Erst durch diese drei Festsetzungen auch werden sie weitergehenden Ansprüchen unterworfen, als der Denknotwendigkeit unseres Geistes.

Anmerkung 2. Die Unbestimmtheiten, welche unsere Festsetzungen enthalten, und welche wir in denselben anerkannten, sind also nicht Unbestimmtheiten unserer Bilder, auch nicht unserer Abbildungsgesetze, sondern es sind Unbestimmtheiten der abzubildenden äußeren Erfahrung selbst. Wir wollen damit sagen, daß wir durch tatsächliche Bestimmung mit Hilfe unserer Sinne doch keine Zeit genauer festlegen können, als sie sich messen läßt mit Hilfe der besten Chronometer, keine Lage genauer als sie sich beziehen läßt auf ein mit dem entfernteren Fixsternhimmel ruhendes Koordinatensystem, keine Masse genauer, als die besten Wagen sie uns liefern.

303

304

Anmerkung 3. Es ist gleichwohl anscheinend die Frage berechtigt, ob durch unsere drei Festsetzungen wahre oder absolute Maße der Zeit, des Raumes und der Masse gegeben seien, und diese Frage ist nach der Wahrscheinlichkeit zu verneinen, da unsere Festsetzungen offenbar Zufälligkeiten und Willkür enthalten. In Wahrheit aber fällt diese Frage aus unserer Betrachtung heraus und berührt ihre Richtigkeit nicht, selbst wenn wir der Frage einen deutlichen Sinn beilegen und sie verneinen wollen. Es genügt, daß unsere Festsetzungen solche Maße bestimmen, in welchen wir frühere und zukünftige Erfahrungen eindeutig bestimmt aussprechen und mitteilen können. Würden wir andere Maße festsetzen, so würde sich die Form unserer Aussagen entsprechend ändern, in solcher Weise aber, daß die ausgesagten Erfahrungen, die vergangenen und die zukünftigen, dieselben blieben.

Materielles System.

Erklärung. Unter einem materiellen System ist fortan ein System von Massen der Erfahrung verstanden, dessen Eigenschaften den Eigenschaften der begrifflich definierten materiellen Systeme nicht widersprechen. In einem natürlichen materiellen Systeme sind also gewisse Lagen und Verrückungen möglich, andere unmöglich, und es genügt die Gesamtheit der möglichen Lagen und Verrückungen den Be-

dingungen der Stetigkeit (121). In einem natürlichen freien Systeme sind die Zusammenhänge unabhängig von der Lage des Systems gegen alle ihm nicht angehörenden Massen, und unabhängig von der Zeit (122).

Bemerkung dazu. Erfahrungsgemäß entspricht den so definierten Begriffen auch ein wirklicher Inhalt.

Erstens nämlich lehrt uns die Erfahrung, daß es Zusammenhänge und zwar stetige Zusammenhänge zwischen den Massen der Natur gibt. Es gibt also materielle Systeme im Sinne von 305. Wir dürfen sogar behaupten, daß andere als stetige Zusammenhänge in der Natur nicht gefunden werden, und daß also jedes natürliche System materieller Punkte zugleich ein materielles System sei.

Zweitens lehrt uns die Erfahrung, daß die Zusammenhänge eines materiellen Systems unabhängig sein können von seiner Lage gegen andere Systeme und von seiner absoluten Lage überhaupt. Wir dürfen sogar behaupten, daß diese Unabhängigkeit stets eintritt, sobald ein materielles System von allen anderen Systemen räumlich hinreichend entfernt wird. Es gibt also Systeme, welche nur innere Zusammenhänge haben, und wir besitzen auch ein allgemeines Mittel, solche Systeme zu erkennen und herzustellen.

Endlich lehrt uns die Erfahrung drittens, daß die absolute Zeit ohne Einfluß auf die Vorgänge in natürlichen Systemen ist, welche nur inneren Zusammenhängen unterliegen. Jedes derartige natürliche System ist daher auch nur gesetzmäßigen Zusammenhängen unterworfen und ist daher ein freies System. Es gibt also auch freie Systeme im Sinne von 305, und wir können freie Systeme hersteilen und als solche erkennen unabhängig von den Aussagen, welche wir weiter über freie Systeme vorzutragen haben werden.

Anmerkung. Die gesetzmäßigen Zusammenhänge der 307 freien Systeme bilden die unabhängig von der Zeit bestehenden Eigenschaften derselben. Es fällt der experimentellen Physik die Aufgabe zu, aus der unendlichen Erscheinungswelt solche endliche Gruppen von Massen herauszulösen, welche als freie Systeme selbständig bestehen können, und aus den

Hertz, Mechanik. 2. Aufl.

in der Zeit und in Verbindung mit anderen Systemen verlaufenden Erscheinungen derselben ihre außerzeitlichen Eigenschaften abzuleiten.

Abschnitt 2. Das Grundgesetz.

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309

310

Wir betrachten es als die Aufgabe der Mechanik, aus den von der Zeit unabhängigen Eigenschaften materieller Systeme die in der Zeit verlaufenden Erscheinungen derselben und ihre von der Zeit abhängigen Eigenschaften abzuleiten. Zur Lösung dieser Aufgabe stellen wir der Mechanik das folgende und nur das folgende, der Erfahrung entnommene Grundgesetz zur Verfügung:

Grundgesetz. Jedes freie System beharrt in seinem Zustande der Ruhe oder der gleichförmigen Bewegung in einer geradesten Bahn.

Systema omne liberum perseverare in statu suo quies-cendi vel movendi uniformiter in directissimam.

Bemerkungen dazu.

1.    Das Grundgesetz enthält nach dem Wortlaut nur Aussagen, welche sich auf freie Systeme beziehen. Da aber jeder Teil eines freien Systems ein unfreies System ist, so lassen sich aus dem Grundgesetz auch Folgerungen ableiten, welche sich auf unfreie Systeme beziehen.

2.    Die Gesamtheit der Folgerungen, welche aus dem Grundgesetz in Hinsicht freier Systeme und ihrer unfreien Teile abgeleitet werden können, bildet den Inhalt der Mechanik. Andere Ursachen der Bewegung, als welche aus dem Grundgesetz entspringen, kennt unsere Mechanik nicht. Die Kenntnis des Grundgesetzes ist nach unserer Auffassung desselben nicht allein notwendig zur Lösung der Aufgabe der Mechanik, son-

dem auch hinreichend zu diesem Zwecke, und dies ist ein wesentlicher Teil unserer Behauptung.

3.    (Definition.) Jede Bewegung eines freien materiellen 312 Systems oder seiner Teile, welche im Einklänge mit dem Grundgesetz erfolgt, nennen wir eine natürliche Bewegung des Systems im Gegensatz zu den denkbaren und den möglichen Bewegungen desselben (257, 258).

Die Mechanik handelt also von den natürlichen Bewegungen der freien materiellen Systeme und ihrer Teile.

4.    Wir betrachten eine Erscheinung der Körperwelt als 313 mechanisch und damit als physikalisch erklärt, wenn wir sie erkannt haben als denknotwendige Folge des Grundgesetzes und der von der Zeit unabhängigen Eigenschaften materieller Systeme.

5. Die vollständige Erklärung der Erscheinungen der 314 Körperwelt wrürde also erfordern: 1. ihre mechanische oder physikalische Erklärung; 2. eine Erklärung des Grundgesetzes;

3. die Erklärung der außerzeitlichen Eigenschaften der Körperwelt. Die zweite und dritte dieser Erklärungen aber rechnen wir nicht mehr in das Gebiet der Physik.

Berechtigung des Grundgesetzes.

Das Grundgesetz betrachten wir als das wahrscheinliche 315 Ergebnis allgemeinster Erfahrung. Genauer gesprochen ist das Grundgesetz eine Hypothese oder Annahme, welche viele Erfahrungen einschließt, welche durch keine Erfahrung widerlegt wird, welche aber mehr aussagt, als durch sichere Erfahrungen zurzeit erwiesen werden kann. Hinsichtlich ihres Verhaltens zum Grundgesetz lassen sich nämlich die materiellen Systeme der Natur in drei Klassen einteilen.

1. Die erste Klasse umfaßt solche Körpersysteme oder 316 Teile solcher Körpersysteme, welche den Bedingungen der freien Systeme nach dem unmittelbaren Ergebnis der Erfahrung genügen, und auf welche das Grundgesetz ohne weiteres An-

Wendung findet. Hierher gehören z. B. starre Körper, welche sich im leeren Kaum, oder vollkommene Flüssigkeiten, welche sich in geschlossenen Gefäßen bewegen.

Aus den Erfahrungen an solchen Körpersystemen ist das Grundgesetz abgeleitet. In Hinsicht dieser ersten Klasse stellt es eine nackte Erfahrungstatsache dar.

317

2. Die zweite Klasse umfaßt solche Körpersysteme, welche dann, aber auch nur dann den Voraussetzungen des Grundgesetzes sich fügen, oder welche dann, aber auch nur dann dem Grundgesetze folgen, wenn der unmittelbaren sinnlichen Erfahrung gewisse angebbare Hypothesen über ihre Natur hinzugefügt werden.

a)    Hierher gehören erstens diejenigen Systeme, welche der Bedingung der Stetigkeit in einzelnen Lagen nicht zu genügen scheinen, also diejenigen Systeme, in welchen Stöße im weitesten Sinne Vorkommen. Hier genügt die im höchsten Grade wahrscheinliche Hypothese, daß alle Unstetigkeiten scheinbare sind und verschwinden, sobald es uns gelingt, hinreichend kleine Kaum- und Zeitteile in Betracht zu ziehen.

b)    Hierher gehören zweitens diejenigen Systeme, in welchen Fernkräfte, die Kräfte der Wärme, und andere, nicht immer vollständig verstandene Bewegungsursachen tätig sind. Wenn wir die greifbaren Körper solcher Systeme zur Ruhe bringen, so verharren sie nicht in diesem Zustande, sondern setzen sich, freigemacht, aufs neue in Bewegung. Sie folgen also scheinbar nicht dem Grundgesetz. Hier wird die Hypothese immer wahrscheinlicher, daß die greifbaren Körper nicht die einzigen Massen, ihre sichtbaren Bewegungen nicht die einzigen Bewegungen solcher Systeme sind, sondern daß, wenn wir die sichtbaren Bewegungen der greifbaren Körper zur Ruhe gebracht haben, noch andere, verborgene Bewegungen in den Systemen bestehen, welche sich dann, wenn wir die greifbaren Körper freigeben, diesen aufs neue mitteilen. Uber diese verborgenen Bewegungen lassen sich, wie es scheint, stets solche Annahmen machen, daß die vollständigen Systeme dem Gesetze gehorchen.

In Hinsicht dieser zweiten Klasse von natürlichen Systemen trägt das Grundgesetz den Charakter einer teils sehr, teils

ziemlich wahrscheinlichen, aber stets, soweit wir sehen, einer zulässigen Hypothese.

3. Die dritte Klasse der Körpersysteme enthält solche 318 Systeme, deren Bewegungen sich nicht ohne weiteres als notwendige Folgen des Grundgesetzes darstellen lassen, und für welche auch keine bestimmten Hypothesen angegeben werden können, durch welche sie unter das Gesetz gefügt würden. Hierher gehören z. B. alle Systeme, welche organische oder belebte Wesen enthalten. Unsere Unkenntnis aller hierher gehörigen Systeme ist aber so groß, daß auch der Beweis nicht geführt werden kann, daß solche Hypothesen unmöglich seien und daß die Erscheinungen an diesen Systemen dem Gesetz widersprechen.

Hinsichtlich dieser dritten Klasse von Körpersystemen trägt also das Grundgesetz den Charakter einer zulässigen Hypothese.

Anmerkung. Wenn es zulässig ist, anzunehmen, daß es 319 in der Natur kein freies System gibt, welches dem Grundgesetze nicht gehorchte, so ist es zulässig, jedes System überhaupt anzusehen als ein solches freies System oder als Teil eines solchen freien Systems, so daß es dann in der Tat kein System in der Natur gibt, dessen Bewegungen nicht durch seine Zusammenhänge und das Grundgesetz bestimmt wären.

Einschränkung des Grundgesetzes.

In einem Körpersystem, welches dem Grundgesetze ge- 320 horcht, gibt es keine neue Bewegung, noch auch Ursachen neuer Bewegung, sondern nur die Fortsetzung der bisherigen Bewegung in gewisser einfacher Weise. Man kann kaum umhin, ein solches Körpersystem als ein lebloses oder totes zu bezeichnen. Wollte man also den Satz auf die gesamte Natur als das allgemeinste freie materielle System erweitern, und aussagen: die gesamte Natur verfolge mit gleichbleibender Geschwindigkeit eine geradeste Bahn, so würde man sich in Widerspruch setzen zu einem gesunden und natürlichen Ge-

fühl.

Es erscheint daher vorsichtiger, die wahrscheinliche

Gültigkeit des Satzes zu beschränken auf leblose Systeme. Es trifft dies zusammen mit der Aussage, daß der Satz, angewandt auf die Systeme der dritten Klasse (818), eine unwahrscheinliche Hypothese bilde.

321

322

Auf diese Erwägung ist indessen im folgenden keine Rücksicht genommen, und es ist auch nicht nötig, Rücksicht auf sie zu nehmen, weil, wie wir sahen, das Grundgesetz auch in Hinsicht dieser Systeme eine wenn auch nicht wahrscheinliche, so doch zulässige Hypothese bildet. Könnte der Nachweis geführt werden, daß die belebten Systeme dem Satz widersprechen, so würden diese dadurch aus der Mechanik ausscheiden. Zugleich würde dann, aber auch erst dann, unsere Mechanik eine Ergänzung erfordern in bezug auf diejenigen unfreien Systeme, welche zwar selber leblos, aber doch Teile solcher freier Systeme sind, welche belebte Wesen enthalten.

Nach allem, was wir wissen, könnte diese Ergänzung indessen dann auch geleistet werden, und zwar durch die Erfahrung, daß belebte Systeme auf unbelebte niemals einen anderen Einfluß auszuüben vermögen, als welcher auch durch ein unbelebtes System ausgeübt werden könnte. Darnach ist es möglich, jedem belebten System ein unbelebtes unterzuschieben, welches jenes in den gerade behandelten Problemen zu vertreten vermag, und dessen Angabe wir verlangen dürfen, um das gegebene Problem zu einem rein mechanischen zu machen.

Anmerkung. In der gewöhnlichen Darstellung der Mechanik wird ein ähnlicher Vorbehalt für überflüssig gehalten, und als sicher angenommen, daß die Grundgesetze die belebte wie die unbelebte Natur in gleicher Weise umfassen. Es ist dies in jener Darstellung auch erlaubt, da man den Formen der Kräfte, welche dort in die Grundgesetze ein-treten, zunächst den weitesten Spielraum .läßt und sich vorbehält, später und außerhalb der Mechanik zu erörtern, ob die Kräfte der belebten und der unbelebten Natur verschieden seien, und welche Eigenschaften etwa die einen vor den anderen auszeichnen. In unserer Darstellung ist größere Vorsicht geboten, da eine bedeutende Zahl von Erfahrungen,

welche sich zunächst nur auf die unbelebte Natur beziehen, in das Grundgesetz selbst schon einbezogen ist, und die Möglichkeit späterer Abgrenzung eine weit beschränktere ist.

Zerlegung des Grundgesetzes.

Die gewählte Fassung des Gesetzes schließt sich absicht- 328 lieh an die Fassung von Newtons erstem Bewegungsgesetz unmittelbar an. Offenbar aber enthält diese Fassung drei von einander unabhängige Aussagen, nämlich die folgenden:

1.    Ein freies System verfolgt keine anderen seiner möglichen Bahnen, als nur die geradesten Bahnen;

2.    Verschiedene freie Systeme beschreiben in identischen Zeiträumen einander proportionale Längen ihrer Bahnen;

3.    Die am Chronometer gemessene Zeit (298) wächst proportional der Bahnlänge irgend eines bewegten freien Systems.

Nur die beiden ersten Aussagen enthalten Erfahrungstatsachen von großer Allgemeinheit. Die dritte rechtfertigt nur unsere willkürliche Festsetzung der Zeitmessung und enthält nur die besondere Erfahrung, daß ein Chronometer in gewisser Hinsicht sich verhält wie ein freies System, obgleich es genau genommen kein solches ist.

Methode der Anwendung des Gesetzes.

Wird eine bestimmte Frage in Hinsicht der Bewegung 324 eines materiellen Systèmes gestellt, so muß von den folgenden drei Fällen notwendig einer eintreten:

1. Es kann die Frage so gestellt sein, daß das Grundgesetz zu einer bestimmten Beantwortung derselben ausreicht.

In diesem Falle ist das Problem ein bestimmtes mechanisches Problem, und die Anwendung des Grundgesetzes gibt seine Lösung.

2. Es kann die Frage so gestellt sein, daß das Grundgesetz 325 zu einer bestimmten Beantwortung derselben unmittelbar nicht

ausreicht, daß aber der Fragestellung eine oder mehrere Annahmen hinzugefügt werden können, durch welche die bestimmte Anwendung des Grundgesetzes möglich gemacht wird.

Ist nur eine einzige solche Annahme möglich, und setzen wir voraus, daß das Problem überhaupt ein mechanisches Problem sei, so muß diese Annahme auch zutreffend sein; das Problem kann also als ein bestimmtes mechanisches Problem betrachtet werden, und die Anwendung der hinzugefügten Annahme und des Grundgesetzes gibt die Lösung.

Sind mehrere Annahmen möglich, und setzen wir voraus, daß das Problem überhaupt ein mechanisches Problem sei, so muß eine dieser Annahmen zutreffen; das Problem kann alsdann als ein unbestimmtes mechanisches Problem betrachtet werden, und die Anwendung des Grundgesetzes auf die verschiedenen möglichen Annahmen gibt die möglichen Lösungen.

826

3. Es kann die Frage so gestellt sein, daß das Grundgesetz zur Beantwortung nicht ausreicht, und daß auch keine Annahmen hinzugefügt werden können, durch welche die Anwendung des Grundgesetzes möglich gemacht würde. In diesem Falle muß in den Voraussetzungen der Fragestellung selbst ein Widerspruch liegen gegen das Grundgesetz oder gegen die Eigenschaften der Systeme, auf welche sie sich bezieht; die gestellte Frage kann alsdann überhaupt nicht als ein mechanisches Problem betrachtet werden.

Angenäherte Anwendung des Grundgesetzes.

327

Bemerkung. Wenn aus den gegebenen Bedingungsgleichungen eines Systems zusammen mit dem Grundgesetze Gleichungen folgen, welche genau die Form der Bedingungsgleichungen haben, so ist es für die Bestimmung der Bewegung des Systems gleichgültig, ob wir allein jene ursprünglichen oder neben und statt derselben die abgeleiteten Bedingungsgleichungen als Darstellungen des Zusammenhanges des Systems betrachten.

Denn wenn wir auch aus der Beihe der ursprünglichen Bedingungsgleichungen alle diejenigen streichen, welche schon analytisch aus den übrigen und aus den abgeleiteten Bedin-

gungsgleichungen folgen, so genügen doch den jetzt übrig bleibenden ursprünglichen und abgeleiteten Gleichungen sicherlich nur mögliche Verrückungen, wenn auch im allgemeinen nicht alle Verrückungen, welche nach den ursprünglichen Gleichungen möglich waren. Eine Bahn, welche unter der ursprünglichen größeren Mannigfaltigkeit eine geradeste war, wird es um so mehr unter der jetzigen beschränkten Mannigfaltigkeit sein. Und da sich die natürlichen Bahnen unter dieser beschränkteren Mannigfaltigkeit finden müssen, so sind die natürlichen Bahnen die geradesten unter denjenigen, welche nach den jetzigen Bedingungsgleichungen möglich sind. Dies ist aber die Behauptung.

Folgerung 1. Gewinnen wir aus der Erfahrung die 328 Kenntnis, daß ein System gewissen Bedingungsgleichungen tatsächlich genügt, so ist es für die Anwendung des Grundgesetzes vollständig gleichgültig, ob jene Zusammenhänge ursprüngliche, d. h. physikalisch nicht weiter erklärbare (313) sind, oder ob es Zusammenhänge sind, welche sich darstellen lassen als die notwendige Folge anderer Zusammenhänge und des Grundgesetzes, welche also eine mechanische Erklärung zulassen.

Folgerung 2. Gewinnen wir aus der Erfahrung die 329 Kenntnis, daß gewissen Bedingungsgleichungen eines materiellen Systems nur angenähert, nicht aber genau genügt werde, so ist es gleichwohl zulässig, jene Bedingungsgleichungen als angenäherte Darstellungen eines wahren Zusammenhanges bestehen zu lassen und durch Anwendung des Grundgesetzes auf sie angenäherte Aussagen über die Bewegung des Systems zu gewinnen, obwohl es unzweifelhaft feststeht, daß jene angenäherten Bedingungsgleichungen nicht einen ursprünglichen, stetigen, gesetzmäßigen Zusammenhang darstellen, sondern nur als die angenäherte Folge unbekannter Zusammenhänge und des Grundgesetzes angesehen werden können.

Anmerkung. Auf der vorstehenden Folgerung beruht jede 330 praktische Anwendung unserer Mechanik. Denn bei allen Zusammenhängen zwischen grobsinnlichen Massen, welche die Physik entdeckt und die Mechanik verwertet, lehrt eine hin-

reichend genaue Untersuchung, daß sie nur angenäherte Gültigkeit haben und daher nur abgeleitete Zusammenhänge sein können. Die letzten, ursprünglichen Zusammenhänge sind wir gezwungen in der Welt der Atome zu suchen, und sie sind uns unbekannt. Aber auch wenn sie uns bekannt wären, müßten wir auf ihre Benutzung zu praktischen Zwecken verzichten und verfahren, wie wir verfahren. Denn die wirkliche Beherrschung jedes Problems erfordert stets die Beschränkung der Betrachtung auf eine äußerst kleine Zahl von Variabelen, während das Zurückgehen auf die Zusammenhänge der Atome die Einführung einer unermeßlichen Zahl von Veränderlichen nötig machen würde.

Daß wir aber das Grundgesetz so an wenden dürfen, wie wir es anwenden, ist nicht als eine neue Erfahrung neben dem Grundgesetz anzusehen, sondern ist, wie wir sahen, eine notwendige Folge eben dieses Gesetzes selbst.

Abschnitt 3. Bewegung der freien Systeme.

Allgemeine Eigenschaften der Bewegung.

I. Bestimmtheit der Bewegung.

331

332

Lehrsatz. Eine natürliche Bewegung eines freien Systems ist eindeutig bestimmt durch die Angabe der Lage und der Geschwindigkeit des Systems zu einer bestimmten Zeit.

Denn durch die Lage und die Richtung der Geschwindigkeit ist die Bahn des Systems eindeutig bestimmt (161); die konstante Geschwindigkeit des Systems in seiner Bahn ist durch die Größe der Geschwindigkeit zur Anfangszeit gegeben.

Folgerung 1. Durch den gegenwärtigen Zustand (261) eines freien Systems sind seine zukünftigen Zustände und seine vergangenen Zustände zu allen Zeiten eindeutig bestimmt.

Folgerung 2. Könnte man in irgend einer Lage die Geschwindigkeit eines Systems umkehren (was niemals gegen die

Bedingungsgleichungen des Systems verstoßen würde), so würde das System die Lagen seiner vorherigen Bewegung in umgekehrter Reihenfolge durchlaufen.

Bemerkung 1. In einem freien holonomen System (123) gibt 334 es stets eine natürliche Bewegung, welche das System in gegebener Zeit aus einer willkürlich gegebenen Anfangs- in eine willkürlich gegebene Endlage überführt.

Denn es ist stets eine natürliche Bahn zwischen beiden Lagen möglich (192); in dieser Bahn ist jede Geschwindigkeit zulässig, also auch eine solche, welche das System in der gegebenen Zeit die gegebene Strecke durchlaufen läßt.

Anmerkung. Die vorige Bemerkung bleibt richtig, wenn 335 an Stelle der Zeit des Überganges die Geschwindigkeit des Systems in seiner Bahn oder auch die Energie des Systems gesetzt wird.

Bemerkung 2. Ein freies System, welches kein holonomes 336 ist, kann nicht aus jeder möglichen Anfangslage in jede mögliche Endlage durch eine natürliche Bewegung übergeführt werden (162).

Lehrsatz. Eine natürliche Bewegung eines freien holo- 337 nomen Systems ist bestimmt durch die Angabe zweier Lagen, in welchen sich das System zu zwei bestimmten Zeiten finden soll.

Denn durch diese Angabe ist die Bahn des Systems bestimmt und die Geschwindigkeit in dieser Bahn.

Die Bestimmung einer natürlichen Be- 338

Anmerkung 1.

wegung durch zwei Lagen, zwischen welchen sie stattfindet, ist im allgemeinen eine mehrdeutige; sie ist eine eindeutige, sobald die Entfernung der beiden Lagen ein gewisses endliches Maß nicht überschreitet und die Länge der beschriebenen Bahn von der Ordnung dieser Entfernung sein soll (vgl.

167, 172, 190 u. 176).

Anmerkung 2. Eine natürliche Bewegung eines freien 339 holonomen Systems ist, abgesehen von dem absoluten Wert

der Zeit, auch bestimmt durch zwei Lagen des Systems und entweder die Zeitdauer des Überganges oder die Geschwindigkeit des Systems in seiner Bahn oder die Energie des Systems.

2. Erhaltung der Energie.

340

341

Lehrsatz. Die Energie eines in beliebiger Bewegung begriffenen freien Systems ändert sich nicht mit der Zeit.

Denn die Energie setzt sich zusammen (282) aus der Masse des Systems, welche unveränderlich ist, und der Geschwindigkeit längs der Bahn, welche ebenfalls unveränderlich ist.

Anmerkung 1. Von den drei Teilaussagen, in welche wir das Grundgesetz zerlegten (B2B), bedurften wir zum Beweise des Satzes nur die zweite und dritte. Wir können auch die dritte entbehrlich machen, und den Satz von einer bestimmten Art der Zeitmessung unabhängig aussagen, wenn wir ihm die Form geben:

Das Verhältnis der Energieen irgend zweier in beliebiger Bewegung begriffener freier Systeme ändert sich nicht mit der Zeit.

342

Anmerkung 2. Der Satz von der Erhaltung der Energie ist eine notwendige Folge des Grundgesetzes. Umgekehrt folgt aus dem Satz von der Erhaltung der Energie die zweite Teilaussage (323) jenes Gesetzes, aber nicht die erste, also nicht das ganze Gesetz. Es wären natürliche Systeme denkbar, für welche der Satz von der Erhaltung der Energie gälte, und welche sich dennoch nicht in geradesten Bahnen bewegten. Es wäre zum Beispiel denkbar, daß der Satz von der Erhaltung der Energie Gültigkeit hätte auch für belebte Systeme, und daß dieselben dennoch sich unserer Mechanik entzögen. Umgekehrt ließen sich auch natürliche Systeme denken, welche sich nur in geradesten Bahnen bewegten, und für welche dennoch der Satz von der Erhaltung der Energie keine Gültigkeit hätte.

Anmerkung 3. Es ist in neuerer Zeit mehrfach die Ansicht vorgetragen worden, daß die Energie bewegter Systeme an einen bestimmten Ort gebunden sei und sich von Ort zu

Ort fortpflanze. Man hat deshalb die Energie, wie in Hinsicht der Unzerstörbarkeit, so auch in dieser Hinsicht mit der Materie in Vergleich gestellt. Diese Auffassung der Energie weicht offenbar sehr weit ab von der Auffassung der hier vorgetragenen Mechanik. Mit dem gleichen Rechte, aber nicht mit größerem Rechte, kann man sagen: die Energie eines bewegten Systems sei am Orte des Systems vorhanden, mit welchem man sagen kann: die Geschwindigkeit eines bewegten Körpers sei an den Ort desselben gebunden. Diese letztere Ausdrucksweise aber ist mit Recht ungebräuchlich.

3. Kleinste Beschleunigung.

Lehrsatz. Ein freies System bewegt sich in solcher Weise, 344 daß die Größe seiner Beschleunigung in jedem Augenblick die kleinste ist, welche mit der augenblicklichen Lage, der augenblicklichen Geschwindigkeit und dem Zusammenhänge des Systems sich verträgt.

Denn das Quadrat der Größe der Beschleunigung ist nach 280 und 281 gleich

-y⁴ c² + i)²    .

Da nun für die natürliche Bewegung v = 0 ist, v einen durch die augenblickliche Geschwindigkeit gegebenen Wert hat und c den kleinsten Wert hat, welcher mit der gegebenen Richtung der Bewegung und dem Zusammenhänge des Systems verträglich ist, so nimmt der Ausdruck seihst den kleinsten, mit den genannten Nebenumständen verträglichen Wert an.

Anmerkung 1. Die in dem vorigen Lehrsatz ausgesagte 345 Eigenschaft der natürlichen Bewegung bestimmt diese Bewegung eindeutig, und es kann daher der Lehrsatz das Grundgesetz vollständig vertreten.

Denn soll der Ausdruck

-.2

ein Minimum werden, so muß zunächst ü = 0 sein, also das

System seine Bahn mit konstanter Geschwindigkeit durchlaufen, zweitens muß entweder v = 0 sein — alsdann ruht das System — oder c muß den kleinsten, bei der Dichtung der Bahn möglichen Wert haben, — dann ist die Bahn eine geradeste.

346

347

348

Anmerkung 2. Der Lehrsatz 344 würde, als Grundgesetz vorangestellt, vor der benutzten Form sogar den Vorzug haben, daß er das Gesetz in eine einzige unteilbare Aussage zusammenfaßte, nicht nur äußerlich in einen Satz. Die benutzte Form hat aber den Vorzug, daß sie ihre Bedeutung klarer und durchsichtiger erkennen läßt.

4. Kürzeste Bahn.

Lehrsatz. Die natürliche Bahn eines freien holonomen Systems zwischen irgend zwei hinreichend benachbarten Lagen ist kürzer als irgend eine andere mögliche Bahn zwischen beiden Lagen.

Denn in einem holonomen System ist eine geradeste Bahn zwischen hinreichend benachbarten Lagen zugleich die kürzeste

(190, 176).

Anmerkung 1. Wird die Beschränkung auf hinreichend benachbarte Lagen weggelassen, so kann nicht mehr behauptet werden, daß die natürliche Bahn kürzer sei als alle anderen Bahnen, nicht einmal, daß sie kürzer sei als alle benachbarten Bahnen; es gilt aber immer noch die in dem vorigen Satz enthaltene Behauptung, daß die Variation der Länge der Bahn verschwinde beim Übergang zu irgend einer benachbarten möglichen Bahn (190, 171).

Anmerkung 2. Der vorige Lehrsatz entspricht dem Prinzip der kleinsten Wirkung in der Form, welche Jacobi diesem Prinzip gegeben hat. Denn nennen wir für den Augenblick mv die Masse, dsv die Weglänge des ^ten der n Punkte des Systems in einem bestimmten Zeitelement, so sagt der Lehrsatz aus, daß die Variation des Integrals

mv dsl

ds — -7= ]/m

verschwinde bei der natürlichen Bewegung des Systems, und dies ist die Jacobi sehe Form jenes Prinzips.

Anmerkung 3. Um das Verhältnis zwischen dem Lehr- 350 satz 347 und dem Jacobisehen Satz genauer festzustellen müssen wir aussagen: Nach der gewöhnlichen Auffassung der Mechanik enthält der Lehrsatz einen besonderen Fall des Jacobi sehen Satzes, den Fall nämlich, daß keine Kräfte wirken.

Nach unserer Auffassung sind umgekehrt die Voraussetzungen des vollständigen Jacobi sehen Satzes als die engeren zu bezeichnen, und der Jacobi sehe Satz ist nach dieser Auffassung eine Anpassung des Lehrsatzes an besondere Verhältnisse und seine Umformung auf die Voraussetzungen derselben.

Anmerkung 4. Der Lehrsatz 347 hat den Satz von der 351 Erhaltung der Energie weder zur Voraussetzung, noch zur Folge, sondern ist von demselben ganz unabhängig. Zusammen mit dem Satz von der Energie vermag er das Grundgesetz vollständig zu ersetzen, jedoch nur für holonome Systeme. Angewandt auf andere Systeme würde der Satz allerdings auch bestimmte Bewegungen ergeben, aber diese Bewegungen würden dem Grundgesetz widersprechen (194), also falsche Lösungen der gestellten mechanischen Probleme sein.

5. Kürzeste Zeit.

Lehrsatz. Die natürliche Bewegung eines freien holono- 352 men Systems führt das System in kürzerer Zeit aus einer gegebenen Anfangslage in eine hinreichend benachbarte Endlage, als es durch irgend eine andere mögliche, mit dem gleichen konstanten Wert der Energie ausgeführte Bewegung geschehen könnte.

Denn ist für alle verglichenen Bewegungen die Energie, also die Bahngeschwindigkeit die gleiche, so ist die Dauer des Übergangs der Bahnlänge proportional, also die kleinste für die kürzeste Bahn, also für die natürliche Bahn.

853

354

Anmerkung. Fällt die Beschränkung auf hinreichend benachbarte Lagen fort, so wird die Zeit des Übergangs nicht mehr notwendig ein Minimum, aber sie behält immer noch die Eigenschaft, gleich zu sein für die natürliche Bahn und alle ihr unendlich benachbarten möglichen Bahnen (vergl. 348).

Folgerung 1. Für die natürliche Bewegung eines freien holonomen Systems zwischen gegebenen, hinreichend benachbarten Endlagen ist das Zeitintegral der Energie kleiner, als für irgend eine andere mögliche, mit dem gleichen konstanten Wert der Energie ausgeführte Bewegung.

Denn es ist jenes Zeitintegral gleich dem Produkt aus dem gegebenen konstanten Wert der Energie und der Zeitdauer des Übergangs.

355

356

Anmerkung 1. Der Lehrsatz 352, insbesondere in der Form der Folgerung 354, entspricht dem Maupektuis sehen Prinzip der kleinsten Wirkung. Wollen wir sein Verhältnis zu diesem Prinzipe genauer feststellen, so müssen wir uns in derselben Weise ausdrücken, wie dies in 350 geschehen ist.

