SS

S

• -Tj

ï:

!3

É2

£32;

BÉS^SsI «

;C

. *s

v _ :

;■■’■

w$5

r; ,4f

F>

Wr-. ;•* .: ♦ ■

i/ ■

L¹

ns

-.

h I

L ^

rrrcjjé^

'

•lil

I

M

i';¹,

IP

*igSg

III

f f‘ttfI

!È

Ż!

SS

£

5B«

ÜÜ

Biblioteka

B

Politechniki Krak

owskfpj

"tri

sJätfiglisSS

~.^v;^

■BjBre&a&assaSBEsSBBfe; ••.13

■

fgSgg^

ggæsjë

l^üæig

ESHT -^^^^sSôsâS

gsgg^^St^

|l£-~    >

•f

Sss;

-- -«ijHBfes.g- gäBäMfcggteaaKs - JK«

' gBS^WS»aSWi^te

* r2 •-;•.• - SŁssp -

Äg®Sgi»|

• '

3==S£^

JT^it:-:^ ;,—^-SS-Â-W :.. iSS r . gjg

r 'îr-r^v-i ;*: ■- ss^gYSS?“■'■■":•■

- ....

• - .-^tlty- - -••

> .If-zzs&Pg^^SBZ :- ..........-

&â=

tli:®

SEëSSggg

v^Ssâg

JÊÊÊÊÊf

rrT^fclÉPP ■ -

■-V.:l^ż .. - £ -- <Ü -

*-»£?*: ■ ■s'z- ■P1!&g--^-c2.~- ; •

.: -;.—- -    -■ -L-ÿS^ -JS .'.' -

...

—»r ,;^~'

SS

-l>j

—...t-y»-. ...    •

Eÿâs=^»5

^Äasg

l^gfäSi^g^

-- ' -}3£5%''—•

ay-ag-f^ -•32£?5&3£;

-. ,j:-es®fe»3

gg^ggjp

;â

äSäfc^SgS&l:

SSÆ5-

■'

T*- •'

mmm^am

SI3§ää

mmsemm^mäSk^msäSm

t ■; - : ......

BpSpp^

feagSSgSgSr. •^~^~.-v...~--â-;.^

.-r

>    ^sea^gms* • — - .-r^f .-.. _ .    ■•• • :-â^*'

.

S?r?a3mKe?&aS~ "^•K—~ Ss^Ssj*»*

gS£

- • • '

Ss3Sj$j^*S-'f-'" • :--Z.rr-v>-c*^>'' .•..,'

3g

^.. ■ •■    ■’■ *r-"fc=c%ï_„-~a-'•'^|-- '    rrr-^.îSSê¹'^«*-'

■^llÉîiîâlâSr¹”’

^mÊÊÊL -,

WiM,

rś—iy-r. ->äSS -'

W^~§g§

ÿ£sâi!Ê0Ê§£'

iZSâ

¹ i~; :^as^T *gś

T-:., Wi8mgB5ß£ -Ä5&- j

LJJft,..

^SaSSSKfeasfes^sSS: fa. 3Ś5SS?.:;-::

U:.

SséjF

3îîr^

æl

■ ■

ÂTrd?5%

5ïs§§

g,Y,- ^

Sf

à'~. •

;m..'

,S^

^^sssfessïSïêsr^s^j^;,: -i

IwCHSS

fl

'.. - -

* =^^=5

\ ~ :. •■' r'-‘-^;- YY'"' g âà^s ' ~~ Y- ^

- -' ^S5:Â £*-"    .

..

k&ĘS

IggYY

32Ś

ïmUÊÊÈÈÊê

y-'-æ

■$pzzryrjr ~~ . - ;y^

BU ■gg^aSg-łŁai^

fS->i,^.^"- 'Y,:/

^g^gas IT^n~H~.~■"^^\t^~~r ‘'- ’ •

...

ts»w

'"r • -

S-':'-:.-:

>»    .    N*-»

>39$

■■ ••••

s.

gpii

Si

:*a

ï<

■r-Â'

,

t ¹

cr-

WYDANO STARANIEM

KOMITETU WYDAWNICZEGO NA UPAMIĘTNIENIE DZESIĘCIOLECIA STOWARZYSZENIA TECHNIKÓW W WARSZAWIE.

MECHANIKA

TEORETYCZNA

DLA

INŻYNIERÓW, TECHNIKÓW I UCZĄCYCH SIĘ

Inż. H. CZOPOWSKIEGO.

Tom ii.

CZĘŚĆ 2.

DYNAMIKA UKŁADÓW PUNKTÓW I BRYŁ

MATERYALNYCH.

WARSZAWA—1916.

SKŁADY GŁÓWNE :

GEBETHNER i WOLFF W WARSZAWIE.

GEBETHNER i SPÓŁKA

W KRAKOWIE.

KO 5>Hü7⁵‘

£>

KRAKÓW

\Q

cP

li-WM'Hä.

Za pozwoleniem cenzury niemieckiej 24/111 1916 r.

§§

SPIS RZECZY CZĘŚCI 2£* TOMU II*°.

Str.

§§

Str.

Y. Dynamika układu punktów materyalnych.

1.    Kinetyka układu punktów materyalnych.

80.    Określenie układu punktów materyalnych ..........

81.    Ilość ruchu układu punktów materyalnych .    .

82.    Pochodna względem czasu ilości ruchu układu punktów materyalnych. 177

83.    Moment ilości ruchu układu punktów materyalnych......

84.    Energia kinetyczna układu punktów materyalnych

2.    Równania dynamiczne układu punktów

materyalnych.

175

. . 175

177

. . 177

178

—85. Siły wewnętrzne

91.    Zastosowanie metody d’Alembert’a

do obliczenia równań dynamicznych 184

3. Kinetyka ruchu względnego.

92.    Określenie ruchu względnego względem środka masy

93.    Ilość ruchu względnego układu punktów materyalnych......

94.    Moment ilości ruchu względnego .    186

95.    Obliczenie analityczno-wektorowe. 188

96.    Energia kinetyczna ruchu względnego ...........

4. Równania dynamiczne ruchu względnego.

97.    Równanie dynamiczne momentów. 189

98.    Równanie równowartości pracy

względnej i energii kinetycznej ruchu względnego.......

99.    Przykład. . . . •.....

100. Przykład..........

179

. 186

186

188

189

191

195

YI, Dynamika brył materyalnych.

1. Geometrya mas.

101. Moment bezwładności bryły materyalnej względem płaszczyzny . .    198

— 102. Moment bezwładności bryły mate-ryalnej względem osi .

—103. Moment bezwładności bryły mate-

ryalnej względem bieguna .    . .    199

-104. Wymiary momentów bezwładności 200 —405. Wzajemna zależność momentów bezwładności........

106.    Momenty odśrodkowe bryły mate-

ryalnej .........

107.    Momenty bezwładności brył mate-

ryalnych względem płaszczyzn wzajemnie równoległych. .    .    .

108.    Momenty bezwładności brył mate-

ryalnych względem osi równoległych . . .........

109.    Szczególne wartości momentów bezwładności .........

-.-110. Momenty odśrodkowe bryły mate-ryalnej względem płaszczyzn rkw-

noległych........

—111 Momenty bezwładności bryły mate ryalnej względem osi, przecinają cych się w jednym punkcie .    .

—112. Elipsoida bezwładności danej bry

ły materyalnej.......

„i 13. Właściwości momentów bezwładno ści brył materyalnych ....

3. Równania dynamiczne ruchu brył materyalnych.

—124. Równania dynamiczne.....

—125. Związek pomiędzy równaniem dy-namicznem momentów i równaniem pracy.........

. . 199

201

203

. . 204

•205

206

206

207

209

211

OC ^4 O) to

oo

CM CM CM CM

231

234

243

244

245

247

251

252

256

260

264

265

266

268

268

269

270

271

273

. . 274

278

282

. . 291 . . 296

305

CO CO CO ^ Ol CO

318

321

322

323

328

338

339

340

342

343

345

346

348

353

Str.

4- Obliczenie ruchu obrotowego bryły materyalnej.

126 Ruch bryły, obracającej się około osi nieruchomej.......

127. Ruch obrotowy jednostajny .    .    .    234

— 128. Ruch obrotowy jednostajnie przyśpieszony .........23

—129. Ruch obrotowy zmienny .... 24

5 Obliczenie ruchu płaskiego brył mate-ryalnych.

130.    Warunki powstawania ruchu płaskiego brył materyalnych ....

131.    Równania dynamiczne ruchu płaskiego...........

132.    Obliczenie ruchu swobodnego figu

ry materyalnej płaskiej, poruszającej się w swej płaszczyźnie, bez udziału sił zewnętrznych lecz z początkową prędkością. .    .    •    .    .

«433. Obliczenie ruchu walca toczącego się............

134.    Obliczenie ruchu toczącego się wahadła ...    .......

135.    Obliczenie sił wewnętrznych poruszającej się bryły materyalnej .

136.    'Obliczenie ruchu początkowego i sił

wewnętrznych, jakie występują w bryle, w chwili wyprowadzenia jej z równowagi.......

137.    Obliczenie ruchu początkowego bryły w chwili nagłej zmiany ruchu . 258

138.    Przykład nagłej zmiany ruchu .    .    259

139.    Przyrząd Atwood'a......

140.    Obliczenie ruchu brył układu ma-

teryalnego.........

141.    Obliczenie ruchu układu brył o jednym stopniu swobody ....

6 0 uderzeniu się brył materyalnych.

142.    Siły chwilowe........

143 Przebieg uderzenia się brył . . . 267

144.    Określenia sposobów uderzenia się

brył............

145.    Uderzenie się brył proste i środkowe ..........

146.    Uderzenie się środkowe i proste

152.    Przyrząd Robins’a. .

153.    Uderzenie środkowe ukośne. . . 279

154.    Uderzenie się brył z uwzględnieniem tarcia .........

155.    Przykład obliczenia ruchu brył układu o dwóch stopniach swobody 286

156.    Analiza równań ruchu . .

157.    Ruch dzwonu.....

7. Ruch przestrzenny brył materyalnych.

A. Bryla, obracająca się około osi nieruchomej.

158.    Położenie wektora momentu ilości

ruchu bryły, obracającej się około osi nieruchomej, względem bieguna, obranego na tej osi ...    . 297

159.    Siły odporowe łożysk osi obrotu . 299

8. Ruch kulisty bryły materyalnej bez udziału

sił zewnętrznych, lecz z prędkością początkową.

160.    Zadanie

161.    Osi obrotu stateczne i niestateczne 309

162.    Ruch swobodnej bryły materyalnej 312

9. 0 giroskopach.

163.    Określenia i uwagi ogólne . . .

164.    Giroskop o jednym stopniu swobody

165.    Nieścisłość wzorów powyższych .

166.    Giroskop o dwóch stopniach swobody ...........

167.    Ruchy bezwładne giroskopów .    .

168.    Giroskop o trzech stopniach swobody ...........

169.    Stabilizacya wozu na jednej szynie

170.    Przykład. Ruch bąka.....

171.    Dokładne równanie dynamiczne ruchu bąka    .......

172.    Inne równania dynamiczne ruchu

bąka .    ..........

173.    Ruch precesyjny i nutacyjny. . . 174 Siła odporowa punktu podparcia

bąka...........

175.    Równania dynamiczne Ruler’a .    .

176.    Równania geometryczne Ruler’a. .

177.    Inny sposób obliczania równań dynamicznych Ruler’a......

10. Równania Lagrange’a.

178.    Równania statyczne ....

179.    Równania dynamiczne Lagrange’a. 351

180.    Przykład . .    .    •    ......

V. Dynamika układu punktów materyalnych.

1. Kinetyka układu punktów materyalnych.

80.    Określenie układu punktów materyalnych. Układem punktów materyalnych nazywamy zbiór punktów, którym przypisujemy pewne masy. Jeżeli każdy z takich punktów może być dowolnie przesunięty, niezależnie od położenia innych punktów, to układ taki nazwiemy układem punktów niezależnych. Jeżeli zaś przesunięcie choćby jednego z punktów danego układu pociąga za sobą ściśle określone przesunięcie innych puntów tegoż układu, to układ taki nazwiemy układem punktów zależnych.

Układy zależne nazwiemy zmiennemi, gdy odległości pomiędzy punktami się zmieniają; nazwiemy zaś niezmiennemi, gdy te odległości nie zmieniają się podczas ruchu punktów.

Przykładem układu zmiennego punktów zależnych jest układ planetarny; planety bowiem, gdy wyobrazimy je sobie w postaci punktów materyalnych, wzajemnie się przyciągają, i przesunięcie się jednej z nich wpływa na położenie innych; a przytem odległości ich wzajemne się zmieniają.

Układem niezmiennym jest każda bryła sztywna; w myśl bowiem danego określenia bryły, odległości pomiędzy punktami, na jakie wyobrażamy sobie rozłożoną tę bryłę, pozostają podczas jej ruchu niezmienionemi.

W naszych rozpatrywaniach będziemy mieli do czynienia wyłącznie z układami zmiennymi i niezmiennymi punktów zależnych; przytem układy zmienne będziemy krótko nazywali układami punktów, a układy niezmienne bryłami.

81.    Ilość ruchu układu punktów materyalnych. Sumę wektorową ilości ruchu punktów danego układu nazywamy ilością ruchu tego układu. Jeżeli literą mk oznaczymy masę k— tego punktu danego układu, a literą vk prędkość tego punktu; to ilość ruchu, w myśl danego określenia wyrazimy wzorem :

(189)

£ {m~k)    ■

Wzór ten przedstawimy sobie geometrycznie w postaci wieloboku, w ogóle niezamkniętego, którego boki są wektorami ilości ruchu oddzielnych punktów. Jeżeli masy punktów są wielkościami o skończonych wartościach, to i wielobok posiadać będzie boki o skończonych długościach; jeżeli zaś masy punktów będą

Mechanika teoretyczna. Tom II Część 2-ga.

nieskończenie małe, a ilość takich punktów będzie nieskończenie wielka, to wielo-bok ten zamieni się w linię krzywą. Bok zamykający taki wielobok lub cięciwa linii krzywej, jest wektorem wypadkowym tej sumy i przedstawia ilość ruchu danego układu.

Zajmiemy się obecnie wyznaczeniem wektora ilości ruchu danego układu punktów. Jeżeli znane są wielkości mas i prędkości każdego z punktów danego układu, to łatwo wyznaczyć ten wektor drogą geometryczną lub analityczną. Wektor ten jednakże, jak to zaraz wskażemy, jest w pewnym związku z ruchem środka masy danego układu tak, iż będziemy mogli go wyznaczyć z ruchu tego środka. Ażeby ten związek znaleźć, zastosujemy określenie środka masy jako punktu geometrycznego, którego położenie wyznaczą koniec wektora rs, określonego wzorem 130-tym tomu I-go:

. . (190)

m rs = £ (mk. ")    .    .

Dowiedliśmy już (w § 158-ym tomu I-go), że położenie środka masy nie zależy od wyboru położenia bieguna, a zależy jedynie od wzajemnego rozmieszczenia mas poszczególnych punktów; z czego wynika’, że ze zmianą wzajemnego położenia punktów zmienia się również położenie środka masy danego układu; co też wyraża równanie 3-cie. Zadaniem naszem obecnie jest znalezienie związku, jaki zachodzi pomiędzy ruchem środka masy i ruchem jego oddzielnych punktów. Jeżeli zmienimy położenia wszystkich lub niektórych punktów danego układu, to zmieniają się również położenia odnośnych wektorów wodzących. Przesuńmy niektóre lub wszystkie punkty danego układu, i oznaczmy wektory, wyznaczające nowe położenia tych punktów dla odróżnienia od poprzednich literami z gwiazdkami, a położenie środka masy tego nowego układu wyznaczymy z równania:

= ...........

Ażeby otrzymać związek pomiędzy przesunięciami oddzielnych punktów, a przesunięciami środka układu odejmijmy od tego równania poprzednie, a otrzymamy:

m (rs* - rs) = Smk (r* — rk);

w którem różnica (rs* — rs) oraz różnice (rk*— rk) wyrażają przesunięcie środka masy i przesunięcia oddzielnych punktów tego układu. Przyjmijmy następnie, że te przesunięcia są nieskończenie małe, i rozdzielmy je przez okres czasu dt, w którym te przesunięcia zostały wykonane, przyjmując, że zostały wykonane jednocześnie; a otrzymamy związek pomiędzy prędkością środka masy a prędkościami oddzielnych punktów danego układu. Związek ten wyrazi się równaniem:

. (191)

Równanie to wysłowimy: ilość ruchu każdego układu punktów (zależnych lub niezależnych, zmiennych lub niezmiennych) równa się ilości ruchu jego środka masy; gdy wyobrazimy sobie w tym środku skupione masy wszystkich punktów danego układu.

mvs = l(mkvk) .    .

W szczególnych przypadkach, gdy np. punkty wykonują pewne ruchy, a środek masy tego układu pozostaje w spoczynku, wtedy ilość jego ruchu równa się zeru; ilość przeto ruchu np. bryły materyalnej, obracającej się około każdej osi, przechodzącej przez środek jej masy, równa się podczas tego obrotu zeru. Gdy przeto ilość ruchu równa się zeru, to z tego nie wynika, że ilości ruchu oddzielnych punktów równają się zeru, lecz wynika tylko, że suma tych ilości równa się zeru; oddzielne zaś punkty układu mogą być w ruchu, t. j. mogą posiadać pewne ilości ruchu.

82. Pochodna względem czasu ilości ruchu układu punktów ma-teryalnych. Przeprowadźmy następnie punkty danego układu do innego położenia z prędkościami różnemi od poprzednich i oznaczmy te nowe prędkości dla odróżnienia od poprzednich literami z gwiazdkami, a napiszemy na zasadzie poprzedniego równania związek pomiędzy temi nowemi prędkościami w następujący sposób:

mvs* =    ..........

Odejmijmy od tego równania poprzednie i rozdzielmy to nowe równanie przez okres czasu dt, w jakim wykonano tę zmianę prędkości, a otrzymamy równanie:

dvs

dt

• (192)

lub inaczej:

.    (193)

mps = £ (mkpk).....

gdzie litery p oznaczają przyśpieszenia odnośnych punktów.

Równanie 191-e wyraża związek pomiędzy prędkością środka układu a prędkościami oddzielnych jego punktów; równanie zaś 193-cie wyraża związek pomiędzy przyśpieszeniami tychże punktów.

Zaznaczyć należy, że związki te, wyrażone równaniami 191-szem i 193-ciem nie wynikają z żadnych praw fizycznych, lecz są bezpośrednim wynikiem określenia położenia środka masy, wyrażonego równaniem 190-tem. Równania te otrzymać również można z równania 190-ego, biorąc bezpośrednio pierwszą a następnie drugą jego pochodną.

83. Moment ilości ruchu układu punktów materyalnych. Mając na uwadze określenie momentu ilości ruchu punktu materyalnego, podane w § 26-tym części 1-ej; damy teraz określenie nast.: sumę wektorową momentów ilości ruchu punktów danego układu względem dowolnie obranego bieguna, nazywamy momentem ilości ruchu danego układu względem tego bieguna. Oznaczmy moment ilości ruchu danego układu literą M₀, a wyrazimy powyższe określenie wzorem:

(194)

W tenże sposób, w jaki określiliśmy moment ilości ruchu względem bieguna, określimy również moment względem osi, stosując do tego określenie, dane w teo-ryi momentów sił (§ 165 tomu I-ego); w tym celu należy tylko wektorowi siły nadać znaczenie wektora ilości ruchu; mając to na uwadze, wypowiemy określenie: momentem ilości ruchu układu punktów materyalnych względem osi nazywamy sumę momentów rzutów wektorów ich ilości ruchu na płaszczyznę, prostopadłą do osi, względem bieguna, obranego w przecięciu się danej osi z tą płaszczyzną.

Z twierdzenia, podanego w § 128 T. I-ego wynika, że moment ilości ruchu względem osi równa się rzutowi na nią wektora momentu ilości ruchu względem dowolnie obranego bieguna na tejże osi.

~MV ^^Ymÿvk.7k

84. Energia kinetyczna układu punktów materyalnych. Mając na uwadze określenie energii kinetycznej punktu materyalnego, podane w § 184-tym tomu I-szego, damy nast. określenie: Sumę algebraiczną energii kinetycznych wszystkich punktów danego układu nazywamy jego energią kinetyczną.

(195)

T= mkvk²);

7=S(ią“i²);

w którym druga potęga wektora prędkości oznacza mnożenie skalarne i zastępuje ' iloczyn vk.vk (§ 191-szy tomu I-szego).

Oznaczywszy literami mk i vk masę i prędkość k—tego punktu danego układu, a literą T jego energię kinetyczną; wyrazimy powyższe określenie wzorem algebraicznym:

lub też wzorem wektorowym:

2. Równania dynamiczne układu punktów

materyalnych.

85.    Siły wewnętrzne. Układem zmiennym punktów nazwaliśmy zbiór punktów materyalnych, pomiędzy którymi odległości się zmieniają. W szczególnym przypadku takiego układu, gdy zmiana ta wywołana jest siłami, występujące-mi pomiędzy oddzielnymi punktami, to układ taki nazwaliśmy układem zmiennym punktów zależnych i nazywać go będziemy krótko układem punktów materyalnych; a siły, które działają pomiędzy punktami, nazwiemy siłami wewnętrznemi.

Magnes np. i kawałek żelaza mogą być uważane za układ dwóch punktów materyalnych, pomiędzy którymi występują siły wewnętrzne; układ ten przytem podlegać jeszcze może siłom zewnętrznym, np. sile ciążenia ziemskiego.

Różnica pomiędzy siłami wewnętrznemi a zewnętrznemi jest względną; istotnej różnicy niema, jedna i ta sama bowiem siła może być w pewnych warunkach uważaną za wewnętrzną, w innych zaś za zewnętrzną. Prężność np. pary w cylindrze parowym należy uważać za siłę wewnętrzną, gdy bierzemy pod uwagę tłok i cylinder jako jeden układ, złożony z dwóch brył; należy zaś uważać ją za siłę zewnętrzną, gdy rozpatrujemy ruch tylko tłoka, wywołany tą prężnością.

86.    Prawo wzajemnego działania. Spostrzeżenia i pomiary ruchów brył materyalnych doprowadziły Newtona do stwierdzenia t. z w. prawa wzajemnego działania. Prawo to oparte jest na tern spostrzeżeniu, że żadna bryła materyal-na nie zmieni stanu swego ruchu, ażeby inna bryła materyalna nie zmieniła jednocześnie także swego ruchu. Jeżeli tłok np. cylindra parowego wykonywa pewien ruch, to jednocześnie cylinder wraz ze sztywno z nim połączonymi bryłami, a więc ewentualnie i z ziemią wykonywa także ruch (względem przestrzeni kinetycznej), - ruch przeciwny ruchowi tłoka. Zjawisko to możnaby stwierdzić doświadczalnie, zawiesiwszy np. lokomotywę na łańcuchach; wtedy bowiem zobaczylibyśmy, po puszczeniu pary do cylindrów, że podczas poruszania się tłoków, porusza się i cały korpus lokomotywy. Jeżeli dwie takie bryły wyobrazimy sobie w postaci punktów materyalnych, to zmiany ich prędkości dają się wyrazić wzorem matematycznym, stwierdzonym drogą pośrednich lub bezpośrednich pomiarów; wzór ten jest nast.:

dv₁

¹ dt

(196)

w którym ml i m₂ oznaczają pewne spółczynniki, odnoszące się do poruszających się punktów materyalnych. Zmierzywszy doświadczalnie przyspieszenie dwóch takich brył, obliczyć można stosunek spółczynników ąią,az zestawienia takich spół-czynników dla różnych brył przekonamy się, że liczbowe ich wartości są te same, które znaleźć można drogą innych doświadczeń, wskazanych w § 1-szym części 1-ej tego tomu; liczby te nazwaliśmy tam masami danych brył. Zjawisko przeto wzajemnego działania brył materyalnych daje możność obliczenia stosunku wartości mas różnych brył, i odwrotnie, daje możność obliczenia stosunku ich przyspieszeń, jeżeli ich masy są już określone z innych doświadczeń.

Mając na uwadze określenie siły, jako iloczynu z masy i z przyśpieszenia, prawo wzajemnego działania wypowiedzieć można w następujący sposób: siły wewnętrzne, występujące pomiędzy dwoma materyalnymi punktami danego układu, występują wzdłuż prostych łączących te punkty; są wzajemnie równe, a zwroty posiadają przeciwne.

Gdy scałkujemy rów. 196-te, wtedy otrzymamy równanie:

ml vt -f- m₂ v₂ — stałej wielkości.

m₁ v₁ -|-m₂v₂ = o.

W równanie to wchodzą wyrazy prędkości, które łatwo wymierzyć z doświadczeń; równanie powyższe przeto stosowane być może do obliczeń mas, jeżeli zmierzymy ich prędkości; jeżeli zaś wielkości mas są już obliczone inną drogą i prędkości są znane, to służyć one mogą do sprawdzenia doświadczalnie słuszności prawa wzajemnego działania.

Ażeby wyrazić prawo wzajemnego działania równaniami, należy wyrazić, że nietylko suma dwóch takich sił, występujących pomiędzy dwoma punktami równa się zeru, jakeśmy to wyrazili równaniem 196-tem, lecz i że suma ich momentów równa się zeru. Sama bowiem suma dwóch sił, przyrównana do zera, nie wyraża jeszcze, że te siły działają wzdłuż jednej i tej samej prostej, a dopiero równanie tej sumy łącznie z równaniem sumy momentów tych sił wyraża jednoznacznie prawo wzajemnego działania.

Jeżeli oznaczymy numery porządkowe dwóch punktów danego układu, literą i oraz literą k; to prawo wzajemnego działania wyrazimy dwoma równaniami wektorowemi:

Stałą wielkość obliczymy z początkowych warunków ruchu; jeżeli np. obydwa punkty były w początku ruchu w spoczynku (np. armata i pocisk), to równanie powyższe otrzyma postać:

Wi^-\-WKi = o; oraz Mom ( Wiik) -J- Mom (WKi) = o ;

(197)

(198)

względem dowolnie obranego bieguna.

87. Równania dynamiczne. Równaniami dynamicznemi ruchu punktów materyalnych nazywamy równania, wykazujące związek pomiędzy siłami, dzia-łającemi na dany układ punktów, a ruchami jego punktów, wywołanymi temi siła-

a wziąwszy pod uwagę równ. 191-sze; otrzymamy równanie:

d(mvs)

dt

mi. W dynamice punktu równaniem takiem było równanie dynamiczne siły w postaci :

—_d(mv)

dt

W celu wyprowadzenia twierdzeń dynamiki układu punktów z twierdzeń dynamiki punktu pojedyńczego, przyjmiemy:

1) że każdy punkt danego układu podlega prawu bezwładności, wskutek czego ruch jego obliczymy ze wzoru:

Rk —

d(mkvk) _

dt

w którym Rk oznacza wypadkową wszystkich sił tak wewnętrznych jak i zewnętrz-

dvk

nych, działających na dany punkt i wywołujących przyśpieszenie a litery mk

Cli

i vk oznaczają jego masę i prędkość;

2) że pomiędzy tymi punktami występują siły, podlegające prawu wzajemnego działania, których właściwości wyrażają równania 197-me i 198-me.

88. Równanie dynamiczne ruchu środka masy układu punktów. Na podstawie powyższego można uważać, że na każdy punkt danego układu punktów materyalnych działają wogóle: siły zewnętrzne oraz siły wewnętrzne, pochodzące od innych punktów danego układu. Oznaczmy, jakieśmy to już uczynili w statyce w § 118-tym tomu I-go, literą Pk siłę zewnętrzną, przyłożoną do k-tego punktu danego układu lub ich wypadkową, jeżeli kilka sił na niego działa; a literą Wkli siłę wewnętrzną, jaka pochodzi od z-tego punktu i działa na punkt k-ty, to równanie dynamiczne ruchu k-tego punktu, w myśl określenia siły jest następujące:

d(mkvk) .

(199;

gdzie i oznacza cyfry kolejne 1, 2, 3 ... n\ jeżeli n oznacza ilość wszystkich punktów danego układu. Ażeby wyrugować z rachunku siły wewnętrzne, napiszemy dla każdego punktu takie równanie, jakieśmy to czynili w statyce i zważywszy, że siły wewnętrzne na zasadzie prawa wzajemnego działania wzajemnie się znoszą, t. j. wziąwszy pod uwagę rów. 197-me, otrzymamy po dodaniu tych równań, równanie wolne od sił wewnętrznych w następującej postaci:

£d(mkvk)

dt

lub też w postaci:

d^(mkvk) '

dt

(200)

Równanie to, które co do swej postaci, jest jednakowe z równaniem dyna-micznem punktu pojedyńczego wypowiedzieć można w następujący sposób:

środek masy każdego układu punktów materyalnych, pomiędzy którymi występują siły wewnętrzne, porusza się jak punkt swobodny, którego masa równa się sumie mas wszystkich punktów danego układu, i na który działają siły równe i równoległe do sił, przyłożonych do oddzielnych punktów danego układu.

Takie pojmowanie równania 200-nego nadaje pojęciu punktu o masie skończonej i dynamice takiego punktu pewnej rzeczywistości.

Równanie 200-tne daje związek pomiędzy siłami zewnętrznemi, działającemi na dany układ, a zmianą prędkości jego środka masy, t. j. daje możność obliczenia ruchu środka masy danego układu, gdy dane są siły, działające na dany układ i warunki ruchu początkowego; ruchu jednakże oddzielnych punktów danego układu z równania tego nieobliczymy. W szczególnym przypadku, gdy

SPł

wtedy po scałkowaniu rów. 200-go, mamy:

'Z(mkvk) = o

00

ccn

CC

co

= o;

(201)

przyjmując, że suma ilości ruchu danego układu w początku ruchu była równa zeru. Jeżeli np. mamy zbiór punktów materyalnych, na które nie działają siły zewnętrzne, które jednakże wzajemnie się przyciągają lub odpychają podług jakichbądź praw i jeżeli w pewnej chwili punkty te były w spoczynku, to wskutek działania sił wewnętrznych otrzymują one w każdej chwili takie prędkości, że suma wektorowa ich ilości ruchu utworzy wielobok zamknięty; lub też, mając na uwadze rów. 200-tne, wyrazimy to zjawisko nieco inaczej: ruch punktów takiego układu będzie taki, że środek jego masy (jako punkt geometryczny), będzie pozostawał w spoczynku.

Przykładem takiego układu punktów służyć może bomba, rozpękająca się wskutek sił wewnętrznych na części, które przyjmiemy za punkty materyalne o różnych masach i różnych prędkościach. Jeżeli bomba w chwili wybuchu pozostawała w spoczunku, to ruch jej części w chwili wybuchu będzie taki, że suma ich ilości ruchu uczyni zadość równaniu 201-szemu.

Przebieg takiego ruchu wysłowić możemy w następujący sposób: jeżeli na dany układ punktów materyalnych nie działają siły zewnętrzne, a tylko wewnętrzne, to ilość ruchu danego układu podczas ruchu punktów zostaje zachowaną; lub inaczej,— to ilość ruchu środka masy tego układu zostaje zachowaną.

89. Równania dynamiczne momentów. W celu zupełnego wyrażenia właściwości wzajemnego działania sił wewnętrznych, jakie występują w układach punktów materyalnych; należy jeszcze zastosować do obliczenia ruchu punktów każdego układu równanie momentów sił wewnętrznych, t. j. rown. 198-me. W tym celu weźmiemy pod uwagę równanie 199-te, które wyraża, że suma sił zewnętrznych i suma sił wewnętrznych, działających na &-ty punkt danego układu, równa się wektorowi mkpki który w ten sposób jest wektorem wypadkowym tych sił, a ponieważ wszystkie te wektory przecinają się w jednym punkcie, to możemy do nich zastosować twierdzenie, § 108-my tomu I-go, że suma momentów względem dowolnie obranego bieguna wektorów składowych równa się momentowi wektora wypadkowego, suma przeto momentów sił zewnętrznych i wewnętrznych względem dowolnie obranego bieguna równa się momentowi wektora mkpk. Wniosek ten wyrazimy równaniem:

gdzie

y p* .7*+s y ą ,. n= v .7* ;

i = 1, 2, 3 ... n.

Jeżeli zestawimy takie równania dla każdego punktu danego układu i dodamy te równania, to otrzymamy równanie

£ YĄ.n= £ Y mkpk. rk ;

(202)

momenty bowiem sił wewnętrznych, występujących pomiędzy dwoma punktami, parami się znoszą, jak to wyraża równanie 198-me.

Wniosek ten wysłowimy w następujący sposób: suma momentów sił, działających na pewien układ punktów materyalnych, względem dowolnie obranego bieguna, równa się sumie momentów wektorów, z których każdy jest wrkrotnym wektorem przyśpieszenia każdego punktu.

Wzór 202-gi wyrazimy jeszcze w innej postaci, która bywa nieraz przydatniejszą do rozpatrywania ruchu punktów, można ją bowiem łatwiej unaocznić sobie geometrycznie. W tym celu zastosujemy do obliczenia ruchu punktu pojęcie momentu jego ilości ruchu, któreśmy już stosowali w dynamice punktu; w § 27-mym w równ. 76-tem tego tomu.

Jeżeli literami MVilc oznaczymy, jakieśmy to już uczynili w § 27-ym, moment ilości ruchu k-tego punktu, względem dowolnie obranego bieguna, to zgodnie z równaniem 76-tem napiszemy dla każdego punktu danego układu równanie dynamiczne postaci następującej:

dM,

», k

VP*.7fc-f£Y Wt.rKt = dt

a po dodaniu ich otrzymamy:

dMv

. (203)

gdzie Mv oznacza wektor momentu ilości ruchu całego układu, określony w § 83-cim. W celu geometrycznego unaocznienia sobie tego równania, można skorzystać z rys. 19-tego tego tomu. Równanie 203-cie napisać również można w innej postaci,—w postaci szczegółowej, stosując do tego określenie momentu ilości ruchu, wyrażone równaniem 194-tem tego tomu; równanie to jest nast.:

(204)

£VP* n = y £Vąi.'i dt

Zwrócić tu należy uwagę, że wzory 202-gi, 203-ci i 204-ty, chociaż różnią się swą postacią, są jednakowe, wyrażają bowiem jedną i tę samą właściwość układu punktów, że suma momentów sił wewnętrznych równa się zeru. Z postaci wzoru 203-ciego wynika, że związek pomiędzy wektorem momentu wypadkowego sił zewnętrznych względem dowolnego bieguna i wektorem momentu względem tegoż bieguna ilości ruchu danego układu punktów, jest taki sam, jaki istnieje dla pojedynczego punktu, równ. 76-te. Związek ten jest również taki sam, jaki istnieje dla siły, działającej na pewien punkt i jego ilością ruchu, gdy wektor siły i wektor ilości ruchu przyjmiemy za wektor momentu sił i za wektor momentu ilości ruchu. Wysłowienie przeto tego równania zechce czytelnik powtórzyć z § 27-go tego tomu.

W szczególnym przypadku, jeżeli względem pewnego bieguna:

= 0;

= t0 d~w

t. j. jeżeli suma momentów sił zewnętrznych względem pewnego bieguna równa się zeru, to wektor momentu ilości ruchu tego układu względem tegoż bieguna jest podczas ruchu punktów wektorem stałym. Jeżeli przytem jeszcze zachodzi warunek, że i

dt

S Pk = 0 ; to również :

t. j. środek masy danego układu w tych warunkach pozostaje w spoczynku lub w ruchu jednostajnym i prostolinijnym. Z tego jednakże nie należy wnioskować, ażeby punkty takiego układu pozostawały w spoczynku, mogą one bowiem się poruszać. lecz tylko w ten sposób, że środek ich masy pozostawać będzie w spoczynku lub w ruchu prostolinijnym i jednostajnym z prędkością taką, jaką posiadał ten środek na początku ruchu; i że suma momentów ilości ruchu tych punktów będzie wektorem stałym i nieruchomym w przestrzeni, równym momentowi ilości ruchu początkowego.

Równanie 200-tne i równanie 204-te, chociaż dają pewne właściwości ruchów oddzielnych punktów danego układu, nie wystarczają jednakże do obliczenia ich ruchu; do tego bowiem należy znać siły wewnętrzne, które wywołują ruchy oddzielnych punktów. Równaniem, w które wchodzą wielkości sił wewnętrznych jest równanie równowartości pracy i energii kinetycznej, które obecnie wyprowadzimy.

90. Równanie dynamiczne równowartości pracy i energii kinetycznej. Na str. 240-tej tomu I-ego dowiedliśmy twierdzenie, że praca cząstkowa wszystkich sił, przyłożonych do punktu materyalnego, równa się przyrostowi energii kinetycznej tegoż punktu. Praca przeto cząstkowa sił zewnętrznych i suma prac cząstkowych sił wewnętrznych, działających np. na k-iy punkt danego układu, równa się przyrostowi jego energii kinetycznej; twierdzenie to wyrazimy wzorem:

dLP>k -|- hdLw,ic,i — d(^micVk²);

gdzie z = 1, 2 ... n\ a dLw,k,i oznacza pracę cząstkową siły Wk>i, przyłożonej do k-tego punktu.

Napiszmy dla każdego punktu danego układu takie równanie i dodajmy je, a otrzymamy:

. . (205)

YidLp^k -j- £ £dLw,k,i = d 1Qz/z*v&²); . gdzie k oraz i równają się kolejno: 1, 2, 3 ... n\ a podwójny znak sumy oznacza, że należy najpierw sumować wartości prac, przyjmując wielkość i zmienną, przy stałej wielkości k\ a następnie—zmieniając wielkość k.

Pierwszy wyraz równania 205-tego można obliczyć, jeżeli są znane siły zewnętrzne i przesunięcia punktów, do których są one przyłożone. Drugi wyraz przedstawia sumę pracę wszystkich sił wewnętrznych, jakie występują pomiędzy punktami. W sumie tej znajdują się parami prace sił, występujących wzdłuż prostych, łączących dwa punkty danego układu; pytanie przeto powstaje; czy suma prac takich dwóch sił równa się zeru, jak to było z ich momentami; czy też posiadają pewne skończone wartości. Na str. 278-ej tomu I-go wykazaliśmy, że jeżeli odległości pomiędzy punktami podczas działania sił nie zmieniają się, to suma wartości prac dwóch takich sił równa się zeru; lecz w układach zmiennych, które w tym dziale rozpatrujemy, odległości te zmieniają się, praca przeto dwóch sił, występujących pomiędzy punktami np. Zc-tym, a i-tym posiada wogóle pewną wartość, którą wyrazimy wzorem wektorowym:

. (206)

Wkl i. drkli ;

gdzie drkii oznacza przyrost wektorowy odległości pomiędzy tymi punktami. Równanie przeto 205-te napiszemy w ogólnej postaci:

d Lp-\- d Lw= d%(\mk vk²)

. (207)

i wypowiemy je:

praca cząstkowa sił zewnętrznych, działających na punkty pewnego układu, łącznie z pracą sił wewnętrznych, występujących pomiędzy tymi punktami, równa się przyrostowi energii kinetycznej danego układu.

Jeżeli siły działają pewien skończony okres czasu, to wartość pracy sił zewnętrznych i wewnętrznych, jak również wartość przyrostu energii kinetycznej posiada wogóle wartości skończone; twierdzenie powyższe wypowiemy w tym razie w następujący sposób: praca sił zewnętrznych łącznie z pracą sił wewnętrznych równa się przyrostowi energii kinetycznej danego układu.

Jeżeli oznaczymy początek i koniec okresu działania sił literami t₀ i t\ a prędkości ft-tego punktu w tych chwilach literami vkjo i vk; to wyrazimy to twierdzenie wzorem:

LP

to

+ Lw = L(tmkvk²) — SQm*v*>0a).    • •

to

. . (208)

w którym Lr i Lw oznaczają sumy prac sił zewnętrznych i wewnętrznych, wykonanych przez te siły w okresie czasu (t —1₀).

91. Zastosowanie metody d’Alembert’a do obliczenia równań dynamicznych. Metoda ta, którą wyłożyliśmy w 1-szej części tego tomu na str. 158-ej, dla ruchu jednego punktu, polega na tern, że do punktu materyalnego, będącego w ruchu zmiennym, wyobrażamy sobie przyłożoną pewną siłę, zwaną siłą bezwładności i określoną wzorem :

jB — (—mp),

która równoważy siły, działające na dany punkt, — tak zewnętrzne jak i wewnętrzne. Jeżeli przeto wyobrazimy sobie do każdego punktu danego układu przyłożoną taką siłę, to wszystkie te punkty pozostaną w spoczynku, lub w ruchu jednostajnym i prostolinijnym. W ten sposób na każdy punkt danego układu działać będą wogóle następujące siły: siły zewnętrzne, siły wewnętrzne i siły bezwładności, wyżej określone; a punkty danego układu znajdować się będą w równowadze. Ponieważ siły wewnętrzne, występujące pomiędzy punktami danego układu, wzajemnie się równoważą, przeto dojdziemy do wniosku: siły zewnętrzne i siły bezwładności punktów danego układu pozostają w każdej chwili w równowadze. Warunki tej równowagi wyrazić można wszystkimi znanymi sposobami. Jeżeli wyrazimy je np. sumą sił i sumą ich momentów; porówn. wzory 88-te na str. 154-tej tomu I-go, to otrzymamy następujące równania:

ï>Mptk -f-    — 0;

. . (209)

w których wektory oznaczają wektory momentów sił bezwładności, względem dowolnie obranego bieguna.

Wyrazimy obecnie sumę sił bezwładności i sumę ich momentów przyśpieszeniami punktów, do których wyobrażamy sobie te siły przyłożonemi. Z określenia siły bezwładności wynika, że

££*=£(— mkpk);

a na zasadzie wzoru 193-go wyrazimy tę sumę wzorem:

£Bk = (—mps);    .    .

. (210)

który wysłowimy: suma sił bezwładności punktów danego układu równa się sile bezwładności środka jego masy, gdy w tym środku wyobrazimy sobie skupione masy wszystkich punktów.

Przekształćmy następnie w podobny sposób sumę momentów sił bezwładności. Moment siły bezwładności k-tego punktu wyrazić możemy wzorem 179-tym tego tomu:

Ms,t = (— ~ Y mkvk.rk);

a po zestawieniu takich wzorów dla każdego punktu i po dodaniu ich otrzymamy równanie:

mkvk~rk.

Wziąwszy następnie pod uwagę określenie ilości ruchu układu, napiszemy ten wzór w postaci:

ZM,

B,k ~-

IM

dMv

B,k = -

(211)

dt

Równanie to wysłowimy: suma momentów sił bezwładności danego układu punktów równa się pochodnej względem czasu z odwrotnym znakiem wektora momentu ilości ruchu tegoż układu.

Po zastąpieniu następnie w równaniach 209-tych sum sił bezwładności i ich momentów wzorami 210-tym i 211-tyin, otrzymamy równanie dynamiczne 200-tne i 203-cie.

Zastosujmy wreszcie do wyrażenia równowagi sił, przyłożonych do oddzielnych punktów, zasadę pracy wyobrażalnej. W tym celu zastosujemy równ. 180-te, tego tomu, podane na str. 160-tej, wyrażające pracę siły bezwładności wielkościami kinetycznemi, a otrzymamy równanie 207-me tego tomu, t. j. równanie równowartości pracy sił zewnętrznych i sił wewnętrznych z jednej strony i energii kinetycznej z drugiej strony.

Metoda d’Alembert’a przeto nie daje nowych równań dynamicznych, lecz jedynie, nadając wyrazom kinetycznym znaczenia statyczne, pozwala sprowadzić zadania z dynamiki do zadań ze statyki; co nieraz ułatwia zestawienie równań ruchu, lub też unaocznia działanie sił bezwładności, powstających podczas ruchu punktów.

3. Kinetyka ruchu względnego.

92. Określenie ruchu względnego względem środka masy. W wielu razach dla uproszczenia rachunku lub dla unaocznienia sobie ruchu punktów danego układu przyjmujemy, że prędkość każdego punktu danego układu składa się z dwóch prędkości: z prędkości równej prędkości vs, jaką posiada w danej chwili środek'masy całego układu i z prędkości v'k, określonej ze wzoru:

~k = " +"/t

. . (212)

W celu unaocznienia sobie prędkości v'k, wyobrazimy sobie całą przestrzeń, razem ze znajdującemi się w niej punktami, w ruchu postępowym z prędkością vs\ prędkość wtedy względna punktów danego układu względem tej przestrzeni wyrazimy wektorem v'k, określonym wzorem powyższym; dlatego też prędkość vs uważać będziemy jako prędkość unoszącą, a prędkość v\ jako względną, względem przestrzeni, poruszającej się ruchem postępowym z prędkością środka masy. Zobaczymy z następujących przykładów, że łatwiej nieraz obliczyć kolejno wielkości vs i v'k, i następnie obliczyć prędkości właściwe; niż obliczyć bezpośrednio prędkości rzeczywiste; porówn. treść zakończenia § 78-ego tomu I-ego.

Słusznem będzie mniemanie, że każdy ruch można rozłożyć na najrozmaitsze ruchy składowe; a obliczywszy każdy z nich, można wytworzyć sobie całokształt ruchu rzeczywistego; i rzeczywiście rozkłady takie bywają stosowane; przytoczony tu jednak rozkład znajduje najczęściej zastosowanie w naszych przykładach.

93. Ilość ruchu względnego układu punktów materyalnych. Na zasadzie określenia ruchu względnego wyrazimy ilość ruchu 7r-tego punktu wzorem:

mkvk = mk vs-{-mkv'k;

a ilość ruchu całego układu wzorem:

(213)

Z(mkvk) = mvs-\-Z(mkv'k)- .    .    .    .

a ponieważ na zasadzie rown. 191-szego S(wÄ”fc) = mvs, przeto

Z(mkv'k) = 0;......

Jeżeli sumę tę nazwiemy ilością ruchu względnego danego układu, to wynik ten wysłowimy: ilość ruchu względnego każdego układu punktów materyalnych równa się w każdej chwili zeru. Wynik ten oczywiście stosuje się tylko do przypadku, w którym przestrzeń, względem której odnosimy ruch względny, jest w ruchu postępowym z prędkością, jaką posiada w danej chwili środek masy danego układu.

94. Moment ilości ruchu względnego. Momentem ilości ruchu względnego danego układu punktów materjalnych nazwiemy sumę momentów ilości ruchu względnego oddzielnych jego punktów względem obranego bieguna.

Określenie to wyrazimy wzorem

(214)

(215)

M'v=lYmkv'k.rk,

w którym M\ oznacza moment ilości ruchu względnego; rk — promień wodzący, wyprowadzony z dowolnego bieguna do Zc-tego punktu ; v\ — prędkość względną, wyżej określoną.

Z określenia tego momentu wynika następująca jego właściwość. Ponieważ, stosownie do równania 215 go, 'L(mkv'k) — 0, przeto układ wektorów mkv\ daje się prze-

kształcić wogóle na parę wektorów w taki sam sposób, w jaki przekształciliśmy układ wektorów sił, których hP]i = 0, — na parę sił. W § 113-tym tomu I-go dowiedliśmy, że wielkość momentu pary sił nie zależy od położenia bieguna; dla danego przeto przypadku wypowiemy to twierdzenie w sposób następujący: moment ilości ruchu względnego każdego układu punktów materyalnych jest wielkością stałą, względem każdego bieguna, obranego w przestrzeni.

Znajdźmy teraz związek pomiędzy momentem ilości ruchu rzeczywistego, a momentem ilości ruchu względnego, względem jednego i tego samego bieguna.

Ponieważ ilość ruchu każdego punktu składa się z dwóch wektorów, rów. 213-te, moment przeto ilości ruchu każdego punktu wyrazić można sumą momentów jego wektorów składowych; moment przeto ilości ruchu całego układu wyrazić można sumą momentów wektorów mkvs i sumą momentów mkv'k, — ilości ruchu względnego wszystkich punktów danego układu.

Wektory (mkvs) są wzajemnie równoległe, suma przeto ich momentów równa się momentowi ich wypadkowej, która, podobnie jak wypadkowa sił równoległych, t. j. wogóle, jak wypadkowa wzajemnie równoległych wektorów, proporcyonal-nych do mas, — posiada punkt przyłożenia w środku masy i równa się wyrazowi mvs\ — moment przeto tej wypadkowej wyrazimy wzorem wektorowym

V mvs.rs\

w którym rs oznacza promień wodzący, wyprowadzony z obranego bieguna do środka masy danego układu.

Ponieważ moment ilości ruchu względnego nie zależy od położenia obranego bieguna, obierzemy go przeto w środku masy danego układu i wyrazimy ten moment wzorem:

ST mkv'k.r'k,

w którym litery r\ oznaczają promienie wodzące, wyprowadzone ze środka masy do punktów danego układu. Moment przeto ilości ruchu danego układu punktów materyalnych, względem dowolnie obranego bieguna, wyrazić można wzorem:

mkvk.rk=^ Ymus.n-j-S \mkvrk.?k .    .

który wysłowimy: wektor momentu ilości ruchu danego układu punktów materyalnych względem dowolnego bieguna, można wyrazić sumą dwóch wektorów: wektora momentu ilości ruchu środka masy tego układu względem obranego bieguna i wektora momentu ilości ruchu względnego względem bieguna, obranego w środku masy.

. . (216)

W szczególnym przypadku, gdy obierzemy biegun momentów w środku masy układu, wtedy moment ilości ruchu rzeczywistego względem bieguna, obranego w środku masy, równa się momentowi ilości ruchu względnego względem tegoż bieguna; moment bowiem ilości ruchu środka masy względem bieguna, obranego w tym środku, równa się zeru. Twierdzenie to wyrazimy wzorem:

(217)

S Ymkvk. r'k = S Vmkv'k. r\

Wzór ten otrzymamy również bezpośrednio z równania 216-tego po podstawieniu w nie :

rs — 0.

Równanie to wyrazimy: moment ilości ruchu rzeczywistego względem bieguna, obranego w środku masy, równa się momontowi ruchu względnego względem tegoż bieguna.

95. Obliczenie analityczno-wektorowe. Równanie 216-te wyprowadzimy jeszcze drogą analityczno-wektorową. W tym celu podstawimy w równanie 194-te, zgodnie z danemi określeniami:

(218)

rk = rs 4- Pt, oraz vk = vs-{- v\ ;

a otrzymamy równanie:

ZYmkvk.rk = %Ymk (vs -j- v\). (7S -j- ?*),

które po wykonaniu mnożenia wektorowego według prawidła, wyrażonego wzorem 82-gim na str. 144-ej T. I-ego, przekształci się na następujące:

X Vmkvk. rk — S Ymk~s ~s + S Y mkvs.r'k-f-£ Vmkv'ic. rs-f-£ Vinkv'k. a wreszcie na następujące:

£V mkvk.rk=Y mvs.rs-\-^Y mkv'k.r'k; . .

.    . (219)

. drugi i trzeci bowiem wyraz, znajdujący się po stronie prawej poprzedniego równania, równa się zeru, gdyż

IY mkvs. Pk = Y vg. (£ mk ?k) ZmkPk = 0,

a że

cały przeto wyraz równa się zeru; w tenże sposób wykazać można, że i trzeci wyraz równa się zeru.

96. Energia kinetyczna ruchu względnego. Energię kinetyczną ruchu względnego danego układu punktów materyalnych oznaczymy literą T' i określimy ją wzorem :

(220)

T' = Z(imkv'k²);....... ..

w którym litery v\ oznaczają prędkości względne, określone wzorem 212-tym.

Obliczymy teraz związek, jaki zachodzi pomiędzy wyrazem energii kinetycznej ruchu rzeczywistego a wyrazem energii kinetycznej ruchu względnego.

Wektory wzoru 212-go tworzą trójkąt, rys. 31-szy, z którego odczytamy, że

Rys. 57.

vt-=v,²-fv\² \- 2 v,. v\. cos <xŁ ;

gdzie cLk oznacza kąt, zawarty pomiędzy kierunkami prędkości vs i v\. Pomnożywszy to równanie przez 4 mk i zestawiwszy takie równania dla wszystkich punktów, otrzymamy po ich dodaniu:

Z{^mkvk²) = ï$mkvs²)-{-Z^mkv,k²)-{-'L(mkvs.vfk.cos a*) .    .    .    (221)

W trzecim wyrazie, znajdującym się po prawej stronie tego równania, wyniesiemy przed znak sumy wartość stałą vs jako wspólny mnożnik i napiszemy ten wyraz w postaci:

vs.Z(mkv'k. cos a*).

Wartość sumy tego wyrazu jest sumą rzutów ilości ruchu względnego punktów tego układu na kierunek prędkości vs; a ponieważ suma ilości ruchu względnego, porówn. wzór 215-ty, równa się zeru, przeto i suma ich rzutów równa się zeru; a więc wartość tego wyrazu z równania 221-go znika.

Równanie przeto 221-sze przekształci się na następujące:

. (222)

£{\mkvk²) = lmvs²-\-Z(£mkv\²) .    .    .

Równanie to wyraża szukany związek, który wysłowimy: energja kinetyczna danego układu punktów materyalnych równa się sumie dwóch energii: energii kinetycznej środka masy układu, gdy w tym środku wyobrazimy sobie skupione masy wszystkich punktów danego układu, — i energii kinetycznej ruchu względnego tych punktów.

4. Równania dynamiczne ruchu względnego.

VI. Dynamika brył materyalnych.

VB‘

I.

4- w, + m2

vx,t — Q\, t ;

7. Ruch przestrzenny brył materyalnych.

Przyjąwszy przeto wielkości działań danego girosko

10. Równania Lagrange’a.

4. Równania dynamiczne ruchu względnego.

97 Równanie dynamiczne momentów. Równania te mają na celu wyrażenie związków pomiędzy siłami działającemi na dany układ, a ruchem względnym, jaki określiliśmy w § 92-gim; w szczególności zaś mają na celu wyrażenie związków pomiędzy momentem sił zewnętrznych a momentem ilości ruchu względnego, lub też związku pomiędzy pracą tych sił a energią kinetyczną ruchu względnego danego układu punktów.

Równanie dynamiczne momentów, t. j. równania 204-te pozostaje w mocy dla dowolnego bieguna momentów; jeżeli przeto obierzemy go w środku masy danego układu i weźmiemy pod uwagę równ. 217-te, wyrażające, że moment ilości ruchu właściwego względem bieguna, obranego w środku masy, równa się momentowi względem tegoż bieguna ilości ruchu względnego, to napiszemy bezpośrednio szukane równanie:

dt

(223)

Z porównania tego równania z równaniem 204-tem wynika, że są one jednakowe tak dla ruchu rzeczywistego, jak i względnego, określonego w § 92-gim, jeżeli biegun momentów obierzemy w środku masy danego układu.

98. Równanie równowartości pracy względnej i energii kinetycznej ruchu względnego. Znajdźmy teraz związek pomiędzy pracą względną sił, a energią kinetyczną ruchu względnego. Energię kinetyczną ruchu względnego określiliśmy wzorem 220-tym; określenie zaś pracy względnej jest następujące: pracą względną danej siły nazywamy iloczyn z siły i z rzutu przesunięcia względnego ds\ na kierunek siły, czyli pracą względną nazwiemy pracę jaką dana siła wykona podczas względnego przesunięcia jej punktu przyłożenia. Określenie to wyrazimy iloczynem skalarnym następującym wzorem :

. (224)

dL'Pik = Pk.ds'k;

oznacza wartość pracy, nazwanej względną, siły przyłożonej do

A*

w którym dL

k-tego punktu, a ds\ przesunięcie względne tegoż punktu.

Obliczmy teraz związek pomiędzy pracą rzeczywistą siły, a pracą względną danej siły. Przesunięcie względne ds'k punktu przyłożenia danej siły równa się różnicy wektorowej przesunięcia właściwego i przesunięcia unoszącego. Rzut przeto przesunięcia względnego na każdą oś a więc i na kierunek siły równa się różnicy algebraicznej rzutu przesunięcia właściwego i unoszącego. Gdy podstawimy tę różnicę w iloczyn, wyrażający pracę względną, t. j. we wzór 224-ty, wtedy otrzyma-

Wektorowo wyrazimy to rozumowanie w następujący sposób:

my różnicę dwóch wyrazów, z których jeden jest wartością pracy siły, jaką ona wykonywa podczas właściwego przesunięcia, t. j. jest wartością pracy rzeczywistej; drugi zaś jest iloczynem z siły i z rzutu przesunięcia unoszącego na kierunek tej siły.

d s^k — d Sic d Su,

gdzie dsk oznacza przesunięcie rzeczywiste fe-tego punktu, a dsu jego przesunięcie unoszące, równe przesunięciu środka masy. Po przemnożeniu tego równania skalarnie przez Pic, otrzymamy:

Pk.dsfk=Pk .d“k — Pk.dsu.

Jeżeli napiszemy takie równanie dla każdego z punktów i następnie dodamy je, to otrzymamy wzór:

(225)

d L'p = dLp — ÇZPll).dsu',

który daje związek pomiędzy sumą prac względnych, a sumą prac rzeczywistych sił, przyłożonych do punktów danego układu.

W układach punktów materyalnych występują jeszcze siły wewnętrzne, których pracę właściwą obliczymy ze wzoru 206-tego, pracę zaś względną tych sił obliczymy ze wzoru 225-go, gdy wektorom sił działających nadamy znaczenie sił wewnętrznych; a ponieważ suma sił wewnętrznych każdego układu punktów materyalnych równa się zeru, przeto drugi wyraz, stojący po prawej stronie tego równania, równa się w tym razie zeru; otrzymamy przeto równanie:

(226)

dL' F——dLw;

gdzie dUw oznacza pracę względną sił wewnętrznych. Równanie to wysłowimy:

praca względna sił wewnętrznych każdego układu punktów materyalnych równa się rzeczywistej pracy tych sił.

Sumę przeto względnych prac sil zewnętrznych i wewnętrznych danego układu punktów wyrazimy wzorem :

d Lfp —|— d L' w = d Lp — (L Pk). d su -|— dLy?.

Zastąpimy w tern równaniu, stosownie do równania 207-go, sumę prac sił zewnętrznych i wewnętrznych przyrostem energii kinetycznej całego układu, a otrzymamy równanie następujące:

dL p-\-dLrw— dli (^ vikVic²) — (L Pk). dsu.

Podstawimy następnie

(£ Tk) .dśu = d (i m vs²) ;

sumę bowiem tych sił wyobrazić sobie można przyłożoną do środka masy układu, w którym wyobrazimy sobie skupione masy wszystkich punktów.

Potem podstawieniu otrzymamy, wziąwszy przy tern pod uwagę równ. 202-gie,

(227)

d L'p -|-dL'w—d^i^mk v'k²)

Równanie to, które co do swej postaci jest jednakowe z równaniem 207-em, zestawionem dla ruchu rzeczywistego, wysłowimy: praca względna sił zewnętrznych, przyłożonych do punktów pewnego układu, łącznie z pracą sił wewnętrznych równa się przyrostowi energii kinetycznej ruchu względnego punktów danego układu.

Równanie 223-cie i 227-me daje związek pomiędzy spółrzędnemi punktów względem środka masy i prędkościami względnemi; stosować je przeto można do obliczenia ruchu względnego, t. j. do obliczenia np. prędkości względnych v\\ a że z równania 200-go obliczyć można prędkość vs środka masy, przeto z tych dwóch prędkości obliczyć można prędkości właściwe; a następnie tory danych punktów i inne właściwości kinematyczne ruchu punktów danego układu.

Tożsamość równań dynamicznych ruchu względnego z takiemiż równaniami ruchu rzeczywistego jest wynikiem danego określenia ruchu względnego; dla innych ruchów względnych równania te się zmienią, nie mogą być przeto stosowane.

99. Przykład. Obliczyć ruch dwóch punktów materyalnych o masach m1 i ra₂, związanych z sobą nicią sprężystą i wyrzuconych w polu ciążenia ziemskiego, przyjąwszy, że nić podczas ruchu punktów pracuje na ciągnienie.

Jeżeli długość nici w stanie nierozciągniętym — Z, a w stanie rozciągniętym w pewnej chwili = r; to w nici występuje naprężenie S, proporcyonalne do wydłużenia; wartość tego naprężenia wyrazimy wzorem:

S=k.(r — l) ;

gdzie k oznacza spółczynnik proporcyonalności, właściwy danej nici. Układ dany złożony jest przeto z dwóch punktów materyalnych, masy bowiem nici, w celu ułatwienia obliczeń, nie uwzględnimy; na punkty te działają siły wewnętrzne + S i siły zewnętrzne, równe ciężarom tych punktów.

W myśl wypowiedzianego twierdzenia o ruchu środka masy, równ. 200-tne, środek ten o masie    porusza się tak, jak gdyby na niego działała tylko siła

ciążenia    g. Środek ten przeto stosownie do obliczenia, podanego w § 17-tym

tego tomu, zakreśla parabolę, którą wyznaczymy z początkowej jego prędkości.

W celu zaś obliczenia prędkości każdego z punktów, obliczymy najpierw ich ruchy względne i w tym celu wyobrazimy sobie stosownie do określeń, danych w§92-tym tego tomu, że każda z tych prędkości złożona jest z prędkości unoszącej, równej prędkości środka masy i z prędkości względnej. Prędkość unoszącą w pewnej chwili obliczymy z ruchu środka masy; a prędkości względne obliczymy z równań ruchu względnego. Równanie ilości ruchu względnego danego układu jest, zgodnie z równ. 215-tem i z warunkami początkowymi, następujące:

(228)

ml v\ -{- m₂ v\ — 0 ;

a równanie momentów tego ruchu, zgodnie z równ. 223-ciem, jest następujące:

E V mkv'k.rrk = 0;

moment bowiem sił zewnętrznych względem bieguna, obranego w środku masy, równa się zeru. Równanie to po scałkowaniu przyjmie postać następującą:

Ym^. P₁ + \miv,₂.?₂ = \mlv\>0.?lt0-^\m₂v,₂₎₀.r,2i0    . . (229)

Z równania 228-go wynika, że wektory ilości ruchów względnych obydwóch punktów tworzą w każdej chwili podczas ruchu parę wektorów, nie mogą bowiem tworzyć dwóch równoważących się wektorów, gdyż moment ich, jak wskazuje równ. 229-te, nie jest równy zeru. Ponieważ wektory te tworzą jedną płaszczyznę, chwilowy przeto ruch względny tych punktów jest płaski, z czego wynika, że kierunki wektorów momentów ilości tego ruchu każdego z tych punktów względem

13

Mechanika teoretyczna. Tom U. Część 2-ga.

bieguna, obranego na tej płaszczyźnie, wzajemnie się pokrywają. Z równania zaś 229-go wynika, że kierunki te nie zmieniają się podczas ruchu punktów; płaszczyzna przeto ruchu względnego tych punktów pozostaje podczas ruchu punktów do siebie równoległą. Właściwy zatem ruch tych punktów składa się z ruchu względnego, który odbywa się w płaszczyźnie, prostopadłej do wektora momentu początkowej ilości ruchu względnego i z ruchu postępowego o chwilowej prędkości vs. Zwrócić tu należy uwagę, że właściwości te stosują się do ruchu dowolnych dwóch punktów, pomiędzy którymi występują dowolnie zmienne siły przyciągające lub odpychające; doszliśmy bowiem do określenia tych właściwości, nie korzystając z właściwości sił, występujących pomiędzy tymi punktami. Wniosek ten przeto stosuje się również np. do dwóch punktów materyalnych, związanych nicią nierozciągliwą.

Ażeby obliczyć ruchy szczegółowe punktów danego w tern zadaniu układu, należy zastosować równanie równowartości pracy i energii kinetycznej ruchu względnego, równ. 227-me; w równanie to bowiem wchodzą wyrazy sił wewnętrznych. W tym celu obliczymy najpierw wartości pracy względnej sił wewnętrznych i takąż pracę sił zewnętrznych. Pracę względną sił zewnętrznych wyrazimy w myśl danego określenia, wzorem 224-tym:

dL'F= mlg.dr'x -\-m~g .dr* ₂

(230)

A ponieważ promienie wodzące wyprowadzone są ze środka masy układu; przeto mamy związek:

mx r\ -f- m₂ r₂' = 0 ;

(231)

z którego wynika, że

mx dr\ -f- m₂ dr'₂ = 0 ;

po podstawieniu tego wzoru w równanie 230-ste, otrzymamy, że praca względna sił ciężkości punktów danego układu równa się zeru. Wartość przeto pracy względnej sił wewnętrznych równa się przyrostowi energii kinetycznej ruchu względnego, co wyrazimy równaniem następującem:

— S. d r\ — S. d r'₂ — d (| ml v\2 Jr^m₂v'₂²).....(232)

Po wyrugowaniu z równania 228-mego, 229-go, 231-go i 232-go, dwóch niewiadomych, np. niewiadomych v'₂ i r'₂, otrzymamy dwa równania z dwiema zmien-nemi v\ i r\, z których obliczymy ruch względny punktu 1-szego;—w tenże sposób obliczyć można ruch punktu 2-go. Po przeprowadzeniu tego rachunku, zobaczymy, że ruch tych punktów wyraża się wogóle funkcyą eliptyczną.

W szczególnym przypadku danego zadania, w którym przyjąć można, że długość l jest tak małą wobec długości r, że można wartość jej pominąć, równania te znacznie się uproszczą, otrzymamy bowiem zamiast funkcyi eliptycznych funkcye algebraiczne. Po obliczeniu np. z równ. 228-go i 231-go v'₂ i P₂ i po podstawieniu tych wielkości do równania momentów, t. j. do równ. 229-go, otrzymamy:

(233)

a następnie po podstawieniu tychże wartości, wyrażonych tylko algebraicznie, do równania pracy, t. j. po podstawieniu w równ. 232-gie wartości:

. mx r\ — —1 mx

oraz

mx ,

v 2    v i ;    •

m₂

. . (234)

otrzymamy, po skreśleniu wspólnego mnożnika, następujące równanie:

. . (235)

1- —

~k l¹ +"^)r'l'dr'l = d( %0'l²) . .

Z rów. 233-go i 235-go obliczyć można ruch względny punktu 1-go w tenże sposób, w jaki obliczyliśmy przykład, podany w § 33-cim, z równ. 87-go i 86-go. Wykonania tego obliczenia unikniemy, jeżeli zważymy, że równanie 235-te wyraża równowartość pracy siły, która przyciąga punkt materyalny do środka masy proporcyonalnie do odległości tego punktu od środka; a ruch taki już obliczyliśmy w § 19-tym tego tomu. Ruch przeto każdego punktu układu danego składa się z dwóch ruchów:

1)    z ruchu po elipsie, leżącej w płaszczyźnie, określonej kierunkami prędkości względnych w początku ruchu, i której środek pokrywa się ze środkiem mas danych punktów. Obydwie te elipsy są określone wektorami początkowych położeń punktów i ich prędkości względnych, jak to było opisane w § 19-tym tego tomu; —i

2)    z ruchu postępowego tej płaszczyzny o prędkości zmiennej vs, stycznej do paraboli, określonej początkową prędkością środka mas tych punktów.

Jeżeli dane są prędkości początkowe ”i,₀ i v₂,o danych punktów, to odpowiednie im prędkości względne obliczymy z następujących wzorów, wynikających z określenia ruchu względnego:

a ponieważ

vs,o =

miVi,o -f- m₂ v₂,o

przeto

mi -f- m₂

“l,0 =

m₂

mi -j- m₂

w tenże sposób, zastąpiwszy wskaźnik 2 wskaźnikiem 1 i odwrotnie, otrzymamy:

tfi,o);

0 2,0 —

prędkości te oraz wektory r\o i r'2,0 wyznaczają elipsy, po których te punkty się poruszają, — stosownie do wzoru 67-go tego tomu.

Z równań tych obliczyć można również np. prędkości początkowe dla przypadku, w którym punkty te zakreślą koła zamiast elips; lub też —w którym poruszać się one będą po jednej elipsie, a nie po dwóch oddzielnych elipsach, i t. p.

W szczególnym przypadku, w którym np.

Klivie +^"2,0 = 0.

t. j. w którym prędkości początkowe są odwrotnie proporcyonalne do mas, kierunki ich równoległe a zwroty przeciwne; środek masy tych punktów nie otrzyma prędkości początkowej; ruch przeto tego środka będzie taki, jaki jest ruch punktu mate-ryalnego upuszczonego bez prędkości początkowej, t. j. ruch unoszący tych punktów będzie pionowy, postępowy i jednostajnie przyśpieszony. Dla tego przypadku otrzymamy ze wzorów powyższych, że

0*1,0 = 01,0; oraz vf₂,₀ — ",o,

t. j. że początkowy prędkości względne tych punktów równają się przy tych warunkach ruchu początkowego prędkościom rzeczywistym; co również wynika z tego ogólnego warunku, że w chwili, w której płaszczyzna nie posiada prędkości unoszącej, prędkości w tej płaszczyźnie t. j. względne równe są prędkościom rzeczywistym.

