WYDZIAŁY POLITECHNICZNE KRAKÓW

BIBLIOTEKA GŁÓWNA

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Biblioteka Politechniki Krakowskiej

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Ced?ntfd?es Bureau für ben 2IusButl ber ^octyœajjerflüjje.

DAS GESETZ

DER

TRANSLATION DES WASSERS

IN REGELMÄSSIGEN

KANÄLEN, FLÜSSEN UND RÖHREN

VON

T. CHRISTEN

OBERFÖRSTER

MIT EINER LITHOGRAPHIERTEN TAFEL

(EccbniiAcr- Sureau fto bêit 2IusI*fttt öer T}od}tt>afterflüfje.

LEIPZIG

VERLAG VON WILHELM ENGELMANN

1903

Eingetragen im Bibliotheksbuch unter

Alle Rechte Vorbehalte n.

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13535

Druck der Kgl. Universitätsdruckerei von H. Stürtz in Würzburg.

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Vorwort.

Vorliegende Schrift entspringt nicht dem Bedürfnisse nach einer neuen Interpolationsformel, besitzen wir doch solcher eine fast übergrosse Menge, worunter für zahlreiche Fälle der technischen Praxis vollkommen ausreichende. Ihr Titel besagt vielmehr, dass der Verfasser derselben überzeugt ist, das schon so lange gesuchte Naturgesetz, die mathematische Funktion für die sogenannte „rollende¹¹ Bewegung des Wassers gefunden zu haben. Es ist ihm dies auf empirischem Wege durch Untersuchung der Bazin’sehen Kanalversuche in anderer als bisher verfolgter Richtung gelungen, und es zeigte sich alsbald das an den Kanälen gefundene Gesetz auch an allen übrigen regelmässigen Gerinnen bestätigt. Einige noch bestehende Lücken in den von der Literatur gebotenen Versuchen, wie z. B. an offenen Kanälen von grosser Wassertiefe bei geringer Breite und an rechtwinkligen Röhren, wurden durch neue Experimente auszufüllen gesucht, und ich habe mich bestrebt, die ganze bisherige und neugewonnene Kenntnis über diese Materie darzustellen, in der Hoffnung, da und dort das Interesse an derselben beleben zu können.

Manches ist hier nur in Skizze ausgeführt, was eine sorgfältigere Aus arbeitung verdient hätte; stellenweise dürfte auch die Form des Gebotenen zu wünschen übrig lassen, und ich muss bitten, bestehende Unvollkommenheiten in der Darstellung, welche teilweise der mangelnden Musse zuzuschreiben sind, mit Milde zu beurteilen. Mögen Berufenere als der Unterzeichnete die noch bestehenden Lücken in der Erkenntnis dieser dynamischen Gesetze bestmöglichst ausfüllen, möge namentlich auch die streng methodische Hydrodynamik sich des vorliegenden Materials bemächtigen!

Für den Praktiker habe ich eine neue und sichere Grundlage seiner Berechnungen geschaffen.

Da die meisten Berechnungen mittelst eines 35 cm langen Tavernier-Rechenschiebers geschahen, so kann für die 4. Dezimale der Rechnungsergebnisse nicht unbedingt garantiert werden, sondern es können hier Differenzen um 1—2 ausnahmsweise auch um 3 Einheiten eintreten.

Um den Text durch den Literaturnachweis nicht zu sehr zu verunstalten, wurde auf eine Reproduzierung der angeführten Werke auf den betreffenden Seiten verzichtet, und es beziehen sich die bei den bezüglichen Stellen angebrachten Indices auf das im Anhänge beigegebene Literatur-Verzeichnis.

Zum Schluss sei noch besonders auf die ebenfalls im Anhänge beigegebene Wurzeltabelle aufmerksam gemacht, mittelst welcher sich die Berechnungen nach meinen Formeln sehr rasch und sicher vollziehen.

Zweisimmen, im Juni 1902.

T. Christen,

Erfinder des „Baum-Höhenmessers“.

Inhalts - Verzeichnis.

Seite

I. Abschnitt: Einleitung und Geschichtliches............

¹ Hydrodynamik und Hydraulik.................

Bezeichnungen.......................

Ältere Hydraulik, mit den Arbeiten von Pitot, Brahms, de Chézy, Du-buat, Coulomb, Girard, de Prony, Eytelwein, Dupuit, Gerstner, D’Aubuisson, Boileau, Grebenau, Humphreys-Abbot, Funk.

Neuere Arbeiten von Weisbach, Zeuner............

Die ausgedehnten Versuche von Darcy und Bazin........

Neueste Literatur, von Levy, Hagen, Iben, Fanning, Humber, Frank, ferner von Ganguillet und Kutter, Gaukler, Kresnik.

Lueger, Harder, Bornemann, Harlacher.........

6. Theoretische Schriften von Thomson, F tel y und Stearns, Möller

(Wasserspirale), Penk, v. Helmholtz mit Schklarewsky.....

7 Reynolds’ Versuche über die sogen, kritische Geschwindigkeit. Hydrodynamik: Poiseuille, Hagenhach, Neumann, Boussinesq,v. Helmholtz, Oberbeck, O. E. Meyer, Stefan, Auerbach, Wien u. a. .

§ 8. Still- und Wildwasser; Neuere Hydrologie; Geschwindigkeitskurven, des Verfassers Resultate, Aird und Siedek ............

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II. Abschnitt: Ableitung des Fundamentalgesetzes.........

§ 9. Auffindung desselben an den Bazin’schen Bretterkanälen......

§ 10. Kontrolle an den Versuchen von Dubuat und der Formel von Darcy,

letztere für Röhren.....................

§ 11. Koeffiziententabelle als allgemeiner Nachweis meines Gesetzes, Beziehungen desselben zu der de Chez y’sehen Form.............

III, Abschnitt: Anwendungen dieses Gesetzes auf die verschiedenen Profilformen......................

Des Verfassers und Bazin’s Versuche an rechtwinkligen Röhren......

§ 12. Spezialformeln für die verschiedenen Profile ...........

§ 13. Des Verfassers Versuche. — 1. Der Apparat...........

§ 14. 2. Die Versuche......................

§ 15. 3. Die Resultate, zusammengestellt mit den entsprechenden von Bazin . § 16. Rückblick. Richtige Anwendung der Dimensionen des Querprofils .    .    .

11

16

19

26

28

28

32

39

40

40

40

41

46

49

Seite

IV. Abschnitt: Die Rauhigkeitsgrade

Bestimmung der Geschwindigkeitskoeffizienten.............

§ 17. Regelmässige Kanäle mit unbeweglicher Sohle..........

§ 18. Natürliche Flussläufe; Bedeutung der Geschiehsgrösse.......

§ 19. Ableitung der Bleichgewichtsformel, die Schubkraft der verschiedenen Ge wässertypen; Änderung der Koeffizienten mit dem Wasserstande .    .    .

§ 20. Tabellen zum Nachweis der Gleichgewichtsformel.........

§ 21. Normale Messungen an kreisförmigen Röhren..........

§ 22. Anomalien der Bewegung im kreisförmigen Rohr, Einfluss des Luftgehaltes

51

51

51

56

59

61

78

75

V. Abschnitt: Verteilung der Geschwindigkeit im Querprofil. Geschwindigkeitskurve ...................

81

§ 28.

CM CM

vn vn

Vf. Vfi VA

88 S3 S

§ 29.

1. Im kreisförmigen Profil.

Nachweis der Geschwindigkeitsparabel 8. Ordnung an Darcy’s Versuchen .

2. Im halbkreisförmigen Profil — Kräftefunktionen.

Nachweis der Geschwindigkeitsparahel 8. Ordnung an Bazin’s Versuchen . Differentialgleichungen der Kräfte ; Dimensionen des Reibungskoeffizienten. Vergleich der Koeffizienten der krumm- und geradläufigen Bewegung .    .    .

8. Im rechtwinkligen geschlossenen Profil.

Des Verfassers Einzelgeschwindigkeits-Messungen..........

Berechnungen der Geschwindigkeiten..............

Vergleich meiner und der Bazin’sehen Geschwindigkeitskurven mit der

Parabel 8. Ordnung.....................

Näherungsformel für die Geschwindigkeitskurven in den Ebenen der Haupt-

81

85

88

91

96

96

104

4. Die Einzelgeschwindigkeiten in den übrigen geschlossenen

Profilen.

§ 80. Wünschbarkeit weiterer Versuche

5. Die Einzelgeschwindigkeiten im beliebigen offenen Kanal.

v

§31. Abhängigkeit des Quotienten —................

§ 82. Die Geschwindigkeitskurve in Kanälen nach den Versuchen von Bazin,

Dubuat und dem Verfasser................

§ 33. Die Vertikalkurve des Stromstrichs rechtwinklinger Kanäle.....

§ 37. Erläuterung der Figurentafel ................

VI. Abschnitt: Die kritische Geschwindigkeit..........

§ 38. Die beiden kritischen Geschwindigkeiten Reynolds’. Ausfluss aus dünner

Wand und kurzen Ansatzröhren ...............

§ 39. Neubestimmung der kritischen Geschwindigkeit. Allgemeines Prinzip .

§ 40. Geradläufige Bewegung im offenen Profil. Wesen der krummläufigen Be wegung und der Wirkung der Rauhigkeiten...........

VII. Abschnitt: Einige Anwendungen des gefundenen Gesetzes dei krummläufigen Bewegung für Praxis und Theorie .    .

§ 41. Bestimmung des natürlichen Gleichgewichtsprofils........

§ 42. Berechnung des dem Wasserabflüsse günstigsten Querprofils ....

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Seite

§ 43.

§ 44.

§ 45.

§ 46.

§ 47.

Bestimmung des Durchflussprofils eines Kanals aus der sekundlichen

Wassermenge und der Breite.................

Ermittelung des Röhrenkalibers für ein gegebenes sekundliches Durchflussquantum und umgekehrt. Vergleich zwischen den Ergebnissen meiner Formel

mit denjenigen von Darcy und Lueger.............

Bestimmung der in einem fliessenden Gewässer angesammelten, lebendigen

Kraft.....................•    .    .    .    .

Ermittelung des Geschwindigkeitskoeffizienten in einem künstlichen Kanal

von verschiedener Rauheit der Sohle und der Wandungen ......

Bestimmung der mittleren Geschwindigkeit in Röhren mit nur einer Symmetrie - Achse.......................

139

139

141

143

145

VIII. Abschnitt: Zusammenstellung der für die Praxis des Technikers wichtigsten Formeln und Koeffizienten..........

§ 48. Allgemeine Formeln und Koeffizienten..............

§ 49. Spezialformel für Gewässer mit Geschieben............

§ 50. Spezialformeln für kreisrunde Röhren..............

§ 51. Formeln für die Einzelgeschwindigkeiten.............

§ 52. Umformung der Koeffizienten für die verschiedenen Landesmasse ....    151

147

147

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149

150

IX. Literatur-Nachweis Anhang .....

1.    Koeffizienten - Tabelle

2.    Wurzel-Tabelle.

3.    Tafel über des Verfassers Versuche, Geschwindigkeitskurven und das Gleichgewichtsprofil.

152

157

Berichtigungen.

Seite

, 21, , 26, , 30,

» 39,

„ 40,

» 40,

Zeile 20 von unten schalte nach T ein : Oder %, 15 — 18 von oben lese H statt T,

18 von oben lese bj statt 1,

10 von oben lese Ganges statt Gange,

15 von oben lese 8^1 statt 8 ja,

14 von oben lese H statt t,

14 von oben lese die halbe statt dieselbe, k—k₀ k

18    von    oben    lese

4    von    oben    lese    b    statt c,

5    von    oben    lese    2

ko

statt 2

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k—kj

„ 71,    „    15 von oben lese 0,675 statt 0,075,

„ 72, Überschrift lese zrl statt zt,

„ 75, Zeile 14 von unten lese 0,8862 statt 0,8872,

„    12 von unten lese mr statt m,

4 von unten setze : statt .

. 81,

■ 85,    „

4 von unten lese n statt u,

5, 7 und 9 von unten lese p statt u,

»HO, „

»127,    „

k²

r er

8 von unten lese — statt 2 k²,

g

7 von unten lese 1030 statt 1,030,

Einer neuen Wahrheit ist nichts schädlicher, als ein alter Irrtum.

Goethe.

I. Abschnitt.

Einleitung* und Geschichtliches.

§ 1. Die Erforschung der Bewegungsgesetze des Wassers wird von zwei streng geschiedenen Disziplinen behandelt : der Hydrodynamik und der Hydraulik. Erstere betrachtet den Gegenstand vom rein mathematischen, letztere mehr vom technischen Standpunkt. Erstere ist eine rein deduktive, letztere mehr eine induktive Wissenschaft.

Bekanntlich bewegt sich zwischen Wänden eingeschlossenes Wasser auf zwei Arten:

1.    In stetiger Bewegung, direct motion, steady motion, wie z. B. in Kapillarröhren.

2.    Mittelst der sogenannten unstetigen, diskontinuierlichen „rollenden“ oder „wirbelnden Bewegung, sinuous motion, unsteady motion.

Die erstere ist hauptsächlich dadurch charakterisiert, dass bei ihr der Widerstand im geraden Verhältnisse zur Geschwindigkeit wächst und dass die Translation, d. h. die Fortbewegung der Teilchen, parallel den Wandungen geschieht, während bei der „rollenden“ Bewegung der Widerstand mit dem Quadrat der Geschwindigkeit zunimmt und sich neben der fortschreitenden noch eine wirbelnde Bewegung nach den Seiten hin geltend macht, so dass hier die Teilchen gekrümmte Bahnen verfolgen. Das Gesetz der ersteren Bewegungsart, die wir kurzweg die geradläufige nennen wollen, wurde empirisch durch Poiseuille, theoretisch durch die Hydrodynamik festgestellt, während die krummläufige oder „rollende“ Bewegung der methodisch-mathematischen Behandlung sich bis jetzt ziemlich unzugänglich erwies und Gegenstand der sog. Hydraulik, einer auf Empirie beruhenden Wissenschaft, wurde. Letztere hat sehr brauchbare Interpolationsformeln für die mittlere Geschwindigkeit zu Tage gefördert, ebenso Näherungsformeln für die Verteilung der Geschwindigkeit im Querprofil von Kanälen und kreisrunden Röhren, während das eigentliche Gesetz dieser Bewegung und die mathematische Form

Christen, Translation des Wassers.

der Geschwindigkeitkurye trotz vielseitigster Bemühungen noch nicht gefunden werden konnte.

§ 2. Bevor wir auf die Materie selbst eintreten, wird es gut sein, einen kurzen, geschichtlichen Überblick über die Entwickelung derselben zu werfen. Zur Vereinheitlichung und besserem Verständnis der späteren Darstellungen lassen wir zunächst eine Übersicht über die in dieser Schrift angewendeten Bezeichnungen folgen.

Alle Formeln und Grössen sind im Metermass ausgedrückt. Es bedeuten ferner die Buchstaben

v oder vm die mittlere Geschwindigkeit des Wasserkörpers. Es wurde diese Bezeichnungsweise, statt dem von B a z i n eingeführten u verwendet, weil man doch gewöhnlich unter v die mittlere Geschwindigkeit versteht.

u die Geschwindigkeit eines beliebigen Punktes, hier häufig der Kürze halber mit „Einzelgeschwindigkeit“ bezeichnet, c die maximale Geschwindigkeit. v₀ die maximale Oberflächengeschwindigkeit, w die sogenannte Wandgeschwindigkeit, t die Tiefe eines Punktes unter dem Wasserspiegel.

2 B *

H die Tiefe der Sohle unter dem Wasserspiegel, bei Röhren auch die Druckhöhe oder die Widerstandshöhe, h die Höhe eines Punktes über der Sohle, in kreisrunden Röhren der senkrechte Abstand von der Wandung, b der Abstand eines Punktes von der Wandung, in horizontaler Richtung.

B die halbe Breite des Gerinnes.

R der hydraulische, bei Röhren der wirkliche Radius.

D der Durchmesser einer Röhre.

T die mittlere Tiefe eines Flusses

r der Abstand eines Punktes von der Achse einer Röhre.

I das Gefälle als sinus.

F der Flächeninhalt des Querprofils, p der benetzte Umfang des Querprofils.

L die Länge des Gerinnes, g die Beschleunigung der Schwerkraft.

Q das sekundliche Durchflussquantum.

© die Zeit, in Sekunden ausgedrückt.

k und kt der Geschwindigkeitskoeffizient in der Grundformel, ersterer für offene Kanäle, letzterer für rechteckige Röhren, m, mr der Geschwindigkeitskoeffizient in der abgeleiteten Formel für beliebigen und für kreisförmigen Querschnitt.

§ 3. Schon ganz frühe haben sich bedeutende Geister mit vorliegender Frage beschäftigt, so im 15. Jahrhundert Galilei und dessen Schüler Castelli, dann auch Leonardo da Vinci, Torricelli u. a. Am Ende des 17. Jahrhunderts erschien ein Werk von Guglielmini, „Deila natura dei fiumi“, welcher das Gesetz von Torricelli für den Ausfluss des Wassers aus dünner Wand, v = t-L l/2gh, auch auf die Flüsse anwenden wollte und damit aussprach, dass die grösste Geschwindigkeit der Wasserteilchen sich an der Sohle befinde. Diesen Irrtum zu widerlegen^ unternahm Pitot in seiner in den Jahren 1730 und 1738 der Akademie der Wissenschaften zu Paris vorgelegten Abhandlung über Hydraulik, nachdem er mit seinem selbst erfundenen, einfachen, noch heute vielfach verwendeten Apparate, der sog. Pitot’schen Röhre, eine Reihe von Messungen ausgeführt hatte. Er fand, dass die grösste Geschwindigkeit in einem Kanale sich dicht unter der Wasseroberfläche vorfinde.

Der erste, welcher versuchte ein Gesetz aufzufinden, welches die Beziehungen zwischen der Geschwindigkeit, dem Gefälle und dem Profile eines Flusses darstellt, war Brahms (1), welcher zuerst darauf hinwies, dass die Geschwindigkeit in den Flüssen eine konstante Grösse annehme und dass die Reibung des Wassers an dem benetzten Umfange diejenige Kraft sei, welche der Beschleunigung entgegen wirke ; auch nimmt er an, dass diese dem Flächeninhalte des Querprofils, dividiert durch den benetzten Umfang    proportional

fr ! fr

auf v =

sei. Brahms und de Chézy stellten im Jahre 1775 zuerst die bekannte Formel c.]/    .y =c. l/RI, nachdem sie gefunden zu haben glaubten,

p v^

dass das Verhältnis -pj- für alle Gerinne derselben Flüssigkeit konstant sei.

teilchen.

Modifikationen komplizierter. Er fand, dass in Kanälen die bewegende Kraft gleich sei dem Widerstand und dass die Geschwindigkeit von der Oberfläche bis zur Sohle abnehme. Dagegen stellte er einen Einfluss der Rauheit der Wandungen auf die Geschwindigkeit des Wassers in Abrede.

Nachdem vorher Couplet (1732) und Bossut (1777) bereits eine hübsche Zahl Messungen an Metallröhren ausgeführt, war D ubu at (2) der erste, welcher es unternahm, Messungen in grösserem Umfange anzustellen und zwar an einem hölzernen, 132' langen Kanal mit rechteckigem und trapezförmigem Querschnitt von verschiedenen Neigungen und mit einer Breite von ca. ¹/4 bis ¹12 Meter, sowie an dem Flusse Hayne und an Röhren aus Weissblech und Glas. In seinem Werke „Principes hydrauliques“ (2), worin er seine vielseitigen Versuche niederlegte, unterschied er bereits zwischen der „Reibung“ an den Kanalwänden und der „viscosité“, der Kohäsion der Wasser-Seine ursprüngliche Formel v = ]/mg]/RI wurde dann durch

Weitere wertvolle Messungen an Flüssen unternahmen Brünings (18, 1789—1790) und Woltmann (3).

Einen wesentlichen Fortschritt in der Erkenntnis der Gesetze des Wider

stands des Wassers bedeuten die Versuche von Coulomb (4). Er untersuchte diese Reibungswiderstände an einer im Wasser pendelnden Scheibe und fand diese Kräfte von zwei Ausdrücken abhängig, von denen der eine proportional der Geschwindigkeit, der andere dagegen proportional deren Quadrat zunehme. Die Versuche Coulomb’s wurden bald zur Aufsuchung eines genaueren Ausdruckes für die mittlere Geschwindigkeit des Wassers verwertet. Girard (6), nachdem er in kupfernen Kapillarröhren von 1,8—4,2 mm Weite Ausflussversuche angestellt hatte, nahm an, die Koeffizienten beider Ausdrücke für den Widerstand seien identisch und setzte v=a (v-J-v²) wo a = 0,0012181, in der Anschauung, die Adhäsion an der Wand und die Anziehung der Moleküle unter sich seien ein und dieselbe Kraft. De Prony (5) dagegen, gestützt auf die Messungen von Dubuat und de Chézy, setzte den Wider-Fh.

stand g.

p.l

= C + Av + Bv²-f- Dv³ -f- .. . und fand dadurch die Formeln :

RI = av-|-bv² für Kanäle, und a = 0,0000444 ; b = 0,000309 DI = av -j- bv² für Röhren und a = 0,00007 ; b = 0,001393.

Er ermittelte auch die Koeffizienten dieser für Röhren und Kanäle einheitlich gedachten Formel. Wie Dubuat, glaubte auch er nicht an einen Einfluss der Rauhigkeit des Flussbettes auf die Geschwindigkeit.

. v -f 2,37 ‘ v -j- 3,15

y

Das Verhältnis — setzt Prouy gleich:

Grebenaus (26) grosses Werk ,,Theorie der Bewegung des Wassers“ beschreibt eine grössere Zahl von Fluss-Messungen aus dem Anfang bis zur Mitte des 19. Jahrhunderts. Es sind dies namentlich folgende:

a)    Krayenhoff (10), Messungen mit Schwimmstäben, an einigen Flüssen Hollands ausgeführt. Nach den neueren Kontrollmess-ungen vom Jahre 1873/74, bearbeitet von Horn (42), geben solche Messungen durchwegs wesentlich zu hohe Resultate für die Geschwindigkeit.

b) Destrem (11), Messungen an der Newa und Newka mit Oberflächenschwimmern .

c)    Buff on, Beobachtungen am Tiber, mit einer Art Stabschwimmer.

d)    Brünings (18), Versuche am Rhein, oberhalb der Ysselmünd-ung bei Arnheim 1789, sowie später vom Ober- und Niederrhein und am Waal, mittelst einer eigenartig konstruierten, etwas sprungweise funktionierenden Stossplatte.

e)    Grebenaus (26) eigene Versuche am Queichbache, Germers-heimer Durchstich, Hockenbach, Speyerbach und Hübengraben.

Coulomb, de Prony, Humphreys, Abbot, Grebenau, Eytelwein.

f)    Elbe bei Magdeburg, mit dem Woltmaiinschen Flügel.

g)    Salzach, Saalach, Lech und Isar, aus den Jahren 1856—1859.

h)    Weser, durch Schwarz.

i)    Mississippi. Dieser Strom ist nach dem Original werke der Verfasser Kapitän, A. A. Humphreys und Leutnant L. H.

(25) sehr ausführlich behandelt    verdienen diese

Versuche noch heute Beachtung, da sie mit einem sehr weitgehenden Aufwand von Arbeit und Sorgfalt sich mit einem Gewässer befassten, das als der Typ eines Stromes angesehen werden muss. Leider haftet diesen Versuchen der Mangel an, dass die Geschwindigkeiten unter der Oberfläche mit Doppelschwimmern gemessen wurden. Bazin wies später nach, dass durch den Schwimmer am Wasserspiegel und durch den beide Schwimmer verbindenden Faden der untere derselben bedeutend beeinflusst wird, wodurch die Geschwindigkeit in den grösseren Tiefen und damit auch die mittlere Geschwindigkeit zu gross ausfalle, die Parabelform der Geschwindigkeitskurve fast ausgelöscht werde.. Daher kommt es wohl auch, dass die Verfasser

das Verhältniss der mittleren zur maximalen Geschwindigkeit

zu 0,93 angeben, während die in neuerer Zeit mit Flügelapparaten gemessenen grösseren Gewässer nur ein Verhältnis von etwa 0,75 bis (^91 auf weisen.

Die Herren Humphreys und A b b o t stellten eine selbständige Theorie der Bewegung des Wassers auf und stützten darauf ihre Formel für die mittlere Geschwindigkeit:

Abbot

o I <j

v= £|//0,0025 b +1/68,72 r ]/I —- 0,05 ]/b J im Metermass,

wo b =

0,933

r=p~_ ^> und W die Wasserspiegelbreite.

-]/ R + 0,457’

Sie nehmen nämlich an, die Reibung am Wasserspiegel sei, per Flächeneinheit, dieselbe, wie die an der Sohle. Grebenau vereinfachte diese Formel

VJL_

T P + W

hängiger, von 0,8543 bis zu 0,9459 schwankender Korrektions-Koeffizient ist. Das Maximum der Geschwindigkeit fanden die Amerikaner oft bedeutend

zu: v = . 8,28972

⁴ —

yl wo ß ein yom Querschnitt des Gerinnes ab-

unter dem Wasserspiegel.

Aus den Versuchen von Dubuat, Brünings, Funk und Wolt-mann leitete Eytelwein (12, 13), für die de Pronysche Formel v = av + bv², neue Werte der Koeffizienten aundb ab, nachdem er für Flüsse den Widerstandskoeffizienten der de Chézy sehe Formel v = c ]/RI mit c = 50,93 neu bestimmt hatte.

D’Aubuisson (9) setzte

|a(Y + bV) = h-₂4

Er und Castel

stellten überdies Versuche mit gusseisernen Röhren an. Dass inan an offenen Gerinnen die maximale Geschwindigkeit nicht stets an der Oberfläche finde, erklärte d’Au buisson durch die an derselben vorausgesetzte Luftreibung.

Gerstner (8), Vater und Sohn, unternahmen Versuche mit Glasröhren und fanden hier eine bedeutende Abnahme der Geschwindigkeit mit dem Fallen der Temperatur.

Dupuit (17) kommt auf analytischem Wege zu der Auffassung, die Kohäsion der einzelnen Wasserteilchen sei viel grösser als die Adhäsion am Flussbette. Die Kohäsion sei proportional der relativen Geschwindigkeit der Wasserteilchen. Auf diese Annahme gestützt, erhält er einen mit der Pronyschen Formel analogen Ausdruck, worin aber v die Geschwindigkeit an der Sohle, nicht die mittlere Geschwindigkeit bedeutet. Im unendlich breiten, recht winkeligen Strome erhält er aus diesen Voraussetzungen eine Formel

für die Vertikalkurve der Geschwindigkeiten, mit v = vu -f-^AT² — t²), welcher

Jhj

Ausdruck eine Parabel darstellt, deren Achse und Scheitel an der Wasseroberfläche liegt und deren Parameter direkt dem Gefälle proportional ist. Die

D u p u i t s Ansichten

T²I

mittlere Geschwindigkeit u wäre somit = vu +

oL

über die Berechnung des Wassers wichen somit nicht bedeutend von dem heute noch herrschenden ab. Nur findet er, dass sich die grösste Geschwindigkeit immer an der Oberfläche befinde. Seine Theorie lehnt sich übrigens bedeutend an die mittlerweile schon ziemlich ausgebildete Hydrodynamik mathematischer Richtung an, welche die innere Reibung, d. h. die Kraft, welche zwei aneinander liegende, um die Distanz dx voneinander entfernte Flüssigkeits-Hohlcylinder aufeinander ausüben, nach Na vier defi-

dv

niert mit P = f. rj.    d. h. sie proportional setzt der in Berührung stehenden

Fläche, einem Reibungskoeffizienten und dem Quotienten aus der gegenseitigen Geschwindigkeitsdifferenz durch ihre Entfernung. Auch ist seine Formel nur um das Glied vu verschieden von derjenigen, welche die mathematische Theorie einige Jahre später für die Geschwindigkeit in Kapillarröhrchen geliefert hat und welche in ihrer einfachsten Formel lautet:

v = kl (R²—r²).

De Saint-Vena nt (14) setzte

2 1

RI = 0,00040102 . vl 1 für Kanäle und

für Röhren.

DI = 0,0011820 . v?

Diese Formeln finden sieh auch in einem Werke von Boileau (16), welcher ziemlich wichtige Beobachtungen über die Verteilung und Geschwindig-

keit in einem kleinen Kanale machte. Die Ursache, dass die Maximalgeschwindigkeit sich oft unter dem Wasserspiegel befindet, schreibt Boileau bereits der gegenseitigen schiefen und rotierenden Bewegung der kleinsten Teilchen zu.

Weisbach (59, 60, 19) erweiterte das vorhandene Material durch zahlreiche Messungen, besonders an Glas-, Messing- und Zinkblech-Röhren unter sehr hohem Drucke, mit Geschwindigkeiten von bis über 20 m.

0,05853^ v:

Er setzte für Kanäle : RI = 0,007 409

2g

und für Röhren

DI =

(o,01439 +

0,0094711

Vv

\

/2g

Zeuner (19) machte Versuche mit Zinkröhren, welche die Formel Weisbachs mit ganz wenig geänderten Koeffizienten bestätigen. Weitere Wassergeschwindigkeitsmessungen geschahen durch Poiseuille (81, 1844) und Hagen (71, 1838), mit engen Röhren, Braid wood (63) mit Lederschläuchen (1844).

Alle diese verschiedenen Versuche und Formeln beweisen das Bedürfnis nach einer allgemein gültigen Formel. Leider konnten die Messresultate mit den doch so vielgestaltigen Formeln schon deshalb nicht allgemein übereinstimmen, weil letztere keine Rücksicht nahmen auf den Rauhigkeitsgrad der Wandungen. Den beiden französischen Hydrotekten Darcy und Bazin blieb es Vorbehalten, die hohe Wichtigkeit derselben für die Bewegung des Wassers nachzuweisen, sowie ein umfassendes und sehr genaues Material zu liefern und durchzuarbeiten, welches wohl für alle Zeiten zu den zuverlässigsten und eingehendsten Forschungen dieser Richtung gezählt werden muss.

§ 4. Darcys Versuche (57, 58) von 1849—1851 erstreckten sich über 22 Leitungen aus gezogenen eisernen Röhren, asphaltierten Blechröhren, Guss-und Glasröhren, mit Durchmessern variierend von 0,0122 bis 0,50 m. Dieselben wurden sorgfältig, meist durch Messen der darin Raum findenden Wassermenge ermittelt. Die Röhren, aus Schmiedeeisen, asphaltiertem Blech und Gusseisen, hatten eine Länge von 111—114 m, diejenigen von Blei und Glas eine solche von 52 resp. 45 m. Der Druck wurde an 5 resp. 3 Punkten abgelesen, die Widerstandshöhe beim Eintritt in die Röhre berechnet und

gefunden zu ^ ^2 g y2

= 0,743 wo m = 0,82.

2g

Die prozentualischen Gefällsverluste variierten von 0,00022 bis 0,34426, die Geschwindigkeiten von 0,0344 m bis zu 6,01 m. Darcy zeigte in bestimmter Weise, wie die Rauheit der Wände einen grossen Einfluss auf die Geschwindigkeit der Wasserbewegung ausübe. Seine gusseisernen Rohre waren nicht geteert, daher dem Rosten ausgesetzt. Schon dieser Rost bewirkte eine bemerkenswerte Steigerung des Reibungskoeffizienten. Bei inkrustiertem Gusseisen betrug der Koeffizient das Doppelte des reinen, und schlägt er daher für die Zwecke der Praxis auch vor, stets den doppelten Koeffizienten anzuwenden und keine Röhren unter 0,06 m bis 0,08 m zu verwenden.

Darcy beschäftigte sich auch sehr eingehend mit der Untersuchung der Geschwindigkeit an den einzelnen Stellen des Querprofils und mass zu diesem Zwecke mit einer Pi tot’sehen Röhre die Geschwindigkeit in der Achse bei V3 R und bei ²k R Entfernung von derselben. Er fand nun, dass

c — u

l/I

für Röhren derselben Weite die Verhältnisse ------ konstant blieben. Ebenso

waren bei Röhren gleichen Gefälls, aber verschiedenen Durchmessers, die

(3__-Q

Verhältnisse —— konstant, und konstruierte er daher die Formel c — u = rl

k . ri l/I

, wo k im Mittel zu 11,71 gefunden wurde. Die Diskussion der aus

ihr abgeleiteten Differentialgleichungen an der Hand meiner Ergebnisse sei dem 5. Abschnitt Vorbehalten.

Darcy ahnte bereits, dass die Translationsbewegung, d. h. die Verschiebung der Wasserteilchen parallel der Achse nicht die alleinige sei, sondern dass damit regelmässig auch Seitenströmungen verbunden seien. Jedoch glaubte auch er, die Adhäsion an der Wand sei endlicher, die Kohäsion zwischen zwei Schichten jedoch unendlich kleiner Ordnung.

Darcy stellt ferner folgende Sätze auf:

1. Der Widerstand kann ausgedrückt werden durch die Form:

a)    RI = av + bv² sowohl wie nach

b)    RI = bj v²,

0,0000000037556

R²

wo für neue Röhren : a = 0,000031635 -f-

0,000006201

b = 0,000442939 -f

b, - 0,000507 + °'Q0QQQ647

Nach letzterer Formel berechnete Darcy seine im Anhänge seines Werkes mitgegebene Tafel.

In Durchmessern statt Halbmessern ausgedrückt, lautet der Wert von 0,00002588

bx : 0,001014 +

2.    Die Form av + b v² eignet sich speziell für Röhren mit glatten, die Form hi v² dagegen besser für solche mit rauhen Wandungen.

3.    Für sehr enge Röhren und für Geschwindigkeiten von 9—10 cm gelten diese Gesetze nicht mehr, sondern es ändern dann die Geschwindigkeiten proportional mit den Druck Verlusten.

In Darcys Werk „Fontaines publiques de la ville de Dijon“ (57) findet sich schon die bekannte Formel von Bazin v =

für rechtwinklige

a -f-

und v ~

yËï

für beliebige Kanäle.

a -f-

Nach Darcys Tode 1858 setzte dessen vormaliger Mitarbeiter Bazin seine auch an Kanälen begonnenen Untersuchungen fort. Ihr gemeinsames, bedeutendes Werk: „Recherches hydrauliques“ (24) beschäftigt sich hauptsächlich mit ihren in den Jahren 1855—1862 ausgeführten Untersuchungen an Kanälen der verschiedensten Neigungen, Profilformen, Grössen und Wandungen, welche mit grossartigen Staatsmitteln und ausserordentlicher Sorgfalt geschahen. Sie bilden 77 Versuchsreihen zu gewöhnlich 12 Einzelversuchen, in Kanälen von meist 80—150 m Länge und 0,5—2,0 m Breite, ferner an einem rechteckigen, kleineren Kanale von 0,10 m Breite und 19 m Länge, dann an zwei als Röhren geschlossenen rechteckigen Kanälen von 44 m, resp. 70 m Länge und 48, resp. 80 cm Breite. Das Durchflussquantum wurde durch aufeinanderfolgendes Öffnen einer Reihe tarierter Öffnungen in dünner Wand genau geregelt, der Wasserspiegel und die Sohle auf der ganzen Strecke nivelliert, die maximale Oberflächengeschwindigkeit sowohl mit Schwimmern, als auch mit der Pitot’sehen Röhre bestimmt und in 23 Serien auch die Einzelgeschwindigkeiten im Querprofil mit der durch Darcy verbesserten Pi tot’sehen Röhre gemessen. Die Geschwindigkeiten variierten in diesen Versuchen von 0,218 bis zu 6,429 m.

In seiner allgemeinen Formel für die mittlere Geschwindigkeit v = lauten die Koeffizienten a und ß.

1.    Sehr glatte Wandungen (geglätteter Gement, sorgfältig gehobeltes Holz)

2.    Glatte Wandungen, Hausteine, Backsteine, Bretter)........

3.    Weniger glatte Wandungen (Bruchsteinmauerwerk) .......

4.    Erde...........

5.    Geschiebe.........

0,00015

0,00019

0,0000045

0,0000133

0,00024

0,00028

0,0004

0,00006 0,00035 0,0007

Bezüglich der Verteilung der Geschwindigkeiten im Querprofil machte Bazin hauptsächlich folgende Beobachtungen:

Lag in einem Kanale die Tiefe der maximalen Geschwindigkeit bedeutend unter der Oberfläche, so gab der Schwimmer natürlich die gesuchte maximale Geschwindigkeit des ganzen Querprofils zu niedrig an. Dies war namentlich bei den Kanälen grösserer j^l&tiven Wassertiefe der Fall. So fand er in einem solchen von ungefähr gleicher Tiefe und Breite die grösste Geschwindigkeit ziemlich im Mittelpunkte des Querprofils, während in relativ sehr breiten Gerinnen dieses Maximum an der Oberfläche des Wassers sich befand.

Q

Für das Verhältnis — fand er die Relation:

‘+k-V“

oder c — v = k . l/RI., wo k im Mittel aus 61 Beobachtungen zu 41,1, immerhin variierend zwischen 9,9 und 22,4 gefunden wurde. Doch stimmt diese Formel für diese 61 Versuche recht ordentlich

<1

12°/o, mit der Prony-

und beträgt beispielsweise der Maximalfehler für

sehen Formel berechnet dagegen 32°/o.

Bazin stellte auch Versuche an über den Widerstand der Luft mittelst zweier Röhren von rechtwinkeligem Profil, die er das eine Mal voll und dann mit demselben Gefälle halbgefüllt laufen liess. Er fand in beiden Fällen fast ganz, d. h. mit Differenzen von bloss 0,7—3,0 °/o übereinstimmende mittlere Geschwindigkeiten, dagegen eine ganz andere Gruppierung der Einzelgeschwindigkeiten. Während im Rohr z. B. das Maximum der Geschwindigkeit genau in der Mitte lag und die Isotachen sich symmetrisch zu den Querschnittsachsen um dieses Zentrum gruppierten, ein angenähertes Rechteck bildend, stellten im offenen Kanal diese Linien mehr Ellipsen dar, welche einen unter dem Wasserspiegel gelegenen Punkt umschlossen. Auch lagen die Punkte gleicher Geschwindigkeit überhaupt entfernter vom Zentrum, als in der geschlossenen Röhre. Bazin schreibt diese Verlangsamung an der Oberfläche inneren Störungen zu, nicht der Reibung an der Luft, da Boileau nachgewiesen habe, dass in einem Kanal selbst dann, als ein heftiger Wind thalwärts blies, sich das Maximum der Geschwindigkeit unter der Oberfläche befand. Er schreibt daher diese Tatsache der inneren Zusammensetzung und inneren Bewegung der Flüssigkeit zu und bezeichnet sie als eine Unregelmässigkeit. Bazin äussert sich ferner, die Formel von Darcy

k. ^ ^ j ² VR I sei nicht anwendbar auf rechtwinkelige Röhren.

Bazin zeigt, wie im grossen und ganzen die Isotachen ziemlich parallel den Wandungen verlaufen, dagegen doch wesentlich von der Form des Profils abweichen. Er findet das Maximum der Geschwindigkeit im offenen Kanale um so tiefer unter dem Wasserspiegel, je grösser die Wassertiefe im Verhältnis zur Breite, je kleiner die Geschwindigkeit und je grösser die Rauheit der Wände ist. Die Abnahme der Geschwindigkeit in der Vertikalebene des

‘ (!)’•

£_

Stromstriches findet bei breiten Kanälen statt nach der Formel —.=

l/HI

wo k, zwischen 7,6 (Série 66) und 24,9 (Série 58) variierend, im Mittel den Wert 20,6 besitze. Bei grösseren Tiefen folge die Verteilung der Geschwindigkeit sehr komplizierten Gesetzen. Aus letzterer Gleichung, resp. deren Differentialformel bestimmte er die Lage der mittleren Geschwindigkeit zu 0,577 H unter dem Wasserspiegel. Wird in ihr t = H, so erhält man die Wandgeschwindigkeit w = c —k.i/RI, welche aber nur für den unendlich breiten Kanal gelte. Die grösste Geschwindigkeit längs der Wandungen finde sich gewöhnlich in der Mitte, die kleinste in den Winkeln derselben. Für den halbkreisförmigen Kanal, wo die Isotachen fast vollkommene konzentrische Halbkreise seien, passe für die Einzelgeschwindigkeiten die Formel: C —u

Mk)

wo k in 4 Versuchsreihen zwischen 18,2 und 23,2 schwankte

]/RI

und den Durchschnittswert 21 besass. Auch hier finde somit eine ganz andere Verteilung der Geschwindigkeit statt, besonders was die Punkte von über |R Entfernung von der Achse betrifft. Die Lage des Wasserfadens mittlerer Geschwindigkeit findet Bazin mittelst seiner Formel bei 0,737 R oder etwas tiefer.

§ 5. Mehr auf theoretischem Wege gelangteLe vy (61) zu seinen von Darcy etwas abweichenden Formeln. Aus den Darcy sehen Versuchen erhielt er die Fundamentalformel: c² — u²=a]/I, welche ebenfalls mit diesen Versuchen gut stimmen soll. Er führt dann auch die äussere Reibung ein und setzt

w² = a    wo a ein Rauhigkeitskoeffizient ist. Seine schliesslichen Formeln

lauten dann:

v² = dl (210,125 -j- 445,74 ]/d) für Röhren mit Niederschlägen und

v² = dl (662,5 -f- 468,44 ]/d) für neue Gussrohre.

Gaukler (69) untersuchte an 56 Versuchen die Potenzen, nach welchen die verschiedenen Elemente, das Gefall, der Durchmesser und die Geschwindigkeit variieren.

Er setzte für Röhren: ]/v-f-j Vv = a ]/di/I

„    ,, für Kanäle über 0,0007 Gefälle: ]/ v = a ]/R ]/I

» i/v = ß l/Rl/I

„    „    „ i, unter „

Gaukler hält nämlich dafür, dass bei Gefällen von unter 0,0007 die Bewegung eine stetige, darüber hinaus dagegen eine rollende sei.

Hagen (71) machte weitere Ausflussversuche mittelst kupferner Kapillarröhren und studierte besonders auch den JEiiifluss der Temperatur auf die Strömungsgeschwindigkeit. Er vertritt die Ansicht, dass der Widerstand weder von der Natur der Wandung noch vom Durchmesser abhängig sei. Seine mit den Messungen wenig übereinstimmenden Formeln lauten:

Für kleine Kanäle v = 4,90 R f/l, für Flüssse : v = 3,34 ]/R VI und für Röhren:

0,00011519-0,000004191 -4-0,0000000 92291²\ 1 v:

/ d ' 2 g

v.d

h = (o,023577 +

wo t die Temperatur des Wassers in Centigraden bedeutet.

Aus vorstehenden, vielseitigen Bestrebungen, das wirkliche Naturgesetz der Bewegung des Wassers in regelmässigen Gerinnen zu finden, geht deutlich hervor, wie wenig die gemachten Vorschläge Vertrauen fanden, wenn auch hervorgehoben werden muss, dass die Formeln von Darcy und Bazin sich bei den Praktikern grosser Beliebtheit erfreuen.

Um mehr Sicherheit in die Berechnung der Durchflussmengen von Röhren zu bringen, beschloss der Verband deutscher Architekten- und Ingenieur-Vereine auf Anregung des Hamburger Architekten- und Ingenieur-Vereins eine Untersuchung auf breiterer Grundlage an funktionierenden Leitungen grösserer städtischen Wasserwerke vorzunehmen. Es gingen auf dieses hin folgende Berichte ein:

1. Von Dr. C. J. H. Lampe über die Danziger Versuche (62).

Letztere ergaben, dass sich an den bereits 5 Jahre in Gebrauch stehenden Rohrleitungen noch keine Inkrustationen gebildet hatten, dass Kurven von 3 m Länge keine bemerkbaren Druckverluste verursachten, und dass in Fällen, wo sich die Rohrleitung an einer Stelle über die gerade Verbindungslinie zwischen dem Wasserspiegel und der Ausflussmündung erhob, das Wasserquantum nur einer-solchen Drucklinie entspricht, welche man von dem gehobenen Punkte aus nach dem Reservoir zieht. Lampe fand die Versuche übereinstimmend mit seiner Formel

h = 0,016 263

yl,802

d¹’²⁵ ’ 2g

oder anders geschrieben:

v = 84,34 R⁰-⁶⁹⁴ P>⁵⁵⁵.

2.    Vom Bonner Architekten* und Ingenieur-Verein. Es zeigte sich an diesen mit neuen asphaltierten Röhren angestellten Versuchen, dass die Widerstände durch Krümmungen, Schieber etc. nur einige Millimeter ausmachten.

3.    Vom mittelrheinischen Ingenieur- und Architekten-Verein über die Versuche in Wiesbaden, welche auch über Bleileitungen und Hanfschläuche ausgedehnt wurden ; bei den letzteren wurden aber Strahlrohren mitbenutzt, welche das Resultat beeinflussen mussten.

4.    Von A. Schäfer, über Versuche an der Metelsdorfer-Leitung der Stadt Wismar.

Arbeiten des Verbandes deutscher Arch.- und Ing.-Vereine; Ganguillet und Kutter. 13

5.    Von Eh mann und Zobel, Stuttgarter Versuche, sehr sorgfältig ausgeführt.

6.    Von Iben, Hamburger Versuche. Dieser sagt, aus denVersuchen gehe deutlich hervor, dass sämtliche bekannten Formeln nur empirische Annäherungen seien und dass der wahre Ausdruck des Naturgesetzes, die wirkliche Form der Funktion, nicht bekannt sei. Er hält auch dafür, dass ausser den Dimensionen 1, d, v und h noch eine Menge anderer Faktoren beider Bewegungs-Röhren mit wirken.

Iben stellte dann diese sämtlichen Messungen nebst denjenigen von Fanning und Humber in seiner Schrift „Druckhöhenverlust in geschlossenen Rohrleitungen, 1880u (63) zusammen und verglich sie mit den nach den Formeln von Darcy, Prony nnd Weisbach ausgerechneten Druckhöhen. Er kommt zum Schlüsse, dass die Formel von Darcy mit den Messungen am besten übereinstimme und auch auf Leitungen mit grössten Durchmessern Anwendung finde. Die deutschen Koeffizienten für die Darcy-

für neue Röhren.

sehe Formel heissen aber: bx = 0,000912 +

0,000 08

Frank (66) empfiehlt die Form 1, = 0,00051192 —|—

0,0003847

yd

, welche

aber für das Beispiel von Loch Katrine (d = 1,22 m), ebenso wie die Darcy sehe, zu kleine Resultate geben. Er hält dafür, dass die Darcy sehe Formel mit deutschen Koeffizienten sich für Durchmesser von unter 50 cm, seine eigene dagegen für Durchmesser von über 50 cm besser eigne.

Frank (67) hat auch logarithmographische Tafeln für die Berechnung von Röhren verschiedener Profilformen, auch eiförmiger, nach der hiernach folgenden Formel, aufgesteilt.

Eine neue, gegenwärtig wohl am meisten angewandte empirische Formel für Flussläufe und Kanäle konstruierten die Ingenieure Ganguillet und Kutter (27) in Bern. Dieselbe fusst auf der Bazin sehen etwas abgeänderten Form :

y RI, wo z die Variationen des de Chez y sehen

l/R

X

Koeffizienten c mit dem Gefälle und der Rauheit, —-diejenigen mit R enthält.

Unter Benutzung der Erfahrung, dass c bei grossen Strömen mit der Zunahme des Gefälls kleiner wird, bei kleineren Gewässern dagegen grösser, fanden die genannten Hydrotekten die Beziehung 0.00155 \ ¹¹

l+(234

i > yj

wobei er sowohl die Versuche Bazins wie auch diejenigen der Amerikaner Humphreys und Abbot, nebst verschiedenen anderen Messungen berücksichtigte.

0,00155

bedeutunglos. Nimmt

23 —1—— —I ' n

0,00155

Für grössere Gefälle wird der Summand man dabei ein mittleres Gefälle an von 0,00077, so heisst die Formel auch

y ri

yRi.

25 + -n

25 n

100 + 1

100 n

yR

yR

Hier ist n

1.    Für sorgfältig gehobeltes Holz und glatte Cement-

0,010

0,012

0,013

0,017

0,025

0,030

verkleidung..............

2.    Für Bretter..............

3.    Für behauene Quadern und gut gefügte Backsteine

4.    Für Bruchsteine.............

5.    Für Erde...............

6.    Für grobes Geschiebe und Wasserpflanzen .    .    .

Kresnik (37) hat nach der Ganguillet-Kutterschen Formel eine hydrologische Tafel zum Ablesen von Q, v und der Querprofilgrösse berechnet.

Prof. Dr. Lueger (68) in Stuttgart setzt v =

— ]/ß!^ wo ß der hy-

lOOl/BT

m + l/R

draulische Radius bedeutet und m variiert zwischen 0,12—0,15 für Cement und 2,50 für den schlecht unterhaltenen Erdkanal, mit vielen Pflanzen bewachsen, und einer Sohlenbreite unter 1,5 m.

Diese Formel wendet Lueger an, um den Widerstand in Röhren zu berechnen. Für diesen gelte die Differentialgleichung

4R/

dB =    . ds, wo R' der Reibungswiderstand, y das Gewicht der Kubik-einheit, dB die Höhe des Wassersäulenelementes ist.

Es ist nämlich die Grösse des Widerstandes auf die Länge ds

W = U . R'. ds.

4F

und da U = Drt = T-, so ist W

4F

R'. ds.

Dieser Widerstand ist aber gleich dem Gewichte yF. dB, so dass

dB

4R'ds

y. D

Formeln von Lueger, Hawksley und Harder, neueste von Bazin.

15

Integriert man links von 0 bis B, rechts von 0 bis 1, so erhält man die Reibungswiderstandshöhe pro Längeneinheit der Rohrleitung für ein konstantes D:

Bt =

4 R'

Da nun nach obigem R' — yk, u², so ist

B,

4 k, u²

Es ist aber auch v =

Q 4Q

F D² Ti

und v² =

16 Q2 D+²’

also

Bx

4kx. 16 Q,²

Q²

D⁵.7T²

64 ki

Nach Darcy wäre nun= 0,001641 +

i/RI und m = 0,15 wird:

m + l/R = 0,000648 +

0,000042    ,    , j

—g — und nach Lueger

für v =

64 k₁

71²

0,000389    0,0000584

D

l/D

Lueger gibt in seinem Werke „Wasserversorgung der Städte“ noch

100 ]/r

eine Tafel zur Berechnung von v = 0,707 k . ]/RÏ, wo k =

m + i/r

und m

= 0,25^ entsprechend älteren Röhren, wie gebrauchte Cementröhren, sorgfältig hergestelltes Backstein- oder Quadermauerwerk. In letzterer Formel bedeutet r den hydraulischen, R den wirklichen Radius der Röhre.

Auch Lueger nimmt, wTie noch die meisten heutigen Hydrotekten an, die Reibung sei eine an der äusseren Begrenzung der Flüssigkeit angreifende Kraft und somit proportional dem benetzten Umfang.

Bazin publizierte im Jahre 1897 neuerdings eine Studie (34), in welcher auf Grund zahlreicher Beobachtungen, die der Luegersehen ganz analoge Formel

87 i/RI v =--

87 R|/I

y-L l/R

l/R

entwickelt wird.

y variiert hier von 0,06 für Cement bis 0,85 für Erde und 1,75 für Geschiebe, also durch einen ganz ausserordentlich grossen Spielraum.

Für Röhren stellte Hawksley (65) die Formel auf v — 48

für Fussmass, welche Beziehung auch für kurze Röhren gelte.

Auf ganz selbständiger Grundlage, nämlich auf der Atomtheorie beruht die von Harder (45) gefundene Formel. Er findet den Ausdruck

dH

1 + 54d

u = c₀ l/m + ]/c(Hh —^²)i

Die Geschwindigkeit an der Sohle erhält er als eine endliche Grösse, welche von der Beschaffenheit der letzteren abhängig sei. Die Geschwindigkeitskurve sei aus 2 Ellipsen zusammengesetzt. Für die mittlere Geschwindigkeit erhält er nach seinen Schlussfolgerungen :

v = kx l/RI + k₂ R ]/I wo k₂ = 7,25 und von der Natur der Wandung abhängt. (Gement 70,5; Erde 36,27).

Auch seine Formeln zeigen eine ziemlich gute Übereinstimmung mit den damals bekannteren Messungen:

Den Widerstand ruhiger Luft vermutet er als eine ganz unbedeutende Grösse. Letztere Formel lässt sich auch auf die Form v = k (1 -f- 0,2 j/R) ]/RI zurückführen.

Eine ganz ähnliche Gestalt besitzt die in der „Zeitschrift f. Gewässerkunde“, Jahrgang 1899 gebrachte Formel von Hessle:v = k(l-|- 0,5 ]/ R) ]/RI

Bornemann (49) unterzog die Gau kler sehen Formeln für Flüsse einer eingehenden Untersuchung und gab ihnen schliesslich die Gestalt:

\    3    _ ₅    _

v = FR⁴ VI⁴ wo a von der Rauheit abhängt.

a v v ’

Für Flüsse ist --=256,4. a

Weder seine, noch die Gaukler sehe Formel können aber für schwache Gefälle benutzt werden.

Harlacher adoptiert die Einteilung der Flüsse in solche von unter und über 0,0007 Gefälle und setzt in seiner allgemeinen Formel

v = x r

für Gewässer von unter 0,0007 Gefälle: x = 0,578141

y = —0,228165 z = 0,030467 x = 2,257041 y = 0,394680 z= 0,188948

§ 6. Die meisten Untersuchungen über die Wasserbewegung, vor dem Erscheinen eines Aufsatzes von Thomson ,,On the flow of water in uniform Regime in Rivers and other open Channels“ (73), gingen von der Voraussetzung aus, der Widerstand der Sohle gegen die Vorwärtsbewegung sei das einzige Bewegungshindernis und betrachteten den Wasserkörper selbst als eine Aufeinanderfolge von mit verschiedenen Geschwindigkeiten begabten Hohlcylindern. Es war dies die sogenannte Laminartheorie. Nach derselben müsste sich die grösste Geschwindigkeit stets am Wasserspiegel befinden. Da aber schon frühzeitig erkannt worden war, dass die grösste Geschwindigkeit

ylz

51

11

11

51

15

15

15

5’

55

11

55

51

15

51

51

55

11

55

„ über

55

11

55

55

11

51

15

Formeln von Hessle, Bornemann, Har lâcher, Laminar- und Spiral-Theorie. 17

nicht immer an der Oberfläche zu finden sei, so verfielen viele, die sich mit solchen Fragen beschäftigten, auf den Gedanken, der Luftwiderstand sei schuld an dieser Erscheinung, so Eilet (15) im Jahre 1850, d’Aubuisson 1840, Humphreys und Ab bot 1850—1861.

Nachdem Boileau (16) diese Ansicht durch seine Versuche widerlegt hatte, suchte Thomson nach einer anderen Erklärung und glaubte sie in den tangentalen und aufsteigenden Bewegungen, welchen die Flüssigkeiten unterworfen seien, zu finden, indem die Oberfläche beständig von aus unteren, langsam fliessenden Schichten herkommendem Wasser überflutet werde. Kapitän Cunningham (46) bemerkte an zwei Kanälen beim Gange an Schwimmern eine beständige Oberflächenströmung vom Ufer gegen die Mitte hin, welche an den Seiten am intensivsten sei und gegen die Mitte abnehme.

Ähnliche Beobachtungen machten Stearns und F tel y (36) an Kanälen in der Nähe des Sudbury-Flusses sowie Möller (74), welche beide aus gewissen Bewegungen von Oberflächen- und Tiefenschwimmern zu erkennen glaubten, dass sich das Wasser in Kanälen in einer Doppelspirale bewege derart, dass es sich längs der Sohle den Seitenwandungen nach heraufziehe, und an der Oberfläche sich gegen die Mitte und von da wieder gegen die Sohle zu bewege.

Aus dem Austausch des Wassers unter benachbarten Schichten, mittelst Wirbeln und Strömungen, leitet Möller die Parabelform der Geschwindigkeitskurve ab und zwar eine solche mit horizontaler Achse, wenn die Wirbel bis zur Oberfläche gelangen können, wie bei seichten Gewässern, und mit vertikaler, wenn der Austausch in den tieferen Schichten stärker als oben vor sich geht.

Den Umstand, dass die maximale Geschwindigkeit nicht an der Oberfläche zu finden sei, erklärte er daher, dass bei dem Zuströmen der Oberflächenschicht gegen den Strom strich, das Wasser, der verzögernden Wirkung der Sohle enthoben, in eine beschleunigte Bewegung gerät, die bis zu dem Punkte der maximalen Geschwindigkeit anhalte.

Möller verfolgt und erklärt sonach an der Hand des Spiralgesetzes die Ausbildung der Flusskrümmungen und die Wirkung der Buhnen. Später (75, 1890) behandelt er die Gesetze und Grösse der Reibung an der Flusssohle, wie im Innern der Flüssigkeit und leitet folgende Sätze ab :

1.    Bei einer Mischung von Massen gibt eine Massengruppe an die andere so viel Bewegungsgrösse ab, als sie selbst verliert. Durch diese Mischung wird die Summe der Bewegungsgrösse der sich mischenden Körper in der Richtung der fliessenden Bewegung nicht geändert.

2.    Die Reibung zwischen den einzelnen Wasserschichten, per Flächeneinheit, ist direkt proportional der Tiefe der betreffenden Schicht.

Christen, Translation des Wassers.

Die Reibung ist in jeder Schicht gleich der Komponente der Schwerkraft, mit welcher die auflagernden Massen stromabwärts getrieben werden.

Die seitliche Komponente fand Möller in der Weser bei Hoja, an den Ufern mit 0 beginnend, bei */⁴ Flussbreite vom Ufer entfernt zu ¹l$o der fliessenden, vorwärtsschreitenden Bewegung.

Auch die mathematische Geographie hat von diesen Ausführungen Notiz genommen (76, 76a).

Es ist indes nicht zu übersehen, dass aus der Bewegung von Schwimmern im Wasser noch nicht auf die Bewegung der Wassermoleküle selbst geschlossen werden darf.

Alexis Schklarewsky (77) hatte durch Versuche gefunden, dass sowohl in Kapillar- wie in weiten Röhren sich kleine Körperchen immer gegen die Mitte des Stromes zu bewegen und dass die Fremdkörper sich überhaupt dort auf hielten, wo sie die geringste Vermehrung der Reibung hervorbrachten, also da, wo die geringste Geschwindigkeitsdifferenz zweier benachbarten Schichten auftrat. Es erklärt dies auch die erwähnte Tatsache, dass die seitliche Komponente der Bewegung dieser Schwimmer in der Nähe der Ufer grösser ist als im Stromstrich, weil hier der Geschwindigkeitsunterschied zweier benachbarten Schichten grösser ist, als gegen die Mitte hin.