Anmerkung 2. Die Folgerung 354 und auch der Lehrsatz 352 setzen für die miteinander verglichenen Bewegungen die Konstanz der Energie mit der Zeit voraus. Zusammen mit der Voraussetzung, daß die natürliche Bewegung sich überhaupt unter den verglichenen finde, genügen sie also zur Bestimmung derselben und können das Grundgesetz vertreten, jedoch nur für holonome Systeme. Ihre Voraussetzungen auf andere Systeme angewandt, würden zu falschen mechanischen Lösungen führen.

Folgerung 2. Ein freies holonomes System wird aus seiner Anfangslage in gegebener Zeit auf größere geradeste Entfernung fortgetragen durch seine natürliche Bewegung, als durch irgend eine andere mögliche Bewegung, welche mit dem

gleichen konstanten Wert der Energie erfolgt, wie die natürliche Bewegung.

6. Kleinstes Zeitintegral der Energie.

Lehrsatz. Das Zeitintegral der Energie ist beim Über- 358 gang eines freien holonomen Systems aus einer gegebenen Anfangslage in eine hinreichend benachbarte Endlage kleiner für die natürliche Bewegung, als für jede andere mögliche Bewegung, welche das System iu der gleichen Zeit aus der gegebenen Anfangslage in die gegebene Endlage überführt.

Vergleichen wir nämlich zunächst nur Bewegungen in einer und derselben Bahn von der Länge S, so erreicht unter diesen das Zeitintegral der Energie sein Minimum für diejenige Bewegung, für welche die Bahngeschwindigkeit v konstant ist. Denn da die Summe der Größen vdt den gegebenen Wert S hat, so wird die Summe der Größen v²dl dann und nur daun ihren kleinsten Wert erreichen, wenn alle v gleich sind. Ist aber die Bahngeschwindigkeit konstant, so ist das Zeitintegral der Energie gleich \mS²)T, wenn T die Dauer des Übergangs ist. Da T gegeben ist, so verhält sich für verschiedene Bahnen des Systems das Zeitintegral der Energie wie das Quadrat der Bahnlänge, erstere Größe hat also wie die letztere ihren Minimalwert für die natürliche Bahn.

Anmerkung 1. Fällt die Beschränkung auf hinreichend 359 benachbarte Lagen fort, so wird das Zeitintegral der Energie nicht mehr notwendig ein Minimum, aber seine Variation verschwindet immer noch beim Übergang zu einer anderen der in Betracht gezogenen Bewegungen (vgl. 348).

Anmerkung 2. Der vorstehende Lehrsatz entspricht dem 360 Hamilton sehen Prinzip. Wollen wir sein Verhältnis zu diesem Prinzipe genauer feststellen, so müssen wir uns derselben Ausdrucksweise bedienen wie in 350.

Anmerkung 3. Der Lehrsatz 358 und die Folgerung 354 361 stimmen darin überein, daß sie unter gewissen Klassen möglicher Bewegungen die natürliche Bewegung auszeichnen durch

12

Hertz, Mechanik, 2. Aufi.

362

363

364

ein und dasselbe Merkmal, nämlich den Minimalwert des Zeitintegrals der Energie; sie unterscheiden sich aber wesentlich voneinander dadurch, daß sie ganz verschiedene Klassen möglicher Bewegungen in Betracht ziehen.

Anmerkung 4. Der Satz von der Erhaltung der Energie ist eine notwendige Folge des Lehrsatzes 858, und dieser Lehrsatz kann daher, als Prinzip vorangestellt, als vollständiger Ersatz für das Grundgesetz dienen, jedoch nur in der Anwendung desselben auf holonome Systeme. Läßt man die Beschränkung auf holonome Systeme fallen, so ergibt der Satz zwar auch bestimmte Bewegungen der materiellen Systeme, aber diese widersprechen im allgemeinen dem Grundgesetz und sind also, mechanisch betrachtet, falsche Lösungen der gestellten Probleme.

Rückblick auf 847 bis 362. Benutzen wir die in den Lehrsätzen 347, 352, 354, 358 ausgesprochenen Eigenschaften der natürlichen Bewegung als Prinzipien zur vollständigen oder teilweisen Bestimmung dieser Bewegung, so machen wir die gegenwärtig eintretenden Änderungen im Zustand des Systems abhängig von solchen Eigentümlichkeiten der Bewegung, welche erst in der Zukunft hervortreten können, und welche oft in menschlichen Verrichtungen als erstrebenswerte Ziele erscheinen. Dieser Umstand hat bisweilen Physiker und Philosophen dazu geführt, in den Gesetzen der Mechanik den Ausdruck einer bewußten Absicht auf zukünftige Ziele, verbunden mit Voraussicht der zweckmäßigen Mittel, zu erblicken. Eine solche Auffassung ist aber weder notwendig, noch auch nur zulässig.

Daß nämlich eine solche Auffassung jener Prinzipien nicht notwendig ist, ergibt sich daraus, daß die Eigenschaften der natürlichen Bewegung, wmlche eine Absicht anzudeuten scheinen, als denknotwendige Folgen eines Gesetzes erkannt wurden, in welchem man den Ausdruck einer Voraussicht in die Zukunft nicht findet.

Daß jene Auffassung der Prinzipien aber sogar unzulässig ist, ergibt sich daraus, daß die Eigenschaften der natürlichen Bewegung, welche eine Absicht auf zukünftigen Erfolg anzudeuten scheinen, nicht bei allen natürlichen Bewegungen sich

finden. Hätte die Natur wirklich die Absicht, einen kürzesten Weg, einen kleinsten Aufwand an Energie, eine kürzeste Zeit zu erzielen, so wäre es unmöglich zu verstehen, wie es Systeme geben könnte, in welchen diese Absicht, obwohl erreichbar, dennoch der Natur regelmäßig fehlschlüge.

Will man darin, daß ein System unter allen möglichen 366 ßahnelementen beständig ein geradestes auswählt, den Ausdruck eines bestimmten Willens erkennen, so steht dies frei; man sieht alsdann eben schon darin den Ausdruck eines bestimmten Willens, daß ein natürliches System überhaupt unter allen möglichen Bewegungen keine willkürliche, sondern stets eine durch besondere Merkmale bezeichnete, im voraus bestimmbare Bewegung auswählt.

Analytische Darstellung. Differentialgleichungen der Bewegung.

Erläuterung. Unter den Differentialgleichungen der Be- 367 wegung eines Systems verstehen wir einen Satz von Differentialgleichungen, in welchen die Zeit die unabhängige Variabele, die Koordinaten des Systems die abhängigen Variabelen sind, und welche zusammen mit einer Anfangslage und einer Anfangsgeschwindigkeit die Bewegung des Systems eindeutig bestimmen (331).

Aufgabe 1. Die Differentialgleichungen der Bewegung 368 eines freien Systems in den rechtwinkligen Koordinaten desselben darzustellen.

In 155 d haben wir die Differentialgleichungen der geradesten Bahnen des Systems in den rechtwinkligen Koordinaten abgeleitet. In diese Gleichungen führen wir anstatt der Bahnlänge die Zeit t als unabhängige Variabele ein. Nach dem Grundgesetz ist dsjdt = v von t, also auch von s unabhängig, und wir haben:

Xp — Xp D ,

xv = x'p v²    .

12*

369

370

371

Multiplizieren wir demnach die Gleichungen 155d mit mv2 und setzen zur Abkürzung für mv²Mt jetzt Xc, so erhalten wir als Lösung der Aufgabe die 3n Gleichungen:

a)

///

welche zusammen mit den i Gleichungen (vgl. 155b):

3 n    3w Sw

1    11 OJ'u

die 3 n-\-i Größen xv und XL als eindeutige Funktionen der xv und xv bestimmen.

Anmerkung 1. Die Gleichungen der Bewegung des freien Systems in der Form 368 werden gewöhnlich als Lagrange s Gleichungen der ersten Form bezeichnet.

Anmerkung 2. Jede einzelne der Gleichungen 368 a gibt uns, nachdem wir die Xc zuerst bestimmt haben, die Komponente der Beschleunigung des Systems nach einer bestimmten der rechtwinkligen Koordinaten des Systems.

Aufgabe 2. Die Differentialgleichungen der Bewegung eines freien Systems in den allgemeinen Koordinaten pQ desselben auszudrücken.

Die Differentialgleichungen der geradesten Bahnen in den pQ finden wir in 158 d. In diese führen wir statt der Bahnlänge die Zeit als unabhängige Variabele ein, indem wir wiederum bemerken, daß nach dem Grundgesetz ist:

Pq =P'q V , Pq=PqV² •

Indem wir also die Gleichungen 158d multiplizieren mit mv2 und setzen für mv²!!^ jetzt so erhalten wir als Lösung der Aufgabe die r Gleichungen:

b)

2 cp

a) m{2* aQffpff +    \ePt

1 da^j P a prj +2* P^Q^ = 0>

Differentialgleichungen der Bewegung. welche zusammen mit den k Gleichungen (vgl. 158b):

b)

die r-\-k Größen pe und Bx als eindeutige Funktionen der ps und der pe bestimmen.

Anmerkung. Indem wir Gebrauch machen von der Be- 372 ziehung 277, können wir die Bewegungsgleichungen 371a in der Form schreiben:

Denken wir uns die P* zuerst bestimmt, so gibt uns eine jede dieser Gleichungen die Komponente der Beschleunigung nach einer bestimmten der Koordinaten pe, ausgedrückt als Funktion der augenblicklichen Lage und Geschwindigkeit des Systems.

Folgerung 1. Drücken wir mit Hilfe der Beziehung 373 291a die Komponenten der Beschleunigung durch die Energie aus, so nehmen die Bewegungsgleichungen eines freien Systems die Form an:

Anmerkung 1. Die Differentialgleichungen der Bewegung 374 in dieser Form heißen auch die allgemeinen LAGRANGEschen Gleichungen der Bewegung oder Lagrange s Gleichungen der zweiten Form (vgl. 369).

Anmerkung 2. Ist die Koordinate pQ eine freie Koordi- 375 nate, so kommt sie in den Bedingungsgleichungen des Systems nicht vor (140), die Größen pKQ sind also sämtlich gleich Null, und die auf pQ bezügliche Bedingungsgleichung wird:

°Po

d ldpE dt \dpQ

In einem holonomen System können (144) stets die sämtlichen Gleichungen der Bewegung in dieser einfachen Form dargestellt werden.

376

Folgerung 2. Die Bewegungsgleichungen eines freien holonomen Systems in irgend welchen r freien Koordinaten pQ des Systems können geschrieben werden in der Form der 2r Gleichungen (289, 375):

a)

b)

dpE _ dpE

von welchen die ersteren nur Definitionen, die letzteren aber Erfahrungstatsachen enthalten. Man kann die Bewegungsgleichungen in dieser Form auffassen als 2r Differentialgleichungen erster Ordnung für die 2r Größen ps und qe, welche Gleichungen zusammen mit 2r Anfangswerten den Verlauf jener Größen für alle Zeiten bestimmen.

377

378

Anmerkung 1. Die Gleichungen 376 a und b würde man wohl mit Becht als die Poisson sehe Form der Bewegungsgleichungen bezeichnen.

Anmerkung 2. Aus den Gleichungen 376 folgen zwei reziproke Beziehungen, welche analytisch dargestellt sind durch die Gleichungen:

(aus b))

a)

(aus a) und b))

b)

dpqQ _ dpqa dpo dps dpqQ dpga dpa dpQ

und welche einen einfachen physikalischen Sinn besitzen. Beide Beziehungen enthalten Elemente der Erfahrung und würden nicht für jede mögliche Bewegung des Systems gelten, können also auch unter Umständen zur Prüfung des Grundgesetzes verwertet werden. Eine dritte analoge, allein aus 376a abgeleitete Beziehung würde nur die Folge unserer Definitionen sein.

Folgerung 3. Die Bewegungsgleichungen eines freien ho- 379 lonomen Systems in irgend welchen r freien Koordinaten pQ des Systems können geschrieben werden in der Form der 2 r Gleichungen (290, 289, 292, 375):

a)

BqE

Hg

Vq = ~

dqE

SPe ’

b)

von welchen die ersteren nur Definitionen, die letzteren aber Erfahrungstatsachen enthalten. Auch in dieser Form erscheinen die Bewegungsgleichungen als 2 r Differentialgleichungen erster Ordnung für die 2r Größen pQ und qe, welche Gleichungen zusammen mit 2r Anfangswerten den Verlauf jener Größen für alle Zeiten bestimmen.

Anmerkung 1. Die vorstehenden Gleichungen 379a und b 3S0 werden gewöhnlich als die Hamilton sehe Form der Bewegungsgleichungen für ein freies System bezeichnet.

Anmerkung 2. Aus den Gleichungen 379 folgen zwei rezi- 3S1 proke Beziehungen, welche analytisch dargestellt sind durch die Gleichungen:

a)

b)

dqr}g _ ^qPLo

dpo dgpo _ dqga dpo

und welche eine einfache physikalische Bedeutung besitzen. Beide Beziehungen enthalten Elemente der Erfahrung und zeichnen die natürliche Bewegung vor andern möglichen Bewegungen aus, können also auch unter Umständen rückwärts zur Prüfung des Grundgesetzes verwertet werden. Eine dritte analoge, allein aus 379a abzuleitende Beziehung würde nur die Folge unserer Definitionen sein, also keine mechanische Bedeutung besitzen.

Es verdient hervorgehoben zu werden, daß die Gleichungen 378a und 381a verschiedene Aussagen darstellen und nicht etwa dieselben Aussagen in verschiedener Form.

Innerer Zwang der Systeme.

382

383

384

Lehrsatz. Ein System materieller Punkte, zwischen welchen keine Zusammenhänge bestehen, beharrt in seinem Zustand der Ruhe oder der gleichförmigen Bewegung längs einer geraden Bahn.

Denn für ein solches System ist die gerade Bahn zugleich die geradeste.

Folgerung 1. Ein freier materieller Punkt beharrt in seinem Zustand der Ruhe oder der gleichförmigen Bewegung in einer geraden Bahn (Galileis Trägheitsgesetz oder Newtons Lex prima).

Folgerung 2. Die Beschleunigung eines Systems materieller Punkte, zwischen welchen keine Zusammenhänge bestehen, ist Null. Die Zusammenhänge zwischen den Punkten eines materiellen Systems können also als die Ursache aufgefaßt werden, aus welcher die Beschleunigung im allgemeinen von Null abweicht.

385

Definition. Die Abänderung, welche die sämtlichen Zusammenhänge eines materiellen Systems an seiner Beschleunigung hervorrufen, heißt der Zwang, welchen die Zusammenhänge dem System auferlegen; jene Abänderung wird auch kurz der innere Zwang oder noch kürzer der Zwang des Systems genannt.

Der Zwang wird gemessen durch den Unterschied zwischen der wirklichen Beschleunigung des Systems und der Beschleunigung derjenigen natürlichen Bewegung, welche bei Aufhebung sämtlicher Bedingungsgleichungen des Systems eintreten würde; er ist gleich der ersteren vermindert um die letztere.

Folgerung 1. Der innere Zwang eines Systems ist wie die Beschleunigung eine Yektorgröße in bezug auf das System.

Folgerung 2. In einem freien System ist der innere 387 Zwang gleich der Beschleunigung des Systems; er ist hier in der Tat nur eine andere Auffassung der Beschleunigung (382).

Lehrsatz 1. Die Größe des Zwanges ist in jedem Augen- 3S8 blick für die natürliche Bewegung eines freien Systems kleiner als für irgend eine andere mögliche Bewegung, welche in dem betrachteten Augenblick nach Lage der Geschwindigkeit mit jener zusammenfällt.

Denn diese Behauptung ist nach 387 nur im Ausdruck verschieden von dem Lehrsatz 344.

Folgerung. Ein jeder Zusammenhang, welcher den vor- 389 handenen Zusammenhängen des Systems hinzugefügt wird, vergrößert den Zwang des Systems. Die Auflösung irgend eines Zusammenhanges ändert die natürliche Bewegung in solcher Weise, daß sich der Zwang verkleinert.

Anmerkung 1. Der vorstehende Lehrsatz entspricht dem 390 Gauss sehen Prinzip des kleinsten Zwanges. Um sein Verhältnis zu diesem Prinzipe genau darzustellen, würden wir uns derselben Ausdrucksweise zu bedienen haben wie in 350.

Anmerkung 2. Das Gauss sehe Prinzip und das Träg- 391 heitsgesetz (383) zusammen können das Grundgesetz vollständig ersetzen, und zwar für alle Systeme.

Denn sie sagen zusammen den Lehrsatz 344 aus.

Lehrsatz 2. Die Richtung des Zwanges steht bei der 392 natürlichen Bewegung eines freien Systems beständig senkrecht auf jeder möglichen oder virtuellen (111) Verrückung des Systems aus seiner augenblicklichen Lage.

Denn die Komponenten des Zwanges nach den Koordinaten pe sind nach 387 in einem freien System gleich fQ, können also nach 372 geschrieben werden in der Form:

k

— ^*Pr.Q P* >

sind also nach 250 senkrecht auf jeder möglichen Verrückung des Systems.

Symbolischer Ausdruck. Bezeichnen die öpQ die Änderungen der Koordinaten pQ für irgend eine beliebige mögliche oder virtuelle Verrückung des Systems, so gibt die Gleichung:

893

a)

2* fq Ö'Pq = 0 1

einen symbolischen Ausdruck des vorigen Lehrsatzes. Denn die Gleichung ersetzt den Lehrsatz nach 249, und sie ist symbolisch, insofern sie als Symbol für unendlich viele Gleichungen steht.

Wenden wir rechtwinklige Koordinaten an, und bezeichnet Öxv die Änderung von xv für irgend eine mögliche oder virtuelle Verrückung, so nimmt die Gleichung a) die Gestalt an:

3 n

b)

2V mv Xp dXv = 0 1

394

Anmerkung 1. Der vorstehende Lehrsatz 892 entspricht dem d’Alembeetsehen Prinzip; die Gleichungen 893a und b entsprechen der gewöhnlichen Darstellungsweise desselben. Um das Verhältnis zwischen diesem Prinzip und jenem Lehrsatz genau festzustellen, würden wir uns derselben Ausdrucksweise zu bedienen haben wie in 350.

395

396

Anmerkung 2. Aus der Bedingung, daß der Zwang senkrecht stehe auf jeder virtuellen Verrückung des Systems, folgen nach 250 die Bewegungsgleichungen der freien Systems in der Form 372. Das d’Alembeet sehe Prinzip kann also für sich allein das Grundgesetz vertreten und zwar für alle Systeme. Das von uns benutzte Grundgesetz hat vor jenem Prinzip die einfachere und durchsichtigere Bedeutung voraus.

Folgerung 1. ln einem freien System steht die Beschleunigung beständig senkrecht auf jeder möglichen Verrückung des Systems aus seiner augenblicklichen Lage.

Folgerung 2. Bei der Bewegung eines freien Systems steht die Beschleunigung beständig senkrecht auf der Richtung der wirklichen augenblicklichen Bewegung.

Folgerung 3. Bei der Bewegung eines freien Systems ist 398 die Komponente der Beschleunigung in jeder Richtung einer möglichen Bewegung beständig gleich Null.

Folgerung 4. Die Komponente der Beschleunigung eines 399 freien Systems in der Richtung irgend einer freien Koordinate des Systems ist beständig gleich Null.

Lehrsatz. Ein freies System bewegt sich in solcher Weise, 400 daß die Komponente der Beschleunigung in Richtung einer jeden Koordinate der absoluten Lage beständig Null bleibt, welches auch immer der innere Zusammenhang zwischen den Punkten des Systems ist.

Denn welches auch der Zusammenhang des Systems ist, jede Koordinate seiner absoluten Lage ist eine freie Koordinate (142).

Folgerung. Wählen wir die Koordinaten eines freien Sy- 401 stems übrigens beliebig, aber doch so, daß sich unter ihnen sechs Koordinaten der absoluten Lage finden (19), so können wir auch ohne Kenntnis des Zusammenhanges des Systems, oder ohne vollständige Kenntnis desselben, doch stets sechs Differentialgleichungen der Bewegung des Systems angeben.

Besondere Wahl der Koordinaten. Die folgende Wahl von 402 Koordinaten der absoluten Lage ist für jedes System eine zulässige Wahl.

Wir bezeichnen mit

ce₂

die arithmetischen Mittelwerte derjenigen rechtwinkligen Koordinaten aller Massenteilchen, welche beziehlich mit xx x₂ x₃ parallel sind, Die Größen cc₁ a₂ u₃ betrachten wir als rechtwinklige Koordinaten eines Punktes von mittlerer Lage, welchen wir den Schwerpunkt des Systems nennen. Durch den Schwerpunkt legen wir drei Gerade parallel den drei Koordinatenachsen ; durch diese drei Geraden und alle Massenteilchen legen wir Ebenen und bezeichnen mit

oi₃

die arithmetischen Mittelwerte der Winkel aller durch dieselbe Gerade gelegten Ebenen mit einer beliebigen unter ihnen. Die sechs Größen a und co sind voneinander unabhängig veränderliche Größen, deren Änderung notwendig eine Änderung in der Lage des Systems bedingt, und welche durch die Konfiguration allein nicht bestimmt sind. Wir können also diese sechs Größen zu Koordinaten der absoluten Lage machen (21), und wir machen sie zu Koordinaten der absoluten Lage, sobald wir neben ihnen nur noch Konfigurationskoordinaten als weitere Koordinaten einführen.

Erteilen wir den a und co beliebige Veränderungen, während wir die übrigen Koordinaten festhalten, so bewegt sich das System wie ein starrer Körper. Wir erhalten daher aus rein geometrischen Gründen für die Änderungen der rechtwinkligen Koordinaten, wenn wir den Index v von 1 bis n laufen lassen (18):

a)

dXgv_2 — dai-\-(x.äv Cl₃) d(l)2 (&3f/_i ß₂) d(t)3 dx3v_₁=da₂Jt (x3v_₂— aj do)₃—(x3v — a₃) dw₁

dXov —da₃-f- {x3v_y ft 9) dco^ (Xav__2 cii) d0)2

Hieraus ergeben sich, wenn wir auch nun die xv als Funktionen sämtlicher Koordinaten betrachten, die-Werte der partiellen Differentialquotienten der xv nach den a und also zum Beispiel:

b)

d*3v-2

dxSv

da 1

da±

dcoi

(X3v ftg)

dx3v _

X3v-1 — a2 •

Folgerung 1. Zufolge der Bemerkung, daß die Beschleunigungen des Systems nach den Koordinaten ax a₂ a₃ verschwinden müssen (400), gelten die drei Gleichungen:

2* mv x3v = 0    .

mvx3v_₂ = 0 ,

% x3v_i — 0 ,

Denn nach 242 und 275 ist die Beschleunigung nach der Koordinate a. des Schwerpunktes gleich:

also nach 402b gleich:

HM?

^ I

üT

CO |<0

mv ..

~r^X'iv ’

1:

l

und entsprechende Ausdrücke gelten für die Beschleunigungen nach a₂ und a₃.

Anmerkung. Die drei Gleichungen 403, welche sich un- 404 mittelbar zweimal integrieren lassen und dann aussagen, daß der Schwerpunkt eines freien Systems sich in gleichförmiger, geradliniger Bewegung befindet, enthalten das sogenannte Prinzip des Schwerpunktes.

Folgerung 2. Zufolge der Bemerkung, daß die Be- 405 schleunigungen des Systems nach den Koordinaten a>₁    co₃

verschwinden müssen (400), gelten die drei Gleichungen:

3v-l X3v

1

n

(p 3v X3v—2    x3v—2 x3v )    ® ’

x3v X3v-l) — ö ’

''y? mv (X3v-2 x3v-l X3v-1 X3v-2) — 0    •

gleich:

Denn nach 242 und 275 ist die Beschleunigung nach co₁

3 n ^

xi oxv vnv ..

---xv ,

^ ocol m

also nach 402c gleich:

2V m { (X3v-1    a2) %3V (x3v Ctg)    j ,

also durch Benutzung von 403 gleich:

m (X3v-l ®3v x3v %8v-l)    >

1 '

und entsprechende Werte gelten für die Beschleunigungen nach co₂ und co₃.

Anmerkung. Die drei Gleichungen 405 enthalten das sogenannte Prinzip der Flächen. Jene Gleichungen lassen sich nämlich unmittelbar einmal integrieren und ergeben dann die Differentialgleichungen erster Ordnung:

/V    (*£3v—l

1

n

2v    (%,

i

— x3v x3v^) = constj ,

%y-2    %r-2    ) — COnstg ,

V mv (x3v_2 %3w-\    %3v-l %3v-2) — CÖnstg ,

welche die folgende, den Namen rechtfertigende geometrische Deutung erlauben:

Ziehen wir vom Ursprung der Koordinaten nach jedem Massenteilchen des Systems einen Radius, so wächst die Summe der Projektionen der von diesen Radien beschriebenen Flächen auf jede der drei Koordinatenebenen gleichförmig mit der Zeit.

Anmerkung 1 zu 402 bis 406. Wir haben die Prinzipien des Schwerpunktes und der Flächen als besondere Fälle des allgemeinen Lehrsatzes 400 eingeführt. Wir hätten hierzu kein Recht gehabt, wenn man, wie es bisweilen geschieht, als den wesentlichen Inhalt jener Prinzipien den Vorteil ansehen wollte, daß sie Integrale der Bewegungsgleichungen liefern. Diese Auffassung scheint uns aber schon deshalb unzulässig,

weil das Ergebnis des Flächensatzes doch nur in uneigentlichem Sinne ein Integral genannt werden kann. Als wesentlichen Inhalt jener Prinzipien betrachten wir vielmehr, wie uns scheint mit Recht, den Vorteil, daß sie Behauptungen liefern, welche unabhängig von dem besonderen Zusammenhang des Systems allgemeingültig ausgesagt werden können.

Anmerkung 2 zu 402 bis 406. Bei der Ableitung des Satzes 408 vom Schwerpunkt und des Flächensatzes als besonderer Fälle des Satzes 400 haben wir nicht von allen Eigenschaften Gebrauch gemacht, welche wir den a und den co durch die Definition beilegten. In der Tat hätten wir jene Sätze auch mit Benutzung anderer Koordinaten ableiten können, z. B. aller Koordinaten, welche mit den a und co gleiche Richtung haben, ohne doch identisch mit ihnen zu sein. Überhaupt würden wir bei beliebiger Wahl der Koordinaten nicht jedesmal 6 Gleichungen erhalten, welche einen neuen physikalischen Sinn ergäben oder von den Gleichungen 403 und 405 völlig unabhängig wären, sondern es würden stets diejenigen Gleichungen sein, welche aus den Gleichungen 403 und 405 durch Transformation auf die gewählten Koordinaten entstehen. Aber für alle diese verschiedenen Formen gibt der Lehrsatz 400 einen gemeinschaftlichen Ausdruck und den physikalischen Sinn.

Holonome Systeme.

Bemerkung. Ist für ein holonomes System die geradeste 409 Entfernung (217) bekannt, so lassen sich die Gleichungen der geradesten Bahnen in endlicher Form darstellen (225). Diese Bahnen sind aber die natürlichen Bahnen des Systems, sobald dasselbe frei ist, und alle Bewegungen, bei welchen sie mit gleichbleibender Geschwindigkeit durchlaufen werden, sind natürliche Bewegungen des Systems. Die Bewegungsgleichungen eines freien holonomen Systems werden sich also in endlicher Form darstellen lassen.

Aufgabe. Die Bewegungsgleichungen eines freien holo- 410 nomen Systems mit Hilfe der geradesten Entfernung desselben darzustellen.

Es sei wie früher S die geradeste Entfernung des Systems, gedacht als Funktion der freien Koordinaten peo und pßi ihrer Anfangs- und Endlage. Es sei 4 die Zeit, zu welcher das System die Anfangslage, 4 die Zeit, zu welcher es die Endlage durchläuft. Es ist dann 4—4 die Dauer des Übergangs, also

(410)

die konstante Geschwindigkeit des Systems in seiner Bahn, also seine Energie:

b)

S²

2 m (4—4)²

und seine Momente qQo und qQi zu den Zeiten 4 und 4:

C)

qQl = m

kZjJa^coss>P^ tlzrJa<!tiC0SS’P<h ■

Für die Gleichungen der geradesten Bahnen finden wir zwei Formen in den Gleichungen 224a und '226 a. Multiplizieren wir dieselben mit mS/fa—to) oder, was nach b) dasselbe ist, mit l/2 mE, so erhalten wir die folgenden vier Sätze von je r Gleichungen:

d)

SVt“

1 m dS²

2 4—4 dpQi

e)

öS²

2 4-4 Speo

§•)

f2rrW?ß-

~-fïmËaS

dPei

dPe 0

Damit ist unsere Aufgabe gelöst und zwar in mehrfacher

Weise.

Denn betrachten wir 4 als die variabele Zeit, und also als die Koordinaten der mit dieser Zeit sich ver-

die p6l

ändernden Lage, so bestimmen uns die r Gleichungen e) diese r Koordinaten als endliche Funktionen von 4, und das gleiche leisten uns die Gleichungen g), wenn wir zu diesen noch die Beziehung zwischen E und 4, also die Gleichung 1b) hinzunehmen. Die 2r Größen peo und qQo spielen dabei die Rolle der 2r willkürlichen Konstanten. Bei der gleichen Betrachtungsweise geben uns nebenbei auch die Gleichungen d), oder f) und 1b), die Bewegungsgleichungen des Systems, und zwar nunmehr als Differentialgleichungen erster Ordnung, in welchen die r Größen pQo die Rolle der r willkürlichen Konstanten übernehmen.

Oder betrachten wir, was nicht minder erlaubt, die Zeit 4 als die variabele Zeit, also die Lage 0 als die variabele Lage, so geben uns die Gleichungen d), oder auch f) und b), die Bewegungsgleichungen in endlicher Form, mit der Zeit t0 als unabhängiger, den peo als abhängigen Variabelen und den pQi und qei als 2r willkürlichen Konstanten. Zugleich geben uns dann nebenbei die Gleichungen e), oder auch g) und b), die Bewegungsgleichungen in der Gestalt von Differentialgleichungen erster Ordnung, in welchen die p6l die Rolle von r willkürlichen Konstanten spielen.

411

Folgerung 1. Setzen wir

a)

und betrachten V als Funktion der peo, pßi und von E, so lassen sich die natürlichen Bewegungen des Systems darstellen in der Form:

b)

dV

dPSl

ft»“

dF

dPe0

e)

dF

dE

(1)

412

413

414

a)

Denn die Gleichungen b) und c) fallen zusammen mit den Gleichungen 410f und g, und die Gleichung d) folgt aus Gleichung a) und 410 b.

Anmerkung. Die so eingeführte Funktion V ist Hamiltons charakteristische Funktion des Systems; sie ist bei Hamilton mit dem gleichen Buchstaben bezeichnet. Eine solche Funktion besteht also nur für holonome Systeme. Ihrer mechanischen Bedeutung nach gibt die charakteristische Funktion den doppelten Wert des Zeitintegrals der Energie an, welcher eintritt, wenn das System mit gegebener Energie aus gegebener Anfangs- in gegebene Endlage übergeht, gedacht als Funktion jener Energie und der Koordinaten der Anfangs- und der Endlage.

Denn es ist nach Gleichung 411a und 410b:

V=2 Efa-to)

dem Werte nach, der Form nach allerdings nur dann, wenn wir in der rechten Seite die Dauer des Übergangs ti—t₀ als Funktion von E und den pQi und pQo dargestellt denken.

Lehrsatz. Die charakteristische Funktion V eines freien holonomen Systems genügt den beiden partiellen Differentialgleichungen erster Ordnung:

'a‘ ty», !1'P-h

1    7 dV dV

11 °Q(To dPeodP°o

Denn dieselben werden erhalten durch Multiplikation der Gleichungen 227 für die geradeste Entfernung mit 2 mE und Beachtung der Gleichung 411a.

Folgerung 2. Setzen wir m S² 2 (4—1₀)

und betrachten P als Funktion der pSo,p6l und von t₀ und ti, so stellen die Gleichungen:

?<?! =

dP

aPei

b)

c)

dP

dPe «

die natürlichen Bewegungen des Systems dar. Die Energie P des Systems kann aus P unmittelbar abgeleitet werden mit Hilfe der Gleichungen:

E= -

dP _ dP dtl dt₀

Denn die Gleichungen b) und c) fallen zusammen mit den Gleichungen 410 tl und e, und die Gleichungen d) folgen aus Gleichung a) und 410 b.

Anmerkung. Die jetzt eingeführte Funktion P ist die 415 Hamilton sehe Prinzipalfunktion des Systems; sie ist bei Hamilton selbst mit S bezeichnet. Nur für holonome Systeme besteht eine solche Funktion. Ihrer mechanischen Bedeutung nach gibt die Prinzipalfunktion den Wert des Zeitintegrals der Energie an, welcher eintritt, wenn das System in gegebener Zeit aus gegebener Anfangs- in gegebene Endlage übergeht, gedacht als Funktion jener Zeit und der Anfangs- und Endwerte der Koordinaten.

Denn es ist nach Gleichungen 414 a und 410 b:

dem Werte nach, der Form nach allerdings nur dann, wenn wir uns in der rechten Seite P als Funktion der pQx,peo und der h und t₀ dargestellt denken.

Lehrsatz. Die Prinzipalfunktion eines freien liolonomen 410 Systems genügt den beiden partiellen Differentialgleichungen erster Ordnung:

13

Denn dieselben werden erhalten, indem man die Gleichungen 227 multipliziert mit (410b)

mS²

Ah-tof

und die Beziehungen 414a und d beachtet.

Ebenso wie wir in 282 bis

417

dB dP Q(Tl dPcn dP<H

1 v 7 dP dP 2fflr 1 qa°dPeodPoo

dP

dtx

dP

dto '

Anmerkung zu 411 bis 416.

286 von den Differentialgleichungen 227 ausgehend Funktionen betrachten konnten, welche der geradesten Entfernung verwandt waren und sie in analytischer Hinsicht vollkommen ersetzten, ohne doch eine gleich einfache geometrische Bedeutung wie sie zu haben, ebenso können wir von den Differentialgleichungen 418 und 416 ausgehend zu Funktionen gelangen, welche der charakteristischen Funktion und der Prinzipalfunktion verwandt sind und in analytischer Hinsicht gleiche Dienste leisten oder selbst Vorteile bieten, deren Bedeutung in physikalischer Hinsicht aber durch die mathematische Verwickelung mehr und mehr verdunkelt erscheint. Solche Funktionen würde man passend als jACOBische Prinzipalfunktionen und charakteristische Funktionen bezeichnen.