Zbadajmy teraz znaczenie fizyczne siły, działającej na punkt 1-szy; warość tej siły, stosownie do równania 235-tego, wyraża się wzorem

• ;

wartość zaś siły, działającej na punkt drugi, — wyrazem

7c(l -f ~²) \ mj

pozornie siły te są różne, lecz po uwzględnieniu związku 234-go otrzymamy, że obydwie te siły wyrażają się jednym wzorem k(r\ -j-r'₂); są one przeto równe naprężeniu nici; co też i ze stanowiska fizycznego jest zrozumiałe.

Obliczmy teraz ruchy punktów, jakie one wykonują od chwili, w której siła przyciągania, występująca pomiędzy punktami, przestanie działać (np. od chwili, w której nić łącząca pęknie lub też stanie się r — < l). Od chwili, w której siła przyciągania przestaje działać, punkty wykonują ruch tylko pod działaniem sił ciążenia; t. j. każdy z nich zakreśli parabolę z taką początkową prędkością, jaką on posiadał w chwili, w której siła przyciągania przestała działać. Obliczmy teraz jaki ruch wykona środek masy tych dwóch punktów. W myśl przytoczonych w § 17-tym obliczeń, punkty zakreślają parabole, których płaszczyzny są pionowe i przechodzą przez kierunki początkowych prędkości ci,₀ i c₂,₀, jakie punkty posiadają w chwili, w której siła przyciągania przestała działać. W celu obliczenia ruchu środka masy tych punktów obierzemy dla ułatwienia rozpatrywań początek układu spółrzędnych w tern miejscu przestrzeni, w którem znajdował się ten środek w chwili, w której siła przyciągania przestała działać; i wyprowadźmy z niego promienie wodzące ” i do poruszających się swobodnie punktów; a równania ruchu tych punktów, zgodnie z równ. 60-tem, są następujące:

Pi="i,o t + hg ■

~₂ = c₂₎o t + \gt²\

W celu obliczenia promienia wodzącego środka masy tych punktów oznaczmy promień wodzący tego środka literą ps; i napiszmy stosownie do określenia środka masy:

P» =

mif" W₂P2 mx -f- m2

Podstawmy w to równanie wielkość promieni wodzących, obliczone w poprzednich równaniach, a otrzymamy po uproszczeniu:

ps =

nii Ci,o -f- ni2 C2to

mi + m₂

zważywszy następnie, że na zasadzie równania 191-ego

mi o,o    m₂c₂,o = (mi-fm₂)c8|0,

otrzymamy szukane równanie ruchu:

z którego wynika, że środek masy porusza się w ten sposób, w jaki porusza się punkt materyalny, poddany sile ciążenia i wyrzucony z prędkością początkową cs>0. Lecz prędkość cs, ₀ jest prędkością tego środka, który zakreślał parabolę, określoną prędkością vs>0] środek ten przeto zakreśla, po przestaniu działania siły wewnętrznej, tę samą parabolę, jaką zakreślał podczas działania tej siły. Siła przeto przyciągania nie wpływa na ruch środka masy, lecz na ruch jego mają wpływ tylko siły zewnętrzne, działające na punkty danego układu.

Wniosek ten może być uważany za szczególny przypadek twierdzenia, któreśmy już dowiedli ogólnie, że siły wewnętrzne, jakie występują pomiędzy punktami danego układu, nie wpływają na ruch ich środka masy, gdy rozszerzymy to twierdzenie do przypadku, w którym wartości tych sił stają się zerami.

Wniosek ten możemy uogólnić do wszelkich układów punktów materyalnych, i jeżeli np. przyjmiemy, że środek masy pocisku armatniego, wyrzuconego pod pewnym kątem względem poziomu, zakreśla parabolę; to po rozpęknięciu się tego pocisku wskutek sił wewnętrznych, środek mas wszystkich jego cząstek, na które dany pocisk się rozpryśnie, zakreślać będzie tę samą parabolę, i z taką samą prędkością, z jakąby zakreślał środek pocisku całkowitego; i gdyby jakieś siły wewnętrzne znów skupiły te cząstki w jedną masę, to środek tej masy znalazłby się znów na tej samej paraboli w tern jej miejscu, w którem znajdowałby się w danej chwili, poruszając się z pociskiem nierozerwanym.

100. Przykład. Pomiędzy dwoma punktami materyalnymi działają siły proporcyonalne do mas tych punktów i odwrotnie proporcyonalne do ich wzajemnej odległości; obliczyć ich ruchy, przyjąwszy, że żadne siły zewnętrzne nie działają na te punkty.

Z równania ilości ruchu środka masy:

= o,

wynika, że środek ten porusza się ze stałą prędkością, jaką on posiadał w początku ruchu; t. j. ruch tego środka będzie prostolinijny i jednostajny lub też środek ten będzie pozostawał w spoczynku.

Równanie momentów ilości ruchu względnego, jest jednakowe z równaniem poprzedniego przykładu; moment bowiem sił zewnętrznych w tym razie jest również równy zeru jak poprzednio, chociaż z innych względów; ruch przeto tych punktów składa się z ruchu na płaszczyźnie, poruszającej się ruchem postępowym lub też pozostającej w spoczynku.

Równanie energii kinetycznej ruchu względnego różni się od poprzedniego wartością pracy siły przyciągającej, jest ona bowiem w tym razie inną; równanie to jest następujące:

cl [ (Wj + m₂) vs]

dt

k •    • d + r/a) = dd mi v\²-H v'₂²) ;

po podstawieniu wartości r'₂ i v\, wyrażonych równaniami 234-temi, które i w tym razie pozostaje w mocy, otrzymamy po odpowiedniem skróceniu:

— li.

mx

2 Vi2

i + 5b)

\ mj

a po oznaczeniu wyrazu

m₂

( i+—f

\    m₂/

literą m\

otrzymamy równanie:

— k . m₁. m\ .

Lewa strona tego równania wyraża pracę siły, działającej na punkt mx\ pro-porcyonalnej do masy mx i do masy m'a, którą należy wyobrazić sobie umieszczoną w środku masy danych punktów, i—odwrotnie proporcyonalnej do odległości punktu mx od tego środka; prawa zaś strona tego równania wyraża przyrost energii kinetycznej ruchu względnego punktu mx, na który działa ta siła. Ponieważ środek masy pozostaje we względnym spoczynku, przeto ruch względny danego punktu m₁ jest taki, jakiby ten punkt wykonał, gdyby był przyciągany do nieruchomego środka podług prawa, podanego w tern zadaniu, t. j. podług prawa Newton’a i gdyby w tym środku była skupiona masa m\. Na zasadzie obliczeń wykonanych w § 33-cim tego tomu i zważywszy, że ruch względny obydwóch punktów odbywa się w jednej płaszczyźnie, dojdziemy do wniosku, że ruch względny dwóch takich punktów odbywać się będzie w jednej płaszczyźnie po pewnych stożkowych o wspólnem ognisku, pokrywającem się z nieruchomym w tej płaszczyźnie środkiem masy tych punktów.

Siłę, która przyciąga każdy z tych punktów, można obliczyć również drogą bezpośrednią; a mianowicie siła np. Sx, która przyciąga punkt mx, w myśl danego określenia :

Sx = k . mx. m₂

‘ {r\ + r'₂)

a po podstawieniu w ten wyraz

m₂

otrzymamy wyraz wielkości tej siły:

₀    , mx. m?

Sx = k. -—-f,

(■+5)'

* r,2 »

który jest jednakowy z wyrazem poprzednio obliczonym.

W szczególnym przypadkn, w którym np. masa m₂ jest bardzo wielka w porównaniu z mx, środek masy obydwóch punktów leży blizko środka masy punktu m₂; wskutek czego przyjąć można z pewnem przybliżeniem, że punkt ten pozostaje w spoczynku na danej płaszczyźnie i jest środkiem przyciągającym.

Z pewnem przybliżeniem przykłady ten zastosować można do obliczenia ruchu planet. Przyjąć bowiem można z pewnem przybliżeniem, że np. słońce i ziemia przedstawiają dwa punkty materyalne, które w myśl hypotezy Newton’a przyciągają się według prawa, wypowiedzianego w tym przykładzie. Słońce i ziemia przeto zakreślają linie stożkowe (elipsy), których ogniska, ściśle mówiąc, leżą w środku mas obydwóch tych planet; z przybliżeniem zaś przyjąć można, ze względu na znaczną wielkość masy słońca, w stosunku do masy ziemi, leżą one w śród-ku słońca tak, iż ziemia tylko zakreśla około słońca pewną linję stożkową; stożkowa ta, jak pomiary wykazują, jest elipsa. Utożsamienie jednakże zjawisk ruchu tych dwóch przykładów nie jest ścisłe z tego względu, że w rzeczywistości mamy cały układ planet i gwiazd, które wzajemnie na siebie działają; wyniki przeto powyższe, oparte na przyciąganiu się dwóch tylko punktów, muszą się mniej lub więcej zmienić, zależnie od czynników, wywołujących te zmiany. Wyniki te zmieniają się jeszcze wskutek niczem nieuzasadnionego założenia, któreśmy przyjęli w tern zadaniu, a jak w danym przypadku nawet niesłusznego, że planety wyobrażamy sobie w postaci punktów materyalnych, na które działają siły przyciągające. Lecz o tych uzupełnieniach tego rachunku nie będziemy mówić w tern miejscu.

W obydwu tutaj przytoczonych przykładach ruch względny danych punktów sprowadził się do ruchu środkowego, w którym środek pozostaje w spoczynku względnym; w układach jednakże, złożonych z wielu punktów materyalnych, pomiędzy którymi występują siły wewnętrzne, przypadek ten nie zachodzi i obliczenie ruchu punktów takich układów nie daje się przeprowadzić z całą ścisłością ze względu na trudności matematyczne.

Zadanie. Obliczyć i opisać ruch dwóch punktów materyalnych, związanych z sobą nicią nierozciągliwą. Zadanie to różni się od poprzednich tern, że nie dane są w tern zadaniu siły wewnętrzne, natomiast dany jest geometryczny warunek stałej odległości pomiędzy tymi punktami. Dla wykończenia przeto tego zadania wypadnie obliczyć jeszcze siły wewnętrzne, jakie występują pomiędzy punktami, które obliczyć można po obliczeniu ruchu punktów.

VI. Dynamika brył materyalnych.

1. Geometrya mas.

101. Moment bezwładności bryły materyalnej względem płaszczy zny. Iloczyn z masy punktu i z kwadratu jego odległości od danej płaszczyzny nazywamy momentem bezwładności danego punktu względem danej płaszczyzny.

Jeżeli bryłę materyalną uważać będziemy jako zbiór nieskończenie wielu punktów sztywno z sobą związanych, to sumę iloczynów z mas punktów i z kwadratów ich odległości od obranej płaszczyzny nazwiemy momentem bezwładności bryły względem tej płaszczyzny.

Oznaczywszy masę Zc-ego punktu bryły literą mk, odległość jego od obranej płaszczyzny literą £*, i wreszcie moment bezwładności bryły względem tej płaszczyzny literą Ip (inertia), to wyrazimy powyższe r'pr----określenie wzorem :

Li

J.

Ip = s (mk. zk²) .... (235) Przykład. Obliczyć moment bezwładności _[dz prostopadłościanu o krawędziach a, b, c, wzglę-^ dem płaszczyzny, przechodzącej przez jego środek i równoległej do ściany a, b; rys. 58-my. Na zasadzie określenia piszemy: Ip = £ (m*. zk²). Literą mk oznaczamy masę nieskończenie małego prostopadłościanu; literą zaś zk jego odległość od płaszczyzny, względem której obliczyć mamy mo

ment bezwładności.

Sumowanie iloczynów wykonamy w ten sposób, że zsumujemy je najpierw dla stałej odległości z i otrzymamy moment bezwładności nieskończenie cienkiej warstwy o podstawie ab i wysokości dz. Moment przeto bezwładności masy całego prostopadłościanu otrzymamy, podstawiając we wzór ogólny:

mk = ab.dz.a ,

gdzie p. oznacza gęstość masy prostopadłościanu; a zatem

Ip= f a

.dz.^.z² =

+ -■ ⁷ 2

z¹. dz;

a po scałkowaniu:

skąd wreszcie

Ip — (l l) JA C³ .

Winnej postaci wyrazimy ten wzór, gdy podstawimy iloczyn abc\i*=?n} gdzie m oznacza masę bryły, wzór ten jest następujący:

(236)

Ip = Y2 Ul C²

102. Moment bezwładności bryły materyalnej względem otfi. Momentem bezwładności bryły materyalnej względem osi nazywamy sumę iloczynów z mas oddzielnych jej punktów i z kwadratów ich odległości od danej osi.

Przykład. Obliczyć moment bezwładności walca prostego, o podstawie kołowej, względem jego osi.

Oznaczmy promień podstawy walca przez R, wysokość jego przez l, oś przez z, a moment bezwładności względem tej osi przez Iz; a napiszemy wzór stosownie do postawionego określenia:

I*= S (mt. hk²) ;

w którym hk oznacza odległość cząstki mk bryły od osi z.

Rys. 59.

Dodajmy najpierw iloczyny, w których odległość hk jest stałą, a otrzymamy iloczyn z masy walca wydrążonego o promieniu hk i o grubości powłoki dh.

Oznaczmy masę tej warstwy mk, a napiszmy:

mk = 2%h.dh.l^\ zatem

T    ' Tj 4

Iz— I 2nh . dh . I.    . h² = n . {jl . I I h³. dh — 2n— .

Jeżeli walec jest pełny, to granice zmiennej h są zero i R; wtedy: lub podstawiwszy ixR²l\i. = m, mamy:

Is = \mR².

103. Moment bezwładności bryły materyalnej względem bieguna.

Momentem bezwładności bryły względem bieguna nazywamy sumę iloczynów z mas oddzielnych punktów i z kwadratów ich odległości od obranego bieguna, zwanego biegunem bezwładności.

Oznaczając ten rodzaj momentu bezwładności literą Ib (biegunowy), a literą rk odległość cząstki masy mk od tego bieguna, wyrazimy to określenie w następujący sposób:

Przykład. Obliczyć moment bezwładności kuli o promieniu R, względem bieguna, obranego w jej środku. Jako cząstkę masy przyjmiemy masę kuli wydrążonej o promieniu r i o grubości powłoki dr; zatem:

m.u = 4 7i r². d r. p.,

a po podstawieniu w ogólny wzór otrzymamy:

rn    rn

Ib = I 4 Tir² .dr .u. r² — 4 tu p. J r⁴ dr Ib = ^R\

Ponieważ masa kuli: m = |Tui?³p., a więc również

mamy:

Ib = | ni R².

Rys. 60.

104. Wymiary momentów bezwładności. Wyrazy wszystkich momentów tutaj przytoczonych są sumą do-dajników, z których każdy jest iloczynem z masy i z kwadratu odległości; a więc wymiar momentów bezwładności wyrazimy wzorem ML².

Mając na uwadze ten wymiar, możemy w wielu razach przewidzieć postać wyrazu momentu danej bryły i pominąć w ten sposób rachunek szczegółowy. Wyraz momentu np. kuli musi mieć postać a mi?², gdzie a jest pewną liczbą, którą obliczyć można tylko, wykonawszy odpowiedni rachunek; długość zaś jaka powinna być w tym wyrazie, może być tylko promieniem kuli. W tenże sposób napiszemy wyraz momentu bezwładności walca względem jego osi, jest nim wyraz: ßmi?².

Należy zauważyć, że wogóle do wzoru momentu bezwładności wejdą te wymiary bryły, które są prostopadłe do osi czy też do płaszczyzny bezwładności. Z uwag tych korzystać można w celu sprawdzenia wykonanego rachunku, lub w celu przypomnienia sobie odpowiednich wzorów.

Przy stosowaniu momentów bezwładności do obliczeń, spotykamy się w wielu podręcznikach z wielkością zwaną promieniem bezwładności. Wielkość tę określimy w następujący sposób: promieniem bezwładności k danej bryły nazywamy wielkość, czyniącą zadość następującemu równaniu:

. . (237)

w którem I oznacza moment bezwładności danej bryły względem płaszczyzny osi lub bieguna, a m masę tej bryły. Promień bezwładności np. prostopadłościanu względem płaszczyzny, przechodzącej przez jego środek i prostopadłej do krawędzi c, obliczymy ze wzoru 236-go :

mk² = mc²;

m .k² — I; .

skąd k — —=

Vl2

Z określenia tej wielkości wynika, że wielkość k posiada wymiar długości. Wyraz przeto mk² można sobie przedstawić jako moment bezwładności względem płaszczyzny, osi lub bieguna, punktu o masie m, którego odległość od tej płaszczyzny, osi lub bieguna, równa się k jednostkom długości. W jakiem zaś miejscu przestrzeni ma być ten punkt umieszczony, to dla określenia tej wielkości jest obojętne.

105. Wzajemna zależność momentów bezwładności. Pomiędzy wartościami momentów bezwładności zachodzi zależność geometryczna, wynikająca bezpośrednio z ich określeń. Zależność ta pozwala z wartości momentów bezwładności jednego rodzaju—obliczyć momenty bezwładności innego rodzaju.

i'

1) Zależność momentów względem płaszczyzn i względem osi. Niechaj xk i yk oznaczają odległości /c-tego punktu w przestrzeni od dwóch wzajemnie prostopadłych płaszczyzn, wtedy odległość hk tego punktu od osi przecięcia się tych płaszczyzn wyrazi się wzorem: hk² — xk² + yk².

Rys. 61.

lub inaczej

Napiszmy takie równanie kolejno dla każdego ć z punktów i pomnóżmy je przez masy odpowiednich punktów, to po dodaniu tych wszystkich iloczynów otrzymamy:

£ (mkhk²) = £ (mkxk²) -f £ (mkyk²)\

= h + h    ,

gdzie Iz oznacza moment bezwładności względem osi z, zaś Ix i J₂ takież momenty względem dwóch prostopadłych płaszczyzn przechodących przez oś z.

Równanie to wypowiemy:- moment bezwładności pewnej bryły względem osi równa się sumie jej momentów bezwładności względem dwóch wzajemnie prostopadłych płaszczyzn, dowolnie przeprowadzonych przez tę oś.

Przykład. Obliczyć moment bezwładności prostopadłościanu względem osi z, przechodzącej przez środek ciężkości i równoległej do krawędzi b, rys. 62-gi; znając momenty bezwładności wzglę- , dem płaszczyzn, przechodzących przez środek masy i równoległych do ścian (a, b) i (c, b) i przechodzących przez oś z. Z poprzedniego:

r -j

---

-L

Rys. 62.

z,

Ii — 15 wî c ; I2 — ci²

Is = ^m(<c²-\-a²).

2) Zależność momentów względem płaszczyzn i względem bieguna. Przeprowadźmy przez dowolny punkt przestrzeni trzy wzajemnie prostopadłe płaszczyzny, rys. 63-ci, i niechaj xk,yk i zk oznaczają odległości od nich k-tego punktu danej bryły, a rk jego odległość od punktu ich przecięcia się, t. j. od obranego bieguna, a napiszemy n² = xk² -j- yk² -f zk*.

Mnożąc powyższe równanie przez mk i biorąc sumę wszystkich iloczynów, jak uczyniliśmy poprzednio, otrzymamy wzór:

S (mkrk²) = £ (mkxk²) + £ (mkyk²) -f £ (mk zk²);

Ii — 7, -j-1₂ -j- 1$ ;

a więc :

rmw

.Æ*¹

Rys. 63.

lub inaczej

(238)

Wzór ten wysłowimy: moment bezwładności danej bryły względem bieguna równa się sumie momentów bezwładności tej bryły względem trzech wzajemnie prostopadłych płaszczyzn, przechodzących przez ten biegun.

Moment np. bezwładności prostopadłościanu względem jego środka ciężkości

równa się:

Ib = À m {a² + b² -f- c²).

Jeżeli w powyższem równaniu 238-em zgrupujemy wyrazy w sposób następujący:

S {m n²) =    (xk²+yk²) + S (mk zk²)

i weźmiemy sumę wszystkich iloczynów, to otrzymamy wzór, który wypowiemy:

suma momentu bezwładności danej bryły materyalnej względem osi oraz momentu bezwładności względem płaszczyzny, prostopadłej do tej osi, równa się momentowi bezwładności danej bryły względem punktu przecięcia się tej osi z daną płaszczyzną.

Przykład. Znając moment bezwładności kuli względem jej środka, obliczyć:

1)    moment jej bezwładności względem średnicy;

2)    moment bezwładności względem płaszczyzny, przechodzącej przez jej

środek.

Dany więc jest moment: Ib = %mR²; należy obliczyć Is oraz Iv.

Dla innej bryły zadanie to byłoby nieokreślone, lecz dla kuli jest ono możli-wem; momenty bowiem bezwładności kuli względem wszystkich płaszczyzn, przechodzących przez środek, są wzajemnie równe, a zatem napiszemy:

Ib =3 Ip] skąd Ip = \mR².

Wzór zaś momentu bezwładności względem osi przechodzącej przez środek

kuli:

I. = 21,;

a zatem :

I„ = $mR².

Przykład. Dany jest walec prosty o wysokości l i o podstawie kołowej, której promień R.

1) obliczyć jego moment bezwładności względem płaszczyzny, przechodzącej przez jego oś.

Suma momentów bezwładności względem dwóch wzajemnie prostopadłych płaszczyzn, przechodzących przez oś walca, równa się momentowi względem tej osi, co napiszemy 2Iv — \mR²]

a więc

Iv—\mR²;

l '''' Ol

2) obliczyć Is względem osi przechodzącej przez śro-dek ciężkości i równoległej do podstawy.

Rys. 64.

W tym celu obliczymy najpierw momenty bezwładności danego walca względem płaszczyzny, przechodzącej przez jego oś i przez oś x, oraz moment bezwładności względem płaszczyzny równoległej do podstawy i przechodzącej przez środek walca, a następnie obliczymy moment względem osi ich przecięcia się.

Moment bezwładności względem płaszczyzny {x, y\ rys. 64-ty, obliczymy w następujący sposób:

otrzymamy: 1% — ^ Wlk &k j

podstawiając

mk — Ti R². d z .

= îtjjiJS² j

z^dz

i wreszcie: I₃ =

_¥

podstawiwszy tę wartość w równanie:

otrzymamy

3) Obliczyć moment bezwładności walca względem środka ciężkości: Ji = I₁+Ia-fI, = 2,ł.wS⁹ + AroP==łro(B*+*P).

10G. Momenty odśrodkowe bryły materyalnej. Iloczyn z masy punktu materyalnego i z odległości jego od dwóch wzajemnie prostopadłych płaszczyzn nazywamy momentem odśrodkowym tego punktu względem danych płaszczyzn. Sumę takich iloczynów, odnoszących się do wszystkich punktów danej bryły, nazywamy momentem odśrodkowym danej bryły względem dwóch płaszczyzn. Oznaczywszy ten moment literą Ij,₂, rys. 65, wyrazimy to określenie algebraicznie:    _

rrvk<

I\ ,2 = Z{mkxkyk);

gdzie liczby 1 i 2 wskazują na płaszczyzny, względem których obliczamy momenty. Wielkość momentu odśrodkowego różni się od momentów bezwładności tern, że wartość jego może być dodatną lub odjemną; gdyż składniki tej sumy mogą być ze znakami różnymi. Dla pewnych przeto szczególnych położeń bryły względem danych płaszczyzn moment odśrodkowy może być równy zeru. Przypadek ten zachodzi np. gdy jedna z płaszczyzn momentu odśrodkowego jest płaszczyzną syme-tryi danej bryły; wtedy bowiem momenty odśrodkowe dwóch punktów symetrycznych względem płaszczyzny symetryi i względem każdej innej do niej prostopadłej, posiadają wartości wzajemnie równe lecz ze znakami przeciwnymi, rys. 66, suma ich przeto równa się zeru. Jeżeli przeto bryła dana jest symetryczną względem pewnej płaszczyzny, to jej moment odśrodkowy względem płaszczyzn, z których jedna jest płaszczyzną symetryi, a druga dowolną, lecz do niej prostopadłą, równa się / zeru.

Rys. 65.

-,----

Przykłady. 1) Moment odśrodkowy prostopadłościanu względem płaszczyzn, z których jedna przechodzi przez środek ciężkości i jest równoległą do jednej ze ścian; druga zaś jest dowolna, lecz prostopadła do pierwszej, równa się zeru.

2) Moment odśrodkowy kuli względem wszystkich płaszczyzn, przechodzących przez jej środek, równa się zeru.

Rys. 66.

3) Moment odśrodkowy stożka prostego o podstawie eliptycznej, względem płaszczyzn, z których jedna przechodzi przez jedną z osi głównych podstawy i przez oś stożka, a druga jest dowolna, lecz do niej prostopadła, równa się zeru.

Nie wynika jednakże z wniosku powyższego, żeby dla brył niesymetrycznych nie można było znaleźć położenia dwóch takich płaszczyzn, względem których jej moment odśrodkowy byłby równy zeru. Okażemy obecnie, że płaszczyzny takie istnieją dla każdej bryły, a następnie okażemy w jaki sposób je odnaleźć. W tym celu wyobraźmy sobie przestrzeń rozdzieloną dwiema wzajemnie prostopadłemi płaszczyznami na cztery części i umieszczajmy kolejno daną bryłę w każdej z tych części; wtedy momenty odśrodkowe bryły, umieszczonej w ćwiartce, w której spół-rzędne są (+ x i + y), posiadają wartości dodatne; momenty zaś odśrodkowe bryły, umieszczonej w ćwiartce, w której punkty wyznaczone są spółrzędnemi {-\-x i —y\ posiadają wartości odjemne. Przy częściowem położeniu bryły w jednej i drugiej ćwiartce dodajniki będą dodatne i odjemne. Wobec ciągłości położeń bryły w przestrzeni nastąpi ciągłość wartości sumy momentów odśrodkowych punktów tej bryły; znaleźć przeto można takie położenia bryły, w których momenty jej odśrodkowe względem tych płaszczyzn równać się będą zeru, lub też odwrotnie, można zawsze znaleźć takie położenie dwóch wzajemnie prostopadłych płaszczyzn względem danej bryły, że jej moment odśrodkowy względem tych płaszczyzn będzie równy zeru. Nietylko przeto momenty odśrodkowe brył, posiadających płaszczyzny symetryi, równają się zeru, lecz wogóle dla każdej bryły znaleźć można takie pary płaszczyzn, względem których momenty te równają się zeru; płaszczyzny takie nazywają też płaszczyznami symetryi dynamicznej. Sposób znalezienia położeń takich płaszczyzn podamy w następujących paragrafach.

107 Momenty bezwładności brył materyalnych względem płaszczyzn wzajemnie równoległych. Zadanie to polega na obliczeniu momentu bezwładności bryły względem pewnej płaszczyzny, która jest równoległą do innej płaszczyzny, względem której moment bezwładności jest nam znany. Niech V oznacza moment bezwładności pewnej bryły względem danej płaszczyzny; x\ odległości punktów danej bryły od tej płaszczyzny; wtedy moment bezwładności I tejże bryły względem innej płaszczyzny, przeprowadzonej równolegle do pierwszej na odległości e, wyrazi wzór:

I =    (x'k -(- e)¹ 2—£ (ra* x\²) -j- 2 e S (m* x\) -f- e² X mk.

Ponieważ

oraz:

£(m x'ic) = mx's;

gdzie x\ oznacza odległość środka masy od danej płaszczyzny, § 157-my T. I, przeto, po podstawieniu tych wartości we wzór poprzedni, otrzymamy:

(239)

I = /' -j- 2 e m x\ -f- m. e²;

w szczególnym przypadku, gdy płaszczyzna, względem której znamy moment bezwładności, przechodzi przez środek masy, wtedy: x's=--0; i wzór powyższy przekształci się na następujący:

(240)

108. Momenty bezwładności brył materyalnych względem osi równoległych. Ponieważ wielkość momentu bezwładności bryły względem osi zależy od położenia bryły względem tych osi, przeto w celu obliczenia momentu bezwładności dla każdej z osi, należałoby przeprowadzić nowy rachunek, ażeby zaś tego uniknąć, zestawimy pewne zależności matematyczne pomiędzy wartościami momentów bezwładności względem różnych osi.

z’

Znajdźmy najpierw zależność pomiędzy wartościami momentów bezwładności danej bryły względem dwóch wzajemnie równoległych osi. Niechaj I'z oznacza moment bezwładności danej bryły względem osi s', I* zaś niech oznacza moment bezwładności względem . osi z, równoległej do pierwszej i znajdującej się od niej na odległości e, rys. 67-my; mk niech oznacza masę jednego z punktów rozpatrywanej bryły; to moment bezwładności tego punktu względem osi z' jest wfc7ifi²) względem zaś osi z mkhk²- Wprowadziwszy do rachunku kąt a*, jaki tworzy promień łi\ z płaszczyzną osi (s, z'), napiszemy:

hk²=h\² -j-e² — 2 h\e. cos ak.

Ponieważ h\ cos aft jest spółrzędną yk, odniesioną do układu osi x.y.z¹, rys. 67-my, rozpatrywanego punktu, gdyż hk.cos a:k=yk, to napiszemy:

i/

• Rys. 67.

hk² = h\² Ą- e* — 2 h\ e. cos a*.

Pomnóżmy to równanie przez mk i napiszmy takież równanie dla każdego punktu, to po ich dodaniu otrzymamy:

Zmkhk² = lmkh'k² -j-'Lmke² — 2 I>mkeyk.

Wartości stałe wyniesiemy przed znak sumy, oraz oznaczymy Zmk literą m, a otrzymamy:

(241)

Iz — lfz _f_ e² m — 2 e X mk yk Wyraz Zmkyk przedstawia sumę momentów statycznych bryły względem osi x i może być zastąpiony wyrazem mys (T. I, § 157), w którym ys oznacza spółrzędną środka masy danej bryły.

W szczególnym przypadku, jeżeli środek masy leży na osi z\ to ys^0, a równanie powyższe przekształci się na następujące:

(242)

Is = Is-\-e²m\

które wysłowimy:

moment bezwładności danej bryły względem dowolnej osi równa się sumie dwóch wyrazów, z których jeden jest momentem bezwładności tejże bryły względem osi, do niej równoległej i przechodzącej przez środek masy, drugi zaś jest iloczynem z masy bryły i kwadratu odległości tych osi.

Ze wzoru powyższego można obliczyć moment bezwładności danej bryły względem dowolnej osi w przestrzeni, gdy znaną będzie wartość momentu bezwładności względem osi równoległej do niej i przechodzącej przez środek masy.

Zadanie. Znając moment bezwładności prostopadłościanu względem osi, przechodzącej przez środek jego masy i równoległej do krawędzi c; obliczyć moment bezwładności względem osi, przechodzącej przez krawędź c. Odpowiedź: Ie = $m (a² -j- b²).

109. Szczególne wartości momentów bezwładności. Ze wzoru 240-go wynika, że najmniejszym momentem bezwładności danej bryły względem różnych osi, wzajemnie równoległych, jest moment bezwładności względem osi, przechodzącej przez środek masy.

Chcąc więc wyznaczyć położenie osi, względem której moment bezwładności danej bryły jest bezwzględnie najmniejszy, należy szukać jej pomiędzy osiami, przechodzącemi przez środek jej masy.

O wartościach przeto momentu bezwładności danej bryły względem różnych osi powiedzieć możemy co następuje:

1)    że jest ona w każdym razie dodatną; z określenia bowiem momentu bezwładności wynika, że wszystkie dodajniki sumy, która tworzy moment bezwładności, są dodatne;

2)    moment bezwładności względem osi może być tylko w tym razie równy zeru, gdy punkty materyalne leżą wzdłuż osi; moment bezwładności np. odcinka materyalnego względem osi, przechodzącej przez niego, równa się zeru; lecz moment bezwładności tegoż odcinka względem jakiejkolwiek innej osi posiada wartość skończoną;

3)    moment bezwładności bryły, której punkty są rozmieszczone w przestrzeni, posiada zawsze wartość dodatną względem każdej osi;

4)    największą wartość momentu bezwładności posiada dana bryła względem osi, leżącej w nieskończoności; lub też gdy bryła lub niektóre jej punkty leżą w nieskończoności, a oś bezwładności leży w skończoności. Możemy więc powiedzieć, że wogóle dla przypadków, spotykanych w praktyce:

0 < I₂ < oo.

5) najmniejszą wartość momentu bezwładności posiada dana bryła względem

pewnej osi, która przechodzi przez środek ciężkości.

TDi

■o

;rs

mk

----

Rys. 68.

110. Momenty odśrodkowe bryły materyalnej względem płaszczyzn równoległych. Dany jest moment odśrodkowy /'i,₂ pewnej bryły względem dwóch płaszczyzn 1' i 2', przechodzących przez środek S masy danej bryły, rys. 68-my; obliczyć moment odśrodkowy I1>2 względem płaszczyzn 1 i 2, przeprowadzonych równolegle do poprzednich na odległościach xs i ys od środka.

Oznaczywszy literami i 2/* odległości punktów bryły od płaszczyzn 1-ej i 2 ej (na rys. 69 pokazane są ślady tych płaszczyzn), i temiż literami, lecz z kreskami, odległości od płaszczyzn Y i 2', napiszemy następujący wzór momentu odśrodkowego względem płaszczyzn 1 i 2-ej:

il-2=^{mxkyky,

a ponieważ

xk = x\ 4- xs i yk = y\-f ys

przeto po podstawieniu otrzymamy:

lut = 2 mk (x, -f x\) (ys -f y\);

h,2 = X, ys. £ mk -f xs. E (mk x\) -|-ys-^ (mk y\) + S (mk x\ y\).

Podstawmy: 'Lmk = m, a zważywszy, że płaszczyzny V i 2' przechodzą przez środek masy, mamy związki:

oznaczywszy następnie sumę

'£>(mkx,k) = 0;

£(:nfiky’k.) = 0,

Z{mkx'ky\) literą Z'lł8;

napiszemy

(243)

Ii,₂ =/'i,2-fwæsÿs

Wzór ten wysłowimy: moment odśrodkowy danej bryły względem dwóch wzajemnie prostopadłych dowolnie obranych płaszczyzn równa się sumie dwóch wyrazów, z których jeden jest jej momentem odśrodkowym, względem płaszczyzn równoległych do poprzednich i przechodzących przez środek masy; drugi zaś jest iloczynem z masy danej bryły i z odległości jej środka od tych płaszczyzn.

Z tego twierdzenia wynika:

1)    jeżeli moment odśrodkowy danej bryły względem dwóch płaszczyzn, przechodzących przez środek masy, równa się zeru, to moment ten, względem dwóch innych płaszczyzn, lecz równoległych do pierwszych, posiada wartość równą iloczynowi mxsys;

2)    ponieważ wielkości x₈ i ys można zawsze tak dobrać, ażeby suma (Z'1>2 + ynxsy^) równała się zeru; przeto można zawsze znaleźć takie położenie dwóch płaszczyzn, równoległych do danych płaszczyzn, względem których moment odśrodkowy równać się będzie zeru;

3)    wartość momentu odśrodkowego, względem dwóch płaszczyzn, przechodzących przez środek masy nie zmieni się, gdy jedną z tych płaszczyzn przesuniemy równolegle; wtedy bowiem jeden z mnożników xs lub ys równa się zeru.

111. Momenty bezwładności bryły materyalnej względem osi, przecinających się w jednym punkcie. Zadanie to ma na celu wyrazić moment bezwładności bryły względem dowolnie obranej osi, przez jej momenty bezwładności względem osi spółrzędnych, posiadających początek na tej prostej.

Przeprowadźmy przez początek układu osi spółrzędnych x, y i z prostą £, rys. 69 ty, i oznaczmy jej kąty kierunkowe, jakie ona tworzy z osiami x, y, z, literami (x, Z), (y, l) i (z, l). Jeżeli punkt K jest jednym z punktów bryły, to jego moment bezwładności względem osi l wyrazimy wzorem:

mk.KU;

14

Mechanika teoretyczna. Tom II. Część 2-ga.

zen

co

00

gdzie KL jest odległością tego punktu od osi Z, a m — oznacza masę danego punktu. Wyraźmy następnie tę odległość spółrzędnemi xk, yk i zk danego punktu. W tym celu z rysunku 69-go odczytamy

KL² — OK²— OL²;

OK²=xk² + yk² + zk²;

oraz

odcinek zaś OL równa się sumie rzutów spółrzędnych xk, yk i zk na prostą Z; napiszemy przeto:

OL = xk. cos (x, l) + yk. cos (y, Z). + zk. cos {z, Z). Podstawmy te wartości w wyraz dla KL, a otrzymamy

K L² = (xk² -f yk²+zk) — [xk. cos (x, Z) -f -f I/ł. cos (y, Z) -f-zk. cos (z, Z)]²; po przemnożeniu tego wyrazu przez mk i po dodaniu takich wyrazów, zestawionych dla wszystkich punktów danej bryły, otrzymamy wyraz momentu bezwładności danej bryły względem obranej osi Z.

W celu wykonania tego obliczenia pomnóżmy pierwszy wyraz równania powyższego przez:

z vtr-k

cos² (x, Z) -{- cos² (y, Z) -f- cos² (z, Z); a otrzymamy:

KL² = (xk² -f yk² -f zk²). [cos² (x, Z) + +cos² (y, Z) -f cos² (z, Z) ] — \xk cos (x, Z) + 4- yk cos (y, Z) + zk cos (0, Z)]².

Po przemnożeniu otrzymamy:

^)k

Rys. 69.

KL² = (xk² yk² -f- zk²). cos² (æ, Z) -|- (xk² -f yk² + 0©. cos² (?/, Z) -f (4*² + V² + 2*²) • cos² (0, Z) [rCfc². cos² (a;, l)2xkyk. cos (x, Z). cos (y, Z) -f yk². cos² (?/, Z)-f 2 xkzk. cos (æ, Z). cos (z, l)-\-2ykzk. cos (?/, Z). cos (0, Z) -|-^² • cos² (0, Z) ].

Następnie łączymy wyrazy w ten sposób, ażeby otrzymać wyrazy momentów bezwładności względem obranych, osi spółrzędnych x, y} 0; i otrzymamy

KL² = (i/Ł² -f -0*²). cos² (æ, Z) -f (xk² 4- zk²). cos² {y, Z) + (xk² -j- yk²). cos² (z, Z) —

2xkyk. cos(x,Z). cos (y, l) — 2zkxk. cos (x,Z). cos(z,l) — 2ykzkcos(?/, Z). cos (0, Z).

Pomnóżmy teraz to równanie przez mk, a wyraz mk.KL² wyrazi moment bezwładności punktu iT względem osi Z; wyraz zaś (t/*² —|—-^&²)— moment bezwładności tegoż punktu względem osi x i t. d. Zestawimy takie równania dla każdego punktu bryły, następnie zsumujemy je, a zważywszy, że wielkości cos (x, Z) i t. d. jako niezależne od spółrzędnych punktów danej bryły, mogą być wyniesione przed znak S, otrzymamy, zważywszy przedtem: że lmk(xk²-\-yk²) — Iz i t. d.;

oraz

Z(mkxkyk) = Iu2 i t. d.,

następujące równanie:

Ii — cos²(x,l).Ix-j-cos²(y,l).Iy-\-cos²(3,l).Is — 2cos(x,l). cos (y,l).Ix,₂

— 2cos (y, Z) cos (z, Z). I2>3 — 2 cos (x, Z) cos (0, Z). Iii3. . . . (244)

Wzór ten daje możność obliczenia momentu bezwładności Ii danej bryły względem osi Z z momentów bezwładności tej bryły względem trzech wzajemnie prostopadłych osi, przechodzących przez jeden punkt danej osi, oraz z trzech momentów odśrodkowych tejże bryły względem płaszczyzn, wyznaczonych przez te osi spółrzędnych; a więc dla obliczenia momentu bezwładności danej bryły względem dowolnie obranej osi potrzebna jest znajomość sześciu niezależnych wielkości. W najogólniejszym więc przypadku dla wyznaczenia momentu bezwładności danej bryły musimy wykonać nie więcej jak sześć całkowań; w szczególnych przypadkach może być mniej, niektóre bowiem z tych momentów, zależnie od położenia osi spółrzędnych x, y i z — względem bryły, mogą być wzajemnie równe lub też równe zeru.

Przykład. Obliczyć moment bezwładności prostopadłościanu względem osi l, przechodzącej przez jego przekątnię.

W tym celu przeprowadźmy przez środek masy prostopadłościanu równolegle do krawędzi prostopadłościanu (a, b, c) trzy wzajemnie prostopadłe osi x, y i z, a napiszemy na podstawie poprzednich rachunków:

Iy = ^m(a² + c²);

Ia = m (a² + ó²).

Ponieważ płaszczyzny (x, y) oraz (y, z) są płaszczyznami symetryi, przeto Ii,2 = 0; J2>3 = 0 oraz li,₃ = 0.

Wzór więc 244-ty dla danego przypadku przybierze postać:

Ix = j\m(b² + c²);

Ii = cos² (x, l).Ix 4- cos² (y, l).Iy + cos² (z,l) Is .    .    • . (245)

a¹ + b² -f c² ’

i t. d. ; po podstawieniu przeto tych wartości we wzór powyższy, otrzymamy:

Ze stosunków geometrycznych, zachodzących w prostopadłościanie, wynika, że dla danego przypadku, gdy Z jest przekątnią: cos²(x,l) =

_    . a²b² -f a²c² + b²c²

Il—*m a² + b² + c² '

112. Elipsoida bezwładności danej bryły materyalnej. W celu unaocznienia geometrycznego wielkości momentów bezwładności względem różnych osi l, przechodzących przez pewien punkt, wyrazimy równanie 244-te geometrycznie. W tym celu na każdej osi l odetniemy od początku układu długość:

X²

P-± yj-i

gdzie X² oznacza dowolnie obrany, lecz stały dla danego zadania, spółczynnik pro-porcyonalności. Przeprowadźmy przez obrany biegun 0 nieskończenie wiele osi l i na każdej z nich odetnijmy, określony wyżej odcinek p, to otrzymamy pęk promieni, wychodzących z jednego punktu, których końce utworzą pewną powierzchnię. Zadaniem naszem jest orzec jaka będzie ta powierzchnia.

W tym celu podstawmy do wzoru 244-tego:

X⁴

II    p² ’

i oznaczywszy literami x, y, z, spółrzędne końców promienia p; zastąpimy w otrzyma-nem równaniu iloczyny

P.cos (y, l\

wartościami spółrzędnych x, y, z a otrzymamy równanie:

p . cos (x, l),

p .cos(M),

Ix.x²-\-I,j.y²-{-Ia.z² — 2Iit2.xy — 2I2>3.yz — 2Ihz.xz=\i-, .    . (247)

które przedstawia powierzchnię drugiego stopnia. Ażeby określić postać tej powierzchni, zważymy, że wszystkie jej punkty leżą wogóle w skończoności; wartości bowiem Ii — a więc i wartości p względem wszystkich osi przechodzących przez obrany biegun są wogóle wielkościami skończonemi. W szczególnym tylko przypadku, gdy punkty materyalne są rozłożone wzdłuż osi, przechodzącej przez początek układu spółrzędnych, wtedy względem tej osi == 0; a p = ±oo; z czego wynika, że wogóle wszystkie punkty powierzchni, utworzonej przez końce promieni p leżą w skończoności, a w szczególnym tylko przypadku układu punktów materyal-nych leżą dwa jej punkty w nieskończoności. Ze znanych powierzchni drugiego stopnia odpowiada tym warunkom tylko elipsoida wraz ze swemi odmianami, w jakie przejść może w szczególnych przypadkach; a więc przedstawiać również może elipsoidę obrotową, kulę lub walec.

Wogóle przeto powiedzieć możemy: że każdy punkt w przestrzeni może być środkiem elipsoidy, posiadającej taką właściwość, że moment bezwładności danej bryły względem dowolnej osi, przechodzącej przez ten punkt, obliczymy ze wzo-

ru: Ii =

X⁴

—₂ ;-w którym p jest długością odcinka, utworzonego na tej osi przez środek elipsoidy i jej powierzchnię. Elipsoida ta daje obraz geometryczny zmienności momentów bezwładności danej bryły względem osi, przechodzących przez dany biegun. Elipsoidę tę nazwano elipsoidą bezwładności danej bryły w obranym biegunie.

Dla danej bryły i dla danego bieguna, możemy zawsze zbudować.jedną tylko elipsoidę bezwładności, niezależnie od położenia obranych osi spółrzędnych x, y i z; moment bowiem bezwładności względem każdej osi posiada, na zasadzie danego określenia, jedną tylko wartość; a więc i końce odcinków p, wyznaczą jedną tylko elipsoidę. Zmieniając przeto położenie osi spółrzędnych x, y, z, a nie zmieniając ich początku i położenia bryły w przestrzeni, otrzymamy równania drugiego stopnia różnych postaci; które jednakże przedstawiać będą jedną i tę samą elipsoidę.

Gdy obierzemy osi spółrzędnych wzdłuż głównych średnic tej elipsoidy i oznaczywszy spółrzędne końców odcinków p literami 8, '/], C, wtedy równanie elipsoidy względem tych osi powinno mieć postać:

li I Pl² ‘ p₂²

c²

(248)

w którem pŁ, p₂, p₃ oznaczają długości głównych półśrednic elipsoidy. Oznaczywszy literami A, B, C wartość momentów bezwładności względem osi głównych danej elipsoidy, napiszemy na podstawie określenia wyrażonego wzorem 246-tym:

P3²

Vap2 Vb' p3 v g'

X²

X²

X²

a po podstawieniu tych wartości w równ. 248-ine, otrzymamy równanie elipsoidy, odniesione do osi głównych, w następującej postaci:

(249)

A.¥Ą-B.rf-\-CA² = W

Z porównania tego równania z równaniem elipsoidy, odniesionej do dowolnych osi spółrzędnych x, y, 0, posiadających wspólny początek z osiami £, tj, Ç wynika, że wartość momentów odśrodkowych, względem każdej pary płaszczyzn, przechodzących przez osi główne elipsoidy, są równe zeru; i odwrotnie, jeżeli dla każdej pary płaszczyzn, przechodzących przez obrane osi spółrzędnych, momenty odśrodkowe równają się zeru, to proste przecięcia się tych płaszczyzn są osiami głównemie lipsoidy, gdyż wtedy równanie ogólne 244-te przekształci się na 249-te; t. j. na równanie symetryczne. Osi główne elipsoidy bezwładności nazywają się głównemi osiami bezwładności danej bryły w danym biegunie, a płaszczyzny przechodzące przez te osi głównemi płaszczyznami bezwładności. Elipsoida bezwładności zbudowana dla środka masy danej bryły nazywa się elipsoidą środkową.

Znając położenie osi głównych danej bryły dla obranego bieguna, obliczymy z równ. 244-tego moment jej bezwładności względem dowolnej osi, przechodzącej przez ten punkt, gdy jej kąty kierunkowe będą znane; wzór ten jest nast. :

Ii — J..cos²(£, 1) -f i?.cos² (kj, l) + ć7.cos² (C, l) .... (250)

113. Właściwości momentów bezwładności brył materyalnych.

1) W każdym punkcie przestrzeni wyznaczyć można takie położenie trzech płaszczyzn wzajemnie prostopadłych, że względem każdej pary tych płaszczyzn momenty odśrodkowe danej bryły będą równe zeru. Zanikanie więc momentów od-. środkowych zachodzi nietylko względem płaszczyzn, z których jedna jest płaszczyzną symetryi danej bryły, jakieśmy to już poprzednio zauważyli, lecz dla każdej bryły można je znaleźć.

2)    Jeżeli w pewnym punkcie przestrzeni znajdziemy trzy wzajemnie prostopadłe płaszczyzny, względem których trzy momenty odśrodkowe równają się zeru, to proste przecięcia się tych płaszczyzn są głównemi osiami bezwładności; gdyż wtedy równanie elipsoidy odniesione do tych prostych jak do osi spółrzędnych będzie równaniem symetrycznem. Jeżeli przeto dana bryła posiada np. trzy płaszczyzny symetryi, to proste przecięcia się tych płaszczyzn są osiami głównemi; przypadek ten zachodzi np. w prostopadłościanie.

3)    Ze zmianą położenia bieguna bezwładności, kierunki osi głównych wogóle się zmieniają. Jeżeli bowiem momenty odśrodkowe względem każdej pary z trzech głównych płaszczyzn równają się zeru, to nie będą one wogóle równe zeru względem innych trzech płaszczyzn do nich równoległych, porówn. wzór 243-ci; płaszczyzny te przeto nie będą już płaszczyznami głównemi.

4)    Gdy względem dwóch par z trzech wzajemnie prostopadłych płaszczyzn (1-sza, 2-ga 3-cia) momenty odśrodkowe równają się zeru, np. jeżeli:

I],3 = 0,

oraz

^2,3 = 0,

to proste przecięcia się płaszczyzn 1-ej i 2-giej jest jedną z osi głównych. W tym bowiem przypadku w równaniu ogólnem elipsoidy, równ. 247-me, wypadną dwa iloczyny spółrzędnych i otrzymamy równanie z iloczynem tylko dwóch spółrzędnych; względem więc trzeciej spółrzędnej będzie to równanie symetryczne, odpowiednia przeto tej spółrzędnej oś jest osią główną elipsoidy.

5)    Jeżeli płaszczyzny główne przechodzą przez środek masy danej bryły, to dla biegunów, leżących na każdej z tych płaszczyzn, jedna z osi głównych jest do niej prostopadłą, pozostałe zaś dwie osi leżą w tej płaszczyźnie; równoległe bowiem przesunięcie dwóch płaszczyzn głównych, gdy trzecia przechodzi przez środek masy, nie zmienia wartości momentów odśrodkowych względem każdej z przesuniętych płaszczyzn i pozostałej; a ponieważ wartości momentów odśrodkowych równały się zeru, pozostaną i po przesunięciu tych płaszczyzn równe zeru, § 110-ty.

6)    Z pomiędzy różnych położeń osi bezwładności, przechodzących przez obrany biegun w przestrzeni, wyznaczyć można położenie dwóch wzajemnie prostopadłych osi, względem których momenty bezwładności danej bryły są największe i najmniejsze. Oś względem której moment bezwładności jest najmniejszy, przechodzi przez wielką średnicę elipsoidy; zaś oś, względem której moment bezwładności jest największy, leży na małej średnicy elipsoidy.

7)    Jeżeli wartości momentów bezwładności danej bryły względem dwóch osi głównych są wzajemnie równe, to momenty jej bezwładności względem wszystkich prostych, leżących w płaszczyźnie tych osi i przechodzących przez obrany biegun są wzajemnie równe, elipsoida bowiem jest w tym razie elipsoidą obrotową.

8)    Jeżeli wartości momentów bezwładności danej bryły względem trzech osi głównych, przechodzących przez obrany biegun, są wzajemnie równe, to momenty bezwładności danej bryły względem wszystkich innych osi, przechodzących przez ten biegun są wzajemnie równe. W danym bowiem razie elipsoida przekształca się w kulę; promienie zatem wodzące, a więc i momenty bezwładności względem tych promieni są wzajemnie równe. Np. dla kuli, lub sześcianu elipsoida bezwładności zbudowana w środku ciężkości przekształca się w kulę; momenty przeto bezwładności tych brył względem wszystkich osi, przechodzących przez środek, są wzajemnie równe.

114. Punkt bezwładności na danej prostej. Gdy na danej prostej znajdziemy taki punkt, w którym zbudowana elipsoida bezwładności danej bryły posiada jedną średnicę główną na tej prostej; wtedy punkt taki nazwiemy punktem bezwładności na danej prostej. Zadanie obecne polega na określeniu położenia, w jakiem powinna znajdować się taka prosta względem bryły, ażeby znajdował się na niej punkt bezwładności, a następnie - na wyznaczeniu położenia tego punktu. Obierzmy na danej prostej dowolny punkt O, jako początek spółrzędnych i przeprowadźmy przez niego trzy wzajemnie prostopadłe osi x, y, z, obrawszy tę prostą za oś z. Następnie na tejże prostej obierzmy inny punkt Of, na odległości dotychczas nie oznaczonej z₀ od O i przeprowadźmy przez niego inny układ prostokątnych osi (x\ y\ z'); obrawszy oś z' również na tej prostej. W ten sposób mamy dwa układy spółrzędnych, których początki oraz osi z i z' leżą na danej prostej; płaszczyzny zaś (x, y) oraz (x', y') są wzajemnie równoległe; położenie zatem Æ-tego punktu bryły określić można spółrzędnemi (;xŁ, y^, zk) lub (x\, y\, z'*). Oznaczywszy kąt pomiędzy osiami x i x’ przez a; napiszemy następujące zależności geometryczne pomiędzy spółrzędnemi:

x\ = Xk cos a-\~yk sin a ; y\ — — xk sin a -j- yk cos a; z'k = zk — z₀.

Jeżeli np. punkt O' jest punktem bezwładności danej prostej, t. j. jeżeli x', y\ z' są osiami głównemi w punkcie O', to powinny zachodzić następu

1) S (:mk.x\z\) = 0;

jące geometryczne zależności:

2)    'L(mky'kz,k) = 0;

3)    S {mk x\ y\) = 0.

Podstawiwszy w te równania wartości spółrzędnych (x'k, y\, z'k) z poprzednich równań, otrzymamy trzy równania z dwiema niewiadomemi a i s₀, które określają położenie szukanego bieguna; równania te są następujące:

1)    cos 'x.'L(mkxkzk) + sin a. Z{mkykzk)— z₀ [cos a. l(mkxk) 4- sina. Z(mkyk)]= 0

2)    — sin a. S (mkxkzk)-\~cos a. £ (mkykzk) — z₀[— sin a. £ (m*a;*) + cos a. S (w*«/*)]=0;

3) | sin 2 a . 2 [w* (y²* — x²k)] -f- cos 2 a . S (m* xk. «/&) = 0.

Ażeby dwie niewiadome a i z₀ mogły zaspakajać trzy powyższe równania, powinny zachodzić pewne szczególne zależności pomiędzy spółczynnikami tych niewiadomych.

W celu wyznaczenia tych zależności wyrugujemy a z pierwszych dwóch równań i w tym celu 1-sze równanie pomnożymy przez sin a, drugie przez cos a i dodamy je z sobą; następnie 1-sze pomnożymy przez cos a, drugie przez sin a i także dodamy je z sobą; z 3-ciego zaś bezpośrednio obliczymy tg 2 a; po tych przekształceniach otrzymamy następujące trzy równania:

£ (mkykzk) ,

l(mkxkzk) t £ (w* %) ’

3; tg (2 a) ==

2£ (mkxkyk)

£ Na (z²* — î/²a) ]

. . (251)

Ażeby wartość z₀ zaspakajała dwa pierwsze równania, powinno być

(252)

ykzi) _ £(mfc X]ę zk)

1 (mk yk) ~ Z(mkxk)

Równanie to wyraża właśnie warunek, który powinien być spełniony, ażeby na obranej osi znajdował się punkt bezwładności. Nie każda więc prosta posiada punkt bezwładności dla danej bryły; lecz tylko proste, znajdujące się w szczególnych położeniach względem danej bryły, posiadają takie punkty.

Odległość punktu bezwładności danej prostej (jeżeli on istnieje), od obranego początku 0 spółrzędnych obliczymy z równ. 1-go lub 2-go; a położenie dwóch pozostałych osi głównych obliczymy z równ. 3-go.

Rozpatrzmy pewne szczególne przypadki:

1) Jeżeli jednocześnie:

£ (mkykzk) = 0; Z(mkxk)Æ 0 i Z(mkyk)M 0;

oraz

£ (mkxkzk) — 0;

to z₀ = 0 ;

t.j. obrany początek układu jest punktem bezwładności danej prostej; czyli prosta ta jest jedną z osi głównych danej bryły w tym punkcie.

2) Jeżeli jednocześnie:

oraz

2(mkxizk) = 0; Z(mkykzk) — 0;

£ (mk xk) = 0 ; S (m* ?/*) = 0,

t. j. jeżeli oś ta przechodzi przez środek masy, to z₀ przybiera każdą dowolną wartość; czyli dana prosta jest osią główną dla każdego swego punktu; a ponieważ wartość kąta a jest niezależna od wartości z₀, gdyż w równ. 3-cie nie wchodzi wartość z₀, przeto kierunki pozostałych dwóch osi dla tych punktów nie zmieniają się w przestrzeni i pozostają równoległemi do osi głównych w środku masy. Wszystkie przeto punkty na osi głównej elipsoidy bezwładności są punktami bezwładności dla danej bryły.

3) Jeżeli

l(mkxk) = 0; oraz E (mkyk)—0; a X(mkxkzk)M0; oraz 2,(mkykzk)æ 0; wtedy z₀ = co.

Osi, przechodzące przez środek masy, a nie będące osiami głównemi, posiadają punkty bezwładności w nieskończoności.

4) Jeżeli dana prosta jest równoległą do jednej z głównych osi, przechodzących przez środek masy; to jej biegun bezwładności pokrywa się z rzutem prostopadłym środka masy na tę prostą; płaszczyzna bowiem rzutująca jest w danym razie płaszczyzną główną elipsoidy w środku masy; a dana prosta jest osią główną elipsoidy dla punktu przecięcia się danej prostej z tą płaszczyzną; przypadek 5-ty paragrafu poprzedniego.

115. Ogniska bezwładności. Przyjmiemy, że momenty bezwładności

F”

+2

⁹o.

F’

Rys. 70.

A,B,C danej bryły względem osi głównych £.■»), Ç w środku masy posiadają wartości

A > B> C >;

wtedy moment bezwładności Ii względem osi t/, przeprowadzonej w płaszczyźnie

(i, ff) równolegle do osi yj na odległości e od niej; (rys. 70-ty przedstawia płaszczyznę 6, y]), wyrazi się stosownie do równania 242-ego wzorem:

iy =B-\- e²m.

Przy założeniu, że A > B, wartość e możemy zawsze tak dobrać, ażeby:

B + e² m = A ;

wtedy punkty F' i F", leżące na osi £ w odległości :

e — -f-

od środka masy, posiadają tę szczególną właściwość, że momenty bezwładności danej bryły względem osi i i y]', przechodzących przez te punkty, są wzajemnie równe; elipsoida zatem bezwładności danej bryły, zbudowana w tych punktach, posiada dwie główne średnice wzajemnie równe. Punkty te nazwano ogniskami bezwładności danej bryły na płaszczyźnie głównej (£,y]). Znajomość położenia tych ognisk daje możność wyznaczenia osi głównych w każdym punkcie danej płaszczyzny (£, Yj). Momenty bowiem bezwładności względem osi, przeprowadzonych przez dowolny punkt K tej płaszczyzny i przez obydwa ogniska bezwładności są wzajemnie równe; proste przeto, połowiące kąty zewnętrzne i wewnętrzne, jakie one tworzą, są osiami głównemi w tym punkcie, rys. 70-ty.

Jasnem jest, że ogniska bezwładności mogą leżeć tylko na osi, względem której moment bezwładności jest większy od momentu względem drugiej osi; oddalając bowiem pewną oś od środka masy, moment bezwładności względem niej zawsze powiększa się i mniejsze wartości momentów możemy przez to zawsze dowolnie powiększyć.

Jeżeli więc A> B> C, to możemy na osi i znaleźć jeszcze takie bieguny H'\H", rys. 71-szy, przez które przeprowadzimy osi C\ i C"₂ równolegle do C; względem których momenty bezwładności równać się będą wartości A; odległości tych osi od osi C równają się

A—G

Ponieważ stosownie do założenia B > C, przeto w płaszczyźnie (yj, C) prze-

B-C

od osi C i równolegle do

prowadzić można również na odległości = +

niej takie osi C'₂ i C"₂, względem których momenty bezwładności danej bryły równają się B. Wnioski te wypowiemy: przyjmując, że A > B > C znajdziemy na osi i dwie pary ognisk bezwładności; jedna z tych par (F' i F") wyznacza główne osi bezwładności względem biegunów, leżących na płaszczyźnie (£, y]); druga zaś H' i H" wyznacza te osi względem biegunów leżących na płaszczyźnie (I, C). Na osi y] znajdziemy tylko jedną parę ognisk, gdyż moment bezwładności B względem tej osi jest większy tylko od momentu C względem osi C. Znajomość położenia trzech par tych ognisk pozwala wyznaczyć położenie osi głównych względem biegunów, leżących na każdej z trzech płaszczyzn głównych, przechodzących przez dany środek.

W szczególnym przypadku, jeżeli B — C i, jak poprzednio, A > B, to ogniska G' i G" pokrywają się ze środkiem masy, ognisko zaś H' pokrywa się

z F' a H" z F"; osi zatem i)' i £', względem których momenty bezwładności równają się A, zbiegają się w jednym punkcie na osi £, względem której moment bezwładności także równa się A; otrzymujemy zatem w jednym punkcie na osi i w odległości

A—C

od środka masy trzy wzajemnie prostopadłe osi, względem których momenty bezwładności są równe wartości A. Wniosek ten wypowiemy w następujący sposób: gdy elipsoida bezwładności pewnej bryły, zbudowana w środku jej masy, posiada dwie osi główne wzajemnie równe, i gdy względem tych osi momenty bez-

«T

VTC\

H”

&-

-jr_

y v IG

■W*

F’

\Jvf

Rys. 71.

władności są mniejsze od momentu względem osi trzeciej; wtedy na osi trzeciej znajdziemy dwa ogniska, względem których elipsoida bezwładności stanie się kulą; ogniska te nazywają ogniskami równych momentów bezwładności; zatem: dwa ogniska równych momentów bezwładności posiadają bryły, których elipsoida bezwładności w środku masy posiada dwie średnice wzajemnie równe; a trzecią mniejszą od każdej z nich. Bryły zatem obrotowe mogą posiadać ogniska równych momentów na osi obrotu, gdy średnica elipsoidy, leżąca na tej osi, jest mniejszą od pozostałych średnic; t. j. gdy elipsoida bezwładności jest spłaszczona.

116. Przykład. Wyznaczyć elipsoidę bezwładności punktu materyalnego względem bieguna, dowolnie obranego w przestrzeni.

Przez dany biegun przeprowadzamy pęk osi bezwładności i względem każdej z nich obliczymy moment bezwładności danego punktu; moment ten = gdy literą m oznaczymy masę punktu materyalnego i literą hn odległość jego od n-tej osi, przeprowadzonej przez biegun. Odetnijmy na tych osiach wartości

X²

!/ mh„²

; a końce tych odcinków wyznaczają powierzchnię szukanej elip-

soidy.

Rozpatrzmy następnie pewne szczególne przypadki położenia osi, przechodzących po przez obrany biegun:

1) gdy °ś przechodzi przez obrany biegun i dany punkt materyalny, to moment bezwładności danego punktu względem tej osi = 0, a p = oo; a więc oś ta przecina elipsoidę woo, t. j. elipsoida w danym razie przekształca się na walec; którego oś przechodzi przez dany punkt materyalny oraz obrany biegun; a ponieważ w danym przykładzie dla obranego bieguna jedną tylko taką osi znajdziemy, przeto oś ta jest największą osią elipsoidy. W celu wyznaczenia dwóch pozostałych osi przeprowadźmy przez dany biegun pęk osi prostopadłych do osi walca, a ponieważ momenty bezwładności względem tych osi są wzajemnie równe, przeto i odnośne promienie wodzące elipsoidy są wzajemnie równe. Wnioski te wysłowimy: elipsoida bezwładności punktu materyalnego, względem dowolnie obranego bieguna w przestrzeni, przekształca się w walec, którego oś przechodzi przez dany punkt materyalny i przez obrany biegun, którego przekrój jest kołowy, o promie-

X²

niu = —— ; gdy literą l oznaczymy odległość danego punktu materyalnego od IV m

bieguna. Zbudowawszy taki walec, możemy wyznaczyć moment bezwładności danego punktu materyalnego względem dowolnej osi; przechodzącej przez obrany biegun. Jasnem jest, że ze zmianą położenia bieguna zmienia się położenie osi walca i promień jego przekroju przy tej samej wartości X. Gdy w szczególnym przypadku obierzemy biegun w danym punkcie materyalnym, wtedy promień przekroju walca przybierze wartość = oo, t. j. cała jego powłoka odsunie się do nieskończoności tak, iż długość każdego promienia wodzącego, przechodzącego przez dany punkt = oo, momenty zatem bezwładności danego punktu względem każdej osi, przechodzącej przez niego równa się zeru; co również wynika bezpośrednio z postawionych warunków zadania.

117. Przykład. Znaleźć szczególne właściwości elipsoidy bezwładności dwóch punktów materyalnych, względem różnych biegunów, dowolnie obieranych w przestrzeni.

Gdy obierzemy biegun nie na prostej, łączącej dane punkty, wtedy momenty ich bezwładności względem wszystkich osi, przechodzących przez taki biegun, posiadają wartości skończone; a końce odnośnych promieni p wyznacza elipsoidę o skończonej wielkości średnic Dla szczególnych położeń biegunów, gdy obierzemy je np. na prostej, łączącej dwa dane punkty, wtedy elipsoidy względem tych biegunów przekształcą się w walce o przekrojach kołowych i wspólnej osi, przechodzącej przez dane punkty; promienie tych przekrojów zależą od odległości obranego bieguna od danych punktów materyalnych.

Przeprowadźmy przez biegun, nie leżący na prostej łączącej dane punkty, i przez dwa dane punkty płaszczyznę, a będzie ona płaszczyzną symetryi danego

układu punktów (po obydwóch bowiem stronach tej płaszczyzny niema punktów, jest to więc szczególny przypadek symetryi); jedna więc z osi głównych szukanej elipsoidy dla dowolnego punktu tej płaszczyzny, jest prostopadłą do niej, a moment bezwładności względem tej osi równa się sumie iloczynów z mas danych punktów i kwadratów ich odległości od obranego bieguna; dwie pozostałe osi leżą w tej płaszczyźnie. Łatwo spostrzedz, że te wnioski stosują się również do prostego odcinka materyalnego.

118. Przykład. Znaleźć szczególne właściwości elipsoidy bezwładności trzech materyalnych punktów względem biegunów, dowolnie obieranych w przestrzeni.

W danym razie elipsoida bezwładności posiada dla wszelkich biegunów skończone wymiary. W szczególnym przypadku, gdy biegun obierzemy w płaszczyźnie trzech punktów; wtedy jedna z osi głównych jest prostopadłą do tej płaszczyzny.

Do określenia właściwości elipsoid bezwładności więcej złożonych układów punktów należy wogóle stosować metody ogólne, wyłożone w poprzednich paragrafach.

119. Układy płaskie punktów materyalnych. Szczególnym przypadkiem układów punktów materyalnych są układy na płaszczyźnie. Fizycznie układy takie przedstawić sobie możemy w postaci bardzo cienkich płyt materyalnych płaskich. To, cośmy powiedzieli o momentach bezwładności brył, stosuje się w zupełności do płaskich układów punktów; zachodzą tylko pewne szczególne ich właściwości, wynikające ze szczególnego sposobu rozmieszczenia punktów; właściwości te są następujące:

1)    płaszczyznę układu płaskiego uważać można za jego płaszczyznę symetryi; jedna przeto z osi głównych bezwładności dla każdego punktu tej płaszczyzny jest prostopadłą do niej, dwie zaś pozostałe leżą na tej płaszczyźnie; wobec czego mówimy w tym razie tylko o dwóch osiach bezwładności.

2)    przeprowadźmy przez obrany punkt w płaszczyźnie danego układu dwie prostopadłe osi spółrzędnych x i y i prostopadle do niej oś z\ to zachodzą następujące równania:

I.V - — (W2/£ Ijk ),

z których wynika, że:

Ty = S (mkxk²);

Iz = Zmk (xk² + y fc²);

I₃—Ix —f" Ty >

czyli suma momentów bezwładności figury płaskiej, względem dwóch osi, wzajemnie prostopadłych, równa się momentowi bezwładności względem ich punktu przecięcia się.

2) Jeżeli około pewnego bieguna, na płaszczyźnie układu, obracać będziemy prostą l, to moment bezwładności Ii danego układu względem tej prostej obliczymy ze wzoru 244-tego, podstawiwszy w niego: cos(£,Z) = 0; a więc:

Ii = cos² (x, l). Ix -f- cos² (y, l).Iy— 2 cos (x, l). cos (y, l). Ii, ₂

X²

4) Odłożywszy na każdej z tych osi promień p = ±    ,

otrzymamy jako geometryczne miejsce końców tych promieni elipsę, której równanie jest następujące:

por. § 112-sty,

x².Ix + y².Iy

2æï/.I1>2 = X⁴.