Sehr wahrscheinlich wird auch die tragende Kraft des Wassers gegenüber Sinkstoffen von dem Gesetze der Verteilung der einzelnen Geschwindigkeiten abhängen.

An serpentinierenden Flussläufen wurde schon lange beobachtet, dass sich an den Ufern Kolke, im Schnitt des Talweges mit der Stromachse dagegen erhöhte Bänke bilden (49). Meythaler (50, 51), welcher den Verlauf der Verbindungslinie zwischen den Massenmittelpunkten aufeinander folgender Querprofile studierte, fand, dass letztere nicht nur in der Horizontalen, sondern auch in der Vertikalen eine sinusoidale Kurve beschreiben, welcher er den Namen Potamokurve gibt. Die Geschwindigkeit selbst sei in den Kolken am Ufer ungefähr dieselbe, wie in den Bänken der Stromachse und es entnehme somit der Fluss die zum Ansteigen auf letztere nötige lebendige Kraft einfach der vorhergehenden, fallenden Strecke. Im Rhein, in der Gegend von Strassburg, kämen Höhenunterschiede zwischen den Massenmittelpunkten am Ufer und in der Stromachse vor bis zu 1,60 m, bei Talwegabschnitten von ungefähr 900 m Länge. Bei Hochwasser verflache sich die Potamokurve, stelle sich aber nachher wieder ein wie vorher, sich nur in der Längsrichtung verschiebend.

Auch der Verfasser dieser Schrift hat an künstlichen Gerinnen Versuche zur Erforschung der inneren Strömung gekrümmter Wasserläufe unternommen,

Seitwärts-Bewegungen ; empyrische Formel von Poise ui Ile.

19

ist aber noch nicht zn einem abschliessenden Resultate gelangt. Sicher ist, dass diese Bewegungen, namentlich in der Nähe des Wasserspiegels, viel komplizierterer Art sind, als man gemeinhin annimmt.

Die mechanische Wärmelehre ist ebenfalls im stände, uns seitliche Bewegung von im Wasser suspendierten Körper zu erklären. Stellen wir uns die Flüssigkeit vor als aus einer Menge schwingender Moleküle bestehend, deren Schwingungen nach allen Seiten hin ihre Energie abgeben, welche dann von den umschliessenden Wandungen und der Flüssigkeit selbst als Druck empfunden wird, so ist klar, dass, sobald die Moleküle sich vorzugsweise in einer Richtung, derjenigen der Translation, bewegen, bei gleichbleibender Gesamtenergie der Druck nach den übrigen Richtungen hin abnehmen muss. Je grösser die Translationsgeschwindigkeit an einem Punkte ist, desto schwächer wird hier der allseitige Druck und werden sich starre Körper von Punkten stärkeren Druckes zu solchen schwächeren Druckes hin bewegen.

§ 7. Viel neues Licht über die Erkenntnis der Bewegungsgesetze des Wassers, namentlich bezüglich des Überganges von der sog. „gleitenden“ zur „rollenden“ Bewegung, in Röhren, warfen ferner die Untersuchungen Reynolds.

Nachdem schon Girard (6) für Kapillarenröhren bei Versuchen mit verschiedenen Flüssigkeiten erkannt hatte, dass zwischen der Geschwindigkeit und der Druckhöhe Proportionalität herrsche und dass Salzlösungen die Ausflussgeschwindigkeit beeinflussen, stellte Poiseuille im Jahre 1846, gestützt auf umfassende Versuche, das empirische Gesetz für solch enge Glasröhren fest mit der Formel

Q = 1836,7 (1 + 0,03368 t + 0,0002210 t²) -,

wo t die Temperatur des Wassers in Centigraden, P die durch eine Quecksilbersäule von 10° bestimmte Druckhöhe bedeuten, alles im mm = mg-

D² yj

System, woraus durch Division mit —und durch Umwandlung von P in

Wassersäulenhöhen, von D in 2 R, folgt:

R² I (1 + 0,033681 + 0,00022101²)

V — 8.0,0001816

Oder im Meter-Tonnen-System :

v = 688300 R²1T

wo T die sog. Poiseuille’sehe Zahl, die in obigen Formeln eingeklammerte, die Veränderlichkeit der Kohäsion des Wassers mit der Temperatur bezeichnende Grösse bedeutet.

Spätere Messungen durch Hagen (71) an kupfernen Röhren bei verschiedenen Temperaturen bestätigten im allgemeinen diese Zahlen, so dass anzunehmen ist, dass das Röhrenmaterial keinen wesentlichen Einfluss auf den Reibungskoeffizienten besitze.

Hagenbach (82) korrigierte die Resultate von Poiseuille, indem er die Geschwindigkeitshöhe bei den Druckangaben in Rechnung zog. Er erhielt so eine höhere Grenze für die Gültigkeit des Poiseuille’sehen Gesetzes, als Poiseuille selbst. Das Nichtzutreffen der Formel bei höheren Geschwindigkeiten erklärte Hagenbach durch einen infolge der seitlichen Bewegungen, Wirbel, Vibrationen etc. eintretenden Widerstand, den er Erschütterungswiderstand nannte.

Die methodische Hydrodynamik geht aus von der Betrachtung der Gleichgewichtsbedingungen und der Formänderungen eines unendlich kleinen Parallelepipeds einer vollkommenen, d. h. reibungslosen, unter der Einwirkung von Druck- und äusseren Kräften stehenden Flüssigkeit. Die daherigen Veränderungen bestehen im allgemeinsten Falle der Bewegung aus einer Dilatation oder Kontraktion, einer Translation (Ortsveränderung) und einer Rotation. Bei inkompressiblen Flüssigkeiten ist die räumliche Dilatation gleich Null, welche Bedingung die sog. Kontinuitätsgleichung ausdrückt.

Die auf diese Kräfte bezüglichen Differentialgleichungen datieren von Euler und Lagrange. Die Hydrodynamik zeigt nun, dass für den Fall, wo ein Potential der Geschwindigkeiten existiert, d. h. bei der sog. Potentialbewegung, keine rotatorischen Bewegungen stattfinden. Dieser Fall ist dadurch charakterisiert, dass dann die rechtwinkeligen Komponenten der Geschwindigkeit eines Massenteilchens gleich gesetzt werden können den nach den entsprechenden Richtungen genommenen Differentialquotienten einer bestimmten Funktion, des sog. Geschwindigkeitspotentials. Wo dagegen kein solches existiert, muss wenigstens ein Teil der Flüssigkeit in Rotation begriffen sein. Letzteren Fall, unter Annahme von Kräften mit einem Kräftepotential, haben besonders Helmholtz in seiner klassischen Abhandlung über Wirbelbewegungen (77), sowie Thomson (On Vortex motion, Edinb. Trans. 1869, Vol. XXV.) untersucht und dabei sehr wichtige Sätze über das Wesen dieser Bewegungsart abgeleitet.

Nimmt man nun statt einer vollkommenen eine reibende Flüssigkeit, z. B. Luft oder Wasser, so treten zu den Komponenten des Druckes und der äusseren Kräfte noch die der Reibungskraft hinzu und wir erhalten die durch Newton, Navier, Poisson, Stokes, Neumann, O. E. Meyer und Stephan ausgebildeten allgemeinen Bewegungsgleichungen für diese Flüssigkeiten. Die Reibungskräfte selbst werden nach dem sog. Newton-schen Prinzip berechnet, welches besagt, dass die verzögernde Kraft der Reibung zwischen zwei sich parallel aneinander bewegenden Schichten proportional sei deren Fläche, einem Koeffizienten f.i sowie dem Quotienten aus

ihrem Geschwindigkeitsunterschiede und ihrem Abstande, so dass diese Reibung sich ausdrücken lässt durch die Formel: K = f .u

dh

Aus diesen Ableitungen geht nun deutlich hervor, dass für den Fall reibender Flüssigkeiten kein Geschwindigkeitspotential existiert, dass also Wirbelbewegungen auftreten müssen.

Diese allgemeinen Gleichungen reibender Flüssigkeiten wurden nun angewendet auf verschiedene Spezialfälle, wie z. B. auf die Strömung in kreisrunden Röhren durch Neumann, Helmholtz, Stephan(92), Oberbeck (91), Bous si ne sq, 0. E. Meyer u. a. Unter der Annahme, dass im kapillaren Rohr die Bewegungskomponenten nach den Seiten hin verschwinden, erhielten sie die Geschwindigkeitsformel für kreisrunde Kapillarröhren:

Pi-Po

(R²—r²)

4 fi 1

woraus durch Differentiation und Integration über die ganze Querschnittsfläche folgt :

Pi-Po

R² und Q

8 fi

wie schon auf empirischem Wege Poi seuil le gefunden hatte:

wenn wir Poiseuille’s

Im Gaussischen mm-mg-System wäre also, Formeln mit den letzten vergleichen:

0,0001816

h — 1 + 0,033681+0,0002210 t2 —    ~ T

0,01816

0,0001816

Im gr.-cm-System dagegen ist ft =

Für kreisrunde Kapillarröhren hat Stephan die Rechnungen ins einzelne durchgeführt. Seine Sätze lauten:

1.    Der Druck ist in einem und demselben Querschnitt der Röhre in allen Punkten gleich.

2.    Er ändert sich längs der Achse der Röhre nach dem Gesetze einer geraden Linie.

3.    Die Flüssigkeitsteilchen, welche zu irgend einer Zeit in einem Querschnitte der Röhre sich befinden, sind nach Verlauf der Zeit t auf der Fläche eines Umdrehungsparaboloids verteilt, dessen Achse mit der Achse der Röhre zusammenfällt und welches um so gestreckter wird, je grösser die abgelaufene Zeit t ist.

4.    Die Flüssigkeitsteilchen drehen sich um Achsen, welche senkrecht zum Radius und im Querschnitte liegen, in dem Sinne, dass die der Röhrenachse zugewendete Seite dieser Richtung entgegen sich bewegt. Die Winkelgeschwindigkeit ist der Druckhöhe und der Entfernung des Flüssigkeitsteilchens von der Achse direkt der Röhrenlänge verkehrt proportional.

Die Winkelgeschwindigkeit berechnet sich nach der Formel

o» = PSPo • r.

4 [a. L

Die Rotation ist also an der Wandung am heftigsten und beträgt beispielsweise bei 1 cm Entfernung von der Achse 220 Umdrehungen per

Sekunde, für Pl^2 = 1.

J-J

Im kreisrunden Kapillarrohr besteht also die Flüssigkeit aus lauter konzentrisch um die Achse angeordneten kreisförmigen Wirbelringen, deren Translation parallel der Achse geschieht und welche in der angegebenen Weise rotieren.

Unabhängig von seinen Vorgängern hat Boussinesq (83) die allgemeine Theorie durchgeführt und auch auf elliptische und rechteckige Querschnitte ausgedehnt. Für erstere gilt das Gesetz:

b² c^ / _y*_ A U U b²-pc² V¹ b² c²/’

w 2b und 2c die Achsen, C eine Konstante bedeuten. Für rechteckigen Querschnitt wird die Formel schon sehr kompliziert. Boussinesq hat auf analytischem Wege (93 und 94) auch eine Theorie der rascher fliessenden Wasserläufe, welche aber zu keinen praktisch brauchbaren Formeln führt.

Theorie und Wirklichkeit stimmen nach obigem für die langsame Bewegung sehr schön überein. Dagegen ist dies ganz und gar nicht der Fall für diejenige Bewegung, welche in weiten Röhren und offenen Gerinnen auf-tritt. Hier verliert jedenfalls das Newton’sehe Prinzip seine Gültigkeit, schon weil hier offenbar die Wirbel durcheinandergehen, somit keine eigentlichen, diesem Prinzip zu Grunde liegenden Wirbelflächen mehr auftreten. Dass dieses Prinzip bis jetzt nicht durch ein anderes ersetzt wurde, ist jedenfalls, abgesehen von dem komplizierten, nur wenigen zugänglichen Werkzeug, mit dem die Hydrodynamik arbeitet, der Hauptgrund, dass diese Disziplin bisher so wenig praktisch verwertbare Resultate gezeitigt und vom Techniker sozusagen gänzlich ignoriert wird.

Die Geschwindigkeit an den Wandungen wäre nach obiger Formel, wie leicht einzusehen, gleich Null.

Moseley (97) leitete theoretisch eine aber nur innert sehr engen Grenzen geltende Formel ab. Für weitere Röhren hat O. E. Meyer (98) für die Ausflusszeit die Beziehnng aufgestellt:

A    1    l²

t = -^= + B-4-C-₂,

Vp    p    p

wo p den Überdruck (H) bedeutet.

Hamilton Smith (70) stellte neue Versuche an mit getheerten Blechröhren gezogenen schmiedeisernen Gasröhren, Glas- und Holzröhren und fand für neue Röhren die Formel:

Lv2 D.2g

[o,0132 + (o,009 + D

0,00014\ 1 -i

/l/vJ

Eine möglichst vollständige Übersicht über die Arbeiten der Hydrodynamik mathematischer Richtung bieten die Werke von Auerbach (84) und Wien (85, 1900).

Wir entnehmen denselben, dass diese Art der Wasserbewegung, die geradlinige, (direct motion) bereits bis ins einzelne erkannt ist, wenn wir auch noch nicht wissen, ob es die Atome oder die Moleküle, oder Gruppen von solchen sind, welche die Wirbellinien zusammensetzen. Die mathematische Hydrodynamik legt ihren Betrachtungen eine kontinuierliche, ausserdem für die tropfbar-flüssigen Körper eine inkompressible Materie zu Grunde. Wirbelbewegungen sind beiden Bewegungsarten gemein, die Bezeichnung „rollende“ oder „wirbelnde“ Bewegung ist somit nicht unterscheidend, und es soll deshalb hier in der Folge für sie die Bezeichnung „krummläufige“ gegenüber der „geradläufigen“ Bewegung zur Anwendung kommen.

Reynolds (78, 79, 80) nun machte sich zur Aufgabe, die Bedingungen zu finden, unter welchen der Wechsel der einen in die andere Bewegungsart eintritt.

Da ihn der theoretische Weg auf zu komplizierte Integrationen führte, so schlug er den der Empirie ein und zwar auf zwei Arten: Einmal, indem er, unter sorgfältiger Erhaltung der Ruhe der Flüssigkeit beim Eintritt in die 3 Versuchsröhren aus Glas von 1, ¹h und iU Zoll Durchmesser und 5—7' Länge, gleichzeitig mit dem gewöhnlichen Wasser einen zentralen Faden gefärbten Wassers dieselben passieren liess und dann beobachtete, bei welcher Geschwindigkeit sich dieser Faden in Wirbel aufzulösen begann. Die Versuche wurden bei verschiedenen Temperaturen angestellt. Diese kritische Geschwindigkeit fand Reynolds zu

Vc =

Bc D . T’

wo T wieder die Poiseuille’sche Zahl bedeutet und Bc =43,79. Unterhalb dieser Geschwindigkeit blieb der Farbstreifen als schöne gerade Linie bestehen, während er sich bei grösserer Geschwindigkeit in Flocken auflöste, und zwar fand diese Erscheinung um so näher der Einmündung statt, je grösser die Geschwindigkeit war.

Sodann prüfte er den Übergang der einen in die andere Bewegungsart, indem er an zwei Bleiröhren von 16' Länge und ¹U resp. V2 Zoll Durchmesser untersuchte, bei welcher Geschwindigkeit sich das Gesetz des Ausflusses änderte. Dieser Moment zeichnete sich schon durch plötzlich eintretende starke Unruhe in den angebrachten Manometern aus, wurde aber auf graphische Weise durch Aufträgen der Werte der Logarithmen von i und v auf einer Abscissen- und einer Ordinatenachse ermittelt, nach einer schon früher von ihm empfohlenen Methode des „logarithmic homologue.“

Die Resultate waren folgende:

1.    Bei niedrigen Geschwindigkeiten war die Pression proportional der Geschwindigkeit und die Geschwindigkeit, bei welcher eine Änderung des Gesetzes eintrat, stund nach ihm genau in umgekehrtem Verhältnis zum Durchmesser der Röhre.

2.    Bis zu dieser kritischen Geschwindigkeit stimmten die Druckhöhen genau mit der P o i s e u i 11 e ’sehen Formel für Kapillarröhren überein.

3.    Für eine kleine Entfernung von der kritischen Geschwindigkeit fanden sich keine einfachen Beziehungen zwischen dem Druck und der Geschwindigkeit, darüber hinaus variierte der Druck wieder nach einer bestimmten Potenz der Geschwindigkeit, und zwar für die Bleiröhren mit n = 1,722.

278 T. D

4.    Die kritische Geschwindigkeit Vc wurde gefunden bei

welcher das kritische Gefälle entspricht Ic = im gewöhnlichen Meter-Tonnen-Masssystem.

Reynolds unterzog nun auch noch die Versuche Darcys und Poi-seui 11 es seiner logarithmischen Methode, indem er bei den letzteren noch den Eintritts widerstand in die Röhren in Berücksichtigung zog. Für gut ab-

y2

gerundete Mundstücke fand er denselben zu ^ für cylindrischen Ansatz, wie

y

bei den PoiseuiIle sehen Versuchen zu 1,505 ^ obachtungen fand Reynolds den Exponenten n für

1,72, also

Einfache Bleiröhren zu

47700000 T²D³’

2 g'

Als Mittel sämtlicher Be-

= 0,581,

0,559,

0,549,

0,559,

0,532,

0,500,

0,524.

Zusammengesetzte Bleiröhren zu 1,79

1,82 1,79 1,88 2,00

Asphaltierte Blechrohre zu Glas zu

1,91

Neues Gusseisen zu Inkrustiertes Gusseisen zu Gereinigtes Gusseisen zu Als allgemeines, beide Bewegungsarten umfassendes Gesetz stellt er die Formel auf:

ApI = (Bpv)",

i/kr j/F i/rï = ]/W v'b /p. t/rl

V"D

In der letzten Kolonne dieser Tabellen findet sich

u = 1,195mr yRI.fh

[o,002 0,238 0,00002 0,259 0,92 jo,250 0,000011 0,

Aus diesen Versuchen geht nun deutlich hervor, das

]/B3

KIUÎTÎK* PlLIÎEDl’JiCIÜ

ApI = (Bpv)",

wo n den Wert 1 oder die hier angeführten Werte besitzt. Diese Formel schreibt sich auch:

pv,

² -1

I » = B . V.

Oder, indem man — n

= x setzt :

woraus

Hier ist P =

th Eh

Ax .

D-sx- i

p2x -

ï Ix = Bv,

(AI)X D3x ~1 V- B

, A = 67 700000, B = 369,3.

Also ist auch v = —D3x ~ ¹ T2x — ¹.

x    i/ A.    -

Setzt man hier x=₀, so wird v = ₀ VDI, womit wir zur einfachen

ù    O

de Chez y sehen Formel gelangt sind, indem der Ausdruck für T in diesem Falle verschwindet.

Derselbe bleibt überhaupt klein, so lange sich x nicht weit von entfernt.

tH

D²1 . T

Setzt man dagegen in obiger Formel x = 1, so entsteht mit v =

die bekannte Poiseuillesche Formel.

Wie uns aber die vielen Formeln lehren, ist das Gesetz der Translation für die krummläufige Bewegung nicht so einfach wie die obige und so kann auch die Reynold ’sehe Formel nicht die ihr von ihrem Urheber zugeschriebene allgemeine Gültigkeit besitzen. Im vierten Abschnitte soll denn auch auf diese Verhältnisse, insbesondere die Veränderlichkeit der Potenzen von R und I, mit denen v variiert, zurückgegriffen werden.

Reynolds bleibt das Verdienst, uns mit dem Wesen der beiden Bewegungsarten und ihren Grenzen näher bekannt gemacht zu haben.

Merkwürdigerweise sind die Koeffizienten für die kritischen Geschwindigkeiten nach den beiden von Reynolds angewandten Methoden nicht dieselben. Nach den Versuchen an den Bleiröhren, welche den Einfluss der Änderung des Druckes auf die Geschwindigkeit zu ihrem Gegenstände hatten,

liegt die kritische Geschwindigkeit bei

den Versuchen mit gläsernen Röhren gefundene, welch letztere sich mit dem Verhalten eines durch die Röhrenachse fliessenden Strahls gefärbten

Die Änderung des Gesetzes

Wassers beschäftigten und lautet v =

278 T . D

-, also weit tiefer als die bei

43,79 TD*

der Abhängigkeit vom Drucke trat bei einer niedrigeren Geschwindigkeit ein als die Wirbelbildungen.

Reynolds gibt dafür keine Erklärung. Der Verfasser glaubt eine solche im sechsten Abschnitte geben zu können.

Für Kanäle liegen in dieser Hinsicht noch keine Untersuchungen vor. § 8. Alle für die Bewegung des Wassers in offenen Kanälen und in

Flüssen angeführten Formeln verlieren ihre Gültigkeit in dem Falle, wo solche in sog. Wildwasser im Sinne von Boussinesq übergehen. Bei den ersteren werden nämlich allfällige Bewegungshindernisse, wie Ge-schiebe-stücke, einfach umflossen, während bei den letzteren das Wasser gezwungen wird, in die Höhe zu steigen, d. h. sich über den Wasserspiegel zu erheben, wodurch ein bedeutender Arbeitsverlust und damit eine allgemeine Verlangsamung der Bewegung entsteht. Ist nämlich die mittlere Geschwindigkeitshöhe in einer Vertikalebene geringer als die halbe Tiefe des Flusses, so hält die Druckhöhe dieser Geschwindigkeitshöhe das Gleichgewicht. Ist dagegen die Geschwindigkeitshöhe grösser, so werden die Wasserfäden aufwärts gelenkt. Die Grenze beider Erscheinungen liegt bei

t    , v²

77, woraus t = —.

2g 2

In der Neuzeit haben sich die Methoden der Geschwindigkeitsmessungen bedeutend vervollkommnet und werden nun fast ausnahmslos Flügelapparate von grosser Präcision verwendet. Es liegen nun eine ganze Menge neuer, zuverlässiger, ja mustergültiger Messungen an Flüssen vor, so von Nazzani (47, 48) über den Tiber, Lavalé-Rapp (35) über den Rhein, Main, Donau, Inn, Lech, Salzach, Plenkner (43) an der Eger, Moldau und Sazawa, Harlacher (28—31) an der Elbe, Donau und A. Schrader an der Elbe zu Altengamm, Wagner an der Weser etc. etc., sowie besonders auch der staatlichen hydrometrischen Bureaux in Deutschland, Österreich-Ungarn, Russland, der Schweiz u. a.

Es liegt nicht in der Aufgabe dieser Arbeit, eine vollständige Geschichte der auf Erforschung der sog. Geschwindigkeitskurven (scala di velocitä) gerichteten Bestrebungen, ebenso wenig einen neuen Abriss der gegenwärtigen Theorie der Wasserbewegung zu schreiben; wer näheres darüber wünscht, findet darüber viel Detail in Schlich tings „Binnengewässer“ (Handbuch der Ingenieur-Wissenschaften, Wasserbau I. Abtlg., 1. Hälfte, Leipzig 1892).

Vorstehendes dürfte genügen, um die Verschiedenartigkeit der Versuche, die Beziehungen der mittleren Geschwindigkeit des Wassers zu den Dimensionen und NeigungsVerhältnissen der Kanäle auszudrücken, darzutun. Hier folgt nur noch eine kurze Zusammenstellung derjenigen Kurven, welche von den verschiedenen Forschern für die sog. Geschwindigkeitskurve gehalten wurden.

Nach Castelli, Baumgarten, Ey tel wein, Weisbach u. a. war die Geschwindigkeitskurve eine Gerade.

Nach Raucourt, Gerstner etc. eine Ellipse.

Nach Funk (7a) eine logarithmische Kurve mit horizontaler X-Achse. Defontaine, Humphreys-Abbot und Bazin erblickten sie in einer

Parabel mit horizontaler, Lecehi, Woltmann, Sasse in einer solchen mit vertikaler Achse. Dupuit sieht in ihr eine Parabel vom n-ten Grade mit horizontaler Achse. Hagen, Lavalé-Rapp, Ringel etc. eine solche vom n-ten Grade mit vertikaler Achse. Andere schliesslich, wie N a z z a ni, zweifelten geradezu an der Existenz eines solchen Gesetzes der Geschwindigkeiten.

Die neuern Ergebnisse von Harlacher und Wagner zeigten, dass in vielen Fällen der grössere Teil der Kurve durch eine Parabel mit horizontaler oder vertikaler Achse dargestellt werden könne, dass aber Abweichungen von der Parabelform nicht selten Vorkommen und dass namentlich an der Sohle und am Wasserspiegel derartige Abweichungen sehr gewöhnlich seien.

Alle diese Vorschläge wurden an der Hand der sehr genauen Har-lacher’schen Messungen an der Elbe durch Jasmund (95, 96) einer kritischen Untersuchung unterworfen, aus welcher hervorgeht, dass die Vertikalkurve in Flüssen im Durchschnitt am meisten Ähnlichkeit hat mit einer logarithmischen Linie von der Gleichung y = a + b log (x -f- c), wenn die y-Achse parallel der Sohle genommen wird und y die Geschwindigkeit bedeutet.

Die Übereinstimmung mit dieser Durchschnittskurve scheint eine sehr bemerkenswerte zu sein.

Nach ihr läge der Ort der mittleren Geschwindigkeit einer Vertikalen

bei ^ der Tiefe, wo e die Basis des natürlichen Logarithmensystems bedeutet, also bei 0,368 t.

Über das Verhältnis der mittleren Geschwindigkeit zur maximalen oder zu der Oberflächengeschwindigkeit weichen die Ansichten ebenfalls sehr auseinander und wurde ein, auch nur in Annäherung gültiges Gesetz nicht ge-

Y

funden. An Flüssen variiert dieses Verhältnis — gewöhnlich von 0,6 bis zu 0,9.

Über die Beschaffenheit der horizontalen Geschwindigkeitskurve wissen wir noch weniger; im allgemeinen nimmt die Geschwindigkeit in der Horizontalen zu mit der Tiefe und der Entfernung vom Ufer.

Leider sind seit Bazin keine methodischen Geschwindigkeitsmessungen an ganz regelmässigen Wasserläufen mehr unternommen worden und doch war einzig von solchen eine gründliche Aufhellung dieses Wissensgebietes zu erwarten, da in Flussläufen der normale Verlauf der Geschwindigkeitskurven allzusehr durch Unregelmässigkeiten verschiedenster Art gestört wird.

Der Verfasser ist nun überzeugt, dass es ihm gelungen sei, nach

zuweisen :

1. Das vollständige Gesetz der Translation des Wassers in kreisrunden Röhren und halbkreisförmigen, glatten, voll laufenden Kanälen, und zwar sowohl bezüglich der mittleren Geschwindigkeit,

wie auch der Einzelgeschwindigkeiten, immerhin nur in der Richtung des Gerinnes.

2.    Ein ganz allgemein für die mittlere Geschwindigkeit in regelmässigen Kanälen, Flüssen, Strömen, kreisrunden, rechtwinkeligen und wohl auch anders geformten Röhren gültiges Gesetz.

3.    Das mit dem ersten vollständig identische Gesetz für die Einzelgeschwindigkeiten am Wasserspiegel sehr schmaler und im Stromstrich sehr breiter, rechtwinkeliger offener Gerinne, sowie in den beiden, durch die Hauptachsen des Querprofils rechtwinkeliger Röhren gelegten Ebenen.

4.    Eine ganz allgemeine Beziehung zwischen der in der Richtung der Röhre wirkenden Schwerkraftskomponente der sekundlichen Wassermenge und der mittleren Geschwindigkeit.

In neuester Zeit erst wurden verschiedene Stimmen laut, dass durch den sogenannten hydraulischen Radius das Profil keineswegs genügend charakterisiert sei, so durch C. K. Aird (55) in Würzburg und R. Siedek (56) in Wien, welche Thatsache auch die Untersuchungen des Verfassers bestätigen.

Siedek stellte eine mit einer sehr grossen Anzahl neuester und bester Flussmessungen recht befriedigend stimmende neue Geschwindigkeitsformel auf;

vm

T-T^ J-Jn T^-T

wo V' =

T. /I    Tn = y0,0175B—0,0125

2 0 _ >

l/B*i/0,001 J„ = 0,0010222 — 0,00000222 B T die mittlere Tiefe = -Ęr

B die Breite

a und ß Koeffizienten bedeuten.

Eine Besprechung dieser Formel findet sich in Zeitschr. f. Gewässerkunde 1901 von Prof. Dr. Gravelius.

II. Abschnitt.

Ableitung- des Fundamental-Bewegungs-Gesetzes.

§ 9. In jedem beliebigen Kanale entspricht einem bestimmten sekundlichen Durchflussquantum eine gewisse Wasserstandshöhe und eine bestimmte mittlere Geschwindigkeit. Diese letztere zu bestimmen als eine einfache Funktion des Durchflussquanturns, des Gefälles und der Profilform war der

ursprüngliche Zweck dieser Untersuchungen, der dann, als sich daraus ein höchst einfaches Gesetz entwickelte, erweitert wurde, um überhaupt das Gesetz der Translation in cylinderflächigen Gerinnen aufzufinden.

Zur Untersuchung dienten mir vorerst die rechtwinkeligen Kanäle von Bazin (24) aus Brettern, indem solche die mannigfachsten Verhältnisse darbieten. Für meinen Zweck eigneten sich die Bazin’sehen Versuche in vorzüglicher Weise, indem sich bei ihnen durch alle Versuchsreihen hindurch stets die gleichen Durchflussmengen wiederholen. Ich ging dabei von der Ansicht aus, dass man, um die Gesetze der Bewegung des Wassers zu studieren, von möglichst einfachen Verhältnissen ausgehen soll, d. h. von solchen, bei welchen die jedenfalls nicht so einfachen Bewegungen möglichst frei von allerlei Zufälligkeiten vor sich gehen.

Ich griff nun zuerst die Serie 7 mit einem Gefälle von 4,9°/oo heraus und liess darin nur das Q variieren. Jch fand nun, dass sich v genau mit der 3. Wurzel aus den betreffenden Durchflussmengen änderte. Das Gleiche fand ich an den Reihen 18, 19, 20 und 28. Es ging daraus der Satz hervor:

1.    In rechtwinkeligen Kanälen verhalten sich unter sonst gleichen Verhältnissen die Geschwindigkeiten wie die 3. Wurzeln aus den Durchflussmengen.

Alsdann nahm ich die Versuchsreihen 6, 7 und 8, 9, 10 und 11 hervor, wo die Breite der betreffenden Kanäle nur zwischen 1,982 und 1,990 variierte und liess nach den Bazin’sehen Resultaten bei den verschiedenen Neigungen von 1,5, 3,08, 4,9, 5,9, 8,24 °/oo gleiche Durchflussmengen strömen. Es zeigte sich, dass v die Geschwindigkeit, auch mit der 3. Wurzel aus den betreffenden Gefällen variierte, d. h.

2.    In rechtwinkeligen Kanälen gleicher Breite, Rauheit und gleichen sekundlichen Durchflussmengen verhalten sich die Geschwindigkeiten wie die 3. Wurzeln aus den betreffenden Neigungen.

Aus Satz 1 und 2 ergibt sich mit Notwendigkeit das Gesetz:

3.    In rechtwinkeligen Kanälen gleicher Breite, aber von verschiedenen Durchflussmengen durchflossen und mit verschiedenen Neigungen, verhalten sich die Geschwindigkeiten wie die 3. Wurzeln aus dem Produkten von QI, oder mit anderen Worten:

Die Gewichtskomponenten der sekundlichen Durchflussmengen, in der Richtung der Translation genommen, verhalten sich wie die Kuben der mittleren Geschwindigkeit.

Oder auch : Der Quotient aus der Geschwindigkeit dividiert durch die 3. Wurzel aus dem Produkte QI ist für gleiche Breite

eine Konstante, d. h. k₀

VQI

zu dem benetzten Umfange oder der Breite stelle.

Merkwürdigerweise fand eine solche Abhängigkeit nicht, wie erwartet, mit Bezug auf den benetzten Umfang, sondern mit der Breite statt und zwar war dieser Quotient ko genau proportional der 4. Wurzel aus dieser Grösse. Ich konnte nun die Fundamen tal-Formel auf stellen.

\r 3 _

₄ ¹ VQI.

l/B

Statt B führte ich nun dieselbe Breite ein, um später röhrenförmige, geschlossene Profile besser mit den Kanälen vergleichen zu können.

Setzt man ferner in obiger Formel Q = F v, so wird

v = -yk - -j/F I und durch Substitution von F = 2BH ]/B³

wird v = ]/2k³ l/H I ]/B,

welche Relationen ihrer Einfachheit halber mir sofort als ein gefundenes Naturgesetz erschienen, um so mehr, als die letzte derselben in der Grösse l/HI der de Chézy sehen Form ähnlich ist.

3_

Ich prüfte nun die ursprüngliche Form mit yQI an allen mir damals zugänglichen Messungen und fand, dass dieses Gesetz merkwürdigerweise nicht nur für rechtwinkelige, sondern auch für alle möglichen Kanäle und Flüsse, selbst für den Mississippi gelte. In allen diesen Fällen blieb der

für einen und denselben Rauhigkeitsgrad konstant

Quotient k =

Nun wurde aus den genannten Versuchsreihen für eine gegebene durchschnittliche Breite von 1,986 dieses durchschnittliche k berechnet, desgleichen für die Versuchsreihen:

Nr. 18,

mit Breiten von 1,197 m,

und untersucht, in welchem Abhängigkeitsverhältnis dieser Quotient

19,

20,

0,800 m,

0,480 m

28 und 29 0,100 m, 0,100 m

v.VB"

1/QÏ

In nachstehender Tabelle finden sich diese k berechnet für die Kanäle aus Brettern von Bazin, der verschiedensten Profilformen, Breiten und Gefälle. Für andere Rauhigkeitsgrade liefert die im Anhänge dieser Schrift befindliche allgemeine Koeffizienten-Tabelle den Nachweis der Richtigkeit dieser Formel.

Kanal

Ü Profil B

o*

«o

HH

tel

u ta !

Il \<y

k per Reihe

Bazin, fein

Recht

fl

fl

fl

fl

fl

fl

fl

77

71

71

fl

fl

fl

fl fl

fl

fl

fl

fl »

fl

fl

cf cf cf o* Ö*

11,52

11,47

11,57

11,43

11,43

11,48

71

, ²⁹

71

71

71

71

fl

71

71    71

71

71

71

71

fl

fl

71

71

71

7)

7)

71

fl

O    (M    N    (M    ^

N    CO    00    CO    H

(M    CO    CO    ^    O

o'    cf    cf    cT    o

12,67

12,48

12,48 ¹²>⁵5

12,52

12,60

Bretter,

gewöhnlich

Recht-6 winklig

0,995 0,00208

71

71

?»

71

71

71

O 00 o co o co co co

—¹ -r-H O 03

0,000208

0,001285

0,002142

0,002570

Ol O) C-lO o 03 co

O y—i i—I T—I

o' o' ©~ o'

CO

C5

io o ^ co *o 00 00

CD (M ^ lO

10,69

11,51 11,30

11,43

11,56

0,0049

O 00 O •<—1 ■ł—I CO

*    * fl

?»

o o

CO 00 O 03

0,00049

0,00303

0,00505

0,00607

iO 03 03 P- !>• 00 O H fH tH

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co

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,    12,179

IO 05 CO t> 03 O p-00 l> H o -r-T cf of

10,47

11,79

11,93

11,96

11,54

0,00824

fl

fl

fl

fl

fl

fl

fl

fl

fl

fl

fl

O 00 o co O h CO co

tH CO O 03

©~ o -T -T

0,000824

0,005092

0,00849

0,010185

00

CO 03

© P- o -rH © -rH 03 03 o' o' o <S

^ CO    03

t>* lO ^ T—I

©- P P P t-T of of of

1,063

2,051

2,445]

2,609

11,33

11,92

11,98

12,08

11,83

fl

fl

fl

fl

9    „    0,9915    0,0015    0,100    0,000150    0,0531

0,618    0,000927    0,0975

1,030    0,001545    0,116

1,236    0,001854    0,123

fl

fl

10

11

18

fl

o'

fl

fl

fl

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fl

fl

fl

0,9935

0,991

fl

fl

0,0059

0,00839

0,5985

0,0049

a a a CD

___ 00

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77

77

77

71

21 Trapez 0,622 0,0015 0,691 0,868 0,989 1,040

77

77

77

77

71

77

77

77

77

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77

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O    O    h    CO    CO

h    (M    ©    o    (M

0,0001500 0,0532 0,0003045 0,0673 0,0009270 0,0975 0,001545 0,116 0,001854    0,123

0,888 0,730 0,940 0,892 0,965 1,228 0,99811,415 1,010 1,485

©~ ©-

1,412

1,500

12,18

12,45

12,15 ¹²>²³

12,17

12,19

71

22

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77

71

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71

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77

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11,99

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12.76    ¹²>68 12,94 12,87

77

71

Drei-23 eck

17

77

77

71

71

77

71

77

77

71

77

71

77

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77

77

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11,92

77

Halb-26 kreis

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77

77

71

71

71

71

71

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©    ©    ©    ©    ©

©    Oi    ©    ©    ©

0,000150 0,0531 0,791 0,000304    0,0672 0,819

0,000927 i 0,0975 0,901 0,001545    0,116    0,913

0,001854 ; 0,123    0,915

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05    Ol    00    CO

05    -J    -J    cc    o

O    CO    4^    4^    ©

12,26

§ 10. Beim Untergang von den rechtwinkeligen zu den trapezförmigen, dreieck- und halbkreisförmigen Gerinnen sehen wir ein schwaches Zunehmen des Koeffizienten k. Am meisten fällt dies auf bei den trapezförmigen, dann auch bei den halbkreisförmigen, weniger bei den dreieckigen Kanälen. Während der mittlere Koeffizient aus sämtlichen Bazin’schen Bretterkanälen 11,73, bei den gehobelten 12,01 beträgt, steigt er bei den dreieckigen auf

11,78, den halbkreisförmigen auf 12,26 und den trapezförmigen auf 12,45. Die Erklärung hierfür schien nicht weit zu liegen, da anzunehmen war, dass

in Profilen von wechselnder Breite in der Formel v =

~r- VO:! ^ür B das

arithmetische Mittel aus näher sei.

4

sämtlichen ]/B des ganzen Profils der Wahrheit

jh

o

d. h., wo B eine Konstante

Letzteres Mittel ist nun gleich rr

Jll

(bei rechteckigen Gerinnen) oder eine Funktion der Tiefe h ist; im Dreieckprofil ist z. B. B = ah.

Dieser Wert in obigen Ausdruck eingesetzt, gäbe einen Mittelwert für

H

j ]/ah

o

.dh=Ji/aH.

5

Da in dem Bazin’sehen Versuche a —1 und H = B war, so wäre der

4____

Mittelwert für die verschiedenen Vß gefunden

4 _

l/B gleich jj

4 V~

zn₇ l/B und der neue Koef-o

fizient wäre ko =

4 v. l/B _4 u

3    ^ ^

5. y Qi

Ü’|

.11,78 = 9,42, ein Resultat, das viel

schlechter mit dem an rechtwinkligen Bretterkanälen gefundenen Koeffizienten 11,43 übereinstimmt, als der unter einfacher Anwendung der Oberflächenbreite zu 11,78 gefundene. Da nun letzterer gerade bei der Dreieckform am schlechtesten stimmen sollte, wo der Unterschied zwischen Oberflächen- und Sohlenbreite der grösstmögliche ist, so muss angenommen werden, dass all-

4__

gemein unter dem Ausdruck ]/B wirklich die 4. Wurzel aus der halben Oberflächenbreite zu verstehen ist und dass die gefundenen Differenzen von k ihre Entstehung zufälligen verschiedenen Rauheiten der betreffenden Gerinne verdanken.

Um aber über diesen Punkt ein sicheres Urteil fällen zu können, wurden noch diejenigen der Versuche von Dubuat (2), beigezogen, welche deren Urheber als gelungen bezeichnet. Es sind dies 14 Versuche an einem trapezförmigen Kanal verschiedener Neigung und von 0,1565 m Sohlenbreite, sowie 3 Versuche an einem rechtwinkligen Kanal von 0,467 m Breite. Bei ersterem besassen die Seitenwandungen eine Neigung gegen den Horizont von 36V2 Grad. Diese Versuche wurden vom französischen Zoll in Meter-mass umgerechnet und es mussten ferner die Breiten berechnet werden, was

nach der Formel: B =

F

—--b geschah.

t

Christen, Translation des Wassers.

Trapez    0,00472    0,0586    0,01381 0,1572 0,01028    0,746 0,6294 0,0485

0,03646

0,05155

0,04780

0,02884

0,03377

0,03790

0,04000

0,0509

0,0548

0,0576

0,0578

0,01259

0,01566

0,01813

12,86 1 10,35 11,31 11,18 11,08 11,26 11,25 11,45 11,51 11,68 11,74 12,20 11,23 12,57

11,56

.Nr.

Form.

v \/B

1000 Q I ?

i/qi

••

i/qi

k im Durchschnitt

„    „    0,1263    0,03705 0,2152 0,02903    0,784 0,6810 0,1370

„    0,00243    0,1624    0,06110 0,2980 0,04496    0,733 0,7388 0,1092

„    „    0,0768    0,01992 0,1815 0,00988    0,495 0,6520 0,0240

„    0,00234    0,0993    0,02883 0,2123 0,01585    0,550 0,6810 0,0385

„    „    0,1182    0,03698 0,2478 0,02240    0,606 0,7052 0,0545

„    ,    0,1263    0,04136 0,2492 0,02635    0,638 0,706 0,0641

„    0,00231    0,1825    0,07380 0,3260 0,05706    0,773 0,755 0,1318

„    „    0,2029    0,08770 0,3536 0,07160    0,817 0,773 0,1654

„    „    0,2141    0,0958 0,3688 0,0828    0,8640,779 0,1912

„    „    0,2188    0,0992 0,3745 0,0874    0,882lo,781 0,2018

r    0,000579    0,0632    0,01526 0,1631 0,003698 0,242:0,635 0,00214

„    „    0,0904 0,02534 0,2008 0,006630 0,263 0,669 0,00384

„    „    0,1038 0,03085 0,2181 0,01029 0,334 0,683 0,00596

Recht-

eck

0,002185 0,05418 „    0,1353

0,00108 0,05418 0,0007088 0,05536 „    0,08130

„    0,1195

* 0,1612 0,0001077 0,1183 „    0,2436

0,1136

0,548

0,766

0,367

0,249

0,328

0,01385 0,04844 0,00930 0,00643 0,01243 0,02142 0,384 0,03172 'o,421 0,00629 *0,124 0,01758 0,154

0,6943

0,0302 0,1056 0,01004 0,00456 0,00881 0,01518 0,02249 0,0280 j 10,52 0,000678 0,08783' 9,81 i 0,001893|0,01237|11,57

0,0311

0,04727

0,02154

0,01658

0,02066

0,0247

12.23

11.24 11,82 10,42 11,02 10,80

11,03

Wie wir sehen, variiert der Koeffizient vom Trapez zum Rechteck nur von 11,56 bis zu 11,03, d. h. mit einer Differenz von 0,53 Einheiten, oder 4,7 °/o, also mit einem Unterschied, der viel geringer ist, als die innert der betreffenden Profilformen, mit im Maximum 1,51 beim Trapez und 2,42 beim Rechteck betragenden Schwankungen. Unsere Behauptung, das B bedeute die halbe Oberflächenbreite, gewinnt dadurch wesentlich an Sicherheit.

Es war nun von unmittelbarem Interesse zu wissen, ob das gefundene Fundamentalgesetz auch auf grössere Wasserläufe, wie z. B. den Mississippi angewendet werden dürfe.

Zu dem Ende ermittelte ich an Bazin’s trapezförmigem Kanale in Erde mit wenig Kräutern, Nr. 49, von einer Breite von 3—4 m an der Oberfläche, den zugehörigen Geschwindigkeitskoeffizienten und fand ihn gleich 7,76. Am Mississippi dagegen erhielt ich als Mittel aus den 6 bei Columbus und Vicksburg vorgenommenen Messungen für diesen Koeffizienten die Zahl 7,97, am Ohio 7,55. Die Koeffizienten für die 4 Messungen bei Carrollton, am Beginn des Delta, stimmten damit nicht überein, sondern waren höher, von 9,27

Anwendung auf Dubuat’s Kanal- und Darcy’s Röhren-Versuche.

35

bis 13,01 variierend. An letzterer Stelle befand sich aber der Strom ganz im Stau des Meeres, von dem es durch eine 100 Fuss und darüber hohe Barre getrennt war, hatte ein sehr schwaches Oberflächengefälle, z. B. nur 4 mm per Kilometer, dagegen ein viel stärkeres Sohlengefälle und eine sehr bedeutende Tiefe, wodurch die Tiefenschwimmer keine ganz zuverlässigen Resultate ergeben konnten. Sieht man von dieser Messung an ganz abnormer Stelle ab, so stimmen die Koeffizienten auf dieser kolossalen Strecke mit den sehr verschiedenartigen Flussgrund- und Profilverhältnissen, nur von 7,23 bis 8,73 variierend, sehr gut mit den an Bazin ’s ausserordentlich viel kleineren Kanal gefundenen überein. Wenn man den Mississippi nach meiner Formel mit dem Koeffizienten von Bazin ’s Kanal Nr. 49 berechnen würde, so betragen die grössten Differenzen nur 9°/o der wirklich gemessenen Geschwindigkeit.

Es wurden nun in der im Anhänge beigegebenen Koeffiziententabelle die Gerinne gleichartiger Rauhigkeit zusammengestellt und beobachtet, dass sich eine sehr schöne Übereinstimmung der betreffenden Koeffizienten ver-

]/QI lässt sich nun noch einiger

folgen liess. Die allgemeine Formel v =

l/k³

]/W

massen vereinfachen, wenn man statt F das ihm gleiche Produkt 2 B r einführt, wo T die mittlere Tiefe des Kanals bedeutet. Dadurch entsteht die

_ _ 8 _

abgeleitete Form v = ]/2k³ ]/xl i/B> welche ebenso allgemeine Gültigkeit besitzt wie die Fundamentalformel.

Diese Allgemeinheit des Gesetzes veranlasste mich, zu untersuchen, ob sie sich auch auf Röhren ausdehnen lasse. Da wir für solche eine sehr gute und einfache Interpolationsformel besitzen, wie die von Darcy, so wurde vorgängig anderer Untersuchungen meine Formel an dieser geprüft.

Im Anhänge des Werkes von Darcy „Recherches expérimentales“ (58) findet sich eine Tabelle berechnet nach seiner Formel:

RI =

(o,000507 +

0,00000647

Nachstehender Auszug aus dieser Tabelle zeigt uns für die Durchmesserklassen von 1 cm, 5 cm, 10 cm, 30 cm und 50 cm die zugehörigen v, Q und I, aus welchen Grössen nun der Koeffizient k meiner Formel in den verschiedenen Positionen berechnet wurde.

Summa :

ÿ 0,30 0,150 •s    0,50 0,250

05

<U

c

Ou

80

0,10

0,05

B 0,01

-+-■>

a>

CTQ

a>

co

C+-

05

05

N

'0,050

0,025

0,005

0,473 0,785 0,127 0,622 7,069 0,037 0,707 19,635 0,021

0,398 0,196 0,306

0,266    0,008 3,602

0 0001

V

10001

0,4123

0,2616|

0,0997

0,0600

0,0288

1000000 QI

48,26

0,744    9,50

0,639    9,73

0,464    10,19

0,391    10,17

0,307    8,67

»-*•

<© O

X

? ?r <OI

td|

98,175 0,533|

35,343 0,917

3,927 3,182

0,982 7,658

0,039 90,05

1000 Q 10001

52,327| 3,74

32,410: 3,19

12,496| 2,33

3,512    1,52

7,520    1,96

= 0,50

1000000 QI

^<w© <0 o hhI X

48,25

JO JO '►f*    ^<1

Ui Üi

10,15

10,15

8,75

l/Ql

196,350

70,686

7,854

1,964

0,079

1000 Q

3,6675 259,24 2,131 418,42

12,728

199,981

30,632!

360,20

10001

160,161

28,456

1000000 QI

7,48

6,38

4,64

3,92

3,05

100 X

yoi

48,26

10,19

10,15

8,72

]/Ql

4 _

v.-j/R

589,05 19,18

212,061 33,01

23,562 114,55

5,891 275,69

0,236 324,18

1000 Q 10001

11297,98

7000,10

2698,80

1624,09

765,065

1000000 QI

Berechnung des Koeffizienten k der Fundamentalformel aus der Darcy’schen Tabelle für Röhren,

48,27.

22,44    9,45

19,13    9,75

13,92    10,19

11,75    10,16

9,15    8,72

|/QI

yQi

100 x

4_

y. ]/ß

Wie ersichtlich, stimmen in dieser Tabelle die Werte von k für gleiches R überaus schön überein und trägt also die Darcy’sehe Formel der Forderung:

y Qi

konstant, sehr gut Rechnung. In vertikaler Richtung sieht man, dass

die Werte von k für mittlere Durchmesser etwas zu gross werden und es gibt die Darcy’sehe Formel die Abhängigkeit von R nicht ganz richtig an. Im ganzen ist die Übereinstimmung eine sehr befriedigende und ein Beweis für die allgemeine angenäherte Übereinstimmung der Resultate meiner und der Darcy’sehen Formel.

Es wurden nun die Werte für k' direkt aus den Messungen selbst abgeleitet und die Resultate in der erwähnten Koeffizientenberechnungstabelle (s. Anhang) zusammengestellt. Es ergab sich auch hier die schönste Übereinstimmung zwischen den k der einzelnen Rauhigkeitsgrade.

Aus der vorstehenden Tabelle berechnete sich das mittlere k zu 9,65, während dieser Koeffizient an den Bretterkanälen zu ca. 12 gefunden wurde und die Rauhigkeit des reinen Gusseisens (nach Darcy) doch unmöglich so sehr von derjenigen der Bretter Bazin’s abweichen kann. Es fehlt somit noch eine Beziehung zwischen den Geschwindigkeitskoeffizienten an Kanälen und Röhren. Leider fehlen Messungen, an kreisrunden Kanälen und Röhren desselben Materials vorgenommen, vollständig. Wir besitzen meines Wissens in der Literatur keine einzige Messung eines halbkreisförmigen Kanals aus irgend einem Metall, Asphalt oder Glas, noch einer kreisförmigen Röhre aus Zement, Brettern, Quadern etc., wonach die Koeffizientenreihen für Kanäle und Röhren mit einander identifiziert werden könnten. Wir müssen zu diesem Zwecke zu einer Annahme greifen. Die einfachste und selbstverständlichste ist wohl die, dass wir voraussetzen, eine Röhre und ein halbkreisförmiger Kanal aus demselben Material, mit dem gleichen Radius, hätten unter sonst auch gleichen Bedingungen (Gefälle, Temperatur) gleiche mittlere Geschwindigkeiten. Wir dürfen dies annehraen, weil in beiden Gerinnen das Verhältnis des Durchflussprofils zum benetzten Umfange dasselbe ist, die Geschwindigkeit in beiden von gleichen Funktionen abhängt, und ausserdem beide Gerinne gleiche Breite und Form haben. Ist sonach in

3_____

einem halbkreisförmigen Kanal die Geschwindigkeit v=--- — y QI, so be-

VR

trägt sie in einem vollständigen Rohr nach unserer Annahme:

k -i /QI_ k

V 2 —

VR

y 2 i/r

— /QI.

Da wir an Brettern k gefunden haben zu 12, so wurde im Rohre

9,53

VQI.

Der Koeffizient 9,53 stimmt nun sehr gut mit dem an den Darcy’-schen Röhren gefundenen Koeffizienten 9,65 überein, so gut, als man es bei der Verschiedenheit des Materials nur erwarten durfte.

Um einen sicheren Vergleich zu haben zwischen den Koeffizienten einer Röhre, wenn einmal voll und unter Druck, das andere Mal nur teilweise gefüllt, als Kanal, fliessend, stellte ich nachstehende Versuche an einer galvanisierten Röhre von 4,06 cm Durchmesser und 2,55 m Länge an.

Verwendung

des

Rohres

t—I

ca

HH

icq

ca

15h

>•

1. Als Druckleitung

0,0203

0,01422 0,000877 0,00000623 0,01840 0,677 0,01005 0,000691 0,00000694 0,01514 0,533

0,0203 0,3774

13,87 13,57

13,28    „

2. Als offener Kanal

0,01735 0,03622 13,65 0,01980 0,03749 13,47

0,0105 0,0387 0,00019 0,000007354 0,01944 0,733 0,0190 0,0384 0,00060 0,00002304 0,02840 1,021

Wir sehen in der Tat auch hier ein sehr schönes Übereinstimmen der beidseitigen Koeffizienten.

In Abschnitt V § 24 werden wir weiter erfahren, wie im glatten halbkreisförmigen Gerinne die Verteilung der Geschwindigkeiten genau dieselbe ist, wie in dem entsprechenden kreisförmigen Rohre. Ebenso wird in Abschnitt II § 15 gezeigt, dass auch im rechtwinkligen Kanal genau die Hälfte Wasser fliesst, wie in einem rechtwinkligen Rohre von doppeltem Querschnitt. Es wird also obige Annahme auch durch diese beiden Tatsachen befestigt.

Ein Durchgehen der Koeffiziententabelle zeigt uns nun, dass das ge-

fundene Gesetz v =

1^-    3 _

- VQI für offene Kanäle beliebiger Form und Grösse

4 -

]/R

und auch für kreisrunde Röhren, wenn man statt Q dessen Hälfte setzt, allgemeine Gültigkeit hat. Den Koeffizienten k dürfen wir aber nicht als den Reibungs- oder Rauhigkeitskoeffizienten benennen, da er mit wachsender Rauheit abnimmt, er ist eher ein Ausdruck für die Glätte; nennen wir ihn darum einfach Geschwindigkeitskoeffizient, analog dem Koeffizienten cp in der Formel v = (p ]/2gh für den Ausfluss aus dünner Wand.

Kreisförmige Röhren und Halbkreiskanäle; die neue Formel in de C h é z y’scher Form. 39 § 11. Um nun den Nachweis zu leisten, dass die nach der Formel = -77- l/QI berechneten Geschwindigkeiten mit den wirklich gemessenen

]B

übereinstimmen, so müsste vorerst der für jeden Rauhigkeitsgrad geltende mittlere Koeffizient k und dann mit demselben und letzterer Formel die Geschwindigkeiten berechnet werden. Die Differenz beider ergäbe den Fehler, den man bei Anwendung meiner Formel begehen würde und den prozen -tualischen Fehler erhielte man durch Division der gefundenen Differenz durch die wirklich gemessene Geschwindigkeit.

Wir können aber den Weg abkürzen, indem wir diese Vergleichung direkt mit den Geschwindigkeitskoeffizienten vornehmen, denn letztere sind direkt proportional der Geschwindigkeit selbst, also auch ihre Differenzen proportional den Differenzen der gemessenen und berechneten Geschwindigkeiten. Wir brauchen sonach bloss die prozentualischen Fehler des k gegenüber dem Durchschnittswerte von k einer Rauheitskategorie auszurechnen, um den prozentualischen Fehler zu erhalten, der begangen würde, wenn wir nach obiger Fundamentalformel und dem Durchschnittskoeffizienten k die Geschwindigkeiten berechnen würden.

k

— -A sind in der letzten Kolonne der Koeffi-k

Die Werte von ^ k

ziententabelle des Anhangs angegeben und sie bewegen sich bei den Kanälen mit unveränderlichen Wandungen innerhalb eines sehr engen Rahmens um den Durchschnittswert herum.

Wie verhält sich nun die neue Formel gegenüber der de Chezy’schen Form v = c . ]/RI?

i/k:⁸

Die zweite Formel heisst: v = -— /FI. Setzen wir darin F = Rp,

l/B³

so wird v —

i/kr j/F i/rï = ]/W v'b /p. t/rl

Das de Chézy*’sche c wird also durch den Ausdruck |/k³ /B . ~j/-

gebildet.

An dieser Stelle sei jedoch auf einen weiteren grundsätzlichen Unterschied zwischen meiner Formel und den an die de Chézy’sche Form angelehnten Interpolationsformeln aufmerksam gemacht, für den Fall, dass die Breite eines Gerinnes unendlich gross wird.

Meine Formel liefert dann nämlich einen unendlich grossen Wert für die Geschwindigkeit; man kann also durch blosse Verbreiterung eines Kanals die Geschwindigkeit beliebig vergrössern. Nach den auf der de Chezy’schen auf gebauten Formeln (Bazin, Ganguillet etc. etc.) nähert sich bei konstanter Wassertiefe, aber zunehmender Breite, die Geschwindigkeit immer mehr einem Grenzwert, den sie nicht überschreiten kann. So wird z. B. im rechtwink-

Ct

ligen Gerinne R =

im Falle b = cv- zu II = t, da dieser Quotient sich

auch schreiben lässt : R =

1 -j- 2

In der Koeffiziententabelle finden sich nun zuerst die Messungen an den festen Kanälen Bazins’, sodann eine grössere Anzahl vorwiegend älterer aber doch zuverlässiger Messungen an natürlichen Flussläufen. An diesen

wurde nun die Formel v =

3 _

-— y QI geprüft. Anschliessend an diese Tabellen

l/B

folgen Messungen neuester Zeit, meist der Schrift von Siedek (56) entnommen,

__________ _ 8 _ .

an welchen die abgeleitete Formel v = ]/2k³.]/Tl ]/B geprüft wurde, wo ]/2k³ = m gesetzt wurde. Hier beobachten wir nun ein bedeutendes Schwanken des Koeffizienten m, also der Rauhigkeit der Flusssohle, welches uns veranlasst, näher auf diese Unregelmässigkeiten einzutreten, was im IV. Abschnitt geschehen soll.

III. Abschnitt.

Anwendung des gefundenen Fundamentalgesetzes auf die verschiedenen Profilformen.

Des Verfassers Versuche an rechtwinkligen Röhren.

§ 12. Aus der zweiten Fundamentalformel v

-]-Ä l/FI lassen sich .fB³

nun

für die verschiedenen Profilformen Spezialfonneln ableiten. So gilt

___8 _

1.    für den rechtwinkligen Kanal: v= i/2k³ i/HI.yB

Vp _____________

VB⁸

2.    für den trapezförmigen Kanal : v = —— yH I (B -|- b)

3.    für den dreieckigen Kanal: v= fk³ l/fîï . I 1 >

4.    für den halbkreisförmigen Kanal und die kreisförmige Röhre:

v = yk^yRIyR

annäherungsweise, da F = ^    ebenfalls näherungsweise.