Es erhellt übrigens, daß auch schon in der charakteristischen Funktion und in der Prinzipalfunktion nur der einfache Sinn der geradesten Entfernung und auch dieser in leichter Verschleierung auftritt, so daß die Einführung jener Funktionen nebeneinander und neben der geradesten Entfernung nur eine geringe Bedeutung haben würde, wenn es sich stets, wie hier, um die Betrachtung vollständig bekannter freier Systeme handelte.

Dynamische Modelle.

Definition. Ein materielles System heißt dynamisches 41S Modell eines zweiten Systems, wenn sich die Zusammenhänge des ersteren durch solche Koordinaten darstellen lassen, daß den Bedingungen genügt ist:

1.    daß die Zahl der Koordinaten des ersten Systems gleich der Zahl der Koordinaten des andern Systems ist,

2.    daß nach passender Zuordnung der Koordinaten für beide Systeme die gleichen Bedingungsgleichungen bestehen,

3.    daß der Ausdruck für die Größe einer Verrückung in beiden Systemen bei jener Zuordnung der Koordinaten übereinstimme.

Je zwei einander zugeordnete Koordinaten beider Systeme heißen auch korrespondierende. Korrespondierende Lagen, Verrückungen, usw. heißen solche Lagen, Verrückungen, usw. beider Systeme, welchen gleiche Werte der korrespondierenden Koordinaten und ihrer Änderungen zugehören.

Folgerung 1. Ist ein System Modell eines zweiten Sy- 419 stems, so ist auch umgekehrt das zweite System Modell des ersten. Sind zwei Systeme Modelle eines dritten, so sind sie auch Modelle voneinander. Das Modell des Modells eines Systems ist auch Modell des ursprünglichen Systems.

Alle Systeme, welche Modelle voneinander sind, heißen auch dynamisch ähnlich.

Folgerung 2. Die Eigenschaft eines Systems, Modell 429 eines andern zu sein, ist unabhängig von der Wahl der Koordinaten des einen oder des andern Systems, obwohl sie erst bei besonderer Wahl der Koordinaten unmittelbar hervortritt.

Folgerung 3. Ein System ist noch nicht vollständig be- 421 stimmt dadurch, daß es Modell eines gegebenen Systems ist. Unendlich viele, physikalisch gänzlich verschiedene Systeme können Modelle eines und desselben Systems sein. Ein System ist Modell unendlich vieler, gänzlich verschiedener Systeme.

Denn die Koordinaten der Massen der beiden Systeme, welche Modelle voneinander sind, können der Zahl nach

gänzlich verschieden und gänzlich verschiedene Funktionen der korrespondierenden Koordinaten sein.

422

Folgerung 4. Modelle holonomer Systeme sind wieder holonome Systeme. Modelle nicht holonomer Systeme sind wieder nicht holonome Systeme.

423

Anmerkung. Damit ein holonomes System Modell eines andern sei, genügt es, daß sich solche freie Koordinaten beider angehen lassen, in welchen der Ausdruck für die Größe der Verrückung beider Systeme der gleiche wird.

424

Lehrsatz. Haben zwei Modelle voneinander korrespondierende Zustände zu einer bestimmten Zeit, so haben sie korrespondierende Zustände zu allen Zeiten.

Denn durch die Bedingungsgleichungen eines Systems, den Ausdruck für die Größe der Verrückung (164) und durch die Anfangswerte der Koordinaten und ihrer Veränderung (832) ist der Verlauf dieser Koordinaten für alle Zeiten bestimmt, welche Funktion dieser Koordinaten auch immer die Lage der Massen des Systems ist.

425

426

Folgerung 1. Um den Ablauf der natürlichen Bewegung eines materiellen Systems vorauszusehen, genügt die Kenntnis eines Modells jenes Systems. Das Modell kann unter Umständen viel einfacher sein, als das System, dessen Bewegungen es darstellt.

Folgerung 2. Sind von einer Anzahl materieller Systeme, welche Modelle voneinander sind, dieselben Größen korrespondierende Koordinaten, und sind nur diese korrespondierenden Koordinaten der Beobachtung zugänglich, so sind alle diese Systeme in Hinsicht der beschränkten Beobachtung nicht voneinander verschieden, sondern erscheinen als gleiche Systeme, wie verschieden auch in Wahrheit in ihnen Zahl und Zusammenhang der materiellen Punkte sein möge.

Es ist daher auch unmöglich, allein aus der Beobachtung der natürlichen Bewegungen eines freien materiellen Systems, d. h. ohne direkte Bestimmung seiner Massen (800), den Zusammenhang des Systems weiter zu erkennen, als soweit, daß man ein Modell des Systems angeben könne.

Anmerkung 1.

Lassen wir allgemein und ohne Ein- 427

schränkung zu, daß außer den unmittelbar, d. h. den mit der Wage bestimmbaren Massen noch andere, hypothetische Massen (301) in den Systemen der Natur sich finden können, so ist es überhaupt unmöglich, in der Erkenntnis des Zusammenhanges natürlicher Systeme weiter zu gelangen, als soweit, daß man Modelle der wirklichen Systeme angeben könne. Wir können dann in der Tat keine Kenntnis haben, ob die Systeme, welche wir in der Mechanik betrachten, mit den wirklichen Systemen der Natur, welche wir zu betrachten meinen, in irgend etwas anderem übereinstimmen, als allein darin, daß die einen Modelle der anderen sind.

Anmerkung 2. Das Verhältnis eines dynamischen Modells 428 zu dem System, als dessen Modell es betrachtet wird, ist dasselbe, wie das Verhältnis der Bilder, welche sich unser Geist von den Dingen bildet, zu diesen Dingen. Betrachten wir nämlich den Zustand des Modells als eine Abbildung des Zustandes des Systems, so sind die Folgen der Abbildung, welche nach den Gesetzen dieser Abbildung eintreten müssen, zugleich die Abbildung der Folgen, welche sich an dem ursprünglichen Gegenstand nach den Gesetzen dieses ursprünglichen Gegenstandes entwickeln müssen. Die Übereinstimmung zwischen Geist und Natur läßt sich also vergleichen mit der Übereinstimmung zwischen zwei Systemen, welche Modelle voneinander sind, und wir können uns sogar Rechenschaft ablegen von jener Übereinstimmung, wenn wir annehmen wollen, daß der Geist die Fähigkeit habe, wirkliche dynamische Modelle der Dinge zu bilden und mit ihnen zu arbeiten.

Abschnitt 4. Bewegung der unfreien Systeme.

Vorbemerkung 1. Nach unserer Auffassung ist jedes un- 429 freie System Teil eines größeren freien Systems; unfreie Systeme, für welche diese Annahme nicht zuträfe, kennen wir nicht. Soll aber jenes Verhältnis besonders hervorgehoben

werden, so bezeichnen wir das unfreie System als Teilsystem, das freie System aber, von welchem es ein Teil ist, als das vollständige System.

Indem wir einen Teil eines freien

430

Vorbemerkung 2.

Systems als unfreies System behandeln, setzen wir voraus, daß das übrige System uns mehr oder weniger unbekannt ist, so daß die unmittelbare Anwendung des Grundgesetzes unmöglich wird. Dieser Mangel unserer Kenntnis muß in irgend einer Weise durch besondere Angaben ausgeglichen sein. Solche Angaben können in verschiedener Weise gemacht werden. Ohne die Möglichkeiten erschöpfen zu wollen, ziehen wir nur zwei Formen für jene Angaben in Betracht, welche in der bisherigen Entwickelung der Mechanik besondere Bedeutung gewonnen haben.

Die erste Form ist diejenige, bei welcher wir die Bewegung des unfreien Systems als eine geleitete bezeichnen; die zweite ist diejenige, bei welcher wir sagen, die Bewegung des unfreien Systems sei durch Kräfte beeinflußt.

I. Geleitetes unfreies System.

431

432

Definition. Geleitete Bewegung eines unfreien Systems heißt jede Bewegung, welche das System ausführt, während die übrigen Massen des vollständigen Systems eine ganz bestimmte, vorgeschriebene Bewegung ausführen. Ein System, welches geleitete Bewegungen ausführt, nennen wir ein geleitetes System.

Zusatz 1. Mögliche Bewegung eines geleiteten Systems heißt jede Bewegung desselben, welche dem Zusammenhänge des vollständigen Systems und der bestimmten Bewegung der übrigen Massen desselben nicht widerspricht.

Zusatz 2. Natürliche Bewegung eines geleiteten Systems heißt jede Bewegung desselben, welche mit der bestimmten Bewegung der übrigen Massen zusammen eine natürliche Bewegung des vollständigen Systems bildet.

Aufgabe. Die möglichen Bewegungen eines geleiteten 434 Systems analytisch darzustellen.

Seien die r Größen pQ allgemeine Koordinaten des betrachteten Teilsystems, die r Größen irgendwelche Koordinaten der übrigen Massen des vollständigen Systems. Die r-j-r Größen pQ und sind alsdann allgemeine Koordinaten des vollständigen Systems, und die Zusammenhänge dieses sind dargestellt durch eine Anzahl, etwa h, Gleichungen von der Form:

a)

worin die pyQ und auch die ^ Funktionen sowohl der pQ als auch der sein können. Sind nun die Bewegungen der Massen, deren Koordinaten die sind, bestimmt, so sind die gegebene Funktionen der Zeit. Zum Teil sind die Gleichungen a) durch diese Funktionen identisch erfüllt, zum Teil nehmen sie durch Einsetzen derselben die Form der k Gleichungen an:

b)

oder auch:

c)

P*q dPq +P*t dt = 0    ,

i

welche die Bedingungsgleichungen des geleiteten Systems heißen, und in welchen die pKQ und pyt jetzt allein Funktionen der pe und der Zeit t sind. Alle möglichen Bewegungen des geleiteten Systems genügen diesen Gleichungen, und alle Bewegungen, welche ihnen genügen, sind mögliche Bewegungen.

Anmerkung 1. Ist das geleitete System ein holonomes 435 System, so lassen sich die Differentialgleichungen b) und c) für dasselbe ersetzen durch ebensoviel endliche Gleichungen zwischen den r Koordinaten des Systems und der Zeit t. Die möglichen Lagen eines geleiteten holonomen Systems lassen sich darstellen durch Koordinaten, welche keinen anderen Bedingungen

unterworfen sind, als dieser, daß eine Anzahl unter ihnen gegebene Funktionen der Zeit sind.

436

437

Anmerkung 2. Die Bedingungsgleichungen eines geleiteten Systems enthalten also im allgemeinen die Zeit, und das geleitete System würde für sich betrachtet der Forderung der Gesetzmäßigkeit (119) widersprechen. Umgekehrt betrachten wir nun auch jedes System, dessen Bedingungsgleichungen nach der gewöhnlichen Redeweise der Mechanik die Zeit explizite enthalten, und welches also in unserer Redeweise anscheinend ungesetzmäßig ist, als ein geleitetes System, als ein System also, welches zusammen mit anderen unbekannten Massen den Bedingungen der Gesetzmäßigkeit genügt. Ist diese Annahme zulässig, so macht erst sie das Problem zu einem bestimmten mechanischen Problem (825). Ist diese Annahme aber bei einer besonderen Form der Bedingungsgleichungen etwa unzulässig, so enthalten diese Bedingungsgleichungen bereits einen Widerspruch gegen das Grundgesetz oder seine Voraussetzungen, und alle in bezug auf das System gestellten Fragen wären keine mechanischen Probleme (326).

Anmerkung 3. Auf ein geleitetes System ist das Grundgesetz nicht unmittelbar anwendbar. Denn der Begriff der geradesten Bahnen ist nur definiert für gesetzmäßige Zusammenhänge (120); die inneren Zusammenhänge des geleiteten Systems aber sind ungesetzmäßige. Es müssen daher anderweitige Merkmale aufgesucht werden, durch welche die natürlichen Bewegungen eines geleiteten Systems sich von der größeren Mannigfaltigkeit der möglichen Bewegungen unterscheiden.

Lehrsatz 1. Wie ein freies System, so bewegt sich auch ein geleitetes System in solcher Weise, daß die Größe der Beschleunigung beständig kleiner ist für die wirkliche Bewegung, als für irgend eine andere Bewegung, welche den Bedingungsgleichungen des Systems genügt, und welche in dem betrachteten Augenblick nach Lage und Geschwindigkeit mit der wirklichen zusammenfällt.

Denn das Quadrat der Größe der Beschleunigung des

vollständigen Systems ist gleich der Summe der entsprechenden Größen für das Teilsystem und für das übrige System, diese Größen multipliziert mit den Massen ihrer Systeme und dividiert durch die Masse des Gesamtsystems. Diese Summe soll nach 344 ein Minimum sein; der zweite Summand wird als bereits bestimmte und solche Funktion der Zeit vorausgesetzt, für welche das Minimum der Summe eintritt (436); dieses Minimum wird also dann und nur dann erzielt, wenn der erste Summand zu einem Minimum gemacht wird.

Lehrsatz 2. Wie ein freies, so bewegt sich auch ein ge- 439 leitetes holonomes System in solcher Weise, daß das Zeitintegral der Energie beim Übergang zwischen hinreichend benachbarten Lagen kleiner wird für die wirkliche Bewegung, als für irgend eine andere Bewegung, welche den Bedingungsgleichungen genügt, und welche das System in der gleichen Zeit aus der gegebenen Anfangs- in die Endlage überführt.

Denn das Zeitintegral der Energie des vollständigen Systems ist gleich der Summe der entsprechenden Größen für das Teilsystem und für das übrige System. Diese Summe soll nach 358 ein Minimum sein; der zweite Summand wird als bereits bestimmt und als solcher vorausgesetzt, für welchen das Minimum der Summe eintritt; dieses Minimum wird also dann und nur dann erzielt, wenn der erste Summand zu einem Minimum gemacht wird.

Anmerkung 1. Die vorstehenden beiden Lehrsätze (438, 440 439) enthalten offenbar die Anpassung der Sätze 344 und 358 an die besonderen Voraussetzungen dieses Abschnittes. In der gewöhnlichen Ausdrucksweise der Mechanik können wir ihren Inhalt in die Form der Aussage kleiden: Der Satz von der kleinsten Beschleunigung und das ÜAMii/TONsche Prinzip behalten ihre Gültigkeit, auch wenn die Bedingungsgleichungen eines Systems die Zeit explizite enthalten.

Anmerkung 2. Die Sätze von der Energie, vom kürzesten 441 Wege, von der kürzesten Zeit (340, 347, 352) lassen sich nicht in gleich unmittelbarer Weise den Voraussetzungen der geleiteten Systeme anpassen. In der gewöhnlichen Ausdrucksweise der Mechanik nimmt diese Aussage die Form an: Das

Prinzip der Energie und das Prinzip der kleinsten Wirkung verlieren ihre Gültigkeit, wenn die Bedingungsgleichungen eines Systems die Zeit explizite enthalten.

442

Aufgabe. Die Differentialgleichungen der Bewegung eines geleiteten Systems anzugeben.

Es seien wieder m die Masse, die pe die Koordinaten und die fe die Beschleunigungen nach den pe für das geleitete System. Es seien ferner m die Masse und die irgendwelche Koordinaten der übrigen materiellen Punkte des vollständigen Systems. Die pQ und können auch als Koordinaten des vollständigen Systems gelten; es mögen bei dieser Auffassung die Komponenten der Beschleunigung des vollständigen Systems nach diesen Koordinaten mit f'e und f' bezeichnet werden. Dann ist die Bewegung des vollständigen Systems eindeutig bestimmt durch seine h Bedingungsgleichungen von der Form 434 a und durch r-j-r Bewegungsgleichungen von der Form (372):

n

a)

b)

(m + m) f'g + 2* Py. = 0

1

h

(m + m)fsó + 2*ł⁾*e^ = ⁰ •

Nun haben wir nach der Voraussetzung uns die bereits bestimmt zu denken als solche Funktionen der Zeit, durch welche die Gleichungen b) identisch erfüllt werden, und durch deren Einsetzen die h Bedingungsgleichungen des vollständigen Systems übergehen in die k Bedingungsgleichungen (434b) des geleiteten Systems. Ferner haben wir nach 255:

o)

{m + nt) f> = mfo .

Hiernach erhalten wir als zu berücksichtigende Gleichungen die r Bewegungsgleichungen:

k

mfQ + ^.pxçPx = 0

i

und die k Bedingungsgleichungen:

e)

welche r + k Gleichungen nun eine Beziehung auf die unbekannten Massen des vollständigen Systems nicht mehr enthalten, welche zur eindeutigen Bestimmung der r + k Größen fts und Px ausreichen, und welche daher die Lösung der gestellten Aufgabe bilden.

Folgerung 1. Die Differentialgleichungen der Bewegung 443 eines geleiteten Systems haben dieselbe Form wie diejenigen eines freien Systems.

In der gewöhnlichen Ausdrucksweise der Mechanik würden wir sagen, die Gültigkeit jener Form hänge nicht davon ab, ob die Bedingungsgleichungen des Systems die Zeit explizite enthalten oder nicht. Die Bewegungsgleichungen eines geleiteten Systems werden daher auch genau dieselben Umformungen zulassen, wie diejenigen eines freien Systems (368 ff.); diejenigen Formen allerdings, welche alle Koordinaten als freie voraussetzen, werden ihre Anwendbarkeit verlieren.

Folgerung 2. Eine natürliche Bewegung eines geleiteten 444 Systems ist eindeutig bestimmt durch Angabe der Lage und Geschwindigkeit des Systems zu einer bestimmten Zeit (vergl. 331).

Bemerkung. Wie in einem freien, so ist in einem ge- 445 leiteten System der Zwang des Systems gleich seiner Beschleunigung.

Denn wenn die sämtlichen Bedingungsgleichungen eines geleiteten Systems aufgelöst werden, so werden die materiellen Punkte des Systems freie Punkte und die Beschleunigung der natürlichen Bewegung des Systems gleich Null (385).

Lehrsatz 1. Wie in einem freien, so ist in einem ge- 440 leiteten System die Größe des Zwanges in jedem Augenblick kleiner für die natürliche Bewegung, als für irgend eine andere

mögliche Bewegung, welche in dem betrachteten Augenblick nach Lage und Geschwindigkeit mit jener zusammenfällt.

Der Satz folgt aus 445 und 438.

447

448

449

Lehrsatz 2. Wie bei der natürlichen Bewegung eines freien Systems, so steht auch bei der natürlichen Bewegung eines geleiteten Systems die Richtung des Zwanges beständig senkrecht auf jeder möglichen oder virtuellen Verrückung des Systems aus seiner augenblicklichen Lage.

Der Satz folgt aus 445 und 442 wie in 392.

Anmerkung. Die vorstehenden beiden Sätze 446 und 447 enthalten die Anpassung der Sätze 388 und 392 an die besonderen Verhältnisse der geleiteten Systeme. In der gewöhnlichen Ausdrucksweise der Mechanik würden wir ihren Inhalt in der Fassung wiedergehen: Das Gauss sehe Prinzip des kleinsten Zwanges und das D’AiÆMBEfîTsche Prinzip behalten ihre Gültigkeit, auch wenn die Bedingungsgleichungen eines Systems die Zeit explizite enthalten.

Bemerkung. Wenn die Koordinaten des vollständigen Systems, welche in den Gleichungen 434 a mit den pQ in denselben Gleichungen auftreten, nicht Funktionen der Zeit, sondern konstant in derselben sind, so nehmen die Bedingungsgleichungen des geleiteten Systems die Form an: worin die pdie Zeit nicht enthalten. Das geleitete System erscheint in diesem Falle als ein gesetzmäßiges, aber es hört nicht notwendig auf, ein unfreies zu sein, da die pHQ Funktionen des absoluten Ortes sein können, während sie in den Bedingungsgleichungen eines freien Systems von der absoluten Lage unabhängig sind.

In solchen unfreien, aber gesetzmäßigen Systemen behält der Begriff der geradesten Bahn seine Anwendbarkeit. Auch das Grundgesetz ist daher auf solche Systeme unmittelbar anwendbar, und es gelten daher für ein solches System auch alle Lehrsätze, welche für die Bewegung eines freien Systems auf-

gestellt wurden, mit alleiniger Ausnahme derjenigen, welche sich auf die absolute Lage beziehen, also allein mit Ausnahme des Lehrsatzes 400 und seiner Folgerungen.

II. Systeme durch Kräfte beeinflußt.

Definition. Zwei materielle Systeme heißen direkt ge- 450 koppelt, wenn eine oder mehrere Koordinaten des einen einer oder mehreren Koordinaten des andern dauernd gleich sind. Gekoppelt schlechthin heißen zwei Systeme, wenn ihre Koordinaten so gewählt werden können, daß die Systeme in das Verhältnis der direkten Koppelung treten. Gekoppelte Systeme, welche nicht direkt gekoppelt sind, heißen indirekt gekoppelt.

Folgerung 1. Die Koppelung zweier Systeme ist eine Be- 451 ziehung zwischen beiden, welche unabhängig von unserer Willkür, insbesondere unabhängig von der Wahl der Koordinaten besteht. Ob aber eine bestehende Koppelung eine direkte oder eine indirekte sei, hängt ab von der Wahl der Koordinaten, ist also eine Frage unserer willkürlichen Auffassung.

Folgerung 2. Jede bestehende Koppelung zwischen zwei 452 Systemen kann durch geeignete Wahl der Koordinaten zu einer direkten gemacht werden. Wenn nicht ausdrücklich das Gegenteil bemerkt ist, so setzen wir im folgenden voraus, daß dies geschehen sei. Die beständig gleichen Koordinaten der gekoppelten Systeme bezeichnen wir dann auch als ihre gemeinsamen Koordinaten.

Folgerung 3. Jedes von zwei gekoppelten Systemen ist 453 durch die Koppelung notwendig ein unfreies System, beide bilden aber zusammen oder zusammen mit weiteren Systemen, mit welchen sie gekoppelt sind, ein freies System. Wenn nicht ausdrücklich das Gegenteil bemerkt ist, so wird im folgenden angenommen, daß eine Koppelung mit mehreren Systemen nicht stattfindet, so daß die beiden gekoppelten Systeme zusammen bereits ein freies bilden.

Analytische Darstellung. Sind die pQ die Koordinaten des 454 einen, die die Koordinaten des andern Systems, so wird

eine Koppehmg zwischen beiden Systemen dadurch hergestellt, daß für ein oder mehrere Wertpaare von q und a pe gleich pCT gemacht wird. Wir können aber offenbar ohne Beschränkung der Allgemeinheit die Indizes so verteilen, daß übereinstimmende Koordinaten in beiden Systemen denselben Index erhalten. Diese Systeme sind dann gekoppelt, wenn für einen oder mehrere Werte von q dauernd

a)

Pe Pq~ 0

wird, von welcher Gleichung die Gleichungen

Ï»

c)

£e Pq~0

dpQ — dpo = 0

oder

notwendige Folgen sind.

455

Definition. Unter einer Kraft verstehen wir den selbständig vorgestellten Einfluß, welchen das eine von zwei gekoppelten Systemen zufolge des Grundgesetzes auf die Bewegung des andern ausübt.

456

Folgerung. Zu jeder Kraft gibt es stets notwendig eine Gegenkraft.

Denn die Vorstellung des Einflusses, welchen das in der Definition als das zweite bezeichnete System auf das erste ausübt, ist nach der Definition selbst wieder eine Kraft. Kraft und Gegenkraft sind gleichberechtigt in dem Sinne, daß nach Willkür jede von ihnen als die Kraft oder auch als die Gegenkraft aufgefaßt werden kann.

Aufgabe. Einen Ausdruck für den Einfluß anzugeben, welche das eine von zwei gekoppelten Systemen auf die Bewegung des andern ausübt.

Es seien m die Masse und die r Größen pß die Koordinaten des ersten Systems; es seien die k Gleichungen

a)

yfPnopę ~ o

i

wieder die Bedingungsgleichungen desselben. Es seien m die (457) Masse und die r Größen die Koordinaten des zweiten Systems; es seien die f Gleichungen

b)

die Bedingungsgleichungen desselben. Es mögen ferner zwischen beiden, für einen oder mehrere, nämlich A Werte von o, Koppelungsgleichungen von der Form bestehen. Wir betrachten nun die Bewegung des ersten Systems unter dem Einflüsse des zweiten, und behandeln es dabei als geleitetes System. Soweit die pQ in den Gleichungen c) nicht Vorkommen, sind die Beschleunigungen nach ihnen gegeben durch die Gleichungen (442):

d)

für diejenigen pQ aber, welche in c) Vorkommen, haben wir auch diese Gleichungen zu berücksichtigen und also den Faktor von pe in denselben, nämlich —1, zu multiplizieren mit einem unbestimmten Faktor, welcher Pe heißen möge, und das Produkt der linken Seite hinzuzufügen; für diese pe wird also:

k

e)

"/V* P XQ P-a    Pq = ® •

1

Das Eintreten der h Größen Pe in die Bewegungsgleichungen vermehrt die Zahl der Unkekannten in denselben um h, und zur Bestimmung dieser h Größen ist auch die Zahl der Bedingungsgleichungen um die h Gleichungen c) vermehrt, in welchen wir uns die pe als Funktionen der Zeit explizite gegeben denken müssen. Nehmen wir aber an, die Größen Pe

14

Hertz, Mechanik. 2. Aufl.

rechnen nicht zu den Unbekannten, sondern seien uns als Funktionen der Zeit unmittelbar gegeben, alsdann sind die h Gleichungen c) und jede Kenntnis der und des zweiten Systems überhaupt entbehrlich, und die A-j-r Gleichungen a) d) e) genügen wiederum zur eindeutigen- Bestimmung der A-j-r Unbekannten P„ und pQ. Die h Multiplikatoren Pe stellen also den Einfluß des zweiten Systems auf das erste vollständig dar, und ihre Gesamtheit kann als ein analytischer Ausdruck für diesen Einfluß angesehen werden, wie ihn die Aufgabe verlangt.

458

Zusatz 1. Wollen wir in symmetrischer Weise den Einfluß des ersten Systems auf das zweite darstellen, so haben wir die Koppelungsgleichungen zu schreiben in der Form:

-fcr-

a)

und es werden nun für diejenigen welche sich in a) nicht finden, die Bewegungsgleichungen:

b>

während sie für die übrigen pe die Form annehmen:

C)

unter den die unbestimmten Multiplikatoren der Gleichungen a) verstanden. Die Gesamtheit der gibt uns einen Ausdruck für den Einfluß, welchen das erste System in jedem Augenblick auf die Bewegung des zweiten ausübt.

Zusatz 2. Offenbar können wir alle Bewegungsgleichungen des ersten Systems in der Form:

fq + ^py.q Py.-Pq = 0

1

und alle Bewegungsgleichungen des zweiten Systems in der Form:

b)

schreiben, wenn wir in zulässiger, wenn auch willkürlicher Weise festsetzen, daß für alle nicht gekoppelten Koordinaten die Größen Pe und den Wert Null haben sollen. Allerdings verliert die Gesamtheit der PQ und dabei ihre Bedeutung als System der Multiplikatoren der Gleichungen 457 c und 458a, aber sie behält ihre Bedeutung als Ausdruck des Einflusses, welchen das eine System auf das andere ausübt.

Analytische Darstellung der Kraft. Wir können und 4ßo wollen daher im Einklang mit der Definition 455 festsetzen, daß die Gesamtheit der für alle pe nach 459 eindeutig bestimmten Größen PQ den analytischen Ausdruck für die Kraft bilden solle, welche das System der auf das System der pe ausübt. Entsprechend bildet dann die Gesamtheit der Größen ^ den analytischen Ausdruck für die Kraft, welche das System der pe auf das der pe ausübt. Die einzelnen Größen PQ bez. heißen die Komponenten der Kraft nach den entsprechenden Koordinaten pe bez. auch wohl kurz die Kräfte nach diesen Koordinaten.

Durch diese Bestimmung setzen wir uns zugleich in Einklang mit der bestehenden Bezeichnung der Mechanik, und die Notwendigkeit, diesen Einklang herzustellen, rechtfertigt hinreichend, warum wir unter mehreren zulässigen Bestimmungen gerade diese getroffen haben.

461

Folgerung 1. Die Kraft, welche ein System auf ein zweites ausübt, kann betrachtet werden als eine Vektorgröße in bezug auf das zweite System, als eine Vektorgröße nämlich, deren Komponenten nach den gemeinsamen Koordinaten im allgemeinen von Null verschieden sind, deren Komponenten nach den nicht gemeinsamen Koordinaten verschwinden, deren Komponenten nach solchen Richtungen aber, welche sich nicht durch Änderungen der benutzten Koordinaten ausdrücken lassen, unbestimmt bleiben.

14*

Folgerung 2. Die Kraft, welche ein System auf ein zweites ausübt, kann aber auch betrachtet werden als Vektorgröße in bezug auf das erstere System, als eine Vektorgröße nämlich, deren Komponenten nach den gemeinsamen Koordinaten im allgemeinen von Null verschieden sind, deren Komponenten nach den nicht gemeinsamen Koordinaten verschwinden, deren Komponenten in Richtungen aber, welche sich nicht durch Änderungen der benutzten Koordinaten ausdrücken lassen, unbestimmt bleiben.

462

463

Anmerkung. Betrachtet als Vektorgröße in bezug auf ein System enthält also jede Kraft Komponenten, welche ab-hängen von der Wahl der Koordinaten, d. h. von unserer willkürlichen Auffassung. Es rührt dies daher, daß von der Wahl der Koordinaten die Mannigfaltigkeit derjenigen Bewegungen des Systems abhängt, welche wir überhaupt in Betracht ziehen, in deren Richtung wir also einen möglichen Einfluß zulassen wollen.

Wird ein System nacheinander mit

464

465

Bemerkung 1.

mehreren anderen Systemen gekoppelt, und erleidet es dabei von diesen Systemen die gleiche Kraft, so ist seine Bewegung die gleiche, wie verschieden auch immer diese anderen Systeme unter sich sein mögen.

Wir reden daher auch (entsprechend der Definition 455) von der Bewegung eines Systems unter dem Einfluß oder der Einwirkung oder dem Angriff einer Kraft schlechthin, ohne der anderen Systeme zu erwähnen, von welchen sie ausgeht, und ohne welche sie nicht denkbar wäre.

Wird ein System nacheinander mit

Bemerkung 2.

mehreren anderen Systemen gekoppelt, und führt es dabei die gleiche Bewegung ans, so kann es dabei auf jene anderen Systeme gleiche Kraft ausüben, obwohl jene Systeme unter sich vollkommen verschieden sein können.

Wir reden daher auch (entsprechend der Definition 455) von der Kraft, welche ein bewegtes System ausübt, schlechthin, ohne der anderen Systeme zu erwähnen, auf welche jene Kraft ausgeübt wird, und ohne welche sie nicht denkbar wäre.

Bemerkung 3. Da aber alle Kräfte, von welchen schlecht- 466 hin die Rede ist, doch keine anderen sein können, als welche von materiellen Systemen zufolge des Grundgesetzes auf materielle Systeme ausgeübt werden, so haben alle Kräfte von vornherein gewisse Eigenschaften gemeinsam. Die Quelle allef solcher gemeinsamen Eigenschaften sind die Eigenschaften der materiellen Systeme und das Grundgesetz.

Wirkung und Gegenwirkung.

Bezeichnung. 1. Die Komponenten der Kraft, welche das 467 System der pe auf das der pe ausübt, betrachtet als Vektorgrößen in bezug auf das System der pe, haben wir in 460 bereits bezeichnet mit PQ. Betrachten wir dieselbe Kraft als Vektorgröße in bezug auf das System der so wollen wir ihre Komponenten nach den pe bezeichnen mit iß'. Identisch ist dann für alle gemeinsamen Koordinaten:

2. Die Komponenten der Kraft, welche das System der pQ auf das der pe ausübt, betrachtet als Vektorgrößen in bezug auf das System der haben wir in 460 bereits bezeichnet mit iße. Betrachten wir dieselbe Kraft als Vektorgröße in bezug auf das System der pe, so wollen wir ihre Komponenten nach den pQ bezeichnen mit P'Q. Identisch ist dann für alle gemeinsamen Koordinaten:

Die auf ein System ausgeübten Kräfte sind also durch nicht akzentuierte, die von dem System ausgeübten Kräfte durch akzentuierte Buchstaben bezeichnet, sobald wir sie als Vektorgrößen in bezug auf das System selbst betrachten.

Lehrsatz. Kraft und Gegenkraft sind einander stets ent- 468 gegengesetzt gleich. Es soll damit gesagt sein, daß die Komponenten beider nach jeder der benutzten Koordinaten entgegengesetzt gleich sind, und zwar sowohl wenn wir Kraft

(468) und Gegenkraft betrachten als Vektorgrößen in bezug auf das eine, als auch in bezug auf das andere System.

Denn wir können auch die beiden gekoppelten Systeme (457) betrachten als ein einziges, freies System. Seine Masse ist m+m, seine Koordinaten sind die pe und Seine Bedingungsgleichungen sind die Gleichungen 457a und b und die Koppelungsgleichungen, etwa in der Form 457 c. Bezeichnen wir nunmehr die Multiplikatoren jener Gleichungen a) mit i³*, die der Gleichungen b) mit die die Gleichungen e) mit P°Q, so nehmen die Bewegungsgleichungen des gesamten Systems (vergl. 442) die Form an:

a)

b)

mU + P°K-P°Q = 0 ,

i

mf?+2*    ^⁼⁰ *

i in welchen für die Koordinaten, welche in den Koppelungsgleichungen nicht Vorkommen, die P°Q gleich Null zu setzen sind.