5) Osi główne elipsy w danym biegunie płaszczyzny układu, nazywają się osiami głównemi w tym biegunie. Dla każdego punktu płaszczyzny kierunki tych osi się zmieniają. Momenty bezwładności względem osi leżących w płaszczyźnie układu i przechodzących przez środek jego masy, oznaczać będziemy literami A i B. Równanie elipsy bezwładności w środku masy, odniesione do osi głównych bezwładności jest następujące:

X² \²

i

/ X² \²

= 1.

¹

Is-\- me²

²

gdzie Is oznacza moment bezwładności danej bryły względem płaszczyzny, przechodzącej przez środek masy.

Va

VB‘

6)    Na osi 7], gdy B < A, znajdziemy parę ognisk, dla których elipsa bezwładności przekształca w koło bezwładności; znajomość położenia tych ognisk pozwala wyznaczyć główne osi bezwładności dla dowolnego bieguna, leżącego na płaszczyźnie układu.

7)    Jeżeli oś l nie leży w płaszczyźnie układu, wtedy dla obliczenia momentu bezwładności względem tej osi, należy zastosować elipsoidę bezwładności w danym biegunie.

8)    Warunki, pozwalające określić, czy na danej osi w płaszczyźnie układu, znajduje się biegun bezwładności, znajdziemy w następujący sposób. Obierzmy na danej osi punkt 0 jako początek układu spółrzędnych; daną oś obierzmy za oś y, prostopadłą do niej za oś x. Na osi y w odległości y₀ obierzmy punkt 0 ' jako początek drugiego układu osi (xr, y'), przyjmując daną oś za y'\ a zależność spółrzędnych tych układów wyrazi się następującemi równaniami:

y₀;

y—y

Jeżeli 0' ma być punktem głównym, to powinno zachodzić równanie:

^{mkx\y'k) — 0;

—— rp •

¹    y

lub inaczej :

^[mkxk(yk — y o)] =0,

skąd otrzymamy:

(252)

_ Z(mkxkyk)

V°~ Z(mkxk)

Ponieważ jest tu jedno równanie z jedną niewiadomą y₀, przeto każda prosta, leżąca w płaszczyźnie układu płaskiego punktów materyalnych, posiada punkt bezwładności; odległość tego punktu od obranego początku obliczymy z równania 252-ego. Szczególne przypadki tego równania obliczyć można jak poprzednio.

120. Uogólnienie twierdzeń o właściwościach momentów. W na-stępującem rozpatrywaniu nazywać będziemy wogóle momentem danego układu punktów materyalnych iloczyn algebraiczny, wektorowy lub skalarny z dwóch długości i z wielkości masy i czasu; lub też—sumę takich iloczynów. A więc przez tę nazwę rozumieć będziemy: momenty bezwładności punktów i brył materyalnych względem płaszczyzn, osi lub biegunów, — momenty ich odśrodkowe; — momenty ilości ruchu i wreszcie—energię kinetyczną. Dla każdego z tych momentów dowiedliśmy, że wartość jego względem dowolnej płaszczyzny, osi lub dowolnego bieguna, składa się z wielkości dwóch takich samych momentów, z których jeden jest inomen-tem, względem tychże płaszczyzn, osi lub biegunów środka masy danego układu; gdy w tym środku wyobrazimy sobie skupioną całą masę danego układu; drugi zaś jest takim samym momentem względem płaszczyzny lub osi, przechodzących przez ten środek lub względem bieguna, obranego w tym środku; porówn. wzory: 216-sty; 222-gi; 240-sty; 242-gi; 243-ci.

Tożsamość tych twierdzeń jest wynikiem tej wspólnej właściwości funkcyi matematycznych, określających te momenty, że funkcye te są drugiego stopnia pod względem wymiaru długości. Wzory określające te momenty są:

oraz

^{mkxk¹ 2)\ Z(mkxkyk)-, Z(\mkvk.rk);

Jeżeli zastąpimy w tych wzorach daną długość sumą dwóch innych długości, z których jedna jest wielkością zmienną, odniesioną do środka masy; np. x'k, y'k, r'k, v\; a druga wielkością stałą, określającą położenie lub ruch środka masy, np. wielkością xs, ys, rs lub vs\ to po wykonaniu odpowiednich działań matematycznych, wskazanych wyrazem, określającym dany moment, otrzymamy trojakiego rodzaju wyrazy:

1) wyrazy typu

które są takiemi samemi funkcyami, jak poprzednie, tylko — nowych zmiennych; t. j. wyrażają te same momenty innemi tylko zmiennemi;

2) wyrazy, będące iloczynami lub drugiemi potęgami wyłącznie ze stałych długości, które można wynieść przed znak sumy; a sumę mas wszystkich punktów zastąpić masą całego układu; są to wyrazy nast.:

2 {mkx'ky’k)\

oraz

^{\mkv'k²)\

mxs²:

m xs y s ;

y mvsrs;

oraz

mvs²;

wyrazy przeto tego rodzaju wypadną ze wzorów.

W tem właśnie określeniu środka masy leży uproszczenie podanych przekształceń.

2. Kinetyka brył materyalnych.

121. Ilość ruchu i moment ilości ruchu bryły materyalnej. Określenia ilości ruchu i momentu ilości ruchu pewnej bryły materyalnej są te same, jakie daliśmy w §§ 81-szym i 83-cim dla dowolnego układu punktów materyalnych; a mianowicie:

ilością ruchu danej bryły materyalnej nazwiemy sumę wektorową ilości ruchu oddzielnych jej punktów, a

momentem jej ilości ruchu nazwiemy sumę wektorową momentów ilości ruchu tych punktów względem obranego bieguna.

Z określenia momentu ilości ruchu nie należy wnioskować, że moment ten równa się momentowi ilości ruchu środka masy; jest'to bowiem słuszne, jak to niebawem zobaczymy, tylko dla pewnego szczególnego przypadku; wogóle zaś przypadek ten nie zachodzi; i wogóle, w celu obliczenia momentu ilości ruchu danej bryły należy postępować w tenże sposób, w jaki postępowaliśmy przy obliczaniu momentu sił, działających na daną bryłę; t. j. należy najpierw obliczyć wektory momentów ilości ruchu oddzielnych punktów, na jakie wyobrażamy sobie rozłożoną daną bryłę, następnie należy dodać te wektory; a ich wypadkowa będzie momentem ilości ruchu danej bryły.

W § 25-tym tego tomu podaliśmy znaczenie fizyczne ilości ruchu punktu-materyalnego; wyobrażając sobie, że ilość ruchu danego punktu materyalnego może być uważana za miarę uderzenia, jakie udzielone zostało danemu punktowi; lub też za miarę działania chwilowego pewnej siły. Pojęcia te, odnoszące się do punktu materyalnego, można również zastosować do ruchu bryły, wyobraziwszy ją sobie złożoną z bardzo wielu punktów materyalnych. Wektor przeto ilości ruchu danej bryły materyalej, odniesiony do pewnego punktu przekształceń, porówn. § 143-ci tomu I-go, wyraża wypadkową wszystkich sił chwilowych, nadających punktom danej bryły posiadane przez nich prędkości; a wektor momentu ilości ruchu danej bryły wyraża moment wypadkowy momentów tych sił, względem bieguna, obranego w punkcie przekształceń. Jeżeli np. uderzymy bryłę mate-ryalną, mogącą obracać się około pewnego punktu nieruchomego, to mamy do czynienia z siłą uderzenia i z jej momentem; miarą przeto uderzenia jest suma ilości ruchu wszystkich punktów, której wielkość równa się w myśl § 81-ego ilości ruchu środka masy; oraz sumie momentów ilości ruchu wszystkich jej punktów, którą nazwaliśmy momentem ilości ruchu danej bryły.

Jeżeli przeto mamy np. dany wektor momentu ilości ruchu pewnej bryły materyalnej względem bieguna, około którego bryła się obraca, to należy wyobrazić sobie w płaszczyźnie, prostopadłej do tego wektora i przechodzącej przez punkt nieruchomy, siłę uderzającą, która wywołała dany stan prędkości punktów tej bryły; a stan ten, jeżeli bryła obraca się około punktu nieruchomego, określić można wektorem cp prędkości obrotowej, jaką posiada bryła bezpośrednio po uderzeniu.

W rozpatrywaniach przeto ruchu takiej bryły i czynników wywołujących jej ruch, będziemy mieli do czynienia z dwoma wektorami; z wektorem momentu ilości ruchu Äf„, który jest wyrazem czynników fizycznych, działających na tę bryłę i z wektorem y prędkości obrotowej danej bryły, który można uważać za wyraz skutku działania tych czynników; dwa te wektory są od siebie zależne; zajmiemy się przeto obliczeniem tej zależności. Zanim jednakże do tego przystąpimy, zwrócimy uwagę na tę okoliczność, że do wyrażenia tej zależności wypadnie zastosować właściwości rozmieszczenia mas punktów danej bryły względem obranego bieguna momentów; każdy bowiem punkt danej bryły jest punktem przyłożenia wektora jego ilości ruchu; wypadkowa przeto ich momentów zależy od rozmieszczenia geometrycznego tych punktów względem bieguna momentów i od wielkości ich mas.

Ilość ruchu danej bryły można obliczyć w tenże sposób, w jaki obliczyliśmy tę ilość dla dowolnego układu punktów, por. wzór 191-szy; powtórzymy przeto tutaj twierdzenie, podane w § 81-szym, że ilość ruchu bryły materyalnej równa się ilości ruchu środka jej masy, gdy wyobrazimy sobie w tym środku skupioną całą masę danej bryły; twierdzenie to wyrazimy wzorem takim samym jak poprzednio:

S(Wfc"£) = mvs.

na

Wektor momentu ilości ruchu bryły materyalnej da się wyrazić wielkościami, określającemi ruch danej bryły i wielkościami, wyrażającemi rozmieszczenie mas jej punktów; gdy tymczasem wektor momentu zmiennego układu punktów może • być wyrażony tylko sumą ilości ruchu oddzielnych punktów, t. j. złożoną z tylu składników, ile było punktów w danym układzie. Ponieważ ruch punktów bryły materyalnej da się wyrazić wogóle dwoma wektorami v i cp; t. j.—wektorem prędkości dowolnego jej punktu i wektorem prędkości kątowej; porówn. wzór 58-my, podany str. 90-ej tomu I-go, przeto i moment jej ilości ruchu powinien dać się wyrazić temi wielkościami.

Zajmiemy się obecnie obliczeniem wzoru momentu ilości ruchu danej bryły materyalnej, wyrażonego wielkościami określającemi jej ruch, i w tym celu, ażeby zadanie sobie ułatwić, obliczymy go najpierw dla pewnych szczególnych przypadków ruchu.

1) Gdy bryła jest w ruchu postępowym z prędkością v, to moment jej ilości ruchu względem dowolnie obranego bieguna wyrazimy wzorem ogólnym:

Mv = S [Y mkv . 7*].

TO,kv

Rys 72.

Ponieważ w tym przypadku ruchu wektory ilości ruchu mogą być uważane za przecinające się w jednym punkcie—w nieskończoności; suma przeto ich momentów równa się momentowi ich wypadkowej: a że długości tych wektorów są pro-porcyonalne do mas, to wypadkowa ich, podobnie jak wypadkowa sił ciężkości oddzielnych punktów, przechodzi przez środek masy danej bryły; i równa się wielkości mv\ przeto, jeżeli bryła jest w ruchu postępowym, to

. . (253)

Mv = Ymv . rs;

gdzie rs jest promieniem wodzącym, wyprowadzonym z obranego bieguna, do środka masy danej bryły.

Wniosek ten wypowiemy: moment, względem dowolnie obranego bieguna, ilości ruchu bryły, będącej w ruchu postępowym, równa się momentowi ilości ruchu środka jej masy względem tegoż bieguna, gdy wyobrazimy sobie całą masę skupioną w tym środku.

Drogą rachunku wektorowego dojdziemy do tego wyniku w następujący sposób. Stosownie do określenia momentu ilości ruchu napiszemy wzór:

It=S[VmJ.7Ł];

lub inaczej zgodnie z prawidłami, wyłożonemi w § 110-tym tomu I-ego:

’Mv — Y™. S(mk7³);

i wreszcie:

Mv= V mv . rs.

lub po przestawieniu czynnika m

= V v . m7s,

W szczególnym przypadku, gdy biegun momentów obierzemy w środku masy takiej bryły, to

Mt = 0 ;

moment względem bieguna obranego w środku masy, ilości ruehu bryły, poruszającej się ruchem postępowym, jest w każdej chwili równy zeru.

2) Weźmy teraz pod uwagę układ sztywny punktów, leżących na płaszczyźnie i przyjmijmy, że układ ten znajduje się w ruchu dowolnym w swojej płaszczyźnie; czyli weźmy pod uwagę figurę płaską materyalną, poruszającą się w swej płaszczyźnie.

Podczas ruchu takiego układu suma wektorowa momentów ilości ruchów oddzielnych jego punktów zamienia się na sumę algebraiczną; prędkości bowiem oraz ilości ruchu oddzielnych punktów leżą w jednej płaszczyźnie; wektory przeto Mv<k leżą na wspólnej prostopadłej, wystawionej w obranym biegunie.

Wiemy z kinematyki, że każdy ruch płaski może być wywołany przez obrót około środka chwilowego obrotu, porówn. § 61-szy tomu I-szego. Gdy obierzemy biegun momentów O w środku chwilowego obrotu (³) i oznaczymy prędkość kątową obrotu chwilowego literą cp, wtedy

vk = rk. cp,

gdzie rk oznacza w tym razie prostopadłą odległość bieguna momentów od kierunku ilości ruchu k-tego punktu.

Rys. 73.

Po podstawieniu tej wartości w ogólny wzór momentu ilości ruchu, otrzymamy jego wartość:

M„ = l (mk rk cp. rk) = ç . S (m³ r³²);

15

skąd wreszcie :

(254)

Mv — I₀. cp

gdzie I₀ oznacza moment bezwładności danego układu względem środka chwilowego obrotu. Wzór ten wysłowimy: moment ilości ruchu figury płaskiej materyalnej względem bieguna, obranego w środku chwilowego obrotu, równa się iloczynowi z prędkości kątowej i z momentu bezwładności danej figury względem tegoż bieguna.

Jeżeli zaś biegun momentu ilości ruchu obierzemy w dowolnym punkcie na płaszczyźnie danej figury, nie w środku chwilowego obrotu; to wartość tego momentu obliczymy, wyobraziwszy sobie na zasadzie § 65 tego tomu I-ego; że ruch chwilowy figury danej jest złożony z ruchu postępowego o prędkości vs, jaką posiada w danej chwili np. środek masy tego układu i z ruchu obrotowego o prędkości y około tego środka; moment przeto ilości ruchu każdego punktu składa się z sumy momentów obydwóch składowych tego ruchu; zważywszy następnie, że ruch punktów, wywołany obrotem figury około środka masy, jest ruchem względnym, który określiliśmy w § 92 im tego tomu; możemy zastosować bezpośrednio do obliczenia momentu ilości ruchu danej figury twierdzenie, podane w § 216-tym tego tomu; wypowiemy je: moment ilości ruchu układu płaskiego względem bieguna, dowolnie obranego na płaszczyźnie tego układu, składa się: z momentu ilości ruchu postępowego względem obranego bieguna, moment ten jest wyrażony równaniem 253-im, i z momentu ilości ruchu obrotowego, względem bieguna; obranego w środku masy; moment ten wyrażony jest wzorem 42-gim; całkowity przeto moment:

Mv = Y m~s. “ -f Is. ”

. (255)

W szczególnym przypadku, w którym środek masy figury płaskiej pozostaje

Rys. 74.

w spoczynku, wartości momentów jej ilości ruchu względem wszystkich biegunów są jednakowe; równe są bowiem wyrazowi Is. cp. Do wniosku tego dojdziemy również drogą bezpośredniego rozumowania, wziąwszy pod uwagę twierdzenie, że suma wektorów ilości ruchu każdej bryły materyalnej równa się wektorowi ilości ruchu środka masy; jeżeli zaś suma ta równa się zeru, jak w przypadku przytoczonym, to układ tych wektorów sprowadzić można do pary wektorów, których momenty na zasadzie § 115-tego tomu I-go, są jednakowe dla wszystkich biegunów.

W szczególnym przypadku, który rozpatrywaliśmy poprzednio, jeżeli biegun momentu pokrywa się z biegunem chwilowego obrotu; to, zważywszy, że w tym przypadku :

fs _L Vs >

vs = rs. <p ;

a więc

wyraz momentu ilości ruchu jest następujący :

Mv = m rs². <p -f Is. <p ;

') Czytelnik zechce sobie uprzytomnić położenie tych wektorów względem płaszczyzny figury, jak również wyprowadzić ten wzór na podstawie § 144-tego tomu I-go.

a więc i

£ (m* x'k) — 0 ;

i t. p.

a zważywszy jeszcze, że zgodnie z równaniem 242-em:

m r s² -f- Is —1₀ ;

otrzymamy wzór 254-ty, wyprowadzony bezpośrednio dla tego przypadku.

3)    Jeżeli bryła materyalna obraca się około osi, to można dowieść w tenże sposób, w jaki to uczyniliśmy dla figury płaskiej, że moment jej ilości ruchu wżględem osi obrotu równa się iloczynowi z momentu bezwładności tej bryły względem osi obrotu i z prędkości obrotowej; i wzór tego momentu będzie jednakowy ze wzorem 254-ym z tą tylko różnicą, że I₀ oznaczać będzie moment bezwładności danej bryły względem osi obrotu.

4)    Wyznaczmy teraz położenie i wielkość wektora momentu ilości ruchu bryły, obracającej się około pewnej osi, względem bieguna obranego na tejże osi. W celu tego obliczenia zastosujemy układ spółrzędnych (x, y, z), którego początek obierzmy w danym biegunie O na danej osi; i przyjmiemy kierunek osi obrotu cp za oś z, a osi x i y prostopadle do niej; zresztą—dowolnie. Na rysunku 75-ym pokazany jest biegun momentów O i oś obrotu <p; oraz jeden punkt mk danej bryły.

Wyobrazimy sobie następnie, że szukany wektor Mv jest zrzutowany na obrane osi spółrzędnych; a rzuty jego, które oznaczymy literami MV)X i M i MVjZ, uważać będziemy stosownie do § 28-go tomu I go, za momenty ilości ruchu danej bryły względem osi x,y,z\ a obliczywszy te momenty, wyznaczymy z nich położenie właściwego momentu względem obranego bieguna i obliczymy jego wielkości; porówn. §§ 131-szy i 132-gi tomu I-go; w których postępowaliśmy w tenże sposób; przy obliczeniu momentu siły względem bieguna.

Ażeby przeto obliczyć np. MVi x, zrzutujmy wektory ilości ruchu każdego punktu danej bryły na płaszczyznę (y, z), i obliczmy momenty tych rzutów względem początku spółrzędnych. Oznaczywszy odległości k-tego punktu od osi obrotu literami hk\ wyrazimy wartość prędkości jego wzorem hky. Oznaczywszy następnie kąt, jaki tworzy promień hk z płaszczyzną (y, z) literą a*, wyrazimy rzut vkt y< e prędkości vk na płaszczyznę (y, z) wzorem :

A<e

Mv,

Rys. 75.

3-

xk

f, y

Vh,

= (A* <p) • sin ak ;

kierunek bowiem prędkości vk tworzy z płaszczyzną (y, z) kąt (90—a*); a zważywszy, że

hk. sin ak = Xjc’,

wyrazimy rzut na płaszczyznę (y, z) wektora ilości ruchu tego punktu wzorem:

mk xk <p ;

a moment jego względem bieguna, obranego w początku układu, wzorem

— (mk xk <p). zk ;

zk jest bowiem w tym razie ramieniem tego rzutu; a więc

Mv, * = — <p S (m*    s*) ;

lub inaczej

(256)

MVtX = — cp • Ti, 3;

gdzie ii.3 oznacza moment odśrodkowy danej bryły względem płaszczyzn 1-ej i 3-ej; (porówn. § 106-ty tego tomu).

W tenże sposób obliczymy moment ilości ruchu względem osi y :

(257)

y =--'P • I2, 3 Î

lub też otrzymamy ten wzór bezpośrednio z poprzedniego, gdy zastąpimy w nim x literą?/; wskaźnik 1 wskaźnikiem 2.

Moment względem osi z obliczymy bezpośrednio ze wzoru 254-tego i otrzymamy :

(258)

MV) „ — cp . 1=

Moment przeto ilości ruchu względem bieguna 0 obranego na osi obrotu bryły, obracającej się okołovosi z; wyrazimy wzorem wektorowym

Mv — MVt x -{- Mt) y -f- M

Ze wzoru tego wynika, że kierunek wektora Mv, t. j. kierunek wektora momentu ilości ruchu bryły, obracającej się około danej osi względem bieguna obranego na tej osi, nie pokrywa się wogóle z kierunkiem tejże osi obrotu, jakby to pozornie zdawać się mogło. Wniosek ten zresztą unaocznimy sobie bezpośrednio, jeżeli zbudujemy wektor momentu pojedynczego punktu materyalnego względem bieguna obranego na osi, około której ten punkt się obraca. W szczególnem tylko położeniu bryły, jakie ona zajmuje względem osi obrotu, kierunki te pokrywać się mogą; a to nastąpi tylko wtedy, gdy jednocześnie wartości:

I2,3 — 0.

oraz

4₃ = 0;

Wniosek ten wypowiemy:

kierunek wektora momentu ilości ruchu względem bieguna, obranego na osi obrotu pewnej bryły materyalnej, pokrywa się tylko wtedy z kierunkiem tej osi, jeżeli oś ta jest jedną z osi głównych elipsoidy bezwładności, zbudowanej w obranym biegunie momentów.

Z powyższych warunków wynika jeszcze wniosek, jeżeli w szczególnym przypadku bryła posiada takie położenie względem osi obrotu, że na tej osi znajduje się biegun bezwładności (§ 114-ty tego tomu); to kierunek momentu ilości ruchu względem tego bieguna, ale tylko względem tego bieguna, pokrywa się z kierunkiem osi obrotu.

5) W ogólniejszym przypadku ruchu, jeżeli kierunek osi obrotu nie pokrywa się z żadną z osi obranego już układu spółrzędnych, to w celu obliczenia wektora momentu ilości ruchu względem bieguna, obranego na tej osi, rozłożymy wektor prędkości obrotowej p w kierunkach osi spółrzędnych; a dany obrót p będziemy uważali za złożony z trzech obrotów p*, pv, pa; i obliczenie momentu ilości ruchu sprowadzimy do poprzedniego przypadku.

Wyznaczywszy kierunki obranych osi spółrzędnych wektorami jednostkowymi 7, k, i (§ 21-szy tomu I-go), a momenty ilości "ruchu względem bieguna, obranego w początku układu, powstające podczas kolejnych obrotów około tych osi literami (Wv)₁, (mv)₂ i (Mt)₃; napiszemy na zasadzie wzorów 259-tych; stosując je kolejno do tych przypadków:

. . (259)

Wi — —H P# I* • ^ p.r 2 • i P* s • k, {Mv)₂ ⁼⁼ py 2 • ^ “j⁻ P«/ ly • Z P2/ 1-2, ‘i • k (Mv)z = — Ii, 3 •    - T./2.8 -7+ <?*Iz-k.

A ponieważ    -j- (Äf„)₂ -f (df«0₃, przeto

-J/®, X

Mv,y = - P* • -A, 2 “j“ <?y • Iy

— H⁻ • I* y y ■ II,2 pe -/i, 35

. ■ (260)

pe • I2, 3 5

d/p, y —    psc • -1,3 —    • I2, 3 -j- pa • 1% •

Wzory te znacznie się.uproszczą, jeżeli obierzemy główne osi elipsoidy bezwładności, zbudowanej dla obranego bieguna momentów, za osi spółrzędnych; momenty bowiem odśrodkowe będą równe zeru. Jeżeli przeto literami i, tj i C oznaczymy osi główne danej bryły w obranym biegunie, to z powyższych równań wynika, że:

skąd :

lub analitycznie

N W fcs

• A,,

.Ir.

Af«² = (pę • Ię)² + (Pt, • A)² + (pf. Ię)a ;

i t. d.

. . (261)

. . (262)

Równania te pozwalają wyznaczyć wektor Mv, gdy dane jest położenie wektora p i położenie bryły w przestrzeni; t. j. gdy znane jest położenie wektora p względem trzech głównych osi elipsoidy i momenty bezwładności względem tych osi. I odwrotnie, za pomocą powyższych równań wyznaczyć można wektor p", gdy znane jest położenie wektora Mv względem osi głównych danej bryły oraz momenty jej bezwładności względem tych osi; wektor ten wyznaczymy z równań 261-ych:

ps =

P‘rj =

Mr

f, y .

M.

Pc =

», c .

skąd

. . (263.)

A/r, £ i A/f,

122. Energia kinetyczna bryły materyalnej. Określenie energii kinetycznej bryły jest takie same, jakie podaliśmy w § 84-tym wogóle dla układów punktów materyalnych. Ponieważ w danym razie układem punktów jest sztywna bryła materyalna, przeto gdy znany jest jej ruch; t. j. gdy są znane np. wektory Va i cp, (wzór 58-my str. 90 tomu I-ego); wtedy prędkość każdego jej punktu jest już ściśle temi wielkościami określona; a więc i energia kinetyczna może być wyrażoną temi wielkościami. Zadaniem naszem jest obecnie obliczenie energii kinetycznej danej bryły, gdy dany jest jej ruch.

W tym celu obliczymy najpierw te wartości dla pewnych szczególnych przypadków ruchu ;

1)    jeżeli np. bryła pozostaje w spoczynku, to jej energia kinetyczna

T = 0;

prędkości bowiem wszystkich punktów są równe zeru;

2)    gdy zaś bryła jest w ruchu postępowym z prędkością chwilową v\ natenczas

T = I (4 mk v⁴ 5);

skąd

T = 4 m v⁵ ;

gdzie m — Yi mk oznacza masę całej bryły;

3) gdy bryła obraca się w danej chwili około pewnej osi z prędkością kątową cp i gdy hk oznaczają odległości jej punktów od osi obrotu, to

a więc

T= X [ i mk (cp. hk)⁵ ] = 4 v*. X <mkhk⁵y,

vk = <p. hk ;

(265)

Wzór ten da się jeszcze przekształcić ze względu, że mamy w danym przypadku warunek toczenia się; który wyrazimy wzorem

vs = r • <p ;

gdy literą r oznaczymy promień przekroju walca; a po podstawieniu wartości <p z tego równania w poprzednie, otrzymamy:

(267)

T =

a ponieważ moment bezwładności walca pełnego względem jego osi, § 102-gi,

Is = h mr*;

przeto

lOji—

T = 4 m Vs¹ -f-    . 4 m r²

i wreszcie, po uproszczeniu tego wzoru, wyraz energii kinetycznej toczącego się walca jest następujący:

T —\mv?.

123. Związki matematyczne pomiędzy wyrazem momentu ilości ruchu a wyrazem energii kinetycznej. Ponieważ moment ilości ruchu i energia kinetyczna danej bryły inateryalnej jest ściśle określoną wielkościami określa-jącemi ruch bryły, przeto pomiędzy wyrazem momentu i wyrazem energii zachodzić powinien pewien związek matematyczny; związek ten znajdziemy w następujący sposób.

Energię kinetyczną punktu k-tego, którą oznaczymy literą Tk, wyrazimy iloczynem skalarnym dwóch wektorów; § 84-ty:

Tk = 4 mk vk. vk ;

lub inaczej

Tk = 4mic'vk • Vrfc.";

gdzie rk oznaczają promienie wodzące, wyprowadzone z dowolnego bieguna obranego na osi obrotu do punktów danej bryły.

Wyraz ten przekształcimy na zasadzie prawidła, podanego na str. 252-ej tomu I-go, na następujący:

Tk — 4ç. V m~vk. n;

a ponieważ

przeto

y mk"ük“k = 33T*. jfc ;

Tk=^Mk;

po dodaniu takich wartości, zestawionych dla wszystkich punktów danej bryły, otrzymamy, że

. . (268)

T — 4 " • Mv

Wzór ten wysłowimy: wartość energii kinetycznej bryły materyalnej równa się połowie iloczynu skalarnego z wektora prędkości obrotu i z wektora momentu ilości ruchu względem bieguna dowolnie obranego na osi obrotu.

Związek ten przekształcimy jeszcze na inny, przydatny często do przekształceń analitycznych. Zrzutujmy mianowicie wektory ę i Mv na trzy wzajemnie prostopadłe osi, a na zasadzie wzoru wektorowego (wzór 158-my na str. 250-ej tomu I-ego); napiszemy równanie 268-me w postaci algebraicznej:

(269)

⁼ 5 9» * x    5 y y • MVt y —[- Ç₂ . Mv, e ,

Wartości momentów względem osi spółrzędnych podstawimy w to równanie z równań 260-ych, i otrzymamy

. (270)

T— W ‘îx + hVy²-Iy+W-I*— i.2<p*.ę,. J1|a — ł-2ę*f.<p..i2,3 — è.2<p,.«p*./3,l    •    •    •

Określiwszy przeto chwilowy obrót bryły wielkościami ę*, <pB, i znając jej momenty bezwładności i odśrodkowe względem osi spółrzędnych x, y, z, obliczymy ze wzoru 270-go jej energię kinetyczną.

Z równania tego, po jego zróżniczkowaniu cząstkowem względem zmiennych <p«, otrzymamy:

ay

--¥x-Ix Çy • -^1, 2 Ç 2 • I2, 1 ;

a po uwzględnieniu wzoru 260-ego otrzymamy równanie:

a T

V, X •

W tenże sposób otrzymamy związki pomiędzy rzutem momentu ilości ruchu danej bryły na obrane osi a pochodną cząstkową energii kinetycznej względem rzutu prędkości obrotu na tę oś; przeto mamy wogóle:

Mv,:r

• • (271)

5 Cpa

Jeżeli osi rzutów obierzemy w kierunkach osi głównych (£, yj, £) środkowej elipsoidy bezwładności danej bryły, to po podstawieniu w równanie 269-te

v,y —

dVy

»,2 —

= i t. d. ;

otrzymamy:

skąd, jak poprzednio, otrzymamy związki:

•HW

. (272)

Mv>,=

aj

a Cp;

które są również szczególnym przypadkiem równań 271-ych.

Równania dynamiczne mchu brył materyalnych.

3.

124. Równania dynamiczne. Ponieważ bryłę materyalną uważać można za układ punktów materyalnych, pomiędzy którymi występują siły wewnętrzne czyniące zadość prawu wzajemnego działania, równania przeto dynamiczne ruchu środka masy, oraz równania momentów, wyprowadzone w §§ 88-ym i 89-tym dla układów zmiennych, można bezpośrednio stosować do ruchu brył sztywnych; równania te przeto są następujące:

równanie ruchu środka masy:

sK

następnie, jako równanie momentu ilości ruchu rzeczywistego może być zastosowane jedno z równań, podanych w § 89-tym tego tomu; są one bowiem jednakowe, różnią się jedynie swą postacią; równania te są następujące:

Z\Pk.rk—Z\mkpk.rk-, .

Z X Pk. rk = ~ £ Y m7vk. n ;

d(mvs)

dt

. (273)

(274)

• (275)

Sv7Vr* =

(276)

d Mv

dt ’

równanie zaś momentu, względem bieguna obranego w środku masy, ilości ruchu względnego, napiszemy z równania 223-iego;

SVF» =

dt

(277)

Równanie jednakże 207-me, t. j. równanie równowartości pracy i energii kinetycznej w zastosowaniu do brył sztywnych znacznie się upraszcza; suma bowiem prac sił wewnętrznych, jakie występują pomiędzy punktami sztywnej bryły materyalnej równa się zeru; cośmy dowiedli w § 215-tym tomu I-go; równanie to przeto dla ruchu brył sztywnych jest następujące:

ZLp = dl>{\mkvk²) .    .

. . (278)

Z równań tych obliczyć można ruch każdej bryły, który jest wywołany działaniem danych sił wewnętrznych; a ogólniej mówiąc, równania te dają związek pomiędzy siłami, działającerni na bryłę, a spółrzędnemi jej ruchu.

Z równania ruchu środka masy, równ. 273-ie, obliczyć można podług metod, wyłożonych w 1-szej części tego tomu, ruch środka masy, jako punktu materyalne-go o masie równej masie całej bryły. Znajomość ruchu środka masy danej bryły ma w tym razie o tyle praktyczniejsze znaczenie, niż miało w układzie zmiennym punktów, że położenie bryły w przestrzeni jest już przez znajomość położenia tego środka do pewnego stopnia wyznaczone; do zupełnie przeto ścisłego określenia jej ruchu brak tylko znajomości ruchu względnego tej bryły względem środka masy, który obliczyć można z równania 277-ego. Z sześciu przeto stopni swobody ruchu, jakie posiada wogóle każda bryła swobodna, trzy można obliczyć z równania ruchu środka masy; a pozostałe trzy z równania momentu ilości ruchu względnego. Z tego bowiem równania obliczyć można wektor M'„, -lub jego rzuty na dowolne osi lub na osi główne danej bryły; a następnie, znając ten wektor, wyznaczyć można wektor <p chwilowego obrotu, do czego zastosować należy równania 260-te lub 263-ie; a wektor cp łącznie z obliczoną już prędkością vs określi jednoznacznie ruch chwilowy danej bryły. Taka jest ogólna metoda obliczenia ruchu bryły, wywołanego działaniem danych sił.

Dla obliczenia przeto ruchu bryły swobodnej mamy dwa równania wektorowe (równ. 273-ie i np. równ. 277-te); te dwa równania wektorowe zastąpić można wogóle sześcioma równaniami algebraicznemi, z których obliczyć można sześć niewiadomych w funkcyi czasu; niewiadomemi temi mogą być np. sześć spółrzędnych, określających położenie bryły swobodnej w przestrzeni. Dwa przeto równania wektorowe lub sześć równań algebraicznych, które otrzymamy drogą rzutowania, wystarcza zupełnie do obliczenia ruchu bryły swobodnej; gdy dane są siły na nią działające. W zadaniach technicznych jednakże niewiadomemi bywają zwykle: częściowo siły (np. nieznane siły odporowe) i częściowo spółrzędne ruchu lub też związki pomiędzy temi spółrzędnemi, porówn. § 60-ty tomu I-go; gdy bryła jest nieswobodną. Z tych rozpatrywań widzimy, że równanie równowartości pracy i energii kinetycznej jako równanie siódme staje się do obliczenia ruchu bryły zbytecznern; nasuwa się przeto wniosek, że to równanie, nie mogąc stać w sprzeczności z równaniem środka masy i z równaniem momentów, musi być Cynikiem algebraicznych przekształceń tych równań; czego też bezpośrednio dowiedziemy w paragrafie następującym.

Sposób jednakże obliczenia ruchu bryły z powyższych równań znacznie się różni od takiegoż obliczenia ruchu punktów układu zmiennego; wyrazy bowiem momentów ilości ruchu oraz energii kinetycznej brył sztywnych dają się wyrazić wzorami o skończonej postaci; t. j. dają się wyrazić funkcyami wielkości, określających chwilowy ruch danej bryły; czego nie można było stosować do układów zmiennych; wzory te obliczyliśmy już w§§ 121-szyin i 122-gim tego tomu i będziemy je stosować do poszczególnych przypadków ruchu brył.

Zanim przeto przystąpimy do rozwiązania danego zadania z dynamiki brył, powinniśmy przedewszystkiem obrać spółrzędne, określające położenie a więc i ruch danej bryły; ażeby następnie módz temi spółrzędnemi wyrazić momenty ilości ruchu lub energię kinetyczną, poruszającej się bryły. Spółrzędne te naturalnie mogą w rachunku występować jako niewiadome lub jako znane wielkości; zaznaczyć przy tern należy, że od wyboru tych spółrzędnych zależy prędki i przejrzysty sposób przeprowadzenia całego rachunku i — przedstawienia jego wyników.

125. Związek pomiędzy równaniem dynamicznem momentów i równaniem pracy. W równaniu momentów wyraziliśmy sztywność bryły, stałością w danej chwili wielkości dla wszystkich punktów danej bryły; równanie przeto momentów i równanie pracy wyrażają te same właściwości bryły sztywnej i wskutek tego jedno z tych równań powinno być wynikiem drugiego. W celu tego dowiedzenia rozpatrzmy równania ruchu bryły, obracającej się około dowolnego punktu. Równanie momentów tego ruchu względem bieguna, obranego w środku obrotu, wyrazimy równaniem; równ. 274-te:

S [ VP*." *] = 2 [ V mkpk • " J.

Wyobraźmy sobie następnie, że bryłę daną obróciliśmy około osi chwilowego

obrotu o kąt cp. dt; i pomnóżmy powyższe równanie skalarnie przez tę wielkość, a otrzymamy:

S (V Pkn) . !p dż = 2 ( V mkpk .rk).~.d t.

Przekształćmy następnie te iloczyny skalarne podług prawidła, podanego na str. 252-ej tomu I-szego, a otrzymamy

S[F*. Y rk.y.dt] = Z[mk'pk. V ny.dt].

Wektor \rky.dt wyraża cząstkę drogi, jaką punkt Ze-ty zakreśla podczas obrotu bryły; cząstkę tę oznaczymy wektorem dsk; a po podstawieniu tego wyrazu w równanie powyższe napiszemy je w następujący sposób:

- (.Pk. d sk) = 1 mkpk

dsk

dt

dt;

lub po podstawieniu pk —

dvk

otrzymamy :

2 (Pu • d sk) = -jj £1 (mk vk²) ;

d t-

a więc równanie pracy sił podczas ruchu kulistego bryły sztywnej jest wynikiem przekształceń algebraicznych równania momentów; nie wnosi ono nam przeto żadnych nowych właściwości ruchu.

Jeżeli zaś równanie momentów dane jest w postaci trzech równań algebraicznych; w postaci np. trzech równań momentów względem trzech osi prostokątnych; które to równania mogą być uważane za rzuty równania wektorowego momentów na trzy osi; to, ażeby z nich otrzymać równanie równowartości pracy i energii kinetycznej, należy każde z nich pomnożyć przez różniczkę kąta obrotu danej bryły około każdej z trzech osi a, po dodaniu tych równań, otrzymamy różniczkę zupełną, która będzie szukanem równaniem równowartości pracy i energii kinetycznej. Równanie to bowiem będzie wyrazem analitycznym mnożenia skalarnego; jaki podaliśmy w § 191-szym we wzorze 158-ym tomu I-go. W szczególnym przypadku jeżeli bryła obraca się około osi nieruchomej i posiada w pewnej chwili pręd-

d o

kość , to wystarczy pomnożyć równanie momentów przez wielkość do; ażeby

otrzymać równanie równowartości pracy i energii kinetycznej.    *

Równanie przeto równowartości pracy i energii kinetycznej, zastosowane do ruchu bryły sztywnej, może być uważane jako jedno z trzech równań algebraicznych, jakiemi wyrazić można każde równanie wektorowe. Równanie zaś równowartości pracy i energii kinetycznej, zastosowane do układów zmiennych, jest niezależne od równania momentów, wyraża ono bowiem nowe właściwości danego układu, a mianowicie właściwości sił wewnętrznych.

4. Obliczenie ruchu obrotowego bryły materyalnej.

120. Ruch bryły, obracającej się około osi nieruchomej. Jeżeli bryła materyalna może tylko obracać się około osi, nieruchomej w przestrzeni, to posiada jeden tylko stopień swobody ruchu; jedno przeto równanie algebraiczne wystarczy do obliczenia jej ruchu. Równaniem tern może być tak dobrze równanie momentu ilości ruchu jak też równanie równowartości pracy i energii kinetycznej. Jeżeli zastosujemy równanie momentu ilości ruchu, to obliczymy momenty sił i moment ilości ruchu danej bryły względem osi obrotu; momenty bowiem sił odporowych, występujących w łożyskach danej osi, równają się w tym razie zeru; a jedynie momenty sił, przyłożonych do bryły, wejdą do obliczenia.

Położenie w przestrzeni bryły, obracającej się około osi nieruchomej, określimy kątem a, jaki tworzy płaszczyzna, sztywno związana z bryłą i przechodząca przez oś obrotu,—z inną płaszczyzną, przechodzącą również przez tę oś lecz pozostającą nieruchomą w przestrzeni. Oznaczywszy chwilową prędkość literą cp; moment bezwładności bryły względem osi obrotu literą I₀\ to równanie momentu ilości ruchu względem osi obrotu, zgodnie ze wzorami 276-tym i 254-tym tej części, jest następujące :

.    . (279)

Mb,

_ d(I₀.y) .

dt

oznacza moment, względem osi obrotu, sił zewnętrznych, działają-

w którem MPt

cych na tę bryłę,; a iloczyn I₀. cp jest momentem ilości ruchu tej bryły, por. równ. 254-te. Jeżeli bryła podczas obrotu nie zmienia swego położenia względem osi obrotu, t.j. jeżeli jest sztywnie z nią związana, to wartość jej momentu bezwładności I₀ nie zależy od czasu; i równanie powyższe przekształci się w tym razie na następujące:

' dt ’

(280)

Wzór ten wyraża, że moment sił zewnętrznych względem osi obrotu, równa się iloczynowi z momentu bezwładności bryły względem osi obrotu i z wartości przyśpieszenia kątowego. Zachodzi przeto w tym wzorze ten sam związek pomiędzy momentem sił a wywołanem przyśpieszeniem kątowem; jaki zachodzi pomiędzy siłą a wywołanem przyśpieszeniem punktu materyalnego, na który działa dana siła; porówn. wzór 6-ty. Wzór przeto 280-ty różni się od wzoru 6-tego tylko tern, że wielkość masy jest zastąpiona w przypadku ruchu obrotowego wielkością momentu bezwładności; przyśpieszenie linijne przyśpieszeniem obrotowem, a siła momentem.

127. Ruch obrotowy jednostajny. W szczególnym przypadku, jeżeli wartość momentu, względem osi obrotu, sił zewnętrznych równa się zeru; to otrzymamy równanie:

dt

₀₌_ d(I₀.y)

z którego otrzymamy:

? = <Poî

gdy literą <p₀ oznaczymy prędkość początkową danej bryły.

Do tychże wyników dojdziemy również, stosując równanie równowartości pracy i energii kinetycznej. Jeżeli bowiem podczas przesunięcia przystosowanego praca sił zewnętrznych, działających na bryłę, obracającą się około osi, równa się zeru, to bryła dana podczas ruchu nie otrzyma żadnego przyrostu energii kinetycznej, i wartość jej a więc i prędkość obrotowa pozostanie podczas obrotu bryły stałą; a więc równą energii kinetycznej ruchu początkowego, o ile moment bezwładności pozostaje stałym. Analitycznie wyrazimy to następującemi równaniami; równanie pracy jest w tym razie:

0 = d(Uo.<f²);

z którego, po scałkowaniu, otrzymamy:

\I₀-y² — è^o-'po²;

i wreszcie

<P = <P°-

Gdy np. na bryłę materyalną, obracającą się około osi pionowej, działają np. tylko siły ciążenia wtedy, po nadaniu jej pewnej prędkości obrotowej będzie się ona obracała około tej osi ruchem jednostajnym. Będzie się ona również obracała ruchem jednostajnym około każdej innej osi, gdy oś ta przechodzić będzie przez jej środek ciężkości; praca bowiem sił ciężkości podczas tego obrotu lub moment tych sił względem takiej osi równa się zeru.

Jeżeli zaś bryła podczas swego obrotu zmienia położenie względem osi obrotu, np. zbliża się lub oddala się od osi; lub też zmienia swą postać wskutek jakich-bądź choćby nieznanych sił wewnętrznych; to z powyższego równania otrzymamy związek:

I.cp—/₀ cp₀ = 0 ;

w którym I oznacza wartość momentu bezwładności w chwili, w której prędkość obrotowa równa się wartości czyli prędkość obrotowa cp jest w tym razie zmienną pomimo tego, że na bryłę nie działają siły zewnętrzne, któreby zmieniały jej ruch. Gdy np. gimnastyk, obracający się swobodnie z pewną prędkością około drążka gimnastycznego, przyciągnie swój korpus do tego drążka, wtedy nabędzie on wskutek tego większej prędkości obrotowej, zmniejszy się bowiem jego moment bezwładności względem osi obrotu; ażeby obliczyć tę prędkość, należy znać zmienność momentu bezwładności bryły, jako funkcyę czasu lub jako funkcyę położenia. Zwrócić jeszcze należy uwagę czytelnika, że w razie stosowania równania równowartości pracy i energii kinetycznej do ruchu brył, które zmieniają układ swych punktów wskutek sił wewnętrznych, należy wprowadzić do tego równania wartość pracy tych sił, t. j. należy zastosować równ. 207-me.

128. Ruch obrotowy jednostajnie przyśpieszony. Jeżeli wartość momentu sił zewnętrznych Mp jest podczas ruchu wielkością stałą, to obrót bryły jest jednostajnie przyśpieszony; a równania ruchu tej bryły pod względem matematycznym będą te same, jakie otrzymaliśmy w § 6-tym dla ruchu punktu materyal-nego; należy tylko w tych równaniach zastąpić zmiennę x zmienną a; prędkość v prędkością kątową cp; wartość m wartością fr\ a P wartością Mp.

Przykładem ruchu obrotowego, wywołanego danemi siłami, może być wał i Qsadzone na nim koło; gdy bowiem na wał nawiniemy linę i do jej końca przyczepimy siłę stałą P, to moment jej względem osi będzie posiadał wartość stałą.

Moment sił zewnętrznych względem osi obrotu jest w danym razie P.r, momenty bowiem sił odporowych względem tej osi równają się zeru; a sił oporowych w tym razie nie uwzględnimy; równanie przeto ruchu wału wraz z kołem jest następujące:

(281)

P.r— I₀.

w którem I₀ oznacza w danym razie moment bezwładności względem osi obrotu: wału, koła i wogóle wszystkich brył materyalnych, związanych z wałem i obracających się razem z nim pod działaniem momentu siły P. Z równania tego wynika:

dy _ P. r

Io

skąd po scałkowaniu

i następnie, po powtórnem scałkowaniu:

O - Cp₀ t -j-    .

P .r\

.P;

jeżeli przyjmiemy warunki ruchu początkowego, dla t = 0

a = 0.

oraz

<p = <po;

Równanie momentów daje związek pomiędzy prędkością kątową a czasem; lub też pomiędzy położeniem bryły a czasem; jeżeli zaś zechcemy obliczyć związek pomiędzy tą prędkością a położeniem bryły, t. j. związek np. pomiędzy wielkościami cp i a; to postąpimy w ten sposób, w jaki postąpiliśmy w dynamice punktu, § 6-ty; a mianowicie wyrugujemy z równania powyższego zmienną t, podstawiwszy

np. dt —

; a otrzymamy po scałkowaniu szukany związek. Do tego samego wy-

?

niku dojdziemy również, jeżeli w myśl § 125 tego pomnożymy równanie momentów przez dG; lub też jeżeli bezpośrednio zastosujemy równanie równowartości pracy i energii kinetycznej; jakieśmy to już wskazali w dynamice punktu, § 13-ty. Dla powyższego przykładu napiszemy następujące równanie pracy zważywszy, że praca sił odporowych równa się zeru:

P. dx = d(\I₀. cp²) ;

(282)

w którem dx oznacza przesunięcie siły P; a wyraz w nawiasach jest wyrazem energii kinetycznej, obliczonym z równ. 264-go. Po scałkowaniu tego równania, przyjąwszy dla

x — 0;

P -X = \I₀ (cp² — cp₀²)

We wzorze tym wielkość x, wyrażająca długość odwiniętej nici, może być uważana za spółrzędną położenia bryły. Jeżeli zaś zechcemy zastosować jako spółrzędną położenia kąt obrotu bryły, jak to było poprzednio, to

otrzymamy:

(283)

podstawimy w powyższy wzór x = a . r. Łatwo się przekonać, że pochodna równania 281-ego będzie równaniem momentów; równanie bowiem pracy jest pierwszą całką równania momentów, cośmy już dowiedli w § 125-tym dla ogólnego przypadku.

Jeżeli dla obliczenia ruchu danego wału zechcemy uwzględnić siły oporowe, np. tarcie czopów w łożyskach wała; to przyjąwszy, że tarcie, występujące na obwodzie czopa, równa się wartości wyrazu

V- {P Q) i

gdzie Q oznacza ciężar wału i jego obciążenia; napiszemy równanie momentów:

dy

dt ’

w którem r₁ oznacza promień czopa, czyli ramię siły tarcia. Z równania tego obliczyć można drogą całkowania prędkość kątową oraz kąt obrotu wału w każdej chwili.

Inny będzie jednakże ruch danej bryły, jeżeli siłę ciągnącą wywoływać będzie ciężar P bryły materyalnej, przyczepionej do liny. Chociaż bowiem wskutek tej zmiany wielkość siły, działającej na wał, nie zmieni się, obrót jego jednakże będzie inny; siła bowiem P wywołuje w danym razie zmianę ilości ruchu nie tylko masy wału, lecz i masy ciężaru; lub inaczej wyrażając się,—praca tej siły wywołuje wzrost energii kinetycznej nietylko wału, koła lecz i masy ciężaru.

f™

Vv

Należy przeto w tym razie wprowadzić do rachunku moment ilości ruchu lub też energię kinetyczną nietylko wału i koła, lecz i ciężaru jako bryły materyalnej, poruszającej się pod działaniem danej siły ciężkości. Ażeby to pojmowanie ująć rachunkiem, wyobrazimy sobie linę, na której zawieszony jest ciężar P przeciętą, a do jej końców przyłożone dwie równe siły Sy i S₂, rys 76-ty; w ten sposób zadanie to rozpadnie się na dwa zada nia: na zadanie obliczenia ruchu obrotowego, wywołanego siłą i na zadanie —ruchu bryły, na którą działają siły PiS₂-Do rozwiązania tych zadań możemy stosować znane równania dynamiczne; a wyraziwszy ruch każdej z tych brył siłami St i S₂ i siłą P; możemy z tych równań wyrugować siły 5, i S₂; są one bowiem na zasadzie prawa wzajemnego działania wzajemne równe.

W celu obliczenia ruchu wału obracającego się, napiszemy tak jak poprzednio równanie momentów:

S₁.r = I₀

Rys. 76.

dt

W celu zaś obliczenia ruchu bryły, napiszemy równanie ruchu środka jej masy, oznaczywszy jego prędkość literą v:

dv

P — S₂ — m jT-² dt

a zważywszy, że na zasadzie prawa wzajemnego działania:

si

S.₂;

otrzymamy z powyższych równań równanie:

~.Io

r

d cp

dv

= P — m ■

dt    dt

lub po podstawieniu

dv

dt

dt

P . r = (I₀ -j- m ra)

dy

z którego obliczymy ruch wału w każdej chwili t.

Równanie to można również bezpośrednio otrzymać, wziąwszy pod uwagę, że równanie momentów pozostaje wogóle w mocy tak dla układów zmiennych jak i dla niezmiennych; a to ze względu, o którym już poprzednio mówiliśmy, że w obydwóch przypadkach suma momentów sił wewnętrznych, występujących pomiędzy punktami danego układu równa się zeru. Dany przeto układ dwóch brył uważać można za zmienny układ punktów; a sumę momentów ilości jego ruchu, możemy podzielić na dwie sumy: na sumę momentów ilości ruchu wału wraz ze sztywno połączonemi bryłami i na sumę momentów ilości ruchu punktów mate-ryalnych ciężaru, na jakie wyobrazimy go sobie rozłożonym.

Moment ilości ruchu wału wraz ze sztywno połączonemi z nim bryłami względem osi obrotu wyrazimy jak poprzednio iloczynem I₀. <p; a moment ilości ruchu ciężaru, zważywszy, że jego ruch jest postępowy, wyrazimy iloczynem z ilości ruchu środka masy i z długości odpowiedniego ramienia, wzór 253-ci. Jeżeli ciężar jest swobodnie zawieszony, to środek jego znajduje się na przedłużeniu osi liny; ramię przeto ilości jego ruchu, pomijając grubość liny, jest r; a równanie momentów w tym razie jest następujące:

P.r = I₀

dtp

d (m V. r )

dt

gdzie m jest masą danego ciężaru a v jego prędkością postępową. Równanie to jest jednakowe z równaniem poprzedniem; wielkość r bowiem jest stałą; a że v = r . cp; przeto równanie to przekształci się na następujące:

dt

P. r = (I₀m r²). ^ ;

które jest jednakowe z równaniem 282-iem, wyprowadzonem w inny sposób. Z równania 283-go otrzymamy równanie 279-te, gdy podstawimy w nie m = 0, co jest zgodne z fizycznem pojmowaniem danego zjawiska.

Chcąc ściślej ująć rachunkiem warunki fizyczne danego zadania, należałoby wziąść jeszcze pod uwagę ilość ruchu odwijającej się liny lub jej energię kinetyczną; lecz w praktyce masa lin bywa wobec innych części mechanizmu tak małą, że wpływ jej jest niewielki na przebieg ruchu; wobec czego nie uwzględniamy jej masy w rachunku.

Chcąc zastosować do obliczenia powyższego przykładu równanie równowartości pracy i energii kinetycznej, zważymy, że suma prac sił wewnętrznych, występujących pomiędzy bryłami, równa się w danym razie zeru; równanie przeto pracy całego układu jest następujące:

P . dx = d(4 I₀. <p* -|- 4 7HV-),

. . (285)

w którem wartość w nawiasach wyraża przyrost energii kinetycznej wału, koła i ciężaru. W energetycznym sposobie pojmowania zjawisk ruchu wysłowimy to równanie: praca cząstkowa sił zewnętrznych idzie na powiększenie energii kinetycznej ruchu obrotowego i na powiększenie energii kinetycznej ruchu postępowego.

Z równania 286-tego otrzymamy równanie momentów, t. j. w danym przypadku—równ. 285-te; gdy wykonamy wskazane w równaniu 286-tem różniczkowanie i rozdzielimy je następnie przez wyraz cp. d t, t. j., gdy wykonamy działanie odwrotne temu, zapomocą którego otrzymać można z równania momentów równanie pracy. Przy tern przekształceniu wziąść należy pod uwagę, że

dx~r.ydt\ i v — ry.

Po zróżniczkowaniu i podstawieniu tych wartości, otrzymamy:

P r cp. d t —1₀.    . d -f- mr cp. r . d cp ;

i wreszcie otrzymamy równanie momentów:

P .r = In

dy

-\-mr²

(XL

d cp

dt '

Obliczymy obecnie naprężenie nici, do której przyczepiony jest ciężar Pkg. Naprężenie to unaocznimy sobie, gdy nić przetniemy; wtedy bowiem, ażeby nic nie zmienić w danym układzie brył, wypadnie do jej końców przyłożyć siły Sx i S rys. 76-ty, których wartości są wzajemnie równe, lecz zwroty przeciwne. Bezpośrednio jest zrozumiałem, że w szczególnym przypadku, w którym ciężar P wisi na nici w spoczynku, naprężenie nici jest równe ciężarowi P; wrazie zaś, gdy nić spada swobodnie razem z ciężarem nie obracając wału, naprężenie jej, gdy nie uwzględnimy jej masy, równa się zeru. Lecz w danym razie siła np. S₂ łącznie z siłą ciężkości P wywołuje ruch masy zawieszonego ciężaru; ażeby przeto obliczyć to naprężenie, należy wziąść pod uwagę znany już ruch danego ciężaru i z ruchu tego obliczyć siłę, wywołującą ten ruch. Na daną przeto bryłę działa siła ciągnienia S₂ i siła ciężkości P, rys. 76-ty; pod działaniem tych sił masa ciężaru otrzymuje przyśpieszenie, które oznaczymy literą pe, i które obliczyć można z równania ruchu. Równanie przeto dynamiczne ruchu środka masy tej bryły jest następujące:

(P —    — m .pc,

z ktorego mamy :

S₂ — m(g—pc).

Z równania tego wynika, że wartość S₂ zmniejsza się z powiększeniem przyśpieszenia pc bryły; a w przypadku pc = <7, Sx = 0.

Wartość przyśpieszenia pc obliczymy z równania 284-ego, wziąwszy pod uwa-

S₂ = P — mp

lub

gÇ, że

-6

p°=r-dt’

po podstawieniu zatem tej wartości w równanie powyższe, otrzymamy:

S₂ = P.

mr² \ I₀ -f- m r² !'

Pozostawia się czytelnikowi znalezienie znaczenia fizycznego tych przy

padków.

W celu unaocznienia sobie ilościowych stosunków, jakie zachodzą w tym ruchu, przyjmiemy, dla uproszczenia obliczenia, że na wale niema koła; a wtedy moment bezwładności wała, który wyobrazimy sobie w postaci walca o masie mw:

In = h mw. r² ;

a zatem :

S,=

\mw Ą-m I '

Przyjąwszy jeszcze, że np. mw — m, otrzymamy

$2 ⁼ ł -P)

t. j. naprężenie nici w danych warunkach równa się ¹/i przyczepionego do niej ciężaru.

Z równania tego wynika, że wartość S₂ zmniejsza się ze zmniejszeniem się wartości I₀\ a w szczególnych przypadkach, jeżeli

Io= 0;

otrzymamy

S₂ = 0;

jeżeli zaś

I₀ = oo;

otrzymamy

S₂ = P.

129. Ruch obrotowy zmienny. Rozpatrywaliśmy dotychczas dwa przypadki ruchu obrotowego bryły około osi nieruchomej, wywołane danemi siłami: obrót jednostajny, który zachodzi, gdy moment, względem osi obrotu, sił, przyłożonych do bryły, równa się zeru;—lub gdy ich praca przystosowana równa się zeru; i obrót jednostajnie przyśpieszony, gdy moment ten podczas ruchu jest wielkością stałą. Wogóle zaś, jeżeli moment sił jest zmienny (w zależności od czasu lub od położenia bryły, to przyśpieszenie obrotowe jest również zmienne.

Przykładem zmiennego obrotu około osi nieruchomej może być ruch wahadła bryłowego pospolitego. Wahadłem bryłowem pospolitem nazwiemy każdą bryłę ma-teryalną, mogącą obracać się pod działaniem siły swego ciężaru około osi poziomej nieruchomej, zwanej osią zawieszenia.

W celu określenia położenia takiego wahadła w przestrzeni, przeprowadzimy przez środek jego masy i przez oś obrotu płaszczyznę, sztywno związaną z tern wahadłem i razem z niem obracającą się; a kąt o, jaki tworzy ta płaszczyzna z drugą płaszczyzną nieruchomą, przechodzącą przez oś zawieszenia, wyznacza położenie wahadła w przestrzeni; płaszczyznę nieruchomą obierzemy pionowo; przekrój takiego wahadła, prostopadle do osi zawieszenia, przedstawia rys. 77-my.

Przyjmiemy następnie, że na bryłę, w ten sposób zawieszoną, działa tylko siła ciążenia oraz siły odporowe osi obrotu; i że oporów powietrza i tarcia, jakie występują podczas obrotu bryły, w danem obliczeniu nie uwzględnimy.

W celu napisania równania momentów, wyobrazimy sobie, że siły ciężkości oddzielnych punktów danej bryły przyczepione są do tychże punktów; suma ich przeto momentów równa się momentowi siły ciężkości, przyczepionej do środka masy; moment zaś sił odporowych osi zawieszenia względem tejże osi równa się zeru. Oznaczywszy literą s odległości środka ciężkości od osi obrotu, literą I, mo-(288)

mg. s

ment bezwładności bryły względem osi zawieszenia; napiszemy równanie momentów na zasadzie równania 276-tego; rys. 77-ty:

mg . s . sin o =

a podstawiwszy w nie, stosownie do przyjętych oznaczeń na rys. 77-mym:

dy

d (Io <p). dt ’

d²o dt²

otrzymamy równanie ruchu:

d*o ■ d¥

(287)

-f- mg . s . sin a = 0,

Jest to równanie różniczkowe drugiego rzędu, jednakowe pod względem algebraicznym z równaniem 103-ciem części 1-szej tego tomu; gdy podstawimy w równanie 103-cie :

Io-

Wyniki przeto obliczeń, otrzymane z równania 103-go, mogą być bezpośrednio zastosowane do danego wahadła, gdy w odpowiednie wzory podstawimy wielkości, wskazane wzorem 286-ym. Okreś np. podwójnego wahnięcia wahadła bryłowego obliczymy, przy tychże zastrzeżeniach, jakieśmy tam czynili, bezpośrednio ze wzoru 109-go; gdy podstawimy w niego wartości, wskazane równaniem 64-tem; okres ten

T= 2tz

Io

. . (289)

mg . s

Przyjąć przeto można, że wielkość obliczona z równ. 288-go

rrv

Q\

lo

. . (290)

Rys. 77.

wyraża długość wahadła matematycznego, które wykonywa przy jednakowych warunkach początkowych taki sam ruch, jaki wykonywa wahadło bryłowe o momencie bezwładności I₀, masie m i którego środek ciężkości znajduje się na odległości s od osi zawieszenia. Z tych względów wahadło matematyczne o wskazanej długości L nazywają wahadłem zastępczem danego wahadła bryłowego.

Jeżeli na prostopadłej, opuszczonej ze środka masy na oś zawieszenia O, odetniemy od punktu O ku temu środkowi długość l, to otrzymamy punkt O', rys. 77-my, zwany środkiem wahań danej bryły względem danej osi zawieszenia.

Ruch przeto tego środka, t. j. prędkość obrotowa i przyśpieszenie obrotowe jest w każdej chwili takie same, jakie posiada dana bryła w tejże chwili. Środek wahań ma jeszcze tę właściwość, że jeżeli przeprowadzimy' przez niego oś równoległą do osi zawieszenia, przechodzącej przez O, i zawiesimy na niej daną bryłę zamiast na osi O; to ruch tego nowego wahadła, t. j. prędkość i przyśpieszenie kątowe w każdej chwili, a więc i okresy wahnięć około tej nowej osi są takie same jakie były, gdy bryła obracała się około osi O. W celu tego dowiedzenia obliczymy długość wahadła zastępczego, tego nowego wahadła; a w tym celu przekształcimy wzór 290-ty, podstawiwszy w niego, na zasadzie równania 240-ego tego tomu:

Io — m.

gdzie Ig oznacza moment bezwładności wahadła względem osi, przechodzącej przez środek jego masy i równoległej do osi zawieszenia. Po podstawieniu tej wartości w równ. 290-te otrzymamy:

(291)

l = s-\-

Is

m. s

Obliczymy teraz długość V wahadła zastępczego wahadła zawieszonego na osi 0'. Odległość środka masy od tej nowej osi zawieszenia równa się (l—s); na podstawie przeto równania 291-go napiszemy:

¹

wreszcie otrzymamy wyrazy;

3) będące iloczynami ze stałych długości i ze zmiennych długości. Stałe wielkości wyniesiemy przed znak sumy, a sumy będą równe zeru; gdyż są sumami iloczynów z mas i z odległości od środka masy lub z ich pochodnych. Jeżeli bowiem określimy położenie środka masy wyrazem

mxs = ^(mkxk)-,

²

to z tego wynika, że

³

Należy uświadomić sobie różnicę pomiędzy środkiem chwilowego obrotu a biegunem momentów. Środek chwilowego obrotu określa chwilowy ruch bryły; biegunem zaś, względem którego obliczamy momenty, może być dowolny punkt przestrzeni.

Mechanika teoretyczna. Tom II. Część 2 ga

⁴

wreszcie

(264)

⁵

gdzie litera I? oznacza moment bezwładności danej bryły względem osi obrotu.

4) W razie zaś swobodnego ruchu bryły, energię jej kinetyczną obliczymy, gdy wyobrazimy sobie że ruch chwilowy złożony jest np. z prędkości postępowej vt środka jej masy i z prędkości obrotowej cp około osi, przechodzącej przez ten środek; a zważywszy, że prędkości, które powstają wskutek obrotu bryły, są prędkościami względneini określonemi w § 92-im, napiszemy wzór energii kinetycznej danej bryły ze wzoru 20-tego i 22-go :

T=\m v ⁵ +47,. f ; gdzie Is oznacza moment bezwładności bryły względem osi chwilowego obrotu, przechodzącej przez środek jej masy.

Wzór ten wysłowimy: energia kinetyczna bryły materyalnej, równa się sumie algebraicznej dwóch składników; z których jeden wyraża energię kinetyczną środka masy; gdy wyobrazimy sobie skupioną w nim całą masę; drugi zaś wyraża energię kinetyczną ruchu obrotowego bryły około osi, przechodzącej przez ten środek. Energię kinetyczną np. walca o przekroju kołowym, toczącym się po płaszczyźnie z prędkością postępową vs wyrazimy wzorem :

V = (l — s)

(292)

I.

m (l—s) ’

ażeby znaleźć związek pomiędzy l i V, obliczymy wartość Is z równania 291-ego, i podstawimy ją w równ. 292-gie, a otrzymamy:

V = l\

czyli ruch wahadła około osi O' będzie taki sam jaki był około osi O przy jednakowych warunkach ruchu początkowego. Do tegoż wniosku dojdziemy również bezpośrednio jeżeli równanie 291-sze napiszemy w postaci:

s(l — s) —

Is

m ’

z równania tego bowiem wynika, że wielkości l i s mogą się wzajemnie zastąpić, a równanie to nie zmieni się.

Przytoczymy jeszcze następujące właściwości ruchu wahadła bryłowego, z równania 291-go wynika, że dla s = 0 i dla s — oo; wartość 1 = co, a z nią i T— oo. I rzeczywiście, jeżeli oś zawieszenia przeprowadzimy przez środek masy, s = 0, to bryła pozostawać będzie w spoczynku lub obracać się będzie ciągle z jednym zwrotem, co odpowiada nieskończenie długiemu okresowi wahnięć. Gdy następnie przesuwać będziemy oś zawieszenia od środka masy do co; okresy wahnięć T będą otrzymywały różne wartości od -j-oo do -j-oo; a na podstawie ciągłości funkcyi matematycznych wywnioskujemy, że pomiędzy temi wartościami powinny być jakieś wartości najmniejsze; które będą odpowiadały ściśle określonemu położeniu osi zawieszenia wahadła. Postawimy sobie teraz zadanie znalezienia położenia takiej osi, na której bryła zawieszona wykona wahnięcia w najkrótszym czasie. W celu uproszczenia .rozpatrywać ograniczmy na razie to zadanie warunkiem, że szukana oś ma być równoległą do pewnej prostej, danej w przestrzeni. Okreś wtedy wahnięć będzie najkrótszy, gdy długość l wahadła zastępczego będzie najkrótszą; przy zmiennej przeto odległości s wartość l powinna być najmniejszą; co nastąpi dla wartości, którą oznaczymy literą st i którą obliczymy z równania:

dl

z równania przeto 291-go, po jego zróżniczkowaniu mamy: z którego

Is

(292)

Oś przeto zawieszenia, przeprowadzona równolegle do danej osi na wskazanej odległości s₁ od środka masy, jest osią, około której dana bryła wykona wahanie o najmniejszych okresach. Jeżeli następnie zmieniać będziemy kierunek osi, do której oś zawieszenia ma być równoległą, to zmieniać się będzie również wartość Is momentu bezwładności danej bryły względem osi a z nią zmieniać się będzie również wartość sŁ stosownie do równ. 293-go; a więc i okres T. Ze wszystkich wartości Ig najmniejszą jest wartość momentu bezwładności względemosi, przechodzącej przez wielką średnicę elipsoidy bezwładności, zbudowanej w środku masy danej bryły. Wartość przeto T będzie bezwzględnie najmniejszą, gdy bryłę daną zawiesimy na osi równoległej do kierunku wielkiej średnicy elipsoidy bezwładności, zbudowanej w środku jej masy na odległości, obliczonej ze wzoru 293-go. Geome-trycznem miejscem tych osi jest walec o przekroju kołowym, którege promień obliczymy z równ. 293-go, a osią tego walca jest wielka średnica elipsoidy.

Do obliczenia równania ruchu wahadła bryłowego można również zastosować równanie równowartości pracy i energii kinetycznej. Równanie to jest nastę-

pujące :

mg .dis . cos a) = d

P -Ki

tc

(294)

z którego można obliczyć żądane związki.

O tożsamości tego równania z równaniem 287-em, przekonamy się, wykonawszy wskazane w tern równaniu różniczkowanie i rozdzieliwszy je przez do.