6. für das parabelförmige Profil, wo

2 n B»+^

v= -|/^yffl(PH)^₌ /££i(f)M

y|t*i'H](pH)B=]/|t*i.|

wird

B = /pH und F = 2 /p . —5—-

n —1

05 joo

für n = 2 wird v =

Alle diese Fälle schliesst die allgemeine Formel in sich:

Y = ]/2k³l/r!i/B

Es schien nun, aus der allgemeinen Anwendbarkeit der Fundamentalformel zu schliessen, dass solche auch für alle möglichen Röhrenprofile passe. Leider fehlen meines Wissens in der Literatur Geschwindigkeitsmessungen an andern als kreisförmigen Röhren fast ganz. Einzig für die rechtwinklige Form gibt Bazin für 2 Röhren von 0,80/0,50 und 0,48/0,30 Breite und Höhe (Serie 51 und 52) mit 3 verschiedenen Durchflussmengen die betreffenden Ge-

das-

5. für den schalenförmigen Kanal (Kreissegment)

Vt

Vb»

/hi'

3 H²+ 16 B²

12 B

schwindigkeiten an. Leider ist in beiden Versuchen das Verhältnis g

selbe, so dass das Material zur Durchprüfung meines Geschwindigkeitsgesetzes nicht hinreicht. Es mussten daher neue Versuche angestellt werden. Da es mir mittlerweile geglückt, das Gesetz der Translation in kreisförmigen Röhren für jeden beliebigen Punkt des Querprofils zu finden (s. Abschnitt V), so wollte ich solches auch an rechtwinkligen Röhren versuchen, hoffend, dass bei eventuellem Gelingen dieses Vorsatzes sich dann auch das für jedes beliebige Profil gültige Gesetz ableiten liesse. Diese Versuche wurden im Sommer 1901 unter Assistenz des Herrn Ingenieur Max Steiner aus Zürich angestellt, dem ich an dieser Stelle meinen wärmsten Dank ausspreche.

Gesehwindigkeitsmessungen an rechtwinkligen Röhren.

1. Der Apparat.

§ 13. Der Hauptapparat bestand aus einem sehr glatten und genau ausgearbeiteten Kanal von 7 m Länge und 0,10 m innerer Breite (Fig. 1), der mit einem ebenfalls 7 m langen Brette als Decke der Röhre versehen war. Diese Decklatte konnte mittelst eines Schraubenapparates in verschiedene

Lagen gebracht werden, so dass bei einer konstanten Breite von 0,1m ein Querprofil von verschiedener Höhe bis zu ebenfalls 0,10 m Höhe erhalten werden konnte. Alle vier Bretter hatten eine Dicke von 2 cm. Am oberen Ende dieser Röhre war ein Kasten angebracht mit einem kreisrunden Loche, in welches ein aufrecht stehendes blechernes Saugrohr von 15 cm Durchmesser genau passte. Bei einem Abstand von der Holzröhre von ca. 75 cm machte dieses Blechrohr eine totale Umbiegung von ca. 52 cm Länge. Dieses also wiederum vertikale Rohrstück tauchte nun in ein Reservoir von 3,84 m Länge und 2,87 m Breite aus Lärchenholz, mit zwei Überfällen, aus welchem das Wasser zu gewöhnlichen Zeiten in einer Druckleitung zur Turbine floss. Die hier beschriebenen Versuche wurden aber alle des Sonntags bei stillstehendem Sägerei-Betrieb und also bei fast vollständig ruhigem Wasserspiegel ausgeführt, indem auch der Zufluss gut reguliert werden konnte. Zudem besass der Saugheber aus Blech beim Einlaufe eine Klappenvorrichtung,, durch welche der Druck in der Röhre beliebig reguliert werden konnte. Um das in das Wasser des Reservoirs tauchende Ende des Saughebers wurde ein weiter Sack aus feiner Drahtgaze gestülpt, an welchem allfällige im Wasser schwimmende Fremdkörper zurückgehalten wurden.

Der Ausfluss aus der Röhre geschah in freier Luft. Die Röhre selbst ruhte in einer für die Beoabachtungen günstigen Höhe auf Böcken. Um der sich bildenden Luft.möglichst freien Abzug zu gewähren, wurde der Röhre eine schwache Steigung gegen den Ausfluss zu gegeben.

Der Druck wurde bei sämtlichen Versuchen wenigstens an zwei Stellen gemessen. Einmal bei 2,76 m, ein andermal bei 5,78 m Entfernung von der Ausmündung des Rohrs. Bei einigen Versuchen wurde ausserdem noch der Druck bei 1,25 m Entfernung gemessen. Letztere Stelle wurde mit A, der zweite Manometer mit B oder (1), der dritte mit C oder (2) bezeichnet. Beim Manometer (2), d. h. 1 cm unterhalb, befand sich auch die Messstelle für die Einzelgeschwindigkeiten, also in einer Entfernung vom Saugrohr von 4,57 m und von der Ausflussmündung von 2,75 m. Die Entfernung von Manometer A nach (1) oder B betrug also 1,51 m, von B nach C: 3,02 m. Beide Manometerstände konnten gleichzeitig an einer bei der Messstelle angebrachten Skala abgelesen werden, was durch die folgende Einrichtung geschah.

In den bei A und C angebrachten Löchern staken 2 mm weite Röhrchen, über welche ein Kautschukschlauch von 2 m bezw. 3¹/* m Länge gestülpt war, der den Druck bis zur Messstelle B weiter leitete. Dieses Kautschukrohr hatte auch den Zweck, durch seine Elastizität die unvermeidlichen pulsierenden Druckschwankungen auszugleichen, was in vorzüglicher Weise gelang. Die Manometerskala bei B bestand aas einem quadratförmigen, mit Millimeterpapier überklebten Brette von 20—22 cm Seitenlange, welches 8 nummerierte Röhrchen trug von 1 cm Lichtweite und 22 cm Länge. Die Befestigung dieses Brettchens am Gerinne geschah mittelst einer Schraube, die beliebig angezogen werden konnte und eine Drehung der Manometerskala gestattete.

Um Zeit zu gewinnen, d. h. um nicht genötigt zu sein, bei jeder Änderung des Profilpunktes den Beharrungszustand abwarten zu müssen, wurde das nachstehende Verfahren eingeschlagen, welches gestattete, die Geschwindigkeit in fünf Punkten des Querprofils gleichzeitig zu messen.

An der Messstelle war die Decke der Röhre durchsägt, die Enden um etwa 5 cm auseinandergezogen. Auf diese Enden wurden zwei quer auf der Längsrichtung stehende Brettchen von 10 cm Breite und ebensoviel cm Höhe vertikal aufgenagelt, so dass zwischen den Seitenwandungen und diesen beiden Brettchen ein offener, beweglicher Kasten entstand von 10cm Breite, 1cm Länge, durch welchen man sowohl das fiiessende Wasser beobachten, wie die Pitofsehen Röhrchen einbringen konnte. In das gegen das Einlauf-Ende zugekehrte Brettchen dieses Kastens waren nun fünf vertikale, 2 mm breite Rinnen ausgesägt in folgenden Entfernungen :

,, 0,5 cm und 4 cm.

Von der rechten Seiten wand: bei 0,1cm, 2 cm und 5 cm „    „ linken

Diesen Rinnen entsprechend wurden Löcher in die Sohle der Röhre gebohrt und durch beide dann feine Röhrchen gesteckt, welche die Rolle der Pitot’schen Röhren zu übernehmen hatten. Diese hatten eine Länge von etwa 33 cm, einen äusseren Durchmesser von 2 mm und ein Kaliber von 1 mm. Oben waren sie kurz abgebogen, und von der inneren Krümmung an genau 20 cm gemessen, wurde ein kleines Loch hineingefeilt, der untere Teil gerade unterhalb dieses Löchleins luftdicht zusammengepresst. Durch dieses seitliche Loch, welches mit Hülfe des gekrümmten Teils stets der Strömung entgegen gehalten wurde, strömte nun das Wasser hinein und stieg in der Röhre um den Betrag der Geschwindigkeitshöhe, vermehrt um die kapillare Steighöhe. Diese einfachste Form der Pitot’schen Röhre wurde gewählt, damit durch sie die Strömung möglichst wenig behindert und namentlich auch keine stärkere Wirbelbildung verursacht werde.

Nun wurden die Röhrchen in die betreffenden Rinnen und Löcher gesteckt, mittelst eines 10 cm breiten, in den Kasten gepressten Keils festgehalten und das Wasser angelassen. Um den Einfluss der Kapillarität, der in solch engen Röhrchen viel zu gross gewesen wäre, aufzuheben, wurden letztere mittelst eines darüber gestülpten Gummischlauches mit den gröberen Steigrohren am Manometerbrett in Verbindung gesetzt. Durch Ansaugen an den letzteren stieg dann das Wasser durch das Pitot’sche Röhrchen hinauf und durch den Gummischlauch wieder herunter in die betreffende Steigrohre an der Manometerskala. Pitot’sche Röhre, Gummischlauch und Steigrohr (Fig. 2) bildeten nun eine kommunizierende Röhre, an welcher die Kapillarität keinen andern Einfluss mehr ausübte, als den, an der Oberfläche des Wassers der Steigrohre einen Meniskus zu bilden. Um die Nulllinie der Manometer-skala genau einzustellen und gleichzeitig um die Ablesung am Manometer (1) zu kontrollieren, wurde auch die rechte Seitenwand angebohrt, das Bohrloch vermöge eines Gummischlauchs mit dem äussersten Steigrohr 8 der Manometerskala verbunden und letztere gedreht, bis die Ablesungen bei (1) links und (8) rechts genau übereinstimmten. Die acht nebeneinander stehenden Steigrohren hatten nun folgende Verbindungen:

Nr. 1 zu äusserst links, mit der Anbohrung an der linken Seitenwand der Messstelle B.

Nr. 2 nachfolgend, mit der Manometer-Öffnung bei C.

Nr. 3 mit der Pitot’schen Röhre in der Mitte des Gerinnes.

Nr. 4    mit    der    Pitot’schen    Röhre    bei    4 cm von der linken Wand.

Nr. 5    mit    der    Pitot’schen    Röhre    bei    2 cm von der rechten Wand.

Nr. 6    mit    der    Pitot’schen    Röhre    bei    0,5 cm von der linken Wand.

Nr. 7    mit    der    Pitot’schen    Röhre    bei    0,1 cm von der rechten Wand.

Nr. 8 mit der Anbohrung der rechten Seitenwand der Messstelle B.

Es befanden sich beidseitig der Röhre zwei Pitot’sche Röhrchen und da die Verengerung des Querprofils durch diese sämtlichen Röhrchen nur 1 cm betrug, wurde erwartet, dass sie sich gegenseitig nicht zu sehr stören wTürden. Dass die sekundliche Durchflussmenge durch diese Röhrchen in fühlbarer Weise beeinflusst wurde, war nach den sorgfältigen Versuchen Darcy’s an kreisrunden Röhren, mit verschiedenen Diaphragmen, von vorne herein ausgeschlossen.

Es fragte sich nun, ob solche Röhrchen überhaupt geeignet sind, die an sie gestellte Aufgabe zu erfüllen; bekanntlich besitzen die üblichen Pitot’schen Röhren eine gegen den Strom gerichtete Spitze und es steigt in ihnen das Wasser um so genauer um die Geschwindigkeitshöhe, je geringer die durch sie ver-anlasste Ablenkung der Wasserfäden ausfällt (23). An Röhren viel gröberen Kalibers, z. B. von 4 cm Durchmesser, hatte ich nun bereits die Erfahrung gemacht, dass es nicht nötig ist, die Eintrittsöffnung des Wassers an das Ende einer Spitze zu verlegen, sondern dass es genügt, eine ganz kleine Öffnung in eine solche Röhre zu bohren, um das ihr entgegenströmende Wasser bis zu der sog. Geschwindigkeitshöhe ansteigen zu lassen. Einzig in unmittelbarer Nähe der Sohle und der Wandungen, wo das Wasser verhindert ist, nach allen vier Richtungen auszuwreichen, ergab sich in diesen grossen Röhren ein bedeutender Fehler, indem das Wasser darin plötzlich weit höher stieg, als es der Geschwindigkeit entsprach. Die vorbeschriebenen kleinen Röhrchen wurden nun in einem offenen Kanale, dessen maximale Oberflächengeschwindigkeit mit Schwimmern sowohl, wie mittelst einer bereits taxierten Pitot’schen Röhre gemessen würde, geprüft und gefunden, dass der Koeffizient k in v = k .l/2gH auch hier gleich der Einheit war. Eine weitere Prüfung dieses Koeffizienten geschah am Schlüsse der Versuche, nachdem die Einzel-

Beeinflussung der Geschwindigkeit durch die Pitot’sehen Röhrchen.

45

geschwindigkeiten bereits berechnet waren. Mittelst des Harlacher’schen Verfahrens wurde aus diesen letzteren die mittlere Geschwindigkeit des ganzen Querprofils berechnet und mit der durch Division der Profilfläche in die Durchflussmenge erhaltenen verglichen. Es zeigte sich hierbei, dass k zwischen 0,88 und 1,135 schwankte, welche Differenz sehr wohl dadurch zu erklären ist, dass zu diesem Zwecke zu wenig Vertikal-Geschwindigkeitskurven aufgenommen wurden und dieselben nicht symmetrisch zur Achse gewählt waren. Der Durchschnitt aus den verschiedenen k liegt aber wieder sehr nahe der Einheit.

Nun wurde untersucht, ob der gegenseitige Einfluss dieser Röhrchen derart sei, dass er die Messresultate wesentlich beeinträchtigen könne.

Zu diesem Zwecke wurden einmal für die Horizontale der Rohrachse, dann für diejenige bei 0,5 cm unter der Decke, bei quadratförmigem Profil, die verschiedenen Röhrchen eines nach dem anderen eingesteckt und jedesmal beobachtet, um wie viel sich der Wasserstand in den verschiedenen Steigrohren des Manometers veränderte.

a) Versuch an der Horizontalen der Rohrachse.

7,02 resp. 8,40 cm 7,10    „    8,50 „

10,60 „ 10,60 „ 7,90 „ 10,58 „ 7,95 „ 9,30 „

War kein Pitot’sches Röhrchen im Gerinne, so betrug der Druck bei: (1) und (2):

Wurde das Röhrchen 3 eingesetzt, so stieg er auf bei einer Höhe im Röhrchen (3) von Bei Hinzufügen des Röhrchens (7) blieb er in (3) bei und in 7 betrug er

Bei fernerem Einstecken des Röhrchens (6) stieg Rohr (3) auf

„    (7) „

„    (6) „

während die Piezometer (1) und (2) noch unverändert geblieben waren. Wurde noch Röhrchen (5) eingeführt, so stieg das Wasser im Steigrohr Nr. 3 auf 10,61 „ 7 „    7,99

„ 6 „    9,20

„ 5 „ 10,19

Nach Einstecken des letzten Röhrchens Nr. 4 hatten die betreffenden

Manometerstände folgende Plöhen:

Nr. 3: 10,74, anfänglich 10,60, Steigung somit: 0,14 „    7:    8,10,

„ 6: 9,12,

„ 5: 10,35,

„ 4: 10,67,

Nr. lu. 8: 7,30,

Nr. 2: 8,70,

7,90,

9,30,

10,15,

7,02,

8,40,

0,20

„ -0,18

0,20

0,28

„    0,30

Die 5 Röhrchen trieben also den Manometer (1) und (2) nur um 0,28 resp. 0,30, im Mittel also um 0,29 cm in die Höhe, was an der Geschwindigkeit selbst nur ein Unbedeutendes ausmacht. Dabei blieb das Gefälle dasselbe, d. h. durch den Widerstand der 5 Röhrchen wurde einfach die Drucklinie sich selbst parallel nach oben verschoben und zwar, da die mittlere Geschwindigkeitshöhe in dem gegebenen Falle 0,0318 cm betrug, um

= 0,0912 J

er

0,29 v2 348’2g

Das Verhältnis der neuen zur ursprünglichen Geschwindigkeitshöhe beträgt

= 1,091.

0,0318 + 0,0029

0,0318

Piezometer 3 stieg infolge des Einsteckens der übrigen Röhrchen nur um 1,4 mm, was einer Geschwindigkeitsdifferenz entspricht von

12 g (0,1060 — 0,0702) — / 2 g(0^Ö74" - 0,0730)=]/2 g. 0,0358 — / 2 g. 0,0344 =

0,837 — 0,821 = 0,016 m.

Piezometer 7 stieg um 2 mm, so dass in der Berechnung der Geschwindigkeiten eine Differenz entstehen würde von

/2g (0,0790 —0,0702)—1/2 g (0,0810 —0,0730) = l/2 g . 0,0088 — /2g" 0,0080 =

0,415 — 0,396 = 0,019.

b) Versuch an der Horizontalen bei 0,5 cm Entfernung

von der Decke.

Hier stieg der Manometerstand bei (1) durch das Einstecken der Röhrchen nur von 7,12 auf 7,15, Manometer (2) nur von 8,49 auf 8,50. Während des Versuchs wurde jedoch ein allgemeines schwaches Sinken des Druckes konstatiert, so dass diesen Zahlen keine andere Bedeutung zugeschrieben werden kann, als dass auch sie zeigen, dass der Einfluss der Röhrchen auf die Manometerstände (1) und (2) ein sehr unbedeutender ist. Ebenso beweist der erste Versuch, dass auch die gegenseitige Wirkung der Röhrchen aufeinander gegenüber anderen Fehlerquellen jedenfalls wenig ins Gewicht fallen, so dass wir uns damit nicht weiter zu beschäftigen brauchen.

Trotzdem wurde bei mehreren Versuchen die Vorsicht beobachtet, das Pitot’sche Röhrchen Nr. 4 vorerst auszulassen und nur an den übrigen abzulesen, um dann nachher die Röhre 4 für sich besonders anzuwenden.

Zur Messung der sekundlichen Ausflussmengen wurde eine 42V2 Liter haltende Brente und eine Uhr verwendet, welche noch eine Ablesung von ¹lo Sekunde gestattete.

2. Die Versuche.

§ 14. Zu Anfang jeden Versuchs wurde vorerst der Röhre die gewünschte Querprofilform gegeben, die Manometerschläuche, Röhrchen etc.

montiert, dann das Saugrohr gefüllt, umgekehrt und nach dessen Funktionieren in das runde Loch der Holzröhre gesteckt. Undichtigkeiten wurden mit Tuchstreifen und durch Zuklemmen mit starken Holzschrauben gestopft. Durch wiederholtes Ansaugen der Steigrohren der Manometerskala versicherte man sich, dass keine Luft mehr in den Zuleitungsschläuchen vorhanden sei. Nun wurde mit Hülfe der Ventilklappe am Saugrohr das Gefälle auf die gewünschte Höhe gebracht.

Diese Vorbereitungen nahmen jeweilen einen bedeutenden Teil des Tages in Anspruch und es sind uns überhaupt von 14 durchgeführten Versuchsreihen nur 8 in befriedigender Weise gelungen. Es war immer sehr schwer, die Luft vollkommen aus den zu der Messstelle führenden Schläuchen fern zu halten, und zwar sowohl in denjenigen, welche zur Messung des Seitendrucks dienten, wie auch in den Verbindungsschläuchen der Pitot -sehen Röhrchen zu den Manometer-Steigröhren.

Erst wenn alles gut funktionierte, konnte mit dem eigentlichen Versuch begonnen werden. Dabei wurden nun vorerst die Öffnungen der Pitot-schen Röhrchen mit Hülfe des abgebogenen Teils in die Richtung gegen die Strömung gestellt und zwar für sämtliche Röhrchen Nr. 3—7 auf dieselbe Horizontale. Die Manometerskala wurde so gestellt, dass Manometer (1) und (8) die gleiche Ablesung ergaben und hierauf eine Horizontale von Nr. 1 bis 8 eingestellt, durchgelesen und notiert. Das Verfahren wurde wiederholt, bis der Beharrungszustand vollständig erreicht war. In dieser Weise wurden nun sämtliche Horizontalen aufgenommen. Von Zeit zu Zeit wurde mittelst Ansaugen untersucht, ob sich Luft in den Röhren und Schläuchen befand, und diese, wenn vorhanden, durch weiteres Saugen etc. entfernt.

Nun wurde das sekundliche Durchflussquantum ermittelt und noch einmal die Manometer (1) und (2) abgelesen, da es sich zeigte, dass der Druck während der Messungen immer um ein Weniges schwankte. Schliesslich las man an einem im Reservoir hängenden Thermometer die Temperatur ab.

Meist konnte an einem Tage nur ein einziger Versuch ausgeführt werden. Die Resultate waren aber doch schliesslich recht befriedigend.

Während des Winters 1901/02 wurden dann noch Versuche gemacht mit einer rechtwinkligen Röhre von 5 cm Länge, 2 cm Breite und 5 cm Höhe in liegender und stehender Stellung. Hier wurde aber jeweilen nur ein Pitot’sches Röhrchen benutzt und dafür die Geschwindigkeiten an der stehenden Röhre nur in der Achse, bei 5,5 mm von der rechten und bei 2 mm von der linken Wand gemessen. Diese letzten Versuche geschahen mit stark kalkhaltigem, warmem Wasser. Das Sammelbecken war ein grosser Steintrog mit einem Aufsatz von Brettern; der Wasserspiegel war ausserordentlich ruhig. Die Bretter des Rohrs waren 2 cm dick und mit der Hobelmaschine sehr regelmässig bearbeitet, zeigten jedoch, wenn man den Blick in der Längsrichtung darübergleiten liess, etwas wellige Oberfläche.

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0,001734

0,00850

«a

B:

J»

©^

,0,0169

0,0120

0,0204

0,640,0,01452 |0,0247 0,422|0,00461 |0,0166 0,252! 0,000861,0,0095

pppp    pppp

b La bo bo    bo bo b b

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12 I 13 ! 14

°/00

0,2460

0,1026

0,0370

0,0315

0,0162

0,0183

0,0144

0,0945

0,00858

0,00587

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h-^tO^t0t0t0C0C0rf^C5

OOOOi^05Üii-*-COC5tO

H-^Oirf^CO^COC5COCDrf^

22,88

23,91

23,41

23,43

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COOOOOitOOOCOOO^C5

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^a h-^ ^

11,23

11,13

11,20

11,16

15

16

17

Messung

per

1000 QI

i t>A 8

= g"®

_ B. H-

B-i

PS

ĆK5

©

0,397

«a»

b" r⁵ ©s

B p 3 • 05 ©

CTQ

©

25,94 I 0,397 | 10,29 Wasser milchig

22,36    0,475    10,62

12,53    0,700 I 8,78

11,18    0,795 1 8,90

18

Mittel

l/Ql

Cd

g F <01 Ml w j

3. Die Resultate.

§ 15. Dieselben finden sich, soweit sie hieher gehören, in nebenstehender Tabelle verzeichnet. Zwei bezüglich der Einzelgeschwindigkeiten nicht ganz gelungene Messungen wurden hier ebenfalls angeführt, da sie bezüglich der Druck, und Profilverhältnisse sowie der mittleren Geschwindigkeit genau sind.

Wie aus Kolonne 6—8 dieser Zusammenstellung ersichtlich ist, stimmten die Druckdifferenzen in der vorderen Sektion von A nach B nicht immer befriedigend mit der hinteren Sektion, zwischen B und C überein. Es hatte dies jedenfalls seinen Grund in den Unregelmässigkeiten des Querprofils, die bei hölzernen Gerinnen, da sie sich ziehen, nie ganz zu vermeiden sind, sowie in nicht zu entfernenden Luftresten in den Schläuchen und vielleicht auch in Vorsprüngen in der Umgebung der Bohrlöcher bei A, B und C. Immerhin kann für eine Genauigkeit des Gefälles von mindestens 10°/o garantiert werden.

Es empfiehlt sich überhaupt, bei derartigen Messungen den Druck nicht bloss an zwei Stellen, sondern ausserdem an mindestens noch einer Kontrollstelle zu messen, da man sonst nie sicher ist vor Beobachtungsfehlern infolge mangelhafter Funktion der Manometer-Einrichtungen.

Die vorstehende Zusammenstellung lehrt uns, dass bezüglich der mittleren Geschwindigkeit für die rechtwinklige Röhre genau die gleichen Gesetze gelten, wie für den rechtwinkligen Kanal. (S. II. Abschnitt.)

Vb

Es ist v = 4— l/QI = l/2 k³ t/HI t/B,

sofern man nämlich in ersterem Ausdruck statt Q dessen Hälfte einführt. Denn vorstehende Koeffizienten kr in der letzten Kolonne der Tabelle

3 _

werden sofort identisch mit k, wenn man sie noch mit l/2 = 1,260 multipliziert, wie uns folgende Vergleichung lehrt:

Versuch

gefunden im Kanal.

l/QI

l/QI

Bazin Nr. 51 Bazin Nr. 52 Christen Nr. 1—8 Christen Nr. 11—13 Christen Nr. 14—16

8,90

8,78

10,62

10,29

9,31

11,21

11,06

13,38

12,97

11,74

11,15 (Reihe 19)

11,76 (Reihe 20)

12,75

12,40

12,40

Die Differenzen zwischen den beiden letzten Kolonnen sind so geringe, als sie bei der Verschiedenheit der jeweiligen Gerinne erwartet werden mussten, Mein Gerinne Nr. 1—8 war sehr fein behobelt und fast ohne Stösse. Das Gerinne der Versuche 11—16 war etwas weniger vollkommen gehobelt, aber

ganz aus einem Stücke. Der Koeffizient nähert sich somit demjenigen des Cementes. Zwischen den Versuchen Nr. 11—13 und Nr. 14—16 lag eine grosse Verschiedenheit des benutzten Wassers, ebenso zwischen den Versuchen Nr. 1—8 einer- und Nr. 11—16 andererseits.

§ 16. Im rechtwinkligen Rohre ergab sich, dass, um der Formel zu genügen, für B jeweilen die grössere der beiden Dimensionen des Querprofils genommen werden muss. Es fragt sich daher, ob dieser Satz nicht etwa auch für Kanäle gelte. In den Bazin’schen Versuchen sind es besonders folgende Reihen, bei denen die Tiefe des Wassers eine bedeutende Höhe gegenüber der Breite erreicht hatte:

„ = 0,050, , = 0,050, „    =0,050,

„    = 0,400,

„    =    0,0410

„    = 0,0821

„    =    0,0690

„    = 0,486

Nr. 28: halbe Breite = 0,050, grösste Tiefe = 0,0655 „ 29 ,, 30 „ 31 „ 67

In allen diesen Fällen stimmt die Formel v= 4_ -j/qj vorzüglich.

yB

Leider besitzen wir aber keine Versuche an Kanälen, wo die Tiefe gleich oder grösser als die Breite war.

Der Verfasser wollte nun auch diese Frage entscheiden, musste aber davon absehen, als er sah, dass wieder sein grösserer, 0,1 m breiter und 7 m langer, noch der kleinere, 2 cm breite und 5 m lange Kanal eine genügende Länge hatten, um einen vollkommen ebenen Wasserspiegel herzustellen. Immerhin weisen diese Versuche (s. § 34) in unzweideutiger Weise darauf hin, dass oberhalb der Grenze für die Tiefe H = 2 B ein ähnlicher Umtausch der Dimensionen stattzufinden hat, wie bei den Röhren.

Aus all diesen Versuchen gewinnen wir ferner die Einsicht, dass die Grundlagen, auf welcher die Lehre der krummlinigen Bewegung des Wassers beruhten, verlassen werden müssen, da es sich namentlich erweist, dass die Geschwindigkeit in solchen Wasserläufen nicht sowohl vom benetzten Umfange, als vielmehr von der Länge der den Wasserkörper zusammensetzenden

v²

radialen Wasserfäden abhängt. Dass die Chez y’sehe Form FI = k. . p

^ g

oder v = c l/RI nicht der mathematische Ausdruck für die Fortbewegung des Wassers sei, geht schon daraus hervor, dass an dem Koeffizienten c so viele Modifikationen angebracht werden mussten, welche die ursprüngliche einfache Form bedeutend komplizierter gestalteten.

Aus dem vorstehenden ist nun ersichtlich, dass wohl allgemein die mittlere Geschwindigkeit in einem Rohre mit zwei Symmetrie-Ach sen dieselbe ist, sei das Rohr voll oder bloss bis zu der horizontalen Symmetrie-Achse gefüllt — gleiches Gefälle vorausgesetzt.

Es ist dies ein für die Praxis des Technikers sehr wertvolles Ergebnis, das freilich bei der Gleichheit des hydraulischen Radius in beiden Fällen nicht überrascht, jedoch erst durch die vorstehenden Untersuchungen eine festere Grundlage erhalten hat.

Dieses Resultat setzt uns nämlich in den Stand, die Geschwindigkeit in jedem beliebigen Rohrprofile zu berechnen, indem es mit anderen Worten ausdrückt, dass die ruhige Luft oder eine freie Oberfläche die mittlere Geschwindigkeit nicht wesentlich beeinflussen. Da wir nun in der Formel für

_ 8_

Kanäle : v = m ixl. l/B eine solche besitzen für alle möglichen einfacheren Kanalprofile (vielleicht also mit Ausschluss sehr gewundener Profile, die in der Praxis nicht Vorkommen), so können wir, indem wir uns ein beliebiges Rohrprofil als aus zwei längs der grössten Quer-Achse zusammenstossenden Kanalprofilen zusammengesetzt denken, die mittlere Geschwindigkeit desselben berechnen.

Von Interesse ist nun auch folgende Vergleichung:

Die Geschwindigkeit im volllaufenden rechtwinkligen Kanal ist

mi/HIl/B und Qk = 2m]®]/ÏPL

Würde dieser Kanal gedeckt, d. h. als Röhre, unter Druck, benutzt, so wäre die Geschwindigkeit, bei gleichbleibendem Gefälle:

m ]/V I yg und Qr = 2 BH m ]/~ I ]/B = /2\ m .    ]/WT.

Es verhält sich also

Qk

Qr

= ]/2 oder Qk = 1,41 Qr.

Es ist also für die Ergiebigkeit eines Kanals unvorteilhaft, ihm eine Decke zu geben, da derselbe als offener Kanal fast IV2 mal mehr fördert, denn als Rohr.

IV. Abschnitt.

Die Rauhigkeitsgrade.

Bestimmung der Geschwindigkeitskoeffizienten.

§ 17. Die im Anhang dieser Schrift produzierte Koeffiziententabelle gliedert sich in folgende 4 Hauptteile:

A.    Regelmässige Kanäle, mit unbeweglicher Sohle.

B.    Natürliche Flussläufe mit beweglichem Flussbett.

C.    Normale Messungen an kreisförmigen Röhren.

D. Messungen an Röhren mit anormaler Variation der Durchflussmenge.

Diese Messungen sollen hier näher besprochen werden.

A. Regelmässige Kanäle.

Unter diesen wurden besonders die künstlichen Gerinne von Bazin, Grebenau und weniger anderer, soweit sie einem bestimmten, unveränderlichen Rauhigkeitskoeffizienten angehörten, sowie einige Versuche des Verfassers an relativ sehr tiefen Kanälen, aufgeführt. Wie schon im vorigen Abschnitt bemerkt wurde, war es bei diesen letzteren nicht möglich, einen wellenlosen Wasserspiegel zu erhalten und es dürfen somit die an diesen Gerinnen berechneten Koeffizienten nur als Näherungswerte betrachtet werden. Diese Versuche hatten hauptsächlich den Zweck, zu entscheiden, ob gemäss der Formel _ 8 _

v = ml/HIyB die Geschwindigkeiten auch bei grösseren Tiefen stets mit der Quadratwurzel aus der Tiefe zunehmen oder ob hier etwa auch ein Austausch zwischen B und H, wie bei den Röhren, Platz zu greifen habe. Diesem Zweck scheinen die Versuche wirklich genügt zu haben, indem sie dartun,

dass mit dem Überschreiten der Grenze H = 2 B wirklich die Form =

k . /QI

4

l/H

besser passt und somit die Geschwindigkeit nicht mehr mit der Quadratwurzel aus der Wassertiefe zunimmt, sondern viel langsamer.

Es ist zu bedauern, dass diese Versuche nicht genauer ausgeführt werden konnten. Vollkommene Versuche mit genügend langen und hohen rechtwinkligen Kanälen dürften diese Frage vollends abklären.

In nachstehender Tabelle sind diese Versuche des Verfassers zusammengestellt, da sie trotz ihrer Unvollkommenheit einiges Interesse bieten dürften.

Wo sie schon unterhalb der Grenze H = 2 B nicht genau mit der Fundamentalformel übereinstimmen, ist solches nur der Unvollkommenheit der Versuche zuzuschreiben, indem in den vollkommeneren Bazin’schen Kanälen bis nahe dieser Grenze die schönste Übereinstimmung herrscht.

von

Auch die Versuche von Dubuat, obwohl mit Sorgfalt ausgeführt, leiden teilweise an demselben Übelstand, dass seine Kanäle zum Ausgleiche der Wellenbewegungen ebenfalls eine ungenügende Länge besassen. Das Verhältnis der Länge seines Kanals zu dessen Breite war wie 97:1 und auch meine Gerifme, das eine mit einem Verhältnisse von 70:1, das andere 250:1, vermochten nicht immer ein völliges Verschwinden der sich bildenden stehenden Wellen herbeizuführen.

Zum Glücke besitzen wir an den Versuchen von Darcy und Bazin ein für die Bestimmung der Geschwindigkeitskoeffizienten ausreichendes Material.

Ergänzende Versuche an rechtwinkligen, relativ tiefen Kanälen, ausgeführt im Winter 1901.

Bemerkungen

b zu 0,1050 genommen,

b zu 0,0860 genommen,

b zu 0,0205 genommen, v n. Kutter = 0,25i

b zu 0,022 genommen,

i „    „    0,0288

{ v nach Kutter = 0,282 b zu 0,0435 genommen, v nach Kutter = 0,299

b zu 0,0454 genommen.

ii '4 15

•* •'t »■>-

)/QI I ]/b I v I y i/b

B 10001 1000 Q 1000 QI

Réaum.

,JX

Datum

13,20

0,0300 0,051 I 13,13 !    2,81 0,0369    0,0330 0,475 10,918 0,436

— 0,5

Mühleport

3. XI

12,32

1,146:0,544

6,56 0,0862    0,0442

0,0545

10. XI

12,12

13,38

12,50 0,1642    0,0547 0,5683 1,167 0,664

0,08601 0,020 I 12,25 I 2,75 0,0337    0,0322 0,5410 0,800 0,432

0,1050

51

10,36

10,52

10,39

12,91

12,17

12,23

9,25 0,0542 0,0005006 0,00794:0,3161 0,271 0,0823 „    0,1180 0,001090 0,0103o!o,3782 0,287 0,1085

„    0,1470    0,001359    0,01108 0,3848 0,299    0,1152

„    0,2050    0,001895    0,01236 0,4486 0,356    0,1597

„    0,3420    0,003161    0,01468 0,4563 0,392    0,1787

„    0,3600    0,003330    0,01492 0,4612 0,396    0,1825

0,0100 0,010

0,0205

0,0220 „

0,0288

0,0435    „

0,0454    „

T-f

to l> o' t-" l>

Zyssets Gerbe

15. XII

8. XII

15. XII

8. XII

8. XII

10

15. XII

Da mir die Zeit zu kurz bemessen war, so berechnete ich die Koeffizienten nicht an allen 12 Versuchen der jeweiligen Versuchsreihe, sondern benutzte durch sämtliche Reihen hindurch eine Anzahl von 4—6 Einzelversuchen, womöglich mit denselben sekundlichen Wassermengen: 0,100; 0,203; 0,618; 1,030; 1,236 m³. Es durfte dies geschehen, ohne der Genauigkeit der Resultate wesentlich Eintrag zu thun, denn die Unterschiede zwischen den Koeffizienten verschiedener Reihen, aber desselben Materials erwiesen sich als weit bedeutender, als die Unterschiede innerhalb der einzelnen Versuchsreihen. Ausserdem wird man sich auch bei Wassermessungen ganz sorgfältig bearbeiteter Kanäle auf Differenzen in der Rauhigkeit von 5—10°/o abfinden müssen. Für die Praxis des Technikers wird es sich daher empfehlen, die Koeffizienten k auf Halbe, m auf Ganze, auf- oder abzurunden.

In den trapez- und halbkreisförmigen Gerinnen mussten vorerst die Oberflächenbreiten berechnet werden. Dies geschah nach den Formeln:

— H²

b+yd-ö

für das Trapez, wo 2 b die Breite an der Sohle bedeutet und nach

B = ]/1 (2 r — t)

für den halbkreisförmigen Kanal, wo t die Tiefe, r der Radius des Halbkreises ist.

Im nachstehenden folgt nun eine Zusammenstellung der Geschwindigkeitskoeffizienten der verschiedenen Versuchsreihen und Rauhigkeitsgrade, wie sie aus der Koeffiziententabelle des Anhangs hervorgehen. (S. diese!)

Jh*

ft

Autor

Material

Profilform

i—i

per

Rauhig

keitsgrad

= l/2 k³

Bazin

Cement, rein

24

Rechteck

Halbkreis

25

mit Sand

13,09

13,94

14,06

13,7

71,68

to to

CD OO

B a zi u

Bretter, fein gehobelt

Rechteck

it

it

it

Ch risten

1t

CM

II

ri

11,48

12,55

13,20

12,32

12,4

61,75

CD N CO O O

Bazin

Bretter, gewöhnlich behobelt

Rechteck

J»

it

Tt

1)

rt

11,30 11,54 11,83 11,17 11,74 I 11,97 j

11,68

56,45

Sh

ft

Autor

Material

Profilform

k4

per

= ]/2 k³

l/Ql

Rauhig

keitsgrad

yr I .y B

18 Bazin

Bretter, gewöhnlich behobelt

Rechteck

19

fl

11,36

11,15

20

21

Trapez

22

C (M (M

1—I tH t-I

11,68

56,46

23

fl

fl

fl

26

?»

Dreieck

Halbkreis

11,92

12,26

Christen

Bretter, nicht behobelt, Sohlenbretter quer

Rechteck

10,54    10,55    48,39

12 Bazin

Quadersteine

39

Rechteck

Trapez

11,96

11,30

11,62

56,02

3 Bazin

Backstein, gut gefügt

Rechteck

11,02 11,02

51,73

32 Bazin

Bruchstein, bestochen

Trapez

33

H O

O. -r-^ co_

05 Oi O

39,27

Bazin

Bruchstein, rauh

Trapez

8,55

3-6

Grebenau Ritter

Rauher Sandstein

Bruchstein

Rechteck

00 SO

ao cd

8,49

34,89

30 Bazin

Packleinwand

Rechteck

31

7,74

7,74

30,28

4 Bazin

27

Kies 1—2 cm Kies 1—2 cm

Rechteck

Halbkreis

8,80

10,46

9,63

42,26

5 Bazin

Kies 3—4 cm

Rechteck

7,63

7,63

29,81

IS

Bazin

Grebenau

Erde, fast kräuterlos

Trapez

fl

fl

fl

fl

fl

fl

CO (M 00 ^ t>*    tJH tH

cC <xT o-'

7,27

27,72

37 Bazin

Steinige Erde, wenig Kräuter

Trapez

38

41

tH tH CO CO

cd' cd cd

6,63

24,14

36 Bazin

Erde mit vielen Kräutern

Trapez

5,87

5,87

20,11

Mit Hülfe dieser Durchschnittskoeffizienten für die verschiedenen Rauhig keitsgrade wurde nun meine Formel geprüft, indem in der Koeffiziententabelle des Anhangs die Abweichungen der Koeffizienten der einzelnen Messungen von diesen Durchschnittskoeffizienten berechnet wurden.

B. Natürliche Flussläufe.

§ 18. Hier darf kein ganz regelmässiges Übereinstimmen der Rauhigkeitskoeffizienten in einem und demselben Flusse, auch nicht an benachbarten Stellen, ja nicht einmal bei zeitlich auseinanderstehenden Messungen an derselben Messstelle erwartet werden und zwar aus folgenden Gründen.

1.    In natürlichen Wasserläufen wechselt bekanntlich die Beschaffenheit der die Rauheit bestimmenden Sinkstoffe sowohl nach der Örtlichkeit, wie nach den betreffenden Pegelständen. Bei Hochwasser werden die feineren Bestandteile, welche vorher den Schutt bedeckten, weggeführt, die gröberen in Bewegung gesetzt und es erscheint daher die Sohle kurz nach einem solchen rauh. Ausserdem wird durch das Heben der Geröllstücke ein Teil der fortbewegenden Kraft des Wassers absorbiert. Bei Mittelwasser bleibt das grobe Material liegen und zwischen den Unebenheiten und Lücken in demselben wird etwas feinerer Schutt und Schlamm abgelagert. Nach längerer Zeit andauernden Niederwassers kann das Bett auch ganz verschlammen.

2.    In geschiebeführenden Bächen, Flüssen und Kanälen serpentiniert das Wasser, d. h. der Stromstrich liegt bald auf der einen, bald auf der anderen Uferseite, selten in der Mitte. Hierdurch entstehen Geschiebebänke, deren oberflächliches Material stark wechselt und welche zu einer Rauheit des Bachbettes höherer Ordnung, zu eigentlichen Unebenheiten der Sohle führen. Dabei entstehen Verengerungen und Erweiterungen des Querprofils und damit Stauungen und Absenkungen des Wasserspiegels. Da im gestauten Wasser andere Bewegungsgesetze gelten, namentlich auch keine gleichförmige Bewegung herrscht, so ist klar, dass keine Geschwindigkeitsformel, ob sie auch noch so getreu die Bewegung in normalen Gerinnen wiedergäbe, genau auf Flüsse angewendet werden kann.

Ein grelles Bild solcher Verschiedenheit bietet die nachstehende Zusammenstellung meiner Geschwindigkeitskoeffizienten und der Ganguillet-Kutter-schen Reibungskoeffizienten an der Eger bei Falkenau, dem Plenkne^sehen Werke (43) entnommen. Es geht daraus unzweideutig hervor, dass es nicht an der Formel, sondern an der Unregelmässigkeit des Flusslaufes liegt, wenn die Koeffizienten nicht übereinstimmen.

Profil- 2 B

Nr.

°/o

7,39    0,0218

10,28    0,0146

16,13    0,0076

6,06    0,0330

8,15    0,0220

6,50    0,0307

4,61    0,0473

4,54    0,0446

HCQhhtMOOHtN

H Ol (M CO CO

Die Gesamtstrecke zwischen den Profilen Nr. 7 und Nr. 17 betrug nur 190,4 m, und doch dieser Unterschied der Koeffizienten von k zwischen 16,13 bis 6,06 und von n zwischen 0,0076 bis 0,0330!

Freilich könnten diese Messungen unter Berücksichtigung der Profilveränderungen einigermassen korrigiert werden, was für die Zwecke der Praxis auch stets nötig sein wird. Da es sich in vorliegender Schrift aber nicht um die Gesetze der ungleichförmigen Bewegung handelt, so wurde in der Koeffiziententabelle darauf keine Rücksicht genommen, sondern die Messungen angegeben, wie sie Vorlagen.

Die Bedeutung der Rauhigkeit eines Flussbettes für den Wassertransport ist längst anerkannt. Bazin gab in seinen Versuchen das Korn des verwendeten Kieses an. Er ist aber damit, ausser Grebenau, ziemlich einzig geblieben; ausserordentlich spärlich sind in der Literatur Messungen verbreitet, welchen einigermassen genaue Angaben über die Art der das Bacli-bett auskleidenden Sinkstoffe beigegeben sind. Es darf dies bei dem Mangel an Einigung, auf was es bei einer Klassifikation der Geschiebe hauptsächlich ankommt, nicht wundern, indessen hätten doch meines Erachtens, um auch in dieser Frage des Einflusses der Grösse der Geschiebe etwas vorwärts zu kommen, bezügliche, präzisere Angaben einen mehr als bloss theoretischen Wert. Der Geschwindigkeits- oder Reibungskoeffizient ist nun ein sehr bestimmter Begriff und sicher ist die Grösse des Geschiebes dessen Hauptfaktor. Dass besonders die Dimension der Geschiebe in vertikaler Richtung die zur Beurteilung des Rauhigkeitszustandes wichtigste ist, dürfte schon daraus

v^

hervorgehen, dass die Stosskraft F . k . ^ des Wassers mit der Höhe der Ge-

Li

schiebe bedeutend wachsen muss, weil mit der Entfernung von der Sohle ja auch die Geschwindigkeit, neben der Stossfläche der Geschiebe, zunimmt. Durch diese vermehrte Stosskraft wird auch mehr innere Arbeit verrichtet und damit die fortbewegende Kraft des Wassers geschwächt.

Bis zu einer Regelung dieser Frage möchte der Verfasser dieser Schrift folgende, bei Gelegenheit von Flussmessungen vorzunehmende Aufnahmen vorschlagen.

1.    Zahl der Gesteine pro Laufmeter und Quadratmeter. Es würde z. B. ein Meterstab auf den Boden gelegt, die Zahl der, dessen eine Kante berührenden, wesentlichen Steine gezählt und dieses Verfahren. an verschiedenen Stellen durchschnittlicher Rauhigkeit wiederholt.

2.    Durchschnittliche Höhe der zwischen den Gerollen befindlichen Vertiefungen, gemessen an einer grösseren Zahl von Steinen durchschnittlicher Grösse.

3.    Das Gewicht, grösste Länge, Breite und Höhe einiger auf die flache Seite gelegten Geschiebe mittleren Kalibers.

4.    Grössen Verhältnisse der grössten, noch in Mehrzahl transportierten Geschiebestücke.

5.    Allgemeine Angaben über petrographische Beschaffenheit, Form und Lage der betreffenden Geschiebe.

Wo die Rauhigkeit von Ort zu Ort stark ändert, würde das Flussbett in Felder ähnlicher Beschaffenheit eingeteilt und die Angaben 1 bis 3 für jedes Feld besonders ermittelt. Die relative Grösse der Felder würde dann in Prozenten der ganzen Fläche ausgedrückt.

Dieser Vorschlag zielt einzig darauf ab, die Gewässer nach ihrer Rauhigkeit einigermassen klassifizieren zu können, und Material zu sammeln zur sicheren Beurteilung der Frage, in welcher Weise diese Geschiebe-Auf nahm en zu vervollkommnen wären, auf was es dabei ankommt. Selbstredend kämen für die mathematische Beurteilung dieses Faktors fast nur gerade und ungestaute Flussstrecken in Betracht.

Bei der Bemessung der Grösse der Geschiebe braucht man nicht zu ängstlich zu sein. Bedenkt man, dass der Reibungskoeffizient mit der Zunahme der Grösse derselben nur sehr langsam wächst, so sieht man, dass auch blosse Schätzungen noch einen gewissen Wert haben.

Für die Geschwindigkeitskoeffizienten k und m der verschiedenen Ge-schiebsgrössen wurden nämlich folgende Zahlen gefunden:

9,66 42,5 7,63 29,8

Für Kies von durchschnittlich 1—2 cm, nach Bazin, w y) 7)    ^ 4 cm, ,,    ,,

„    „    „    Hühnereigrösse (Germersheimer Durchstich) 4,5—6 cm    7,59 29,7

5,48 18,2 4,96 15,6

„    „    „    Faustgrösse (Rhein bei Basel), 6—30 cm

„    „    „    Faust- bis Kopf grosse (Kander, Spiez wyler)

Nimmt man die kleinste durch den Schwerpunkt eines Geschiebestückes gehende Achse a als massgebend für den Reibungskoeffizienten an, so entsprechen diese Geschwindigkeitskoeffizienten m mit ziemlicher Annäherung

der Beziehung m

10

YD

, gemäss folgender Skala:

10

Dm

V"D

0,015

0,035

0,045

40,5

30,6

H CO GO

0,12

0,15

0,247 0,327 0,356 0,493 0,531

Die Annahme, dass die kleinste Dimension der Gesteine die zur Beurteilung des Reibungskoeffizienten wichtigste sei, ist deshalb berechtigt, weil sich die Gesteine gewöhnlich auf die flache Seite, etwas nach abwärts geneigt, lagern und so diese kleinste Dimension zur Höhendimension wfird. Im übrigen empfiehlt es sich, für D den kleinsten Durchmesser der grössten noch in Mehrzahl transportierten Geschiebe zu nehmen.

Aus der Zusammenstellung der Geschwindigkeitskoeffizienten k verschiedener Gewässer (s. Koeffiziententabfelle, natürliche Flussläufe 1. Teil) geht hervor, dass dieselben am grössten sind « in den Strömen der Tiefebene, wo sie sich dem an den Kanälen aus Erde gefundenen Koeffizienten 7,3 nähern. Weiter oben, in den alten Erosionstälern von stärkerem Gefall, sinkt der Geschwindigkeitskoeffizient k bis 6,8, m bis 25 im Mittel. Hier ist der Mittellauf, wo sich das Wasser noch in äusserlich ruhigem Laufe bewegt. Noch höher, wo sich die Flüsse in die verschiedenen Zuflüsse gabeln, treten sie als eigentliche Wildwasser auf, welche in unruhiger Gangart abwärts eilen mit einem Koeffizienten k von etwa 5,3, einem m von 17,4. In den ganz steilen Gebirgsbächen, den Wild wassern im Sinne von Boussinesq kann er auch bis 2 sinken.

§ 19. Welches ist nun das Kriterium, ob ein Gewässer in diese oder jene Kategorie gehört?

Wenn wrir einen offenen Kanal oder eine Röhre betrachten, so sehen wir, dass, im Grunde genommen, der g^nze Wasserkörper an der schiefen Ebene des benetzten Umfanges hängt. Die in der Richtung des Gefälls wirkende Schwerkraft wird nach dem Prinzip der Wirkung und Gegenwirkung durch die Molekularkräfte zwischen den einzelnen Wasserteilchen unter sich und denjenigen zwischen der Wand und den Wasserteilchen im Gleichgewicht erhalten. Am. Grunde der Sohle wirkt die tangentale Kraft des Gesamtgewichts des gleitenden Wasserkörpers, gleich dem Produkt aus der Querfläche, dem Sinus des Neigungswinkels und der Länge, d. h.

G = FIL.?' = B . T . I. L . y,

wo y das spezifische Gewicht, L die Länge des Wasserkörpers, B die Gesamtbreite, T die dieser entsprechende mittlere Tiefe bedeutet.

Die Fläche, au der dieses Gewicht haftet, ist gleich B. L, die Zugkraft per 1 m² ist also =

Dieser Kraft wirkt die Reibung an der Sohle entgegen und es ist dieselbe gleich der in der Richtung der Strömung wirkenden Schwerkraftskomponente. Es ist also dieselbe Kraft, welche auch die Sinkstoffe in Bewegung bringt.

In festen Wänden würde diese Kraft ganz aufgewendet zur Überwindung der Molekularkräfte. In einem beweglichen Bachbette dagegen wird der leichtere Teil der Sinkstoffe allmählich weiter befördert, wodurch ein Teil der bewegenden Kraft des WTassers absorbiert wird. Damit nimmt dessen Geschwindigkeit ab, der Querschnitt, d. h. die Wassertiefe, muss aber entsprechend zunehmen, bis das Gleichgewicht wieder hergestellt ist.

Je mehr die Durchflussmenge zunimmt, desto stärker ist der Transport der Sinkstoffe, desto schwereres Material wird befördert, um so grösser ist die Reibung, desto mehr steigt aber auch der Wasserspiegel und damit die bewegende Kraft des Wassers. Es muss somit zwischen der Rauhigkeit des Flussbettes und dem Produkte rl eine Beziehung geben.

In der nachfolgenden Tabelle sind einige Flussläufe, wie z. B. Wolga, Rhein, Aare, Elbe und ihre Zuflüsse, nach diesen Produkten zusammengestellt und finden wir in der Tat eine auffallende Abhängigkeit der Geschwindigkeitskoeffizienten von der Grösse rl in dem Sinne, dass einem grösseren Wassergewichte rl gewöhnlich ein niedrigerer Koeffizient, d. h. eine grössere Rauheit, entspricht, und umgekehrt.

Um das Gesetz, nach welchem diese Änderung des Geschwindigkeitskoeffizienten m = ]/2k³ erfolgt, zu finden, wurde Reynolds logarithmische Methode angewendet. 114 Messresultate aus ganz verschiedenen Flussgebieten wurden derart auf einem rechtwinkligen Koordinatensystem graphisch zusammengestellt, dass als Abscissen die Logarithmen des Produktes rl und als Ordinaten die Logarithmen des Geschwindigkeitskoeffizienten m aufgetragen wurden. Bei der Auswahl wurden möglichst ganze Flusssysteme verwendet und nur solche Messungen verworfen, welche an direkt aus fliessenden Flussläufen angestellt wurden, sowie solche, die einen ganz abnormen, namentlich zu hohen Geschwindigkeitskoeffizienten (z. B. k über 12) besassen.

Die Punkte der Logarithmen der Geschwindigkeitskoeffizienten schaarten sich längs einer geraden Linie, welche mit der Abscissenachse einen Winkel

betrug. Daraus und

einschloss, dessen Tangente fast vollkommen genau

nach Messung des Abstandes des Schnittpunktes dieser Durchschnittslinie vom Nullpunkte des Achsensystems ergab sich in unzweideutiger Weise die Beziehung für den natürlichen Geschwindigkeitskoeffizienten

m ==

6,307

y rl

_ 8__

Dieser Ausdruck in die Formel v = m]/ xll/E eingesetzt, gibt

v = 6,307 Vrf l/tb

Selbstverständlich kann auch diese Beziehung nur innert ziemlich weiten Grenzen gelten, schon wegen den vielen, bereits erörterten Komplikationen des Flusslaufes und der Langsamkeit, mit welcher sich ein Flussbett der veränderten Schubkraft xl anpasst. Die Bewegung der Sinkstoffe ist stets bedeutend langsamer als diejenige des Wassers; nach Black well (54, 76) kann im grossen und ganzen das Produkt aus dem spezifischen Gewicht und der Geschwindigkeit der Geröllstücke gleich der Geschwindigkeit des Wassers gesetzt werden, d. h. es ist die Geschwindigkeit des Fortrückens der Geschiebe

<p =

—. Bekanntlich bewegen sich die Sinkstoffe aber ruckweise und es be-s

deutet diese Geschwindigkeit nur diejenige während eines solchen Ruckes.

In der regulierten Donau bei Wien sind die Kiesbänke in sieben Jahren um 700—1000 m stromabwärts gewandert. Nach den am Oberrhein von Grebenau (76) angestellten Beobachtungen rücken die Uferbänke jährlich um 300—600 m vor. Die Versuche von Sainjou (38) vom Jahre 1862 ergaben ein Fortrücken des Sandes bei einer Wassergeschwindigkeit von 0,59

0,74

um

2,62    5,09

CO CO

1,015 m

10,28 m

3_ 8___

in 24 Stunden. Weil die Formel v — 6,307 ]/tI l/B nur für solche Gewässer gilt, bei welchen sich die Geschiebe der Schubkraft xl angepasst haben, so sei sie hier „Gleichgewichtsformel“ genannt, indem sich in diesem Falle Reibung und Schubkraft im Gleichgewicht befinden.

§ 20. Zu untenstehender Tabelle wurden nun 210 zuverlässige Resultate neuerer Geschwindigkeitsmessungen, welche sich zumeist in dem Werke Siedeks (56) finden, zusammengestellt. Einzig die Messungen an der kleinen und grossen Simme dürfen nicht als genau gelten, da hier die mittlere Geschwindigkeit mittelst einer Verhältniszahl 0,70 aus der Oberflächengeschwindigkeit berechnet wurde. Diesem Umstand ist es wohl auch zuzuschreiben, dass hier nicht wie bei der grossen Mehrzahl der übrigen Gewässer einem grösseren xl ein kleineres m entspricht, indem, wie wir sehen werden, der Reduktionsfaktor mit steigender Rauheit abnimmt.

In dieser Tabelle nun finden wir neben den Elementen der Messung

v

die Berechnung des Koeffizienten m aus m = —......₈—, die Ermittelung der

ixl l/B

mittleren Geschwindigkeit v' nach der Formel v'= 6,307 l/rf ]/B, eine Vergleichung dieser berechneten mit der gemessenen und mit der nach der Siedek’schen Formel ermittelten Geschwindigkeit v".

Ver

gleich

mit

Siedek

Gleich.

Ung.

Giinst.

Ung.

Ung.

Gleich.

Giinst.

Ung.

Ung.

Giinst.

Ung.

Giinst.

Gleich.

Ung.

Ung.

Giinst.

Ung.

Giinst.

Ung.

Giinst.

Ung.

Giiust.

Ung.

Giinst.

Gleich.

Ung.

Ung.