Die durch diese Gleichungen dargestellte Bewegung ist nun aber dieselbe, welche wir vorhin als Bewegung der einzelnen Systeme betrachteten. Eine mögliche Lösung der gegenwärtigen Gleichungen erhalten wir also, .wenn wir für die fQ und ihre früheren Werte setzen, wenn wir machen «) außerdem in a)

d)

P°= P

und in b) e)

Aber da durch die Gleichungen a) und b) die unbestimmten Multiplikatoren eindeutig bestimmt sind, so ist diese mögliche Lösung zugleich die einzig mögliche Lösung. Daher

gelten die Gleichungen d) und e) mit Notwendigkeit; aus ihnen folgt:

oder mit Benutzung der Bezeichnung 467:

P = — P'

rQ rQ

welches die Behauptung ist.

Anmerkung 1. Der vorstehende Lehrsatz entspricht der ^69 Lex tertia Newtons und wird auch wohl das Prinzip der .Reaktion genannt. Doch deckt sich sein Inhalt nicht vollständig mit dem Inhalt jenes dritten Gesetzes, sondern das genaue Verhältnis ist das folgende:

Das NEWTONsche Gesetz enthält unsern Lehrsatz 468 vollständig, nach der Absicht des Begründers, wie die dem Gesetze beigefügten Beispiele zeigen.

Das NEWTONsche Gesetz enthält aber mehr. Wenigstens wird es auch allgemein angewandt auf die Wirkung von Fernkräften, d. h. von Kräften zwischen Körpern, welche keine gemeinsamen Koordinaten haben. Solche Kräfte aber kennt unsere Mechanik nicht. Damit man also beispielsweise aus unserem Lehrsätze die Folgerung ziehen könne, daß ein Planet die Sonne mit gleicher Kraft anziehe wie diese ihn, ist nötig, daß nähere Angaben üher die Natur des Zusammenhanges zwischen beiden Körpern gemacht werden.

470

Anmerkung 2. Es darf aber als fraglich bezeichnet werden, ob der Überschuß dieser Anwendung des Reaktionsprin-über den Inhalt des Lehrsatzes 468 nach Form und

zipes

Inhalt mit Recht zu den Grundgesetzen der Mechanik könne gerechnet werden, und ob nicht vielmehr der wesentliche und allgemein gültige Inhalt jenes Prinzipes bereits durch den Lehrsatz 468 erschöpft werde.

Was die Form anlangt, so ist offenbar die Fassung des dritten Gesetzes, sobald es auf Fernkräfte angewandt wird, nicht völlig klar bestimmt. Denn wenn Kraft und Gegen-

kraft an verschiedenen Körpern angreifen, so ist nicht schlechthin deutlich, was unter entgegengesetzter Kichtung zu verstehen sei. Dies tritt zum Beispiel hervor, wenn es sich um die Wechselwirkung zwischen Stromelementen handelt.

Was den Inhalt anlangt, so stellt die Anwendung des Reaktionsprinzipes auf die Fernkräfte der gewöhnlichen Mechanik offenbar eine Erfahrungstatsache dar, über deren genaues Zutreffen in allen Fällen man anfängt zweifelhaft zu werden. So ist die Elektrodynamik bereits fast überzeugt davon, daß die Wechselwirkung zwischen bewegten Magneten dem Prinzip nicht in allen Fällen genau unterworfen sei.

Zusammensetzung der Kräfte.

471

Lehrsatz. Ist ein System gleichzeitig mit mehreren Systemen gekoppelt, so ist die Kraft, welche die Gesamtheit jener Systeme auf das erste System ausübt, gleich der Summe der Kräfte, welche die einzelnen Systeme auf dasselbe ausüben.

Es sei nämlich das System 1 von der Masse m und den Koordinaten pe, dessen Bedingungsgleichungen die k Gleichungen a)

sind, gleichzeitig gekoppelt mit den Systemen 2, 3, usw., deren Koordinaten die p", p"', usw. sind.

Betrachten wir die Systeme 2, 3, usw. zunächst als getrennte Systeme, so sind die Koppelungsgleichungen für jede gemeinsame Koordinate pQ zu schreiben in der Form:

b)

C)

ip?-Ä=⁰

USW.

Behandeln wir nun das aus 1, 2, 3, usw. zusammengesetzte System als freies und bezeichnen wieder die Multiplikatoren

der Gleichungen a) mit Px, dagegen die von b) mit P", die (471) von c) mit P"', usw., so erhalten wir die Bewegungsgleichungen des Systems 1 in der Form:

d)

P'q — usw. == 0 ,

worin die sämtlichen P", Pf', usw. ebenso wie die Px eindeutig bestimmte Größen sind. Die P", P"', usw. stellen die Komponenten der Kräfte dar, welche die einzelnen Systeme 2, 3, usw. auf das System 1 ausüben.

Betrachten wir nun aber zweitens die Systeme 2, 3, usw. zusammen als ein System, so können die nach Gleichungen b) c) usw. gleichen Größen p", p"', usw. als eine einzige Koordinate pp desselben angesehen werden, und an Stelle jener Koppelungsgleichungen tritt dann für jede gemeinsame Koordinate pQ die eine Gleichung:

e)

Pq~® •

Ist Pp der Multiplikator derselben, und bezeichnen wir mit P°x die Multiplikatoren der Gleichungen a), welche dem jetzigen System der Bewegungsgleichungen entsprechen, so nehmen diese die Form an:

Die Pp stellen die Komponenten der Gesamtkraft dar, welche auf das System 1 wirkt.

Die verschiedene Auffassung kann nun die nach dem Grundgesetze erfolgende Bewegung selbst nicht ändern. Eine mögliche Lösung der Gleichungen f) erhalten wir daher, indem wir mit Benutzung der früheren Lösung setzen:

p:=p«

Pq = P'Q + Pç' + USW.

S)

h)

Aber da es nur eine einzige mögliche Lösung gibt, so

ist die vorstehende eben diese, und die Gleichung h), welche unsere Behauptung enthält, muß mit Notwendigkeit zutreffen.

472

473

Folgerung 1. Eine jede Zahl von Kräften, welche auf ein System wirkt, oder welche von einem System ausgeübt wird, kann aufgefaßt werden als eine einzige Kraft, und zwar als diejenige Kraft, welche als Vektorgröße in bezug auf das System betrachtet gleich der Summe jener Kräfte ist.

Fassen wir eine Zahl von Kräften in dieser Weise auf, so sagen wir, daß wir sie zusammensetzen. Das Ergebnis der Zusammensetzung nennen wir auch die Resultante der einzelnen Kräfte.

Folgerung 2. Eine jede Kraft, welche auf ein System wirkt, oder welche von einem System ausgeübt wird, kann aufgefaßt werden als Summe einer beliebigen Zahl von Kräften, und zwar jeder Zahl von Kräften, deren Summe als Vektorgrößen in bezug auf das System gleich jener ursprünglichen Kraft ist.

Fassen wir eine Kraft in dieser Weise auf, so sagen wir, daß wir sie zerlegen; die Kräfte, welche das Ergebnis einer solchen Zerlegung sind, nennen wir die Komponenten der ursprünglichen Kraft.

474

475

476

Anmerkung. Die geometrischen Komponenten einer Kraft nach den Koordinaten können zugleich als Komponenten derselben im Sinne von 473 aufgefaßt w⁷erden.

Definition. Eine Kraft, welche von einem einzelnen materiellen Punkte ausgeübt wird, oder welche auf einen einzelnen materiellen Punkt wirkt, heißt eine Elementarkraft.

Anmerkung. Die elementare Mechanik versteht gewöhnlich unter Kräften nur Elementarkräfte. Im Gegensatz zu denselben bezeichnet man dann wohl die bisher von uns betrachteten allgemeineren Kraftformen als Lagrange sehe Kräfte. Man könnte dementsprechend die Elementarkräfte selbst auch passend als Galilei sehe oder Newton sehe Kräfte bezeichnen.

Folgerung 1. Jede Elementarkraft ist darstellbar durch die geometrische Verrückung eines Punktes, also durch eine nach Größe und Richtung gegebene Strecke.

Denn jede Elementarkraft ist Vektorgröße in bezug auf einen einzelnen Punkt.

Folgerung 2. Die Zusammensetzung der Elementarkräfte, 478 welche an demselben Punkte angreifen, geschieht nach der Methode der geometrischen Zusammensetzung und Zerlegung von Strecken.

Insbesondere setzen sich also zwei Kräfte, welche an demselben Punkte angreifen, zusammen zu einer einzigen Kraft, welche nach Größe und Richtung durch die Diagonale eines Parallelogramms dargestellt ist, dessen Seiten nach Größe und Richtung jene Kräfte darstellen (Parallelogramm der Kräfte).

Folgerung 3. Jede LAGEANGESche Kraft ist darstellbar 479 als eine Summe von Elementarkräften, also zerlegbar in Eiern entarkräfte.

Denn jede Verrückung eines Systems kann aufgefaßt werden als eine Summe von Verrückungen seiner einzelnen Punkte.

Folgerung 4. Die Komponenten einer Kraft nach den 480 rechtwinkligen Koordinaten des Systems, auf welches die Kraft wirkt, oder welches die Kraft ausübt, können unmittelbar aufgefaßt werden als Elementarkräfte, welche auf die einzelnen materiellen Punkte des Systems wirken.

Bewegung unter dem Einfluß von Kräften.

Aufgabe 1. Die Bewegung eines materiellen Systems 481 unter dem Einfluß einer gegebenen Kraft zu bestimmen.

Die Auflösung folgt unmittelbar aus 457. Sind die Pß die gegebenen Komponenten der wirkenden Kraft nach den pe, so benutze man die r Gleichungen

zusammen mit den k Bedingungsgleichungen des Systems zur Bestimmung der r + k Größen ße und P*, zu deren eindeutiger Bestimmung jene Gleichungen ausreichen.

Anmerkung 1. Die Bewegungsgleichungen eines Systems, auf welches Kräfte wirken, haben in den rechtwinkligen Koordinaten desselben die Form der 3n Gleichungen:

482

4S3

V 'G “f" "/V %IV -X-l-    >

1

wenn unter Xv die Komponente der Kraft nach xv verstanden wird, und im übrigen die Bezeichnung von 368 benutzt wird.

Anmerkung 2. Ist die Koordinate pQ eine freie Koordinate, so nimmt die ihr entsprechende Bewegungsgleichung die einfache Form an:

mfQ = PQ .

Sind in einem holonomen System alle pe freie Koordinaten, so nehmen alle Bewegungsgleichungen des Systems diese Form an, und diese r Gleichungen genügen zur Bestimmung der r Größen pQ. ■

484

Folgerung. Die natürliche Bewegung eines materiellen Systems von einem bestimmten Augenblick an ist eindeutig bestimmt durch die Lage und Geschwindigkeit des Systems in jenem Augenblick und die Angabe der auf das System wirkenden Kraft für alle Zeiten von jenem Augenblick an (vergl. 331, 444).

485

Lehrsatz. Die Beschleunigung, welche mehrere gleichzeitig wirkende Kräfte einem System erteilen, ist gleich der Summe der Beschleunigungen, welche die Kräfte einzeln wirkend dem System erteilen würden.

Denn die Bewegungsgleichungen 481 sind linear in den fQ und den P*. Sind also die Wertsysteme fQlPyn, fStPy.₂, usw. die Auflösungen dieser Gleichungen für die Kräfte PQl, P0t, usw., so ist das Wertsystem Z^+Z^-l-usw., P^-J-P^-f-usw. die Auflösung für die Kraft PGi + P+ usw.

Anmerkung. Der Inhalt des Lehrsatzes kann auch wiedergegeben werden in der Aussage, daß mehrere gleichzeitig wirkende Kräfte sich hinsichtlich der Beschleunigung, welche

sie erzeugen, nicht stören. Ohne einen besonderen Namen erhalten zu haben, ist dieser Satz seit Galileis Zeiten stets als Prinzip angenommen und benutzt worden.

Folgerung. Die Beschleunigung, welche eine resultierende 487 Kraft einem System erteilt, ist gleich der Summe der Beschleunigungen, welche die Komponenten, einzeln wirkend, dem System erteilen würden (472, 473).

Lehrsatz,

Steht eme Kraft als Vektor große senkrecht 488 auf jeder möglichen Verrückung eines materiellen Systems, so übt sie keinen Einfluß auf die Bewegung des Systems aus, — und umgekehrt.

Denn ist % eine solche Kraft, so haben ihre Komponenten 7ce nach den pQ die Form (250):

fc

Tlę

= ■

Lassen wir nun diese Kraft neben der Kraft P auf das System wirken, so können die Bewegungsgleichungen in der Form geschrieben werden:

k

Tiïfç +    P'/.o (Px Y*) ⁼

l

Bei der Auflösung dieser Gleichungen nach jpe und P* erscheinen also nur die P* vergrößert um die y*; diej^, welche allein die Bewegung bestimmen, erscheinen unverändert.

Umgekehrt: Ändert die Hinzufügung der Komponenten %s zu den rechten Seiten der Gleichungen 481 nicht die fe, sondern nur die P*, so lassen sich die %e schreiben in der Form: die Kraft n steht also senkrecht auf jeder möglichen Verrückung des Systems (250).

Anmerkung. Der Lehrsatz gibt die Bedingung an, welcher derjenige Teil einer als Vektorgröße betrachteten Kraft unterworfen ist, welcher von der Wahl der Koordinaten, also von unserer Willkür abhängt (463). Denn dieser Teil muß notwendig ein solcher sein, welcher in der wirklichen Bewegung nicht zur Geltung kommt.

489

490

491

Folgerung. Obgleich aus der Kenntnis der auf ein System wirkenden Kraft eindeutig geschlossen werden kann auf die Bewegung des Systems, so kann doch aus der Bewegung des Systems nicht eindeutig geschlossen werden auf die Kraft, welche das System beeinflußt.

Aufgabe 2. Die Kraft zu bestimmen, welche ein materielles System bei gegebener Bewegung ausübt.

Nach 467 bezeichnen wir mit P's die Komponente der gesuchten Kraft nach der Koordinate ps\ aus 468 und 481 folgt dann:

P' = -

In diesen Gleichungen sind die fe als gegeben zu betrachten, und zwar müssen sie in den Bedingungsgleichungen an sich genügen. Die Größen P„ sind ebenfalls bestimmt, wenn auch dasjenige System gegeben wird, mit welchem das betrachtete gekoppelt ist. Solange aber nur die Bewegung des Systems der pe gegeben ist, bleiben die PK unbekannt. Die Kraft, welche ein bewegtes System ausübt, ist also allein durch die Angabe der Bewegung des Systems noch nicht völlig bestimmt, sondern enthält einen unbestimmt bleibenden Summanden, dessen Komponenten die Form haben:

Ttq

und welcher daher auf jeder möglichen Verrückung des Systems senkrecht steht.

Anmerkung. Obwohl von der Kraft, welche ein bewegtes System ausübt, nicht alle Komponenten durch die Bewegung

des Systems eindeutig bestimmt sind, so sind doch die Komponenten in Richtung einer jeden möglichen Verrückung des Systems durch seine Bewegung eindeutig bestimmt.

Folgerung. Von der Kraft, welche ein bewegtes System 493 ausübt, sind die Komponenten in Richtung einer jeden freien Koordinate des Systems durch die Bewegung eindeutig bestimmt.

Ist nämlich pe eine freie Koordinate, so verschwinden die pXQ und damit die unbestimmten Glieder, und es kann die Komponente der Kraft des Systems nach pe geschrieben werden in den Formen:

P*

-mfQ

(491) a)

cg

«a.    a.

•/£>    Ot*

(291a) b)

(291b) c)

dqE

öPq

~9q

(294). d)

Innerer Zwang.

Lehrsatz. Die Beschleunigung eines Systems materieller 494 Punkte, zwischen welchen keine Zusammenhänge bestehen, findet statt in Richtung der Kraft, welche auf das System wirkt, und ihre Größe ist gleich der Größe der Kraft, dividiert durch die Masse des Systems.

Denn wenn zwischen den n Punkten eines Systems keine Zusammenhänge bestehen, so ist für jede der 3n rechtwinkligen Koordinaten des Systems (482):

mv

— XP =

Xv

die linken Seiten der Gleichungen aber stellen die Komponenten der Beschleunigung des Systems nach den xv dar (275).

Folgerung. Die Beschleunigung eines einzelnen materiellen Punktes geschieht in Richtung der Kraft, welche auf den Punkt wirkt, und ihre Größe ist gleich der Größe der Kraft, dividiert durch die Masse des Punktes. (Newtons Lex secunda.)

495

496

Anmerkung. Bestehen Zusammenhänge zwischen den Punkten eines materiellen Systems, auf welches eine Kraft wirkt, so weicht die Beschleunigung des Systems im allgemeinen ab von der durch den Lehrsatz 494 gegebenen. Als Ursache dieser Abweichung können wir also die Zusammenhänge des Systems ansehen, und die Abweichung selbst haben wir nach 385 als den inneren Zwang des Systems zu bezeichnen.

497

Aufgabe. Den inneren Zwang eines Systems zu bestimmen, welches sich unter dem Einfluß von Kräften bewegt.

Die wirkliche Komponente der Beschleunigung des Systems nach der allgemeinen Koordinate pe ist fQ, die Komponente, welche nach Aufhebung der Bedingungsgleichungen eintreten würde, ist (494) P^m, der Unterschied beider Größen, oder:

a) also die Komponente des Zwanges nach pe..

Zur Bestimmung der Größe des Zwanges reicht die Kenntnis der Komponenten desselben nach den pe im allgemeinen nicht aus (245). Wenden wir deshalb auch rechtwinklige Koordinaten an, so erhalten wir für die Komponente nach xv:

b)

— (mvxv — Xv) ,

m v

also die Größe z des Zwanges als die positive Wurzel der Gleichung (244):

c)

mz²

3)2

mv

— mv \x¥--

mv

Lehrsatz 1. Die Größe des Zwanges eines materiellen 498 Systems unter dem Einfluß von Kräften ist wie bei einem freien System in jedem Augenblick kleiner für die natürliche Bewegung, als für irgend eine andere mögliche Bewegung, welche in dem betrachteten Augenblick nach Lage und Geschwindigkeit mit jener zusammenfällt.

Denn als notwendige und hinreichende Bedingung dafür, daß bei gegebenen Werten der Xv die Größe \mz‘l ein Minimum werde, erhalten wir nach derselben Methode wie in 155 die 3/j Gleichungen:

Tfip Xp    X. p —{—    X^p - 0    ,

in welchen die Xt i unbestimmte Multiplikatoren bezeichnen, welche zusammen mit den 3 n Größen xv aus jenen 3 n Gleichungen und den i Bedingungsgleichungen des Systems eindeutig zu bestimmen sind. Die vorstehenden Gleichungen aber ergeben dieselben Werte der xv und Xt, wie die mit ihnen übereinstimmenden Gleichungen der natürlichen Bewegung (482).

Anmerkung. Der vorstehende Lehrsatz enthält das voll- 499 ständige Gauss sehe Prinzip des kleinsten Zwanges. Wir können den Lehrsatz 388 als einen besonderen Fall desselben bezeichnen. Aber nach unserer ganzen Auffassung werden wir lieber jenen Lehrsatz als den allgemeinen ansehen und den vorliegenden als die Anpassung desselben an besondere, verwickeltere Verhältnisse betrachten.

Lehrsatz 2. Die Richtung des Zwanges steht bei der 500 natürlichen Bewegung eines Systems unter dem Einfluß einer Kraft, wie bei der natürlichen Bewegung eines freien Systems, beständig senkrecht auf jeder möglichen oder virtuellen Verrückung des Systems aus seiner augenblicklichen Lage.

Denn zufolge 497 a und 481 lassen sich die Komponenten des Zwanges nach den pQ auch schreiben in der Form: der Zwang als Vektorgröße steht also (250) senkrecht auf jeder möglichen Verrückung des Systems.

15

Hertz, Mechanik. 2. Aufl.

Symbolischer Ausdruck. Bezeichnen wir mit §pQ die Änderungen der Koordinaten pe für irgend eine beliebige mögliche Verrückung des Systems, so können wir den vorstehenden Satz in die Gestalt der symbolischen Gleichung kleiden (vergl. 393):

501

a)

welche unter Anwendung rechtwinkliger Koordinaten die Form annimmt:

3 n

b)

{inv xv — Xv) dxv = 0

502

Anmerkung. Der Lehrsatz 500 enthält das vollständige d’Alembeet sehe Prinzip, die Gleichungen 501a und b die gewöhnliche Fassung desselben. Uber das Verhältnis des Satzes 500 zu dem Satz 392 ist dasselbe zu bemerken, wie unter 499.

503

Folgerung 1. Die Komponente der Beschleunigung eines materiellen Systems in Richtung einer jeden möglichen Bewegung ist gleich der Komponente der wirkenden Kraft nach dieser Richtung, dividiert durch die Masse des Systems.

Denn die Komponente des Zwanges nach der Richtung jeder möglichen Bewegung verschwindet.

504

505

Folgerung 2. Die Komponente der Beschleunigung eines materiellen Systems in Richtung seiner wirklichen Bewegung ist gleich der Komponente der wirkenden Kraft nach der gleichen Richtung, dividiert durch die Masse des Systems.

Folgerung 3. Die Komponente der Beschleunigung eines materiellen Systems nach jeder freien Koordinate des Systems ist gleich der Komponente der wirkenden Kraft nach der gleichen Richtung, dividiert durch die Masse des Systems.

Lehrsatz. Bei der natürlichen Bewegung eines materiellen Systems unter dem Einfluß von Kräften ist die Komponente der Beschleunigung nach jeder Koordinate der absoluten

Lage beständig gleich der Komponente der wirkenden Kraft nach der gleichen Richtung, dividiert durch die Masse des Systems,

— welches auch der innere Zusammenhang des Systems ist.

Folgerung 1. Wählen wir die Koordinaten eines Systems 507 übrigens beliebig, jedoch so, daß sich unter ihnen sechs Koordinaten der absoluten Lage finden, so können wir bei vorhandener Kenntnis der auf das System wirkenden Kräfte, aber ohne Kenntnis des inneren Zusammenhangs des Systems doch stets sechs der Bewegungsgleichungen des Systems angeben.

Folgerung 2. Treffen wir insbesondere über die Koordi- 508 naten der absoluten Lage dieselbe Verfügung wie in 402 und wenden den Lehrsatz zunächst an auf die Richtung der 3 Koordinaten cc₁ ce₂ ce₃, so ergibt er uns die drei Gleichungen:

=2-w3i.

3v—l

mv x3v-l

3v-2

Diese drei Gleichungen, welche sich dahin interpretieren lassen, daß der Schwerpunkt sich so bewegt, als sei die ganze Masse des Systems in ihm vereinigt, und griffen an ihm alle Elementarkräfte an, bilden das sogenannte erweiterte Prinzip des Schwerpunkts. (Vergleiche 404.)

Folgerung 3. Angewandt auf die Richtung der drei Ko- 509 ordinaten der absoluten Lage co₁ w₂ co₃ ergibt der Lehrsatz die drei Gleichungen:

X3v-1 X3v—2) —2r (X3v-2^i 1

L 11

171 v    x3v—2    x'3v—2x3v )    >^>v (x8v

3v -1

3r-l

X3v-1 ^-3)'—2)

3r—2

x3v-2 ^ 3v )

X3v

X3v x3v-l) — 2*

v—1

-^-3v

X3v ^ 3i'—l) •

15*

Diese drei Gleichungen bilden das sogenannte erweiterte Prinzip der Flächen. (Vergleiche 406.)

Energie, Arbeit.

510

511

512

Definition. Die Vermehrung der Energie eines Systems vorgestellt als Folge einer auf das System ausgeübten Kraft, wird die Arbeit jener Kraft genannt.

Die Arbeit, welche eine Kraft in bestimmter Zeit leistet, wird gemessen durch die Zunahme der Energie des Systems, auf welches sie wirkt, in jener Zeit.

Eine etwaige Abnahme der Energie infolge des Vorhandenseins der Kraft rechnen wir als negative Zunahme. Die Arbeit einer Kraft kann also positiv oder negativ sein.

Folgerung. Während die auf ein System wirkende Kraft eine gewisse Arbeit leistet, leistet die von dem System ausgeübte Gegenkraft stets die entgegengesetzt gleiche Arbeit.

Denn die letztere Arbeit ist gleich der Zunahme der Energie desjenigen Systems, mit welchem das betrachtete gekoppelt ist; die Summe der Energien beider Systeme aber ist konstant.

Lehrsatz. Die Arbeit, welche die auf ein System wirkende Kraft während der Durchlaufang eines Bahnelements leistet, ist gleich dem Produkt aus der Länge des Elements und der Komponente der Kraft in seiner Richtung.

Denn die Zunahme dE der Energie während des Zeitelements dt, in welchem das Bahnelement ds zurückgelegt wird, ist (283):

dE=mvv dt = m v ds

Nach 280 ist aber v die Komponente der Beschleunigung des Systems in Richtung seiner Bahn, also nach 504 mv die Komponente der Kraft in Richtung der Bahn.

Anmerkung 1. Die in Rede stehende Arbeit ist mit demselben Rechte auch gleich dem Produkt aus der Größe der

Kraft und der in ihre Richtung fallenden Komponente des Bahnelements.

Anmerkung 1. Erleiden während der Durchlaufung des 511 • Bahnelements ds die Koordinaten pQ die Änderungen dpe, so ist die Arbeit der wirkenden Kraft dargestellt durch die Gleichung:

dE=^>ß jPq dpę 1

Denn die Komponente der Kraft in Richtung des Bahnelements ist gleich (247):

Folgerung 1. Die Kraft, welche auf ein System wirkt, 515 leistet positive oder negative Arbeit, je nachdem der Winkel, welchen sie mit der Geschwindigkeit des Systems bildet, kleiner oder größer als ein rechter ist. Steht die Kraft senkrecht auf der Bewegungsrichtung, so leistet sie keine Arbeit.

Folgerung 2. Eine Kraft, welche auf ein ruhendes Sy- 516 stem wirkt, leistet keine Arbeit.

Gleichgewicht, Statik.

Definition. Wir sagen, zwei oder mehrere Kräfte, welche 517 auf dasselbe System wirken, halten sich das Gleichgewicht, wenn eine jede von ihnen den Einfluß der anderen auf hebt, d. h. wenn unter dem Einfluß beider oder aller jener Kräfte das System sich so bewegt, als wäre keine von ihnen vorhanden.

Lehrsatz. Zwei oder mehrere Kräfte halten sich das 518 Gleichgewicht’, wenn ihre Summe senkrecht steht auf jeder möglichen (virtuellen) Verrückung des Systems aus seiner augenblicklichen Lage, — und umgekehrt.

Der Satz folgt unmittelbar aus 471 und 488.

Symbolischer Ausdruck. Bezeichnen wir mit P', P" usw. die Komponenten der einzelnen Kräfte nach den pe, mit §pe die Änderungen der pQ für irgend eine mögliche Verrückung des Systems, so können wir die Forderung des vorstehenden Satzes in die Gestalt der symbolischen Gleichung kleiden:

519

520

521

522

523

(P'Q -I- Pq + usw.) §pQ = 0    .

i

Vergleiche 393, 501.

Der vorstehende Lehrsatz enthält das

Anmerkung.

Prinzip der virtuellen Geschwindigkeiten (Verrückungen, Momente), die Gleichung 519 die gewöhnliche analytische Fassung desselben.

Folgerung 1. Halten sich mehrere Kräfte an einem System das Gleichgewicht, so verschwindet die Summe der von den Kräften geleisteten Arbeiten hei jeder möglichen (virtuellen) Verrückung des Systems aus seiner augenblicklichen Lage, — und umgekehrt. (Prinzip der virtuellen Arbeit.)

Denn schreiben wir die Gleichung 519 in der Form:

usw. = 0    ,

2* p'q §Pq + Pq öPq +

i    i

so ergibt sich nach 514 die Behauptung.

Folgerung 2. Halten sich zwei oder mehr Kräfte das Gleichgewicht an einem System, so verschwindet die Summe ihrer Komponenten in Richtung jeder möglichen Bewegung des Systems.

Folgerung 3. Halten sich zwei oder mehr Kräfte das Gleichgewicht an einem System, so verschwindet die Summe ihrer Komponenten nach jeder freien Koordinate des Systems.

Lehrsatz. Halten sich zwei oder mehr Kräfte das Gleichgewicht an einem System, so verschwindet die Summe ihrer Komponenten in Richtung einer jeden Koordinate der abso-

luten Lage, welches auch immer der innere Zusammenhang des Systems sein möge.

Anmerkung. Auch ohne Kenntnis des inneren Zusammen- 525 hangs eines Systems können wir demnach doch stets 6 notwendige ßedingungsgleichungen für sein Gleichgewicht angeben. Wählen wir als Koordinaten der absoluten Lage die 6 Größen al a₂ a₃ co₁ co₂ co₃, welche wir in 402 einführten, so liefert uns der vorige Lehrsatz diejenigen 6 Gleichungen, welche dem Prinzip des Schwerpunkts und der Flächen entsprechen, und welche Lagrange im 3. Abschnitt § 1 und § 2 des ersten Teils der Mécanique analytique behandelt.

Bemerkung 1. Halten sich zwei oder mehr Kräfte in 526 einer bestimmten Lage des Systems das Gleichgewicht bei einer gewissen Geschwindigkeit, so halten sich dieselben Kräfte in derselben Lage das Gleichgewicht auch bei jeder anderen Geschwindigkeit.

Denn die Bedingung des Gleichgewichts enthält nicht die wirkliche Geschwindigkeit des Systems.

Bemerkung 2. Halten sich zwei oder mehr Kräfte das 527 Gleichgewicht an einem ruhenden System, so beharrt das System in seinem Zustand der Kühe; und umgekehrt: Beharrt ein System trotz des Angriffs zweier oder mehrerer Kräfte in der Ruhe, so halten sich die Kräfte an dem System das Gleichgewicht.

Folgerung 1. Zwei Kräfte, welche, gleichzeitig an dem- 528 selben ruhenden System angreifend, die Kühe des Systems nicht stören, haben entgegengesetzt gleiche Komponenten in Richtung jeder möglichen Bewegung des Systems.

Folgerung 2. Zwei Kräfte, welche, nacheinander auf das- 520 selbe ruhende System zugleich mit denselben andern Kräften wirkend, das System in Ruhe lassen, haben gleiche Komponenten in Richtung jeder möglichen Bewegung des Systems.

Anmerkung. Auf den letzten beiden Folgerungen beruht 530 die statische Vergleichung der Kräfte.

Maschinen und innere Kräfte.

531

Definition. Ein System, dessen Massen als verschwindend klein betrachtet werden gegen die Massen der Systeme, mit welchen es gekoppelt ist, wird eine Maschine genannt.

Eine Maschine ist also hinsichtlich ihres Einflusses auf die Bewegung der übrigen Systeme vollständig dargestellt durch ihre Bedingungsgleichungen; die Kenntnis des Ausdrucks der Energie der Maschine in ihren Koordinaten ist nicht erforderlich.

Einfach heißt eine Maschine, welche nur einen Grad der Bewegungsfreiheit hat.

532

Lehrsatz. Solange eine Maschine sich mit endlicher Geschwindigkeit bewegt, halten sich die auf die Maschine wirkenden Kräfte beständig das Gleichgewicht.

Denn ergäben diese Kräfte eine Komponente in Richtung irgend einer möglichen Bewegung der Maschine, so würde die Komponente der Beschleunigung in dieser Richtung wegen der verschwindenden Masse unendlich groß (504).

533

Folgerung. Zwischen den Komponenten der auf eine Maschine wirkenden Kräfte nach ihren Koordinaten besteht eine Anzahl homogener linearer Gleichungen, deren Zahl gleich der Zahl der Bewegungsfreiheiten der Maschine ist. Eine einfache Maschine wird vertreten durch eine einzige . homogene lineare Gleichung zwischen den auf ihre Koordinaten wirkenden Kräften.

534

Bemerkung 1. Wird eine Maschine nach allen ihren Koordinaten gekoppelt mit zwei oder mehr materiellen Systemen, so kann die auf diese Art hergestellte mechanische Verbindung zwischen den letzteren analytisch dargestellt werden durch einen Satz homogener linearer Differentialgleichungen zwischen den Koordinaten der verbundenen Systeme. Denn wir können in den Bedingungsgleichungen der Maschine die Koordinaten derselben ersetzen durch die ihnen gleichen Koordinaten der verbundenen Systeme.

Umgekehrt können wir daher auch jeden analytisch gegebenen Satz homogener linearer Differentialgleichungen zwischen

den Koordinaten zweier oder mehrerer Systeme physikalisch deuten als eine mechanische Verbindung der angegebenen Art, welche wir bezeichnen als eine Koppelung jener Systeme durch die Maschine.

Folgerung. Sind zwei oder mehr Systeme durch eine 585 Maschine gekoppelt, so ist die von jedem der Systeme geleistete Arbeit engegengesetzt gleich der Summe der von den übrigen Systemen geleisteten Arbeit. Bei der Koppelung der Systeme mittels einer Maschine wird also Arbeit nicht gewonnen.

Denn die von den Systemen ausgeübten Kräfte halten sich an der Maschine das Gleichgewicht, die Summe der von ihnen geleisteten Arbeit ist also Null.

Bemerkung 2. Ein jedes materielle System kann auf 536 mannigfaltige Art aufgefaßt werden als bestehend aus zwei oder mehr Systemen, welche durch Maschinen gekoppelt sind. Denn teilen wir die Massen des Systems in mehrere Teile, und sind die p'Q Koordinaten des ersten Teiles, die p'f Koordinaten des zweiten Teiles, usw., so können wir diejenigen Bedingungsgleichungen des vollständigen Systems, welche nur die p'Q enthalten, betrachten als Bedingungsgleichungen des ersten Teilsystems, diejenigen Gleichungen, welche nur die /»"enthalten, als Bedingungsgleichungen des zweiten Teilsystems, usw., während diejenigen Bedingungsgleichungen des vollständigen Systems, welche die /?', p'f usw. gemischt enthalten, aufgefaßt werden als die Gleichungen der die Teilsysteme koppelnden Maschinen.

Die Kräfte, welche bei dieser zulässigen, wenn auch willkürlichen Auffassung auf die Teilsysteme von den sie koppelnden Maschinen ausgeübt werden, bezeichnen wir als innere Kräfte des Systems.

Folgerung 1. Ein jeder Satz innerer Kräfte kann einen 537 Teil des Zusammenhanges eines Systems ersetzen. Lassen wir nämlich diejenigen Bedingungsgleichungen des ganzen Systems fort, welche die Maschinen zwischen den Teilsystemen darstellen, behalten aber die von den Maschinen ausgeübten Kräfte bei, so bewegt sich das System wie vorher.