5. Obliczenie ruchu płaskiego brył materyalnych.

130. Warunki powstawania ruchu płaskiego brył materyalnych.

Ruch płaski bryły określiliśmy w § 59-tym tomu I-go jako ruch, w którym punkty danej bryły zakreślają tory płaskie, leżące w płaszczyznach równoległych do pewnej płaszczyzny, zwanej płaszczyzną danego ruchu. Jeżeli bryła jest nieswobodna, to znajdować się ona będzie w raichu płaskim, jeżeli np. trzy jej punkty, nie leżące na jednej prostej, pozostawać będą podczas ruchu na trzech wzajemnie równoległych płaszczyznach; i ruch taki powstanie pod działaniem dowolnie skierowanych sił. Ruch płaski powstaje przeto, gdy np. dana bryła obraca się około osi, pozostającej w spoczynku; przykłady tego ruchu rozpatrywaliśmy poprzednio; lub też ruch ten powstaje, gdy np. bryła obraca się około osi. poruszającej się z prędkością prostopadłą do tej osi; z tego rodzaju ruchem mamy najczęściej do czynienia w technice. Jeżeli zaś bryła jest swobodna, to ruch płaski powstanie wtedy, gdy ruch początkowy oraz siły, działające na bryłę, odpowiadać będą pewnym ściśle określonym warunkom; oraz gdy rozmieszczenie cząstek mas danej bryły podlegać będzie pewnym szczególnym rozmieszczeniom. Warunki powstawania ruchu płaskiego bryły swobodnej wskazać możemy dopiero w rozdziale następnym; a obecnie przystąpimy do obliczenia ruchu czy to brył, zmuszonych danymi warunkami fizycznymi wykonywać ruch. płaski; czy też figur materyalnych płaskich swobodnych lub nieswobodnych, poruszających się w swych płaszczyznach pod działaniem sił zewnętrznych.

131. Równania dynamiczne ruchu płaskiego. Ruch płaski swobodny posiada trzy stopnie swobody; położenie bowiem bryły a więc i ruch jej jest określony trzema wielkościami algebraicznemu; trzy przeto równania algebraiczne wystarczą do wyrażenia tych wielkości w funkcyi czasu. Szczególnym przypadkiem ruchu płaskiego brył jest ruch figury płaskiej w swej płaszczyźnie; i do ruchu figur płaskich sprowadzić można ruch płaski brył; i odwrotnie, z ruchu figury płaskiej, którą postawimy w pewnym geometrycznym związku z bryłą właściwą, można odtworzyć ruch płaski samej bryły. W rozpatrywaniach przeto następnych będziemy mówili o ruchu figur płaskich w ich płaszczyźnie, rozumiejąc przez to wogółe ruch płaski brył.

Spółrzędnemi, wyznaczającemi położenie figury płaskiej w jej płaszczyźnie, mogą być spółrzędne, np. środka jej masy i kąt jaki tworzy prosta, sztywno połączona z tą figurą, z inną prostą, nieruchomo leżącą w płaszczyźnie tejże figury; a spółrzędnemi określającemi ruch danej figury płaskiej może być prędkość środka jej masy i prędkość obrotowa. Równaniami dynamicznemi mogą być w tym razie dwa równania algebraiczne ruchu środka masy i jedno równanie momentu ilości ruchu, które może być również zastąpione równaniem równowartości pracy i energii kinetycznej; jest ono bowiem pierwszą całką równania momentu ilości ruchu, cośmy ogólnie dowiedli w § 125 tym; te trzy przeto równania wystarczają do obliczenia ruchu bryły płaskiej. Oznaczmy literami xs i ys spółrządne prostokątne środka masy danej figury; a literą a kąt, jaki tworzy z osią np. x dowolna prosta, sztywno związana z poruszającą się figurą; a równanie ruchu środka masy w postaci wektorowej będzie następujące;

. . (295)

s^Tk — mps ;

w postaci zaś algebraicznej, wyrażone spółrzędnemi prostokątnemu jest nastę-

pujące:

d{mvs, x)

(296)

d (m vs, ij)

dt

Trzeciem równaniem dynamicznem tego ruchu może być równanie ruchu względnego, t. j. równ. 277-me; gdy biegun momentów obierzemy w środku masy; i gdy wyraz momentu ilości ruchu obliczymy ze wzoru 254-go. Równanie to jest następujące:

dt

w którem Is oznacza moment bezwładności figury materyalnej płaskiej względem bieguna obranego w środku masy; litera zaś <p oznacza prędkość chwilowego obrotu. Zwrócić przytem należy uwagę, że wogóle ruch względny układów sztywnych względem przestrzeni, poruszającej się ruchem postępowym z prędkością równą prędkości środka masy, jest ruchem obrotowym około osi, przechodzącej przez środek masy.

Równania 296-te oraz równanie 297-me są trzema równaniami algebraicznemi, z których obliczyć można np. trzy spółrzędne położenia danej bryły w funkcyi czasu, gdy dane będą siły, działające na tę bryłę; i odwrotnie, obliczyć można pewne siły, gdy dany jest ruch.

ty

r~~f-

132. Obliczenie ruchu swobodnego figury materyalnej płaskiej, poruszającej się w swej płaszczyźnie, bez udziału sił zewnętrznych lecz z początkową prędkością. Figurę płaską obierzemy w postaci np. pręta materyalnego, obracającego się około osi O', rys. 78-my, przechodzącej przez pewien punkt jego osi, z prędkością n obrotów na minutę; w pe-wnem położeniu tego pręta oś obrotu zostaje usuniętą; zadanie polega na obliczeniu dalszego ru- j chu tego pręta, przy założeniu, że siły, działa- \ jące na niego, są zrównoważone.

'i o

: //& / * =>

Stosownie do warunków zadania ciężar pręta jest zrównoważony siłami odporowemi płaszczyzny po jakiej on się porusza; siła przeto ciężkości pręta nie wpływa na jego ruch; a że dla uproszczenia rachunku pominiemy siły oporowe, występujące podczas ruchu pręta, przeto z chwilą uwolnienia pręta od osi, około której był on zmuszony się obracać, otrzymuje on ruch płaski o znanym ruchu początkowym. Równanie ruchu środka masy tego pręta jest w tym razie następujące:

dv₈

0 = m ST’

Rys. 78.

skąd po scałkowaniu:

(298)

Vs - O ł

gdzie”,, o oznacza prędkość początkową środka masy, a vs prędkość jego w dowolnej chwili. Prędkość początkowa jest nam znaną; kierunek bowiem jej pokrywa się z kierunkiem stycznej do koła, jakie zakreślał środek pręta podczas obrotu przymuszonego w chwili, w której tę oś usunięto; wartość tej prędkości obliczymy z równania:

Vs, o—    ■ S ,

w którem początkowa prędkość obrotowa

2 xn

— ~6(T ’

a litera s oznacza odległość środka pręta od osi obrotu. Z równania 296-go wynika, że środek pręta, porusza się ruchem prostolinijnym i jednostajnym, którego kierunek wyznaczony jest kierunkiem jego prędkości początkowej.

Równanie momentu ilości ruchu danego pręta względem bieguna obranego w środku masy jest stosownie do równ. 297-go następujące:

dt ’

z którego wobec niezmienności momentu bezwładności pręta podczas jego ruchu otrzymamy:

(299)

? = ?o

Z równania tego wynika, że pręt obraca się około środka swej masy ruchem jednostajnym.

Środek przeto pręta zakreśla tor prostolinijny ruchem jednostajnym, a pręt obraca się około tego środka ze stałą prędkością, równą prędkości początkowej danego obrotu.

Prędkość przeto vk k-tego punktu składa się w myśl § 81-go tomu 1-go, z prędkości v%ky wynikającej z obrotu pręta i z prędkości postępowej vs, równej prędkości środka masy; t. j.

Vv,k — Vr*.ę.

gdzie

Położenie przeto pręta na płaszczyźnie, po upływie czasu t od chwili puszczenia go swobodnie, obliczymy z równania 298-go i 299 go po ich scałkowaniu. Oznaczywszy literą x spółrzędną środka pręta, a literą a—kąt o jaki pręt się obrócił; napiszemy

oraz

X — Vgt o • t,

Zadanie powyższe jest przeto rozwiązane; pozostaje tylko zbadać drogą analizy matematycznej właściwości kinematyczne tego ruchu. Ruch danego pręta, jako ruch płaski, może być wywołany wogóle ruchem toczenia się pewnej krzywej, sztywno związanej z danym prętem, po innej nieruchomej; leżącej w danej płaszczyźnie, porówn. § 66 tomu I go. Ażeby tę krzywę obliczyć dla danego przypadku, obliczymy, stosownie do § 81-go tomu I-go, odległość r₀ bieguna chwilowego obrotu od środka masy pręta; wielkość ta:

Vs

— s;

rfo

r o = —

?

jest przeto wielkością stałą; bieguny zatem chwilowych obrotów leżą na stałych odległościach od kierunku prędkości środka masy; czyli tor krzywej nieruchomej jest linja prosta równoległa do toru, jaki zakreśla środek masy; a krzywa ruchoma jest kołem o promieniu r₀ — s, zakreślonem ze środka masy; koło to jest oznaczone na rys. 78-ym literą K; linia zaś nieruchoma literą x'. Ruch przeto danego pręta można wywołać toczeniem się koła o promieniu s sztywno związanego z prętem, po prostej równoległej do kierunku prędkości początkowej środka masy. W zadaniach z dynamiki spotykamy się często z wymaganiem obliczenia przyśpieszenia dowolnego punktu danej bryły z innych warunków ruchu. W celu przeto obliczenia przyśpieszeń punktów danego pręta weźmiemy pod uwagę, że pręt posiada ruch obrotowy i postępowy; przyśpieszenie przeto każdego jego punktu, w myśl § 91-go tomu I-go, składa się z przyśpieszeń, wywołanych tymi ruchami. W danym przykładzie każdy punkt danego pręta posiada tylko jedno przyśpieszenie dośrodkowe = r*. <p₀² ; przyśpieszenia bowiem ruchu postępowego i przyśpieszenia obrotowego stycznego w tym razie niema.

Inny jednakże będzie ruch tego pręta, gdy puścimy go w sposób wyżej wskazany, lecz w płaszczyźnie pionowej i gdy uwzględnimy jego ciężar. Równania dynamiczne tego ruchu są następujące:

d (I,. <f )

oraz o ==

» d(m vt)

dt

• ot '

Równanie pierwsze stosownie do obliczeń, podanych w § 17-tym tomu I-ego, wyraża, że środek masy zakreśla parabolę; rys. 14-ty części 1-szej tego tomu; z równania zaś momentu ilości ruchu wynika, że pręt obraca się około tego środka, jak poprzednio, ruchem jednostajnym; moment bowiem siły ciążenia, która działa na ten pręt względem bieguna, obranego w środku masy, równa się zeru.

Zaznaczyć należy, że wywody te odnoszą się tylko do ruchu pręta czy też wogóle do bryły, która wykonuje z jakichbądź powodów ruch płaski; w przeciwnym zaś razie ruch bryły będzie inny, o czem będziemy mówić w odpowiednim rozdziale o ruchu bryły swobodnej.

Czytelnik zechce wykazać różnicę i podobieństwo pomiędzy tern zadaniem a zadaniem, podanem w § 19-tym tego tomu; oraz różnicę pomiędzy równaniami dynamioznemi tych zadań.

W rozwiązaniu danego zadania jak i każdego innego należy rozróżnić część dynamiczną; mającą na celu zestawienie równań dynamicznych ruchu i—część kinematyczną, mającą na celu przekształcenie ruchu, wyrażonego równaniami dyna-micznemi, na inne ruchy, więcej naoczne lub też odpowiadające wymaganiom danego zadania; takie też postępowania należy rozróżnić w przeprowadzeniu rozwiązania zadania powyższego.

'Sj    \„<*A

133. Obliczenie mchu walca toczącego się. Obliczyć ruch walca o przekroju kołowym, toczącego się wskutek swej ciężkości po płaszczyźnie pochyłej w ten sposób, że oś jego pozostaje podczas ruchu poziomą, rys. 79-ty. Do wyznaczenia położenia tego walca wystarcza jedna tylko spółrzędna algebraiczna, którą może być np. odległość jego osi od początkowego jej położenia; kąt bowiem obrotu, o jaki obrócił się walec podczas tego ruchu, obliczyć można z warunku toczenia się, który wyraża się równaniem:

vs = r. $

Rys. 79.

i z którego, po scałkowaniu, obliczyć można związek pomiędzy położeniem walca a kątem obrotu.

Ażeby do obliczenia ruchu danego walca zastosować równania, odnoszące się do ruchu bryły swobodnej, należy uczynić go swobodnym; w tym celu przyłożymy do niego siłę odporową N, prostopadłą do płaszczyzny, po której się toczy, i—siłę F styczną do walca, która wywołuje toczenie się jego; gdyby bowiem jej

nie było, walec ślizgałby się po tej płaszczyźnie, a nie toczył się, jak tego wymaga zadanie. Na walec przeto działają siły N i F; nieznane co do wielkości, znane jednakże co do kierunków; i działa na niego jeszcze znana silà jego ciężkości.

W celu zastosowania równania 275-tego, wyobrazimy sobie ruch tego walca, jako ruch złożony: z ruchu obrotowego około środka masy i z ruchu postępowego. Obrawszy biegun momentów w środku masy; napiszemy równanie dynamiczne momentów ilości ruchu względnego, stosownie do tego równania 277-go:

F.r =

dt

(300)

w którem r oznacza promień walca; jest to równanie ruchu względnego danego walca, w którem jest jednakże niewiadoma F.

Siłę F obliczymy z równania dynamicznego środka masy, równ. 275-te :

d(mvs)

mg + F-\-N =

. . (301)

po zrzutowaniu jego na kierunek osi x, równoległej do płaszczyzny, otrzymamy równanie algebraiczne:

* mg. sina — F= m

dvs

a ponieważ przeto, po podstawieniu tych wartości:

F = m g. sin a — mr .

vs = ry,

dt

d cf

r.    :

dy

u;......

Po podstawieniu następnie tej wartości w równ. 300-tne; otrzymamy:

_w g r . sin a

dt mr*-\-Is ’

dcp_mgfr. sin a

lub inaczej

(302)

dt

(303)

gdzie 1}r oznacza moment bezwładności walca względem osi, stykającej się z płaszczyzną. Z równania tego obliczyć można prędkość i położenie danego walca w każdej chwili. Ponieważ w równaniu 301-em wartość, stojąca po prawej jego stronie, jest stałą niezależną od czasu; przeto obrót walca jest jednostajnie przyśpieszony; a więc również i ruch jego postępowy, gdyżpt = r-J¹' .

Po scałkowaniu równania 301 -go otrzymamy prędkość obrotową w funkcyi czasu; a po powtórnem scałkowaniu; otrzymamy kąt obrotu w funkcyi czasu; z czego możemy obliczyć jego położenie w każdej chwili.

Jeżeli zaś zechcemy obliczyć te wielkości w funkcyi np. spółrzędnej środka

masy, to z równania 300-go wyrugujemy czas; podstawiając w nie dt = — jakie-

śmy to wykonali w§ 6-tym części 1-ej; lub też zastosujemy bezpośrednio równanie równowartości pracy i energii kinetycznej.

W celu tego obliczenia zastosujemy w danym razie równanie pracy. Podczas toczenia się walca, pracę wykonuje tylko siła ciężkości; wartości bowiem prac sił N i F równają się podczas tego ruchu zeru. Energię kinetyczną walca toczącego się wyrazimy wzorem 265-tym § 122-go; równanie przeto równowartości pracy i energii kinetycznej jest w danym razie następujące:

Q. ds. sin a = d|(ISy² -j-mvs²);

w którem ds oznacza cząstkę, jaką zakreślił środek masy. Z równania tego obliczyć można prędkość obrotową lub prędkość środka masy, jako funkcyę spół-rzędnej tego środka.

W ten sposób zadanie obliczenia ruchu walca jest rozwiązane; pozostaje tylko analiza otrzymanych równań. W tym celu scałkujemy równanie pracy i zastąpimy wyraz s.sina wysokością h spadu środka walca.

Jeżeli początkowa prędkość środka masy walca równała się zeru; to po pod-

V

stawieniu w powyższe równanie cp = —, otrzymamy : skąd

vs =

2 m g ii

I.

ïï+m .

Z równania tego obliczymy prędkość środka walca po opuszczeniu się jego z wysokości h.

Dla walca np. pełnego:

przeto

•2 gh.

Zważywszy następnie, że prędkość v* bryły, spadającej po płaszczyźnie ruchem postępowym, wyraża się wzorem

v* = y2 g h ;

przyjdziemy do wniosku, że środek walca, spadającego ruchem postępowym, spada prędzej niż środek walca, toczącego się; i—że prędkość środka walca toczącego się zależy od wartości jego momentu bezwładności w ten sposób, że z powiększe-

Is

niem się wartości ^ przy tej samej np. wartości masy, prędkość środka walca

zmniejsza się. Jeżeli naprz. po płaszczyźnie pochyłej puszczone będą z jednakowych wysokości kula, walec i obręcz, zrobione z mas o jednakowych wielkościach; to najpierw stoczy się kula, następnie walec, a wreszcie obręcz, która będzie o tyle wolniej spadała, o ile średnica jej będzie większą. Wartość przeto prędkości środka masy brył o różnych postaciach, lecz o równych wartościach mas, waha się pomiędzy prędkością ruchu postępowego a wartością . 2 gh ; największa bowiem

wartość

bryły, zrobionej z danej masy, posiada pierścień, o promieniu możliwie

wielkim; w krańcowym przeto przypadku, który zachodzi, gdy r = oo; Is = mr²;

— m.

Siłę F obliczymy z równania 302-go po podstawieniu w nie z równ. 303-go wartości przyśpieszenia; siła^ta

m r²'

F — mg . sin a . |l

Po zrzutowaniu wreszcie równania 301-go na oś pionową, obliczymy siłę od-

Za

(304)

porową

N = mg cos a.

W równaniu 304-em wyraz mg sin a wyraża składową siły ciężkości, nadającą walcowi ruch postępowy; gdyby środek walca pozostawał w spoczynku, siła F byłaby równa tej składowej; a że jest on w ruchu, przeto siła F powinna być mniejszą od tej składowej; co też wyraża czynnik w nawiasach równania 304-ego, którego wartość jest mniejszą od jedności.

Dla walca pełnego

1K—Is -j- m r² = I m r² ;

przeto dla tego przypadku

F=% mg . sin a.

Z równania tego wynika, że trzecia część składowej siły ciężkości danego walca idzie na nadanie bryle przyśpieszenia postępowego, a § na wywołanie jego ruchu obrotowego.

Jeżeli siła F wywołana jest np. tarciem W, jakie występuje pomiędzy powierzchnią walca a płaszczyzną; to toczenie się walca może nastąpić tylko wtedy,

gdy

W^F;

w przeciwnym bowiem razie walec będzie się ślizgał po płaszczyźnie a nie toczył, i zadanie będzie inne. Po podstawieniu w tę nierówność wartości PF=[j.iV; oraz wartości N z równ. poprzedniego i F z równania 302-ego; obliczymy kąt nachylenia płaszczyzny, przy którym dana bryła będzie się toczyć, a nie ślizgać; równanie to jest następujące:

mr²

Ik

mg sin a . jl

skąd

mr²

tg a. >

Ik

Walec np. pełny toczyć się będzie po płaszczyźnie pochyłej, gdy kąt jej nachylenia a względem poziomu odpowiada warunkowi tg a <; 3 |j..

Jeżeli zaś będzie tg a. r> 3 to walec ten będzie się ześlizgiwał, ruch przeto jego nie będzie odpowiadał warunkom, postawionym w danem zadaniu.

Szczególnym przypadkiem powyższego przykładu można uważać kulę dosyć lekką, umieszczoną na pionowo bijącym strumieniu wody. Strumień bowiem wody, uderzając w kulę, wywołuje siłęjP, zwróconą pionowo ku górze. W przypadku?«#— F=0, środek kuli będzie pozostawał w spoczynku; t. j. kula zawiśnie w powietrzu; lecz jeżeli uderzenie będzie mimośrodkowe, to kula obracać się będzie około swego środka wskutek momentu, jaki wywoła siła F; w przypadku zaś gdy strumień ten uderza kulę środkowo, kula wtedy nie otrzyma obrotu i zawiśnie w zupełnym spoczynku.

W ogólniejszym zakresie otrzymamy podobne zjawisko, gdy wyobrazimy sobie płaszczyznę, po której toczy się kula; poruszającą się ruchem postępowym ku górze we własnej płaszczyźnie; a przy warunku W ^ F, toczący się walec, czy też tocząca się kula może być nawet uniesiona siłą tarcia ku górze, obracając się jednocześnie około osi poziomej.

'S

Y/

134. Obliczenie ruchu toczącego się wahadła. Bryła materyalna połączona jest w jedną całość z walcem, który może toczyć się po płaszczyźnie o tyle chropowatej, że walec nie będzie się ślizgał, rys. 80; obliczyć ruch bryły bez uwzględnienia oporów; gdy płaszczyzna po której walec się toczy jest poziomą, a bryła jest w początku ruchu odchyloną od położenia równowagi.

Ponieważ ruch tej bryły jest płaski, którego płaszczyzna jest prostopadłą do osi walca; ruch przeto tej bryły może być określony ruchem koła, jakie otrzymamy z przecięcia się walca z płaszczyzną ruchu, po prostej, którą

Rys. 80.

otrzymamy z przecięcia się płaszczyzny toczenia się z płaszczyzną ruchu, rys. 80. Położenie danej bryły określa spółrzędna położenia punktu styczności koła z prostą, po której się ono toczy; i—kąt odchylenia o, jaki tworzy z pionową prosta GS, łącząca środek koła z rzutem środka bryły na płaszczyznę ruchu; a ponieważ spółrzędna punktu zetknięcia się jest zależną od wielkości a, wskutek danego w zadaniu warunku—toczenia się; jedna przeto z tych spółrzędnych, np. spółrzędna a wystarcza do określenia położenia bryły; i jedno równanie dynamiczne wystarczy do określenia jej ruchu. Jako równanie dynamiczne obierzemy np. równanie równowartości pracy i energii kinetycznej; gdyż równanie to wolne będąc od sił odporowych, wyrazi przeto bezpośrednio ruch danego wahadła.

Na bryłę daną działa siła odporowa N, występująca w punkcie styczności; — siła styczna do walca F, wywołująca jego toczenie się i siły ciążenia, których wypadkowa przechodzi przez środek masy całego układa. Ruch chwilowy bryły jest ruchem obrotowym około punktu zetknięcia się koła z prostą, po której się toczy; energię przeto kinetyczną danej bryły wyrazimy wzorem

a.

■s-t. ; a

to

w którym IK oznacza moment bezwładności całej bryły względem bieguna chwilowego obrotu K\ a ~ oznacza prędkość kątową jej obrotu około tegoż bieguna. Równanie przeto dynamiczne równowartości pracy i energii kinetycznej otrzymamy w tenże sposób, w jaki otrzymaliśmy równ. 294-te dla wahadła pospolitego. W tym celu potoczymy dane wahadło do nieskończenie blizkiego położenia i napi-

szemy:

*    mg . d (s . cos a) = d

Przyjąwszy początkowe warunki ruchu

toit-*-

to

(305)

dla a — o₀ ;

,dt1 °;

otrzymamy z tego równania, po jego scałkowaniu. równanie:

.    . (306)

mgs . (cos o — cos o₀) = \ IK.    . .

Z równania tego można obliczyć prędkość kątową w każdem położeniu a danej bryły; rozwiązując zaś je względem dt i całkując, otrzymać można związek pomiędzy a i t. Przy tern całkowaniu należy wziąść pod uwagę, że IK jest w tym przykładzie wielkością zmienną, zależną od kąta o; mamy bowiem

IK=Is + m.KS*;

a po podstawieniu wielkości KS:

lK — I, -J-- w (r² -f- s² — 2 r. s . cos o).

Obliczywszy ruch bryły, możemy z pozostałych równań jej ruchu, t. j. z równań ruchu środka masy obliczyć siły odporowe N i F; jakieśmy to już w poprzednich przykładach okazali. Funkcye jednakże, jakie otrzymamy z całkowania równania 304-go są eliptyczne; badanie przeto ruchu tej bryły jest nieprzystępne. Ażeby jednakże wytworzyć sobie choć przybliżony obraz tego ruchu przyjmiemy, że odchylenie o jest tak małą wielkością, że drugie potęgi wartości tego kąta można pominąć; wobec czego podstawimy w powyższe wzory cos o~l i otrzymamy wartość momentu bezwładności :

IK—Fornir -s)²;

która jest przy tern założeniu wielkością stałą; równanie przeto 303-cie będzie jednakowe z równaniem 285-tem, str. 241-sza części, wyprowadzonem dla wahadła pospolitego; z równania przeto 287-ego obliczymy wartość okresu podwójnego wahnięcia, t. j. obliczymy okres czasu, w którym dane wahadło powróci do położenia, z którego zostało puszczone. Dla przypadku r = 0; wahadło toczące się zamieni się na wahadło pospolite, obracające się około osi, czy też punktu nieruchomego; po podstawieniu też w równanie powyższe r — 0; otrzymamy wzór 285-ty.

135. Obliczenie sił wewnętrznych poruszającej się bryły mate-ryalnej. Pręt cienki o stałym przekroju obraca się w płaszczyźnie poziomej około punktu stałego, obranego na jego osi, rys. 81-szy; obliczyć największe naprężenie ciągnące, ścinające i gnące.

W zadaniu tern mamy dany ruch bryły materyalnej, a poszukujemy sił wewnętrznych, występujących w pewnych jej przekrojach. Ażeby unaocznić sobie te siły, sprowadzimy to zadanie do zadania statycznego, i w tym celu zastosujemy metodę d’Alembert'a, podaną w § 91-szym. W myśl tej metody wyobrazimy sobie, że do każdego punktu tego pręta przyłożone są siły bezwładności; a natomiast przyjmiemy, że pręt pozostaje w spoczynku. Siłami temi są w danym razie siły odśrodkowe działające wzdłuż promieni, wyprowadzonych z punktu obrotu do oddzielnych punktów pręta, oraz siły styczne prostopadłe do tych promieni.

Wobec znacznej długości pręta w porównaniu z jego przekrojem przyjąć można, że siły odśrodkowe wywołują ciągnienie pręta wzdłuż jego osi; a siły styczne są prostopadłe do osi i wywołują gięcie pręta.

Oznaczywszy literą q ciężar jednostki długości danego pręta, wyrazimy ciężar jego cząstki, odległej na x od punktu obrotu, wzorem

q. dx\

siłę przeto odśrodkową, którą należy wyobrazić sobie przyłożoną do tej cząstki, wyrazimy wzorem:

q.dx „

—-. xw.

9

Jeżeli następnie wyobrazimy sobie pręt, przecięty w miejscu £, to należy przyjąć, że na ten przekrój działają wszystkie siły odśrodkowe punktów, leżących od ê do l. Siłę przeto Ć7ę, ciągnącą pręt w przekroju i wzdłuż jego osi w chwili, w której pręt posiada prędkość <p, obliczymy jako sumę wszystkich sił odśrodkowych z równania następującego:

'r—- JC -Î

r-f- £    -»J

•    f

V--

Ml ;

Rys. 81.

. x cp² :

f q.dx

Ce=J —9

a po scałkowaniu :

<h=

. a²—

(307)

Jeżeli przyjmiemy w danem zadaniu, że prędkość <p jest zmienną i rośnie np. proporcyonalnie do czasu, to naprężenie ciągnące rośnie również proporcyonalnie do wartości czasu w drugiej potędze. Ażeby przeto nie przekroczyć wytrzymałości materyału, prędkość obrotu można powiększać tylko do pewnych granic.

Siłę tnącą & w przekroju © obliczymy ze wzoru:

9*1 -Ws

' q.dx

a po scałkowaniu, zważywszy, że przyśpieszenie kątowe jest w danej chwili dla wszystkich punktów jednakowe, otrzymamy:

S% =

d'f

. . (308)

dt '

Moment gnący Mi, jaki występuje w przekroju £, obliczymy jako sumę momentów sił stycznych, występujących w przekrojach od 6 do l; moment ten przeto wyrazimy wzorem :

r' q.dx dy

§ 135.

Cn

a po scałkowaniu wzorem :

. . (309)

dt '

Mi=f. ®-.(2P_3iH + e³) y

Wartości przeto sił tnących jak również wartość momentu gnącego danego pręta jest proporcyonalna do wielkości przyśpieszenia kątowego; ażeby przeto nie przekroczyć wytrzymałości materyału na ścinanie lub na gięcie, przyśpieszenie to powinno posiadać określoną granicę. Często też się zdarza, że pręt podczas nagłej zmiany ruchu złamie się; zjawisko takie tern się tłomaczy, że w chwili nagłej zmiany ruchu, nadajemy prętowi w bardzo krótkim okresie czasu znacznej prędkości; t. j. nadajemy mu znacznego przyśpieszenia. W pręcie zaś, obracającym się np. ruchem jednostajnym, nie powstają ani siły ścinające ani momenty gnące.

Siły ciągnące powstają przy wszelkim obrocie pręta; i są one stałe lub zmienne, zależnie od tego czy obrót jest jednostajny czy też zmienny.

W zadaniu powyższem przyjęliśmy, że wielkość przekroju pręta jest bardzo mała w porównaniu z jego długością; i uczyniliśmy to w celu uproszczenia rozpatrywali. Inaczej jednakże przedstawi się rozkład sił bezwładności, gdy wymiary przekroju pręta będą znaczniejsze; wtedy nie można będzie przyjąć, że kierunki np. sił odśrodkowych pokrywają się z kierunkiem osi pręta, jakieśmy to uczynili i, że kierunki sił stycznych są równoległe do przekrojów. Do spotykanych jednakże w praktyce przykładów można stosować to założenie.

W zadaniu powyższem dany był ruch bryły; a z ruchu tego obliczyliśmy siły wewnętrzne; jeżeli zaś zamiast ruchu są dane np. siły zewnętrzne, wywołujące ruch; to, w celu obliczenia sił wewnętrznych, należy najpierw obliczyć ruch danej bryły w pewnej chwili lub w pewnem jej położeniu; a następnie obliczyć siły wewnętrzne, jakie występują w tejże chwili.

Jeżeli dane są siły zewnętrzne, działające na daną bryłę, to siły wewnętrzne zależą również bezpośrednio od tych sił; gdyż w danym razie siły wewnętrzne (występujące w przekroju), w myśl metody d'Alembert’a, powinny równoważyć się nietylko z siłami bezwładności, jak to było w przykładzie powyższym, lecz i z siłami zewnętrznemi. Uważać przeto można, na zasadzie superpozycyi sił, że wogóle siły wewnętrzne bryły, będącej w ruchu, składają się :

1)    z sił, wywołanych ruchem bryły; siły te nazwiemy kinetycznemi; i

2)    z sił, wywołanych działaniem sił zewnętrznych; siły te nazwiemy statycznemu W powyższym przykładzie, w którym nieuwzględnialiśmy sił zewnętrznych, mieliśmy do czynienia tylko z siłami wewnętrznemi kinetycznemi. Siły wewnętrzne statyczne, o ile one występują, obliczymy zwykłymi metodami, podawanemi w statyce; a suma tych obydwóch rodzajów sił jest wyrazem naprężeń, występujących w danym przekroju i jest miarodajną dla wytrzymałości tej bryły.

Przykład. Pręt materyalny, zawieszony swobodnie na osi poziomej, obraca się pod działaniem swego ciężaru, rys. 82-gi; obliczyć naprężenia, jakie występują w przekrojach tego pręta.

Naprężenia w przekroju 4, zgodnie z równaniem 307-em, 308-em i 309-tem są następujące:

aSs —    •

i- —

. (Z² — 4²). cp²

q . dx . cos a;

. . (310)

.(Z²~4²)

dt

q.dx. sina; ....    (311)

.(2Z²--3Z².4-f 4³). dt

j'q.dx. sin a

.(« —4). (312)

Drugie wyrazy, znajdujące się po prawej stronie tych równań, w postaci całek, wyrażają naprężenia, nazwane statycznemi; które w przykładzie poprzednim nie występowały.

W równaniach tych siły wewnętrzne i ich momenty wyrażone są przyśpieszeniem obroto-wem i prędkością obrotową pręta; wielkości te jednakże możemy wyrazić siłami, wywołującemi dany ruch i w tym celu napiszemy np. równanie momentu ilości ruchu względem bieguna, obranego w środku obrotu. Równanie to jest następujące:

ifm

JVT*

''J-

15 7

mg . sin a . \ l =

d (I,i. cp) _

'facLoc

dt

Rys. 82.

z którego obliczymy przyśpieszenie kątowe pręta.

Prędkość zaś obrotową, potrzebną do obliczenia siły ciągnącej, możemy bezpośrednio obliczyć z równania równowartości pracy i energii kinetycznej; lub też—całkując równanie momentów, po odpowie-dniem wyrugowaniu czasu. Przyjąwszy np. dla

cp = 0;

a = a₀ ;

równanie równowartości pracy i energii kinetycznej po jego scałkowaniu będzie następujące:

\I± . cp² = mg (cos o — cos o₀).

Po podstawieniu z tych równań wartości przyśpieszenia i prędkości w równania 310-te, 311 -te i 312-te i po scałkowaniu tych równań; otrzymamy wartości sił wewnętrznych w zależności od położenia pręta a i od położenia przekroju 4.

Dla pręta materyalnego

-- —

IA= i mZ² =

po podstawieniu przeto tej wartości we wzory 311-ty i 312-ty i po skróceniu otrzymamy :

=—-r- . sin o . (I ~ 4) (Z — 34);

Mt =

Al ‘

sin o . (l — 4)². 4.

Z równań tych wynika:

1) że wielkość momentu gnącego i wielkość siły ścinającej w przekroju danego pręta nie zależy od początkowych warunków ruchu; a tylko od kąta nachylenia pręta względem osi pionowej. Wynik ten stanie się bezpośrednio zrozumiałym, gdy zważymy, że siły styczne a więc i ich moment zależy od przyśpieszenia kątowego, a nie od prędkości; prędkość przeto początkowa, która dodaje się na zasadzie prawa superpozycyi z prędkością nabytą, nie wpływa na wielkości tych naprężeń;

2)    że największe wartości momentu gnącego i sił ścinających w każdym przekroju pręta występują w chwili puszczenia pręta; gdyż wtedy sin a a więc M\ i Sz są największe. Wynik ten jest bezpośrednio zrozumiałym z tego względu, że przyśpieszenie kątowe w początkowem położeniu pręta jest największe;

3)    największy moment gnący w danem położeniu pręta znajduje się na odległości l jego długości, licząc od osi zawieszenia; gdyż Mt. stanie się najwięk-szością, gdy £ = £ l, przekrój ten przeto jest przekrojem niebezpiecznym na gięcie.

Położenie przekroju niebezpiecznego, pracującego na ciągnienie, obliczymy z równ. 310-tego; przekrój ten znajduje się, przy danem położeniu pręta, przy osi obrotu; przy zmiennem zaś położeniu wystąpi największe naprężenie w pionowem położeniu pręta; ze zmniejszeniem się bowiem wartości i i a, wartości obydwóch wyrazów równania tego powiększają się.

Zwrócić należy jeszcze uwagę, że sposoby, tutaj wskazane, obliczenia sił wewnętrznych i ich momentów dają możność ich obliczenia w odniesieniu do pewnego panktu, obranego w płaszczyźnie danego przekroju; nie dają zaś możności obliczenia tych sił, jakie występują w oddzielnych cząstkach tego przekroju; siły te bowiem zależą od fizycznych właściwości materyału, z którego pręt jest zrobiony; i można je obliczyć dopiero po przyjęciu jakiejś hypotezy, określającej fizyczne właściwości danej materyj; hypotezą tą jest dla ciał sprężystych t. z w. prawo Hook’a.

136. Obliczenie ruchu początkowego i sił wewnętrznych, jakie występują w bryle, w chwili wyprowadzenia jej z równowagi. Przykładem tego może być następujące zadanie. Belka ciężka o przekroju bardzo małym w porównaniu z jej długością i o ciężarze q na jednostkę długości, oparta jest swobodnie na dwóch poziomych podporach A i B, rys. 83-ci. W pewnej chwili jedna z podpór np. B zostaje nagle usunięta; obliczyć ruch początkowy belki w chwili tego usunięcia; oraz—siłę odporową, jaka występuje w tejże chwili w pozostałej podporze.

W chwili usunięcia podpory, na belkę działa jej ciężar, którego moment wywołuje obrót belki około pozostałego punktu podparcia. Z warunków zadania wynika, że belka nie będzie posiadała prędkości początkowej; a jedynie tylko przyśpieszenie, które mamy przedewszystkiem obliczyć. Równanie dynamiczne momentów względem bieguna, obranego w pozostałym punkcie podparcia, jest następujące:

skąd

mg.

__ d (IA , <p).

dt

d f_mg l

~dt~ 2 74 ’

gdzie Ia oznacza moment bezwładności belki względem bieguna, obranego w punkcie podparcia A. Z przyśpieszenia kątowego, wyrażonego tern równaniem, możemy obliczyć naprężenia w przekrojach belki, jakeśmy to wyżej uczynili, lub—siłę odporową A, jak tego wymaga dane zadanie. W tym celu unaocznimy sobie metodą d’Alembert’a siły bezwładności, jakie występują w belce w chwili usunięcia podpory i przyłożymy do jej cząstek siły bezwładności, jakie powstają w chwili usunięcia podpory B. Oznaczymy literą x odległość pewnej cząstki belki od punktu obrotu i wyobrazimy sobie, że do tej cząstki przyłożona jest siła bezwładności styczna z kierunkiem ku górze, i o wielkości, wyrażonej wzorem

9-1 -Ki

T3

.dx.x.

przyłóżmy następnie ciężar belki w środku jej masy, a otrzymamy obraz sił bezwładności, będących w równowadze z siłami odporowemi i z ciężarem belki w chwili usunięcia podpory B. Zwrócić jeszcze należy uwagę, że ponieważ prędkość obrotowa w chwili usunięcia podpory równa się zeru, przeto siły odśrodkowe nie występują i belka pozostaje pod działaniem tylko sił stycznych i siły ciężkości. Wykres tego obciążenia przedstawiliśmy na rys.

83-cim. Siłę odporową A obliczymy z warunku równowagi sił przyłożonych do danej belki. Równanie to jest następujące:

*jchcf

-DC

, . rq.dx dy    n

A+j^-xw-m9=0;

o

z którego obliczymy:

A = mg — \ ml.

dy

~dt ’

a po podstawieniu z równania ruchu, z równ. 313-tego, — wartość przyśpieszenia otrzymamy:

Rys. 83.

mg jl

ml'²

4Ii.

Jeżeli wyobrazimy sobie belkę w postaci pręta, co w wielu przypadkach będzie zgodne z rzeczywistością, to ponieważ

IA = 1 ml²;

przeto

A = \mg.

Siła więc odporowa jednej podpory, w chwili usunięcia drugiej, stanowi tylko połowę wartości siły odporowej belki, wspartej na obydwóch podporach.

W rozwiązaniu tego zadania można pominąć metodę d’Alembert’a, a natomiast zastosować równanie dynamiczne ruchu środka masy. Obliczywszy bowiem z równania dynamicznego momentów przyśpieszenie tego środka, obliczymy z równania ruchu środka masy siły nieznane, wywołujące ten ruch, t. j. jak w danym przykładzie siłę odporową; postępowanie to jest przeto takie same, jakie stosowaliśmy do obliczenia sił odporowych brył nieswobodnych; a mianowicie wpierw obliczaliśmy ruch, a następnie siły — odporowe.

Ça = i Çs •

137. Obliczenie ruchu początkowego bryły w chwili nagłej zmiany ruchu. Prostokąt materyalny o bokach a i b, rys. 84-ty, obraca się z prędkością stałą <p, około osi pionowej s; przechodzącej przez środek masy i równoległej do boku a ; nagle oś ta zostaje usunięta, a prostokąt zostaje zmuszony obracać się około osi innej, przechodzącej np. przez bok a; obliczyć prędkość ęa, jaką otrzyma prostokąt w chwili rozpoczęcia obrotu około nowej osi.

W celu zastosowania do tego zadania wyłożonych zasad dynamiki, wyobrazimy sobie; że unieruchomienie boku a zostało wywołane pewnemi Yo silami) przyłożonemi do niego; a prędkość ęs przyjmiemy za pręd-TTTTrn kość początkową ruchu tego prostokąta; w ten sposób mamy obliczyć ruch bryły, na którą działają siły i której ruch początkowy lilii jest ęs. Obrawszy oś a za oś momentów, napiszemy równanie ° dynamiczne momentów względem tej osi >    dMv

Rys. 84.

dt

= 0;

(314)

W myśl bowiem przyjętych założeń, moment siły ciężkości i momenty sił, przyłożonych do boku a, względem obranej osi momentów, równa się zeru. Pomimo przeto zmiany ruchu prostokąta moment ilości jego ruchu względem osi a, nie doznaje w tych warunkach żadnej zmiany; lecz z tego nie wynika, że i prędkość obrotowa się nie zmienia. W celu obliczenia prędkości <p„ scałkujemy równanie 314-te i otrzymamy :

. . (315)

= 0, .

w którem Mv oznacza moment, względem osi a, ilości ruchu prostokąta, obracającego się około tejże osi; a MVy0 moment względem tejże osi a ilości ruchu prostokąta, obracającego się około osi s (¹).

Moment Mv na zasadzie odnośnych wzorów, wzór 254-ty.

Mv — M.

My - la • Ça 5

#

gdzie Ia oznacza moment bezwładności prostokąta względem osi a.

Moment ilości ruchu względem osi a prostokąta obracającego się około osi s obliczymy ze wzoru 255-tego, moment ten w danym przykładzie

MVi o⁼⁼⁼ I» • ę* •

Mamy przeto z równania 315-go:

skąd

I,

Ça =

lub po podstawieniu dla danego przykładu :

= ! m b² ;

• ę*;

h I, + m[ *j

oraz

Is = Ą m b²

otrzymamy:

(') Należy bowiem rozróżniać ściśle oś obrotu od osi, względem której obliczamy momenty; nacośmy już zwracali uwagę w przypisku na str. 224-tej tej części.

W chwili przeto unieruchomienia boku a, prostokąt dany obraca się około tego boku z chwilową prędkością, równą { prędkości, jaką posiadał podczas obrotu około osi s. Dalszy ruch tego prostokąta zależy od warunków fizycznych, w jakich ten prostokąt znajdować się będzie. Jeżeli oś obrotu a zostaje fizycznie utrzymaną, to prostokąt obracać się będzie około tej osi ze stałą prędkością cpa. Jeżeli zaś w tej chwili po zmianie obrotu oś a zostanie usunięta; to powstanie ruch swobodny prostokąta z początkową prędkością cpa; obliczenie tego ruchu może być wykonane w tenże sposób, w jaki obliczyliśmy ruch pręta w § 132-gim.

W przykładzie powyższym na dany prostokąt działały siły, które nie dawały momentu względem osi obrotu a; obliczmy teraz ruch, jaki otrzyma ten prostokąt, jeżeli będą na niego działały siły, dające moment względem osi a.

Obliczenie tego ruchu zmieni się w ten sposób; że zamiast równania 314-tego, otrzymamy w tym przypadku równanie dynamiczne momentów względem osi a; o następującej postaci:

dMv

dt Mf’

w którem MF oznacza moment sił zeznętrznych, działających na prostokąt. Całka tego równania jest następująca:

Mv — M

», o -

tu

/

o

Mp. dt\

w którym kt oznacza okres czasu, w którym działa moment sił zewnętrznych. Ponieważ jednakże okres ten w przypadkach nagłych zmian ruchu jest znikomy; przeto i wartość tej całki posiada wartość znikomą; jeżeli MP posiada wartość skończoną.

Wyrażając się matematycznie powiemy, że wartość całki powyższej jest nieskończenie małą w porównaniu z różnicą wartości momentów ilości ruchu i może być z tego powodu pominiętą.

Poglądowo unaocznimy sobie ten wniosek w następujący sposób: siły zewnętrzne, działające na pewną bryłę, podczas działania na nią sił chwilowych, nie mają czasu do wywołania znaczniejszej zmiany ruchu tej bryły; zmiana przeto ruchu takiej bryły pochodzić może tylko od działania sił chwilowych, które, w myśl danego ich określenia, są tak wielkie, że w przeciągu znikomo krótkiego czasu wywołują znaczne zmiany ruchu. Wogóle przeto powiedzieć możemy, że w obliczeniu ruchu, wywołanego siłami chwilowemi, działanie sił skończonych może być pominięte.

138. Przykład nagłej zmiany ruchu. Krążek materyalny ślizga się po płaszczyźnie poziomej ruchem postępowym jednostajnym w kierunku prostopadłym do swej osi; w pewnem miejscu swej drogi trafia on na prżeszkodę materyalną o wysokości h; około której się obróci. Jaką prędkość postępową powinien mieć ten krążek, ażeby, obróciwszy się około punktu zetknięcia się z przeszkodą, przetoczył się przez tę przeszkodę, rys. 85-ty.

Ażeby krążek dany mógł przetoczyć się przez tę przeszkodę, powinien unieść się na wysokość h; energia jego kinetyczna przeto, w chwili obrotu około punktu zetknięcia się z przeszkodą, powinna być większą a przynajmniej równą pracy ciężkości walca, jaką on wykona, przy podniesieniu się; t.j. powinna być:

khc-VE² >mgh;

gdzie <pk oznacza prędkość początkową obrotu krążka około punktu zetknięcia się

jego z przeszkodą. Prędkość tę obliczymy jako obrót początkowy nagłej zmiany ruchu danego walca; § po-

przedni.

Równość momentów ilości ruchu po i przed uderzeniem względem bieguna, obranego w K, wyrazimy równaniem :

. (316)

IK ■    ~    . (r — h) — 0;

a po podstawieniu z tego równania wartości w po-v///Ą//// przednią nierówność, otrzymamy szukany warunek:

Rys. 85.

— . q . h. m

Ażeby obliczyć siłę odporową, jaka występuje w punkcie zetknięcia się krążka z przeszkodą, zastosujemy równanie ruchu środka masy. Jeżeli w obliczeniu tern nieuwzględnimy siły tarcia, to siła odporowa występuje normalnie do obwodu krążka, t.j. występuje wzdłuż promienia KS; oznaczmy tę siłę literą N ze zwrotem ku środkowi krążka, a napiszemy równanie ruchu środka masy:

dt

N -f- m g — m

Zrzutujmy to równanie na normalną KS, a otrzymamy:

mg . cos a — N= mryK²;

skąd, po podstawieniu odnośnych wartości, obliczymy siłę odporową N.

Zadanie. Obliczyć wysokość przeszkody, przy której krążek po uderzeniu oddzieli się od niej, jeżeli nie był przymocowany.

Odpowiedź:

Ik

h ⁷ ' 2 m r² -j- IK '

Zadanie. Obliczyć tę siłę odporową, stosując do tego metodę d’Alembert'a.

139. Przyrząd Atwood’a. Przez krążek materyalny, obracający się około osi poziomej nieruchomej, przerzucona jest nić nierozciągliwa, na której końcach przyczepiono ciężarki Q₁ i Q₂\ obliczyć ruch np. ciężarka nieuwzględniając oporów, jakie powstają podczas ruchu, i nie uwzględniając masy nici; rys. 86-ty.

Ciężar Ql przedstawia bryłę o jednym stopniu swobody; gdyż np. odległość środka jego od początkowego jego położenia określa położenie ciężaru; jedno przeto równanie wystarczy do obliczenia tego ruchu.

Do rozwiązania tego zadania nie można zastosować bezpośrednio wzorów, wyprowadzonych dla ruchu brył pojedynczych; posiadamy bowiem w danym przykładzie trzy bryły, które są połączone z sobą nicią i których ruchy są wzajemnie uzależnione.

Jeżeli wogóle nicią giętką połączone są dane bryły, na które działają siły ze-

wnętrzne, to w nici takiej występują siły ciągnące. Ażeby te siły unaocznić, wyobraźmy sobie, że nić jest przecięta w dowolnem miejscu i do jej końców przyczepione są dwie siły takie, które nie zmieniają chwilowego stanu ruchu lub też spoczynku tych brył; siły te są miarą naprężenia nici, jakie występuje podczas jej rozciągania. Naprężenia te, na zasadzie prawa wzajemnego działania, są wzajemnie równe; co do zwrotów przeciwne i działają wzdłuż jednej prostej. Każdy przeto układ, złożony z wielu brył materyalnych, połączonych z sobą nićmi, rozdzielić można na oddzielne bryły; gdy wyobrazimy sobie nici poprzecinane, a natomiast przyłożone do ich końców siły ich naprężeń. Po takiem rozdzieleniu danego układu na bryły pojedyńcze można już do każdej z nich zastosować równania dynamiczne. Jeżeli zastosujemy np. równania równowartości pracy i energii kinetycznej, to otrzymamy tyle równań algebraicznych, z ilu brył złożony jest dany układ. Jeżeli równania te dodamy z sobą, to suma cząstkowych prac naprężeń w tej samej nici będzie równa zeru i wypadnie z wyrazu ogólnej sumy, a pozostanie w równaniu tylko suma cząstkowych prac sił zawnętrznych, przyłożonych do całego układu, oraz przyrosty energii kinetycznej każdej bryły oddzielnej.

W celu zastosowania tych ogólnych uwag do danego przykładu; przesuńmy ciężar Qx na wysokość dxx, a równanie równowartości pracy i energii kinetycznej dla całego układu będzie następujące:

Q\ .dxx — Q₂.dx₂ = d(^Isy²-\-$mivx² + ^m₂v₂²); . : (317) w którem cp oznacza prędkość obrotową krążka w dowolnej chwili; vx i v₂ oznaczają prędkości ruchu postępowego odnośnych ciężarków; a Is — moment bezwładności krążka względem osi, przechodzącej przez środek jego masy.

W skutek nierozciągliwości nici mamy związki: a więc i

Of

Rys. 86.

rS*

Q.

dx₂ = dxx ;

V₂ = vx ;

oraz

vx = rep;

a po podstawieniu tych wartości w równanie pracy i po scałkowaniu tego równania dla warunków początkowych:

t = 0;

«i = 0;

xx — 0;

otrzymamy równanie ruchu, dające związek pomiędzy prędkością bryły Qx i jej położeniem; równanie to jest następujące:

xx (w, — m₂) =

(318)

skąd

2gxx.

— m.

.    . (319)

r2 + mi ~r m2

Ż równania tego wynika, że prędkość ciężaru Qx jest mniejszą na tych samych wysokościach, niż prędkość swobodnie spadającej bryły. Wynik ten można wytło-maczyć sobie fizycznie tern; że siła ctężkości bryły Qx wywołuje ruch nietylko swojej masy, lecz i - masy ciężaru Q₂, oraz—masy krążka; lub inaczej wyrażając się, że praca ciężaru Qx idzie nie tylko na powiększenie swej własnej energii kinetycznej, lecz i na pracę podniesienia ciężaru Qit—na powiększenie jego energii kinetycznej oraz energii krążka; co też wyraża równanie 317-te.

Ażeby np. ruch ciężaru Qx był jednakowy z ruchem swobodnie spadającej bryły; powinno być jednocześnie

m₂ = 0;

4 — 0;

oraz

wtedy bowiem praca ciężaru Qx pójdzie tylko na powiększenie jego własnej energii kinetycznej; i wtedy też po podstawieniu tych wartości w równ. 319-te otrzyma

my vx = V 2gxx.

Ażeby obliczyć przyśpieszenie ciężaru (4; można zastosować równanie dynamiczne momentów; lub też, co prościej będzie, mając już równanie 319-te, można wziąść pochodną prędkości względem czasu, a otrzymamy to przyśpieszenie:

Pi =9

mx — m₂

TT, .

— +    + m₂ ;

(320)

lub też, zważywszy, że ruch ciężaru danego jest jednostajnie przyśpieszony, można utożsamić równanie 319-te z równaniem ruchu jednostajnie przyśpieszonego:

v = V 2 v x ,

i bezpośrednio napisać wyraz tego przyśpieszenia.

Zadanie obliczenia naprężenia nici, na której zawieszony jest ciężar Qx ; należy do grupy zadań, w których obliczamy siły ze znanego ruchu bryły.

W celu tego obliczenia napiszemy równanie dynamiczne ruchu środka bry

ły Qx:

z którego obliczymy naprężenie $4 po podstawieniu z równania 320-tego wartości przyśpieszenia. Naprężenie to:

S₁ = m₁g.

+ 2 m₂

4- w, + m₂

(321)

Jeżeli np.

Sprawdźmy słuszność tego wzoru dla pewnych szczególnych przypadków

m₂ = 0;

i rzeczywiście; w tym przypadku ciężar Qx swobodnie spada; przyśpieszenie więc jego = g\ a w nici naprężenie nie występuje.

Jeżeli zaś

oraz

4 = 0;

to

Si = 0;

= m₂,

to otrzymamy

Pi = 0;

oraz

Si = ą g\

niezależnie od wartości Is i r ; co jest bezpośrednio zrozumiałem; następuje bowiem w tym przypadku równowaga ciężarów; naprężenie przeto nici równa się zawieszonemu na niej ciężarowi. Niezależność w tym przypadku naprężenia Si od Is i r objaśnia się tern, że w przypadku równowagi ciężarów krążek pozostaje w spoczynku lub w obrocie jednostajnym; masa przeto jego pozostaje bez wpływu na rozkład sił, gdyż nie otrzymuje przyśpieszenia obrotowego.

Zauważyć następnie należy, że naprężenie S₂, jakie występuje podczas ruchu brył i krążka, w części nici, zwieszającej się po drugiej stronie krążka, nie jest równe Sv jakby to się zdawać mogło. Naprężenie to powinno być mniejsze od St ; siła bowiem St porusza ciężar Q₂ oraz obraca krążek; siła zaś S₂ dźwiga tylko ciężar Q₂ i nadaje mu ruch. Siłę S₂ obliczymy z równania ruchu ciężaru Q₂ ; równanie to jest następujące:

dv o ~d7’

C^₂ S₂ - //ly

a po podstawieniu v₂ — v₁ oraz — odnośnej wartości przyśpieszenia, obliczymy z tego wzoru szukane naprężenie:

S₂ = m₂g.

-f- 2 ml

. (322)

Siły St i S₂, przyłożone z odwrotnymi zwrotami do końców nici, przewieszonych przez krążek, wywołują obrót tego krążka. Obrót ten obliczyć można np. z równania dynamicznego momentów, zestawionego dla ruchu krążka; ruch ten

jednakże jest już znany ze znanej wartości px ; gdyż r .

a L

że być przeto sprawdzeniem prawidłowości naszego rachunku. Równanie momentu sił, działających na krążek, względem osi obrotu, jest następujące;

Cl <p

Pi ; obliczenie to mo-

z którego, po podstawieniu wartości Si i S₂ otrzymamy wzór 320-ty.

Jeżeli obrót krążka ma być wywołany tarciem, występującem pomiędzy nicią a krążkiem; to siły, występujące w końcach nici, powinny odpowiadać warunkowi, wyrażonemu równaniem 257-ein tomu I-ego; t. j. powinien zachodzić związek:

Si^S₂.ev«;

w przeciwnym bowiem razie nastąpi ślizganie się nici po obwodzie krążka; i wyniki obliczenia powyższego nie będą się stosowały do tego przypadku.

Po podstawieniu we wzór 323-ci wartości naprężeń z równań 321-ego i 322-ego otrzymamy związek, jaki powinien zachodzić pomiędzy wielkościami mas poruszających się ciężarów, ażeby wywołać tarcie pomiędzy nicią a krążkiem; stosunek ten jest następujący:

rrii < m₂.

(323)

lub inaczej :

Wynik ten stanie się bezpośrednio zrozumiałym, gdy zważymy, że stosownie do wzoru 321-ego i 322-ego, naprężenia w niciach są proporcyonalne do zawieszonych ciężarów.

Qi ^ Q-i • e**.

Nie trudno pod względem praktycznym uczynić zadość powyższej nierówności; jeżeli można dowolnie powiększać wielkość p. lub a. W szczególnych zaś przypadkach, gdy wartości p, i a nie możemy powiększyć, wypadnie dla wywołania obrotu krążka zastosować inny sposób zaczepienia pomiędzy krążkiem i nicią; wypadnie np. zastąpić nić łańcuchem, a koło uczynić zębatem.

140. Obliczenie ruchu brył układu materyalnego. Każdy mechanizm jest złożony wogóle z brył materyalnych, które stykają się wzajemnie, lub też połączone są ze sobą cięgnami. Bryły te są przeto nieswobodne; a o ich stopniach swobody można mówić w tenże sposób, w jaki mówiliśmy o ilości stopni swobody jednej bryły, § 58-my tomu I-go. Jeżeli np. dla określenia położenia brył danego układu wystarcza znajomość jednej spółrzędnej, to mówimy, że dany układ posiada jeden stopień swobody; i t. p. Układ np. podany w § 226-tym tomu 1-ego posiada dwa stopnie swobody.

Na części danego mechanizmu, t. j. na każdą bryłę, z jakich złożony jest dany mechanizm, działają wogóle siły zewnętrzne i siły odporowe, pochodzące od innych brył. Jeżeli te części połączone są z sobą np. cięgnami, to ruchy ich podczas działania w cięgnach sił ciągnących mogą być obliczone w sposób w paragrafie poprzednim; w razie zaś jeżeli te części bezpośrednio się stykają pewnemi cząstkami swych pól, które dla uproszczenia rachunku przyjmujemy za punkty geometryczne, to w celu obliczenia ich ruchu, wyobrazimy sobie, że do każdej z takich brył przyłożone są siły odporowe, pochodzące od brył sąsiednich i zestawimy dla każdej bryły równanie dynamiczne, np. równanie równowartości pracy i energii kinetycznej. Równań takich otrzymamy tyle, z ilu brył składa się dany mechanizm. Do każdego z tych równań wchodzą wyrazy pracy sił zewnętrznych, wyrazy pracy sił odporowych i wyraz przyrostu energii kinetycznej danej bryły. Jeżeli następnie równania te dodamy, to otrzymamy sumy wyrazów prac sił zewnętrznych; sumę wyrazów prac sił odporowych i sumę przyrostów energii kinetycznych oddzielnych części.

Przy pewnych szczególnych warunkach fizycznych, suma prac sił odporowych może równać się zeru; a wtedy równanie pracy będzie wolne od wielkości sił odporowych; i przedstawi związek pomiędzy siłami zewnętrznemi i spółrzędne-mi ruchu danego układu.

Warunki, przy których suma prac sił odporowych, występujących pomiędzy bryłami, równa się zeru, są następujące:

1) przesunięcia brył powinny być przystosowane do warunków ruchu danego układu brył; wtedy bowiem przesunięcia sił odporowych są prostopadłe do kierunku sił;

2)    siły tarcia, występujące pomiędzy oddzielnemi bryłami; powinny być tak małe, żeby można było ich nie uwzględniać;

3)    powierzchnie zetknięć się brył nie powinny zmieniać swej geometrycznej postaci podczas ruchu.

Jeżeli dany układ odpowiada tym warunkom, to praca sił zewnętrznych podczas przesunięcia przystosowanego danych brył równa się sumie przyrostów energii kinetycznej oddzielnych brył tego układu.

Stosowanie tego twierdzenia szczególniej się nadaje do obliczenia ruchu złożonych mechanizmów o jednym stopniu swobody, gdy nieuwzględniamy oporów; daje ono bowiem bezpośrednio szukane równanie ruchu.

Zwrócić tutaj należy uwagę na tę okoliczność, że twierdzenie, wygłoszone w § 217 tomu I-go o warunkach równowagi sił, działających na układ złożony, jest szczególnym przypadkiem tego twierdzenia o ruchu brył. Z określenia bowiem równowagi sił wynika, § 118 tomu I-ego, że podczas równowagi sił, przyrost energii kinetycznej danego układu równa się zeru. Jeżeli przeto na mechanizmy, opisane w § 218-tym tomu I-ego, działają siły, które się nie równoważą; to części tych mechanizmów będą w ruchu; a równanie ich ruchu otrzymamy, gdy przyrównamy sumę prac przystosowanych do sumy przyrostów energii kinetycznych, poruszających się części danego mechanizmu.

W pewnych jednakże szczególnych przypadkach można stosować równanie równowartości pracy sił zewnętrznych i energii kinetycznej; chociaż siły wewnętrzne wykonują pewną pracę. Przypadki te zachodzą, jeżeli podczas pewnego okresu czasu, w którym bryły są w ruchu; suma prac sił wewnętrznych równa się zeru; pomimo, że w oddzielnych okresach tego ruchu suma tych prac nie jest równą zeru; przyrost przeto energii kinetycznej, który powstał w całym okresie czasu, równa się w tym razie tylko pracy sił zewnętrznych.

Przykładem takich układów są układy, złożone z brył sprężystych, lub też z brył połączonych cięgnami sprężystemi. Jeżeli taki układ po odkształceniu wywo-łanem siłami zewnętrznemi, powróci do swej pierwotnej postaci, to suma prac, jakie wykonają siły wewnętrzne w ciągu tego okresu, równa się zeru; suma przeto prac sił zewnętrznych równa się w tym razie przyrostowi energii kinetycznej, powstałemu w tym okresie; pomimo, że siły wewnętrzne wykonywały podczas ruchu brył pewne prace.

Podczas np. uderzenia się brył sprężystych, powstaje najpierw praca odjemna sił wewnętrznych; a następnie, podczas powracania ich do pierwotnych postaci, powstaje praca taka dodatnia tych sił, iż suma tych prac w ciągu całego okresu może być uważaną za równą zeru.

141. Obliczenie ruchu układu brył o jednym stopniu swobody.

Obliczmy np. ruch ciężaru Q przymocowanego do śruby sposobem, wskazanym na rysunku 278-ym i podanym na str. 288-ej tomu I-go. Zachowawszy oznaczenia, wskazane w tym przykładzie, napiszemy równanie równowartości pracy i energii kinetycznej:

PR . da — Q . dx — d -j- ^1. cp²);

w którem v oznacza prędkość postępową, <p prędkość obrotową śruby, a I moment bezwładności względem osi obrotu wszystkich obracających się części mechanizmu.

Podstawiwszy w powyższe równanie:

da =

2 Tl

2 TC

■=— . d x ; h

otrzymamy, po scałkowaniu przy początkowych warunkach: / = 0; æ=0; cp = 0; v — 0, równanie ruchu :

oraz

■ v;

P.

2 7T R

to

m-\-I.

Łatwo spostrzedz z tego wzoru, że ruch ciężaru jest ruchem jednostajnie przyśpieszonym. W szczególnych przypadkach, jeżeli:

p-nr-e=0:

to zachodzi stan równowagi; otrzymamy bowiem v — 0 dla wszelkich wartości cc. Jeżeli zaś:

P.

4 îï²

. v² ;

z którego:

o;

to v > 0; czyli ruch odbywa się zgodnie ze zwrotem rosnącego & ; t. j. ku górze; w przeciwnym razie, jeżeli wyraz powyższy jest odjemny, to v otrzyma wartości rzeczywiste tylko dla x< 0; t. j. ruch ciężaru będzie ku dołowi.

6. O uderzeniu się brył materyalnych.

142. Siły^chwilowe. Jeżeli bryła materyalna po zetknięciu się z inną bryłą zmieni nagle, t. j. w krótkim okresie czasu stan swego ruchu, to powiadamy, że bryła ta doznała uderzenia. Ponieważ, każdą zmianę prędkości punktów materyalnych przypisujemy siłom; przyjmujemy przeto i w tym razie, że począwszy od chwili zetknięcia się brył do chwili ich rozejścia się, występują w punktach czy też polach ich zetknięcia się pewne siły. Przyjmujemy przeto, że bryła materyalna, uderzając w inną bryłę, doznaje działania pewnej siły, pochodzącej od bryły uderzonej; a ponieważ i bryła uderzona zmienia jednocześnie stan swego ruchu, powiadamy przeto, że doznaje ona również pewnego działania, pochodzącego od bryły uderzającej.

Siły te, w myśl prawa fizycznego wzajemnego działania, o którem mówiliśmy w § 86-tym tego tomu, są co do swych wielkości wzajemnie równe, działają wzdłuż jednej prostej i zwroty mają przeciwne. Dwie takie siły odpowiadają przeto warunkom równowagi, które wyraziliśmy ich summą i summą ich momentów; porówn. wzory 197-my i 198-my. Ponieważ zmiana ilości ruchu, jaka zachodzi w bryle wskutek uderzenia jest dosyć znaczną w porównaniu z czasem, w jakim ona powstała, przeto wnioskujemy, że siły, jakie powstają podczas uderzenia się brył, muszą być bardzo wielkie. Ażeby wyrobić sobie przybliżony obraz wielkości tych sił; przyjmijmy np., że bryła o masie 10 kg po jej uderzeniu nabyła prędkości 1 m na sek., a okres zetknięcia się tych brył, t. j. okres uderzenia wynosi 0,001 sekundy. Jeżeli przyjmiemy następnie, z pewnein przybliżeniem, że siła

ta podczas uderzenia jest stałą; to z równania:

d(mv) dt ’

po jego scałkowaniu otrzymamy:

P . A t — mv;

i wreszcie

mv

At

gdzie At oznacza okres czasu, podczas którego bryły były w zetknięciu; a po podstawieniu przyjętych wartości otrzymamy:

10

P= g

^ 1000 kg.

0,001

Jest to siła dosyć znaczna w porównaniu np. z ciężarem danej bryły; a będzie ona większą, jeżeli okres uderzenia będzie krótszy. Zrozumiałem przeto powinno być teraz ze stanowiska fizycznego, dlaczego np. gwóźdź nawet pod słabem uderzeniem młotka zagłębi się w deskę; lub też dlaczego wytrzymałość bryły, w którą uderzymy młotkiem, może być bardzo łatwo przekroczoną; i o tyle łatwiej o ile uderzenie jest krótsze.

Z określenia uderzenia wynika jeszcze inny bardzo ważny wniosek, do którego doszliśmy już w § 137-ym przy obliczeniu nagłych zmian ruchu.

Jeżeli na bryłę, poddaną uderzeniu, działają podczas tego uderzenia siły zewnętrzne, o wielkościach nieznacznych w porównaniu z siłą chwilową, jaka powstaje podczas uderzenia; to działanie tych sił podczas uderzenia możemy pominąć; wobec bowiem znacznych zmian w ruchu brył, jakie wywołują siły uderzenia; zmiany ruchu, wywołane siłami ciągłemi w tymże okresie czasu, są tak nieznaczne; że można je pominąć. Wniosek ten byłby zupełnie ścisły, gdyby okres uderzenia trwał nieskończenie krótko; wtedy bowiem siła uderzenia P — oo; a wszystkie inne siły, o skończonych wartościach, byłyby nieskończenie małemi w porównaniu z siłą uderzenia; t. j. nie wywołałyby żadnej zmiany ruchu. W święcie jednakże fizycznym nie mamy takich uderzeń (At — 0); przeto wniosek ten posiada tylko względną wartość; dla praktycznych jednakże obliczeń pozostawać może w swej mocy. Wniosek ten wysłowimy: działanie sił ciągłych, przyłożonych do bryły, mogą być pominięte przy obliczaniu ruchu, wywołanego siłami chwilowemi. Przy obliczaniu np. prędkości piłki, jaką ona otrzyma, w chwili odbicia się o ścianę, ciężaru tej piłki można nie uwzględniać, uwzględnimy go jednakże przy obliczeniu jej ruchu przed i po odbiciu się jej od ściany.

143. Przebieg uderzenia się brył. W przebiegu uderzenia się brył należy rozróżnić dwa okresy. Pierwszy okres rozpoczyna się z chwili, w której bryły zetkną się w jednym punkcie, i okres ten trwa tak długo, dopóki bryły wskutek wzajemnego nacisku nie wyrównają swych prędkości. W chwili tego wyrównania bryły nie oddziaływają już na siebie; nie zmieniają stanu swego ruchu, ani też nie odkształcają się. Od tej chwili zaczyna się okres drugi uderzenia, którego przebieg zależy od fizycznych właściwości, uderzających się brył. W okresie tym zachodzi powrót odkształconych brył do pierwotnej postaci; które, zależnie od ich fizycznych właściwości, bądź powracają zupełnie do swych pierwotnych postaci podczas styka-

Badania nasze dotyczą zmian, jakie zachodzą w ruchu uderzających się brył od początku pierwszego okresu, t. j. od chwili zetknięcia się brył do chwili, w której wyrównają się ich prędkości, lub też do chwili ich rozejścia się.

nia; bądź powracają tylko częściowo; bądź wreszcie wcale nie zmieniają swojej odkształconej postaci. Bryły, które po uderzeniu się powracają do pierwotnej postaci nazywają zupełnie sprężystemi: inne zaś niezupełnie sprężystemi lub niesprę-żystemi.