Nachweis der Gleichgewichtsformel für natürliche Flussläufe und deren Geschwindigkeitskoeffizienten.

praao^

5 s^apaig qoBu

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100 ri -]/t Î

100 I

Ort

.xquf

Gewässer

I. Aaregebiet.

L—

0,115

0,227

0,070

0,002

0,079

0,316

0,133

0,153

0,232

0,106

0,168

0,085

0,195

0,123

0,148

0,226

0,221

0,202

0,192

0,081

0,007

mu u iiiniiiiiiiiiiiii

§?^§2^§2SSE:SS§SS&l§§§g

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—    0,073!0,078 4 0,093 0,104

—    0,295 0,158

—    0,262 0,293

—    0,329 0,264 4 0,105 0,175

—    0,405 0,249 4 0,249 0,388 4 0,074 0,109 4- 0,026 0,034 -- 0,351 0,219 4- 0,074 0,109 4 0,059 0,092

—    0,036 0,027

—    0,490 0,299

—    0,135 0,155

—    0,195 0,216

—    0,160 0,185

—    0,240 0,254 4 0,274 0,728

(NGOGOl>iOOOOC5(M t>- l>- 03 CM i0C!N05iC05C0HtH(M»OOM35 l - Ci C0^ O ^ t-O^ tO^ CM^ C^ CM^ ^ t-h^

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O^COOOOCCOOQOWNQOOOîO COHOCOCj-tOOOHOiOlWOO tCL ^    CO^ C^TH^O^O^O^CO^

cT o' o o' o' cT o cT cT o o o' o' o'

+-+H—!—t-H—h I I H—I H—b

1,037

0,794

0,664

0,563

0,935

1,855

0,371

0,352

HOMO ^ CO O 00

t-H t-H i—I O

o o' o' o'

0,071

0,088

0,203

0,0503

0,0482

0,0464 0,338

1,544

0,215

1,628

1,556

1,074

1,313

1,235

0,958

0,844

1,103

1,025

1,100

0,961

0,738

0,714

0,591

I>- ^ o O lO GO Ci C^ <M^ 00^ 00^ t>^ <M^ l>^ O^ CO^ t-^ t>-^ l>-^ i>^ iO^ O^ o' o' r-" o' H CD o' (D^o^crd'^ o O H h O O O ^ O

1,234

1,049

0,653

0,632

0,943

0,928

0,774

0,680

0,610

0,534

0,520

0,463

0,470

0.319

0,209

0,160

0,138

0,179

0,169

0,131

0,117

0,109

0,107

0,106

0,101

0,084

0,073

0,066

0,092

0,053

0,114

0,111

0,168

0,096

0,105

0,079

0,131

0,104

0,096

0,0866

0,133

0,0835

0,0745

0,1393

0,1699

0,1105

0,0687

0.0698

0,1373

0,0831

0,1343

0,1193

0,0663

0,0661

0,1038

0,1010

0,0846

0,0776

0,0689

0,0598

0,0586

0,0526

0,0526

0,035

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0,247

0,108

0,0613

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Spiezwyler

1895

1895

Kander

Laupen

Unterhalb Schwarzwasser Laupen Kirchberg Rüderswil

1898

1898

1897

Sense

71

1898

1899

Saane

Emme

71

Zweisimmen

71

Lenk

Olten

Aarberg

Döttingen

Bern

Thun

Wangen

Baden

iOL^iOiOOOOOt-hOOOCOiOOGO

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GOOOGOGOOOGOGOGOOOGOGOGOGOOGO

t-H t—• t—i -r-H t-H t-H t-H tH t-H t—i tH t-H t-H tH t-H

Simme, kleine Simme, grosse

A are

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Li in mat

II. Rheingebiet.

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o' o' o' o' o" o o' c o^ o o o o o

0,490 0,158 0,851 0,017 0,613 0,241 0,476 0,288 0,469 0,148 0,116 0,071 0,240 0,295 0,239 0,0701 0,267 0,126 0,052 0,265 0,155 0,086 0,016 2,146 0,016 2,128 0,1218 0,185 0,311

0,998

0,631

0,981

|o,707

0,935

0,384

0,368

0,926

0,879

0,463

0,797

1,041

1,169

0,871

2,029

0,8699

0,3352

0,0960

0,0748

0,1866

0,1708

0,0896

0,0891

0,0427

0,0213

0,0213

0,0231

0,0132

0,0036

0,278

0,508

0,304

0,385

0,600

0,605

0,726

0,526

0,768

1,003

0,946

0,634

1,109

1,206

Zillis

Thusis

Rothenbrunnen

Reichenau

Hanz

Reichenau

Felsberg

Tardisbriicke

Flurlingen

Nol

Basel

Ragaz

Warta

Falkenau

1898

1.898

1899

18981

1899

1897

1897

1899

1899

1899

1899

1894

1897

1898

1898

1899

1899

1898

1887

1887

1867

1898

1876

1876

1876

1876

1876

1876

1876

1876

1876

1876

1876

1876

1876

1876

Hiuterrhein

yi

Vorderrhein

Vereinigt. Rhein

Vorderrhein

Rhein

Tarnina

III. Gebiet tier Elbe.

Eger

,JK ^paajnB'u

rH CM CO ^ tO

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Ver

gleich

mit

Siedek

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Günst.

Ung.

Günst.

Ung.

Günst.

Ung.

Günst.

IC

Ung.

Günst

Ung.

Giinst.

Gleich

Giinst.

Gleich

Gleich

Ung.

Giinst.

«

Ung.

Güust.

Ung.

Giinst.

Ung.

Gunst.

pnuo^ sîfapoig ipeu

0,143 0,032 0,039 0 018 0,099 0,084 0,090 0,059 0,023

0,093

0,051

0,089

0,138

0,109

0,133

0,040

0,011

0,000

0,073

0,122

0,094

0,108

0,041

0,030

0,027

0,086

0.079

0,218

0,291

0,054

0,199

0,432

0,177

0,029

0,145

0,020

0,305

0,283

0,083

0,334

0,154

0,204

0,022

0,196

0,270

0,142

0,045

0,043

0,047

0,059

0,094

0,121

> i

•i-

A—jA

—    0,463 0,264

+ 0,373 0,478

+ 0,179 0,191

—    0,052 0,090

0,671

0,075

0,115

0,211

0,196

0,147

0,060

0,067

0,005

0,095

0,051

0,047

0,175

0,043

0,029

0,083

0,137

—    0,005 0,007

—    0,045 0,053

—    0,064 0,079

—    0,085 0,135

+ 0,126 0,173

+ 0,090 0,119

—    0,105:0,172

—    0,079'0,136

a/l-P/L Z08‘9 = 8 8

0,241 — 0,280 0,537

0,236 - 0,427 0,634

0,237 — 0,307 0,564

1,279

1,152

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VI. Andere Flussgebiete.

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0,408    0,102

0,207    0,175

0,314    0,009

0,229    0,343

—    0,040 0,049    0,229

—    0,093 0,087    0,202

—    0,594

—    0,902

—    0,704

—    0,542

—    0,683

—    0,396

—    0,507

—    0,452

—    0,228

—    0,465 -{- 0,066

—    0,285

—    0,208

—    0,184

—    0,135

—    1,038 0,325

—    0,625

—    0,290

0,816

0,448

0,733

0,588

0,929

0,869

1,078

0,756

1,253

0,709

1,189

1,216

1,169

1,241

1,097

0,960

1,031

1,027

1,038

1,262

1,030

0,971

1,197

1,416

1,608

1,696

1,868

1,807:

1,294

1,433

1,568

1.322

1,465

0,681

0,936

0,457

0,750

0,881

1,502

1,243

1,368

0,976

0,770

0,973'

0,0632

0,0942

0,0513

0,0751

0,0671

0,1050

0,0863

0,1035

0,0836

0,1116

0,0774

0,1051

0,1069

0,1229

0,1289

0,1237

0,1019

0,1085

0,1048

0,1057

0,1264

0,1035

0,0964

0,1119

32,87

18,08

25,06

34,20

24,26

23.13

11.37 17,60

20.17 18,82 20,12 20,78

22.18

30.38

37.13 11,74 17,04 22,82 19,55 19,35 14,85 22,40 36,76 23,87

1,25

0,63

1,27

1,40

1,98

2,62

0,72

0,83

1,23

eo‘i

1,30

1,06

1,19

I, 45

II, 52

0,1219

0,1384

0,1294

0,1401

0,1352

0,1095

0,1217

0,1270

0,1133

0,1250

0,07311

0,0991

0,04692

0,0780

0,0910

0,1503

0,1274

0,1344

1,0990

0,0822

0,01022

25.63

25.88 24,79 24,10 23,66 24,90

24.49 22,78

21.88

23.50 21,02 38,55 42,08 28,28 24,07

27.50 21,87 25,03 25,92 23,57

21.64

2,01

2,51

2.40

2.41 2,49

1,69

1,94

2,02

1,55

1,93

0,615

1,221

2,54

lO O W co O

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607.1    2,228 557,6 2,204

922.2    2,347 1332,7 2,458 1308,3 2,452 752,0 2,288

COO1OOO(MlOCO^CO(MOOCOI>CO^0NONCOhCMOCO©OiO

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0,0107

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0,01484

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0,0254

0,0836

0,0372

0,0424

0,0303

0,1189

0,0643

0,1112

0,0585

0,1392

0,0465

0,1160

0,1220

0,1862

0,2137

0,1907

0,1061

0,1279

0,1152

0,1187

0,2025

0,1116

0,0897

0,1401

0,1818’

0,2651

0,2166

0,2754

0,247

0,1315

0,1803

0,2051

0,1455

0,1954

0,03918

0,0755

0,3399

0,2070

0,2432

0,0971

0,0556

0,1066

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0,0130

0,0812

0,0430

0,0292

0,0280

0,0600

0,1020

0,1200

0,0730

0,0980

0,0207

0,0345

0,0351

0,0391

0,0360

0,5300

0,1770

0,0940

0,1200

0,0860

0,2700

0,1200

0,0780

0,0412

Szatnara

Shiguly II

Cairo

,0,51

Galliner Durchstich H 120 1*851 1,452 2,225 2,983 1,334 1,876 2,498

1,21

1,333

1,708

1,350

2,084

2,508

1,347

2,525

2,123

1,285

2,855

3,436

1,491

1,583

2,130

1,080

2,243

4,258

1,37

11,98

1,03

0,87

1,47

1,07

1,98

0,63

1,09

0,80

1,42

2,27

3,36

3,47

4,77

5,94

0,36

0,60

1,36

0,96

1,38

0,75

0,93

1,15

3,40

3,58 0,0508 4,76 0,0557 3,60 0,0602 4,51 0,0550 4,94 0,0500 2,39 0,0550 3,28 0,0550 4,22 0,0486 2,31 0,0630 3,41 0,0573 1,050 0,0373 0,81 0,1204 1,63 0,0064 1,032 0,0460 0,692 0,1090 2,280 0,1490 1,687 0,1227 1,968 0,1236 0,969 0,1002 0,686 0,0811 1,904 0,056

Sobie slau

Mühlberg

ÎÎ

Grosszschepa

Torgau

Schöna

Bartelsweder

fl

Kötschenbroda

Barby

D

Häruaten

Scheer

Scheer

Beuron

Zell

ri

Munderkingen

71

Hundersingen

n

Berg

77

Donaukanal

Friedingeu

Gögglingen

Steinhaile

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18941

1894

1894

1894

1894

1894

1894

1894

11894

11894

1899

1899

1899

1899

1899

1894

1894

1894

1894

1894

1893 Ulm

1894

n

Kaiser Franz Joseph Brücke

Kuchelau

Wien Durchstich

V)    n

Mellingen

Gisikon

Luzern

Porte du Seex Outre Rhône

La Plaine

Porte du Scex

Haldenstein

Villach

1894

1899

1899

1899

1899

1899

1899

1897

1897

1887

1897

1897

1898

1900

1900

1887

1893

1893

1899

11899

1887

1898

1899

Gewässer

Wolga

tt

Y)

Nil

Elbe

TI

ÎÎ

TI

J1

Donau

Donau

tt

tt

tt

V

Donaukanal

tt

Donau

U.

U.

Reuss

Rhone

Rhein

Drau

Mw ypaojn-e^j

132

133

134

135

136

137

138

139

140

141

142

143

144

145

146

147

148

149

150

151

152

153

154

155

156

157

158

159

160

161

162

163

164

165

1661

167

168

169

170

171

172

173

174

175

176

177

178

179

180

181

182

183

184

185

186

187

188

189

190

191

192

193

194

195

196

197

198

199

200

201

202

203

204

205

206

207

208

209

210

fo

In der letzten Kolonne dieser Tabellen findet sich angegeben, ob meine Gleichgewichtsformel ein günstigeres, ungünstigeres oder gleiches Resultat ergab, als die Siedek’sche Formel. Als ,,gleich“ wurde ein Unterschied der Differenzen beider Formeln mit der wirklichen Geschwindigkeit von l°/o und darunter angenommen. Die Messungen Nr. 138 bis 210, ebenso die eingeklammerten Koeffizienten sind nicht zur graphischen Ermittelung der Gleichgewichtsformel mitbenutzt worden, sondern stehen hier lediglich als Kontrolle der letzteren.

Bei aufmerksamem Durchgehen der Tabelle finden wir nun vorerst wirklich eine sehr schöne Bestätigung der Abhängigkeit des Koeffizienten m von dem Produkte rl. Sodann sehen wir, dass die Formel namentlich bei den Strömen der Niederungen eine durchschnittlich sehr befriedigende Übereinstimmung mit den Messungen aufweist, aber auch bei den mittleren und obersten Strecken der Flussläufe gilt, so gut als es bei der Natur der Gewässer erwartet werden darf.

Von den 204 hier in Betracht fallenden Messungen obiger Tabelle

stimmten

49 Fälle oder 25    °/o    bis    auf

5 cm genau

43

46

66

und

10°/o genau 20 ,,    ,,

35 „    „

61

66 Messungen oder 33 °/o bis auf 29

44

33

Dass 17°/o der in die Untersuchung einbezogenen Messungen gar nicht mit der Formel stimmen, beweist nicht die Mangelhaftigkeit der Formel, sondern dass diese Aufnahmen an ganz anormalen Flussstrecken geschahen. Etwa die Hälfte davon machen die Plenknersehen Angaben aus, welche stark serpentinierende, vielfach gestaute Flussläufe betreffen. Einige andere Messungen, wie Nr. 7 und 2, sind blosse Oberflächenschwimmer-Messungen oder beruhen auf Übertragungen der Koeffizienten auf andere Pegelstände.

Da im ganzen 68°/o bis auf 20 cm und 83°/o bis auf 35 cm genau mit der Formel übereinstimmen, so dürfte damit die Richtigkeit der letzteren genügend nachgewiesen sein.

Interessieren dürfte vielleicht noch ein Vergleich meiner Formel mit der Siedek’schen, die auch eine recht hübsche Übereinstimmung mit den Messungen bietet.

Von den 166 nach Siedek berechneten und seiner Schrift entnommenen Messungen stimmten 79 Fälle oder 48°/o besser

bei meiner, als bei der Siedek’sehen Formel

73

n    „    44 „ weniger gut bei meiner „    „    „    „

14

„    „    8 ,, gleich gut bei meiner wie bei ,,    „    ,,    „

Die Gleichgewichtsformel gibt sonach noch etwas günstigere Resultate. Vorstehende Formel und Tabelle dienen auch als Nachweis der Richtigkeit der Annahme, dass in offenen Kanälen, Flüssen und Strömen das Gesetz der Bewegung auch bei dem schwächsten Gefälle stets dasselbe bleibt. Ebenso ist damit dargetan, dass man in natürlichen Flussläufen mit Geschieben eines eigentlichen Rauhigkeitskoeffizienten, unter normalen Verhältnissen, entbehren kann. Je nach der Art des Geschiebes, ob knollig oder mehr schiefrig, nach dem spezifischen Gewicht etc., dürfte der Koeffizient 6,307 zwar ein wenig variieren, doch wohl nur in untergeordnetem Masse.

Um daherige Untersuchungen möglichst fruchtbar zu machen, dürfte es sich empfehlen, bei Messungen an Flussläufen stets anzugeben, ob solche bei beginnendem oder herrschendem Hoch- oder Niederwasser geschahen und wie viel Zeit seit dem letzten Hoch- bezw. Niederwasser verflossen ist. Je genauer solche Angaben, nebst denjenigen über die Grösse und Art der Geschiebe, gemacht werden, desto sicherer werden wir nach und nach auch die Gesetze der Bewegung der Geschiebe erkennen.

Der letzten Tabelle ist ferner zu entnehmen, dass das Produkt rf, welches wir hier die ,spezifische Schubkraft“ eines Flusslaufes nennen wollen, im allgemeinen mit der Nähe des Meeres, der Verflachung des Landes, abnimmt. Wildwasser haben eine weit grössere Schubkraft, als die Ströme der Niederungen.

6 307

Die Formel m =    gibt uns nun auch das Mittel an die Hand, die

]/ rl

Gewässer nach ihrer Haupteigenschaft, der bewegenden Kraft, zu beurteilen.

Als Wildwasser bezeichnet man gewöhnlich Gewässer mit einem Geschwindigkeitskoeffizienten m von durchschnittlich 17,4 und einer spez. Schubkraft von 0,00225 Tonnen per m² Sohlenfläche. Bäche und Flüsse dagegen besitzen im Gleichgewichtszustände einen Geschwindigkeitskoeffizienten von durchschnittlich 24,9 und eine spezifische Schubkraft von 0,00026 Tonnen. Gewässer mit einem Geschwindigkeitskoeffizienten von ca. 29,6 und einer Schubkraft von 0,0000926 Tonnen bezeichnet man, wenn sie gleichzeitig eine gewisse Breite besitzen, gewöhnlich als Ströme. Mit dem Steigen und Fallen des Wasserstandes eines Gewässers kann dessen Charakter wechseln. Ein Fluss kann z. B. zum Wildwasser werden, wenn ein Hochwasser so lange besteht, dass sich die Geschiebe demselben angepasst haben, umgekehrt zum Strom bei länger andauerndem Niederwasser.

In der Koeffizienten-Tabelle des Anhanges sind nun 209 ganz zuverlässige Messungen an geschiebeführenden Gewässern verschiedener Länder

v

berechnet und die Diffe-

nach dieser Einteilung rubriziert, ihre m₀ =-g—

friy B

renzen dieser m₀ mit dem durchschnittlichen m der ganzen Gewässerklasse (Wildbach, Fluss, Strom) in Prozenten von m₀ ausgedrückt.

Wie wir sehen, gibt uns schon die Anwendung dieser drei Koeffizienten eine in Anbetracht des Gegenstandes ganz erfreuliche Übereinstimmung mit den tatsächlichen Messungen.

Für Gewässer ohne oder mit ungenügendem Geschiebe passt die Gleichgewichtsformel natürlich nicht. Dafür tritt dann im ersteren Falle mit grosser

_ 8_

Schärfe die allgemeine Formel v = ml/'riyB in Kraft, mit dem Koeffizienten für Erde, im Mittel etwa mit k = 8 und m = 32.

Es wäre der Wunsch des Verfassers gewesen, die vorstehenden Untersuchungen auf alle bekannten genaueren Messungen auszudehnen. Einzig dem Mangel an verfügbarer Zeit ist es zuzuschreiben, dass es nicht geschah. Da aber die Auswahl in obiger Tabelle ganz ohne Rücksicht auf das Übereinstimmen der Formel getroffen wurde und alle möglichen Gewässerformen in sich begreift, so darf angenommen werden, dass die daraus gezogenen Schlüsse auch auf andere Stromgebiete angewendet werden dürfen. Liegen einmal eine grössere Anzahl gesichteter Messungen an normalen, im Gleichgewichtszustände befindlichen Flussstrecken vor, so wird dann eine Neuberechnung der Gleichgewichtsformel stattfinden können, wobei dann der

i

Koeffizient 6,307 etwas, doch kaum bedeutend ändern kann, die Potenz in (tI) 3 dagegen jedenfalls sich gleich bleiben wird.

Zum Schlüsse dieses Kapitels über natürliche Flussläufe folgt hier noch eine Zusammenstellung einiger Messungen, welche vom Eidgen. hydrometrischen Bureau an gleicher Stelle zu verschiedenen Zeiten mittelst genauer Flügel-Methode ausgeführt wurden und Anlass zu verschiedenen Reflexionen über die Veränderlichkeit der Koeffizienten etc. bei wechselndem Wasserstande geben dürften.

Gewässer und Ort

1. Kander bei Spiezwyler:

2. Rhein bei Tardisbrücke :

œ œ œ œ S Datum der § g g œ 2 Messung J-** JD I © JD J-*-

2(t)

OO    ^    CI    o

Ci    I h-*-    rf*

so    i-*-    U.i    o    ci

0,000856 0,000746 0,001550 0,001812

18,86 0,872 0,684 24,80 0,845 25,45 1,640 0,637 21,50 0.815

3. Rhein bei Felsberg:

1901 0,6697 0,001937    0,001296

1899 1,041    0,00265    0,00276 19,875 0,810 0,602 15,48 0,778 27,95 1,369 0,598 17,20 0,833

17. Hinter - Rhein , Rothenbrunnen :

Gewässer und Ort

4. Aare bei Aarberg:

5 g Datum der 2 § Messung ** c>

'bi Vi 05 O'

o -1

2(i)

0,001659    0,00125

0,002128    0,003468

28,15 1,149 0,660 21,39 0,777 29,40 1,832 0,694 20,40 0,799

5. Emme bei Rüderswyl:

1897    0,479 0,000265 0,000127    3,45    0,368 0,630 27,90 0,801

1898    0,4337 0,00141    0,0006116 2,53    0,675 0,660 24,24 0,866

7. Hinterrhein bei Zillis:

1898 0,490    0,001580    0,000774    6,05    0,562 0,695 16,14    0,794

1901 0,656    0,000480    0,0003149    4,20    0,605 0,617 28,53    0,770

8. Plessur bei Chur (Meiersboden) :

1901 0,2843 0,00935 0,002657 2,71 0,457 0,661 7,84 0,954 1901 0,3364 0,008126 0,002733 2,70 0,731 0,611 12,36 0,848

9. Plessur bei Chur (ob. d. Flussrechen) :

10. Reuss bei Luzern:

11. Sihl bei Sihlbrück :

1900 0,863    0,00128    0,001105    7,065    0,355 0,633 8,36    0,853

1901 1,077    0,001611    0,001735    9,20    0,534 0,538 9,77    0,846

12. Albula bei Alwaneubad : 1896 0,398    0,003534    0,001406    8,09    0,530 0,630 10,90    0,798

1901 0,430    0,003663    0,001574    7,97    0,570 0,509 11,23    0,758

13. Landwasser, Davos-Platz: 1901 0,2378 0,004688 0,001115    3,05    0,410 0,534 10,68 0,654

1896 0,2521 0,004790 0,001207    3,745 0,455 0,607 11,12 0,764

16. Vorder-Rhein Reichenau (Fersch) :

1897    0,880 0,00267    0,002350    24,69 1,603 0,623 22,14 0,833

1898    0,463 0,001260 0,000583    18,034 0,680 0,678 19,72 0,849

1898    0,476    0,0028825 0,00137

1899    0,613    0,00241    0,001477

1897 0,631    0,00148    0,00093

18. Vriner Glenner, Vrin:

1901 0,1698 0,006166 0,001047 2,36 0,530 0,719 14,72 0,873 1898 0,2810 0,006071 0,001706 1,30 0,611 0,495 14,33 0,819

19. Rabiusa, Versam:

1898 0,3474 0,005656 0,001964 2,36 0,558 0,548 11,32 0,792 1901 0,3107 0,005548 0,001723 1,975 0,766 0,551 16,96 0,745

20. Albula, Baldenstein:

1901 0,5526 0,001692 0,000935 8,45 0,691 0,600 17,33 0,809 1898 0,5840 0,002225 0,00*1299 9,095 0,749 0,581 15,78 0,784

Gewässer und Ort

21. Al buła, Bergim :

£ Datum der g o Messung

P P

8 §

OO t-*.

Ci o o o 8 8 CO CO

§ g

<s

t—*■

CO CO

Ol io

4- t—*■

-2(f)

2,11 0,504 0,579 12,64 0,835 1,26 0,733 0,663 19,36 0,840

22. A verser Rhein, Cröt. :

1901 0,2843 0,002248    0,0006396    1,885    0,418 0,691 15,28    0,892

6. III.

0,980    0,634 0,640 15,35    0.954

1901 0,2058 0,008370    0,001721

5    m-

Wir entnehmen dieser Zusammenstellung, dass eine grössere Geschwindigkeit an einer und derselben Messstelle sowohl von einer Zunahme der Wassertiefe, wie namentlich auch von einer Zunahme des Gefälles, in selteneren Fällen auch von einer blossen Abnahme der Rauhigkeit herrühren kann. Sodann sehen wir auch, dass der Quotient e ebenfalls sehr veränderlich ist und blosse Schwimmerbeobachtungen keinen Anspruch auf grosse Genauigkeit machen können. (Siehe besonders Nr. 1, 8, 13, 14 und 17.) Schliesslich geht aus diesen Zahlen hervor, dass in den meisten Fällen einem Steigen der Schubkraft rl ein Sinken oder wenigstens Gleichbleiben des Geschwindigkeitskoeffizienten entspricht. Von obigen 22 Fällen trifft dies bei 15 zu.

Zu dieser Tabelle sind speziell noch folgende Bemerkungen zu machen : Bei Messung Nr. 21 z. B. wurde das Gefälle der Messung vom Jahre 1901 auf die Messung vom Jahre 1896 übertragen, also nicht direkt gemessen. Ferner sind bei einigen dieser Messungen (z. B. Nr. 3, 4, 6, 10) die Ufer fest, d. h. nicht dem Geschiebetransport unterworfen.

Es erübrigt nun nur noch, kurz den Gleichgewichtszustand eines Flussbettes zu definieren. Wir sagen, ein Flussbett sei im Gleichgewichtszustände, wenn seine oberste Schicht aus solchen Geschiebestücken besteht, welche bei dem augenblicklich herrschenden Wasserstande gerade noch liegen bleiben. Sind die Geschiebestücke leichter als diesem Zustande entsprechend, so überwiegt die Schubkraft, die Sohle wird angegriffen, gröbere Geschiebestücke treten nach und nach zu Tage, sie muss rauher werden. Sind umgekehrt die Gerolle schwerer, so bleiben noch feinere Massen liegen, die Sohle wird glatter. Völliges Gleichgewicht wird sonach selten bestehen Im ersteren Falle gibt die Gleichgewichtsformel zu kleine, im letzteren zu grosse Resultate. Flüsse mit künstlichen, glatten Seitenwandungen müssen bei steigendem Wasserstande ein Steigen des Geschwindigkeitskoeffizienten m zeigen, indem die Rauheit der Sohle nur mit der 6. Wurzel der Tiefe, also sehr langsam, zunimmt, diejenige der Wandung aber gleichbleibt, ihr Einfluss mit ihrer grösseren Flächenausdehnung aber schnell zunimmt (s. § 46).

C. Normale Messungen an kreisförmigen Röhren.

§ 21. Das Material zu diesen Studien ist ein ziemlich reichhaltiges und verschiedenartiges. Es konnten davon benutzt wedren:

1.    Die Versuche von Dubuat an Röhren aus Weissblech.

2.    Diejenigen von Darcy an neuen, inkrustierten und gereinigten gusseisernen Röhren, teilweise auch an schmiedeeisernen.

3.    Die von Weis bach, unter sehr hohem Druck und mit Geschwindigkeiten bis zu über 20 m, an Röhren aus Messing und Zinkblech.

4.    Die auf Anregung des Hamburger Architekten- und Ingenieur-Vereins durch den Verband deutscher Architekten- und Ingenieur-Vereine an neuen und älteren gusseisernen Leitungen ąusgeftihrten Versuche, nämlich :

a)    9 Reihen der Hamburger Versuche, ausgeführt durch 0. Iben, Verfasser des Werkes ,,Druckhöhenverluste in geschlossenen eisernen Rohrleitungen“, welches alle die sub 4, 5 und 6 erwähnten Messungen enthält.

b)    Die Stuttgarter Versuche, 3 Reihen, ausgeführt durch v. Eh-mann und Zobel.

id sc

Eine Versuchsreihe von Fannning, New-York.

Vier im Werke von Humber angegebene Versuche an einer grösseren Leitung in Edinburgh und ein Versuch in den Loch-Katrine-Works an einer Röhre von 1,219 m Durchmesser.

Im ganzen sind es 106 Einzelmessungen, welche zur Kontrolle meiner Formel und zur Bestimmung der Geschwindigkeitskoeffizienten benutzt wurden.

Die hier nicht aufgezählten Versuchsreihen der Werke von Iben und Darcy, sowie diejenigen von Reynolds an Bleiröhren und von Dubuat, Gerstner und Weisbach an Glasröhren konnten hier nicht Platz finden, da sie ein besonderes, im nächsten Kapitel zu kennzeichnendes Verhalten zeigen. Ihre Abnormität zeigt sich namentlich darin, dass die sekundlichen Durchflussmengen nicht genau mit der Quadratwurzel aus dem Gefälle variierten und dass diese Variation überhaupt etwas sprungweise erfolgte.

Sodann musste von den Weisbach’sehen Versuchen unter sehr hohem Druck einer ausgemerzt werden, welcher mit so kurzer Röhre angestellt wurde, dass sich der Einfluss der Reibung an der Wandung noch nicht bis in die Achse des Wasserstrahles geltend machen konnte.

Weis bach’s Ausflussversuche finden sich im Civilingenieur, Jahrgang 1859 (Messingrohr von 1,0378 cm Durchmesser und 103,578 m Druck, ferner von 1,4336 cm Durchmesser und 103,578 Druckhöhe) und Jahrgang 1863 (Glasröhren von 1 und 1,4 cm Durchmesser und 17 m Druck; Messingröhren von 1 cm Durchmeser und gleichem Druck).

Aus den betreffenden Aufsätzen geht hervor, dass die in diesen Versuchen angewendeten Ein- und Ausmündungsstücke nicht in den Längenangaben der Röhren inbegriffen waren. Es mussten daher diese Längen noch um die betreffenden Stücke korrigiert werden.

Die Ermittelungen der Koeffizienten erfolgte nun für einen Teil der

Messungen nach der Formel k =

, für einen anderen nach den Re-

v . ]/R

]/2m2. (S. Koeffizienten-Tabelle, Anhg.) V 71

lationen : mr =

Y—j und k =

R s IT

Mangels Zeit konnten auch hier nicht alle Einzelmessungen der Versuchsreihen nachgerechnet werden. Bei der durchgehends schönen Übereinstimmung der in den einzelnen Reihen ausgerechneten Koeffizienten bedeutet dies aber keinen wesentlichen Nachteil für deren Genauigkeit.

Der Koeffiziententabelle ist nun folgende Skala für die Koeffizienten des verschiedenen Röhrenmaterials zu entnehmen :

mr

Messingröhren, Weis bach Zinkblech röhren,    ,,

Weissblechrohr, D u b u a t Galvanisiertes Rohr, Christen Gusseisen neu, ungeteert, Darcy ,,    ,, geteert, Iben

„    alt, aber gereinigt, Darcy

,,    „ mit Depot,    „

„ schwach inkrustiert, schwache Knollenbildung, Iben „    stark inkrustiert,    „

Das Übereinstimmen meiner Formel mit den Messresultaten ist ein vorzügliches. Die grösste Differenz in diesen 116 Versuchen mit den obigen Durchschnittskoeffizienten mr betrug bloss 20° /o und betrifft eine Messung der Hamburger Versuche, welche sehr wohl einen anderen Rauhigkeitsgrad, als angegeben, besitzen dürfte. Die nächst kleinere Differenz beträgt bloss 9,7 °/o.

In den einzelnen Versuchsreihen ist die Übereinstimmung besser, als sie irgendwie erhofft werden durfte. Der Durchschnitt aller Differenzprozente beträgt ebenfalls bloss 5,3 °/o für die nach k berechneten und 3,1 °/o für die nach m berechneten Messungen.

Zum Schlüsse wurden nun noch Fanning’s Koeffzienten (64) in die meinigen umgerechnet. Fanning berechnete aus vielen Versuchen für verschiedene Durchmesser und Rauhigkeitsgrade den Wert des Koeffizienten q in der Formel

16,29

15,21

13,40

13,61

12,70

11,50

11,96

9,82

82,39

74,37

61,48

62.87 56,75

48.88 51,84 38,55

10,40 42,04

6,73

21,88

Wenn man nun seine Formel für y mit der meinigen zusammenstellt,

so erhält man m =

nach welcher Formel und seinen Angaben nun folgende Werte im Durchschnitt sämtlicher Durchmesserklassen resultieren:

mr

57

44¹//2.

Reine Leitungen Leichte Knollenbildung 52 Schmutzige Leitungen Wie wir oben gesehen haben, gibt es noch einen höheren Grad schmutziger Leitungen, als der yon Fanning angenommene.

Aus der Art der Formeln geht hervor, dass diese Koeffizienten m nicht mit denjenigen im offenen Kanal übereinstimmen können.

Für letztere lautet die Formel:

m i/tI l/B,

für Kreisröhren:

mr ]/Rl. ]/R.

Beide m stehen aber in einfacher Beziehung zueinander, denn die erste Formel schreibt sich, da hier

X = “TT

H = $.

L y²

und stellte sie in einer Tabelle zusammen.

D- 2 g

2B 4

m _ 8_ _ 8_

y = ₉ in VRI. l/R = 0,8872 m i/RI VR.

Also ist mr — 0,8862 m, womit die gegenseitige Umwandlung beider leicht vor sich gehen kann.

D. Anomalien der Bewegung in kreisförmigen Röhren.

§ 22. Die im vorhergehenden Kapitel behandelten Messungen zeigen ein unzweideutiges Übereinstimmen mit meiner Formel und somit ein ziemlich konstantes Variieren der Geschwindigkeit mit der Quadratwurzel aus der Widerstandshöhe. Es gibt nun aber, wie bereits angedeutet, eine nicht geringe Anzahl zuverlässiger Messungen, in welchen dieses Gesetz nur näherungs-w^eise zutrifft, namentlich bei Röhren von kleinem Durchmesser und bei solchen von grosser Glätte. Ein Blick auf die Versuchsreihe von Darcy für Schmiedeeisen, D = 0,0122, zeigt dieses Verhalten sehr deutlich und zeigt auch, dass die Variabilität des Koeffizienten von I eine sprungsweise auf-und niedergehende ist und keinem einfachen Gesetze folgt. In Kolonne x

sind die Exponenten der Potenzen angegeben, unter welchen die Geschwindigkeiten mit dem Gefälle der nächstfolgenden Messung variieren.

_ log.v₂ — log-Vi

log.I₂ —log.Ii 0,491 0,599 0,564

0,230 0,287 0,343 0,392 0,478 0,573 0,846 1,195

Meist ist der Exponent der Potenz von I, mit welchem v variiert, höher als 0,500; er ändert etwa zwischen 0,40 und 0,75. In engen, den Kapillarröhren näherstehenden Röhren steigt er auch noch höher hinauf und es geht damit auch eine Anomalie des Exponenten von R Hand in Hand, wie es auch nach der Reynolds’sehen Formel v = aR3x_1Jx der Fall sein müsste. Reynolds berücksichtigte aber in seiner graphischen Berechnung des Exponenten n = ^ folgende Versuchsreihen Darcy’s nicht: Schmiedeeisen

3 Röhren, inkrustierte gusseiserne Röhren 2 Reihen, ferner gereinigte Gussrohre 3 Reihen, welche sämtlich mit seiner Formel nicht übereinstimmen, dafür aber mit Ausnahme derjenigen für Schmiedeeisen sehr schön mit meiner Formel. — Auch Lampe’s Exponenten in R 0,69410,555 behaupten sich nicht allgemein.

Diese Unregelmässigkeit der Exponenten erzeigt sich oft bis zu den höchsten Geschwindigkeiten, wenn sie sich auch im allgemeinen mit der Zunahme derselben dem normalen Exponenten 0,500 nähern. In Reynolds" Bleirohr E von 12,7 mm Durchmesser ist der Exponent von I noch bei einer Geschwindigkeit von 7 m nicht normal.

Wenn nun auch zugegeben werden muss, dass die Exponenten bei schwächeren Geschwindigkeiten als die sog. „kritische“ grösser als 0,500 sein sollten, so liegen doch eine Menge Messungen vor, wo die kritische Geschwindigkeit (selbst die obere) Reynolds’ längst überschritten wurde und doch noch höhere Exponenten von I herrschen.

Um in dieser Beziehung klarer zu sehen und möglicherweise zu einer Erklärung zu gelangen, ermittelte ich an einer grösseren Anzahl anormaler Messungen die betreffenden Exponenten der Potenzen von I, mit denen v variierte. (S. Koeffizienten-Tabelle, Anhang.) Ich kam dabei zu dem Schlüsse, dass dabei ein sehr veränderlicher, bisher wenig beachteter Faktor wirksam sein musste. Iben, der Leiter der Hamburger Versuche, ist der Meinung,

0,01650

0,02580

0,03472

0,04399

0,06264

0,08554

0,17862

0,34426

0,561

0,582

0,530

0,527

dass noch eine Menge anderer Faktoren bei der Bewegung des Wassers mitwirkten, als die Länge, der Durchmesser des Rohrs, die Druckhöhe, die Geschwindigkeit und die Temperatur des Wassers.

Die nächstliegende Erklärung dieser Unregelmässigkeiten liegt nun im Luftgehalt des Wassers, der ja gewöhnlich sehr bedeutend ist, beispielsweise in den Loch-Katrine-Works von Glasgow (65) 6,777, in der Seine 5,4 und im Regenwasser noch 2,3 Volumprozente ausmacht.

Dass die im Wasser aufgelöste Luft, inklusive Wasserdampf, auf das Funktionieren der Druckleitungen eine ganz bedeutende Wirkung ausübe, ist eine den Technikern wohlbekannte Tatsache. In Iben’s Werk (63) heisst es von den Bonner Versuchen, die Leitung sei etwas lufthaltig gewesen, und gerade hier ist die Potenz der Änderung von v mit I eine sehr hohe, etwa zwischen 0,60—0,70 schwankende, trotz eines vorhandenen, verhältnismässig weiten Durchmessers.

Dif Ausscheidung von Luftblasen wird jedenfalls noch besonders gefördert durch stossweise Bewegung des Wassers, welche gänzlich wohl in keiner Leitung vermieden werden kann. Humber (65) (Water supply, 1876) erwähnt eines Versuchs von Bâteau, wobei die Klappe einer gefüllten Leitung plötzlich geöffnet wurde. Ein mächtiger Schwall Wasser trat zuerst hervor, dann folgte ein Stillstand, dann wieder ein stürmisches Hervorquellen und so klopfte es eine gute Weile auf und nieder, bis dass Reibung und Schwerkraft einander das Gleichgewicht hielten. Rawlinson glaubt nun,

Bekanntlich tritt Luft namentlich auch in solchen

dass sich in diesem Falle luftleere Räume bilden, wodurch das Wasser in pulsierende Bewegung gerät und Wasserdampf und Luft sich in den Hohl räumen ausscheiden.

Leitungen auf, wo letztere sich stellenweise über die sog. Drucklinie erheben, wo also der Druck stellenweise bedeutend vermindert ist. Aber auch sonst kann sich die Ausscheidung von Luftblasen in obiger Weise so steigern, dass sich an geeigneten Stellen eigentliche Luftsäcke bilden, welche den Ausfluss in hohem Masse hemmen. Es geschieht dies namentlich auch dann, wenn das in ein Sammelbecken einer Wasserleitung eintretende sekundliche Wasserquantum so gering wird, dass die Drucklinie in der für ein grösseres Durchflussquantum berechneten Leitung das Reservoir nicht mehr erreicht, sondern unter dasselbe einsticht. In diesem Falle funktioniert der obere Teil des Rohrs als offener Kanal und wird durch die rasche Bewegung des Wassers eine Menge Luft in die Leitung gezogen (72).

In offenen Kanälen können solche plötzliche Druckdifferenzen nicht Vorkommen und finden daher hier auch diese Anomalien der Bewegung nicht statt. In Röhren dagegen werden sie um so häufiger und stärker auftreten, je ungünstiger die Röhrenanlage ist, je mehr Krümmungen, Schieber, Abzweigungen etc. sie enthält und je lufthaltiger das betreffende Wasser von Natur aus ist.

Darcy beklagt sich in seinem Werke ,,Recherches experimentales“ ebenfalls über erfahrene ausserordentliche Schwierigkeiten, die Luft aus seinen Manometern zu entfernen. Auch bei meinen Versuchen an den rechtwinkligen Röhren stellte sich dieselbe Schwierigkeit ein. Es kann somit in einzelnen Fällen schon an den Manometerablesungen, d. h. den Gefällsbestim-mungen, fehlen, dass die Exponenten nicht besser mit der Zahl 0,500 übereinstimmen, namentlich bei denjenigen Versuchen, wo der Druck nur an 2 Stellen des Rohres gemessen wurde und die Messung somit ohne Kontrolle blieb. Doch liess z. B. Darcy keine Messung gelten, bei denen die zur Bestimmung des Gefälls abgelesenen Manometerdifferenzen nicht genau übereinstimmten, und dennoch fand sich diese Anomalie der Exponenten auch an mehreren seiner Versuche vor. Bei Gerstner geschah die Messung des-Druckes direkt durch Messung der Höhe des Wasserspiegels über der Ausflussmündung und doch haben wir auch hier dieselben Abweichungen der Funktion. Ebensowenig konnten die etwa vorhandenen Schieber und Ventile deren Ursache seitf, da sie sich auch bei den in der denkbar einfachsten Weise vorgenommenen Versuchen Gerstner’s, auch nach Berücksichtigung des Eintrittswiderstandes in die Röhre, finden.

Da die Potenzen über 0,500 meist in engen Kalibern Vorkommen, so erschien es möglich, dass die hier herrschenden geringen Wandgeschwindigkeiten nicht genügen, um die sich der Wand ansetzenden Luftblasen wegzuspülen. Nach meiner Formel (s. folgenden Abschnitt) beträgt die Geschwindigkeit bei h Meter Entfernung von der Wand:

w = 1,159 m i/RI. ]/ h = 1,159 vm

d. h. die Wandgeschwindigkeit ist proportional der Quadratwurzel aus der

Röhrenweite.

ist beispielsweise

Bei einem Verhältnisse von ^ =

K 100

w = 0,673 vm.

Wenn nun die bei geringen Geschwindigkeiten sich anheftenden Luftblasen wirklich auch etwa Störungen im Abfluss des Wassers veranlassen können, so ist doch nicht zu übersehen, dass bei einer Röhrenleitung der Danziger Versuche von 0,418 m und einer Geschwindigkeit von 0,58 m bei 1 mm Entfernung von der Wandung, ebenso bei Darcy’s asphaltierten Blechrohren von 0,285 m Durchmesser bei sogar 1,54 m Wandgeschwindigkeit die Exponenten der Potenzen von I abnorme sind. Gewiss weisen diese Fälle darauf hin, dass nicht nur die in Bläschenform auftretende, sondern auch die im Wasser aufgelöst bleibende Luft, Anteil an dem abnormen Verhalten des Wassers haben muss.

Dass die aufgelöste Luft einen bedeutenden Einfluss auf die Molekularkräfte des Wassers ausübe, geht auch aus ihrem Verhalten zu dessen elek-

trischer Leitungsfähigkeit hervor, welche sie in überraschendem Masse herab-setzt (88). Ebenso ist bekannt, dass in strömenden Flüssigkeiten, besonders wenn sie über feste Wandungen gleiten, immer elektrische Ströme und zwar vorzüglich in der Strömungsrichtung stattfinden (87). Sitz der elektromotorischen Kraft sei die Grenzschicht an der Röhrenwrand (89, 90). Ein Teil der potentiellen Energie des Wassers wird sonach stets in elektrische Energie, ausserdem auch in Wärme, umgewandelt.

Es ist nun von Interesse zu wissen:

1.    Ob dieser anormale Zustand des Wassers eine grössere oder geringere Ergiebigkeit der Röhren bedinge als der normale, d. h. wenn wir annehmen, der Luftgehalt sei wirklich Schuld an den Unregelmässigkeiten, ob lufthaltiges Wasser rascher oder langsamer fliesse, als z. B. gekochtes Wasser.

2.    In welchem Zahlen Verhältnisse steht die Ergiebigkeit, ausgedrückt durch die Geschwindigkeit, von lufthaltigem zu luftarmem Wasser?

3.    Welches ist der höchste erreichbare Geschwindigkeitskoeffizient in normalem, d. h. luftfreiem Wasserzustande?

Genauen Aufschluss über diese Fragen könnten nur neue Versuche mit Wasser von verschiedenem Luftgehalt geben. Indessen besitzen wir für reine gusseiserne Leitungen, solche mit starker Inkrustation, und für schmiedeeiserne Röhren Messungen für beide Wasserzustände, die uns in den Stand setzen, die Ergiebigkeit der Rohrleitungen mit luftreichem und luftarmem Wasser zu vergleichen.

Nennen wir die an den lufthaltigen Gerinnen gefundenen Geschwindigkeiten v, die an normalem Wasser bei gleichem Durchmesser und gleichem Gefällsverlust gefundenen Geschwindigkeiten dagegen v1? so werden letztere gefunden, indem wir den aus normalen Messungen erhaltenen Koeffizienten

5    1    y

m multiplizieren mit R 8 12. Das Verhältnis — gäbe uns das gesuchte

Ergiebigkeitsverhältnis an. Diese Untersuchung haben wir nun in der Koeffiziententabelle unter ,,Anormale Messungen“ durchgeführt und niedergelegt.

Wir sehen nun mit Bezug auf:

Frage 1 und 2.

Bei den schmiedeeisernen Röhren ist die Ergiebigkeit in kleinen Kalibern von 0,0122 m im lufthaltigen Wasser wesentlich kleiner als im luftarmen ; in weiteren Röhren von 0,0395 m Durchmesser dagegen ist sie in den schwächeren Drucken geringer, in den stärkeren höher als bei normalem Wasserzustande. In den reinen gusseisernen Leitungen schwankt das Verhältnis ; bald sind die normalen, bald die anormalen Leitungen die ergiebigeren.

In den stark inkrustierten Röhren hinwider zeigt sich ein konstanter Nachteil der lufthaltigen gegenüber den luftarmen Leitungen, was freilich auch der Verschiedenheit der Rauheit zugeschrieben werden kann. Doch finden wir die gleiche Erscheinung wieder bei den Röhren aus Blei, Glas und Asphalt.

Zur Beurteilung der Frage 3 haben wir ebenfalls kein genaues Kriterium. Nur schätzungsweise vermögen wir die Geschwindigkeitskoeffizienten m anzugeben für

80

Blei in ganzen Stücken, nach Reynolds, zu ca.

„    „ zusammengefügten Leitungen, nach Darcy, zu ca. 60

66.

Glasröhren, nach Verschiedenen, zu ca.

Jedenfalls folgt die Einwirkung des Luftgehaltes auf die Bewegung des Wassers in Röhren ziemlich komplizierten Gesetzen und wäre dieser Gegenstand ohne Zweifel eines besonderen Studiums würdig. Auch das Lehrbuch der Hydrodynamik von Wien weist pag. 302 auf die Wünschbarkeit von Versuchen, welche den Einfluss von Gasschichten auf die Gleitungskonstanten dartun sollen, hin. Solche Versuche lagen nicht in der Absicht des Verfassers. Es musste aber doch auf diese Eigentümlichkeit des Wassers hingewiesen werden, damit nicht Faktoren, welche mit der Bewegung normalen Wassers nichts zu tun haben, in die betr. Untersuchungen eingeführt werden und dadurch den Nachweis des gefundenen Naturgesetzes erschweren. Es ist übrigens zu bemerken, dass alle diese abnormen Messungen auch mit keiner der vielen Interpolationsformeln übereinstimmen können, in welchen die Variation der Geschwindigkeit von der Potenz 0,500 abhängig gemacht wird, also weder mit der Darcy’sehen, noch der Lueger- oder der de Ghézy-Prony’sehen Formel.

Eine andere Frage drängt sich hier unwillkürlich auf: Ist es Zufall, dass gerade für die offenbar glattesten Gerinne, wie Blei, Glas und Asphalt, gar keine normalen Messungen gemacht worden sind? Wäre es nicht möglich, dass in solchen Gerinnen unter gewissen Bedingungen ein Gleiten der Flüssigkeit an den Wandungen stattfände, wie es die Untersuchungen von Helmholtz und Pietrowsky (77) für ungekochtes Wasser auf den feinpolierten Gold- und Silberflächen schwingender Hohlkugeln nachgewiesen haben?

V. Abschnitt.

Die Verteilung der Geschwindigkeit im Querprofil. —

Kräftefunktionen.

1. Im kreisförmigen Profil.

§ 23. Da meine Formel für die mittlere Geschwindigkeit in einer kreisförmigen Röhre heisst: v = mr l/RI]/R, wo mr="^--~?, so lag die Vermutung nahe, dass der Ausdruck für eine beliebige Geschwindigkeit im Quer-

___8 _

profil laute : u == a l/RI ]/ h, wo h die Entfernung des betreffenden Punktes von der Wandung bedeutete. Ist dies der Fall, so muss

2(R—h)n. dh. al/RI]/h die mittlere Ge-

1. Die Integration J

o

_ 8

schwindigkeit in der Form v = mrl/RIl/R ergeben.

2. Diese Formel mit den tatsächlich gefundenen Einzelgeschwindigkeiten übereinstimmen.

Das vorstehende Integral lautet nun

128

Vm

153

aRT IT = 0,8366 aRT IX,

wodurch unsere erste Voraussetzung gerechtfertigt erscheint. Es wäre dann nur mr= 0,8366a zu setzen, woraus

mr

und

0,8366

= 1,1953 m

u = 1,1953 mr i/RI ]/h •

Aus dieser Gleichung lässt sich iiun ableiten:

a) Der Ort der mittleren Geschwindigkeit.

Diesen erhalten wir durch Gleichstellung der Ausdrücke:

1,1953 mr ]/RI l/h = mr l/RI

woraus

8_____

8__

l/h

l/R

und

1,1953

1,1953⁸

R = 0,2400 R

oder

r = 0,7600 R.

Christen, Translation des Wassers.

b) Das Verhältnis der mittleren zur maximalen Geschwindigkeit. Dasselbe heisst:

0,8366.

mr l/RIyR

1,1953 mr i/RI y'R

Es bleibt uns noch übrig, an der Hand zuverlässiger Einzelmessungen

_ 8_

die Richtigkeit dieser Formel u = 1,1953 mr ]/RI ÿh zu beweisen. Wir besitzen das Material hierfür in Darcy’s Versuchen (58), welche mit folgendem Röhrenmaterial angestellt wurden :

D = 0,188 und D = 0,50

1.    Neues Gusseisen:

2.    Inkrustiertes Gusseisen : D = 0,2432

3.    Gereinigtes Gusseisen : D = 0,2446 und 0,297.

In jeder dieser Röhren wurden 3—6 verschiedene Druckhöhen angewendet und in jedem einzelnen dieser Versuche die Geschwindigkeit in der 1    2

Achse, bei R und bei R Entfernung von derselben ermittelt, o    o

Die Messungen der Geschwindigkeiten geschahen jeweilen beim ersten Manometer, d. h. 8,13 m oberhalb der Ausmündung der etwa 114m langen Röhren, mittelst einer quer durch das Versuchsrohr verschiebbaren Pitot-schen Röhre, deren Koeffizient (x in v = fii ]/2 g h, wie folgt, bestimmt wurde. Aus einer vorgängigen Untersuchung seiner Versuche ergab sich die

3    _

Beziehung C— u = k₀r2 ]/L

Daraus berechnete Darcy den Ort der mittleren Geschwindigkeit zu 0,689 R. Da die Spitze der Pitot’schen Röhren bei allen Versuchen auch auf 0,667 R gestellt wurde, so konnte er durch Vergleichung der gefundenen Geschwindigkeit mit der mittleren die jeweiligen Korrektionskoeffizienten für das betreffende Rohr ableiten und darnach die berechneten Geschwindigkeiten berichtigen. Nach meiner Formel liegt aber der Ort der mittleren Geschwindigkeit nicht bei 0,689 R, sondern bei 0,76 R, weshalb die Korrektionskoeffizienten Darcy’s unrichtig sein mussten.

Da nun erfahrungsgemäss (40) der Geschwindigkeitskoeffizient ^ bei solchen Pitot’schen Röhren, welche eine nur geringe Ablenkung der Wasserfäden verursachen, immer sehr nahe der Einheit liegt, so wurde in nach-

_ 8_

stehender Vergleichung meiner, nach der Formel u = 1,1953 mr ]/RI y h berechneten Geschwindigkeiten, mit der von Darcy aus den Versuchen gefundenen, für letztere einfach die aus seiner Geschwindigkeitshöhe ermittelten angenommen, d. h. fx = 1 gesetzt. Daraus ergibt sich nun die nachstehende, sehr schöne Übereinstimmung beider Geschwindigkeiten.

Die Geschwindigkeitsparabel an den Dare y’sehen Röhrenversuchen.

cS3

xn — gn

*n

0,028

0,047

0,040

0,042

0,050

0,043

0,001

0,024

0,015

0,007

0,033

0,027

0,001

0,004

0,008

0,008

0,021

0,008

0,062

0,027

0,037

0,093

0,036

0,043

0,001

0,022

0,037

0,026

0,030

0,044

0,002

0,021

0,038

Tn — zn

—    0,023

—    0,042

—    0,038

—    0,051

—    0,067

—    0,061

+ 0,001

—    0,042

—    0,028

—    0,015

—    0,075

—    0,065 + 0 004

—    0,012

—    0,023 + 0,037

—    0,104

—    0,044 + 0,027

—    0,014

—    0,021 + 0,061 + 0,030 + 0,004 — 0,002

—    0,039

—    0,071 + 0,047

—    0,064

—    0,101

—    0,007

—    0,091

—    0,182

J?A raAra^6T‘T =

?’U

0,787

0,859

0,906

1,171

1,278

1,348

1,547

1,689

1,781

1,998

2,180

2,300

2,599

2,876

2,992

4,488

4.897 5,168 0,459 0,510 0,539 0,718 0,797 0,833 1,571 1,744 1,845 1,863 2,069 2,188

3.898 4,327 4,578

den Darcy’schen Vêrsüchen.

fh

ia/l

0,01860    0,6462

0,01860    0,7054

0,01860    0,7440

0,02751    0,6462

0,02751    0,7054

0,02751    0,7440

0,03550    0,6462

0,03550    0,7054

0,03550    0,7440

0,0460    0,6462

0,0460    0,7054

0,0460    0,7440

0,05984    0,6462

0,05984    0,7054

0,05984    0,7440

0,1016    0,6462

0,1016    0,7054

0,1016    0,7440

0,01567    0,6543

0,01567    0,7265

0,01567    0,7684

0,02398    0,6543

0,02398    0,7265

0,02398    0,7684

0,05277    0,6543

0,05277    0,7265

0,05277    0,7684

0,06238    0,6543

0,06238    0,7265

0,06238    0,7684

0,13039    0,6543

0,13039    0,7265

0,13039    0,7684

1,195 mr

1Ł

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CD

CD

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88

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6jD

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Distanz des Messpunktes von

der

Wand

COiOOCOiOOCOiOOCOiOOCOiOOCOiOOOCOCDCOOOOOOOOOOCO

OH^OH^Oi-i^oTH^OTH^o^^coi>-icoi>Hcor»THcoNTHcoi>H

COCDOCO-OC5COCOOCOCDO5CO©O5CO0OCOI>(MCOI>(NCONO1CONOJCOI>(M O O O^o o O O O O O^O^O^O^O^O^O^O^O^o^T-H^©^ O^th 0_ -r-^O^^’lO^O^^

o' cT o' o o o' o' o' o' o' o' o' o' o' o' o' o' o' o' o' o' o' o' o' o' o' o' o' o' o' o' o' o'

der

Achse

0,0637

0,0325

0,0637

0,0325

0,0637

0,0325

0,0637

0,0325

0,0637

0,0325

0,0637

0,0325

0,088

0,044

0,088

0,044

0,088

0,044

0,088

0,044

0,088

0,044

f.

o

Ö5

Vm

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0,00368

0,00368

0,00368

0,00805

0,00805

0,00805

0,01340

0,01340

0,01340

0,02250

0,02250

0,02250

0,03810

0,03810

0,03810

0,10980

0,10980

0,10980

0,00202

0,00202

0,00202

0.00473

0,00473

0,00473

0,02290

0,02290

0,02290

0,03200

0,03200

0,03200

0,13981

0,13981

0,13981

Material

Gusseisen, neu

71

71

7»

71

„ inkrustiert

jaraom^;

*03    *

U₂ — Uj

ln

0,054

0,073

0,064

0,092

0,061

0,050

0,047

0,035

0,033

0,046

0,045

0,044

0,049

0,050

0,010

0,033

0,036

0,026

0,029

0,036

0,032

0,036

0,035

0,027

0,031

0,002

0,007

0,046

0,047

0,050

0,017

0,026

0,022

U₂—Ui

—    0,031

—    0,048

—    0,044 + 0,082 + 0,062 + 0,053 •f 0,087 + 0,072 + 0,073 -f 0,202 4 0,217 4 0,229 4 0,017

—    0,002

—    0,004

—    0,044

—    0,052

—    0,040

—    0,052

—    0,070

—    0,065

—    0,088

—    0,094

—    0,076 4 0,015 4 0,001

—    0,004

—    0,042

—    0,047

—    0,050 4 0,019 4 0,032 4 0,029

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0,01420

0,01420

0,01420

0,02468

0,02468

0,02468

0,04989

0,04989

0,04989

0,11778

0,11778

0,11778

0,010196

0,010196

0,010196

0,030269

0,030269

0,030269

0,040873

0,040873

0,040873

0,057816

0,057816

0,057816

0,0122

0,0122

0,0122

0,0177

0,0177

0,0177

0,0255

0,0255

0,0255

1,195 mr

'S- [V¹

> CD CD CO

00

58,76

58,76

58.76

59.77 59,77 59,77

59.32

59.32

59.32 59,35 59,35 59,35 52,82 52,82 52,82 61,95 61,95 61,95 61,80 61,80 61,80 60,65 60,65 60,65 55,15 55,15 55,15 67,26 67,26 67,26 62,43 62,43 62,43

0,578

0,655

0,686

0,886

1,010

1,066

1,853

2,078

2,201

4,378

4,863

5,145

0,343

0,396

0,420

1,321

1,452

1,515

1,772

1,956

2,054

2,476

2,712

2,836

0,477

0,535

0,571

0,910

0,993

1,050

1,143

1,238

1,311

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UOA aqoqs^iaq *,    | ^

-gipnmqosa0 > Ie"1 auasajaSqy

0,017

0,022

0,024

0,040

0,052

0,058

0,175

0,217

0,247

0.977

1,202

1,350

0,006

0,008

0,009

0,089

0,1075

0,117

0,160

0,195

0,215

0,3125

0,375

0,415

0,0116

0,0146

0,0166

0,04225

0,05025

0,05625

0,0636

0,0781

0,0876

Distanz des Messpunktes von

der

Wand

0,0343

0,0783

0,1223

0,0343

0,0783

0,1223

0,0343

0,0783

0,1223

0,0343

0,0783

0,1223

0,0465

0,0965

0,1485

0,0465

0,0965

0,1485

0,0465

0,0965

0,1485

0,0465

0,0965

0,1485

0,08

0,16

0,25

0,08

0,16

0,25

0,08

0,16

0,25

der

Achse

0,088

0,044

0,088

0,044

0,088

0,044

0,088

0,044

0,102

0,052

0,102

0,052

0,102

0,052

0,102

0,052

0,17

0,09

0,17

0,09

0,17

0,09

i>i>i>a)00^^^i>i>i>ioioincococoinin»oioioin COMCO^^^OOOOOCmOiO»OCOCOCO©CO'£iOCO© lO^ lO^    O 0_ O ^    CO^ CO^ CO^ CN (M^ CO^ CD^ CCO^ CO_ CO

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0,4752

0,4752

0,4752

0,7951

0,7951

0,7951

1,1197

1,1197

1,1197

0,1223

0,1223

0,1223

0,1223

0,1223

0,1223

0,1223

0,1223

0,1223

0,1223

0,1223

0,1223

0,1485

0,1485

0,1485

0,1485

0,1485

0,1485

0,1485

0,1485

0,1485

0,1485

0,1485

0,1485

0,25

0,25

0,25

0,25

0,25

0,25

0,25

0,25

0,25

0,00165

0,00165

0,00165

0,00498

0,00498

0,00498

0,02035

0,02035

0,02035

0,11343

0,11343

0,11343

0,00070

0,00070

0,00070

0,00617

0,00617

0,00617

0,01125

0,01125

0,01125

0,02251

0,02251

0,02251

0,00060

0,00060

0,00060

0,00125

0,00125

0,00125

0,00260

0,00260

0,00260

Material

Gusseisen, gereinigt

neu

Gewiss ist das Resultat dieser Vergleichung ein höchst befriedigendes. Die Differenzen der nach meiner Einzelgeschwindigkeits-Formel berechneten Geschwindigkeiten und der von Darcy gemessenen betragen im Maximum bloss 9,3°/o, im Durchschnitt sämtlicher 66 Beobachtungen bloss ±3,46°/o.