Folgerung 2. Der gesamte Zusammenhang eines Systems kann aufgelöst werden in und ersetzt werden durch eine Anzahl von Elementarkräften, welche auf die einzelnen materiellen Punkte des Systems wirken.

538

539

540

Denn wir können die einzelnen Punkte als Teilsysteme betrachten und das ganze System als Gesamtheit dieser durch Maschinen gekoppelten Teilsysteme.

Folgerung 3. Die inneren Kräfte, welche den Zusammenhang eines Systems vollständig oder teilweise ersetzen, halten sich, an dem ursprünglichen System angreifend, beständig das Gleichgewicht.

Denn sie halten sich nach 532 das Gleichgewicht an den Maschinen, welche Teile des ursprünglichen Systems bilden.

Anmerkung. Diese letztere Überlegung ist es, mit deren Hilfe in der gewöhnlichen Entwickelung der Mechanik der Übergang von den Gesetzen des Gleichgewichts (dem Prinzip der virtuellen Geschwindigkeiten) zu den Gesetzen der Bewegung (dem d’Alembert sehen Prinzip) gemacht wird.

Messung der Kräfte.

541

Aus unseren Überlegungen ergeben sich ' im ganzen drei unabhängige Methoden, um diejenigen Komponenten der Kräfte unmittelbar zu messen, welche überhaupt Einfluß auf die Erscheinungen haben. Durch Anwendung einer jeden dieser drei Methoden können auch die Kräfte aus Rechnungsgrößen zu Gegenständen der unmittelbaren Erfahrung gemacht werden, d. h. zu Zeichen für bestimmte Verbindungen sinnlicher Empfindungen und Wahrnehmungen.

Die erste Methode bestimmt die Kraft aus den Massen und Bewegungen des Systems, von welchem sie ausgeübt wird. Physikalisch wird diese Methode die Messung der Kraft nach ihrem Ursprünge genannt. Sie wird z. B. angewandt in der Annahme, daß gleich gespannte Federn, gleiche Mengen explodierenden Pulvers usw. unter übrigens gleichen Verhältnissen gleiche Kräfte ausüben.

Die zweite Methode bestimmt die Kraft aus den Massen 543 und der Bewegung des Systems, auf welches sie wirkt. In der Physik wird diese Methode als die dynamische Messung der Kraft bezeichnet. Sie wurde z. B. von Newton angewandt, als er die auf die Planeten wirkende Kraft aus deren Bewegung ableitete.

Die dritte Methode bestimmt die Kraft, indem sie sie mit 544 bekannten Kräften ins Gleichgewicht bringt. Diese Methode wird die statische genannt. Auf ihr beruhen z. B. alle Kräftemessungen mit der Wage.

Angewandt zur Bestimmung einer und derselben Kraft 545 unter Beobachtung der von uns abgeleiteten Beziehungen müssen aber diese drei verschiedenen Methoden unter allen Umständen zu dem gleichen Resultate führen, wenn anders das Grundgesetz, auf welches sich unsere Überlegungen stützen, wirklich alle mögliche mechanische Erfahrung richtig zusammenfaßt.

Abschnitt 5. Systeme mit verborgenen Massen.

I. Cyklische Bewegung.

Definition 1. Cyklische Koordinate eines Systems heißt eine 546 freie Koordinate des Systems dann, wenn die Länge einer unendlich kleinen Verrückung des Systems nicht von dem Werte der Koordinate, sondern nur von dem ihrer Änderung abhängt.

Anmerkung 1. Es gibt cyklische Koordinaten. Denn 547 es genügt z. B. eine rechtwinklige Koordinate des Systems, wenn sie frei ist, der Voraussetzung. Cyklische Koordinaten können stets eingeführt werden, wenn unendlich kleine Verrückungen des Systems möglich sind, welche nicht eine Änderung der Massenverteilung im Raume zur Folge haben, sondern nur eine cyklische Vertauschung der Massen unter sich.

Daher der Name. Es können aber auch unter anderen Verhältnissen cyklische Koordinaten auftreten, wie es das Beispiel der rechtwinkligen Koordinaten zeigt.

is

549

550

Anmerkung 2. Die Energie eines Systems hängt nicht ab von dem Werte seiner cyklischen Koordinaten, sondern nur von deren Änderungsgeschwindigkeiten mit der Zeit.

Definition 2. Cyklisches System heißt ein materielles System, dessen Energie mit hinreichender Annäherung als eine homogene quadratische Funktion der Anderungsgeschwindigkeiten seiner cyklischen Koordinaten erscheint.

Ein cyklisches System heißt ein monocyklisches, di-cyklisches, usw., je nachdem es eine, zwei, usw. cyklische Koordinaten besitzt.

In einem cyklischen System werden die nicht cyklischen Koordinaten auch die Parameter des Systems genannt; die Anderungsgeschwindigkeiten der cyklischen Koordinaten nennen wir auch die cyklischen Intensitäten.

Anmerkung 1. Die Bedingung, deren angenäherte Erfüllung für cyklische Systeme erfordert wurde, kann mit Strenge überhaupt nicht erfüllt sein, abgesehen von dem Falle, daß das System nur cyklische Koordinaten besitzt.

Denn ist eine Größe Koordinate eines Systems, so bedingt ihre Änderung eine Verrückung mindestens eines materiellen Punktes des Systems; die Energie dieses Punktes ist also quadratische Funktion der Änderungsgeschwindigkeit jener Koordinate, und für die Energie des Systems gilt demnach das gleiche. Die Energie eines jeden Systems enthält daher in Strenge notwendig die Änderungsgeschwindigkeiten aller Größen, welche überhaupt Koordinaten des Systems sind, also auch die Energie eines cyklischen Systems die Änderungsgeschwindigkeiten seiner Parameter.

Anmerkung 2. Jene Bedingung für das Auftreten eines cyklischen Systems kann aber mit jedem beliebigen Grade der Annäherung erfüllt sein, sobald das System überhaupt cyklische Koordinaten besitzt.

Sie ist nämlich erfüllt in dem Falle, daß die Teile der Energie, welche die Änderungsgeschwindigkeiten der Para

meter enthalten, verschwinden gegen die Teile, welche von den cyklischen Intensitäten abhängen, und dies kann stets dadurch erreicht werden, daß die Ander ungsgeschwindigkeiten der Parameter hinreichend klein, oder daß die cyklischen Intensitäten hinreichend groß angenommen werden. Wie groß diese oder wie klein jene angenommen werden müssen, damit ein bestimmter Grad der Annäherung erzielt wrerde, hängt ab von den besonderen Werten der Koeffizienten im Ausdruck der Energie.

Im folgenden wird stets vorausgesetzt, daß die Bedingung der cyklischen Systeme mit so großer x4nnäherung erfüllt sei, daß wir so reden können, als sei sie genau erfüllt.

Bezeichnung. Wir bezeichnen die cyklischen Koordinaten 552 des Systems mit pe, mit r ihre Zahl, die Momente des Systems nach den pe mit q^. Die r nicht cyklischen Koordinaten des Systems mögen mit pG, die Momente nach ihnen mit qe bezeichnet werden. Die Masse des cyklischen Systems sei nt.

Die äußeren Kräfte, welche auf das System wirken, mögen nach den pQ die Komponenten Pe, nach den die Komponenten iße haben. Die Kräfte, welche das System seihst ausübt, haben dann nach den pe, beziehlich den pe Komponenten, welche nach 467 mit P'e, beziehlich iß' zu bezeichnen sind.

Folgerung 1. Die Energie © eines cyklischen Systems 553 kann geschrieben werden in den Formen (286):

1 A, r

®⁼t m 2-2* v Mv

i i r

fiçcr (jo- 5

1 1

in welchen die ae„ und hQa Funktionen allein der pe, nicht aber der sind (548), übrigens aber dieselben Eigenschaften und denselben Zusammenhang haben, wie die aQa und bQa (59ff.).

Betrachten wir © als Funktion der pQ und der pff, wie es die erste Form darstellt, so möge sein partielles Differential mit dp© bezeichnet werden; betrachten wir aber © als Funk-

tion der pQ und der q^, wie es die zweite Form darstellt, so möge sein partielles Differential mit bezeichnet werden (vergl. 288).

554

chungen :

Folgerung 2. Für alle Werte des o gelten die Glei

dPe

a) (289)

b) (290)

à<fr.

'Pt=⁰    »

0)

d>

dPe

= o .

Diese Gleichungen enthalten die charakteristischen Merkmale der cyklischen Systeme, und auf ihnen beruhen die besonderen Eigentümlichkeiten derselben.

Die Gleichung b) wiederholt die Bemerkung (550), daß ein Widerspruch besteht zwischen der Annahme, daß die Form der Energie genau die angenommene sei und daß gleichwohl die pe mit der Zeit veränderliche Größen seien. Wir haben die Gleichung gemäß 551 dahin zu deuten, daß, wenn CS sehr angenähert die gewählte Gestalt hat, die pQ als langsam sich verändernde Größen betrachtet werden müssen.

Kräfte and Kräftefunktion.

Aufgabe 1. Die Kraft P'e zu bestimmen, welche das cyklische System nach seinem Parameter pe ausübt.

Zufolge der Gleichungen 493c, d und 554a erhalten wir:

a)

dPo

oder in entwickelter Form:

c)

Folgerung. Die Kräfte eines cyklischen Systems nach 556 seinen Parametern sind unabhängig von den Anderungs-geschwindigkeiten dieser Parameter.

Vorausgesetzt ist jedoch immer, daß diese Anderungs-geschwindigkeiten nicht dasjenige Maß übersteigen, welches erlaubt, das System als ein cyklisches zu behandeln. So sind in der Elektrodynamik die Anziehungen zwischen Magneten zwar unabhängig von der Geschwindigkeit ihrer Bewegung, aber doch nur so lange, als diese Geschwindigkeit weit unterhalb der Lichtgeschwindigkeit liegt.

Aufgabe 2. Die Kraft ^ zu bestimmen, welche das 557 cyklische System nach seiner cyklischen Koordinate pe ausübt. Zufolge der Gleichungen 493c und 554c erhält man:

Entwickelt, hat man, da (270)

b>

b

•Ä-

<l| *

5 &

% = -m^Ciçaÿ 1

Folgerung. Wirkt auf ein cyklisches System eine äußere 558 Kraft, deren Komponenten nach den die sind, so ändern sich die cyklischen Momente nach den Gleichungen:

q? —

Lehrsatz.

Or

K. -

■Äb

ë i q/ £ .«§•

Wenn auf die cyklischen Koordinaten eines 559

cyklischen Systems keine Kräfte wirken, so sind die sämtlichen cyklischen Momente des Systems konstant in der Zeit.

Denn sind die $ße gleich Null, so ergeben die vorigen Gleichungen durch Integration

= constans .

560

561

Definition. Eine Bewegung eines cyklischen Systems, bei welcher seine cyklischen Momente konstant bleiben, heißt eine adiabatische Bewegung. Eine Bewegung eines cyklischen Systems, bei welcher seine cyklischen Intensitäten konstant bleiben, heißt eine isocyklische Bewegung.

Adiabatisch, beziehlich isocyklisch wird das cyklische System selbst genannt, wenn es gezwungen ist, keine anderen Bewegungen auszuführen, als nur adiabatische, beziehlich isocyklische.

Anmerkung 1. Die analytische Bedingung der adiabatischen Bewegung ist diese, daß für alle o:

•CT

q₀ = constans

sei. Die analytische Bedingung der isocyklischen Bewegung ist diese, daß für alle o:

|)₀ = constans

'S

562

Anmerkung 2. Die Bewegung eines cyklischen Systems ist eine adiabatische, sobald auf die cyklischen Koordinaten dauernd keine Kräfte wirken. Die Bewegung eines cyklischen Systems ist eine isocyklische, wenn es nach den cyklischen Koordinaten mit anderen Systemen gekoppelt ist, welche konstante Änderungsgeschwindigkeit der gekoppelten Koordinaten besitzen. Damit die Bewegung eine isocyklische sei, müssen also geeignete Kräfte auf die cyklischen Koordinaten wirken.

Definition. Lassen sich die Kräfte eines cyklischen Systems nach seinen Parametern darstellen als die partiellen

Differentialquotienten einer Funktion der Parameter und konstanter Größen, nach den Parametern, so heißt diese Funktion die Kräftefunktion des cyklischen Systems.

Lehrsatz. Sowohl für die adiabatische, als auch für die isocyklische Bewegung besteht eine Kräftefunktion.

Denn für die adiabatische Bewegung folgt aus 555 c:

3 t r

— »tVr

dPe^x

Pr

211t

a)

und hierin sind die Größen q„ qT / ni Konstanten und die bCTr Funktionen lediglich der Parameter.

Entsprechend folgt für die isocyklische Bewegung aus

555b:

ha

Qj

Q

-M"

und hierin sind wiederum die Größen mpöpr Konstanten und die Q(jr Funktionen lediglich der Parameter.

Anmerkung. Die Kräftefunktion für die adiabatische ^65 und für die isocyklische Bewegung unterscheiden wir auch wohl als adiabatische bez. isocyklische Kräftefunktion. Es gibt weitere Bewegungsformen des Systems, für welche Kräftefunktionen bestehen, aber nicht für jede beliebige Bewegung besteht eine solche.

Zusatz 1. Die Kräftefunktion eines adiabatischen Systems 566 ist gleich der Abnahme der Energie des Systems, gerechnet von einem willkürlich gewählten Anfangszustand aus. Sie ist daher auch gleich einer willkürlichen, d. h. durch die Definition nicht bestimmten Konstanten, vermindert um die Energie des Systems.

Zusatz 2. Die Kräftefunktion eines isocyklischen Systems 567 ist gleich der Zunahme der Energie des Systems, gerechnet von einem willkürlich gewählten Anfangszustand aus. Sie ist daher auch gleich der Energio des Systems, vermindert um eine willkürliche Konstante.

16

Hertz, Mechanik. 2. Aufi.

Reziproke Eigentümlichkeiten.

56S

Lehrsatz la. Wenn in einem adiabatischen System eine Vergrößerung des Parameters pu die Komponente der Kraft nach dem anderen Parameter px steigert, so steigert auch umgekehrt eine Vergrößerung von px die Kraft nach pfl. Und zwar ist bei unendlich kleiner Vergrößerung das quantitative Verhältnis zwischen Ursache und Wirkung in beiden Fällen das gleiche.

Denn in einem adiabatischen System können wir die pe als die hinreichenden unabhängigen Bestimmungsstücke der P'Q betrachten, und es liefert uns daher die für adiabatische Systeme gültige Gleichung 564a:

dP[ ₌ dP^

<3/V dpx

welches die Behauptung ist.

569

Lehrsatz lb. Wenn in einem isocyklischen System eine Vergrößerung des Parameters pfl die Komponente der Kraft nach dem anderen Parameter px steigert, so steigert auch umgekehrt eine Vergrößerung von px die Kraft nach pfl. Und zwar ist bei unendlich kleiner Vergrößerung das quantitative Verhältnis zwischen Ursache und Wirkung in beiden Fällen das gleiche.

Denn auch in einem isocyklischen System können wir die pQ als hinreichende unabhängige Bestimmungsstücke der P'e ansehen, und es liefert uns daher die für isocyklische Systeme gültige Gleichung 564b:

dP[₌dP^

öp,t dpx

welches die Behauptung ist.

Es ist zu bemerken, daß diese Gleichung von der vorigen dem Sinne nach verschieden, wenn auch der Form nach identisch ist.

Anmerkung. Damit die vorstehenden beiden Lehrsätze eine physikalische Anwendung gestatten, genügt es, daß von

dem cyklischen System zwei Parameter und die Kräfte nach diesen der unmittelbaren Beobachtung zugänglich seien.

Lehrsatz 2 a. Wenn in einem cyklischen System eine 571 Vermehrung des cyklischen Momentes bei festgehaltenen Parametern eine Steigerung der Kraft nach dem Parameter px zur Folge hat, so ruft die adiabatische Vergrößerung des Parameters px eine Verminderung der cyklischen Intensität p/4 hervor, und umgekehrt. Und zwar ist bei unendlich kleiner Änderung das Größenverhältnis zwischen Ursache und Wirkung in beiden Fällen das gleiche.

Denn wir haben:

P'x=-

dpx

(555 a) ,

öq,t

(290)

also ist

Qj

Qj

fl*

von welcher Gleichung der Lehrsatz die richtige Interpretation ist.

Folgerung. Wenn in einem monocyklischen System eine 572 Vermehrung der cyklischen Intensität p bei festgehaltenen Parametern eine Steigerung der Kraft nach dem Parameter px zur Folge hat, so ruft die adiabatische Vergrößerung des Parameters px eine Verminderung der cyklischen Intensität p hervor, und umgekehrt.

Denn in einem monocyklischen System geht Vermehrung der cyklischen Intensität und Vermehrung des cyklischen Momentes bei festgehaltenen Parametern stets Hand in Hand.

Für ein monocyklisches System ist nämlich

q = îîîa£ ,

worin a eine notwendig positive (62) Funktion der Parameter des Systems ist.

Lehrsatz 2b. Wenn in einem cyklischen System eine 573 Vermehrung der cyklischen Intensität p/t bei festgehaltenen

16*

Parametern eine Steigerung der Kraft nach dem Parameter px zur Folge hat, so ruft die isocyklische Vergrößerung des Parameters px eine Vermehrung des cyklischem Moments q^ hervor, und umgekehrt. Und zwar ist bei unendlich kleiner Änderung das Größenverhältnis zwischen Ursache und Wirkung in beiden Fällen das gleiche.

Denn wir haben:

p,-a-ß

dpi

(555 a) ,

(289)

also ist:

»)

dP[ __ dq/t dp? dPi

von welcher Gleichung der Lehrsatz den Ausdruck in Worten gibt.

574

Folgerung. Wenn in einem monocyklischen System eine Vermehrung des cyklischen Momentes q bei festgehaltenen Parametern eine Steigerung der Kraft nach dem Parameter px zur Folge hat, so ruft die isocyklische Vergrößerung des Parameters px eine Vermehrung des cyklischen Momentes q hervor, und umgekehrt.

Der Grund ist derselbe wie in 572.

575

Anmerkung. Die vorstehenden Lehrsätze 2 a und 2 b gestatten eine physikalische Anwendung dann, wenn es möglich ist, neben einer cyklischen Intensität auch das entsprechende cyklische Moment unmittelbar, d. h. ohne Kenntnis der Koeffizienten ae<r, zu bestimmen. Dies kann eintreten. In der Elektrostatik entsprechen z. B. die Potentialdifferenzen der Leiter den cyklischen Intensitäten, die Elektrizitätsmengen der Leiter den cyklischen Momenten, und beide Größen können unabhängig voneinander unmittelbar bestimmt werden.

Die Folgerungen verlangen nur die unmittelbare Bestimmbarkeit entweder der cyklischen Intensität oder des cyklischen Momentes.

Lehrsatz 3 a. Wenn in einem cyklischen System eine auf die cyklische Koordinate ausgeübte Kraft ein zeitliches Anwachsen der Kraft nach dem Parameter px zur Folge hat, so

ruft die adiabatische Vergrößerung des Parameters px eine Verminderung der cyklischen Intensität hervor, und umgekehrt. Und zwar ist bei unendlich kleiner Änderung das Größenverhältnis zwischen Ursache und Wirkung in beiden Fällen das gleiche.

Denn denken wir uns in der linken Seite der Gleichung 571a die Änderungen dP'x und öq„ entstanden in der Zeit dt, dividieren wir den Differentialquotienten im Zähler und Nenner durch diese Zeit dt, und beachten die Gleichung 558, indem wir die Änderung öq^ als Wirkung der Kraft ^ ansehen, so folgt:

■ts-

àpi

von welcher Gleichung der Lehrsatz den vervollständigten Ausdruck in Worten gibt.

Lehrsatz 3b. Wenn in einem cyklischen System eine 577 Vermehrung der cyklischen Intensität bei festgehaltenen Parametern eine Steigerung der Kraft nach dem Parameter px zur Folge hat, so ruft die isocyklische Vergrößerung des Parameters px eine Verminderung der Kraft des Systems nach der cyklischen Koordinate hervor, und umgekehrt. Und zwar ist bei unendlich kleiner Änderung das Größenverhältnis zwischen Ursache und Wirkung in beiden Fällen das gleiche.

Denken wir uns in der rechten Seite der Gleichung 573a die Änderungen öq^ und dpx entstanden in der Zeit dt, so können wir setzen:

dt (557 a) ,

d

dpx — PX ’ dt —px dt ;

•es wird also jene Gleichung: welche Aussage der Lehrsatz in Worten wiedergibt.

Anmerkung. Die Lehrsätze 3 a und 3 b gestatten die physikalische Anwendung dann, wenn neben einer cyklischen Intensität auch die entsprechende cyklische Kraftkomponente der unmittelbaren Beobachtung zugänglich ist. Dies trifft zum Beispiel für die Elektrodynamik zu, und man versinnlicht sich die Bedeutung der Lehrsätze 3 a und 3 b am besten, indem man sie in die Redeweise dieses Zweiges der Physik übersetzt.

578

579

Energie und Arbeit.

Lehrsatz 1. Bei der isocyklischen Bewegung eines cyklischen Systems ist die Arbeit, welche das System durch die Koppelung seiner cyklischen Koordinaten aufnimmt, beständig das Doppelte der Arbeit, welche es durch die Koppelung seiner Parameter abgibt.

Bei der isocyklischen Bewegung ist für alle p gleich Null, also nach 514 und 557 c die Arbeit, welche die auf die cyklischen Koordinaten wirkenden äußeren Kräfte in der Zeiteinheit leisten, gleich:

1 111

Die Arbeit aber, welche das System durch seine Kräfte nach den Parametern leistet, berechnet auf die Zeiteinheit,, wird gefunden mit Hilfe von 555b gleich:

2e -^qPq ~ 2m22a2rö^    •

Die Summen in beiden Gleichungen sind bis auf die Bezeichnung identisch, und die Glieder der ersten Gleichung sind; daher doppelt so groß als die der letzten.

Folgerung. Wenn ein isocyklisches System durch die Kräfte nach seinen Parametern Arbeit leistet, so wächst gleichzeitig die Energie des Systems, und zwar um den Betrag der geleisteten Arbeit; wenn ein isocyklisches System durch die-

Kräfte nach seinen Parametern Arbeit aufnimmt, so nimmt gleichzeitig die Energie des Systems ab, und zwar um den Betrag der aufgenommenen Arbeit.

Denn die Zunahme der Energie des Systems ist gleich dem Unterschiede der von den cyklischen Koordinaten aufgenommenen und der durch die Parameter abgegebenen Arbeit.

Anmerkung. Wenn ein adiabatisches System durch die 581 Kräfte nach seinen Parametern Arbeit leistet, so nimmt gleichzeitig die Energie des Systems ab, und zwar um den Betrag der geleisteten Arbeit; wenn ein adiabatisches System durch die Kräfte nach seinen Parametern Arbeit aufnimmt, so wächst gleichzeitig die Energie des Systems, und zwar um den Betrag der aufgenommenen Arbeit.

Denn in einem adiabatischen System wird durch die cyklischen Koordinaten keine Arbeit aufgenommen (562).

Lehrsatz 2. Bei der adiabatischen Verrückung eines 582 cyklischen Systems erleiden die cyklischen Intensitäten stets Änderungen in solchem Sinne, daß die von diesen Änderungen hervorgerufenen Kräfte nach den Parametern bei der Verrückung negative Arbeit leisten.

Es mögen bei der Verrückung die pQ die Änderungen §pe und die Intensitäten pß die Änderungen erleiden. Fänden nur die letzteren Änderungen statt, so würden sich die Kräfte P'e ändern um die Beträge (555b):

SK

und diese ÖPß sind es, welche der Lehrsatz als die von den Äpt hervorgerufenen Kräfte bezeichnet. Die von ihnen geleistete Arbeit ist gleich:

1    111 re

x V

1 l

583

5S4

und die Behauptung geht dahin, daß diese Arbeit notwendig negativ sei. Nun ist aber für die adiabatische Bewegung:

also:

r

=    (tarier =

1

r

^ c)affr    d<TT    •

1 1

constans ,

Bilden wir diese Gleichungen für alle r, multiplizieren sie der Reihe nach mit    und addieren, so erhalten wir links den

vorigen Ausdruck für die betrachtete Arbeit, rechts eine notwendig negative Größe (62), womit die Behauptung erwiesen ist.

Folgerung. Bei der adiabatischen Verrückung eines cyklischen Systems erleiden die cyklischen Intensitäten stets Änderungen in solchem Sinne, daß die von diesen Änderungen hervorgerufenen Kräfte die erzeugende Bewegung aufzuhalten streben.

Dies ist in der Tat nur eine andere Form, den vorigen Lehrsatz auszusagen. Sie entspricht der Ausdrucksweise der Lenz sehen Regel in der Elektrodynamik.

Bemerkung. Bei (jeder unendlich kleinen Bewegung eines monocyklischen Systems verhält sich die durch die cyklische Koordinate aufgenommene Arbeit zur Energie des Systems, wie der doppelte Zuwachs, welchen das cyklische Moment des Systems erfährt, zu diesem Moment.

Denn die während der Zeit dt durch die cyklische Koordinate p aufgenommene Arbeit dù ist gleich:

während die Energie (S geschrieben werden kann:

Also ist :

-tz-

CM

!-§■*

welches die Behauptung ist.

Folgerung 1.

Bei beliebiger Bewegung eines mono- 585

cyklischen Systems ist der Ausdruck

dB

das vollständige Differential einer Funktion der Parameter und der cyklischen Intensität des Systems, nämlich der Funktion

2 log —

in welcher q₀ das cyklische Moment für eine willkürlich gewählte Anfangslage bedeutet. Diese Funktion wird auch die Entropie des monocyklischen Systems genannt.

Folgerung 2. Der Wert des für eine beliebige endliche 58G Bewegung eines monocyklischen Systems gebildeten Integrales

dB

hängt nur ab von den Zuständen des Systems in der Anfangsund Endlage der Bewegung, nicht aber von den zwischen beiden Lagen durchlaufenen Zuständen. Der Wert jenes Integrales wird Null für jede Bewegung, welche das System zu seinem Anfangszustand zurückführt.

Denn der Wert jenes Integrales ist gleich dem Unterschiede der Entropie im Anfangs- und im Endzustände der Bewegung.

Folgerung 3. Bei der adiabatischen Bewegung eines 587 monocyklischen Systems bleibt die Entropie konstant. Denn für die adiabatische Bewegung ist also auch dB gleich Null. Die adiabatische Bewegung eines monocyklischen Systems wird deshalb auch eine isentropisclie genannt.

Zeitintegral der Energie.

Bemerkung 1. Andern sich bei der adiabatischen Be- 588 wegung eines cyklischen Systems die cyklischen Koordinaten pe

589

590

in einer gewissen endlichen Zeit um die Beträge so ist das Zeitintegral der Energie des Systems, genommen über jene Zeit, gleich

Denn es kann die Energie des Systems geschrieben werden in der Form (286b):

und hierin sind für die adiabatische Bewegung die q^ Konstanten.

Bemerkung 2. Die Variation des Zeitintegrales der Energie eines adiabatischen Systems bei variierter Bewegung des Systems hängt ab erstens von der Variation der Parameter während der ganzen Zeit, über welche das Integral gebildet ist, zweitens aber auch von den in der Zeit konstanten Variationen, welche die in der Zeit konstanten cyklischen Momente des Systems erleiden.

Bezeichnung. Wir bezeichnen im folgenden: mit d eine Variation, bei welcher die cyklischen Momente willkürliche Variationen erleiden,

mit eine Variation, bei welcher die cyklischen Momente keine Variationen erleiden,

endlich mit ^ eine Variation, bei welcher die cyklischen Momente solche Variationen erleiden, daß die Anfangs- und Endwerte der cyklischen Koordinaten unvariiert bleiben.

alle q:

Folgerung. Aus der Bezeichnung folgt von selbst für

also wird nach 588 für beliebige Variationen der Parameter:

àqj'fëdt— g 2? qç <?q

dpJ'& dl = -77-    p p dp Q g

a>

b)

Anmerkung. In einem adiabatischen System ist es stets, 592 und zwar im allgemeinen nur auf eine Weise möglich, bei beliebiger Variation der Parameter den cyklischen Momenten solche Variationen zu erteilen, daß die Anfangs- und Endwerte der cyklischen Koordinaten unvariiert bleiben.

Denn aus der allgemeinen Beziehung:

folgt für ein adiabatisches System, in welchem sich die von den Werten auf die Werte ändern:

QO

dt ,

also bei beliebiger Variation der Parameter und der cyklischen Momente:

dt + —

m

QO

dt .

Diese Gleichungen aber bilden r nicht homogene, lineare Gleichungen für die r Größen dqCT, welche also stets eine und zwar im allgemeinen nur eine Lösung zulassen, insbesondere auch dann, wenn die links stehenden Variationen verschwinden.

Variationen der Art, welche wir mit dp bezeichneten, sind also auch bei beliebiger Variation der Parameter stets möglich.

Lehrsatz. Bei gleicher, übrigens willkürlicher Variation 593 der Parameter während einer gewissen Zeit fällt die Variation

des Zeitintegrals der Energie in einem adiabatischen System entgegengesetzt gleich aus, wenn man das eine Mal die cy-klischen Momente des Systems unvariiert läßt, das andere Mal sie so variiert, daß Anfangs- und Endwerte der cyklischen Koordinaten unvariiert bleiben.

Denn für eine beliebige Variation ist:

8j*&dt=äqJ<£ dt + 2?dt = 8qJ^dt + ^e^Q8qQ ,

also insbesondere für eine Variation, bei welcher Anfangsund Endwerte der unvariiert bleiben.

8pJd£dt=8ąJę£dt + '^iepQ8pqę .

Subtrahiert man hiervon zweimal die Gleichung 591b, so folgt:

sj <&dt

Spftedt ,

welches die Behauptung ist.

Man vergleiche übrigens die verwandten Sätze 96 und 298,

II. Verborgene cyklische Bewegung.

Erläuterungen und Definitionen.

594

1.    Wir sagen, ein System enthalte verborgene Massen, wenn durch die der Beobachtung zugänglichen Koordinaten des Systems noch nicht die Lage aller Massen des Systems bestimmt ist, sondern nur die Lage eines Teiles derselben.

2.    Diejenigen Massen, deren Lagen bei vollständiger Angabe der beobachtbaren Koordinaten des Systems dennoch unbekannt bleibt, heißen verborgene Massen, ihre Bewegungen

verborgene Bewegungen, ihre Koordinaten verborgene Koordinaten. Im Gegensatz dazu heißen die übrigen Massen des Systems sichtbare Massen, ihre Bewegungen sichtbare Bewegungen, ihre Koodinaten sichtbare Koordinaten.

3.    Die Aufgabe, welche der Mechanik in Hinsicht der 596 Systeme mit verborgenen Massen zufällt, ist diese: die Bewegungen der sichtbaren Massen des Systems oder auch die Veränderungen der sichtbaren Koordinaten des Systems vorauszubestimmen trotz der vorhandenen Unkenntnis über die Lage der verborgenen Massen.

4.    Ein System, welches verborgene Massen enthält, unter- 597 scheidet sich von einem System ohne verborgene Massen allein

in Hinsicht unserer Kenntnis des Systems. Alle bisherigen Aussagen unserer Mechanik bleiben daher anwendbar auf Systeme mit verborgenen Bewegungen, sobald wir unter den Massen, Koordinaten usw. die sämtlichen Massen, Koordinaten usw. verstehen. Erst dann werden Änderungen nötig, wenn wir unsere Aussagen auf die sichtbaren Größen beschränken wollen. Die zu stellende Aufgabe kann daher auch dahin formuliert werden, daß anzugeben sei, welche Änderungen die bisherigen Aussagen unserer Mechanik erleiden müssen, wenn unter den Massen, Koordinaten usw. schlechthin nur die sichtbaren Massen, Koordinaten usw. verstanden werden.

5.    Es ist klar, daß die in der einen oder der anderen 598 Form gestellte Aufgabe nicht zu lösen ist ohne gewisse Angaben über den Einfluß, welchen die verborgenen Massen auf

die Bewegung der sichtbaren Massen ausüben. Solche Angaben aber sind möglich. Ein geleitetes System oder ein von Kräften beeinflußtes System kann bereits als ein System mit verborgenen Massen aufgefaßt werden, indem man die unbekannten Massen des leitenden Systems oder des beeinflussenden Systems als verborgene ansieht. Im allgemeinen ist es indessen in diesen Fällen möglich, auch die Massen des leitenden oder des Kräfte ausübenden Systems physikalisch zu erkennen, und die Auffassung derselben als verborgener ist alsdann eine freiwillige. Jetzt indessen fassen wir vorwiegend solche Fälle ins Auge, in welchen die Erkenntnis der ver-

borgenen Massen in der Tat durch keine physikalische Beobachtung möglich ist.

.599

6. In sich zurücklaufende Bewegungen, also cyklische Bewegungen, sind häufig verborgene Bewegungen, da sie, allein bestehend, eine Änderung in der Massenverteilung, also im Anblick der Welt, nicht hervorrufen. So ist die Bewegung einer homogenen Flüssigkeit in einem geschlossenen Gefäße für den Anblick eine verborgene; sie wird erst sichtbar gemacht, wenn ihr durch Einbringen von Staub oder dergleichen die Eigenschaft der streng cyklischen Bewegung geraubt wird.

Umgekehrt sind verborgene Bewegungen fast stets cyklische Bewegungen. Nicht in sich zurücklaufende Bewegungen führen nämlich stets über kurz oder lang eine größere Änderung in der Massenverteilung, also im Anblick der Welt hervor und werden dadurch sichtbar.

(600

7. Auch cyklische Bewegungen können ihre Verborgenheit nicht lange bewahren, sobald wir Mittel gewinnen, auf die -einzelnen cyklischen Koordinaten zu wirken und die cyklischen Intensitäten beliebig abzuändern. Die Mannigfaltigkeit unseres Einflusses auf das System ist in diesem Falle ebenso groß wie die wirkliche Mannigfaltigkeit des Systems, und wir können von jener auf diese schließen. Anders aber verhält es sich, wenn ein freiwilliger unmittelbarer Einfluß auf die cyklischen Koordinaten dauernd ausgeschlossen ist. Dies kann eintreten in adiabatischen cyklischen Systemen (560), und in diesen werden wir daher vorzugsweise die für unsere Beobachtung dauernd verborgenen Bewegungen zu suchen haben.