W celu obliczenia ruchu uderzających się brył będziemy uważali je jako zmienny układ punktów, w którym działają tylko siły wewnętrzne, co do których już wiemy, że suma ich oraz suma ich momentów równa się zeru, a praca ich ze względu na odkształcalność brył, wogóle nie jest równa zeru; może ona być jednakże równą zeru w tym tylko szczególnym przypadku, o którym wspominaliśmy w końcu § 139-tego; t. j. w przypadku, w którym obydwie bryły w końcu drugiego okresu przybiorą pierwotną postać, i w tym tylko przypadku można będzie stosować do obliczeń ruchu zasadę zachowania energii kinetycznej. Jeżeli zaś obydwie bryły w końcu drugiego okresu nie zupełnie powrócą do pierwotnej postaci, wtedy do rachunku wprowadzimy wyraz pracy sił wewnętrznych, której wielkość jednakże będzie można obliczyć tylko drogą doświadczeń

144.    Określenia sposobów uderzenia się brył. Dwie bryły podczas uderzenia się stykają się z sobą cząstkami swych odkształconych powierzchni; dla uproszczenia jednakże rozpatrywań, przyjmiemy te cząstki jako punkty geometryczne, leżące na nieodkształconych powierzchniach uderzających się brył i nazwiemy je punktami uderzeń, a normalne do powierzchni odnośnych brył, wystawione w tych punktach nazwiemy osiami uderzeń. Na podstawie tych określeń przyjąć można, że osie uderzeń dwóch brył podczas ich uderzenia się wzajemnie się pokrywają.

Jeżeli środek masy bryły leży na jej osi uderzeń, to uderzenie takie nazwiemy środkowem, w przeciwnym razie mimośrodkowem; jeżeli zaś kierunek prędkości punktu uderzenia pokrywa się z kierunkiem osi uderzenia, to uderzenie takie nazwiemy prostem, w przeciwnym razie ukośnem. Uderzenie np. kuli o ścianę jest zawsze środkowem, środek bowiem kuli i jej punkt uderzenia leżą na osi uderzenia, lecz nie zawsze jest ono proste, nie zawsze bowiem kierunek prędkości punktu uderzenia pokrywa się z kierunkiem osi uderzenia.

145.    Uderzenie się brył proste i środkowe. Rozpatrzmy najprostszy

m- -i

s, !

Rys. 87.

przykład uderzenia się brył — prostego i środkowego. W tym celu weźmy pod uwagę dwie kule, o masach m₁ i w₂, poruszające się ruchem postępowym z prędkościami C| i c₂ w ten sposób, że środki ich pozostają podczas ruchu na jednej prostej. Przyjmiemy dla ujednostajnienia rachunku, że zwroty tych prędkości są z sobą zgodne; uderzenie się kul nastąpi wtedy,

gdy jedna z nich dogoni drugą, t. j. gdy np. cą > c₂; uderzenie takie, w myśl danych określeń, jest środkowe i proste; zadanie polega na obliczeniu prędkości tych kul vi i v₂, jakie one posiadać będą po wzajemnem się uderzeniu. Zadanie w ten sposób postawione rozpada się na dwa zadania: na. zadanie, polegające na obliczeniu prędkości, jakie posiadać będą kule w chwili wyrównania swych prędkości, t. j. w chwili, w której przestają na siebie oddziaływać; i na zadanie, polegające na obliczeniu prędkości w chwili ich rozejścia się. Zadanie pierwsze odpowiada przypadkowi, w którym kule są z materyału niesprężystego; zadanie zaś drugie, gdy kule te są z materyału sprężystego.

Prędkości, które mamy obliczyć vx i v₂, przyjmiemy za dodatne, gdy zwroty mają zgodne z prędkościami cl i c₂. Ponieważ przyjmujemy wogóle, że podczas działania sił chwilowych, nie uwzględnia się działania sił ciągłych, równanie przeto ilości ruchu, § 200-tny, punktów tych brył w dowolnej chwili podczas ich stykania się jest następujący:

= 0,

d^{tnkvk)

dt

gdzie litery vk oznaczają prędkość punktów obydwóch brył; z równania tego po jego scałkowaniu otrzymamy:

(324)

l{mkvk) = stałej

Sumę tę wyobrazimy sobie rozdzieloną na dwie sumy; z których jedna będzie obejmować sumę ilości ruchu jednej kuli; druga zaś takąż sumę iloczynów kuli drugiej; a ponieważ przyjmiemy w tym przykładzie, że ruchy obydwóch kul są postępowe, suma przeto ï>(mkvk) dla każdej bryły będzie równą iloczynowi z jej masy i wspólnej tym punktom prędkości. Równanie przeto 324-te przekształci się na następujące:

(325)

ml vx -\-m₂v₂ — mx -f- m₂ c₂

Równanie to pozostaje w swej mocy dla prędkości brył w każdej chwili podczas ich stykania się; pozostają przeto w mocy tak dla uderzeń sprężystych, jak i niesprężystych; siły bowiem wewnętrzne, chociaż podczas stykania się brył, zmieniają swe wielkości, lecz zmieniają je jednocześnie w ten sposób, że wartości ich w każdej chwili są wzajemnie równe, niezależnie od tego, czy bryły są sprężyste czy niesprężyste.

146. Uderzenie się środkowe i proste brył niesprężystych. Jeżeli fizyczne właściwości uderzających się kul są tego rodzaju, że obydwie kule posiadają tylko pierwszy okres, t. j. że po nabyciu wspólnej prędkości, nie powracają do pierwotnej postaci, wtedy

vl = v₂ = v,

a po podstawieniu tych wartości w równanie 325-te otrzymamy:

(326)

m₁cx + m₂c₂

mx + m ₂

Z równania tego obliczymy przeto prędkość wspólną, jaką posiadają kule niesprężyste, po ich połączeniu się.

W szczególnym przypadku, w którym

my — m₂ = m,

prędkość po uderzeniu się kul:

c, + c₂

v —

t. j. prędkość wspólna jest w danym przypadku średnią arytmetyczną wielkością prędkości początkowych. Jeżeli zaś prędkości początkowe są równe, lecz posiadają zwroty przeciwne: t. j. jeżeli prędkość jednej bryły jest dodatną, drugiej zaś odjemną; to po podstawieniu w równ. 326-te :

⁼⁼ 'ïïii, c₂ — Cj ;

otrzymamy dla tego przypadku :

v = 0]

t. j. dwie kule niesprężyste o równych masach i prędkościach przeciwnych, po uderzeniu się pozostaną w spoczynku.

Wyników tych można było spodziewać się ze względu na symetryczność warunków danego zjawiska.

147. Stracona energia kinetyczna. Wynik tego ostatniego przypadku zwrócić powinien uwagę naszą na tę okoliczność, że po takiem uderzeniu się, ginie energia kinetyczna, jaką posiadają bryły przed ich uderzeniem się; wartość bowiem tej energii w danym przypadku przed uderzeniem wyraża się wzorem

2.

mx c\ ;

po uderzeniu się zaś wartość ta równa się zeru. Na okoliczność tę zwróciliśmy już uwagę w początku tych rozpatrywań; zaznaczając, że siły wewnętrzne wykonują pracę; stracona energia kinetyczna idzie właśnie na pracę odkształcenia brył uderzających się i na energie fizyczne, np. ciepło, powstające wskutek uderzenia. Znając przeto wogóle prędkość, a więc i energię kinetyczną brył przed i po ich uderzeniu się, obliczyć możemy ze straconej energii pracę sił wewnętrznych. W celu tego obliczenia uważać będziemy, jak poprzednio, obydwie uderzające się bryły jako jeden układ punktów i zastosujemy do tego obliczenia równanie 208-me, t. j. równanie równowartości pracy i energii kinetycznej; a ponieważ podczas uderzenia się brył nie uwzględniamy sił zewnętrznych; przeto wartość straconej energii kinetycznej, w pierwszym okresie uderzenia, którą oznaczymy literą TS} wyrazimy wzorem:

=    mk ck²) — S Q mk vk²).

W przypadku, gdy bryły poruszają się ruchem postępowym; jak to było w przytoczonym przykładzie, przekształci się to równanie na następujące:

Ts — (ią cx² -f m₂ c²) — \ (ml + m₂) v²\

a po podstawieniu wartości v z równania 326-ego i po uporządkowaniu wyrazów, otrzymamy

(ci c2)²

Ts =

(327)

mx m2 mx -(- m₂

Energia ta, jakieśmy to już powiedzieli, idzie na prace odkształcenia bryły i na energie fizyczne, pojawiające się podczas uderzenia się brył materyalnych.

W szczególnych przypadkach:

1)    jeżeli: m₁ = m₂ oraz cx = c₂ = c, to

oraz Ts = 0.

Wynik ten jest bezpośrednio zrozumiały z tego względu, że bryły, posiadające jednakowe prędkości, nie uderzą się, nie nastąpi przeto straty energii;

2)    jeżeli: c₂ — 0; oraz m₂ — co; to

v = 0, a = j mxcx².

Przypadek ten zachodzi, gdy np. katarem (Wj) zabijamy pal w ziemię (m₂ = oo). Energia stracona idzie w danym razie na przezwyciężenie sił oporowych, jakie stawia ziemia wbijanemu palowi. Opór ten, który oznaczymy literą W i przyjmiemy za stały, obliczymy z równania pracy:

W. s = — ^mxci²,

w którym s oznacza zagłębienie się pala, jakie powstaje wskutek uderzenia katarem. Jeżeli zmierzymy to zagłębienie w jakimś szczególnym przypadku, to dla tego przypadku:

Qh

W=

gdzie litera Q oznacza ciężar, katara, h—wysokość, z której on spada, a wyraz energii straconej \mxcx² zastąpiony jest wyrazem Qh. Dla praktycznych celów bierze się pod rachubę tylko część tej siły W, jaką obliczymy z tego wzoru; przebieg bowiem fizyczny zabijania pali nie jest zupełnie zgodny z uderzeniem nie sprężystem, jakieśmy tu przyjęli; nie cała przeto energia kinetyczna katara idzie na pogłębienie pala;

3) przyjmijmy następnie przypadek, w którym:

m₂ = oo, a c₂ s 0.

Przykładem tego przypadku jest uderzenie bryłą, np. kawałkiem gliny w wagon, będący w biegu. Po podstawieniu tych wartości we wzór 326-ty i 327 my, otrzymamy :

v — c₂; Ts = i ml (cx — c₂)².

Wyjaśnienie fizyczne tego zjawiska zechce czytelnik sobie unaocznić.

148. Uderzenie się środkowe i proste brył sprężystych. W poprzednim paragrafie rozpatrywaliśmy przypadek, w którym bryły materyalne po odkształceniu się poruszają się ze wspólną prędkością v. Obecnie rozpatrzmy przypadek, w którym bryły jeszcze podczas stykania się przybierają zupełnie lub niezupełnie pierwotne postaci. Zjawisko to wyrazimy matematycznie w ten sposób, żę stracona na odkształcenie brył energia kinetyczna zupełnie lub niezupełnie powraca. Jeżeli energia ta zupełnie powraca, to nie mamy żadnej straty; energia przeto brył po uderzeniu się równa się w tym razie energii przed uderzeniem; inaczej mówiąc, zachodzi w tym razie zachowanie energii, które wyrazimy równaniem:

1 ) i m₁ vx² -f- | m₂ v₂² — k w*! cx² -J- i m₂ c₂\

Równanie to, łącznie z równaniem zachowania ilości ruchu, które pozostaje w mocy dla wszelkich uderzeń, t. j. równanie to łącznie z równaniem:

2) ?nlv₁ -j- m₂ v₂ = m₁cl 4- m₂c₂,

daje możność obliczenia obydwóch niewiadomych vx oraz v₂.

Sposób tego obliczenia uprościmy sobie, gdy napiszemy powyższe równania w następujący sposób:

m₁ (V — c²) = — m₂ (v₂² — c²) ; m₁(v₁ — Ci) —--m₂{v₂

^2) >

a po rozdzieleniu pierwszego przez drugie, otrzymamy równanie 1-go stopnia:

— v2 + c₂,

które łącznie z równaniem ilości ruchu przedstawia dwa równania pierwszego stopnia. Z tych dwóch równań obliczymy bezpośrednio:

.    . (328)

«i =

lub inaczej w innem zgrupowaniu:

«i =

ci ~    + 2 m2 C2

.    . (329)

(«H Ci_+ m₃ ca) -f m₂ (c2 — ci) Wj 4- m₂

Niewiadomą obliczymy, zastępując w tym wzorze vx przez v₂, mx przez m₃, Cj przez c₂ i—odwrotnie; podstawienia takie możemy uczynić, gdyż i równania 1-sze i 2-gie nie zmienią swych postaci, gdy zrobimy te podstawienia, a więc bezpośrednio z równania 328-go:

v₂ =

c₂ (ra₂ - mx) 4- 2 c,

mx 4~ w₂

lub w innej postaci

v₂ =

Szczególne przypadki: 1) Przyjmijmy:

(W&! c₁ 4-    c₂) 4- % (Cj. — c₂)

4- m2

.    . (330)

wtedy z wzorów powyższych obliczymy:

mx = m₃ = m

^2 = c\ ;

t. j. gdy masy uderzających się brył są równe, to ciała po uderzeniu się zamieniają swe prędkości.

Jeżeli przyjmiemy następnie oprócz tego, że

my = m₂, jeszcze że c₂ = 0,

wtedy :

vt = 0, oraz v₂ = c,,

co wyraża, że gdy jedna bryła przed uderzeniem jest w spoczynku, to przy równych masach po uderzeniu otrzyma ona prędkość bryły uderzającej, a bryła uderzająca pozostanie w spoczynku, co jest w zgodzie z poprzednim wnioskiem.

Wynik ten wytłomaczymy sobie fizycznie w następujący sposób, Bryła pierwsza, uderzając bryłę drugą, będącą np. w spoczynku, nadaje jej pewnej prędkości i zmniejsza wskutek tego swoją prędkość; co wyraża równanie zachowania ilości ruchu; przebieg ten trwa aż do chwili wyrównania się ich prędkości; od tej chwili zaczyna się okres drugi, polegający na tern, że bryły, powracając do pierwotnych postaci, wzajemnie się odpychają; co ze swej strony wywołuje ponowne zmniejszenie się prędkości bryły pierwszej, a powiększenie się prędkości bryły drugiej.

2) Przyjmijmy następnie, że m₂ = oo, wtedy ze wzoru 329-tego

=§5 = 2c₂ —cf,

a jeżeli przyjmiemy jeszcze, że c₂ — 0; wtedy vx = — c,.

Wysłowienie tego wniosku, oraz unaocznienie sobie fizyczne tego przypadku pozostawia się czytelnikowi.

149. Uderzenie się środkowe i proste brył niezupełnie sprężystych. W drugim okresie uderzenia się brył powraca często, zależnie od właściwości fizycznych uderzających się brył, pewna część energii straconej w pierwszym okresie; oznaczywszy tę część literą yj , wyrazimy wielkość powracającej energii wyrazem Ts. rj; straconą przeto energię podczas obydwóch okresów uderzeń wyrazimy wzorem

wartość tej energii powinna być równą różnicy energii przed i po uderzeniu; na zasadzie tego mamy równanie :

T₀-T=TS( l-Tj);

(331)

w którem T₀ i T oznaczają wartości energii kinetycznych przed i po uderzeniu.

Równanie to może być również uważane za bezpośredni wynik równania 208-ego, po podstawieniu w nie:

L w — — Ts. (1 —yj);

Lp—0;

wtedy bowiem otrzymamy równanie:

-T.(l-n) = T-T₀;

które jest jednakowe z równaniem 331-szem.

Dla przypadku uderzających się brył prosto i środkowo, t. j. gdy ruch ich jest postępowym, podstawimy w równanie 331-sze:

T=$m₁ v² + 4 m₂ v₂²;

T₀ = \mx    c₂²;

oraz wartość Ts z równania 327-ego, a otrzymamy równanie, które łącznie z równaniem zachowania ilości ruchu; t. j. z równaniem 325-tem, przedstawia dwa równania z dwiema niewiadomymi v₁ivi. Z równań tych obliczymy:

(m₁c₁ -f m₂ c₂) -f Ky] . m₂ (c₂ — cx)

mx -f m₂

oraz

.    . (332)

(%Ci + m2 Cj)    (Çi — c₂)

mx -f- m₂

150. Wyznaczenie spółczynnika yj. Spółczynnik yj wyznaczymy liczbowo, gdy wykonamy choć jedno doświadczenie z materyałami, dla których chcemy go wyznaczyć, a wtedy spółczynnik ten będzie można stosować do innych przypadków uderzeń brył z tychże materyałów. Doświadczenie takie należy wykonać w warunkach najdogodniejszych dla pomiarów. W tym celu przyjmiemy np. m₂ = oo oraz c₂ = 0, wtedy otrzymamy z równania 332-ego :

«i = — ct;

przypadek ten ma miejsce, gdy np. daną kulą uderzymy w dużą nieruchomą masę; wtedy odbije się ta kula z prędkością wskazaną tym wzorem. Jeżeli prędkość vx i cx zmierzymy, to obliczymy spółczynnik y] dla danego materyału.

W doświadczeniu tern unikniemy mierzenia prędkości i zastąpimy mierzeniem innej więcej dostępnej dla pomiaru wielkości. Mianowicie upuściwszy kulę ze znanej wysokości h na płytę poziomą, obliczymy jej prędkość w chwili uderzenia ze wzoru c₁ — V2gh. Kula ta po odbiciu się uniesie się do wysokości h', którą łatwo zmierzyć; prędkość przeto w chwili odbicia się obliczymy ze wzoru v= ]/ 2 gli'. Podstawiwszy te wielkości w równanie powyższe i pominąwszy znak odjemny; otrzymamy

h'

skąd

V2ghf = Vrl J2gh\

Doświadczalnie znaleziono dla uderzenia kuli o bandę bilardu y] = 0,55. Kula z kości słoniowej, upuszczona na płytę marmurową, podnosi się do f pierwotnej wysokości, czyli yj = §. W przypadku uderzenia się kości słoniowej o kość słoniową 7] = (f)¹; - stali o korek ^ = (f)a; — szkła o szkło y] = (H)¹; i wreszcie z określenia wynika dla ciał niesprężystych yj = 0, a dla ciał zupełnie sprężystych yj = 1.

151. Przykład uderzenia mimośrodkowego prostego. Na stole do-

skonale gładkim spoczywa pręt materyalny; w dowolne miejsce jego osi i prostopadle do niej uderza kula o masie m₁ ; będąca

Rys. 88.

w chwili uderzenia w ruchu postępowym, równoległym, do płaszczyzny stołu; rys. 88-my; obliczyć ruch pręta i kuli po uderzeniu.

Kula w danym razie doznaje uderzenia środkowego i prostego; pręt zaś również prostego lecz mimośrodko-wego. Prędkość kuli przed uderzeniem oznaczymy literą c1} prędkość jej po uderzeniu literą . Ruch pręta po uderzeniu określimy jego prędkością obrotową <p2 i prędkością v₂,K jaką posiada punkt zetknięcia się K pręta z bryłą; dwie bowiem te wielkości określają stan ruchu pręta.

Obliczmy najpierw ruch, w jakim znajdować się będzie kula, oraz pręt w końcu pierwszego okresu uderzenia; t. j. w chwili, gdy prędkości punktów zetknięcia się kuli i pręta wyrównają się. Ruch ten będzie jednakowy z ruchem, jakiby dane bryły posiadały, gdyby były zupełnie niesprężyste.

W danym razie może być zastosowany nie tylko równanie zachowania ilości ruchu, lecz również równanie zachowania momentu ilości ruchu; równanie zaś zachowania energii nie może być stosowane, ze względu na pracę sił wewnętrznych, jaka powstaje wskutek niesprężystości uderzenia. Oznaczmy literą v₂, s prędkość środka masy pręta, to równanie zachowania ilości ruchu obydwóch brył jest następujące:

1)    -j- m₂v2tS- m^cr,

równanie zaś momentów względem bieguna, obranego np. w środku masy pręta, jest następujące:

W tych dwóch równaniach dynamicznych niewiadomemi są wielkości pomiędzy któremi zachodzi jeszcze związek kinematyczny, porów, równanie 56-te na str. 76-ej T. I-ego:

3)    ^25 -ST - V2) « -j- S2 * ?2 )

oraz zachodzi związek, wyrażający warunek wyrównania się prędkości punktów zetknięcia się obydwóch brył; warunek ten wyrazimy równaniem :

4)    vl = v3tK.

Z tych przeto czterech równań obliczyć można cztery niewiadome. Wyrugujmy z tych równań np. wielkości v₂, s, oraz v₂, k\ w tym celu podstawimy ich wartości z równ. 3 i 4-tego w równanie 1-sze ilości ruchu, a otrzymamy równ.:

miUi -f- m₂ (Ui — s₂cp₂) = mlc₁, a po uporządkowaniu otrzymamy równ.:

(m, -f m₂). U! — m₂s₂. cp₂ = m₁c₁,

które łącznie z równaniem momentów, t. j. z równaniem 2-giem przedstawia dwa równania z dwiema niewiadomemi: ux i cp₂.

Ażeby obliczyć z tych dwóch równań vv pomnóżmy powyższe równanie przez 7S, równanie zaś 2-gie przez m₂s₂, a po dodaniu otrzymamy:

vx =

W podobny sposób obliczymy :

___m2S2²__

(wi -f m₂) I₂,s -f ąąs₂²

•Cf

(ł»i + m₂) I₂, s -j- m₂ s₂

Z równań tych obliczymy prędkość kuli i prędkość obrotową pręta po ich uderzeniu się. Prędkość środka pręta po uderzeniu obliczymy z równ. 3-go uwzględniwszy równ. 4-te. Poleca się czytelnikowi wyznaczenie bieguna chwilowego obrotu pręta.

Jeżeli uderzenie posiada drugi okres, t. j. jeżeli kula i pręt są np. zupełnie lub niezupełnie sprężyste, to równanie 4-te przestaje być w mocy, natomiast nabiera mocy równanie zachowania energii kinetycznej- Do obliczenia przeto ruchów brył zupełnie sprężystych, jakie one posiadają po uderzeniu się, mamy trzy przytoczone równania i równanie zachowania energii, które jest następujące:

4') 4 mx Ui² -f (4 m₂ u₂, s² + 41₂,, <p ₂²) = h c* . . . . (333)

Zadanie przete dynamiczne obliczenia ruchu tych brył, jeżeli są one sprężyste, jest już rozwiązane; pozostają tylko przekształcenia algebraiczne, mające na celu obliczenia szukanych niewiadomych.

Można uniknąć tych, zresztą dosyć żmudnych obliczeń, jeżeli sprowadzimy równania powyższe do postaci równań, wyrażających uderzenie środkowe; wtedy bowiem będziemy mogli skorzystać z równań 332-gich. W tym celu obierzemy jako niewiadome: prędkość vx orazv₂,K i wyrazimy v₂, s wielkością v₂,K\ co osiągniemy, rugując np. vx z równania 1-go i 2-go; w tym celu pomnożymy równanie 1-sze przez s₂ i odejmiemy je od 2-go, a otrzymamy:

.    . (334)

m₂ s₂

s

po podstawieniu następnie tej wartości w równanie 3-cie, otrzymamy:

^21 K — ^2) S •

1'+^

skąd

(335)

Podstawimy następnie tę wartość w równanie 1-sze, i otrzymamy:

I2, S

I₂, <? -f m₂ s₂²

Oznaczmy wyraz :

m₂

2» S

literą m₂ .

I₂,s-\-m₂s₂²

a po podstawieniu w równanie poprzednie, otrzymamy równanie:

. . (336)

mlvl -j- m₂'v₂, k = m₁cl.

Jest to równanie jednakowe pod względem swej algebraicznej postaci z równaniem 2-giem § 148-ego, gdy zastąpimy w tern ostatniem literę m.₂ literą m₂, określoną wzorem 336-em.

Sprowadźmy teraz równanie 333-cie do postaci równania 1-ego § 148-ego. W tym celu podstawmy z równania 334-ego wartość <p₂ w równanie 333-cie, a otrzymamy :

) =    Ci²;

m₂sS

Tg, S

wyraziwszy następnie v₂,a zmienną v₂,K z równania 335-ego, otrzymamy równanie zachowania energii kinetycznej w nast. postaci :

2> S

I₂, $ “j⁻ W₂ S₂

Zastosujmy podstawienie, wyrażone wzorem 336-tym, a otrzymamy równanie

(337)

-f hm₂’v₂,K² = ^mxcx² ;    ....

które co do swej postaci jest jednakowe z równaniem 1-szem § 148-ego.

Z równania przeto 329-ego i 330-ego lub z równań 332-ich, podstawiając w nie zamiast m₂ wielkość m₂, określoną wyrazem 336-tym, obliczymy bezpośrednio prędkości vx i v₂,K, tak dla uderzenia sprężystego jak i dla uderzenia niezupełnie sprężystego.

Wielkości m₂ możemy nadać pewne fizyczne znaczenie; mianowicie możemy tę wielkość uważać za masę pewnej bryły, która środkowo uderza się z bryłą mx i która po uderzeniu posiada taką samą prędkość postępową, jaką posiada po uderzeniu punkt zetknięcia się z kulą. Wielkość masy takiej bryły nazywają masą zastępczą danej bryły dla danego uderzenia.

W celu wytworzenia sobie dokładnego obrazu ruchu bryły obracającej się po uderzeniu, wyznaczymy jeszcze położenie bieguna chwilowego jej obrotu, jaki ona posiada po uderzeniu.

Oznaczywszy literą x₂ odległość tego bieguna od punktu zetknięcia się brył, rys. 88-my i wziąwszy pod uwagę, że kąt obrotu a więc i prędkość chwilowego obrotu jest jednakową w danej chwili dla wszystkich biegunów, porów, tom I-szy str. 75 oraz wzór 58-my na str. 90-tej, napiszemy równ.:

^2» * ⁼⁼⁼ (X2    • ?2 »

a podstawiwszy w nie z równ. 334-ego wartość cp₂, otrzymamy:

.    (338)

X2 - S2 4~

2) *

W₂ ^2

lub też inaczej, zważywszy, że moment bezwładności I₂,₀ pręta, względem bieguna obrotu

napiszmy:

-^2’ 0 - -^2> * 4“ ^2 ' ^2² >

(339)

x₂ —

^2? o W₂ S₂

Z równania 338-ego wynika, że x₂ > s₂, t. j. że biegun chwilowego obrotu i punkt uderzenia leżą po przeciwnych stronach środka masy. Z tegoż równania wynika też, że położenie tego bieguna nie zależy od sprężystości uderzających się brył; równanie bowiem 334-te jest wynikiem równania 1-go i 2-go, t. j. równania dynamicznego ilości ruchu i jego momentu; w które nie wchodzą siły wewnętrzne, a więc i—spółczynnik sprężystości; z czego znów wynika, że położenie bieguna chwilowego obrotu po uderzeniu bryły (wogóle mimośrodkowem) nie zależy od stopnia jej sprężystości, ani też od masy i prędkości bryły uderzającej, a jedynie zależy od położenia punktu uderzenia względem środka masy bryły uderzonej. Właściwość tę można wytłornaczyć sobie fizycznie w następujący sposób. Wyobraźmy sobie, że do punktu uderzenia danego pręta przyłożona jest siła P, która zastępuje działanie uderzającej kuli. Moment tej siły względem środka masy wywołuje obrót, którego prędkość rośnie z powiększeniem siły działającej, a to w myśl równania momentów, równanie 276-te, które po scałkowaniu otrzyma postać:

./ P • sa. d t = I₂,s. <p₂.

O

Zgodnie zaś z równaniem ruchu środka masy, prędkość tego środka rośnie również proporcyonalnie do wielkości siły P, gdyż pg równ. 273-ciego.

P. dt;

m₂ v₂,, =

a więc rośnie razem z wartością prędkości punktu K; która składa się z prędkości środka masy i prędkości obrotu.

Z proporcyonalności przeto prędkości punktów K i S danej bryły wynika, że w każdej chwili, podczas uderzenia, bryła dana obraca się około jednego i tego samego bieguna z różną tylko prędkością, zależną od wielkości siły uderzenia.

Z porównania wzoru 338-ego ze wzorem 291-ym wynika, że związek, jaki zachodzi pomiędzy punktem uderzenia a środkiem masy i biegunem chwilowego obrotu, jest taki sam, jaki zachodzi pomiędzy osią obrotu, środkiem masy i środkiem wahania. Z tego porównania wynika, że jeżeli dany pręt uderzymy prostopadle do jego osi w kierunku punktu 0, to punkt K będzie wtedy biegunem chwilowego obrotu.

Biegun ten czy też oś, przechodząca przez ten biegun i prostopadła do płaszczyzny ruchu, ma bardzo ważne znaczenie fizyczne. Punkty bowiem bryły, leżące na tej osi, pozostają w spoczynku podczas uderzenia bryły. Jeżeli przeto chcemy ażeby np. uderzenia, jakim podlegają pewne obracające się części maszyn, nie oddziaływały szkodliwie na osi obrotu, należy dobrać taki stosunek odległości punktu uderzenia i osi obrotu od środka masy, jaki wskazuje równ. 338-me; należy nadać tym częściom maszyn, za pomocą odpowiednich obciążeń, takie masy i takie momenty bezwładności, ażeby wielkości ich zaspakajały równ. 338-me. Odnalezienie tego środka jest w wielu razach bardzo ważne? np. przy pracy ręcznej młotem; każdemu bowiem uderzeniu młota odpowiada pewne położenie osi chwilowego obrotu; a jeżeli ta oś wypadnie nie w miejscu, w którem robotnik trzyma młot, to odczuje on silne uderzenie w rękę; praktyczne przeto władanie młotem polega również na uchwyceniu młota w miejscu, przez które przechodzi oś chwilowego obrotu.

W zadaniu powyższem jedna bryła się obracała, druga zaś była w ruchu postępowym; lecz sposób obliczenia, podany tu, może być zastosowany do przypadku, w którym obydwie bryły się obracają i w pewnej chwili wzajemnie się uderzają. Przy obliczeniu tego rodzaju przykładów znacznem uproszczeniem rachunkowem jest zastosowanie pojęcia masy zastępczej; możemy bowiem wtedy zadanie uderzenia się mimośrodkowego brył różnego stopnia sprężystości sprowadzić do takiegoż uderzenia środkowego.

152. Przyrząd Robins’a. Przyrząd ten jest przykładem uderzenia mimośrod-

P/f.

/i \

-t

11V,

kowego prostego, nie sprężystego i przeznaczony jest do mierzenia prędkości pocisków; prędkość ta bowiem jest tak znaczna, że bezpośrednio jej mierzyć nie można. Przyrząd ten składa się ze skrzynki, która napełnioną jest materyą, stawiającą znaczny opór przenikającej kuli. Skrzynka ta zawieszona jest za pomocą pewnej konstrukcyi na osi 2 poziomej, około której może się wahać jak zwykłe wahadło.

Rys. 89.

Pocisk dany, którego prędkość mamy obliczyć, skierowany jest poziomo i wpada do skrzynki, a wskutek oporu, jaki spotyka w nagromadzonej materyi, zatrzyma się w niej. Przyjmiemy dla uproszczenia rachunku, że zatrzyma się on w miejscu, znajdującem się w płaszczyźnie, przechodzącej przez oś obrotu i środek masy skrzynki. Skrzynka zawieszona pionowo odchyli się wskutek uderzenia od tego położenia o kąt, który oznaczymy literą a₀. Oznaczmy nieznaną prędkość pocisku, który uważamy za punkt materyalny, literą c₁ ; odległość kierunku tej prędkości od osi obrotu literą «₂ oraz literą m₁ jego masę; oznaczmy następnie moment bezwładności skrzynki

wraz z zawartością i z konstrukcyą względem osi obrotu—literą I₂,a ; masę jej literą m₂ i prędkość obrotową w chwili uderzenia literą <p₂ ; to wyrazimy równość momentów ilości ruchu po uderzeniu i przed uderzeniem względem bieguna, obranego w punkcie obrotu następującym wzorem:

z którego

c __ ^2, 4 ~j~ ^1 ał ¹    mx a₂

Z równania tego obliczymy prędkość pocisku, gdy zmierzymy prędkość obrotu wahadła w chwili uderzenia się z kulą; i w ten sposób zadanie zostaje rozwiązane.

Ponieważ jednakże bezpośrednie zmierzenie prędkości <p₂ przedstawia pewne trudności techniczne; zmierzymy przeto kąt największego odchylenia o₀, którego wielkość jest w ścisłym związku z prędkością początkową. W celu znalezienia tego związku, zastosujemy równanie równowartości pracy i energii kinetycznej; a zważywszy, że poruszająca się bryła po uderzeniu składa się ze skrzynki wraz z zawartością, z konstrukcyą zawieszenia i z kuli, napiszemy równanie:

— (•m₂gs₂ -f m₁ g a₂)( 1 — cos O — — 1 (J2> 4 -f m₁ a²) <p₂² ; z którego obliczymy, po odpowiedniem przekształceniu funkcyi trygonometrycznej:

?2

(340)

>*₂S₂ + W, tf-₂) <

I2; A «2³    ’

a po podstawieniu tej wartości w równ. 340-te, otrzymamy wartość prędkości kuli, wyrażoną wartością kąta odchylenia a₀:

cŁ = 2 sin ~ .

9 (m2 «2 + % »2) (4 i + % «2*)

• • (341)

w₁ a₂

Ze względów praktycznych starają się zwykle trafić kulą w skrzynkę w tern miejscu, ażeby oś wahadła nie doznała uderzenia. Wyznaczenie położenia takiego punktu jest możliwem, na zasadzie wzorów wyżej obliczonych, gdy przyjmiemy, że wahadło jest symetryczne względem płaszczyzny pionowej, w krórej porusza się środek jego masy. Ażeby przeto powyższy warunek zachować, należy, ażeby wielkość a₂ jako odległość kierunku prędkości kuli od osi obrotu, odpowiadała równaniu 339-emu; t. j. ażeby

a₂ =

m₂ s₃

Znając wartość a₂, możemy z tego równania oraz z równania 341-ego wyrugować I₂₎a; i otrzymamy dla danego przypadku:

m₂ s₂ -f- ml a₂

]/ g

1 «2

c₁ — 2 sin ~ .

153. Uderzenie środkowe ukośne. Przykładem tego rodzaju uderzenia jest uderzenie się dwóch kul, poruszających się ruchem postępowym w ten sposób, że ich środki pozostają w jednej płaszczyźnie. Kule te podczas uderzenia się uważać będziemy, jak poprzednio, za jeden układ zmienny, na który nie działają siły zewnętrzne, lecz tylko wewnętrzne.

(342)

Jeżeli literami cx i vl oznaczymy prędkości przed i po uderzeniu 1-szej kuli o masie mx ; a literami "c₂ i v₂ takież prędkości drugiej kuli o masie m₂, rys. 90-ty, to równanie zachowania ilości ruchu jest następujące :

mi ”1 + m2 v2 =miPiJT m2 C2

• (343)

mVU,

-/m₄6Ą

NF

e,

Rys. 90.

Równanie to posiada cztery algebraiczne niewiadome i przedstawia dwa równania algebraiczne; każdą bowiem z prędkości wyrazić można dwiema algebraicz-nemi wielkościami; a równanie samo dwoma równaniami algebraicznemu Nie wszystkie jednakże właściwości danego uderzenia wyrażone są przez powyższe równanie; z fizycznych bowiem warunków jest jeszcze znany kierunek siły chwilowej, działającej na każdą bryłę, a więc znany jest kierunek przyrostu ilości ruchu każdej z kul.

Oznaczmy siłę, działającą podczas zetknięcia się kul, literami N \ N', a na

piszemy:

dt

oraz

N' =

d (m₂ vf)

dt

Równania te możemy algebraicznie scałkować, kierunki bowiem wektorów prędkości podczas uderzenia nie się zmieniają. Oznaczywszy literą Ait okres czasu, w jakim te kule działają na siebie, napiszemy całki tych równań:

A t

oraz

= mx vt — mx c

fŃ.dt

(344)

. dt = m₂v₂ — m₂ c₂

Ponieważ kierunki sił N są znane, pokrywają się one bowiem z osią uderzenia, przeto przyrosty ilości ruchu każdej z kul są równoległe do tej osi. Ażeby wyrazić tę właściwość algebraicznie, weźmiemy pod uwagę, że rzuty tych przyrostów na prostopadłą do osi uderzeń, t. j. na styczną t, rys. 90-ty, do powierzchni sty-

kających się kul, równają się zeru. Zaopatrzywszy te rzuty wskaźnikami t, napiszemy równania tych rzutów:

1)    mxvx,t — m₂ clit= 0;

(345)

2)    — m₂c₂,t=0

Rzuty zaś tych równań na oś uderzenia, t. j. na normalną do powierzchni zetknięć da równanie algebraiczne:

— m₂ v₂

— m₂ c₂

m\ ,n -mxGx

które napiszemy w następującej postaci:

• . (346)

3)    mxvx,„ -j- m₂v₂,„ = m₁cVn -f-m₂c₂,„ ; . gdzie wskaźniki n oznaczają rzuty odpowiednich wektorów na oś uderzenia. Mamy przeto trzy równania algebraiczne z czterema niewiadomemi. Równanie czwarte otrzymamy, gdy uwzględnimy stopień sprężystości kul; w przypadku zupełnej sprężystości równaniem tern jest równanie zachowania energii kinetycznej :

4)    \mxvx² Ą- \m₂v₂l = \mxcx² \m₂c₂².

Równanie to po podstawieniu

vx² = vX)n²-\-vut²;

&12 == C1, n² H- Cl > ² •

^2² ^2> * H⁻ ^2» ^ 5

C₂ = c₂, w² -j— C₂, ² j i po uwzględnieniu równań 345-ych, przekształci się na następujące:

² + \m₂v₂,J — \mxcv² -\-^m₂c₂,n² . . (347)

4)

w, vx

Te cztery równania rozwiązują nasze zadanie. W celu unaocznienia sobie właściwości ruchu tych kul, porównamy równania 346 i 347-me z równaniami § 148-ego i przyjdziemy do wniosku, że rzuty na oś uderzenia prędkości środków tych kul są takie same, jakieby kule posiadały, gdyby uderzały się prosto z prędkościami, równemi rzutom na tę oś właściwych prędkości. W celu przeto obliczenia rzutów na oś uderzenia nieznanych prędkości, jakie powstają po uderzeniu, stosować można wszystkie wzory, wyprowadzone dla uderzenia prostego sprężystego lub nie zupełnie sprężystego; a następnie ażeby otrzymać właściwe prędkości, należy dodać do nich wektorowo prędkości styczne, obliczone z równań 1-go i 2-go.

Dla przykładu obliczmy ruch kuli nie zupełnie sprężystej, jaki ona otrzyma po ukośnem uderzeniu się o ścianę nieruchomą, gdy ruch jej przed uderzeniem był postępowy. Jeżeli kulę uderzającą nazwiemy bryłą pierwszą, ścianę zaś—-bryłą drugą, to masę i prędkości kuli uderzającej oznaczymy literami mx, cx i vx, a te wielkości dla ściany — literami m₂ i c₃. W danym przypadku mamy:

m₂ — oo;

c₂ ::= 0.

Prędkość normalną, jaką kula posiada po uderzeniu, obliczymy bezpośrednio z równania 332-ego :

vx,„ = - y y] . Ci,n;

z równań zaś 345-ych

¹

mlv₁.s₂-{-r?2I2tS=mxc₁s₂,

w którem s₂ oznacza odległość punktu uderzenia od środka masy pręta, a /₂,s — moment bezwładności pręta względem osi, przechodzącej przez jego środek i prostopadłej do płaszczyzny ruchu.

vx,t — Q\, t ;

przeto

v₁ = Vt\. cXtnsĄ- cht²

Kąt, jaki tworzy kierunek prędkości cx z osią uderzeń, oznaczymy literą a1 i nazwiemy go kątem uderzenia; kąt zaś, jaki tworzy kierunek prędkości vt z tą samą osią, oznaczymy literą ßi i nazwiemy go kątem odbicia; kąty te przyjmiemy za dodatne, jeżeli leżą po jednej stronie osi uderzenia. Kąt odbicia obliczymy ze wzoru :

tgßi =

Vl,t

ci.t

— Vltn

V 7] Cl,n '

z którego wynika, że kąt odbicia leży po przeciwnej stronie osi uderzenia i powiększa się ze zmniejszeniem się sprężystości brył.

W przypadku uderzenia zupełnie sprężystego 7] — 1 ; a wtedy :

a że

przeto w tym przypadku:

tg Pi = -

ci,*

tg «i ;

z czego wynika, że kąt odbicia się kuli zupełnie sprężystej o ścianę nieruchomą równa się kątowi uderzenia ze znakiem przeciwnym.

W przypadku uderzenia zupełnie niesprężystego: vj = 0, a więc ,« =: 0 j

tg Pi = = ~ ;

oraz

t — C\,t\

ß₁ = — 90°.

a więc

Ze wzorów tych wynika, że kula niesprężysta uderzona ukośnie o ścianę nieruchomą, nie odbije się od niej; lecz będzie miała dążność do poślizgnięcia się po niej; posiada bowiem po uderzeniu prędkość styczną.

154. Uderzenie się brył z uwzględnieniem tarcia. Poślizgnięcie się bryły, wyżej opisanej, wzdłuż ściany, wywołuje siłę tarcia pomiędzy bryłą a ścianą; pojawienie się przeto tej siły wpływa na ruch bryły, jaki powstaje po uderzeniu. Wogóle w przypadku ukośnego uderzenia się dwóch brył, prędkości ich styczne vx,t i v2tł posiadają różne wartości; punkty przeto ich zetknięć doznają pewnego względnego przesunięcia się; a przesunięcie to jest powodem powstania siły tarcia. Chociaż siła tarcia działa w tym razie bardzo krótko, wartość jej jednakże może być bardzo znaczną; siła bowiem normalna, pochodząca od uderzenia się brył, jest właśnie wskutek krótkotrwałości uderzenia bardzo znaczną.

W zadaniu powyższem nie uwzględniliśmy siły tarcia; dla ściślejszego jednakże wyrażenia ruchu brył materyalnych po ich uderzeniu się, należy wprowadzić tę siłę do obliczeń. Dla przykładu obliczmy ruch kuli po uderzeniu się jej o ścianę nieruchomą z uwzględnieniem tarcia.

W danym razie oprócz siły N działa jeszcze, podczas zetknięcia się kuli ze ścianą, siła tarcia W, która, działając stycznie do kuli, wywołuje jej obrót około jej środka i wywołuje ruch tego środka. Ruch kuli przed uderzeniem określimy pręd-kościąc środka jej masy i prędkością obrotową w; po uderzeniu zaś, ruch jej określimy prędkością* tegoż środka i prędkością obrotową <p około tego środka; ażeby przeto określić ruch kuli po uderzeniu, należy obliczyć wielkości v i 9.

Na kulę podczas uderzenia działają przeto dwie siły: siła N normalna do powierzchni zetknięć i siła W styczna do tej powierzchni; rys. 91-szy.

Równanie przeto dynamiczne ruchu środka masy kuli jest następujące:

d (mv) m

skąd stosownie do przyjętych oznaczeń:

77iv mc ;

f(N+W)dt =

Rzuty tego równania na oś uderzenia n i na oś styczną t\ dają dwa równania algebraiczne:

(3

A ł

I¹

/il)t

N. dt — mvn — mcn;

-- »Yt,

At

UJ

W .dt=mvt—mct. (349)

Podstawmy następnie w to równanie wartość :

W=^N;

a po wyrugowaniu z obydwóch powyż-

Rys. 91.

At

szych równań wyrazu j N.dt, otrzymamy związek :

O

{x (m vn — m c„) = m vt — m ct ; który jest zresztą bezpośrednio zrozumiałym; jest on bowiem zastosowaniem równania [X N = W do sił chwilowych; które się mierzą przyrostami ilości ruchu.

Ażeby wprowadzić do rachunku stopień sprężystości materyału podczas uderzenia, należy zastosować zasadę równowartości pracy i energii kinetycznej i rachunek w ten sposób przeprowadzić, aby módz skorzystać ze wzorów, wyprowadzonych w poprzednich rozpatrywaniach dla uderzenia prostego i środkowego; znacznie to bowiem ułatwi obliczenie. W celu zastosowania równania dynamicznego pracy przyjmiemy, że kierunek wypadkowej sił sprężystości, t. j. sił wewnętrznych, jakie powstają podczas zetknięcia się kuli ze ścianą, jest prostopadły do ściany; wobec czego praca siły tarcia idzie na zmniejszenie tylko prędkości stycznej; praca zaś sił sprężystości, t. j. sił wewnętrznych idzie na zmniejszenie prędkości normalnej. Dla obliczenia przeto zmian prędkości normalnych, czy to uwzględniając tarcie, czy też nie uwzględniając go, równania 332-gie pozostaną w swej mocy. W danym przeto przykładzie vn obliczymy z tych równań, podstawiając w nie, zgodnie z warunkiem danego zadania: m₂ = co, oraz c₂ = 0; i otrzymamy

v„ —    ^ fj. cn,

a po podstawieniu tej wartości w równanie 349-te, otrzymamy :

. . (350)

. . (351)

Vt — Ct — [X (1 + V ri) cn

(352)

Trzeciem równaniem algebraicznem jest równanie momentów; rys. 91-szy:

d(I,j) .

W.r =

dt

w którym f oznacza prędkość obrotową kuli w dowolnej chwili podczas uderzenia.

Ażeby wzory te zastosować do szczególnych przypadków, należy zwrócić uwagę na zachodzące w rzeczywistości zwroty prędkości i sił; i—zaopatrzyć je znakami odpowiadającymi, przyjętym znakom na rys. 91-szym.

Ważny wpływ wywiera na ruch kuli po uderzeniu zwrot siły tarcia; który należy ściśle określić przed napisaniem równania momentów. Zwrot tej siły jest zawsze przeciwny zwrotowi prędkości punktu zetknięcia się kuli z płaszczyzną; ażeby przeto określić zwrot siły tarcia, jaka wystąpi podczas uderzenia, należy zbadać jaki zwrot posiada prędkość tego punktu w chwili uderzenia. Prędkość tego punktu składa się z prędkości ruchu postępowego kuli i prędkości, wynikającej z jej obrotu około środka. Prędkość tę stosownie do przyjętych na rys. 91-szym oznaczeń wyrazimy wzorem :

vK = ct w . r ;

w którym r oznacza promień kuli, a ct rzut prędkości środka masy kuli na styczną do niej w punkcie K\ od znaku przeto wyrazu, stojącego po prawej stronie tego równania, zależy zwrot siły tarcia a więc i jej momentu. Jeżeli co jest dodatną wielkością, zgodnie z przyjętemi oznaczeniami na rys. 91-szym: t. j. jeżeli zwrot prędkości punktu, jaka powstaje podczas obrotu kuli, zgodny jest ze zwrotem rzutu na styczną prędkości tegoż punktu, jaka powstaje podczas ruchu postępowego kuli; to przy wszelkich wartościach tych prędkości, wartość wyrazu

Z równania tego napiszemy:

At

J W.r.dt = I,9 0

po podstawieniu w nie z równania 349-ego :

Js w;

At

/’

W. dt = m vt — mct\

a przyjąwszy, że podczas uderzenia r jest stałe, otrzymamy:

rm (vt — Ci) = Is (cp — co) ;

po podstawieniu zaś z poprzedniego wartości vt, otrzymamy:

—    (1 -j- V rj ) r m cn — Is («p — o>) ;

skąd

<p = a> — {i (1 -f ^tj) Kąt odbicia się kuli obliczymy ze wzoru tgß = ^

rm

. . (353)

1 -j- ïj

V»

y 7]

ct + w . r > 0.

Jeżeli zaś zwrot obrotu będzie przeciwny zwrotowi tego rzutu, to znak prędkości w będzie odjemny; i dla pewnych wartości może nastąpić przypadek, w którym

ct — <o r < 0 ;

r rn

• cn

Is

i:?

tgß

Ze wzorów tych wynika, że wartość prędkości obrotowej cp po uderzeniu oraz kąta odbicia jest mniejsza od takichże wartości, gdy nie uwzględnimy tarcia; co się tłomaczy tern, że siła tarcia działa w danym razie przeciw początkowej prędkości stycznej ct; wskutek czego prędkość tę zmniejsza oraz wywołuje moment przeciwny obrotowi kuli. Przyjęty warunek ct -f- w . r > 0 zachodzi również wtedy, gdy obrót kuli jest przeciwny, przyjętemu w obliczeniu powyższem, i gdy wartość bezwzględna prędkości tego obrotu:

ct /•

Równania ruchu po uderzeniu w przypadku, w którym początkowa prędkość obrotu jest przeciwną wskazanemu na rys. 92-im obrotowi, otrzymamy ze wzorów powyższych po podstawieniu w nie: w = — w. Ruch takiej kuli po uderzeniu różni się od ruchu kuli w poprzednim uderzeniu tern, że prędkość obrotowa kuli po uderzeniu zwiększa się. Co jest również bezpośrednio zrozumiałem, w danym bowiem razie siła tarcia wywołuje moment, którego zwrot jest zgodny ze zwrotem obrotu początkowego.

Dla przypadku, w którym:

ct — w . r < 0 ;

otrzymamy odnośne wzory ruchu po uderzeniu; gdy podstawimy we wzory 353-cie; porówn. rys. 93-ci:

a wtedy siła tarcia wywoła obrót kuli o zwrocie przeciwnym w stosunku do poprzedniego. Przy obliczaniu przeto — z uwzględnieniem tarcia — ruchu kuli, jaki ona posiadać będzie po uderzeniu się, należy rozróżnić te trzy przypadki. Rozpatrzmy najpierw przypadek,

w którym

Ct-f <o • r > 0;

a kula uderza w ścianę w sposób, jaki wskazuje rys. 92-gi. Równanie ruchu kuli, które oparte są na znakowaniu, po-danem na rys. 91-szyin, po uderzeniu się o ścianę, otrzymamy po podstawieniu w powyższe wzory; które oparte są na znakowaniu, podanem na rys. 91-szym

co

U)

Cn — cn ; przeto mamy:

oraz

Rys. 92.

vn — Vtj . c.„;

Vt — Ct — (J. (1 -j- y ) • cn ;

cn — cn,

co = — co

oraz

mamy przeto dla tego przypadku:

^    - Cny

cp ₌ — co-f u. (1 + Kt))

. c„.

rm

• Is

Wypowiedzenie tych wzorów, porównanie z poprzednimi oraz bezpośrednie

objaśnienie dynamiczne pozostawia się czytelnikowi.

W trzecim przypadku, gdy

Ci + (» r = 0 ;

przesunięcia punktów zetknięcia się nie zachodzi; tarcie przeto nie występuje i do obliczenia ruchu w tym przypadku stosować można bezpośrednio wzory na uderzenie bez tarcia; lub też we wzory powyższe należy podstawić {A = 0.

07

Rys. 93.

155. Przykład obliczenia ruchu brył układu o dwóch stopniach swobody. Mechanizmy, opisane w §218-tym tomu I-ego i w §§ poprzednich tego tomu, przedstawiają układy brył o jednym stopniu swobody; jedno przeto równanie dynamiczne wystarczało do obliczenia ich ruchu lub warunków równowagi. Obliczenie zaś ruchu brył układów o wielu stopniach swobody przedstawia wogóle bardzo znaczne trudności matematyczne; otrzymujemy bowiem stosownie do zadania dwa lub więcej wogóle jednoczesnych równań różniczkowych wyższych rzędów z tyluż niewiadomemi: z których zmienne nie zawsze dają się wyrugować i których całki nie zawsze dają się wyrazić zwykłemi funkcyami. W technice jednakże spotykamy się nieraz z takimi układami brył; w celu przeto zbadania ich ruchu, upraszczamy te układy, wprowadzając do rachunku różne założenia; stosownie do szczególnych warunków, w jakich odbywa się dany ruch.

Jako przykład obliczenia ruchu takich brył obliczymy tutaj ruch tak zwanego, wahadła podwójnego płaskiego. Wahadło to składa się z dwóch sztywnych brył materyalnych, z których jedna obraca się około osi nieruchomej poziomej; druga zaś około osi, sztywno związanej z bryłą pierwszą i równoległej do osi poprzedniej. W celu ułatwienia rozpatrywań ruchu tych brył, wyobrazimy je sobie w postaci figur płaskich materyalnych, poruszających się w płaszczyźnie pionowej. Jedna z tych figur obracać się przeto będzie około bieguna nieruchomego A, porówn. rys. 94 ty; druga zaś około bieguna B sztywno związanego z figurą pierwszą, a więc około bieguna ruchomego; przytem przyjmiemy dla ułatwienia rachunku, że biegun ruchomy leży na przedłużeniu prostej, łączącej biegun nieruchomy A ze środkiem St masy bryły pierwszej; przyjmiemy następnie, że siłami poruszającemi te bryły są ich ciężary QliQ₂.

Niech litery ml i m₂ oznaczają masy tych figur; St i S₂—środki ich mas; i s2 odległość tych środków od odpowiednich tym bryłom biegunów obrotu; r₁ odległość pomiędzy biegunami obrotów; następnie litery a i ^ niech oznaczają kąty,

jakie tworzą w pewnej chwili przedłużenia prostych i s₂ z osią pionową; a litery A i B— siły odporowe, jakie występują w biegunach obrotów A i B.

Układ ten posiada dwa stopnie swobody; znajomość bowiem kątów o i ty jest niezbędną i wystarczającą do wyznaczenia położenia a więc i ruchu tych figur na płaszczyźnie. Zadanie polega na obliczeniu ruchu tych brył, gdy je odchylimy od położenia pionowego; oraz na obliczeniu siły odporowej, występującej w nieruchomym przegubie A i siły wewnętrznej, występującej, w przegubie ruchomym B.

W zadaniu tern jest przeto sześć niewiadomych algebraicznych: cztery rzuty dwóch nieznanych sił odporowych A i B i dwa kąty, określające położenie a więc i ruch tych brył w każdej chwili.

Do obliczenia tych niewiadomych mamy sześć równań algebraicznych; każdą bowiem z tych figur uważać będziemy, po przyłożeniu do niej sił odporowych A i B— za swobodną; i napiszemy dla każdej z nich po trzy równania dynamiczne w postaci algebraicznej.

W celu uniknięcia zawiłych rachunków, powinniśmy się starać w ten sposób zestawić równania dynamiczne, ażeby w każde z nich wchodziła najmniejsza ilość niewiadomych. Znacznego również uproszczenia dozna obliczenie, jeżeli obliczymy np. najpierw ruch brył, a następnie siły odporowe; co osiągniemy możliwie bezpośrednio, gdy zestawimy takie dwa równania dynamiczne, któreby były wolne od sił odporowych; z nich bowiem obliczymy bezpośrednio spółrzędne położenia w funkcyi czasu; a gdy obliczymy już ruch tych brył, zestawimy następnie pozostałe cztery równania algebraiczne, w które wchodzić będą siły odporowe i starać się przytem będziemy, ażeby w każde z tych równań wchodziła również najmniejsza ilość niewiadomych.

AJ

c.

\A

s;

>-.Qi    ,

'!■ "-*?

tv

-iv

-B

90“

:x+b

Rys. 94.

łty.t

90°

'ty'-!"³

Rozwiązanie przeto tego zadania można wykonać w następujący sposób: do bryły l-szej przyłożymy siły odporowe A IB i uważać ją będziemy za swobodną. Jako równanie jej ruchu napiszemy równania momentu ilości ruchu względem bieguna obranego np. w A. Oznaczywszy literą ty, 4 moment bezwładności bryły 1-ej względem bieguna A, napiszemy na zasadzie wzoru 276-go równanie to w postaci wektorowej:

y5.rt-fy" *! =

d (ty i, ■ ?i)

dt

w którem <pt oznacza prędkość kątową bryły l-szej.

Mechanika teoretyczna. Tom II. Część 2-ga.

W celu wyrugowania z tego wzoru siły odporowej ß, napiszemy równanie dynamiczne środka masy bryły 2-ej. Na bryłę tę działa siła B ze zwrotem odwrotnym poprzedniemu i siła Q₂ ; równanie to jest następujące:

-B-\-Q₂ = m₂ p2s;

w któremuś oznacza przyśpieszenie środka masy bryły 2-ej. Zrównania tego obliczymy wielkość B, a po jej podstawieniu w równanie poprzednie, otrzymamy równanie ruchu, wolne od wielkości sił odporowych, równanie to jest następujące:

m,P2,s) ."i + v Q\ • "i =

W równanie to jednakże wchodzą jednocześnie dwie dotychczas nieznane wielkości cpj i psi2, których wartości należy wyrazić obranemi spółrzędnemi a i cp.

W tym celu podstawimy najpierw w to równanie

V("₂

dt

.    . (354)

?1 = —

następnie wyobrazimy sobie wyraz Y m₂p₂,s. rŁ, jaki posiadamy w tern równaniu, jako moment statyczny względem bieguna A wektora m₂p2)S, który posiada punkt przyłożenia w B. Ażeby zaś wyrazić wektor "2iS wielkościami o i <j>, należy przede-wszystkiem wyrazić ruch bryły drugiej temi wielkościami. W tym celu przyjmiemy, że ruch tej bryły składa się z ruchu obrotowego około punktu B, i z ruchu postępowego jaki ten punkt posiada, porówn. § 65-ty tomu I-go; przyśpieszenie przeto ps,2, składa się z .przyśpieszenia pW} jakie posiada środek masy bryły drugiej pod

czas jej obrotu około bieguna B, i z przyśpieszenia pu unoszącego, wspólnego wszystkim punktom tej bryły i równego przyśpieszeniu punktu B\ czyli przyjmiemy, że

P2, S -Pw ~f~ Pu •

W celu ułatwienia rachunku rozłożymy przyśpieszenia te na normalne i styczne, porówn. rys. 94-ty tak, iż

P2,s- (Ptv,n~\~ Pw,ł ) + (Pu,n “j“ Pu,P-

Ażeby przeto obliczyć wyraz Y m₂p^s. r₁, wyrażający moment względem bieguna w A wektora m₂ps,₂ z punktem przyłożenia w B\ wyobrazimy sobie że te cztery składowe wektory przyłożone są do punktu B, porówn. rys. 94-ty, zrzutujemy je na prostopadłą do ramienia r₁₅ i obliczymy moment sumy tych rzutów; po obliczeniu tych momentów i po podstawieniu ich wartości w równanie 354-te, przedstawi się to równanie w postaci następującej:

Q₂.rl. sin a — m₂r₁. [p

wf n

. śin (<!>'—o) ■ cos (<l> —a) -PuA +

d²^' dt³ ’

-j- Qi. s₁ . sin o — — Ih

a po podstawieniu wartości przyśpieszeń, które odpowiednio do danych określeń, posiadają następujące wartości :

Pu, n Tx •

d^\\

dt

; Pw, t — $2 •

da\2 dt! ’

. . (355)

aj &

otrzymamy równanie:

Qz .r₁. sin o — m2.Ti.S2.

I I) .sin(<|i — a) + m₂.r,.s₂

d² <{j    .

.__.cosW_a)+

+ w₂ rx².

c?²o

fÇj.Si.sin c = — IlA .

d² a dt²

i wreszcie po uporządkowaniu podług pochodnych: d²o ' dt²

w₂ r,²)

dt²

— m₂ s₂ rx. sin (<|» — o).

\²

dt

-j- (mŁ Si -j- m₂ rx) g . sin o = 0 Jest to jedno równanie ruchu tych brył, wolne od sił odporowych; drugie takież równanie zestawimy, gdy do bryły drugiej przyłożymy siłę — B i Q₂ i obliczymy równanie momentów względem bieguna, obranego w B\ w ten sposób bowiem otrzymamy równanie wolne od tej siły odporowej. Do tego obliczenia zastosować można równanie momentów ilości ruch w postaci równ. 274-tego; lub też w postaci równania 275 tego. Ponieważ w równanie 356-te wchodzą wielkości przyśpieszeń, przeto zastosujemy równanie 274 te; i w tym celu określimy przyśpieszenia punktów bryły 2-ej, jako złożone z ruchu obrotowego około punktu B i z ruchu postępowego, jakie posiada tenże punkt; przyśpieszenie przeto każdego jej punktu składa się

(356)

z przyśpieszenia ruchu postępowego pu i z przyśpieszenia, jakie powstaje podczas ruchu obrotowego; przyśpieszenie to wyobrazimy sobie w postaci przyśpieszenia dośrodkowego p„tn i stycznego pw, t ■ Suma przeto momentów względem B iloczynów z mas punktów i z ich przyśpieszeń, jakie powstają podczas ruchu postępowego, wyrazi się wzorem

Y m₂ pu . s₂ ;

suma zaś momentów iloczynów z mas i przyśpieszeń oddzielnych punktów, jakie powstają podczas ruchu obrotowego, wyrazimy wzorem

ä'h

I%B' dt

w którem <p₂ oznacza prędkość obrotową bryły drugiej a której pochodną wyrazimy wzorem

przednio:

dy₂_

dt    dt² '

Równanie przeto momentów bryły 2-giej względem B jest następujące:

Y g₂. “ = V m₂p <s7 — I W celu przekształcenia tego równania na algebraiczne, rozłożymy, jak po-

Pu -Pu, n ~j~ Pu, ł ^

d²~

dt²

(357)

a po przyłożeniu tych wektorów składowych do punktuj, jak wymaga iloczyn wektorowy wzoru powyższego i po obliczeniu ich momentów względem B, otrzymamy zamiast poprzedniego równania—następujące:

(wf'⁸- sm(ł-o)-

m₂ g . s₂. sin ty = — m₂ r₁

d² o

- ri. ^2- • s₂. cos — o) - 4ö .

i wreszcie po uporządkowaniu względem pochodnych:

d²a

dt²

7^2 s₂ . /j . cos (<J> — o).

dt²

r d₂, b •

d² ty

Jrm.₂s₂.r₁ .sin (<|> — s). (-^-j -f

(358)

Jest to drugie równanie dynamiczne, które łącznie z równ. 356-tem przedstawia dwa równania algebraiczne różniczkowe drugiego rzędu z dwiema zmiennemi o i ty.

Do równań tych, równ. 356-te i358-me, które są wolne od sił odporowych, można dojść jeszcze inną drogą; więcej bezpośrednią. W tym celu należy uważać dany układ dwóch brył za układ zmienny, w którym występują siły wewnętrzne a między niemi i siły ±B’, a że suma momentów wogóle sił wewnętrznych równa się zeru; przeto obrawszy biegun momentów w A i zestawiwszy równanie momentów obydwóch brył względem tego bieguna, otrzymamy bezpośrednio równanie ruchu wolne od sił + B i od siły A. Do tego obliczenia zastosujemy równanie momentów w postaci równania 274-tego. Sumę momentów iloczynów z mas punktów i z ich przyśpieszeń rozbijemy na dwie sumy: na sumę momentów tych wektorów bryły pierwszej i na takąż sumę bryły drugiej. Suma tych momentów bryły pierwszej wyrazi się bezpośrednio wzorem

- Ib A •

+ m₂ g . s₂. sin ty = 0.

d²o dt2 ;

suma zaś tych momentów bryły drugiej wymaga pewnych omówień. Przyjmiemy, jakeśmy to wyżej uczynili, że przyśpieszenie każdego z punktów tej bryły składa się z przyśpieszenia ruchu postępowego równego przyśpieszeniu punktu B, i z przyśpieszenia ruchu obrotowego, jakie każdy punkt tej bryły posiada podczas obrotu około punktu B. Sumę momentów iloczynów z tych przyśpieszeń i z mas, względem bieguna momentów, obranego w B, wyraziliśmy już prawą stroną równania 357-go; ażeby zaś napisać wyraz momentów tych wektorów względem bieguna, obranego w A, zastosujemy wzór 123-ty tomu I-go; i w tym celu wyobrazimy sobie wszystkie wektory mkpk bryły drugiej przyłożonemi do punktu B, a suma ich momentów lub moment ich wypadkowej, względem bieguna w A, łącznie z momentem tych wektorów względem bieguna w B jest szukaną sumą mkpk. rk. Zważywszy następnie, że dla bryły drugiej, w myśl równania 193-iego tego tomu

2 (mkpk)₂ = m₂ p₂,s-,

otrzymamy równanie momentów całego układu względem bieguna w A:

d²ty . . . (359)

V Qy. at -j- V Q₂. (r, + «a) = — h a ■    y m^u .s₂ — I,

+ V mp*,* • “1......

Drugiem równaniem wolnem od sił wewnętrznych jest równ. 357-me.

Ażeby utożsamić równ. 359-te z jednem z poprzednich, odejmiemy od równania 359-go równ. 354-te, a otrzymamy równ. 357-me. Ażeby obliczyć siłę odporową A i siłę wewnętrzą B, wyjdziemy z założenia, że ruch brył jest już znany z poprzednich obliczeń (co do metody tej porówn. § 51-szy); a z równań ruchu środka mas danych brył obliczymy te siły.

Równania te dla bryły 1-szej i bryły 2-giej po uczynieniu ich swobodnemi są następujące:

“-f ™-f m₁ g = ml ph,\

— B-\-m₂ g =m₂p₂,t\

z których obliczymy szukane wielkości. Z równania np. drugiego obliczymy:

— B = m₂ p₂,₈ — m.₂ g ;

a po podstawieniu tej wartości w równanie pierwsze, otrzymamy:

A = ml phs -f m₂ p₂,s — g — m₂ g.

Równanie to możemy również bezpośrednio otrzymać, stosując równanie ruchu środka masy do całego układu zmiennego; wtedy bowiem napiszemy równanie:

A^rmig-\-m₂g = m₁phs + m₂p₂,s;

które jest jednakowe z poprzedniem. Rzutując te równania na obrane osi spół-rzędnych i podstawiwszy wartości przyśpieszeń w funkcyi czasu, obliczymy rzuty sił odporowych także w funkcyi czasu.

156. Analiza równań ruchu. Otrzymane jednakże równania, równ. 356-te i 358-me, nie dają się całkować, choćby tylko z tego względu, że nie można z nich wyrugować zmiennej a lub <j>. W celu przeto zbadania choć w przybliżeniu—ruchu, wyrażonego takiemi równaniami, należy je uprościć, korzystając z pewnych szczególnych właściwości ruchu danego układu. Weźmiemy np. pod uwagę przypadek, w którym bryły dane wskutek pewnych warunków zadania odchylają się od pionu o bardzo małe kąty; a wtedy przyjąć można, że

sin o a;

COS (ó — a) 1 ;

sin <|> ^ <(>;

oraz, wobec małych prędkości, jakie w tych warunkach występują, przyjąć jeszcze można, że

do\³

■ — 0

dt j — ’

oraz

dt

Po podstawieniu tych wartości w powyższe dwa równania, 356-te i 358-me, przekształcą się one na następujące:

d² a

(hi + m₂ rx²).

dt²

f m₂ s₂.rx.

d²Ą

dt²

+ (% Sj + ą rj). fir.o=0;

(BJ_ dt²

które są równaniami liniowemi drugiego rzędu, jednorodnemi, z dwiema jedno-czesnemi zależnie zmiennemi i ze stałymi spółczynnikami.

d²a

m₂ s₂rt

dt²

-f m₂ g. s.₂. <|» = 0 ;

. . (360)

w których:

C - B i

f — m₂ ■ s₂. g. .    .

. .    (363)

Dla skrócenia i większego uwydatnienia charakteru tych równań napiszemy je w następujący sposób:

d²o

a-~dW + b-

IM , "Ki

^ be

-o-

(361)

d² o

d²ty

dt²

dt²

f M = 0;

. (362)

a = IuA-\-m₂r²\ b = m₂s₂rt; e {mx sx 4- m₂ rj . g ;

Ażeby z tych równań otrzymać jedno równanie z jedną zmienną, np. ze zmienną o, wyrugujemy zmienną <J>, i w tym celu obliczymy z 361-ego:

d² ty

dt²

a d²c5 ô * <^² ’

o* d² o i

e-T--3F+M“°!

a po podstawieniu tej wartości w równ. 362-gie, otrzymamy: , d² o

b-nw

skąd

-e-

. i c a b \ d² o

• !r    sf -

O*

Po dwukrotnem zróżniczkowaniu tego równania względem £, otrzymamy:

c e d² o dt² f ' b ‘ dt

o¹ a

dt* ’

średnio napisać równanie różniczkowe tej zmiennej, wziąwszy pod uwagę, że równanie 361-sze zamieni się na 362-gie, jeżeli zastąpimy w niem literę a literą <|>, literę a literą c, i wreszcie e literą f, — i odwrotnie; możemy przeto te podstawienia zrobić również w równaniu 364-te, i otrzymamy:

(ac — b²).