Differenzen unter 0,5 °/o haben 6 Messungen oder 9°/o    der sämtlichen

Leider hat Darcy es unterlassen, die Geschwindigkeit auch ganz nahe der Wandung zu messen. Gerade in diesem Teile findet die grösste Änderung der Geschwindigkeit statt und es ist jedenfalls diesem Umstande zu

verdanken, dass seine Formel c — u = k .    l/RI ebenfalls eine recht be

friedigende Übereinstimmung zeigt. Bazin, der später Versuche an halbkreisförmigen Kanälen ausführte, wobei er die Geschwindigkeiten auch ziemlich nahe der Wandungen mass, fand obiges Gesetz hier nicht bestätigt,

sondern glaubte, dass die Form c — u = k .    l/RI- der Ausdruck des Ge

schwindigkeitsgesetzes sei und zwar sowohl für Kanäle wie für Röhren.

Darcy hatte in seinem Werke „Recherches experimentales“ (58) die Resultate für die symmetrisch von der Achse entfernten Punkte, oberhalb und unterhalb derselben, besonders angegeben. Die Geschwindigkeiten der betr. Punkte stimmten aber in den meisten Fällen genau überein ; wo dies nicht der Fall war, wurde in die vorstehende Tabelle das Mittel aus den beiden Geschwindigkeitshöhen eingeführt.

Aus obiger Zusammenstellung bestätigt sich auch die bereits von Darcy ausgesprochene Wahrheit, dass die Rauheit der Wandung keinen Einfluss auf die relative Geschwindigkeit der Wasserfäden ausübe, zwar nur in dem

Sinne, dass der Quotient

gegen wird der Unterschied (la flèche, Darcy)

C - u = 1,195 mrl/RI (y R — y h ) doch abhängig von der Rauheit.

Bevor wir weitere Betrachtungen an die gefundene Geschwindigkeitsformel anknüpfen, wollen wir uns die Verhältnisse besehen.

von 0,5—1 „

f> Ü

H CO

konstant und stets gleich 0,8366 bleibt. Da-

2. Im halbkreisförmigen Profil (Kanal). — Kräftefunktionen.

§ 24. In Kapitel VI ihrer „Recherches hydrauliques“ (57) behandeln Bazin und Darcy auch diese Frage. Sie finden, dass in dem Falle, wo

das Wasser den Halbkreis ausfüllt, die Isotachen konzentrische Halbkreise bilden.

Ein Blick auf die betreffenden, in den Bilder-Tafeln des Anhangs gezeichneten, Isotachen zeigt uns, dass dieses streng genommen nur für die Reihen 71 (Cement), 72 (Cement mit ljs Sand) und 73 (Bretter), also nur für die glatten Gerinne gilt, während in Reihe Nr. 74 (Kies) der Ort der mittleren Geschwindigkeit bedeutend unter die Wasseroberfläche sinkt und somit ein gutes Übereinstimmen der Isotachen mit den konzentrischen Halbkreisen nicht erwartet werden darf.

In diesem Kapitel VI finden sich nun die den betreffenden Halbkreisen entsprechenden, gemessenen mittleren Geschwindigkeiten ausgerechnet und wir können sogleich an der Hand dieser Zahlen die Geschwindigkeitsformel

u = 1,195 mr ]/RI • y h prüfen.

Reihe Nr. 71; R = 0,643 Cement

Reihe Nr. 73; R = 0,702 Bretter

Reihe Nr. 72; R = 0,625 Cement mit Sand

Reihe Nr. 74;

R = 0,613 Kies von 1 — 2 cm

um

Um

Um

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Um

Um

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v= 1,786

v 1,679

0,000 0,643 0,100 0,543 0,200 0,443 0,300 0,343 0,400 0,243 0,500 0,143 0,560    —

0,575 0,068 0,585    —

0,600 0,043 0,670    —

0,946

0,927

0,903

0,874

0,838

0,783

2,086

2,083

2,040

2,004

1,938

1,837

0,714

0,674

Um

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CO^ CO^ oT of cf of cf

0,942

0,922

0,898

0,870

0,830

0,771

1,920

1,910

1,879

1,819

1,741

1,633

2,078 0,702 2,13410,602 2,09110,502 2,090 0,402 2,098 0,302 2,118 0,202

pppppp <

I, t>* 00 O (M H 00 lOCOHOlCOH ¹¹    05 05 05 00 00 00

,612

1,905 1,995 1,898 2,023 1,880 2,050 1 62 2,087 1 95 2,083 1, 18 2,100

p p p p p p cd

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CO CO

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I, TH Oio in ^ H CM -'■±1 CM 05 CD CM CO 05 Ol 05 00 OO OO I> CD

1,229

1,652

1,523

2,312

2,260 0,025

0,631

1,305

2,068 0,102 - 0,032

0,751 1,560 2,076 0,650 1,316 2,023

0,028 0,640

1,449

1,430

1,445

1,409

1,330

1,133

0,972

0,829

1,538

1,555

1,615

1,628

1,613

1,488

1,405

1,295

Mittleres

l/h

2,279

2,097

2,055

1,517

0,0015

0,0015

0,0015

0,0015

]/RI

0,03105

0,03060

0,03242

0,03032

n,j =

l/h

61,34

57,30

53,00

41,82

1,195 ]/RI

Zu dieser Zusammenstellung wird bemerkt, dass die grösste Tiefe H nicht immer genau mit der halben Breite übereinstimmte. Wo dies nicht der Fall war, wurde für R das arithmetische Mittel aus beiden genommen.

Hier ist nun die Übereinstimmung eine fast vollkommene, so dass auch im glatten, halbkreisförmigen Kanal die Richtigkeit der Formel

u = 1,195mr yRI.fh

nachgewiesen ist.

Damit sind auch etwaige Bedenken gehoben, dass diese Formel vielleicht in den Röhren nicht stimmen würde, wenn Darcy auch Messungen an

näher als

Aus dieser Tabelle lernen wir sofort, dass auch im halbkreisförmigen,

_ 8__

glatten Kanal die Gleichung u = 1,195 mr ]/ RI . ]/ h gilt, denn

1. Betragen die grössten Abweichungen der Quotienten -gU von ihrem

yh

Durchschnitt im Maximum

für reinen Cement bloss „ Cement mit Sand bloss „ Bretter bloss „ Kies von 1—2 cm Durchmesser dagegen 14,63 „

2. Die Koeffizienten mr stimmen sehr gut mit den übrigen an diesen Kanälen angestellten Versuchen überein. (Reihen Nr. 24—27).

Wir hatten auf Seite 55 gefunden:

Für reinen Cement,

,, Cement m. Sand, „ ,,

,, Bretter

⁴    ,, Kies von 1—2 cm „

3,25 % 1,76 „ 2,94 „

m zu

71,68

„ „ 56,45 „ 42,26

Rechnen wir nun diese Koeffizienten m nach der Formel mr = 0,8862 m (S. 75) um, so ist mr

für Cement 63,48 ,, Bretter 50,00 „ Kies

Noch eine bessere Übereinstimmung beider Koeffizienten erhalten wir, wenn wir den Koeffizienten mr direkt aus den bei den Versuchen gefundenen mittleren Geschwindigkeiten berechnen, was hiernach geschieht:

37,60

Reihe

Nr.

y ri

v mr

l/h

y ri yn

H (M co

60,82

58,18

51,98

43,08

mr=--—

1,195]/RI

61,34 57,30 53,00 41,82    .

-g- von der Wandung entfernten Punkten vorgenommen hätte.

In den Kanälen von Bazin liegt das Verhältnis der untersuchten äussersten Wanddistanz zum Halbmesser zwischen 0,040 und 0,067.

In Worten ausgedrückt, sagt obiger Ausdruck für u:

Sowohl im geschlossenen kreisförmigen Rohre, wie auch im halbkreisförmigen glatten Kanale, ist die sogenannte Geschwindigkeitskurve eine Parabel 8. Ordnung mit dem Scheitel an der Wandung und mit der Achse normal zu derselben.

Machen wir in der Folge die Wandung zur Y-Achse, die Parabelachse zur X-Achse eines kartesianisehen Koordinatensystems.

§ 25. Aus dieser Fundamentalformel für die Einzelgeschwindigkeiten u = 1,195 mr ]/RI. i/h lassen sich nun auch die Differentialformeln für das Gleichgewicht von Kraft und Reaktionskraft (Reibung) ableiten.

Obige Formel, die wir hier der Einfachheit halber schreiben wollen mit

__8_

u = n l/RI. i h, gibt, nach h differenziert :

du =

ni/RI.dh

8 hT

woraus

(1) RI =

64 hT/du\a n² \<ïh/

1 /8 h du\2 i- ' n dh )

du

Nennen wir die Subtangente (auf der Y-Achse) h.^ = a, so wird obige Gleichung zu

(2) RI =

hT

w-m

In Gleichung (1) bedeutet RI die in der Richtung des Rohrs wirkende Gewichtskomponente eines normal zu den Wandungen stehenden Wasserprismas von der Länge R, der Breite 1 und dem Durchmesser 1 oder, anders ausgedrückt, die zweifache bewegende Kraft per Flächeneinheit. Denn das ganze wirksame Gewicht des Wasserkörpers ist gleich R²7tLI und die Fläche, an welcher dieses Gewicht anhaftet, gleich 2R7rL. Das von jedem m²

Die Grösse RI

Wandfläche getragene Gewicht ist somit gleich

R²ttLI_ RI 2 R 7tL 2

hat, physikalisch gesprochen, die Dimension eines Druckes, denn

ri_rh.,

ml⁻¹ t~² — gr. cm.⁻¹ sec.⁻².

Der Ausdruck rechts in der Gleichung (1) ist somit nichts anderes, als der doppelte Reibungswiderstand in diesem Wasserprisma, in einem Abstande h von der Wandung, ebenfalls per m² der betreffenden Schicht.

Obige Gleichungen lassen sich somit auch folgendermassen ausdrücken :

1.    Die Reibung in irgend einem Punkte eines normal zu der Wandung stehenden Wasserfadens ist konstant und immer gleich seiner gesamten Gewichtskomponente in der Richtung der Drucklinie.

Oder: Die Reibung per Flächeneinheit ist in allen Schichten des Wasserkörpers konstant und gleich der per m² wirkenden Schwerkraft des Wassers.

Es ist dies ein ganz analoges Verhältnis, wie wenn an einer sehr dünnen Stange ein grösseres Gewicht hängt. Auch hier ist die Spannung in jedem Punkte dieser Stange dieselbe.

2.    Das Produkt aus dem Quadrat der Neigung (Tangente) der Tangente an die Geschwindigkeitskurve auf der X-Achse mit dem zur

Potenz erhobenen Abstand des betreffenden Berührungspunktes

von der Wandung ist konstant und gleich der wirksamen Gewichtskomponente des Wasserfadens, multipliziert mit einem Koeffizienten.

3.    Die wirksame Gewichtskomponente eines Wasserfadens ist gleich •dem Quadrate des Quotienten aus der achtfachen Subtangente (auf der y-Achse) durch das Produkt eines Koeffizienten mit der 8. Wurzel aus dem Abstande von der Wandung.

Vergleichen wir unsere Differentialgleichung (1)

RI

64 hT

r-O

n*

dh

mit der von Darcy gefundenen:

9 k²

4 R² /du\²_/ RpluV

\ dr /    \ k dr / ’ so erblicken wir den prinzipiellen Hauptunterschied beider Gleichgewichtsgleichungen darin, dass bei Darcy die Reibung an einem und demselben, zur Wandung normal stehenden Wasserfaden, per Flächeneinheit, gegen die Wand hin zunimmt, während sie nach meiner Formel konstant bleibt. Nach beiden Formeln ist die Reibung proportional dem Quadrat der Neigung der Tangente zu der X-Achse.

Nehmen wir nochmals unsere Gleichung (1).

Es ist dies die Gleichgewichts-Gleichung für einen normalstehenden Wasserfaden von konstantem Querschnitt, oder für die Reibung per Flächeneinheit und es ist ohne Weiteres klar, dass deshalb in den verschiedenen Kreisringen die gesamte Kraft der Reibung proportional der betreffenden Isotachen-Peripherie, d. h. dem Abstand des Kreisringes von der Achse sein muss.

Multiplizieren wir beide Seiten dieser Gleichung mitR/r, so erhalten wir:

Der Ausdruck links ist die wirksame Gewichtskomponente eines 1 m langen Stückes des Wasser-Cylinders, der Ausdruck rechts die Reibung am Umfange desselben.

Die Reibung längs eines beliebigen Kreisringes erhalten wir nun, indem

r

wir diesen Ausdruck rechts mit ^ multiplizieren und wir haben nun für die

xi

Reibung längs einer beliebigen Cylinderfläche :

T7T.

(3)

R²7ll =

64 h T

II²

(-)

V h/

TU iTU

R TC.

64 hT /duV lî² * vdh/

Man kann nun noch eine fernere Gleichgewichtsgleichung für die bewegenden und verzögernden Kräfte, ohne Differential-Verhältnisse aufstellen. Es ist nämlich auch

(5)

RI

U²

n² y h

Nach dieser Gleichung können wir nun den Reibungskoeffizienten

n² l,195² mr²

definieren wie folgt:

Der Reibungskoeffizient ^₂ ist die von einer Wasserschicht von der

Höhe R auf die Flächeneinheit der Unterlage (Wandung) oder einer beliebigen, der letzteren parallele Schicht in tangentialer Richtung ausgeübte Kraft, wenn die Geschwindigkeit im Abstande 1 von der Wand gleich 1 ist, oder wenn die Translationsgeschwindigkeit in einem Punkte gleich ist der 8. Wurzel aus dessen Abstand von der Wandung.

____ 8_ 8_ ______

Letzteres ist der Fall, wenn u = n l/RI. ]/ h = V h, also wenn n y RI = 1. Da mr für ganz glatte Röhren im praktischen und zwar Meter-Tonnen-

System ungefähr = 82, so ist in diesem Falle RI

Setzen wir R=l, so wäre dann 1 = 0,000104, und wir können vom

l,195²mr²

= 0,0001041.

Reibungskoeffizienten — ₂- auch sagen, er bedeute die von einer Wasserschicht

von der Höhe 1 an der Unterlage oder einer dieser parallelen Schicht per Flächeneinheit ausgeübte tangentale Kraft bei einem Gefälle der Röhre von 0,000104.

2 ist z. B. für ganz glatte Röhren,

Diese Druckeinheit

n²

oder

1,1953² m²

wo mr=82, gleich 0,0001041 Tonnen =104,1 Gramm,

und für Erde, wo m = 27,

-961

Vergleich der Koeffizienten m und u der krumm- und geradläufigen Bewegung.

91

Um die Bedeutung dieses Koeffizienten -~₂- noch besser zu erkennen,

suchen wir dessen Dimensionen auf:

Multiplizieren wir Gleichung (5) beidseitig mit Rjt, so erhalten wir:

u²

2 Rn.

2n²]/h

Aus der Hydrodynamik haben wir gesehen, dass I eigentlich das Ver-H y

wo y das spezifische Gewicht, bedeutet.

Wir können sonach auch schreiben:

u². L

2n²i/TT

Links haben wir die Dimensionen l².1 . ml~²t~² = mit“², also eine Kraft (Druckkraft), der Ausdruck rechts muss sonach dieselben Dimensionen

hältnis

R²7t.H y =

2 Rtt.

haben. Daraus ermittelt sich die Dimension von

n²~

l³ •

Dies ist die Dimension einer Dichte im Sinne des absoluten Mass-systems, multipliziert mit der 4. Wurzel aus einer Länge.

In absolutem Mass ausgedrückt ist ₂ im gr-cm-System

( 100 )~    • ⁰’⁰⁰⁰¹⁰⁴¹ = 0,03229,

= 981

1000000 '

demnach ist der ganze Koeffizient -^₂

0,0161 Dynen, welcher bei der

Unsicherheit, mit welcher m = 82 behaftet ist, ganz wohl mit dem Koeffizienten der geradläufigen Bewegung, tu = 0,01816 identisch sein könnte, und wenigstens mit diesem von gleicher Ordnung sein muss.

Identität fände statt, wenn n = 92,41 und mr = 77,3 sind.

Aus der Geschwindigkeitsformel ist ersichtlich, dass die Geschwindigkeit an der Wandung selbst gleich 0 wird, dass also die ganze Reibung der Flüssigkeit, ganz analog derjenigen in Kapillar-Röhren, eine ,,innere“ ist, d. h. ausschliesslich auf den Molekularkräften der Flüssigkeit beruht.

3. Im rechtwinkligen geschlossenen Profil.

64 h 4 /du\2 n² \dh/

§ 26. Aus den Gleichgewichtsgleichungen RI u²

--— hoffte der Verfasser, die Gleichungen der Einzelgeschwindigkeiten in

n²./F

sämtlichen einfachen Röhrenprofilen ableiten zu können. Am leichtesten erschien dies für das rechtwinklige Profil; von diesem aus wäre es mir dann

und RI =

vielleicht möglich geworden, die Formeln für die übrigen abzuleiten und schliesslich auch für die offenen Kanäle. Dieser Schritt ist mir nicht gelungen. Eine Hauptschwierigkeit der Aufgabe liegt darin, dass wir auch im kreisförmigen Profil nur die Translationsgeschwindigkeit, nicht aber auch die Art der übrigen Bewegungen kennen. Gewiss sind letztere auch wirbelnde und werden die konzentrisch um die Achse gelagerten Wirbelringe sich hauptsächlich in der Längsrichtung des Rohrs abwärts bewegen, jedenfalls aber, wie aus den Versuchen Reynolds’ hervorgeht, auch seitwärts. Von dieser letzteren Bewegung wissen wir nun gar nichts. Die hohe Ordnungszahl der Parabel lässt auf ziemlich komplizierte Vorgänge schliessen (vielleicht sind es Wirbel von Wirbeln) und es mag wohl nur der analytischen Hydrodynamik, unterstützt durch neue, noch mit genaueren als die von früheren Experimentatoren und mir verwendeten Apparaten ausgeführte Versuche, gelingen, auch für die sog. „rollende“ Bewegung die allgemeinen Gleichungen aufzustellen.

Immerhin wollte der Verfasser versuchen, auf empyrischem Wege das Gesetz der Translation auch für die einzelnen Wasserfäden des rechtwinkligen, nichtkapillaren Rohrs zu finden und stellte zu diesem Zwecke die in Abschnitt III beschriebenen Versuche an, welche vollständig in nachstehender Tabelle aufgeführt sind.

Berechnung von I

»°/o l‘l\ = -o0q

5850 0

oo/o 5*6 =

4,7 °l00

4,6 "/oo

0,0392

3,02

0,0141

3,02

0,0138

3,02

Höhren Angestellte Geschwindigkeits-Messungen.

Breite mit Wasser aus der kleinen Simme.

⁰⁰ PP ⁰

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Stand der Manometer in cm

0,050 0,040 0,020 0,005 0,001

sąąsą    ss.sssssss    sssssss

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1,333

1,062

0,772

0,579

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0,0139    5,35    0,0506 | 0,05165 0,01045

0,01084 2,86    0,0505    0,0505    0,0102

0,00787 1,41    0,0505    0,0505    0,0102

0,00353 1,38    0,0300    0,0508    0,0061

02

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03

O

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5,4

12,05

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L'-

Datum

27. X. 1901

22. IX. 1901

29. IX. 1901

29. IX. 1901

M*

Berechnung von I

5,0 °/oo

0,0151

3,02

Manometerstand bei B:

9,25 cm.

Davon ab die Wider-standshölie d. Böhrclien

= 0,091p’ = 0,091.0,055 m 2g = 0,50 cm

8,75

27,20/00.

-=

Gefalle : 8,75- 4,48 1,51

⁰⁰/o 9

4,7 °i00

■o

00 CQ O

Stand der Manometer in cm

0,005 0,001

0,020

0,050 0,040

lO O O 05 o o o

^»O »©^»C^

cm" c4 oT of of cm" c<P

l> rH rH 05 00 00    ,

H rH^O 05^00^^ I

cc cc cc cm" CQ <m"

11,84 9,17 11,74 9,19 10,99 9,23 11,05:9,19 11,68 9,21 10,9919,28 10,19.9,27

4,17 4,21 4,70 4,22

4,41 4,22 0,0180 _ 4,40 4,21    3 02 “

4,40 4,23 4,39 4,22 4,22 4,22

0,0141

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16,82

17,15

14,90

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2,0

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1,0

0,5

0,1|

r Nr. 2 nicht Manometern

0,025    0,0509    0,0051

0,01635 0,0508    0,00332

0,0162 ! 0,0512    0,00332

0,0162    0,0512    0,00332

0?

Z n I

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1,51

4,29

1,80

1,41

0,00288

0,00347

0,00143

0,00125

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Ł jnumueg

7,3 14,71

3,0 12,25

7,0    29,8

7,0 34,0:

Datum

r*

VA

5 29. IX 1901

6 27. X. 1901

Während der Messung von Q

7    6. X. 1901

8    6. X. 1901

Bemerkung. In Nr. 6 funktionierte der Manometc Manometer A gemessen und dem Versuch die sich zwischen den

HH 8 o "

03_

03

und 5,1 cm Höhe (auf die schmälere Seite gestellt).

Manometerstand in cm

Achse rechts links

bei b =

0,0100 0,0055 0,002

8,08    7,72

8,56    8,10

8,60    8,23

8,50    8,11

7,91    7,60

5,80    5,67

5,91    5,79

6,00    5,80

5,93    5,77

5,80    5,62

8,00

8,91

9,00

8,80

7,94

5,79

6,08

6,20

5,92

5,75

6,02

6,90

7,02

6,84

6,38

03    05 lO    03

Tjî CO oT TH cT

°l

CO 03

05^ »O^    03^

^ co oT t-T o'

Druckhöhe über der Sohle bei einer Entfernung von der Ausflussmündung von Metern :

0,10 j 1,00    2,00 i 3,00 i 4,00 ; 4,70

12,65    15,48 I 17,40

4,22    6,38    9,79

11,20    12,70

8,00    8,50

9,40

7,20

2,88    5,48 ! 7,52

6,40

4,27    5,18

Vm

0,474

0,287

0,379

B. An einer Röhre von 2 cm

0,00102

0,000488

0,00102

0,000289

0,00102

0,000387

I SekundJ

87

147

110

oX

Keaum.

5,5

5,5

5,5

Datum

3. III. 1902

3. III. 1902

3. III. 1902

Nr.

14

15

16

immer

§27. Da während der Versuche, namentlich der unter A angeführten, einige Schwankungen der Manometerstände vorkamen, so war es nötig,

die Geschwindigkeiten auf eine und dieselbe Druckdifferenz zwischen 1 und 2 zu beziehen, d. h. noch eine Reduktion der durch Subtraktion der Manometerhöhe 1 von den Manometerhöhen 3—7 erhaltenen Geschwindigkeitshöhen auf eine konstante Druckdifferenz (Gefälle) vorzunehmen. Für diese letztere wurde das bei der jeweiligen Wassermengen-Messung (Bestimmung

von 0) herrschende angenommen.

aus

Wir wissen, dass die Geschwindigkeit proportional ist der Quadratwurzel dem Gefälle, die Geschwindigkeitshöhen somit proportional sind dem Gefalle selbst. War nun z. B. der Gefällsverlust zwischen den Manometern 1 und 2, bei welchem die sekundliche Wassermenge gemessen wurde, z. B. gleich 5,35, der Gefällsverlust, bei welchem die Ablesungen einer horizontalen Wasserschicht gemacht wurde, dagegen gleich 5,40, so wurden sämtliche

Geschwindigkeitshöhen dieser Schicht noch mit dem Quotienten

mul-

5,35 5,40

tipliziert und erst aus diesen auf gleichen Druck reduzierten Geschwindigkeitshöhen die betreffende Geschwindigkeit selbst abgeleitet. Dieses Verfahren ist in der nachstehenden Berechnungstabelle niedergelegt.

Zur Messung Nr. 6 ist zu bemerken, dass vom Manometerstand 1 und 8 zur Berechnung der Geschwindigkeitshöhen jeweilen die Widerstandshöhe

u²

2g

der Röhrchen mit 0,091    = 0,50 cm abgezogen wurde.

Wir entnehmen nun diesen Tabellen, dass die Geschwindigkeiten symmetrisch gelegener Punkte einander gleich sind, dass die Differenzen nur in unvermeidlichen Ungenauigkeiten des Gerinnes und der Messungen selbst ihren Grund haben müssen. Die unscheinbarsten Unregelmässigkeiten des Querprofils veranlassen oft die grössten Störungen der Isotachen, besonders wenn die Querschnittsflächen, wie hier, ziemlich klein sind. Nur bei allergrösster Sorgfalt und unausgesetzter Kontrolle der Apparate können übrigens von solchen Versuchen Erfolge erwartet werden. Differenzen von 12—13 °/o in den Geschwindigkeiten symmetrisch gelegener Punkte kommen sowohl bei meinen, wie bei Bazin's Messungen wiederholt vor.

§ 28. An allen diesen Versuchen wurde nun das Gesetz der Geschwindigkeiten nach der Parabel 8. Ordnung geprüft.

zu-

In dem Bazin’sehen Werke waren nicht die wirklichen Geschwindigkeiten, sondern die Verhältnisse derselben zur mittleren Geschwindigkeit angegeben. Diese Geschwindigkeitsverhältnisse mussten daher, um mit meinen Geschwindigkeiten verglichen werden zu können, noch umgerechnet werden. Ferner wurden sowohl bei den Bazin’sehen wie bei meinen Versuchen die Geschwindigkeiten symmetrisch gelegener Punkte in eine einzige, mittlere, sammengezogen.

tx

CO <M IX GO 00    OOGGOOOOOi-icO    CDixOlxiDOCOIXO    CO if O O    O O O

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o' o o' o' o'    o' o' o' o    o' o' o"' o' o'    o' o' o' o' o' o' o' o o'    o' o' o' o    o' o' o'

bei Manometer Nr.

kD

If

CO

GO CO CO    CM    if    kDOO—HCOCOOCDiD    O CM CM CO    CM    *D t^- CO CO    O f CJ h f cxM

CD kD O    CM    CO    C— t>* t>* CO    GO    CO    CX) iD ¹    »DifCMCDOSGOOOO    kD 1-1 i—i i-h O -f IX

co uqco    o°R th    h    q go^ q    io^ cd^ tx^    ix^ cm^    •f^icqcD^cqcqiD *f

•r-T r-T t-T th' t-T    o' o' 1-T h    1-T    1-h    t-T o' cT    o' o' o' o    o    o o' o' o'    o' o' o' o' o' o' o'

OOifCOGOOO-—'OCM    iDiDifCMGOCOkDO    CD 00 CD O CD if CM

I    OC5CDi-<ifCMCOcoO    lx if O i—* i-i O 00 h    ,    H^coCDiDf h

I    o_ i-^ cm^ cm^ ih o^ go^    uq cd^ cq oo^ oq oo^ in cd^    I    if^uqcq^cD^cqiD^iD

o' o' -r-T 1-T1-T1-T1-T th o'    o' o' o' o' o' o' o' o'    o' o' o' o' o' o' o'

Cd 2 >D »D CO D*NXf2!oCON    SiomM^wœoco    SP^NOOO

f IX IX D if    GOO-»—‘(MCMCMi—^OCO    uOCDOOOOOOOOIXCDCO

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11 T-( v-i th V-! OniH-rHi-Hi-ii-^OO ooooooooo

If ID CD CD CD CD If

o' o' o' o' o' o' o'

Berechnung der Einzel-Geschwindigkeiten in des Verfassers rechtwinkligen

u²

2g

reduziert auf gleiche Druckdifferenz, bei Manometer Nr.

OONCiCO ®    oolnPoN oSocD^OCDCD⁰⁰ ^ ^ fO oi -^-100

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C5 03 0-rHt> CO^kOCDNCDiDDH t-iCM<m'co"'co'cOOJt-(0' t-T -r-T    t-T r "    *

Zßßßßß.w zßßßßßßA I sssssss

'tiDDOt>N[>D'^ T-iCMCOCOCOCOCO-rH    O h (M C-l (M n n

1,10

1,39

2,12

2,33

2,26

1,85

1,26

Verhältnis

beider

Druck

differenzen

Druck

differenz

des

Druck

differenz

ua

betreffenden Q

des

Versuchs

des Versuchs, bei Manometer Nr.

Manometer-Stände bei

1 u. 8 I 2

CM if if O kD    N lO CO N lO O io (M

O O O CD O C5(MhOnOOOO

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W    rv »s    »N»v»,#s»srv»\r>r

tHOOOt-I On^^rirHrtnrH

1,007

1,00

1,00

1,00

1,00

1,00

1,00

1,007

1,007

0,992

0,992

1,007

1,007

1,015

1,015

1,030

cqcqcqcqîq œœ x æ œ® oqoqoq    co co co co co co co

lO iO iO lO lO <N Cd' of oT CM' cm' of of Gm' i-T i-T i-T tH i-T i-T i-T i-T i-T _T t-T t-T v-T T-jr t-T 2'

«««§«    oq2^oo^a^cq§ S_S cd^    if 2< 2 2^    CO CO CO    CO CO    2 CO

icT irT icT o' icT    cm' cm' cm' o' cm" ę<f cm' of oP    .-T -r-T i-T -r-T th t-T t-T t-T i-T    _T ^-T    _p ^

W oq ^ 2 co cqiqC5_ O Së^CDCDcqcjqcD^    o CD S ^ ^ CO N

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SSS2S SSSSS^KSS g£2£§§S£3 5§222§g

CD CO O tx' kD CdCM-fif-fifCrfcMOl nurirKNriHHo’' o' o' i-T i-T -r-T ^-T o'

SiSgq sskssssss sssgssss;; ggggsss

^22^ co~^'o'cd*'cd'cd''oco''~ wnVcococo^ho    - - -

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ccT co co co co    °o °o °o ^ od cc oo' od cc -f~ t*T tjT tjT tjT tjT -fT

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o' GO id' <m' o' o' O GO CD »D if Dl' o' o' oT cT GO CD icf if' oT cT o o' ID* if' co' cm' o' o'

CM

CO

If

SC

0,360

0,355

0,325

0,313

0,275

0,240

bei Manometer Nr.

0,360

0,410

0,460

0,558

0,459

0,456

0,424

0,900 0,731 0,986 0,711 0,981 0,586 1,000 0,601 0,995 0,700 0,985 0,586 0,891 0,431

O O O O lO CO O Cl 00 l> Ol t-h Cl H t—i

o o o" o" o"

O © Ci rH -rH —H O I    Ci rH Oi Ci Ci 00 ^

!    Ol rt^ CO C0 C0 C0 t-¹

o' o“ o' o' o' o' o"

OOCiCiOCiCit^ S C GO o O N o ■^OlCO^CO^COCO CO^ C0^ CO tH CO CO Ol o' o" o" o” o' o' o” o" o" o" © o o' o"

CO Ci O O O iO •*—1 _    (M O Ci h O O (M

^    T^iO io C CD ß CO

o' o" o" o" o o" o"

0,566

1,218

1,248

1,053

0,800

0,481

in o oo o 00 co co co

^ O O^iO

o' o" o" o"

0,517

0,517

0,220

0,880

0,436

0,462

0,455

0,381

0,299

0,432 0,400 0,513'0,506 0,605 0,596 0,658 0,649

0,610

0,540

0,435

00 t>- Ol Ci C- Ci ^ CO CD O «H 't O OH(Neo O^^in cT -r-T r-T h-h" r-T —T O

COCOHOCirHOO

OCDOCOMDh

O rH oi CO Cl T-I co

f* *S    r » «S f\

^ T—( 1—t ■»—< T-1 'ł—I O

0,391 0,391 0,519 0,494 0,538 0,553 0,572 0,585 0,587 0,555 0,497 0,512 0,435 0,381

0,252 0,320 0,430 0,386 0,470 0,468 0,493 0,475 0,493 0,481 0,456 0,440 ] 0,381 0,3601

u²

reduziert auf gleiche Druckdifferenz, bei Manometer Nr.

C''*

CO

I I I ! Il I

MINII

O C O 00 o co co co ©^ t- oo^ !>•_ ci_ CCI Ol rH tHI cm •»—I o

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I Ol tH Ol rn tH I o" o" o" o" o"

o o cT o" cT o' o"

Ci . Ol Ci , Ci Ol CO^O^ CD^CM_

-T d-Too" in' co"

1,18

O CO GO O CO CO Cl ^ 00 O iO CD CO

^ ^ ^ C^C^IÄ o C^I>- ^

t-T-»-T-r-Tt-Tr-T t-T cTdd^^do''

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Verhältnis

beider

Druck

differenzen

ooooooo

ooooooo

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CO Cl O rH rH O D    r—l-rnOOr-łr—1-rH uOCDCDCDCDCDCD

O    CD cn    0_    O O Cd o

Druck

differenz

des

betreffenden Q

T-H T—I tH r—¹ r—H y—l y—t

in in in in in in in

IN* C^* C'“ I>- t>» !>• I>- OOOOOOO

⁰i°ic<l⁰i<^ic<lc<l oo oo °d00-00.00^00^    ^ ^ ^

rd rjf -rtf rłf Td Tjî' ->d

t—i t—1

Druck

differenz

des

Versuchs

T—l y-4 T—I y—I ■*—I 1—I y—I

in in^ io^¹⁰. »d ^

co m in o ci m oo oo oo ci o oo oo oo ^cmcocmcmcmcm T-c th CN M    00_    C^*_ Cd co CO CÔ CO CO C0

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u²

des Versuchs, bei Manometer Nr.

co oi oi o Ci Ci . ts. CO CO lO iC CO (N I

o" o" o o" o" o"

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CD

00 CD Ol Cl Ol C0 -—i CD 00 O O O O Ci

«fc «. »V

(Ql rH tH tH łH ^0

(M H rH T-l CO O rH iO    Ci_ CO^ 00^ © 00^ CM^ in_

TtH 00 M 00 2 I I I o" —f t-T cm" «    1    1

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O H—I T—( CM r—I r—t o

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o" ©    o    o"    o"    o" o" cf o" o" o" o"

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-»-iClCiOOCiO y—t Tt¹ 00 00 00 C-» CD ^ O l> I> N D CO

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IN CO CO CO    O CD    CO    N l> D    00    O N N    O 00 O CD CD O O

Ci I> ^ Cl    N CM    D    N CO    CD    N (N Ci    CO 00 r-i t-h r-n O

rd CD" oo" CO    oo" 00    H-f    o" r-T rH    —T T-T -r-T o'    O" O" -r-T -r-T -h"' r-T o"

Manometer-Stände bei

1 u. 8    2

OOOOOOO <1 O O Ci    O Ci Oi 00    —»    —< Ol Ol    Ol    CM    CM    O    Ol    (M    w    h    h    th

o    in »o ^ -«*    ©^ o ©^ ©^ o o cm^ <m^ cm^ cm cm cm

rjT rd tjT rjT rd ^    ^ d rjT rjT tjT -d r*T cd cd" cd" cd" cd" cd cd m" in" o' m" m" in" in"

Ci Ci Cl Cl Ci Ci Ci rt« rt<

oT oi" cm" oT cm" oT oT

rC3

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r.    rs    ^    »»

T*< r*l C0 <M rH O O

ci »d®    <d¹^ T-l.

cm" cf cd r-T t-T o" cf

n n o_ n <d n th d oo ioo in rn cm" cm" cf rH H o' o" cm" cm" cm" t-T t-T o" o"

Nr. 16

bei b =

0,0100 0,0055 0,0020

0,406

0,580

0,601

0,574

0,485

Versuch

u²

2g

bei b

0,0100 0,0055 0,0020

0,84

1,72

1,84

1,66

1,20

Versuch Nr. 15

bei b =

0,0100 0,0055 0,0020

0,193

0,246

0,250

0,248

0,166

0,250

0,290

0,319

0,297

0,250

u²

2g

bei b =

Versuch Nr. 14

bei b =

0,0100(0,0055 0,0020 0,0100 0,0055 0,0020j

In Centimetern

0,246

0,343

0,376

0,294

0,230

0,19

0,32

0,31

0,32

0,29

0,14

0,43

0,52

0,45

0,32

0,567 0,578    0,513

0,704 0,656    0,581

0,717 0,662    0,600

0,690 0,646    0,583

0,555 0,549    0,491

u²

2g

bei b =

0,0100 0,0055’ 0,0022

^ CM lO CO 03 CO t> 00 O 03

1,70

1,62

2,18

2,22

2,12

1,53

2,53

2,62

2,42

1,56

JÖ

®1

CO 03

Sind die Geschwindigkeitskurven Parabeln 8. Ordnung, so muss der

durch eine ganze Messung hindurch konstant bleiben und

Quotient - VU -l/bh

zeigt uns nachstehende Tabelle, inwiefern dies auch der Fall ist

l/bh

(3,92)

(3,13)

1-H t—I 1-H 1—i 1-H

V_/ x__^ V—/ V-/ '---

CM O CM »C5

mSSt-

coco^-^

t—I T-1 T-1 ^-1

SV S' SS

o co w ^

Ol 1-H t-H rH

oi' OD' r- xH'

of of of of

(0,925)

(0,779)

(0,883)

th ćóTlNćN <M co^ co iq_

T—i 1—! rH iH

CDCOCO    O GO CD    IN-iOGO

CD CO CO'    CD O lO    03^ IN- CO'

1-P 1-P T-P    of of of    CO 03 03

CO CD co IN »O ^ 1-H 1-H T-P

CO ^ CD IN- lO' CO'

of of oT

GO O LO CO' O' OO'

co' co of

0,001

]/bh

bh

0,000005 0,217 |0,000020 0,258

,0,00005 0,290

0,000001 0,178 0,000005 0,217 0,000020 0,259 0,000040:0,282 0,000050 0,290

GO IN C5 03 O    CO IN- O^

IN H lO GO 05    IN- 1—I lO

t-^03'03' CD CD CD

1-H 03 03 Ol' Ol' 6 Ö CD CD CD

0,000001

0,000005

0,000020

0,000040

0,000050

0,271

0,000001

0,000005

0,000020

0,000030

0,000011 0,178 0,000005(0,217 0,000015(0,249 0,000025j0,266

0,000001 0,178 0,000005 0.217 0,000010 0,237 0,000015^0,249

L'— in- O tH ‘CO ^ 03 03 Ol'

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4,01 1,388 0,00025 0,354| 3,92 0,907

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0,000005 0,217 0,000025 0,266 0,00007510,305 0,000125 0,325

0,000005 0,217 0,000025 0,266 0,000050,0,290 0,000075 0,305

0,00000510,288 0,949 0,000025 0,266 1,28 0,000050 0,290 1,38 0,000075 0,305 1,33

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GO co O LO GO co CD O 03'03'03'CO'

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1,69 0,856 0,0021 1,82 0,9961 0.0098 1,82 1,0011 0,0175

0,0021

0,0098

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1,239 0,000324 1,334 0,001512 1,360 0,002700

03 CO 03    »0^0

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—    1,538 0,00040 0,376

il,693 0,00100 0,422

0,745 0,00002 0,259 0,913 0,00010 0,316 1,075 0,00040 0,376 1,132 0,00080 0,410 1,183 0,00100 0,422

05 CO CD O 03 LO H IN- tH 03 Ol' CO' CO' ^

o' o' o' cf o*'

0,00002

0,00010

0,00040

0,00080

0,00100

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0,00002

0,00010

0,00030

0,00050

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0,00001

0,00010

0,00020

0,00030

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0,0252

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0,0054 0,520 2,64 0,0252 0,630 12,70 0,0270 0,636 12,78

03 03 IN-IN o co CO IN

1,480j 0,0054 0,520 2,84 1,450 0,0021 0,462 1,85210,0252 0,630:2,93 1,599,0 0098 0,560 l,889j 0,0270 0,636 (2,97 1,608] 0,0175 0,602

b = 0,042

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1,65 0,769|0,0019410,4576 1,68 0,699 0,000753 1,69 0,993(0,0090810,5552 1,79 0,865|0,00325 1,71 1,03710,0162 10,5972 1,74 0,85710,00630

1,078,0,000753 1,287 0,00325 1,324:0,00630

0,000753

0,00325

0,00630

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0,0162

0,00194

0,00908

0.0162

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IN LO LO 03 i-H CO ^ CO' GO'

IN- tH 00 O'l-H'O

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0,575 0,00004 0,627 0,00020 0,794 0,00080 0,807 0,00160 0,818 0,00200

0,00004

0,00020

0,00080

0,00120

0,464

0,531

0,646

0,660

0,00004

0,00020

0,00060

0,00100

0,00004

0,00020

0,00040

0,00060

0,00004

0,00020

0,00040

0,00060

0,00020

0,00040

0,00060

b = 0,29

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IN- CO co GO O 03 O -fH r-O' O' O' cT CD CD

0,0087

0,0403

0,0726

0,552

0,0087

0,669

0,0403

b = 0,174

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3,97

3,99

3,72

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1,159

1,195

CO H H l- H ©

CO' IN- GO'

O GO 03

GO co CO ^ CO o

0,779:0,00313|0,486 0,996(0,0146210,588 1,083 0,0261010,634

0,00313,0,486 ;0,01462|0,588 |0,02610 0,634

CO 00 ^ 00 00 CO T^LO CO'

o' o cT

0,00313

0,01462

0,02610

CO GO CM CM IN ^ GO IN- 03

LO co co    o CD CO

1-T T-P 1-H

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LO CO 03 00 O 03 H LO CO

CO IN IN ^ 03 lO

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CO CO IN-    LO GO

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1-T1-T i—P    of of of

GO O 00 CO o o

of CO of

0,050

]/bh

bh

1,427 1,0002510,359 1,680|0,00100 0,421

1,759:0,0025 0,472

0,883 0,00005 0,290 0,999(0,00025 0,359 1,160 0,00100 0,421 1,276(0,00200 0,460 1,27510,00250 0,472

0,290

0,359

0,421

0,460

0,472

IIill IIIII

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0,00005 0,290 0,00025 0,359 0,00100 0,421 0,00150 0,443

O Cl CO CM O ON CO

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o” o” o” o”    o” o o o”

0,00005

0,00025

0,00075

0,00125

O' O' O' O' r*T o' o' o'

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O O O' O' cf CD CD o'

0,812 0,00005 l,157l0,00025 1,285 0,00050 1,330 0,00075

0,00005 0,290 0,00025(0,359 0,0005010,386 0,00075 0,403

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CO CO 03 Ol 1-H o CO D— 'xH'LO'LO LCD'

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0,366:0,00005 0,290 0,443 0,00025 0,359 0,481 0,00050 0,386 0,493 0,00075 0,403

t—I »O O LO CO O 1-H i—I O' O' O' O' CD CD CD <D

b 0= 0,40

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IN- CD LO O O' IN-'

o' o' o' 03 o o

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o'o' o~

0,909

1,170

1,216

LO IN* O    lO IN O

IN- CD LO    NO lO

LO CO IN-

cP cP o'

03 CO O HlOO O' O' T-l'

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LO CO

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03 CO O H lO O O' ©^ H

o' o' o'

b 0,240

CO O CO    CO 1-H T-H

05 03 03    CO CO CO

CO IN- GO

0,800 0,00432|o,506 0,999 0,0203010,615 1,101 0,0360 |0,660

CO LO o OHCO LO CO CO

o' o cf

1,18910,00432 1,50210,02030 1,633 0,0360

OO^fLO    CO Hfl LO    CO^lO

O 1-H 03    O TH CM    O 1-H 03

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GO •Hf O 1-H GO LO O O I-H'

o' o' cf

00 ^ O i—I GO lQ O O 1-1

o' cP cf

CO LO o o i co

lO' CO' CO'

©~ o o'

0,00432

0,02030

0,0360

IN CD IN

o^co

^ CO o

00 ^ o

1-H GO LO O'O'I-H'

o' o' o"

Y ersuch

Nr.

Christen

Christen

Christen

Christen

Christen

Christen

Christen

Christen

Bazin

51

Bazin

51

Bazin

51

Bazin

52

52

Bazin

52

Versuch

Nr.

C h r isten

14

b = 0,0100

bh

Vbh ybh u

0,002 0,561 0,00002j0,259 0,010 0,697 0,00010 0,316 0,025 0,717 0,00025|0,355

(M (M of

b = 0,0055

b = 0,002

bh

bh

Vbh yBb

jo,563 0,000011 0,240 10,651 0,000055 0,293 0,662 0,0001375 0,329

of cf c f

0,502 0,000004 0,211 2,36 0,582 0,000020 0,259 2,25 0,600 0,000050 0,290 2,07

Christen

15

[o,002 0,238 0,00002 0,259    0,92    jo,250 0,000011    0,240    1,04 0,179 0,000004    0,21110,85

0,010 0,318 0,00010 0,316    1,01    0,293 0,000055    0,293    1,00 0,247 0,000020    0,259 0,95

0,025 0,376 0,00025 0,355    1,06    0,319 0,0001375    0,329    0,97 jo,250 0,000050    0,290| 0,86

Christen

16

0,002 0,496 0,00002 0,259 1,91 0,010 0,577 0,00010 0,316 1,83 0,025 0,601 0,00025 0,355 1,69

0,000011 0,24 0,000055 0,29 0,0001375 0,329

W <=>

—    0,000004 0,211    —

—    ! 0,000020 j 0,259 —

—    0,000050 0,290; —

Diesen Tabellen entnehmen wir, dass in den meisten Fällen die Geschwindigkeitskurven in den Achsen-Ebenen ziemlich genaue Parabeln der 8. Ordnung sind, dass dagegen die übrigen sich deutlich davon entfernen. In der grossen Mehrzahl der Fälle sind die Geschwindigkeiten in den Winkeln des Rechtecks wesentlich grösser, als es der Fall wäre, wenn die Geschwindigkeitskurve auch hier eine solche Parabel sein würde.

Schon das Verhältnis der maximalen zur mittleren Geschwindigkeit zeigt deutlich, dass das Parabelgesetz in der Einfachheit wie in der kreisförmigen Röhre nicht mehr gilt. Wären alle Kurven in den parallel den

Wandungen liegenden Ebenen Parabeln des 8. Grades, so hiesse die Ober-

8____

flächen-Gleichung eines solchen Geschwindigkeitsparaboloids u = k₀l/bh, wo k₀ eine Konstante bedeutet. Die mittlere Geschwindigkeit wäre dann

4BH

4BH

B H

//

4.k„i/bh.db.dh

64 k₀

— 8111 B ’

9    ra \r    1    8________

(BH)T = ~ (BH)T = 0,7901 k₀ i/BH

ol

und die maximale Geschwindigkeit c = k₀]/BH, also das Verhältnis =

c

0,7901, während in unsern Versuchen dieses Verhältnis wie in nachstehender Zusammenstellung lautet:

Versuch

Versuch

Christen Nr. 1

55

0,758

55

55

ChristenNi.15 „ 16 Bazin Nr. 51,

>i 51, . „ 51 „ 52 n 52,

„ 52₃

55

55

55

0,764

0,631

0,847

0,846

0,859

0,812

0,812

0,823

Versuche mit weiten, dabei sehr langen und genau gearbeiteten, durch das Wasser sich nicht verändernden Gerinnen würden das Gesetz, womit

X in rechtwinkligen Röhren variiert, sehr wahrscheinlich klar legen. Wahrscheinlich hängt dieser Quotient von der absoluten Grösse der kleineren Dimension des Querschnittes ab, ist also nicht konstant.

Wir hätten sonach nur eine Formel gefunden für die Einzelgeschwindig-

8_

keiten der Achsen-Ebenen und es muss diese die Form haben u — k₀ Vbli. wo k₀ ein von der Grösse, Form, Rauhigkeit und Neigung des betreffenden Rohrs abhängiger Faktor ist.

ybh

Versuchen wir auch hier diese Abhängigkeit festzustellen, indem wir die in den Achsen-Ebenen gefundenen Quotienten gU - mit den übrigen Faktoren in Beziehung bringen.

Autor

Nr.

Mittleres k0 aus den Versuchen

pa

HI

]/H ï

ko

ko

HI

i/HI

für

gleiche

Breite

4 __

kp.y B

y hi

Christen

55

55

5»

14

55

15

55

16

Bazin

51

51₂

55

51₃

o2₁

55

52₂

55

53,

(MOCnOiO-tCOiO Ci CD -h C^CO-r-i|rOI>-00

05^    L'- lO io C'T ^    œ CO_ l>- I -t 05

co oT T—T i-T ▼4' co~ -r-T rf cf o' h t-T of cf I .-f of of

0,000896 0,02996 0,0004793 0,02189 0,0002371 0,01539 0,000138 0,01175 0,000125 0,01118 0,0004436 0,02106 0,0000972 0,00986 0,0000762 0,00873

0,0505 0,0177 0,0506 0,0095 0,0505 0,0047 0,0300 0,0046 0,0250 0,0050 0,0163 0,0272 0,0162 0,0060 0,0162 0,0047 0,010010,0174    0,000174    0,01318    158^

135,86 0,050 0,472 64,20

cTcTcT

Wie ersichtlich, ergibt der Ausdruck

7T

ym

°- ]/ß oder

ein

]/bh . y HI

befriedigend konstantes Resultat. Die grösste Abweichung liegt zwischen den Reihen von Bazin Nr. 51 und 52, wenn man von der offenbar mit Fehlern behafteten Messung Nr. 15 absieht. Diese erstere Differenz erklärt sich aber zur Genüge aus der verschiedenen Rauheit beider Gerinne. (S. Abschnitt III, § 15, „Die Resultate“.)

Gewiss wird sonach wenigstens annäherungsweise für die Geschwindigkeiten in den Achsen-Ebenen die Relation zu Recht bestehen:

u = -£ I 111 (bl..

VB

§ 29. Was bedeutet nun diese Konstante m'?

In Abschnitt III S. 49 finden wir die Formel : v== y 2 k³ ]/ HI = m ]/ HI. Berechnen wir nun aus der in diesem Abschnitt befindlichen Übersichtstabelle sämtlicher Versuche in rechtwinkligen Röhren diese Grösse m = y2k3 und stellen diese Resultate zusammen mit obigen m' der Achsen-Ebenen.

y2p

Versuch

m'

nY

Die endgültige Formel für die Geschwindigkeit in den durch die Hauptachsen gehenden Ebenen hiesse demnach:

tyi    _ 8_

11 = 1,120^; ]/HI ]/bh.

Bazin

dieses m' —

yß

Die maximale Geschwindigkeit wäre

c = 1,120 m

v hi . y

und da

v = myHL/B;

so ist das Verhältnis

4_____•

VB

1,120 V h:

0,893

yB.

Dieses Verhältnis ist also nicht konstant, sondern wächst mit der

4. Wurzel aus der grösseren Dimension des Rechtecks und nimmt ab mit der Zunahme der 8. Wurzel aus der kleineren Dimension.

Wir sehen, diese letztere Formel führt für den Fall, dass

H > 1,120

ad absurdum.

der

Es ist also unmöglich, dass diese Formel u= 1,120 m]/HI.

wahre mathematische Ausdruck für die gesuchte Geschwindigkeit sei und es kann dieselbe nur als eine Näherungsformel, innert ziemlich weiten Grenzen gültig für die von Bazin und mir in Betracht gezogenen Gerinne, gelten.

Dass diese Formel vielleicht nicht so einfach ist, darf uns, wenn wir uns den analogen Fall bei der geradläufigen Bewegung ansehen, keineswegs verwundern.

4. Die Einzelgeschwindigkeiten in den übrigen geschlossenen Profilen.

§ 30. Für diese fehlen veröffentlichte Versuche meines Wissens dermalen vollständig, und es wäre für Praxis und Theorie jedenfalls von grösstem Vorteil, wenn auch in elliptischen, eiförmigen und anderen Profilen bezügliche Messungen vorgenommen würden. Ohne Zweifel würde sich auch hier eine Annäherung der Geschwindigkeitskurven an die Parabel 8. Ordnung ergeben.

5. Die Einzelgeschwindigkeiten im beliebigen offenen Kanale.

§ 31. Unsere gegenwärtige Kenntnis der Geschwindigkeitskurve (Scala di velocitä) ist, wie wir bereits in § 8 gesehen haben, eine sehr mangelhafte. Als Tatsache ist bekannt, dass in den meisten Vertikalkurven die grösste Geschwindigkeit etwas unter dem Wasserspiegel herrscht und dass diese Tiefe der grössten Geschwindigkeit mit der Annäherung an die Wandungen zunimmt. Es hängt dies vielleicht zusammen mit der Verschiedenheit der Molekularkräfte an der Oberfläche und im Innern der Flüssigkeiten, wahrscheinlicher aber mit dem Bestreben der den Isotachen parallelen Wirbelringe, sich der Kreisform zu nähern, d. h. ihre Krümmungsradien auszugleichen. Von diesem Punkte grösster Geschwindigkeit an nimmt die Translation nach Gesetzen, die zur Zeit noch nicht bekannt sind, gegen die Sohle hin ab.

Bevor ich nun an die Untersuchung des Verhaltens der Bazin’schen Versuche an nicht halbkreisförmigen Kanälen zu meinem Parabelgesetz ging,

y. Die Verteilung der Geschwindigkeit im Querprofil, wollte ich mir ein genaues Bild derjenigen Faktoren verschaffen, von denen das Verhältnis

v

— abhängt.

Wir wir nämlich an den kreisförmigen Röhren gesehen haben, ist dort dieses Verhältnis für alle Durchmesser, Gefälle und Rauhigkeitsgrade ein konstantes. Bazin hatte aber die Beziehung c — v= 14]/RI aufgestellt und unter

==- bedeutet.

t/r

Zuhilfenahme seiner Formel für die mittlere Geschwindigkeit v = T/-^-erhalten: — = 1 -j- 14]/A, wo A der bekannte, die Rauheit charakterisierende Ausdruck a

Die erstere Beziehung für c — v fand er als Mittelwert von 61 sorgfältig ausgewählten Reihen.

y

Nach diesem Ausdruck wäre also — abhängig von der Rauheit und

c

dem hydraulischen Radius.

Bazin hatte bei einer grossen Zahl von Versuchen sich darauf beschränkt, die mittlere Geschwindigkeit und die maximale Oberflächengeschwindigkeit, letztere mittelst Schwimmern, zu messen. Auch diese wurden bei der Aufstellung jener Tafel der 61 Versuche mitbenutzt, obwohl er sich an anderer Stelle nicht verhehlte, dass diese Angaben bei den höheren Wasserständen zu niedrig seien, weil die wahre maximale Geschwindigkeit dann wesentlich unter dem Wasserspiegel liege. Bei zahlreichen anderen Versuchen dagegen wurden auch die Einzelgeschwindigkeiten vollständig aufgenommen.

Verfasser stellte nun die Resultate nur der letzteren Kategorie, als der in dieser Beziehung einzig ganz zuverlässigen, zusammen und untersuchte zuerst:

zur Wassertiefe.

y

1. Die Abhängigkeit des Verhältnisses —

c

Dieser Quotient zeigte bei steigendem Wasserstande :

Eine deutliche Zunahme: Nirgends.

: Bei den Reihen Nr. 58, 59, 60, 61, 63.

Nr. 64 und 67.

,, sehr schwache „

„ deutliche Abnahme :    „

Die Reihen Nr. 61 und 63 sind rauhe, die übrigen glatte Kanäle. Die Reihen Nr. 62 und 65 (Wände mit Querlatten) hatte ich mir nicht notiert. Wir sehen, dass mit zunehmender Wassertiefe in demselben Gerinne

bald eine Zunahme, bald eine Abnahme des Verhältnisses — erfolgt , ohne

c

dass diese Erscheinung anderen als zufälligen kleinen Unregelmässigkeiten der Wandungen und der Messapparate zugeschrieben werden könnte. Wir

sind daher zu der Annahme berechtigt: das Verhältnis bleibt für ein

und denselben Kanal bei wechselndem Wasserstande konstant.

Berücksichtigen wir nun auch die Aufnahmen der Oberflächengeschwim

Vo

digkeiten mittelst Schwimmern. Da haben wir für das Verhältnis von V :

Deutliche Zunahme bei den Reihen 7, 9, 12, 15, 18, 19, 20, 30,

31, 28, 29.

4, 5, 6, 10, 14.

8, 11, 17.

2, 3, 13 und 32.

Schwache Abnahme Gleichbleiben

Die Reihen Nr. 4, 5, 12, 13, 14, 15, 17, 30, 31 betreffen rauhe, die übrigen glatte Gerinne. Reihe 16 hatte ich nicht notiert.

Wir konstatieren also in den meisten Fällen eine Zunahme des Ver*

y

hältnisses - mit der Wassertiefe und damit, nach Bazin, ein Sinken des

Vo

Ortes der maximalen Geschwindigkeit.

2. Die Abhängigkeit von — von der Breite.

c

Um diese zu prüfen, haben wir nur zwei ganz zuverlässige Reihen zum Vergleiche: die Reihen 54 und 59, beide mit einem Gefälle von 5,9°/oo, das

c

erstere Gerinne 0,48 m, das zweite 1,987 m breit. Ersteres besitzt ein

v

= 1,229, letzteres von 1,201. Trotzdem die Breite also um ca. 400 °/o variiert,

ändert das Verhältnis — nur um ca. 3°/o, so dass wir, auch abgesehen von

anderen Beweisen an weniger zuverlässigen Gerinnen, wie z. B. Nr. 7 und 18, sagen können: die Breite übt ebenfalls keinen Einfluss aus auf den

y

Quotienten —.

c

y

3. Die Variation yon — mit I.

Auch hier wollen wir die Schwimmerbeobachtungeu, weil sie allzusehr von der Wassertiefe abhängen, bei Seite lassen.

Die Reihen Nr. 58, 59 und 60 wurden alle drei an einem 1,982—1,987 m breiten Kanale ausgeführt mit den 3 Gefällen: l,5°/oo; 5,9°/oo und 8,4—8,9°/oo.

gefunden: 1,21

In Versuchsreihe Nr. 58 wurde als Mittelwert für

11

11

71

11

» o9 n » 60

11

71

17

11

71

11

77

11

11

1,

CO o

Die Differenz von 1,21 bis 1,19 ist so gering gegenüber derjenigen der Gefälle, dass sie füglich den unvermeidlichen Zufälligkeiten zuzuschreiben

v

ist und dass wir sagen können: das Verhältnis ist unabhängig von I.

c

4. Die Variation mit dem Rauhigkeitsgrade.

An den Reihen Nr. 55—57 sehen wir deutlich, dass je grösser die

y

Rauhigkeit, desto kleiner der Wert —, desto tiefer auch der Ort der maximalen

Geschwindigkeit unter dem Wasserspiegel.