Auf solche Fälle beschränken wir daher zunächst die Betrachtung der verborgenen Bewegung. Unsere Behandlungsart aber bringt es mit sich, daß wir auch in solchen Fällen die verborgene Bewegung so behandeln, als wäre sie sichtbar, und erst nachträglich untersuchen, wrelche unserer Aussagen anwendbar bleiben trotz der nunmehr vorausgesetzten Verborgenheit.

KonscrratiTe Systeme.

Definition 1. Ein materielles System, welches keine anderen 601 verborgenen Massen enthält, als solche, welche adiabatische cyklische Systeme bilden, heißt ein konservatives System.

Der Name ist veranlaßt durch eine Eigenschaft solcher Systeme, welche später hervortreten wird; er ist zunächst durch den Anschluß an den feststehenden Gebrauch der Mechanik genügend gerechtfertigt.

Anmerkung. Jedes konservative System kann betrachtet 602 werden als bestehend aus zwei Teilsystemen, von denen das eine alle sichtbaren Massen, das andere alle verborgenen Massen des ganzen Systems enthält. Die Koordinaten des sichtbaren Teilsystems, also die sichtbaren Koordinaten des ganzen Systems, sind zugleich die Parameter des verborgenen Teilsystems.

Wir bezeichnen dauernd die Masse des sichtbaren Teilsystems mit m, seine Koordinaten mit pe, seine Momente nach den pe mit qQ. Die Masse des verborgenen Teilsystems werde mit m bezeichnet, seine Koordinaten mit pe, seine Momente nach diesen mit qe.

Definition 2. Unter der Kräftefunktion eines konservativen 603 Systems verstehen wir die Kräftefunktion seines verborgenen Teilsystems (563).

Die Kräftefunktion eines konservativen Systems ist also im allgemeinen gegeben als Funktion der sichtbaren Koordinaten und konstanter Größen, ohne daß der Zusammenhang dieser Konstanten mit den Momenten des cyklischen Teilsystems offen gegeben sei. Die Form dieser Funktion ist durch unsere Betrachtungen keiner Einschränkung unterworfen.

Wir bezeichnen die Kräftefunktion des konservativen Systems dauernd mit U.

Bemerkung. Damit die Bewegung der sichtbaren Massen 604 eines konservativen Systems vollständig bestimmt sei, genügt es, daß seine Kräftefunktion gegeben sei als Funktion seiner sichtbaren Koordinaten, und es macht diese Angabe jede weitere Angabe über die verborgenen Massen des Systems entbehrlich.

Denn aus der Kräftefunktion in der angegebenen Form folgen vollständig die Kräfte, welche das verborgene Teilsystem auf das sichtbare ausübt, und diese Kräfte vertreten vollständig den Einfluß des ersteren auf das letztere (457ff.).

605

Definition 3. Derjenige Teil der Energie eines konservativen Systems, welcher von der Bewegung seiner sichtbaren Massen herrührt, heißt die kinetische Energie des ganzen Systems. Im Gegensatz dazu wird die Energie der verborgenen Massen die potentielle Energie des ganzen Systems genannt.

Die kinetische Energie wird auch wohl als lebendige Kraft bezeichnet; nach einer anderen, älteren Redeweise wird das Doppelte der kinetischen Energie mit diesem Namen belegt.

606

Bezeichnung. Wir bezeichnen die kinetische Energie dauernd mit T. T ist demnach eine homogene quadratische Funktion der pQ, mit gleichem Rechte der qe\ die Koeffizienten dieser Funktion sind Funktionen der pe. Mit dpT bezeichnen wir das partielle Differential von T, sobald wir die pQ und die pe als unabhängig voneinander veränderliche Variabele betrachten, mit dqT aber dann, wenn wir die pe und die qe als unabhängig voneinander veränderliche Variabele betrachten.

Die Energie des verborgenen cyklischen Teilsystems, also die potentielle Energie des ganzen Systems, möge unter Beibehaltung einer bereits benutzten Bezeichnung (553) mit © bezeichnet werden.

607

Anmerkung. Die kinetische und die potentielle Energie eines konservativen Systems unterscheiden sich voneinander nicht durch ihre Natur, sondern nur durch den freiwilligen Standpunkt unserer Auffassung, oder die unfreiwillige Beschränktheit unserer Kenntnis von den Massen des Systems. Dieselbe Energie, welche bei einem gewissen Stand unserer Auffassung oder unserer Kenntnis als potentielle zu bezeichnen ist, ist bei verändertem Stand unserer Auffassung oder Kenntnis als kinetische anzusprechen.

Folgerung 1. Die Energie eines konservativen Systems ist gleich der Summe seiner kinetischen und seiner potentiellen Energie.

Wir bezeichnen die Gesamtenergie des konservativen Systems dauernd mit K und haben alsdann:

Folgerung 2. In einem freien konservativen System ist die Summe der potentiellen und der kinetischen Energie konstant in der Zeit; die kinetische Energie wächst nur auf Kosten der potentiellen, und umgekehrt (340).

610

Folgerung 3. In einem freien konservativen System ist die Differenz zwischen kinetischer Energie und Kräftefunktion konstant in der Zeit; kinetische Energie und Kräftefunktion nehmen gleichzeitig zu und ab und zwar um gleiche Beträge (566).

611

Definition 4. Die Differenz zwischen kinetischer Energie und Kräftefunktion eines konservativen Systems nennen wir die mathematische oder analytische Energie des Systems.

Wir bezeichnen die mathematische Energie dauernd mit h. Sie unterscheidet sich von der Energie des Systems nur durch eine von Zeit und Lage des Systems unabhängige, im allgemeinen aber unbekannte Konstante. Für die mathematische Anwendung kann sie die Energie vollständig vertreten, es fehlt ihr aber die physikalische Bedeutung, welche diese besitzt.

Anmerkung. Die Definition wird wiedergegeben durch die Gleichung:

a)

b>

T — U=h ,

oder in anderer Schreibart:

U -\-h = T .

Ist das konservative System ein freies, so ist in dieser Gleichung die Größe h eine von der Zeit unabhängige Konstante und die Gleichung wird alsdann auch wohl als die Gleichung der Energie für das konservative System bezeichnet. Aus b) und 608 leiten wir noch die Beziehung her:

C)

U+h=E-& .

Definition 5. Das Zeitintegral der kinetischen Energie eines Systems, genommen zwischen zwei bestimmten Zeiten als Grenzen, wird die Wirkung oder der Kraftaufwand während der Zwischenzeit genannt.

613

614

Die Wirkung bei der Bewegung eines konservativen Systems während einer gegebenen Zeit wird also dargestellt durch das Integral

genommen zwischen dem Anfangs- und dem Endwerte jener Zeit.

Anmerkung 1. Bezeichnet ds das Bahnelement des sichtbaren Teilsystems, v die Geschwindigkeit desselben in seiner Balm, so kann die Wirkung auch dargestellt werden in der Form des Integrals

— m / v ds ,

genommen zwischen den Lagen, in welchen sich das System zu Anfang und zu Ende der betrachteten Zeit befindet.

615

Anmerkung 2. Der Name „Wirkung“ für das in Bede stehende Integral ist oft als unpassend verurteilt worden. Es ist aber nicht wohl einzusehen, warum der von Jacobi vorgeschlagene Name „Kraftaufwand“ besser wäre, noch auch was der ursprünglich von Maupertuis gewählte Ausdruck „action“ vor jenen voraushabe. Alle diese Benennungen erwecken Vorstellungen, wrelche mit dem bekannten Gegenstände nichts zu schaffen haben. Es ist auch schwer verständlich, wie die Summation der zu verschiedenen Zeiten vorhandenen Energien etwas anderes liefern könne, als eine Rechnungsgröße, und es ist daher wohl nicht nur schwierig, sondern unmöglich, für das in Rede stehende Integral eine passende Bezeichnung von einfachem Sinne zu finden.

Auch die übrigen in diesem Abschnitt eingeführten Namen und Bezeichnungen sind weniger durch ihre innere Zweckmäßigkeit gerechtfertigt, als durch die Notwendigkeit, uns der bestehenden Redeweise der Mechanik so viel als möglich anzuschließen.

Differentialgleichungen der Bewegung.

Aufgabe. Die Differentialgleichungen der Bewegung eines 616 konservativen Systems aufzustellen.

Die Lösung der Aufgabe besteht nur in der Angabe der Bewegungsgleichungen für das sichtbare Teilsystem. Die Masse dieses Teilsystems ist m, seine Koordinaten sind die pQ; es seien die k Gleichungen:

a)

seine Bedingungsgleichungen. Da die pe zugleich die Parameter des verborgenen Teilsystems sind, so sind die Komponenten der Kräfte, welche dieses auf das sichtbare Teilsystem ausübt, gleich dUjdpe (568). Wirkt auf das sichtbare Teilsystem durch Koppelung mit anderen sichtbaren Systemen noch eine weitere Kraft, so mögen deren Komponenten PQ sein. Dann sind die Bewegungsgleichungen des Systems nach 481:

dü

7--b Po >

dP,o

b)

und diese r Gleichungen zusammen mit den k Gleichungen a) reichen wieder aus zur eindeutigen Bestimmung der r-f A Größen Pe und

Anmerkung 1. Ist das betrachtete konservative System 617 ein freies, wirkt also auf dasselbe keine äußere Kraft, so sind die Pe gleich Null, und die Bewegungsgleichungen haben die Form :

m fo + y*Py.» Py. =

i

dü

dPe

Anmerkung 2. Ist insbesondere die Koordinate pß eine 61S freie Koordinate des sichtbaren Teilsystems, so nimmt die dem Index o zugehörige Bewegungsgleichung die Form an:

619

620

mfç T

dU

dPe

da die pKQ alsdann sämtlich verschwinden.

Anmerkung 3. Indem wir in die Gleichungen 616 bis 618 für die Beschleunigungen nach den pe ihre verschiedenen Ausdrücke nach 291 einsetzen, erhalten wir für diese Gleichungen eine Reihe verschiedener Formen, welche den Formen entsprechen, welche wir für ein vollständig bekanntes System in 368 u. ff. erhalten haben.

Folgerung 1. Sind in einem holonomen konservativen System die pe sämtlich freie Koordinaten, und setzen wir zur Abkürzung:

so lassen sich die Bewegungsgleichungen des Systems darstellen in der Form der 2r Gleichungen:

a)

dpL

dPe

b)

99

welche als ebensoviele Differentialgleichungen erster Ordnung für die 2r Größen pe und qQ aufgefaßt werden können, und welche zusammen mit bestimmten Anfangswerten den Verlauf dieser Größen eindeutig bestimmen.

Denn setzen wir den Wert von L ein, entwickeln die partiellen Differentialquotienten, und beachten, daß U die p& nicht enthält, daß also

dpU dU dPe ~ dPe

ist, so erkennen wir, daß die Gleichungen a) mit der aus den Definitionen folgenden Beziehung der qe und der pe zusammenfallen, die Gleichungen b) aber mit den Bewegungsgleichungen in der Form 618. (289, 291)

dPo

Anmerkung. Die Funktion L, durch deren Benutzung die C21 Differentialgleichungen der Bewegung die einfache Form der Gleichungen 620a und b annehmen, hat man bisweilen die LAGKANGEsche Funktion des Systems genannt. Diese Funktion besteht also nur in einem holonomen System, und sie ist hirn-gleich der Differenz der kinetischen und der potentiellen Energie, abgesehen von einer willkürlich bleibenden Konstanten.

Folgerung 2. Sind in einem holonomen konservativen 622 System die ps sämtlich freie Koordinaten, und setzen wir zur Abkürzung:

T — U= H ,

so lassen sich die Bewegungsgleichungen des Systems darstellen in der Form der 2r Gleichungen:

Pq =

dqU

8,1q

a)

b>

eqH

⁸Pe

welche als ebensoviele Differentialgleichungen erster Ordnung für die 2r Größen pe und qQ aufgefaßt werden können, und welche zusammen mit bestimmten Anfangswerten den Verlauf dieser Größen eindeutig bestimmen.

Denn setzen wir den Wert von II ein, und beachten, daß V die qe nicht enthält, daß also:

⁸le

dqU__dU ⁸Pq ⁸P q

ist, so sehen wir, daß die Gleichungen a) die aus den Definitionen folgende Beziehung der qe und der p₀ darstellen, während die Gleichungen b) mit den aus der Erfahrung abgeleiteten Bewegungsgleichungen (618) des Systems zusammenfallen. (290, 294)

Anmerkung. Die Funktion H, durch deren Benutzung die 623 Differentialgleichungen der Bewegung die einfache Gestalt der

Gleichungen 622a und b annehmen, hat man wohl die Hamilton sehe Funktion des Systems genannt. Diese Funktion besteht also nur für ein holonomes System, und sie ist für ein solches gleich der Summe der kinetischen und der potentiellen Energie, abgesehen von einer willkürlich bleibenden Konstanten; sie ist also auch gleich der Gesamtenergie des Systems, von einer willkürlichen Konstanten abgesehen.

Allgemein ist es zulässig, für ein System mit beliebigen, nicht notwendig cyklischen, verborgenen Bewegungen die Hamilton sehe Funktion zu definieren durch die Gleichungen 622a und b, nämlich als eine Funktion der sichtbaren pQ und qQ, durch deren Benutzung (vorausgesetzt, daß es eine solche Funktion gibt) die Bewegungsgleichungen eben jene einfache Form annehmen. Bei dieser allgemeineren Definition ist die Hamilton sehe Funktion nicht immer gleich der Summe der kinetischen und der potentiellen Energie.

624

625

Bemerkung. Aus den Gleichungen 620 und 622 können für ein System mit verborgenen Cykeln dieselben reziproken Eigenschaften der Bewegung abgeleitet werden, welche wir für ein vollständig bekanntes System in 878 und 381 abgeleitet haben. Es ist aber diese neue Ableitung nicht erforderlich, sondern es liegt schon im Wesen jener Beziehungen, daß jede von ihnen Gültigkeit hat unabhängig davon, ob die in ihnen nicht vorkommenden Koordinaten, Momente ' usw. sichtbare oder verborgene Koordinaten, Momente, usw. sind.

Integralsätze für holonome Systeme.

Bemerkung 1. Das Integral

f(T-U)dt

ist beim Übergang eines freien holonomen Systems mit verborgenen adiabatischen Cykeln zwischen hinreichend benachbarten Lagen 0 und 1 kleiner für die natürliche Bewegung des Systems, als für jede andere mögliche Bewegung, welche in der gleichen

Zeit sowohl die sichtbaren, als auch die verborgenen Koordinaten aus den Anfangswerten in die Endwerte überführt.

Denn dal⁷ — U gleich ist der Energie des Systems, vermehrt um eine für alle möglichen Bewegungen gleiche Konstante (611), so ist die Bemerkung nichts anderes, als der Lehrsatz 358, ausgesagt unter Anwendung der gegenwärtigen Bezeichnung.

Anmerkung 1. Wird die Beschränkung auf hinreichend 626 benachbarte Endlagen weggelassen, so kann nur behauptet werden, daß die Variation des Integrals verschwindet beim Übergang zu irgend einer anderen der in Betracht kommenden Bewegungen. Unter Anwendung der Bezeichnung 590 nimmt alsdann die Aussage die Form an, daß

Pßr— u)dt=o

to

sei beim Übergang von der natürlichen Bewegung zu irgend einer anderen möglichen, während die Variationen der Anfangsund Endzeiten und der Anfangs- und Endwerte der sichtbaren Koordinaten verschwinden. (Vergl. 359.)

Anmerkung 2. Die Bemerkung 1 unterscheidet die natür- 027 liehen Bewegungen eindeutig von jeder anderen möglichen Bewegung, und sie kann daher dazu dienen, die natürliche Bewegung zu bestimmen, sobald es möglich ist, die Variation der Anmerkung 1 wirklich zu bilden. Sind aber, wie wir es ja voraussetzen, die cyklischen Koordinaten verborgene, so ist die Bildung der Variationen der Form äp nicht möglich, und der Satz verliert daher nicht zwar seine Richtigkeit, wohl aber seine Anwendbarkeit.

Lehrsatz 1. Das Integral

j(T+U)dt

ist beim Übergang eines freien holonomen Systems mit verborgenen adiabatischen Cykeln zwischen hinreichend benachbarten Lagen seiner sichtbaren Massen kleiner für die natür-

liche Bewegung, als für irgend eine andere mögliche Bewegung, welche in der gleichen Zeit und mit denselben Momenten der verborgenen cyklischen Bewegungen die sichtbaren Koordinaten aus den gegebenen Anfangswerten in die gegebenen Endwerte überführt.

Wir führen den Beweis, indem wir den Satz auf die Bemerkung 625 zurückführen. Wir ordnen deshalb, wie es nach 592 möglich ist, einer jeden nach den Ansprüchen des Lehrsatzes variierten Bewegung eine zweite zu, bei welcher die sichtbaren Koordinaten dieselbe Variation erleiden, bei welcher aber die cyklischen Momente so variieren, daß die Anfangsund Endwerte der cyklischen Koordinaten die ursprünglichen bleiben. Eine Variation beim Übergang zu einer Bewegung der ersten Art haben wir nach 590 mit Sq, eine Variation zu der entsprechenden Bewegung zweiter Art mit zu bezeichnen.

Nun ist erstens, da T nur von den sichtbaren Koordinaten abhängt:

sj T dt = dp I T dl .

a)

Zweitens ist, da die Dauer der Bewegung nicht variiert wird und — U sich nur durch eine Konstante von der Energie der cyklischen Bewegung unterscheidet (566), zufolge von 59B:

b)

U dt = -

d'pJUdt .

Durch Addition von a) und b) ergibt sich:

e)

dqf(T+ U) dt = Spj(T— ü) dt .

Die rechts stehende Variation aber hat (626, 625) für die natürliche Bewegung stets einen verschwindenden und für hinreichend benachbarte Endlagen notwendig negativen Wert, also auch die links stehende Variation. Das links stehende Integral selbst hat also für die natürliche Bewegung und hinreichend benachbarte Endlagen einen Minimal wert, welches die Behauptung ist.

Anmerkung 1. Wird die Beschränkung auf hinreichend benachbarte Lagen weggelassen, so kann nur noch behauptet

werden, daß die Variation des Integrales verschwindet. Der analytische Ausdruck dieser Behauptung ist in unserer Bezeichnungsweise (im Gegensatz zu der Aussage von 626):

ti

<0

Anmerkung 2. Die in dem Lehrsatz ausgesprochene 630 Eigenschaft der natürlichen Bewegung unterscheidet dieselbe eindeutig von jeder anderen möglichen Bewegung. Die Variation dp kann gebildet werden, obwohl die cyklischen Bewegungen als verborgene angesehen sind, denn ihre Bildung erfordert nur, daß man die in der Kräftefunktion vorkommenden Konstanten unvariiert lasse. Der Lehrsatz kann deshalb benutzt werden zur Bestimmung der natürlichen Bewegung konservativer Systeme. Seine Gültigkeit ist allerdings streng beschränkt auf holonome Systeme.

Anmerkung 3. Der vorstehende Lehrsatz, benutzt in der 631 xAuffassung der Anmerkung 2, führt den Namen des Hamilton sehen Prinzips. Seine physikalische Bedeutung kann nach unserer Anschauung keine andere sein, als die des Lehrsatzes 358, aus welchem wir das Prinzip hergeleitet haben. Das Prinzip selbst stellt die Umformung dar, welche wir jenem Satze 358 geben müssen, damit er trotz unserer Unkenntnis der Einzelheiten der cyklischen Bewegung zur Bestimmung der Bewegung des sichtbaren Systems anwendbar bleibe.]

Bemerkung 2. Bezeichnen wir mit ds das Bahnelement 632 der sichtbaren Massen eines freien holonomen Systems, welches verborgene adiabatische Cykeln enthält, so ist das Integral

ds

Jfn+h

0

beim Übergang zwischen hinreichend benachbarten Lagen 0 und 1 kleiner für die natürlichen Bahnen des Systems, als für irgend -welche andere mögliche Bahnen, welche sowohl die

Werte der sichtbaren, als auch die Werte der eyklischen Koordinaten aus den gegebenen Anfangswerten in die gegebenen Endwerte überführen. Die Größe h ist dabei als eine von einer natürlichen Bahn zur anderen wechselnde, übrigens für alle jedesmal verglichenen Bahnen gleiche Konstante zu betrachten.

Denn führen wir die Zeit als Hilfsgröße ein und machen dabei die willkürliche aber zulässige Annahme, das System durchlaufe die betrachteten Bahnen mit konstanter Geschwindigkeit, und zwar mit solcher Geschwindigkeit, daß die Konstante h den Wert der analytischen Energie bezeichnet, so ist:

a)

ds²

T= U+h=^m —

dt²    ’

also das betrachtete Integral gleich:

<*> a

Das Integral ist also, von dem Faktor abgesehen, gleich der Zeitdauer des Überganges. Diese ist aber nach 352 als Folge von 347 für gegebenen Wert der Energie, also der Konstanten h, ein Minimum. Unsere Bemerkung ist demnach nichts anderes, als der Inhalt des Lehrsatzes. 352, ausgesagt unter Benutzung der inzwischen eingeführten Bezeichnungen.

633

Anmerkung 1. Wird die Beschränkung auf hinreichend benachbarte Lagen fortgelassen, so kann nur noch das Verschwinden einer Variation behauptet werden (353); welche Aussage in unserer Bezeichnung in der Form darzustellen ist:

Anmerkung 2. Durch die Eigenschaft, welche die Bemerkung 2 aussagt, sind die natürlichen Bahnen, welche den verschiedenen Werten der Konstanten h entsprechen, eindeutig ausgezeichnet vor jeder anderen möglichen Bahn, und der Lehr-

satz kann daher zur Bestimmung der natürlichen Bahn des Systems dienen, sobald es möglich ist, die Variation zu bilden. Sind aber, wie wir voraussetzen, die Einzelheiten der cyklischen Bewegung verborgen, so ist diese Bildung nicht möglich, und die Bemerkung verliert daher nicht zwar ihre Bichtigkeit, wohl aber ihre Anwendbarkeit zu dem besagten Zwecke.

Lehrsatz 2¹). Beim Übergang eines freien holonomen Sy- 635 stems, welches verborgene adiabatische Cykeln enthält, zwischen zwei hinreichend benachbarten Lagen 0 und 1 der sichtbaren Massen, ist das Integral

]/ U -f- !i ds

kleiner für die natürlichen Bahnen, als für irgend welche andere mögliche Bahnen, welche mit denselben Werten der verborgenen cyklischen Momente und der Konstanten h die sichtbaren Koordinaten aus den gegebenen Anfangswerten in die gegebenen Endwerte überführen.

Wir führen wiederum den Beweis des Satzes, indem wir ihn auf die vorangegangene Bemerkung (632) zurückführen. Zu dem Ende benutzen wir wieäer die Zeit als Hilfsgröße, indem wir die willkürliche aber zulässige Annahme machen, daß das System die betrachteten Bahnen mit konstanter und solcher Geschwindigkeit durchlaufe, daß die Konstante h gleich der mathematischen Energie wird. Es läßt sich dann das Integral, von dem der Lehrsatz handelt, schreiben in der Form:

n!(U+h)dt •

to

Ferner ordnen wir wieder, wie es nach 592 zulässig ist, einer jeden nach der Vorschrift des Lehrsatzes variierten Bewegung eine zweite zu, bei welcher die sichtbaren Koordinaten dieselbe Variation erleiden, für welche auch die Konstante h,

(685) und also auch die Energie E ihren Wert behält, hei welcher aber die cyklischen Momente so variieren, daß die Anfangsund Endwerte der cyklischen Koordinaten die ursprünglichen bleiben. Eine Variation, wie sie den Ansprüchen des Lehrsatzes entspricht, bezeichnen wir wieder mit eine Variation zu der entsprechenden zweiten Bewegung mit

Nun ist erstens für beliebige Variationen dqe der cyklischen Momente qe (566):

sf(ü-hh) dt = SqJ(\u+h) dt+%J

d[ U -f h)

t)'q? dt

also im besonderen für eine Variation dp: a)

Zweitens erhalten wir aus Gleichung 612 c unter Berücksichtigung der Beziehung 588 und der Konstanz von E-.

I\U +    dt — E{t±— t₀)    ₂ /*£ pç i)ç>

r

po t>p Cfg

i

also durch eine Variation der Art dp:

b)

dp j'{U + K) dt = Ec)p    — t₀)    -

Durch Subtraktion von a) und b) ergibt sich:

c) oder indem wir mit Hilfe von 632 a die Zeit wieder eliminieren :

d)

S^jYW+hds-ES^f yïï^rR .

0 0

Die rechts stehende Variation aber hat nach 6B2 für die natürliche Bewegung stets einen verschwindenden und für hinreichend benachbarte Endlagen negativen Wert, also, da E notwendig positiv ist, auch die links stehende Variation.

Das links stehende Integral selbst hat also für die natürliche Bewegung und hinreichend benachbarte Endlagen einen Minimalwert, welches die Behauptung ist.

Anmerkung 1. Wird die Beschränkung auf hinreichend 636 benachbarte Lagen weggelassen, so kann nur noch behauptet werden, daß die Variation des Integrals verschwindet. Der analytische Ausdruck dieser Behauptung ist in unserer Bezeichnungsweise (im Gegensatz zu 6BB):

Anmerkung 2. Für jeden Wert der Konstanten h zeichnet 637 der Lehrsatz eine natürliche Bahn in eindeutiger Weise aus vor jeder anderen möglichen Bahn. Die Eigenschaft der natürlichen Bahnen, welche der Lehrsatz aussagt, kann daher benutzt werden zur Bestimmung dieser Bahnen; und zwar kann sie benutzt werden, obwohl die cyklischen Bewegungen als verborgene vorausgesetzt sind.

Denn die Bildung der Variation dq erfordert nur, daß man die in der Kräftefunktion vorkommenden Konstanten unvariiert lasse; die Variation kann also gebildet werden trotz Unkenntnis der Einzelheiten der cyklischen Bewegung.

Anmerkung 3. Der Lehrsatz 2, benutzt in der Auffassung 638 der Anmerkung 2, ist die JACOBische Form des Prinzips der kleinsten Wirkung. Denn nennen wir für den Augenblick mv die Masse des o>ten der sichtbaren n Punkte des Systems, dsv das Element der Bahn dieses Punktes, so ist

m ds²

=inv ds~,

i

und also das Integral, für welches wir einen Minimalwert feststellen bis auf einen Faktor:

welches, wiederum bis auf einen konstanten Faktor, das Jacobisehe Integral ist.

Die physikalische Bedeutung des Jacobi sehen Prinzips kann nach unserer Auffassung keine andere sein, als die des Lehrsatzes 352, bez. 347, aus welchem es abgeleitet ist; es stellt die Umformung dar, welche wir jenem Satze geben müssen, damit er trotz vorhandener Unkenntnis der Einzelheiten der cyklischen Bewegungen zur Bestimmung der Bewegung des sichtbaren Systems anwendbar bleibe. Die Gültigkeit auch des Jacobi sehen Satzes erstreckt sich nur auf holonome Systeme.

639

Lehrsatz 3. Beim Übergang eines freien holonomen konservativen Systems zwischen hinreichend benachbarten Lagen ist das Zeitintegral der kinetischen Energie kleiner für die natürliche Bewegung, als für jede andere mögliche Bewegung, welche das System von den gegebenen Anfangswerten zu den Endwerten der sichtbaren Koordinaten überführt, und welche mit demselben gegebenen, in der Zeit konstanten Werte der mathematischen Energie ausgeführt wird.

Denn nennen wir h den gegebenen Wert der mathematischen Energie, so ist für alle in Betracht kommenden Bahnen (611)

¹

Mit dem Originale übereinstimmender Abdruck. — Der Herausgeber.

T— U=h , also ist das Integral, von welchem der Satz handelt, nämlich

ti

f Tdt ,

bis auf einen konstanten Faktor dasselbe Integral, von welchem der Lehrsatz 2 handelt; der gegenwärtige Satz ist daher nur eine andere Form, den Inhalt jenes Lehrsatzes auszusagen.

Die zu dem Lehrsatz 2 gemachten Anmerkungen 1 und 2 finden daher auch hier sinnentsprechende Anwendung.

Anmerkung. Der Lehrsatz 639 gibt die ursprüngliche 640 MAUPERTüissche Form des Prinzips der kleinsten Wirkung. Diese Form hat vor der Jacobisehen den Vorzug, daß sie sich in einfachen Worten aussprechen läßt und daher einen einfachen physikalischen Sinn zu enthalten scheint. Sie hat aber gegenüber der jACOBischen Form den Nachteil, daß sie unnötigerweise die Zeit enthält, obwohl doch die eigentliche Aussage nur die Bahn des Systems bestimmt, nicht die Bewegung in dieser, und obwohl diese Bewegung vielmehr nur durch die hinzugefügte Bemerkung bestimmt ist, daß überhaupt nur Bewegungen mit konstanter Energie in Betracht gezogen werden sollen.

Rückblick auf 625 bis 640.

1. Nach den Ergebnissen unserer Überlegung nimmt für 641 die natürliche Bewegung eines freien konservativen Systems ein jedes der Integrale:

I (T— U) dt ,

%J

r ds

J yu+h

j(T+U)dt , ffÜ+hds ,

unter bestimmten Verhältnissen einen ausgezeichneten Wert an. Dabei beziehen sich die beiden oberen Integrale auf die Bewegung des Systems, die übrigen in Wahrheit nur auf die Bahn desselben. Die beiden links stehenden Integrale beziehen sich auf den Fall, daß alle, auch die cyklischen Koordinaten des Systems in Betracht gezogen werden, und daß nur solche Lagen des Systems als gleiche gelten, bei welchen auch die letzteren Koordinaten die gleichen Werte haben. Die übrigen Integrale beziehen sich auf den Fall, daß die cyklischen Koordinaten des Systems verborgen sind, und daß schon solche Lagen des Systems als gleich gelten, bei welchen die sichtbaren Koordinaten gleiche Werte haben. Die Betrachtung des letzten Integrals setzt die Gültigkeit des Prinzips von der Erhaltung der Energie als zugestanden voraus;

die Betrachtung der beiden obersten Integrale läßt diese Gültigkeit folgen; die Betrachtung der beiden mittleren Integrale kann von dieser Gültigkeit unabhängig gehalten werden.

642

2.    Die physikalische Bedeutung der beiden links stehenden Integrale ist eine äußerst einfache; die sie betreffenden Aussagen sind unmittelbare Ausflüsse des Grundgesetzes. Die rechts stehenden Integrale haben die einfache physikalische Bedeutung verloren; aber die Aussage, daß sie für die natürliche Bewegung ausgezeichnete Werte annehmen, stellt immer noch eine, wenn auch verwickelte und undurchsichtige Form des Grundgesetzes dar. Verwickelt und undurchsichtig ist aber die Form des Grundgesetzes hier deshalb geworden, weil das Gesetz verwickelten und undurchsichtigen Voraussetzungen angepaßt ist. Die Aussage, welche sich auf das untere Integral bezieht, hat den trügerischen Schein einer selbständigen, einfachen physikalischen Bedeutung.

Unser Beweisverfahren war nicht darauf berechnet, möglichst einfach zu sein, sondern darauf, den obigen Zusammenhang möglichst deutlich hervortreten zu lassen.

643

3.    Daß die Natur nicht darauf eingerichtet ist, daß das eine oder das andere jener Integrale ein Minimum werde, geht erstens daraus hervor, daß schon in holonomen Systemen bei ausgedehnterer Bewegung das Minimum im allgemeinen nicht eintritt, und zweitens daraus, daß es natürliche Systeme gibt, für welche das Minimum niemals eintritt, und für welche nicht einmal die Variation jener Integrale verschwindet; Ein umfassender Ausdruck für die Gesetze der natürlichen Bewegung kann daher auch an keines jener Integrale angeknüpft werden, und hieraus nahmen wir auch das Recht her, den Schein einfacher Bedeutung des letzten Integrals für trügerisch zu halten.

Endliche Bewegungsgleichungen für holonome Systeme.

644

Bemerkung 1. Bezeichnen wir mit V' den Wert des

Integrales

2Jyu+h ’

0

genommen über die natürliche Bahn zwischen zwei Wertsystemen aller Koordinaten eines freien holonomen Systems mit adiabatischen Cykeln, und gedacht als Funktion der Anfangs- und End werte jener Koordinaten, also der p0o, pSi und der peo, poi? und der Größe h, so stellt der Ausdruck

v'V

die geradeste Entfernung des Systems dar. Die Bezeichnung ist dabei dieselbe, welche wir bisher in diesem Abschnitt benutzt haben.

Denn nach 632 ist V gleich der Zeitdauer des natürlichen Übergangs zwischen den gegebenen Lagen für die mathematische Energie h. Ist also S die geradeste Entfernung beider Lagen, so ist

woraus die Behauptung folgt.

Folgerung. Mit Hilfe der Funktion V lassen sich die 615 natürlichen Bahnen des betrachteten Systems in geschlossener Form darstellen.

Denn bezeichnen wir wie bisher mit ds das Bahnelement des sichtbaren Teilsystems, weiter mit d§> das Bahnelement des cyklischen Teilsystems und mit der das Bahnelement des vollständigen Systems, so ist

a)

(m + ht) do¹ = m ds² + Kt rfê²    ,

also (57) bei der bisher benutzten Bezeichnung:

da²

nr+m V dPl dP° + X2” m +m

Sind also schließlich noch cr,pe und <7,pe die Winkel, welche die Bahn des ganzen Systems mit den Koordinaten pe und des ganzen Systems bildet, so werden die Gleichungen der

18

Hertjs, Mechanik. 2. Aufl.

natürlichen Bahnen zufolge von 224 und 226, nach Division beider Seiten durch einen konstanten Faktor, erhalten in der Form:

c)

d)

e)

Va^cos^- -]/^dV

"«P». “ }/

./Titer

1/    7T7— >

'nt dpeo

dPc o

Va

Vö

QQi

cos

cos

2E dV

m

616

647

und diese Gleichungen lassen sich auf je zwei Weisen so interpretieren, daß sie die Gleichungen der natürlichen Bahnen als Differentialgleichungen erster Ordnung oder auch in endlicher Form angeben.