-e-

dtl

dt²

Spółczynniki tego równania są takie same, jakie są w równaniu 364-em; równanie przeto charakterystyczne tego równania różniczkowego będzie również takie same, jakie było poprzednio; całka przeto równ. 367-ego:

. . (368)

gdzie litery K są pewne stałe spółczynniki. Wielkość przeto p dla obydwóch równań:

<|> = K{ eM -j- K₂ e?>ł -|- K% -f-    .

-- (af-\-ce)± Ÿ (a f + c e)² — 4 (ac — b²). ef 2 . (ac — b²)

Jeżeli wartość tego pierwiastka jest urojoną, to się znaczy, że mamy do czynienia z ruchem okresowym. Oznaczmy rzeczywiste czynniki takich pierwiastków literami i a₂, a wtedy:

p₄ = — «2 •

Ps = a2 •

Pi = «i • i ;

gdzie —1; po podstawieniu następnie tych wartości w równ. 366-te i w 368-me, otrzymamy:

= (Ct. eaii-ł -f- C₂.    “^-0 -f (C₃. -f C₄. e-“■<•*);

-€*

= (K₁.ea'i-t-{-K₂. e~«**•<) + (JT,. e***-*-j- 7f₄.    “»*'• 0-    •

. (369)

lub też, zamieniając funkcye wykładnicze na kołąwe, napiszemy te równania w postaci:

o — Al. sin (a₄ • £ -J- ßi) -|- Bl. sin (a₂. t -f- y₁) ;

<|> = Ą . sin (a₄ . t -f ß₂) + B₂. sin (a₂. t -j- y₂).....(³⁷⁰)

W równaniach tych mamy osiem stałych wielkości

-4₂, ą.JJ₂, ßl) ß2 ł Ïi*Ï2>

które są dotychczas nieokreślone. Z warunków ruchu początkowego określimy cztery z tych wielkości; ażeby bowiem określić ten ruch, powinny być dane w pewnej chwili dwa kąty, określające położenie wahadeł, i dwie wielkości, określające ich prędkości w tem położeniu. Pozostałe zaś cztery spółczynniki obliczymy z warunku, że równania 370 te powinny zaspakajać identycznie równanie 361-sze i 362-ie.

Nie wchodząc w szczegóły tego obliczenia, damy pewne wskazówki ogólne, pozwalające sądzić z równania charakterystycznego, bez obliczania jego pierwiastków, o rodzaju ruchu brył danego układu.

Jeżeli np. która z wartości p jest dodatną, to wartość odpowiedniego wyrazu e?-¹ rośnie z biegiem czasu; a więc i wartość odpowiedniej spółrzędnej rosnąć będzie do nieskończoności; porówn. równania 366-te oraz 368-me.

Jeżeli zaś która z wartości p jest odjemną, to wartość tego wyrazu z biegiem czasu maleje; nie przesądza to jednakże o wartości o lub <J>.

Jeżeli wreszcie jeden z pierwiastków jest wielkością zespoloną postaci (p-\-qi), to, wobec tego, że mamy do czynienia z układami, wykonującymi ruchy rzeczywiste, powinien istnieć drugi pierwiastek sprzężony postaci (p — qï). W tym przeto przypadku równanie np. 366-te może być przekształcone na następujące: a = Cx .    +    -f- C₂    Cs + «'*>* + C₄ efr'

lub

o = ep*,{Cx +    +

lub wreszcie na następujące: a = eP *. [Z- . cos (g £) -j- K" . sin (q t)} -f- e*'ł. [K'n . cos (q' t) -f- K"" . cos (q' £)].

Wyraz ten przedstawia ruch harmoniczny złożony; który, zależnie od tego czy p ip'üËO, z biegiem czasu wzrasta lub zanika.

Jeżeli przeto równanie charakterystyczne posiada choć jeden pierwiastek do-datny, to spółrzędna ruchu, wyrażonego odnośnem równaniem różniczkowem, rośnie do nieskończoności; i do ruchu tego, ze względu na zrobione założenia, nie możemy stosować równań przybliżonych. Jeżeli zaś w danem równaniu pierwiastki rzeczywiste są odjemne, to spółrzędna danego ruchu zbliża się z biegiem czasu do wartości stałej czyli ruch zanika. Jeżeli zaś pierwiastki są zespolone, to ruch jest okresowy; a przytem jeżeli rzeczywisty wyraz tych pierwiastków jest dodatny, to ruch jest okresowy, wzmagający się do nieskończoności; jeżeli zaś wyraz ten jest odjemny, to ruch jest okresowy zanikający.

Z rodzaju przeto pierwiastków równania charakterystycznego wywnioskować można o rodzaju ruchu, wyrażonego tern równaniem.

Dla celów technicznych ważnem jest nieraz osądzić, czy ruch dany jest wzmagający się czy też zanikający, lub harmoniczny. Ważnem jest przeto módz osądzić, bez rozwiązywania równań, bezpośrednio ze spółczynników równania, czy pierwiastki jego rzeczywiste będ^ odjemne, lub też czy wyrazy rzeczywiste pierwiastków zespolonych będą odjemne, gdyż tylko w tych przypadkach ruch nie będzie wzma

gający się.

W równaniach drugiego stopnia łatwo to osądzić, obliczywszy pierwiastki

tego równania.

Jeżeli np. równaniu stopnia drugiego nadamy postać

to pierwiastki jego wyrazimy wzorem:

Jeżeli pierwiastki posiadają wartości urojone; to wyraz rzeczywisty powinien być odjemny, t. j. powinno być

«i > 0;

ażeby ruch był okresowy zanikający.

Jeżeli zaś pierwiastek posiada wartość rzeczywistą, to ażeby ruch był zanikający, powinno być

— a ₂ <r 0 ;

a nastąpi to wtedy, gdy

(371)

oraz

at > 0;

Gdy zaś mamy równanie wyższych stopni, sposób ten określenia pierwiastków staje się utrudniony, a nawet niemożliwym. Związki jakim powinny podlegać spółczynniki równania «-tego stopnia, ażeby rzeczywiste pierwiastki lub też rzeczywiste wyrazy pierwiastków zespolonych były odjemne, podał Hurwitz (Math. Ann. Bd. 46, 1875, str. 273). Przytoczymy je tutaj, nie podając ich dowodzeń. W myśl tej teoryi pierwiastki rzeczywiste lub wyrazy rzeczywiste pierwiastków urojonych równ. «-tego stopnia o postaci:

pn 0>\ p”—1 -f- • • • tt'n—1 P dn— 0 ;

będą odjemne jeżeli: 1) każden spółczynnik a > 0; i 2) jeżeli jednocześnie wartości każdego wyznacznika, utworzonego kolejno z następującego ogólnego wyznacznika

ct%    a₅    ety

a₂    aK    a₆

0    ax    a₉ ah

0    1

>0.

a₂

a₄

A więc dla « = 2 ; podług tego prawidła powinno być:

ax 0

ch > 0;

a ₂    0₁ ;

oraz

>0.

Dla « = 3, powinno być:

«i > 0 ; a₂ > 0 ; a₃ > 0 ;

— jp

S £

ro os

>0;

oraz

to e* ,-ł

e e ©

» o o

os

> 0.

Dla « = 4:

«i > 0;

a₂ > 0;

a* > 0;

oraz

©

to oe

O — jp>

i⁵ »

ai > 0;

s 55 a

te OS

JP 5SO

ts9 to

a,

i t. d.

Takie jest postępowanie analityczne, mające na celu obliczenie tak zwanych ruchów drgających brył materyalnych.

Jeżeli zaś równanie charakterystyczne wykaże, że ruch dany nie jest drgający, lecz odbywa się na stosunkowo znacznych przestrzeniach, to do obliczenia takiego ruchu należy zastosować równania ścisłe; jak w danym przykładzie równania 356, 358-me, których jednakże całkowanie jest w wielu przypadkach niemożliwe, lub też przedstawia znaczne trudności. W tych przypadkach należy określić właściwości danego ruchu bezpośrednio z tych równań w ten sposób, jaki stosowaliśmy np. w § 61-szym do obliczenia wahadła kulistego. W wielu przypadkach można również odkryć pewne właściwości danego ruchu z równania równowartości pracy i energii kinetycznej.

157. Ruch dzwonu. Obliczenie ruchu wahadła podwójnego znajduje bezpośrednie zastosowanie w praktyce przy obliczeniu ruchu dzwonów. Bryła, nazwana pierwszą, może.przedstawiać dzwon; bryła druga—serce jego. Przebieg ruchu dzwo* nu nie jest tak prosty, jak się to pozornie zdawać może. W Kolonii np. w roku 1875 założono dzwon, który nie wydawał dźwięku, gdyż podczas poruszania dzwonem serce jego w ten sposób się poruszało razem z dzwonem, że nie uderzało w dzwon. Te szczególne warunki zachowania się serca i dzwonu można obliczyć z wyprowadzonych równań ruchu. W tym celu weźmiemy pod uwagę ten szczególny przypadek ruchu dzwona, w którym serce jego i dzwon wykonują jednocześnie jednakowe ruchy, jak gdyby stanowiły jedną bryłę sztywną; i znajdziemy warunki przy jakich to zachodzi.

Równanie tego ruchu otrzymamy z równań 360-tych; gdy podstawimy

w nie

d²a

(wi + m2 n). g . sin o = 0;

d²a

dt²

Równania te są następujące:

(4 a. + m₂ r² -f m₂ s₂ rx).

(4 b + rn₂ s₂. rx).

(J> = o.

-\- m₂s₂. g . sin a = 0.

Ażeby zaś te równania wyrażały jeden i ten sam ruch, powinny być jednakowe; wobec czego powinien zachodzić następujący związek pomiędzy jego spół-czynnikami:

4b + ™₂ s2 ri

4 A + m2 -f m2 s₂ ri ₌m₁sl +w₂ r,

m₂ s₂

Przekształcimy następnie to równanie w ten sposób, że wprowadzimy długości wahadeł zastępczych, równ. 290-te, tak dla dzwona jak i dla jego serca. Podstawimy przeto w to równanie:

-±L’-L ₌ l ■ mx s₁ ¹ ’

a otrzymamy związek powyższy w następującej postaci:

m₂ rx-

m₂ s₂

*i +

m₂ s₂ r,

mx

m₂ rx ml sx ’

skąd po przekształceniu :

. (l₂    s₂).

P±2_ n

mx

Jeżeli przeto zachodzi ten związek pomiędzy wielkościami, określającemi rozmieszczenie masy w dzwonie, to serce dzwonu nie uderzy w dzwon.

Związek ten uprości się, jeżeli weźmiemy pod uwagę, że wielkość m₂ jest zwykle w dzwonach bardzo małą w porównaniu z wielkością mx ; i że wielkość (l₂ — $₂) niewiele różni się od zera; przyjąć przeto możemy, że wartość prawej strony powyższego równania = 0; a powyższy związek przybierze postać:

(372)

h = h + rt

l% — 2,629 m,

Z równania tego wynika, że dzwon nie wyda dźwięku pomimo ruchu, jeżeli środek wahania dzwonu i serca jego wzajemnie się pokrywają.

Badania nieudanego dzwonu Kolońskiego wykazały, że lt = 3,282 m,

r₁ = 0,667;

które to wartości czynią zadość równaniu 372-emu; słusznie przeto dzwon taki nie odpowiadał celowi. Zwrócić należy jeszcze uwagę, że niespotkanie się dzwonu z sercem zachodzi nietylko w tym przypadku, w którym dzwon i serce poruszają się jak jedna bryła, lecz i wtedy, gdy serce porusza się względem dzwona w takich granicach, które nie sięgają do powierzchni dzwona. Przypadku tego jednakże rozpatrywać nie będziemy.

¹

wreszcie, po podstawieniu tej wartości w równ. 361-sze i po uporządkowaniu, otrzymamy równanie różniczkowe linijne 4-go rzędu z jedną zmienną o wfunkcyi czasu:

{a c — ó²).    + (ff Z⁷ -f- c e).    -f- e f. a

Szczególną całką tego równania jest funkcya:

a = eP *.

Po podstawieniu tej wartości w równanie poprzednie, otrzymamy równanie charakterystyczne danego równania różniczkowego; które jest jednocześnie równaniem, charakteryzującem ruch danej bryły; z równania tego bowiem będziemy mogli sądzić o rodzaju ruchu, jaki dana bryła wykonywa. Równanie to jest następujące:

{a c — b² ' p⁴ -f- (a f -(- c e) p² -j- e f = 0.

Cztery pierwiastki tego równania: pt, p₂ p₃ i p₄ dają wogóle cztery szczególne całki; całka przeto ogólna danego równania różniczkowego ma postać:

a = C\ . e*ł-\- C₂ .ep*ł+ Cs. e^ -|- C₄. et*ł . gdzie litery C oznaczają pewne wielkości stałe, które obliczyć można z warunków ruchu początkowego.

Ażeby wyrazić drugą spółrzędną <J> w funkcyi czasu; należy zrównania 361 i 362-go wyrugować Lecz zamiast tego szczegółowego rachunku można bezpo-

7. Ruch przestrzenny brył materyalnych.

Ä. Bryła obracająca się około osi nieruchomej.

158. Położenie wektora momentu ilości ruchu bryły, obracającej się około osi nieruchomej, względem bieguna, obranego na tej osi.

W § 121-ym N° 4 obliczyliśmy położenie wektora Mv momentu ilości ruchu danej bryły względem bieguna, obranego na osi obrotu, ze znanego położenia wektora prędkości obrotowej w danej chwili i ze znanego położenia bryły względem osi; zadajemy sobie teraz pytanie: jakim zmianom ulegnie ten wektor podczas obrotu bryły około osi nieruchomej. W celu rozwiązania tego zadania uprzytomnijmy sobie, że wektor momentu ilości ruchu danej bryły jest sumą wektorów momentów ilości ruchu oddzielnych punktów, na jakie wyobrażamy sobie bryłę rozłożoną; a przyjdziemy do wniosku, że wektor ten obraca się razem z bryłą; wszystkie bowiem wektory ilości ruchu oddzielnych punktów i ich ramiona obracają się razem z bryłą.

Jeżeli prędkość obrotowa bryły jest stałą, to wektory ilości ruchu oddzielnych punktów nie zmieniają swych długości i położenia względem bryły; a że promienie wodzące również się nie zmieniają podczas obrotu, wielkość przeto Mv przy tych warunkach również się nie zmienia; wniosek ten wysłowimy: jeżeli bryła ma-teryalna obraca się około osi nieruchomej ruchem jednostajnym, to koniec wektora Mv zakreśla również ruchem jednostajnym koło, którego płaszczyzna jest prostopadłą do osi obrotu. Jeżeli zaś prędkość obrotowa jest zmienną to, ponieważ prędkości oddzielnych punktów zmieniają jednocześnie swe wielkości propor-cyonalnie do tej prędkości, długość wektora Mv zmienia również swą długość; podczas przeto niejednostajnego obrotu bryły materyalnej około osi nieruchomej, wektor Mv zachowuje kierunek poprzedni względem bryły, koniec jego jednakże zakreśla pewną krzywą, leżącą na powierzchni stożka obrotowego.

Wektor przeto bryły, obracającej się około osi nieruchomej, możemy

CIO

wyobrazić sobie jako wektor prędkości, z jaką przebiega koniec wektora Mv mo-

mentu ilości ruchu podczas obrotu bryły. Prędkość tę wyrazić można w następnją-cy sposób: jeżeli obrót jest jednostajny, — wektorem stycznym, do koła, jakie zakreśla koniec wektora momentu ilości ruchu podczas obrotu bryły; którego kierunek jest prostopadły do płaszczyzny    a wartość jego równa się iloczynowi

Mv. sin a . (p ;

promień bowiem tego koła wyrazimy wzorem:

Mv. sin a ;

w którym litera a oznacza kąt, jaki tworzy kierunek wektora momentu ilości ruchu z osią obrotu. Wektorowo wyrazimy prędkość, z jaką porusza się koniec wektora momentu ilości ruchu podczas jednostajnego obrotu w taki sam sposób, w jaki wyraziliśmy prędkość punktu, którego promień wodzący oznaczyliśmy literą r, porów, wzór 40-ty § 51-go tomu I-go; napiszemy przeto dla obrotu jednostajnego bryły:

d Alv —    -

ir=yM •*>

wektor bowiem Mv może być uważany za promień wodzący punktu, który wyobrazimy sobie umieszczonym na końcu tego wektora.

Jeżeli zaś prędkość obrotowa jest zmienną, to promień wodzący Mv nie tylko

obraca się razem z bryłą, lecz i jednocześnie zmie-__ nia swą długość proporcyonalnie do prędkości obrotowej.

dMv oTt⁻ „

■k

Mv

Rys. 95.

gość jego równa się wyrazowi

Ażeby przeto obliczyć całkowitą prędkość końca wektora Mv należy w tym razie przyjąć na zasadzie prawa superpozycyi ruchów, że prędkość ta składa się z dwóch prędkości: z prędkości, jaka powstaje podczas obrotu przy stałej jego długości; i z prędkości, jaka powstaje wskutek wydłużenia się promienia wodzącego. Pochodna przeto wektora Mv składa się w tym razie z wektora, określanego wzorem poprzednim i z wektora, którego kierunek pokrywa się z kierunkiem wektora Mv a dłu-dMv

. dt

; pochodne te są przedstawione na rysunku

95-tym.

Jeżeli literą jł oznaczymy wektor jednostkowy o kierunku wektora Mv, to całkowitą pochodnę wektora momentu ilości ruchu, gdy obrót jest zmienny, wyrazimy wzorem

dMv

dMv -

= TJf,., + ^P

(373)

W szczególnym przypadku, który rozpatrywaliśmy poprzednio i w którym długość wektora M„ była stałą, wyraz drugi prawej strony tego równania wypadnie, i otrzymamy wzór, wyprowadzony bezpośrednio dla tego przypadku.

. . (364)

. . (365)

. . (366)

Zwrócić tu należy uwagę, że wzór 373-ci jest wyprowadzony dla przypadku, w którym oś obrotu jest nieruchomą w przestrzeni i w bryle, a bryła obraca się około niej nie zmieniając swego położenia względem tej osi.

159. Siły odporowe łożysk osi obrotu. Jeżeli oś, około której bryła ma-teryalna się obraca, ma pozostawać nieruchomą; to powinna być unieruchomioną za pomocą przyłożenia do niej pewnych sił; zadanie obecne polega na obliczeniu tych sił.

W mechanizmach wogóle oś obrotu przedstawia się w postaci wału mate-ryalnego, wspierającego się swymi końcami, zwanymi czopami, na łożyskach; łożyska te powinny dać możność obracania się czopom i powinny zabezpieczać wał od przesunięcia się wzdłuż swej osi; jak również —- od wypadnięcia z tych łożysk. Czopy stykają się z łożyskami częścią swych powierzchni, na które działają siły odporowe łożyska; chociaż siły te są rozłożone na powierzchniach zetknięć, przyjmiemy jednakże do obliczeń, że są one skupione w pewnych punktach tych powierzchni, — w punktach, określonych ustrojem fizycznym czopów i łożysk.- Dla utrzymania osi wału w nieruchomem położeniu w przestrzeni, jeżeli nie uwzględniamy tarcia w łożyskach, wystarczają wogóle trzy siły odporowe; dwie z nich są prostopadłe do osi wału a trzecia działa wzdłuż osi wału. Wyobrazimy sobie, że siły te są przyłożone do geometrycznej osi wału; zadanie przeto polega na obliczeniu tych sił, t. j na wyznaczeniu ich położenia i ich wielkości.

Ponieważ ruch obrotowy, wywołany siłami zewnętrznemi jest nam znany z równania dynamicznego ruchu; przeto zadanie obliczenia sił odporowych łożysk danej osi zalicza się do zadań, w których dany jest ruch bryły, a należy obliczyć siły, wywołujące ten ruch; chociaż bowiem siły obracające bryłę są dane; lecz oprócz nich działają na bryłę jeszcze inne siły,—siły odporowe, które należy dołączyć do sił zewnętrznych, działających na bryłę, ażeby módz uważać ją za swobodną.

Weźmy najpierw przypadek, w którym nie- / ma sił zewnętrznych, obracających bryłę; a dana jest tylko prędkość kątowa w początku ruchu danej bryły. Z poprzednich rozpatrywań wiemy już, że w tym razie bryła obracać się będzie ze stałą prędkością kątową. Siły odporowe, które są prostopadłe do osi, oznaczymy w ogólnym przypadku obrotu bryły literami F i G, a w danym szczególnym przypadku, w którym obrót jest jednostajny, oznaczymy temiż literami, lecz ze wskaźnikami zero Siły te obliczymy z równań momentów ilości ruchu względem biegunów, obieranych kolejno w punktach podparcia; w ten sposób bowiem do równań będą wchodziły pojedyńczo siły niewiadome. Zwrócić tu należy uwagę, że w tenże sposób postępowaliśmy w statyce przy obliczeniu sił odporowych belek.

M

Gr.O

|is

Po

Mv

90°

Rys. 96.

W danym przypadku równanie momentu ilości ruchu względem bieguna, obranego w punkcie F, jest zgodnie z równaniem dynamicznem 276-tem, nastę-

pujące:

dMv

w którem Mg,o oznacza wektor momentu siły odporowej G₀ względem bieguna; obranego w F. Z równania tego wynika, że wektor ten jest prostopadły do płaszczyzny (Mv, tp), i że posiada zwrot zgodny ze zwrotem obrotu tej płaszczyzny, siła przeto G₀ leży w tej płaszczyźnie, obraca się razem z nią i wywołuje moment dodatny względem bieguna F, jak pokazuje rys. 96-ty. Ażeby przeto obliczyć wartość tego momentu, należy wyznaczyć najpierw położenie i wielkość wektora Mv. W tym celu obierzemy układ prostokątny osi spółrzędnych (æ, y, s) z początkiem w obranym biegunie i z osią z wzdłuż osi obrotu i z osiami x i y dowolnie obranemi w płaszczyźnie, prostopadłej do osi z ; rys. 96-ty.

Rzuty wektora tego momentu ilości ruchu na osi spółrzędnych, zgodnie ze wzorami 256—257 i 258-ym, są kolejno równe wartościom:

^2. s • ? '■>

. . (375)

— Ji,₃ • ?;

Wartości te dla uwidocznienia rysunku odłożono na dodatnych osiach x i y. Przypadek ten będzie zgodny z rzeczywistością, jeżeli momenty odśrodkowe bryły są odjemne; co nastąpi gdy np. bryła znajdzie się w całości lub odpowiednią częścią w ósemce ( — x, — y,-(- 0).

Długość promienia koła, zakreślonego końcem wektora MV} wyrazimy przeto wzorem:

(376)

h = <p . Vl\ ₃ + i\ ₃ ;

a wartość momentu względem F siły G₀ wyrazimy iloczynem z promienia koła i prędkości <p ; t. j. wzorem :

zwrot zaś jego strzałki jest zgodny ze zwrotem prędkości punktów obracającej się bryły. Siła przeto

Mß, o

(377)

1, 3 •

<?.=

Położenie płaszczyzny (Mv, rf), w której działa siła G₀, wyznacza kąt a' rys. 96-ty, który obliczymy ze wzoru :

tg a! =

. (378)

2,3

luz

Obliczmy teraz siły odporowe łożysk, gdy na bryłę działają siły zewnętrzne, zmieniające jej prędkość obrotową. Sposób tego obliczenia jest zasadniczo taki sam, jaki stosowaliśmy poprzednio; zachodzą tylko zmiany formalne; a mianowicie, równanie momentów, t. j. rów. 374-te, zmieni się o tyle, że przybędzie po lewej jego stronie wyraz momentu sił zewnętrznych, z prawej zaś wyraz pochodnej długości wektora momentu ilości ruchu, zgodnie ze wzorem 373-cim paragrafu poprzedniego. Oznaczywszy siły odporowe w tym ogólnym przypadku literami ’T' i G (bez wskaźników); napiszemy równanie momentów względem bieguna, obranego w punkcie F, w sposób następujący:

(379)

clM

dt v

z którego wyznaczyć można drogą rzutowania jego na osi spółrzędnych szukany moment MG; a następnie siłę G.

W celu jednakże unaocznienia sobie wpływu poszczególnych czynników na powstawanie sił odporowych; wyobrazimy sobie, że każda z sił odporowych złożona jest z dwojakiego rodzaju składowych; ze składowych, wywołanych:

1)    działaniami tych składowych sił zewnętrznych, które nie wpływają na ruch obrotowy bryły, a jedynie wywołują siły odporowe łożysk; te siły odporowe nazwiemy statycznemi; i

2)    działaniami sił bezwładności jakie powstają w punktach danej bryły podczas jej obrotu; t. j. działaniami sił odśrodkowych i stycznych; te składowe sił odporowych nazwiemy kinetycznemi. Siły odporowe kinetyczne podzielimy jeszcze w celu ułatwienia rozpatrywań na dwojakiego rodzaju składowe; na siły odporowe, wywołane siłami bezwładności odśrodkowemi i na siły odporowe, wywołane siłami bezwładności stycznemi. Wypadkowe sił odporowych statycznych i kinetycznych będą właściwemi siłami odporowemi każdego z łożysk.

Ażeby wyznaczyć składowe sił zewnętrznych, które nie wpływają na ruch bryły, a wywołują siły odporowe statyczne, przekształcimy dany układ sił zewnętrznych w sposób, wskazany w § 143-cim tomu I-go na inny,—prostszy; więcej dogodny dla naszych rozpatrywań. W tym celu obierzemy biegun przekształceń sił na osi obrotu,—w ogóle w dowolnem jej miejscu, i wyznaczymy wypadkową R wszystkich sił zewnętrznych oraz ich moment wypadkowy M względem tegoż bieguna; następnie wektor tego momentu rozłożymy na dwie składowe, na składową wzdłuż osi obrotu, którą oznaczymy literą Mv i na składową prostopadłą do niej, którą oznaczymy literą MXiÿ, jako rzut właściwego wektora momentu sił zewnętrznych na płaszczyznę (a?, y), prostopadłą do osi i przeprowadzoną przez obrany biegun przekształceń. Siła B i moment, wyrażony wektorem Mx>y, nie wpływają na ruch obrotowy bryły, a wywołują jedynie siły odporowe,—nazwane poprzednio statycznemi. Jeżeli biegun przekształceń obierzemy w jednym z łożysk np. w F ; to, oznaczywszy prostopadłą składową momentu sił względem tego bieguna literą MX}VtF-} otrzymamy wielkość siły odporowej, którą oznaczymy literą Gs, ze wzoru:

Mx,y, j Gs. I = 0 ;

o kierunku prostopadłym do płaszczyzny (Mx,y,F, cp).

Obliczenie tych sił odporowych może być również wykonane sposobem analitycznym, stosowanym np. w przykładzie 1-szym podanym w§ 136-tym tomu I-go.

W tenże sposób przekształcimy układy sił odśrodkowych i stycznych na ich wypadkowe i na ich momenty wypadkowe, względem dowolnie obranego bieguna 0,

rys. 97-my. Siła odśrodkowa &-tego punktu, którą oznaczymy literą Bk>0, wyraża się wzorem:

Bk, o = mkhk.

w którem litery hk oznaczają odległości punktów bryły od osi obrotu. Wypadkową przeto B₀ tych sił wyrazimy wzorem:

B₀ = I (mk hk. cp²) ;

a zważywszy, że

S (mk hk) = m hs,

i że wartość cp jest w każdej chwili wartością stałą dla wszystkich punktów danej bryły wyrazimy tę wypadkową wzorem:

B₀ — m h,. cp² ;

(380)

z punktem przyłożenia w obranym punkcie przekształceń.

Ze wzoru tego wyznaczyć można wektor wypadkowej sił odśrodkowych ze znanej prędkości obrotowej bryły oraz z wielkości i kierunku wektora hs] który jest znany, jeżeli znane jest położenie bryły względem osi obrotu.

Wypadkową sił bezwładności stycznych obliczymy z wypadkowej sił odśrodkowych, zważywszy, że kierunek siły stycznej każdego punktu danej bryły jest

prostopadły do kierunku siły odśrodkowej tegoż punktu; a wielkości obydwóch tych sił są w każdej chwili do siebie proporcyo-nalne; wartość bowiem bezwzględna siły stycznej k-tego punktu, którą oznaczymy literą Bktł.

Bk, t — m hk

mf

Bt

Mj

i o.

*"G

'Ct/

oo

dt ’

wieloboki przeto tych sił są do siebie podobne; a kierunki ich boków wzajemnie prostopadłe; wypadkowe przeto tych sił są również do siebie proporcyonalne i prostopadłe. Wartość zatem wy-o padkowej sił stycznych, którą oznaczymy literą Bt, obliczymy bezpośrednio ze wzoru 380-go, podstawiając zamiast czynnika cp²

dtp

czynnik — i otrzymamy

Rys. 97.

Bt = m lis

d cp

. (381)

dt

Kierunek tej wypadkowej jest prostopadły do kierunku wektora hs, a zwrot jej jest przeciwny zwrotowi prędkości środka masy. Ze wzoru przeto 380-tego i 381-ego obliczyć można wypadkowe sił bezwładności; porówn. rys. 97-my.

W celu obliczenia momentu sił odśrodkowych, wystawimy w obranym biegunie przekształceń wektory momentów sił odśrodkowych oddzielnych punktów,

a wypadkowa ich będzie momentem sił odśrodkowych. Wektor tego momentu musi być prostopadły do osi; wszystkie bowiem składowe wektory są do niej prostopadłe. Drogą przeto tych poszczególnych obliczeń można znaleźć szukany wektor; pominiemy jednakże te obliczenia; natomiast skorzystamy bezpośrednio z równania momentów ilości ruchu; t. j. z równania 211-go. W tym celu weźmiemy pod uwagę twierdzenie ogólne o momentach sił bezwładności, wyrażone równaniem 84-tem; i otrzymamy, że moment sił odśrodkowych

B₀ = - Vf».?;

a wartość jego

» /S

(382)

zwrot zaś jest przeciwny zwrotowi prędkości końca wektora Mv; porówn. rys. 97-my^

Wektory momentów sił stycznych oddzielnych punktów danej bryły są pochylone względem osi obrotu; wypadkowy ich przeto wektor jest wogóle również pochylony względem tej osi. Ponieważ dla obliczenia sił odporowych wystarcza znajomość tylko tej składowej wektora momentu, która wywołuje siły odporowe (ten sposób rozumowania stosowaliśmy przy obliczeniu sił odporowych statycznych), zajmiemy się przeto bezpośrednio obliczeniem tylko tej składowej. W tym celu przekształcimy dany układ sił odśrodkowych na inny, jemu równowarty, w ten sposób, że przeprowadzimy przez każdy punkt danej bryły płaszczyzny, prostopadłe do osi; a w punktach przecięcia się tych płaszczyzn z osią obrotu przyłożymy po dwie siły + Bktł, rys. 97-my, równoważące się, równoległe i równe siłom stycznym odpowiednich punktów; w ten sposób zamiast sił z punktami przyłożenia w oddzielnych punktach bryły, otrzymamy układ par sił, (Bkjł, -— Bkit) i układ oddzielnych sił    z punktami przyłożenia na osi i równych siłom stycznym od

dzielnych punktów danej brył. Momenty par tych sił nie wpływają na odpory łożysk; w pojęciach bowiem d’Alembert’a równoważą się one z momentem, względem osi, sił zewnętrznych; a równanie ich równowagi jest równaniem ruchu danej bryły. Siły zaś, przyłożone do osi, wywołują odpory w łożyskach i nie wpływają na ruch bryły. Siły te jak każdy układ sił sprowadzić można do siły wypadkowej Bt, którą już wyznaczyliśmy poprzednio i do ich momentu Mt, który obecnie obliczymy w następujący sposób. Siły styczne oddzielnych punktów, które przecinają oś, są prostopadłe do sił odśrodkowych tychże punktów i prostopadłe do osi obrotu; wektory przeto momentów każdej z nich są prostopadłe do takichże wektorów sił odśrodkowych; wypadkowy przeto moment tych sił jest prostopadły do wektora momentu sił odśrodkowych względem tegoż bieguna; a ponieważ wartości sił stycznych są proporcyonalne do wartości sił odśrodkowych tychże punktów, a ramiona ich względem obranego bieguna są wspólne, wartość przeto momentu sił stycznych, prostopadłego do osi obrotu, jest proporcyonalny do takiegoż momentu sił odśrodkowych; obliczymy go przeto z równania 383-ego i wyrazimy wzorem:

Mt =

\~ I²2, s

(383)

Siłę wreszcie odporową sztorca osi, oznaczona na rys. 97 yin literą H. która jest wywołaną tylko składowemi sil zewnętrznych w kierunku osi; obliczymy z równania:

£P*,a-f i7 = 0;

wszystkie bowiem siły bezwładności są prostopadłe do osi obrotu i nie posiadają rzutów na tę oś.

Działania przeto sił bezwładności bryły, obracającej się około danej osi sprowadzić można, porówn. rys. 97-my:

1)    do dwóch sił B₀ i Bt, przyłożonych do obranego punktu przekształceń i wyrażonych wzorami 380-ym i 381-ym; z których siła odśrodkowa B₀ jest równoległą do prostopadłej opuszczonej ze środka masy bryły na oś obrotu; siła zaś styczna Bt jest do niej prostopadłą, i posiada zwrot przeciwny zwrotowi, jaki posiada w danej chwili przyśpieszenie środka masy;

2)    do działania momentów sił odśrodkowych i stycznych Wektor M₀ momentu sił odśrodkowych jest prostopadły do płaszczyzny (Mv, ff) i posiada wielkość, wyrażoną wzorem 382-gim, a zwrot przeciwny zwrotowi prędkości końca wektora M„. Wektor zaś Mt momentu sił stycznych, wywołujących tylko siły odporowe łożysk, jest prostopadły do poprzedniego i wartość jego wyraża wzór 383-ci; a zwrot jest przeciwny zwrotowi dodatnych przyrostów rzutu wektora Mv na płaszczyznę prostopadłą do osi.

Wypadkowe sił bezwładności i wektory ich momentów są przedstawione na rys. 97-ym dla punktu przekształceń 0, dowolnie obranego na osi obrotu. Po ta-kiem przekształceniu sił bezwładności, obliczenie sił odporowych sprowadza się do obliczenia sił odporowych pręta, podpartego w punktach F i G, na który działają dwie siły prostopadłe do niego, przyłożone w pewnym obranym punkcie na jego osi i dwa momenty.

Obliczenie sił odporowych uprości się wogóle, gdy obierzemy biegun przekształceń sił i biegun momentów w jednem z łożysk osi; wtedy bowiem otrzymamy bezpośrednio siły odporowe; jakie występują w łożysku drugiem. Dla obliczenia np. siły odporowej w G obierzemy biegun w F] a z równań

G₀.l-\-M₀ = 0;

obliczymy wartości sił odporowych; zważywszy przytem, że siła G₀ leży w płaszczyźnie (Me.cp); siła zaś Gf w płaszczyźnie prostopadłej do niej.

W szczególnym przypadku, jeżeli oś obrotu posiada punkt bezwładności dla danej bryły (warunki, przy których to następuje, podane są w § 114-tym), to momenty sił odśrodkowych względem bieguna, obranego w tym punkcie zanikają; wartości bowiem momentów odśrodkowych Ili3 oraz I>,₃ danej bryły względem układu osi spółrzędnych, przeprowadzonych przez ten punkt, w myśl danego określenia równają się zeru. Jeżeli przeto oś obrotu posiada punkt bezwładności dla danej bryły, to w tym tylko szczególnym przypadku działanie sił bezwładności sprowadza się do działania tylko dwóch sił: siły odśrodkowej i siły stycznej z punktami przyłożenia w punkcie bezwładności.

G’ .l+Mt = 0;

W myśl przeto twierdzenia podanego w§ 113-tego tego tomu dla przypadku 4-go, siły bezwładności bryły, obracającej się około osi, równoległych do jednej z osi głównych, wystawionych w środku masy tej bryły, sprowadzić można do siły wypadkowej z punktem przyłożenia w punkcie bezwładności. Tejże właściwości podlegają również siły bezwładności; gdy np. bryła dana jest symetryczną względem płaszczyzny, a oś obrotu jest prostopadłą do tej płaszczyzny. Do tego wniosku w tym przypadku łatwo również dojść bezpośrednio; siły bowiem odśrodkowe są w tym razie symetryczne względem płaszczyzny symetryi; wypadkowa ich przeto leżeć musi w tej płaszczyźnie; a wypadkowa sił stycznych musi być do niej prostopadłą.

Z tychże powodów, w myśl § 119-tego, suma momentów sił bezwładności figury płaskiej materyalnej, obracającej się około osi, leżącej w płaszczyźnie tej figury względem bieguna, obranego w rzucie środka masy na oś obrotu, równa się zeru Jeżeli przeto na bryłę taką nie działają siły zewnętrzne, lub też działają siły posiadające wypadkową, przechodzącą przez punkt bezwładności, to w celu unieruchomienia takiej osi wystarczy podeprzeć ją tylko w punkcie bezwładności; występująca bowiem siła odporowa równoważyć się będzie z siłami bezwładności.

Jeżeli oś, posiadająca punkt bezwładności, przechodzi przez środek masy, to nie tylko suma momentów sił bezwładności względem bieguna, obranego w tym punkcie, zniknie, lecz i siły bezwładności tak styczne jak i odśrodkowe znikną, porów, wzory 380 i 381-szy; i to zachodzi nie tylko względem bieguna przekształceń, obranego w punkcie bezwładności, lecz również, — na podstawie twierdzenia, dowiedzionego w§ 114-tym dla przypadku 2-go,—względem każdego innego bieguna obranego na tej osi; czyli w danym przypadku siły bezwładności jak i ich momenty wzajemnie się równoważą i nie działają na oś obrotu; a bryła raz obrócona około takiej osi, obracać się będzie bez jej podtrzymywania; oś taką nazwano osią swobodną danej bryły.

Ponieważ oś, która posiada punkt bezwładności dla danej bryły i przechodzi przez środek jej masy, jest jedną z osi głównych elipsoidy środkowej tej bryły; przeto każda bryła materyalna posiada trzy osi swobodne; które pokrywają się z kierunkami średnic głównych środkowej elipsoidy bezwładności.

Niezmienność obrotu około osi głównej należy uważać jako szczególny wyraz bezwładności materyi.

8. Ruch kulisty bryły, materyalnej bez udziału sił zewnętrznych, lecz z prędkością początkową.

160. Zadanie. Jeżeli środek masy pewnej bryły materyalnej unieruchomimy w przestrzeni w ten sposób, że bryła będzie mogła swobodnie się kręcić około tego punktu i jeżeli następnie nadamy jej pewien ruch początkowy, to bryła ta wykonywać będzie pewien ściśle określony ruch kulisty, który mamy obliczyć; zakładając, że na daną bryłę po nadaniu jej ruchu początkowego nie działają żadne siły

zewnętrzne; a jeżeli działają, to — tylko takie, które nie dają momentu względem bieguna, obranego w punkcie podparcia; z tego też względu przyjęliśmy, że bryła dana jest podparta w środku swej masy; unikamy bowiem w ten sposób momentu jej siły ciężkości względem bieguna obranego w środku masy.

Zadanie to jest podobne do zadania, jakie rozpatrywaliśmy w § 127-ym, z tą tylko różnicą, że w tamtem zadaniu bryła mogła obracać się tylko około osi nieruchomej; i dla tego przypadku okazaliśmy, że bryła taka obrócona raz około osi nieruchomej, i pozostawiona sama sobie, obracać się dalej będzie około tej osi ruchem jednostajnym. W danym zaś przykładzie, w którym bryła ma tylko jeden punkt unieruchomiony, znane jest położenie osi chwilowego obrotu tylko w początku jej ruchu; podczas zaś dalszego ruchu położenie jej będzie się zmieniać, wskutek występujących, podczas obrotu bryły, momentów sił bezwładności; które, chociaż występują również w bryle obracającej około osi nieruchomej, równoważą się one jednakże z momentami sił odporowych, występujących w łożyskach i nie powodują zmiany położenia tej osi. Zadanie przeto ruchu kulistego tak wogóle, jak i w tym przypadku polega na określeniu miejsca geometrycznego osi chwilowych obrotów w bryle i w przestrzeni; inaczej mówiąc, zadanie to polega stosownie do § 71-go tomu I-go, na określeniu stożka ruchomego, związanego z daną bryłą, oraz— stożka nieruchomego, po którym toczy się stożek ruchomy.

Rozwiązanie. Ruch kulisty posiada trzy stopnie swobody, trzy przeto równania algebraiczne lub jedno równanie wektorowe wystarczy do określenia tego ruchu; równaniem tern jest równanie momentów. W danym przykładzie moment sił zewnętrznych względem obranego bieguna, w punkcie nieruchomym, równa się zeru; równanie przeto dynamiczne jest następujące:

= 0;

dMv

dt

którą po scałkowaniu przedstawi się w postaci:

= 0.

v, 0

Mv-M

Równanie to wyraża, że wektor momentu ilości ruchu danej bryły, jest w każdej chwili podczas ruchu bryły wielkością stałą co do kierunku zwrotu i długości.

Pomimo więc tego, że oś chwilowego obrotu może zmieniać swój kierunek w przestrzeni, wektor Mv pozostawać będzie nieruchomym. Bryła zatem podczas ruchu tak się będzie ustawiać w przestrzeni, że wektor momentu, względem punktu nieruchomego, ilości jej ruchu pozostawać będzie nie zmieniony, i z tego warunku należy określić ruch tej bryły; t. j. należy wyznaczyć miejsce geometryczne osi chwilowych obrotów. W tym celu zastosujemy najpierw równanie równowartości pracy i energii kinetycznej, jako jedno z równań algebraicznych równania momentu ilości ruchu.

Ponieważ w danym przykładzie praca sił zewnętrznych równa się zeru, przeto zachodzi tu również przypadek zachowania energii kinetycznej danej bryły.

Jeżeli wektorem <p wyrazimy prędkość obrotową bryły w dowolnej chwili, a literą T₀ wartość energii kinetycznej tej bryły w początku ruchu, to warunek zachowania energii wyrazimy stosownie do § 264-go wzorem:

h Ję . cp“ = T₀ ;

w którym oznacza moment bezwładności danej bryły względem osi, około której bryła obraca się w danej chwili. Z równania tego obliczymy wartość prędkości obrotowej:

. .    (384)

V2 To

J%

a ponieważ nie znany jest jej kierunek, przeprowadzimy przeto w myśli przez dany punkt pęk osi, i na każdej z nich od punktu nieruchomego odetniemy, odpowiednią tej osi, wartość prędkości, obliczoną z powyższego wzoru; a w utworzonym w ten sposób pęku wektorów znajdować się będą i wektory, określające prędkości obrotowe, jakie dana bryła w rzeczywistości wykonywać będzie. Ażeby te wektory odnaleźć zbadajmy najpierw postać powierzchni, jaką tworzą końce tych wektorów; w tym celu porównajmy wzór 384-ty ze wzorem, podanym w § 112-ym tego tomu:

X²

określającym elipsoidę bezwładności bryły, zbudowanej w punkcie nieruchomym; a zważywszy, że It oznacza w tym wzorze moment bezwładności bryły względem osi, przechodzącej przez promień wodzący p, a I₉ we wzorze 384-tym oznacza takiż moment względem osi obrotu cp; przyjdziemy do wniosku, jeżeli przyjmiemy nieokreśloną w tym wzorze wielkość

\*z=V2T₀:

■N

CJ

-6

I O.

Końce przeto wektorów chwilowych prędkości obrotowych danej bryły leżą na powierzchni elipsoidy bezwładności, zbudowanej w punkcie nieruchomym, jeżeli dla X przyjmiemy wielkość, określoną powyższym wzorem.

Ażeby otrzymać drugie równanie algebraiczne, wyrażające związek pomiędzy prędkością obrotową a momentem ilości ruchu, zrzutujmy wektor na kierunek wektora M„; a oznaczywszy wielkość tego rzutu literą <p', wyrazimy ją, stosownie do określenia iloczynu skalarnego, podanego we wzorze 153-cim § 191-ego tomu I-go, równaniem : (x)

¥ • Mv .

Mv

a zważywszy, że, na zasadzie równania 268-ego, licznik tego równania wyraża podwójną wartość energii kinetycznej, która w danym przykładzie jest stałą, a wielkość Mv jest również stałą, jako długość wektora niezmiennego; przeto przyjdziemy do wniosku, że rzuty wektorów <p; zmiennych co do długości i położenia podczas ruchu bryły, na kierunek niezmienny wektora Mv są stałe; a więc i równe rzutowi znanego wektora prędkości początkowej <p₀ na tenże kierunek. Gdybyśmy np. dla początkowego ruchu wyznaczyli w jakibądź sposób, odpowiadający temu

(') gdyż stosownie do danego określenia iloczynu skalarnego <p. Mv = <p . Mv . cos (<p, Mv).

ruchowi wektor MS)0 ; (np. z równania 262-ego) i zrzutowali na jego kierunek prędkość początkową cp₀, wtedy otrzymalibyśmy odcinek cp'₀ przez koniec którego przeprowadzona płaszczyzna Q prostopadle do kierunku MVt0 byłaby miejscem geometrycznem końców wszystkich nieznanych wektorów <p; płaszczyznę Q ze względu na tę właściwość nazwano płaszczyzną nieruchomą danej bryły.

Koniec przeto wektora cp znajduje się podczas ruchu bryły jednocześnie na powierzchni elipsoidy bezwładności, zbudowanej w punkcie nieruchomym i na płaszczyźnie nieruchomej, przeprowadzonej przez koniec wektora cp'₀, prostopadle do kierunku Mv,₀- Ponieważ ruch bryły w każdej chwili może posiadać tylko jedną oś chwilowego obrotu, elipsoida przeto bezwładności może mieć jeden tylko punkt wspólny z płaszczyzną nieruchomą; t. j. może być do niej styczną. Podczas przeto ruchu bryły jej elipsoida bezwładności, którą uważamy za sztywno połączoną z bryłą i z nią razem się poruszającą, styka się różnymi swymi punktami z płaszczyzną nieruchomą; z czego wynika, że ta elipsoida albo ślizga się albo toczy się po tej płaszczyźnie lub też wykonywa jednocześnie obydwa te ruchy, zatrzymując jednakże swój środek w punkcie nieruchomym. Zważywszy jednakże, że punkt zetknięcia się elipsoidy z tą płaszczyzną, jako punkt osi chwilowego obrotu, nie posiada w chwili zetknięcia się z płaszczyzną żadnej prędkości; przeto przyjdziemy do wniosku, że elipsoida ta nie ślizga się po tej płaszczyźnie, lecz toczy się po niej. Ruch przeto kulisty bryły materyalnej, która otrzymała pewną prędkość początkową; i na którą nie działają siły zewnętrzne lub których momenty względem

Rys. 98.

punktu podparcia równają się zeru, będzie taki, że jej elipsoida bezwładności, zbudowana w punkcie podparcia i sztywno z nią związana, będzie się toczyć bez ślizgania się po płaszczyźnie nieruchomej.

Mając przeto daną bryłę w początkowein jej położeniu, oraz mając dany wektor cp₀ początkowej jej prędkości, obliczymy

X* = V2 T₀

Tn = l^.I₀,

a stąd

i zbudujemy elipsoidę bezwładności, rys. 98. Następnie przez koniec wektora <p₀, który oznaczyliśmy na tej elipsoidzie literą E, przeprowadzimy płaszczyznę styczną do tej elipsoidy; a płaszczyzna ta będzie płaszczyzną nieruchomą; gdy następnie zbudowaną w ten sposób elipsoidę toczyć będziemy po tej płaszczyźnie, pozostawiając jej środek w punkcie nieruchomym, otrzymamy ruch danej bryły, którą wyobrażamy sobie sztywno połączoną z jej elipsoidą bezwładności.

Kierunek wektora Mv danego ruchu wyznaczymy, gdy z punktu nieruchomego opuścimy prostopadłą na płaszczyznę nieruchomą Q, a prostopadła ta wyznaczy kierunek wektora "Mv, który niezmienia się podczas ruchu bryły.

Elipsoida bezwładności, tocząc się po płaszczyźnie nieruchomej, dotyka się jej różnymi punktami swej powierzchni; gdy te punkty w jakibądź sposób utrwalimy na powierzchni elipsoidy, to otrzymamy pewną krzywę; którą Poinsot (twórca powyższej konstrukcyi ok. 1804 r.), nazwał polodją, t. j. torem polusów, a który my nazwiemy torem ruchomym biegunów. Promienie, wyprowadzone z punktu nieruchomego do punktów toru tych biegunów wyznaczają stożek, który należy wyobrazić sobie sztywno połączony z daną bryłą; wszystkie tworzące tego stożka stają się kolejno osiami chwilowych obrotów bryły; jest to więc stożek ruchomy, ściśle związany z poruszającą się bryłą; o stożku tym mówiliśmy w kinematyce ruchu kulistego, w § 71-szym tomu I szego. Punkty zetknięcia się elipsoidy z płaszczyzną nieruchomą, utrwalone na tej płaszczyźnie, wyznaczają inną krzywą; nazwaną her-polodyą; a którą my nazwiemy torem nieruchomym biegunów. Promienie, wyprowadzone z punktu nieruchomego do punktów tego toru, utworzą stożek, który będzie stożkiem nieruchomym i którego tworzące będą kolejno osiami chwilowych obrotów bryły. Cały więc przebieg ruchu kulistego bryły można wyobrazić sobie jako toczenie się stożka ruchomego po stożku nieruchomym. Ogólny obraz tego ruchu wraz z torem nieruchomym przedstawiony jest na rys. 98-ym; przykład zaś torów ruchomych dla wszelkich prędkości początkowych przestawiony jest oddzielnie na rys. 102-im.

W szczególnym przypadku, gdy elipsoida bezwładności jest elipsoidą obrotową, § 113-ty, p. 8-my tej części, wtedy obydwa te tory staną się kołami, i obydwa stożki będą stożkami prostymi o podstawach kołowych. Jeżeli zaś elipsoida bezwładności pewnej bryły ma postać kuli, to płaszczyzna styczna do niej przeprowadzona przez koniec wektora cp₀ jest jednocześnie prostopadłą do tego wektora; czyli kierunek momentu ilości ruchu pokrywa się z kierunkiem osi obrotu; obrót przeto takiej bryły będzie odbywał się nieustannie około osi początkowego obrotu; a tor ruchomy i tor ich nieruchomy przedstawią się w postaci pojedynczych punktów. Takiż ruch powstanie, gdy kierunek początkowej prędkości pokrywa się z kierunkami jednej z osi głównych; do tych wniosków doszliśmy również w końcu § 159-tego tego tomu.

Właściwości elipsoidy bezwładności wyzyskać również można w celu wyznaczenia wektora np. Mv, gdy dany jest ruch bryły, t.j. gdy dany jest wektor cp; i odwrotnie; do czego również dojść można drogą analityczną, stosując równania 260-te i 262-gie.

161. Osi obrotu stateczne i niestateczne. Z tych i z poprzednich rozpatrywali wynika, § 159-ty, że gdy oś początkowego obrotu pokrywa się z kierunkiem jednej z głównych osi elipsoidy środkowej bezwładności danej bryły, natenczas obrót tej bryły, gdy nie działają na nią siły zewnętrzne, będzie odbywał się stale około tej osi. Każda bryła, wogóle mówiąc, posiada trzy takie osi, które wskutek tej właściwości nazwane są osiami swobodnemi danej bryły; gdyż osi te mogą pozostawać swobodnemi, a bryła będzie się około każdej z nich obracać, kierunki zatem osi głównych elipsoidy bezwładności, zbudowane w środku bryły są jednocześnie osiami swobodnemi danej bryły.

Osi te jednakże pomimo tych wspólnych właściwości różnią się między sobą pod względem obrotów, jakie bryła dana wykonywa, a które nazwiemy obrotami statecznymi lub niestatecznymi.

Wogóle nazywamy ruchem statecznym pewnej bryły taki jej ruch, który, po nieskończenie małej zmianie ruchu początkowego, zmienia się również nieskończenie mało; i odwrotnie, — ruchem niestatecznym nazwiemy taki ruch, który, po takiej zmianie, doznaje skończonych zmian. Punkt np. materyalny, znajdujący się w rurce, § 45-ty, na odległości x, określonej wzorem 99-tym, jest w ruchu kołowym niestatecznym; tymczasem takiż ruch punktu wahadła stożkowego, § 62*gi, jest — statecznym. Pojęcie stateczności ruchu jest przeto podobne do takiegoż pojęcia, podanego w statyce w § 171-szym tomu I-go. W naszym przykładzie obrotu bryły około jednej z osi głównych ruchem statecznym nazwiemy taki ruch, który niewiele się zmieni, jeżeli niewiele odchylimy oś początkowego obrotu od osi głównej; oś główna, około której odbywa się ruch stateczny, nazwiemy osią stateczną; w przeciwnym razie niestateczną. Zbadajmy teraz, które z osi swobodnych są stateczne, a które niestateczne. Zadanie to sprowadzić można do wyznaczenia postaci ruchomego toru biegunów, gdy jeden jego punkt jest dany. Jeżeli bowiem tor, którego jeden punkt jest dany w blizkości jednego z wierzchołków elipsoidy, otacza ten wierzchołek w blizkości; to ruch będzie stateczny, a oś taką nazwiemy stateczną; jeżeli zaś tor ten pomimo tego, że jeden jego punkt obrany został w blizkości wierzchołka, oddali się znacznie od tego wierzchołka, to ruch będzie niestateczny, a odpowiednią oś nazwiemy niestateczną. W celu przeprowadzenia tych badań przekształcimy nieco sposób wyznaczenia ruchomego toru biegunów danej bryły.

Płaszczyzna styczna, przeprowadzona do środkowej elipsoidy bezwładności w pewnym jej punkcie jest płaszczyzną nieruchomą, po której elipsoida się toczy w ten sposób, że odległość jej środka od płaszczyzny pozostaje podczas toczenia się niezmieniona. Na zasadzie jednakże przemienności ruchów, str. 167-ma tego tomu, tenże tor biegunów ruchomych może być również wyznaczony, przez toczenie płaszczyzny stycznej po elipsoidzie w ten sposób, ażeby jej odległość od środka elipsoidy była stałą. Toczenie takie można wykonać w ten sposób, że ze środka elipsoidy opiszemy kulę o promieniu <p'₀; a każda płaszczyzna dotykająca jednocześnie tej kuli i elipsoidy, odpowiadać będzie powyższemu warunkowi; w ten sposób punkty zetknięcia się płaszczyzny z elipsoidą wyznaczą na elipsoidzie tor ruchomy biegunów. Zastosujmy ten sposób do wyznaczenia ruchomego toru biegunów, gdy oś początkowego obrotu tworzy niewielki kąt z jedną z osi głównych i w tym celu oznaczymy długości półśrednic elipsoidy bezwładności danej bryły literami a, b, c i przyjmiemy, że

a > b > c;

co wogóle zawsze możemy przyjąć za wyjątkiem szczególnych przypadków, o których będzie jeszcze mowa.

Gdy cp₀ = «; t. j. gdy kierunek osi obrotu początkowego pokrywa się z kierunkiem największej półśrednicy elipsoidy, to

fo = <po = a;

a płaszczyzna nieruchoma dotyka się do elipsoidy i do kuli, zakreślonej promieniem (pr₀ w jednym wspólnym punkcie; tor biegunów w tym przypadku jest punktem pojedynczym.

, O s

lO- V

Jeżeli zaś kierunek osi cp₀ tworzy niewielki kąt z kierunkiem półśrednicy a, to promień cp'o kuli będzie mniejszy od tej półśrednicy; i wierzchołek elipsoidy wyłoni się z powierzchni tej kuli, rys. 99-ty; a tor biegunów, który otrzymamy, tocząc płaszczyznę po obydwóch powierzchniach, znajdować się będzie w blizkości wierzchołka elipsoidy.

Rys. 99.

Gdy zaś zmniejszać będziemy promień cp'₀ kuli, wtedy tor biegunów będzie się oddalał od wierzchołków największej średnicy, i pewną swą częścią zbliżać się będzie do wierzchołków średniej półśrednicy elipsoidy; w przypadku zaś, w którym średnica kuli równać się będzie średniej półśrednicy b, obydwie gałęzie toru biegunów, leżące na symetrycznych połowach elipsoidy, połączą się z sobą; rys. 100-ny. Gdy następnie średnicę kuli uczynimy mniejszą od średniej średnicy elipsoidy, rys. 101-szy; wtedy tor biegunów zacznie okrążać najmniejszą średnicę elipsoidy, i wreszcie, gdy średnica kuli stanie się równą najmniejszej średnicy; tor biegunów pokryje się z jej wierzchołkami.

y,

Rys. 100.

Tory te dla różnych średnic kul, t. j. dla różnych Ą położeń początkowych prędkości obrotowych, przed- / : \ stawione są na rys. 102-im. Ze sposobu tworzenia tych / v torów wnioskujemy, że przez każdy punkt powierzchni i ———* elipsoidy przechodzi jeden tor biegunów; za wyjątkiem lU / wierzchołków średniej półśrednicy, w których przecina-ją się dwa symetryczne tory. Wniosek ten ma takie znaczenie kinematyczne, że do każdej osi obrotu chwilowego, należy jeden ściśle określony stożek ruchomy: a więc powstanie jeden ściśle określony ruch danej bryły, po nadaniu jej pewnego obrotu początkowego.

Stosując te rozpatrywania do naszego zapytania o stateczności osi, przyjdziemy do wniosku, że osi,

ła

pokrywające się z kierunkiem największej i najmniejszej średnicy, są stateczne; osi bowiem obrotu początkowego, obrane w blizkości tych półśrednic, posiadają stożki o małym otworze; oś zaś, pokrywająca się ze średnią średnicą elipsoidy, jest niestateczną; najmniejsze jej bowiem odchylenie od kierunku tej średnicy, daje stożek

o znacznym otworze. Niestateczność ta ujawni się tern, że bryła obrócona około osi, tworzącej niewielki kąt z kierunkiem osi średniej średnicy elipsoidy bezwładności, i pozostawiona sama sobie, niebę-dzie się obracała dalej około osi, pozostającej w blizkości tej średnicy; lecz będzie się obracała kolejno około osi, które tworzą w bryle stożek o skończonym otworze.

W szczególnym przypadku, w którym elipsoida bezwładności pewnej bryły posiada dwie osi wzajemne równe, obrót bryły około osi trzeciej jest zawsze stateczny; około zaś osi, leżącej w równiku, jest niestateczny; o czem przekonać się można, uprzytomniając sobie tworzenie się toru biegunów. W przypadku zaś, w którym elipsoida bezwładności jest kulą, wszystkie osi obrotu są stateczne. Sześcian np. obrócony około dowolnej osi przechodzącej przez jego środek, i pozosta

Ć\/

Rys. 101.

wiony sam sobie, obracać się będzie około tej samej osi.

162. Ruch swobodnej bryły materyalnej. Ogólne rozwiązanie tego zadania przedstawia znaczne trudności matematyczne; damy przeto tutaj tylko pewne wskazówki ruchu takiej bryły i rozwiążemy je dla szczególnego przypadku, mianowicie, dla przypadku w którym moment sił zewnętrznych względem środka masy danej bryły równa się zeru.

Rys. 102.

Jużeśmy zwrócili uwagę na wynik naszych rozpatry-wań, wskazujący, że ruch środka masy bryły, na którą działają dowolne siły, porusza się jak punkt materyalny o masie danej bryły; gdy wyobrazimy sobie, że siły działające na tę bryłę, są do tego punktu przyłożone. Przez ruch tego środka jest określony jeden z ruchów składowych, na jakie wyobrazimy sobie rozłożony ruch bryły, a mianowicie jest określony ruch postępowy danej bryły. Ażeby następnie obliczyć ruch obrotowy bryły, t. j. ruch względny, § 92-gi, zastosujemy równanie 277-me. Działanie przeto sił, przyłożonych do bryły swobodnej, unaocznimy sobie, porówn. § 143-ci tomu I-go> gdy przekształcimy układ danych sił względem bieguna przekształceń, obranego w środku jej masy; a wypadkowa tych sił wywoływać będzie ruch postępowy bryły; wypadkowy zaś moment względem tego środka — obrót bryły około pewnej osi, przechodzącej przez ten środek.

Przypadek szczególny ruchu bryły swobodnej, gdy moment sił względem środka masy równa się zeru. obliczyliśmy w §-fie poprzednim. Jeżeli przeto na swobodną bryłę materyalną, posiadającą pewną początkową prędkość obrotową, działają siły, których moment względem środka jej masy równa się zeru, to ruch jej będzie złożony z ruchu postępowego, określonego ruchem środka masy; i z ruchu kulistego około środka masy, określonego ruchem toczącej się elipsoidy bezwładności po płaszczyźnie nieruchomej; jak to opisaliśmy w § poprzednim.

W następnym rozdziale rozpatrzymy jeszcze jako przypadek szczególny ruch bryły, zwanej giroskopem, na którą działa siła ciężkości.

9. O giroskopach.

pu;

163. Określenia i uwagi ogólne. Każdą bryłę materyalną, symetryczną względem pewnej osi i obracającą się ze znaczną prędkością około tej osi, nazywać będziemy giroskopem. Przykładem giroskopu jest: koło rozpędowe, obracające się na wale;—zabawka, zwana bąkiem; —kula ziemska, gdy rozpatrujemy tylko jej ruch obrotowy dzienny i t. p. Oś symetryi giroskopu nazywać będziemy jego osią; oś tę wyobrazimy sobie, jako prostę sztywno związaną z danym giroskopem i poruszającą się razem z nim. Ruch obrotowy giroskopu około tej osi nazywać będziemy dla odróżnienia od obrotów około innych osi wirowaniem danego girosko-giroskop może me tylko wirować, lecz i obracać się około innej osi, dowolnie obranej w przestrzeni; obrót ten nazwiemy wtedy obrotem dodatkowym. Jeżeli giroskop wiruje i jednocześnie obraca się około innej osi, to właściwy jego obrót odbywa się około osi, pokrywającej się z kierunkiem wypadkowej obydwóch prędkości, stosownie do prawideł, wskazanych w § 87-ym tomu I-go.

Giroskop jest przeto szczególnym przypadkiem bryły materyalnej, obracającej się około jednej ze swych osi głównych statecznych; z tą tylko różnicą, że w gi-roskopie prędkość wirowania bywa bardzo znaczną w stosunku do innych jego obrotów dodatkowych, jakie on otrzymać może; — wskutek czego możemy przyjąć z pewnym przybliżeniem, że kierunek właściwej prędkości obrotu giroskopu lub też, że kierunek wektora momentu jego ilości ruchu lub wreszcie, że kierunki obydwóch tych wektorów pokrywają się podczas ruchu giroskopu z kierunkiem jego osi. Jeżeli zaś dla większej dokładności przyjmiemy, że kierunki tych wektorów nie pokrywają się z osią giroskopu; to w każdym razie przyjąć będziemy mogli, że kąt ich odchylenia od osi giroskopu są niewielkie; co znów pozwoli usunąć z obliczenia drugie i wyższe potęgi wielkości, wyrażających te odchylenia. Uproszczenia te niepomiernie ułatwiają rozpatrywania ruchu giroskopów; którego dokładne obliczenia rozbijają się o nieprzezwyciężone trudności pod względem matematycznym.

Prawa fizyczne, jakie rządzą ruchami brył wirujących, są oczywiście te same, jakie rządzą ruchami brył zwykłych; ujawniają się one w inny tylko sposób, wskutek znacznej prędkości wirowania. Bezwładność np. punktu materyalnego ujawnia się w ten sposób, że po nadaniu mu pewnej prędkości i pozostawieniu go samemu sobie, trwać on będzie w ruchu prostolinijnym i jednostajnym, określonym prędkością początkową; ażeby zaś zmienić ten ruch, należy przyłożyć do tego punktu pewną siłę której wielkość powinna wzrastać z powiększeniem masy punktu i jego prędkości (uprzytoinnijmy sobie np. jak trudnem byłoby zmienić kierunek wyrzuconego z działa pocisku podczas ruchu pocisku). W giroskopach zaś ta sama bezwładność materyi utrzymuje jego oś w niezmienionym kierunku w przestrzeni (kinetycznej) i stawia pewien opór zmianie tego kierunku; bo chociaż siły dośrodkowe, działające na punkty giroskopu wirującego zmieniają ruchy prostolinijne tych punktów na kołowe; zmieniają je jednakże tylko w płaszczyznach prostopadłych do osi wirowania; ażeby zaś wyprowadzić je z tych płaszczyzn, należy przyłożyć do giroskopu siły zewnętrzne; a właściwie należy przyłożyć pewien moment sił, którego wielkość o tyle powinna być większą, o ile (jak to łatwo przewidzieć, a co następnie dowiedziemy) prędkość wirowania i moment bezwładności giroskopu względem osi wirowania jest większy. Bezwładność przeto materyi w giroskopie wirującym ujawnia się pewną sztywnością położenia osi wirowania w tenże sposób, w jaki ujawnia się sztywność kierunku ruchu punktu materyalnego swobodnego; sztywnym bowiem nazwać również można kierunek ruchu punktu materyalnego swobodnego. Ponieważ w powyższy sposób pojęta sztywność osi wirującego giroskopu jest bezpośrednim wynikiem bezwładności materyi; z właściwości tej przeto skorzystać można do wyznaczenia układu kinetycznego, porówn. § 64-ty części 1-szej. Pomiędzy przeto wielu zastosowaniami giroskopów, stosują go również do wyznaczenia stałych kierunków w przestrzeni.

Jeżeli punkt materyalny jest nieswobodny, jeżeli np. jest on zmuszony posuwać się po torze krzywolinijnym, to bezwładność tego punktu ujawni się pewnym naciskiem, pewnym działaniem punktu na tor. W tenże sposób ujawnia się bezwładność giroskopu, gdy zechcemy np. odchylić oś jego od położenia, jakie ona zajmuje w danej chwili w przestrzeni kinetycznej. Jeżeli np. giroskop, którego oś umieścimy w łożyskach, wiruje swobodnie, t, j. obraca się tylko około osi własnej; to w myśl wniosków § 159-go tego tomu, nie wywiera on żadnego innego działania na te łożyska, oprócz ciśnienia statycznego; jeżeli zaś giroskopowi wirującemu nadamy w jaki bądź sposób obrót dodatkowy; to wywierać on będzie za pośrednictwem swych łożysk pewne działanie na czynniki, wywołujące ten obrót dodatkowy; osią bowiem jego obrotu nie będzie już oś symetryi, — oś główna, lecz—oś inna; działanie to nazwiemy działaniem danego giroskopu na łożyska. O działaniu tern mówiliśmy już na stron. § 301-ej tego tomu; obliczając siły odporowe łożysk, w których oś obrotowa bryły zmuszoną była pozostawać.

Działanie punktu na tor, po którym on zmuszony jest posuwać się, wyrazi się normalną składową siły bezwładności danego punktu; inaczej — siłą odśrodkową; działanie zaś giroskopu, którego np. koniec osi zmuszony będzie poruszać się po danym torze, jest wywołane momentem sił bezwładności; szczegółowiej mówiąc, momentami sił odśrodkowych i stycznych, które występują w bryle obracającej się nie około jednej z osi głównych.

Z tych rozpatrywań wynika, że jeżeli giroskopowi wirującemu nadamy ruch postępowy, to zachowywać się on będzie jak zwykła bryła, t, j. nie będzie wywierał działania na czynniki, nadające mu ruch postępowy, czyli przedstawiać on będzie opór taki, jaki przedstawiałaby niewirująca bryła materyalna o masie równej

masie danego giroskopu; podczas bowiem ruchu postępowego ^wszystkie płaszczyzny prostopadłe do osi wirowania, w których punkty danej bryły zakreślają tory kołowe, pozostają podczas tego ruchu prostopadłemi do tej osi.

W celu zbadania właściwości ruchu gi-roskopów, t. j. ruchu brył materyalnych silnie wirujących około swych osi symetryi, znajdujących się pod działaniem sił zewnętrznych, rozpoczniemy od rozpatrywania szczególnych przypadków tego ruchu; ażeby następnie przejść do rozpatrywania ruchów ogólniejszych.