Bei den Versuchsreihen Nr. 61, 63, 66, an rauhen Kanälen, beobachten

v

wir, dass mit zunehmender Tiefe das Verhältnis — etwas sinkt, bei Reihe 64

dagegen etwas zunimmt, aber beides in so geringem Masse, dass auch diese Variation nur Zufälligkeiten zugeschrieben werden muss.

Dagegen können wir nun den Satz aufstellen:

Das Verhältnis

ist, entgegen dem Verhalten in kreisförmigen Röhren,

in hohem Masse abhängig vom Rauhigkeitsgrade der Wandung und zwar in umgekehrtem Sinne dieser Rauhigkeit.

Alle diese Sätze lassen sich nun in den einzigen zusammenfassen: Im

v

rechtwinkligen Kanal ist das Verhältnis — einzig abhängig von

c

der Rauheit der Wandung.

5. Die Änderung nach der Profilform.

Für die übrigen Profile stehen nicht genug Versuche zur Verfügung, um sie in gleicher Weise zu untersuchen, wie das rechtwinklige. Ich musste mich daher mit der folgenden Methode begnügen:

Ich stellte sämtliche Einzelgeschwindigkeitsmessungen Bazin's zu einer übersichtlichen Tafel zusammen, die rauhen Gerinne neben die glatten, um durch direkten Vergleich zu finden, ob die Form des Profils auf die Ver-

Y

hältniszahl — einen Einfluss ausübe.

F—<

VI

os

PP

-=

13

ri

■H

©

•P«*

O*

ŁH

rs

es

Quadern

Querlatten

Kies

Bretter

Cement

o>

-g

Ol

Grob

Klein

Steil

trapez

Weit

Eng

3[oa

-^qoa^

5*

CL.

<t>

75

99

61 I 63 !    64

SI9JL5J tH

-qi«H ^

5J09    CO

-mo9)I    °

siaa^qiBH 5

^oai8J(j ^

Trapez

Rechteck

58    59    60    53    67    54    68    69

sïaj5iqiBH

sxa^qiBH

ÖÖ

öT

<1

CO

'S

I—*■

s

1,301    1,206

1,379 II 1,253

1,270 ! 1,268 1,322

1,223

1,340    1,227

1,229 1,204 1,224 1,260 1,230 j| 1,362 | 1,293 | 1,401 || 1,231 j 1,263 | 1,378 1,175 1,246 1,249 1,231 1,196 1,246 1,257 1,203 1,212

1,293

1,306 I 1,275

1,227

1,260

1,227

1,229 1,181

1,222

1,229 1,197 1,272 1,243 j 1,211 |i 1,362 1,249 I 1,401 1,271 | 1,268 1,350

1,214

1,255

1,220 1,183 1,213 1,200 1,170 1,245 1,229 1,205 1,191 1,197 1,202 1,214 1,170 1,123 1,243 1,191 1,170 1,145 1,191

1,236 1,195

Mittel: 1,229 1,235 1,172 1,218 ! 1,207 ! 1,187 1,245

Eine Vergleichung obiger Durchschnittsgrössen (Mittelwerte) belehrt uns,

v

dass ein Einfluss der Profilform auf den Wert —, mit einer einzigen Ausnahme, ebenfalls nicht zu erkennen ist. Für Bretter wenigstens zeichnen sich die an den Reihen 73 und 70 gefundenen Werte in keiner Weise von den an den rechtwinkligen Gerinnen gefundenen aus, ebensowenig differieren die Werte für Cement, Reihen Nr. 55 und 71; ein solcher Einfluss des Profils macht sich einzig für die höheren Rauhigkeitsgrade (Reihe 56 und 74) bemerkbar. Ob aber wirklich ein solcher allgemein stattfindet und von welchen Dimensionen des Querschnittes derselbe abhängt, kann aus diesen zwei einzigen Beispielen nicht gefolgert werden.

zu dem Rauhigkeitsgrade, ausgedrückt durch

den Geschwindigkeitskoeffizienten k, und fand einen solchen, höchst einfachen Ausdruck, der für alle rechtwinkligen Kanäle genau, für die übrigen Profilformen wenigstens annähernd gilt.

Dies geschah nach folgender Tabelle:

Dagegen suchte ich nun nach der Form der unzweifelhaft bestehenden Beziehung des Verhältnisses

Material

4___

l/k

4___

(Mittel) 1,212 1,226 1,227 1,305 1,401

Querlatten, eng 1,269 „ weit 1,345

0,825

0,815

0,815

0,766

0,714

0,787

0,743

Cement

Bretter

Quadern

Kleinkies

Grobkies

13,7    1,924    0,4290

< H 05 t'’ 05

H 7    1,850    0,4410

1 6    1,844    0,4425

7    1,765    0,4346

6    1,660    0,4300

7    1,765    0,4460

5    1,653    0,4518

y

Der Quotient —ist also konstant, nur um 5°/o variierend, cyk

Setzen wir ihn gleich n, so haben wir

wo n im Mittel der 5 ersteren, in der Praxis vorkommenden Kategorien gleich ist 0,4354.

3__

Ersetzen wir k durch

V-Ï

. j v n    «/—

, so wird — = y₂ y m —

c y 2

0,4354 •

im-'

= 0,4107 i/m.

Weitere Versuche, ebenso sorgfältig an ebenso langen förmigen Kanälen wie die Bazin’sehen angestellt, würden die Frage, ob bei

halbkreis-

ge

messen

be-

rechnet

a/l

f

]/Ql

QI

lUA

Jahr

Gewässer

BeziehuDg des Verhältnisses-^ zur Rauhigkeit.

111

0,601

0,469

0,528

0,605

0,621

0,787

0,685

0,415

0,734

0,597

0,643

0,677

0,655

0,716

0,621

0,531

8,02

1,138

0,0514

0,0001374

0,362

0,020801

0,000475

0,289

0,238

1,675

1901

Medelser Rhein, St. Gion .

•J

3,53

0,987

0,0925

0,000791

0,331

0,05778

0,006816

0,116

0,184

0,95

1901

Bach der Val Plattas, Cu-raglia .......

2.

4,86

5,81

5,11

7,30

4,14

2,21

1,767

1,842

1,811

1,250

1.836

0,967

0,1502

0,003387

0,413

0,04054

0,000850

3,984

0,290

9,75

1898

Vorderrhein, Tavanasa .    .

3.

0,2553

0,01673

0,805

0,03958

0,002950

5,670

0,192

11,50

1898

Vorderrhein, Ilauz .    .

4.

0,2630

0,01835

0,742

0,03147

0,004910

3,740

0,235

10,75

1899

Glenner, Ilanz.    .    .

5.

0,0576

0,3070

0,1147

SE6J000‘0

0,336

0,02612

0,000150

1,282

0,782

2,44

1897

Sägekanal, Reichenau .    .

6.

0,0290

0,693

0,051869

0,003077

9,426

0,596

11,40

1901

Vorderrhein, Reichenau

7.

0,001514

0,263

0,10277

0,017813

0,085

0,184

0,875

1901

Bach des Schleuiser Tobels bei Schleuis.....

Die Messungen geschahen durch das Schweiz. Hydrometr. Bureau. Weiteres Material zum Vergleiche s. unter § 20.

*8

y

rauhen Kanälen das Verhältnis gültig entscheiden; in glatten Kanälen muss sie entschieden verneint werden. In geschiebeführenden Flüssen darf für das Verhältnis

wirklich von der Profilform abhange, end

-, nach obiger Formel

berechnet, keine grosse Genauigkeit verlangt werden, da hier die maximale Geschwindigkeit c allzusehr von Zufälligkeiten im Flussbett abhängt.

Immerhin zeigt die vorstehende Zusammenstellung ein bemerkenswertes, ziemlich paralleles Steigen und Fallen der beiden, einmal aus den Messungen,

v    K )—

das andere Mal aus der Formel — = 0,435 y k berechneten Verhältnisse.

§ 32. Nach dieser einleitenden Untersuchung des Verhältnisses —

c

folgt nun eine Tabelle, welche sowohl die Vertikalkurven des Stromstriches, wie auch die Horizontalkurven des Wasserspiegels einiger Bazin’scher Gerinne von verschiedener Breite enthält und sie in Vergleichung stellt mit meinem Parabelgesetz, sowie auch mit der Bazin’sehen Vertikal-Parabel. Wie im Bazin’schen Werke, ist auch hier (mit Ausnahme von Reihe 58₂)

S3 j >

statt u die Verhältniszahl

angegeben. In den meisten Versuchsreihen

wurden nur die niedersten Wasserstände zum Vergleiche benutzt, weil mein Parabelgesetz auch nur da Anspruch auf Gültigkeit macht. Einzig in Reihe 67 wurden auch die höheren Wasserstände berücksichtigt.

Horizontalkurve

Vertikalkurve des Stromstrichs

des

Sh*

Gerinne

Nach Bazin

Nach Christen

Wasserspiegels

t*

u'

c'—u'

c'-u'

u'

t²

u' 8 _ b

Vh

yb u'

u/

l/b

1. Glatte Gerinne.

60! Rechteck. Bretter. 0,18 0,030 0,0009 1,170    0    —

Vm = 2,297;    0,18 0,090 0,0081 1,111 0,059 7,29

H = 0,180.    0,18 0,140 0,0196 0,973 0,197 10,05

I = 8,39 °/oo.

©~ ©~ cT

o' © o'

CO

OrHCO

O* T—I t>»

oo o co

^ IO

0,991 0,998 1,170 0,791 0,970 1,177 0,391 0,889 1,165 0,091 0,741 0,739 0,024 0,628 0,790

CO

-<i

■H CÛ CO CO 03 CM

59₃ Rechteck, Bretter. 0,20 0,03110,00096 Vm = 2,051 ;    0,20 0,111 0,01232

H = 0,201.    0,20 0,171 0,02924

I = 5,9 °/oo.

1,191    0

1,099 0,092 0,932 0,259

•H (M ^

O (M -f 00 C^ CO

O o'© © © © o* © co

'Ti © ©

o' o' o 00 © TjH 05

oT an

1,191 1,49 1,099 1,52 0,932 1,45

CO CO CO CO L-O 05 05 05 ri

o^cooo ©~ o' o' o'

0,999 1,191 1,192 0,972 1,187 1,221 0,890 1,160 1,303 0,743 0,966 1,300 0,601 0.839 1,396

r.s

Gerinne

Vertikalkurve des Stromstrichs

Horizontalkurve

des

Nach Bazin

Nach Christen

Wasserspiegels

t²

u'

c'-u'

c'-u'

u'

t*

]/h

u' 8    b

yir

fb u'

u'

l/b

Rechteck, Bretter. 0,22 0,035 0,00122 0,135 0,01822 0,185 0,03422

Vm — 0,953. H = 0,215.

I = 1,5 °loo.

lOOCM lO h IO

■H o 00

0,145 7,958 0,303 8,854

ppp

"o *0 P co oo oo OOO

ppp ci ba bo ^ oo o

Ol O -O

030H

Ul Ul

to

O OI

00 O O 00 H CD H Ol GO CO 00 -H CO CM

pppp oo c- co o' o' o o o o~ o co co co co co

00 00 00 OO 00 00 CM Cl^c- CO 1-1 o o^ cTclcT o' o' o" o'

i—I    i—(

CO 00 CM

^ co co

to Ol

© O H-1>• t-»-^ CO CO UI Ol

oi ^ co

• -0

00 Ol

O t>-

Oi

1,289

1,234

1,254

59₄ Rechteck, Bretter. 0,27 0,035 0,00122

0,135 0,01822 0,185 0,03422 0,235 0,05522

Vm = 2,318. H = 0,265.

I = 5,9 °/oo.

CD O H*- to rf* Cl ^ co O O CO Cl

co^oo co t>- co

00 C'- t- CD

o' o' o o' o o o o CO CO 00 co PPPP

o' o' cT o' CO CO o I O cd I ppp

IQ tcT lO CO CO CD o 05 N D v Op Cl

o' o o'

'co o M. to rf* Cl ^ 00 O O CO Cl

CO l> lO lO ^

0,993 0,999 1,236 1,237 0,793 0,972 1,224 1,259 0,393 0,890 1,122 1,261 0,093 0,743 0,974 1,311 0,017 0,601 0,849 1,412

67x Rechteck, Bretter. 0,28 0,030 0,0009 1,293    0    —

0,060 0,0036 1,141 0,152 4,222 0,080 0,0064 1,074 0,219 3,416

Vm = 1,084. H = 0,110.

I = 4,3 °/oo.

o o o oo io co o o o © © ©

ppp cibiVi ^ 00 CO

mooo

1,293

1,141

1,074

CM CD I> 00 lO Cl tO O H 00 00 00 p CD

o o" o" o o"

O O O O O O Ol CO N CO PPPP o' o' o' o' o

rH OO ^

N lO CD t^ CD CD

1,293 1,450 1,279 1,494 1,233 1,528 1,042 1,451 0,909 1,409

55₂ Rechteck, Cement. 0,30 0,030 0,0009 Vm = 2,509.

H = 0,269.

I = 4,9 °/oo.

0,107 0,0114 0,163 0,0266 0,219 0,0480

i—I i—I D— CM

O lO 00 Cl CM 1-1 O Cl

OOO

0(^0° CO o

co'lo'co I Cn 00 00 I rfs* ^

© © p © '©    b-*- tO

d © CI CO O CI tO CD

0,836 1,201 0,796 1,151 0,756 1,087 0,688 0,992

1,437 0,906 1,445 0,606 1,438,0,306 1,442 0,086 0,046

i—( lO CO i-i t>-O O CO CO ^ pCM pci Cl ^ t-T 1-T q" o'

00 D CO CD th

00 CO CD CO oo p p p p p

o o' o" o cT

oo to to to to cDcicnoo^-h m u» w ui

58₃ Rechteck, Bretter. 0,34 0,032 0.00102 1,197 Vmj = 1,248.

H = 0,332.

I = 1,5 °loo.

0,132 0,0174 1,127 0,232 0,0538 1,034 0,302 0,0912 0,877

CO Ol Ol I CM CM O I pO^p ^co~ CO O CO o

^ t CO CM

P P o' o o

o o o o

O O O CO CO CM rH o

o o © ©

O 00 o »o

CD h lO Tfi p p p cp

o' cT o cT

1,197

1,127

1,034

0,877

00 T-l 00 CO 'TH CI t^ 00 00 CM Ol Ol 00 pcD

o cT o o' o

O CD CO CO (M 00 00 00 00 CM Ol I> 00 0^ ©^

o o' o o' o

CM 00

Ol t>-p p

i—I t-T t-T i-T

CM O Ol CD CO CO

1,197 1,199 1,183 1,218 1,093 1,231 0,905 1,230 0,789 1,271

53 Rechteck, Bretter. 0,614 0,03 0,0009 Vm= 1,530.

H = 0,246.

I = 4,3 °/oo.

0,11 0,0121 0,17 0,0290 0,22 0,0485

CD Cl ^

CM N (M CO oo t^ r- cd o o o' o"

CD CD CD CD 1-1 CO t - CM p p p_ O^

o' o' c '

I ^ O I>

I lO CD CD

Ö O O

iO CO ^ ₀ CD t- CO °OiHW

o o o'

LO O CM 1-1 ^ CO N h

p

1-T th i-i o

1H O Cl

CD © M. ŁO I-*-    00

M- to O Ol

1,51

1,51

1,48

1,44

p p p p p OOb To W <1 CO CD O O O O O O o p p p p ci bo bo be

^KOOI0

O' 00 ^3 Cl to

to    CO    CD    Cl    CM

^    00    Cl    CM    O

CM    i-i    O    Cl    00

1,40

1,38

1,36

1,29

1,24

54 Rechteck, Bretter. 0,624 0,020 0,0004 Vm = 1,319.

H = 0,151.

I — 6,0 °/oo.

0,066 0,0043 0,132 0,0174

0,037

0,347

8,60

19,93

lO »O Cl

c- co

p p

o' o" cT

i-i iO Cl CO 00 1-1 1H o O

o o o

1,229

1,192

0,882

I—*■ h-L ł—L

ci Ol Ol to CD

CD CO t- CM 1C COOlONO p p p p p

o" o' o*~ o' o'

© rf 00 CM 00

i>- O

p p p p ©^

o' o o o o"

ci c- o- Tf co

(MCOI>^l> CM i-i O Ci r-

C— tO CM T-I 00 ^ TjH rt¹ rft CM

t-H i—I i—( 1—1 1—i

672 Rechteck, Bretter. Vm = 1,689.

H = 0,384.

I = 4,3 °/oo.

CD

Cl

O ^ ^ CO ^ tO tO Pppp

o' o' o' o'

0,0009

0,0207

0,0645

0,1253

00 O to to tO 00 tO Cl Ui ^ <1 o OOO

CO CD iO CO CO rti

ppp Tabl'd i to ^ I

oo

to

CD

Cl

CM

O O O p 'O 'h-l "tO 'CO CO CO ^ cn O O O O O O O bi bj bo bo

^ CO üi

iO

CD CM 00 CM CM CM O 00

O t>

CO ^ ^

- J O Cl to

CD ^ Cl 00

0,40 0,892 1,260 1,413 0,29 0,856 1,187 1,387 0,18 0,807 1,087 1,347 0,07 0,718 0,905 1,260 0,03 0,645 0,771 1,195

Gerinne

Yertikalkurve des Stromstrichs

Honzontalkurve

des

Nach Bazin

Nach Christen

Wasserspiegels

t²

u' c' - u'

c'-u'    _

¥ h

*•

/b

u'

u'

67₃ ; Rechteck, Bretter. 1,21 0,030 0,0009 || Vm = 1,860.

H = 0,486.

1 = 4,3 °/oo.

0,156 0,0243 0,256 0,0655 0,356 0,1267 0,456 0,2079

oo o K to to

cn    ^ to

-0,012 — 0,065 1,301 0,195 1,539 0,357 1,717

t> -H CO ^ lO O I> CO l> ^ 05 00 00 l> CD cT o' o' CD CD o o O KO co co

h^CO p O CD CD CD CD

O o co co

rH O

CM t>* t>* iO OHCOO^ CM CM th O 00

1,462 0,40 1,394 0,29 1,365 0,18 1,301 0,0.7 1,310 0,03

P P P P p ~05 V] 'oo 'bo 'bo ^ H o CJI 0 ot oo -O 05 to

1,202 1,347 1,155 1,349 1,075 1,332 0,950 1,323 0,872 1,350

2. Rauhe Gerinne.

63j

Rechteck, Querlatten, eng. Vm = 1,925.

H = 0,218.

I = 8,86 °/oo.

CD

to

to

ppp

►“‘■'N-'o

to CO

00 o o

0,0009

0,0144

0,0318

00 I> H

o co oo

pi-^05 i-h i-h O

0,131

0,287

00 00 o

00 05 TF HOO CD CD CD

I 05 CM

I OO^ oT CD

00 NH

o co oo

CM -H 05 h i-T o

rH 00 00 H ^ CÛ

oo t> co o o o'

1,56 0,976 0,996 1,268 1,27 1,52 0,576 0,933 1,240 1,33 1,47 0,376 0,785 1,169 1,49 0,076 0,724 0,882 1,22 0,032 0,650 0,770 1,19

61i

Rechteck, Querlatten, eng.

Vm - 0,643.

H = 0,160. 1=1,5 °/oo.

co

o o o co oo ^

H op^

o' o' o o o ©

CO 00 CM

P P 1-H

o' o*' cT

t—t—*- I—^

05 CO OO -dtOK

0,099

0,164

CD O O CO 00 rf HO O

o' o" o" o o o

CO GO ^ 1—^ O p o" o" o*'

0,774 1,231 0,730 1,132 0,672 1,067

ot ot Ot

co ot co

0,980 0,996 1,231 1,24 0,580 0,934 1,203 1,29 0,180 0,882 1,056 1,20 0,080 0,730 0,961 1,32 0,036 0,660 0,784 1,19

61₂

Rechteck, Bretter mit Querlatten, eng gestellt. Vm = 0,854.

H = 0,244.

0,25 0,041 0,00168 0,131 0,01718 0,204 0,0416

O 05 00 !>- lO 05 pi-H^p t-T t-T cT

0,111

0,161

O -rH Tf CM rH O

o' o' o I co t-

I

co co

::

O 05 00 I - IC5 05

ppp

OtHOO

cm co co 00 t> co^

o o" o

V ot ot CO to ot

0,980 0,997 1,270 1,28 0,580 0,93511,238 1,32 0,180 0,807 0,968 1,20 0,080 0,723 0,905 1,25 0,036 0,660 0,795 1,20

66j Rechteck mit weiten Querlatten. Vm = 1,464.

H = 0,288. 1=-----

0,30 0,058 0,00336 0,158 0,0250 0,258 0,0666

prr

0,1375 5,480 0,5127 7,687

o' o' cT

)0.

0,832 1,301 1,56 0,975 0,996 1,301 1,31 0,775 1,164 1,50 0,575 0,933 1,285 1,38 0,645 0,789|l,22 0,375 0,884 1,180 1,34 0,075 0,723 0,858 1,19 0,018 0,605 0,631 1,04

56 Rechteck, kleiner 0,43 0,050 0,0025 1,362 Kieq    0,148 0,0219 1,320

Vm = 1 714    0,264 0,0697 1,226

H = 0,394.    0,344 0,1183 1,034

I = 4,9 e/oo.

CD o CD 'Ôo'm-'o LO CO ^ o OO 05 to

LO i-*- I—*■

Vi'co'co i •KI Ot I—*• I CC >—00 JD O CD CD 'o 'N 'to 'co ot CO rfn ^ O O 05 ^ CD O CD p "*05 Vl 'co 'co oo co -a 00    0    ot

1,362

1,320

1,226

1,034

Ot Ot Ot Ot O 00 KI 05

pppTp CD CD O O 1-* 05 05 'o Û0 t-n- i-⁴- M>■ i-*-05 05 05 05 05 05 O O O CD p CD *05 Vl Vl 'oo 'ćo "ćo 00 W O O ^ 00 ‘-¹- 05    05

1,362 1,377 1,224 1,301 1,085 1,253 0,921 1,205 0,849 1,153 0,758 1,113

57 Rechteck, gröberer Kies.

m = 1,471.

= 0,452.

0,49

0 co oo o

OfcHN^

cT cT CD CD

tO *<1

0,0025

0,0174

0,0810

0,1640

1—I i—I -rH O¹

th t-h co In

O © t>* tH rtH (M 05

0,125

0,359

1,54

2,19

rH 1—1 CO O* O O t>- i-i p p p p 1—1 1—I 1-H O

CM >Q O t'-05 lO O 00

OO^ p oa p o' CD CD CD CM lO 00 o O CO CO IG Tłt p-rH

o o' o' o

l>- rr 05 rjt

O CO lO co

0,930 0,990 1,401 1,42 0,630 0,943 1,247 1,32 0,330 0,871 1,089 1,25 0,130 0,775 0.900 1,29 0,090 0,740,0,829 1,12

64

Rechteck mit weiten Querlatten. Vm = 0,856.

H = 0,487. 1—1,5 °/oo.

0,50 0,057 0,00325 0,157 0,0247 0,257 0,0661 0,357 0,1277 0,457 0,2088

05 00 05 -H lO io t> O 05 CD 00 CO CO -H co

-0,019

0,050

0,168

0,494

•IOKO co co Vi i i

LO 05 I I

© O CD CD CD 'ol-^'to'co'rf^ co co co co co o o o o o

0,645 0,865 1,34

O CD CD CD CD to oo oo oo oo

05 O O O O CD&CDCDCD

'o 'oo 'co 'ćo

COIOO^CD to CO KI cc <1 O CD O ^

'C5 *00 'ĆO 'Î-*. "co ^ to O Ot co

1,36

1,30

1,17

1,16

1,07

§ 33. Bei aufmerksamer Betrachtung dieser Zusammenstellungen gelangen wir nun zu folgenden Resultaten:

A. Die Vertikalkurve des Stromstriches.

a) Glatte Gerinne.

In den Versuchen Nr. 60x, 59₃ , 58₂, 59₄, 67₄, 55₂, 58₃, 53 und 54, d. h.

= 0,62 finden wir nun eine sehr schöne Über-

bis zu einem Verhältnis

td

einstimmung der Geschwindigkeitskurve mit meiner Parabel 8. Ordnung. Die

beträgt in Reihe 54 bloss 11 °/o, auch

u/

Maximaldifferenz der Quotienten

l/h

= 1,21 stimmt noch mit einem Maximalfehler von

Reihe 67₃, mit einem

11%. In den Reihen 60, 59, 55 und 58 beträgt der Maximalfehler nicht einmal 5°/o. Wir sehen auch, dass meine Formel durchgehends viel besser mit den Messungen übereinstimmt als die von Bazin und dass gerade in den Fällen, wo letztere noch befriedigende Resultate auf weist, die Parabel 8. Ordnung noch besser und besonders schön mit den Geschwindigkeiten • zusammenfällt.

über 0,65, findet

H

Auch in den relativ höheren Wasserständen, mit

noch eine bedeutende Ähnlichkeit mit meiner Parabel statt, wo die Bazin-sche Kurve längst nicht mehr befriedigt.

b) Rauhe Gerinne.

Hier stimmen die Versuche noch bis zu einem Verhältnisse

sauber, d. h. mit einer Maximaldifferenz von unter 5°/o, überein. Darüber hinaus ist das Stimmen ein unregelmässiges, nicht mehr vollkommen befriedigendes und es kommen hier Differenzen bis zu 20°/o vor.

Wir können somit den Satz aufstellen:

Die Vertikalkurve des Stromstriches rechtwinkliger, glatter und rauher

Gerinne von verhältnismässig niederem Wasserstande (bis zu etwa

ist eine Parabel 8. Ordnung und zwar eine um so genauere, je niedriger der Wasserstand ist.

Von welchen Faktoren hängt nun der Quotient

u/

8__

tc Ed

= 0,25

0,62)

in diesem Spezial-

falle ab?

Auch darüber erhalten wir befriedigende Auskunft, wenn wir die nach-stehenden Rechnungsergebnisse betrachten :

8*

Gerinne

u'

8__

-<CD

u/

fh

im Mittel

60,

1,48

59g

1,49

58.

1,45

54₄

1,47

67,

1,70

55₂

58g

53

54

67₂

67g

0,180

0,201

0,215

0,265

0,110

0,269

0,332

0,246

0,151

0,384

0,486

11*

Umgerechnet mittelst -— ==

Vh

Mittel: 1,228

In unzweideutiger Weise ergibt sich, dass

8 _

Da nun u/=-U-, so ist u = Vm

Also ist

u* "j/-jj- = konstant = 1,228.

8 _

1,228 ym]/^= 1,228 m

hH

W!

c = 1,228 vm

— =1,228. vm

Diese Grösse u' ~j/~- repräsentiert also einfach das Verhältnis ßeciproke = 0,814.

Wir haben somit auch: u =

und

, dessen

8__

c]/h

Fassen wir nun auch in gleicher Weise die rauhen Gerinne ins Auge:

Gerinne

u'

yH

u'

»HM

im Mittel

61i

61,

66₄

64

0,218

0,160

0,244

0,288

0,487

0,394

0,452

0,827

0,795

0,831

0,856

0,914

0,890

0,905

1,256

1,255

1,262

1,308

1,415

1,396

1,446

i) Die abnormen Werte wurden weggelassen.

Als Mittelwerte für die verschiedenen Rauhigkeitsgrade finden wir für

Jetzt Früher, für

1.    Kies, klein

2.    „ grob

3.    Querlatten, eng weit

Wir finden sonach auch hier eine sehr schöne Bestätigung der oben abgeleiteten Formel

4.

1,396

1,446

1,258

1,361

1,305

1,401

1,269

1,345

••Vb

und es heisst nun die ganz allgemeine Gleichung für die Geschwindigkeit im Stromstrich breiter, rechtwinkliger Gerinne

(fr-n

und da nach Seite 110:

, so ist

2,434

«_____

AI 1/B

Vm

0,411 V m 0,4354 l/R

yn]/ßA-.

y 2 l/k⁵

0,4354

Die Geschwindigkeiten im Stromstrich ganz nahe der Sohle hat Du-buat (2) unter anderem auch an seinem 0,467 m breiten Bretterkanal gemessen. Es geschah dies mittelst Kugeln und Johannisbeeren von l¹/2—2 Linien Durchmesser. Es entspricht dies einer mittleren Entfernung h von der Wandung von 0,38 cm.

Es wurde nun an der Hand dieser, für so nahe Distanzen einzigen

(v)v* Virgeprüft-

8 _

Versuche, in nachstehender Tabelle die Formel u ■=

- - wurde wie im Bazin’sehen Bretterkanale zu 1,228 angenommen. Die 8. Wurzel aus 0,0038 ist 0,4977.

Bezeichnung

Gerinne

t/H

berechnet

nach

gemessen

von

Dubuat

Du bu at, Bretterkanal

0,548 0,05418 0,6941 0,766 0,1353    0,7784

0,249 0,05536 0,6962 0,328 0,08130 0,7305 0,384 0,1195    0,7670

0,421 0,1612    0,7956

0,124 0,1183    0,7658

0,483

0,602

0,219

0,275

0,306

0,324

0,099

0,453

0,673

0,156

0,232

0,267

0,278

0,055

Wenn man bedenkt, wie sehr die Geschwindigkeiten bei solcher Nähe der immer etwas ungleichmässigen Wandungen schwanken müssen, wie ungleich die Durchmesser der verwendeten Kugeln waren, dass ferner die Reibung der letzteren an der Sohle auf die Geschwindigkeit bedeutend einwirken musste, so muss man die oben an den Tag tretende Genauigkeit der Übereinstimmung der berechneten und der wirklich gemessenen Sohlengeschwindigkeiten mindestens als eine befriedigende bezeichnen.

In breiten rechtwinkligen Kanälen und jedenfalls auch in solchen von Trapezform, aber mit steilen Wandungen, können wir nun an der Hand der obigen Formel genau bestimmen:

1. Die mittlere Geschwindigkeit des ganzen Profils aus der Maximalgeschwindigkeit. Letztere ist freilich nicht nur an der Oberfläche zu bestimmen, wenigstens nicht in Kanälen von einiger Tiefe.

Ferner ist zur Lösung dieser Aufgabe noch die Kenntnis des Geschwin-digkei tskoef fizien ten erf ord erlich.

Es ist dann vm

(-)

Vvm/

-, wo

Vm

4___

0,435 ]/ k

, und k den Geschwindig-

keitskoeffizienteii nach Q bedeutet.

2. Die Geschwindigkeitskurve des Stromstriches, abzuleiten aus der Maximalgeschwindigkeit. Hierzu genügt die Formel

cVh

so lange c sich an der Oberfläche befindet.

3. Die mittlere Geschwindigkeit aus einer einzigen Messung.

Wir können nämlich mit Hülfe der letzteren Formel den Ort der mittleren Geschwindigkeit bestimmen, sofern die Kurve eine Parabel darstellt:

8

wo in diesem Falle h die Höhe

Setzen wir u = vm, so wird — = ]/ ~

c r H

dieses Ortes über der Sohle bedeutet; es ist dann:

und da

= 0,4354 . ]/k, so ist Ł = 0,001292 k². H.

8*

Ist z. B. k = 10 (ungehobelte Bretter), so ist h = 0,129 H = ca. —

Ist dagegen k = 13,5 (Cement), so ist h = 0,235 H = ca. —.

Diese Formel stimmt sehr gut mit der Beobachtung überein, dass mit dem Wachsen der Rauhigkeit der Ort der maximalen Geschwindigkeit in die Tiefe sinkt. Der Ort der mittleren Geschwindigkeit liegt, wie wir bei den Röhren gesehen haben, dort bei 0,240 H. In sehr glatten, breiten und rechtwinkligen Kanälen befindet sich somit der Ort der mittleren Geschwindigkeit des ganzen Profils in der gleichen Wanddistanz wie in den Röhren.

1Î. Die Horizontalkurve des Wasserspiegels.

§ 34. Für diese finden bei den Versuchen der vorstehenden Tabelle meist nur gewisse Annäherungen an die Parabel statt, da hier vorzugsweise solche Kanäle untersucht wurden, welche ihrer Breite halber eine gute Übereinstimmung mit der Geschwindigkeitsparabel zeigen mussten.

Immerhin stimmen schon bei Versuch Nr. 67₃ und 58₃ mit einem ^ = 1,21 und 0,34 die einzelnen

u'

mit einer Maximaldifferenz von bloss 1,4

l/b

bis 1,5 °/o untereinander und es beträgt letztere im Maximum sämtlicher 18 Versuche bei Reihe 66x 28°/o, im Durchschnitt etwa 9°/o.

Es zeigt sich deutlich, dass diese Kurve sich umsomehr der Parabel nähert, je höher der Wasserstand, je weniger der Wasserspiegel unter dem Einfluss der Sohle steht.

Der Verfasser hat nun im Winter 1901/02 und im Frühjahr 1902 verschiedene Geschwindigkeitsmessungen an relativ sehr tiefen Kanälen gemacht, welche zwar an der schon früher (§ 16) erwähnten Unvollkommenheit litten, dass die gleichförmige Bewegung noch nicht in vollem Mass eingetreten war, was aus den welligen Erhebungen der Oberfläche hervorging.

Nichtsdestoweniger bieten diese Versuche ein wesentliches Interesse, da sie einerseits wohl die einzigen, in der Literatur über solche Kanäle erhältlichen darstellen und in allen übrigen Teilen wohl gelungen sind. Wie wir sehen, sind die Horizontalkurven hier wirklich durchgehends ziemlich bis sehr genaue Parabeln 8. Ordnung. Diese Versuche sollen daher hier ebenfalls beigegeben werden.

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CD iO 00 rH tH O 00

0,515

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0,040

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0,0545 0,0511

0,10500,051

0,0605 0,051

Gerinne

1. Mühleport.

3. XI. 1901. Vm=r 0,918.

0,819.

2. Mühleport.

10. XI. 1901. Vm = 1,146.

0,939.

3. Mühleport.

10. XI. 1901.

1,167.

0,870.

4. Mühleport.

10. XI. 1901. Vm = 1,161.

— = 0,936. c

1/b

Oberfläche

Oberfläche

oo^

rO

Strom strich

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Stromstrich

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2g

Manometerstände

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0,0860

sn

2g

Manometerstand

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0,0100₍0,0055 0,00022 0,0100 0,0055 0,00022^0,0100 0,0055|0,00022    j y b

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0,0400,010

Gerinne

5. Mühleport.

10. XI. 1900.

y == 0,800

0,869

Gerinne

6. Zyssets Gerbe 15. XII. 1901 v = 0,333

0,679

7. Zyssets Gerbe. 15. XII. 1901. v = 0,450.

— = 0,763

Aus diesen Versuchen geht nun deutlich hervor, dass die horizontale Geschwindigkeitskurve am Wasserspiegel eine Parabel 8. Ordnung ist, sobald sie dem Einfluss der Sohle einigermassen entrückt bleibt. Die Ausnahmen, welche die Messungen am zunächst der Wandung gelegenen Punkt in den Versuchen Nr. 1 und 4 machen, dürfen nicht in Betracht gezogen werden, da in solcher Nähe von 1mm jede genaue Messung unmöglich wird und zudem hier die Geschwindigkeit ausserordentlich von kleinen Unebenheiten der Wandungen abhängt.

Es ist mir aber nicht gelungen, eine einfache Beziehung zwischen dem konstanten Quotienten —— und den Dimensionen des Querprofils und der mittleren Geschwindigkeit zu finden, vielleicht, weil die hier benützten Kanäle noch zu wenig tief sind, vielleicht auch der schon erwähnten Unvollkommenheiten halber.

Einiges Interesse bieten auch die Vertikalkurven dieser Kanäle. Wir sehen hier, wie in dem Kanal Nr. 3, von quadratförmigem Querschnitt, der Ort der maximalen Geschwindigkeit bis genau in die halbe Tiefe hinuntersinkt, dass aber auch in diesen relativ sehr hohen Gerinnen die vertikale Geschwindigkeitskurve des Stromstrichs sich noch bedeutend der Parabel 8. Ordnung nähert. Auffällig ist hier ferner, dass die seitlichen Vertikal-Ge-schwindigkeitskurven fast gerade Linien sind, mit einer schroffen Rückbiegung am Grunde.

Aus allen vorstehenden Untersuchungen über die sog. Geschwindigkeitskurven ziehen wir folgenden Schluss:

OhneEinfluss der Seit enwandungen ist die Vertikalkurve des Stromstrichs, ohne Beeinträchtigung durch die Sohle die Horizontalkurve des Wasserspiegels, eine genaue Parabel des 8. Grades, mit dem Scheitel an der Wandung.

§ 35. Nachdem dieses konstatiert war, verglich ich diese Kurve auch mit den Geschwindigkeitskurven einiger natürlicher Wasserläufe.

Da die Horizontalkurven des Wasserspiegels bedeutend von der Normalparabel ab weichen, so wurden in nachstehendem nur die Vertikalkurven des Strom strichs angeführt.

yh

Vh

1. Elbe bei Altengamm

0,30

0,40

1,40

2,40

3,40

4,40

0,859

0,892

1,043

1,116

1,165

1,203

0,95

0,95

0,75

1,03

1,03

1,33

1,106

1,067

0,719

0,922

0,883

1,105

8__

yh

5,40

yh

1,235

1,261

1,284

1,305

1,323

0,840

1,006

1,328

1,284

1,302

1,278

1,262

0,952

1,203

1,447

1,64

1,62

1,67

1,67

1,67

0,80

1,21

1,60

6,40

7,40

8.40

9.40

2. Elbe bei Herrn skrę tschen. 0,25 Vertikale V    ,05

tsS

1,107

1,145

0,840

0,928

1,006

1,056

1,094

1,124

0,749

0,877

0,928

0,948

0,966

0,818

1,023

1,57

1,371

3. Leine bei Hannover Vertikale 17

0,423

0,530

0,558

0,600

0,600

0,600

0,962

1,195

1,245

1,308

1,363

1,505

2,138

2,636

0,570

0,571

0,527

0,568

0,548

0,534

1,284

1,363

1,341

1,379

1,412

1,838

2,088

2,338

2,95 0,25 0,55 1,05

1.55 2,05

4. Eger

Vertikale 6

5. ßhein bei Basel Vertikale 9.

1,127

2.55 0,25 0,35 0,55 0,66 0,76 0,20 1,20 2,60

Diese wenigen Beispiele dürften genügen, um zu zeigen, dass sich die Geschwindigkeitskurve der Vertikalebene im Stromstrich natürlicher Flussläufe bedeutend einer Parabel der 8. Ordnung nähert.

Es ist dies leicht aus dem Verhalten rechtwinkliger Gerinnen zu erklären. In breiten Flussläufen, wo der Einfluss der Seitenwandungen auf die Geschwindigkeit ein geringer ist, finden wir die Normalparabel in der Vertikalen des Stromstrichs; dagegen haben die Horizontalkurven nur eine meist ganz verzerrte Ähnlichkeit mit derselben. Es ist klar, dass für die Form der letzteren die Ausbildung des Querprofils der massgebende Faktor ist.

Obige Beispiele liessen sich bedeutend vermehren; es wäre aber vergebliches Bemühen, aus einer grossen Zahl von Messungen beweisen zu wollen, dass das gefundene Parabelgesetz in solchen Flussläufen mit grosser mathematischer Genauigkeit anzuwenden sei. Gegenteils hat Jasmünd (95, 96) eine grössere Ähnlichkeit mit der logarithmischen Kurve nachgewiesen.

So beweglich und scheinbar regellos auch die Einzelgeschwindigkeiten sind, so gesetzmässig tritt dagegen die mittlere Geschwindigkeit auf. Das

v = l/2 k³ y tI ]/ B

sind allgemeinster Natur.

Die Vertikalkurven ausserhalb des Stromstriches haben eine verschiedene Gestalt. In der Nähe des letzteren ähneln sie noch deutlich der Normalparabel, mit der grössten Geschwindigkeit am Wasserspiegel. Je mehr man sich jedoch den Ufern nähert, desto tiefer sinkt der Ort der maximalen Geschwindigkeit und es biegt die Kurve auch oben nach rückwärts um.

Aus den Horizontalgeschwindigkeitskurven (s. Fig. 6) sehen wir, dass die relative Bewegung der Wasserteilchen an der Oberfläche in horizontaler Richtung grösser ist, als in den tieferen Schichten. Die Wasserspiegel-Kurve läuft spitzer zu, ist schlanker, als die Kurven der Tiefe.

§ 36. Der vorliegende experimentelle Nachweis, dass unter den einfachsten Verhältnissen die Geschwindigkeitskurve eine Parabel des 8. Grades sei, ist mit grösster Schärfe gelungen an den kreisförmigen Röhren, den glatten, halbkreisförmigen Röhren, sowie für den Stromstrich sehr breiter, rechtwinkliger Kanäle; mit noch vollkommen befriedigender Übereinstimmung gefunden in den Achsen-Ebenen rechtwinkliger Kanäle und am Wasserspiegel relativ sehr hoher rechtwinkliger Kanäle und schliesslich mit noch ziemlicher Annäherung an der mittleren Vertikalen natürlicher Flussläufe.

In den kreisförmigen Röhren und halbkreisförmigen Kanälen lässt sich aus den Einzelgeschwindigkeiten mittelst Integration über die ganze Querschnittsfläche eine Formel ableiten für die mittlere Geschwindigkeit. Diese letztere hinwiederum lässt sich um wandeln in eine Formel für die mittlere Geschwindigkeit, ausgedrückt durch das Durchflussquantum, das Gefälle und die grösste Dimension des Querschnitts. Letztere Beziehung nun ist gültig für alle offenen und geschlossenen Profile, ganz aussergewöhnlich komplizierte Formen vielleicht ausgenommen.

Darauf gestützt, sowie mit Rücksicht auf die grosse Genauigkeit und Einfachheit der Formeln, dürfen wir die gefundenen Relationen als ein Naturgesetz für die krummläufige Bewegung bezeichnen und solches folgendermassen endgültig zusammenfassen :

1. In jedem beliebigen Gerinne von gleichmässigem Querschnitt, d. h. von Prisma- oder Cylinder-Form, ist die bewegende Kraftkomponente QI der sekundlichen Wassermenge proportional dem Produkt aus der dritten Potenz

des

Gesetz v =

k s_

₄- y QI und die daraus abgeleitete Form

VB

der mittleren Geschwindigkeit und der Potenz grössten Querschnittsdurchmessers.

2. Die Geschwindigkeit der Translation wächst in einem solchen Wasserkörper von der Wandung des Gerinnes aus nach dem Gesetze einer Parabel 8. Ordnung, so lange sich nicht von der Seite her der Einfluss einer anderen benachbarten Wandung geltend macht.

§ 37. Zum Schlüsse dieses Abschnittes über die Einzelgeschwindigkeiten sei hoch auf unsere Figurentafel hingewiesen, in welcher sowohl des Verfassers Versuche an rechtwinkligen Röhren, wie auch einige berechnete und gemessene Geschwindigkeitskurven verbildlicht sind.

Figur 3 zeigt uns die Geschwindigkeitskurven, gemessen in der mittleren

Vertikalen und am Wasserspiegel des Bazin’sehen Versuches Nr. 72₅ am

8 ___

halbkreisförmigen Kanal aus Brettern, sowie die nach der Formel u = c . "|/-g-berechnete theoretische Kurve.

Figur 4 stellt die wirkliche und die theoretische Geschwindigkeitskurve in Darcy’s Versuch 3, Serie 5, an der neuen gusseisernen Röhre von 50 cm Durchmesser dar.

Figur 5 endlich verbildlicht uns die Geschwindigkeitskurve in der Vertikalebene des Stromstrichs des am rechtwinkligen Gerinne aus Brettern ausgeführten Bazin’schen Versuchs Nr. 59₄, verglichen mit der Kurve der Formel 8_____

l/h

°V fl-

Figur 6 endlich zeigt den Verlauf der Horizontal-Geschwindigkeitskurve

am Wasserspiegel des Kanals Nr. 67₃, verglichen mit der theoretischen Kurve:

»V-B

8__

VI. Abschnitt.

Die kritische Geschwindigkeit.

§ 38. Diese Bezeichnung, von Reynolds (78, 79, 80) eingeführt, bezeichnet diejenige Geschwindigkeit, bei welcher der Übergang von der „gleitenden, viskosen“, geradlinigen Bewegung (steady, direct motion) in die „rollende“, krummlinige Bewegung (unsteady, sinuous motion) stattfindet.

Bei der erstgenannten Bewegungsart ist die Geschwindigkeitskurve eine Parabel 2. Ordnung, mit dem Scheitel an der Achse des Wassercylinders. Der Widerstand wächst hier mit der ersten Potenz der Geschwindigkeit.

Bei der „rollenden“ krummlinigen Bewegung dagegen ist die Geschwindigkeitskurve eine Parabel 8. Ordnung, mit dem Scheitel an der Wandung. Der Widerstand wächst bei ihr mit dem Quadrat der Geschwindigkeit.

Genau besehen, gibt es aber noch andere kritische Geschwindigkeiten.

Nehmen wir z. B. ein mit Wasser gefülltes Gefäss, in welchem eine konstante Druckhöhe herrscht, und lassen wir nacheinander das Wasser durch folgende Öffnungen strömen, so bieten sich folgende Erscheinungen dar:

1.    Öffnung in dünner Wand.

Hier findet bekanntlich starke Kontraktion des Wasserstrahls statt, weshalb der Ausfluss bloss 0,615—0,650, im Mittel etwa 0,62 des theoretischen, beträgt. Die Geschwindigkeit der Wasserfäden ist, abgesehen von der Verschiedenheit der Druckhöhen, im ganzen Wasserstrahl dieselbe, dagegen in der Nähe der Mündung konvergierend, dann divergierend. Ein Einfluss seitens der Reibung an den Kanten der Wandung macht sich hier also nicht fühlbar.

2.    Kurze Ansatzröhre.

Für diese gilt die Formel v = ^l/2gh, wo (.i meist in abnehmendem Sinne variiert mit dem Verhältnis der Länge der Röhre zu dem Durchmesser, jst die Röhre ganz kurz, so findet kein voller Ausfluss statt, sondern es macht sich derselbe ähnlich wie bei Öffnungen in dünner Wand. Ist sie länger, bei niedrigem Druck etwa das Dreifache des Durchmessers, so schmiegt sich das Wasser dagegen den Wandungen an und der Koeffizient (x steigt dann, nach Morin, bis auf ^ = 0,82 — 0,0038 (n — 2), wo n das Verhältnis

Länge

Durchmesser

der Röhre bedeutet. Nach den Versuchen von Dubuat (2) ist

hier die Geschwindigkeit in der Mitte des Strahls schon wesentlich grösser, als in der Nähe der Wandungen. Der Einfluss der letzteren macht sich also schon ziemlich weit in den Wasserkörper hinein fühlbar.

3.    Längeres Ansatzrohr.

Ist letzteres genügend lang, so wird bei einem gewissen Druckzustand bereits die Achse desselben durch die Reibung in Mitleidenschaft gezogen; dem Druck und der daraus resultierenden Geschwindigkeit wirkt die Reibung entgegen und das Gesetz des Ausflusses wird verändert.

Dieser Vorgang wird am besten durch folgenden einfachen Versuch (79) Reynolds’ illustriert.

Man führe mit einer Reissfeder einen Streifen gefärbten Wassers quer über die Oberfläche des Wassers eines gefüllten Bechers und drehe, ohne denselben zu erschüttern, das Glas um seine Achse. Wir sehen, dass das Innere der Flüssigkeit vorerst die Bewegung nicht mitmacht, sondern dass sich der äusserste Teil des Farbstreifens streckt und nur allmählich die Bewegung auch auf die inneren Schichten übertragen wird.

Gerade so verhält sich das Wasser in einer Röhre, nur ist hier das Wasser der durch äussere Kräfte bewegte, die Wandung der ruhende Teil,

q₂ = (R—h)² ji. u y ri y R.

Es ist also dann

17

2u 1/RI 8 Rh« 8 h⁸ . (R—h)²,]/R

17

Es muss also schon hier

die gegenseitige Beeinflussung ist aber dieselbe, einen kritischen Punkt geben, bei welchem der Einfluss der Wandungen die

Herrschaft über die Bewegung des ganzen Wasserkörpers gewinnt.

Reynolds fand nun in solchen längeren Röhren zwei kritische Ge-

schwindigkeiten : Die eine bei y —

, bei welcher das Gesetz des

278 T. D

Widerstandes wechselte; unterhalb derselben war derselbe proportional der Geschwindigkeit, oberhalb dagegen annähernd proportional dem Quadrat der

Geschwindigkeit ; die andere bei y =

wo ein durch die Achse der

43,79 T . D’

Röhre, gleichzeitig mit dem Wasser geleitetes Farbband begann, sich in Flocken und Wirbel aufzulösen, während es bei geringerer Geschwindigkeit in der ganzen Röhre ruhig blieb.

Die erstere, untere kritische Geschwindigkeit wurde an zwei Röhren von 16' Länge und */2 bezw. ¹/4 Zoll Durchmesser ermittelt. Die letztere, obere kritische Geschwindigkeit an drei Röhren von einer Länge von 5' und Durchmessern von 1, V2 und ¹//4 Zoll.

Nennen wir die erstere die kritische Geschwindigkeit des Widerstandes, die letztere der Flockenbildung.

Es geht nun ohne weiteres aus der Form der Parabel 8. Ordnung hervor, dass, wenn von den normal zu den Wandungen stehenden Wasserfäden nur der äusserste Teil dieser Parabel gemäss nach hinten abbiegt, bereits die ganze Durchflussmenge mit grosser Annäherung dem Gesetze der krummlinigen Bewegung folgt.

Setzen wir z. B. den Fall einer Röhre von R als Durchmesser, und die Geschwindigkeitskurve habe bis zu einer Entfernung von der Wand = h die Form einer Parabel 8. Ordnung, von da an bis zur Achse sei sie eine Gerade.

Wir haben dann für den Rand des Geschwindigkeitsparabeloids die

Wassermenge Q1 ⁼ J u "/RI • Vh . 2 (R—h) n d h = 2 n u ]/Rl

8 Rh ⁸

17

8 h«

17

und für den inneren Teil desselben:

R²

woraus hervorgeht, dass schon in diesem Falle v mit ]/I oder die Widerstandshöhe mit dem Quadrat der Geschwindigkeit variiert, während in der Achse des Wassers sich noch gar keine Störung des normalen Ausflusses zu zeigen braucht. Erst mit grösserem Druck uud entsprechender Geschwindigkeit wird die Bewegung im ganzen Wasserkörper eine „rollende“. — Wird nun ‘bei diesem starken Druck die Röhre verlängert, so nimmt die Geschwindigkeit wieder ab und zwar infolge vermehrter Reibung; am Rande bleibt die Bewegung eine „rollende“, scheinbar diskontinuierliche, gegen die Mitte

zu

du

wird aber so gering, dass dabei „gleitende“, d. h. stetige Bewegung stattfinden kann. Schliesslich kann, bei noch stärkerer Abnahme der Geschwindigkeit infolge Reibung, die ganze Bewegung eine geradlinige werden.

Wir haben also, wenn wir eine anfangs kurze Röhre unter genügend starkem Druck allmählich verlängern, der Reibe nach folgende Übergangsstadien :

1.    Der Einfluss der Wandung erstreckt sich nur auf die äusserste Schicht. Das Innere besitzt überall dieselbe Geschwindigkeit.

2.    Die „rollende“ Bewegung hat den ganzen Wasserkörper ergriffen. Ein in der Achse fliessendes Farbband wird in Flocken aufgelöst.

3.    Die rollende Bewegung findet nur noch in der äussersten Schicht statt; im Innern wird die Bewegung geradlinig; ein in der Achse befindliches Farbband bildet daher ebenfalls eine gerade Linie.

Zwischen diesem und dem früheren Stadium liegt die obere Reynolds-sche kritische Geschwindigkeit.

4.    Die geradlinige Bewegung hat von innen aus den ganzen Wasserkörper ergriffen; auch ein an beliebiger Stelle den Wasserkörper durchziehendes Farbband würde unverändert bleiben.

Zwischen diesem und dem früheren Stadium liegt die untere kritische Geschwindigkeit Reynolds’.

zum

Die Stadien 1 und 2 beobachten wir auch sehr klar an einem in ruhiges Wasser mit massigem Überdruck geleiteten, gefärbten Wasserstrahl. Diesen Fall hat v. Helmholtz (77) in seiner Abhandlung „Über diskontinuierliche Flüssigkeitsbewegungen“ theoretisch behandelt, aus welcher unter anderem auch hervorgeht, dass er sich den Übergang vom ruhenden strömenden Wasser durch eine Wirbelfläche vermittelt dachte. Den Versuch selbst hat in mehrfacher Weise Oberbeck (91) ausgeführt und abgebildet. Nach meinem Geschwindigkeitsgesetze wäre nun tatsächlich der Übergang vom ruhenden zum bewegten Wasser kein wirklich diskontinuierlicher, sondern ein nach der Parabel 8. Ordnung in stetiger Weise erfolgender.

ver-

In der unmittelbaren Nähe der Ausflussmündung wird der Übergang wohl nur durch eine Wirbelfläche vermittelt. Etwas weiter davon entfernt wird bereits der ganze äussere Teil des Wasserstrahls in wirbelnde Bewegung versetzt; hierdurch wird die Energie verzehrt, die Bewegung langsamt, bis zuletzt die ganze gefärbte Flüssigkeit sich in wirbelnder Bewegung befindet und die ganze Translation zum Stehen kommt.

Verfolgen wir nun an der Hand einiger Beispiele die Richtigkeit dieser Auffassung der beiden kritischen Geschwindigkeiten.

1. Darcy, Schmiedeeisen R = v' n. Christen = 46,85 l/RÎ. y R

0,0061.

v" n. roiseuille = 688350 R²I. T

t°

v"

0,00085

0,00184

0,00304

0,00533

0,00751

0,01650

0,02580

0,03472

0,04399

0,06264

0,08554

0,17862

0,34426

0,0388

0,0718

0,117

0,147

0,169

0,230

0,287

0,343

0,392

0,478

0,573

0,846

1,195

0,0563

0,0831

0,1068

0,1412

0,1677

0,2482

0,3103

0,3601

0,4060

0,4857

0,5657

0,8170

1,134

19

1,720    0,0374

1,849    0,0872

1,849    0,1440

22,5    1,871    0,2554

1,893    0,3538

22

22

23

27

22

22

22

Qi Qi Qi O¹

Das in dieser Berechnung für v' benutzte mr wurde aus den letzten 11 Messungen zu 46,85, im Mittel, bestimmt.

Wir sehen, dass ein völliges Ubereinstimmen der gemessenen Geschwindigkeiten mit der nach meiner Formel für die krummlinige Bewegung berechneten ungefähr von v = 0,08 an stattfindet.

Die untere kritische Geschwindigkeit Reynolds’ ist gleich

278.1,8.0,0122

= 0,16. Die obere dagegen ist gleich

- 1,041.

43,79.1,8.0,0122

In nachstehendem wird eine neue Formel zur Berechnung der unteren kritischen Geschwindigkeit abgeleitet zu

Ve

m;

6883501/ R³. T

und nach dieser berechnet sich vc zu

2195

= 0,0811, welches

688350.0,02183.1,8 Resultat mit der wirklich gefundenen kritischen Geschwindigkeit sehr schön übereinstimmt. Bei dieser Geschwindigkeit wechselt also die anzuwendende Formel; ein Auflösen eines in der Achse mit dem Wasser strömenden gefärbten Wasserstrahls würde aber nach Reynolds erst bei einer Geschwindigkeit von 1,041 stattfinden.

2. Darcy, Bleirohr, R— 0,0135.

v' n. Christen

___ 8_

0,00044

0,00300

0,00814

0,02268

0,05436

0,10500

0,14632

0,065

0,188

0,332

0,597

v" n. Poiseuille

= 64,9 ym. y r = 688350 r³ t . 1

t zu 10° angenommen 0,0750 0,510 1,387 3,866

1,021

0,0922

0,2408

0,3962

0,6623

1,024

1,424

9,26 17,79 24,94

Das mr wurde aus den letzten drei Messungen ermittelt zu 64,9. Die untere kritische Geschwindigkeit liegt in diesem Beispiel gemäss den Mess ungen ungefähr bei 0,70 m (zwischen 0,597 und 1,021). Nach meiner Formel läge sie bei 0,1136m, nach Reynolds bei 0,0981.

1,438

1,679

1,681

Die obere Reynolds’ ist erreicht bei v =

= 0,632.

43,79.1,359.0,027

Bei v = 0,065 passt noch die Poiseuill e’sche, bei v = 0,188 dagegen meine Formel besser. Der Übergang von der einen zur anderen Bewegungsart liegt somit zwischen den beiden Resultaten, entsprechend meiner und Reynolds’ kritischer Geschwindigkeit. Ein befriedigendes Übereinstimmen der Messungen mit meiner Formel findet aber erst statt ungefähr von 0,70 m an, d. h. der oberen kritischen Geschwindigkeit von Reynolds; dies offenbar, weil zwischen v —0,1136 und v = 0,70, genauer 0,632, noch nicht alle Wasser

fäden in „rollender“ Bewegung waren.

3. Darcy, fer étiré R = 0,01975.

0,00022

0,00078

0,00182

0,00336

0,00650

0,01286

0,02389

0,03123

0,04348

0,12315

0,17553

0,22408

Mittleres

mr

0,0626

der drei letzten

13

13

14

1,4750 1,4750 1,4750 1,4750 1,4750 1,4750 1,4750 1,4750 1,4750 1,5348 1,5151 1,4750 Versuche = 63,81.

v' nach Christen 0,0845 0,1532 0,2338 0,3178 0,4408 0,6216 0,8480 0,970 1,142 1,923 2,298 2,595

v" nach Poiseuille 0,0872 0,3090 0,7216 1,331 2,571 5,096 9,450 12,37

88,80

Die untere kritische Geschwindigkeit ist schon in diesem Beispiele noch tiefer als bei 0,0626, da schon von Anfang an die rollende Bewegung das

kleinere Resultat gibt. Nach meiner Formel liegt sie bei

4072

688350 . T. 0,05268

= 0,07616, nach Reynolds bei 0,0617. Die obere kritische Geschwindigkeit Reynolds’ befindet sich dagegen bei v = 0,3920. In der Tat fängt erst ungefähr bei dieser Geschwindigkeit die Formel für die rollende Bewegung an, ordentlich zu stimmen.