Anmerkung. Die vorstehenden Gleichungen c) bis f) sind richtig in jedem Falle, ob nun die cyklischen Koordinaten als beobachtbare oder als dauernd verborgene angesehen werden; aber jene Gleichungen verlieren ihre Anwendbarkeit, sobald das letztere vorausgesetzt wird. Denn alsdann ist der vollständige Ausdruck von V nicht bekannt, und die Gleichungen lassen sich nicht entwickelt hinschreiben.

Aufgabe 1. Die vorstehenden Bewegungsgleichungen eines freien holonomen Systems so umzuformen, daß sie ihre Anwendbarkeit behalten, auch wenn die cyklischen Bewegungen des Systems als verborgene gelten.

Wir bezeichnen mit V den Wert des Integrales

■/2m f/U+ h ds

genommen über die natürliche Bahn zwischen irgend zwei Wertsystemen der sichtbaren Koordinaten. Bei Bestimmung dieser natürlichen Bahn wollen wir die in der Kräftefunktion

vorkommenden cyklischen Momente als unveränderliche Kon- (647) stanten ansehen, und V soll also gedacht werden als Funktion der Anfangs- und Endwerte allein der sichtbaren Koordinaten und der Konstanten h. Nach 635 d ist nun beim Übergang von einer natürlichen Bahn zu einer anderen mit beliebig variierten sichtbaren Koordinaten:

= 2Ed'p

ds

a)

2Jyu+h ’

0

also ist auch insbesondere beim Übergang von einer natürlichen zu einer beliebigen benachbarten natürlichen Bahn:

dqV=2 Ed'pV' ,

1»

also ist:

dV

dV'

dPo>

er

C)

dV'

2E

dPe o

Mit Hilfe dieser Gleichungen können wir die cyklischen Koordinaten aus den rechten Seiten der Gleichungen 645 c und d fortschaffen. Was die linken Seiten anlangt, so haben wir die Winkel G,pe zu ersetzen durch die s,pe. Nun haben wir nach 645 b (75):

dPe o

l/sTSya»‘"'c0,0iP»"$’^

d)

und ferner aus den beiden Gleichungen

ds*

U+h= T=~m

n 1 ,    \ d<J²

(m+m)^2

dt²

und

e)

18*

durch Division:

f)

da

V m+m V U + h

ds ,

also aus d) und f):

§•)

cos

o,pQ = ]/-

U+h

—j- cos s,pQ .

Indem wir nun das Ergebnis c) in die rechten, das Ergebnis g) in die linken Seiten der umzuformenden Gleichungen einsetzen, erhalten wir die Gleichungen:

h)

cos s,pQl =

Y^tOSS'P" —

dV

dB

]/2 m ( U -f- h\ Speo

welches die gesuchten Umformungen sind. Denn sie enthalten keine Größen mehr, welche sich auf das verborgene Teilsystem beziehen, und sie lassen sich auf je zwei Weisen so interpretieren, daß sie die natürlichen Bahnen des sichtbaren Teilsystems als Differentialgleichungen erster Ordnung oder auch in endlicher Form angeben.

♦ *

Anmerkung 1. Die Funktion V enthält nicht die Zeit und gibt auch nur die natürlichen Bahnen des Systems, nicht aber die Bewegung des Systems in diesen Bahnen. Da aber die natürlichen Bahnen mit gleichbleibender Geschwindigkeit durchlaufen werden, und da wir bereits der in V vorkommenden Konstanten h die Bedeutung der analytischen Energie beilegten, so ist es leicht, die Zeit als unabhängige Yariabele in die Gleichungen einzuführen. Zunächst ist die Verknüpfung der Zeit mit der bisher als unabhängige Variabele benutzten Weglänge gegeben durch die Gleichung:

a)

dV

dh

t /m f ds

V ïJ^U+h

0

Sodann erhalten wir durch Multiplikation der Gleichungen 647 h mit

]/2m ( U-\- h) = ]/2m T=

ds

und Beachtung von 75 und 270:

dV

ty* ’

b>

dV

^£>0

Endlich erhalten wir für den Wert der Funktion selbst:

c)

ti

F=2

Tdt .

d)

Der Form nach sind diese Gleichungen weit einfacher als die Gleichungen der vorangegangenen Aufgabe, aber jene Gleichungen haben den Vorzug, eine unabhängige Variabele weniger zu enthalten.

Anmerkung 2. Die Funktion V ist diejenige Funktion, 649 welche von Hamilton mit dem gleichen Buchstaben bezeichnet und die charakteristische Funktion des konservativen Systems genannt worden ist. Diese Aussage steht im Einklang mit der Aussage 412, denn unter der dort gemachten Voraussetzung, daß alle Koordinaten sichtbare seien, geht die jetzt mit V bezeichnete Funktion in die dort mit dem gleichen Buchstaben bezeichnete Funktion über.

Übrigens erhellt, daß die charakteristische Funktion eines Systems nach der jetzt erweiterten Definition eine Rechnungsgröße ohne physikalische Bedeutung ist. Denn je nachdem wir größere oder kleinere Teile der cyklischen Bewegungen als verborgene behandeln, können wir für dasselbe System verschiedene charakteristische Funktionen aufstellen, welche den gleichen analytischen Dienst leisten, aber für identische Übergänge des Systems verschiedene Werte besitzen.

Lehrsatz. Die charakteristische Funktion V eines konservativen Systems genügt den beiden partiellen Differentialgleichungen erster Ordnung:

650

(Z7-j-A)L ,

dV dV

1    , dV dV

2,w i i Q<r°dPeodP«o

welche den Differentialgleichungen 227 für die geradeste Entfernung entsprechen.

Denn diese Gleichungen werden erhalten durch Einsetzen der Richtungscosinus aus den Gleichungen 647 h in die Gleichung 88, welcher diese Richtungscosinus genügen.

651

Bemerkung 2. Bezeichnen wir mit P' den Wert des

Integrales

u

j (T— Ü) dt ,

to

genommen über die natürliche Bewegung zwischen zwei Wertsystemen der sämtlichen Koordinaten eines freien holonomen Systems mit adiabatischen Cykeln und gedacht als Funktion dieser Werte und der Zeitdauer des Übergangs, so unterscheidet sich P' von der Prinzipalfunktion des Systems (415) nur um das Produkt der Zeitdauer des Übergangs in eine (unbekannte) Konstante.

Denn es unterscheidet sich T — U von der Energie des Systems nur um eine (unbekannte) Konstante.

Folgerung. Mit Hilfe der Funktion P’ lassen sich die natürlichen Bewegungen des Systems in geschlossener Form darstellen.

In der Tat hindert der Unterschied zwischen P' und der in 415 definierten Prinzipalfunktion nicht die unmittelbare Anwendung der Gleichungen 414b und c, so daß wir als Bewegungsgleichungen erhalten :

9ço

Cb

lKo

O S n §i

«h a- a-

fD rO (Û

Dagegen erfordert die Gleichung 414d eine leichte Abänderung; an ihrer Stelle wird erhalten:

h= -

dP' dP' ät₀ ” dt~ '

e)

Anmerkung. Die vorstehenden Gleichungen a) bis d) sind 653 richtig in jedem Falle, ob nun alle Koordinaten in Wahrheit beobachtbar sind oder ob nicht, aber jene Gleichungen verlieren ihre Anwendbarkeit, sobald die cyklischen Bewegungen des Systems als verborgene behandelt werden.

Aufgabe 2. Die vorstehenden Bewegungsgleichungen 654 eines freien holonomen Systems so umzuformen, daß sie ihre Anwendbarkeit behalten, auch wenn die cyklischen Bewegungen des Systems als verborgene gelten.

Wir bezeichnen mit P den Wert des Integrales

genommen für die natürliche Bewegung zwischen zwei zu den Zeiten t₀ und tx stattfindenden Wertsystemen der sichtbaren Koordinaten. Bei Bestimmung dieser natürlichen Bewegung sollen die in den Konstanten der Kräftefunktion enthaltenen cyklischen Momente als unabänderlich angesehen werden, und P soll also gedacht sein als Funktion allein der Anfangs- und Endwerte der sichtbaren Koordinaten und der Zeiten t₀ und t.

Nun gilt nach 628 c beim Übergang von einer natürlichen Bewegung zu einer beliebigen benachbarten Bewegung von gleicher Dauer die Gleichung:

sJ(T+ U) dt=ô'pf (T— U) dt .

Wenden wir diese Gleichung an auf den Übergang von einer natürlichen Bewegung zu einer benachbarten natürlichen Bewegung von gleicher Dauer, so liefert sie uns: also:

dP dP' dP dP'

dPe o    dPe «    ’ dPei dPe>

Mit Hilfe dieser Gleichungen entfernen wir die verborgenen Koordinaten aus den rechten Seiten der Gleichungen 652. Was die linken Seiten anlangt, so genügt die Bemerkung, daß das Moment qQ des gesamten Systems nach seiner Koordinate pQ zugleich das Moment des sichtbaren Teilsystems nach der Größe pe als Koordinate dieses Teilsystems ist. Wir erhalten demnach als Bewegungsgleichungen des sichtbaren Teilsystems :

a)

ÖVi-

b)

dP

9!q₀ ~~

dPe o

welches die gesuchten Umformungen sind.

Anmerkung 1. Die jetzt von uns eingeführte Funktion P ist diejenige Funktion, welche von Hamilton mit dem Buchstaben S bezeichnet und die Prinzipalfunktion des konservativen Systems genannt worden ist. Diese Aussage steht im Einklang mit der Aussage 415, denn unter der dort gemachten Voraussetzung, daß alle Koordinaten sichtbare seien, geht die jetzt mit P bezeichnete Funktion in die dort mit dem gleichen Buchstaben belegte Funktion über.

Anmerkung 2. Der Wert der Prinzipalfunktion für einen 656 bestimmten Übergang hängt mit dem der charakteristischen Funktion in einfacher Weise zusammen. Durch einfache Umformung wird nämlich erhalten:

J(T+ U) dt —j'(2 U + h) dt

^0    to

= ]/2m

in

h ds

²Jyu+h

Also ist (647, 644):

a)

p= v- h (tL -1₀) ,

wobei wir uns in der rechten Seite, in V und im zweiten Summanden, die Größe h als Funktion von ti —tQ und der p und pSl eingesetzt zu denken haben.

Umgekehrt ist also auch

b)

V=° P+h(tx-Q ,

wobei wir uns in der rechten Seite, in P und im zweiten Summanden, die Größe t^ — to als Funktion von h und der pSo und pQi eingesetzt zu denken haben.

Anmerkung 3. Die analytische Energie h kommt in der 657 Prinzipalfunktion nicht vor. Doch kann sie aus derselben mit Hilfe der Gleichungen 654a, b, 286 c und 612 a mittelbar abgeleitet werden. Sie kann aber auch unmittelbar durch . P ausgedrückt werden. Denn ändern wir in der rechten Seite der Gleichung 656a nicht die pQi und peo, sondern nur 4 und t₀, und bezeichnen mit clk die damit notwendig verbundene Änderung von h, so folgt:

dV

dP =—j^dh — h d{tl — t₀) — (4 — t₀) dh ,

also nach 648a:

dP= - h d(tL-t₀)    ,

woraus folgt:

Cb

Qj

■*?

658

Lehrsatz. Die Prinzipalfunktion P eines konservativen Systems genügt den beiden partiellen Differentialgleichungen erster Ordnung:

1    's.¹ / dP dP dP jj

dtX

2»*^V ?<Jl dPcr d/’<H    ¹

^ ^ } dP dP dP

2 rn    Q(T° dpQo dpO0 dtQ

welche den Differentialgleichungen 227 für die geradeste Entfernung entsprechen.

Denn diese Gleichungen werden erhalten, wenn man die analytische Energie h das eine Mal direkt mit Hilfe von 657, das andere Mal indirekt mit Hilfe von 612 a und 654a, b durch die Differentialquotienten von P ausdrückt.

Rückblick auf 644 bis 658.

659

1. In den Nummern 644 bis 658 sind vier endliche Darstellungen der Bewegung eines holonomen Systems mit adiabatischen Cykeln gegeben. In der ersten und dritten Darstellung waren alle Koordinaten des Systems als beobachtbare angesehen, in der zweiten und vierten Darstellung waren die cyklischen Koordinaten als verborgene behandelt. Die erste und zweite Darstellung, welche auf die charakteristische Funktion führte, gab im Grunde nur die Bahn des Systems und entsprach dem Prinzip der kleinsten Wirkung. Die dritte und vierte Darstellung, welche auf die Prinzipalfunktion führte, gab vollständig die Bewegung und entsprach dem Hamilton sehen Prinzip.

660

2. Alle vier Darstellungen haben denselben einfachen physikalischen Sinn und für alle ist der Grund der mathematischen Verwickelung derselbe. Der einfache physikalische

Sinn besteht in der Tatsache, daß die natürlichen Bahnen stets geradeste Bahnen sind, und in dem rein geometrischen Zusammenhänge dieser Bahnen mit der geradesten Entfernung in holonomen Systemen. Der Grund der mathematischen Verwickelung aber besteht darin, daß wir nicht stets alle wesentlichen Bestimmungsstücke der Bewegung gleichmäßig behandelten, sondern einige derselben als verborgene eliminierten.

Wir können auch sagen, die Ungleichmäßigkeit bestehe darin, daß wir für einige Koordinaten die Anfangs- und Endwerte, für andere Koordinaten die Anfangsgeschwindigkeiten als Bestimmungsstücke einführten. Unsere Ableitungsweise war nicht darauf berechnet, möglichst einfach zu sein, sondern darauf, dies Verhältnis möglichst deutlich hervortreten zu lassen.

3. Man kann weitere Darstellungen der Bewegung eines 661 holonomen Systems geben, indem man weitere Koordinaten eliminiert, oder indem man auch für die sichtbaren Koordinaten nicht die Anfangs- und Endwerte, sondern andere Größen als Bestimmungsstücke einführt, oder indem man von den partiellen Differentialgleichungen 650 oder 658 ausgeht, in ähnlicher Weise, wie dies für die geradeste Entfernung in 232 u. ff. geschehen ist. Solche Darstellungen können in besonderen Fällen mathematische Vorteile bieten, wie Jacobi in umfassender Weise gezeigt hat. Je mehr man aber in dieser Richtung fortschreitet, desto mehr verbirgt sich der physikalische Sinn der Operationen hinter deren mathematischer Form, desto mehr nehmen die benutzten Funktionen den Charakter von Hilfskonstruktionen an, welchen es nicht mehr möglich ist, eine physikalische Bedeutung beizulegen.

Niclit-konseryatire Systeme.

Erläuterungen und Bemerkungen.

1. Enthält ein materielles System keine anderen ver- 662 borgenen Massen, als solche, welche in adiabatischer cyklischer Bewegung begriffen sind, so ist es bei freier Verfügung über die sichtbaren Koordinaten jederzeit möglich, Energie, welche in die Energie der verborgenen Massen übergegangen ist, in

die Energie der sichtbaren Massen zurückzuverwandeln. Die einmal im System vorhandene sichtbare Energie kann also dauernd als sichtbare Energie erhalten bleiben.

Dies ist die Eigenschaft, auf Grund deren wir solche Systeme als konservative bezeichneten. Aus dem gleichen Grunde bezeichnen wir die von den verborgenen Massen solcher Systeme ausgeübten Kräfte als konservative Kräfte.

663

2.    Im Gegensatz dazu werden solche Systeme, bei welchen die freie Verfügung über die sichtbaren Koordinaten nicht ausreicht, verborgene Energie jederzeit in sichtbare zurückzuverwandeln, als nicht-konservative Systeme, und die Kräfte der verborgenen Massen solcher Systeme als nicht-konservative Kräfte bezeichnet. Nicht-konservative Systeme, in welchen die Energie sich vorzugsweise aus der Energie sichtbarer Massen in die Energie der verborgenen Massen verwandelt, nicht aber umgekehrt, heißen dissipative Systeme, und die Kräfte der verborgenen Massen solcher Systeme dissipative Kräfte.

664

665

3.    Im allgemeinen sind die Systeme und Kräfte der Natur nicht-konservativ, sobald überhaupt verborgene Massen in Betracht kommen. Dieser Umstand ist eine notwendige Folge davon, daß die konservativen Systeme nur Ausnahmefälle, sogar nur mit mehr oder weniger Annäherung erreichte (550) Ausnahmefälle bilden, daß also für ein beliebig herausgegriffenes natürliches System eine unendliche Wahrscheinlichkeit dagegen spricht, daß es ein konservatives sei. Erfaiirungsmäßig aber sind weiter die Systeme und Kräfte der Natur dissipativ, sobald überhaupt verborgene Massen in Betracht kommen. Dieser Umstand findet eine hinreichende Erklärung in der Hypothese, daß in der Natur die Zahl der verborgenen Massen und ihrer Bewegungsfreiheiten unendlich groß sei gegen die Zahl der sichtbaren Massen und deren sichtbarer Koordinaten, so daß für eine beliebig herausgegriffene Bewegung eine unendliche Wahrscheinlichkeit dagegen spricht, daß sich die Energie gerade in der besonderen und ausgezeichneten .Richtung von jener großen Zahl von Massen auf diese ganz bestimmte kleine Zahl hin konzentriere.

4. Übrigens steht der Unterschied zwischen konservativen

und dissipativen Systemen und Kräften nicht in der Natur, sondern beruht lediglich auf der freiwilligen Beschränkung unserer Auffassung oder der unfreiwilligen Beschränktheit unserer Kenntnis der natürlichen Systeme. Werden alle Massen der Natur als sichtbare Massen betrachtet, so fällt jener Unterschied fort, und alle Kräfte der Natur können alsdann als konservative Kräfte bezeichnet werden.

5. Die konservativen Kräfte erscheinen im allgemeinen 66Ü als Differentialquotienten von Kräftefunktionen, also als solche Funktionen der sichtbaren Koordinaten der Systeme, welche unabhängig von der Zeit sind. Die nicht-konservativen Kräfte hängen außerdem im allgemeinen von den ersten und von höheren Differentialquotienten der sichtbaren Koordinaten nach der Zeit ab. Bei jeder analytisch gegebenen Form einer Kraft beider Arten kann die Frage aufgeworfen werden, ob diese Form mit den Voraussetzungen unserer Mechanik verträglich sei, oder ihr widerspreche.

6. Auf diese letztere Frage kann im allgemeinen Ant- 667 wort nicht erteilt werden; im einzelnen ist sie nach folgenden Gesichtspunkten zu beurteilen:

1.    Wenn irgend ein gesetzmäßiges stetiges System aufgewiesen werden kann, welches Kräfte der gegebenen Form ausübt, so ist bewiesen, daß die gegebene Form den Ansprüchen unserer Mechanik genügt.

2.    Wenn die Unmöglichkeit nachgewiesen werden kann, ein solches System aufzufinden, so ist gezeigt, daß die gegebene Form unserer Mechanik widerspricht.

3.    Wenn in der Natur irgend ein System aufgewiesen werden kann, welches erfahrungsmäßig Kräfte der gegebenen Form ausübt, so betrachten wir dadurch zunächst als bewiesen, daß die gegebene Form mit unserer Mechanik verträglich ist.

Trifft keiner der Fälle 1. 2. 3. zu, so muß die gestellte Frage eine offene bleiben. Sollte sich eine Form der Kraft finden, welche nach 2. zurückzuweisen wäre, nach 3. aber zugelassen werden müßte, so wäre damit die Unzulänglichkeit der Hypothese, welche unserer Mechanik zugrunde liegt, und damit die Unzulänglichkeit dieser Mechanik selbst erwiesen.

Abschnitt 6. Von den Unstetigkeiten der Bewegung.

Erläuterungen und Bemerkungen.

668

1. Alle Systeme materieller Punkte, auf welche das Grundgesetz nach seinen Voraussetzungen überhaupt Anwendung finden kann, müssen stetige Zusammenhänge besitzen. Die Koeffizienten aller Bedingungsgleichungen solcher Systeme sind also von vornherein stetige Funktionen der Lage (124). Dies hindert aber nicht, daß diese Funktionen sich in der Nähe gewisser Lagen äußerst schnell ändern, so daß die Gleichungen schon in sehr benachbarten Lagen endlich verschiedene Koeffizienten haben.

669

2. Wenn das betrachtete System durch eine solche Lage sehr schneller Änderung hindurchgeht, so erfordert die vollständige Kenntnis seiner Bewegung die vollständige Kenntnis der Bedingungsgleichungen auch während der schnellen Änderung derselben. Gewisse Aussagen über die Bewegung aber lassen sich fällen, auch wenn die Form der Bedingungsgleichungen des Systems nur vor und hinter der Stelle ihrer schnellen Änderung gegeben ist. Beschränken wir uns auf diese Klasse von Aussagen, so ist es analytisch einfacher, auf die besondere Art der Änderung keine Rücksicht zu nehmen, und die Bedingungsgleichungen so zu behandeln, als ob ihre Koeffizienten unstetig wären. In diesem Falle ist die Auffassung des Systems als eines unstetigen bedingt durch die freiwillige Beschränkung unserer Behandlung desselben.

3. Es kann aber auch geschehen, daß unsere physikalischen Mittel uns zwar erlauben, den Zusammenhang eines Systems im übrigen vollständig zu erforschen, daß sie aber nicht ausreichen, ihn zu erforschen an den Stellen der sehr schnellen Änderung, obwohl wir überzeugt sind, und etwa auch physikalisch nachweisen können, daß dieser Zusammenhang auch hier ein stetiger ist. Trifft dies ein, so sind wir gezwungen, den Zusammenhang analytisch als einen unstetigen

darzustellen, wenn wir nicht auf eine einheitliche Darstellung desselben überhaupt verzichten wollen. In diesem Falle ist dann die Auffassung des Systems als eines unstetigen bedingt durch die unfreiwillige Beschränktheit unserer Kenntnis von dem System.

4. Sind uns umgekehrt unmittelbar analytisch die Koeffizienten der Bedingungsgleichungen eines Systems als unstetige Funktionen der Lage gegeben, ohne Angabe, wie diese Funktionen ermittelt sind, so setzen wir voraus, daß einer der beiden vorher erwähnten Fälle vorliege. Wir betrachten also die gegebenen Gleichungen nur als eine unvollständige und angenäherte Angabe der wahren, stetigen Form derselben. Wir nehmen also auch eo ipso an, daß man nicht eine vollständige Bestimmung der Bewegung eines solchen Systems von uns verlange, sondern nur die Angabe derjenigen Aussagen, welche sich trotz der unvollständigen Kenntnis des Systems tun lassen unter der Voraussetzung, daß an den Unstetigkeitsstellen der unbekannte Zusammenhang in Wirklichkeit ein stetiger sei.

5. Geht ein System mit endlicher Geschwindigkeit durch 072 eine Stelle sehr schneller Änderung hindurch, so erleiden seine Bedingungsgleichungen in verschwindender Zeit endliche Änderungen. Ist das System während des ganzen Verlaufs auch in Wirklichkeit, wie es das Grundgesetz voraussetzt, ein gesetzmäßiges, so gewinnt es doch den Anschein, als erlitte seine Gesetzmäßigkeit zur Zeit des Durchgangs durch jene Lage einen Bruch, ohne daß in Wahrheit ein solcher stattfände.

Ist uns also analytisch ein System gegeben, dessen im übrigen von der Zeit unabhängige Bedingungsgleichungen zu einer bestimmten Zeit in neue Formen überspringen, so betrachten wir diese Bedingungsgleichungen zu dieser Zeit nur als angenäherte Vertreter eines anderen, uns unbekannten, vielleicht viel verwickelteren, aber jedenfalls nicht nur stetigen, sondern auch gesetzmäßigen Zusammenhangs. Wir nehmen also auch an, daß man nicht eine vollständige Bestimmung der Bewegung des Systems von uns verlange, sondern nur die Angabe derjenigen Aussagen, welche sich trotz der vorhandenen Unkenntnis

nach dem Grundgesetz aussagen lassen unter der Voraussetzung, daß auch zur Zeit der Unstetigkeit der wahre Zusammenhang des Systems ein stetiger und gesetzmäßiger sei.

673

6. Indem wir alle Unstetigkeitslagen und -Zeiten in der vorerwähnten Weise auffassen, haben wir freilich auf die Behandlung wirklich unstetiger Systeme verzichtet. Auf solche würde auch das Grundgesetz eine Anwendung gar nicht gestatten. Einen Verzicht auf die Behandlung irgendwelcher natürlicher Systeme bedeutet aber diese Einschränkung nicht, da alles uns zu der Annahme berechtigt, daß in der Natur wohl scheinbare, aber keine wirklichen Unstetigkeiten Vorkommen. Daß der Durchgang der Systeme durch scheinbare Unstetigkeitslagen nicht vollständig durch das Grundgesetz allein bestimmt ist, entspricht auch vollständig der physikalischen Erfahrung, daß die Kenntnis eines Systems vor und hinter einer Unstetigkeitsstelle nicht hinreicht, um die Änderung der Bewegung beim Durchgang durch die Stelle vollständig zu ermitteln.

Von der Stoßkraft oder dem Stoß.

674

Bemerkung. Durchläuft ein System eine Unstetigkeitslage, so erleidet seine Geschwindigkeit eine Änderung von endlicher Größe. Die Differentialquotienten seiner Koordinaten nach der Zeit springen plötzlich auf neue Werte über.

Denn unmittelbar vor und hinter der Unstetigkeitsstelle müssen diese Differentialquotienten, und also die Komponenten jener Geschwindigkeit, linearen Gleichungen mit endlich verschiedenen Koeffizienten genügen.

Folgerung 1. Beim Durchgang durch eine Unstetigkeitslage wird die Beschleunigung unendlich groß, jedoch in solcher Weise, daß das Zeitintegral der Beschleunigung, genommen über die Zeit des Durchgangs, im allgemeinen einen endlichen Wert behält.

Denn dieses Zeitintegral ist die im allgemeinen endliche Änderung der Geschwindigkeit.

Folgerung 2. Erleiden die Bedingungsgleichungen des 676 einen von zwei oder mehreren gekoppelten Systemen eine Unstetigkeit, so wird beim Durchgang durch diese Unstetigkeit die zwischen den Systemen auftretende Kraft im allgemeinen unendlich groß, jedoch in solcher Weise, daß das Zeitintegral der Kraft, genommen über die Zeit des Durchgangs, endlich bleibt.

Denn im allgemeinen werden die Komponenten der Beschleunigung des unstetigen Systems auch nach den gemeinsamen Koordinaten im Sinne der Folgerung 1 unendlich werden.

Da aber die Koeffizienten der Bedingungsgleichungen auch während der Unstetigkeit endlich bleiben, so ist die Kraft von der Ordnung der Beschleunigung.

Definition. Stoßkraft oder kurz Stoß heißt das Zeit- 677 integral der während des Durchgangs durch eine Unstetigkeitsstelle von einem System auf ein anderes ausgeübten Kraft, genommen über die Dauer des Durchgangs durch die Unstetigkeitsstelle.

Anmerkung. Bei endlicher Geschwindigkeit aller betrach- 678 teten Systeme können endliche und unendlich kleine, nicht aber unendlich große Stöße Vorkommen. Wir setzen die Stöße im folgenden als endlich voraus.

Folgerung 1. Zu jedem Stoß gibt es immer einen 679 Gegenstoß. Er ist das Zeitintegral der Kraft, welche das als zweites bezeichnete System auf das in der Definition zuerst genannte ausübt.

Folgerung 2. Ein Stoß wird stets ausgeübt von einem 680 System, welches eine Unstetigkeit seiner Bewegung erleidet, und ausgeübt auf ein System, welches eine Unstetigkeit seiner Bewegung erleidet; er ist nicht denkbar ohne zwei solcher einander beeinflussender Systeme.

Aus denselben Gründen wie bei der Kraft können wir uns aber erlauben, von Stößen schlechthin zu reden, ohne ausdrücklich der Systeme zu gedenken, von welchen oder auf welche sie ausgeübt werden.

Folgerung 3. Ein Stoß kann stets betrachtet werden 681 als Vektorgröße, sowohl in bezug auf das System, welches

19

Hertz, Mechanik. 2. Aufl.

ihn ausübt, als auch in bezug auf das System, auf welches er ausgeübt wird. Seine Komponenten nach den gemeinsamen Koordinaten sind im allgemeinen von Null verschieden; seine Komponenten nach den nicht gemeinsamen Koordinaten sind Null; seine Komponenten in Richtungen, welche sich nicht durch Änderungen der benutzten Koordinaten ausdrücken lassen, bleiben unbestimmt.

Denn die gleiche Behauptung gilt von der Kraft, von welcher der Stoß das Zeitintegral ist.

682

683

Bezeichnung. Erleidet ein System mit den Koordinaten pe eine Unstetigkeit seiner Bewegung, so wollen wir die Komponenten des Stoßes, welcher auf das System wirkt, nach den pe mit JQ bezeichnen. Die Komponenten des Stoßes aber, welchen das System ausübt, nach den pe, sollen mit J'Q bezeichnet werden. Für das zweite System, dessen Koordinaten wir mit    bezeichnen, mögen die entsprechenden Größen mit

und    bezeichnet werden (vergl. 467). Identisch ist dann:

Jo = % ,

\$q — Jq

Lehrsatz. Stoß und Gegenstoß sind einander stets entgegengesetzt gleich, d. h. es sind die Komponenten beider nach jeder Koordinate entgegengesetzt gleich, und zwar sowohl wenn wir beide Größen betrachten als Vektorgrößen in bezug auf das eine, als auch in bezug auf das andere System.

Denn Stoß und Gegenstoß können auch betrachtet werden als die Zeitintegrale von Kraft und Gegenkraft (vergl. 468).

In der eingeführten Bezeichnung wird der Lehrsatz wiedergegeben durch die Gleichungen:

Zusammensetzung der Stöße.

Lehrsatz. Ist ein System gleichzeitig mit mehreren Sy- 684 stemen gekoppelt, so ist ein Stoß, welchen die Gesamtheit jener Systeme ansübt, gleich der Summe der Stöße, welche die einzelnen Systeme ausüben.

Denn die Behauptung gilt für jeden Augenblick der Stoßzeit für die wirkenden Kräfte (471), also auch für die Integrale derselben, die Stöße.

Folgerung. Gleichzeitig auf dasselbe System ausgeübte, 685 oder von demselben System ausgeübte Stöße können wie Kräfte zusammengesetzt und zerlegt werden nach den Regeln der Zusammensetzung und Zerlegung von Vektorgrößen überhaupt. Wir reden von den Komponenten eines Stoßes und von resultierenden Stößen in demselben Sinne, in welchem wir von Komponenten der Kraft und von resultierenden Kräften reden. (Vergl. 472 bis 474.)

Definition. Ein Stoß, welcher von einem einzelnen ma- 686 teriellen Punkt oder auf einen einzelnen materiellen Punkt ausgeübt wird, heißt ein Elementarstoß.

Folgerung 1. Jeder Stoß, welcher von einem mate- 687 riellen System oder auf ein materielles System ausgeübt wird, kann zerlegt werden in eine Anzahl von Elementarstößen. (Vergl. 479.)

Folgerung 2. Die Zusammensetzung und Zerlegung der 688 Elementarstöße erfolgt nach den Regeln der Zusammensetzung und Zerlegung geometrischer Strecken. (Parallelogramm der Stöße.) (Vergl. 478.)

Bewegung unter dem Einfluß von Stößen.

Aufgabe 1. Die Bewegung eines materiellen Systems 689 unter dem Einfluß eines gegebenen Stoßes zu bestimmen.

Die Lösung der Aufgabe besteht nur in der Angabe der Änderung, welche die Geschwindigkeit des Systems durch den

19*

(689) Stoß erfährt. Es sei nun das betrachtete System dasselbe wie in 481; bedeuten die Pe die Komponenten der unendlichen Kraft, welche während der Dauer des Stoßes auf das System wirkt, so ist während dieser Dauer nach 481:

a)

k

+ ^"Pxq P« = PQ .

i

Wir multiplizieren diese Gleichung mit dt und integrieren über die Stoßzeit. Da die Werte der Koordinaten während dieser Zeit konstant sind, so ist

»)

wenn wir durch den Index 0 die Größen vor dem Stoße, durch den Index 1 die Größen nach dem Stoße charakterisieren. Wir haben ferner nach 682:

c)

J'Pçdt — Jq ,

und wenn wir noch zur Abkürzung setzen:

d)

PX dt Jy )

so erhalten wir r Gleichungen von der Form:

e)

Da die Geschwindigkeit des Systems vor und nach dem Stoße den Zusammenhängen des Systems genügen muß, so erhalten wir weiter ans den k Bedingungsgleichungen des Systems k Gleichungen von der Form:

(Pf}x Pq„) — 0 ,

welche zusammen mit den Gleichungen e) als r + k nicht homogene, lineare Gleichungen für die /c-fr Größen pei—peo

und oder auch für die k -f- r Größen qei — qQa und 7* angesehen werden können, und welche also diese Größen und damit die Änderung der Geschwindigkeit des Systems eindeutig bestimmen.

Anmerkung 1. Ist uns die Geschwindigkeit des Systems vor 690 dem Stoße gegeben, und sind also die Größen qeo und pea bekannt, so können wir die r Gleichungen 689 e zusammen mit den k Gleichungen 689f, oder, was dasselbe, mit den k Gleichungen

auch auffassen als r -f k nicht homogene, lineare Gleichungen für die r + k Größen pQi und /*, welche also diese Größen und damit die Geschwindigkeit des Systems nach dem Stoße eindeutig bestimmen.

Anmerkung 2. Wenden wir rechtwinklige Koordinaten 691 an, und bezeichnen wir die Komponente des Stoßes nach der Koordinate xv mit Iv, so nehmen die Gleichungen des Stoßes die Form der 3n Gleichungen an:

///

V {i'V₁    %V₀) “h    XIV II- Iv ;

1

a)

welche zusammen mit den i aus den Bedingungsgleichungen abgeleiteten Gleichungen:

3n

b)

Xiv ipvx — XVP = 0

1

die 3 n Komponenten xVi — xVo der Geschwindigkeitsänderung und die i Hilfsgrößen 7t eindeutig bestimmen.