164. Giroskop o jednym stopniu swobody. W celu unaocznienia sobie giroskopu, wyobrazimy go sobie w postaci pierścienia materyalnego, wirującego na osi, umieszczonej końcami swymi (czopami) w ramie. Jeżeli rama ta jest unieruchomioną, t. j. jeżeli rama ta nie może swobodnie się poruszać; to giroskop taki nazwiemy gi-roskopem o jednym stopniu swobody, rys.

103-ci.

V/////// V//////,

1)

u'

-S

W'*

C.5J

dN

Rys. 103.

Jeżeli rama giroskopu pozostawać będzie w spoczynku, to wirujący giroskop będzie wywierał na łożyska w których oś się obraca tylko ciśnienia statyczne, t. j. ciśnienia równe ciężarowi giroskopu. Obróćmy następnie w jaki bądź sposób w możliwie krótkim czasie dt ramę wraz z wirującym giroskopem około osi, prostopadłej do płaszczyzny ramy o kąt dó; to giroskop za pośrednictwem swej osi, na której się obraca, wywrze pewne działanie na ramę; które to działanie można bezpośfednio odczuć, jeżeli ramie, którą trzymać będziemy w ręku, nadamy wraz

. Zadaniem naszem jest

z wirującym giroskopem chwilową prędkość obrotową

obliczenie tego działania. W celu unaocznienia sobie zachodzących stosunków dynamicznych, zastosujemy do tych obliczeń metodę d’Alembert’a. Jeżeli giroskop obraca się tylko około własnej osi i oś jego jest w spoczynku; to siły odśrodkowe punktów giroskopu, ze względu na symetryczność masy giroskopu względem osi obrotu, wzajemnie się równoważą. Lecz jeżeli nadamy giroskopowi wirującemu jeszcze obrót dodatkowy; to położenie osi właściwego obrotu względem osi giroskopu się zmieni; i położenie to wyznaczymy jako wypadkową, określoną wzorem:

dt

i-

a.

Ç-+. -€-l

gdzie w oznacza prędkość wirowania giroskopu; ~ prędkość chwilowego obrotu; rys. 103-ci.

Ponieważ oś właściwego obrotu nie pokrywa się już z osią symetryi (t. j. z osią główną) danego giroskopu; lecz jest pochyloną względem tej osi, przeto siły od-

środkowe punktów danego pierścienia dają moment, dążący do obrócenia girosko-pu w pewnym ściśle określonym kierunku; a w naszym przykładzie, w którym gi-roskop posiada jeden tylko stopień swobody, moment ten działa za pośrednictwem osi giroskopu na ramę i wywiera na nią pewien nacisk. Podczas obrotu dodatkowego powstają przeto pary sił odśrodkowych, które dążą do ustawienia danego giroskopu symetrycznie do właściwej, t. j. do wypadkowej osi obrotu; inaczej mówiąc, pary te dążą do podniesienia dodatnego końca giroskopu ku górze, rys. 103. Wypadkową parę sił odśrodkowych oznaczyliśmy schematycznie na rysunku 103-cim literami D₁ i Bv

Ponieważ wektor obrotu wypadkowego leży pomiędzy osią giroskopu i wektorem prędkości obrotu dodatkowego, a giroskop wskutek powstałego momentu sił bezwładności dąży do ustawienia się symetrycznie względem tej nowej osi; t. j. dąży do pokrycia swej osi symetryi z osią obrotu wypadkowego; przeto wyrazimy sposób działania giroskopu o jednym stopniu swobody następującem prawidłem: podczas nadania giroskopowi wirującemu o jednym stopniu swobody obrotu dodatkowego, oś jego wskutek powstałego momentu sił odśrodkowych dąży do zgodnego pokrycia się z osią obrotu dodatkowego.

Stosując przeto metodę d’Alembert’a do wyjaśnienia zjawiska ruchu giroskopu, powiedzieć możemy, że działanie giroskopu o jednym stopniu swobody, jakie się ujawnia podczas jego obrotu dodatkowego, jest działaniem momentu sił odśrodkowych, jaki powstaje w chwili odchylenia się osi właściwego obrotu od osi giroskopu.

Ażeby obliczyć wielkość tego działania, zastosujemy twierdzenie, dowiedzione w § 179-ym, że moment sił bezwładności, który oznaczymy literą Kx , rys. 103-ci wyraża się wzorem

dN

dt ’

*i = -

w którym N oznacza wektor momentu ilości ruchu danego giroskopu.

Jeżeli literą C oznaczymy moment bezwładności giroskopu względem jego osi, to podczas wirowania

N= C.Z.

Ażeby obliczyć pochodną wektora N, czego wymaga równanie momentów, wyobrazimy sobie wektor ten umieszczonym wzdłuż osi giroskopu i wykonującym razem z tą osią obrót dodatkowy; a wektor prędkości końca tego wektora z odwrotnym zwrotem, będzie wektorem momentu sił odśrodkowych, t.j. wektorem wyrażającym działanie danego giroskopu.

Ponieważ w naszym przypadku przyjęliśmy

d<\>

dt L

przeto wartość tego działania wyrazi się wzorem algebraicznym:

a,

Obydwa te wzory wyrazić można wzorem wektorowym:

dt ’

K, = -\N.

który stosowaliśmy już w § 51-szym tomu I-ego, w celu wyrażenia prędkości punktu za pomocą promienia wodzącego i prędkości obrotowej.

Oznaczywszy odległość pomiędzy punktami podparcia ramy literą a\ a siły, działające na podpory, t. j. naciski literą 7), napiszemy dla danego przypadku równanie:

D.a=Ca>.

d ty dt '

z którego obliczymy siły, działające na łożyska. Siły te przeto dążą do uniesienia jednego końca giroskopu, i do przyciśnięcia drugiego jego końca, rys. 103-ci. Możliwym przeto ze stanowiska dynamicznego okaże się przypadek, w którym np-oś giroskopu, podparta jednym tylko swym końcem, pozostawać będzie w płaszczyźnie poziomej; a nawet przy pewnych warunkach może okazać dążność do uniesienia końca nie podpartego wbrew sile ciążenia giroskopu.

W technice—działania giroskopów występują np. we wszystkich obracających się kołach statków parowych, podczas zakręcania statków; występują one również w tychże warunkach w kołach wszystkich wozów; choć zwykle momenty bezwładności tych kół i prędkości ich obrotowe są tak nieznaczne, że działania te wobec innych czynników, działających na te wozy, bywa niewielkie; w wielu jednakże przypadkach należy te działania uwzględniać; mogą one bowiem przy pewnych warunkach wywołać niepożądane zjawiska (¹).

165. Nieścisłość wzorów powyższych. W rachunku powyższym popełniliśmy pewną niedokładność, przyjmując, że kierunek wektora momentu ilości ruchu giroskopu pokrywa się z kierunkiem jego osi symetryi; co zachodzi tylko w przypadku, gdy obrót bryły odbywa się około jednej z osi głównych; w naszym zaś przykładzie, gdy giroskop otrzymuje obrót dodatkowy, kierunki te tworzą z sobą pewien kąt. Wzory przeto, otrzymane drogą powyższą, są przybliżone i o tyle tylko zbliżają się do wzorów ścisłych, o ile kąt odchylenia prędkości wypadkowej

dty

Jeżeli zaś w ogólniejszym przypadku oś obrotu dodatkowego tworzy z osią giroskopu pewien kąt, który oznaczymy literą a; to

. sin a

K, = C . to .

-o-

dt

(386)

od osi symetryi jest niewielki, t. j. o ile wartość jest małą w porównaniu z war-

U/L

tością (¹ r, i o ile wartości momentów bezwładności danej bryły względem osi prostopadłych do osi giroskopu są małe; porówn. wzór 262-gi tego tomu. W praktycznych jednakże zastosowaniach wpływ tych wielkości na przebieg zjawiska ruchu bywa tak nieznaczny, że przyjąć można, szczególniej w pierwszych badaniach,

obrotu ~ będzie ze względu na możność obrotu około nowej osi zupełnie inne,

d'b

że kierunek momentu ilości ruchu giroskopu wirującego oraz kierunek prędkości obrotowej pokrywa się z kierunkiem jego osi.

166. Giroskop o dwóch stopniach swobody. Gdy uczynimy ramę opisanego poprzednio giroskopu—ruchomą w ten sposób, żeby mogła obracać się swobodnie około osi prostopadłej do osi giroskopu, i gdy prędkość obrotową około tej nowej

osi oznaczymy wektorem

0/ i

stopnie swobody ruchu; będzie on bowiem posiadał obrót swobodny około osi w

Działanie tego giroskopu podczas przymusowego

i takiż obrót około osi

dl

dl

dt ’

rys. 104-ty, to giroskop ten posiadać będzie dwa

Clo

niż było poprzednio. Różnica będzie polegać na tern, że działanie giroskopu, o jednym

stopniu swobody równoważyło się poprzednio z siłami odporowemi łożysk, które się nie poddawały temu działaniu; w danym zaś giroskopie wywoła ono obrót ruchomej ramy

giroskopu około osi nowej

HE

‘//////%V/A

Ks

'//////////////

dft

dt

Wyobraźmy sobie, że w początku ruchu giroskop wiruje tylko około swej osi

\\Ä

\\r

i^MCwckJ)

z prędkością to i że rama ruchoma, w której on się obraca oraz rama nieruchoma, w której obraca się na czopach rama ruchoma, rys. 104-ty, znajduje się w jednej płaszczyźnie poziomej. Nadajmy następnie temu giroskopowi wraz z ramami pewien obrót przymuszony około osi, prostopadłej do płaszczyzny obydwóch ram, o prędkości

d~

chwilowej a wywołamy tym obrotem

Rys. 104.

działanie giroskopu, t. j. wywołamy siły odśrodkowe, których moment obliczymy jak w poprzednim przykładzie. Oznaczywszy wektor tego momentu literą Kx ; porówn. rys. 104-ty, obliczymy jego wartość

Gdy giroskop posiadał jeden stopień swobody, jak poprzednio, t. j. gdy rama w której obracała się oś to nie miała swobody ruchu; wtedy działanie tego giroskopu równoważyło się z siłami odporowemi jego ramy; w danym zaś przypadku, ponieważ rama wraz z giroskopem ma możność obrotu, działanie to wywołuje

dl

obrót ramy ruchomej wraz z giroskopem około nowej osi . Związek dynamiczny

pomiędzy tern działaniem i wywołanym przez niego ruchem jest taki sam; jaki zachodzi pomiędzy działaniem momentu sił zewnętrznych, a wywołanym przez niego ruchem obrotowym; związek ten wyraża wzór 279-ty tego tomu; który w danym przykładzie przybierze postać :

Cio .

a,

dt² ’

(387)

gdzie A oznacza moment bezwładności giroskopu względem nowej osi.

d$

Lecz obrót giroskopu około osi wywołuje obrót wektora momentu ilości ruchu ć7(*Tokoło tej osi tak, iż powstaje nowy przyrost jego ze zwrotem zgodnie równoległym do wektora a wartość jego rozdzielona przez czas, wyrazi się

wzorem :

K, = C(*.

dd-

dt’

(388)

porówn. rys. 104-ty.

Przesunięciu temu odpowiada przeto nowe działanie giroskopu, które występuje w postaci momentu pary sił, starającej się obrócić dany giroskop około osi

d <p

, lecz ze zwrotem przeciwnym zwrotowi tej prędkości. Ponieważ dany giroskop

(XL

stosownie do warunków zadania niema możności obrócenia się swobodnie około osi ^ , działanie to przeto będzie zrównoważone siłami odporowemi ramy nieru-chomej. Innemi słowy, jeżeli giroskopowi wirującemu nadamy w jakibądź sposób pewną prędkość około osi prostopadłej do płaszczyzny ram, to należy do ramy

z równania 387-go, po jego scałkowaniu

przyłożyć parę sił, równoważącą występujące działanie giroskopu, którego wartość wyraziliśmy wzorem 388 ym, a wektor jego nanieśliśmy na rys. 104 tym. Po podstawieniu we wzór 388-my wartości

otrzymamy:

K₂ =

C²w²

. . (389)

Jeżeli przeto obrócimy giroskop o dwóch stopniach swobody w płaszczyźnie jego obydwóch osi, to giroskop będzie stawiał pewien opór temu obrotowi; dla obrócenia przeto takiego giroskopu należy przyłożyć do niego oprócz sił chwilowych, nadających przyrządowi jako zwykłej bryle materyalnej odnośną prędkość

jeszcze parę sił, przezwyciężająca działanie giroskopu, t. j. parę

obrotową

-o-

dt ’

równoważącą działanie danego giroskopu. Wielkość tej pary może być w zwykłych nawet warunkach dosyć znaczną; rośnie ona bowiem w stosunku do drugiej potęgi momentu bezwładności giroskopu i w stosunku do drugiej potęgi jego prędkości wirowania.

Działanie to unaocznimy sobie w następujący sposób: jeżeli np. nadamy rękoma danemu giroskopowi obrót chwilowy ~~ ; to uczujemy w tejże chwili działa-

Cl l

nie momentu K₂, które się ujawni w postaci krótkotrwałego szarpnięcia giroskopu w przeciwną stronę nadanemu obrotowi. Krótkotrwałość działania tego momentu pochodzi stąd, że giroskop pod działaniem momentu Kx obróci się swą osią ku

dty

dt ’

działanie momentu Z₂ zaniknie. Działanie to jednakże powstanie ponownie, jeżeli giroskop siłą swej bezwładności obróci się o 180°; lecz wtedy działanie to będzie posiadało zwrot przeciwny poprzedniemu; krótko mówiąc: giroskop obrócony

górze; wskutek czego w chwili, w której oś ta stanie równolegle do kierunku

z prędkością ~ ujawnić może przy pewnych warunkach cały szereg szarpnięć ze

Cl i

zwrotami naprzemian, to przeciwnymi nadanemu obrotowi, to zgodnymi z nim.

Dla obrócenia przeto giroskopu o dwóch stopniach swobody w płaszczyźnie jego obydwóch osi potrzebny jest dla przezwyciężenia powstającego działania momentu sił odśrodkowych pewien nakład pracy mechanicznej, który znaleźć może swój wyraz w wysiłku, jaki użyć musimy do wykonania tego obrotu rękoma. Dla obrócenia zaś giroskopu o jednym stopniu swobody nie potrzeba żadnej pracy, żadnego wysiłku; powstające bowiem działanie jego podczas takiego obrotu jest prostopadłe do płaszczyzny tegoż obrotu.

Powstanie działania giroskopu o dwóch stopniach swobody, może być również wyjaśnione bezpośrednio na podstawie działania momentu sił odśrodkowych, jakie

obra-

powstają podczas właściwego ruchu giroskopu. Giroskop podczas obrotu

ca się w rzeczywistości około osi;

dû

dt

-e-i

dt r

lecz ponieważ działanie, wywołane obrotem ^ , wywołuje obrót giroskopu około

Cl I

dl

osi nieruchomej nie udziela się przeto ono jego ramie nieruchomej; a wywołuje

tylko nowy obrót. Działanie więc tego giroskopu wywołuje się obrotem około osi rys. 104-ty:

d&

0,+dt

i dąży do ustawienia giroskopu symetrycznie do tej osi; wskutek czego otrzymuje się działanie określone wektorem Kr

W celu unaocznienia sobie działań opisanych giroskopów, wyobrazimy sobie, że trzymamy poziomo w rękach łożyska, w których obraca się oś giroskopu; jeżeli trzymać będziemy ręce poziomo i dosyć sztywno, to giroskop będzie posiadał jeden tylko stopień swobody; i jeżeli trzymać będziemy te łożyska w spoczynku, to odczuwać będziemy w rękach tylko naciski, pochodzące od rozkładu ciężaru całego

przyrządu, które określić można z równań sta tyki; jeżeli zaś obrócimy się wraz z giroskopem około osi pionowej, to odczujemy w jednym ręku powiększenie się tego nacisku, w drugiem zaś zmniejszenie się; a mianowicie, jeżeli w prawym ręku trzymamy koniec dodatny osi obrotu i obrócimy się ze zwrotem również do-datnym (prawem ramieniem w tył, lewern naprzód), to w prawem ręku uczujemy zmniejszenie się nacisku, wlewem zaś powiększenie. Przy znacznej prędkości giro-skopu i nagłym obrocie około osi pionowej, koniec jego prawy może nawet wyrwać się z ręki ku górze; a lewą rękę może przycisnąć ku dołowi; chcąc przeto utrzymać oś giroskopu podczas tego obrotu w poziomie, należy odpowiednio do tego działania dopasować wysiłki naszych muskułów; a jeżeli podtrzymanie tych łożysk jest wykonane za pomocą przyrządów mechanicznych, to należy zwrócić uwagę na odpowiednie umocowanie tych łożysk.

Jeżeli zaś pozwolimy danemu giroskopowi wykonać możliwie swobodnie opisany ruch (t. j. ruch prawego końca ku górze); to otrzymamy giroskop o dwóch stopniach swobody i działanie jego na nasze ręce będzie inne niż było poprzednio. Ażeby to działanie określić, uprzytomnijmy sobie w jaki sposób obraca się wektor N momentu ilości ruchu podczas ruchu przyrządu; wektor ten w tym przypadku obraca się około osi poziomej i koniec jego podczas tego obrotu wyznacza wektor pionowo skierowauy ku górze; działanie przeto tego giroskopu ujawni się obrotem giroskopu około tego wektora z przeciwnym zwrotem temu, jaki wskazuje jego strzałka; czyli prawy koniec danego giroskopu. będzie dążył do oddalenia się od nas; lewy zaś będzie zbliżał się; ażeby przeto przyrząd cały utrzymać w pierwotnem położeniu, należy silnie przyciągać rękę prawą ku sobie, a lewą odpychać.

167. Ruchy bezwładne giroskopów. Zbadajmy teraz jaki będzie ruch

opisanych giroskopów po nadaniu im prędkości i po pozostawieniu ich następnie samym sobie; t. j. jaki ruch wykonają te giroskopy bez udziału sił zewnętrznych, a jedynie pod działaniem sił odporowych; — nie uwzględniając sił oporowych, jakie powstają podczas ruchu.

Ruch taki wogóle można nazwać ruchem bezwładnym danej bryły swobodnej lub nie swobodnej, lub takiegoż punktu materyalnego; gdyż w danym razie bryła czy też punkt podlegają tylko działaniu sił bezwładności i względnie sił odporowych, jeżeli są nieswobodne. Ruchem bezwładnym np. punktu materyalnego swobodnego jest ruch prostolinijny i jednostajny. Wyrazem matematycznym tego ruchu jest wzór:

o-

a dt U’

wyrazem zaś takiegoż ruchu bryły materyalnej, obracającej się np. około punktu nieruchomego, bez udziału sił zewnętrznych, jest wzór

dMv

dt

względem bieguna, obranego w punkcie nieruchomym.

Jeżeli przeto mamy do czynienia z giroskopem o jednym stopniu swobody, i jeżeli oś jego jest nieruchomą w przestrzeni, to już w § 126-tym dowiedliśmy

ogólnie, że po nadaniu początkowej prędkości wirowania, giroskop taki, jako bryła, obracająca się około osi głównej, wirować będzie z początkową prędkością; i że tej

prędkości nie zmieni nadana jemu prędkość chwilowa ^ ; gdyż moment sił od-

porowych, który występuje podczas tego obrotu jako moment sił zewnętrznych jest prostopadły do osi wirowania, nie może wpłynąć na zmianę prędkości wirowania.

Podobnie, choć nieco inaczej przedstawi się zjawisko ruchu bezwładnego giroskopu o dwóch stopniach swobody. Ponieważ wektor momentu sił odporowych jest w tym razie prostopadły do płaszczyzny obydwóch osi swobodnych, rzuty przeto jego na każdą z tych osi równają się zeru, a więc i wartości momen-

tówilości ruchu C. w i A.—^y względem tych osi są stałe; z czego znów wynika, że

prędkości obrotowe są, jak poprzednio było z jedną prędkością, również stałe, t. j.

g> = w₀;

dù

dtlo ’

gdzie wskaźniki zero oznaczają odpowiednie wielkości w początku ruchu, t. j. w chwili, w której giroskop otrzymał prędkość

dt

-e-

dt

Ruch przeto bezwładny giroskopu o dwóch stopniach swobody składa się

z dwóch obrotów jednostajnych; z obrotu w około osi giroskopu i z obrotu tej osi około osi nieru-

ii

chomej w przestrzeni . Wektor chwilowego

CL Z

obrotu tego giroskopu określimy przeto wzorem

d~

Rys. 105.

t; wektor więc ten leży w płaszczyźnie tych osi, razem z nią się obraca i zakreśla stożek około osi nieruchomej

dt

dl

-nrys. 105-ty; jest to

CL i

stożek sztywno związany z przestrzenią nieruchomą (kinetyczną). Drugi zaś stożek ruchomy, sztywno związany z giroskopem, wyobrazimy sobie wytworzony przez obrót wektora chwilowego obrotu

co -|-

a, a.

około osi ruchomej co; ruch przeto bezwładny giroskopu o dwóch stopniach swobody możemy odtworzyć tocząc prosty stożek ruchomy, którego oś pokrywa się

z osią giroskopu, po również prostym stożku, lecz nieruchomym o osi

d~

dt '

Taki

ruch bryły nazywają wogóle ruchem precesyjnym, a prędkość ~ prędkością pre-cesyjną, kierunek zaś jej osią precesyi.

168. Giroskop o trzech stopniach swobody. Jeżeli płaszczyznę ramy nieruchomej giroskopu o dwóch stopniach swobody ustawimy prostopadle do pła-

szczyzny osi |w, i uczynimy ją obracalną około osi pionowej przez dodanie

odpowiednich czopów, mogących obracać się swobodnie w nowej ramie zewnętrznej nieruchomej, to otrzymamy obraz giroskopu o trzech stopniach swobody,

rys. 106-ty. Prędkość kątową około tej nowej osi obrotu oznaczymy wektorem

- d&

Giroskop przeto ten posiada trzy prędkości składowe w,

dt

-e-l

, około których

dt ’ dt

swobodnie może się obracać; ruch przeto takiego giroskopu jest ruchem kulistym około punktu nieruchomego; ruch ten pod względem dynamicznym rozpatrywaliśmy na str. 305-tej tego tomu.

O działaniu takiego giroskopu na podpory mowy być nie może; giroskop ten bowiem posiada zupełną swobodę obracania się około dbwolnej osi, przechodzącej przez punkt, w którym te trzy osi się przecinają; mowa może być tylko o statycznem zrównoważeniu ciężaru takiego giroskopu; lecz rozpatrywania tego przypadku, nie mającego nic wspólnego z działaniem giro-skopów, podawać tu nie będziemy.

Giroskopem przeto o trzech stopniach swobody, możemy swobodnie obracać w przestrzeni, nie odczuwając żadnych oporów.

169. Stabilizacya wozu na jednej szynie.

Przykład ten ma na celu wykazać możliwość utrzymania się wozu biegnącego po jednej szynie, która znajduje się niżej środka ciężkości wozu. Rys. 107-my przedstawia przekrój poprzeczny wozu; litery W, W oznaczają ściany jego boczne; litery R, R -ramę, mogącą obracać się około osi poziomej a, a w łożyskach, przymocowanych do ścian wozu; w ramie tej umocowane są łożyska, w których osadzona jest oś z wirującym giroskopem. W położeniu pionowem wozu oś giroskopu stoi wogóle pionowo; a w płaszczyźnie symetryi wozu, niżej środka jego ciężkości, znajdują się koła danego wozu. Gdy wóz obciążony jest symetrycznie i gdy giroskop pozostaje w spoczynku, wóz znajduje się w równowadze niestałej; i najmniejsze jego odchylenie z tej równowagi powoduje obrót około krawędzi szyny. Oznaczmy kąt odchylenia płaszczyzny symetryi wozu od płaszczyzny pionowej, pochodzącej przez szynę, literą <|>; ciężar wozu—wraz z przyrządami literą Q, literą H odległość środka jego ciężkości Sl od krawędzi szyny, po której się wóz toczy; i wreszcie literą I moment jego bezwładności względem osi obrotu, t. j. względem krawędzi szyny; a wyrazimy moment siły ciężkości wozu, podczas jego odchylenia się od pionu o kąt <j>, wzorem.

Tyj ja

\%////////////s

d''.>

3t

ÜJ

Rys. 106.

Q H . sin <[>.

Moment sił wywołuje obrót wozu około krawędzi szyny ze zwrotem dodat-nym. Przyjmijmy dla uproszczenia danego rachunku, że kąt odchylenia jest niewielki tak, iż zastąpimy wartość sin wartością luku tego kąta <j>; a równanie dynamiczne ruchu przewracającego się wozu będzie stosownie do równania 280-tego następujące:

. . (390)

K=N#

f!\ I

s;

Położenie giroskopu wraz z ramą jest również równowagą niestałą; gdy bowiem odchylimy ramę giroskopu , od pionu o kąt ł>, powstanie moment jego ciężkości, który wywoła obrót ramy wraz z giroskopem około osi a, a. W celu obliczenia równania dynamicznego tego ruchu, oznaczmy literą q ciężar giroskopu łącznie z ciężarem ramy; literą,;' moment jego bezwładności wraz z ramą, względem osi obrotu a, a; literą h odległość jego środka ciężkości S₂ od osi obrotu a, a-, i. literą %■ kąt, o jaki się rama wraz z giroskopem odchyli od pionu; a szukane równanie w postaci przybliżonej jest następujące:

dt²

(391)

Rys. 107.

Jeżeli zaś giroskopowi nadamy ruch wirowy, to dwie takie bryły materyalne jak rama z giroskopem i wóz, z których każda oddzielnie znajduje się w równowadze niestałej, zespalają się jednakże w jedną całość stateczną nie wywrotną; jak to zaraz wykażemy. Podczas ruchu wirującego giroskopu, wywołanego obrotem dodatkowym wozu, powstają momenty sił odśrodkowych, które zmieniają wyżej przytoczone równania ruchu i zmieniają ruch tak wozu jak i giroskopu. Ażeby obliczyć te momenty, należy wziąść pod uwagę ruch wektora momentu ilości ruchu giroskopu wirującego; i w tym celu dla uproszczenia rachunku przyjmiemy, że kierunek tego wektora, który oznaczymy literą N, pokrywa się podczas obrotu wozu i ramy z kierunkiem osi giroskopu. Założenie to jednakże nie jest zupełnie zgodne z rzeczywistością; położenie bowiem wektora momentu ilości ruchu zmienia się względem osi giroskopu, wskutek występujących obrotów dodatkowych; które jednakże, przy zastrzeżeniu, że kąty odchylenia i ó są nie wielkie, nie mogą być wielkiemi; założenie to przyjmiemy do naszych obliczeń, jako przybliżenie nie-

przekraczające granic dokładności zamierzonych obliczeń i przybliżenie to będzie o tyle bliższe prawdy, o ile znaczniejszą jest prędkość wirowania giroskopu i jego moment bezwładności względem swej osi. Wektor przeto N momentu ilości ruchu danego giroskopu wyobrazimy sobie umieszczonym wzdłuż jego osi, i wykonującym ruch razem z tą osią. Założenie to pozwoli nam wyznaczyć przyrosty tego wektora i jego pochodne wektorowe; które wzięte z odwrotnymi zwrotami wyrażać będą działania giroskopu, t. j. działania momentów sił odśrodkowych, jakie powstają w giroskopie wskutek jego obrotów dodatkowych. Zwrócić przytem należy uwagę na tę okoliczność, że przyrost każdego wektora o stałej długości, a więc i wektora N powstaje tylko podczas jego ruchu obrotowego; a więc tylko podczas ruchu obrotowego osi giroskopu ujawni się jego działanie; jeżeli zaś ruch tego wektora jest postępowy, to działanie giroskopowe nie powstaje; cośmy zresztą »fizycznie wyjaśnili na początku tego działu. Podczas przeto dowolnego ruchu giroskopu należy wyróżnić tylko prędkość obrotową jego osi. Wyobraźmy sobie wóz w położeniu pionowem; ramę zaś razem z giroskopem w ruchu wahadłowym około osi a, a, to prędkość chwilową jej obrotu, gdy znajdować się ona będzie w położe-

dft    —

niu fr, wyrazimy wzorem prędkość przeto końca wektora N w tejże chwili wyrazimy wzorem

N.

dt ’

a kierunek jej będzie styczny do koła, jakie ten koniec zakreśla podczas obrotu ramy. Ze względu jednakże, że kąt 0- ma być nieznaczny, — kierunek tego wektora będzie niemal równoległym do osi podłużnej wozu; jak pokazano na rysunku

107-ym.

Działanie przeto giroskopu podczas tego ruchu wyrazimy wektorem równym, lecz co do zwrotu przeciwnym wektorowi prędkości; wektor ten oznaczono na rysunku literą K, zwróconą do czytelnika, przeto

(392)

K=JS

dù

dt

Wyobraźmz sobie teraz ramę giroskopu w płaszczyźnie pionowej, a wóz razem z giroskopem w ruchu obrotowym około szyny; oznaczmy następnie literą <{> kąt nachylenia wozu względem osi pionowej, to prędkość obrotową osi giroskopu w tern

dt

położeniu giroskopu wyrazimy wzorem

działanie przeto giroskopu wyrazi się

wektorem, który oznaczymy literą k\ a który oznaczony jest na rysunku literą TT, dopisaną przy wektorze ze zwrotem na lewo, literę tę przeto należy zamienić literą k. Wartość tego wektora

(393)

lc = N

a kierunek, przyjmując, że <]> jest niewielkie, będzie poziomy i prostopadły do osi wozu, jak pokazano na rysunku 107-ym. Jeżeli przeto wóz odchyli się od pionu o kąt <{ą giroskop zaś o kąt fr; to do momentów sił zewnętrznych

QHà

ąh łt,

jakie działają na giroskop dochodzą jeszcze działania samego giroskopu, jako momenty sił odśrodkowych, występujących w giroskopie podczas jego ruchu. Wnio-

W rozumowaniach tych przyjęliśmy, że giroskop obrócił się o kąt û przy <J> = 0; i na podstawie tego obliczyliśmy działanie K\ następnie przyjęliśmy, że przy fr=0, wóz obrócił się o kąt <}>, i stąd obliczyliśmy działanie k\ lecz w rzeczywistości ruch ramy giroskopu będzie inny, i może być w rozmaity sposób wykonany. Jeżeli np. giroskop obrócił się wpierw o kąt & przy ty 0; a następnie obrócił się on wraz z wozem o kąt <j>; to właściwie działanie giroskopu wyrazi się w tym razie wzorem

sek ten daje możność zestawienia równań dynamicznych ruchu wozu; zanim to jednakże uczynimy, zdajmy sobie sprawę z założeń, na jakich oparliśmy powyższe wywody.

-e-

dt

sin (90 — ft),

oś bowiem giroskopu, w chwili obrotu około krawędzi szyny, jest już pochyloną względem tej krawędzi o kąt (90—ft).

Jeżeli zaś wóz wykona wpierw obrót ty przy & = 0, to podobnież wzór działania K będzie inny, niż ten, który przytoczyliśmy. Podane przeto wzory 392-gi i 393-ci, wyrażające działanie giroskopu, dają wartości przybliżone, oparte na pominięciu drugich i wyższych potęg kątów odchylenia.

¹

Obliczenie działania giroskopowego kół wagonów na szyny znajdzie czytelnik u Kleina i Somerfelda w tomie lV-tym na str. 771; oraz powtórzone to obliczenie przez p. L. Silbersteina w Przeglądzie Technicznym Jsfe 18, 1912 roku.

Przyjąwszy przeto wielkości działań danego giroskopu, jakieśmy je obliczyli w równaniach 392 i 393-ciem, przyłączymy te działania do działań momentów sił zewnętrznych i napiszemy zamiast równania 390 go i 391-go następujące:

dû

QH,^ + N.dt

= /.

d²ty dt² ’

dty

= /•

d²û

(394)

«*•*-*•*

są to dwa równania linijne jednoczesne z dwiema zmiennemi zależnemi,—różniczkowe drugiego rzędu ze stałymi spółczynnikami.

Zwrócić tu należy uwagę, że w równaniach tych tkwi jeszcze jedno przybliżenie, które należy sobie uświadomić; mianowicie litera I stosownie do danego określenia oznacza moment bezwładności wozu i ramy giroskopowej wraz z girosko-pem przy pewnem ściśle określonem wzajemnem ich położeniu; tymczasem—rama wraz z giroskopem jest w ruchu względem wozu, wartość przeto I jest zmienną i zależy od kąta ł>; wobec jednakże nie wielkich odchyleń przyjąć ją możemy za stałą; do przyjęcia tego założenia upoważnia nas jeszcze ta okoliczność, że masa giroskopu jest niewielką w stosunku do masy wozu, błąd przeto staje się jeszcze mniejszym.

Celem naszym obecnie jest przekształcenie równań 394-tych na inne dwa równania różniczkowe, z których każde posiadać będzie po jednej zmiennej zależnej; po scałkowaniu bowiem tych równań otrzymamy równanie ruchu obrotowego wozu około krawędzi szyny; które będzie miało postać ogólną ty=f(t). Jeżeli funkcya ta będzie tego rodzaju, że z rosnącem t. kąt ty będzie także rósł, to wyrażać ona będzie, że wóz dany wywróci się i że urządzenie giroskopowe nie wpływa na jego stabiliza-cyę; jeżeli zaś otrzymamy funkcyę, która, pomimo powiększającej się wartości t, da wartość dla ty zmienną w pewnych granicach, lub też wartość zanikającą; to

• dt2 1

wóz dany będzie się wahać około pewnego położenia; lub też w drugim przypadku będzie stale zbliżał się do pewnego położenia równowagi, lecz nie wywróci się.

Przekształcenie równania 394-tych na dwa równania z oddzielonemi zmiennemi wykonać można w rozmaity sposób. W celu np. wyrugowania z tych równań zmiennej weźmiemy drugą pochodną równania pierwszego i pierwszą pochodną równania 2-go; i wyrugujmy z nich trzecią pochodną zmiennej fr, która powstanie po obliczeniu tych pochodnych; w tern nowem równaniu znajdować się jeszcze będzie oprócz zmiennej <|> pierwsza pochodna zmiennej ł>; której wartość podstawimy z równ. pierwszego, równań 394-tych; w ten sposób otrzymamy następujące równanie różniczkowe zmiennej <|>:

dt²

Ażeby wszystkie pierwiastki równania charakterystycznego tego równania różniczkowego były urojone, co jest niezbędnem dla stabilizacyi wozu, należy, ażeby spółczynniki jego odpowiadały następującym warunkom, porów, wzory na str. 295-tej tego tomu :

1) iV²- QH. i — qh .1 > 0;

i wreszcie ażeby

2)    QH. qh > 0;

3)    (N² - QH .i — ąh. I)² > QH.qh.Ii.

Warunkowi 1-szemu możemy fizycznie uczynić zawsze zadość, powiększając wartość N; przez powiększenie prędkości wirowania giroskopu lub przez powiększenie jego momentu bezwładności względem jego osi.

Drugi warunek jest w danem zadaniu spełniony: obydwa bowiem QH i g A są dodatne.

Gdybyśmy jednakże chcieli np. umieścić oś ramy giroskopu wyżej jego środka ciężkości, wtedy należałoby w powyższe równanie podstawić qh = —qh; moment bowiem ciążenia po odchyleniu giroskopu byłby odjemny, a wóz pod działaniem tak zawieszonego giroskopu musiałby się wywrócić; równanie bowiem jego ruchu nie odpowiadałoby warunkowi ruchu okresowego. Warunkowi jednakże drugiemu może być uczynione zadość, jeżeli obydwa momenty (QH) i (qh) będą odjemne; lecz przypadek QH < 0 nie odpowiadałby naszemu wozowi. Przypadek zaś, w którym QH jest odjemne, zachodzi w statku wodnym, wypór bowiem wody dąży do ustawienia pochylonego statku pionowo; dla wstrzymania przeto statku od bujań, t. j. od wahań około podłużnej osi statku, giroskop należy zawiesić w położeniu statecznem, wtedy bowiem QH i qh będą odjemne; i kąt <|> wyrazi się funkcyą okresową czasu.

Rozpatrzymy pewne szczególne przypadki. Z równań 394-tych otrzymamy równ. 390 i 391-sze dla następujących szczególnych przypadków:

1) jeżeli podstawimy ^=0; co odpowiada przypadkowi, w którym giro-skop nie wiruje; również otrzymamy te równania;

2) jeżeli ₇

= 0; t. j. jeżeli rama pozbawiona jest swobody obrotu około

swej osi obrotu; w tych więc przypadkach giroskop wirujący pozostaje bez wpływu na stabilizacyę wozu; i wreszcie 3) jeżeli -r—= 0, t j. jeżeli wóz pozbawiony jest możności wywrócenia się;

-e-

CLL

obrót ramy giroskopu będzie w tym razie taki, jak gdyby nie istniał giroskop. Wyjaśnienie takiego zachowania się ruchu ramy lub wozu, jakie stosujemy do tych dwóch przypadków, znajdzie czytelnik w przykładach o działaniu giroskopów o jednym stopniu swobody. Te dwa szczególne przypadki możemy uogólnić i wyjaśnienie to wypowiedzieć w następujący sposób: właściwości stabilizacyjne posiada jedynie giroskop o trzech stopniach swobody.

Przykłady powyższe mają na celu wskazanie metody obliczenia, jakie należy stosować przy stosowaniu giroskopu do stabilizacyi przyrządów chwiejnych. Szczegóły tych badań jak np. wpływ siły odśrodkowej wozu na działanie giroskopu podczas ruchu jego po krzywym torze; wpływ oporów na ruch wozu lub statku znajdzie czytelnik u Föppl’a w VI-tym tomie na str. 220; u Kleina i Somerfelda w tomie IV-ym na str. 903; jak również u Routha w tomie 11-gim; w szczególności zaś opis i wskazówki do obliczenia wozu jednoszynowego systemu Brennan’a podają A. Gray i J. G. Gray w dziele swojem „A Treatise on Dynamics“; w dziele tern znajdują się również liczne przykłady ruchu giroskopów.

U Q-

170. Przykład. Ruch bąka. Jeżeli jeden punkt osi giroskopu swobodnego uczynimy nieruchomym w ten sposób, ażeby giroskop mógł swobodnie kręcić się około tego punktu, to po nadaniu giroskopowi obrotu ^7,0) około jego osi, i po ustawieniu tej osi pochyło względem pionu, otrzymamy obraz bąka, puszczonego swobodnie na płaszczyźnie o tyle chropowatej, że koniec osi jego nie będzie mógł się po niej ślizgać, weźmiemy ten szczególny przypadek pod uwagę, rys. 108-my.

V/////////////.

Rys. 108.

Wiemy z doświadczeń, że jeżeli ustawimy bąk niewiru-jący pochyło, to się on przewróci; jeżeli zaś będzie on w tern położeniu pochyłem wirował, to zachowanie się jego będzie inne. I zupełnie słusznie; gdy bowiem giroskop wirujący otrzyma ruchy dodatkowe jak w danym razie ruch padania; to powstają wtedy momenty sił odśrodkowych, które wpływają na jego ruch.

Na dany bąk działa w tym razie siła ciążenia, której punkt przyłożenia jest w środku jego masy; oraz siła odporowa w punkcie podparcia. Ciężar bąka jest dany, siła zaś odporowa w punkcie podparcia jest nam nieznaną. Wektor momentu tych sił, jako sił zewnętrznych, działających na dany giroskop, względem bieguna, obranego w punkcie podparcia, jest prostopadły do płaszczyzny (S, s), przechodzącej przez środek masy S i oś pionową z, wystawioną w punkcie podparcia, i wektor ten pozostaje prostopadłym do tej płaszczyzny we wszystkich położeniach giroskopu, jakie zajmuje on podczas swego ruchu. Ponieważ moment siły odporowej względem punktu podparcia równa się zeru, przeto uważać można, że w zadaniu tern znane są siły i ruch początkowy bąka, a należy obliczyć jego dalszy ruch. Ruch początkowy bąka może być ruch wirowania, jeżeli wirujący bąk puścimy swobodnie; lub też ruch ten może być również złożony z ruchu wirowania i z prędkości osi bąka, jeżeli w chwili puszczenia bąka nadamy tej osi pewnej prędkości; zwanej początkową. W celu obliczenia ruchu bąka z tych warunków, zastosujemy równanie momentu ilości ruchu

MP

dt

(396)

W celu uproszczenia obliczenia przyjmiemy najpierw pewne szczególne za-ożenia co do wielkości i położenia wektora Mv. Przyjmiemy mianowicie z pewnem przybliżeniem, że prędkość wirowania giroskopu jest tak znaczną, że prędkości dodatkowe jakie otrzyma giroskop podczas swego ruchu, są wobec niej znikome; i następnie przyjmiemy, że wobec tak znacznej prędkości wirowania, kierunek wektora momentu ilości ruchu giroskopu pokrywa się z kierunkiem jego osi i razem z nim się porusza. Oznaczywszy wektor momentu ilości ruchu wirującego giroskopu w tym szczególnym przypadku literą N; (uważać go bowiem możemy za rzut na oś giroskopu właściwego wektora Mv, który właściwie nie pokrywa się z tą osią); wyrazimy jego wielkość wzorem:

N=C.~

(397)

gdzie C oznacza moment bezwładności giroskopu względem jego osi; a w oznacza prędkość wirowania.

Odetnijmy następnie wektor N na osi giroskopu od punktu jego oparcia, to na podstawie równania powyższego napiszemy wzór

d o)

MP= C.

dt

. . (398)

z którego wynika, że przyrost prędkości obrotowej w podczas ruchu giroskopu powinien być ciągle równoległy do wektora momentu ciężaru giroskopu; t. j. że wektor w a z nim w myśl zrobionych założeń i wektor N wraz z osią giroskopu, po puszczeniu go swobodnie z pewną prędkością wirowania lecz bez dodatkowej prędkości, będzie zakreślać ruchem jednostajnym stożek prosty o osi pionowej i o pół-otworze równym kątowi początkowego nachylenia osi bąka. Koniec przeto wektora N zakreśli podczas ruchu bąka koło ruchem jednostajnym, którego płaszczyzna będzie pozioma; a długość jego promienia równać się będzie wyrazowi

N. sin fr,

(porówn. zadanie wektorowe na str. 26-ej tomu 1-go).

Ponieważ wartość pochodnej wektora N wyraża się prędkością końca jego jaka powstaje podczas jego obrotu około osi pionowej, przeto na podstawie równania 396-go i przyjętych uproszczeń napiszemy równanie

Q . s . sin = N. sin ł>.

-e-

dt ’

w którem s oznacza odległość środka ciężkości bąka od punktu podparcia; Q ciężar prędkość obrotową osi giroskopu około osi pionowej; t. j. prędkość

jego, a

zwaną precesyjną. Z równania tego obliczymy prędkość ruchu precesyjnego:

-£r-

Q.s

(399)

Ze wzoru tego wynika, że wartość prędkości precesyjnej jest dla danego bąka przy danych założeniach stałą; dla różnych zaś bąków rośnie ona z wartością iloczynu Q.s.

Okres czasu T₀,v (czas obiegu precesyjnego), w jakim oś bąka zakreśli jeden obieg, obliczymy ze wzoru:

2it =

A: »

• T₀,p;

z którego po podstawieniu prędkości precesyjnej otrzymamy:

Tot p — 2 71.

09

. (400)

Ponieważ wartość N jest bardzo wielka, ze względu na znaczną wartość prędkości wirowania, okres przeto tego obiegu może być tak długi, że go z łatwością na zegarku odczytać możemy; a wtedy będziemy mogli z tej wartości obliczyć wielkość N dla danego ruchu bąka; lub też, jeżeli moment bezwładności bąka względem jego osi jest znany, będziemy mogli obliczyć jego prędkość wirowania; którą,w inny sposób podczas ruchu bąka trudno zmierzyć.

Zbadajmy teraz jaki wpływ na dany ruch bąka wywierają siły, a właściwie momenty siły tarcia i oporu powietrza, jakiego doznaje bąk podczas swego wirowania. Tarcie powstaje przy zetknięciu się osi bąka z podstawą, na której wiruje; zbadajmy przeto warunki fizyczne, w jakich odbywa się to zetknięcie. Choćby koniec osi materyalnej bąka, który wspiera się na podstawie, był nawet nadzwyczaj ostry; musi on jednakże posiadać powierzchnię kulistą, która, znalazłszy pewne zagłębienie w podstawie, obraca się w tern zagłębieniu jak w łożysku, i wywołuje tarcie.

Podporządkowywując występujące siły tarcia pod określenia, wyłożone w § 238-ym i 242-gim tomu I-go, rozróżnimy w tym przypadku tarcie czopowe i tarcie storcowe. Jeżeliby giroskop stał pionowo, mielibyśmy tylko tarcie storco-we; gdyby zaś znajdował się w położeniu poziomem, wystąpiłoby tylko tarcie czopowe; gdy zaś wirujący giroskop jest nachylony względem pionu, to występują jednocześnie obydwa rodzaje tarcia; które wyobrazimy sobie powstałe w ten sposób, że tarcie czopowe jest wywołane składową poziomą wirowania; tarcie zaś storcowe wywołane jest składową pionową tegoż wirowania. Tarcia te wywołują momenty, których wektory Mc i M, (czopowy i storcowy), rys. 109-ty, są równoległe do osi poziomej i pionowej, a zwroty posiadają przeciwne zwrotom odpo-

Mc

as

(1

dt

at

97 !Q

MP

Rys. 109.

wiednich składowych prędkości wirowania. Z równania przeto 396-tego i 398-ego, w których przez Mp rozumieć będziemy w danym razie Mc i Ms wynika, że moment Mc wywołuje ruch osi bąka w kierunku środka stożka, jaki zakreślała ta oś pod działaniem momentu siły ciężkości; a Ms wywołuje zmniejszenie się składowej pionowej prędkości wirowania.

Następnie: tarcie powietrza, jakie powstaje podczas wirowania bąka wywołuje moment sił, którego wektor Alp (powietrza) jest skierowany wzdłuż osi wirowania ze zwrotem przeciwnym zwrotowi tegoż wirowania; moment ten przeto wstrzymuje wirowanie bąka.

Wszystkie przeto te opory łącznie z jednoczesnem działaniem momentu siły ciężkości bąka nadają taki ruch osi bąka, że zakreśla ona w przestrzeni powierzchnię stożkową, o otworze ciągle się zmniejszającym; i że wielkość prędkości wirowania stale się zmniejsza. Jeżeli dla zobrazowania sobie tego ruchu weźmiemy pod uwagę ruch dowolnego punktu osi giroskopu; to punkt ten zakreśli w przestrzeni krzywą, której rzut na płaszczyznę poziomą przedstawi pewnego rodzaju krzywę spiralną, zbliżającą się do punktu podparcia bąka; krótko mówiąc oś wirującego bąka, obracając się około osi pionowej, dąży do położenia pionowego; a osiągnąwszy to położenie lub też jemu blizkie, zacznie tracić do reszty swą energię kinetyczną na pracę tarcia storcowego i na pracę oporu powietrza, aż dojdzie do tego stanu prędkości wirowania, że najmniejsze odchylenie osi jego od pionu spowoduje jego przewrócenie się.

Przy jakiej minimalnej prędkości wirowania bąk się przewróci, wzory powyższe nie dają nam wskazówek; gdyż wskutek przyjętych skróceń, niezupełnie ujmują one zachodzące stosunki kinetyczne wirującego bąka; do obliczenia przeto tej prędkości należy zrobić założenia, które więcej odpowiadają w rzeczywistości zachodzącym warunkom fizycznym. Do przeprowadzenia tego nowego rachunku skłania nas jeszcze ta okoliczność, że wzór 398-my wyraża ruch, który zaprzecza zasadom dynamiki, bo chociaż pobieżne spostrzeganie wskazuje, że oś bąka zakreśla rzeczywiście stożek około osi pionowej i przybiera ona z czasem kierunek pionowy; lecz przy bliższej obserwacyi dostrzedz można, że ruch ten nie jest ruchem jednostajnym; a posiada pewne drgania poprzeczne do powyższego ruchu; jak również — pewne drgania w kierunku swego toru; a o drganiach tych równanie 398-me nic nie mówi. Wyniki powyższe są przytem sprzeczne z zasadą zachowania energii; bąk bowiem otrzymuje pewien ruch obrotowy około osi z; a więc—i nową energię kinetyczną, która powstaje bez nakładu pracy mechanicznej; ciężar bowiem w myśl opisu danego ruchu nie wykonuje pracy; środek bowiem ciężkości w myśl tych rozważań zakreśla koło poziome, gdy nie uwzględniamy tarcia; a nawet ciężar ten wykonuje pracę odjemną jeżeli przyjmiemy pod uwagę, że oś jego zbliża się do osi pionowej. Niezgodności te są wynikiem niezupełnie zgodnych z rzeczywistością i przytem nawet sprzecznych z sobą założeń; bąk bowiem, nabywająe obroty dodatkowe, np. obrót około osi z, obraca się właściwie około osi wypadkowej tych obrotów, której kierunek nie pokrywa się z kierunkiem osi bąka; jakieśmy to w danym rachunku przyjęli; a więc wskutek tego i kierunek wektora Mv nie może pokrywać się z tą osią.

Wobec tych sprzeczności, przyjmijmy teraz do obliczenia ruchu bąka założenia, które dalej idą w swej dokładności niż poprzednie, choć nie zupełnie jeszcze czynią zadość ścisłemu ujęciu zjawiska; chociaż bowiem przyjmiemy, że oś chwilowego obrotu, t. j. oś wypadkowego obrotu bąka tworzy z nią pewien kąt, lecz w celu uniknięcia zawiłego rachunku, przyjmiemy, że kierunek wektora momentu ilości ruchu pokrywa się jak poprzednie z osią giroskopu; co nie jest zgodne z rzeczywistością, a nawet nie jest w zgodzie z pierwszem założeniem; i na podstawie tych założeń przeprowadzimy najpierw jakościowe rozpatrywanie, a następnie obliczenie ruchu bąka, które już ze znacznem przybliżeniem będzie zgodne z rzeczywistym ruchem; sił jednakże oporowych w tym obliczeniu nie uwzględnimy.

W chwili puszczenia wirującego bąka swobodnie, t. j. bez żadnej dodatkowej prędkości, jest on pod działaniem tylko momentu siły ciążenia; wskutek czego po upływie czasu Aż pochyli się jego oś o pewien kąt, wskutek czego koniec wektora N, który w danem obliczeniu wyobrażamy sobie ściśle związanym z osią bąka, nabędzie pewnej prędkości; wektor tej prędkości z odwrotnym znakiem wyraża moment sił odśrodkowych, jakie powstały wskutek zmiany osi właściwego obrotu bąka; oś ta bowiem wskutek nowego obrotu jakiego doznał bąk, pochylając się, nie pokrywa się już z osią jego symetryi; wektor przeto tego działania jest styczny do południka, jaki zakreśla koniec wektora podczas pochylania się bąka; a zwrot ma przeciwny zwrotowi prędkości końca tego wektora; moment przeto sił odśrodkowych, jaki wskutek tego powstał, dąży do obrócenia bąka około osi, którą wyobrazimy sobie przeprowadzoną przez punkt jego podparcia równolegle do kierunku pomienionego wektora; t. j. moment ten w następnym okresie czasu Aż przesunie koniec wektora N po równoleżniku ze zwrotem dodatnym. Powstały stąd nowy wektor prędkości końca wektora N z odwrotnym znakiem, wyraża wektor działania momentu nowych sił odśrodkowych; które w trzecim okresie czasu Aż przeciwdziałać będzie momentowi siły ciężkości podniesie oś bąka po południku ku górze. Ruch więc osi bąka składa się z trzech kolejnych ruchów:

1) z ruchu po kole biegunowem ku dołowi, który powstaje wskutek ciężaru

bąka;

2)    z ruchu po równoleżniku ze zwrotem dodatnym i

3)    z ruchu po kole biegunowem ku górze.

Lecz ruchy w naturze nie odbywają się skokami i w danym więc razie otrzymamy obraz ruchu osi bąka, więcej zbliżony do ruchu rzeczywistego, jeżeli okresy czasu Aż wyobrazimy sobie podzielone na nieskończenie wiele małych okresów dt, i gdy weźmiemy pod uwagę, że działania momentów sił odśrodkowych są propor-cyonalne do wielkości prędkości końca wektora iV. W celu szczegółowszego zobrazowania ruchu bąka, obierzemy jeden punkt jego osi, który nazwiemy wierzchołkiem bąka, i opiszemy na zasadzie powyższych rozważań ruch tego wierzchołka, jakiego on dozna po puszczeniu bąka swobodnie. Jeżeli bąk nie otrzymał prędkości początkowej, oprócz prędkości wirowania, to wierzchołek jego wskutek ciężaru bąka, zacznie opuszczać się po kole biegunowem, prostopadle do równoleżnika, na którym się znajdował w chwili puszczenia i z prędkością szybko wzrastającą. Z powstaniem jednakże i wzrostem tej prędkości powstaje i wzrasta proporcyonal-

nie do tej prędkości działanie sił odśrodkowych, które nadaje wierzchołkowi temu ruch w kierunku poziomym, t. j. po równoleżniku: z chwilą powstania tego ruchu powstaje nowe działanie giroskopowe, dążące do podniesienia wierzchołka bąka ku górze; które przy znacznym wzroście prędkości poziomej może go nawet podnieść; podniesienie to jednakże zgodnie z zasadą zachowania energii, może sięgnąć tylko do wysokości równoleżnika z którego wyszedł. W ten sposób wierzchołek nieprzewracającego się bąka zakreśli tor, zawarty pomiędzy dwoma równoleżnikami; tor ten przedstawiliśmy na rys. 110-ym w sposób dosyć przesadny, ażeby lepiej go unaocznić.

Przebieg tego ruchu jest zgodny z zasadą zachowania energii; praca bowiem ciężaru bąka, podczas jego pochylenia się, idzie na energię kinetyczną, jaką on otrzymuje podczas jego upadania i podczas ruchu osi jego po równoleżniku; w najniższem położeniu posiada znaczną prędkość po równoleżniku; wskutek czego powstaje znaczne działanie momentu sił odśrodkowych, które dąży do podniesienia bąka; gdy zaś wierzchołek podniesie się na wysokość równoleżnika, z którego wyszedł; to nie posiada on już żadnej prędkości; jeżeli jej nie posiadał początkowo; niema więc tu żadnego działania ubocznego, i tor wierzchołka w tern miejscu jest prostopadły do równoleżnika; tor zaś ten w najniższem położeniu jest styczny. Otóż to podnoszenie się i opuszczanie się wierzchołka bąka z jednoczesnem posuwaniem się po równoleżniku, jest tern drganiem, które spostrzegać się wogóle daje w wirującym i puszczonym swobodnie bąku; oraz jest tym ruchem osi bąka, który przedstawia się jako ruch obrotowy około osi pionowej z.

Jeżeli oś wirującego bąka przy puszczeniu go otrzyma pewną prędkość, to ruch jego osi będzie inny. Jeżeli np. nadamy wierzchołkowi prędkość początkową po równoleżniku, to tor wierzchołka będzie styczny również do równoleżnika górnego; wskutek czego postać tego toru znacznie się zmieni; zmieni się ona przytem i ze zmianą zwrotu tej prędkości i jej wielkości; powstawać bowiem będą działania różne, zgodne lub przeciwne z działaniem momentu siły ciężkości.

W celu obliczenia ruchu bąka na podstawie tych ściślejszych założeń zastosujemy trzy wzajemnie prostopadłe osi spółrzędnych (£, 7], C); rys. 11 I-ty; z których C pokrywa się z osią bąka; oś 7j jest do niej prostopadła i leży w płaszczyźnie, zwanej biegunową; i przechodzącej przez oś giroskopu C i oś pionową z, wyprowadzoną z punktu podparcia bąka; a oś £ przyjmiemy prostopadle do płaszczyzny tych dwóch osi. Przyjmujemy następnie, że osi te są sztywno związane z płaszczyzną biegunową, i razem z nią o.bracają się około osi pionowej 0. Położenie tego układu ruchomego a wraz z nim i położenie bąka względem przestrzeni kinetycznej określimy:

'■ÂÆ

w-

-r-

&-

Rys. 110.

1)    przez kąt &, jaki tworzy oś bąka C z osią nieruchomą z\

2)    przez kąt <Jj jaki tworzy płaszczyzna biegunowa, z płaszczyzną nieruchomo obraną i przechodzącą przez oś 0 ;

3) przez kąt, jaki tworzy płaszczyzna, przechodząca przez oś bąka i obracająca się razem z nim około jego osi £, z płaszczyzną biegunową.

Pierwsze dwa kąty określają położenie osi bąka względem przestrzeni kinetycznej; kąt zaś trzeci określa położenie bąka jako bryły względem płaszczyzny biegunowej. Ponieważ przeprowadzenie bąka z pewnego położenia do nieskończenie blizkiego może być osiągnięte przez powiększenie tych trzech kątów o nieskończenie małe przyrosty; chwilowy przeto stan prędkości bąka zostaje określony

iTC

przez trzy pochodne tych kątów względem czasu; właściwą przeto jego prędkość obrotową cp w pewnej chwili wyrazimy wzorem

cn

"Ni

iT‘ *>

Mp

1/

-U

dt+0>; (400)

w którym trzy wektory prędkości składowych posiadają kolejno kierunki osi 4, osi z i osi C. Literą w oznaczyliśmy w tern równaniu prędkość obrotową bąka względem płaszczyzny biegunowej.

Lecz chwilową prędkość cp możemy również wyrazić równaniem

rł — łe + î w którem trzy składowe prędkości są rzutami prędkości chwilowej cp na trzy obrane osi w tern ich położeniu, w jakiem one znajdują się w danej chwili.

Z tych dwóch równań znajdziemy związki kinematyczne, jakie zachodzą pomiędzy składowemi prędkościami równania 400-ego i takiemiż składowemi równania 401-go. Związki te bowiem będą nam potrzebne do obliczenia jednych składowych; gdy dane będą drugie. W celu znalezienia tych związków, zrzutujemy te dwa równania kolejno na osi np. 4, tj i 4 i przyrównamy wartości tych rzutów jednego równania do wartości rzutów drugiego równania, rzuty te bowiem przedstawiają rzut jednego i tego samego wektora cp na obraną oś; a więc otrzymamy:

. sin

Rys. 111.

• (401)

d&

dt

<P? =

a, a

. cos

. (402)

Przyjęte tu wielkości mają tylko na celu określenie położenia bąka i jego stanu chwilowej prędkości; a właściwe zestawienie równań dynamicznych i obliczenie ruchu bąka nastąpi dopiero teraz.

Ażeby rozpatrywania jakościowe, przytoczone poprzednio, ująć rachunkiem, należy na podstawie równania 280-tego, przyrównać działania momentów sił odśrodkowych do iloczynów z odnośnych momentów bezwładności bąka i z przyśpieszeń kątowych; a więc działanie, jakie powstaje np. podczas pochylania się wierzchołka bąka daje następujące równanie, porówn. rys. 111 -ty:

cl (pri '

.    . (403)

Àr.    = A .

gdzie A oznacza moment bezwładności bąka względem osi rj.

Działanie zaś, równoległe do osi i, jakie powstaje wskutek ruchu końca wektora N, łączy się z działaniem momentu siły ciężkości i daje równanie, rys. 111 -ty:

dt ’

dt

(404)

W celu przeprowadzenia dalszych obliczeń wyrugujemy z tych dwóch równań np. a w tym celu scałkujemy równanie 403-cie i podstawimy z niego wartość <pv w równanie 404-te; a przyjąwszy, że w chwili t = 0:

oraz

<fo = 0>

dü

i zważywszy, że cp^ =

; całka równania 403-ciego jest następująca:

z którego

iV

(łł — 'ö'o)

(405)

= —

Po podstawieniu tej wartości w równanie 404-te i zastąpieniu, przy niewielkim kącie odchylenia, sin & wartością łuku 'S-; otrzymamy :

N²

N²

'A

a po rozdzieleniu przez A i po uporządkowaniu otrzymamy równanie ruchu osi bąka w płaszczyźnie (C, s), t. j. w płaszczyźnie biegunowej : d²b

A²

(406)

Równanie to jest równaniem różniczkowem drugiego rzędu linijne ze stałymi spółczynnikami i stałym wyrazem

W celu pozbycia się wyrazu stałego wprowadzimy do rachunku nową zmienną e, określoną z równania:

N²

A²

(407)

N² Q.s^° ' s;

A²..... A

a po podstawieniu tej wartości w równanie 406-te otrzymamy równanie różniczkowe bez stałego wyrazu, które bezpośrednio będziemy mogli zcałkować:

dy    iiy²    q.

dt²    U² A

Jeżeli bąk nie ma się przewrócić, to kąt s nie powinien się powiększać z biegiem czasu; a to nastąpi gdy

V.

.5 = 0,

(408)

N² Q.s

(409)

^>0;

wtedy bowiem równanie 408-me wyrazi ruch harmoniczny; wierzchołek przeto bąka wykona również ruch harmoniczny. Nierówność przeto 409-ta jest warun-

Mechanika teoretyczna- Tom II. Część 2-ga.

A²

kiem stabilizacyi bąka; t. j. warunkiem, przy zachowaniu którego bąk będzie się wahał około pewnego położenia równowagi, lecz się nie przewróci.

Wahania te odbywać się będą około równoleżnika, wyznaczonego pierwszym wyrazem, znajdującym się po prawej stronie równania 407-go, gdyż on jest wielkością stałą, do której odchylenia + e się dołączają. Największe przeto odchylenie t. j. amplitudę nutacyi, którą oznaczymy literą a, wyznaczymy z różnicy dwóch • kątów:

N²

Q.s

T²

N² Q.s‘ A² A

N² Q s' A² A

a że wartość

Q.s

wobec wartości ^ powinna być bardzo mała; (ażeby, stosownie

do wzoru 409-go, zabezpieczyć bąk od przewrócenia się), przeto pominiemy tę wartość i otrzymamy z dostatecznem przybliżeniem:

'N²

(410)

Odchylenie to jest przeto bardzo małe, i o tyle będzie mniejsze, o ile bąk więcej zabezpieczony jest od upadku. Wierzchołek przeto bąka zakreśla pewną krzy-wę okresową, zawartą pomiędzy równoleżnikami, określonymi kątami:

i (&₀ + 2 .

Q.s

W²'

(411)

Równaniem ruchu harmonicznego wierzchołka bąka jest całka równania 408-ego; która ma postać; porówn. § 10-ty tego tomu:

s = a . cos

S-‘+ß)

gdzie a i ß są wielkości stałe; które obliczymy z następujących początkowych warunków ruchu:

oraz

= 0;

po podstawieniu otrzymamy przeto

ß — 0;

a — —a,

i wreszcie po podstawieniu tych wartości oraz wartości a z równania 410-ego:

Qs. A A

TŁT9 *

N²

. cos

(412)

Okres Tn podwójnego wahnięcia wierzchołka bąka obliczymy ze wzoru 109-tego części 1-ej, utożsamiając równ. 408-me z równaniem 103-iem; a więc

Tn = 2tz .

N² Qs A² A

(413)

Ażeby obliczyć prędkość

dt '

z jaką obraca się płaszczyzna biegunowa oko-

ło osi z, rys. 111 -ty, t. j. prędkość precesyi, należy wartość <p,, z równ. 402-ego podstawić do równ. 405-go, a otrzymamy szukaną prędkość precesyi:

d <!> N    _ N .

dt ~ A ' sin ⁼ A *    & *

w celu wyrażenia tej prędkości w łunkcyi czasu podstawimy w to równanie

łł ⁼⁼⁼ łło 0/ -j- s,

a zważywszy, że wartość (a -f- e), jako bardzo małą w porównaniu z wartością fr₀, pominiemy w mianowniku, otrzymamy:

(a + e).

dt A »₀    ’

a po podstawieniu wartości a i e z równania 410-go i 412-ego otrzymamy:

Q-s

[>

•Ki

(414)

Obrót przeto płaszczyzny biegunowej około osi pionowej, t. j. prędkość precesyi jest złożona z prędkości stałej, która równa się wartości, obliczonej poprzednio w pierwszem przybliżeniu, równanie 399-te; oraz z ruchu okresowego; wyraz przeto drugi w tych nawiasach, odgrywa rolę poprawki, która wynikła z dokładniejszych założeń.

a wyraz 399-ty daje tylko średnią prędkość.

Z równania tego jeszcze wynika, że wartość prędkości precesyi waha się pomiędzy zerem i wartością 2 .

; prędkość

Dla t = 0; oraz dla ^ = 2 tc .

0; okres przeto Tp calko-

witej zmiany ruchu precesyjnego.

(415)

i jest równy okresowi T„, równ. 413-te, podwójnego wahnięcia nutacyjnego. Wynik ten jest bezpośrednio zrozumiały; nutacya bowiem jest w związku dynamicznym z precesyą. Jeżeli np. w pewnej chwili prędkość precesyi = 0, to nie powstaje w danej chwili działania, którego by wektor był styczny do równoleżnika; w tej więc chwili nutacya musi być także = 0, o ile bąk nie otrzymał tej prędkości z zewnątrz. Okresy przeto zmian ruchów precesyi i nutacyi w danych warunkach muszą również występować jednocześnie.

Kąt <!>«,, jaki tworzą z sobą płaszczyzny biegunowe, przechodzące przez dwa

po sobie następujące miejsca, w których je scałkujemy pomiędzy granicami

^ —0, obliczymy z równ. 414-tego; gdy

to

kąt ten, po wykonaniu tych działań:

. . (416)

Ruch więc wierzchołka bąka składa się z dwóch ruchów; z ruchu wahadłowego w płaszczyźnie biegunowej (ruch nutacyjny równ. 412) i z obrotu tej płaszczyzny około pionu z prędkością zmienną okresową, lecz zawsze jednozwrotną; równ. 414-te.

Z tych obliczeń, opartych na założeniu, że wektor momentu ilości ruchu bąka pokrywa się w każdej chwili z jego osią, wynika; że koniec tego wektora zakreśla pewien łuk w płaszczyźnie biegunowej, co jest sprzeczne z równaniem momentu, równ. 396-te, które wyraża, że przyrost tego wektora powinien być równoległy do wektora momentu sił zewnętrznych, t. j. prostopadły do płaszczyzny biegunowej. Unikniemy tej sprzeczności, jeżeli przyjmiemy najogólniejszy przypadek, który ściśle odpowiada zachodzącym w rzeczywistości warunkom, że moment ilości ruchu i oś chwilowego obrotu bąka tworzą pewne kąty z jego osią.

171. Dokładne równania dynamiczne ruchu bąka. W celu obliczenia

ruchu bąka na podstawie tych najogólniejszych założeń, oznaczmy jak poprzednio rzuty wektora chwilowej prędkości obrotu bąka na osi £, y], C literami cp$, ^ i cpę; oraz oznaczmy literami L, M, N rzuty na te osi wektora momentu Mv ilości ruchu, jaką on posiada w danej chwili; a w celu obliczenia prędkości końca tego wektora wyobraźmy sobie, że wektor Mv obraca się kolejno około tych osi spółrzędnych, zamiast około jednej cp, co jest zgodne z prawem superpozycyi ruchów; przy tern wyobraźmy jsobie, że zamiast wektora Mv obracać będziemy trzy jego składowe L, M, 77; prędkości bowiem końców tych trzech wektorów będą składowemi prędkości końca wektora Mv. Obrót przeto około osi £ da wektory prędkości końców składowych M i N, których wyrazy są

1.,

p/rr*

% Mp

L=Ai

t/U>

N=C

(Tf

N.

t/u>

t/l o

Mi

tn*

Rys. 112.

M . <f>£

M=B.w

'/(T>

N. <Pe;

porówn. rys. 112-ty; obrót zaś tych składowych około osi yj i następnie około osi C da nowe wektory tych prędkości; razem więc otrzymamy sześć składowych wektorów prędkości końca wektora Mv; wektory te są pokazane na rys. 112-tym; odwró-

ciwszy następnie ich zwroty otrzymamy sześć momentów sił odśrodkowych, które łącznie z momentami sił zewnętrznych wywołują przyśpieszenia obrotowe bąka około każdej z osi spółrzędnych. Zestawiając kolejno wzory momentów względem osi £, 7] i C, otrzymamy następujące równania dynamiczne:

dL

dt ’

M . cpt -j- Qs . sin 9- =

L.yę—    =

dM

dt ⁷

dN

L-*“ dt

(417)

Po podstawieniu w te równania: L = A;

M =    . A ;

otrzymamy trzy równania różniczkowe, jednoczesne, z trzema zmiennemi Ts> <p₀, cpc, oraz ze zmienną 9.