Es ist nun allerdings nicht ausgeschlossen, dass auch die Funktion von R in dem Ausdruck Reynolds’ für die obere kritische Geschwindigkeit,

vc =

43,79 T. R

kritischen Geschwindigkeit nur eine Näherungsform sei.

, nicht ganz genau, sondern ähnlich wie bei der unteren

Dieser allmähliche Übergang von einer Bewegungsart in die andere macht es auch verständlich, warum auch in Röhren die wirkliche Form der Geschwindigkeitskurve so lange nicht gefunden wurde.

In dem ganzen, ziemlich ausgedehnten Zwischenstadium von der unteren zur oberen kritischen Geschwindigkeit schwankt die Geschwindigkeitskurve zwischen der Parabel 8. Ordnung und einer solchen 2. Ordnung. Erst von der oberen kritischen Geschwindigkeit an aufwärts und der unteren kritischen Geschwindigkeit an abwärts können die Formeln genau mit den Messungen übereinstimmen. In der Tat findet sich in den meisten Versuchsreihen ein um so besseres Übereinstimmen meiner Formel mit den Geschwindigkeiten, je grösser die letzteren sind.

§ 39. Die untere kritische Geschwindigkeit selbst können wir nun mit Hülfe meiner Formel und derjenigen von Pois eu il le neu bestimmen. Sie liegt da, wo beide Formeln dieselbe Geschwindigkeit ergeben.

Wir haben nach Poiseuille für die geradläufige Bewegung v₂ = k R².1. T, wo, im Meter-Tonnen-System,

k = 688 350,

T die sog. Pois eu il le’sehe Zahl: 1 + 0,0337 t + 0,000221 1².

Meine Formel für die krummläufige Bewegung lautet Vj_ = mr Y RI . ]/R.

Wir haben sonach

v₂

k R²1T

k il J,

— R ⁸1² T.

Vl mr / RI. y R Wir können nun drei Fälle unterscheiden :

1. Wird = 1, so erhalten wir die untere kritische Geschwindigkeit.

mr

Vi

lBr

Vc =

Es ist dann Ie, das kritische Gefälle,

lllr

k²RV Tü

und die kritische Ge-

schwindigkeit

kR*T

2. Ist

V!

> 1, so ist I>

mr²

k² R jl T²

, also grösser als das kritische

Gefälle.

In Worte ausgedrückt heisst das:

Bei stärkerem als dem kritischen Gefälle, d. h. bei „rollender“ Bewegung, gibt die Poiseuille’sche Formel das grössere Resultat für die mittlere Geschwindigkeit.

3. Ist --²- < 1, so ist I <

m²

Vi

k²R ⁴ T²

Oder:

Bei kleinerem als dem kritischen Gefälle, d. h. bei der geradlinigen Bewegung, gibt meine Formel den grösseren Wert.

Diese Schlüsse lassen sich auch folgendermassen vereinigen:

Diejenige der beiden Formeln gibt für die mittlere Geschwindigkeit das richtige Resultat, welche für diese den kleineren Wert liefert.

Als allgemeines Prinzip für die Bewegung des Wassers in Röhren gewinnen wir folgenden Satz:

Das in einer Röhre strömende Wasser wählt diejenige der beiden Hauptbewegungsarten, welche die kleinere Geschwindigkeit, also den grösseren Widerstand ergibt.

§ 40. Gibt es nun auch für den offenen Kanal eine geradläufige Bewegung und eine kritische Geschwindigkeit?

Nach den Messungen an Strömen sehr geringer Neigung zu schliessen, muss diese Frage entschieden verneint werden. Auch in sehr seichten kleinen Kanälen, deren Wassertiefe den Kapillarverhältnissen entsprechen möchte, tritt statt der erwarteten geradläufigen Bewegung eine ganz unerwartete Erscheinung ein, die einer intermittierenden, pulsierenden Bewegung, wie sie sich in geringerem Grade in allen Gerinnen von nicht vollständig mathematischer Form (und zu diesen gehören alle bisher verwendeten) findet. Wollte der Verfasser an seinem künstlichen Holzkanal die Wassertiefe ausserordentlich herabsetzen, so bildeten sich stets Wellen in dem Kanal, welche einen sehr unregelmässigen Ausfluss verursachten, auch wenn der Wasserspiegel, welcher den Zufluss nährte, ganz ruhig war. Ähnliches beobachtet man auch sehr schön an der Grönbachschale bei Merligen am Thunersee, eines um etwa 10°/o geneigten Kanals von Trapezform mit sehr steilen Seiten Wandungen,

Allgemeines Prinzip der Bewegung in Röhren. Wirkung der Rauhigkeiten.

133

sowie am Glyssibach, östlich von Brienz, einer um 5—15 °/o geneigten Schale, wo das Wasser sich in sehr deutlich abgesetzten, das ganze Profil quer durchsetzenden Wellen in den Thunersee und den Brienzersee ergiesst. In der Grönbachschale findet diese Erscheinung sowohl bei Hoch- als bei Niederwasser, am Glyssibach nur bei Mittelwasser statt. Die letztere Schale ist aber relativ uneben.

Wie wir bereits in der Einleitung, § 7, gesehen haben, fällt für die krummläufige Bewegung die Poiseuille’sche Zahl T in der betr. Gleichung aus, d. h. es hat dieser Faktor für dieselbe keine Bedeutung. Bei der gerad-läufigen Bewegung dagegen nimmt die Geschwindigkeit mit der Zunahme der Temperatur in bedeutendem Masse zu, während dies bei den Gasen gerade umgekehrt ist.

Unsere Kenntnis der molekularen Zusammensetzung der Flüssigkeiten ist eine noch sehr unvollkommene und eine vollständige Erklärung des Wesens ihrer Bewegung zur Zeit noch nicht möglich. Gewiss wirken dabei noch andere Faktoren als bloss die der molekularen Anziehung, der molekularen Energie und der Schwerkraft, da erfahrungsgemäss stets ein Teil der einer Flüssigkeit innewohnenden Energie in andere Kraftäusserungen übergeht ; so wird z. B. in stark sprudelnden Gewässern Wärme erzeugt, ebenso sind die Schadwirkungen an Bächen, Flüssen und in Röhren wohlbekannt. Zöllner (87) und andere haben ausserdem nachgewiesen, dass alle strömenden Bewegungen in Flüssigkeiten, besonders in Berührung mit starren Körpern, elektrische Ströme erzeugen. Das Gesetz der Erhaltung der Energie gilt somit bei den reibenden Flüssigkeiten nur unter Berücksichtigung dieser Umwandlungen.

Die Art der Fortbewegung des Wassers denkt sich der Verfasser, gestützt auf die bisherigen Ergebnisse, folgendermassen :

1. Die Translationsbewegung besteht in einer Fortbewegung von senkrecht zur Stromachse gestellten, einfachen oder zusammengesetzten Wirbelringen, welche die Form der Isotachen besitzen.

Denn es ist nicht möglich, dass ein Teil eines Wirbels bedeutend hinter dem andern zurückbleibe, was der Fall sein müsste, wenn seine Bestandteile verschiedene Translationsgeschwindigkeit besitzen würden. Der Ring müsste schliesslich zerreissen und in der Flüssigkeit endigen, was den Prinzipien der Hydrodynamik widerspricht.

Diese v. Helmholtz’schen Prinzipien der Wirbelbewegung gelten zwar nur für solche Kräfte, die ein Potential haben. Wenn aber die Reibung selbst, wie es nach Hagenbach, Stefan u. a. wahrscheinlich ist, auf dem Abreissen der Wirbel, also auf deren gegenseitiger Anziehung beruht, so werden diese Sätze, da die letztere

Kraft ein Potential hat, wahrscheinlich auch für reibende Flüssig, keiten Anwendung finden können.

2.    Diese Wirbelringe bewegen sich bei der geradläufigen Bewegung stets parallel der Stromachse, bei der krummläufigen besitzen sie dagegen ausser dieser Bewegung noch eine, zwar bedeutend schwächere Bewegung nach den Seiten hin, mittelst periodischer Verengerungen und Erweiterungen, deren Gesetze noch nicht bekannt sind.

Da nach den Reynolds’schen Versuchen mit Farbbändern Wasser nach den Seiten abfliesst, so muss in jeder Schicht ebensoviel ins Innere zurückströmen. An jedem Punkte des Querschnitts befindet sich je ein Stück eines sich erweiternden und eines sich zusammenziehenden Wirbelrings, welche dank ihrer, sie * auseinanderhaltenden Wärmeschwingungen, unter Überwindung ihrer Anziehung, mit verhältnismässiger Leichtigkeit aneinander Vorbeigehen.

3.    In offenen Gerinnen hören diese Wirbelringe, die innersten ausgenommen meist am Wasserspiegel auf und bilden somit offene Ringe; in geschlossenen Leitungen dagegen sind auch sie geschlossen.

Nehmen wir diese Auffassung an, so können wir uns auch den Einfluss von eigentlichen Rauheiten der Seiten Wandungen, den Hagen bach mit „Erschütterungswiderstand“ bezeichnet, folgendermassen vorstellen.

Jede Erhöhung und Vertiefung an der Wandung bewirkt ein Auseinanderzerren der zunächst liegenden Wirbelringe, welches sich in sich allmählich abschwächendem Masse gegen die Stromachse hin fortpflanzt. Dadurch wird innere Reibungsarbeit geleistet, die Energie der Translation geschwächt. Folgen sich zahlreiche solcher Rauhigkeiten unmittelbar aufeinander, so gerät nach und nach die ganze über dieselben streichende Wassermasse dieser Seite der Wirbelringe in eine vibrierende Bewegung, wodurch stetig Energie verbraucht wird.

für alle Rauhigkeitsgrade konstant.

Wir müssen daraus schliessen, dass sich hier die durch die Rauhigkeiten verursachten Schwingungen ungeschwächt bis zu der Röhrenachse fortpflanzen.

y

Im offenen Kanal dagegen nimmt dieses Verhältnis — mit wachsender Rauheit

ab, die Geschwindigkeitskurven werden also gestreckter, so dass hier die Reibung offenbar von den Wandungen gegen die Achse zu allmählich abnimmt.

Die rein mathematische Plydrodynamik, eines der schwierigsten Kapitel der theoretischen Mechanik, ist zur Zeit in ein sehr ruhiges Stadium getreten. Der Grund liegt in der Schwierigkeit der betr. Probleme, insbesondere der Integration der betr. Gleichungen, und in den unzureichenden Grundlagen. Möchten der Techniker und der Physiker einerseits, der Mathematiker anderer-

In Röhren bleibt das Verhältnis

VIL Anwendungen. Bestimmung des natürlichen Gleichgewichtsprofils.

135

seits etwas weniger getrennte Wege gehen, damit auch die für den Praktiker wichtigste Bewegungsart so ins Einzelne erklärt werden könne, wie es heute für die Bewegung in Kapillaren möglich ist.

VII. Abschnitt.

Einige Anwendungen des gefundenen Gesetzes der krummläufigen Bewegung für Praxis und Theorie.

1* Bestimmung des natürlichen Gleichgewichtsprofils.

§ 41. Im allgemeinen schmiegt sich das Längenprofil eines Flusses, wenigstens in erdigem Terrain, der Erdoberfläche an, nur das Gefälle da und dort ausgleichend. Wird an einer Stelle das Bett zu tief eingegraben, so stürzen die Seiten wände ein, füllen es teilweise wieder zu und verlangsamen damit den Ausgleich. Von dem weggefressenen Material wird das leichtere weggeführt, das schwerere bleibt liegen und nur ganz allmählich weitergeführt. So schützt sich die Erdoberfläche selbst gegen zu weitgehende Erosion. Wird in einer Niederung das Flussbett durch Sinkstoffe erhöht, so tritt entweder der Fluss über, bis er an günstiger Stelle wieder das alte Flussbett gewinnt, oder es entstehen die sogenannten Serpentinen. Mit der Eindämmung der Flussufer ist somit ein natürliches Flussbett ausgeschlossen und es kann sich nur um näherungsweises Gleichgewicht handeln. In neuester Zeit hat Fr. Lorenz (52, 53) eine Studie veröffentlicht ,,Über die Ermittelung der zweckmässigsten Querprofilsform von Wasserläufen“ (Centralblatt für das gesamte Forstwesen, Okt. 1900). Er nimmt an, das Gleichgewicht zwischen den bewegenden und verzögernden Kräften sei für jeden beliebigen Wasserstand vorhanden, wenn das Querprofil derart beschaffen sei, dass bei den verschiedensten, in den betreffenden Gewässern möglichen Wasserständen die mittlere Geschwindigkeit, also der hydraulische Radius, konstant bleibe, d. h. dass eine Vergrösserung der Querprofilfläche auch eine entsprechende Vergrösserung des benetzten Umfangs zur Folge habe. Er bringt für diese Bedingung den mathematischen Ausdruck für die Form des Querprofils, welchem folgendes Bild entspricht:

Der unterste Teil des Profils bildet eine schmale, sich nach oben vorerst nur schwach, dann fast plötzlich zu einer flachen Schale, dem oberen Teil des Profils ausweitenden Spalte.

Lorenz empfiehlt bei Berechnung des Durchflussprofils diese Kurve in der Weise zu berücksichtigen, dass für den gewöhnlichen Wasserstand das

Dies ist die Gleichung der gesuchten Profilform, bezogen auf ein beliebiges Koordinatensystem. Aus der Form dieses Ausdruckes sehen wir, dass für C = 0 die Kurve ganz unterhalb der Y-Achse zu liegen kommt, dass dann für y = 0 der Wert von x minus unendlich und für einen Wert von y = co der Wert von x = 0 wird.

In Figur 7 haben wir ein solches Gleichgewichts-Profil dargestellt für F = 0,32 und B = 0,80 und wir sehen, dass diese Form der Kurve ganz derjenigen von Lorenz entspricht, nur dass ihre Gleichung viel einfacher lautet.

Noch bequemer wird die Anwendung der Formel (4) für die bildliche Darstellung der Kurve, wenn wir den Mittelwasserspiegel zur Y-Achse machen.

noch um einen Betrag

dafür passende Profil gewählt wird, die Hochwasserprofile dagegen möglichst nach dieser, an das Niederwasserprofil anschliessenden Kurve abgestaffelt werden.

Wenden wir dasselbe Prinzip auf meine Formel an, so erhalten wir eine der Lorenz’sehen ganz ähnliche Kurve.

Es ist nämlich ganz allgemein v

m -i/FI

fa K 2 '

Soll dieser Ausdruck für die mittlere Geschwindigkeit konstant sein, so

Ha

muss

8___

= ]/c für alle Wasserstände konstant bleiben.

]/b³

Legen wir der nachfolgenden Untersuchung ein kartesianisches Koordinatensystem (Fig. 7) zu Grunde, wobei die Profilbreiten längs der Y-Achse, die Profilhöhen längs der X-Achse aufgetragen werden, f sei die variable Fläche, F die Fläche des Mittelwasserprofils, b die variable halbe Breite und B die halbe Breite des Mittelwasserprofils.

Die obige Bedingunsgleichung lautet dann:

f    4

— = c oder f — c . y b⁸.

1.

Differenziert erhalten wir

2.    df=A ° .db.

⁴ Vb

Ferner haben wir allgemein

3.    df = 2 b.dx

und aus (2) und (3) wird : 2 b dx

⁴ l/b

db, woraus

4. x =

db = -

J ]/b⁵

CO 00

CO CN

Es ist alsdann der gefundene Wert für x =

)b/

Yc

² 1/B

C = H zu vermindern, welcher der Tiefe des Mittelwasserspiegels unter der Y-Achse entspricht; d. h. es ist das neue

(5) x =

3c

H.

2Yb

Aus (4) erhalten wir aber auch :

(6) H = —!

und aus (5) und (6) wird

mittelst welcher Formel wir nun sehr rasch mit Hülfe von c

F

— die

l/B³

Kurve konstruieren können.

Wird b = B, so wird x = 0 und liegt hier der Schnittpunkt der Kurve mit der Y-Achse.

Für das weitere sei auf die Originalarbeit von Fr. Lorenz und auf zwei neuere, in genannter Zeitschrift, Dez. 1901 und März 1902, von Dr. M. v. Lorenz und Prof. Dr. O. Simony erschienene Aufsätze verwiesen.

Es sei mir hier aber gestattet, auch auf einen Nachteil dieses Systems, der zwar nur bei geschiebeführenden Gewässern in Betracht fällt, hinzuweisen.

Durch dasselbe wird bezweckt, dass die mittlere Geschwindigkeit und damit die Transportfähigkeit des Wassers konstant bleibe. Wird dieses Gleichgewicht wirklich erreicht, so will das sagen, dass bei allen Wasserständen stets das gleiche Material noch gerade fortgeschwemmt wird, wie bei dem angenommenen Nieder- oder Mittelwasserstande. Grösseres Material bleibt also in einem solchen Profile auch bei Hochwasser liegen. Im oberen Laufe einer nach diesem System ausgebauten Strecke muss sich daher der gröbere Schutt, welchen der oberhalb gelegene, unverbaute Flussteil oder dessen Nebenflüsse bringen, stauen. Jedenfalls ist dieser notwendigen Konsequenz bei Ausführung derartiger Korrektionen Rechnung zu tragen.

2. Berechnung des dem Wasserabflüsse günstigsten Querprofils.

f/FI erhalten wir durch beidseitige

§ 42. Aus der Gleichung v

l/k³

l/B³

]/F³I.

Multiplikationen mit F :    Q

l/k³

l/B³

Aus dieser Formel ist zu ersehen, dass unter allen gewöhnlichen viereckigen Wasserprofilen einer und derselben Querschnittsfläche die Rechtecksform die günstigste ist; denn je grösser in einem Trapez von konstanter

Querschnittfläche B gemacht wird, um so kleiner wird Q. Diese Form ist auch bezüglich des Kostenpunktes die vorteilhafteste, weil am wenigsten Seitenwand-Fläche erforderliche. Mit Rücksicht auf die Solidität der Konstruktion und auf die in voriger Aufgabe berührten Verhältnisse wird man aber trotzdem häufiger zu den trapezoid en Profilformen greifen.

Handelt es sich aber nur darum, einer konstant bleibenden Wassermenge einen möglichst raschen Abfluss zu verschaffen, so wird man das rechtwinklige Profil zu wählen haben, und für dieses berechnen sich die Dimensionen nach meiner Formel in sehr einfacher Weise.

Aus der letzten Formel erhalten wir für das rechtwinklige Gerinne auch die Gleichung:

Q = 2 m ]/ t³I B⁸,

woraus

2 mt V tl

/_Qy

\2 mt i/tl/

2 mt y tl

wo t die Tiefe bedeutet.

so wird

Will man nun an benetztem (konstruktivem) Umfang sparen man den Kanal für eine gegebene sekundliche Wassermenge Q so einrichten, dass B —f- t ein Minimum wird.

so wird

Setzen wir y = B -f-1 = (

dy = — y t . dt. B -f- t wird zum Minimum, wenn &-1

2 mt y tl

\y

j⁸ -f-1 (siehe oben)

\2ml/I /

und differenziert,

+ dt.

ccjo

dt

= 0,

woraus

(±\* ( Q VT

W \2 m l/I /

oder mit grösster Annäherung:

= 1,131

i/(_o

=, 1,131

Für einen Kanal mit dem Geschwindigkeitskoeffizienten m = 38, einer sekundlichen Wassermenge von 1 m³ und einem Gefälle von 0,005 wird t nach obiger Rechnung gleich 0,577 m und B, nach obigem Ausdruck

Bestimmung des Durchflussprofils eines Kanals, einer Röhre.

139

berechnet, gleich 0,467 m, die ganze Breite also gleich 0,934.

2 mt ]/ tl

Welches im allgemeinen die günstigste Profilform bei gegebener Querschnittsfläche und Breite sei, geht unmittelbar aus folgender

l/F®

l/k³

Überlegung hervor : Q =

F

mum wird, was geschieht, wenn -T-Da nun F = 2 Br, so ist

l/B³

■/FT wird ein Maximum, wenn

ein solches ist.

ein Maxi-

l/B³

2 Bt

l/B l/B

= 2 z. yB³

und diese Grösse wird bei gegebenem B zu einem Maximum, wenn t, die mittlere Tiefe, zu einem Maximum wird, d. h. wenn der Querschnitt rechteckig wird.

Die letztere Profilform ist somit die für den Wasserabfluss günstigs te

3. Bestimmung des Durelillussprolils eines Kanals aus der sekundlichen Wassermenge und der Breite.

§ 43. Aus der Formel

und

finden wir leicht:

F-j/ 2 yB³ : Q² _ ;/-p;

2 Q²

m²I

m²I

4. Ermittelung¹ des Röhrenkalibers für ein gegebenes sekundliches Durehflussquantum und umgekehrt.

§ 44. Aus

3__

erhalten wir:

Q = y.F — v.R²tt

wird

und mit

Q = mr7r . R²®¹ . i/l = Aus letzterer Gleichung ermitteln wir:

mr n. R

2,625 1

I².

0,381

/ Q»    yr _ / Q \

\mr7rYl/    \mr7rl/I/

wo mr folgende Werte besitzt:

63,5

Cement .

50,0

Bretter .

Gusseisen, neu geteert .    *    .    48,9

„    schwach inkrustiert . 41,8

. 21,9

,,    stark

Es erübrigt nun noch, einen Vergleich zwischen den Resultaten der verschiedenen gebräuchlichen und neuen Formeln von Darcy, Lueger und vom Verfasser anzustellen. Es wird dabei überall der Rauhigkeitsgrad gebrauchter Cementröhren, sorgfältig hergestellten Backstein- oder Quadermauerwerks oder gewöhnlicher Bretter vorausgesetzt.

D. h. es wird angenommen :

1. Nach Darcy's Formel: v =

0,000507

0,00000647

100.

2.    ,, der Lueger’sehen Formel: v = 0,707

v!

m+]/f

3.    „ Christen: v = mr"j/RI . VS, mit mr = 50.

8__

y RI, mit m=0,25:

Mittlere Geschwindigkeit bei einem Halbmesser von :

0,10000

Darcy

1,55

R = 0,02 nach

Lueger

Christen

Darcy

0,90

1,37

4,18

R = 0,10 nach

R = 0,50 nach

Lueger

Christen

Darcy

Lueger

Christen

3,33

3,75

9,80

10,55

10,24

0,02857

0,00667

0,83

0,40

0,48

0,23

0,73

0,35

2,23

1,08

1,78

0,86

2,00

0,97

5,24

2,56

5,64

2,72

5,46

2,65

0,00182

0,22

0,12

0,18

0,56

0,45

0,50

1,32

1,42

1,35

Bestimmung der angesammelten lebendigen Kraft eines Gewässers.

Ml

Die Resultate meiner Formel als die richtigen angenommen, sehen wir, dass die Darcy’sehe Formel sich im allgemeinen recht gut an die Wirklichkeit anschliesst ; höchstens gibt sie bei kleinen Durchmessern etwas zu grosse* bei grossen Durchmessern etwas zu kleine Resultate.

Die Lueger’sehe Formel gibt für kleine Durchmesser viel zu niedrige Resultate, für grössere Röhren dagegen ist sie ziemlich genau, eher etwas zu hoch.

Die letztere entspricht der Vorsicht, besser etwas zu grosse Röhren zu nehmen, als zu kleine, bei kleinen Röhren in zu weitgehender Weise, da es bei schwankendem Wasserstande in der Brunnstube nicht ratsam ist, so grosse Kaliber zu nehmen, dass die Drucklinie unter Umständen unter das Reservoir sinkt. In diesem Falle wird bekanntlich Luft eingeführt und damit die Verkrustung gefördert.

5. Bestimmung der in einem fliessenden Gewässer angesammelten

lebendigen Kraft.

§ 45. Die einem fliessenden Gewässer innewohnende lebendige Arbeit lässt sich auf zwei Arten betrachten: Einmal, indem man sagt, in einem Lauf meter Wasser stecken so und so viel Kilogrammometer ; ein anderes Mal, indem man sich fragt: Wie viel lebendige Arbeit befindet sich in einem bestimmten Querschnitt während einer Sekunde? Bezeichnen wir die erstere mit Lx, die zweite mit L₂. Für jeden dieser Fälle kann man die lebendige

v^

Kraft wieder auf zwei Arten berechnen, einmal nach dem Ausdruck L = F.^-

ein andermal nach der Formel L =

r u²

J df .g-^, Wo ^f e^n Flächenelement des

Querschnitts und u die in diesem herrschende Translationsgeschwindigkeit bedeutet.

Untersuchen wir diese Verhältnisse vorerst im kreisförmigen Rohr, und zwar für die krummläufige Bewegung:

Hier haben wir für die lebendige Kraft per Laufmeter:

v²

= „.....=

2g

nach der einfachen Berechnungsweise und

R²7t . m,? RI. i/R 34416 m,? R^ I

2g

2g

1_3

2 h 7i. dh . —

* 2g 2g

dh . 1,195 mf RI. ]/h

3,189 mr R ⁴

2g

nach der 2. Methode berechnet.

~ 1,016, während nach der Darcy-

Das Verhältnis beider ist =

3,189

3,142

sehen Formel dieses Verhältnis gleich ist 1,020.

Die lebendige Kraft, welche in jeder Sekunde einen gegebenen Querschnitt durcheilt, berechnet sich zu

v²

2g

L₈ = Fv.^ =

und zu

2 r n . dr

64 (1,195 m R ]/ï)³. n . R⁸

104,5.2 g

Das Verhältnis dieser beiden ist gleich 1,045, nach Darcy = 1,033.

und

Für die geradläufige Bewegung dagegen haben wir für

R² 71

V²

= R²7T.^-

2g 2g

. k² P . R⁴ =

k²7rI²R⁶

2g

i*

L‘-J

o

2 vre . dr .

u²_r

2g -J

o

2 rn . dr .

k²I²R⁴ k²7rI²R⁶

2g

2g

Hier ergeben also beide Berechnungsweisen dasselbe Resultat.

In einem Kanal oder Flusse können wir die lebendige Kraft nur nach einer Weise berechnen, weil wir hier das Gesetz der Einzelgeschwindigkeiten nicht kennen.

Die angesammelte Arbeit per Laufmeter ist gleich

— H²I.]/B⁵

L₁₌2BH.

m² HI. i/B

2g

oder auch

L₁ = 2BH.

k2 1?(QI)8 = 2 k². H 1/B V(QI)².

VB

Die in jeder Sekunde eine bestimmte Stelle passierende lebendige Kraft ist dagegen:

Y²

Q k²

’2g    2 g '/g'

łm?= k'

2gVB '

]/Q⁵P.

Diese letztere lebendige Arbeit ist demnach dem Ausdruck Q³, d. h. fast dem Quadrat der sekundlichen Wassermenge proportional. Es sind somit schon ganz geringe Zu- oder Abnahmen der letzteren von grösster Bedeutung für die zerstörende Kraft, z. B. eines Wildwassers.

Geschwindigkeitskoeffizient eines Kanals von ungleicher Rauhigkeit.

143

6. Ermittelung des Geschwindigkeitskoeffizienten in einem künstlichen Kanale von verschiedener Rauheit der Sohle und der Wandungen.

§ 46. Wenn wir uns die Wirkung der Seitenwandungen auf die Bewegung der Wirbelringe gemäss der in § 40 niedergelegten Auffassung vergegenwärtigen, so sehen wir, dass im grossen und ganzen der Einfluss der verschiedenen Stellen des benetzten Umfanges sich von ihnen aus in der Richtung gegen den Ort des Geschwindigkeitsmaximums zu erstreckt, welcher für die gewöhnlichen Fälle der Praxis als an der Oberfläche sich befindend angenommen werden kann. Betrachten wir z. B. ein Trapez und verbinden dessen untere Ecken mit dem Mittelpunkte des Wasserspiegels, so steht die ganze Wassermasse zwischen diesen Verbindungsgeraden und der Sohle, mit dem Flächeninhalte Fs unter der Wirkung der Sohle und die übrigen, oberhalb derselben gelegenen Teile mit dem Flächeninhalte Fw unter demjenigen der Seitenwände. Bezeichnen wir den Geschwindigkeitskoeffizienten der Sohle mit ms, denjenigen der Seitenwände mit mw, so wäre der mittlere Geschwindigkeitskoeffizient nach dieser Anschauungsweise:

mm =

Fs ms -\- Fw mw

b H ms -f- B H . mw _ bms-f B mw

Fs + Fw

H (b + B)

1. Beispiel: Speyer bach, Grebenau.

B — 2,395 m ; F — 2,80 m¹; *

0,584 m; 1 = 0,0002667.

2,80

4,79

Sohle: Erde.

Seitenwände: Quadern.

Profil: Rechteck.

Den Tabellen entnehmen wir folgende Koeffizienten:

ks:

7,27. kn: 11,63.

Mittel aus beiden: 9,45.

Grebenau’s Messung ergab k = 9,23, gewiss eine sehr schöne Übereinstimmung.

Wollte man den Anteil, den jeder Rauhigkeitsgrad an dem benetzten Umfang p hat, der Rechnung zu Grunde legen, so erhielt man für p-Sohle = 4,790 m ; p-Wand = 1,168 m.

Der Durchschnittskoeffizient wäre dann gleich

= 8,12.

4,790.7,27 + 1,168.11,63

5,958

Man erhält also auf diese Weise ein zu niedriges Resultat.

2. Beispiel: Simmenkanal bei Zweisimmen. (Korrektion am Galgenbühl 1891/92).

b = 7,00 ; B = 9,00 ; I = 0,00729 ; H = 2,0.

Profilform: Trapez mit 1-füssiger Böschung.

Seitenwände : Bruchsteinmauerwerk.

Sohle: Geschiebe. mw — 34,5.

ms =

6,307

1/1,778.0,00729

= 13,01, anhaltendes Hochwasser vorausgesetzt.

Mittleres m

7,00.13,01 + 9,00.34,5

25,10 oder rund = 25.

Damit wird

v = 25 Ai . y B = 25 V0,01296 . y9 = 3,746

und

Q = 16.2.3,746 = 119,87 m².

Die amtliche Berechnung hatte Q zu 150 m² vorgesehen.

Nach dem benetzten Umfang berechnet, kämen wir hier auf den Koef-

7,00.13,01 +1/2² + (9 —7)².34,5 9,85

Wir erhalten somit auch hier nach letzterer Methode ein ungünstigeres

fizienten m =

= 19,19.

Resultat.

Sohle: Feiner Kies, mit m zu 42,5 angenommen.

= 38,30 statt wie oben 40,43,

Mittleres m =

Wandung: Bruchsteinmauerwerk, mit m = 35,0 veranschlagt. 2,57.42,5 + 3,24.35,0 5,81

also ebenfalls eine sehr schöne Übereinstimmung.

4. Beispiel: Aarekanal bei Interlaken. (Eidg. hydr. Bureau 1902).

Trapez, mit B = 19,34 und b = 17,65; x = 1,075; 1 = 0,001982; v = 1,567;

1,567

= 23,43.

ms + mw

Der Koeffizient mw für die Seitenwandung kann direkt den betr. Tabellen entnommen werden; ms muss dagegen, wenn die Sohle aus Geschieben

6,307

besteht, geschätzt oder nach der Formel m

6__

berechnet werden.

]/ tI

Trapez mit B = 3,24 und b = 2,57; t = 0,3281; I = 0,000933; v = 0,819;

0,819

8___

i ri i/b

0,01748.1,158

40,43.

Gefunden : m =

= 28,50.

1,907

1/2,23.0,0008352.1,550

Meist ist das Profil kein eigentliches Trapez, sondern es steht die Sohlenmitte tiefer als die Sohle an den Ufern. Bezeichnet man die Maximaltiefe

t, so ist mm

Sohle: Mittlerer Kies; Wandungen: Steinwurf von ca. 50—70cm Blockgrösse.

ms wird zu 30, mw zu 13 veranschlagt.

17.65.30 +19.34.13

Mittleres m

36,99

21,10.

5. Beispiel: Oberwasserkanal der Turbinenanlage in Thun. 1901. B = 2,245; b — 1,50; r = 2,23; I = 0,0000162; v = 0,286; m =

_0,286__

t/2,23.0,0000162.1,106

= 43,23.

Sohle : Cement, m = 60.

Wandungen: Bestochenes Bruchsteinmauerwerk, m=39. 2,245.39 + 1,50.60

Mittleres m

3,745

== 47,42.

6. Beispiel: Reuss, Luzern. 1900.

Rechteck B = 30,44; r = l,63; 1 = 0,000064; v = 0,665;

0,665_

m l/l,63 .0,000064.1,545

Sohle : Kleiner Kies, ms = 30.

Wandung: Glatte, senkrechte Mauer: mw = 56.

«°±-⁶°= 43,00.

Mittleres m

= 42,08.

7. Beispiel: Rhone, Porte du Scex. 1899.

B = 33,35; b = 27,90; r=2,23; 1 = 0,0008352; y = 1,907. Seitenwandung : Pflaster, m = 35.

6,307 «—

Yzi

Mittleres m berechnet zu

Sohle: Kies, m

= 18,06.

33,35.35 + 27,90.18,06

33,35 + 27,90

27,27.

mit T, die Tiefe des eigentlichen Trapezes zwischen den Seitenwänden mit Bt mw + b T ms

Bt + bT

7. Bestimmung der mittleren Geschwindigkeit in Röhren mit nur einer Symmetrie-Achse.

§ 47. Wir haben in §§ 10, 15 und 24 gesehen, dass sowohl im kreisförmigen, wie im rechtwinkligen Röhrenprofil die mittlere Geschwindigkeit

Christen, Translation des Wassers.

dieselbe ist, ob wir das Gerinne bei dem gegebenen Gefälle voll unter Druck oder nur halbgefüllt laufen lassen ; dabei wird als selbstverständlich angenommen, dass in letzterem Falle das Gefälle des Kanals genau der Drucklinie des Rohres folge.

Trifft dies für solche Profile zu, so darf angenommen werden, dass es auch für alle übrigen zur Trennungs - Ebene der beiden Halbröhren symmetrisch stehenden Profile zutreffe.

Nehmen wir z. B. die Ellipse und ziehen durch sie die längere der beiden Symmetrie - Achsen, so können wir dieses Profil auffassen als zwei auf- oder aneinander liegende Kanäle, mit dieser Symmetrie-Achse 2B als

Wasser-Oberfläche und es ist dann: mittlere Geschwindigkeit v = m ]/t! . ]/B,

V B, wo H die

oder da t—

n . —r, so wird v = 4

kleinere Halb-Achse bedeutet. Daraus wird

2B

-,/HI. TC

mV~Ï

i/b

Bei den rechtwinkligen Röhren (§ 15) haben wir nämlich gesehen, dass wir immer für B die grössere Halbachse zu nehmen haben. Mit dieser Vorsicht können wir. die Fundamentalformel

T=-F"łr

l/B Y 1

für alle Röhren mit zwei Symmetrie-Achsen als genau empfehlen. Versuche würden dies sicher bestätigen.

Wie verhält es sich nun mit den Röhren von nur einer Symmetrie-Achse, wie z. B. die Eiform?

Da wir im rechtwinkligen Kanal die Formel

vi/qi=^~ m

¹

ür das Rechteck wird m

²

Beispiel: Wasserwerkkanal bei Hochfelden. (Eidg. hydrometrisches Bureau 1894).

y'B³

]/B³

bis zur Höhe H = 2B als genau gefunden (§ 16), so werden wir in einer eiförmigen Röhre bis zu Kämpferhöhe sie auch anwenden dürfen. Darüber hinaus bis zum Volllaufen der Röhren fehlen uns sichere Anhaltspunkte; wir werden aber auch hier vorsichtshalber keine höhere mittlere Geschwindigkeit, als die bei Kämpferhöhe herrschende, anwenden.

Läuft die Röhre dagegen voll, so ist unter Anwendung von ~ statt Q

u

die grössere Achse als 2 B anzunehmen und heisst dann die Formel für die Geschwindigkeit wieder :

l/k³ yB³

VIII. Zusammenstellung d. wichtigsten Formeln. — Allg. Formeln u. Koeffizienten. 147

Auch der in der Praxis zwar nicht vorkommende Spezialfall, wo die Symmetrie-Achse die kürzere ist, liesse sich mittelst obiger Formeln berechnen.

VIII. Abschnitt.

Zusammenstellung der für die Praxis des Technikers wichtigsten Formeln und Koeffizienten.

1. Allgemeine Formeln und Koeffizienten.

§ 48. Ganz allgemeine Gültigkeit haben die Fundamentalformeln:

V FI = l/k³ ]/

FI 8_

B- ^

(2) v

l/B³

sofern man bei volllaufenden Röhren statt Q dessen Hälfte einsetzt und ferner bei der Anwendung von B die im vorigen Paragraphen empfohlenen Vor-sichtsmassregeln beobachtet.

Ebenso allgemein gilt die abgeleitete Form:

(3)    v = i/2Y³AIVB;

worin wir der Kürze halber l/2k³ = m gesetzt haben.

Aus 3. erhalten wir durch Multiplikation mit F:

(4)    Q = 2 m B ]/t³I ]/B.

Die Koeffizienten k und m sind nachstehender Tabelle zu entnehmen. Wo an einem und demselben Profile verschiedene Rauhigkeitsgrade Vorkommen, ist gemäss § 46 zu verfahren.

Für Gewässer mit Geschiebe ist der Rauhigkeitsgrad zu ermitteln nach der Formel

(5) m

6,31

6-

i/tI

Zu prüfen wäre ausserdem die Formel m =

10

oder D =

1000

in

4 i/ -rl, wo D den kleinsten Durchmesser der grössten noch in Mehrzahl vorhandenen Geschiebestücke bedeutet. Bei den Messungen, welche mit der Gleichgewichtsformel gut stimmen, zeigen die beiden letzteren Berechnungsarten eine bemerkenswerte Übereinstimmung ihrer gegenseitigen Resultate.

1. Cement

Rauhigkeitsgrad

k m = Ÿ2 k³

. 13,7 .    12,4

71,7

2.    Bretter, fein behobelt

3.    „    gewöhnlich behobelt, in Längsrichtung 11,7

4.    „    nicht behobelt, quer gerichtet . .

5.    Holz, zerfasert (Holzdeichei, gebohrt) .    .    .

61,7

56,6

10,5

48,1

7,8

30,2

6.    Quadern.....

7.    Backstein.....

8.    Bruchstein, bestochen

rauh .    .

9.

10. Kies von 1—2 cm........

„    3—4 cm........

16.    Galvanisiertes Rohr........

11.

11,6

56,1

11,0

51,7

9,2

8,5

9,6

7,6

7,7

16,3

15,2

13,4

13,6

12,7

17. Gusseisen, neu, ungeteert, Darcy ....

„ geteert, Iben etc.....

alt, gereinigt, Darcy .    .    .    .

„ mit Depot, Darcy .... schwach inkrustiert, mit schwacher Knollenbildung, Iben etc. .    .    .

stark inkrust. (Hamburger Versuche) 6,7

18.

19.

20.

21.

22.

23. Erde, fast kräuterlos .    .

mit viel Kräutern

24.

25,    Steinige Erde, wenig Kräuter

26.    Geschiebe von Faustgrösse

27.

„ Faust- bis Kopfgrösse .    .    .

28. Grobe Steine

39,3

34,5

42,1

29,8

30,3

93,0

83,9

69,4

70,9

64,6

11,5

12,0

9,8

10,4

7,3

5,9

6,6

5,5

5,0

4,0

55,2

58,5

43,1

47,4

24,6

27,7

20,1

24,1

18,2

15,6

11,3

Es wäre nun gewiss sehr erwünscht, eine Beziehung zwischen den Ganguillet-Kutter’schen n und meinen Koeffizienten m zu besitzen, mittelst welcher die einen leicht in die anderen umgewandelt werden könnten. Da aber diese Koeffizienten n und m von ganz verschiedenen Funktionen abhangen, so muss diese Beziehung je nach den gegebenen Profil- und Gefälls-

Verhältnissen etwas schwanken. Indessen gibt die einfache Formel m =    —

diese Relation mit einer Annäherung von mindestens etwa 12°/o. So berechnet sich m

Vergleich d. Koeffizienten m mit d. Ganguillet-Kutter’schen n. — Spezialformeln. 149

für Cement

ZU

1,5.0,01053 — 63,20 statt

zu 71,7; Differenz — 12 °/o

,, gew. Bretter

=== 55,52 statt

” 1,5.0,0120 zu 55,2; Differenz + 1,5 °/o

,, Kies von 3—4 cm .    .

32,33 statt

” 1,5.0,0206

zu 29,8 ; Differenz + 8 °/o

„ Kies von Faust- bis Kopfgrösse „ (Kander bei Spiezwyler)

16,40 statt

1,5.0,0406 zu 14,9; Differenz + 10°/o.

2. Spezialformeln.

§ 49. Für Gewässer mit Geschieben empfiehlt sich meine Gleichgewichtsformel:

(6)    y = 6,31 Al ]/B.

Diese ist in allen denjenigen Fällen zu empfehlen, wo sich die Rauheit des Bachbettes dem jeweiligen Wasserstande hat anpassen können. (S. näheres darüber in § 19.)

§50. Für kreisrunde Röhren und halbkreisförmige Kanäle gelten:

₍rj\    k -1 / QI

(⁷)    v = ^zr \ --₉

l/R V 2

(8)    V =    l/RI ]/R = mr /RI. y'R.

Hier ist

(9)    mr = ]/kÿ- = 0,8862 m. Aus (8) wird:

(10)    Q = mr R ⁸ 7i /I = mr R

(11)    a = (— l/T

\ mr 7i y I

wo mr folgende Werte besitzt:

2,624

nil.

und

\*=( q \ ) \mr ix . i/I /

0,381

mr

Rauhigkeitsgrad:

3.

3. Formeln für die Einzelgescliwindigkeiten.

§ 51. In der kreisförmigen Röhre und dem glatten, halbkreisförmigen

Kanal gilt:

(12)    u = 1,195 m i/ RI. ]/h.

Für die Hauptachse rechtwinkliger Röhren haben wir gefunden :

VB

Rauhigkeitsgrad

mr

5.    Holzdeichei..........

6.    Quadern...........

7.    Backstein...........

8.    Bruchstein, bestochen.......

rauh.........

10.    Packleinwand (Schläuche).....

11.    Messingröhren, nach Weisbach .    .

12.    Zinkblechröhren „

13.    Weissblechröhren ,,

14.    Galvanisiertes Rohr

26,7

49,7

45,8

34,8

9.

30,6

26,8

82,4

74,4

61,5

62,8

15. Gusseisen, neu, ungeteert, Darcy......

„ geteert, Iben........

alt, gereinigt, Darcy.......

„ mit Depot „    .......

schwach inkrustiert, mit schwacher

Knollenbildung........

stark inkrustiert.........

57,2

16.

17.

18.

19.

20.

48,9

51,8

38,5

to 4--to 00 "o

(13)    u = l,120m.Æ i/bh.

Im Stromstrich rechtwinkliger Kanäle ist die Gleichung der Vertikal-Geschwindigkeitskurven

(14) u =

•V

4___

y2 . yk⁵

0,4354

4. Umformung der Koeffizienten für die verschiedenen Landesmasse.

§ 52. In § 25 haben wir nachgewiesen, dass -y und die Dimension _ 11

gr cm ⁴ haben. Die Koeffizienten m und n besitzen somit in der Gleichung

die Dimension m

_ i ¹1    H . y

M fB

1    , sofern man unter Ix die Grösse . */.

Lt

Formeln f. Einzelgeschwindigkeiten. Umformung d. Koeffizienten f. verschied. Landesmasse. 151 versteht. Benennt man aber, wie es von Seite der Techniker ganz allgemein geschieht, mit I einfach das Verhältnis j-, so wird

3    _₁

welches nun die Dimension cm⁸t besitzt.

Wir können nun mit Leichtigkeit die Grösse m für verschiedene Landesmasse bestimmen. Für den englischen oder russischen Fuss haben wir z. B.

da 1 Meter = 3,28F :

m neu == 3,281⁸ . m = 1,5614 . m.

Literatur-Nachweis.

Laufende

Nummer

Jahr

der

Publikation

Bezeichnung der Quelle

ca. 1753 1779-1786

CO

1790

1800

en

1804

CO

1818-1816

1808

1820

OO 05 O

1832

1834

1835

rH

1835

(M    CO    -rH    üO CO

rH    i—I    r—I    r—I i-t

1823-1842

1814-1815

1851

1853

1854

I. Älteste Literatur, bis zu den Arbeiten von Darcy, Bazin und Poiseuille (ca. 1855).

Brahms, Anfangsgründe der Deich- und Wasserbaukunst, Aurich.

Dubuat, Principes d’Hydraulique et de Pyrodynamique, Paris. (Neue Auflage 1816.)

Woltmann, Theorie und Gebrauch des hydrometrischen Flügels, Hamburg.

Coulomb, Expériences destinées à déterminer la coésion des fluides, etc.

Coulomb, Mémoires de l’Institut national III, pag. 246.

De Prony, Recherches physico-mathématiques sur la théorie des eaux courantes.

Girard, Mouvement des fluides dans les tubes capillaires; mémoires de l’Institut.

Funk, Beiträge zur allgemeinen Wasserbaukunst, Lango.

Funk, Versuch einer auf Theorie und Erfahrung gegründeten Darstellung der wichtigsten Lehren der Hydrotechnik.

Gerstner, Handbuch der Mechanik, Prag.

D’Aubuisson, Traité d’Hydraulique.

Krayenhoff, Recueil des observations hydrauliques et topographiques, faites in Hollande (S. darüber v. Horn, Wochenschrift des öster. Ing.- und Arch.-Vereins 1886).

D estrem, Mémoire sur divers objets relatifs à la science de l’ingénieur, Pétersbourg.

E y tel wein, Handbuch der Mechanik fester Körper und der Hydraulik, Leipzig.

Eytelwein, Untersuchungen über die Bewegung des Wassers. Memoiren der Berliner Akademie.

De Saint-Venant, Formules et Tables nouvelles pour la solution des problèmes relatifs aux eaux courantes, Paris.

Eilet, on the Mississippi and Ohio River, Philadelphia.

Boileau, De la mesure des eaux courantes, Paris.

Laufende

Nummer

Jahr

der

Publikation

Bezeichnung der Quelle

C'-    00

r—I    i—I

1848-1865

1798

Dupuit, Etude théorique et pratique sur le mouvement des eaux courantes, Paris.

Brünings, Abhandlung über die Geschwindigkeit des fliessenden Wassers, Frankfurt.

to to to K) to    h-x

05 DO CO H O    CO

1862

1841

1854

1869

1868

1885

II. Neuere Literatur mehr technisch-praktischen Inhaltes.

1. Allgemeines.

Weisbach, Lehrbuch der Ingenieur- und Maschinen-Mechanik, 4. Auflage, Braunschweig.

Hagen, Handbuch der Wasserbaukunst, Königsberg.

Hagen, Abhandlungen der K. Akademie der Wissenschaften, zu Berlin. Hagen, Abhandlungen der K. Akademie der Wissenschaften, zu Berlin. Hagen, Über die Bewegung des Wassers in Strömen, Berlin.

Ritter, Sur quelques changements dans la disposition et les procédés de tarage des Instruments de Jaugeage. Annales des Ponts et Chaussées.

xo    co    r>*

CM CM    CM    <M

1865

1861

1867

1869

to    to

CO    00

1872

1881

O H (M CO IC CD 0*00    05

CO COCO COCOCOCO COCO CO

1883

1878

1875

1884

1897

1883

1883

1892

1892

1886

2. Über Kanäle und Flüsse.

Darcy und Bazin, Recherches hydrauliques, Paris.

Humphreyjs und Abbot, Report upon the Physics and Hydraulics of the Mississippi-River, Philadelphia.

Grebenau, Theorie der Bewegung des Wassers in Flüssen und Kanälen. München 1867.

Ganguillet und Kutter, Versuch zur Aufstellung einer neuen allgemeinen Formel für die gleichförmige Bewegung des Wassers in Kanälen und Flüssen (Zeitschrift des öster. Ing.- und Arch Vereins, und Bern 1877).

Harlacher, Bestimmung der Wassermenge von Flüssen und Wassermessungen im Elbstrom an der böhmisch-sächsischen Grenze, Prag-

Harlacher, Die Messungen an der Elbe und Donau und die hydrometrischen Apparate und Methoden des Verfassers, Leipzig.

Harlacher, Die hydrometrischen Arbeiten an der Elbe bei Tetschen, Prag.

Harlacher, Beiträge zur Hydrographie des Königreichs Böhmen, Prag.

Bazin, Discussion des expériences les plus récentes sur la distribution des vitesses dans un courant. Annales des Ponts et Chaussées.

Bazin, Notice sur l’emploi des doubles flotteurs, Paris.

Bazin, Annales des Ponts et Chaussées.

Lavale und Rapp, Unsere natürlichen Wasserläufe, Weilheim 1888.

F tel y und Stearns, Description of some experiments on the flow of water. Transactions Am. Engld. Bd. 12.

Kresnik, Technische Vorträge und Abhandlungen, Heft XVII, Wien.

Schlichting, Binnengewässer, Handbuch der Ingenieurwissenschaften, III. Band, Leipzig.

Bérard, Note sur la Marche des flotteurs dans les courants, Annales Ponts et Chaussées.

Laufende

Nummer

Jahr

der

Publikation

Bezeichnung der Quelle

40

1886

41

1882-1883

42

1886

43

1879

44

1881

45

1878

46

1875

47

1882

48

1882

49

1869

-^50

1898

51

1901

52

1901, Okt.

1901, Dez.

53

1902, März

54

1872

55

1900

56

1901

56a

1889

Ritter, Méthode et Procédé de Jaugeage rapide et approximatif des crues (Annales P. et Ch.).

Schrader, Messungen an der Elbe bei Altengamm, Wochenblatt f. Baukunde, 37, Berlin.

y. Horn, Wassermessungen in Holland, Wochenschr. d. öster. Ing.- und Arch.-Vereins.

Plenkner, Über die Bewegung des Wassers in natürlichen Wasserläufen, Leipzig.

y. Wagner, Hydrologische Untersuchungen, Braunschweig.

Harder, Die Theorie der Bewegung des Wassers in Flüssen und Kanälen, Hamburg,

Cunningham, Hydraulic Experiments at Roorkee (Professional papers of Indian Engineering, Roorkee 1875.

Nazzani, Misure di yelocitä nel Tevere, Roma.

Nazzani, Scala di velocità nel Tevere, Roma.

Bornemann, Die Gaukler ’sehe Theorie der Bewegung des W assers in Flüssen und Kanälen. Civilingenieur.

F. K. Meythaler, Berechnung der Abflussmengen in Flüssen (Centralblatt der Bauverwaltung).

F. K. Meythaler, Beitrag zur Theorie der Bewegung des Wassers in geschiebeführenden Rinnen (Schweiz. Bauzeitung 1901, Juli.)

Fr. Lorenz, Über die Entwickelung der zweckmässigsten Querprofilsform von Wasserläufen (Centralbl. f. d. gesamte Forstwesen).

Dr. M. v. Lorenz, Zur Ermittelung der zweckmässigsten Querprofilsform von Wasserläufen. (Centralbl. f. d. gesamte Forstwesen).

Prof. Dr. 0. Simonj, Über Kurven mit konstantem hydraul. Radius. (Centralbl. f. d. gesamte Forstwesen).

Breadmore, Manual of Hydrology (Shelford, Blackwell).

C. K. Aird, Über den Begriff eines hydraulischen Moments der Kanal-queischnitte (Zeitschrift für Arch.- und Tng.-Wesen, Hannover 1900).

R. Siedek, Studie über eine neue Formel zur Ermittelung der Geschwindigkeit des Wassers in Flüssen und Strömen, Wien.

Wochenschrift des öster. Ing.- und Arch.-Vereins.

57

1856

58

1857

59

1859 u. 1863

60

1855

61

1867

62

1872

63

1880

3. Über Röhren.

Darcy, Fontaines publiques de la ville de Dijon.

Darcy, Recherches expérimentales relatives au Mouvement de l’eau dans les tuyaux, Paris.

Weis b a ch, Ausfluss versuche unter hohem Druck, Civilingenieur.

Weisbach, Ausflussversuche unter hohem Druck, Civilingenieur.

Levy, Theorie d’un canal à filets rectilignes et parallèles de forme transversale quelconque. Annales des Ponts et Chaussées Paris.

Lampe, Allgemeine Bemerkungen über die Bewegung des Wassers in Röhren. Separatabdruck aus den Schriften der naturforschenden Gesellschaft, Danzig.

Jben, O., Druckhöhenverlust in geschlossenen, eisernen Rohrleitungen, Hamburg.

Laufende

Nummer

Jahr

der

Publikation

Bezeichnung der Quelle

Uî ÎD    O OO 05

ZC ZD ZD    CO ZD CO

1877

1876

1881

1886

1890

1869

-<1    -O]    —J    —3

to    to    t—¹    o

1884

1839

1898

1888

Fanning, Treatise on water supply engineering, New York.

Humber, Water supply of cities and towns, London.

Frank, Die Formeln über die Bewegung des Wassers in Röhren. Civilingenieur.

Frank, Über Berechnung der Kanäle und Rohrleitungen, München.

Lueger, 0., Wasserversorgung der Städte, I. Heft, Darmstadt.

Gaukler, Du mouvement de l’eau dans les conduites. (Annales des-Ponts et Chaussées 1868. Civilingenieur 1868. Deutsche Bau-zeitung 1869).

Hamilton Smith, Über den Leitungs widerst and von Röhren, nach Wahage, Dinglers’s polyt. Journal.

Hagen, Über die Bewegung des Wassers in engen, cylindrischen Röhren, Poggendorfer Annalen XXXXYI.

Heinrich Adolf, Erfahrungen bei Projektierung und Betrieb von Wasserleitungen. (Zeitschrift des öster. Ing.- und Arch.-Vereins.)

Hennessy, Proceed. R. Soc. 45, pag. 145.

73

1879

74

1883

75

1890

76

1894

76a

1899

77

1882

78

1883

79

1884

80

1883

oo oo oo oc œ œ

1846

1860

1868

1881

1900

1877, 78

III. Neuere Literatur theoretischen Inhaltes.

Thomson, J. Proceedings of the Royal Society of London Vol. XXVIII.

Möller, M. Studien über die Bewegung des Wassers in Flüssen mit Bezugnahme auf die Ausbildung des Flussprofils. (Zeitschrift f. Bauwesen, von L. v. Tiedemann, Berlin.

Möller M., Über Wasserbewegung im Strome und Gestaltung der Flusssohle. (Zeitschr. d. Arch.- und Ing.-Vereins Hannover.)

Penk, Morphologie der Erdoberfläche, Stuttgart.

Günther Siegmund, Handbuch der Geophysik.

v. Helmholtz, wissenschaftliche Abhandlungen, Leipzig, I. Band und Wiener Sitz .-Berichte Bd. 50, pag. 107, 1860.

Reynolds, O., Motion of water, Nature, Proceedings Royal Society.

Reynolds, O., The two manners of motion, Nature.

Reynolds, 0., Osborne, An experimental investigation of the Circumstances which determine whether the motion of water shall be direct or sinuous. Philosoph. Transactions of the Royal Society of London.

Poiseuille, Mémoires des Savants étrangers. Compt. rend. Bd. 15; 1842; Poggendorfer Annalen LVIII.

Hagenbach, Über die Bestimmung der Zähigkeit einer Flüssigkeit durch den Abfluss aus Röhren. Poggend. Ann. C1X.

Boussinesq, Journal de Mathématiques, Lionville, T. 13.

Auerbach, Theoretische Hydrodynamik nach den Grenzen ihrer Entwickelung, Braunschweig.

Wien, Hydrodynamik, Leipzig.

Boussinesq, Essai sur la théorie des eaux courantes. Mémoire présenté par divers savants à l’Académie des sciences, XXIII 1877; XXIV 1878.

Laufende | Nummer

Jahr

der

Publikation

Bezeichnung der Quelle

87

1872

88

1894

89

1877

90

1877

91

1877

92

1862

93

1870—1878

94

1896

95

1893

96

1897

97

1871

1872

98

1874

Zöllner, F., Über die durch strömendes Wasser erzeugten elektrischen Ströme (Berichte der k. sächs. Gesellschaft der Wissensch. Sitzung vom 12. Dez. 1872).

Kohlrausch und Heydmüller (Zeitschrift für physikalische Chemie 14. Band, pag. 320).

Clark, Über die beim Durchströmen von Wasser durch Kapillarröhren erzeugte elektromotorische Kraft. (Annalen yon Wiedemann, Bd. II.)

Haga, Über die durch das Strömen von Wasser durch Kapillarröhren erzeugte elektromotorische Kraft.

Ob erb eck, Über diskontinuierliche FJüssigkeitsbewegungen, (Wiedemann’s Annalen, Bd. II, 238. Band.)

Stefan, Wiener Sitzungsberichte 46, 1862.

Boussinesq, Comptes rendus 1870, 1871 und 1873.

Boussinesq, Lois générales du régime uniforme dans les lits à grande section. Comptes rendus de F Acad. des sciences. Paris.

Jasmund, Die Einwirkung der Flusssohle auf die Geschwindigkeit des fliessenden Wassers. Zeitschrift f. Bauwesen.

Jasmund, Die Veränderung der Geschwindigkeit im Querschnitt eines Stromes. Zeitschrift f. Bauwesen.

Moseley, Phil. Mag. (4), 42,

und 44, 1872.

O. E. Meyer, Pogg. Ann. Jubelband, pag. 1.

Weitere Literatur über diesen Gegenstand findet sich in Schlichting’s Binnengewässer (Nr. 38), in Lueger, Wasserversorgung der Städte, I. Heft (Nr. 68 oben), sowie in der bei Hirzel in Leipzig erscheinenden „Zeitschrift für Gewässerkunde“, redigiert von Professor Dr. Gravelius, Dresden.

Anhang.

I. Koeffizienten - Tabelle.

1.    Kanäle und Flüsse mit unveränderlichen Wandungen, d. h. mit konstantem Geschwindigkeitskoeffizienten,

2.    Flüsse mit veränderlicher Sohle.

an verschiedenen, besonders älteren

a)    Berechnung von k : Messungen.

b)    Berechnung von m

vl/B

VQI

i/tI t/B

An neueren und neuesten Messungen für a) Ströme, mit tI durchschnittlich gleich 0,0000926 und m im Mittel = 29,6,

ß) Flüsse und Bäche mit tI von durchschnittlich 0,000425 und m im Mittel gleich 24,9,

y) Wildwasser, mit rl im Mittel = 0,00225 und m etwa bei 17,4,

3. Normale Messungen an kreisrunden Röhren.

l/R

y

a) Berechnung von k = -3

verschiedener Messungen des Ver-

bandes deutscher Architekten- und Ingenieurvereine u. A.

y

b) Berechnung von mr = —-—- der Messungen von Darcy,

R* I²

Weis bach und Dubuat.