Anmerkung 3. Ist die Koordinate pQ eine freie Koordi- 692 nate, so sind die entsprechenden Größen p„s gleich Null, und die auf pe bezügliche Stoßgleichung nimmt die einfache Form an:

Sind in einem holonomen System alle Koordinaten freie Koordinaten, so nehmen alle Gleichungen diese Form an, und die so entstehenden r Gleichungen genügen zur Bestimmung der r Größen pei — pßn, welche bekannte lineare Funktionen der durch jene Gleichungen unmittelbar gegebenen qßi— qea sind.

698

694

Folgerung 1 (aus 689). Um ein System aus der Ruhe plötzlich in eine gegebene mögliche Geschwindigkeit zu versetzen, genügt es, dem System einen Stoß zu erteilen, welcher nach Richtung und Größe gleich ist dem Produkt aus der gegebenen Geschwindigkeit und der Masse des Systems.

Denn sind die qQo = 0, und genügen die gegebenen pei an sich den Bedingungsgleichungen, so genügt die Annahme:

Jx = 0 Jq ⁼ Ççi

den Gleichungen 689 e und f.

Folgerung 2. Um ein bewegtes System in seiner augenblicklichen Lage plötzlich zur Ruhe zu bringen, genügt es, dem System einen Stoß zu erteilen, welcher nach Richtung und Größe entgegengesetzt gleich ist dem Produkt aus der Geschwindigkeit des Systems in seine Masse.'

Denn sollen die qSl — 0 werden, und genügen die pß0 den Bedingungsgleichungen des Systems, so genügt die Annahme:

/*-o

Jq= — qfç₀

den Gleichungen 689 e und f.

Lehrsatz. Die Geschwindigkeitsänderung, welche mehrere gleichzeitig wirkende Stöße einem System erteilen, ist die Summe der Geschwindigkeitsänderungen, welche die Stöße, einzeln wirkend, dem System erteilen würden.

Als gleichzeitig wirkend sind dabei alle Stöße bezeichnet, welche innerhalb einer verschwindend kleinen Zeit erfolgen,

ohne Rücksicht auf ihre etwaigen Zeitunterschiede oder ihre Reihenfolge innerhalb dieser Zeit.

Der Satz folgt (vergl. 485) aus der linearen Form der Gleichungen 689 e, f, er kann aber auch als unmittelbare Folgerung des Satzes 485 angesehen werden.

Anmerkung. Der Inhalt des vorigen Lehrsatzes kann auch 696 wiedergegeben werden in der oft benutzten Form der Aussage, daß mehrere gleichzeitig erfolgende Stöße sich hinsichtlich der Geschwindigkeit, welche sie erzeugen, nicht stören.

Lehrsatz. Steht die Richtung eines Stoßes senkrecht auf 697 jeder möglichen Verrückung des Systems, auf welches er wirkt, so übt der Stoß keinen Einfluß aus auf die Bewegung des Systems. Und umgekehrt: Übt ein Stoß keinen Einfluß aus auf die Bewegung des Systems, auf welches er wirkt, so steht er senkrecht auf jeder möglichen Verrückung desselben.

Der Satz kann als unmittelbare Folgerung des Satzes 488 angesehen werden oder auch in entsprechender Weise aus den Gleichungen 689 e, f abgeleitet werden.

Anmerkung. Obwohl also aus der Angabe eines Stoßes 698 eindeutig die Bewegungsänderung erschlossen werden kann, welche er erzeugt, so kann doch nicht umgekehrt aus einer plötzlichen Bewegungsänderung eindeutig auf den Stoß geschlossen werden, welcher sie erzeugt hat.

•

Aufgabe 2. Die Stoßkraft zu bestimmen, welche ein 699 materielles System bei gegebener plötzlicher Bewegungsänderung ausübt.

Nach 682 sind die Komponenten des gesuchten Stoßes zu bezeichnen mit J', und nach 683 und 689 e sind dieselben:

Hierin sind die gßl und qeo durch die Angaben der Aufgabe bestimmt, die J* aber sind nicht gegeben, solange nicht auch die Bewegung des zweiten Systems gegeben ist, auf welches der Stoß ausgeübt wird. Die Lösung der Aufgabe

ist also nicht eine bestimmte, sondern enthält einen unbestimmt bleibenden Summanden, welcher einen auf jeder möglichen Verrückung des Systems senkrechten Stoß darstellt (250).

700

701

Anmerkung 1.    Obwohl von    dem    Stoß,    welchen    ein

System bei plötzlicher Bewegungsänderung ausübt, nicht alle Komponenten durch die Bewegungsänderung des Systems bestimmt sind, so sind doch alle Komponenten in Richtung einer möglichen Bewegung durch jene Bewegungsänderung bestimmt.

Anmerkung 2.    Obwohl von    dem    Stoß,    welchen    ein

System bei plötzlicher Bewegungsänderung ausübt, nicht alle Komponenten durch die Bewegungsänderung des Systems bestimmt sind, so ist doch jede Komponente in Richtung einer freien Koordinate durch die Bewegungsänderung eindeutig bestimmt.

702

Anmerkung 3. Ist pe eine freie Koordinate, so kann der nach dieser Koordinate ausgeübte Stoß geschrieben werden in den Formen:

JQ>

SPE

dpE

dpe )i \dpQ )o

Innerer Zwang beim Stoße.

703

Bemerkung 1. Trifft ein Stoß ein System materieller Punkte, zwischen welchen keine Zusammenhänge bestehen, so erfolgt eine Geschwindigkeitsänderung, deren Richtung die Richtung des Stoßes ist, und deren Größe gleich ist der Größe des Stoßes, dividiert durch die Masse des Systems.

Bemerkung 2. Bestehen Zusammenhänge zwischen den Punkten des gestoßenen Systems, so weicht die Geschwindigkeitsänderung im allgemeinen ab von der durch die vorige Bemerkung gegebenen. Als Ursache dieser Abweichung können wir also die Zusammenhänge des Systems betrachten.

Definition. Inneren Zwang beim Stoße oder kurz Zwang 705 beim Stoße nennen wir die Abänderung, welche die sämtlichen Zusammenhänge eines Systems an der Geschwindigkeitsänderung des Systems beim Stoße hervorbringen.

Der Zwang beim Stoße wird gemessen durch den Unterschied zwischen der wirklichen Geschwindigkeitsänderung und derjenigen Geschwindigkeitsänderung, welche bei Aufhebung sämtlicher Bedingungsgleichungen des Systems eintreten würde; er ist gleich ersterer, vermindert um letztere.

Folgerung. Der Zwang beim Stoße ist das Zeitintegral 70G des inneren Zwanges des Systems während des Stoßes, genommen über die ganze Dauer desselben.

Aufgabe. Den Zwang eines Systems bei einem Stoße zu 707 bestimmen.

Wir bezeichnen die Komponenten des Zwanges nach den Koordinaten pQ mit Ze. Indem wir nun die Gleichung 497 a mit m dt multiplizieren, und über die Dauer des Stoßes integrieren, erhalten wir:

a)

mZç — q^ qQo

Zur Bestimmung der Größe des Zwanges reichen die Komponenten nach beliebigen Koordinaten im allgemeinen nicht aus. Wenden wir deshalb auch rechtwinklige Koordinaten an und bezeichnen die Komponente des Zwanges nach xv mit Zv, so erhalten wir:

b)

mZv = mv (xVi — xv0) — Iv ,

also wird die Größe Z des Zwanges die positive Wurzel der Gleichung:

3 n    /

mZ² = 2V mv Ixpj

mv

Lehrsatz 1. Die Größe des Zwanges beim Stoße fällt 708 kleiner aus für die natürliche Bewegungsänderung, als sie aus-fallen würde für irgend eine andere mögliche Bewegungsänderung.

Denn als notwendige und hinreichende Bedingung dafür, daß bei gegebenen Werten der Iv die Größe \mZ² ein Minimum werde, erhalten wir (vergl. 155, 498) die 3n Gleichungen:

Ul

in welchen die It zunächst beliebige unbestimmte Multiplikatoren bedeuten, und welche zusammen mit den i Gleichungen

3 n

%iv (•£#>,    7„₀) ⁼⁼ o

1

die 3 n -J- i Größen xVi — xVo und 7t eindeutig bestimmen. Da aber die Gleichungen zusammenfallen mit den Bewegungsgleichungen 691 des Systems, so wird ihnen genügt durch die natürlichen Geschwindigkeitsänderungen und nur durch diese.

709

710

Anmerkung. Der vorstehende Lehrsatz enthält die Anpassung des Gauss sehen Prinzips des kleinsten Zwanges an die besonderen Verhältnisse des Stoßes.

Folgerung. Verhindern die Zusammenhänge des Systems, daß der Winkel zwischen einem Stoße und ,;der durch ihn hervorgerufenen Geschwindigkeitsänderung gleich Null werde (703), so fällt doch dieser Winkel so klein aus, als es die Zusammenhänge des Systems irgend gestatten.

Denn zeichnen wir ein ebenes Dreieck, dessen Seiten sind die Größe des Stoßes dividiert durch die Masse des Systems, die Größe einer beliebigen möglichen Geschwindigkeitsänderung und die Größe des Unterschiedes beider, also des Zwanges, welcher jener Geschwindigkeitsänderung entspricht, so stellt der von den ersten beiden Seiten eingeschlossene Winkel e den Winkel zwischen Stoß und Geschwindigkeitsänderung dar (34). Eine mögliche GeschwindigkeitsänderuDg von gegebener Richtung kann nun alle Größen annehmen; unter allen Geschwindigkeitsänderungen von gegebener Richtung kann aber nur diejenige die natürliche sein, bei welcher der Zwang senkrecht steht auf der Geschwindigkeitsänderung (708). Be-

schränken wir uns also auf diejenigen Geschwindigkeitsänderungen, welche hiernach noch in Betracht kommen, so sind alle in Betracht zu ziehenden Dreiecke rechtwinklig; die Hypotenuse aller ist gleich und gegeben; die dem Winkel e gegenüberliegende Kathete wird aber für die natürliche Geschwindigkeitsänderung kleiner als für jede andere (708), also wird für diese Geschwindigkeitsänderung der Winkel e selbst ein Minimum, welches die Behauptung ist.

Lehrsatz 2. Die Richtung des Zwanges beim Stoße steht 711 senkrecht auf jeder möglichen (virtuellen) Verrückung des Systems aus seiner augenblicklichen Lage.

Denn nach 707 und 689 lassen sich die Komponenten des Zwanges darstellen in der Form:

l k

PxQ « m ^    ^

der Zwang als Vektorgröße steht also (250) senkrecht auf jeder möglichen Verrückung des Systems. Der Satz kann auch als unmittelbare Folgerung aus dem Satz 500 gezogen werden.

Symbolischer Ausdruck. Bezeichnen wir mit öpQ die 712 Änderungen der Koordinaten pe für eine jede beliebige mögliche Verrückung des Systems, so kann der vorige Satz in die Form der symbolischen Gleichung gekleidet werden:

a)

welche für die rechtwinkligen Koordinaten die Form annimmt:

3 n

b)

[mv (xVl — x„₀) — /„] Öxv = 0

Vergl. 393, 501.

Anmerkung. Der vorige Lehrsatz (711) enthält die An- 713 passung des d’Alembert sehen Prinzips an die besonderen

Verhältnisse des Stoßes, die symbolische Form 712 den gewöhnlichen Ausdruck dieser Anpassung.

714

Folgerung 1. Beim Stoße ist die Komponente der erzeugten Bewegungsänderung in der Richtung jeder möglichen Bewegung gleich der Komponente des Stoßes nach derselben Richtung, dividiert durch die Masse des Systems.

715

716

717

Folgerung 2. Beim Stoße ist die Komponente der erzeugten Bewegungsänderung nach jeder freien Koordinate gleich der Komponente des Stoßes nach dieser Koordinate, dividiert durch die Masse des Systems.

Folgerung 3. Die Geschwindigkeitskomponente eines gestoßenen Systems nach jeder Koordinate der absoluten Lage ändert sich um einen Betrag, welcher gleich ist der Komponente des wirkenden Stoßes nach der gleichen Koordinate, dividiert durch die Masse des Systems, — welches auch immer die Zusammenhänge des Systems sind.

Anmerkung. Auch ohne Kenntnis, oder ohne vollständige Kenntnis des Zusammenhangs der Massen eines Systems können wir demnach doch stets sechs Gleichungen für die Bewegung des Systems unter dem Einfluß eines Stoßes angeben. Wählen wir als Koordinaten der absoluten Lage die sechs Größen ax <z₂ a₃ (o₁ <u₂ co₃, welche wir in 402 einführten j so stellen die sechs Gleichungen, welche wir erhalten, die Anpassung des Prinzips des Schwerpunkts und der Flächen an die besonderen Verhältnisse des Stoßes dar.

Energie, Arbeit.

718

719

Definition. Die Vermehrung der Energie eines Systems infolge eines auf das System ausgeübten Stoßes wird die Arbeit des Stoßes genannt.

Eine etwaige Abnahme der Energie infolge des Stoßes wird als negative Zunahme gerechnet. Die Arbeit eines Stoßes kann demnach positiv oder negativ sein.

Folgerung. Die Arbeit eines Stoßes ist das Zeitintegral

der Arbeit, welche diejenige Kraft leistet, deren Zeitintegral der Stoß ist.

Lehrsatz. Die Arbeit eines Stoßes ist gleich dem Produkt <20 aus der Größe des Stoßes und der in seiner Richtung genommenen Komponente des Mittelwertes der Anfangs- und der Endgeschwindigkeit des Systems.

Denn welches auch in Wahrheit der Verlauf der wirkenden Kraft während der Stoßzeit und die Bewegung des Systems während dieser Zeit ist, die schließliche Bewegung und also die Arbeit des Stoßes wird dieselbe sein, als wirkte die Kraft mit konstanter mittlerer Größe in der Richtung des Stoßes selber. Machen wir aber diese vereinfachende Voraussetzung, so wird erstens die Größe der wirkenden Kraft gleich der Größe des Stoßes dividiert durch die Stoßzeit. Zweitens geht die Geschwindigkeit gleichmäßig sich ändernd aus dem Anfangs- in den Endwert über, und ihr Mittelwert ist das arithmetische Mittel ihres Anfangs- und ihres Endwertes. Die Komponente der während des Stoßes zurückgelegten Bahnstrecke in Richtung des Stoßes ist aber gleich der Komponente jenes Mittelwertes, multipliziert mit der Stoßzeit. Berechnen wir nun nach 513 die von der Kraft während ihrer Dauer, also die vom Stoß geleistete Arbeit, so hebt sich die Stoßzeit heraus, und es folgt die Behauptung.

Anmerkung. Unter Benutzung der bisherigen Bezeich- 7*21 nung ist der analytische Ausdruck des Lehrsatzes die Aussage, daß die Arbeit des Stoßes gleich sei:

Folgerung 1. Die Arbeit eines Stoßes ist gleich dem 722 Produkt des Stoßes und der in seiner Richtung genommenen Komponente der ursprünglichen Geschwindigkeit, vermehrt um das halbe Produkt aus der Größe des Stoßes und der in seiner Richtung genommenen Komponente der durch ihn erzeugten Geschwindigkeitsänderung.

Der analytische Ausdruck hierfür ist die Aussage, es sei die Arbeit des Stoßes gleich:

JqPqo + 2 ^ ^9 fei Ao) »

l    l

welche Aussage mit 721 übereinstimmt.

723

724

Folgerung 2. Die Arbeit eines Stoßes, welcher ein ruhendes System in Bewegung setzt, ist gleich dem halben Produkt aus der Größe des Stoßes und der in seiner Richtung genommenen Komponente der durch ihn erzeugten Geschwindigkeit.

Denn sind die pQo gleich Null, so ist die Arbeit des Stoßes gleich:

Lehrsatz. Ein ruhendes System setzt sich unter dem Einfluß eines Stoßes in derjenigen Richtung in Bewegung, bei welcher der Stoß die meiste Arbeit leistet, d. h. bei welcher er mehr Arbeit leistet, als er leisten würde, wenn wir durch Vermehrung der Zusammenhänge des Systems eine andere Richtung erzwangen. (Sogenannter Satz von Bertrand.)

Denn ist J die Größe des Stoßes, v die Größe der erzeugten Geschwindigkeit, e der Winkel zwischen beiden, so ist für jeden ursprünglichen oder auch vermehrten Zusammenhang nach 714:

v== — COS £

also die Arbeit des Stoßes nach 723 gleich:

Y Jv cos £ =

2m

COS² £    .

Der Winkel e aber nimmt für die natürliche Wirkung des Stoßes nach 710 den kleinsten mit dem ursprünglichen Zusammenhang verträglichen Wert an, e kann also durch Vermehrung der Zusammenhänge nur vergrößert, cos²e also nur verkleinert werden, woraus die Behauptung folgt.

Folgerung. Die Energie, welche ein auf ein ruhendes 725 System treffender Stoß in dem System erzeugt, fällt um so größer aus, je mehr Zusammenhänge des Systems wir auf-lösen. Der größte mögliche Wert jener Energie, welcher aber nur durch Auflösung aller Zusammenhänge erreicht wird, ist gleich dem Quadrat der Größe des Stoßes, dividiert durch die doppelte Masse des Systems.

Zusammenstoß zweier Systeme.

Erläuterungen.

1.    Wir sagen, zwei Systeme stoßen zusammen, wenn sie 72(5 sich so verhalten, als hätten sie während einer sehr kurzen Zeit eine Koppelung erfahren. Diese Koppelung nehmen wir

als eine direkte an, indem wir geeignete Wahl der Koordinaten beider Systeme voraussetzen (452).

2.    Eine solche vorübergehende Koppelung haben wir 727 aufzufassen als eine dauernde Koppelung beider Systeme mit einem dritten, unbekannten System von solcher Beschaffenheit, daß es im allgemeinen keinen Einfluß hat auf die Bewegung jener, daß aber in unmittelbarer Nachbarschaft solcher Lagen, in welchen gewisse Koordinaten des einen Systems gewissen Koordinaten des anderen Systems gleich werden, es diese Koordinaten vorübergehend gleich zu bleiben zwingt. Diese vorübergehend gleichbleibenden Koordinaten nennen wir

die gemeinsamen Koordinaten beider Systeme.

3.    Vor und nach dem Zusammenstöße sind die Ande- 728 rungsgeschwindigkeiten der Koordinaten eines jeden der beiden zusammenstoßenden Systeme lediglich den Bedingungsgleichungen ihres eigenen Systems unterworfen. Während des Stoßes aber sind die Anderungsgeschwindigkeiten der gemeinsamen Koordinaten auch an die Koppelungsgleichungen gebunden. Diese Anderungsgeschwindigkeiten müssen also, wie die Koordinaten selbst, während des Stoßes beziehlich gleich geworden und eine Zeitlang gleich geblieben sein. Die

Zeit aber, in welcher sich diese Vorgänge abspielen, betrachten wir als verschwindend klein, und die Vorgänge in ihr als gänzlich unbekannt. Wir betrachten die Systeme nur vor und nach dem Stoße, und erwarten, daß man von uns auch nur solche Aussagen über den Zusammenstoß verlange, welche sich ohne Kenntnis der Vorgänge während der Stoßzeit aus-sagen lassen.

7*29

Aufgabe. Die Bewegung zweier zusammenstoßender Systeme nach dem Stoße aus ihrer Bewegung vor dem Stoße so weit zu bestimmen, als es ohne Angabe der Vorgänge während der Stoßzeit möglich ist.

Es seien die pe die r Koordinaten des einen, die die r Koordinaten des anderen Systems. Die Zahl der gemeinsamen Koordinaten sei s. Beim Zusammenstoß erfährt jedes der beiden Systeme einen Stoß; es seien die Komponenten des Stoßes, welchen das erste System erfährt die Komponenten des Stoßes, welchen das zweite System erfährt, seien    Die Größen vor und nach dem Stoße seien wieder

durch die Indices 0 und 1 bezeichnet.

Nun gelten erstens für alle Koordinaten des ersten Systems Gleichungen von der Form 689 e und für alle Koordinaten des zweiten Systems die entsprechenden Gleichungen. Zweitens stehen die Stöße, welche die beiden Systeme erhalten, im Verhältnis von Stoß und Gegenstoß, also ist für alle gemeinsamen Koordinaten nach 682 und 683:

Jq=

und für alle nicht gemeinsamen Koordinaten beider Systeme:

Verbinden wir beide Beziehungen miteinander, so erhalten wir für die s gemeinsamen Koordinaten s Gleichungen von der Form:

a)

während wir für die (r — s) + (r — s) nicht gemeinsamen Koordinaten r — s Gleichungen von der Form:

h)

und r — s Gleichungen der Form:

c)

erhalten. Die Gleichungen a) 1)) c), zusammen mit den h + t Bedingungsgleichungen beider Systeme dürfen wir auffassen als Gleichungen für die Anderungsgeschwindigkeiten pQi und welche die Bewegung des Systems nach dem Stoße bestimmen, und für die Hilfsgrößen Jy und £5*. Wir haben also im ganzen r-f-r — s-f-Ä + f nicht homogene, lineare Gleichungen, welchen die r + r-f-Ä + f Unbekannten genügen müssen, und welche diejenigen Aussagen enthalten, welche die Aufgabe verlangte.

Anmerkung. Sind die Koordinaten pe und pe freie Koor- 730 dinaten ihrer Systeme, so können die Gleichungen des Zusammenstoßes in einfacherer Form geschrieben werden. Es werden nämlich erhalten durch Berücksichtigung der gemeinsamen Koordinaten s Gleichungen der Form:

a)

9 Qt + % = 9qo +    »

durch Berücksichtigung der nicht gemeinsamen Koordinaten des ersten Systems r — s Gleichungen der Form:

b)

Sk = 9q₀ >

durch Berücksichtigung der nicht gemeinsamen Koordinaten des zweiten Systems r — s Gleichungen der Form :

c)

% ~ %o *

zusammen also r + r — s Gleichungen für die zu bestimmenden r -t- r Unbekannten pQi und pei.

Hertz, Mechanik. 2. Aufl.

Folgerung 1. Die Bewegung zweier Systeme nach ihrem Zusammenstoß ist durch ihre Bewegung vor dem Zusammenstoß und durch die allgemeinen Gesetze der Mechanik noch nicht vollständig bestimmt, sondern es erfordert ihre Bestimmung noch die Angabe weiterer, aus anderen Quellen geschöpfter Beziehungen. Die Zahl dieser weiteren notwendigen Beziehungen ist gleich der Zahl der gemeinsamen Koordinaten, welche beim Zusammenstoß auftreten.

731

732

Folgerung 2. Ist es bei einem Zusammenstoß möglich, neben den Beziehungen, welche aus den allgemeinen Gesetzen der Mechanik folgen, noch so viele lineare Gleichungen für die Geschwindigkeitskomponenten nach dem Stoße anzugeben, als gemeinsame Koordinaten auftreten, so ist die Bewegung nach dem Zusammenstoß durch die Bewegung vor demselben eindeutig bestimmt.

733

Anmerkung. Die besonderen Beziehungen, welche zur Bestimmung der Bewegung beim Zusammenstoß notwendig sind, und welche nicht aus den allgemeinen Gesetzen der Mechanik folgen, hängen ab von der besonderen Natur desjenigen Systems, welches die Koppelung bewirkt, und dessen Eigentümlichkeiten im einzelnen uns verborgen sind. Dies verborgene System ist es auch, welches die Energie aufnimmt, welche etwa aus den zusammenstoßenden Systemen verschwindet, oder welches die Energie liefert, welche in den zusammenstoßenden Systemen etwa gewonnen wird. Der erste Fall tritt z. B. ein beim unelastischen Stoße, bei welchem die unmittelbare Nachbarschaft des Stoßpunktes als das koppelnde System anzusehen ist. Der zweite Fall tritt z. B. ein bei Stößen, welche Explosionen auslösen. Die Einzelbetrachtung dieser besonderen Verhältnisse aber gehört nicht mehr in die allgemeine Mechanik.

Sclilußbemerkuiig zum zweiten Buch.

In diesem zweiten Buche wollten wir nicht mehr denknotwendige Beziehungen zwischen den Schöpfungen unseres eigenen Geistes erörtern, sondern wir wollten erfahrungsmäßige Zusammenhänge zwischen Gegenständen der äußeren

Beobachtung betrachten. Es war deshalb unumgänglich, daß sich unsere Betrachtung stütze nicht allein auf die Gesetze unseres Geistes, sondern auch auf die Ergebnisse früherer Erfahrung. Als notwendigen Beitrag der Erfahrung entnahmen wir daher unserer Beobachtung der Natur das Grundgesetz.

Es mußte freilich zunächst scheinen, als sei das Grund- 735 gesetz bei weitem nicht hinreichend, um die ganze Fülle der Tatsachen zu umspannen, welche die Natur uns darbietet, und deren Darstellung die bestehende Mechanik auch bereits leistet. Denn während das Grundgesetz stetige und gesetzmäßige Zusammenhänge voraussetzt, trägt uns die tägliche Anwendung auch unstetige und ungesetzmäßige Zusammenhänge entgegen. Und während das Grundgesetz ausdrücklich nur von freien Systemen redet, sind wir gezwungen, auch unfreie Systeme zu behandeln. Selbst die gesetzmäßigen, stetigen, freien Systeme der Natur fügen sich nicht alle ohne weiteres . dem Grundgesetz, sondern scheinen ihm zum Teil zu widerstreiten. Wir sahen nun aber, daß wir auch ungesetzmäßige und unstetige Systeme behandeln konnten, indem wir ihre Ungesetzmäßigkeiten und Unstetigkeiten als scheinbare ansahen; daß wir auch die Bewegung der unfreien Systeme verfolgen konnten, indem wir sie als Teile von freien Systemen auffaßten; daß endlich auch die dem Grundgesetz scheinbar widerstreitenden Systeme ihm unterworfen werden konnten, wenn wir die Möglichkeit verborgener Massen in ihnen zuließen. Obwohl wir neben dem Grundgesetz weder andere Erfahrungstatsachen, noch irgend willkürliche Annahmen zuließen, konnten wir uns doch über das ganze Gebiet verbreiten, welches die Mechanik überhaupt beherrscht. Unsere besondere Hypothese hindert uns auch nicht, zu verstehen, daß sich die Mechanik so entwickeln konnte und entwickeln mußte, wie sie sich tatsächlich entwickelt hat.

Insofern also können wir am Schlüsse behaupten, daß 736 das Grundgesetz nicht nur notwendig, sondern daß es auch hinreichend sei, um den Anteil der Erfahrung an den allgemeinen Gesetzen der Mechanik erschöpfend darzustellen.

;

•:

,

Nachweis

der Definitionen und Bezeichnungen.

(Die beigesetzten Zahlen bedeuten die Nummern.)

367.

naten 71, 241.

Abstand zweier Lagen 29. Adiabatische Bewegung 560. Analytische Energie 611.

Arbeit einer Kraft, eines Stoßes 510, 718.

Bahn eines Systems 97. Bahnelement 98. Bedingungsgleichungen 131. Beschleunigung 273.

Bewegung 256. Bewegungsfreiheiten 134. Bewegungsgleichungen 367. Bewegungsgröße 268.

Cyklische Intensität 549.

Cyklische Koordinate 546. Cyklisches System 549.

Denkbare Bewegung 257.

— Lage 11.

Differentialgleichungen der Bewegung

Differentialgleichungen eines Systems 131.

Differenz zweier Verrückungen 51. Dissipative Systeme, Kräfte 663.

Elementarkraft 475.

Elementarstoß 686.

Energie 282.

Entfernung zweier Lagen 29. Entropie 585.

Fläche von Lagen 200.

Freie Koordinate 139.

Freies System 122.

Gegenkraft 456.

Gegenstoß 679.

Gekoppelte Systeme 450.

Geleitete Bewegung 431.

Geleitetes System 431. Gemeinsame Koordinaten 452. Geodätische Bahn 171.

Gerade Bahn 101.

Geraderes Bahnelement 151. Geradestes Bahnelement 152. Geradeste Bahn 153.

— Entfernung 215. Geschwindigkeit 261. Gesetzmäßiger Zusammenhang 119. Gleiche Verrückungen 25, 41. Gleichförmige Bewegung 263. Gleichgewicht 517.

Gleichgerichtete Verrückungen 25, 41.

Grad der Bewegungsfreiheit 134. Größe einer Verrückung 23, 29.

Holonomes System 123.

Identische Verrückungen 25, 41. Innerer Zusammenhang 117.

—    Zwang 385.

—    — beim Stoße 705.

Isocyklische Bewegung 560.

Kinetische Energie 605. Komponente einer Verrückung 48. Komponenten einer    Kraft 473.

—    eines    Stoßes 685.

—    eines    Vektors 241.

—    nach    den Koordi

Konfiguration 14. Konfigurationskoordinate 15. Konservative Systeme, Kräfte 601, 662.

Koordinate der absoluten Lage 16. Koppelung 450.

Kraft 455.

Kräfte nach den Koordinaten 460. Kräftefunktion 563.

— eines konservativen Systems 603. Krümmung einer Bahn 103. Kürzeste Bahn 166.

Verrückung 23, 29.

Moment 268.

Momente nach den Koordinaten 268. Monoeyklisches System 549.

(Die Zahlen bedeuten die Nummern.)

Resultierender Stoß 685.

Richtung einer    Bahn 99.

—    —    Koordinate 69.

—    —    Vektorgröße 239.

—    —    Verrückung 24,    39.

Richtungsunterschied zweier Verrückungen 34, 43.

Verrückung 22, 27.

beim Stoße 705.

Lage 9, 10, 54.

Länge einer Bahn 99.

Lebendige Kraft 605.

Maschine 531.

Masse 4.

Massenteilchen 3.

Materieller Punkt 5. Materielles System 121. Mathematische Energie 611. Modell eines Systems 418. Mögliche Bahnen, Lagen 112. — Bewegung 258.

— Verrückungen 111.

Natürliche Bewegung 312. Neigungzweier Verrückungen 34,43. Nicht-konservative Systeme, Kräfte 663.

Parallele Verrückungen 25, 41. Parameter 549.

Potentielle Energie 605.

Quadratischer Mittelwert 28.

Reduzierte Komponente 71, 241. Resultante von Kräften 472.

Schar von Flächen 209.

Senkrecht aufeinander stehende Ver-rückungen 45.

Senkrecht auf einer Fläche stehende Verrückung 206.

Senkrechte Trajektorie 211. Sichtbare Massen, Bewegungen, Koordinaten 595.

Stetiger Zusammenhang 115.

Stoß, Stoßkraft 677.

Summe zweier Verrückungen 50. System materieller Punkte 6.

— mit verborgenen Massen 594.

Unendlich kleine Verrückung 54. Unmögliche Verrückungen 111.

Vektorgröße 237.

Verborgene Massen, Bewegungen, Koordinaten 595.

in Richtung einer Ko

ordinate 69.

Verrückung senkrecht auf einer Fläche 206.

Verrückungen senkrecht auf einander 45.

Virtuelle Verrückungen 111.

Winkel zweier Verrückungen 34, 43. Wirkung 613.

Zusammenhang 109. Zustand eines Systems 261. Zwang 385.

(Die Zahlen bedeuten die Nummern.)

Xy

Die Sn rechtwinkligen Koordinaten eines Systems 13. pe,    Die r bez. x allgemeinen Koordinaten eines Systems 13.

rnv

Masse eines materiellen Punktes 31. m, nt Gesamtmasse eines Systems 31.

ds

Länge einer unendlich kleinen Verrückung, eines Bahnelements 55, 57.

s,Pe

Ctygj ) Qqo ) hr,o 5 Of/CT ) fofJO

Neigung des Bahnelements ds gegen die Koordinate pe 75.

57, 64; 553.

Krümmung einer Bahn 105. xiV, PxQi pxg Koeffizienten der Bedingungsgleichungen 128, 130.

Xv, P*,    Multiplikatoren 368, 371.

Geradeste Entfernung eines Systems 217.

Die Zeit 260.

Größe der Geschwindigkeit eines Systems 265.

Reduzierte Komponenten der Momente eines Systems 269.

fe

Größe; reduzierte Komponenten der Beschleunigung 275, 277.

JEnergie eines Systems 283. iGesaintenergie eines konservativen Systems 608.

Energie eines cyklischen Systems 553.

Potentielle Energie eines konservativen Systems 606.

Kinetische Energie eines konservativen Systems 606.

Pg, Pg,    Xv Reduzierte Komponenten einer Kraft 460,467,482; 552.

Iv

dp, dp, dp, dą

Akzente [x'v, x"v, pe, usw.) bezeichnen Differentialquotienten nach der

Bahnlänge, wo nicht anderes angegeben 100.

Punkte (pQ, qe, figi usw.) bezeichnen Differentialquotienten nach der

Zeit 260.

Pe>> Vo> usw0 ²¹⁷-

eines Stoßes 682, 691.

90, 288, 606; 553.

590.

Indices 0 und 1 (p 588.

Pe

<O₀ *

S. 61

(Die Zahlen bedeuten die Nummern.)

d’Alemberts Prinzip 394, 448, 502, 713.

Hamiltons Prinzip 360, 440, 631.

—    Form der Bewegungsgleichungen    380.

—    Funktion 623.

—    charakteristische Funktion    412,    649.

—    Prinzipalfunktion 415, 655.

jACOBische Prinzipalfunktionen und charakteristische Funktionen 417. LAGKANGESche Bewegungsgleichungen 369, 374.

—    Gleichgewichtsbedingungen 525.

— Kräfte 476.

—    Funktion 621.

Newtons Lex prima 383.

—    Lex secunda 495.

—    Lex tertia 469.

Prinzip der Erhaltung der Energie 340, 441.

—    der kleinsten Wirkung, Maupertüis’ Form 355, 441, 640.

—    —    —    —    JACOBische Form 349, 441, 638.

des kleinsten Zwanges 390, 448, 709.

des Schwerpunktes und der Flächen 404, 406, 508, 509, 717. der virtuellen Geschwindigkeiten 520.

—    — Arbeit 521.

PoissoNSche Form der Bewegungsgleichungen 377.

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