Równania te są następujące:

(Tc + o>). <fn ■ O —    . A + Q . s . sin 9 ==

d CD-n

• Tc • A — (Tc + ®) • Tę • G =    . A ;

0 _ d(Te + ⁰⁾¹

dt 'A 7

dt

(418)

Podstawimy następnie wartości zmiennych ^ i <pę z równań 402-gich i otrzymamy:

, d²-9-

dt²

-j- (C. (o₀ — A .    . cos &).    . sin ł> = Q . s . sin 9 ;

A . sin .

d² <|> . d t>

dt²

at -vA-

-e-

CO

COS ■ô’ —|— tû = co₀

. . v419)

dt

w których w₀ oznacza bezwzględną prędkość wirowania w chwili puszczenia bąka. W pierwsze dwa równania wchodzą tylko zmienne <|> i & i zmienna niezależna t, wobec tego z tych równań obliczyć można ruch osi bąka; a wtedy z trzeciego — prędkość jego względną w; prędkość bowiem jego bezwzględna, t. j. względem przestrzeni kinetycznej jest podług tego równania stała i równa prędkości początkowego wirowania. Całki jednakże tych równań niedadzą się wyrazić funkcyami znanemi; analiza przeto powyższych równań dynamicznych polegać może tylko na wprowadzeniu różnych skróceń, podobnych do skróceń, jakie stosowaliśmy w § 47-ym lub w § 61-szym; oraz jakie stosowaliśmy przy obliczaniu wahadeł; a skrócenia te doprowadzą nas do równań poprzednio tutaj wyprowadzonych; opartych bezpośrednio na założeniach, upraszczających obliczenie.

172. Inne równania dynamiczne ruchu bąka. Zamiast powyższych trzech równań momentów ilości ruchu, określających ruch bąka, można również

napisać inne równania dynamiczne; możemy np. napisać jedno równanie równowartości pracy i energii kinetycznej), (które można również otrzymać jako jedną z pierwszych całek powyższych równań momentów; stosując do tego prawidła, podane w § 125-tym); oraz dwa równania momentów względem odpowiednio obranych osi; jedno np. względem osi pionowej z, a drugie względem osi bąka; moment bowiem siły ciężkości względem tych osi = 0. Równanie energii kinetycznej napiszemy na zasadzie wzoru 269-tego i otrzymamy:

d [h A + <p%) + k C (<pę + o>)²] = d (Q . s . cos &); a po podstawieniu odpowiednich wartości z równania 402-go i po scałkowaniu otrzymamy:

i)

\ C. w«,² Q . s cos $ = K

gdzie Z, jest stałą, obliczalną z warunków ruchu początkowego.

Równanie momentu ilości ruchu względem osi z, napiszemy; zważywszy, że moment ilości ruchu względem osi z jest rzutem na tę oś wektora momentu ilości ruchu kąka; lub też jest sumą rzutów na tę oś trzech jego składowych L, M, N; równanie to jest następujące; rys. 112-ty:

j

[— M. sin & -)- N. cos łt] = 0:

a po podstawieniu w nie wartości z równ. 402-gich, i po scałkowaniu otrzymamy

2)

d'b

C . w₀. cos ł> -f- A .    . sin & = Z₂ ;

w którem K₂ obliczymy z warunków ruchu początkowego.    <

Trzecie równanie ma wyrażać moment ilości ruchu względem osi bąka; jest ono następujące:

A_[C(<pt + »)j = 0;

lub po scałkowaniu

3)

(<pc w) — w

Te trzy równania możemy otrzymać również z równań 419-ych drogą algebraicznych przekształceń, stosując do tego twierdzenie z § 125tego.

173. Ruch precesyjny i nutacyjny. Obrót płaszczyzny, przechodzącej przez oś bąka i pionową z, nazwaliśmy ruchem precesyjnym; jeżeli ten obrót jest jednostajny i oś giroskopu tworzy z pionową, podczas ruchu, kąt stały, to ruch taki nazwano ruchem precesyjnym jednostajnym; jeżeli zaś oś ta podczas ruchu bąka zmienia kąt nachylenia względem pionu, to ruch ten nazywają pozornie precesyjnym, a składowy ruch osi bąka, jaki wykonywa ta oś w płaszczyźnie biegunowej,—ruchem nutacyjnym; miarą ruchu precesyjnego jest prędkość ; miarą zaś

az

ruchu nutacyjnego jest prędkość

; nazwy te wzięte są z astronomii, gdzie są

stosowane przy opisie ruchu kuli ziemskiej. Stosując te nazwy do ruchu bąka, powiemy, że bąk ciężki, wsparty jednym punktem swej osi, wykonywa wogóle ruch precesyjny połączony z nutacyjnym.

Nasuwa się teraz pytanie, czy dany bąk może wykonać i przy jakich warunkach może wykonać ruch precesyjny jednostajny, t. j. ruch, w którym oś bąka zakreśla stożek prosty o półotworze ft₀.

W pierwszej chwili puszczenia bąka, bez nadania osi jego pewnej prędkości, oś ta pod działaniem momentu siły ciężkości bąka stara się pochylić; jeżeli zaś chcemy, ażeby ta oś nie pochyliła się, jak tego wymaga dane zadanie, należy zrównoważyć moment siły ciężkości innym momentem, np. momentem działania giroskopowego, które bąk powinien posiadać w chwili puszczenia go; ażeby przeto powstał ruch precesyjny jednostajny, należy bąkowi udzielić oprócz prędkości

wirowania, jeszcze pewnej prędkości precesyjnej |-j-wtedy bowiem powstanie

działanie, równoległe, lecz przeciwne zwrotowi momentu siły ciężkości. Prędkość tę obliczymy z warunku równowagi momentu siły ciążenia i działania giroskopowego; równanie to jest następujące, porówn. rys. 112-ty; lub równanie pierwsze równań 417-ych:

N₀.9* ₀ — M₀. <fCl o -f- Q . s . sin &₀ = 0 ;

w którem wskaźniki zero oznaczają, że wielkości, zaopatrzone nimi, odnoszą się do odpowiednich wielkości w początku ruchu.

Po podstawieniu odnośnych wartości z równań 402-gich, oraz po skróceniu przez sin otrzymamy równanie:

. cos ł>₀ -j- G. co₀

•(wH-s=0i    (420)

Z równania tego obliczymy np. prędkość , jaką należy nadać osi bąka

w chwili jego puszczenia; gdy dane będzie nachylenie &₀ osi bąka i jego prędkość wirowania w₀ względem płaszczyzny biegunowej oraz—momenty bezwładności Ai C.

Lecz wartość obliczona z tego równania zapewnia nam zrównoważenie momentu ciężaru bąka momentem sił odśrodkowych tylko w chwili puszczenia bąka; t. j. zachowanie warunków ruchu początkowego, wyrażonych powyższem równa- * niem, zapewnia nam precesyę jednostajną tylko w chwili puszczania bąka; czy jednak ten ruch pozostanie takim w dalszym swym przebiegu, równanie powyższe nie zapewnia tego. Ażeby zbadać jaki ruch wykona bąk przy określonym z po-

wyższego równanie ruchu początkowym; należałoby obliczyć w funkcyi czasu

do

i w wartościach początkowych warunków ruchu; a po podstawieniu wartości prędkości początkowej z powyższego równania, powinniśmy otrzymać, o ile ruch ten

= 0.

będzie precesyjny jednostajny, że

0/ i

Postępowanie to zastąpimy jednakże następującym rozumowaniem, na mocy którego dojdziemy do pewnych przypuszczeń, określających dalszy ruch bąka. Ponieważ w chwili puszczenia bąka moment siły ciężkości jest zrównoważony momentem sił odśrodkowych bąka, przeto oś jego już się nie pochyli, jak to było poprzednio, i w okresie czasu A t wykona taki ruch, jaki wykona giroskop wirujący z pewną prędkością początkową, na który nie działają siły zewnętrzne; a że ruchem

takim jest ruch precesyjny jednostajny, wierzchołek przeto zakreśli w pierwszej chwili ruchem jednostajnym cząstkę koła; a że w następnej chwili zajdzie ten sam stosunek pomiędzy obydwoma rodzajami momentów, gdyż oś bąka zachowa prędkość nadaną, i ten stosunek będzie ciągle się powtarzał; ruch przeto bąka będzie przy tych warunkach początkowych, ciągle precesyjnym jednostajnym.

174. Siła odporowa punktu podparcia bąka. Pfzyjęliśmy w poprzednim przykładzie, że koniec osi bąka spoczywa na płaszczyźnie o tyle chropowatej, że koniec ten nie może się ślizgać po tej płaszczyźnie. Zadanie obecne polega na obliczeniu siły, jaką należy przyłożyć do końca osi bąka, gdybyśmy usunęli płaszczyznę podparcia, czyli należy obliczyć siłę odporową podstawy bąka. Oznaczmy siłę tę literą R nieznaną co do kierunku i wielkości, o której tylko wiemy, że prze-> chodzi ona przez punkt podparcia bąka. Ponieważ uważamy, że ruch bąka jest nam już znany, przeto obliczymy siły nań działające z równania ruchu środka jego masy; równanie to jest następujące

R -\- Q — ?nps

Obliczyliśmy, że ruch środka masy bąka jest złożony z ruchu w płaszczy-— źnie biegunowej, który uważać będziemy za względny ^ i z obrotu w tej płaszczyźnie, który uważać będziemy za ruch unoszący; przyśpieszenia przeto punktów jego składają się z przyśpieszeń tych dwóch ruchów, § 92-gi tomu I-go. W celu ich obliczenia obierzmy układ spółrzędnych w płaszczyźnie biegunowej z początkiem w punkcie podparcia bąka; oś x tego układu obierzemy poziomo; oś z pionowo ku górze i oś a napiszemy równanie 421-sze

(421)

|X

Ul

u_ p ^ V pionowo do nich

^ w postaci algebraicznej, Rx = mp8> x;

Rb — Q = mp,,M . (422) Oznaczmy literami ps, t\ ps,n przyśpieszenia styczne i normalne ruchu względnego środka masy; t.j. przyśpieszenia ruchu po kole, leżącym w płaszczyźnie biegunowej, literą zaś ^„ — przyśpieszenie unoszące, t. j. przyśpieszenie ruchu po kole poziomem, to rzuty przyśpieszenia środka masy na osi wyrazimy sumą rzutów tych składowych na osi x, y, z; wyrazy tych rzutów odczytamy z rysunku 113-tego:

'X/

’!Z777ż777777ZwZZ777777777777777777777777777r/

Rys. 113.

Ps, x = p*, t • cos '9¹ pa, w . sin & —ps,u]

, Ps, a = — Ps. t • sin a — ps,n . cos d; wartości zaś przyśpieszeń składowych wyrazimy wzorami

ld&\²

Ps’n==S[dT)]

(423)

dt ’

oraz

Ps, u = S . sin D-.

dt

a po podstawieniu tych wartości w równania 423-cie otrzymamy:

Ps,x=S .

d²$

dt²

cos — s .

db\²

dt

. sin — s . sin & .

dt

d²&

Ps

s• dt²

. sin — .9 .

db\²

dt

. cos .

W tych wzorach uwzględniliśmy tylko jedną składową przyśpieszenia unoszącego,—przyśpieszenie dośrodkowe; chcąc jednakże być zupełnie ścisłym, należałoby jeszcze uwzględnić przyśpieszenie styczne tego ruchu i przyśpieszenie złożone (Coriolisa), lecz rachunku tego tutaj nie podamy.

Jeżeli bąk jest w ruchu precesyjnym jednostajnym, to przyśpieszenia względne odpadają, a pozostanie tylko przyśpieszenie unoszące jako dośrodkowe; w tym razie przeto składowa pionowa siły odporowej równa się ciężarowi bąka; a składowa pozioma Rx = — m pu.

Wartości pochodnych & i <J> obliczyliśmy już w funkcyi czasu w § poprzednim z różnym stopniem dokładności; możemy przeto je bezpośrednio zastosować do obliczenia siły odporowej; a przytem, zważywszy, że odchylenia osi bąka od kąta są niewielkie; możemy podstawić w tych wzorach cos & = cos łf₀; oraz sin &=sin &₀, co znacznie uprości obliczenie.

Uwzględnienie w tern obliczeniu wszystkich szczegółów kinematycznych, np. przyśpieszenie Coriolis’a, nie ma znaczenia dla celów praktycznych; gdyż w rzeczywistości ruch bąka odbywa się niezupełnie w tych warunkach fizycznych; jakie przyjęliśmy do obliczenia; rachunki przeto nasze posiadają i tak tylko przybliżony charakter.

175. Równania dynamiczne Euler’a. Przytoczone obliczenia ruchu gi-roskopów, i w ogóle ruchu kulistego brył materyalnych są ujęte w ogólną postać algebraiczną przez tak zwane równania Euler’a. Równania te wyrażają znaną już nam zasadę momentu ilości ruchu, równ. 276-te; możnaby je przeto otrzymać z tego równania drogą algebraicznych przekształceń.

Do zestawienia jednakże tych równań zastosujemy w tern miejscu pojęcie momentu sił odśrodkowych, które stosowaliśmy w poprzednich rozpatrywaniach i w tym celu wyobrazimy sobie układ osi prostokątnych, przechodzących przez punkt, około którego bryła się obraca, i ściśle związanych z daną bryłą. Osi te mogły by być obrane dowolnie w danej bryle; obierzemy je jednakże, ze względu na uproszczenia rachunkowe, jakie stąd wynikają, w kierunkach osi głównych elipsoidy bezwładności, zbudowanej w punkcie, około którego bryła dana się kręci.

Oznaczmy jak poprzednio prędkość chwilowego obrotu bryły wektorem cp ; a literami £, yj i Ç osi główne elipsoidy bezwładności, które są jednocześnie osiami spółrzędnych; literami zaś cpę, cp^ i cpc— rzuty tej prędkości na obrane osi; jeżeli następnie oznaczymy literami A, B i C wartości momentów bezwładności danej bryły względem obranych osi spółrzędnych, to rzuty L, M, N wektora momentu, stosownie do równań 261-ych tego tomu, ilości ruchu Mv danej bryły na te osi wyrazimy wzorami:

Nr = C. cpę . . . (424)

M=B.yy];

Obracając następnie z prędkościami <pę, «p, i daną bryłę kolejno około obranych osi spółrzędnych, zamiast obrócić ją około osi cp, otrzymamy, rys. 114-ty, sześć wektorów działań giroskopowych, t. j. sześć składowych wektorów momentu sił odśrodkowych, które łącznie z rzutami wektora momentu sił zewnętrznych, działających na daną bryłę, równają się, równ. 280-te, iloczynowi z odnośnych momentów bezwładności i z przyśpieszeń kątowych.

Zestawiając te równania kolejno dla każdej osi oddzielnie, otrzymamy trzy równania, zwane równaniami dynamicznemi Euler’a:

N. cp,, — M. <pc -j- MP, $ =

dL

Podstawiwszy następnie z równań 424-tych odnośne wartości rzutów wektora momentów ilości ruchu, otrzymamy po zgrupowaniu wyrazów:

+ (S—C).<pv.(p: — MP« 5 ;

a.

(425)

W równania te wchodzą jak i w poprzednim przypadku trzy zmienne cp^, cpT/ i cp;; oraz spółrzędne, określające położenie wektora momentu sił zewnętrznych

względem przestrzeni nieruchomej (kinetycznej). Ażeby przeto módz scałkować te równania, należy wogóle zmienne cps, cp^ i cp^ wyrazić spółrzędnemi układu nieruchomego; a wtedy otrzymamy wogóle trzy jednoczesne równania różniczkowe z trzema zmiennemi zależnemi od czasu, które po scałkowaniu dadzą związki pomiędzy spółrzędnemi położenia bryły i czasem.

Postępowanie to jednakże chociaż jest zupełnie słuszne i ścisłe, napotyka wogóle na tak znaczne trudności matematyczne, że zmuszeni jesteśmy i w tym razie uciekać się do różnych uproszczeń, polegających na usuwaniu z rachunku pewnych wyrazów, których wartości wywierają mały wpływ na przebieg zjawiska ruchu, a niepomiernie uproszczają obliczenia.

W celu zakończenia sposobu obliczenia ruchu, podanego przez Euler’a, który dla metodycznego postępowania jest niezbędny, podamy układ spółrzędnych, stosowany przez Euler’a i damy związek kinematyczny pomiędzy zmiennemi <p$, <pT) i <pc z jednej strony, a spółrzędnemi, wyznaczającemi położenie bryły w przestrzeni kinetycznej, z drugiej strony; związki te nazwiemy równaniami geometrycz-nemi Euler’a.

176. Równania geometryczne Euler’a. W celu określenia położenia układu osi i, y), C, sztywno związanych z kręcącą się bryłą i razem z nią poruszających się względem przestrzeni nieruchomej (kinetycznej), przeprowadźmy przez

-N

{-

-i;

htf

ii

Mt!

Rys. 114.

punkt obrotu osi nieruchome (x, y, z) wzajemnie prostopadłe; i oznaczmy prostę przecięcia się płaszczyzny (x, y) z płaszczyzną (6, yj) literą W; tę prostę nazwiemy linią węzłów; a położenie ruchomego układu (£, yj, C) względem układu nieruchomego (x, y, z) wyznaczą następujące kąty, zwane kątami Eulera:

1)    kąt jaki tworzy płaszczyzna (6, yj) z płaszczyzną (x, y)-, kąt ten równa się kątowi, jaki tworzy oś z z osią Ç; jako kąt pomiędzy prostopadłemi do tych płaszczyzn ;

2)    kąt tf», jaki tworzy oś x z linią węzłów;

3)    kąt v, jaki tworzy oś i z prostą W. Kąt wyznacza zatem położenie płaszczyzny (8, Yj) względem płaszczyzny (x, y); kąt ty wyznacza położenie linii węzłów na płaszczyźnie x, y\ kąt zaś v wyznacza położenie osi i na płaszczyźnie (£, y]); a więc wyznacza również położenie osi yj. W ten sposób te trzy kąty ł>, <|>, v wyznaczają położenie osi (£, yj, C) względem osi (x, y i z); w przypuszczeniu, że początki tych układów są wspólne.

-44»

cUb

90-

irx

im

#•

Ażeby przeprowadzić bryłę materyalną, sztywno związaną z układem spółrzędnych ($, yj, C), z położenia określonego kątami:

im*

'K v;

do położenia nieskończenie bliz-kiego; określonego kątami:

(&-j-Ad);    (<|> + Atb); (v-j-Av);

należy dany układ obrócić około pewnej osi; lecz na zasadzie prawa superpozycyi ruchów; można zastąpić ten obrót trzema innemi obrotami; a mianowicie obrotem około osi z o kąt A <|> ; następnie około osi W o kąt Ał> i wreszcie około osi C o kąt Av. Prędkość przeto chwilowego obrotu z jaką przeprowadzamy daną bryłę wraz z układem (£, yj, C) z jednego położenia do drugiego nieskończenie bliskiego, składa się z trzech prędkości składowych:

Rys. 115.

-€-l

ćZv

dt ’ dt ’ dt ’

o kierunkach osi W, z i C, rys. 115-ty; których wypadkowa jest prędkością właściwą cp. Ponieważ suma algebraiczna rzutów tych wektorów na dowolną oś, jest rzutem prędkości właściwej na tę oś, rzuty przeto cp£, rp^, <pr tej prędkości obliczymy jako sumy rzutów tych trzech składowych wektorów na każdą z osi £. yj i C. W celu ułatwienia tego obliczenia, rozłożymy prędkość

dty

dt

w kierunku osi C i w kierunku

osi pomocniczej, prostopadłej do niej i leżącej w płaszczyźnie kąta ł>. Wartości tych składowych są następujące: w kierunku osi C

5£l-e-

. cos

i w kierunku osi pomocniczej

dty

. sin ł>;

zamiast przeto rzutować trzy wektory składowe na każdą z osi £, tj i C; rzutować będziemy na nie cztery wektory składowe.

Sumy tych rzutów na te osi są następujące:

. sin ł>. sin v -f

dk

dt

d (p

-e-

dt

db

sr-C0SV;

. sin &. cos v -j-

a' £

. sin v ;

C/J

(426)

Wartości te, podstawione w równania dynamiczne Euler’a, równ. 425-te, zamieniają je na równania różniczkowe ze zmiennemi ty i v; równania te po scałko-waniu dadzą równanie ruchu danej bryły; należy tylko rzuty wektora momentu sił zewnętrznych wyrazić również temi spółrzędnemi, co nie przedstawia wogóle trudności.

Równania te można również zastosować do obliczenia ruchu, przytoczonych wyżej przykładów ruchu giroskopów.

177. Inny sposób obliczenia równań dynamicznych Euler’a. Równanie dynamiczne momentów

MP —

dMv

dt określa zupełnie ruch około punktu nieruchomego bryły materyalnej, pozostającej pod działaniem sił zewnętrznych; bezpośrednie jednakże zastosowanie tego równania, do obliczenia ruchu takiej bryły, jest niedogodnem z tego względu, że obli czenie pochodnej momentu ilości ruchu, czego wymaga to równanie, jest pod względem rachunkowym zbyt złożone; bo chociaż z równań 260-tych tego tomu, które wyrażają rzuty wektora momentu ilości ruchu na osi nieruchome, możnaby obliczyć rzuty tej pochodnej a z nich i samą pochodną, gdyby momenty I były wielkościami niezależnemi od czasu; lecz wielkości te są funkcyami czasu, i ta okoliczność sprawia właśnie trudności obliczenia pochodnej momentu ilości ruchu.

Obliczenie obrotu bryły około osi nieruchomej, któreśmy przeprowadzili w § 126-tym i 159-tym nie przedstawiało tych trudności; wartość bowiem momentu bezwładności Itp był w tym razie niezmienną; a wartości momentów odśrodkowych I₂,3 it. d. uczyniliśmy stałymi, przyjąwszy,że płaszczyzny spółrzędnych, względem których je obliczamy, obracają się razem z bryłą. W ogólnym przeto przypadku, w którym wzajemne położenie osi chwilowego obrotu względem bryły zmienia się, unikniemy tych trudności; jeżeli ruch bryły odniesiemy do układu spółrzędnych, sztywno

związanych z daną bryłą i poruszających się z nią razem; względem bowiem tych osi wszystkie I będą wielkościami stałemi. W celu zastosowania tego sposobu przekształcimy równanie momentów w ten sposób; że przyrost wektora Mv wyobrazimy sobie złożony z dwóch przyrostów: z przyrostu, jakiego on doznaje, poruszając się razem z bryłą i z przyrostu jakiego on doznaje, zmieniając swe położenie w samej bryle. Prędkość przeto jego końca składać się będzie z obrotu, jaki wykonywa bryła, jest to prędkość unosząca; tę prędkość wyrazimy wzorem wektorowym:

VfMv. <p

gdzie <p oznacza chwilową prędkość bryły; i--z prędkości względnej, z jaką porusza *się ten koniec w samej bryle; prędkość tę oznaczymy symbolicznie

d*Mv

dt

tak, iż powyższe równanie momentów przyjmie postać:

(427)

77 v ÏT - i d*Mv

Jest to równanie Euler’a w postaci wektorowej. Napisawszy je w postaci

— V Mv.“ -f MP =

d*Mv dt ’    '

. . (428)

znajdziemy w niem wyraz pojęć dynamicznych, na których oparliśmy poprzednie wyprowadzenie; lewa bowiem strona wyraża sumę momentu sił bezwładno-* ści, jakie powstają w bryle podczas jej obrotu około osi chwilowej <p i momentu sił zewnętrznych. Gdyby oś obrotu była unieruchomiona w przestrzeni, wtedy suma tych wyrazów równałaby się działaniu obracającej się bryły na łożyska osi; w danym zaś razie wyraża ona działanie, które zmienia położenie bryły.

tej pochodnej

^ ; gdzie literami L, M i N oznaczyliśmy rzuty wektora Mv na osi główne; w ten sposób otrzymamy równania 425-te.

Równanie to utożsamimy z równaniami 425-tymi, gdy zrzutujemy je na osi główne danej bryły; i w tym celu dla obliczenia rzutów wyrazu pierwszego na obrane osi spółrzędnych zastosujemy wzór 97-my tomu I-go; rzuty wyrazu drugiego napiszemy bezpośrednio; rzuty zaś wyrazu, stojącego po prawej stronie równania 428-mego, obliczymy, gdy weźmiemy pod uwagę twierdzenie, wyprowadzone w § 23-cim tomu 1-go, że rzut pochodnej równa się algebraicznej pochodnej rzutu tego wektora i na zasadzie tego otrzymamy trzy składowe dL dM . dN dt ’ dt

10. Równania Lagrange’a.

178. Równania statyczne. O znaczeniu metody analitycznej Lagrange a w mechanice wspomnieliśmy już w § 227-ym tomu I-ego; a równania równowagi, zdobyte na tej drodze, wyraziliśmy wzorem 210-ym tegoż tomu. Ażeby niepowta-rzać tutaj rachunku, podanego w § 229-ym tomu I-go dla przypadku równowagi sił, — do obliczenia ruchu układu, gdy siły te nie są w równowadze, nawiążemy nasze obliczenie do równania 210-go; nadamy mu tylko postać wektorową, przez co otrzymamy większą zwięzłość tych wzorów i przejrzystość dalszych przekształceń.

W tym celu wyobraźmy sobie, że położenie każdego punktu danego układu wyznaczone jest przez promień wodzący rk, wyprowadzony do k-tego punktu układu z dowolnie obranego lecz stałego punktu, zwanego początkiem układu; i przyjmiemy, że położenie tego wektora w przestrzeni jest określone przez pewne niezależne od siebie wielkości, które oznaczymy ogólnie, jak w § 229-ym tomu I-gu, literami: ql} q₂.. .qs, i nazwiemy je spółrzędnemi niezależnemi; wielkości te mogą oznaczać np. kąty, jakie tworzy pewien promień wodzący z obranemi osiami układu nieruchomego; lub odległości od pewnych osi, płaszczyzn i t. p.; o te szczegóły w danym razie nie idzie, a idzie tylko o to, ażeby te wielkości były od siebie niezależne, i jednoznacznie określały położenie 7r-tego promienia rk, a więc i odpowiedniego punktu. Takiemi spółrzędnemi są np. kąty a i ty w zadaniu § 154-go; lub odległości xx i x₂ w równ. 198-em tomu I-go, lub kąty a i ß w temże zadaniu. Położenie przeto i wielkość promienia wodzącego wyrazić możemy wzorem ogólnym (*):

(429) .

Jeżeli wszystkie zmienne, określające położenie danego promienia, otrzymają pewne przyrosty; to koniec promienia zakreśli cząstkę toru, jaką w rzeczywistości zakreśla punkt, którego położenie ten promień określa; przesunięcie to nazwiemy całkowitem lub rzeczywistem i oznaczymy je symbolem

. . (430)

drk;

jako całkowitą różniczkę promienia, będącego funkcyą, rów. 429-te, niezależnie zmiennych. Jeżeli zaś jednej tylko zmiennej niezależnej, którą oznaczymy literą qs, nadamy przyrost, a pozostałe niezmienimy, co zawsze możemy uskutecznić ze względu na niezależność tych zmiennych; to przesunięcie 7r-tego punktu, jakie wskutek tego powstanie, nazwiemy przesunięciem niezależnem i oznaczymy je symbolem

2rk

• • (431)

• d qs,

jako różniczkę cząstkową równania 429-go. Oczywistem jest, że przesunięcie niezależne nie jest tożsamem z przesunięciem rzeczywistem punktu; lecz jest jednem ze

(‘) Do szczególnych wzorów tego rodzaju zaliczyć można np. następujący:

rk =

?₃»-*-)+7-/a (?i, ?2i •••) + * -7s (?n £*•••),

który dla określonych wartości q określa ściśle położenie fe-tego punktu danego układu.

składowych przesunięć, na jakie, na podstawie prawa superpozycyi, wyobrazić sobie możemy każde przesunięcie rozłożone; co wyrazimy równaniem, które pod względem matematycżnem jest zupełną różniczką równania 429-go;

drk —

drk

3 r,c

.dqg .... (432)

■dq₂-f • •

dq₁ '

Równanie to możemy zobrazować sobie w postaci wieloboku wektorowego, którego składowe wyrażone są wyrazami stojącymi po prawej stronie równania, a wektor wypadkowy — wektorem, znajdującym się po lewej stronie tegoż równania.

dQ2

dqs

Obliczmy teraz rzut wektora przesunięcia niezależnego

d~k

d qs na dowolną

dqs

oś. W tym celu oznaczymy literą xk rzut promienia rk na tę oś a, mając na uwadze twierdzenie § 23-iego tomu I-go, napiszemy ogólnie, że wartość tego rzutu:

: dn I 3gs

. dqs =

\x

OJ CJ

Ä5 «

tn ?r-

ÇL.

cc

. (433)

Mając to na uwadze, możemy wyrazić wzór 210-ty tomu I-go, jako sumę iloczynów skalarnych dwóch wektorów; z których jeden jest wektorem siły a drugi wektorem przesunięcia niezależnego; na podstawie tego wzór 210-ty przyjmie postać następującą:

Pi-

CD <D

dr₂

' dQs

lub wogóle następującą:

k=n

2 P*-

k=1

OJ CD

. (435)

Jeżeli równanie to wyobrazimy sobie pomnożone przez dqh, to, mając na uwadze równ. 431-sze, wyrażać ono będzie sumę prac sił zewnętrznych, przyłożonych do punktów danego układu, jakie one wykonają podczas przesunięcia niezależnego, określonego przyrostem dqg\ równanie to przeto wypowiemy: gdy siły przyłożone do pewnego układu brył nie swobodnych, których ograniczenia ruchu mogą być wyrażone funkcyą spółrzędnych, są w równowadze, to suma prac tych sił podczas przesunięcia niezależnego, równa się zeru. A ponieważ dla każdego z przesunięć niezależnych można napisać takie równanie; przeto otrzymamy tyle równań, ile dany układ posiada spółrzędnych niezależnych; inaczej mówiąc, ile posiada stopni swobody; takie jest znaczenie dynamiczne równań równowagi Lagrange’a.

Znamienną w tych równaniach jest ta okoliczność, że nie wchodzą w nie wielkości sił odporowych — wogóle sił połączeń, które są wywoływane warunkami ograniczającymi ruch brył. Omawialiśmy, co prawda, w § 216 tym tomu I-go, przypadki, w których praca sił odporowych równała się zeru; lecz to zachodziło tylko dla tych szczególnych przypadków, w których pewne punkty bryły ślizgały się po danych powierzchniach łub liniach i gdy przesunięcia były zgodne z warunkami ruchu danej bryły; i dla tych przypadków wykazaliśmy, że suma pracy sił odporowych równa się zeru. Równania zaś 435-te (przemnożone przez odpowiednie dqg), wyrażają to samo twierdzenie, lecz dla szerszego zakresu przypadków; wyrażają one mianowicie, że suma prac wszelkich sił połączeń, która powinna była wejść do sumy prac sił, działających na bryły, równa się zeru; i to nietylko wtedy, gdy ograniczenia ruchu brył danego układu stanowią pewne linje lub powierzchnie, po których one się ślizgają, jakieśmy to przyjęli przy zestawieniu równania 193-go, lecz i wtedy, gdy pomiędzy spółrzędnemi różnych punktów danego układu zachodzą najróżnorodniejsze połączenia, które dają się wyrazić funkcyami spółrzędnych różnych punktów tego układu, a niekoniecznie jednego punktu, jak to było poprzednio. Ograniczenia ruchu brył danego układu wyraziliśmy w tych rozpatrywanych związkiem matematycznym typu L=0; t. j. funkcyą pomiędzy spółrzędnemi różnych punktów; a dla rzutów sił połączeń, jakie mają zastępować te ograniczenia, znaleźliśmy w § 228-mym tomu I-ego wyrazy X

dL

dxk ’

; wzór przeto

k=n

ZM

. . (435)

= 0; .

³L dxk    dVk,^L dzk

dxk' dq₈'    ³    ' ³ zk ' ³ qs

po przemnożeniu go przez dqs, wyraża, że sumę prac, jaką siły połączeń wykonują podczas przesunięcia niezależnego, t. j. wywołanego zmianą tylko jednej spółrzęd-nej qs, równa się zeru. Na zasadzie tego równania^ równanie 435-te jest bezpośrednim wynikiem równ. 190-go tomu I-go.

W technice mamy zwykle do czynienia z ograniczeniami ruchu, które polegają na połączeniu różnych punktów danych brył za pomocą prętów, sznurów, dźwigni, bloków; wreszcie za pomocą zetknięć z innymi bryłami i t. p. Oczywistem jest, że te wszystkie ograniczenia można wyobrazić sobie usuniętemi i zastąpionemi siłami połączeń; bez bliższego jednakże zbadania takiego mechanizmu, nie możemy sądzić czy suma prac tych sił podczas przesunięć niezależnych równać się będzie zeru czy nie. Ażeby zaś na to dać odpowiedź, powinniśmy, postępując metodycznie w myśl założeń Lagrange’a, starać się wyrazić te ograniczenia funkcyami spółrzędnych pewnych punktów tych brył; a dopiero jeżeli istnienie takich funkcyi okaże się możliwem, to na zasadzie rów. 435-go, wywnioskujemy, że suma prac sił połączeń, podczas przesunięć niezależnych równa się zeru. Postępowanie takie, aczkolwiek jest metodycznie słuszne, jest pod względem rachunku dosyć złożone, łatwiej jest bowiem nieraz, wniknąwszy w szczegóły danego mechanizmu, orzec, czy siły połączeń podczas przesunięć niezależnych nie wykonują pracy niż taki rachunek przeprowadzić. Jeżeli bryły rozpatrywanego układu ślizgają się po powierzchniach innych brył, tośmy już omówili, że praca sił odporowych równa się w tym razie zeru, o ile nie uwzględniamy oporów; jeżeli zaś pewne punkty różnych brył danego układu są połączone z sobą za pomocą lin, przekładni, bloków, przegubów i t. p. to stosując do tych mechanizmów zasady prac przystosowanych (porówn. § 217-ty tomu I-go) przyjdziemy do wniosku, że praca podczas tego przesunięcia sił, przyczepionych do końców takich lin, przekładni i t. p. (które to siły są siłami połączeń), równa się zeru, o ile te liny, przekładnie i t. p. się nieodkształ-cają; i o ile nie uwzględniamy oporów.

Zgodziwszy się przeto z jakichbądź zresztą względów, czy to matematycznych czy też fizycznych z tern, że podczas przesunięć niezależnych, praca sił wewnętrznych, występujących pomiędzy punktami każdej bryły, i sił połączeń, zastępujących ograniczenia ruchu, równa się zeru, musimy przyjść do wniosku, mając na uwadze zasadę prac wyobrażalnych, § 214 i 216-tego tomu I-go, że w razie równowagi sił zewnętrznych, powinna suma prac tych sił i tylko tych sił, podczas przesunięcia niezależnego, równać się zeru; i ten też wniosek wyraża równanie 435-te; po pomnożeniu go przez dqs.

179. Równania dynamiczne Lagrange’a. Ażeby wzór 435-ty lub 210-ty, wyrażający równowagę sił, przyłożonych do układu brył materyalnych, przekształcić na wzór dynamiczny, określający ruch danego układu, zastosujemy zasadę d’Alembert'a; i w tym celu do każdego punktu danego układu wyobrazimy sobie przyłożone siły bezwładności

— mkpk:

wskutek czego otrzymamy nowy układ sił: sił zewnętrznych i sił bezwładności, które są z sobą w równowadze. W celu wyrażenia tej równowagi zastosujemy wzór 3-ci, podstawiwszy w niego zamiast sił Pk siły (Pk—mpky, a po przeniesieniu sum na przeciwne strony równania, otrzymamy równanie:

k—n

k—n

CO CO

2[*- êl-2 -J

(436)

k=i

Zadanie obecne polega na obliczeniu sumy, znajdującej się po prawej stronie tego równania; t. j. na wyrażeniu jej skończonemi wielkościami. *

Na obliczenie tej sumy podał Lagrange nadzwyczaj wytworny pod względem rachunkowym sposób; obliczył ją mianowicie z wartości energii kinetycznej, jaką posiadają w pewnej chwili bryły danego układu; należy tylko wyrazić tę wartość spółrzędnemi niezależnemi qs, oraz ich pochodnemi względem czasu; jeżeli zaś mamy wartość energii wyrażoną innemi spółrzędnemi (np. prostokątnemu to należy znać związek geometryczny pomiędzy obydwoma rodzajami spółrzędnych i uważać te spółrzędne, np. spółrzędne prostokątne, za funkcye niezależnych zmiennych qs.

Na podstawie podanych określeń — prędkość rzeczywista vk k-tego punktu danego układu brył wyrazić można z wyrazu 430-go lub 432-go, dzieląc go przez dt.

W pierwszym przypadku otrzymamy wyraz

drk

w drugim zaś:

. . (437)

vk —

d<h

d<h '

gdzie q\ i t. d. oznaczają pochodne i t. d.; pochodne te nazywać będziemy prędkościami zmiennych niezależnych.

Wzór 437-my rozumieć można w ten sposób, że prędkość właściwa każdego punktu układu składa się z prędkości częściowych tych punktów, jakie powstają podczas kolejnych zmian zmiennych niezależnych qs.

Widzimy ze wzoru 437-go, że prędkość vk jest funkcyą linijną prędkości zmiennych niezależnych qrs\ wskutek czego pochodna cząstkowa prędkości właściwej vk względem prędkości każdej niezależnie zmiennej q't będzie się równać pochodnej cząstkowej promienia wodzącego; co wyrazimy równaniem

. (438)

dyk _

2q's~~ 2qs

Przekształcimy teraz wyraz energii kinetycznej brył danego układu, stosownie do naszych potrzeb. Wyraz ogólny energii kinetycznej wszelkiego układu punktów jest następujący:

k—n

. (439)

T=^[^nkVk²\]    .

obliczmy następnie pochodną cząstkową tej wielkości względem prędkości zmiennej niezależnej q's; a zważywszy, że prędkość vk jest funkcyą prędkości zmiennych q\, jak wskazuje równ. 437-me i 438-me, otrzymamy tę pochodną:

dT

k—n

Sq’,

k= 1

Obliczmy teraz pochodną tego równania względem czasu, mając na uwadze, że prędkość vk i prędkość

drk

są funkcyami czasu; pochodna ta <y Z

. . (440)

dt

dt

Przekształcimy następnie czynnik

stojący w drugiej sumie prawej

strony tego równania, na zasadzie przemienności (Ł) różniczkowań na wyraz 9 idrk 3 qs \ dt

cząstkową pochodnę energii kinetycznej względem niezależnie zmiennej qs; t. j. wyraz ten może być zastąpiony przez wyraz :

; a podstawiwszy w niego

drk

^ = vk, otrzymamy wyraz tej sumy jako

(.') Otrzymamy również bezpośrednio ten wynik, jeżeli zważymy, że

zmiennych qY, ę₂ > i t. d. ; a te q są funkcyami t\ przeto

a²”

d I drk

dqx.dqs

3²rk

³?2 - d.Qs

drk

są funkcyami

dt \dqs dVk dqs

dvjç

d<h

który jest jednakowy z poprzednim; przemienność przeto różniczkowania jest i w tym razie uzasadniona.

a ponieważ po obliczeniu

z równania 437-mego otrzymamy wzór:

3²rk

d²rk

•?'i +

dqs.dqi

• <12 + * • •

lub też przez wyraz

dT

k=n

fc=l

dgs

A ponieważ pierwszy wyraz, stojący po tejże stronie równania 440-go, da się zastąpić przez wyraz sił z równania 436-tego; otrzymamy przeto zamiast równania 440-go następujące:

d i dT dt \ dqt

dT

ft=H

drk

dqs

dqs

• ■ (441)

z którego obliczyć można każdy ruch bryły lub układu brył o każdej ilości stopni swobody; równań bowiem takich napiszemy tyle ile układ posiada niezależnych spółrzędnych qs, wyznaczających jego ruch; t.j. tyle, ile dany układ posiada stopni swobody.

180. Przykład. Jako przykład stosowania równań Lagrange'a do obliczenia ruchu układów przytoczymy obliczenie ruchu punktu materyalnego ciężkiego, jaki on wykonywa po powierzchni kuli pod działaniem swego ciężaru. Ruch ten obliczyliśmy w § 60-tym części 1-szej tego tomu, stosując do tego zasady szczególne dynamiki; a mianowicie zasadę równowartości pracy i energii kinetycznej oraz zasadę momentów; porówn. równanie 123-cie i 124-te. Ażeby zastosować metodę Lagrange’a do tego przykładu należy najpierw obrać spółrzędne niezależne, które określą jednoznacznie położenie danego punktu. Spółrzędnemi temi mogą być kąty 6 i a; jakie obraliśmy w § 60-tym i które pokazane są na rys. 38-ym. Prędkość przeto tego punktu wyrazimy dwoma niezależnemi prędkościami: prędkością, jaką punkt dany wykona podczas zmiany tylko kąta a; prędkość ta wyrazi się wzorom

r dt ’

oraz prędkością jaką wykona tenże punkt podczas zmiany tylko kąt 6; prędkość ta

db

dt

r sin o .

Wartość przeto energii kinetycznej tego punktu wyrazimy bezpośrednio spół-rzędnemi niezależnemi, zważywszy, że kierunki tych prędkości niezależnych są wzajemnie prostopadłe; a więc

r . sin o .

d 6 \²1

(442)

Praca cząstkowa ciężaru tego punktu podczas przesunięcia niezależnego do wyrazi się wzorem d(mg .r . cos a); podczas zaś przesunięcia d 6 równa się zeru. Stosownie przeto do równania Lagrange’a, równ. 441-sze, weźmiemy najpierw pod uwagę zmienną niezależną o i otrzymamy:

= mr². o" ;

dT

do'

= mr². a';

dT

dT

dt

do'

do

— mr². sin a . cos o . 0'².

praca bowiem siły ciężkości punktu podczas przesunięcia niezależnego d 6 równa się zeru.

Łatwo spostrzedz, że równanie pierwsze wyraża moment względem osi, prostopadłej do płaszczyzny kąta o, ilości ruchu danego punktu; gdy do działania momentu siły ciążenia dołączymy jeszcze działanie momentu siły odśrodkowej, jakiej podlega ten punkt podczas swego obrotu razem z płaszczyzną kąta a(]).

Drugie z tych równań wyraża moment ilości ruchu względem osi z i jest jednakowe z równaniem 2-giem równań 125-tych części 1-ej tego tomu.

Ażeby wykazać, że z tych równań otrzymać można np. równanie 1-sze równań 125-tych; które jest wyrazem zasady równowartości pracy i energii kinetycznej; obliczmy pochodną równania drugiego, jak to wskazuje to równanie, a pomnożywszy zgodnie z prawidłem, podanym w § 125-tym tego tomu, otrzymane równanie przez o'. dt, równanie zaś pierwsze przez 6'. dt powinniśmy otrzymać, po ich dodaniu, - - zupełną różniczkę, której całka wyrazi zasadę równowartości pracy i energii kinetycznej.

Z równań Lagrange a można wyprowadzić zasadę równowartości pracy i energii kinetycznej; należy tylko tak je przekształcić, ażeby wyrażały one pracę sił podczas rzeczywistego przesunięcia; w tym celu należy pomnożyć każde z tych równań przez odpowiednie jemu d q, a po ich dodaniu, otrzymamy szukane równa-

(x) Ponieważ przyjąć można, że punkt dany posiada przyśpieszenie względne, unoszące i złożone (Coriolis’a równ. 171 tomu I-go); w myśl przeto wyjaśnienia zasady d’Alembert’a, (podanego na str. 161-ej 1-ej części tego tomu, o obliczeniu poszczególnych ruchów); należy, w celu obliczenia ruchu względnego w płaszczyźnie kąta a, przyłączyć do danego punktu jako siły dzia-

łające na niego siły bezwładności (—mpu) i|

m . 2 Y Vw

a po podstawieniu tych wyrazów w równ. 441-sze, otrzymamy: d²o

1)

— m r².

. sin o . cos o = — mgr. sin a.

gdzie wyraz po prawej stronie wyraża rozdzieloną przez da pracę, jaką siła ciężkości wykona podczas przesunięcia niezależnego do.

Następnie obliczywszy wzór Lagrange’a dla niezależnej zmiennej 6; otrzymamy drugie równanie dynamiczne. W tym celu podstawimy w równ. 441-sze następujące wielkości, które otrzymamy z równ. 442-ego:

mr². -

dt²

dt

CO

- -Q, = mr². sin² o . 0'; oraz -drugie równanie ruchu jest przeto następujące:

mr². sin² o .

ST

90

= 0;

2)

dQ

dt

dt !

”. ^-j; z których pierwsza jest siłą

t. zw. odśrodkową ruchu unoszącego; druga-siłą Coriolis’a. — Moment względem osi, prostopadłej po płaszczyzny kąta o, siły odśrodkowej ruchu unoszącego równa się wyrazowi

mr sin o.0'².r cos a;

którego działanie przyłącza się do działania momentu siły ciężkości; gdyż moment siły Coriolis’a względem tej osi równa się zeru; kierunek jej bowiem jest równoległy do tejże osi.

nie. Zwrócić należy uwagę, że postępowanie to, oparte na superpozycyi przesunięć niezależnych, jest zgodne z postępowaniem, wskazanem w § 125-tym tego tomu.

W § 125 wskazaliśmy sposób znalezienia dla ruchu jednej bryły równania równowartości pracy i energii kinetycznej z równań momentów ilości ruchu; metoda zaś Lagrange’a daje sposób wyprowadzenia za pomocą obliczania cząstkowych pochodnych wyrazu energii kinetycznej równań momentów ilości ruchu; w ten sposób z jednego jedynego wyrazu energii kinetycznej danego układu i z wyrazu pracy sił przyłożonych do niego, można obliczyć równania ruchu danego układu; byle by te wielkości były wyrażone spółrzędnemi niezależnemi i to stanowi znakomitą dogodność równań Lagrange’a.

Lagrange, podając swe równania, nie opierał się na pojęciach dynamicznych, jakieśmy to starali się tutaj uczynić, i co dla nas jest pożądanem; lecz opierał się na pojęciach matematycznych, jakieśmy to częściowo przedstawili w tomie 1-em przy obliczaniu tych równań; wskutek tego zakres zastosowania tego równania przekracza granice pojęć dynamicznych i rozszerza się również do takich zjawisk fizycznych, w których pojęcia dynamiki nie znajdują bezpośrednio swego znaczenia.

Poleca się czytelnikowi obliczyć równania ruchu metodą Lagrange’a i znaleźć znaczenia dynamiczne oddzielnych wyrazów wahadła toczącego się, podanego w § 134-tym, oraz wahadła podwójnego, podanego w § 155-tym tego tomu.

Zakończając tę pracę, powierzoną mi przez „Komitet Wydawniczy na upamiętnienie dziesięciolecia Stowarzyszenia Techników w Warszawie“, nadmieniam, że do programu mechaniki ogólnej, jaki ja sobie wyobrażam, szczególniej dla stu-dyujących inżynieryę budowy maszyn, należy dołączyć jeszcze dział o prędkościach krytycznych,—o modelach mechanicznych i o wyrównaniu mas; czego nie mogłem przynajmniej narazie pomieścić w tej pracy; gdyż i tak przekroczyłem niepomiernie omówioną pierwotnie z Komitem objętość, przeznaczone fundusze na druk, oraz termin ukończenia;—wobec tego sądzę, że te przekroczenia wdanym razie nie będą mi wzięte za złe, — ani przez Komitet ani też przez Czytelników.

Warszawa w marcu 1916 r.

^BUOTfĄ^

KRAKÓW

SKOROWIDZ NAZW.

Cyfry rzymskie oznaczają numery tomów; cyfry arabskie — paragrafy.

d’Alembert’a metoda II 7 i nast.; 91.

Analiza równań ruchu II 156.

Bąk II 170.

Bezwładność I 3, 96.

Biegun chwilowego obrotu I 61.

„ momentu I 105, 144.

„ przekształceń I 143.

Blok = krążek I 281.

Bryła = układ sztywny punktów I 117, II 124 i nast.

„ swobodna I 60, II 162.

» nieswobodna I 60, 137, 220.

Centrodye = tor ruchomy i nieruchomy I 66. Ciążenie powszechne II 35.

Ciężar I 99.

Czas, miara jego kinetyczna II 65.

„ drgania == okres II 8, 11, 47 Czooy I 238 i nast.

Drganie harmoniczne II 8.

r, zanikające II 11.

Droga I 27, 34.

Dynama = skrętnik I 145.

Dynamika II 2 i nast.

Elipsoida bezwładności II 122.

„ (centralna) środkowa II 112.

Energia kinetyczna I 184; II 84, 122, 123.

„ potencyalna I 200.

Funkcya sił I 189; II 23.

Geometrya mas II 101 i nast.

Giroskopy II 163.

Guldin’a twierdzenia I 167, 169.

Gwint I 236.

Hamulec I 248.

Herpolodya = tor nieruchomy II 160.

Hodograf I 45.

Iloczyn skalarny I 191 i nast.

„ z trzech wektorów I 193.

„ wektorowy I 52, 110, 133.

Ilość ruchu II 24, 81 i nast.; 121.

Impuls == ilość ruchu = także moment ilości ruchu.

Kąt tarcia I 232.

Kinematyka punktu I 26.

„ brył I 58.

Kinetyka II 80, 121.

Kinetyczna miara czasu II 65.

„ układ odniesienia II 64.

Klin I 237.

Koła cierne I 250.

„ zębate I 251.

„ pasowe I 248.

Koń mechaniczny I 180.

„ parowy = koń mechaniczny I 180

Kręcenie się = ruch kulisty I 71; II 160.

Krążek I 218.

„    cierny I 250.

„    przesuwny I 218.

„ stały I 218.

Krzywa łańcuchowa I 172.

„ prędkości I 30.

Krzywizna I 42.

Lagrange’a równania dynamiczne II 179.

„    „ statyczne I 227 i nast.; II178.

Linje łańcuchowe I 172 i nast.

„ śrubowe I 70.

„ sił I 195.

Lin tarcie I 247.

„ sztywność I 258.

Łożyska I 241, 243.

Masa I 97; II 1, 2.

Mechanika, wstęp I 1.

Mechanizmy I 234 i nast.

Mnożnik nieoznaczony I 227.

„ skalarny I 20.

Mnożenie wektorowe I 52, 110.

Momenty bezwładności II 101, 113, 120.

„ bezwładności biegunowe II 103.

„    ilości ruchu II 26 i nast.; oraz

„    „    „    83, 121, 123.

odśrodkowe II 106.

„ pary sił I 113, 114, 115.

„ siły względem bieguna I 105, 106, 109, 132, 151.

„    — rzuty jego na osi I 128, 130, 131.

„ statyczne 1 105, 106, 109 i 151.

Momenty siły wypadkowej 107, 108, 143.

„ siły względem osi 126.

Newton II 33.

Nutacya II 170, 173.

Obrót I 49.

„ składowy I 87.

„ wypadkowy I 87.

„ ziemi II 174.

Ognisko bezwładności II 115.

Okres wahnięcia II 8, 11, 47.

Określenia I 222.

Operator V I 203.

Oś bezwładności II 102.

„ centralna ruchu I 73.

„.chwilowa I 72, 73.

„ główna bezwładności II 112.

„ momentu I 126.

„ obrotu chwilowego 1 71, 72, 73.

„ swobodna II 161.

„ skrętu I 73.

„ stateczna II 161.

Para obrotów I 85.

Parametry I 2

Para sił I 113 i nast.; 148.

Perpetuum mobile I 197, 207.

Płaszczyzna (niezmienna) nieruchoma II 160.

„ pochyła I 233, II 46.

Pochodna wektora I 22.

„    iloczynu wektorowego 1111.

„    „    skalarnego I 192.

Podobieństwo przekształceń sił i prędkości kątowych I 150.

Podstawy mechaniki I 2.

Polodya II 160.

Pola sił I 194 i nast.; 208 i nast.

„ wektorowe 1 194.

„ skalarne I 199.

„ zachowawcze I 206.

Powierzchnia nieruchoma I 73.

„ ruchoma I 73.

Potencyał siły I 200, 204.

Praca sił I 176 i nast.; 197. II 90, 98, 125.

„ cząstkowa I 181.

„ mechaniczna I 176 i nast.

„ nadana I 234.

„ stracona I 230.

„ w mechanizmach I 234.

„ wyobrażalna 212 i nast.; 224.

„ sił ciężkości 219.

„ przystosowana I 216.

Prawa zasadnicze I 3, II 14.

Prawo bezwładności I 3, 96; II 1.

„ superpozycyi II 4.

„ wzajemnego działania II 86.

Precesya II 170 rów. 415-te; 173.

Prędkość I 30, 43, 54, 86.

„ chwilowa I 31.

„ kątowa I 50, 51, 86.

„ składowa I 76.

„ średnia I 32.

„ unosząca I 75.

„ wypadkowa I 76.

„ względna I 75.

Prędkości rzuty I 56.

Promień krzywości I 42.

Przekształcenie ruchów I 89.

„ układów sił I 138 i nast.; oraz 143. Przemienność dodajników I 11.

„ ruchów II 77.

Przesunięcie przygotowane = przystosowane 1 216.

Przestrzeń bezwzględna — kinetyczna II 64. Przykłady i zadania równowagi sił na płaszczyźnie I 124.

„ i zadania równowagi sił w przestrzeni I 136.

„ i zadania równowagi sił przyłożonych do bryły nieswobodnej I 137.

Przyrost wektora I 22.

Przyśpieszenie I 33, 44, 54, 55.

Przyśpieszenie, rzut jego I, 56.

„    Coriolis’a I 92 i    nast.

„    dośrodkowe normalne I 47.

„    kątowe I 50, 73.

„    normalne I 47.

„    ruchu złożonego    I    91, 92, 93.

„    styczne I 47.

„    unoszące U73.

Punkt bezwładności II 114.

„    materyalny I 98.

Redukcya sił = przekształcenie I, 38, 143.

„ ruchów = przekształcenie I 89.

Rodzaje równowagi I 171.

Rozkładanie sił I 103.

„    wektorów I 19.

Równania równowagi Lagrange’a I 228.

„ dynamiczne Lagrange’a II 179.

,    połączeń I 227.

„    dynamiczne momentów II 89.

„    ruchu środka masy II 88.

„ równowartości pracy i energii kinetycznej I 23; II 90, 124.

„ dynamiczne ruchu względnego II 97 i nast.

„    dynamiczne brył II    124.

„    różniczkowe ruchu    I 34.

„    dynamiczne ruchu    II 1, 3, 85 i nast.;

97, 124.

„    ruchu I 28, 41, 56.

„    wektorowe I 57.

Równowaga sił, działających na jeden punkt I, 104.

„ sił działających na bryłę swobodną I 118, 119, 120.

„ bryły nieswobodnej I 137.

„    dwóch sił I 121.

„    trzech sił I 122.

„ sił na płaszczyźnie I 123.

„ sił w przestrzeni I 125, 135.

„    „    działających na    bryłę.

„    „    nieswobodną I    137.

„    „    niestała I 171.

„    „    obojętna I 171.

„    rodzaje I 171.

„    stała I 171.

Równoważne = równowarte układy sił I 138. Ruch I 6, 58.

„ drgający II 8.

„ harmoniczny II 8, 11, 12.

„ izochroniczny II 8.

Stożek tarcia I 231.

Suma wektorów I 9, 11. Superpozycya ruchów I 3, 75, 78. Swoboda I 58, 59, 60, 101, 137.

Ruch,— rodzaje I 59.

„ kulisty I 71; II 160.

„ krzywolinijny II 16.

„ możliwość I 60. r płaski I 61.

. wypadkowy I 75.

„ złożony punktu I 75,

„ brył, ogólny I 72.

„ bryły, ciągły I, 72, 73.

„ prostolinijny na płaszczyźnie I 63.

„ ciągły na płaszczyźnie Ï 66.

„ złożony punktu I 75.

«    „ bryły I 79.

„ harmoniczny bez oporów II 8 i nast.

przytłumiony II 11.

„ chwilowy I 31.

„ jednostajnie zmienny I 33 i nast.

„ jednostajny I 29, 46.

„ kulisty I 71; II 160.

„ krzywolinijny punktu I 41 i nast.; II 16 i nast.

„ swobodny bryły materyalnej, obliczenie II 162.

„ punktu nieswobodnego II 58 i nast.; II 43 i nast.

„ obrotowy punktu I 46, 47, 49, 50.

„ bryły I 69, 126 i nast.

„ płaski I 61 i nast.

„ początkowy,— obliczenie II 136.

„ postępowy I 59; II 130 i nast.

. prostolinijny I 27.

„ śrubowy I 70.

„ toczenia się I 66, 69.

„ unoszący I 75.

., względny II 77 i nast.; 92 i nast.

„ punktu zmienny I 30, 47, 53.

„ złożony I 75-Rzut wektora I 15, 19.

„ przyrostu wektora I 23.

„ wektora momentu I 130 i nast.

Siła I 97, 100 i II 1.

„ bezwładności II 75.

„ bierna I 101 „ ciężkości II 35.

„ chwilowa II 25.

„ dośrodkowa II 21.

„ normalna II 21

„ odporowa Lagrange’a I 228; II 178.

„ odśrodkowa I 75.

„ odporowe I 137,223; II43 i nast.; 58,158. „ oporowe I 230; II 41, 42.

„ połączeń I 229; II składowa I 102. środkowa II 19, 33, 36, 37. styczna II 21. uogólniona I 226. wewnętrzna I 118; II 85, 86. wypadkowa I 102. zewnętrzna I 101. żywa = energia kinetyczna.

Składanie sił I 102.

„ wektorów I 8.

„ prędkości I 76.

_ przyśpieszeń I 91.

„ sił I 102.

„ momentów I 107.

Składanie obrotów I 81, 82, 85, 87, 88.

„ ruchów postępowych 1 80.

Skręt I 73.

Spadek potencyału I 202.

Stateczność brył 1 170.

Spółczynnik tarcia 1 230.

Spólrzędne niezależne I 226, II 178.

„ wektorowe I 21.

Sprawność I 234.

Stabilizacya II 169.

Stateczność równowagi I 171; ruchu II 161 Statyka I 96 i nast.

Stopnie swobody ruchu I 58, 226, 227.

„    w statyce I 137.

„    w dynamice II.

Środek chwilowego obrotu    1 61.

„    ciężkości I 159 i    nast.

„    masy I 157.

„ sił równoległych I 153 i nast. „    uderzenia II 151.

„    wahań II 129.

Śruba I 236.

Tarcie I 230, 247, 252; II 57.

Toczenie się I 66, 69, 254.

Tor nieruchomy biegunów 1 66; II 160.

„ ruchomy biegunów I 66; II 160.

„ względny II 77.

Uderzenie się brył materyalnych II 142 i nast.

Układ brył, równowaga I 127 i nast

„    „ obliczenie ruchu II 139 i nast.

„ punktów materyalnych II 80 i nast.

„ punktów nieswobodnych i swobodnych I 58, 60, 137.

„ niezmienny I 117.

„ sił I 138 i nast.

Wahadło (fizyczne) — bryłowe pospolite II129. „ kuliste II 60 i nast. odśrodkowe II 44.

„ matematyczne płaskie II 47 i nast.

„ sferyczne = kuliste II 60 i nast.

„    stożkowe II 44.

„    toczące się II 124.

„ podwójne II 155.

Wektor jednostkowy I 20.

Wektora określenie I 7.

„ rzuty I 15, 19.

„ wzory algebraiczne I 18.

Wektor,— znaczenie jego fizyczne I 25.

„ ilości ruchu.

„ momentu ilości ruchu I 106, 109 „ prędkości kątowej I 51, 86.

„ siły I 97 i nast.

Wektorów dodawanie I 8, 11, 15, 16.

„    mnożenie I 53, 110.

„    odejmowanie I 10, 13, 22.

i Wektorowy iloczyn I 52, 110.

Wielobok momentów I 108.

„ prędkości I 76.

Wielobok sił I 102.

„ wektorów I 8.

Wir pola sił I 204, 205.

Wóz jednoszynowy II 169.

Wykres drogi I 30.

„ prędkości I 31.

„ przyśpieszenia I 33.

„ wektorowy prędkości I 45. Wymiar I 40.

„ momentu siły I 105.

Wymiar pracy I 179.

„ prędkości I 40.

„ przyśpieszenia I 40.

„ siły 1 100.

Zachowanie energii I 207.

Zasada równowartości pracy i energii kinetycznej II 23, 76.

„ momentu ilości ruchu II 24. j Zmiana nagła warunków ruchu II 136 i nast.

23â

Mechanika teoretyczna. Tom II. Część 2-gâ.

WYKAZ DZIEŁ z których korzystałem częściowo w niniejszej pracy.

Paul Appel. Traité de Mécanique rationelle. Paryż 1909.

Dr. Aug. Föppl. Vorlesungen über technische Mechanik. I, IV i VI-sty tom. Lipsk 1901, 1905, 1910. Jan Nep. Franke. Mechanika teoretyczna. Warszawa 1884.

Andrew Gray and James Görden Gray. A treatise on Dynamics. Londyn 1911.

Georg Hamei. Elementare Mechanik. Lipsk 1912.

W. Hofmann. Bewegung u. Trägheit. Wiedeń, Lipsk 1904.

Dr. Wilhelm Hort. Technische Schwingungslehre. Berlin 1910.

Dr. G. Jaumann. Die Grundlagen der Bewegungslehre. Lipsk 1905.

F.    Klein, u. A. Sommerfeld. Ueber die Theorie des Kreisels. Lipsk 1903.

A. E. H. Love. Theoretical Mechanics. Cambridge 1906.

Maks Lorenz. Technische Mechanik starrer Systeme. Monachium 1902.

Dr. Ernst Mach. Die Mechanik in ihrer Entwickelung. Lipsk 1904.

Dr. C. Neumann. Ueber die Principien der Gallilei-Newton’schen Theorie. Lipsk 1870.

G.    H. Niewęgłowski. Kurs mechaniki rozumowej. Paryż 1873.

E. J. Routh. Die Dynamik der Systeme starrer Körper. Lipsk 1898.

Dr. Wilhelm Schell. Theorie der Bewegung und der Kräfte. Lipsk 1879.

Dr. Heinrich Streintz. Die physikalischen Grundlagen der Mechanik. Lipsk 1883.

A. G. Webster. The Dynamics of particles and of rigid, elastic, and fluid bodies. Lipsk 1912 Dr. P. Volkmann. Einführung in das Studium der theortischen Physik insbesondere in das der analytischen Mechanik. Lipsk 1900.

i (s i i    i n

,

; I>vi.--/:-’T=ÿ^;

»î

■ ■ •- '

- - c • ~

■

'r::^-:~'yr?*.

sas?«

'S%88Ê

.-

-f, -ft, :r •• -    -:    ■

, - '':'    ; • à Z-7^'~ >-

.., -    •'•• !

.TV.'

' • VT*

î|j4'

m

’

r

'

il

■'

g^jpi

=SÏÎ3S.

“%

' ^tsżssśk

BSTffi&^-tf

-r -v^^;-^2;_.w..,-—>V ...t^; -

SS

.. '4- ■

«ssr^-

£££

aisiP

gg|ggg^

w««é^ K -:r—-‘“r p----

Sg-jT-:

rSri

b^^^üjggSSB ÿplSllNpPlPI|î: §5#

.....•

■

.

Ufegpgsggpgf -—;

.-

» " =:

■

«r-~

s*

=*

s*sï

.TP---—•

SS

3~

gwgg

fSi

ygôm

PK^PIf-

■

!8ji5

&&S£S£r?2!

Z&g~*Sfi: ;ÿ£fe*®5

■ ->^ -:•£—.“rr-*

"-â*.

—-

Ær?

-S'-vîSy¹-

jÜfe

,.... -    ^BS&gR;

pp::- T

>*--1^-^-    ---------_ “V'-

:<>'

--

üSäftterfe

ss;

SS^^fe-' :-IB»

'    •• ' r —Ć" “

fesł^SęassaSBSEEiśaa*« -• •• •-. - - r -••<

*Las^--’

SJBMSSI»

i~csa£

uæ

■PÉægg

~ś££-^e*®s^: ».

-s

--->t'r---x^--^r-' irS?2scT5Łr

•-:.?- ------

#Pp^P»KÊ§ HËæËSË . îf gg ijgg§§3ggfi[    _

—- - s~ar— ■ - V—„    ; ®r •

PlSSîsT

Sgs*»s_,.

Wmpk

ImgÉèË

’^jâsj. jt    »    _

- ■■

Vv

-

—'-v-.. ,r- ' •- •^"-■- • ' _. - ■

■śiigĘB&ggg??"’ ~‘

«BSf

«Hai ï^mSsfèmËaæ

-■    ..-fr;.    - jr' --■■    •—-v~--«£S^*.-

^^3£S

Cgg-^tî .....-'>- . ...

- r~- -••- _-•    , ~...    -

____~^~~ ■ --^g -'-J. :r.:-'; 5SŚŁ

«i^T''^ -^-~r -~—> .-.^ •r--"':^â~— .- Jr¹*'-^-.-«.. ■■^r^r>^-^.i^>.^,i)~.,.- - -    '-■ -^r-—

sè»à«35à

gggggïg

Ï2§?«

2^5S

5SŚS2-

^SsSgssglH

- SSfs

P— - 'j-'-^T*' tt. ...,-"

yrr-- is

5gg

k-

lgÿalaSgg¹^ ,.^V1S -'^:'':ÂL: - \ r~-.-..-5S

. •:

;^SśsS-ii3^§2-: '•

sdp- -.£^^    p-s=r -

ir^

Vrl'îS

P4

msm

'l2v

râêfir zz?y?&

IjvJL

-- -■„ -    iŁ3©*~0 JL __—.. ÆL—

^^^SfeltMl ¹¹ I II j£Tl 'il I JfifTIII L^teâsBSi^-S

^wSeÈÊËIf^SISS^ÊÊÊÊËmË^mm^SÊï^mÊmm^

I«^3S0

E5r

a-:;..

- ;

y^SŁ-.Ą r—' - ■- -- «^^BËs*gj...^^g&gaa»a«aSSL: •. „.. - ;<•    -Tic    ggg.

'X-"    ' ■• -r ^......• ••: ,:•

-Xg'+ÇÏ; '

mmmmmm*

' '; r_. $'■?*'}■' .

T>

Hp

ss

WSSSSSĘm

r

m

BSpfefc I-

' rS?v. - — &■' ï^garçfc ••

J§è§Sé^*^ a»lii

Bs&äHmHBSSsgä&a

:.u    - '^r*:-, . -~r -Tw^u-i-ÄT^sS^C^

wlrslglli

:;fc.

SI

m

i-_

.' 1*"-.

•;:'.®*ą

“'-'•    ÎC :-

------sa»«.-V    ;

55^^f'riW1 .-- -»•■*'*• _    -• -.'- ;    -    -^,-

£g«£    ■- '--■

. ■ “w.

- '

■

i. -• :

£r;t-

.

~£5=

ss^

.

5ËSË

wSäH:

--*—■Ti~^ 'i rT3**=ag~^

i

.-.

§æü§ü

5hSP9

Tr“

B%SŚ5

fet

ss

'-■~ f5r*~Ź,v- -•'

t

■

*ia*ł '

~' SSgSpfe-

i:

UfiBH

Rb£3SkSSS£32£^B2!

-..    • -. :, .. -i.. '•■-L—•/..

~ . -.:

.

TTS

l-plsf

*-

-

’

-

ÖSSK*

'■ . ^

«

7^:

sÜ

2g

: --•

• - -

h !.. 7f

..

.

>:

!5§§lë§2

-

sêS

~-’r‘-^-wr*|l--~-~.

;Ś*-

:•

■sjgS^Sś^

>5fESl:

•.

.

IS

«Cv

<g&

. :    ^ Si ':-

,Vśs^C

s~~§§ä

.i

r J

&

POLITECHNIKA KRAKOWSKA

Biblioteka Politechniki Krakowskiej

11-351742

Kdn 452/57

W

r«*n

.

g

KSÖft

♦VfrW *ÄJ»

SS

SäjSsagK.

-

^taattaccwsr

2*

KV,

V

. ■+*

v>;

$żż>~23u'S- „ - :

r *

Ksi

* v*

■

SÎK

i

Biblioteka Politechniki Krakowskiej

Lvyjtipg

TS,â?£ I

.Mm³

f.

100000299230

ri

M

Æ..

US

:;v

-

v>

I

L,

.

ÄSföÄ

Ey-

Vr

«w