4. Anormale Messungen an kreisrunden Röhren von Darcy, Dubuat, Gerstner und Weis bach.

II. Wurzel-Tabelle

_    3 _ 4    8

zur

raschen und genauen Berechnung aller ]/ , V , und sämtlicher Zahlen von 0,000001 bis zu 100000000, jede Radizierung in eine Multiplikation oder Division verwandelnd.

(Für die Gebrauchsweise siehe die drei Beispiele am Kopfe der Tafel.)

1. Kanäle und Flüsse mit unveränderlichen Wandungen.

Laufende Nr.

Autor und Art

der

Nr.

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0,1820

0,976

0,976

0,976

0,976

0,976

1,018 0,993

1,338

1,984

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per Reihe, kx

per Rauhigkeitsgrad, k

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1,5

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100

203

618

1030

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150

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1545

1745

i 0,0531 0,0672 0,0975 0,116 0,120

0,814

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0,880

0.889

0,890

0,921

1,135

1,562

1,803

1,862

0,750

0,953

1,375

1,603

1,620

14,12

14,18,

14,10;

13,81

13,50

13,94

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—    0,034

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Cement mit

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0,817 0,921 0,847 1,135 0,874 1,562 0,890 1,803

0,752

0,961

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0,605

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0,0112 0,473 0,0163 0,473 0,0197 0,473 0,0245 0,473 0,0272 0,473

0,273

0,395

0,481

0,592

0,658

0,129

0,187

0,228

0,280

0,311

11,48

+ 0,043 + 0,047 + 0,038 + 0,051 + 0,051

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0,473

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0,473

0,473

0,571 0,701 0 818 0,914 1,086

0 270 0,332 0,387 0,432 0,514

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0,0330 0,475 0,918 0 0442 0,475 1,146

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2,08

2,08

2,08

100

618

208

1030

1236

1285

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2570

0,0593

0,109

0,129

0,137

0,998

0,998

0,998

0,998

0.635

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1,487

1,587

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1,255

1,484

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10,69

11,51

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1030

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0,995

0,995

0,995

0,995

0,826

1,711

2,045

2,179

0,825 1,709 2,043 2,177

10,47

11,79

11,93

11.96

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1,343

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10,30

11,32

11,55

11,52

11.17

11,68

+ 0,134 + 0,032 + 0,011 + 0,014

Laufende Nr.

Autor und Art

der

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Literatur-Nachweis Nr.

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Rechteck

839 0,0943

0,998 1,080 1,078 11,43; 0,998 2,100 2,096 12,11 0 998 2,495 2,490 12,15 0,998 2.664 2,659 12,20

11,97

+ 0.022 -0,036 — 0,039 -0,043

r—I <M CO ^ 10 io JO JO

00 00 00 00

HHHH

24

24

24

490 0,0788 3030 0145 5050 0172 6070 0,182

0,880 1,026 0,903 0,880 1,907 1.678 0,880 2,195 1,932 0,880 2,313 2,035

11,36

+ 0,040 + 0,045

JO 50 t— 00

JO 0 >0 jo

05 OS OS 05 H H H tH

to to to to ^ >4^ tf“* rf».

Rechteck 0,400 „    0,400

0,400 „    0,400

4,3

4,3

4,3

4,3

54    232    0,0615    0,796    0,868    0,691    11,23

100    430    0,0755    0,796    1,059    0,843    11.17|L,

618    2657    0,139    0,796¹    1,898    1,510    11,441n»¹⁵

721    3100    i 0.146    0,796    1,974    1,581    10,70

+ 0,040 + 0,046 + 0,021 + 0,086

CCS

CSS

to to to rf*- rfJ" ►+-

Rechteck 0,240 „    0,240

,    0,240

0.0687

0,0843

0,107

0,700 1,087 0,7611 11,08 0,700 1,290 0,903 ₍ 10,71 10,76 0,700 1,602 1,121 10,48

+ 0,054 + 0,091 + 0,114

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<M <M <M <M CM

100    150

203 304 5 618    927

0,0532

0,0673

0,0975

0,116

0,123

0,888 0,730 0,648 0,940 0,892 0,838 0,965 1,228 1,185 0,998 1,415 1,412 1,010 1,485 1,500

12,18 12,451 12,15112,43 12,17 12,19

11,68 - 0,041 -0.062

—    0,039 I-0,040

—    0,042

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1,090 ! 0,9451 11,991 1,436 1,271 12,751

490 10,0788 0,867 990 0,0997 0,885 3030 0,145 0,932 0,9851 1,850 12,76|| 12,68 5050 0 172    0,964 2,308, 2,225 12,94

6070 0,182 0,977 2,416 2,360 12,97

-0,026 -0,082 — 0,085 -0 097 -0,100

<M CO ^ JO «O t- 00

C- t— C— C- C— c— t'-

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Dreieck    0,282    4,9

0,364 4,9 „    0,473    4,9

0,555 4,9 0,620 4,9 0,676 4,9 „    0,723    4,9

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0,0788

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0,863

0,887

0,907

0,922

1.258

1,531

1,837

2,008

2,143

2,257

2,363

0,917

1,190

1,523

1,733

1,901

2,047

2,181

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33JL$JL$ä.

JH

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+ 0,003 -0,021 — 0,033 -0,023 -0,023 -0,018 -0,025

00 00 00 00 -1 co to •—¹ o «o

to to to to to

05 O © 05 05

24 Halbkreis 0,390 1,5 0,450 1,5 0,660 1,5 0,695 1,5 0,700 1,5

24

24

24

24

100    150    0,0531 0,791

203    304    0,0672 0,819

618    927    0,075 0,901

1030 1545 0,116 0,913 1236 1854 0,123 0,915

0,7951 0,629 0,984 0 806 1,374 1,238 1,579 1,442 1,660 1,519

-0,014 -0,025 — 0,080 — 0,060 -0,054

84 Christen, Bretter ungehobelt, an der Sohle quergestellt 1

85

Rechteck

0,425 10,0 215,4 2154 0,1291 0,807511,69 1,365 10,57 1A 0,425 10,0 173,8 1738 0,1202 0,8075¹ 1,57 1,266 10,54 ¹⁰>55 10>⁵⁵

+ 0,002 -0,001

80Ô088    8

Bazin, Quadersteine

0^>

CO CO co co

Trapez

i»

0,6240

10,6305

0,6365

p_i—I pp 00 00 00 00

©HOiO (Nl>MO CO © OS Ol

2640

5435

7610

9760

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I—‘ «O CO tf». -a os oc

0,885 0 889 0,891 0,893

1,746

2,293

2,495

2,666

pp pp

JOM COh

3388

11.19

+0,0384

sa +;s

+0,045

11,12

1₂    24 Rechteck 1,295 0,84 4070 3420 0,151 1,0671 1,693 ! 1,806j 11,96 11,96 j

-0,028

Laufende Nr.

Autor und Art

der

Nr.

Wandung

Literatur-Nachweis Nr.

im Durchschnitt

Profil B

1000 I

1000 Q

1000000 QI

j/QÏ YB v

4_ îT®

Vl/B V-QI

::

per Reihe, kj

per Rauhigkeitsgrad, k

k — k₀

co co co CO 4- CO to

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CO 00 CO CO

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„    0,9555

„    0,9555

0,0788 0,989 0 839 0,829 0,145 0,989 1,626 1,608 0,172    0 989 1.973 1,951

0,182    0,989 2,047 2,024

O I—t i—i r—(

HHHH

11,02 11,02

, + 0,04 t — 0,006 - 0,028 -0,009

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Bazin, Bruchstein

bestochen

co oo co co to to to to

rH rH rH rH

O O O O

rH rH rH rH

749    75649    0,423    0,977

1498 151298 0,533 0,979 2247 226947 0,610 0,980 2996 302596 0,671 0,981

3,747

4,931

5,694

6,429

0,060 + 0,012 + 0,013 + 0,024

lsi§

00 00 CO 00 CO CO CO CO

to to to to

4» 4»- 4»> 4-

2,757

3,494

4,131

4,595

2,696

3,424

4,047

4,448

8,90

8,99

9,28

9,27

+ 0,030

9.11 9,17

-0,011

Bérard, „    „

(Canal de la Yésubie)

39 Trapez 1,16    0,5    3000    1500 0,114 1,037

1,073 1,113

9,35    9,35

-0,019

104 Bazin, Bruchstein,

105

rauh

106

107

77

05 Oc 4^ CO

Trapez 0,560    29

1244 36076 0,330 0,865 1244    74640 0,421    0,865

0,560 60

0,600 12,1    1244 15052 0,247 0,880

0,510    14

1244 17416 0,259 0,845

— 0,051 -0,024 + 0,033 + 0,028

108 Grebenau, Rauher

Sandstein (Mühlgerinne b. Diemerstein)

-

<N

0,165    1,40    24 33,6    0,0323 0,637

0,42    0,268    8,28    8,28    8,49 + 0,028

109 Ritter, Bruchsteine, Canal de St. Maur

Reehteck 4,50

0,115 32210    3704 0,1547; 1,456 0,92    1,339    8,65    8,65

-0,016

IK)

i-H Ot CO

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Bazin, Packleinwand (letztere von der Breite abgezogen)

WMMMM

£££££

Rechteck

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OO OO 00 CO 00

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1-1 CO

0,0131

0,0154

0,0183

0,0248

0,0329

115

116

117

118

119

rH rH rH rH rH rH

CO CO 00 00 CO CO

to to to to to to 4- 4*- 4^ 4* 4»- 4*-

Rechteck

77

0,044 15,2 0,044 15,2 0,044 15,2 0,044 15,2 0,044 15,2 0,044 15,2

OHOW <N <M CM (M

Bazin, Kies v. 0,01/0,02

Rechteck

0.916 0,916 0.916 0 916

4,9

4,9

4,9

4,9

to to to to to to co oo -a 35    4-

27

27

24

77

77

27

27

27

27

24

24

24

24

24

jHalbkreis

0,610

0,512

0,514

0,568

0,593

1,5

1,5

1,5

1,5

1,5

1,5

iSiSi! ns! sialu

3,09

527

12.28

23,10

53,45

66,45

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0,0146

0,0174

0,0231

0.0285

0^0374

0,0405

0,458 0,209 0,458 0.251 0.458 0,381 0,458 0,494 0.458 0.647 0,458 0 681

+ 0,016 -0,037 -0,090

-    0,083 -0,030

+ 0.143 + 0,132 -0,008

-    0.056 -0,037

-    0,026

0.0788! 0 978 0,658 0.0997 0,978 0,898 0,145 0,978 1 350 0,172 0,978 1 603

0,644

0,878

1.320

1,568

8,17

s.si

9,11

9,11

8,80

9,63

+ 0,179 + 0.093 — 0,057 -0.057

0,103

0,0531

0,0623

0,0672

0,0816

0,0975

0,884 1.204 0,846 0.663 0,847 0,763 0,869 0,820 0,878 0,983 0,883 1,137

1,064

0.561

0,646

0,713

0,863

1,004

10,33

10,56

10,37

10,60

10,58

10,30

10,46

-0.068 — 0,088 -0.071

-    0,091 -0 090

—    0,065

Laufende Nr.

Autor und Art

der

Nr.

Wandung

Literatur-Nachweis Nr.

im Durchschnitt

Profil B

1000 I

1000 Q

1000000 QI

21

v VB

VQI

= ko

per Reihe, k!

per Rauhigkeitsgrad, k

k-ko

k₀

130

Bazin,

131

Kies von 1,03/1,04

132

133

134

Üi OiOt Oi Ol

TH -+*

CM CM <M CM CM

0,537 0,728 1152 1,378 1,466

6 83

7,30

7,94

8,01

8,06

-Ï

CO

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+ 0,117 + 0,045 - 0,039 -0,047 -0,053

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CO    CD CO CO

Bazin , Erde, fast

kräuterlos

!+*■ ^

CD CD CO «O

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0,0409 1,103 0,270 0,562 1,132 0,407 0,612 1,175 0,415 0,706 1,202 0,447

0,2'.*s

0,461

0,487

0,537

7,28

8,19

7,95

7,61

cd

-0,001 - 0,112

-    0,085

-    0,044

8 8333

rH 1—! 1—ł lH I—t

Grebenau,

Erde, Hübengraben „    „ Hockenbach

„    „ Lauterkanal

to tc ro ro ro

CS CS CS CS CS

Trapez

Ohhht^

1,3    152,3    198    0,0583    0,903    0 4336

0,778    422,1    328,5    0,069    1,150    0,4221

0.705    430,8    304    0,0672    1,133    0,4482

0,6317    427,3    269,9    0,0646    1,142    0,444

0,664    3364    2233    0,131 1,457 0,642

0,935 7,14

-4    -J^CS

tf*- 00 00 So to

+ 0,082 + 0,034 - 0,034 -0,075 + 0,018

143

144

145

Bazin, steinige Erde

wenig Kräuter 37 24 Trapez 1,391 0,792 „    „    „    37 24

„    „    ..    37 24

:;::l

1,677 0,808    702

1,853 0,842    1297

0,409

0,578

0,711

6.21

6,99

6,91

H

<£

+ 0,062 - 0,051 -0,040

146

147

148

wie vorige,

etwas steiniger 38 24 Trapez 1,368 0,957 38 24 38 24

327

19

1,669 0,929    680

1,998 0,986    1231

0,410

0,591

0,710

6 04

6,89

6,64

ą

co

CS

OS

CO

+ 0,098 — 0,038 -0,002

149

150

151

I—‘ t—» t—» tO IO K5

flS 4- 4-

0,326

0,449

0,559

6,31

6,75

6,99

00

cd

co“

+ 0,051 - 0,018 — 0,051

Bazin, Erde mit viel

Kräutern 36

36

24

36

24

24

0,311

0,461

0,620

5,09

5,98

6,55

OT

00

-4

Ol

00

+ 0,171 - 0,018 -0,010

Grebenau, Sohle, Erde, Speyersbach, Seiten Quadern

26

Rechteck 2,395 0,2667    1549,4    413,2    0,745 1,244 0,553

0,687

9,23

CO GI cs"

CD

lo

CO

156

N azzan i

157

Tiber zu Rom

158

l.v.i

160 Buff

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MIII

149000

205000

337000

577000

37,03 0,1306    227800

11920 0,228 2,569 0,78 16400 0,254 2,590 0,81 26900 0,300 2,605 0,95 46160 0,359 2,626 1,18 29752 0,310 2,467 1,040

2,004

2,098

2,474

3,098

2,566

8,79

8,26

8,24

8,63

8,28

3

00

-0,131 -0,075 — 0,073 -0,115 -0,077

co

iV

i_i    i_i    i—i    i    i—i

Cs    cs    OS    cs Cs    Cs

cs    C>    CO IO    I—‘

Brünings, Rhein

bei Nymwegen

„ Waal

„ Einfluss des Pannerdeenkanals

26

26

26

26

26

26

3,640

5,253

3,2so

4,456

2,724

3,579

0,31

7,18

6,54

7,05

5,67

r>.s4

+ 0,211 + 0,064 + 0,169 + 0,084

+ 0,348 + 0,309

c

1.

Laufende Nr.

Autor und Art

der

Nr.

Wandung

[Literatur-Nachweis Nr.

Profil

1000 I

1000 Q

1000000 Q I

IW

4

vyïï

im Durchschnitt

V ]/B

::

Vqi

— k₀

per Reihe, k!

per Rauhigkeits-I grad, k

k-L„

k.

I—I    |_U

-J    05 05    05

tO HOCOO —1

Humphreys u. Abbot, Mississippi

bei

Viksburg

415,9

416,3

382,0

3X9,5

bei

393,2

Columbus

337,4

0,0639

0,0540

0,0433

0,0473

0,04811

0,0680

2,118

2,080

1,074

1,694

1,926

2,121

9,565

9,395

4,748

7,526

8,576

9,091

7,30

7,76

6,80

7,53

7,45

7,16

7,97

7,64

+ 0,047 -0.015 + 0,124 + 1 015 + 0,026

+ 0,067

t— r— r-i rH

Eilet, Ohio bei Point Pleasant

J. Lat if Bey Matt o ug, Nil bei Cairo

05 to

05    05

163,52

752

0,09334

0,090

513780    47958

1800000 162000

0,363 3,576 5,451 5,24

0,766

0,82

2,739

4,297

7,55

7,88

7,71

+ 0,012

— 0,030

2. Flüsse mit veränderlichem Bett.

4

y]/B

a) Berechnung von k = — — an verschiedenen, besonders älteren Messungen.

VQI

175

176

177

178

179

180

181

182

183

184

185

186

187

Grebenau, Rhein bei der Brücke zu Basel „ bei Hochwasser,

Basel

„ Rhein bei Speyer „ Rhein bei Germersheim

Salzach, zwischen Laufen u. Wildshut „ Saalach, Stauffen-ecker Brücke

” Isar bei Grosshesselohe

” Elbe bei Magdeburg

Chesapeake Ohio-Speisekanal

Mississippi-

Kommission

05050505    0?05    05    05    05 05    05

to to

05    05

90,0

1,25

648000    810000 0,932

3,08

1,500

4,62

4,96

90,0

1,00

219,45 0,112

114,08 0,247

57,35 0,36

9,19 1,0357 10,87 1,1364

3442820

1168510

3442820

130873

1,51

3,08

0,503

3,849

2,700

0,887

8,32

5,50

1182000    292000 0,663

309960    111585 0,487

5321

5321

5511

6046

0,177

0,182

3,268

2,752

1,741

1,816

1,540

1,257

0,658

0,601

3,414

5,033

3,459

1,146

1,091

23,3:»

2d

2,5

•is

48

0,254

0,363

34287

217003

294000

639000

85717

542507

74676

231957

0,441

0,815

0,421

0,614

2,198

2,264

2,632

2,632

1,226

2,189

1,15

1,63

2,695

4,956

3,027

4,290

3,505

3,505

0,6985

0,6985

10383,5

10211,8

7253

7133

0,194

1,368

6,78

7,59

7,19

6,47

6,00

6,11

6,08

7,19

6,99

INI

0,192

1,368

0,924

0,830

1,264

6,51

1,135

5,91

v

—-— an neueren und neuesten Messungen.

fn Yb

/» QAIJ    ß    g

(Für den Nachweis der Formel m =    ----oder v ='6,307 y# siehe Tabelle § 20).

ftl

b) Berechnung von m =

Laufende Nr.

Gewässer

Jahr

Ort

Literatur-

Nachweis

Nr.

100 I 100 ri ]/ri B

5f

per

Messung

„ im Durch-ö schnitt

m₀-m

m₀

1. Wildbäche. 188 Kander

1895 Spiezwyler

189

190

1895

Eidg.

hydrom.

Bureau

0,417 0,676    0,282    0,0531 4,825    1,218    0,963 14,88 17,41 -0,170

1898

0,366    0,676    0,247    0,0497    4,825    1,218    0,875 14,58    17,41    -0.194

0,576    0,188    0,108    0,0329    5,000    1,223    0,693 17,23    17,41    +0,010

Laufende Nr.

Gewässer

Jahr

Ort

Literatur-

Nachweis

Nr.

100 i

100 TI

y zi

Vb

per

Messung

im Durch-“ schnitt

m₀—m

m₀

191

192

193

Simme, kleine „ grosse

1895

1897

Zweisimmen

194

1895

195

ÎÏÏS

196

197

1879

1880

1879'

Lenk

198

199

200

Hinterrhein

1890|

1898

201

202

1898

1899

203

1898'

1*99

Ziîlis Th u sis

Rothenbrunnen

204

205

1897

206

1897

207

208

209

210

211

212

Vorderrhein mit Schwimmer

Vorderrhein mit Flügel Vereinigter

Rhein

Vorder-Rhein

1899

1899

1899

1899

1894

Reichen au

Hanz

213

214

Rhein

1897

1898

1898

Reichenau

215

1899J

216

1899,

217

218

Eger

,1876!

219

1876;

Felsberg

Tardisbrücke

Warta

220

221

222

Moldau

11876'

1876

1877

223

1877

Budweis

224

Donau

1877

1894

Fridingen

o oo co w co co co ^Schweizerisches hydrometrisches Bureau | | | l II I I

0,50

2,00

1,45

0,65

0,42

1,15

0,97

0,45

0,32

0,490

0,851

0,613

0,476

0,998

0,631

0,981

0,707

0,935

0,384

0,368

0,926

0,879

0,463

0,797

1,041

1,169

0,871

0,278

0,508

0,304

0,385

0,929

1,135

1,593

0,36

0,63

0,63

0,63

0,50

u.;,u

0,50

0.5« »

0,158

0,017

0,241

0,288

0,469

0,148

0,116

0,071

1,000

0,915

0,409

0,264

0,575

0,485

0,225

0,100

0,956

0,639

0,514

0,758

0,696

0,474

0,160

0,0774

0,0145

0,1477

0,137

0,400

0,470

0,093

0,1140

0,0502

0,0278

0,0120

0,0384

0,0370

0,0686

0,0305

0,0338

0,0224

0,240 0,244    0,0473

0,295 0,1133 0,0337

0,239    0,0879 0,0296

0,0701 0,06490 0,267    0,2350

0,126    0,0583

0,052    0,0414

0,265 0,276 0,155 0,1812 0,0856 0,0746 0,8699 0,2419 0,3352 0,1703 0,0960 0,0292 0,0748 0,0288 0,320    0,2973

0,167 0,1895 0,105    0,1673

0,5300 0,1907

0,02545

0,0485

0,0241

0,0203

0,0525

0,04244

0,02731

0,0492

0,4130

0,0171

0,0170

0,0545

0,0435

0,0409

0,04366

-\s7

5,53

5,46

5,44

3,37

3,28

8,22

2,96

6,05

8,54

15,75

15,16

23,75

16,73

13,63

16,17

22,80

11,50

19,80

18.44 24,64 18,03 23,16 27,95

25.45

18,86

20,36

14,27

35,69

30,51

15,62

22,52

23,90

15,10

1,140

1,236

1,235

1,235

1,163

1,158

1,155

1,144

1,253

1,307

1,411

1,405

1,486

1,422

1,386

1,416

1,478

1,357

1,452

1,440

1,493

1,431

1,481

1,516

1,499

1,287

1.457

1,394

1,563

1,533

1,410

1,476

1,487

1,404

3333333333333333 3* 3 333333333333333

HHHHHHHHHHHHHHHH HH rH HHHHHHHHHHHHHHH

i +++++++1 i i i++++ +1 + ++++ m +1 i i i +1 i i

$-22-S-gfS-S-S-2§-£S-S-2 f -S-S êtf-g§fê§-2t-222-2|-S

SiiSiiigiggliSiiiSiiSiSSliSSiiiiSSiiSSig

2. Flüsse.

Sense

Saane

Emme

Aare

Limmat

Reuss

Rhone

Rhein

Tarnina

Eger

1898

1897

1898

1899

1897

1898

1898

1891

1899

1898

1896

1895

1900

1898:

1900

1900

1887

1893

1893

1899

1899

1887

1898

1887

1887

1867

1898

1876'

1876

1876

1876

1876

1876

1876

1876

1876

1876

1876

1876

Laupen

Schwarzwasser

Laupen

Kirchberg

Rüderswil

Olten

Aarberg

Döttingen

Bern

Thun

Wangen

Baden

Mellingen

Gisikon

Luzern

Porte du Scex Outre Rhône >» »

La Plaine

>> »

Porte du Scex

Haldenstein

Flurlingen

Nol

Basel

Ragaz

Falkenau

Schweizerisches hydrometrisches Bureau

COOOOOCOCOGOOSCOCOWGOW

0,323

0,608

0,318

1,985

0,479

0,465

0,453

1,082

0,757

1,434

0,934

0,729

1,721

0,893

1,050

0,81

1,63

0,189

0,060

0,218

0,420

0,0265

0,0240

0,0220

0,121

0,166

0,083

0,110

0,082

0,023

0,032

0,0373

0,1204

0,0064

0,0460

0,1090

0,1490

0,1227

0,1236

0,1002

0,0811

0,016

0,016

0,1218

0,311

0,1866

0,1708

0,0896

0,0891

0,0427

0,0213

0,0213

0,0231

0,0132

0,0036

0,0020

0,0610 0,0247 0,0365 0,0191 0,068    0,0190

0,834    0,0913

0,0127 0 0113 0,0112 0,0106 0,0100 0,0100 0,131    0,0362

0,125    0,0354

0,119    0,0345

0,103    0,0321

0,0598 0,0245 0,0396 0,0199 0,0286 0,0169 0,03918 0,01979 0,0976 0,0314 0,01043 0,01021 0,04746 0,02177 0,0755 0,02748 0,3399 0.05825 0,2070 0,04623 0,2432 0,04927 0,0971 0,03115 0,0556 0,02357 0,0325 0,0180 0,0343 0,0185 0,2592 0,0509 0,0575 0,0240 0,112    0,0335

0,103    0;0321

0,065    0,0255

0,0468 0,0216 0,0328 0,0181 0,0214 0,0146 0,0201 0,0142 0,0146 0,0121 0,0146 0,0121 0,0043 0,0066 0,00214 0,00463

1,032 0,692 2,280 1,687 1,968 0,969 0,686 2,029 2,146 2,128 0,185 0,600 0,605 0,726 0,526 0,768 1,003 0,946 0,634 1,109 1,206 1,069

0,728 0,0027 0,00196 0,00443

5,570 6,100 22,33 19,35 3 450 3,230 3,235 44,00 28,15 53,80 26,74 14,27 33,38

16.54 22,63

25.55 30,44 29,08

30.73 40,00 33,00 46,40

35.73 23,57 50,25 42,23

100,63

5,58

18,35

20,05

19,32

15,52

14,86

16,20

15,25

14,27

15,97

18,80

12,75

14,69

1,240

1,253

1,686

1,448

1,167

1.157

1.158 1,605 1,518 1,646 1,508 1,394 1,550 1,420 1,476 1,498 1,545 1,524 1,535 1,585 1,548 1,615 1,5641 1,485 1,632 1,599 1,779 1,240 1,439 1,455 1,448 1,409 1,401 1,416 1,406 1,394 1,414 1,443 1,375 1,399

0,535

0,429

0,702

3,449

0,368

0,342

0,321

1,304

1,149

1,227

0,706

0,540

0,922

0,666

0,615

1,221

0,665

0,934

1,016

2,54

1,568

1,993

1,266

0,810

0,904

0,864

1,945

0,376

0,645

0,585

0,506

0,868

0,622

0,437

0,492

0,783

0,401

0,313

0,521

0,663

- ISgilfeaSgSæggUgliiBiëSIgg-lil-ü

'o'co'cd'co'co ««(o®« cd co"cc CO CO CO CO CO CO CO CO CO CO CO CO CO CO cO CO cO CO cO cO CO CO CO «O

i i i++++1 i i 11++1+++1 +1++1++1 +1 i i +1 i i +1+++

Laufende Nr.

Gewässer

Jahr

Ort

Literatur-

Nachweis

Nr.

100 I

100 TI

j/r I

8_

Iß

per

Messung

im Durch-° schnitt

m₀—m

m₀

^    węococococococococococococowcoęcęoęoęoęoęoęoęotoiototototoio to totototoiotototototototo totototototototoiotcrorctororo

Eger

Sazawa

Elbe

Kocher

Murr

Neckar

Feistritz

Donau

Donaukanal

Donau

1876

1876

lsTr,

1876

1876

1877

1877

1877

1877

1877

1877

1877

1877

1877

1881

1885

1885

1885

1885

1885

1885

1886

1885

1892

1892

1885

1883

1883

1893

1893

1893

1885

1885

1886

1884

1885

1896

1899

1890

1894

1894

1889

1892

1892

IS'.".»

1894

1894

1894

1894

1894

1894

1894

1894

1894

1899

1899

1899

1899,

1899

1894

1894

1894

1894

1893:

189<

IN'.*

1899!

1899,

1899,

1899,

1899;

1899

Falkenau

Porlc

Tetschen

Herrns-

kretsehen

Rosslau

Magdeburg

Sobieslau

Galliner

Durchstich

Galliner

Durchstich

Mühlberg

Grosszschepa

Bartelsweder

Hämerten

Künzelsau

Steinheim

Klingenberg

Untertürkheim

Förtschach

Beuron

Zell

Munderkingen

Hundersingen

Berg

Donaukanal

Gögglingen

Steinheil

Ulm”

Kaiser-Franz-

Joseph-Brücke

0,904

0,378

0,928

0,342

0,966

2,88

2,48

2,27

1,81

1,67

1,37

1,13

1,08

1,08

2,096

2,096

1,130

1,881

1,906

1,810

1,806

1,999

1,850

1,51

1,39

0,51

1,120

1,851

1,459

2,225

2,983

1,334

1,876

2,498

1,347

2,525

2,123

1,080

2,243

4,258

0,90

0,73

1,14

1,06

1,48

1,93

1,31

1,50

0,756

1,03

0,87

1,45

1,07

1,98

0,63

1,09

U,su

1,42

2,27

3,47

4,77

5,94

0,60

1,36

0,96

1,38

0,75

0,93

1,15

3,40

3,58

4,76

3,60

4,51

4,94

0,0020

0,0474

0,0092

0,024

0,0068

0,0730

0,0730

0,0720

0,0670

0,0640

0,0580

0,0520

0,0520

0,0510

0,0315

0,0267

0,0400

0,0230

0,0215

0,0220

0,0213

0,0180

0,0120

0,0360

0,0360

0,0376

0,0300

0,0225

0,0080

0,0151

0,0185

0,0143

0,0200

0,0254

0,0150

0,0139

0,0179

0,0300

0,0184

0,0240

0,0260

0,0075

0,0165

0,0054

0,0080

0,0220

0,0060

0,0200

0,0100

0,0812

0,0430

0,0292

0,0280

0,0600

0,1020

0,1020

0,0730

0,0980

0,0207

0,0345

0,0351

0,0391

0,0360

0,1770

0,0940

0,1200

0,0860

0,2700

0,1200

0,0780

0,0412

0,0508

0,0557

0,0602

0,0550

0,0500

0,00181 0,00426 0,0177 0,0134 0,00854 0,00924 0,00821 0,00287 0,00657 0,00256 0,2102 0,0459 0,1810 0,0426 0,1634 0,0404 0,1213 0,0348 0,1069 0,0327 0,0795 0,0282 0,0588 0,0243 0,0562 0,0237 0,0551 0,0235

0,0660 0,0257 0,0559 0,0237 0,0452 0,0231 0,0433 0,0208 0,0410 0,0202 0,0398 0,0173 0,0385 0,0196 0,0359 0,0190 0,0222 0,0149 0,0544 0,0233 0,0504 0,0225 0,01917 0,0138

0,03360 0,01831

0,04164 0,0277 0,01162 0,01076 0,03336 0,01832 0,0552 0,02348 0,01907 0,01380 0,03752 0,01935 0,06323 0,02520 0,02021 0,01420 0,0351 0,01872 1,03801 0,01948 0,0324 0,0180 0,04127 0,0203 0,1022 0,0319 0,0234 0,0153 0,0055 0,0074 0,0188 0,0137 0,0057 0,0076 0,0118 0,0109 0,0425 0,0206 0,0078 0,00883 0,0300 0,01730 0,00756 0,00863 0,0836 0,0290 0,0372 0,0193 0,0424 0.0206 0,0303 0,0175 0,1189 0.0345 0,0643 0,0253 0,1112 0,0333 0,0585 0,0242 0,1392 0,0373 0,0465 0,0215 0,1160 0,0340 0,1220 0,0349 0,1862 0,0431 0,2137 0,0462 0,1061 0,3259 0,1279 0,3572 0,1152 0,03392 0,1187 0,0343 0,2025 0,04504 0,1116 0,03340 0,0897 0,02992

0,1401

0,1818

0,2651

0,2166

0,2754

0,247

14,43

22,90

26.45

43.45 25,15

72,5

70,4

69,2

65,4

63,6

59,3

57,1

56,1

52,7

60,2

55,35

50,00

62,10

«12,3

31,5

62,0

59,3

31,5

57,8

57,8

20,4

50,0

52,8

57,5

58,6

56,5

54,0

56,3

57,3

68,0

72,0

75,3

81.25 160,0 374,9

11.25 11,15

6,55

r,,;,u

26,1

26,3

17,3

17,3

12,8

12,75

13,45

15,85

14,02

15,05

18,00

19,15

18,05

23,80

19,85

24,40

24.90

26.90

29.91 25,05 26,62 33,65 34,25 39,15 40,00 41,20

0,03742 68,65 0,04261 131,05 0,05143 133,25 0,04660 345,80 0,05242 395,90 0,04966: 402,25

1,396

1,479

1,506

1,618

1,496

1,708

1,702

1,698

1,687

1,681

1,666

1,658

1,654

1,642

1,669

1,651

1,631

1,676

1,676

1,539

1,675

1,666

1,539

1,661

1,661

1,458

1,632

1,640

1,658

1,662

1,655

1,648

1,654

1,658

1,694

1,706

1,717

1,733

1,879

2,100

1,353

1,352

1,265

1,264

1,503

1,505

1,428

1,428

1,375

1,373

1,385

1,546

1,390

1,403

1,597

1,654

1,435

1,780

1,453

1,795

1,807

1,509

1,528

1,495

1,508

1,553

1,556

1,582

1,587

1,593

1,695

1,839

1,842

2,076

2,111

2,117

0,544

0,578

0,250

0,413

0,253

1,75

1,63

1,48

1,21

1,16

0,98

(»so

0,82

0,81

1,11

0,820

0,769

0,872

0,910

0,720

0,850

0,811

0,692

0,730

0,758

0,230

0,743

0,956

0,511

0,757

1,045

0,587

0,828

1,131

0,690

0,856

0,799

0,728

0,910

1,086

0,37

0,24

0,12

0,42

0,58

0,28

0,56

0,271

0,72

0,67

1,09

0,59

1,12

0,46

0,97

0,70

1,25

0,63

1,27

1,40

1,98

2,62

<»s;;

1,23

1,03

1,30

1,06

1,19

1,45

1,52

2,01

2,51

2,40

2,41

2,49

91,48

29,21

19,44

31,10

66,06

22,32

22,48

21,57

20,61

21,12

20,85

19,85

20,92

20,98

25,88

20,97

22,14

25,01

24,70

27,02

25,89

25,61

30,14

18,86

20,28

11,43

24,83

21,37

28,40

25,22

28,74

26,18

25,82

27,16

28,67

26,29

23,87

23,33

23,86

16,21

17,87

24,00

17,31

12,56

25,64

18,71

22,26

22,67

22,66

18,08

25,06

34,20

24,26

23.13

11.37 17,60

20.17 18,82 20,12 20,78

22.18

30.38

37.13 17,04 22,82 19,55 19,35 14,85 22.40 36,76

23,87

25,63

25,88

24,79

24,10

23,66

jgjgjg&jąss    g!g!g!g!glg!g!g!glglg:g:g!g

gggggg 8888888888888888888888888888888888888 8 88 8'8 8 8 888888888888 88888888888888

+ 0,728 + 0,147 - 0,282 + 0,199 + 0,623 - 0,116

+ 0,037 - 0,188 — 0,126 + 0,004

—    0,037 + 0,078 4- 0,037 + 0,027 + 0,173

—    0,321 _ 0,229

—    1,180

- 0.004

— 0,166 + 0,123 4- 0,119 -h 0,133 + 0,048 + 0,035 + 0,083 + 0,138 + 0,052 -0,044 — 0,068 -0,044

—    0,288 _ 0,678 — 0,112 + 0,322

-0,044 + 0,028 + 0,037 -0,005

-    0,034

—    0,053

Laufende Nr.

Gewässer

Jahr

Ort

Literatur-

Nachweis

Nr.

100 I 100 T I

yvr

tci

per

Messung

im Durchschnitt

m₀-m

m₀

sill M £Sli§§äiiiSi§§SiSsiiSSiiggg£ggSg§§gS8iS8£i8lg3

Donau

Drau

3. S t r ö m e. Elbe

Havel

San

Wolga

Donau

1897|

,1897

'1897t

1 S-.iT

1897,

1899,

1884

1884

1884¹

1884

1884¹

1884'

1897

1897

1884

1881

1895

1895,

1892

1885

1885

1893

1893!

1893,

1893

1893

1885

1885

1885

1895

1895

1897

1897

1897

1890

1890;

11888

90|

.1888

;18

1889

1890,'

1889,

'1889

1889

1894

1894

Kuchelau

Wiener

Durchstich

Villach”

Lenzen

Darchau

Artlenburg

Altengamm

Dom

Havelsberg

Torgau

Schö

na

Kötschenbroda

Barby

?»

Havelsberg

Badomischl

Grabowice

Rzuchow

Ujscic

Szamara

1*

Shiguly II Scheer

3382? 888

2,39 0.0550 0,1315 3,28 0,0550 0,1803 4,22 0,0486 0,2051

2,31 0,0630 0,1455 3,41 0,0573 0,1954 1,904 0,056    1,1066

0,03642

0,04244

0,04525

0,03812

0,0442

0,03260

143,25

145,00

214,00

135,95

139,50

27,05

1,860

1,864

1,956

1,848

1,856

1,510

1,69    24,90    24,92    -0,001

1,94    24,49    24,92    -0,017

2,02    22,78    24,92    —0,094

1,55    21,88    24,92    -0,140

1,93    23,50    24,92    -0,060

1,066 21,64 24,92 —0,152

2,23 0,0050 0,0111 0,0105

2.20    0,0050 0,0110 0,0105 3,744 0,0128 0,0479 0,0219 2,577 0,0118 10,0304 0,0174 2,529 0,0121 i 0,0304 0,0174 2,470 0,0113,0,0279 0,0167 1,210 0,0140 ‘0,01694 0,0130 1,210 0,0140 0,01694 0,0130 1,520,0,0020 1,470,0,0020 2,642 '0,0089

5.333    0,0152 1,26 0,0070 1,28 0,0029 1,07 0,0074 1,68 0,0019

1.21    0,0120

1.333    0,0223 1,708 0,0172 1,350 0,0153 2,084 0,0185 2,508 0,0233 1,285 0,0029 2,855 0,0090 3,436 0,0089 1,4911 0,0181

1.583    0,0183 2,130 0,0213 1,07 0,0074 1,68 0,0019 0,640 0,0345 0,970 0,0065 1,42 0,0020 1,82 0,0015

11,536 0,0051 8,965 0,0044 7,058 0,0042 6,847 0,0033 5,337 0,0032 5,808 0,0028 4,453 0,0024

6.583    0,0042 13,574 0,0017 10,604 0,0014

1,37 0,0120 1,98 0,0130

61.25

58.25 310,75

310.75

309.75

213.75 212,40 126,50

0,00304 0,0130    126,50

0,00294 0,00542 136,25 0,0235110,00943 139,2 0,08110 0,02852 295,5 0,00882.0,00939    80,80

0,05883 0,0242 0,03945 0,0198 0,02964 0,0172 0,0226 0,0150 0,01710 0,0131 0,0163 0,0128 0,0107 0,0103 0,02765 0,0166 0,02307 0,0152 0,01484 0,0122 0,01640 0,0128 0,0254 0,0160    15,15

80,9

693,3

674,0

648,2

636.6 616,9

607.1

557.6

922.2 1332,7 1308,3

5,08

0,612 34,81 29,63 +0,149 0,582 33,35 29,63 +0,112 0,853 19,01 29,63 —0,559 0,848 23,79 29,63 -0,245 0,801 23,56 29,63 -0,258 0,775 23,75 29,63 +0,248 0,586 24,62 29,63 -0,203 0,579 24,33 29,63 —0,218 0,413 40,56 29,63 +0,269 0,441 44,10 29,63 +0,328 0,668 38,21 29,63 +0,225 1,17    20,16    29,63    -0,470

0,569 34,99 29,63 +0,153 0,636 60,29 29,63 +0,509 0,455 33,79 29,63 +0,123 0,321 37,45 29,63 +0,209 0,546 27,30 29,63 —0,085 0,723 25,50 29,63 -0,162 0,881 30,96 29,63 +0,043 0,515 20,60 29,63 -0,438 0,746 22,78 29,63 -0,257 0,944' 23,56 29,63 - 0,258 0,380 36,08 29,63 +0,179 0,824 29,90 29,63 +0,009 1,024! 31,59 29,63 +0,062 0,7871 27,66 29,63 —0,071 0,816 27,69 29,63 —0,070 0,887! 24,23 29,63 -0,223 0,455; 33,79 29,63 +0,123 0,321 37,45 29,63 +0,209 0,530 ! 20,50 29,63 - 0,445 0,484 40,56 29,63 +0,270 0,353' 41,09 29,63 +0,279 0,289! 35,04 29,63 +0,154 1,2591 22,95 29,63 —0,291 1,089 24,37 29,63 - 0,216 0,954 24,69 29,63 -0,200 0,871 25,91 29,63 -0,144 0,755 25,82 29,63 -0,109 0,677 23,74 29,63 —0,248 0,557 24,54 29,63 -0,207 0,765 19,63 29,63 —0,509 0,961 25,72 29,63 -0,152 0,866 28,95 29,63 -0,023 0,50    31,85 29,63 +0,070

0,74 32,87' 29,63 +0,099

3. Normale Messungen an kreisrunden Röhren.

a) Berechnung von k =

verschiedener Messungen aus Ibens Werk.

Vf

Laufende Kr.

Gerinne

Versuch-Nr.

Literatur-Nachweis-Nr.

k=JR-

1000 I

1000 Q

1000000

::

yoï

fa

vf

im Durch-

schnitt k

k°~k

ko

393 Stuttgart, Gusseisen, neu

394

395

VI 63 0,025 VI 63 0,025 VI 63 0,025

1,67 0,367    0,3064 0,0067

15,66 1,1549 9,035 0,0208 35,71    1,765 31,51    0,0316

396 Hamburg, Gusseisen

:r>7

:;-k

9,55 11,50 -0,204 48 88 9,75 11,50 -0,179 48,88 9,72 11,50 -0,183 48,88

399

400

401

402

403

ł—1 I—I I—I

<«

O OS Os GS C5 CO CC CO CO CO

0,051    6,56    5,23    17,15    0,0258

0,051    11,07    6,86    37,96    0,0336

0,076    4,59    10,9    25,01    ; 0,0292

0,076 16,21 21,8 176,6 j0,0561 0,076 30,27 ₍ 29,4 444,9 ,0,0763

0,475 0,64    0,304

0,475 0,84    0,399

0,525 0 598 0,314 0,525 1,199 0,629 0,525 1,621 0,851

11,80

11,88

10,73

11,22

11,15

+ 0,025 48,88 + 0,032 48,88 — 0,072 48,88 -0,025 48,88 -0,031 48,88

404

405

406

«<

63 0,076 63 j 0,076 63 ! 0,076

jèjSÏS

00 -a CD

22,76 0,0283 i 0,525 0,71    0,373    (13,18) 11,50    —    48,88

460,3    0,0772    0,525    1,69    0,887    11,35    11,50    -0,013 48,88

1644,6    0,1180    0,525    2,66    1,397    11,84    11,50    +0,029, 48,88

i - oo o o t-h ca cc

O O O rH rH I—I rH Th Th rH Th Tt< -<tl

Stuttgart, Gusseisen rein, geteert

HHWHH HM

hhhhhhh

HHHMHHn

63 0,1276 0,781 17,53 63 0,1276 1,166 21,19 63 0,1276 1,322 22,98 63 0,1276 1,339    23,07

63 0,1276 2,150    29,14

63 0,1276 3,223    35,44

63 0,1276 4,596 41,09

io ca io o oo -H o

©0000©05l> o' o' r-T r-f o' o' o'

i—I r—I rH i—I i—I rH rH

§ jo

t-H H tH tH rH rH rH rH rH iH tH rH rH rH

-    0,050, 69,20

-    0,063 69,20 -0,041 69,20

-    0,045! 69,20

-    0,047 69,20 -0,051; 69,20

-    0,073 69,20

417 Hamburg, Gusseisen, neu, geteert

U*

419

420

421

422

423

424

425

426

xxxxxxxxxx

cocoeocooocococococo

cp çp Çp Çp <^0 CO CO CD CO CD

0,1525 7,000 107,6 376,6 0,1525 11,22    135,0 757,3

8,00    0,160 0,00543 0,625 0,11 0,06875

0,0137 0,625 0,26 0,1625 0 0206 0,625 0,41 0,256 0,0270 0,625 0,53 0,331 0,0330 0 625 0,66 0,413 0,0373 0,625 0,75 0,469 0,0458 0,625 0,92 0,575 0,0541    0,625 1,10 0 688

0,0722 0,625 1,47 0,919 0,0911    0,615 1,85 1,156

cf 1-T cf <m ca ca ca ca cf cf

r-łHHHHHHHHH

11,50 +0,092 69,20 11,50 +0,030 69,20 11,50 +0,074 69,20 11,50 +0,061 69,20 11,50 +0,081 69,20 11,50 +0,085 69,20 11,50 +0 084 69,20 11,50 +0,096 69,20 11,50 +0,097 69,20 11,50 +0,094 69,20

427

428

429

XIX 63 XIX 63 XIX 63

11,51 11,50 +0,001 69,20 11,71 11,50 +0,018 69,20 11,81 11,50 +0,026 69,20

430 Glasgow, Loch Katrine, rein

65

0,6095! 0,947 1,231 582,8

0,0835 0,884 1,055

0,932    11,17 11,50 -0,030 69,20

431

432

Hamburg, Gusseisen, schwach inkrustiert, schwache Knollenbildung

XI

11 XI

63

63

0,1525

0,1525

0,76    26,3

2,99 ; 52,6

9,994 0,0215 78,63 10,0428

0,625 0,36 '0,225    10,47

0,625 0,72 ;0,450 | 10,51

10,40 + 0,007 42,04 10,40 ! + 0.010 ; 42.04

Normale Messungen an kreisrunden Röhren.

167

Laufende Xr.

Gerinne

Versuch-Xr.

Literatur-Xachweis-Xr.

1000 I

1000 Q

Qi

1000000

v IR

per Reihe

ko

W]

Hs) I

im Durchschnitt k

k₀-k

-*UI

433 Edinburgh, Crawley

XYI

434 Xew-York, Panning

135

9,23 I 10,40 - 0,13 42,04 9,22 ! 10,40 - 0,13 42,04

436 Edinburgh, Colit. Pipe

437

65

438

65

65

Ci OHIMCO'f 10 50 0-

T* ^ ^ ^ ^ ^ ^    ^

IS • - ■

p

<g

Ci Ob Cb Cb Cb Cb Cb Cb Cb COCOCOCOCOCOCCCOCO

9,5

0,1525 0,42 0,1525    0,76    ! 13,2

0,1525 23,86 j 78,9

1,995    0,0126

5,016    0,0171

86,00 0,0441

290.6    i 0,0662 522,4 0,0805

903.6    ! 0,0967 1848,0 ,0,0123

161.6    0,0545 941,2 ! 0,0980

KJKJKJKJKJtOKŚtOKj

rprrppppo

OOłMOOO-JłfMM

00«DC0~4-JtO~J000S

0,0812

0,113

0,294

0,450

0,543

0,668

0,831

0,368

0,675

6,45

6,58

6,66

6,80

6,75

6,92

6,76

6,77

6,88

6,73; -0,04 6,73) -0,02 6,73 -0,011 6,73, +0,01 6,73 -0,003 6,73' +0,03 6,73 +0,004 21,88 6,73 + 0,006¹ 21,88 6,73 +0,022 21,88

21,88

21,88

21,88

21,88

21,88

21,88

Christen, Holzdeiche], gut gebohrt doch stark zerfasert 1

0,021

11,6

0,494

0,021

5,82

0,369

5,734

2,148

0,01789 0,3805 0,357 0,1358 0,01291,0,3805 0,267 ’ 0,1015

7,58

7,86

7,72 —0,02 26,88 7,72 +0,02 26,88

b) Berechnung von mr = —~-—

ni à

der Messungen von Darcy, Dubuat, Gerstner, Weisbach etc.

Laufende Xr.

Ger

Literatur-

Xachweis-Xr.

Ph

(—1

5 I

R8I2

im Durchschnitt

m₀ — m

m₀

Messingröhren, W e i s b a c li

Ol OT C7T ç£> O CD CD

82,38

82,38

82,38

82,38

Zinkblechrohr, Weisbach

59    0,01236

59    0,01236

59    0,01236

59    0,01236

4,243

1,621

0,952

0,457

458

459

Galvanisiertes Rohr, Christen

0,0203 0,01422 0,677 0,0203 0,01005 0,533

64,99    62,87 +0,033 13,61

60,75    62,87 - 0,035 13,61

460

461

Gusseisen, neu, ungeteert, Darcy

462

463

464

465

466

GO 00 00 OO 00 00 00 OO lOiOiOiOiGnOiOiO

0,0203    0,02255

0,0203    0,09547

0,04095    0,17072

0,0685    0,01260

0,0685    0,03318

0,0685    0,16756

0,094    0,00027

0,094    0,00368

© © to >-i 05 to H-* “-4 KJ 05 © “to “to+T-» Ot © 50 «O C5 O OO OOOtCOOOOÜlCOÜT

■<*1 àO <M 00 CM fM «D t-

00 00 00 Ö ©f r-t' tJT

»O »O io «O O «D lO io

Laufende Nr.

Gerinne

Literatur-

Nachweis-Nr.

nt 12

g im Durchschnitt

m₀ — m

m₀

—/I

8

Gusseisen, neu, imgeteert, Darcy

0,094

0,094

0,094

7.

0,25

Gusseisen, gereinigt, ungeteert, Darcy

0,25

0,0182

0,0182

0,0182

0,04005

0,04005

0,04005

0,1223

0,1223

0,1223

0,1223

0,1485

0,1485

0,1485

0,1485

0,1485

0,1485

0,1485

IlSIlIIilillililllüI

o o oo oVodo dododdoodoodd

1,128

2,506

4,928

55,11

56,28

0,795

56,55

1,128

0,601

0,892

1,126

0,624

1,248

1,526

0,278

1,420

2,206

4,497

0,538

0,823

1,155

1,652

2,390

2,799

3,160

53,48

52,44

53.33

54,70

55,50

54,30

54,39

53,91

45,33

49,13

49,60

48,99

51,37

52,26

51,91

51,76

51,85

51,49

51,59

56,75    — 0,030

56,75    - 0,009

56,75    - 0,004

56,75    — 0,061

56,75    - 0,083

51,84    + 0,028

51,84    + 0,052

51,84    +0,066

51,84    +0,045

51,84    + 0,047

51,84    + 0,038

51,84    - 0,144

51,84    - 0,055

51,84    - 0,045

51,84    - 0,058

51,84    — 0,009

51,84    +0,008

51,84    + 0,001

51,84    - 0,002

51,84    —0,0002

51,84    — 0,007

51,84    - 0,005

OOOOOCOCOCOCOCCOCOCOCOCDCOCOCOCOCDCDCD

OJ C4 Ol OJ OJ rH rH rH H rH rH H rH rH rH rH rH t—ł r-H rH rH rH t-H rH rH rH rH rH rH t-H rH rH rH rH rH rH rH rH rH rH rH rH rH rH

0«0 00-a05Ła^MWHO

Gusseisen, mit Depot, Darcy

ooœooœœœooooaoooœ

sss

03 tO (-*■

Weissblech. Dubuat

—    0,041 + 0,003

—    0,035

13,40

13,40

13,40

Ot Ot O* Ot Ot

Schmiedeisen, Darcy, teilweise ziemlich

rostig

58

58

58

58

58

55,80

56,80

58,05

59,35

57,68

57,68

57,68

57,68

58,41

57,68

—    0,034

-    0,015 + 0,006 + 0,028 + 0,012

12,84

12,84

12,84

12,84

12,84

4. Anormale Messungen an kreisrunden Röhren

von Darcy, Dubuat, Gerstner, Weisbach.

Laufende Nr.

Gerinne

Literatur-

Nachweis-Nr/

gemessen

log v₂ —log vt

log I₂ — log Ij

angenommen!

zu

mEïI2

ta

Obere

kritische Geschwindigkeit

509

510

Schmiedeisen, Darcy

511

512

513

514

515

516

517

518

519

520

o*o*o*o*o*o*o*o*o*o*o*o*o*

oooooooooooooooooooooooooo

p © © © © © © © © © © © © ©©©©©©©©©©©©© hhhmhi r-<Lh-1. oooooo

OT O* O* CT* O* Q* CK

0,01650

0,04399

0,06264

0,08554

0,17862

0,34426

0,00336

0,00650

0,01286

0,02389

0,03123

0,04348

0,12315

4-0,248 1,873 + 0,214 1,873 + 0,198 1,873 + 0,178 1,873 + 0,160 1,873 + 0,144 1,873 + 0,090 0,578 + 0,045 0,578 + 0,007 0,578 -0,027 0,578

—    0,043 0,578 -0,058 0,578

—    0,103 0,578

Anormale Messungen

j-

2.

rc

S3

PS

Laufende Nr.

Gerinne

Literatur-

Nachweis-Nr.

gemessen

angenommen!

ZU

mB$ll -

Obere

kritische Geschwindigkeit

522    Schmiedeisen, Darcy

523

524    Reine Gussleitungen, Hamburg II Stuttgart IV Stuttgart II

0,01975

0,01975

0,051

526

527

528

529

530

531

532

533

534

535

536

537

538

539

540

„    „    Danziger Versuche

0,051

0,0555

0,0555

0,101

0,101

0,101

0,101

0,209

0,209

0,209

0,051

0,051

0,076

0,076

0,076

0.076

541

542

543

Bleiröhren, Darcy

0*076

0.025

544

545

546

0,025

0,025

0,025

0.025

547

548

0,025

549

550

551

552

553

0,0135

0,0135

0,0135

0,0135

0,0135

0,007

0.007

555

55.1

0*007

557

0,007

558

559

Bleiröhren, Reynolds

0,007

560

561

5.12

5< 13

564

565

566

567

568

569

Glasröhren, Dubuat

570

571

572

Glasröhren, Gerstner

573

574

575

576

577

578

579

580

581

582

5s:;

Glasröhren, Weisbach Glasröhren, Darcy

584

585

586    ¹

587

5,SS

Asphaltüberzug an Blechrohr, Darcy

5*9

590

591

592

0,00635

0,00635

0,00635

0,00635

0,00635

0,00307

0,00307

0,00307

0,00307

0,00307

0,00327

0,00327

0,00327

0,0069

0,0069

0,0069

0,0055

0,0055

0,0055

0,0036

0,0036

0,0036

0,005125

0,005125

0,02484

0,02484

0,02484

0,02485

0,02484

0,0134

0,0134

0,0134

0,0413

0,0413

0,0413

0,0413

0,098

0,098

0,17553 I 2,305 0,22408 ) 2,597 0,00975 ; 0,850 0,03372 ! 1,68 0,00287 ¹ 0,405 0,00643 , 0,625 0,000377 0,222 0,000850 0,341 0,001332 0,441 0,001883 0.516 0,00059 i 0,481 0,00138    0,756

0,0574 0,2031 0,5563 0,0236 i 0,2109 0,4601 0,0268 0,2424 0,5252 0,02780 0,3125 0,5806

0,387

0,776

1,406

0,433

1,557

2,409

0,352

1,313

2,084

0,298

1,110

1,746

II111¹ Ii! II¹ liii; 1IIS ' fill! Hfl¹ ilfll: if¹1¹ i¹ Sl¹ III¹1¹ f¹1

57,68    2,079    -0,109    0,578

57,68 i    2,349    - f-----

48,88    0,751    - 0,132 0,224

48,88 i    1,397    -0,203    0,224

48,88    0,430    + 0,058 0,206

48,88    0,643    + 0,028 0,206

48,88 ¹ 0,380    + 0,416 0,088

48,88 I 0,571    + 0,403 0,088

-0,013 1,798 -0,147 1,798 -0,118 1,798 -0,130 1,798 + 0,113    3,720

3,496

0,106

0,578

0,055

8,118

8,514

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0,1425

0,1425

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0,549

0,552

0,554

0,534

0,552

0,559

0,564

0,560

0,507

0,576

0,547

0,562

0,600

0,540

0,531

6,698    + 0,103 0,117

0,642    +0,385 0,080

1,597 +0,261 0,080 2,647    + 0,232 0,080

4,065    + 0,211 0,080

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Beispiel 2. | 0,00(035 = J ¹">'° =    = 0,0513.

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Beispiel 3.

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4,25    2,0615    :

4,30    2,0736

2,0857 4,40    2,0976

2,1095 2,1213 2.1331 2,1448 4,65    2,1564

4,70    2.1679

4,75    2,1794

4,80    2,1909

4,85    2,2023

4,90    2,2136

4,95    2.2249

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4,45

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2,3238

2,3345

2,3452

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2.3664

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2,057

2,061

2,065

2,068

2,072

2,076

3,00    1,7320

3,05    1,7464

3.10    1,7607

3,15    1,7748

3,20    1,7888

3,25    1,8028

3.30    1,8166

3,35    1.8303

3,40    1,8439

3,45    1.8574

3,50    1,8708

3,55    1,8841

3,60    1,8974

3,65    1,9105

3,70    1,9235

3,75    1.9365

3,80    1,9494

3,85    1,9621

3,90    1,9748

3,95    1,9875

1,518 1,526 1,533 1,540 1,547 1,554 1,560 1,567 1.574 1,581

1,170

1,172

1.174

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2,5397

2,5495

2,5593

2,5690

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2,5884

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10,00

3,0000 3,0083 3,0166 3,0249 3,0331 3,0414 3.0496 3,0578 3,0659 3,0741 3,0822 3,0903 3,0984 3,1064 3,1145 3,1225 3,1305 3,1385 3,1464 3,1544    1,776

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Höhere Wurzeln

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5,623    100.000

4,217    46,416

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Figur 1. Allgemeine Anordnung der Versuche.

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Figur 2b. Anordnung der Piezometer bei B.

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Reihe 673, Bazin.

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Figur 4.

Geschwindigkeitskurve, Darcy, 63.

Figur 5.

Geschwindigkeitskurve der mittleren Vertikalen

Reihe 594, Bazin.

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In .Figur 3—6 geben die ausgezogene Linie die Parabel 8ter Ordnung, die hervorgehobenen Punkte die gemessenen Geschwindigkeiten an.

Massstäbe: Fig. 1: 1:31, Fig. 2: 1:6, Fig. 3—7: 1:25. Bernerkung: In Fig. 3 bedeutet v die gemessenen Geschwindigkeiten in der Vertical-,

h diejenigen in der Horizontal-Ebene.

Y erlag- toil tMOlidm Eng elmann in leip zig.

Lith. Anst. Julius Hinkhaidt, Leipzig.

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